Technische Fluidmechanik (German Edition)

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Herbert Sigloch Technische Fluidmechanik

Springer Berlin Heidelberg New York Hongkong London

ail and Paris Tokio

Herbert Sigloch

Technische Fluidmechanik Fiinfte, durchgesehene Auflage

Mit 407 Abbildungen und 61 Tabellen

Springer

Prof. Dip1.-Ing. Herbert Sigloch Fachhochschule Reutlingen Hochschule fiir Technik und Wirtschaft Fachbereich Technik AlteburgstraBe 150 72762 Reutlingen

Urspriinglich

erschienen beim VDI-Verlag

ISBN 3-540-22008-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

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Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 and 2005 Printed in Germany

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Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fur die Richtigkeit, Vollstandigkeit oder Aktualitat ubernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fur die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gultigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: medio Technologies AG, Berlin Satz: Fotosatz-Service Kohler GmbH, Wurzburg Gedruckt auf saurefreiem Papier 713020Rw 5 4 3 2 1 0

Vorwort zur fiinften Auflage Gegenuber der dritten Auflage waren keine prinzipiellen ~nderungennotwendig. Friiher noch vorhandene UnschLfen und Unzulanglichkeiten wurden beseitigt sowie geringe Erweiterungen durchgefiihrt. Zudem sind bisher leider iibersehene Fehler eliminiert. Auch zukunftig sind Verbesserungsvorschlage und Anregungen envunscht. Fur die bisher erhaltenen wird vielmals gedankt. Der Springer-Verlagunterzog sich freundlicherweise der grol3en Muhe und Verantwortung fur die Herausgabe des Buches. Dafir gebuhrt ihm grolJer Dank. Das gilt auch fur die gute Zusammenarbeit und das Verwirklichen der ~nderungswiinschesowie die hervorragende Ausstattung des Buches. Eningen, Sommer 2004

Herbert Sigloch

Vorwort zur ersten Auflage Das Buch ist aus der Vorlesung ,,Technische Fluidmechanik fur Maschinenbauingenieure" an der Fachhochschule Reutlingen hervorgegangen. Der Verfasser hat den Stoff so ausgewahlt und dargestellt, wie er nach seiner Meinung fur ein praxisbezogenes Hochschulstudium notwendig ist. Weitgreifende theoretische Erorterungen und Ableitungen wurden nur insoweit aufgenommen, wie es zum Einblick in die Zusammenhange des Wissensgebietes und damit zum Verstandnis notwendig erscheint. AuRer den im Text eingefugten 37 Beispielen sollen 77 vollstandig durchgerechnete ~bungsbeispieledie Anwendung der Stromungsgleichungen veranschaulichen. Das Werk sol1 nicht nur dem Studenten an Fachhochschulen und Technischen Universitaten das weitgehende Eindringen in den ebenso umfangreichen wie interessanten Wissenszweig Fluidmechanik ermoglichen, sondern ebenso dem praktisch tatigen Ingenieur als Gedachtnisstutze und Arbeitsgrundlage fur stromungstechnische Berechnungen dienen. Hierbei wird inbesondere der Anhang des Buches vorteilhafte Hilfestellungen leisten konnen. Die Inhaltsgliederung ist eng ausgefuhrt, um durch Auswahl entsprechender Abschnitte Schwerpunkte setzen zu konnen. Wichtige Begriffe, Phanomene und Zusammenhlnge der Fluidphysik werden nur soweit angedeutet, wie diese zum Verstandnis des behandelten Stoffes notwendig sind. Zudem sollten die Mathematik bis einschliel3lich Vektor-, Differential- und Integralrechnung sowie die technische Mechanik der festen Korper und die Grundlagen der Thermodynamik bekannt sein. Die jetzt vorgelegte zweite Auflage ist vollstandig uberarbeitet. Im Mittelpunkt stand das Bemuhen, Fehler vollstandig zu vermeiden, Schwachstellen zu beseitigen und Hinweise fur die moderne computergestutzte numerische Stromungsberechnung zu geben. Das Buch ist modern ausgestattet und verwendet ausschlieBlich genormte Formelzeichen und Dimensionen. Moge es alle Anspruche und Erwartungen erfullen. Verbesserungsvorschlage aller Art sind immer willkommen und werden dankbar entgegengenommen. Dem Verlag gebuhrt Dank f i r die vertrauensvolle Zusammenarbeit und die gute Ausstattung des Buches. Den zahlreichen Erweiterungen, Erganzungen sowie ~ndemngswiinschenin bezug auf Inhalt und Gestaltung gegenuber der Erstauflage brachte er groRes Verstandnis entgegen. Reutlingen, Sommer 1991

Herbert Sigloch

Benutzer-Hinweise

Kursiv gedruckte Worter sind haufig Stichworter, halbfett gedruckte sind es in der Regel. Das umfangreiche Sachwortverzeichniserleichtert den Zugang zu Einzelfragen. Es sollte jedoch auch genutzt werden, um die unter demselben oder ahnlichen Sachwortern an verschiedenen Stellen des Buches zu findenden Informationen zu verkniipfen. Gleichungen, Bilder und Tabellen sind durch Nummern gekennzeichnet, deren erste Zahl (vor dem Bindestrich) jeweils die Nummer des Hauptabschnittes angibt, zu welchem sie gehoren. Die zweite Zahl (nach dem Strich) ergibt sich aus der fortlaufenden Numerierung, jeweils getrennt fur Gleichungen, Bilder und Tabellen. Die Fiihrungszahl6 venveist dabei immer auf den Anhang. Naherungsbeziehungen werden auch als Formeln bezeichnet. Bezugssysteme sind immer so angeordnet, daR die z-Achse beim (x, y, z)-Koordinatensystem vertikal verlauft rnit der Plusrichtung nach oben (Hohe) und der Minusrichtung (Tiefe) nach unten. Die (x, y)-Flache liegt deshalb in der waagrechten Ebene gemaR dem mathematischen Rechtssystem (Gegenuhrzeigerdrehsinn) mit x-Achse nach rechts und y-Achse nach hinten. Verschiedentlich werden auch verwendet: h fur Hohenkoordinate (positive z-Achse) und t fur Tiefenrichtung (negative z-Achse). Das Symbol A (groRes grichisches Delta) fur Differenz wird in zweifacher Weise verwendet: Einerseits als Unterschied von End- und Anfangswert, andererseits fur den Abstand von oberem und unterem Wert, d. h. von Groat- und Kleinstwert. Weitere Bedeutungen von A sind LAPLACE-Operator und BOOLE-Matrix. Unvermeidlich ist, daa fast alle Abkiirzungssymbole mehrere Bedeutungen haben. In jedem Einzelfall empfiehlt sich daher genaues Prufen und Zuordnen. Bild-Nummern mit nach einem Komma ohne Leerstelle angehangtem Buchstaben bedeuten den Teil des betreffenden Bildes, der durch den direkt angefiigten Buchstaben gekennzeichnet ist, z. B. Bild 2-14,a. Hier ist Bildteil a von Bild 2-14 gemeint.

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Beispiele im Text werden verschiedentlich mit ubungsbeispiele immer mit bezeichnet. Die Beispiele sind zur Veranschaulichung eingefugt und sofort gelost. Die ~bun~sbeispiele sollen dem Leser das selbstandige Bearbeiten von Stromungsproblemen ermoglichen. Zur ~bersichtlichkeitwurden bei den Losungen der Beispiele und ubungsbeispiele folgende kennzeichnende Abkiirzungen verwendet: D K E EB EE ER IS DS KR DP

fur Durchflurjbeziehung fur Kontinuitatsbedingung fur Energiegleichung idealer Stromung fur Energiebilanz fur Energiegleichung realer Stromung, sog. Erweiterte Energiegleichung fur Energiegleichung der Relativbewegung idealer Stromung fur Impulssatz fur Drallsatz fur Kontrollraum fur Drehpunkt

VIII

Benutzer-Hinweise

Bezugsstellen, die zur sinnvollen Anwendung der zuvor aufgelisteten Fluidmechanikgesetze erforderlich sind, werden durch in Kreise gesetzte Ziffern gekennzeichnet. Bei Mittelwerten sind exakt zu unterscheiden [l 111: - durchsatzgemittelte Geschwindigkeit -+ lineares Mittel - energiegemittelte Geschwindigkeit qUadratisches Mittel - impulsgemittelte Geschwindigkeit

_,

Oft j edoch nicht unterschieden und iibenviegend iiberall die durchsatzgemittelte Geschwindigkeit (arithmetischer Mittelwert) venvendet, da meist turbulente Stromung, weshalb geringer - vernachlbsigbarer - Unterschied. Besondere Kennzeichnung daher in der Regel nicht notwendig. Eckige Klammern mit Zahlen kennzeichnen Literaturstellen, die dem Schrifttumverzeichnis im Abschnitt 8 entnehmbar sind. Bemerkungen: Wenn die Werte verschiedener Tabellen und Diagramme f i r den gleichen Stoff bzw. den gleichen Fall nicht iibereinstimmen, liegt dies an den Rand-, d. h. Versuchsbedingungen, die bei der experimentellen Werte-Ermittlung zugrunde gelegt wurden und an Aufiau- sowie MeBungenauigkeiten. Berechnungen nur so genau, wie es den Ausgangs- und Tabellen-, bzw. Diagrarnmwerten entspricht. Die Genauigkeit von Berechnungsergebnissen ist daher der Genauigkeit der Vorgaben anzupassen. Durch ijberschlags- undVergleichsrechnungen sollte die Richtigkeit von Berechnungen gepriift werden. Solche Abschatzrechnungen sind notwendig, da elektronische Rechner den, von ihnen durchgefiihrten RechnungsprozeB nicht auf Richtigkeit iiberpriifen konnen. Nur wenn zufallig eine Nulldivision auftritt, steigt der Rechner aus, d. h. er beendet den Berechnungslauf und gibt eine Fehlermeldung aus. Allgemein ist eine Dimension eine physikalische Grone, die der menschlichen Wahrnehmung zughglich kt. Meist konnen physikalische GroSen nicht direkt, sondern nur indirekt wahrgenommen werden, d. h. durch ihre Wirkungen, z. B. Krafte, Energien usw. Die Physik beruht letztlich auf Axiomen und Erfahrungssatzen:Axiom. . . Grundsatz der keines Beweises bedarf. Naturgesetze sind Erfahrungssatze, also Erkenntnisse die auf Erfahrung und Messungen beruhen. Der Anhang (Abschnitt 6) enthalt Hinweise, Tabellen und Diagramme fiir die Losung technischer Stromungsprobleme. Die vollstiindigen Losungen der 77 ~bungsbeispielesind im Abschnitt 7 zusammengefaBtund beruhen immer nur jeweils auf dem Kenntnistand der bis zum betreffenden Beispiel vom Buch vermittelt wird. Fehlt bei ijbungsbeispielen die Angabe des Mediums undloder dessen Zustandswerte, ist bei Fliissigkeiten Wasser von 20 O C mit der Dichte von rund 1000 kg/m3,bei Gasen Luft von 20 O C und 1 bar zugrunde zu legen. Bei nicht angegebenem Atmosphkendruck giltp, = 1 bar. Empfohlen wird, fir die Ubungsbeispiele Computer-Programme zu erstellen. Feststellungen von deutschen Physikern, die Nobelpreistrager waren (auch Seite 25): Albert EINSTEIN (1879.. .1955) - Materie und Masse sind zweierlei. Jede Materie hat Masse, aber nicht jede Masse hat Materie. - Beide ,,MedienC'aus denen das Weltall besteht, Materie und Strahlung, besitzen Energie. - Masse und Energie sind gleichwertig. Ihr Gesamtwert besteht dabei jeweils immer aus der Summe

von Ruhe- und Bewegungsanteil. Werner HEISENBERG (1901.. .l976) Am Ende seines Lebens hatte er noch zwei wichtige Fragen, die er Gott stellen wollte: warum Relativitat und warum Turbulenz? Er glaubte, daB Gott nur eine Antwort auf die erste Frage - die Relativitat - geben konne.

1

Allgemeines . . . . . . . . .

1.1 Begriffe. Dimensionen. Formelzeichen . . 1.2 Aufgabe und Bedeutung . . . . . . 1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide . 1.3.1 Kompressibilitat . . . . . . . 1.3.2 Stoffarten und -kombinationen . . 1.3.3 Teilchenkrafte. Kapillaritat . . 1A3.1 Teilchenkrafte . . . . . . . . 1A3.2 Kapillaritat . . . . . . . . . 1.3.3.3 Kriimmungsdruck . . . . . . . . 1.3.4 Mittlere freie Teilchenweglange . . 1.3.5 Viskositat . . . . . . . . . . . . 1.3.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . 1.3.5.2 Fluidreibungsgesetz nach NEWTON. . 1.3.5.3 Dynamische Viskositat 11 . . . . . . 1.3.5.4 Kinematische Viskositat v . . . . 1.3.5.5 Viskositatseinheiten . . . 1.3.5.6 Schallgeschwindigkeit . . 1.4 Fluidkrafte, reale und ideale Fluide . 2

Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

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2.1 Grenzflachen (Trennflachen. freie Oberflachen) . . . . . . . 2.1 .1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Fluid in Ruhe oder konstanter Translationsbewegung . . . 2.1.3 Fluid in beschleunigter Translationsbewegung . . . . . 2.1.4 Fluid in Rotationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 ~bungsbeis~iele. . . . . . . . . 2.2 Fluid-Druck . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Druck-Definition (Druckspannung) . . 2.2.2 Richtungsabhangigkeit des Druckes . . . . . . . . 2.2.3 Druck-Fortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Technische Anwendung der Druck-Fortpflanzung . . . 2.2.5 Druckenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Druckkraft auf gekriimmte Flachen . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Gleichgewichtszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Druck-Ausbildung durch Schwerewirkung (Schweredruck) . . . 2.2.8.1 Inkompressible Fluide (Hydrostatisches Grundgesetz) . . . 2.2.8.2 Kompressible Fluide (Luft- oder Barometerdruck) . . . . 2.2.8.2.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8.2.2 Isotherme Schichtung . 2.2.8.2.3 Isentrope Schichtung . 2.2.8.2.4 Normatmosphare . 2.2.8.2.5 Druckbegriffe . . . 2.3 Kommunizierende GeCaBe . 2.4 Saugwirkung . . . . . .

2.5 Fluidkrafte auf Wandungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Fluidkrafte gegen ebene Wandungen . . 2.5.2.1 Bodenkraft . . . . . . . . . . . 2.5.2.2 Seitenkraft . . . . . . . . . . . . . 2.5.2.3 Aufkraft . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Fluidkrafte gegen gekriimmte Wandungen . 2.5.4 ubungsbeispiele . . . . . . . . . . . 2.6 Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . 2.6.1 Auftrieb . . . . . . 2.6.2 Schwimmen . . . . 2.6.2.1 Gleichgewicht . . 2.6.2.2 Stabilitat . . . 2.6.3 ~bungsbeis~iele. .

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Fluid.Dynamik. Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

3.1 Stromungseinteilung und Begriffe . . 3.1.1 Stromungseinteilung . . . 3.1.2 Begriffe . . . . . . . . . . 3.2 Fluid-Kinematik . . . . . . . . 3.2.1 Grundsatzliches . . . . . . . . 3.2.2 Eindimensionale Stromungen . 3.2.2.1 Bewegungszustand . . . . . 3.2.2.2 Grundgleichungen . . . . 3.2.2.2.1 DurchfluD . . . . . . . . . 3.2.2.2.2 Kontinuitat . . . . . . . . 3.2.2.3 ~bungsbeispiele. . . . . . . . . 3.2.3 Mehrdimensionale Stromungen . . 3.2.3.1 Bewegungszustand . . . . . . . 3.2.3.1.1 Translation . . . . . . . . 3.2.3.1.2 Deformation . . . . . 3.2.3.1.3 Rotation . . . . . . . 3.2.3.1.4 Allgemeine Bewegung . . . 3.2.3.2 Grundgleichung (Kontinuitat) . . 3.2.3.3 G~ussscherIntegralsatz . . . . . 3.3 Fluid-Kinetik . . . . . . . . . . . . 3.3.1 ~hnlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.2 Stromungskennzahlen aus Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.3 Bedeutung der ~hnlichkeits~esetze 3.3.1.4 Anwendung der Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.5 Herleitung der Kennzahlen durch Vergleichen gleichartiger GroDen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REYNOLDS-Zahl M A C H - Z.~.~ .~ F ~ o u ~ ~ - Z a. h. l EULER-Zah1. . . S T R O ~ H A L -. Z. ~. ~ ~ 3.3.2 Stromungsformen . . . . 3.3.2.1 Laminare Stromung . . . 3.3.2.2 Turbulente Stromung . .

Inhalt

3.3.2.2.1 Grundsatzliches . . . . . 3.3.2.2.2 Turbulenzgrad . . . . . . 3.3.2.2.3 Scheinbare Viskositat q, . . . . 3.3.2.2.4 Kritische REYNOLDS-Zahl. . . . . 3.3.3 Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . 3.3.3.1 Grundsatzliches . . . . . . . 3.3.3.2 Grenzschichtdicke 6 . . . . 3.3.3.3 Verdrangungsdicke 6, . . . . . 3.3.3.4 Grenzschichtstromung . . . . . 3.3.3.5 Kompressible Grenzschichten . . . 3.3.4 Stromungsablosungen . . . . . . . . . . 3.3.5 Unstetigkeitsflachen . . . . . . . . . . . 3.3.6 Eindimensionale Stromung idealer Fluide . . . . . . . 3.3.6.1 E U L E R S Bewegungsgleichung C~~ der Absolutstromung . . . . 3.3.6.1.1 Kraftwirkung in Bewegungsrichtung s . . . . . . . . . . . 3.3.6.1.2 Kraftwirkung in Normalenrichtung n . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6.2 E U L E R S C Bewegungsgleichung ~~ der Relativstromung in waagerechter Ebene 3.3.6.2.1 Dynamisches Kraftegleichgewicht in der relativen Stromungsrichtung s . . 3.3.6.2.2 Dynamisches Kraftegleichgewicht in der relativen Normalenrichtung n . 3.3.6.3 Energiegleichungen der Absolutstromung . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6.3.1 Instationare Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6.3.2 Stationhe Stromung ( B E R N O U L L I - G ~ ~.~ .C ~ U ~ ~ ) . . . . . . . 3.3.6.3.3 Anwendungen der Energiegleichungen . . . . . Statischer und dynamischer Druck . . VENTURI-Rohr . . . . . . . . . . D'ALEMBERTSC~~S Paradoxon . . Wasserstrahlpumpe (Injektor) . . Beispiele . . . . . . . . . . . . 3.3.6.3.4 ~bungsbeispiele . . . . . . . . . . 3.3.6.4 Energiegleichung der Relativstromung . . 3.3.6.4.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . 3.3.6.4.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . .

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Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen) . . .

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten) . . . . 4.1 .1 Innenstromungen (Rohrstromungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.1 Erweiterte Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.2 Energieliniengefalle . . . . . . . . . . . 4.1 .1.3 Gerade Rohre im Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . 4.1.1.3.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.3.2 Laminare Rohrstromungen . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.3.3 Laminare Stromung zwischen parallelen Platten . . . . . . 4.1 .1.3.4 Turbulente Rohrstromungen . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeits-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlustenergie Yv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenhang zwischen Widerstandsgesetz und Geschwindigkeitsverteilung . . Zusammenhang zwischen Verlustenergie Yv und Rohrdurchmesser D . . . . . . 4.1 .1.3.5 Anlaufstrecke, Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laminare Anlaufstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turbulente Anlaufstrecke . . . . Erganzungen . . . . . . . .

111 111 111 112 112 112 112 115 116 116 118 122 122 123 123 124 124

XI1

Inhalt

4.1.1.3.6 Analogie zwischen Rohrstromung und Elektrizitatsgleichung . 4.1.1.3.7 Rohrleitungsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.3.8 ~ b u n ~ s b e i s p i e l.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.4 Gerade Rohre mit beliebigem Querschnitt . . 4.1.1.4.1 Gleichwertiger Durchmesser . . . . . . 4.1.1 A.2 Laminare Stromung . . . . . . . . . . 4.1 .1.4.3 Turbulente Stromung . . . 4.1.1.5 Rohreinbauten . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1S.1 Grunddtzliches . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.5.2 Formteile fur Richtungsanderungen (Kriimmer) . . 4.1.1 S.3 Rohrein- und Rohrauslaufe . . . . . . . . . . 4.1.1.5.4 Formteile fur Querschnittsanderungen .

Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . Verengungen . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.5.5 Formteile fur DurchfluBanderungen . . 4.1 .1S.6 Armaturen . . . . . . . . . . . . . . Absperr- und Regelorgane . . . . . Saugkorbe . . . . . . . . . . Drosselgerate (MeBorgane) . . 4.1.1 S.7 Beruhigungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 S.8 Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.6 Stromungen mit Energiezu- und/oder Energieabfuhr . . . 4.1.1.7 Kennlinie von Rohrsystemen . . . . . . . . . . . . 4.1 .1.8 Versuchswesen . . . . . . . 4.1.1.9 ~bun~sbeispiele . . . . . 4.1.2 AusfluB aus Offnungen . . 4.1.2.1 Grundsatzliches . . . . . 4.1.2.2 Kleiner AusfluBquerschnitt . 4.1.2.3 GroBer AusfluBquerschnitt . 4.1.2.4 ubungsbeispiele . . . . . . . 4.1.3 Stromungen in Gerinnen . . . . . . . . . 4.1.3.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.2 Gleichformige stationare Gerinnestromung . . . . . . 4.1.3.3 Ungleichformige stationare Gerinnestromung . . . .

4.1.4 Plattenstromungen (eindimensionale AuBenstromungen) . . 4.1.4.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4.2 Glatte Platten (technisch glatt) . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4.2.1 Laminare Grenzschicht uber die gesamte Plattenlange . . 4.1.4.2.2 Turbulente Grenzschicht uber die gesamte Plattenlange . . 4.1.4.2.3 Turbulente Grenzschicht mit laminarer Anlaufstrecke . . . 4.1.4.3 Rauhe Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4.4 Zuverlassige Rauhigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4.5 Ubungsbeispiele . . . . . 4.1.5 Rotierende Scheibe . . 4.1.5.1 Grundsatzliches . . . 4.1 S.2 Freie Scheibe . . . . 4.1 S.3 UmschIossene Scheibe 4.1.5.4 Ubungsbeispiele . . . 4.1.6 Stromungskrafte 4.1.6.1 Impulssatz . . 4.1.6.1.1 Herleitung .

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4.1.6.1.2 Striimungs!uik an Rohrteilen

..................

K ~ m m e r. . . . . . . . . . . . . . . Unstetige Querschnittserweiterung . . . Kniestiick mit Que~~~hnittsemeitemng ...... Turbulente Kreisrohr-Stromung . . . . . . . . . A 1.6.1.3 Strahlkrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seukrechter Stoh gegen ebene feststehende Wand . . . . . . . Schiefer St08 gegen ebcne feststehende Wand . . . . . . . . . . StrahlstoB gegen symmetrisch g e k ~ m m t eWaud (Hohlwolbung) Angeschnittener ebener Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugel oder Walze schwebend in schrigem Luftstrahl . . . . . 4.1.6.1.4 RiickstoBkrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BehiilterausfluD aus seitlicher &hung . . . . . . Strahldiise (StrahItriebwerk) . . . . . . . . . . . 4.1.6.1.5 Propellerschub . . . . . . . . . . . . 4.1.6.2 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6.2.2 SEGNXR-Rad. . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6.2.3 Hubschrauberrotor mit Strahltriebwerken . 4.1.6.3 Hduptgleichuug der Kreiselradtheorie . . . . 4.1.6.4 obungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Mehrdimensiontlle Strijmungen idealer Fluide . . . . 4.2.1 Eu~mscheBewegunggleichungen . . . . . . . 4.2.2 Linienintegral und Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1 Linienintegral A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.2 Zirkulation r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.3 Vergleich von Stromungsfeld mit elektromagnetischem Feld . . . 4.2.3 Satz von THOMSON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 lntegralsatz von S T O .~. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Potential- und Stromfunktion . . . . 4.2.6 Komplexes Potential . . . . . . . . 4.2.7 Konforme Abbikdmg . . . . . 4.2.8 Strinnungsklassen . . . . . . . 4.2.8.1 Potentialstromungen . . . . . . . 4.2.8.1.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . 4.2.8.1.2 Translationsstromung . . . . . . 4.2.8.1.3 Quellen- und Senkenstrsmung . . . . . 4.2.8.1.4 Kreisstromung . . . . . . . . . . . . 4.2.8.1.5 Weitere wichtige Potentialstriimungen . . . 4.2.8.2 Wirbetstr6mungen . . . . . . . . . . . . . . 4.2.8.3 Zusammengesetzte Strbungen . . . . . 4.2.8.3.1 Grundsiitzliches . . . . . . . . . . . . 4.2.8.3.2 Wichtige Str6mungsiiberlagerungen . . Translationsstr6mung Quelle . . . . . Kreisstromung + Quelle . . . . . . . . . . . Kreisstromnng -+ Senke . . . . . . . . . . . Translation.;s1r6tnung, Kre~sstrnmun~ . . 4.2.9 Umstr6mune .von Schaufeln und Prolilrn . . 4.2.9.1 M~oNus-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.9.2 Tragfliigeltheorie . . . . . . . . . . . . 4.3 Mehrdimensiouale Su6mungen realer Fluide . . 4.3.1 Bewegnngsgleichungen . . . . . . . 4.3.1.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . .

+

..

..

..

XIV

Inhalt

4.3.1.2 N A V I E R - S T O K E S - G .I ~. ~.C. ~.U.~.~ .~ ~. . . . . . . . . 4.3.1.3 Wirbeltransportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.4 Grenzschicht-Gleichung nach PRANDTL . 4.3.1.5 Schmierschicht-Theorie . . . . . . . 4.3.1.6 REYNOLDS-Gleichungen. . . . . . . 4.3.1.7 Turbulenz-Modelle . . . . . . . . . 4.3.1 J . 1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . 4.3.1.7.2 P R A N D T LMischungsweg-Ansatz ~C~~~ . . 4.3.1.7.3 (k, 2)-Modelle . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.8 Numerische Stromungsmechanik . . . . 4.3.1.8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.8.2 Direkte numerische Simulation (DNS) . . . 4.3 .1.8.3 PANEL-Verfahren(PV) . . . . . . . . . 4.3.1.8.4 Finite-Differenzen-Verfahren (FD) . . . 4.3.1.8.5 Finite-Volumen-Methode (FV) . . . . . 4.3.1.8.6 Finite-Elemente-Methode (FE) . . . 4.3.1.8.7 Vergleich der Finite-Verfahren . . . 4.3.2 Korper-Umstromung . . . . . . . 4.3.2.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . 4.3.2.2 Flachenwiderstand . 4.3.2.3 Formwiderstand . . . . . . 4.3.2.4 Gesamtwiderstand . . . . . 4.3.2.5 S~o~Essches Widerstandsgesetz . 4.3.2.6 ~bungsbeispiele. . . . . . . . . . . 4.3.3 Krafte an umstromten Tragflugeln . . . 4.3.3.1 Grunddtzliches . . . . . . . . . . . 4.3.3.2 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . 4.3.3.3 Krafte am unendlich breiten Tragflugel . 4.3.3.4 Erzeugung der Zirkulation . . . . . . . 4.3.3.5 Druckverteilung am Tragflugel . . . 4.3.3.6 Tragfliigeleigenschaften . . . 4.3.3.7 Gleitflug . . . . . . . . . . 4.3.3.8 Polarendiagramm . . . . . . . . . . 4.3.3.8.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3.8.2 Polarendiagramm nach LILIENTHAL. . . . . . 4.3.3.8.3 Aufgelostes Polarendiagramm . . . . . . . . . . . 4.3.3.8.4 EinfluB der Oberflachenrauhigkeit auf die Polare . . 4.3.3.8.5 EinfluB der REYNOLDS-Zahk auf die Polare . . . . . 4.3.3.8.6 EinfluB der Profilform auf die Polare . . . . . . 4.3.3.8.7 EinfluR der Fluid-Kompressibilitat . . . 4.3.3.8.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . 4.3.3.9 Krafte an endlich breiten Tragflugeln . . 4.3.3.10 Flugbedingungen . . . . . . . . . 4.3.3.1 1 ~bungsbeispiele . .

5

Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik) . . . .

5.1 Grundsatzliches

. . . . . . . . . .

5.2 Kleine Druckstorungen (Schall) . . . 5.2.1 Schallgeschwindigkeit . . . . . 5.2.2 Schallausbreitung . . . . .

Inhalt

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie) . 5.3.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.IDurchfluB und Kontinuitat . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.2 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.2.1 Reibungsfreie kompressible Stromungen . . . . . . 5.3.1.2.2 Reibungsbehaftete kornpressible Stromungen . . . . 5.3.1.2.3 Kompressible Stromungen mit Warmeiibertragung . . . 5.3.1.3 Impuls und Drall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Unterschall-Rohrstrhungen . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.1 Grundsatzliches . . . . . . 5.3.2.2 Polytrope Rohrstromung . . . 5.3.2.3 Isotherme Rohrstromung . . . 5.3.2.4 Adiabate Rohrstromung . . . . 5.3.2.5 Rohrreibungszahl I . . . . 5.3.2.6 Drosselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.7 ~bungsbeis~iele 5.3.3 Ausstromungen (Expansionsstromungen) . 5.3.3.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . 5.3.3.2 Miindung (einfache Diise) . . . . . . 5.3.3.2.1 Ausstromgeschwindigkeit . Isentrope Ausstromung . . Polytrope Ausstromung . . Gefalleverlust . . . . . . . . . . . 5.3.3.2.2 Massenstrom . . . . . . . . . . . . . Ideale Stromung ohne Kontraktion . . Reale Stromung . . . . . . . . . . 5.3.3.2.3 LAVAL-Druckverhaltnis . . 5.3.3.2.4 Maximalgeschwindigkeit . . 5.3.3.2.5 Maximaler Massenstrom . . 5.3.3.3 L A V A L - D(erweiterte ~~S~ Diise) . . 5.3.3.3.1 Grundsatzliches . . . . . . 5.3.3.3.2 Querschnittsverlauf . . . . 5.3.3.3.3 Ausstromgeschwindigkeit . Ideale Stromung . . . . Reale Stromung . . . . Gefalleverlust . . . . . . . . . Grenzgeschwindigkeit . . . . . 5.3.3.3.4 Massenstrom . . . . . 5.3.3.3.5 Abmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.3.6 Thermische ZustandsgroBen im engsten und im Austrittsquerschnitt . . 5.3.3.3.7 Veranderlicher Gegendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungestorte Stromung . . . . . . . . . . . . . . Gestorte Stromungen . . . . . . . . . 5.3.3.3.8 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Einstromungen (Verdichtungsstromungen) . . . 5.3.4.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . 5.3.4.2 Unterschalldiffusor . . . . . . . . . . . 5.3.4.2.1 Ideale, d . h . isentrope Verdichtung . . . 5.3.4.2.2 Reale, d . h . polytrope Verdichtung . . . 5.3.4.3 ~berschalldiffusor . . . . . . . . . 5.3.4.4 StoBdiffusor . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Transsonische Rohrstromungen . . 5.3.6 ~bungsbeis~iele. . . . . . .

XV

XVI

Inhalt

5.4 GroBe Druckstorungen (StoR. Welle) . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.4.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.4.2 VerdichtungsstoDe . . . . . . . . . 347 5.4.2.1 Senkrechter VerdichtungsstoD . . . . . 347 5.4.2.1 .1 Hauptgleichungen . . . . . . . . 347 5.4.2.1.2 Zustandsfunktionen . . . . . . . 348 5.4.2.1.3 Geschwindigkeiten . . . 348 5.4.2.1.4 Drucke . . . . . . . . . . . 350 5.4.2.1.5 Spezifische Volumen . . . . . 350 5.4.2.1.6 Temperaturen . . . . . . 350 5.4.2.1.7 MACH-Zahlen . . . . . . . . . . . 350 5.4.2.1.8 Entropie-Zunahme . . . . . . . . 351 5.4.2.1.9 Zusammenhang - Druck-Dichte . . . . 351 5.4.2.1.10 Exergieverlust . . . . . . . . . . 352 5.4.2.1.11 Vergleichs-Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . 352 5.4.2.2 Schrager VerdichtungsstoB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 5.4.3 Verdiinnungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 5.4.4 Zusammenstellung der Beeinflussungen von ~berschallstromungendurch Wellen undStoBe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 EinfluD der Wandrauhigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Vorgange in freien Gasstrahlen . . . . . . 362 5.4.5 Ubungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . 363 5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen . . . . 363 5.5.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . 363 5.5.2 Umstromung mit (reinem) Unterschall . . . . . 363 . . . 364 5.5.3 Umstromung mit ~ b e r s c h a l l . . . . . . . . 364 5.5.3.1 Ortlicher ~berschall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 5.5.3.2 Reiner ~berschall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 5.5.4 Blockierung (Choking) iiberschallschnell angestromter Offnungen . . 375 5.5.5 ubungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

6

Anhang

7

Liisungen der ijbungsbeispiele

8

Schrifttum

.

9

Sachworter

...

..

1.l Begriffe, Dimensionen, Formelzeichen

1 Allgemeines 1.1 Begriffe, Dimensionen, Formelzeichen

Jeder Zweig der Wissenschaft pragt seine eigene Sprache. So auch die Fluidmechanik. Die wichtigsten Begriffe, Einheiten und Formelzeichen sind genormt. Die Normen, die das Gebiet der Technischen Fluidmechanik beruhren, sind im Anhang (Tabelle 6-1) aufgefiihrt. Alle in der Mechanik verwendeten dimensionsbehafteten GroBen (Lange, Zeit, Masse, Kraft, Impuls, Energie, Leistung u. dgl.) lassen sich durch die des Internationalen Einheitensystems (SI . . .

Systtme International d'Unites) ausdrucken. Alle anderen Dimensionen (SI-Einheiten) sind von den Basiseinheiten abgeleitet (DIN 1301), Tabelle 1-1 und Tabelle 1-2. AuBer Geschwindigkeit und Beschleunigung werden alle auf die Zeit bezogenen, d.h. nach der Zeit differenzierten GroBen mit dem Wortzusatz Jtrom'' versehen und durch einen hochgestellten Punkt gekennzeichnet. Z. B.: V . . . Volumen v . . . Volumenstrom

SI-Einheit (Dimension)

Meter

Kraft

Newton N = kg . m/s2

Druck

Pascal Pa = N/m2 Bar bar = 10 N/cm2

Energie, Warme, Arbeit

Joule

Leistung (Energiestrom)

Watt

Masse

*)

L . . . Drall L . . . Drallstrom

Tabelle 1-2. Wichtige GroBen mit den von den Basiseinheiten abgeleiteten Dimensionen.

Tabelle 1-1. SI-Basiseinheiten, mks-System.

Sekunde Kelvin

1

Temperatur

b m . Grundeinheit Gramm g.

m J=Nm=kg.-

s2

W = J/s = Nm/s

Tabelle 1-3 bis Tabelle 1-9 enthalten eine Zusammenstellung der wichtigsten venvendeten Syrnbole und Formelzeichen nach DIN 5492 sowie DIN 1303: Tabelle 1-3. Geometrische GroDen. Symbol

1 Gr6Be

Symbol

Rechtwinklige Koordinaten Polarkoordinaten Weg bzw. Koordinate langs der Stromungsrichtung Normalenkoordinate, -richtung Durchmesser Gleichwertiger Durchmesser Radius, Halbmesser Breite Hohe Lange Tiefe, tief: Tangentenrichtung

X,Y,

r, cp (Phi) S, x

n D, d D,l R, r B, b H, h L, 1 T, t

Absolute Rauhigkeitshohe (Rauheit, Rauhigkeit). Entspricht R, b m . R,,, nach DIN 4768 ~quivalenteSandrauhigkeit Flache, Querschnitt Umfang Stromungswinkel Einheitsvektor (allgemein) 1 e' 1 = e = 1 Einheitsvektoren in den Koordinatenrichtungen x , y, z l<~=le',l=le',l=eeeey=ee=1

Richtungscosinus zur i-Richtung Komplexe G r o k

Tabelle 1-4. Thermische und J o u ~ ~ s c hGroBen. e

I

Symbol

1

Gr6b Temperatur Warme Enthalpie Innere Energie

GroDe

1

2

1 Allgemeines

Tabelle 1-5. Kinematische Gro13en. Symbol

GroBe

Symbol

Tatsachliche (lokale) Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit (Volumenstromdichte) Komponenten der Stromungsgeschwindigkeit c in Richtung der Koordinaten x, y, z Turbulente Schwankungsgeschwindigkeiten in x-, y- und z-Richtung LAVAL-Geschwindigkeit Umfangsgeschwindigkeit Beschleunigung Schallgeschwindigkeit

Y (Psi) @ (Phi)

GroBe

Stromfunktion Potentialfunktion, Stromungspotential, Geschwindigkeitspotential X (Chi) Komplexes Stromungspotential A (Lambda) Linienintegral (Gamma) Zirkulation Volumenstrom 3 Grenzschichtdicke 6 (Delta) Verdrangungsdicke der Grenzschicht 6I Impulsverlustdicke der Grenzschicht 62 ~ner~ieverlustdicke der Grenzschicht 63 Zeit t, T

Tabelle 1-6. Kinetische GroBen. Symbol F Fo

4 4 Fw

T 8 (Theta) z

(Tau)

P Pb Pm Pdynr

q

Pges

Pii P"

I Gr6Be

Symbol

Kraft (allgemein) Gewichtskraft Dynamische Auftriebskraft (Auftrieb), Querkraft Archimedische Auftriebskraft (statischer Auftrieb) Widerstandskraft (kurz Widerstand) Drehmoment bezogenes (dimensionsloses) Drehmoment Schubspannung Druck (allgemein) Atmospharendrnck, Barometerdruck Luftdruck Statischer Druck, Piezodruck Dynamischer Druck, Staudruck Gesamtdruck,Totaldruck, PITOT-Druck ~berdruck Unterdruck

GroBe Druckhohe Masse, Menge Massenstrom, Mengenstrom Arbeit Spezifische Arbeit Energie Energiestrom (Leistung) Leistung, dimensionsloser Druck Spezifische Energie, d. h. Energie je Masseneinheit; Elm Spezifische Leistung, d.h. Leistung je Massenstromeinheit; P/m Spezifische Verlustenergie, kurz Verlustenergie Energieliniengefalle Impuls Impulsstrom Drall, Impnlsmoment Drallstrom, Impulsmomentstrom Moment (allgemein)

Tabelle 1-7. VerhaltnisgroDen, Beiwerte und KenngroBen. Fiir die Beiwerte sind auch die Bezeichnungen Zahlen oder Koeffizienten iiblich, z. B. Geschwindigkeitszahl oder Geschwindigkeitskoeffizient. Symbol

GroBe Kontraktionsbeiwert Geschwindigkeitsbeiwert Wirkungsgrad AusfluBbeiwert Rohrreibungsbeiwert Widerstandsbeiwert (fiir Innenstromungen) Auftriebsbeiwert Widerstandsbeiwert (fiir AuBenstromungen)

Symbol CM,

CM

e (Epsilon) Eu Fr Ma Re Sr We

GroBe Momentenbeiwert Gleitzahl EULER-Zah1 FRou~~-Zahl MACH-Zahl REYNOLDS-Zahl STROUHAL-Zahl WEBER-Zahl

1.2 Aufgabe und Bedeutung

3

Tabelle 1-8. StoffgroRen. Symbol Q

(Rho)

r v C~ Cv

4

GroDe

GroDe

Dichte Verdampfungs- bzw. Kondensationswarme Spezifisches Volumen SpezifischeWarme (Warmekapazitat) bei konstantem Druck Spezifische Warme (Warmekapazitat) bei konstantem Volumen Verdampfungswarme

(spezifische) Gaskonstante Realgasfaktor Isentropenexponent Oberflachenspannung, Grenzflachenspannung Dynamische Viskositat Kinematische Viskositat Fluiditat

Tabelle 1-9. Indizes. Symbol

GroSe

Symbol

GroSe

Koordinatenrichtungen konvektiv lokal, laminar Normalenrichtung Meridianrichtung Umfangsrichtung Tangentialrichtung, turbulent, technisch Beschleunigung Brennstoff Druck (-Kraft) Dampf Duse Fliissigkeit

v

Viskositat, viskos Verlust Widerstand Wasser Wand Wellen Wirk ideal kritisch statisch dynamisch gesamt Bezugsstellen Ruhezustand unter, unten uber Eintritt Austritt in grorjem (theor. unendlich groBem) Abstand von Wand, Hindernis, Korper Kopfzeiger, Tilde

LAVAL Luft Mundung Oberflache Querschnitt Reibung, Ruhezustand, -groBe Konstante Entropie, isentrop Schub, Saughohe, Schwerpunkt Turbulenz, Tragheit, isotherm

1.2 Aufgabe und Bedeutung Die Technische Fluidmechanik (friiher Technische Stromungsmechanik) ist ein Teilgebiet der Technischen Mechanik; diese wiederum ein Teil der angewandten Physik. Die Mechanik ist die Wissenschaft, die sich mit Kraften sowie mit Wirkungen von Kraften auf Korper und Stoffen aller Art befa&, die dabei sowohl in Ruhe als auch in Bewegung sein konnen. Die Fluidmechanik, die sich erst in den letzten hundert Jahren zu einer selbstandigen Wissenschaft entwickelte, erforscht die GesetzmaRigkeiten der

v W Wa Wd We Wi id kr stat dyn ges 1,2, 3

0, r u ii e a CO

Bewegungen und des Kraftegleichgewichtes sowohl von ruhenden als auch bewegten Fluiden. Viele der Zusammenhange sind bis heute noch nicht oder nur unvollstandig geklart. Wo eine exakte Klarung noch nicht erfolgte, miissen Versuchsergebnisse die Liicken moglichst gut schlieDen. Nach DIN5492 wird unter einem Fluid') (das Fluid, die Fluide) eine Fliissigkeit, ein Gas oder ein

" Vom englischeu Schrifttum ubernommen. Dort wurde zuerst ,,fluid" als Sammelbegriff fur ,,liquid6'(fliissig) und gasformig verwendet.

Bild 1-1. Gliederung der Technischen Mechanik. Die dicken Linien kennzeichnen die Gebiete, die in diesem Buch angesprochen oder behandelt werden. Festigkeitslehre, Maschinenteile und Thermodynamik sind imweiteren Sinne ebenfalls Teilgebieteder Technischen ~ unterteilt in Kinematik (Bewegungslehre) und Dynamik (Kraftlehre). Die Dynamik (KraftMechanik. S Z A[45] wirkung) unterteilt er weiter in Statik (Kraftwirkung bei Ruhe) und Kinetik (Kraftwirkung bei Bewegung). Hier wird, wie dargestellt, die meistens iibliche, E r die Fluidmechanik giinstigere Unterteilung venvendet. ') Hydro (gr. hydor) . . . Wasser; Aero (gr. a&) . . . Luft. 3 , Im engeren Sinne wird unter Technischer Stromungslehre (auch mit Hydraulik bezeichnet) die Mechanik eindimensionaler inkompressibler Stromungen (Fliissigkeiten) verstanden. ')

Dampf verstanden, also ein nichtfestes Kontinuum (das Kontinuum, die Kontinua), auf welches die Gesetze der Fluidmechanik anwendbar sind. Als Kontinuuml) wird ein zusamrnenhangendes Medium bezeichnet, z. B. eine Fliissigkeit. Ein Gas gilt als Kontinuum, falls das Verhaltnis von der mittleren freien Weglhge der Gasteilchen zur charakteristischen Lange (Durchmesser, Lange) des durch- oder umstromten Korpers, die sog. KNUDSEN-Zahl, klein gegenuber eins ist. Dies ist in der Regel erfillt. Andernfalls muD das Gas als aus einzelnen diskreten Teilchen (Atome, Molekiile) betrachtet werden. Dies ist z.B. bei Stromungsproblemen, z. B. Satellitenbewegungen in der Atmosphare in Hohen uber ca. 50 km notwendig.

I)

Ein Kontinuum ist ein ausgedehnter stoffhomogener Bereich, der keine oder wenige ausgezeichnete Punkte hat. z.B. an seinen Randern, also ein Gebiet mit theoretisch unendlich vielen Freiheitsgraden.

Unter Normalzustand (I bar; 0°C) bei~~ielsweise enthalt ein Volumen von 1mm3 bei Luft ca. 2,7 . 1016Molekiile,bei Wasser etwa 3,3 . 10'' und bei Quecksilber sogar etwa 4,1 . lo1' Molekiile (Abschnitt 1.4). Darnit bestatigt sich, daD Fliissigkeiten immer und Gase meistens als Kontinuum betrachtet werden konnen, d. h. homogener stetiger Stoffaufbau sowie gleiches Verhalten. Zu unterscheiden ist zwischen: -

-

inkompressiblen Fluiden, die massebestandig und annahernd volumenbestandig sind - den Fliissigkeiten - sowie kompressiblen Fluiden, die massebestandig, jedoch nicht volumenbestandig sind: Gase, Dampfe (HeiD-, Satt- und NaDdampfe).

Beide Fluid- oder Stoffgruppen sind nicht formbestandig. Dies ist der wesentlichste Unterschied zum Festkorper. Bild 1-1 zeigt die Stellung der Fluidmechanik innerhalb der Technischen Mechanik.

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide

Das Minus-Zeichen bedeutet wieder: Das Volumen wachst um AV, also positiv, bei abnehmendem Druck (Ap negativ) und umgekehrt. Der Volumen-Elastizitatsmodul ist, wie der Vergleich der Beziehungen (1-1) und (1-2) zeigt, gleich dem Druck p, des Gases im Anfangszustand. Fur Luft vom Normzustand (O°C; 1,0133 bar nach DIN 1343) ist somit E = p, = 10,133 N/ cm2 = 0,1 N/&. Luft ist dernnach ungefahr 20 OOOmal so kompressibel wie Wasser. hnliches gilt fir die anderen nichtvolumenbestandigen Fluide (Gase und Dampfe). O b bei Gasstromungen die Kompressibilitat, wie vielfach der Fall, vernachlassigt werden kann, hangt ab vom Stromungsvorgang sowie der GroBe der durch die dabei auftretende Druckanderung bewirkten relativen Volumen- und damit Dichteanderung. Nach dem Massenerhaltungssatz gilt:

7

Gasstromungen konnen demnach in guter Naherung inkompressibel behandelt werden, wenn:

Dies ist somit d a m gegeben, wenn in der St& mung der Staudruck q sehr Mein gegenuber dem Elastizitatsmodul E bleibt, d. h. im Vergleich zum statischen Druckp,, was oft der Fall. Mit der L ~ p ~ ~ c ~ ' ) - B e z i e hfiir u n die g Schallgeschwindigkeit a (Abschnitt 1.3.4)

a2 = E/Q,

(1-6)

kann die Bedingung fur quasi-inkompressibles Gasweiter umgeschrieben werden: Krhalten

mit AQ = Q - eoals Dichteanderung (Zunahme). Die M ~ c ~ z a(Abschnitt hl 3.3.1.2) Hieraus eingefuhrt, ergibt: Wird wieder Glied AV. AQ, da klein von 2. Ordnung, vernachlassigt, ergibt sich: Die Kompressibilitat bei Gasstromungen kann somit vernachlassigt werden, falls gilt: Eingesetzt in G1. (1-2) liefert mit po

= E von

zuvor

e - AP A p = E -Ae oder -A= eo eo E Ein Stromungsvorgang kann, wie G1. (1-4) zeigt, iiblichenveise als inkompressibel behandelt werden, solange die relative Dichteanderung sehr klein bleibt, also Ae/eo < 1. Die mit einer Stromung verbundenen Druckanderungen Ap sind, wenn der ReibungseinfluR unberiicksichtigt bleibt, von der GroRe des spater Abschnitt 3.3.6.3.3 - noch zu behandelnden Staudruckes q = eo. c2/2,also Ap = q. Hierbei ist c die Stromungsgeschwindigkeit des Fluids (Tabelle 1-5). Damit ergibt sich nach G1. (1-4):

Bemerkung: Das Ungefahrzeichen = wird dabei meist durch das Gleichheitszeichen ersetzt.

Fur Luft (Schallgeschwindigkeit a x 330m/s bei Normzustand) erweisen sich Stromungsgeschwindigkeiten bis 100 m/s, d. h. Ma = 0,3, als praktisch noch zulassig fur annahernd inkompressibles Verhalten, da:

= 0,3 wird deshalb als obere Grenze ange, bis zu der Gasstromungen als inkombe1 behandelt werden konnen. Werte darwerden auch als hohe MACH-Zahlen bezeichnet, weil der EinfluB nicht mehr ver-

'I

LAPLACE,P. S. (1749 bis 1827), frz. Mathematiker.

6

1 Allgemeines

im elastischen Bereich giiltigen H o o ~ ~ s c h e nTabelle 1-10. Volumen-Elastizitatsmodul E von Gesetz f i r Festkorper ALIL, = E = d E wird defi- Wasser 20 "C, abhangig vom Druck p; E =f (p). niert:

Dabei bedeutet A V/Vo die relative Volumenanderung (Volumendilatation), d. h. Volumenverkleinerung (also negativ), welche durch die Drucksteigerung Ap (positiv) bewirkt wird. Deshalb ist eine Kompensation durch das angefugte Minuszeichen in G1.(1-I) notig. Es gilt mit den Werten von Druck p und Volumen V vor (Index 0) und nach (ohne Index) der Kompression: Ap AV

= p - po =

Druck p [bar1

Elastizitatsmodul E [bar1

I . . . 50 50 ... 100 100.. . 200 200.. . 300 3 0 0 . . . 500 500.. . 1000 1000.. ,2000 2000 . . . 3000 3000 . . . 5000

20 400 21 740 22 220 22730 23810 26 320 30 300 37 040 41 670

(Zunahme, also positiv)

V - Vo (Abnahme, also negativ)

Als Differenz wird somit, wie meist ublich, der Unterschied zwischen End- und Anfangswert gesetzt; nicht umgekehrt, was auch moglich ware. Fliissigkeiten: Der Volumenelastizitats- oder Kompressionsmodul (Kompressibilitatsmodul) E von tropfbaren Fluiden, also Fliissigkeiten, ist kleiner als der (lineare) Elastizitatsmodul von Festkorpern. Deshalb sind Fluide elastischer als Festkorper. Bei Wasser z.B. ist E % 2000N/mm2 = 20000 bar (Tabelle 1-10) und bei 01 ist E % 10000 bar. 01 ist somit etwa doppelt so elastisch (kompressibel) wie Wasser. Hierzu vergleichsweise hat Stahl einen (Linear-)Elastizitatsmodul von E = 200000 N/mm2. Wasser ist somit ca. 100mal elastischer als Stahl. Das bedeutet auch: Durch eine Druckerhohung von 1 bar wird bei Wasser eine relative Volumenanderung von 1/20000 G 0,05%, hervorgerufen. Oder 200 bar sind notwendig, wenn Wasser um 1% zusammengeprel3t werden soll. Ahnliches gilt fur die anderen Fliissigkeiten. Bei tropfbaren Fluiden ist somit die Kompressibilitat so gering, daD sie in der Regel vernachlassigt werden kann. Flussigkeitsstromungen verhalten sich daher im allgemeinen quasi d. h. fast inkompressibel. Erst bei hoheren Drucken (ab ca. 500 bar) muD die Kompressibilitat bei Flussigkeiten berucksichtigt und damit von der ungefahr inkompressiblen Betrachtungsweise abgeruckt werden, z. B. in Hochdruckanlagen. Der Kehnvert des Volumenelastizitatsmoduls E wird auch als Kompressibilitat K bezeichnet:

Tabelle 1-11. Kompressibilitat K verschiedener Flussigkeiten bei 20 "C und 1 bar Anfangsdruck. Fliissigkeit

Kompressibilitat K

Quecksilber Wasser Maschinenol Glyzerin Ethanol

z 0,4 z 4,9 z 9,6 z l2,8 z l8,7

.

bar-' bar-' bar-' bar-' bar-'

Wie alle Stoffwerte - sind exverimentell zu ermitteln - ist auch die Kompressibilitat und damit der (Volumen-)ElastizitatsmodulE von Flussigkeiten abhangig von Temperatur und Druck. Die DmckAbhangigkeit des E-Moduls von Wasser bei 20 "C enthalt Tabelle 1-10. Bis etwa 500 bar ist der EModul etwa konstant (Abweichung ca. 15%), weshalb hier fast linearelastisches Verhalten zwischen Druck- und Volumenanderung besteht. Gase: Bei nichttropfbaren Fluiden kann, wenn die Volumenanderung relativ klein bleibt, naherungsweise die Temperatur als konstant angenommen werden. Dann gilt das Gesetz von BOYLEMARIOTTEp . V = konst, also: ausgewertet: Wird Ap . AV als Glied (Term) klein von 2. Ordnung vernachlassigt, ergibt sich:

K = l/E=-(IiAp). AVIV, Tabelle 1-11 enthalt die Kompressibilitat verschiedener Flussigkeiten.

. . . .

BOYLE,R. (1627 bis 1691). MARIOTTE, E. (1620 bis 1684)

1.3 Wichtiae Eigenschaften der Fluide

Das Minus-Zeichen bedeutet wieder: Das Volumen wachst um AV, also positiv, bei abnehmendem Druck ( A p negativ) und umgekehrt. Der Volumen-Elastizitatsmodul ist, wie der Vergleich der Beziehungen (1-1) und (1-2) zeigt, gleich dem Druck p, des Gases im Anfangszustand. Fiir Lufi vom Normzustand (O°C; 1,0133 bar nach DIN 1343) ist somit E = p , = 10,133 NI cm2 = 0,1 NImmZ. Lufi ist demnach ungefahr 20 OOOmal so kompressibel wie Wasser. ~hnliches gilt fiir die anderen nichtvolumenbestandigen Fluide (Gase und Dampfe). O b bei Gasstromungen die Kompressibilitat, wie vielfach der Fall, vernachlassigt werden kann, hangt ab vom Stromungsvorgang sowie der GroBe der durch die dabei auftretende Druckanderung bewirkten relativen Volumen- und damit Dichteanderung. Nach dem Massenerhaltungssatz gilt:

7

Gasstromungen konnen demnach in guter Naherung inkompressibel behandelt werden, wenn:

Dies ist somit dann gegeben, wenn in der Stromung der Staudruck q sehr klein gegenuber dem Elastizitatsmodul E bleibt, d. h. im Vergleich zum statischen Druckp,, was oft der Fall. Mit der L ~ ~ ~ ~ c ~ ' ) - B e z i feihr udie n gSchallgeschwindigkeit a (Abschnitt 1.3.4)

kann die Bedingung fur quasi-inkompressibles GasVerhalten weiter umgeschrieben werden:

mit AQ= Q - Q, als Dichteanderung (Zunahme). Die MAc~zahl(Abschnitt 3.3.1.2) Hieraus eingefuhrt, ergibt: Wird wieder Glied A V . AQ, da klein von 2. Ordnung, vernachlassigt, ergibt sich: Die Kompressibilitat bei Gasstromungen kann somit vernachlassigt werden, falls gilt: Eingesetzt in G1. (1-2) liefert mit po = E von zuvor Ae Ae Ap= E oder -eo eo E

9

Ein Stromungsvorgang kann, wie GI. (1-4) zeigt, ublicherweise als inkompressibel behandelt werden, solange die relative Dichteanderung sehr klein bleibt, also < 1. Die mit einer Stromung verbundenen Druckanderungen Ap sind, wenn der ReibungseinfluB unberucksichtigt bleibt, von der GroBe des spater Abschnitt 3.3.6.3.3 - noch zu behandelnden Staudruckes q = Q, . c2/2,also Ap = q . Hierbei ist c die Stromungsgeschwindigkeit des Fluids (Tabelle 1-5). Damit ergibt sich nach G1. (1-4):

Fur Luft (Schallgeschwindigkeit a % 330mls bei Normzustand) enveisen sich Stromungsgeschwindigkeiten bis 100m/s, d. h. M a c 0,3, als praktisch noch zulassig fur annahernd inkompressibles Verhalten, da:

I

Bemerkung: Das Ungefahrzeichen = wird dabei meist durch das Gleichheitszeichen ersetzt.

')

Ma = 0,3 wird deshalb als obere Grenze angesehen, bis zu der Gasstromungen als inkompressibel behandelt werden konnen. Werte daruber werden auch als hohe MAc~-Zahlen bezeichnet, weil der EinfluB nicht mehr ver1 nachlhsigbar ist. LAPLACE,P. S. (1749 bis 1827), frz. Mathematiker.

8

1 Allgemeines -

Erganzung: Volumenanderung A VT infolge Temperaturanderung AT ( = At):

Hierbei ist der Volumen- oder kubische Ausdehnungskoeffizient p = 3 . a mit cl als dem linearen Ausdehnungsbeiwert. (Beispiele: Ole P = (5 . . . 7) 10-4K-1, Wasser P z 2 . 10-4K-1). Mit Gleichung (1-3) gilt auch fur den thermischen EinfluB:

wobei wieder AeT = Q - Q , und AT = T - To, ~ Z WAt. = t - to = AT. 1.3.2 Stoffarten und -kombinationen Die Physik unterscheidet zwischen den drei Phasen oder Aggregatzustanden fest (solid), fliissig (liquid) und gasformig. Gase sind hochiiberhitzte Dampfe, oder umgekehrt: Dampfe sind Gase, deren Zustand (Druck und Temperatur) relativ dicht bei der Siedegrenze, d. h. der fliissigen Phase liegt. Unterschieden wird zwischen NaB-, Sattund HeiBdampf. Sattdampf liegt unmittelbar an der flussigen Phase (Tau- bzw. Siedelinie). ~ b e r hitzter Dampf (HeiBdampf) ist unsichtbar, oberhalb der Siedelinie und nahert sich mit wachsender Uberhitzung immer mehr dem reinen Gasverhalten. Umgekehrt ist es beim NaBdampf (Nebel). Er ist sichtbar, unterhalb der Siedelinie, ein Gemisch von Sattdampf und mikroskopisch kleinen, gleichmal3ig verteilten Wassertropfchen. Fliissigkeiten sind nur wenig zusammendriickbar (Abschnitt 1.3.1) und werden deshalb meist als quasi inkompressibel bezeichnet, kurz als inkompressibel, was bei kleineren Driicken (< w 500 bar) geniigend genau ist. Sie konnen auch freie Oberflachen (Abschnitt 2.1.1) bilden, bei denen der Druck nach unten (Minimalwert) durch ihren stoff- und temperaturabhangigen Dampfdruck (Abschnitt 2) begrenzt ist. Gase dagegen sind stark kompressibel und streben in ihrer Ausdehnung gegen unendlich, wenn kein auBerer Druck (Gegendruck) vorhanden ist. Sie sind daher nur in geschlossenen Systemen, z. B. in Behaltern, im Gleichgewicht. Die meisten Stoffe treten. bestimmt durch Druck und Temperatur, in einer oder zwei Phasen auf. In Sonderrallen sogar gleichzeitig in allen drei Phasen (Tripelpunkt), z. B. Eis/Wasser/Wasserdampf bei 0 "C; 1,0133bar (physikalischer Normpunkt).

Manche Stoffe uberspringen die Liquidphase und gehen sofort von fest in gasformig uber oder umgekehrt, je nach Ausgangszustand. Dieser Vorgang wird auch als Sublimation bezeichnet. Kristalline Festkorper, z.B. Metalle, Salze, Eis, andern ihren Aggregatzustand sprunghaft bei der zugehorigen Temperatur. Bei amorphen Stoffen wie Wachs, Glas u. a. dagegen erfolgt der Phasenwechsel mit steigender Temperatur allmahlich. Die Fluidmechanik untersucht in der Regel nur das Verhalten der Stoffe in flussigem und gasformigem Aggregatzustand. Ein Sonderfall ist der sog. fluidische Feststofftransport. Hier liegt die Solidphase in Pulver- oder Kornerform im gasformigen oder fliissigen Tragermedium vor. Insgesamt sind in der Fluidmechanik unterscheidbar: -

Ein- und Mehrphasen-Stromungen,

- Ein- und Mehrstoff-Stromungen, -

Mehrstoff-Mehrphasen-Stromungen.

Das Buch befaBt sich nur mit den Einphasenstromungen. Ausnahme: NaBdampf. Die Chemie unterscheidet bei Mehrstoff-Gemischen zwischen echter Losung, Kollidallosung und Aufschlammung gemal3 Tabelle 1-12. Bei echten Losungen besteht molekulare Verteilung der Mischungsbestandteile ineinander. Es liegt somit feinste Verteilung vor, und das Gemisch verhalt sich physikalisch wie ein einheitlicher Stoff, also vollstandig homogen. Da Licht an einzelnen Molekulen nicht gebrochen (abgelenkt) oder reflektiert wird, durchdringt es reine Stoffe und damit auch echte Losungen ohne seine Bahn anzuzeigen. Deshalb bleiben die unterschiedlichen Teile unsichtbar. Tabelle 1-12. Mehrstoff-Losungsarten mit Unterscheidungskennzeichen. kolloide Losung

AUfschlammung

feine

grobe

10-9... 10-'jm

>

mit Elektronenmikroskop

mit Mikroskop

m

Trennung durch Filter

keine

Ultrafilter

Papierfilter Tonfilter

Diffusion

stark

schwach

keine

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide

Bei Kolloiden oder kolloidalen Losungen sind die vorhandenen Bestandteile des Gemisches nicht in einzelne Molekule aufgeteilt, sondern bestehen aus groBeren Teilchen, die von Molekulgruppen gebildet werden. Infolge der jedoch bestehenden feinen Verteilung - selbst mikroskopisch kaum erkennbar - verhalten sich kolloide Mischungen physikalisch ebenfalls immer wie homogene Stoffe. Als Aufschlammung werden Gemische bezeichnet, bei denen die Aufteilung der einzelnen Bestandteile relativ grob ist. Die Teilchen der vorhandenen Mischungsbestandteile bestehen aus Molekulpaketen und sind daher vergleichsweise groB. Physikalisch verhalten sich Aufschlammungen verschiedentlich inhomogen. Diese Inhomogenitat wirkt sich besonders auf das Reibungsverhalten stromender Aufschlammungen aus. In der Physik sind bei Gemischen von Stoffen unterschiedlicher Art undloder verschiedener Phasen noch folgende Bezeichnungen ublich: Losung:

Homogenes Gemisch verschiedener Stoffe mit atomarer, b m . molekularer Verteilung der Komponenten.

Dispersion Besteht aus mindestens zwei Stof(Oberbegriff): fen, wobei in dem einen Stoff, dem Dispersionsmittel, die anderen Stoffe - disperse Phase - fein verteilt sind. Auch als disperses System bezeichnet. Suspension:

Disperses System, in dem feste Teilchen in einer Fliissigkeit fein verteilt sind. Auch als Aufschlammung bezeichnet.

Emulsion:

Disperses System, in dem kleine Flussigkeitstropfen in einer zweiten Flussigkeit gleichmaBig fein verteilt sind.

Kolloid:

Disperses System, in dem die Teilchen der dispersen Phase lineare Abmessungen von etwa lo-' bis 10-6m haben (kollidale GroBe). Flussige Phase in gasformiger Phase. Feste Phase in gasformiger Phase (Kolloid). Luftgetragene Teilchen: Gase, Flussigkeiten (Nebel), Feststoffe (Staub) entsprechender Kleinheit und Form.

Nebel: Rauch: Aerosole:

9

Dispersionen sind somit Stoffgemische feiner Verteilung. Die feinst pulverisierten Feststoffteilchen (disperse Phase) schweben unaufgelost gleichmaBig verteilt in einem Tragermedium (Dispersionsmittel; meist flussig) 2.B. Lacke, Kreide- und Kalkaufschlammungen. Die disperse Phase (nicht gelost) ist dabei vom Dispersionsmittel gleichmaBig umschlossen. Suspensionen sind Aufschlammungen kleinster unloslicher fester Stoffe in flussiger Phase (Feststoffteilchen in Flussigkeiten), oder flussige Phase in gasformiger, z. B. Nebel (auch Dispersion). Emulsionen sind Gemenge von sich nicht losenden Flussigkeiten in feiner gleichmaBiger Verteilung. Die eine Flussigkeit schwebt in kleinen Teilchen (oft kolloider GroDe) in der anderen, der sog. Tragerflussigkeit, z. B. 01 in Wasser. Beide Stoffe sind somit in fliissiger Phase. Bei Aerosolen ist der eine Stoff ebenfalls fein verteilt in einem anderen und dabei oft in kolloider GroBe, entweder mikroskopisch kleine Flussigkeitstropfchen in Gas, z. B. Wassertropfchen in Luft, oder kleinste Festkorperteilchen in Gas, wie beispielsweise bei Rauchgasen von Verbrennungsprozessen. Die wichtigsten, das Verhalten von Gemengen bestimmenden Gesetze sind aufzufuhren: AVO~ADRO~)-Gesetz: Gleiche Volumina verschiedener Gase enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck die gleiche Anzahl Molekiile. Ausgedriickt wird dies in der auf den physikalischen Norrnzustand 0 "C und 1,0133 bar bezogeNA= 2,69 . 1019 Molekiile nen AVOGADRO-Zahl je cm3 Gasvolumen. Das bedeutet, da13 sich bei Gasen und unzersetzt verdampfenden Flussigkeiten die Molekiilmassen wie die Massen in diesem Volumen verhalten. Umgerechnet ergibt sich bei gleichem Zustand (p; T) ein gleicher Molraum aller Gase. Diese Molvolumen betragen 22,418 m3/ krnol beim Norm- oder Normalzustand 0°C; 1,0133 bar. Demnach wiegen 22,418 m3 Gas sovie1 in kg wie seine Molekularmasse angibt. DALTON 'I-Gesetz: Enthalt ein Raum mehrere verschiedene Gase, so hat jedes einen Teildruck, der gerade so grol3 ist, als ob der betreffende Gasanteil alleine im Raum bestande. Die Summe der Partialdrucke der Einzelgase ergibt den Gesamtdruck des Gemisches. Der Gemisch-Gesamtdruck setzt sich AVOGADRO; Graf Amadeo di Quaregna e Ceretto (1776 bis 1856), ital. Physiker und Chemiker. " DALTON; John (1766 bis 1844), engl. Chemiker und Physiker. "

10

1 Allgemeines

somit additiv aus den Einzel-Teildriicken des Gemisches zusammen. GAY-LUSSAC ')-Gesetz: Alle Gase dehnen sich unter konstantem Druck bei Erwarmung um denselben Bruchteil ihres Anfangsvolumens Vo aus. Der zugehorige Volumenausdehnungskoeffizient aller (idealen) Gase betragt B = 11273K-'. Damit ist die Volumenanderung AV, = Vo . /3 . AT bei der Temperaturanderung AT = T - To und deshalb das Endvolumen V = Vo + AVT. Entsprechendes gilt bei konstantem Volumen f i r die Druckanderung Ap, = p, . /3 . AT und damit p = p, + Ap,, wobei p der Enddruck und p, der Anfangsdruck.

HENRY 2)-Gesetz: GemaB dem Absorptionsgesetz von HENRYist die Loslichkeit der Komponenten eines Gasgemisches in einer Fliissigkeit bei jeder Temperatur dem jeweiligen Partialdruck der Mischungskomponenten direkt proportional. Das von einer Fliissigkeit absorbierte Gasvolumen ist somit von seinem Zustand abhangig, d.h. von Druck und Temperatur. Das in einer Fliissigkeit bis zur Sattigungsgrenze losbare Gasvolumen ist demnach bei unveranderter Temperatur fur jeden Druck gleich groB. Deshalb nimmt gemaI3 dem allgemeinen Gasgesetz die absorbierte Gasmenge rn = (p . V)/(R. T) mit steigendem Druck zu und verringert sich mit zunehmender Temperatur. Osmose: Die Osmose bewirkt durch Diffusion einen Konzentrationsausgleich in Gemischen, auch durch semipermeable (halbdurchlassige) Membranen hindurch. Dabei gilt fur den osmotischen Druck, der den Ausgleich der urspriinglich ungleichen Konzentration des Fluidgemenges bewirkt:

a) Der osmotische Druck von Losungen ist der Konzentrationshohe des gelosten Stoffes proportional. Das entspricht dem Gesetz von BOYLE-MARIOTTE (Abschnitt 1.3.1). b) Der osmotische Druck von Losungen ist der absoluten Temperatur proportional. Das entspricht dem Gesetz von GAY-LUSSAC. c) Die osmotischen Driicke von Losungen gleicher molarer Konzentration sind gleich. d) Der osmotische Druck einer Losung von 1 mol in 22,4 Liter Losungsmittel betragt bei 0°C gerade 1 bar.

')

GAY-LUSSAC; Louis, Josef (1778 bis 1850) frz. Chemiker und Physiker. HENRY; William (1774 bis 1836), engl. Physiker und Chemiker.

1.3.3 Teilchenkrafte, Kapillaritat 1.3.3.1 Teilchenkrafte Die Massenanziehungskrafte, welche die Teilchen (Atome bzw. Molekiile) von Stoffen aufeinander ausiiben, werden als Teilchenkrafte ') (Atom- bzw. Molekularkrafte) bezeichnet. Sie sind bei Fluiden sehr vie1 kleiner als bei Festkorpern, weshalb auch, gegensatzlich zu diesen, keine Gitterstruktur besteht. Die Folge ist, daB sich die Teilchen der Fluide vergleichsweise leicht gegeneinander oerschieben lassen. Fluide haben daher keine feste Gestalt. Sie passen sich jeder GefaBform an. Es geniigen kleinste Krafte, um die Form eines Fluids zu andern (Abschnitt 1.3.5). Die Teilchenkrafte bestimmen jedoch die Form der freien FluidOberflache (Bild 1-2).

Zu unterscheiden sind: Kohasionskrafte 2, ... Krafte zwischen gleichen Teilchen. Adhasions- ') und Adsorptionskrafte .. . Krafte zwischen verschiedenen Teilchen. Dabei bezeichnet: Adhasion . . . Wirkung zwischen fest/fest und fest/ fliissig Adsorption 4, . . .Wirkung zwischen festlgasformig. Anlagern von Gasen oder Dampfen an der Oberflache fester Korper. '1

')

4,

Teilchen . . . Sammelbegriff fiir Molekiile und Atome. cohaertre (lat) . . . zusammenhangen. adhaerere (lat) . . . festhangen, anhaften. adsorbieren.. . anlagern.

Bild 1-2. Formen der freien Oberflbhe von Fliissigkeiten an festen Wanden. Am Fluidrand (Trennflache) wird F > 0, ergibt Oberflbhenspannung. a) Randwinkel cr < 90°, z.B. Wasser/Glas + Adhasion groDer Kohasion b) Randwinkel a > 90°, z. B. Quecksilber/Glas -t Kohasion groBer Adhasion

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide

Absorption ') . . . Aufnahme von Gasen und Dampfen durch Fliissigkeiten oder Feststoffe (Einlagern). Das zugehorige Absorptionsgesetz nach HENRYenthalt Abschnitt 1.3.2. Demnach nimmt die in Fliissigkeiten geloste Gasmenge mit steigendem Druck und/oder sinkender Temperatur zu. Diese Krafte treten an den Trennflachen verschiedener Stoffe als sog. Grenzflachenkra~tedeutlich in Erscheinung. Der Wirkungsbereich der Grenzflachenkrafte erreicht einen Radius kleiner w cm (kugelige Wirkungssphare). Der stabile Abstand zwischen Fluidteilchen betragt dagegen etwa lo-' cm und deren Durchmesser ca. lo-' cm (Abschnitt 1.4). Dabei sind folgende Erscheinungen zu beobachten: 1. Zwei Gase bilden meist keine Grenzflachen, sondern mischen sich sofort. Grenzflachenkrafte sind deshalb nicht vorhanden. 2. Grenzfliiche zwischen Gas und Fliissigkeit: Kohbionskrafte der Fliissigkeit iiberwiegen und bestimmen allein das Verhalten der Grenzflache. Dies fiihrt zur Kapillarspannung. 3. Grenzflache zwischen Gas und Festkorper: Ausschliel3lich der Festkorper bestimmt durch seine Form die Grenzflache. 4. Grenzflache zwischen Fliissigkeit und Festkiirper: a) Kohasion grol3er als Adhasion, ergibt ein nichtbenetzendes Fluid (zieht sich zusammen -+ kugelformige Oberflache, Bild 1-3,a). b) Kohbion kleiner als Adhasion, ergibt benetzendes Fluid(breitet sich aus, Bild 1-3,b) bzw. Bild 1-3,c). 5. Fliissigkeiten verhalten sich meist wie Gase und bilden keine Grenzflache, sondern mischen sich. Im Sonderfall nichtmischbarer Fliissigkeiten ergeben sich Verhaltnisse wie unter Punkt 4. '1

11

1.3.3.2 Kapillaritat Kapillaritat wird verursacht durch die Grenzflachenkrayte, und zwar: a) Kapillarspannung (Oberflachenspannung) durch Kohasion. b) Kapillarwirkung durch Adhasion. Kapillarspannung a: Die Kapillarspannung oder Kapillarkonstante ist bedingt durch die nicht kompensierten Teilchenkrafte am Fluidrand (F>O, Bild 1-2) und definiert als Quotient aus der am Fliissigkeitsrand angreifenden Kraft F mit der Randlange 1 entsprechend Bild 1-4:

Die Kapillarspannung kann auch als spezifische Grenzflachenenergie definiert oder bezeichnet werden. Das ist die potentielle Energie dE, welche die Grenzflache A um den Betrag dA vergrol3ert (infinitesimale GroBen):

Bei linearem Verhalten ergibt sich dann aus den Differenzenwerten AE und AA:

In Bild 1-4 ist AE = F . As und AA

= 1 . As.

Kapillarspannungen sind sehr klein (Tabelle 1- 13) und nehmen mit steigender Fluidtemperatur ab. Auch verringern bereits geringfiigige Verunreinigungen die Oberflachenspannung merklich.

absorbieren . . . einlagern, aufsaugen.

Bild 1-3. Benetzungsarten von Fliissigkeiten auf Festkorpern (bzw. auf Flussigkeit). a) nichtbenetzend, z. B. Quecksilber/Glas b) wenig benetzend, z. B. Wasser/Glas c) stark benetzend (Fluid breitet sich aus), z. B. Petro1eumIGlas oder 01 auf Wasser

tF Bild 1-4. Modellversuch zur Bestimmung der Oberflachenspannung a = F/l mit Kapillarspannung I Kapillarwirkung. Der Weg As, bewirkt durch die Kraft F, ergibt VergroBerung der Fluidhaut um Flache AA = 1 . As.

12

1 Allgemeines

Tabelle 1- 13. Oberflachenspannungen verschiedener Fluide. Fluide (Temperatur 20 "C) Luft gegen:

Quecksilber Wasser Ethanol Ethylether 01

Wasser gegen:

Quecksilber 01 Ethanol

Kapillarwirkung: Die Fliissigkeit steigt im Rohr in Bild 1-5 und Bild 1-6 so weit hoch (bzw. senkt sich so tief ab), bis Gleichgewicht zwischen der durch Adhasion bewirkten Kapillarkraft (Kapillarwirkung) und dem angehobenen (bzw. verdrangten) Fliissigkeitsgewicht besteht. Es kann deshalb unter der zulassigen Annahme, daD die freie Oberflache etwa die Form einer Halbkugelschale aufweist, in der die Spannung iiberall gleich grol3 und damit die Oberflachenspannung gleich der Kapillarwirkung ist, gesetzt werden:

Gewichtskraft = Kapillarkraft

Hieraus ergibt sich die mittlere Anhebung bzw. Absenkung i:

Bild 1-5. Kapillarwirkung verschiedener Fliissigkeiten. a) Kapillaraszension, z. B. Wasser in Glasrohr b) Kapillardepression, z. B. Quecksilber in Glasrohr

Bild 1-6. Kapillar-Steighohen verschiedener Fluide in Abhangigkeit vom Rohrdurchmesser.

1.3.3.3 Kriimmungsdruck Eine gekriimmte Grenzflache wird durch den auf der konkaven (hohlen) Seite wirkenden ~ b e r druck stabil gehalten. Gleichgewicht besteht so lange, wie die Kapillarspannung des Mediums dabei nicht iiberschritten wird. Dieser Uberdruck wird als Kriimmungs- oder Kapillardruck bezeichnet. Mit Hilfe der Oberflachenspannung cr gemaB Definition G1. (1-11 b) la& sich der zugehorige ~ b e r druck p, in einem Fliissigkeitstropfen (Kugelform angenommen) oder einer Gasblase vom Radius R bestimmen. Unter der Wirkung des ~berdruckes vergroRert sich die anfangliche Kugeloberflache um den Betrag CIA,,wozu die potentielle Energie dE notwendig ist. Auf die urspriingliche Blasenoberflache A, = D2 . TI = 4 . R2 . TI wirkt infolge des inneren Uberdruckes p, die Kraft F = p , .A, = p , . 4 . R2 . TI. Dadurch vergrofiert sich der Blasenradius um den differentiellen Wert dR.Die infiniteslmale Grenzflachenenergie betragt dann dE = F . dR=p; 4 . R 2 . n.dR. Fur die zugehorige OberflachenvergroRerung (Index 0 f i r Oberflache) ergibt sich: dAo = (Ao+ dAo) - A.

=4.~.[2.R.dR+(dR)'] Bei zulhsigen naherungsweisen Vernachlbsigen des Gliedes (dR)2 (klein von zweiter Ordnung) gilt:

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fiuide

Dann wird gemaD G1. (1-1 lb):

QL,

= 1,293kg/m3 = 1,293 .

13

g/cm3 (Tabelle 6-8)

und hieraus der im Tropfen herrschende ~ b e r druck:

Der Druck nimmt demnach mit abnehmendem Tropfenradius zu. Der Druck in kleinen Blasen ist somit hoher als in groDeren. Umgekehrt sinkt der Druck mit wachsender TropfengroDe, und zwar umgekehrt proportional zum Radius. Diese Ersfheinung begrenzt wegen der zudem vorhandenen Wirkungen von Tropfengewichtskraft und Umgebungsdruck den maximal stabilen Tropfendurchmesser, z. B. bei Wasser auf etwa 6,Smm. Wassertropfen von mehr als 6,s mm Durchmesser zerfallen unter der Wirkung des umgebenden Luftdruckes [51] . Deshalb kommen beispielsweise groDere Tropfen auch bei starkem Regen nicht vor.

Bei anderen Driicken p gelten dementsprechend die Werte:

Wasser: H,O = H, 1.3.4 Mittlere freie Teilchenweglange Fur die mittlere freie Weglange I,, der Fluidteilchen (Molekule, Atome) gilt mit der LOSCHMIDTschen Zahl 20 der Dimension ~ m - d.~ h., Teilchen Tl je cm3Volurnen, also [Tl/cm3]:

+ (112) .0,

H, Molekulmasse 2 g/mol 0, Molekulmasse 32 g/mol

Die Ursprung- oder O ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - L O'I-Zahl SCHMIDT Lo = 6,023 . loz3[Tljmol]- Teilchen je mol - beim physikalischen Normzustand 0 "C und 1,0133 bar ist dabei entsprechend umzurechnen. Lo wird auch als AVOGADRO-Konstante bezeichnet. Bei gleichbleibender Temperatur, also T = To = konst (Isotherme), gilt mit dem Gesetz nach 1.3.5 Viskositat BOYLE-MARIOTTE beim Druck p und Anfangsdruck po = 1,0133bar: 1.3.5.1 Definition Nach DIN 1342 ist Viskositat definiert als die Eigenschaft eines flieDfahigen (vorwiegend flussigen oder gasformigen) Stoffsystems, beim VerforB Luft 0 "C;1,0133bar. Wasser 4'C. men eine Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhangt. Ebenso kann Luft: die Spannung (Schub- also Tangentialspannung) Stickstoff N, x 79 %; Molekulmasse 28 g/mol als Ursache angesehen werden, durch die eine VerSauerstoff 0, x 21 %; Molekiilmasse 32 g/mol formungsgeschwindigkeit im Fluid hervorgerufen Spurenelemente naherungsweise vernachlassigt. wird. mMol,L,= m,, + m,, = 0,79 .28 + 0,21 . 32 Die StoffgroDe ,,Viskositat" ist demnach ein Ma13 fur die durch innere Reibung bestimmte Verschiebw 28,8 g/mol barkeit der Fluidteilchen gegeneinander. Die fruher fur die Viskositat iibliche Bezeichnung Zahigkeit I ) LOSCHMIDT; Josef (1821 bis 1895), osterr. Physiker.

1

1

14

1 Allgemeines

sollte nicht mehr verwendet werden, da Verwechslungsgefahr mit anderen Stoffeigenschaften besteht, z. B. zahes Metal1 oder Leder. 1.3.5.2 Fluidreibungsgesetz nach NEWTON Auf NEWTON ') geht die Vorstellung zuriick, daB die Friktion2) zwischen zwei sich ,,beruhrenden6' Fluidteilchen, weitgehend unabhangig vom herrschenden Druck, jedoch proportional der Geschwindigkeitsanderung zwischen den Teilchen ist. Vollig gegensatzlich verhalt sich die Reibung zwischen Festkorpern, bei denen die Normalkraft, nicht jedoch das Geschwindigkeitsgefalle bestimmend ist. Um uber einem Fluid, wie Bild 1-7 zeigt, eine aufliegende, jedoch nicht eintauchende ebene Platte (benetzte Flache A) parallel zu einer ruhend angenommenen Wand ( c , = 0), z.B. dem GefaBboden, im Abstand Az mit konstanter Geschwindigkeit c , , entlang zu bewegen, ist die Kraft F notwendig. Fur diese Kraft F gilt, wie Versuche ergeben:

,

F-A

-

Acx ZusammengefaBt: F A . 'I 2,

Az.

NEWTON, Isaac (1643 bis 1727); engl. Physiker, Mathematiker und Astronom. Friktion (lat.) . . . Reibung.

Bild 1-7. Scherstromung zwischen parallelen Flachen.

@ und Q Bezugsstellen. Platte (Flache A ) schwimmt. a) linearer, b) nichtlinearer Geschwindigkeitsverlauf im Medium, c) in Behalter B mit translar bewegter Deckplatte P. SB Sekundar-Bewegung.

Mit dem Proportionalitatsfaktor y, der von der Art des Fluides abhangig ist, ergibt sich das sog. N ~ w ~ o ~ s Fluidreibungs-Gesetz: che

Die an Wand und Platte jeweils angrenzenden Fluidschichten (Partikelschichten) haften an diesen. Diese durch Adhasion verursachte Erscheinung wird als Haftbedingung 'I bezeichnet und ist ein wichtiges Kennzeichen der Fluide. Ein Beweis fur die Haftbedingung ist beispielsweise, daB in staubiger Atmosphare sich selbst an schnell drehenden Ventilatorfliigeln ein Belag bildet, der durch die Stromung nicht ,,weggepustet" wird. Es handelt sich demnach nicht um die Friktion (Reibung) zwischen festen und flussigen bzw. gasformigen Korpern, sondern um die Reibung zwischen benachbarten Fluidschichten. Die Scherkraft F ist notwendig zum Verformen und Trennen (AuseinanderreiBen) der durch die Molekularkrafte zusammengehaltenen Fluidteilchen. Die Gesamtbewegung der Fluidteilchen besteht dabei aus der immer vorhandenen thermischen Bewegung (mikroskopisch) und dem eigentlichen FlieBvorgang (makroskopisch). Bemerkung: Fluidpartikel sind kleinste Teilmengen eines Fluides, die noch eine geniigende Anzahl von Molekulen enthalten, so daB statistisch eine kontinuierliche Deutung moglich ist. Die detailierte Molekularstruktur ist dadurch vollig verwischt, und diese makroskopischen Teilchen geben das Fluidverhalten wieder. Zwischen ruhender und bewegter Wand bildet sich innerhalb des Fluides bei nicht zu grooer Schichtdicke ein lineares Geschwindigkeitsgefalle AclAz, Bild 1-8, Teil a). Je groBer dieses Gefalle, desto grorjer die Fluidreibung. Bei groBer Schichtdicke entsteht immer eine nichtlineare Geschwindigkeitsverteilung gemaB Bild 1-7 Verlauf b), bzw. Bild 1-8,b, je nach Stromungsverhaltnissen, d. h. ob sich der Korper oder das Fluid bewegt. 1st das Geschwindigkeitsgefalle im Fluid nicht konstant, was bei groBerer Schichtdicke fast immer vorliegt, tritt an Stelle des Differenzenquotienten AcJAz der Differentialquotient dc,/dz (Dimension s - l ) und damit statt G1.(1-13) die '1

Diese Annahme wurde fur die meisten unter normalen Drucken stehenden Fluide experimentell bestatigt und gilt deshalb als Erfahrungstatsache. Bei stark verdunnten Gasen dagegen konnen gewisse Gleitbewegungen langs fester Wande auftreten.

g;h 1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide

,Feststof

15

plastisches Fluid

pseudoplastisches Fluid dilatantes FluidFluid

0

.% dz 0

= kanst = tanf

0=

dz

* konsl

Ostwald-Phase ideales Fluid

. Geschw~nd~gkeltsgelalle(Schergefolle) D, Schergefalle D

Bild 1-8. Geschwindigkeitsverteilung in an ruhender Wand (schraffiert) entlangstromendem Fluid: a) linear (nur vorhanden bei kleinem Az); b) nichtlinear (meist der Fall).

--+

Bild 1-9. FlieRkurven. Reibungsverhalten verschiedener Fluide bzw. Phasen (prinzipieller Verlauf). r , Schwell- oder FlieRgrenze der Scherspannung, D, Schwellwert des Schergefalles, bei Druckp = konst und Temperatur T = konst. Abszisse: ideales Fluid (viskoallgemeine Definition fur das NEWTON-FIU~~sitatsfrei), Ordinate: Feststoff.

reibungsgesetz:

Die Technische Fluidmechanik im engeren Sinne ist die Mechanik der N ~ w ~ o ~ s c hFluide. e n Bei ihnen andert sich die Viskositat nicht mit dem SchergeWird die Scherkraft F auf die Flache A bezogen, ergibt sich die durch Fluidreibung bedingte Tan- schwindigkeitsgefalle D, also q = konst bei Temgentialspannung T, auch als Widerstands-, Rei- peratur T = konst. Die Rheologie ist die Wissenschaft aller anderen Fluide, den sog. Nichtbungs-, Scher- oder Schubspannung bezeichnet: bei denen sich die ViskoN~w~o~sch Fluiden, en sitat mit dem Geschwindigkeitsgradienten D andert (q konst). Das Viskositats-Verhalten verschiedener FluidDas Geschwindigkeitsgefalle dc,/dz, auch Scher- typen zeigt indirekt Bild 1-9. Nach DIN 1342 ist rate oder Geschwindigkeitsgradient genannt, wird ein Fluid lineawiskos und wird somit als NEWTONoft mit D abgekiirzt. Also D = dcJdz und damit sches Fluid bezeichnet, wenn es den folgenden wie in GI. (1-15) aufgefiihrt z = y . D. Zu betonen Bedingungen geniigt: ist noch, da13 die betrachtete Bewegung nach Bild 1-8,a, einen wichtigen Spezialfall darstellt. - Schubspannung z und Geschwindigkeitsgefalle D = dc,/dz sind direkt proportional (linear). Diese parallele Schichtenstromung wird auch als - In der Schichtenstromung sind die Normaleinfache Scher- oder C o u ~ ~ ~ ~ ~ ) - S t v beomun~ spannungen in allen drei Koordinatenrichtunzeichnet, mit dc,/dz = AcJAz, also linear. gen x, y, und z gleich groD, d. h. der Druck ist Die Verallgemeinerung des elementaren Reibungsrichtungsunabhangig. gesetzes nach NEWTON(G1.(1-14) ergibt den - Eine elastische Verformung der Fliissigkeit mu0 STOKES ''schen Reibungsansatz (Abschnitt 4.3.1) bei zeitlich veranderlicher Schubspannung so fur Raumstromungen (3-dimensional -, 3D). klein sein, daI3 die das Geschwindigkeitsgefalle Alle Fluide, die dem NEwTo~schenReibungsgenicht beeinfluDt. setz bei konstantem Proportionalitatsfaktor q entsprechen, werden als N ~ w ~ o ~ s Fluide c h e bezeich- Die Scherspannung z, G1. (1-15), ist verwandt mit net. Die technisch wichtigen Fluide (Wasser, ole, dem Elastizitatsgesetz elastischer fester Korper. 3 ) ~ ~ hGeen Wasserdampf, Luft, Erdgas usw.) sind NEWTON- Bei Festkorpern ist nach dem HOOKE setz die Schubspannung z proportional der Formsche Fluide. anderung y:

+

') ')

COUETTE, M., frz. Forscher (1858 bis 1943). STOKES, George (1819 bis 1903), engl. Mathematiker und Physiker. 3,

HOOKE, Robert (1635 bis 1703), engl. Physiker.

16

1 Allgemeines

Das N ~ w ~ o ~ s cFluidreibungsgesetz he ergibt auch, daB bei ruhenden Fluiden im Gegensatz zu Festkorpern keine Reibung vorhanden ist. Diese STOKES-Betrachtung zeigt die Analogie zwischen Festkorper-Verformung und Fluidstromung hinsichtlich der Scherspannung. Bild 1-10, Elastische Verformung eines Festkorpers durch Scherspannung .r. Strichlinien-Teilchen (gestrichelt) unbelastet. Vollinien-Teilchen beansprucht durch r.

Dabei ist G der Schubmodul, und nach Bild 1-10 bedeutet die Formanderung y die Winkelanderung des ursprunglichen rechten Kantenwinkels beim unbeanspruchten Teilchen: y=

P= tan y=-dx

dz

Wiihrend bei Festkorpern die Schubspannung proportional der GroI3e der elastischen Formanderung y ist, verhalt sie sich nach uberlegungen von STOKES ') bei den Fluiden proportional zur Formiinderungsgeschwindigkeitdyldt - auch als Deformationsgeschwindigkeitbezeichnet - und an Stelle des Schubmoduls G tritt, wie sich noch zeigt, die Fluidviskositat q. Fur Fluide gilt demnach - vorerst mit dem Proportionalitatsfaktor - der S ~ o ~ ~ s s Analogieansatz: che

*

dx

Mit c, = - ,der Verschiebegeschwindigkeit, wird dt

-

Mit t j q geht G1. (1-18) in G1. (1-15) uber und bestatigt damit auch auf diesem Wege uber den S~oKEsschen Analogieansatz. GI. (1-17), zum HOOKE-Gesetz,GI. (1-16), das NEwTo~scheFluidreibungsgesetz. Der Differentialquotient dc,/dz, das Geschwindigkeitsgefalle D, wird auch als Schergeschwindigkeitsgradient oder -gefalle bezeichnet, kurz und unscharf jedoch auch als Schergefalle oder Deformationsgeschwindigkeit. Dimension von D:

')

STOKES, George Gabriel (1818 bis 1903), engl. Mathematiker und Physiker.

Bemerkung: GemaB G1. (1-14) tritt bei Fluiden Friktion nur bei Bewegung auf. Je groBer Stromungsgeschwindigkeit (bzw. deren Unterschied) und Beriihrflache sind, desto starker wird die Fluidreibung. Dies ist gegensatzlich zur Festkorperreibung. Bei Festkorpern besteht Ruhereibung (FRO= po . F,), die sogar groI3er ist als beim Gleiten (FR= p . F, mit p < po) und die Reibungskraft ist zudem unabhangig von der Beruhrflache A, dagegen abhangig von der Normalkraft F, . Bei Fluiden andererseits ist der der Normalkraft entsprechende Druckp ohne direkten EinfluB auf die Reibung, allenfalls iiber die Viskositat (q =f (p)). Insgesamt lassen sich die Fluide bzw. Aggregatphasen aufteilen in die drei Klassen: - viskose Fluide - Fluide mit Gedachtnis - viskoelastische Fluide Viskose Fluide Das FlieBverhalten der verschiedenen unter viskosen Medien zusammengefaBten Fluidgruppen ist in Bild 1-9 prinzipiell dargestellt. Sie sind generell unterteilbar in - N ~ w ~ o ~ s Fluide c h e (haufig auftretender Sonderfall), - nicht-N~w~o~sc Fluide he Zu den nicht-N~w~o~schen Fluiden bzw. Phasen gehoren: Dilatantes ') Verhalten: Die Viskositat und damit die Scherspannung steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindigkeitsgefalle.Solches Verhalten zeigen z. B. Starkesuspensionen (Klebstoffe u.a.) und nasser Sand. Bei geringem Schergeschwindigkeitsgradienten fullt das Wasser bei nassem Sand die Zwischenraume der Sandschiittung(-korner) vollstandig und wirkt deshalb als Gleitmittel. Je groBer das Schergeschwindigkeitsgefalle wird, desto mehr reiBt die Wasserumhullung auf. Die Sandkorner beruhren sich dann zunehmend direkt, weshalb die Schmierwirkung des Wassers zuriickgeht und die Scherspannung stark ansteigt. dilatabel (lat.)

. .. dehnbar.

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide

Pseudoplastisches Verhalten: Diese Erscheinung wird auch als strukturviskoses Verhalten bezeichnet. Die Scherspannung solcher Fluide steigt degressiv mit wachsendem Schergeschwindigkeitsgradienten. Die zugehorige Viskositat nimmt somit relativ ab. Solche Medien sind beispielsweise Schmelzen sowie Losungen von Hochpolymeren (Polymerschmelzen und -1osungen) oder anderen markromolekularen Substanzen als auch Dispersionen mit langlichen Partikeln u. a. Die Teilchen sind im Ruhezustand kraftig miteinander verhakt. Sie widersetzen sich deshalb erheblich der wirkenden Scherung. Mit zunehmender Scherbewegung richten sich die langlichen Teilchen immer mehr in Scherrichtung aus, weshalb der Widerstand relativ zuruckgeht. Dadurch begriindet sich ihr degressives Reibungsverhalten. Plastisches Verhalten: Stoffe dieser Art verhalten sich bis zu einer bestimmten charakteristischen Scherspannung, der sog. Schwell- oder Fliel3spannung o,, wie Festkorper. Erst nach diesem endlichen Spannungsschwellwert beginnen derartige Medien fluidartig zu flieDen, wobei dann die Scherspannung mit wachsendem Schergeschwindigkeitsgradienten weiter ansteigt. Das zugehorige weitere Reibungsverhalten kann dann pseudoplastisch, newtonisch oder dilatant verlaufen. RUB, ~ l f i r n i s , viele industrielle Schlamme, Honig, Wachse, Teer, Fette wie auch Suspensionen von Kalk sowie Kreide (Zahnpasta) u.a. sind solche Stoffe. Plastische Medien werden auch als BINGHAM ')-Fluide bezeichnet. Sogenannte elektroviskose Fluide, abgekurzt EVF, haben ebenfalls B ~ ~ ~ ~ ~ ~ - V e r Zudem h a l t e ann. dert sich bei diesen die Viskositat beim Anlegen einer elektrischen Spannung entsprechender Starke (mehrere kV). Die Viskositat wachst ab einer Schwellfeldstarke in begrenztem Mane mit steigender elektrischer Spannung. Dabei muB ein kleiner elektrischer Strom flieRen (mA-Bereich), welcher das viskositatsverandernde Ausrichten der Fluidionen im bestehenden elektrischen Feld bewirkt. Solche. meist auf Siliconolbasis mit suspendierden Aluminiumpartikeln beruhenden Medien sind also hochohmig. Bei ca. 4 bis 6 kV elektrischer Spannung kommt es bei Fluidschichtdicken von etwa 1 mm in der Regel zum elektrischen Durchschlagen, wodurch das Medium meist geschadigt wird. Der Anwendung sind deshalb Grenzen gesetzt. ')

BINGHAM,E.C. (1878 bis 1945).

17

OSTWALD 'I-Verhalten: Solche, auRerst selten auftretende Phasen verhalten sich bis zu einem endlichen Geschwindigkeitsgefalle-Schwellwert (Ds in Bild 1-9) fluidmechanisch ideal, d. h. reibungsfrei. Anschlierjend tritt pseudoplastisches, newtonsches oder dilatantes Verhalten auf. Fluide mit Gedachtnis Diese Stoffe sind durch die Zeitabhangigkeit der aufgebrachten Scherspannung gekennzeichnet. Wird ein solches Medium zum FlieBen gebracht, verandert sich mit der Zeit der Reibungswiderstand. Die ~ n d e r u n gist dabei meist stark (groDer Gradient) kurz nach Beginn der Bewegung. In der Regel geht die Scherspannung bei anhaltender Bewegung dann anschlierjend allmahlich, d.h. asymptotisch, in einen gleichbleibenden Wert iiber. Wenn die Bewegung aufhort und neu beginnt, wiederholt sich der Gesamtvorgang. Unterschieden wird bei diesem FlieDverhalten zwischen Thixotropie und Rheopexie. Bei thixothropen Medien nimmt die Scherspannung von einem Anfangswert ausgehend mit der Bewegungszeit ab. Derartige Fluide werden bei langerem Riihren diinnflussiger. Lacke und Farben beispielsweise gehoren zu dieser Gruppe. Das umgekehrte Verhalten zeigen rheopexe Medien. Unter dem Einflu0 gleichbleibendem Schergeschwindigkeitsgefalle steigt bei ihnen die Scherspannung mit zunehmender Zeit. Der Stoff verfestigt sich somit unter dem EinfluB der Scherung. Gipssuspensionen zeigen z. B. solches Verhalten, d. h., sie verfestigen sich durch Riihren schneller als bei Ruhe. Viskoelastische Fluide Derartige Medien, die auch als elastoviskose Fluide bezeichnet werden, zeigen MAXWELL^)Verhalten: Die Hauptvalenzbindungen der Makromolekiile konnen theoretisch unbehindert um die Nachbarvalenzen rotieren. In Wirklichkeit bestehen aber aurjer den Valenzkraften4) zwischen benachbarten Gruppen derselben oder verschiedener Molekiile noch COULOMB 'I-Krafte (Ab=)OSTWALD, Wolfgang (1883 bis 1945), dt. Chemiker, Sohn von Wilhelm OSTWALD (1853 bis 1932), dem Begriinder der modernen Elektrochemie. 3, MAXWELL, James Clerk (1831 bis 1873), engl. Physiker. 4, Valenz (lat.) . . . chemische Wertigkeit. Ionenbindung (-Wertigkeit). Valenzelektronen . . . gemeinsame Bindungselektronen der Atome von Molekiilen. 5 , COULOMB, Caries, Augustin de (1736 bis 1806), frz. Physiker.

Tabelle 1-14. Grundsatzliche GroDenwerte fur die verschidenen Medium-Gruppen zu G1. (1- 18a). Fluide-Typ

n

N~w~o~sche pseudoplastische dilatante plastische OSTWALDSC~~

=1

<1 >1 =1 =1

ZF

=O =0 =0 1 0 =0

- Rheologie:

Ds

=o =O =O =O >0

schnitt 1.4), welche die freie Rotation behindern P61.

Beim langsamen gleichmaBigen Bewegen (Riihren) verhalten sich elastoviskose Stoffe viskos (newtonisch). Bei starkem zeitlichem h d e r n der Schergeschwindigkeit (Schlagen) dagegen verhalten sich solche Fluide uberwiegend elastisch. Kriechende Medien und Teige beispielsweise sind elastoviskose Stoffe.

Behandelt nichtnewtonsche Fluide. Allgemeiner Fall. AUBerst schwer theoretisch behandelbar, weshalb meist nur experimentell moglich und dabei oft nur unzureichend.

1.3.5.3 Dynamische Viskositat tj Der Proportionalitiitsfaktor q ist eine Stoffgrolk und ein Ma! f i r die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander, also die mit Viskositat bezeichnete KenngroBe. Zur genauen Kennzeichnung wird tj als dynamische Viskositat, oder auch als Scherviskositat bzw. absolute Viskositat bezeichnet. Die Viskositat ist durch die sog. VAN-DER-WAALS 'kchen Krafte (Teilchenkrafte) und die B ~ o w ~ ~ ) s Molekularbewegung che bedingt (Abschnitt 1.4). Dimension von q:

Die Beziehung fiir die Scherspannung nach NEWTON,G1. (1-15), 1aBt sich entsprechend auf alle Fluide erweitern:

Die zugehorigen Werte dieses Ansatzes sind fur jeden Stoff, abhangig von Druck und Temperatur, jeweils experimentell zu bestimmen (Tabelle 1-14). ZusammengefaDt gilt: Fluide sind bis auf das Anfangsverhalten von B r N ~ ~ ~ u m e d(FlieBspannung ien 7,) Stoffe, die unabhangig von der Viskositat - unter der Einwirkung einer noch so kleinen Kraft dauernd flieBen. Dagegen benotigt jeder Feststoff - unabhangig von seiner Verformung - eine Kraft bestimmter G r o k , bevor er anfangt zu fliekn. Die Scherspannung in Fluiden verschwindet, wenn die Bewegung aufhort. Bei Feststoffen dagegen bleibt die Tangentialspannung auch nach dem Aufhoren der Verformungsbewegung erhalten und versucht diese gemaB des elastischen Anteils in Richtung seiner Ursprungsform zuriickzubringen. Die FlieBtechnik 1aBt sich somit, wie erwahnt, aufteilen in - Fluidmechanik: Behandelt newtonsche Fluide. Sehr wichtiger, haufig vorhandener Sonderfall. Teilweise nur schwer theoretisch behandelbar, weshalb vielfach Versuche und/oder Naherungsrechnungen (Numerik) notwendig.

Oder in den Grundeinheiten: Mit Pa = N/m2 = kg/(m - s2) wird Fruhere Dimension: Poise P

Einen ~berblickuber die GroBenordnung der dynamischen Viskositat verschiedener Medien gibt Bild 1-11. Die Spanne ist sehr g o 5 (viele Dekaden). Der Kehrwert der dynamischen Viskositat wird mit Fluiditat rp bezeichnet, also:

1.3.5.4 KinematischeViskositat v In der Fluidmechanik tritt sehr haufig der Quotient von dynamischer Viskositiit und Dichte auf. Dieses Verhaltnis q / erhielt ~ den Namen kinemati-

')

VAN-DER-WAALS, Johannes Diderik (1837 bis 1923),

3,

niederl. Physiker. BROWN, R. (1773 bis 1838). Eckige Klammer bedeutet Dimension des Eingeklammerten. Dadurch optische Abgrenzung b m . Kennzeichnung.

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide Maschinen-Ol C____I

I

19

Honig

dynarnlsche V~skos~tat?

Bild 1-11. Dynamische Viskositat einiger Medien bei 20°C und 1 bar (GroBenordnungen).

-

Tabelle 1-15. Dichte und Viskositaten von Wasser und Luft bei 20°C; 1 bar (Naherungswerte).

Wasser

1000

Luft

32

1000~10~6 1.10-6 18.10-6 15.10-6

I sche Viskositat V . Die Bezeichnung ist miljverstandlich, da der Wert VIQ von Gasen infolge ihrer sehr vie1 kleineren Dichte wesentlich groljer ist, als der von viskoseren Fliissigkeiten (Tabelle 1-15). Am besten waren die Benennungen: Fur Q absolute Viskositat und f i r v spezifische Viskositat. Definition und Dimension der kinematischen Viskositat:

m2 Also [v] = S

Fruhere Dimension: Stokes St

Die Dimension der kinematischen Viskositat v enthalt nur die kinematischen Einheiten von Lange und Zeit. Damit laljt sich begriinden, w a r m die Stoffgrorje v auch die Bezeichnung ,,kinematische Viskositat" erhielt. Wie jede Stofionstante ist auch die Viskositiit (absolute und spezifische) nicht konstant, sondern von den primaren ZustandsgroSen Druck

Temperatur ----+

Bild 1-12. Prinzipielles Viskositatsverhalten in Abhangigkeit von der Temperatur T bei konstantem Druck (Viskositat-Temperatur-Diagramm, sog. VT-Blatt), hier kinematische Viskositat v =f ( T ) .

und Temperatur abhangig, weshalb die Bezeichnung Stoffgrolje zutreffender ist. Das gilt deshalb auch fur newtonsche Fluide. Wahrend die Abhangigkeit vom Druck - gegensatzlich zu Gasen - bei Fliissigkeiten nur gering ist (Tabelle 6-5; Bild 6-I), weshalb iiblichenveise vernachlassigbar (bis etwa 1000 bar), verandert sich die Viskositat aller Fluide sehr stark mit der Temperatur, z.B. Bild 6-9. Dabei zeigen Fliissigkeiten und Gase entgegengesetztes Verhalten (Bild 1-12, VT-Diagramm). Die Viskositat der Fliissigkeiten sinkt mit wachsender Temperatur, da bei Temperatursteigerung die Kohasionskrafte zwischen den Fluidteilchen infolge Ausdehnung abnehmen und somit auch die gegenseitigen Behinderungen bei Stromungsvorgangen geringer werden. Zudem finden infolge der rnit der Temperatur steigenden Molekularbewegung haufigere Platzwechsel der Teilchen statt. Die Viskositat der Gase steigt mit wachsender Temperatur, da die bei hoheren Temperaturen sich schneller und weiter bewegenden Gasteilchen (kinetische Gastheorie) ofter und heftiger gegeneinander stoBen, sich also starker behindern - wobei

20

1 Allgemeines

die Scherung auch wegen Querdiffusion ansteigt und dadurch einen groDeren Stromungswiderstand bewirken. Das Viskositatsverhalten von Gasen ist daher gegensatzlich zu dem von Flussigkeiten. Standig gelangen Molekule bestimmter Geschwindigkeit in Zonen hoherer oder niedrigerer mittlere Geschwindigkeit. Infolge der dadurch unvermeidlichen ZusammenstoBe werden Molekule beschleunigt bzw. verzogert. Dieser verlustbehaftete Impulsaustausch bewirkt hauptsachlich die Scherspannung und damit die Friktion. Die Verluste ergeben sich dadurch, daD bei den ZusammenstoDen die Bewegungswege von Teilchen immer kleiner werden und so letztlich in die der thermischen Bewegung iibergehen (Warme).

wird:

Wobei Molmasse m,,, in g/mol und die absolute Gastemperatur T i n K einzusetzen sind. Luft 0 "C; 1,0133bar (physikalischer Normzustand)

m,,,

= 28 g/mol

l,,

= 3,33

=

Fur Gase gilt:

.

(Abschnitt 1.3.4) cm

=

l5,6 . I 0 - m2/s

3,33.10-'m (Abschnitt 1.3.4) (hierzu Bilder 6-7; 6-8)

1.3.5.5 Viskositatseinheiten den genormten Einheiten (DIN 1301) Pa. s .. .mittlere thermische Teilchen-Geschwin- Neben fiir die dynamische und m2/s fur die kinematische digkeit Viskositat sind in der Praxis noch immer einige I,, . . . mittlere freie Weglange der Teilchen.

mit c,,

empirische GroJen gebrauchlich:

Fiir die mittlere thermische Teilchengeschwindigkeit c,, gilt mit Absolut-Temperatur T [K]:

- Englergrad E (DIN 51 560)

-

Hierbei bedeuten:

Teilchenmasse Dazu nach Abschnitt 1.3.4 LOSCHMIDT-Zahl Lo = 6,023 . loz3Tl/mol Eingesetzt ergibt: c,,

x J30 . Bo . Lo . Tim,,,

Mit 30. Bo . Lo = 30.1,38

.

I$&[

6,023 .

w 0,25 . lo6 [(g . m2)/(s2.K . mol)] l)

B~LTZMANN (1844 bis 1906).

Anhaltswert ab ca. v 2 20 mm2/s: E w (O,l3 . . . OJ4) . v rnit v in mm2/s Saybold-Sekunden (USA) Redwood-Sekunden (England) SAE-Viskositatsklassen fur Ole (DIN 51 511 und 51 512). SAE . . . Society of Automotive Engineers

Wichtige Erfahren zur Bestimmung der Viskositat: - Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE (DIN 51 562) Messung der DurchfluDzeit einer bestimmten Fluidmenge durch eine Kapillare. Kugelfallviskosimeter nach HOPPLER Messung der Fallzeit einer Kugel in einem rnit dem MeBfluid gefullten Rohr. - Rotationsviskosimeter Messung des Drehmoments, das durch eine erzeugte C O U E T T E - S ~ ~inOeinem ~ U ~ ~Ringspalt verursacht wird. Wahrend des gesamten MeBvorganges sind bei der Bestimmung der Viskositat Temperatur und Druck (bei Gasen) jeweils konstant zu halten. Die MeBergebnisse werden dann meist im sog. VT-Blatt nach UBBELOHDE aufgetragen. Die MaBstabsteilung der Diagramm-Achsen ist hierbei so

1.3 Wichtige Eigenschaften der Fluide

21

gewahlt, da13 uber die T-Koordinate die V-Kurven N ~ w ~ o ~ s cFluide h e r sich als gerade Linien abbilden. Dabei steht V fiir Viskositat (q b m . v) und T fur Temperatur ("C oder K). Die USA-Gesellschaft der Kraftfahrzeug-hgenieure teilt die Viskositat der o l e in SAE-Klassen ein (Bild 6-3), die in die DIN-Norm iibernommen wurden. Bei Schmierolen wird das VT-Verhalten (Bild 1-12) oft auch durch den sog. Viskositatsindex VI angegeben. Je hoher der Index, desto temperaturabhangiger ist die Viskositat des Oles: Unlegierte ole VI Legierte o l e (HD-ole) Mehrbereichsole

= 65

bis 75 80 bis 95 90 bis 110

Zwischen 10 und 70°C gilt naherungsweise

Bild 1-13. Schallausbreitung (Signaltransport). Nach dem N ~ w ~ o ~ s c Grundgesetz hen ist:

mit a = 1,6 bis 2,5 je nach 01-Zusammensetzung t . . . 0 1 - ~ e m ~ e r a t uinr "C Die Viskositatwerte einiger technisch wichtiger Fluide sind im Anhang aufgefiihrt (Tabelle 6-5 bis 6-8 und Bilder 6-1 bis 6-10).

1.3.6 Schallgeschwindigkeit Die Schallgeschwindigkeit a ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der sich kleine Druckstorungen (Schall) - und damit Dichteanderungen - in einem Medium fortpflanzen. Schallwellen sind deshalb eine periodische Aufeinanderfolge von kleinen Verdichtungen und Verdunnungen im Fluid. Diese elastischen Langswellen werden auch als Longitudinalwellen bezeichnet. Ableitung der Schallgeschwindigkeit a: In einer gedachten Rohre (Bild 1-13) mit konstantem Querschnitt A wird der masse- und reibungsfreie Kolben K in der Zeit dt durch die Kraft d F um den Weg dx verschoben. Die dadurch bewirkte Druckerhohung d p = dF/A - und damit auch Dichteanderung d~ - pflanzen sich mit Schallgeschwindigkeit im Rohr in Achsrichtung fort. ds Schallgeschwindigkeit: a = dt

.

.. d2s dx

=c = s = -= -

mit

Dann wird: Andererseits

d (d V) = A . d(ds) = A . dx

und d(dV) dx Dividiert ergibt -- dV ds

Es gelten:

Fluidbeschleunigung: a,

Da sich durch die Druckerhohung dp das Fluidvolumen dV - nicht jedoch die Fluidmasse (Massenerhaltung) - verandert, fuhrt folgende Herleitung zum Differentialquotienten dxlds: Vor den Druckstorungen: dm = dV . Q Nach den Druckstorungen: dm = (dV-d(dV)) ( Q + ~ Q ) Gleichgesetzt: d V . Q = (d V-d(dV)) (Q+de) Hieraus: 0 = d V . de - Q . d(dV) - d ~d(dV) . Das Glied de . d(dV) ist klein von hoherer Ordnung und kann deshalb vernachlassigt werden.

dt2 dt2 d2s=d(ds)=dx

Diesen Ausdruck mit dem zuvor gewonnenen gleichgesetzt ergibt:

Dieser Quotient, eingesetzt in die Beziehung fur dp, liefert die LAPLACESC~~ ') Gleichung: d p = a2 . de

oder

-

Bemerkung: Die durchgefuhrte Herleitung fur die Schallgeschwindigkeit ist zur Veranschaulichung und da durch den bisherigen Buchtext noch keine fluidmechanischen Gleichungen zur Verfugung stehen, stark vereinfacht. Sie enthalt daher physikalische und mathematische Unscharfen. Dennoch ergibt sich das richtige Ergebnis (GI. (1-21). Diese simplifizierte Ableitung ist, um nicht auf vie1 spater verweisen zu mussen, hier eingefugt, da die Schallgeschwindigkeit schon in Abschnitt 1.3.1 verwendet wurde. Die physikalisch-mathematisch strenge Herleitung enthalt Abschnitt 5.2.1. Die L ~ ~ ~ ~ c ~ - G l e i(1-21), c h u nauf g die zwei Fluidtypen angewandt, ergibt fur: a) Quasi inkompressible Medien (Flussigkeiten, Feststoffe) Nach G I (1-4) ist:

E @--

Ae

p , vx = konst mit u wird

=

I/@und konst

-

K (Abkurzung)

p = K . ex -+ K = p/eX

dp = K . x . e X - l = K . Q " . ~ . ~ - ' Differenziert: de

mit Gasgesetz p . u

=R

.T

ist Eingesetzt in die LapL~c~-Beziehung, GI. (1-21), ergibt fur kompressible Fluide:

eo

D a bei tropfbaren Fluiden im Schallbereich Linearitat (E-Modul konstant) zwischen Druck- und Dichteanderung besteht, gilt:

Damit ergibt G1. (1-21):

Die Schallgeschwindigkeit wird also durch die Kompressibilitat (Elastizitat) des Mediums bestimmt. Bei volliger Inkompressibilitat, also E + co - theoretischer Fall - wurde auch a + co gehen. Beziehung (1-22) gilt, da die Herleitung hinsichtlich Stoffart keine Einschrankungen enthalt, auch fur Festkorper (Tabelle 1-16).

'1

b) Kompressible Fluide (Gase, Dampfe) Die beim Schall auftretenden Druckanderungen sind sehr klein und von so geringer Dauer, daI3 ideales Gasverhalten angenommen werden kann (quasi reibungsfrei; R = konst) und bei der bewirkten Kompression sowie Expansion fur den Warmeaustausch mit der Umgebung praktisch keine Zeit bleibt (adiabat). Die schallbedingte Verdichtung/Expansion kann deshalb als isentrope Zustandsanderung angesehen werden:

LAPLACE, Pierre Simon (1749 bis 1828). quasi [lat.] . . . wie, gleichsam, gewissermaBen, sozusagen.

Die Schallgeschwindigkeit ist demnach abhangig von der Gastemperatur (a =f (T)). Gleichung (1-23) gilt, gemaI3 ihrer Ableitung, nur fur kleine Druckstorungen. Bei groI3en Drucksto13en ist deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit wesentlich groI3er. Dies kann bei Explosionen und Detonationen beobachtet werden. Beispielsweise ergeben sich bei Detonation von Nitroglycerin Geschwindigkeiten von ca. 7400 m/s bei Driicken bis 100000bar. Mit wachsendem Abstand vom Explosionsherd fallt die Starke der Druckwelle und damit die Fortpflanzungsgeschwindigkeit immer mehr ab, bis letztlich Schallgeschwindigkeit erreicht wird, Tabelle 1-16 bis Tabelle 1-18. PRANDTL [51] definiert: Explosion: Schnelle, fast plotzliche Verbrennung von Brenn-, besser Sprengstoffen. Das dabei entstehende groI3e Verbrennungsgas-Volumen verdrangt die umgebende Luft mit groI3er Intensitat. Detonation: Mit ~berschall~eschwindi~keit unter starkem Druckanstieg ablaufender Verbrennungsvorgang.

1.4 Fluidkrafte, reale und ideale Fluide

Tabelle 1-16. Schallgeschwindigkeit verschiedener Stoffe. Gase bei 20 "C; 1 bar. Stoff (Temperatur 20 "C)

Tabelle 1- 18. Druckwirkungen (Richtwerte).

I Druckanstieg z0,05 bar

= 0,l bar = 0,3 bis 0,8 bar

Stahl GrauguB Beton

23

I Zerstijrung

I

Fensterscheiben Fachwerkbauten Betonwande, Dicke 12 bis 24cm

1.4 Fluidkrafte, reale und ideale Fluide

Wasser Quecksilber

Die auf ein sich bewegendes Fluidelement (massefestes Volumenelement)mit dem Volumen d V wirkenden Krafte sind:

-

Luft (trocken) Helium He Wasserstoff H2 Kohlenrnonoxid CO Kohlendioxid

- Masse- oder Volumenkrafte:

Schwere- oder Gewichtskraft (normal) [email protected] Tragheits- oder Beschleunigungskraft (tangential) [email protected] Bemerkung: Obwohl ebenfalls Tragheitskraft, wird die Schwerewirkung, da irnmer vorhanden, getrennt ausgewiesen.

co2 Ammoniak NH3 Methan CH4

- Oberflachenkrafte:

Druckkraft (Normalkraft) AF, = p . AA Reibungskraft (Scherkraft) AF, = hF, + AF, mit Viskositatskraft AF, und Turbulenzkraft

m.

Tabelle 1-17. Verbrennungsarten mit Richtwerten.

Explosion Verbrennung: Verpuffung: Explosion: Detonation:

> c 0,l km/s

bis ca. c O bis ca. 10 bis ca. 10' bis uber lo5

,,normalew Verbrennung schnelle Verbrennung unterschallschnelle Verbrennung uberschallschnelle Verbrennung

Die Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Stoffen sind aus Tabelle 1-16 zu entnehmen. SchallgroBen fur den EinfluB auf den Menschen enthalt Tabelle 6-13.

Mit Am = Q . AV als zeitlich unveranderlicher Masse des stromenden Fluid-Volumenelementes lassen sich die Krafte auf dessen Volumen AV beziehen. Dadurch ergeben sich die volumenbezogenen, d. h. spezifischen Krafte: SpeziJische Gewichtskraft: (Wichte, spez. Feldkraft)

AFG = @ g f -G - AV

Spezzfsche Tragheitskraft:

AFB = --Q . dc f -B ~ dt~

Spezzjische Druckkraft: AF" Spezifische Viskositatskraft: f, = AV Spezifische Turbulenzkraft:

cv

f, =A4

Minuszeichen bei f,, da entgegen Beschleunigung C gerichtet. FG wirkt in Richtung der Schwerkraft.

*)

Ausbreitungsgeschwindigkeit (GroDenordnungen) Verpuffung (Deflagration) . . . ,,langsarn" erfolgende Explosion.

Je nach Anordnung des Koordinatensystems ist dann das Vorzeichen von fG festzulegen (Abschnitt 2.2.7).

Nach dem Prinzip von D'ALEMBERT ist ein System im dynamischen Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aJer beteiligten Krafte zu null wird (Nullvektor 0). Demnach gilt fur das dynamische Kraftegleichgewicht in: a) Vektordarstellung:

oder

-.&=&+L+x+x

Deshalb wird unterschieden: Turbulente Stromung (allgem. Fall):

Die sehr komplizierte GI. (1-24) bleibt dann voll bestehen und wird als Bewegungsgleichung der turbulenten Stromung bezeichnet, die sog. R E Y N O L D S CBewegungsgleichungen ~~~ (umgebaute N ~ v r ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c h uInn der g e nTech). nik sind iiber 90 % der Stromungsvorgange turbulent. Laminare Stromung (viskose, d. h. SchichtenStromung) + keine turbulente Vermischung: f , =# 0 aber f , = 0

G1. (1-24) vereinfacht sich und wird in dieser Grundform als NAVIER-STOKESSC~~ Bewegungsgleichung bezeichnet.

b) Matrixdarstellung:

Reibungsfreie Stromung (Idealfall):

c) Komponentendarstellung in kartesischen Koordinaten: mit j

= x,y, z

Gleichung (1-24) stellt entsprechend dem allgemeinen NEwTo~scheGrundgesetz (2. Axiom) die dynamische Grundgleichung der Fluidmechanik dar. Dabei ist c (Komponenten c,, c,, c,) die Geschwindigkeit des stromenden Fluid-Volumenelementes. Bei stationaren Stromungen (c =f (s), also unabhangig von Zeit t) ist die spezifische Beschleunigungskraftf, = 0, da keine Beschleunigung, also C = 0. Die dynamische Grundgleichung der Fluidmechanik, welche die allgemeine Fluidbewegunge mathematisch beschreibt, ist fur die realen Fluide so schwierig, daB sie bis heute noch nicht allgemein analytisch exakt gelost werden konnte. Bei diesen sind daher immer nur Sonderfalle durch mehr oder weniger gute Naherungen losbar. Vielfach mussen die Losungen durch Ergebnisse aus umfangreichen Versuchen ersetzt werden. Allgemeine Stromungsprobleme bedingen fur gute Naherungslosungen iiber Modellansatze, sog. moderne numerische Rechenverfahren (FD, FV, FE), die oft GroBcomputer erfordern (Abschnitt 4.3.1.8).

Solche Stromungen sind in der Wirklichkeit nicht zu finden, oftmals jedoch gut angenahert (quasireibungsfreie Stromungen). Bei vielen Stromungsproblemen fuhrt diese Annahme deshalb zu brauchbaren Naherungslosungen. Die Haftbedingung wird dann allerdings nicht mehr erfiillt. PRANDTL~) schaffte hierfur durch seine Grenzschichttheorie (wird spater behandelt) Abhilfe. Diese fuhrt zu den P R A N D T L SGrenzschichtC~~~ gleichungen (vereinfachte NAVIER-S~o~Es-Gleichungen). Gleichung (1-24) vereinfacht sich bei Reibungsfreiheit, wobei Wirbelfreiheit nicht notwendig, sehr stark, ist dann oft geschlossen losbar und wird als E U L E R SBewegungsgleichung C~~ bezeichnet. Besteht zudem auch Wirbelfreiheit, ergibt sich die nochmals einfachere Potentialgleichnng. Fluide, welche die E U L E R S CBewegungsglei~~ chung exakt erfullen, sind die sog. idealen Fluide. Demnach ist das Kennzeichen des stromungstechnisch idealen tropfbaren Fluides: Q = konst und y = 0 idealen allgemeinen Fluides: y = 0 'I 2,

NAVIER,Claude-Louis-Marie-Henri (1785 bis 1836), franz. Ingenieur. PRANDTL, Ludwig (1875 bis 1953), dtsch. Physiker und Ingenieur.

1.4 Fluidkrafte. reale und ideale Fluide

25

Zu unterscheiden ist bei kompressiblen Fluiden zwischen -

-

stromungsmechanisch ideal 4 reibungsfrei, also Stoffwert q = 0; auch als nichtviskos bezeichnet, thermodynamisch ideal Stoffwerte R und x je konst.

Oft ist eine Kombination von beiden Idealforderungen notwendig, also q = 0 und R = konst sowie x = konst. Die Mechanik des idealen Fluides ermoglicht oftmals schnellen Einblick in das Stromungsgeschehen. Viele Stromungsgesetze werden am idealen Fluid abgeleitet und dann durch experimentell bestimmte Faktoren dem Verhalten der realen Fluide moglichst gut angepaBt (ubliche Vorgehensweise der Technischen Fluidmechanik).

Bild 1-14. Resultierende Kraft zwischen den Teilchen (Atome, Molekule), abhangig von ihrem Abstand (prinzipieller Verlauf). Teilchenkraft: +Anziehung; -Abstol3ung. to Gleichgewichtsabstand.

COULOMB-Krafte bezeichnet. Die intermolekularen Krafte (Teilchenkrafte) bewirken, wie envahnt, die Adhasion und die Kohasion (Abschnitt 1.3.3.1). Bei dem stabilen Abstand to der Teilchen (Bild 1-14) kompensieren sich die abstoDenden und anziehenden Wirkungen, weshalb die resultieFluid in Ruhe: rende Molekularkraft null ist und damit Gleichgewicht besteht. Je mehr der Abstand vermindert f,=O, f , = O und f , = O wird (t < to), desto starker iiberwiegt die abstoGleichung(1-24) ergibt dann die E U L E R S C ~Dende ~ Wirkung. Die resultierende AbstoDkraft Grundgleichung der Fluidstatik, kurz als hydro- steigt steil an. Wachst andererseits der Teilchenaboder fluidstatisches Grundgesetz bezeichnet stand t iiber die Gleichgewichtslagehinaus (t > to), (Abschnitt 2.2.8). ergibt sich als Resultante eine Anziehungskraft. Ruhe bedeutet in diesem Zusammenhang, die Diese steigt mit wachsendem Abstand zuerst an, Fluidteilchen durfen ruhen oder sich bewegen, und nimmt dann aber wieder ab und strebt asymptozwar gemeinsam, jedoch nicht zu- bzw. vonein- tisch gegen null. Der stabile Teilchenabstand im ander (relativ). Normalzustand liegt allgemein in der GroDenordnung von 10-lo bis 10-8m. Bemerkungen: Zum Vergleich weitere GroDenordnungen: Volumenkrafte sind sog. Fernwirkungskrafte. Sie lo-" bis lo-" m nehmen rnit der Entfernung nur relativ schwach Teilchendurchmesser ') bis m ab. Abgesehen von der unmittelbaren Umgebung freie mittlere Teilchenweglange bis m. der Korper nimmt die Wirkung der Volumen- turbulenter Schwankungsweg krafte mit dem Quadrat des Abstandes ab. Volumenkrafte beruhen physikalisch auf der Massenanziehungswirkung (Gravitationskraft) und den Weitreichende Feststellungen (auch Seite VIII): Anziehungs- bzw. AbstoDungskraften elektrischer Erkenntnisse von Dr. Robert MAYER(1848 bis 1878), deutscher Arzt und Physiker: sowie magnetischer Ladungen. - W W e ist eine Form von Energie. Oberflachenkrafte sind sog. Nahwirkungskrafte. Sie nehmen mit der Entfernung sehr stark ab. Ab- - Nichts wird aus nichts und nichts wird zu nichts. gesehen von der unmittelbaren Umgebung, dem Das sind in Kurzform die Erhaltungssatze fir Nahbereich, nimmt die Wirkung etwa mit der siebten bis achten Potenz des Abstandes ab. OberflC Energie und Masse. chenkrafte beruhen auf der Wirkung intermoleku- Aussage von Prof. Dr. Max BORN(1882 bis 1970), larer Anziehungskrafte. Nobelpreis 1954, deutscher Physiker: Inter- oder zwischenmolekulare Krafte sind die Anschaulichkeit ist Gewohnung; Vertrautheit entWirkungen zwischen den Teilchen (Atome, Mole- steht nicht beim ersten Kontakt. kule) eines Stoffes und abhangig von ihrem gegenseitigen Abstand t (Bild 1-14). Diese Molekular- ') Durchmesser eines Molekuls z 10-'Om, eines Atoms krafte werden auch als VAN-DER-WAALSSC~~oder = 10-"m und eines Atomkerns zz 10-Ism.

26

2 Flu~d-Stat~k (Hydro- und Aerostabk)

2 Fluid-Statik (Hydro- und Acrostatik) 2.1 Grenztliichen (Trennflachen, freie Oberfljichen)

2.1.1 Gmndsahliches Fluide bilden Begrmzungsfluchen (Grenzflichen) gegeniiber festen Korpern und gegenuber solchen anderen Fluiden, mit denen ein Vermischen nicht stattfindet. Dahei sind zu unterscheiden: - 'kennflache:

Grenzflache zwischen zweisich nicht mischrnden Fliissigkeiten. -

F~eieObemjiche (Spiegel): Grenzflache einer Fiussigkeit gegeniiher einem Gas. Die haufigste freie Oherflache ist die von Wasser gegenuher Lnft (Umgehung).

Die leichte Verschiebbarkeit der Fluidteilchen hat in der Statik zur Folge: Fluide passen sich vollstiindig den begremenden festkorpern (Cefajwunden) an.

Die Fluidteilchen, die in diesem Zusammenhang als viele, sehr kleine, reibungsfreie Kiigelchen vorstellbar sind, verschieben sich unter den tangentialen Kraftkomponenten so lange gegeneinander, his diese verschwinden. Reihung besteht deshalb praktisch nicht, weil letztlich keine Bewegung (c 0;GI. (1 -13)) vorhanden ist. Die Fluidtcikhen kommen zur Ruhe,

-

wenn nur noch Normaikra& zwischen ihnen wirken.

Hieraus ergibt sich: - Freie Oberflachen stellen sich in jedem Punkt senkrecht (normal) zur Richtung der jeweiligen Kraftresultierenden. - An freien Oberflachen (und Trennflachen) ist der Druck konstant. Sie wefden deshalb auch als Niveauflichen (Flachen konstanten Druckes = Isoharen) oder &uipotentialjliichen (Flachen konstanten Potentials) bezeichnet. In grafischen Darstellungen erfolgt ihre Kennzeichnung durch ein gleichseitiges Dreieck, das auf der freien Oherf l h h e mit einer Spitze aufsitzt, Bild 2-1.

Bdd 2-1 Frere Oberflache klemer Ausdehnung m ruhendem GefaB 2.1.2 Fluid in Ruhe oder konstanter Translations bewegung

Resultierende Kraft ist die allein wirkende, zum Erdmittelpunkt gerichtete Schwer- und Gewichtskrsft F,. Freie Oberflachen von Fliissigkeiten in ruhenden GefiLien sind deshalb - entsprechend der Erdgestalt - Kugelflachenausschnitte von annaherndem Erdradius mit zum Erdmittelpunkt gerichteten Normalen. Daher sind freie OberKLhen vnn kleiner Ausdehnung praktisch waagrechte Ebenen, Bild 2-1. Erstarmngsprimip: Ein sich im Gleicbgewicht befindendes Fluid hleibt im Gleichgewicht, auch wenn Teilbereiche davon erstarren. Diese Tatsache ist z. B. nutzlich bei komplizierten BerandungsflC chen. Die Kraftverteilung im Medium andert sich durch die Teilerstarrung nicht, erleichtert jedoch den physikalisch-mathematischen Ansatz. 2.1.3 Fluid in beschleunigter Trandationsbewegung

Ein Behalter (Bild 2-Z), der eine heschleun~gte Translationshewegnng ausfiihrt, sei teilweise mit

Bild 2-2. Freie Oberfliche einer Fliissigkeit in einem Gefi5 unter der Translatiansbeschleunigung a. (Index B zur Unterscheidung gegeniiber der Schdlgewindigkeit a).

2.1 Grenzflachen (Trennflachen, freie Oberflbhen)

27

Bild 2-3. Freie OberflLhe (Spiegel) bei verschiedenen GefaBhohen und Beschleunigungen. A: Spiegel bei a, = 0 B: Spiegel bei a, > 0 und der GefiDhohe B' C: Spiegel, wenn bei a, > 0 die GefaDrandhohe von B' auf C' abgesenkt wird. Das Volumen AV zwischen den Spiegeln B und C lauft dann aus: Flussigkeit gefiillt. Die Fluidmenge unterliegt somit insgesamt einer beschleunigten Bewegung, wahrend die einzelnen Fluidteilchen zueinander in Ruhe sind (deshalb Statik!). Auf jedes Fluidteilchen dm im Bereich der freien Oberflache wirken die Gewichtskraft d m . g, und der Beschleunigungsrichtung entgegen die Tragheitskraft dm. a,. ZusammengefaDt ergeben diese Komponenten den resultierenden Kraftvektor dFR,, , zu dem die freie Spiegelflache senkrecht verlauft. In den tieferliegenden Schichten kommt noch die Massenwirkung der dariiberliegenden Fluidteilchen hinzu, was hier jedoch nicht gesondert betrachtet werden mu& Nach Bild 2-2 ist der Neigungswinkel a der freien Oberflache: d m . a, a, tan a = ------- - dm.g g UB a = arctan -

9

(2-1)

Der EinfluD der Gefaorandhohe auf die Spiegelausbildung geht aus Bild 2-3 hervor. Die notwendige GefaDwandhohe - es darf kein Medium ,,verlorengehenC' - folgt aus der Volumenkonstanz-Bedingung. Das bedeutet, daD die ,,verschobene" Fluidmenge A V gemal3 Bild 2-2 am neuen Ort innerhalb des GefaDes Platz finden mul3. 2.1.4 Fluid in Rotationsbewegung

Ein zylindrisches GefaD, Bild 2-4, wird bis zur Hohe H, mit Flussigkeit gefullt und durch kleine

Bild 2-4. Fliissigkeit in rotierendem Gefal3 bei stationarem Betriebszustand. Beschleunigung auf die konstante Winkelgeschwindigkeit w gebracht. Infolge Reibung wird die Flussigkeit allmahlich mitgenommen. Sie rotiert nach entsprechender Zeit ebenfalls mit der Wingelgeschwindigkeit w . Der Fluid-,,Korper6' fuhrt eine Drehbewegung aus, wobei die einzelnen Fluidteilchen im Stationarzustand relativ zueinander in Ruhe sind. Auf jedes Fluidteilchen mit der Masse dm wirken dann im Bereich des freien Spiegels nur die Gewichtskraft dm . g und die vom variablen Radius r abhangig Fliehkraft dm . w 2 .r. Diese beiden Krafte bestimmen die Form der freien Oberflache. An jeder Stelle mu13 die zugehorende Tangentenebene der Spiegelflache senkrecht zur Resultierenden der beiden Krafte verlaufen. In jedem Punkt der freien Oberflache gilt daher fiir den Neigungswinkel a der Kraftresultierenden: dFF tana=-= dFG

0 ' d m . w 2 . r - -. r=f(r) dm. g g

Da a andererseits der Steigungswinkel der Tangente an die Spiegelflache z =f ( r ) ist, gilt des weiteren:

Durch Gleichsetzen ergibt sich die DifferentialGleichung der Spiegelflache:

28

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Trennen der Variablen und Integration fuhrt zur Meridiankurve der freien Fluid-Oberflache bei w = konst (stationar):

Hierbei sind mit den GroBen von Bild 2-4:

Ausgewertet mit z nach G1. (2-4) ergibt sich: o2

dz=-.jr.dr 9

mit w = k o n s t

Die Rotationskurve (Meridianlinie) des Spiegels ist, wie G1. (2-3) zeigt, eine Parabel, die freie Oberflache selbst die Flache eines Rotationsparaboloids zweiten Grades. Bemerkenswert ist dabei, daB die Paraboloid-Form nicht von der Art der Fliissigkeit abhangt, da die Gleichung keine StoffgroDen, wie beispielsweise Q, enthalt. Die Integrationskonstante C ergibt sich aus den Randbedingungen. Diese wiederum sind abhangig von der Festlegung des Koordinaten-Ursprungs. Den Nullpunkt 0 des (r, z)-Koordinatensystems, wie in Bild 2-4 eingezeichnet, in den Drehmittelpunkt des GefaBbodens gelegt, fiuhrt zu den Randbedingungen: 1. b e i r = O i s t z = z s = Ho - h, 2. bei r = R ist z = zR = Ho + h2

Mit z, = Ho - h, wird

Gleichgesetzt: V, = Vp

GI. (2-6) eingesetzt in GI. (2-5) ergibt:

Randbedingung 1 in G1. (2-3) eingesetzt liefert: z, = C und damit: Also Die Scheitelhohe zs und damit die Spiegelabsenkung h, sowie die Randhohe z, ,also der maximale Spiegelanstieg h2 der freien Oberflache, ergeben sich aus:

Diese Ergebnisse in die friiheren Gleichungen eingesetzt, fiihrt zu:

a) der 2. Randbedingung, eingesetzt in G1. (2-4):

Mit

zs = Ho - hl

wird

zR=Ho+h2=-.R2+Ho-hl 2.9

Hieraus

o2

h

, + h,

w2 .R 2.9

= ----

(2-5)

b) der Volumenkonstanz, das bedeutet, das Fliissigkeitsvolumen V, (Zylinder) vor Beginn der Rotation ist so grol3 wie das unter dem Rotationsparaboloid V,, also V, = V, .

Der oben offene Rechtecktransportbehalter eines Wagens hat die Innenabmessungen: Lange L = 15m; Breite B = 2,8m; Hohe H = 2,5 m und ist mit 50m3 Wasser gefullt.

'' Vollstandige Losungen in Abschnitt 7.

2.2 Fluid-Druck

29

Welche Wassermenge geht verloren, wenn der Wagen gleichmaI3ig mit a, = 3 m/s2 beschleunigt wird? in Bild 2-5 dargestellte GefaB: Hohe p q Das 150mm; Durchmesser 250 mm; ist bis zur Hohe von 100mm mit Wasser gefullt und rotiert um seine Achse. Gesucht:

Bild 2-6. Freilegungsschnitt zur Druckdefinition.

Drehzahl, bei der das Fluid bis zum GefaBrand hochsteigt. Drehzahl, bei der der GeraRboden beginnt sichtbar zu werden. AusflieBende Fluidmenge bei der Drehzahl von Frage 2. Notwendige GefaRrandhohe, bei der kein Fluid ausflieBt und der GefaBboden gerade sichtbar wird. Drehzahl, die bei Frage 4 notwendig ist.

Druck-Dimension: Kraft [PI =

N =

Druckeinheiten nach DIN 1314: N PASCAL')(Pa): 1 Pa = 1 m2

Bar (bar): = 100 kPa = 0,l MPa 1mbar =

bar

1 N/mm2 = lo6 Pa

= 100Pa = 1 hPa

= 10 bar

Friihere Dimension: Atmosphare at: 1 at = 1kp/cm2 = 9,81 N/cm2 = 0,981 bar z 1bar Druck kann verursacht werden durch: Bild 2-5. Wasser in zylindrischem GefaB.

a) auBere Kraft (Pressungen), z. B. Kolben b) innere Kraft (Gewicht, Tragheit)

2.2 Fluid-Druck

2.2.2 Richtungsabhiingigkeit des Druckes

2.2.1 Druck-Definition (Druckspannung)

Um zu untersuchen, in welcher Weise der Druck richtungsabhangig ist, d. h. Vektor oder Skalar, wird in einem Fluid an einer beliebig gewahlten Stelle P(x, y, z), Bild 2-7, ein tetraederformiges Teilchen gedanklich in gunstiger Konfiguration herausgeschnitten und erstarrt gedacht (Erstarrungsprinzip, Abschnitt 2.1.2). Die Massewirkung (Gewichtskraft) des Teilchens bleibt dabei, wie noch begriindet, unberiicksichtigt. Der groB herausgezeichnete Tetraeder, Bild 2-8, ist so angeordnet, daR je eine Kante in den drei Achsrichtungen des Koordinatensystems liegt. Die Schnittkrafte werden als auBere Krafte dF,, dl$, d& senkrecht auf die in den Koordinatenebenen liegenden Flachen dA,, dA,, dA, und dFnormal auf die schragliegende Flache dA wirkend eingetragen. Die

In einem sich in Ruhe und damit im Gleichgewicht befindenden N ~ w ~ o ~ s c hFluid e n konnen nur Druckkrafte auftreten. Zugkrafte dagegen sind in der Regel nicht ubertragbar und Schubkrafte bei Ruhe nicht vorhanden, GI. (1-14). EULERdefinierte als erster den Begriff ,,DruckU. Nach dem Freilegungsprinzip der Mechanik wird ein Schnitt gefuhrt und die inneren Krafte durch auDere, die sog. Schnittkrafte, ersetzt, Bild 2-6. Als Druckspannung wird dann der Quotient aus Normalkraft und Flache definiert:

Die Druckspannung wird auch als E u L ~ ~ s c h e r Druck, EULER-Druck,oder meist nur kurz als Druck p bezeichnet. Druck ist also eine Normalspannung (Abschnitt 1.4).

PASCAL, Blaise (1623 bis 1662),frz. Mathematiker und Philosoph.

30

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

die Massenkrafte bei dieser Betrachtung vernachlbsigbar. Dies ist auch deshalb gerechtfertigt, da nur die Richtungs-, jedoch nicht die Massenabhangigkeit des Druckes untersucht werden soll. Mit diesen Festlegungen gemaB Bild 2-8 la& sich der Spannungszustand von Fluiden darstellen: Geometrische Beziehungen: dA,

= dA

. cos a,

dA,

= dA

. cos a,

dA, = dA . cos a, Gleichgewichtsbedingungen der Mechanik:

Bild 2-7. Beliebiges Teilchen (raumfestes Volumenelement, erstarrt) in ruhendem Fluid.

Momente nach Bedingung 1 sind nicht vorhanden, falls sich die Wirkungslinien der Krafte dF,, dF,, dF, und d F in einem Punkt schneiden. Dies ist erfiillt, da die Krafte jeweils senkrecht auf den Flachen dA,, dA,, dA, sowie dA stehen und in deren Schwerpunkt wirken. Die Wirkungslinien aller Krafte gehen daher durch den Tetraederschwerpunkt. Nach Bild 2-8 ergibt die 2. Gleichgewichtsbedingung die drei Komponentenforderungen:

Andererseits gilt unter Venvendung von GI. (2-13):

Bild 2-8. Raumfestes Teilchen nach Bild 2-7 mit eingetragenen Kraften auf die Schnittflachen (Schnittkrafte).

Normale der schrag liegenden Tetraederflache dA bildet mit den Koordinatenrichtungen die Winkel a,, a, und a,. Die aul3erdem auf das Teilchen wirkenden Massenkrafte, wie die Gewichtskraft, sind proportional dem Tetraedervolumen und somit klein von 3. Ordnung. Die Normalkrafte dagegen verhalten sich proportional zu den Tetraederflachen und sind damit nur klein von 2. Ordnung. Daher sind

d ~=;p, . dA,

= p,

. dA . cos a,

. dA,

= p,

. dA . cos a,

dF,

= p,

Durch Einsetzen dieser Gleichungen in die Beziehungen unter a), b) und c) ergibt sich:

An allen Flachen des beliebigen Teilchens herrscht demnach der gleiche Druck. Hieraus folgt der fluidstatische Spannungszustand:

Der Druck ist ein Skalar (richtungsunabhangig) und nur eine Funktion des Ortes.

2.2 Fluid-Druck

Bemerkungen: Jede andere Lage und Form des ausgegrenzten Teilchens fuhrt zum selben Ergebnis. Der mathematische Aufwand ist jedoch entsprechend grol3er und die Herleitung unubersichtlicher. D a - auf den jeweiligen Punkt bezogen - die Flachen und damit das Teilchenvolumen gegen null gehen (Grenziibergangs-Betrachtung), ist die Massenkraft in diesem Zusammenhang exakt ohne EinfluB. Sie geht ebenfalls gegen null. Der Druck ist an jeder Stelle nach allen Richtungen gleich groD, gilt deshalb uneingeschrankt.

2.2.3 Druck-Fortpflanzung Ein durch einen Kolben abgeschlossenes GefaD, Bild 2-9, ist vollstandig mit Fluid gefiillt. Durch die Kolbenkraft F wird das Fluid gepreDt. Der durch die Kolbenflache A auf das Fluid wirkende Druck (exakt ~ b e r d r u c k )betragt p = FIA.

31

Bemerkung: Unter Berucksichtigung der Schwerewirkung des Fluids andert sich der Druck im Medium mit der Ortshohe und ist dann nur noch in waagrechten Ebenen jeweils konstant (Abschnitt 2.2.8).

2.2.4 Technische Anwendung der DruckFortpflanzung Ein wichtiger technischer Anwendungsbereich des Druckfortpflanzungsgesetzes ist die im vorhergehenden Abschnitt erwahnte Olhydraulik und Pneumatik. Hier wird in vielfaltiger Form das Prinzip der fluidstatischen Presse (Bild 2-10) verwirklicht. Dabei konnen die Fluide in der Regel als masselos betrachtet werden. Fluidreibung ist nicht vorhanden, da letztlich keine Bewegung (Stromung) vorliegt. Fur die in Bild 2-10 im Prinzip dargestellte, reibungsfreie hydraulische Presse ergeben sich folgende Zusammenhange:

Infolge der leichten Verschiebbarkeit der Fluid- Druckfortpflanzung: Teilchen stiitzt sich jedes Teilchen an seinen Nachbarn ab und leitet dadurch die Pressung weiter. Der Druck pflanzt sich deshalb nach allen Seiten Volumenkonstanz (da Dichte Q = konst; wegen gleichmaDig fort. Wird die Masse des Fluids ver- p = konst): nachlassigt, was bei Gasen fast immer zulassig ist AV, = AV, = AV (je Hub) oder die aufgebrachte Pressung im Vergleich zur Fluidmasse so groB, daD die Gewichtskraft bedeu- Kraftubersetzung (Dichtungsreibung unberucktungslos ist, z.B. bei der Olhydraulik, gilt allge- sichtigt): mein das Druckfortpflanzungsgesetz von PASCAL: Wird auf ein vollstandig umschlossenes Fluid an einer Stelle eine Pressung ausgeiibt, pflanzt sich der Druck - ohne Beriicksichtigung der Dichte-, d. h. Schwerewirkung - nach allen Richtungen gleichmal3ig und unvermindert durch das gesamte Fluid fort. ~ b e r a l im l Innern des Fluids und an der Berandung herrscht deshalb der gleiche Druck.

IF Bild 2-9. Fluid unter Pressung.

Wegubersetzung:

Bild 2-10. Prinzip der hydraulischen Presse. Ventile und sonstiges notwendiges Zubehor sind weggelassen, da diese ohne EinfluR auf die Fluidwirkung.

32

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Arbeitsumsetzung (Wirkungsgrad): AW2 F 2 . b 2 1 -(Pth.-=l Awl - Fl. Asl (Pth

=y

(2-17)

gehen. Wenn aber p = konst, wie in diesem Fall, bleibt auch Q = konst, weshalb G1. (2-16) allgemein gilt.

Theoretisches Kraftiibersetzungsverhaltnis: 2.2.5 Druckenergie Zur Kurzzeitspeicherung begrenzter Mengen mechanischer Energie bei Hydraulick-Anlagen werBei technisch ausgefiihrten fluidstatischen Pressen den vielfach Druckflussigkeits-Akkumulatoren liegt der Wirkungsgrad infolge der unvermeidli- eingesetzt. Die Speicherung erfolgt, indem die unchen Reibung (Friktion) in den Kolbendichtungen ter Pressung stehende Flussigkeit in einem Raum unter eins (y < 1). Dies hat eine Verringerung der mit veranderbarem Volumen gesammelt wird. Der PreBkraft F2durch die Kolbenreibungskrafte FRs1 prinzipielle Aufbau der moglichen Ausfuhrung eiund FR,,zur Folge; dagegen hat die FlieBreibung nes solchen Druckfliissigkeits-Speichers geht aus des Fluides hierauf keinen EinfluB, denn sie ist Bild 2- 11 hervor. wegen des statischen Zustands nicht vorhanden. 1st das an Stelle @ zuflieBende FliissigkeitsvoluDaher: men groBer als das bei Stelle Q abgerufene, wird der gewichtsbelastete Kolben K angehoben. Der dadurch freiwerdende Zylinderbereich nimmt das unter dem Druck p stehende Differenzvolumen AV = V , - V2 des Fluides auf. 1st umgekehrt die bei abflieljende Flussigkeitsmenge groBer, als die bei @ ankommende, wird der Fehlbedarf durch den Speicher gedeckt. Der Kolben K sinkt entsprechend ab. Die speicherbare Fluid- und damit Energiemenge bestimmt der maximale Kolbenweg bei vorgegebener Kolbenflache, welche zusammen mit dem zu verwirklichenden Druck die notwendigen Belastungsgewichte festlegen. F 2 = cpth . (F1- Fn, 1) - FR, 2 Die Energiespeicherung erfolgt daher letztlich durch Heben der Belastungsgewichte, also in potentieller Form. Druckenergie ist demnach eine Art der potentiellen Energie; wird auch als Verschiebearbeit bezeichnet. Hierbei sind: Der Wirkungsgrad

Die tatsachliche (effektive) Kraftiibersetzung Der entscheidende Vorteil des Prinzips der hydraulischen Presse ist die groBe verwirklichbare Kraftiibersetzung auch bei groBem raumlichen Abstand zwischen Pumpenkolben (Druckerzeuger) und Arbeitskolben. Das gilt sowohl fur Fliissigkeiten als auch Gase, da die Fluiddichte bei den Betrachtungen ohne EinfluB ist und daher nicht in die Kraft-Beziehung eingeht. Bei der WegeGleichung jedoch ist bei Gasen besser von der Massenkonstanz (Am = Q .A V = Q . A .As) auszu-

Bild 2- 1 1. Prinzip eines Druckfliissigkeits-Speichers (Gewichts- oder Kolbenspeicher). Gewichtskrafi FG wird gebildet von Belastungsgewichten und Kolben.

2.2 Fluid-Druck

Die Wortbildung Druckenergie als Verbindung von Druck und Energie ist unglucklich. Trotzdem wird dieser Terminus, da griffig, haufig verwendet. Im Gegensatz hierzu ist der ebenso ungunstige Begriff Kraftenergie als Produkt aus Kraft und Weg fur potentielle Energie nicht gebrauchlich. Zusammenhange nach Bild 2-11 mit Belastungsgewicht FGund Kolbendurchmesser D: FG 2'FG/2 FG Druck: p = -----= konst (2-21) A -A-D~.z/~ Energie: W = FG. s

Wmax = FG. Smax AW = FG.A S = P AW = p . AV Gleichung (2-22) umgestellt:

33

Zwei grundsatzliche Typen von Druckenergiespeicher sind moglich und werden technisch verwirklicht: a) Gewichtsspeicher (entsprechend Bild 2-11). Vorteil: Druck konstant Nachteile: GroRe Abmessungen und Massen Bewegte Teile Dichtungen zwischen den gegeneinander bewegten Teilen b) Druckgasspeicher (Windkessel) Meist Trennung von Druckgas und Speicherflussigkeit durch elastische Wand (Membran). Vorteile: Kleine Abmessungen Praktisch keine bewegten Teile (aul3er Membran) Nachteile: Druck nicht konstant (abhangig vom Ladezustand).

AW = w = --Wmax Druck p = --AV V Vma,

2.2.6 Druckkraft auf gekriimmte Flachen

Gleichung (2-23) und (2-24) ermoglichen es, dem Druck - aul3er der bisherigen Definition als Kraft je Flacheneinheit - weitere Bedeutungen zuzumessen:

Der in Bild 2-12 dargestellte Behalter mit der gekriimmten Flache A ist vollstandig mit einem Fluid gefullt. Auf den Kolben K mit der Flache AK wirkt die PreDkraft F K . Das Fluid kann im Vergleich zur PreDkraft meist als masselos angesehen werden, und Reibung ist nicht vorhanden, da das Fluid sich nicht bewegt. Die auf die Flache A in Richtung z wirkende Kraft & mmuD bekannt sein, z.8. zum Auslegen der Schrauben S.

Nach G1. (2-23) ist Druck der Quotient aus Energie und Volumen. Nach GI. (2-24) ist Druck, bezogen auf die Fluiddichte, der Quotient aus Energie und Masse. Diese Erkenntnisse sind, wie spater beschrieben, besonders wichtig bei kompressiblen Fluiden, aber auch bei der Stromung raumbestandiger Medien.

Mit wird und

1st wahrend des Lade- bzw. Entladevorganges des Energiespeichers der Druck nicht konstant, muD die aufgenommene bzw. abgegebene Energiemenge uber einen Summations-, d. h. Integrationsvorgang, ermittelt werden. Dann gilt: dW=p-dV

(2-25)

Wahrend das infinitesimale Volumen AV eingebracht oder entnommen wird, andert sich der Druck p praktisch nicht. Die Integration von G1. (2-25) liefert dann die allgemeine Beziehung fiir die Druckenergie (Hinweis auf ~ h e r m o d ~ n a m+ i kGasarbeit): Bild 2-12. Druckkraft auf eine gekriimmte Flache A.

34

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Die Druck- oder PreBkraft auf eine gewolbte Flache in einer bestimmten Richtung ergibt sich demnach aus dem Produkt von Fluiddruck und Projektionsflache A,,, der gepreBten Flache in der betrachteten Richtung, d. h. auf eine dazu senkrechte Ebene. Das gilt fur alle Richtungen. Bemerkung: Die Integration der differentiellen Waagrechtkomponenten in Bild 2-12 iiber die gesamte gekriimmte Flache A fuhrt zur Horizontalkraft, die jedoch in der Regel null ist.

2.2.7 Gleichgewichtszustand Ein Fluid bleibt in Ruhe oder gleichbleibenderGeschwindigkeit - und damit im Gleichgewicht -, wenn die Summe der an ihn angreifenden Kzafte verschwindet, also gleich dem Nullvektor 0 ist (Abschnitt 1.4). Die Beschleunigung ist null, es liegt also Statik vor. In Bild 2-13 sind die an einem Fluidteilchen ang~ifenden Oberflachenkrafte (Druckkrafte) p . dA und die allge~eiqangenomfnene, spezifische Volumenkraft f = FM/V bzw. f = dF,/dV (auf die Volumeneinheit bezogene Massenkraft) eingetragen. f = 1 f I wird auch als spezifische Feldkraft bezeichnet und Quotient f / ~ = FM/mals Feldstarke oder Felddichte.

Fur die Koordinatenrichtungen ergeben sich: ap = 0 a) x-Achse CF, = 0: f,- -

(2-28)

ax

b) y-Achse CFy= 0:

fy - -

ap = 0 ay

(2-29)

c) z-Achse Z F ,

ap = 0 f ,- -

(2-30)

= 0:

az

Hinweis: Die zweite statische Gleichgewichtsbedingung C M = 0 ist gemaD Abschnitt 2.2.2 ebenfalls erfullt. Weitere sinnvolle partielle Ableitungen liefern: GI. (2-28) partiell nach y

GI. (2-29) partiell nach x

GI. (2-28) partiell nach z afx

a2p - 0

az axaz

G1. (2-30) partiell nach x

.

afx

%

-- -

az ax

(2-32)

8% - 0 ax azax GI. (2-29) partiell nach z

Bild 2-13. Krafte an einem Fluidteilchen im allgemeinen Kraftfeld, z. B. Schwere- plus Fliehkraftwirkung. Der Druck p andert sich in x-, y- und z-Richtung, also p = f ( x , y, 2 ) . Auf Flachen durch Punkt P mittlerer Druck p.

Gleichung (2-31) bis (2-33) sind gemaD COUCHY 'IRIEMANN die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, um die Kompo_nentender allgemein angesetzten Volumenkraft f . dV (Massenkraft) und damit diese selbst aus einer anderen GroDe, dem sog. Kraftepotential U(x; y; z ) abzuleiten. Dieses Kraft-Potential U ist als der Quotient von Arbeitsvermogen und Masse definiert und hat daher die Dimension Nmlkg = m2/s2,weshalb als spez. potentielle Energie bezeichnet. Daraus folgt

'1

Coucm, A. L. (1789 bis 1837).

2,

RIEMANN, B. (1826 bis 1866).

2.2 Fluid-Druck

35

fur die+Komponenten der spezifischen Volumenkraft f (Dimension N/m3):

Matrizen-Form:

Krafte, die ein Potential besitzen, d. h. von einem solchen ableitbar sind, heiBen energieerhaltende oder konservative Krafte, was in der Regel Massenkrafte sind. Minuszeichen, weil PotentialZunahme bei Fortschrittsrichtung entgegen der Kraftwirkungs-Richtung des Feldes.

Die Bedeutung der Matrizensymbole enthalt Tabelle 6-21 (Anhang).

Damit ergibt sich die wichtige Bedingung: Ein Fluid kann sich nur dann im Gleichgewicht, also in Ruhe, befinden, wenn seine Volumenkraft konservativ ist - von einem Potential ableiten 1aBt. Die Physik bezeichnet GroBen als Potentiale, deren Wert nur vom Ort abhangt, also zwischen Anfangs- und Endzustand unabhangig vom dazwischen reibungsfrei durchlaufenen Weg sind. Potentiale sind somit reine OrtsgroBen (Ortsfunktionen). Die Potentialdifferenz ist der Betragsunterschied zwischen Anfangs- und Endwert. Das Potential U laBt sich, wie envahnt, anschaulich als potentielle Energie (Arbeitsvermogen) interpretieren. Die allgemeine spezifische Volumenkraft hat folgende Darstellungsarten:

Die Beziehung G1. (2-35a bis c) wird auch als Potentialfunktion bezeichnet. An einem ruhenden Fluid wirkt als Volumenkraft in der Regel nur die in der negativen z-Achse liegende Gewichtskraft AFG = g . Q . A K die durch das Schwerefeld der Erde verursacht wird. Dann sind:

Minuszeichen auch in diesem Fall, weil Wirkung von Kraft f, entgegen der z-Richtung (Hohenkoordinate). Das Kraftepotential, das dadurch zum Schwere-, also Gravitationspotential wird, eingesetzt in G1. (2-34) ergibt:

Da nur noch eine Variable vorkommt, sind die partiellen Differentialsyrnbole nicht mehr notwendig. Die Beziehung vereinfacht und umgestellt liefert:

Vektorform: Integriert:

Vektoranalysis-Form:

Wird, wie meist, allgemein iiblich, gesetzt: U = 0 bei z = 0 (Erdoberflache) so ist Damit wird: U = g . z Exakter:

')

Nabla-Operator (symbolischer Vektor), Tabelle 6-21

Dient zur Darstellung von vektoriellen Differentialoperationen. Durch formale Multiplikation dieses Vektors mit einem Skalar ergibt sich der Gradient in kartesischen Koordinaten. 1 e',l = 1 e',l = 1 e',l = 1; Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung (orthogonale Basisgrokn).

U(x; y; z) = U(z) = g . z

(2-38)

Gleichung (2-36) eingesetzt in die Gleichgewichtsbedingungen (Gl. (2-28) bis (2-30)) liefert fur das Schwerefeld folgende Beziehung, wobei, wie erwahnt, partielle Differentialsymbole a nicht mehr notwendig sind, da nur noch eine Koordinatenabhangigkeit fur den Druck verbleibt, und zwarp (z):

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

36

Eine weitere Auswertung dieser Beziehung enthalt Abschnitt 2.2.8. Gleichung (2-37) eingesetzt in G1. (2-39) ergibt: dp = - e . d U . Hieraus

Integriert dp + JdU = konst. Teilausgewertet ergibt:

1, +:I

U = konst

Mit der sog. Druckfunktion (technische Druckenergie): y = J -dp =J

e

odp

wird

+

(2-43) Y U = konst Diese Beziehung ist die allgemeine Gleichgewichtsbedingung fur Fluide im Gravitationsfeld der Erde. Die Druckfunktion Y ist dabei auswert-, d. h. integrierbar, wenn die Druckabhangigkeit der Dichte Q ( p ) bekannt ist.

Bild 2-14. Druckverlauf in einem inkompressiblen Fluid, z Hohenkoordinate (auch mit h bezeichnet); t Tiefenkoordinate mit Nullpunkt in hochster Fluidtrennflache.

Umgestellt ergibt sich das hydrostatische Grundgesetz, besser fluidstatisches Gmndgesetz, in allgemeiner Form bei Dichte Q z konst: oder mit Tiefe t = zo - z P=e'g't+Pb+P~ (2-45) und mit fjberdruck p, = p -pb (Abschn. 2.2.8.2.5)

2.2.8 Druck-Ausbildung durch Schwerewirkung

(Schweredruck)

Beim Regelfall p, = 0,d. h. freier Oberflache, ist:

2.2.8.1 Inkompressible Fluide

(Hydrostatisches Grundgesetz) Bild 2-14,a dient auf andere Weise als Herleitung von GI. (2-39) zur Aufstellung der Ortsfunktion des Druckes. Durch den Kolben K wird der eingeschlossenen Flussigkeit der aul3ere Druck pK= FK/AK aufgepragt. Zudem wirkt uber den Kolben der Druckp, der umgebenden Luft (Atmosphirendruck, Barometerdruck von barys (griech.) . . schwer.

.

Fur den abgegrenzten kleinen Fliissigkeitszylinder liefert das Kriiftegleichgewicht XdF = 0 unter Beriicksichtigung der Dichte-, d. h. Schwerewirkung (Fluid-Gewichtskraft Ma):

Die Ortsfunktion des Druckes flberdruck p,) ist also linear, Bild 2-14,b. Der Schweredruck wachst gleichmal3ig mit zunehmender Tiefe t . Das fluidstatische Grundgesetz folgt auch aus GI. (2-40) bzw. G1. (2-43), zusammen mit G1. (2-37) (Abschnitt 2.2.7). Gleichung (2-37) in G1. (2-40) eingesetzt und integriert zwischen den Grenzen: Druck p bei Hohe z und p, +pb bei zo: PK +Pb

1P

20

dp = -g

J Q . dz

Da e = konst, wird:

z

dF-dFG-dFK-dFb=O mit d F = p . d A In jedem anderen Kraftefeld, z. B. ein dem Schwerefeld uberlagertes Fliehkraftfeld (Zentrifuge), ermoglichen die Gleichungen des Abschnittes 2.2.7 eine entsprechende Ableitung. Die Gleichungen dieses Abschnittes sind allgemein anwendbar.

2.2 Fluid-Druck

37

c) Luft (15 "C; Q,, = 1,225kg/m3) Obwohl nicht zulassig, wird zum Vergleich mit Wasser und Quecksilber die Luftdichte als konstant angenommen:

ZusammengefaDt gilt damit: 1 bar

2

10,2mWS G 752mmQS e 8320mLS

1 mmWS e 10Pa = 10. Bild 2-15. Druckverlauf als Funktion der Hohe z bzw. Tiefe t in zwei sich nicht mischenden inkompressiblen Fluiden.

Das fluidstatische Grundgesetz, angewendet auf zwei sich nicht mischende Flussigkeiten, zeigt Bild 2-15. Die leichtere Flussigkeit wird infolge der in ihr mit der Tiefe geringeren Druckzunahme von der schwereren nach oben verdrangt (Auftriebswirkung). Sie sammelt sich deshalb uber dieser an. In der schwereren Flussigkeit wachst der Druck entsprechend der hoheren Dichte schneller als in der leichteren. Bei vollig storungsfreier Situation (z. B. ohne Erschutterungen), ware es theoretisch moglich, daI3 sich die leichtere Flussigkeit unter der schwereren befindet. Die geringste zufallige Einbuchtung auch durch Molekularbewegung - der ebenen Trennflache zwischen den beiden sich nicht mischenden Fluiden bewirkt jedoch, daI3 dieses labile Gleichgewicht nicht haltbar ist und die Fluide in den zuvor beschriebenen sicheren Aufbau ubergehen: schwereres unten, leichteres oben. Das hydrostatische Grundgesetz ermoglicht es, Drucke durch Flussigkeitssaulen zu messen und darzustellen. Durch Umstellen der physikalischen Beziehung, G1. (2-47), kann die sog. Druckhohe h definiert werden:

Die Druckhohe verschiedener Fluide ist z. B. fur einen Druckunterschied von 1 bar = lo5Pa bei:

bar

Bemerkungen: Druckhohenangaben werden kaum noch verwendet. Sie sind nicht mehr genormt. Bei Luft und sonstigen Gasen kann fur Hohenunterschiede bis etwa 200 m in ausreichend guter Naherung die Dichte konstant (e x konst) gesetzt werden. Bezugsrichtungen (vertikal): z oder h Hohenkoordinate, wobei Nullstelle (Bezugspunkt) festgelegt gemaI3 Situation, d. h. Anwendungsfall. t Tiefenkoordinate, vom Fluidspiegel ausgehend und nach unten gerichtet.

2.2.8.2 Kompressibie Fluide (Luft- oder Barometerdruck) 2.2.8.2.1 Grundsatzliches Im Gasvolumen kleiner Ausdehnung, z. B. Behaltern aller Art, ist die Druckanderung infolge Fluiddichte (Schwerewirkung) unbedeutend und kann deshalb meist vernachlbsigt werden. Der Druck ist dann nach dem Druckfortpflanzungsgesetz in guter Naherung im Behalter iiberall gleich groD. Bei Gasschichten groBer Ausdehnung, insbesondere der Atmosphare, darf die Druckanderung bei groDeren Hohenanderungen, z. B. Gebirge, Flugund Raketentechnik, nicht vernachlassigt werden.

a) Wasser (15 "C; eWa= 999 kg/m3)

Der Barometerdruck p,, auch mit Atmospharenoder Luftdruck bezeichnet, wird durch das Gewicht der die Erde umgebenden Lufthulle verursacht. Er schwankt infolge Witterungseinflussen (Temperatur, Feuchtigkeit) und hangt von der geographischen Ortshohe ab:

b) Quecksilber (15 "C; QQ = 13 560 kg/m3)

pb = f (Ortshohe, Klima).

Der Verlauf des Luftdruckes pb 1aSt sich grundsatzlich wie bei den inkompressiblen Fluiden (Ab-

38

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

schnitt 2.2.8.1) durch Verbinden von G1. (2-37) und (2-40) bzw. (2-39) von Abschnitt 2.2.7 bestimmen. d p = - ~ . g . d z odermit o = l / ~ v.dp=-g.dz (2-50) Dabei ist jedoch zu beachten, daR sich die Luftdichte, bzw. das spezifische Luftvolumen, mit der Luftfeuchte, der Temperatur (Witterung) und dem Druck, d. h. der Ortshohe, verandert: vb = f (ph; tb) D a keine exakte Beziehung hierfur verfiigbar ist, muD auf MeBwerte oder Naherungen zuruckgegriffen werden. Je nach Anforderung werden der Berechnung verschiedene Schichtungen der Atmosphare zugrundegelegt.

2.2.8.2.2 Isotherme Schichtung Die isotherme Schichtung wird auch als barotrope Schichtung bezeichnet; Dichte nur abhangig vom Druck. Innerhalb eines nicht zu grol3en Hohenbereiches kann die Temperatur naherungsweise als konstant betrachtet und durch die mittlere Temperatur ersetzt werden. Dann gilt die Beziehung von BOYLE-MARIOTTE p . o = C = p . oOals Sonderfall des Gasgesetzes p . v = R . T. Eingesetzt in G1. (2-50) und integriert ergibt:

= exp

[-

(z - q,)]

Hohe z

-

Bild 2-16. Normatmosphare nach DIN 5450.

Die isotherme Schichtung ist deshalb nur innerhalb kleinerer Hohendifferenzen (bis ca. 400 m) brauchbar. Ein besserer Ansatz fur groRere Hohenunterschiede ist reibungsfreies Verhalten im adiabaten System. Warmezu- und -abfuhr wird somit ausgeschlossen und Reibungswarme zwischen den Luftteilchen entsteht nicht. Fur diese dann isentrope Schichtung gilt: (Isentropenbeziehung) p, . o", p . ox o = vo . phi" . pIi" Hieraus: In G1. (2-50) eingesetzt und wieder integriert ergibt den Druckverlauf als Funktion der geographischen Hohe z bei isentroper Schichtung. Werte mit Index 0 beziehen sich ebenfalls wieder auf die Erdoberflache (z, = 0):

(2-51)

Werden als Bezugsgroljen (Index 0) die Werte auf der Erdoberflache zo = 0 und zugehorig fur Konstante C = p,, . vb, = p,, ,/Q,,, gesetzt, ergibt sich eine Gleichung fur den Luftdruck p b als Funktion der Ortshohe z, die als barometrische Haenformel der isothermen Schichtung, G1. (2-52), bezeichnet wird:

, ,

Diese Beziehung wird auch als barometrische Hohenformel der isentropen Schichtung bezeichnet.

2.2.8.2.3 Isentrope Schichtung ErfahrungsgemaD nimmt die Lufttemperatur mit wachsender Hohe stark ab; im Mittel 0,65"C je 100 m Hohenzunahme (Bild 2- 16 und G1. (2-54)).

Temperatur und Dichte als Funktionen der Ortshohe z lassen sich entsprechend ermitteln, d. h. uber Gasgleichung und Isentropenbeziehung.

2.2 Fluid-Druck

39

Entsprechendes gilt fur die Dichte auch bei iso- Diese Beziehung gilt gemaB dem Vorstehenden bei n = 1,235 fur Hohen bis ca. z = I1 km. thermer Schichtung. Hier uber BOYLE-MARIOTTEGesetz, da Temperatur T = konst angenommen. Naherungsbeziehungen, d.h. Formeln fiir den hohenabhangigen Barometerdruck 2.2.8.2.4 Normatmosphare Nach PFLEIDERER bis z x 2500 m: Da Dichte, Temperatur und Feuchtigkeit der Luft p b = (l-2,4.10-5.z)5 bar] standig sowohl ortlich als auch zeitlich schwanken, liefern die angenommenen Schichtungen (iso- Nach KAPPELI bis z z 4000 m: therm oder isotrop) oft zu grobe und damit unbrauchbare Naherungswerte. AuBerdem fehlt eine p b = (1-1,16~10-4~z).p,,,[bar] Vergleichsgrundlage fur die verschiedensten Betrachtungen. Deshalb wurde die auf MeDwerten fuBende Normatmosphare festgelegt. Die Normatmosphare wird z. B. Berechnungen in der Ballistik, Flug- und Raketentechnik zugrundegelegt. Die internationale Normatmosphare der ICAO (International Civil Avitation Organisation) und die Normatmosphare nach DIN5450 sind in Tabellen oder Diagrammen niedergelegt (Bild 2-16 und Tabelle 6-4). Die Werte der Normatmosphare am Erdboden (z, = 0) betragen: p,,, = 1,01325bar w 1,0133bar = 1013,25mbar = 101325 Pa = 1013,25 hPa Lufttemperatur Tb, = 288,15 K (t,, = 15 "C) Luftdichte Q,, = 1,225 kg/m3

Luftdruck

, ,

Zustandsanderung: In Hohenrichtung polytropisch mit Polytropenexponent n = 1,235. Gultig bis ca. I1 km Hohe (Troposphare). Temperaturverlauf: Temperaturgradient bis z = I I km Hohe:

jeweils mit z in m uber NN Ortshohe Nullhohendruck p,, = 1,0133bar.

,

2.2.8.2.5 Druckbegriffe In der Technik werden sehr haufig die Begriffe absoluter Druck pa,, ~ b e r d r u c kp, Relativdriicke Unterdruck pu verwendet. Hinweis: Der Index ,,abs" als Kennzeichen des absoluten Druckes beim p-Symbol wird einfachheitshalber meist weggelassen. Bei Druckangaben ohne Bezugsindex (abs; u; u) handelt es sich deshalb fast immer um Absolutdrucke. Bei Zweifel sind entsprechende Nachpriifungen notwendig.

Diese Begriffe werden abhangig vom Bezugsdruck definiert und sind bezogen auf: - luftleeren Raum . . . Absolutdruck (Vakuum) (absoluter Druck) - herrschenden Luftdruck . . . Relativdruck ( ~ b e rbzw. - Unterdruck) Dabei gilt fur die Relativdrucke:

Ab z = 11 km Hohe bleibt die Lufttemperatur konstant und betragt gemaD Festlegung: Nullhohe (NN . . . Normal Null): Bezugspunkt (Nullpunkt) fiir geodatische Hohenangaben ist fur Europa der Nullpegel (MeeresBezugspegel) von Amsterdam. Mit der Polytropenbeziehungp . vn = konst ergibt sich entsprechend GI. (2-53) und v = I/@:

Absoluter Druck > Luftdruck Absoluter Druck < Luftdruck

+~berdruck -+ Unterdruck

Die Zusammenhange zwischen den verschiedenen Druckangaben sind in Bild 2-17 dargestellt. Es gilt: Uberdruck Unterdruck

pii = pa,, p , = pb

- pb - pa,,

Die Umstellung von G1. (2-56) ergibt:

40

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Druckn~veau 1

Atrnospharendruck Oruckniveou 2

Bild 2-1 7. Absoluter Druck pa,, ~berdruckp, ,Unterdruck pu.

Bild 2-18. Kommunizierende GefaBe, gefiillt mit zwei sich nicht mischenden Fliissigkeiten verschiedener Dichte.

Unterdruck kann demnach als negativer ~ b e r - Die Zusammenhange zwischen den Spiegelhohen druck bezeichnet werden. Die Norm kennt des- in kommunizierenden GefaBen sind mittels Bild halb den Begriff des Unterdruckes nicht mehr. 2-18 aufzeigbar. Das linke GefaB @ ist teilweise mit einem Fluid der Dichte el gefullt. Die sich mit Der theoretisch erreichbare maximale Unterdruck dem Fluid 1 nicht mischende und schwere Flussigist p, = p b . Dabei ist der Absolutdruck pa,, = 0. keit 2 des rechten GefaBes Q dringt auch teilweise Beim ublichen Luftdruck betragt demnach der durch die horizontale Verbindungsrohre V in das maximal mogliche Unterdruck p, FZ I bar bzw. der linke GefaS @ ein und verdrangt dort die Flussignegative ~ b e r d r u c kp, = -1 bar und kennzeich- keit 1 bis zur Trennflache T. Auf waagrechter Linie, der Nullinie, ist infolge fehlenden Hohennet das absolute Vakuum. unterschiedes nach GI. (2-47) der Druck gleich Als relatives Vakuum wird definiert: groB ( ~ =2PI). Ableitung mit G1. (2-47): Strecke 1-1: p1 = pb + el . g . hl Meist erfolgt die Angabe in Prozent:

Strecke 2-2:

+ Q , . g . h, p2 = pb + e2 . g . (h, + h,)

Gleichgesetzt, da pl = p2 (Bezugshohenlinie): Beispiel: pb = 1 bar, pa,,

= 0,3 bar

Unterdruck: p, = pb -pa,, = 0,7 bar Relatives Vakuum: 100 . P" = 70 % Pb Bezeichnung: 70 % Vakuum

Regelfall: Gleiche Flussigkeit, also e2 = e l , dann wird hz = hl

2.3 Kommunizierende GefaDe

Die Flussigkeit steigt in beiden GefaBen gleich hoch. Die Spiegel liegen damit in einer gemeinsamen waagrechten Ebene.

Das Verhalten von Fluiden in verbundenen GefaSen wird ausschlieDlich von den physikalischen Erscheinungen bestimmt, die sich durch das hydrostatische Grundgesetz und das Druckfortpflanzungsgesetz ausdriicken, wenn von der hier vernachlassigbaren Adhasion abgesehen wird.

Mammutpumpe: Das Gesetz der verbundenen GefaBe mit Medien verschiedener Dichte (GI. (2-58)) findet z. B. auch technische Anwendung bei der sog. Mammutpumpe. Dabei bilden das in die zu fordernde Flussigkeit (meist Wasser) ragende, unten offene Forderrohr zusammen mit der umgebenden Flussigkeit der Grube verbundene GefaDe.

2.4 Saugwirkung

41

Durch eine separate Druckluftleitung wird dem Forderrohr am unteren Ende standig Luft zugefuhrt (eingedust). Die Dichte des im Forderrohr entstehenden Flussigkeit-Luft-Gemisches ist kleiner als die Dichte der das Rohr umgebenden Flussigkeit. Infolgedessen steigt das Flussigkeit-LuftGemisch im Forderrohr hoch und tritt bei giinstiger Anordnung - bei nicht zu groDer Forderhohe - am oberen Rohrende aus. Der groI3e Vorteil dieser Punpe ist ihre Einfachheit, da keine Ventile oder sonstige bewegten Teile im Forderbereich notwendig sind. Sie eignet sich daher besonders zur Forderung verunreinigter Flussigkeiten, z. B. Schmutzwasser. Nachteilig ist der hohe PreBluftbedarf. Kaminzug: Auch der Kaminzug beruht entsprechend den kommunizierenden Rohren auf dem fluidstatischen Grundgesetz. Die Temperatur der Rauchgase im Inneren des Kamines ist hoher als die der Luft auf der KaminauDenseite (Umgebung). Entsprechend ist die Dichte des Mediums im Kamininneren geringer als die der Umgebung. Am Kaminaustritt muI3 aus Gleichgewichtsgrunden der Druck innen und aul3en gleich groD sein. Ab hier nimmt der Druck im Kamininneren abwarts weniger zu als auDen. Am KaminfuD ist der Druck somit aul3en (p,,,) groDer als innen (P,,~). Die Differenz Ap = p , , - p U vist i der Kaminzug (Naturumlauf, Schwerkraftwirkung), der das Eindringen von Gas am unteren Ende (Sole) und damit die Durchstromung des Kamines bzw. den ,,Naturumlauf" bewirkt (Index U fur unten).

2.4 Saugwirkung

Das sog. Saugen ist ebenfalls eine Folge der Wirkung, welche das hydrostatische Grundgesetz beschreibt. Es kann direkt mittels dieser Beziehung hergeleitet oder als Ergebnis der kommunizierenden GefaDe betrachtet werden, indem das eine GefaD die Atmosphare und das andere die mit ihr uber das Fluid verbundene Saugleitung darstellt. Mit Hilfe von Bild 2-19 laDt sich das Phanomen ,,SaugwirkungL'aufzeigen: In die Flussigkeit F1 (Dichte Q)ragt eine oben mit dem Ventil V abschlieDbare Rohre R. Durch eine Pumpe kann das Rohr R uber die Leitung L auf den Absolutdruck p,. ,, (zur exakten Kennzeichnung hier Index abs angefugt) und damit auf den

a1 Aufbau

Bild 2-19. Saugwirkung (Prinzipdarstellung).

Unterdruck p,, ,= pb - p,,,,, evakuiert werden. Dabei steigt die Flussigkeit im Rohr R um die Hohe Hs. Herleitung der Saughohe H,: Streckel-1: p , = p , , a b , + ~ ~ g ( H s + h ) P I = Pz Strecke 2-2: p, =p, + Q .g .h Gleichgesetzt: p,,,,

+ Q . g . Hs = pb

Hieraus

Nach G1. (2-59) wird die Saughohe um so groDer, je hoher der Atmospharendruck und je geringer der absolute Evakuierungs-, d. h. Saugdruck ist. Der Luftdruck ist nicht beeinfluobar und der Saugdruck wird begrenzt durch den Dampfdruck der angesaugten Flussigkeit. Bei Erreichen des Dampfdruckes p,, beginnt die Flussigkeit zu verdampfen, so daD eine weitere Druckabsenkung nicht moglich ist. Da der Dampfdruck aul3er vom Fluidtyp sehr stark von der Temperatur abhangt, wird die Saughohe von der Art des Fluides, dessen Temperatur sowie vom Umgebungsdruck begrenzt. Bild 2-20 zeigt den Verlauf der Dampfdruckhohe HDa= f ( t ) fur die wichtigste Flussigkeit, das Wasser. Tabelle 2-1 enthalt fur verschiedene Temperaturen t die Dichte, den Dampfdruck und die zugehorige Dampfdruckhohe von Wasser.

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

42

Beispiel: Wasser Q z 1000kg/m3 Atmospharendruck p, z 1 bar = lo5Pa

Nach G1. (2-60) N/m2

H ~max, , th -

Fur Wasser von 20 "C ergibt Tabelle 2-1: pDa= 0,024 bar; HD, = 0,24 mWS Dann wird

Temperotur f

-

Bild 2-20. Dampfdruckkurve von Wasser H ,

=f ( 1 ) .

Tabelle 2-1. Dichte Q, Dampfdruck pDa und Dampfdruck HDa= pDa/(@. g) von Wasser als Funktion seiner Temperatur t

.

Temperatu t

in "C 0 5 10 20 30 40

so

60 70 80 90 100

Dampfdruck Dampfdruckhohe H,, in kg/m3 in bar in mWS Dichte

e

Po.

999,8 1000,o 999,6 998,2 995,6 992,2 988,O 983,2 977,7 971,3 965,3 958,3

0,006 0,009 0,012 0,024 0,042 0,074 0,123 0,198 0,311 0,473 0,700 1,013

Mit der Bedingung PS, abs 2 P D ~( t ) wird die maximale theoretische Saughohe:

Die maximale tatsachliche Saughohe ist, bedingt durch die Stromungsverluste in den Saugleitungen, kleiner als die theoretische nach G1. (2-60):

H ~ , m s x ,tb

mWS

Wasser mit Temperaturen bis ca. 20 "C kann also theoretisch maximal 10 m hoch gesaugt werden. Technisch sind bei gut ausgefiihrten Saugleitungen sowie Pumpen maximale Saughohen HS,,,, von 6 bis 8 m erreichbar. Bei groDer ausgefiihrten Saughohen reiDt die Stromung in der Saugleitung ab, das bedeutet, ab der Hohe, in welcher der Dampfdruck erreicht wird, beginnt Dampfblasenbildung. Das Saugleitungsvolumen iiber Hs,,,, fiillt sich dann mit Wasserdampf und die Pumpe kann nicht mehr fordern. Bemerkung: Die Begriffe Saugdruck und Saughohe sind eigentlich falsch, zumindest miherstandlich. Streng betrachtet kann Fliissigkeit nicht angesaugt werden. Es ist nur moglich, durch Herausfordern von Luft den Druck iiber dem Fluidspiegel in der Saugleitung, d. h. deren Oberkante, unter den Atmospharendruck abzusenken. Dadurch entsteht ein Ungleichgewicht. Der Barometerdruck driickt deshalb von aul3en so vie1 Fliissigkeit in die Saugleitung, bis die zugeordnete Hohe Hs und dadurch das Gleichgewicht wieder erreicht ist (kommunizierende Rohren). 2.5 Fluidkrafte auf Wandungen 2.5.1 Grundsatzliches

Fluidkrafte auf Wandungen werden durch die Schwerewirkung verursacht, falls auhere PreDkrafte nicht vorhanden sind oder unberiicksichtigt bleiben. Die hydrostatischen Fluidkrafte auf Wande oder Wandbereiche sind daher nur bei inkompressiblen Medien (Fliissigkeiten) infolge ihrer relativ hohen Dichte bedeutungsvoll. Das hydrostatische Grundgesetz ermoglicht das Berechnen dieser Krafte.

2.5 Fluidkrafte auf Wandungen

43

GefaDe der verschiedensten Formen, jedoch gleicher Bodenflache, erfahren bei gleicher Spiegelhohe, trotz unterschiedlichster Fliissigkeitsmenge, die gleiche Bodenkraft. Dieser widersinnig erscheinende, jedoch richtige Tatbestand wird als hydrostatisches oder PAscA~schesParadoxon bezeichnet. Bild 2-21. Bodenkraft ( P ~ s c ~ ~ s c Paradoxon). hes GefaBe mit gleicher Bodenflache und gleichhohem Fluidstand.

2.5.2 Fluidkrafte gegen ebene Wandungen

2.5.2.1 Bodenkraft Nach Bild 2-21 ergibt sich fur die Bodenkraft: F = A .(pi-pa)

mit i . . . innen, a

. . . aul3en

Da der ~ b e r d r u c kp, infolge der Fluid-Schwere nur von der Flussigkeitshohe uber der gedruckten Flache abhangt (Gl. (2-47), kann gemaD Beziehung (2-61) formuliert werden: Die Boden- oder Abkraft wird ausschlieBlich von der GroBe der belasteten Bodenflache und der Hohe der dariiber befindlichen Fluidsaule bestimmt. Die Form des GefaSes dagegen ist vollkommen ohne EinfluB.

2.5.2.2 Seitenkraft Um Fliissigkeits-Begrenzungswande oder Wandteile, z. B. Schleusentore, AblaBklappen, Staumauern und vieles andere mehr zu dimensionieren, miissen GroBe, Richtung und Angriffspunkt der wirkenden Fluidkrafte (Flachen- oder Einzelkraft) bekannt sein. Die Herleitung ist uber Bild 2-22 moglich (Neigungswinkel a = konst, da ebene Flache). Kraft: Auf das Flachenelement dA wirkt an der Fluidseite der Absolutdruck pa,, = p, + pb ,wobei Index abs einfachheitshalber meist wieder weggelassen wird. Da an dessen AuDenseite von dA normalerweise etwa der gleiche Umgebungsdruck pb wie auf der Fluidspiegelflache herrscht, ist die resultierende infinitesimale Kraft:

Unter Venvendung der Beziehungen t = y . sin a und dA = dx . dy ergibt sich durch Integrieren die normal auf die Flache A wirkende Gesamtkraft F:

Bild 2-22. Seitenkraft auf einen beliebigen Wandbereich der ebenen Flache A mit Winkel cc = konst. Die Spiegelschnittlinie wird als die x-Achse gewahlt, die y-Achse in Wandebene abwarts und die t-Achse vertikal abwarts (Tiefe). S Flachenschwerpunkt, D Druckpunkt.

44

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Das Integral J y . dA ist dabei das statische Mo(4

ment 1. Ordnung der gedriickten Flache A in bezug auf die Spiegelschnittlinie(x-Achse).Fur dieses gilt nach dem Momentengleichgewicht mit der Flachenschwerpunkts-Koordinate y, der gedruckten Flache A:

Exzentrizitat e y = y D - y , = - Is,x Ys ' A

In die Beziehung der Normalkraft F eingesetzt: F=e-g*ys.sina.A = ~ . g . t ~ ' A = p ~ , ~ . A (2-62) Die Seitenkraft F la& sich nach G1. (2-62) als identisch der Gewichtskraft FG eines Flussigkeitsvolumens V = A . H interpretieren mit der Grundflache A und der Hohe H gemaB Schwerpunktstiefe t,, also H = t , .

Hierbei ist das Integral J x . y . dA das Flachenmoment 2. Ordnung (Zentrifugal- oder Deviationsmoment) I,,, bezogen auf die Koordinatenachsen x und y. Daraus folgen Abstande von:

Bemerkung: Das Flachensymbol A ist bei der Integral-Grenzenangabe eingeklammert, da es keine direkte Grenze angibt. Es ist nur ein Hinweis auf den Integrationsbereich hier auf Flache A.

Druckmittelpunkt: xD =

Angriffspunkt: Die Angriffsstelle (Druckmittelpunkt D) der Kraft F, die infolge des linear mit der Tiefe ansteigenden Schweredrucks nicht mit dem Schwerpunkt S der Flache A zusammenfallt, ergibt sich aus dem Momentensatz: Gesamtmoment gleich Summe (Integral) der Einzelmomente. a) y-Koordinate: yD.F= 1y.dF (4

Dabei ist das Integral J y2 . dA das statische Mo(4

ment 2. Ordnung (Flachentragheitsmoment) I, der Flache A, bezogen auf die x-Achse (Spiegelschnitth i e ) . Demnach wird:

Ys . A

Exzentrizitat: Der Druckmittelpunkt D (x,; y,) (Kraftangriff) liegt um die Exzentrizitat E(e,,e,) ,,tiefer6' und ,,seitlicher6'als der Flachenschwerpunkt S(xS,y,). Allgemein gilt fur die resultierende Seitenkraft: 1. Ihre Gro13e ist gleich dem Integral des DruckProfils p =f ( t ) iiber der gedriickten Flache. 2. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Druckprofils der gedruckten FIache. Exakt miiBte es ~ b e r d r u c k ~ r o fheiBen. il Meist sind die Begrenzungswande, bzw. die belasteten Wandbereiche, symmetrisch zu einer Parallelen der y-Achse. Auf dieser Symmetrieachse der Flache liegen dann Schwerpunkt S und Druckmittelpunkt D. Der Exzentrizitatsabstand ex ist in diesen Fallen nicht vorhanden (ex= 0). Einige Beispiele sollen die Anwendung der Gleichungen veranschaulichen.

Fl

Senkrechte, rechteckige Wand, Bild 2-23.

Mit dem Satz von STEINER ') I, = Is,.+ Y: . A ergeben sich: Druckmittelpunktsabstand

')

STEINER, J. (1796 bis 1863).

Bekannt: H, B, Q, a Gesucht: F, e, t ,

= 90"

2.5 Fluidkrafte auf Wandungen

45

Bild 2-23. Kraft auf eine rechteckige Seitenwand (dl = 90").

Bild 2-25. Seitenkraft auf eine kreisformige Platte (dl < 900).

Kreisforrnige Platte in einer Wand unter dem Neigungswinkel a, Bild 2-25. Bekannt: H, d, Q, a Gesucht: Ii, e, t, Rechteckige Flache A in senkrechter Wand, Bild 2-24. Bekannt: to,,

d2.x

M i t t s = H, A = T ,

n.d4 I S , , = ~werden

h, b, Q, a = 90"

Gesucht: F, e, t, Mit t r y, ts = toK

h b.h3 + -, A = b . h, Is,, = 2 12

2.5.2.3 A u k a f t Im Einfiillstutzen eines beliebigen Behalters, Bild 2-26, steht die Fliissigkeit um die variable Hohe gemaB Tiefe t iiber dem Deckel mit der Flache A. Zur Dimensionierung, z. B. der Befestigungsschrauben, ist es notwendig, die auf den Deckel wirkende Kraft F zu kennen. Nach dem hydrostatischen Grundgesetz ist in der Tiefe t der ~ b e r d r u c kp, = Q . g . t vorhanden. Dieser Druck herrscht wie bei den kommunizierenden GefaDen auch an der entsprechenden Stelle der Deckelunterseite. Der ~ b e r d r u c k auf die Deckelunterflache verandert sich deshalb mit der Tiefe t. Die kleine Aufkraft d F auf die infinitesimale Flache dA betragt:

dF=p,.dA=~.g.t.dA=~.g.dV

Bild 2-24. Seitenkraft F auf einen rechteckigen Wandbereich (a = 90").

Hinweis: Da infinitesimal, ist die schrage Flache dA zugleich Grundflache vom fiktiven differentiellen Volumen dV bzw. Projektionsflache gemaB Abschnitt 2.2.6.

2 Fluid-Statik (Hvdro- und Aerostatik)

46

Aufkraft einfachheitshalber unter dem Hauptabschnitt Fluidkrafte gegen ebene Wande eingeordnet. Grund: ijberlegung einfach und vorbereitend fur den folgenden Abschnitt.

2.5.3 Fluidkrafte gegen gekriimmte Wandungen t

Bild 2-26. Aufkraft F auf eine beliebige Flache A. Die gesamte Aufkraft F auf die Flache A ergibt sich durch Integration: F=

j d F = ~ . g j. d V (4

[email protected]. V=F,

(4

(2-67)

Die Aufkraft ist nach G1. (2-67) identisch der Gewichtskraft des (fiktiven) Flussigkeitzylinders (-korpers), der sich uber der gedruckten Flache bis zum freien Flussigkeitsspiegel aufbauen lafit, Bild 2-26. Die Kraftwirkungslinie geht deshalb auch durch den Schwerpunkt Sv dieses Flussigkeitszylinders mit dem Volumen V. Diese Erkenntnis gilt allgemein, d. h. fur jede Form und Lage der gedruckten Flache. Bemerkung: Die Herleitung wurde allgemein fiir die gekriimmte Wand durchgefuhrt. Trotzdem ist die

Der Behalter in Bild 2-27 ist rechts durch eine zur vertikalen Tiefenkoordinate (t-Achse) symmetrische, raumlich gekriimmte Seitenwand begrenzt. Die bis zur Hohe H reichende Flussigkeit ubt auf diese Begrenzung die Kraft F aus, die nach GroDe, Richtung und Angriffspunkt zu bestimmen ist. Um die Ableitung zu vereinfachen und ubersichtlich zu gestalten, wurde die Flache symmetrisch ausgebildet. Dies schrankt jedoch nur vordergrundig die Gultigkeit der sich ergebenden Gleichungen ein. Es wird sich zeigen, daB die Ergebnisse der folgenden Erorterungen ohne weiteres verallgemeinert werden konnen. Auf den schmalen Flachenstreifen dA, dessen Tangente unter dem Neigungswinkel a verlauft, wirkt senkrecht die infinitesimale Kraft dF. Diese fluidische Kraft d F wird in ihre waagrechte (y-Richtung) und vertikale (t-Richtung) Komponente zerlegt. Die Projektionen der kleinen Flbhe dA auf die Koordinatenrichtungen sind dA, und dA, . Der Index kennzeichnet die Richtung der Projektionsflachennormalen. D a der Barometerdruck p, sowohl auf der freien Oberflache der Flussigkeit, als auch auf der Ruckseite der Seitenwand wirkt, werden die wirkenden Wandkrafte ausschlieBlich wieder durch den Fluid-~berdruck verursacht.

Bild 2-27. Kraft auf symmetrische,raumlich nach au5en gekriimmte Flache mit vergro5erter Darstellung der infinitesimalen Teilflache dA im Seitenri5, weshalb diese sich als Strecken darstellt mit unveranderter Breite senkrecht zur Bildebene. Neigungswinkel u der Flache veranderlich, also u konst.

2.5 Fluidkrafte auf Wandungen

47

Fiir die infinitesimalen Projektionsflachen, welche den veranderlichen Neigungswinkel a berucksichtigen, und die Kraftkomponenten gelten:

da sich die zur Projektionsrichtung quer verlaufenden Seitenkanten (Breite) der Flache dabei nicht andern.

Durch Integration ergeben sich:

Bild 2-28. Vertikalkraft F, auf eine raumlich nach innen gekriimmte Flbhe.

Vertikalkraft (Kraftkomponente in t- bzw. z-Richtung):

Horizontalkraft (Kraftkomponente in y-Richtung):

Entsprechend Abschnitt 2.5.1.2 ist das Integral t . dA, das 1. statische Moment der Projek(AY)

tionsflache A, in bezug auf die Spiegelschnittlinie (x-Achse). Mit der Tiefe t,, des Schwerpunktes S, der Projektionsflache A, gilt:

Damit wird die Horizontalkraft:

Der Vergleich von G1. (2-62) und (2-68) zeigt: Zwischen der Seitenkraft auf die ebene Flache und der Horizontalkraft gegen die beliebig gekriimmte Wand besteht volle Analogie. Deshalb gelten: 1. Die Horizontalkraft gegen eine gekriimrnte Flache ist identisch mit der Druckkraft gegen die Projektion der gedruckten Flache in waagrechter Richtung (vertikale Projektionsflache). 2. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft geht durch den Druckrnittelpunkt D,, der vertikalen Projektionsflache, G1. (2-64), mit dem Flachentragheitsmoment Is,,der Projektionsflache A, in Bezug auf die Achse inx-Richtung durch den Schwerpunkt S,.

Zwischen der in der Regel nach unten gerichteten Vertikalkraft, G1. (2-70) und der Aufkraft (Gl. (2-67), Abschnitt 2.5.1.3) besteht somit ebenfalls volle Analogie. Allgemein gelten (Bilder 2-27; 2-28): 1. Die Vertikalkraft gegen eine gekriimmte Flache wird durch die Gewichtskraft der seitlich senkrecht begrenzten Fliissigkeitssaule verursacht, die uber der gedruckten Flache steht und bis zum Spiegel reicht. 2. Die Wirkungslinie der Vertikalkraft geht durch den Schwerpunkt des Flussigkeitskorpers, gema0 Pkt. l, der uber der gedriickten Flache bis zum Spiegel steht.

Verlauft die raumlich gekriimrnte Flache entsprechend Bild 2-28, wirkt die Vertikalkraft von unten nach oben, also in positiver z-Richtung, und ist identisch dem Gewicht des gedachten (fiktiven) Flussigkeitsvolumens V uber der gedruckten Flache bis zum Spiegel mit unterer Begrenzung entsprechend der auheren Flachenkontur und seitlich senkrechtem Verlauf. Gesamtkraft F: Die Gesamtkraft wird gebildet als Resultierende von Horizontal- und Vertikalkraft (Komponenten): a) Betrag: F=

Jm= Jw

48

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Rechteckiger Kanal mit Sicherheitsklappe, Bild 2-30.

b) Richtung:

Bekannt: B = 200 em, 1, = 30 em, 1, = 200 em, h , =100cm, h2 =40cm c) Angriffspunkt: (2-73)

Schnittpunkt von Fyund F, b m . F,

Verallgemeinerung: Fur eine beliebige also unsymmetrische, raumlich gekrummte Flache ergibt sich zusatzlich zu den beiden Kraftkomponenten in y- und t- bzw. zRichtung noch eine dritte Komponente in xRichtung. Fur diese wie Fy ebenfalls waagrecht wirkende Kraftkomponente (allerdings senkrecht zu Fy)gelten zur y-Richtung, G1. (2-68) und (2-69), analoge Beziehungen. Dabei ist der Index y jeweils durch den Index x zu ersetzen:

Gesucht: Masse rn, damit die Wehrplatte in der gezeichneten Lage im Gleichgewicht ist.

Bild 2-30. Recheckiger Kanal mit Sicherheitsklappe.

Halbkugelformiger Abschlurjdeckel eines mit Wasser von 20 "C gefiillten Behalters, Bild 2- 31. Bekannt: H = 300 cm, Kugelradius R Die Gesamtkraft ist dann die Raumdiagonale mit zwei Richtungswinkeln, gebildet aus den Komponenten in den drei Koordinatenrichtungen.

W

= 20 cm

Gesucht: Kraft auf AbschluRdeckel.

Seitliche Klappe als ~berlaufschutz,Bild 2-29.

Bekannt: t , = 60 cm, a 1, = 50 em, 1,

= 40 em, b = 30 cm, = 80 cm, Wasser 15"C

Bild 2-31. Kraft auf einen halbkugelformigen Deckel D.

Gesucht: 1. Kraft auf die Klappe 2. Masse des Gegengewichtes

Ein waagrecht angeordneter Kijrper, bestehend aus drei koaxialen kreiszylindrischen Abschnitten mit den Durchmessern und Langen Dl = 200 mm, 1, = 250 mm, D, = 300 mm, 1, = 120 mm, D, = 240 mm, 1, = 180 mm ist in einem Formkasten eingeformt. Der Formkasten wird vollstandig mit fliissigem Graugulj ausgegossen. Der Oberkasten ist H = 400 mm hoch. /

Bild 2-29. Seitliche Klappe als ~berlaufschutz

Gesucht: Maximale Schraubenkraft zum Zusammenhalten des Formkastens wahrend des GieBvorganges.

2.6 Auftrieb und Schwimmen

n U7

2.6 Auftrieb und Schwimmen

Walzenwehr, Bild 2-32.

Bekannt: Walzendurchmesser D und -1ange L. Gesucht: a) Wirkende Krafte b) Resultierendes Moment c) Was folgt aus dem Ergebnis von Frage b?

Lange L

v

UW

Bild 2-32. Walzenwehr.

Kreisformiger, durch Kugel geschlossener BodenablaB, Bild 2-33. Bekannt: R, H, H,, m, D,

49

2.6.1 Auftrieb

Die Kraft, die ein Fluid auf einen eingetauchten Korper ausiibt, wird exakt als (fluid-)statischer Auftrieb, kurz jedoch nur als Auftrieb bezeichnet und ist nach ARCHIMEDES') so groB wie die Gewichtskraft des vom Korper verdrangten Fluidvolumens (Uminterpretation!). Der f k c H ~ ~ ~ D ~ s - A u f t-r ibedingt eb durch den Druckunterschied von Unter- und Oberseite des Korpers - wird demnach durch die Schwerewirkung des Fluides verursacht und ist deshalb mittels des hydrostatischen Grundgesetzes herleitbar (Aufkraft minus Abkraft). Auf das infinitesimale Scheibchen in Bild 2-34 mit Querschnitt dA wirken vertikal von oben die Abkraft dFl,, und von unten die Aufkraft dF2,,. Hieraus folgt der Auftrieb dF, als resultierende Vertikalkraft dF, auf das Korpervolumen d V:

Hierbei gilt allgemein: dF,

=p

. dA = (pa+pb). dA

Q

Gesucht: a) Kraft mit der die Kugel auf die Dichtkante gedruckt wird, bei Ho 2 H. b) Uberdruck im Rohr vom Durchmesser D, damit Ventilkugel gerade offnet. c) Verhaltnis H / R , damit bei Ho H die Dichtkante nur durch das Kugelgewicht belastet wird.

Bild 2-33. Kreisformiger, durch eine Kugel verschlossener BodenablaR.

Eingesetzt fur Stellen und 2, ergibt:

dF,=(@.g.t2+pb).dAz.~~~~2 - ( Q ~ ~ . ~ ~ + ~ ~ ) ~ ~ A ~ ~ C O S ARCHIMEDES (287 bis 212 v.Chr.), griech. Mathematiker. Heureka . . . ich hab's (gefunden); Ausruf von ARCHIMEDES bei der Entdeckung des Auftriebs.

-

Bild 2-34. Auftrieb auf den Korper K.

50

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Mit dA,. cos a,

= dAl

. cos a, = dA wird: und

Es ergibt sich das Gesetz von ARCHIMEDES. Der (fluid)statische Auftrieb oder auch ARCHIME~ ~ s a u f t r i eist b nach GI. (2-76) nur von der Fluiddichte und dem Korpervolumen abhangig, nicht jedoch von der Tiefe, in der sich der Korper im Fluid befindet, wenn von der Anderuq der Fluiddichte infolge Kompressibilitat abgesehen wird. Bemerkungen: 1. Der Korper dreht sich solange, bis die Auftriebskraft im Korperschwerpunkt angreift, d. h. die Integrale der Krafte in der waagrechten Ebene (x- und y-Koordinaten) uber die Korperoberflache verschwinden. 2. Bei vollstandig in Fluid eingetauchten Korpern mit der Gewichtskraft FG wird unterschieden: FG = Fa Korper schwebt (Gleichgewicht) FG > Fa Korper sinkt ab FG < Fa Korper steigt auf 3. Sitzt ein Korper entsprechend Bild 2-35 so exakt auf dem GefaBboden auf, daB kein Fluid zwischen Korperunterflache und Behalterbodenflache dringen kann, auch nicht in molekularer Schichtdicke, was meist unerreichbar, ist keine Aufkraft und somit auch kein Auftrieb vorhanden. Der Korper wird d a m mit der von oben wirkenden Abkraft auf den GefaBboden gedriickt. Diese Bodenkraft ist, wie abgeleitet, gleich der Gewichtskraft des auf dem Korper ruhenden Fluidvolumens. Diese Erscheinung

1

Beruhrung so exakt. da0 k e ~ nF l u ~ dd o zw~schendrrngen kann

Bild 2-35. Korper K ohne Auftrieb.

kann in der Technik z. B. am Aneinanderhaften von EndmaBen (MeBklotzchen) beobachtet werden. Der Effekt wird durch Adhasion verstarkt. 4. Bei sich nicht mischenden Fluiden verdrangt das schwerere infolge Auftriebswirkung das leichtere nach oben (Abschnitt 2.2.8.1). In homogenem Fluid oder Fluidgemisch (Dispersion) (ohne eingetauchten Stoff) sind Auftrieb und Verdrangung daher nicht vorhanden, bzw. Auftrieb und Adhasion gleichen sich aus. Nur in vollig erschiitterungsfreiem Zustand ist, wie envahnt, ein Aufbau moglich, bei dem das schwerere iiber dem leichteren Fluid geschichtet ruht (labiler Gleichgewichtszustand). Hier handelt es sich um einen theoretischen Fall, der praktisch nicht zu verwirklichen ist. Bei der geringsten storungsbedingten Einbeulung der Trennflache zwischen den zwei Fliissigkeitsschichten ergeben sich lokal unterschiedliche fluidstatische Drucke, wodurch das System instabil wird und sich dadurch in Bewegung setzt. Diese halt so lange an, bis sich die Fluidschichtung vollstandig umgekehrt hat, also das schwerere Fluid sich unten und das leichtere oben befindet, wodurch dann der stabile Gleichgewichtszustand erreicht ist.

2.6.2 Schwimmen 2.6.2.1 Gleichgewicht Ein Korper (homogen oder inhomogen) kann nur schwimmen, wenn die auf sein auBeres Gesamtvolumen bezogene Dichte kleiner ist, als die des Fluides, in das er eintaucht. Der Korper taucht so weit in das Fluid ein, bis das von ihm verdrangte Fliissigkeitsgewicht Q . g . VK gerade so groB ist, wie seine Gewichtskraft FG .

Deshalb gilt: Gleichgewichtsbedingung fur Schwimmen (Schwimmbedingung):

2.6.2.2 Stabilitat Wie allgemein in der Mechanik, wird auch beim Schwimmen zwischen drei Stabilitatsfallen unterschieden, Bild 2-36. a) stabile Schwimmlage b) labile Schwimmlage c) indifferente Schwimmlage

2.6 Auftrieb und Schwimmen

51

Bild 2-37. Stabiles Schwimmverhalten. Bild 2-36. Stabilitatsfille: a) stabil, b) labil, c) indifferent. In Bild 2-36 bedeuten: A, Schwimmflache. Das ist die Korperquerschnittsflache in der Spiegelflbhen-Ebene. a Auslenkungswinkel aus der stabilen Schwimmlage. 0 Drehachse des ~ oliegt in~der schwimmflache ~ ~ und geht durch deren Schwerpunktslinie. S, Korperschwerpunkt; unabhangig von a. S, Schwerpunkt der verdrangten Fluidmenge vor der Drehung um a, also bei a = 0. Sv Schwerpunkt der verdrangten Fluidmenge nach der Auslenkung um a + Sv=f (a). V Vom Korper verdrangtes Fluidvolumen, unabhangig von cl (Schwimmbedingung). M Metazetltrum, Schnittpunkt der Wirkungslinie von F, mit der Korpersymmetrieachse. h, metazentrische Hohe. e Exzentrizitat; Abstand zwischen S, und S,.

Bei vielen praktischen Fallen, z. B. Schiffen, ist stabile Schwimmlage von grundlegender Bedeutung. Stabiles Schwimmverhalten ist gegeben, wenn der Schwimmkorper nach Wegfallen storender Krafte bzw. Momente wieder in seine Ausgangslage, die Gleichgewichtslage, zuruckstrebt.

Das Moment des Auftriebes nach Auslenkung urn Winkel a 1a13t sich wie folgt zusammensetzen: Wirkung der ~uftriebskraft am urspriinglichen Angriffspunkt Sv vor der Auslenkung (a = 0) zuzuglich des Einflusses des infolge Auslenkung zusatzlich verdrangten Flussigkeitskorpers abziiglich ~ ,der Momentwirkung des ausgetauchten Korpervolumens (eingefiihrt als negative Auftriebswirkung):

Wenn stabiles Schwimmverhalten(h, > 0)erreicht werden soll, murj dieses Moment einem Riickdrehmoment F,' . x, (negative Drehrichtung) identisch sein. &' . x, ist das tatsachlich vorhandene Riickstellmoment der Auftriebskraft t;,' = F,, wirkend im Schwerpunkt S; des verdrangten Fliissigkeitskorpers nach der Auslenkung:

Dabei sind: t;,' = F, = Q . g . V dF-,=dF,=e.g.oi*x.dA

Die notwendige und hinreichende Bedingung fur stabiles Schwimmverhalten bei Auslenkungswinkel a bis ungefahr 12" ergibt folgende Ableitung:

Eingesetzt und nach Zusammenfassen der Integrale ergibt sich:

Mit den in Bild 2-37 eingezeichneten Volumenelementen gilt:

V.e.g(x,+x,) = e . g . o i . S ~ 2 d A

b

0

Mit und

Mit also oi < 0,21 (BogenmalJ!)

wird

x,+x,=oi.(h,+e)

52

2 Fluid-Statik (Hydro- und Aerostatik)

Is ist das Flachentragheitsmoment der Schwimmflache As beziiglich der Drehachse 0 und daher abhangig von der Auslenkung a, also Is = f (a). Stabiles Schwimmverhalten ist nach der durchgefuhrten Herleitung nur dann gegeben, wenn das bei der Auslenkung um a auftretende Moment MA ein Riickstellmoment ist, dadurch gekennzeichnet, daB das Metazentrum M oberhalb 0 liegt (h, > 0). Dies muB immer der Fall sein, auch bei der ungiinstigsten Stellung mit Is,mi,,.Hieraus folgt die allgemeine Stabilitatsbedingung:

IS,min - e > 0

v

oder

Je nach Schiffstyp liegt die metazentrische Hohe h, bei Hochseeschiffen zwischen 0,4 und 1,2 m.

Perpetuum Mobile, Bild 2-38, infolge Fluidauftrieb. Die im Wasser eingetauchten Kugeln sind um den Auftrieb leichter als die gleiche Anzahl der auRen hangenden. Dadurch miiBte eine freie Drehkraft links abwarts vorhanden sein und die Apparatur in Bewegung setzen, also Arbeit verrichten. Es ware ein Perpetuum Mobile! Zu beweisen ist, daB die Apparatur auch unter Vernachlassigung aller Reibungsverluste kein Perpetuum Mobile sein kann. Eine gelenkig, oberkantig, langsseitig gelagerte homogene Platte von der Lange L, Breite B, Dicke s - vergleichsweise gering - und Dichte Q,, ragt mit dem unteren (Langen-)Ende in

Bild 2-38. Perpetuum Mobile? (Prinzipdarstellung) Dichtschiene automatisch gesteuert und reibungsfrei.

eine Fliissigkeit (Dichte Q,,). Der Plattengelenkpunkt liegt urn den Abstand H oberhalb des Fliissigkeitsspiegels. Bekannt: L, B, s, Q,,, Q,, Gesucht: a) Plattenauslenkungswinkel a gegenuber der Vertikalen als Funktion des Drehpunktabstandes H von der Flussigkeitsoberlfache. b) Hohe H = H,, damit die vertikale Gleichgewichtslage (a = 0) stabil ist.

3.1 Stromungseinteilung und Begriffe

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

53

3.1.2 Begriffe

Stromungsgeschwindigkeitc (Massetransport) Lokale Stromungsgeschwindigkeit c. 1st die Geschwindigkeit der einzelnen Fluidteilchen bzw. -bereiche. - Mittlere Striimungsgeschwindigkeit: -

3.1 Stromungseinteilung und Begriffe 3.1.1 Stromungseinteilung Stromungsgruppen (Bild 1- 1) Eindimensionale (Linien-)Stromungen Zweidimensionale (Flachen-)Stromungen Dreidimensionale (Raum-)Stromungen Stromungsarten Instationlive Stromungen: StromungsgroBen c, p, Q, T sind abhangig von Ort und Zeit, z. B. Geschwindigkeit c =f (s, t). Stationare Stromungen: StromungsgroBen sind nur ortsabhangig, z. B. c =f (s), und somit zeitlich konstant. Nach der Geschwindigkeit werden dabei unterschieden: - Gleichformige Stromungen: c (s) = konst - Ungleichformige Stromungen: c (s) . I:konst

c . . . Mittelwert der Geschwindigkeiten uber dem Stromungsquerschnitt, d. h. des Geschwindigkeitsprofiles (durchsatzgemittelt). Bemerkung: Einfachheitshalber wird vielfach der Querstrich auf den Geschwindigkeits-Symbolen als Kennzeichen fiir die mittlere Stromungsgeschwindigkeit weggelassen. Trotzdem handelt es sich bei den c-Werten auch ohne diesen Hinweis gewohnlich um die mittlere Geschwindigkeit der Stromung. Jeweiliges Vergewissern ist jedoch angeraten (Benutzer-Hinweise).

Viele praktische Stromungsvorgange lassen sich exakt oder in guter Naherung (quasi!) als stationar betrachten. Oftmals 1aBt sich eine instationare Stromung durch Mitbewegen des Bezugssystems (relatives Koordinatensystem) in eine stationare uberfuhren -+ Relativbetrachtung. Stromungsformen - Laminare (Schichten-)Stromung -

Turbulente (Wirbel-)Stromung

Bild 3-1. Strombahn (Fluidteilchen-Weg).

Stromungsklassen - Potentialstromungen sind reibungsfrei und drehungs-, d. h. wirbelfrei (Potentialgleichung) Mit Hilfe von Bild 3-1 stellt sich die Geschwindigkeit der Fluidteilchen in jedem Punkt entlang ihres - Wirbelstromungen Weges mathematisch allgemein wie folgt dar: reibungsfrei (EULER-Gleichung) reibungsbehaftet WAVIER-STOKES-Gleichg.) Fluidmodelle - Zdeales Fluid: q = 0 (viskositatsfrei und damit Mit ds' = e' . d s = 6 . d + ~ e',.dy + &.dz reibungslos) - Reales Fluid: q . I:0, d. h. y > 0 (viskos und deshalb reibungsbehaftet) Fluidarten - Inkompressible Fluide (exakt Q = konst): Flus-

sigkeiten fast immer geniigend genau Q = konst, sowie naherungsweise Gase und Dampfe bei Ma I 0 , 3 . - Kompressible Fluide (Q ==! konst): Gase und Dampfe ab Ma > 0,3. AuBer dem Druckfeld ist dann auch das zugehorige Temperaturfeld zu beriicksichtigen.

Hierbei sind mit Richtungs-Index i = x; y; z zu unterscheiden: Einheitsvektoren

54

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aero

Richtungscosinusse i-Richtung Zi= e' . cos ai

durch eine Schar von Kurven veranschaulichen, die in jedem Ortspunkt des Feldes den zugehorigen Geschwindigkeitsvektor tangieren, d. h. in dessen Richtung weisen. Stromlinien sind also Tangenten-Kurven, die beim jeweils festgehaltenen Zeitpunkt zum Geschwindigkeitsfeld passen.

Strombahn (Fluidteilchen-Bahn) Die Bahnlinie oder Strombahn ist der Weg s, den ein Fluidteilchen(-bereich) mit der Geschwindigkeit c in der Zeit t zurucklegt:

Bemerkungen: 1. Stromlinienverdichtung(-verengung) bedeutet Beschleunigung der Stromung. 2. Stromlinienverdiinnung(-auffacherung) bedeutet Verzogerung der Stromung. 3. Stromlinien konnen nicht geknickt sein und sich nicht schneiden, da an einem Punkt nicht zugleich zwei verschiedene resultierende Fluidgeschwindigkeiten moglich sind. 4. Bei stationZiven Stromungenfallen Strombahnen, Streichlinien sowie Stromlinien zusammen und sind in ihrer Gestalt zeitlich unveranderlich.

Strombahnen konnen durch Zugabe von Schwebeteilchen, z. B. Aluminiumflitter, oder Farbstoff in das stromende Medium sichtbar gemacht und durch fotografische Langzeitaufnahmen festgehalten werden. Streichlinie Verbindungslinie all der Fluidteilchen, die den betreffenden Ort zu verschiedenen Zeiten passierten. Die zugehorige Streichlinie geht deshalb durch diese Stelle. Stromlinie Eine Stromlinie ist die Tangentenkurve an zusammenpassende Geschwindigkeitsvektoren des Stromungsfeldes, Bild 3-2. Stromlinien konnen durch fotografische Momentaufnahmen von dem Stromungsfeld zugegebenen - Schwebeteilchen dargestellt werden. Jedes Schwebeteilchen bestreicht ein kurzes Wegstuckchen. Insgesamt bestimmen zusammengehorende bzw. -passende Stuckchen das Richtungsfeld der Stromlinien. Somit sind Stromlinien Integral-, d. h. Tangentenkurven des Richtungsfeldes der Geschwindigkeitsvektoren. Jedes Stromungsfeld laBt sich daher zu jedem Zeitpunkt -

Bild 3-2. Stromlinien (Geschwindigkeitsfeld)

Isotachen Kurven gleicher Geschwindigkeit. Isotachen (iso . . . gleich; Tachen . . . Geschwindigkeit) sind im Stromungsfeld die Verbindungslinien jeweils aller Punkte mit gleicher Fluidgeschwindigkeit. Hodograph Kurve, die die Endpunkte der von einem frei gewahlten Bezugspunkt aus aufgetragenen Geschwindigkeitsvektoren einer Stromung verbindet. Stromriihre Gebildet durch ein Bundel von Stromlinien, die eine ortsfeste, geschlossene Raumkurve beriihren, Bild 3-3. Als Stromungsgeschwindigkeit wird dabei jeweils die mittlere Geschwindigkeit iiber dem Querschnitt der Stromrohre bezeichnet. Die lokale Geschwindigkeit iiber den Stromrohrenquerschnitt braucht dabei nicht konstant sein, sondern kann nach Betrag (GroBe) und/oder Richtung verschieden sein.

Bild 3-3. Stromrohre

3.1 Stromungseinteilung und Begriffe

Stromfaden Stromrohre mit infinitesimalem Querschnitt dA (Grenziibergang). Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur sind dann uber dem Stromfadenquerschnitt jeweils konstant. AuBerdem treten keine Geschwindigkeitskomponenten quer zur Stromfadenachse auf. Das Fluid bewegt sich ausschlieBlich in Stromungs-, d. h. Stromfadenrichtung. Dies alles muB, wie envahnt, fur die Stromrohre nicht zutreffen. Durch die Mantelflache des Stromfadens und meist auch der Stromrohre tritt kein MassenfluB hindurch, da die Geschwindigkeitsvektoren tangential verlaufen. Der MassenfluB kann nur iiber den Ein- und Austrittsquerschnitt erfolgen. Stromfadentheorie Anwendung der Stromungsgleichungen auf den Stromfaden. Es ergeben sich relativ einfache Beziehungen. Die Stromung erfolgt eindimensional entlang dem Stromfaden. Haufig auch angewendet auf endliche und teilweise grolje Querschnitte A. Liefert hierfiir jedoch verschiedentlich unbefriedigende Ergebnisse. Staupunkt Staupunkt ist die Korperstelle, an der das stromende Medium zur Ruhe kommt, also c = 0 wird. Der Staupunkt ist demnach die Stelle, an der eine Stromlinie senkrecht auf den Korper trifft, bzw. von ihm abgeht. Die zugehorige Stromlinie wird auch als Staupunktstromlinie oder kurz Staustromlinie bezeichnet. Sie teilt das ebene Stromungsfeld in zwei Teile. Bild 3-4 zeigt das Stromlinienbild eines stationar umstromten, rotationssymmetrischen Korpers in

55

reibungsfreiem Fluid. Es gibt eine Stromlinie, die den Korper vorne senkrecht trifft, sich dort teilt, der Korperkontur folgt, sich hinten wieder vereinigt und senkrecht von der Korperoberflache abgeht. Der Teilungspunkt ist der vordere (SP,), die Vereinigungsstelle der hintere Staupunkt (SP,). Stromflache Ein umstromter Korper (Bild 3-4) wird durch Stromlinien eingehiillt. Die umhiillenden Stromlinien insgesamt bilden eine Flache, die sog. Stromjlache. Liegt die Stromung an der Korperoberflache vollstandig an, ist die Stromflache mit der Korperoberflache identisch. Lost sich die Stromung vom Korper ab, unterscheiden sich Stromflache und Korperoberflache. Entsprechend der Definition der Stromlinie besitZen die Geschwindigkeiten keine Komponenten normal zur Stromflache, sondern nur tangential. An der Stromflache mu13 deshalb c, = 0 sein. Wirbel Rotation einzelner Fluidteilchen (Molekiilgruppe), Kleinwirbel, bzw. Fluidbereiche (Singularitaten), GroRwirbel, in einem Stromungsfeld. Strom Alle GroBen (auBer Geschwindigkeit und Beschleunigung), die aus Ableitungen nach der Zeit hervorgehen (gekennzeichnet durch hochgestellten Punkt), erhalten den Zusatz Jtrom", z. B. Volumenstrom

dV dt

=-

dm dt

Massenstrom

m =-

Zmpulsstrom

. dl I=dt

Drallstrom

Bild 3-4. Korperumstromung (ideal), Prinzipdarstellung.

Globale Aussagen Betreffen den ganzen Fluidbereich, also das gesamte Fluid im gewahlten Bezugsgebiet, dem sog. Kontrollraum. Einzelheiten der Stromung im Innern des Kontrollraumes bleiben unberiicksichtigt. Nur die GroBen an der Kontrollraumberandung (Druck, Dichte, Geschwindigkeit, Flache) gehen in die Berechnung ein. Diese Methode wird insbesondere bei Massen-, Impuls-, Drall- sowie Energiefluobetrachtungen vorteilhaft angewendet.

56

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Lokale Aussagen Betreffen Einzelheiten der Stromung in der unmittelbaren Umgebung jedes zur Untersuchung gewahlten Punktes. Diese Methode wird bei den Erhaltungssatzen fur Masse, Impuls und Energie in differentieller Form angewendet und fuhrt zu partiellen Differentialgleichungen. 3.2 Fluid-Kinematik 3.2.1 Grundsatzliches

Die Kinematik beschreibt mathematisch die Bewegungsvorgange ohne die dabei auftretenden Krafte zu beriicksichtigen. Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Volumen- und Mengenstrome werden zueinander in Beziehung gesetzt. Alle GroBen sind Eigenschaften der Materie oder an diese gebunden. Die Kinematik steht daher in der Mitte zwischen Geometrie und Kinetik. Sie untersucht die zeitliche Aufeinanderfolge raumlicher Konfigurationen. Zur analytischen Darstellung der Fluidbewegung stehen zwei Methoden zur Verfiigung: 1. LAG RANG EX^^ Betrachtungsweise Entsprechend der Punktmechanik wird bei dieser Methode der Weg jedes Fluidteilchens(-elementes) - wenigstens jedoch eines stellvertretend fur alle bezuglich eines Koordinatensystems analytisch beschrieben; ergibt die sog. Materie- oder Substanzgrohn. Die meist vielen sich dadurch ergebenden L A G R A N G E W Bewegungsgleichungen ~~~ sind sehr kompliziert und erfordern deshalb erheblichen mathematischen Aufwand. Aus diesem Grunde wird die L A G R A N G E SBetrachtungsC~~ weise nur in Sonderfallen angewendet. Jedes Teilchen T1 oder Element, also Teilchengruppe, ist dabei durch seine Anfangskoordinaten (s',,; tT,) gekennzeichnet, z.B. Teilchen Tl0 durch (s',; to). Da die Lagekoordinaten jedoch ebenfalls von der Zeit abhangen, verbleibt diese letztlich als wichtigste FunktionsgroRe. 2. E U L E R ~Betrachtungsweise C~~ Wahrend LAGRANGE alle StromungsgroBenjeweils an ein Fluidteilchen (-Gruppe) bindet, beschreibt EULERdiese GroDen nur orts- und zeitabhangig. Fur vorgegebene Stellen (einzelne oder mehrere) des festgelegten Koordinatensystems werden Geschwindigkeit c, Beschleunigung a, Dichte e, Temperatur T analytisch dargestellt und in Beziehung

zueinander gesetzt. Die Werte beziehen sich nicht auf das einzelne, sondern jedes Teilchen (Element), das am betreffenden Punkt (Bezugsstelle) ist bzw. hinkommt + FeldgroRen. Das Einzelschicksal der Fluidteilchen interessiert demnach nicht, sondern lediglich das Verhalten der standig wechselnden Fluidteilchen, welche die festgelegte Stelle passieren. Die GroBen c, a, p, Q, T sind in der allgemeinsten Form durch Funktionen des Ortes sowie der Zeit festgelegt und gelten fur alle Teilchen, die den Ort erreichen. Die sich ergebenden E u ~ ~ ~ s c hBewegungsgleichunen gen sind einfacher und bilden iiberwiegend die Grundlage der Stromungsmechanik. Kurz zusammengefaBt gilt bei den Betrachtungsweisen nach: ') Geschwindigkeitsbeschreibung ist LAGRANGE teilchengebunden (Teilchenkoordinaten, also SubstanzgroBen). Mit Bezugskoordinates'o zur Zeit to des Teilchens (so; to): c' = f (s'o; to; t)

EULERZ,

Geschwindigkeitsbeschreibung ist ortsgebunden (Raumkoordinaten, d. h. FeldgroBen): c' = f (F', t)

Unterschieden wird, wie zuvor venvendet, zwischen Substanz- und FeldgroBen. Substanzielle GroBen sind physikalische Eigenschaften des Mediums. FeldgroBen sind physikalische Eigenschaften des Raumes. 3.2.2 Eindimensionale Stromungen 3.2.2.1 Bewegungszustand Reine Stromfadenstromung. Bewegung somit nur in Stromfadenrichtung. Querbewegung daher nicht vorhanden. Nach der EULER-Darstellunginteressiert nicht das Schicksal des einzelnen Fluidteilchens, sondern nur der Bewegungszustand des Fluids an jedem Punkt des Stromfadens, bzw. an ausgewahlten Bezugsstellen. Die eindimensionale Stromung ist Inhalt der Stromfadentheorie.

')

LAGRANGE, Josef-Louis(1736 bis 1813),frz. Mathema-

tiker. EULER,Leonhard (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker.

3.2 Fluid-Kinematik

ac = ,

Bild 3-5.

Bewegung im Stromfaden.

Weg s: Dem Stromfaden, Bild 3-5, entlang.

57

Lokale oder transiente ') Beschleunigung, ist die Beschleunigung, der die Fluidteilchen am jeweiligen Ort, also lokal, unterliegen.

ac Konvektive oder longitudinale Bea k = c ' -as schleunigung, ist die Beschleunigung, welche die Fluidteilchen wahrend ihrer Ortsveranderung (Konvektion) erfahren.

ac

Bei stationaren Stromungen ist - = 0. Dann wird: at

Geschwindigkeit c: Dem Stromfaden entlang ds c = - = S = F (s, t) bei instationarer Stromung dt ds dt

f (s)

C=-=S=

bei stationarer Stromung

Beschleunigung a I): Dem Stromfaden entlang

3.2.2.2 Grundgleichungen

Mit dem vollstandigen oder totalen Differential aus der allgemeinen Geschwindigkeit c = f (s, t ) :

ac

dc = - . dt at

ac . ds +as

wird

Bezeichnungen: Allgemeine Stromungen: a=-

')

dc dt

Bemerkungen: Hinweis auf das 1. Axiom (Tragheitsgesetz) von NEWTON [27]. Zeit t wird auch als Einbahn- oder Einrichtungskoordinate bezeichnet.

Totale, gesamte, vollstandige, substantielle oder materielle Beschleunigung, ist gesamte Beschleunigung, die Fluidteilchen erfahren konnen. Eindimensionale Stromungen: AuBer den vorhergehenden Begriffen hier auch mit Bahnbeschleunigung bezeichnet.

Index B an Beschleunigungssymbol a nur noch dann angebracht, wenn Verwechslungsgefahr mit Schallgeschwindigkeit besteht, fiir welche ebenfalls Buchstabe a zu venvenden ist.

3.2.2.2.1 DurchfluD In Bild 3-6 ist c die mittlere Geschwindigkeit iiber dem Querschnitt A der Stromrohre. Richtwerte fur mittlere Fluidgeschwindigkeiten enthalt Tabelle 6-10. Dargestellt sei die vereinfachte Herleitung, bei der in Bild 3-6 die Querschnittsanderung der Stromrohre entlang der differentiellen Lange ds vernachlhsigt wird. Wegen des infinitesimal kleinen Weges ergibt sich das richtige Ergebnis. Die Vereinfachung begrundet sich auch dadurch als zulassig, daR entlang des Wegelementes ds die infinitesimale Querschnittsanderung dA (ds)' ist und damit klein von zweiter Ordnung.

-

2,

transient . . . zeitabhangig.

Bild 3-6. DurchfluB durch Stromrohre. Querschnitt A immer senkrecht zur Mittenstromlinie.

58

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Gleichung(3-7) ist die Kontinuitatsgleichung fiir Gase und Dampfe, G1. (3-9) die fur Flussigkeiten.

Volumenstrom V:

Wird G1. (3-7) differenziert, ergibt sich differentielle Kontinuitatsgleichung, G1. (3-10):

Hierbei nach Bild 3-6: dV

= d ( A . s ) = A.ds

da gemal3 zuvor dA

+ s . d A x A.ds

< ds + dA

-

Q

. A . c = konst

A.c.de+e.c.dA+e.A.dc=O

(ds)'

):(e.A.c)

Deshalb:

Mengenstrom m: Fur allgemein, d. h. Q

m=

Bemerkung: Die Kontinuitatsgleichung wird auch abgekurzt als Kontigleichung bezeichnet.

+ konst, gilt:

v.~+Q.v

(3-4)

Da die Fluiddichte Q bei stationaren Stromungen an verschiedenen Stellen moglichenveise unterschiedlich (konvektiv variabel),an jeder beliebigen Stelle der Stromrohre jedoch jeweils zeitlich konstant ist, also p = 0, geht G1. (3-4) uber in:

Gleichung (3-5)wird als allgemeine DurchfluBgleichung der Stromfadentheorie bezeichnet und gilt somit sowohl fur inkompressible Fluide (Flussigkeiten) als auch fur kompressible (Gase,Dampfe). Bei Flussigkeiten kann G1. (3-3)als spezielle Form der DurchfluBbeziehung verwendet werden.

3.2.2.2.2 Kontinuitiit Nach dem Massenerhaltungssatz mu13 in jeder Stromrohre (Bild 3-6) erfullt sein: Oder allgemein ( Q

Erganzung: Abgekurzte, physikalisch-mathematisch strenge Herleitung der Kontinuitatsgleichung in Anlehnung an TRUCKENBRODT [50]: Festlegungen gemaB Bild 3-6: Stelle @: s, (t); c,

Stelle s: s (t); c (s,t ) ; A 6 ,t ) zwischen Stellen @ und Q differentiellesVolumen dV(s;t ) = A (s;t ) . ds endliches Volumen AV ( t )zwischen den Stellen s, ( t ) und s, (t). Dann gilt:

Hiermit die zeitliche Ableitung:

Umgeformt nach der L E I B N I Z -[RI 1~I]~: ~ ~

m=e. V=e.~.c=konst

Q ~ ~ A , ~ C , = Q ~ ~ A , ~ ... C ~ = Q ~ ~ A ~ ~ C ~ = fur Bezugsstellen @; Q; . . .

v = konst P = A . c=konst

A , = A (s,,t )

+ konst):

m = konst

Bei Flussigkeiten chen:

= c (s, , t ) ;

Stelle Q: s, ( t ) ; c, = c (s,, t ) ; A, = A (s,, t )

(Q = konst)

1aBt sich vereinfa(3-8) (3-9)

3.2 Fluid-Kinematik

Mit A(s,, t) = A,; A@,, t) = A,; ds,/dt = c, und ds,/dt = c, ergibt sich letztlich:

59

3.2.2.3 ~bun~sbeispiele

pq

In der Rohrverzweigung nach Bild 3-7 teilt sich der im Rohr 1, NW 100 - + D l = 100mm, ankommende Wasserstrom von 42,4m3/h auf im Verhaltnis V2 : v3 = 2 : 1.

Dabei stellen dar: Gesucht: Linke Gleichungsseite die zeitliche ~ n d e r u n ~a) Durchmesser D,der Abzweigleitung bei gleichdes materiellen Volumens. bleibender Stromungsgeschwindigkeit. - Integral auf der rechten Seite der Gleichung den b) Geschwindigkeit im Hauptrohr nach der Ablokalen Volumenanderungsanteil. zweigung (Stelle 2). - Die Klammer auf der rechten Gleichungsseite die Differenz der Volumenstrome durch die Flachen A, an Stelle s, und A, an Stelle s, .

-

Bei zeitunabhangiger, also stationarer Stromung besteht keine transiente materielle Volumenanderung, und auch die lokale Flachen-Zeitableitung entfallt (aA/at = 0). Dafur vereinfacht sich dann die Beziehung zu: 0=A2.c2-Al.cl-+Al.cl =A2.c2 Allgemein gilt somit wie zuvor fur die Kontinuitats-Beziehung (GI. (3-3)):

Entsprechend fur die Masse: dm(s, t)

= Q (s, t)

. dV(s, t) = e(s, t) . A (s, t) . ds

Hierzu die Zeitableitung:

Die L ~ ~ ~ ~ r z - Rliefert e g e ljetzt:

Hierbei bedeuten entsprechend zuvor: d (Amldt) vollstandige zeitliche ~ n d e r u nder ~ Masse des Volumens AV infolge deldt $: 0 Integral lokaler Massenanderungsanteil Klammer konvektiver Anteil Bei stationarer Stromung entfallen wieder die zeitlichen Ableitungen. Es sind dann also a ( )/at = 0 und d ( )/dt = 0. Dafur ergibt sich wieder: e2.c,.A2 = e l . c 1 . A l -+ m = e . c . A = konst

aI

I

0

Bild 3-7. Rohrverzweigung.

Im Dauerbetrieb benotigt die pneumatische Presse stundlich 225 kg Druckluft von 8 bar ~berdruck.In der nicht isolierten Zuleitung nimmt die Luft die Raumtemperatur von 22°C an. In welchem Durchmesser mu13 die Zuleitung ausgefuhrt werden?

3.2.3 Mehrdimensionale Stromungen 3.2.3.1 Bewegungszustand Wegen einfacherer zeichnerischer Darstellungen erfolgen die uberlegungen am ebenen Stromungsfeld. Entsprechende Erweiterung der Ergebnisse auf raumliche Stromungen ist ohne Einschrankung moglich und zulassig. Bei inkompressiblen Fluid wird ein quadratisches Teilchen abgegrenzt und dessen Verhalten bei verschiedenen Stromungszustanden beobachtet. Die Gesamtbewegung ist aus Teilbewegungen zusammensetzbar (vektoriell). 3.2.3.1.1 Translation Das Fluidteilchen ABCD, Bild 3-8, bewege sich in einem Stromungsfeld mit den Geschwindigkeitskomponenten c, bzw. c, in den Koordinatenrichtungen x b m . y des Bezugssystems. Das Teilchen verschiebt sich demnach in Richtung der Geschwindigkeitsresultierenden des Stromungsfel-

3 Fluid-Dvnamik. Grundlagen (Hvdro- und Aerodvnamik)

60

ac, lokale oder transiente Beschleunigung (bei -

at

stationarer Stromung nicht vorhanden)

acX ac, ac konvektive ax a~ a, Beschleunigung Entsprechende Ableitungen fiihren zu den Beschleunigungskomponenten a, und a, in der y- und z-Koordinate. Gesamtbeschleunigung (substanzielle):

C x ~ - + C y ~ - + C , ~ ~

Betrag a = /,

X

Bild 3-8. Translation.

(3-13a) -*

Vektor a ' = e ' , . a , + e ; a , + e ' , ~ a , des, wobei seine Diagonalen ihre Lage beibehalten. Kennzeichen der reinen Translation ist demnach: Die Richtungen der Diagonalen bleiben erhalten.

(3-13b)

In Matrizen-Darstellung'):

Geschwindigkeiten: dx Komponenten: x-Richtung c, = - =f, (x, y, z, t) dt

Resultierende: Betrag c =

(3-11)

Vektor c'=e',.c,+e',~c,+e',~c, Problem:

Die drei Funktionen fl bis f3 sind oft nicht bekannt, sondern gesucht.

Beschleunigung: Zum Beispiel Komponente in der x-Richtung

.

a, = c,

=

dc,

')

Darstellung in Index-Schreibweise:

wird

Hierbei sind wieder, gemal3 Abschnitt 3.2.2.1: dc, totale, vollstandige oder substantielle a, = dt Beschleunigung

it i; j als Platz- oder Statthalterindizes, wobei i freier Index j gebundener Index; auch als Scheinindex bezeichnet i; j = 1; 2; 3 entspricht oder bedeutet: x, = x; x, = y; x, = z C1 =

a,

cx;

= a,;

C, =

a,

c,;

= a,;

Cg

= C,

a, = a,

USW. I)

Um Venvechslungen mit dem partiellen Differential a /at zu vermeiden, wird vielfach das vollstandige Differential d ldt auch als D lDt bezeichnet.

Die Bedeutung der Matrix-Symbole enthalt Tabelle 6-21 (Anhang).

GemaD der E I N S T E I N SSummationskonvenC~~~ tion gilt: a) Indizes, die in jedem Ausdruck der Gleichung nur jeweils einmal vorkommen, sind freie Indizes. b) Indizes, die in mindestens einem Ausdruck der Beziehung mehr als einmal auftreten, sind gebundene Indizes. Gebundene Indizes werden verschiedentlich auch als Scheinindizes bezeichnet. c) Der gleiche Index darf in jedem Ausdruck der Gleichung nicht mehr als je zweimal vorkommen. d) Es gibt so viele Gleichungen. , wie der freie Index zg&, also z. B. bei i = 3 sind es drei unabhangige Gleichungen. In jeder Gleichung werden dabei die Glieder der gebundenen Indizes aufsummiert, d. h. bis zu deren oberer Grenze wird summiert. Bei j = 4 sind das somit in jeder der i-Gleichungen jeweils 4 Glieder. Wenn es nur einen freien Index gibt, stimmt die Anzahl der Gleichungen mit der oberen Grenze dieses freien Index uberein. Gibt es jedoch mehr als einen freien Index, ergibt sich die Gesamtzahl der Gleichungen aus dem Produkt der oberen Grenzen aller freien Indizes. f) Da der gleiche Index in jedem Ausdruck der Gleichung hochstens zweimal auftreten darf, ist z. B. a,, bi = ci nicht definiert. Hier kommt Index i in den Ausdruck auf der linken Gleichungsseite dreimal vor, was nicht zulassig ist. g) Des weiteren miissen in einer Beziehung die freien Indizes in allen Gliedern iibereinstimmen, d. h. die gleichen sein. aij. bj = c, ist deshalb unzuliissig, da die freien Indizes i und k nicht ubereinstimmen; aij. bj = ci ware richtig. 3.2.3.1.2 Deformation Das Teilchen ABCD, Bild 3-9, erfahrt eine reine Verformung ohne Volumenanderung und nimmt

dabei, der Kraftwirkung entsprechend, die Form A'B'C'D' nach Bild 3-9,a oder Bild 3-9,b an oder eine Kombination aus beiden Teilbildern. Nach Bild 3-9 ergibt sich als Kennzeichen der reinen Deformation: Die Gesamtdrehung der Diagonalen bleibt null, d. h. die Drehung der Diagonalen ist null oder gleich go13 und entgegengesetzt gerichtet (-u=B-+IuI =IB)). 3.2.3.1.3 Rotation Das Fluidteilchen ABCD in Bild 3-10 fuhre eine Drehbewegung um den Eckpunkt A aus. Dabei ergeben sich jeweils gleiche Winkel, um die sich die Seiten AB und AD sowie die Diagonale AC drehen. AuDerdem bleiben die ~chnitt-winkelder Diagonalen unverandert.

-

Bild 3-10. Rotation.

Kennzeichen der reinen Rotation ist demnach: Die Schnittwinkel der Diagonalen bleiben unverandert. 1 Esgilt: y = a = / ? - + y = ,(- u +/?I da dt

dB dt

= - und oAD =-

Meist venvendet, da auch bei w,, 4 om gultig:

C

A I

B

A=A' 2

-a=p

x oder pl=lPl

a1

Bild 3-9. Deformation.

1

u=p=o

b

B

x'

3.2.3.1.4 AUgemeine Bewegung Die allgemeine Bewegung entsteht durch ~ b e r l a gerung (Superposition) von Translation, Deformation und Rotation. Hinzu kommt noch als vierte TeilgroDe die Dilatation (Volumenanderung), falls vorhanden. Zur Vereinfachung hier weggelassen, was bei inkompressiblen Medien (Q % konst) ohnehin zutrifft.

62

3 Fluid-Dvnamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Werden die Abkiirzungen

eingefiihrt, lassen sich die Beziehungen, GI. (3-IS), wie folgt darstellen:

Bild3-11. Allgemeine Bewegung einer ebenen Stromung. Verhaltnisse aus Darstellungsgriinden stark vergroBert und verzerrt gezeichnet. Wegen Volumenkonstanz Geschwindigkeitsanderung teilweise evtl. negative Richtung, obwohl zeichnerisch, da einfacher, positiv dargestellt, was jedoch ohne EinfluB auf die zugehorige Herleitung ist. AoBoC,Do Fluidteilchen zur Zeit t . A'B'C'D' Fluidteilchen zur Zeit ( t +dt).

In Bild 3-11 ist der allgemeine Bewegungszustand fiir eine inkompressible ebene stationare Stromung dargestellt. Das Fluidteilchen ABCD habe im Punkt A die Translationsgeschwindigkeiten c, = c,(x, y) und c, = c,(x, y). Zudem wandern die Kanten AB und AC um die Winkel a bzw. fi aus ihren Ursprungslagen. Fiir den Punkt C ergibt sich dann die Geschwindigkeit der stationar angenommenen Bewegung, wobei c(x, y) mit Komponenten c, und c, in Punkt A:

c', = c'

+ dc'

ac

& = A

ax

und

. ac, p=-

ay

Die GroRen b , , b,, b3 in G1. (3-16a) bestimmen somit die Formanderung, d. h. Deformation des Fluidteilchens gemal3 Bild 3-9, und zwar ~ b e r l a gerung der Vorgange gemal3 Teilbilder a und b.

,= c, + dc,

in x-Richtung

c,,

in y-Richtung

c,,,

und

Mit

und dc'= d&+ d< bei Punkt C

mit den Komponenten

Wegen c,

Dazu gelten: - Bei b , = b, = b, = o,= 0 liegt reine Translationsstromung vor. - Die Glieder b , . dx und b , . dy stellen wegen G1. (3-16) zunachst die ~ n d e r u n ~ eder n Geschwindigkeiten c, und c, auf den Wegen dx bzw. dy dar. Da jedoch Geschwindigkeit gleich dem Quotient aus Weg und Zeit ist, geben b , . dx und b , . dy die zeitlichen Anderungen der Kontur des betrachteten Teilchens (Bild 3-11) in den beiden Koordinatenrichtungen an gemalj Bild 3-9,a. Die Glieder b , . dy und b , . dx kennzeichnen die Richtungdnderungen der Seitenkanten des Teilchens entsprechend Bild 3-9,b. - Die Terme mit o,(Rotation) kennzeichnen die Drehung des Teilchens nach Bild 3-10. Fiir die zeitliche ~ n d e r u ndes ~ urspriinglich rechten Winkels an der Ecke A des Fluidteilchens (Bild 3-11) ergibt sich:

= f (x, y)

=

c,

+ dc,

ist dc,

=

a~ . dx + ac, . dy " ax ay -

ac acy . c,=f(x,y) ist d c , = > . d x + dy ax 8.y

Eingesetzt c,,,

ac ac, = c, + ". dx + - . dy

cyst = c,

ax

ac'. dx + acY +ax ay

(3-15) ,

dy

Ware das Fluidteilchen starr, miifiten und

b, = 0

sowie

b , = 0 sein.

Damit wiirde auch b, = 0. Dies bedeutet jedoch nicht, dalj gleichzeitig o,verschwindet. Vielmehr wird dann, da b = - ci, nach G1. (3-16) und GI. (3-17):

3.2 Fluid-Kinematik

Das Teilchen erfahrt dabei offenbar eine Drehung um eine Momentanachse, die parallel zur z-Achse verlauft und durch seinen Eckpunkt A geht. Aus G1. (3-17) ergibt sich, daB ci und fi je die Dimension l/s haben, also die zeitlichen Winkelanderungen sind. Die aus ihnen gebildete GroBe u,, Gl. (3-18), stellt daher eine Winkelgeschwindigkeit dar. o, = (oi - fi)/2 ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das Teilchen im positiven Drehsinn um die zur z-Koordinate parallele Achse durch seine Ecke A dreht. o, ist also eine Komponente der Gesamtrotation des Teilchens, d. h. der resultierenden Winkelgeschwindigkeit o, welche die Gesamt-Drehung des Fluides kennzeichnet. Bei einer raumlichen Stromung ergeben sich fur die beiden anderen Koordinatenrichtungen x und y analoge Ausdrucke. Die Komponenten fur die gesamte Rotation sind entsprechend G1. (3-16):

Hierbei ist der Rotor

a a a az

- - - -

ax ay Cx

Cy

63

von 2:

(Determinantendarstellung!)

c,

Matrizen-Darstellung:

Eine Fluidbewegung ist in dem betrachteten Gebiet wirbel- und damit drehungsfrei,wenn der Wirbelvektor verschwindet, d. h. seine Komponenten w, w,, a,,G1. (3-19), iiberall null sind:

Gleichung (3-23) wird auch als HELMHOLTZ 'kche Bedingung der Drehungsfreiheit bezeichnet. Sie ergeben sich also durch rollierendes Vertauschen von x, y und z bei w und im Nenner. Entsprechend auch im Zahler. Eine Fluidbewegung, bei der die Ausdrucke cox, o,, o,, G1. (3-19), oder wenigstens einer von ihnen, einen von null verschiedenen Wert haben, wird als Wirbelbewegung bezeichnet. Der Vektor

Den Gl. (2-31) bis (2-33) aus Abschnitt 2.2.7 entsprechend, folgt aus den Beziehungen von G1. (3-23), daB sich die Geschwindigkeit c' und damit ihre Komponenten c, c, c, unter dieser Voraussetzung (Drehungsfreiheit) als partielle Ableitungen einer Potential-Funktion @ = @ (x, y, z) nach den Koordinatenrichtungen x, y, z darstellen lassen. Analog zum Kraftepotential U von Abschnitt 2.2.7 wird die Funktion @ als Geschwindigkeits- oder Stromungspotential bezeichnet. Es gilt daher:

heiBt Wirbelvektor mit den Komponenten a,, w, und o, in den drei Koordinatenrichtungen x, y und z. Sein Betrag, die Winkelgeschwindigkeit,ist:

Mit Hilfe der Vektoranalysis lafit sich der Wirbelvektor, die Wirbelstarke (Rotation), auch wie folgt darstellen:

.

.

i3 = (112) rot c' = (112) V x c'

2'

Rotor ,,rot6'ist als ,,Dreh"-Vektor eines Vektorfeldes ein Begriff der Vektoranalysis (Tabelle 6-21). HELMHOLTZ, Hermann, Ludwig, Ferdimand von (1821 bis 1894) dt. Physiker und Militararzt.

64

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

oder in Matrix-Darstellung:

(5) (!:%!) =

(3-25 b)

Da13 die Beziehungen von G1.(3-24) d'le von G1. (3-23) erfullen, bestatigt sich durch partielles Differenzieren von GI. (3-24) und Einsetzen in GI. (3-23). Da bei wirbelfreien Stromungen ohne Friktion die Geschwindigkeit c', wie gezeigt, aus einem Potential Qr ableitbar ist, werden derartige Bewegungen als Potentialstromungen bezeichnet (Abschnitt 3.1.1).

d 3-12. Raumelement, d. h. raum- oder ortsfestes Volumenelement in dreidimensionaler Stromung, auch als Bezugs- oder Kontrollvolumen KV bezeichnet.

3.2.3.2 Grundgleichung (Kontinuitat) Die Kontinuitatsgleichung ist, wie in Abschnitt 3.2.2.2 fiir eindimensionale Stromungen gezeigt, die mathematische Formulierung des Massenerhaltungssatzes, einem Grundgesetz der Physik. In Bild 3-12 ist ein raumfestes Volumenelement dargestellt. Ein solches Element oder Volumen besteht immer aus den gleichen ortsfesten Punkten, wahrend es von Fluid durchstromt wird, d. h., die Massenteilchen wechseln. Hiervon ist das sog. materielle fluid- oder massefeste Volumen zu unterscheiden, das irnmer aus den gleichen Masseteilchen besteht und sich daher mit der Fluidstromung bewegt, weshalb es auch als flussiges Volumen bezeichnet wird. '1

Mit Hilfe des in Bild 3-12 dargestellten Raumelementes in einem allgemeinen Stromungsfeld sol1 die analytische Darstellung der Kontinuitatsbedingung fiir mehrdimensionale Stromungen hergeleitet werden: Der Massenerhaltungssatz und damit die Kontinuitat ist erfiillt, wenn bei raumbestandigem Fluid (e = konst) das in der Zeit dt in das Raumelement insgesamt einstromende Volumen d VEinso grol3 ist wie das gesamte, gleichzeitig ausstromende Volumen dVA,,,, also d VEin= d VAus oder d VEin- d VAU,= 0 Nach der Auswertungstabelle 3-1 mu8 dann bei stationarer Stromung sein:

Gradient ,,grad" ist als ,,Richtungs"-Vektor eines Skalarfeldes ebenfalls ein Begriff der Vektoranalysis (Anhang Tabelle 6-21).

Tabelle 3-1. Zusammenfassung der in das Raumelement nach Bild 3-12 in der differentiellen Zeit dt ein- und austretenden Volumen.

1' I

Aehsnchtung

1'

einstromendes Volumen

1'

ausstr6mendes Volumen

1'

Differem

3.2 Fluid-Kinematik

Oder, weil dx, dy, dz, dt ungleich null sind, ergibt sich als allgemeine Bedingung fur die Kontinuitat stromender raumbestandiger Fluide:

Dies ist die allgemeine Kontinuitatsgleichung inkompressibler Fluide, kurz Kontigleichung. Da die Gleichung von der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, wird sie auch als invariante Beziehung bezeichnet. In vektorieller Schreibweise lautet die Kontinuitatsgleichung fiir Q = konst: div ') ?I = 0 Bei Q

+ konst ergibt sich entsprechend:

div (Q . c' ) = 0

(3-27 a)

Werden bei wirbelfreien Stromungen fur die Geschwindigkeitskomponenten in G1. (3-26) die Bedingungen nach G1. (3-24) eingesetzt, ergibt sich:

a (a@) + -a (am) ay ay

-

-

+ -a

ax ax

(am) - =o az az

Mit A@ = A . Qi,wobei

den L ~ p ~ ~ c ~ - O p e rbezeichnet, ator der zur gerafften Darstellung von skalaren Differentialoperationen dient (Tabelle 6-21). Deshalb wird die Kontinuitatsgleichung fiir Potentialstromungen auch als L A P L A C E S GleiC~~ chung oder seltener als Potentialgleichungbezeichnet. Mit diesen Erkenntnissen konnen die Stromungen auch eingeteilt werden in:

65

Nichtquellfreie Stromungen

A@

= q (x,y, z, t)

POISSON2)-Gleichung

Die POISSON-Gleichung unterscheidet sich von der LAPLACE-Gleichung dadurch, daB auf der rechten Seite eine Funktion q steht, welche die Quelldichte (Diffusionsterm) beschreibt und ungleich null ist. Bei negativem q wird auch von Senkendichte gesprochen (negative Quelle). Potentiale @ zu finden, die G1. (3-28) erfullen und dabei den vorgegebenen Randbedingungen genugen, ist meist schwierig. Fiir ebene Stromungen bestehen jedoch zwei andere, einfachere Moglichkeiten: Die erste Methode nutzt die Tatsache, c 4ie allgemeine Losung der Potentialgleichun, h. (3-28), fiir zweidimensionale Stromungen i. der Komplexdarstellung nach1 die Form

hat. Das bedeutet, die Verfahren der Funktionentheorie und der konformen Abbildung fur die Losung solcher Stromungsprobleme sind anwendbar. Die zweite Methode geht von der Erkenntnis aus, daB die uberlagerung (Superposition) von Einzellosungen @, ,Q2,Q 3 , . . . Qi, wieder eine Losung der Potentialgleichung ist. Das Stromungspotential ist ein Skalar, weshalb die uberlagerung durch arithmetische Addition @,,,(x, y, z) = Cai(x, y, z) erfolgt und zulassig ist. Bei diesem Verfahren wird der Stromungskorper oder komplizierte Stromungen aus einzelnen Bauelementen (einfache Einzelstromungen) mit Hilfe des sog. SingularitatenVerfahren durch entsprechende Superposition aufgebaut (Abschn. 4.2.8.3.1). Die Potentialtheorie befal3t sich mit der Losung der Potentialgleichung A@ = 0, G1. (3-28). Ein Geschwindigkeits-Vektorfeld c' (x, y, z) ist eine Potential-Stromung, falls es eine Funktion @(x,y, z ) - Potential - gibt, wodurch grad @ = c' erfullt wird.

Quellfreie Stromungen Bemerkung: Allgemein gilt das auf ein Kontrollvolumen KV (Bild 3-12) anwendbare Erhaltungs')

Divergenz ,,div" (Quelldichte) ist als Skalar eines Vektorfeldes ebenfalls ein Begriff der Vektoranalysis. -+ c (x, y, z) ist dabei das Vektorfeld, hier Stromungsfeld (Anhang Tabelle 6-21).

2,

POISSON, Denis (1781 bis 1840), frz. Mathematiker und Physiker.

66

3 Fluid-Dynamik, Grundlaaen (Hydro- und Aerodynamik)

prinzip. Dies fuhrt fur jede physikalische Grolje zu folgendem Bilanz-Ansatz: (zeitliche Anderung im KV) = (Stromungstransport ein-aus) + (Molekiiltransport ein-aus) + (Quellen-Senken) (sonstige Wirkungen, falls vorhanden)

+

3.2.3.3 Gaussscher Integralsatz Nach dem G~ussschenSatz, dem ersten Integralsatz der Feldtheorie, gilt:

Der G~ussscheSatz bringt pragnant zum Ausdruck: Das Integral der Geschwindigkeits-Quelldichte dive'= V . c' iiber das Volumen V (Volumenintegral) ist gleich dem Integral der Geschwindigkeit uber die Oberflache A, (Flachenintegral), welche das betrachtete Volumen V umschlieDt. Bei quellfreier Stromung (Gl. (3-27) ist somit die gesamte Geschwindigkeits-Quelldichte des Volumens gleich dem Durchflulj durch dessen Umrandungsflache (Oberflache). Der G~ussscheSatz ist in der theoretischen Fluidmechanik sehr bedeutungsvoll. Das Volumenintegral der Quelldichte (V . c') . dV ist also gleich dem Flachenintegral des Durchflusses (2'. dA,) = (2'.n'. dAo) = c . cosu . dAo iiber die das Volumen umschlieDende (Ober-)Flache. Hierbei ist n' der Normaleneinheitsvektor (senkrecht auf die Flache dAo nach auDen gerichtet) sowie cc der zwischen den beiden Vektoren 2 und c' eingeschlossene Winkel. Merkhilfe: GFV . . . Gauss, Flache, Volumen oder GAUSSverbindet Flache mit davon umschlossenem Volumen.

3.3 Fluid-Kinetik

3.3.1.1 Grundlagen Viele Stromungsprobleme konnen letztlich nicht exakt analytisch gelost werden. Deshalb sind Experimente notwendig, die vielfach aus Aufwandgriinden an der Apparatur nachgebildeten Modellen durchgefuhrt werden mussen. Damit die Versuchsergebnisse vom Model1 auf die GroDausfiihrung iibertragbar sind, sog. Scale-up-Vorgang,

mu0 zwischen den Stromungen Ahnlichkeit bestehen. Stromungen werden als ahnlich bezeichnet, wenn die geometrischen und charakteristischen physikalischen GroBen fur beliebige, einander jedoch zugeordneten Stellen der zu vergleichenden Stromungsfelder zu entsprechenden Zeiten jeweils ein festes Verhaltnis bilden, d. h. proportional sind. Stromungsmechanische Ahnlichkeit besteht somit, wenn sowohl geometrische als auch physikalische Proportionalitat (Ahnlichkeit) vorliegt, also geometrische und dynamische Skalierung. Die hlichkeitstheorie fiihrt somit zur Maljstabsinvarianz, d. h. Maljstabsunabhangigkeit. Geometrische ~hnlichkeit,Bild 3-13, ist gegeben, wenn gleiche Proportionalitat besteht -

-

zwischen den Abmessungen (Langen, Flachen, Volumen) zwischen den Rauhigkeiten (Oberflachenbeschaffenheit).

Modellausfuhrung M

Bild 3-13. Geometrische Ahnlichkeit (Prinzipdarstellung).

Geometrische Ahnlichkeit ist demnach vorhanden, wenn (Bild 3-13) erfullt sind: Langen Flachen Volumen Rauhigkeiten

L,/LM = D J D , AG/AM= D : / D i vG/VM= D : / D ; kG/k, = D J D , oder kG/Dl= kM/D2 d. h, gleiche relative Rauhigkeiten.

ZusammengefaDt ist also notwendig ein mahtabsgetreuer Aufbau mit Langen-MaBstab (LangenSkalierung):

3.3 Fluid-Kinetik

In der Praxis ist es jedoch oftmals nicht moglich, geometrische Ahnlichkeiten in allen Einzelheiten und vor allem in den Oberflachenrauhigkeiten von Modell- und GroBausfiihrung zu erreichen. Die Lackoberflachen von Autos und Flugzeugen sind z.B. schon so glatt, dab eine proportionale Verkleinerung dieser Rauhigkeiten beim kleinen Modell kaum noch verwirklichbar ist. Physikalische hnlichkeit ist gegeben, wenn Proportionalitat zwischen den physikalischen GroBen besteht, die den Stromungsverlauf bestimmen. Dies sind: - mechanische GroJen Zeit, Weg, Geschwindigkeit, Krafte, Energie, Temperatur u. a. - Stoffeigenschaften Dichte, Viskositat, Warmeleitfahigkeit u. a.

Die Temperatur und die Stoffwerte Warmekapazitat sowie Warmeleitfahigkeit sind jedoch nur bei thermodynamischer, nicht dagegen bei stromungstechnischer ~hnlichkeitwichtig. Vollkommene physikalische ~hnlichkeitvon Stromungsvorgangen, die bei geometrischer Proportionalitat der um- oder durchstromten Korper unter der Wirkung gleichartiger stromungsmechanischer und thermodynamischer Einfliisse stehen, ist kaum zu erzielen. Es ist vielmehr nur moglich, die jeweils wesentlichen physikalischen GroBen miteinander vergleichend in Proportionalitat zu bringen (physikalischer MaBstab oder physikalische Skalierung). Hierzu dienen dimensionslose, voneinander unabhangige ~hnlichkeitsgroJen, die auch als KenngroDen oder Kennzahlen bezeichnet werden und in der Regel dimensionslos sind. Diese Kennzahlen lassen sich neben Erfahrungsansatzen durch drei Methoden bestimmen: - Dimensionsanalyse Venvendet die Bedingung, daB Kennzahlen dimensionslose Produkte verschiedener dimensionsbehafteter GroBen sind. - Vergleich gleichartiger GroJen Aus der Erkenntnis, da13 physikalische Ahnlichkeit vorliegt, wenn Proportionalitat der mechanischen GroBen gegeben ist, werden gleichartige GroBen zueinander ins Verhaltnis gesetzt. Da Wege durch Geschwindigkeiten zuruckgelegt, Geschwindigkeiten durch Beschleunigungen erzeugt, und diese durch Krafte

-

67

verursacht werden sowie Arbeit das Produkt aus Weg und Kraft ist, werden in der Regel Krafte zueinander in Beziehung gebracht (+ Krafte-MaBstab; seltener Geschwindigkeiten). Bei dem Verfahren des Kraftevergleichswerden verschiedene, am Problem beteiligte Krafte meist auf die Tragheitskraft bezogen. In Fallen ohne Tragheitskraft wird auf den Energievergleich zuruckgegriffen. Dijferentialgleichung dimensionsloser Variablen Werden die mechanischen GroBen in Differentialgleichungen durch konstante BezugsgroBen jeweils gleicher Art - z. B. Geschwindigkeit dividiert durch Bezugsgeschwindigkeit - dimensionslos gemacht (entdimensioniert), stellen sich Kennzahlen ein. Bei Stromungsvorgangen handelt es sich dabei fast immer urn Systeme partieller Differentialgleichungen fur Bewegung und Energie (Abschnitt 4.3.1.2).

3.3.1.2 Stromungskennzahlen aus Dinrensionsanalyse Die Dimensionsanalyse ist Grundlage der #hnlichkeitstheorie, und auf dieser beruht die Modelltheorie. Jede GroBe setzt sich bekanntlich aus Zahlenwert (MaBzahl) und Dimension (Mafieinheit) zusammen. Beispiel: Geschwindigkeit 20 m/s. Exakt miiBte 20 . m/s geschrieben werden. Der Multiplikationspunkt wird, wie in der Mathematik meist iiblich, im praktischen Gebrauch weggelassen, so auch hier. Die ahnlichkeitstheoretische Methodologie kennt zwei Verfahren zur Herleitung von Kennzahlen I7 (grooes griechisches Pi) mit Hilfe der Dimensionsanalyse. Diese verwenden einerseits das sog. IlTheorem und andererseits die Matrizen-Methode. Dabei ist immer die Koharenz des verwendeten MaBsystems wichtig, d. h., die Dimensionen sind aus den Grund-Maheinheiten (Tabelle 1-1, Abschnitt 1) zu bilden. ZZ-Theorem (Lehrsatz) Liegt die mathematische Formulierung eines Problems nicht vor, sind jedoch die EinfluBgroDen bekannt, lassen sich die ~hnlichkeitsgesetze (Kennzahlen) dennoch mit dem Hauptsatz der Dimensionsanalyse, dem sog. n-Theorem von BUCKINGHAM (1914) bestimmen, das bis auf wenige Ausnahmen allgemein gilt.

68

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Nach dem 17-Theorem kann die allgemeine Funktion

mit den n geometrischen und physikalischen Systemgrorjen a , bis a, bei allgemein i Grundeinheiten dargestellt werden in der Funktionsform:

insgesamt (n - i ) KennHierbei sind 17, bis zahlen, die jeweils als dimensionslose Produkte aus den SystemgroRen a,, . . ., a, gebildet werden. In der Fluidmechanik treten die geometrische GroJe Lange 1 und die dynamischen GroJen Zeit t, Geschwindigkeit c, Beschleunigung, insbesondere Schwerebeschleunigung g und Druck p sowie die Stoffgrojkn Dichte Q, kinematische Viskositat v und die Schallgeschwindigkeit a auf; insgesamt acht GroBen, d. h. n = 8. Die dabei vorkommenden drei Einheiten ( i = 3) sind: Kilogramm kg, Meter m und Sekunde s. Demzufolge muB es n - i = 5 voneinander unabhangige Kennzahlen geben. Die dynamischen GroBen konnen noch weiter unterteilt werden in kinematische ( t , c, g) und kinetische ( p ) . Werden alle acht GroBen zusammengefaBt, ergibt sich ein homogenes Gleichungssystem von drei linearen Gleichungen ( i = 3) mit acht Unbekannten (n = 8). Dieses System hat genau (n - i ) = 5 voneinander unabhangige Losungen, die den Kennzahlen entsprechen. Die (n - i) Losungen ergeben sich nacheinander, wenn jeweils (n - i ) Unbekannte vorgegeben werden. Das sich dann immer ergebende inhomogene Gleichungssystemvon i Gleichungen mit den restlichen i Unbekannten ist jeweils in bekannter Weise losbar und liefert je eine Kennzahl. Um das Verfahren abzukiirzen, werden, wie von TRUCKENBRODT [50] durchgefuhrt, die drei wichtigsten stromungsmechanischen Groljen c, I, Q festgehalten und die restlichen funf (t,p, v, g, a ) durch E, variiert. Die Kennzahl der mechanischen ~hnlichkeiterhalt demnach mit der jeweils festzulegenden Variablen E, die allgemeine Form:

Die Variable E, - gleicher Index wie bei Kennzahlen 17 - wird nacheinander jeweils durch eine der in G1. (3-31) bisher nicht verwendeten funf GroBen

t , p , v,g, a ersetzt. Die Exponenten a, P, y, 6 ergeben sich dann jeweils uber die Dimensionsanalyse aus der Einheiten-Gleichung:

Nach gleichen Potenzen zusammengefaljt und ersetzt

fuhrt zu:

Fur E, wurde dabei die allgemeine Dimension [ma ss kgc] eingesetzt. Die Exponenten a, b, c sind durch die Dimension der jeweils fiir E, eingesetzten GroBe festgelegt.

- .

Der Exponentenvergleich bei G1. (3-32) ergibt: Einheit m: Einheits: Einheit kg:

a

+P -3

-a+b.6 y

+ c .fi

y +a.6=0 =0

(3-33)

=0

Fur die vier Unbekannten a, P, y, 6 ergeben sich drei Gleichungen. Das System ist losbar, sofern eine der Unbekannten von vornherein festgelegt wird. Wenn sinnvollerweise die Stromungsgeschwindigkeit c als stromungsmechanischeHauptgroBe, d. h. als allenvichtigste GroBe, linear, also a = 1 gesetzt wird, beeintrachtigt diese Festlegung die Allgemeingiiltigkeit der Ableitung nicht, sondern pragt nur den grundsatzlichen Charakter der Kennzahlen. Jede andere sinnvolle Festlegung ware moglich, ohne die Venvendbarkeit der Ahnlichkeitsgesetze prinzipiell zu schmalern. Die Losung des linearen Gleichungssystems(3-33) ergibt dann:

Der Reihe nach fur E, die bisher nicht verwendeten GroRen t , p, v, g und a einschlieljlich zugehoriger Dimension eingesetzt, liefert die in Tabelle 3-2 ermittelten und zusammengestellten Ahnli~hkeits~esetze (Kennzahlen 17,):

3.3 Fluid-Kinetik

Tabelle 3-2. Kennzahlen 17, gemaB Ansatz (3-31) mit Beziehungen (3-34).

69

d. h. die abhangige Variable. Jede zu untersuchende Fragenstellung, die jeweils durch eine ZielgroBe gekennzeichnet ist, bedarf dabei einer eigenen gesonderten Referenzliste. b) Bestimmen des vollstandigen Kennzahlensatzes durch Aufstellen des Dimensionsmatrix, unter Aufteilen in Kern- und Restmatrix. - Umwandeln der Kernmatrix in die Einheitsmatrix, - Feststellen des Ranges der Dimensionsmatrix, - Feststellen der Anzahl der moglichen Kennzahlen, - Bilden, Bewerten und gegebenenfalls Umformen der Kennzahlen durch entsprechende Kombination, um zum Darstellen des Sachverhaltes giinstige Ausdriicke zu erhalten. -

Am Fall der Rohrstromung sol1 das MatrixKennzahlenverfahren gemaB ZLOKARNIK verdeutlicht werden:

Matrix-Methode An Stelle der direkten GroBen-Kombination des 17-Theorems geht das Matrizen-Verfahren nach PAWLOWSKI [28] iiber den Rang der erstellten Dimensionsmatrix. Dieser kann mit der ublichen Determinanten-Methode oder dem ElimationsVerfahren des GAUSS-Algorithmus [99] gemal3 PAWLOWSKI iiber die Matrizen-Hauptdiagonale (Tabelle 6-21) bestimmt werden. Der Gausssche Algorithmus macht auch sichtbar, ob die Dimensionen des zugehorigen Teiles der Dimensionsmatrix, der sog. Kernmatrix, voneinander linear unabhangig sind oder nicht. ZLOKARNIK I ) stellt die Vorgehensweise des Verfahrens der Kennzahlenermittlung uber die Matrizenrechnung ebenso ausfuhrlich wie sorgfaltig dar. Die Matrizenmethode gliedert sich in die Schritte: a) Erstellen und Ordnen der Relevanzliste durch - Auffiihren aller relevanter Variablen des Systems, d. h. Erfassen und Festhalten aller EinfluBgroBen (geometrische, mechanische, storniche), - Festlegen der Zielgrope durch Aufteilen der Variablen in unabhangige und abhangige. Die ZielgroBe ist dann der gesuchte Wert, 'I

ZLOKARNIK, M.: Modelliibertragung in der Verfahrenstechnik. Chem.-1ng.-Tech. 55 (1983) Nr. 5, S. 363 bis 372.

a) Relevanzliste EinPuJgroJen sind 0 geometrische -t Durchmesser D [m] und Lange L [m] des Rohres, wobei ein AbmessungsmaB oft charakteristisch fur alle steht; meist D mechanische -+ Druckverlust Apv [Pa = N/mZ = kg.m-1.s-2] und Stromungsgeschwindigkeit c [ m . ~ - im ~ ] Rohr, -+ Dichte Q [kg.m -3] und 0 stoffliche dynamische Viskositat q [Pa. s = ( ~ / m.~s = ) kg . m-' . s-'1 des stromenden Mediums (Fluid). Zielgrofle ist hierbei der Druckverlust Apv, da meist gesucht.

.

b) Kennzahlensatz Dimensionsmatrix mit Unterteilung in Kern- und Festmatrix: In der Restmatrix sind die GroBen der Relevanzliste anzuordnen, die je einzeln im Zahler der zu bildenden Kennzahlen auftreten sollen. Die Kernmatrix wird mit den iibrigen GroBen, den sog. Fiillgropen der Relevanzliste gebildet, die spater in allen Kennzahlen auftreten diirfen. Die Elemente von Kern- und Restmatrix sind dabei die Exponenten der zur Dimension der zugehorigen GroBe gehorenden MaD-Grundeinheiten. Zur Kennzeichnung stehen dazu stellvertretend: M fur die Masseneinheit kg L fur die Langeneinheit m Z fur die Zeiteinheit s

70

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Die Relevanzliste fuhrt zur Start- oder AnfangsDimensionsmatrix:

Lfd. EinheitsNr. Kennzeichen k

letztlich die Dimensionsmatrix in den Grund- oder Endzustand uber. Das Vertauschen der Zeilen 1 und 2 ware auch moglich. Es wurde zum gleichen Ergebnis fiihren, ist jedoch aufwendiger, da sowohl Kern- als auch Restmatrix betroffen. Den ersten Vorschlag ausgefuhrt, liefert folgende EndDimensionsmatrix: End-Dimensionsmatrix Lfd. LinearNr. operationen

Kernmatrix

Restmatrix

e D v

A p V c L

k I

Die sich ergebende (m;n)-Matrix besteht aus rn = 3 Zeilen (k = 1 . . .3) und n = 6 Spalten.

2 3

3

-z

[

I

o

07

1 0 1 0 0 1 ;

:]

;-I -I I -2 -1 : 2 1 0

Kernmatrix- ~ b e r f i h r u nin~die Einheitsmatrix: Die Dimensionsmatrix ist so aufzubauen. daI3 Rang der Dimensionsmatrix: durch Anwenden des Eliminationsprozesses ge- Der Matrix-Rang r ist festgelegt durch die Anzahl maB des GAUSS-Algorithmus die Anfangs-Dimen- der linear voneinander unabhangigen Zeilen einer sionsmatrix moglichst einfach in den Grundzu- Matrix, weshalb r I m mit m Ordnung der Matrix, stand, genannt End-Dimensionsmatrix, uberfuhrt d.h. ihre Zeilenanzahl. Zeilen sind unabhangig werden kann. Diese Bedingung wird erfullt, wenn voneinander, wenn die eine nicht durch lineare die Kernmatrix durch ein Minimum von gleichar- Kombinationen in die andere iibergeht, also ihr tigen Umformungen, d. h. ~~uivalenztransforma- identisch wird. tionen in die Einheitsmatrix ubergeht. Die Um- Zum Feststellen des Matrizenranges bestehen zwei wandlungsvorschrift besteht somit darin, in Wege, die meist verwendete Determinantensinnvoller Weise jede Zeile der gesamten Dimen- Methode und das PAWLOWSKI-Verfahren. sionsmatrix durch Linearkombinationen (AddieDeterminanten- Verfahren: Der Rang r wird durch ren, Subtrahieren) aus einer oder mehrerer ihrer die Ordnung (Zeilenzahl) der Matrix (Ausgangsanderen Zeilen bzw. ein entsprechendes Vielfaches bzw. Untermatrix) bestimmt. deren Determinante davon so umzuwandeln, daB in der Kernmatrix die Elemente der Hauptdiagonale (Tabelle 6-21) je nicht verschwindet, d. h. verschieden von null bleibt. zu eins und alle ubrigen null werden. Gegebe- Dies ist gegeben, wenn die Zeilen der betreffenden Matrix linear unabhangig voneinander sind. Das nenfalls sind noch Zeilen und/oder Spalten der gewird, wie zuvor erwahnt, erfullt, wenn sich aus samten Dimensionsmatrix so zu vertauschen, daI3 ihnen, d. h. ihren Koeffizienten, durch Linearkomdieses Ziel erreicht wird. binationen keine Nullzeile erzeugen laBt, also Das Durchfuhren solcher Lineartransformationen nicht alle Elemente einer Zeile, oder gar mehrerer, (Zeilenadditionen) fuhrt zu folgender umgewannull sind. Durchfiihrung dieses Verfahrens am vordelter Diagonalmatrix der Rohrstromung: liegenden Fall der Rohrstromung: Kernmatrix: Da Einheitsmatrix, ist Rang r so Umgewandelte groI3 wie ihre Ordnung (keine Nullzeile vorhanDimensionsmatrix den), also r = 3. Dies bestatigt auch die DeterrniKernmatrix Restmatrix Lfd. Linearnante der Kernmatrix, die Untermatrix der DiNr. operationen mensionsmatrix ist. k

1 2

3

D e ' 1

"+' 3.M+L+2.Z

-z

[

A p V c L

0 1 0 ;

-/ -2

r-1-1 t

1 0 0 / 0 0 1 . :,

,

: 2

-1

0 1 1 0

Durch Vertauschen von Spalte 1 rnit Spalte 2 geht die Kernmatrix in die Einheitsmatrix und damit

entwickelt iiber die erste Zeile! 0 0 1

3.3 Fluid-Kinetik

Restmatrix: 1st ebenfalls Untermatrix der Dimensionsmatrix. Rangsuche eriibrigt sich eigentlich, da Restmatrix nicht von hoherer Ordnung als Kernmatrix, weshalb Rang nicht hoher sein kann und geringerer, falls vorhanden, nicht interessiert. Zur Veranschaulichung sol1 dennoch die Determinante der Restmatrix berechnet werden, und dieses Ma1 uber die erste Spalte entwickelt:

GemaD dieser Vorgehensweise nach PAWLOWSKI ergeben sich folgende zu den Restmatrix-Spalten j = I bis 3 gehorenden Kennzahlen der EndDimensionsmatrix fur die Rohrstromung: j = l ; Spaltel: 17,'

APV

= - 1 + O ~ i = r3 Bemerkung: Die Determinantenbildungen an der Anfangs-Determinantenmatrix wiirden zwangslaufig zum selben Rang-Ergebnis fuhren, da an den Matrizen ausschliel3lich mathematisch korrekte Umwandlungen vorgenommen wurden.

-

1

L

.(O-1)+2.(0-0) +2.(-1-0)

-

p,.D-2.

j = 3; Spalte 3: 17, = e O , D l

= -1

71

.r,=

A~,.Q.D" 1

L 5

Bewerten der erhaltenen Kennzahlen und gegebenenfalls Umwandeln in anwendungsgunstigere Ausdrucke: Kennzahl 17,: Gemah Erfahrung ist die Struktur dieser Kennzahl fur die praktische Anwendung nicht vorteilhaft, weil sich mit dem Andern der dynamischen Viskositat 1,z. B. durch ~ b e r g e h e n auf ein anderes Medium, auch Kennzahl 17, andert. Dies ist im Versuchswesen ungunstig. Deshalb verwendet man eine entsprechende Kombination (Produktbildung) von 17, mit IT,, so da13 sich eine neue, von der Viskositat unabhangige Kennzahl ergibt:

PAWLOWSKI-Rangmethode: Bei diesem Verfahren wird der Rang einer Matrix uber deren Hauptdiagonale festgestellt. Mit dem GAUSS-Algorithmus (Linearkombinationen) muB hierzu die Matrix so lange umgeformt werden, bis unterhalb ihrer Hauptdiagonalen nur noch Nullen vorkommen. Die Anzahl z der danach nicht verschwundenen Elemente der Hauptdiagonale, die eine luckenlose Folge bilden, bestimmt dann den Rang r der Matrix, also r = z . In der Kernmatrix sind als Einheitsmatrix diese Bedingungen automatisch erfullt. Hier ist z = 3, weshalb r = 3, wie zuvor.

Kennzahl 17,: Dies ist nach G1. (3-37) die REYN O L D S - also ~ ~ ~nz ~= , Re.

Anzahl i der moglichen Kennzahlen: Diese ergibt sich als Differenz von Prozel3parameter-Anzahl der Relevanzliste, hier n = 6, und Rang der Dimensionsmatrix, hier r = 3. Also:

Kennzahl17,: Das ist als Geometrieverhaltnis ein triviales Ergebnis und bestatigt nur die ohnehin notwendige ~hnlichkeitsforderung nach geometrischer Porportionalitat (Abschnitt 3.3.1.1).

i=n-r=6-3=3

+njmit j = l b i s 3

Bilden der Kennzahlen: Erfolgt gemaB PAWLOWSKI nach der Regel: Jede physikalische GroDe der Kopfzeile der Restmatrix tritt getrennt nacheinander im Zahler eines Bruches auf. Der Nenner wird dabei jeweils gebildet von den FullgroBen (Kopfzeile der Kernmatrix), versehen in der Elementfolge von KernmatrixKopfzeile mit zugeordnet den Spaltenkoeffizienten aus der Restmatrix, die zu der verwendeten GroDe im Zahler des Bruches gehoren.

Dies ist die EULER-ZahlgemaB GI. (3-36), also II4 = Eu.

Ergebnis: Der vollstandige Kennzahlensatz (17Satz) fiir die reale Fluidstromung in geraden glatten Rohrleitungen lautet demnach: {Eu; Re; LID) Das ist die maximale Auskunft, welche die Dimensionsanalyse uber das Matrixverfahren aufgrund der vorab festgelegten Relevanzliste geben kann. Abschlul3bemerkungen: Es sei in diesem Buch nicht tiefer auf die Matrizenmethode zur Kennzahlenermittlung, das ein elegantes, allgemein

72

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

anwendbares Verfahren darstellt, eingegangen. Ausfuhrliches findet sich im zugehorigen Spezialschrifttum (Abschnitt 8), besonders zu PAWLOWSKI [28] und ZLOKARNIK (vorhergehende FuBnote). Probleme und mogliche Fehler der ~hnlichkeitstechnik sind fast ausschlieRlich mit der Relevanzliste verbunden. Die grol3te Schwierigkeit der ahnlichkeitstheoretischen Behandlung besteht darin, moglichst alle problemrelevanten EinfluDgroBen vorab zu finden, um diese dann bei der ~ h n l i c h keits-Verarbeitung berucksichtigen zu konnen. Durch theoretische uberlegungen und Vorversuche sind deshalb als erster Schritt moglichst alle EinfluBgroBen der Aufgabenstellung aufzuspuren. Gegebenenfalls konnen spater erkannte EinfluBgroBen oft entsprechend noch nachgefugt werden, wie beispielsweise die Wandoberflachen-Rauhigkeit als Parameter (Bilder 6-1 1; 6-38; 6-42).

3.3.1.3 Bedeutung der ~hnlichkeitsgesetze Die ermittelten Kennzahlen 17, (Tabelle 3-2), ein Vielfaches oder der Kehrwert davon, werden rnit den Namen der Forscher bezeichnet, die sich zuerst mit den Problemen beschaftigten, auf die sich das jeweilige k'hnlichkeitsgesetz bezieht:

Fur die in den Kennzahlen auftretenden GroRen sind die Werte einzusetzen, die das betreffende Stromungsproblem charakterisieren. Charakteristische GroBen sind bei: a) Innenstromungen Fur c: Die mittlere Stromungsgeschwindigkeit E (Querstrich auf c meist wieder weggelassen; Abschnitt 3.1.2). Fur I : Bei Kreisrohren der Rohrdurchmesser D. Bei beliebigen Rohren der gleichwertige Durchrnesser D,,(Abschnitt 4.1.I .4).

b) AuRenstromungen Fiir c: Die ungestorte Anstromgeschwindigkeitc, . Fur 1: Bei Profilen die Profiltiefe L (Bild 6-47). Bei Kugeln und quer angestomten Zylindern der Durchmesser D. Bei Fahrzeugen und Korpern die Lange L. Bei langsangestromten Platten die Lange L. Bei querangestromten Platten und Prismen die Hohe h (Bild 6-46). Bei Grenzschichtstromungen die Grenzschichtdicke 6 (Abschnitt 3.3.3.2).

3.3.1.4 Anwendung der Kennzahlen Die S T R O U H A L " - Sr Z ~tritt ~ ~ bei der Berechnung instationarer Stromungsvorgange auf. Sie ist ein MaB fur die Instationaritat einer Stromung. Dabei ist l/c die Zeit, die ein Fluidteilchen benotigt, um mit der Geschwindigkeit c den Weg 1 zuriickzulegen. 1st diese Zeit klein im Vergleich zur GroBenordnung der Zeit t, in welcher sich der instationare Vorgang abspielt, wird auch Sr klein. Die Stromung kann dann als quasistationar betrachtet werden (Sr + 0). Die E U L E R - Z BEU ~ ~ kann als Verhaltnis von Druckkraft zur Tragheitswirkung, oder dem der Arbeiten dieser beiden Krafte gedeutet werden. Sie kennzeichnet z.B. zusammen mit der REYN O L D S - Re ~ ~ den ~ ~ Druckverlust Apv in Rohrleitungen bei vorgegebenen Abmessungen (Durchmesser D; Lange L) und Stromungsverhaltnissen (Dichte Q ; FlieRgeschwindigkeit c). Dabei steht dann in der Eu-Zahl an Stelle des Druckes p der Druckverlust Ap, gemaB G1. (4-9, Abschnitt 4.1. Die R E u ~ o L ~ s ~ ) - ZRe a h list, wie sich spater zeigen wird, die wichtigste ~hnlichkeits~rolje der Fluidmechanik. Sie charakterisiert die Stromungsform, bedingt auch durch die Einflusse von Tragheit und Viskositat des Fluides, und bestimmt deshalb die ~ b e r t r a ~ b a r k evon i t Meaergebnissen auf andere Verhaltnisse. Der Grenzfall sehr kleiner REYNOLDS-Zahlen ( R e s l ) beschreibt die sog. schleichenden Bewegungen, z. B. Schmierschichtstromung in Gleitlagern. In der Versuchstechnik ermoglicht das R E Y N O L D S ~freie ~ S Wahl ~ ~ Z der Abstimmung von ModellgroBe, Geschwindigkeit und Fluid, wenn dabei die Re-Zahlen von Modell- und GroDausfuhrung gleich sind. Bei Ma 2 0,3 ist hierbei jedoch auch die M a c ~ z a h moglichst l einzuhalten. l)

STROUHAL, V. (1850 bis 1922). REYNOLDS, Osborne (1842 bis 1912), engl. Physiker.

3.3 Fluid-Kinetik

Die FROUDE'I-Zahl Fr ist das Kriterium fur die ~hnlichkeitvon Stromungsvorgangen, die im wesentlichen durch die Schwerewirkung des Fluids verursacht werden. Sie ist deshalb besonders bei der Wellenbildung von Stromungen mit freier Oberflache (Kanale, Flusse) wichtig, d. h. bei den sog. Schwerewellen. Dabei bedeutet die GroIJe Jgl'die Grundwellengeschwindigkeit in flachem Wasser mit der Tiefe 1. Bei der Wellenbewegung verbleiben die einzelnen Fluidteilchen jeweils im Mittel am gleichen Ort. Sie durchlaufen beim Schwingen geschlossene Bahnen (kreis- oder ellipsenformig).

73

An Stromungsvorgangen realer Fluide sind die drei Krafte - Druckkraft FD=p.AQ - Viskositatskraft Fw = z . A , (Widerstands- oder Reibungskraft) FT = m . a, = m . i. - Tragheitskraft beteiligt, die nach dem N ~ w ~ o ~ s c hGrundgeen setz uber dem D'ALEMBERT-Prinzip im Gleichgewicht stehen. Mechanische ~hnlichkeit ist nach Abschnitt 3.3.1.1 gegeben, wenn die Krafteverhaltnisse an den geometrisch proportional zugeordneten Punkten PG und PM(Bild 3-13) der zu vergleichenden Stromungen gleich sind:

Die MACH 2)-ZahlMa kommt zur REYNOLDS-Zahl F ~ , ~ /=FF ~~ , , ~ ~ /=FF ~~ , ~ / F ~ , (3-40) ~ als weitere wichtige KenngroIJe fur die Beschreibung und die Ahnlichkeit kompressibler Stromun- Diesem Kraftemafistab gemaIJ G1. (3-40) ist entgen. Nach Abschnitt 1.3.1 (Gl. 1-10) kann bei sprochen, wenn zwei der drei Verhaltnisse erfullt Stromungen kompressibler Fluide bis Ma a 0,3 werden, da dann nach dem N ~ w ~ o ~ s c Grundhen die Kompressibilitat vernachlassigt, das Gas somit gesetz das dritte mitberiicksichtigt ist. Die Quoals quasi-inkompressibel betrachtet werden. Die tienten der Krafte infolge Tragheit und Viskositat M ~ c ~ - Z a kennzeichnet hl den Abstand der Stro- werden, wie zuvor erwahnt, weiter untersucht: mungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit des Fluides. Die Kennzahl-Beziehungen werden auch als Modellgesetze bezeichnet. So steht z. B. fur Ausgewertet: REYNOLDS-Beziehungauch REYNOLDS-Modell- a) Verhaltnis der Viskositatskra& der Fluide: gesetz. Entsprechendes gilt fiir Sr, EM,Fr und Ma. Nach GI. (1-14) ist Fw = A,. v . dcx dz Die REYNOLDS-Zahl als wichtigste KenngroBe ist immer zu erfullen. Je nach Stromungsfall mussen zudem die zugehorigen anderen Kennzahlen eben- Damit wird falls erfullt sein. Kennzahlen dienen oft auch zum Normieren, d. h. Mit den geometrischen ~hnlichkeitsbedingungen dimensionslosen Darstellen (sog. Entdimensioniez D; A , D2; dc,/dz c,/z und c, = c ren) von Variablen in Diagrammen.

-

-

-

sowie den Bezugsstellen @ von G und 0, geometrisch proportional in M gemaS Bild 3-13, wird

3.3.1.5 Herleitung der Kennzahlen durch Vergleichen gleichartiger GroDen REYNOLDS-Zahl GemaIJ Erfahrung sowie Formelaufbau (Gl. (3-37)) beschreibt die REYNOLDS-Zahl auch den Zusammenhang zwischen Tragheit (falls vorhanden, d. h. a, 0) und Viskositat der Stromung. Sie folgt daher aus dem Vergleich der beiden zugehorigen Krafte.

+

FROUDE, W. (1810 bis 1879). ')

MACH,Ernst (1838 bis 1916), osterr. Physiker u. Philosoph.

b) Vkrhaltnis der Tragheitskrayte der Stromungen: Mit allgemein FT = m . a,

=Q

dcx . V .wird dt

Unter Verwendung der khnlichkeitsbeziehungen V - D 3 und A t = A s / c - D / c + d t - D / c

74

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

ergibt sich wieder mit den Bezugsstellen Q und Q

c) ZusammengefaDt: Die beiden Krafteverhaltnisse (Proportionalitaten), G1. (3-42) und G1. (3-43) gemaD Beziehung (3-41) gleichgesetzt, liefert:

Bemerkungen: Wie die REYNOLDS-Zahl physikalisch als Quotient von Tragheitskraft der Stromung und Viskositatskraft (Reibungskraft) des Fluides aufgefal3t werdeu kann, ist die MACH-Zahl deutbar als Verhaltnis von Tragheitskraft der Stromung zu Elastizitatskraft des stromenden Mediums, da die Schallgeschwindigkeit durch die Kompressibilitat und die Stromungsgeschwindigkeit durch die Tragheit des Fluides bestimmt wird. Die M ~ c ~ - Z akennzeichnet hl somit das elastische Verhalten des beteiligten Fluides. Die Re-Zahl wird um so groDer, je mehr die Tragheitswirkung die Reibungskraft (ViskositatseinfluB) ubersteigt. Die Ma-Zahl wird um so groaer, je mehr die Stromungstragheit die Fluidelastizitat iibertrifft (~berschall).

Werden jeweils die GroDen mit gleichen Indizes zusammengefaBt, was gleichbedeutend ist mit dem Verhaltnis von Tragheit- und Viskositatskraft, er- F R O U D E - Z ~ ~ ~ gibt sich mit der kinematischen Viskositat v = q / ~ : Ergibt sich aus Vergleich von Tragheitskraft F, = m . a , und Schwer-, d. h. Gewichtskraft FG = m . g. Ansatz somit: oder allgemein c . D/v = konst

= Re

Die ~hnlichkeitsbedin~ungfordert demnach gleich groDe REYNOLDS-Zahlen

der zu vergleichenden Stromungsvorgange, z. B. bei der ~bertragungvon Versuchsergebnissen. Die REYNOLDS-Zahl folgt auch aus dem Verhaltnis von Stau- und Viskositatskraft, bnv. von Staudruck q (Abschnitt 3.3.6.3.3) und Viskositatsscherspannung z (Gl. 1-14). Kurzherleitung:

ubergang auf Bezugsstelle @ an GroDausfuhrung und der geometrisch proportional gelegenen Q am Model1 gemaB Bild 3-13: Mit a,

Diese Verhaltnisbildung ist allgemeiner, da beispielsweise bei stationaren Strijmungen in Rohren von gleichbleibendem Durchmesser (c = konst) keine Tragheitskrafte auftreten.

M~c~-Zahl Folgt aus Geschwindigkeits-Vergleich, und zwar von Stromungs- bzw. Bewegungsgeschwindigkeit mit der Fluid-Schallgeschwindigkeit + Geschwindigkeits-MaDstab:

-t

C

C

c2 1

- = - = - werden

l/c

Gleichgesetzt gemaB Ansatz: c: - c: 4 . g 12.g

oder radiziert

Das bedeutet: Es muD die gleiche F R O U D E - ~ ~ ~ ~ Fr = c / f i an GroBausfiihrung und Model1 vorliegen, damit physikalische ~hnlichkeitder zugehorigen Vorgange besteht.

3.3 Fluid-Kinetik

EULER-Zahl Sie folgt aus dem Verhaltnis von Druckenergie ED (Abschnitt 2.2.5) und kinetischer Energie E,, der Stromung + Energie-MaDstab:

iL Farbfoden

-

Bemerkung: Die EULER-Zahlfolgt auch aus dem Quotienten von Druckkraft und Tragheitskraft. STROUHAL-Zahl Sie ist der Quotient von lokaler und konvektiver Beschleunigung (Abschnitte 3.3.3; 3.3.4) + BeschleunigungsmaDstab.Nach GI. (3-2) gilt:

entsprechend Sr = Ll(c . t ) Die STROUHAL-Zahl enthalt somit nur kinetische GroDen, die ausschlieBlich bei instationaren Stromungen auftreten.

3.3.2 Stromungsformen Vorbemerkungen: Beim Untersuchen von Stromungen realer Fluide sind zwei Stromungsformen zu beobachten: - Schichtstromung oder laminare ') Stromung - Wirbelstromung oder turbulente Stromung

Die beiden Stromungsformen unterscheiden sich grundsatzlich, sowohl hinsichtlich des Erscheinungsbildes als auch der physikalischen Bedingungen. Die jeweilige Stromungsform wird dabei von der Stromungsgeschwindigkeit wesentlich beeinfluBt.

3.3.2.1 Laminare Stromung Die Fluidteilchen bewegen sich in wohlgeordneten, nebeneinanderlaufenden Schichten, die sich weder durchsetzen, noch miteinander mischen. Dabei konnen die einzelnen Schichten verschiedene Geschwindigkeiten haben und sich aneinander vorbeibewegen. REYNOLDS hat als erster diese Stromungsform durch Einleiten von Farbstoff ')

2,

lamina Oat.) Schicht, geordnet. turbo (lat.) Wirbel, ungeordnet. Turbulenz . unregelmal3ige, nicht reproduzierbare Variation in Ram und

..

Zeit.

75

Bild 3-14. Laminare Stromung,d.h. mikroskopisch geordnete Bewegung. mittels einer feinen Kanule nachgewiesen. Dabei zieht sich von der in die Stromung eingebrachten Kaniile ein farbiger Stromfaden zwischen den Schichten entlang der Stromung, ohne seine Form zu andern, Bild 3-14. Laminare Stromung entsteht vor allem bei kleinen Striimungsgeschwindigkeiten. Ein Vermischen (Diffusion) der Strombahnen findet nur im mikroskopischen Bereich statt, bedingt durch die thermische Molekularbewegung (freie Weglange) der Teilchen. Die thermische Teilchengeschwindigkeit betragt etwa 1000 bis 2000 m/s (Abschnitt 1.3.5.3). Die Fluidreibung kommt durch den molekiilbedingten Impulsaustausch zustande. Dieser wirkt sich als Scherspannung (Viskositat) aus. Allgemein wird eine Struktur mit regelmal3iger Ordnung als laminar bezeichnet. Laminare Stromungen zeichnen sich daher durch einen hohen Grad an Ordnung aus, und diffuser Transport erfolgt nur durch Teilchenbewegung, die sog. 1sche Molekularbewegung.

3.3.2.2 Thrbulente Stromung 3.3.2.2.1 Grundsatzliches Wird die Stromungsgeschwindigkeit eines laminaren Stromungsfeldes gesteigert, andert sich das Stromungsbild ab einem kritischen Wert erheblich. Die urspriinglich stabile laminare Stromung wird instabil. Der eingebrachte Farbstoff-,,Faden'' fuhrt immer starkere unregelmaaige Querbewegungen aus, Bild 3-15, bis er schnell vollsthdig zerflattert. Bei der turbulent gewordenen Stromung iiberlagern sich der geordneten Grundstromung ungeordnete stochastische, d.h. statistisch zufallsbedingte Schwankungsbewegungen in Quer- und Langsrichtung (Stromungsrichtung). Die turbulente Stromung ist deshalb durch eine intensive Durchmischung charakterisiert. Turbulente Stromungen, immer lokal instationar, sind gut korreliert (wechselbezogen), jedoch nicht

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3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

1

'"'"Off

Farbfaden (zerflattert)

Bild 3-15. Turbulente Stromung (makroskopisch ungeordnete Bewegung).

deterministisch (vorbestimmt), also zufallig ungeordnet, aber nicht vollig chaotisch. Die wohlgeordnete laminare Schichtstromung ist in die irregulare turbulente Stromung (ungeordnet) ubergegangen. Dem molekularen Impulsaustausch der laminaren Stromung uberlagert sich der makroskopische der Turbulenzbewegung. Standig wird makroskopische Schwankungsbewegung (Turbulenz) durch Impulsiibertrag letztlich in mikroskopische Bewegung (Warme) umgewandelt (Dissipation). Dadurch schwacht sich die Turbulenz fortwahrend ab, wenn sie nicht von auben durch Energiezufuhr immer neu angefacht wird. Auswirkung der Viskositat somit - makroskopisch betrachtet: Reibung - mikroskopisch betrachtet: Impulsaustausch Bei Stromungen andert sich der Druck oft in Stromungsrichtung (Abschnitt 3.3.6.3). Senkrecht zur Stromung (Querrichtung) dagegen ist der makroskopische Druckgradient jedoch immer null, d. h., es besteht hierbei keine Druckanderung. Die Aufrechterhaltung der Turbulenz erfolgt besonders durch die Fluidreibung an den Begrenzungen (meist Wande) des Stromungsfeldes. Von den Wanden losen sich fortlaufend dort gebildete kleine Wirbel (Fluidteilchengruppen mit Drehung) ab, die ins Fluidinnere eindringen und dadurch die Schwankungsbewegungen (Mischbewegungen) hauptsachlich verursachen. Im Kleinen (lokal) sind turbulente Stromungen infolge der unregelmabigen Schwankungen instationar. Unter Beachten der zeitlichen Stromungsmittelwerte, d. h. im GroSen (global) betrachtet, konnen sie jedoch als stationar angesehen werden. Den Mittelwerten von Geschwindigkeit und Druck p) sind unregelmabige Schwankungen (c",p') uberlagert. Die Momentanwerte von Geschwindigkeit und Druck betragen daher c'= $ + c" und p = jj + p' (Bild 3-16).

(z,

Bild 3-16. Turbulenz (unregelmaBiges Verhalten). MeBgroBe an festgehaltener Orts-Stelle als Funktion der Zeit t (Prinzipdarstellung). a) statistisch stationare Stromung b) statistisch instationare Stromung. StatthaltergroBe O steht dabei fiir Geschwindigkeit c oder Druck p. O Mittelwert, bei Fall a) zeitlicher Mittelwert, bei Stromung b) sog. Ensemble-Mittelwert (Orts-Mittelwert). O = B + 63' Momentanwert, jeweils zur Zeit t.

Die etwa chaotischen (Chaostheorie), d. h. letztlich nicht berechenbaren statistischen Schwankungswerte c",p' sind bei laminarer Stromung mikroskopisch klein und bewirken durch Querdiffusion nur den Ausgleich von Konzentrationssowie Temperaturunterschieden.Die Stromung ist jedoch stabil und die Reibung daher gering. Bei turbulenter Stromung sind die Schwankungswerte dagegen von makroskopischer GroDe, also wesentlich groSer als bei laminarer Stromung, wenn auch um Zehnerdekaden, kurz Dekaden, kleiner als die Stromungsmittelwerte. Die turbulente Stromung ist daher nur in ihren Mittelwerten stabil. Die unregelmabigen Schwankungswerte sind das Charakteristikum der turbulenten Stromung und bewirken durch den starken Impulsaustausch die wesentlich erhohte Reibung (Schubspannung). Die Schwankungen erfolgen im Kiloherz- und Millimeterbereich. Sie werden auch als Kleinturbulenz bezeichnet, im Gegensatz zur GroDturbulenz (Wirbelbereiche, Ablosegebiete, Totraume + Abschnitt 3.3.4). Wie die Turbulenz aus der Laminarbewegung entsteht, ist letztlich noch nicht einwandfrei analytisch geklart (Stabilitatsproblem). PRANDTLentwickelte die Theorie, nach der Turbulenzen aus dunnen Fluid-Randschichten des Stromungsfeldes entstehen, die sich entlang den Begrenzungswanden bilden, den sog. Grenzschichten (Grenzschichttheorie). Beim Entstehen der Turbulenz wird zwischen drei Phasen unterschieden: 1. Anfachen kleiner Storungen. 2. Entstehen ortlicher Turbulenzstellen.

3.3 Fluid-Kinetik

3. Anwachsen und Ausbreiten der lokalen Turbulenzbereiche bis zur voll ausgebildeten turbulenten Stromung. Die Viskositatskrafte steigen linear, die Turbulenzkrafte quadratisch mit der Geschwindigkeit, weshalb diese bei hoheren Geschwindigkeiten ( 2Rek,, Abschnitt 3.3.2.4) uberwiegen und die Stromung turbulent bleibt. Zusammenfassung: Turbulente Stromungen sind insgesamt durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: zeitabhangig - unregelmafiig - mischungsintensiv -

-

dreidimensional drehungsbehaftet dissipativ

Die charakteristischen makroskopischen Langen (Abmessungen des Stromungsgebietes) sind meist sehr vie1 grol3er als die kleinsten Wirbel der turbulenten Stromung. Die GroDe der kleinsten Turbulenzelemente verringert sich mit wachsender REYNOLDSZ Die ~ ~theoretische ~. und numerische Behandlung des Phanomens Turbulenz ist daher auDerst schwierig sowie aufwendig, wenn letztlich uberhaupt moglich (siehe Benutzer-Hinweise).

3.3.2.2.2 Turbulenzgrad Der Turbulenzgrad Tu ist das Ma0 fur die Intensitat der Turbulenz und wird definiert:

Dabei sind c:, c;, c; die Komponenten der stochastischen ') turbulenten - Schwankungsgeschwindigkeit c' und c:, c;, c; die zugehorigen Schwankungs-Mittelwerte, die gemlo Definition null sind, da positive und negative Werte (Richtungen) sich ausgleichen (aufheben). Dagegen sind die zeitlichen Mittelwerte der Quadrate - dieser Schwankungsgeschwindigkeiten, also c:' , c ; ' und c:' praktisch immer ungleich null. Die Minuszeichen der negativen Werte entfallen durch das Quadrieren vor der Mittelwertbildung. Wie bereits erwahnt, ist die turbulente unregelmaDige Schwankungsbewegung (Nebenstromung) der Grundstromung (Hauptstromung), als zeitlicher Mittelwert der Stromungsgeschwindigkeit,

')

stochastisch . . . zufallsbedingt Stochastik . . . Teilgebiet der Statistik, das sich mit der Analyse zufallsbedingter Ereignisse befaat.

77

iiberlagert. Die turbulente Stromnngsgeschwindigkeit c' hat demnach die Form:

Bei isotroper Turbulenz, die meist naherungsweise vorliegt, ist und dazu der Turbulenzgrad

Bei iiblichen turbulenten Stromungen hat der Turbulenzgrad Werte von Tu x 0,l. Turbulenzarme Stromungen haben Werte von Tu 10,01. Gute Windkanale beispielsweise erreichen Tu w 0,5 . verwirklicht durch mehrere, quer zur Stromungsrichtung hintereinander angeordnete feinmaschige Beruhigungsgitter (Siebe). Die kritische REYNOLDS-Zahl, bei welcher der ubergang laminar-turbulent erfolgt, ist in groRem Bereich vom Turbulenzgrad abhangig. Erreicht der Turbulenzgrad jedoch den geringen Wert von 0,1% (kritischer Turbulenzgrad), bleibt Re,, auch bei weiter fallendem Turbulenzgrad konstant. Das bedeutet, oberhalb Tu = 0,1% wird der Umschlag durch auDere Storungen herbeigefiihrt, z. B. durch turbulente Schwankungsbewegungen der Windkanal-Zustromung, unterhalb durch die nach der Theorie von TOLLMIEN vorausgesetzten inneren, etwa sinusformigen Storungswellen. Die kritische REYNOLDS-Zahl betragt dabei etwa (I . . . 3) . lo6. Um die Schwankungsgeschwindigkeiten c:, ck, c i zu messen, werden hauptsachlich Hitzdrahtanemometer eingesetzt. Prinzip solcher MeBsonden: Ein dunner elektrischer Draht (meist Gold von ungefahr 2 pm Durchmesser) ist der Stromung ausgesetzt. Er kiihlt sich, abhangig von der Umstromungsgeschwindigkeit, mehr oder weniger stark ab und verandert dadurch seinen elektrischen Widerstand, der damit ein Ma13 fur die Stromungsschwankung ist. Nach entsprechender Kalibrierung mi& er infolge seiner sehr geringen Masse praktisch tragheitslos die normal zu seiner Achse auftretenden Geschwindigkeitsschwankungen.Anwendbar sind solche Gerate bei Stromungsgeschwindigkeit uber etwa 1 m/s. Ein anderes Verfahren ist die LASER-DOPPLER ')Anemometrie, abgekiirzt LDA, bei dem kein Me& geber in die Stromung eingebracht werden muD. DOPPLER, Christian (1803 bis 1858), osterr. Physiker und Mathematiker.

78

3 Fluid-Dynamik,Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Hier wird die Geschwindigkeit uber Laserstrahlablenkung (DOPPLER-Effekt)durch in der Stromung sich mitbewegende kleinste Verunreinigungen gemessen, die meist vorhanden sind. Das erfordert jedoch durchsichtige Wande und aufwendige Apparaturen sowie gegebenenfalls Beigabe von Streuteilchen. Turbulenzfrequenzen (GeschwindigkeitsDruckschwankungen) betragen bei Fliissigkeiten ca. 5 bis 50 kHz Gasen, Dampfen ca. 10 bis 100 kHz

Dabei gibt es Schwankungswege von ca. (GroDenordnung).

und

m

3.3.2.2.3 Scheinbare Viskositat qt Durch die bei der Turbulenz vorhandenen stochastischen Quer- oder Mischungsbewegungen erfolgt ein Impulsaustausch. Die dabei auftretenden teilelastischen StoSe zwischen den Fluidteilchen verursachen, daD mechanische Energie verloren geht, die in Warme umgesetzt wird (Dissipation). Bei diesen StoBvorgangen wird also kinetische Energie der (geordneten) Stromung in kinetische Energie der (ungeordneten) Warmebewegung molekularkinetische Gastheorie - uberfuhrt. Aus makroskopischen Schwankungen werden mikroskopische. Die Turbulenz bewirkt dadurch einen zusatzlichen Stromungswiderstand, eine sog. turbulente Scheinreibung. AuSerdem besteht die Vorstellung, daD in einem turbulent stromenden Medium standig kleine ,,Fluidballen'' von wandnahen Stromlinien (Grenzschicht) von solchen der Kernstromung (AuSenschicht) verdrangt werden und umgekehrt. Beschleunigung, bzw. Verzogerung der kleinen verdrangten Fluidballen ist die Folge, was mechanische Energie verbraucht (Impulsaustausch). Die standig neu entstehenden Turbulenzballen zerfallen ebenso wieder fortlaufend unter Warmeerzeugung. Die turbulente Stromung verhalt sich daher so, als ob sie eine zusatzliche Viskositat (Reibung) zu uberwinden habe. Basierend auf diesem Wirbelviskositatsprinzip (Hypothese) von BOUSS~ESQ kann entsprechend dem N ~ w ~ o ~ s c h eFluidreibungsgesetz, n GI. (1-1 5), formal gesetzt werden:

'I

BOUSSINESQ, Valientin-Josef (1842 bis 1929), frz. Mathematiker und Physiker.

In diesem Spannungsansatz sind: z, . . . Schubspannung, durch die Turbulenz her-

vorgerufen (Abschnitt 4.1.6.1.2) y, . . . scheinbare Viskositat infolge Turbulenz n . . . Normalrichtung zur mittleren Stromungsgeschwindigkeit c' Die Scheinviskositat q , , auch als turbulente AustauschgroI3e oder Turbulenzviskositat bezeichnet, ist keine physikalische StoffgroSe, sondern als sog. ZmpulsaustauschgroflemaDgeblich von der Turbulenzstarke und damit vom ortlichen Stromungszustand (Turbulenzstruktur) abhangig, also vom Turbulenzgrad. Allgemeingiiltige Zahlenwerte anzugeben ist deshalb nicht moglich. Meistens ist jedoch y, >> y. Der Stromungswiderstand infolge Turbulenz ist somit wesentlich groDer als der infolge (laminarer) Reibung (Viskositat). Der Stromungsverlust turbulenter Stromungen ist daher in der Regel bedeutend groljer als der laminarer. Oftmals betragt q, das 100- bis uber 1000-fache von q ; beim Freistrahl z. B. 1400-fach. Deshalb ist bei turbulenter Stromung die Laminar-, d. h. Molekularviskositat q meist vernachlbsigbar. v, = &/QTurbulenz- oder Wirbelviskositat

Die gesamte Schubspannung, die Gesamtscherspannung z,,, einer turbulenten Stromung ist daher:

Hierbei konnte (17 + q,) = qgesals Effektiv- oder Gesamtviskositat bezeichnet werden. Gemalj Abschnitt 1.3.5.1 ist D = aclan das Geschwindigkeitsgefalle. Es werden auch bezeichnet: z = y . acpn als laminare, mikroskopische oder molekulare Schubspannung. Sie ist, wie erwahnt, bedingt durch den laminaren Impulsaustausch (mikroskopisch) infolge molarer (thermischer) Schwankungsbewegungen, die immer vorhanden sind und deshalb auch bei laminarer Stromung (Abschnitt 1.3.5.1). z, = y, . acpn als turbulente oder makroskopische Schubspannung, bedingt durch die turbulenten (makroskopisch) Schwankungsbewegungen (Abschnitte 4.1.6.1.2 und 4.3.1.6). Das Prinzip der Wirbelviskositat q, nach BOUSSINESQ beruht auf der Annahme, daD - analog zu den laminaren Schubspannungen - die turbulenten Spannungen ebenfalls proportional zu den Deformationsgeschwindigkeiten (Schergeralle) der

3.3 Fluid-Kinetik

Stromung sind. Der Hintergrund der Wirbelviskositatsannahme ist also die Modellvorstellung des Impulsaustausches durch fluktuierende Wirbel in turbulenten Stromungen, analog dem Impulsaustausch der Molekule bei laminaren Stromungen, der molaren Viskositat. GroBere Wirbel zerfallen standig in immer kleinere, bis letztlich nur die thermische Bewegung der Molekule (Warme) gemaB der kinetischen Stoff-Theorie verbleibt + Energiekaskade. Die Wirbel und damit die Turbulenz mu8 daher standig neu angefacht werden, was entsprechenden Energieaufwand erfordert, der sich als Verlust ausdruckt. Mechanische Energie wird in thermische transferiert. Stromungsumschlag: Nach Versuchen ist die Stromungsform und damit der ubergang von laminarer zu turbulenter Stromung maBgeblich durch folgende EinfluBgroIjen bestimmt: Stromungsgeschwindigkeit c, Fluidart, gekennzeichnet durch die Eigenschaften Dichte Q und dynamische Viskositat Q, Geometrische Abmessungen des Stromungfeldes bzw. -vorganges. Storungen der Stromung, wie z.B. zufallige, praktisch immer vorhandene UnregelmaBigkeiten, Erschiitterungen, Schallwellen.

79

Daraus folgt Re < 2320 Laminarstromung Re 2 2320 Turbulenzstromung Hinweis: Tabelle 6-1 1. Unter gunstigen Bedingungen, d. h. Stromungen ohne jede Vorturbulenz bei vollig erschutterungsfreier Anordnung und ohne sonstigen storenden Einflussen, kann laminares Verhalten bis ReZahlen von ca. 10000 aufrechterhalten werden. Manche Forscher verwirklichten laminare Stromung sogar bis Re = 50000. Bei der geringsten Storung, z. B. Erschutterung, schlagt diese labile laminare Stromung jedoch in turbulente um und kehrt nicht mehr zuruck. Oberhalb dieser Werte liegt demnach immer turbulente Stromung vor. Dagegen besteht in der Technik unterhalb Re = 2320 immer laminare Stromung, was allerdings nur selten auftritt. Die Stromung ist hier stabil laminar. Durch auBere Einflusse verursachte Storungen (Wirbel) ,,beruhigen s i c h , d. h. sie verschwinden langsam und die Stromung wird wieder laminar (sie kehrt zuruck).

Allgemein kann deshalb definiert werden: Re . :Re,, stabiles laminares Verhalten; unterkriti=her Fall. Wird in diesem Bereich eine Strornung gestort, z. B. durchgeriihrt, so klingt diese Storung mit wachsender ~ n t f e r n u nvon ~ der ~ t ~ r s t e l lab e und Durch diese GroIjen wird jedoch auch die REYdie Stromung wird wieder laminar. N O L D S - ~gebildet. ~ ~ ~ Die R E Y N O L D S -ist Z ~da~~ her die KenngroBe fur die Stromungsform und Re > Re,, labiles laminares Verhalten. Bei der geringsten Storung schlagt die laminare den Umschlag von laminarer in turbulente StroStromung, sofern vorhanden, in turbumung. Der Umschlag erfolgt bei der sog. kritischen lente um und wird nicht mehr laminar. REYNOLDS-Zahl Rek, . Technische Innenstromungen sind daher bei Re > Re,, immer turbulent; 3.3.2.2.4 Kritische REYNOLDS-Zahl iiberkritischer Fall. Der Umschlag laminar-turbulent ist ein Stabilitatsproblem und auf die entstehende Instabilitat Re = Re,, kritischer Fall. Dieser Grenzfall wird beim uberkritischen eingruppiert. der Laminarstromung zuruckzufiihren. Er ist von der Art des Stromungvorganges abhangig, der Vorturbulenz des Fluids und anderen Einflussen, AuBenstromungen (Umstromungen) z. B. Erschutterungen, Oberflachenrauhigkeit. Die kritische REYNOLDS-Zahl mu8 experimentell ermittelt werden. Fur die beiden Gruppen Innen- Widerstandskorper: und AuIjenstromungen ergibt sich aufgrund von Re,, = 3 . lo5 bis 5 . 10' (bis 3 . lo6) 'I (3-52b) MeBwerten: Auftriebskorper (Fliigel-Profile): lnnenstromungen (Rohr- und Kanalstromungen): Re,, = (0,5 bis 1,5 bis 5). lo5 (3-52c) L,,

. . . kritische Stromungsgeschwindigkeit D . . . Rohr- oder gleichwertiger Durchmes-

Mit c,,

ser D,,

. . . kritische Korpertiefe in Stromungsrichtung, davor laminar, danach turbulent.

Der eingeklammerte Bereich gilt fiir Sonderfalle.

80

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Wahrend bei technischen Innenstromungen eine relativ scharfe Grenze ftir den Umschlag festliegt, ist dies bei AuDenstromungen nicht der Fall. In der Regel erfolgt der Umschlag an der Stelle des Druckminimums am umstromten Korper. Widerstandskorper sind solche, die nur Stromungswiderstand verursachen. Profil- oder Auftriebskorper (Tragflugel) dagegen erzeugen sowohl Auftrieb (Querkraft), ihre eigentliche Aufgabe, als auch unvermeidlichen Widerstand (Abschnitt 4.3.3). Bei technischen Umstromungen von Widerstandskorpern mit der Lange L in Stromungsrichtung liegt der Umschlagspunkt normalerweise zwischen Re = 3 - lo5 bis 5 . lo5, also Umstromung meist: Re = c . Llv < 3 . lo5bis 5 . lo5 laminar Re = c Llv > 3 . lo5 bis 5 lo5 turbulent Turbulente Umstromung bedeutet laminare Anfangsstromung- bis Weglange (kritischer Wert): Lkr = (Re,, .v)/c dann Umschlag und danach turbulentes Weiterstromen. Je stLker die Vorturbulenz, desto fruher erfolgt der Umschlag. Bei besonders storungsfreier AuDenstromung kann der Umschlagspunkt bis auf Rek, = 3 . lo6 hinausgeschoben werden. Bemerkungen: 1. Da sich die R E Y N O L D Sauch - ~ B aus ~ ~ dem Verhaltnis von Tragheits- und Viskositatskraft, G1. (3-41), ergibt, kann festgestellt werden: Bei Stromungen mit kleinen Re-Werten: Viskositatskraft ubenviegt (viskose Stromungen), also Q bestimmende StoffgroDe. groBen Re-Werten: Tragheitskraft uberwiegt (trage Stromungen), d. h. Q bestimmende StoffgroBe. 2. Schleichende Stromungen Schleichende Fluidbewegungen sind Stromungen mit sehr kleinen Re-Zahlen. Im allgemeinen wird Re II als Grenze festgelegt. Solche vollausgebildeten Viskositatsstorungen sind z. B. - Kapillarstromungen (eindimensional). - Schmierschichtstromungen (zweidimensiorial), - Hele-Shaw-Stromung (zweidimensional),

S ~ o ~ ~ s s cKugelumstromung he (dreidimensional). 3. Technische Stromungen sind, wie die Berechnung ergibt und die Erfahrung, b m . der Versuch bestatigt, fast durchweg turbulent. Eine der wenigen technischen Ausnahmen ist die Stromung in Warmwasserheizungen. -

3.3.3 Grenzschichttheorie 3.3.3.1 Grundsatzliches Nach der Haftbedingung (Abschnitt 1.3.3) nimmt die eine Begrenzungswand beriihrende Fluidschicht (Monomolekularschicht) infolge AdhC sionswirkung deren Geschwindigkeit an. Bei den ublichen Fluiden geht der WandeinfluD jedoch sehr schnell zuriick und hort in meist vergleichsweise kleinem Abstand praktisch auf. Von einem ~ E w ~ o ~ s c Fluid h e n darf angenommen werden, daD es sich in genugender Entfernung von einer festen Begrenzungswand bzw. von der Oberflache eines eingetauchten Korpers nahezu wie ein ideales Fluid verhalt. wenn von der Turbulenzwirkung abgesehen wird. Bei geringer Viskositat kann die Fluidreibung nach dem NEWTON-Reibungsgesetz nur dann einen merklichen Einflul3. ausuben, sofern ein grol3es Geschwindigkeitsgefalle vorhanden ist. Im auDeren Stromungsbereich ist dies im allgemeinen nicht der Fall, wohl aber im Randbereich, d. h. in unmittelbarer Wandnahe. Wahrend also das Fluid an der Wand haftet und dort deren Geschwindigkeit annimmt, erreicht diese schon in geringem Wandabstand fast den Wert der reibungsfreien Bewegung. Zwischen der Wand einerseits und der BuBeren, annahernd reibungsfreien Stromung andererseits befindet sich daher eine dunne ubergangsschicht, die sog. Reibungs-, Rand- oder Grenzschicht. In dieser relativ dunnen Grenzschicht vollzieht sich somit der ubergang von der Wandgeschwindigkeit etwa zum Wert der auDeren Stromung. Nach dieser sog. Grenzschichttheorie kann demnach das Stromungsfeld in zwei, allerdings nicht scharf voneinander getrennte Bereiche eingeteilt werden: a) ~ u B e r e rBereich (AuDenstromung), in dem angenahert konstante Geschwindigkeit und damit nahezu reibungsfreie Bewegung herrscht. Hier gelten bei Wirbelfreiheit die Gesetze der Potentialstromung -+ nichtviskoses Gebiet. Bei Turbulenz ist jedoch der dadurch bedingte, verlustbehaftete Impulsaustausch vorhanden (Abschnitt 3.3.2.2.3).

3.3 Fluid-Kinetik

81

b) Grenzschicht (Randstromung) mit steilem GeAls Grenzschichtdicke 6 wird in der Regel der schwindigkeitsanstieg, in welcher die Gesetze Wandabstand definiert, an dem sich die Geder viskosen Fluidbewegung (NAVIER-STOKES- schwindigkeit nur noch urn 1% von der der Gleichungen) maBgebend sind. Infolge des hoAuljenstromung unterscheidet, Bild 3-17. hen Geschwindigkeitsgradienten treten trotz kleiner Fluidviskositat in der Grenzschicht 3.3.3.3 Verdrangungsdicke 6, meist erhebliche Reibungswirkungen auf (vis- Statt der Grenzschichtdicke 6 wird oft auch die koses Gebiet). Verdrangungsdicke 6, verwendet. Diese ist nach Auch GroBwirbel-Gebiete gehoren, falls vor- SCHLICHTING [53] definiert: handen, zu den Reibungsbereichen, die meist erhebliche Stromungsverluste bewirken. Innerhalb der Grenzschicht sind bei kleiner Viskositat, d. h. ublichen Fluiden, Reibungs- und Tragheitskrafte, besonders bei Turbulenz, etwa von gleicher GroBenordnung. AuBerhalb (Kernstromung) ist praktisch nur noch die Tragheitskraft von Bedeutung und die Viskositatskraft vernachlassigbar. Die Fluidviskositat wirkt sich deshalb direkt fast ausschliel3lich in der Grenzschicht aus, wahrend ihre Wirkung in der AuDenstromung ohne Bedeutung ist b m . von indirektem EinfluB uber die Turbulenz. Auch bleibt der Druck in der Grenzschicht in Querrichtung praktisch konstant. Der Druck wird der Grenzschicht gleichsam von der AuBenstromung aufgepragt [53]. Das groDe Verdienst von L. PRANDTL')besteht darin, diese Trennung zwischen AuBen- und Randstromung erstmals vorgenommen und damit die Stromungsvorgange insbesondere in der Grenzschicht einer theoretischen Behandlung, der Grenzschichttheorie, zuganglich gemacht zu haben. Die uberlegungen fiihren zu der sog. P R A N D T L SGrenzschichtgleichung C~~~ (Abschnitt 4.3.1.4). 3.3.3.2 Grenzschichtdicke 6 Die Definition der Grenzschichtdicke ist in gewisser Weise willkiirlich, da sich der ubergang der Geschwindigkeit in die AuDenstromung asymptotisch vollzieht. Praktisch ist dies jedoch bedeutungslos, da die Geschwindigkeit, wie erwahnt, in der Grenzschicht i. a. bereits in sehr kleinem Wandabstand fast die Geschwindigkeit der AuBenstromung erreicht.

')

Vortrag iiber Grenzschichttheorie auf dem Internationalen Mathematiker-KongreB in Heidelberg 1904. PRANDTL, Ludwig (1875 bis 1953), dt. Physiker und Ingenieur.

Mit c , . . . Geschw. bei n-tco. Praktisch ist c x c , mit c bei n $ 6. n . . . Normalenrichtung zur Wand (Bild 3-16).

Bild 3- 17. Grenzschichtdicke S und Verdrangungsdicke 6, .

Die Verdrangungsdicke 6, gibt an, urn welchen Betrag die Stromlinie der auDeren Stromung durch die Grenzschicht nach a u k n verschoben werden (Verdrangungswirkung der Grenzschicht). Infolge der geringeren Geschwindigkeit in der Grenzschicht ist hier die stromende Fluidmenge kleiner als im AuBenbereich. Dieser Versperrungseffekt laBt sich bei unverandert angenommener Geschwindigkeit (dunne Linie in Bild 3-17) interpretieren als Erhohung der Wand um die Verdrangungsdicke. Bei langsangestromten Platten z. B. betragt die Verdrangungsdicke 6, bei laminar etwa 113 und bei turbulent ca. 118 der Grenzschichtdicke 6. 3.3.3.4 Grenzschichtstromung Die Stromung in der Grenzschicht selbst kann ebenfalls laminar oder turbulent sein, Bild 3-18. Dabei ist der Geschwindigkeitsanstieg in der turbulenten Grenzschicht und damit die Stromungsenergie (kinetische Energie) wesentlich grol3er als in der

82

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Bild 3-18. Laminare (---) und turbulente (-) Grenzschichtstromung (Geschwindigkeitsverlauf oder -profil). Indizes: 1 laminar; t turbulent laminaren. Dies hat zur Folge, daI3 der Stromungswiderstand nach dem N ~ w ~ o ~ s c hReibungsgeen setz bei turbulenter Grenzschicht erheblich groI3er ist als bei laminarer (Nachteil). Da der turbulenten Grenzschicht durch Impulsaustausch mit der AuDenstromung andererseits immer wieder Energie zugefuhrt wird, wodurch sich der steilere Geschwindigkeitsanstieg begriindet, ist sie weniger ablosungsgefahrdet, d. h. ablosungsunempfindlicher als eine laminare Grenzschicht (Vorteil). Die turbulente Grenzschicht ubenvindet deshalb ohne Ablosung etwa den dreifachen Druckanstieg der laminaren. Zudem ist der Warmeiibergang bei turbulenter Stromung, bedingt durch die uberlagerte Schwankungsbewegung, ein Vielfaches des bei laminarer. Geschwindigkeitsverteilung,Potenzgesetze: = 1 - [(6 - i ~ ) / 6 ] ~

laminar

c,(n)/c

turbulent

c, (n)/c = (46)"

(3-54)

mit Exponent m x 117 -+

117-Geschwindigkeits-Gesetz Die Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Grenzschicht kann oft besser durch eine entsprechend gestaltete logarithmische Funktion, das sog. Logarithmusgesetz, angenahert werden, hergeleitet mit Impuls- und Energiesatz. Diese logarithmische Verteilung ist zudem vollstandig stetig. Das bedeutet z. B. ohne Knick in der Mitte von Rohren, der beim 117-Potenzgesetz auftritt. Wie bei der turbulenten AuI3enstromung, sind auch bei der turbulenten Grenzschichtstromung entlang der Wand der Grundgeschwindigkeit Schwankungskomponenten in Langs- und Querrichtung uberlagert. Infolge Haftbedingung, des dampfenden Einflusses und Undurchlassigkeit

Bild 3-19. Turbulente Grenzschicht.

verschwinden diese jedoch direkt an der Wand. Daruber hinaus sind diese in unmittelbarer Wandnahe sehr klein und gehen gegen null. Hieraus folgt, daI3 bei jeder turbulenten Grenzschicht unmittelbar in Wandnahe eine sehr diinne laminare Unterschicht (viskose Schicht) vorhanden ist, deren Dicke etwa 2 bis 5% der gesamten Grenzschicht betragt. Bei N ~ w ~ o ~ s c hFluiden en ist dabei der EinfluB der Viskositat auf die Unterschicht beschrankt, wahrend im Hauptbereich der Grenzschicht (Oberschicht) die Turbulenz von Bedeutung ist. Den Aufbau der turbulenten Grenzschicht zeigt Bild 3-19. Der Umschlag der Grenzschicht von laminar in turbulent ist ein Stabilitatsproblem. Die Berechnung des Umschlagpunktes stellt sich als eines der schwierigsten Probleme der Fluidmechanik dar (Grenzschicht-Differentialgleichungen) und ist deshalb mathematisch noch nicht exakt gelost. Meist sind langwierige komplizierte Experimente notwendig. Dies ist auch durch die laminare Unterschicht und deren ~ b e r g a n g zur turbulenten Hauptschicht bedingt. Die Zwischen-, d. h. ubergangszone laminarlturbulent ist mathematisch kaum zu fassen. Als Anhaltspunkt kann gelten: Der Umschlagspunkt liegt annahernd an der Stelle des Druckminimums der AuBenstromung, die oft, wie erwahnt, genugend genau als Potentialstromung aufgefaDt werden kann. Bei laminarer Grenzschicht wird von unterkritischer Stromung gesprochen. ~berkritischerZustand besteht, wenn sich aul3er der laminaren Grenzschicht infolge Umschlag auch noch turbulente anschlieI3t (Bild 3-20). Der ubergang vom unter- zum uberkritischen Zustand erfolgt bei um so kleinerer REYNOLDS-Zahl GI. (3-52), je schlanker der umstromte Korper oderlund je turbulenter

3.3 Fluid-Kinetik

I 4I Grenzsch~cht turbulent ( t 1 Umschlogsgeb~et

Bild 3-20. Grenzschichtausbildung an ebener Platte. S Staupunkt, auch als Anlegestelle(-kante) bezeichnet. U Umschlagpunkt. Index: 1 laminar, t turbulent, kr kritisch.

die Zustromung ist. Bei scharfkantigen Korpern dagegen erfolgt der Umschlag sofort an dessen Spitze, welche immer als Turbulenzkante wirkt (Abschnitt 3.3.4). An dieser Stolperkante wird die Grenzschicht schlagartig turbulent. Eine Schneide kann im Vergleich zur GroBe der Molekiile bzw. Molekiilgruppen nicht so scharf sein, daB Fluidteilchen nicht dagegenstoBen und dadurch zu seitlicher Bewegung sowie Drehung veranlant werden, also Turbulenz verursachen. Bei ungunstiger, d. h. schrager Anstromung kann es sogar zur Stromungsablosung direkt ab der Korpervorderkante kommen. Die Grenzschicht entfernt sich dabei von der Wand, und ein WirbelRuckstromgebiet entsteht, das sich zwischen Wand und gesunder AuBenstromung legt. Die spitze Korpervorderkante wird dann zur AbreiDstelle fur die Stromung. Insgesamt ist somit zwischen Turbulenz- und AbreiRkanten(-stellen) zu unterscheiden. An Turbulenzkanten(-stellen) wird die Grenzschicht turbulent (Umschlag laminar in turbulent), an AbreiSkanten(-stellen) lost sie sich vom Korper ab. Das Entstehen und der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschicht lassen sich am besten an der Plattenstromung verdeutlichen. Eine angerundete (Nase), theoretisch unendlich groBe Platte sol1 so in ein Stromungsfeld eingebracht werden, daD sie in Langsrichtung angestromt wird. Von der angestromten Plattennase (Staupunkt S) ausgehend bildet sich beiderseits der Platte eine Grenzschicht aus. In Bild 3-20 ist nur auf einer Platten-

83

seite die Grenzschicht in maBstablich vergroBerter Dicke gezeichnet. Die sich entwickelnde Grenzschicht ist auch bei turbulenter Aul3enstromung anfanglich laminar, da durch den Viskositatseinflul3 in Wandnahe die Schwankungskomponenten unterdriickt werden. Die Grenzschicht wachst in Stromungsrichtung entlang der Wand standig. Nach einer gewissen Lauflange wird die Grenzschichtstromung instabil, da die in der Stromung wirkenden Reibungskrafte nicht mehr zur Dampfung der immer vorhandenen und groDer werdenden Storungen, der sog. TOLLMIN-~CHLICHTINGInstabilitat, ausreichen. Es kommt zum Umschlag laminar in turbulent. Hinter dem Umschlagspunkt U ist die Grenzschicht turbulent. Sie besteht aus der turbulenten Oberschicht mit laminarer Unterschicht, die auch als viskose (Unter-)Schicht bezeichnet wird. Hier iiberwiegen die viskosen Krafte. Genahert 6,/6 = 77 . Re;097 (3-55a) mit Re, = c , . xlv der Lauflangen-Re-Zahl wobei x Laufweg der Stromung, zugehorig zu 6,, Bild 3-19. Bei der ausgebildeten Turbulenz losen sich laufend Fluidteile mit Drehbewegung ab, die von der Hauptstromung beschleunigt werden, wahrend gleichzeitig andere Teilchenballen von der Grenzschicht zwischen Grenzschicht und Hauptstromung erfaBt und abgebremst werden. Dieser fortlaufende Mediumsaustausch bildet dann die eigentliche Ursache des Stromungswiderstandes Scheinreibung durch turbulente Vermischung. Er erstreckt sich uber die gesamte Stromung, so daB sich iiber die geordnete Parallelbewegung eine unregelmaRig wirbelnde Nebenbewegung lagert. Die Loslosung des Hauptstromes von der Grenzschicht bewirkt einerseits, daB die Wandschubspannung sich vergroBert, also auch der Widerstand hoher ist als bei laminarer Stromung. Sie hat aber auch die Folge, daB die Geschwindigkeit, d. h. der an einer bestimmten Stelle vorhandene zeitliche Mittelwert sich vie1 gleichmal3iger uber den Querschnitt verteilt als bei laminarer Bewegung, z. B. bei der Rohrstromung. Winzige zufallige Storungen, z. B. Oberflachenrauhigkeiten und sonstige UnregelmaBigkeiten, die immer vorhanden sind, versetzen die Stromung in kleine Schwingungen, die sich allmahlich aufschaukeln. Je weiter stromabwarts diese sind, desto starker werden die Verwirbelungen, bis sie plotzlich sprunghaft ihre Intensitat vervielfachen und ein vollig unregelmafiiges Stromungfeld ver-

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

84

ursachen: Der Umschlag laminarer in turbulente Stromung hat stattgefunden. Die turbulente Grenzschicht ist dicker als die laminare, weist jedoch ein Geschwindigkeitsprofil mit steilerem Randanstieg (Wand) auf, was auch zur hoheren Reibung beitragt G1. (1-14). Die Lage des Umschlagpunktes ist durch die kritische REYNOLDS-Zahlfur die AuDenstromung, G1. (3-52), gekennzeichnet. Die Grenzschichtdikken ergeben sich aus folgenden Naherungsformeln nach SCHLICHTING [53], die teilweise von der PR4NDTLschen Grenzschichtgleichung abgeleitet sind: Laminare Grenzschichtdicke

Bei 10 m Lauflange, falls moglich, d. h. wenn Umschlag vermeidbar ware, wurde 6, z 14 mm und 6, 140mm betragen. In der laminaren Grenzschicht wird durch Fluidreibung und in der turbulenten hauptsachlich beim Impulsaustausch (teilelastische StoBe) kinetische Energie der Stromung in Warme umgesetzt. Dadurch entstehen Verluste, die sich als Stromungswiderstande darstellen. Da die Verluste beim Impulsaustausch (scheinbare Viskositat), wie erwahnt, wesentlich hoher sind als die Reibungsverluste und die turbulente Grenzschicht beachtlich dicker ist als die laminare, ist der Stromungswiderstand bei turbulenter Grenzschicht bedeutend grol3er als bei laminarer Grenzschicht (ca. 5-fach). Fiir die Dicke 6, der laminaren Unterschicht gilt nach SCHLICHTING:

-

'lkrbulente Grenzschichtdicke

Die Dicke der turbulenten Grenzschicht wachst mit dem Stromungsweg s, also wesentlich schneller ( 6 , - ~ ~ ,d.~h., fast linear) als die der laminaren (6, s0v5)Grenzschicht. Die Naherungsbeziehungen ergeben sich uber die Annahme, daD innerhalb der Grenzschicht Viskositats- und Tragheitskraft von gleicher GroDenordnung sind (Abschnitt 3.3.3.1). Infinitesimale Tragheitskraft dFT= Q c, . (i3cJa.x) . d V und die differentielle Viskositatskraft (Widerstand) dFw = (&lay) . dy . dx . dz = p (i32~x/ay2) . d Vwerden somit gleichgesetzt (dFT= dFw) und mit den StromungshauptgroBen, AuBenstromungsgeschwindigkeit c, und Stromungsweg L (Korperlange), in Verbindung gebracht + ac,/ax c,/L und a2cx/ay2 c i / L . Zudem sind die Besonderheiten von laminarer und turbulenter Grenzschicht zu beriicksichtigen.

-

-

-

Luftstromung: c, =20m/s; v = 15 . 10-6m2/s; Re,,=4.105; sI=0,3m; st=0,3m. Dazu sind nach den G1. (3-56), (3-57) und (3-52a): 6, x 2,4 mm; 6, = 8,4 mm; Lk, = 300 mm; 6,/sl = 0,008 G 0,8%; 6 , / ~=, 0,03 G 3 % .

3.3.3.5 Kompressible Grenzschichten Die Behandlung der Grenzschichten kompressibler Stromungen (kompressible Grenzschichten) verursachen wesentlich groDere Schwierigkeiten, die noch nicht hinreichend iiberwunden sind. Der Grund liegt hauptsachlich in der Temperaturabhangigkeit der Stoffwerte (Q, v, 1, c,,, c,) des stromenden Mediums. Die Temperatur ihrerseits andert sich bei kompressiblen Fluiden mit dem Druck. AuDer der Stromungsgrenzschicht bildet sich zudem eine Temperaturgrenzschicht, die sich gegenseitig beeinflussen. Neben REYNOLDSund MACHZahl ist daher jetzt auch noch die PRANDTL-Zahl [75] zu beachten (Abschnitt 4.3.1.7). Sollen die P R A N D T L S C Vorstellungen ~~~ der Grenzschicht auch bei kompressiblen Stromungen beibehalten werden, sind die Grenzschichtgleichungen von PRANDTL entsprechend zu enveitern (Abschnitt 4.3.1.4 und [53]). Die Theorie ergibt - was die Praxis bestatigt -,daB durch die kompressible Grenzschicht ein AufheiZen der angrenzenden Wand stattfindet, verbunden mit weiter erhohter Reibungswirkung. Bei groBen Anstromgeschwindigkeiten kann es dadurch zu erheblichen Temperaturerhohungen an der Oberflache derart umstromter Korper kommen, 2.B. bei Ma x 3 um ca. 400°C (Abschnitt 5.5.3.2). Das erfordert bei ~berschallflugkorpern hinsichtlich der Materialbeanspruchung entsprechende Gegenmahahmen (Kuhlung). Alle ~ b e r legungen gelten jedoch nur, wenn das Medium, meist die Luft, als Kontinuum betrachtet werden

3.3 Fluid-Kinetik

Gebiet, deshalb auch als Ablosegebiet oder GroBturbulenz bezeichnet. Totraume sind die Ursache der groBten Stromungsverluste. Zu verhindern, daB sich Stromungen ablosen, ist praktisch sehr bedeutungsvoll und stellt daher eine wichtige Aufgabe fur den Ingenieur dar. Oftmals lassen sich Ablosungen durch konstruktive Maonahmen teilweise oder sogar vollstandig vermeiden. Wenn in Stromungsrichtung langs der Korperkoutur ein Gebiet mit Druckanstieg vorhanden ist, kann meist das in der Grenzschicht abgebremst stromende Fluid infolge seiner geringen kinetischen Energie nicht allzuweit in den Bereich des hoheren Druckes eindringen. Die Grenzschicht weicht deshalb diesem Gebiet seitlich aus, lost sich dazu von der Wand ab und wird in das Innere der Stromung gedrangt. Nach der Grenzschichtablosung stromen im Wandbereich die Fluidteilchen, dem Druckgradienten folgend, der Hauptstromung entgegen. Als Ablosungspunkt ist die Grenze zwischen Vor- und Ruckstromung der wandnachsten Schicht definiert. Dies ist die Wandstelle, bei der die Tangente an das Geschwindigkeitsprofil normal auf der Korper-Oberflache steht (Bild 3-21, Stelle A). Die mathematisch-analytische Darstellung ist mit der P R A N D T L SGrenzgleiC~~~

kann (KNUDSEN-Zahl, Abschnitt 1.2), was in Erdnahe auch bei hohen Geschwindigkeiten zutrifft. Bei Fluggeschwindigkeiten in groBen Hohen (ab ca. 50 km) jedoch ist die Luft so stark verdiinnt, daD die mittlere freie Weglange ihrer Molekiile von der GroBenordnung der Korperabmessungen (etwa Grenzschichtdicke) wird. In derartigen Fallen ist die Haftbedingung (Abschnitt 1.3.5) nicht mehr erfullt. An Stelle des Haftens tritt an den Wanden entsprechendes Gleiten auf. Grenzschichtiiberlegungen sind dann nicht mehr zuIassig.

3.3.4 Stromungs-Ablosungen Grenzschichten losen sich unter bestimmten Bedingungen von den Begrenzungswanden ab. Die ,,gesamteG'Stromung wird dadurch von der Oberflache des umstromten Korpers oder der Wand des durchstromten Rohres, bzw. Kanals, abgedrangt. Die verzogerte Grenzschicht wandert in das Innere der Stromung, verstarkt die Turbulenz und erhoht dadurch die Verluste. Zwischen Wand und der abgelosten gesunden Stromung bildet sich ein mit Wirbel durchsetzter Bereich, ein sog. Wirbel- oder Totraum, d. h. ein mit GroBwirbeln durchsetztes

B

V

Weg s

-

6

Bild 3-21. Geschwindigkeitsprofile bei Druckabfall (B) und Druckanstieg (V). Ablosungspunkt der Grenzschicht (A). Grenzschicht: Mit Kleinwirbeln durchsetztes Gebiet (Mikroturbulenz). Totraum: Mit GroDwirbeln durchsetztes Gebiet (Makroturbulenz). \

,

86

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

chung moglich, die sich aus den NAVIER-STOKES-samtwiderstand infolge wesentlich kleinerem WirGleichungen durch entsprechende Vereinfachun- belgebiet (Totraum) jedoch geringer als bei gen ergibt. Weitere Hinweise auf diese Zusammen- laminarer Grenzschicht. Deshalb wird bei Strohange befinden sich in Abschnitt 4.3.1. Nahere mungsproblemen mit Ablosungsgefahr turbulente Ausfiihrungen finden sich besonders in den grund- Grenzschicht angestrebt, die oftmals durch besonlegenden Werken von SCHLICHTING [53] und dere Vorkehrungen, sog. Stolperstellen, kiinstlich TRUCKENBRODT [50]. erzeugt wird. In Bild 3-21 ist der Vorgang dargestellt. Im Bereich Dieses Weiter-nach-hinten-Verlagern des AbloB wird das Fluid infolge Druckabfall beschleunigt sungspunktes bei turbulenter Grenzschicht und der (Begrundung Abschnitt 3.3.6.3.3 und 4.3.3). Die damit verbundene starke Widerstandsabfall an einer umstromten Beschleunigung wirkt der Verzogerung entgegen, wurde erstmals von PRANDTL welche die Fluidteilchen in der Grenzschicht in- Kugel demonstriert. Bei beiden, in Bild 3-22 darfolge Wandreibung erfahren. ,,Beschleunigte" gestellten Kugeln, kommt die Stromung im vordeGrenzschichten losen sich daher nicht ab, und die ren Staupunkt S zur Ruhe. Von hier aus teilt sich Verluste sind geringer ( ~ bis2 10%). In Punkt G die Stromung und wird anfanglich der Kugeloberist der niedrigste Druck und zugehorig die hochste flache entlang beschleunigt. Vom Staupunkt ab Geschwindigkeit im Stromungsfeld erreicht. Im bildet sich deshalb anfanglich zwangslaufig eine Bereich V wird die Stromung verzogert und der laminare Grenzschicht. Druck steigt daher wieder an. Die infolge der Bleibt die Grenzschicht laminar (sog. unterkritiWandreibung starker abgebremste Grenzschicht scher Fall), lost sie sich etwa an der Stelle kleinsten wird von der auI3eren Stromung anfanglich noch Druckes, also beim Kugelaquator, ab, meist sogar mitgeschleppt. Sie buBt jedoch standig an kineti- etwas davor, Bild 3-22, Teil a. Die laminare Grenzscher Energie ein. Die Grenzschichtdicke nimmt schicht kann infolge ihrer geringen kinetischen deshalb standig zu. Bei dem weiter steigenden Energie nicht gegen den steigenden Druck hinter Druck kommen die Fluidteilchen in Wandnahe dem Kugelaquator anstromen. Es bildet sich ein schlieDlich vollig zur Ruhe und werden sogar zur sehr groljer Totraum, der erhebliche Verluste verUmkehr gezwungen. Diese riicklaufige Stromung ursacht. Der Stromungswiderstand ist entspreschiebt sich zwischen Korperoberflache und chend groI3, was auch der in Bild 3-22,a auf der Grenzschicht, wodurch die AuDenstromung, wie Korperoberflache eingetragene Druckverlauf vergeschildert, vom Korper abgedrangt wird. Die deutlicht. Ablosung beginnt in Punkt A. Die AuDenstromung Wird dagegen durch einen aufgelegten Drahtring, pragt der Grenzschicht ihren Druckverlauf auf. den sog. Stolperdraht, (Bild 3-22,b), die GrenzDieser Druckentwicklung muB sich die langsamer schicht absichtlich zum Umschlagen von laminar stromende Grenzschicht anpassen. Zwischen bei- in turbulent veranlal3t (sog. iiberkritischer Fall), den Stromungen entsteht eine Unstetigkeitsflache liegt sie infolge ihrer groljeren kinetischen Energie (Bild 3-23), die sich jedoch wegen ihrer Labilitat bis weit uber den Aquator hinaus an der Kugelspiralformig in Einzelwirbel auflost, die von der oberflache an. Aufgerauhte und genoppte OberauDeren Stromung mit fortgefuhrt werden. Die zur flachen wirken in gleicher Weise. Bei genugend a h l der ubergang vom Erzeugung der Wirbel verbrauchte Energie ist im groBer R ~ u ~ o ~ D s - Zerfolgt wesentlichen mechanisch verloren. Sie findet ihr unter- zum iiberkritischen Zustand auch ohne ~ ~ u i v a l e in n t einem entsprechenden Stromungs- Stolperstellen. Die Re-Zahl fur den Umschlag widerstand und einer meist vernachlassigbaren wird jedoch umso kleiner, je groljer die Rauhigkeit Temperaturerhohung des stromenden Fluides. ist. Die turbulente Grenzschicht kann sehr weit Da das Geschwindigkeitsprofil der turbulenten gegen ansteigenden Druck anlaufen, bis sie sich Grenzschicht volliger ist, Bild 3-18, als das der la- ablost. Das Wirbelgebiet ist klein und der gesamte minaren, d. h. die Geschwindigkeit bis dicht an die Stromungswiderstand entsprechend niedrig, etwa Wand groDer bleibt, kann sie infolge dieser hohe- halb so groD wie der bei laminarer Grenzschicht. ren kinetischen Energie langer gegen den steigen- Grundsatzlich ahnliche Verhaltnisse ergeben sich den Druck anlaufen. Turbulente Grenzschichten lo- bei anderen Korperformen mit stumpfer, abgerunsen sich deshalb erst wesentlich spater von den deter Vorder- und Ruckseite. Wanden ab, weshalb das Wirbelgebiet kleiner Infolge ihrer kleineren Geschwindigkeit unterbleibt. Der Reibungswiderstand durch Fluidvisko- liegen die Grenzschichtteilchen in der Stromung sitat und Impulsaustausch ist zwar hoher, der Ge- langs konvex gekrummter Wand geringeren Zen-

3.3 Fluid-Kinetik Stromungsbilder

87

Druckverlauf

a) Staugeb,iet

Totraum (Unterdruck)

qc

Luvseite

Unterdruck

Bild 3-23. Profilumstromuna. - S Stau- und Anlegepunkt (-stelle).

\

Ul)lm&ebiet AblosepunM (Wirbelzone)

I

laminare Grenzschicht

~e\eseite

-

-

a laminare Grenzschicht /

turbulente Grenzschicht

Unterdruck

ljberdruck

I

\

"bdrdruck

\

Unterdruck

Bild 3-22. Kugel- oder Zylinderumstromungen mit prinzipiellem Stromlinien-und Druckverlauf. Druckauftragung mit Pfeilen normal zur Oberflache. a) Laminare Grenzschicht (unterkritisch),Ablosewinkel u x 70 b i s 80". b) Turbulente Grenzschicht nach Stolperdraht (iiberkritisch), a = 110 bis 120'; P 5 70'. trifugalkraften als die AuBenteilchen. Diese Stabilisierungswirkung der Grenzschicht ergibt ein Abschwachen der turbulenten Vermischung. Bei konkav gekrummten Wanden tritt das Umgekehrte auf. Infolge ihrer groDeren Fliehkraft, bedingt durch die hohere Geschwindigkeit, drangen die Teilchen der AuDenstromung in die langsamer flieknde Grenzschicht ein und verdrangen dort Teilchen nach aul3en. Dadurch kommt es zu verstarktem Durchmischen.

Rauhe Korperoberflache Schwingungsanregung des Fluides durch Schall (lauter Pfeifton) Aufheizen der Korperoberflache (thermische ~ ~ f ~ ~ i ~ b ~ ~ i ~ k

Bei Stromlinienkorpern, z. B. Tragflachenprofilen, bei denen keine wesentliche Grenzschichtablosung und Totraumbildung (Wirbelschleppe) auftritt, ist der Stromungswiderstand entsprechend niedrig. Der sanfte Druckanstieg auf der Ruckseite des Korpers, Bild 3-23, nach dessen Hochstpunkt, wird von der Grenzschicht normalerweise ohne Ablosung uberwunden. Im Druckabfallgebiet von der Profilnase bis zum Druckminimum am Profilhochpunkt ist die Grenzschicht laminar, im nachfolgenden Druckanstiegsgebiet meist nach Umschlag turbulent. Da die laminare Grenzschicht, wie erwahnt, nur einen auDerordentlich kleinen Druckanstieg ertragt, lost sie sich selbst bei schlanken Korperformen ab. Dies mu13 besonders bei der Tragflugelumstromung beachtet werden. Hier ist die Ablosungsgefahr an der Saugseite (Oberseite) am groDten. Die glatte, ablosungsfreie, auftriebserzeugende Stromung ist daher meist nur bei turbulenter Grenzschicht sicher gewahrleistet. Ausnahmen sind Sonderausfuhrungen, sog. Laminarprofile (Abschnitt 4.3.3.8.8).

Turbulenzstellen(-kanten), auch als Stolperkanten bezeichnet: Bei turbulenzfreier Hauptstromung, d. h. Anstromung, laDt sich der uberkritische Zustand somit insgesamt durch folgende Moglichkeiten erreichen:

Zusammenfassend kann festgestellt werden: 1. Ablosungsgefahr besteht uberall, wo ein Fluid gegen steigenden Druck stromt. 2. Bei Tragfliigelprofilen sind sowohl Widerstand (meist gering) als auch Auftrieb (Querkraft) der Grenzschicht und damit dem realen Verhalten der Fluide zu verdanken. 3. Bei Beschleunigung wird die Turbulenz kleiner, bei Verzogerung groBer.

Anbringen von Turbulenzkanten, wie ZuspitZen der Korpervorderkante oder Stolperstellen.

AuBer den erwahnten Stolpermoglichkeiten ist besonders die Grenzschicht-Absaugung ein sehr wirk-

-

~

~

~

88

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

sames Mittel, die Ablosung zu verhindern. Hierbei wird durch schmale Schlitze in der Korperwand das verzogerte Grenzschichtfluid in das Korperinnere abgesaugt. Dadurch kann der Stromungswiderstand halbiert werden. Die Grenzschichtabsaugung wurde bereits 1904 von PRANDTL bei Versuchen, z. B. der Kugelumstromung, eingesetzt. Auch Zu- und Vorleitflachen, wie z. B. Vorflugel, Hilfsflugel, Spoiler, Umlenkschaufeln und Leitbleche, die vor dem Korper oder an entsprechenden Stellen angebracht werden, verringern bei richtiger Gestaltung die Gefahr von Wirbelbildung und Stromungsablosung. Falls jedoch keine Ablosungsgefahr besteht, sind solche MaDnahmen nicht von Vorteil, sondern infolge ihrer unvermeidlichen Reibungsverluste sogar nachteilig.

nung auf: Durch ,,rnitreil3en" des zwischenliegenden Totraumgebietes (zwischen Strahl und Wand) wird der Fluid(frei-)strahl zur angrenzenden Wand hin abgelenkt und bleibt bei giinstigen Verhaltnissen (Abstand, Winkel, Stromungsgeschwindigkeit) stromabwarts an ihr anliegen, d, h. stromt ihr entlang. Die Literatur bezeichnet diese Strahlablenkungs-Erscheinungals COANDA ')-Effekt. Durch entsprechend angebrachte Wande lassen sich also Fluidstrahlen beeinflussen, d. h. ihre Stromungsrichtung ,,beriihrungslos" andern. Bemerkung: Praktisch jede Striimungsablenkung fuhrt zu einer Kurvenbahn mit entsprechendem Kriimmungsradius, der sich zudem meist entlang des Stromungswegesindert. Das hat wegen Fliehkraftwirkung gemaB G1. (3-65) eine Druckanderung quer zur Stromungsrichtung zur Folge. Diese wiederum ist nach G1. (3-83) mit einer Geschwindigkeitsanderung gekoppelt. Zu kleinerem Druck gehort groDere Geschwindigkeit und umgekehrt. An der Krummungsinnenseite, d. h. dichter beim Kriimrnungsmittelpunkt ist der Druck am kleinsten und wachst radial nach auBen, verbunden mit gegensatzlicher Geschwindigkeitsverteilung (Abschnitte 3.3.6.1.2 und 4.1.1.5.2).

Die Umstromung von scharfen konkaven und konvexen Ecken ist ebenfalls nicht ohne Ablosen moglich, Bild 3-24, auch nicht bei idealem Fluid. Begrundung: Das waagrecht zustromende Medium miiDte in der Ecke A in der Zeit null von der endlichen Geschwindigkeit c , (ungestorte Anoder Zustromgeschwindigkeit) auf null verzogert und in senkrechter Richtung plotzlich von null wieder auf die endliche Geschwindigkeit c, beschleunigt werden. Dasselbe gilt fur die Kante B. Um diese unendlichen Beschleunigungen zu ver- 3.3.5 Unstetigkeitsflachen wirklichen, waren nach dem NEw~o~schen Grundgesetz ebenfalls unendlich groBe Krafte Trennflachen: Werden in Stromungsrichtung unsymmetrische, jedoch in dazu senkrechter Richnotwendig, da alle Fluide massebehaftet sind. tung zylindrische Korper mit scharfer Hinterkante umstromt, konnen die von der Ober- und Unter1st entlang eines Fluidstrahles eine abgeknickte seite ankommenden Fluidstrome, wenn sie sich Wand so angeordnet, daD zur Strahlrichtung ein sich offnender Keil entsteht, tritt folgende Erschei- wieder vereinigen, mit verschieden groDen Geschwindigkeiten aufeinandertreffen. Eine solche Diskontinuitats- oder Unstetigkeitsflache zwischen zwei sich beruhrenden Parallelstromungen verschiedener Geschwindigkeiten wird auch als Tredache bezeichnet, Bild 3-25. Die Vorgange bei der diskontinuierlichen Fliissigkeitsbewegung wurden zuerst von HELMHOLTZ untersucht. Deshalb werden solche Trennflachen auch als HELMH O L T Z Unstetigkeitsflachen ~ ~ ~ ~ bezeichnet. Beim idealen Fluid ist wegen der fehlenden Reibung die Trennfache stabil, die sich beruhrenden Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit stromen parallel nebeneinander, ohne sich zu beein(Wirbelgebiete) flussen. Bei realen Fluiden treten statt theoretischen Trennflachen wirkliche llennschichten auf. Diese sind, Bild 3-24. Ablosung bei Eckenumstrcimung. Totraume werden auch als Abloseblasen oder GroBturbulenzgebiete bezeichnet.

')

COANDA, Henri-Maria, geb. 1885, rum.Ingenieur und Naturwissenschaftler.

wie alle Wirbelscbichten (Schicht aus dicht nebeneinanderliegenden Wirbelfaden), instabil. Sie rollen sich schon bei sehr geringen Storungen (Erschiitterunpen. Ausbuchtungen u.dgl.) in immer

-

~-

~

Bild 3-26. Frcistrahl (Prinzipdarstellung)mit eingetragenen Geschwindigkeitsverlaufenund Strahlbereichen. K kantinuierlicher Bereich, T Tropfenbereich, Z Zerstaubungsbereich.

~~~

Solch kleine Storungen, d. h. Unregelmifligkeiten in der Geschwindigkeit sind praktisch immer vorhanden. Da diese UnregelmaBigkeiten reihungsbedingt auch seitwarts (senkrecht zu Hauptstromrichtung) erfolgen, kommt es zu kleinen Aus- und schwindigkeitsschwankungen sind gemaD Energiesatz (Abschnitt 3.3.6.3.2) Druckschwankungen gekoppelt. Auf den zuerst kleinen Welienbergen ist daher der Drnck kleiner als in den Welleutilern. Hierbei sind Wellenberge der auf der einen Seite der Trennflache verlaufenden Stromnug zngleich Wellentalern fur die auf der auderen Trennflichenseite vorhandenen Stromung und umgekehrt. Dadurch entsteht an der Trennflache eine ungleiche Druckverteilung. Unter- nnd Uberdrucke stehen sich gegeniiber, so daD der Zustand und damit die Stromung instabil ist. Die Wellung der TrennflG che wird fotlaufend stGrker, his sie sich letztlich in einzelne Wirbel auflost. Dieser Vorgang tritt auch im Kleinen auf, was dann zur Turbuleuz fuhrt und diese aufrecht erhalt. Dagegeu werden die UngleichmiBigkeiten bei laminarer Stromung durch die hier iiberwiegenden Viskositatskrafte gedampft uud rum Ahklingen gebracht.

Freistrahl: Stromt ein Fluid aus einer offnung in eine meist ruhende Umgebung, hildet sich ein sag. Freistrahl (Bild 3-26). Am Strahlrand kommt es infolge des Geschwindigkeitssprunges (Unstetigkeitsstelle) zu starker Wechselwirkung mit der Umgebung. Durch die wegen der Unstetigkeit

groBe Reihung reiBt der Freistrahl Umgebungsluft mit. Daher kommt es zu immer starkerem Vermischen zwischen Strahl- und Umgebungsmedium. Der Strahl wird standig breiter, seine Geschwindigkeit nimmt ab, weshalb er zunehmend an Energie verliert und sich letztlich ganz auflost. Das Geschwindigkeitsprofil im Strahl wird daher mit wachsendem Stromungsweg stindig flacher. Der Strahl breitet sich etwa in Form eines Kegels aus. Zudem besitzt er eiuen sich kegelformig verengenden Keru- oder Primarhereich von etwa gleichbleibender Geschwindigkeit, die der entspricht mit welcher der Strahl ans der iiffnung tritt. GemaO Bild 3-26 wird der Strahl in verschiedene Zonen unterteilt, deren Lingen wesentlich von der Ausstromungsgeschwindigkeit und der Art des Mediums abhangen, weshalb nur grobe RichtwertAngaben moglich sind: Kern- oder Primarbereich x,/D = 10 bis 100 Kontinuierlicher Bereich x,/D = bis 500 Hauptbereich x,/D sz his 1000 Der Hauptbereich wird auch in einen kontinuierlichen und einen Tropfenbereich aufgeteilt mit in Stromungsrichtung nachfolgendem Zerstaubungsbereich, einem etwa homogenen Zweiphasengemisch aus Strahl- und Umgebungsmedium. Haftbedingungs-Modell: Stromungen idealer Fluide gleiten an Wduden. Reale Fluid-Stromungen miissen die Haftbedingung erfiillen. Der dabei notwendige Geschwirldigkeitsiibergal~gzur AuDenstromung erfolgt in der Grenzschicht. D a Wir-

90

3 Fluid-Dvnamik. Gmndlaeen (Hvdro- und Aerodvnamik)

Bild 3-27. Wirbelschicht-Modell zum Erfiillen der Wand-Haftbedingung realer Stromung. a) eine Wirbelschicht, b) mehrere Wirbelschichten. c, mittlere Geschwindigkeit. c,, Wirbeldrehgeschwindigkeit. K,, = F', + Fwi,resultierende Geschwindigkeit. be1 (Bild 3-25) Geschwindigkeitssprunge (Unstetigkeiten) induzieren 'I, kann die Haftbedingung auch erfiillt werden, wenn entlang der Wand Wirbelschichten angeordnet waren, deren Drehung (Zirkulation) je Langeneinheit an jeder Stelle gerade gleich der Geschwindigkeit bzw. dem Geschwindigkeitsanstieg der vorhandenen AuDenstromung entsprache. Diese Modellvorstellung versucht Bild 3-27 darzustellen. Parallelstromung plus Wirbelschicht erfullen somit zusammen die Haftbedingung. Dabei lost sich standig Wirbelschicht von der Wand ab und neue wird gebildet, besonders an den praktisch immer vorhandenen Rauhigkeitsspitzen, was den Reiinduzieren (lat.) . . . verursachen, bewirken, erzeugen. indizieren (lat.) . . . anzeigen.

bungswiderstand wesentlich bedingt. Die abgelosten Wirbel werden von der Stromung weggetragen, wobei sie sich allmahlich auflosen. Bei dem Gesamtvorgang diffundiert also einerseits standig Wirbelstarke von der beriihrten Wandflache in die Stromung und andererseits wird standig Wirbelstarke mit der Stromung weggeschwemmt. Zum Aufrechterhalten der Haftbedingung bei reibungsbehafteter Stromung muR somit an der Wand standig verlustverursachende Wirbelstarke erzeugt werden. Deshalb kann auch die Stromung entlang von Wanden aufgeteilt werden in die naherungsweise reibungsfreie AuRenstromung, wenn von dem Turbulenzeffekt abgesehen wird, und die stark reibungsbehaftete Grenzschicht.

WirbelstraDe: An der Hinterkante umstromter zylinderischer Korper kommt unter bestimmten Bedingungen von Querschnittsabmessungen, Fluid und Geschwindigkeit eine regelmaSig pendelnde Bewegung znstande, bei der abwechselnd links- und rechtsdrehende, kraftige Wirbel erzeugt werden. Von der einen Korperriickseite bzw. -kante, gehen linksdrehende, von der anderen rechtsdrehende Wirbel ab, die sich in einer mehr oder weniger regelmaRigen Reihe anordnen, Bild 3-28. Ausgelost wird diese Erscheinung durch praktisch immer vorhandene geringe UnregelmaDigkeiten (kleine Storungen) in der Stromung. KARMANuntersuchte erstmals dieses Phanomen. Deshalb wird diese Erscheinung als K A R M A N S C ~ ~ Wirbel, oder auch als WirbelstraRe bezeichnet. Das Verhaltnis vom Wirbelabstand h senkrecht zur Stromungsrichtung und Wirbelteilung L in

Delle

Zylinder

Bild 3-28. K h ~ A ~ s c WirbelstraBe he (Prinzipdarstellung). Wichtig ist die entsprechende Relativbewegung zwischen Korper und Fluid. Somit ist gleichgiiltig, ob sich der Korper oder das Fluid translatorisch bewegt, oder sogar beide in entgegengesetzter Richtung. Auch als Laminarfall bezeichnet, da regelmaBige GroBwirbel-Anordnung.

3.3 Fluid-Kinetik

Stromungsrichtung hangt auch bei groBen ReZahlen von Anstromgeschwindigkeit und Korperform ab. Berechnungen und Versuche, die KARMAN')durchfuhrte, ergaben, daR das Stromungsbild einer WirbelstraBe nur dann stabil bleibt, wenn das Verhaltnis h/L den Wert 0,28 annimmt. Wie das Wirbelsystem mit den Abmessungen des Korpers zusammenhangt, lie13 sich bisher allerdings noch nicht theoretisch fassen. Unter gegebenen Bedingungen bleibt die Wirbelteilung stromabwarts nahezu gleich, wahrend die Breite der Wirbelstralje wachst. Dabei nimmt die Zirkulation der Wirbelkerne infolge Reibung allmahlich ab. WirbelstraBen konnen als Endprodukt zweier zerfallender HELMHOLTZ-Unstetigkeitsflachen aufgefaBt werden, die sich hinter dem Korper in seiner Relativbewegung zum umgebenden Fluid ausbilden und wegen ihrer Instabilitat nicht erhalten bleiben konnen. Wenn bei in Querrichtung luftangestromten Zylindern die Frequenz der Wirbelablosungen, welche die KARMAN-Wirbelstraljebilden, im Horbereich (ca. 16 Hz bis 16 kHz, Tabelle 6-13) liegt, kommt es zu einem wahrnehmbaren Pfeifton. Das ist die Ursache des Pfeifens von querangestromten Drahten im Wind, z. B. Telefon- und Elektrizitatsleitungen. WirbelstraBen konnen hinter allen Widerstandskorpern entstehen. Der Geschwindigkeitsverlust in der (Nachlauf-)Delle (Bild 3-28) gilt als Ma0 fur den durch die KARMAN-WirbelstraJe verursachten Energieverlust und damit dem Stromungswiderstand. Der K . & ~ ~ . & ~ - E fwird f e k tuber Schwankungsfrequenz-Bestimmung auch zur DurchfluBmessung flolumenstrom p) in Rohren eingesetzt. Diese Gerate sind genau, einfach und robust. Thrbulenzsiebe: Kleine Wirbel laufen sich infolge geringen Energieinhaltes schneller tot als groBe, d.h. sie werden letztlich in Warme umgesetzt. Hierauf beruht beispielsweise die Wirkung der beim Duseneinlauf von Windkanalen eingesetzten engmaschigen sog. Turbulenzsiebe, die groBe Wirbe1 in kleine auflosen.

91

.

W

1

TAYLOR-Wirbel

Welle

Bild 3-29. T A Y L O R - W im~Zylinderspalt ~~~~ Welle-Gehause (Lagerschale oder Dichtring).

Kreisringspalt zwischen einem rotierenden Zylinder und einer umschlieljenden ruhenden Hiilse ausbilden konnen, z. B. drehende Welle in Gehause (Bild 3-29). Infolge Haftbedingung nimmt der rotierende Zylinder die angrenzende Fluidschicht mit. Innerhalb des Zylinderspaltes bildet sich etwa eine COUETTE-Stromung aus. Warum diese Stromung unter entsprechenden Umstanden instabil wird, la& sich qualitativ einfach verdeutlichen. Infolge der schnelleren Rotation wirkt auf die Fluidteilchen in der Nahe des inneren Zylinders eine groRere Fliehkraft als auf die langsameren im auBeren Teil des Spaltes, d. h. in Gehausenahe. Das entspricht der instabilen Schichtung eines leichteren Mediums unter einem schwereren (Inversion). TAYLORbeobachtete, daB ab einer bestimmten REYNOLDS-Zahl regelmafiige Ringwirbel der Grundstromung uberlagert sind. Langs der Achse treten diese Wirbel in gleichem Abstand, aber mit wechselndem Drehsinn auf (Bild 3-29). 3.3.6 Eindimensionale Stromung idealer Fluide

Vorbemerkung: Um die prinzipiellen Zusammenhange aufzuzeigen, ist es gemaR der Stromfadentheorie vorteilhaft, zuerst das Stromungsverhalten idealer Fluide zu untersuchen und mathematisch zu beschreiben.

TAYLOR-W im~Zylinderspalt: ~~~~ Eine dreidimensionale Storung oder Instabilitat sind die sog. TAYLOR ')-Wirbel (engl. Vortex), die sich unter entsprechenden Voraussetzungen im fluidgefullten

3.3.6.1 E U L E R S Bewegungsgleichung C~~ der Absolutstromung Mit Absolutstromung wird die Bewegung eines Fluides gegenuber einem ruhenden Koordinatensystem bezeichnet. Ruhebezugspunkt ist die Erde (Umgebung).

KARMIIN,Todor (1881 his 1963), ungar. Aerodynamiker. TAYLOR, Brook (1685 his 1731), engl. Mathematiker.

3.3.6.1.1 Kraftwirkung in Bewegungsrichtung s In Bild 3-30 sind alle Krafte eingetragen, die auf das dargestellte Fluidteilchen - massefestes Volu-

l)

92

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Beziehung umgestellt und vereinfacht:

Die Geschwindigkeit c ist allgemein (instationare Stromung) eine Funktion des Ortes s und der Zeit t, wenn s die Lage des Fluidteilchens auf der Stromlinie zur Zeit t angibt, also c =f (s,t). Deshalb gilt fur das totale Differential von c: Bild 3-30. Krafte und Fluidteilchen (Feldelement) in Bewegungsrichtung s.

menelement in Bewegungsrichtungs wirken. Das N ~ w ~ o ~ s cGrundgesetz he auf dieses infinitesimale Fluidelement angewendet, ergibt: dc CdF,=dm.i.=dm.-=e.dA;ds.dt

dc dt

(3-58)

Bemerkung: Infolge Normalkraft (senkrecht zur Stromungs-Tangente, Bild 3-31) ist der Druck uber den Stirnflachen des Fluidelementes in Bild 3-30 jeweils nicht konstant, sondern verlauft in Normalenrichtung abfallend. Dies ist berucksichtigt durch Auftragen der Mittelwerte (Flachenschwerpunktsdriicke) uber den Flachen dA, . Der Druck ist zudem wegabhangig, also p = p(s) und p (S + CIS)=p (s) + (apias) . dr;.

Damit wird die Beschleunigung i. (Gl. (3-2)):

,

=

S

= dc =

dt

ac . ds ac -= . ac ac as dt at as at -+-

+

1.a~

dc Hieraus as. - = c . ac + as . dt Eingesetzt in GI. (3-60) ergibt die E U L E R ~StroC~~ mungsgleichung in Stromlinienrichtung von instationarer eindimensionaler Stromung c = c(s, t ) mit P =~ ( 4 :

Fur stationare eindimensionale Stromung c =f (s) hat, da &/at = 0, die E U L E R S CStromungsglei~~ chung die Form:

Die Kraftresultierende zu G1. (3-58) in s-Richtung setzt sich dabei gemaL3 Bild 3-30 wie folgt zusammen:

Partielle Differentiale sind nicht mehr notwendig, da nur noch die eine unabhangige Variable s vorhanden ist. Der transiente Anteil &/at entfallt. CdF, = -dAs

'

(Z

-'

ds + @ . g ' ds ' sin

(3-59)

Wiedergegeben sei nachfolgend eine vereinfachte mathematische Umformung, die jedoch zum richtigen Ergebnis fuhrt: Gleichung (3-58) und (3-59) gleichgesetzt ergibt mit sin a = dz/ds az/as, da Geometrie (d und a Kennzeichen fur Differential):

-

Erganzungen: Mathematische Umformung der Beziehung (3-59) mit G1. (3-58) nach TRUCKENBRODT: az

g . - . ds

as

+ e1 . a~ . ds + dc . ds = 0 as dt -

-

-

dc ac ac Mit Beschleunigung dt = c . as + at

3.3 Fluid-Kinetik

Ausgangspunkt fiir die Umformung: c = c (s, t); p = p (s, t); z

93

z = z (s, t) differenziert

= z (s, t)

Betrachtung langs Stromlinie s (Bild 3-30):

hieraus wieder mit dt = (l/c) . ds

Vollstandige Differentiale:

Alle Terme eingesetzt in G1.(3-59) ergibt die EULER-Striimungsgleichungidealer transienter Stromung allgemeinster Form:

Bei festgehaltener Zeit t, also dt = 0, werden:

ac ap az dc = -. ds; dp = - . ds; dz = - . ds

Diese Gleichung ist nur bei aul3ergewohnlichen Sonderfallen notwendig.

Damit geht Beziehung (3-63a) iiber in

3.3.6.1.2 Kraftwirkung in Normalenrichtung n In Bild 3-31 sind alle auf das infinitesimale Fluidteilchen in Normalenrichtung n wirkenden Krafte eingetragen. Das N E w o ~ s c h eGrundgesetz

Hierbei noch c . dc = d(c2/2) eingefiihrt, liefert:

ZdF, = dm . a, angewendet, liefert mit

as

as

as

a, = m2 . R = cZ/R

dm = Q . dA, . dn

und

Prinzipiell ergibt sich derselbe Aufbau wie G1. (3-61). Der Unterschied in den Differentialsymbolen ist in diesem Zusammenhang ohne Bedeutung. Wird die zeitliche Druckanderung ap/at (lokaler Anteil) beriicksichtigt und zudem die StromlinienNeigung (Winkel a in Bild 3-30) ebenfalls als transient betrachtet (allgemeinster Fall), enveitert sich G1. (3-61) wie folgt:

\

Krummungskrets m, ~ c h w r r p m ~ t

p = p (s, t) differenziert und umgestellt:

u = a(s, t).

Hierzu gemaD Bild 3-30, wobei jetzt partielle Differentiale notwendig: sin u = az/as

x

Bild 3-31. Krafte auf massefestes Fluidteilchen in Normalenrichtung n.

94

3 Fluid-Dvnamik. Grundlanen (Hvdro- und Aerodvnamik)

wenn eingesetzt, die Beziehung:

Mit cos cc = dzldn

= &/an

ergibt sich letztlich:

Gleichung (3-64) ist die E U L E R S StromungsgleiC~~ chung der eindimensionalen Stromung in Normalrichtung. Bei manchen Stromungsvorgangen ist der EinfluD der Schwere g . az ohne praktische Bedeutung. Bei Stromungen in horizontaler Ebene verschwindet der SchwereeinfluB ohnehin: z = konst + az = 0. G1. (3-64) vereinfacht sich in diesen Fallen zu:

Gleichung (3-64) und besonders G1. (3-65) zeigen, daB in jeder gekrummten Strombahn immer ein Druckabfall quer zur Stromlinienrichtung nach dem Krummungsmittelpunkt hin stattfindet. Bei geradliniger Stromung ist in Querrichtung kein Druckabfall vorhanden, da Strombahn-Kriimmungsradius R + m. Der Druck andert sich bei stationarer Stromung linear mit dem Krummungsradius R der Strombahn, da nach G1. (3-65) ap/an = Q c2/R = e . m2 . R. Dieses Ergebnis vorwegnehmend wurde, wie dort erwahnt, in Bild 3-30 ersatzweise der mittlere Druck, der an der Mitten-Strombahnlinie herrscht, uber die gesamte Flache dA, wirkend eingetragen.

Die Umstromung eines sehr langen vertikal angeordneten Zylinders erfolgt quer senkrecht zu seiner Achse. Die Druckanderung in radialer Richtung ist zu bestimmen. Bekannt: Stromungsgeschwindigkeit 12 m/s Zylinderdurchmesser 500 mm Medium Luft 80 "C; 1,8 bar Gesucht: Druckdifferenz in der Stromung zwischen Zylinderoberflache und radialem Abstand von 20 mm.

Ansatz: Ausgangspunkt ist G1. (3-64), also Differentialgleichung (abgekiirzt D'G1.):

Ansatz-Auswertung: Anpassung gema0 Problembedingungen a) z = konst + az = 0, da waagrechte ebene Stromung. b) Geringe Druckdifferenz erwartet. Daher Q z konst gesetzt. c) Kleine Weg-Erstreckung, weshalb Krummung der Stromung naherungsweise konstant und gleich dem Zylinderradius Rz gesetzt. Bei groBerer radialer Erstreckung An wird sinnvollerweise der mittlere Radius verwendet, also R = R gesetzt. Dann geht die Differentialgleichung uber in die Differenzengleichung. Dabei ist zu beachten, daB Normalenrichtung n zum Krummungsmittelpunkt fuhrt (Bild 3-31), d. h. zum Zylindermittelpunkt. Das gilt daher auch fiir die Integrationsrichtung n (Grenzenfestlegung), und zwar von pAn= p (An) bis p, = p (0):

Zahlen-Auswertung: Wertberechnung gemal3 Vorgaben, notwendigen Festlegungen oder Annahmen und zugehorigen Stoffwerten, die aus Tafeln (Tabellen, Diagrammen) zu entnehmen sind. Fur Luft nach Tabelle 6-8: Bei 0°C; 1,0133bar + Q = 1,293kg/m3 Tabelle 6-20: R = 287 J/(kg. K); x = 1,4 Da Luft in weitem Bereich thermodynamisch ideales Gasverhalten zeigt, gelten die Werte fiir Gaskonstante R und Isentropenexponent x auch auoerhalb der Bezugswerte von Tabelle 6-20 (1 bar; 20 "C) in guter Genauigkeit.

95

3.3 Fluid-Kinetik

Umrechnung der Luftdichte mit der Gasgleichung p.v=R.T: P o ' - ?p To T

~i~~~~~*it

" = -:@1

Damit wird die Druckdifferenz Ap = p,, - pz fur An = (An + Rz) - Rz = 0,02 m, c = 12 m/s und R, = 0,25 m:

Das bedeutet: Druckanstieg radial nach auBen, bzw. Druckabnahme nach innen. Die Riickwirkung der Druckanderung auf die Geschwindigkeit sol1 bei diesem Beispiel nicht untersucht werden. 3.3.6.2 E U L E R S Bewegungsgleichung C~~ der Relativstromung in waagrechter Ebene Mit Relativstromung wird die Bewegung eines Fluides gegenuber einem Koordinatenkreuz bezeichnet, das mit dem sich drehenden System mitrotiert. In Bild 3-32 sind die Zusammenhange in einem waagrechten Stromungsfeld dargestellt. Das ge-

zeichnete Fluidteilchen der Masse dm bewegt sich der (Relativ-)Bahnlinie s entlang und rotiert mit ihr zusammen zudem um den Drehpunkt Mo (Winkelgeschwindigkeit w ) gegenuber der ruhenden Umgebung. Relativgeschwindigkeit des Fluidteilchens in bezug auf die mitrotierenden Bezugskoordinaten. Deshalb Bezeichnung w statt c. Krummungsradius der Relativ-Bahnlinie s im Schwerpunkt S des materiellen Fluidteilchens. Radius der Kreisbahn der Grund- oder Hauptbewegung. Tangente im Schwerpunkt S des Fluidteilchens an den Kreis mit Radius R. Tangente im Schwerpunkt S an den Kreis mit Radius r. CORIOLIS-Kraft. Fliehkraft infolge Rotation auf Kreisbahn mit Radius r . Fliehkraft infolge Relativ-Kreisbogen-Bahn mit Krummungsradius R. Druckkrafte. Druckanderung (Druckgradient) in relativer Stromungsrichtung s. Druckanderung in Normalrichtung n. Neigungswinkel der relativen Strombahn.

3.3.6.2.1 Dynamisches Kraftegleichgewicht in der relativen Stromungsrichtung s Nach NEWTON gilt: CdIi,

= dm

ap CdF,=dm.a2.r.sinP--.ds.dn.db

as

dw dt

. w = dm . -.

folgt

Fiir instationare Relativstromung w =f (s, t) gilt:

Bild 3-32. Krafte an Fluidteilchen mit Relativbewegung entlang der Bahnlinie s in rotierendem System um senkrechte Achse durch Drehpunkt M, (Draufsicht).

96

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

und mit sin fi = a r p s = drlds ergibt G1. (3-66)

Oder mit u = o . r

dm dauernd einer ~ n d e r u n gunterliegt und zum zweiten die Relativgeschwindigkeit w standig ihre Richtung andert, was Beschleunigungen der Masse dm bedeutet. Beide Einfliisse bewirken Krafte jeweils von der gleichen GroDe o . w . dm. Ihre Summe ist deshalb doppelt so groD. Die Zentrifugalkrafte sind: Relativbewegung mit w und Krummung R: dFFVR = dm . w2/R Grundrotation mit o um Radius r: dFF,, = d m . 0 2 . r

Die analytischen Ausdrucke fur die Kraft in die eingesetzt, ergibt: Gleichung (3-68) bzw. (3-69) ist die E U L E R ~ CGleichgewichtsbedingung ~~ Gleichung der Relativbewegung in Stromungsrichtung bei instationarer Relativstromung. Fur stationare Relativstromung w =f (s) erhalt die Bewegungsgleichung die Form:

Wie bei G1. (3-70) sind auch hier keine partiellen Differentiale notwendig, so da13 gilt: oder

-ap--e

an

[

( :)]

ozrcosj-w 2o--

(3-75)

C~~ der Beziehung (3-73) ist die E U L E R ~Gleichung Relativbewegung quer zur Stromungsrichtung. 3.3.6.2.2 Dynamisches Kraftegleichgewicht in der relativen Normale~chtungn Gleichgewichtsbedingung CdFn = 0 mit

Entsprechend 61. (3-65) zeigen die Beziehungen (3-74) bzw. (3-75), daI3 ein Druckanstieg (Druckgradient) quer zur Relativstromungsrichtung vom Krummungsmittelpunkt weggerichtet, d. h. in negativer n-Richtung, auftritt. Gleichung (3-73) bis (3-75) gelten fur die sog. riickwarts (entgegen zur Drehrichtung gekrummt) gekriimmte Relativstrombahn entsprechend Bild 3-32.

Hierbei ist dFc die CORIOLIS-Kraft I), die auf jeden Korper wirkt, der in einem rotierenden System in Bei vonvarts gekriimmter Relativstrombahn (Kriimirgend einer Richtung mit der Geschwindigkeit w mung umgekehrt zu der in Bild 3-32) wirkt dFF,, Relativbewegungen ausfiihrt. Die C0~10~1skraft in entgegengesetzter Richtung. Ebenfalls kehrt wirkt senkrecht zur Relativbewegung sowie ent- sich die Normalenrichtung n urn. gegen der Rotationsrichtung, d.h. in Richtung Fur die Vorwartskrummung liefert die analoge zum Mittelpunkt M,,, der Relativbahnkrummung, Ableitung: und hat die Gro13e 2 . o . w . dm. Diese Kraft riihrt daher, dal3 bei einer Relativbewegung zum einen die Umfangsgeschwindigkeit u des Fluidteilchens ')

CORIOLIS (1792 bis 1843), frz. Physiker.

3.3 Fluid-Kinetik

Wird zum Vergleich Beziehung (3-70) nach der Normalrichtung n partiell differenziert, ergibt sich:

Mit a r p n = -cos ,!3 folgt (ar

+ ; an -):

Fur die verschiedenen Bahnkrummungen gilt also: Riickwarts gekrummte Bahn, G1. (3-78) mit G1. (3-75)

Vorwarts gekrummte Bahn, G1.(3-78) mit G1. (3-77)

97

Gleichung (3-81) zwischen den Bezugsstellen Q und Q bei = konst angewendet, ergibt die Beziehung:

Erganzung: Eine wichtige instationare Stromung ist neben Fluidschwingungen u.a, der sog. Druck- oder StromstoD (JOUKOWSKY-StoB), der beim schnellen Abstellen von Flussigkeitsstromungen in Rohren auftritt, z. B. bei Wasserturbinen-Druckleitungen [91] und Wasserrohrnetzen. Bei Gasen ist er trotz hoher Stromungsgeschwindigkeit infolge der geringen Dichte meist ohne Bedeutung. JOUKOWSKY-Stok Drucksprung Ap bei plotzlicher h d e r u n g der Stromungsgeschwindigkeit um Ac gemaD Rampen-, d.h. Sprungfunktion betragt [91] : nach JOUKOWSKY

mit a,

. . . charakteristische Schallgeschwindig-

keit. 1st meist etwa gleich der Schallgeschwindigkeit des Fluides, also a, x a Dies sind die Differentialgleichungen der rotieren(Gl. 1-22 und Tabelle 1-16). den Relativstromung. Mit ihrer Hilfe kann die Stromung idealer Fluide in den bewegten SchauAc = c, - c . . . plotzliche Geschwindigfelkanalen der Stromungsmaschinen behandelt keitsanderung von co auf c werden. Zu beachten ist, daD der Geschwindigbedeutet hierbei, wenn SchlieBzeit keitsabfall immer in Richtung der C o ~ ~ o ~ ~ s k r Plotzlich aft erfolgt. 3.3.6.3 Energiegleichungen der Absolutstromung Die Energiegleichungen ergeben sich durch Integrieren der aus den Kraftegleichgewichten hergeleiteten Bewegungsgleichungen von EULER. 3.3.6.3.1 Instationare Stromung Die Integration der Differentialgleichung (3-61) fuhrt zur Energiegleichung der instationaren Absolutstromung idealer Fluide: g

1 c2 . z + J -. ap +-+ J -. 4 2 at p

as = konst

(3-81)

0

S

Das Integral J (aclat) . 8s beschreibt den EinfluD

mit

L . . . Rohrlange des am Absperrorgan entgegen der Stromungsrichtung anschlieBenden geraden Rohrstuckes.

DruckstoDgefahr besteht somit, wenn Zeit T fur die ~ n d e r u nder ~ Stromungsgeschwindigkeit urn Ac kleiner ist als t = 2 . Lla, nach G1. (3-82a). Somit notwendig T > t . Erforderliche GegenmaDnahmen sind z. B. Ausgleichbehalter (Windkessel) oder gesteuerte Umgehungsleitungen. DruckstoBgefahr besteht, wie G1. (3-82) bestiitigt, in der Regel nur bei Fliissigkeiten, da ihre Dichte etwa das 1000-fache der von Gasen und Dampfen betragt.

0

der lokalen Beschleunigung &/at und damit den instationaren oder transienten Anteil. Es ist nur exakt losbar, wenn &/at =f (s) bekannt, was oft nicht der Fall.

3.3.6.3.2 Stationare Stromung (BERNouLLI-G~~~c~u~~) Die Energiegleichung der stationaren Absolutstromung idealer volumenbestandiger Fluide

98

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

(Q= konst) ergibt sich durch Integration der E u ~ ~ ~ s c Stromungsgleichung, hen GI. (3-62), also ohne Transientanteil. g

c2 . z +P + = konst -

e 2 Oder zwischen den Bezugsstellen @ und Q; gekennzeichnet durch E@-Q:

Diese Gleichung wurde erstmals von DANIEL BERNOULLIin der Form z

Der Energieerhaltungssatz C E = konst angewendet ergibt:

+

P

c2 += konst

Diese Gleichung, bezogen auf die Masseneinheit (dividiert durch m), fuhrt fur die spez. Gesamtoder Totalenergie einer Stromung zu:

Oder zwischen den Bezugsstellen

a und Q:

-

e.s 2 . s aufgestellt und wird deshalb als BERNOULLI-G~~~chung oder Druckhohen- bzw. EnergiehohenGleichung der stationaren Stromung bezeichnet. Dies ist die Energiegleichung stromender Fluide Exakt ausgedruckt ware wegen Q w konst der Zu- in allgemeiner Form. Sie gilt bei entsprechensatz ,,fiir Fliissigkeiten" notwendig, der einfach- der Anwendung sowohl fur alle idealen als auch heitshalber jedoch meist weggelassen wird. Dies realen Fluide ohne auBeren Warmeaustausch, wegen der Annahme, daD auch so Klarheit be- d. h. - Stromung ohne oder rnit Reibung, steht. - Stromung inkompressibler und kompressibler Fluide Die Energiegleichung der reibungsfreien Stromung ergibt sich in erweiterter Form auch aus dem in adiabatem, d. h. warmedichtem Gebiet (SyEnergieerhaltungs-Satz, einem weiteren Axiom stem). (Erfahrungsgesetz) der Physik. Da die Energiegleichung neben DurchfluD- und Kontinuitatsbezie- Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik hung sowie dem hydrostatischen Grundgesetz die wichtigste Grundgleichung der Fluidmechanik ist, gilt ohne Warmetausch (adiabates System), d. h. sol1 diese Ableitung durchgefiihrt werden. dq = 0: Bei einem stromenden Fluid treten folgende Energieformen auf: LageNun sind zu trennen: energie: FG .z = m .g .z Fliissigkeiten: Quasi inkompressibel, Q x konst, potentielle also v = 1 / x~ konst. Damit dv w 0, also vernachm lassigbar, weshalb auch energie: p . V = - . p nische

e

Energie: m .2 Thermische oder innere Energie: m . u Die sonst noch moglichen Energiearten, wie elektrische, magnetische, chemische und Kernenergie sind bei stromenden Fluiden in der Regel nicht vorhanden bzw. miissen gegebenenfalls entsprechend beriicksichtigt werden. Daniel (1700 bis 1782), schweizer PhysiBERNOULLI,

Hieraus folgt: u x konst und damit T x konst Aus G1. (3-86) ergibt sich damit wieder die Energiegleichung idealer inkompressibler Fluide, G1. (3-83). Gase und Dampfe: Kompressibel, Q konst, also auch v =I/@=!= konst und damit dv =!= 0 sowie du =!= 0. Die Konsequenzen sind Inhalt von Abschnitt 5.

Die B E R N O U L L I - G ~ GI. ~ ~ (3-85), C ~ U ~ ermoglicht ~, analog zur Punktmechanik eine weitere Deutung:

3.3 Fluid-Kinetik

99

z

-0

0

-

Bild 3-34. Staupunktstromung. Staukijrper in waagerechtem Stromungsfeld. @-Q Stromfaden (Staulinie), SP Staupunkt. Bezugssystem: Nullinie (Abszisse) fiir zAchse (Ordinate) entlang Stromfaden Q-Q festgelegt.

auf. Die in der Mitte des Staugebietes verlaufende

Bild 3-33. Bildliche Darstellung der BERNOULLI-G~~Stromlinie, die Staush.omlinie, trifft senkrecht auf chung.

Alle drei Glieder haben die Dimension einer Lange. Deshalb bezeichnen:

. . . Ortshohe des Fluides iiber einer beliebig gewahlten c2

Bezugsebene

Entspricht zer Hohe, die das Fluid im reibungslosen, freien Fall herabfallen muBte, um die Geschwindigkeit c zu erreichen

. . . Druckhiihe O.9

Bemerkung: Staustromungen sind immer laminar zumindest kurz vor dem Korper (Staupunkt) und deshalb such bei reibungsbehafteter Stromung sicher berechenbar und fur MeBverfahren

-

geeignet.

. . . Geschwindiekeitshohe

7 '

den Staukorper. Das Medium kommt in diesem ausgezeichneten Punkt, dem Staupunkt SP, vollig zur Ruhe.

Die Energiegleichung E, auf den eingezeichneten Staupunkt-Stromfaden angewendet, ergibt:

a-Q

ED-Q:

Entspricht nach dem hydrostatischen Grundgesetz der Hohe, die eine FluidsHule der Dichte Q haben muB, darnit sie auf ihre Unterlage den Druck p ausiibt

Bei stationarer Bewegung eines idealen Fluids ist fur alle Punkte einer Stromlinie die Summe aus Orts-, Druck- und Geschwindigkeitshohe eine konstante GriiBe, die son. hydradische Hbhe oder ideelle bzw. ideale ~isamthiihe, Bild 3-33. Der Wert andert sich bei allgemeiner Stromung in der Regel beim ~ b e r g a n gvon einer Stromlinie zur anderen. Bei stationiren Potentialstromungen dape" gen hat die ideelle Gesamthohe im ganzen Stromungsgebiet die gleiche GroBe.

-

3.3.6.3.3 Anwendungen der Energiegleichungen Stau@unkt)striimung, statischer und dynamischer Druck: In eine Parallelstromung mit der Geschwindigkeit c wird ein stirnseitig abgerundeter Korper eingebracht, Bild 3-34. Beim Umstromen dieses Hindernisses staut sich das Fluid teilweise

4

z , . g + - +P-i = z , . g + - + @ 2

Pz

4

@

2

Mit

z, = 0;

zz = 0

und c , = c; c2 = 0

wird

p, = p l

+ e .c

(3-88)

Bezeichnungen der Glieder dieser Gleichung: . . . Statischer Druck pstat P1 cz Q . . . Dynamischer Druck oder Staudruckp,,, bm. q . . . Gesamtdruck p w Oder Pz

.y

lxmnach gilt: Pgea=Patat + P,,, =Pstat + 9 (3-89) Wenn es gelingt, den Gesarntdruck und den statischen Druck zu messen, ermoglicht G1. (3-88), die meBtechnisch nur schwer faBbare Stromungsgeschwindigkeit zu berechnen:

c=JF=[:=d-

(3-90)

100

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

wendbar fiir Stromungsgeschwindigkeit grol3er etwa 5 m/s. Das ergibt z. B. bei Luftstromung (20 "C)einen Staudruck von ca. 15 Pa. Kleinere Stromungsgeschwindigkeiten erfordern noch empfindlichere DruckmeBgerate entsprechender Genauigkeit.

Bild 3-35. Messen von statischem Druck und Gesamtdruck.

Besonderheiten bei Messungen in kompressiblen Medien: Bei Ma > 0,3 an Stelle 1 in Bild 3-34 (ungestorte Stromung) ist eine Dichtekorrektur gema5 G1. (1-9) in der Beziehung fur den Staudruck notwendig. Es gilt dann:

Der statische Druck kann mit dem Piezo ')-Rohr, der Gesamtdruck mit dem PITOT2)-Rohrgemessen werden. Die MeDanordnung zeigt Bild 3-35. Das Messen mit getrennt anzubringenden Piezound PITOT-Rohrist sehr umstandlich. Bei einem in Im ~berschallbereich(Ma > 1) kann das PITOTdie Stromung geschobenen Piezorohr mu0 eine Rohr unter Beachten entsprechender Bedingunquergestellte, d. h. in Stromungsrichtung verlau- gen (Gl. (5-231)) angewendet werden, nicht jedoch fend, Scheibe angebracht werden, auch als S ~ ~ s c h edas PRANDTL-Rohr.Die Messung des statischen Scheibe bezeichnet, an der sich die Grenzschicht Druckes ist dabei wegen der Kopfwelle Bild 5-58 ausbilden kann, da der statische Druck nur exakt auf diese Weise nicht mehr moglich. in ruhendem Fluid me5bar ist. Die Bohrung Durchmesser < I mm, meist 0,2 bis 0,8 mm - mu5 Diise, Diffusor: Kontinuitatsbedingung, G1. (3-9) gratfrei sein, damit die Stromung nicht beeinflu5t und Energiesatz, G1. (3-83), wird (Wirbelbildung + Falschmessung). PRANDTL vereinte beide Rohre in einem Gerat. In Bild 3-36 ist der prinzipielle Aufbau eines solchen begrunden Konsequenzen-Eintragungen in Bild Staugerates dargestellt, das sog. PRANDTL-Rohr, 3-37: auch kurz nur als Staurohr bezeichnet. Der Nachteil dieses MeDverfahrens ist der meist kleine MeDeffekt (q klein). Deshalb giinstig an-

'' Piezo (gr.) .. . Druck. 2,

PITOT,Henry (1695 bis 1771), frz. Physiker u. Ing.

I

Bild 3-36. PRANDTL-Rohr (prinzipieller Aufbau).

Diffusor

I

Bild 3-37. Stromungs-Verengung(Diise) b m . -Erweiterung (Diffusor). G Geometrie, K Kontinuitat, E Energie. Zeichen 4 bedeutet Konsequenz, also fur K wegen G und fur E wegen K.

101

3.3 Fluid-Kinetik

Kanalverengung (Diise) in Stromungsrichtung bewirkt Geschwindigkeitserhohung, verbunden mit Druckabfall. Bei solchen Diisen-Stromungen wird somit Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie umgesetzt. Kurz: Druck in Geschwindigkeit. Verwendet z. B. bei Turbinen und Strahldiisen. Kanalerweiterung (Diffusor) entlang der Stromung fiihrt entsprechend zum Umwandeln von kinetischer Energie der Stromung in Druckenergie -r Geschwindigkeit in Druck. Eingesetzt z. B. bei Stromungspumpen (Kreiselpumpen und -verdichter). VENTURI-Prinzip(-Rohr):Um den Fluiddurchsatz in Rohrleitungen zu messen, wird vielfach das sog. VENTURI 3)-Rohr (Drosselgerat) entsprechend Bild 3-38 verwendet. Hierbei handelt es sich um eine vorteilhaftenveise waagrecht angeordnete kegelige Rohrverengung (Diise) mit anschlieknder, ebenfalls konischer Erweiterung (Diffusor) auf den urspriinglichen Rohrdurchmesser. An der und am engsten QuerZustromseite (Stelle 0) schnitt (Stelle Q) sind DruckmeRbohrungen fur ManometeranschluD angebracht. Die folgende Ableitung zeigt, daR mit dieser Einrichtung bei idealem, inkompressiblem Fluid der Volumenstrom im Rohr iiber zwei Druckmessungen und der Kenntnis der geometrischen Abmessungen (Durchmesser D l , D2) ermittelt werden kann. Oftmals sind die zwei getrennten Druckmessungen zu einer Differenzdruckmessung zusammengefaBt, da nur dieser Differenzdruck Ap = egAh, der sog. Wirkdruck b m , die zugehorige (Wirk)druckhohe Ah, bekannt sein muB. Bei horizontaler Anordnung entrallt die geodatische Wirkung z . g.

Bei realen Fluiden ist das Mekrgebnis durch Einfiihren von Korrekturfaktoren den tatsachlichen Bedingungen anzupassen. Die Gerate sind hierfiir entsprechend zu kalibrieren. Bei Fliissigkeiten wird dazu die sog. DurchfluRzahl a und bei Gasen sowie Dampfen zudem noch die sog. Expansionszahl e eingefiihrt, die durch Versuche zu bestimmen sind (Abschnitt 4.1.1.5.6). Dieses Verfahren der Volumen- oder Massenstrombestimmung wird auch als DurchfluRmessung nach dem V E N T U R I - P ~ bezeichnet. ~~Z~P In der folgenden Ableitung bedeuten wieder: D . . . DurchfluBgleichung K . . . Kontinuitatsgleichung E . . . Energiegleichung m . . . t)ffnungsverhaltnis (Flachenverhaltnis) Es gilt gemaR Bild 3-38

K Q-Q:

z l . g + -P1 + - = c: z , . g + - + - Pz e 2 e A1 . c1 = A2 . cz

wird

c, = c, . A z / A , = cz . rn

EQ-Q:

c:

2

Umgestellt fiihrt zu:

VENTURI, Giovanni-Batista (1746 bis 1822), ital. Physiker und Ingenieur.

Mit dieser Stromungsgeschwindigkeit folgt fur den DurchfluD

Bild 3-38. VENTURI-Rohr(Prinzip). Wirkdruckhohe Ah = h,- h,. DmckmeBstellen O u n d Q rnit ,,Manometerrohren" ausgeriistet.

Das Ermitteln des Volumenstromes laBt sich also wieder auf zwei Druckmessungen, das Messen des Wirkdruckes Ap = ~ g A hbzw. der Wirkdruckhohe Ah, zuriickfiihren. Zur eindeutigen Klarstel-

')

I

.

102

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

lung ist oft der Index Wi angefiigt, also Apwi und Ahwi = Apwi/(@.g) gemal3 G1. (2-47); (Gl. (4-69)). Das ~ffnungsverhaltnis m = AJA, = (D,/DJ2 ist hier eigentlich ein Verengungsverhaltnis, eine Bezeichnung, die allerdings nicht mehr venvendet werden soll. D'ALEMBERTSC~~S Paradoxon: Ein zylindrischer, schwebefahiger Korper, z. B. vorne und hinten abgerundet, wird in eine translatorische Potentialstromung gebracht, Bild 3-39.

Wasserstrahlpumpe (Injektor): Das Diisen-Prinzip, also die Druckabsenkungen durch Rohreinschniirung, wird in der Technik auch eingesetzt, um Unterdruck zu erzeugen. Die erzielbare Saugwirkung kann zur Fliissigkeitsforderung oder Evakuierung dienen. Gerate, die diese Erscheinung nutzen, werden als Wasserstrahlpumpe oder Injektor bezeichnet. Nachteilig ist der hohe Tragerfuid-Verbrauch. In Bild 3-40 ist der prinzipielle Aufbau eines Injektors dargestellt. Durch entsprechende Gestaltung (Abmessungen) und Zustrombedingungen (p, ,c,, el) wird der Druck am Diisenaustritt (Stelle 2) kleiner als der Umgebungsdruckp,, was die Saugwirkung (Abschnitt 2.4) verursacht.

Bild 3-39. Schwebender Korper in einem stromenden idealen Fluid (Parallelstromung). SP, vorderer Staupunkt, SP, hinterer Staupunkt.

Die Staustromlinie des idealen Fluides teilt sich im vorderen und vereinigt sich wieder im hinteren Staupunkt. Es ergibt sich an der Abstromseite das gleiche symmetrische Stromlinienbild wie an der Anstromseite. Die sich durch die Umstromung einstellenden Druckprofile an Vorder- und Hinterseite des umstromten Korpers sind daher gleich. Die Stromung kann deshalb keine resultierende Kraft auf den Korper ausiiben. Dies fuhrt zu dem Ergebnis: Ein schwimmender oder schwebender Korper in der Stromung eines idealen Fluides bleibt in Ruhe. Er wird durch die Stromung nicht beeinflu&. Die Umstromung von Korpern durch ideale Fluide fiihrt zu einem Ergebnis, das in der Natur nicht zu beobachten ist. Diese paradoxe, von D'ALEMBERTbegrundete Erscheinung wird als D'ALEMBERTSC~~S Paradoxon bezeichnet. In der Natur gibt es allerdings auch keine idealen Fluide. Die Reibung verandert das Bild und damit die Wirkung entscheidend (Bild 3-22 und Abschnitt 4.3.2).

'' D'ALEMBERT, Jean (1717 bis 1783), frz. Mathematiker und Schriftsteller.

longesougtes F l u ~ d

Bild 3-40. Wasserstrahlpumpe (Injektor), Prinzipaufbau.

Beispiele: Grundsatzliches: Um Stromungsprobleme zu losen, ist es normalenveise sinnvoll, eine moglichst wirklichkeitsgetreue Systemskizze anzufertigen und alle wichtigen GroBen einzutragen. Notwendig ist dabei insbesondere die Festlegung des Bezugssystems. Von diesem sind dann die Randbedingungen (Hohenquoten usw.) abhangig. Prinzipiell ist die Lage des Koordinatensystems frei wahlbar. Vorteilhafterweise wird die Bezugsebene b m . -1inie jedoch in die tiefste Stelle des Stromungsproblems gelegt. Dadurch ergeben sich keine negativen Hohenwerte. Vorgehensweise: Allgemein ist beim Losen von Problemen insgesamt folgende Vorgehensweise angezeigt: 1. Anfertigen einer moglichst wirklichkeitsgetreuen Problemskizze.

3.3 Fluid-Kinetik

2. Erstellen des Berechnungsansatzes gemal3 den physikalischen Bedingungen und Problemforderungen in Anlehnung an die Systemskizze. 3. Mathematisches Auswerten des Losungsansatzes unter Venvenden der zum Problem gehorenden Zusammenhange - exakte und/oder experimentell abgesicherte; notigenfalls Annahmen. 4. Zahlen-Auswertung des Ergebnisses der mathematischen Auswertung - wenn sinnvoll, rnit Computer - unter Verwenden gegebenenfalls notwendiger Stoff- und Erfahrungswerte. Notigenfalls sind vorab anschlierjend zu uberprufende Schatzwerte einzufuhren (Iterationsverfahren). 5. ~ b e r ~ r i i f eder n Zahlen-Ergebnisse durch Plausibilitatsbetrachtungen, Erfahrung, Vergleich mit den Ergebnissen ahnlich gelagerter Probleme oder Versuche.

103

und

Bei Kreisquerschnitten ist das iiffn~n~sverhaltnis m = A2/Al = (D2/DJ2. Sonderfalle: I.p,=O (freie Oberflache)

c=-.

1

J2.g.H, (3-93)

2 . p , = O u n d A 1 & A 2 czJ= -tm2$1 (freier Fall!)

(3-94)

Bemerkung: A, $ A, ist bereits gegeben ab etwa A, 2 4 .A,. FiirA,=4~~~,alsom=0,25ist1/~~=1,03. Die Geschwindigkeit nach G1. (3-94) weicht dann, d. h. schon bei Dl = 2 . D,, nur um 3% vom theoretischen Wert nach G1. (3-93) ab. Dieses Abweichen ist bei technischen Problemen mit ihren vieGesucht sind: a) Ausstromgeschwindigkeit, wenn der Flussig- len sonstigen, nur unvollkommen zu berucksichkeitsspiegel durch ZufluB in gleichbleibender tigenden Einflussen meist vertretbar. Hohe gehalten wird (Ho= konst) und ~ b e r - Das bedeutet: Der Einflulj der Anfangs-, bzw. Zustromgeschwindigkeit ist in der Regel verdruck p, > 0 ist. b) Zeit fur Spiegelabsenkung um AH von HI auf gleichsweise gering, weshalb diese bei solchen BeH 2 , wenn der ZufluB unterbrochen wird und rechnungen meist vernachlbsigt werden kann, ~ b e r d r u c kp, = 0 ist (Behalterdeckel geoffnet). also c?/2 % 0 gesetzt. AusfluB aus Gefarj. In einem zylindrischen Behalter, Bild 3-41, mit Bodenoffnung von konstantem Querschnitt (Durchrnesser D) reicht die unter gleichbleibendem ~ b e r d r u c kstehende Flussigkeit bis zur Hohe Ho.

Losung: a) Stationares Problem (da Ho und p, je konst):

Gleichung (3-94) wird auch als T O R R ~ C E L L I ~ C ~ ~ (AusfluB-)Formel der reibungsfreien Stromung bezeichnet. b) Znstationiire Stromung: (da Ho -+H bzw. z konst) Bei diesen Stromungsproblemen ist die Fluidaustrittsgeschwindigkeit aus der Bodenoffnung nicht konstant, sondern andert sich funktionell mit der durch den AusfluB standig absinkenden Spiegelhohe z. Entsprechend G1. (3-93) gilt:

+

Mit

mit Abkiirzung Faktor K =

Pb

iti++C'~2

Bild 3-41, AusfluI.3 aus einem GefaB.

TORRICELLI (1608 bis 1647), ital. Forscher.

104

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynam~k)

Zur Aufstellung einer Beziehung der AusfluDzeit T fur die Sp~egelabsenkungum AH von HI auf Hz gibt es zwei Moglichkeiten: Moglichkeit 1

Moglichke~t2 V=Al.c,=A,.c2 Mit

dV=A2.c.dt Andererseits nach Bild3-37: dV=A, .dz

c,

dr =%

nach Bild 3-37 und c,=c=K.&wird

Gleichgesetzt: A2.c.dt=Al.dz

dz A,.-=A,.K.& dl A , . K . & ~ ~ ~ = A , . ~AZ, . ~ Z = A ~ . K . & . ~ ~ Die Differentlalgleichung fur die Spiegelabsenkung als Funktlon der Zeit z = f(t) lautet somit: A,.K.JZ.~~=A,.~~ Mit m = A2/A, ergiht sich

m . K . dr = z-"'. T

dz Integnert:

H1

m . K i d t = f z '"dz 0

HI

Bild 3-42. AusfluD aus einem Hochbehiilter: a) Aufbau b)

Druckverlauf (Llisungs-Ergebnis) ------ wenn Ausstrlimdiise vorhanden ( A , < A , ) ----- wenn keine Ausstrlimdiise vorhanden (A,=A,=A,.). Mit Str6mungsabriB.

Gesucht: Mit K = ,/29/0 folgt letztlich:

Hinweise: Zugehorig zum Zeitablauf t = 0 his r = T senkt sich der Fluidspiegel durch die Ausstromung von HI auf Hz. Da das Wegintegral dadnrch entgegen der z-Richtung erfolgt, wird es negativ. Um dies zu umgehen, da nnr der Betrag des Ergebnisses wichtig ist, wurden die Integrationsgrenzen vertauscht. Bei Behiltern mit A konst, also A = f(z), ist die Querschnittdnderung vor dem Auswerten des zugehorigen Integrales in die Berechnung einzufuhren, z. B. iiber Strahlensatz oder Winkelfunktionen.

+

AusflnB aus Hochbehalter Ein langeres AbfluBrohr ist mit einem Hochbehalter verbnnden. Bild 3-42, Teil a zeigt den vereinfachten Aufbau.

Ansstromungsgeschwindigkeit und Grenzen fiir Gefalle (Hohe) H.

Die Stromung reiBt dort ab, d. h. wird unstetig, wo in ihr der Fluid-Dampfdruck p,. erreicht wird oder unterschritten wiirde, es kommt zur Dampfbildung. An der Stelle @ herrscht, wie sich noch zeigt, der niedrigste Druck. Hier bestebt deshalb Stromungs-AbreiBgefahr. Der Druck an dieser Stelle ist wegen der Fluidschwerewirkung vom Hohenunterschied H zwischen dem BehiilterAnsatz des senkrecbten AbfluBrohres und dessen Austritt-, d. h. Miindungsquerschnitt abhdngig. Der Druckverlauf (Bild 3-42) bei Ausstrom-Duse (dick gezeichnet) folgt aus der E m n s c h e n Stromungsgleichung stationirer Stromung, GI. (3-62). Die Gleichung umgestellt ergiht den Druckgradienten in z-Richtung:

Hieraus folgt: Hohenbereich Seitlich, damit EinfluB der Einstromoffnung des AbfluBrohres gering ist und deshalb nahe-

@-a:

3.3 Fluid-Kinetik

rungsweise aul3er Betracht bleiben kann. Dann gilt: c = konst und vernachlassigbar klein, da Querschnitt A, sehr grol3, also dc = 0 -+ dc2 = 0. Dafiir wird

105

Mit

dpldz = - Q . g

Der Druckgradient hat im (p, z)-Bezugssystem eine negative Steigung, d. h. der Druck steigt mit der Tiefe an, und zwar linear (Fluidstatisches Grundgesetz).

und

Hohenbereich @ - @ : c = konst, also ebenfalls dc2 = 0, und deshalb dpldz = - Q . g bis kurz vor Stelle @ , dann starker Druckabfall infolge Fluidbeschleunigung bis auf die Geschwindigkeit im AbfluDrohr, also hier dc2 > 0, wobei der genaue Bereich unbekannt und theoretisch-analytisch kaum zu fassen ist.

Die Stromung reiDt nicht ab, d. h., es findet keine Dampfbildung statt, wenn p2. 2 p ~ ~ ,

Hohenbereich @ - 0 : c = konst, also wieder dc2 = 0 und deshalb dpldz = - Q . g. Gefahr, daB Stromung abreiBt. Hohenbereich @ - a : Der Querschnitt nimmt mit kleiner werdendem z ab. Infolge der Kontinuitatsbedingung wachst c wegen der mit fallendem z sich verengenden Ausstromduse. Deshalb ist dc/dz und damit auch dc2/dz negativ und -dc2/dz positiv. -dc2/dz ist groljer als Q . g und daher der Druckgradient dpldz > 0. Die Steigung ist im (p, z)-Koordinatensystem positiv. Wie bereits envahnt, tritt an der Stelle @ der niedrigste Druck im System auf (vgl. auch Bild 3-42,b). Dieser Druck muB, wenn die Stromung nicht abregen, also Dampfbildung vermieden werden soll, groI3er als der Fluid-Dampfdruck p,, sein. Der Druck an der Stelle @ und damit die maximal zulassige senkrechte Rohrlange Hergibt sich zusammen aus Energie- und Kontinuitatsgleichung, wobei Werte von @ z @ :

also Hieraus

H I Pb-p~a

es

Sonderfall: AbfluDrohr mit konstantem Ouerschnitt auf gesamter Lange, d. h. ohne AusstromDuse. Dafur wird mit A, = A,:

Bei Wasser bis 20 "C (p,, x 0, Tabelle 2-1) mu13 bei Atmospharendruck (p, x 1bar) demnach H I lorn sein, andernfalls reiBt die Stromung an Stelle @ ab. Fluidschwingung im U-Rohr. Ein oben offenes U-Rohr, Bild 3-43, von konstantem Querschnitt ist bis zur Hohe H mit idealem Fluid gefiillt (Mittellage). Das Fluid wird aus der Ruhelage gebracht. Die Bewegungsgleichung des Fluides ist aufzustellen.

Mit

wird

Bild 3-43. Fluidschwingung in U-Rohr. Entlang der Fluid-Mittellinie s-Koordinate. Mittellage kennzeichnet stationare Gleichgewichtsposition. (-Augenblicks- oder Transientenkoordinate entlang der Bewegungsrichtung, je von Mittellage bis Spiegel.

106

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Ael

Es gilt:

p , = p , = p , (freie Oberflache)

mit

wird c, = c,= c

a

( . . . Schwingungswegvon Ruhelage (Mittellage)

Damit folgt aus G1. (3-81a) fur die Stellen 0 - 0 :

. . . Amplitude, also groDter Schwingungsausschlag,,,( um die Gleichgewichtslagez = H o . . . Kreisfrequenz der Schwingung o = J29/1 Fiir die Schwingungsdauer gilt:

Mit z ,

-

z,

=2

. c nach Bild 3-43 ergibt sich:

Da A = konst zwischen s, und s, ist c und damit auch acjat unabhangig von s, weshalb aus dem Integral nehmbar. Dann wird

ac

s2

2 . g . ( = - . J as at ,, 1

Integriert:

2 .g .

c=

1 . . . Lange der gesamten Flussigkeitssaule im U-Rohr.

Da die Geschwindigkeit unabhangig vom Weg s und damit nur eine Funktion der Zeit (c =f (t)) ist, sind keine partiellen Differentiale mehr notwendig, also

Nach Bild 3-43: c = dsldt = -d(/dt, (-Richtung gegensatzlich. Deshalb

Beim idealen Fluid, wie hier zugrundegelegt,dauert die Schwingungunendlich lange, kommt also nicht zur Ruhe. Der Schwingungsausschlag (Amplitude a ) bleibt unverandert, also konstant. Bei realen Fluiden ergibt sich infolge Reibung eine gedampfte Schwingung, deren Amplitude nach einer Exponentialfunktion (e-Funktion) abklingt. Bemerkungen: a) U-Rohr-Schenkel nicht lotrecht: Verlaufen die beiden Schenkel des U-Rohres schrag, ergibt sich in der Herleitung und damit im Ergebnis folgende ~ n d e r u n ~ : Festlegung: Neigungswinkel - Schragstellungswinkel gegenuber der Waagrechten - des linken U-Rohrschenkels a und des rechten P. Dabei kann es sich durchaus um Raumwinkel handeln. Beide U-Rohrschenkel mussen also nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen. Konsequenz: (-Koordinate gemaD Bild 3-43 verlauft schrag unter Winkel a im linken und Winkel P im rechten Schenkel in Rohrachse von Mittellage zur Zeit t nach oben bzw. unten. Damit ist der Hohenunterschied der Fluidspiegel:

da s- und

dc d2s d2( - - -dt - dt2 - - dtZ

Damit in G1. (3-97), ergibt:

Dieser Ausdruck tritt dann in der gesamten zuvor durchgefuhrten Herleitung an die Stelle von 2 . l . Ergebnis: Die Kreisfreqenz o der reibungsfreien Schwingung verandert sich zu: o = J(g/l) . (sin a + sin fi)

Gleichung (3-98) ist die Differentialgleichung der instationaren reibungsfreien Fluidbewegung im U-Rohr mit konstantem Querschnitt. Es handelt sich um die Differentialgleichung einer einfachen, ungedampften, harmonischen Schwingung. Das Integral (Losung) dieser Gleichung ist bekanntlich [Ill]:

Diese Beziehung geht bei a = 90" und P = 90" in den Wert von vorher iiber, der sich somit hieraus als Sonderfall ergibt. b) U-Rohr-Querschnitt nicht konstant: Verandert sich der Stromungsquerschnitt entlang des Rohres, mu6 das iiber die Kontinuitatsgleichung in die Betrachtung eingefuhrt werden. Die Flieflgeschwindigkeitc ist dann sowohl von der Zeit, als auch vom Weg s abhangig. Die

3.3 Fluid-Kinetik

Herleitung wird daher zwangslaufig entsprechend komplizierter und oft nur bei einfachen Querschnittsverlaufen des U-Rohres mathematisch noch losbar. In einem Rohr von gleichbleibendem Durchmesser D und Lginge L stromt ein Medium der Dichte Q mit der Geschwindigkeit c,. Gesucht: Welche Druckerhohung tritt im Rohr auf, wenn es mit der an seinem Ende vorhandenen Absperrvorrichtung langSam und gleichmaBig in der Zeit At vollstandig geschlossen wird. Aus G1.(3-81a) mit entfallenden z-Anteilen, da z, = z, (waagrechte Anordnung) und c1= c, (D = konst) folgt:

Da D = konst, ist &/at nicht vom Stromungsweg s abhangig, weshalb sich rnit Weggrenzen s, = 0 bis s, = L ergibt: L

AP = p l - p 2 = Q . (ac/at). Jas = e. (ac/at).s 0

I:

Die partiellen Differentialsymbole sind jetzt uberflussig, da nur noch eine Variable, die Zeit t vorhanden, also: Ap = g . L . dcldt

Infolge gleichmaDigem SchlieBen, also linearem Verhalten, gilt mit den Differenzen At und Ac = co-c = co, da hier c = 0:

Andere uberlegung, ohne G1. (3-81a) zu verwenden: Nach dem NEWTON-Grundgesetz: Mit F = Ap .A der Verzogerungskraft, die durch

Druckerhohung Ap aufgebracht werden muD, bzw. diese im Rohr bewirkt m = Q . A .L der zu verzogernden Fluidmasse im Rohr

107

a = Ac/At der konstanten Beschleunigung (Verzogerung) bei gleichmaBiger, d. h, zeitlinearer Stromungsgeschwindigkeitsabnahme

wird: Ap . A = Q . A . L . Ac/At und hieraus Es ergibt sich dasselbe Ergebnis, das gemaB den Voraussetzungen nur fur eine kleinere gleichbleibende Verzogerung, d. h, langsames gleichmal3iges SchlieBen gilt, ein Vorgang, bei dem Fluidkompressibilitat und Rohrmaterial-Elastizitat nicht berucksichtigt werden mussen. Bei schnellem SchlieDen dagegen ist dies nicht mehr zulassig. Es entstehen DruckstoBe, weshalb dann G1. (3-82a) venvendet werden muD. Hingewiesen wird auch auf [91].

Ein senkrechtes Rohr mit NWlOO (Nennweite =D[mm] , lichter oder Innen-Durchmesser) biegt in die Waagrechte ab und erweitert sich dabei auf NW 200. Der Wasser-Volumenstrom in der Leitung betragt 170m3/h. In einer Hohe von 50cm uber der Mittellinie des waagrechten AbfluDrohres ist am senkrechten Rohrteil eine Druckmel3bohrung angebracht. Das waagrechte Rohr enthalt ebenfalls eine MeBbohrung. Gesucht ist der Druckunterschied zwischen den zwei MeBbohrungen. In einem Rohr von NWlOO stromen 150m3/h Wasser unter einem Absolutdruck von 5 bar. An das Rohr sol1 ein Mundstiick (Duse) angebaut werden. Gesucht: a) Ausstromungsgeschwindigkeit b) Austrittsdurchmesser Ein Behalter mit groBem Querschnitt und konstanter Spiegelhohe hat einvon seinem Boden senkrecht nach unten abgehendes AbfluDrohr. Dieses AbfluBrohr endet in einem 90"-Krummer, 2 m unter dem Wasserspiegel des Sees, iiber dem der Behalter angebracht ist. Die freie Behalteroberflbhe (Obenvasserspiegel OW) liegt 4 m uber der Seeoberflache (Unterwasserspiegel UW). Welcher Wasserstrom flieljt bei einem AbfluBrohrdurchmesser von 80 mm?

108

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodynamik)

Im Druckwindkessel (Abschnitt 2.2.5) einer Pumpe steht das Wasser unter dern konstanten ~ b e r d r u c kvon 4bar. Von diesem Windkessel geht eine Leitung von 150 mm Durchmesser 2 m unter dern Wasserspiegel ab und fuhrt zum Boden eines hoher liegenden, oben offenen Behalters mit 3 m Wassertiefe. Die freie Oberflache des Hochbehalters liegt 28 m uber dern Wasserspiegel des Windkessels. Gesucht: a) Wasserstrom b) Wasserdruck im Rohr, am Abgang vom Windkessel. Von einem Behalter mit grol3em Querschnitt, in dern die Flussigkeit die Hohe H,, erreicht, geht a m Boden ein Rohr ab. In diesem Abfldrohr, das am Eintritt einen Durchmesser von 80 mm hat und sich zum Austritt hin konisch verengt, stromen 200 m3/h Wasser. Die Austrittsgeschwindigkeit aus dern Rohr betragt 25 mls. Unter der Forderung, daD am Rohreintritt gerade der gleiche Druck wie auf der freien Oberflache herrscht, sind zu berechnen: a) Rohraustritts-Durchmesser b) Fliissigkeitshohe H, im Behalter c) Gesamtgefalle Von einem oben offenen Behalter, der bis zur konstanten Hohe Ho = 4m mit Wasser von 50 "C gefullt ist, geht waagrecht in Bodenhohe eine ~ b e r l e i t u n-~ublicherweise mit Heberleitung bezeichnet - ab, die zu einem zweiten, ebenfalls grol3en Behalter fuhrt, dessen freie Oberflache 1,5m unter dern Spiegel des anderen Behalters liegt, Bild 3-44. Gesucht: a) Wasserstrom in der Heberleitung von 50mm Durchmesser. b) Maximal zulassige Hohe H der Heberleitung uber dern hochsten Wasserspiegel.

Eine Rohrleitung von 2,5 km Lange und NW 250 fuhrt Wasser mit 1,s m/s mittlerer Geschwindigkeit, bei einem mittleren ~ b e r d r u c k von 4,2 bar. Um wieviel bar steigt der Druck, wenn das Absperrventil am Ende der Leitung innerhalb von 10 s gleichmaDig geschlossen wird? Eine Wasserturbinen-Anlage muD wegen plotzlichem Netzausfall schnell entlastet werden. Stromungsgeschwindigkeit 8 m/s in der etwa 1,85 km langen Zuleitung. Abzuschatzen sind: a) Moglicher Druckanstieg bei schnellem SchlieBen. b) Zulassige SchlieBzeit, damit DruckstoD unterbleibt. An einem bis zur Hohe Ho gefullten Behalter (Wasser 20 "C) mit freier Oberflache geht am Rand im Bodenbereich ein waagrechtes AbfluDrohr, Durchmesser D, Lange L, ab, dessen freies Ende durch ein Ventil geschlossen ist. Bekannt: Ho, Q,D, L Gesucht: Zeitliche Entwicklung der AusfluBgeschwindigkeitc =f ( t )nach plotzlich geoffnetem Ventil bei angenommen gleichFlussigkeitsspiegel-Hohe bleibender (Ho = konst).

3.3.6.4 Energiegleichung der Relativstromung 3.3.6.4.1 Herleitung Die Integration der aus der Stromfadentheorie folgenden Differentialgleichung (3-69) fuhrt bei e = konst und w = konst (Winkelgeschwindigkeit) zur Energiegleichung der Relativbewegung eindimensionaler instationarer inkompressibler Stromung in waagrechter Ebene (z = konst):

w2+ J aw E - - u2 + @

2

2

as = konst

oat

Die Energiegleichung der Relativbewegung eindimensionaler stationarer inkompressibler Stromung in waagrechter Ebene (Q= konst; o = konst; z = konst) ergibt sich entsprechend durch Integration der E u ~ ~ ~ s c Bewegungsgleichung hen der Relativbewegung, GI. (3-72): Bild 3-44. Behalter-Verbindung durch Heberleitung.

Dabei sind u = o .r =f(r) die Umfangsgeschwindigkeit, mit der sich das Fluid zusammen mit dem System bei Winkeleeschwindiakeit w = konst dreht, und w die relative ~ t r ~ m & ~ s ~ e s c h w i n d i ~ keit des Fluids in bezug auf das rotierende System. Gleichung (3-101) folgt auch aus Superposition: Mit dem ersten Druckanteil p' ergibt sich g e d

Energiegleichung (3-83) bei Relativ-Stromungsgeschwindigkeit w in einer waagrechten Ebene (2 = konst): w1 P'2 + = konst 2

(3-102)

Mit dem nveiten Druckantei1p"gilt nach GI (2-3) fiir ein um eine senkrechte Achse rotierendes, mcht stromendes Fluid 2

+ u2 = konst 2

Bild3-45. Gebogenes Rohr, das rotiert (Winkelgeschwindiieit a).gefiillt und in Wasscr eingetaucht ist.

(3-103)

Hierbei ist in GI. (2-3) nach d m hydrostatischen Grundgesetz zu setzen: 2 . g = P"/@ Gleichung (2-3) gilt, da ohne Einschrankung abgeleitet, allgemein fur jedes um eine Achse rotierende, jedoch nicht stromende Fluid (Statik) und damit auch fiuden Druckvdauf in zur Rotationsachse senkrechten Ebenen. Insbesondere auch exakt dann, wenn die Drehachse vertikal verlauft. Die iSberlagerung (Superposition), d. h. Addition von GI. (3-102) und (3-103), fiihrt mit p =p'+p# wiederum zu GI. (3-101). Arithmetische Addition ist zulSssig, da Druck und Energie Skalare sind.

Oesncht: a) Volumenstrom im Rohr. b) Zur Drehung des Rohres erforderliche L t h m g . C) WirkungsgrilJ der Fordcreinrichtung. Losung: a) Nach der allgeminen Energiegleichung der Relativstr6mung ER, GI. (3-104), gilt: ER:

p

w3

u2

g.z+-+---=konst Q 2 2

@-a

Angewendet auf den Stromfaden in dem mit w mitrotierenden Relativsystem (Bild 3-45), d. h. Stelle Q dreht sich mit:

1st die Ortshohe z zu beriicksichtigen, mull GI. (3-101) entspreche-nd der Energiegleichung der Ahlutstri,mun& GI. (3-83), um die spezitiihe Lageenergie g .z ergiinzt werden. Die allgemeine Energiegleichung der Relativstromnng, Abkiirzung ER, hat dann fiir den stationaren Fall bei inkompressiblem Fluid die Fom:

3.3.6A.2 Beispiel

In einem mit Wasser gefiillten Behilter gleichbleibender Spiegelhbhe befindet sich ein um die Hochachse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w dreheudes, gebogenes Rohr, Bild 3-45. Das Rohr ist bereits zu Anfang mit Wasser gefiillt und wird reibungsfrei durchstromt.

.

. -2 . g H Hieraus: w2 = J R )ma Damit ergibt sick

(3-105)

110

3 Fluid-Dynamik, Grundlagen (Hydro- und Aerodvnamik)

b) Die durch die Rotation des Rohres dem Fluid zugefuhrte spezifische Energie ist im Absolutsystem dem Stromfaden 0-0 entlang, wobei jetzt Punkt Q kurz aul3erhalb der Ausstromoffnung liegt und deshalb ruht:

dE12 - d (m .el,) = m . el, Leistung: P = dt dt P = h . ~ 2 . = ~ Q2 .v . R 2 . 0 2 Mit

=A,.

w, und GI. (3-105) wird

P = ~ - R ~ - @ ~ - A ~ . ~ R ~ . (3-108) O~-~.G.H Mit z2 = H;

p2 = pb;

c: = w;

+ u:

wird

Die Nutzleistung Pnut,ist durch Abheben des Wasserstroms v um die Hohe H bedingt:

Die zugefiihrte Leistung ist die in Frage b) berechnete: G1. (3-105) eingesetzt, fuhrt letztlich zu: elZ = R Z w Z Damit ergibt sich fur die Gesamtenergie und die Leistung: Energie:

E12=m.e12=m.R2.02

Damit wird der Forder-Wirkungsgrad:

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

111

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen) 4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten) 4.1.1 Innenstromungen (Rohrstromungen) 4.1.1.1 Erweiterte Energiegleichung Bei der Stromung realer Fluide, mit oder ohne Energieumsetzung, treten Verluste durch Reibung und Turbulenz (Wirbel) auf. Dabei verlorengehende Stromungsenergie (Verlustenergie) wird in Warme- und meist unbedeutende Schallenergie umgesetzt. Wahrend die Gerauschenergie stort, beeinflufit die Erwarmung, insbesondere bei inkompressiblen Fluiden, den Stromungsverlauf meistens nicht. Diese durch innere Reibung und Impulsaustausch (Turbulenz) letztlich in Warme umgesetzte mechanische Energie, die Dissipation (dissipieren), wird als Verlustenergie Yv bezeichnet. Y, ist dabei ebenfalls auf die Masseneinheit bezogen, also die spezifische Verlustenergie. Mechanische Energie wird auch als geordnete Energie (hochwertig) und Warme als ungeordnete Energie (geringerwertig) bezeichnet. Dissipation ist somit, molekular betrachtet, die Umsetzung von kinetischer Energie der geordneten Teilchenbewegung der Stromung in die ungeordnete der Thermik (molekulbedingter Impulsubertrag, Abschnitte 1.3.3.1 und 3.3.2). Analog zum idealen Fluid ergibt sich die Energiegleichung realer Fluide, die sog. Erweiterte Energiegleichung, abgekurzt EE, ebenfalls aus der Energiebilanz. Stromt ein Medium in einen abgegrenzten Raum (Kontrollraum), 2.B. in einem Rohr, von der Stelle @ nach Stelle Q , ist die gesamte Stromungsenergie (gleich mechanische Energie) nach G1. (3-83) an Q urn die Verlustenergie Yv, die unterwegs durch Dissipation verloren geht, kleiner als an Stelle @, Bild 4-1.

,,,

Die Energiebilanz der mechanischen Energie zwischen Stelle @ und Q ist erfiillt, wenn zur verbleibenden Stromungsenergie an Stelle Q die Verlustenergie hinzugerechnet wird. GemaB den Bilanzbedingungen bedeutet dies, das Energiegleichgewicht ist dann erfiillt, wenn die Summe der Abgange so grofi ist wie die der Zugange. Was hinausgeht, muB also gleich dem sein, was hin-

Bild 4-1. Innenstromung eines realen inkompressiblen Fluides von @ nach @. Y spezifische mechanische Gesamtenergie der Stromung

eingeht (Erhaltungssatz). Gleichung (3-83) des idealen Fluides enveitert sich deshalb zu: EEO-Q

Y1= Yz + YV,,,

Gleichung (4-1) ist die Erweiterte Energiegleichung realer inkompressibler Fluide (Flussigkeiten). Entsprechend sind die anderen Energiegleichungen, G1. (3-81) und (3-104), zu enveitern +EER. Die gesamte spezifische Stromungsenergie Y auch als Totalenergie bezeichnet besteht jeweils wieder aus der Summe von Lagen-, Druck- und kinetischer Energie (spezifische Werte). Die Diskussion der Summanden der Erweiterten Energiegleichung ergibt: - Die Hohen z , und z, sind durch ortliche Gegebenheiten festgelegt. - Die Stromungsgeschwindigkeiten sind mit den Querschnitten durch die Kontinuitatsgleichung gekoppelt. Geschwindigkeiten und Hohen sind hier deshalb durch die Stromungsverluste nicht beeinfluljbar. Die Verlustenergie geht daher voll zu Lasten der Druckenergie. Bei der Innenstromung (Rohrsysteme) realer Fluide ist somit der Druck an der Stelle @ kleiner als bei idealem Fluid. Es gilt also. Stromungsverlust in Rohrleitungen verursacht Druckverlust. Bemerkung: Querstriche auf den Geschwindigkeitssymbolen als Kennzeichen fur Mittelwerte

112

4 Stromungen ohnc Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

also Yv =f (L, D, c, Q,q , Stromungsform, k)

(energiegemittelt) werden wieder, wie meist ublich, weggelassen, wenn keine Verwechslung moglich (Benutzer-Hinweise). 4.1.1.2 Energieliniengefalle Das Energiegefalle J oder Energieliniengefdle, das auch mit Drucklinien- oder Gesamtgefalle bezeichnet wird, ist die Summe von Ortshohengefalle und Druckhohengefalle einer stationaren Stromung in einem Rohr konstanten Querschnittes. Wenn in Bild 4-1 A, =Al und damit cz = cl ware, liefert G1. (4-I), da (z, -zz)/L = sin a:

z l . g + -P=1z z . g + - + Pz

e

e

Yv,lz. Hieraus und

Hierbei ist JlZdas Energieliniengefiille zwischen den Stellen und Q:

Sonderfall: Horizontale Rohrleitung, also a = 0: Yv*12 Dafur wird JlZ = P1-Pz -- Q . g . ~- L . g

Re

Die Verlustenergie ist demnach u. a. sicher abhanRe, GI. (3-45). gig von der REYNOLDS-Zahl 4.1.1.3.2 Laminare Rohrstromungen Infolge der Haftbedingung (Abschnitt 1.3.3.1) hat das Fluid direkt an der Rohnvand keine Stromungsgeschwindigkeit. Zur Rohrmitte muB die Geschwindigkeit ansteigen. Dieses Geschwindigkeitsgefalle verursacht nach NEWTONeine Scherspannung zwischen den sich aneinander vorbeibewegenden, infolge Symmetrie konzentrischen Schichten.

Das Verhalten der laminaren Stromung erlaubt eine rein theoretische Behandlung. Um die Verlustenergie analytisch darzustellen, wird in Stromungsrichtung das Kraftegleichgewicht an einem koaxialen Fluidzylinder, Bild 4-2, mit Radius r aufgestellt, wobei 0 < r < R. Dies ist zulassig, da bei laminarer Stromung alle Fluidteilchen, die an der Zustromflache, Stelle @, in den abgrenzenden Zylinder eintreten, diesen nur durch die Abstromflache Q wieder verlassen. Ein Fluid- und damit energiebehafteter Impulsaustausch durch die Zylindermantelflache findet wegen fehlender turbulenter Mischbewegung nicht statt. Bedingt durch die laminare Reibung (Scherspannung z) andert sich der Druck jedoch in Stromungsrichtung.

oder 4.1.1.3 Gerade Rohre mit Kreisquerschnitt 4.1.1.3.1 Grundsatzliches Fur die durch die Stromungsverluste (Reibung, Wirbel) bedingte Verlustenergie sind beim einfachsten Fall, der geraden Rohrleitung mit kreisformigem Querschnitt, entsprechend dem NEWTONschen Reibungsgesetz, G1. (1-13) und (1-l4), folgende EinfluBgroDen bestimmend:

Beriihrungsflache zwischen Fluid- und Rohrwand (Lange L, Durchmesser D), die sog. Benetzungsflache - Stromungsgeschwindigkeit c (mittlere!) - Fluid-Art (Eigenschaften Q,q ) - Stromungsform (laminar, turbulent) - Wandrauhigkeit k

-

Bild 4-2. Krafte auf einen Fluidzylinder in stationarer laminarer Rohrstromung mit Komponenten-Zerlegung in die Richtungen des festgelegten (s, r)-Koordinatensystems.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkomvressibler Fluide (Fliissiakeitenl

Infolge Radialkraft F, (Komponente der Gewichtskraft FG)ist der Druck auch uber den Rohrquerschnitt nicht konstant. Da in Radialrichtung jedoch keine Stromung besteht, verandert sich hier der Druck in jedem Querschnitt gemaB dem fluidstatischen Grundgesetz (Gl. (2-47)). ~ b e rdie Querschnitte @ und Q des Bezugszylinders in Bild 4-2 steigt daher der Druck jeweils linear von oben nach unten. Ersatzweise eingetragen sind deshalb die zugehorigen Mittelwerte ( p , und p2) uber den Querschnitten, die jeweils an der Rohrachse auftreten. Wegen des proportionalen Druckverlaufes in Querrichtung ist dies zulassig und fuhrt daher zum richtigen Ergebnis (Hinweis auf Bild 3-30). Bei stationarer Stromung (a, = 0 + nach NEWTON Z F = m . aB= 0) treten in Stromungsrichtung s auf: Komponente der Gewichtskraft:

Druckkrafte: S t e l l e a F,,, = p , . A , = p , . n : . r f Stelle Q F,, = p, .A, = p, . I C .r,

,

113

fur die Stromungsgeschwindigkeit c als Funktion vom Radius r:

Die Variablen c und r getrennt sowie integriert:

Die Integrationskonstante C folgt aus der Randbedingung (Haftbedingung): c = O fur r = R Damit wird

1v C =.R 2 4.v.L

Eingesetzt in die Gleichung fur c ergibt das Gesetz von STOKES fur die Geschwindigkeitsverteilung c = f (r) der laminaren Rohrstromung: r = rl = r2

Widerstandskraft infolge Fluidreibung, ebenfalls -+ G1. (1-14), nach NEWTON

Das Minuszeichen bei der Widerstandskraft ist zur Kompensation des negativen Geschwindigkeitsgefalles notwendig. dcldr ist negativ, da, wie zuvor und in Abschnitt 3.3.3 begriindet, die Stromungsgeschwindigkeit c im Rohr rnit wachsendem Radius r abnimmt.

Dies ist die Gleichung einer Parabel. Die Geschwindigkeitsverteilung bei vollausgebildeter laminarer Innenstromung ist also parabolisch. Beim Kreisrohr liegen die Spitzen aller Geschwindigkeitsvektoren also auf einem Rotationsparaboloid, Bild 4-3, dessen Scheitel auf der Rohrachse liegt. Nach der Definition der Grenzschicht (Abschnitt 3.3.3.2) ist die laminare Rohrstromung eine reine Grenzschichtstromung mit der Grenzschichtdicke 6, = R und der Anstromgeschwindigkeit c, = c,, .

Kraftegleichgewicht in s-Richtung aufgestellt:

Die obigen Beziehungen fur die Krafte eingesetzt und vereinfacht (r .n: gekurzt), fuhrt zu:

Mit Beziehung (4-2) und der kinematischen Viskositat v = q/e ergibt sich die Differential-Gleichung

Bild 4-3. Geschwindigkeitsverlauf c = c ( r ) bei laminarer Innenstromung (Rohrstromung). Paraboloid-Mantel . . .Hiillflache der rotationssymmetrischen raumlichen Geschwindigkeitsverteilung, mit eingetragenem Zylinder der mittleren Geschwindigkeit E.

114

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Die auf der Rohrachse liegende maximale Strornungsgeschwindigkeitc,, ergibt sich aus G1. (4-6) rnit r = 0 zu:

Der Volumenstrom kann durch Integrieren uber den Rohrquerschnitt ermittelt werden: V= JdV

Die Verlustenergie Yv ergibt sich durch Umstellen von G1. (4-11) und sinnvollerweise anschlieoendem Erweitern mit Z/c:

hierbei nach Bild 4-3

(4

dV=dA.c(r)

Der Vergleich mit G1. (4-7) liefert:

Mit der RE~NoL~szahl Re = c.D/v wird: =2.r.~.dr.c(r)

Mit G1. (4-6) ergibt sich: Gleichung (4-14) wird nach ihren Entdeckern als HAGEN2 ) - P3 ) ~~ ~Gesetz ~h e ~~ bezeichnet. ~ ~ ~

64 Mit der Abkurzung IZ = Re

(4-15)

der sog. Rohrreibungszahl 1,erhalt das Gesetz von HAGEN-POISEUILLE die Form: Wird der Volumenstrom v = AV/At bei stationarer Stromung durch Messung des AusfluBvolumens AV wahrend der Zeit At bestimmt, kann mit G1. (4-8) die kinematische Viskositat v ermittelt werden. Die schon in Abschnitt 1.3.3 envahnten Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE l ) arbeiten nach diesem Verfahren. Dabei wird die kinematische Viskositat abhangig von der Fluidtemperatur bestimmt und in einem sog. Viskositats-Temperatur-Blatt (VT-Blatt) nach UBBELOHDE aufgetragen. Die Koordinaten des VT-Diagramms sind dabei so geteilt, daD sich der Viskositatsverlauf von NEw~oNschenFluiden als Gerade darstellt (Abschnitt 1.3.3.4). Gleichung (4-8) 1aDt sich weiter umschreiben:

Mit der mittleren Stromungsgeschwindigkeit 2 gilt andererseits die Bedingung (Gl. (3-3)):

AUSGleichsetzen von

Die Rohrreibungszahl 1 und damit die Verlustenergie Yv ist bei laminarer Stromung eine direkte Funktion der REYNOLDS-Zahl sowie theoretisch vollig unabhangig von der Rohr-Rauhigkeit, was auch Experimente und die Praxis bestatigen. Bei laminarer Stromung ist die Verlustenergie nach GI. (4-13) proportional der Geschwindigkeit. In G1. (4-14) und (4-16) ist dieser lineare Zusammenhang zwischen Yv und c, obwohl vorhanden, infolge obiger Erweiterung (El?), nicht mehr direkt erkennbar. Querstrich uber c-Symbol wird bequemerweise meist wieder weggelassen. Infolge des fehlenden makroskopischen Queraustauschs (Abschnitt 3.3.2.2.1) hangt die Reibung bei laminarer Stromung theoretisch nicht und praktisch vernachlassigbar von der Wandrauhigkeit ab. Die Schichtenbewegungdeckt die Rauhigkeiten ab und schafft sich dadurch selbst eine quasi glatte Wand.

GI. (4-9) mit (4-10) folgt: HAGEN, Gotthilf (1797 bis 1884), dt. Wasserbaumeister. 'I

'I

UBBELOHDE, Leo (1876 bis 1964), dt. Chemiker.

POISEUILLE, Jean Louis Maria (1799 bis 1869), frz. Mediziner, Untersuchung der Stromung des Blutes in Adern. Beide Forscher entdeckten das o.g. Gesetz unabhangig voneinander.

~

~

4.1 Eindimensionale Stromunpren realer inkomvressibler Fluide (Fliissiakeiten)

4.1.1.3.3 Laminare Stromung zwischen parallelen Platten Entsprechend der laminaren Rohrstromung 1aBt sich die stationare Laminarbewegung eines Fluides zwischen zwei parallelen Platten behandeln (Bild 4-4 mit b -+ a).Da es sich um eine ebene Stromung in Plattenrichtung (x-Koordinate) handelt, sind c, = 0, c, = 0 sowie splay = 0 und aplaz = 0, weshalb keine partiellen Differentiale notwendig. Gleichgewichtsansatz fur das in Bild 4-4 eingetragene Fluidteilchen: Da stationar, also Beschleunigung a = 0, gilt C P = 0. Deshalb: Ausgewertet mit Stirnflache dA = dz . b (Querschnitt) und Scherflache dA, = dx . b (eine seitliche Flache -+ Oberflache):

115

Umgestellt nach dpldx und eingesetzt in G1. (4-16a), ergibt mit v = q/e: d2c, - - e . g . J -dz2

I

.-=-v]

g.J v

Diese Differentialgleichung fur cx=f (z), zweima1 integriert, fiihrt zu:

Die Integrationskonstanten C1 und C2 folgen aus den Randbedingungen: Bei z = 0 ist c, = 0 ergibt C2 = 0 Bei z = h ist c, = 0 ergibt C, = ( J . glv) .(h/2) Eingesetzt liefert:

Analog zu G1. (4-6) ergibt sich wieder ein parabolischer Geschwindigkeitsverlauf c, = cx(z) = f (z2). Mit G1.(1-15) ergibt sich, wobei (newtonsches Fluid):

v] = konst

Der Volumenstrom

v = J d~ (4

v zwischen den Platten ist:

h

= Jc;

b .dz G1. (4-16b) eingesetzt:

0

Zwei Falle sind zu unterscheiden: a) Beide Wande bewegen sich nicht. Das Fluid stromt zwischen den Platten infolge linearem Druckabfall in x-Richtung, also dpldx = konst, weshalb ! Zeichen. Dann gilt gemaB G1. (4-4): Das Energiegefalle ist konstant. Angewendet auf das Teilchen in Bild 4-4, liefert: mit der Querschnittsflache A = b . h, wobei bSh. Aus v = F . A folgt mit G1. (4-16c) fiir die globale mittlere Geschwindigkeit 2, d. h. der iiber den Stromungsquerschnitt A gemittelte Wert (Globalmittelwert):

Das Energieliniengefalle J gemal3 GI. (4-5) in Beziehung (4-16 d) eingefuhrt, ergibt: Bild 4-4. Stationare LaminarstrBmung (eindimensional -P ID) zwischen zwei parallelen Platten von Abstand h und Breite b, letztere senkrecht zur Bildebene (y-Richtung).

g . h 2 Y" E=-.--. 12.v L . g

Hieraus spez. Verlustenergie: mit Stromungsweg L=x2-x1

116

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Erweitert mit E/E und ( 2 . h)/v = Re, gesetzt, also die auf den Plattenabstand h bezogene R E Y N O L D Seingefuhrt, Z~~~ liefert:

Fur Scherspannung z sowie Reibungskraft FR ergeben sich dann nach G1. (1-15) und (1-14):

24 L c2 -24 L EZ L c2 y - -.-.- .-.--I.-.'-?.h/v h 2 Reh h 2 h 2 Es ergibt sich zwangslaufig der zu G1. (4-16) entsprechende Aufbau. Hierbei betragt jedoch die laminare Platten-Reibungszahl l = 24/Re,, die von der fur Rohre abweicht (Gl. (4-15)). Bemerkung: Bequemenveise wird der Querstrich uber dem Geschwindigkeitssymbol c meist wieder weggelassen (Abschnitt 3.1.2). b) Eine Wand steht, die andere bewegt sich. Festgelegt wird hierzu: Die untere Platte ruht, die obere bewegt sich mit Geschwindigkeit c,, in Plattenrichtung (x-Koordinate). Infolge Haftbedingung verursacht die Plattenbewegung im Fluid eine Schleppstromung. Durch das Haften ergeben sich jetzt folgende Randbedingungen: Bei z = 0 ist c, = 0 und bei z = h ist cx= c,, . Des weiteren sind jetzt, da das Fluid nur durch Mitschleppen bewegt wird, keine Druckgefalle vorhanden. Das gilt sowohl fiir die Quer- (z-Achse), als auch Langsrichtung (x-Koordinate), weshalb dpldz = 0 und dpldx = 0. Damit ergibt G1. (4-16a):

,

Diese einfache Differentialgleichung zweimal integriert, fuhrt zu:

Die Randbedingungen ergeben fur die Integrationskonstanten:

Ergebnis: Schubspannung z ist im gesamten Fluid gleich groB (Abschnitt 1.3.5.1). 4.1.1.3.4 Turbulente Rohrstromungen Technische Rohrstromungen sind, bis auf wenige Ausnahmen, turbulent. Turbulente Rohrstromung ist daher nicht nur wesentlich wichtiger, sondern infolge der makroskopischen Mischbewegung zudem ungleich komplizierter als die laminare. Bis heute ist eine theoretische Darstellung der Gesetzmarjigkeiten turbulenter Stromung noch nicht gelungen. Ein analytischer Turbulenzansatz fehlt noch (Abschnitt 4.3.1.7). Erst umfangreiche experimentelle Untersuchungen und numerische Modellansatze ermoglichten eine brauchbare Klarung der turbulenten Stromung. Die auf der Grundlage von Versuchen erarbeiteten Naherungsformeln, Tabellen und Diagramme liefern fur die technische Anwendung meist zufriedenstellende Ergebnisse. Wie bereits in Abschnitt 3A2.2 auseinandergesetzt, sind die Mischungsverlustebeim Impulsaustausch infolge der Geschwindigkeitsschwankungen fast immer wesentlich groDer als die gleichzeitig vorhandenen N ~ w ~ o ~ s c Reibungsverluste. hen Beide Erscheinungen sind zur Gesamtviskositat, der sog. scheinbarenviskositat (Abschnitt 3.3.2.2.3), zusammenfaDbar und ergeben die gesamte Schubspannung, G1. (3-50). AuBerdem beeinflufit die Wandbeschaffenheit den Stromungswiderstand. Die Geschwindigkeitsverteilung ist infolge des turbulenten Mischungsvorganges zwangslaufig gleichmafiiger und die Verlustenergie wesentlich groljer als bei laminarer Stromung.

Geschwindigkeits-Verteilung:Nach NIKURADSE, der weitgehende Versuchsreihen auswertete, gilt: Fur den Geschwindigkeitsverlauf: Eingesetzt, ergibt:

Der Geschwindigkeitsverlauf ist jetzt - gegen- Potenzgesetz des Geschwindigkeitsverlaufes. Auch laufig zu Fall a - linear. Diese Fluidstromung als 117-Potenzgesetz der Geschwindigkeits-verteiwird gewohnlich als C O U E T T E - S ~ ~(AbO ~ U ~lung ~ bezeichnet, da n =1/7. Nachteil des im weschnitt 1.3.5.1) bezeichnet. sentlichen auf MeDergebnissen beruhenden empi-

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten) Tabelle 4-1. Exponent n und Faktor K zum Potenzgesetz des turbulenten Geschwindigkeitsverlaufs bei Rohrstromungen in Abhangigkeit von der Re-Zahl.

rischen Potenzgesetzes: Der sich ergebende angenaherte Geschwindigkeitsverlauf ist unstetig. In der Rohrmitte, also bei r = 0, tritt ein Knick (Unstetigkeit) auf, was mit der Wirklichkeit nicht ubereinstimmt. Fiir die mittlere Geschwindigkeit: C = K . c,,

Mit dem Faktor

117

abfall aufweist. Die Geschwindigkeit steigt in der diinnen laminaren Unterschicht (Viskosschicht) sehr steil an und bleibt dann im AuBenbereich ungefahr konstant. In der laminaren Unterschicht treten nur N ~ w ~ o ~ sReibungskrafte che auf, wahrend im AuBenbereich hauptsachlich Mischungsverluste entstehen (Abschnitte 3.3.3 und 4.1.6.1.2). Versuche ergeben, daB die Geschwindigkeitsprofile rauher Rohre in Wandnahe meist einen weniger steilen Abfall aufweisen als bei glatter Rohrwand. Mit zunehmender Rauhigkeit wachst der Exponent n (wenn auch nur geringfugig) des Potenzgesetzes, GI. (4-17). Die Wandrauhigkeiten wirken jedoch turbulenzanregend und -verstbkend. Ebenso wie die laminare, ist auch die turbulente Rohrstromung gemaB Grenzschichtdefinition (Abschnitt 3.3.3.2) eine reine Grenzschichtstromung mit der Grenzschichtdicke 6,= R und c,, als ungestorter Anstrom- oder AuBenstromung c, .

Statt des Potenzgesetzes nach G1. (4-17) wird der Geschwindigkeitsverlauf auch vorteilhaft durch ein asymptotisch-logarithmischesGesetz angenaExponent n und Faktor K sind von der REYNOLDS- hert. Nach SCHLICHTING [53] gilt mit der sog. zahl und in geringem MaBe auch von der Wand- Schubspannungsgeschwindigkeitc, (Gl. (4-41)) als rauhigkeit abhangig. Tabelle 4-1 enthalt Werte logarithmisches Geschwindigkeitsgesetz: von n und K fiir verschiedene Re-Zahlen. Mittelwert von Faktor K:

Die mittlere Geschwindigkeit betragt demnach etwa 83 % von der maximalen; bei laminarer sind dies, wie zuvor begriindet, nur 50%. Auch hieraus ergibt sich, daB der Geschwindigkeitsverlauf, Bild 4-5, bei turbulenter Stromung im mittleren Bereich (Rohrmitte) wesentlich flacher ist als bei laminarer und zwangslaufig einen steileren Rand-

lominare Unterschicht

Bild 4-5. Geschwindigkeitsverlauf c(r) bei turbulenter Innenstromung (Rohrstromung). 6, Dicke der viskosen Unterschicht.

Hierbei handelt es sich um eine semiempirische Beziehung. Dieses halbexperimentelle Gesetz beruht somit auf theoretischen ~berlegungen,das durch experimentell ermittelte GroBen (Konstante x ) den tatsachlichen Verhaltnissen angepaBt ist. Die empirische Anpassungskonstante x liegt im Bereich x = 0,35 bis 0,45. Es ergibt sich durch das Logarithmusgesetz ein wirklichkeitsgetreuer stetiger Geschwindigkeitsverlauf. Das Geschwindigkeitsprofil weist deshalb keine Unstetigkeit in der Rohrmitte auf. Die Formel gilt jedoch nur bis etwa r/R < 0,95, also nicht in der viskosen Unterschicht. Der groBe Vorteil des logarithmischen Gesetzes gegeniiber dem Potenzgesetz besteht zudem darin, daf3 es auch fur sehr groBe REYNOLDSZahlen asymptotisch verlauft. Deshalb kann es auf beliebig groBe Re-Zahlen, auch uber den durch Messungen uberspannten Bereich hinaus, extrapoliert werden. Bei dem Potenzgesetz dagegen andert sich entsprechend Tabelle 4-1 der Exponent mit der Re-Zahl. Das universelle logarithmische

118

4 Stromungen ohne Dichteanderung (auasi-inkomvressible Stromungen)

Geschwindigkeitsgesetz ermoglicht als weiteres die Abgrenzung der Stromungsform. GemaB SCHLICHTING gilt hiernach fur technisch (hydraulisch) glatte Stromungen:

Andererseits kann gesetzt werden:

Gleichgesetzt:

Rein laminare Reibung (laminarer Bereich gemaB Bild 4-6) Hieraus:

Laminar-turbulente Reibung, d. h. laminare und turbulente Reibung von gleicher GroBenordnung ( ~ b e r ~ a n ~ s b e r e iBild c h , 4-6)

Verlustenergie Yv: Entgegen der laminaren Stromung kann bei turbulenter infolge der Mischbewegung kein koaxialer Fluidzylinder gemal3 Bild 4-2 herausgegriffen werden, um Kraftebetrachtungen durchzufuhren. Durch die uberlagerten Querbewegungen wurde ein Fluid- und damit Energieaustausch durch den Bezugszylindermantel erfolgen, der analytisch nicht erfaBbar ist. Die Untersuchungen mussen deshalb auf den ganzen Rohrquerschnitt ausgedehnt werden. Nach Erfahrung bzw. Versuchen gilt fiir die Widerstandskraft:

- der kinetischen Energie c2/2 - der Fluidart, gekennzeichnet durch Dichte

Fw der benetzten Rohnvand D . n . L

Hierbei steht das Zeichen

-

fur proportional.

Mit dem Proportionalitatsfaktor Y ergibt sich: c2 Fw=Y.nxD.L.e.2

Q

L c2 ..-

D 2

Mit der Zusammenfassung 3L = 4 . Y ergibt sich die Formel von DARCY 'I, kurz D a ~ c ~ f o r r n e l :

Zu beachten ist, daI3 die Rohrreibungszahl A bei der Formel von DARCY,entgegen der fur laminare Stromung, nur experimentell bestimmt werden kann.

Rein turbulente Reibung (,,rauher6' Bereich) nach Bild 4-6)

AuDerdem ergibt sich bei turbulenter Strornung an glatter Wand fur die Dicke 6, der laminaren Unterschicht (Bild 4-5):

Yv = 4 . Y

Im Gegensatz zur laminaren Rohrstromung wachst die Verlustenergie gemaB G1. (4-25) bei turbulenter quadratisch mit der Stromungsgeschwindigkeit (Abschnitt 4.1.6.1.2). Dabei zeigt sich, wie auch Versuche bestatigen, daI3 die Rohrreibungszahl 3L der turbulenten Stromung von der REYNOLDS-Zahl Re und infolge des makroskopischen Mischungsvorganges (Abschnitt 3.3.2.2.1) zudem von der Rohrrauhigkeit k abhangt. Wahrend die normale Rauhigkeit - sie wirkt turbulenzerzeugend oder ablosend - bei laminarer Stromung ohne EinfluB ist, wirkt sie sich bei turbulenter Stromung wesentlich aus. Die auBerhalb der laminaren Unterschicht liegenden Rauhigkeitsspitzen wirken wie Stolperstellen (Abschnitt 3.3.4), welche die Turbulenz anfachend erhohen und damit die ImpulsaustauschgroBe (Abschnitt 3.3.2.2.3) verstarken. Bei laminarer Stromung dagegen wirkt die Viskositat auf die Wanderhebungen glattend. ZweckmaBigerweise wird bei turbulenter Rohrstromung gesetzt: ?,

= f (Re; Dlk,)

(4-26)

Es wird also nicht die Rauhigkeit direkt, sondern die inverse relative Rauhigkeit Dlk, als zweite Variable verwendet. Grund: ZweckmaBig, da sich fiir Quotient Dlk, grol3ere Zahlen ergeben. Wegen der groBen Mannigfaltigkeit der geometrischen Formen, Anordnungen und Abmessungen ist die Anzahl der Rauhigkeitsparameter sehr grol3 l)

DARCY,Henry (1803 bis 1855), frz. Ingenieur.

119

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

und daher kaum bestimmbar. Deshalb muBte eine VergleichsgroBe gefunden werden. Als ErsatzgroDe fur die naturliche Rauhigkeit wurde von NIKURADSE die sog. aquivalente Sandrauhigkeit, oder kurz Sandrauhigkeit k,, geschaffen. Die Sandrauhigkeit wird kunstlich durch Aufkleben einer geschlossenen Schicht von Sandkornern gleicher Dicke k, erzeugt. Dann gilt: Ein Rohr mit der naturlichen Rauhigkeit k hat den gleichen Rauhigkeitswert wie ein Rohr mit der kunstlichen Sandrauhigkeit k,, wenn es bei gleichen geometrischen Abmessungen, gleichem Volumenstrom und gleichem Medium den gleichen Druckverlust aufweist. Dann sind auch REYNOLDSund Rohrreibungszahl jeweils gleich. Bei technisch erzeugten Flachen durch GieBen, Walzen, Ziehen, Pressen, Bearbeiten usw. sind die sich zwangslaufig ergebenden absoluten Rauhheiten k regelmaljig. Dies gilt ungefahr auch fur gleichmaBige Abnutzung oder Verschmutzung (Rost, Ablagerungen). Fur derartige Oberflachen betragt nach Versuchen die aquivalente Sandrauhigkeit k, bis zum 1,6fachen der vorhandenen absoluten Rauhigkeit k. Fur technisch erzeugte und gleichmaBig verschmutzte Flachen gilt deshalb: k, = (1 .1,6) k. Oft kann hier jedoch k, z k gesetzt werden. Verkleinern der Oberflachenrauhigkeit lohnt sich zur Verlustminderung um so mehr, je hoher die Stromungsgeschwindigkeit ist, da die turbulente Reibung proportional zu ihr ansteigt.

..

.

Tabelle 6-14 sowie Bild 6-44 enthalten die absoluten Rauhigkeiten k fur technisch wichtige Rohrmaterialien und Flachen unterschiedlicher Herstellung sowie verschiedenen Gebrauchszustandes. Bemerkung: k s R, bnv. R, gemaB DIN 4762.

xh

-

r o u h e s Gebiet

I

I

Re,,

\

\Umschlao

= Kl

le

nach

Re

Bild 4-6. MOODY-oder COLEBROOK-Diagramm der Rohrreibung (prinzipieller Aufbau). Rohrreibungszahl 1 abhangig von REYNOLDS-Zahl Re und inverser relativer Rohrrauhigkeit Dlk, als Parameter. Laminar: I = 64 Re-' (Exponent - 1) Turbulent: I = 0,316 Re-'I4 (Exponent - 114) fiir glatt nach BLASIUS.

Das Diagrammfeld 1aBt sich in die folgenden vier Kurven bzw. Bereiche aufteilen: 1. Laminares Gebiet, Re < Re,, , 1 =f (Re) 2. Turbulentes Gebiet, Re 2 Rek, a) Glattes Verhalten; k, w 0: 1 =f (Re) b) ubergangsgebiet 1 =f (Re, Dlk,) c) Rauhes Verhalten = f (Dlk)

Die verschiedenen Bereiche sind durch folgende wichtige Merkmale gekennzeichnet: 1. Laminares Gebiet (Re < Re,, = 2320) Die laminare Rohrstromung ist in Abschnitt 4.1.1.3.2 dargestellt. Als Ergebnis kann nochmals festgehalten werden: Die iibliche Rohrrauhigkeit beeinflu& den Stromungsverlust nicht. Die Rohrreibungszahl ist durch die Beziehung (4-15) 1= 64/Re nur von der REYNOLDS-Zahl abhangig.

Den durch umfangreiche Versuche ermittelten Verlauf der Rohrreibungszahl 3, als Funktion der ~ Y N O L D Re S -mit ~ ~dem ~ ~Kehr-, d. h. Inverswert der relativen Rauhigkeit Dlk, bzw. Dlk als Parameter zeigt Bild 4-6 in prinzipieller Darstellung. Wegen des groBen Re-Bereiches wird dieses sog. Rohrreibungs-, COLEBROOKoder MOODYDiagramm vorteilhaft in doppellogarithmischem 2. Turbulentes Gebiet (Re 2 Re,, = 2320) a) Glattes Verhalten (k, w 0) Maljstab aufgetragen. Glattes Verhalten liegt vor, wenn die vorhanBild 6-1I enthalt ein ausfuhrliches Arbeitsdiagramm, dessen Genauigkeit bei den meisten Andenen Rauhigkeitserhebungen innerhalb der laminaren Unterschicht liegen, d.h. wenn wendungsfallen ausreicht, um die Rohrreibungszahl 1 zu bestimmen. k, 5 6, ist. Mit dieser Bedingung liefert For-

120

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

me1 (4-24) die Abgrenzung fur glattes Verhalten:

Fur die Rohrreibungszahl gilt dann: Nach BLASIUS 'I fur Re,, 5 Re 5 lo5

Nach HERMANN fur Re 1 1O6

Nach RICHTERfur 10' 5 Re 1 lo6 Nach NIKURADSE fur lo5 < Re 5 lo8

Nach PRANDTL gilt fur alle Re 2 Re,,

Infolge der impliziten Form ist die Beziehung von PRANDTL umstandlich. Statt dessen wird deshalb haufig naherungsweise folgende Formel verwendet:

Die P R A N D T L Suniverselle C~~ Widerstandsbeziehung, GI. (4-30) bzw. PRANDTL-Formel (4-31), gelten fur beliebig groDe REYNOLDSZahlen, wobei in der Nahe von Re,, Vorsicht geboten ist. Die aus Versuchen abgeleiteten Formeln von BLASIUS, G1. (4-28), und NIKURADSE, GI. (4-29), stimmen in den angegebenen Gultigkeitsbereichen mit der Beziehung von PRANDTL gut uberein. Ihr Vorteil ist die explizite Darstellung fur die Rohrreibungszahl. Sie ermoglichen deshalb, 1 direkt zu berechnen. Das Gleiche gilt fur die Naherungsbeziehungen (Formeln) von HERMANN und RICHTER.

'1

BLASIUS, H. (1883 bis 1970).

Bemerkungen: - Technisch glatte Rohre, wie in der Praxis

verschiedentlich verwendet, verhalten sich durchaus nicht immer glatt. - Nach neueren Untersuchungen von ROTTA ist die Dicke der laminaren Unterschicht bei rauher Wand geringer als bei glatter. b) ~bergangsbereich Der ~ b e r ~ a n ~ s b e r e liegt i c h zwischen glattem und rauhem Verhalten. Die Grenzkurve, die den ~ b e r ~ a n ~ s b e r e inach c h oben abgrenzt verbindet die Kurvenpunkte, ab denen die (DlkJ-Kurven etwa waagrecht, d. h. gut angenahert parallel zur Re-Achse (Abszisse) verlaufen. Die Wandrauhigkeit kommt zur Wirkung, wenn die Rauhigkeitserhebungen hoher sind als die laminare Unterschicht und deshalb in den turbulenten Grenzschichthauptbereich hineinragen. Die aus der viskosen Unterschicht herausragenden Korner-, d. h. Rauhigkeitsspitzen bewirken als Stolperstellen das Bilden kleiner ortlicher Wirbel (Vortex) und erhohen dadurch die Reibung, den sog. Turbulenz- oder Wirbelwiderstand. Da die Dicke der laminaren Unterschicht mit wachsender REYNOLDS-Zahl dunner wird, ragen die Rauhigkeitsspitzen immer mehr heraus. Mit steigender Re-Zahl kommt die Rauhigkeit daher im ~ b e r ~ a n ~ s b e r eimmer i c h mehr zur Geltung und beeinflufit den Stromungswiderstand entsprechend starker. Der ~ber~angsbereich ist gekennzeichnet durch die Bedingung:

Fur die Rohrreibungszahl gilt in diesem Bereich die Interpolationsformel nach COLEBROOK -+ COLEBROOK-Formel:

Auch diese Formel enthalt 1 ebenfalls nur implizit und ist deshalb umstandlich zu handhaben + Iterationsvorgehen. c) Rauhes Verhalten. 1st die laminare Unterschicht so diinn geworden, dai3 die gesamten Rauhigkeitserhebungen stromungstechnisch nahezu ganzlich zur Geltung gekommen sind, verandert ein wei-

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

teres Erhohen der REYNOLDS-Zahl die durch diese Einflusse gekennzeichnete Rohrreibungszahl 1praktisch nicht mehr, weshalb dann vollstandig rauhes Verhalten vorliegt. Der Bereich ,,vollkommen rauhes Verhalten" ist nach unten abgegrenzt durch die Bedingung (entsprechend G1. (4-23)

Fiir die voll ausgebildete Rauhigkeitsstromung ist die Rohrreibungszahl bestimmbar nach:

121

durch die unterschiedlichen, oft unbekannten Anstrombedingungen (Vorturbulenz) bestimmt. Die jeweilige Grenze kann hier nur durch spezielle Einzelversuche geklart werden. Erganzung: Mit c = VIA (aus G1. (3-9)) und dem Druckverlust Ap, = Q . Y, lassen sich Beziehungen (4-25) und (4-16) wie folgt umschreiben:

Hierbei ist R der Widerstand (dimensionsbehaftet):

mit

cR = A .(LID) als Widerstandszahl von geraden Rohren Dichte Q in kg/m3 Querschnitt A in m2

Fiir die Grenzkurve gilt gemalj:

Mit diesen Beziehungen Ialjt sich ebenfalls feststellen, ob der Reibungsfall im rauhen Gebiet, d. h. rechts von der Grenzkurve liegt und damit 1x konst ist, oder im ~bergangsbereich (1 4 konst). Wie in Abschnitt 4.1.4.4 ausgefuhrt, kann durch die sog. Kornkennzahl k c/v gekennzeichnet werden, ob die Rauhigkeit von Einflulj auf die Reibung (Friktion) ist. Die Kornkennzahl ist eine besondere Form der REYNOLDS-Zahl. Liegen die Rauhigkeiten innerhalb der viskosen, d. h. laminaren Unterschicht (k,< 6,; Bild 4-5), haben diese, wie begrundet, keinen Reibungseinflulj. GemaB Experimenten ist diese Bedingung erfullt, wenn die aquivalente Kornkennzahl k , c/v unterhalb folgender Werte bzw. Bereiche bleibt:

.

Rohrstromungen Tragfliigel und Schaufelgitter k, .clv 2 (20 bis 120) Der grolje Bereich im zweiten Fall ist, wie auch die zugehorige kritische REYNOLDS-Zahl GI. (3-52),

Der Druckverlust Apv ergibt sich nach GI. (4-35d) in Pa = N/m2, wobei der Volumenstrom v in m3/s einzusetzen ist. Auf der Rohrlange entsprechend Dl1 geht laut Widerstandsbeziehungen durch Reibung gerade der Druck in Hohe des zugehorigen Staudruckes Q .c2/2 verloren. Aus dem Druckverlust Ap, nach G1. (4-9, der DARCY-FormelGI. (4-25) und der E u L E R - Z ~ ~ ~ (Abschnitt 3.3.1.3) 1aI3t sich die Rohrreibungszahl 1auch wie folgt darstellen: Hieraus

Mit der E U L E R - Z Eu ~ ~= ~ Apv/(e.c2) gemalj GI. (3-36) gilt dann: A=2.(DIL).Eu oder Eu = (112) . A . (LID) Wird hier gemalj G1. (4-26) A = f (Re; Dlk,) eingefuhrt, ergibt sich bei Rohren der Funktions-Zusammenhang: Eu = F (Re; Dlk,; LID) oder f (Re; Eu; Dlk,; LID) = 0

122

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Zusammenhang zwischen Widerstandsgesetz und Geschwindigkeitsverteilung: Die Verbindung zwischen Schubspannung r und Verlustenergie Yv laBt sich mit Hilfe von Bild 4-7 finden. Es gilt:

Mit C: = c:I4. c;l4 folgt aus Gleichsetzen von G1. (4-40) und (4-42):

Hieraus

(:)""(-a) =

1 0,0395 .

c, .D

Das Gleichgewicht zwischen Widerstands- und Druckkraften der stationaren Stromung, bezogen auf den Fluid-Zylinder mit Radius r, fiihrt zu: Die Beziehung nach G1. (4-43) wird verschiedentlich ebenfalls als 117-Potenzgesetz der Geschwindigkeit bezeichnet, mit c als mittlerer Geschwindigkeit. Beziehungen (4-36) und (4-37) gleichgesetzt und mit 2 R = D nach der Schubspannung r aufgelost, ergibt:

Fiir r =R fiihrt G1. (4-38) zur Wandschubspannungzo:

Zusammenhang zwischen Verlustenergie Y, und Rohrdurchmesser D: Um die volle Abhangigkeit der Verlustenergie vom Durchmesser klar darzustellen wird in der Formel von DARCY,G1. (4-25), die Rohrreibungszahl einfachheitshalber aus dem Gesetz von BLASIUS(grobe Naherung) und die Stromungsgeschwindigkeit aus der DurchfluBgleichung ersetzt.

Mit dem Widerstandsgesetz von BLASIUS,G1. (4-28), laBt sich G1. (4-39) naherungsweise weiter umschreiben:

Mit der sog. Schubspannungsgeschwindigkeit

kann gesetzt werden:

(+)

0,25

wird

Yv = 0,3 .

Hieraus Naherungsformel:

13ild 4-7. Schubspannung in turbulenter Rohrstromung.

Damit laBt sich der EinfluB von Rohrleitungsverkrustungen erfassen. Wird eine Rohrleitung gemaB Bild4-8 mit konstantem Durchsatz betrieben, steigt, wenn das Rohr durch Ablagerungen langSam zuwachst, die Verlustenergie und damit der

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

123

Ablogerungen. Kruste (Schmutz. Rost u.a.1

Anloufstrecke

Bild 4-8. Rohrverkrustung durch Ablagerungen.

Bild 4-9. Anlaufstromung.

Druckverlust umgekehrt etwa mit der 5. Potenz des Durchmesserverhaltnisses:

Bei gut ausgebildetem Rohreinlauf ist die Stromungsgeschwindigkeit uber den ganzen Eintrittsquerschnitt nahezu konstant. Dadurch ist das Geschwindigkeitsgefillean der Rohrwand wesentlich groDer als bei der voll ausgebildeten Stromung. Die Folge ist erhohte Reibungswirkung, die ihrerseits die Geschwindigkeitsverteilung beeiufluI3t. Stromabwarts verandert sich das Geschwindigkeitsprofil so lange, bis nach der Anlaufstrecke der Gleichgewichts- oder Beharrungszustand erreicht ist. Die Stromung kann deshalb in zwei aufeinanderfolgende Bereiche, die Einlaufstromung und die ausgebildete Stromung, unterteilt werden, Bild 4-9. Die Anlaufstromung verursacht erhohten Energie- und damit Druckverlust, der maBgeblich von der Form des Einlaufs bestimmt wird. Als Anlauf- oder Einlaufstrecke gilt die Stromungslange, nach der das Geschwindigkeitsprofil weniger als 1% vom endgiiltigen Zustand abweicht.

Stromungsgerausche: Fur den Schallpegel LsL (Tabelle 6-13) in geraden Rohren gilt erfahrungsgemalj: LsL= (10

+ 50.1g(c/[m/s]) + 10. lg(A/[m2]))[dB] (4-46a)

Das bedeutet, der Schallpegel LsL steigt mit der 5. Potenz der Stromungsgeschwindigkeit c[m/s] des Fluides im Rohr vom Querschnitt A [m2]:

In G1. (4-46b) sind im Gegensatz zu Beziehung (4-46a) die in eckige Klammern gesetzten Dimensionsangaben weggelassen. Trotzdem mussen auch hier die Stromungsgeschwindigkeit c in m/s und die Querschnittsflache A in m2 eingesetzt werden. Bei AuDenstromungen wachst der Schallpegel nach LIGHTHILL sogar mit der 6. bis 7. Potenz der Stromungsgeschwindigkeit (Abschnitt 4.3.2.4).

4.1.1.3.5 Anlaufstrecke, Erganzungen Anlaufstrecke: Die in den vorhergehenden Abschnitten aufgestellten Gleichungen fiir Geschwindigkeitsprofile und Rohrreibungszahlen gelten nur fur die vollstandig ausgebildete Rohrstromung. Diese liegt vor, wenn sich bei einem Rohr von konstantem Querschnitt das Geschwindigkeitsprofil der Stromung langs der Achse nicht mehr andert. Voll ausgebildete Stromung wird nach einer bestimmten Wegstrecke, der Einlauf- oder Anlaufstrecke, hinter der Rohreintritts- oder Storstelle erreicht. Hinweis auch auf Abschnitt 4.1.1.5.7, Beruhigungsstrecke.

Laminare Anlaufstrecke: Der Einlaufstrecke entlang mu13 die anfanglich gleichmaoige in parabolische Geschwindigkeitsverteilung umgebildet werden. Die Randstromung wird verzogert und die Kernstromung wegen der Kontinuitatsbedingung beschleunigt. Nach SCHILLER gilt fiir die Lange L , der laminaren Anlaufstrecke

~bereinstimmendmit anderen Forschern dagegen bestatigt TIETJENS

Der grol3e Unterschied (uber 100 %) zwischen den beiden Formeln grundet darin, da13 die rein theoretische Ableitung von SCHILLER, GI. (4-47), im Kern vollig reibungsfreie Stromung annimmt. Dies trifft auch am Ende der Anlaufstrecke nicht

124

4 Stromungen ohne Dichteanderung (~uasi-inkom~ressible Stromungen)

genugend genau zu. Die tatsachliche GroBe der laminaren Anlaufstrecke wird deshalb durch G1. (4-48) besser wiedergegeben. Turbulente Anlaufstrecke: Das vollere Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Stromung wird auf geringerer Weglange erreicht als bei laminarer Stromung. Die turbulente Anlaufstrecke ist daher durchweg kurzer. Bei scharfkantigem Einlauf hangt die Anlaufstrecke kaum von der REYNOLDS-Zahl ab. Aufgrund von Messungen betragt die turbulente Anlaufstrecke L,, abhangig vom Rohrdurchmesser, nach:

Druckverteilung sowie Reibung ist. Diese Kernbildung wird als Tragheitsablosung bezeichnet, die dadurch bedingt ist, daB jede Stromung versucht, sich nach dem Gesetz der kleinsten Wirkung einzustellen. Als Wirkung wird das Produkt aus kinetischer Energie und Zeit bezeichnet, in der diese auftritt, oder, was dasselbe ist: Masse ma1 Geschwindigkeit ma1 Weg.

Polymerbeimischung: Der Widerstand bei turbulenter Rohrstromung kann durch gewisse Zudtze (Additive) in geringer Konzentration im ppml)Bereich oft um die Halfte reduziert werden. Hierfur sind Polymere geeignet, z. B. Polyethyloxide. Die langen Kettenmolekule dieser Stoffe (Molekulmasse in Groljenrichtung lo6) richten sich in L,/D = 50 bis 100 Stromungsrichtung aus und vermindern dadurch NIKURADSEL,/D = 25 bis 50 den verlustreichen turbulenten Schwankungsaustausch. Die Viskositat dagegen andert sich prakInfolge groI3er Abweichung dieser Beziehungen ist tisch nicht. Auch bei Freistrahlen (Abschnitt 3.3.5) im Einzelfall versuchsmaI3ig zu priifen, welche wird durch Additive bessere Strahlbundelung errichtige Werte liefert. In praktischen Fallen genugt in der Regel LJD x 10 bis 20. Danach ist der Aus- reicht. gleich schon groBteils erfolgt, weshalb die dann Optimaler Rohrdurchmesser: Der giinstigste, noch bestehende Abweichung meist vernachlassigt d. h. wirtschaftliche und damit optimale Durchwerden kann. Das Gleiche gilt fur Beruhigungs- messer eines Rohrsystems folgt aus einer Wirtschaftlichkeitsbetrachtung. Je groljer der R o h ~ strecken (Abschnitt 4.1 .I .5.7). Bei abgerundetem Einlauf und hoher REYNOLDS- durchmesser bei vorgegebenem Durchsatz K Zahl sind die Einlaufverhaltnisse der Grenz- desto geringer ist die Stri5mungsgeschwindigkeit schichtentwicklung an der parallel angestromten und damit der Druckverlust, also der EnergieaufPlatte (Bild 3-20) sehr ahnlich. In diesem Fall wand. . . -kann fur die turbulente Anlaufstrecke L, der ') ppm ... parts per million, d. h. Teile je Million Teilen. Rohrstromung gesetzt werden:

Nach Messungen bei einer Anlaufstrecke von etwa 25. D wird die Rohrreibungszahl1 durch die Einlaufstromung urn etwa 13% hoher. Bei sehr kurZen Kanalen von etwa (3 bis 6 ) .D,wie sie z. B. in Stromungsmaschinen sehr haufig vorkommen, sind erhebliche Widerstandssteigerungen zu beriicksichtigen. Eine Erhohung der Rohrreibungszahl 1 bis etwa 50% gegenuber unbeeinfluBter Rohrstromung mu13 bei kurzen Anlaufstrecken den Berechnungen zugrundegelegt werden. Erganzungen lkagheitsabliisung: Bei drallbehafteten Rohrstromungen, d.h. Transportstromungen mit uberlagerter Drehbewegung, sog. Korkenzieherstrb mungen, bildet sich nach Feststellungen von STRSCHLETZKY oft ein Kerntotgebiet, das an der Stromung nicht teilnimmt und unabhangig von

-

Dopt

D

Bild 4-10. A N G L E R S C Kurve. ~ ~ Darstellung eines Wirtschaftlichkeitsuntersuchungs-Ergebnis.D Rohrdurchmesser, K Kosten, EK Energiekosten, AK Annuitiitskosten (Amortisation + Zinsen) wegen Investitionsaufwendungen, GK Gesamtkosten 4 GK = EK + AK.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Andererseits steigen die Investitionsaufwendungen mit wachsendem Durchmesser der Rohranlage. Der optimale Rohrdurchmesser Do,, liegt daher beim Minimum der Summe aus Annuitats- und Energiekosten (Betiebskosten). Dargestellt wird dieser Zusammenhang durch die sog. ANGLERKurve (Bild 4-10). Dieses Prinzip gilt im Grundsatz fiir jedes technisch-wirtschaftlicheHandeln.

4.1.1.3.6 Analogie zwischen Rohrstromung und Elektrizitatsleitung Wie folgende Gegenuberstellung zeigt, sind die Bewegung von Fluid in einem Rohr und die Bewegung von freien Elektronen in einer Elektrizitatsleitung weitgehend analog. Fluid-Strom

I

Elektrizitats-Strom

Druckverlust:

Verlustenergie:

I Stromwarme (oft Verlust!)

Die durch die Beziehung ausgedruckte enge Verwandtschaft von Fluidstromung und Elektrizitatsleitung kann zur elektrischen Simulation von Fluidstromungsproblemen eingesetzt werden.

4.1.1.3.7 Rohrleitungsberechnungen Bei der Berechnung geradliniger technischer Rohrleitungsprobleme treten insgesamt sieben GroBen auf - Mittlere Stromungsgeschwindigkeit c - Rohrdurchmesser D, bzw. gleichwertiger Durchmesser D,, (Abschnitt 4.1.1.4) - Volumenstrom - Verlustenergie Y , - Rauhigkeit k, bzw. Sandrauhigkeit k, - Kinematische Viskositat v - Rohrlange L Durch die Art des geforderten Fluides und das Rohrmaterial sind die Viskositat v und die aquivalente Sandrauhigkeit k, von vornherein angebbar. AuBerdem ist meist die Rohrlange L durch ortliche Gegebenheiten festgelegt. Zwischen den verbleibenden vier GroBen bestehen -

DurchfluBgleichung V= A.C Kontinuitatsgleichung A . c = konst

125

Erweiterte Energiegleichung z . g (pie) (c2/2) Yv = konst - Verlustenergie-Formel Yv = I . (LID) . (2'2) Da die Rohrreibungszahl I ebenfalls meist unbekannt, ist zur Berechnung der fehlenden Werte noch eine weitere Angabe notwendig. Die Rohrreibungszahl I ist je nach Stromungsform und -gebiet mit einer der in den vorhergehenden Abschnitten 4.1 .I .3.2 und 4.1.I .3.4 angegebenen Formeln zu berechnen, oder aus dem Diagramm, Bild 6-11, abzulesen. Hierzu mussen jedoch die REYNOLDSZahl Re = c . DIv und die inverse relative Rauhigkeit DIk, bzw. D/k berechenbar sein. Dies ist nur moglich, wenn auBer der Viskositat zwei der drei GroBen V, c und D bekannt sind. In jedem anderen Fall wird zum sog. SchlieBen des GleichungsSystems nach einem der folgenden beiden Wege vorgegangen:

-

+

+

+

a) Dlk, bzw. Dlk ist bekannt: Aus dem MOODY-DiagrammI =f (Re, Dlk,), Bild 6-1 1, wird der zugehorige Grenzwert, d. h. Minimalwert fur I abgelesen und als 1. Naherung in die Berechnung eingesetzt. b) D/k, ist unbekannt: Rohrreibungszahl I wird geschatzt: Guter Richtwert: A = 0,02 0,03 0,4 Mit dem geschatzten Richtwert wird die Rechnung in 1. Naherung durchgefiihrt.

...

...

Mit den in der ersten Naherungsrechnung ermittelten Werten wird dann eine neue (verbesserte) Rohrreibungszahl I mit Hilfe von Re und Dlk, ermittelt und damit der Rechnungsgang in zweiter Naherung ausgefuhrt. Das Rechenverfahren ist in gleicher Weise so lange zu wiederholen, bis die entsprechenden Ergebnisse der aufeinanderfolgenden Naherungsrechnungen nur noch praktisch zulassige Abweichungen aufweisen -+Iterationsablauf.

An ein zylindrisches GefaB vom Durchmesser D = 60 mm ist in einer Tiefe von H = 50 mm unter der Spiegelflache des Fluides ein waagrechtes Haarrohrchen mit d = I mm Durchmesser und L = 100 mm Lange angeschlossen. Die freie Fluid-Oberflache wird durch einen Zulauf auf konstanter Hohe gehalten. Durch Messen wird festgestellt, daB innerhalb 20min eine Flussigkeitsmenge von 150 cm3 ausflieDt. Welche kinematische Viskositat hat das Fluid?

126

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Das horizontal liegende Grundablaljrohr einer Staumauer sol1 so bemessen werden, dalj der Wasserstand bei der maximalen ZufluBmenge von 5 m3/s nicht hoher als 35 m uber die Rohrachse ansteigt. Welche Lange mu13 das Graugul3rohr (maDig angerostet) bei einem Durchmesser von 600 mrn erhalten? Der waagrechte, in Glattstrich-Beton ausgefuhrte Druckstollen einer TurbinenAnlage hat eine Lange von 800m und einen Durchmesser von 2,4 m. Welcher Druckverlust tritt bei einem Durchsatz von 36 000 m3/h Wasser mit 10°C auf? Fur ein geplantes Dampfkraftwerk werden vier grolje geschleuderte Betonleitungen zur Kondensator-Kuhlwasser-Versorgung von je 800 mm Durchmesser und 600 m Lange benotigt. Mit welchem Gefalle miissen die Leitungen verlegt werden, wenn stiindlich 15 000 m3 Wasser von 30 "C druckfrei abgefuhrt werden sollen? Der Hochbehalter einer Wasserversorgungsleitung steht auf einer Anhohe. Die freie Oberflache des oben offenen Behalters befindet sich 25 m uber der AusflulJstelle der von ihm abgehenden Hauptleitung. Das gerade GrauguBHauptrohr (gebraucht, maBig angerostet) ist 240 m lang und hat einen Durchmesser von 300 mm. Welcher Wasserstrom fliel3t aus der Hauptleitung ins Freie, wenn die Hohe des Behalterspiegels als konstant gelten kann? Welcher Zusammenhang fur c =f ( t ) in Ubungsbeispiel u 21 ergibt sich beim Beriicksichtigen der Reibung?

Querschnitte ein solches Ersatzrundrohr gesucht, das stromungsmechanisch gleichwertig ist. Der sog. gleichwertige Durchmesser Dg, des Ersatzrundrohres ergibt sich aus der Bedingung gleichen Druckabfalles. Das aquivalente Ersatzrundrohr ist also so festzulegen, daB es bei gleicher Lange L und gleicher Stromungsverhaltnisse den gleichen Druckverlust Apv aufweist wie das technisch eingesetzte Rohr beliebigen Querschnitts (sog. Unrundrohr). Demnach gilt die Bedingung:

,,

Apv,uR = Apv,

fur

LuR = LER= L

Hierbei gilt fur den Druckverlust: Unrundrohr (Index UR):

Ersatzrundrohr (Index ER) mit UR= D,,

.7c

Gleichgesetzt ergibt sich unter der nicht immer ganz zutreffenden Naherungsannahme etwa gleicher Wandschubspannungen also z,, c zER:

Dabei sind entsprechend der Herleitung: A

. . . Stromungsquerschnitt des nichtkreisformi-

U

. . . Benetzter Umfang des nichtkreisformigen

gen Rohres (Unrundrohr).

Rohres, d. h. die Umfangslange, an der das Fluid die Unrund-Berandung beruhrt. Beispiele: a) Rechteckrohr, Bild 4-1 1,a

4.1.1.4 Gerade Rohre mit beliebigem Querschnitt 4.1.1.4.1 Gleichwertiger Durchmesser b) Rechteck-Kanal, Bild 4-1 1,b Die bei Rundrohren gultigen Beziehungen fur Verlustenergie, Rohrreibungszahlen und REYNOLDSZahl sind nicht ohne weiteres auf nichtkreisformige Querschnitte anwendbar. Versuche zeigen, dalj die Gleichungen um so bessere Ergeb- c) Ellipsen-Rohr, Bild 4-1 1,c nisse bei praktisch vorkommenden, unrunden Querschnitten liefern, je mehr sie sich dem Kreis nahern und je hoher die Re-Zahl ist. U m die Kreisrohrformel jedoch moglichst allge- d) Warmetauscher. Bestehend aus AuBenrohr mit mein anwenden zu konnen. wird fur unrunde Innendurchmesser D und n Innenrohren mit

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

127

Bild 4-12. Wichtige unrunde Stromungsquerschnitte. a) Rechteckquerschnitte b/a

Bild 4-1 I. Verschiedene unrunde Querschnitte.

xO

1 0,l

0,2

0,4

1 0,6

0,s

1 1,O

1 96 1 86 1 77 1 65 1 60 1 58 1 56

C

bla x 0 entspricht dem ebenen Spalt

AuBendurchmesser d. Das Fluid stromt im freien Querschnitt zwischen AuBenrohr und Innenrohren, Bild 4- 11,d

b) Kreisquerschnitte

Dld = I entspricht dem Kreisringspalt D/d+co entspricht dem Kreisrohr

Bei der stromungstechnischen Berechnung von Rohren und Kanalen beliebigen Querschnitts ist zu beachten: 1. In die Gleichungen fur REYNOLDS-Zahl, Rohrreibungszahl 1 und Verlustenergie Y, ist der gleichwertige Durchmesser D,, einzusetzen. D,, tritt dabei an die Stelle von D. 2. Bei DurchfluS- und Kontinuitatsgleichung ist mit dem tatsachlichen Stromungsquerschnitt zu rechnen. 3. Der gleichwertige Durchmesser ist, wie Versuche bestatigen, bei kompressiblen Stromungen bis zu Geschwindigkeiten mit MACH-Zahlen Ma < 1 entsprechend verwendbar. 4. Experimente zeigen auBerdem, daB die Rohrreibungszahl 1, insbesondere bei laminarer Stromung, auBer von der REYNOLDS-Zahl auch von der Form des Stromungsquerschnittes abhangt (wegen verwendeter Naherung ,,z x .),z, Die fiir laminare und turbulente Stromungen giiltigen Abweichungen enthalten die beiden folgenden Abschnitte. 4.1.1.4.2 Laminare Stromung

Rohrreibungsziffer

C

A =Re,,

Die EinfluDgrok C ist fur technisch wichtige Querschnittsformen bei laminarer Stromung; Bild 4-12:

c) Dreiecksquerschnitte Gleichschenklig-rechtwinkligesDreieck C = 53 Gleichseitiges Dreieck C=57

4.1.1.4.3 Turbulente Stromung Fur die technisch wichtigeren turbulenten Stromungen in Unrundquerschnitten konnen, wie Messungen bestatigen, die Widerstandsgesetze der Kreisrohre (Abschnitt 4.1.1.3) venvendet werden. Dabei ist wieder in den Gleichungen fur die Rohrreibungszahl 1der Durchmesser D des Rundrohres durch den gleichwertigen Durchmesser Dgldes beliebigen Querschnitts zu ersetzen. Im einzelnen gilt:

Glatte Rohmand: Statt der Formel nach BLASIUS,G1.(4-28), gibt NIKURADSE/~CHILLER fur unrunde Querschnitte folgende Beziehung:

Rauhe Rohmand:

I

=f

4 1 .c (Regl,Dgl/k,) mit Re,, = v

Hierbei Rohrreibungszahl iohne Einschrankung nach Beziehungen von Abschnitt 4.1.1.3.3 und/ oder MOODY-Diagramm,Bild 6-1 1.

128

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

4.1.1.5 Rohreinbauten 4.1.1.5.1 Grundsatzliches

Technische Rohrleitungen enthalten neben geraden Leitungsabschnitten Einbauteile verschiedenster Form und Art. Diese Rohreinbauten konnen, ihrer Form und Funktion entsprechend zusammengefaot, unterteilt werden: -

Formteile fur Richtungsanderungen Formteile fur Querschnittsanderungen Formteile fur DurchfluBanderungen Armaturen

In den Einbauten treten teilweise erhebliche Stromungsverluste auf. Die Verlustenergie wird durch erhohte Reibung und Impulsaustausch (Querbewegung) infolge Um- und Ablenkung sowie Verwirbelung (Ablosungen) verursacht. Besonders hohe Energieverluste werden durch Stromungsablosung hervorgerufen. Dabei entstehen meist groDe, mit Wirbel durchsetzte Totraume. Hieraus folgt, daD die theoretische Ableitung der Stromungsverluste von Rohreinbauten fast immer wesentlich komplizierter ist als bei der turbulenten Rohrstromung (Abschnitt 4.1.1.3.3), fur welche die allgemeine Losung ebenfalls noch aussteht. Nur in wenigen Sonderrallen ist es moglich, die Verlustenergie von Rohreinbauteilen analytisch herzuleiten. Fast immer mu13 auf Versuchswerte zuruckgegriffen werden. In Anlehnung an die Stromungsverluste bei geraden Rohrleitungen laBt sich experimentell bestatigen, daB die Verlustenergie von Einbauten ebenfalls von der REYNOLDS-Zahl, der Stromungsenergie und den geometrischen Abmessungen, einschlieDlich Rauhigkeit, abhangt.

Die Lange L steht dabei stellvertretend fur geometrische Abmessungen. Der Wiederstandsformel nach DARCY,G1. (4-25), entsprechend wird fiir die Verlustenergie von Rohreinbauten angesetzt, deshalb als Ansatz festgelegt: Widerstandsfomel f i r Rohreinbauten:

Fur die Stromungsgeschwindigkeit ist dabei immer die mittlere Geschwindigkeit einzusetZen, die am Austritt des Einbauteiles herrscht.

GemaD Aufbau von G1.(4-35d) 1aDt sich auch Formel (4-54) entsprechend umformen:

Apv = R

. v 2 in [Pa]

::[kT3]

Mit Widerstand R = 7 Volumenstrom

---

(4-54b)

v [m3/s]

Bei dem Naherungsansatz nach G1. (4-54) sind alle Probleme in der sog. Widerstandszahl [ eingebunden. Die Widerstandszahl I; ist fur jedes Einbauteil, bezogen auf die Austrittsgeschwindigkeit, experimentell zu bestimmen. Entsprechend Gleichung (4-53) gilt:

r

= f (Re, L, k,) Bei praktischen Rohrleitungs-Problemen sind, wie bereits ausgefuhrt, die Re-Zahlen in der Regel wesentlich grooer als die kritische Re-Zahl in den Einbauten (Tabelle 6-11) und somit turbulente Stromung vorhanden. Meist liegt sogar (hydraulisch) rauhes Verhalten vor. Die Widerstandszahl ist dann, analog zur Rohrreibungszahl, nicht mehr von der REYNOLDS-Zahl abhangig. Im Schrifttum werden deshalb groBtenteils von der Re-Zahl unabhangige C-Werte angegeben. Die folgenden Unterabschnitte enthalten Widerstandsbeiwerte fur die wichtigsten Rohreinbauten bei turbulenter Stromung. Diese Aufstellung mu13 aus Platzgrunden unvollstandig sein. Widerstandszahlen fur andere Stromungsbereiche, z. B. Laminar- oder ubergangsgebiete, sind aus einschlagiger Literatur zu entnehmen oder beim Geratehersteller zu erfragen. Ersatzweise konnen die Widerstandswerte aufgefuhrter, etwa vergleichbarer Einbauten verwendet werden. Die sich dabei ergebenden Naherungswerte sind dann um so besser, je geringer die Bauartabweichung ist.

Hinweis: Die Abweichungen der aus MeDergebnissen folgender Widerstandswerte verschiedener Forscher an vergleichbaren Objekten begriinden sich durch die unterschiedlichen Versuchsbedingungen. Diese sind bedingt durch Aufbau und Anordnung der Experimentierobjekte sowie die Randbedingungen, wie z. B. Vorturbulenz und Anfangswerte. Im Einzelfall sind gegebenenfalls Nachmessungen notwendig, wenn entsprechende Genauigkeit gefordert wird. Bemerkung: Im Vergleich zwischen den beiden Ansatzen (4-25) und (4-54) konnte, wie erwahnt,

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkom~ressiblerFluide (Fliissigkeiten)

129

fur gerade Rohrleitungen die Widerstandszahl (, = 1 . LID definiert werden. Rohrfiihrungsarten: Die einzelnen Rohrleitungsteile konnen analog zur Elektrotechnik

hintereinander U g e s = x U l rnit 1 = 1

... n - + R g e s = C R l oder

parallel Uges=UL rnit L = I , 11, ... N + I g e , = C I L geschaltet werden. Meist liegt jedoch eine Hintereinanderschaltung (H-Sch) von n, geraden Rohrabschnitten und nc Einbauteilen, also insgesamt n = n, + nc Teilen, vor. Der Gesamtenergieverlust Y,,,,, ist dabei die algebraische Summe der Einzelverlustenergien YVvimit Y,,,, = Aj(Lj/Dj) . c?/2 und Yv,S,k= (, .c,2/2. Parallelschaltung (P-Sch) dagegen tritt seltener auf. Innerhalb der Parallelzweige sind dabei Hintereinanderschaltungen moglich und oft vorhanden. Fur die beiden Rohranordnungen gilt daher: H-Sch: n

Yv,ges = C Yv,~= i= 1

nr

"g

j= 1

k= 1

C Yv,,, j + C Yv,c,~ (4-56) '

Oder nach Beziehungen (4-35d) und (4-54a): n

rnit Rges= C Ri i= 1

P-Sch: Y ~ , ~= e sYv,ges,~= Yv,ges,ll= Yv,ges,111= . . . (4-57) I; II; III; . . . L . . . N parallelgeschaltete Zweige In den einzelnen Zweigen Y,,,,,, dabei jeweils entsprechend G1. (4-56). Oder entsprechend Beziehungen (4-35d), (4-35e) und (4-56a): Apv,ges = Rges . 3' mit l/Rges=

N

C (I/&) i= 1

4.1.1.5.2 Formteile fiir Richtungsanderungen (Kriimmer) Einzelkriimmer: Wie verwickelt die Stromungsvorgange selbst in einem einfachen 90"-Kriimmer sind, zeigt Bild 4-13. Die durch die Kriimmung der Stromlinien auftretenden Fliehkrafte bedingen Druckanderungen im

Bild 4-13. Stromung in einem Rohrkriimmer. Kriimmungsradius R; Kriimmungs- oder Umlenkwinkel 6 (Kriimmerwinkel); Kriimmungsverhaltnis RID.

Krummerquerschnitt G1. (3-64). Wegen Energiekonstanz (Abschnitt 3.3.6.3.2) mu13 dort, wo der Druck ansteigt, die Geschwindigkeit abfallen. Bed i n g durch die Richtungsanderung der Stromung treten also gegensatzliche Druck- und Geschwindigkeits(-betrags)-~nderun~en auf: Entlang der KriimmerauBenseite steigt der Druck infolge Stromlinienablenkung (Fliehkraft) ab der Einlaufstelle A an und erreicht bei der weiter innen liegenden Stelle B sein Maximum. Das Fluid stromt also im Bereich von A nach B gegen steigenden Druck bei sinkender Stromungsgeschwindigkeit. Die Folge ist das Anwachsen der Grenzschicht mit Ablosungsgefahr (Totraumbildung). Ab etwa Stelle C fallt der Druck zum Austritt hin wieder ab, wo keine Fliehkraft mehr wirkt. Entlang der Kriimmerinnenseite dagegen Wllt der Druck, vom Einlauf E beginnend, zunachst ab und steigt ab Stelle F wieder an auf den Abstrom- oder Gegendruck. Das Fluid stromt somit vom Punkt F an wieder gegen steigenden Druck. Die Geschwindigkeit verhalt sich, wie erwahnt, jeweils umgekehrt. Deshalb besteht im Bereich F-G neben starker Grenzschichtbildung ebenfalls die Gefahr der Stromungsablosung. Infolge groBerer Kriimmung (Radius kleiner!) ist das Totraumgebiet F-G meist groBer als das von A-C. Der Hauptstromung in Kriimmerrichtung uberlagert sich eine Querbewegung in Form

130

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

eines Doppelwirbels. Es ergibt sich dadurch eine Gesamtstromung mit doppelschraubenformig verlaufenden Stromlinien. Diese Sekundarstromung entsteht ebenfalls durch die Fliehkrafte, welche das Druckgefalle von innen nach auDen quer zur Stromungsrichtung verursachen. Die Fliehkraft kommt in der radialen Zentrumsebene des Kriimrners voll zur Auswirkung, wahrend in den Randzonen des Krummerquerschnittes die Wandreibungskrafte hemmend wirken (Geschwindigkeit kleiner). Deshalb stromt im Querwirbel das Fluid in der Querschnittsmitte nach aul3en und wegen der Verdrangungswirkung (Volumenerhaltung) und Druckgefalle in den Randbereichen wieder nach innen zuruck. Am Rand ist wegen der geringeren Stromungsgeschwindigkeit (Bild 4-5) der Druck wegen entsprechend niedrigerer Fliehkraftwirkung kleiner als im Kern des Krummungsquerschnittes. Das begiinstigt die Doppelwirbel-Bildung.

Bild 4-14. Umlenkbleche in einem grofien, engen Kriimmer zu Verminderung der Stromungsverluste, und zwar bis urn den Faktor 5.

+

fur AuBenrand (a +pa)

- fur Innenrand (i +pi)

+

pges= pstat e c 2 / 2 , nach G1. (3-87). Die Kriimmerverluste setzen sich deshalb zusammen aus den Verlusten durch Totraumbildung (Wirbel), Sekundar-Stromung und Wandreibung. Rechnerisch-analytische Erfassung daher nicht moglich, sondern nur experimentell. Allgemein gilt: Jede gekriimmte Stromung ist von einer verlustbringenden Sekundar-Querstromung uberlagert, welche durch Fliehkrafte verursacht wird. Bei Versuchen ist die Abnahme der kritischen Re-Zahl mit verstarkter Krummung auffallend (Tabelle 6-8). Dies erklart sich aus dem Energieverzehr der durch die Zentrifugalkrafte verursachten Sekundarstromung (Quenvirbel). Diese sind selbst bei Laminarstromung vorhanden. Dadurch wird auch die zur Turbulenzerzeugung verfiigbare Energie gemindert. Bei Krummern mit grol3em Querschnitt werden, um die Fliehkraftwirkungen aufzufangen und die Umlenkung zu verbessern, gebogene Leitbleche, sog. Umlenkschaufeln, in den Krummer eingebaut, Bild 4-14. Durch die verbesserte Fuhrung der Stromung kann die Verlustenergie meist erheblich herabgesetzt werden. Voraussetzung ist allerdings richtige Formgebung der Umlenkschaufeln, die zweckmal3igerweise durch Versuche bestimmt wird. Uber die Potentialtheorie ergibt sich naherungsweise:

Index a . . . auBen, m Krurnmer.

. . . mitten, i . . . innen im

A. HOFMANNfuhrte umfangreiche Versuche an glatten und rauhen 90"-Krummern mit Kreisquerschnitt durch. Dabei zeigte sich, dal3 die Widerstandszahl bei glatter Rohrwand mit wachsender Re-Zahl starker abnimmt, wahrend sie sich bei rauhen Rohren sehr schnell einem etwa konstanten Wert nahert. Das Diagramm, Bild 4-15 gibt Anhaltswerte, die fur praktische Rechnungen meist genugend genau sind. Weitere und genauere Werte enthalten Bild 6-12 bis Bild 6-27.

Bild 4-15. Widerstandsziffern ( von glatten und technisch rauhen 90"-Kreisrohr-Kriimmern (6 = 90"; Bild 4-13) mit konstantem Querschnitt in Abhangigkeit vom mittleren Kriimmungsverhaltnis RID. Praktisch iibliche Kriimmungsverhaltnisse sind RID = 2 bis 4.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkom~ressiblerFluide (Fliissigkeiten)

Die Kumen der Widerstandsziffern C von Krummern (Bild 4-15), die alle Reibungseinflusse enthalten, zeigen ein deutliches Minimum bei Kriimmungsverhaltnissen von RID = 6 bis 8. Begrundung: Bei kleinen RID-Werten uberwiegen infolge der starken Krummung (Radius R klein) die Sekundareinflusse (Quenvirbel, Totraume). Bei groBen Werten von RID dagegen uberwiegen Fluidreibung und turbulenter Impulsaustausch auf dem fur die 90"-Umlenkung dann vorhandenen langen Stromungsweg. Beide sich uberlagernden Einflusse fuhren bei giinstigen Verhaltnissen des Krummers zu dem Minimum der c-Widerstandskurve. Da der Energievorteil ab Krummungsverhaltnissen von etwa 2 bis 4 nur noch gering ist, der Bauaufwand dagegen stark ansteigt, werden praktisch meist angewendet RID x 2 bis 4. Die I-Werte enthalten alle Verlustanteile (auch die Reibung entlang der Krummerwandung). Bei Messungen ist zu beachten, wenn die Krummerstromung in die normale Parallelstromung des geraden Rohres zuriickgebildet werden soll, dalj eine Rohrlange von theoretisch etwa 25- bis 50fachem Durchmesser D hinter dem Kriimmer notwendig ist die sog. Beruhigungsstrecke (Abschnitt 4.1 .I 5 7 ) . Praktisch sind als Beruhigungsstrecke mindestens x 10. D notwendig. Erst anschlieljend darf ein MeBgerat eingebaut werden.

Bild 4-16. Widerstandsziffer ( rauher diisenformiger 90"-Kriimmer, deren Austrittsquerschnitt halb so groB ist wie der Eintrittsquerschnitt (nach NIPPERT).

1 t

1.0 ,9 0,8

0.7

46 0,5 0.4

43

Bei Umlenkungen fur Krumrner-Winkel zwischen 6 = 0 . . . 180" kann der ~iderstandsbeiwertberechnet werden zu:

0,5

Dabei gilt fiir den Faktor K

Fur verschiedene Krummer-Winkel 6 errechnet sich:

Fur quadratische Kriimmerquerschnittekonnen die Widerstandsziffern von Kreisquerschnitten verwendet werden, oder nach Bild 4-17. Bei rechteckigen Krummerquerschnitten ist der 4-Wert von dei Form des ~Grschnittesabhangig, d. h. vom Seitenverhaltnis, Bild 6-27.

131

1,O

1.5

2.0

25

Bild 4-17. Widerstandsziffer ( rauher, rechteckquerschnittiger 90"-Kriimmer mit gleichem quadratischen Ein- und Austrittsquerschnitt (nach NIPPERT).

Bild 4-16 und Bild 4-17 zeigen die Verlustkoeffizienten fur Kriimmer nach NIPPERT I). Bild 4-16 gilt fur diisenformige Kriimmer, deren Austrittsquerschnitt halb so groB ist wie der Eintrittsquerschnitt. Bild 4-17 gilt fur rechteckige Krummer mit gleichem Ein- und Austrittsquerschnitt. Die Diagramme konnen auch fur Kriimmer mit nicht zu stark abweichenden Bauverhaltnissen n b herungsweise entsprechend angewendet werden. Bei Beschleunigung (Bild 4-16) ist der kleinste C-Wert mit nur =: 0,03 kaum groBer als bei norma-

c

"

NIPPERT: VDI-Forschungsheft Nr. 320.

132

4 Striimungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

len Dusen. Bei konstanter Geschwindigkeit (Bild 4-17) dagegen wird 1x 0,l nicht unterschritten. Wie die Kurven zeigen, gibt es wieder fur jeden Innenradius bzw. das Verhaltnis R,/b, einen gunstigsten AuBenradius, gekennzeichnet durch Quotient R,/bE. Das Optimum ist um so ausgepragter, je kleiner der Innenradius. Dieser Zusammenhang ist bei praktischen Problemen zu beachten, wenn groBe Verluste vermieden werden sollen. Bild 4-17 enthalt zudem die Werte ,,normalera Kriimmer (strichpunktierte Linie). Die Kurve zeigt, daB dieser Kriimmer nicht die geringsten Verluste aufweist. Da das Verhaltnis Ra/bE= Ra/b = Ra/(Ra- Ri) = 1/(I- Ri/Ra) mit kleiner werdendem R, groBer wird, liegt das Minimum des Verlustbeiwertes i bei kleinerem AuBenradius. Dies hat jedoch eine VergroBerung des Krummer-Scheitelquerschnittes zur Folge. Hieraus folgt: Bei Kriimmern mit gleichem Einund Austrittsquerschnitt ist eine gewisse Querschnittserweiterung im Scheitel vorteilhaft. Hintereinandergeschaltete Kriimmer, Bild 4-18: Einbauteile, die aus mehreren 90"-Krummern aufgebaut sind, ergeben Gesamtwiderstande, die teilweise betrachtlich hoher als die Summe der Einzelwiderstande liegen. Dies ist neben der Storung durch die zweite Nahtstelle (Flanschverbindung) vor allen dadurch bedingt, wie stark die nachfolgende Storung (Querwirbel) im zweiten Kriimmer die vorhergehende des ersten Kriimmers bei ~ b e r lagerung uberproportional verstarkt.

a) b) c) Bild 4-18. Kriimmer-Kombinationen: a) Doppelkrummer (6 = 180") b) Raumkrummer c) Etagenkrummer

4.1.1.5.3 Rohrein- und Rohrauslaufe Beim Eintritt eines Fluides von einem groBeren Raum, z. B. von einem Behalter, in ein angeschlossenes Rohr, treten infolge starker Umlenkung der Fluidteilchen in der Regel Ablosungen an der Eintrittsstelle auf, die zur Wirbelbildung und Einschnurung der Stromung fuhren. Die Totraumbildung, die abhangig von der Form des Einlaufes ist, verursacht Verluste in zweifacher Hinsicht durch: -

Reibung infolge Sekundarstromung (Wirbel) Verstbkte Reibung der Hauptstromung infolge erhohter Geschwindigkeit an der Einschnurstelle (Kontinuitatsbedingung).

Auch an Rohrauslaufen treten durch Einschniiren wegen der laminaren Unterschicht Stromungsverluste auf, die jedoch schwer erfaBbar und meist von geringer Bedeutung sind. Fur die verschiedenen Ein- und Auslaufe gilt gemaB Versuchen:

Im einzelnen gilt fur die Wideustandszahl: Doppelkriimmer, Bild 4-18,a), 1,0 . C l e , n z e ~ = 2 . 190" Raumkriimmer, Bild 4-18,b), iges %

rges %

1,5 . ZTeinzei = 3 . 1 9 0 0

Etagenkriimmer, Bild 4-18,c), Cges %

290 . ~

.

~ e , n= z e4~ 1900

(4-62)

Der Unterschied der Ergebnisse von GI. (4-60) gegenuber Beziehung (4-58) bei 6 = 180" ist wahrscheinlich durch den EinfluB der Flansch-Verbindung mit Dichtung beim Doppelkrummer (Bild 4-18, Teil a) bedingt. Hier sind oft Absatze oder andere Storstellen, z. B. vorstehende Dichtung, nicht zu vermeiden. Widerstandszahlen weiterer Richtungsanderungen enthalten Bild 6-27 und Bild 6-34.

T

Bild 4-19. Rohreinlaufe.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten) Rohreinlaufe, Bild 4-19: a) Senkrechter Einlauf, nicht abgerundet, Bild 4-19,a. Verweis auch auf Abschnitt 4.1.6.1.2. Einlaufstelle A scharfkantig: 5 = 0,5 Einlaufstelle A gebrochen: 5 = 0,25 b) Senkrechter Einlauf, abgerundet, Bild 4-19,b Kleine glatte Abrundung: 5 = 0,15 bis 0,2 Grofle glatte Abrundung: 5 = 0,005 bis 0,06 c) Senkrechter Einlauf hineinragend, Bild 4-19,c, einspringende oder B~RDA-Miindung: Einlaufstelle B scharfkantig: 5 = 3,O Einlaufstelle B gebrochen: [ = 0,6 d) Senkrechter Einlauf mit Verengung, Bild 4-19,d

1

1

e) SchiefwinkligerEinlauf, scharkantig, Bild 4-19,e: 5 = 0,s + 0,3 . sin 6 + 0,2 . sin26 (4-63) Fiir verschiedene Neigungswinkel 6 errechnet:

Rohrauslaufe, Bild 4-20:

Strahldurchmesser Dst, nur experimentell bestimrnbar. Meist jedoch DStr= D, also (= 0.

Flu~dstrahl

Bild 4-20. Rohrauslauf.

4.1.1.5.4 Formteile fir Querschnittsanderungen

Erweiterungen Erweiterungen sollen entsprechend der Energiegleichung hauptsachlich kinetische Stromungsenergie in Druck-, d. h, in potentielle Energie umwandeln. Das Medium mu0 deshalb in Erweiterungen gegen steigenden Druck stromen, was vergroberte Ablosegefahr bedeutet (Abschnitt 3.3.3). Unstetige Erweiterung, Bild 4-21 Wollte ein stromendes Fluid einer sprungartigen Querschnittserweiterung folgen, miiflte es plotz-

133

Wirbelwalze

Bild 4-21. Unstetige Erweiterung (CARNOT-Offnung),

lich zwei scharfkantige 90"-Ecken umstromen, was unendlich grofle Beschleunigungen erforderte. Da dies nicht moglich ist (vgl. Abschnitt 3.3.4), erweitert sich die Stromung langsam und erreicht erst nach entsprechender WeglHnge die Wand des groBeren Rohres. Zwischen den Stellen der sprungartigen Erweiterung und dem Wiederanlegen des Strahles entsteht ein Totraum mit intensiver Wirbelbildung. Die Wirbel werden durch Vermischen mit dem sich erweiternden Strahl standig neu angefacht. Die hierdurch entstehenden Stromungsverluste sind um so hoher, je groDer die Querschnittserweiterung ist und stellen die Hauptverluste der unstetigen Querschnittserweiterung dar. Die Wandreibungsverluste sind hierzu vergleichsweise gering und deshalb meist vernach1Hssigbar. Die unstetige Erweiterung, auch als B ~ R D A 'oder )CARNOT-StoR bezeichnet, stellt eine der Ausnahmen dar, bei der es moglich ist, den Stromungsverlust mit Hilfe von Impuls- und Energiesatz theoretisch herzuleiten. Diese Ableitung, die in Abschnitt 4.1.6.1.2 durchgefuhrt wird, ergibt fur die Widerstandsziffer der plotzlichen Erweiterung: mit 6ffnungsverhaltnis m = A2/A, (Bild 4-21). Diese theoretisch ermittelte Beziehung wird auch als B ~ R D A - C A R N O T Gleichung S C ~ ~ bezeichnet und wurde experimentell gut bestatigt. Bemerkung: Als C A R N O T S C(Stofl-)Energie~~~ verlust wird der beim vollkommen unelastischen St00 zweier Massen m, und m2 eintretende Verlust an kinetischer Energie AE = (m/2) . (v: - v i ) bezeichnet. Hierbei sind v,, v2 die Bewegungsgeschwindigkeiten der stoflenden Massen m , , m, , mit ~~uivalenzmasse m = (llm, l/m2)- l.

+

l)

BORDA, J. C. (1733 bis 1799) CARNOT, S. (1797 bis 1832).

134

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromun~en)

Stetige Erweiterung (Diffusor), Bild 4-22 Bei richtiger Ausfuhrung kann in Diffusoren die bei unstetiger Querschnittserweiterung stets auftretende Stromungsablosung vermieden werden. Der Stromungs- und damit der Druckverlust ist entsprechend geringer. Wird der Erweiterungswinkel6 jedoch zu grorj, lost sich die Stromung auch bei Diffusoren ab. Infolge des Geschwindigkeitsprofils (Bild 4-3 und Bild 4-5) reicht die in Wandnahe abfallende kinetische Energie c2/2 des Fluides nicht mehr aus, um gegen den steigenden Druck ,,anlaufenG',d. h. anstromen zu konnen. Die Stromung wird daher von der Wand abgedrangt (Bild 3-21), weshalbes zueinemTotraummit Riickstrom-Wirbeln kommt. Entsprechend grorje Verluste sind die Folge. Bedingt durch die Schwerkraft liegt das Totraumgebiet bei waagrecht angeordneten Diffusoren meist am oberen Wandbereich. Andererseits wird der Diffusor sehr lang

wenn bei kleinem offnungswinkel ein bestimmtes Erweiterungsverhaltnis verwirklicht werden soll. Wegen des langen Stromungsweges steigen dann die Stromungsverluste infolge Reibung ebenfalls. Es gibt deshalb einen giinstigen Offnungswinkel, 12' liegt. Auf jeden Fall sollte der bei 6 = 8 5 2 15" sein. In diesem Bereich kann gesetzt werden [ l o l l :

...

Hierbei: Offnungsverhaltnis m = A2/A, (4-66a) Anpassungs-Faktor y = 0,15 bis 0,2 Widerstandszahlen 5 fiir verschiedene Offnungsm sind auch winkel 6 und Offn~n~sverhaltnisse aus Bild 4-23 oder Bild 6-37 zu entnehmen. Vergleich von plotzlicher mit stetiger Erweiterung: Wird gleicher Druckverlust in sprungartiger Erweiterung (Bild 4-21) und Diffusor (Bild 4-22) zugelassen, ergibt das Gleichsetzen der beiden zugehorigen Beziehungen (4-65) und (4-66):

c2

4

A,

Bild 4-22. Stetige Erweiterung (Diffusor).

Bild 4-23. Widerstandszahlen i einschlierjlich Wandreibung fiir stetige Querschnittserweiterungen (Diffusoren) in Ab1;angigkeit vom 6ffnungsverhaltnis m = A J A , und dem Offnungswinkel 6.

Mit y = 0,15 bis 0,2 und m = A2/A, wird A2/A, = 1,35 bis 1,s. Das bedeutet: Bis Flachenverhaltnisse m = A2/A, x 1,5 - Kreisquerschnitt entsprechend dem Durchmesser-Verhaltnis ca. 1,2 - weisen plotzliche Erweiterungen geringeren Druckverlust auf, als stetige. Des weiteren bestatigen Versuche, darj es bei starken Erweiterungen zweckmaBig ist, den Diffusor dort zu beenden, wo die Ablosung der Stromung einsetzt, um dann sprungartig auf den Endquerschnitt iiberzugehen. Bei einem derartigen Aufbau sind die Stromungsverluste geringer als bei vollstandig stetiger Erweiterung. Deshalb werden auch Kurzventuridusen (Bild 4-31, Teil e) derartig ausgebildet. Verengungen Unstetige Verengungen, Bild 4-24 Die plotzliche Querschnittsverengung kann als senkrechter, nicht abgerundeter Rohreinlauf angesehen werden, Bild 4-19,a. Durch die analoge Strahleinschnurung zu Beginn des engeren AbfluDrohres treten entsprechende Stromungsverluste auf.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Bild 4-24. Unstetige Querschnittsverengung m = A 2 / A , .

Da bei Verengungen nach der Kontinuitats- und Energiegleichung Druckenergie in kinetische umgewandelt, die Stromung also beschleunigt wird, ist das mit Wirbel durchsetzte Totraumgebiet bedeutend kleiner als bei Erweiterungen. Die Verluste bei unstetigen Querschnittsverengungen sind deshalb wesentlich geringer als bei plotzlichen Erweiterungen. Durch gute Abrundungen, die jedoch fertigungstechnisch oft schwer zu verwirklichen sind, kann hierbei der Stromungsverlust weiter stark herabgesetzt werden (Bild 4-19,b). In Bild 4-25 sind die Widerstandszahlen unstetiger Querschnittsverengungen ohne Abrundungen, abhangig vom 6ffnungsverhaltnis in = A 2 / A l (Verengungsverhaltnis), aufgetragen.

135

A2;c2

Bild 4-26. Stetige Querschnittsverminderung (Dike).

daher insgesamt wesentlich kleiner als bei Diffusoren. Allgemein gilt (Abschnitt 3.3.6.3.3): Der Energieumsatz in Diisen (beschleunigte Stromung, ,,Druck in Geschwindigkeit") erfolgt wesentlich einfacher und verlustarmer als in Diffusoren (verzogerte Stromung, ,,Geschwindigkeit in Druck"). Auch hier gilt wieder: Beschleunigte Stromungen konnen leichter ohne Ablosung und laminar gehalten werden als verzogerte. Deshalb erreichen Turbinen, bei denen Dusenstromung vorliegt, bei gleich qualitativer Ausfiihrung immer einen hoheren Wirkungsgrad als Purnpen, bei denen Diffusorstromung notwendig ist. Die Energiegleichung auf die Querschnitte @ und Q der idealen Stromung in einer waagrechten stetigen Querschnittsanderung, Bild 4-26, angewendet, ergibt: Hieraus

Mit dem Druckgefille Ap = pl - p, wird c: = c: Bild 4-25. Widerstandszahlen ( von unstetigen Querschnittsverengungen als Funktion des 6ffnungsverhaltnisses m = A 2 / A , (Bild 4-24).

Stetige Verengung, Bild 4-26 Einbauten mit stetiger Querschnittsverminderung werden meist als Diisen oder Konfusoren bezeichnet. Bis auf eine Austrittseinschnurung entsprechend den Rohrauslaufen (Bild 4-20) tritt bei Dusen keine Strahlablosung auf. Die Strahleinschnurung am Dusenaustritt wachst mit zunehmendem Verengungswinkel 6, ist jedoch meist vernachlassigbar. Die Verlustenergie von Dusen ist

+ 2 . Ap/e

(PYTHAGORAS!)

Diese Gleichung ermoglicht die geometrische Konstruktion des Geschwindigkeitsprofilsan der einen Bezugsstelle, wenn es am anderen Bezugsquerschnitt bekannt ist. Die Konstruktion in Bild 4-27 durchgefuhrt, gilt fur beide Stromungsrichtungen. Die Veranderung des Geschwindigkeitsprofilszeigt: Durch Beschleunigung wird das Geschwindigkeitsprofil voller; durch Verzogerung spitzer (bewirkt Ablosungsgefahr!). Diese Erscheinung wurde von NIKURADSE auch fur reale Fluide bestatigt. Fur die Widerstandsziffer von Dusen wird gesetzt:

136

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkom~ressibleStromungen)

Bild 4-27. Graphische Ermittlung des Geschwindigkeitsprofils in einem Kana1 mit Querschnittsanderung.

Bei Vermeigung einer Stromung oder Vereinigen von Teilstromen treten durch Umlenken und Ablosen an der Verzweigungs- bzw. Vereinigungsstelle meist erhebliche Verluste auf. Der dadurch entstehende Druckabfall hangt weitgehend von der geometrischen Gestaltung und der Rauhigkeit der Rohwerzweigungen ab sowie - wegen des Vermischungs- bzw. Trennungsvorgangs - von den Mengenstromverhaltnissen der Teilstrome. In einem der beiden Abzweigstrome kann jedoch unter bestimmten Bedingungen sogar ein Druckgewinn stattfinden. Er tritt auf, wenn der Fluiddruck des anderen Stromes infolge Stromungseinschnurung absinkt und dadurch eine Injektorwirkung hervorruft oder Impulswirkungen auftreten. Das driickt sich wegen der VerlustenergieDefinition gemaB G1. (4-54) in einer negativen Widerstandszahl [ fur den Stromungsweg aus, auf den diese Effekte wirken (Bilder 6-31 und 6-32). Die Verlustenergie wird gemaD Festlegung auf die Geschwindigkeit des Gesamtstromes bezogen. Widerstandszahlen von Formteilen fur Durchfluoanderungen enthalten Bild 6-30 bis Bild 6-34.

Auch Bild 6-36 enthalt [-Werte von Dusen.

4.1.1.5.6 Armaturen Absperr- und Regelorgane: In Rohrleitungen werden Absperr- und Regelorgane, Bild 4-29, unterschiedlichster Ausfuhrung eingesetzt, um den Volumenstrom zu andern. In solchen Geraten unterliegt die Stromung mehr oder weniger groDen Querschnitts- und Richtungsanderungen. Entsprechende Reibungs- und Wirbelverluste sind die Folge. Die Verlustenergie und damit der Druckverlust werden auch nach G1. (4-54) berechnet. Die zugehorigen Widerstandsbeiwerte sind ebenfalls experimentell ermittelt und daher aus entsprechenden Tabellen bzw. Diagrammen zu entnehmen oder beim Geratehersteller zu erfragen. Die im Schrifttum (Abschnitt 8) angegebenen Werte, die immer nur fur den vollgeoffneten Zustand gelten (im geschlossenen ware [ + a),weichen teilweise erheblich voneinander ab. In der Regel sind die Widerstandszahlen ebenfalls auf die mittlere Austrittsgeschwindigkeit c aus der jeweiligen Armatur bezogen. Diese ist deshalb in die Verlustenergie-Formel, G1. (4-54), einzusetzen. Fur die wichtigsten grundsatzlichen Bauformen gilt:

4.1.1.5.5 Formteile fiir DurchfluRanderungen Formteile fur DurchfluDanderungen sind Rohreinbauten, die je nach Stromungsrichtung Volumenstrome aufteilen oder zusammenfassen.

1. Ventile, Bild 4-29,a bis 4-29,e. Verwendet fiir alle technischen Drucke und Temperaturen bis etwa NW300. Als VerschluBstuck dient eine tellerformige Platte, ein Kegel oder eine Kugel.

m-+

Bild 4-28. Diisen-Reibungsfaktor cc als Funktion vorn ~ffnun~sverhaltnis(Verengungsverhaltnis) rn = A J A , und dem Offnungswinkel (Verengungswinkel) 6.

Hierbei sind a . . . Reibungsfaktor nach Bild 4-28 2, . . . Rohrreibungszahl vom ZufluBrohr mit A , 2, . . . Rohrreibungszahl vom AbfluBrohr mit A, (gedachtes und tatsachlich vorhandenes) Faktor a (experimentell bestimmt) berucksichtigt die erhohte Reibung infolge der stetigen Verengung und die Ablosungsgefahr durch Einschniirung am Dusenaustritt. Bei Winkel 6 = 20 bis 30" erreichen gute Dusen

5 = 0,Ol

bis 0,02

lgen realer inkompiess~blerFlulde (Flusagkelten)

137

Beim Ciffnen wird das VerschluBstuck in axialer Richtung vom Ventilsitz ahgehoben. Im Gegensatz m Schieber und Hahn darf das Ventil nur in der konstruktiv vorgesehenen Richtung, immer dutch Pfeil gekennzeichnet, durchstromt werden. Meist ist die SchlieBricbtung entgegengesezt zur Durchstromrichtung im Dichtquerscbnitt. Bei Ventilen muB deshalb das VerschluBstiick gegen den vnllen Stromuugsdruck schlieBen. Um die hohen Stellkrafte zu vermeiden, werden manchmal sog. Doppelsitzventile eingesetzt, z.B. bei Dampfturbinen, die jedoch wesentlich hohere Druckverluste vernrsacheu. Im Ventil besteht dann keine Querschnittsverengung mehr, wenn der tiffnungsweg der Ventilplatte s = Dl4 mit D dem lichten Stromuugsdnrc~inie,,cr .un Vcntilpidrteni~tzeorspnchr. t & stirkere Ofinuns hrinet kc~nrnDurch,at7-Vorteil. sondern meist nnr hohere Verluste (CARNOT-StoB, Abschnitt 4.1.1.5.4). Von allen Absperr- und Regelorganen erfahrt das Medium in Ventilen die groBten Querschnitts- und Richtungsanderungen, also auch den hochsten Stromnngsverlust. Zur Verminderuug der Druckverluste wurden mehrere Ventil-Sonderformen (Bild 4-29,b bis 4-29,d) entwickelt.

- -

2. Hiihne, Bild 4-29,f Mit Kegelkuken meist fur kleine Nennweiten und niedrige Drucke eingesetzt. Hahne werden in Sonderausfuhrung jedoch auch bei groBten Nennweiten und Driicken verwendet, e B. Kugelhahne (bis ungefihr NW 10000). Der volle Stromuugsquerschnitt wird durch geringes Drehen des Hahn-Kukens (meist 90") vollstandig freigegeben oder abgesperrt. Nach Durchstromrichtnng ist zu unterscheiden: Durchgaugshahne, Winkelhahne und Schalthahne (Dreiwegehahne). Nach Ausfuhrung des Kukens wird unterschieden: Einfache Hahne mit Kegelkuken und Kugelhahne mit Kugelkuken.

gJ

Bild 4-29. Abspcrr- und Regelorgane: a) Durchgangs- oder DIN-Ventil, b) Rhei-Ventil, c) Koswa-Ventil, d) Patent-Ventil, e) Eck-Ventil, f) Hahn rnit Kegelkiiken, g) SScieber mit Keilschliel3platte.

3. Scbieber, Bild 4-29,g. Eingesetzt bei groBeren und gooten Nennweiten sowie fur alle Driicke. Als VerschluBstuck dient eine planparallele oder keilfomige Platte, die quer zur Stromungsrichtung in den Leitnngsquerschnitt eingeschoben wird. Das striimende Fluid wird in geoffneten Schiebern nicht umgelenkt und nur bei Hochdruckschiebern durch geringe Querschnittsanderung eingeschnurt. Die Widerstandszahlen von Zylinderschiebern (ParallelschlieBplatte) sind deshalh klein, die von Hochdrucksckiebern (Keil-

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

138

der die Wellen das Ausstromrohr funf bis sechs Ma1 durchlaufen haben (DruckstoB). Entsprechende Vorgange treten in Rohrsystemen beim plotzlichen SchlieDen eingebauter Absperrorgane auf Hinweis auf Abschnitt 3.3.6.3.1 und [91].

0

7 6

k,-Wert: Bei Stellgliedern (Armaturen) wird nach Richtlinie VDI/VDE 2173 auch der sog. kv-Wert verwendet. Dieser gibt den DurcMuD in m3/sbnv. m3/h von Wasser bei 5 bis 30°C an, der beim Druckverlust von 1bar durch das Stellghed beim jeweiligen Stellhub hindurchflieDt. Der kv-Wert ist somit ein auf die genannten Bedingungen bezogener DurcMuD, der nur experimentell bestimmt werden kann, da Widerstandziffer b querschnittsabhangig, das bedeutet, hubabhangig. AUS Apv = Q . Yv = Q c . c2/2 d t c = VIA

L. d

S

:5

w 0 C

L Ln

sL %

3 2

Apv =

e .5

(112) V*IAZ. Hieraus

1

V = , / 2 . A 2 - ~ p v / ( ~ .= ( )A . m . 0

0 Nennwe~te NW

Bild 4-30. Widerstandszahl 5 iiblicher, d. h. rauher Absperr- und Regelorgane in Abhiigigkeit von der Nennweite NW in mm bei vollgeoffnetem Zustand. Statt der Nennweite wird oft auch der Begriff Nenndurchmesser DN verwendet. schlieDplatte)etwas grober. Durch Einbauen eines Leitrohres (bei paralleler Schliel3platte moglich), das bei geoffnetem Schieber den SchlieDplattenspalt uberbruckt, konnen die Stromungsverluste weiter herabgesetzt werden. Der Bauaufwand ist jedoch entsprechend groaer. Die Widerstandszahlen fi Hahne, verschiedene Ventiltypen und Schieber, die, wenn 'nicht anders angegeben, immer auf den voll geoiffneten Zustand und auf die Austrittsgeschwindigkeit bezogen sind, enthalt Bild 4-30. Die (-Werte gelten fur normale technische Ausfuhrungen gemaD Bild 4-29.

Stromuogsausb'idung b e i i Offnen eines Absperrorgana: Wenn z. B. ein Kessel uber eine Rohrleitung entleert werden soll, wobei der Kesseldruck nur allmahlich absinkt, stellt sich beim Offnen des Absperrorganes nicht sofort ein stationarer, genauer quasistationarer, Zustand ein. Hin- und herlaufende Verdichtungs- und Verdunnungswellen schaffen erst den Beharrungszustand. Der Ausgleich, d. h. der ijbergang in den stationaren AusfluDzustand erfolgt etwa innerhalb der Zeit, in

,/=

GemiiD kv-Definition: kv = v in m3/s bei Apv = 1 bar = l o sPa und

Q

x lo3kg/m3

bei A [m2] . . . Stellglied-Durchtrittsguerschnitt an Drosselstelle

Saugkorbe: Zum Schutz und besseren Ansaugverhalten von F'umpen werden deren Saugleitungen an der Eintrittsstelle meist mit einem Saugkorb einschlieDlich Fu$'ventil ausgerustet, tj'bliche technische Ausfuhrungen dieser Gerate aus Sieb plus Ventil haben Widerstandszahlen zwischen 2 und 4, Tabelle 4-2. Die Widerstandsbeiwerte sonstiger Siebe, Bild 6-22, und Filter konnen aus Platzgrunden nicht aufgenommen werden. Es wird auf das einschlagige Schrifttum und Hersteller-Angaben venviesen. Tabelle 4-2. Widerstandsziffern ( von Saugkorben mit FuDventil. Stromungsgeschw.

N W 5 0 bis 80

NW 100 bis 500

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkom~ressiblerFluide (Fliissigkeiten)

139

Drosselgerate (MeBorgane): Wie in Abschnitt 3.3.6.3.3 beschrieben, werden zur Messung des Durchsatzes (Mengenstrom) durch Rohrleitungen vielfach sog. Drosselgerate, Bild 4-31, eingesetzt. Die MeBorgane sind in DIN 1952 genormt. Neben dern von den Geraten als MeBwert erzeugten Wirkdruck Apwi, verursachen sie einen Energieverlust durch verstarkte Reibung und Ablosungswirbel. Diese Verlustenergie druckt sich wieder in einem bleibenden Druckverlust Apv aus. Die zugehorige Widerstandsziffer enthdt Bild 6-21 (Anhang).

Bild 4-32. Prozentualer Druckverlust der Norm-Drosselgerate. Apv Druckverlust, ApwiWirkdruck.

C)

dl

Bild 4-31. Drosselgerate nach DIN 1952: a) Norm-Blende, b) Norm-Diise, c) Norm-Enturidiise kurz, d) Norm-Venturidiise lang. U m die MeBwerte (Wirkdruck Apwi) nicht zu beeinflussen, d. h. zu verfalschen, sind vor und hinter dern MeBorgan zur Stromungsberuhigung gerade, moglichst glatte Rohrstiicke der Lange entsprechend LID 2 (10 bis 20) anzuordnen (Abschnitt 4.1.1 S.7). Allgemein gilt: Die Blende, das Drosselgerat mit dern groljten Meljeffekt (Wirkdruck), verursacht auch den gro13ten Druckverlust. Die wesentlich teurere Venturiduse hat eine erheblich geringere Verlustenergie, ergibt dafur aber auch einen niedrigeren Wirkdruck. Aus Bild 4-32 ergibt sich der auf den Wirkdruck bezogene Druckverlust f i r die verschiedenen Drosselgerate, abhiingig vom offnungsverhaltnis m = AJA, . In Anlehnung an G1. (3-91) gilt bei realen Fluiden fir den durchflieljenden Massenstrom m :

Dabei sind: cr . . . DurchfluBziffer E . . . Expansionszahl . . . Querschnittsflache des Zustromrohres A, . . . Offnungsverhaltnis zwischen Drossel-, m d. h. engstem Querschnitt A , und Zustromquerschnitt A , , also m = A,/Al . . . Fluiddichte im Zustromrohr Q, Apwi . . . Wirkdruck, Differenz der Drucke zwischen den MeBbohrungen des Drosselgerates. Index Wi wird oft weggelassen. Die DurchfluBzahl a beriicksichtigt den Unterschied zwischen realer und idealer Stromung sowie die Abweichung infolge der tatsachlichen statt theoretischen Anordnung der MeDstellen fiir den Wirkdruck am Drosselgerat. GemaB Bild 6-39 wird die DurchfluBzahl a meist dargestellt als Funktion der REYNOLDS-Zahl Re = Re, = c, . D,/v, der Zustromung (Stelle 1 in Bild 4-31) als Abszisse und dern &ikungsverhaltnis m = AJA, als Parameter. Die Expansionszahl E beriicksichtigt den Einflulj der Expansion kompressibler Medien infolge des Druckabfalles im Drosselgerat. Bei inkompressiblen Fluiden (Fliissigkeiten) ist 6 = 1. Die Expansionszahl E wird meist dargestellt in Abhangigkeit vom ~ffnungsverhaltnis m = A 2 / A l , dern Zustromdruck p, und dern Wirkdruck Apwi; z.B. Bild 6-40.

140

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

DurchfluJ- und Expansionszahl werden experimentell ermittelt. Sie sind fur die genormten Drosselgerate ebenfalls in DIN 1952 niedergelegt. Bild 6-39 bis Bild 6-41 enthalten die zugehorigen Werte fur u und E . Bemerkung: Der Wirkdruck ist bei Dusen geringer als bei Blenden. Andererseits sind Dusen weniger korrosions- und verschleiRempfindlich als Blenden mit ihrer scharfen Kante. Dusen konnen daher auch bei ,,schmutzigen" oder ,,abrasivenC' Stromungsmedien angewendet werden.

4.1.1.5.7 Beruhigungsstrecke Vergleiche auch Abschnitt 4.1 .I .3.5. Die Stromung wird durch jedes Einbauteil gestort. Erst nach einem gewissen Stromungsweg, der sog. Beruhigungsstrecke, hinter dem Einbauteil ist die Storung abgeklungen, d.h. das normale Geschwindigkeitsprofil wieder erreicht. Die Storung beginnt jedoch schon vor dem Einbauteil, gewisserma13en als Vorankiindigung. Das Bauteil wirkt durch gewissen Ruckstau auch stromabwarts. Dies ist beim Anbringen von Meljstellen zu beachten. Entsprechend der Anlaufstrecke (Abschnitt 4.1.1.3.5) gilt als Beruhigungsstrecke nach PRANDTL diejenige Rohrlange, hinter der sich das Geschwindigkeitsprofil um weniger als 1% vom endgultigen, d. h. des beruhigten Zustandes, unterscheidet. Die Beruhigungsstrecke L, ist vom Rohrdurchmesser D (bzw. D,,) abhangig und wird deshalb meist im Verhaltnis zu diesem angegeben: Laminare Stromung L,,,/D x 0,06 Re (4-70) Turbulente Stromung L,,,/D x 25

...50

(4-71)

Die turbulente Beruhigungsstrecke ist somit wesentlich kurzer als die laminare. Praktisch reicht oft L,,,/D x 10 bis 20. In der Beruhigungsstrecke ergeben sich hohere Stromungsverluste. Die Rohrreibungszahl 1bzw. die Widerstandszahl ( eines Einbauteils, das in die Beruhigungsstrecke eines anderen eingebaut ist, wird deshalb groljer, und zwar bei - laminarer Beruhigungsstrecke: 1-und (-Werte bis 50% uber den Normalwerten. - turbulenter Beruhigungsstrecke: 1-und (-Werte selten mehr als 10% iiber den Normalwerten. Der Mehrverlust ist also in der turbulenten Beruhigungsstrecke wesentlich kleiner als in der laminaren und deshalb oft vernachlbsigbar.

4.1.1.5.8 Verlustleistung Infolge des Druckverlustes Apv entsteht in Rohrleitungen die Verlustleistung P, . Diese Leistung mu13 von Pumpen oder einem Gefalle aufgebracht werden, um den fliel3enden Mediumstrom v mit der gewiinschten Geschwindigkeit c zu bewegen und wird letztlich in Warme umgesetzt. Die Temperatur des stromenden Fluides erhoht sich dadurch jedoch nur geringfiigig. Mit der Verlustenergie E, gilt: P, = dE,/dt Hierbei gemaD G1. (2-23) E, = V . Apv . Da der Druckverlust ApV durch die vorhandenen Verhaltnisse (Rohrdurchmesser, Rohrlange, Volumenstrom) festliegt, d. h. Ap, = konst, wird:

Eingesetzt in die Ausgangsbeziehung ergibt rnit APV = e . Yv,,,,: (4-71a) P, = V . Ap, = (mle). Ap, = m . Y,,,,, Oder einfach gema13 Leistung als Produkt von Kraft und Geschwindigkeit, mit Kraft F, aus Druckverlust Apv und Rohrquerschnitt A:

P,

= F,

. c = Ap, . A . c = Apv . v (wie zuvor!)

4.1.1.6 Stromungen mit Energiezufuhr und/oder Energieabfuhr Wird einem stromenden Fluid mechanische Energie zugefiihrt, z. B. durch eine Pumpe, und/oder an anderer Stelle durch eine Turbine sowie Verluste Stromungsenergie entzogen, Bild 4-33, ermoglicht die Energiebilanz den Anfangs- mit dem Endenergiezustand zu verknupfen. Die gesamte Endenergie ist die Summe der Anfangsenergie, zuzuglich der Energiezugange und abzuglich der Energieabgange. Oder nach der Energiebilanz (EB): Summe der Energiezugange gleich Summe der Energieabgange. Dabei ist Anfangsenergie als Zugang und Endenergie als Abgang zu werten. Stromungsrichtung A: = y~~+ & - y~- y ~ges,

oder nach (EB) Y,,

+ YP= Yow + YT+ Y,,

(4-72)

ges

Stromungsrichtung B: y~~= y~~+ y~- y~- y ~ , g e s (4-73) oder nach (EB) Yo, Yp= Yuw YT Yv,,,,

+

+ +

Diese Beziehungen werden als Energiegleichung mit Energiezu- undloder Energieabfuhr bezeichnet.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

141

Die theoretische Maschinenleistung, d. h. ohne Maschinenverluste, ergibt sich dann gemal3 G1. (4-71a) mit dern durchflieflenden Massendurchsatz m: Pumpe Turbine

Pp,, = m . Yp ,

P,,,,= m . Y,.

Die tatsachliche, sog. effektive Leistung ist bei Turbinen urn die Maschinenverluste (Wirkungsgrad re) geringer und bei Pumpen entsprechend groljer:

-

Ergebnis: Turbinen liefern urn die Verluste weniger Energie. Purnpen mussen urn die Verluste mehr Energie aufwenden. T

Bild 4-33. Stromung mit Energiezufuhr Y, (Pumpe P) und Energieabfuhr Y,, Y, (Turbine T, Verluste V). K R Kontroll- oder Bezugsraum (Systemgrenze),SL Saugleitung, DL Druckleitung, UW Untenvasser, OW Oberwasser (-Behalter).

4.1.1.7 Kennlinie von Rohrsystemen Eine Rohrleitungskennlinie ist die graphische Darstellung des Druck-Durchsatz-Verhaltens. Sie setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, dem statischen und dem dynamischen (Bild 4-34).

Dabei bedeuten die spezifischen Energiewerte:

Statischer Anteil:

YT . . . Energieabgang (-abfuhr) + Turbine Yp . . . Energiezugang (-zufuhr) + Pumpe Yuw = zuw . g pUw/e ciW/2. . . UW-Energie Yow = zow . g pow/@ ciw/2 . . . OW-Energie

Dynamischer Anteil:

+ +

+ +

In der Regel ist entweder nur die Pumpe (YT= 0), Stromungsrichtung A, oder die Turbine (Yp= 0), DurchfluDrichtung B, vorhanden bzw. in Betrieb (entsprechende Absperrorgane geoffnet bzw. geschlossen). Sowohl bei Pumpen als auch Turbinen sind dabei zudem die Bedingungen fiir das Saugverhalten (Abschnitt 2.4) zu erfullen. Bei den in der Regel iiblichen Verhaltnissen puw = pow = p b (offene GefaDe), H

= zow - z,

(Bild 4-33)

folgt bei Stromungsrichtung A wenn YT = 0 fiir die spezifische Pumpenenergie '=g.H+ Y~,pes, Stromungsrichtung B wenn Yp = 0 fur die spezifische Turbinenenergie Y T = ~ . H -Y~,ges.

Pii,dyn = APV,ges = Q ' Yv,ges = Q . K . c2/2 = Q . K . P ' / ( A ~.2) p,,,,,

- v2

(Parabel!)

mit Konstanten K gema13 Rohrsystemaufbau (Abschnitt 4.1.1.5.1) + K = R . 2 . A'/@ und C = K/(2. A2) = R/Qund R nach GI. (4-35e), bzw. Gl. (4-54b). 4.1.1.8 Versuchswesen Versuchsaufbau Sol1 in einem Rohrsystem, das beispielsweise viele Einbauten aufweist und deshalb kompliziert ist, der auftretende Druckverlust experimentell bestimmt werden, mussen gemaD Abschnitt 3.3.1 folgende Bedingungen erfullt sein: a) Zur Grorjausfuhrung (Index G) in allen Teilen geometrisch proportionaler Modellaufbau (Index M).

142

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

GroI3enausfiihrung, beruht auf der ahnlichkeitstheoretischen Erkenntnis (Abschnitt 3.3.1.2): Bei geometrischer und physikalischer Ahnlichkeit sind alle Kennzahlen konstant, d. h. an GroB- und Modellausfuhrung je gleich grol3. Wird demnach erfullt Re, = Re,, mu13 auch Eu, = Eu, gelten. Bei Ma > 0,3 ist jedoch zudem Ma, = Ma, notwendig. Am Model1 mit - venvendetem Medium, d.h. Dichte Q,, kinetischer Viskositat v, = q M / ~ M - venvirklichter Stromungsgeschwindigkeit des flieBenden Versuchsmediums

folgt uber den gemessenen Druckverlust ApVsM die gehorige EULER-Zahlgemafl GI. (3-36):

Hiermit ergibt sich aus ELL,= ApV,,/(eG. ci), da gilt Eu, = Eu,, der gesuchte Druckverlust Apv,,

I

1

ZU

p g H (statischer A n t e )

Bild 4-34. Rohrsystem (Prinzipdarstellung) a) Anordnung, b) Rohrleitungs-Kennlinie RLK; SB Saugbehalter, DB Druckbehalter, P Pumpe, UW Unterwasser, OW Oberwasser, RL Rohrleitung, S Saugstutzen, D Druckstutzen (-Stelle), H, Saughohe (hier negativ, da Zulauf), H D Druckhohe, H = HD+H, (geodatische) Forderhohe, hier H = H,- I H,I.

b) Gleiche REYNOLDS-Zahlen,also Re, = Re,. Die die Re-Zahl bildenden GroBen c, D und v sind daher entsprechend anzupassen. Da der Rohrdurchmesser DM des Versuchsaufbaues meist von anderer GroBe als der von der Originalausfuhrung DG,miissen die beiden anderen Werte, also c, und/oder v, entsprechend verandert werden, was oft nur schwer zu verwirklichen ist. Gegebenenfalls ist der ~ b e r g a n gauf ein anderes Medium notwendig, z.B, von der Fliissigkeit der GroBenausfuhrung auf Gas beim Modell (sog. Luftversuch). Versuchsauswertung: Das ~ b e r t r a ~ eder n MeBergebnisse des ModellVersuches auf die Wirklichkeit, d. h. die geplante

bei den Stoffwerten, Dichte Q, und Viskositat v, = vG/eGdes Fluides der GroBausfuhrung mit der zu verwirklichenden Stromungsgeschwindigkeit c, dieses flieBenden Mediums. Grenzen: Die ModellgroBe, d. h. deren Kleinheit ist begrenzt durch - Moglichkeit, die geometrische Nachbildung in allen Einzelheiten zu verwirklichen, auch hinsichtlich Oberflachenausfuhrung, d. h. Rauhigkeit, - Erfullen der REYNOLDSund evtl. MACH-B~dingung, d. h. Re = konst sowie Ma = konst - erreichbare MeBgenauigkeit, bestimmt durch MeBmittel (Fiihler, Gerate). Es gilt: Je exakter das geforderte Ergebnis und je geringer die erreichte MeBgenauigkeit, mit desto groBeren Modellen sollte experimentiert werden, damit die ~bertra~ungsmal3stabe (geometrische und physikalische) moglichst gunstig, d. h. klein (dicht bei 1) sind. Auch reicht partielle und/oder ungefahre ~hnlichkeitin der Regel nicht aus.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkomvressibler Fluide (Fliissi~keiten)

An einem oben offenen Behalter zweigt 2,5 m unter dessen Wasserspiegel ein gebrauchtes, mal3ig angerostetes GuBrohr von 8 m Lange und 160 mm lichtem Durchmesser scharfkantig ab. Es ist gegen die Waagrechte um 30' geneigt und verjungt sich 3 m vor dem Ende plotzlich auf den halben Durchmesser. Gesucht: a) Austretender Volumenstrom bei einer Wassertemperatur von 10"C. b) Druck unmittelbar nach der Ansatzstelle des Rohres am Behalter. Zur Wasserforderung aus einer Grube soll eine Hebeleitung eingesetzt werden. Das GuBrohr ist gebraucht und leicht angerostet. Die Krone, uber welche die Heberleitung zu fuhren ist, liegt 4 m uber dem Grubenwasserspiegel (OW). Die Bezeichnungen gehen aus der Systemskizze, Bild 4-35, hervor. Bekannt: Rohr I

Lange Durchmesser Rohr I1 Lange Durchmesser Rohr I11 Lange Durchmesser Neigungswinkel Hohenunterschiede

L, = 8 m D, = 150mm L,, = 50m D,, = 120 mm hI1= 29m D,,, = 100mm a, = 45" a, = 15" H, = 3 3m H, = 4 m 20 "C

Wasser: Temperatur Gesucht: a) Wie groB ist der Volumenstrom? b) Wo tritt der kleinste Druck im System auf und wie groB ist dieser? c) Welche Verhaltnisse ergeben sich, wenn das Rohrsystem durchweg den gleichen Durchmesser von 150 mm hat und die aquivalente Sandrauhigkeit des Rohres 0,6 mm betragt? Rohr If \

Eine Kreiselpumpe fordere von einer Quelle 10 "C warmes Wasser in einen oben offenen Behalter mit einer 12m hoher liegenden Spiegelflache. Die leicht verkrustete Stahlrohrleitung von 100m Gesamtlange hat den Anfangsdurchmesser von 200 mm, verengt sich nach 40 m plotzlich auf 125mm Durchmesser und setzt waagrecht an der senkrechten Behalterwand an. Die Leitung enthalt im 200mm Durchmesserbereich einen 90"-Kriimmer (RID = 4) und ein Ruckschlagventil, im 125-mm-Durchmesserbereichzwei 90"-Krummer (RID = 3). Die in die Quelle eingetauchte Pumpe (Tauchpumpe) erzeugt einen ~ b e r d r u c kvon 5 bar. Welcher Volumenstrom wird in der Rohrleitung gefordert und wie groI3 ist die notwendige Pumpenleistung? Die Saugleitung (maBig angerosteter Stahl) einer Pumpe hat die Nennweite NWl5O und die Lange L = 25 m. Aus dem Unterwasser (UW) wird Wasser von 15 "C in den Saugwindkessel durch einen Unterdruck von 0,72 bar auf die Hohe H = 4,2 m des oberen Wasserspiegels OW ,,hinaufgesaugt6'.In die Saugleitung, die senkrecht-scharfkantig am Saugwindkessel ansetzt, sind funf 90"-Kriimmer (RID = 3), ein PatentFreifluBventil und ein Saugkorb eingebaut. Welcher Volumenstrom wird angesaugt? Eine Zentralheizungsanlage soll im Einrohr-System (Stahl, leicht angerostet) ausgefihrt werden. Folgende GroBen sind fur das Anschlieljen des Heizkorpers, Bild 4-36, bekannt: - Mittlere Wassertemperatur 70°C, Wasserge-

-

-

schwindigkeit im Kurzschluljrohr 1,2 m/s, im Heizkorperzweig, I ,I m/s. Widerstandsziffer des Heizkorpers 2,75, bezogen auf die Rohrgeschwindigkeit. In Bild 4-36 eingetragene Abmessungen.

A /

KurzschluOstrecke $32

Bild 4-35. Systemaufbau der Heberanlage.

143

Bild 4-36. Systemanordnung ,,Heizkorpereinbau".

Gesucht: a) Widerstand, dm in die 1,s m lange K U I Z S C ~ ~ U ~ strecke einmbauen ist. b) Durchmesser der Zu- und Ahleihmg, wenn die Stromungsgesch~indigkeitebenfalls etwa 1,2m/s betragen darf. c) D ~ ~ k V e r l uund s t Leistung, den eine Pumpe je Heizktirperiiberwinden bzw, aufbringen m a . Aus einem oben offenen BehHlter fie& gerade, waagmht verlaufende Rohrleitung (NW100, m g e 32m) Was= von 20 "C ins Freie. Die Rohrleitung lie@ 8 m unter dem konstanten Behiiltersviegel. Der Rohreintritt ist soharflantig. Nach 10i1 ~ o h r l i n g zweigt e nnter 45" ein ebenfalls waagrechtes, gerades Rohr gleichen Durchmessers sowie 12m Lghge ab und miindet gleichfalls ins Freie. Beide Rohre haben eine iqnivalente Sandranhigkeit von 1mm. Gesmht: a) Str6mungsgeschwindigLeit in den eimlnen Rohrstringen. b) Volurnenstrb;me, die von den heiden RohrMiindungen(-Enden) austreten. Von einem Stausee geht 15m unter der freien Wasserobertliche (10°C) mit 20' Neigung scharflrantig eine Fall-Leihmg von NW500 ab. Welche Leistung s t d t ein Wassers m m von 2MW)m3F einer 300m unterhalb der Wasserspiegellliiche des Stausees instauierten Turbine zur Verfiigung, wenn die leicht angerostete Stahlle~tung730 m lang ist, ein 70°-Kriimmer und zwei 90"-K~iimmer(RID = 4) sowie emen Abs~errschieberenthiiltl ~ i g re d k t der Rohrleihgswirkungsgradl Rohrleitungs-System I Wawr m°C.

gemiiD Bild 4-37;

Bekannt: Rohr I: E n g e L, = 3m Durchmesser D, = 60mm Sandrauhigkeit k,,,= 0.1 mm Rohr 11: Liinge = 2m Durchmesser D,, = 40 mm Sandrauhigkeit k,,, = 0,l mm Stahlrohrkriimmer K I RID = 3 KII Ri =0,25.Dl R. =1,5.D1 H6henunterschiede H = 4.5 m H. = 3 m Manometer-Abstand L. = 2m

Rohr 1

C ~ i l d4-37. ~ ~ h ~ ~ ~ i h m g s - ~ ~ o r d n w r g . Gesucht: a) Volumenstrom im Rohrsystem b, Druck p= an

10361

Von zwei Hochbehiiltern A und B gespeister Rohrstrang C-D, Bild 4-38. Bekannt: HBhen Rohr I (von A nach C): Rohr I1 (von B nach C): Rohr III (von C nach D): Sandrauhigkeit a k r Rohre KrGmmer (rauh) Gesucht: Volumenstrome in den Rohren I, I1 und 111 bei Wasser looC

Rohr I1

Rohr Ill

C

Bild 4-38. Rohrsystem (RindpieUr Aufbau).

0

4.1 Eindimensionale Stremungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

In einem 120m langen Rechteckkanal (verzinktes Blech) mit den Seitenkanten 300und 200 mm stromen 10000m3/h Luft von 80 "C und 1,2 bar. Gesucht: a) Druckverlust, den der eingebaute Ventilator uberwinden muD. b) Notwendige Ventilatorleistung zur Deckung der Stromungsverluste.

145

Tabelle 4-3. Beiwerte a, q und p verschiedener

I Mbndung scharfkantig

I I

Mundung gut gerundet

1

I

I

4.1.2 Ausfld aus &hungen 4.1.2.1 Grundsatzliches Ein Fluid durchstromt eine Offnung, Bild 4-39, imrner in Richtung des vorhandenen Druckgefalles. Nach der Energiegleichung, kurz E-Satz (Abschnitt 3.3.6.3), ist die Ausstromungsgeschwindigkeit eine Funktion des Druckgefalles. 1st das gesamte Druckgefdle konstant, bleibt die Stromungsgeschwindigkeit ebenfalls unverandert.

Beim AusfluS aus ~ffnungentreten zwei P h h o mene auf, die mal3gebend von der jeweiligen Ausbildung der Miindung beeinfldt werden:

Zylmdr~schesAnsatzrohr m ~ tLID=2. 3

I

Konisches Ansatzrohr mi! L I D = 3

a) Analog zur plotzlichen Querschnittsverminderung (Abschnitt 4.1.1 S.4) und den senkrechten Rohreinlaufen (Abschnitt 4.1.1.5.3) tritt eine Strahleinschniirunginfolge starker Umlenkung der Stromung beim Austritt auf. Diese Strahlkontraktion ist um so griiSer, je scharfkantiger die Miindung ausgebildet ist, also A,, IAM.

k u r z e Ousl

'f

lange D i k e 7 = 0.95

Ansatz: Ast, = a A, Mit As,,

A, u

. . . Strahlquerschnitt . . . Mundungs- oder Offn~n~squerschnitt . . . Kontraktionszahl a =f (Miindungsform) + a 5 I aus Versuchen

= 0.97

Tabelle 4-3 enthalt Werte fur die Kontraktionszahl E, die experimentell zu bestimmen ist. b) Im Einschnurungsbereich tritt verstarkt Fluidreibung auf. Diese Stromungsverluste verringern die Ausfluljgeschwindigkeit. Die Verlustenergie beim Offnungsausflul3 geht, da die Kontinuitatsbedingungentfallt und der Druckunterschied nicht beeinfluabar kt, voll zu Lasten der kinetischen Energie. Deshalb ist die tatsachliche Strahlgeschwindigkeitcs, kleiner als die theoretische c, ,also c, < c, . Ansatz: cstr = cp c,,, Mit der Geschwindigkeitszahl cp < 1, wobei

Bild 4-39. offnung (scharfkantig mit FluiddurchfluB wegen p, < p , . Index i . . . innen; a ... auBen.

O, = f (Miindungsqualitat, Fluid) experimentell

146

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Versuche zeigen jedoch, daD der EinfluD der Fluid-Viskositat auf die Geschwindigkeitszahl meist gering ist gegenuber dern der Mundungsform auf die Kontraktionszahl a, weshalb in der Regel cp > a. Tabelle 4-3 enthalt ebenfalls Werte fur die Geschwindigkeitszahl cp. Beide Einflusse, Kontraktion und Randverzogerung des Strahles, bewirken, daD der ausflieBende Volumenstrom v kleiner ist, als der theoretisch mogliche, also v < mit = A, . c,, und gema13 G1. (3-92): e,, = =

ch ch

Jwd

Es gilt:

v = As,, . c,, v=p.

Rh

--

= a . cp

P

m

. A M .cth

.

(4-76)

Rh

(4-77)

Kontraktionszahl a und Geschwindigkeitszahl cp werden, da versuchsmaDig schwer zu trennen, meist zur AusfluUzahl p = a . cp zusammengefaBt. Diese ist ebenfalls in Tabelle 4-3 aufgefiihrt. Gegensatzlich zu Rohrstromungen (Abschnitt 4.1 .I .I) bewirken die Verluste bei Ausflussen gemaD G1. (4-77) eine entsprechende Verringerung des austretenden Volumenstromes. Bei Rohrstromungen bewirkt die Reibung Druckverlust, bei Ausstromungen also ,,Mengenverlust".

4.1.2.3 GroUer AusfluUquerschnitt GroDe Offnungen (Bild 4-41) treten in der Technik vor allem bei Kanalen, Wehren u. dgl. auf. Bei grooen Offnungen (At und t, in gleicher GroDenordnung, bzw. At groD gegeniiber t,) andert sich, falls diese nicht waagrecht liegen, der Druck iiber dern Querschnitt so stark, daD das dadurch verursachte Profil der Austrittsgeschwindigkeit nicht mehr vernachlassigt werden darf. Es ist deshalb mit der sich iiber dern Austrittsquerschnitt verandernden Geschwindigkeit zu rechnen. Bei horizontal angeordneten, groBen ~ffnungen ist die Ausstromungsgeschwindigkeit iiber dern Querschnitt konstant. Daher gilt, da T = konst, hier exakt die Gleichung kleiner Offnungen, G1. (4-78). Fur grolje Offnungen in vertikalen, oder unter dern Neigungswinkel6 schrag verlaufenden Wanden, Bild 4-41, ergibt sich das AusfluBgesetz ohne Ruckstau, d. h. ohne AusfluBbehinderung, durch folgende Herleitung mit CIA, = b (y) . dy : Nach TORRICELLI c,, = Darnit wird

4-

=f

(t)

d c , = dAM. cth laut G1. (4-76) =b ( y ) . d y . c

und mit

sowie 4.1.2.2 Kleiner AusfluUquerschnitt Bei kleinen Offnungen, Bild 4-40, kann, unabhangig von der Anordnung, die AusfluBgeschwindigkeit uber den Querschnitt als quasi-konstant betrachtet und dern Zentrumswert - etwa gleich dern Mittelwert - gesetzt werden. Klein bedeutet in die- Hinweis: Tiefen t; T nicht venvechseln mit Temsem Zusammenhang, daD sich der Druck uber peraturen oder Zeit t: T. dern Querschnitt nur wenig andert. Das ist der Fall bei At < T, erfullt ab etwa At < T/4. Mit der aus der Energiegleichung abgeleiteten TORRICELLIBeziehung gilt dann fur den ausflieflenden Volumenstrom mit der Tiefe T des Schwerpunktes der Miindungsflache:

Bild 4-40. AusfluB aus einer kleinen 0ffnung.

Bild 4-41. AusfluB aus einer groljen Seitenofiung unter dern konstanten Neigungswinkel 6.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Flussigkeiten)

Offnung Bezeichnung

147

Form

obgerundet P

0 . 7 . . 0.8

Bild 4-42. AusfluBzahlen p groBer 6ffnungen.

Die Integration uber den 6ffnungsquerschnitt AM liefert den theoretischen Austritts-Volumenstrom:

Unter Beriicksichtigung von Reibung und Kontraktion ergibt sich mit der AusfluBzahl p der tatsachliche Austritts-Volumenstrom bei unbehindertem AusfluB:

Gleichung (4-79) bzw. (4-80) werden als AusfluRgesetz ohne Ruckstau bezeichnet. AusfluRzahlen p gehen aus Bild 4-42 hervor. Das AusPuJgesetz nach G1. (4-80) kann ausgewertet werden, wenn die geometrische Form der offnung, d. h. b = f (t), bekannt ist. Fur den sehr haufig vorkommenden Sonderfall der vertikal verlaufenden, rechteckigen i)ffnung (6 = 90°, b =konst) nimmt das AusfluJgesetz folgende Form an:

Bild 4-43. AusfluB mit teilweisem Ruckstau. T Spiegelunterschied OW-UW.

Eine Ausstromung, die nicht vollstandig ungehindert ins Freie erfolgt, heiRt AusfluD unter Gegendruck oder Riickstau, Bild 4-43. Ruckstau besteht demnach, wenn der Unterwasserspiegel UW hoher liegt, als die Unterkante UK der Austrittsoffnung. Insgesamt lafit sich zwischen drei AusfluBarten unterscheiden:

-

-

AusfluS ohne Riickstau, G1. (4-80) TuKI T AusfluB mit teilweisem Ruckstau T~~> > AusfluB mit vollstandigem Riickstau 0
Bei AusfluB mit teilweisem Ruckstau k t die Berechnung des Volumenstromes relativ schwierig. Eine naherungsweise Losung ergibt sich, indem der AusfluBstrom aufgeteilt wird: Von der Oberkante OK der 6ffnung bis zum Unterwasserspiegel UW wird mit dem AusfluBgesetz ohne Ruckstau, G1. (4-80), der Teilstrom fi berechnet:

Vom Untenvasserspiegel UW bis zur Unterkante UK der AusfluBoffnung wird mit vollstandigem Ruckstau gerechnet. Dabei erhalt die TORRICELLI-

148

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Beziehung nach der Energiegleichung die Form:

Hieraus

C, =

Jm(TORRICELLI)

Die Ausstromgeschwindigkeit ist im Riickstaubereich konstant. Damit wird der in diesem Bereich uberstromende Teilstrom v2:

Bild 4-44. Behalteriiberstromung nung.

durch

Sohlenoff-

4.1.3 Striimungen in Gerinnen 4.1.3.1 Grundsatzliches

Der gesamte ausfliel3ende Volumenstrom ist dann naherungsweise:

3 w v1+ v2

(4-84)

Fur den Sonderfall ,,rechteckige 6ffnung (b =konst) in vertikaler Wand" G1. (4-84) ausgewertet, ergibt mit Beziehung (4-81 sowie 4-83) und der Annahme p, % p, = p:

Bei vollstiindigem Riickstau ist die Geschwindigkeit iiber dem gesamten uerschnitt konstant und betragt c = cp .c, = cp . 2g T(T...Spiegelunterschied), da Aple = (pi-pa)/@ = g . T = konst -+ wie beim Teilstrom V, vom teilweisen Riickstau. Fur den ausfliefienden Volumenstrom gilt dann:

>

Welcher Volumenstrom fliel3t bei u 3 aus, wenn die Klappe entfernt und der Behalterspiegel auf konstanter Hohe gehalten wird? ~ b e r s t r o m u nvon ~ einem Behalterteil in den anderen durch vorhandene Sohlenoffnung der Trennwand infolge veranderlicher Fliissigkeitsspiegelh6hen bei Anfangshohenunterschied H. Systemaufbau nach Bild 4-44. Bekannt: H, A , , A 2 , A M , e Gesucht: Ausgleichszeit T, d. h. Zeit bis zum Angleichen der Spiegel.

Gerinne oder kurz Rinnen sind einseitig offene StrSmungskanale. Die Rinnenstromung gehort zur Gruppe der Innenstromungen. Unterschieden wird zwischen kiinstlichen und naturlichen Gerinnen. Kiinstliche Rinnen sind technisch geschaffene Kanale und Graben rnit meist regelmaDigem Querschnitt (Rechteck, Trapez, Parabel, Halbkreis u. a.) und starrer (Beton) oder gut befestigter Mantelflache. Natiirliche Gerinne sind Fliisse und Bache rnit oft stark veranderlichen Querschnitten von wechselnder Wandflache. Die Rinnenbegrenzungen bestehen dabei ganz oder teilweise aus beweglichen Korpern (Felsbrocken, Geroll, Kies, Sand), wodurch die Wandrauhigkeit entscheidend beeinfluDt wird. Der AbfluDvorgang ist zudem haufig mit einer sog. Geschiebebewegung verbunden. Dieses ,,GeschiebeU der beweglichen Korper beeinflufit die Stromung und erschwert dadurch aul3erordentlich die rechnerische Behandlung. Daher werden bei der analytischen Darstellung die Gerinnewandungen meist als starr angesehen und die sich demzufolge ergebenden Abweichungen durch experimentell gewonnene Korrekturfaktoren ausgeglichen. Die Gerinnestromung hat einige gemeinsame Kennzeichen mit der Stromung in geschlossenen Leitungen. Wahrend bei voll ausgefullten Rohren das Fluid jedoch allseitig von festen Wanden umgeben ist, haben Rinnen eine freie Fluidoberflache. Der praktisch wichtigste Fall ist die Trennflache zwischen Wasser und Atmosphare. Durch den zusatzlichen Freiheitsgrad, die variable Spiegelhohe, ergeben sich eine Reihe von eigentiimlichen Erscheinungen. Infolge dieser zusatzlichen Veranderlichen ist zur exakten analytischen Behandlung neben Energie- und Kontinuitatsgleichung der Impulssatz notwendig (Abschnitt 4.1.6).

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

149

Einteilung der Gerinnestromungen:

1. Stationare Stromungen a) Gleichformige Stromungen: Rinnenprofil sowie Spiegelhohe gleichbleibend und damit FlieBgeschwindigkeit konstant. Die Stromungsgeschwindigkeit ist deshalb unabhangig von Ort und Zeit -+ c = konst. b) Ungleichformige Stromungen: Rinnenprofil undloder Spiegelhohe andern sich. Flieljgeschwindigkeit daher nicht mehr konstant, sondern eine Funktion des Ortes, d. h. c = f(s). Die Strbmung ist konvektiv beschleunigt (Abschnitt 3.2.2.1), wenn der Querschnitt, meist Spiegelhohe, in Stromungsrichtung kleiner wird (AbfluD), bzw. verzogert, wenn diese sich vergroljert (Aufstau). Nichtstationare Stromungen Da die ~liel3~eschwindi~kei; hier von Ort und Zeit abhangig ist, also c =f (s, t ) , sind diese Stromungen sehr schwierig zu erfassen. Alle dabei an der freien Oberflache einer Rinnenstromung zu beobachtenden instationaren Erscheinungen werden auch als Wellen bezeichnet. Wasserbewegungen, die sich in Kanalen beim offnen oder Schlieljen von Abschluljorganen (Schieber, Schutze) ausbilden, werden gewohnlich als Schwall bzw. Sunk1), bei Hebung bzw. Senkung des Wasserspiegels, bezeichnet. Bei flachen Gewassern laufen die Wellenberge schneller als die Wellentaler (bedingt durch die Sohlenreibung). Dies hat zur Folge, daB sich die Wellen iibersturzen (Brandung). Geschwindigkeit: Analog zur Stromung in geschlossenen Leitungen konnen auch Gerinnestromungen laminar oder turbulent sein. Die mit dem gleichwertigen Durchmesser gebildete kritische REYNOLDS-Zahl, die den Umschlag kennzeichnet, liegt ebenfalls bei 2320. Praktisch ist jedoch auch bei Rinnenstromungen fast ausschlieljlich die turbulente Stromungsform bedeutend, da der Umschlagpunkt meist weit uberschritten ist. Die Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rinnenstromung verlauft im Gegensatz zur Rohrstromung asymmetrisch. Infolge Fehlen der Symmetrieeigenschaften ist es wesentlich schwieriger, Angaben uber den Geschwindigkeitsverlauf zu treffen. An der Sohle und den Wanden des Kanals

'1

Schwall . . . schneller ortlicher Pegelanstieg. Sunk . . . schneller lokaler Spiegel-(Pegel-)Abfa11.

Bild 4-45. Geschwindigkeitsverteilung in rechteckiger Rinne. c mittlere Fliel3geschwindigkeit. T Wassertiefe

haftet das Fluid. Der steile Geschwindigkeitsabfall erfolgt wieder in einer schmalen Randzone. Die Maximalgeschwindigkeit liegt nicht im Wasserspiegel, sondern etwas darunter. Bei rechteckigen Kanalen liegt die maximale FlieRgeschwindigkeit etwa ein Funftel der Kanaltiefe T unterhalb der freien Oberflache, Bild4-45. Dies ist bedingt durch die Reibung zwischen dem stromenden Wasser und der an der Spiegelflache angrenzenden Luft sowie evtl. Bilden von energieverzehrenden Oberflachenwellen. Bei unsymmetrischen Querschnitten tritt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Gerinnenmitte auf, sondern entsprechend seitlich verschoben. Die mittlere Stromungsgeschwindigkeit ergibt sich aus der DurchfluBgleichung c = VIA. Das Verhaltnis von mittlerer Geschwindigkeit c zur Oberflachengeschwindigkeit c, betragt ungefahr clc, = 0,7 bis 0,8. 4.1.3.2 Gleichformige stationare Gerinnestromung Die gleichformige stationare Rinnenstromung tritt bei kleinen Gefallen auf, ublicherweise bei etwa 0,l bis 10 %. Da der Stromungsquerschnitt und damit der Wasserstand erhalten bleibt, sind Spiegel- und Sohlengefalle gleich groB. Das Druckprofil ist in allen Rinnenquerschnitten gleich. Die potentielle Energie infolge des Gefalles wird ausschlieI3lich zur ~berwindungder Stromungswiderstande verbraucht, GI. (4-87). Die enveiterte Energiegleichung auf eine Rinnenstromung nach Bild 4-46 angewendet:

150

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen) Stromfaden

erhalt die Beziehung nach die Form:

DE CHEZY, GI. (4-89),

(4-90)

c=(.

Die FlieBzahl 5 ist hauptsachlich von Form und Wandbeschaffenheitder Rinne abhangig. Sie kann uber die Widerstandszahl I oder empirische Formeln (BAZIN,KUTTLER) ermittelt werden. Bei Gerinnestromung gilt fiir die Reibungszahl 1 (Anlehnung an die venvandte Rohrstromung): Bild 4-46. Gleichformige stationare Rinnen-Stromung.

Mit c,

= c, = c

(da A, = A 2 =A)

und PI = P2 wird: g ( z , - z,)

=

Laminar

I

= 96/Re

(4-91)

Turbulent a) Glatt I/& = 2 . lg (Re. fi) - 1,06 b) Rauh I/& = 1- 2 . lg(k/D,,)

(4-92) (4-93)

c) ~ b e r -1 / f i = - 2 . lg gang Die Rauhigkeitswerte k der Rinnenwande streuen verstandlicherweise sehr stark, Tabelle 4-4.

Y,,

Empirische Formeln fiir die FlieDzahl nach BAZIN und KUTTLER, falls I-Wert nicht verfugbar:

Diese Beziehung wird als FlieBformel bezeichnet. Rinnengefalle J (fur a < 10" + & 18 %): J = AzlAL = sina c tana

fi

P in I+~I& mit j = 85 . . . 100&/s und a nach Tabelle 4-5. 5=

Tabelle 4-4. Rauhigkeitswerte von Rinnenwanden (Richtwerte).

Mit G1. (4-87) folgt:

Wandbeschaffenheit

Gleichung (4-88) nach der mittleren FlieDgeschwindigkeit umgeschrieben, ergibt:

Diese Beziehung wird als formel bezeichnet.

DE

C ~ k z ~ s c h eFlieD')

Mit 5 = FlieRzahl R,, = A/U = Dg,/4 hydraulische Querschnitttiefe, gleichwertiger Radius oder Profilradius

IJ

(4-95)

CHBZYDE, A. (1718 bis 1798)

Beton Mauerwerk Erde Steine, Kies Fels

k in mm 0,l 2 10 100 200

bis 30 bis 30 bis 200 bis 1000 bis 1000

Tabelle 4-5. Anhaltswerte fur Faktor a. Wandaufbau gehobelte Bretter, glatter Beton ungehobelte Bretter, Ziegel, Quadermauer rauher Beton, Bruchsteinmauer Pflaster, regelmaBiges Erdbett Erdkanale in unbefestigtem Erdreich FluBlaufe rnit Geroll

0,2 bis 0,3 0,5 bis 0,8 0,9 bis 1,O 1,3 bis 1,5 1,8 bis 2,5

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

4.1.3.3 Ungleichformige stationare Gerinnestromung Bei konvektiv beschleunigter oder verzogerter Gerinnestromung andert sich die FlieBgeschwindigkeit entlang des Stromungsweges. Da der Volumenstrom jedoch konstant ist (Kontinuitatsbedingung), muD sich der Stromungsquerschnitt und darnit die Spiegelhohe andern, was infolge der freien Oberflache moglich ist. Das Medium ist konvektiv beschleunigt, jedoch nicht transient. Deshalb Bezeichnung ungleichformig stationar.

151

Damit ergibt sich aus G1. (4-96) angenahert:

Weiter werden eingefiihrt: 1. Mittenwerte, d.h. GroDen auf halbem Stromungsweg: Mitten-Geschwindigkeit c = (c, + c2)/2 (4-98) Mitten-Fluidhohe h = (h, +h2)/2 (4-99)

2. DurchfluDgleichung:

Zur analytischen Darstellung des prinzipiellen Verhaltens der ungleichformigen stationaren Rinnenstromung sollen Energie- und DurchfluDgleichung auf die reibungsfreie Stromung (ideales Fluid) in einem Rechteckkanal angewendet werden, Bild 4-47. Der ReibungseinfluB schwacht die Erscheinungen, verandert sie jedoch nicht grundsatzlich, weshalb einfachheitshalber weggelassen.

Mit

z, = z o + A H + HI; p1 = p b

Mit der weiteren zulbsigen Naherung h2x h, h2 wird:

Die Beziehungen (4-98) und (4-100) in G1. (4-97) eingesetzt, fuhrt zu: Bei natiirlichen Gewassern ist a in der Regel klein (a < 10"). Deshalb gilt in guter Naherung: HI :zh,; A1 x AL H2:zh2; tan a = AHIAL x sin a = AHlAZ

h, - h, A1

- M

Kanalbre~te b = konst

ff

tan a 1 c2/@ h)

-

.

Mit der F ~ o u ~ ~ - Z aFr h l= c / J g h gemaB G1.(3-38) (Unterabschnitt 3.3.1.3) und der Fluidtiefen-Differenz Ah = h2 - h, (Spiegelhohenunterschied) erhalt G1. (4-101) fur das Gefalle der freien Oberflache die Form: Ah tana A1 - I - Fr2

1

L

X

Bild 4-47. Ungleichformige Stromung in einer Rechteckrinne konstanter Breite (b, = b, = b = konst.). Mittenwerte bei AL/2; d. h. auf halbem FlieDweg.

Die theoretische Naherungsfunktion, G1. (4-101) bzw. (4-102), fur die Ausbildung der Wasseroberflache besitzt eine Unstetigkeitsstelle: Ah Esgeht --+a fiir 1 - F r 2 + 0 A1

152

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Fur diese Sprungstelle, d. h. Ah > 0 bei A1-t 0 , wird somit: 1- Fr2 = 0 hieraus Fr =

C

JSh

Oeckwalze

=I

Die Herleitung ergibt: Die ideale Flussigkeit der Gerinnestromung fuhrt an der Stelle, bei der Fr auf den Wert I abfallt, einen sog. Wasser- oder Wechselsprung aus, mit einer theoretisch unendlich groRen Steigung gema6 einer Sprungfunktion. Die FlieBgeschwindigkeit, bei der dies geschieht, folgt aus GI. (4-103) und wird als Schwallgeschwindigkeit bezeichnet: Diese Grenzgeschwindigkeit ist identisch der Fortpflanzungsgeschwindigkeit flacher Wellen, d.h. der Geschwindigkeit, mit der sich FlachwasserSchwerewellen in stehenden Gewassern der Hohe bzw. Tiefe h waagrecht ausbreiten, die sog. Grundwellengeschwindigkeit. Wie die Ableitung zeigt, sind bei der ungleichformigen stationaren Gerinnestromung drei FlieBfdle zu unterscheiden: Fall 1: c < c , , - + A h > O , also h 2 > h , bei Al>O Stromender AbfluB, oder kurz Stromen (Flusse) Fall 2: c > c , , + A h < O , also h2 < h , bei Al>O SchieBender AbfluB, oder kurz SchieBen (Wildwasser) Fall 3: c = c,, +Ah > 0 , also h2 > h, bei A1 = 0 Wassersprung. Unstetigkeitsposition -t Instabile ~ b e r ~ a n ~ s s i t u a t ivon o n Fa11 2 auf 1. Der Wassersprung tritt nur beim Wechsel von schieBendem zu stromendem Abflu13 auf, jedoch nicht umgekehrt. Reale Fluide konnen keinen Sprung mit unendlicher Steigung gemaD einer Sprungfunktion ausfuhren. Der Wassersprung bildet sich deshalb wegen Tragheit und Reibung mit Deckwalze oder gewellter Oberflache aus, wie in Bild 4-48 prinzipiell dargestellt. Die Weglange auf der sich der Wassersprung ausbildet, entspricht etwa dem Ma13 der Sprunghohe. Bei groDer Sprunghohe entsteht eine sehr starke Deckwalze. Die Energieverluste infolge diesem Wirbel sind erheblich. Gerat eine reale Fliissigkeit wegen zu starkem Gefalle ins SchieDen, bildet sich, durch irenndwelche Stiirung ausge16st, ein Wassersprung. ~ i Spiegele

Bild 4-48. Wechselsprung (Prinzipdarstellung). a) mit Deckwalze, b) ohne Deckwalze

hohe steigt plotzlich an, und die Stromungsgeschwindigkeit fallt infolge der Querschnittszunahme unter die Schwallgeschwindigkeit. Das Stromen halt dann solange an, bis das Fluid bei groBem Gefalle infolge Beschleunigung wieder ins SchieRen kommt, also die Schwallgeschwindigkeit erneut uberschreitet und sich anschlieljend gegebenenfalls ein neuer Wassersprung ausbildet. Wassersprunge werden durch mehr oder weniger groRe Hindernisse ausgelost, z. B. Sohlenstufen, Gefalleknicke, Pfeilerbauten, Sohlenunebenheiten, Steine u. dgl. Durch den Wechselsprung andert sich auch der Druck im Wasser. In gleicher Hohe uber der Sohle ist der hydrostatische Druck infolge der wechselnden Spiegelhohe nach dem Sprung grol3er als davor. Beim Wassersprung handelt es sich um einen unstetigen Vorgang. Solche Unstetigkeiten treten in der Natur vielfach auf. Ein analoger Vorgang ist der VerdichtungsstoD bei Gas- und Dampfstromungen (Abschnitt 5.4.2). Bei Gerinnen mit Querschnittsanderung kann je nach Gegebenheiten eine ungleichformige Stromung mit oder ohne Wechsel der FlieBweise (Stromen ++ SchieDen) auftreten. Die theoretische Behandlung solcher Probleme ist insbesondere beim Pfeilerstau sehr schwierig, da es sich um ein Widerstandsproblem handelt, bei dem nicht nur die Fliissigkeitsreibung eine Rolle spielt, sondern auch die Vorgange an der freien Oberflache (Wellenwiderstand).

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Instationare Vorgange (Schwall, Sunk) sind nochmals um einige Stufen verwickelter und entziehen sich deshalb der vollstandigen exakten mathematisch-analytischen Darstellung.

4.1.4 Plattenstromungen (eindimensionale AuBenstromungen) 4.1.4.1 Grundsatzliches Der Widerstand von Platten in einem Stromungsfeld hangt wesentlich von der Anstromrichtung ab. Hier sollen nur langs angestromte, plattenformige Korper, Bild 4-49, behandelt werden. Die Umstromung solcher diinner Korper ( t 6 L) gilt als eindimensional. Quer angestromte Platten sind in Abschnitt 4.3.2 beschrieben.

Bild 4-49. Langsangestromte Platte (Dicke t klein gegeniiber der Lange L).

Wie bei der Rohrstromung (Innenstromung) ist auch bei der Plattenlangsstromung die Art der Grenzschicht und die Oberflachenrauhigkeit von entscheidender Bedeutung. Die Grenzschichtausbildung umstromter Platten wurde in Abschnitt 3.3.3 dargestellt (Bild 3-20). Unter der zulassigen grundlegenden Annahme, dal3 in der Grenzschicht der Platte die gleiche Geschwindigkeitsverteilung vorhanden ist wie bei der Rohrstromung, fuhrte PRANDTL umfangreiche Berechnungen durch. Weitere Untersuchungen anderer Forscher sind in SCHLICHTING [53] ausfuhrlich dargestellt. Einige Ergebnisse werden ohne Begriindung zusammengefal3t wiedergegeben, um nicht zu umfangreich zu werden. 4.1.4.2 Glatte Platte (technisch glatt) Vorbemerkung: Die Widerstandskraft F,,, infolge der Fluidreibung ist wieder fast ausschliel3lich von der Art der Grenzschicht und damit der REYNOLDS-Zahl abhangig.

153

4.1.4.2.1 Laminare Grenzschicht iiber die gesamte Plattenlange Bedingung fur diesen sog. unterkritischen Fall: ReL= c, . Llv < Re,, mit v = y / ~ , wobei 11 = y, und Re,, = (3 bis 5) . lo5 (bis 3 . lo6) laut GI. (3-52)

In diesem Re-Bereich gelang es BLA~IUS bei einigen Naherungsfestlegungen die P R A N D T L SGrenzC~~ schicht-Gleichung (Abschnitt 4.3.1.4) zu losen 150; 531. Diese mathematisch anspruchsvolle Herleitung liefert die Widerstandskraft F,,, infolge Reibung (Zweitindex R) fur die gesamte Platte, d.h. bei L < L,, und vernachlassigbarer Dicke ( t 4 0 ) gemaB Bild 3-20 sowie 4-49: FW,, = 1,328 . b

.

Der Reibungswiderstand ist proportional der Potenz 312 der ungestorten Stromungsgeschwindigkeit c, und der Wurzel aus der Plattenlange L. Die hinteren Plattenbereiche tragen weniger zum Gesamtwiderstand bei als die vorderen, da sie im Gebiet dickerer Grenzschicht und damit kleinerem Geschwindigkeitsgradienten liegen. Hinweis: Index cc kennzeichnet die Werte der ungestorten Anstromung. Diese unbeeinflul3ten Verhaltnisse sind theoretisch nur in unendlichem Abstand vor der Storung vorhanden, da der Korper auch voraus (stromaufwarts) auf die Zustromung wirkt, und zwar theoretisch bis ins Unendliche. Die vom Korper ausgehenden Storungen werden mit Fluidschallgeschwindigkeit in der Stromung weitergeleitet und dadurch die vorhandene Storstelle, z. B. die Platte, der Zustromung ,,angekiindigt". Tatsachlich sind die Storungen jedoch schon in geringem Abstand stromaufwarts abgeklungen, d. h. also vor dem Korper vernachlassigbar klein. Trotzdem wurde der Index cc als Kennzeichen fur die ungestorten Stromungs- und Mediums-GroBen eingefuhrt. Wird G1. (4-105) durch Erweitern so umgeschrieben, dal3 die auf die Plattenlange L bezogene REYNOLDS-Zahl, Re, erscheint, ergibt sich:

154

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Gleichung (4-106) ist das sog. B~as~ussche Widerstandsgeseb der Plattenstromung. Mit dem dimensionslosen Widerstandsbeiwert der Flbhenreibung und der benetzten Obedache A , = 2 b L, wobei hier beide Plattenseiten bestromt sind, ergibt sich die allgemeine Form der Gleichung fur die reibungsbedingte Widerstandskraft der Plattenumstromung aus G1. (4-106):

Bezeichnung: Widerstand-Beziehung (-Formel oder -Gleichung) der Fluidreibung bei AuBenstromung (Umstromung).

rW,,

. q, . A , Die Stromungs-Reibungskraft FW,,= ist demnach allgemein vom Anstromungs-Staudruck q, = Q, . c i / 2 der bestromten Oberflache A , und einem von der REYNOLDS-Zahl abhangigen Widerstandsbeiwert CW,, bestimmt. Bemerkung: Beziehung (4-108) 1aBt sich als Ansatz auf alle Arten von Korpern - Widerstandund Auftriebskorper - verallgemeinern (Abschnitt 4.3.2; 4.3.3) und ist daher die WiderstandsGrundformel der AuRenstromung: Der experimentell ermittelte Widerstandsbeiwert auch mit Cw bezeichnet, ist auf die Flache Aw (Widerstandsbezugsflache)bezogen und auf die Relativgeschwindigkeitw, ,die Geschwindigkeit zwischen Korper und umgebendem Fluid von der ungestorten Dichte Q , . Stromungskrafte an Korpern konnen somit technisch irnmer dargestellt werden durch Produkt aus Beiwert, Bezugsflache und Staudruck der zugehorigen Relativgeschwindigkeit Gm=&- &,,,,, (Abschnitte 4.3.2; 4,3,3) der Umstromung.

rw,

4.1.4.2.2 Turbulente Grenzschicht iiber die gesamte Plattenlange Fur den Widerstandsbeiwert in G1. (4-108) tritt bei diesem sog. kritischen Fall an Stelle von GI. (4-107) die Beziehung die sich aus dem 117-Potenzgesetz fur die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht ergibt: CW,.

= 0,074 Re,

'IS

Gultigkeitsbereich: Re,, I Re, I lo7

Dieser Fall tritt praktisch nicht auf, da am Korper-, d. h. Plattenanfang immer eine laminare Anfangsstrecke vorhanden ist, falls keine besonderen Stolperstellen (Abschnitt 3.3.4) angebracht sind. Er ist deshalb in der Regel nur durch entsprechende Versuchsanordnungen zu verwirklichen; in Windkanalen gema13 Bild 6-49. 4.1.4.2.3 Turbulente Grenzschicht mit laminarer Anlaufstrecke Wie in Abschnitt 3.3.3 (Bild 3-20) ausgefuhrt, ist die Grenzschicht anfanglich (vom Plattenbeginn an) laminar und schlagt ab der kritischen Stromungslange ,s, = Re,, vlc, in turbulente urn, sog. iiberkritischer Fall. Da der Widerstand bei turbulenter Grenzschicht groDer ist als bei laminarer, wird durch die laminare Anlaufstrecke der Gesamtwiderstand der bestromten Platte herabgesetzt. Diese Widerstandsverminderung wurde von PRANDTL abgeschatzt. PRANDTLging davon aus, daB die turbulente Grenzschicht hinter dem Umschlagspunkt sich so verhalt, als ware sie von der Plattenvorderkante an turbulent gewesen. Dann ist von dem Gesamtwiderstand bei vollstandig turbulenter Grenzschicht auf der ganzen Plattenlange der turbulente Widerstand des Plattenstuckes ,s, bis zur Umschlagstelle abzuziehen und dafur der laminare Widerstand des gleichen Plattenstiickes hinzuzuzahlen bzw. die Differenz abzuziehen. Das ergibt: a) Unter Zugrundelegen des 117-Potenzgesetzes, G1. (4-17), fur die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht, entsprechend G1. (4-109): 0,074 B ~ W , R=--Re, Gultigkeitsbereich: Re,, 5 Re, 5 lo7 b) Nach dem logarithmischen Gesetz fur die Geschwindigkeitsverteilung (gemaB Abschnitt 4.1.1.3.3):

Gultigkeitsbereich: Re,, 2 Re, 5 lo9 Bis Re,= lo7 stimmen die Ergebnisse der Gleichungen (4-110) und (4-111) nahezu uberein. Die Konstante B in den Formeln (4-110) und (4-111) ist von der Lage des Umschlagpunktes, also von der kritischen R E Y N O L D S -abhangig Z~~~ und in Tabelle 4-6 angegeben. Gleichung (4-111) ist das PRANDTL-SCHLICH~NGsche Widerstandsgesetz der langsangestromten glatten Platte.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Tabelle 4-6. Konstante B zur Berucksichtigung der laminaren Anlaufstrecke. Re,,

3 . lo5

5 . lo5

1 . lo6

3 .lo6

B

1050

1700

3300

8700

Hinweis: Im Zweifelsfall ist der ungunstigere Wert der beiden Beziehungen (4-110) und (4-111) zu verwenden (sog. sichere Seite). 4.1.4.3 Rauhe Platte Bei den meisten technischen Anwendungen der Plattenstromung (Schiffe, Flugzeuge, Stromungsmaschinenschaufeln) ist die Wand nicht fluidtechnisch (kurz technisch) glatt, d. h. nicht hydraulisch glatt. Die Stromung an der rauhen Platte ist deshalb praktisch ebenso bedeutungsvoll wie die Stromung im rauhen Rohr. An Stelle der relativen Rauhigkeit k,/D des Rohres tritt bei der Platte das Verhaltnis kJ6. Der wesentliche Unterschied zwischen rauhem Rohr und rauher Platte besteht dadurch darin, darj bei konstantem k, die relative Rauhigkeit k,/D langs des Rohres ebenfalls konstant ist, wogegen die relative Rauhigkeit k,/6 langs der Platte abnimmt, da die Grenzschichtdicke 6 stromabwarts wachst. Die Folge ist, daD die vorderen und hinteren Plattenteile sich bezuglich des Rauhigkeitswiderstandes verschieden verhalten. Deshalb wird meist an Stelle von kJ6 der konstante Quotient k,/L gesetzt (L . . . Plattenlange). Das ergibt den weiteren Vorteil: Es kann mit der bekannten Plattenlange gerechnet werden, wahrend die Grenzschichtdicke nur schwer und ungenau zu ermitteln ist. Wird einfachheitshalber wieder davon ausgegangen, daD die turbulente Grenzschicht bereits an der Plattenvorderkante beginnt, ausgelost durch die Plattenecken als Turbulenzstellen, liegt vorn an der Platte, wo k,/6 grorj ist, zunachst uber eine gewisse Lauflange voll ausgebildete Rauhigkeitsstromung vor. Danach folgt das sog. ubergangsgebiet und, anschlieoend weiter stromabwarts, falls die Platte lang genug ist, noch ein Bereich hydraulisch glatter, d.h. technisch glatter Stromung (k,< 6,, Bild 3-20). Fur diese Stromung entlang gleichmaBig rauher Platte gilt, unter der Annahme turbulenter Grenzschicht ab Vorderkante, fur den Widerstandsbeiwert nach SCHLICHTING [53] folgende Interpolationsformel, die jedoch auch bei laminarer Anlaufstrecke, Umschlag und dann turbulentem

155

Teil (iiblicher iiberkritischer Fall) meist naherungsweise verwendet werden kann:

Gultigkeitsbereich:

1 k,/L 1

,

In Bild 6-42 ist ,,[ = f (Re, k,/L) aufgetragen, wobei fur den rauhen Bereich G1. (4-112) verwendet wurde. Der Widerstand verringert sich, wenn es gelingt, die Stromung auf grorjem Stuck der bestromten Flache laminar zu halten. Diesem Bestreben kommt der Umstand entgegen, daD beschleunigte Stromung, z. B. entlang gekrummter Platten (Bild 3-21), leichter laminar gehalten werden kann, als verzogerte. Auch liefern Experimente die Erkenntnis, daB die Widerstandszahl mit steigender, auf die Plattenlange bezogener REYNOLDSZahl abnimmt. Dies begrundet sich durch die in Stromungsrichtung und damit der Plattenlange wachsenden Grenzschichtdicke. Je dicker die Grenzschicht ist, desto geringer ist der Geschwindigkeitsgradient (Abschnitt 1.3.5)und damit auch die ortliche Reibung (Gl. (1-15)). Die vorderen Plattenteile tragen daher am meisten zum Gesamtwiderstand bei. Aus diesem Grund hat eine rechtwinklige Platte den geringsten Widerstand, wenn sie langs angestromt wird, d. h. in Richtung ihrer langsten Kante. Des weiteren bleibt bei turbulenter Stromung ab einer gewissen Re-Zahl der Widerstandsbeiwert etwa konstant. Wird die REYNOLDS-Zahl uber diese von der relativen Rauhigkeit abhangige Grenze hinaus erhoht, andert sich der Widerstandsbeiwert praktisch nicht mehr (Bild 6-42). Der Grund liegt wie bei der Rohrstromung darin, daD die viskose Unterschicht (Laminarschicht, Bild 3-19) auDerst diinn geworden ist und sich nicht weiter verringert. Alle Rauhigkeitsspitzen konnen jetzt ihre Friktionswirkung durch Kleinwirbelbildung voll entfalten, jedoch nicht mehr weiter steigern. Es kommt zur voll ausgebildeten Turbulenz, die standig durch stochastische lokale ,,Mikrowirbel"-Bildung und deren Ablosung an den Rauhigkeitsspitzen angefacht und dadurch aufrechterhalten wird (Wirbelwiderstand). Der Widerstandsbeiwert ebener Platten verhalt sich bis zu einer bestimmten Re-Zahl also so, als ob diese rauhigkeitsfrei ware (glatter Bereich); er nimmt ab wegen Bezug auf c2. Die Rauhigkeiten liegen noch vollstandig innerhalb der linearen Unterschicht, deren Dicke etwa 2 bis 8 % der von der gesamten Grenzschicht betragt. Mit weiter stei-

156

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

gender REmIoLDs-Zahl wachst der Widerstandsbeiwert wieder bis zu einem bestimmten Wert an (~bergangsbereich),um anschlieDend bei hoherer Re-Zahl konstant zu bleiben (rauher Bereich, Bild 6-42). Nach Messungen kann z. B. fur werftneue Schiffe (Farbanstrich geringer Rauhigkeit) durchschnittlich eine aquivalente Sandrauhigkeit von k , = 0,3 mm zugrundegelegt werden. Dem Wert entspricht infolge der groBen Lange und damit hohen REYNOLDS-Zahleine Widerstandserhohung durch Rauhigkeit um 20 bis 40% gegeniiber hydraulisch glatter Wand. Die Rauhigkeitserhohung durch Bewuchs der Schiffswandewirkt sich mit bis zu 90 % Widerstandserhohung besonders nachteilig aus. Bei Stromungsmaschinen spielt die Wandrauhigkeit ebenfalls eine wichtige Rolle. Die ublicherweise bei vertretbarem Aufwand erzielbare Wandglatte reicht meist nicht aus, urn hydraulisch, also technisch glatte Stromung zu verwirklichen. Anstriche bei Fahr- und Flugzeugen fuhren, wie Messungen zeigen, zu aquivalenten Sandrauhigkeiten von k, = 0,002 bis 0,2 mm. Wie bereits envahnt (Abschnitt 4.1.1.3.3.), betragt die Sandrauhigkeit k , bis etwa das 1,6fache der geometrischen Rauhigkeitserhohungen, also k, = (1 bis 1,6) . k

Bewegungsreibung gegenuber dem Wasser erfordert zusatzlich jahrlich 20000 kg Treibstoff. Ergebnis: Negative Energiebilanz, d. h. der Kraftmehrbedarf ist hoher als die gewinnbare Sonnenenergie. 4.1.4.4 Zulassige Rauhigkeit Als zuliissige Rauhigkeit k,,, wird die Rauhigkeitshohe festgelegt, die gerade noch keine Widerstandserhohung gegenuber der bestromten glatten Wand ergibt, sich also technisch glattes Verhalten einstellt. Dies ist dann der Fall, wenn, wie erwahnt, die Hohe der Rauhigkeiten k geringer ist als die Dicke der larninaren Unterschicht S,, also k I 6, (Abschnitt 3.3.3.4). Die Kenntnis der zulassigen Rauhigkeit ist wichtig als Grenze, bis zu der es aus stromungstechnischen Griinden sinnvoll ist, Wande zu glatten. Nur bei turbulenter Grenzschicht wichtig, da bei laminarer ubliche Rauhigkeiten bekanntlich ohne ReibungseinfluO.

Bei turbulenter Grenzschicht wirken Rauhigkeiten als hydraulisch, d. h. technisch glatt, wenn sie ganz in der laminaren Unterschicht liegen. Deren Dicke ist, wie ausgefuhrt, nur ein sehr geringer Bruchteil der gesamten turbulenten Grenzschichtdicke. Analog zur Rohrstromung liegt nach SCHLICHTING technisch (hydraulisch)glattes Verhalten vor, wenn fur den zulassigen Wert der Kornkennzahl c, . k/v Die Zusatzwiderstande infolge Rauhigkeit sind im Unterschallbereich unabhangig von der MACH- erfullt ist: schen Zahl. c, . k,,,/v I 100 Nach W. PASCHKEgelten die GesetzmaDigkeiten oder k,,, I100 v/c, fiir die Stromung an rauhen Wanden auch fiir den naturlichen Wind entlang dem Erdboden. Die Die zulassige Rauhigkeit k,,, entspricht der Dicke wirksame Rauhigkeitshohe infolge verschiedenem der laminaren Unterschicht. Sie ist deshalb unabPflanzenbewuchs konnte durch Ausmessen der hangig von der Plattenlange und wird lediglich Geschwindigkeitsverteilung in den bodennahen von der Stromungsgeschwindigkeit und der Art Schichten ermittelt werden. Dabei ergab sich, daD des Mediums (kinematische Viskositat v ) bedie zugehorige aquivalente Sandrauhigkeit hierbei stimmt. Sie wird gemaB GI. (4-114) um so kleiner, etwa das vierfache der naturlichen Rauhigkeit be- je hoher die Stromungsgeschwindigkeit ist (Abschnitt 4.1.1.3.4). tragt, also k , x 4 . k. Aus dieser KenngroBe, G1.(4-113), ergibt sich Bei gleichmaJigen Rauhigkeiten, z. B. Oberflachen mit der auf die Plattenlange L bezogenen in technischer Ausfuhrung von Metallen, Kunst- REYNOLDS-Zahl Re, = c, . L/v die relative zukisstoffen, hochwertigem Beton und Asbestzement sige Rauhigkeit (Tab. 6-14 und Bild 6-44), kann dagegen in guter (4-115) Naherung wieder die technische (naturliche) Rau- k,,,lL I100/ReL higkeit k gunstigenfalls etwa gleich der Sandrau- Die Formel (4-115) gibt nur einen Wert k,,, fur die higkeit k , gesetzt werden, also k , x k (vgl. gesamte Plattenlange. Wegen der geringen GrenzAbschnitt 4.1 .I .3.3). schichtdicke vorn an der Platte ist dort jedoch Bemerkung: Die geplante Solaranlage fiir ein Bo- auch die zulassige Rauhigkeit geringer als weiter denseeschiff benotigt insgesamt 15 t Masse, was stromabwarts. Versuche zeigen aber, daD dieser 4cm mehr Tiefgang bewirkt. Die dadurch erhohte EinfluD oft bedeutungslos bleibt.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

157

Bild 6-42 enthalt ein Diagramm von SCHLICH- Korper mit iiberwiegendem Reibungswiderstand, ~ N Gin, dem die zulbsigen Rauhigkeitserhohun- z. B. Profile, Platten. Verkleinert wird dagegen der gen fur verschiedene Anwendungen (Schiffe, Widerstand in der Regel bei Korpern mit uberFlugzeuge, Stromungsmaschinenschaufeln) einge- wiegendem Druckwiderstand (Abschnitt 4.3.2.3), tragen sind. Daruber hinaus gibt die ebenfalls auf z. B. bei Kreiszylinder. SCHLICHTING [53] zuruckgehende Tabelle 6-15 eine Untersuchungen zeigen, dalj die kritische RauhigZusammenstellung von einigen Beispielen, die mit keit bis etwa zehnmal groljer ist, als die zulassige Hilfe von Bild 6-43 berechnet sind. Rauhigkeit in der turbulenten Grenzschicht. Die Fur Schiffe liegen demnach die zulbsigen Rauhig- laminare Reibungsschicht vertragt somit eine wekeiten bei einigen hunderstel Millimetern. Diese sentlich groBere Rauhigkeit, bevor sie umschlagt. sind praktisch nicht erreichbar, so daI3 bei Schiffen Uber die Beeinflussung des Form- oder Druckwiimmer mit einer betrachtlichen Widerstandserho- derstandes (Abschnitt 4.3.2.3) durch die Rauhighung durch Rauhigkeit zu rechnen ist. Durch Be- keit la& sich abschlieljend feststellen: wuchs (Algen, Muscheln) kann sich im Normalbetrieb der Schiffswiderstand, wie erwahnt, schon a) Scharfkantige Korper, wie senkrecht angestromte Platten, sind gegen Oberflachenrauhiginnerhalb eines Jahres fast verdoppeln, bei langer keit unempfindlich, weil die Ablosungsstellen andauernder Liegezeit sogar noch mehr. der Stromung durch die Kanten festgelegt sind. Bei Flugzeugtragflachen liegen die zulassigen Raub) Der Widerstand gedrungener Korper, wie higkeiten zwischen 1/100 und l/lOmm, die bei Kreiszylinder u. a., ist dagegen erheblich von sorgfaltiger Oberflachenbehandlung erreichbar der Rauhigkeit abhangig. Durch die Rauhigkeit sind. Bei Modelltragflachen und Geblaseschaufeln, wird die Grenzschicht so stark gestort, daI3 der deren zulassige Rauhigkeitshohen ebenfalls zwiUmschlag schon bei wesentlich kleinerer Reschen 0,01 und 0,l mm liegen, sind hydraulisch Zahl erfolgt als beim glatten Zylinder. Die kritiglatte Oberflachen ohne weiteres erreichbar. sche R E Y N O L D Sist- ~ daher ~ ~ ~von der RauhigBei Dampfturbinenschaufeln liegen die REYNOLDSkeit abhangig. Die Rauhigkeit wirkt hierbei Zahlen trotz der kleinen Abmessungen, infolge der C~~ und anso wie der P R A N D T L S Stolperdraht gro5en Geschwindigkeiten und Driicke (v klein), dere Turbulenzkanten (Abschnitt 3.3.4, Bild verhaltnismaBig hoch. Infolgedessen sind die zu3-22), d. h. in einem gewissen Re-Bereich wilbsigen Rauhigkeiten sehr klein. Die mit 1/5000 derstandsvermindernd. Der uberkritische Wibis 1/500 mrn notwendigen Rauhigkeiten fur techderstand ist dann allerdings vom rauhen Kreisnisch glattes Stromungsverhalten sind selbst an zylinder groI3er als beim glatten. fabrikneuen Schaufeln kaum erreichbar. Nach einiger Betriebszeit werden diese Werte wegen Korrosion und Salzablagerungen sichtlich uberschritten. Der Einflurj der Rauhigkeit auf die Eine hydraulisch glatte Platte, Lange Stromungsverluste hangt zudem stark von dem in 200 mm, Breite 1,5 m, wird von der Luft der jeweiligen Dampfturbinen-Stufe verarbeiteten (I bar, 20 "C) mit gleichmafiiger Geschwindigkeit Druckgefalle und dem Reaktionsgrad ab. Die bisherigen Betrachtungen gelten nur fur dicht- von 20 m/s langs angeblasen. Welche Kraft wirkt stehende Rauhigkeiten, die etwa der Sandrauhig- auf die Platte? keit entsprechen. Fur diinn oder ungleich verteilte Eine auf Wasser von 10 "C schwimmende, Rauhigkeitshohen und bei Wandwelligkeit diirfen maI3ig rauhe Holzplatte, Lange 8 m und die zulassigen Rauhigkeiten etwas groBer sein. Breite 5 m, bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 10m/s auf dem Wasser. Gleichzeitig herrscht Kritische Rauhigkeit: Als kritische Rauhheit wird eine Windgeschwindigkeit von 18 m/s der Bewediejenige Rauhigkeit bezeichnet, die den Um- gungsrichtung der Platte entgegen. Welche Anschlag laminar-turbulent bewirkt. Die Stromung triebsleistung ist zum Fortbewegen der Platte notgeht also dadurch von laminarer in turbulente wendig, wenn angenommen wird, darj sie nicht Grenzschicht iiber. eintaucht? Der Stromungswiderstand verandert sich deshalb, weil der Umschlagpunkt infolge Rauhigkeit weiter Die betonierte Kaimauer eines Hafens hat nach vorne ruckt. Durch dieses Verschieben des eine Lange von 200m. Die Wassertiefe Umschlagpunktes steigt der Widerstand bei einem betragt 4 m.

Fl

158

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Gesucht: Reibungskraft bei 7 m/s Wassergeschwindigkeit. 4.1.5 Rotierende Scheibe 4.1.5.1 Grundsatzliches In Fluid rotierende Scheiben erfahren einen Reibungswiderstand. Diese Radseitenreibung ist besonders bei Autoradern und Turbomaschinen sowie anderen schnellaufenden Rotoren oder Scheiben praktisch sehr bedeutungsvoll. Die Form der Fluidstromung im Scheibenbereich ist, wie bei der Plattenstromung, von der REYN O L D S abhangig. - ~ ~ ~ ~Auch hier geht die laminare Stromung bei groDen Re-Zahlen in turbulente iiber. Die Ausbildung der Stromung und damit der auftretende Widerstand ist zudem davon abhangig, ob die Scheibe in freier, theoretisch unendlich ausgedehnter Umgebung (freie Scheibe) oder in einem Gehause (umschlossene Scheibe) rotiert. REYNOLDS-Zahl: Als Re-Zahl wird hier definiert:

mit u . . . Umfangsgeschwindigkeit am Scheibenmantel, d. h. am Radius R w . . . Winkelgeschwindigkeit R . . . Scheibenradius Meist ist w = konst

-+

stationarer Fall.

Grenzschichtdicke 6: Nach SCHLICHTING gilt iibereinstimmend mit Messungen von W. SCHMIDT und G. KEMPFfiir die Grenzschichtdicke 6 (r) entlang der rotierenden Scheibe vom Radius R:

Bild 4-50. Freie rotierende Scheibe (w = konst). FluidSekundarstrom infolge Scheibenreibung symbolisch eingetragen.

Radial- und einer Umfangskomponente. Das wegen fehlendem Gehause fortgeschleuderte Fluid wird durch axiales Zustromen von anderem Fluid ersetzt. Die dadurch entstehende Fluidforderung kann technisch genutzt werden, z.B. beim sog. Scherkraftgebliis (Wirkungsgrad jedoch prinzipbedingt schlecht). Das Reib-Drehmoment TR je Scheibenseitenflache, das notwendig ist, um die Fluidfriktion zu iiberwinden, ergibt sich mit Hilfe von Bild 4-50 in Anlehnung an die Plattenstromung, wobei c = u , = u ( r ) = w . r = f(r), da w=konst sowie em e und der Reibbeiwert i,,, naherungsweise unveranderlich iiber die Scheibenflache, also unabhangig vom Radius r angenommen wird ([W,RE konst), was nicht immer zulassig ist:

-

c u: Mit dFw,R = ( w , R . d A o . ~ . -= ( w , R . d A o . ~ . 2 2

mit Bezugsradius r I R. Maximalwert,,,a, Radius R):

,,a,

also am Scheibenrand (AuDen-

= 6 (R) = 0,526

. Re-'I5 . R

4.1.5.2 Freie Scheibe, Bild 4-50 Die rotierende Scheibe nimmt infolge Reibung das sie beriihrende Fluid mit (Haftbedingung). Wegen der Fliehkraft wird diese kreisende Fluidschicht radial nach auDen getrieben. In unmittelbarer Nahe der rotierenden Scheibe (Grenzbereich) hat das Fluid deshalb eine ~eschwindi~keit mit kiner

Wird zur Abkiirzung der sog. Drehmomentbeiwert [, definiert:

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Flussigkeiten)

ergibt sich fur das Scheibenreibungsmoment

mit

u A,

bung vergleichsweise gering und deshalb oft vernachlbsigbar. MuB sie jedoch berucksichtigt werden, insbesondere bei relativ breiten Scheiben (b grog), bestehen hierfur zwei Moglichkeiten:

. . . Scheiben-Umfangsgeschwindigkeit . . . Reibende Scheibenoberflache

G1. (4-1 19) 1aBt sich verallgemeinern: Eine Scheibenflache (halbe Scheibe) A, Beide Scheibenflachen(ganze Scheibe) A,

159

= R2 .n: = 2 .R2.n:

1. Fur Reibungsflache A, in G1. (4-119) wird die gesamte mit Fluid benetzte Scheibenflache eingesetzt, also Seitenflachen plus Mantelflache: Ao=As+AM=2.R2.n:+2.R.n:.b Ao=2.R.n.(R+b) (4-125)

<,

2. Der Drehmomentbeiwert wird um den Betrag Reibleistung P,: Notwendige Leistung zur ~ b e r b ACT = 1,15 . - . (4-126) windung der Scheibenreibung. R PR=~'TR-@'n3'~5 (4-120) erhoht. Statt [, wird in G1. (4-119) dann gesetzt: Hierbei ist -- Proportionalzeichen.

cT

Der Drehmomentbeiwert [, ist von der Art der Grenzschichtstromung und von der Scheibenrauhigkeit (aquivalente Sandrauhigkeit k,) abhangig. Er wird iiber experimentell erarbeitete Formeln ermittelt und korrigiert dadurch die bei der Herleitung des Reibmomentes T, auger acht gelassene Abhangigkeit des Widerstandsbeiwertes CW,, vom Radius r (0 5 r I R) iiber der seitlichen Scheibenoberflache A , .

Beide Berechnungswege fuhren in der Regel zu etwa gleichen Ergebnissen. Bei Abweichungen wird der groBere Wert verwendet (sichere Seite). 4.1.5.3 Umschlossene Scheibe, Bild 4-51

Die sich bei der umschlossenen Scheibe zwischen Gehause und rotierender Scheibe ausbildende Stromung wird sehr stark von der Spaltweite s Nach SCHLICHTING liegt dabei die kritische REY- (Bild 4-51) beeinfluBt. G1. (4-119) ist fur das ScheiN O L D S - ~ wieder ~ ~ ~ bei: benreibungsmoment weiterhin gultig. Es ergeben (4-121) sich jedoch andere Drehmomentbeiwerte 5,. Re,, = 2 . lo5 . . . 3 . lo5 Im einzelnen gilt fur den Drehmomentbeiwert freier Scheiben nach SCHLICHTING:

IT

Die <,-Werte sind von der Stromungsausbildung, der seitlichen Spaltweite s, ScheibeIGehause, der

Laminare Grenzschicht (Re < Re,,) (T

= 0,641-

(4-122)

Die ubliche technische Scheibenrauhigkeit ist hierbei wieder ohne EinfluB. Turbulente Grenzschicht (Re 2 Re,,) a) technisch glatt (k, (T

0)

= 0,0231m

b) technisch rauh (k, > 0)

Die bisherige Betrachtung berucksichtigt die Reibung am Scheibenumfang nicht. Bei den iiblicherweise dunnen Scheiben (b klein) ist die Mantelrei-

Bild 4-51. Umschlossene rotierende Scheibe; Sekundarstromung, (Schrauben-)Wirbel infolge Scheibenreibung symbolisch angedeutet. b Scheibendicke, s Radialspaltbreite, t Axialspaltbreite, jeweils gegenuber dem Gehause

160

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Stromungsform in der Grenzschicht und der Rauhigkeit (aquivalente Sandrauhigkeit k,) abhangig. a) Sehr kleine Spaltweite s: 1st die Spaltweite s gleich oder geringer als die Grenzschichtdicke am Scheibenrand (Radius R), G1. (4-117a), herrscht zwischen der umlaufenden Scheibe und dem ruhenden Gehause im Fluid eine etwa lineare Verteilung der Geschwindigkeit nach Art der CO~ETTE-Stromung (laminare Scherstromung). In diesem Fall gilt:

Formel (4-130) stimmt nur bis etwa Re = 2 . 10' gut mit den MeBwerten von SCHULZ-GRUNOW iiberein. 'hrbulente Stromung (Re 2 Re,, mit Re,, x 3 . lo5)

a) technisch glatt (k, m 0)

oder vereinfacht

1, m O,OII~/-

(4-132)

Formeln (4-130) und (4-132) folgen aus G1. (4-129) bnv. (4-131), wenn e-Exponent - 12 . s/R = 0 gesetzt wird (Naherung, Fehler ca. 10 %). Diese Beziehung stimmt bis etwa Re = lo4 sehr gut mit Messungen von Z u m u s c (bei ~ s/R =0,02) uberein. Bei groBeren Re-Zahlen fuhren die Versuche zu etwas hoheren 5,-Werten als die vorhergehende Formel. Der EinfluB des Axialspaltes (Spaltweite t in Bild 4-51) ist dabei meist gering und deshalb vernachlassigbar. Nur fiir sehr kleine t/R-Werte (t/R < 0,l) ergeben sich merklich hohere (,-Werte. b) GroBere Spaltweite s: 1st die Spaltweite s ein Mehrfaches der Grenzschichtdicke am Scheibenrand (Gl. 4-1 17a), bildet sich je eine Grenzschicht an der umlaufenden Scheibe und am Gehause. In dem Bereich der Grenzschicht an der urnlaufenden Scheibe wird das Fluid nach auBen zentrifugiert und flieljt in dem Gebiet der Grenzschicht an der ruhenden Gehause-Innenflache von auBen nach innen zuruck. Dazwischen befindet sich eine dickere FluidSchicht ohne wesentliche Radialgeschwindigkeit, die meist mit etwa halber Scheiben-Winkelgeschwindigkeit in Drehrichtung mitrotiert. Die Stromung zwischen rotierender Scheibe und umschlossenem Gehause bei groBerer Spaltweite wurde von SCHULZ-GRUNOW sowoh1fur den laminaren als auch fur den turbulenten Fall theoretisch und experimentell untersucht. Im einzelnen gelten folgende Erfahrungsbeziehungen (Formeln) Wr den Drehrnomentenbeiwert 5, umschlossener Scheiben mit grorjerer Spaltweite: Laminare Stromung (Re < Re,, mit Re,, x 3 . lo5; Rauhigkeit ohne EinfluB)

oder angenahert

5,

= 0,44 16/&

(4- 130)

b) technisch rauh (k, > 0)

MuB wie bei der freien Scheibe der EinfluB des Scheibenmantels beriicksichtigt werden, bestehen die gleichen Moglichkeiten wie zuvor: 1. Reibungsflache insgesamt, d. h, einschlieBlich Mantel einsetzen, entsprechend G1. (4-125). 2. Drehmomentbeiwert (, bei turbulentem Verhalten nach Formeln (4-131) oder (4-132) bnv. (4-133) erhohen um:

An Stelle von (, murj bei Berucksichtigung der Scheibenmantelreibung somit wieder lT AlT gesetzt werden in G1. (4-119). Entsprechend ist bei laminarer Stromung zu verfahren, die allerdings selten auftritt. Um jedoch wieder auf der sicheren Seite zu sein, sollte auch hier der groBere Wert der beiden Rechenergebnisseverwendet werden.

+

Bemerkungen: 1. Beachtenswert ist, daB bei den vereinfachten Formeln, G1. (4-130) und (4-132), die [,-Werte unabhangig von der radialen Spaltweite s sind. 2. Die Auswertung der Gleichungen ergibt in fibereinstimmung mit Versuchen, daB das Reibungsmoment bei freier Scheibe groBer ist, als bei umschlossener. Das kleinere Reibungsmoment der drehenden Scheibe im Gehause ist auf die mit halber Winkelgeschwindigkeit mitrotierende Kernstromung im radialen Spalt Scheibe/ Gehause zuruckzufuhren. Infolgedessen wird der Gradient der Umfangsgeschwindigkeit im

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkomvressibler Fluide (Fliissigkeitenl

Radialspalt, also senkrecht zur Scheibenseitenflache, nur halb so groB wie bei der freien rotierenden Scheibe. Deshalb sind die durch die Fluidviskositat verursachten Scherkrafte bei der umschlossenen rotierenden Scheibe kleiner als bei der freien. Auch geht nicht die von der freien Scheibe standig zu ersetzende Energie verloren, die vom weggeschleuderten Fluidstrom fortgetragen wird. 3. NEWTON-ZahlNe: Neuerdinm wird zur Kennzeichnung des Leistungsaufwandes infolge Fluidviskositat bei rotierenden Systemen (Scheiben, Riihnverke usw.) die sog. Leistungszahl, auch als NEWTON-ZahlNe bezeichnet, verwendet. Definition der dimensionslosen NEWTON-Zahl: u

Ne

= P&

. D 5. n3)

(4-134a)

161

Ergibt bei m = konst (Festkorper):

Das Pr%dukt m . c'wird als BewegungsgroBe oder Impuls I bezeichnet

Da Kraft und Geschwindigkeit Vektoren sind, ist der Impuls ebenfalls ein Vektor. Nach NEWTON ist, wie Beziehung (4-135) zeigt, die auf die Zeit bezogene ~ n d e r u nder ~ BewegungsgroBe der Einwirkung der bewegenden Kraft proportion_al und erfolgt in der Richtung, in der die Kraft F wirkend angreift. NEWTONSCHES Axiom, G1. (4-139, umgeschrieben:

Mit P, [Wl; [kg/m3]; D = 2 . R [m]; n [l/s] Integriert: Ein Auto fahrt mit 180 km/h Geschwindigkeit. Die Rader (Stahl gebeizt) weisen 60 cm Durchmesser und 20 cm Breite auf. Gesucht: Abschatzung der durch Radreibung verlorengehenden Leistung (unter ungunstigen Annahmen), wenn der wesentliche ProfileinfluB (Ventilationswirkung) der Reifen auBer Ansatz bleibt, da dieser getrennt erfaBt wird. Eine Kleindampfturbine (H,O-Sattdampf I bar), Leistung 180kW bei Drehzahl 4800min-', hat scheibenartiges Laufrad, Durchmesser 700mm, Breite 30mm, Stahl poliert. Gegenuber dem Gehause besteht Radialspalt 20 mm und Axialspalt 1,5 mm. Gesucht: uberschlagige Ermittlung von Verlustleistung infolge Laufrad-Scheibenreibung und zugehorigem Wirkungsgrad. 4.1.6 Striimungskrafte 4.1.6.1 Impulssatz 4.1.6.1.1 Herleitung Nach dem allgemeinen Aktionsprinzip(-gesetz), dem 2. Axiom ') von NEWTON[27], auch als dynamisches Grundgesetz bezeichnet, gilt:

')

Die drei NEWTON-Axiome (Grundsatze) sind Tragheit, Aktion und Wechselwirkung [27].

S 2.dt = j d (m .c') = j d 7

Sonderfall: F = konst. Tritt auf bei gleichbleibender Geschwindigkeitsanderung (a, = konst). Die Integration in G1. (4-138) ausgefiihrt, ergibt: F . At = m . c Hieraus

Abschatzung der Kraftwirkung auf Person (100 kg) in Fahrzeug (72 km/h), das infolge Aufprall innerhalb von 0,l s zur Ruhe kommt; bei gleichmaBiger Verzogerung.

F = 100 . [(72/3,6)/0,1] [kg (m/s)/s] F = 20 000 N (lebensgefahrlich!) Das entspricht einer Verzogerung von 20 g. Bei Unfallen ohne Sicherheitseinrichtungen werden je nach Fahrzeug und Geschwindigkeit Werte partiell bis uber 100 . g erreicht, die todlich sind. Durch Airbag ist die Verzogerung auf maximal etwa 50 . g begrenzbar (ca. 10 ms lang), die innerhalb der ersten 100ms auftritt. Das Integral 3.dt wird als KraftstoB und 8.dt als infinitesimaler KraftstoB bezeichnet. Kraftstofl und BewegungsgroJe bedingen also einander und sind zahlenmaBig gleich groB. Deshalb wird vielfach auch in der Benennung nicht unterschieden und beide Ausdriicke mit Impuls bezeichnet.

162

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Nach der Betrachtungsweise von D'ALEMBERT Durch Vergleich der Lage des massefesten Volu1113 sich das Aktionsprinzip, G1. (4-135) um- mens zur Zeit t mit der im Zeitpunkt (t + dt) ergibt schreiben: sich fiir die rechte Gleichungsseite folgende Umformung. Der innere Anteil des Volumenintegrals j c' . e . d V fillt dabei heraus, weshalb gilt: (VI)

dt

-

dt

Mit Verallgemeinert ergibt sich hieraus der Impulssatz: fur die Eintrittsflache A, und .+

Erganzung: Folgende Herleitung zur Veranschaulichung ebenfalls dargestellt, liefert das gleiche Ergebnis fur den Impulssatz. Auf das in Bild 4-52 dargestellte massefeste Fluidvolumen, sog. flussiges Volumen, wird wieder das zweite N E W T O N - A X angewendet. ~O~ GemaB GI. (4-135) gilt nach Mikrobetrachtung fur die Vektor-Summe aller Krafte d F je Teilchen dm:

C (d?)

4

d v 2 = l d s ' , . d ~ ,=~d s ' , . d ~ , = & . d t . d J 2 fur die Austrittsflache A, kann die rechte Seite vorhergehender Gleichung weiter umgewandelt werden:

d dt

= - (c' . dm)

Integriert uber das flussige Volumen V mit der Masse m ergibt:

Hinweis: Das Minuszeichen bei Ausdruck d& . d 2 , ist notwendig zur Kompensation des sich bei der Skalarproduktbildung ergebenden Minuszeichen, weil das Volumen positiv sein muB. Da da,+entgegengerichtet zu c', verlauft, wird c', . dA, = c , . d A ~cosa,. Winkel a, zwischen Vektoren c', und dA, ist >90°,somit cos a, negativ. Die beiden Integrale der rechten Seite vorhergehender Gleichung lassen sich zusammenfassen, da Eintrittsflache A, (Geschwindigkeit c,) und Austrittsflache A, (Geschwindigkeit c2)zusammen die gesamte Oberflache A des umgrenzten Volumens V ergeben:

Bild 4-52. Massefestes Volumen inkompressiblen Fluides zur Zeit t mit Oberflache A ( t ) undzur Zeit (t + dt) rnit Umgrenzungsflache A(t +dl), bei Stromung in s-Richtung. Teil der Volumenoberflbhe durch Wandung, z. B. Kanal, begrenzt.

Die rechte Glei~hungsseiteist jedoch der Gesamtimpulsstrom XI des Bezugsvolumens V. Deshalb gilt letztlich:

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

163

schwindigkeit (GroSe u. Richtung) bekannt sind. Verlauft der Kontrollraum teilweise entlang von Korperflachen, was vielfach sinnvoll ist, mussen die Kraftwirkungen (als ,,Schnittkrafte6'), die von dieser Beriihrungsflache ausgehen, bei den auBeren Kraften berucksichtigt werden; also Normalkraft und Tangentialkraft (Reibungskraft). Die Massenelemente sind Trager des Impulses, als Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Wegen Der Impulssatz ist im Sinne von D'ALEMBERT seiner Masse besitzt jedes sich bewegende Teilchen nichts anderes als die mathematische Darstellung einen Impuls, die sog. Mikrobebachtungsweise. des dynamischen Gleichgewichtes aller wirkenDie gesamte zeitliche Impulsanderung eines Meden Krafte, also die D'A~EM~ER~-Darstellung des diums im Kontrollraum ergibt sich durch IntegraN ~ w ~ o ~ - A x i der o r nAktion (GI. 4-135). tion uber den gesamten abgegrenzten Bereich. Bei den Fluiden gibt es nach Abschnitt 1.4: Diese Integration bei Fluiden bestatigt jedoch das physikalische Prinzip von Aktion und Reaktion (Druckkrafte (N~wTo~-Axiorn Wechselwirkung) dahingehend, Wandkrafte dal3 sich die Kraftwirkungen innerhalb des Kon~uOereKrafte: Oberflachenkrafte: Widerstand+ trollraumes aufheben. Es verbleiben nur die Kraftkrafte wirkungen an der Berandung des betrachteten GeGewichtskraft bietes. Dabei wirken immer alle Krafte auf den Innere Krafte: Massenkrafte: Kontrollraum: An der Eintrittsstelle des Fluides (Impulskraft) als Aktionskrayte und an der Austrittsstelle als Die ze$liche Anderung des Impulses, der Impuls- Reaktionskrayte da gemaB Schnittmethode nur die strom I, ist daher gleich der Resultierenden aller Wirkungen auf den Bezugsraum in Ansatz komauBeren Krafte, die am Stoff angreifen. Greifen an men. Um dern Kraftegleichgewicht zu genugen, einem System keine auBeren Krafte an,go ist auch mussen auherdem Wandkrayte (ebenfalls auf den kein Impulsstrom+ vorhanden, also CI = 0. Der Kontrollraum gerichtet) vorhanden sein. Daraus gesamte Impuls I des Systems bleibt dann kon- ergibt sich die Makrobetrachtungsweise, bei der das Fluid im abgegrenzten Bereich als Massenstant. Um den Impulssatz abzuleiten, waren keine Ein- punkthaufen gilt und die Bruttokraftwirkungen schrankungen hinsichtlich Qualitat, Art und Form nach der allgemeinen Mechanik durch den ersten des Stoffes notwendig. Der Impulssatz gilt deshalb Schwerpunktsatz zu ermitteln sind. Bei Fluiden ist fur alle Arten von Stoffen (fest, flussig, gasformig) dann statt der Teilchen-Koordinaten der Punktund alle Qualitaten von Medien, d. h. sowohl fur mechanik auf die raumfesten EULER-Koordinaten ideale (reibungsfreie) als auch fur reale (reibungs- uberzugehen. behaftete). Bei idealen Fluiden sind keine Wider- Der erste Schwerpunktsatz der Mechanik lautet: standskrafte vorhanden, wahrend sie bei realen mit Der Gesamtimpuls eines Punkthaufens ist gleich dern Impuls des Schwerpunktes, in dern die Gein Ansatz zu bringen sind (streng betrachtet). Um den Impulssatz anzuwenden, ist das Gebiet, samtmasse des Punkthaufens als vereinigt gelten uber das hinsichtlich der Kraftwirkungen zwi- kann. schen dern betrachteten Bereich und dessen Umge- Der Vorteil des Impulssatzes ist somit, dal3 gemaB bung ausgesagt werden soll, durch einen sog. Kon- der Makrobetrachtung nur die Vorgange (Driicke, troll- oder Bezugsraum abzugrenzen + Makro- Geschwindigkeiten, Krafte) an der das Bezugsbetrachtungsweise. Der Kontrollraum ist so festzu- gebiet umgrenzenden Kontrollraum-Oberflache legen, daB auf der gesamten Berandung (Oberfla- direkt in die Berechnung eingehen und deshalb che) Querschnitt, Druck und die vektorielle Ge- bekannt sein mussen. Aus dern Volumenintegral (linke Gleichungsseite) uber ein Volumen wird somit ein Oberflachenintegral uber die zugehorige raumfeste Oberflache, die Kontrollflache um das Begrenzungsvolumen. Vergleiche mit dern G~ussschenIntegralsatz (Abschnitt 3.2.3.3). Das Herleitungsergebnis zusammengefaBt, ergibt dann den Impulssatz gemaB G1. (4-140).

i

'1

Bedingt durch die Tragheitskraft sin$ Impulswirkungen. Wenn die Impulsstromsumme ZI als Kraft in die unmittelbar einbezogen wird, kann Kriiftesumme direkt Z$ = 0 (dynamisches Kriftegleichgewicht) gesetzt werden.

CZ

Der Impulsstrom f1iiBt sich mit Hilfe der Differentialrechnung (Produktenregel) ausdriicken:

164

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Fur die verschiedenen Stoffarten ergibt sich: Festkorper 9 I=m.F

+ m = konst,

also m = 0

Fluide + m =# 0 Instationare Stromung: t Z=m.z+k.z

-+

c' =f (3; t )

Stationare Stromung: -+ c' =f ( 3 ) An der Kontrollraumoberflache ist abschnittsweise jeweils c'= konst, also Z'= 0 und damit

Dabei ist fiir c jeweils die mittlere Geschwindigkeit - zu setzen, wobei Querstrich auf c-Symbol meist wieder einfashheitshalber weggelassen wird. Flacjhenvektor A steht senkrecht auf Flache A, also A = e ' , . A mit Normaleneinheitsvektor Zn; + lenl = I .

- exakt impulsgemittelt; Benutzerhinweise

Merkhilfe: Dynamische Wirkung bei - Festkorpern m . i. - Fluiden m . c. Fur die wichtigen stationaren Fluidstromungen (inkompressible und kompressible) erhalt der Impulssatz, GI. (4-140), dann die Form: Vorgehensweise bei der Anwendung des Impulssatzes, G1. (4-144), auf stationare Fluidstromungen: Wie zuvor dargelegt, bedingen Impulsstrome und Krafte sich gegenseitig - die Wirkung des einen ist die Folge des anderen. Impulsstrome konnen deshalb als Krafte betrachtet und wie diese behandelt werden. Nach D'ALEMBERT wird das dynamische Problem auf ein statisches zuriickgefuhrt, und zwar durch unmittelbares Einbeziehen der Impuls; strome X (mc') in die vektorielle Kraftesumme ZF. Die Losung erfolgt dann mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik: - Summe aller Krafte gleich null: ~8= O C& = 0 - Summe aller Momente gleich null:

Drei Schritte sind notwendig: 1. Festlegung des Kontrollraumes im sog. Lageplan, Bild 4-53,a. Wie envahnt, miissen auf dessen gesamter Berandung bekannt sein: a) Druck b) Stromungsgeschwindigkeit nach GroDe und Richtung (Benutzer-Hinweise)

c) Flachen d) Fluidreibung 2. Alle Krafte in der Wirkungsrichtung in den Lageplan einzeichnen. Dabei wirken alle Krafte stets auf den Kontrollraum: a) Impulskriifte, d. h. Impulsstriime Am Fluideintritt als EintrittsstoB (Aktion) und am Fluidaustritt als RuckstoD (Reaktion), also immer auf den Kontrollraum gerichtet. b) Druckkrafte F,,,: Zur Wirkung kann nur der durch den Atmospharendruck nicht kompensierte Fluiduberdruck kommen und ebenfalls auf den Kontrollraum gerichtet. Dies ist dadurch begrundet, daB das Integral des Umgebungsdruckes uber der Oberflache eines Raumes immer verschwindet, also keine resultierende Kraft ergibt. c) Wandkrafte Fwd(Haltekrafte): Von den Begrenzungswandflachen auf den Kontrollraum gerichtet. Richtung normal, wenn Widerstandskrafte unberiicksichtigt bleiben. d) Widerstandskrafte F',: Schubkrafte, also tangential, bedingt durch die Reibung zwischen Fluid und den an der Kontrollraumberandung anliegenden Korperflachen. Diese Krafte sind meist schwer erfaBbar. Sie konnen jedoch in der Regel gegenuber den anderen Kraften als klein vernachlassigt werden. e) GewichtskraftFG: Ohne direkten EinfluD bei waagerechter Anordnung oder sonst meist naherungsweise vernachlassigbar. 3. Krafte- und Momentengleichgewicht aufstellen. Entweder a) zeichnerisch: Krafteplan, Bild 4-53,b oder b) rechnerisch: 28 = 0 und ~2= 0. An einigen charakteristischen Anwendungsfallen sol1 gezeigt werden, was der Impulssatz zu leisten vermag. 4.1.6.1.2 Stromungskrafte an Rohrteilen Kriimmer, Bild 4-53. Die durch die Fluidumlenkung (Beschleunigung) auf die Kriirnmenvandung ausgeiibten Stromungskrafte konnen also entweder aus dem Krafteplan, Bild 4-53,b, entnoqmen oder mit der Gleichgewichtsbedingung Z F = 0 berechnet werden. Dabei bedeutet IS MImpulssatz zwischen den Stellen @ und @ angesetzt, wobei FGund Fw vernachlassigt:

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

165

Die Erweiterte Energiegleichung ergibt die Verbindung zwischen p, und p2 bzw. p, ,, und p,,,:

Bed~naunsfur

mit

oder mit

bl Krofteplan, Kraftemanstab m , ~..... [ N l c m l

Bild 4-53. Impulssatz, angewendet auf Kriimmer. z-Koordinate bei senkrechter Anordnung, y-Richtung bei waagrechter Lage.

Hierbei bedeutet

+

Mit diesen Beziehungen kann schlieRlich die Wandkraft nach GroRe (Fwd) und Richtung (P) berechnet werden. Der Kraftangriffspunkt ergibt sich aus dem Lageplan, Bild 4;53,a oder aus dem Momentengleichgewicht ( Z M = 0), angewendet beispielsweise auf das eingetragene (x,z)-Bezugssystem, wenn die zugehorigen Ortskoordinaten (x- und z-Werte) der Querschnitte (Mittelpunkte) von Stellen @ sowie Q bekannt sind. Bemerkung: Der Hohenunterschied (x,z-System) Az = z , - z2 kann meist vernachlassigt werden oder ist bei waagrecht liegendem Krummer (x,y-System) ohnehin nicht vorhanden.

daraus folgt.

+ F&, und t a n p =

c, = c2 . (A,/A,)

z

Unstetige Querschnittserweiterung, Bild 4-54 An der Einstromstelle @ in den plotzlich enveiterten Querschnitt ist der Druck iiber der gesamHierzu sind notwendig an den Bezugsstellen: ten Flache konstant und etwa gleich dem Druck im zustromenden Medium (Stelle a ) , da der 0 Q Strahl noch nicht enveitert; er beginnt erst damit, Fl,,=F,cosa, F2,x= F2cos cc2 also p,,,, x p , , , . An dieser Stelle erfolgte daher F2,,=F2sin a2 F1,==Fl sincc, praktisch noch kein Umsatz von Geschwindigkeit in Druck. Fl=j,+Fpl,umit F, = j2+ FP2,*mit Nach Bild 4-$4 ergibt der Impulssatz (IS) fiir diejl = r i z c , = ~ ~=cQ~~ l c f ~ 2 = ~ c z = e ~ ~ 2 = ses e ~eindimensionale 2 c ~ Problem, falls die Wandscherkrafte infolge Fluidreibung wegen geringer Weglange unberucksichtigt bleiben, nicht jedoch die Die Kontinuitatsbedingung liefert den Zusammen- Turbulenz- sowie Totraumkrafte (GroBwirbelgebiete), die in den Druck p2 eingehen (Abhang zwischen c, und c,: schnitt 4.1.1.5.4) und somit automatisch enthalten sind:

Damit Fwd= JF&,

--

Fwd,

x

166

4 Stromungen ohne Dichteanderung (~uasi-inkom~ressible Stromungen)

Mit der Kontinuitatsbeziehung

ergibt sich schlieBlich, wobei m Flachenverhaltnis:

( = (mBild 4-54. Pliitzliche Rohrerweiterung (CARNOT-StoB).

mit p,.,, = p l , , und A,. = A 2 - A ,

+ Alp,,, + ('42 -A1)~1,, -eA2c$ - A2p2,, = 0 eAl6

-

Hieraus

e A 2 4 + A ~ ( P I , , - P ~ , , )= 0 p,,, - p,,, = Q A c: c

-

1

c$

2

(4-145)

Die Erweiterte Energiegleichung dagegen liefert:

Streng betrachtet, beinhaltet dieser Widerstandsbeiwert nach G1. (4-147) nur die Verluste infolge Wirbelbildung (Totraum) und nicht die wegen Reibung zwischen Fluid und Rohrwand. Dies ist bedingt - gemaB der in der Praxis gangigen Methode - durch das Vernachlassigen der Widerstandskraft Fw beim Ansetzen des Impulssatzes. Die Wandreibungsverluste sind jedoch infolge des kurzen Weges klein im Vergleich zu den Ablosungsverlusten (Abschnitt 4.1.1.5.3), weshalb G1. (4-147) brauchbare Werte liefert. Diese Beziehung ist schon in G1. (4-65) enthalten. Kniestiick mit Querschnittserweiterung, Bild 4-55: Wie bei der plotzlichen Querschnittserweiterung an Stelle @ gemaD Bild 4-54, herrscht auch beim Kniestiick an Stelle @ noch der Zustromungsdruck p, und damit der ~ b e r d r u c k p,,, = p1 - p b . Erst nach der Abloseblase fiillt die gesunde Stromung den gesamten Abstromquerschnitt A, wieder vollstandig aus, weshalb erst dann der gesamte Geschwindigkeitsabbau von cl auf c2 und zugehorig der Druckumsatz (-aufbau) von p, auf p, erfolgt ist. Der zugehorige Stro-

Mit wird Hieraus p,,, - p,,, = Q

;1

- '(1

2

+ 01 (4-146)

Durch Gleichsetzen der Beziehungen (4-145) und (4-146) 1aDt sich die bereits in Abschnitt 4.1.1.5.4 envahnte Widerstandszahl i( der unstetigen Querschnittserweiterung ermitteln:

Hieraus [ = 1 - ( 2 ( 2 . 2 - 1 )

Bild 4-55. Kniestiick mit plotzlicher Querschnittserweiterung in Stromungsrichtung. KR Kontrollraum fiir Impulssatz-Anwendung. Ge-A GeschwindigkeitsDreieck (-Plan). Wandkraft Fwdsenkrecht zur Stromung (Wand), da ,,Wandreibungd' vernachlassigt.

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

mungsweg des Fluides kann, falls benotigt, nur experimentell bestimmt werden. Ansatz:

C ZCF,=O 4=,

ISWD-CT=O

Hieraus die notwendige Halte- oder Wandkraft

VIA,

= c,

p,," - pl," = Q

+

~- ~ (1, , F,~,") ~ =o

1- sowie Fpl-Beziehungen einge-

Umgestellt und setzt:

Mit

+F

wird

. C, . (cl . cos 6 - c,)

(4-147b)

Gleichgesetzt mit Beziehung (4-146), die auch hier gilt:

;

2 - 3 ( l + C)]

[22

= c,

GemaI3 Ge-A von Bild 4-55 und Cosinus-Satz ist die eckige Klammer dieser Beziehung die sog. StoDkomponente c , der Geschwindigkeit oder Stromung. Demnach: I I y - - . c,2, = - . -2 - $2 (4-147e)

, (&

Ausgewertet:

CF, = 0: 1, . cos 6

167

(el . cos 6 - c,)

Mit c,/c, = A2/Al = m Querschnittsverhaltnis

Hieraus (=m2-2.m.cos6+1 Bei 6 = O" geht Beziehung in G1. (4-147) uber. Die sprungartige Querschnittserweiterung nach Bild 4-54 ist somit ein Sonderfall des Kniestuckes gema0 Bild 4-55. Fur die spezifische Verlustenergie Yvergibt sich:

Bemerkung: Die Erfahrung lehrt, daB es gunstiger ist (Verluste geringer!), Umlenkung und Erweiterung nacheinander getrennt vorzunehmen durch zwei entsprechende Einrichtungen -+ Kriimmer und Diffusor. Turbulente Kreisrohr-Stromung, Bild 4-56: GemaB Abschnitt 3.3.2.2 besteht die turbulente Stromung aus einer gleichmarjigen Bewegung mit uberlagerten stochastischen Schwankungen in Langs- und Querrichtung. Dem zur Rohrachse (x-Richtung) stationaren lokalen Mittelwert Ex der Stromungs-Geschwindigkeit (Lokalmittelwert) sind gemaD Bild 4-56 die lokalen Schwankungskomponenten ck in der ~ l i e ~ r i c h t uxnund ~ ck in der d a m senkrechten Richtung (Radialkoordinate z) uberlagert. Insgesamt herrschen somit die tatsachlichen Geschwindigkeiten in

axialer Richtung c, = Ex + c: radialer Richtung c, = c: Mit den Randbedingungen: An Rohnvand (r = R) haftet das Fluid, weshalb dort Zx= 0 und ck = 0, aber auch c: = 0 (Rohrwand undurchlassig). Fur den in Bild 4-56 eingetragenen Bezugszylinder (Radius r, Lange I) wird der Impulsaustausch mit dem AuDenbereich (R > z > r) berechnet: Durch ein Element dAM der Zylindermantelflache tritt der infinitesimale Fluidmassenstrom dm = Q . c:. dA,. Da gemal3 Bild 4-56 die Schwankungskomponente ck zur festgehaltenen Zeit am Bezugszylinder nach aul3en angenornrnen ist, entI

4

Bezugs-

/ zvlinder

Bild 4-56. Geschwindigkeitsverteilung in turbulenter Rohrstromung. CX lokaler Mittelwert, c;, c; lokale Schwankungswerte.

168

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

spricht dem differentiellen Massenstrom dm ein austretender x-Richtungs-Impulsstrom von dj, = c, . dm (wegen Geschwindigkeit c,). Fur den gesamten Zylindermantel ergibt sich dann wegen bestehender Syrnrnetrie:

Das erste Integral dieser Beziehung - bezeichnet mit In, - 1aBt sich weiter bearbeiten. Da die mittlere Langsgeschwindigkeit & im Bezugszylinder bei gleichbleibendem Radius r infolge Kontinuitatsbedingung bei im Mittel stationarer Bewegung konstant und damit unabhangig von dAMist, kann diese aus dem Integral genommen werden, so daB gilt:

Des weiteren mu& ebenfalls wegen Massenerhaltung, in den Bezugszylinder durch seinen Mantel soviel Medium eintreten, wie andererseits austritt. Das in In, verbleibende Integral, das den DurchfluB durch den gesamten Zylindermantel darstellt, mu13 somit null sein, weshalb insgesamt In, = 0. Dann wird:

Dieses Integral hat in der Regel immer einen von null verschiedenen, und zwar positiven Wert. Das in Bild 4-56 eingetragene Masseteilchen dm bewegt sich infolge der eingezeichneten radialen Schwankungskomponenten cL auf die Rohrwand zu, unter Beibehalten seiner urspriinglichen axialen Geschwindigkeit c,. Da das Teilchen dadurch in eine Zone kleinerer Axialgeschwindigkeit kommt, erzeugt es dort durch St00 ein positives ck. Gegensatzlich gelangt ein von der Rohrwandgegend mit der Schwankungskomponenten - cl, nach innen wanderndes Teilchen in die Zone mit hoherem c, und bewirkt dadurch ein negatives c:. Insgesamt entstehen dadurch die Turbulenzverluste, weshalb der Mittelwert des Integrals von G1. (4-147f) uber die Mantelflache AMdes Bezugszylinders, &/AM,entsprechend groBer als null ist:

Damit- wird, da . . Ix= I x : -

fx=~.c:.c;.

1, sein

eigener Mittelwert, also -

1 dAM=~.c:.c;.AM

rnit Zylindermantelflache AM= 2 . r . n . 1. GemaB Impulssatz bewirkt jede zeitliche Impulsanderung (Impulsstrom) eine Kraft. Da der Impulsstrom 1, in x-Richtung, also tangential auf die Zylindermantelflache wirkt, hat er eine gleichwertige Scherkraft mit der zugehorigen Schubspannung z, zur Folge, so daB gilt: Die beiden Ausdrucke fur j, gleichgesetzt, ergibt: -

z,

=Q

. C: . C;

(4-1478)

Hierbei handelt es sich um die turbulente Scherspannung gemaB GI. (3-49). In Abschnitt 4.3.1.6 wird diese, verallgemeinert auch als REYNOLDSSpannung bzw. turbulente Zusatzspannung bezeichnete GroBe, auf andere Weise hergeleitet. Mit der hier durchgefuhrten Ableitung ist jedoch gezeigt, daB der Turbulenz-Verlust (Reibung) tatsachlich durch Impulsaustausch verursacht wird. Die stochastische Schwankungsbewegung ist ein HuBerst komplex-komplizierter Vorgang und letztlich nicht vollstandig geklart. Wie in Abschnitten 3.3.2.2 und 3.3.3.4 ausgefuhrt, zeigen Versuche, daB nicht einzelne Molekule die Schwankungsbewegungen ausfuhren, sondern Molekulgruppen (-haufen), die zu ,,Fluidballen'' (-flecken)verschieden groBer Ausdehnung zusammengeschlossen sind und die im Bewegungsablauf standig zerfallen, wobei sich dann andere neu bilden. In unmittelbarer Kanalwandnahe Wllt das Produkt c: . c: und damit die turbulente Schubspannung steil ab, so daB die Scherwirkung hier uberwiegend durch die viskositatsbedingte laminare Friktion (viskose Unterschicht) verursacht wird. Die REYNOLDSSpannungen bewirken jedoch hauptsachlich die Dissipation und sind verantwortlich dafur, daB der Druckverlust bei turbulenter Rohrstromung quadratisch mit der Stromungsgeschwindigkeit ansteigt (Gl. 4-25). Der steile Randabfall von ck . cL ist bedingt durch die Wandundurchlhsigkeit und die dort versthkt wirkende viskose Reibung. Rohreinlauf gemaB Bild 4-19: Der hierbei auftretende Stromungsverlust 1aBt sich ebenfalls mit Impuls- und Energiegleichung be-

4.1 Eindimensionale Stromuneen realer inkomvressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Bild 4-57. Scharfkantiger Rohreinlauf mit eingetragenem Kontrollraum KR zwischen Bezugsstellen @und dem Ablosegebiet. Stelle @ engster Stromungsquerschnitt, Q Stromung liegt wieder vollstandig an.

a,

rechnen, wenn diese auf den in Bild 4-57 eingetragenen Bezugsraum KR angewendet werden. Der Druck wirkt dabei an Stelle @ uber den gesamten Querschnitt A, wahrend der Strahl nach Abschnitt 4.1.2 eingeschnurt ist auf (cc . A). Ansatz: IS 0-0bei Vernachlassigen der Reibungskraft entlang der zugehorigen Rohrwand, da klein, fiihrt zu: CF,=O: F

+ I l -p2,1i ~- i 2 = o

169

4.1.6.1.3 Strahlkrafte Der aus einer Diisemit der mittleren Geschwindigkeit c austretende Strahl trifft auf eine Wand, von der er abgelenkt, also beschleunigt wird. Die Stromungsgeschwindigkeit andert dabei ihren Betrag nicht (reibungsfrei), sondern nur ihre Richtung. Der statische Druck im Strahl ist nach Verlassen der Diise konstant und gleich dem der Umgebung. ~ b e r d r u c k ist somit nicht mehr vorhanden (p, = 0). Kraftwirkungen daher ausschliei3lich durch die vorhandenen Impulsstrome 1bedingt. Mit dem Impulssatz kann deshalb die Kraft, die der Strahl auf die Wand ausiibt, berechnet werden.

Senkrechter StoS gegen ebene feststehende Wand, Bild 4-58 Beim senkrechten StoB handelt es sich um ein symmetrisches Problem. Der Strahl kann nur senkrecht auf die Wand wirken, auch wenn die Reibungskrafte nicht vernachlassigt werden, was im allgemeinen jedoch zulassig ist. Diese haben ohnehin keine Resultierende, da ihre Wirkung nach allen Wandrichtungen gleich groB. Die Haltekraft Fwdder Wand mu13 demzufolge ebenfalls normal, d. h. senkrecht zu ihr wirken. Die Gewichtskraft des stromenden Fluids ist zudem als klein gegenuber der Strahlkraft (Wandkraft Fwd)vernachlassigbar und wirkt vertikal.

Die zugehorigen Ausdrucke fur ~berdruckkrafte Impulssatz angewendet auf Bezugsgebiet KR und Impulsstrome eingefuhrt, ergibt: (Kontrollraum) mit Koordinaten-System (x, y):

,

hierzu aus v . Q . (c, -c,) K 0-0c, = c, .(A,/A,) = c, . (A/(u. A)) = c2/cc

A . (p,, -p,, ,) und

=

v=A.c2

liefert

mit p = p, + p b Andererseits aus EE 0-0

,

Beide Beziehungen fur (p,, -p2,), gleichgesetzt, ergibt mit Y, = . ci/2:

<

c$.e.(~-l/a)=(c~/2-c~/2+[.c~/2).e

2 . (1-l/a)

= 1 - (c,/c,)~

+[

< = 1 - 2 . l / a + (1/cc), = (1 - 1 / ~ ) ~

hieraus oder Bild 4-58. Senkrechter StrahlstoB gegen eine feststehende ebene Wand.

170

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Mit ~ l = m l . ~ l = e . ~ l ~ c D a

f, = m, . c, = Q . v2. c,, j3 = m 3 .C3 = Q .

v3.c,

Zweifache der Dusenaustrittsflache AD, sein mu13 und letztlich nur experimentell bestimmt werden kann.

Erganzung: Wasserhammerdruck: Die Technik venvendet imnach a) Fwd= @ cDii= e ' AD" ' C 2~ i i mer haufiger Hochgeschwindigkeitswasserstrahnach b) v2= v3 len zum Bearbeiten von Werkstoffen. Haardunne Wasserstrahlen mit Durchmessern von etwa 0,1 bis Mit K @ - 0 - a i s t v,,= v1= VZ+ v3. 0,3 mm erreichen Geschwindigkeiten bis ca. der Eingesetzt in b) ergibt letztlich: dreifachen Luftschallgeschwindigkeit und dienen hauptsachlich zum Trennen von Materialplatten. Drucke, exakt ~berdruckep,, bis uber 4000 bar Der senkrechte StrahlstoD kann auch als Stau- sind notwendig um gemaD der TORRICELLI-Bemit Diisen (meist aus punktstromung betrachtet werden. An der Wand ziehung (c= wird die Geschwindigkeit in x-Richtung zu null. kunstlichem Saphir) solch hohe Strahl-GeschwinIm Umlenkungsbereich entsteht somit der Stau- digkeiten c zu erzeugen. Infolge der hohen Drucke druck: ist die Kompressibilitat des Wassers (Abschnitt 1.3.1)beachtlichund daher zu beriicksichtigen. Die Praxis bezeichnet HochgeschwindigkeitsstrahlSchneideinrichtungen auch als Water-Jet- oder und damit die dynamische Kraft Hydro-Cutting-Anlagen. Mit dem Reinwasserstrahl-Verfahren sind Weichstoffe (Gummi, Kunststoffe usw.) trennbar durchschlagen. Werden dem Wasserstrahl jedoch Feststoffkorner beiDiese Kraft muD mit der Wandkraft Fwd identisch gemischt, sog. Abrasiv-Verfahren, konnen auch sein, da keine weiteren Krafte wirken. Durch Hartstoffe, wie z.B. Metalle, Glas und Keramik, Gleichsetzen beider Beziehungen la& sich die er- getrennt werden -+ durchschliffen. Hierbei ist der forderliche Umlenkflache A,,, berechnen. Das ist Wasserstrahl Tragermedium fur die Abrasivstoffdie Flache, die notwendig ist, um den Strahl voll- korner, die den trennenden Schleifvorgang ausfuhren. standig (um 90") umzulenken: Trifft ein Fluidvolumen mit (Relativ-)GeschwinAus der Bedingung Fwd = Fdynfolgt: digkeit auf eine (Fest-)Korperoberflache (Bild 4-58), so wird die zuerst aufschlagende Fluidstrahlfront unter gleichzeitiger punktartiger elastischer Verformung von Fluid und Festkorper stoBund hieraus A,,, = 2 . A , artig in Zustromrichtung auf die Geschwindigkeit oder Ddyn = DDii. nahe Null verzogert. Der auftretende StoB erzeugt Die notwendige Umlenkflache A,,, ist demnach eine Schockwelle, die sich in den Festkorper und theoretisch mindestens doppelt so grol3 wie der den Fluidstrahl - hier entgegen der StromungsDusenquerschnitt A,, . Nur dann wird der Fluid- richtung - ausbreitet. strom um 90" umgelenkt, was zur vollen Kraftwir- Die Ausbildung des Freistrahles geht aus Bild 3-26 kung notwendig ist. Bei kleineren Platten sind hervor. Genutzt werden sollte der Primarbereich. Ablenkung und Kraftwirkung des Strahles ent- Der Abstand zwischen Duse und Materialoberflasprechend geringer. Dabei ist gleichbleibender che ist entsprechend kurz einzustellen. Dadurch Staudruck uber der gesamten Umlenkflache Adyn ergibt sich infolge der noch vorhandenen vollen angenommen, was nicht zutrifft. Je mehr der mechanischen Energie die volle Strahlwirkung, Strahl im Abstromgebiet umgelenkt ist, desto ge- und die Gerauschbildung ist vergleichsweise geringer wird seine Kraftwirkung und damit der ring. Die Hauptgerausche bewirkt der StrahlbeStaudruck. Das Staudruckprofil auf der Platte reich nach der Primarzone infolge der zunehmend entspricht deshalb etwa demjenigen vor dem Kor- stiirker werdenden Turbulenz, die von der Wechper von Bild 3-39. Tatsachlich ist daher eine Um- selwirkung (Vermischung) mit dem Umgebungslenkflache A,,, notwendig, die groDer als das medium verursacht wird.

und

v1= v,,

folgt aus Bedingung

Gii.

cp,,Jm)

-

fi

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Der beim Aufschlagen des Fluidstrahles entstehende Stofidruck wird auch als Wasserhammerdruck bezeichnet. Nach ACKERET, sog. ACKERET-Formel, betragt der durch Fluid- und (Fest-)-Korperelastizitat begrenzte StoBdruck:

Hierbei bedeuten:

Q

. . . Dichte

c . . . Strahl-Auftreff-

geschwindigkeit a . . . Schallgeschwindigkeit Index F . . . Fluid S . . . (Fest-)Korper (Stoff) COOKsetzt den Klammerausdruck in G1. (4-148) eins, was fur den StoB zwischen Flussigkeit (meist Wasser) und Metallen zulhsig ist. Dann ergibt sich die Naherungsformel + COOK-Formel: (4-149) Pst = QF C~ ' a~ '

171

Durch den Wasserhammerdruck mit folgender StoBwelle wird das Gefuge des Feststoffes entlang den Korngrenzen geschadigt (Mikrorisse) und dadurch der Trennvorgang eingeleitet. Diese Wirkung konnte durch pulsierenden, also fortlaufend kurzzeitig unterbrochenem Fluidstrahl wesentlich gesteigert werden, was jedoch bei den notwendigen Drucken wegen Werkstoffproblemen technisch nur schwer zu verwirklichen ist (Standzeitprobleme). Beim mechanischen Strahlzerhacker, der den Strahl in einzelne ,,Flussigkeitszylinder" unterteilt, wird andererseits ein groBer Anteil der Strahlenergie durch den Unterbrecher abgelenkt und zerstaubt, also vernichtet + Warme. Allgemein wird ein Strahl, der aus einer Mischung von StoB- und Staudruck besteht, als gemischter Strahl bezeichnet. Die Anzahl der Stoljimpulse je Zeiteinheit gilt dabei als Kriterium zur Charakterisierung der Mischung von StoB- und Staudruck und damit des Mischstrahles. Der besonders wirksame sog. Stofistrahl k t eine Sonderform des groBen Spektrums der gemischten Strahlen, bei welchem im Druck-Zeit-Verlauf hochfrequente StoBdruckimpulse mit sehr kurzen nachfolgenden Staudruck-Perioden vorliegen.

Hierbei wird nur die Kompressibilitat der Strahlflussigkeit beriicksichtigt, die Elastizitat des Festkorper-Metalles dagegen vernachlassigt. Das bedeutet, es wird vergleichsweise gesetzt: Es -+ co Der StoBdruck eines mit 4000 bar ~ b e r und damit geht gemaB GI. (1-22) auch as -+ co. druck erzeugten Wasserstrahles (20 "C) Die Formel nach COOK,G1.(4-149), ist iden- senkrecht gegen eine Stahlflache ist abzuschatzen. tisch der Beziehung fur den JOUKOWSKY-StoB,Der Geschwindigkeitsbeiwertder Saphir-Duse beG1. (3-82). trage 0,9. Fur Wasser, 20°C, gemaB G1. (1-4) mit Dichte Der volle Wasserhammerdruck wird etwa eine Q, w 1000kg/m3 (Tab. 6-7) und nach Tabelle 1-10 Mikrosekunde nach dem Strahlaufschlag erreicht. 1 bar El = 20400 bar Danach erfolgt wieder ein fast ebenso schneller bei Druckabfall, so daB nach etwa zwei weiteren Mi- bei 4000 bar E,,,, = 41 670 bar = (El + E4,,,)/2 w 31 000 bar krosekunden der Druck schon in die Nahe des Mittelwert E Staudruckes gesunken ist. Der gesamte StoljVorgang dauert somit etwa 3 Mikrosekunden. Nach dem steilen Anstieg des Druckes bis auf den StoBdruck als Maximum und dem fast ebenso raschen Abfall bleibt der sich dann einstellende, Da Entspannung des Wassers in der Duse von als quasi-stationar geltende Staudruck solange er(pa + pb) aufp,, erfolgt und Kompressibilitat linear halten. wie Fluid kontinuierlich nachstromt. Der angenommen, wird mit Mittelwert gerechnet: StoBvorgang ist die instationare Anlaufsituation. Nach der Gesamtzeit von ca. 3 ps ist somit der stationare Zustand erreicht, gekennzeichnet durch Staudruck und 90"-Ablenkung gemaD Bild 4-58. Wahrend der Anfangszeit von etwa 1 ps erfolgt Aufschlag - dynamische Wirkung, weshalb Druck hoher als Staudruck - mit nachfolgender seitlicher Ablenkung, die nach weiteren ca. 2 ps vollstandig erreicht ist. Nach Tabelle 1- 16.

172

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

. lo3kg/m3, as = 5170m/s

Stahl

e,

Wasser

eF= 1 . lo3kg/m3,

= 7,85

a, = 1437m/s

ACKERET:pS,= lo3 .780. 1437 -.1000 1437)-' 7850 5170 [kg/m3 .m/s .m/s]

(1

+

p,, x 10825. lo5Pa

=

10825 bar

Der Ergebnis-Unterschied ist vertretbar. Er betragt etwa 3,5 %. Schiefer St00 gegen eine ebene feststehende Wand gemlo Bild 4-59.

C Dii

A~

v,"

i i

Bild 4-59. Schiefer StrahlstoB (6 =k 90") gegen eine feststehende ebene Wand.

Bemerkungen: Der schiefe StoD 1aDt sich nur mit dem in Bild 4-59 Angewendet auf Kontrollraum K R mit senkrechtl eingetragenen Bezugssystem mathematisch giinparallel zur Wand angeordnetem Bezugssystem stig losen. Wiirde das Koordinatensystem rnit Achsen in Stromungsrichtung und senkrecht dazu (x, y) ergibt: gewahlt, wurden sich nicht explizit auflosbare transzendente Gleichungen ergeben. Ob eine Bezugssystem-Anordnung gunstig ist, laDt Mit j, = m, . c, und m, = m,, sowie c, = c,, sich an der Anzahl notwendiger Zerlegungen in Komponenten erkennen, die moglichst gering sein sollte. Das Bezugssystem nach Bild 4-59 erfordert nur eine Komponentenzerlegung (an Stelle I), beim Waagrecht-Senkrecht-System dagegen wab) CE; = 0: I,,, + f2 - 1, = 0. Hieraus ren drei notwendig. j 3 = f 1 , , + j 2 . Mit j,,,=j,.cos6 u n d i = m . c Der senkrechte StrahlstoB ist ein Sonderfall des wird m , ~ c , = m , ~ c , ~ ~ 0 ~ 6 + m schiefen. ~ ~ ~ ~Bei 6 = 90" gehen die Beziehungen des schiefen StrahlstoDes in die des senkrechten uber. Weiter mit c3 = c2 = c, = c,, (reibungsfrei) StrahlstoR gegen symmetrisch gekriimmte Wand ergibt sich m3 = m, . cos 6 + m2 und da (Hohlwolbung), Bild 4-60. (4-150) Die Hohlschaufel bewege sich mit der GeschwinQ = konst = V, . cos 6 v2 digkeit u von der Duse weg. Der Strahl trifft desP3= PI - v2 eingefuhrt liefert halb nur mit der Relativgeschwindigkeit w = KO-0-0 c,, - u auf die Schaufel. mit GI. (4-150) 9, - v2= v1 cos 6 v2 Infolge der sich bewegenden Platte (Schaufel) hanHieraus delt es sich fur den ruhenden Beobachter urn eine instationare Stromungssituation. Oftmals konnen jedoch solche Probleme durch Wechseln des Bezugssystems in einen stationaren Fall uberfuhrt werden, was auch hier moglich ist. Um das instationare Problem mit dem Impulssatz fur stationare Stromungen behandeln zu konnen, Um Kraftegleichgewicht in y-Richtung, also paral- ist also davon auszugehen, daD der Kontrollraum lel zur Wand zu erreichen, mu0 sich der Strahl un- sich mit der Schaufel mitbewege. Ebenso das Kogleich aufteilen (v3i,> v2). AuDerdem ist v1= vD,. ordinatensystem (x, y), das damit zum Relativbe-

v3

+

i,

+

173

4.1 Eindimensionale Stromunaen realer inkom~ressiblerFluide (Fliissigkeiten)

Mit allgemein 1, = 1. sin p folgt

1, = 1, (symmetrisches Problem!)

VZ = V3 und mit K @-Q-Q wird

Mit Bild 4-60. StrahlstoB gegen eine symmetrische Hohlschaufel, die sich mit der Geschwindigkeit u in Strahlrichtung wegbewegt. RKR Relativkontrollraum (plattenfest), c Absolutgeschwindigkeit, u Bezugs- oder Basisgeschwindigkeit, w Relativgeschwindigkeit, FwdSchaufelwandkraft.

v2= v3= v1/2

~,=Q.V,.W~

und

vl

Fwd= e . (cDa- U ) (1 + cos /?)=f (u,/?)

(4-151)

Dabeiist ~ , = A , ~ w , = A ~ ~ ( c ~ , - u ) zugssystem und der Kontrollraum zum Relativkontrollraum RKR wird. In diesem schaufelfesten Relativsystem ergibt sich wieder ein stationarer Vorgang mit den konstanten Relativgeschwindigkeiten w = w, = wz = w3 = cD, - u bei Reibungsfreiheit. Bei Berucksichtigung der Reibung ware gema13 Gl. (4-75): mit cp =f (Umlenkwinkel, Rauhigkeit) cp < 1; meist cp = 0,95 bis 0,99

und Deshalb

VD, =AD, c,, V, < V&

Die Differenz AV zwischen dem aus der Diise austretenden Volumenstrom vD,und dem in den relativen Kontrollraum RKR eintretenden Volumenstrom Vl . . AV= VD,- V,=A,.u

ist notwendig zum Aufbau des Strahles zwischen Duse und der sich standig wegbewegenden SchauEs handelt sich ebenfalls um ein symmetrisches fel. Dab der Strahl in Wirklichkeit eine ParabelProblem, weshalb Wand-, d. h. Schaufelkraft Fwd bahn (Wurfparabel) beschreibt, ist in diesem Zuin x-Richtung verlauft. Der Druck im Strahl ist sammenhang unwichtig und wird deshalb nicht nach dem Verlassen der Duse wieder konstant und berucksichtigt. gleich dem Umgebungsdruck. Deshalb wird von Gleichdruckwirkung gesprochen. Die Wirkung Wird V, in G1. (4-151) durch die Beziehung von der Fluidreibung sol1 hier gegeniiber den anderen G1. (4-152) ersetzt, ergibt sich: Kraften vernachlassigbar sein, ebenso die Kontraktion (A, =AD,). Unter diesen Bedingungen ergibt der Impulssatz, Aus beiden Gleichungen (4-151) und (4-153) folgt angewendet auf den Relativkontrollraum RKR: fur die Strahlkraft Fwd (Wandkraft): a) Fwdwird maximal bei u = 0, also wenn die Schaufel steht. b) Fwdwird zu null bei u = c, d. h. wenn sich die Schaufel mit gleicher Geschwindigkeit wie der Strahl von der Duse wegbewegt. j2, = i3,. Hieraus

174

4 Stromungen ohne Dichteanderung (auasi-inkc~mpressibleStromungen)

c) Fwderreicht seinen Maximalwert bei cos /3 = 1, also bei = W; das bedeutet bei beidseitiger Umlenkung des Strahles um jeweils 180". Bei praktischer Anwendung der Hohlschaufel in der sog. P ~ ~ ~ o ~ - T u rwird b i ndieser e Forderung weitgehend entsprochen. Um den Strahl aus dem Laufrad jedoch gut abzufuhren, sind Schaufelwinkel von j = 4" . . . 8" notwendig. Zur Herabsetzung der Verluste (Wirbel und Reibung) wird auSerdem der sich in der Strahlaufteilung bildende Totraum durch entsprechende Schaufelgestaltung (Form wie Totraum) vermieden und zur Reibungsminderung die Schaufelinnenflache poliert (Geschwindigkeitsbeiwert cp gegen 1,O). Leistung, welche die Schaufel bei der Umfangsgeschwindigkeit u und der zugehorigen Umfangskraft Fwdabzugeben vermag:

Maximale Leistungsiibertragung somit bei

Damit wird 4 Pmax = - . Q . A ~ ~ . C & ( I + C O S / ~ ) 27

(4-156)

Da p klein ( j = 4" . . . 87, also cos j x 1 ist, gilt:

Bemerkung: Die Situation nach Fall 1 ist von theoretischem Interesse und findet in der Praxis keine Anwendung.

Fall 2: Fwd nach GI. (4-151) Bei den sich drehenden Radern der Gleichdruckturbinen, d.h. den sog. PELTON-und LAVALJe nachdem, welche Beziehung hierbei fur Fwd, turbinen fiir Wasser b m . Wasserdampf, kommt d. h. G1. (4-151) oder G1. (4-153), eingesetzt wird, der Strahl zwangslaufig nur kurzzeitig mit der jeweils beaufschlagten Schaufel in Kontakt. Die ist zwischen zwei Fallen zu unterscheiden: Schaufel taucht in den Strahl ein, wird voll getrofFall 1: Fwdnach G1. (4-153) (allgemeingiiltiger Fall) fen und taucht wieder aus, wobei gleichzeitig die nachste Schaufel iiberlappend beginnt einzutauchen (wie bei kammenden Zahnradern). Bei diesen praktisch auftretenden und daher wichtigen Fallen Aus dieser Beziehung laOt sich das Verhaltnis zwi- kann deshalb der Volumenstrom v ~ ,der auf die schen der meist vorgegebenen Strahlgeschwindig- Laufschaufel trifft, meist geniigend genau gleich keit c,, und der wahlbaren Umfangsgeschwindig- dem aus der Duse austretenden gesetzt werden: keit u ermitteln, bei der die abgegebene Leistung ein Maximum erreicht: Die Strahlgeschwindigkeit v1 il vD" = konst ist durch das vorhandene Gefille H bestimmt (TORRICELLI) und deshalb nur die Geschwindig- Darnit wird nach G1. (4-151): keit u anderbar. Nach der Extremwertmethode der Differential- Fwd % e . vD". (cDii- u) . (1 cos /3) und rechnung ergibt sich:

+

Maximum bei

dP du

-=

Die Extremwertbildung entsprechend Fall 1 ergibt

0

Angewendet auf G1. (4-154) bei AD, = konst und p = konst, liefert:

Hieraus 1. Losung: u = c,

+ Minimum,

P =0

2. Losung: u = c,/3

+ Maximum,

P = Pmax

c,

- 2 u = 0 oder u = cD,/2

als Optimalverhaltnis und damit die ubertragbare Maximalleistung:

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Oder mit A,,

=

&,/c,,

c&/2 = g . H = p,,,,/~

und Energie-G1. bei Q z konst, wird

175

Der Impulssatz, auf den abgegrenzten Kontrollraum KR bezogen, ergibt:

wobei Y = g . H = p,,,,/~ die spezifische Arbeit (bei Reibungsfreiheit und Q z konst). Gema13 G1. (4-161a) ist, da die Reibung nicht beriicksichtigt wurde, in diesem Betriebszustand die Turbinenleistung gleich der Gefalleleistung des Wasserstromes und somit der Wirkungsgrad zwangslaufig 100% (theoretischer Wert).

Mit

Das tatdchliche Maximum liegt in der Regel zwischen den Werten der beiden Falle und meist sehr dicht bei Fall 2.

c,

Angeschnittener ebener Strahl, Bild 4-61. Durch ein planes Messer wird ein Teil des Strahles zwangsweise abgelenkt. Um die waagrechte Kraftkomponente auszugleichen, mu13 gema13 Kraftegleichgewichtbedingung auch der durch das Messer theoretisch nicht beeinflu13te Fluidteilstrahl seitlich ausweichen. Der Auslenkungswinkel /3 1aBt sich mit Hilfe des Impulssatzes ermitteln. Der Vorgang ist waagrecht angeordnet, deshalb (x, y)-System in Bild 4-61, damit ist die Gewichtskraft auch theoretisch ohne EinfluO.

+Fwd,,

.

.

= 11 - 1 2 - y - 13,,

Fwd,.=Fwd.sina; i2,.=i2~cos/3;I3,.=i3.cosa Fwd,, = Fwd. cos a; i2,, = i2. sin p; =

c,

=

c3 = c,,

i3,, = i3. sin a

(reibungsfrei!)

und allgemein 1= m . c = Q . v . c ergeben sich fiir die Beziehungen von Fwd,,und Fwd,, : = Fwd. sina = 1,.

Fwd,,= F w d

cosa - 1, .cos/3

. 12.sinP . ~ ~-i,.sina = . I,~-~

Die Gleichungen durcheinander dividiert, fiihrt zu: sina - i 3 . c o s a - i 2 . c o s p cosa 1, -i2.sinp -i3.sins

--

Die Beziehungen fiir die Impulsstrome setzt: tan a

=

V ~ ~ C O SM

i einge-

v2iz~~~fl

V,- v 2 . sinp - v3 sina i,

Diese Gleichung ist noch mehrfach umzuformen:

mit V, =

v2+ v3und durch 6 dividiert, fiihrt zu:

(&/fi)(tana-sina. tana-cosa) = - tana + sinp. tana - cosfi sin /3 . tan a - cos 1

v Bild 4-61. Angeschnittener Strahl durch ebene Platte (Messer) in waagrechter Anordnung.

= t a n g + (v3/v2).(tanu-sina.tana-cosu) sin p . tan a - cos fi

P3

= tan a - -T- . (sin a - sin2 a - cos2 a)/cos a v 2

176

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

= tan a

+ ( P ~ / V(sin ~ ) a - l)/cos a

= sin a

+ (vJv,)

(sin a - 1)

cosa cosp - s i n a . sin/? =

(v3/v,)

(1 - sin a) - sin a

cos (a + P) = (v3/6) (1 - sin a) - sin a Hieraus folgt schlieBlich fur den Ablenkungswinkel P: /I = arc cos [( &/ p2)(1 - sin a) - sin a] - a (4-162) Bild 4-62. An schragem Luftstrahl ,,hangendeG'Kugel.

Interessanter Sonderfall: a = 0" (waagrechtes Messer -, IDiise) und v3/p2 = I (halbe Zwangsablenkung des Strahles) G1. (4-162) ergibt hierfur: fl = arccos 1 = 0" Die vom Messer theoretisch nicht beeinfluDte Strahlhalfte weicht also trotzdem ebenfalls waagrecht aus, d. h. in Ebene senkrecht zur Dusenrichtung, und m a r exakt seitlich entgegengesetzt zur zwangsabgelenkten Strahlhalfte. Dieses erstaunliche Ergebnis erklart sich nach der Ableitung durch das auch in waagrechter Richtung notwendige Krafte-, d. h. Impulsstromgleichgewicht. Festzuhalten ist noch: Der Staupunkt befindet sich dabei auf der Flache des Messers und nicht an dessen Spitze, also weiter innen. Das ist notwendig, damit das Messer auch die Impulswirkungen des freien Teilstrahles v2 aufnehmen kann. Das Messer muB daher weiter in den Dusen-Strahl V,, eindringen als es dem herausgelenkten Teilstrahl 6 unter ausschlieBlicher Betrachtung der Querschnittsverhaltnisse entsprechen wiirde. Praktisch geht der Fall dadurch letztlich uber in den senkrechten StoB gemaB Bild 4-58, d. h. das Messer mu13 den Strahl insgesamt erfassen und deshalb entsprechend weit quer geschoben werden, da anderenfalls immer v3/v2i, I bleibt. Bemerkung: Die Betrachtungen ergeben, daB eine unter StoB angestromte Platte immer Strahlablenkungen nach entgegengesetzten Richtungen bewirkt, d. h. nach allen Seiten in gleicher oder unterschiedlicher ,,StarkeC'(Menge). Kugel oder Walze, schwebend in schragem Luftstrahi, Bild 4-62. Eine Kugel oder Walze entsprechenden Gewichtes kann von einem schragen Luftstrahl (v,, cl) hangend in der Schwebe gehalten werden. Der den

Korper oben streifende Luftstrahl wird infolge seiner notwendigen Ausweichbewegungen gebietsweise konvektiv beschleunigt (umgelenkt), wodurch sein statischer Druck im Beriihrungsbereich mit der Kugel absinkt. Zwischen der ungestorten Umgebungsluft uber dem Luftstrahl und der von ihm beruhrten Kugeloberflache entsteht ein Druckgefalle, was eine Ablenkung des Luftstrahls nach unten zur Folge hat. Dadurch stellt sich der kleinere Abstromwinkel a, ein. Als weiteres ergibt sich infolge Fliehkraftwirkung ein Druckgefalle zwischen Kugelunter- und Kugeloberseite. Die Integration des Druckes uber die Kugeloberflache fuhrt zu einer Aufkraft, die so groB ist, wie die Gewichtskraft der Kugel. Dies ergibt die experimentell beobachtbare Erscheinung, daIJ die Kugel oder Walze am schragen Luftstrahl ,,hangend" schwebt. Der Impulssatz ermoglicht, die fur das Gleichgewicht notwendige Strahlablenkung zu berechnen, ohne daB Integrieren des unbekannten und nur experimentell ermittelbaren Druckprofiles um die Kugeloberflache notwendig ist.

'11 Vl . Hieraus cos a, = T . cos a1 vz cz

b) CE = 0: il,,-Fwd-i,,,= O

(4-163)

mit Fwd= FG

~,~sin~~-~~-~,.sina,=O

177

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Analog hierzu erzeugen Tragflachen (Abschnitte 4.2.9 und 4.3.3) Auftrieb. Diese werden allerdings auch noch unten umstromt, was die Kraftwirkung entsprechend verstarkt.

Hieraus

Division der Beziehungen fur sina, und cosa,, also G1. (4-164) durch Beziehung (4-163):

'ci C l sin a, - -------FG -.-. sina, Ti, c, Q . V, cz tans, =-cos a, -v.1 -c1. cos a1 '2.

v2

4.1.6.1.4 Riickstonkrafte Jeder ausstrijmende Strahl hat einen RiickstoR zur Folge, der auf das GefaB oder die Duse zuriickDiese wirkt -t reactio = actio, 3. NEWTON-Axiom. Kraft ist, wie auch die folgenden Beispiele zeigen, ebenfalls mit dem Impulssatz berechenbar.

'z2

BehalterausfluB aus seitlicher i)ffnung, Bild 4-63. tan a 2 = tan a,

FG

- Q . i; ' c , -cosa,

(4-165)

Hieraus folgt: a, < a, also Strahlablenkung Aa = a, - a, Wie zuvor beschrieben, wird die zur Erzeugung der dynamischen Aufkraft notwendige Strahlablenkung nach G1. (4-165) nur erreicht, wenn die Abstromgeschwindigkeit c, gemaB G1. (4-163) entsprechend kleiner ist als die Anstromgeschwindigkeit c, des Strahls. Andererseits mu13 jedoch die Energiegleichung ebenfalls erfullt sein. Wenn die spezifische kinetische Energie c:/2 des Strahls i a c h der Kugel kleiner ist als davor, mu13 Energiegleichheit erreicht werden, indem zum einen Stromungsenergie durch Reibung in Warme umgesetzt wird und zum anderen der Strahl ruhende Umgebungsluft durch Reibung (Scherspannung) mitnimmt und auf die Abstromgeschwindigkeit c, beschleunigt. Der Volumenstrom aufder Abstromseite ist deshalb entsprechend grooer als auf der Zustromseite. AuBerdem wird die Kugel durch die Oberflachenreibung des Fluides in Drehung gesetzt. Die hierzu notwendige Rotationsenergie wird dem stromenden Fluid ebenfalls entzogen. Durch die Umlenkung (Fliehkraft wegen Kreisbahn) steigt der Druck quer zur Stromungsrichtung - vergleiche auch Krummerstromung, Bild 4-13. Ausgehend vom Umgebungsdruck am AuBenrand des Strahles nimmt daher der Druck radial nach innen bis zur Beruhrung mit der Korperoberflache ab (Gl. 3-65), Durch diesen Unterdruck wird die Kugel gehalten. GemaB Energiegleichung mu13 deshalb die Geschwindigkeit quer der Stromung ebenfalls ungleich sein, und zwar umgekehrt zum Druck, d. h, an der Korperoberflache gro13er als aul3en. Zur Abstromseite hin (Stelle 2 in Bild 4-62) gleichen sich diese Unterschiede wieder aus.

v2

* "= O

IS

ZF,

= 0:

Fwd- I,

CFx= 0 CFz= 0 (bringt nichts!)

=0

v, = p . &,und c, = y, . c,,,,

hieraus mit (Abschnitt 4.1.2.1):

Aus der Energiegleichung bei A , % A , und H = konst ( T o ~ ~ ~ c ~ L ~ ~ - B e z ifolgt: ehung)

Damit wird die Wandkraft Fwd(RuckstoO) (4-166) Fwd= p q * 2 * AM -pH,ii und bei y , - 1 sowie a = 1 --+ p = q - a = l (reibungsfrei und gut ausgerundete Miindung):

Fwd,,,= 2 . A M . PH,"

(4-167)

Andererseits betragt nach dem fluidstatischen Grundgesetz die Kraft auf den der AusfluDoffnung gegenuberliegenden gleich groBen Wandbe-

L Bild 4-63. RiickstoBkraft infolge BehalterausfluB.

178

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

a)

bl

Bild 4-64. Verlauf des statischen Druckes beim Ausflurj aus einem Gefal3: a) idealisiert b) tatsachlich (experimentell ermittelt) reich des Behalters, da hier praktisch keine Stromung herrscht:

F~= ' PH,, (4-168) Die theoretische RuckstoRkraft, G1. (4-167), ist demnach doppelt so grol3, wie die fluidstatische Kraft auf die gegeniiberliegende, gleich grorje Wandflache. Der Unterschied ist durch den Druckverlauf im Miindungsbereich begriindet. G1.(4-168) gilt nur, wenn der Druckabbau im Miindungsbereich erfolgt, wie in Bild 4-64,a dargestellt. Dieser idealisierte Druckverlauf ist jedoch selbst theoretisch nicht moglich. Der Druck kann nach dem Druckfortpflanzungsgesetz an einer Stelle nicht zugleich zwei Werte annehmen, wie dies bei dem plotzlichen Druckabfall in Bild 4-64,a am Mundungsrand sein muRte + von p,,, auf 0. Der Druckverlauf wird deshalb entsprechend Bild 4-64,b erfolgen. Dann gilt:

,

Hierbei:

= . . . murj gleich sein A . . . gesamte benetzte Gefarjwandinnenoberflache. Einklammerung, weil symbolische Grenze.

Oder angebaute Diise mit Verengungsverhaltnis m = 0,5 damit die Zustromgeschwindigkeit zu ihr vernachlassigbar (Abschnit 3.3.6.3.3) und deshalb Innendruck im Behalter quasi unbeeinflurjt vom Ausstromvorgang, also etwa ,,konstantU. Beziehung (4-166) gilt fur jede Art von Ausstromdusen, z.B. bei Strahltriebwerken (Flugzeuge, Raketen), Feuerwehrschlauchen, Wassenverfern, Rasensprengern und dgl. Auch als sog. Waterjet-Vortrieb verwendet bei schnellen Schiffen (235 Kn = 65 km/h). Die Strahlkraft erreicht ihrerseits, wie beim senkrechten Strahlstorj gezeigt, als Aktionswirkung mindestens (bei 90"Umlenkung exakt) die gleiche GroBe.

Bild 4-65. Strahltriebwerk,Prinzipdarstellung. Relativer Kontrollraum RKR mit Triebwerk gekoppelt, d.h. bewegt sich mit. Abstande t , und t, theoretisch unendlich und praktisch ausreichend grol3, damit ungestorte Zu- bzw. Abstromung. Zustromgeschw. w,= c,,,,; Abstromgeschw. w,=c,; Strahlgeschw. nach dem Triebwerk c, = w,- c,,,, (entgegen Flugrichtung).

Strahldiise (Strahltriebwerk): Bei den zum Flugzeugantrieb eingesetzten Luftstrahl-Gasturbinentriebwerken stromt die Luft (Massenstrom riz,,) an der Vorderseite mit der Geschwindigkeit w, (Relativgeschwindigkeit) zum Triebwerk. Diese Einstromgeschwindigkeit ist etwa gleich (bei Windstille exakt gleich) der Fortbewegungsgeschwindigkeit des Flugzeuges. Im Triebwerk wird der Luft nach Verdichten durch Verbrennung von eingespritztem Brennstoffstrom kBrthermische Energie zugefuhrt. Der Verbrennungsgasstrom riz,, + m,, verlaRt infolge Entspannung mit der hoheren Austrittsgeschwindigkeit c,, (= Relativgeschwindigkeit w,) durch die Strahlduse das Triebwerk. Dieser Impulsstrom hat den RuckstoR zur Folge. Die zugehorige Schubkraft Fs (=Haltekraft Fwd) 1aRt sich mittels des Impulssatzes geman Bild 4-57 berechnen. -+ CF, = 0: Ausgewertet mit w, = c,,,, IS 0-0 und w, = c,, (Diisenaustrittsgeschwindigkeit) am mitbewegten Relativkontrollraum RKR.

jl

+ Fwd- 1, = 0.

Hieraus

F~~= 1, - il = riz,. w2 - m l . W , = (mLu+ mBr). w2 - mLu. w1 (4-169) Fwd= (mLu$ mB,) ' CDii - hLuC F ~ , ~ Nach reactio gleich actio, dem 3. Axiom (Wechselwirkungsgesetz) von NEWTON[27], ist die Vortriebs- oder Strahlkraft Fs gleich der Halte- oder Wandkraft Fwd, also Fs = Fwd. Es sind gleiche Betrage, jedoch entgegengesetzte Wirkrichtung. '

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkomvressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Der eingespritzte Kraftstoffstrom ist gegenuber dem Luftstrom klein und deshalb meist vernachlassigbar. Nach der Verbrennungsgleichung ist theoretisch ein spezifischer Luftbedarf von ca. 14,5 kg Luft je kg Brennstoff notwendig. Um vollstandige Kraftstoff-Verbrennung zu erreichen und unzulassig hohe Temperaturen ( 51500 "C) in der Turbine des Triebwerks zu vermeiden, wird mit LuftuberschuI3zahlen von 1 = 2 bis 4 gefahren, auch als Luftverhaltnis bezeichnet. Bei 1 z 3 ist der Kraftstoffstrom daher etwa 2,3 % 'I vom Luftstrom (vernachlassigbar!). In erster Naherung gilt deshalb mit m,, x 0 gesetzt fur die Strahlkraft:

179

czu

3

Slromrohre des vom Propeller ertaflten Ftuidstromes k ~ s t r a h l l

4% ' ( ~ ~-icmng) i (4-170) Da Raketentriebwerke unabhangig von der Umgebungsluft arbeiten, also den zur Verbrennung notwendigen Sauerstoff mitfuhren, entfallt der Eintrittsimpulsstrom 1, (w, = 0 in Bild 4-65). Die Strahlkraft ist dann so groI3, wie der Austrittsimpulsstrom 1,. Deshalb ist bei Raketentriebwerken die Vortriebskraft fur den aus der Duse mit der Geschwindigkeit c,, austretenden Verbrennungsgas-Mengenstrom mGa= Q, . vGa= eGa.ADii. c,,:

.

.

2 (4-171) = eGa AD" cDii Bemerkung: Bei Strahltriebwerken und Raketen betragt die abgestrahlte Schallenergie etwa 0,5 % der umgesetzten Strahlenergie.

4 = mGa

CDii

4.1.6.1.5 Propellerschub Der Impulssatz ermoglicht die Schubwirkung von Propellern anzugeben, ohne auf deren Profil-, Flugelform und Flugelzahl einzugehen. Diese Betrachtungsweise wird auch als vereinfachte Propeller- oder Strahltheorie bezeichnet, da zudem Reibungsfreiheit, drallfreier Abstrom und Umgebungsdruck am Strahlrand zugrundegelegt werden. Bei dieser von RANKINE')begriindeten Strahltheorie wird der Propeller als durchlassige Kreisscheibe mit gleichmaBiger Durchstromung sowie Druckverteilung (davor und danach) betrachtet. Die schuberzeugenden Propeller dienen zum Antrieb von Flugzeugen und Schiffen. Der Propeller saugt bei Drehung standig Medium an, beschleunigt dieses und gibt es nach ruckwarts mit hoherer Geschwindigkeit ab. Dabei schnurt sich der den Propeller umhullende Fluidstrom wegen der Kontinuitatsbedingung ein, die bei schwach belasteten

"

1/(3 . 14,5)= 0,02299 x 0,023 a 2,3%. RANKINE, William John (1820 bis 1872), engl. Ing. u. Physiker.

Bild 4-66. Propeller-Stromung (schematisch): a) Strombild (Propellerstrahl), b) Geschwindigkeitsverlauf, c) Druckverlauf. Kontrollraum vorne und hinten je so weit vom Propeller entfernt, daD dieser den Fluidstrom direkt noch nicht, bzw. nicht mehr beeinfluDt.

Propellern (meist der Fall) jedoch gering ist. Gleichzeitig wird das Medium in Drehung versetzt. Werden Reibung, Dichteanderung und Riickwirkung des Fahrzeuges sowie Strahldrehung (Schraubenbewegung) vernachlassigt, ergibt der Impulssatz mit Hilfe von Bild 4-66 die Propellerschubkraft Fp.Der Kontrollraum KR bewegt sich dabei mit dem Propeller in Fortbewegungsrichtung mit. Streng betrachtet handelt es sich somit wie in Bild 4-65 um einen Relativkontrollraum zum Erhalten stationarer Bezugsverhaltnisse.Entsprechend handelt es sich bei Zu- und Abstromung um Relativgeschwindigkeiten, da auf den Propeller (Kontrollraum) bezogen, die durch die Abkurzung w zu kennzeichnen waren. Dies ist jedoch, wie die vorgehende Betrachtung des Strahltriebwerkes zeigt, nicht notwendig, da w,, = c,, und w,, = cab, weshalb sofort das Absolutgeschwindigkeitssymbol c verwendet wird. Die Strahleinschniirung ist gering, weil die Geschwindigkeitssteigerung von c,, auf cab bei Propellern in der

180

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Regel klein ist, bewirkt durch die schwache Druckanderung (Belastung) Ap, Bild 4-66, so daR auch Fluiddichte e z konst. IS

0-63- t Z F , = O

I,,

+ Fwd

-

ausgewertet ergibt:

=

mab cab- m,, '

'

cZu

Mit mab= m,, = l'hp V, = V, und

=

hieraus

hieraus

jab= 0

Fwd= lab - I,,

Naherungsweise c, x c2 x cp gesetzt ergibt:

V, da

Q

Mit diesem Druckunterschied Ap zwischen Vorder- und Riickseite der Propellerrotationsflache A, = Dg . n/4 1aBt sich der Propellerschub dann auch wie folgt darstellen:

z konst

Fp= Fwd (actio gleich reactio!)

wird Fp= mp . (cab- czu)= e

. vP (cab- c,,) i,.

(4-172) Mit der Stromungsgeschwindigkeit cpin der radialen Propellermittenebene ist der Volumenstrom:

Eingesetzt in die Beziehung fur den Propellerschub, exakt -schubkraft, GI. (4- 172): FP= e . (Dg . n/4) . cp . (cab- c,,)

Mit Geschwindigkeitsdifferenz: Ac

= cab- c,,

Dabei entspricht wieder die Zustromgeschwindigkeit c,, des Fluids der Fortbewegungsgeschwindigkeit des Propellers, also der Fahrgeschwindigkeit des Schiffes bzw. der Fluggeschwindigkeit des Flugzeuges, wenn Wasser- bzw. Windgeschwindigkeit vernachlassigt werden.

Durch Gleichsetzen von G1. (4-173) mit GI. (4-175) ergibt sich:

Diese Beziehung wurde schon von FROUDE angegeben und wird deshalb auch als FROUDE-Theorem bezeichnet. Die Strahlgeschwindigkeit in Propellermitte ergibt sich demnach als arithmetischer (linearer) Mittelwert zwischen Zu- und Abstromgeschwindigkeit des Fluides. Der Propellerschub Fp, auf das Produkt von Rotorflache A, und Staudruck Q . (ciu/2) der Anstromgeschwindigkeit c,, bezogen, wird als Belastungsgrad oder Schubbelastungsgrad Cs bezeichnet:

Wird, wie envahnt, Reibungsfreiheit vorausgesetzt, ergibt andererseits die Energiegleichung idealer Fluide: E @ - @ ,also vor dem Propeller (Zustromseite):

(4= (cab/czu>"

I

(4-177)

Mit dem Belastungsgrad stellt sich die Propellervortriebskraft laut G1. (4-175) wie folgt dar:

E @ - @, d. h. nachdemPropeller (Abstromseite):

FP= CS . Q . AP . c:,/2

(4-178)

Nach FROUDE')kann der theoretische Schub-, Strahl-, Vortriebs-, Propulsions ')- oder PropellerWirkungsgrad definiert werden: Infolge des Propeller-Freistrahles ist pa, = p,,.

VP, th

= Pnutz/P~trahl

Beide Energiegleichungen addiert: "

FROUDE, James Anthony (1818bis 1894),engl. Wissenschaftler. Propulsion . . . Forttreiben

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

entspricht (Umgebungsbewegung vernachlassigt) ergibt sich letztlich:

Mit der Propellernutzleistung Pnutz

181

= F~' c ~ o r t= F~'

und der dem Propellerstrahl (Mengenstrom m,) vom Antriebsmotor zugefuhrten Leistung

dap,, = p,, sowie zab= z,,, ergibt sich der theoretische Propellerwirkungsgrad zu:

Weiter mit GI. (4-172) und GI. (4-176):

Oder mit dem Belastungsgrad C,:

GemaB dieser Gleichung sinkt der Propellerwirkungsgrad mit wachsendem Belastungsgrad. Hochbelastete Propeller (C, groB) erreichen somit geringere Wirkungsgrade als schwach belastete, die deshalb meist ausgefuhrt werden. Durch die Reibungs- und Drallverluste wird der tatsachliche Propellerwirkungsgrad um den sog. Giitegrad q, x 0,7 bis 0,9 kleiner:

Mit der Geschwindigkeitssteigerung des PropellerLuftstrahles AC = cab- czu und daraus cab= c,,

+ Ac

1aBt sich der Vortriebswirkungsgrad nochmals umschreiben: V ~ , t h=

1

+ c,, + Ac

-------

c,,

-

1 Ac 1 +-.2 czu

Da, wie ausgefuhrt, die mittlere Zustromgeschwindigkeit c,, ungerahr der Fortbewegungsgeschwindigkeit c,,,, des Flugzeuges oder Schiffes

Je geringer die Geschwindigkeitszunahme Ac des vom Propeller beschleunigten Fluidstromes ist, desto groBer wird der theoretische PropulsionsWirkungsgrad, GI. (4-182). Der Strahlwirkungsgrad q,,,, = 1 kann jedoch auch theoretisch nicht erreicht werden, da sonst Ac = 0 sein muBte und damit kein Schub mehr vorhanden ware, GI. (4-173). Bei Flugzeugen z. B. liegt der Vorteil der Luftschraube darin, daB sie im Gegensatz zum Strahltriebwerk einen groBen Luftmassenstrom riz, erfaBt und nur wenig beschleunigt (um Ac). Propellertriebwerke sind deshalb bis Fluggeschwindigkeit von etwa 700 km/h den Strahltriebwerken hinsichtlich Wirkungsgrad uberlegen. Daruber jedoch wegen Schallnahe (VerdichtungsstoBe, Abschnitt 5.4) nicht mehr sinnvoll anwendbar + 7 gering und starke Gerausche. Die R A N K I N E SStrahltheorie C~~ liefert wohl einen oberen Wert fur den Propellerwirkungsgrad, gibt jedoch keinen AufschluB uber den EinfluB von Anzahl und Profilform der Flugel (Schraubenblatter). Hinzu kommt, daB die notwendige Annahme eines drehungsfreien zylinderischen Strahles, der sich mit bestimmter Geschwindigkeit unbeeinfluBt durch das umgebende Fluid bewegt, nicht befriedigt. Entsprechend erweiterte Propeller-Theorien, die den wirklichen Charakter (Wirbelbildung, Abschnitt 4.3.3) des Schraubenstrahles und die Fluidreibung berucksichtigen, enthalten einschlagige Fachbucher, z. B. [50]. Es ergibt sich ein sog. induzierter Widerstand (Abschnitt 4.3.3.3), der sein Minimum und damit geringsten Energieverlust bei schwachbelasteten Propellern erreicht, d. h. bei kleinem Ap (Bild 4-66) und deshalb auch niedrigem C,, weshalb diese vorteilhaft. 4.1.6.2 Drallsatz 4.1.6.2.1 Herleitung In der Analogie der Dynamik von Rotations- zu_r Translationsbewegung, Tabelle 4-7, ist der Drall L_ (Impulsmoment) das ~ ~ u i v a l e nzum t Impuls I . Bei gekriimmter Stromung ist deshalb der Drall L zu beriicksichtigen. Definition: -,

Vektorform: L Betrag:

=m -+

. F' x c'

L=IL(=R.m.c=R.Z

(4-183) (4-184)

182

4 Stromuneen ohne Dichteanderune (auasi-inkomvressible Stromungen)

Tabelle 4-7. Analogie zwischen Translations- und Rotationsbewegung (R lc, Bild 4-67). Rotation

Translation Zeit t

1 I

Geschwindigkeit

c =S

I Drehwinkel 1 Winkelgeschwindigkeit

Beschleunigung

. .. a=c=s

I

Masse

m

cP

w=+

.

..

Winkelbeschleunigung

a=w=q

Massentragheitsmoment

J=

1

I I 1

dm

(m)

Kraft

F=m.a

Translations-Energie

E

Translations-Leistung

P = 8 = P .c

I

Impuls

I=m.c

I

Impulsstrom Impulssatz

= m . c2/2

T =J . a

Dreh- oder Rotations-Energie

E = J . w2/2

Dreh- oder Rotations-Leistung

P = 8= T.w

1 Drall oder Impulsmoment I Drallstrom

i = d(m .c)/dt --*

Dreh- oder Torsionsmoment

~=d(m.c.R)/dt

I

Tt

Drallsatz

CF-XI =O

ist ein Dreh-Vektor und ergibt sich Der Drall nach G1.(4-183) aus dem Vektorprodukt von Orts-, d. h. Bezugs-Radius Fund Fluid-Geschwindigkeit c'mit dem Betrag L = m . R . c, GI. (4-184). Hierbei (Abstands-)Radius R senkrecht auf Geschwindigkeit c zum Bezugspunkt (Drehpunkt) gemessen. Mit dem von den Vektoren Fund c'eingeschlossenen Winkel a (Bild 4-67) ist:

I 1

L = ~ , ~ , R = I , R

z~'-z~=o

a) Instationare Kreisstromung (Drehstromung) R = konst -+ R = 0. Damit wird L=I~z.c.R+~.E.R (4-186) b) Stationare Kreisstromung Mit R = konst -+ R = 0

R=r.sina Wird der rail formal mit der Produktregel der Differentialrechnung nach der Zeit differenziert, ergibt sich allgemein fur den Betrag von Drallstrom L: dL - d ( m . R . c ) = c . R . - dm +m.c.dt dt dt

dR dt

Wie bei der Anwendung des Impulssatzes ist auch beim Drallsatz ein Bezugsgebiet notwendig. Der Kontrollraum ist dabei in der Regel rotationssymmetrisch. In bezug auf den Drehpunkt des jeweils durch den angesetzten Kontrollraurn abgegrenzten Bereichs ergibt sich bei den verschiedenen Fluidstromungen:

Mit dem Impulssatz, G1. (4-142), folgt schlieRlich fiir den wichtigen Fall b aus GI. (4-187):

Hieraus in D ' A ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - s c h r e i b w e i s e :

In allgemeiner Vektordarstellung gilt somit nach G1. (4-188) als Drallsatz (Impulsmomentensatz) fur stationare, gekrummte Fluidstromungen und jede beliebige Bezugsachse (Drehachse) des festgelegten Kontrollraumes, wenn alle wirkenden Momente - auch Haltemomente - beriicksichtigt werden:

Dazu Drallstrom-Betrag:

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

Hierbei ist, wie beim Moment, der Radius R senkrecht zur Geschwindigkeit c oder die Geschwindigkeitskomponente, die senkrecht zur Verbindung zum Drehpunkt (Ortsradius) verlhff, zu verwenden. In allgemeiner Vektorform (Determinante):

= ni

. [e', . (r, .c, - r, . c,) - e,+ . (r, .c, - r, . c,) (4-191) + e,+ . (r, . C, - Y,.c,)]

Betrag des allgemeinen Drallstrom-Vektors:

Hierbei ist a der Winkel (Raumwinkel) zwischen dem Ortsvektor Fund der Fluidgeschwindigkeit ? Der Ortsvektor ist der Vektor vom Drehpunkt (Bezugspunkt) zum zugehorigen Durchtrittspunkt des Fluides durch den Kontrollraum, dem Mittelpunkt des zugehorigen Stromungsquerschnittes. Mit dem senkrechten Abstand R = r . sin a zwischen Drehpunkt (Bezugsstelle), Bild 4-67, und Fluidgeschwindigkeit geht G1. (4-192) in G1. (4-190) uber. Jedes Moment (auBeres oder infolge Reibung) hat nach G1. (4-189) einen Drallstrom bzw. jede Drallanderung ein Moment zur Folge. Vielfach kann wie beim Impulssatz das Scherkraftmoment infolge Reibungswiderstand gegenuber der sonstigen Momentwirkungen als klein vernachlassigt werden. Bei der Anwendung des Drallsatzes ist nach Festlegung des Kontrollraumes analog vorzugehen, wie beim Impulssatz beschrieben. Das

Bild 4-67. Drall. Prinzipskizze fiir Bezugswerte. c' Geschwindigkeitsvektor der Fluidstromung an der Bezugsstelle B, TOrtsvektor vom Bezugsdrehpunkt DP.

183

Aktions- bzw. Reaktionsmoment ergibt sich uber das D'ALEMBERT-Prinzip (dynamisches Gleichgewicht) aus der Bedingung der Statik mit als Moment einbezogenem Dr4lstrom: ,,Summe aller Momente gleich null (CT = 0)". Hierbei ist der Drallstrom als Moment wie der Impulsstrom immer auf den Kontrollraum gerichtet. Beim Fluideintritt in den Bezugsraum als Aktionsmoment (EintrittstoJmoment) und beim Fluidaustritt als Reaktionsmoment (RiickstoJmoment) entgegen der Stromungsrichtung. Die Wirkungen innerhalb des Kontrollraumes heben sich wieder auf, so daB nur die KrafteIMomente verbleiben (Drallstrom, Druck und sonstige aul3ere KrafteIMomente), die auf dessen Oberflache wirken.

4.1.6.2.2 SEGNER-Rad Eine einfache Anordnung zur Nutzung des Drehimpulses (Drall) ist in Bild 4-68 dargestellt. Dieses sog. S E G N E R SFluidrad C~~ wird in der Praxis in vielfaltigen Varianten angewendet, z. B. bei Rasensprengern, Geschirrspulmaschinen, Bestaub-, ~rockeneinrichtun~en u. v. a. Das Fluid stromt durch die im Zentrum angeordnete Zuleitung unter ~ b e r d r u c kin das Gerat. Nach der Umlenkung (meist um 90") stromt es in den radialen, sich mit der Winkelgeschwindigkeit o drehenden Arm und von diesem ruckwarts, d. h. entgegen der Rotation uber eine Diise nach aul3en, wodurch die Drehung" bewirkt wird. Oft sind mehrere Arme angeordnet und gemeinsam im Bereich der Zuleitung gelagert. Da das Fluid (Wasser, Dampf, Gas) im Zentrum ohne Drehbewegung zustromt, mu13 es auf dem radialen Weg zur Ausstromduse bis auf die Umfangsgeschwindigkeit u, beschleunigt werden. Das Fluid verlaot das SEGNER I)-Rad tangential mit der Relativgeschwindigkeit w, bezuglich der Ausstromduse. Es handelt sich dabei um die Ausstromgeschwindigkeit aus der Duse. Gleichzeitig fuhrt die Ausstromduse eine Kreisbewegung mit der Umfangsgeschwindigkeit u, = o .R entgegen der Fluidausstromrichtun~ " aus. Die Absolutstromungsgeschwindigkeit c, des Fluides, d.h. gegenuber der ruhenden Umgebung, ist deshalb C, = W , - u,, und zwar bei w, > u, entgegen der Drehbewegung der Ausstromduse gerichtet. Vektoriell betrachtet gilt:

')

SEGNER, Johann Andreas (1707 bis 1777), dt. Arzt u. Physiker.

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkon~pressibleStromungen)

184

Die Absolutbewegung des Mediums ist gleich der Vektorsumme seiner Relativbewegungen mit der Umfangsgeschwindigkeit (Tangente) als Richtungsgeber (Plusrichtung). Da jedoch $, igJ u', und hier Betrag w, grorjer als Betrag u,, ist Betrag:

Nach G1. (3-104), Abschnitt 3.3.6.4, gilt:

entgegen der Drehbewegung wenn w,> u,.

Mit

Bei w, < u, wird c, = u, - w, in Drehrichtung. Beim Durchstromen des Dreharmes wird der Fluid-Druck von dem in der Zuleitung p, bis auf den an der Austrittsstelle der Ausstromdiise, also den Umgebungsdruck, abgebaut. Dadurch wachst die Stromungsgeschwindigkeit in dem entsprechend ausgebildeten Dreharm von der Einstromgeschwindigkeit c , in der Zuleitung bis zur relativen Ausstromgeschwindigkeit w, aus der Duse. Es handelt sich um ein rotierendes System. Bei der in diesem Fall meist vertretbaren Vernachlbsigung der Stromungsverluste ergibt sich der Zusammenhang zwischen Drnckabbau und Stromungsgeschwindigkeits-Aufbau durch die Energiegleichung der Relativbewegung, G1. (3-looff., Abschnitt 3.3.6.4). Fiir den Stromfaden @ - @ in Bild 4-68 liefert die Energiegleichung der Relativbewegung idealer Stromung (ER) zwischen Zustromung (Stelle @) und Abstromung (Stelle @), wenn der gegenuber dem Druckgefalle unbedeutende Hohenunterschied vernachlbsigt wird, die Relativausstromgeschwindigkeit w,.

,

K R - Abs.

wird Hieraus ergibt sich die relative Fluidaustrittsgeschwindigkeit aus der Ausstromdiise, die Relativstromungsgeschwindigkeit:

w, = Jc2

+ u,2 + 2 . P , , ~ ~ / Q

Kann aurjerdem die kinetische Einstrom-Energie ~ $ 1 2gegeniiber der Druckenergie p , , , / ~ vernachlassigt werden, was meist der Fall ist, gilt:

Mit der bezogenen, das bedeutet dimensionslosen Winkelgeschwindigkeit 52 gemal3 Definition

KR - Rel

Das auf den Dreharm infolge des Fluidaustritts aus der Ausstromdiise wirkende Drehmoment T 1aDt sich nach zwei Moglichkeiten ermitteln:

(RKRI

Ausstromduse

Bild 4-68. S E G N E R ~Wasserrad C ~ ~ S (Prinzipdarstellung). @ Eintrittstelle, @ Ausstromstelle

Miiglichkeit 1: Ansatz im Relativsystem Um den Dreharm wird ein korperfester, also mitrotierender (relativer) Kontrollraum KR-Rel. gelegt und auf ihn der Drallsatz angewandt. Wie einleitend begriindet, murj der Fluidmengenstrom m im Dreharm von der Zustromstelle @ bis zur Ausstromstelle @ in Drehrichtung von der Umfangsgeschwindigkeit u = u, = 0 bis auf u = u, beschleunigt werden. Das hierfiir notwendige Beschleunigungs-Drehmomentist dem, dem Fluid dadurch aufgepragten Drallstrom

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Flussigkeiten)

gleichwertig und muD vom relativen Austrittsdrallstrom L,, aufgebracht werden.

,

Das Fluid wirkt beim Austritt (Stelle @) bezuglich der Drehachse mit dem relativen ,,Riickstop-Drallstrom

auf die Ausstromduse und damit auf den Dreharm.

185

TWd= L, - te= ma . C , . R, - m . cC,. Re

Mit Ra = R; Re = 0; Twd = T wird T = m . R . c , = m . R . ( w , - u $ Fiir das freie Moment T ergibt sich notwendigerweise die gleiche Beziehung wie bei Moglichkeit 1 Mit der Ausstromgeschwindigkeit nach GI. (4-195) erhalt das Antriebsmoment die Form:

Als freies Drehmoment T ergibt sich dann nach dem Drallsatz: DS @ - : und

ZT

=0

auf KR-Rel. mit DP in D:

T = Twd (actio gleich reactio!) ergibt:

hieraus (La,R- &) = O Twd= ~ , , ~ - ~ , = m . w ; R - m . u ~ . R T ~ d

(4-197)

TWd=ni.R.(wa-~,)

Hierbei sind: Die absolute Stromungsgeschwindigkeit des Fluides nach Verlassen der Ausstromduse:

Mit G1. (4-195) und G1. (4-196) wird:

1 Hierbei o = - . R

. SZ

aus der Definition, G1. (4-194), der dimensionslosen Winkelgeschwindigkeit SZ ersetzt, ergibt: T = r i t . R . J ~ ~ . ( J W - Q (4-203) )

Weiterhin folgt mit dem austretenden Massenstrom m = Q . A , . w, und w, nach G1. (4-195):

Der austretende Fluidmengenstrom betragt:

Das Antriebsmoment T ist nach G1. (4-204) eine Funktion der dimensionslosen Winkelgeschwindigkeit SZ und damit der Winkelgeschwindigkeit o des Dreharmes.

Mit GI. (4-195) wird:

Mit dem Festbrems- oder Anfahrmoment To nach GI. (4-197) und G1. (4-194) bei o = oo= 0-SZ = 0 (Anfahrwerte Index 0) To = m0 . R . w,, 0 = rizO . R

Bei SZ = 0, d. h. u, = 0 (Festbremsung, Index 0) ist ni, = Q . A , .

m

=nio.J ? X F

und damit:

(4-205)

ergibt sich das Momentenverhaltnis oder dimensionslose Drehmoment Q zu:

(4-201)

Moglichkeit 2: Ansatz im Absolutsystem Um die Rotationsebene des Dreharms wird der raumfeste, also mhende (absolute) Kontrollraum KR-Abs. gelegt. Der Fluidmengenstrom stromt im Zentrum (Stelle @) in axialer Richtung in den ruhenden Kontrollraum ein und verlaljt diesen am AuDenrand (Stelle @) tangential mit der Absolutgeschwindigkeit c, = w, - u,. Nach dem Drallsatz gilt dann entsprechend:

DS @ - @ + Z T = 0 auf KR-Abs. mit DP in D:

La - L, - Twd = 0

.

Hieraus

Mit G1.(4-195) fur wa und daraus bei SZ = 0 was,= wird schlieDlich:

186

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Bild 4-69. Dimensionsloses Antriebsdrehmoment Q als Funktion der dimensionslosen WinkelgeschwindigkeitO. Restmoment (gestrichelte Linie), Differenz zwischen Antriebs- und Reibungsmoment. Reibungsverluste angenommen (geschatzt gemaB Apparatur).

Bild 4-70. Theoretischer innerer Wirkungsgrad qth des SEGNER-Rades in Abhangigkeit von der dimensionslosen Winkelgeschwindigkeit a.

Das bezogene Drehmoment O , abhangig von der bezogenen Winkelgeschwindigkeit Q, ist in Bild 4-69 graphisch dargestellt. Wie das Diagramm zeigt, strebt das dimensions- wenn die kinetische Energie cf/2 des zuflieDenlose Drehmoment dem endlichen Grenzwert 0,s den Fluidstromes wieder als klein vernachlassigt zu. Unabhangig von der Drehzahl ist demnach wird. immer ein freies Drehrnoment vorhanden. Dieses Der theoretische innere Wirkungsgrad des SEGNERMoment beschleunigt den Dreharm standig, so Rades ist dann: daD seine Drehzahl theoretisch unbegrenzt ansteigen wiirde. Durch das infolge mechanischer Rei- rtth = PIP,, = 2 n (JGZ- n) (4-209) bung immer vorhandene Bremsmoment steigt die Oder aus ER @ - @, Abschnitt 3.3.6.4 Drehzahl jedoch nur so lange, bis das freie Moment auf den Wert des Reibungsmomentes abgesunken ist. Die maximale Drehzahl, bei der das 2 .P,,~JQ= w,2 - u,2 + c i O= w t O= 2 . ~ , , ~ i / @ nutzbare Restmoment auf null abfallt, wird als Hieraus Leerlauf- oder Durchgangsdrehzahl (Punkt D in und c,: = W ; - U: Bild 4-69) bezeichnet. Werden die Reibungsverluste weiterhin vernachlassigt, betragt die von einer s~G~E~-,,Turbine''Ca, o = maximal abgegebene Leistung nach G1. (4-194). Des weiteren mit G1. (4-199):

.

Jm

Mit G1. (4-202) und G1. (4-203) umgeformt, ergibt sich fiir diese Nutzleistung:

Andererseits ist die vom Wasserstrom zugefiihrte und damit theoretisch gewinnbare Leistung nach der Energiegleichung

ca/ca,0 = w,/c,,

0

- u2/ca, =

Jw- Q (4-210)

Wirkungsgradansatz: Vollstandiger Energieumsatz wenn ca = 0 -t q,, = 1 (nur theoretisch, da Fluid dann nicht mehr abfliel3t). Energie-Vergleich + c2: ~ t = h

(~,2,0 - c?)/c: o = 1 - ( ~ a l ~ a . 0 ) ~

q,h =

I - (JTX-Q)~

Ergebnis wie G1. (4-209).

=+ 2lJa~ zs[-]

4.1 Eindirnensionale Strijmungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

187

Mit m,,
. R . (wD,- o - R)

(4-211)

Wurden, was praktisch nicht sinnvoll ist, Raketentriebwerke an den Rotorspitzen angeordnet, ware kein Zustrom vorhanden (w, = 0). G1. (4-211) ginge dann gema13 G1. (4-171) uber in:

Bild 4-71. Hubschrauberrotor rnit Strahltriebwerk an der Rotorspitze (Prinzipdarstellung).

Bemerkung: Die Beziehungen, G1. (4-201; 4-209; 4-210), ergeben: Mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit w wachsen AusfluBmenge m und Wirkungsgrad y, die absolute Abstromgeschwindigkeit c, (Restenergie) dagegen nimmt ab. Der theoretische Wirkungsgrad nach G1. (4-209) muB notwendigerweise ebenfalls eine Funktion der Drehzahl sein. Der funktionelle Zusammenhang ist in Bild 4-70 graphisch dargestellt. Hinweis auf Abschnitt 4.1.6.1.3, Bild 4-60. 4.1.6.2.3 Hubschrauberrotor mit Strahltriebwerken Werden an den Rotorspitzen eines Hubschraubers Luftstrahltriebwerke angebaut, Bild 4-71, ergeben sich folgende Verhaltnisse: Im Gegensatz zum SEGNER-Radwird das den Schub erzeugende Fluid nicht von der Drehachse uber die radial verlaufenden Rotorblatter den aufienliegenden Triebwerken zugefuhrt, sondern, wie bei Strahltriebwerken ublich, von der Umgebung entnommen. Der geringe, von innen zugefuhrte Brennstoffstrom ist wieder vernachlassigbar. Deshalb mu13 auch kein Fluidstrom auf Rotationsgeschwindigkeit beschleunigt werden, wie dies beim SEGNER-Rad der Fall ist. Das hierzu sonst notwendige Drehmoment entfallt. Der Relativ-Kontrollraum RKR ist wieder ,,triebwerksfest", d.h. er rotiert mit dern Triebwerk um die Drehachse. Entsprechend GI. (4-169) gilt mit der TriebwerkSchubkraft l$ fur das Rotordrehmoment:

Das Rotorantriebsmoment ware dann nur abhangig vom austretenden Gasmassenstrom m,,, nicht jedoch von der Rotorwinkelgeschwindigkeit o wie bei G1. (4-211) der Fall. 4.1.6.3 Hauptgleichung der Kreiselradtheorie Die Haupt- oder Grundgleichung der Kreiselradtheorie geht auf L. EULERzuriick. Sie wird deshalb auch als E U L E R S Turbinen-, C~~ Eu~ERscheKreiselradgleichung oder kurz EULER-Gleichungbezeichnet. Diese Beziehung folgt aus der Anwendung des Impuls- oder Drallsatzes auf Kreiselrader. Solche Laufrader werden in Stromungsmaschinen eingesetzt zur Umwandlung von potentieller bzw. thermischer in Rotations-Energie (bei Turbinen) oder von Rotations-Energie in potentielle bzw. Translations-Energie (bei Pumpen bzw. Antriebspropeller).

In Bild 4-72 sind die Stromungsverhaltnisse in einem Schaufelkanal eines radialen Pumpenlaufrades eingetragen. Pumpenlaufrader arbeiten fast ausschlieBlich mit ~berdruckwirkung,d. h., der Fluiddruck der Stromung am Austritt aus dern Laufrad ist groBer als an dessen Eintritt. Da der Druck jedoch auf die Umfangsflachen radial wirkt, kann er kein Moment erzeugen. Der Fluidstrom m = z . m, stromt mit der Absolutstromung c, unter dern Winkel a, zur Umfangsrichtung in den raumfesten Kontrollraum KR ein und mit der Absolutgeschwindigkeit c,, unter dern ebenfalls zur Umfangsrichtung gemessenen Winkel a, aus. Zu beachten ist, da13 die Stromungswinkel immer zur positiven Umfangsrichtung, d.h. zur Drehrichtung zu messen sind, sowohl an Stelle @ (Winkel a,), als auch an Stelle Q (Winkel a,). Der Absolut-Kontrollraum steht fest, rotiert also nicht mit dern Laufrad (Winkelgeschwindigkeit o ) urn den Drehpunkt M. Ableitung der EULER-Gleichungrnit dern Impulssatz:

188

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

umgekehrter Richtung (Pumpe) ubertragene Leistung. ruckkonte

P = T .w

. (r, . c,,- r, . el,) . w = m . (u, . cZu- u l . clU)

=m

(4-214)

Oder die spezifische Leistung (auf Massendurchsatzstrom m bezogen): P (4-215) - -- U, cZu- u1 elu m

'

Hierbei wird Schaufeln bzw

'

P m

dW/dt dmldt

dW dm

7= -- - =

Y gesetzt.

dW AW Bei stationarer Stromung ist - = -- die spezidm Am fische Arbeit. P AW Es gilt deshalb Y = - = (4-216) m Am Y = uz c,, - u, c,, (4-217) und

-

Gleichung (4-217) ist die auf EULER(1754) zuruckgehende Grundgleichung der Kreiselradtheorie, die auch als Hauptgleichung der Stromungsmaschinen bezeichnet wird. Die E U L E R S CStromungs~~ maschinen-Gleichung verknupft die umgesetzte Energie mit den Geschwindigkeiten in der Maschine. Nach G1. (4-216) ist Y die spezifische Leistung, d. h. die auf den durchstromenden Massenstrom bezogene Leistung, somit die Leistung je Massenstromeinheit m = 1. Andererseits ist Y die spezifische Energie, also die je Masseneinheit (m = 1) in wird such Bild 4-72. Kreiselrad (Radialpumpe) insgesamt sowie der Maschine umgesetzte Arbeit. spezifische Stufenarbeit bezeichnet. Das ist derlauf einzelner schaufelkanal mit ~ ~KR und ~ i~ ~ ~ ~ ~ tragungen. Stelle @ Fluideintritt, Stelle Q Fluidaustritt. die Masseneinheit bezogene Energieumsatz m i schen Druck- und Saumtutzen der EinstufenStromungsmaschine, weshalb dann auch spezifische Stutzenarbeit genannt. Bei Turbinen kehren liefert je Kana1 (Index z): sich Stromungsrichtungen - Zustromung Stelle Abstromung Stelle @ und Drehrichtung je um i, . R, - 1,. R, - T ~= 0 ~ , ~ Hieraus: 180" um, verlaufen also entgegen zu den in Bild 4-72 eingetragenen Richtungen. Auch das T,,,, = 1, . R, - 1,. R~ Drehmoment wirkt umgekehrt. =m;c~~r,~cosa,-~;c,~r1~cosa, Die fur alle Stromungsmaschinen-Typen geltende Grundgleichung, G1. (4-217), 1a13t sich fur die Aus=m;(r,~c,~cos~,-r,~c,~cosa,) fuhrung als Axialmaschine, bei der infolge der = h,.(r2.cZu- rl . clU) axialen Durchstromung ul = u, = u ist, vereinund m = z . m, wird fur fachen: Mit T = z . T,,,, (4-218) das gesamte Laufrad (z Schaufel-Kanale): Y = u . (c,, - clU) u

a,

-

T = n? . (r, . c,,-

r, . clu)

(4-213)

Mit dem Drehmoment T ergibt sich die von der Stromung auf das Laufrad (Turbine) bzw. in

GI. (4-218) gilt fur sog. axiale ~berdruckmaschinen, bei denen im Laufrad gleichzeitig ein Druckgefalle vorhanden ist. In den als Gleichdruckmaschinen bezeichneten axialen Ausfiihrungen da-

l

4.1 Eindimensionale Stromungen realer inkompressibler Fluide (Fliissigkeiten)

gegen wird das Fluid bei gleichbleibendem Druck so stark umgelenkt, da13 der Impulsstrom an der Stelle 0 (Saugkante) in der entgegengesetzten Richtung (zur Drehung) verlauft, was sich durch den Stromungswinkel a, > 90" ausdruckt. Die Umfangskomponente der Stromung an Stelle @ c,, = c, . cos a, wird dann negativ. In G1. (4-218) ergibt sich dadurch eine Vorzeichenumkehr, so daD fur Gleichdruck-Axialturbinen gilt, wenn mit dem Betrag der Umfangskomponenten der Stromungsgeschwindigkeit an Stelle @, also 1 clu1 gerechnet wird:

Herleitung der EULER-Gleichungrnit dem Drallsatz: Der Drallsatz wird ebenfalls auf den absoluten, d. h. raumfesten Kontrollraum KR angewendet (Bild 4-72): DS

@-a+CT

=0

L~-L,-T~~=O

Mit

T

= Twd

rnit DP in M folgt: Hieraus

(actio gleich reactio!)

ergibt sich notwendigenveise dieselbe Beziehung, G1. (4-213), wie bei der Ableitung mit dem Impulssatz:

Das Drehmoment ist demnach gleich der Differenz der Drallstrome von Druck- (Stelle Q) und Saugseite (Stelle 0 ) des Laufrades, was entsprechende Umlenkung des Fluidstromes erfordert.

189

Ein waagrecht angeordneter Krummer lenkt das stromende Wasser um 75" ab. Der Volurnendurchsatz betragt 750 m3/h, der absolute Eintrittsdruck 2,5 bar und die Wassertemperatur 20 "C. Abmessungen des rauhen Krummers: Eintritt Austritt Krummungsinnenradius KrummungsauDenradius

600 mm 900 mm

Gesucht: Wandkraft auf den Kriimmer nach GroDe, Richtung und Angriffspunkt. Von einer P r ~ r o ~ t w b i nsind e bekannt: Mittlerer Laufraddurchmesser 1200 mm Schaufelaustrittswinkel 4" Druck kurz vor der Duse 10 bar Wasserdurchsatz 1500 m3/h Wassertemperatur 13 "C Anzahl der Diisen 1 Gesucht: a) Schaufelkraft bei ruhendem Laufrad. b) Leistung und Drehzahl bei optimalem Energieumsatz, wenn der Schaufelvolumenstrom gleich dem Diisenvolumenstrom gesetzt wird. c) Maximal mogliche Drehzahl. d) Dusendurchmesser. Ein S E G N E R SWasserrad C~~S nach Bild 4-73 arbeitet bei einem ~ b e r d r u c kvon 3 bar rnit einer Drehzahl von 1500min- Bei den Stro-

'.

Haufig werden Stromungsmaschinen so ausgebildet, daD an der Saugseite (Stelle 0) der Drallstrom zu null wird, also L, = 0. Bei Pumpen wird dann von drallfreier Zustromung und bei Turbinen von drallfreier Abstromung gesprochen. Fur alle Maschinengruppen (Pumpen, Turbinen, Antriebspropeller), alle Arten von Ausfiihrungen (radial, diagonal, axial) und alle Wirkungsweisen (Gleichdruck, ~ b e r d r u c k )sowie alle Medientypen (Flussigkeiten, Gase, Dampfe) gilt dann gemaD der Fluidablenkung: Bild 4-73. SEGNER-Rad.

190

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

mungsverlusten sollen nur die Diisenverluste beriicksichtigt werden.

Kreisscheiben-Radius R = 500 mm Umgebungsdruck p, = I bar

Gesucht: a) Festhaltemoment b) Erforderliches Reibungsmoment c) Reibleistung d) Theoretische Leistung e) Wirkungsgrad, wenn Reibleistung, berechnet in Frage c, genutzt wiirde f) Austretender Volumenstrom g) Zustromgeschwindigkeit h) Verhaltnis der Austrittsgeschwindigkeit bei der angegebenen Drehzahl und bei Stillstand. i) Quotient von Umfangs- zu absoluter AnstromGeschwindigkeit: 1. ideal (reibungsfrei); 2. real, d. h. ohne und bei Beriicksichtigung der Stromungsreibung in Zuleitung und Duse.

Gesucht: a) Allgemeine Ableitung von 1. Druckverlauf zwischen den parallelen Kreisscheiben 2. Notwendige Wandkraft auf die untere Scheibe nach GroBe und Richtung, damit der Kreisscheibenabstand H erhalten bleibt. b) Zahlenrechnunnen 1. ~reisscheibenabstand 2. Druckverlauf 3. Wandkraft 4. Druck im Zulaufrohr Was geschieht, wenn der Zustromdruck von dem fiir geordnete Stromung rechnerisch notwendigen abweicht?

Ein Sportflugzeug hat bei der Fluggeschwindigkeit 240 km/h eine Widerstandskraft von 3 kN. Die eingesetzte Luftschraube hat einen Durchmesser von 2 m.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

Gesucht: a) Schubbelastungsgrad b) Notwendige Abstromgeschwindigkeit c) Stromungsgeschwindigkeit in der Propellermittenebene d) Theoretischer Propellerwirkungsgrad e) Theoretisch notwendige Propellerleistung. a) Welche Ausstromgeschwindigkeit mu13 ein Flugzeug-Strahltriebwerk verwirklichen, wenn ein Schub von 32 kN bei einer Fluggeschwindigkeit von 1000km/h notwendig ist und der Luftdurchsatz 55 kg/s betragt? Der Kraftstoffverbrauch betragt dabei 1,5% vom Luftmassen strom. b) Welche Ausstromgeschwindigkeit ware bei einem Raketentriebwerk notwendig? Zwischen zwei horizontalen Kreisscheiben vom Radius R und dem geringen Abstand H flieBt radial nach allen Seiten ideales Fluid gleichmafiigab. Das Fluid wird durch ein auDen in der Mitte der oberen Scheibe angesetztes lotrechtes Rohr mit Halbmesser ro zugefiihrt (Volumenstrom q.Ideale Stromung sol1 angenommen und die Hohenunterschiede vernachlhsigt werden. Zahlenwerte: Volumenstrom ZufluDrohr-Radius

v = 282,75 m3/h ro = 50 mm

4.2.1 E U L E R S Bewegungsgleichungen C~~

Die E u ~ ~ ~ s c hBewegungsgleichungen en ergeben sich, wie in Abschnitt 1.4 gezeigt, durch Anwenden des N ~ w ~ o ~ s c hAktionsgesetzes en auf die allgemeine Stromung eines idealen Fluides in bezug auf ein beliebig festgelegtes Koordinatensystem. Die Gleichungen beinhalten den Zusammenhang zwischen den auf das Fluid einwirkenden Kraften und der durch diese verursachten Beschleunigungen. Im orthogonalen Koordinatensystem ergibt sich fur jede Achsrichtung je eine Gleichung; analog zu Abschnitt 2.2.7, zusammen mit Bild 2-13. Diese drei Komponentengleichungen konnen zu einer Vektorgleichung zusammengefaBt werden. Wie in Abschnitt 1.4 auseinandergesetzt, konnen auf das reibungsfreie Fluid als Volurnenkriifte die Massenkrafte (Gewichtskraft, Tragheitskrafte) und als OberJliichenkrayte nur die Normalkrafte infolge Fluiddruck wirken. Wirbelfreiheit (Abschnitt 3.2.3.1.3) ist dabei nicht erforderlich. Die Aufstellung der Bewegungsgleichungen in der Form nach EULER1aDt sich im (x, y, z)-Koordinatensystem an einem quaderformigen Volumenelement d Vmit den Kantenlangen dx, dy, dz, das sich zum Betrachtungszeitpunkt an der Raumstelle A ( x , y, z) befindet, durchfiihren. Das Volumenelement gehore zu einem Raumstromungsfeld und bewege sich mit den Geschwindigkeitskomponenten c,, c,, c, in den Koordinatenrichtungen x, y, z. An dem sog. mediumfesten oder flussigen Volumenelement wirken die allgemeine Volumenkraft f . dV sowie die eingetragenen Druckkrafte,

4.2 Mehrdimensionale Strdmnngen idealer Fluide

191

Mit den Beschleunigungen tx,C,, d, entsprechend GI. (3-12), Abschnitt 3.2.2.1, folgen die E u ~ ~ ~ s e Bewegungsgleiehungen: hen x-Richtung:

ac, at -+c,.--'+e at ax

'

ac

ac

I

ay

az

e " e

t

ap ax

.2+ez.2=-.f

y-Richtung:

ac,

ac, -+cx.-+c

ar

.r

X

ax

ac '

ac I .'=-.f ' az e

ay

I

e

ap ay

Die drei Knmponenten-Gleichungen zu einer Vektorgleichung (Tahelle 6-21) zusammengefaBt, ergibt mit F = dc'/dt: bl

Bild 4-74. Kriifle an einem masse-, d.h. fluidfesten Volumenelement zur Zeit t in allgemeiner reibungsfreier Raumshamung c =f (x, y, 2, t) + instation513D: a) raumliche Darstellung b) (x, 2)-Ebene Bild 4-74 und Abschnitt 2.2.7, wobei sich Dmck u n d Geschwindigkeiten der Raumstromung in Richtung der Bezugsachsen andern. N a c h dem N m u ~ o ~ x h eGrundgesetz n F =m .C ergibt sich fiir die Koordinatenricbtungen:

e.z=f--gradp

(4-225 a)

Oder mit Nabla-Operator V (G1.(2-35)), da V = grad (Tabelle 6-21):

In Kurzform-Indexschreibweise

mi! Index sowie GroRe i = x; y; z

(4-225c)

In Matrix-Darstellung:

Hierhei ist die substanzielle Beschleunigung a' = F = dZ/dt in Matrizen-Darstellung nach GI. (3-13c) ausgefiihrt: Mlt ZusammengefaBt und jeweils durch das Volumen d V = dx . dy . dz des Fluidelementes diridiert:

? = {ex c, c,] = f(x, y, z, 1) . 7

wird c = {t, t, C,)

d {c, c, c,) dt

=-

Wirkt, wie in der Regel der Fall, nur die Schwerkraft der Erde (Gravitationsfeld), so hat die spezifische Feldkraft f (Feldstdrke) den Aufbau

ap x-Richtung: f,- - = Q . C, ax

a~ = Q .C, y-Richtung: f,- -

7={if, f, fzi= 10

a~

(4-223)

0 - e .s>

Gleichung (4-225) ist eine andere Darstejung von GI. 1-25) Abschnitt 1.4, mit f,= 0 und f ,= 0.

192

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkctmpressible Stromungen)

Die EULER-Gleichungenermoglichen, zusammen mit der Kontinuitatsbeziehung, G1. (3-26) oder (3-27), Abschnitt 3.2.3.2, und den Randbedingungen des vorliegenden Problems die vier Unbekannten c,, c,, c, und p zu bestimmen und beschreiben damit reibungsfreie drehungsbehaftete (Wirbel) sowie drehungsfreie Stromungen. Die den Stromungsverlauf maDgeblich beeinflussenden Randbedingungen sind bei praktischen Problemen meist irgendwelche Wande und/oder freie Fluidoberflachen. Da das stromende Fluid nicht in feste Wande eindringen kann, muB an einer festen Begrenzung die Normalkomponente der Fluid-Geschwindigkeit verschwinden. Bei bewegten Wanden ist die Fluidgeschwindigkeit in Normalrichtung mit der entsprechenden Komponenten der Wandgeschwindigkeit identisch, nicht jedoch in tangentialer. An einer freien Oberflache wird der Fluiddruck gleich dem der Umgebung. 1st die auf das Volumen bezogene Massenkraft f konsewativ und deshalb auf ein Potential U zuriickfiihrbar, was bei drehungsfreien Stromungen der Fall ist, gilt nach G1. (2-34):

Damit wird

Dam wird dann bei der z-Komponente

der Differentialquotient aus der Zusammenfassung von statischem PreBdruck p und fluiddichtez statischem Druck ~ g gebildet. Fur eindimensionale Stromungen ergibt sich aus den EuLERschen Bewegungsgleichungen die Energiegleichung der Stromfadentheorie (GI. 3-63). Bemerkung: Die EULER-Bewegungsgleichungen sind auch rnit dem Impulssatz, der D'ALEMBERTschen Schreibweise des NEWTON-Aktionsprinzip, herleitbar, weshalb sie verschiedentlich auch als Impulsgleichungen der idealen Stromung bezeichnet werden. 4.2.2 Linienintegral und Zirkulation 4.2.2.1 Linienintegral A In einem Stromungsfeld des idealen Fluides sei an jeder Stelle die augenblickliche Geschwindigkeit nach GroBe und Richtung bekannt. Entlang einer Kurve, Bild 4-75, welche die zwei Raumpunkte A und B verbindet, werde das Integral des Skalarproduktes aus den beiden Vektoren Stromungsgeschwindigkeit c' und Wegelement ds' gebildet. Dieses Integral wird als Kurven- oder Linienintegral A (groBes Lambda) bezeichnet.

dA=c'.ds'=c.coscr.ds=c;ds Die E U L E R SBewegung~vektorgleichung C~~ (4-225) geht dann uber in die Form einer Potentialgleichung:

~ ~ ~ = ( j ) ~ . d j = ( ~ c . m s a . d s = ( j (4-228) )c~-ds (A)

(A)

(A)

Grenzsymbole A und B wieder eingeklammert (Abschnitt 2.5.2), da keine direkten GrenzgroDen-

Oder wieder in Matrizen-Darstellung

Bei sehr vielen Stromungsproblemen ist nur das Gravitationspotential (Schwerefeld der Erde) vorhanden und damit, wie erwahnt, als einzige Potentialkraft nur die in der negativen z-Achse wirkende Gewichtskraft. Bei diesen Fallen ist nach G1. (2-36) und GI. (2-38): f x = O ; f,=O; f,[email protected] und U = g . z

Bild 4-75. Linienintegral in einem Stromungsfeld. t und n sog. natiirliche Koordinaten. t tangential und n normal (senkrecht) zur Stromungsgeschwindigkeit c.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

werte, sondern nur Kennangaben. Index AB beim Linienintegralsymbol A wird oft weggelassen. Das Linienintegral A, exakt AAB, gemal3 G1. (4-228) entspricht, wie sich noch zeigt, der Potentialdifferenz (A@),, der Stromung zwischen den Bezugspunkten A und B. Das Geschwindigkeitspotential @ (Abschnitt 3.2.3.1.4) ist demgema0 in Punkt B des Stromungsfeldes und den Betrag (A@)AB= AAB groDer, bzw. kleiner als in Punkt A, je nach dem, ob Stromungs- und Integrationsrichtung gleich oder entgegengerichtet sind. Der Index AB wird dabei einfachheitshalber meist ebenfalls weggelassen. Zum Vergleich: In einem Kraftfeld fuhrt das Linienintegral zu der langs des Weges A-B verrichteten Arbeit:

Das Linienintegral A sol1 nun fur eine allgemeine Raumstromung ausgewertet werden: Mit der Stromungsgeschwindigkeit .-, + -+ .-, c = ex . c, + e, . c, + e, . c,

len deshalb meist die Potentialbedingungen nach G1. (3-24) von Abschnitt 3.2.3.1.4. Dafur wird das Linienintegral nach G1. (4-230)

Bei Potentialstromungen ergibt sich das Linienintegral A entlang einer Kurve zwischen den Punkten A und B demnach aus der Differenz der Stromungspotentiale @A und @, der beiden Punkte, die aus der Potentialfunktion @ folgen, also gilt hierfur A = A@. AuSerdem folgt aus G1. (4-231) die wichtige Erkenntnis, daD das Linienintegral in solchen Stromungsfeldern vom Integrationsweg unabhangig ist (Potential, Abschnitt 2.2.7). Aus dem Vergleich der beiden Beziehungen (4-229) und (4-231) ergibt sich fur das Geschwindigkeitspotential @ in Matrix-Darstellung, da d@= dA: ' = { c , c, d@ = c'. &

und dem Wegelement

193

c,}

.

{g}

(4-23la)

ds'=e',.dx+e',.dy+e',.dz

wird dA = 2 . ds' = {c, c, c,)

.

Die Multiplikation des Zeilenvektors c' mit dem Spaltenvektor ds' nach den Regeln der Matrizenrechnung (Tabelle 6-21) ergibt:

Eingesetzt in G1. (4-228):

Bemerkung: In der Matrizenrechnung werden Spaltenmatrizen (Matrizen mit nur einer Spalte) als Vektoren bezeichnet. Entsprechend sind Zeilenmatrizen (Matrizen mit nur einer Zeile) transponierte Vektoren; verschiedentlich auch Zeilenvektoren genannt (Tabelle 6-21, Anhang). Kennzeichen: hochgestelltes T. Beispiel ds' + ds' T. Ideale Stromungen sind normalerweise drehungsfrei, da Wirbel letztlich nur durch Viskositatskrafte, also Schubkrafte, infolge Reibung erzeugt werden konnen. Reibungsfreie Stromungen erful-

Oder mit Tangentenrichtung t (nicht venvechseln mit der Zeit t !) zur Geschwindigkeit c (Bild 4-87):

Mit der in Abschnitt 4.2.5 bei zweidimensionaler, also ebener Stromung (Flachenstromung) definierten Stromfunktion !Q aus dY = c . dn, wobei n die zur Geschwindigkeit c senkrechte Richtung (Koordinate) ist, kann der DurchfluD berechnet werden. Das Orthogonalsystem aus Tangentialund Normalrichtung (t, n) zur Stromung (Stromlinien) wird, wie envahnt, auch als naturliches Koordinatensystem bezeichnet. Der zwischen den Stromlinien durch die Punkte A und B von Bild 4-75 in der zur Stromebene senkrechten Schichtdicke b flieDende Volumenstrom AvA',_, ergibt sich mit dA = b . dn, wobei b = konst, zu:

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

194

Ergebnis: Die Differenz der Stromfunktionswerte an den festgelegten Bezugsstellen ergibt den zugehorigen durchflieBenden Volumenstrom in der Schichtdicke eins (b = 1). Die FlieDrichtung wird dabei durch die Stromlinien gekennzeichnet, auf denen die Bezugspunkte liegen. Die Stromfunktion (Abschnitt 4.2.5) ist somit ein Ma13 fur den Volumenstrom. Mit anderen Worten: Die Stromfunktion laBt sich als MaB fur den Volumenstrom definieren. Hinweis: Statt (AY),-, wird oft auch (AY),,, AYA-, oder AYJABgeschrieben. Gleiches gilt fur (A@,-,, also auch AvA-, oder AvAB. 4.2.2.2 Zirkulation r Wird das Linienintegral langs einer geschlossenen Kurve in einem Stromungsfeld gebildet, fallen also Anfangspunkt A und Endpunkt B zusammen, Bild 4-76, wird das sich ergebende Ringintegral als Zirkulation r (groBes Gamma) bezeichnet. Kennzeichen: Kreis in Integralsymbol.

Wird das Ring- oder Kreisintegral in einer reibungs- und drehungsfreien Stromung (Potentialstromung) uber eine Linie gebildet, die einen einfach zusammenhangenden Raum umschlieBt, d. h. der keine Wirbel enthalt, ist nach G1. (4-231):

Bestimmung der Zirkulation in Parallelstromung mit konstanter Geschwindigkeit c nach Bild 4-77. Zirkulation gemaB G1. (4-232) bzw. GI. (4-232a), berechnet fur den in Bild 4-77 eingetragenen Kurvenzug, Rechteck 1-2-3-4-1:

Mit

mit c'. d.7 = dA. Die geschlossene Kurve, entlang der integriert wird, kann hierbei auch ein eckiger Linienzug sein, z. B. aus geraden Streckenstucken zusammengesetzt. Fur die einzelnen Geradenabschnitte i des geschlossenen Kurvenzuges aus n Teilstiicken wird dann jeweils Ai mit G1. (4-228) ermittelt. Die Zirkulation ergibt sich hieraus zu:

r = C Ai

(4-232a)

i=l

Mit GI. (4-229) erhalt die Zirkulation fur die allgemeine Raumstromung die Form:

Bild 4-76. Zirkulation in einem Stromungsfeld

Bild 4-77. Parallelstromung. Losungsskizze mit eingetragenem Rechteckzug 1-2-3-4-1, Lange a, Breite b als geschlossene Kurve fiir Integration.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

Damit ist die Drehfreiheit, gekennzeichnet durch die Zirkulation r = 0, bewiesen. Bemerkung: Weitere Beispiele zeigen die Bilder 4-92 und 4-93 mit zugehorigen Berechnungen. Eine wirbelfreie Stromung zeichnet sich somit dadurch aus, daD die Zirkulation langs jeder geschlossenen Kurve um einen einfach zusammenhangenden Raum verschwindet, d. h. null wird. Ein einfach zusammenhangender Raum ist dadurch gekennzeichnet, daD seine Umrandungslinie nur das gleiche Fluid mit definiertem stetigem Geschwindigkeitszustand umschlieDt, also keine Singularitaten oder Festkorper enthalt. Moglich ware deshalb, entsprechend einer Zugkordel von Beuteln, die Linie auf einen Punkt des von ihr eingeschlossenen Bereiches zusammenzuziehen, ohne das definierte Geschwindigkeitsgebiet zu verlassen. Gegensatzlich hierzu steht z. B. die Stromung um einen Kreiszylinder (Potentialwirbel), bei der geschlossene Linien festgelegt werden konnen, die auDer Fluid auch den Zylinder umschlieDen (Bild 4-92). Diese sind dann nicht einfach, sondern mehrfach zusammenhangend.

195

Zusammenfassend gilt: 1. 1st die Zirkulation in einem ein- oder mehrfach zusammenhangenden Raum null, liegt eine Potentialstromung vor. 2. 1st die Zirkulation in einem ein- oder mehrfach zusammenhangenden Raum ungleich null, handelt es sich um eine Wirbelbewegung. 3. 1st die Zirkulation in einem mehrfach zusammenhangenden Raum nicht null, handelt es sich entweder urn eine Wirbelstromung oder um eine Potentialstromung mit Singularitaten (eine oder mehrere), d. h. mit Wirbelbereichen von meist kleiner Ausdehnung. 4.2.2.3 Vergleich von Stromungsfeld

mit elektromagnetischem Feld Jede bewegte Elektrizitatsmenge (StromZ) hat in ihrer Umgebung (Feld) magnetische Wirkungen zur Folge. Die Kraft (Anziehungoder AbstoDung), die auf einen Magnetpol an einer Stelle dieses Feldes wirkt, ist proportional zur magnetischen Feldstarke H. Feldstarke H und elektrische Stromsthke Z sind uber das Durchflutungsgesetz von MAXWELL verbunden.

Aus GI. (4-234) folgt die wichtige Feststellung: In einem einfach zusammenhangenden Raum, in dem uberall Potentialstromung herrscht, ist die Zirkulation langs jeder geschlossenen Linie , , immer gleich null. Wie sich bei Betrachtung des Potentialwirbels (Abschnitt 4.2.8.1.4) zeigen wird, ist die Einschrankung, daB die geschlossene Linie einen einfach zusammenhangenden Raum umschlieBen muB, notwendig, wenn das Geschwindigkeitspotential in diesem Bereich eindeutig und endlich sein soll. Bei mehrfach zusammenhangenden Raumen, wie z. B. beim Potentialwirbel moglich, ist das Potential @ mehrdeutig. Das Ringintegral nach G1. (4-232), also die Zirkulation r um den mehrfach zusammenhangenden Raum, fuhrt dann zu einem Wert, der ungleich null ist. Nach dem Umlauf um die betreffende Linie ergibt sich demnach nicht wieder der gleiche Wert fur @ wie zu Anfang. Fur solche Bereiche gilt der obige Satz nicht. Die Zirkulation r ist ein sehr wichtiger Begriff der Fluidmechanik. Sie ermoglicht die Kennzeichnung, ob ein Gebiet Wirbel enthalt oder nicht und ist ein Ma13 fur die Wirbelstarke.

ds' ist dabei wieder die Bogenlange auf einer beliebigen Kurve, die den Stromleiter ganz umschlieDt. Wie der Vergleich zeigt, hat dieses Gesetz den gleichen Aufbau wie die Beziehung fiir die Zirkulation r, G1.(4-232). Es besteht somit auch hier (vgl. Abschnitt 4.1.1.3.5) Venvandtschaft zwischen Fluid- und StromfluD. Der elektrische Stromlentspricht der Zirkulation r, die Feldstarke H der Stromungsgeschwindigkeit c' . Fur einen geradlinigen stromdurchflossenen Leiter ergibt G1. (4-235):

Die Feldlinien verlaufen als konzentrische Kreise (Radius r) um den Leiter, Bild 4-78,a, wie die Linien gleicher Geschwindigkeit im Feld eines Wirbelfadens (Potentialwirbel, Bild 4-89). Nach GI. (4-266) ist die Stromungsgeschwindigkeit analog zur magnetischen Feldstarke, GI. (4-236):

Zwischen den Polen des ebenen Permanentenmagneten in Bild 4-78,b ist die magnetische Feldstarke

196

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkom~pressibleStromungen) A

-

d

M

Strom I abgefiihrt werden. Nach diesem Prinzip arbeiten die Magnetohydrogeneratoren. Das Zusammenwirken von stromendem Medium, elektrischem Strom und magnetischem Feld wird als Magnetohydrodynamik (MHD) bezeichnet, die technische Anwendung als MHD-Technik. 4.2.3 Satz von THOMSON ')

c)

F

Bild 4-78. Magnetische Felder, je rnit Feldstarke H: a) Stromdurchflossener elektrischer Leiter. StromfluB I senkrecht auf die Bildebene zu (8-Zeichen). b) Permanent-Magnetfeld c) ifberlagerung von a) und b) Stromleiter L von Lange b senkrecht zur Bildebene.

H = H, = konst und H, = Hz = 0. Die Feldlinien, die den Stromlinien der Fluidstromung entsprechen, sind Parallelen zur x-Achse. Wird ein stromfiihrender Leiter in das Magnetfeld gebracht, werden die Feldlinien, wie in Bild 4-78,c skizziert, abgelenkt. Die Abbildung entspricht dem fluiddynamischen Stromlinienverlauf eines parallel angeblasenen Kreiszylinders mit Zirkulation (Bild 4-97), der in Abschnitt 4.2.8.3.2 behandelt wird. Der stromdurchflossene Leiter L erfihrt im homogenen Magnetfeld eine Kraft & die senkrecht zur Feldstarke H, gerichtet ist. Ihre Wirkungsrichtung ist jedoch entgegengesetzt zu der des fluiddynamischen Auftriebes FA (Querkraft) bei der Umstromung mit Zirkulation nach Bild 4-98). Die Kraft F im Magnetfeld von Bild 4-78,c betragt mit dem Induktionsfaktor p0 (magnetische Feldkonstante) und der Leiterlange b gemal3 M ~ x w ~ ~ ~ s cInduktionsgesetz: hem

Die Beziehung entspricht der Quertriebsgleichung von KUTTA-JOUKOWSKY, G1. (4-278) und Abschnitt 4.2.9.2:

Wird der in Bild 4-78 durch einen Metalldraht gebildete, anfanglich stromlose Leiter L entgegengesetzt zur Richtung der Kraft F bewegt, flieot in ihm der Strom I (Induktionsgesetz). Nach diesem Prinzip sind die Elektrogeneratoren gebaut. Der gleiche Effekt tritt auch dann ein, wenn kein metallischer Draht, sondern ein elektrisch leitendes Fluid, z. B. Plasma, der Kraft F entgegengerichtet durch das Magnetfeld flieBt. Dann kann an den Wanden des Stromungskanals ein elektrischer

Nach THOMSON gilt: In einem idealen homogenen Medium ist die Zirkulation r langs jeder geschlossenen ,,fliissigen" Linie zeitlich konstant, sofern auf das Fluid nur Krafte wirken, die sich von einem Potential ableiten lassen, also konservative Krafte, was in der Regel Massenkrafte sind - (Abschnitt 2.2.7). Hierbei bedeuten: 1. Ein homogenes Medium ist ein Fluid, dessen Dichte entweder konstant (inkompressibles, d. h. raumbestandiges Fluid) oder eine Funktion des Druckes und der Temperatur ist (Gas) oder lediglich eine Funktion des Druckes, sog. barotrope2) Stromung bzw. Schichtung. 2. Einefliissige Linie ist eine Linie, die sich so mit dem homogenen Medium mitbewegt, daB sie immer von den gleichen Fluidteilchen gebildet wird. Nach dem THOMSON-Satz mu13 beispielsweise in einer Parallelstromung, oder der Strijmung einer idealen homogenen Fliissigkeit, die aus der Ruhe heraus entstanden ist, die Zirkulation langs jeder geschlossenen fliissigen Linie null sein (Bild 4-77), da sie zu Beginn null war. Solche Stromungen sind Potentialstromungen. Jede Stromung, die anfangs wirbelfrei war, muB demnach in ihrem weiteren zeitlichen Verlauf wirbelfrei bleiben, da sich nach THOMSON die Gesamtzirkulation nicht andern kann. Werden in einer solchen Stromung durch besondere Storungen dennoch Wirbel gebildet, entstehen paarweise gegenlaufige Wirbel, sog. Gegenwirbel (Wirbelstrafle, Anfahnvirbel), z.B. Bild 3-28, so da13 die resultierende Zirkulation, d. h. die Gesamtzirkulation null bleibt.

l)

THOMSON, W. (1824 bis 1907), schottischer Physiker, geadelt zu LQRD KELVIN. barys (gr.) . . . schwer.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

Beweis des T ~ o ~ s o ~ s c hSatzes en gilt: Nach THOMSON dr - = 0, da dt

r = konst

sein mug!

197

Damit wird:

d'= dt

f[L(fx.dx+h.dy+

e

fz.dz)

Die zeitliche ~ n d e r u n gder Zirkulation ergibt sich am einfachsten durch differenzieren von Gl. (4-233): In dieser Gleichung sind weiterhin (GI. (2-34)): 1 -(fx.dx+f;dy+ f;dz) Die Ableitung des Ringintegrales nach der Zeit bedeutet: Das die Zirkulation definierende Integral um die geschlossene fliissige Linie zur Zeit t von der gleichen Integralbildung zur Zeit t + dt abgezogen und die sich ergebende Differenz durch die infinitesimale Zeit dt dividiert. Da beide Integrationen bei jeweils festgehaltenen Zeiten (bei t und t +dt) vorgenommen werden, sind Differentiation und Integration in der Reihenfolge vertauschbar (stetige Funktion), weshalb gilt:

e

Eingesetzt fiihrt zu: dr -dt =

f[-dU-!dp+d(:)] @

mit

4

= ( ?(A)

Hierbei nach Produktregel mit dxldt = c,:

Nach G1. (4-223) 6,

=-

.

und Eingesetzt, liefert:

Unter den der Ableitung zugrundegelegten Voraussetzungen (U, Q , p, c sind eindeutige Funktionen von x, y, z) ergibt sich fur den Zirkulationsstrom f (zeitliche ~ n d e r u der n ~ Zirkulation) langs einer geschlossenen flussigen Linie durch EinsetZen der Integrationsgrenzen. Integration bei Stelle A - zugehorige Werte UA,e ~P A, , C, - beginnend entlang des geschlossenen Linienzuges als Integrationsweg bis zum Ausgangspunkt A zuriick. Die eckige Klammer des vorhergehenden Ausdruckes hat deshalb an oberer und unterer Grenze, welche ja dieselben sind, den gleichen Wert und deren Differenz ist zwangslaufig null.

Entsprechend ergibt sich: Damit ist der THOMSON-Satz bewiesen. Erganzung: Wie verwendet, gilt:

198

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Bei den anderen Koordinaten-Richtungen y und z entsprechend.

4.2.4 Integralsatz von STOKES Der S T O K E S SIntegralsatz C~~ gibt den Zusammenhang zwischen der Zirkulation langs einer geschlossenen Linie (Lange L) und der innerhalb des dadurch abgegrenzten Gebietes (Flache A) vorhandenen Wirbelung (Drehung) der Fluidteilchen. Der SToK~sscheSatz wird auch als 2. Integralsatz der Feldtheorie bezeichnet. Dieser wichtige Zirkulationssatz lautet in allgemeiner Form:

Bild 4-79. Bildliche Darstellung der Zusammenhange des Integralsatzes nach STOKES.

Mit der Zirkulation gemao GI. (4-232) uber geschlossener Lange L (Bild 4-79):

Umgeschrieben rnit G1. (3-22) ergibt den Aufbau:

Wird die Definition der Zirkulation r nach G1. (4-232) eingefuhrt, folgt fur den S~oKEsschenSatz die Form:

Hierbei bedeuten: A eine beliebige, von der geschlossenen Linie L umrandeten Flache; n' den Einheitsvektor, der zur Infinitesimaloberflache dA normal nach auI3en gerichtet ist; P den Raumwinkel zwischen Wirbelvektor 6 und Normaleneinheitsvektor n' + Bild 4-79. Fur das ebene Stromungsfeld 1aDt sich der allgemeingultige Integralsatz von STOKESsehr einfach verifizieren, Bild 4-80: Entlang der Berandung des Flachenelementes dA nach Bild 4-80,b ist die Zirkulation:

~~chtun~ena)

Bild 4-80. Integralsatz nach STOKES, angewendet auf das ebene Stromungsfeld: a) Stromungsfeld, aufgeteilt in FlEhenelemente dA. b) Rechteck-Fluidteilchen dA = dx . dy mit Inkrementen dx und dy.

Hierbei Minuszeichen dort, wo Wegrichtung beim Teilchen-Durchlauf entgegengesetzt zur Geschwindigkeitsrichtung (a = 180" -+ cos cc = - l). Der Vergleich mit G1. (3-19) ergibt: dr=2.oz.dA Die Integration uber die Flache A mit w,

= w,

bestatigt den Zirkulationssatz von STOKES! Wie Bild 4-80,a zeigt, wird im Inneren des von der Kurve L umschlossenen Gebietes A bei der Summation, d. h. der Integration, die Berandung jedes Flachenelementes dA insgesamt zweimal durchlaufen. Der zweite Durchlauf ist dabei dem ersten jeweils entgegengesetzt. Dadurch fallen alle Anteile im Innern der festgelegten Umrandung L

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

weg. ubrig bleibt nur die zur Umgrenzungslinie L gehorende Zirkulation T. Der Zntegralsatz von STOKES ist damit fur ebene Stromungen und verallgemeinert fur Raumstromungen bestatigt. Die Zirkulation ist deshalb, wie bereits erwahnt, ein MaB fur die Drehung der Stromung in dem vom Integrationsweg umschlossenen Bereich. Merkhilfe fur den STOKES-Satz: SKF + STOKES, Kurve, Flache. oder STOKES: Zusammenhang von Kurve mit Flache.

199

Hinweis: Differentiationsfolge vertauschbar, da stetige Funktion: Differentiation nach dx . dy fiihrt also zum gleichen Ergebnis wie nach dy . dx. Die zunachst noch unbekannte Funktion Y der Ortskoordinaten x und y wird als Stromfunktion bezeichnet und ist nur bei ebenen, d. h. zweidimensionalen Stromungen - entsprechend der Herleitung aus G1. (4-240) - definiert. Die Ausdrucke von G1. (4-243) in die Bedingung fur die Wirbelbewegung (Winkelgeschwindigkeit) nach G1. (3-19)

4.2.5 Potential- und Stromfunktion Fur ebene, quellen- und senkenfreie Stromungen (Abschnitt 4.2.8) hat die differentielle Kontinuitatsgleichung nach Abschnitt 3.2.3.2 die Form:

Wie in Abschnitt 3.2.3 durchgefiihrt, laDt sich die Gleichung fur ideale Stromungen mit Hilfe des Stromungs- oder Geschwindigkeitspotentials @(x,y), kurz auch als Potentialfunktion bezeichnet, da damit gilt, C,

a@

=-

ax

und c,

a@

=-

ay

umschreiben in die LAPLACE-Form:

eingesetzt, ergibt:

-2.w,=AY

1 oder o , = - - A Y 2

Diese Beziehung ist vom Typ der Po~sso~schen Differentialgleichung AY =f (x, y, t), die nichtquellfreie Stromungen beschreibt. Die POISSON-Gleichung unterscheidet sich von der L ~ p ~ a c ~ - G l e i c h u nG1. g , (4-242), die fur Quellfreiheit gilt, durch die auf der rechten Gleichungsseite stehende, von null verschiedene Funktion f (x, y, t), sog. Diffusionsterm, welche(r) die Quell(Senk-)Dichte beschreibt (Abschnitt 3.2.3.2). Bei Wirbelfreiheit (Potentialstromung) muI3 dagegen wegen o,= 0 erfullt sein:

Die Kontinuitatsgleichung (4-240) wird jedoch andererseits auch durch eine weitere Funktion Y (x, y) erfullt, fiir die gilt:

Nach Einsetzen in die Kontinuitatsbedingung, GI. (4-240), bestatigt sich sofort, dalj diese Behauptung richtig ist:

a ax

)

ay

a2y axay

+-

()

--

a2y ayax

,,not=! o ( b bedeutet wendig") -

O

(Die Gleichung ist erfiillt)

Demnach mu13 auch die Stromfunktion Y (x, y) der L A P L A C E SGleichung C ~ ~ ~ genugen. AuDerdem liefert der Vergleich der Beziehungen G1. (4-241) und (4-243) die sog. CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen:

Diese Beziehungen sind fur die mathematische Behandlung der ebenen Potentialstromungen grundlegend wichtig. Um festzustellen, welcher Zusammenhang zwischen Potentialfunktion @ und Stromfunktion Y der Geschwindigkeit besteht, sowie welche physi-

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

200

kalische Bedeutung diesen beiden Funktionen zukommt, werden deren totale Differentiale gebildet:

Potentialfunktion Q (Stomungspotential) Nach Beziehung (4-23 1b) mit Bild 4-75 und 4-87 gilt f i r das Stromungs- oder Geschwindigkeitspotential, wobei Weg t (nicht Zeit) tangential zu c:

AuDerdem ist der Volumenstrom zwischen zwei benachbarten Stromlinien fiir die dazu senkrechte Stromungstiefe eins gleich der Differenz der Stromfunktionswerte dieser beiden Stromlinien (Abschnitt 4.2.2.1). Die Zusammenhange sind in Bild 4-81 zusammenfassend dargestellt. Erganzung: Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit c und Stromfunktion Y lafit sich mit Hilfe von Bild 4-82 einfach darstellen.

Oder mit G1. (4-241):

Fiir die Kurven @ = konst (also dQ,= O), den sog. ~~ui~otentiallinien, gilt dann: 0

= c,

dydx

. dx + c, . dy c, - c . cosa c,

c . sina

Hieraus (Bild 4-81) 1 tan a

(4-247b)

Stromfunktion Y Nach G1. (4-23 1c) mit Bild 4-75 und 4-87 wobei Weg n normal zur Stromungsgeschwindigkeit c: 01

Oder gema13 GI. (4-246) mit Beziehung (2-241):

Fur die Kurven Y = konst, d. h. dY = 0, wird:

Bild 4-81. Zusammenhang zwischen Potentialfunktion @ und Stromfunktion Y. d@= c . dt; dY = c . dn. Koordinate t (tangential) in Stromungsrichtung und n normal (senkrecht) dazu. Hinweis auf Bild 4-87. a) ~qui~otentiallinie (@ = konst) und Stromlinie (Y = konst) b) Rechtwinkliges Kurvennetz der Funktionen @ = konst und Y = konst

Umgestellt:

c . sin a dy---c~ - -= tan a dx

c,

Tangente /

c .cosa

GI. (4-248b) ergibt, da13 die Kurven Y = konst jeweils in jedem Punkt mit der Richtung der Geschwindigkeit iibereinstimmen. Dies ist jedoch die Bedingung der Stromlinien. Hieraus folgt: Die Stromlinien sind die Kurven mit Y = konst (Bild 4-81). Nach G1. (4-247b) ist die Steigung der A'quipotentiallinien (Kurven) der negative Kehrwert der Steigung der Stromlinien, G1. (4-248b). Dies ist jedoch die mathematische Bedingung fur senkrechte Schnittwinkel zweier Kurven (analytische Geometrie). Das bedeutet:

I

Geschwindigkeit in Pkt. P

x

Bild 4-82. Striirnungsgeschwindigkeit c an Stromlinie Y = konst in Punkt P zu bestimmter, d. h. festgehaltener Zeit. Innerhalb des gesamten ebenen Stromungsfel- ( t , n) natiirliches Koordinatensystem bedeutet parallel zueinander des bilden Stromlinien und ~~uipotentiallinien Tangentialen- und Normalen-Einheitsvektoren zwei Scharen sich rechtwinklig schneidender

<; <

Kurven (Rechtecknetz).

I
=

IF',,

= et = en = 1

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

Die Stromfunktion andert sich senkrecht (Normalenrichtung n) zur Stromlinie. Dann gilt mit GI. (4-243) fur jeden festgehaltenen Zeitpunkt das vollstandige partielle Weg-Differential:

Eine komplexe Zahl z mit der ImaginargroRe multipliziert und dabei beachtet, dalj i i= im Sinne der GAUSS-Definitioneinen ,,OrtsVektor" vom Betrage eins in der y-Richtung darstellt (also dem Argument 7c/2), liefert: Z . i = r . e i . r p . l .ei.n/2 =r.el(v+d2)

fl

+

+

+

= r [cos (cp x/2) i . sin (cp n/2)1 Die Multiplikation mit i ergibt somit eine Drehung des Vektors z um 4 2 G 90" in positiver Richtung auf der komplexen Zahlenebene (z-Ebene).

Hierbei gemal3 Bild 4-82:

Eingesetzt, ergibt mit cz

201

+ c; = c2:

Bei nichttransienter, also stationarer Stromung ist entsprechend:

Die CAUCHY-RIEMANNSC~~~ Differentialgleichungen, G1. (4-246), in Verbindung mit GI. (4-241) und (4-243), welche die ideale, d. h. wirbelfreie ebene Stromung beschreiben, werden in der GAUSS-Ebenedurch folgenden Ansatz, das sog. komplexe Potential, erfiillt:

X(z) = Q Die ,,Normalenableitung" der Stromfunktion ergibt somit, wie zuvor verwendet, den Betrag der Stromungsgeschwindigkeit. 4.2.6 Komplexes Potential In der G~ussschenEbene, Bild 4-83, lassen sich Vektoren als komplexe GroIjen darstellen. In der z-Ebene (komplexe Ebene) gilt: Komplexe GroRe:

z=x+i.y

Konjugiert komplexe GroDe:

z* = x - i .y

Betrag von z bzw. z*: r = lzl= lz* I =

+i

'P

(4-249)

Hierbei ist X(z) (groDes griech. ,,Chi6') eine analytische Funktion der komplexen Variablen z = x + i y. AuDerdem sollen das Stromungspotential @ (x, y) und die Stromfunktion Y (x, y) einschlieDlich ihrer partiellen Ableitungen nach x sowie y stetige reelle Funktionen von x und y sein. Die besondere Eigenschaft solcher analytischen Funktionen besteht darin, daR sie an jeder Stelle des betrachteten Bereiches differenzierbar sind. Das bedeutet: Die Ableitung dX/dz mu0 dann an jeder Stelle der z-Ebene (x,y-Ebene) einen von Betrag und Richtung des Elementes dz unabhangigen Wert haben. Das begrundet sich darin, daR die Steigung der X-Kurve an jeder Stelle einen bestimmten Wert hat und deshalb unabhangig von der GroRe des Elementes dz ist.

J'm

Argument von z: cp (Richtungswinkel zur x-Achse)

+

Mit x = r . cos cp; y = r . sin cp und der EULER- Entsprechend der komplexen GroDe z = x i y, der in der z-Ebene ein Punkt zugeordnet ist, gehort Form eii = cos cp & i . sin cp gelten: zu der komplexen GroDe X ebenfalls ein Punkt in der G~ussschenX-Ebene. Die komplexe X-Ebene hat die reelle @-Achseund die imaginare Y-Achse, Bild 4-84. '

"

lmaglnore Achse

-Y

Bild 4-83. Komplexe (G~usssche)Zahlen-Ebene.

Bild 4-84. Komplexe z- und X-Ebene.

202

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Wenn dX/dz von dz unabhangig sein soll, mu13 dX, Ableitung des komplexen Stromungspotentials X -da-dz von-dx wid-dy best~mmtwird, auch unab- Cii. '(4-250.a) hngesetzt, ergibt: hangig vom Verhaltnis dxldy sein. Die Ableitung dX/dz ausgewertet, ergibt: Hierbei ist c* = c*(z) wieder eine analytische Funktion der komplexen Variablen z. Dabei ist der Vektor c' die komplexe Geschwindigkeit und der Vektor c'* die dazugehorige konjugiert komplexe Geschwindigkeit der Stromung.

c+ = c x + i . c y ; c ' * = c x - i . c , Umgeschrieben

Die Abhangigkeit von dxldy entfallt, wenn

im Zahler ist, da dann dx + i . dy = dz beim Zusammenfassen herausfallt. In diesem Fall wird dann, da l/i = i/i2 = - i

und damit, wie gefordert, unabhangig von dxldy. Aus G1. (4-250) folgt durch Koeffizientenvergleich (Real- u. Imaginarteile) nach Multiplikation der gesamten Beziehung mit der imaginaren Einheit i:

Deshalb gilt:

An jeder Stelle des betrachteten ebenen Stromungsfeldes kann demnach die Stromungsgeschwindigkeit c berechnet werden, wenn das komplexe Stromungspotential X(z) bekannt ist. Erganzung: Analytische Funktionen GemaB Funktionentheorie, der Theorie der analytischen Funktionen, lautet die Definition der analytischen Funktionen: Eine analytische Funktion ist eine differenzierbare Funktion einer einzigen komplexen Variablen. Es sind ebene Funktionsklassen, welche die COUCHY-RIEMANN-Differentialgleichungen gemaB G1. (4-246) erfullen. Beispiele fur analytische Funktionen: X=i.lnz; X=z2 Mit der komplexen Variablen (Bild 4-83)

lassen sich analytische Funktionen umschreiben. Es ergeben sich wieder die CAUCHY-RIEMANNSC~~~ Differentialgleichungen. Damit ist bewiesen, da13 Fiir die Beispiele: Ubereinstimmung mit der in G1. (4-249), formu- X=i~lnz=i~ln(r~ei'~)=i~(lnr+i~cp) lierten Behauptung besteht. Dieser Ansatz fuhrt zu =-cp+i.lnr da i 2 = ( m ) 2 = - 1 der wichtigen Feststellung:

b Bei einer ebenen wirbelfreien Stromung kann das Geschwindigkeitspotential @ als Realteil und die Stromfunktion Y als Imaginarteil einer analytischen Funktion der kompletten Veranderlichen z = x + i y aufgefal3t werden. Diese analytische Funktion nach G1. (4-249) wird als komplexes Stromungspotential X bezeichnet. Die Beziehungen nach G1. (4-241) und G1. (4-243) fur die Geschwindigkeitskomponenten in die

Nach G1. (4-249) gilt dann hierzu: @(x,y)=-cp mit cp

und Y ( x , y ) = l n r

= arctan (y/x)

und r

=

Also @ ( x , ~ ) = x ~und - ~ ~Y ( x , y ) = 2 . x . y

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

Ergebnis: Bei analytischen Funktionen sind sowohl Realteil als auch Imaginarteil reelle Funktionen zweier reeller Variabler G1. (4-249).

Mit Hilfe der GAUSS-Ebene(Bild 4-83) und

Damit die Bedingung aX/az* = 0 erfullt ist, mussen in dieser Beziehung somit sowohl Realteil als auch Imaginarteil null sein: a@ ax

addiert: (z+z*)=

2.x

und z * = x - i . y -,

(aX/az*), = 0 und zwar fur jedes z -,Index z Ausgewertet ergibt: GemaB z* =f ( x ,y ) ist das vollstandige partielle Weg-Differential fiir X ( z * ) unter Verwenden der Kettenregel:

ax +-.ax ay ax a ~ * ay a ~ *

ax - ax ---.Mit

X=@+i.Y

x sowie y

und

= (Z

+~ * ) / 2

= -i

. ( z - z*)/2

+aX=a@+i.alu -, ax/az* = -t

-,

-t

a@ alu ax ay a@ alu -- -ay ax -

-

Zwei reelle Funktionen @ ( x ,y ) und Y ( x ,y ) ergeben kombiniert nur dann eine analytische Funktion X ( z ) , wenn sie die COUCHY-RIEMANNDifferentialgleichungen (Gl. 4-246) erfullen.

x=(z+z*)/2

Damit laBt sich jede analytische Funktion formal auch durch die beiden komplexen Variablen z und z* - komplexe und konjugiert komplexe - darstellen, also allgemein X = X ( z , z*). Nach Definition der analytischen Funktion muB jedoch X = X ( z ) sein. Diese Bedingung kann nur erfullt werden, wenn gilt:

az*

ay

-0

Das sind jedoch die C ~ ~ C H Y - R I E M A N N - D ~ ~ ~ tialgleichungen, wodurch sich die Forderung bestatigt:

lassen sich ausdrucken: z=x+i.y

a~ ay

a~ a@ -+-=o ax

durch

203

112

a y p z * = i/2

4.2.7 Konforme Abbildung Mit der Methode der konformen Abbildung gelingt es, aus bekannten, einfachen Fluidstromungsbildern, z. B. Kreis- und Plattenumstromung, kompliziertere zu entwickeln, wie die Umstromung von Profilen. Bei der konformen Abbildung, auch als konforme Transformation bezeichnet, werden die Werte einer komplexen Funktion in einer GAUSSschen Ebene durch eine Verknupfungsfunktion auf eine zweite G~ussscheEbene konform, d. h. winkeltreu, abgebildet, Bild 4-85. Bei dieser geometrischen Transformation bleiben somit sowohl Drehsinn als auch Winkel zwischen zwei beliebigen, jedoch zusammengehorenden Kurven von Ausgangs- zu Abbild-Figur erhalten. Beim komplexen Stromungspotential X wird jedem Wertepaar ( x ,y ) ein anderes, namlich (5, Q), gemaB festgelegter Transformationsfunktion z zugeordnet. Das bedeutet: Jeder Punkt in der z-Ebene wird auf einen Punkt in der (-Ebene abgebildet und umgekehrt. Die zuge-

wird:

Umgeschrieben durch Trennen in Real- und Imaginarteil fuhrt zu: Bild 4-85. Konforme Abbildung des Punktes P, in der z-Ebene auf Punkt PCin der X-Ebene (PCkonformer Bildpunkt von Punkt P,). AbbildungsmaSig zusammengehorende Schnittwinkel, hier 90", sind gleich. Die z- und [-Ebene sind dabei komplexe, also G~ussscheEbenen.

204

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

horigen @- und Y-Werte werden dabei in unveranderter GroDe mit ubertragen (abgebildet). Die eine Darstellung ist somit das Abbild der anderen; das gilt zudem immer wechselseitig. Da das Netz aus Stromlinien (Y = konst) und ~ ~ u i ~ o t e n t i a l l i n i(@ e n= konst) in der z-Ebene, besonders in genugend kleiner GroBenordnung, quadratisch ist, mu13 dies ebenso fur das konform abgebildete Netz in der 5-Ebene zutreffen. Einem kleinen Quadrat in der z-Ebene mit den Seiten dx = dy entspricht in der [-Ebene wieder ein kleines Quadrat, wenn auch in anderer Lage, Form sowie Position zu den Achsen und in anderer GroDe, Bild 4-86. Diese Abbildung hat einen speziellen Charakter, da durch das analytische Verhalten (CAUCHY-RIEMANNSC~~ Differentialgleichung erfullt) das Verhaltnis d[/dz an jeder Stelle des betrachteten Bereiches einen bestimmten Wert hat, der unabhangig von der Richtung des Elementes dz ist. Dieses VerhUtnis I d(/dz 1 wird als MaDstabsfaktor oder Verzerrungsverhaltnis bezeichnet. Da dieser MaDstabsfaktor im allgemeinen nicht konstant, sondern von Punkt zu Punkt des Gebietes verschieden ist, sind nur die kleinsten, d. h. infinitesimalen Teilchen der Abbildungen zueinander ahnlich, nicht jedoch endliche Bereiche. Insbesondere bilden, wie envahnt, zwei sich schneidende Kurven in der z-Ebene denselben Winkel wie ihre Bilder in der 5-Ebene (winkeltreue oder isogonale Abbildung). Nach GAUSSwird daher eine solche Abbildung als konforme Abbildung bezeichnet.

Bild 4-86. Beispiel einer konformen Abbildung: a) z-Ebene, z = x + i y (physikalische Ebene) b) g-Ebene, ( = 5 + iq (Abbildungsebene) bei ~bertragungsfunktion[ = 2 .

fi

Zu bemerken ist noch, da13 endlich kleine Bereiche der z- und 5-Ebene an denjenigen Punkten nicht mehr ahnlich sind, fiir welche die Ableitung d(/dz = ('(z) null oder unendlich ( ( ' ( 2 ) -+ m) groB wird. Solche Stellen heiljen singulare Punkte. In der Fluidmechanik ist an diesen Stellen die Stromungsgeschwindigkeit null (Staupunkt) oder (theoretisch) unendlich groB, also in diesem zweiten Fall praktisch nicht moglich.

Zusammenfassung: Jeder Punkt einer in der z-Ebene (Ausgangsebene) dargestellten Potentialstromung wird mit Hilfe einer passenden ~bertragun~sfunktion 5 = f (z) in die Abbildungsebene 5 ubertragen. Die dadurch entstandene Bildstromung ist eine neue Potentialstromung, wenn auch anders geartet. Entsprechend ergibt die inverse Funktion (Umkehrfunktion) z =fu(() ebenfalls wieder eine konforme Nach dem RIEMANNschen Abbildungssatz der Abbildung mit dem komplexen StromungspotenFunktionstheorie gilt: tial X ( f " (0). Die Differenzen von Stromfunktion und Ge0" Jeder von einer mindestens stiickweise stetigen, schwindigkeitspotential zwischen zwei beliebigen :$i 3j geschlossenen Kurve umgrenzter, einfach zu- Punkten des Stromungsfeldes bleiben bei der @ sammenhangender Bereich einer Ebene 1aBt Transformation unverandert. & sich auf das Znnere eines Kreises konform ab- Die Stromungsgeschwindigkeit von Bildstromung b$e3 bilden. ci (5) und Ausgangsstromung c, (z) sind durch ci = c,/l d[/dz I miteinander verbunden. Dieser Fundamentalsatz der konformen Abbil- Schwierig ist das Auffinden einer passenden Abdung ermoglicht, beliebig gestaltete Korper-Kon- bildungsfunktion [(z). Beispiele: turen, z. B. Tragflugelprofile (JOUKOWSKY-Profile),Umwandlung von Parallel- in Staupunktstromung auf Kreise abzubilden, an diesen die Umstromung (Ausschnitt in Bild 4-86 dargestellt) 5 = b . $ zu studieren und dann ruckwarts zu ubertragen mit Konstante b (meist b = 1 oder 2). (abbilden). Durch diesen wichtigen Vorteil konnen Umwandlung von Kreizylinderumstromung in JOUKOWSKY, verwickelte Stromungsprobleme an vereinfachten Tragflugel-Umstromung nach Abbildungen untersucht werden. Fur das prakti- 5 = (lib) . (z + a2/z). Kreismittelpunkt (Radius r) sche, teilweise jedoch aufwendige Anwenden der um den Betrag 1 seitlich der Ordinate im zweiten konformen Darstellung, muB auf die einschlagige Quadranten des (x, y)-Systems und a Abszissenabschnitt der Kreislinie auf der negativen x-Achse Spezialliteratur, z. B. [87] verwiesen werden.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

205

Konstante b wie zuvor. Mittelpunkt M des Ausgangs-Kreises (Radius r) im (x, y)-System, somit bei Abszissen-Wert x = - l und Ordinate y, = d, also M (- I; d). Die sich durch diese konforme Abbildung im ((, q)-System ergebenden sog. JOUKOWSKY-Profile verlaufen an der Hinterkante messerscharf und sind daher technisch nicht verwirklichbar.

4.2.8 Stromungsklassen 4.2.8.1 Potentialstromungen 4.2.8.1.1 Grundsatzliches Die wichtigsten einfachen Potentialstromungen, die sog. Elementarstromungen, sind: - Translationsstromungen (Parallelstromungen) - Quellen- und Senkenstromungen - Kreisstromungen (Potentialwirbel)

Bild 4-87. Ebene Translationsstri5mung - mit eingetragenen Koordinatensystemen. Zusarnrnenhange zwischen den Systemen (t, n) und (x, y) enthalt Tabelle 6-22:

Geschwin- c,

= c,(x,

y) = c .cos cp = konst (4-251)

digkeiten: c, = c,(x, y) = c . sin cp = konst (4-252) Potentialstromungen sind, wie bereits erwahnt, = konst (4-253) c = c(x, y) = nur exakt moglich, wenn ausschlieBlich konserva(4-254) @ = c, . x + c, .y tive Krafte wirken, namlich bei wirbel- und rei- Potenbungsfreien (idealen) Fluiden. Alle Stromfaden weisen die gleiche Gesamtenergie auf. Die Energiegleichung ist daher uberall im Stromfeld erfullt, (4-255) Y = c, .y - c, . x da bei der Fortbewegung die Fluidteilchen sich Strom~=c.(y.coscp-x.sincp) zwar verformen konnen, jedoch nicht drehen, also fit.: (4-255a) keine Wirbel auftreten (dazu ware letztlich =c.n Reibung -+ Scherkrafte notwendig). Bei diesen Stromungen bestehen somit Potentiale fur die au- Hierbei im Beren Krafte ( U gemaB G1. (2-34) sowie (4-226)) (x, y)-System G1. (4-254) und G1. (4-255) und fur die Geschwindigkeit (@ nach G1. (4-242)). (t, n)-System GI. (4-254a) und GI. (4-255a) Die zugehorige mathematische Behandlung wird als Potentialtheorie bezeichnet. Stromungen realer, insbesondere N ~ w ~ o ~ s c h e4.2.8.1.3 r Quellen- und Senkenstromung Fluide konnen auBerhalb von Grenzschicht und Bei einer Quelle stromt das Fluid in konstanter sog. Singularitaten (Abschnitt 4.2.8.1.4), wenn Schichtdicke, z. B. zwischen zwei Platten, von eikeine Wirbel vorhanden sind, oftmals angenahert nem Punkt (Zentrum) strahlenformig nach allen als Potentialstromungen betrachtet und wie diese Seiten weg. Bei der Senke ist die Stromungsrichbehandelt werden, da hier Reibung (Viskositat, tung umgekehrt, also strahlenformig radial nach Turbulenz) verschiedentlich vernachlassigbar innen auf einen Punkt (eine Linie) zu, Bild 4-88. klein (dcldn -0; c' -+ 0). Bei der Quellenstromung ist im Zentrum ein standiger ZufluIJ - z. B. von unten, bei der Senkenstro4.2.8.1.2 Translationsstromung Die Translations- oder Parallelstromung ist die mung entsprechend ein standiger AbfluB erfordereinfachste Potentialstromung, Bild 4-87. Die lich. Es handelt sich somit um Flachenstromungen Fluidteilchen bewegen sich auf geradlinigen Bah- (x, y-Ebene). Bei Ausdehnung in z-Richtung, also nen mit konstanter Geschwindigkeit neben- und groBere Erstreckung b in Bild 4-88 wird auch von hintereinander her. Stabquelle bzw. Stabsenke gesprochen. Bezuglich Bild 4-87 und Beziehung (4-247a) sowie Senken sind als negative Quellen auffaBbar. Des(4-248a) gelten bzw. ergeben sich aus Integra- halb werden Quellen und Senken meist zusamtion bei Anfangswerten null -+ @ (0; 0) = 0; mengefaBt als Quellen bezeichnet, die zugehorigen Stromungen als Quellstromungen. Y (0; 0) = 0:

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkc~mpressibleStromungen)

206

Komplexes Potential:

Bei r -+ 0 miiDte wegen E = konst die Geschwindigkeit c + co gehen. Dies ist physikalisch selbst bei reibungsfreier Stromung nicht moglich. Die z-Achse (r = 0) ist daher eine singulbe Linie, der Koordinatenursprung ein singularer Punkt. Quelle und Senke gelten deshalb letztlich auch als Singularitaten der Stromungsmechanik. w e -5 Bild 4-88. Quellen- und Senkenstromung. d@=c.dt=c.dr; dlt,=c.dn=c.r.dq

Der Kontinuitatsgleichung entsprechend mu13 der Volumenstrom durch alle Kreisringflachen konstant sein: v = 2 . r . n . b . c = konst. Der auf den Plattenabstand b bezogene Volumenstrom wird als Ergiebigkeit E bezeichnet. Die Ergiebigkeit ist demnach der Volumenstrom beim Plattenabstand eins (b = 1):

P

E=-=2.r.n.c=konst b Hieraus und mit GI. (4-247) sowie GI. (4-248), wobei dt = dr sowie dn = r . d q da t tangential und n normal zur Stromung (Geschwindigkeit c), ergeben sich direkt, bzw. uber Integration bei null gesetzten Anfangswerten + @ (t =0) = 0; Y (n=O) = 0: Geschwindigkeiten:

4.2.8.1.4 Kreisstromung Bei zirkulierenden Stromungen ist zwischen zwei Bewegungsformenzuunterscheiden,dendrehungsbehafteten und den drehungsfreien. Beide Stromungen kreisen um eine Drehachse (Zentrum). Die Bewegung ist bei freier Oberflache durch Einbringen von Festteilchen, z. B. Korkstucke, verfolgbar (Bild 4-89). Bei starrer Rotation, d. h. drehungsbehafteterStromung, Bild 4-89,a, drehen sich die Teilchen wie bei einem Festkorper um ihre eigene Achse und mit der Stromung um deren Zentrum. Eine solche Bewegung ist in der Regel nur bei reibungsbehafteten Fluiden moglich, da Tangentialkrafte notwendig sind. Bei der drehungsfreien Stromung erfolgt die Kreisstrijmung so, daD die Teilchen dabei nicht um ihre eigene Achse rotieren, Bild4-89,b. Der unvermeidliche Wirbelkern (folgende Herleitung) bildet dabei eine Ausnahme. Der Pfeil auf den Teilchen, z. B. den mitschwimmenden Korkstuckchen, ist deshalb auI3erhalb des Wirbelkernes raumstabil,

E Potentialfkt.: @ = - . In r 2n

Stromfkt.: mit normierten, d.h. dimensionslosen GroDen r und rp, wobei r Bezugsradius (Ortsradius) rp Drehwinkel von positiver x-Achse aus

a) drehungsbehaftet lstarr rotierend)

b) drehungsfrel

Bild 4-89. Zirkulierende Stromungen: a) mit Drehung (starre Rotation), also Wirbelstromung; Geschwindigkeitsverteilung linear (stetig). b) ohne Drehung (Potentialstromung) Geschwindigkeitsverlauf mit Knickstelle (unstetig).

4.2 -

d. h. er hat bei allen Positionen der Teilchen die gleiche Richtung. Die drehungsfreie Kreisstromung ist exakt nur beim idealen Fluid moglich und deshalb eine Potentialstromung. Sie wird meist als Potentialwirbel bezeichnet. Diese Wortpragung ist jedoch unvorteilhaft, da Wirbel nur bei wirklichen Fluiden auftreten konnen und Eigendrehung bedeuten. Die durch die Fluidreibung bei entsprechendem Stromungsverlauf verursachten Wirbel sind meist unerwiinscht und mit Verlust an Stromungsenergie verbunden. Naherungsweise konnen oft auch reibungsbehaftete Drehstomungen als Potentialwirbel betrachtet werden. Dies gilt um so mehr, je weiter der Abstand vom Zentrum der Gesamtbewegung ist. Bei der reibungsfreien Kreisstromung kann wegen fehlender Schubspannung kein Moment wirken. Nach dem Drallsatz, G1. (4-189), ist deshalb kein Drallstrom vorhanden (L = 0). Das bedeutet, der Drall des Potentialwirbels bleibt konstant: L = m .c .r

= konst

oder, da ebenfalls m = konst, gilt (Konstante K):

G1.(4-262) wird auch als Satz vom konstanten Drall oder als Llachensatz bezeichnet, da in der graphischen Darstellung im (r, c)-System die auftretende Flache c . r unter der c(r)-Kurve (Hyperbel) immer gleich groI3 ist. Die Stromungsgeschwindigkeit der drehungsfreien Kreisstromung wachst nach G1. (4-262) mit abnehmendem Radius hyperbolisch. Theoretisch muI3te deshalb in der Mitte des Drehfeldes (fiir r + 0) c -+ co gehenl). Nach der Energiegleichung muI3te dann auDerdem p -+ - co streben. Negative Drucke, d. h. Zugspannungen in Fluiden sind jedoch praktisch nicht moglich. Beim Erreichen des zugehorigen Dampfdruckes bei Flussigkeiten zerreiBt das Flussigkeitsgefiige, d. h. es verdampft und bildet einen Dampfkern. Um den auch theoretisch nicht verwirklichbaren negativen Druck und damit auch die unendliche ')

Auf diese Besonderheit des Fluidwirbels machte schon LEONARDO DA VINCI(1452 bis 1519) aufmerksam. Er schrieb in seinem Tagebuch: ,,Die schraubenforrnige oder wirbelnde Bewegung jeder Fliissigkeit ist urn so schneller, je naher sie dem Mittelpunkt der Bewegung ist. Dies steht ganz im Gegensatz zum kreisformigen Rad, bei dem es sich umgekehrt verhalt."

Mehrdimensionale Stromuneen idealer Fluide

207

Drehgeschwindigkeit zu vermeiden, sind zwei Erscheinungen zu beobachten: a) Wirbel mit starrem, d. h. rotierendem Kern Bis zu einem gewissen Radius r, rotiert das Fluidvolumen wie ein fester Korper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (a= konst). Dies tritt vor allem bei kompressiblen Fluiden auf. Dieser Wirbel mit starr rotierendem Kern wird bezeichnet - bei dem idealen scharfen unstetigen ~ b e r g a n g gemaI3 Bild 4-89,b als RAN KINE-^^^^^^. Theoretischer Fall, da praktisch unrealistisch; - bei dem praktisch vorhandenen stetigen ~ b e r gang als H A M E L - O S E E N - Wtatsachlicher ~~~~~; Fall. HAMELund OSEENerstellten die exakte Losung der NAVIER-STOKES-Gleichungen (Abschnitt 4.3.1.2) fiir diesen Fall. b) Hohlwirbel Im Zentrum bildet sich ein Kern aus einem leichteren Fluid als im ubrigen Stromungsfeld. Dies tritt vor allem bei inkompressiblen Fluiden auf. Der Kern besteht dann meist aus Luft oder Fluiddampf, wenn der Dampfdruck im Kernbereich erreicht oder unterschritten wird. Das leichtere Fluid des sog. Hohlkerns nimmt dann an der Rotation praktisch keinen Anteil. Die Energiegleichung muB auch beim Potentialwirbel erfullt sein. Bei der reibungsfreien Kreisstromung ist im ganzen Stromungsfeld, mit Ausnahme der Singularitat des Wirbelkernes, die Gesamtenergie fur jeden Stromfaden konstant und gleich groI3 (Kernrand-Werte Index O), also:

Mit c . r = r , . c,

= K=

konst, also c = K/r, wird:

z . g + P- + -K2 --- = Y = konst Q 2.r2

(4-263)

Fur die beiden Wirbelformen ergibt G1. (4-263): zu a) Wirbel mit starrem Kern Mit K = r, . c, und damit c = c, . r,/r sowie z = konst = z, (waagrecht) folgt fur den Druckverlauf aus G1. (4-263) p = konst

-Q

c2 r2 .A . (Hyperbel!) 2 r2

(4-264)

Geschwindigkeits- und Druckverlauf dieser Potentialform sind in Bild 4-90 dargestellt.

208

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Bild 4-91. Hohlwirbel: a) Verlauf der freien Oberflache z = f (r) im Querschnitt. Je nach Situationp, Dampfdr~ckp,~ oder Barometerdruck p,. b) Geschwindigkeitsverlauf c = f (r)

Bild 4-90. Potentialwirbel mit starrem Wirbelkern. a) Druckverlauf p = f (r) mit p (r s r,) = p , = konst im Kern b) Geschwindigkeitsverlauf c = f (r) (theoretisch) c) Teilchenweg-Verlauf s = f (r)

zu b) Hohlwirbel Im Wirbelkern: p = po = konst (Dampf- oder Umgebungsdruck) Damit erhalt G1. (4-263) die Form, da K = konst: konst (Hyperbel!) r2 G1. (4-265) ist die Funktion fur den Verlauf der freien Oberflache des Hohlwirbels im Querschnitt, Bild 4-91.

z

= konst - -

Bemerkung: Der ubergang des Geschwindigkeitsverlaufes vom Kern zur Kreisstromung erfolgt beim tatsachlichen Potentialwirbel nicht unstetig wie beim theoretischen Verlauf nach Bild 4-89,a oder Bild 4-90, Teil b, sondern gerundet. Dieser wirk-

liche Geschwindigkeitsverlauf wird, wie erwahnt, durch den sog. HAMEL-Os~~~-Wirbel besser angenahert [25]. Wirbelstarke: Die GroBe der Zirkulation r ist das MaB fur vorhandene Wirbelstarke von Wirbelstromungen. Um den Potentialwirbel zu kennzeichnen, sol1 deshalb dessen Zirkulation berechnet werden. Es bestehen zwei Moglichkeiten (Ring-Integrationswege):

1. Mehrfach zusammenhangender Bereich Als Integrationsweg wird eine geschlossene Kreislinie mit dem Radius r gewahlt, welche die Singularstelle (Zentrum) einschlieOt, Bild 4-92. Fiir diesen Weg ergibt sich:

Mit a = O", da c in s-Richtung sowie c = konst langs der Kreislinie und ds = r . drp wird:

4.2 Mehrdimensionale StrBmungen idealer Fluide

u

209

Wirbelkern

Bild 4-92. Geschlossene Kreislinie als Integrationswegs (beinhaltet den Wirbelkern); umschlieBt Flache r2 . n. Da nach dem Flachensatz r . c = konst ist, gilt unabhangig vom Radius r fur das gesamte Kreisstromungsfeld: r=2.n.r.c=konst>O

wobei A umschlossene Flache o Winkelgeschwindigkeit o = c/r = (C. r)/r2 = konst/r2 2. Einfach zusammenhangendes Gebiet Fur die geschlossene Kurve, uber die zu integrieren ist, wird der Weg 1-2-3-4-1 entsprechend Bild 4-93 gewahlt, der die Singularitat, also den Wirbelkern, nicht einschlieDt, sondern nur den zugehorigen, auBerhalb liegenden Kreisring. Dieser Integrationsweg liefert fiir die Zirkulation:

r = $ Z .ds" = A,, + A,, + A,, + A,,

mit

2n

A,, =(j)c.cosa.ds = c R . R .I d q = 2 . n c R . R (1)

0

da auf Weg 1-2 a = 0" (wie zuvor),

da auf Weg 2-3

Bild 4-93. Zusammengesetzter geschlossener Integrationsweg 1-2-3-4-1 (spart Wirbelkern aus); umschlieBt Flache (R2- rZ) . rr. Da nach Flachensatz c, . R = c, . r wird:

Fur jeden geschlossenen Integrationsweg, der die Singularitat ausspart, ergibt sich eine zirkulationsfreie Kreisstromung ( r = 0), d. h. eine Potentialstromung. Die Zirkulation nach G1. (4-266) geht demnach ausschlieDlich auf den Wirbelkern als Unstetigkeitsstelle zuriick. Das Medium im Wirbelkern rotiert, wie bereits envahnt, wie ein fester Korper mit der WinkelgeschwindigkeitoK(Index K fur den Kern). Die auf den Wirbelkern beschrankte Zirkulation ergibt sich gemaD G1. AK aus dem Produkt von (4-266) zu r = 2 . dessen Querschnitt A, und Winkelgeschwindigkeit w,. Bei reibungsfreier Drehstromung sind die einzelnen Teilchen bzw. Teilchengruppen drehungsfrei, grol3e Bereiche jedoch nicht, wenn ein mehrfach zusammenhangender Bereich (Bild 4-92) betrachtet wird. Fur den Potentialwirbel gilt des weiteren, und zwar nur auJ3erhalb des Wirbelkerns: Geschwindigkeitsr .Y (4-267) komponenten: c, = c,(x, y) = - 2.71. r2

a = 90°, 2n

A,,=

(j)c.cosa.ds=-cr.r. ~ d q = - ~ n c , , (3)

0

da auf Weg 3-4

a = 180"

A,, = ( Y c c o s a . d s = 0

c Jt ds

Potentialfunktion:

r

(4)

da auf Weg 4-1

-+

u = 90".

Stromfunktion: Y = - -. In r 2.71.

(4-270)

Bemerkung: In drallbehafteten Rohrstromungen, das sind Langsstromungen mit in Umfangsrich-

210

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

tung uberlagerter Drehbewegung, kann sich, unabhangig von Druckverteilung und Reibung, ebenfalls ein Kerntotraum gemal3 Wirbelkern nach Bild 4-89,b ausbilden. Bezeichnet wird diese Erscheinung als Tragheitsablosung (Abschnitt 4.1.1.3.5). 4.2.8.1.5 Weitere wichtige Potentialstromungen Weitere Elementarstromungen von grol3erer Bedeutung sind: Quell-Senken-Stromung Resultierende Stromung aus oberlagerung von Quelle und Senke gleicher Ergiebigkeit, die im Abstand L (endlich grol3) zueinander angeordnet sind. Diese Anordnung wird auch als QuellSenken-Paar bezeichnet, oder kurz als QuellSenke. Dipolstromung Quell-Senken-Stromung mit Abstand L gegen null gehend. Das sog. Dipolmoment M als Produkt aus Ergiebigkeit E und dem infinitesimal kleinen Quell-Senken-Abstand L, also M = E . L, ist dabei jedoch nicht null, sondern erreicht einen Grenzwert, bleibt somit endlich.

Auf die nahere Behandlung dieser Stromungen wird verzichtet und auf die einschlagige Literatur verwiesen (Schrifttumverzeichnis, Abschnitt 8). 4.2.8.2 Wirbelstromungen Neben den Potentialstromungen als 1. Gruppe sind die Wirbelbewegungen die 2. Gruppe der Gesamtheit aller Fluid-Bewegungen. Im Gegensatz zu den wirbelfreien Stromungen existiert bei Wirbelbewegungen kein Potential. Es sind deshalb keine Potentialstromungen (Abschnitt 4.2.2). Zur Kennzeichnung der Elementrotation von Drehbewegungen dient die Wirbelstarke nach GI. (3-22), ausgedriickt durch den Wirbelvektor G, Vektor der Wirbelstarke, G1. (3-20), Abschnitt 3.2.3.1. In wirbelbehafteten Stromungen bildet neben der Geschwindigkeit auch die Wirbelstarke ein Vektorfeld. Entsprechend zu Stromlinie, Stromrohre und Stromfaden im Geschwindigkeitsfeld werden Wirbellinie, Wirbelrohre und Wirbelfaden im Feld der WirbelstLke (Wirbelfeld) definiert. Die Tangentenkurve an die Wirbelvektoren wird, in Anlehnung an die Stromlinie, als Wirbellinie bezeichnet. Wirbellinien sind somit Vektorlinien des Wirbelfeldes, also Integralkuwen des Richtungsfeldes. Sie verlaufen daher in jedem Punkt

des Feldes in Richtung des zugehorigen Wirbelvektors, also tangential zu ihm. Analog zur Stromrohre bilden die durch eine kleine geschlossene Kurve gehenden Wirbellinien eine Wirbelrohre. Wirbelrohren rnit infinitesimalem Querschnitt wurden als Wirbelfaden bezeichnet, entsprechend zum Stromfaden bei Potentialstromungen. Kennzeichen des Wirbelfadens ist, daB sich uber seinem Querschnitt der Wirbelvektor nicht verandert. Die grundlegenden Gesetze der Wirbelbewegung idealer Fluide, die sog. Wirbelsatze, wurden von HELMHOLTZ abgeleitet und wie folgt formuliert: 1. Kein Fluidteilchen kommt in Rotation, welches nicht von Anfang an rotiert. In idealen Fluiden konnen somit weder Wirbel entstehen noch verschwinden. Falls also Wirbel vorhanden sind, mussen diese von Anfang an unverandert bestehen und konnen nicht vergehen. 2. Alle Fluidteilchen, die zu irgend einer Zeit einer Wirbellinie angehorten, gehoren, auch wenn sie sich fortbewegen, immer zu derselben Wirbellinie. 3. Das Produkt aus dem Querschnitt und der Rotationsgeschwindigkeit eines Wirbelfadens, die Zirkulation nach G1. (4-238), ist langs der gesamten Lange des Fadens konstant und behalt auch bei der Fortbewegung des Fadens denselben Wert. Wirbelfaden mussen deshalb innerhalb der Fliissigkeit in sich zuriicklaufen, oder sie konnen nur an Fluidgrenzen (Begrenzungswande) enden. Die Zirkulation im Wirbelfeld (Wirbelrohre) entspricht dem Volumenstrom im Geschwindigkeitsfeld (Stromrohre). 4. Wirbelrohren sind zugleich Stromrohren. 5. Wirbel haften immer an Materie. Des weiteren gilt nach dem Satz von STOKES, G1. (4-238) und (4-238a), Abschnitt 4.2.4:

Dabei wird das Integral J Sj . d z als WirbelfluS (4

durch Flache A bezeichnet.

Nach STOKES ist demnach die Zirkulation um die Randkurve L einer beliebigen Flache A gleich dem doppelten WirbelfluD durch diese Flache. Zudem hat die Zirkulation fiir jede Linie, die eine Wirbelrohre umschlingt, den gleichen Wert. Auch ist das als Wirbelmoment bezeichnete skalare Pro_duktaus Wirbelvektor G und Querschnittsvektor A = n' . A

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

fur jeden Wirbelfadsn zeitlich und raumlich unveranderlich, also i3 . A = konst. Auf die Herleitung der H E L M H O L T Z WirbelSC~~~ satze und die mathematische Behandlung der komplizierten Wirbelbewegungen mu13 aus Platzgrunden verzichtet werden. Bei der Stromung realer Fluide, die fast irnmer rnit wechselnden und deshalb unerfaBbaren Wirbeln behaftet sind (Turbulenz, Ablosungen, Totraume), ergeben sich erhebliche Abweichungen von den Wirbelgesetzen. Vielfach ermoglichen nur Experimente zufriedenstellende Ergebnisse. Wichtige Wirbelbewegungen sind: - Wirbelschichten (Trennflachen) - WirbelstraBen (KARMANNSC~~ Wirbel)

21 1

Grundlage fur die Superposition ist, daB bei Zusammenfassung der Bewegungen von Fluidmasseteilchen zwangslaufig die Gesetze der Festkorpermechanik gelten mussen. Hieraus folgt das h e r lagerungsgesetz (Superpositionsgesetz):

gi Hat ein Fluidteilchen an einer Stelle infolge -8 verschiedener Ursachen mehrere Geschwindigk;: keitskomponenten nach GroBe und/oder Rich=% 3; tung, ergibt sich der resultierende BewegungsI* zustand durch vektorielle Addition. Umge2 4 kehrt kann die Geschwindigkeit von Fluidteilrs&s a chen in Komponenten aufgeteilt werden. "X8r

4.2.8.3 Zusammengesetzte Stromungen

Das Gesamtstromungsfeld der zu uberlagernden Einzelstromungsfelder ergibt sich demnach durch vektorielles Zusammenfassen der Einzelgeschwindigkeiten fur alle Feldpunkte. Dieses Verfahren wird auch rnit Superposition bezeichnet. Voraussetzung ist, daB an jedem Feldpunkt die Geschwindigkeiten (nach GroBe und Richtung) der zu superponierenden Stromungen bekannt sind. Die graphische Superposition kann jedoch auch en erfolnach der M ~ x w E ~ ~ s c hDiagonalmethode gen. Die Konstruktion ebener Stromungsbilder geschieht hierbei rnit Hilfe der Stromfunktion. Wie in Abschnitt 4.2.5 ausgefuhrt, gilt: a) Die Stromlinien sind Kurven, an denen entlang der Wert der Stromfunktion jeweils unverandert bleibt (Y = konst). b) Die Differenz der Stromfunktionswerte zweier benachbarter Stromlinien ist ein MaB fur den zwischen ihnen flieBenden Volumenstrom (Abschnitt 4.2.2.1). Der DurchfluBstrom Av1 durch eine Stromrohre mit Rechteckquerschnitt, seitlich gebildet aus zwei Stromlinien rnit Yn sowie Yn',+ und der Stromungstiefe eins (Index 1 bei AV,), ergibt sich zu:

4.2.8.3.1 Grundsatzliches Stromungsiiberlagerung: Komplizierte Stromungen konnen, wie erstmals von RANKINE durchgefuhrt, durch uberlagerung (Superposition) zweier oder mehrerer einfacher Stromungsbilder dargestellt werden; sog. Singularitatenmethode. Umgekehrt ist das Verhalten und die Wirkung venvickelter Stromungen einfacher zu erklaren, falls es mittels Analyse gelingt, diese auf Einfachstromungen (Potentialstromungen) aufzuteilen. Potentialstromungen, die durch Wirbel modellierbar sind, also von ihnen entstanden sein konnten, werden als von Wirbeln induzierte (verursachte) Potentialstromungen bezeichnet.

Werden die Stromlinien eines Stromungsfeldes mit den Zahlenwerten der Stromfunktion Y versehen, ist sofort ablesbar, welcher Volumenstrom zwischen benachbarten Stromlinien jeweils flieBt. Da nur die Differenzen der Stromfunktionswerte maBgebend sind, ist es gleichgiiltig, an welcher Stelle rnit null begonnen, d. h. welcher Stromlinie der Wert Y = 0 (Bezugslinie) zugeordnet wird. Sind die Stromlinien so angeordnet, daB im gesamten Stromungsfeld zwischen je zwei benachbarten Stromlinien AY gleich groB, also jeweils der gleiche Volumenstrom flieBt, ist der senkrechte Ab-

Es besteht die Modellvorstellung: Turbulenz als Gewirr von Wirbelfaden, verbunden rnit einer Energiekaskade, d. h. Energietransfer von groBen zu immer kleinerwerdenden Wirbelelementen. Die Wirbelfaden verformen und strecken sich unter dem EinfluB des Geschwindigkeitsgradienten der Hauptstromung. Durch diese Streckung und Verformung der Wirbelfaden entstehen immer kleinere Wirbelbereiche mit unterschiedlicher Orientierung und Drehrichtung, wodurch die anfanglich anisentrope Verteilung immer mehr in isentrope ubergeht. Der Gradient der Hauptstromung induziert groBe Wirbelfaden, wodurch ihr Energie entzogen und der Turbulenz zugefuhrt wird. Durch die damit verbundenen Druckschwankungen wird die Anisotropie langsam aufgehoben, indem immer kleinere unterschiedlich orientierte Wirbelfaden aus den grol3en entstehen. Die Turbulenzenergie ist daher auf ein Spektrum von Wirbelgro13en verteilt.

212

4 Strijmungen ohnc Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Bild 4-94. Superposition von zwei Parallelstromungen. --- und - Einzelstromungen, - Summenstromung. Die Stromlinien-Abstande der Einzelstromungen sind so ausgefiihrt, da5 beide Einzelstromungsfelder die gleiche Stromfunktions-DifferenzAY = 1 aufweisen. Konsequenz: Bei der Summenstromung ergibt sich ebenfalls die gleiche Abstandsfolge mit A P = 1 der Gesamtstromlinien.

stand An der Stromlinien ebenfalls gleich und ein Man fur die Stromungsgeschwindigkeit c, da gilt: AY = An. c

Die Superposition zweier Translationsstromungsfelder beispielsweise ist in Bild 4-94 dargestellt. Die horizontale Parallelstromung (gestrichelte Stromlinien) wird mit der schrag nach rechts oben gerichteten Bewegung (diinne Voll-Linien) uberlagert. Die Summenstromung ist dick ausgezogen. Die Stromlinien der beiden zu uberlagernden Felder sind mit dem Wert ihrer Stromfunktion bezeichnet, deren Abstand von jeweils gleicher GroBe ( A Y = I) ist. An den Schnittpunkten addieren sich die Stromfunktionswerte. Die dadurch gebildeten Punkte gleicher Summen-Stromfunktionswerte miteinander verbunden, ergeben die Stromlinien des Gesamtstromungsfeldes (dicke Voll-Linien). Begriindung fur dieses Verfahren: Durch Abstand A-B stromt die Menge der Horizontalstromung A Y , = 2 - 1 = 1. Im schragen Parallelstromungsfeld stromt durch B-C ebenfalls der Volumenstrom AY2 = 1 - 0 = 1. Durch A-C flieBen beide Volumenstrome, also der Summen-Mengenstrom AYges= A Y , + AY2 = 2. Die Differenz der Stromfunktionswerte der resultierenden Stromung zwischen den durch die Punkte A und C gehenden Summen-Stromlinienmu13 deshalb ebenfalls AYges= 2 betragen. Die dick ausgezogenen Linien erfullen diese Bedingung (AYges=3 - 1=2). Dieses Verfahren gilt allgemein fur ebene, d. h. zweidimensionale Stromungen. Auch dann, wenn

die Stromungen gekriimmte Stromlinien aufweisen, da bei jeder Stromung ein kleiner Ausschnitt, d, h. der Stromlinienabstand, so gewahlt werden kann, da13 sich naherungsweise gerade Stromlinienstucke ergeben. Somit gilt folgende Vorgehensweise: Sollen Stromungen superponiert werden, wird fur jede das Stromlinienbild aus Transparentpapier gezeichnet, oder auf Computer-Bildschim graphisch dargestellt. Dabei wird bei den zu uberlagernden Stromungsfeldern das Aufeinanderfolgen der Stromlinien so festgelegt, daR dem gleichen Zahlenwertunterschied jeweils der gleiche durchflieRende Volumenstrom entspricht. Wie erwahnt, ist es gleichgiiltig, rnit welcher Zahl irgendwo begonnen, d. h. welchen Stromlinien jeweils der Stromfunktionswert Y = 0 zugeordnet wird, da nur die Differenzen wichtig sind. Dann werden jeweils zwei Stromungsfelder iibereinander gelegt und die Schnittpunkte der Stromlinien mit der Summe der Ordnungszahlen der beiden Schnittlinien gekennzeichnet. Das ergibt den Wert der resultierenden Stromfunktion (Skalar) gemaB Abschnitt 3.2.3.2, Yges= X Y i. Die Verbindungslinien der Punkte mit gleichen Zahlen ergeben letztlich das Stromlinienbild der kombinierten Stromung. Bemerkungen: a) Da das Fluid ausschlieRlich in Stromlinienrichtung und nicht quer dazu stromt, kann jede Stromlinie als feste Wand betrachtet werden, ohne daR sich das Stromungsbild andert. b) In diesen theoretischen Stromungsbildern, die besonders ausgezeichnete Symmetriestromlinie

4.2 Mehrdimensionale Stromunzen idealer Fluide

213

Bild 4-95. Superposition von Translationsstromung (YT,c,) und Quelle (YQ,cQ) ergibt Halbkorper-Umstromung. Der Halbkorper ist identisch der Staustromlinie (Y*',,,= 12). Nur obere Halbkorperseite gezeichnet. Der Gesamtkorper mit Umstromung ergibt sich durch Spiegelung urn die Symmetrielinie (x-Achse).

nach dem senkrechten Knick jeweils erstarrt angenommen, ergibt dann eine Korperumstromung, z. B. Bild 4-95. c) Es bleibt jeweils auBer Betracht, wie die zu uberlagernden Einzelstromungen entstanden sind. 4.2.8.3.2 Wichtige Stromungsiiberlagerungen 'Ikanslationsstromung + Quelle: Die ~berlagerung der beiden Potentialstromungen, Parallelbewegung (strichliert) und Quelle (dunne Voll-Linien), ist in Bild 4-95 dargestellt. Einfachheitshalber ist nur die obere Halbseite gezeichnet. Da es sich um ein liniensymmetrisches Problem handelt, fiihrt die Spiegelung um die x-Achse zum vollstandigen Stromungsbild. Als Summenstromung (dick ausgezogen) ergibt sich die Umstromung eines Halbkorpers mit der Kontur der Stromlinie YgeS = 12, die im Anstrombereich Staustromlinie ist. Die Stromlinie mit YgeS = 12 kann, wie zuvor unter Bemerkungen ausgefuhrt, als erstarrt, d. h. als feste Wand gedacht werden. Auch andert sich das auDere Stromungsbild nicht, wenn angenommen wird, daD der Innenbereich dieses Halbkorpers mit Material ausgefullt ist. Nach Abschnitt 4.2.8.1 gilt:

Quelle, Index Q, GI. (4-260):

Damit ergibt sich fur die uberlagerung, d. h. fiir die Summenstromung (Halbkorperumstromung), Index ges:

Kreisstromung + Quelle: Die Gesamtstromung aus der Superposition von Kreisstromung (Wirbel) und Quelle wird als Wirbelquelle bezeichnet. Das Stromlinienbild ist in Bild 4-96 dargestellt. Diese Stromung tritt in radialen Stromungsarbeitsmaschinen (Kreiselpumpen und -verdichtern) bei den sog. wirkungsfreien Schaufeln auf, die ohne Kraftwirkung zur Stromung und daher nur von theoretischem Interesse sind. Tatsachliche Ausfuhrungen miissen notwendigerweise hiervon abweichen, um Energie auf die Stromung ubertragen zu konnen (Abschnitt 4.1.6.3). Die wirkungslosen Schaufeln hatten dann in beiden Fdlen die Kontur der Summenstromlinien YgeS = konst. Nach Abschnitt 4.2.8.1 gilt wieder mit Index Q fur Quelle und K bei Kreisstromung:

Translationsstromung, Index T, GI. (4-255): YT = c,

. y da c, = c, und c, = 0

Quelle, G1. (4-260):

214

4 Stromungen ohne Dichteanderung (auasi-inkomvressible Stromun~en)

Bild 4-96. uberlagerung von Quelle (YQ,,cQ)und Kreisstromung (Y,, c , , ~ )ergibt Wirbelquelle (Y8,,, cWQ)bzw. Superposition von Senke (Y, = YQ,c,) und Krersstromung (Y,, c,,,) ergibt Wirbelsenke ('Fa,,, c,,).

r

Kreisstromung, GI. (4-270): Y, = - ----- . ln P 2.7~

Y

t

Hiermit Summenstromung (Wirbelquelle):

Aus GI. (4-274) ergibt sich die Funktion fiir die Stromlinien Yge,= konst der Gesamtstromung. Diese laRt sich jedoch einfacher als TangentenKurvenfunktion an die Gesamtgeschwindigkeit bestimmen. In Bild 4-97 ist fur einen Stromlinienpunkt die resultierende Geschwindigkeit cwQ als Vektorsumme aus Kreisgeschwindigkeit c , , ~und Quellengeschwindigkeit cQ eingetragen. Fur den Umfangswinkel cc der Stromlinie der Wirbelquelle (Summenstromlinie) ergibt sich: tan cc = cQ/cK,Q konst Mit Flachensatz r . cK,Q= konst -+ cK,Q= -

v

P

und Kontinuitat E = konst = - = 2 . r . .x: . cQ b konst konst = P . cQ + cQ = P

f

I

\

I Bild 4-97. Geschwindigkeiten bei Superposition von Quelle Q und Kreisstromung K (Wirbel) zur Wirbelquelle WQ. Tangentenwinkel cc der Gesamtstromlinie gegeniiber der Umfangsrichtung. cQ(r) Quellgeschwindigkeit, cKIQ(r) Wirbel-Kreisgeschwindigkeit, c,,(r) Wirbelquellen-Geschwindigkeit.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

folgt also

tan a

konst konst

= ---- = konst

a = konst

215

demnach die Form logarithmischer Spiralen. Praktisch verwirklichte Ausfuhrungen mussen somit hiervon ebenfalls abweichen, um Energie von der Stromung ubernehmen zu konnen.

Bemerkung: Es handelt sich hierbei jeweils um eine andere Konstante, d. h. je eine GroBe anderen festen Wertes.

Translationsstromung + Kreisstromung: Das Stromungsbild, das durch ~ b e r l a g e r u nvon ~ Parallelstromung und Potentialwirbel entsteht, ist in Die Gesamtstromlinien folgen also der Funktion: Bild 4-98 dargestellt. Die Stromlinien der resultieUmfangswinkel a = konst. Solche Kurven werden renden Stromung sind dick, die der Translationsbewegung gestrichelt und die der Kreisstromung als logarithmische Spiralen bezeichnet. dunn ausgezogen (dunne Vollinien) gezeichnet. Kreisstromung + Senke: Analog zur Wirbelquelle Als Gesamtstromung (dicke Vollinien) ergibt sich wird die Summenstromung aus der ~ b e r l a g e r u n ~ die zirkulationsbehaftete Zylinderumstromung. von Potentialwirbel und Senke als Wirbelsenke be- Die Staustromlinie (sehr dick ausgezogen) und dazeichnet. Bild 4-96 und Bild 4-97 gelten dann auch mit die Staupunkte sind je nach Zirkulationsstarke fur die Wirbelsenke, wenn alle Bewegungsrichtun- mehr oder weniger weit nach unten verschoben. gen umgekehrt werden, also bei der Senke c,, dem Oben werden die Stromlinien zusammengedrangt Potentialwirbel c,,, und der Wirbelsenke c, (Bild und unten auseinandergedruckt. Die Konsequen4-96). Die Stromlinien der Wirbelsenke sind eben- zen aus dem Gesamtstromungsverlauf enthalt Abfalls logarithmische Spiralen. Im Gegensatz zur schnitt 4.2.9.1. Mit den schon wiederholt verwendeten BeziehunWirbelquelle allerdings nach innen gerichtet. Diese Stromung wurde in wirkungslosen radialen gen der Stromfunktionen fur die EinzelbewegunStromungskraftmaschinen, den Turbinen, auftre- gen ergibt sich die Stromfunktion der Gesamtten und ist daher ebenfalls nur theoretisch interes- stromung zu: r sant. Auch hier haben wirkungsfreie Schaufeln Yges = YT+ Y K = c T . y - - . l n r 2.n

Bild 4-98. Superposition von Translationsstromung (Y, c), und Kreisstromung (Y,, c), ergibt zirkulationsbehaftete Zylinderstromung (Yg,,, c,,,) mit dick eingetragener Staustromlinie.

216

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Dabei ist Z wieder der Normaleneinheitsvektor zur Anstromrichtung (I2 1 = n = 1). Durch Uberlagerung einer Parallelstromung rnit Die Kreiszylinderumstromung selbst, d. h. ohne einer Zirkulationsstromung wird demnach eine Drehung, ergibt sich durch Superposition von Ablenkung aus der ursprunglichen StromungsDipol- und Translationsstromung. Aus Platz- richtung und damit eine quer zur Anstromrichgrunden wird auf die Behandlung dieser dadurch tung in Richtung zur Stromlinienverdichtung wirentstehenden zirkulationsfreien Kreiszylinderum- kende Kraft, Querkraft, (fluid-)dynamischer Aufstromung, die deshalb zur Stromungsrichtung trieb, oder kurz Auftrieb genannt, hervorgerufen. symmetrisch ist, verzichtet. Diese Erscheinung wird als MAGNUS-EffektbeQuell-Senken-Paar, kurz Quell-Senke, mit Paral- zeichnet. lelstromung kombiniert fuhrt zu drehungsfreier Wichtig ist: Nur beide Stromungen zusammen Umstromung von Ellipsoidkorper, d. h., es ergibt haben diesen Effekt, jede fur sich alleine nicht! sich ein ellipsenformiger Innenbereich im Langs- Der Berliner Physiker GUSTAV MAGNUS(1802 bis schnitt. 1870) hatte 1852 die ablenkende Kraft rotierender, geradlinig bewegter Zylinder experimentell nachgewiesen und damit die Ursache der Bahnabwei4.2.9 Umstromung von Schaufeln und Profilen chung rotierender kugelformiger Geschosse aus ihrer ungestorten Parabelflugkurve erkannt. Die 4.2.9.1 MAGNUS-Effekt theoretisch begrundete Erklarung gelang erst 1877 Um einen z. B. in Luft rotierenden Kreiszylinder LORDRAYLEIGH (1842 bis 1919). Angeregt wurde bildet sich nach einiger Zeit in guter Naherung er zu dieser Arbeit durch die Flugbahnabweichung eine stationare Kreisstromung aus. Wird diese von Tennisballen. Zirkulationsstromung von einem Luftstrom quer FLETTNER (1885 bis 1961) nutzte den MAGNUSangeblasen, uberlagern sich die beiden Stromun- Effekt zum Antrieb von Schiffen. Das FLETTNERgen. Als Kombination stellt sich das bereits zu- Rotorschiff wies an Stelle von Segeln zwei groBe, vor in Abschnitt 4.2.8.3.2 beschriebene und in um vertikale Achsen rotierende Zylinder auf und Bild 4-98 dargestellte, zur Anstromung unsym- ermoglichte so die Windenergie zum Vortrieb ausmetrische Stromungsbild ein. An der Oberseite zunutzen. Die Manovrierfahigkeit des FLETTNERbewegen sich Kreisstromung und Anstromung in Rotorschiffes war gut. Die Energie zum Drehen gleicher Richtung. Die Geschwindigkeiten addie- der Rotoren mulj nur die theoretisch geringe ren sich (vektoriell). Die erhohte Geschwindigkeit Reibungsarbeit uberwinden. Die Rotoren waren druckt sich in einer Verdichtung der Stromlinien gedacht als Ersatz fur groBflachige Segel. Das aus, d. h. ihr Abstand wird kleiner. An der Unter- Rotorschiff schneidet jedoch ungunstiger ab, da seite des Zylinders laufen die Stromungen ein- mit dem hohen Vortrieb der Rotoren (Auftriebsander entgegen. Verringerung der Geschwindigkeit werte bis (, = 9 wurden erreicht) bei realen Fluiist die Folge. Durch diese Subtraktion verdunnen den auch ein grol3er Widerstand entsteht (Absich hier die Stromlinien; ihr Abstand wird groBer. schnitte 4.3.2 und 4.3.3). Auch ist der FLETTNERDie Geschwindigkeitsanderungen haben nach der Rotor dem Propellerantrieb unterlegen wegen geEnergiegleichung zwangslaufig eine gegensatzliche ringerer Effizienz (Wirkungsgrad), Verschlechtern Druckanderung zur Folge. An der Oberseite ent- der Schiff-Schwimmstabilitat (Abschnitt 2.6.2) steht Unterdruck, an der Zylinderunterseite ~ b e r - und Windabhangigkeit. druck. Die Driicke wirken dabei quer zur An- Als weitere direkte Anwendung des MAGNUSstromung in entgegengesetzter Richtung auf den Effektes in der Technik wurde bisweilen versucht, Zylinder. Der Druckunterschied zwischen Ober- z. B. rotierende Walzen entlang der Tragflachen und Unterseite des Korpers bewirkt eine Quer- zur Auftriebserhohung bei landenden Flugzeugen kraft (dynamischer Auftrieb). einzusetzen. Auch diese Maonahme bewahrte sich Die GroBe der entstehenden Querkraft Fh ergibt nicht, und zwar infolge konstruktions-, fertigungssich dann aus dem Vektor-Integral des Druckver- sowie betriebstechnischer Schwierigkeiten. laufes (meist jedoch analytisch nicht bekannt!) Wichtiger als die unmittelbare Anwendung der uber den Zylinderumfang U : Kombination von Translations- und Zirkulationsstromung um einen Zylinder ist in der Stromungstechnik jedoch die Ubertragung dieses relativ einDie Gleichung Yg,,= konst beschreibt wieder die Stromlinien der Summenstromung.

4.2 Mehrdimensionale Stromungen idealer Fluide

fachen Stromungsbildes mittels konformer Abbildung auf Schaufel- sowie Fliigelprofile von Stromungsmaschinen und Flugzeugen. 4.2.9.2 Tragfliigeltheorie Tragfliigelprofile sind im Unterschallbereich Profilleisten mit stumpf gerundeter Vorder-(Nase) und moglichst spitz auslaufender Hinterkante (Abstromseite). Es handelt sich somit urn profilierte plattenformige Korper. Mit Hilfe der konformen Abbildung ist, wie bereits ausgefiihrt, die zirkulationsbehaftete Kreiszylinderumstromung auf Fliigelprofile, Bild 4-99, ubertragbar. Der MAGNUS-Effekt(vorhergehender Abschnitt), d.h. Entstehen von Querkraft durch Kombination von Parallel- und Zirkulationsstromung, ist deshalb auch Grundlage der dynamischen Auftriebserzeugung bei Flugzeugtragflachen und Propellern sowie Laufradschaufeln. Diese Erkenntnis geht, wie vieles andere in der Stromungsmechanik, auf PRANDTL zuriick. Die dynamische Auftriebskraft (Querkraft) hat somit eine vollig andere Ursache als derfluidstatische Auftrieb nach ARCHIMEDES (Abschnitt 2.6.1) und darf deshalb nicht mit diesem verwechselt werden.

217

Mittels des Impulssatzes ist die wichtige Feststellung moglich: Die Querkraft muD die Folge eines gleich groDen, gleichgerichteten Impulsstromes sein. Um diese Impulsanderung zu erreichen, mu13 das Fliigelprofil die Luft nach unten ablenken. Eine Flugzeugtragflache beispielsweise ist gezwungen, um ihr eigenes Fallen zu verhindern, Luft entsprechend nach unten abzulenken. LORDRAYLEIGH nannte dies einst das Prinzip des Opfers. Die Herleitung der mathematischen Beziehung fur den dynamischen Auftrieb ist deshalb aul3er uber G1.(4-275) auch mit dem Impulssatz moglich. Dies soll, da einfacher, jetzt durchgefiihrt werden: Ausgegangen wird von einem Fliigelgitter, d. h. einer Anordnung mehrerer, gleicher Profile auf einer Nabe in einheitlicher Teilung t . Die Abwicklung des Profilgitter-Mittelschnittes zeigt Bild 4-100. Solche Profilgitter, die eine Drehbewegung ausfiihren, werden bei Stromungsmaschinen und Antriebs-Propellern eingesetzt. Auf den in Bild 4-100 eingetragenen relativen Kontrollraum RKR, der profilfest ist und sich da-

In diesem Abschnitt der reibungsfreien Stromung soll nicht untersucht werden, wie die Zirkulationsstromung angefacht und aufrecht erhalten werden kann. Dies wird bei der Profilumstromung durch reale Fluide behandelt (Abschnitt 4.3.3). Die folgende Betrachtung geht von der Tatsache des Vorhandenseins der Stromungskombination aus Translation und Zirkulation um das Profil aus. Die beiden Anteile sind dabei so aufeinander abgestimmt, daD der Tragfliigel bzw. die Schaufel konturgetreu umstromt wird und das Medium tangential abflieat, die sog. KUTTA-Abflunbedingung.

m

Bild 4-99. Ideale Profilumstromung mit Eintragungen.

Bild 4-100. Stromung durch Profilgitter. m Meridianrichtung (Achsrichtung) u Umfangsrichtung p,, Stafflungswinkeldes Gitters, Winkel zwischen Gitterfront und Profilbezugslinie; p,, = P, - 6. Breite b der Fliigel senkrecht zur Zeichenebene.

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

218

her mit dem Flugel mit der Umfangsgeschwindigkeit u mitbewegt, wird der Impulssatz angewendet. Um die dazu notwendige ebene Stromung zu erhalten, werden die Flugel als unendlich breit, d. h. lang betrachtet (b -+a), oder, um Randumstromung zu verhindern, endliche Flugel mit Seitenscheiben (Stirnseiten) versehen, Bild 4-131. Die relative, d. h. auf den bewegten Kontrollraum bezogene Fluid-Anstromrichtung ist gegenuber der Umfangsgeschwindigkeit u um den mittleren Winkel P, verdreht. AuBerdem ist das Profil zur mittleren relativen Ausstromgeschwindigkeit w, um den Winkel 6 angestellt. Winkel (P, - 6) zwischen Profilbezugslinie (Abschnitt 4.3.3.2) und Umfangsrichtung u wird auch als Stafflungswinkel j,, des Profilgitters bezeichnet. Die Profilwinkel P2 und sind die (Tangenten-)Winkel der ProfilSkelettlinie an der Nase (Stelle 2) und am Schwanz (Stelle 1) der Flugel. GemaIj der Anwendung des Impulssatzes sind auf den Relativkontrollraum RKR und damit auf den Flugel wirkend eingetragen, die Zmpulsstrome 1 (Stellen 2; I), die ~berdruckkra$e Fp,, (Stellen 2; 1) und die fur das Kraftegleichgewicht notwendige Wandkraft Fwd(Haltekraft).

a,

wird

Pz-P1 - wt-w2, -- e 2

Eingesetzt in die Gleichung fur Fwd,,ergibt:

Des weiteren wird die Zirkulation um den Kontrollraum I-11-111-IV-I bestimmt und eingefiihrt (gema13 Beispiel von Abschnitt 4.2.2.2): r = $ G .dF'=$w.cosa.ds

r = 4 - 1 1 + 41-111 + &-1, Mit

A

und

A,,-,

= - w,,

. t wird

r = t . (wlu - w2,) Damit erhalten die Beziehungen fur Fwd,,und Fwd,,die Form:

Fur die Profilbreite b ergibt sich:

=@b . .

a) CF, F,,,

+ &-I

, = - A ,-,,, A11-111 =w,;t

hieraus -i,, + flu - Fwd,,= 0 ,=il,- i2,= ilcos p, - i, cos p, = 0:

'

( ~ 2+ , w1u)/2

Fwd,,= e . b . l " . W, Mit den mittleren Geschwindigkeitskomponenten (identisch den ungestorten Anstromwerten) Wau

= W1u

w2u

und w,,

=

w,

werden:

Damit ist die resultierende Wandkraft:

Jz

F~~= JF;~,,+F;~,, = ~ . b . r . F W d = @ . b . r . w , mit Q - Q ,

(4-276)

Fur den Richtungswinkel cp von Fwdergibt sich: tancp

= Fw,,,/Fwd,, = w,,/w,,

v = pa

= tanp,

also (4-277)

Der Wandkraft Fwdals Reaktion steht als Aktion die durch den Impulsstrom bedingte dynamische Auftriebskraft FAentgegen. Daher FA= Fwd,also Mit

z2 = z, = 0 und

Q

= em

FA=e.b.r.w,

(4-278)

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide mit der Umfangskomponente

und der Meridiankomponente F, =Fwd,, = Q . b

. r .w,,

(4-280)

sowie dem mittleren (ungestorten relativen) Anstromwinkel P, = cp:

219

Die Tragfliigelumstromung kann in grol3em Bereich als inkompressibel behandelt werden. Dies ist auch bei Luft- und Gasstromung bis zu relativ hohen Geschwindigkeiten (bis M a x 113, Abschnitt 1.3.1) mit genugender Genauigkeit zulassig. Fiir groBere Geschwindigkeiten mussen die GesetzmaDigkeiten der kompressiblen Stromung mit beachtet werden (Abschnitt 5.5).

Bemerkenswert ist noch, daI3 sowohl das Gesetz von KUTTA-JOUKOWSKY, G1. (4-278), der Tragflugeltheorie als auch die EULER-Gleichungder KreiBeziehung (4-278) ist das Gesetz von KUTTA-Jou- selradtheorie (Abschnitt 4.1.6.3) auf den Impulssatz zuriickgehen und daher aufs engste mitGrundgleichung der Tragflugeltheorie. KOWSKY, einander verwandt sind. Es sind nur unterschiedDen Zusammenhang entdeckten die beiden For- liche Ausdrucksformen des gleichen Phanomens scher unabhangig voneinander, KUTTA 1902 und der dynamischen Krafterzeugung durch Stro' ) 1904. JOUKOWSKY mungsvorgange. Das tangentiale Abstromen des Fluides an der Die Umstromung jeder Art Schaufel, profiliert Profil-Hinterkante (Bild 4-99) wird, wie envahnt, oder nicht profiliert (angestellte Platte), Einzelals K~TTA-Abflul3bedingung,oder kurz KUTTA- fliigel (Tragflachen), weitstehend (Propeller) oder engstehend (Schaufelgitter von StromungsBedingung, bezeichnet. maschinen) ist immer die Kombination von Der Satz von KUTTA-JOUKOWSKY bestatigt, daI3 Translations-(DurchfluI3) und ZirkulationsstroAuftrieb nur dann auftritt, wenn sowohl Anstrom- mung (Drehung). geschwindigkeit als auch Zirkulation vorhanden Meist wird die Tragfliigeltheorie fur Einzelprofile sind. Die Profilumstromung besteht somit aus und weitstehende Schaufeln (Propeller), die Kreiiiberlagerter Verdrangungs- und Kreisstromung. selradtheorie dagegen bei Schaufelgitter (Kanalsind mogAus G1. (4-278) geht weiterhin hervor, daI3 die rader) angewendet. ~berschneidun~en lich, wie auch Kombination beider Verfahren (beQuerkraft FA = Fwdsenkrecht zur mittleren Ansonders bei Propellern). strijmgeschwindigkeit w, wirkt (cp = P,). Das Gesetz von KUTTA-JOUKOWSKY gilt allgemein fur ebene Stromungen idealer Fluide. Die Ablei- 4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide tung kann ebenso am angestromten ruhenden oder translar bewegten Einzelflugel durchgefuhrt 4.3.1 Bewegungsgleichungen werden. In genugendem Abstand (theoretisch co groBem) nach oben und unten ist die Stromung 4.3.1.1 Grundsatzliches vom Fliigelprofil unbeeinfluot. Die Kreisge- Wie bereits in Abschnitt 1.4 dargestellt, sind bei schwindigkeit der Zirkulation ist bei entsprechen- der Bewegung realer, d.h. reibungsbehafteter dem Abstand so weit zuriickgegangen, daf3 sie ver- Fluide neben den Volumen- (Schwere, Tragheit) nachlassigt werden kann. Entlang den angesetzten und Druckkraften auBerdem durch die Viskositat Kontrollraumgrenzen I-11 und 111-IV, die jetzt verursachten Widerstandskrafte (Reibung und weit vom Einzel-Profil weggeriickt sind, findet Turbulenz) zu beriicksichtigen. Die grundlegen3, und dann ebenfalls kein Fluidaustausch mehr statt. An den Arbeiten hierfiir gehen auf M. NAVIER G. STOKES 4, zuruck. die Stelle der mittleren Relativgeschwindigkeit w, tritt beim Flugzeug-Tragflachenprofil die ungeungen Die sog. N A v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c hbeschreiben storte Anstromgeschwindigkeit c, und Winkel Pm mathematisch die durch alle wirkenden Krafte entfallt (wird 90°), nicht jedoch der Anstellwin(Vektorsumme) verursachte allgemeine Bewegung kel6. In der Regel ist die sog. Anstellung 6 < 15". ') ')

KUTTA,W. (1867 bis 1944). JOUKOWSKY, N. J. (1847 bis 1921), russ. Wissen-

schaftler.

3,

4,

NAVIER, Claude, Louis, Maria, Henry (1785 bis 1836), frz. Ingenieur. FuDnote 2 auf Seite 15.

220

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

realer Fluide. Sie sind somit Erweiterungen der E u ~ ~ ~ s c hGleichungen, en welche die Bewegung des idealen Fluides analytisch darstellen. Die notwendigen Erweiterungen miissen den EinfluD der Fluidviskositat wiedergeben. Hierzu dient der SToKEssche Reibungssatz, der das NEwTo~sche Reibungsgesetz auf allgemeine Stromungen enveitert. Die durch Fluidreibung verursachte Scherspannung ist demnach proportional der Verformungsgeschwindigkeit. Gegensatzlich hierzu ist bei Festkorpern die Scherspannung nach dem HOOKEschen Gesetz der Elastizitatstheorie nur proportional der Verformung. Der SToKEssche Reibungsansatz ist jedoch, angelehnt an das FestkorperGesetz, eine empirische Festlegung. Deshalb ist nicht von vornherein gewahrleistet, daD die NAVIER-STOKESSC~~~ Gleichungen die allgemeine Bewegung realer Fluide richtig beschreiben, meist ist dies jedoch der Fall. Sie sollten daher notigenfalls nachgepriift werden, was jeweils letztlich nur experimentell moglich und meist mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden ist. c h u n gauch e n den Die N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i stellen Impulssatz in differentieller Form fur NEWTONsche Fluide dar und werden deshalb verschiedentlich als Impulsgleichungen realer Stromungen bezeichnet. Sie gelten in ihrer einfacheren Form nur fur inkompressible Fluide raumlich konstanter Viskositat und dabei sowohl fur stationare als auch instationare Stromungen.

Gleichungen oder Bewegungsgleichungen der turbulenten Stromung bezeichnet. Durch die Ansatze fur die Momentanwerte c = F + c' der Geschwindigkeit und p = p + p' des Druckes der Stromung, wobei F; p die Mittelwerte und c'; p' die turbulenten Schwankungswerte bezeichnen (Abschnitt 3.3.2.2), gehen die N ~ v ~ E ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c hinu n g e n die REYNOLDS-Gleichungen uber. Die sich dabei uber Mittelwertbildung ergebenden additiven Zuwobei i = I, 2, 3 und satzterme z,j = - Q . j = I, 2, 3 (Achsrichtungen), werden als (zeitlich gemittelte) RE~NoLDsscheSchubspannungen bezeichnet. N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ E s - G l e i c hund u n gREYen NOLDS-Gleichungen unterscheiden sich daher nur durch Erganzungen (Additionen) der Reibungsglieder um die zeitlich gemittelten R ~ ~ ~ o ~ ~ s s c h e n Schubspannungen. Die RE~No~Dsschen Gleichungen stellen somit die Bewegungsgleichungen fur die Mittelwerte der turbulenten Stromung dar, so wie die N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i cdie h uBewengen gungsgleichungen der Momentanwerte der reibungsbehafteten Stromung darstellen. Die REYNOLDS-Gleichungenentsprechen daher praktisch fur turbulente Stromung den exakt fur laminare Stromung geltenden N ~ v ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c h u n gen. Hierzu wird z. B. ebenfalls auf TRUCKENBRODT [so] verwiesen. Ersatzweise kann auch mit der Gesamtviskositat (Abschnitt 3.3.2.3.3) oder anderen Naherungsmodellen gerechnet werden. Jeweiliges ~ b e r ~ r u f eder n Ergebnisse durch Vergleichsrechnungen und/oder Experimente ist notUm den Rahmen dieses Buches nicht zu uber- wendig. Insgesamt sind daher die NAVIER-STOKESschreiten, sol1 auf die Darstellung der aufwendigen Beziehungen die Grundgleichungen der gesamten Herleitung der NAVIER-STOKES-Gleichungen (ab- Stromungsmechanik. gekurzt mit NS), Abschnitt 4.3.1.2, verzichtet wer- Obwohl heute mit Hilfe von Computern auf nuden. Derjenige Leser, den diese Ableitung interes- merischem Wege schon recht komplexe und siert, sei auf die Schrifttumangaben verwiesen, gute Naherungslosungen dieser Gleichungen mit z. B. SCHLICHTING [53] oder TRUCKENBRODT [50]. der sog. Numerischen Fluidmechanik (CFD . . . Fluid Dynamics, berechenbare - Gkompres~ ~ ~ C ~ Computational U~~~~ Da die N A V I E R - S T O K E Sder Fluid-Dynamik) moglich sind, liegt ihre allgesiblen und damit allgemeinsten Stromung aufierst meine Behandlung noch weit entfernt. Analytische kompliziert sind, werden nur die Gleichungen fur die inkompressible Stromung, die schon kompli- Naherungslosungen sind bei entsprechendem Verziert genug sind, angegeben und aufierdem nur im einfachen der Gleichungen moglich (Abschnitt orthogonalen Bezugssystem (x,y, z-Koordinaten). 4.3.1.8). Zur Herleitung, d. h. Begriindung dieser Naherungslosungen und zur Beurteilung des daLange Zeit wurde angenommen, daB die NAVIER- durch auftretenden Fehlers, ist es immer notwenSTOKES-Gleichungen nur die laminare Bewegung dig, auf die Ausgangsgleichungen zuruckzugreidarstellen konnten. Inmischen wurde jedoch er- fen. Der Hauptgrund fur die bis heute noch nicht kannt, daD die Gleichungen vie1 aussagekraftiger gelungene allgemeine Losung der NAVIER-STOKESsind, indem sie auch den Elementarvorgang der Gleichungen liegt in dem nichtlinearen Charakter Turbulenz beschreiben, wenn sie entsprechend er- und hauptsachlich an der zweiten Ordnung ihrer ganzt werden. Diese dann sog. erweiterten NAVIER- Differentialquotienten. Die Nichtlinearitat, der en STOKES-Gleichungen werden auch als REYNOLDS-sog. Grad, wird, wie bei den E u ~ ~ ~ s c hBewe-

m,

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

gungsgleichungen, durch die Tragheitsglieder Q . zverursacht. Die Ordnung bestimmen die hochsten Differentialquotienten, hier die zweiten Ableitungen der Reibungsterme q . A< also gerade die Glieder, welche die NAVIER-STOKESGleichungen von den EULER-Gleichungenunterscheidet. Sie sind deshalb auch fur den Charakter der Gleichungen und deren Losungen von entscheidender Bedeutung. Denn nur die vollstandige e) Differentialgleichung zweiter Ordnung (2. Ableitungen) kann aul3er der trivialen Randbedingung keine Normalkomponente der Geschwindigkeit langs fester Wande - auch die Haftbedingung (keine Tangentialkomponente der Geschwindigkeit liings fester Wande) als weitere Randforderung erfiillen. Mathematisch exakt ausgedruckt sind die NAVIERSTOKES-Gleichungen somit ein gekoppeltes System von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und zweiten Grades.

221

GroBenordnung. Hier lassen sich die NAVIERSTOKES-Gleichungen jedoch ebenfalls vereinfachen und gehen dadurch in die sog. PRANDTLschen Grenzschichtgleichungen uber (Abschnitt 4.3.1.4). Deshalb ist die von PRANDTL hierfur vorgeschlagene Trennung der Gesamtstromung in AuBen- und Randbereich auBerst vorteilhaft. Die Viskositatskrafte sind sehr grol3 im Vergleich zu den Tragheitskraften. Die REYNOLDS1). Ergibt Zahlen sind deshalb sehr klein (Re I die sog. schleichende Stromung, z. B. hydrodynamische Schmierschichttheorie (Abschnitt 4.3.1.5). Die linke Seite der NAVIER-STOKESGleichungen kann in diesem Fall vernachlbsigt werden, also dc'/dt x 0. Solche Stromungen werden auch als voll ausgebildete Viskositatsstromungen bezeichnet.

Zusammenfassung: Die praktisch besonders wichtigen Spezialfalle, fur Die insgesamt zum Behandeln von Stromungsprowelche das htegrieren der N A V I E R - S T O K E S - ~blemen ~ ~ ~ - verfugbaren Verfahren sind: chungen infolge Vereinfachungen gelingt, sind:

-

Analytische Stromungsmechanik Experimentelle Stromungsmechanik Numerische Stromungsmechanik

a) Die Reibung ist vernachlassigbar (q x 0 ) . Die N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G ~ egehen i ~ h u in n g edie n EULER-Gleichungenuber (Abschnitt 4.2.1). Wie zuvor begrundet, stoBt das analytische Verb) Stationare, voll ausgebildete laminare Strofahren infolge mathematischer Schwierigkeiten mung z.B. in Rohren. Die linke Seite der schnell an bisher nicht iiberwindbare Grenzen. N ~ v ~ ~ ~ - S T o ~ ~ s - G l e i c hkann u n g ehier n als Die zugehorigen Differentialgleichungen (NS und klein vernachlhsigt werden, auch wenn die Konti) sind daher nur fur Sonderfalle zu losen, Re-Zahl nicht sehr klein. wobei zudem meist starke Vereinfachungen notc) Fur einige Spezialstromungen, z. B. ebene wendig. Staupunkt- und ebene Wirbelstromungen, lasBeim experimentell unterlegten Verfahren, die ohne sen sich die NAVIER-STOKES-Gleichungen Technische Fluidmechanik, werden mathematiVereinfachungen losen. Fur ebene Stromungen sche Probleme durch Versuchswerte und darauf c = f (x, y, t) verandert sich die NAVIER-STOKESGleichungen zur sog. Wirbeltransportgleichung. aufbauende Naherungsbeziehungen (Formeln) uberbruckt. Diese druckt aus, daB die substantielle AndeDie numerischen Verfahren ubenvinden die marung der Wirbelstarke, die sich aus konvektiven und lokalen Anteilen zusammensetzt, gleich ist thematischen Schwierigkeiten durch sog. numerider Dissipation der Wirbelstarke (Abschnitt sche Modellierungen (Modellansatze), angewendet auf finite, d. h. kleine endliche Bereiche mit 4.3.1.3). d) Stromungen mit sehr grol3en Re-Zahlen. Die teilweise experimentell unterlegten Faktoren. Die Reibungskrafte sind dann, auBer in den Grenz- finiten Bereiche werden rechnerisch zum Gesamtschichten, klein im Vergleich zu den Tragheits- gebiet des jeweiligen Stromungsfalles zusammenkraften. In der AuBen-, d. h. Hauptstromung gesetzt, was infolge der vielen Gleichungen und kann der ViskositatseinfluB (Reibung) vernach- GroBen (Bezugsstellen, Unbekannte) sowie Zahlassigt, also q . AZ = 0 gesetzt werden. Hierfur lenwerte GroBrechner erfordert. gehen dann die N ~ v I ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c h uDie n g efolgenden n Abschnitte stellen die zuvor zusamwieder in die EULER-Bewegungsgleichungen menfassend envahnten Gleichungen und numeriuber. In den Grenzschichten dagegen sind schen Berechnungsverfahren in Kurzform als EinTragheits- und Reibungskrafte von gleicher fuhrung dar.

4 Stromungen ohne Dichteanderun~(auasi-inkon

222

4.3.1.2 N A V I E R - S T O K E S - G ~ ~ ~ C ~ U ~ ~ ~L~~ p ~ ~ c ~ - O p e rAa tnach o r G1. (3-29) und GraIm rechtwinkligen Koordinatensystem lauten die dient grad sowie Nablaoperator V (Tabelle 6-21) N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i (NS) c h u nder g e nrealen in- rnit grad = V gemaI3 Beziehungen (2-35) und kompressiblen Stromung: (3-25). GroI3e f i s t wie_der die spezifische Volumenkraft (Massenkraft). f ist im Schwerefeld der Erde (Abschnitt 2.2.7 und 4.2.1) identisch der vom Gravitationspotential ableitbaren spezifischen Gewichtskraft (in Abschnitt 1.4 mit f, bezeichnet). Wirkt also, wie in der Regel der Fall, nur das Gravitationsfeld, so hat die spezifische Feldkraft, die sog. Feldstarke, den Aufbau:

wird auch als Felddichte bezeichnet. Zusammen mit der Kontinuitatsbeziehung (Kontigleichung), GI. (3-26),

oder in Vektorform (Tabelle 6-18): divc'=O bzw. V . c ' = V Z = O oder in Indexdarstellung: Kurzform-Indexschreibweise: mit gebundenem Index j (Abschnitt 3.2.3.1.I), uber den zu addieren ist, der Bedeutung cj = c,; c,; c, und xj = x; y; z mit Abkurzung i

= x; y;

z

Darstellung in Vektorform (Tabelle 6-18): dc' + Q.-=f-gradp+qSAc' dt

oder

Darstellung in Matrixform:

(4-28312) rnit

h uSyngen bilden die N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i cein stem von vier gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen fur die vier Funktionen C,(X,Y,~, t); c,(x,Y,Z, 4; c,(x,Y,z, 0 ; P(X,Y,Z,t) bei instationLen und c, (x, y, z); c, (x, y, z); c, (x, y, z); p (x, y, z ) bei stationaren Stromungen realer raumbestandiger Fluide. Der Druck hat dabei keine eigene Gleichung und die Kontinuitatsgleichung keine eigene Variable. Hinzu kommen noch die Randbedingungen, insbesondere die erfahrungsgemaI3 gesicherte Haftbedingung. Diese verlangt, wie schon ausgefiihrt, daB die Geschwindigkeitskomponente tangential zu einer festen Wand direkt an deren Oberflache verschwindet. Die Geschwindigkeitskomponente normal zur Wand kann nur dann ungleich null sein, wenn die Wand durchlassig und dadurch Fluid abgesaugt oder eingeblasen wird. Die N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i in c h Zylinderkoungen ordinaten (r, rp, z), die bei Drehstromungsproblemen sinnvoll sind, enthalt [53].

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

223

Insgesamt gibt es etwa 70 verschiedene Versionen der N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i cjeh nach u n g eKoordin, natensystem und abhangigen Variablen. Bemerkung: Die NAVER-STOKES-Gleichungen sind gemaB den EULER-Gleichungen(Abschnitt 4.2.1) auch mit dem Impulssatz (Abschnitt 4.1.6.1) herleitbar, weshalb sie auch als Impulsgleichungen der realen Stromung bezeichnet werden. Erklarung fur das Reibungsglied q . A?' der NS: Die exakte Herleitung des Reibungsgliedes uber den SToK~sschenFriktionsansatz in Anlehnung an die Zusammenhange bei den Festkorperschubspannungen ist, wie erwahnt, kompliziert und um- Bild 4-101. Scherspannungen zum z-Glied der NS an fangreich. Um dieses Thema nicht auszuweiten, massefestem Fluidelement, bedingt durch umgebende muB deshalb hierauf verzichtet und auf das ein- friktionsbehaftete Fluidstromung mit Geschwindigkeitsschlagige Spezialschrifttum venviesen werden komponenten c,; c,. Bei den Schubspannungen bedeuten: [SO; 531. Folgende, fur das z-Glied mit Hilfe von erster Index Normalenrichtung, zweiter Index WirkrichBild 4-101 durchgefuhrte, vereinfachte Herlei- tung. tung, die dennoch zum richtigen Ergebnis fuhrt, sol1 das wichtige Reibungsglied verdeutlichen, Die y- und z-Komponenten der beiden weiteren der NS ergeben sich durch welches sich die N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l eKomponentengleichungen ichunauf dieselbe Weise: gen von den E u ~ ~ ~ s c hBewegungsgleichungen en unterscheiden. q . Ac, sowie q . Ac, Am massefesten Fluidvolumenteilchen dV = dx . dy . dz (Bild 4-101) betragt infolge Anderung und damit insgesamt der Reibungsglied-Vektor in der Stromungsgeschwindigkeit c, in z-Richtung, L A P L A C E - D ~ ~ S ~ ~ ~ ~ U ~ ~ : also c, = f(z), die durch die reibungsbedingte Scherspannung verursachte Schubkraft fur das z-Glied in x-Richtung: Entdimensionierung der NS: In vielen Fallen erweist es sich als vorteilhaft, die N ~ v r ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c hinu ndimensionsloser gen Form zu verwenden, d. h. mit dimensionsfreien hieraus GroBen. Die Entdimensionierung wird auch als Skalierung bezeichnet. Durch entsprechende Bezugswerte konnen die NS in eine dimensionslose Form uberfiihrt, also entdimensioniert werden. Mit dem N ~ w ~ o ~ s c hFluidreibungsgesetz en geBezugsgroBen und dimensionslose Variable maB G1. (1-14) fur z-Glied: (GroDbuchstaben) z,, = q . ac,/az wird Lange lo + X = x/lo; Y = y/lo; Z = z/lo Entsprechend ergeben sich fiir

Geschw. co

-+

Zeit to = Io/co

C, -+

= cx/co;Cy = cy/co;C, = cy/co

T = t/to = t/(lo/co) = t . co/lo

Feldkraft fo = Q . g Druck Zusamrnengesetzt ergibt sich das Friktionsglied der NS-Gleichung in x-Richtung:

po = Q . ct

eingefuhrt in die NS:

-+

+

F =ffo = fi(e . g) P = p/po = p/(e . c;)

224

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Die zugehorige Kontinuitatsgleichung (3-26), entsprechend dimensionslos gemacht, ergibt die entdimensionierte Form:

4.3.1.3 Wirbeltransportgleichung Fur ebene Stromungen laBt sich die NS - hierbei entfallt die z-Richtung -t c, = 0 - mit der Potentialfunktion U (Gl. 2-34) umschreiben. Matrix-Form: Die anderen Glieder entsprechend umgeschrieben und eingesetzt: Komponenten-Form.

Umgestellt ergibt letztlich:

Mit Rotation um die z-Richtung (Gl. 3-19) Mit

po = Q . c;

doppeltem Staudruck

Fr2 = c;/(lO.g) nach GI. (3-38) Re = (co .l0)/v gemaB G1. (3-37)

sowie Wirbelvektor, G1. (3-22) 1

wird:

1

8 = (0 0 w,} = - . r o t Z = - . V x Z 2 2 und Stromfunktion

Entsprechend ergeben sich die beiden anderen Komponenten-Gleichungen (y- und z-Richtung), so da13 die entdimensionierte NS in Vektoranalysis-Form lautet: ergeben sich nach weiteren Umformungen aus der zweidimensionalen NS: Ergebnis: Zwei Stromungsfelder stimmen nur dann exakt iiberein, wenn insgesamt erfiillt sind: - Re-Zahlen gleich - Fr-Zahlen gleich - Rander ahnlich.

Hinweis auf Abschnitt 3.3.1

x-Komponente nach y differenziert:

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

y-Komponente nach x differenziert:

D a es sich um stetige Funktionen handelt, sind die Reihenfolgen der Differentiationen vertauschbar,

a2

aZ

also -- axay ayax Die beiden differenzierten NS-KomponentenGleichung subtrahiert (y-Komponente von xKomponente) und zusammengefal3t.

wird addiert

ac,/ax

+ acY/ay= 0

Die vorhergehende Gleichung geht dann uber in:

do, dt

-= v . Am,

Das ist die Wirbeltransportgleichung. Die beiden Komponentengleichungen der NS gehen in eine gemeinsame Beziehung der Wirbelstarke o,uber.

225

Die linke Seite der Wirbeltransportgleichung ist die zeitliche h d e r u n g des Betrages der Wirbelstarke eines Teilchens, b m . Bereiches. Die rechte Gleichungsseite 1aDt sich wegen des LAPLACEOperators als Diffusionsterm interpretieren (Abschnitt 3.2.3.2). In einer ebenen Stromung andert sich die Wirbelstarke eines Teilchens (Bereiches) demgemaB nur durch Wirbeldiffusion. Das bedeutet: In einer stationaren Stromung m a , da sich hier die Wirbelstarke nicht andert, die Diffusion (Ausbreitung) der Wirbelstarke gleich der Konvektion (Zufuhr) von Wirbelstarke, und falls solche nicht vorhanden, null sein. 4.3.1.4 Grenzschicht-Gleichung nach PRANDTL Die uberlegungen sollen sich auf die Stromung geringer Viskositat (ubliche Fluide) im (x, y)System beschranken. Die Ergebnisse sind jedoch ohne Einschrankung auf Korperumstromungen anwendbar, wenn statt des orthogonalen (x,y)Bezugssystems natiirliche Koordinaten verwendet werden. Das bedeutet: x ist durch die Wegkoordinate s - Bogenweg, auch als Tangentenstrecke t bezeichnet - entlang der Stromung um die Korperoberflache und y durch die zur jeweiligen s-Stelle gehorenden Normalenrichtung n der Korperoberflache zu ersetzen (krummlinige Koordinaten). Der Wandkriimmungsradius muB dabei jedoch groB gegenuber der Grenzschichtdicke sein, damit die Fliehkraftwirkung vernachlassigbar ist. Ausgegangen wird wieder von der NS, wobei die Feldwirkung (Kraft f) entfallen kann, da ohne EinfluD auf das Grenzschichtverhalten (Hohen-, d. h. Queranderung sehr klein -, < 6):

226

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkom~pressibleStromungen)

-

und Kontinuitat

Das Koordinatensystem wird dabei jetzt so festgelegt, daB die x-Koordinate in die Wandrichtung Gllt und die y-Richtung darauf senkrecht steht. Die beiden Beziehungen (4-28315) erfahren fiir die Grenzschichtstromung gemaB folgender, auf PRANDTLzuruckgehender Betrachtung eine wesentliche Vereinfachung: Nach Voraussetzung (Abschnitt 3.3.3) ist die Grenzschichtdicke 6 an jeder Wandstelle vergleichsweise gering, also 6(x) 4 x und damit auch dy < dx. Bezeichnet Symbol E < 1 die GroBenordnung der Grenzschichtdicke 6, dann ist in der Grenzschicht auch (Tilde) bedeutet hierbei y E. Das Zeichen ,,von GroBenordnung". Des weiteren sol1 die GroBenordnung der Werte x und c, je gleich 1 gesetzt werden. Fur die Differentialquodienten ac,/ax und a2cx/ax2ergibt sich damit ebenfalls die GroBenordnung 1, wahrend ac,/ay I/& und a2cX/ay2 sind. Aus der Kontinuitatsbedingung G1. (4-28316) folgt ac,/ac, = - axlay und hiernach cx/cy x/y 116, weshalb c, 8 sowie ac,px E; acy/ay 1; a2cY/ax2 E und a2c,/ay2 118. In den G1. (4-28315 + a und b) sind danach zu den entsprechenden Gliedern die zugehorigen GroBenordnungen vermerkt. Die lokale Beschleunigung ac,/at kann ebenso wie die konvektive Beschleunigung c, . ac,/ax je von GroBenordnung 1 angenommen werden, was naherungsweise zulassig ist, wenn plotzliche Beschleunigungen, z. B. Druckwellen, ausgenommen bleiben. Zudem ist c, E und deshalb auch ac,/at E . Wie eingangs vermerkt, werden nur ubliche Fluide betrachtet, d. h. solche mit relativ geringer Viskositat v = q/e. Damit die Reibungsglieder q . Ac von gleicher GroBenordnung wie die Tragheitsglieder Q . i. sind, mu13 nach G1. (4-283/5a) v E' sein. Nur dann wird namlich das wichtige Glied v . a2cX/ay2 VIE' 1, wogegen das unwichtige Glied v . a2cx/ax2 v . 1 E' als klein von hoherer Ordnung verschwindet. Das Glied i32c,/ay2 ist wichtig, weil es den Geschwindigkeitsverlauf quer der Grenzschicht, d. h. in Dickenrichtung kennzeichnet und damit hauptverantwortlich fur die Fluidreibung ist. Der Quotient a2c,/ax2 dagegen kennzeichnet die sich - vor allem bei stationarer Stromung - nur wenig andernde Geschwindigkeit in der Hauptstromungsrichtung und ist deshalb von vernachlassigbarem EinfluB.

-

-

- -

-

-

-

- - -

-

-

-

Des weiteren folgt jetzt aus G1. (4-283/5b), daB Glied (11~). splay E,also klein gegenuber 1 ist. In G1. (4-283/5a) besitzt das Druckglied (11~). aplax dagegen meist endliche Werte, also (I/@).aplax 1. Hieraus folgt: Innerhalb der Grenzschicht ist der Druck naherungweise unabhangig von Querkoordinate y und gleich dem der AuBenstromung. Der Druck andert sich somit nur als Funktion der Langskoordinate x und bei instationarer Stromung auch zeitabhangig; nicht jedoch in yRichtung. Als Merksatze konnen somit festgehalten werden:

-

In der Grenzschicht andert sich der Druck quer zur Stromungsrichtung nicht. - Der Druck wird der Grenzschicht durch die AuBenstromung aufgepragt. - Die Variation ( ~ n d e r u n der ~ ) Geschwindigkeit quer zur Stromungsrichtung ist deutlich groBer als entlang den Stromlinien. -

Nach den bisherigen uberlegungen geht die noch verbleibende Beziehung (4-283/5a) - dort eingetragen - in folgende Naherungsgleichung, die sog. PRANDTL-Grenzschichtgleichung uber: Bei instationarer Stromung c =f (x, y, t)

in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung (4-28316) und den Randbedingungen - Haftbedingung: Bei y = 0 sind c, = c, = 0 - AuBenstromung: Bei y 2 6 ist c, = c , , (x, t) - Druck in Grenzschicht gleich dem der angrenzenden AuBenstromung. Bei stationarer Stromung c =f (x, y) ist der transiente Term nicht vorhanden, also ac,/at = 0. Die ubrigen Glieder bleiben bestehen. Zwar ist auch die P R A N D T L SGrenzschichtgleiC~~ chung wie die NS noch von nichtlinearem Charakter (2. Grad) und von 2. Ordnung. Dennoch ist die mathematische Vereinfachung betrachtlich. Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten vermindern sich je um eine. Unbekannt sind die Geschwindigkeitskomponenten c, und c,. Der Druck ist keine Unbekannte mehr, sondern durch die Energiegleichung (BERNOULLI) der AuBenstromung bestimmt, die als Potentialstromung gilt. Hinzu kommt als weitere Beziehung wieder die Kontinuitatsgleichung (4-28316). Damit bestehen drei Gleichungen fiir die Unbekannten c,, c, und p, System also geschlossen.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Mit der Grenzschichtgleichung 1a13t sich Grenzschichtverlauf und z. B. Ablosungspunkt A von Bild 3-21 berechnen. Durch das Aufteilen von Stromungen in AuDenbereich (Potentialstromung) und Grenzschicht (Reibungsbereich) - Abschnitt 3.3.3 - vereinfacht sich die Berechnung vieler Stromungsprobleme. Fur die AuSenstromung gilt die LAPLACE-Gleichung (3-27a) in Verbindung mit der BERNOULLIGleichung (3-83) und fur die Randschicht die P R A N D T L SGrenzschichtgleichung. C~~ 4.3.1.5 Schmierschichttheorie Die hydro- oder besser fluiddynamische Schmierschichttheorie ist ein Beispiel fur die Anwendung der ~ N D T L S CGrenzschichtgleichung. ~ ~ ~ Zusammen mit der Kontinuitatsbeziehung wird sie auf die vorhandene, bzw. festgelegte Spaltgeometrie angewendet. Voraussetzung fiir die Wirkungsweise. d. h. den Druckaufbau ist das Vorhandensein eines konischen Spaltes, bei dem sich die eine Wandseite in Richtung der Spaltverengung bewegt (Bild 4-102). Durch Haftbedingung und Friktion wird das Medium mitgenommen und in die Spaltverengung ,,getriebenu, bzw. ,,gezerrtU, wodurch sich ein Druck aufbaut. GemaD BARTZ') sind Drucke bis ca. 1000bar erreichbar. Bei entsprechender Konstellation (Drehzahl, Lagergeometrie, Olsorte) reicht die durch diesen fluiddynamischen Schmierschichtdruck entstehende Querkraft aus, die Lagerteile vollstandig voneinander zu trennen. Es besteht dann nur noch Fluidreibung. Infolge der vergleichsweise geringen Spalthohe ist die Schmierspaltstromung eine stationare schleichende Grenzschichtbewegung (Re gering), weshalb die Tragheitsglieder (linke Gleichungsseite)in der P ~ ~ N D ~ ~ - B e z i e hals u nklein g gegenuber dem Reibungsglied vernachlassigt werden konnen. GI. (4-28317) vereinfacht sich deshalb zu:

Umgestellt mit v

227

L

Bild 4-102. Schmierspalt-Stromung. Spalthohe h = h(x) vergrol3ert dargestellt. Indizes a Anfang; e Ende. Breite b senkrecht zur Bildebene, wobei b = konst. Koordinatensystem (x, y) ruht; untere Platte bewegt sich in x-Richtung.

D'Gl. (4-28318) zweimal iiber y integriert, liefert:

Hierbei folgen die Integrations-Konstanten K , und K2 aus den Randbedingungen (Bild 4-102):

Partielle Differentiale sind jetzt nicht mehr notwendig, da der Druck nur von der Spaltrichtung x abhangt, also nur noch eine unabhangige Variable vorliegt. Senkrecht im Spalt (y-Richtung) andert sich der Druck nicht, da Grenzschichtstromung (Abschnitt 4.3.1.4). Die Randbedingungen eingesetzt, ergibt:

"

qdx 2

h

q d x 2

Umgestellt:

. Q = 9 ergibt: rnit Hohe h als Funktion von x, also exakt h(x).

Dies ist die Gleichung fiir die GeschwindigkeitsDie x-Komponente der NAVIER-STOKES-G~~~chungen liefert fur eindimensionale Stromung verteilung im engen Spalt - Hohe h klein, Bild (c, = 0 und c, = 0 bei b -+ a,in Bild 4-102) zwangs- 4-102. Der erste Term auf der rechten Gleichungslaufig dieselbe Differentialgleichung bei Weglassen seite wird als Druckstromungs-Anteil bezeichnet und ist parabolisch. Der zweite Ausdruck, die sog. der hier praktisch unwirksamen Feldkraft f. Schleppstromung dagegen ist linear. 'I BARTZ; W., J.: Gleitlager als rnoderne Maschinenele- Zur Diskussion von Beziehung (4-28319) ist der mente. Expert-Verlag. zugehorige Druck- und Geschwindigkeitsverlauf

228

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Diese DurchfluBgleichungintegriert und die GrenZen eingesetzt, ergibt:

Bild 4-103. Druck und Geschwindigkeitsverteilung im Keil-Spalt. Geschwindigkeitspfeilewegen zeichnerischer ~bersichtlichkeitteilweise weggelassen. Geschwindigkeitsverteilung c , ( y ) vor dem hochsten Druck (dpldx > 0). Q Geschwindigkeitsverteilung c,(y) an der Stelle des hochsten Druckes p,,,, also dpldx = 0. Geschwindigkeitsverlauf c,(y) nach dem maximalen Druck (dpldx < 0). Geschwindigkeitsverteilung: Druckstromung; - .- .- . Schleppstromung; -Gesamtstromung, Addition der Anteile Druckund Schleppstromung.

a

uber dem Spaltweg x in Bild 4-103 prinzipiell dargestellt.

Zu beachten ist, daB diese Beziehung ebenfalls nur fur unendlich breite (b +a) oder seitlich begrenzte Spalte von b = konst gilt. Gleichung (4-283110) nach dem Druckgradienten aufgelijst:

Wird der Einheitsvolumenstrom (bei b = 1) an der Stelle des maximalen Druckes p,,, (Bild 4-103) mit der Spalthohe h* eingefiihrt, ist gemaB hier vorhandenem linearem cx-Verlauf,weshalb Mittelwert Fx = cX,,/2, und der Kontinuitat:

Damit wird

Zum Bestimmen der Fluidkraft ist der Druckverlauf (Druckfunktion) notwendig. Dabei wird zum Ermitteln des Druckgradienten dpldx die DurchfluBbeziehung verwendet (b = konst):

Angewendet auf die Breiteneinheit, d. h. Spaltbreite b = 1, Kennzeichnung durch Index 1, ergibt mit Geschwindigkeitsfunktion nach G1. (4-28319) den Einheitsvolumenstrom (-durchsatz):

Hierbei sind y, dpldx und h = h(x) unabhangig von der Integrationsvariablen y.

(4-28311la) Bemerkung: GemaB dieser Beziehung wird der Druck nur aufgebaut, wenn h h* und damit h(x) konst. Der Spalt mu13 somit konisch sein, und zwar verengend in Bewegungsrichtung.

+

+

Die Integration von GI. (4-283/11a) kann erfolgen, wenn die Spaltfunktion h(x) aus der Spaltgeometrie aufstellbar ist. Die von der Art des Lagers (radial, axial) bestimmte Spaltgeometrie muB daher bekannt sein. Aus Platzgrunden kann hier nur der einfache Keilspalt gemaB Bild 4-102, der hier beim sog. Klotzlager nach MITCHELL auftritt, weiter untersucht werden. Bezuglich des Ringkeilspaltes der Radiallager wird auf das einschlagige Spezialschrifttum verwiesen.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Nach Bild 4-102: ha = he + L . tan a und h =h,+Ah=h,+(L-x).tana h =he+L.tana-x.tana=h,-xstana Da der Keilwinkel in der Regel klein ist (a < lo0), kann der Tangens naherungsweise durch den Radiant (BogenmaB) ersetzt werden, also tan u x 6. Gleichung (4-283111) mit h = ha - 6 . x ausgewertet:

229

Damit laBt sich aus G1.(4-283112) der Einheitsdurchsatz v1 berechnen:

--. 6 . q . v1 6

1 1 ((ha - 6 . L)' -

e)

Ausgewertet durch Umstellen nach dem Einheitsvolumenstrom v1 mit h, - 6 . L = he gemaD Bild 4-102:

Integriert zwischen den Grenzen p, bis p fur x = 0 bis x = x, also Spaltanfang bis variabel 0 < x IL X

idp=6-ncx,o.~(ha-oi~)-2d~ 0

Pa

X

-12.q3~1.J(h-6.~)-3.d~ 0

Mit Substitution w = (ha - 6 .x) + dx = - (116) . dw folgt:

Resubstitution sowie Grenzen angefugt und weiter ausgewertet:

4.3.1.6 REYNOLDS-Gleichungen Zum Anpassen der NS ( N ~ v ~ ~ ~ - S T o ~ ~ s - G l e i c h u n gen) und K (Kontinuitatsgleichung) auf turbulente Stromungen werden, wie schon ausgefuhrt, die Augenblickswerte c; p durch ihre Mittelwerte E; p mit iiberlagerten stochastischen SchwankungsgroBen c'; p' ersetzt, also c = E + c' sowie p = p + p ' (Abschnitte 3.3.2.2 und 4.3.1.1). AnschlieBend erfolgt an den so geanderten Gleichungen die Mittelwertbildung. Dadurch ergeben sich die sog. REYNOLDS-Gleichungen. Diese konnen daher auch als ermittelte NAVIER-STOKESoder Impuls-Gleichungen und gemittelte Kontigleichung bezeichnet werden. Beim Rechnen mit Mittelwerten gelten die folgenden Regeln [I 1I]:

Z.B. fur die beiden GroDen a = ti b=6+b'

Hieraus p

= p (x):

Z

= a;

-

-

a' = 0 dagegen meist a' . b' += 0

aa- &- - &i mit xi = x; y; z at - at ' ax, ax,

an.

Da durch den AuDenraum bestimmt, ist der Druck am Ende des Spaltes, d. h. bei x = L so groB wie an dessen Anfang (x = 0), also p (L) = pe = pa.

+ a'

und

230

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Diese Regeln werden auf die NAVIER-STOKES NS und Kontinuitat K angewendet, jeweils in IndexDarstellung (Abschnitt 4.3.1.2):

aci ac. NS: - + c j . - = f : - - . - + at axj I

1 ap e axi

Mittelung und Bearbeiten der linken Gleichungsseite:

,.% ax;

Zuerst K ausgewertet uber Einsetzen cj = Fj + c; und Mittelwertbildung:

Linke Gleichungsseite bearbeitet:

Mittelung und Bearbeitung der rechten Gleichungsseite:

Eingesetzt ergibt die Kontinuitatsgleichung der Mittelwerte:

Die Kontigleichung ist eine lineare Gleichung. Deshalb ist die gemittelte Form mit der ursprunglichen, d. h. der fur die Momentanwerte formal identisch. Durch Vergleich mit ungemittelter Kontinuitatsbeziehung, G1. (4-283/15),folgt wegen cj = Fj + cj':

Gleichungsseiten wieder zusammengestellt mit = A und v = v sowie @ = Q, ergibt:

Der dritte Term der linken Gleichungsseite wird weiter umgeformt durch Addieren des Ausdrucks (c; . ac;)/i3xj,der nach G1. (4-283117) null ist:

Da aCJaxj = 0 muB auch sein: Gema13 Kettenregel der Differentialrechnung ergibt sich die ausgefuhrte, rechts auBen stehende Zusammenfassung dieses Ausdruckes. NS ausgewertet durch Einsetzen der zusammengesetzten Werte fur c sowie p und Mittelwertbildung:

Die insgesamt durchgefuhrten Umwandlungen ergeben letztlich die REYNOLDS-Gleichungen (Re-Gl.) in Indexschreibweise:

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

oder

231

bulenten Schwankungen durch den WandeinfluB stark gedampft. - In unmittelbarer Wandnahe (laminare Unterschicht) ubenviegen auch bei turbulenten Stromungen die viskosen Krafte.

In Kurzform-Indexschreibweise lauten die Bemerkung: Wie bei Dichte Q und Viskositat v REYNOLDS-Beziehungen G1. (4-283118): wird auch beim Druckp meist der Querstrich weggelassen, der auf den Mittelwert venveist. Die Druckschwankungen p' sind gering und deshalb hier vernachlbsigbar. Daher auch ohne EinfluB auf Q und v. Sornit geschrieben Q statt C, und v statt i j sowiep statt p, was nur bei diesen beiden Gro13en zulassig ist. Es treten somit nur die Mittelwerte von Q, v und p in den Gleichungen auf, weshalb besonderer Hinweis uberflussig. Vorteil dieser Darstellung: Nur ein ,,Index4', und Die durchgefuhrte Herleitung der REYNOLDS- zwar i = x; y; z fur die drei KomponentenGleichungen beweist folgende fruheren Ausfuh- Gleichungen (x-, y- und z-Richtung). rungen (Abschnitt 4.3.1 .I): Die REYNOLDS-Spannungen- vergleiche Ab- Die Re-GI stellen die Bewegungsgleichungen schnitt 4.1.6.1.2 - beriicksichtigen den EinfluB der der Mittelwerte der StromungsgroBen turbuturbulenten Schwankungsbewegungen. Bei turbulenter Stromungen dar. lenten Stromungen ubersteigen die REYNOLDS- Die NS-GI stellen die Bewegungsgleichungen Spannungen meist um mehrere GroBenordnungen der Momentanwerte der GroBen von Stromun(bis uber Faktor 1000) die Viskositatsspannungen. gen dar. Deshalb sind in solchen Fallen letztere oft verIn den Beziehungen (4-283118, d. h. 18a und 18b), nachlassigbar (Abschnitt 3.3.2.2.3). Da die REYden Re-G1, reprasentieren die beiden letzten Terme NOLDS-Spannungenpraktisch noch nicht exakt der rechten Gleichungsseiten folgende Effekte: faDbar und damit mathematisch losbar - sie stellen das Hauptproblem dar - sind ersatzweise exv . aZFi/axf Viskositats-Spannungen oder perimentell unterlegte Turbulenz-Modell-Ansatze Laminar-Schubspannungen notwendig. a ( G ) / ) l a x j Turbulenz-Spannungen, turbulente Zusatzspannungen oder REYNOLDS- 4.3.1.7 Turbulenz-Modelle Spannungen (Abschnitt 4.1.6.1.2). 4.3.1.7.1 Vorbemerkungen Sie werden formal den ReibungsterZum Berechnen turbulenter Stromungen mussen men zugeordnet. die REYNOLDS-Spannungen (Abschnitt 4.1.6.1.2) Bei den Indizes in den Re-G1 gilt wieder: oder ersatzweise die Scheinviskositat (Abschnitt 3.3.2.2.3) bekannt, bzw. ermittelbar sein, um dai freier Index und j gebundener Index durch das gesamte Gleichungssystem zu schlieBen, d. h. losbar zu machen; sog. SchlieRungsproblem der Turbulenz. SchlieDen druckt die mathematische Bedingung aus, da13 zum Losen so viele GleiZu beachten (Abschnitt 3.3.2): chungen notwendig wie Unbekannte vorhanden Die GroBen ci . ci hangen gemarj Erfahrung nur sind. Wie in den genannten Abschnitten ausgefiihrt, sind die Zusammenhange jedoch auBerst schwach von der Re-Zahl ab. Mit steigender REYNOLDS-Zahl verliert der mo- komplex und daher kompliziert, somit bisher noch lekular bedingte Impulstransport (molare Vis- nicht exakt analytisch darstellbar. Die mathematikositat) gegenuber dem turbulenten Austausch sche Beschreibung der Auswirkungen (Reibung, stark an Bedeutung. Impulsverlust) des stochastischen - ~ u r b u l e n z ~ e Im wandnahen Bereich (Grenzschicht) erreicht schehens erfolgt daher naherungsweise durch sog. einerseits der Geschwindigkeitsgradient seinen ~urbulenzmodelle,die iiber ~ n i l o ~ i aufgestelh en groBten Wert, und andererseits werden die tur- sind und zudem meist experimentell abgestutzt

232

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

werden mussen. Je aufwendiger diese hypotheti- Forderungen an Turbulenzmodelle schen, auf statistischen Betrachtungen beruhen- Turbulenzmodelle sollen zusammengefaBt folden Modellansatze sind, desto besser treffen ihre gende Eigenschaften besitzen: Ergebnisse in der Regel die Wirklichkeit, je hoher - Die Funktionen und die dazu notwendigen ist jedoch auch der notwendige Rechenaufwand. halbempirischen Konstanten sollen fur mogDie zwei derzeit haufig angewendeten statistischen lichst viele verschiedene Stromungsfalle gelten. Turbulenzmodelle zur mathematischen AnnaheNur dann ist gute Vorhersagekraft gegeben. rung (Simulation) der R ~ ~ N O L ~ s - S p a n n ~ nder gen, - Die Zahl der grundlegenden Modellansatze und Mischungswegansatz und die (k, E)-Modelle, solder empirischen Konstanten soll moglichst gelen kurz dargestellt werden. Beide Verfahren beruring sein. Je groDer die Anzahl, desto schwierihen auf dem Konzept des Wirbelviskositatspringer und aufwendiger wird ihr Bestimmen. zips von BOUSSINESQ (Abschnitt 3.3.2.2.3) und - Die Anwendung der Modelle soll einfach und ermoglichen das naherungsweise numerisch losnumerisch stabil sowie wirtschaftlich in der Anbare Beschreiben der Turbulenzspannungen gewendung sein. ma13 G1. (4-147g) sowie G1. (4-283/18), die sog. BOUSSINESQ-Approximation. Diese Forderungen sind zum Teil unvereinbar. Ein universelles statistisches Turbulenzmodell gibt Deshalb ist in der Praxis stets ein KompromiD aus es bisher noch nicht, so daB auch nach anderen Allgemeingultigkeit und Genauigkeit sowie WirtMethoden gesucht wird. Ein vielversprechender schaftlichkeit notwendig. Weg ist die sog. Grobstruktursimulation, auch als Klassifizierung der Turbulenzmodelle LES bezeichnet, welche vom Grundgedanken Diese erfolgt nach der Anzahl der notwendigen ausgeht, daB das Turbulenzgeschehen im wesentDifferentialgleichungen fur die TurbulenzgroBen: lichen von den langwelligeren niederfrequenteren Anteilen beherrscht wird und die hochfrequente- Nullgleichungsmodelle. Enthalten keine zusatzren Anteile durch raumlich-zeitliche TiefpaDfilter lichen Differentialgleichungen fur die Turbulenzeliminiert werden diirfen. Diese Aufteilung in groBen, sondern ausschliel3lich algebraische BeGrob- und Feinstruktur ist dann mathematisch in ziehungen. geeignete Filterfunktionen zu fassen, um diese in Eingleichungsmodelle. Enthalten eine zusatzliche den Zusammenhang des DiskretisierungsverfahDifferentialgleichung (Transportgleichung) fur rens des gesamten Gleichungssystems einbauen zu eine TurbulenzgroDe. konnen und dies dadurch losbar zu machen. Dabei wird die Reichweite des Filters so gewahlt, daD es Zweigleichungsmodelle. Enthalten zwei zusatzliche mit der Maschenweite des Gitters korreliert. Als Differentialgleichungen fur zwei TurbulenzgroTransportgleichungen fur die Grobstrukturvaria- Den. blen dienen dann die entsprechend gefilterten TurbulenzgroBen sind GroBen wie ci . ci,, k, E und N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - G l e i c hdie u n gjedoch e n , auch l,, nicht jedoch gemittelte GroBen wie c, p. noch Terme enthalten, welche die FeinstrukturvaKomplexitat und numerischer Aufwand steigen riablen beriicksichtigen. Da die Verfahren der Grobstruktursimulations- mit der Anzahl der Differentialgleichungen. In den technik, die den konventionellen, d.h. statisti- meisten Fallen verbessert sich dabei jedoch deren schen Turbulenzmodellen prinzipiell uberlegen Allgemeingiiltigkeit. scheinen, sich jedoch noch in der Entwicklungs- Turbulenzmodelle liefern zusammen mit den nur die Mittelwerte von phase befinden, wird nicht weiter darauf eingegan- REYNOLDS-Gleichungen gen, sondern auf das zugehorige Spezialschrifttum Druck und Geschwindigkeit der Stromung, also venviesen. Wie DNS (direkte numerische Simula- die fur den Ingenieur wichtigen GroDen. tion, Abschnitt 4.3.1.8.2) wird auch die LES bisher nur bei Grundlagenforschung der Turbulenz ein- 4.3.1.7.2 P R A N D T L SMischungsweg-Ansatz C~~~ gesetzt. LES kann als Mischung von DNS und Wie in Abschnitt 4.3.1.1 ausgefuhrt, findet bei (k, E ) aufgefaBt werden. turbulenten Stromungen ein dauerndes unregelmaBiges Vermischen der Strombahnen statt. Makroskopische Teile, sog. Turbulenzballen des stro') LES = Large-Eddy-Simulation (GroB-Wirbel-Simu- menden Fluides fuhren auBer der Hauptbewegung lation). in Stromungsrichtung ungeordnete, statistisch zu-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

233

rade herrscht, gemal3 vorliegender Hauptstromung. Der Differenzbetrag AE, = &(y + 1,) - & (y) betragt infolge des Geschwindigkeitsgradienten 8E$y in y-Richtung nach Bild 4-104 A& = ( a Q y ) . I,. Das gleiche Ergebnis liefert die abgebrochene T ~ y ~ o ~ - R e') i [11 h e 11:

Y

Y

Die hoheren Glieder werden wegen geringem EinfluI3 vernachlassigt:

(Geschwindigkeitsverlauf) X

X

Bild 4-104. Mischungsweg 1, turbulenter Stromung. Vorgang verzerrt dargestellt, da Cx < c; und I, klein. Deshalb Querbewegung mit Schwankungsgeschwindigkeit c; praktisch senkrecht, d. h. in y-Richtung.

Die Geschwindigkeitsdifferenz A& des Turbulenzballens an Stelle (y + I,) gegenuber der dort in der Hauptstromung herrschenden Bewegung kann als Schwankungsbewegung (-komponente) in x-Richtung aufgefaBt und deshalb gesetzt werden c: = Ac, = (aEx/ay). I,. Wenn ein Turbulenzballen in eine Fluidschicht eindringt, stoDt er zwangslaufig gegen den gerade dort vorhandenen Fluidballen und verdrangt diesen seitlich. Aus Kontinuitatsgrunden sind Verdrangungs- und damit Querbewegung von gleicher GroBenordnung wie die Langsschwankungen. Als sinnvolle Annahme gilt daher isentrope Turbulenz bei gleichen Mischungswegen. Die stochastischen Schwankungsbewegungen in den verschiedenen Richtungen konnen daher meist betragsmaBig gleich grog gesetzt werden: I c: 1 = I ck I = I c: I. Im Vorzeichen sind die Schwankungsgeschwindigkeiten jedoch zwangslaufig jeweils gegensatzlich.

fallige (stochastische) Nebenbewegungen nach allen Richtungen aus. Durch die Turbulenzballen wird der Hauptstromung mechanische Energie entzogen, die bei deren Zerfall in einer Energiekaskade in immer kleinere Einheiten transferiert wird, bis sie schliel3lich in Warme dissipiert. Insgesamt kann die Turbulenz als vergrooertes und vergrobertes Bild der thermischen Molekularbewegung von Gasen betrachtet werden. Analog zur kinetischen Gastheorie kann deshalb auch eine turbulente freie Weglange I, definiert werden (Bild 4-104). Diese GroDe wurde von PRANDTL als Mischungsweg der ausgebildeten Turbulenz bezeichnet. Darauf aufbauend entwickelte PRANDTL 1925 sein Mischungsweg-Modell, ein Nullglei- Mit dem Mischwegansatz kann dann fur die chungsmodell. Als Mischungsweg gilt dabei die REYNOLDS-Spannungen gemaR G1. (4-147g) geStrecke, uber die sich einzelne Turbulenzballen als setzt werden: mehr oder weniger einheitliche Gebilde bewegen, bis sie durch ZusammenstoD und Vermischen mit anderen Turbulenzballen ihre Individualitat ver- Um das richtige Vorzeichen fur z, zu erhalten, wird lieren, d. h. sich auflosen und andere sich bilden. jedoch meist der Gradient a&/i?y einmal mit und Es findet also ein standiges Zerfallen und dadurch einmal ohne Betragsstriche geschrieben. Dadurch induziertes Neubilden von Turbulenzballen ma- wird zum Ausdruck gebracht, daD einem positiven kroskopischer GroBe statt. GemaB Bild 4-104 sol1 Wert &?,lay eine positive Schubspannung z, entder sich an Stelle (x, y) zum betrachteten Zeit- spricht und umgekehrt: punkt befindende Fluidballen infolge der turbulenten Schwankung die Querbewegungsstrecke I, in positiver y-Richtung durchlaufen, bis er sich spater an der Stelle (y + I,) mit der dortigen Schicht vermischt und dadurch seine Identitat verliert. Unter der sinnvollen Annahme, daB der Fluidballen bei dieser Querbewegung seinen x-Impuls beibehalt, besitzt er an Stelle (y + I,) eine kleinere Geschwindigkeit in x-Richtung, als dort ge-

234

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Durch Vergleich mit Beziehung (3-49) ergibt sich fur die Scheinviskositat (turbulente ImpulsaustauschgroBe)

Verwiesen wird besonders auf TRUCKENBRODT

WI.

GemaB Herleitung und Erfahrung kann der P R A N D T L SMischungswegansatz C~~ mit gutem Erv,=e.lt".Ia&layI (4-283120) folg nur bei hohen Re-Zahlen und auDerhalb viskoser Unterschichten angewendet werden auf und fur die Wirbelviskositat: (4-283121) - Wandgrenzschichten vt = vt/e = It" . 1 acX/avI - Rohr- und Kanalstromungen GemaB kinetischer Gastheorie ist die molekulare - freie Scherstromungen (Freistrahl). Viskositat v l,, . c,, G1. (1-20a). Analog hierzu Vorteil: Einfach und wirtschaftlich, da keine zusetzte PRANDTL fur die Wirbelviskositat v, = 1,. c,. satzlichen Differentialgleichungen zu loDabei sind die charakteristischen GroBen von sen sind. Lange und Geschwindigkeit der turbulente Mi- Nachteil: Das Model1 besitzt keine ausreichende schungsweg l, und die SchwankungsgeschwindigAllgemeingiiltigkeit. keit c' = c, = I, . I ac,/ay I gemaB Vergleich rnit Beziehung (4-283121). 4.3.1.7.3 k, 8-Modelle Trotz formaler Ubereinstimmung von molekula- Das Mischungswegmodell von PRANDTL,das rer Viskositat und Wirbelviskositat bestehen je- Nullgleichungsmodell, ist fur einfache Scherstrodoch wesentliche Unterschiede. Die molekulare mungen sehr gut geeignet und aufgrund der beViskositat ist eine StoffgroBe und deshalb nur ab- quemen Handhabung ein gern benutzter Ansatz. hangig von den primaren ZustandsgroDen, also Das Model1 stofit jedoch an seine Grenzen, soTemperatur sowie Druck des betreffenden Fluides. bald starke Turbulenz-Konvektion und -DiffuDie Wirbelviskositat dagegen ist als Analogie- sion auftreten. Deshalb wurden weitere Turbugrol3e ein Ersatz fur nicht genau bekannte phano- lenzmodelle zum ersatzweisen mathematischen mologische Zusammenhange und daher abhangig Darstellen der REYNOLDS-Tensoren entwickelt. von den ortlichen Gegebenheiten. Der fur die Be- Ausgangspunkt ist wieder die Impulsaustauschrechnung notwendige Mischungsweg mu13 deshalb groDe (Scheinviskositat). experimentell ermittelt werden - eine gravierende Ein-Gleichungs-Modelle beschreiben dabei die Einschrankung dieser halbempirischen Turbulenz- Wirbelviskositat mit nur einer, die Turbulenz theorie. Dabei besteht ein wesentlicher Unter- charakterisierenden GroBe, fur welche dann nur schied, ob die Stromung entlang fester Wande eine Transportgleichung notwendig ist. Als (Rohre, Gerinne, Korper) erfolgt oder zwischen BezugsgroBe (Parameter) wird fast immer die verschiedenen Fluidgebieten, die mit unterschied- sog. spezifische Turbulenzenergie k (Dimension licher Geschwindigkeit aneinander vorbeistrei- Nm/kg = m2/s2)verwendet (k-Modelle). chen (freie Turbulenz) und sich letztlich meist ver- Zwei-Gleichungs-Modelle verwenden als zweite mischen, wie dies z. B. bei Freistrahlen der Fall ist. GroBe zum Beschreiben der turbulenten Scheinviskositat die Turbulenzenergie-Dissipationsrate E Das Experiment ergibt fur den Mischungsweg: Von Stromungen in der Nahe fester Wande, ab- (Dimension (m2/s2)/s), also zwei Parameter. Die GroBe E kennzeichnet den Anteil der spez. Turbuhangig vom Wandabstand y: lenzenergie k, der dissipiert, also durch Turbulenz(4-283122) erscheinungen pro Zeiteinheit in Warme umgeI, x 0,4 . y wandelt wird und damit fur die Stromung verloren Fur vollentwickelte turbulente Rohrstromung - geht. AuBer der Transportgleichung fiir die turRohrradius R, Wandabstand y - gilt nach bulente kinetische Energie k ist dann eine weitere NIKURADSE: fur die turbulente Dissipationsrate E notwendig (k, E-Modelle). Entsprechend umfangreicher ist 1JR = 0,14 - 0,08 . (1 - y/R)2 - 0,06. (1 - y/R)4 der erforderliche numerische Auswertungsauf(4-283123a) wand. Des weiteren sind mehrere Konstanten notwendig, die aus analytischen ~berlegungenund Oder mit y = R - r, wobei r der Schichtradius Experimenten folgen, also semiempirisch. Dem zum Zentrum ist: steht vorteilhaft entgegen, daB die Brauchbarkeit 1,IR = 0,14 - 0,08 (r/R)2 - 0,06 . (r/R)4 des Ergebnisses dieser Modelle mit ihrer Komple(4-283123b) xitat steigt.

-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Durch die GroBen k und E wird die Turbulenz parameterisiert. Das Ausgangsproblem der Bestimmung der REYNOLDS-Spannungen reduziert sich dadurch auf das Berechnen von k und e im gesamten Stromungsgebiet. Auf das theoretische Begrunden der (k, &)-Modellansatze sei hier verzichtet. Die derzeit am haufigsten eingesetzte Standardversion der (k; &)-Modelle,die besonders auch fur Stromungen rnit isentroper Turbulenz bei hohen REYNOLDS-Zahlen gilt, umfaBt die folgenden Gleichungen zum Bestimmen der GroBen k und E und damit q t Aus Verstandnisgriinden werden jedoch nur die Differentialgleichungen (D'G1) des (k, E)Modells fur zweidimensionale (x, y-Feld), inkompressible (Q= konst) Stromungen unveranderlicher Viskositat (q = konst) aufgefuhrt. Wegen des sehr komplexen Modells fur Raumstromungen (x, y, z-Feld) ohne die anderen Einschrankungen wird auf das einschlagige Spezialschrifttum [98] verwiesen. Scheinviskositat (Impuls-AustauschgroBe), die letztlich aus Dimensionsuberlegungen folgt; auch Formel als P R A N D T L - K o ~ ~ o ~ o ~ o ~ -bezeichnet: TI,= C, . Q . k2/e (4-283124) oder Wirbelviskositat: C, . k2/&

235

mit sog. Produktions-(Vernichtungs-)Rate

Meist brauchbarer Standardsatz fur die aus analytischen uberlegungen sowie Computer-Optimierungen folgenden und durch Versuche bestatigten semiempirischen Modell-Konstanten (dimensions10s) fur wandbegrenzte und freie Stromungen:

Benennungen: C,;C,,; CE2 Turbulenzmodell-Konstanten ak;

Diffusionskonstanten fur k und e

Die Turbulenzenergie k, spezifischer Wert mit Dimension [m2/s2],kennzeichnet die kinetische Energie der Schwankungsgeschwindigkeiten turbulenter Stromung. Bei Raumstromungen (allgemeiner Fall), gilt:

rnit c"=C+c','+c',' und c ' = l Z t l . Die Wirbelviskositat ist ein Skalar. Die BerechI ck 1 = 1 c; 1 = 1 ck 1 ist nung dervier Komponenten des REYNOLDS- Bei isentroper Turbulenz: c1 = c : . J j . Tensors cj . cJ der Flachenstromungen ( i ; j= I; 2 bzw. i; j=x; y) reduziert sich damit auf das Be- Die Dissipationsrate E (zeitliche GroRe) hat die stimmen eines Skalars. Dimension [(m2/s2)/s]= [m2/s3] und kennzeichnet, wie erwahnt, den infolge Impulsaustausch D'Gl fur die spez. Turbulenzenergie k: (Reibung) bei den Schwankungsbewegungen standig in Warme umgewandelten und damit mechanisch verlorengehenden Anteil von der Turbulenzenergie k. Durch fortlaufende Neuanfachung (Energieaufwand) von Turbulenz muB die Dissipationsrate E aufgebracht werden, was sich als Widerstand auBert. Die Produktion von k ist in Wandnahe (Grenzschicht) am groRten, da dort der D'Gl fur die Dissipationsrate E der Turbulenz- starkste Geschwindigkeitsgradient auftritt, und energie k: sinkt mit wachsendem Wandabstand. Zudem wird Turbulenzenergie aus Bereichen hoher Turbulenzenergie in solche niedriger transportiert, also vom Wandbereich in das AuBengebiet. Im AuBenbereich fluktuierender turbulenter Stromungen, d. h. aunerhalb der Grenzschicht, halten sich dann Produktion und Dissipation von Turbulenzenergie die Waage. Dieser Zustand wird als lokales Gleichgewicht bezeichnet. V , = V,/Q =

236

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Die beiden Differentialgleichungen des ( k , ~ ) Modells sind von gleichem Aufbau und wie der Vergleich zeigt, in ihrer Konzeption von den N A v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - B e z i e habgeleitet, u n g e n d. h. an diese angepaBt. Die Losung kann daher nach dem gleichen Verfahren (Algorithmus) erfolgen. Die einzelnen Glieder (durch umkreiste Zahlen gekennzeichnet) der Gleichungen bedeuten:

aTransiens-Term (zeitliche Ib;nderungsrate). Q Konvektions-Term (Mitfuhrung). Transport durch die Stromung (makroskopisch). (Vermischung). Transport durch die Molekulbewegung (mikroskopisch). @ Produktions-Term (Quelle) @ Dissipations-Term (Senke)

aDiffusions-Term

Allgemein werden bezeichnet mit sog. StatthaltergroBe cp: at

Transienten- oder Transiens-Term

acp ci . - Konvektions- oder Konvektiv-Term axi

ax?

Diffusions- oder Diffus-Term

Bemerkungen: Da isentrope Turbulenz zugrundegelegt, sind die Diffusionsterme der drei Komponentengleichungen (Raumstromungen) von k- und E-Ansatzjeweils gleich. Die Produktionsterme sind stark nichtlinear und erfordern deshalb sorgfaltige Behandlung. In wandnahen Bereichen werden die Schwankungsbewegungen stark behindert, besonders in Normalenrichtung, und die Viskositatskrafte sind meist nicht vernachlhsigbar. Fur diese Gebiete sind daher die (k, 6)-Modelle nur bedingt geeignet und direkt an Wanden (laminare Unterschicht) uberhaupt nicht mehr. Im Wandbereich wird deshalb aul3erhalb von Ablosungsgebieten ersatzweise das exponentielle oder logarithmische Geschwindigkeitsgesetz (Abschnitt 4.1.1.3.4) verwendet, seltener der PRANDTLSC~~ Mischwegansatz. In diesem Zusammenhang werden solche Ansatze auch als Wandmodelle oder Wandfunktionen bezeichnet.

(k, E)-Modellegelten fur vollturbulente Stromungen, d. h. bei vollstandig ausgebildeter Turbulenz, also hohe Re-Zahlen. Sie sind universeller anwendbar als Null- oder Eingleichungsmodelle. In den N ~ v ~ ~ ~ - S ~ o ~ ~ s - B e z i fur e h udie n g Geen schwindigkeiten die zugehorigen Mittel eingesetzt und die molekulare Viskositat q durch die Gesamtviskositat qges= q + q, ersetzt, ergibt, wie in Abschnitt 4.3.1.6 begrundet, die REYNOLDSgleichungen. Dabei ist vergleichsweise q meist vernachlassigbar (Abschnitt 3.3.2.2.3). Zusammen mit der Kontinuitats-Beziehung und den Ansatzen fur Scheinviskositat, Turbulenzenergie und Dissipationsrate ergibt sich bei Raumstromungen ein geschlossenes System von sieben Differentialgleichungen fur die sieben Unbekannten q,,k, E,c , c,, c, und p, abhangig von Ort (x, y, z ) sowie Zeit t . Dieses mathematisch bestimmte Gleichungssystem - gleiche Anzahl von Bedingungen und Unbekannten - ist unter Verwenden der experimentell ermittelten Faktoren des (k, E)-Modells,der StoffgroBen (Dichte, Viskositat) sowie den Anfangsund Randbedingungen mit Hilfe numerischer Methoden fur die verschiedensten technischen Stromungsfalle in meist praktisch ausreichender Genauigkeit losbar (folgender Abschnitt 4.3.1.8). Hinweis: Um die Schwachen - Nutzungsgrenzen, Genauigkeit - der (k, 8)-Modelle zu ubenvinden, sind sog. REYNOLDS-Spannungsmodelle(RSModelle) in der Entwicklung und schon teilweise in Anwendung. Diese sollen von umfassender Allgemeingultigkeit und groBer Genauigkeit bei vertretbarem Rechenaufwand sein. Hierzu wird auf das einschlagige Spezialschrifttum verwiesen. KompressibilitatseinfluR Bei kleinen MAc~-Zahlen treten nur geringe Dichteanderungen in Stromungen kompressibler Medien auf (Abschnitt 1.3.1). Es handelt sich dann um sog. schwach kompressible Stromungen. 1st bei solchen Bewegungsberechnungen wegen numerischer Rundungsfehler der DichteeinfluB dennoch zu berucksichtigen, kann dieser in das Gleichungssystemeingebaut werden mit Hilfe entsprechend umgeformter L~p~Ac~-Beziehung fur die Schallgeschwindigkeit (Gl. 1-23):

a = ,/p

=

.

= (a2/x) Q

,/-

Hieraus

bei a x konst differenziert

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

ubergang auf Differenzengleichung:

Mit Mao = a/co und (Ae)/eo = A(e/eo) wird:

Diese Beziehung ist jedoch nicht bei Ma -t 0 anwendbar (Unstetigkeitsstelle). Die Grenze liegt bei etwa M a 1 0 , l . Auch zeigt sich, da13 infolge des starken Ma-Einflusses (quadratisch) geringe Storungen im Dichtefeld zu relativ grooen Storungen bei der Berechnung des Druckfeldes fuhren konnen (numerische Instabilitat), und zwar vor allem bei sehr kleinen MACH-Zahlen. Berechnungen, welche Beziehung (4-283128) verwenden, werden auch als kompressible Verfahren bezeichnet. 4.3.1.8 Numerische Stromungsmechanik 4.3.1.8.1 Allgemeines Die numerische Stromungsmechanik, auch als numerische Fluiddynamik, Computational FluidDynamics (CFD) oder Relaxations ')-Methode bezeichnet, ist ein standig wachsendes Spezialgebiet, das umfangreiche Kenntnisse und Erfahrungen erfordert. Im Rahmen dieses Buches konnen nur die Grunduberlegungen zur Vorgehensweise dargestellt werden. Viele Ingenieuraufgaben fuhren zu Randwertproblemen, d.h., es sind gekoppelte Differentialgleichungs-Systemezu losen unter Beachtung von Rand- und Anfangsbedingungen, was oft analytisch nicht moglich ist, weshalb immer mehr numerische Methoden eingesetzt bzw. notwendig werden. Die Verfahren zur numerischen Losung solcher gekoppelter stromungsmechanischer Gleichungen werden immer umfang- und zahlreicher. Auch das zugehorige Schrifttum nimmt standig zu. Durch die laufend steigende Leistung der elektronischen Rechenanlagen - auch von Supercomputern - hinsichtlich Speicherkapazitat und Rechengeschwindigkeit ist es moglich, zunehmend komplexere Stromungsprobleme unter vertretbarem Aufwand in akzeptabler Zeit bei ausreichender Genauigkeit und Sicherheit zu losen. Die 'I

Relaxation . . . Erschlaffung, Nachhinkung, Entspannung, Minderung, Abnahme. Hier Abnahme der Abweichungen (Fehler).

237

Computational Fluid Dynamics (rechenbare Fluiddynamik) wird dadurch zur imrner wichtigeren Erganzung der experimentellen Stromungsmechanik. Numerische Verfahren sind somit Methoden und Algorithmen zum naherungsweisen Losen von Modellgleichungen mittels einfacher arithmetischer Operationen an diskreten Stellen des Losungsgebietes, das hierzu durch Gitter-Strukturen in kleine, sog. finite (endliche) Einzelteile (Eiemente) aufgeteilt wird. Modellgleichungen andererseits sind mathematische Naherungen der analytischen durch Erhaltungsbedingungen gepragten physikalischen Zusammenhange und dienen zur Simulation. Ausgangspunkt sind auch bei der CFD die in den vorhergehenden Abschnitten dargestellten Grundgleichungen, also die Erhaltungsprinzipien, welche zu Bilanzgleichungen fiihren: Massenbilanz -+ Kontinuitatsgleichung -+ Impulsgleichung Impulsbilanz (NAVIER-STOKES) Temperaturbilanz + Temperatur- oder Energiegleichung Diskretisierungsverfahren, die diese Bilanzgleichungen sicherstellen, werden als konservativ (erhaltend) bezeichnet. Die notwendigen wichtigsten Eigenschaften numerischer Verfahren sind: Konsistenz: (Widerspruchsfreiheit): Die Approximation soll exakt werden, wenn die Gitter gegen unendlich klein gehen. Stabilitat: Die wahrend des iterativen Losungsablaufs eingebrachten oder auftretenden Storungen sollten nicht angefacht werden. Konvergenz: Die Losung der diskreten Gleichungen soll zu einer exakten Losung der Ausgangsgleichungen fuhren, wenn die Gitterabstande unendlich klein werden. Konservativitat: Die Erhaltungssatze sollten in einer numerischen Losung sowohl lokal als auch global nicht verletzt werden. Beschranktheit: Die numerische Losung soll innerhalb der physikalischen Grenzen liegen, d. h., es durfen z. B. keine negativen Dichten o. a. auftreten. Allgemeine Form der Erhaltungssatze Die verschiedenen Erhaltungssatze lassen sich zusammengefaDt in allgemeiner Form als sog. 'Ikansportgleichung ausdrucken:

238

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Tabelle 4-8. Bedeutung der GroOen des allgemeinen Erhaltungssatzes (Transportgleichung). Gleichung

Grolje

Hierbei in Orthogonalkoordinaten (orthonormiert): Bedeutung der einzelnen Ausdrucke (Abschnitt 4.3.1.7.3):

atransienter, instabiler oder lokaler Term (Tran- I sientterm), gekennzeichnet durch Zeitablei-

Temperatur (Energie)

tung. konvektiver Term + Konvektion- oder Konvektivterm, Q . @ . c' konvektiver 'I Wert (Vektor) der abhangigen Variablen O. Beschreibt den Transport der betrachteten GroOe O durch die Stromung. Fehlt dieses Glied, wird von Diffusionsgleichung gesprochen.

aDiffusionsterm,

gekennzeichnet durch die zweite Ableitung. Q . (llQ,) . grad O diffusiver 2 , Wert (Vektor) der abhangigen Variablen O mit Diffusionsfaktor l/Q,. Beschreibt den Transport der betreffenden GroRe durch die Molekularbewegung. Fehlt dieses Glied, wird von Konvektionsgleichung gesprochen.

@ Quellen (Senken) -Term oder kurz Quellterm (Produktionsterm), bedingt durch Kraftwirkungen. Dabei sind Senken negative Quellen. Die aus Bilanzbetrachtungen folgende Transportgleichung beschreibt mathematisch den Transport einer StromungsgroDe durch Konvektion und Diffusion - hier der GroOe O - in differentialer oder integraler Form. Dabei sind bedingt: - Konvektionsterm durch die Stromungsbewegung (makroskopisch) - Diffusionsterm durch die Molekulbewegung (mikroskopisch) Alle Bilanz-, d. d. Erhaltungsgleichungen weisen somit die gleiche Struktur auf, und zwar: Zeitliche Variation 3, = Diffusionsterm

+ Konvektion + Quellterm

Wie NAVIER-STOKES, jedoch statt q mit q,,, = q + q,, wobei meist vges= 4 > da v 4 Vt

(-Variablen) O, Q, und S, einzusetzenden GroBen gehen aus Tabelle 4-8 hervor. Pr in Tabelle 4-8 gilt gema6 Fur die PRANDTL-Zahl Definition: v dissipierte Warme (Energie) - Pr = geleitete Warme a A

mit Temperaturleitfahigkeit a = cp ' e wobei

A [ W/(m. grd)] Warmeleitfahigkeit cp[J/(kg. grd] spez. Warmekapazitat

Bei Q x konst, also auch T % konst und Q x konst entfallt die Temperaturgleichung, und der allgemeine Erhaltungssatz GI. (4-283129) vereinfacht sich entsprechend zu:

Umschreibung der Transportgleichung: Mit -+ c, = c x ~+e , + c Y ~e,+c;~

Die bei den verschiedenen Bilanzgleichungen fiir die enthaltenen Statt- oder Platzhalter-Symbole

2, 3,

konvektiv . . . weiterleiten diffus . . . ausbreiten Variation . . . ~ n d e r u n g Abwandlung. ,

iz(y)

" o ) +-" o ) +ay ay

div(gradO)=ax ax

-

-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

liefert die allgemeine Transportbeziehung nach 61. (4-283129):

Ausgewertet z.B. fur die x-Komponente der NAVIER-STOKES-G~~~C~U~~: Hierzu nach Tabelle 4-8: Damit ergibt vorhergehende Gleichung:

239

Es ergibt sich also die x-Komponente der NS. Entsprechend erfolgt die Auswertung fur die anderen Koordinatenrichtungen y und z wie auch bei den iibrigen Grundgleichungen (Bilanzen) mit Hilfe von Tabelle 4-8. Klassifizierung der partiellen Differentialgleichungen In Analogie zur analytischen Geometric wird auch bei Differentialgleichungen 2. Ordnung zwischen parabolischem, elliptischem und hyperbolischem Typ unterschieden. Die mathematische Behandlung und die Form der Losung von Differentialgleichungen (D'Gl) sind abhangig von dieser Charakteristik. Der Losungsaufwand steigt vom parabolischen zum hyperbolischen Aufbau. Allgemeine partielle D'Gl 2. Ordnung fur die unbekannte Funktion rp (x, y):

Hierbei nach Kettenregel der Differentialrechnung:

KenngroBe fiir die Klassifizierung ist die sich bei der Umwandlung dieser allgemeinen Form der zweidimensionalen partiellen D'Gl in die zugehorige Normalform [I1I] ergebende Diskriminante: 6=B2-4.A.C

(4-283132)

Der Charakter oder Typ der zugehorigen D'Gl ist bei: 6 = 0 parabolisch 6 > 0 elliptisch 6 < 0 hyperbolisch Finite Methoden Die finiten Methoden der numerischen Fluidmechanik lassen sich wie folgt aufteilen:

Bei e z konst und q z konst (inkompressibles isentropes Fluid + Fliissigkeit) vereinfacht sich der Gesamtaufbau zu:

-

Direkte Methoden (DM) DNS direkte numerische Simulation FD finite Differenzen FV finite Volumen

-

Modell-Ansatze (MA) PV Panel-Verfahren FE Finite Elemente Methode

Die direkten Methoden venvenden die Erhaltungsgleichungen unmittelbar in differentieller Form (DNS, FD) oder integriert als Integralgleichungen (FV). Hierbei werden die Differentiale

240

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkomaressible Stromun~enl

Bild 4-105. Elemente-Netz aus vierseitigen VierknotenElementen um einen ebenen Halbkorper. Nur obere Halfte dargestellt, da symmetrisches Problem.

durch entsprechende Differenzen ersetzt und nichtlineare Ausdrucke moglichst linearisiert. Die Modell-Verfahren drucken die Differentiale uber Ansatzfunktionen, auch als Formfunktionen oder Interpolationsansatze bezeichnet, naherungsweise aus. Die direkten Methoden (DM) fuhren somit zur naherungsweisen Losung der exakten ProblemGleichungen. Die Modell-Verfahren (MV) dagegen liefern exakte Losungen des jeweiligen Naherungsansatzes (Modells). Wie erwahnt, wird bei allen Verfahren das zu untersuchende Gebiet des Kontinuums in eine endliche Anzahl moglichst einfacher Teilbereiche geeigneter Form, in die finiten (endlichen) Elemente, unterteilt und damit diskretisiert, d. h. mathematisch beschrieben (Bild 4-105). Auf dieses numerische Gitter werden dann die entsprechend abgewandelten Erhaltungsgleichungen direkt oder uber Formfunktionen angewendet durch AnsetZen auf die einzelnen Elemente, d. h. deren Knotenpunkte, mit anschliefiendem Zusammenfassen zum Gesamtsystem. Die gesuchten GroBen werden nur an den Knotenpunkten ermittelt. Je nach zu losendem Problem wird die hierzu notwendige Physik ausgewahlt, die sich in den zugehorigen Erhaltungsgleichungen ausdruckt. Die Numerierung der Knotenpunkte hat so zu erfolgen, daB der numerische Abstand der Knoten-Nummern moglichst klein ist. Dann ergibt sich die geringste Bandbreite der Bandmatrizen (Tabelle 6-21) und damit der kleinste Rechenaufwand. Das Gesamtverfahren 1aBt sich in sechs zu losende Problemfelder aufteilen: 1. Geometrisches Beschreiben und Unterteilen (Diskretisieren) des zu untersuchenden Stromungsgebietes.

2. Diskretisieren (DM), bnv. Modellieren (MV) der zugehorigen stromungsmechanischenGrundgleichungen. 3. Erstellen der numerischen Losungsalgorithrnen b m . deren Auswahl und Anpassen auf zugehorige vorhandene Computer-Programme (Software). 4. Festlegen der Rand- und Startbedingungen. 5. ,,Computer-Berechnung", d. h. Durchfuhren der eigentlichen Berechnung mittels elektronischer Rechenanlage (Hardware). 6. Auswerten, Beurteilen und Darstellen der Berechnungsergebnisse.

Energieminimum-Prinzip Grundlage fiir das Anwenden der Modell-Verfahren, besonders der Finite-Methoden, ist meist das in der Physik giiltige Minimum-Prinzip der Energie, also die Minimierung der Energie. Weitere wichtige erfullte Voraussetzung fur die deshalb zulbsige Aufteilung eines Kontinuums in eine endliche Anzahl endlich groDer Teile, den finiten Elementen, ist: Dort wo das Gesamtsystem sein Energieminimum hat, ist dies auch bei den einzelnen Elementen der Fall. Das begriindet sich durch den Skalar-Charakter der Energie. Folgendes einfache Feststoff-Beispiel sol1 das Energieminimum-Prinzip verdeutlichen: Die Gleichgewichtslage einer durch die Masse m belasteten Feder (Bild 4-106) der Steifigkeit D stellt sich so ein, daD die vorhandene Gesamtenergie ihr Minimum annimmt.

Bild 4-106. Massebelastete Feder (Prinzipdarstellung) a) Systemaufbau b) Kraft-Weg-Diagramm der Feder. Federsteifigkeit (-rate) D [N/m] G tan a = konst (Metall). Federkraft F,, = D . s. Elastische Formanderungsenergie der Feder EF,mit Federungsweg s. c) Energie-Weg-Diagramm. Verlauf der Gesamtenergie E. Gleichgewichtslage s, an der Stelle des Energieminimums E,,,.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Fur die Gesamtenergie E des Systems gilt:

rnit EM, Lage-Energie der Masse m, die proportional mit der Ortshohe zunimmt und daher mit dem hierzu entgegengesetzt erfolgenden Fedenveg s abnimmt, weshalb EMa - - m . g . s E,,

Feder-Formanderungsenergie. Das ist die von der Feder infolge elastischer Verformung gespeicherte Energie

da Steifigkeit D = konst (Metallfeder) wird

Bedingung fur Energie-Minimum: dE/ds

0

dE ! Ausgewertet: - = - m . g + D . s = 0 Hieraus ds

241

mungsprobleme mittels DNS meist noch eine zu geringe Kapazitat hinsichtlich Datenmenge und Rechengeschwindigkeit, weshalb meist zu lange Rechenzeit . Das groljte, ein Stromungsgebiet charakterisierende LangenmaB I und das kleinste LangenmaB nach KOLMOGOROW der Turbulenz I, unterscheiden sich um so mehr, je hoher die REYNOLDS-Zahl ist. Das Verhaltnis dieser beiden Langenwerte ist von der GroBen-Ordnung 111, = 0 (Re3I4).Um in einem raumlichen Stromungsfeld der Lange 1 und damit dem Volumen l3 auch die kleinskaligen Turbulenzerscheinungen numerisch auflosen zu konnen, sind somit N = 0 ((l/lK)3)= 0 (Regi4)Gitterpunkte erforderlich. Bei einer Stromung von z. B. Re = lo6 waren das dann N x 0(1013) Gitterpunkte, was Tera-Rechner2)erforderte, die noch nicht verfugbar sind. Gelost wurden bisher Stromungsfalle bis Re x lo4. Der Vorteil der DNS ist, dalj ein geschlossenes System vorliegt. Es besteht also die gleiche Anzahl von Unbekannten und Gleichungen, weshalb keine Turbulenzmodelle notwendig sind. Es werden direkt die NS verwendet und nicht die davon abgeleiteten Re-GI.

4.3.1.8.3 PANEL-Verfahren (PV) Die PANEL-Methode wird bei AuBenstromungen Gleichgewichtslage: sG,= (m g)/D (Index G1) angewendet, z. B. Flugzeugen, Zugen u. a. Die panelisierte, d. h. in einzelne Felder unterteilte Oberflache des umstromten Korpers wird bei diesem 4.3.1.8.2 Direkte numerische Simulation (DNS) Verfahren mit diskreten Quellen und Senken beBei der technisch fast ausschlieBlich auftretenden Panelisation. Dies sind analytisch exlegt, sog. turbulenten Stromung sind den mittleren Stroakte elementare Losungen der Potentialgleichung, mungsgroljen Druck und Geschwindigkeit infolge ebenso wie Dipole, welche den Nachlauf hinter Mischungsbewegungen stochastisch-periodische dem Korper abbilden. Die Ergiebigkeit bzw. Schwankungen im Kilo-Hertz-Bereich iiberlagert Schluckfahigkeit der Quellen und Senken sowie (Abschnitt 3.3.2.2.2). Zudem sind diese turbulendie Momente der Dipole werden dann bestimmt, ten Storbewegungen (Mikrowirbel) in ihrer Ausindem fiir jedes Flachenelement (Panel) gefordert dehnung um Groljenordnungen (meist Faktor wird, daD die Geschwindigkeit tangential zur 0,01 bis 0,001) kleiner als die HauptstromungsKorperoberflache verlauft. Es darf logischerweise werte (Mittelwertgroljen). Um die in den NAVIERSTOKES-Gleichungenenthaltenen Schwankungs- kein FluB durch die undurchlassige Oberflache des groDen direkt zu erfassen, ware deshalb der Turbu- Korpers erfolgen. Aus dieser kinematischen Strolenzstruktur angepaBte raumliche und zeitliche mungsbedingung entsteht letztlich ein lineares Auflosung des Stromungsproblems notwendig. Gleichungssystem zum Berechnen der GeschwinDas erforderte auDerst engmaschige Gitterstruk- digkeit im Schwerpunkt eines jeden Panels. Mit turen des Stromungsfeldes mit vielen Knoten- Hilfe der eindimensionalen Energiegleichung nach punkten (meist uber lo6) und einen auDerst kleil ) KOLMOGOROW, A. N. (geb. 1903), russ. Mathematiker. nen Zeitschritt (im Bereich Mikrosekunden) sowie 1, . . . K o ~ ~ o ~ o ~ o w sLangenmao. ches zudem einen hohen Iterationsaufwand, um Superrechner mit Leistung TFlops. Tera T = 1012. brauchbare numerische Ergebnisse zu erzielen. FLOPS . . . Floationspoint-Operationen (GleitkomSelbst die derzeit schon verfugbaren Superrechner marechenvorgange) pro Sekunde. IPS . . . Instruktionen pro Sekunde (ja-nein-Vorgange). haben deshalb fur das Losen technischer Stro-

242

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

EULER,der sog. BERNOULLI-Gleichung, kann daraus dann das Druckfeld berechnet werden. Problematisch ist jedoch das Berucksichtigen der Reibung, was meist nicht gelingt. Die notwendigen Ausgangsbeziehungen werden aus der Potentialgleichung mit Hilfe des GREENTheorems hergeleitet entsprechend GI. (4-283139a). Dadurch wird ein Volumenintegral in ein Oberflachenintegral umgewandelt, mit dem Vorteil, dal3 sich der Aufwand fur dessen Berechnung entspreI m-2 m-1 m m + l m+2 1-2 1-1 1 I t 1 chend verringert. Die Genauigkeit des Panelverfahrens kann beeinflul3t werden durch die gewahlte Anzahl der Panele und die Ordnung der Bild 4-107. Gitteranordnungen (Netze, Maschen). Funktion, welche die Quellen-Senken-Anordnung a) Geometrieebene x, y (zweidimensional). - kurz Quellverteilung - je Panel beschreibt. b) Zeitebene t.

-+ It2

4.3.1.8.4 Finite-Differenzen-Verfahren Bei der Finite Differenzen-Methode, abgekurzt F D oder FDM, werden die fur ein Problem zu losenden Differentialgleichungen mit Hilfe der TAYLOR-Reihediskretisiert und dann direkt zur Problemlosung verwendet. Die sich bei der Dis- Hieraus Vorwartsentwicklung (positives Rechenkretisierung ergebenden Differenzengleichungen zeichenk fuhren wie bei der DNS zu einem um so genaueren Ergebnis, je kleiner die festgelegten Zeit- und Wegschritte beim Berechnungsvorgang gewahlt und je mehr Glieder der T a u ~ o ~ - R e i bei h e der Diskretisierung verwendet werden, je geringer also der sog. Abbruchfehler ist. Je nach Anwendungsfall werden entweder sog. primitive Variable Diesen Ansatz durch Ax dividiert und nach af/ax oder Stromfunktion-Wirbelstarken-Formulierun- umgestellt: gen (Abschnitt 4.3.1.3) verwendet. Primitive Variable sind bei translatorischen Stromungen das Orthogonalsystem (x, y, z) und bei drehbehafteten Stromungen Zylinderkoordinaten (r, q ,z). Nachteilig beim Verfahren der FD ist seine geringe numerische Stabilitat, d. h. es konvergiert selten. Es handelt sich um die sog. Vorwartsdifferenz mit Meist liefert es brauchbare Ergebnisse nur bei sehr der Schrittweite Ax von Stelle m auf Stelle (m 1) kleinen REYNOLDS-Zahlen, also schleichenden Benach Bild4-107, weshalb abkurzend auch gewegungen wie Spalt- und Sickerstromungen. schrieben wird: Ausgangspunkt sind wieder die NAVIER-STOKESGleichungen zusammen mit der Kontinuitatsbeziehung, im Orthogonalsystem fur die vier Unbekannten c,, c,, c, undp (abhangige Variable) bei Da die Reihenentwicklung in x-Richtung erfolgte, den vier primitiven BezugsgroBen x, y, z, t (unab- jedoch fur die Umgebung des Punktes (x,; y,) hangige Variable), angewendet auf inkompressible - kurz (m, n) - gilt, wird bei ebenen Systemen statt reale Raumstromungen (reibungsbehaftet) oder f m + , -fm oft auch exakter fm+ ,,, -f,,, geschriedie Wirbeltransportgleichung bei realen ebenen ben; hier einfachheitshalber vorerst nicht durchgeStromungen. fiihrt. Die Differenzenapproximation der raumlichen Die eckige Klammer in Beziehung (4-283133) wird Ableitungen der Differentialgleichungen erfolgt, als Abbruchfehler FA, bezeichnet, welcher von der wie erwahnt, mit der TAYLOR-Reihen-Entwick- Ordnung Ax ist, also FA, = 0 (Ax). Insgesamt gilt lung [11I]: daher fur die Vonvartsapproximation - Abbruch-

+

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

fehler weggelassen - des Differentialquotienten 1. Ordnung afjax (1. Ableitung) an Stelle m zur Zeit 1bei Wegstecke Ax (Schrittweite, Inkrement):

rentialquotienten erster Ordnung. Andererseits sind nun die Funktionswerte vor und nach dem Entwicklungspunkt (m, n) notwendig. GemaO der vorhergehenden Schreibweise ist die Zentraldifferenz des partiellen Differentialquotienten afjax an Stelle m zur Zeit I bei Wegschrittweite, d.h. Inkrement ') Ax:

Entsprechend ergibt die Ruckwartsentwicklung (negatives Vorzeichen) aus der T A Y L O R - R ~ ~ ~ ~ :

Reihe umgestellt nach aflax und dividiert durch Ax:

Der Abbruchfehler (eckige Klammer) ist wieder von der Ordnung Ax, also FAb= O(Ax). Jetzt handelt es sich urn die sog. Riickwartsdifferenz mit der Schrittweite Ax von Stelle m - 1 auf Stelle m, weshalb hier meist geschrieben: Fur die Ruckwartsapproximation des Differentialquotienten afiax an Stelle m zur Zeit 1bei Wegschrittweite Ax gilt somit:

Wichtig: Beim Hochzeichen 1 handelt es sich um keinen Exponenten, sondern um das zugehorige Zeit-Kennzeichen (Zeitzuordnungspunkt) und bei den Tiefzeichen m sowie n urn Ort-Zuweisungen. Aus Addition der Beziehungen (4-283133) und (4-283134) ergibt sich nach anschliefiender Division durch 2 die sog. zentrale DifferenzenApproximation - kurz Zentraldifferenz - fiir die erste Ableitung:

+

[

I a3f - (Ax)' 6 ax3

--

+ ...

-

..

.]

Der Abbruchfehler ist jetzt von der Ordnung (Ax)' und damit wesentlich kleiner als bei den vorhergehenden Differenzen-Approximationen des Diffe-

243

exakter

Die Approximation fur die zweite Ableitung @flax2 folgt aus Subtraktion der G1. (4-283134) von Beziehung (4-283133):

Hieraus

+

[-

12

ax4

I

(Ax) - . ..

(4-283/35)

Es handelt sich urn eine Zentraldifferenz, wobei der Abbruchfehler wieder von zweiter Ordnung, also FAb= 0 ((AX)'). GemaB vorhergehender Schreibweise ergibt sich somit fur den Weg-Approximationsansatz der partiellen Differentialquotienten zweiter Ordnung (zweite Ableitung) wieder an Stelle m zur Zeit I bei Wegschrittweite Ax (Bild 4-107): exakter

Analog erfolgt die Diskretisierung der partiellen Differentialquotienten fur die anderen Koordinatenrichtungen y und z bzw. bei Zylinderkoordinaten fur (r, cp, z). Die Zeitapproximationvon Differentialquotienten (zeitliche Ableitungen) mit der Zeitschrittweite At ')

Inkrement . . . Betrag, um den eine GroBe zunimmt. Dekrement . . . Betrag, um den eine GroBe abnimmt.

244

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkonlpressible Stromungen)

zur Zeitstelle 1 ergibt sich entsprechend, z. B. fiir ebene instationare Stromung an Ortsstelle (m,n): Erste Ableitung: Vorwartsdifferenz

a / ' --f;:-f:,n

%I:, at

Ruckwartsdifferenz

At

m,n

fkn;tfz

Zentraldifferenz Zweite Ableitung (Zentraldifferenz):

Explizite Verfahren: Bei der Approximation rnit Vonvartsdifferenzen lassen sich die Gleichungen explizit nach den gesuchten GroBen auflosen. Vorteile: Einfache Implementierung Geringerer Rechenaufwand Nachteil: Physikalischer Ablauf wird nicht richtig wiedergegeben. Die numerische Ausbreitung der Storung erfolgt nur schrittweise gemaB der Differenzenweite. Implizite Verfahren: Die Approximation mit Ruckwarts- oder Zentraldifferenzen und Mischformen ermoglicht nicht, die Gleichungen explizit nach den gesuchten GroSen aufzulosen. Es ergibt sich ein gekoppeltes implizites Gleichungssystem, das iterativ zu losen ist. Vorteil: Physikalischer Ablauf wird richtig wiedergegeben. Die raumliche Ausbreitung der Einflusse erfolgt unabhangig von der Schrittweite. Nachteil: GroBerer numerischer Aufwand.

Neben diesen raumlichen und zeitlichen Differenzenapproximationen verschiedener Ordnung (Stufe) sowie Abhangigkeit gibt es noch weitere, z. B. die sog. Zweifach- und Dreipunkt-RuckTrotz des groberen Programmier- und Rechenaufwartsdifferenzen oder die nach CRANK-NICHOLSON, bei denen die Konvergenzwahrscheinlichkeit wandes sind implizite Verfahren meist sinnvoller hoher, aber dafur der Rechenaufwand groOer ist. als explizite, da realitatsnaher. Um Konvergenz zu erreichen, sind meist sehr 4.3.1.8.5 Finite-Volumen-Methode kleine Weg- und Zeitschrittweiten sowie viele Iterationen erforderlich, was viele Berechnungs- Grundsatzliches schritte mit oft kaum noch zu bewaltigendem Analog zum Finite-Differenzen-Verfahren (FD) Rechenaufwand bedeutet. Das Verfahren geht wird auch bei der Finite-Volumen-Methode (FV) dadurch letztlich in die DNS uber (Abschnitt uber das zu untersuchende Berechnungsgebiet ein 4.3.1.8.2). Weitere Ausfiihrungen enthalt das zuge- numerisches Netz gelegt. Dabei sind hier jedoch hauptsachlich sog. strukturierte Gitter zulbsig, horige Spezialschrifttum, z. B. [99a]. d. h. solche mit lauter gleichen Element-Formen. Durch die Differenzen-Ansatze werden die in den Venvendet werden meist Viereck-VolumeneleDifferentialgleichungen auftretenden Ableitungs- mente. Numerisch bedeutet in diesem Zusammenterme approximiert. Die sich ergebenden Diffe- hang, daR die tatsachlich vorhandene Kontur des renzengleichungen sind daher zwangslaufig eben- Betrachtungsgebietes durch Gitterelemente von falls meist gegenseitig voneinander abhangig und einfachen Geometrien - meist aus Geraden bestedeshalb simultan fur das uber den Betrachtungs- hend - angenahert wird. raum gespannte Gitter rnit gunstig festgelegten In- Die Integration der Differentialgleichungen erkrementen fur Ort und Zeit zu losen. Dazu sind folgt uber die um die Knotenpunkte des Netzes zudem Rand- und Anfangsbedingungen notwen- angeordneten finiten Bezugsvolumen. Die finiten dig. Damit sich lineare Gleichungssysteme erge- Kontrollvolumen fullen dabei zusammen das ben, die mit Hilfe der Matrix-Methoden losbar gesamte Bezugsgebiet aus. Dadurch entstehen sind, mussen vorhandene Terme hoheren Grades Bilanzgleichungen, welche automatisch sog. kondurch entsprechende Naherungsansatze lineari- servative Diskretisierung gewahrleisten. Das besiert werden, z. B. (f:)' durch (fA- .f:), wenn die deutet: Was an einer finiten Kontrollvolumenx-Abhangigkeit uberwiegt, oder durch (fA- ' .)f: Oberflache austritt, stromt in die angrenzende, bei starkem ZeiteinfluR. Je kleiner die Schrittweite also benachbarte ein. und je hoher die Iterationszahl desto mehr geht Bemerkung: Das grundlegende Prinzip der FVdabei - stabiles Verhalten vorausgesetzt - der Methode kann als Sonderform der gewichteten durch die Naherungs-Linearisierung verursachte Residuen-Verfahren (Abschnitt 4.3.1.8.6) angeFehler gegen null. Zu unterscheiden sind: sehen werden.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Notation Bei den FV-Verfahren hat sich die Indexierung gema0 der sog. KompaD-Notation (Bezifferung) fur die Bezeichnung der Knoten sowie Bezugsstellen von Gitter und Zellen eingeburgert. Die Nachbarpunkte des Zentralknotens werden demnach entsprechend der zugehorigen Himmelsrichtung bezeichnet. Die KompaD-Benennung gliedert sich somit gemaB Bild 4-108: Index P

Pol, Bezugspunkt, d. h. Volumenmittelpunkt der betrachteten Zelle E East (Ost), rechts von P (in Richtung +x) W West (West), links von P (in Richtung -x) N North (Nord), oben von P (in Richtung +y) S South (Sud), unten von P (in Richtung -y) H High (Hoch), vorne von P (in Richtung SZ). Auch mit T fur Top (oberes Ende, Kopf, Spitze, Gipfel) bezeichnet. L Low (niedrig, tief), hinten von P (in Richtung -z). Auch mit B fur Bottem (unteres Ende, FuB, Boden, Grund) bezeichnet.

Hinweise: Die Zellen werden jeweils durch ihren Zentralknoten, der im Schwerpunkt des betreffenden finiten Volumens liegt, gekennzeichnet. Bei den Volumenelementen erhalten Zentralpunkte GroDbuchstaben und Rand-/FlachenLinien Kleinbuchstaben.

245

Diskretisierungsschema Zur Integration uber ein finites Volumen mussen die Werte der unbekannten Funktion O durch ihre Gradienten bzw. Werte an den Zellwanden approximiert werden. Dazu gibt es eine Reihe von Diskretisierungs-Approximations-Schemata, die wie bei den Finiten Differenzen (Abschnitt 4.3.1.8.5) aus der TAYLOR-Reihenentwicklung folgen: 1. Aufwarts gerichtete Differenzen, sog. Upwindoder Aufwind-Verfahren erster Ordnung. Je nach Fortschrittsrichtung (FR) im Vergleich zur Stromungsrichtung (SR) wird dabei gesetzt: 0, = 0, bei FR tt SR (FR gleichgerichtet SR) 0, = 0, bei FR Jf SR (FR entgegengerichtet SR) Bei Upwind wird also der Funktions-Randwert in bezug auf die Fortschrittsrichtung durch den entgegen dieser liegenden Elementzentrumswert ersetzt, d.h. durch den Zentrumswert stromaufwarts. Die exakte Verteilung der Gro13e O wird durch eine stuckweise konstante Verteilung aus den O-Werten angenahert, die innerhalb des jeweiligen Kontrollgebietes (Zelle) bestehen, also in Form einer Treppenfunktion. Vorteil: Sehr robust, d.h. Verfahren physikalisch sinnvoll - ist stabil und konvergiert. Infolge inharenter UngenauigNachteil: keiten und Abbruchfehler kann es rechnerisch zu fiktiven (visuellen) Querstromungs-Erscheinungen kommen, sog. numerische Diffusion. Daher fur mehrdimensionale Anwendungen nur bedingt geeignet. Besonderheit: O-Wert innerhalb der Zelle konstant (Polynom nullten Grades). 2. Zentraldifferenzen GemaB dem Zwischenwertsatz der Integralrechnung, nach dem sich im zugehorigen Bereich immer ein Wert finden lafit, der die betreffende Beziehung exakt erfullt, wird hier ersatmeise der Mittelwert verwendet:

Bild 4-108. ID-Gitter. Finite-Volumen-Anordnung bei ID-Stromung (eindimensional).Knotenpunkte W, P, E in Gitterschnittstellen, d. h. in Finite-Volumen-Schwerpunkten. Bezugsstelle P mit finitem Volumen V,. W (West) und E (East) Nachbarzellen. w (West) und e (East) Begrenzungsflbhen der Bezugsstelle. SR Stromungsrichtung.

Vorteil: Bequem handhabbar Nachteil: Meist sehr instabil Besonderheit: O-Wert andert sich innerhalb der Zelle und zwar linear (Polynom ersten Grades)

246

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Wegen weiterer Approximierungs-Verfahren wird auf das Spezialschrifttum verwiesen. HybridVerfahren ergeben sich z. B. durch Kombination von Upwind- und Zentraldifferenzen. Bei der FV-Methode wird jedoch meist das Aufwind-Verfahren angewendet.

Aufstellen der PV-Gleichungen Die Herleitung erfolgt zuerst fur den 1D-Fall, d. h. eindimensionale einphasige instationare Stromung. Die zugehorige Anordnung der FiniteVolumen-Elementgruppe enthalt Bild 4-108. Ausgangspunkt fur die FV-Gleichungen ist der allgemeine Erhaltungssatz gemaD Beziehung (4-283129). Diese Grundgleichung iiber das finite Kontrollvolumen Vp (Volumen der betrachteten Zelle) integriert ergibt die Integralgleichung: Auswertung der einzelnen Integrale J dieser Gleichung:

Konvektiver Term div (Q. c'. 0 ) Mit Aufwindmethode bei ex > 0, wobei ex = c, da eindimensional in x-Richtung, sowie Q und O an der Zellflache e (Bild 4-108): a (Q. c, . @)/ax,der x-Anteil von div (Q. c'. 0 ) - die anderen Anteile entfallen, da 1D-Stromung - wieder iiber das Volumen dV, = dx . dy . dz der Bezugszelle integriert:

Das innere Integral uber x wird nun zuerst umgewandelt, wobei wieder Aufwind-Verfahren verwendet. Da nur Veranderung in x-Richtung berucksichtigt, also eine unabhangige Variable, darf dabei partielles Differential durch normales ersetzt werden:

Znstationarer Term a(@. @)/at: Das transiente Differential a ( @ @)/at . wird uber das finite Bezugsvolumen Vp integriert, was zu dem Integralansatz fuhrt:

Nun erfolgt der ~ b e r ~ a auf n g einen fur das finite Volumen Vp = dx . dy . dz der betrachteten Zelle (Zentralknoten P) giiltigen algebraischen Ansatz. Hierzu wird der Differentialquotient a ( )/at 'I naherungsweise durch den Differenzenquotienten A( )/At ersetzt und gemal3 Aufwindmethode als konstant uber das betrachtete finite Volumen angesehen, weshalb aus dern Integral nehmbar:

Hierbei wird wegen Upwind-Verfahren Q, = Q, und 0, = 0, von Bezugszelle sowie Q, = QW und 0, = Ow von Stromaufwartszelle gesetzt. Damit geht das anfangliche Dreifach- oder Volumenintegral in ein Zweifach-, d.h. FlachenIntegral uber. Mit dA = dy . dz, der ZellenWandflache (Stirnflache) ergibt sich:

. . O . A),

= (e ex

Die zeitliche, also zeitbezogene Differenz von A(@.0 ) wird jetzt gebildet durch die Werte an der Bezugsstelle (Zellenmittelpunkt) (ep, . OP,O)und (e,. O,), d. h. vor und nach dem Zeitschritt At, also zur Zeit to sowie t = to + At. Insgesamt wird somit approximativ gesetzt: l)

Leerer Klammerraum fiir jeweils zugehorigen Ausdruck freigehalten.

- (e . c, . 0 .A),

Festlegungen entsprechend wie zuvor.

'

Diffusionsterm a (q . Q, . a@/ax)/ax, da a 0 p x x-Komponente von grad@. Ebenfalls uber das finite Volumen V, integriert:

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Das innere Integral uber x wie beim Konvektionsterm ausgewertet ergibt mit Abkurzung r = q . QG1(Stoffwert) und Flache dA = dy . dz:

Um dieses Integral uber die Zellenflachen auswerten zu konnen, wird fur die StoffgroBe r der jeweilige Mittelwert und fiir den Differentialquotienten a@/axder zugehorige Differenzenquotient AOlAx unter Verwenden des Aufwindverfahrens gesetzt, also: Zellenwand e

re= (TE+ rp)/2

Zellenwand w

rw= (r, + rw)/2

Komplette Gleichung Folgt durch Einsetzen der ausgewerteten Terme in die Ausgangsbeziehung G1. (4-283136):

Gleichung umgestellt:

a, Damit wird, da Ausdruck ( f .AO/Ax) an den Zellwanden w und e jeweils konstant:

247

+

bei Q ~ w , ep~ gesetzt, zulassige Naherung; exakt wenn Flussigkeit.

Mit naherungsweise:

QuelllSenken-Term S, Ebenfalls uber das Zellenvolumen Vp integriert:

Bei S, = konst innerhalb der Bezugszelle P, was naherungsweise angenommen werden darf, die Integration ausgefiihrt ergibt:

gesetzt, folgt hieraus mit den angefugten Abkiirzungen die Finite-Volumen-Gleichung:

Diese Beziehung lafit sich entsprechend, d.h. durch rollierendes Hinzufugen der Werte fur die anderen ,,Kompafi-Richtungen", auf den 3D-Fall (Raumstromungen) erweitern:

248

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Bemerkung: Aus Platzgriinden Darstellung auf diese Weise. ijbersichtlicher ware Bruchschreibweise mit erster Klammer als Zahler und zweiter als Nenner. Es handelt sich bei der Finite-Volumen-Gleichung (4-283/37), bzw. (4-283138) um eine lineare algebraische Beziehung, die mit Hilfe der Matrizenrechnung fur alle Zellen des Betrachtungsgebietes auswertbar ist. Fur die FunktionsgroDen O, Q, und S, sind dabei je nach Fall die zugehorigen gemaS Tabelle 4-8 zu setzen. Zu dem Verfahren der Finiten Volumen, das hauptsachlich in der Stromungstechnik entwickelt und deshalb vielfach dafur eingesetzt wird, bestehen ausgetestete Computer-Programme, die standig weiterentwickelt werden. Mit diesen Programmen wurden schon viele Stromungsprobleme erfolgreich bearbeitet, so daB groDe Erfahrung vorliegt. Verwiesen wird auf das einschlagige Spezialschrifttum, z. B. [98].

4.3.1.8.6 Finite-Elemente-Methode Vorbemerkungen CHUNG1931 formuliert pragnant: Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist ebenfalls ein Naherungsverfahren zur Losung von Differentialgleichungen fur Rand- und Anfangswertprobleme in den Ingenieunvissenschaften. Bei dieser Methode wird das Kontinuum in viele kleine Teile (finite Elemente) mit geeigneten Formen unterteilt, z. B. in Dreiecke, Vierecke usw. An und auch in den Elementen werden dann ausgezeichnete Punkte, die sog. Knotenpunkte, festgelegt. Die gesuchte Funktion in der zugehorigen Differentialgleichung wird durch eine Linearkombination von entsprechend ausgewahlten Interpolationsfunktionen (linear oder von hoherem Grad) sowie den an den Knoten spezifizierten Werten der Funktion und/ oder ihrer Ableitungen ausgedruckt, die allerdings noch unbekannt sind. Unter Verwenden von Variationsprinzipien oder der Methode der gewichteten Residuen (Fehler, Abweichung) werden die das Problem beschreibenden mathematischen Beziehungen in Finite-Elemente-Gleichungen transformiert, die fur jedes einzelne, isoliert betrachtete Element gelten. Diese Einzelelement-Gleichungen werden schlieljlich entsprechend zusammengefugt und ergeben dann ein globales System von alge-

braischen Gleichungen fiir das Gesamt-FiniteElemente-Modell, in das noch die zugehorigen Rand- sowie Anfangsbedingungen einzuarbeiten sind. Durch Losen des Gesamt-Gleichungssystems ergeben sich die gesuchten Werte der Variablen an den Knotenpunkten.

Anfangs- und Randbedingungen Die Start- oder Anfangsbedingungen sind die Werte, mit denen der Berechnungsvorgang begonnen wird. Diese Vorgaben entscheiden oft dariiber, ob sich die Berechnung - meist Iterationsverfahren - in der richtigen Richtung entwickelt, d. h. stabil ist und konvergiert. Kontrolliert wird dies durch Konvergenzbedingungen, die im Computerprogramm als sog. Konvergenzabfragen nach jedem Berechnungsdurchlauf erfolgen. Die Randbedingungen sind abhangig von dem zu losenden Problem. Unterschieden wird zwischen DIRICHLETund NEUMANN-Bedingungen. Die wichtigen oder sog. D l ~ ~ c ~ ~ ~ ~ - R a n d b e d i n gungen sind die Vorgabe der FunktionswerteVerteilung entlang dem Rand des Bereiches fur den die Gleichungen gelost werden sollen. Die NEUMANN-Randbedingungensind die Vorgabe der Gradienten-Ableitungen senkrecht zu den Randgrenzen der gesuchten GroBen entlang der Berandung des Betrachtungsgebietes. Sie werden auch als natiirliche Randbedingungen bezeichnet, da die Gradienten direkt in den Randintegralen der Gleichungen auftreten und somit unmittelbar eingesetzt werden konnen. Die Begrenzung ist immer um einen Grad niedriger als das betrachtete Gebiet und besteht deshalb bei - Raumstromungen (3. Grad) aus Randflache (2. Grad) - Flachenstromungen (2. Grad) aus Randlinie (1. Grad) - Linearstromungen (1. Grad) aus zwei Randpunkten (0. Grad) GREEN-GAuSs-Integral GemaB der partiellen Integration gilt fur die beiden Funktionen u (x) und v (x): Ju.vl.dx = u.v-ju'.v.dx (4-283139) Diese Beziehung ergibt sich auch indirekt uber den G~ussschenIntegralsatz GI. (3-28) fur den rnit dem Skalar a(x, y, z ) multiplizierten Feldvektor c': JV(a.c').dV= J a . c ' . d a o = a.c'.n'.dAo (A4

(V)

(

4

J a.c.cosa.dAo

= (

4

(4-283139a)

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

A

249

I

Y

Tangente Tangente Hierbei gemaI3 Bild 4-109: I_ I

Bild 4-109. Normalenvektor 2 auf Randlinie U bei nveidimensional, bzw. auf Oberflache A, bei dreidimensional, wobei dann zudem n, = n . cos cl, mit Randwinkel a, zur z-Richtung. Zweidimensionaler Fall dargestellt. a) Normalenvektoren, b) Differentiale

Hierbei n' Normaleneinheitsvektor, senkrecht auf Flache dA, (Bild 4-109,a) a Winkel zwischen Vektoren c'und n' Den Integranden des Integrals auf der linken Seite von G1. (4-238/39a) gemal3 der Produktenregel der Differentiation umgeschrieben

und eingesetzt ergibt:

Mit exakt (Tabelle 6-18):

Hieraus folgt durch Umstellen von G1; (4-283/39b) mit differentiellem Flachenvektor dAo = n' . dAo, wobei wieder n' Normalenvektor der Oberflache A,, die das Bezugsgebiet umgrenzt. n' ist dabei immer senkrecht nach auDen gerichtet, wenn das Volurnenintegral in zwei Teilintegraleaufgeteilt wird:

In ausfiihrlicher Schreibweise (Nabla-Operator V eingesetzt) sowie mit den KoordinatenrichtungsKompnenten n,, n, und n, des Bemgsraumoberflachen-Einheitsvektors n':

n,=n~cosu,=cosa,

n',=&.n,

Einheitsvektoren: le',l=

le',l=

=I

allgemein 1 1 = 1 mit i = x; y; z Bemerkung: Konsequent ware, wie friiher verwendet, fur den Normaleneinheitsvektor das Symbol .& mit en = 1 Zn1 = I zu schreiben; entsprechend Tangenteneinheitsvektor e, = 1G.,' 1 = 1. Damit sich die Komponenten n,, n,, n,, die sog. Richtungscosinusse jedoch einfacher schreiben lassen, wird hier n' fur den Normaleneinheitsvektor verwendet. Beziehung (4-283140) bzw. (4-283141) wird auch oder als GREENals GREEN-GAUSS-Integralsatz Theorem (Lehrsatz) bezeichnet. Es handelt sich um eine partielle Integration gemal' G1. (4-283139). Hierdurch wird das Ausgangs-Volumenintegral auf ein anderes Volumenintegral und ein Oberflachenintegral uberfuhrt. Der Integrand des neuen Volumenintegrals ist dann meist von wesentlich geringerem Schwierigkeitsgrad als der des Ausgangsintegrals. Dieser Vorteil erleichtert, bzw. ermoglicht oft erst den weiteren Losungsweg. Losungsalgorithmen Die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und zweiten Grades (NAVIER-STOKES u. a.), welche die Fluidstromungen beschreiben, werden in ihrer Integralform mit Hilfe des GREEN-G~ussschen-Integralsatzes in Differentialgleichungen erster Ordnung uberfuhrt. Wie in Abschnitt 3.2.3.2 und zuvor ausgefuhrt, verknupft der G~ussscheIntegralsatz das Volumenintegral iiber die Divergenz eines Vektorfeldes mit dem FluD dieses Vektorfeldes durch die Flache, welche das Volumen umschlieBt. Aus diesen Differentialgleichungensind dann uber verschiedene Verfahren (Algorithmen) die Finite-

250

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Elemente-Gleichungen herleitbar. Hierzu werden, Gitterstrukturen, Koordinatensysteme, Elemente, wie schon erwahnt, entweder die Variationsmetho- Ansatzfunktionen A ~ ~ ~die ~ ~ ~ Das ~ ~ , zu berechnende Stromungsgebiet wird mit den, z. B. das R A Y L E I G H - R I T Z - Voder Methode der gewichteten Residuen - Kleinste- einem als sinnvoll angesehenen finiten Gitter uber(Bild 4-105). Das erfordert meist vie1 ErQuadrate-Verfahren, G A L E R K I N - M ~ ~be~ O ~ spannt ~ nutzt [93]. Die Variationsrechnung ist ein Verfah- fahrung und oft mehrmaliges ~ n d e r n ,bis eine ren zum Ermitteln einer Funktion durch Bestim- brauchbare Anordnung gefunden ist. Bei den men der Extrema eines von dieser Funktion ab- Finite-Elemente-Verfahren konnen dabei unstrukhangigen Integrals, das sog. Funktional. Grund: turierte Netze angewendet werden, d. h. Gitter mit Physikalische Gesetze lassen sich mathematisch unterschiedlichen Elementformen (Dreiecke, Vieroft so formulieren, daD bestimmte Funktionale ecke u. a,). Dadurch sind ohne grol3ere SchwierigExtremwerte (meist Minimale) annehmen (Ab- keiten lokale Netzverfeinerung moglich, die auch nachgefugt werden konnen. Solche Gitterverfeineschnitt 4.3.1.8.1). Die Losung der mit einer diesen Methoden erhal- rungen sind oft an kritischen Stellen bzw. Bereitenden algebraischen Gleichungssysteme fur eine chen des zu losenden Problemes notwendig, die Stromung kann unter bestimmten Voraussetzun- verschiedentlich erst wahrend des Berechnungsabgen ebenfalls als Extremwertbestimmung im Sinne laufes erkannt werden. der Minimierung der Dissipationsenergie (Weg der Je nach Problemstellung werden Gleichungsangeringsten Verluste) im Stromungsfeld, unter Be- satze in primitiven oder abgeleiteten Variablen achten der Kontinuitatsgleichung und den vorge- verwendet. Primitive Variablen sind Geschwindiggebenen Randbedingungen, angesehen werden. keit und Druck. Als abgeleitete Variablen werden Diese Extremwertbestimmung erfolgt durch Na- Potential, Stromfunktion und Wirbelvektor beherungsverfahren der numerischen Mathematik, zeichnet. ausgehend von einer Startvorgabe (vorheriger Ab- Meist werden primitive Variablen verwendet, da schnitt). Die daraus erhaltene Losung ist anhand letztlich immer diese Gro13en gesucht und die zuder Kontinuitatsgleichung fur jedes Element zu gehorigen partiellen Differentialgleichungen von uberprufen. Diese uberprufung gibt auch die niedrigerer Ordnung sind, was auch geringere Richtung an, in der die exakte Losung liegt und in Stetigkeitsanforderungen fur die Interpolationsdie dann der zweite sowie jeder weitere Rech- funktionen bedeutet. Die Koordinaten werden auf das zu losende Pronungsgang laufen soll. Der geschilderte Ablauf erklart zudem, warum der blem angepal3t. Bei ebenen Berechnungsgebieten Grad der Nichtlinearitat des Gleichungssystems sind orthogonale, bei zylinderartigen Zylinderund moglicherweise der Randbedingungen zu Koordinaten sinnvoll. Zu unterscheiden ist jeweils einem groBen Anteil die Anzahl der notwendigen zwischen globalem und lokalem Bezugssystem. Iterationen bis zu einer Losung mit der gewunsch- Das globale Koordinatensystem gilt fur das geten Genauigkeit bestimmt. Des weiteren erklart samte zu untersuchende Gebiet. Jedes finite Elesich dadurch, daD oft nur die richtige Vorgabe der ment erhalt zudem sein eigenes Bezugssystem. Diese lokalen Systeme benutzen dabei meist natiirStartbedingungen zu brauchbarer Losung fiihrt. Die Qualitat der berechneten Losung wird durch liche Koordinaten, d. h. dimensionslose, mit den die Ungenauigkeit aus der unvollstandigen Mo- Elementabmessungen entdimensionierte Koordidellierung des Stromungsgeschehens (Netz, Glei- naten. chungen) und durch Fehlerquellen aus dem nume- Mit Hilfe der JACOBI-Matrix[93] lassen sich rischen Verfahren beeinfluDt. Auch die Anfangs- Funktionen von globalen in lokale Koordinaten und Randbedingungen, vorgegeben an den Rand- umschreiben und umgekehrt. knoten, konnen oftmals nicht exakt gesetzt oder Das Zusammenfassen der vielen finiten Elementen nachgebildet werden; sei es, weil sie in vorherge- mit ihren lokalen Koordinaten zum Gesamtmohenden Versuchen nicht genau genug gemessen dell mit globalem Bezugssystem erfolgt unter n [93]. werden konnten, oder einfach nicht bekannt sind. Nutzung der B o o ~ ~ s c h eMatrix Aufgrund dieser Tatsachen sind geeignete Metho- Die angeordneten vielen endlich kleinen Teilbereiden zur Fehlerabschatzung eine notwendige Vor- che, also die finiten Elemente, konnen nach veraussetzung, um zu verlal3lich arbeitenden Rechen- schiedenen Kriterien klassifiziert werden, und zwar nach Form sowie Ordnung: verfahren zu gelangen.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Die verwendeten Elementformen sind bestimmt durch die Geometrie des zu approximierenden Berechnungsgebietes. Verwendet werden eindimensionale, (Strecken), zweidimensionale (Dreiecke, Vierecke) und dreidimensionale (Quader, Tetraeder, Zylinder) finite Elemente. Die Ordnung der finiten Elemente ist festgelegt durch den Funktionstyp, welcher die Elementherandungen heschreibt. Bei linearen Funktionen fur geradlinige Begrenzung reichen die Knoten an Anfang und Ende der Randstucke, also zwei Knoten je Element. Bei quadratischer Funktion ist je ein Zwischenknoten auf jeweils halber Lange der Elementrandstucke notwendig. Kubische Funktion erfordert sogar zwei Zwischenknoten, je ein Drittel von den Endknoten entfernt. Je hoher der Funktionstyp, desto kompliziertere Rander lassen sich approximieren, um so gro13er ist jedoch auch der Berechnungsaufwand. Als Funktion fur die Elementrander wird meist der gleiche Typ verwendet wie fur die Diskretisierung der gesuchten Stromungsfunktion, die sog. Interpolationsfunktion (nachster Abschnitt). Dabei konnen die Approximationsfunktionen der Elementrander und die der gesuchten Funktionen von gleichem oder unterschiedlichem Grad sein. Mit GI Grad des geometrischen Aufbaues, d. h. der Element-Berandungsfunktion, G, Grad der Interpolationsfunktion zur Approximation der Stromungsgleichungen

werden klassifiziert: GI < G, subparametrische Elemente GI = G, isoparametrische Elemente GI > G, superparametrische Elemente

Isoparametrische Elemente erweisen sich als besonders vorteilhaft, weil Programm- und Berechnungsaufwand vergleichsweise geringer sind. Auch werden hauptsachlich Viereckelemente von erstem Grad verwendet. Bei diesen isoparametrischen Viereckelementen erster Ordnung, also mit geraden AuBenkanten, reichen somit die Knotenpunkte an den vier Ecken fur das mathematische Beschreiben der Elemente (Geometrie) und der gesuchten Stromungsgro13en (-funktionen) aus. Bei den linearen Interpolationsfunktionen ist jedoch der Funktionswert der gesuchten GroBen, z.B. Geschwindigkeit oder Druck, innerhalb jeden Elementes jeweils konstant. Von Element zu Element treten deshalb entsprechende Sprunge der Werte auf, was verschiedentlich ungunstig ist. Dieser

251

Nachteil 1a13t sich nur durch Ansatzfunktionen von hoherem Grad vermeiden, weshalb diese immer mehr venvendet werden. Bei den Ansatzfuuktionen hoherer Ordnung treten Koeffizienten-Matrizen auf, deren fur die weitere Berechnung notwendige Inversion schwierig ist. Diese Matrix-Invertierung kann durch BenutZen der L A G R A N G E Interpolationsfunktionen SC~~~ vermieden werden. Hierbei gibt es wieder solche von erstem und hoherem Grad, die an den Elementknoten die Werte erfullen, jedoch nicht die Stetigkeit der Ableitung gewahrleisten. Elemente, welche die L A G R A N G E SFunktionen C~~~ verwenden, werden deshalb auch als L A G R A N G E - E ~ ~ ~ ~ I I ~ bezeichnet . Wird dagegen auch die Stetigkeit der Ableitung einer Funktion an den Knoten gewiinscht, ist es angebracht, HERMITESC~~ Polynome zu verwenden, die diese Bedingung gewahrleisten. Auch hier gibt es solche verschiedenen Grades. Die zugehorigen Elemente werden H E R M I T E - Ege-~ ~ ~ ~ ~ ~ nannt. Ausfuhrliches uber L A G R A N G E und S C ~HERMITE~ sche Elemente enthalt [93]. Wie zuvor erwahnt, wurden fur alle Elementformen Ansatzfunktionen verschiedenen Grades erarbeitet; auch als Interpolations- oder Pormfunktionen bezeichnet. Es sei hier nur die Herleitung der Ansatzfunktionen ersten Grades fur das Linearelement (Strecke) dargestellt und die des Viereckelementes aufgefuhrt. Wegen der ubrigen Elemente und Interpolationsfunktionen hoheren Grades wird auf das einschlagige Spezialschrifttum venviesen. Fur die Interpolationsfunktionen, auch als Hut- oder Hiitchenfunktionen bezeichnet, wird das lokale elementbezogene Koordinatensystem verwendet. Die dadurch entstehenden lokalen Ansatzfunktionen mussen dann zu der globalen Interpolationsfunktion fur das GesamtFinite-Elemente-Mode11 des zu untersuchenden Gebietes entsprechend zusammengesetzt werden. Eindimensionales Element Polygonansatz fur die gesuchte Funktion innerhalb des Elementes fur das x-System gema13 Bild 4-110, Teil a, d. h. Nullpunkt im ElementAnfangsknoten:

Allgemein in Kurzform

252

4 Stromungen ohne Dichteanderung (auasi-inkom~ressibleStromungen)

Vielfach wird zusammenfassend kurz gesetzt:

2

1

-5

= -XI1

5 = xll

P

Hierbei ist uber N Gleichungs-Glieder zu addieren, wobei wieder gilt: N = 1; 2

N

=

linearer Ansatz

1; 2; 3 quadratischer Ansatz

Die Interpolations-, Form- oder Ansatzfunktionen AN ergeben sich aus dem Umwandeln von Beziehung (4-283144) in Ansatz (4-283146) und Koeffizientenvergleich. Bild 4-110. Streckenelement, auch als Linien- oder eindimensionales Element bezeichnet, mit lokalem Koordinatensystem. a) Koordinatenursprung am ersten Knoten (x-System). b) und c) Koordinatennullpunkt in Elementmitte (4-System); 4 = x/l bezogene oder entdimensionierte Lokalkoordinate (lokale Ortkoordinate). a) und b) lineare, c) quadratische Variante.

Bei i = I

linearer Ansatz bzw. proportionale Veranderlichkeit i = 2 quadratischer Ansatz i = 3 kubischer Ansatz USW.

Lineares Element (Bild 4-110, Teil b), d. h. Linearansatz:

Beziehung (4-283148) liefert bei: Knoten 1: < = - I und 0 = 0 1 -+

Ol=bo-bl

Fur die lineare Interpolationsfunktion sind, wie erwahnt, zwei Knoten notwendig, einer an jedem Ende des Elementes. Der quadratische Ansatz erfordert einen dritten Knoten in der Elementmitte (Bild 4-110, Teil c), noch hohere Ansatze entsprechend mehr.

Knoten 2: =I und 0 = 0, -+ O, = bo + b1

Im bezogenen lokalen 5-Koordinatensystem (Nullpunkt in Elementmitte) gilt entsprechend GI. (4-283142) fur den Polynomansatz:

b

Aus diesen beiden linearen Gleichungen fur die zwei Unbekannten bo und bl folgt durch Auflosen: 1 O-2

1 und b l = - . ( O z - O l ) 2

Bzw. wieder allgemein in Kurzform gemal3 G1. (4-283143):

Mit den Knotenwerten O,, O,, O3 . . . der gesuchten Funktion O(5) laDt sich der InterpolationsAnsatz auch wie folgt formulieren:

Der Vergleich mit Beziehung (4-283149) ergibt fiir die Formfunktionen des Linearelementes mit Linearansatz: A - - .1( I - ( ) '-2

und A - - 1. ( I + ( ) 2-2 (4-283150)

4,3 Mehrdrmens~onaleStromungen realer Flu&

Quadratisches Element (Variation), Bild 4.110, Teil c, d. h. Quadratansatz: Nach GI. (4-283144) und G1. (4.283146): B=bo+bl~~+h2~<2

(4-283151)

O = A 1 . Q1 + A 2 . Q,

(4-283152)

+ A,. O 3

Beziehung (4-283151) liefert d a m bei: Knoten 1: t=-1 mit 0 = 0 , -+ O , = b , - b l + b , Knoten 2: t=0 wo 0 = 8 , -+ B 2 = b , Knoten 3: t=1 und B = 0, -t 0, = b, b, h2

+ +

253

laufig immer aufwendiger. Deshalb werden hierbei vielfach die schon envahnten LAGRANGB-oder HERMITB-Elemente verwendet, bei denen es einfacher zu handhabende Beziehungen fur die Interpolationsfunktionen gibt 1931. Vick-Element (zweidimenswnal)

Auch h ~ e rsind prohlemabhang~gd ~ Ansaizfunke tlonen tiir das elementbezogene lokale (r; q)-Koordmatensystem, Bdd 4-11 1, formul~erbar. Entsprechend dem Streckenelement (Bild 4-110) laBt sich beim Rechteckelement fur die gesuchte Fuuktion O die lineare Verteilungs-Approximation (Ansatzfunktion) herleiten:

Dieses limeare Gleichungssystem nach den d r e ~ Unbekannten b,, b, und b, aufgelost, ergibt: In Matrix-Schreibweise: b, = 0 , ; (%I 1 1 b1=2.(03-0,); b,=-B2+-.(@,+@,) 2 Damit in GI. (4.283151): Hinweis: Matrizen - dam z i l e n auch Zeilenvektoren - werden durch eckige Klammern eingegrenzt. Spaltenvektoren, kurz Vektoren (Einspalteumatrizen), dagegen sind durch geschweifte Klammern gekennzeichnet (Tabelle 6-21). Die Werte (ti; n)der vier Knoteupunkte (i= 1; 2; 3; 4) des Viereckelementes jeweils in Beziehung (4-2.83154, d.h. 54a und 54b) eingesetzt, ergibt folgendes Gleichungssystemin Matrixform fur die zugehorigen Funktionswerte 8 , :

Aus Koeffizienten-Vergleich mit Beziehung (4-283152)folgt jeta fur die Ansatzfunktiouen des Linearelemeutes bei Quadratansatz:

1 A3=5,E,(t+l)

(4-283153)

Entsprechend ergeben sich die Zusammenhange bei Elementen-Ansatzen noch hoheren Grades, wobei weitere zusatzliche Zwischenpunkte in den Elementen notwendig sind, urn alle erforderlichen Interpolationsfunktionen A, bestimmen zn konnen. Die Herleitung wird dabei jedoch zwangs-

Bild 4-111. Rechteckelement mit lokalem ((;is)-Bezugssystem in Elementmitte und Knoten-Koordinaten(ti;qi) f ?Linearansatz, wobei i = 1; 2; 3; 4. 5 und n bezogene Koordinaten.

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

254

Oder in Tensor-IVektor-Schreibweise:

Durch Invertierung folgt hieraus die Beziehung fur den Koeffizientenvektor: -* -t

+

z = ~ - l . O

(4-283156) +

mit dem inversen Tensor

?- ' T- - '

Bemerkung: Als Vektor- und Tensorschreibweise werden statt Kopfpfeile auch Unterstriche verwendet: Vektor a:

a

Tensor B: B -

Die Interpolationsfunktionen Ai entsprechend G1.(4-283146) werden iiber die allgemeine Beziehung I @ l I 4

O

=

C (Ai.Oi) = [A,

A, A, A,].

. . . n die n globalen Knoten Index N = 1; 2; 3 . . . die lokalen Elementknoten Hochzeichen e = 1; 2. . . E Elemente (Anzahl)

Index i = 1; 2

Beispielsweise bestehen zwischen den globalen und lokalen Knoten von Bild 4-112, also dem linearen Fall (Streckenelemente), bei den Bezeichnungen folgende Zusammenhange:

i=l

ermittelt, und zwar durch Gleichsetzen von G1. (4-283154) mit Beziehung (4-283157) sowie Verwenden von G1. (4-283156). Ausgewertet wie bei Streckenelement ergibt fiir die linearen Ansatzfunktionen des Rechteck-Flachenelementes: 1 Allgemein: Ai = - . (1 4

B o o ~ ~ s c hMatrix e Ein Finite-Elemente-Mode11 ist die Vereinigung des betrachteten Gebietes und seiner Rander. Gleichzeitig ist das Finite-Elemente-Mode11 die Vereinigung aller Elemente des Gitternetzes, welche das Bezugsgebiet uberspannen. Jedes finite Element seinerseits besteht aus seinem Innern mit den Randern und Knoten, die jeweils gemeinsam mit den Nachbarelementen sind. Zu unterscheiden ist bei der Benummerung zwischen den globalen Knoten des zusammenhangenden Modells und den lokalen Knotenpunkten der einzelnen isolierten Elemente. Die globalen Knotenpunkte werden mit Zi bezeichnet, die lokalen Knoten mit zf;-e)(Bild 4-112). Hierbei bedeuten:

+ ti.5) . (1 +

vi.

11)

(4-283/57a)

z',"

=z,;

z p = Z2;

Z(:)

= 2,;

zy) = z3

zi3) = Z 3 und zi3)= Z, Diese Zusammenhange zwischen lokalen und globalen Knoten lassen sich auch darstellen in Matrix-Form:

Hierbei nach Bild 4-1 11 fur A,(&;qi):

Eingesetzt fuhrt zu:

Die lokalen Formfunktionen Ai der Einzelelemente werden dann uber Koordinatentransformation (JACOBI-Matrix)entsprechend zur globalen Interpolationsfunktion der Gesamtstruktur zusammengefal3t. Hierbei leistet die BOOLE "sche Matrix [93] gute Dienste. in Indexschreibweise, d. h. Kurzform-Darstellung: l)

BOOLE,Georg (1815 bis 1865), engl. Mathematiker und Philosoph.

=

. Zi

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Die hierin enthaltene sog. B o o ~ ~ s c Matrix he A# ist wie folgt definiert:

$1

I

255

im Betrachtungsgebiet B eine Naherungslosung zu erhalten durch den Reihenansatz: n

1 wenn lokaler Knoten N des Elementes e mit globalem Knoten i des Gesamtsystems iibereinstimmt.

8 = ic ( c i . AJ =l

(4-283159)

mit der Naherungslosung 6 fur die gesuchte GroBe O. Dabei sind A ilinear unabhangige AnsatzfunktioMit Hilfe der B o o ~ ~ s c h eMatrix, n kurz BOOLE- nen - die Interpolations- oder Formfunktionen Matrix, kann auch festgelegt werden, daB nur die und Ci Konstanten notwendig. Diese GroBen sind jeweils zum Element gehorenden Knoten und da- dabei so festzulegen, daB alle globalen Randbedinmit deren GroBen von EinfluB auf die Vorgange gungen des Systems, bzw. Gebiets erfullt werden, und deshalb auf die Funktionswerte innerhalb des welches die Bestimmungsgleichung (4-283158) bezugehorigen Elementes sind. schreibt, die meist eine Differentialgleichung ist. =

( 0 in allen anderen Fallen.

Methode der gewichteten Residuen Wie schon erwahnt, werden zum naherungsweisen numerischen Losen von Differentialgleichungen bei den Finite-Elemente-Methoden hauptsachlich verwendet:

Da der Reihenansatz nach Beziehung (4-283159) eine Naherungslosung ist, wird die Ausgangsgleichung (4-283158) nicht exakt erfullt. Es ergibt sich somit ein Rest, das Residuum R, wenn der Ansatz (4-283159) in die Anfangsgleichung(4-283158) eingesetzt wird:

Variationsprinzip (RAYLEIGH-RITZ) - Gewichtungs-Verfahren * Kleinste Quadrate Mit eingefuhrten Wichtungs- oder GewichtungsG A L E R K I N - ~ funktionen ~ ~ ~ ~ o ~Wj, ~ wobei Index j = 1; 2 . . . n, also W, . . . W,, wird das uber das Bezugsgebiet B inteDa diese Methoden die Differentialgleichungen grierte Produkt ( 4 .R) gleich null gesetzt: nicht direkt, sondern uber Naherungsansatze losen, werden sie auch als schwache Verfahren bezeichnet und ihre Ergebnisse als schwache LosunDadurch wird erreicht, daB der Fehler der Nahegen. Bei dem Extremal- oder Minimalprinzip, der weit- rungslosung uber das betrachtete Bezugsgebiet verbreiteten Methode, wird das Minimum eines im Mittel gegen null geht, also insgesamt etwa von der gesuchten Funktion abhangigen Funk- verschwindet. Die Multiplikation mit den Getionals gesucht. Dies geschieht mit Hilfe der wichtungsfunktionen Wj ist andererseits auch notwendig, um eine ausreichende Anzahl von EULER-LAGRANGE-Gleichung [95; 1I I]. ~leichungenzum Bestimmen der auftretenden Gewichtungsverfahren, auch als Residuen ')Methoden bezeichnet, werden angewendet, wenn Unbekannten zu erhalten. kein Funktional existiert, oder noch nicht gefun- Auf GALERKINgeht zuruck, die Gewichtungsden wurde. Die Suche nach einem der Differential- funktionen gleich den Ansatzfunktionen (Basisgleichung aquivalenten Funktional erubrigt sich funktionen) zu setzen. Dies ist der gunstigste Weg, und die Erfahrung bestatigt, daB er fur die Finitebei diesem Naherungsansatz. Elemente-Methode wegen des geringen Aufwands Hier sol1 nur das allgemein einsetzbare und daher sowie guter Ergebnisse sehr geeignet ist. Beim vielfach angewendete Verfahren der gewichteten GALERK~~-verfahren stimmen somit beide FunkResiduen nach GALERKIN dargestellt werden. tionsgruppen fur Wichtung und Ansatz iiberein Grundidee der Methode der gewichteten Residuen (Wj = Ai). Dann ergibt sich das Gleichungssystem: -

Extremal-Verfahren

ist, fur eine Differentialgleichung Oder G1. (4-283160) und (4-283159) eingesetzt: I)

2'

Residuum . . . Fehler, Abweichung, Rest. Funktional . . . Integral dessen Integrand eine unbekannte Funktion enthalt.

256

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Dieser Ansatz ist fur finite Elemente und deren Netz-System zu verwenden. Zum Veranschaulichen der Vorgehensweise sol1 exemplarisch die zweidimensionale PotentialGleichung gemal3 Beziehung (4-242) betrachtet werden:

Wird im Element der Naherungsansatz mit den Interpolationsfunktionen und den Knotenwerten gebildet, gilt beim Elementkoordinatensystem (4, q) gemal3 G1. (4-283146): n

6 = C (Ai.o i ) = [A]. ( 0 ) i =1

Fur das Viereckelement nach Bild 4-111 ergibt sich, da n = 4, laut GI. (4-283157): Mit der Naherungslosung, dem Approximationsansatz 6 - gesprochen Theta Dach - nach GI. (4-283/59), ergibt sich das Residuum: Damit erhalt G1. (4-283164) den Aufbau: Das G A L E R K I N - I ~gemal3 ~ ~ ~ ~ Beziehung (4-283162) erhalt hierzu die Form:

Bemerkung: Oft wird das Summenzeichen C weggelassen und gemal3 gebundenen Indizes geschrieDas Anwenden des G ~ ~ ~ ~ - T h e o r e(GI. m s ben: 4-283140) fuhrt dann zu: 6 = A i. O i mit i = 1 . . . n, wobei hier n = 4 Vorhergehender Aufbau dargestellt in MatrixForm fur das Innere des Bezugsgebietes O, d. h. wenn die Randintegrale r entfallen; diese treten ja nur am Rand auf:

Es verbleibt zwar ein Flachenintegral uber Bezugsgebiet P, allerdings nur noch mit ersten Ableitungen im Integrand, was eine wichtige Vereinfachung ist. Da die Ansatzfunktionen auch differenziert auftreten, mussen sie mindestens in der ersten Ableitung stetig sein, Glattheitsbedingung. Zusatzlich ergeben sich Einfachintegrale uber den Rand r der Flache O des Betrachtungsbereiches, allerdings auch nur mit ersten Ableitungen in den Integranden. Diese Randintegrale liefern Betrage nur fur Punkte, die auf der Randlinie r liegen, nicht jedoch bei Stellen im Innern der Bezugsflache (-gebietes). Durch die Erniedrigung der Integranden um eine Stufe - vom zweiten auf erste Ableitungen - vereinfacht sich ihre numerische Losung wesentlich. Zudem sind die Forderungen an die Formfunktionen in den Naherungslosungen hinsichtlich Stetigkeit (Glattheit) geringer. Diese miissen jetzt, wie envahnt, nur noch in der ersten Ableitung stetig sein, was ihre Auswahl weniger einengt.

mit

wobei

i, j je = 1; 2; 3; 4

Zum Veranschaulichen der Methode sollen drei einfache Beispiele ausfuhrlich dargestellt werden. Die Computer-Programme, welche auch die sich hier ergebenden Losungsalgorithmen bearbeiten konnen, sind bei einschlagigen Software-Herstellern verfiigbar und daher hier nicht aufgefuhrt. Lineare Differentialgleichung einer Variablen zweiter Ordnung fur gesuchte GroIje O =f (x)

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

257

Umgestellt, da Knotenwerte O, unabhangig von x:

Bild 4-1 12. Eindimensionaler Fall. Finite-Elemente-Aufteilung. 0 Elemente; 0 Knoten. Zi global mit i = 1; 2; 3; 4 globalen Knoten. zfi) lokal rnit e = 1; 2; 3 Elementen von je N = 1; 2 lokalen Knoten.

Da die Randwerte und nicht die Randgradienten vorgegeben sind, ist das Problem vom DIRICHLETschen Typ. Es bestehen keine N E U M A N N - B ~ ~ ~ ~ gungen (Randableitungen). Die Randgradienten (dAj/dx) sind somit ohne EinfluD und konnen daher entfallen, d. h. sind nicht vorhanden. In Indexschreibweise hat die Approximationsgleichung dann folgenden Aufbau:

im Bereich von x = 0 bis x = 3 rnit a = - 1 und Randbedingungen O (0) = 1; O (3) = 20.

mit der globalen Koeffizienten-Matrix

Damit der Losungsaufwand nicht zu sehr ansteigt, werden nur drei Elemente gewahlt (Bild 4-1 12), was zwangslaufigzu Lasten der Genauigkeit geht.

wobei E =3

Elemente e

also e = 1; 2; 3

N = 1; 2; M = 1; 2 i = I bis 4; j = 1 bis 4

Da es sich urn ein lineares Problem handelt, tritt an Stelle des Dreifach-, also Volumenintegral (V) ein einfaches, d. h. Linien-Integral (L) mit der globalen Finite-Elemente-Interpolationsfunktion Ai:

Partielle Integration des ersten Terms vom Integranden nach GREEN-GAUSS:

Approximationsansatz - -

6 = [A] . {O) = [A,

A,].

{z:}

=

Aj . ej

fur die finiten Elemente eingefuhrt, ergibt, wenn gleichzeitig die Terme in ihrer Reihenfolge umgruppiert:

lokale Elementknoten globale Elementknoten

und der Element-, d.h. lokalen KoeffizientenMatrix in Indexschreibweise:

Oder dargestellt in Matrix-Form:

Hierbei gilt fur die lineare Funktion 6)'') als Approximationsansatz innerhalb der Elemente gemaI3 G1. (4-283143):

Angesetzt auf die Elementrander x = 0 und x = h mit @")(x = 0) = O, ergibt

und O(')(x = h) = O2

258

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Hieraus: bo = Ol

Damit wird:

Durch Vergleich mit dem Knotenwerte-Interpolationsansatz gemaI3 G1. (4-283146)

Kpi

= Kfd

wegen des in bezug auf A , und A2 symmetrischen Aufbaus des Integranden.

ergibt sich fiir die Ansatzfunktionen analog zu G1. (4-283150): A,=

(

I--

3

2

und A - I-/,

Damit G1. (4-283167) ausgewertet; bei den E = 3 Elementen (e = 1 bis 3) nach Bild 4-112, weshalb h = 1 und gemaI3 Vorgabe a = - 1 (werden beide jeweils am Berechnungsende eingesetzt): Mit den Ableitungen der Ansatzfunktionen A , und A,

ergeben sich fur die Koeffizienten Kg4 der lokalen Elementmatrix, da N = 1; 2 und M = 1; 2 sowie e = 1; 2; 3:

Zusammengestellt ergibt sich somit fur die lokale Koeffizientenmatrix der Elemente:

fur die zugehorige lokale Finite-ElementeGleichung der einzelnen Elemente in Kurzformdarstellung:

in Matrix-Darstellung:

[4:6

' {~:}(')

=

{:}

Die globale KoeMizienten-Matrix Kij zu G1. (4-283166) hat folgenden Aufbau, da i = 1 bis 4 und j = 1 bis 4:

4 Kpl = 3

d a h = l und a = - 1

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Hierbei ergeben sich die einzelnen Koefizienten nach G1. (4-283166):

3

K14 =

C K&. e= 1

259

A$', . Afik

Entsprechend ausgewertet ergeben sich fiir die restlichen Koefizienten:

Die Matrix wird symmetrisch (Tabelle 6-21), da laut Berechnungsergebnis:

Damit ergibt sich fiir die globale Finite-ElementeBeziehung Aij . &Iij= 0 nach GI.(4-283165):

260

4 Stromungen ohne Dichteanderung (qua&inkom messible Stromungen)

Nun sind noch die vorgegebenen Randbedingungen 0, = I

und 0 2 , = 2 0

einzubauen durch Auswerten und Umarbeiten der vorhergehenden Matrix-Gleichung:

Hierbei ist die Integration, welche die analytische Losung ergibt, zweimal notwendig. Die auftretenden Integrationskonstanten entfallen, da geforderter Anfangswert von O ( x ) eins, also O (0) = 1. Auswertung fiir x = 0; 1 ; 2; 3 BezugsgroBe

x

O

exakte Losung

O

1

bei a

= - 1:

1

2

3

2,72

7,39

20,09

Die Abweichung von FEM-Losung zur analytischen nin-tmt mit zunehmender Anzahl verwendeter finiter Elemente ab. Der Berechnungsaufwand steigt dabei jedoch entsprechend. Umfangreichere Probleme erfordern deshalb elektronische Rechenanlagen mit zugehoriger FE-Software. Nur diese Voraussetzungen ermoglichen das numerische Bearbeiten solcher Probleme. AusschlieBlich zur Demonstration wurde hier ohne Computer ein einfacher h e a r e r Fall mit wenigen Elementen vollstandig gelost.

Oder in MatrizerkDarstellung:

POISSON-Gleichungder stationaren ebenen Stromung (Seite 65). Das Gleichungssystem aufgelost:

A@-q(x,y)=O

mit @ ( x , y )

Ansatz hierzu gemlB gewichteter Residuen und GALERKIN:

Addition:

46,2 . O 2

Hieraus:

O 2 = 2,51 - 5 .2,51 + 16 . 0 , = 100

In GI. 111:

=

Hieraus:

O3=

116

Mit dV = dx . dy . dz und da Funktion F ( x , y) unabhangig von z:

7,03

Damit das gesamte Ergebnis: Hinweis: Nicht verwechseln Vergleich der Finite-Elemente-Ergebnisse mit der exakten, d. h. analytischen Losung der Ausgangsgleichung, welche beim vorliegenden Fall moglich: D'Gl.: Integration:

.@ O = a2 . e-a 0 " = a2

'"

A

bei Fkt. @, also A@, LAPLACE-Operator Fkt. ist Abkurzung fur Funktion

A

bei Koordinate z, also Az, Differenz Az = z2 - z,

A(") bei vorherigem Beispiel BOOLE-Matrix

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Da ebene Stromung, ist die IntegrandenFunktion:

nur von x und y abhangig, weshalb Integration uber z sofort ausfuhrbar war. Ergebnisgleichung dieser Teilintegration durch Az dividiert, was der Schichtdicke eins (Az = 1) entspricht, ergibt:

261

b) Die Einschrankung, daD die ursprunglich vorhandenen zweiten Ableitungen nicht nach unendlich streben durfen und deshalb die ersten Ableitungen uberall stetig sein mussen, entfallt. Jetzt wird der Naherungsansatz gemalj ResiduumMethode eingefuhrt, wobei Kennzeichen ,,DachC' bei 0'") bequemerweise weggelassen:

j

(e)

= [A]("

{*I(.) = [ A .A

j AJe .(. @,

Jetzt wird die partielle Integration angewendet, was dem GREEN-Theorementspricht. Zum Veranschaulichen nochmals ausfuhrlich fur den ersten Term des Integranden dargestellt:

Wird hierbei gemaD G1. (4-238139) gesetzt (Substitution)

oder in Kurzform mit gebundenern Index i = 1.. .n:

Hierin bezeichnen: [A]") die Formfunktions-Matrix des Elementes {@I(")Parameter-Vektor des Elementes. Dabei werden fur die Parameter @ die Werte an den Knotenpunkten gesetzt. Das Hochzeichen (e) (Kopfindex) steht wieder fur Element e = 1; 2; 3 . . . Hinweis: Die Quelldichte q (x, y) mu13 bekannt sein, urn die Berechnung durchfuhren zu konnen.

+ v=-

a@

G A L E R K I N - F ~ SWj ~ ~=~AjU ~venvendet: ~

ax

Die beiden Festlegungen, Residuum-Ansatz und GALERKIN,eingesetzt, ergibt fur das Element, wenn Kopfsymbol (e) einfachheitshalber weggelassen:

ergibt sich:

mit dy = cos a, . d U entlang des Randes beim (U)-Integral, wobei a, Winkel zwischen x-Richtung und nach auDen gerichteter Rand-Normalen des betrachteten Teilgebietes vom Umfang U. Dieses Ergebnis folgt auch direkt aus dem GREEN-GAUSS-Satz (GI. 4-283140). Die vollstandige Umwandlung von G1. (4-283169) nach dem GREEN-GAUSS-Theorem fiihrt somit zu: Diese Gleichung hat den Aufbau

Die partielle Integration ergibt die zwei schon erwahnten Vorteile: a) Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung verschwinden.

Bemerkung: Beim (U)-Integral ist @: gesetzt, also mit Stern gekennzeichnet, da nur Randknotenpunkte eingehen, d. h. die @-Werte an dem das Bezugsgebiet eingrenzenden Rand U. Die Gleichung angewendet z. B. auf das Rechteckelement mit dem lokalen (l,q)-Bezugssystem gema0 Bild 4-111:

262

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Es wird wieder ein Element betrachtet, das im Innern des Bezugsgebietes liegen soll, weshalb hier Randterm (Uij.@) nicht vorhanden. Dafur gilt, wenn Hochindex (e) abermals weggelassen:

K31

K32

K33

K34

und damit

(I; Q4

mit den Matrix-Koeffizienten:

Dabei gemaB G1. (4-283157a):

Entsprechend sind die anderen Koeffizienten der Matrix Aij sowie des Vektors Q j zu bestimmen.

Ausgewertet beispielsweise fur Matrix-Koeffizienten KZ3, d. h. i = 2 und j = 3, wobei gemaB Bild 4-1 11:

Die Elemente-Matrix-Modell-Ansatze werden dann gemaB der Netzstruktur rnit Hilfe von Koordinaten-Transformationen (JACOBI-Matrix) und B o o ~ ~ s c h eRegel r zum Gesamt-MatrixModell-System zusammengefaBt (analog zu Beispiel 1). Dabei sind bei den Randelementen die Randterme zu beriicksichtigen und die zugehorigen Integrale nach Einbau der festgelegten Randzu bedingungen (DIRICHLET und/oder NEUMANN) losen. Die Kenntnis der Quelldichte q ( x , y) ist ebenfalls notwendig, um letztlich die gesuchten Knotenwerte Gi der unbekannten Potentialfunktion (gesuchte GroBe) ermitteln zu konnen. Bei dreidimensionalen Stromungen ergeben sich noch komplexere Matrix-Systeme, die allerdings auch hier von linearem algebraischen Aufbau und deshalb relativ einfach uber den Matrizenalgorithmus zu losen sind. Dreidimensionale Viskositatsstromung (schleichende Bewegung) im Erd-Schwerefeld.

4.3 Mehrdimensionale Stromuneen realer Fluide

263

Hierbei sind in den N~vIE~-S~o~~s-Gleichungen (NS) die Tragheitsglieder Q . dc'ldt vernachlhsigbar und als spezifische Feldkraft verbleibt nur die Gravitationswirkung f, = - Q g. Die NS (Gl. 4-282) vereinfachen sich somit entsprechend:

Zum Bestimmen der vier Unbekannten c,, c,, c, und p ist als weitere Beziehung die Kontinuitatsgleichung (3-26) notwendig:

Residuen-Ansatze fur das finite Element e mit den Formfunktionen A, welche die Stetigkeit der jeweiligen Variablen gewahrleisten und deren Verlauf mit festlegen:

GemaB Bild 4-109, Teil b ax = cosa,.an =n;an ay=cosay.an=ny.an a z = cosa,.an = n;an eingefiihrt, ergibt fur das Obertlachenintegral (A,):

Damit wird das Integral J:

Matrix-Darstellung:

Index-Schreibweise:

Beachten: Bezugsgebietumrandungsflache A, (Oberflache) nicht mit Ansatzfunktionen Ai und Aj verwechseln. Index 0 fur Oberflache. Indizes i; j = 1 . . .n gemaD Numerierung der n Elementknoten. eingesetzt, erIntegral J in den GALERKM-Ansatz gibt:

Hinweis: Der Kopfzeiger (e) fiir Element wird nun teilweise der einfachen Schreibweise wegen wieder weggelassen, da keine Verwechslungsgefahr besteht. G ~ ~ E R K ~ ~ - v e r f a hmit r e n Wichtungsfunktionen 4 = Aj: Durchgefuhrt fiir die dritte Gleichung (z-Komponente).

Partielle Integration der letzten drei Terme (innere runde Klamrner) nach GREEN-GAUSS(Gl. 4-283141):

Einfuhren der Residuum-Ansatze in den Volumenintegralen:

264

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Dabei tritt das Rand- oder Oberflachenintegral (At)) wieder nur bei den Elementflachen auf, die an der Bezugsgebietsoberflacheliegen, falls ac,/an mit k = x, y, z vorgegeben (NEUMANN). Diese verschwinden dagegen, wenn am Bezugsrand c, festda dann ac,/an = 0. Die aus der Kontinuitatsbedingung folgende gelegt (DIRICHLET), Die weitere Auswertung der Element-Ansatze soGleichung geht nach entsprechender GALERKINwie deren Zusammensetzen zum Finite-ElementUmwandlung und Residuen-Ansatzen uber in die Gesamtmodell des zu untersuchenden Gebietes erForm: folgt wieder abhangig von der Art des festgelegten Netzes (Element-Formen und -Anordnung) unter Beriicksichtigung der vorgegebenen Randbedingungen entsprechend der im Beispiel Potentialgleichung dargestellten Vorgehensweise. Dabei werden, wie erwahnt, die Oberflachenintegrale nur an Die jetzt insgesamt vier Gleichungen lassen sich denjenigen Randern gebildet, fur welche die Grafur das Element in Matrix-Form wie folgt dar- dienten ac,pn; ac,/an und/oder ac,/an als Randstellen, wobei Kopfzeiger (e) wieder angefugt: bedingungen (NEUMANN) vorgegeben sind. Falls dagegen direkt die Werte von cx; c,; c, am Rand [ K ~ ~ ] '{Oi)(") " ) . + (4)")= 0 mit i; j = I . . . n festhegen (Dl~~c~LE~-Bedingungen), entfallen, geMit Element-Matrix, die symmetrisch ist: maD zuvor, diese Oberflachen-Beziehungen.

Die erste und zweite Gleichung (x- und y-Komponente) sind analog aufgebaut. Sie ergeben sich durch Austauschen von c, durch c, bzw. c, und zugehorig z durch x bzw. y bei Weglassen von f, sowie f,, da diese jeweils null.

Hierbei GroBe

Des weiteren sind die Element-Vektoren:

Zeitdiskretisierung: Die bei transienten Problemen (instationare NS bzw. Re-GI.) vorhandenen Zeitdifferentiale sind ebenfalls zu diskretisieren. Zur Approximation dieser Terme werden meist finite Zeitdifferenzen verwendet. Naherungsweise treten somit zeitliche Differenzen-Quotienten an die Stelle von Zeitableitungen (Differentialquotienten), auch als Zeitschrittverjahren bezeichnet. Wie bei den Finiten-Differenzen-Verfahren (Abschnitt 4.3.1.8.5) nutzen auch die Finite-ElementMethoden je nach Anwendungsfall als Zeitschrittoperatoren Vorwarts-, Ruckwarts- oder Zentraldifferenzen. Die Berechnung erfolgt von der alten Zeitebene t o (o fur old) zur neuen Zeitebene t n (n fiir new). Ausgehend von Anfangs- oder StartgroDen werden die Rechenergebnisse dabei fur den jeweils nachsten Berechnungsschritt zu den alten Werten. 4.3.1.8.7 Vergleich der Finite-Verfahren Alle dargestellten finiten Verfahren sind Bestandteil der Computational-Fluid-Dynamics (CFD). Falls die entsprechende Rechnerleistung zur Verfugung steht, werden meist die Finite-Elementeund die Finite-Volumen-Verfahren angewendet. Die Finite-Element-Methode wurde urspriinglich fur die Feststoffmechanik entwickelt und erst spater auf fluidmechanische Probleme ubertragen. Das Finite-Volumen-Verfahren dagegen ist eine spezielle Entwicklung aus dem Gebiet der Stro-

4.3 Mehrdimensionale Stromuneen realer Fluide

mungsmechanik. Da es deshalb bisher schon haufiger fur fluidmechanische Fragen angewendet wurde, besteht ein groBerer Erfahrungsfundus. Folgende kurze Aufstellung der Vor- und Nachteile sol1 die hauptsachlichen Anwendungsunterschiede der verschiedenen Finite-Methoden verdeutlichen. Finite-Differenzen-Methode (FDM): Vorteil: Direkte Losung der Ausgangsgleichungen, also keine Approximationsansatze notwendig, da infinite direkt durch finite Differenzen angenahert. Nachteile: Schlechtes Konvergenzverhalten, da oft nichtkonservativ (Abschnitt 4.3.1XI). Hoher Rechenaufwand, da feine Strukturierung, kleine Zeitschritte und viele Iterationen notwendig. Finite-Volumen-Methode (FVM): Vorteile: Meist keine Konvergenzprobleme, da grundsatzlich konservativ; deshalb auch als inharent konservatives Verhalten bezeichnet. Rechenaufwand meist begrenzt, da vergleichsweise wenig Iterationen notwendig (Upwind-Verfahren). Bis grol3e Extension geeignet, d. h. auch fur Stromungen grol3er Ausdehnung. Fiir 3D-Probleme (dreidimensionale Stromungen) gut geeignet. Nachteile: Auf einfache Geometrien beschrankt, da nur strukturierte Netze moglich. Ansatzfunktionen notwendig. Finite-Element-Methode) (FEM) Vorteile: Unstrukturierte Gitter zulassig; dadurch hohe Flexibilitat auch hinsichtlich Diskretisierungsansatzen. Nachteile: Verschiedentlich Konvergenzprobleme, vor allem bei 3D-Elementen, bzw. -Fallen (numerische Stabilitat). Oft groBerer Rechenaufwand (Zeitund Speicherbedarf) als bei FVM. Fur kleinere Extension. Ansatzfunktionen notwendig. Bemerkung: Bei nichtkonservativem Verhalten treten wahrend des Computerrechenlaufes verschiedentlich diskretisierungsbedingte sog. numerische Quellen/Senken auf, welche die numerische Instabilitat (Konvergenzprobleme) bedingen.

265

4.3.2 Korper-Umstromung 4.3.2.1 Grundsatzliches Bei Znnenstromungen (Rohren, Kanalen) ist die Kenntnis des auftretenden Druckverlustes, bei AuJenstromungen die des Widerstandes wichtig, d. h. der Kraft, die das Fluid auf den relativ zu ihm bewegten Korper ausubt. Beide Widerstande erfordern entsprechende Energiezufuhr (Verlustoder Vortriebsleistung).

Bei der AuBenstromung kann sowohl der ruhende Korper vom bewegten Fluid umstromt werden (z. B. Bruckenpfeiler, Gebaude) oder der Korper sich im Fluid bewegen (z. B. Schiffe, Fahr- und Flugzeuge). Die Kraftwirkungen sind nur von der Relativgeschwindigkeit zwischen Korper und Fluid abhangig. Dagegen ist die Geschwindigkeitsausbildung an der Korperoberflache davon bestimmt, ob sich der Korper oder das Fluid oder beide, Bild 4-1 13, bewegen. Nach dem D ' A L E M B E R T SParadoxon C~~~ (Abschnitt 3.3.6.3.3) ubt das ideale Fluid auf den umstromten Korper keine resultierende Kraft aus. Ein Korper wird deshalb von einem stromenden reibungsfreien Fluid nicht mitgenommen. Diese Erscheinung ist in der Natur nicht zu beobachten, weil bei realen Fluiden immer Reibung auftritt und riickwartige wirbelfreie Korperumstromung praktisch kaum zu venvirklichen ist. Reale Fluide verursachen bei der Korperumstromung immer einen Widerstand. ErfahrungsgemaB ist dessen GroBe von der Art des Fluides, der Relativgeschwindigkeit,der Oberflachenbeschaffenheit und der Form des Korpers abhangig. Die entschei-

Bild 4-1 13 GeschwindigkeitsgeWIle (Geschwindigkeitsgradient) bei der Korperumstromung: a) Korper in Ruhe und Fluid stromt b) Korper bewegt sich und Fluid in Ruhe

266

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

denden EinfluBgroBen auf die Widerstandskraft sind jedoch Korperoberflache und -form, die das Umstromungsgeschehen hauptsachlich bestimmen. Die (Gesamt-) Widerstandskraft Fw wird daher zweckmaBigerweise in die zwei Teile Flachenwiderstand Fw,,und Formwiderstand Fw,, zerlegt:

Der Flachenwiderstand ist durch Zweitindex R (Reibung) und der Formwiderstand durch Zweitindex D (Druck) gekennzeichnet, die jeweils weggelassen werden konnen, wenn auch ohne diese Hinweise Klarheit besteht. Die beiden Anteile sind jedoch meist schwer voneinander zu trennen. Die versuchsmaI3ige Einzelbestimmung mit Hilfe von Wasser- undloder Windkanalen (Bild 6-49) an Modellen oder GroBausfuhrungen ist deshalb entsprechend schwierig. Einen ~ b e r b l i c kuber die Aufteilung des Gesamtwiderstandes bei verschiedenen Korperformen und Umstromungsrichtungen gibt Bild 4-114. Danach kann als Faustregel gelten: Bei stumpfen Korpern ist der Flachenwiderstand etwa um eine GroDenordnung kleiner als der Formwiderstand. Genau genommen hangt auch der Reibungs-, d. h. Flachenwiderstand infolge Grenzschichtausbildung von der Formgebung ab, so daB sich zudem diese Art Trennung oftmals nicht streng aufrecht erhalten 1aBt. Bei Korpern, die nicht vollstandig vom gleichen Fluid umstromt werden, sondern sich teils an der freien Oberflache einer Flussigkeit bewegen (Schiffe), kommt als besondere Widerstandsart noch der Wellenwiderstand hinzu. Dieser ist bedingt durch das vom Korper bei Bewegung oder

Korperform

Stromlinien kdrper

Anstromrichtung

-

fWlD

I I

ego"/.s 1 0 %

Cm

Kugel. Zylinder quer ongertrbmte Platte

fWsR

B

7>>>i

10%

5

' ' .loo

Bild 4-1 14. Aufteilung des Gesamtwiderstandes

Fw = Fw,,+ Fw,,bei Korperumstromung.

90%

Umstromung durch Aufstauen beim Verdrangen verursachte Wellensystem. Die Bugwelle und damit der Wellenwiderstand wird um so groBer, je stumpfer die Anstromfront des Korpers ausgebildet ist. Schiffskorper miissen deshalb auch vorne (Bug) schneidenartig ausgebildet werden, um die anstromende Flussigkeit moglichst ohne Aufstauen (Wellenberg) aufzuteilen. Zu unterscheiden ist zwischen Widerstands- und Auftriebskorpern. Widerstandskorper verursachen ausschliel3lich Widerstand. Auftriebskorper dagegen bewirken dynamischen Auftrieb (Querkraft) und - leider nicht vermeidbaren - Widerstand. Erganzung: Bei Unterschall wird der Widerstand eines Korpers stark vom Geschehen bei der Umstromung seiner Hinterkante beeinflufit und damit auch von seiner Oberflache (GroBe, Rauhigkeit), welche das Grenzschichtverhalten mit bedingt. Die exakte Berechnung muI3te daher mit den NAVIER-STOKES-Gleichungen erfolgen, was meist nur schwer und unzureichend gelingt. Bei ~ b e r schall wird der Widerstand dagegen hauptsachlich von der Korpervorderseite verursacht. Er kann deshalb hier bei aerodynamischen Untersuchungen oft vernachlassigt und daher mit den EULERschen Bewegungsgleichungen gerechnet werden.

4.3.2.2 Flachenwiderstand Der Flachen-, Oberflachen-, Schub- oder Reibungswiderstand wird durch die Reibung zwischen Fluid und KorperauDenflache verursacht. Die Flachenwiderstandskraft ist somit das Integral der Fluidschubspannung uber die bestromte Korperoberflache:

Wie aus Bild 4-114 zu erkennen, ist der Reibungswiderstand besonders bei schlanken, langs angestromten Korpern wichtig, z. B. bei Platten, Stromungsmaschinenschaufeln, Flugzeugflachen, Schiffen u. a. Nach Abschnitt 3.3.3 (Grenzschichttheorie), 3.3.4 (Stromungsablosung) und insbesondere 4.1.4 (Plattenstromung) ist der Reibungswiderstand von der Art der Grenzschichtstromung sowie der Oberflachenrauhigkeit abhangig. Bei turbulenter Stromung ist er wesentlich groBer als bei laminarer. Urn die Wandschubspannung klein zu halten, ist es deshalb notwendig, die laminare Grenzschicht moglichst lange am Korper zu erhalten, also den Umschlagpunkt moglichst weit

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

stromabwarts zu schieben. Dies ist besonders fur die Flugtechnik eine wichtige Frage. Hier wurden eigens sog. Laminarprofile entwickelt. Diese schlanken Profile werden nur wenig angestellt (Schragstellung!) und sind durch besonders lange laminare Lauflangen (40 bis 60 % der Korpertiefe) gekennzeichnet. Nachteilig ist, dal3 sie auch nur einen geringen Auftrieb erzeugen und deshalb bisher nur in Sonderrallen Venvendung finden konnen, z. B. bei Segelflugzeugen. Da der Umschlag laminar-turbulent in der Nahe des Druckminimums und damit Geschwindigkeitsmaximums der Stromung liegt, ist es bei Laminarprofilen notwendig, die Stelle der grol3ten Dicke moglichst weit nach hinten zu verlegen. Diese Profile werden deshalb mit groRer sog. Dickenriicklage ausgefuhrt. Der Reibungswiderstand ist in der Regel nicht direkt meRbar. Bei Versuchen, meist im Windkana1 (Bild 6-49) ausgefuhrt, werden der Gesamtwiderstand uber Kraftmessung und der Formwiderstand uber Druckverlaufsmessung bestimmt, Bilder 4-1 15 und 4-125. Der Flachenwiderstand ergibt sich dann als Differenz von Gesamt- und Formwiderstand. Die schon in Abschnitt 4.1.4 (Plattenstromung) definierte Beziehung, GI. (4-log), fiir die Flachenwiderstandskraft kann, wie dort envahnt, auch allgemein angewendet werden:

Fur A, ist wieder die benetzte Korperoberflache, d. h. die vom Fluid bestromte Gesamtflache, einzusetzen und fiir Q, sowie c, die Werte der ungestorten Anstromung; Index wird dabei einfachheitshalber oft weggelassen. Die Flachen-, Schub- oder Reibungswiderstandszahl iw,,ist experimentell zu bestimmen. Dieser Beiwert ist von der Oberflachenbeschaffenheit (Rauhigkeit k) und der REYNOLDS-Zahl des Umstromungsproblems abhangig:

f

(Re, k, Die Flachenwiderstandszahlen fur Plattenstromungen (Abschnitt 4.1.4) sind sowohl fur die Umstromung von ebenen und gekrummten Platten als auch schlanken Korpern, gekennzeichnet durch grol3es LangenIDicken-Verhaltnis,wie Profilen, Schiffen u. dgl. anwendbar. {W, R

=

4.3.2.3 Formwiderstand Der Form-, Wirbel- oder Druckwiderstand wird in erster Linie von der Form des umstromten Kor-

267

-Anstrornung stromung

Bild 4-1 15. Formwiderstand bei Korperumstromung. Geschwindigkeitsdelle in Nachlaufstromung kennzeichnet Widerstand.

pers bestimmt. Die Formwiderstandskraft gemaR Bild 4-115 ist das Integral des Fluiddruckes uber die benetzte Korperoberflache: +

l

(4-287)

FWD=- P . ~ O (Ao)

Der ,,Fliichenvektor" d2, = dA, .ii' ist das Produkt von FlachengroRe A und senkrecht von der Flache weggericht$em Normaleneinheitsvektor 2. Der Vektor -dA, = dA, . (-2) hat somit die gleiche Richtung auf den Korper wie die Wirkung des Druckes p und dar:us vektoriell folgend die Formwiderstandskraft Fw, . Wird ein Korper in einem Fluid bewegt oder von diesem angestromt, teilt sich die Stromung im vorderen Staupunkt. Gleichzeitig wird das Medium im Staubereich verzogert und kommt im Staupunkt selbst zur Ruhe. Das hat zur Folge, daR auch bei turbulenter Anstromung des Korpers die Turbulenz im Staupunkt aufhort und der Druck sein Maximum erreicht. Vom Staupunkt aus wird das Fluid entlang der Korperoberflache unter gleichzeitigem Druckabbau zunachst wieder beschleunigt. An dem am weitesten aul3en liegenden Korperbereich wird die maximale Geschwindigkeit und der minimale Druck erreicht. Je nachdem, wie kraftig sich der Korper danach stromabwarts verjungt, muB die Stromung unter Verzogerung gegen mehr oder weniger stark steigenden Druck stromen. Meist reicht die Stromungsenergie im Grenzschichtgebiet nicht aus, um gegen den wachsenden Druck anlaufen zu konnen. Die Folge ist, wie schon in Abschnitt 3.3.4 beschrieben, die Stromung wird von der Korperoberflache abgedrangt. Es bildet sich ein mit Wirbel durchsetztes Totraumgebiet hinter dem Korper. Der Ablosungspunkt ist, wie mehrfach begrundet, von der Art der

,

268

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Grenzschichtstromung abhangig. Da der Ablosungspunkt bei turbulenter Grenzschicht weiter stromabwarts liegt, ist das Totraumgebiet wesentlich kleiner als bei laminarer Grenzschicht (Bild 3-22). Im Totraumgebiet herrscht zudem ein geringerer Druck als auf der Korpervorderseite. Der Formwiderstand hangt von der GroBe des Druckunterschiedes und dessen flachenmaoiger Ausdehnung ab. Die GroBe des Totraumgebietes kennzeichnet andererseits die Starke der energieverzehrenden Wirbelbildung. Der Druckwiderstand ist deshalb um so hoher, je groBer der hauptsachlich von der Kijrperkontur beeinfluljte Totraum ist. Die Wirbel im Ablosungsgebiet fuhren zur sog. Nachlaufdelle in der Geschwindigkeitsverteilung der Nachlaufstromung, Bild 4-1 15, die deshalb die GroBe des Druckwiderstandes kennzeichnet. Durch MeBbohrungen kann der Druckverlauf an Luv- und Leeseite (Vorder- und Riickseite) experimentell bestimmt und daraus der Formwiderstand ermittelt werden, GI. (4-287). Dabei wird das Integral gemaB der S I M P S O N - Rmeist ~ ~ ~durch Summation von Differenzen p . AA ersetzt. Wahrend die Staupunktstromung auf der Korpervorderseite nahezu verlustfrei erfolgt, ist die Stromung auf der Ruckseite infolge der starken Wirbelbildung mit hohen Verlusten verbunden. Erwahnenswert ist, daB auljer Staupunktstromungen vor Korpern in der Praxis kaum verlustlose verzogerte Stromungen auftreten. Dies ist auch besonders in der MeBtechnik zu beachten. Durch Aufstauen vor dem fast immer (auBer bei theoretisch scharf zulaufenden Schneiden) vorhandenen vorderen Staupunkt beginnt die Aufteilung des Fluidstromes meist weit vor der Korpervorderseite. Dadurch und den Ruckstau wird das herannahende Hindernis gewissermaljen angekundigt - es wirft seine Schatten voraus! Die Aufgabe der Voranmeldung ubernehmen die vom Korper nach vorne ausgegehenden Druckstorungen, die sich mit Schallgeschwindigkeit im Fluid nach allen Seiten ausbreiten und die Stromungsteilchen rechtzeitig zum Ausweichen veranlassen. Als einzige Stromlinie macht die sog. Stau- oder Verzweigungsstromlinie diese Ausweichung nicht mit. Diese mittlere Stromlinie teilt das ebene Stromungsfeld gewissermaljen in zwei Halften und lauft senkrecht auf den Korper zu. Ihr Auftreffpunkt wird, wie bereits ausgefiihrt, mit Staupunkt bezeichnet.

Zusammenfassend laljt sich also festhalten: 1. Wirbelbildung vergroljert den Widerstand. 2. An vorspringenden Ecken und Kanten besteht verstarkt Ablosungsgefahr -+ Wirbelbildung. 3. Die Ablosungsgefahr ist um so groBer, je hoher die ablenkungsbedingte ~ b e r ~ e s c h w i n d i ~ k e i t und der dadurch nachfolgend unter Verzogerung zu uberwindende Druckanstieg. 4. Das Zustandekommen von Stromungsablosung ist von zwei Bedingungen abhangig. a) Verzogerung mit dynamischem Druckzuwachs, d. h. Umwandlung von Stromungs- in Druckenergie. b) Wandreibung. Fehlt eine dieser beiden Voraussetzungen, entsteht keine Ablosung. Bedingung b) fehlt z. B. bei der schon beschriebenen Staupunktstromung. An jeder Verzweigungsstromlinie findet deshalb bis zurn Staupunkt Verzogerung, jedoch keine Ablosung statt. 5. Je groljer das Totraumgebiet, desto hoher der Formwiderstand, Bild 4-1 16. Durch MaBnahmen, die zunachst widerstandsvermehrend erscheinen, kann das Ablosungsgebiet insgesamt jedoch oftmals verkleinert und damit der Gesamtwiderstand herabgesetzt werden. Die den Reibunaswiderstand erhohende dunne Platte entlang der Verzweigungsstromlinie in Bild 4- 117 verursacht kleinere Totraume vor dem umstromten Korper. Die gesunde Stro-

-

Bild 4-1 16. Widerstandskorper. Das grol3e Ablosungsgebiet verursacht einen hohen Widerstand.

Bild 4-1 17. Widerstandskorper mit Platte in Verzweigungsstromlinie. Trotz Totraum vor dem Staupunkt insgesamt kleineres Ablosungsgebiet und damit geringerer Gesamtwiderstand. Sog. gebremste Staupunktstromung nach F~TTINGER.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

He

~e~tsch&fel Bild 4-1 18. Verhinderung der Stromungs-Ablosung mittels Umlenkflache (Leitschaufel).

mung wird dadurch so vorabgelenkt und damit deren Vektorwirkung abgeschwacht, daR sie der Korperkontur besser folgt als ohne Teilungsmesser. Der Totraum und damit die Wirbelbildung werden insgesamt kleiner. Trotz hoherem Reibungswiderstand wird infolge stark verringertem Formwiderstand der Gesamtwiderstand niedriger. Dieselbe Wirkung ergibt das gunstige Anbringen entsprechender Umlenkflachen (Bild 4-1 18). Diese ubernehmen den Kriimmungsdruck (GI. 3-55) der Stromung, meist bedingt durch die ablenkungsbedingte Geschwindigkeitserhohung (Fliehkraftwirkung). Folgt die Stromung jedoch auch ohne diese MaBnahmen der Korperkontur, sind diese uberflussig und sogar nachteilig, da sie dann den Widerstand infolge ihrer unvermeidlichen Stromungsreibung erhohen. Das gilt auch fur die sog. Vorfliigel nach FOWLER bei Tragflachen bei Flugzeugen, die deshalb meist einklappbar angeordnet sind. 6. Turbulente Grenzschicht (groDe Re-Zahl) ergibt hoheren Reibungswiderstand. Infolge langerem Anliegen der energiereicheren turbulenten Grenzschicht an der Korperkontur ist der entstehende Totraum wesentlich kleiner als bei laminarer. Der Gesamtwiderstand ist deshalb bei groDem turbulenten GrenzschichtAnteil sog. iiberkritische Umstromung, insgesamt meist kleiner. Dies zeigt sich z. B. am Verlauf der Widerstandsziffer der KreiszylinderUmstromung, Bild 4-1 19, durch den Steilabfall von ,,( bei Re 5 . lo5 = Re,, und danach nur geringem reibungsbedingtem Anstieg. Auf diese Erscheinung wurde auch in Abschnitt 3.3.4 hingewiesen ( P R A N D T L S CStolper~~~ draht).

269

-

Bild 4-119. Widerstandsziffern, , ,c = f (Re) nach WIESELBERGER, abhangig von Re-Zahl. Kurve K: Kugeln; Kurve Z: quer angestromte, unendlich lange Kreiszylinder, d. h. ebene Umstromung (zweidimensional).

7. Die Ablosungsgefahr laDt sich verringern, wenn die Verzogerung im Bereich des vorderen Staupunktes gemildert wird, die Karper also schlank und mit guten Abrundungen ausgebildet werden, jedoch nicht spitz zulaufend (Abschnitt 3.3.3.4). 8. Durch den sog. Diffusoreffekt (InterferenzWiderstand) wird meist die Ablosungsgefahr und damit der Widerstand erhoht + positiver Interferenzwiderstand. Dieser tritt auf, wenn Stromungskorper einander ungunstig beeinflussen, z. B. Begrenzungswande (Tunnel), Obergangsbereiche zwischen Rumpf und Tragflachen bei Flugzeugen oder zwischen Schaufeln und Nabe bei Propellern, Bild 4-120. Bei entsprechender Korper-Kombination kann gemaB Punkt 5 jedoch auch der umgekehrte Effekt auftreten, d. h. Widerstandsverringerung; dies ergibt dann den negativen Interferemiderstand.

Bild 4-120. Diffusoreffekt (Interferenz): a) Begrenzungswand, b) AnschluBwand

270

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Aus den Punkten 1 bis 8 folgt: Der Formwiderstand la& sich durch entsprechende konstruktive MaJnahmen stark beeinflussen, und zwar verringern oder erhohen, je nach Bedarf. Fiir die Druckwiderstandskraft Fw, wird in Anlehnung an die Formel der Flachenwiderstandskraft, G1. (4-286), definiert:

Hierbei sind: . . . Druck- oder Formwiderstandszahl 5w,D = f (Re, Korperform) Bestimmung experimentell mit Hilfe von Windkanalen (Bild 6-49) Re = c, . Llv mit L . . . Korperlange in Stromungsrichtung As, . . . Bezugsflache

o) Ebene senkrechte, quadratische Platte It, = 1.11)

c,, ,

Bei ailen Stromungskorpern, den Widerstandskorpern, mit Ausnahme der Tragflugelprofile, da Auftriebskorper, ist fiir As, die Stirnflache, d. h. der gro13te zur Stromungsrichtung senkrechte Korperquerschnitt zu setzen, der auch mit Spant-, Schatten- oder Projektionsquerschnitt bezeichnet wird, Bild 4-121. Bei Auftriebskorpern, den Profilen von Tragflb chen und Propellern ist As, die Fliigelflache A,, des einzelnen Flugels. Bei Fliigeln mit konstanter Profiltiefe L und der Spannweite b gilt demnach As, = b . L = A,,

b) Wurfel

C)

It, = 0.91)

Hohle Halbkugel; Hohlse~teongestrornt

(t, = 1 , 3 L )

d) Hohle Halbkugel; Kugelse~teangestromt (t,: 0.34

(Abschnitt 4.3.3.2)

In Bild 4-122 sind die prinzipiellen Stromungsbilder verschiedener Widerstandskorper dargestellt. Die aufgefuhrten Widerstandsbeiwerte gelten dabei fur den turbulenten (iiberkritischen) Bereich, in welchem die Re-Zahl keinen EinfluIj mehr ausiibt, was praktisch meist der Fall ist.

c,

Verschiedene Forscher versuchten, das Widerstandsproblem im Rahmen der Theorie idealer Fluide mathematisch darzustellen, was infolge

el Heckstuck e m s Stromungsprof~ls

(t,=0.50)

f ) Stromungsprofil von hinten angestroint (?,=

0.17)

g) Stromungsprofil von vorne angestromt (t, = 0,06)

Bild 4-121. Spantflache A, als Bezugsflache der Widerstandskorper.

Bild4-122. Stromungsbilder verschiedener Widerstandskorper (Prinzipdarstellung) mit ,( x ,,,( bei den Fallen a bis e sowie ,( z,,,( bei den Fallen fund g.

4.3 Mehrdimensionale Stromuneen realer Fluide

271

Tabelle 4-9. Abhangigkeit der Formwiderstandszahl vom Seitenverhaltnis hlb senkrecht angestromter Platten, experimentell im Bereich, wo Re-Zahl ohne Einflulj (uberkritisch).

-

Bild 4-123. KIRCHHOFFSC~~ Plattenumstromung.

hierbei notwendigen idealisierender Annahmen meist nur unzureichend gelang. KIRCHHOFF behandelte die Umstromung der quergestellten unendlich langen Platte unter Anwendung der H E L M H O L T Z SDiskontinuitatsflaC~~~ chen. Die Stromung teilt sich, wie ausgefuhrt, vor der Platte und flieljt von den Kanten seitlich nach hinten ab, wahrend der Raum hinter der Platte von ruhender Flussigkeit, dem Totwasser, eingenommen wird, Bild 4-123. In diesem Raum ist, wenn von der Fluidschwere abgesehen wird, der Druck konstant. Deshalb ist an der Trennflache (Diskontinuitatsflache) zwischen Totraum und gesunder Stromung der Druck konstant. Nach der Energiegleichung ist daher die Geschwindigkeit ebenfalls konstant. Die Theorie liefert bei Einhalten dieser Bedingungen nur solche Losungen, bei denen die Trennflachen und damit der Totraum nach hinten ins Unendliche reichen sowie die Geschwindigkeit entlang dieser gleich der ungestorten Anstromung ist. Vor der Platte (Luvseite) herrscht in der Mitte Staudruck, der nach den Randern bis auf den Druck der ungestorten Stromung abfallt. Auf der Plattenruckseite (Leeseite) ist gemalj voraussetzenden Annahmen der Druck konstant und gleich dem der ungestorten Stromung. Dies fuhrt nach KIRCHHOFF l l zu der theoretischen Formwiderstandszahl

TatJchlich sind die Diskontinuitatsflachen jedoch nicht stabil, sondern stark labil. Sie zerfallen daher unter Bildung von groBen und kleinen Wirbeln. Das Totwasser reicht deshalb nicht bis ins Unendliche. Die Stromung schlieljt sich hinter der Platte bald wieder (Bild 4-122, Teil a). Die gebildeten Wirbel werden stromabwarts mitgezogen und durch die Reibung aufgezehrt. Im Zusammenhang ')

KIRCHHOFF, G. (1824 bis 1887).

hiermit steht, darj der Druck hinter der Platte erheblich unter dem der ungestorten Stromung liegt. Infolge der Stromungsablenkung kommt es zur Geschwindigkeitserhohung (~bergeschwindigkeit) im Bereich der Platte und damit gemalj Energiegleichung zur ortlichen Druckabsenkung, wie auch durch MitreiBen der entstehenden Wirbel. Hinter der Platte entsteht somit ein teilweise wirbeldurchsetztes Unterdruckgebiet (Saugraum). Die Wirbel verbrauchen Stromungsenergie, die zum Druckruckgewinn fehlt. Infolge der sich dadurch ergebenden Saugwirkung ist der Widerstand wesentlich groljer als nach der Berechnung von KIRCHHOFF. Fur die unendlich breite Platte (b +a),also 2D-Fall, gilt deshalb praktisch gema13 Versuchen:

Bei endlichem Seitenverhaltnis, d. h. 3D-Fall, stromt auch iiber die Schmalseiten von der Vorderseite Fluid in den Saugraum. Dadurch wird der Unterdruck herabgesetzt. Die Formwiderstandszahl (Tabelle 4-9) verrnindert sich entsprechend dem Seitenverhaltnis von Plattenhohe h zur Plattenbreite b, Bild 4-123. Als weiteren Fall behandelte v. KARMANdie nach ihrn benannte Wirbelstrarje theoretisch. Wie schon in Abschnitt 3.3.5 dargestellt, bildet sich unter bestimmten Bedingungen hinter einem zylindrischen Korper ein System entgegengesetzt drehender Wirbel (Bild 3-28). Kurz nach Stromungsbeginn lost sich, verursacht durch kleine, immer vorhandene Storungen, ein erster Wirbel, der sog. Anfahrwirbel, an einer Korperhinterkante ab. Darauf losen sich in ununterbrochener Folge weitere Wirbel ab, die abwechselnd entgegengesetzt drehen und nach hinten wegschwimmen. Der Vorgang schaukelt sich also bis zum stationben Zustand auf. Die geordnete Wirbelform-Anordnung hort allerdings auf, wenn die laminare Grenzschicht am umstromten Korper in turbulente umschlagt. Daher auch Bezeichnung Liminarfall.

272

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Diese periodische Wirbelablosung kann Widerstandskorper zu Schwingungen anregen, die gefahrliche Folgen haben konnen, z. B. bei Leitungsdrahten und Kaminen (Durchmesser D). Mit der STROUHAL-Zahl Sr ((31. (3-35)) ergibt sich fur die Frequenz f der K k R ~ A ~ s c h eWirbeln straBe:

b) Widerstandskorper wie Kugeln, Zylinder, Prismen, quer angestromte Platten, Fahrzeuge u. a.: iw = Sw,o Aw = As,

Die STROUHAL-Zahlandert sich dabei geringfugig mit der REYNOLDS-Zahl. ES gilt:

Bemerkung: Der Korperwiderstand ergibt sich somit gemaI3 Formel (4-289) aus dem Produkt von Beiwert, Anstrom-Staudruck und Bezugsflache. Der Widerstandsbeiwert, welcher die analytisch nicht faobaren Einflusse enthalt, ist dabei wieder fur die jeweilige Korperform abhangig von Rauhigkeit und REYNOLDS-Zahlexperimentell zu bestimmen, z. B. im Windkanal (Bild 6-49). Da jedoch meist ausgepragte iiberkritische Situation (turbulente Grenzschicht, GI. (3-52)) vorliegt, ist der Re-EinfluD gering und deshalb oft vernachlassigbar.

Sr = 0,14 bei Re = 60 bis Sr = 0,15 bei Re 2 1000. Der Re-Bereich, in dem WirbelstraBen auftreten, betragt mit Re = c . Dlv: 60 1 Re < 2 . lo4 (laminar, G1. (3-52b)) Nach ECKkonnen die lbtigen Schwingungen infolge der K~RMAN-Wirbel durch unregelmaBige Stolperkanten vermieden werden, z. B. bei Kaminen Bleche wendelformig ansteigend angeordnet. 4.3.2.4 Gesamtwiderstand Der Gesamtwiderstand, bei Flugeln als Proflwiderstand bezeichnet, ist die Summe aus Flachenund Formwiderstand. Er ist nur verminderbar bei Beachtung der Optimierungsbedingungen beider Anteile und deren Zusammenwirken, d. h. gegenseitige Beeinflussung:

Mit lw= (W,R . Ao/Ast + (w,D,bei allgemein A, statt As, gesetzt, ergibt sich die allgemeine Widerstands-Formel (-Ansatz, -Beziehung) der AuDenstromung:

Die Bezugsflache Aw wird auch als Widerstandsflache (Index W) bezeichnet. Exakter muBte es Widerstandsbezugsflache heiBen. In Anlehnung an Bild 4-1 14 kann gesetzt werden: a) Langsangestromte Platten und Stromlinienkorper:

IW% IW,Rund

Aw = A0

c) Auftriebskorper, wie Tragflachen u. dgl.: mit A,, Grundflache (senkrechte Projektion) nach G1. (4-298).

Druckbeiwert: Zum Kennzeichnen des Druckverlaufes an umstromten Korpern und damit des Widerstandes wird auch der sog. Druckbeiwert

verwendet, wobei bedeuten: Ap = p - p , ortliche Druckanderung, Differenz zwischen ortlichem statischen Druck und statischem Anstromdruck. q, = Q, . c;/2 Anstromungs-Staudruck Werte fiir die Gesamtwiderstandsziffer 4, sind in Tabelle 6-16, Bild 6-45 und Bild 6-46 aufgefiihrt, wobei auch hierbei in GI. (4-289) Aw durch As, zu ersetzen ist. Die Gesamtwiderstandsziffer lwbeinhaltet gemaB Herleitung entsprechend auf die Spantflache umgerechnet beide Widerstandsanteile (Flachen und Form). Bei ublichen Widerstandskorpern - aul3er quergestellten Platten - kann der Druckwiderstand je nach Durchmesser/Langen-Verhaltnis gemaB Bild 4-1 14 gunstigenfalls bis auf etwa 10% des Gesamtkorpenviderstandes abfallen. Meist liegt er bei ca. 20 bis 40 %. Korper geringsten Widerstandes sind solche nach Bild 4-122, Teil g. Widerstandsmindernde Langsrillen. An der Korperoberflache in Stromungsrichtung angebrachte kleine gleichmaI3ige wellenartige Langsrillen be-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

stimmter, experimentell zu ermittelnder Abmessungen wirken widerstandsvermindernd, und zwar zu einem Wert bis ca. 10% gegeniiber technisch glatter Oberflache, z. B. bei Flugzeugtragflachen. Der Effekt wurde zuerst bei Haien beobachtet, deren Hautoberflache kleine (mikroskopische) Langsrillenstrukturen aufweisen. Als giinstig erweisen sich Rillenabmessungen mit dem Breiten/ Tiefen-Verhaltnis von etwa 2,O der etwa kreisbogenformigen Langsrillen bei einer Tiefe im Bereich von 0,03 bis 0,3 mm. Das ist etwa die zweibis dreifache Dicke ') der laminaren Unterschicht (Abschnitt 4.1.4.4). Die theoretische Begrundung der widerstandsmindernden Wirkung solcher Rillenmuster, der sog. Rilleneffekt, steht letztlich noch aus. Angenommen wird, daB die Langsrillen den turbulenten Queraustausch vermindern und damit den zugehorigen Verlust an mechanischer Energie. Eine andere, durch numerische Stromungsberechnungen (DNS, Abschnitt 4.3.1.8) untermauerte Erkenntnis geht davon aus, daB die Stromungsreibung dann abnimmt, wenn die immer vorhandenen, in Stromungsrichtung gestreckten turbulenten Wirbel, die Langswirbel, im Durchmesser groBer sind als der Rillenabstand. Dadurch stiitzen sich dann diese Wirbel nur an den Rippenspitzen und reiben so an einer kleineren Flache, als dies bei einer ebenen Platte der Fall ware. Daraus resultiert die Widerstandsverminderung. Sind die Rillen-Abstande dagegen breiter als der Durchmesser der Langswirbel, sinken diese in die Rillen-Vertiefungen und reiben dann an einer entsprechend vergroBerten Flache, was eine Erhohung des Widerstandes zur Folge hat. Mit feinen Harchen besetzte Oberflachen wirken durch selbsttatiges Ausrichten in Stromungsrichtung ahnlich widerstandsvermindernd wie der Rilleneffekt, wenn auch aus anderer, ebenfalls nicht genau bekannter Ursache. Fahrzeugwiderstand

Der Luftwiderstand von Fahrzeugen ist hauptsachlich Formwiderstand, der Flachenwiderstand also vergleichsweise gering (Tabelle 4-10). AuBerdem ist bei den heutigen hohen Geschwindigkeiten der gesamte Fahrzeugwiderstand iiberwiegend Luftwiderstand. Bis zu Fahrgeschwindigkeiten von etwa 60 bis 80 km/h ubenviegt der Rollwiderstand, der bei richtigem Reifendruck 1 bis 2 % des Fahrzeuggewichtes betragt. Roll- und Luftwiderstand 'I

BARTENERFER, M. und BEIHERT,D. W.: Die viskose Stromung iiber behaarte Oberflachen. ZFW 15 (1991).

273

Tabelle 4-10. Gesamtluftwiderstand; Anteile. Widerstands-Anteile

Einzelwiderstandsbeiwerte, ,c

Formwiderstand Flachenwiderstand Interferenz-Widerstand EinfluB von zerkliifteter Unterseite, Leisten, Fenster usw. Innerer Widerstand

0,262 0,04 0,031

Gesamtwiderstand, Z,,[

,

,

0,064 0,053 0,45 (Luftwiderstandsbeiwert),c

liegen somit bei ca. 70 km/h Fahrgeschwindigkeit (Mittelwert) etwa gleich hoch. Bei noch hoheren Geschwindigkeiten ist dann der Luftwiderstand von groBerer Bedeutung. Er wird zudem etwa zur Halfte von der Fahrzeugheck-Gestaltung verursacht. Bei 120 km/h Fahrgeschwindigkeit betragt der Luftwiderstand schon ca. 80 % des Gesamtwiderstandes. Die aerodynamische (windschnittige) Formgebung des gesamten Aufbaues wird deshalb imrner wichtiger, um den Fahrwiderstand und damit den Kraftstoffverbrauch herabzusetzen. Eine Widerstandssenkung von 10% ergibt z.B. eine Kraftstoffeinsparung von etwa 3 bis 4%. Bei Lastkraftfahrzeugen sind Roll- und Luftwiderstand bei allen iiblichen Geschwindigkeiten etwa gleich groB. Bei Ziigen und Schiffen iiberwiegt der Reibungswiderstands-Anteil (ca. 85 %) mehrfach den des Formwiderstandes (ca. 15 %). -+ Plattenstromung. Bei StraBenfahrzeugen bestehen umgekehrte Verhaltnisse (Bild 4-1 14). Bei Fahrzeugen liegt zudem die vorhandene REYNOLDS-Zahl meist wesentlich iiber 3 . lo6, also weit im turbulenten Bereich (Gl. (3-52a). Deshalb ist Re praktisch ohne EinfluB mehr auf den Widerstandsbeiwert 5, (technisch rauher iiberkritischer Fall). Unter Beriicksichtigung der Luft-, d. h. Windgeschwindigkeit cL, ergibt sich fur Fahrzeuge nach Bild4-124 mit der Fahrzeug-Stirnflache A,, x B . H: Luftwiderstand (entgegen Fahrtrichtung):

Hierbei Relativgeschwindigkeit in Fahrtrichtung

274

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

h:r f

3

7

--

C----

CLU,F

\

L

c~ J

L

9

Bild 4-124. Bewegtes Fahrzeug (Fahrgeschwindigkeit c,) unter WindeinfluB. Luftgeschwindigkeit c,, unter Winkel a zur Langsachse.

Fur die verschiedenen Windrichtungen gilt somit bei: Gegenwind, Bild 4-124, W = CF + CLu,*= CF + CLu

'

COS CI

'

COS CI

Ruckenwind W = CF - CLu, F = CF

Windstille (c,,

- CLu

= 0)

Bei der Stirnflache A,, als grol3tem Spantquerschnitt in Fahrtrichtung ist die wirksame Reifenstirnflache meist vernachlassigbar. Falls kein genauer Wert fur As, bekannt, kann gemaB zuvor, ersatzweise in meist guter Naherung nach Bild 4-124 gesetzt werden: As, z B . H Bemerkungen: In der Fahrzeug- und Flugzeugtechnik wird der Luftwiderstandsbeiwert iwmeist mit Cw bezeichnet, was nach DIN 5492 ebenfalls zulassig ist. Der Einheitlichkeit wegen (Platten, sonstige Korper) wurde hier jedoch auch bei Fahrzeugen 5, beibehalten. Wichtig fiir den Luftwiderstand ist gemaR G1. (4-290) das beeinfluDbare Produkt von Beiwert und Stirnflache (Bezugsflache), das ein Minimum werden sollte.

Vortriebsleistung zur ~ b e n v i n d u ndes ~ Luftwiderstandes: Bei Windstille (c,,= 0, weshalb Zweitindex 0) ist w = cF und damit

Die zu iiberwindende Widerstandsleistung ist nach G1.(4-293) proportional der dritten Potenz der Fahrgeschwindigkeit. Hiermit begrundet sich, weshalb Leistungsbedarf und damit Kraftstoffverbrauch mit wachsender Fahrgeschwindigkeit erheblich ansteigen. Widerstandsbeiwerte iwvon Fahrzeugen, die, wie envahnt, meist nicht mehr von der REYNOLDSZahl abhangen, da oberhalb des ubergangsbereichs (Re 9 Re,,), enthalt ebenfalls Tabelle 6-17; experimentell ermittelt in Windkanalen (Bild 6-49). Der Luftwiderstand von Fahrzeugen hangt entsprechend von den Einflussen ab, die in den vorhergehenden Abschnitten geschildert wurden: a) Formgebung + Schlankheit, abgerundete ubergange, langerer Auslauf, Leitflachen, Stromungsteiler, sog. Spoiler, AbreiBkanten zur gunstigen Festlegung der Stromungsablosung. b) Kuhler- und Beluftungssystem c) Oberflachenrauhigkeit (Lackflachen, meist technisch glatt) d) Fahrbahnzustand (meist nicht exakt erfaBbar) Der gesamte Luftwiderstand besteht insgesamt aus den Anteilen: - Formwiderstand - Flachenwiderstand - Interferenz-Widerstand (gemaB Bild 4-120) - Innenwiderstand wegen Kuhlung und Luftung. Nach ECK ergibt sich fur die klassische PKWForm eine Aufteilung des Gesamtluftwiderstandes in die Einzelwiderstande [I 21 gemaR Tabelle 4-10. Des weiteren treten bei Fahrzeugen die Querkraft (Auftrieb) und bei Seitenwind die gefahrliche Seitenkraft auf. Der Auftrieb (Tragflacheneffekt), der die Bodenhaftung verringert, kann bei groRen Geschwindigkeiten bis 10% des Fahrzeuggewichtes betragen (Bild 4-125). Die Auftriebswirkung wird dabei um so groBer, je starker die Fahrzeugoberseite gekrummt ist (Abschnitt 4.3.3.8.6) und die Stromung anliegen bleibt. Die Seitenkraft erreicht bei ungunstigen Windverhaltnissen (Richtung, Starke) oftmals Werte, die grol3er sind als die ubliche Widerstandskraft.

Spoiler: Durch giinstig angeordnete Leit- oder Ablenkbleche, sog. Spoiler (engl.: to spoil . . . verderben, vernichten), sind widerstands- oder auftriebsvermindernde Wirkungen erzielbar, jedoch meist beides nicht zugleich, sondern sogar oft gegensatzlich.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

275

Frontspoiler, auch als Bugspoiler bezeichnet, angeordnet an der Karosserieunterkante im Bereich des vorderen StoRfangers, leiten die anstromende Luft verstarkt seitlich ab. Durch die entsprechend verringerte Unterstromung entsteht neben Widerstandsverminderung Unterdruck an der Fahrzeugunterseite, der durch ,,SogwirkungU die Bodenhaftung erhoht (Bild 4-126). Heckspoiler im Bereich des Stromungsablosungsgebietes (Bild 3-21) angeordnet, verringern die Riickstromung und verkleinern dadurch das Totraumgebiet (weniger energieverzehrende Wirbel), Bild 4-127. Sie bewirken verringerten Widerstand (Vorteil), jedoch infolge verbesserter Fahr-

Bild 4-126 Bugspoiler I.Einflul3 auf die Druckverteilung uber dem Fahrzeug-Langsschnittbei verschiedenen Spoilerhohen ( H u c ~ oW.-H.) , 0 ohne Spoiler; 0 100 mm Spoilerhohe; A 150 mm Spoilerhohe.

zeugstromung erhohten Auftrieb (Nachteil). Bei entsprechender Anordnung (Bild 4-128) kann andererseits Abtrieb (umgekehrte Tragflachenwirkung) erzielt werden, was die Bodenhaftung erhoht, jedoch dann mit groDerem Vortriebswiderstand Fw erkauft werden muR. U b druck

e

r

- untenp

~

Unterdruck

A

:

xi

Gerauscherzeugung: Wie am Ende von Abschnitt 4.1.1.3.4 erwahnt, steigt der SchallpegelL,, - MaB fiir die Windgerausche - von Fahrzeugen nach LIGHTHILL mit der 6. bis 7. Potenz der Umstro-

oben

-

-0,s

1

Fahrzeugboden

Bild4-125. Druckverlauf uber Fahrzeug-Langsschnitt infolge Umstromung. Aufgetragen Druckbeiwert C, nach G1. (4-289a). , A) Prinzipdarstellung, B) gemessen in Fahrzeugmittelschnitt ( H u c ~ oW.-H.)

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

276

Bild 4-127. WiderstandsmindernderHeckspoiler (Prinzipdarstellung). a) Ohne Spoiler, groBeres Totraumgebiet; b) mit Spoiler, kleineres Totraumgebiet

mit Spoiler

miissen extrem glatt sein, auch an der Unterseite. Schon kleine lokale Ablosungen, die sich einzeln im Luftwiderstand kaum bemerkbar machen, bringen sich jedoch sehr wohl deutlich zu Gehor. Die Aero-Akustik stellt daher an die FahrzeugLinienfiihrung noch wesentlich hohere Anforderungen als ein niedrigerer Luftwiderstandsbeiwert. Deshalb gilt fur beide, Aerodynamik und AeroAkustik, als Ziel die Erfiillung der Forderung ,,so glatt (windgiinstig) wie moglich".

Stromungsgeriiusche (Fluidschall) stellen eine grolje Gruppe der technischen Gerausche dar. Bei Beschrankung auf das Fluid Luft handelt es sich in den meisten Fallen um unmittelbar wirkenden Luftschall. Die Luft wird dabei durch Turbulenzanregung selbst zu oszillatorischen Bewegungen veranlaljt, die entsprechende Druckschwankungen zur Folge haben. Letztere breiten sich mit Schallgeschwindigkeit aus und konnen direkt als Luftschall wahrgenommen werden, wenn die Frequenz im Horbereich liegt.

ezs b) ohne Spoiler

63 -Cp < 0

Bild 4-128. Auftriebsmindernder Heckspoiler. Isobaren eingetragen, gekennzeichnet mit Druckbeiwert C, nach G1. (4-289a). a) mit Spoiler: Kleineres Unterdruckgebiet + Cp teil-

weise positiv (Abtrieb). b) ohne Spoiler: Groljeres Unterdruckgebiet -+ Cp negativ im gesamten Bereich (Auftrieb). mungsgeschwindigkeit (Relativgeschwindigkeit w , GI. (4-291)), also Ls,

-

(60 bis 70) . Ig

G3 -

[dB]

Stromungsgiinstige Fahrzeuge sind nicht zugleich schallgiinstig. Dagegen gilt das Umgekehrte. Fahrzeuge mit niedrigem Windgerauschpegel

Aeropulsive Gerausche: Diese beruhen auf der Erzeugung von Wechseldruck in der Luft durch Verdrangung. Zum einen sind es pulsierende Stromungsvorgange, bei denen ein begrenztes Luftvolumen rhythmisch ausgestoben bzw. angesaugt wird. Die dadurch hervorgerufenen Druckausgleichsvorgange mit der unmittelbaren Umgebung bauen im Wechsel ~ b e r und Unterdruck sowie dann Unter- und aberdruck auf. Diese Druckschwankungen pflanzen sich in der Luft mit Schallgeschwindigkeit fort. Die zugehorigen Gerausche wirken knatternd und konnen sehr laut sein. Der Hauptanteil der abgestrahlten Schallenergie liegt im Bereich der Pulsationsfrequenz. Beispiele hierzu sind Ausstoljungsgerausche am Auspuff von Verbrennungsmotoren, am Auslaljventil von Kompressoren und Druckluftgeraten. Sie konnen auch Verdrangungs- und Ansaugvorgange sein, wie beispielsweise an den Profilrillen rollender Autoreifen beim Zusammenpressen im StraSenberiihrungsbereich, oder dem gemeinsamen Zwischenraum von m e i periodisch ineinandergreifenden Maschinenteilen (z. B. Zahnrader). Zum anderen handelt es sich um Luftverdrangung durch bewegte, speziell durch rotierende Korperelemente.Letztere schieben beim Drehen ein ~ b e r druckfeld vor sich her und ziehen hinter sich ein Unterdruckfeld nach. Fur einen gegeniiber dem bewegten Element ruhenden Beobachter bedeutet dies aber ein Druckwechselspiel innerhalb einer Umdrehung des Korpers. Demzufolge entsteht im

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Fall rotierender Rader, besonders bei solchen mit Speichen, Schaufeln und Blattern, oder die profiliert sind, in der umgebenden Luft ein periodischer Wechseldruck. Das zugehorige Gerausch wird Drehklang genannt. Ein solcher Drehklang kann z. B. an rotierenden Propellern, Ventilatoren und Turbinenradem wahrgenommen werden. Frequenz f = z . n mit z Speichenzahl; n Drehzahl. Gerauschentstehunginfolge Wirbelbildung: Wirbelbildungen verursachen bei der Umstromung von Hindernissen Gerausche mit Dipolcharakter, die bei hoheren REYNOLDS-Zahlen zu regellosen Geschwindigkeitsschwankungen in der Wirbelzone fiihren. Dadurch wird nicht nur Korperschall im Hindernis angeregt, sondern es werden in der Wirbelzone selbst Druckschwankungen induziert. Letztere pflanzen sich wiederum in der Luft mit Schallgeschwindigkeit fort und werden im Horbereich als Gerausch wahrgenommen. Beispiele hierfur sind Windgerausche an Fahrzeugen und die Gerausche von Stromungsmaschinen. Unterhalb Re x lo6 sind die turbulenzbedingten Stromungsgerausche an Korpern weniger stark und zwar um so weniger, je kleiner Re wird. Bei relativ kleinen REYNOLDS-Zahlen stellt sich die KARMANSC~~ WirbelstraBe (Abschnitt 3.3.5) rnit periodischer Wirbelbildung ein. Die zugehorigen Gerausche, die Hiebtone, nehmen mit kleiner werdender Re-Zahl immer mehr schmalbandigen Charakter an. SchlieBlich konnen Wirbel und darnit Gerausche rnit Hiebcharakter bis zu breitbandigem Rauschen entstehen, auch in Rohrleitungen und Stromungskanalen sowie in durchstromten Einbauten (Abschnitt 4.1 .I .5), oder wenn sich die Stromung an plotzlichen Querschnittsanderungen und schroffen Umlenkungen ablost. Wirbelablosungen treten ebenfalls an in die Stromung hineinragenden scharfen Kanten, an Schneiden und an nicht biindigen MeBstutzen auf. Hierbei wird von Schneiden- oder Kantentonen gesprochen rnit den gleichen Eigenschaften wie die Hiebtone.

277

stationarer schleichender Kugelumstromung Diese S T O K E S SFormel, C ~ ~ verglichen rnit der allgemeinen Widerstandsbeziehung

ergibt mit Re = c, . Dlv und v = V/Q (exakt y,/~,) fur die zugehorige Widerstandszahl Der Vergleich der SToKEsschen Widerstandsformel, G1. (4-294), bzw. der daraus abgeleiteten Widerstandszahl, GI. (4-295), rnit Versuchsergebnissen zeigt, daB diese Formel nur im Bereich Re < 1 rnit guter Genauigkeit gilt. Das in der MeBtechnik zur Viskositatsbestimmung eingesetzte Kugelfall-Viskosimeter nach H~~PPLER beruht auf der SToKEsschen Formel. ~ b e das r Messen der Zeit einer rnit konstanter Geschwindigkeit sinkenden Kugel in einer festgelegten Fallstrecke kann die bei der Priiftemperatur vorhandene Viskositat des untersuchten Fluides bestimmt werden. Die auf die Kugel wirkende Archimedische Auftriebskraft F, ist dabei zu beriicksichtigen. Wenn alle Werte bekannt sind, ist aus der STOKESschen Formel iiber die Gleichgewichtsbedingung bei stationarer Bewegung (a, = 0) -+C F = 0 die maximale Fallgeschwindigkeit der Kugel in einem Fluid aus Fw nach G1. (4-294) bestimmbar, oder umgekehrt die Viskositat, wenn die Geschwindigkeit meBtechnisch festgestellt wird -+ c, = AslAt rnit Fallstrecke As in der Zeit At.

Entsprechendes gilt bei Verwenden von G1. (4-289) fur andere Widerstandskorper und -verhaltnisse, z. B. Fallschirme, wobei hierbei F, meist vernachlassigbar. Aus medizinischen Griinden (Knochenbruchgefahr) darf beim Fallschirmspringen die Auftreffgeschwindigkeitauf dem Boden nicht ho4.3.2.5 S ~ o ~ ~ s s c Widerstandsgesetz hes Die alteste bekannte Losung der NAVIER-STOKES-her als 7 bis 8 m/s sein, was deshalb einen entspreGleichungen (Abschnitt 4.3.1) fur schleichende chend groBen Fallschirm erfordert. Bewegung (Re I 1; Abschnitt 3.3.2.2.4), d. h. unter Vernachlassigen der dabei vergleichsweisen klei- Erganzung: Wassertropfen von I mm Durchmesser, Widerstandsziffer ,( z 0,5, erreichen eine nen, bzw. nicht vorhandenen Tragheitsglieder Q . (bei Stationaritat), wurde von STOKESfur die Fallgeschwindigkeit von etwa 4,7 m/s. Die REYNOLDS-Zahl betragt dabei ungefahr 300. Dies Translationsstromung um eine Kugel angegeben. Unter Verzicht auf die Darstellung der Ableitung berechnet sich aus Beziehung (4-296) bei Fa % 0, gilt nach STOKESfur die Widerstandskraft bei zusammen mit GI. (4-289) und (3-45).

278

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

der die beiden Stromungskomponenten Translation und Zirkulation gleichgerichtet verlaufen. Welche Kraft wirkt auf einen 100m ho- Ein ideales Fluid kann somit auf einen Korper hen, leicht kegelformigen Kamin bei keinen Widerstand, wohl aber eine Querkraft (dyOrkan mit Luftgeschwindigkeit c,, = 25 m/s (Ta- namischer Auftrieb) ausuben, sog. E u ~ ~ ~ s cPahes belle 6-12)? FuBdurchmesser des Kamins 4 m, radoxon. Voraussetzung hierfur ist offenbar das Kronendurchmesser 2 m, Luft von 20 O C ; 1bar. Vorhandensein einer Zirkulation T. Fehlt diese ( r = 0), d. h. es besteht Symmetriestromung, ubt Welche Hochstgeschwindigkeit auf waag- ein ideales Fluid uberhaupt keine Kraft auf den rechter StraDe erreicht ein windschnittiger umstromten Korper aus (D'ALEMBERTSC~~S ParaMittelklassewagen rnit den mittleren Karosserie- doxon). querschnitts-MaBen: Hohe H = 1,2m; Breite Diese Ergebnisse stehen jedoch im Widerspruch B = 1,6 m; Motorleistung I10 kW; Getriebe-Diffe- zu den Erfahrungen aus der Korperumstromung rential-Wirkungsgrad 80 %? Der Rollwiderstand durch reale Fluide. Wie schon bei der Plattenstrosoll in diesem Zusammenhang aul3er Betracht mung (Abschnitt 4.1.4) erkannt, uben reale Fluide bleiben, und es soll Windstille angenornmen wer- einen Bewegungs- bzw. Stromungswiderstand auf den. den Korper aus, der durch die infolge Viskositat vorhandene Fluidreibung verursacht wird. Ein PKW, Marke VW-Golf, Karosserie- Durch entsprechende Formgebung des umstromhohe 1,41m, Karosseriebreite 1,6l m (Son- ten Korpers kann erreicht werden, daB der enerdermaDe), Gesamtmasse 1200kg, sol1 eine Stei- gieverzehrende Stromungs- bzw. Fortbewegungsgung von 5 % mit einer Geschwindigkeit von widerstand moglichst klein gegenuber dem Quer100 km/h uberwinden. Welche Leistung mu0 der trieb gehalten wird. Die resultierende Kraft auf Motor abgeben, wenn der Antriebswirkungsgrad den Korper besteht dann im wesentlichen aus dem 85 % betragt, Gegenwind von 10 m/s unter 30" zur dynamischen Auftrieb. Solche stromungsgunstig Fahrzeuglangsachse herrscht und der Rollwider- ausgebildeten Auftriebskorper werden als Tragstand aul3er Ansatz bleibt? fliigel oder kurz als Fliigel bezeichnet. Tragflugel sind nicht nur fur Flugzeuge, sondern Eine Glaskugel (Q, = 2,5 kg/dm3) von auch fur Stromungsmaschinen (Pumpen, Turbi10mm Durchmesser sinkt in dem zu prii- nen) und Antriebspropeller von groBer praktifendem Fluid (Q, = 0,85 kg/dm3; 20 "C) innerhalb scher Bedeutung. Sie konnen profiliert (Profile) einer Fallzeit von 3,8 s mit konstanter Geschwin- oder nicht profiliert (einfache Schaufeln, also als digkeit um 600 mm ab. Welche kinematische Vis- ebene oder gekrummte Platten) ausgebildet werden. kositat hat das Fluid? Der Tragjliigel muB die zur Entstehung der AufWelchen Durchmesser mu13 ein Fall- triebskraft notwendige Zirkulation selbst erzeuschirm aufweisen, wenn die zu tragende gen. Hierzu muB der Querschnitt des Flugels eine Masse von insgesamt 120 kg nicht schneller als mit entsprechende Form erhalten und/oder entspre8m/s auf der Erde aufschlagen darf. Angenom- chend angeordnet sein. Im allgemeinen werden die mene Fallschirmform: Nach unten geoffnete Profile mit verschiedener Krummung an der Oberund Unterseite ausgefuhrt. Venvendbar sind jeHalbkugelschale. doch auch symmetrische Profile oder Platten, wenn sie urn einen entsprechenden, meist kleinen Winkel gegen die Stromung schrag angestellt 4.3.3 Krafte an umstromten Tragflachen werden. Profile sind im Unterschallbereich vorne (Flugelnase) gut abgerundet und laufen nach 4.3.3.1 Grundsatzliches Nach dem Auftriebssatz von KUTTA-JOUKOWSKY hinten (Hinterkante) moglichst spitz zu. Diese (Abschnitt 4.2.9.2) wirkt auf einen Korper in idea- werden in den folgenden Abschnitten betrachtet. gelten andere Verhaltnisse ler Parallelstromung mit uberlagerter Zirkulation Im ~berschall~ebiet eine Kraft, die senkrecht zur Anstromrichtung ge- (Abschnitt 5.5.3). richtet ist. In Stromungsrichtung dagegen wird keine Kraft auf den Korper ausgeubt. Die Quer- Analog zur Kugelumstromung gemaD Bild 4-62 oder Auftriebskraft wirkt dabei in die Richtung, in und Abschnitt 4.2.9 entsteht auch bei Flugeln

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

279

Aufirieb (dynarnischer) nur dam, wenn eine gleich groBe vertikale Impulsanderung erfolgt. Dies wird erreicht, indem die Tragflache Luft nach unten ablenkt. Um sein Fallen zu verhindern, muJ3 der Flugel demnach Luft nach unten drangen. LORD RAYLEIGH bezeichnete dies als Prinzip des Opfers. GemaB Impulssatz ergibt sich mit dem durch den Flugel erfaBten und mit der Geschwindigkeit c, (senkrechte Komponente) nach unten abgedrangten Volumenstrom k

FA=ern.v.cL

(4-297a)

Beim Flugzeug dient die Tragflache zur ~ b e r w i n dung der Schwere, wahrend der Widerstand durch die Antriebsorgane (Propeller oder Strahltriebwerk) kompensiert wird. Bei gleichformiger geradliniger Bewegung stehen demnach zum einen Auftrieb mit Schwere und zum anderen Vortrieb mit Widerstand gerade im Gleichgewicht. Bei Stromungsmaschinen und Propellern dienen die Schaufeln zur Umsetzung von mechanischer Energie uber Schuberzeugung (Quertrieb) in Stromungsenergie oder umgekehrt.

Bild 4-129. Profil-Bezeichnungen. Die Profilskelettlinie wird auch als Wolbungs- oder Profilmittellinie bezeichnet. Koordinaten-Bezeichnung (x; y) oder (t; n). Winkel 6 nach oben plus, nach unten minus gegeniiber der ungestorten Anstromrichtung gema13 Geschwindigkeit c,.

. . . Anstellwinkel (Anstellung), Winkel 60 Ca

Ein Tragflugel (Auftriebskorper oder -flache) ist fur die ihm zugeordnete Aufgabe der Quertriebserzeugung um so besser geeignet, je groBer die dynamische Auftriebskraft FAim Vergleich zur nicht vermeidbaren Widerstandskraft Fw ist. Das Verhaltnis von beiden Kraften wird als Gleitzahl 8 und der zugehorige Winkel y als Gleitwinkel bezeichnet: (4-297) e = tan y = Fw/FA Ein Profil ist demnach um so besser, je kleiner 8 (bei moglichst grol3em FA).Die Gleitzahl E ist also eine Guteziffer. Die Gleitzahl hangt auDer von Flugelform und -dicke wesentlich von dessen Stellung gegen die Anstromrichtung (Anstellwinkel 6) ab. AuRerdem beeinflussen REYNOLDS-Zahl, MACH-Zahl,Oberflachenrauhigkeit und Dicke sowie Krummung des Fliigels seine Gleitzahl. Bei guten Fliigelprofilen ist die Gleitzahl bei geringer Anstellung (6 < 8") sehr klein. Derzeitiger Kleinstwert: E z 0,015. In diesen Fallen ist der Quertrieb ein Vielfaches des Widerstandes, Tabelle 6-18. Hubschrauber erreichen bei ,,mitgeschlepptem", d. h. motorlos drehendem Rotor Gleitzahlen bis 0,2, also E 2 0,2.

4.3.3.2 Bezeichnungen Die fur die Flugelstromungen wichtigen GroBen sind in Bild 4-129 eingetragen. Dabei bedeuten:

N L b

A,,

A x, t y, n

f flL xf xf/L d dm,, d/L

zwischen Anstromrichtung und Bezugslinie (Profilsehne bzw. -tangente) . . . Nullauftriebswinkel (FA= 0) . . . Ungestorte Anstromgeschwindigkeit . . . NasenfuBpunkt . . . Profillange oder -tiefe . . . Tragflugelbreite oder Einzel(-Fliige1)Spannweite. Profilbreite senkrecht zur Profiltiefe L . . . Tragfliigelflache (Einzelflugel) AFI= 1L . db (4-298) bei L = konst (Rechteckflugel) ist A,,=L.b . . . Seitenverhaltnis a = A,,/b2 bei L = konst ist i= Llb . . . Flugelstreckung, Schlankheit A = 1/12 meist A = 4 . . . 6 (. . .8) . . . Langs- oder Tangentialrichtung . . . Senkrecht-, Quer- oder Normalenrichtung . . . Pfeilhohe (maximale Wolbung der Skelettlinie) . . . Wolbungsverhaltnis (0 bis 0,05) . . . Wolbungs- oder Pfeilhohenabstand . . . Wolbungs- oder Pfeilhohenrucklage Richtwerte x,lL = 0,3 bis 0.5 ... Profildicke d = y o -y, . . . Maximale Profildicke . . . Dickenverhaltnis (relative Dicke); maximales: dma,/L.Richtwerte: dmax/L= 0,05 bis 0,15 (0,20)

280

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

. . . Dickenabstand x,,,,, / L . . . Dickenrucklage (0,3 bis 0,5) r . . . Nasenradius s . . . Druckmittelpunktabstand s/L . . . Druckmittelpunkt-Riicklage

Xd

Profilmessung y =f (x) mit x in % von L wobei Profiloberseite yo = fo (x) Profilunterseite y, = f,(x) Funktionen f o (x) und f,(x) meist fur punktweises Festlegen des Profiles tabelliert, z. B. Bild 6-46. Profilsystematik: Systematische Zusammenstellung einer Profilreihe fur die verschiedensten Anwendungszwecke. Zwei Profilsystematiken sind gelaufig: Gottinger Proflsysternatik Entwickelt von der Gottinger Versuchsanstalt (GProfile). NACA-Proflsysternatik NACA . . . National Advisory Commitee for Aeronautics, Washington (NACA-Profile). Nachfolgeorganisation ist die NASA (National Aeronautics and Space Administration).

Nullrichtung oder Nullauftriebsrichtung ist die Anstromrichtung, bei der sich kein Auftrieb ergibt (FA= 0). Zugehorig ist der Nullauftriebswinkel 60, die sog. Nullanstellung. Die Nullrichtung geht meist durch den Skelettlinienpunkt der grol3ten Wolbung, also (x,; y, =f ) .

Die Re-Zahl wird also auf die Profiltiefe L (Bezugslange) bezogen. Die auf Tragfliigel wirkenden Krafte, Auftrieb FA und Widerstand F, sind in Bild 4-1 30 eingetragen, zur Resultierenden FR,, zusammengefaBt und diese wieder in die Tangentialkomponente 4 sowie die Normalkomponente F, zerlegt. In Bild 4-130 bedeuten: D . . . Druckmittelpunkt oder kurz Druckpunkt; resultierender Kraftangriffspunkt auf der Bezugslinie, abhangig von der Druckverteilung auf der Profiloberflache. s . . . Abstand des Druckmittelpunktes vom NasenfuDpunkt N (Druckpunkt-Abstand oder -Rucklage). Meist s % L/4 (Richtwert).

Profilsehne und Profltangente liegen meist so Kraifie: dicht beisammen, daD oft nicht zwischen ihnen un- FA . . . Auftrieb, senkrecht zur Anstromrichtung terschieden wird. Zudem ist nicht einheitlich, auf F, . . . Widerstand in Anstromrichtung. Profilwelche der beiden Linien bezogen die Profilkontur widerstand als Summe von Flachen- und in den Profiltabellen (z. B. Bild 6-47) dargestellt Formwiderstand wird. So sind die NACA-Profilabmessungswerte x, y auf die Profilsehne bezogen, wahrend die Gottinger Profiltabellen von der Profiltangente als Bezugslinie ausgehen. In beiden Fallen y-Achse tangential an Profilnase (Bild 4-129). Tragprofile (mit Nummern bezeichnet) werden in Familien geordnet und diese in Serien unterteilt. Eine Tragflugelfamilie besteht aus einem Grundprofil und einer Reihe von Profilen, die durch ~ n derung von einem oder mehreren Parametern des Grundprofiles entstanden sind. Eine Tragfliigelseriebildet eine Reihe von Profilen mit derselben Gestalt, die sich voneinander nur in der GroDe des Dickenverhaltnisses d/L unterscheiden. Bei Stromungsmaschinen werden, besonders bei hohen Zustrom-MACH-Zahlen,auch sog. Doppelkeilbogenprofile verwendet. Bei diesen besteht Bild 4-1 30. Krafte am Tragfliigel. Resultierende Kraft sowohl Profiloberseite als auch Profilunterseite je F,,, am Druckmittelpunkt D mit Komponentenzerlegunaus einem Kreisbogen. Beide Kreisbogen tangie- gen einerseits in Auftrieb und Widerstand (FA,F,) sowie andererseits in Normal- und ~an~entialkraft-(F,, 4). ren den Nasen- und Hinterkantenradius.

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

F,,,

4 F, F'

. . . Resultierende von FAund Fw, sog. Profilgesamtkraft, oder kurz Profilkraft . . . Tangentialkomponente von FR,, . . . Normalkomponente von FR,, . . . Scheinkraft, die an der Fliigelhinterkante normal wirkend gedacht wird und so grol3 ist, daS sich das auf das Profil in bezug auf den NasenfuSpunkt N wirkende Moment F,.sergibt, also F , . s = F 1 . L = M .

Bemerkung: Die regular nicht vorhandene Kraft F', weshalb als Scheinkraft bezeichnet, konnte, wenn der Fliigel am Nasenpunkt N drehbar gelagert ware, mit einer an seiner Hinterkante angebrachten Merjeinrichtung festgestellt werden.

4.3.3.3 Krafte am unendlich breiten Tragfliigel Um den EinfluO der Randumstromung (Abschnitt 4.3.3.9) auf die Krafte auszuschlieSen, wird der Tragfliigel als unendlich breit (Spannweite) angenommen. Dadurch ergibt sich ein ebenes Stromungsproblem. Diese Verhaltnisse, d.h. gleichmal3ig iiber die Spannweite verteilter Auftrieb, konnen auch angenahert erreicht werden, wenn der Tragfliigel seitlich durch senkrechte Wande, Bild 4-131, begrenzt wird. Dann ergeben sich auf allen zu den seitlichen Begrenzungswanden parallelen Schnittflachen gleiche ebene Stromungsbilder. Die zu den Einzelkraften FAund FwzusammengefaBten Wirkungen folgen aus Druckverteilung (Auftrieb) sowie Reibung - einschliefilich Wirbel - der Stromung an der gesamten Profiloberflache. Die Widerstandskraft von Tragfliigelprofilen besteht dabei gemaB

281

Abschnitt 4.3.2 aus Druck- und Reibungswiderstand, deren Quotient etwa so groJ3 ist wie das maximale Profil-Dickenverhaltnis, also:

Hinweis: Die Reibungskrafte der Seitenplatten miissen dabei aul3er Ansatz bleiben und sind deshalb iiber separates Feststellen (berechnen und/ oder messen) rechnerisch zu eliminieren. Wie schon friiher ausgefiihrt, sind die Krafte bei realen Stromungen letztlich versuchsmaDig zu bestimmen. Hierzu dienen Windkanale, die vielfach sehr aufwendig sind. Zur einfachen experimentellen Gestaltung und leichten ~ b e r t r a ~ b a r k eder it Modellmessungen auf verschiedene ProfilgroDen werden die Krafte auf dimensionslose Beiwerte zuriickgefiihrt. Analog zur Platten- und Korperstromung (Abschnitte 4.1.4; 4.3.2) werden mit Anstromungsstaudruck, q, = Q, . &I2 als Ansatze festgelegt (Bild 6-49): Auftriebskraft (dynamischer Auftrieb):

Widerstandskraft (Profilwiderstand):

Moment auf den Fliigel beziiglich des NasenfuDpunktes:

Hierbei sind die dimensionslosen Koeffizienten:

cA . .. Auftriebsbeiwert eW. .. Widerstandsbeiwert rM . . . Momentenbeiwert

Bild 4-131. Tragfliigel mit Seitenflachen.

mit AFl als Bezugsflache und zugehorigen Staudruck q, = Q , . (c2,/2) der ungestorten Anstromung als Bezugsdruck. Die Krafte sind also wieder zusammengesetzt aus Beiwert, Staudruck und Bezugsflache (Abschnitt 4.1.4). Die Beiwerte sind von der Form (Ausbildung) und Qualitat (Rauhigkeit) des Profiles abhangig; vor allem jedoch vom Anstellwinkel 6 und den KenngroDen Re-Zahl (laminare oder turbulente Grenzschicht) sowie Ma-Zahl (Unterschall, ~berschall).

282

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

Die in Windkanalen (Bild 6-49) experimentell ermittelten Profilbeiwerte werden graphisch im sog. Polarendiagramm, oder kurz Polardiagramm, dargestellt. Wichtig ist, darauf hinzuweisen, daD bei Profilen alle Beiwerte (lA,l,, c,) auf die Tragfliigelflache AFl bezogen sind. Beim Widerstandsbeiwert (, besteht somit ein Unterschied gegenuber den Widerstandskorpern, bei denen 5, auf die Stirnflache As, bzw. bei schlanken Korpern (Platten) auf die bestromte Oberflache A, bezogen wird (Abschnitt 4.3.2.3). Da bei Tragflugeln die Schattenflache As,, d. h. die Projektionsflache in Stromungsrichtung vom Anstellwinkel 6 abhangig und damit nicht konstant bleibt, wird als Bezugsflache A,, verwendet, die fur jedes Profil jeweils unveranderlich ist. AFl bedeutet die Projektionsflache des Profiles senkrecht zu seiner Bezugslinie, also auf die Bezugsebene. Hochzeichen O bedeutet Grad. Richtwerteformeln fur iibliche Profile:

Oder hieraus angenahert mit vorhergehenden Grenzwerten (Abschnitt 4.3.3.2):

C bezeichnet, also C,, C,, C, (vergleiche Fahrzeugtechnik, Abschnitt 4.3.2.4). Die Gleitzahl E nach GI. (4-297) geht mit den Beziehungen (4-301) und (4-302) uber in die Form:

Aus den Beziehungen (4-301) und (4-302) folgt:

Mit Hilfe von Bild 4-130 ergeben sich zwischen den einzelnen Kraften folgende Zusammenhange:

d

m

F R=~ ~ (4-306) F, = F,,,. cos(y - 6) =FA.cos 6 Fw. sin6 (4-307)

F,

= F,,,

+

. sin(y -6) =F, . cos 6 -FA . sin 6 (4-308)

Fur das Moment kann in bezug auf den NasenfuBpunkt N auch gesetzt werden:

Da der Anstellwinkel im allgemeinen klein ist (meist 6 < 127, gilt in guter Naherung:

Damit wird das Moment:

Beziehung (4-303d) bestatigt, daD Verdicken des Profils ebenso wie Verstarken von dessen Kriimmung den Widerstand erhoht (E steigt). Der Widerstandsbeiwert lwwachst durch diese MaBnahmen leider rascher als die Auftriebszahl lA ansteigt. Minuszeichen bei G1. (4-303a) und (4-303b) bedeuten: Winkel 6, nach unten gemessen, d. h. Profil gegenuber dem Horizont so weit abgeschwenkt, daD 6, zwischen Waagrechter und der dann schrag nach unten verlaufenden Bezugslinie, Bild 4-129. GemaD Potentialtheorie gilt bei geringer Anstellung (6 5 8") mit Anstellwinkel 6 im BogenmaD fur -

ebene Platte

-

Kreisbogenplatte symmetrisches Profil

-

5,

x.2

n

. 7c . 6

Bemerkung: Vielfach werden die Beiwerte gemaD Luftfahrt-Norm 9300 auch mit GroDbuchstaben

Die Beziehungen nach G1. (4-301) und G1. (4-304) in G1. (4-309) eingesetzt, ergibt fur den Druckpunktabstand:

4.3.3.4 Erzeugung der Zirkulation Wie erwahnt, mu13 der Tragfliigel so ausgebildet und angestellt sein, daD er die fur die Auftriebserzeugung notwendige Zirkulation selbst erzeugt. Wird ein angestellter Tragfliigel von einer Parallelstromung angestromt, bildet sich im ersten Moment der Stromlinienverlauf einer Potentialstromung aus, gemalj Bild 4-132. Kennzeichnend ist dabei, da13 die scharfe Profilhinterkante nach der Potentialtheorie von unten herkommend nach oben bis zum hinteren, auf der Flugeloberseite liegenden Staupunkt S, umstromt werden mu13. Die Umstromung der scharfen Hinterkante wiirde theoretisch plotzliche Richtungsanderung der Geschwindigkeit, also unendlich groDe Beschleunigung erfordern. Diese Schwierig-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Bild 4-132. Stromlinienbild bei Beginn der Tragfliigelumstromung (Potentialstromung). S, vorderer Staupunkt oder Anlegekante (-Stelle).

Bild 4-133. Wirbelbildung an der Profil-Hinterkante nach kurzer Umstromungsdauer.

keit ist jedoch nicht wesentlich. Ein Ersatz der scharfen Hinterkante des Profiles durch einen kleinen Radius behebt dieses Problem. Die Gradienten von Beschleunigung und Druck werden dann endlich. Das Stromungsbild in seiner Gesamtheit wird dadurch nur unwesentlich beeinfluBt. Dennoch sind fur scharfe Umlenkungen (kleiner Radius) gemaB G1. (3-65) groBe Druckgradienten aplan erforderlich und damit gemaI3 Energiegleichung hohe Geschwindigkeitsanderungen, was nach G1. (1-15) erhebliche Reibungswirkungen verursacht. Die Stromung mu13 dann zudem von der Hinterkante bis zum Staupunkt S, von der hohen Geschwindigkeit auf null verzogert werden, was Grenzschichtanhaufung zur Folge hat. Der anfangliche Stromungsverlauf gemaB Potentialtheorie bleibt nur solange bestehen, bis die zunehmenden Reibungserscheinungen, die Zeit zu ihrer Entwicklung benotigen, sich voll auf die Stromung auswirken und diese umgestalten. Ausgehend von einer diinnen, auf der gesamten Profiloberflache immer vorhandenen Wandgrenzschicht, welche die Potentialstromung kaum beeinfluht, muB sich erst der Endzustand der Grenzschicht ausbilden. Durch die Reibungswirkung in

283

der wachsenden Grenzschicht an der Profilunterseite kommen die wandnahen Fluidteilchen mit zunehmend stbker abgebremster Geschwindigkeit an der Hinterkante des Profiles an. Sie sind daher immer weniger in der Lage, den nach der Potentialtheorie zur gesunden Umstromung der Profilhinterkante erforderlichen Druckgradienten aufzubauen. Die Folge ist, daB die nachfolgenden Fluidteilchen, auch auBerhalb der Grenzschicht, die Hinterkante nicht mehr direkt, sondern in groBem Radius umstromen, wodurch sich ein Wirbel bildet und kein Druckaufbau erfolgt. Mit weiter zunehmender Stromungszeit wird der Kriimmungsradius dieser Umstromung immer grooer, bis die Fluidteilchen letztlich etwa tangential von der Profilhinterkante abstromen. In diesem abflieBenden Fluidstrom schwimmt dann der gebildete Wirbel mit weg. Da die Hinterkantenumstromung von unten her nicht mehr gelingt, hat die an der Profiloberseite hinten ankommende Stromung einen hoheren Druck als die untere. Sie schiebt deshalb den Wirbel mit weg und dringt in den dadurch freiwerdenden Raum. Das hat auch eine Sogwirkung nach riickwarts auf die Stromung der Profiloberseite zur Folge, mit der Konsequenz, daB der vordere Staupunkt an der Profilnase sich etwas nach unten verlagert und dann mehr Medium mit hoherer Geschwindigkeit bei kleinerem Druck oberhalb des Profiles stromt. Dadurch bildet sich letztlich vollstandig die ungleiche Profilumstromung aus. ZusammengefaBt mit anderen Worten: Die anfiangliche hintere Umstromung ist nicht stabil und kann daher nicht bestehen. Als Folge lost sich die Stromung an der Hinterkante sehr rasch ab (kurz nach Stromungsbeginn), bei gleichzeitiger Bildung eines Wirbels durch Aufrollen der sich ablosenden Grenzschicht, Bild 4-133. Dieser sog. Anfahrwirbe1 schwirnmt mit der Stromung nach hinten weg. Da nach dem Satz von THOMSON (Abschnitt 4.2.3) die Gesamtzirkulation jedoch konstant, in diesem Fall also null bleiben muB, bildet sich ein zweiter, entgegengesetzt drehender Wirbel um das Profil. Dieser sog. gebundene Wirbel bringt die zur Auftriebserzeugung notwendige Zirkulation um den Tragfliigel. Das gesamte Stromungsbild ist in Bild4-134 prinzipiell dargestellt. Es kommt zur tangentialen Abstromung (KUTTA-Bedingung). Der gebundene Wirbel entsteht somit durch die vom Profil verursachte unsymmetrische Umstromung; unten Aufstauung (Verzogerung), oben Beschleunigung des Fluides.

284

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkonipressible Stromungen)

r

KRI

I

KRII

I

Bild 4-134. Prinzipdarstellung der gesamten Tragflugelstromung: K R I: Kontrollraum I, Zirkulation positiv; gebundener Wirbel. KR 11: Kontrollraum 11, Zirkulation negativ; Anfahrwirbel (abgeloster oder freier Wirbel).

Wahrend der Anfahrwirbel wegschwimmt, bleibt die Zirkulation urn den Fliigel bestehen. Infolge Fluidreibung wiirde diese jedoch laufend abgeschwacht. Dadurch erfolgte erneut eine Annaherung an die urspriingliche Potentialstromung. Die Hinterkante miiDte wieder in beschriebener Weise urnstromt werden. Da die Grenzschicht diesem mit Druckzuwachs behafteten Stromungsverlauf nicht folgen kann, losen sich laufend kleine Wirbel ab. Dadurch wird die Zirkulation standig neu angefacht und damit aufrechterhalten. Ab der Profilhinterkante bilden die standig abgehenden kleinen Wirbel eine Trennflache (Abschnitt 3.3.5) zwischen den Stromungen, die von der Ober- und Unterseite des Profils kommen. Diese Wirbelschleppe lost sich mit zunehmendem Abstand von der Tragflache immer mehr auf und verschwindet in entsprechend groDem Abstand schliel3lich ganz. Die sich letztlich einstellende stationare Tragfliigelumstromung ist in Bild 4-135 prinzipiell dargestellt. Stromlinienbilder von Tragfliigelumstromungen mit unterschiedlicher Zirkulation zeigt Bild 4-136. Die abgehenden Wirbel der Trennflache verursachen den Formwiderstand und ergeben zusammen mit der Oberflachenreibung (Flachenwiderstand) den Projilwiderstand. Aus den uberlegungen folgt: Die Fluidreibung ist letzten Endes die Ursache, daD sich nach kurzer Anlaufdauer eine Stromung mit uberlagerter Zirkulation (gebundener Wirbel) urn den Flugel ausbildet, welche den dynamischen Auftrieb zur Folge hat. Wie die Fahrzeugfortbewegung ist also auch das Fliegen nur infolge Mediumsreiben mog-

Bild 4-135. Voll ausgebildete Tragflugelumstromung mit Krafte- und Druckeintragungen. Q Unterdruck, Q Uberdruck.

Bild 4-136. Stromlinienverlauf verschiedener Profilumstromungen (prinzipieller Verlauf): a) zu geringe Zirkulation b) ,,richtigeg' Zirkulation. Erfiillt die KUTTA-AbfluBbedingung an der Profil-Hinterkante, d. h. tangential c) zu groBe Zirkulation; tritt praktisch nicht selbsttatig auf sondern nur bei kunstlicher Anfachung.

lich; bei Fahrzeugen Festkorperreibung (Rad/ Untergrund), bei Flugzeugen Fluidreibung. 4.3.3.5 Druckverteiluug am 'hagfliigel MeBergebnisse bestiitigen die schon beim MAGNUSEffekt (Abschnitt 4.2.9.1) dargestellte Druckverteilung. Aus dem Druckverlauf, Bild 4-137, ist zu ersehen, daB der Unterdruck (Sog) auf der Profiloberseite (Leeseite) bedeutend mehr zum Auftrieb beitragt, als der Uberdruck auf der Unterseite (Luvseite) der Tragflache. Approximativ kann angenommen werden, daD der ~berdruckan der Unterseite nur ungefahr 113 bis 114 zurn Gesamtauftrieb beitragt. Bei Unterschall kommt der Auftrieb somit iiberwiegend durch den Sog an der Profiloberseite zustande. Der Fliigel hangt also pewissermal3e.n an einem luftverdiinnten Raum (Sogwirkung!) und gleitet nicht etwa auf einem Luftpolster. Die Unterdruckspitze in der Nahe der Profilnase liegt um so weiter vorne und ist um so scharfer ausgebildet, je spitzer die Nase ist. Nach der Energiegleichung deutet diese Unterdruckspitze auf groDe ortliche Stromungsgeschwindigkeit hin. Dies riihrt daher, daD die Fluid-

-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

Bild 4-137. Druckverlauf am umstromten Tragflugel (Prinzipdarstellung).

teilchen von dem auf der Unterseite gelegenen vorderen Staupunkt um die Nase herum auf die Oberseite des Profils gelangen mussen. Die dabei auftretenden Geschwindigkeiten sind offenbar um so groDer, je scharfer die Profilnase ist, was mitunter zu nachfolgender ortlicher Ablosung fuhrt und zwar wegen notwendigem Druckanstieg auf den Abstromwert (Abschnitt 3.3.4). Die Unterdriicke an der Saugseite konnen bei groljeren Anstellwinkeln (6 > 10") in der Spitze Werte annehmen, die etwa das 2- bis 3fache des Staudruckes der ungestorten Anstromung betragen.

4.3.3.6 Tragflugeleigenschaften Jedes Profil besitzt besondere Eigenschaften. Form sowie Rauhigkeit eines Profils sind von groDem EinfluD auf die Stromung am Fliigel und damit den Druckverlauf an dessen Oberflache, der die angreifenden Krafte bewirkt. Hochstauftrieb und Kleinstwiderstand sind von der Wolbung und Dicke des Profils abhangig. Unterschieden wird zwischen Profilen von geringer, madiger und groder Dicke. Der Flugel mit dickem Profil zeigt eine recht gunstige sog. aerodynamische Wirkung. Mit der Wolbung nimmt im allgemeinen der Auftrieb zu (infolge der Geschwindigkeitssteigerung an der Oberseite des Profils). Der Widerstand nirnmt dabei zwangslaufig ebenfalls zu, oftmals sogar in starkerem MaBe. Profile mit abgerundeter Nase sind gegeniiber solchen mit gescharfter Nase weniger empfindlich gegen Anderungen der Anblasrichtung. Die friihere Entwicklung flihrte anfanglich zu Fliigelprofilen mit hoher Tragfahigkeit, wahrend heute auf Schnellflugprofile, die widerstandsarm sein miissen, besonders Wert gelegt wird. Die Pro-

285

Bild 4-138. Stromnngsablosung bei Tragflugelstromung infolge eines zu groSen Anstellwinkels und Grenzschichtausbildung (iiberhoht dargestellt) am Profil bei ublicher Anstellung gemaB Bild 3-20 (uberkritisch). a) Ablosung auf der Saugseite infolge zu groBer positiver Anstellung b) Ablosung auf der Druckseite infolge zu groBer negativer Anstellung c) Umstromung ohne Ablosung d) Umstromung mit Ablosung ab Punkt A. 1 laminare Grenzschicht, t turbulente Grenzschicht, 1, laminare Unterschicht, U Umschlagspunkt laminar/ turbulent, S Staupunkt.

filform richtet sich somit nach dem Verwendungszweck des Flugzeuges, des Propellers oder der Stromungsmaschine. Ein Universalprofil gibt es nicht. Oft ist es schwer, die richtige Auswahl zu treffen. Weiter wird unterschieden zwischen druckpunktfesten und nicht druckpunktfesten Profilen. Im allgemeinen beeinflussen Form und Anstellung des Profils die Lage des Druckmittelpunktes. Bei den meisten Profilen verandert sich der Druckpunkt D (Bild 4-130) mit der Anstellung 6, weshalb sie druckpunktvariabel sind. Er liegt in normaler Profilstellung auf etwa 114 bis 113 der Fliigellange hinter der Vorderkante (Nase N). Druckpunktfeste Profile sind leicht S-formig geformt (sog. S-Schlag) oder symmetrisch. Der Druckpunkt liegt hier etwa bei 114 der Fliigeltiefe, gemessen ab der Profilnase und wandert nicht bei sich andernder Anstellung. Bei kleinen Anstellwinkeln (bis etwa 10") verlauft die Stromung auf beiden Seiten ohne Ablosung. Mit wachsender Anstellung entsteht auf der Saugseite des Profils Ablosungsgefahr, da dort der Druckanstieg steiler wird. Bei einem gewissen Anstellwinkel, der etwa bei 15" liegt, tritt meist vollstandiges Abregen auf, Bild 4-138. Der Ablosungspunkt liegt dann ziemlich dicht hinter der Profilnase. Die abgerissene Stromung weist ein groDes Totwasser auf. Die auftriebserzeugende

286

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Stromung ist zerstort, der Auftrieb fallt stark ab (bricht zusammen) und der Widerstand steigt wesentlich an. Beim AbreiBen der Stromung andern sich deshalb die Flugeleigenschaften erheblich. Die Zirkulationstheorie wird ungultig. Der Beginn der Ablosung fallt etwa mit dem maximalen Auftrieb des Flugels zusammen, d. h. kurz danach. Bei geringer Anstellung kann es jedoch geschehen, daD sich laminare Anfangsgrenzschicht ablost und erst weiter hinten wieder turbulent anlegt. Solche ungunstigen Flugzustande sollten durch entsprechende MaBnahmen, wie z. B. Stolperstellen (Abschnitt 3.3.4), nicht auftreten konnen. Fur das Abregen der Stromung kann der zugehorige kritische Anstellwinkel nicht genau angegeben werden. Bei langsamer VergroDerung des Anstellwinkels bleibt die Stromung langer anliegen, als wenn bei abgerissener Stromung die Anstellung vorsichtig verkleinert wird. Diese HystereseErscheinung ist der Grund fur die sog. Flugelschwingungen, die u. U. sehr gefahrlich sein konnen. Ein sehr wirksames Mittel, um das Ablosen der Grenzschicht zu verhindern, ist deren Absaugung nach PRANDTL.Diese Methode wurde in neuerer Zeit auch bei Tragflugeln zurn Zwecke der AuftriebsvergroI3erung erfolgreich angewendet. Durch Absaugen auf dem hinteren Teil der FlugelOberseite wird erreicht, da13 die Stromung noch bis zu wesentlich groBerem Anstellwinkel anliegt. Dadurch kann eine beachtliche Steigerung des Maximalauftriebes verwirklicht werden. Bei Flugzeugen ist dies z. B. beim Sturzflug und Landemanover, den besonders gefahrdeten Flugzustanden, vorteilhaft (Abschnitt 3.3.4). Bei hohen Geschwindigkeiten konnen in den turbulenten Stromungsschichten entlang der FlugzeugauBenflachen (Flugel, Rumpf) bedeutende Druckschwankungen auftreten, die Larm bis ins Flugzeuginnere bewirken und mechanische Wechselbelastungen des Aufbaues verursachen. 4.3.3.7 Gleitflug Im Gleitilug, Bild 4-139, d. h. Flug ohne Antrieb durch das Triebwerk, besteht Gleichgewicht, wenn die resultierende Profilkraft FR,, entgegengesetzt gleich der Flugzeug-Schwere (Gewichtskraft FG) ist: Infolge der geometrischen Zusammenhange (zwei Winkel sind gleich, wenn ihre Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen) nach Bild 4-1 39 ist der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und

t Bild 4-1 39. Kraftegleichgewicht beim Gleitflug. Profilkraft gleich Schwerkraft (Betrage). Horizont so groB wie der Winkel zwischen resultierender Kraft F,,, (Flugelkraft) und Auftriebskraft FA: Fw = arctan 5w = arctan E p = y = arctan FA 5, oder tan /3 = E Die Gleitzahl E ist der Tangens des Winkels fl zum Horizont, dem Gleitwinkel, unter dem das Flugzeug bei abgestelltem Antrieb und ohne Thermik oder Aufwind zu Boden gleitet. Die Gleitzahl E = 1/20 beispielsweise bedeutet deshalb auch, das betreffende Flugzeug kann bei gleichbleibender Anstellung 6, da E =f (6), in ruhiger Luft aus 1 km Hohe 20 km weit gleiten bis es den Erdboden erreicht. 4.3.3.8 Polarendiagramm 4.3.3.8.1 Grundsatzliches Das Polarendiagramm dient zur graphischen Darstellung der in Windkanalen (Bild 6-49) experimentell ermittelten Beiwerte l,, l,, l, fur verschiedene Anstellwinkel 6 und damit der Kraftverhaltnisse am zugehorigen Tragflugel. Das Polarendiagramm kennzeichnet jeweils ein bestimmtes Profil, meist fur unendliche Spannweite ( A -+ co) und bestimmte REYNOLDS-Zahl. Im engeren Sinne wird als eigentliche Polare die Kurve [, =f(rw) bezeichnet, rnit dem Anstellwinkel 6 als Parameter. Der Name Polare riihrt daher, weil der Polstrahl (Ortsgerade) vom Koordinatenursprung zum Kurvenpunkt des zugehorigen Anstellwinkels 6 die Resultante von 5, und lAkennzeichnet sowie der Tangens des Winkels y zur Ordinate die Gleitzahl E darstellt, also tan y = E (Bild 4-140). Die Form der Polaren eines Tragflugels ist, da sie sein Verhalten kennzeichnet, abhangig von der

4.3 Mehrdimensionale Stromunaen realer Fluide

287

. Ablosunq auf der Sausseite

H i c h n e l l f l u g n groflsr Hbhr hnellflug In gerlnger Hohe Sfe~ler Gle~tflug

-O.S

[ Y=-u0( A , ~ , ~

flug

1

Ablosung auf der Druckse~te

Bild 4-140. Polarendiagramm eines Profiles nach LILIENTHAL. Schnittpunkt von (,-Polare mit [,-Achse ((, = 0) ergibt Nullauftriebswinkel 6,. Da A = co, ist bei Profilwerten oft auch Zweitindex co angefiigt, besonders dann, wenn Verwechselungsgefahr besteht, also (;, [W.co; [M,m; 'mi '0.m' Eingetragenes Ablesebeispiel: Bei 6 = 6" sind [, x 0,04, [, x 1,2; (, x 0,48; aurjerdem 6, -5,5".

-

REYNOLDS-Zahl, der MACH-Zahlsowie der Ausbildung und Qualitat des Profils. Im allgemeinen wird nur der Teil der Polaren dargestellt, der fur den praktischen Einsatz des Profils, z. B. den Flugbetrieb, bedeutungsvoll ist. Zwei verschiedene Darstellungsformen von Polarendiagrammen sind gebrauchlich, das nach LILIENTHAL ') und das sog. aufgeloste. 4.3.3.8.2 Polarendiagramm nach LILIENTHAL Bei der auf LILIENTHAL zuruckgehenden Darstellungsweise wird der Auftriebswert in einem Diagramm, einmal iiber dem Widerstandsbeiwert lw+ [A =f (lW),und einmal uber dem Momentenbeiwert (, + (, =f ((,), aufgetragen. Dabei ist der zu den Beiwerten gehorende Anstellwinkel 6 punktweise als Parameter angegeben, Bild 4-140 und Bild 4-141. Die (,-Kurve verlauft innerhalb des technisch wichtigen Anstellwinkel-Bereiches meist nahezu linear. Der Druckpunktsabstand (GI. 4-310) ist in der Regel mit dem Anstellwinkel 6 veranderlich, so daD in derartigen Fdlen ')

LILIENTHAL, Otto (1848 bis 1896), dt. Ingenieur und Flugpionier (1896 bei Flugversucheu abgesturzt).

Bild 4-141. Gesamtpolare eines Flugzeuges mit Luftschraubenantrieb bei Vollgas- und Leerlauf-Betrieb. Eingetragen sind verschiedene Flugzustande. Der Propellerschub unterstutzt den Auftrieb durch verstarkte Profilumstromung und bewirkt eine Vertikalkraftkomponente, die in die Polare einbezogen ist.

eine Druckpunktswanderung auftritt (Abschnitt 4.3.3.6). Der Gleitwinkel y liegt, wie erwahnt, zwischen der (,-Achse (Ordinate) und der Verbindungslinie vom Koordinaten-Nullpunkt zum betreffenden Polarenpunkt. Der Gleitwinkel ist dabei nicht direkt aus dem Diagramm abmeDbar, weil meist die MaDstabe der (,- und rA-Achsen verschieden sind. Deshalb ist GI. (3-305) zu verwenden. Wird die Tangente vom Koordinaten-Nullpunkt an die Polare gelegt, ergibt sich der kleinstmogliche und damit optimale Gleitwinkel y,,,. Die zum Tangenten-Beruhrungspunkt gehorenden Polarenwerte bestimmen somit die giinstigste Profilstellung (Beiwerte und Anstellwinkel) -+ Reiseflugzustand. Die Diagramm-Ordinate ware die Polare des idealen Profiles (E= 0), d. h. nur Auftrieb (5, > O), jedoch kein Widerstand (5, = 0). 4.3.3.8.3 Aufgelostes Polarendiagramm und Die Darstellung, in der die Beiwerte (A, Cw, die Gleitzahl E uber dem Anstellwinkel 6 (Abszisse) aufgetragen sind, wird als aufgelostes Polarendiagramm bezeichnet, Bild 4-142. Der optimale Betriebspunkt (Reiseflugzustand) ist hier durch das Minimum der E-Kurvegekennzeichnet. Das aufgeloste Polarendiagramm bietet den Vorteil, daB die Beiwerte fur jeden Anstellwinkel 6

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

288

11' Flugel allseitig

a)

Bild 4-142. Aufgelostes Polarendiagramm (Prinzipdarstellung). 5,- und 5,-Polaren im Anwendungsgebiet etwa geradlinig. Bei (A,min Stromungsablosung auf Druckseite des Profils, bei auf Saugseite. cmi, (Tiefpunkt + waagrechte Tangente) giinstigster Flugbetrieb (Reiseflug-Zustand). Abszissenschnittpunkt von (,-Kurve ergibt 6,.

c,,,

6,-

b)

Bild 4-143. EinfluB der Tragfliigelrauhigkeit auf die Polare: a) Prinzipieller Verlauf b) Profil G449 bei Fliigelbreite (Spannweite) b + a,

chennasenzonen wahrend des Flugbetriebes moglichst sauber bleiben. Entsprechende Reinhaldirekt ablesbar sind. Beim L I L I E N T H A LPolsS C ~ ~ ~tungs- und Enteisungssysteme sind hierzu vorteilrendiagramm, kurz auch LILIENTHAL-Diagramm,haft. Ofteres vollstandiges Reinigen der Tragflachen mit Antihaftmittel gegen Eiskristalle und Indagegen mu13 meist interpoliert werden. Zwischen Auftriebs- sowie Momentenbeiwert und sekten ist ebenfalls vorteilhaft. Dies fuhrt zur dem Anstellwinkel besteht in grol3em Bereich Widerstandsverminderung von ca. 1 % (lohnende meist lineare Abhangigkeit. Dieses wichtige Ge- Treibstoffeinsparung) und sicheren Flugbetrieb in biet liegt in der Regel im Anstellungs-Bereich kritischen Situationen (Start, Landung). Besonzwischen 6 x - 4" . . .lo0. Bei symmetrischen Pro- ders bei feuchter Atmosphare (Nebel) kommt es filen gehen die (,- und [,-Kurven durch den durch den Druckabfall an der Nasenoberkante (Bild 4-1 37) infolge starker Verdunstungskuhlung Diagramm-Nullpunkt. Das aufgeloste Polarendiagramm wird vor allem zur Eiskristall-Bildung. Anhaftende Eiskristalle im Stromungsmaschinenbau zur Flugelauslegung und Fliegenkorper im Profilnasen-Bereich konnen als ungewollte, unbeherrschbare Turbulenzstellen bei Axialmaschinen angewendet. und im schlimmsten Fall als AbreiBkanten wirken. Turbulenzstellen (-kanten) bewirken, wie in Ab4.3.3.8.4 EinfluD der Oberflachenrauhigkeit schnitt 3.3.4 ausgefuhrt, den Umschlag von lamiauf die Polare Der EinfluB der Rauhigkeit auf den Verlauf der narer in turbulente Grenzschicht und dadurch Polaren und damit das Profilverhalten ist aus widerstandserhohend. Abreiastellen (-kanten), Abschnitt 3.3.3.4, bewirken das sofortige Ablosen der Bild 4-143 entnehmbar. Wie aus dem Diagramm Bild 4-143 hervorgeht, ist Stromung vom Korper, hier von der TragoberflC der ungunstige EinfluB einer rauhen Profilober- che entsprechend Bild 4-138, mit der Folge des seite (Saugseite) wesentlich groBer, als der einer Auftriebszusammenbruches (Unterdruckgebiet in rauhen Unterseite (Druckseite). Die Oberflachen- Bild 4-137 entfallt), was zum Absturz des Flugrauhigkeit wirkt sich an der Profilsaugseite des- zeuges fuhren kann. Diese unsteuerbaren und teilhalb starker aus, weil diese, wie in Abschnitt weise gefahrlichen Vorgange sind daher unbedingt 4.3.3.5 geschildert, den uberwiegenden Anteil zum zu vermeiden. Auftrieb beitragt. Es ist daher von entscheidender Den RauhigkeitseinfluR einiger Profilzonen auf Bedeutung fur die Ausbildung der Grenzschicht den Polarenverlauf zeigt Bild 4-144. Hieraus geht und damit des Druckverlaufes, der den Auftrieb hervor, daB die Aufrauhung in der Nahe der Hinbestimmt, daR der Profil-Nasenbereich sorgfaltig terkante nahezu wirkungslos ist. Deutlich macht ausgebildet (Form) sowie ausgefuhrt (Oberflache) sich hingegen der EinfluR einer Aufrauhung in der wird. Zudem muB durch geeignete Einrichtungen Flugelmitte und drastisch an der fiir alle Storundafur gesorgt werden, da13 besonders die Tragfla- gen besonders empfindlichen Profilnase bemerk-

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

289

Tabelle 4-1 1. Abhangigkeit der kritischen REYNOLDS-ZahlRe,, vom Vorturbulenzgrad der Anstromung gemaR G1. (3-48). M~tterouh

Vorturbulenz-

Bild 4-144. EinfluB der Oberflachenrauhigkeit verschiedener Profiizonen auf die Polare: a) Prinzip-Darstellung b) Profil G449 (unendlich lang) c) Rauhigkeitsstellen am Profil gekennzeichnet

bar. Merkliche Zunahme des Widerstandes, verbunden mit einer erheblichen Abnahme des Auftriebs, sind die Folgen. AuBerdem reiljt die Stromung auf der Saugseite oft schon bei verhaltnismaBig kleinem Anstellwinkel ab (vorhergehende Ausfuhrungen).

Bild 4-145. EinfluB der R E Y N O L D Sauf Z ~ die ~ ~ Polare (Profil G625, A = co) nach E W. SCHMITZ.

4.3.3.8.5 EinfluD der REYNOLDS-Zahl Der EinfluR der Re-Zahl auf die Polare, z. B. des auf die Polare Profils G625 (Profil aus Gottinger ProfilsystemaIm Unterschallbereich beeinfluBt, wie bei allen tik), geht aus Bild 4-145 hervor. Bei steigender wichtigen Stromungsproblemen, die REYNOLDS- REYNOLDS-Zahl nimmt die Schleppwirkung der Zahl auch den Verlauf der Polaren stark. AuBenstromung auf die Grenzschicht zu, weshalb Beim ubergang vom unterkritischen (laminare sich das bei dieser Konstellation praktisch immer Grenzschicht) zum iiberkritischen Zustand - Kom- vorhandene Totraumgebiet, die sog. Abloseblase, bination laminarer mit turbulenter Grenzschicht verkleinert und dadurch der Auftrieb wachst. Bei nach dem Umschlag - steigt der Hochstauftrieb sehr groRer Re-Zahl wird bei ublichen Profilen ein sprunghaft an, wobei zudem der Profilwiderstand Grenzwert fur den maximalen Auftriebsbeiwert insgesamt meist zuruckgeht und grooere Anstell- erreicht, der bei etwa [A,max = 1,2 bis 1,5 liegt. winkel moglich sind. Dies ist begriindet, wie schon Nur durch entsprechende ZusatzmaDnahmen, das in Abschnitt 3.3.4 und 4.3.2 ausgefuhrt, durch lan- sind verstellbare Klappensysteme (z. B. Vorflugel, geres Anliegen der turbulenten Grenzschicht am Hinterkantenruder) und/oder GrenzschichtabProfil und das dadurch bedingte, wesentlich klei- saugung sind noch hohere Auftriebsbeiwerte bis nere Wirbelgebiet. Beim ublichen uberkritischen etwa zu einer Verdoppelung des normalen ProfilZustand betragt die Lauflange der anfanglichen Spitzenwertes erreichbar, also bis ca. [A,max = 3,O. laminaren Grenzschicht 20 bis 30% der Profil- Bemerkenswert ist auch die Erscheinung, da13 das tiefe. Dann erfolgt Umschlag in turbulente Grenz- AbreiRen der Stromung zwischen Re = 105 . lo3 schicht mit ,,Restc'-Lauflange von 80 bis 70% der bis etwa Re = 126 . lo3, also im unterkritischen Profillange. Zustand, fast plotzlich auf der gesamten Tragflache erfolgt, erkennbar durch die iibergangslose Die kritische REYNOLDS-Zahl liegt meist etwa bei Maximumsspitze der Polare. Dies ist bedingt Re, x ((0,5 bis) 1,5 bis 5). lo5 nach G1. (3-52c) durch das Ablosen der laminaren Grenzschicht und das nicht Wiederanlegen, auch nicht mehr und ist abhangig von der Vorturbulenz der Zustro- nach dem Turbulentwerden. Die Stromung reiljt also plotzlich vollstiindig ab (Bild 4-138, Teil a). mung sowie von Stolperkanten, Tabelle 4-1 1.

290

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

Tabelle 4-12. REYNOLDS-Bereiche und Gleitzahlen heutiger Flugzeugarten.

I Flugzeugart Segelflugzeuge Sportflugzeuge erehrsflugzege

I Re

IE

1

1 1

(0,l bis 1) . lo6 (1bis10).106 (10 bis 100) lo6

I

21/70 21/40 2 1/30

henden Teile - wie 2.B. Nietkopfe -, Schleifen, Polieren und Lackieren der Oberflache sowie Reinigen in sinnvollen Zeitabstanden. Bild 4-146. EinfluB der REYNOLDS-Zahl auf die Polare glatter und rauher Flugel (symmetrisches NACA-Profil; d,,,,,/L = 0,1264; A = m).

Die Polare von Re = 430 . lo3 dagegen verlauft gerundet, d. h. mit sanftem ubergang; typisches Kennzeichen fur den uberkritischen Zustand. Durch kunstliche Turbulenz (Stolperstellen) der Hauptstromung oder durch Oberflachenrauhigkeit laBt sich der uberkritische Zustand bei kleinerer REYNOLDS-Zahl erzwingen. Des weiteren ist bei Profilen mit glatter Oberflache der EinfluB der Re-Zahl auf deren Polare, insbesondere jedoch auf den Hochstauftriebs-Wert (A,mnr im allgemeinen groBer als bei rauher Oberflache, Bild 4-146. Bei glatten Profilen wachst der Auftriebsbeiwert (, mit groBerwerdender ReZahl, wahrend er bei rauhen nur unwesentlich steigt. Die Rauhigkeit ist deshalb nur bei kleinen REYNOLDS-Zahlen unschadlich. Bei hohen ReWerten betragt die maximale (,-Zahl vom rauhen Profil nur noch wenig uber 50 % der des glatten. Nur bei sehr kleinen Re-Zahlen liefern rauhe Oberflachen ahnlich grolje (,,,,,-Werte wie glatte. Im Bereich unterhalb des aufgefuhrten Wertes von Re = 0,118 . lo6 ubersteigt die ,,rauheG'Polare sogar die ,,glatte6', d.h. liegt oberhalb. Das rauhe Profil liefert dann hohere Auftriebswerte als das glatte. Dadurch wird verstandlich, warum Vogel, die bei sehr kleinen REYNOLDS-Zahlen fliegen, eine ' auBerst rauhe Flugeloberflache aufweisen durfen, ja sollen. Wie Bild 4-146 bestatigt, sind jedoch bei den ublichenveise praktisch vorhandenen hohen Re-Zahlen glatte Fliigeloberflachen immer gunstiger als rauhe. Durch entsprechende MaBnahmen wird versucht, die Fliigeloberflachen moglichst glatt zu erreichen und zu erhalten (Tabelle 6-15). Solche MaBnahmen sind: Sorgfaltine - - Materialoberflachenausfuhrung, keine vor- oder riickste-

In welchem Bereich die Re-Zahlen bei den heute gebrauchlichen Flugzeugarten liegt, geht aus Tabelle 4-12 hervor. 4.3.3.8.6 EinfluR der Profilform auf die Polare Ein Profil ist, wie bereits ausgefuhrt, um so besser, je kleiner seine Gleitzahl. Versuche ergeben, daB bei Re-Zahlen unterhalb von etwa 100000 gewolbte Platten als Schaufeln sogar gunstiger sind als Profile. Profilierungen haben in diesem Bereich keinen Sinn mehr, sie sind sogar schadlich. Dies geht auch aus Bild 4-147 hervor. Unbedingt vorteilhaft ist jedoch, die Platten etwas zu wolben. Stromungen bei Re-Zahlen unter etwa 100000 kommen gelegentlich in Turbomaschinen vor. Da bei diesen Maschinen das Erzielen guter Wirkungsgrade sehr wichtig ist, miissen Schaufeln mit kleinster Gleitzahl ausgewahlt werden. Manchmal sind dies deshalb gewolbte, nicht profilierte Platten. Solche Platten sind, wie gezeigt, bei kleinen ReZahlen nicht nur besser, sondern zudem billiger.

( 6 joblo' Re

a)

-

c 06 -

Bild 4-147. EinfluB der REYNOLDS-Zahl Re auf die Gleitzahl 8 verschiedener Flugelformen: a) Prinzipdarstellung b) Flugel Nr. 417a, Nr. 60 und ebene Platte c ) ~rofi~formen

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

291

Der Hochstauftrieb kann durch Wolben jedoch nur beschrankt erhoht werden und ist begrenzt durch Stromungablosung. Ab einer bestimmten, experimentell zu ermittelnden Wolbung nimmt der Hochstauftrieb sogar wieder ab, weshalb solche Wolbungsverhaltnisse nicht mehr sinnvoll sind. Meist ausgefuhrt: flL Bild 4-148. EinfluB des maximalen Profildicken-Verhaltnisses auf die Polare.

= 0,3

bis 0,s und dm,,/L = 0,05 bis 0,15

Dickere Profile sind allerdings anstellungsunempfindlicher, da geringer ablosungsgefahrdet, als starker gewolbte. Oft werden beide MaBnahmen Dicke und Wolbung - kombiniert. ~ b l i c h eBezeichnungen und Dicken von Profilen:

Bild 4-149. EinfluS des Profilwolbungs-Verhaltnisses auf die Polare.

Der EinfluB der Profildicke auf das Auftriebsmaximum geht aus Bild 4-148 hervor. Wachsende Dicke erlaubt groBere Anstellung (Winkel 6) und ergibt dabei hoheren Auftrieb, aber auch groBeren Widerstand. Groljere Wolbung erhoht, wie Bild 4-149 zeigt, nicht nur das Auftriebsmaximum, sondern den Auftrieb uber den ganzen Anstellbereich - ergibt jedoch auch hoheren Widerstand. Dabei bestatigen Versuche die Erkenntnis: Bei Profilen wachst durch Wolben der Auftrieb starker als durch Verdicken, bei gleichzeitig geringerer Zunahme des Widerstandes. Erhohen des Hochstauftriebes ist somit durch Wolben des Profiles wirtschaftlicher zu erreichen, als durch Vergroljern des Dickenverhaltnisses. Je starker die Profiloberseite gekriimmt ist, desto mehr wachst dadurch dort die Fluidgeschwindigkeit, was die Auftriebssteigerung bewirkt. Die Grenze setzt die Stromungsablosung (Bild 4-1 38,a). Bei den sog. schnellen Profilen wird deshalb auf stark gewolbte und besonders dicke Ausfiihrung verzichtet. Beim Start- und Landevorgang wird durch an der Fliigelhinterkante angebrachte, ausfahrbare Profilteile (Klappen) die Flache A,, sowie die Wolbung f des Profils vergroBert. Diese Klappen werden als Start- oder Landeklappen bezeichnet.

Profil:

diinnes

mittleres

dickes

dm,,/L =

0,05

0,IO

0,15

Bemerkung: Kontinuierlich verstellbare Tragflb chen wurden bei jeweiliger Anpassung an den Flugzustand bis ca. 113 geringeren Widerstand ([,-Beiwert) und damit eine gleichgrolje Treibstoff-Einsparung ermoglichen (Venveis auf Laminarprofile). 4.3.3.8.7 EinfluR der Fluid-Kompressibilitiit Entsprechend Abschnitt 1.3.1ist bei der Tragfliigelumstromung die Kompressibilitat der Luft unterhalb MACH-ZahlenMa % 0,3 vernachlbsigbar. In diesem Bereich kann die MACH-Zahlalso unbeachtet bleiben. Der EinfluB hoherer MACH-Zahlen wird spater behandelt (Abschnitt 5.5). 4.3.3.8.8 Zusammenfassung B. ECK [12] faBt die Haupteinflusse bei Profilen wie folgt zusammen: 1. iherkritisch (Re > =2. lo5), d. h. uberwiegend turbulente Grenzschicht: a) Die aerodynamisch gunstigste Profildicke liegt zwischen 7 und 14 % der Profillange. b) Bei allen diinnen und mitteldicken schwach gewolbten Profilen steigt [A,max mit der Re-Zahl merklich an, und zwar von durchschnittlich 1,2 bei Re % l o 5aufetwa 1,s bei Re w107. Bei stark gewolbten Profilen dagegen sinkt
292

4 Str6mungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

e) Durch Ausfahren einer Landeklappe tritt im l A , Re-Diagramm ungefahr eine Parallelverschiebung zu grol3eren SA-Werten ein. Dabei verschiebt sich ,(, zu grol3eren Re-Zahlen. Bei Re x lo7 werden Werte von [A,m,, z 3,O erreicht. 2. Unterkritisch (Re < 1,5 . lo5), d. h. uberwiegend laminare Grenzschicht: a) (A,max sinkt bis auf 0,3 bis 0,4, je nach der Vorturbulenz des Strahles, also der Anstromung. b) Der untere kritische Re-Wert fur Tragflugelprofile liegt bei etwa 50000 bis 80000 (grol3e Strahlturbulenz), wahrend der obere kritische Wert, der bei vollkommen laminarem Strahl erreicht wird, etwa bei 120000 bis 160000 liegt. Im ~ b e r ~ a n ~ s b e r e kann i c h durch eine scharfe Vorderkante oder einen Turbulenzdraht, der vor den Flugel gespannt wird, der Umschlag laminar-turbulent vorzeitig e r m n g e n werden. c) Der Profilwiderstand steigt an. d) Die Gleitzahl steigt bis auf den mehrfachen Wert an. 3. Laminarprofile Bei grol3en Re-Werten ist, wie aus Bild 4-150 durch Vergleich der [,-Werte (fur jeweils gleiche lA) Z.B. mit Bild 4-145 hervorgeht, der laminare Reibungsaufwand nur ein Bruchteil des turbulenten. Es lohnt sich also, wenn es gelingt, die Grenz-

Bild 4-150. Polaren eines Laminarprofils (13 IfA Ziirich) bei verschiedenen R ~ ~ ~ o ~ ~ s zRe. ahlen

schicht moglichst lange laminar zu halten und sich diese nicht ablost. Die bei den kleineren ReZahlen in den unteren Kurvenbereichen (kleine SA-Werte)vergleichsweise schlechten Widerstandbeiwerte (l, grol3) in Bild 4-150 ruhrt daher, dal3 sich die laminare Grenzschicht auf der Flugeloberseite ablost und nicht mehr turbulent wieder anlegt. Mit wachsender Anstellung ruckt dann der Staupunkt an der Profilnase jedoch weiter nach unten rnit dem Erfolg, dal3 die laminare Grenzschicht an der Fliigeloberseite sich nicht mehr ablost, da starker beschleunigt. Die Grenzschicht wird dann nach entsprechender Lauflange turbulent und bleibt anliegen -+ uberkritisch, Bild 3-20. Durch geeignete Profilformgebung ist es erreichbar, daB die laminare Saugseiten-Grenzschicht lange anliegen bleibt (ca. halbe Profiltiefe), bis sie sich ablost oder turbulent wird. Verlegt werden mul3 z. B. die dickste Profildicke weiter nach hintm, so daR der Umschlagspunkt, der letztlich nicht vermeidbar, moglichst weit nach hinten ruckt. Bei den so entstehenden, meist symmetrischen Laminarprofilen ist die Grenzschicht auf grol3em Flugelbereich laminar und deshalb ,( sehr niedrig. Neben hochster Glatte und Storungsfreiheit der Flugeloberflache ist Bedingung fur das Zustandekommen von laminarer Grenzschicht ein dauernder Druckabfall, also zunehmende Geschwindigkeit entlang des Profiles, das bedeutet beschleunigte Stromung. Auf keinen Fall darf Geschwindigkeitsabnahme und damit Druckanstieg auftreten. GemaB Abschnitt 3.3.4 liegt der Umschlagpunkt laminar/turbulent in der Nahe des Druckminimums, also in der Gegend der groBten Profildicke, meist sogar etwas davor. Hieraus folgt notwendigerweise die Forderung nach weitmoglichstem Zuruckverlegen der groRten Profildicke. Um anschlieBend noch storungslosen, d. h. anliegenden, wirbelfreien StromungabfluB zu erreichen, sind jedoch auch dem Zuruckverlegen der maximalen Profildicke (etwa x,,,,,/L I 0,5) und besonders der Anstellung Grenzen gesetzt. Deshalb verursachen derartige Profile zwar vergleichsweise niedrigen Widerstand, bewirken aber auch nur geringen Auftrieb. Allgemein werden als Laminarprofile solche bezeichnet, die lange laminare Anlaufstrecke aufweisen, nicht jedoch iiber das gesamte Profil Laminargrenzschichten erreichen, was praktisch nicht zu verwirklichen ist. Bei Laminarprofilen betragt die Lange der laminaren Grenzschicht etwa 40 bis 60 % der Profiltiefe gegenuber ca. 20 bis 30 % bei orthodoxen, d. h. ublichen Profilen. Die laminare

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

293

Grenzschicht von Laminarprofilen ist somit etwa Die Stromung reiBt dann nicht mehr ab, was das Sinken des Widerstandsbeiwertes rnit wachsender doppelt so lang wie bei normalen Profilen. Die Polaren von Laminarprofilen weisen als Be- Auftriebszahl bewirkt. sonderheit einen, wenn auch meist verhaltnisqa- Der Vorteil, der sich durch das sog. LaminarisieI3ig kleinen (,-Bereich sehr gunstigen Wider- ren, also das Erreichen moglichst langer laminarer standsverhaltens auf. Die Polare verlauft in diesem Anlauf-Grenzschicht ergibt, geht deutlich auch Gebiet etwa vertikal, weshalb hier der Wider- aus Bild 4-151 hewor. Die Widerstandsvermindestandsbeiwert bei sich anderndem Auftriebsbei- rung durch weitgehende Laminarisierung, d. h. ca. wert gleich niedrig bleibt, in Bild 4-150 sehr deut- 50 % der Profillange anliegende laminare Grenzlich ausgepragt bei den Polaren von Re = (0,19 bis schicht, betragt 0,76) . lo6. Dieser Kurvenbereich wird als Lami- - theoretisch moglich 50 bis 80% 10 bis 40 % nardelle (Bild 4-151) bezeichnet, weil hier der La- - praktisch erreichbar rninareinfluo der Grenzschicht besonders ausge- Das hatte gemaB Abschnitt 4.3.3.10, Beziehung pragt ist (groDe laminare Anlaufstrecke). Wie (4-318) zusammen mit G1.(4-302), eine gleich Versuche bestatigen, lieBe sich die Laminardelle hohe Verminderung der Widerstandsleistung und durch variable Profilwolbung verbreitern. Dies er- damit des aufzuwendenden Kraftstoffes zur Folge. forderte Tragfliigel rnit kontinuierlicher Profilan- Das ist von grol3er Bedeutung, betragt doch der derung, die jedoch konstruktiv und materialtech- Aufwand fur Treibstoff ca. 10 bis 20% an den nisch nur PuBerst schwer zu verwirklichen waren. gesamten Betriebskosten von VerkehrsflugzeuIn engem Bereich ist hierfur das verstellbare Hin- gen. terkantenruder von PFENNINGER ein Ersatz. Hinsichtlich Gleitzahl E und Minimalwiderstand Wie Bild 4-150 bestatigt, schrumpft die Laminar- (Beiwert) ,5 sind Laminarprofile also den kondelle rnit wachsender Re-Zahl zusammen, da die ventionellen uberlegen, beim Auftriebsbeiwert laminare Anlaufstrecke immer kurzer wird. 5, = E . jedoch zwangslaufig unterlegen. Die Giinstige Gleitzahlen ergeben sich somit bei gro- Vorteile der Laminar~rofileerfordern zudem verBeren R ~ ~ N o ~ ~ s - z aund h l emaDigen n Auftriebs- schiedene konstruktke und fertigungstechnische beiwerten. Der bei kleineren REYNOLDS-Zahlen, MaSnahmen. Wichtig sind insbesondere genaue besonders der Polaren von Re = 1,02 . lo6 und Profileinhaltung und hohe Oberflachengiite. Sol1 Re = 0,72 . lo6 im unteren Dellenbereich aufirezu friiher Grenzschichtumschlag laminar in turbutende vergleichsweise grol3e, d. h., schlechteWiderlent vermieden werden, sind Oberflachenwelligstandsbeiwert ruhrt daher, daD sich auf der Flugel- keit, StoBkanten und Spalte, besonders quer zur oberseite die laminare Grenzschicht ablost und Stromungsrichtung, sowie z. B. vorstehende Nietsich turbulent nicht wieder anlegt. Die Stromung kopfe unbedingt zu vermeiden. Beispielsweise verreiBt also ab. Wie envahnt, riickt rnit wachsender ursacht schon ein quer verlaufender, nicht angeAnstellung der Staupunkt an der Profilnase etwas dichteter Ruderspalt das Erhohen des Profilnach unten, wodurch mehr gesunde, d. h. energie- widerstandes um bis etwa 10%. reiche Stromung auf die Profiloberseite gelangt.

rW

0,004

0,008

Widerstandsbeiwert

-

0,012

5,

0,016

Bild 4-151. Vergleich der Polaren von iiblichem, d.h. konventionellem Profil rnit Larninarprofil (VDI).

4.3.3.9 Krafte an endlich breiten Tragfliigeln Bei Fliigeln endlicher Spannweite und ohne Seitenflachen werden die seitlichen Enden von unten nach oben umstromt, wobei sich Randwirbel bilden. Normale Tragfliigel sind deshalb raumlich umstromt. Der RandeinfluD der endlichen Spannweite auf Auftrieb sowie Widerstand ist erheblich und zwar in verschlechternder Richtung. Hervorgerufen wird die Randumstromung und darnit die raumliche Stromung durch die unterschiedlichen Drucke zwischen Profilunter- und -oberseite. Der dadurch bewirkte Druckausgleich an den seitlichen Flugelenden pflanzt sich abgeschwacht entlang der Spannweite nach innen fort, wodurch die Stromlinien an der Oberseite nach der

294

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen) Mitte Spannweite oben Y ~ n t e r d r u c k

am Flugelende Abgelenkte Strornlrnien

unten

~berdruck

hlnten

Flijgel

Bild 4-152. Ablenkung der Stromlinien infolge Urnstromung der Flugelenden. Wirbelzopf

Wirbelzopf fobgehende Wbell

Bild 4-153. Wirbelsystem am Tragflugel.

Spannweiten-Mitte hin abgelenkt werden und an der Unterseite von der Mitte weg, Bild 4-152. Die Stromlinienablenkung nimmt dabei von den seitlichen Randern nach der Flugelmitte hin beidseitig auf null ab. Die abgehenden seitlichen Randwirbel (Wirbelzopfe) und der Anfahrwirbel bilden einen Hufeisenwirbel, der die Wirbeljlache (Trennflache, Bild 4-135) umschlieBt. Die Trennflache wird, wie ausgefuhrt, von den nach hinten abgehenden Wirbeln erzeugt, die zum Aufrechterhalten der Flugelzirkulation (gebundener Wirbel) notwendig sind, Bild 4-153. Die Wirbelflache ist jedoch kein stabilbleibendes System. Ausgelost durch die seitlichen Wirbelzopfe (Randwirbel) beginnt sich die Wirbelflache in einiger Entfernung hinter den Flugeln um Langsachsen kegelartig aufzurollen und langsam aufzulosen in Einzelwirbel, die schliealich durch Reibung aufgezehrt werden. Die nach hinten verlaufenden Achsen dieser instabilen Wirbelkegel beginnen an den seitlichen Flugelenden. Die Randumstromung an den seitlichen Flugelenden verursacht in der Wirbelflache eine zusatzliche Abwartsgeschwindigkeit (Abwind), d. h. Ablenkung der Stromung. Zudem ist zum fortgesetzten neuen Bilden von Randwirbeln, fur die bei der Fliigelfortbewegung sich standig verlangernden und letztlich auflosenden Wirbelzopfe, dauernd Arbeit notwendig. Diese und die kinetische Energie des Abwindes auBern sich in einem zusatzlich zu uberwindenden Widerstand, der als induzierter Widerstand bezeichnet wird.

Bild 4-154. Elliptische Auftriebsverteilung uber der Fliigelbreite b. Senkrecht schraffierte Flache entspricht dem Auftriebsverlust.

Der Gesamtwiderstand eines Flugels endlicher Breite setzt sich damit aus Reibungs-, Form- und induziertem Widerstand zusammen. Dabei kann der induzierte Widerstand bis uber 50% des Gesamtwiderstandes betragen, also groljer sein, als die Summe der anderen, vor allem bei grol3em Anstellwinkel 6 und kleiner Spannweite b (Bild 4-155). Er ist deshalb von erheblicher Bedeutung. Des weiteren hat der seitliche Druckausgleich an den Flugelenden trotz Abwindwirkung (Abschnitt 4.3.3.1) einen Auftriebsverlust zur Folge. Fur rechteckige Flugel (L= konst) ergibt sich, wenn gemal3 PRANDTL idealisierend angenommen wird, daB der beeinfluke Luftbereich scharf begrenzt ist, etwa eine elliptische Auftriebsverteilung uber der Spannweite b, Bild 4-154. Dies gilt angenahert jedoch ebenfalls fur andere Flugelformen, z.B. konisch verlaufende. Aus Untersuchungen von PRANDTL geht auch hervor, daB der induzierte Widerstand bei elliptischer Auftriebsverteilung ein Minimum erreicht. Die Auftriebsverminderung durch den EinfluB des induzierten Widerstandes ist zwangslaufig um so groBer, je kurzer die Fliigel, Spannweite b, im Vergleich zur Profiltiefe L (Bild 4-154), also je groBer das Seitenverhaltnis i= A,,/bZ bzw. je kleiner die Flugelstreckung (Schlankheit) A = 1/A. GroDe Spannweite ergibt geringeren RandeinfluB, jedoch ungiinstigere Manoverierfahigkeit. Deshalb verwenden Segelflugzeuge lange und Kunstsowie Jagdflugzeuge kurze Tragflachen. Der Auftriebsverlust kann durch VergroBern der Anstellung 6 und damit des zugehorigen theoreti(6) gegenuber den schen Auftriebsbeiwertes 5,, , Ausgangswerten 6,; iA,,(6,) fur den Flugel mit unendlicher Spannweite ausgeglichen werden. Dies hat allerdings einen ebenfalls erhohten Profilwiderstand zur Folge +

lw,,

(6) grol3er als

c,,

, (dm), da 6 > 6,.

Das erforderliche VergroDern des Anstellwinkels 6 bei endlichem Seitenverhaltnis /Z um den Betrag A6

4.3 Mehrdimensionale Stromungen realer Fluide

295

Der Beiwert f i r den gesamten Profilwiderstand 3W,ge, (Gesamtwiderstandsbeiwert) bei endlicher Spannweite ist demnach: (4-3 14) S ~ , ~ = e sS W + , ~SW,~ Mit [,

,.. . Profilwiderstandsbeiwert bei unend= lw,,(a), licher Fliigelbreite + l,, , also zugehorig zu 6 und nicht 6,.

Bild 4-155. Polare des Profils G535 rnit dem Seitenverhaltnis I = 115 ( + A = 5) mit lA= CA,, ( 6 ) . gegenuber dem Anstellwinkel 6, bei unendlicher Spannweite betragt nach PRANDTL fur Fliigel rnit elliptischer Auftriebsverteilung:

A$

=

I . lA,,/z in rad

(4-31 1)

Nach Umrechnen von A$ aus dem BogenmaB ins GradmaD A6 = (180/a) . A6, ergibt sich der notwendige vergroBerte Anstellwinkel bei endlicher Spannweite: Der zugehorige Sw, ,-Wert, also lw,,(6), ergibt sich aus der Polaren fur A = co, wenn 6 statt 6, venvendet wird. Entsprechendes gilt f i r den Auftriebsbeiwert 3,, ., Hinweis: Index cc hat hier zwei verschiedene Bedeutungen. Zum einen steht er bei Geschwindigkeit und Dichte des Fluides fur die Werte der ungestorten Anstromung (Abschnitt 4.1.4). Zum anderen steht er bei Tragflachen als Kennzeichen bei den GroDen und l-Werten, die fur unendliche Spannweite gelten. Wenn hier keine Verwechslungsgefahr bei den Werten ohne oder rnit RandeinfluD-Beriicksichtigung besteht, wird der kennzeichnende Index co einfachheitshalber oft auch weggelassen. Genaues Priifen ist daher gegebenenfads notwendig. Die induzierte Widerstandskraft Fw,ilaDt sich entsprechend der Profilwiderstands-Formel unendlicher Fliigelbreite ausdriicken (Ansatz):

Hierbei ist

lwSi der induzierte Widerstandsbeiwert.

Fur das Profil G535 beispielsweise sind die Zusammenhange der Beiwerte in Bild 4-155 dargestellt. Das Diagramm bestatigt: Bei starker Anstellung 6, also grol3en lA-Werten,z. B. im Langsamflug notwendig, dominiert sogar der induzierte ,). Dies ist bedingt durch Widerstand ([w,i > lw, den dazu erforderlichen, vergleichsweise hohen Druckunterschied zwischen Fliigelunter- und -oberseite, der kraftige, widerstandsverursachende Randwirbel bewirkt. Der induzierte Widerstandsbeiwert ist auch von der Auftriebsverteilung abhangig: a) Rechteckiger Fliigel (L = konst) mit elliptischer Auftriebsverteilung.Hie& gilt nach PRANDTL: (4-315) 2I.n mit lA,,ebenfalls gemaI3 Anstellung 6 nach GI. (4-312) statt 6, aus zugehoriger Profil,(6) statt [A,m (6,). Polaren fur A= co also lA,

T w , ~= ti,,.

+

b) Andere Fliigelformen (L konst) rnit nichtelliptischer Auftriebsverteilung: lWsi ist auDer von l A ,1 und der Auftriebsverteilung noch von der Form, Pfeilung sowie eventueller Venvindung (bei Propellern) des Fliigels abhangig, wobei die beiden letzten GroDen meist von geringerem EinfluD sind. Naherungsweise auch hier mit G1. (4-3 15) rechenbar. In einem speziellen Polarendiagramm wird lw,als Funktion von TA, , lA, ,(6) mit der Fliigelstrekkung A = 111als Parameter dargestellt, Bild 4-156. Es ergibt sich eine Schar von Parabeln, die mit zunehmender Fliigelstreckung A immer steiler, d. h. giinstiger verlaufen. Wahrend der induzierte sehr stark vom AufWiderstandsbeiwert lwSi triebsbeiwert LA, ,abhangt, GI. (4-315), ist der ,in weitem Bereich Profilwiderstandsbeiwert lw, ,(Polare verlauft fast nahezu unabhangig von tA, senkrecht. Bild 4-140. Bild 4-143. Bild 4-144 sowie Bild 4-145 und von der ~ n s t e l l u h6.~~ n d e r sich t

--

296

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressibleStromungen)

und damit:

Die beiden Auftriebsbezeichnungen gleichgesetzt ergibt:

Bild 4-156. Parabeln des induzierten Widerstandes,abhangig vom Auftriebswert 5,,, unendlicher Spannweite und der Fliigelschlankheit A als Parameter (iibliche Darstellung). iA,,=f(iw,,)b m . iw,i= F(iA,,).

also 6, bleibt (,, ,nahezu unverandert. Dadurch ist es moglich, ein neues Polardiagramm fur ein anderes Seitenverhaltnis i = l/A zu zeichnen, indem nach G1.(4-315) die Parabel fiir (w,i = f (lA,), uber (A, ,aufgetragen und der zugehorige, im wichtigen Bereich fast konstante (,,,-Wert vom bisherigen Polaren Diagramm lw,,= f (tA,), ubernommen, oder aus der zugehorigen Polaren fur A = ca abgegriffen wird.

Das ist der Tangens des Ablenkungswinkels a der Stromung nach unten, d. h. gegenuber der :ngestorten Zustromung, also c,/c, = tana w a, da Ablenkung gering (a 5 5 "). Bei elliptischer Auftriebsverteilung ist gemaD PRANDTL die durch die Randumstromung notwendige Zusatzanstellung A6 etwa halb so groD wie der Stromungsablenkungswinkel a, weil das Profil, wie jeder umstromte Korper, auf die Stromung voraus- und nachwirkt. Somit gilt:

As" =

.i / x

(ist GI. 4-311)

Des weiteren ist nach PRANDTL gemaD Bild 4-130 der Tangens des notwendigen Zusatzanstellwinkels A6 dem Verhaltnis zwischen induzierter Widerstandskraft und Auftriebskraft gleichsetzbar: tan A6 z Fw,i/FA,, wobei FA,,z FAgesetzt. Da A6 ebenfalls klein, gilt auch hier tan A6 c A$, weshalb:

Erganzung: Eine vereinfachte Herleitung sol1 die PRANDTLFormeln, G1. (4-311) und GI. (4-315) veranschau- Die zugehorigen Ausdriicke eingesetzt fuhrt zu: lichen. hieraus Mit den Beziehungen (4-301) und (4-299) wird:

(ist GI. 4-315) Andererseits gilt gemaD Impulssatz, G1. (4-297a):

Hierbei kann gemaD Versuchen der von der Tragflache erfaBte Volumenstrom naherungsweise als scharf abgegrenzter Zylinder vom Durchmesser der Flugelbreite b (Spannweite) betrachtet werden, was auch zur elliptischen Auftriebsverteilung (Bild 4-154) nach PRANDTLfiihrt. Obwohl die Wirklichkeit anders ist - es erfolgt allmahlicher ubergang -, wird sie durch dieses Model1 brauchbar wiedergegeben, in dem es gute Ergebnisse liefert. Daher gilt fur den vom Flugel erfal3ten Luftstrom

Bemerkungen: Schaufeln in Stromungsmaschinen der Axialbauweise lassen sich infolge des meist mit engem Spalt angrenzenden Gehauses in der Regel als Flugel von unendlicher Spannweite auffassen. An den Tragflugelenden bei Flugzeugen manchma1 angebrachte Gondeln, sog. Bremszaune, Treibstofftanks, Wirbelkeulen, entsprechend verkleidete Antriebsaggregate oder senkrechte Flachenstucke sind in Richtung der Verringerung des induzierten Widerstandes wirksam. Verschiedentlich werden spezielle ,,BremswalleG'auf den Profilen angeordnet. Das sind in Flugrichtung verlaufende stromungsgunstig geformte Erhebungen. Wirbelkeulen sind zylinderformige, meist rota-

tionssymmetrische, windschnittige Korper, die mit ihrer Langsachse in Flugrichtung liegen nnd vorne sowie hinten uber die Flugelprofile hinausragen. Angehracht werden sie an den seitlichen Flugelenden. Brems- oder Grenzschichtzaune sind auf den Tragtlachenoberseiten aufgesetzte senkrechte Blechwande, deren mittlere Hohe ungefahr der halben Profildicke entspricht und die von der Profilnase his etwa halhe Flugeltiefe reichen. Der Randeinfla der Tragflachen hewirkt einen Widerstand, der, wie erwahnt, bei Flugzengen, besonders von kleiner Spanuweite ( A klein), his ca. 50 % des Gesamtwiderstandes hetragt und erreicht damit fast den gleiichen Wert, wie die ubrigen Widerstande zusammen. Er beeinflufit daher maBgeblich die erforderliche Antriehsleistung und somit den Energieverbranch entscheidend. Restwiderstand: Dies ist der Widerstand allernicht auftrieberzeugenden Teile d a Flugzeuges. Da auch diese Verluste von der Anstromrichtung ahhangen, ist der Restwiderstand ebenfalls eine Funktion der Anstellung. Dabei steigt der Restwiderstand meist uherproportional, d. h. starker als

-

--

Fliigelpolaren gemaR Bild 4-155 noch weiter nach rechts in Richtung entsprechend vergroBerter Widerstandsbeiwerte. Interferenzwiderstand: Die Erfahrung bestatigt, daB es nicht genugt, die Luftwiderstande der einzelnen Bestandteile eines Flngzeuges zn addieren, urn auf den Gesamtwiderstand zu kommen. Wie schon in Ahschnitt 4.3.2.3 dargestellt, heeinflussen die widerstandverursachenden Flngzengteile sich gegenseitig + interferieren (uberlagem). Daher wird die Differenz zwischen algebraischer Snmme der Einzelwiderstande und dem Gesamtwiderstand als Interferenzwiderstand hezeichnet. Der lnterferenzwiderstand kann positiv oder negativ sein. Im ersteu Fall ist der Gesamtwiderstand groBer als die Summe der Einzelwiderstande nnd irn zweiten Fall kleiner. Widerstandsaufteilung: Beim gesamten Flugzeng teilt sich der Gesamtwiderstand etwa je znr Halfte in Flachen- nnd Formwiderstand (Ahschnitt 4.3.2) auf. 4.3.3.10 Flugbedingungen Im waagrechten Flug bei gleichhleibender Geschwindigkeit (a, = 0 + F, = m . a, = 0) m& ge-

maO Krafte-Gleichgewichtsbedingung erfiillt sein (Ahschnitt 4.3.3.1): ZF, = 0 (vertikal) X?=O XF, = 0 (horizontal) Ausgewertet:

<

XF,=O: F,+i?-F,=O Wird hierbei der fluidstatische Auftrieh F. nach ARCHIMEDES(Ahschnitt 2.6)

F,=F,

mit F , = m . g

(4-316)

Hierzu folgt aus GI. (4-301) der notwendige Auftriebsbeiwert [, bzw. die erforderliche TragKKchengroBe A,,, wenn [, gem23 vorweg festgelegtem Profil im giinstigsten Betriehspunkt, d. h. hei zmi, ans zugehorigem Polarendiagramm hestimmt wird. Da dieser [,-Wert sicher erreicht werden mufi, ist er bei ausreichender Naherung in die Beziehungen (4-311) nnd (4-315) sowie auch beim Bild 4-156 an Stelle von c,, zn setzen und damit die fur die endliche Spannweite h notwendige Mehranstellung A6 sowie der iuduzierie Widerstandsbeiwert $,,[ zu bestimmen. (4-137) ZFh = 0: FShub-FW.er=O+ Fsfhub=F~,ges h4it dcr crfordcrlichcn Schubkrafi F,,,, = F* ,,., wcnu nur Traetldchcn bcnicksichtiu. -, cluibt sich die notwendige Schubleistung P,,,,, auch als Vortriebs- oder Widerstandsleistung P, bezeichnet: (4-3 18) Psrhub= PW= FsEhvh' ern= FW ' CD. Fiir c,ist hierhei wie in GI. (4-3 16) *FA nach GI. (4-301) nnd in F,,,, nach GI. (4-314a) die ,,ungestorte" Geschwindigkeit zwischen Tragflache und Umgebung einzusetzen. Das ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Flugzengfortbewegung und Wind, d. h. zwischen Flnggeschwindigkeit c,,,, und Kompouente der Windgeschwindigkeitin Flugzeuglangsachse c,~,,,,,,,; jeweils gemessen uber Grund (Erde). Entsprechend GI. (4-291) und Bild 4-124 gilt mit c - c,., . cos a: c , = c m , Cwind,~angs Hierhei Gegenwind +Zeichen Ruckenwind - Zeichen Windstille cwind= 0 a , . .Winkel zwischen Windrichtuugund Flugzeug-Langsachse

-

+

-

,.,,,

298

4 Stromungen ohne Dichteanderung (quasi-inkompressible Stromungen)

GemaB GL(4-318) ergibt sich die notwendige Gesamtvortriebsleistung P,,,,, = Fw,,,,. c, des Flugzeuges, wenn bei der Gesamtwiderstandskraft Fw,,,, = (w,,e, . A,, alle Widerstande, Tragflachen, Triebwerksgondeln, Rumpf, Leitwerk usw., entsprechend zusammengefaBt, berucksichtigt werden.

Vergleich: Unterschall-Flugzeug Boeing 747 (Ma =Ma, =0,9): Treibstoffverbrauch fiir Atlantikflug, vollbeladen, ca. 200 bis 3001 Kerosin, umgerechnet auf jeden Passagierplatz. Maximale Startmasse ca. 350 t, davon Treibstoff etwa 170 t. Geschwindigkeiten: Start knapp 300 k d h , Landung ca. 250 kmJh. Wartungszeit ca. 3 Stunden, bezogen auf eine Stunde Flugzeit. ~berschall-~lugzeug Concorde (Ma IMa,= 2,l): Kerosin-Verbrauch fir Atlantikflug, vollbeladen, ca. 800 bis 900 1 je Passagierplatz; 1800 1 auf 100 km. Maximale Startmasse ca. 165 t, davon Treibstoff etwa 80 t. Wartungszeit etwa 25 Stunden je Stunde Flugzeit. Trotz AuDentemperatur unter - 70 "C in ca. 18 km Flughohe und Luftdichte ungefahr 1/10 von der am Erdboden, wird die Flugzeug-AuDenhaut durch die Luftreibung auf etwa 150°C aufgeheizt, weshalb Kuhlung notwendig (Abschnitt 5.5.3.2).

Gesucht: a) Auftriebsbeiwert beim Reiseflug in I1 km Hohe. b) Auitriebsbeiwert beim Abheben (Klappen ausgefahren). Bemerkung: Ab Ma > 0,3 ist die Kompressibilitat der Luft zu berucksichtigen. Da dieser EinfluD erst spater dargestellt wird (Abschnitt 5.5.2), soll er hier vereinfachungshalber unberiicksichtigt bleiben.

PI

Ein Kleinflugzeug sol1 Rechteck-Tragflachen erhalten. Bekannt: Vorgesehen: Profil G 387 (Gottinger Profil) Flugzeugmasse (vollbeladen) 4200 kg Fluggeschwindigkeit 350 km/h Startgeschwindigkeit 240 km/h Landegeschwindigkeit 190 km/h Profil-Seitenverhaltnis 1 1:6 Flugellange (etwa halbe Spannweite) 6,4 m Luftzustand: Temperatur 12 "C (Reiseflughohe) Druck 880 mbar

Gesucht bei Windstille: a) Anstellwinkel und Beiwerte fur Reiseflug. b) Vortriebsleistung im Reiseflug. c) REYNOLDS-Zahl beim Reiseflug. d) Tragflachen-Moment im Reiseflug. e) Lage des Druckmittelpunktes im Reiseflug. f) M ~ c ~ - Z aim h l Reiseflug. Verbrauch etwa doppelt so hoch wie bei Boeing g) Verhaltnisse beim Start, also Anstellwinkel, 747. Hohe 11,4 m; Spannweite 25,6 m; Lange Leistung, Moment, Druckmittelpunkt, Re-Zahl, 62,l m. Dehnt sich wahrend des iiber~challflu~es Ma-Zahl. urn bis 40 cm aus. Geschwindigkeiten: Start h) Minimal mogliche Fluggeschwindigkeit und dabei ca. 400 kmlh, Landung etwa 300 W h . erforderliche Antriebsleistung. i) Fallbeschleunigung bei der Landung.

Vom Flugzeug Boeing 747 (Jumbo-Jet) sind folgende Daten bekannt: Fliigelflache A,, = 511 m2 Startmasse m = 320000kg Reiseflug-MACH-Zahl M a = 0,9 Abhebegeschwindigkeit beim Start c = 234 km/h

Bemerkung: Der induzierte Widerstand soll, damit die Rechnung nicht zu kompliziert wird, zuerst vernachlassigt werden. Dies ist in der Praxis jedoch nicht zulassig, da die Abweichungen, insbesondere bei groDen Seitenverhaltnissen I (wie im Beispiel der Fall!) unvertretbar groD werden. Die Rechenergebnisse waren nicht mehr brauchbar. In einer Zweitrechnung ist der Randeinflulj daher zu berucksichtigen.

5.1 Grundsatzliches

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik) 5.1 Grundsatzliches

Wahrend, wie ausgefuhrt, die Volumenanderung, verursacht durch Andern des Druckes und der Temperatur, bei stromenden Flussigkeiten fast immer vernachlassigt werden kann, ist dies bei Gasen und Dampfen nur bei kleinen Geschwindigkeiten zulassig. Nach Abschnitt 1.3.1 ist die Kompressibilitat bei Gasen und Dampfen in Stromungen bis zu MACH-Zahlenvon etwa 0,3 vernachlassigbar. Bei hoheren Ma-Zahlen ist die oft erhebliche Volumenanderung kompressibler Fluide in Abhangigkeit von Druck und Temperatur zu beriicksichtigen. Dabei konnen sich Druck und Temperatur verandern infolge Warmezufuhr/-abfuhr von/nach auDen durch Warmeubertragung oder von innen durch Verbrennung sowie Dissipation (Umsetzung von Stromungsenergie in Reibungswarme) als auch durch Umwandlung von thermischer Energie in Stromungsenergie bzw. umgekehrt. GemaD der P R A N D T L SRegel C ~ ~ (Abschnitt ~ 5.5.2) sind unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Ma < 1) Stromungen kompressibler Medien naherungsweise mit denen ink~m~ressibler vergleichbar. Fiir das Auftreten groBerer und deshalb nicht mehr vernachlassigbarer Volumenanderungen sowie der damit verbundenen Druck- und/oder Temperaturanderungen kommen im wesentlichen folgende Falle in Betracht: a) GroBe Hohenerstreckung von Gasmassen unter Schwerewirkung Das hauptsachlichste Anwendungsgebiet ist hier die freie Atmosphare. In der Meteorologie ist diese Problematik bedeutungsvoll. b) GroBe Geschwindigkeiten bei Gas- und Dampfstromungen a) Wenn zwei Raume verschiedenen FluidDruckes und/oder -Geschwindigkeit durch eine Offnung, z.B. eine Bohrung, miteinander verbunden werden. Hierzu gehoren auch Aus- und Einstromvorgange (Dusen, Diffusoren). Der Druckunterschied mu13 dabei entsprechend groD sein (groDer etwa 20 %). p) Wenn sich Korper mit grol3en Geschwindigkeiten in kompressiblen Fluiden bewegen oder

299

Korper von Gasen mit hoher Geschwindigkeit umstromt werden. Diese beiden Falle von Innen- und AuBenstromungen sind theoretisch eng rniteinander verwandt. c) GroDe Beschleunigungen Derartige instationare Vorgange konnen in ruhenden oder stromenden kompressiblen Fluiden auftreten. Sie sind moglich, wenn Wandteile oder sich in Gasen befindliche Korper stark beschleunigte Bewegungen ausfuhren oder sonst irgendwelche Veranderungen auftreten. Dam gehoren die Ausbreitungsvorgange rascher Schwingungen und Explosionen sowie Detonationen (Tabelle 1-17, Abschnitt 1.3.6), die Folgeerscheinungen raschen 0ffnens oder SchlieDens von Absperr- und Regelorganen, z. B. Drosselklappen, Ventilen, Schiebern. d) GroDe Temperaturunterschiede Treten auf bei Stromungen mit grol3en Geschwindigkeitsanderungen und bei allen Stromungsvorgangen mit Warmeubertragung m m oder vom Fluid sowie Warmeumsetzung durch Verbrennung. Die Betrachtungen im Rahmen dieses Buches beschranken sich auf Fall b), groDe Geschwindigkeiten bei Gas- und Dampfstromungen. Die hydrodynamischen Grundgleichungen, d. h, die Beziehungen der Stromungen inkompressibler Fluide, reichen nicht mehr aus, um diese Bewegungsvorgange zu beschreiben. Neben die Gleichungen der Hydro-, d. h. Flussigkeitsmechanik treten die der Thermodynamik. Mit wachsender Annaherung der Stromungsgeschwindigkeit an die Schallgeschwindigkeit andert sich - wegen des Zusammenhanges zwischen Druck und Geschwindigkeit - der Stromlinienverlauf immer starker. Nach Uberschreiten der Schallgeschwindigkeit verandert sich der Stromungscharakter sogar wesentlich. Physikalisch ist dieses Verhalten, wie noch zu erlautern sein wird, dadurch begriindet, daD sich in Uberschallstromungen Anderungen (meist Storungen) in der Druckverteilung nicht mehr nach allen Seiten fortpflanzen konnen, sondern nur noch in ein bestimmtes, stromabwarts liegendes Gebiet. Die M ~ c ~ - Z a ist, h l wie in Abschnitt 3.3.1.3 auseinandergesetzt, die GroDe fur den Abstand zur Schallgeschwindigkeit (Gl. 3-39). Die Ma-Zahl dient daher auch zur Unterscheidung der Stromungsbereiche:

300

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Ma < I Unterschall M a 0,3 inkompressibles Verhalten Ma x 0,3 bis 0,75 Subsonic, subsonischer Bereich Ma x I Transschall Ma x 0,75 bis 1,25 (bis 1,8) Transsonic, transsonischer Bereich, Schallnahe. Transsonische Stromungen .sind auch solche, bei denen Unter- und Uberschallgebiete nebeneinander vorkommen. Ma > I iiberschall Ma x 1,25 (I&) bis 5 Supersonic, supersonischer Bereich, Superschall. Ma > 5 Hypersonic, hypersonischer Bereich, Hyperschall. Gasmolekiile dissoziieren und ionisieren, so daB die Behandlung der Luft b m . des Gases als thermodynamisch ideal nicht mehr zulassig ist. Bei Stromungen mit Ma > 0,3 mu0 bei Vergleichen neben der Re-Zahl auch die Ma-Zahl iibereinstimmen.

5.2 Kleine Druckstorungen (Schall)

hung und der E u ~ ~ ~ s c hBewegungsgleichung en eindimensionaler Stromungen (Stromfadentheorie) abgeleitet werden (exakter Weg). Die Wellenfront in Bild 5-1 bewege sich mit der Schallgeschwindigkeit a in ruhendem Fluid (Geschwindigkeit c = 0, Druck p und Dichte e) von links nach rechts. Hinter der Druckwelle haben sich Geschwindigkeit, Druck und Dichte jeweils um kleine Werte geandert. Anderungen dabei teilweise positiv und teilweise negativ. Die Werte betragen dann: c + Ac, p + Ap und e + Ae. In bezug auf ein festes Koordinatensystem (ruhender Beobachter) handelt es sich bei der Wellenbewegung um einen instationaren Vorgang. Der Stromungsvorgang wird dagegen wieder stationar, wenn sich das Koordinatensystem mit der Welle mitbewegt (vergleiche Abschnitt 4.1.6). Bei dieser relativen Betrachtungsweise stromt dann das Fluid von rechts kommend mit den GroRen c = a, p, Q in die Wellenfront als Kontrollflache ein und verlal3t diese nach links mit den veranderten Werten c + Ac, p + Ap, Q + Ae. Die Druckwelle ist bei Schall so schwach, daS die Dicke der Wellenfront als sehr gering (As = ds) gelten kann. Deshalb ist die Querschnittsanderung AA x dA sowie der Hohenunterschied Az = dz vernachlassigbar, also

dA x 0 und dz x 0 Vorbemerkungen Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit kleiner, d. h. Damit ergeben sich aus: akustischer Druckstorungen, Schallwellen, kurz Schall, wird mit Schallgeschwindigkeitbezeichnet (Abschnitt 1.3.4). Bei grol3en Druckamplituden, StoBwellen, wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit oft bedeutend hoher als die des Schalls. Solche Uberschallgeschwindigkeiten entstehen z. B. bei Detonationen (Tabelle 1-17, Abschnitt 1.3.6). Mit wachsendem Abstand vom Detonationsherd werden Amplitude und Fortpflanzungsgeschwindigkeit jedoch laufend kleiner. SchlieSlich sinken die Werte auf die normalen Schallwellen, so daR die weitere Ausbreitung mit Schallgeschwindigkeit erfolgt. Die Geschwindigkeit sinkt dann nicht mehr weiter ab, wohl aber die Amplitude, d. h. die Lautstarke. Bei der Detonation (iiberschallschnelle Wellenfront (Druckwelle) Verbrennung) von Nitroglyzerin beispielsweise entstehen Ausbreitungsgeschwindigkeiten bis ca. 7400 m/s bei Driicken von etwa 100000 bar (AbC + dC = dC schnitt 1.3.4). v * dv P 'AP 5.2.1 Schallgeschwindigkeit Gegensatzlich zu Abschnitt 1.3.4 sol1 jetzt die LA~~Ac~-Beziehung fiir die Schallgeschwindigkeit Bild 5-1. Ausbreitung von Schallwellen (kleinen Druckmit Hilfe der differentiellen Kontinuitatsbezie- storungen mit prinzipiellem Druckverlauf).

I+

1

5.1 Grunditzliches

Beziehungen (5-1) und (5-2) gleichgesetzt:

301

Damit folgt aus G1. (5-4), da p = p , . (pip,):

Mit c = a wird: x-1

Hieraus Dies ist die Gleichuug von LAPLACE, G1. (1-21) in Abschnitt 1.3.4. Die Druckanderungen bei der Schallausbreitung erfolgen sehr schnell. Zeit fur Warmeaustausch mit der Umgebung besteht deshalb kaum (adiabates Verhalten). Zudem sind die Druckstorungen so klein, daB die Reibung vernachlassigbar ist (ideales Verhalten). Somit kann isentrope Zustandsanderung zugrundegelegt werden: p . u"

= konst

oder mit p .Q-"

v=e-'

o = a,(:)=

= die Hierbei ist a , = JG Schallgeschwindigkeit des Ruhezustandes mit den thermischen ~uhewerten:Ruhedruck p,, spezifisches Ruhevolumen v, und Ruhetemperatur TR. Dagegen ist a die Schallgeschwindigkeit des Fluides beim Zustand Druck p, Temperatur T und Stromungsgeschwindigkeit c .

In GI. (5-2) fur I/Q = v die rechte Seite von umgewandelter Isentropenbeziehung (5-6) eingesetzt sowie zwischen Randbedingungen Ruhezustand (p,, C R = 0) und einem isentropen Entspannungspunkt ( p , c) integriert, fuhrt zu:

= konst

Die Isentropenbeziehung, G1. (5-3), nach der Produktregel differenziert, fiihrt zu Hieraus

~ C ~ Ufiir I Zdie ~ Eingesetzt in die L A P L A C E - G ~ ~ ergibt Schallgeschwindigkeit:

oder mit der Gasgleichung p . v = R . T: a = Jx.R.T

Die Schallgeschwindigkeit ist somit die Fortpflanzungsgeschwindigkeit kleiner (positiver oder negativer) Druckanderungen (Storungen) relativ zur ungestorten Stromung. G1. (5-5) ergibt, daS die Schallgeschwindigkeitvon der Temperatur des Gases oder Dampfes abhangt. Sie wird mit sinkender Temperatur kleiner. Werden die thermischen ZustandsgroBen p, v, T auf den Ruhezustand des Fluides (Index R), d. h. bei der Stromungsgeschwindigkeit c, = 0, bezogen, ergibt sich mit der Isentropenbeziehung:

Gleichung (5-8) fur die Stromungsgeschwindigkeit wurde 1839 von DE SAINTVENANT und WANTZEL bekannt. Sie geriet jedoch wegen Einspruch von PONCELET, der eine Bemerkung von BERNOULLI miBdeutete, wieder in Vergessenheit. WEISSBACH erkannte die Vorgange 1855 wieder. Ebenfalls unabhangig legten THOMSON und JOULE')von der Thermodynamik herkommend ein gleichwertiges Ergebnis vor. E. ZEUNER, der die Losung gasdynamischer Fragen durch Theorie und Experiment wesentlich forderte, deckte 1871 die Prioritat von DE VENANT und WANTZEL wieder auf. Die groSte Geschwindigkeit wird nach G1. (5-9) erreicht, wenn das Gas ins Vakuum abstromte, JOULE, Joma, Prescott (1818 bis 1889), engl. Physiker.

302

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

also p = 0 wurde (nur theoretisch denkbar). Dann stellte sich die endliche Maximal- oder Grenzgeschwindigkeit c,, ein:

bezeichnet. Immer mehr wird LAVAL')-Geschwindigkeit q ( c L=ak,) als Bezeichnung verwendet. Aus G1. (5-11) ergibt sich mit a,, m c, = a = c: Hieraus

Diese Gleichungen werden in Abschnitt 5.3.3, Ausstromungen, wieder benotigt. Die Beziehung (5-7) fur die Schallgeschwindigkeit in G1. (5-9) eingesetzt, ergibt:

Die Schallgeschwindigkeit nimmt, wie G1. (5-11) zeigt, ausgehend vom GroDtwert a, bei Ruhe (c = C, = 0) rnit wachsender Stromungsgeschwindigkeit c ab. Bei der Grenzgeschwindigkeit c,, , die beim Gegendruck p = 0 (Vakuum) erreicht wird, geht nach G1.(5-11) rnit G1. (5-10) die Schallgeschwindigkeit auf null zuruck:

Bei Stromen mit Grenzgeschwindigkeit c,, (nur theoretisch denkbar, da Vakuum) ist also keine Schallgeschwindigkeit mehr vorhanden. Die Geschwindigkeitssteigerung ist nach G1. (5-8) mit einer Drucksenkung und damit gemaD dem sich aus Gasgleichung, kombiniert mit Isentropenbeziehung, ergebendem Zusammenhang

Die Grenzgeschwindigkeit c,, nach G1. (5-10) eingesetzt, fuhrt fur die LAVAL-Geschwindigkeit cL zu:

~ b e die r MACH-Zahlist es, wie schon ausgefuhrt, in der Gasdynamik iiblich, Stromungsgeschwindigkeiten dimensionslos darzustellen. Dabei konnen gebildet werden: a) Ma = c/a ortliche MACH-Zahl, Stromungsgeschwindigkeit bezogen auf die lokale Schallgeschwindigkeit. b) Ma,, = c/ak = La = C/C, kritische MACH-Zahl, besser rnit L A V A L - Z B ~ ~ La bezeichnet. Stromungsgeschwindigkeit bezogen auf die kritische Schallgeschwindigkeit, also die LAVAL-Geschwindigkeit. c) MaR = cla, Ruhe-MACH-Zahloder MAc~-Zahlder Ruhe. Stromungsgeschwindigkeit auf die Schallgeschwindigkeit des Ruhezustandes bezogen.

Da bei Rohrstromung die LAVAL-Geschwindigkeit eine Konstante ist, verandert sich die L A V A L - Z ~ ~ ~ proportional zur Geschwindigkeit c. Die lokale MACH-ZahlMa dagegen ist in einem Rohr nicht mit einer Temperaturabnahme verbunden. Nach proportional zu c, da sich rnit der Geschwindigkeit G1. (5-5) nimmt jedoch, wie schon envahnt, auch c auch die Temperatur T und damit die ortliche die Schallgeschwindigkeitrnit sinkender Tempera- Schallgeschwindigkeit a des Fluides andert. Destur ab. Deshalb muljte bei Schallgeschwindigkeit halb, d. h. um Proportionalitat zu erhalten, wird null, d. h. beim Stromen rnit der Grenzgeschwin- im Maschinenbau zur Kennzeichnung vorzugsl also die kritische digkeit c,, auch die absolute Temperatur T = 0 weise die L ~ v ~ L - z a hLa, MACH-Zahl Ma,, oder die Ruhe-MACH-Zahl sein, was ebenfalls nur theoretisch denkbar ist. MaR,venvendet. Eine weitere wichtige Beziehung 1aDt sich zudem Beim Flug eines Korpers in der freien Atmosphare aus G1. (5-11) fur ein kompressibles Fluid ableiten, wird die Temperatur der umgebenden Luft, d. h. das gerade rnit Schallgeschwindigkeitstromt, also die Temperatur T, der Grundstromung, als Bebei zugsgrolje verwendet: a, Die sich dann einstellende Schallgeschwindigkeita wird als kritische Schallgeschwindigkeita,, (a =a,,)

')

=

= konst

DELAVAL,G. (1845 bis 1913), schwedischer Ingenieur.

5.2 Kleine Druckstorungen (Schall)

In diesem Fall ist die Fortbewegungsgeschwindigkeit c proportional zur sog. Anstrom-MACH-Zahl:

Ma, = clam In der Flugmechanik wird daher meist mit Ma, gerechnet. Nur bei Windstille ist die Fluggeschwindigkeit c,,,, exakt gleich der Anstromgeschwindigkeit c, der Grundstromung. In der Regel kann jedoch meist angenahert gesetzt werden:

303

@ 2.dbO 3.dt.0

Schallwellenfronf (Kugelschalel

Interessant ist die Erkenntnis nach G1. (5-14), daB die G r e n z - L A V A L - Z(kritische ~~~ Grenz-MACHZahl)

MACHscher Kegel

einen endlichen Wert hat, wahrend die GrenzM~c~-Zahl

strebt, da zugehorig bei p a,,,, 0.

-+

0 laut G1. (5-4) auch

+

Bemerkung: Das Vernachlassigen der Kompressibilitat wirkt sich derart aus, dalj die Schallgeschwindigkeit in streng raumbestandigen, d. h. exakt inkompressiblen Fluiden theoretisch als unendlich groB erscheint. Kleine Stromungen pflanzen sich dann augenblicklich nach allen Seiten unendlich schnell fort. Hieraus folgt, dalj bei allen Stoffen (fest, flussig, gasformig) die Kompressibilitat (sprich auch Elastizitat) grundlegende Voraussetzung fur das Entstehen und Ausbreiten des Schalls ist (Abschnitt 1.3.6).

5.2.2 Schallausbreitung Ruhezustand: In einem ruhenden, homogenen Gas oder Dampf breitet sich eine schwache punktformige Druckstorung (Schall) allseitig gleichmaljig mit Schallgeschwindigkeit aus. Die Storfront bildet in aufeinanderfolgenden Zeitpunkten (At, 2At, 3At, usw.) konzentrische Kugelschalen um die Storstelle, Bild 5-2,a. Die Schallintensitat nimmt nach auljen hin ab, da sich die Schallenergie auf immer groljere Kugelschalen verteilt. Das Fortschreiten der Storung erfolgt ganz ahnlich wie das Ausbreiten von Ringwellen auf einer anfanglich ruhenden Wasseroberflache. Dabei handelt es sich nicht um einen FlieDvorgang, denn die einzelnen Teilchen bleiben im Mittel am gleichen Ort und

b)

c < o (Unterschall)

dl

c>a (~berschalll

Bild 5-2. Schallausbreitung bei verschiedenen Translationsgeschwindigkeiten c der Schallquelle S.

nur die Energie pflanzt sich fort. Die von der Schallwelle erfaljten Teilchen werden zu Schwingungen um ihre Ruhelage angeregt. Gleichzeitig schwanken Druck und Dichte, bedingt durch die Kopplung der FluidgroBen (Energiesatz), um ihre Mittelwerte. Flachen gleicher momentaner Abweichung von der Ruhelage bzw. deren Mittelwert werden als Wellenfronten bezeichnet. Die Wellenfronten pflanzen sich im Schallfeld mit Schallgeschwindigkeit fort und iibertragen die von der Schallquelle an das Medium abgegebene Energie. Je nach Art (Form) der Schallquelle wird von Kugel-, Linien- oder Stabwelle (Zylindenvelle + koaxiale Zylinderfronten) gesprochen. Bewegungszustand: Besteht zwischen Schallquelle und Fluid eine Relativbewegung, indem die - Storstelle sich mit Geschwindigkeit c in ruhendem Fluid bewegt, - Storstelle vom Fluid translatorisch mit Geschwindigkeit c angeshomt wird, - sich beide gegeneinander bewegen, iiberlagern sich Bewegungsgeschwindigkeit c und Schallgeschwindigkeita (ist jetzt relative Schallge-

304

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

schwindigkeit!) zur resultierenden, d. h. absoluten Ausbreitungsgeschwindigkeit a, der Druckstorungen, also des Schalls. Diese absolute Schallgeschwindigkeit a', ergibt sich somit aus vektorieller Addition von c' und d -t a', = a'+ c': Sie betragt mit Index c wegen Geschwindigkeit c: stromabwarts a, = c + a (positiv) stromaufwarts a, = c - a (negativ)

3. Storstelle bewegt sich mit fiberschallgeschwindigkeit (c > a), Bild 5-2,d. Die sich mit Schallgeschwindigkeit fortpflanzenden Druckstorungen konnen sich jetzt nur noch entgegen der Bewegungsrichtung (Geschwindigkeit c) in einem eng begrenzten Raum hinter der Storstelle ausbreiten.

Die Mittelpunkte der Storfronten verschieben sich im Fall 3 so gegeneinander, daS deren KugelschaDabei bedeutet relativ betrachtet, d. h. von der len einen gemeinsamen Kegel tangieren, dessen bewegten Schallquelle aus gesehen: Spitze die Storquelle bildet. Die gesamte SchallPositives Vorzeichen von a,: front bewegt sich somit als Kegel, dem sog. Schallfortpflanzung in Bewegungsrichtung Mac~schenKegel, rnit der Schallquelle mit. Au(stromabwarts). Derhalb des von der Storquelle nach hinten ausgeNegatives Vorzeichen a,: henden, nachgeschleppten M ~ c ~ s c h eKegels n ist Schallfortpflanzung entgegen der Bewegungs- die Zone der Ruhe und innerhalb die Zone des richtung (stromaufwarts) Gerausches. Auf dem Mantel des M ~ c ~ s c h e n Kegels, der Schallfront, ergibt sich verstarkte Aus den Beziehungen folgt, daD sich kleine Druck- Schallintensitat infolge der sich konzentrierenden storungen, sowohl Druckerhohungen als auch Kugelwellenfronten. Die Kegel-Begrenzungslinien -erniedrigungen gegen die Bewegungs- b m . Stro- (Meridiane) werden auch als MAcHsche Linien, mungsrichtung nur fortpflanzen konnen, solange M ~ c ~ s c Wellen he oder Charakteristiken bezeichdie Bewegungs- bzw. Stromungsgeschwindigkeit c net. Hier andern sich Geschwindigkeit, Druck, kleiner als die Schallgeschwindigkeit a ist (a, nega- Temperatur und Dichte infolge der Energiekontiv, d. h. entgegen c). Bei ~berschall~eschwindig- zentration nahezu unstetig; dies verursacht einen keit (c > a) ist a, immer positiv. Schallausbreitung entsprechenden Gerauschpegel. ist dann nur noch stromabwarts moglich. Eine Schalldruckwelle kann demzufolge in Uberschall- Jeder sich mit fiberschall bewegende Korper n hinstromung nicht nach riickwarts eindringen, d. h. ,,schleppt" einen M ~ c ~ s c h eGerauschkegel ter sich her, auf dessen Mantel die Schallintensitat entgegen der Stromung b m . Bewegung. um so groIjer wird, je kleiner der Abstand vom Insgesamt ist demnach zwischen drei Fallen zu Korper, der die Schallquelle bildet, ist (Tiefflug). Der sog. fiberschallknall, auch als Schallmauer unterscheiden (wieder in Relativbetrachtung): bezeichnet, wird (meist unangenehm) wahrgenom1. Storstelle bewegt sich mit Unterschallgeschwin- men, wenn die Schallfront der ,,Druckwelle", die digkeit (c < a), Bild 5-2,b). M n c ~ s c h eKegeloberflbhe, das Gehor des BeDie Druckstorungen konnen sich auch strom- troffenen erreicht. Die von einem mit ~berschallaufwarts ausbreiten; Schallverdichtung strom- geschwindigkeit bewegten Korper ausgehenden aufwarts und Schallverdiinnung stromabwarts. Kopfwellen gemaS Bild 5-2,d, die sich in der RichVor dem Korper entstehen demnach intensivere tung senkrecht zur Kegeloberflache wie normale Druckstorungen als dahinter. Schallwellen fortpflanzen, werden als scharfer 2. Storstelle bewegt sich gerade mit Schallge- Knall wahrgenommen. Dies ist z. B. auch die Urschwindigkeit (c = a), Bild 5-2,c. sache des Peitschenknalles. Dieser entsteht dann, Grenzfall: Die Druckstorungen konnen sich wenn sich das HuDere Ende der Peitschenschnur nur noch strornabwarts ausbreiten. Die Schall- mit ~berschall~eschwindi~keit durch die Luft wellen drangen sich stromaufwarts im Zentrum bewegt. Erfolgen solche Knalle aufeinander in einer ebenen, theoretisch senkrechten, durch schneller regelmaDiger Folge, wie beispielsweise die Storquelle gehenden Front der sog. Schall- bei einem Propeller, dessen Spitzen mit fibermauer zusammen. Dies hat eine entsprechende schallgeschwindigkeit umlaufen, entsteht ein Schallverdichtung und damit Verstarkung zur scharfer Ton, vergleichbar mit dem einer Posaune. Folge. Stromaufwarts, vor der Schallgrenze, ist die Zone der Ruhe und dahinter, stromabwarts, Der halbe ~ffnungswinkelu des Kegels, der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Schallfront, die Gerauschzone.

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

wird als M ~ c ~ s c h eWinkel r bezeichnet. Fur den M ~ c ~ s c h Winkel en ergibt sich aus Bild 5-2,d:

Lediglich bei relativ schwachen Storungen ist die StoBfront durch einen M a c ~ s c h e nKegel begrenzt und die Druckstorung pflanzt sich mit Schallgeschwindigkeit fort. Dagegen breiten sich starke Storungen (Explosionen, Detonationen) mit solch groOer ~berschall~eschwindi~keit aus, daB die Richtung der StoBfront von den MAcHschen Linien abweicht (Abschnitt 5.5.3.2). Bemerkungen: Im Verdichtungsbereich der Schallwellen,d. h. vor dem sich bewegenden Korper, steigen Frequenz (Blauverschiebung) und Energiedichte. Im Bereich der Schallwellen-Verdunnung (hinter dem Korper) dagegen sinken die Werte (Rotverschiebung). Diese Frequenzverschieb~n~ wird nach ihrem Entdecker als DOPPLER-Effektbezeichnet. Vor einer sich bewegenden Schallquelle erreichen einen Beobachter in der gleichen Zeit mehr Schwingungen als bei ruhender Schallquelle. Hinter der sich fortbewegenden Schallquelle ergeben sich umgekehrte Verhaltnisse. Erhohte Schallwellenanzahl pro Zeiteinheit bedeutet jedoch hohere Frequenz und umgekehrt. Daher vor der sich bewegenden Schallquelle Verschiebung zu hoherer und dahinter zu geringerer Frequenz. Diese Erscheinung tritt, wenn auch stark abgeschwacht, ebenfalls bei Flussigkeitsstromungen auf. Trotzdem reicht der Effekt der Frequenzanderung auch hier noch aus, um zur Geschwindigkeitsmessung eingesetzt zu werden (Laser-Anemometer).

305

5.3.1.2 Energiesatz 5.3.1.2.1 Reibungsfreie kompressible Stromungen Die Energiegleichung fur ideale stationare Absolutstromung, G1.(3-86), 1aOt sich fur reibungsfreie, kompressible Fluide mit den spezifischen thennischen und jouleschen (kalorischen) Zustandsgleichungen, die exakt nur fur thermisch ideales Gasverhalten gelten, umschreiben, wobei p; T die unabhangigen und v; u; h; s die abhangigen thermischen (jouleschen) ZustandsgroUenl) sowie x; R Stoffwerte sind: Gasgleichung Gaskonstante Isentropenexponent Innere Energie Enthalpie Entropie 1. Hauptsatz

p.v=R.T R = c, - c, x = cp/c, du = c, . d T dh = c p . d T dh = d u + d ( p . v ) ds = dq/T dq=du+p.du

(5- 22) (5-23) (5- 24) (5-24a) (5-25) (5-25a)

Hierbei in der Technik meist Bezugsbasis 0 O C . Das bedeutet, die J o u ~ ~ s c h e(kalorischen) n GroOen h, u, q werden null gesetzt bei Temperatur to = 0 "C. TRAUPEL [97] fuhrte hierzu fur h(t) die Bezeichnung Normalenthalpie ein. In den thermodynamischen Beziehungen sind Temperatur T und Druck p die statischen Werte, d. h. GeschwindigkeitseinfluB nicht berucksichtigt, weshalb auch als statische Temperatur und statischer Druck bezeichnet. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik, G1. (5-25a), wird auch als G~~ssscher Fundamentalsatz, oder kurz G ~ ~ ~ s s Gleichung che genannt. Aus den Beziehungen (5-21) und (5-22) folgt fur die Warmekapazitat (spezifische Warme) bei konstantem Druck (Isobare):

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie) Dimensionen:

5.3.1 Grundgleichungen 5.3.1.1 DurchfluU und Kontinuitat Auch fiir nichtvolumenkonstante, d. h. kompressible Fluide gilt die allgemeine DurchfluBbeziehung, GI. (3-5), die Kontinuitatsbedingung, G1. (3-7), sowie die differentielle Kontinuitatsgleichung, G1. (3-lo), alle nach Abschnitt 3.2.2.2. Grund: Die Herleitung erfolgt ohne Einschrankung hinsichtlich Dichteverhaltens des Fluides.

u; h

in

J/kg = m2/s2

c,; c,; R; s

in

J/(kg. grd) = m2/(s2. grd)

')

Bezeichnet werden auch unabhangige ZustandsgroBen (p,t ) als primare Zustandsgroaen, oder kurz ZustandsgroBen - abhangige ZustandsgroDen ( v , u, h, s) als sekundLe Zustandsgrokn oder Zustandsfunktionen.

-

306

5

Stromungen mlt Dichteanderung (Gasdyndmlk

grd - Abkurzung fur Grad - steht hierbei scellvertretend fur K und "C. Bei Temperatur-Differenzen stimmen die Zahlenwerte von Tin K und t in O C uberein, also A T = At, da Basis herausfillt.

Oder wieder zwischen den Stromungssteilen Q und 0, also 2.B. abermals gemaR Bild 5-4;

Im Energiesak, GI. (3-86)

bnv.

E

a-fa

c:/2

+ h, = c:/2 + h, c$/2 - cf/2 = h,

- h,

Die Summe von Enthalp~eund kmetischer Ener-

Be, also der Wert der Konstanten In GI (5-31), wlrd auch als Gesamt-, Rube-, Kessel- oder TotaD~chteQ durch das spevfische Volumen u = I/@ lenthalpie hzw. Totalenerg~ebeze~chnet ersetzt und anschheBend d~fferenz~ert, fuhrt zu Bemerkung: Der Enthalpie h bei Gasen nnd Dampfen entspricht bei Flussigkeiten die spezifische Energie Y gemaB GI. (4-I), also h Y mit Dimension [m2/s"]. Das Gasgesetz, GI. (5-20), ebenfalls ahgeleitet und in die differentielle Energiegleichung idealer Fluide, GI. (5-26),eingesetzt, crgibt bei Verwenden der Beziehungen fur innere Energie, GI. (5-23), Enthalpie, GI. (5-24). und Gaskonstante, GI. (5-21): p . v = R .7'

Differenziert:

p.dv+u.dp=R.dT=(c,-c,).dT=dh-du (5-27) In GI. (5-26) eingesetzt: g~dr+dhdu+c.dc+du=O

Die differentielle Energiegleichung, GI. (5-28), fur stationare lineare Stromung idealer kompressibler Fluide integriert, ergibt: g'z

cL ++ h = konst 2

oder fiir die Bezugsstellen @ und Bild 5-4 + E 0-0:

(5-29)

a,z.B. gemal3

Wegen der geringen Gasdichte ist die potentielle Energie g . z fast immer vernachlassigbar (insbesondere bei Hohendifferenzen bis 100m) gegeuuber der Stromungsenergie und der Enthalpie. Dann erhilt die Energiegleichung idealer kompressibler Stromnng die meist verwendete Form:

c2 + h = konst 2

-

Die Energiegleichung, GI. (5-32), stromender idealer kompressibler Fluide (Gase und Dimpfe) gibt den Zusammenhang zwischen der Stromungsenergie nnd der Enthalpie als Summe von innerer Energie u und Verschiebearbeit p . v (gesamter Warme-oder Energieinhalt). Dabei ist ein adiabates System vorausgesetzt, d.h., es erfolgt kein Warmeaustausch des Fluides mit der Umgebnng. Warmeabfubr nach auRen oder Warmezufuhr von auDen finden daher nicht statt. Die Zustandsanderung, die ein thermodynamisch ideales (R = konst, x = konst) und fluidmechanisch ideales (reibungsfrei + q = 0) Gas in einem adiahaten System (q = 0) ausfuhrt, ist dielsentrope (s = konst), Bild 5-3. Zur Kennzeichnung der ideden, d. h. isentropen kompressihlen Striimung wird deshalh an Stelle Q der Zweitindex s, fiir s = konst, angefugt, also 2,s: zugehorig h,,,; c,,.;

(5-31)

v-

s-

i

--

Bild 5-3, Isentrope Zustandsinderung irn ( p ,01-, (T,s)(h, + D i a g r a m nach MOLUEK. we Gasarbeit, w, technische Arbeit Zustandsinderung von 1 nach 2,s, Entspannung (Expansion),von 2,s nach 1 Verdichtung (Kompression). Reveisibel, da s = konrt, d.h. ideal. Ah, isentropes WirmegefXlle (Enthalpiedifferenz)

5 3 Eind~mensronalekompressrbie Stromungen (Stromfadentheor~e)

T,,, nnd v,,,. Beim Druck p, dagegen ist kein Zweitindex notwendig, da der Entspannungsdruck durch auOere Bedingungen festgelegt und daher unabhangig von der Qualitat der Zustandsanderung (ideal oder real p,,, s p , ) ist, weshalb anch unahhangige oder primare Variable.

-

Fiir die Isentrope gelten folgende thermodynamischen Beziehungen:

307

Enthalpie: Aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik (Gr~sscheGleichung) ergibt sick dq = du + p . dv = 0, oder mit GI. (5-27) d q = d h - v . d p = O . Hieraus,dajadq=O dh = v . dp (da Isentrope!) Integriert zwischen den Zustandsgrenzen 1 und 2, s -3 entgegen der h-Achse, also negativ:

Warmeaustausch: dq = 0 ds = dq/T = 0

Entropie:

s = konst

+

I (h2,8-h~)l

Isentropen-Beziehung: p.uX=konst

+

Ah,=h,-h,,,=w,,,

p,.v:=p,.u:,,

(5-36a)

und mit GI. (5-35)

Gasarheit (Volumeninderungsarbeit): "2

also

= ~ t , ~

Ah,

X = w,,, = ----PI

,

x -I

vl

Hierhei wieder nach Gasgleichung, GI. (5-20), p, . v, = R . TI. Mit p = p, . v: . v 7 (aus p . v"

und mit v,/o,,,

= (pJp,)""

= p,

.u;) wird

wird

Technische Arbeit (Druckanderungsarheit): .

Mit

u

.

~

=

u,

,

W,,s

j

= - U,

.

~

p:'". p-"X P2

wird

P L i xdp = -

lI"+l 118 lP'

-Ilx+l

1

pi

WC..'

x

Beziehung (5-36) in die umgestellte Energiegleichnng idealer Gase, GI. (5-33), entsprechend eingesetzt, d h . E

a-@:

.

Aus Vergleich der Beziehungen (5-34) und (5-35) folgt: Wc.,=

Die technische Arbeit der Isentropen ist gleich der Differenz der Enthalpie-Werte von Zustandsanfangs- und Znstandsendpunkt. G1.(5-36a,b) ermoglicht die Enthalpiedifferenz Ah, entweder zu berechnen oder aus einem (h,s)-Diagramm (MOLLIER-Diagramm) des betreffenden Fluids abzugreifen. Die Differenz aus dem (h,s)-Diagramm nach MOLLER"zu entnehmen ist dem Berechnen vorzuziehen, da in den (h, s)-Diagrammen realer Gase die Abweichungen vom thermodynamisch idealen Verhalten eingearbeitet sind, nicht jedoch vom fluidmechanisch idealen (ReihungseinfluR). Allerdings sind (h,s)-Diagramme nur fiir wenige Gase und Dampfe verfugbar. Das wichtigste MOLLIER(h,s)-Diagramm in der Technik ist das von Wasserdamwf . 189.901, . .. Bild 6-48. Enthaloieund Entropie-Zahlenwertefur die wichtigsten Gase und Dampfe enthalt der VDI-Warmeatlas [102].

'I

MOLLIER, Richard (1863bis 1935), deutscher Thermo-

dynamiker.

308

5 Strijmungen mit Dichteiinderung (Gasdynamik)

Diese Gleichung ') ermoglicht das Berechnen der jeweiligen Stromungsgeschwindigkeit eines - einer isentropen Zustandsanderung unterworfenen stromenden thermodynamisch idealen kompressiblen Fluides (Gas oder Dampf). Bei Dampf muD jedoch zumindest immer dann das (h, $-Diagram angewendet werden, wenn die Zustandsanderung ins Nal3dampfgebiet fiihrt, da sich hierbei auch der Isentropenexponent x sehr stark andert. Werte fur den Isentropenexponent x und die Gaskonstante R wichtiger gasformiger Fluide sind in Tabelle 6-20 aufgefiihrt, die exakt nur fur die aufgefiihrten Bmgswerte (Druck, Temperatur) gelten. Angenahert sind die Werte jedoch meist in genugender Genauigkeit allgemeiner verwendbar, d. h. fur groI3ere Temperatur- und Druckbereiche, und m a r wegen weitgehendem thermodynamisch idealen Verhalten dieser Stoffe. Die Definitionsgleichung der Enthalpie liiDt sich auch wie folgt auswerten: fur ideales Gas (c,

= konst) integriert:

Mit dem absoluten Nullpunkt To = 0, ho = 0 als Bezugspunkt wird: Mit dem Gasgesetz T = (p .v)/R gilt dann:

Damit kann die Gleichung der technischen Arbeit der Isentropen auch wie folgt dargestellt werden: w , , ~= Ahs = hl

+

Wichtig ist, nochmals festzuhalten, daD diese Beziehungen exakt nur fur thermodynamisch ideales Gasverhalten gelten. Bei realen Gasen, insbesondere bei Dampfen, ist die Abweichung durch den sog. Realgasfaktor Z in den Gleichungen zu beriicksichtigen, z. B. Tabelle 6-6 fur Luft, oder [102]. An Stelle der Gaskonstanten R tritt hierbei das Produkt R . Z und statt c, ist die mittlere spez. Warme c , , oder E, zu setzen. Bei Gasen ist dies jedoch meist erst bei hdheren Driicken (ab etwa 200 bar) notwendig, bei Dampfen dagegen fast immer, bzw. Verwenden des (h,s)-Diagrammes, Bild 6-48 oder [103]. Dichte- und Volumenstromiinderung bei geringer Druckanderung in naherungsweiser isentroper Stromung. Situation: Es sol1 ein Gas von etwa Ruhe (p;, g,; c, x 0) durch Druckabbau bis po, zugehiirig eo; To, auf Geschwindigkeit co gebracht werden, z. B. der Fall bei Verdichter-Einlaufstromung(Ansaugbereich). Gesucht: h d e r u n g von Dichte und Volumen in der Stromung. Dichteandenmg: GemaD Gl. (1-9) = Ma2/2 bei Q = eo und Ma = Mao Mit

x

(5-42) = C,

Die Ausdriicke beider Gleichungsseiten werden in Anlehnung an Beziehung (5-31) auch als Ruhe-, Kessel- oder Totaltemperatur (Index t) bezeichnet. Also T, = T c2/(2 . c,), da Geschwindigkeitseinfld beriicksichtigt.

- hz,, = -. (pl .ol -p2. v ~ , ~ wird: ) x-1

oder nach G1. (5-39):

w,,,= Ah,

Damit in Gl. (5-37):

. (TI - T,,,)

= C,

. AT,

(5-43)

PQ= QR - PO

A

~ = @R/@O / ~- ~

(

Ma2 @=I+oder -eo= 1 + -M;")-'(5-43a) en eo 2 Voiumenstromanderung: Nach DurcMuDbedingung, GI. (3-5) m = Q . = konst gilt:

v

Von DE SAINT-VERNANT (1797 bis 1886) und WANTZEL (1814 bis 1848) schon 1839 erarbeitet.

eo . v0 = eR. VR

v0/vR=

(Kontinuitat). = 1 Ma2/2

+

Hieraus (5-43b)

5.3 Eindimensionarle kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

309

Hinweis: In der Thermodynamik gilt fur EnergiegroDen als Herleitung der Isentropenbeziehungnach POISSON. Vorzeichenregel: Der Stoff ist Bezugsstelle. Alle Energiewerte, die dern Stoff zugefuhrt werden, Isentrope: dq = 0 sind positiv, alle, die er abgibt negativ, also sowohl 1.Hauptsatz: d q = d u + p . d v = d h - v . d p fur Warme als auch bei Arbeit: 0 dern Fluid zugefuhrt > 0, d. h. positiv Hieraus: 1 vom Fluid abgefuhrt < 0, d. h. negativ a) dq = du + p . dv 0 mit du = c, . d T In der Gasdynamik sind bei der Arbeit jedoch 1 4 dT=--.p.& meist nur die Betrage von Warme und Arbeit Cv wichtig. Mit diesen wird deshalb ohne Kenn1 zeichnungs-Vorzeichen gerechnet. Die zugehorib) dq = dh - v . dp = 0 mit dh = c, . d T gen Gleichungen sind daher so aufgebaut, daD sich fur Warme und Arbeit in der Regel keine negativen Vorzeichen ergeben. Bei Stromungsmaschinen ist bekannt, daB TurbiAusdrucke fur d T von a) und b) gleichgesetz~. nen mechanische Arbeit abgeben und Verdichtern solche zugefuhrt werden muD. Diese wird dabei dern Stoff (Arbeitsmedium) entzogen (Turbinen), Umgestellt und integriert, wobei cp/c, = x und bzw. aufgepragt (Verdichter). Auch hierbei reicht deshalb die Angabe der Betrage und eine besonIntegrationskonstante K. dere Vorzeichenregel erubrigt sich. Die Gleichungen sind daher auch hier entsprechend aufgebaut. Erganzungen:

=

lnp=-x.lnv+lnK lnp + lnv" = 1nK In @ . ox) = In K p . vx = K + p . ox = konst Bezeichnungen: isoenergetisch . . . gleichbleibende Energie - Stromungen stationar, isoenergetisch und 0 wirbelfrei 4 homotrop (s = konst und reibungsfrei, also 11 = 0) wirbelbehaftet + nicht- oder inhomotrop (s konst und reibungsbehaftet, also 11 > 0)

-

+

Begrundung des Zusammenhanges zwischen Gaskonstante R und Warmekapazitaten c,; cv: G1.(5-24a): d h = d u + d ( p . v ) = d u + p ~ d u + v ~ d p G1. (5-20): p . v = R . T d(p .v) = R . d T

differenziert da R = konst gesetzt (ideales Gasverhalten)

Eingesetzt in G1. (5-24a) fuhrt zu: dh=du+R.dT Mit Beziehungen (5-23) und (5-24) ergibt sich: c;dT=c;dT+R.dT Hieraus folgt:

R = c, - c,

5.3.1.2.2 Reibungsbehaftete kompressible Stromungen Bei der Stromung realer gasforrniger Fluide wird infolge Reibung (aul3erer und innerer) ein Teil der Stromungsenergie als Reibungsarbeit verbraucht und dadurch in Warme umgesetzt (dissipiert). Unterliegt " das stromende Medium einer Zustandsanderung, entsteht dabei erst ein entsprechender Anteil - meist der Hauptanteil - der gesamten kinetischen Energie aus dern bei der Expansion abgebauten Warmegefalle. Durch die Reibungsvorgange findet somit eine unerwunschte, jedoch nicht vermeidbare Ruckwandlung eines Teiles der zuvor freigesetzten Stromungsenergie in Warme statt. Im adiabaten, d. h. warmedichten System wird dern Fluid die freigesetzte Reibungswarme wieder vollstandig aufgepragt und ist gleich dern dadurch entstehenden Verlust an Stromungsenergie, Bild 5-4. Das reale gasformige Fluid ist daher am Ende urn den Reibungsverlust warmer und langsamer als ideales Gas, das die gleiche Expansion erfahrt. Energie geht somit nicht verloren; der Vorgang ist isoenergetisch. Da dern Fluid die Reibungswarme jedoch bei niedrigerer Temperatur wieder aufgepragt wird, steigt die Entropie des Systems, was ,,EnergieentwertungG' bedeutet. Das Gas durchlauft eine irreversible Zustandsande-

310

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

!

C 2 , . ~ 2 , .t 2 ; h ~

L

adiabater Raum (warrnedicht)

.2

Bild 5-4. Prinzipieller Stromungsverlauf mit Energieumsatz von realem kompressiblem Fluid in adiabatem Raum. Q symbolisiert den ,,gasinternen Energieaustausch". rung. Ein Teil der Exergie wird in Anergie uberfuhrt und somit entwertet. Je hoher die Temperatur, desto technisch wertvoller ist die Warme (Entropie s klein). Exergie ist der Anteil der Energie, der vollstandig in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. Anergie ist, als zweiter Anteil der Energie, der meist wesentlich groBere Restbetrag (abhangig von Anfangstemperatur und -druck sowie Druckgefalle), der nicht in mechanische Energie umsetzbar ist. Die Anergie tritt meist als Ab- oder Schadwarme in Erscheinung, z. B. bei Gasturbinen, Brennstoffmotoren und Dampfkraftwerken. Es werden bezeichnet, Bild 5-4: w, .. . spezifischer Arbeitsverlust durch Reibung. Bei der Stromung inkompressibler Fluide (Abschnitt 4) wird die dissipative Verlustenergie rnit Y , bezeichnet, also w, = Y,. AuDerdem gilt gemaD G1. (5-36) w, Ahv (Bild 5-5). y; h; w spezifische Werte mit Dimension J(kg = m2/s2. q, . . . spezifischer Warmezuwachs infolge Reibung.

Bemerkung: In der Thermodynamik ist es ublich, spezifische GroBen mit kleinen und absolute mit groDen Buchstaben zu bezeichnen. Zudem steht w fur Arbeit. Dieser Regelung wird in der Gasdynamik entsprochen. Gegensatzlich hierzu sind bei der Fliissigkeitsmechanik GroBbuchstaben auch fiir spezifische G r o k n ublich, z. B. Y fur die spezifische Energie Elm und w fur die Relativgeschwindigkeit. Mit Beziehung (5-44) erhalt die Energiegleichung realer kompressibler Fluide dann die Form:

c;

oder

-

allgemein

-

2 c

2

c: -- hl 2

- h2 = Ah

+ h = konst

(5-47) (5-48)

Aus G1. (5-46) folgt rnit h = c, T; T = (p v)/R; c,/R = x/(x - 1) und a 2 = x p v des weiteren:

oder allgemein c2 a 2 - konst -+-2 x-1 Mit Ruhewerten (a, bei c, = 0); konst =a:/(x - 1):

-

Wie zuvor begrundet, gilt:

Der Energiesatz ergibt dann fur die Bezugsstellen

@ und Q der Stromung realer gasformiger Fluide: c2 E O-Q: 2 2

cZ + h ' --22 + h2 + w,

- q,

(5-45)

Wie schon bei der Rohrstromung realer inkompressibler Fluide ausgefuhrt (Abschnitt 4.1.1.I), mussen - um Energiegleichheit zwischen den Bezugspunkten zu erhalten - unterwegs aufgetretene Verluste hinzugezahlt und Zuwachse abgezogen werden. Der zugehorige Energieumsatz wird als polytrop oder anisentrop bezeichnet.

Verweis auf Vergleich mit Beziehung (5-11). Gleichung (5-48) ergibt denselben Zusammenhang wie G1. (5-31). Der Unterschied beider Beziehungen besteht nicht im Aufbau, sondern in den zugehorigen Betragen. Die Gesamt- oder Totalenergie h + c2/2 ist - unabhangig ob mit oder ohne Reibung - gemaB Energieerhaltung zwangslaufig irnmer gleich grol3. Bei Dissipation ist nach dem Stromungsvorgang h entsprechend grol3er und c kleiner als ohne Reibung (Entropiezunahme). Die durch die Dissipation bei realen Gasen und Dampfen bedingte irreversible Zustandsanderung ist im (h,s)-Diagramm nach MOLLIER,Bild 5-5, dargestellt. Beziehung (5-48) gilt jedoch nur fur adiabate Systeme, nicht dagegen fur diadiabate, d. h. warmeundichte (Abschnitt 5.3.1.2.3).

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

311

Meist kann die Zustromgeschwindigkeit c, und damit die zugehorige Stromungsenergie cq/2 gegenuber der Abstromgeschwindigkeit c2 bzw. der zugehorigen Energie ci/2 als klein vernachlbsigt werden. Dann ist mit c, x 0 gesetzt:

=rp..\/z

c2 = cp.J=

Bild 5-5. Zustandsanderungs eines realen kompressiblen Fluides im (h,s)-Diagramm bei vorgegebenem Druckgefalle von p, nach p , im adiabaten System.

Bemerkung: Die reale Entspannung erfolgt polytrop, und zwar uberisentrop (n > x), weshalb auch gilt: n Ah = w, = ----p, v, [I - (p2/p1)("-')In] (5-52a) n-I

Bemerkung: Im (h, s)-Diagramm sind zwangslaufig nur die thermischen Werte des stromenden Mediums dargestellt, nicht jedoch die zugehorigen kinetischen. Das bedeutet: Fur die Energiegleichung (5-31) sind am betreffenden Zustandspunkt aus dem M o ~ ~ ~ ~ ~ - D i a gnur r a rEnthalpie nm h und Entropie s entnehmbar, nicht jedoch die Geschwindigkeitsenergie c2/2.

Polytropenexponent n > x weil keine Warmeabfuhr, sondern Stromungsverlust w, wird dem Medium als (Reibungs-)Warme q, = w, = Ah, aufgepragt (adiabates Verhalten). Da n schwer faDbar (Richtwerte: n = 1,5 bis 1,9 bei x = 1,4) und da im Exponent empfindlicher EinfluR, ist es besser, die Berechnung mit 9 durchzufuhren.

Bei den meisten technischen Anwendungsfallen wird die Stromungsgeschwindigkeit im Zustandspunkt 2, dem Endpunkt der Zustandsanderung, gesucht, also nach Entspannung gemal3 Druckgefalle Ap = p l - p 2 .

Fur den Gefalleverlust Ah, (Bild 5-5) ergibt sich: Ahv = Ah, - Ah

(5-53)

Mit G1. (5-37) und G1. (5-47) wird bei c,

%

0:

Fiir reibungsfreie Stromung ergibt G1. (5-37): CZ,s =

J -

d,

.

Ahv = - (1 - cp2) = Ah, ( 1 - cp2) 2 Fur reibungsbehaftete Stromung folgt entsprechend aus GI. (5-47): c2 =

4 -

(5-50)

Da bei realen Fluiden das Enthalpiegefalle Ah kleiner ist als das isentrope Warmegefalle Ah, fluidmechanisch idealer Gase bei gleicher Entspannung (Ah
d

m

c2 = c p . c2,,= c p . Richtwerte: cp x 0,9 bis 0,99

(5-51)

(5-54)

Mit der bei Rohreinbauten, Abschnitt 4.1.1.5, definierten Beziehung fur die Verlustenergie Yv nach G1. (4-54):

Y, = [ . 412 wird, da Y, c, G c,,, gilt:

-

Ah,

und hier

Zwischen der Widerstandszahl { und der Geschwindigkeitszahl cp besteht deshalb der Zusammenhang: (5 - 56)

[=l-rp2

oder

cp =

0

312

5 Stromungen rnit Dichteanderung (Gasdynamik)

Vergleichs-Wirkungsgrad qv: Der Stromungsreibungs-Verlust (Exergie-Verlust) bei der Gas/ Dampf-Entspannung kann durch den StromungsVergleichswirkungsgrad gekennzeichnet werden, kurz auch als Stromungswirkungsgrad bezeichnet:

Abstromtemperatur T2:Entsprechend G1. (5-43) ergibt sich fur die reale End- oder Entspannungstemperatur (bei thermodynamisch idealem Gasverhalten -+c, = konst): Mit G1. (5-55) und G1. (5-43)

Ah = rp2 . Ah,

= rp2

. cp(T1- T2,,)

eingesetzt:

Hierbei auch entsprechend G1. (5-12) Oder weniger vorteilhaft aus der Polytropenbeziehung p . vn = konst zusammen mit der Gasgleichung, wenn Polytropen-Exponent n bekannt ist bzw. naherungsweise festgelegt wird:

Bemerkungen: Bei allen Gasstromungs-Geschwindigkeiten c handelt es sich ebenfalls jeweils um die mittlere Geschwindigkeit, die jedoch von der zugehorigen maximalen nur wenig verschieden ist (turbulente Stromung). Einfachheitshalber sind die Querstriche iiber den c-Symbolen wieder weggelassen. Bei der realen, d. h. verlustbehafteten Entspannung im adiabaten System handelt es sich, wie erwahnt, infolge der inneren Warmezufuhr durch Reibung urn eine polytrope Zustandsanderung mit n > x , sog. ijberi~entro~e. Es konnte daher auch entsprechend mit G1. (5-49) fur c2gerechnet werden, wenn x uberall durch n ersetzt wurde. Dabei jedoch, wie ausgefiihrt, schwierig: Befriedigende Abschatzung von n ist wegen starkem ExponenteneinfluB problematischer als die von cp. Wenn x = 1,4, liegt n meist bei etwa 1,s bis 1,9. Das gilt auch bei auBerer Warmezufuhr (nachster Abschnitt), wobei n dann entsprechend groDer. Bei Warmeabfuhr dagegen ware n < x, also Unterisentrope. Richtwerte n x 1,3 . . . 1,1 fur x = 1,4 (Tabelle 6-20).

5.3.1.2.3 Kompressible Stromungen mit Warmeiibertragung Adiabate Systeme sind nur theoretisch denkbar, praktisch jedoch nicht zu verwirklichen. Das stromende Fluid tritt immer mehr oder weniger stark in Warmeaustausch mit seiner Umgebung (dioder anadiabat) + a u k r e Warmezu- bzw. -abfuhr. Dies ist beim Energiesatz gegebenenfalls zu berucksichtigen. Entsprechend den ~ b e r l e g u n ~ ezun G1. (5-45) ist die Energiegleichheit erfullt, wenn die dern Fluid auf dern Stromungsweg zugefiihrte Warme subtrahiert und abgefuhrte addiert wird. Abweichend von der Thermodynamik, gemaB der Warme auch durch Temperaturunterschiede uber Systemgrenzen transportierte Energie ist, werden hier festgelegt: q positiv: Warme wird dern Fluid zugefuhrt q negativ: Warme wird vom Fluid abgefuhrt Die Beziehung (5-30) kann dann zur Energiegleichung fur kompressible Stromungen mit Warmeubertragung erweitert werden. Zwischen den Bezugsstellen Q und Q :

oder

Allgemein:

g .z

c2 ++ h - q = konst 2

Differentiell: g dz + d

tJ -

+ dh - dq = 0

(5-61) (5-62)

Zu heachten ist: Das Minuszeichen vor den q-Werten ist kein Vorzeichen sondern ein Rechenzeichen, d. h. legt eine Bezugsrichtung fest. Dies bedeutet, bei abgefuhrter Warme muD, wie zuvor festgelegt, der Wert fur q sowie dq selbst negativ eingesetzt werden, so daB sich das Vorzeichen der Warme q bzw. dq insgesamt umkehrt, also plus wird. In den Gleichungen bedeuten: q,, ... die dern stromenden Fluid auf dern Weg von Bezugsstelle Q nach Q ubertragene Warme q, ... die dern stromenden Fluid auf dern Weg bis zur Bezugsstelle ubertragene Warme q, . . . die dern stromenden Fluid auf dern Weg bis zur Bezugsstelle Q ubertragene Warme Meist konnen die Glieder der potentiellen Energie g . z gegenuber den ubrigen wieder als klein vernachlassigt werden.

a

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

5.3.1.3 Impuls und Drall Die in Abschnitt 4.1.6 ,,Stromungskrafte" abgeleiteten und angewendeten Beziehungen fur den Impuls und Drall sind auch fiir kompressible Stromung voll gultig. Dies ist dadurch begrundet, daIj bei der Herleitung des Impuls- und Drallsatzes keine Einschrankungen hinsichtlich der Art des Fluides notwendig waren. Empfehlenswert ist bei Anwendung des Impulsund Drallsatzes, wie allgemein bei kompressiblen Medien vorteilhaft, immer mit dern Massenstrom zu rechnen. 5.3.2 Unterschall-RohrstrSmungen 5.3.2.1 Grundsatzliches Infolge Reibung nimmt der Druck auch bei Innenstromungen kompressibler Fluide in Stromungsrichtung ab (Abschnitt 4.1.1.1). Dies hat eine Expansion des Mediums zur Folge. Beim Fortleiten von Gasen und Dampfen in Rohrleitungen ergeben sich daher Expansionsstromungen. Dabei andern sich (geman Gasgesetz) im allgemeinen auch die Temperatur und das spezifische Volumen des Fluides. Selbst in einem Rohr mit konstantem Querschnitt ergibt sich somit infolge des durch die Fluidreibung bedingten Druckabfalls eine Expansionsstromung. Die Stromungsgeschwindigkeit steigt deshalb langs der Rohrleitung entsprechend dern wachsenden spezifischen Fluidvolumen. Dies geht aus der umgestellten Kontinuitat, G1. (3-7), klar hervor: c = c, . vlv, Steigende Geschwindigkeit bedingt nach dern Ansatz von DARCY(Abschnitt 4.1.1.3.3) jedoch verstarkten Druckverlust. Der Druck fallt deshalb in Stromungsrichtung nicht linear, sondern iiberproportional. Diese beiden, sich gegenseitig beeinflussenden Erscheinungen (etwa parabolisch fallender Druck und Geschwindigkeitszunahme in Stromungsrichtung) unterscheiden die kompressible von der inkompressiblen Rohrstromung. Bei Flussigkeitsfortleitungen in Rohren konstanten Querschnittes dagegen bleibt die Stromungsgeschwindigkeit konstant und der Druck fallt linear mit dern Stromungsweg (Abschnitt 4). Der bei Gas- und Dampfbewegungen in Rohrleitungsrichtung tatsachlich auftretende Druckverlust und damit die Expansion hangen von der Stromungsreibung sowie dern Warmeaustausch des Fluides mit seiner Umgebung ab. Die beiden

313

typischen Rohrleitungsarten der Praxis sind blanke (nicht isolierte) und warmeisolierte Rohre. Bei blanken Rohrleitungen findet zwischen stromendem Fluid und Umgebung ein intensiver Warmeaustausch statt. Die Temperatur des Fluides gleicht sich dabei der des RohrauBenraumes etwa an. Die Stromung kann deshalb in guter Naherung als isotherm betrachtet werden. Ein wichtiges Anwendungsbeispiel sind Gasleitungen. Bei isolierten Rohren wird der Wbmetausch des stromenden Fluides mit der Umgebung mehr oder weniger stark unterbunden. Adiabates Verhalten wird angestrebt, jedoch auch bei guter Warmedammung nicht ganz erreicht, kann jedoch oft naherungsweise angenommen werden. Wichtige Anwendungsfalle fur warmegedammte Rohre sind Dampf-, Heiz- und Kaltemittelleitungen. Wie ausgefuhrt, sind in der Praxis die beiden Grenzfalle, isotherme und adiabate Rohrstromung, nicht exakt verwirklichbar. Trotzdem werden sie einfachheitshalber vielfach den Berechnungen zugrundegelegt. Bei nur unzulanglich isolierten Rohrleitungen tritt neben Reibung teilweiser, d. h. unvollstandiger Warmeaustausch zwischen dern Fluid und seiner Umgebung auf; polytrope Rohrstromung -+ anoder nichtadiabates System. Da hier die Grenzfalle nicht anwendbar sind, wird naherungsweise mit der rnittleren Temperatur gerechnet. 5.3.2.2 Polytrope Rohrstromung Zur Herleitung des Druckverlustes der reibungsbehafteten polytropen oder anisentropen kompressiblen Rohrstromung wird analog zur turbulenten inkompressiblen Innenstromung ein Fluidelement herausgegriffen. An diesem, uber den gesamten Rohrquerschnitt sich erstreckenden Fluidelement, Bild 5-6, mit der Lange dx wird das dynamische Gleichgewicht nach D'ALEMBERT angesetzt, wobei die Schwerkraft in der Regel wieder vernachlassigt werden kann bzw. bei waagrechter Anordnung ohne Einfluh ist:

Hieraus: dp = -

("2+ d3 -

-

Der Zusammenhang gilt sowohl fur adiabate als auch anadiabate reale kompressible Rohrstromungen. Im Unterschied zu adiabaten (warmedichten) Rohrstromungen besteht, wie erwahnt, bei anadiabaten Warmekontakt mit der Umgebung und dadurch Warmeubertrag vom oder zum stromenden Medium.

314

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

In dieser Differentialgleichung fiir p =f (x,v, c, 1) (D7Gl.) soll, bevor sie diskutiert wird, die Anzahl der Variablen reduziert werden. Dies ermoglichen folgende Zusamrnenhange zwischen den Variablen: Mit der Kontinuitat: Bei A = konst wird

also

Q Q

.A . c = konst . c = konst = Q, . c,

v1 c v = -. c1

Und dem Gasgesetz: p . v = R . T AUS

Bild 5-6. Kompressible Rohrstromung mit qualitativem Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturverlauf langs der Rohrachse.

p, . v,

=R

.TI folgt R

Pl

'

01

= --

TI

Durch Gleichsetzen von (5-66) mit (5-67) folgt:

In GI. (5-63) sind: Reibungskraft : dF, = A . dp, Mit dem Ansatz von DARCY,GI. (4-25), ist dabei der Reibungsdruck dx c2 dpR=~.dYV=e.1.-.D 2 D~LEMBERTSCHE Tragheitskraft (Beschleunigungskraft nach NEWTON):

Beziehung (5-66) eingesetzt in die D'GI. (5-65):

Mit G1. (5-68) ergibt sich weiter: Damit kann der Tragheits- oder Beschleunigungsdruck definiert werden: dp, = dF,/A = Q . c . dc Dieser Druckabfall ist notwendig, um dem Fluid die erforderliche Beschleunigung aufzupragen, damit der infolge Expansion vergroBerte Volumenstrom Platz findet.

Mit p = c , . - . aus GI. (5-68),eingesetzt in das Tl c zweite Glied, ergibt sich schliel3lich:

Die Beziehungen fur den Reibungs- und Tragheitsdruck in G1. (5-63) fiir den gesamten Druckverlust eingesetzt, fuhrt zu: dP = - (dp,

+d~,)

oder umgestellt mit

Q

=l/u fiihrt zur D'GI.:

Diese Form der Differentialgleichung stellt den Druckverlauf p in Funktion von Rohrweg x, Stromungsgeschwindigkeit c und Fluidtemperatur T dar. Dabei ist die Rohrreibungszahl A jedoch nicht konstant, sondern hangt iiber die REYNOLDS-Zahl von der Stromungsgeschwindigkeit c sowie den Stoffwerten Viskositat q und spezifischem Volu-

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

men u ab. Daher ist das Integrieren der D'Gl. (5-69) analytisch nicht exakt durchfuhrbar.

Apv . (2p1-Ap,) -

Das naherungsweise Losen der D'Gl. ist unter folgenden Voraussetzungen moglich, was nur bei etwa Ma <0,6 ( bis 0,7) zul&ig. a) Das Tragheitsglied ' dc bzw. (c:/c) ' dc und damit der Beschleunigungsdruck dp, wird vernachlassigt. Nur zulassig bei geringer Reibung, also nicht zu hoher Geschwindigkeit und guter Rohrleitung (Rauhigkeit klein), damit Druckabfall niedrig bleibt, weshalb Ma 2 0,6 bis 0,7 notwendig. b) Die veranderliche Temperatur Twird durch die mittlere Temperatur T ersetzt:

(dpV)2-2p1 . A ~ + ,

7'

1 2

1 2

= -(Tl+T2) = -[2Tl-(TI

-T2)]

315

-

L c2 , T -o , - . .2.p1 I D 2 TI L T . el . A , . . c: . - a 0 Ti

,

PI

A

Diese quadratische Gleichung fur den Druckabfall Apv mit Hilfe der zugehbrigen mathematischen Regel aufgelost, liefert:

-/

Apv a p t

Da der Druckabfall Apv=pi-p2 immer positiv ~ n Pi d Anfangsdruck, ist nur das Minuszeichen vor der Wurzel physikalisch sinnvoll: Apvapl-

Jw oder

Hierzu muI3 jedoch die Endtemperatur T2 bekannt sein, z. B. uber Iterationsrechnung oder experimentell durch messen. c) Die Rohrreibungszahl /Z wird als konstant angenommen: A = & =f(Re,,D/k)mit Re, = c l .D/vl

Mit der weiteren Naherung aus abgebrochener Reihenentwicklung gemaB der Potenz- oder Binomreihe fur Exponent m > 0:

Mit diesen Vereinfachungen folgt aus der D'Gl.:

Integriert zwischen den Grenzstellen @ und

0: wobei

);( ):( =

=

1 md

(7) ( ) =

m-I

=m

Angewendet bei m = 112: 2 2 /Z.c2 E C % - L 2 - . (x, -xl) Mit x, P1 v1.D TI

-

xl = L Fur x 6 I wird bei abgebrochen nach x/2:

-

p2-p2 IZ1.c? T 1 -. - . L oder umgestellt: PI u1.DT1 (5-70)

Letztlich ergibt sich somit in oft ausreichender Naherung fur den Druckverlust (Druckabfall):

Weiter umgeformt: oder fur die spezifische Verlustenergie: Mit dem Druckverlust Ap, = p, - p, und daraus dem Enddruck p, = p, - Ap, ergibt sich:

wR.y,=!!!Y,~

el

,.-.-.L ci T D 2 TI

316

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Gleichung (5-72) gilt fur gerade Rohrleitungen mit gleichbleibendem Kreisquerschnitt. Bei nichtkreisforrnigen Rohren tritt an Stelle von D wieder der gleichwertige Durchmesser D,, . Die gesamte Verlustenergiebei Rohren bzw. Rohrabschnitten mit konstantem und gleichem Durchmesser D, einschlieBlich Einbauten (Krummer, Armaturen usw.), wird entsprechend bei der meist vorhandenen Hintereinander-Anordnung (Abschnitt 4.1.1.5.1):

Es ergibt sich: Die Formel fur den Druckabfall bei polytroper kompressibler Rohrstromung nach G1. (5-72) ist ahnlich aufgebaut wie der Ansatz von DARCYfur turbulente inkompressible Rohrstromung, GI. (4-25), Abschnitt 4.1.1.3.3. 5.3.2.3 Isotherme Rohrstromung Bleibt die Temperatur des stromenden, infolge Druckverlust expandierenden Fluides durch intensiven Warmetausch mit der Umgebung konstant, liegt isotherme Rohrstromung vor.

Damit die Temperatur des Mediums, trotz entstehender Reibungswarme, bei der Expansion nicht absinkt, mu13 meist von au13en durch die Rohrwand Warme zugefiihrt werden. Mit Temperatur T, = T, = T = T = konst vereinfacht sich G1. (5-72) zu:

und aus GI. (5-73) fur Einbauten von gleichem D:

Es ergibt sich die Formel nach DARCY,G1. (4-25). Die isotherme Rohrstromung ist jedoch ein Idealfall und deshalb praktisch nicht zu verwirklichen. Nur mehr oder weniger gutes Annahern moglich, z. B. bei langen unisolierten Rohrleitungen. Oder aus G1. (5-70) mit T = TI:

Mit: Mittlerem Druck p = (p, + p,)/2 Druckdifferenz Ap, = p, - p, (Verlust) Druckverlust nach DARCY

(Apv/pl) . p z Ap; Hieraus (5-76) APV% AP; . PI/^ In G1. (5-76) wird durch den Faktor p,/p die Vergro13erung des Druckabfalles infolge Expansion des Gases ausgedruckt. Der Druckverlust vergroBert sich also gegenuber dem DARCY-Wertentsprechend dem Quotienten aus Anfangsdruck und mittlerem Druck. wird

5.3.2.4 Adiabate Rohrstromung Wie bereits ausgefuhrt, findet bei adiabater Rohrstromung kein Warmeaustausch zwischen Fluid und Umgebung statt, jedoch infolge Reibung interne Wannezufuhr (Polytrope). Die dabei auftretende Zustandsanderung ist deshalb iiberisentrop mit n > x entsprechend Abschnitt 5.3.1.2.2. Meist ist dies bei kurzen unisolierten Rohrleitungen Warmeiibertragung benotigt Zeit - der Fall, oder in langen mit guter Isolierung (etwa warmedicht). Durch folgendes, meist geniigend genaues Naherungsverfahren kann der Rechenaufwand gering gehalten werden: 1. G1. (5-74) bzw. (5-75) liefert die Verlustenergie Yv bzw. Y,,,,, und damit den zugehorigen Druckverlust Ap, fur isotherme Rohrstromung. 2. Mit dem Druckverlust Ap, wird der isotherme Enddruck p, = p, - Apv bestimmt. 3. Mit den beiden Drucken p, und p, sowie der Anfangstemperatur TI wird entsprechend G1. (5-12) naherungsweise die Temperatur T, am Rohrende berechnet: (5-76a) T, s TI . (p2/pl)("-1)1x Die Endtemperatur T, ergibt sich nur angenahert, da zwar adiabate, jedoch wegen Reibung keine isentrope, sondern iiberisentrope Rohrstromung vorliegt. Oder Berechnung mit n statt x, wobei Polytropenexponent n > x geschatzt werden muBte. Richtwerte: n s 1,5 . . . 1,9 fur x = 1,4. Bei unterisentroper, also unvollstandiger, d. h. teilgekuhlter Rohrstromung ware n < w ; meist n s l,3 . . . 1,l wenn x =l,4 (Abschnitt 5.3.1.2.2). Mit den beiden Temperaturen T, und T2 wird die mittlere Temperatur T ermittelt: (5-76 b) T' = (TI T')/2

+

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

5. Mit der Anfangstemperatur T, und der mittleren Temperatur T wird jetzt uber G1. (5-72) bzw. G1. (5-73) die Verlustenergie und damit der Druckverlust f i r polytrope Rohrstromung berechnet. Das entsprechend auch bei anadiabater Rohrstromung anwendbare Rechenverfahren wird so lange wiederholt (Iteration), bis das Ergebnis genugend genau, d. h. technisch brauchbar ist. Bei groDerem Druckabfall infolge hoher Stromungsgeschwindigkeit und verhaltnismaBig groBer Rohrlange liefert das Rechenverfahren verschiedentlich zu ungenaue Werte. Der Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit folgt aus dem Energiesatz, GI. (5-48), auch als Temperaturgleichung bezeichnet: h + c2/2 = konst differenziert Mit dh = c, . dTund dabei c, z konst gesetzt (ideales thermodynamisches Gasverhalten) Beziehung wieder integriert: c, . T + c2/2 = konst

sowie A(c2/2) = c2/2 - c:/2

folgt:

+

c, . T c2/2 = C, . TI c1/2 cp . (T- TI) = -(c2/2 - c:/2) Hieraus Temperatur in jedem Rohrabschnitt, wenn Anfangswerte (Stelle 1) und Geschwindigkeitsverlauf bekannt:

+ (c:/2

Nach Messungen von KEEMAN und NEUMANN ist im Uber~chall~ebiet die Rohrreibungszahl:

&,, = Al Die Indizes bedeuten: ub . . . ~berschall un . . . Unterschall

icb z (112) . ,Iu,,

mit

Bei groDeren Geschwindigkeiten wird die Vernachlassigung des Beschleunigungsgliedes c . dc (Pkt. a in Abschnitt 5.3.2.2) merklich. Der EinfluD dieser Tragheitswirkung kann jedoch durch eine additive Erganzung AT zur Rohrreibungszahl ilan der Bezugsstelle berucksichtigt werden.

a

1, durch 1, + 1, = I, . (1 + AT/Al) ersetzt.

bei AT = T - T,

T = Tl

uberein (Abschnitt 4.1 .I). Nur in Schallnghetreten Abweichungen auf. Wird durch Vorschalten einer LAVAL-Duse(Abschniti 5.3.3.3) in einem Rohr ~berschallstromung verwirklicht, springt die Stromung jedoch meist schon nach kurzer Weglange infolge VerdichtungsstoB (Abschnitt 5.4.2) in Unterschallstromung zuriick. Die Untersuchungen von FROS~EL zeigen zudem, daB der Endzustand Schallgeschwindigkeit, falls erreicht, meist auch nur auf kurzer Wegstrecke aufrecht erhalten werden kann.

Bei genaueren Berechnungen wird daher oder

Des weiteren mit den Grenzen 1 (Anfangsstelle) und variabel (ohne Index)

+

317

- c2/2)/c, =f (c)

5.3.2.5 Rohrreibungszahl IZ Nach Untersuchungen von FROSSELandern sich die A-Werte auch bei groBerem Druckabfall und der damit verbundenen erheblichen Volumenanderung nicht merklich. Danach stimmen zudem die Widerstandszahlen i und ( von kompressiblen Stromungen (Gase, Dampfe) im Unterschallbereich bei sonst gleichen Verhaltnissen (Re, k,, Bauteil) mit den von inkompressiblen (Flussigkeiten)

Bei Luft gelten fur das Korrekturglied iT/il folgende Zahlenwerte in Abhangigkeit von der rnittleren Anfangsgeschwindigkeit c,: a) Isotherme Rohrstromung c, in m/s 50 100 0,14 1 0,04

150 0,38

200 0,96

b) Adiabate Rohrstromung c, in m/s 50 100 0,Ol 0,04 a~/il

200 0,16

300 0,43

5.3.2.6 Drosselung Drosselung ist die im Mittel stationar ablaufende Expansion einer kompressiblen Stromung an einem in ein Rohr eingebauten Widerstandsteil, z. B. einem Ventil, ohne daB Arbeits- oder Warmeubertrag mit der Umgebung stattfindet. An der Drosselstelle, Bild 5-7, wird infolge verstarkter Reibung und Wirbelbildung in erhohtem Ma0 Stromungsenergie in Warme umgewandelt. An der Verengungsstelle wird durch Expansion Druck in Geschwindigkeit umgesetzt und diese in der anschlieoenden Erweiterung durch Wirbelbil-

318

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Bild 5-8. Drosselvorgang eines realen Gases im (p, v)und (h,s)-Diagramm,~,
Bild 5-7. Durchstromung einer Drosselstelle.

dung wieder groBteils vernichtet, d. h. in Warme zuruckverwandelt, allerdings bei geringerem Druck. Dies ergibt einen Exergieverlust, d.h. einen Verlust an technischem Arbeitsvermogen, nicht jedoch an Energie. Es erfolgt somit EnergieEntwertung + Entropie s steigt. Die Drosselverlustarbeit druckt sich in einem erhohten Druckabfall aus. Dieser Druckverlust Ap, errechnet sich analog zu Abschnitt 4.1.1.5:

Abweichend von der Regel ist hier fur c die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit c, in das Einbauteil einzusetzen, welches die Drosselung bewirkt. Die Widerstandszahl [ der jeweiligen Drosselstelle (Einbauteil) ergibt sich ebenfalls aus Abschnitt 4.1.1.5, da meist c, z c,. Der Drosselvorgang ist in Bild 5-8 im (p, v)- und (h, s)-Diagramm dargestellt. Die Flache A im (p, v)Diagramm bzw. das Enthalpiegefalle Ah, im (h, s)-Diagramm entsprechen dem Verlust an technischem Arbeitsvermogen infolge Drosselung. Da auch der Drosselvorgang im allgemeinen adiabat verlauft, gilt die Energiegleichung, GI. (5-32). Sind die Geschwindigkeiten vor und nach der Drosselstelle nur wenig verschieden, ist die kinetische Energiedifferenz c32 - cq/2 vernachlassigbar, was nur bei kleinerem Druckgefalle (p, - p,) erfullt. Unter dieser Naherung ergibt die Energiegleichung (5-32): h, = h, oder h

= konst,

also

dh = 0.

Bei der Drosselung bleibt demnach die Enthalpie konstant. Die Zustandsanderung der Drosselung

wird deshalb als Isenthalpe bezeichnet. Die Zustandslinie verlauft im (h, s)-Diagramm waagrecht. Aus der Definition der Enthalpie fur ideale Gase dh = c, . d T folgt fur die Drosselung: d T = 0 und damit T = konst Bei der Drosselung thermodynamisch idealer Gase bleibt demnach die Temperatur ebenfalls konstant. Bei der Drosselung realer Gase und Dampfe dagegen bleibt die Temperatur nicht konstant. Hier ist zwischen zwei Fallen zu unterscheiden: Bei relativ niedrigen Drucken und Temperaturen kuhlt sich das Fluid bei Drosselung ab. Diese Erscheinung wird als positiver JOULE-THOMSONEffekt bezeichnet (Bild 5-8). Die meist nicht vernachlhsigbare Geschwindigkeitszunahme von c, auf c, verstarkt die Temperaturabnahme. Die Geschwindigkeit c, = c, . v,/v, bei Querschnitt A, = A , (Bild 5-7) ist infolge Expansion (v2> 0,) groBer als c , . Bei hohen Driicken und Temperaturen heizt sich das gasformige Medium bei der Drosselung dagegen auf (negativer JOULE-THOMSON-Effekt). Diese Phanomene werden in der Technik ausgenutzt. Der positive JOULE-THOMSON-Effekt wird z. B. bei der Luftverflussigung und anderen Kuhlvorgangen (Kaltgasmaschine) verwendet. Die Vorgange lassen sich am besten im (h, s)-Diagramm von MOLLIER,oder im (h, 1gp)-Diagramm verfolgen.

In einer sehr gut warmeisolierten Rohrleitung von 300mm Nennweite, 700m Lange und 0,6 mm aquivalenter Wandrauhigkeit stromen pro Stunde 150 t Wasserdampf. Der Dampf hat am Rohreintritt eine Temperatur von 520 "C bei einem Druck von 75 bar.

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

319

Gesucht: Druckabfall, wenn infolge der guten Isolierung adiabate Rohrstromung angenommen werden kann.

Gesucht: Druck der Luft am Ende des Bewetterungsrohres in Solentiefe, wenn Temperaturanderungen vernachlassigt werden konnen.

Eine Stahlrohrleitung fuhrt 72 t/h Wasserdampf mit einem Eintrittszustand von 420 "C und 25 bar. Wegen geringer Isolierung tritt der Dampf in Warmetausch mit der Umgebung und erreicht am Austritt eine Temperatur von 350 "C. Das Rohr hat 250 mm Innendurchmesser, 0,05 mm aquivalente Sandrauhigkeit und 400 m Lange. Gesucht: Dampfdruck am Rohrende.

5.3.3 Ausstromungen (Expansionsstrornungen)

pq

5.3.3.1 Grundsatzliches Ausstromvorgange, hauptsachlich aus Druckbehaltern oder Brennkammern, sind Expansionsstromungen. Ausstromungen idealer kompressibler Fluide verlaufen isentrop, die realer Fluide polytrop. Sie werden eingesetzt, um thermische Energie in Stromungsenergie urnzuwandeln, z. B. bei Dampf- und Gasturbinen sowie Raketen, Strahltriebwerken und Strahlapparaten, wobei verschiedene Diisenarten notwendig; je nach Fall.

Durch eine im Erdreich, Temperatur 10 "C, verlegte unisolierte Gasleitung stromen stundlich 1200 kg Wasserstoff mit einem Anfangsdruck von 60 bar. Die Rohrleitung mit NW 100 ist 250 m lang und hat eine aquivalente Rauhigkeit von 0,05 mm. Gesucht : a) Druckabfall, wenn infolge des intensiven Warmekontaktes mit dem Erdreich isotherme Rohrstromung angenommen werden kann. b) Druckverlust, wenn die Rohrleitung bei den Verhaltnissen nach a) noch zwei Schieber und vier 90"-Kriimmer vom Kriimmungsverhaltnis RID = 4 enthalt.

5.3.3.2 Miindung (einfache Diise) Eine Mundung, Bild 5-9, auch als ZOELLY-Diise bezeichnet, ist eine ijffnung, die zwei Raume unterschiedlichen Druckes miteinander verbindet und deren engster Querschnitt ihr Austrittsquerschnitt ist. Das Druckgefalle Ap = p , -p2 bewirkt eine Stromung von dem Raum hoheren Druckes in den des niedrigeren.

Zum Vergleich sol1 im ubungsbeispiel U59 der Dampfdruck am Rohrende fur isotherme Stromung bei einer Temperatur von 420 "C berechnet werden.

Isentrope Ausstromung (Zweitindex s) bei fluidmechanisch idealen, d. h. reibungsfreiem, kompressiblem Fluid (theoretischer Fall): Nach G1. (5 -49)

5.3.3.2.1 Ausstromgeschwindigkeit Entsprechend Abschnitt 5.3.1.2 (Energiesatz) gilt fur die Ausstromgeschwindigkeit c,:

pq

Eine warmeisolierte Fernheizleitung fur 8,2 kg/s Niederdruckdampf mit 500 mm lichten Durchmesser und 0,6 mm aquivalenter Sandrauhigkeit ist 2,45 km lang. Am Rohranfang hat der Dampf eine Temperatur von 160°C bei 2,2 bar Druck. Der AuBendurchmesser des Isoliermantels betragt 700 mm. Der auf den AuBenmantel der Warmedammschicht bezogene spezifische zeitliche Warmeverlust betragt 72 J/(s .m2). Gesucht: Dampfdruck am Leitungsende.

'' ZOELLY, Heinrich (1862 bis 1937),Schweizer Ing. und Industrieller.

piq

Die Sole der Schachtanlage einer Kohlengrube liegt in 900 m Tiefe. Zur Bewetterung sind stundlich 3200 kg Frischluft notwendig, die durch ein senkrechtes Rohr von 400 mm Nennweite und 0,4 mm aquivalenter Wandrauhigkeit nach unten gefuhrt werden. Die Luft hat einen AuBenzustand von 22°C und 1020mbar. Der durch das Bewetterungsgeblase am Rohreintritt erzeugte ~ b e r d r u c kbetragt 1,2 bar.

Bild 5-9. Miindung (ZOELLY-Diise): Zustand 1 innerhalb, Zustand 2 auDerhalb des Behalters.

320

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdvnamik)

Schatzen des Exponenten n die Polytropenbeziehung verwendet werden (Gl. (5-52a)). Im allgemeinen ist die kinetische Anfangsenergie cf/2 und damit die Zustromgeschwindigkeit c, vernachlassigbar gegenuber der Ausstromgeschwindigkeit c2. Bei EinfluS von c, vernachlassigt, also c, = 0 gesetzt, folgt aus G1. (5-79): I

5

S

Bild 5-10. Isentrope Dampf-Entspannungim MOLLIER (h,s)-Diagrammund x-Werte von Wasserdampf. Im NaBdampfgebiet fallenjeweils Isobare und Isotherme zusammen, d. h. liegen beieinander. Wenn ein (h,s)-Diagramm fur das stromende Fluid zur Verfugung steht, ist nachdrucklich zu empfehlen, dieses zu verwenden und mit G1. (5-78)zu rechnen. Im (h, s)-Diagramm sind namlich die VAN DER WAA~sschen Abweichungen vom thermodynamisch idealen Gas bereits eingearbeitet. Dies ist besonders bei Dampfen wichtig. AuDerdem wird der ~ b e r g a n gvom HeiBdampfgebiet in NaBdampfgebiet, falls er bei der Expansion auftritt, beim Abgreifen des isentropen Warmegefalles Ah, beriicksichtigt, Bild 5-10. Bei diesem Ubergang andert sich der x-Wert meist kraftig, z. B. bei Wasserdampf von x = 1,3 fur HeiBdampf auf x < 1,l fiir NaDdampf. Wird dennoch bei Dampf mit G1. (5-79) gerechnet, muB fur den Isentropenexponent ein brauchbarer Naherungswert zwischen den Grenzwerten von HeiBdampf und NaB- bzw. Sattdampf geschatzt werden. Je nachdem, ob die Sattigungslinie (Taulinie), d. h. Wasserdampfgehalt x = 1, mehr beim Ausgangspunkt 1 oder beim Endpunkt 2,s der Entspannung b m . dazwischen liegt (Bild 5-10), ist dieser Naherungswert dichter beim x-Wert des HeiB- bzw. bei dem des NaSdampfes festzulegen, Tabelle 6-19. Polytrope Ausstromung bei wirklichen, kompressiblen Fluiden (realer Fall):

Nach G. (5-50)

c, = /,

(5-80)

Oder wenn Ah unbekannt, was meist der Fall, (5-81) gemaD Gl. (5-51) c2 = (PM.CZ,, Mundungen werden, um bei den meist hohen Geschwindigkeiten die Verluste klein zu halten, sorgfaltig in Form und Oberflache ausgefuhrt. Deshalb sind Geschwindigkeitsbeiwerte cp, zwischen 0,95 und 0,99 erreichbar. Im Mittel wird mit 9 , = 0,97 gerechnet. Ersatzweise konnte bei

Hierbei wird die groDe dimensionslose Wurzel von G1. (5-82) oft auch als die auf den Gegendruck p, bzw. auf das Druckverhaltnis p2/pl bezogene Geschwindigkeitsfunktion Y,,, bezeichnet, weshalb Zweitindex 2, also:

Damit wird aus G1. (5-82) und mitp, . v, = R . TI

Hierbei wieder gemal3 G1. (5-5):

6=

= a,/&

Gefiilleverlust Ahv: Nach G1. (5-53) und (5-54) sowie Bild 5-5 gilt: Ahv = Ah, - Ah = h2 - hz,,

.

.

Ahv = ( ~ : , , / 2 ) (1 - I&) = Ahs (1 - 9 ; ) (5-86)

Miindungs(-Verg1eichs)-Wirkungsgrad qV,, : Entsprechend G1. (5-57) betragt der Mundungsoder ZOELLY-Dusen-Wirkungsgrad $V,M

2

= PM

(5-86a)

Ausstromungstemperatur: GemaB G1. (5-43) w,= Ah = c, . (TI - T2)= c, AT Hieraus mit Ah = &, . Ah, = &, . w,,, gemalj G1. (5-55) und Ah, nach G1. (5-36) bzw. besser aus zugehorigem (h, s)-Diagramm. Hierbei im NaBdampfgebiet T2= T,,,, jedoch x,> x,,, (Bild 5-10).

5.3 Eindimensionale kornpressible Stromungen (Stromfadentheorie)

5.3.3.2.2 Massenstrom

Nach der DurchfluBgleichung, G1. (3-5),ergibt sich fur den durch einfache Dusen flieBenden Massenstrom m: Ideale Stromung ohne Kontraktion (cp, 1 'th = e 2 . 9 . C ~ . .sA 2 = -" 2 , ~ .

= 1; a, = 1):

(5-%a)

Vz, s

Aus der Isentropenbeziehung p . vX = konst folgt

Reale Stromung (cp, < I; a, 5 I): Bei der Stromung realer kompressibler Fluide mussen wieder berucksichtigt werden: - Reibung, durch Geschwindigkeitsziffer cp, - Strahleinschnurung,durch Kontraktionsziffer a, Mit diesen Beiwerten ergibt sich entsprechend von GI. (4-76) fur den tatsachlichen Mengenstrom m: m = V,

i,.

e2 = (A,.

c,)/v,

= a,.

AM

mit A, C2

und mit G1. (5-79) wird unter der Voraussetzung c , vernachlbsigbar gegenuber c 2 , , (wichtige, jedoch nicht gravierende Einschrankung!) der theoretische Mengenstrom m,,:

321

= (PM ' C2,s

v, z v,,, (erfahrungsgemal3 gute Naherung)

PM= UM ' (PEA und den vorhergehenden Beziehungen:

Umgeformt ergibt mit A, = a,. AMz AM,da bei guten Miindungen meist a, x I:

Der theoretisch aus der Mundung austretende Mengenstrom ist somit abhangig: - vom Mundungsquerschnitt AM - von der Art des stromenden Mediums -+ x - vom Anfangszustand des Fluids p,, o, - vom Gegendruckp, bzw. dem Verhaltnisp,/p, . Der groBe Wurzelausdruck in G1. (5-89) ist dimensionslos und wird AusfluSfunktion YA,, genannt:

Wie die Geschwindigkeitsfunktion YG,,ist auch die AusfluDfunktion !PA,, auf den Gegendruck p, bzw. das Druckverhaltnis p2/pl bezogen, deshalb Zweitindex 2 gesetzt, der vielfach auch weggelassen wird. Entsprechendes gilt fiir die Geschwindigkeitsfunktion.

Bei den in der Technik eingesetzten, ublicherweise sorgfaltig ausgebildeten und ausgefuhrten Mundungen ist nahezu keine Kontraktion vorhanden, also a, x 1. Dann wird p, = a,. cp, x rp, und deshalb:

Bei sonstigen Gffnungen, z. B. Bohrungen, Leckstellen, beriihrungslosen Dichtungen u. dgl., ist die Strahleneinschniirungnicht vernachlassigbar. Vielfach ist sie zur Verbesserung der Dichtwirkung oder zur Verstarkung von MeDeffekten sogar gewollt. Bei den scharfkantigen MeDblenden beispielsweise, kann die Kontraktionszahl a, bis auf 0,65 absinken.

Die A ~ S f l u f i f ~ n k t i oeines n ~ ~ ,bestimmen ~ Fluids, gekennzeichnet durch den Isentropenexponent x , ist ausschliel3lich vom Druckverhaltnis p,/p, abhangig und bei festliegendem Anfangszustand (Anfangsdruckp,) nur vom Gegendruck p, . Die Ausflul3funktion hat, wie auch die graphische AuftraMit PA, wird der theoretische Massenstrom nach gung in Bild 5-11 zeigt, einen parabelahnlichen GI. (5-89): Verlauf mit Maximum. Das Druckverhaltnis p,/p,, bei dem die AusfluDfunktion !PA,, ihren Maximalwert !PA,, , ,, erreicht, wird als kritisches Druckverhaltnis @,/p,),, oder als LAVAL-Druckverhaltnis Diese Beziehung wird auch als BENDEMANNSC~~ (p,/p,), bezeichnet, der zugehorige Gegendruck p, Gleichung bezeichnet. als kritischer Druck p,, oder LAVAL-Druck p,. Des

,

322

5 Stromungen mit Dichteanderun~(Gasdvnamik)

0

0

(p2IP, IL 1 ijberkritisch lunterkritisch kritikh

P,~P,

-

Bild 5-11. AusfluDfunktion Y , , , fiir Luft ( x = 1,4), HeiBdampf ( x = 1,3) und Sattdampf ( x = 1,I 35). ( p 2 / p J L pL/p, = p k I / p l . Andere Bezeichnungen fiir Y,,,, sind auch Y,, ,, oder meist F A , ,.

Bild 5-12. Theoretischer Mengenstrom m,,, abhangig vom Druckverhaltnis p,/p, .

null zuruckgehen soll, wenn der Gegendruck ebenfalls auf null sinkt, und dies unabhangig von der weiteren fur A' , 2,max die Bezeichnung LAvAL- Hohe des Eintrittsdruckes p, . Gemgo dem cgestriWert der AusfluRfunktion Y,,, sinnvoll. chelten Kurvenast m,, = f(pz/pl) in Bild 5-12 J~ nach Grofle des ~ ~ ~ ~ k p,/pl ~ ~ wird ~ h konnte a l somit t ~keine i Ausstromung ~ ~ ~ ~ ins Vakuum erfolgen, gleichgiiltig wie hoch der Anfangsdruck ist. zwischen folgenden Fallen unterschieden: Dies ist physikalisch unmoglich. Hieraus folgt: mterkritische Ausstromung Das abgeleitete Gesetz fur den ausflieoenden Massenstrom, G1. (5-89), gilt nicht uneingeschrankt. , A', L ) (' < y ~2 < Tatsachlich kann experimentell nachgewiesen werkritische Ausstromung den, daD der ausstromende Mengenstrom eines ' ,L) (yA,2 = '&2,max Si A kompressiblen Fluides der theoretischen Kurve uberkritische Ausstromung nach Bild 5-12 nur auf dem Kurvenstuck von pz/p, = 1 bis zum Maximum m,,,ma, beim kriti(FA,,>YAJ 2 0) schen Druckverhaltnis (p,/p,),, (p,/p,), folgt. Bemerkung: Meist wird (PL/PI) statt (PZ/P~)L ge- Sobald das Maximum erreicht ist, andert sich der schrieben, also p, = p,,,. Massenstrom trotz weiterem Verkleinern des s e s Jedoch nicht mehr. DaDa die AusfluDfunktion Y,., den ausflieoenden ~ ~ ~ k v e r h a l t n i sPZ/PI Mengenstrom voll mitbestimmt, zeigt auch dieser her gilt n~ der dick ausgezogene Kurvenzug in theoretisch das gleiche parabolische Verhalten mit Bild 5-12 und die Mengenstromgleichung (5-89) . nur fiir den rechten Kurventeil ab dem Maximum. In Bild 5-12 ist der prinzipielle Verlauf ~ Z W (5-93) LAVAL-Druckverhaltnis (p2/p1), = p,/p, . Im Umdargestellt. kehrschlul3 folgt aus diesem physikalischen PhaEinsichtig ist, dao der ausflieoende Mengenstrom im zusamrnenhang mit der M ~ von anfanglich null (bei Druckgleichheit vor und gleichung: nach der Miindung) urn so mehr wachst, je starker ;indert sich beim Ausstromen cines kompressiblen bei konstantem Eintrittsdruckp, der Gegendruck ~ l ~ der i M~~~~~~~~~~ d ~ ~ nicht mehr, bleibt das pz sinkt. Beim LAVAL-Druckverhahzis erreicht ~ ~ ~ ~ kund~ damit ~ ~derh Ausstromdruck g l ~ ~ i der Mengenstrom d a m sein Maximum. Nicht konstant. Hieraus ergibt sich die weitere Folgemehr verstandlich ist jedoch, dal3 der Mengenstrom wieder abnehmen soll, wenn der Gegendruck unter den LAVAL-DTUC~ p1 'p2,, abfallt. In einer Miindung konnen Gase und Dgmpfe Vollig unbegreiflich ist, dalj der Massenstrom auf nur his zum kritischen Druck, dem sag. LAVALDruck, entspannt werden, gleichgiiltig, wie tief der Gegendruck hinter der Miindung abgeI'DE LAVAL, Gustav (1845 bis 1913), schwedischer Ingenieur. 9 senkt wird.

-

''

~

5.3 Eindimeusionale kompressible Str6mungen (5tromfadenthcoric)

323

gen das ebenfalls mit Sohallgeschwiudigkeit anstretende Medium nicht entgegen der Stromuug in die Mtindung eindringen. Der Stromungsverlauf in der Miindung bleibt deshalb von BuOeren Druckabsenkuugen nnter den LAVAL-Wertnnberiihrt (uberkritischer Fall). Bei einfachen Diisen wird der Strahl, sofern der Gegendruck p, groBer oder gleich dem L A V A L pL ~ ~(Icritischer I ~ ~ Druck p,) ist, achsparallel gerichtet ausstriimen und sich allmahlich mit dem Umgebungsmedium vcrmischen; Freistrahl (Abschnitt 3.3.5). 1st der G e g e n h k kieiner, weitet sich der Strahl kurz nach Verlassen der Dike verpuffungsartig nach allen freien Seiten aus. Er nimmt dabei Seitengeshwindigkeiten an, die in seinem Inneren zu Unterdruck Rhren. Bei Bild 5-13. Ausstromungeu aus Miindungen @,. x p , ) . dieser schnellen Nachexpaiujion schie0t die seita) unterltritischp, z p , (Strahl gerichtet) liche Strahleuausweitung anEinglich infolge Masb) iikLritischp, < p, (Strahl zerplatzt) sentragheit iiber die Gleicbgewichtslage hinaus. AnschlieBeud macht der nun hohere AuBeudruck Die zugehorigen Stromungs- und Entspannuugs- die entstandene Ausweitung des Strahles ebenso vorgange sind in Bild 5-13 prinzipiell dargestellt. schnell durch Zusammendnicken wieder ~ k g i i n Solange der Gegeudmck nach der Mundung gro- gig. Dadurch tritt im verengten Strahl wieder Ber oder gleich dem kritischeu Drnck (LAVAL- Uberdruck auf. Dieses Spiel wiederholt sich periodruck hrh,)ist ( p 2 r p h ) , erfolgt vollige Eut- disch so lange, bis die Uberdmcktn~r$k durch spannung des Fluidea in der Miindung auf den Reibung uud Wirbel aufgezehrt ist, Die sich auf Gegendruck. Der austretende Strahl ist eindeutig diese Weise biidenden Ausweituugen und Einin Mtindungsachsegerichtet uud seine Str8mungs- schriinkungen des Strahles sind beibhlierenaufenergie technisch verwerthar, Bild 5-13,a (uuter- nahmen eut zu erkennen. Die starke Geriiuschbilkritischer Fall). etwa beim offnen von Druckgasflaschen, ist Bei p , = m , = p , wird die maximale Ausstromge- dung, h e Folge J l x r Schwmgungen, da iie sich auf das schwindigkeit erreicht Diese ist, wie spater noch Umgcbu~~gsmedium (me~>rLuft) ubcrtragen. gezeigt, gleich der Schallgeschwindigkeit des Fluides vom Mhdungszustand, Bid 5-13,a, d. h. 5.3.3.2.3 LAVAL-huCkverbiiltniS dem Zustand, den das Fluid beim Austritt aus der Das kritische Druckverhalm~s (p,/p,), oder Miindung aunimmt (kritischer Fall). LAVAL-Druckverhiiltnis(p,/p,), b.kurz pJp, Sinkt der Gegendruck unter den L A v ~ ~ w e r t laBt sich nach dem Exiremwertverfahren der Dif(p2
-

324

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

tion seinen prinzipiellen Verlauf durch Quadrieren nicht andert, genugt es fur die Maximumbildung, die erste Ableitung des Radikanden der zweiten Wurzel gleich null zu setzen: Ausgewertet:

Die zugehorige Ruhetemperatur TR folgt hierbei gemaD Energiegleichung (5-33) mit Beziehung (5-58), wenn c, x konst gesetzt werden darf bei Ah=h,-h, und T = TR-TI: Da beirn Maximum nach Bild 5-11 P =+ 0 ist, mu8 gelten:

Hieraus, da c,

= 0:

Hieraus : Damit wird dann das LAVAL-Druckverhaltnis:

PL=-PL bzw. Pk,=&

PR PR Das kritische Druckverhaltnis P,,oder das LAVALDiese Umrechnung auf den Ruhedruck gilt in soldruckverhlltnis PL ist demnachf chen Fallen, d. h. wenn c , nicht vernachlassigbar, fiir alle Stromungsgleichungen. Dann ist in allen entsprechenden Gleichungen statt des Anfangsdrucks p, der zugehorige Ruhedruck p, zu setzen, sowie die anderen Ruhewerte (TR;v,) an die Stelle = Mit Pk. der Anfangswerte (T,; 0,).

(;:),. 2 -

Das LAVAL-Druckverhaltniseingesetzt: Des weiteren iibliche Benennungen sind:

a) in die AusfluBfunktion Y,,,, GI. (5-go), ergibt - YA,,: den Maximalwert (LAVAL-Wert) YA,,, , ,, =

PL . . . bezogener oder dimensionsloser

Druck, LAVAL-Druckgefalle pL . . . Lavaldruck (dirnensionsbehaftet) Pk,. . . bezogener kritischer Druck (dimensionslos) pkr. . . kritischer Druck (dirnensionsbehaftet)

Erganzung: Beirn Ermitteln von P, wurde gema8 GI. (5-90) der EinfluD der Anfangsgeschwindigkeit c1 vernachlassigt, also c, x 0 gesetzt. 1st dies, was selten auftritt, nicht zulassig, mu0 der zugehorige Ruhedruck p, (bei c, = 0) an Stelle vom Anfangsdruck p, verwendet werden. Dieser ergibt sich aus:

Isentropenbeziehung p, Gasgleichung

. v i = p, . v i und v = R . T/p

Urngeforrnt und vereinfacht:

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

b) in die Geschwindigkeitsfunktion YG,, nach G1. (5-83); ergibt den zugehorigen kritischen Wert YG,2,kr E YG,kr oder LAVAL-Werty G , ~YG,kr:

--

Umgeformt :

325

c, = 0 abgeleitet. Anderenfalls sind, wie ausgefiihrt (Erganzung), die Ruhewerte (p,; TR) statt der Anfangswerte (p,; T,) zu verwenden. Der Begriff kritisch hat bei kompressiblen Stromungen eine andere Bedeutung als bei inkompressiblen. Hier (bei Q 9 konst) ~ b e r g a n gvon Unterin ~berschall.Dort (bei Q x konst) Umschlag laminar auf turbulent.

5.3.3.2.4 Maximalgeschwindigkeit Da bei einfachen Dusen und C)ffnungen, wie in Abschnitt 5.3.3.2 begrundet, gerichtete Entspannung hochstens bis zum LAVAL-Druck(kritischer Druck) moglich ist, kann auch die Ausstromgeschwindigkeit nicht beliebig gesteigert werden. Die geschrieben, sog. LAVAL-Werte. maximale Austrittsgeschwindigkeit wird erreicht Wie die Gleichungen zeigen, sind alle drei GroBen, bei Entspannung gerade bis zum LAVAL-Druck. LAVAL-Druckverhaltnis,LAVAL-AusfluBfunktions- Diese theoretisch maximale Ausstromgeschwindigwert, LAVAL-Geschwindigkeitsfunktionswert, aus- keit c2,, , , , bei idealer Miindungsentspannung schlieBlich von der Art des stromenden Fluids wird auch als kritische Geschwindigkeit ck,,,oder (StoffgroDe x) abhangig. Sie lassen sich deshalb L~v~~geschwindigkeit cL bezeichnet. Die Gleieinfach angeben und tabellieren, Tabelle 5-1. Da- chung fur die LAVAL-Geschwindigkeitc, ergibt nach allgemeine Richtwerte fiir ~berschla~srech- sich deshalb durch Einsetzen des L A V A L - D ~ U C ~ nungen: PLx 0,s; Y,!, x 0,75; 'iP,,,x 0,s. Allge- verhaltnisses nach G1. (5-94) in die Beziehung fur mein bedeutet hierbei fur die technisch wichtigen die Ausstromgeschwindigkeit c, unter VernachGase und Dampfe und grol3zugig gerundet. lassigung von c, nach G1. (5-82).

Hinweis: Meist wird einfachheitshalber - fur FA, 2. mar n w PA, max = FA, L - fur Y , , nur YG,kr = YG,,

,

Bemerkungen: Nachdrucklich mu13 darauf hingewiesen werden, daI3 die aufgefiihrten Beziehungen aller LAVALWerte (P,, YG,,, exakt nur gelten, wenn die Zustromgeschwindigkeit c, vernachlassigbar ist. Vereinfacht Meist sind die Werte jedoch genugend genau. Begrundung: Die Gleichung fiir das kritische Druckverhaltnis P,,= P,, das die anderen LAVAL- Hierbei ist die Zustromgeschwindigkeit cl, wie erGroI3en bestimmt, wurde unter der Voraussetzung wahnt, wieder vernachlassigt (c, x 0). Mit p . v = R . T = h ( x - 1)lx nach G1. (5-41) kann bei idealem Gas gesetzt werden: Tabelle 5-1. LAVAL-Werte(kritische Werte) von Gasen und Dampfen. Fluid

K=@~

......

11,67

1

0,487

10,79110,5141

Lweiatornige Gase (Luft, H,, N,, CO usw.) 11,40

(1

0,528

10,764/0,4841

Mehratomige Gase

(1,33

1

0,540

10,756 10,476

(Wasser-)Sattdampf

11.135

1

0,577

10,729 10,4491

Einatomige Gase

Wird der LAVAL-WertYG,, der Geschwindigkeitsfunktion nach GI. (5-96) eingefuhrt, folgt aus den Beziehungen G1. (5-84) und GI. (5-97):

CL

1

=

Ck.,

= C2, ,,

= 'PC,L .JGZ

(5-99)

Die tatsachliche kritische also maximale Ausstromrealer Fluide ist dann geschwindigkeit (c,, =J,,,c, gemaB G1. (5-81):

326

5 Stromungen rnit Dichteanderung (Gasdynamik)

Oder wieder fur thermisch ideales Gasverhalten mit G1. (5-41): Ckr

= C ~ , m a x= 'PM' IYG, L

X

Bemerkung: Um bei Dampfen die Abweichung vom thermodynamisch idealen Gasverhalten sowie den EinfluB der relativ hohen Verdampfungswarme wenigstens einigermaljen zu kompensieren und damit brauchbare Rechenergebnisse zu erhalten, sollte in G1. (5-98) sowie GI. (5-101) statt der Enthalpie h, , die Differenz (h, - ld,,) gesetzt werden, falls kein (h, s)-Diagramm zur Verfugung steht. Dabei ist Id,, die zum Druck p, gehorende Verdampfungswarme des Fluides.

Werden die thermischen Zustandswerte p, und u, des Fluides vor der Mundung durch die kritischen ZustandsgroBen, d. h. die LAVAL-Werte,p, =pk, und v, r v,,, mit Hilfe der Isentropengleichung ersetzt, ergibt sich - unter Vernachlassigung von e, fur die LAVAL-Geschwindigkeitc,:

. (pL/pl)lix aus p, . v:

Mit v,

= u,

und p,

= p L . (p1/p2)

Dies ist ein wichtiges physikalisches Phinomen.

(5-101)

= p L . v:

erhalt GI. (5-97) die Form

Mit der LAVAL-Geschwindigkeit cL laBt sich auch die LAVAL-ZahlLa definieren (Abschnitt 5.2.1):

Infolge Stromungsverlusten durch Reibung ist die tatsachliche maximale Ausstromungsgeschwindigkeit ebenfalls entsprechend dem Geschwindigkeitsbeiwert cpM kleiner, G1. (5-81). In diesern Zusammenhang wird auch auf Abschnitt 5.2.1 verwiesen. ZOELLY-Dusensind somit nur im Unterschallgebiet - unterkritischen bis Grenze kritisch - anwendbar. Fur ~berschallgeschwindigkeit (uberkritischer Bereich) sind andere Einrichtungen notwendig (Abschnitt 5.3.3.3). 5.3.3.2.5 Maximaler Massenstrom Der theoretisch maximale Massenstrom m,,, ,,, , der aus einer Mundung austreten kann und sinnvollenveise mit LAVAL-Massenstrom m, zu bezeichnen ist, wird beim kritischen Druckverhaltnis und isentroper Expansion erreicht. Wieder unter der Voraussetzung vernachlassigbarer Anfangs- oder Zustromgeschwindigkeit c, kt in G1. (5-91) fur die AusfluBfunktion Y,, der Maximal-, d. h. LAVAL-Wert nach G1. (5-95) oder der Zahlenwert von Tabelle 5-1 einzusetzen. Dann wird:

,

Wird zudem das LAVAL-Druckverhaltnis nach G1. (5-94) eingesetzt, fuhrt dies zu:

7

Diese Beziehung ist ebenfalls eine Form der BEN~~ (GI. (5-91)). Der Vergleich mit G1. (5-4) bzw. (5-5) ergibt, daB D E M A N N S C ~Gleichung die LAVAL-Geschwindigkeitc, identisch ist mit der Schallgeschwindigkeit a des stromenden kompres- Oder mit Hilfe der DurchfluBbedingung: siblen Fluides vom Mundungs-, d.h. LAVALZustand. Hieraus folgt die Erkenntnis: Bei Ausstromungsvorgangen aus Mundungen (einfache Dusen und 0ffnungen) kann als theoretische Maximalgeschwindigkeit hochstens die Schallgeschwindigkeit vom LAVALzustand a, (Mundungszustand), die sog. kritische Schallgeschwindigkeit, erreicht werden. Die LAVAL-GeschwindigkeitcL ist also gleich der kritischen Schallgeschwindigkeit a,,,,:

Hierbei gilt fur das spezifische LAVAL-Volumen v, = v,,, nach der Isentropenbeziehung: und die L~v~~geschwindigkeit nach GI. (5-99). Der wirkliche maximale Massenstrom m, ist wieder infolge Stromungsverlusten (Geschwindig-

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

keitsbeiwert q M ) und Strahleinschniirung (Kontraktionsziffer a M )geringer. Er ergibt sich ebenfalls aus der DurchfluBgleichung beim realen kritischen Ausstromfall:

Bemerkung: v,, > v,, da infolge Reibung Tkr> TL wobei TL= T,, , Mit ckr= c ~ , , , ,= ~ qM. c,,,,

-- qM. cL

nach G1. (5-99) und v,, = vL . (v,,/v,)

wird

Hierin G1. (5-105) eingesetzt, fuhrt schlieBlich zu

Wie bereits erwahnt, werden technisch eingesetzte Mundungen so gut ausgebildet und ausgefuhrt, daB Strahlkontraktion kaum auftritt, also a, 1. Des weiteren ist das wirkliche kritische spezifische Volumen u,, nur aufwendig ermittelbar, und zwar Okr -

=

'

Tkr/~kr

durch Messen von T,, z. B. bei Versuchen. mit angenahert T,, aus Ah,, = c, . (TI - Tk,) wobei Ah,, = q&. AhL und AhL= Ah,= w,,, gemaB GI. (5-36b) mit pL/p, statt p2/p,

327

zu verwirklichen. Solche Dusen bestehen, um das Ergebnis vorwegzunehmen, aus einem in Stromungsrichtung konvergierendem mit anschlieljendem divergierendem Teil, namlich aus einer Miindung (Unterschallbereich) mit angesetzter Erweiterung (~berschallteil).Diese sog. erweiterte Diise wurde zum ersten Ma1 1878 von KORTING in einer Dampfstrahlpumpe und 1883 von DE LAVAL in einer Dampfturbine (LAVAL-Turbine)eingesetzt. Diese enveiterten Diisen, die also aus Mundung (ZOELLY-Teil) mit unmittelbar anschlieBender Erweiterung ( L A V A L - Tbestehen, ~ ~ ~ ) werden als LAVAL-Diisen bezeichnet. 5.3.3.3.2 Querschnittsverlauf Der fur die vollstandig gerichtete Entspannung notwendige Querschnittsverlauf laljt sich unter Verwendung der Beziehung fur den theoretischen Massenstrom nach G1. (5-89) aufzeigen, wobei die Zustromgeschwindigkeit in erster Naherung wieder im Vergleich als klein vernachlassigt wird. Diese Gleichung kann mit dem Kontinuitatsgesetz m,, = konst dahingehend verallgemeinert werden, daB sie fur jeden Querschnitt entlang der Diisenachse gelten muB. An die Stelle der Mundungsaustrittswerte A,, p,, !PA,,treten die zum jeweiligen Querschnitt gehorenden Werte A,,, p, YA. Dann gilt fur jeden Querschnitt, der zwischen Einstromund Ausstromstelle der Duse liegt, also fur Druckbereich p, I pI pz:

Ersatzweise kann jedoch oft gesetzt werden: Mit der AusfluBfunktion Damit wird in meist guter Niiherung:

oder beim dimensionslosen Druck P = p/p, 5.3.3.3 LAVAL-Diise(erweiterte Diise) 5.3.3.3.1 Grundsatzliches Wie in den vorhergehenden Abschnitten auseinandergesetzt, ist in Mundungen die gerichtete Entspannung durch den LAVAL-Druckbegrenzt. Die Ausstromgeschwindigkeit kann dadurch hochstens bis zur kritischen Schallgeschwindigkeit gesteigert werden. Hieraus folgt die Frage: Wie muB eine Duse, die geordnetes Umsetzen von Warmeenergie in Stromungsenergie uber den LAVAL-Zustandhinaus ermoglicht, ausgebildet sein, um hohere Stromungsgeschwindigkeiten als die LAVAL-Geschwindigkeit

ergibt sich fur den theoretischen Mengenstrom:

,/mkonst

m,, = A,, . YA.

=

(5-111)

Wenn GI. (5-111) uber den LAVAL-Punkt hinaus gelten soll, muB die Duse entsprechend ausgebildet werden. Die Beziehung fur den notwendigen theoretischen Querschnittsverlauf A,, der Duse folgt dann durch Umstellen von GI. (5-1 11):

.--1

- konst

1

.YA

328

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Bild 5-14. Inverse AusfluDfunktion 1/Y, in Abhangigkeit vom bezogenen Druck P = p/p, .

durch die Expansion bedingten Volumenzuwachs muB daher durch fortschreitende VergroDerung des Stromungsquerschnittes Platz geschaffen werden, da gilt v = m . v, also A = m . vlc. Im Unterschallbereich wachst bei der FluidExpansion die Stromungsgeschwindigkeit somit schneller als das spezifische Volumen. Im ~ b e r schallgebiet gilt das Umgekehrte. Infolge der Stromungsreibung erreicht das Medium die Schallgeschwindigkeit tatsachlich jedoch erst in geringem Abstand hinter dem engsten Querschnitt. Der prinzipielle Querschnitts-, Druck-, Geschwindigkeits- und Entspannungsverlaufbei einer LAVALDiise ist in Bild 5-15 dargestellt.

Beim wirklichen Querschnittsverlauf (Flache A) muB noch der jeweils zugehorige Geschwindigkeitsbeiwert cp, der mit zunehmendem Stromungsweg schlechter, d. h. kleiner wird, beriicksichtigt werden: 1 A = - . A , , mit cp
AuSerdem ist zu beachten, daD der Anfangsquerschnitt A , = m . v l / c l G1. (5-126) endlich bleibt, wenn Zustromgeschwindigkeit c , beriicksichtigt wird, was hier notwendig. Wie G1. (5-112) zeigt, muB der Querschnittsverlauf der Duse umgekehrt proportional zur AusfluBfunktion !PAsein. Der Kehnvert der AusfluBfunktion fiir zweiatomige Case (Luft usw.) ist prinzipiell in Bild 5-14, abhangig vom Druckverhaltnis P = p / p l , aufgetragen, und zwar im theoretischen Bereich p , 2 p 2 0 bei c , vernachlassigt.

Bild 5-15. LAVAL-Dike(Prinzipdarstellung): a) Querschnittsverlauf b) Druck- und Geschwindigkeitsverlauf mit p, = P,.p, c) Expansionsverlauf bei idealer (1-2,s) und realer (1-2) Stromung (iiberkritische Entspannung) im MOLLIER (h,s)-Diagramm

Als Ergebnis kann festgehalten werden: Um gerichtete vollstandige Fluidentspannung zu verwirklichen, mu13 der Stromungsquerschnitt wie bei Mundungen zunachst abnehmen. Beim kritiKanaltorm bei Anderung der Kana,schen Druckverhaltnis erreicht er sein Minimum StromungsUberschall Unterschall Beze~chnung und steigt anschlieBend wieder an. Diese notwengroOen (Mo>ll ( Ma.1) I dige Kombination von Verengung und Erweiterung wird, wie schon envahnt, als LAVAL-Dikebe.---. zeichnet. Die Dusenenveiterung, die sog. LAVAL- Duse c whchst Erweiterung, ist zwingend notwendig, wei1 gegenv wachst satzlich von davor im AnschluD an den ersten Querschnitt, dem sog. LAVAL-Querschnitt, das Volumen bei der weiteren Expansion starker wachst, als die Stromungsgeschwindigkeit zunimmt. Dieses physikalische Phanomen 1aBt sich experimentell belegen. Die Stromungsgeschwindigkeit kann deshalb das immer starker wachsende Fluidvolu- Bild 5-16. Vergleich der Kanalform bei Unter- und men nicht rasch genug wegtransportieren. Dem ~berschallstromung.

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

Die prinzipielle Gegenuberstellung der Erschei- Ma = 1 nungen bei Unter- und ~berschallstromun~en geht aus Bild 5-16 hervor. Demnach kann folgende Feststellung formuliert werden:

329

(Schall): Grenzfall, dA/A = 0. Extremalwert (dA = 0). GemaB vorhergehender uberlegung Minimum von QuerschnittsFlache A (Kleinstwert).

Allgemein gilt: Das Stromungsverhalten kom- 5.3.3.3.3 Ausstromgeschwindigkeit pressibler Fluide im ~berschallbereichist um- Auch bei uberkritischer Entspannung in LAVALgekehrt zu dem im Unterschallgebiet. Quer- diisen gelten entsprechend die Gleichungen (5-78) schnittserweitung bewirkt bei ~ b e r s c h a l l ~ e - bis (5-85) fur die Ausstromgeschwindigkeit. Inschwindigkeit Beschleunigung des stromenden folge des LAVAL-Querschnittsverlaufesentfallt die Fluides, Querschnittsverengung dagegen Verzo- Grenze durch den kritischen Druck. An die Stelle gerung. des Geschwindigkeitsfaktors q, fur Miindungen tritt jedoch der fur erweiterte Dusen cp,, gemalj Erganzung: Dieselben Ergebnisse wie zuvor liefert Bild 5-17, der, wie spater begrundet, bei gleicher folgende Betrachtung. qualitativer technischer Ausfuhrung (Form, Oberflache) kleiner ist als cp,, da ja die StromungsKontinuitatsgleichung: reibung in der LAVAL-Erweiterunghinzukommt. Q . A . c = n? = konst logarithmiert differenziert Ideale Stromung: Hierfur gilt GI. (5-78) bzw. lg Q + lg A + Ig c = lg m = const G1. (5-79) (ist G1. 3-10) Aus EULER-Stromungsgleichung(3-62) bei Vernachlassigen der Feldwirkung (Schwere g . dz = 0):

cz,, = Jc:

+ 2 . AhDii,,

oder, falls kein (h, s)-Diagramm gemalj Bild 5-15,c

differenziert

Reale Stromung: Entsprechend G1. (5-80) und (5-81) folgt mit Dusenbeiwert 9,": Mit G1. (1-21) bzw. (5-2a) a 2 = dplde ergibt sich hieraus:

Eingefiihrt in G1. (3-10) von zuvor:

Hieraus folgt: M a < 1 (Unterschall): dA/A negativ bei positivem dclc. Zur Geschwindigkeitssteigerung somit Kanalverengung notwendig und umgekehrt (dA < 0). (~berschall): dA/A positiv bei positivem dc/c. Zur Geschwindigkeitserhohung Kanalerweiterung erforderlich und umgekehrt (dA > 0).

Bild 5-1 7. Geschwindigkeitsziffercp,, von LAvA~-Diisen abhangig von Dusenfaktor f,, aus Versuchen. Kurve a: Diise mit gerader Mittellinie (gerade Duse) Kurve b: Duse mit gekriimmter Mittellinie (gekriimmte Diisel Kurvec: Mittelwert zwischen Kurven a und b

330

5 Stromungen mit Dichteanderuna (Gasdvnamik)

Nach der Gasgleichung p , . v , = R . T, ist wieder p , . v , durch R . T, ersetzbar. In der Regel kann weiterhin die Zustromgeschwindigkeit c , wieder gegenuber der Ausstromgeschwindigkeit c, vernachlhsigt und dann auch mit der Geschwindigkeitsfunktion Y G , ,gerechnet werden:

Anhaltswerte fur den Diisengeschwindigkeitsbeiwert ,p,c liefert das Diagramm in Bild 5-17 als Funktion von Diisenfaktor f,, . Fur diesen gilt:

Hinweise:

< ,cp, da, wie erwahnt, Stromungsweg und damit Reibung in L ~ v ~ ~ - D i i infolge s e n Erweiterungsteil groDer als in Miindungen. Wenn Isentropengefalle (Warmegefalle) bekannt, d.h. aus vorhandenem (h, s)-Diagramm (Bild 5-18) entnehmbar, Dusenfaktor f,, ,wie bemerkt, damit berechnen -+ erster Ausdruck in G1. (5-1 16). Anderenfalls mit Druckverhaltnissen arbeiten -+ rechter Ausdruck mit groI3er Wurzel von G1. (5-116) oder nach G1. (5-117). Bei gekrummten Dusen (Linie b in Bild 5-17), die beispielsweise verschiedentlich in Stromungsmaschinen verwendet werden, verlauft deren Mittellinie gemal3 einer Kurve, meist einem Kreisbogen. Um die gekrummte Mittellinie mussen dann Verengung und Erweiterung der LAVAL-Duseangeordnet werden. Es ergeben sich somit komplizierte und deshalb oft nur aufwendig herstellbare Gebilde.

,p,c

Bei (h, s)-Diagramm (Bild 5-18) wird der erste Teil von Beziehung (5-116) verwendet. Ohne dieses der Gefalleverlust Ah, (Bild 5-15 und 5-18): zweite Ausdruck nach dem Gleichheitszeichen. Nach G1. (5-86) und (5-87) gilt: Oder mit p,/p, = P,, dem LAVAL-Druckverhaltnis nach G1. (5-94):

Die isentropen Warmegefalle Ah,,,, (gesamtes Diisen(-Verg1eichs)-Wirkungsgrad qv,Dii: Entspreideales Diisengefalle) und AhL= AhM,, ( L A ~ A L - chend G1. (5-57) betragt der die StromungsverGefalle) in G1. (5-1 16) gehen aus Bild 5-18 hervor. luste berucksichtigende Dusenwirkungsgrad qv, (auch als LAVAL-Dusen-Vergleichswirkungsgrad Dabei werden auch bezeichnet: bezeichnet): Ah, = Ah,,,, ideales kritisches Warmegefalle reales kritisches Warmegefalle AhM= Ah,,

,,

Ersatzweise konnte auch hier statt ,p,c die Polytropenbezeichnung (n statt x) bei c2 verwendet werden, entsprechend G1. (5-52a).

I S, = S L

I

s2

s-

Bild 5-18. Zustandsanderung bei iiberkritischem Druckverhaltnis ( p , < p , ) im (h,s)-Diagramm.

Grenzgeschwindigkeit: Nach G1. (5-114) wird bei Vernachlassigung der Anfangsgeschwindigkeit c , die theoretisch maximale Ausstromungsgeschwindigkeit - meist als Grenzgeschwindigkeit bezeichnet - dann erreicht, wenn p, -+ 0 geht. Die Stromung und damit isentrope Expansion muljte also ins absolute Vakuum erfolgen. Dabei wurde die gesamte, durch die Fluidtemperatur bestimmte Warmekapazitat in Stromungsenergie umgesetzt. Die Temperatur des Fluides muDte, wie auch aus der Gasgleichung p . v = R .T folgt, dann auf den absoluten Nullpunkt (T = 0) absinken. Auch konnte das Vakuum wegen des zustromenden Mediums nicht aufrechterhalten werden. Deshalb ist die Grenzgeschwindigkeit nur von Interesse hinsichtlich der Kenntnis des theoretisch moglichen Maximalwertes.

5.3 Eindimensionale kompressible Strijmungen (Stromfadentheorie)

Fur die isentrope Grenzgeschwindigkeit c2,,,,, gilt nach GI. (5-1 14) bei p2 = 0 und c, x 0:

Die Grenzgeschwindigkeit hangt nach G1. (5-120) nur von der Art des Mediums (x, R) und seinem Anfangszustand (Temperatur T I )ab. Die zugehorige Warme kann allerdings nur bei vorhandensein entsprechenden Anfangsdruckes p, technisch genutzt, d. h. gemaD Ah, in Stromungsenergie umgesetzt werden. Mit der auf die Anfangstemperatur T, bezogenen Schallgeschwindigkeit a,

=Jm

331

Mit dem LAVAL-Massenstromnach GI. (5-104):

Hierbei ist wieder der LAVAL-Wertder AusfluDfunktion YA,,nach G1. (5-95) zu berechnen oder aus Tabelle 5-1 zu entnehmen. Auf den Austrittsquerschnitt A , bezogen, ergibt sich auch mit der Kontinuitatsbezeichnung entsprechend G1. (5-93) fur den Massenstrom m bei a, = 1 (keine Kontraktion; praktisch immer der Fall):

Oder mit der AusfluBfunktion nach G1. (5-90),entsprechend Beziehung (5-91):

folgt fur die Grenzgeschwindigkeit: Wie der Vergleich dieser Beziehung mit G1. (5-123) zeigt, ist bei naherungsweise ,cp, c cpM gesetzt: Die Ausstromgeschwindigkeit aus Diisen kann also nicht beliebig gesteigert werden (Hinweis auch auf Abschnitt 5.2. I), sondern theoretisch nur bis zur Grenzgeschwindigkeit. Wichtig ist zu beachten, daD ~berschalldifussoren, die nach dem Prinzip der umgekehrten LAVAL-Duse(Bild 5-15) arbeiten miissen, niemals stetig bis zur Schallgeschwindigkeit und dann weiter herunter in Unterschall verdichten konnen. Eine solche Stromung ist, besonders infolge der Reibungswirkung, bei Gasen und auch Dampfen instabil. Es bildet sich, ausgelost durch stets vorhandene kleine Storungen, praktisch immer VerdichtungsstoDe (Bild 5-25), die groDe Verluste und Gerausche verursachen (Abschnitt 5.4). 5.3.3.3.4 Massenstrom Der durch die erweiterte Duse stromende und deshalb ausjliejende Massenstrom wird wie bei der Mundung durch den engsten Querschnitt bestimmt. Die Dusenerweiterung bewirkt kein Erhohen des Mengenstromes, sondern nur ein VergroBern der Stromungsgeschwindigkeit. Dies ist einerseits durch die Kontinuitatsbedingung bestimmt und andererseits infolge der nicht moglichen Ruckwirkung (Abschnitt 5.3.3.2.2). Nach GI. (5-108) gilt demnach auch fur den Massenstrom in LAVAL-Dusen:

Auch hieraus folgt A,> A M , da gemaB Bild 5-11 Y A ,<~ YA,L. 5.3.3.3.5 Abmessungen Der konvergente Diisenteil kann vergleichsweise kurz (L, klein), der Verengungswinkel 6, entsprechend groB (6, bis 30" und mehr) ausgefuhrt werden, oder sogar nur aus einer Ausrundung bestehen. Diese Ausrundung, Radius R in Bild 5-19, mu0 dann allerdings geniigend groB sein, um Stromungsablosung infolge Fliehkraft zu verhindern.

1 c)

-

I

d)

Bild 5-19. Technische Ausfiihrungen von LAVAL-Diisen.

332

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Der divergente Dusenteil ist dagegen schlanker auszufuhren (L, groo), obwohl, trotz Erweiterung, die Gefahr von Stromungsablosung gering ist (beschleunigte Stromung!). Der Erweiterungswinkel sollte in der Regel unter 20" liegen, also 6 , s 20". In manchen Fallen kann jedoch uber diesen Wert hinausgegangen werden. Die in der Technik meist eingesetzten Dusenausfuhrungen sind in Bild 5-19 dargestellt.

technisch brauchbar. Gegebenenfalls ist der Realgasfaktor Z zu venvenden (Abschnitt 5.3.1.2.1) oder das (h, s)-Diagramm. Auch wurde der EinfluB der Zustromungsgeschwindigkeit c, wieder vernachlassigt, also (cf/2) = 0 gesetzt. Notigenfalls sind entsprechend die Ruhewerte zu verwenden (Erganzung von Abschnitt 5.3.3.2.3).

Fur die einzelnen Dusenabmessungen gilt:

4. Ausrundung: Radius R (Bild 5-19) moglichst groI3 ausfuhren.

1. Einstromquerschnitt A , : Aus DurchfluSgleichung

2. Engster Querschnitt A,: Ebenfalls aus Durchflul3beziehung mit c,, nach G1. (5-100) und vkr % vL. Oder direkt aus G1. (5-123):

5. Langen: Konvergenter Teil: L, konstruktiv oder aus den geometrischen Beziehungen. Beispielsweise Duse mit Kreisquerschnitt, Fall a in Bild 5-19: ADv/2 Dl - D M Lv = ------- tan (6,/2) - 2 . tan (6,/2) Divergenter Eil: Ebenfalls mit der Trigonometrie. Beispielsweise wieder fur kreisformige Dusen:

Hierbei !PA,, aus G1. (5-95) oder Tabelle 5-1.

ADE/2 D2- DM L, = -------- tan (6,/2) - 2 . tan (6,/2)

3. Ausstromquerschnitt A,: Wieder nach Durchfluobedingung

Gesamte Diisenlange L:

A,

=m

. v2/c2

Oder, da v, meist unbekannt, aus GI. (5-125): ni

mit PA,,nach GI. (5-90). Wird GI. (5-128) nach m umgestellt, d. h. GI. (5-123) verwendet, und in Beziehung (5-129) eingesetzt, ergibt fiir den Austrittsquerschnitt:

L=L,+L,

5.3.3.3.6 Thermische ZustandsgroDen im engsten und im Austrittsquerschnitt Die thermischen ZustandsgroBen im engsten und im Endquerschnitt der LAVAL-Dusen-Stromung ergeben sich bei a) idealem Fluid aus Isentropen- und Gasgleichung b) realem Fluid wie folgt:

Zu beachten ist wieder, daS G1. (5-128) bis Beziehung (5-130) nur bei thermodynamisch idealem Gasverhalten exakte Werte liefern. Begrundet ist dies in der Herleitung (Abschnitt 5.3.3.2.2) oder AusfluBfunktion FA,die fur ideale Gase durchgefuhrt wurde und deshalb streng genommen nur fur solche gilt. Je nachdem, wie stark reale Gase vom thermisch idealen Verhalten abweichen, was vom Stoff sowie den vorliegenden Druck- und Temperaturverhaltnissen abhangt, sind die Rechenergebnisse mehr oder weniger genau und darnit

Kritischer Zustand (engster Querschnitt): Kritisches spezifisches Volumen vk,aus DurchfluSgleichung: vkr = A , . ck,/m mit c,,

= cpM

. c,

(5-134)

Kritische Temperatur T,, aus der Gasgleichung:

qr= pkr

' vkr/R

mit pkr

= PL

Endzustand (Austrittsquerschnitt) entsprechend: Spezifisches Volumen v, =A2 . c2/m Temperatur

TZ= P2 . v2lR

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

333

treffenden Stelle in der LAVAL-Erweiterungbestehen bleibt. Ganz ahnliche Erscheinungen treten auf, wenn ein Korper, z. B. ein GeschoB, mit Uberschallgeschwindigkeit durch die (ruhende) Luft fliegt (Abschnitt 5.5.3). Bei Dampfen wird vorteilhafterweise wieder mit Bei der Stromung in einer Duse hat die Austrittsdern zugehorigen (h,s)-Diagramm gearbeitet. kante, an welcher der gegenuber dern Ausstromdruck hohere Umgebungsdruck zu wirken be5.3.3.3.7 Veranderlicher Gegendruck ginnt, relativ zum Strahl gesehen, ~berschallEine LAVAL-Dikearbeitet nur richtig, wenn Ge- geschwindigkeit. Daher geht von ihr unter dern gendruck und Austrittsquerschnitt entsprechend M ~ c ~ s c h Winkel en die beschriebene Druckwelle aufeinander abgestimmt sind; sog. gesunde Stro- aus, ebenso wie von der Spitze eines Geschosses mung. Zu einem bestimmten Erweiterungsver- (Bild 5-57 und Bild 5-58). Diese Welle, in welcher haltnis gehort ein ganz bestimmter Gegendruck der Fluiddruck fast plotzlich von dern Wert des bzw. umgekehrt. Weicht der Gegendruck vom Austrittsdruckes der Duse auf den Gegendruck Auslegungswert, dern sog. ,,richtigen Wert" ab, springt, wird als VerdichtungsstoB oder Schockandert sich die Stromung, sie ist gestort oder unge- welle (Abschnitt 5.4) bezeichnet. Dahinter zieht sund. sich der Strahl auf einen kleineren Querschnitt zuBei Senken des Gegendrucks unter den richtigen sammen, der dern Volumenstrom des Fluides beim Wert bleiben die Verhaltnisse in der LAVAL-Duse AuDendruck entspricht. Bei weiter steigendem selbst unverandert, da das Signal der Drucksen- Gegendruck wird der VerdichtungsstoD immer kung sich nicht entgegen dern mit ~ b e r s c h a l l ~ e - stbker. In vielen Fallen lost sich dabei der Strahl schwindigkeit austretenden Fluidstrom ausbreiten nach dern Drucksprung von der Dusenwand ab. kann. Wie bei der Mundung expandiert der Strahl Denn wegen der Reibung muB die Geschwindigjedoch nach dern Austreten aus der Duse je nach keit bei Annaherung an die Wand der Duse bis auf GroDe des noch vorhandenen Restdruckgefalles null abfallen (Haftbedingung!). In die deshalb mit mehr oder weniger deflagratorischl). Infolge der Unterschall stromende Grenzschicht kann der Audadurch verursachten Beschleunigung (Fluid- Dendruck vordringen und den Strahl von der massentragheit) weitet sich der Strahl dabei so Wand abdrangen. Auch muD die Kontinuitatsbestark aus, daS in ihm gegenuber der Umgebung dingung erfullt bleiben, weshalb der ,,gesundeU Unterdruck entsteht. Deshalb wird er kurz darauf Strahl-Stromungsquerschnitt A = ih .v/c sich gewieder zusammengedruckt. Diese Folge von ma0 den durch die StoS-Verdichtung verkleinerten Strahlausweitung und Strahlverengung pflanzt v- und c-Werten anpaDt. Hinzu kommt, daD die sich unter erheblicher Gerauscherzeugung wellen- Vorgange nicht oder nur im Mittel stationar sind. formig fort. Dieser Vorgang entspricht dern bei Infolge geringer, immer vorhandener Storungen, falsch ausgelegter Mundung (Bild 5-13,b von Ab- z. B. Turbulenzschwankungen, wandert die StoBfront innerhalb des Dusenbereiches geringfugig schnitt 5.3.3.2.1). hin und her. Diese Erscheinungen wurden von Steigt dagegen der AuJendruck uber den richtigen STODOLA experimentell bestatigt. Wert, kann diese Drucksteigerung nur mit SchallFunf typische Falle von Stromungen in LAVALgeschwindigkeit vom Rand (Grenzschicht) des Dusen sind unterscheidbar. Zusammenfassend Strahles her in das mit ~berschall~eschwindi~keit sollen diese mit Hilfe von Bild 5-20 geschildert stromende Gas eindringen, da dort Geschwindigkeit von Unterschall herrscht. Das ~ b e r l a ~ e r nwerden. Davon sind eine ungestorte und infolge beider Geschwindigkeiten fuhrt zu Druckwellen, falschen Gegendruckes (paBt nicht zur LAVALdie mit schragen Fronten vom Dusenaustrittsrand Duse) vier sog. gestorte Stromungen. Oder bei Gasen T, naherungsweise aus

Ah,, = c,(T, - T,) mit Ah,, = cp& . Ah,,,, und Ah,,,, = w,, ,entsprechend G1. (5-36)und Ah,, nach G1. (5-55) wenn cp,, statt cp gesetzt wird.

beginnend in den Strahl eindringen, sich aufsteilen und sich letztlich vom Rand her zu einer gemeinsamen senkrechten Unstetigkeitsflache (Verdichtungsstol3) vereinen, die etwa stationar an der be-

Ungestorte Stromung (richtige Dusen-Auslegung). Subsonische Zustromung und supersonische Abstromung (gesunde Stromung).

bedeutet verpuffungsartig. Deflagration (lat.) . . . Verpuffung (langsam erfolgende Explosion).

Fall a: p,,, = p, < pkr (Kurve a) Der Gegendruck p,,, ist genau so groB wie der Austrittsdruck p , (Auslegungsdruck), fur den die

')

334

-

5 Stromun~enmit Dichteanderung (Gasdynamik)

-h

Strahl weitet sich aus (Strahlschwingung) -

P2.0

P2.u X C

Bild 5-20. Stromungsfalle a bis c bei LAVAL-Diisen entsprechend den Druckverlaufs-Kurven a bis e, mitp, = p , K . . . Grenzkuwe (empirisch). Bei p,,, > p, 2 p, senkrechter VerdichtungsstoB in der Diise (StoBfront senkrecht zur Stromung). Bei p, > p, > p,,, schwache schrage VerdichtungsstoBe auBerhalb, d. h. nach der Diise (StoBfronten schrag zur Stromungsrichtung gemah Bild 5-48). Bei p , = p , , , VENTURI-Stromung (Unterschall)gemaB Bild 3-34. LAVAL-Duseberechnet wurde. Er liegt daher auch unterhalb des kritischen Druckes p,,. Bei idealer Stromung wird im engsten Dusenquerschnitt die LAVAL-,d. h. die Schallgeschwindigkeit erreicht. Infolge Reibung bei der Stromung realer kompressibler Fluide stellt sich die Schallgeschwindigkeit jedoch erst in geringem Abstand hinter dem engsten Querschnitt ein. Die Austrittsgeschwindigkeit, die im ~berschallbereichliegt, ist entsprechend der weiteren Entspannung im divergenten Dusenteil bestimmt. Die Duse wird als angepaJt bezeichnet, arbeitet also einwandfrei; ergibt sog. gesunde Stromung. Das Gas verlaDt die Diise als uberschallschnelle Parallelstromung (Freistrahl). In Anlehnung an den Verlauf der Druckkurve a wird der Vorgang auch als asymmetrischer LAVALGrenzzustand bezeichnet.

Querschnittsverhaltnissen wird am Austritt wieder der Zustromdruck erreicht, also p, = p , . Dabei wird davon ausgegangen, daD Zustromung vorhanden ist, also Stromung infolge der vorhergehenden Ursachen (Druckabfall) besteht. Bei realer Stromung liegt p, infolge Fluidreibung dann jedoch immer unter p, . Der Druckverlust infolge Reibung betragt dabei Apv = p , -p2. Falls keine Anfangsstromung vorliegt, muB immer ein Druckgefdle p, -p, > 0 bestehen, wenn eine Durchstromung der Diise erfolgen soll.

Fall c: p, >p, >p,, und p, =p,,, (Kurve c), Grenzfall von Fallen b und d. Der Gegendruck p, hat eine solche GroDe p,,,, dalj bei den vorliegenden Diisenabmessungen im engsten Querschnitt gerade Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Im nachfolgenden Erweiterungsteil Gestiirte Stromungen (falsche Dusenauslegung, erfolgt jedoch wieder Verdichtung und damit Veroder falscher Gegendruck) -+ Duse nicht angepaljt. zogerung auf Unterschallgeschwindigkeit. Da im engsten Dusenquerschnitt der LAVAL-ZustanderAuch als ungestorte Stromung bezeichnet. reicht wird, ist der Mengenstrom wie bei Fall a. Fall b: p, 2 p 2 >pkr und p, >p,,, (Kurve b). Der Vorgang wird in Anlehnung an den Verlauf Die LAVAL-Diiseverhalt sich wie ein VENTURI- von Kurve c, d.h. vonp, iiberp,, nachp,,, ,auch als Rohr (Abschnitt 3.3.6.3.3). Die gesamte Dusen- symmetrischer LAVAL-Grenzzustandbezeichnet. stromung vollzieht sich im Unterschallbereich (subsonische Stromung). Der Gegendruck p, ist so Fall d: p,,, > p, >p,,, (Kurve d) grolj, dalj im engsten Querschnitt der Diise LAVAL- Bei dieser Lage des Gegendruckes ist isentrope Zustand und damit Schallgeschwindigkeit nicht er- Stromung auch bei idealem Gas nicht mehr mogreicht werden. Der konvergente Teil wirkt deshalb lich. Es treten VerdichtungsstoDe (Abschnitt 5.4.2) als Unterschalldiise, die Stromung wird beschleu- auf, die nicht mehr die Gesetze der isentropen nigt. Der anschlieDende divergente Teil wirkt als Stromung erfullen. Vor dem VerdichtungsstoR Unterschalldiffusor, der die Stromung wieder ver- (unstetige Verdichtung) herrscht ~berschallstrozogert. Bei idealer Stromung und entsprechenden mung, danach Unterschallstromung, weshalb

5 3 E~n&mens~onale kompress~bleStromungen (Stromfadentheone

335

Tran<,onik. L:s hzsteht And@ zur inkarnprc,,~. blcn Gcr~nncs~rumune. Dzr komnrcwblcn ilnrcrschallstrdmung entspricht das' inkompressible Stromen, der fiberschallstromung das SchieDen und der LAVAL-Geschwindigkeitdie Schwallgeschwindigkeit sowie der VerdichtungsstoD dem Wechselsprung (Abschnitt 4.1.3.3). Bei p,>p, (Abschnitt 5.3.3.2.3) ist keine LAVALDiise notwendig, ja sogar ungiinstig, sondern eine Miindung angehracht (Abschnitt 5.3.3.2). Infolge VerdichtungsstoD und groflerer Reibung (rpD,
Diise erfolgt nach Kurve a bis auf p,,.. Die Verdichtungsstofle bilden sich daher im Freistrahl, d.h. auBerhalb der Diise; meist ausgelost durch den Diisenrand (entsprechend Bild 5-43 und Bild 5-48). Es konnen auch sog. gegabelte VerdichtungsstoBe (Abschnitt 5.4.1) im Freistrahl auftreten. Der Gasstrahl ist dann gekennzeichnet durch scbwingungsartiges Verhalten. Die Nachverdichtung von p,,, auf den AuBendruck p, und damit der Gesamtvorgang im Freistrahl hat keinen Einflu6 (Riickwirkung) auf den Stromungsverlanf in der Diise, da Austritt mit fiberschall (Abschnitt 5.3.3.2.1). Die dabei auftretenden Stromungsverhaltnisse sind somit hDerst venvickelt. Abgesehen von Pulsationserscheinun~en.die bei Stromunw ablesungen auftreten konnen, bleiben bei k&stanten Ruhedruckverhaltnissen in der Zustromung die VerdichtungsstoDe ungefahr am Ort stehen. Andern sich dagegen die Rnhedrnckverhaltnisse, wie dies z. B. bei Biasern zur Gesteinsteilung der Fall ist, kiinnen die VerdichtungsstoDe 1. P2 ~ P K starker wandern. Diese Erscheinnng tritt auch bei Wie bei der ungestorten LAVAL-Diisenstromung Teillastbetrieb in Turbomaschinen und Ventilen nach Fall a setzt sich die Expansion im diverauf. Sie aubert sich durch Andern der akustischen genten Diisenbereich anfinglich weiter fort. Es Klaugfarbe. Damit verbunden sind intensive gitt ein zur Diisenachse senkrechter, unstetiger Schallerzeugung und hobe Verluste. Drucksprung auf, der so weit innen in der Diise lie& dafl bei der weiteren, nun stetig verlaufenden FUN e: p, ip,,. (Kurve e ) Verdichtung gerade der herrsehende Gegendruck Der Gegendruck p, ist kleiner als der Auslegungserreicht wird. Je gtoBer der Gegendruck p,, desto druck p,,, der L A V A L ~ UDie S ~Stromung . in der weiter nach inuen in Richtung auf die Stelle von Diise wird - wie in Fall d,2 - davon nicht beeinp,, zu (engster Querschnitt) verschiebt sich dabei fluDt, da der Druckabfall wieder nicht entgegen der senkrechte Verdichtungsstofl,bis sich dann bei dem mit ijberschall ausstromenden Fluidstrahl in p , =p,,, der Vorgang nach Fall c einstellt. Vor die Diise eindringen kanu. Die Stromung innerdiesem senkrechteu VerdichtungsstoD herrscht halb der LAVAL-Diiseverlauft deshalb wie in wieder ~berschall-und dahinter Unterschallstrii- Fall a. Sofort nach dem Diisenaustritt erfolgt jemung. Da in der ~herschallstromun~, wie schon doch plotzliche, unstetige Nachexpansion mit envahnt, jegliche Storungen wegen kleiner Druck- Strahlausbreitung, d. h. der Strahl platzt verpufanderungen mit der Stromung fortschwimmen, funasartig anf. Es kommt wieder zu der schon bebleibt die ~berschallstromnngim vorderen Dii- schhebenen periodischen Folge von Strahlausweisenbereich unbeeinfluBt. Aus diesem Grund ver- tuneeu und Strahleiuschniiruneeu (Druckschwm~ andert sich auch der Massenstrom m = m,., nicht, gung) mit starker Geriuschbildung entsprechend wenn der Gegendruckp, sich unterhalb der Ober- dem Vorgang bei iiherkritischer Miindungsstrogrenzep,,. audert, jedochuberp, bleibt. Wenn der mung gemin Bild 5-13, Teil b. Die Diise ist zu Gegendruck als Grenzfall exakt den Endwert pK kurz, bzw. das ijffn~n~sverhaltnis der Diisenerder Bereichsunterteilungskurve K annimmt, kann weiterung zu gering, d, h. der Austrittsquerschnitt gerade noch ein senkrechter VerdichtungsstoD am zu klein (nicht angepaat). Diisenende auftreten.

-

2. P, < P K Hier reicht der Gegendruck p, nicht mehr aus, einen senkrechten VerdichtungsstoD aufmbauen. Es bilden sich meist sog. schrage VerdichtungsstaDe (Abschnitt 5.4.2.2). Die Entspannung in der

-

5.3.3.3.8 Anwendung Der Auwendungsbereich der LAVAL-Duseist heute sehr breit. Er reicht vou niedrigen ~ b e r schallgeschwindigkeiten im Dampfturbinenbau iiber den Bereich mittlerer und hoherer fiber-

336

5 Stromunren mit Dichteanderunr (Gasdvnamik)

Tabelle 5-2. Verhaltnisse fur Luft in L~vA~-Diisen bei verschiedenen Ma2-Zahlen (nach Duse).

schallgeschwindigkeiten bei Raketenschubdusen und MACH-ZahlenMa, bis etwa 20 in der ~ b e r schallwindkanaltechnik. Die dabei auftretenden Querschnitts-, Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturverhaltnisse fiir Luftstromungen unter verschiedenen MACH-Zahlen gehen aus Tabelle 5-2 hervor. Praktische Ausfiihrung von LAVAL-Schubdusen bei Raketentriebwerken z. B. gemal3 Bild 5-21. Die stark ausgepragte LAVAL-Erweiterung des abgebildeten Einzel-Triebwerkesist deutlich sichtbar. Die Anfangsverengung (ZOELLY-Teil) der Duse liegt innerhalb des von Versorgungsgeraten umgebenen Zustrombereiches und ist deshalb nicht unmittelbar erkennbar, bzw. ist grorjteils weggenommen. Durch entsprechendes verstellbares Gestalten kann die LAVAL-Erweiterung- Winkel 6, gemaR Bild 5-19 - bei Triebwerken von Uberschall-Flugzeugen den wechselnden Verhaltnissen (Fluggeschwindigkeit, Umgebungsdruck) angepal3t werden (Bild 5-20). Wahrend sich Druck und Temperatur, also der thermische Zustand des Gases, fur niedrige Unterschallgeschwindigkeiten nur wenig andern, die Geschwindigkeit aber bereits einen erheblichen Teil der LAVAL-Geschwindigkeiterreicht, ist dies bei hohen MACH-Zahlengerade umgekehrt. Uber Ma, x 5 ist die Ausstromungsgeschwindigkeit der Grenzgeschwindigkeit (Abschnitt 5.3.3.3.3) schon sehr nahe gekommen, wahrend der Druck p, und die Temperatur T, am Austrittsquerschnitt noch zu grorjeren Tiefen absinken konnen. Dieser Bereich extremer Zustande wird, wie bereits erwahnt,

Bild 5-21. LAVAL-Duse(Erweiterungsteil) des Haupttriebwerkes der Weltraumrakete ARIANE 5, betrieben mit Arbeitsgas (Wasserdampf) hoher Temperatur aus der Verbrennung von flussigem Wasserstoff (Brennstoff) mit ebenfalls flussigem Sauerstoff (Oxidator) bei entsprechend hohem, fur die Diisen-Entspannung notwendigem Druck. Werte der LAVAL-Schubdiise: Anfangsdruck ca. 10 MPa, Verbrennungstemperatur ca. 3650 K, Schub ca. I MN, Brenndauer etwa 700 s, Massendurchsatz ca. 250 kg/s. Der Dusen-Verengungsteil ist durch die auDen angeordneten Geratschaften verdeckt bzw. weggelassen. Dieser ist dann oberhalb (Zustromseite) anzuordnen. Zum Erreichen des notwendigen Anfangsschubes beim Start der vollbeladenen Rakete, deren Masse iibenviegend aus Treibstoff und Oxidator besteht, dienen zudem zwei Feststoff-Triebwerke (Booster).

als Hyperschall bezeichnet. Das ~ n d e r n der MAc~-Zahlk t hier kaum mehr durch Erhohen der Ausstromgeschwindigkeit, sondern fast ausschlierjlich durch Absinken der Abstrom-Schallgeschwindigkeit a, bedingt.

Bemerkung: Bei starkem thermodynamisch realem Gasverhalten ist, wie erwahnt, der sog. Realgasfaktor Z in die Gleichungen einzufiihren, z.B. nach Tabelle 6-6 und [102]. Bei realen Dampfen wird wieder vorteilhaftenveise das zugehorige (h, s)- oder (h, 1ogp)-Diagramm verwendet gemarj Bild 6-48 und [103].

5.3 Eindimensionale komaressible Stromuneen (Stromfadentheoriel

337

5.3.4 Einstromungen (Verdichtungsstromungen) 5.3.4.1 Grundsatzliches Auch bei Verdichtungsstri5mungen ist zu unterscheiden zwischen solchen, die stattfinden - im Unterschallgebiet. Vor und nach der Verdichtung Ma < 1 - im ~berschall~ebiet. Vor und nach der Verdichtung Ma > 1 - im Transschallgebiet. ubergang von vor Ma > 1 auf nach Ma < 1 Die bereits behandelten Gesetze der Gasdynamik sind entsprechend anzuwenden. 5.3.4.2 Unterschalldiffusor Nach Abschnitt 5.3.3.2 sind zur Unterschallverdichtung (Verdichtung im Unterschallbereich) kompressibler Fluide divergente Kanale notwendig, entsprechend denen fur das Umsetzen von Stromungsenergie in Druckenergie bei volumenbestandigen Fluiden (Abschnitt 3.3.6.3.3). Die Vorgange in einem Unterschalldiffusor stellt Bild 5-22 in prinzipieller Form dar. 5.3.4.2.1 Ideale, d. h. isentrope Verdichtung

Austrittszustand (v,,,, T,,,): Spezifisches Volumen v,, ,: Aus Isentropengleichung p, . vr

. (PI/P~>~'" Temperatur T,, ,: Aus Gasgleichung p, .v,,, Tz,, = VZ,, .pz/R

. v;,, folgt: (5-137)

V,,S = 01

=R

. T,,, ergibt sich: (5-138)

Oder Gasgleichung in Isentropenbeziehung eingesetzt, fuhrt zu: p1 . (R . T,/p,)"

= p,

.(R . T,,,/p,)"

T2,, = TI . (p2/pl)("- l'ix

Hieraus: (5-139)

Austrittsquerschnitt A,, ,: Aus DurchfluBbedingung m = A,,, . c2,,/v2,,folgt: ALs =

Ausstromgeschwindigkeit c,, ,: Nach Energiesatz, G1. (5-32), gilt:

= p,

. % , s / ~ 2s ,

Oder aus Kontinuitat: Hieraus

Ah, aus (h, s)-Diagramm (Bild 5-22), oder ersatz-

5.3.4.2.2 Reale, d. h. polytrope Verdichtung: Diffusorwirkungsgrad, berucksichtigt StromungsVerluste (DF . . . Diffusor); auch als DiffusorVergleichs-Wirkungsgrad bezeichnet.

Der Diffusorwirkungsgrad q,,,, ist von Ausfuhrung (Form) und Qualitat (Rauhigkeit) des Diffusors abhangig, vor allem jedoch von der MACHZahl. Als BezugsgrijI3e wird dabei die MACH-Zahl der Zustromung gewahlt:

Bild 5-22. Unterschalldiffusor: Querschnitts-,Geschwindigkeits-, Druck- und thermischer Zustands-Verlauf 1-2,s isentrope, 1-2 polytrope Verdichtung (n > x ) .

Der Diffusorwirkungsgrad sinkt mit steigender MACH-Zahl, wobei immer Ma, < 1 bleibt, da Unterschall. Zahlenwerte fur q,, DF sind entweder aus der einschlagigen Fachliteratur zu entnehmen oder experimentell zu bestimmen.

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

338

Ausstriimgeschwindigkeit c, : Entsprechend c,, ,, GI. (5-1 35) aus Energiegleichung: 2 (h, - h,) = ,/(5-143) 1 Mit Ah = -.Ah, aus GI. (5-142) wird:

c2 = ,/c;

-

Yv. DF

Falls Polytropenexponent n bekannt oder zuverlassig schatzbar, kann auch verwendet werden:

Meist n x 1,5 bis 1,9 (~berisentrope)bei x = 1,4

Austrittszustand (v, , T,): Temperatur T,: Aus Diffusorwirkungsgrad Ah = A h , l ~ ~., Mit ,~ Enthalpie-Differenz Ah = c, .AT nach G1. (5-39) bei c, e konst, wird: c;

Da T,>T,,, und c, A

,,,.

Wie bei volumenbestandiger, darf auch bei kompressibler Stromung der Diffusoroffnungswinkel6, abhangig von der REYNOLDS-Zahl, einen kritischen Wert 6,, nicht uberschreiten, wenn Ablosungserscheinungen vermieden werden sollen. Stromungsablosung hat geringere Drucksteigerung und damit einen schlechteren Diffusorwirkungsgrad zur Folge. Bei Rex105 ist h k r x8 bis 10'. Mit wachsender REYNOLDS-Zahl sinkt 6,, , rnit abnehmender steigt er. Hinweis: Kritisch bedeutet hier Stromungsablosung gemaB Abschnitt 3.3.4 und nicht LAVALzustand.

Diffusor-Enveiterung: Vergleich von Unterschall-GasstrBmung mit Flussigkeitsstromung in Diffusoren: GemaD GI. (3-7) riz = Q .A . c = konst gilt nach G1. (3-10): de

-

1

AT=-.

Mit Gasgleichung

+ dA + dc = 0 -

-

A

c

Hieraus

c;AT,

e

(T,, ,- T,) Hieraus

Ausgewertet auk Flussigkeiten (Index F):

YV, DF

T2-TI=--.

1

VV, DF

1

T, = Tl + -. (T,,, - TI) oder

Q

x konst

-+

d~ = 0

dAF = - A .dc/c

YV,DF

Gase und Dampfe (Index G):

Q

9 konst

+ d~

=k 0

Mit T,,, nach GI. (5-139) folgt: Division beider Ausdriicke ergibt Flachenvergleichs-Verhaltnisf, kurz Flachenverhaltnis: ~ A G dclc + dele = f=-= ~ A F Oder mit Polytropenexponent n gemaB G1. (1-139) rnit Richtwerten wie zuvor, also n x 1,5 . . . 1,9 bei x = l,4: T2 = T, . (p2/pl)("- '1"

(5-147a)

Spezifisches Volumen v,:

+

-. de

e

dc

(5-150a)

Energiesatz G1. (5-48), d. h. (212) + h = konst, differenziert: c . dc + dh = 0 dh = - c . d c

Hieraus (5-150b)

Dazu folgt aus dem G ~ ~ s s s c h eSatz, n GI. (5-25a), dq = du + p . dv, zusammen mit der differentiellen Gasgleichung, d. h. G1. (5-27):

Aus Gasgleichung v, = R . T,/p,

Austrittsquerschnitt A, : Aus DurchfluBgleichung A, = m .v,/c2

dclc

(5-149)

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

339

Eingesetzt in GI. (5-25a) rnit du = c, . d T ergibt:

Da die Diffusorstromung ohne Warmeaustausch rnit der Umgebung erfolgen sol1 (adiabates System), gilt wieder bei idealer Stromung (reibungsfrei) und thermodynamisch idealem Gasverhalten (R = konst, x = konst): d. h. isentrop Dafur aus GI. (5-15Oc)

Bild 5-23. Diffusor-Langsschnitt mit Eintragungen. Bei Kreisquerschnitt y = r = 012.

Gleichgesetzt rnit Ausdruck von G1. (5-150b)

Bei Kreisquerschnitt mit G1. (5-150a und d):

Andererseits gilt nach der L ~ p ~ a c ~ - B e z i e h u n g fur die Schallgeschwindigkeit, GI. (1-21) bzw. G1. (5-2a): Hinweis: Vergleiche rnit P R A N D T L - Rnach ~ ~ ~GI. ~ (5-217). Infolge der Verdichtung des Gases (Dampfes) im Die beiden Ausdrucke fur d p gleichgesetzt: Diffusor nimmt der Volumenstrom v = n i / ~wegen Dichtesteigerung ab, so daB der Erweiterungswinkel gegenuber Flussigkeit bei gleichem DruckEingesetzt in die Beziehung fur das Flachenver- verhaltnis entsprechend verkleinert werden muB, haltnis f nach G1. (5-150a) rnit der ortlichen z. B. gemaI3 GI. (4-150e) bei Kreisquerschnitt. M ~ c ~ - Z aMa h l = c/a: Fur verschiedene Geschwindigkeiten c der Zustromung zum Diffusor ergibt sich z. B. bei Luft von 20 "C im Vergleich zu Flussigkeit rnit G1. (5-4) und den zugehorigen Werten aus Tabelle 6-20, wenn Kreisquerschnitt angewendet, nach GI. (5-150e):

Des weiteren ergibt sich mit Bild 5-23 fiir den Diffusor-Erweiterungswinkel 6: tan (6/2) = dy/dx und auch tan (6/2) = y/x Da der Offnungswinkel 6 in der Regel klein ist (meist 6 1loo),gilt in ausreichend guter Naherung tan (612) x arc (612) = 612. Dann wird:

sowie bei dem ublicherweise geraden Wandverlauf gemaI3 Bild 5-23:

Ergebnis: Verzogerungen von Gasstromungen erfordern bei nennenswerten MACH-Zahlen,bedingt durch die Dichtezunahme, wesentliche Verkleinerungen der Diffusorwinkel gegenuber denen bei Flussigkeiten.

340

5 Stromungen mit Dichteanderune. (Gasdvnamik)

5.3.4.3 ijberschalldiffusor UTberschalldiffmoren miissen It. Abschnitt 5.3.3.3.2 eine konvergente Kanalform aufweisen. Die MACHZahl mu6 dabei, wenn die meist stark verlustbehafteten VerdichtungsstoBe vermieden werden sollen, im ganzen Diffusor g r o k r als eins bleiben. Die Verdichtung darf deshalb hochstens bis zum kritischen Druck erfolgen, bei dem dann am Diffusorende gerade die ortliche Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Um VerdichtungsstoI3e sicher auszuschlieBen, sollte der Druck jedoch ausreichend weit vom kritischen Wert entfernt bleiben. Zudem sind Wandrauhigkeiten, von denen stoBauslosende Storungen ausgehen konnten, moglichst zu vermeiden. Die grundsatzlichen Verhaltnisse in Uberschalldiffusoren sind in Bild 5-24 dargestellt. Das Auslegen von ~berschalldiffusoren erfolgt nach den im vorhergehenden Abschnitt aufgefuhrten Gleichungen fiir Unterschalldiffusoren. Problematisch ist dabei wieder, den Diffusonvirkungsgrad oder Polytropenexponenten zu kennen, bnv. notigenfalls naherungsweise schatzen.

schwachen schriigen VerdichtungsstoBen deshalb wesentlich verlustbehafteter. Wenn eine Stromung von ~berschallin Unterschall verzogert werden soll, ist es daher zur Kleinhaltung der StoI3vesluste (Exergieverluste) sinnvoll, mehrere aufeinanderfolgende schwache schrage VerdichtungsstoBe evtl. mit abschlieBendem, moglichst leichtem senkrechten StoB zu bewirken, statt eines einzigen, starken senkrechten StoBes (Tabelle 5-4). Derartige Diffusoren, die dies verwirklichen, werden als Stofidiffusoren b e zeichnet. Schrage VerdichtungsstoDe werden, wie in Abschnitt 5.4.2.2 begriindet, durch Spitzen, Kanten und konkave Ecken ausgelost. Auch groBere Rauhigkeiten konnen diese Wirkung ausiiben. Der ubergang von ~berschall-auf Unterschallstromung ist z. B. bei der Lufteinfuhrung der Triebwerke von ~berschallflu~zeu~en zwangslaufig notwendig. Prinzipielle Darstellungen von StoDdiffusoren zeigen Bild 5-25 und Bild 5-26.

Senkrechte Stonfront

ljberschall [MOW)

I

- Unterschall ( M a < l )

~ c h a l l ' (Mu = 1)

Bild 5-25. StoBdiffusor fur Innenstromung mit X-St08 im ~berschallteil. Bild 5-24. Uberschalldiffusor: Querschnitts-, Druckund Geschwindigkeitsverlauf (iiberall c > a + Ma > 1).

5.3.4.4 Stofidiffusor

Der ubergang von Unterschall in ~berschallvollzieht sich bei der Expansionsstromung in LAvA~-Diisenstetig. Der umgekehrte Vorgang, die Verdichtungsstromung, verlauft dagegen praktisch immer unstetig. Der in der Nahe des Durchgangs durch die Schallgeschwindigkeit eigentlich immer auftretende Drucksprung (VerdichtungsstoB) ist irreversibel, d. h. mit Exergieverlusten behaftet. Je g r o k r der Drucksprung, desto hoher sind die auftretenden Verluste (Abschnitt 5.4). Diese steigen erfahrungsgemal3 etwa mit der 3. Potenz der GroBe des Drucksprunges. Die meist starken senkrechten VerdichtungsstoDe sind daher im Gegensatz zu den

Bild 5-26. StoBdiffusor fur AuBenstromung (Triebwerkseinlauf). A, B und C sind StoSfronten.

5.3 Eindimensionale kompressible Stromungen (Stromfadentheorie)

5.3.5 Transsonische Rohrstromung Ausgangspunkt fur Herleitung und Darstellung der Zusammenhange bei transsonischer Stromung in Rohren ist Beziehung (5-65), die alle Einflusse (Reibung, Tragheit) berucksichtigt:

Aus Schallgeschwindigkeit, G1. (1-21) bzw. (5-2a) a 2 = dp/de

-t

de = dp/a2

eingesetzt in Kontinuitatsbedingung G1. (3-10) bei A = konst (Rohr!): ergibt

Damit liefert vorhergehende Ausgangsbeziehung:

Gasgleichung p . v = R . T mit Beziehung (5-4) a 2 = x . R . T zusammengefaljt zu p .v

= a2/x

bzw.

Q

= l/v =p

. x/a2

und eingesetzt ergibt:

Diskussion: Ma < 1 (Unterschallstromung): dp negativ, d. h. infolge Reibung Druckabnahme in Stromungsrichtung. Als Folge Dichteabnahme (Gasgleichung!) und deshalb wegen Kontinuitatsbedingung Geschwindigkeitszunahme. Die sog. ortliche M ~ c ~ z asteigt h l daher und strebt gegen eins. Ma > 1(~berschallstromung):dp positiv. Das bedeutet, trotz Reibung Druckzunahme in Stromungsrichtung notwendig. Folge: Dichtezunahme und Geschwindigkeitsabfall, weshalb die mit dem Stromungsweg veranderliche, die ortliche

341

MAc~-Zahl(Abschnitt 5.2.1) fallt und somit gegen eins strebt. Ergebnis: In beiden Fallen (Ma < 1 und Ma > 1) strebt somit die ortliche M ~ c ~ - Z a gegen hl den Wert 1,O. Infolge der Reibung kann bei Rohrstromung konstanten Querschnitts daher die kritische Geschwindigkeit nach LAVALnicht stetig durchschritten werden, weder nach oben noch nach unten. Konsequenz: Bei entsprechender Druckdifferenz zwischen Rohranfang und -ende stellt sich bei Unterschallstromung am Rohrende stets gerade Ma = 1 ein. Der Druckabfall wird, wie Versuche bestatigen, dabei - gegensatzlich zur inkompressiblen Stromung nur zu einem geringen Teil zum ~berwindender Verluste benotigt. Der Hauptanteil dagegen ist zum Beschleunigen des Fluides notwendig. Bei ~berschallstromun~ in kurzem Rohr verlaljt das Medium das Rohr noch mit ~berschall. In einem langen Rohr dagegen, bei dem die Schallgeschwindigkeit schon vor dem Rohrende erreicht werden muBte, bildet sich ein solcher Verdichtungsstolj (senkrechter) soweit stromabwarts im Rohr aus, daB die danach vorhandene Unterschallstromung unter Beschleunigung und Reibung gerade die am Rohrende bestehenden Druckbedingungen verwirklicht. Der Verdichtungsstol3 wird dabei wieder ausgelost durch immer vorhandene Unregelmaljigkeiten und Storungen, wie z. B. Turbulenzen und Wandrauhigkeiten, Formabweichungen.

An einer Druckleitung, durch die Luft von 25°C mit 2,5 bar Uberdruck stromt, entsteht ein 2 cm2 groDes Leck. Gesucht: a) Stiindlicher Luftverlust b) Austrittsgeschwindigkeit der Luft c) Thermischer Zustand der austretenden Luft d) Leistungsverlust e) Jahrlicher Energieverlust f) Jahrliche Stromkosten bei einem Strompreis von insgesamt 0,2 DMJkWh und einem Gesamtwirkungsgrad der Drucklufterzeugungsanlage von 60%.

342

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

In einer gut abgerundeten Miindung von 2,5 cm Austrittsdurchmesser soll 1. HeiDluft 2. HeiDdampf von 24 bar ~ b e r d r u c kund 360°C Temperatur auf den LAVAL-Druckentspannt werden. Gesucht: a) Austrittsgeschwindigkeit b) AusflieDender Mengenstrom c) Dynamische Schubkraft (Strahlkraft) d) Gefalleverlust e) Umgesetztes Warmegefalle f) Wirkungsgrad g) Zustandswerte im Austrittsquerschnitt.

Unter Umgebungsdruck (1 bar) sublimiert Kohlendioxyd-Gas (CO,) bei -78,5 "C. Gesucht: a) Mindestdruck in einer C0,-Flasche bei 25"C, damit das ausstromende Gas gerade sublimiert, also vom gasformigen in den festen Zustand ubergeht. b) Dusen-Typ c) Austrittsgeschwindigkeit d) MAc~-Zahlder Austrittsstromung. Im Zuleitungsrohr, NW 50, zur Duse einer Luftdusche herrscht eine Stromungsgeschwindigkeit von 60 m/s bei 1,5 bar Absolutdruck und 25 "C Temperatur. Der Umgebungsdruck betragt 1 bar. Gesucht : a) Ausstromungs-Typ b) Ausstromgeschwindigkeit c) AusflieSender Mengenstrom d) Austrittszustand der Luft e) Austrittsdurchmesser f) Diisenlange bei Verengungswinkel 20". In der Duse mit quadratischem Querschnitt einer kleinen Turbine sollen 360 kg/h 1. Helium 2. Wasserdampf vom ~ b e r d r u c k24 bar und der Temperatur 420 "C auf den absoluten Gegendruck 1 bar expandieren. Gesucht: a) Erforderliche Dusenart b) Duseneinstrom-Abmessungen bei 20 m/s Zustromgeschwindigkeit c) Geschwindigkeit im engsten Dusen-Querschnitt

d) Abmessungen des engsten Querschnittes e) Austrittsgeschwindigkeit f) Gefalleverlust g) Abmessungen des Austrittsquerschnittes h) Dusenlange bei 45" Verengungswinkel und 15" Erweiterungswinkel i) M ~ c ~ - Z a am h l Dusenaustritt.

In einer LAvA~diise,deren engster Querschnitt 20 mm hoch und 30 mm breit ist, soll Luft von 20 bar und 25 "C auf 4 bar expandieren. Gesucht: a) Mengenstrom b) Austrittsgeschwindigkeit c) Gefalleverlust und Dusenwirkungsgrad d) Austrittsquerschnitt e) Austrittszustand der Luft.

Eine Stickstoffinnenstromung mit Ma = 0,95 soll bei einem Druck von 2 bar und einer Temperatur von 30 "C auf die Stromungsgeschwindigkeit 60 m/s verzogert werden. Dabei wird ein Wirkungsgrad von 85% erreicht. Gesucht: a) Flachenverhaltnis des erforderlichen Diffusors b) MACH-Zahlnach der Verzogerung. In einem Uberschalldiffusor, der zwei Rohre miteinander verbindet, sol1 stromender Wasserstoff bis auf den LAVAL-Punkt verzogert werden. Das Zustromrohr mit Innendurchmesser 100mm fuhrt den Wasserstoff bei Ma = 1,8 und Temperatur 40 "C sowie Absolutdruck 2,4 bar. Der Wirkungsgrad des Diffusors betrage 80 %. Gesucht: a) Massenstrom b) Endzustand des Fluides c) Endgeschwindigkeit d) Umgesetzte Energie und Leistung e) Gefalleverlust, Verlustleistung sowie die dadurch bedingte Temperaturerhohung f) Diffusoraustrittsdurchmesser g) Druckverlust gegenuber idealer Stromung h) Zustandswerte und Diffusorenquerschnitt bei idealer Stromung i) Darstellung der prinzipiellen Zustandsverlaufe im (h,s)-Diagramm j) Verhaltnis der Energieumsatze nach den Fragen d) und h).

5.4 GroDe Druckstorungen (StoB, Welle)

343

5.4 GroUe Druckstiirungen (StoU, Welle)

Neben den Schallwellen geringer Amplitude, die durch kleine Druckstorungen ausgelost werden (Abschnitt 5.2), gibt es, wie erwahnt, groI3e Druckstorungen, sog. StoDwellen oder VerdichtungsstoUe (Unstetigkeiten). Die kleinen Druckstorungen breiten sich, wie auseinandergesetzt, mit Schallgeschwindigkeit aus. VerdichtungsstoJe, die aus einem Drucksprung bestehen, pflanzen sich mit ~berschallgeschwindigkeit fort. Der Drucksprung ist ein auf einer Strecke von der GroBenordnung weniger freier Molekulweglangen - das sind einige tausendstel Millimeter zusammengedrangter Druckanstieg, dessen GroBe nicht mehr klein gegeniiber dem absoluten Druck des Gases ist. Eine Druckstorung aus urspriinglich stetigen Wellen grol3er Amplitude, die sich in ruhendem Gas mit ~berschallgeschwindi~keit fortpflanzt, geht schlieBlich in einen solchen VerdichtungsstoB uber. Dieses Phanomen wurde experimentell von E. SCHMIDTund W. LETTAUnachgewiesen. Die theoretische Begriindung liegt in der Tatsache, daB sich kleine Drucksteigerungen an Stellen hohen Druckes wegen der durch Kompression gesteigerten Temperatur rascher fortpflanzen als an Stellen niedrigen Druckes. Die Teile der Welle mit hoherem Druck holen daher die Teile niedrigeren Druckes ein, so daB schlieBlich die Vorderseite der Welle in eine steile Druckfront mit unstetigem Drucksprung ubergeht, wahrend gleichzeitig die Riickseite abflacht. Nach Herleitung von PRANDTList die ~ n d e r u nder ~ Stromungsgeschwindigkeit in einer Schallwelle gleich dem [2/(x - I)] -fachen Betrag der Schallgeschwindigkeit. Das ist bei zweiatomigen Gasen, z. B. Luft, funffach. Die Schallgeschwindigkeit andert sich dabei infolge der durch die Welle bedingten Zustandsanderung (p, T) des stromenden Gases (Ruckkopplungseffekt). Bei der Kompressionswelle, d. h. Verdichtungswelle, Bild 5-27, liegt demnach die Schallgeschwindigkeit in der Welle uber der vor der Welle. Deshalb ist auch die ortliche Stromungsgeschwindigkeit groBer, und zwar, wie zuvor begrundet, gemaB PRANDTLwesentlich. Die absolute Laufgeschwindigkeit jedes Wellenanteiles ist gleich der Summe aus der lokalen Schallgeschwindigkeit und der ortlichen Bewegungsgeschwindigkeit, wenn die Druckfront in ruhendes Gas hineinlauft. Die Stromung bewegt sich deshalb mit zunehmender Wellentiefe immer schneller. Dies fuhrt dazu. daD sich

Bild 5-27. Verdichtungswelle (nach PRANDTL [51]).

-

die Welle aufsteilt und schlieBlich zu dem beschriebenen senkrechten Sprung, dem Verdichtungsstoo, entartet. Lauft dagegen eine Expansionswelle, d. h. Verdiinnungswelle, in ruhendes Medium, stromt in der Welle das Gas in Gegenrichtung ab. Das bedeutet, das kompressible Fluid in Bild 5-28 flieBt nach links ab, in der nach rechts laufenden Verdunnungswelle. Weil die Schallgeschwindigkeitinfolge der mit der Expansion sinkenden Temperatur abnimmt und die Geschwindigkeit des nach riickwarts in die Verdunnungszone abstromenden Gases infolge Expansion immer groBer wird, laufen die Storungsteile hinter der Front um so langsamer, je kleiner der Druck wird. Eine solche Verdunnungswelle verflacht sich daher mit wachsender Laufzeit in zunehmendem MaBe. Dies ist beispielsweise in der Versuchstechnik beim StoBwellenrohr sehr bedeutungsvoll. Sich mit Uberschall ausbreitende Druckwellen konnen bei Innenstromungen (Rohre, Dusen, Dif-

Bild 5-28. Verdiinnungswelle (nach PRANDTL[51]).

344

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

fusoren), AuBenstromungen (Umstromung von Korpern + Geschosse, Flugzeuge) und sehr stark ausgepragt bei Explosionen sowie Detonationen auftreten. Beim Ausbreiten solcher iiberschallschneller Druckwellen entstehen je nach Form des Stromungsraumes und der Druckverhaltnisse VerdichtungsstoBe oder Verdiinnungswellen. Bei iiberschallschnellen Innenstromungen kann das Ausbilden eines VerdichtungsstoBes erzwungen werden, wenn die Stromung z. B. durch ein Ventil oder ahnliche Storung beeinflufit wird. Oft reichen aber auch schon geringe UnregelmaBigkeiten hierfiir aus, wie z. B. Turbulenzen oder Wandungenauigkeiten (Formstetigkeiten, Rauhigkeiten). Bei iiberschallschnellen AuDenstromungen dagegen erzwingt die Wirkung des Staubereiches (Staupunktstromung) den VerdichtungsstoB. Der VerdichtungsstoJ bleibt bei Innenstromungen, von geringen UnregelmaDigkeiten abgesehen, meist etwa an der Ausbildungsstelle stehen. Die Stromung ist deshalb quasi-stationar. Im Gegensatz hierzu kommen iiberschnelle AuDenstromungen fast immer durch Korper in der Atmospharenluft zustande, die mit mehr als Schallgeschwindigkeit fliegen. Der sich dabei ausbildende VerdichtungsstoB bewegt sich mit dem Flugkorper. Ein solcher VerdichtungsstoB, der mit ~ b e r schallgeschwindigkeit in das sich vor ihm befindende ruhende Gas eindringt, 1aBt sich jedoch im Relativsystem im ,,Ruhezustand" und damit als stationar betrachten. Das Relativsystem ist flugkorperfest (Abschnitt 4.1.6), d. h., es bewegt sich mit der Fluggeschwindigkeit mit. Das bedeutet, der Vorgang wird stationar gemacht, indem die gesamte betroffene Luftmenge relativ zum Korper - und damit zum StoB - mit Korperfortpflanzungsgeschwindigkeit stromend betrachtet wird. Solche stationaren VerdichtungsstoBewurden von A. STODOLA genauer behandelt, aufbauend auf einer alteren Arbeit von B. RIEMANN. Bevor auf die Huptgleichungen des Verdichtungsstol3es eingegangen wird, sollen noch einige Betrachtungen an verzogerten bzw. beschleunigten Gasstromungen in Rohren konstanten Querschnitts angestellt werden. Die Reibung kann hierbei naherungsweise vernachlassigt werden. Verweis auf Abschnitt 5.3.5. Verzogerte Stromung in einem solchen Rohr stellt sich ein, wenn dem Gas Warme entzogen wird. Eine beschleunigte Stromung ergibt sich bei Warmezufuhr. Diese kann von auBen oder durch die Fluidreibung (Abschnitt 5.3.2) aufgepragt werden.

Bild 5-29. Impulssatz, angewendet auf (beschleunigte) Rohrstromung bei vernachlassigter Reibung. Aus der Kontinuitatsbedingung, G1. (3-7), (5-151) folgt c/v = m/A = konst oder c = (m/A). v = konst . v m differenziert dc = - . dv (5-152) A Beim zylindrischen Rohr ist die Stromdichte m/A bei stationarer Stromung konstant. Den Impulssatz auf das in Bild 5-29 dargestellte Rohrelement angewendet ergibt: ZF,=O: i + ~ ~ , , - ( i + d i ) - ( ~ , , " + d F ~ , , ) = O

Mit sowie

i = m . c und i + d i = m ( c + d c ) F,, ,= p, . dA

und

Fp,,+ dF,,, = (p, wobei dp,= dp

+ dp,) .A da ,,DifferenzC'

wird

-m.dc-A.dp=O A Hieraus dc = - . dp m

GI. (5-151) eingesetzt und umgestellt, c . dc = - v . dp ergibt GI. (5-152) und (5-153) gleichgesetzt liefert :

2 = - konst dv Das bedeutet: Die Zustandsanderung bei beschleunigter oder verzogerter Rohrstromung konstanten Querschnitts verlauft mit gleichbleibender negativer Steigung. Dieser geradlinige Verlauf zeigt sich noch deutlicher, wenn G1. (5-157) integriert wird: Jdp = - konst .Jdv p = - konst . v

+ konst

5.4 GroRe Druckstorungen (StoR, Welle)

Bild 5-30. (p, v)-Diagramm rnit eingetragener Zustandsgeraden 1-2. P, Isothermenpunkt, P,Isentropenpunkt. ---- Isothermen (T= konst). ---- Isentropen (s = konst). Zustandsanderung gemaB Verlauf 1-2 beschleunigte Stromung (Warmezufuhr) 2-1 verzogerte Stromung (Warmeabfuhr) Eine solche Zustandsgerade ist, beginnend vom Anfangszustand p,, v, (Punkt 1) in das (p, v-Diagramm, Bild 5-30, eingetragen, das auch Isothermen T = konst und damit p . v = konst sowie Isentropen s = konst, also p . v" = konst, enthalt. Die in das (p, v)-Diagramm eingezeichnete Zustandsgerade 1-2 schneidet bei Wbmezufuhr von Punkt 1 aus beginnend bis zum ZsothermenTangentenpunkt P, Isothermen mit steigender Temperatur. Trotz weiterer Wbmezufuhr miiate, die Gerade uber P, hinaus verlangert, die Temperatur wieder abnehmen, wie dies die weiteren Isothermenschnittstellen forderten. Ahnlich widerspruchlich verhalt es sich mit der Entropie. Entsprechend den Isentropenkreuzungspunkten steigt die Entropie bis zum Zsentropen-Tangentenpunkt P, an, um anschlieoend wieder abzufallen, -0bwoh1 standig Warme zugefuhrt wird. Dieser, wie sich noch ergibt, scheinbare physikalische Widerspruch ist noch zu erlautern: Den im (p, 0)-Diagramm geradlinigen Zustandsverlauf 1-2 ins (T, s)-Diagramm eingetragen (hier nicht geradlinig) zeigt Bild 5-31. Eine weitere Erkenntnis liefert die Bestimmung der Stromungsgeschwindigkeit, die das Fluid an der zum Isentropenpunkt P, gehorenden Stromungsstelle erreicht. Hierfiur gilt die Bedingung: Steigung der Zustandslinie = Steigung der Isentropenkurve, da gemeinsame Tangente gem513 gerader Linie 1-2: Ausgewertet:

345

Bild5-31. (T,s)-Diagramm mit eingetragener Zustandslinie 1-2 nach Bild 5-30. \\\\\\\ Warmezufuhr bei Zustandsanderung ////////I Warmeabfuhr von 1 nach 2 bzw. 2 nach 1 . Zustandsanderung von 2 nach 1 mit VerdichtungsstoD. Dabei Entropiezunahme um As.

1

Zustandsgerade (Index z):

I!(

Nach GI. (5-156)

-

und mit G1. (5-151)

=-

($

Isentrope (Index s): p = konst . v e x

aus p . v x = konst

Differenziert :

($=

Gleichgesetzt

-

Hieraus

c= JX.~.V

-

Es handelt sich urn die Gleichung fur die Schallgeschwindigkeit. Das bedeutet: Im Isentropenpunkt wird gerade Schallgeschwindigkeit erreicht. In einer beschleunigten Rohrstromung miiI3te also bis Erreichen der Schallgeschwindigkeit Warme zugefuhrt und anschlieBend, um Uberschallgeschwindigkeit zu erreichen, wieder Warme entzogen werden. Dabei sinkt der Druck standig ab. Umgekehrt ware bei verzogerter Stromung im Uberschallgebiet die Zufuhr von Warme notwendig und nach Durchschreiten der Schallgeschwindigkeit zur weiteren Verzogerung im Unterschallbereich wieder Warmeabfuhr erforderlich. Wichtig sind bei verzogerten Stromungen die Punkte auf der Zustandsgeraden, fur welche die Warmezufuhr im ijberschall gerade so groS ist, wie die Warmeabfuhr im Unterschall. Eine solche

346

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Zustandsanderung, bei der Warme quasi intern ausgetauscht wird, kann auf sehr kurzem Weg geschehen. Die Zustandsanderung erfolgt, makroskopisch betrachtet, stoBartig. Dies ist eine andere Erklarung fur den VerdichtungsstoB. Beim VerdichtungsstoB bleibt deshalb die Temperatur der Ruhe T, und damit die Ruheenthalpie h, konstant. Die zugehorigen RuhezustandsgroBen T,, h, vor dern StoB sind daher so groB wie die des Fluidzustandes danach. Die RuhezustandsgroJen sind bekanntlich die Werte, die das Gas annimmt. wenn seine Stromungsenergie vollstandig in thermische, also Warmeenergie zuruckverwandelt wird. Der VerdichtungsstoJ ist somit ein Vorgang, bei dern eine plotzliche Anderung der Stromungsgeschwindigkeit und des thermodynamischen Gaszustandes in einer Zone, der StoJzone, auBerst geringer Tiefe erfolgt (einige freie Molekulweglangen) oder der - reibungs- und warmeleitfreie Stromung vorausgesetzt - unstetige ~ n d e r u n ~ eder n Stromungs- sowie ZustandsgroBen in einer Diskontinuitats-Flache, z. B. in der Kopfwelle eines iiberschallschnellen Korpers, beinhaltet. Das (T,s)-Diagramm, Bild 5-31, zeigt auBerdem: Die Gasteilchen erreichen wahrend der StoDverdichtung ein Entropiemaximum. - Bei der Verzogerungsstromung ist die Entropie nach dern DruckstoB immer groDer als zuvor. VerdichtungsstoDe sind deshalb irreversibel, d.h. mit Exergieverlust des stromenden Mediums verbunden. VerdunnungsstoDe als Umkehrung sind somit nicht moglich, da die Entropie abnehmen muBte. Auftretende Expansionen vollziehen sich daher stetig in sog. Verdiinnungswellen. -

Nach OSWATITSCH ist die theoretische Dicke 6 der StoDfront bei idealen Fluiden abhangig vom Drucksprung, dern Verhaltnis der Drucke nach und vor dern StoD:

Die hohen Drucksprunge sind jedoch, wie noch zu zeigen sein wird, nicht moglich und die bei realen Gasen zu beobachtenden StoDfronten wesentlich dicker. Sie konnen als kraftige Linien auf Schatten-, Schlieren- oder Interferenzbildern der Stromung sichtbar gemacht werden. GemaB PRANDTL sind der stromenden Gasmasse vor der StoBfront stets kleine Wirbel uberlagert. Die Bedingung zum stol3artigen Verdichten wird dadurch fur die einzelnen Fluidteilchen nicht in der gleichen Ebene er-

fullt. Daher ist die StoDflache meist ziemlich stark zerfasert. Dies ist bei genauer Beobachtung an fortwahrendem leichtem Flattern zu erkennen. Zwei sich kreuzende VerdichtungsstoDfrontenvon nicht zu hoher Intensitat durchdringen einander ohne wesentliche gegenseitige Storung. Bei VerdichtungsstoDen groDerer Intensitat (Drucksprunge) kommt es vor, daB sich im Durchdringungsbereich die beiden StoDfronten in einem gewissen Gebiet zu einer einzigen vereinigen, die sich an beiden AuBenseiten wieder gabelt. Es kann sich somit beim Zusammentreffen zweier starker StoBe ein sog. GabelungsstoD ausbilden. Der Gesamtdruckverlust durch einen Verdichtungsstolj ist, wie die Erfahrung bestatigt, etwa proportional der dritten Potenz des Drucksprunges. Hinter einem einzigen St00 ergibt sich deshalb ein groDerer Exergieverlust und damit eine hohere Temperatur als hinter einer Kombination mehrerer StoDe von gleichem gesamten Drucksprung. Das Aufteilen einer notwendigen Druckerhohung bzw. Geschwindigkeitsreduktion von ~ b e r -in Unterschall auf mehrere schwache StoBe ist daher gegenuber einem einzigen starken StoD immer sinnvoll (Bild 5-26). Infolge der geringeren Verluste ist deshalb auch das erreichbare Druckverhaltnis groDer (Tabelle 5-4). Festzuhalten ist noch, da13 die Vorgange beim VerdichtungsstoB dern Wassersprung bei offenen Gerinnestromungen entsprechen. Es besteht weitgehende Analogie zwischen der kompressiblen Rohrstromung und der inkompressiblen Rinnenstromung (Abschnitt 4.1.3). In Tabelle 5-3 sind die analogen Begriffe einander gegeniibergestellt. Beim theoretischen Vergleich zwischen Flachwasser- und Gasstromung ware die Wasserstromung Tabelle 5-3. Analogie zwischen kompressibler Rohrstromung und (inkompressibler) Rinnenstromung. Kompressible Rohrstromung

Inkompressible Rinnenstromung

Unterschallstromung Uberschallstromung Schallgeschwindigkeit Schallwellen StoRwellen VerdichtungsstoR

Stromen SchieRen Schwallgeschwindigkeit Wellen (Wasserwellen) -

Wechselsprung (Wassersprung) FROUDE-Zahl

347

5.4 GroRe Druckstorungen (StoR, Welle)

durch die Stromung eines hypothetischen Gases mit dem Isentropenexponenten x = 1,O ersetzbar: Flussigkeit (GI. 4-104): c,, Gas (Gl. 5-5):

=

Jgh =

a =Jx.p/e

Vorbemerkung: Bei Verdichtungsstoljen, auch als Schockwellen bezeichnet, ist, wie erwahnt, die StoBfront von der Dicke einiger freier mittlerer Weglangen der Fluidteilchen, also im Bereich von Mikrometer und kleiner, innerhalb der sich die stromungstechnischen und thermodynamischen Groljen andern. Der &ergang erfolgt somit theoretisch stetig (mikroskopisch), praktisch jedoch unstetig (Diskontinuitat), also makroskopisch sprungartig. Verdichtungsstofie sind stets mit Entropiezunahme verbunden, bewirkt durch die infolge Dissipation verlorengehende mechanische Energie (Exergieverlust), ausgedriickt als Druckverlust. Verdichtungsstolje sind somit dissipative Vorgange. Zu ihrem Auslosen reichen kleinste Storungen im Stromungsverlauf. Solche Storungen sind z. B. geringfiigige Druck- und Geschwindigkeitsschwankungen (Turbulenzen) und Wandrauhigkeiten, die praktisch immer vorhanden. Verdichtungsstolje treten bei supersonischen Stromungen sehr haufig auf. 5.4.2.1 Senkrechter VerdichtungsstoD Die sich beim senkrechen Verdichtungsstolj ausbildende Druckfront verlauft normal zur Stromungsrichtung. 5.4.2.1.1 Hauptgleichungen Die Hauptgleichungen des senkrechten Verdichtungsstoljes ergeben sich aus den Grundgleichungen der Stromungsmechanik (Kontinuitats-, Energie- und Impulssatz). Diese Erhaltungssatze werden auf einen schmalen, die Stofifront (Stoljflache) umschlieflenden adiabaten Kontrollraurn, Bild 5-32, angewendet. Dabei sind die Reibungseinfliisse an der Stromrohrenwand als klein vernachlbsigbar.

A, Mit

v

=A,

c1/v1 = ~ folgt:

= I/Q

ergibt sich

I

~ t o ~ f r o n t l

\

I

Kontrollraum KR

Bild 5-32. Senkrechter VerdichtungsstoB. Zustandsanderungen qualitativ eingetragen. Ma, > 1; Ma, i1. GemaR G1. (5-5) a, >a,, da auch T, > T I .

EEQ-Q:

4 c2 +2 h , = L 2+ h

und

Fp,

,- h

,= pii .A = (p

-

-

(da cR= 0) (5-161)

p,) .A

c cL wird A , ~ s ( ~ , - ~ , )-AZ A ~ 2 - ( ~ 2 - ~ b ) ~ o2 = vz

01

Hieraus

p, -p,

oder mit v,

= o,

c;

c;

= --

-

v2

01

,

(5-162)

cz/c, aus G1. (5-159)

In diesen Beziehungen sind die Enthalpien h, und h, keine unabhangigen Veranderlichen, da sie sich mit Hilfe der J o u ~ ~ s c h eZustandsgleichungen n h = h(p,v) oder des M o ~ ~ r ~ ~ - D i a g r a m (h,ms-s Diagrammes) auf p und v zuruckfuhren lassen. Beziehung (5-163) enthalt keine Lange fur den Stromungsweg, auf welchem der Umsatz von ,,Geschwindigkeit in Druck" erfolgen mulj. Neben dem trivialen Ablauf bei endlich groljer Weglange (normale Stromung) ist somit auch der Fall der Sprungfunktion, also theoretisch unendlich kleiner Weglange (Verdichtungsstolj), moglich.

2 1 ~ 2

Die drei Grundgleichungen, G1. (5-159), (5-161), (5-163),enthalten die sechs Variablen p , ,v, ,c, und p,, v,, c,, so daB, falls drei davon bekannt sind, die

348

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

anderen drei berechnet werden konnen. In der Regel sind die ZustromgroRen p,, v,, c, bekannt und die AbstromgroRen p,, v,, c2 gesucht.

5.4.2.1.3 Geschwindigkeiten Mit dem Druck aus der Gasgleichung

5.4.2.1.2 Zustandsfunktionen Die Abstromgeschwindigkeit c, aus der Kontinuitatsbedingung, GI. (5-159), ausgerechnet und in die Energiegleichung, GI. (5-161), eingesetzt, ergibt:

und der Dichte Q, aus der Kontinuitatsbedingung, GI. (5-160), erhalt der Impulssatz, GI. (5-162), die Form: - @ l . -c1. c ; - Q l ~ c : Q , . R . T , - Q ~ .c1- . R . T 2 c2 c2

.(-) .

1 c, Hieraus h, = hR - a: 2 v, Dies ist eine quadratische Gleichung der Form

~,=A-B.v; mit Konstanten A

= h.;

(-1

1 c, B =- . 2 01

Die Enthalpie-Definition dh = c, . d T bzw. bei Integration mit dem Bezugs-, d.h. Nullpunkt h, = 0 bei To= 0 als Randbedingung ergibt h = c, .7: Damit geht die Energiegleichung, GI. (5-161), iiber in die Form:

Hieraus folgt die zu jedem v, ein h, liefert und in einem (h,s)-Diagramm mit eingezeichneten Isochoren durch die Verbindung der Schnittpunkte zusammengehorender v,- und h,-Linien als Kurve darstellbar ist. Die sich ergebende Kurve wird als FANNO-Kurve G1. (5-167) in G1. (5-166) eingesetzt, ergibt: bezeichnet. Die FANNO-Liniebeschreibt den Zustandsver$$ lauf einer stationaren kompressiblen Stromung @ (riz = konst) in einem adiabaten, d. h. wlrme% dichten, zylindrischen Rohr. Wird aus GI. (5-159) Geschwindigkeit c2eliminiert und in GI. (5-163) eingesetzt, ergibt sich in ahnlicher Weise eine Beziehung zwischen p2 und v2:

Mit TI aus der Beziehung der Schallgeschwindig-

4 kann weiter umgeformt werden: keit T - ' - x . ~

Hieraus cp c , . c, Die Geraden dieser linearen Funktion der Form p2=a-b.v2 rnit Konstanten

a = p, + cf/vl b =(~Ilvl)~

2

Mit Ma, = cJa, und R

= c,

1 1 x Ma:

1 c:-c; c,-c, 2

c -c c,

Mit (c, - c,)/c,

-

c,

c, wird: -

= 1 - 11%= (x - I)/% folgt

L ~ ~ ~ ~ ~ und sind werden als R A Y L E I G H - bezeichnet identisch mit den Zustandsgeraden nach GI. (5-158).

Aus den Schnittpunkten der FANNO-Kurve rnit der entsprechenden & ~ ~ ~ r ~ ~ - G e rim a d(h,e s)-Dian gramm ergibt sich das Endergebnis p,; h2;s2 der Zustandsgleichungen fiir den betreffenden Stromungsfall.

2 Cl Ma: c,

(::

--I

+ --I

)(

)'(<+l).(x-l)

c,-c, C1

weiter :

5.4 Grorje Druckstorungen (StoB, Welle)

349

erhalt die Energiegleichung, GI. (5-161), die Form:

Mit

=

2.I;([

-

I]

=

2C .

- 1) .

(c +

1) folgt

Wieder v, c: x -+--.PI. 2 x-I

= v,.

c2/cl, G1. (5-159), eingesetzt: v,

c; 2

x

= - +----.

x-1

P2

'

c2 c1

01 ' -

p2 mit Hilfe G1. (5-163) eliminiert:

Des weiteren diese Beziehung mit (- cl/c2) multipliziert, ergibt schlieSlich: Diese Gleichung kann weiter umgeformt werden: Es gibt hierfur zwei grundsatzliche Losungen: 1. Losung: c, = c, + ((c,/c,) - I) = 0 Im betrachteten Gebiet tritt also kein Verdichtungsstol3 auf.

+

2. Losung: c, c, + ((c,/c,) - I) =# 0 Ein VerdichtungsstoD ist vorhanden. Es gilt dann:

Die Gleichungen geben jedoch keine Auskunft dariiber, ob sich ein VerdichtungsstoDtatsachlich ausbildet oder nicht. Dies hangt von den Randbedingungen des jeweiligen Stromungsproblems ab, Abschnitt 5.4.1. VerdichtungsstoDe treten jedoch praktisch immer auf, da sie, wie erwahnt, schon durch kleinste innere und/oder auDere Storungen/ UnregelmaSigkeiten, die stets vorhanden sind, ausgelost werden. Innere UnregelmaSigkeiten sind Turbulenzen und Wirbel. AuDere Storungen sind Stolperstellen (Rauhigkeiten, Spitzen, Unstetigkeiten) und Schwingungen.

Mit der Enthalpie h, der Ruhe (bei c, = 0) und p, . v, = R . TI nach G1. (5-170a) und (5-161),

G1. (5-169) umgeformt ergibt fiir die Abstromgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit nach dem VerdichtungsstoB, die Beziehung: -

Folgende andere Umformung der Grundgleichungen fuhrt zu einer weiteren wichtigen Aussage iiber den Zusammenhang der Geschwindigkeiten vor und nach der StoBfront: Mit der Enthalpiebeziehung, G1. (5-41),

auch als Kesselenthalpie bezeichnet - folgt aus

Diese Beziehung la& sich des weiteren mit der zum Ruhezustand (p,, v,, c, = 0) gehorenden LAVALGeschwindigkeit entsprechend G1. (5-97)

350

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

nach den Zwischenumformungen

5.4.2.1.5 Spezifische Volumen Nach Kontinuitat, G1. (5-159), gilt: v2/v1 = ~ 2 1 ~ 1 Mit GI. (5-170) ergibt sich:

auch ausdriicken: h,

x+l c2,

.

=- -

x-1 2 Aus Gleichsetzen der beiden h,Beziehungen folgt: c l ScZ = ci (5-177)

Das Produkt der Stromungsgeschwindigkeit vor und hinter einem stationaren VerdichtungsstoR ist demnach gleich dem Quadrat der LAVAL-Geschwindigkeit, d. h. Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt einer LAVAL-Duse,mit deren Hilfe vom Ruhezustand ausgehend die zugehorige ~berschall~eschwindi~keit c, vor dem Verdichtungsstorj erzeugt werden konnte. Die Gleichung bestatigt auch, daB der senkrechte Verdichtungsst013 immer einen Ubergang der Stromungsgeschwindigkeiten von ~ b e r s c h a lin l Unterschall bewirkt: Da c, > c,, mu6 c, = cE/c, < c, werden. 5.4.2.1.4 Driicke Aus der Impulsgleichung, GI. (5-163):

Ergebnis: v, < v, (Verdichtung) 5.4.2.1.6 Temperaturen T =P.V2 Nach Gasgleichung gilt: 2 Tl P I . V l Mit der Kontinuitatsbedingung, GI. (5-159),wird:

c,

T2 P2 , TI P l Cl GI. (5-170) und (5-179) eingesetzt, ergibt:

oder

Ergebnis: T, > T, da M a , > 1

= d G

Mit der Schallgeschwindigkeit a , und der M ~ c ~ - Z aM h al , = cl/al vom Zustromzustand wird : Mit v,

=v,

. c2/c, nach GI. (5-159)wird:

cz ' c1 MU: = --------x ' P 2 ' v1 Erweitert ergibt:

G1. (5-170) eingefuhrt, liefert:

Wieder mit den G1. (5-170) und (5-179): 2.x P1

x +1

(Ma: - I ) > 1 oder

Ergebnis: p, > p, da M a , > 1

(5-179) Ma:

= Ma:

.

-. 1 x+l

+

( x - 1 2/Ma:)

2.x I+-----. (Ma: - 1) x+1

5.4 GroBe Drucksti5rungen (StoR, Welle)

Ergibt letztlich: ( x - 1 ) . Ma: + 2 < Ma: Ma: = (5-185) 2.x*Ma:-(x-l) Ergebnis: Ma2 < Ma, da Nenner > Zahler 5.4.2.1.8 Entropie-Zunahme AS = s2 - s, Ausgehend von der Entropie-Definition ds = dq/T und dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik

351

Entsprechend c, nach der Kontinuitat ersetzt: c;

el . p2---PI e2 e2 -el

=-

Diese Beziehungen in die Energiegleichung, G1. (5-171), eingesetzt, fiihren zum Zusammenhang der Dichte- Druck- Verhaltnisse:

Umgeformt : l.p2-p1

I

dq=du+p.dv=dh-v.dp=c,.dT-v.dp

-

1

e

h-p, e,)

R. T dq = c, . dT - ---- . dp ergibt sich P

Integriert zwischen den Zustanden 1 und 2, d. h. vor und nach dem VerdichtungsstoD:

Mit

R

-=

c,-cV

x-I

--

-

c,/c"

C,

wird

x Oder explizit nach dem Dichteverhaltnis aufgelost:

Mit

7, = Tl

Pl . V l

und

C

cv = 2 ergibt sich x

und damit

Ergebnis: As > 0 (irreversibel) 5.4.2.1.9 Zusammenhang Druck-Dichte Aus der Impulsgleichung, G1. (5-162), ergeben sich mit der Kontinuitat, G1. (5-160), folgende Zusammenhange:

Hieraus c:

e2 . PZ - PI el e2 -el

=- -

Die Gleichungen zwischen den ZustandsgroDen ( p , ~ )vor und hinter der StoBfront werden als RANKINE-HUGONIOT-Beziehungen bezeichnet. Ihr Graph im (e2/el; p2/pl)-Diagramm, Bild 5-33, wird als RANKINE-HUGONIOT-Knwe oder kurz als HUGONIOT-Kurve,jedoch auch als dynamische Adiabate bezeichnet, da warmedicht, jedoch verlustbehaftet. Wie aus Bild 5-33 zu entnehmen ist, nahert sich das Dichteverhaltnis e2/elmit wachsendem Druckverhaltnis p2/pl asymptotisch einem Grenzwert. Dieser ergibt sich durch Limes-Bildung:

352

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

5.4.2.1.10 Exergieverlust Der Exergieverlust Ahv , d. h. der spezifische Verlust an mechanischer Energie (spezifische Verlustenergie) beim VerdichtungsstoB folgt aus dem (h, s)-Diagramm, Bild 5-34, fiir die Zustandsanderung gemaD Linie 1-2

Die Temperatur T3,sfolgt aus der Isentropengleichung, wobei p,,, = p2: x-1

T , , = Tl . ( P ~ , ~ / P=.Tl) ~. (p2hJT

Damit ergibt sich der Exergieverlust Ah, zu: Bild 5-33. H u c o ~ 1 o ~ - K u r vund e Isentrope fiir Luft ( x = 1,4).

Beim senkrechten VerdichtungsstoB kann das Fluid demnach nur bis zu einem begrenzten Dichteverhaltnis komprimiert werden. Fur Luft beispielsweise betragt das maximale Verdichtungsverhaltnis (Q~/Q~),,, = 6,O. Das bedeutet: Durch einen VerdichtungsstoB kann, gleichgiiltig wie groB der Drucksprung auch sein moge, die Dichte des Mediums hochstens bis auf das 6-fache erhoht werden. Der ,,RestG'geht durch Dissipation verloren; es ergibt sich eine entsprechende Temperaturerhohung. Bild 5-33 zeigt auBerdem, daB bei schwacher Verdichtung die Ergebnisse der stetig (isentrop) und unstetig (anisentrop, d. h. mit VerdichtungsstoB) verlaufenden Kompressionsstromung weitgehend ubereinstimmen. Die Exergie- und damit Druckverluste bei kleinen VerdichtungsstoBen sind somit gering. Deshalb konnen Gasstromungen mit VerdichtungsstoBen naherungsweise noch als isentrop angesehen werden, solange die StoBe nicht zu stark sind, und zwar bis etwa p,/p, 5 3 (Bild 5-33). Diese Tatsache wird beim StoBdiffusor (Abschnitt 5.3.4.4) zur Druckumsetzung vorteilhaft genutzt. Dabei ist auBerdem zu bedenken, daB auch normale Diffusoren infolge Wandreibung nicht verlustfrei arbeiten. Ihre Verluste konnen im Bereich geringen ~berschalls(1 < Ma 5 2) groBer sein, als die des StoBdiffusors.Bei hoheren MACH-Zahlenjedoch wird die Verdichtung durch senkrechten StoB wegen starker Verluste immer ungunstiger. In diesen Fallen sollte wegen geringerer Verluste versucht werden, schrage VerdichtungsstoBe zu bewirken (Abschnitte 5.3.4.4 und 5.4.2.2).

Diese Gleichung wird mit der Temperatur T, aus der Beziehung (5-184) und dem Druck p, nach G1. (5-180) ausgewertet.

Bild 5-34. VerdichtungsstoB im MOLLIER-Diagramm. Ergibt Zustandsanderung von ( p , ; Ti)auf (p,; T,). Irreversibel, da As z 0.

5.4.2.1.11 Vergleichs-Wirkungsgrad Der Vergleichs-Wirkungsgrad yv der Energieumsetzung kann aus dem Verhaltnis der bei isentroper Verdichtung umgesetzten Enthalpie Ah, zur tatsachlichen Ah, Bild 5-34, gebildet werden: Ah, yv=-= Ah

Ah

Ahv = I - - Ahv Ah Ah

-

5.4 GroDe Druckstorungen (StoD, Welle) Der Vergleichs-Wirkungsgrad qv, der die StoBverluste kennzeichnet, ist mit Ahv gemaD GI. (5-191) und T, aus Beziehung (5- 184) berechenbar.

353

Korperhinterkante aus, von der sie infolge Druckstorung verursacht wird.

Auch ist beim schragen VerdichtungsstoB der Drucksprung kleiner als beim senkrechten Druck5.4.2.2 Schrager VerdichtungsstoR ston. Trotzdem ist die Druckstorung in der Regel AuBer den senkrechten bilden sich unter entsprewesentlich groDer als bei der normalen Schallauschenden Voraussetzungen sog. schrage oder schiefe breitung. Deshalb ist die Schraglage der DruckVerdichtungsstoJe. front zur Anstromrichtung, Winkel a, in Bild 5-35, Beim schragen VerdichtungsstoB verlauft die nicht identisch mit dem MAcHschen Winkel geFront des Drucksprunges nicht normal, sondern ma13 Bild 5-2, Abschnitt 5.2.2. unter einem bestimmten Winkel (<90") zur Ge- Vorstellbar ist, daB der schrage VerdichtungsstoB schwindigkeit. Je nach den vorliegenden Verhalt- dadurch erzeugt wird, indem einer Stromung mit nissen wird dabei hinter der StoBfront Unter- schwachem senkrechtem VerdichtungsstoD ein schallstrbmung erreicht, oder es verbleibt ~ b e r - zweites Stromungsfeld konstanter Geschwindigkeit schallstromung, allerdings von geringerer MACH- parallel zur StoDfront (c, = konst -+ c,,, = c,,,) Zahl als vor dem StoB. uberlagert wird (Bild 5-35). Das entspricht der BeInsgesamt verandert beim schragen Verdichtungs- trachtung im relativen Bezugssystem (Bild 5-36), stoB die Stromungsgeschwindigkeit theoretisch in dem der schrage VerdichtungsstoB einen statiosprunghaft sowohl ihren Betrag als auch ihre naren Charakter erhalt. Diese StromungsaufteiRichtung. Tatsachlich geschieht die ~ n d e r u n g lung in Geschwindigkeiten normal und tangential wieder auf kleiner Wegstrecke (einige freie Teil- zur StoBfront ergibt eine Erweiterung der einchenweglangen) stetig. Beim senkrechten StoB da- dimensionalen Verdichtungsstromung auf statiogegen erfolgt nur eine Betrags-, jedoch keine Rich- nare zweidimensionale. Dadurch wird zwar die tungsanderung der Geschwindigkeit und es wird kinematische Betrachtung der Stromung veranimmer Unterschall erreicht. Diese Unterschiede dert, die Beziehungen fur Vektor Geschwindigkeit, sind wesentlich. Schrage VerdichtungsstoDe ent- Skalare, Druck, Dichte sowie Temperatur vor und stehen z. B., wenn eine uberschallschnelle Relativ- hinter dem StoB bleiben jedoch unbeeinfluBt. stromung abgelenkt wird: Im StoB wird nur die zur Front senkrechte Kom- bei der Umstromung mit ~berschallfliegender ponente der Stromungsgeschwindigkeit plotzlich Korper, z. B. Geschosse, ~berschallflu~zeu~e.verringert, wahrend die tangentiale unbeeinfluBt Ausgangspunkt der StoBfront ist die Auftreff- bleibt. Deshalb werden die Stromlinien um den stelle des Gases auf den Korper, Winkel 6 zur StoBfront hin abgelenkt, Bild 5-35. - wenn ~berschall-~arallelstr6mun~en kompressibler Fluide abgelenkt werden, z. B. durch kon- Anstrom-MACH-Zahlbeim schiefen Stoa: kav eingeknickte Wande, Bild 5-35. Dabei geht - cL = .1 C " " die StoBfront von der stumpfen Ecke oder einer Ma 1 (5-193) a, sina, a,

Bild 5-35. Schrager VerdichtungsstoD in iiberschallschneller Translationsstromung. Ma, > 1; Ma, 2 1, aber immer Ma, < Ma,. Stromlinienablenkung urn Winkel S gemal3 konkavem Wandknick.

Dagegen ist die Anstrom-MACH-Zahlbeim senkrechten VerdichtungsstoB: c M~1 -'=C'" (c,,, = c,, da hier a, = 90") a1 a1 Wie geschildert, werden nur die zur Druckfront normal verlaufenden Geschwindigkeits-Komponenten durch den St06 beeinflu&. Daher lassen sich die Gleichungen des senkrechten VerdichtungsstoDes (Abschnitt 5.4.2.1) umschreiben, indem ersetzt werden: Ma, durch M a , . sina, Ma, durch Ma, . sina, = Ma, . sin (a, -6) durch c,,, = c, . sina, c, durch c,,. = c, . sina, = c, . sin(a,-6) c,

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

354

Damit verallgemeinern sich:

Mit den GroBen von Bild 5-36 ergeben:

a) Geschwindigkeitsbeziehung nach GI. (5-170): C2, n 1

)

1 x+l

(5-194)

Ma: . sin2al

Hieraus rnit A, = A, gemaR KR:

Oder mit c,, ,= c,,, . tana, und c2,,=c,,;tana2=c2,;tan(a1-6): tan(a,-) tana,

1 x +I

Ma: . sin2a,)

(5-195)

ZF,=O:

Woraus nach einigen Umformungen folgt: 2 Ma: . sin2a, - I tan6=-. tana, (x + 2 . cos 2 a J . Maf

+2

Ausgewertet:

(5-196)

. cl,, -pi,,. A, + m Z . CZ,, +pz,,. A ,

-ml

-el

-(jl,n+~pl,(l)+(i2,n+~pl,ii)=0

.A1 .c:,,-p,,,.~,

+~z.A2~c$,n+p2,,~~2=~

Aus dieser Gleichung kann, wenn auch aufwendig, der Winkel a, zwischen Zustromrichtung und StoRfront berechnet werden.

Mit p, = p -p,

b) Beziehung der MACH-Zahlennach GI. (5-185):

el .C?,,+PI = @ z . c Z , ~ + P Z

@ l ' c i , n + ~ ~ , a = @ z ' c $ , n + ~ z , a daAi=Az

P1 -Pz

Die Zusammenhange beim schragen VerdichtungsstoD lassen sich ebenfalls rnit Impuls- und Energiesatz herleiten. Das sol1 - als Beispiel betrachtet - durchgefuhrt werden. Der ~bersichtlichkeitwegen sind einfachheitshalber in Bild 5-36 die Normal- und Tangentialkomponenten der Geschwindigkeit (c,; c,) an Stellen und nicht eingetragen. Es gelten: =c

. sina

C, = C

. cos a

C,

jeweils an Stellen

und

=O

= c:,./v,

und

Q =l/v

folgt: Hieraus

- cl,,lv,

Der Vergleich mit G1. (5-162) bestatigt die Zulassigkeit des Verwendens der Beziehungen des senkrechten VerdichtungsstoDes bei Ersetzen der Resultierenden der Stromungsgeschwindigkeit c durch deren zugehorige Normalkomponente c,; je an Stellen 1 und 2, d. h. also Anfugen von Zweitindex n -t c,,, statt c, sowie c,,, statt c,. 2t;; = 0:

jl,t- f,,, = 0 nil .c,,, - m,.c,,, = 0

Hieraus, da

rhl = m2 Cl,t = C2,t

Des weiteren rnit Energiesatz (Gl. 5-46) und Beziehung (5-41), wobei hier aus Energiegrunden die Gesamtgeschwindigkeiten (Resultierenden c, und c,) zu verwenden sind:

Da c2 = C: + C; sowoh1 an Bezugsraum-Stelle @ als auch und wegen c,,, = c,,, ergibt sich: Bild 5-36. Stromung unter schragem VerdichtungsstoB mit eingetragenem Kontrollraum KR und Bezugssystem (n, t ) sowie ImpulssatzgroBen an zur StoBfront parallelen Bezugsstellen @; Q. Symbol bedeutet parallel. Koordinaten-Richtungen n normal, t tangential von relativem, d. h. verdichtungsstoBfestem Bezugssystem (n, t ) .

Hieraus ist c,, ,berechenbar, falls p, . v, = R . T,, d.h. T, bekannt b m . umgekehrt T, wenn c,,, festgelegt.

5.4 GroRe Druckstorungen (StoB,Welle)

355

StoDpolaren-Methode: Ein halb graphischer, halb rechnerischer Losungsweg zum Bestimmen der nach dern StoB auftretenden Abstromgeschwindigkeit c2 bei bekannten Zustromverhaltnissen (c, ,a, , p , , v,) ist mit Hilfe des Geschwindigkeitsvektor-Diagrammes entsprechend Bild 5-37 moglich. Es gilt: FJ+J~-~;;=J~=

x J 2 .X -PI 1 u .

p , p , s J r n = Jm = K = c , . , L ~ v ~ ~ G e s c h w i n d i g kc,e inach t GI. (5-175) mit Beziehung (5-173):

Entsprechend G1. (5-177) gilt: ~ 1 . n~. 2 . n= C?

(5-198a)

LAVAL-Geschwindigkeitc, gemaB GI. (5-198a) in Beziehung (5-198) gesetzt, fuhrt zu:

Hieraus ergibt sich c,, und damit aus dern Vektordiagramm c, sowie cc, . Zur ubersichtlichen Darstellung dieser Verhaltnisse kann vorteilhafterweise das von A. BUSEMANN entwickelte StoBpolarendiagramm verwendet werden. Dieses Stojpolaren-Verfahren liefert fiir jeden bekannten Geschwindigkeitsvektor 2, vor dern St00 den zugehorigen Geschwindigkeitsvektor Z, der Stromung nach dern schragen VerdichtungsstoS. Dies ist durch die sog. StoSpolare als geometrischer Ort der Geschwindigkeits-Endpunkte vor und nach dern StoB moglich. Die Stojpolare ist vom

Bild 5-37. Vektordiagramm der Geschwindigkeiten beim schragen VerdichtungsstoB, sog. Geschwindigkeitsplan.

Bild 5-38. StoBpolarendiagramm nach BUSEMANN. Darstellung der Zusammenhange beim Verdichtungsstol3. Medium (StoffgroBe x) abhangig und hat die Form der mathematischen Funktion einer Strophoide. Von der Strophoide ist dabei nur die Schlinge maSgebend, Bild 5-38. Die Schar der Stojpolaren sind im sog. Stojpolaren- oder Charakteristikendiagramm nach BUSEMANN zusammengefaBt. Stol3polarendiagramme, die jeweils nur fiir eine bestimmte StoffgroBe x gelten, sind z. B. in [I41 und [75] enthalten. Vom Bezugspunkt 0 des betreffenden StoBpolarendiagramms wird auf der waagrechten Achse die vor dern StoB herrschende Geschwindigkeit c, abgetragen. Die durch den Endpunkt PI der Geschwindigkeit c, gehende StoBpolare (Strophoide) ist dann mal3gebend. Der Schnittpunkt P, der unter dern Ablenkungswinkel 6 zur Abszisse von 0 (Koordinatenursprung) aus verlaufenden Linien mit dieser StoBpolaren ergibt den Endpunkt der Geschwindigkeit c, nach dern StoB. MaBgeblich ist dabei imrner der Schnittpunkt mit der Polaren, der das grojere c2 ergibt (Bild 5-38). im Die Senkrechte auf der Verbindungslinie Punkt P, stellt die Richtung der StoBfront dar. Die Tangente von Punkt 0 an die zustandige StoBpolare (Punkt T) gibt den groBtmoglichen Ablenkungswinkel 6,,. Wird die Ablenkung (Winkel 6) noch gro13er, riickt der VerdichtungsstoBvor dern Korper von diesem weg. Sie lost sich also ab und bildet vor dern Korper eine krummlinige StoBfront (Kopfwelle). Diese Erscheinung wird in Abschnitt 5.5.3 behandelt (Bild 5-57 und Bild 5-58). Der in Bild 5-38 mit dern Mittelpunkt in 0 eingezeichnete Kreis hat als Radius die LAVALGeschwindigkeit c, (kritische Schallgeschwindigkeit). Dadurch werden die Bereiche Unter- und

356

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Uberschall deutlich getrennt. Die Senkrechte von Pkt. 0 auf die Verlangerung von Strecke ergibt die Tangentialkomponente der Geschwindigkeiten also Strecke = c,,, =c2,,= c,. Weiter stellen die Abschnitte der Verbindungslinie die Normalkomponenten der Stromungsgeschwindigkeit vor und nach dem StoD dar. Dabei entspricht = c,,, und = c,,,. Riickt Punkt P, auf der Polaren nach P,, entsteht der senkrechte VerBild 5-39. Schrage VerdichtungsstoBe an den EinstromdichtungsstoB. Dabei ist Strecke die Ge- kanten in einen Raum hoheren Druckes ( p , > p l ) . schwindigkeit c, vor und Strecke die Geschwindigkeit c,,,, nach dem StoO. Auch das StoDpolardiagramm bestatigt, daB in diesem Fall hinter dem StoB immer Unterschall herrscht. Beim schiefen VerdichtungsstoB herrscht von Stelle P, her kommend bis Punkt S vor und nach dem StoB Uber~chall~eschwindi~keit. Erst nach Punkt S erfolgt auch durch den schiefen StoB der ~ b e r g a n g von ~berschallzum Untergchall.

a

m

langs Stromt Fluid mit ~berschall~eschwindigkeit Wanden z. B. durch ein Rohr in einen Raum hoheren Druckes, entstehen manchrnal schrage VerdichtungsstoDe, die sich kreuzen. Solche Falle liegen vor, wenn der Druck im Einstromraum nur wenig groDer, d. h. der Druckunterschied Ap = p 2 - p i nicht hoch ist. Die StoDfronten gehen von den Kanalendkanten aus und schneiden sich, ohne sich jedoch gegenseitig zu storen, d. h. zu beeinflussen. Der Vorgang ist in Bild 5-39 dargestellt. Abstrahiert betrachtet, tritt eine solche Stromung gemaD Bild 5-39 auch bei einem iiberschallschnellen Fluid langs einer Wand auf, an deren Ende ein hoherer Druck herrscht. Von der Wandendkante geht dann der schrage VerdichtungsstoD aus, Bild 5-40.

Bild 5-40. Schrager VerdichtungsstoB ab Wandende beim ~ b e r t r i t tder Stromung in ein Gebiet hoheren Druckes.

Mit a , = a l - 6

wird:

cosa, cos a, c, cos(a,-6)-cosal~cos6+sina,~sin6 (5-200)

c, -

Hieraus ergibt sich mit der Geschwindigkeitsdifferenz fiir das Verhaltnis Aclc,:

EinfluB des Ablenkungswinkels 6: Um die Art der Stromungsablenkung zu charakterisieren, wird der Ablenkungswinkel 6 positiv, d. h. 6 > 0 gesetzt, wenn sich eine konkave, also einspringende Ecke ergibt (eingeknickte Wand); dagegen negativ festgelegt, d. h. 6 < 0 gesetzt, wenn eine konvexe, also vorspringende Ecke (abgeknickte Wand) vorhanden ist.

GI. (5-200)zeigt, daD die Fluid-Abstromgeschwindigkeit c, um so kleiner und damit der DruckstoB desto starker wird, je gro0er der Ablenkungswinkel 6 ist. Das gleiche Ergebnis liefert G1. (5-201): 1. Allgemein Das Verhaltnis aus Geschwindigkeitsdifferenz und a) EinJuJ auf die Striimungsgeschwindigkeiten : Zustromgeschwindigkeit wird urn so kleiner, je Nach Bild 5-37 gilt: groBer die Ablenkung der Stromung ist.

Hieraus

C2 = -

c1

cos a, COSOlt

Starke des schragen VerdichtungsstoDes ist :;4:sp Die demnach von der GroBe des Ablenkens der StrBmung abhlngig.

5.4 Groae Druckstorungen (StoR, Welle)

357

G1. (5-200) eingesetzt, ergibt: ~=l+x.itfa:-sin2al. Pt

tan GI, (5-203) Mit dieser Gleichung lafit sich das Verhaltnis von Druckdifferenz Ap = p2 - p, und Staudruck 9, der Zustromung, also Aplq,, wie folgt ausdriicken:

Weiter folgt mit x .pl. v, =a: und Ma, = cJa, : X

q , = 2 . p1 . Ma:

Bild 5-41. Grenzwinkel 4, (kritischer Winkel) in Abhangigkeit von Ma,, MACH-Zahlder Zustromung. Die Stromungsgeschwindigkeit nach dem schiefen Stofi liegt also je nach GroBe des Ablenkungswinkels 6 im ~ b e r oder Unterschallgebiet. Es gibt demnach einen von der ZustromungsMACH-Zahlabhangigen Grenzwinkel, auch mit kritischem Winkel 6,, (Bild 5-38) bezeichnet, fur den gilt: 6 < Jkr: c2 verbleibt im ~berschallbereich,also C2 > a2 6 > Bkr: c2 erreicht den Unterschallbereich, also c2 < a2 6 = 4 , : Stromung erreicht gerade Schallgeschwindigkeit, also c2 = a, Der Zusammenhang zwischen Grenzwinkel und Zustrom-MACH-Zahlist in Bild 5-41 dargestellt. b) EinPuJ auf die Dichten Nach der Kontinuitat, G1.(5-160), mufi erfullt sein: Hieraus mit C1.n ' Q l = cz,, . e2 cn = c . sin a

(Stelle 1; 2)

und

a, = a, - 6:

c, . sina, - c, sina, ez-cl,,-p--. Q, c c 2 . sina, c2 sin(a,-6)

el

cosa,

sina, - tans, sin(a,-6)-tan(a,-6)

c) EinfluJ auf die Driicke Entsprechend GI. (5-178) gilt:

GI. (5-203) eingesetzt, liefert: tan (a1- 6) tana,

PI

2. Schwache Ablenkung Wenn die Ablenkung der Stromung sehr klein ist, d. h. der Ablenkungswinkel6 zu IA6 I << 1 wird, lassen sich die vorherigen Gleichungen durch Linearisierung wesentlich vereinfachen. Bei 6 )A61 << 1 (Bogenmafi!) wird: cos6 cosA6 w 1 und sin6 = sinA6 = A6 Eingesetzt in die Gleichungen ergibt: a) Geschwindigkeiten, GI. (5-201): Ac - cos a, . (1 - cosA6) - sin a, . sin A6 -cosa, . cosA6 + sina, . sinA6 c, - A6 . sin a, Ac -c, c o s a l + A 6 ~ s i n a l Hierbei naherungsweise im Nenner A6 . sin a, c 0 gesetzt, und zwar nur dort, fuhrt zu:

--

-- - AS. tan&] Ac

GI. (5-200) eingesetzt, ergibt: Q, -- cos(a, - 6 ) .

Damit ergibt sich:

C1

(5-202)

Infolge der sehr schwachen Ablenkung A6 ergibt sich eine kleine Druckstorung, namlich SchaH. Deshalb wird a, zum MAcHschen Winkel. Fur diesen gilt nach G1. (5-19): sina, = l/Mal (5-206) 1 sina, sina, tana, = ---- cosa1

Jx=J-

5 Stromungen rnit Dichteanderuna (Gasdvnamik)

358

Druckbeiwert C, bezeichnet, vereinfacht sich ebenfalls. Ausgangspunkt ist entsprechend G1. (5-204):

Damit wird:

c, = AP = 2 . sin2a, ( 1 - tan(a, - AS) -

41

b) Dichten, GI. (5-202):

ez - cos(a, -As) -el

cosa,

sina, tana, sin(a, -As) - tan(a, -A6)

tana,

Auch hier kann die Umformung von Pkt. b) eingesetzt werden:

Oder mit Additionstheoremen fur cos(a, -Ah) = cosa, . cosA6

+ sina,. sinA6

sin (a, - A6) = sin a, . cos A6 - cos a, . sin A6 folgt:

Mit G1. (5-204) und (5-207) folgt aus GI. (5-213):

Im Zahler die Naherung sin A6 x 0 eingefuhrt, jedoch nicht im Nenner, ergibt mit tanA6 x A6 (BogenmaR -t rad):

e2 -X el

cos a, . cos A6 . sin a, cos a, . (sin a, . cos A6 - cosa, . sinA6)

sin~, _el sin a, - cos a, . (sin A6/cos Ad) e2

c) Driicke, GI. (5-203): P2 -=1+x.Ma:.sin2a;

tan (a, -A6) PI tan a, Mit der Umrechnung bei Pkt. b) ergibt sich:

tans, -A6 ~~l+x.Ma:.sin~a,. PI tana, A6 5 x 1+x.~af.sin~a,.-PI tan a, Mit sin2al = 2 . sina,. cosa, und tana, = sina,/cosa,

wird:

Die Beziehungen GI. (5-206) und G1. (5-207) in G1. (5-210) eingefiihrt, liefert:

Das Verhaltnis von Druckdifferenz Ap und Zustrom-Staudruck q,, also Aplq,, auch als

C , ,AP - Z ~ . 41

Ma:

(5-215)

Diese Gleichung kann vorteilhaft verwendet werden, um die Druckverteilung und die resultierenden Stromungskrafte an Korpern in ebener, ma13iger ~ b e r s c h a l ~ s t r o m uzun ~berechnen. Bemerkungen: Meist werden die Naherungszeichen c in den vorhergehenden Beziehungen durch Gleichheitszeichen ersetzt, da die Fehler in der Regel vernachlassigbar klein. Zu beachten ist, dal3 in den Beziehungen der Ablenkungswinkel A6 im BogenmaB (rad) eingesetzt werden muB. Da bei schragen VerdichtungsstoDen der Druckverlust geringer und damit der Wirkungsgrad hoher ist, lassen sie sich, wie schon erwahnt, ab etwa Ma 2 1,5 vorteilhaft zur Verzogerung iiberschallschneller Stromungen einsetzen, z. B. bei Triebwerkszufiihrungen von ~berschallflugzeugen(Bild 5-26). Derartige StoBdiffusoren sind so aufgebaut, daR nach einem oder mehreren an spitzen Ecken oder Kanten ausgelosten schiefen Verdichtungsstol3en abschlieoend noch ein schwacher senkrechter VerdichtungsstoR auftritt. Je hoher die Zustrom-MACH-Zahl ist, desto grooer sollte die Anzahl der hintereinander folgenden schiefen VerdichtungsstoRe sein, urn die iiberschallschnelle Zustromung moglichst verlustarm in Unterschall zu reduzieren und dadurch einen hohen Druckaufbau zu erreichen. Der Druckverlust bleibt dann entsprechend gering. Tabelle 5-4 enthalt die erreichbaren Werte bei verschiedenen StoBkombinationen.

5.4 &one DmckstArungen (Stofl, Welle)

359

nicht geben. Deshalb erfolgt die Expansion in der Verdunnungswelle stetig (homogen) und damit bei idealem Verhalten isentrop, Abschnitt 5.4.1. Diese homogene sowie isentrope Stromung wird auch als homotrope StrLknung und die reale Verdunnungsstromung als PRANDTL-MEYER-Expansion bezeichnet. Sie kann, da naherungsweise ideal, mit der Potentialtheorie analytisch behandelt werden. Bei diesem Stromungsvorgang wachsen Gescbwindigkeit, MACH-Zahlund spezifisches Volumen des Fluides, wahrend a u k dem Druck auch die Temperatur sinkt. Ausgehend von der vorspringenden Ecke des konvexen Wandknicks (Bild 5-42), von der eine Druckstorung ausgelost wird, expandiert die ~erschallparallelstr6mung.1st der Knickwinkel sehr klein, pflanzt sich die vom Knick verursachte kleine Storung langs einer geraden MACH-Linie von der Ecke aus in die Anstromung mit Ma, > 1 unter dem Winkel a,=arcsin(l/Ma,) - dem MACH-Winkel- fort. Dahinter sind Dichte und Druck etwas verringert und folglich ist die Ge5.4.3 Verdiinnungswellen schwindigkeitskomponente senkrecht zur gebildee n vergro0ert. So ergibt sich, je Aus den Gleichungen (5-204) und (5-215)geht her- ten M ~ c ~ s c h Linie vor. Be1 negatwem 6 bzw A6 w ~ r dAp ebenfalls nach Wandknick, eine kleine Umlenknng der negativ Der Abstromdruck p, 1st demnach, wle Stromlinien und eine Erhohung der MACH-Zahl auch aus den Bez~ehnngen(5-203) und (5-212) urn AMa. Folgt ein zweiter kleiner Knick der idpl. klc~neralrJcr ~ u i l & d r u c k ~ ., Dlc kon\e\ Wand, geht auch von dieser Ecke wieder eine Verahreknktc i~ben;h.illstrdmune. 7 . B.die Strihnu~ie diinnungslinie nus unter dem infolge der hoheren I%& einer abgeknickten wanld, Bild 5-42, ist day MACH-Zahletwas kleineren Winkel: hermit einer Expansion des Flnides gekoppelt. Da a = arcsin[l/(Ma, + AMa)]. der VerdichtungsstoB wegen der dabei erfolgenden Entropiezunahme irreversibel ist, kann es, wie be- Der End- oder Abstromwinkel wird demnach: reits envahnt, den VerdunnungsstoB, der Entropie- a, = arcsin(l/Ma,) mit Ma, = Ma, ZAMa abnahme, also Exergieerhohung bedingen wurde, Ein konvexer Wandknick (abgeknickte Wand) kann in eine Folge sebr vieler kleiner Knicke (z. B. durch Rauhigkeit) aufgelost gedacht werden, von denen je eine MAcHsche Linie ausgeht, so daD sich ein Verdiinnungsfacher bildet. Dabei storen sich die einzelnen Verdiinnungslinien nicht Im Gegensatz hierzn wiirden sich bei einer einspringenden Ecke (eingeknickte Wand) die entsprechenden MACHLinien iiberschneiden,was zu physikalisch unmoglichen, teilweise rucklaufigen Stromlinien fuhrte (Bild 5-46). Deshalb entsteht dort ein unstetiger VerdichtungsstoB mit Entropieanstieg. Die facherartig verlaufeude Expansion wird auch als Verdiinnungswelle bezeichnet. Eine durch einen Fbher von MACH-Linienstetig umgelenkte homotrope Expansionsstromungbildet lings einer abgeknick- sich auch beim Ubertritt voo ~berschallstromung Bild 5-42. ~bersehall~triirnun~ ten Wand unter Winkel 6 . Die Verdiinnungswde geht in einem Raum kleineren Druckes. Diese Stromung ist in Bild 5-43 qualitativ skizziert. van der vorspringenden Ecke aus.

Tabelle 5-4. Maximal erreichbares Druckverhaltnis zum theoretisch moglichem bei verschiedenen StoBkombinationen. Theoretisch bedeutet hierbei verlustfrei, also isentroper Energieumsatz. Abkiirzungen.: StKo . . StoBkombination, S . .. Senkrechter StoB, Sch . . . Schiefer StoB, 2 Sch + S heispielsweise bedeutet 2 schiefe StoBe mit einem nachfolgenden senkrechten StoR.

.

+

360

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdvnamik)

Bild 5-45. M ~ c ~ s c hLinien e im Erweiterungsteil einer LAVAL-Dike. Bild 5-43. ~ b e r s t r o m u n ~einer uberschallschnellen Stromung unter Verdiinnungswellen in einen Unterdruckraum ( p , c p , ) .

Entsprechend der zuvor angestellten ~berlegung erfolgt das Auflosen der umstromten konvexen Ecke in eine Folge kleinster Knicke jeweils mit dem infinitesimalen Winkel d6. Gleichung (5-208) geht dadurch in die differentielle Form uber:

Hierbei andert sich sowohl die Geschwindigkeit c wie auch die MACH-ZahlMa langs der umzulenkenden Stromlinien. Das Verfahren kann dadurch, wie envahnt, auf mehrfach geknickte Wande, oder sogar stetige konvexe Krummungen, z. B. RadienBild 5-44. P R A N D T L - M E Y E R - E c ~an ~ ~der u ~ s ~Konturen, ~ ' ~ ~ ~ ~ angewendet werden, und zwar durch Aufteilen in entsprechend viele kleine unstetige Hinterkante einer Platte. Kriimmungsanderungen (Vieleck-Knicke). Aus Beziehung (5-216) folgt durch Integrieren bei An der ruckwartigen Kante einer Platte, an der Venvenden der Energiegleichung fur den Zusamuberschallschnelles kompressibles Fluid entlang menhang von c und Ma der ifbergang zur endstromt, entsteht ebenfalls eine PRANDTL-MEYER-lichen Ablenkung 6 uberschallschneller StromunEckenstromung, Bild 5-44. Die Richtungsande- gen. Diese mathematische Auswertung sol1 hier rung der Stromung kann dabei bis ca. 130" betra- aus Platzgrunden unterbleiben. Es wird auf das gen. einschlagige Fachschrifttum verwiesen, z. B. [45]. Unter der Annahme isentroper Zustandsanderung Auch bei Innenstromungen konnen M ~ c ~ s c Lihe bei idealem Fluid gelingt die theoretische Behand- nien entstehen, Bild 5-45. lung der P~AN~~~-M~YE~-Verdunnungswelle. Da- Experimentell ist damit die MACH-Zahlin einer bei herrscht langs jeder MACH-Liniejeweils kon- Versuchsduse bestimmbar. Es wird eine Diise aus stanter Druck und konstante Geschwindigkeit. zwei Blechen entsprechend Bild 5-45 gebildet und Zudem ist die Geschwindigkeitskomponente der durch zwei Glasscheiben abgedeckt. Die BlechseiStromung, die senkrecht zur zugehorigen MACH- tenwande der Duse werden innen aufgerauht. Von Linie verlauft, gleich der betreffenden Schallge- diesen Rauhigkeiten gehen dann viele feine Storlischwindigkeit, was unmittelbar aus der Definition nien (MAcHsche Linien) aus, die durch Schlierendes M ~ c ~ s c h eWinkels n GI. (5-19) folgt. Die aufnahmen sichtbar gemacht werden konnen. Die Druckabnahme ist nur an der Knickstelle selbst Stromungsrichtung ist immer durch die Richtung sprungartig. Im ubrigen keilformigen Verdun- der Winkelhalbierenden zweier von gegeniiber lienungslinien-Facher ist die Expansionsstromung genden Punkten ausgehenden, sich in Kanalmitte und damit der Druckabfall stetig. schneidenden MACH-Linienfestgelegt. Die GroI3e

5.4 GroRe Druckstorungen (StoR, Welle)

des Winkels ist ein Ma0 fur die MACH-ZahlgemaD G1. (5-19). Auf diese Weise kann das Prufen von Dusen erfolgen, die fur bestimmte Geschwindigkeitsverteilungen gebaut wurden.

MACH-Ltnie

361

MACH- Linie

5.4.4 Zusammenstellung der Beeinflussungen von fiberschallstrom~n~en durch Wellen und StoRe In diesem Abschnitt werden die verschiedenen Ablenkungen und Beeinflussungen von ~berschallstromungen zusammenfassend gegeniibergestellt. Einige Erganzungen zu den vorhergehenden Abschnitten sollen die Darstellung abrunden.

EinfluR des Ablenkungswinkels: Wie Bild 5-46 zeigt, sind die Umlenkungen in den schrag zur Anstromrichtung verlaufenden Wellen- oder Unstetigkeitsfronten mehr oder weniger stark. Die dabei auftretenden stetigen oder unstetigen &derungen der stromungsmechanischen und thermodynamischen GroSen in den Storfronten sind deshalb, wie auch schon gezeigt, ebenfall unterschiedlich groS. Konkave Ablenkungen werden durch positive und konvexe durch negative Umlenkungswinkel gekennzeichnet. Bei Ablenken um eine schwach geknickte Wand (flache Ecke), ( A 6( < 1, nach Bild 5-46, Teil A, besteht die StoBfront aus einer einzigen MAc~-Welle,die nur schwache, quasi stetig verlaufende Anderung der StromungsgroBen bewirkt. Die Neigung der MAc~-Linie( M ~ c ~ s c Welle) h e gegenuber der Zustromrichtung ist gleich dem MAcHschen Winkel a, = arcsin(I/Ma,). Bei allrnahlich vor sich gehender Urnlenkung um eine gekrummte Wand entsprechend Bild 5-46, Teil B bestehen die Fronten aus mehreren hintereinanderliegenden MACH-Wellen,die zusammengefaDt als Verdichtungs- bzw. Verdunnungsfacher bezeichnet werden. Bei konkaver Urnlenkung kann dabei der Verdichtungsfacher in einiger Entfernung von der Wand in einen (unstetigen) Verdichtungsstol3 ubergehen. Die einzelnen Wellen des Verdichtungsfachers wurden sich kreuzen. Da die einzelnen Wellen jedoch kleine Druckanderungen bedeuten, addieren sich an ihren jeweiligen Wellen-Schnittpunkten die zugehorigen Druckanderungen. Das bewirkt den endlichen Drucksprung, also den VerdichtungsstoS. Bei grwerer konkaver Urnlenkung um eine stark eingeknickte Wand (Bild 5-46,TeilC) stellt sich der VerdichtungsstoS schon unmittelbar ab der Wand-

B

Verdtchtungstacher

Bild 5-46. Ablenkungen von fjberschallstr~mun~en: A schwach geknickte Wand B gekriimmte Wand C stark geknickte Wand

Linke Bildhalfte: Konkave Ablenkung, ergibt Verdichtung, c, < c,, Ma, < Ma, + P , > P , , e, > e l , Tz > T, Rechte Bildhalfte: Konvexe Ablenkung, ergibt Verdiinnun& c, > c,, Ma, > Ma, +P, < P I ,e, < e l , T, < T, Knickstelle in Form einer schiefen StoDfront ein. Bei diesem schragen VerdichtungsstoS andern sich in der Front alle FluidgroBen unstetig, in der in Abschnitt 5.4.2.2 dargelegten Weise. Die notwendige Unstetigkeit erklart sich auch dadurch, daS die sonst erforderliche rucklaufige Stromung zwischen den MAc~-WellenI und I1 physikalisch unmoglich ist. Dies wird durch den StoS umgangen. Dagegen besteht bei der groSeren konvexen Umlenkung um eine starker abgeknickte Wand diese Notwendigkeit nicht. Der sich ausbildende Verdunnungsfacher konvexer Ablenkung ergibt auch noch bei groDerer Abknickung stetige h d e r u n g aller StromungsgroBen.

EinfluB der Wandrauhigkeiten: Stromt Gas an Wanden entlang, die irgendwelche Unebenheiten aufweisen, gleichen sich bei Unterschallstromungen die von den Rauhigkeiten verursachten Druckstorungen nach dem Innern des durchstromten

362

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Bild 5-47. ~berschallstromungentlang rauher Wande. Raumes hin rasch aus. Bei Uberschallstromungen dagegen geht von jeder Unebenheit eine Welle (MACH-Linie)unter dem zugehorigen MAcHschen Winkel aus, die sich durch den ganzen Stromungsraum ausbreitet und an einer gegenuberliegenden Wand reflektiert wird. So bildet sich ein ganzes Netz M ~ c ~ s c hLinien, er die sich gegenseitig nicht storen. Der Vorgang kann durch Schlierenaufnahmen sichtbar gemacht werden und ist in Bild 5-47 prinzipiell dargestellt. Je nach Stromungsbedingungen konnen solche Wandunebenheiten auch die Ursache fur das Ausbilden eines senkrechten oder schragen VerdichtungsstoDes sein. Vorgange in freien Gasstrahlen: Bei einem Gasstrahl, der in uberschallschneller Parallelstromung aus einer &bung ins Freie tritt, 1aDt sich unter Voraussetzung ebener Bewegung, d. h. langlich rechteckiger Mundung, folgendes feststellen: Herrscht im AuDenraum geringerer Druck als im Strahl, gehen von jeder Austrittskante keilformige Verdunnungswellen aus, die sich durchkreuzen und an der gegeniiberliegenden Strahlgrenze als Verdichtungswellen reflektiert werden, Bild 5-48. Diese pflanzen sich unter keilformiger Verschmalerung des Strahles fort, um an der anderen, d. h. wieder gegeniiberliegendenStrahlgrenze erneut als Verdiinnungswelle reflektiert zu werden. Hierauf beginnt das Spiel von neuem. Ein gegenseitiges Storen der einzelnen Wellen findet zudem in der Regel nicht statt. Der Druck p, im Mittelfeld des Strahles und damit der Wellen ist dabei im gleichen MaBe niedriger als der Anstromdruck p , hoher als AuDendruck p, ist. Im Bereich der Verdunnungswellen expandiert der Strahl zudem seitlich, in dem der Verdichtungswellen zieht er sich zusammen. 1st der AuDendruck dagegen hoher als der Druck im Strahl, erfolgen zunachst schiefe VerdichtungsstoBe. Diese werden als keilformige Verdiinnungswellen an der gegeniiberliegenden Strahlgrenze reflektiert. Der Vorgang verlauft dann genau so weiter wie zuvor geschildert (Bild 5-48). Auch hier

4<4 Bild 5-48. Wellenfigur bei Ausstromung mit Uberschallgeschwindigkeit in einen Unterdruckraum.

Bild 5-49. Wellenfigur bei Ausstromung mit Schallgeschwindigkeit. storen sich die kreuzenden StoDfronten gegenseitig meist nicht. 1st die Ausstromgeschwindigkeit gerade gleich der Schallgeschwindigkeit(Ma = I), wird der anfangcc = arcsin (I /Ma) = 90°, liche M ~ c ~ s c hWinkel e G1. (5-19), und Bild 5-48 andert sich durch Ausbreiten der Keilgebiete uber die gesamte Strahlflache zu Bild 5-49. Das Doppelkreuz von Bild 5-48 wird zu einem einfachen ,,Wellenkreuz". Auch bei Verbrennungsvorgangen bzw. auBerer Warmezufuhr wird unterschieden zwischen: - Unterschallverbrennung:Verbrennung bei Ma < I. Hierbei steigt die Stromungsgeschwindigkeit infolge der Warmezufuhr. - ~berschallverbrennung:Verbrennung bei Ma > I (Detonation). Der iiberschallschnelle Verbrennungsvorgang bei hoher Temperatur erfolgt unter starkem Druckanstieg. Dabei werden Detonationsgeschwindigkeiten bis ca. 10000 m/s und Detonationsdrucke bis etwa 100000 bar erreicht (Abschnitt 1.3.6). Aber auch die Kondensation bei LAVAL-Dusenstromung wird als ~berschallwarmezufuhrbezeichnet. Wegen starker Abkuhlung infolge Expansion kondensiert z. B. der Wasserdampfgehalt von stromender feuchter Luft. Da hierbei die Kondensationswarme in der Stromung frei wird, kann der Vorgang als Verbrennung oder Warmezufuhr gelten, d. h. gleichgesetzt werden. Bei der dabei meist sprunghaft auftre-

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

tenden Kondensation entstehen fast immer zwei sich X-artig schneidende Verdichtungsstolje. Auf diese Erscheinung wurde zuerst von WIESELSBERGER aufmerksam gemacht. Wegen des aul3eren Aussehens wird dieses Phanomen auch als X-StoB bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Verdichtungsstolj mit Drosselverlust wie in einem Stoljdiffusor (Bild 5-25). Die MACH-Zahlverringert sich entsprechend.

In einer Rohrleitung, in der Kohlendioxid (C0,-Gas) stromt, bildet sich ein senkrechter Verdichtungsstolj. Bekannt: Stromungsgeschwindigkeit vor dern StoB 600 m/s. Kohlendioxidzustand vor dern StoB: Temperatur 60 "C; ~ b e r d r u c k4 bar. Atmospharendruck 1 bar. Gesucht: a) MACH-Zahlvor dern St06 b) Geschwindigkeit nach dern StoB c) M ~ c ~ - Z anach h l dern St00 d) Gaszustand nach dern StoB (p, v, T) e) Enthalpie nach dern StoB f) Entropiezunahme g) Gaszustand, der sich bei isentroper Verdichtung ergabe h) Exergieverlust i) Wirkungsgrad der Energieumsetzung. In einem ~berschall-Windkana1 werde eine konkav geknickte Platte langs angestromt. Bekannt: Anstromgeschwindigkeit 540 m/s Zustand der zustromenden Luft: Temperatur 40 "C Absolutdruck 1,8 bar Knickwinkel der Wand zur Anstromgeschwindigkeit 10" Gesucht: a) Anstrom-MACH-Zahl b) Neigungswinkel der StoBfront des von der scharfen Knickkante ausgehenden schiefen Verdichtungsstoljes c) MAc~-Zahlnach dern St06 d) Stromungsgeschwindigkeit nach dern StoB e) Luftzustand nach dern StoB (p, v, T) f) Entropiezunahme g) Exergieverlust h) Wirkungsgrad.

363

5.5 Mehrdimensionale kompressible Strijmungen 5.5.1 Vorbemerkung

Sehr schwierig - wenn nicht unmoglich -kt, in der Gliederung eine eindeutige Trennung und Zuordnung der einzelnen stromungstechnischen Erscheinungen vorzunehmen. Hangen doch die einzelnen Phanomene vielfach zusammen. So kann der schiefe VerdichtungsstoB sowohl bei grol3eren Druckstorungen als auch bei mehrdimensionalen Stromungen eingeordnet werden. Die in diesem Buch vorgenommene Aufteilung, also die Zuordnung des schiefen Verdichtungsstoljes zu Abschnitt 5.4 (groBe Druckstorungen) erwies sich als sinnvoller. 5.5.2 Umstromung mit (reinem) Unterschall

In Abschnitt 1.3.1 wurde gezeigt, da0 Kompressibilitat und M ~ c ~ - Z a nichtvolumenbestandiger hl Stromungen zusammenhangen. Auch wurde darauf hingewiesen, dalj bis Ma !z0,3 die Verdichtung eines stromenden Gases als klein vernachlassigt, die Stromung demnach als quasi-inkompressibel behandelt werden kann. Unter dieser Voraussetzung wurden die Zusammenhange bei der Tragfliigelumstromung in Abschnitt 4.3.3 dargestellt. In diesem Abschnitt wird nun der Einflulj der Kompressibilitat des Fluides auf die Tragfliigelstromung beriicksichtigt, was bei hoheren Geschwindigkeiten notwendig ist (Ma >0,3). Einen einfachen qualitativen Einblick gibt der Vergleich der inkompressiblen und kompressiblen Umstromung des gleichen Profils. Infolge des Uberdrucks an der Fliigelunterseite (Druckseite) wird das Gas komprimiert. Das zusammengedriickte Fluid benotigt, da der Massenstrom unverandert bleibt, einen kleineren Querschnitt. Die Stromlinien drangen sich deshalb im Gegensatz zum raumbestandigen Fluid entsprechend zusammen. Umgekehrt wird sich auf der Profiloberseite (Saugseite) wegen des Unterdruckes das Fluid ausdehnen. Der dadurch erhohte Raumbedarf bewirkt einen vergroljerten Abstand der Stromlinien. Die Gesamtverlaufe der Stromlinien inkompressibler Stromung (ausgezogen) und kompressibler (gestrichelt) sind in Bild 5-50 qualitativ dargestellt. Beim gleichen Profil erfahren demzufolge die Stromlinien bei kompressiblem Fluid insgesamt eine grol3ere Ablenkung als bei inkompressiblem. Der Auftrieb ist deshalb bei nichtraumbestandi-

364

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

rechtigt ist, von kritischer MACH-Zahlzu sprechen. Bei weiterem Annahern an die Schallgeschwindigkeit wachst ,( wie noch zu begrunden ist, auf ein Vielfaches, wahrend fiillt.

rA

5.5.3 Umstromung mit ijberschall

Bild 5-50. Stromlinienverlauf (prinzipiell) bei der Profilumstriimung von ink~rn~ress~blern (ausgezogen) und kompressiblem Fluid (gestrichelt gezeichnet).

Die Schaufeln von Stromungsmaschinen arbeiten seltener im ~berschallbereich.Oft dagegen treten ~berschallstromungenin der Flugtechnik auf. Im Bereich schallnaher Geschwindigkeiten andern sich die Voraussetzungen fur das Zustandekommen der Luftkrafte (Auftrieb, Widerstand), wodurch einschneidende Anderungen in Aufbau und Steuerung eines Flugkorpers notwendig werden.

5.5.3.1 ~ r t l i c h e ~berschall r Beizunehmender Anstromgeschwindigkeitc , wird infolge Fluidbeschleunigung bei der Profilumstromung auf der Saugseite die Schallgeschwindigkeit Nach PRANDTL sind die Auftriebsbeiwerte [, und - ubergeschwindigkeit wegen Druckabfall notdie Fliigeleigenschaften bei Berucksichtigung der wendig - ortlich schon erreicht oder iiberschritten, Kompressibilitat gleich den Werten der volumen- obwohl die Zustrom-MACH-Zahl M a , = c,/a, bestandigen Stromung, wenn Profildicke oder An- noch unterhalb von eins liegt. verkleinert Die MAc~-ZahlMa,, bei der die Umstromung stellwinkel um den Faktor werden gegenuber den Werten bei inkompres- ortlich gerade die Schallgeschwindigkeit erreicht, siblem Fluid. Oder bei gleichem Profil und gleicher wird als kritische Anstrom-MACH-ZahlMa,,,, bezeichnet. Dabei ist wegen der geschilderten Griinde Anstellung gilt: Ma,,,,< 1 meist Ma,,,, w 0,75 bis 0,85 (0,90). Der tatsachliche Wert hangt von der Profilform [A, inkompr. [A, kompr. sowie dessen Anstellung 6 ab. Es gibt demnach mehr oder weniger iiberschallempfindlicheProfile. Diese auch als P R A N D T L S C Regel ~ ~ bezeichnete Liegt die Anstrom- oder Fluggeschwindigkeit c , Formel gilt jedoch nur fur etwa Ma, 5 0,7 bis 0,85. unter c ,,,, = M a , ,, . a,, erfolgt ungestorte ProDie Giiltigkeit ist begrenzt, da PRANDTL die Be- filstromung entsprechend des vorhergehenden Abrechnung unter der Bedingung vornahm, daI3 die schnittes 5.5.2. ~bersteigtjedoch die Zustrombei der Umstromung auftretenden ~bergeschwin- MACH-ZahlM a , den kritischen Wert nur wenig, digkeiten klein sind gegenuber der Hauptbewe- d. h. liegt die Anstromgeschwindigkeit c , in der gung. Vergleiche Abschnitt 5.3.4.2.2, Diffusor- Nahe der Schallgeschwindigkeit a,, wird die FliiErweiterung. gelumstromung durch eine ortliche ~berschallzone auf der Saugseite im Bereich der maximalen Eine Beziehung zwischen den Widerstandsbeiwer- Profildicke wesentlich beeinflu&, Bild 5-51. Das die sog. ~berschallten von kompressibler und inkompressibler Trag- entstandene ~berschall~ebiet, fliigelstromung kann nicht angegeben werden. blase, wird nach hinten durch einen VerdichtungsVersuche bestatigen jedoch die auch als PRANDTL-stoI3 begrenzt, wodurch wieder der ~ b e r g a n gzu GLAu~R~-Analogie bezeichnete Erscheinung, daI3 der danach herrschenden Unterschallgeschwindigdie Widerstandsbeiwerte je nach Profilform fur keit erfolgt. etwa M a , <0,7 bis 0,85 (kritische MACH-Zahl, Bei der kritischen Anstrom- oder FluggeschwinAbschnitt 5.5.3.1) von der M a c ~ - Z a hnahezu l un- digkeit c,, ,,tritt somit erstmals ein VerdichtungsstoI3 am umstromten Profil auf. Verbunden mit abhangig sind (5, w konst +Bild 5-52). Fur beide GroBen, also ,( und CA, liegt die kriti- dem plotzlichen Druckanstieg des Verdichtungssche Ma-Grenze somit beim gleichen Wert, also stoI3es ist eine starke Gefahrdung der Grenzexakter Wertebereich, so daI3 es auch hiernach be- schicht (Ablosungsgefahr) und ein erheblicher Wigem Fluid entsprechend hoher. Die Kompressibilitat wirkt demnach genau so wie eine starkere Wolbung oder gr6Rere Anstellung des Profils.

Jm

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

Bild 5-51. Profil im schallkritischen Flugzustand.

365

1 -

derstandsanstieg auf das Mehrfache (bis lofach), Bild 5-52. Der Widerstandsanstieg entspricht der durch den VerdichtungsstoB vernichteten mechanischen Energie. Bei giinstiger Profilgestaltung kann die Wirkung des VerdichtungsstoDes und damit der Widerstandsanstieg in diesem transsonischen Bereich jedoch stark minimiert werden.

Bild 5-52. EinfluD der Anstrom-MACH-ZahlMa, auf den Widerstandsbeiwert 5, bei Nullanstellung (6 = 0)fiir verschiedene Dickenverhaltnisse d/L. Dabei ist d die maximale Profildicke d = dm,,nach Bild 4-129.

remer Unterschall- Zw~schen- relner UberschaliElere~ch Bere~ch Berach

1

I

Dieser ,,StoBanteil" tritt zum Flachen- und Formwiderstand (Abschnitt 4.3.3) hinzu. Er wird als Wellenwiderstand bezeichnet (abgeleitet vom Widerstand der Kopfwelle bei ~berschall)und besitzt gewisse ~hnlichkeitmit dem Wellenwiderstand der Schiffe. Je ausgepragter die StoBfront, desto groBer ist auch der Wellenwiderstand. Ubersteigt die MACH-Zahlder Anstromung die kritische wesentlich, kann auch auf der Druckseite, also der Profilunterseite, ein mehr oder weniger stark ausgepragtes Uberschallgebiet mit nachfolgender, entsprechend starker StoBfront auftreten. Der Wellenwiderstand entspricht der erzeugten Schallenergie, die in Richtung der MAc~-Linien Mo, ausgestrahlt wird. Bild 5-53. Auftriebsbeiwert i , und Widerstandsbeiwert Steigt die Anstromgeschwindigkeit noch weiter, 5, in Abhhgigkeit von der Anstrom-MACH-ZahlMa,. wird das game Profil mit ~berschallumstromt (Abschnitt 5.5.3.2). Die StoBfronten verschieben sich an das vordere (Kopfwelle) und an das hintere Ende (Schwanzwelle) des Profils. sonische Gebiet ein. In diesem Bereich diirfen die zugehorigen Gleichungen nicht linearisiert werden Der Ma-Bereich, in dem ortliche ~ b e r s c h a l l ~ e - - es wiirden sich zu grode Fehler ergeben. biete auf der Profilkontur auftreten, wird, wie schon envahnt, als Transsonic, transsonischer Be- In Bild 5-53 sind qualitativ Auftriebs- und Widerreich oder Transschall bezeichnet. Nach PRANDTL standsbeiwert, abhangig von der MACH-Zahl,aufwird die Unterschall-MACH-Zahl, bei der das getragen. Der Wellenwiderstand als Anteil des Geschwindigkeitsmaximum am Korper gerade Gesamtwiderstandes ist insbesondere im transsoh l nischen Bereich sehr groB. Diese starke transsoniMa = 1 erreicht, untere kritische M ~ c ~ - Z a genannt. Diejenige ~berschall-MACH-~ah1 der An- sche Auspragung wird auch als Widerstandsberg stromung andererseits, mit der an der Korpernase oder Schallmauer bezeichnet. infolge des dort immer auftretenden VerdichtungsstoBes als kleinste MACH-Zahlgerade Ma = 1 er- Durch geeignete Formgebung der sog. transsonireicht wird, heiBt obere kritische MACH-Zahl. schen oder superkritischen Profile ist es moglich, Beide kritische MACH-ZahlenschlieDen das trans- den Widerstandsberg (Bild 5-53) und damit den

-

366

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Steilanstieg von [, (Bild 5-52) in den Bereich hoherer MACH-Zahlen (Ma,,,, wird groljer) zu verschieben. Dadurch ist hoher Unterschallbetrieb bei entsprechend verringertem Stromungswiderstand moglich. Bei solchen Profilen ergibt sich zwar eine relativ grolje ~berschallblase, der Druckanstieg beim ubergang von Uber- zu Unterschall am Ende der ~berschallblaseerfolgt wegen der giinstigen Profilausfiihrung jedoch nahezu stetig und damit verlustarm. Auch ist eine geringere Tragflachengrolje notwendig, da die Auftriebswirkung infolge der hoheren Fluggeschwindigkeit ansteigt, oder die Profilanstellung kann entsprechend verkleinert werden: Geringere Tragflachengrolje A,, und/oder kleinerer Anstellwinkel 6 fiihren zu weiterer Verringerung des Stromungswiderstandes, GI. (4-302). Deshalb werden superkritische Profile immer haufiger verwendet. Die kritische MACH-Zahl1aI3t sich jedoch auch in das Gebiet hoherer Geschwindigkeit verlagern, durch Anwendung schlankerer Profile (geringere ortliche Beschleunigung), groljerer Dickenriicklage oder durch sog. Pfeilfliigel (A-Fliigel). Bei Delta-Fliigeln, Bild 5-54, nimmt an der Verdrangungsstromung um das Profil nur die Normalkomponente c,,, zur Tragflachenvorderkante teil, die deshalb auch die Auftriebskraft FA und den Profilwiderstand F,,, bestimmt. Da Pfeilwinkel a bis 60" ausfiihrbar sind, ist es theoretisch moglich, die wirksame Normalkomponente der Anstromgeschwindigkeit zu halbieren (c,, = c, . cos a). Der Deltaeffekt ermoglicht somit, die Fluggeschwindigkeit bis auf hohere Ma-Zahlen zu steigern, ohne dalj sich, wie beschrieben, die Fliigeleigenschaften verschlechtern. Durch die Pfeilung wird genau genommen nur die ,,Schallmauer" etwas in den Bereich hoherer Geschwindigkeiten verschoben. Einmal erreicht auch die Normalkomponente der Anstromgeschwindigkeit ,,ihreUSchallmauer. Diese ist dann jedoch nicht mehr so ausgepragt. Die Erfahrung zeigt allerdings, daI3 oberhalb von Ma, w 3 weniger gepfeilte Fliigel wieder besser sind. Der Deltaeffekt ist bei positiver und negativer Pfeilung gleich. Moglichst sollten dabei Querstrome, die infolge der Tangentialkomponenten c, der Geschwindigkeit entstehen, durch entsprechende Einrichtungen (Bremszaune) vermieden, zumindest jedoch vermindert werden, da diese merklichen Storeinflulj auf die Profilumstromung ausiiben. Brems- oder Grenzschichtzaune sind, wie erwahnt, in Flugrichtung verlaufende, auf die Tragflachen aufgesetzte Blechwande oder

Bild 5-54. Flugelpfeilung (A-Flugel) zur Herabsetzung der kritischen ,,Normal"-MACH-ZahlMa,,,,,: Ma,, , = c,, , ,,la, = cos a . c,la = cos a . Ma,. andere Erhebungen, deren mittlere Hohe etwa der halben Profildicke entspricht. Zusammenfassend kann festgestellt werden: Bei transsonischen Stromungen bleibt ein Teil der Storungen (Uberschallgebiet), relativ betrachtet, am Ort stehen. Ein Flugzeug, das ungefahr mit Schallgeschwindigkeit fliegt, wird demnach von einem Teil seiner eigenen Storungen begleitet. Dies hat grolje Auswirkungen auf die Luftkrafte und die Lage ihrer Resultierenden zur Folge. In der Nahe der Schallgeschwindigkeit wachst der Luftwiderstand bis auf ein Vielfaches. Das Flugzeug wird entsprechend gebremst. Hinzu treten starke Anderungen des Auftriebs, was unangenehme Fallbeschleunigungen bewirken kann. Deshalb galt die Schallgeschwindigkeit lange Zeit als obere Grenze fur Flugzeuge. Auch die heutigen Uberschallflugzeuge versuchen stets, die Schallgeschwindigkeit nur kurzzeitig zu fliegen. Die sog. Schallmauer sol1 also schnell ,,durchstoI3enUwerden, d. h. die Beschleunigung so grolj sein, dalj der Ubergang vom Unterschall in Uberschall moglichst rasch erfolgt. Im ~berschall~ebiet sind dann keine Anhaufungen von Storungen vorhanden. Es herrschen wieder regelmaljige Verhaltnisse. Benennungen bei Pfeilfliigeln (Bild 5-54) im Uberschallgebiet mit Ma, = c,,,/a, = cosci . c,/a, = cosci . Ma, sind: Wenn - Ma, < I Bezeichnung: Unterschallkanten - Ma, > I Bezeichnung: ~berschallkanten Wahrend Fliigel mit ~berschallkantendie Stromung stromaufwarts vor den Kanten nicht beein-

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

flussen konnen, ist bei Unterschallkanten ein EinfluR vorhanden. Aerodynamisch gunstige Uberschallflugkorper, z. B. ~berschallflugzeu~e, sollten moglichst so ausgebildet werden, daI3 sie ganzlich innerhalb des MACH-Kegelsliegen, der von ihrer vordersten, hierfiir eigens angeordneten Spitze ausgelost wird. Sie sollten also Unterschallkanten aufweisen. 1st dies technisch nicht zu verwirklichen, sollten die schlanken Fliigel mit ihren scharfen Vorderkanten so gestaltet werden, daI3 sich die Stromung im gesamten Flugbereich von der Vorderkante stets in eindeutig kontrollierbarer Weise ablijst und damit beherrschbar ist (stabiler Flugbetrieb). 5.5.3.2 Reiner ~berschall Das ~berschall~ebiet wird, wie in Abschnitt 5.1 erwahnt, in zwei Bereiche - Supersonic Ma > 1 (1,25(1,8) 2 Ma < 5) - Hypersonic Ma P 1 (Ma 2 5) aufgeteilt. Der Grund liegt darin, daI3 hypersonische Stromungen durch besondere physikalische Merkmale gekennzeichnet sind, die bei supersonischen nicht auftreten. Es kommt zu Dissoziations- und Ionisationseffekten des umgebenden Mediums, also der praktisch immer feuchten Luft, die deshalb nicht mehr als thermodynamisch ideales Gas betrachtet werden darf. Hypersonic ist ein verhaltnismaRig neues Gebiet der Fluidmechanik. Trotzdem sind mehrere Fachbucher verfiigbar, z. B. von E. BECKER[80] und J. ZIEREPP[83]. Die verschiedenen Voraussetzungen und Kennzeichen hypersonischer Stromungen sind der einschlagigen Fachliteratur zu entnehmen. Im hypersonischen Gebiet konnen ebenfalls sowohl Kompressions- als auch Expansionsstromungen auftreten. Wie bei supersonischen Stromungen ist dabei die Form des umstromten Korpers, insbesondere die Ausbildung der Nase (spitz, stumpf!) bedeutungsvoll. Das Gebiet der Hypersonic sprengt den Rahmen dieses Buches. Es wird deshalb nicht behandelt und auf das aufgefuhrte Schrifttum verwiesen. Einen Hinweis uber in der Natur auftretende und technisch erreichbare MACH-Zahlen sollen folgende Beispiele geben: a) Ein Meteor dringe mit der Geschwindigkeit von 30 km/s in die Atmosphare ein. Die Temperatur der Stratosphare betrage ca. -50°C (Bild 2-16). Bei diesen Werten sind:

367

Schallgeschwindigkeit in der Stratosphare:

b) Eine Rakete benotigt zum Verlassen der Erde die Anfangsgeschwindigkeitvon 11,2 km/s (Fluchtgeschwindigkeit).Die Lufttemperatur betrage 20 "C. Hierfur ergeben sich: Schallgeschwindigkeit a= MACH-Zahl

= J1,4

,287 .293 = 343 m/s

Ma = c/a

=

33

c) Ein Satellit kreise mit 7,8 km/s Geschwindigkeit um die Erde. Die Stratospharentemperatur betrage wieder - 50 "C. Die MACH-Zahlist dann: Diesen MACH-Werterreicht auch der amerikanische Raumgleiter ,,Space Shuttle" aus dem Weltraum kommend beim Eintritt in die Atmosphare und wird dann bis auf die Landegeschwindigkeit von ca. 100 m/s verzogert. d) Ein GeschoR erreiche die Geschwindigkeit 1200m/s. Bei einer Lufttemperatur von 20 "C betragt die MACH-Zahl(a = 343 m/s; Tabelle 1-16): Die bei Naturereignissen erreichten MACH-Zahlen sind somit wesentlich hoher als die in der Technik bisher verwirklichten. In folgendem sollen supersonische Stromungen betrachtet werden. Bereits die Untersuchung der ebenen Unterschallstromung urn Tragtliigel (Abschnitt 4.3.3.8) fuhrte zu dem Ergebnis, daR zwecks Vermeiden schadlicher Wirbelbildung infolge Grenzschichtablosung die Profile um so schlanker ausgefuhrt werden mussen, je groRer die MACH-Zahlist. Das gleiche gilt auch fur Ubers~hall~rofile. Zudem kann, wie noch zu zeigen ist, der Wellenwiderstand herabgesetzt werden, wenn die Profilnase nicht abgerundet, sondern spitz ausgefuhrt wird. Aus diesen Erkenntnissen folgt, daI3 moglichst diinne, vorne und hinten spitz ausgebildete Profile fur ~berschallgeschwindigkeiten aerodynamisch am gunstigsten sind. Als Idealbild eines Uberschallflugels kann demnach die angescharfte ebene diinne Platte mit geringem Anstellwinkel 6 angesehen werden, gemaI3 Bild 5-55. Die ebene, d. h. zweidi-

368

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

mensionale, ~berschallstromungum eine angestellte Rechteckplatte (Spannweite co) und die daraus resultierenden Oberflachendrucke bzw. -krafte, lassen sich mit Hilfe des CharakteristikDiagrammes von PRANDTL-BUSEMANN (Abschnitt 5.4.2.2) verfolgen. Hier moge nur der grundsatzliche Verlauf der Stromung kurz aufgezeigt werden. Ihre Randbedingungen sind bestimmt durch die ungestorte Anstromgeschwindigkeit c,, die Stromungsrichtungen langs von Plattenober- und Unterseite sowie die zur Anstromung parallele Abstromung hinter der Platte, die ebenfalls mit der Geschwindigkeit c , erfolgen muR, da keine globale MACH-ZahlAnderung vorliegt: Der Stromungsverlauf ist prinzipiell der gleiche wie der entlang einer schwach geknickten Wand (Abschnitt 5.4.2.2 und 5.4.3), und zwar konvex bei der Saugseite sowie konkav fur die Druckseite. Auf der Saugseite (Oberseite) stellt sich an der Plattenvorderkante zunachst eine stetige Verdunnungsstromung (Verdunnungswelle) gemaD Bild 5-42 ein, die so lange anhalt, bis die Geschwindigkeitsrichtung mit der Plattenrichtung ubereinstimmt. Es findet also eine Drehung der Stromlinien um den Anstellwinkel 6 statt. Auf der Druckseite erfolgt - ausgehend von der Plattenvorderkante e i n schrag& VerdichtungsstoD, durch den die Stromung unterhalb der Platte unstetig in deren Richtung abgelenkt wird. An der Plattenhinterkante ergibt sich das umgekehrte Bild insofern, als jetzt der Druckausgleich auf der Oberseite unstetig durch einen schragen VerdichtungsstoB (Druckerhohung) und auf der Unterseite durch eine Verdunnungswelle (Druckabsenkung) bewirkt wird. Auf beiden Seiten der theoretisch unendlich diinnen Platte ist die Stromungsgeschwindigkeit jeweils konstant, oben hoher, unten niedriger, jedoch uberall groBer als die Schallgeschwindigkeit. Der in Bild 5-55 eingetragene Stromlinienverlauf verdeutlicht diese Feststellung. Die Druckverteilung ist deshalb iiber die ganze Plattenlange oben und unten ebenfalls jeweils konstant. Dies hat zur Folge, daD die resultierende Flugelkraft FRe, senkrecht auf die Plattenebene wirkt und in deren Mitte angreift, sofern alle Reibungseinflusse unberiicksichtigt bleiben. Die einfache Platte ist aus Materialfestigkeitsgrunden jedoch nicht geeignet, die bei der ~berschallumstromung auftretende Kraft zu ubertragen. Das nachst einfache Gebilde als Profil ist der sog. Doppelkeil. Dieser bietet die Moglichkeit, in

Zum Vergleich Auftr~ebsverte~lungbet
Bild 5-55. Ubers~hallstromun~um eine angestellte ebene Platte. Oberseite, Index o, Verdunnung der Stromlinien (groBerer Abstand) und Unterseite, Index u, Stromlinien-Verdichtung(kleinerer Abstand). seinem Inneren die zur Kraftaufnahme notwendigen Strukturversteifungen vorzunehmen. Durch ein etwas komplizierteres Zusammenwirken der Drucke entsteht beim angestellten Doppelkeilprofil der Auftrieb, hier nicht genauer dargestellt. Auch das angestellte Linsenprofil (Bild 5-56) ist moglich. Praktisch muD das Profil somit, nicht zuletzt aus Festigkeitsgrunden, uberall eine endliche Dicke erhalten. Hierbei ist also wie erwahnt, im allgemeinen eine leicht konvex gewolbte Saugseite zweckmaoig, wahrend die Vorder- und Hinterkante des Profils moglichst zugespitzt sein sollten. Die bei Ma < I ublichen, vorn verdickten Flugelprofile sind also bei ~berschall(Ma > 1) wegen des groDen Widerstandes ungeeignet. Das bisher Betrachtete ergibt, da13 bei Uberschallstromungen um Profile - auch bei Reibungsfreiheit - stets eine Widerstandskomponente auftritt. Deren Arbeit (Exergieverlust) ist nach BUSEMANN das Aquivalent der Entropievermehrung infolge der schragen VerdichtungsstoBe. Dieser, als Folge der durch die MAc~-Wellengestorten Stromung, verursachte Widerstand wird deshalb, wie schon erwahnt, als Wellenwiderstand F,,,, bezeichnet. Daher gilt in Bild 5-55: Fw =FW,,,.

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

Nach Bild 5-55 folgt fur die theoretische Gleitzahl bei reibungsfreier ~berschallstromung: E,,

= FW/FA = tan 6

(5-218)

Im ~berschallbereichtritt somit selbst bei Reibungsfreiheit schon eine Gleitzahl auf (E,, >0), bedingt durch den Wellenwiderstand (Fw =FW, we). Das ist gegendtzlich zur Subsonic-Stromung. Dort ist bei idealem Fluid keine Widerstandskraft vorhanden und damit E,,, = 0. Tatsachlich ist jedoch bei realer SupersonicStromung infolge Reibung und Wirbel die Widerstandskraft Fw immer hoher als nach Bild 5-55 (Fw>FW,,,), so daD gilt: Die (tatsachliche) Gleitzahl E bei realer uberschallstromung ist immer groaer als der Tangens des Anstellwinkels (& > &,). Analytisch lassen sich bei reibungsloser Stromung fur den dynarnischen Auftrieb und den Wellenwiderstand Naherungsformeln angeben. Diese folgen aus der linearisierten Potentialgleichung (lineare Theorie bei schwacher Umlenkung). Wie dargelegt, konnen die Uberlegungen fiir die Stromung langs einer schwach konvex bzw. konkav geknickten Wand nach Abschnitt 5.4.2.2 und 5.4.3 unmittelbar auf die uberschallschnelle Umstromung der ebenen, wenig angestellten Platte (6 =Ad) entsprechend ubertragen werden. Als Druckdifferen;! gegenuber der ungestorten Anstromung ergibt sich dann nach G1. (5-215) mit dem kleinen Anstellwinkel6 im BogenmaD:

369

Der Druckunterschied zwischen Plattenunter- und Plattenoberseite ist dann: A~ges= ~u - PO = A P ~ AP~ GI. (5-219) eingefuhrt, ergibt: a t6 Apses = 4 ' - , eM, &

2 Mit der Plattenflache A,, = b L, dem Anstellwinkel6 (im BogenmaD) und G1. (5-223) ergeben sich:

.

Resultierende Plattenkraft F,,, = Ap,,, .AF,:

F,,, = 4 .

M

C;

Ma:

.em.--. 2

6.A"

Auftriebskraft FA: FA = FRes. cos 6 x FRes ( Wellen-) Widerstand Fw,, :

Fw,we = FRes. sin 6 x F,,, . 6 (5-226) Fw= FW,,, da ideale Stromung (Bild 5-55). Mit diesen Gleichungen folgen fur die dimensionslosen Flugelbeiwerte, wobei Anstellwinkel 6 wieder im BogenmaB: Auftriebsbeiwert i A : (a=-

= &es 4 4, 'AFI qm'AFI

. JMa' Ma:

Wellen-Widerstandsbeiwert ,(

'.,

(5-227,

:

Hierbei ist q, der Staudruck der Anstromung:

Mit c i = a ~ , . ~ a i = x . P " . ~ wird at q, =

e,

It

Z.p , . Ma:

(5-221)

In G1. (5-219) gilt: Das positive Vorzeichen fiir die Druckseite (Plattenunterseite, Index u): Ap, = p, - p, > 0 -t uberdruck! Das negative Vorzeichen fur die Saugseite (Plattenoberseite, Index 0): Ap, = po - p, < 0

Durch Separieren des Anstellwinkels 6 aus G1. (5-227) und Einsetzen in G1. (5-229) ergibt sich:

-+

Unterdruck!

Der Auftriebswert (, ist nach G1. (5-227) direkt proportional dem Anstellwinkel 6. Der Wellenwiderstandsbeiwert verhalt sich dagegen gemaD Beziehung (5-230) proportional zum Quadrat des Auftriebsbeiwertes (, und damit des Anstellungswinkels 6. Die Polare, Bild 5-61 und Bild 5-62, hat deshalb bei idealer ~berschallumstromung einen parabolischen und bei realer einen parabelahnlichen Verlauf. Die parabolische Ab-

370

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

nach dern Profil der Druck sowie die Geschwindigkeit der ungestorten AuDenstromung wieder erreicht und die Stromlinien in ihre urspriingliche horizontale Lage abgelenkt. Die vom Vorderteil des Profils ausgehenden Wellen treffen die Front des vorderen VerdichtungsEin weiteres, im einschlagigen Schrifttum vielfach stoDes, die vom hinteren Teil ausgehenden Wellen behandeltes Beispiel einer linearisierten ~ b e r - die SchwanzstoBfront. Sie schwachen die Starke schallstromung ist die symmetrische Umstromung der VerdichtungsstoDe um so mehr ab, je groBer (6 = 0) eines endlich dicken, bikonvexen Parabel- der seitliche Abstand vom Profil wird. Somit erprofiles (Linsenprofil) entsprechend Bild 5-56. Von folgt seitlich ein allmahlicher ~ b e r g a n gin die ,,under Profilnase ausgehend, entsteht zunachst auf gestorte" AuBenstromung, die Storung flacht ab. beiden Profilseiten je ein schrager Verdichtungs- Das auf diese Weise theoretisch entworfene Bild st00 (Kopfwelle). Die ~berschall~eschwindi~keitkann experimentell durch Schlierenaufnahmen gut bleibt dabei erhalten, wenn auch von geringerer bestatigt werden. MACH-Zahl,jedoch steigt der Druck. Hinter den Infolge der zur waagrechten Staustromlinie symschragen VerdichtungsstoBen besteht demnach metrischen Umstromung ist die Wirkungsrichtung ~ b e r d r u c k der , auf beiden Seiten gleich groD ist. der Resultierenden der an der ProfiloberflachewirWie in Abschnitt 5.4.3 geschildert, kann die kon- kenden Krafte ebenfalls waagrecht. Das Profil ervex gekriimmte Profilkontur in einzelne, verschie- fahrt also einen Wellenwiderstand (auch bei idealer den stark geneigte Flachenelemente aufgelost Stromung), jedoch keinen Auftrieb. Der Wellenwiderstand ist wieder abhangig von der Anstromwerden. MACH-Zahl und dern Quadrat des maximalen Von den vielen ,,Knickstellena gehen jeweils Ver- Dickenverhaltnisses d/L. diinnungswellen aus. Durch diese Verdiinnungs- Durch Anstellung des Profils andert sich das Strowellen wird der ~ b e r d r u c kallmahlich wieder ab- mungsbild, jedoch nicht grundsatzlich. AuBer dern gebaut und auf den riickwartigen Profilbereichen unvermeidlichen Wellenwiderstand und dern Reisogar beidseitig in Unterdruck verwandelt. Am bungs- sowie Formwiderstand bei den realen Hinterende stoBen die Stromungen von beiden Fluiden tritt dann auch als gewiinschte GroBe die Seiten des Profils unter ahnlich groBen Winkeln zum Fliegen notwendige Querkraft auf. zusammen, was abermals zu zwei schragen VerdichtungsgroBen (Schwanzwellen) fiihrt. Diese Die Ausbildung und Lage der vorderen StoBfront VerdichtungsstoDe an der Profilhinterkante verur- (Kopfwelle) ist abhangig von der Stirnform des sachen erneut eine Druckerhohung. Dadurch wird angestromten Korpers. In Bild 5-57 sind verschiedene Falle dargestellt. An der Keilspitze geht, entsprechend der Stromung entlang der eingeknickten Wand (Abschnitt 5.4.2.2), wieder nach beiden Seiten je ein schrager VerdichtungsstoD aus. Wenn der Keilwinkel2 .6, sehr klein ist, Bild 5-57,a, sind die von der Vorderkante ausgehenden feinen StoBlinien gegeniiber der Richtung der parallelen Anstromung um den M ~ c ~ s c h Winkel en cr, geneigt. Wird der Keilwinkel groBer, werden die StoDlinien dicker und neigen sich unter dern Winkel a,, der grol3er ist als der MAc~-Winkela,, . Die Richtung der Stromlinien verlauft hinter dern StoB parallel zur Keiloberflache. Wie in Abschnitt 5.4.2.2 begriindet, erfahren die Stromlinien an der StoBfront einen Knick. Ab einem bestimmten Keilwinkel lost sich die Bild 5-56. ~berschallschnelle Stromung um Linsenpro- StoBfront von der Keilspitze entgegen der Strofil ohne Anstellung (6 = 0").Ma > 1 in der gesamten Um- mungsrichtung ab. Es bildet sich ein abgehobener gekriimmter VerdichtungsstoD. Der StoBwinkel ist stromung. dl1 Dickenverhaltnis. hangigkeit zwischen und [, ist analog der Widerstandsparabel des induzierten Widerstandes bei elliptischer Auftriebsverteilung eines Fliigels endlicher Spannweite in realer (inkompressibler) Unterschallstromung (Abschnitt 4.3.3.9).

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

Bild 5-57. Ausbildung der StoBfront. Die Lage der StoBfront ist abhangig von der Form des angestromten Kiirpers. Bei sehr kleinen Offnungen (Teilbild a) geht der StoBwinkel in den bi~c~schen Winkel iiber. Bei sehr groBen Winkeln (Bildteile d bis f) kommt es zur Ablosung des StoBes.

jetzt entlang der StoBfront nicht mehr konstant, was bedeutet, daB der Stromungszustand zwischen StoD und Korper nicht mehr gleichmaBig bleibt. In der Symmetrieebene ist cl =9O0 (senkrechter StoB), wahrend der Neigungswinkel cc der StoBfront nach aul3en monoton abnimmt. In genugend groBer seitlicher Entfernung vom Korper strebt der StoBwinkel wieder dern zur M ~ c ~ - Z a der h l Anstromung gehorenden MACH-Winkela,, zu. Dies trifft auch bei den StoBfronten zu, die an spitzen Korpern anliegen. Wahrend bei keilformig zugespitzten Korpern in ijberschallstromung je nach MACH-Zahlund Keilwinkel sowohl anliegende als auch abgehobene VerdichtungsstoDe auftreten, bilden sich bei vorne stumpfen Korpern nur abgehobene StoBe aus. Bei solchen Korpern herrscht in der Umgebung der Stromlinie, die zum Staupunkt fuhrt, infolge des dort senkrecht verlaufenden VerdichtungsstoBes, hinter der StoBfront immer Unterschallstromung. Vor dern Korperkopf entsteht deshalb ein Unterschallgebiet, in dern sich daher Storungen in begrenztem MaBe, d, h. bis zur StoBfront, stromaufwarts bemerkbar machen konnen. Dies ist die einzige ~berschallstromun~,bei der Unterschallgeschwindigkeit auftritt. Aul3erhalb des durch die Linie entsprechend der ortlichen MACH-Zahl Ma = 1 begrenzten Bereiches herrscht auch zwischen StoBfront und Korper uberschall.

371

Bild 5-58. Kopfwelle vor iiberschallschnell angestromtem Korper mit eingetragenem Druck- und Geschwindigkeitsverlauf entlang der Staustromlinie bis zum Staupunkt S. Relativvorgang, d. h., es kann sich der Korper und/oder das Fluid bewegen. Liegt die Anstromung knapp im uberschall (Ma s 1,1, also Transsonic), ergibt sich am Korpervorderteil eine von der Zustrom-MACH-Zahl nahezu unabhangige Geschwindigkeitsverteilung. Bedingt ist dies durch die Erscheinung, daB sich bei geringem uberschall schon weit von dern Korper ein nahezu senkrechter VerdichtungsstoB ausbildet, der hinter der StoB-Front Unterschallstromung bewirkt. Der Verdichtungsstol3 bewegt sich mit dern Korper fort (Bild 5-2). Die Kopfwelle (StoBfront) liegt bei groBer Geschwindigkeit dagegen eng am Korper an und riickt nur bei geringerer weiter von ihm ab. Vor dern abgerundeten, iiberschallschnell umstromten Korper in Bild 5-58 bildet sich somit als StoDfront eine abgeloste Kopfwelle in geringem Abstand vor dessen Nase aus, die nach den Seiten hin allmahlich in eine normale Kegelwelle vom MAcHschen Winkel ubergeht (Bild 5-57,d). Je groBer die Zustrom-MACH-ZahlMa, desto geringer ist, wie envahnt, der Abstand der Kopfwelle vom Korper (Ma0 t in Bild 5-58). Der Verzweigungspunkt S der Symmetriestromlinie (Staustromlinie) ist - genau wie bei inkompressibler Stromung - ein Staupunkt, in dern die Geschwindigkeit auf null absinkt. Druck- und Geschwindigkeitsverlauf entlang der Staustromlinie sind in Bild 5-58 eingetragen. Bis zur Kopfwelle sind Druck und Geschwindigkeit in der ganzen Stro-

372

5 Striimungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

mung jeweils konstant. An der StoDfront steigt der Druck sprunghaft und anschliel3end bis zum Staupunkt stetig. Fur die Geschwindigkeit gilt das umgekehrte Verhalten. Sie fallt an der Kopfwelle plotzlich und sinkt dann stetig bis auf null am Staupunkt S. Dabei ist wieder gleichgiiltig, ob der Korper sich im Medium bewegt, oder das Medium auf den Korper zustromt oder sich sogar beide bewegen. Entscheidend ist die Relativbewegung zwischen Korper und Medium. Infolge des StoBverlustes ist der Staudruck q, d. h. der dynamische Druck am Staupunkt S, geringer als bei stetiger Verdichtung. Entsprechend der Beziehung von inkompressibler Stromung (Abschnitt 3.3.6.3.3) wird bei Gasen mit einem Proportionalitatsfaktor p fur den Staudruck p oft gesetzt: c',

q=~~-~,=e,.y-B=q,.B

und

c,=a;

M a , = , J m -

wird

Tr - T, + x y yx - R.T;Ma;

x-1

Ma,

1 1

(5-231)

Dabei ist /3, Tabelle 5-5, ein von der MACH-Zahl der Anstromung abhangiger Proportionalitatsfaktor, der den StoDverlust und den Kompressibilitatseinflul3 beriicksichtigt. Er wird als Staudruckbeiwert, oder kurz Staufaktor (-beiwert) bezeichnet. Zu beachten ist, daL3 infolge Verdichtung QS > Q, und G1. (5-231) Q, verwendet. Daher mu13 bei Ma, > 0,3 Faktor P > 1 sein, und die Formel er< g,,,,,, unter sonst gleigibt richtigerweise g,,, chen Verhaltnissen. Die Verdichtung im Staubereich, Bild 5-59, fuhrt wegen dem Staupunktdruck p, zu einer entsprechend hohen Staupunkttemperatur T s , die meist unerwunscht ist. Die Staupunkttemperatur oder kurz Stautemperatur T,, d. h. die Temperatur am Staupunkt, ergibt sich theoretisch aus der Energiegleichung bei idealem Gasverhalten: E @ - @ mit c, = 0; T,,, x Ts und c, = konst: c:/2 = h , , - h , = C, (Ts - T,) Hieraus Ts = T , + (llc,) . (~212) Mit c, = [x/(x - I)] . R (Ideales Gas!) und

Bild 5-59. Ideale und reale Verdichtung der Staupunktstromung nach Bild 5-58.

~,=a,.Ma,=Jm~.Ma,

Tabelle 5-5. Proportionalitatsfaktor P, Staudruckbeiwert, fur Luft (Richtwerte) als Funktion der Anstrom-MACH-Zahl Ma, [51].

Bei den in Abschnitt 5.5.3.2 aufgefiihrten Beispielen wurden sich gemaD G1. (5-232) Staupunkttemperaturen ergeben von T,=232. (I + 0,2. Ma:) [K]. Das waren bei Fall a) 446223K; b) 4879213; c) 30 372 K und d) 769 K. Die ersten drei Werte entsprechen nicht der Wirklichkeit da Luft unter diesen Verhaltnissen dissoziiert bzw. sogar ionisiert + Realgaseffekte. Dissoziations- und Ionisationsenergie sind sehr hoch (endotherme Vorgange), weshalb die Staupunkttemperatur entsprechend niedriger bleibt, was oft vorteilhaft. Bei sehr hohen Geschwindigkeiten (Ma-Zahlen) spielen die Realgaseffekte eine entscheidende Rolle, die durch eine Reihe chemischer Reaktionen infolge der starken Lufterhitzung in Verdichtungsstol3en und Reibungsschichten hervorgerufen werden. Diese Effekte konnen unter der Annahme von chemischem und thermischem Gleichgewicht heute bereits berechnet werden. In Zukunft wird es jedoch auch notwendig sein, Stromungen zu berechnen, die bezuglich der chemischen und der thermodynamischen Zustande nicht im Gleichgewicht sind. Dabei mussen die thermischen Relaxations "vorgange als zeitabhangige Differentialgleichungen mit in das zu losende System der Stromungsdifferentialgleichungen einbezogen werden. Bemerkung: Trotz AuBentemperatur von ca. -50°C und geringer Luftdichte (etwa 113) in 10 km Hohe (Tab. 6-4) wurde die Flugzeugaulkn'1

Relaxation . . . Erschlaffung,Abschwachung.

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

373

haut, abhangig von der Flug-MACH-Zahl,etwa folgende Temperaturen infolge Luftreibung erreichen: Temperatur ca. 150 "C ca. 400°C ca. 1500 "C Deshalb sind Kuhlung und besondere Werkstoffe notwendig. Fur isentrope Verdichtung (Zweitindex s) der Staustromung ware der Absolutdruck im Staupunkt, der theoretische Staupunktdruck p,,,: (PS.~/P~)(= ~-~"~

Bild 5-60. Widerstandsbeiwerte nach CRANZund BECKER.

[ ,

von Geschossen

Im Schallbereich (Transonic) steigen die Widerstandswerte bei allen Korperformen kriiftig an. Zu dem Flachen- sowie Formwiderstand kommt der sog. Wellenwiderstand hinzu, der, wie ausgefiihrt, durch die von der StoDfront verursachten Verluste bedingt ist. Er besitzt, wie envahnt, eine geWegen der Entropievermehrung im StoD ist der bei wisse Ahnlichkeit mit dem Wellenwiderstand der tatsachlicher Verdichtung erreichte Staupunkt- Schiffe. Bei hohen MACH-Zahlenstreben die Widruck ps, wie begriindet, kleiner als der isentrope, derstandszahlen, geringfiigig abfallend, einem also ps < psVs. Der Staupunktdruck p, (Gesamt- konstanten Wert zu. Dies kommt daher, daD der wert) ist die Summe von Staudruck q nach ,,SogG'hinter dem GeschoD mit Erreichen etwa des G1. (5-231) und statischem Druckp, der ungestor- Vakuums seine Grenze findet und sich auch die ten Anstromung. Wellenform kaum noch andert. Um den WellenwiDer Abstand t (Bild 5-58) der Kopfwelle von der derstand moglichst klein zu halten, sollten deshalb Vorderkante des iiberschallschnellen umstrijmten Korper fur ifberschallstromungen vorn, als auch Korpers ist abhangig von der Anstrom-MACH- hinten, m~glichst spitz zulaufend ausgebildet werden. Zahl Ma,, Tabelle 5-6. Auch vor PITOT-Rohren(Bild 3-35) entstehen in Fur den Bewegungswiderstand von Korpern, z.B. tiberschallstromungen derartige Kopfwellen. Das Geschosse nach Bild 5-60, gilt entsprechend der ist beim Messen mit diesen Geriten zu beachten Beziehung fur den Druckwiderstand: (Gl. 5-231). Widerstandskraff Fw: Die Ausbildung der Korpernase und damit der Kopfwelle beeinflu& wesentlich die GroDe des Stromungswiderstandes, was die von CRANZund BECKERdurchgefuhrten Messungen an Geschos- Hierbei ist As, die Querschnittsflache des Widersen, Bild 5-60, bestatigen. standskorpers senkrecht zur Bewegung. Die Widerstandswerte zeigen ebenfalls deutlich den EinfluD der Schallgeschwindigkeit(Bild 5-60). Der groBe Unterschied gegenuber der Unterschailstromung geht sehr klar aus Versuchen von BUSEMANN hervor. In Bild 5-61 sind die MeDergebnisse Tabelle 5-6. Verhaltnis von Kopfwellenabstand t einer ~berschallstromung mit Ma, = 1,47 urn und Nasenkrummungsradius R des angestromten einen von vorn bzw. hinten angestromten, profilKorpers fur einige MACH-ZahlenMa, der Anstroartig verkleideten sowie einen unverkleideten Zymung. linder dargestellt. Auch dieses Bild bestatigt, daD tiberschallprofile moghchst dunn ausgebildet sein sowie vorne und hinten spitz auslaufen sollten. Dabei sollten die Profile um so schlanker sein, je hoher die MACH-Zahlist. Die hierbei geringe AufHieraus mit G1. (5-232)

374

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Bild 5-62. Einflurj von Profilform und MAc~-Zahlauf die Polarenform bei Uberschall (Ma, > 1). Bild 5-61. Polaren bei I ,4facher Schallgeschwindigkeit von unverkleidetem und profiliert verkleidetem Zylinder bei verschiedenen Anstromrichtungen (von vorne, als auch von hinten) nach BUSEMANN. triebszahl (A wird durch die hohe Fluggeschwindigkeit kompensiert (Gl. 4-301). Die Probleme beim Starten und Landen (c, gering) sind durch entsprechende MaBnahmen auszugleichen, z. B. Zusatztragflachen (A,,-VergroBerung). Idealprofil ware daher die ebene, vorne und hinten angescharfte Rechteckplatte unter Anstellung 6 gemaB Bild 5-55. Da dies jedoch aus Festigkeitsgriinden nicht zu verwirklichen ist, wird es, wie envahnt, durch das Doppelkeil- oder Linsenprofil gema0 Bild 5-56 angenahert. Das Diagramm nach Bild 5-61 bestatigt die Tatsache, daB der Widerstand bei dem von der Spitze her uberschallschnell angestromten, profilierten Zylinder wesentlich kleiner ist (etwa die Halfte) als bei umgekehrter Anstromrichtung. Die etwas vereinfachende Aussage, daB sich ein normaler Tragflugel bei ~ b e r s c h a l lbesser nach riickwarts bewegt, ist deshalb prinzipiell richtig. Zusammenfassend kann entsprechend Bild 5-62 festgehalten werden: Die 4,-Werte gehen selten uber 0,6 bis 0,9 hinaus und sind damit nur etwa halb so groB wie bei quasi raumbestandiger Stromung. Die Sw-Werte sind mit 0,2 bis 0,4 hoch im Vergleich zu Unterschall (bis etwa 10fach). ~berschallprofile haben im Unterschallbereich wegen der spitzen Profilnase, der schwachen

Krummung und der schlanken Form sehr ungunstige Profilwerte im Vergleich zu typischen Unterschallprofilen. Umgekehrt gilt dasselbe fur Unterschallprofile, die deshalb fiir ~berschallkaum geeignet sind. Infolge des geringen Auftriebs im Langsamflug mussen daher, wie zuvor ausgefuhrt, bei Hochgeschwindigkeits-Tragflachen groBe Start- bzw. Landehilfen verwendet werden oder die Profile verstellbar sein. Landeklappen, Grenzschichtabsaugung und Ausblasen von Luft sind hierzu, wie schon erwahnt, die verbreitetsten Methoden. Verstellbare Tragflachenprofile lassen sich technisch noch nicht verwirklichen. Das VergroBern der Tragflachen durch Ausfahren von Zusatztragflachen ist jedoch realisierbar und wird haufig angewendet. Als weiteres stoBt die Steuerfahigkeit von Flugzeugen im Hochgeschwindigkeitsbereich auf Schwierigkeiten. Wegen der verwickelten Stromungsverhaltnisse und der oft nicht beherrschbaren Grenzschichtablosungen treten mitunter Situationen auf, bei denen eine Betatigung des Ruders uberhaupt keine Steuerwirkung ergibt. Die Ruderklappe arbeitet dann in einer Totraumzone. Der besondere posaunenahnliche Ton, den z. B. Luftschrauben (Propeller) aussenden, deren Flugelspitzen sich mit ~berschall~eschwindigkeit bewegen, hat ebenfalls in den entsprechenden VerdichtungsstoB-Wellen (Bild 5-58) ihren Ursprung (Abschnitt 5.2.2). Bei Hubschrauberrotoren ist dies verschiedentlich jeweils an den Stellen der Fall, wo sich das Blatt entgegen der Flugrichtung dreht. Hier addieren sich Flug- und Blattgeschwindigkeit (Relativwert).

5.5 Mehrdimensionale kompressible Stromungen

5.5.4 Blockierung (Choking) iiberschallschnell angestromter offnungen Da diese Stromung als Kombination von AuBenund Innenstromung gelten kann, soll sie hier behandelt werden. Trifft ~berschallstromun~ auf einen Auffangtrichter mit Querschnittsverengung, Bild 5-63, der deshalb als ~berschalldiffusorwirkt, konnen zwei Falle aufttreten: a) Das uberschallschnelle Fluid flieBt unter geringem Verdichten und damit Absinken der M ~ c ~ - Z adurch h l die Verengung, Bild 5-63,a. b) Vor der dffnung des Auffangtrichters bildet sich wegen starkem Ruckstau ein VerdichtungsstoB aus, hinter dem dann die 0ffnung zum einen Teil mit Unterschall durchstromt und zum anderen Teil mit verringertem ~berschallumstromt wird, Bild 5-63,b. Die Erscheinung nach Fall b wird auch als Blokkierung oder englisch mit choking bezeichnet. Logisch ware, daD Fall a dann eintritt, wenn der verengte Querschnitt A, des Trichters groBer oder gleich dem LAVAL-Querschnittist, der zum Anstromzustand gehort, weil dann in A, gerade Ma, = 1 und damit der kleinstmogliche Querschnitt der Stromrohre entsprechend einem ~ b e r schalldiffusor erreicht wurde. Tatsachlich legt sich jedoch schon bei geringerer Verengung ein StoB vor die Offnung. Durch den infolge Irreversibilitat auftretenden Ruhedruckverlust im StoB, wird auch die Dichte im kritischen Querschnitt geringer, so da13 bei Ma, = 1 durch A, weniger Masse

Trichter

Bild 5-63. Trichter mit Querschnittsverengung in Uberschall-~tromun~srichtun~: a) Durchstromung ohne Blockierung b) Durchstromung mit Blockierung

375

Tabelle 5-7. Flachenverhaltnis A,/A,, ab dem Blockierung auftritt, abhangig von der AnstromMAc~-ZahlMa, = c,/a,.

hindurchstromen kann als der Theorie entspricht. Experimentell finden sich, abhangig von der Anstrom-MACH-Zahl Ma,, fur Luft die in Tabelle 5-7 zulassigen Querschnittsverengungen A,/A,, bei denen sich gerade eine StoBfront vor die 6ffnung legt. Diese Blockierungs-Erscheinungist besonders fur ~berschallstromun~en durch Profilgitter von Bedeutung. Bei entsprechender Konfiguration ist ~berschallstromun~ durch Schaufelgitter deshalb nur beschrankt und gestort moglich. Es komrnt zur ,,Verstopfung". 5.5.5 ubungsbeispiele Ein Flugzeug fiir Mam=1,47 und dem Seitenverhaltnis 1 = 1 : 10 soll im Reiseflug mit 6 = 4" Anstellung in 10 km Hohe fliegen. Als Profile der Rechtecktragflachen sollen verkleidete Zylinder entsprechend Bild 5-61 eingesetzt werden. Die Flugzeugrnasse betragt 48 t. Gesucht : a) Fluggeschwindigkeit. b) Flache und Abmessungen der Tragfliigel b,) bei spitzem Ende als Profilnase b,) bei abgerundetem Ende als Profilnase c) Vortriebsleistung c,) bei spitzem Ende als Profilnase c,) bei abgerundetem Ende als Profilnase d) Staudruck und Staupunktsdruck e) Stautemperatur. Bemerkung: Der induzierte Widerstand soll, obwohl praktisch nicht zulassig, vernachlassigt werden. Eine um 6 = 5" schraggestellte ebene Platte sol1 von HeiBluft (200°C; 1,l bar) mit Ma, = 2,8 angestromt werden. PlattengroBe: Breite 1,8 m; Tiefe 0,8 m. Gesucht : a) Anstromgeschwindigkeit b) Re-Zahl c) Beiwerte und Krafte, die auf die Platte wirken.

376

5 Stromungen mit Dichteanderung (Gasdynamik)

Ein zylindrisches GeschoD von 2,s cm Durchmesser fliegt mit einer Geschwindigkeit von 1000 m/s. Luftzustand: 25 "C; 980 mbar. Gesucht : a) M ~ c ~ - Z a h l b) Flugwiderstand bei angespitztem und nichtangespitztem GeschoR c) Staudruck und Staupunktdruck d) Stautemperatur.

Wie andern sich in U 57 die Verhaltnisse, wenn das Flugzeug eine Geschwindigkeit von 550 km/h erreichen und der Anstellwinkel beibehalten werden soll?

6 Anhang

Tabelle 6-1. Wichtige Normen fur die Fluidmechanik. Tabelle 6-2. Volumenausdehnungskoffizient verschiedener Flussigkeiten. Tabelle 6-3. Begriffe nach DIN 2401, BI. 1, Rohrleitungen Tabelle 6-4. Zahlenwerte der Standardatmosphare. Tabelle 6-5. Viskositaten q und v von Wasser. Tabelle 6-6. Realgasfaktor Z = (p . v ) / ( R .T ) trockener Luft, abhangig von Druck und Temperatur. Tabelle 6-7. Dichte und kinematische Viskositat von Wasser. Tabelle 6-8. Normdichte und dynamische Viskositat von Gasen. Tabelle 6-9. Dichte Q von Flussigkeiten bei 15 "C. Tabelle 6-10. Mittlere Stromungsgeschwindigkeit (Richtwerte). Tabelle 6-11. Kritische REYNOLDS-Zahlen. Tabelle 6-12. Windgeschwindigkeit. Tabelle 6-13. Menschliche SchallgroBen. Tabelle 6-14. Rauhigkeitswerte von Rohren. Tabelle 6-15. Zulassige Rauhigkeitshohe nach Bild 6-43. Tabelle 6-16. Widerstandszahlen von Kugeln, Kreiszylindern und Kreisscheiben Tabelle 6-17. Widerstandszahlen von Fahrzeugen. Tabelle 6-18. Anstellwinkel und Gleitzahlen verschiedener Korper. Tabelle 6-19. Thermische Stoffwerte x und R. TabeIle 6-20. Stoffwerte verschiedener Gase. Tabelle 6-21. Zusammenstellung wichtiger vektor-analytischer Rechenoperationen. Tabelle 6-22. Koordinatentransformationen.

377

Bild 6-1. Dynamische Viskositat von Wasser. Bild 6-2. Kinematische Viskositat und Dichte von Wasser. Bild 6-3. Viskositatsbereiche der SAE-Klassen von &en. Bild 6-4. Dynamische Viskositat von Fluiden. Bild 6-5. Dynamische Viskositat von Luft. Bild 6-6. Dynamische Viskositat von Gasen. Bild 6-7. Dynamische Viskositat von Wasserdampf. Bild 6-8. Kinematische Viskositat von Fluiden. Bild 6-9. Kinematische Viskositat von Gasen. Bild 6-10. Kinematische Viskositat von Wasserdampf. Bild 6-1 I. Widerstandsdiagramm nach MOODY und COLEBROOK. Bilder 6-12 bis 6-20. Widerstandszahlen von Krummern. Bild 6-21. Widerstandsbeiwerte von NormDrosselgeraten. Bild 6-22. Widerstandszahlen von Lochblechgittern. Bilder 6-23 bis 6-27. Widerstandsbeiwert verschiedener Kriimmer. Bilder 6-28 bis 6-35. Widerstandszahlen verschiedener Einbauteile. Bilder 6-36 und 6-37. Widerstandsbeiwerte von Dusen und Diffusoren. Bild 6-38. Druckverlustbeiwerte von Kreisbogenkrummern, abhangig von Rauhigkeit und RE~~oLDszahl. Bild 6-39. DurchfluDzahlen von Drosselgeraten. Bilder 6-40 und 6-41. Expansionszahlen von Norm-Blenden. Bild 6-42. Widerstandszahlen von Platten. Bild 6-43. Zulassige Rauhigkeitshohe von Platten und Profilen. Bild 6-44. Technisch erreichbare Rauhigkeiten. Bild 6-45. Diagramm zu Tabelle 6-16. Bild 6-46. Widerstandsbeiwerte von Widerstandsund Profilkorpern. Bild 6-47. Tragflugelprofil G 387. Bild 6-48. (h,s)-Diagramm fur Wasserdampf. Bild 6-49. Windkanale

6.2 Tabellen und Bilder Tabelle 6-1. Wichtige Normen fur die Fluidmechanik. DIN 1301: DIN 1302: DIN 1303: DIN 1304: DIN 1305: DIN 1306: DIN 1313: DIN 1314: DIN 1342: DIN 1343: DIN 1345: DIN 1952: DIN 5492: DIN 5494: DIN 5497: DIN 19 202:

Einheiten; Einheitennamen, Einheitenzeichen Mathematische Zeichen Schreibweise von Tensoren (Vektoren) Allgemeine Formelzeichen Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung Dichte, Begriffe Schreibweise physikalischer Gleichungen in Naturwissenschaft und Technik Druck; Begriffe, Einheiten Viskositat N E W T O N SFlussigkeiten C~~~ Normzustand, Normvolumen Technische Thermodynamik; Formelzeichen, Einheiten VDI-DurchfluBmeDregeln; DurchfluBmessung mit genormten Dusen, Blenden und V E N T U R I ~ U S ~ ~ Formelzeichen der Stromungsmechanik GroDensysteme und Einheitensysteme Mechanik starrer Korper; Formelzeichen DurchfluBmeBtechnik; Kennzeichnung und Priifverfahren fur DurchfluBmesser

DIN 19 204: DIN 51 511: DIN 51 512: DIN 51 550: DIN 51 560:

DIN 51 562: DIN 51 563:

DIN 53 012: DIN 53 015: DIN 53 016:

DurchfluBeinheiten und Skalen fur die DurchfluBmeBtechnik Schmierstoffe: SAE-Viskositatsklassen fur Motoren-Schmierole SAE-Viskositatsklassen fur Kraftfahrzeug-Getriebeole Viskosimetrie; Bestimmung der Viskositat, Allgemeines Priifung von Mineralolen, flussigen Brennstoffen und verwandten Flussigkeiten. Bestimmung der relativen AusfluBzeit mit dem E N G L E R - G ~ ~ ~ ~ Viskosimetrie: Messung der kinematiwhen Viskositat mit dem UBBELOHDEViskosimeter Prufung von Mineralolen und verwandten Stoffen; Bestimmung des Viskositats-Verhaltens (VT-Kurve); Richtungskonstante m Kapillarviskosimetrie N ~ w ~ o ~ s c h e r Flussigkeiten; Fehlerquellen und Korrekturen Messung der Viskositat mit dem Kugelfall-Viskosimeter nach HOPPLER Messung der Viskositat mit dem Freiflul3-Viskosimeter

Tabelle 6-2. Volumenausdehnungskoeffizient fi in grd-' (Richtwerte) einiger Flussigkeiten bei 1bar Druck und in dem ublichen mittleren Temperaturbereich. Abkurzung grd gemal3 Abschnitt 5.3.1.2.1. Bemerkung: eo.Vo=e.V=rn

Fluid Azeton Ether Benzin Benzol Ethanol Mineral01 Quecksilber Wasser

eo . Vo = ( e o + A e ) .(Vo+AV)

~o~V,=~o~Vo+~o~AV+A~~VO+A~~AV Mit A@. A V als klein von 2. Ordnung in guter Naherung vernachlassigbar, wird: AV ----=

vo

Volumenausdehnung bei Temperaturanderung Endvolumen bei konstantem Druck

V = V,

+AV

eo

"At

Tabelle 6-3. Begriffe nach DIN 2401, Bl. 1, Rohrleitungen. Nenndruck: Der Nenndruck ND einer Rohrleitung ist der Druck, fur den genormte Rohrleitungsteile bei Zugrundelegung eines bestimmten, in den jeweiligen MaRnormen genannten Ausgangswerkstoffes bei der Temperatur 20°C ausgelegt sind. Druckstufen: Stufung der Nenndrucke in Anlehnung an die Normzahlen. Die Druckstufen der Nenndrucke bilden die Grundlage fur den Aufbau der Normen fur Rohrleitungsteile. Zulassiger Betriebsdruck: Der zulassige Betriebsdruck in einer Rohrleitung ist der hochste Druck, dem fur einen bestimmten Nenndruck ausgelegte Rohrleitungsteile im Betrieb unterworfen werden durfen. Seine Hohe richtet sich nach der Betriebstemperatur und dem Werkstoff. Wird der in den Maanormen vorgesehene Ausgangswerkstoff verwendet, so ist bei der Temperatur 20°C der zulassige Betriebsdruck gleich dem Nenndruck. Bei anderen Temperaturen ist seine Abhangigkeit vom Nenndruck fur einzelne Werkstoffe bzw. Werkstoffgruppen besonderen Normen zu entnehmen. Druckschwankungen, mogliche Temperaturerhohungen sowie zusatzliche mechanische Beanspruchungen sind bei der Ermittlung des zulassigen Betriebsdruckes zu berucksichtigen. In solchen Fallen

kann es zweckmal3ig sein, eine hohere Nenndruckstufe zu wahlen.

Priifdruck: Der Prufdruck ist der zur Priifung der einzelnen Rohrleitungsteile vom Hersteller anzuwendende Druck bei Raumtemperatur. Soweit in einzelnen Normen nichts anderes festgelegt ist, ist seine Hohe gleich dem 1,Sfachen Nenndruck. Nennweite (nach DIN 2402): Die Nennweite NW ist eine KenngroRe. Sie wird bei Rohrleitungssystemen als kennzeichnendes Merkmal zueinandergehorender Teile, wie Rohre, Rohrverbindungen (Flansche), Formstucke, Armaturen usw. benutzt. Die Nennweite hat keine Einheit und darf nicht als MaBeintragung im Sinne von DIN 406 benutzt werden. Die Nennweiten entsprechen bei ublicher Wanddicke annahernd den lichten Durchmessern (lichte Weite) in mm der Rohrleitungsteile. Da im allgemeinen die AuBenabmessungen der Rohre, Formstucke, Armaturen usw. mit Rucksicht auf Anwendung, Herstellung und Verarbeitung (Montage) festliegen, konnen die lichten Durchmesser je nach den ausgefuhrten Wanddicken Unterschiede gegenuber den KenngroRen der Nennweite aufweisen, z. B. dickwandige Ausfuhrung. Die Nenn-Weite NW wird auch als Nenn-Durchmesser DN bezeichnet.

Tabelle 6-4. Zahlenwerte der Standardatmosphare ICAO und Normatmosphare nach DIN 5450 fur Hohe von 0 bis 20 km uber dem Meer (NN). ICAO, International Civil Aviation Organization. z Hohe iiber NN, p Druck, Q Dichte, T Kelvin-Temperatur und t Celsius-Temperatur, a Schallgeschwindigkeit sowie v kinematische Viskositat. Bis z x 10 km Hohe Troposphare. Ab Hohe ca. z = 10 km bis etwa z = 50 km Stratosphare. Daruber Mesosphare (bis ca. 100 km) und danach Thermosphare. P bar 0,2270 0,1930 0,1650 0,1410 0,1200 0,1030 0,0879 0,0751 0,0641 0,0547 Bemerkung: Temperaturabfall bis 11 km Hohe (Troposphare) ungefahr 6,s "C je 1000m Hohenzunahme.

Tabelle 6-5. Viskositaten y [Pa. s] und v [m2/s]von Wasser in Abhangigkeit von der Temperatur t ["C] und dem Druck p [bar] [102]. Werte des thermischen kritischen Punktes: p,, = 231 bar; tkr = 374,lS O C . Temp. t

I 50 bar

,

Druck p I00 bar lo6.v 106. q

ar

300 bar

0,295 I36 bar)

Tabelle 6-6. Realgasfaktor Z = ( p .v)/(R. T ) trockener Luft, abhangig von Druck und Temperatur [102]. - 50

0

50

Temperatur in "C 100 200

300

500

1000

Tabelle 6-7. Dichte Q [kg/m3]und kinematische Viskositat v [m2/s]von Wasser in Abhangigkeit von der m2/s = 1 mm2/s. Temperatur t ["C]. Bis 100 "C bei 1bar, dariiber im Siedezustand [78]. v = V/Q.1 .

@)= a . ebN" +" mit t ["C] und

?o . [I - P . (t - to)] sowie A@= e - eo

mit t ["C] bis etwa t = 100°C und t0=1O0C; At=t-to po = @(to) = p(1O "C) = 999,6 kg/m3 (t) = 0,00031 . (OJ3 +O,83 .(t/t,)0.06)

Tabelle 6-8. Normdichte und dynamische Viskositat [Pa. s] von Gasen bei 1 bar Druck und verschiedenen Temperaturen. Gas

eN(kg/m3) en&dm3) (20 "C; 1 bar)') (0 "C; 1,0133 bar) 2,

Luft 0 2

N,, CO

co2 NH3 c12 Hz CH4 H2S

1,189 1,314 1,126 1,783 0,695 2,9 0,0809 0,647 1,387

- 30 "C

15,9 17,7 15,5 13,O 8,5 11,6 82 9,5 10,7

1,293 1,429 1,149 1,817 0,709 3,002 0,0826 0,659 1,415

0 "C 17,7 19,4 17,O 14,4 9,5 12,8 8,9 10,5 12,O

lo6. q 100 "C 50 "C 20,4 22,2 19,4 16,6 11,5 15,O 9,9 12,2 14,2

22,7 25,1 21,7 18,9 13,4 17,2 10,9 13,8 16,4

200 "C

300 "C

26,5 29,6 25,7 23,2 17,2 21,4 12,6 16,4

30,3 33,6 28,5 27,2 21,O 25,6 14,2 18,7

Technischer Normzustand; 2, Physikalischer Normzustand

Tabelle 6-9. Dichte Q [kg/m3](Richtwerte) von Fliissigkeiten bei 15 "C und 1bar. -

Ether Alkohole Methanol Ethanol

730 790 710

Benzine

Flugbenzin Fahrzeugbenzin Diesel Glyzerin

720 735 850 1260

Mineralole

Spindelol Maschinenol Zylinderol Natronlauge mit 22 % NaOH mit 66 % NaOH Organische Ole

Olivenol Rizernusol

900 910 930

Salpetersaure mit 70 % HNO, Salzsaure mit 20% HCl Schwefelsaure mit 65 % H,SO, Spiritus, 90 Vol-% Steinkohlenteerol Teerol (allgemein) Terpentinol

1420 1100 1600 820 1200 1100 860

Tabelle 6-10. Mittlere Stromungsgeschwindigkeit c in Rohrleitungen (Richtwerte). Medium, Leitung

-

Wasser (Flussigkeiten) Kurzere Leitungen Langere Leitungen Trinkwasser-Verteilungsnetze Pumpen-Saugleitungen Pumpen-Druckleitungen Turbinen-Zuleitungen 61- Pipeline Luft (Gase) Bei niedrigen Drucken (Niederdruck) Bei mittleren Drucken (Mitteldruck) Bei hohen Drucken (Hochdruck) PreBluft (Druckgas) Stadtgas-Verteilungsnetze Gas-Fernleitungen (Erdgas, Hz u. a,) Abgas Rauchgas (Kamine) naturlicher Zug (Schwerkraft) kunstlicher Zug (Geblase) Wasserdampf Sattdampf-Leitungen HeiBdampf-Leitungen Dampf mit v 0,025 m3/kg v x 0,05 m3/kg v x 0,1 m3/kg v x 0,2 m3/kg oder Dampf mit p = 1 bis 10 bar p = 10 bis 40 bar p = 40 bis 120bar -

Wirkung

CL"

1 bis 0,5 bis 1 bis 0,8 bis 1,5 bis 2 bis 1 bis

5 2 3 2 5 9 3

b/sI 0 bis 0,29 0,3 bis 1,59 1,6 bis 3,39 3,4 bis 5,49 5,5 bis 7,99 8,O bis 10,79 10,8 bis 13,89 13,9 bis 17,19 17,2 bis 20,79 20,s bis 24,49 24,5 bis 28,49 28,5 bis 32,69 32,7 bis 36,99 37,O bis 41,99 41,5 bis 46,19 46,2 bis 50,99 51,O bis 55,99 2 56

10 bis50 3 bis 30 3 bis 10 3 bis 25 0,5 bis 1,5 ZO bis 60 15 bis 30 4 bis 6 10 bis 15 15 bis 35 30 40 60 80

bis bis bis bis

40 60 80 150

15 bis 25 20 bis 40 30 bis 60

Bemerkungen: Die ~ichtwertegelten nur fur Rohrleitungen mit gleichmaBigem Durchsatz, also stationarer Stromung. Bei steigendem Rohrdurchmesser D und/oder sinkender Rauhigkeit k kann, da D/k, b m . D/k, groBer und damit die Rohrreibungszahl 1 (Bild 6-11) kleiner wird, die Stromungsgeschwindigkeit c entsprechend hoher sein. Richtwerte gemaR Abschnitt 4.1.1.3.5, optimaler Rohrdurchrnesser. Tabelle 6-1 I . Kritische REYNOLDS-Zahlen Re,, verschiedener Rohrleitungsteile. Rohrsystemteil Rohre Konzentrische Spalte Exzentrische Spalte Konzentrische Spalte mit Aussparung Exzentrische Spalte mit Aussparung Krummer Drehschieber, Hahne Steuerschlitz mit Kolbenschieber Ventile mit Flach- oder Kegelsitz

Tabelle 6-12. Windgeschwindigkeit c,, (Windstarke-Skala nach BEAUFORT). B . . . BEAUFORD-Grad(Windstarke)

Re,,

2300 bis 2400 1100 bis 1200 1000 bis 1100 x

700

x 400 500 bis 500 bis 200 bis 20 bis

1000 800 300 100

Windstille Leiser Zug Leichter Wind Schacher Wind MaBiger Wind Frischer Wind Starker Wind Steifer Wind Sturmischer Wind Leichter Sturm Voller Sturm Schwerer Sturm Schwacher Orkan Leichter Orkan Mittlerer Orkan Kraftiger Orkan Schwerer Orkan Schwerster Orkan

Umrechnungs-Faustformel fur Bereich B = 2 bis 7: c,, = 2 . B - 1 [m/s] (Mittelwert) Bemerkungen: windst$& 9 -t Wirbelsturm (Zweige werden geknickt). Windstarke 2 12 + Hurrikan (Atlantik), Taifun (Westpazifik), Zyklon (Indischer Ozean). Zerstorende und verwustende Wirkungen. Tabelle 6-13. Menschliche SchallgroBen fiir Frequenzen v o n 18 bis 18000 Hz.

I

Schallintensitat

I

Schalldruck

I

HorSchmerzgrenze

Jso

=

Psc =

1 W/mZ

Schallpegel: L,, = lg (J,,/J,) = lg (p,L/po)2[B] mit J,, . . . vorhandene Schallintensitat p,, . . . vorhandener Schalldruck B . . . Be1 (Einheit); dB . . . Dezibel. 1OdB = 1 B (abgeleitet von A. B. BELL,1847 bis 1922) Lo = l g ( 1 0 ~ 1 2 / 1 0 ~ = 1 2lg) 1 = OB An Horgrenze An Schmerzgrenze L,, = lg (1/10-12) = 12 B = 120dB Menschliches Empfinden: Gerausch . . . Schallgemisch verschiedener Frequenzen Larm . . . starkes Gerausch, das stort und evtl. schadigt (> 85 dB gehorschadigend; > 120dB gehorzerstorend) Larmpegel iiber 90 dB fiihren schon nach 2 bis 4 Stunden Einwirkdauer zu irreversiblen, d. h. nicht heilbaren Gehorschaden. Unter 85 dB erfolgt keine Schadigung.

Tabelle 6-14. Rauhigkeitswerte von Rohren und Kanalen (Anhaltswerte fiir die absolute Rauhheit k). Rohrart, Werkstoffe Neue gezogene oder gepreljte Rohre aus Nichteisenmetall, Glas, Kunststoff: Hochwertige Handelsiibliche

Zustand

technisch glatt

0,001 bis 0,0015 0,0015 bis 0,007

Neue Gummi-Druckschlauche

technisch glatt

Neue Stahlrohre: Nahtlos gewalzt oder gezogen

Walzhaut ungebeizt gebeizt enge Rohre rostfrei Walzhaut u. SchweiRnaht Metallspritzung sauber verzinkt handelsiiblich verzinkt bitumiert zementiert galvanisiert

0,02bis 0,06 0,02bis 0,06 0,02bis 0,05 bis 0,01 0,08bis 0,09 0,04bis 0,10 0,08bis 0,09 0,07bis 0,10 0,l bis 0,16 0,02bis 0,05 x0,18 =0,008

Gebrauchte Stahlrohre

leicht angerostet mal3ig angerostet leicht verkrustet maBig verkrustet stark verkrustet gereinigt mehrjahriger Betrieb

-0,15 0,15bis 0,4 0,15bis 0,4 x1,5 2 bis 4 0,15bis 0,20 -0,5

Neue GuBrohre (GrauguR, TemperguR)

GuBhaut bitumiert

0,2 bis 0,6 0,l bis 0,13

Gebrauchte GuBrohre

leicht angerostet maRig angerostet stark angerostet verkrustet gereinigt

0,3 1,O 2 1,5 0,3

Aus Blech geformt und IangsgeschweiRt Mit Uberzug

Neue Steinzeugrohre (gebrannter Ton)

bis 0,8 bis l,5 bis 5 bis 4 bis l,5

0,l bis 0,8

Neue Asbestzementrohre (z. B. Eternitrohre)

0,03bis 0,2

Neue Betonrohre und -kanale

Glattstrich geglattet (mittelrauh) sorgfaltig geglattet ungeglattet (rauh) geschleudert (glatt) Rohrohne StoRe strecken mit StoRe

0,3 bis 0,8 1,O bis 2,O 0,l bis 0,15 2,O bis 3,O 0,2 bis 0,7 =0,2 x 2,o

Gebrauchte Betonrohre und -kanale (Wasser-Betrieb)

mehrjahriger Betrieb

0,2 bis 0,3

Holzrohre und -kanale

glatt (neu) rauh (neu) nach langem Betrieb

0,2 bis 0,9 1,O bis 2,5 x0,I

Backsteinkanale

Mauerwerk gut gefugt

1,2 bis 2,5

Bruchstein

unbearbeitet Mauerwerk bearbeitet

8 bis 15 1,5 bis 3,O

1

Bei technisch erzeugten Rohren und gleichmaBigen Flachen gilt: k, x (1 bis 1,6). k. Vgl. Bild 6-44.

I''

144

"C

bar

mvs

kin. Viskositat v

Re, -

v

c,.L

= --

zulassige Rauhigkeit k,,, mm

Lange L in Stromungsrichtung (Korper- bzw. Profillange)

3,Ol bis 0,05

Dampfturbinenschaufel

Temp. t

Druck p

3,005 bis 0,01

Hochdruck Hochdruck Niederdruck

Modelltragflugel

600 200

120

56 (30 kn) 18 (10 kn)

Geschwindigkeit c ,

Wasserturbinen- und Kreiselpumpenschaufeln

klein

Geblaseschaufel

Lange L1'

Gasturbinen- und Kreiselverdichterschaufeln

langsam

Flugzeug (Tragflugel)

groB, schnell klein, langsam

nahere Bezeichnung

mittel klein, langsam

Luftschiff

Schiff

I Gattung

Tabelle 6-15. Beispiel-Rechnungenzur Ermittlung der zulbsigen Rauhigkeitshohe k,,, nach Bild 6-43.

1

6 Anhang

385

Tabelle 6-16. Widerstandszahlen 5, von Kugeln, Kreiszylindern und Kreisscheiben rnit Durchmesser D, abhangig von REYNOLDS-Zahl Re,. REYNOLDS-zahl Re,

c;D

=V

Kugel

Kreiszylinder (quer angestromt, L -+ co)

Kreisscheibe (quer angestromt)

Bemerkung: Hinweis auf Bild 6-45

(Tabelle 6-17 siehe Seite 386 und 387)

Tabelle 6-18. Anstellwinkel 6 und Gleitzahl E verschiedener Korper (Anhaltswerte). Anstellwinkel 6

Gleitzahl

Gleitwinkel

E

y = arctan E

Ebene Platte ( A = 417)

4"

0,s

27"

Gewolbte Platte

4"

0,l

6"

4"

0,02bis 0,07

lo bis 4"

Umstromter Kijrper

(A = 0,2,f/L= 0,04) Tragfliigel

386

6 Anhang

Tabelle 6-17. Widerstandszahlen

5, von Fahrzeugen (Richtwerte).

Fahrzeugart

Stirnflbhe As, [m21

1. PKW: 1.1 ~ l t e r Form e z. B. VW-Kafer 1.2 Ponton-Form (Mittelklasse-Wagen) 1.3 Stromlinien-Form (windschnittig) - Polo z.B. VW - Golf - Passat OPEL - Corsa - Astra - Vectra - Omega - A2 AUDI - A4 - A6 - A8 - A-Klasse Mercedes - C-Klasse - E-Klasse - S-Klasse - Fiesta Ford - Focus - Mondeo - Cougar BMW -316undM - 525 - 7er SAAB - 9000 E VOLVO - Experimental Hybrid (Gastrubine, 70 kW, 90 000 min-I + Elektromotor + Batterie) 1.4 Offene Form (Kabriolett) z. B. OPEL-Astra geschlossen offen VW-Golf geschlossen offen 1.5 Sport-Form - 91 1 z.B. Porsche - 959 - 968 - F40 Ferrari 1.6 Rennfahrzeug (Formel 1) '1 1.7 Kombi-Form (Sw-Wert 10 bis 15% hoher als bei Limousine) 2. Motorrader 2.1 Unverkleidet ohne Fahrer 2.2 Verkleidet ohne Fahrer 2.3 Mit Fahrer I)

Widerstandsbeiwerte 3, erreichbar derzeit 0,45 bis 0,6 0,48 0,40 bis 0,48 0,35 bis 0,24 0,32 O,3 1 0,29 0,35 0,30 0,28 0,29 0,25 0,28 0,30 0,30 0,3 1 0,26 0,27 O,3 1 O,3 1 0,32 O,3 1 O,3 1 0,32 0,28 0,29 0,34

0,24 0,20 bis 0,15

0,23 0,6 bis 0,3 1,94 1,86 2,06 2,01

1,s bis 2,2

0,33 0,42 0,36 0,42 0,22 bis 0,35 0,30 O,3 1 0,34 0,34 O,9 ... l,5 0,30 bis 0,40

0,65 bis 0,75 0,35 bis 0,45 bis ca. 2,5mal grol3er

Abtriebskraft durch Heckfliigel ca. 10.. .14 kN wegen notwendiger Bodenhaftung. Kurven-Querbeschleunigung ca. 3 . g bis 4 . g.

Tabelle 6-17 (Fortsetzung)

r

I

Fahrzeugart

Stirnflbhe As, [mZl

Widerstandsbeib rte Cw erreichbar derzeit

3. LKW 3.1 Lastzug ohne Anhanger ohne Luftleitbleche mit Luftleitblechen 3.2 Lastzug mit Anhanger 3.3 Sattelzug

0,6 bis 0,8 0,45 bis 0,65 0,7 bis l,0 0,65 bis 0,9

4. Omnibus

0,s bis 0,6

5. Lokomotiven 5.1 Diesel 5.2 Elektro 5.3 Zug ICE (Triebkopf)

0,s bis 0,6 0,4 bis 0,s 0,23

6. Stromlinienkorper (zum Vergleich)

0,05 bis 0,08

Bemerkung: Weltrekordfahrzeug 1239,8 km/h (~berschall)

(Tabelle 6-18 siehe Seite 385)

Tabelle 6-19. Thermische StoffgroBen x und R.

I

I

+

Nach der kinetischen Gastheorie gilt fur ideale Gase: x = (2 f)/$ Hierbei ist f die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgradeder Korpuskel (Atome bzw. Molekule). Die Teilchen werden dabei als starre Verbindungen der Atome betrachtet. Nach der Beziehung ergeben sich fur Einatomige Molekiile, d. h. Atome (z. B. He, Ar): f = 3 + x = 513 = 1,66 Zweiatomige Molekiile (2.B. Luft, H,, N,, 0,): f = 5 + x = 715 = 1,40 (Hantelmodell mit 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden) Mehratomige Molekiile (z. B. H,O-Dampf, CH,, NH,): f = 6 + x = 816 = 1,33 .. . 1,30

Wasserdampf

Gaskonstante R

HeiDdampf (TDa> Ti und x = I) x = 1,30 Sattdampf (T,, = Ti und x = I) x = 1,135 NaBdampf (T,, = Ti und x < 1) x = 1,035 + 0,l . x (nach ZEUNER) Mit T,, . . . Dampftemperatur T,. . . . Siedetemperatur, abhangig vom Druck p; T,. = F(p) x . . . Dampfgehalt (0 < x I 1)

Universelle oder absolute Gaskonstante: (Bezogene) Gaskonstante:

l?

= 8315 [J/kmol. K)] R = RIM mit M [kg/kmol] . . . Molmasse.

,

Tabelle 6-20. Stoffwerte verschiedener Gase (Dampfe), Bezugsdruck 1 bar. Fluid Benennung

~eliim Argon Wasserstoff Stickstoff Sauerstoff Luft Kohlenmonox Stickoxid Kohlendioxid Wasserdampf (HeiOdampf)

M

Chem. zahl symbol IAtom

Ar H* N2 0 2

-

CO NO CO, H,O

'

kmol

ezugsemp. t "C

A ~ A P /(kg. K) bar

1 2 2 2 2 2 2 3 3

Organische Gase Dampfe) Azetylen C2H2 Methan CH, Ethan GH6

4 5 8

KSiltemittel Ammoniak

4

NH,

kg

Freone (bei Satti wgsdruck) Freon 11 (R 11) Freon 13 (R 13)

Anmerkungen: Ac, in J/(kg .K), ~ n d e r u n g e nvon c,, bezogen auf die Druckanderung Ap in bar. Kennzeichnet das thermodynamische Realgasverhalten. I, . . . Kondensations- bzw. Verdampfungswarme. R = konst; c, = konst; c, = konst beip < 50 bar und T > T,, mit T,, ... Siedetemperatur spezifische Warmekapazitat von Wasser,,c = 4186,66 = 4187 J/(kg . K).

6 Anhang

389

Tabelle 6-21. Zusammenstellung wichtiger vektoranalytischer Rechenoperationen, Matrix-Symbole und Transporttheorem i n kartesischen Koordinaten x, y, z. Gradient:

Vektoroperationen: Einheitsvektoren in der Vektorrichtung und den Koordinaten-Richtungen. -

+

-

+

-

le I = le,l = l e y l = le,l = =e=e -+

-t

I, = e

. cos a,

1

= e y = ez

r

Richtungscosinus des Einheitsvektors e'in der x-Richtung:

Gradient der skalaren Funktion F. 1st ein Vektor, der auf den Flachen F = konst senkrecht steht. Divergenz:

a

Entsprechend in den anderen Richtungen y und z mit Winkel a, und a, je zwischen Vektor und zugehoriger Koordinatenrichtung. Skalarprod_ukt C Qkalar) der beiden Vektoren A und B c=x.i7

=

121.1.1

.cos(xA'; 3 )

ax ay

a az

Grenzwert vom DurchfluD des Vektors c'iiber eine geschlossene Oberflache auf das gegen null konvergierende, hiervon umschlossene Volumen bezogen, gemaB GAUSS-Satz(Gl. 3-28). Rotor:

= A,.

(x 2 ; 2 ) kel und B

B,

+ A,. By + A,. B,

.. .

eingeschlossener Win;

zwvischen den beiden Vektoren A

~ektor~rodukt; (VeGor) der be5 den Vektoren A und B . Vektor C steht senkrecht auf der dur2h die be5 den Ausgangs-Vektoren A und B aufgespannten Ebene und ist im Sinne einer Rec_htsschraubegerishtet, wenn Vektor A nach Vektor B gedreht wird.

Grenzwert des Linienintegrals (Zirkulation, G1.4-232) von Vektor c'langs einer geschlossenen Linie, auf die gegen null konvergierende, hiervon umschlossene Flache bezogen, gemaB STOKES-Satz(Gl. 4-238). Falls Vektor c' eine Geschwindigkeit, ist rot F' gleich dem Zweifachen der zugehorigen Winkelgeschwindigkeit ; des Fluidbereiches (Gl. 3-22).

A .. . LAPLACEoder Delta-Operator (formaler oder =<.(A,.B,-B,.AJ symbolischer Skalar + Skalaroperator) -~',.(A,.B,-B,.AJ +Zz.(~,.~y-~x.~y)

121= l A x $ ~= A . B . s i n ( ~ 2 3; ) Nabla- oder HAMILTON ')-Operator (fomaler oder symbolischer Vektor + Vektoroperator) Aussprache: Nabla von Nabla

')

HAMILTON, Rowan (1805 bis 1865), engl. Mathematiker

Tabelle 6-21 (Fortsetzung) khreibweise: Vektoren a'; 2 . . . oder _a; I! . . . 3 3 Matrizen, Tensoren A ; B . . . oder 4; - @ - . ..

Beispiel:

Unterschied: ax

ay

az

a jaz

Aussprache: Nabla ma1 Nabla A;=

(~a3.C + ( ~ a , ) . <+ ( ~ a ~ . e ' ,

jymmetrische Diese sind gekennzeichnet durch die Matrizen: Symmetrie ihrer Glieder zur Hauptdiagonalen, also bei m = n (SpaltenAnzahl = Zeilen-Anzahl), z. B. fur m=n=4: a,, = a,,; a,, = a,,; a,, = a,, a,, = a,,; a,, = a,,; a,, = a,,

Fa~~sches Matrix-Multiplikationsschema Symbolisch dargestellte Matrizenduplikation -+-+

j.B=C -

oder

-

+

A.J=z

3inweis: Unterstrich haufig Kennzeichen fur Matrix

Matrix n Zeilen (Erst-Index) m Spalten (Zweit-Index)

Vektor (Spaltenmatrix oder Spaltenvektor) a, a,}

Transponierter Vektor (Zeilenmatrix oder Zeilenvektor) Zur Unterscheidung vom Spaltenvektor werden oft auch eckige Klammern verwendet.

Allgemeines Symbol fur Matrizen, z. B. oft bei Matrix-Gleichungen verwendet. Verschiedentlich werden hierfiir jedoch auch eckige Klammer benutzt. Allgemeines Vektorsymbol Vektor ...

. Bandmatrix ...

Matrixsonderform (Spalten- oder Zeilenmatrix) Elemente der Matrix sind selbst wieder Matrizen. Matrix, bei der nur die Stellen (Elemente) um die Hauptdiagonale mit Zahlen ungleich null besetzt sind. Bandbreite bezeichnet dabei die Anzahl der Reihen mit von null verschiedenen Elementen.

P

4

( p ,n)-Matrix; n Zeilen, p Spalten

-

Cp, m)-Matrix; p Zeilen, m Spalten

C

(n, m)-Matrix; n Zeilen, m Spalten

Multiplikation nur moglich, wenn Spalten-Anzahl von Matrix A mit Zeilen-Anzahl von Matrix @ iibereinstimmc Multiplikationsablauf: Erste Zeile von 4 gliedweise multipliziert mit erster Spalte von B ergibt dann addiert erstes Glied von Ergebnis-Matrix C. Entsprechend die anderen g-Glieder (cij).

Tensor-Operator 8 :

d @ 3=

=

I:{

A,

. { B , By B,}

A;B, A;B, A;B, A, .B* A , . By A,. B, A;B, A;B, A;B,

(

Hinweis auf Unterschied zu Skalarprodukt.

6 Anhang

391

Tabelle 6-21 (Fortsetzung) Transporttheorem

Die Differentiation nach der Zeit t ergibt letzlich:

Das vollstandige Differential nach der Zeit t einer transienten FeldgroBe B wird in der EULER-Darstellung auch als Transporttheorem bezeichnet:

Entsprechend wieder in Vektoranalysis-Darstellung: Unter Verwenden von Gradienten: Oder wieder in Indexschreibweise mit xi = x; y; z: hi'= dx . e', + dy . e', + dz . e',

Wegvektor:

kann auch mit Hilfe des Skalarproduktes geschrieben werden:

ao

d@=h4.v@+---.dt at

Oder in Indexschreibweise mit xi = x; y; z:

Das Transporttheorem d@/dtwird, urn Verwechslungen mit W/at zu vermeiden, vielfach auch als DBIDt geschrieben: Wenn die FeldgroBe 8 kein Skalar, sondern ein Vektor ist, ergeben sich die drei KomponentenGleichungen doi/dt, bzw. DQi/Dt mit i = x; y; z fur das Transporttheorem. Der Skalar-Term c' . V 0 fiihrt auch die Benennung konvektive Ableitung von FeldgroBe O und a@/atlokale Ableitung.

Tabelle 6-22. Koordinatentransformationen(-+ bedeutet Umwandlung in)

weshalb analog: dt =dx.cosrp+dy.sinrp dn=dy.cosrp-dx. sinrp

weshalb analog: clx=dt~cosrp-dn.sinrp d y = d t . sinrp+dn .cos rp

392

6 Anhang

r I"CI

D

Bild 6-2. Kinematische Viskositat v und Dichte Q von Wasser, abhangig von Temperatur t und Druck p.

Bild 6-3. Viskositatsbereiche der SAE-Klassen fiir Getriebeole (DIN 51 512) und Motorenole (DIN 51 51 1). Dabei gilt: Je grbBer die Zahl der SAE-Klasse, desto hoher die Viskositat des betreffenden dles.

6 Anhang

393

Bild 6-4. Dynamische Viskositat 7 [Pa . s] von Fluiden (Fliissigkeiten und Gasen), abhangig von der Temperatur t ["C] bei 1 bar Druck.

394

6 Anhang

Bild 6-6. Dynamische Viskositat q [ P a . s] von Gasen, abhangig von der Temperatur t ["C] bei 1 bar Druck.

Bild 6-7. Dynamische Viskositat q [ P a . s] von Wasserdampf, abhangig von Temperatur t und Druck p.

6 Anhang

395

Bild 6-8. Kinematische Viskositat v in mZ/s von Fluiden (Fliissigkeiten und Gasen), abhangig von der Temperatur t in "C.

396

6 Anhang

Bild 6-9. Kinematische Viskositat v [m2/s] von Gasen, abhangig von Temperatur t ["C] und Druck p [Pa]. = (p .v)/p [(Pa. m2/s)/Pa = m2/s] mit dem zugehorigen Fluiddruck p [Pa].

v

300 250 200 150 100 90 80 70 60 50 LO

30 25 20 15 10 9 8 7 6 5 L

3 2.5 2 1.5

1 0.9

0.8 07 0.6 05 0.4

0.3 0.25 0.2 0.15

I 50

100

150

200

250

300

350

600

450

I

I

I

500

550

600

t

["CI

650

*

Bild 6-10. Kmematische Vlskosltiit v [m2/sj von Wasserdampf, abhang~gvon Temperatur t ["GI und Druck p [bar].

sog. MOODY-oder C O L E B R O O K - D ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ . Bild 6-11. Widerstandsdiagramm nach MOODYund COLEBROOK, Rohrreibungsziffer 1 als Funktion von R E Y N O L D S -Re Z ~und ~ ~ dem Kehrwert Dlk, der relativen Sandrauhigkeit k , / D (inverse relative Sandrauhigkeit des Rohres), weshalb auch als Rohrreibungszahl-Diagramm bezeichnet -+ /Z = f(Re, Dlk,).

6 Anhang

399

Bild 6-12. Widerstandsziffern 5 von glatten 90"-Kreis- Bild 6-14. Widerstandsziffern 5 von glatten und rauhen rohrkriimmern fur verschiedene Kriimmungsverhalt- 90"-Kreisrohrkriimmem, abhangig vom Kriimmungsbei Re = 225000. nisse RID, abhangig von der Re-Zahl, nach HOFMANN verhaltnis RID, nach HOFMANN (Cu-Zn-Sn-Legierung, sorgfiltig geglattet).

I

0.17 Abloufstrecke 50.0

Bild 6-13. Widerstandsziffern von rauhen 90"-Kreisrohrkriimmern fur verschiedene Kriimmungsverhaltnisse RID, abhangig von der Re-Zahl, nach HOFMANN (Sandrauhigkeit k, 10,25 mm).

Bild 6-15. Widerstandsziffern 5 von 9Oo-KreisrohrStahlkrummern fur verschiedene Krummungsverhdtnisse RID, abhangig von der Re-Zahl bei einer Ablaufstrecke 50. D (GREGORIG).

400

6 Anhang

Bild 6-16. Widerstandszahlen &' von 9Oo-KreisrohrStahlkrummern mit Krummungsverhaltnis RID = 2,24 und verschiedenen Ablaufstrecken (GREGORIG).

Bild 6-18. Widerstandszahlen von 9Oo-KreisrohrStahlkrummern mit Krummungsverhaltnis RID = 6,72 und verschiedenen Ablaufstrecken (GREGORIG).

Bild 6-17. Widerstandszahlen [ von 90"-KreisrohrStahlkrummern mit Krummungsverhaltnis RID = 4,48 und verschiedenen Ablaufstrecken (GREGORIG).

Blld 6-19. Widerstandszahlen von 9Oo-KreisrohrStahlkrummern mit Krummungsverhaltnis RID = 8,97 und verschiedenen Ablaufstrecken (GREGORIG).

6 Anhang

401

n...Loch-

zahl

Bild 6-20. Widerstandszahlen [ von 9Oo-KreisrohrStahlkrummern mit Kriimmungsverhaltnis RID = 11,2 und verschiedenen Ablaufstrecken (GREGORIG).

A . . . Gesamtflache; A, . . . freie Gitterflache; c . . . Zustromgeschwindigkeit in Querschnitt A. Handelsiiblich: Luckengrad /3 = A,/A = 0,5, entspricht dem t)ffnungsverhaltnis m gemaB G1. (4-66a), Drahtgeflechtgitter: Tabellenwerte etwa halbieren Vogelschutzgitter: /3 = A,/A = 0,8 fur Gitter 2Ox20x2mmund 1 0 x 1 0 x 1 m m c, = c . AIA, = c/(A,/A) = c / p Stromungsgeschwindigkeit im Gitterquerschnitt A;, bzw. A , = n . A; mit n Anzahl der Offnungen (Durchgange, Locher). Druckverlust Apv = Q . Yv = Q . [ . c:/2 Bild 6-22. Widerstandszahlen [ von Lochblechgittern (Richtwerte).

Bild 6-21. Widerstandsbeiwerte i der Norm-Drosselgerate. B Blende, D Duse, V Venturi-Diise kurz

Bild 6-23. Widerstandsbeiwerte b( von rauhen Kreisrohr-Kriimmern, abhangig vom Umlenkwinkel 6 bei verschiedenen Kriimmungsverhaltnissen RID (WASIELEWSKI).

402

6 Anhang

Mlt NW

t

1 50 1 100 1 1 1.3 1 1.5 1

200 1.8

1 300 1 1 2.1 1

200

2.2

1 1

xo

500

2.2

... W~derstandszahl des Krummers mlt K r e ~ s q u e r s c h n ~ t tvon gle~chwertigem Ourchmesser

Bild 6-24. Widerstandsbeiwerte ( von GrauguB-Krummern (rauh) mit 6 = 90" und RINW = 3 bis 5 (Richtwerte). NW . . . Nennweite, d. h. bei normaler (iiblicher) Wanddicke lichter Durchmesser in mm (Tabelle 6-3).

Bild 6-27. Widerstandszahlen (' von rauhen Rechteckrohr-Krummern.

Bild 6-25. Widerstandsbeiwerte (' von rauhen StahlKrummern mit 6 = 90" (Richtwerte).

Bild 6-28. Widerstandszahlen (' von rauhen, scharfkantigen Kniestucken (THOMA).

Anzohl der liiundnohtel

1

/

1

1

I I Klelne Werte fur gerlnge Rauh~gke~lundloder grone Ourchmesser Grofle Werte fur gronere Rauh~gkeit undioder kleine Ourchmesser

Bild 6-26. Widerstandsbeiwerte ( von rauhen SegmentKrummern (Richtwerte).

Bild 6-29. Widerstandszahlen [ von zusammengesetzten Abknickungen (rauh).

Bild 6-30. Widerstandszahlen [ von rauhen T-Verzweigungsstiicken.

Bild 6-33. Widerstandszahlen [ von rauhen, abgewinkelten Hosenrohren.

RID

Bild 6-31. Widerstandszahlen [ von rauhen TrennungsAbzweigstucken: (,' fur Abzweigung (Seitenweg) - - - - - - - id fur Durchgangsweg (Hauptweg)

- ----

0.75

1

1.5

2.0

1.1

0.6

0.4

0.25

0.2

Bild 6-34. Widerstandszahlen [ von rauhen, gekrummten Hosenrohren.

U - Bogen

Bild 6-32. Widerstandszahlen [ von rauhen Vereinigungs-Abzweigstucken. (, fur Abzweigung (Seitenweg) -id fiir Durchgangsweg (Hauptweg)

0.5

I Lyrabogen

I Wellenrohrausgle~cher

Bild 6-35. Widerstandszahlen ivon rauhen Dehnungsausgleichern (Kompensatoren).

1.0

Bild 6-36. Widerstandsbeiwerte 5 von rauhen, stetigen Querschnittsverengungen (Dusen) in Abhangigkeit von DJD, (Kehnvert des Durchmesser-Verengungsverhaltnisses) fur verschiedene Verengungswinkel 6 (RICHTER).

1.2

1.4

1.6

1.8

0214

2.0

Bild 6-37. Widerstandsbeiwerte [ von rauhen, stetigen Querschnittserweiterungen (Diffusoren) in Abhangigkeit vom Durchmesser-ErweiterungsverhaltnisDJD, fur verschiedene Erweiterungswinkel6 (RICHTER).

Bild 6-38. Widerstandsbeiwerte ( von Kreisrohrkrummern mit 6 = 90°, RID = 4 und verschiedenen inversen relativen Rauhigkeiten Dlk, als Parameter-Kurven in Abhangigkeit von der Re-Zahl.

6 Anhang

405

Bild 6-39. DurchfluBzahlen u von Normblenden und Normdiisen nach DIN 1952 mit Abszisse REYNOLDS-Zahl Re = Re, = c , . D,/v, und als Parameter das bffn~n~sverhaltnis rn = A J A , gemaIj Bild 4-31.

406

6 Anhang

Wirkdruck

Ap,,

-

[kPal

Bild 6-40. Expansionszahlen E von Norm-Blenden und Norm-Diisen nach DIN 1952 fur Wasserdampf (HeiBdampf x = 1,31), abhangig vom Wirkdruck Apwi,dem absoluten Zustromdruckp, und dem bffn~n~sverhaltnis m = A,/A, .

Wirkdruck Ap,,

[kPa]

-

Bild 6-41. Expansionszahlen E von Norm-Blenden nach DIN 1952 fur Luff ( x = 1,4) und Industriegase ( x = 1,38), abhangig vom Wirkdruck Apwi,dem absoluten Zustromdruck p , und dem bffnungsverhaltnis m = A J A , .

6 Anhang

407

r,,

inkompressibel langsangestromter ebener Platten, abhangig von der REYNOLDSBild 6-42. Widerstandszahlen Zahl Re = c, . Llv fur verschiedene relative Sandrauhigkeiten kJL (nach G1. (4-112) im rauhen Bereich).

Bild 6-43. Zulassige Rauhigkeitshohe k,,, fur langsangestromte rauhe Platten und Profile, abhangig von der NOLDS-ZahlRe = c, . Llv fiir verschiedene Korperlangen L nach GI. (4-1 14).

by-

408

6 Anhang

I

/

Herstellung

[ i m , ] Technische Rauhigkeit Sandkiirner Sandrauhigkeit

In der Regel

.

k, = (1 ... 1.6) k

Bild 6-44. Technisch erreichbare Rauhigkeiten k bei Flachen, abhangig von der Herstellung (Bearbeitung). Hinweis: k entspricht R, b m . R, gemal3 DIN 4762, also k E 4 .

Bild 6-45. Diagramm zu Tabelle 6-16. Widerstandsbeiwert [ von Kugel, Kreiszylinder und Kreisscheibe, abhangig von der auf den Durchmesser D und die ungestorte Anstromgeschwindigkeit c, bezogenen REYNOLDS-Zahl Re, = c, . Dlv. Bis etwa Re = 40 keine Stromungsablosung auf der Leeseite und deshalb keine Wirbelbildung. Kreiszylinder oder Quader Iangs, d. h. stirnseitig in Achsrichtung angestromt: L . . . Korperlange in Stromungsrichtung LID 1 2 1 3 1 4 D . . . Durchmesser bzw. SeitenkantenmaB [ , 0,91 0,85 0,87 0,99 Bemerkung: GemaB Versuchen fallt [, bis etwa LID = 2 ab, weil der Druck starker zuriickgeht, als der Reibungswiderstand ansteigt. AnschlieBend, d. h. ah LID > 2, ist es umgekehrt. Der Reibungswiderstand steigt jetzt starker an als der Druckwiderstand abWllt. Faustregel: Bei stumpfen Korpern ist der Reibungswiderstand um etwa eine GroBenordnung, also um eine Zehnerpotenz (Dekade) kleiner als der Druckwiderstand.

I 1

1

1

1

6 Anhane

I

409

Korperform und Anstromrlchtung

Krerssche~be quer ongestromt Re > 10'

t, = 1,l bis 1,3 (1,5)

Rechleckplatte quer ongestromt

Hohle Halbkugel Kugelseite ongestromt

hlb

1

1,

1.11

1 1

1

4 1.19

1

I

10

20

1.29

1.15 2.0

m

ohne Bode mlt Boden

Hohle Holbkugel Flachselte angestromt

ohne Bode

Kegel Spitze ongestromt

Kegel Flachselte anges tromt

a

t, = 0.50

: 15O

Wirfel

X,

2

0,9 bis 1,O

Pruma quadrallsch m long Stromllnlenkorper m bre~t von vorne ongestromt Re = L.CJV a 10'

Cm

_I_

Sfromlin~enkorper m bred von hlnten ongestromt Re = L.c,/v r 10' Ellipsoid (Strornlinienkorper) m brell, Lld = 2 Iangs ongestromt Re = L.c& 2 lo5

I

Bild 6-46. Widerstandsbeiwerte [ , v o n Widerstands- und P r o f i l k o r p e r n . W i d e r s t a n d s k o r p e r Re = D . c,/v; S t r o m l i n i e n k o r p e r Re = L . C,/V.

1

Lld 1 2 1 3 1 5 lOI20 t, 0.2 0.1 0.06 10.081 10.095

I

Lld

tw

I

2

1

1 3 1 5

1

lOlZ0

I 0.4 I 0.2 1 0.12 1 0.17 1 0.19

410

6 Anhang

d

Bild 6-47. Tragfliigel-Profil G 387 ( A +w , Re 2 5 . lo5), Profilwerte, Polaren. Da A -+ a, bei Profilwerten oft Zusatzindex a, beigefiigt, also CAB 5,. m; lM, em; am. a) Profilkontur b) Profilmarje (Profiltabelle). Da Gottinger-Profil ist Profiltangente Bezugslinie.

c) Polarendiagramm nach LILIENTHAL =f (c,) mit Parameter 6 und zugehoriger Cw-Linie:iA (J, 5,-Linie: 5, =f & d) Aufgelostes Polarendiagramm. als Funktion von 6. Linien CA,c,,

c,

6 Anhang

6,O

65 7,o 7,5 Spezifische Entropie s in kJ/(kg . K)

Bild 6-48. (h,s)-Diagramm (Ausschnitt) fiir Wasserdampf nach MOLLIER.

88

411

6-Kornponentenwaagefiir Originalfahrzeug

Zweistufiger Kompressor

I

Einspritzung von fliissigem Stickstoff

Bild 6-49. Windkanale (Draufsicht) nach PRANDTL-oder Gottinger-Prinzip, d. h. in geschlossener KreislaufAusfuhrung OJnterschall-Kanale). a) Normalausfuhrung fur PKW in OriginalgroBe. Diisenaustrittsquerschnitt: Breite ca. 8 m, Hohe ca. 6 m. Wind-, d. h. Dusenaustritts-Geschwindigkeit bis ca. 280 km/h. Antriebsleistung ca. 4 MW. Sechskomponentenwaage fur Krafte 4, F,,,F, und Momente M,, My, M,. b) Kryoausfuhrung fiir Flugzeugmodell-GroBe bis ca. 2 m Spannweite. Zur Einhaltung der physikalischen Whnlichkeitsbedingungen (Abschnitt 3.3.1), d. h. Ma- und Re-Zahl je gleich, Temperatur-Absenkung auf ca. 100 K und Druckerhohung bis auf etwa 4,5 bar Uberdruck. Notwendige Antriebsleistung bis ca. 50 MW bei Ma-Zahl etwa 0,9.

7 LBsungen der Ubungsbeispiele

7 Losungen der ~bungsbeis~iele U 1 Wasserverlust U Mit H,,

Bild 7-1.

Losungsskizze zu ir 1: Rechtecktransportbe-

halter.

4. z,=

,

=H,

und H,,

,= H/2

wird

h, + h, = 2 . H 0 = 2 0 0 m m

5. Wieder aus G1. (2-11)

1 V --.l.H.B D-2 1= H/tan ct nach GI. (2-1) a 3 tana=-=--=O3058 ' g 9,81

1 = 2,5/0,3058 [m] = 8,175 m 1 V - - . 8,175 . 2,5 . 2,8 [m3] = 28,6 m3 D-2

A V = 50 - 28,6 = 21,4 m3

1 u 3 1 1. Nach GI. (2-62) F=p,,,.A=e.g.ts.A t, = y,.sina

mit

= (yl+Hs)sina =

t,

1

I. G l (2-11) mit Ho = O,l m, zR = H = 0,15 m und R = 0,125 m umgestellt und eingesetzt ergibt:

2. Mit GI. (2-8) H Hieraus

= h,

+ h, = 2 . h, = -.w 2 29

R2

Hs = 0,22413 m = 0,075 m t, = 0,6

+ 0,075 . sin 60" = 0,665 m

Is z. B. nach DUBBEL [100]:

+ H,.sina

413

414

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Momentensatz:

F . (I, + Hs+ e) = FG . 1, . sincc. Hieraus 1,+e+HS 1, . sina 0,s + 0,0036 0,075 = 294 0,s . sin 60

FG=F.

+

wird F = lo3 . 9,81 .0,36 Bild 7-2. Losungsskizze zu U 4: rechteckiger Kanal.

[

-

.-.m

I.

1

Mit G1. (2-62), (2-63) und I, = - . B . H3 werden 12 allgemein

F=pS,,.A=e.g.ts.A

Ebenfalls nach GI. (2-67)

F=e.g.V Mit V=V1+V,+V3 =H

und damit fiir die Klappenseiten 1 und 2:

D2.71 . D l . 1, - -1 . ' --.

4 l1 1 02.71 + H . D z . l,--. L . 2 4 l2 1 D2.n: +H.D3.l3--.L. 2 4 l3 2

+D~.~~.@-;.D~) t,,

2 3

2 3

= - . h, = - . 1 [m] = 0,67 m

wird

FG aus ZM

=0

mit MP im Klappenlager:

F~~(tD,l+ll)-Fz.[t,2+(h,-h~)+l,]-F~.I2=O

Hieraus

F = 2809 N

7 Losungen der irbungsbeisviele

415

Walzenmittelpunkt entfernt. Nach Flachenschwerpunkts-Tabellen, z. B. Hutte [loll, gilt:

Fur das resultierende Drehmoment T ergibt sich dann: T=-F;e,+FY.ey

Bild 7-3. Losungsskizze zu U 7: Walzenwehr. a) Vertikalkrafte (z-Richtung) nach G1. (2-70)

c) Das resultierende Moment muB null sein, sonst wiirde es sich urn ein Perpetuum Mobile handeln, d. h. um eine Maschine, die sich standig unter Arbeitsabgabe dreht, d. h. Energie aus dem Nichts bereitstellt.

Horizontalkraft (y-Richtung) nach G1. (2-68)

Exzentrizitat von Fy nach GI. (2-69) Bild 7-4. Losungsskizze zu U 8: BodenablaB. b) Zwei Moglichkeiten bestehen: Moglichkeit 1: Die Wirkungslinien von Fl,,und F,, ,fallen nicht zusammen, da die Schwerpunkte von Vl und V, infolge Verschiedenheit nicht auf der gleichen Linie liegen konnen. Der Druck wirkt jedoch uberall senkrecht auf die Walzenoberflache. Die Wirkungslinien aller Krafte je Flacheneinheit gehen daher durch den Walzenmittelpunkt. Ein Moment auf die Walze kann somit nicht vorhanden sein. Moglichkeit 2: D a das Gesetz von ARCHIMEDES gilt, geht die Vertikalkraft F, durch den Schwerpunkt des von der Walze verdrangten Flussigkeitsvolumens. Dieser liegt im Abstand e, (waagrechte Exzentrizitat) vom

Geometrische Zusammenhange: Volumen von der im Wasser liegenden ,,Kugelkalotte" (Hohe H): VKa1 = 2 . HZ . (3 R - H) 3 Radius ~ = J R ~ - ( H - R ) ~ = J ~ . R . H - H ~ a) Nach Losungsskizze, Bild 7-4: Fz=Fz,l-Fz,,+F,

mit

7 Losungen der ~bungsbeispiele

416

Mit

H/Ho=l

H wird 6 - 3 . - = 3 - R

H R

Hieraus

A

1 +-(H,+R-H)--A H R2 H H 1 H 2 2 R Ho =egn:H~2 R 3R2 3 H H R ~ R H - H ' Ho +--IH R2 H H 1 H 2 1 R H, = e g n ~ ~ 2 +--+--I R 3R2 3H H

+-

Bei der dichtesten Packung (Kugeln beruhren sich) als gunstigster Anordnung miiRte sich die maximale Kraftwirkung ergeben. Die Gegeniiberstellung der beiden ~ r e n z l a ~ e n (Bild 7-5) ergibt :

$-f&f&

n Kugein

-I

,

F,, und F,, eingesetzt in GI. fur F, ergibt: a ) u n g u n s t ~ g s t e Loge

+ -1 -R - 1 - 2 . 0 + 2 3H R R2

+ F,

Bild 7-5. Losungsskizze zu 0 9: Perpetuum Mobile. Lagen der Kugeln im Wasser bei dichtester Packung. 4 Aukraft, F, Abkraft (Index: a,.. ab; v . . . vertikal auf).

Lage a:

b) p , = - = Fz r2.n

I;. (2.R-H-fl)-x

c) Bedingung: F,

= FG

b) gunstigste Loge

Lage b:

mit F, nach a) also F, > Fa

1 also

F, < F,

Dann mu13 sein: Das System bewegt sich demnach nicht. Allenfalls fiihrt es kurze Schwingungen aus, bis der Gleichgewichtszustand, der zwischen den beiden Grenzlagen a und b liegt, gefunden ist. Es handelt sich deshalb um kein Perpetuum Mobile.

7 Losungen der ~bungsbeispiele

417

wird und

A

ergibt sich

1 - - .A1 3-3 -

Bild 7-6. Losungsskizze zu u 10.

2 2-3

A2.c --.A;c,; Fiir DP CM = 0:

2 da A 2 = A , , wirdc --.cl 2-3

xG= (L/2) . sin a

eingesetzt in Momenten-Ansatz: g

wird c,

. Q,, . L . B . s ( L / 2 ) . s i n a

L

= - c l = 1 mls

3

-g.eF1.y.B.s(L-y/2).sina=O QPI

. L2/2 - QFI . Y . (L - ~ 1 2=) 0 Mit 1. c = 3 .. . 2 5 mls It. Tabelle 6-10.

Quadratische Gleichung; Losung durch Erganzen (addieren) von L?:

N.m Luft: R = 287 kg . K

L? - 2 . L . y + y2 = I?

T=273$22=295K

L2

(Tabelle 6-20)

Mit diesen Werten, bei festgelegt c = 3 m/s (unterer Betrag wegen Verlusten) ergibt sich: v - 225 0,0941 kg/h m3/kg A = h .-----.---c

A a) K @ - Q , a :

Mit

v1= v2+ v3

%:&=2:1

-+

v2=2.%

3600

= 1,959. 10-3m2

3

Ls/h

mh]

7 Losungen der ~ b u n ~ s b e i s ~ i e l e

418

nw loo---

P,+<+&+$

wird

r---+-= -

e

.---Stromfaden

z1 0 -

e

Hieraus

2

V = 170 m3/ h

H=0,5m

f

2

NW 200

\ I

\ \

H~OIZO~C

Lo--

0

v

Bild 7-7. Losungsskizze zu U 13.

b) D Q : A , = - = =

1,45 .

m2

Hieraus

D, = 0,0430 m z 40 mm = NW 40 Mit

,

wird

v v

I

H,:im

, Stromfaden

zA

a 8 0 mm

V

I

Ap = 21,8 103

[$I

P

HZ = 2 m

1

0-

= 022 . 105Pa = 0,22 bar

li= 150 m3/h

0

Bild 7-9. Losungsskizze zu u 15.

pb :I bar

Mit z ,

=Hl

z2 = 0; Bild 7-8. Losungsskizze zu u 14.

+Hz;

p,

= p,;

cl z 0

p2=pb+@'g.ffz;c2=?

( H l + H 2 ) . g +Pb = ~ b + e ' g . ~ 2 + 5 e e 2 Hieraus c , = wird

-

7-

Mit Damit

v = 0,0445 m3/s = 160 m3/h

7 Losungen der Ob~n~sbeispiele 419

qmr

.

p,,, = 2,94 lo5Pa = 2,94 bar Bemerkung zu a): Nach dem Austritt wird die Ausstromungsgeschwindigkeit c, verwirbelt, d. h., die zugehorige Energie c 3 2 wird in Warme umgesetzt und ist daher

0 = 0.15 m

Stramfoden

p, mechanisch = pb+ egH, verloren. sein, alsoDeshalb so groB wie muB der Austrittsdruck hydrostatische

H,=2m

0

0

Bild 7-10, Losungsskizze zu u 16.

Gegendruck. Wichtiger Unterschied zum Eintritt, Stelle Q in Bild 7-10. Hier ist der Druck wegen Teilumsetzung in Geschwindigkeitsenergienicht durch die Fluidstatik festgelegt.

Mit

~0

Z1 = H , ;

P~=pii+Pb;

z3=H1+AH-Hz;

p3=pb+HZ.e.g; c3=?

C,

4

v

i

v

1

Ho

wird

1

,

, Strornfaden Y

,v: 200 m'lh

Pb

c,= 25 rnls

3

0

Bild 7-11. Losungsskizze zu u 17.

PI c: P2 b) E(i-Q: z ; g + - + - = z , . g + + Z

e

Mit

q, 1

Hieraus

z1 = H , ; Z, = 0 ;

e

2

p, = p, + pb; c, = 0 p2 = ? C 2 = c3

Mit

2

,= p,

- pb = p,

+Q

z, = H ; z2 = H - H,;

DQ: c wird

wird Hieraus p,,

c2

-

v

Pl=Pb; p2 = pa; cZ= ?

und m

=

H . g + - =Pag ( H - H , ) + - + - Pb

e

[,. "1 e

c1

2 c2 1 l,0S2 . Hieraus H,, = 2= - - = 6,23 m 2 . g 2.9,81 s 2 . m

420

7 Losungen der Thmgsbeispiele

Mit

z,

=H ;

z3 = 0 ;

p, = pb; c, w 0 p3

= pb;

c3 = 25 m/s

Die Flussigkeitsmasse in der Leitung muB in 10 s von 1,s m/s gleichmaBig auf 0 verzogert werden. Hierfiir gilt gemaB Beispiel B4 nach NEWTON:

und m = e . V = e . A . L wird F = e . A . L . a Andererseits F = Ap . A Durch Gleichsetzen ergibt sich

Bild 7-1 2. Losungsskizze zu U 18: Heberleitung.

.

Ap = 33,s lo5 N/m2 = 3,75 lo5 Pa = 3,75 bar

Mit

Es treten also schon bei sehr geringen Verzogerungen groBe Drucksteigerungen auf.

= H,; =Pb; Cl x 0 z,= H I - H z ; p4=pb; c 4 = ?

zl

Hieraus m

c 4 = J 2 g . f i , = J m

Damit V = C, .A,

= 5,42.-

0305qi'

[;

. m2]

m3 = 0,0107 s

b) E@-@: z l . g + -P+I - =clz 3 . g + - + 3P3 e 2 e z3 = H

+H, ;

p , 2 p,,;

c,

c2 2

Die Druckerhohungen bei groBen Beschleunigungen (positive und negative), den sog. Wasserschlagen, sind unzulassig hoch. Diese mussen, urn Zersibrungen zu verkeiden, durch entsprechende MaBnahmen unterbunden werden (U 20). Mit a, x a = 1437 m/s und Q % l o 3 kg/m3 (Tabelle 1-16) nach G1. (3-82): a) Ap,,,=~~a,~(Ac),,,=~.a,~c, da c=O

. 1437 . 8 [(kg/m3). (m/s). m/s] x 115 . lo5 Pa = 115 bar (unzulassig!!) = lo3

= 5,42 m/s

wird H , . ~ +P ~ ~ ( H + H ~ )Po, . ~ +4 - + e e 2

Nach Tab. 2-1 fiir Wasser mit 50 "C: p,, = 0,123 bar und e = 988 kg/m3 (Tab. 6-7).

Bild 7-13. Losungsskizze zu U 21.

7 Losungen der ~bunssbeisviele

421

Die Geschwindigkeitim Bereich @ bis kurz vor Q kann vernachlbsigt werden (grol3er Querschnitt). im AbfluDrohr ist, da Zwischen Q und D = konst, die Stromungsgeschwindigkeit gleich groD. Ausgangspunkt ist G1. (3-81) zwischen @ und 0.

a

mit Bild 7-14. Losungsskizze zu

~ ~ ' 0 ;

U 22.

P3=Pb; c ~ = c ( ~ )

S1

=0

da s, 23

und

= 0, Anfangspunkt L

S3

[=I,=!

der ~Koordinate

da im Bereich 0-0 &/at weilc=konst(?zO)

= 0,

Im AbfluDrohr ist, da D = konst, die Stromungsgeschwindigkeit nur zeitabhangig, also c =f (t). Deshalb ist entlang des Rohres &/at wegunabhangig und damit im Wegintegral eine Konstante. Auch sind daher partielle Differentiale nicht mehr notwendig.

und wird

H

=&-(1+1-5) 2.9

Weiter mit D Q : c

v -- A,

wobei Alles in die Ausgangs-G1. eingesetzt: g . H = c2/2 + L . dcldt (D-GI.) Hieraus Integriert : dcldt = (g . H - c2/2)/L

rnit Substitution x = c also c = J 2 g H . x

/

+

dc=J;?SH.dx

artanh -

c =J

2.L

~

m3/s

m

g .H -

7,s .cm3 _ . -.1 min --1 .in3 - 1,25. mm 60.s 106.cm3

Bei dieser kleinen Geschwindigkeit kann envartet werden, daB laminare Stromung vorliegt, also

A=-=-64

L t=-.

--.

-

Re

Hieraus

(7- 1)

Umgestellt nach c:

H tanh . [ ( J ~ ~(2H. LI)) . t]

Mit der stationaren AusfluBgeschwindigkeit nach TORRICELLI, G1. (3-94), c,,,, = wird

fl

64. v c,. d

Aus G1. (7-2) folgt:

422

7 Losungen der ~bungsbeisviele

Damit ergibt sich aus Beziehung (7-3)

Hierzu aus Bild 6-1 1: I

Es konnte sich um Wasser von etwa 23°C mit v = 0,935 . m2/s handeln (Tab. 6-7).

Deshalb nach GI. (4-34) rauhes Verhalten, was auch Bild 6-1 1 bestatigt. Hierfiir I nach GI. (4-35)

Uberpriifung, ob Laminar-Stromung

I=

c,.d Re=-=

0,159.1.10-3 m1s.m 0,939-10-6

I69
v

=

1 ( 2 . lg500

+ 1,14)'

= 0,0235,

= 0,0234

oder

wie Diagr.-Wert

Damit wird

I / Bild 7-16. Losungsskizze zu 24. Bild 7-15. Losungsskizze zu

EEQ-Q: Mit

U 23.

P1 c: P2 c2 z~.~+-+-=z~.~+-+~+Y~,~~ e 2 e 2 Mit z1 = H ; p , =p,; cl z 0 wird ~

2

P2= ~ Pb

~

;

Weiter mit Yv,

L c2 Yv,lz= 1 . - . A D 2

und D Q: c

v

[m3/s] 0 , 6 2 . ~ / 4 m2

- -= ------ ----

- A,

z , =z,=O;

= 17,68

m ;

,,

=

c,=c,=c

L c2 I . - .D 2

und D:

Bestimmung der Rohrreibungszahl 1:

Glattstrich-Beton Bestimmung von 1: H20/2O0C angerostet

v

= 1,004

.

-

angen. k, z k z 0 , S mm

m2/s

k = l ... 1,5mm angen. k, z k z 1,2 mm FormelmaIJige Priifung von 1:

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Nach G1. (4-32) Ubergangsbereich. Deshalb 1 mit GI. (4-33) iiberpriifen: 2,51

c.D Re=-= v D/k,

2,07.0,8 0,801 .

423

m/s . m

[ T I 2,l. lo6 0

= 800/1 = 800

Hierzu nach Bild 6-11 8,39 z 8,42, also bleibt I = 0,0142

1 = 0,021 (rauh!)

Dann wird

oder rechnerisch, G1. (4-34):

800 2,212 Y,,,, = 0,0142.-.-. 2,4 2 Ap = l o 3 . 11,56

und

[z -.

2 ;[2] -

m2 =11,56- s2

k, -. D

N fZ2]= 1 1 , 5 6 103-

-

m2

Ap z OJ2 . 105 Pa = 0,12 bar

~

e=

1 ~ 350 ~ (2,l .3I O ~ )=~425 ~, > ~~ ~ 800

-

D a m laut GI. (4-34): rauhes Verhalten. Nach GI. (4-35) ist dafiir: 1 1 A= = 0,0207

(2~lg(~lks)+1,14)2-(2~1g8~~+1,14)2

etwa wie Diagrammwert! Damit wird z1 L

-=

z

0

0,021

[el

2'072 2 .9,81 . 0,8 m/s2 .m

Es gilt: sin cl

c: 2

P2

c2 2 cl = c,

EE@-Q:

Z , . ~ + - + - = Z ~ ~ ~ + - + ~ + Y ~ , , ,

Mit

z2 = 0; pl = pz = p,;

und

L c2 Y,,,2=~.-.D 2

wird

z, I c2 L - 2 g.D

e

v

Hierbei nach D: c = A

e

3600

[ ] s/h

=c

Mit

1 . ------15 000 m3/h T.'. = 4

m3 =

T

0.

n: n: D2 = - . 0,82 [m2]= 0,503 m2 wird 4 4

A

=-.

c

=-

[-I

1,042 m3/s 0,503 m2

5 = 0,0057 % tan cl L

also: Gefalle: 0,57% Hohenunterschied: Az = z, = L. sin a = 3,42 m

Bild 7-17. Losungsskizze zu U 25.

P1

=

= 0,0057

t

Bild 7-18. Losungsskizze zu

26.

= 2,07 m/s

Bestimmung von I : H20/3O0C Beton, geschleudert

Mit v = 0,801.

m2/s

k =0,2 bis 0,7 mm angen. k, = I mm

und

z1 = H; p, = p,; z z = o ; p2'pb;

c,

0

0, da A, $A,

cz=?

424

7 Losungen der ~bungsbeispiele

wird Hieraus

c,

2.g.H =Jp l+l.L/D

-

Bestimmung der Rohrreibungszahl /1 H,0/20°C

v

GG, gebraucht maDig angerostet

)

=

1,004. 10-6m2/s

,,,,,-,,

A

k = I bis 1,s mm angen. k, = 1,2 mm

(

Stromungsgeschwindigkeit c zeitlich andert. Dies wird naherungsweise als gering vernachlbsigt (Annahme) und mit dem Stationarwert &, (1=&,,,) gerechnet. Die D'Gl. (Differentialgleichung) von u 21 entsprechend erganzt, ergibt: g . H = c2/2 + L. dc/dt

+ 1.(LID) . c2/2

Hieraus

g . H = ( I +l..L/D).c2/2+ L.dc/dt = K . c2/2 + L . dc/dt Hierbei Abkiirzungsfaktor

c.D

Re = --- = ? da c unbekannt. V

D/k, = 300/1,2 = 250

)

Bi,d

,-,,

A

I 2 0,0285 (rauh!) (1. Niiherung 1 = 0,0285

Beziehung umgestellt und integriert:

Damit wird in 1. Naherung

Mit der Substitution x = c/J2. g . H/K ergibt die Integration entsprechend U 21, wenn ~ ersetzt, ergibt: K durch J

Uberprufung des kWertes: Re =

1,004. wie 1. Naherung

= 1,36. 10,

c (t)lc,,, oder rechnerisch:

= tanh

(J

2.g.H.(l+A.LID) 2.L .

Hierbei jetzt

Nach Gl. (4-35) ist dafiir:

A=

1 - 0,0284 z wie Diagr.-Wert (2.1g250+1,14)2 -

Also bleibt c,

= 434

m/s

Damit wird

Der Ansatz von U 21 andert sich dahingehend, daB die auf dem Stromungsweg von @ nach @ durch Reibung verlorengehende mechanische Verlustenergie Y, = 1.(LID). c2/2, nach DARCY,G1. (4-25), berucksichtigt werden muS. Zu bemerken ist, daB hierbei die von der REYN O L D S - ~ abhangige ~ ~ ~ Rohrreibungszahl I =f (Re) nicht konstant bleibt, da sich Re = c . D/v mit der

Bild 7-20. Losungsskizze zu u 28.

7 Losungen der ~bun~sbeispiele 425

Mit

zl = L . sin6

+ H;

z3 = 0 ;

p, = pb; c1

0

Eingesetzt in die Energiegleichung ergibt:

p3=pb; c 3 = ?

c2 wird ( L s i n S + H ) . g = z + Y v , , , 2 Weiter mit

c2 .'+a E 2

LII c i .L . L .c2 L + ( . c2 J + n .-.I D I 2 V 2 11D112

=[

Hieraus c,

=$

.yyzl:+~)

Uberpiifung der 1-Werte: Cr Dl 1,: Re, = v C, = c,,. (D,,/D,)~= 6,2. (1/2)* = 1,55 m/s '

wobei aus KI-11: c, = c,, .A,,/A,= c,, . (D,,/D,)2

1,55.0,16 1,297. D,/k,,, = 107

Re, =

Mit c,, r c, eingesetzt ergibt:

4

I,,: Re,

= K13. 7

=

6,2 .0,08

%

lo5\

'

1,= 0,038 (wie angen.) %4

lo5\ ~i1d6-11,

L

DIIlk,, I,

Bestimmung der 1-und (-Werte: H20/100C

*

v = 1,297. 10-6m2/s

Rohr, gebraucht, GG ,,,,,-,, k = 1 bis 1,s mm maoig angerostet ) ~ ( a n g e n .ks= 1,s mm R-Werte: 1= f (Re, Dlk,) Dl. C, . I,: Re, = -----nicht bestimmbar, da c, unbekannt v 1,2 0,038 D,/k, = 160/1,5 = 107 A,,:

D .c Re,, = a n i c h t bestirnmbar, da c,, unbekannt v D,,/k, = 80/1,5 = 53 1,,20,048

1. Naherung:

BiM6-11)

1

/

= 53

A,,

= 0,048 (wie angen.)

Somit bleibt c3 = 6,2 m/s Damit ergibt sich der austretende Volumenstrom: n

71

~=c,.A,=c,.-.~~=6,2.-.0,08~ 4 4 V = 0,0312 m3/s = 112,2 m3/h

P1 ct P z c: b ) E E Q - Q : zl.g+-+-=zz~g+-+-+Yv,l, e 2 e 2 Mit

zl=H+L.sinG; pl=pb; cl%O z2 = L . sin6;

p2 =?;

"2

I, = 0,038; A,, = 0,048 gesetzt

\L/

Mit diesen Werten wird in 1. Naherung:

= lo3(24,525- 2,042)

p,,, = 0,22 lo5 Pa = 0,22 bar

r-

m s

= cI -- 155 7 -

426

7 Losungen der ~bungsbeisviele

Eingesetzt in GI. fur c

:

-=

2

ci ergibt:

H ; g - K , ; A c2 hieraus 2

Ermittlung des Faktors K , , : Hierfur ist die Bestimmung der Verlustbeiwerte /2 und ( notwendig. Bild 7-19. Losungsskizze zu

u 29: Heberanlage.

bWerte: I = f (Re, Dlk,) v = 1,004 .

H,0/20°C

,-,,

GG-Rohr, gebraucht, )-(angen. leicht angerostet

Mit

m2/s k =0,3.. .0,8 mm k, = 0,6 mm

c,.D, . Re, = ----nicht bestimmbar, d a c, unbekannt V

wird Weiterhin gilt V @-Q (V.. . Verlust)

Re,, = --

nicht bestimmbar,

Re,,, = ----

1.Naherung:

A, = 0,0285; A,, = 0,03; A,,, = 0,032

6-Werte: (' =f (Form, k); rauh

l,: Nach Bild 4-19,a. lE= 0,5 (ungunstiger Fall) Die Kniestucke sind gleichzeitig mit Durchmesserreduktion ausgebildet, scharfkantig und rauh. KII-111:

2)ey $1 Er

und mit c,,, = cz wird yv, 1 2 = [(ir

+ I,

+ (lKl+ 4 1 .

.

i K l :a , = 45" A 6. Hierzu nach Bild 6-23 -+ i= 0,24 Bild 6-26 + [ = 0,18 Bild 6-28 -+ ( = 0,32 Als unstetige Querschnittsverengung nach Bild 4-24. m

= (D1,/D,)2= (120/150)2

= 0,64

( = 0,24

D a Kombination Kniestuck + Querschnittsreduktion, erwartet: C,, z 0,45 (Annahme)

7 Losungen der ~bungsbeispiele

(,,:

= 15" & 6. Hierzu nach Bild 6-23 -* = 0,05 Bild 6-26 -+ ( = 0,08 Bild 6-28 -* ( = 0,06 . . .0,08

cc2

427

<

Dlll/ks,lll = 167 A,,

Als unstetige Querschnittsverengung nach Bild 4-24. m = (D,,,/D,,)2= (100/120)2 Bild 4-25 = 0,69 = 0,2

-<

Da ebenfalls Kombination Kniestiick + Querschnittsreduktion, erwartet: i,,x 0,25 Schatzungen, da exakte Werte nur experimentell ermittelbar und keine zutreffenderen Diagramme vorhanden. Mit diesen Werten ergibt sich der Faktor K , , in 1. Naherung :

/ = 0,0325

x 0,032 (wie angen.)

Es bleibt deshalb c, = 2 mls Damit wird der Volumenstrom im Rohrsystem:

b) Der kleinste Druck tritt im Rohr auf der Dammkrone (hochster Punkt) auf. Infolge der Reibungsverluste wird der niedrigste Druck vor oder eher kurz nach dem zweiten Kniestiick K2 auftreten (Stelle A). Grund: Der Durchmesser andert sich im Kniestiick von 120 auf 100 mm, weshalb der Druck gemal3 E-GI. ebenfalls sinkt. Der Druck in Stelle A ergibt sich aus der Energieund @ gleichung, angesetzt zwischen Stelle (iJ oder zwischen den Stellen @ und 0. Mit Beriicksichtigen der Abstromenergie + EE @ - 0:

Damit wird r ,

=y I@[ 1 + 16,174

= 2 m/s

Mit zA= H, + Hz; pA= ?; cA= c,, = c,,, (D,I11D,I)2 ZA=0;

P2=Pb;

C2=C~~l

~ b e r ~ r i i f u nder g I-Werte: cl. Dl c,. Dl - -1,: Re, = ---- "I v c, = c,,, . (D,,,/D,)2 = 2 . (0,1/0,15)2= 0,89 m/s

= (0,25 = 9,53

+ 0,032 . (2910,l)) . c&/2

. c:/2

(It. K,,; Frage a)

ergibt

Hieraus

1,etwa wie in 1. Naherung angenommen. Da, wie die bisherige Rechnung zeigt, von geringem EinflulJ auf K12,kann bleiben 1,= 0,0285 ' Dl, c,, . Dl, c11 --- - - da 9 ( t ) = konst A,, : Re,, = "11 v

Dl, /k,, 1,

= 200

/ A,,

= 0,0307 x 0,03 (wie angen.)

= 0,53

. lo5Pa = 0,53 bar = p , ,

428

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Mit z, = H I ; p, =p,; zz=o;

und

c, z 0

p2=p,;

c2=?

Y ~ , 1 2 = Y ~ , ~ + Y V , R I +Y ~ l Y +~ , ~ l l

pA= 1 . lo5 - 0,63 . l o 5 W/m2]

+ Y ~ +2 Y ~ , ~ r l l

pA= 0,37. lo5 Pa

= 0,37 bar

wird H l - g = [ l + i % + I E + ( K l + i K z ] . $ Hieraus

C, =

J+

2.g.Hl 1 1.L,,,/D IE+~

+

RID= 3

Dl = 200 m m = 40 m RID-4.

/, ~KI

"4

Pb

%

Rohr I

+ IKZ

K I

Mit den 1-und (-Werten von Frage a) ergibt sich in 1. Naherung:

(Unterdruck !)

= p, - pA= 0,63 bar

und p,,

j/

ArKn

>SP

9 vow I

H=12m

~ h h r11 Dl, = 1 2 5 m m [,,= 6 0 m

1

0

c, = 1,93m/s (nur wenig verschieden von Frage a)

~berpriifungdes I-Wertes

Bild 7-21. Losungsskizze zu

c .D 1,93.0,15 R e = L -= 2,9. 10' v 1,004.10-6

D/k, = 150/0,6

= 250

Bild

U 30.

6-11

/

A = 0,0285 (wie angen.) ' h 1 d d 6 t Wrrdl~ cz =5 y~ mb

Mit z,

= 0;

p, = p p = pP,"+ pb; c, P2=Pb;

= c, = ?

c2 % 0

P wird =PP -n+ -~zL 7= H - ~ + ~ + Y , , , , r n

~ = 0 , 0 3 4 1m3/s = l22,8 m3/h

v ist fast doppelt so hoch wie in Frage a).

Annahme: Kinetische Energie cf1/2 amubertritt von Rohr 11 in OW-Behalter wird - wie bei einem Difisor - zuriickgewonnen, d. h. in Druck umgesetzt. 1st in der Praxis oftmals nicht der Fall. Weiter gilt:

p) Druck in Stelle A:

0

yv.12 =

Mit

z,

= H,;

Pl=Pb;

z,= H, + H z ; p A = ? ;

C Y",, =Yv,, +YV,RI+YV,.l

r=O

+Y~,,,+YV,,I,+~~Y~,K~~

ClzO

c A = c2

aus KI-11: el, = c1($)2=

cI(;)2=

236 .CI

7 Losungen der fjb~n~sbeispiele 429

Eingesetzt ergibt :

Uberprufung der I-Werte:

Yy 1 , = K 1 2 ~. ! / 2 Hierbei Abkiirzung K,, fur gesamten Ausdruck der eckigen Klammer. Bestimmung der 1- und <-Werte H20/100C + v = 1,297 . m2/s Rohr, St leicht) verkrustet

Tab. 6-14

,

(

k = 0,15 bis 0,4 mm angen. k, = 0,4 mm

D,/k, = 500 Damit nach Bild 6-1 1: L, = 0,0238 CII .Dl 1,,: Re,, = -

V

c,, = 2,56 . c, = 2,56. 2,78 = 7,12 m/s 7,12.0,125 Re,, = 1,297.

= 6,9

. lo5

DII/k, = 313 Damit bleibt nach Bild 6-1 1: A,, = 0,027

-

A,: Re, = c,. D,/v = ?, da c, unbekannt. D,/k, = 200/0,4 = 500 Bild 6-11 I, 2 0,0235

A-Werte etwa wie angenommen, deshalb bleibt c, = 2,78 m/s. Damit wird:

A,,: Re,, = c,, .D,,/v = ?, da c,, unbekannt. D,,/k, = 125/0,4 = 313 1. Naherung:

A,, 2 0,027

1,= 0,0235; A,,

= 0,027

gesetzt

-csp

t;-Werte:

Cv: NW200; Bild 4-30 CKI: RID = 4, rauh; Bild 4-1 5 CSp: m =(125/2OO)~=OJ9; Bild 4-25 + CKn:RID = 3, rauh; Bild 4-15

5, C,

-

EE UW-Q mit Energiezufuhr Yp (Pumpe): = 3,85 = 0,23 = OJS

Mit , ,z

lK1, =0,26

Eingesetzt ergibt sich in 1. Naherung fur ReibungsFaktor K,,: 40 K12= 3,85 + 0,23 + 0,0235 . 0.2

Puw

P

e

c;w 2 = 0; p,,

e

cz 2 =0

z"w.g+--+-=~~.g+'+~+~~,~-Y,

z1 = 0;

p,

= p,;

c,,

=p,;

c, = c,

:

1 c c wird Yp = P Pe ~ P b 2+ ~ + ~ v ~e p = - p p , U + i + ~ v , p Da Pumpenverluste Y,,, nicht bekannt, wird mit den theoretischen Werten gerechnet (Y,,, = 0):

K,, = 8,78 + 90,64 = 99,4. Damit wird Yv, ,,= 99,4 . c:/2 = 49,7 . c: Eingesetzt in E-GI.: Damit wird: 1

1

e . p,, ii = -e (p, - pb) = H . g + 49,2 . c:

-

Hieraus

PP,th =

. Yp, th

=

e . P. y,, th

. (m3/s). (m2/s2)]

= lo3 .0,086.503,92 [(kg/m3)

.

Die tatsachliche, d. h. notwendige Leistung der Pumpe ist urn deren Verluste grol3er; P,, =Pp,,,/ye, effektiver Wert. Hierbei effektiver Wirkungsgrad gemaI3 Erfahrung undloder Versuchen.

430

7 Losungen der tfbungsbeisviele

is: nach Tab. 4-2 i,:

Mit zl =O; z2=H-h;

P I = Pb;

clwO

p2=p,-p,+g.g.h;

c2=?

pb-p,+e.g.h wird bP = ( ~ - h ) . g +

e

e

c2 +f +YV,l,

Bemerkung: Kinetische Energie c:/2 kann nicht zuruckgewonnen, d. h. in Druck umgesetzt werden, da kein Ausstromdiffusor vorhanden. Sie geht daher uber Wirbelbildung verloren, d.h. wird in Warme umgesetzt.

is=2 bis 3, angen. 5, = 2,5

nach Bild 4-15 fur RID = 3

-+

5, =0,26

i,: nach Bild 4-30 fiir NW 150 -+ iv= O,6 Mit diesen Werten wird Faktor K12in 1. Naherung

Damit ergibt sich die AusfluRgeschwindigkeit zu:

uberprufung des I-Wertes: H20/15 "C

av

=

1,134.

m2/s

Stahl

NW 150 L = 25m

Dann wird in 2. Naherung RID = 3

K12 = 2,5 0

25 + 0,024 . 0,15 + 5 .0,26 + 0,6 = 8,4 ---

und damit

Bild 7-22. Losungsskizze zu U 31.

Mit

Nur geringfiigige Veranderung von c2, so daI3 eine zweite Nachprufung von 1 nicht mehr notwendig.

YV,,,=

Der angesaugte Volumenstrom wird dann: K12 c2 folgt 0 = H . g - P" - + (I + K12) 2 e 2

Hieraus c2 =

4---;(

Bestimmung der A:

2

1+Kl,

- H . g)

A- und [-Werte: MaOe ~n mm

A =f (Re, Dlk,)

H e ~ korper z

Rohr, St maI3ig ,-,, k = 0,15 . . . 0,4 mm ) ~ ( a n g e n .k, = 0,3 mm angerostet Re = c, . Dlv

d a c2 noch unbekannt 2 0,0235 D/k, = l5O/O,3 = 500 1. Naherung:

=?

1 = 0,0235 gesetzt

Bild 7-23. Losungsskizze zu

u 32.

7 Losungen der ~bungsbeispiele

431

a) Die beiden Stromungszweige, KurzschluDweg I1 und Heizkorperweg I sind parallel geschaltet. Deshalb mu13 der Druckverlust in beiden Zweigen gleich groB sein (vergleiche auch Elektrotechnik!): angen. RID

iK= 0,5

Y",1 = yv,11

C,:

Aunerdem gilt die Kontinuitatsbedingung:

Mit diesen Werten ergibt sich:

= 1, rauh

<,=i:+ql=P& Auswertung:

=

1,398 + 0,72 .

<,

[m2/s2]

Stromungsgeschwindigkeit in allen Bauteilen von Weg I (auBer HK) und von Weg I1 naherungsweise jeweils etwa gleich groD + c, % c,, z cab. Also Zu- und AbfluDgeschwindigkeit gleich gesetzt (c,, % cab), wie in Heizungszweigen iiblich (Isokinetik). Falls Unterschied vorhanden, wirkt sich dieser erfahrungsgemal3 kaum aus, weshalb auch dann meist vernachlassigbar.

Nach Bild 4-30 erreichen Durchgangsventile von NW32 solche [-Werte (geoffnet oder teilweise geschlossen).

Bestimmung der 1-und <-Werte:

b) Aus D: A = V / C

Rohr, St leicht angerostet

-

Gleichgesetzt: Y,,, = Y,,,, 4,965 = 1,398 + 0,72. Hieraus

mit

ks % 0,15 mm

,<

A,, = A , , , da

vZ,= Vab und c,,

I;:[

wird A,,=A,b=1,51~10-3/1,2 = 1,258

und

D,, = D,,

= 0,04

.

m2

m = 40 mm

Apv = 0,05 -10' Pa = 0,05 bar

Pv = Apv

(e+ Till)

------

= Apv

.

<,

= cab

432

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Mit

A, = A; = A,,; c; = c,;

wird

cl= c4

c,, = c5

+ c5

Hieraus mit der G1. fiir c,: c4 = 0,44 c, Damit ~berpriifungvon q , / q :

Etwa wie angenommen, also bleiben i,,, und

Mit Bild 7-24. Losungsskizze zu

u 33.

z,

=H;

p, = p , ;

c, % O

z,

= 0;

p,

c,

= p,;

i,,,,.

=?

wird und

Y V , 3 4 = ( LL; i*F+~~,J': Bestimmung der 1- und i-Werte: Wie unter Frage a) in 1.Naherung angenommen:

EE @-@ ergibt entsprechend

a, = I; = 0,038 i,: scharfkantig

und

Bi'd4-19'a

[,,, = 0,07

, rE= 0,5

Eingesetzt ergibt in 1.Naherung mit Di = Dl:

Gleichgesetzt :

Bestimmung der I- und (-Werte H,0/20 "C

Tab. 6-7

, v = 1,004 .

Re = ?, da c unbekannt Dlk, = 100/1 = 100 1. Naherung A;

m2/s

-

= I, = A,, = 0,038

12 0,038

gesetzt

CA,,, =

Eingesetzt ergibt 1. Naherung:

Damit wird: H . g =

c2 + 15,81 . c: 2

=

16,31 . c:

Hieraus:

Damit:

ia=0337

c, = c4/0,44

= 4,98 m/s

ci = c4

= 2,19 m/s

c,, = c, = c, - c, = 2,79 m/s

Uberpriifung der 1-Werte: H,0/20°C Re, =

4,98 .0,1 1,004.

v = 1,004.

m2/s

7 Losungen der ~bungsbeispiele

2,79 .0,1 "-1,004.

I,,:Re -

433

Bestimmung der 1-und [-Werte: 2,8 Io5)

A,, =o,038

1 : I =f (Re,D/k,)

Die 1-Werte stimmen mit den angenommenen uberein. Die ermittelten Geschwindigkeiten sind deshalb richtig. b) D: v = ~ . A

angen. k, x 0,15 mm

angerostet

Blld

4-15

------t

rauh

6-25

BII~

-------t

[ = 0,22 [ = O,22 ( = 0,23

Mit diesen Werten ergibt sich fur den Faktor K,,: 730 K , , =0,63 + 0,19 + 2.0,23 +0,016 .-+0,31 0s

Es ergibt sich: Reibfaktor KI2 wird also fast ausschliel3lich durch die Rohrreibung bestimmt. Der Anteil aller Einbauten betragt nur etwa 6 %. Bild 7-25. Losungsskizze zu

U 34.

Eingesetzt:

PI CT P c2 EE@-Q: z , . g + - + - = z 2 ~ g + 2 + L + ~ v , 1 2 e 2 e 2 Mit zl = H; p, =p,; el xO

z2=O; p 2 = ? ; c 2 = c = V / A p,,, = 28,4 . lo5 N/m2 = 28,4 . 10' Pa

und = K,,

c2 .2

L ( E + [ K , 7 0 + 2 [ K + ~D. - + ~ s )

wird p 2 , + = p , - p b = e .

Der Turbine zugefiihrte Leistung:

= 28,4

bar

434

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Kinetische Leistung m. c2/2 des stromenden Mediums hierbei, da vergleichsweise klein, vernachlassigt.

Hieraus c3 =

Rohrleitungswirkungsgrad

Bestimmung der I - und (-Werte: v = 1,004 .

H,0/20 "C 1,:

m2/s

Re,=--Cl . Dl - ?, da c, unbekannt. v

CII .DL, = ?, da c,, unbekannt. I,,: Re,, = v

D,,/k ,,,,= 40/0,1 = 400 1. Naherung: 1, = 0,023; l E : scharfkantig

Bi1d4-193a

lK, ,: angen. RID = 3

I,,2 0,025

A,, = 0,025

-, Bild 4-15

lK,II:Ri/D1= 0,25; RJDI = 1,s = (D1~/D1)2 = 0>44

lE = 0,s

lK,= 0,26

GOj6 Bild 4-16

035)

Mit diesen Werten ergibt sich fiir den Faktor K,,: Bild 7-26. Losungsskizze zu U 35.

Eingesetzt ergibt in 1. Naherung fiir c,: Mit

Uberpriifung der I-Werte: c,, = c3 = 5,44m/s; c, = 0 , 4 4 4 . = ~ ~2,39m/s ~

/

I,,= 0,0255

Damit ergibt sich der endgiiltige Wert fiir K,,:

wird

--

7 Losungen der ~bun~sbeis~iele435

A,,: Re,, = ? D,,/k, = 100/0,5 = 200

Eingesetzt ergibt sich letztlich fiir c3:

Damit folgt fiir den ausfliefienden Volumenstrom:

l,,,: Re,,, = ? D,,,/k, = 250/0,5 = 500

In 1. Naherung gesetzt :

A, = 0,0275; A,, c,:

= 0,0305;

Scharfkantig

Bild 4-19'a,

c,:

A,, 2 0,0305

All12 0,0235

L,,,= 0,0235 iE, ,= I,, ,, = eE = 0,5

cK,

RID = 5, rauh I = 0,20 c2~ = z , ~ P, b) EE 0-0: z l ~ g P+ ~ + g + c2 -+~+~v,l, e 2 e 2 Naherungsweise nach Bild 6-32, obwohl D unMit z , = H ; P1=Pb; el=o gleich. c, = c, = 0,444 . c3 Z , = H - H,; p, = ?; 6 = 90" angen.

cT:

e,/~,,
Mit wird ~ . ~ + Ph = ( ~ - ~ , ) . ~ Px + - +c:- + 1 , 5 c: 6.e e 2 2 und Hieraus p,,, = p, - p, = Q . ( H , . g - 1,28 . c:) Zahlenwerte eingesetzt ergibt:

. 3 - 1,28 . (0,444.

px,,= 0,220 . 105N/m2 = 0,22 . lo5 Pa = 0,22 bar wird

H I .g = 0,5 . c& + Y,, H , .g

= 46,28

. c:

,,

+ 38,25 . c&

Mit

und

Bild 7-27. Losungsskizze zu U 36.

Bestimmung der 1-und C-Werte

A,:

R e , = ? Da c, unbekannt D,/k, = 150/0,5 = 300

+ 37,7 . c i , H z . g = 46 . c i + 38,2 . c;,

= 46

1,2 0,0275

wird

. c;

(A)

7 Losungen der ~ b u n ~ s b e i s ~ i e l e

436

fi+fi,=q,,

KI-11-111: C,

. D:

Mathematisch bestehen zwei Losungen:

+ cII. D,?= cIII. D&

(c)

Damit sind drei Gleichungen (A, B, C) fur die drei unbekannten Geschwindigkeiten c,, c,, und c,,, verfiigbar. Dieses Gleichungssystem mu13 gelost werden : (A)-(B): (HI - H z ) . g = 46,28. c:

-

1. Losung: ci = 6,25

c,, = 2,50 m/s

-t

Damit werden

4 6 . c,?

1 Hieraus c: = - - [ ( ~ , - ~ , ) g + 4 6 c : ] ) 46,28 1 aus (B) c,?,=--- .[Hz .g - 46. c,?] 38,2

c,,, =

[F2]

=/2.50"1

2. Losung: c i = 5,37

c,,

-t

= 2,32 m/s

Damit werden D1=0,15m, D,,=O,lm, DI1,=0,25m, H l = 2 5 m , H z = 30 m und g = 9,81 m/s2 eingesetzt liefert Wurzelgleichung fiir c,, in m/s: Priifung der Losungen: Mit Rohrquerschnitten A = D2n/4 A, = 17,67.

. ci - 1,06 + O,OI. c,, = 0,0625 . J7,704 - 1,204 . c,? 2,25 .J0,994 c,?- 1,06 + c,, = 6,25 .J7,704 - 1,204 . ci

0,0225 . J0,994

m2; A,, = 7,85.

A,,, = 49,08 .

+

m2;

m2

Tabelle 7-1. Losungsvarianten

Die Gleichung quadriert liefert: 5,063 (0,994 . c,?- 1,06) 4,5 . c,, . J0,994 . c,? - 1,06 + c,?

+

= 39,063

. (7,704 - 1,204 . c:)

c,, .J0,994 . ci - 1,06 = 68,068 - 11,792 . C: Die Gleichung nochmals quadriert ergibt: Ergebnis: Die 2. Losung erfiillt KI-11-111

-t

q +ql =GI,

Vorhandene geringfiigige Abweichung durch Rundungsfehler bedingt. Auch wird Ausgangsannahme GI/&,, = 0,35 gut erfiillt. Neurechnung daher nicht notwendig, was jedoch nur selten auf

7 Losungen der ~bungsbeispiele

437

Anhieb der Fall. Meist sind wegen unzulanglicher Anfangsschatzung (Startwert) mehrere Rechengange erforderlich (Iteration). uberprufung der I-Werte: v = 1,297 .

H20/100C

m2/s

/

Dl, / k , = 100/0,5 = 200

I,,= 0,0305

Die geringfugigen Abweichungen der I-Werte konnen ebenfalls naherungsweise unbeachtet bleiben. Korrektur-Rechnung also auch wegen I-Werten nicht notwendig. Es gilt somit die 2. Losung unverandert.

!

omy

Y

Mit z , = z , = O ;

Luft 80°C

p . v = 2,05 Pa . m2/s

c .D,, - 46,29 .0,24 . = 6,5' lo') v

= --- -

BiM6-11>

Die Werte eingesetzt ergibt fur Ap:

L = 120117 Bild 7-28. Losungsskizze zu

k = 0,l bis O,l6mm angen. k, = 0,15 mm

Hieraus

Re

0

St, verzinkt

o = 300

u 37.

Ap

cl=c,=c;

= 0,114. lo5N/m2 = 0,114. 105Pa = 0,114 bar

pl-p,=Ap

Berechnung als groDe Offnung, gemal3 G1. (4-80) Bestimmung von

v=-

R.T

Q,

c, D,, und

A:

aus dem Gasgesetz

P

R

= 287 J/(kg. K)

nach Tab. 6-20

Mit (nach Skizze, Bild 7-29):

7 Losungen der Ubungsbeispiele

438

= 0,6

Also praktisch keine Abweichung, 6ffnung daher noch ,,kleinG'.

Bild 7-29. Losungsskizze zu u 38. Tiefenkoordinate t

Ax

=a

. h/H = [a/(H. sina)] . (t, - t)

+ -31 . 0,224 . sin 60 = 0,665 m

wird: Instationares Problem, da Spiegelhohe und damit Stromungsgeschwindigkeit zeitlich nicht konstant, also Funktionen der Zeit t. Bemerkung: Zeit t nicht verwechseln mit Tiefe t. Spiegelabstand z ( t ) + von H bis 0. Zeitliche Anderung um dz = dz, + dz,:

Integral-Auswertung:

dz = dz, + dz, = dV(l/A, dz = dV. K

= dV/A1

+ 1/AJ

mit K

dzldt = K . dV/dt dz/dt

+ dV/A,

= 1/A,

=K

.p

=K.~.A,.&T=

+ IIA,

Hieraus

Mit G1. (4-86)

K . ~ . A , . J ~ ~ . Z ~ I ~

D'G1. umgestellt und integriert, mit Abkiirzung Eingesetzt:

Zahlen-Auswertung: p

= 0,63

H = J302-(40/2)2 [@I

(Bild 4-42)

jdt

I

= 22,36cm c 22,4cm

tz = 60 + 22,36 . sin 60 [cm] = 79,36cm = 79,4cm 0,4. 2 v = 0,63 0,224. (sin 60)'

Zum Vergleich: Berechnung als kleine offnung, G1. (4-78),

Integration entgegen KoB . E ~ - ~ / z . ~ ~ ~ ordinatenrichtung z. Des-halb wird Integral negaB [1~~~/(1/2)] tiv. Da nur Wert benotigt, Betragsstriche gesetzt.

=I

t

= I0

I

:1 1 I

Bild 7-30. Losungsskizze zu u 39. Nullpunkt von z-KOordinate unterwasserfest angeordnet (Relativsystem), d. h., er steigt mit dem Spiegel im Behalterteil

a.

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Grenzen eingesetzt, ergibt fiir AusfluBzeit T:

439

1~ 4 1 1 Es gilt: P,,, mit

,,,,,, . c,

= F,

F ~R, ges , = FW,

R, Wa

+ FW, R, Lu

c, = 10 m/s

Bei aufgestautem Gewasser (See, A,+co) mit Solenablauf (Querschnitt AM),jedoch A, endlich, ergibt sich durch Grenziibergang (lim-Bildung).

Wasserseite: Kraft F,,

Holz, rauh

,

, nach G1. (4-108)

-

k = 1 bis 2,Smm angen. k, = 2 mm

mit c,=20m/s Ao=2.b.L=2.1,5.0,2=0,6m2 Q = 1,189 kg/m2 nach Tab. 6-8 v = 1 3 5 . 10-5 m2/s nach Bild 6-9 i w , R = f (Re,)

Re,,,, > Re,, = 5 . lo5, also turbulente Grenzschicht mit laminarer Anlaufist, gilt strecke. Da lo-' > k,/L> Gl, (4-112). Iw,R,Wa =

[I,@ - 1 6 2 . Ig(k,/L)1-2'5

= [1,89 - 1,62

Re,
lg(0,25 . 10-3)]-2,5 .I O - ~

= 6,03

Oder nach Bild 6-42:

c,,,

, = 6 . low3

Ao,w,=b.L=5.8=40m2 Nach Bild 6-42 fur k, x 0: (, = 6 . +mehr als doppelt so groB! Welcher Wert der Wirklichkeit entspricht, ist letztlich nur experimentell klarbar.

Luftseite: Kraft F,

,,

Fw,R, Lu = i w , R, Lu . Q c,,,,=

F,,, = 0,37 N bzw. 0,85 N bei i,,,

= 0,006

,,ebenfalls nach Gl. (4-108): 1

. 2 . c i , Lu .Ao,Lu

L ~-

10+ 18=28m/s

Luft 20 "C/l bar: Nach Tab. 6-8: Q = 1,189kg/m3 Nach BM6-9: ~ = 1 , 5 5 ~ 1 0 - ~ m ~ / s 2 8 -- - 1,4. lo7 > Re,, 1,55 0-5

440

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Da gleiche relative Rauhigkeit wie auf Wasserseite und iiberkritische Stromung, gilt wieder GI. (4-112) und Bild 6-42:

Freie Scheibe zugrundegelegt, da hierbei Radreibung hoher als bei umschlossener. TR= [, . A, . R .Q .u2/2 nach GI. (4-1 19) je Rad k = 0,02 bis 0,05 mm nach Bild 6-44 und Tab. 6-14 fiir gebeizte Flachen. k , = (1 bis 1,6). k = (1 bis 1,6). (0,02 bis 0,05) = 0,02 bis 0,08 mm k, = 0,05 gesetzt (Mittelwert)

Es ergibt sich, da gleiche relative Rauhigkeit, der gleiche [-Wert wie auf der Wasserseite.

Luft

Q =

v

,,= 6 .

=

1,19 kg/m3 1,6. 10-5m2/s

Gerechnet mit iW, , Ao,,=Ao,,,=40 m2

Damit werden: 0,11 (1,12 + lg (300/0,05))295 =2,1.10-3 (verwendet!) -

Plattenreibung mrt A, = L. T GI. (4-108) Fw, = i,, ,.A, . Q . c",2 G1. (4-115) k,,, 2 100 .L/ReL Tab. 6-7: Bei angen. 10°C v = 1,297. 10-6m2/s Tab. 6-14: Beton, ungeglattet k = 2 bis 3 mm k, = (1 bis 1,6) . k = (1 bis 1,6) . (2 bis 3) = 2 bis 4,8 mm

,

k , = 3,4 mm gesetzt (Mittelwert!) k,/L = 3,41200000 = 1,7.10Re,= c , .L/v = 7.200/(1,297. = 1,08 . lo9 k,,, I 100~200/(1,08~ lo9)[m] m x 0,02 mm = l,85. kzul kvorh(kvorh= 2 bis 3 mm) -t rauhe Platte iw, = (1,89 - 1,62 lg (k,/L))-2.5 G1. (4-112) Cw,, = (1,89 - 1,62 lg(1,7. 10-5))-2,5= 0,0035 (rauh!) Oder aus Bild 6-42: (,,, u 3,2. Fw, = 0,0035.200.4. lo3. 7'12 [m . m . (kg/m3)m2/s2] F,,, = 68,6. lo3N x 70 kN

Mantel-Beriicksichtigung: Moglichkeit 1, durch GI. (4-125):

Ao=2.R.~(R+b)=2.0,3.n(0,3+0,2)[m2] A. = 0,942 m2 damit

Moglichkeit 2, durch G1. (4-127): iT+

A~T=(l+1,15.b/R).iT = ( I +l,l5.2O/3O).2,l = 3Jl .

A, = 2 . R 2 . ~ = 2 . 0 , 3 2 . x [ m 2=0,565m2 ]

,

Vier Rader: TR, ,,,= 4 . TR= 4 .0,94 Nm = 3,76 Nm Reib-, d.h. Verlustleistung, GI. (4-120), P~= T ~ , g e s ' = T ~ , g e s ' u/R = 3,76 .50/0,3 [Nm . (m/s)/m] = 626,7 W x 0,63 kW

7 Losungen der ~bungsbeispiele

441

Umschlossene Scheibe, G1. (4-119), G1. (4-120) mit G1. (4-129) bis (4-134) H20-Sattdampf I bar -+ t = 100°C qR = PJP, + PR)= 180/(180 + 40) z 0,82 & 82% + Verlust 18% (hoch, obwohl poliert!) Bild 6-44

k = 0,0005 bis 0,001 mm; k , = (1 bis 1,6) . k

k, = (1 bis 1,6). (0,0005 bis 0,001) = 0,0005 bis 0,0016mm k, = 0,001 gesetzt (etwa Mittelwert)

. u/v G1. (4-116) mit n

Re

=R

Re

= 0735'

175'93 22,l. 10-6

= 2,79

= 4800/60 = 80 s-'

. lo6 > Rekr + turbulent

Mantel-Beriicksichtigung: 1. Moglichkeit, durch G1. (4-125): Bild 7-31. Losungsskizze zu

u 45.

1. ZF,=O: Fl-Fwd,x--F2,x=0 + Fwd, = Fl - F2, = Fl - F2 . COS C( 2. Moglichkeit, durch G1. (4-134)

Mit F , = i l + F p l , , = m ~ c , + A 1 ~ p , , , =A1 . (e .c:

+~ 1 , " )

F,=~,+F ,,,,= ~ . C , + A , . ~ , , ,

TR = 0,0302 . 0,77 . 0,35 . 0,58 . 175,932/2 = 73 Nm (Unterschied zu 1. ca. 7,3%)

= A2

. (e .c:

und D O : c

--=-

v

A,

+ ~2,ii)

[m3/~]

750/36OO - = 2,95 m/s 0,3'.n/4 m2

7 Losungen der ~bungsbeispiele

442

Mit z,

= 0;

N c, m2'

p, = 2,5 . lo5 --

= 2,95 m/s

a) Nach G1. (4-151):

Fwd = Q . fi . (cDii- U) . (1 + cos p) Mit u = 0 und deshalb

V, = v,,

wird Fwd,,= e . V,, . c,, (1 + cosp) Nach T O R R I C B L L I - B ~ G1. Z ~ (3-92); ~ ~ U ~(3-94): ~

Bei guten Diisen nach Tab.4-3 cp,, = 0,97 bis 0,99, Mittelwert: ,p,c = 0,98 Eingesetzt in E @-Q liefert :

und mit Index 0 bei u = 0 (Stillstand):

-

-

x 2,3 . 10' N/m2 = 2,3 . lo5 Pa = 2,3 bar pl,,

= pl

- pb = 2,5 - 1 = 1,5 bar = 1,5 . lo5 N/m2

p2,, = p2 - pb = 2,3 - 1 = 1,3 bar

b) Nach G1. (4-159) u = cD,/2 = 41,5812 = 20,79 m/s

= 1,3 . lo5 N/m2

Mit diesen Werten ergeben sich fiir die Krafte: Frequenz-Drehzahl ist jedoch

n = 5,5s-' bei 18-poligemGenerator (n = 5019 s- ') Nach G1. (4-160)

Damit werden

Fwd, = 11,22 - 5,47 . cos 75" FN] = 9,80 kN Fwd,,= 5,47 . sin 75" [kN] = 5,28 kN F,,

=

Jm Jm 11,13 k~ =

tanb = Fwd,y/FWd,x = 5,28/9,80 = 28,3O

P,,,

= 359,7.

Nrn lo3z 360. 103 w S

=

= 0,5388 +

c) u,

= c,, = 41,58 m/s

7 Losungen der ~ b u n g s b e i s ~ i e l e 443 Damit folgt fiir das Festhaltemoment T,,,,:

a,, x I nach Tab. 4-3

b) Gleichgewicht besteht, wenn T = T, ist (T, . .. Reibungsmoment). Mit GI. (4-204) wird: TR=2.A;R.pli.J~.(J~-Q) Dabei ist die dimensionslose Winkelgeschwindigkeit SZ nach GI. (4-194):

R

Bild 7-32. Losungsskizze zu

DSQ+CT=O

=r

. sinfi = 100. sin 45" [mm] = 70,7 mm

U 47.

mitMPinDP:

Ausstromquerschnitt A, (2 Diisen):

,

Hieraus - L, + T,, =0 Twds0= L2 = 2 . f 2 . = ~ 2.j2,;r = 2 . j 2 . s i n P . r = 2.m2.w2.sinP.r = 2 . ~ . A ~ . w i . s i n P . r

fi = a - y = 65" - 20" = 45"

Hierbei

Mit diesen Werten wird das Reibungsmoment: T,

= 2.3,534.

( T,

=

J

0,0707.3. l o 5 .JW w - 0,453) [m2.m . N/m2]

14,99 .0,708 [Nm] = 10,61 Nm

Das dimensionslose Drehmoment nach GI. (4-206)

0 =T / T ~ =J".(J~+S~~-Q)~OO,~ Hieraus

.J2.T

Pl,"

WZ, th =

./-

= 25,3 m/s

w2 = q,,

. w,,,,

hierbei

nach Tab. 4-3: qD, = 0,96 w2 = 0,96 .25,3 = 24,29 m/s

d) Nach GI. (4-208) und mit GI. (4-200): P,h~m~p,/~=e~A,~w,~pii/~=A,~w,~pii

7 Losungen der ~bungsbeispiele

444

.

= c, cot p,

-

2. Reale Stromung, also reibungsbehaftet (Y,): Nach G1. (3-104) rnit Yv EER

Oder nach GI. (4-209) ~ , = ~ . Q ( J W - Q ) = 2 .0,453

(4-

-

@-a

0,453) rnit

f) Nach G1. (4-200):m = Q . v = Q . w, .A, und mit

GI. (4-195) wird:

J3iQ2

~=Q.A;J-.

z , z z 2 ; p,=pb+p,,,; Y,

=

u,=O;

A, (LJD,) . (w,2/2)+ 5 . w:/2

w,%0 gesetzt rnit

we = (A2/A,). w, , falls nicht vernachliksigbar

+ 51 . w:/2

Yv = [A, (LJD,) . (A,/A,)~ wird p,, ,/Q w:

= (2

= w32 - u;/2

. P,, ,I@+ u:)l(l+

=K.

+ K . w:/2

w:/2

Hieraus

K)

Hieraus mit c, z 0 und den Bedingungen von zuvor: h) w,,,=c,=c

p,, ,I@= c:/2 + K . w:/2 c: = 2 . p,,,/e - K . w;

,,,, =25,3m/s

Nach GI. (4-195)

Umgestellt: Mit w: von vorher

Eingesetzt in Ausgangsgleichung (Cosinussatz):

i) c:

= u:

+ w;

-

2 . u2 . w, . cos p (Cosinus-Satz)

1. Ideale Striimung, d. h. reibungsfrei w; c;

= u;

=2

+ 2 . pe,,/e . p,, ,/Q

geman GI. (4-193) bei c, z 0

@-a

nach TORRICELLI aus E mit p,, ,= p, - pa und Q = @

-K-(l+K)-1

. u: . cos /?

quadriert:

Eingesetzt im Cosinus-Ansatz: 2 . Pa, "I@= u: + u: + 2 p,,,le - 2 . u 2 . J-,cosp u,

= Ju;

u;

= (u:

+ 2 . pe,JQ . cos /? + 2 p,, "I@). c0s2p

U:

=

+

{[2/(1+ K)] . pe,,I@ [1/(1+ K)] . u:) cos2P

u: [I - cos2/?/(I + K)] = [cos2/?/(I+ K)] . 2 . p,,,/e

7 Losungen der ~bungsbeispiele

.J2.y

cos g

P.,"

"'=J Z G G ~ Mit c2,th

=

d

Q

b) Nach G1. (4-171) (TORRICELLI)

Fs=~G,~~D~=(lizL,+riaB,)~~D,=I,015~riz,,

u2 = [COS J E C Z j ] . c2,th Sonderfall: g = 0, d. h. tangentialer Austritt u2/c2,,, = 1 / f i > 0, da K > 0 und Abkiirzung

=

573,22 m/s

= 2064 km/h

K = A,(L,/D,) . (AZ/Ae)' + [ von vorher.

a) F,

= 3000 N ;

c,, = c,,

Aus GI. (4-178) mit

Q

=

= 240 km/h = 66,67 m/s

Stromfaden

1,189 nach Tab. 6-8:

-

HT

b) Aus GI. (4-177) c,,

= c,,

.

= 66,67

. J0,361+1= 77,8 m/s Losungsskizze zu U 50.

Bild 7-33.

c) Nach GI. (4-176)

+

cP = (cab cJ2

= (77,s

+ 66,67)/2 = 72,24 m/s

e) P,,,,,,, = F, . c,,

=

a) Ableitungen 1. Druckverlauf

d) Nach GI. (4-180)

3000 . 66,67

= 200 kW

a) Nach GI. (4-169)

+

Fs = (mLU kBr). CD"- mLm. cFIug

mit m,, und c,,,,

445

= 0,015 =

. m,,

1000 km/h

fi = p a - Q . = 277,78 m/s

Hieraus Mit

c,

v

= -=

A,

2. Krafte: Druck-Krafte

$ [ky- l] v

2.n.r;H

(Parabel!)

446

7 Losungen der ubungsbeispiele

Bereich r, 5 r 5 r,:

I.

d~~=dF,-de=p,.d~-~~.dA=(p,-p~).dA

- - .1@

0 -

n

. -v= -2. 1 r n

@ .

Wandkraft Fwd in z-Richtung

In ro

-

91 2

Die notwendige Wandkraft Fwd muB so groB wie die Fluidkraft F, sein und zu dieser entgegengesetzt wirken, also:

Fwd = F, in (-2)-Richtung wirkend. b) Zahlenrechnungen:

1. v = 282,75 m3/h = 0,0785 m3/s

Mit

c, = k/(2 . r, . n . H) wird letztlich:

Da c,

Fl wirkt in z-Richtung: Bereich r 5 r,:

F, =A, (pa-pi, ,)

= ci

wird A,

= Ai

A,= r i . n = ri

.n . (pa-pi, ,)

in z-Richtung.

Ai = 2 . r i . n . H

= 2 . r,

.n . H

Mit pi,, aus Druckverlauf, wobei r = r,:

odes aus K @-Q c,

= ci. ri/r, = 10.50/500 = 1m/s

[Pa] [kg/m3 . m2/s2] pi = lo5 - lo3 .-. 2 Resultierende Druckkraft in z-Richtung F = Fl + F,

Impulskraft (Impulsstrom) in (-2)-Richtung

[PJ-I]

in ~a rnit r in m

7 Losungen der ~ b u n g s b e i s ~ i e l e 447 Q =

1,189 kg/m3

Tab. 6-8

p . v = 1,5 Pa . m2/s Bild 6-9 v = (p . v)/p = 1,5 . c,

= c,,

iw= f

Hiermit

Fwd= F,

oder

1 0,0785 Fw,=--.103.(w) 8.n

=

= 25

m2/s

m/s 1 mit Dm = - (D, + D,) 2

(Re,LID,)

LID, = 10013 = 33 sehr groB! Deshalb naherungsweise nach Tab. 6-16 extrapoliert:

1806 - 784 = 1022 N

iw% 0,44

4. Mit r = ri = r , folgt aus Gleichung fur den Druckverlauf nach Frage b2):

Fl

,= (,+,@2 . A s I .

Pw,

= 0,505

. l o 5 Pa = 0,505 bar

Tw

C:

nach G I (4-293) mit

= 0,28 bis 0,40 nach Tab. 6-17, angen.

Mit diesen Werten und sich:

Q =

1,189 (Tab. 6-8) ergibt

'

~otraum

Bild 7-34. Losungsskizze zu

u 50, Frage c)

c) Der Raum zwischen den Scheiben ist nur dann vollstandig mit Fluid gefullt, wenn pi und damit p i , , = p, entsprechend der Energiegleichung geringer sind als der AuBmdruck pa. 1st dies nicht der Fall, lost sich die Stromung ab. Die Stromung hat dann etwa den Verlauf nach Bild 7-34.

F l Mit

F,

=

iw Q

cZ

A,

nach G I (4-289)

1 1 A,,=H.-(D,+D,)=100.-(4+2)[m2] 2 2 = 300 m2

Luft 20 "C, 1 bar

Bild 7-35. Losungsskizze zu

U 53.

448

7 Losungen der ~bungsbeispiele

PF=cF.FF=cF.(FH+F,). Mit F, = m . g . s i n j mit sin p' z tan p' = 51100 = 0,05

Die Zahlenwerte eingesetzt, ergibt:

FH = 1200 . 9,81 . 0,05 [kg. m/s2] = 589 N Fw = [, . Q .

w2

'ASt nach GI. (4-290)

rW= 0,32 nach Tab. 6-17 Q =

1,189 nach Tab. 6-8

w = c,+c,, 100

.cosa

+ 10. cos 30" [mls] = 36,43 m/s

--

3,6 A,, z B . H = 1,61 .1,41 = 2,27m2

Fw= 0,32.1,189.;.

36 43' 2

= 573 N

FF=FH+Fw=573+589=1162N 100 PF=-. 1162 [m/s.N]=32,3. lo3W=32,3 kW 396

a

Nach G1. (4-296)bei vernachlassigtem statischen Auftrieb Fa

Fw= FG mit FG= rn . g und G1. (4-289):

,5 . Q . (c2,/2) .A,

=m .g

As, = m . g/[Sw . Q . c",2]

Bild 6-46

5,

Tab. 6-20

Q

D

=

=

hieraus mit

1,34

z 1,19kg/m3; v = 15,l . 10-6m2/s

I

Jm5,42 m

= 23,07 m2

=

Re = c,. D/v = 8 . 5,42/(15,1 . = 2,9. lo6 GemalJ G1. (3-52) iiberkritische Umstromung und somit 5, etwa unabhangig von der Re-Zahl. a) Reiseflug-Geschwindigkeit Nach Tab. 6-4 in z = I I km Hohe: a, = 295 m/s. Damit:

c, = M a . a,

= 0,9.295 [m/s]= 265,5m/s

Gleichgewichtsbedingung:

Aus G1. (4-301) [, Bild 7-36. Losungsskizze zu

U 54.

Gleichgewichtsbedingung: C F = 0, also

F, -Fa

-

F,

= 0.

m.g 4 @,.AF,.~ 2 -2e,.AF,. c:/2

Mit der Luftdichte in z = 11 km Hohe von Q = 0,365 kg/m3 laut Tab. 6-4 wird:

kg. m/s2

Mit F, nach G1. (4-294) wird

VK.~K.g-VK~~F.g-3.n:.y.DK.cK=0. Hieraus vK.g (eK-eF) " 3.n:.DK.cK Mit

=

FA= F,

n: Ah VK= D i . - und cK= - wird 6 At

=-.1 -.g 0 2K . (QK-QF) ' A t und 18 Ah

[A,,

I

= 0,478

b) Abhebegeschwindigkeit beim Start c, = 234/3,6 = 65 m/s Luftdichte am Boden Q = 1,225kg/m3 (Tab. 6-4) 'A,'=

3,2 . l o 5 .9,81 1,225511 65'12

= 2,374

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Beim Abheben des Flugzeuges mu13 in Wirklichkeit der CAB,-Wertnicht ganz so hoch sein, da durch die Flugneigung die vertikale Schubkomponente der Triebwerke mittragt. Die Schubkraft der Triebwerke betragt 800 kN, also etwa ein Viertel der Gewichtskraft F, = m . g des Flugzeuges. U a) iA f (6). U 57

=

Hieraus v=-= P . v p

449

[TI

1,4 Pa . m2/s --------0,88 . lo5

Aus G1. (4-301) d) M

=

,C . Q, . c'-2.,A F l . L

nach G1. (4-304)

CM w 0,24 nach Bild 6-47 fur 6 = 1,8"

Dabei fur die zwei Tragflachen

Da notwendigenveise zwei Tragflachen, ist:

e) Nach G1. (4-309)

oder nach GI. (4-310)

s x 0,405 . 1,067 [m] = 0,432 m

Druckmittelpunktsrucklage s / L w I&/[,= 0,405

Dieser Auftriebsbeiwert wird nach der zum Profil gehorenden Polaren (Bild 6-47) bei einem Anstellwinkel von 6 w 1,8" erreicht. b) Pw = Fw . c,

Hierbei nach G1. (4-302)

Cw w 0,035 nach Bild 6-47 bei 6 w 1,8"

M a , = 97,22/338,4 = 0,29 Ma, < 0,3, also inkompressibles Verhalten!

g)

CA

'A

L = b . i = 6 , 4 . 116 = 1,067m

Luft 12°C

m2 a p . v = 1,4 P a . S

FA

=

=

wieder aus GI. (4-301)

em

.'4,.c:/2

c,

= 240 km/h = 66,67 m/s

41 202 = 1,26 oder 1,076 13,66. 66,672/2

Hierzu aus Polare (Bild 6-47) 6 w 12,s". Bei 6 w 12,s" sind:

rw z 0,136; CM

% 0,42

450

7 Losungen der ubungsbeispiele

Diese Leistung ist also etwa das 1,6fache der Reiseflugleistung.

M

=

<,

. Q, . c", -.A,, 2

.L nach G1. (4-304) Abhangig vom Flugzustand verschiebt sich also der Druckmittelpunkt. Das Flugzeug mu13 deshalb ausgetrimmt werden. Das Profil ist somit nicht druckpunktfest. i) Auftriebskraft bei Landegeschwindigkeit und maximaler Anstellung: Mit c ,

Ma,

= c,/a,

wird

= 66,67/338,4 = 0,2

h) Laut Polare (Bild 6-47): (A,,,,

= 190 km/h = 52,78 m/s

a 1,4 bei 6 a 16,8"

Die Fallbeschleunigungskraft F, ist gleich der nichtkompensierten Gewichtskraft FG - FA, also:

Hierbei auDerdem: Bild 6-47,d Bild 6-47,c

1, x 0,21; (, x 0,45 5, x 0,17; 1, x 0,45

Die beiden Polarendiagramme des Profils stimmen somit zumindest an dieser Stelle in den Cw-Linien nicht uberein. Grund unbekannt. Wahrscheinlich Zeichnungsfehler. Der ungiinstigere Wert wird der Berechnung zugrundegelegt. Wieder aus GI. (4-301)

Dabei

Hiermit Fallbeschleunigung a, bei vollbeladenem Flugzeug:

Diese Fallbeschleunigung ist fur den iiblichen zivilen Flugbetrieb im Normalfall zu g o o . Solche Werte fur a, (bei Beriicksichtigen des Randeinflusses noch ungunstiger, d. h. groDer) werden praktisch nur in Notfallen oder gewolltem Sturzflug erreicht. Zur Verringerung von a, sind entsprechende MaDnahmen notwendig, wie hohere Landegeschwindigkeit, oder besser, hoheres (A durch starkere Anstellung 6 und VergroDern der Tragflache A,, durch ausfahrbare Landeklappen mit Krummungsverstarkung. Erganzung: Das Beriicksichtigen des Einflusses der endlichen Spannweite ergibt folgende Anderungen : zu a) Mit G1. (4-311)

7 Losungen der ubungsbeispiele

AS= (116) . O,593/n = 0,0316 -+ 4

A6 = 1,8" so groD wie 6 , , also grooer EinfluD!

6 = 6 , +A6

=

1,s + 1,s = 3,6", G1. (4-312),

Hierzu aus Bild 6-47

451

s = 0,333 . 1,067 [m] = 0,356m

s/L = 0,333

(wie mvor!)

Entsprechend bei den restlichen Fragen. Oder entsprechende Tragflachen-VergroDerung, damit Betrieb bei Anstellung 6 = 1,s" moglich: 6 , = 6 - A6 = 1,8" - 1,s" = 0"

(w,i =

Aus Bild 6-47, Teil d fur

(i, . a/n ,= 0,7622 . (1/6)/7c = 0,Oj

Oder aus Bild 4-1 56 bei A = 1/A = 6 +,,(

= 0,02

6 = 1,s": l A , , = 0,6; (,,, 6 , = 0 " : (,,,=0,5

= 0,04

und aus G1. (4-315) sowie (4-314) ergibt ~w,i/3w,ges = 0,03/0,08 = 0,38 A 38% Erhohung

l / n = 0,62 . (1/6)/n = 0,02 (i., {w, ges = 3w, 3w, i = 0904 + 0902 = 0,06

Fw, ges = SW, ges . Q m . (cY2) . AFI = 0,08 . 1,076 . (97,22'/2) . 13,66 [(kg/m3) . ( d ~ ) .~mZ]

Aus G1. (4-301) mit (, ,= 0,5 fur 6 = 0"

P,

,,,, . cm= 5557 . 97,22 [N d s ] = 540 252 W = 540 kW =F

zu d) Naherungsweise aus Bild 6-47,c oder d, da weder Diagramm noch Beziehung (Formel) fur EinfluD von Randwirbel auf Moment (cM)verfugbar. Bei 6 zu g) 6 =6,

= 3,6" 4

1,

=

m+

I

=

16,21 m2

Nach G1. (4-302)

x 0,28

+ A6 = 12,5 + 1,s = 14,3" (ungunstig groD 4 Ablosegefahr).

Hierzu aus Bild 6-47

,,,, (w,i/3w

(w,i

= 0,1/0,26 = 0,38

Unterschied zur Anstellungs-VergroDerung: (5557 - 497915557 = 0,IO & 10% Somit 10% giinstiger und keine Ablosegefahr, weshalb bessere Ausfuhrung.

a 38% Erhohung

Bemerkung: Der RandeinfluB infolge endlicher Flugellange fuhrt also etwa zu einer Verdoppelung des Widerstandes (Kraft und Leistung) der Tragflachen. Anfangszustand (Index 1): Druck: p, = 75 bar = 75. lo5 Pa; Temperatur: T, = 793 K; Dichte: el = l l v , 1. Aus Gasgleichung mit R = 461 J/(kg. K) nach Tab. 6-20:

452

7 Losuneen der ~bun~sbeisviele

2. Aus (h,s)-Diagramm: v l

4. Schritt: Mittlere Temperatur

= 0,047 m3/kg

Gerechnet mit Diagramm-Wert, weil dieser die Abweichungen vom thermodynamischen idealen Gasverhalten berucksichtigt. Damit

el = l / v l

= 110,047 = 21,28

kg/m3

5. Schritt: Polytrope Rohrstromung

Viskositat : Dynamische: Nach Bild 6-7: q1 x 34. Pa. s Kinematische: Nach Bild 6-10: vl x 1,5. 10-6m2/s Oder

Mittlere Stromungsgeschwindigkeit: Aus DurchfluD:

[

m

]

c 1 ---41367 kg/s el . A , 21,28.0,0707 kg/m3. m2

Rohrreibungsziffer A,

= 27.7

= f (Re,,Dlk,)

1 ' .- 27,7 . 0,3 - 5,5 , 106 -Re 1 v 1,5.10-6

Bild

/

A,

_

m

6-11

= 0,0235

(rauh) Oder mit Formel fur rauhes Verhalten nach KARMAN-NIKURADSE, G1. (4-35):

a

1 1 - ( 2 . lgD/k, + 1,14)2-(2. lg500 + 1,14)' = 0,0234 (etwa wie Diagrammwert!)

Apv = 4,45 . lo5 Pa

= 4,45 bar

Dieser Wert stimmt praktisch iiberein mit dem des ersten Schrittes. Ein 11. Durchlauf des Naherungsverfahrens ist daher nicht mehr notwendig. Die Iteration kann deshalb abgebrochen werden. Ergebnis:

Apv = 4,5 bar

Es handelt sich um eine polytrope Rohrstromung. Der Enddruck p, ergibt sich aus : - p2 L . c2 T G1. (5-70) p2 ' 1 x Q, .,Il . A . -, oder mit Z.P, D 2 T,

-

Naherungsverfahren: I. Durchlauf 1. Schritt: Isotherme Stromung

Anfangszustand (Index 1): Druck: p, = 25 bar = 25 . lo5 Pa = 25 . 10' N/m2 Temperatur: TI = 273 + t = 693 K Dichte: el = l/v,

1. Aus Gasgleichung Mit R = 461 J/(kg. K) aus Tab. 6-20

2. Aus (h,s)-Diagramm: vl Apv = 4,48 . 10' N/m2 x 4,s . lo5Pa = 4,s bar 2. Schritt: Enddruck p2 = p1

-

Apv = 75 - 4,5 = 70,5 bar

3. Schritt: Endtemperatur 1~ T2 = TI ( ~ 2l)+ Mit x

=

1,3 fur HeiBdampf (Tab. 6-20)

= 0,127 m3/kg

el = 110,127 = 7,87 kg/m3 Viskositat : Dynamische: Nach Bild 6-7: ql E 27. Pa. s Kinematische: Nach Bild 6-10: v , x 3,2. l o p 6m2/s oder vl=ql~vl=27~10-6~0,127=3,4~10-6m2/s Mittlere Stromungsgeschwindigkeit: Aus DurchfluB

7 Losungen der Ubungsbeispiele

Rohrreibungszahl 1,=f (Re,, Dl/k,)

a) Y,

APV

453

L .c: nach G1. (5-74) D 2

= -= 1,.-

el

Anfangszustand (Index 1): 1=0,014 Druck: p, = 60 bar = 60. lo5 Pa = 60. lo5N/m2 DJk, = 250/0,05 = 5000 (praktisch rauh!) Temperatur: TI = t, + 273 = 283 K Kontrolle mit Formel: Dichte: Q, = l/v, J 1. Fiir rauhes Verhalten nach KARMAN-NIKURADSE,Aus Gasgleichung mit R = 4124 (Tab. 6-20) kg.K GI. (4-35):

/

2. Fiir ubergangsgebiet nach COLEBROOK, d. h. GI. (4-33): 2,51

+ 0,27 . ' 2,51

Kinematische Viskositat: p, . vl

Nach Bild 6-9

+ 0,27 . 250

p, . v,

10,2

%

m2 Hieraus 10,2. Pa . S

Pa.m2/s

0,17 . lo-'-

-

8,452 ,- 8,454 Gleichung erfiillt, also 1,= 0,014. T2 = t2 + 273 = 623 K

Endtemperatur:

Mittlere Temperatur :

m2 s

Mittlere Geschwindigkeit. Aus Durchflul3: m C 1 = -= 8,25 m/s

Rohrreibungszahl 1, =f (Re,, Dlk,) -

-

Mit diesen Werten ergeben: 1. GI. (5-70) 400 51,7' . 658[kg mi] -. ,- 7,87. 0,014.. . 2.~1 0,25 2 693 m3 s2 x 2,237. lo5Pa

P:

-

Re,=-

c, . D l - 8,25.0,1 v, 0,17.10-5

D,/k,

= 100/0,05 = 2000

(~bergang) Mit Formel fiir ubergang nach COLEBROOK, also G1. (4-33)

Hieraus

1 - 7,5199 -+ --

1,= 0,0177 (wie Diagrammwert)

J/zl Mit diesen Zahlenwerten ergeben sich:

p,

= 22,65

. lo5 Pa = 22,65 bar

Ap, % 2,24 . lo5 P a = 2,24 bar Damit p, = p, - Ap, = 25 - 2,24 = 22,76 bar (etwa wie zuvor!)

Ap,

%

7,79 . lo3 Pa = 7,79 kPa = 0,078 bar

b) Nach GI. (5-75) Y,,,,,

L =

j j + i T l ( i ) f i

454

7 Lasungen der ubungsbeispiele

[-Werte: = 0,3 Schieber NW 100: Bild 4-30 is Krummer RID = 4: Bild 4-15 [, = 0,22

Oder

Damit werden :

Mittlere Geschwindigkeit c, : Aus Durchflufi

YV,.,

vl= 15,5. L el

ril

= (0,0178 C

= (443

1,l

+

I

=

A,.

el-

-

I;:[ ]

[

8'2 1,l m2 kg/s 0,196. . kg/m3

= 38,O m/s

Reibungszahl: 1 , =f (Re,,D/k,)

Die Verlustenergie wird also fast ausschliefilich durch die gerade Rohrleitung bestimmt. Die Krummer und Schieber sind von geringem Einflufi.

cl.D 38.0,5 R, 1 - -- v, 14.10-= D/k, = 500/0,6 = 833

Ap,,,,,= 8044,6 N/m2 = 8,04 kPa

Mit der Formel fiir rauhes Verhalten nach KARMAN-NIKURADSE, G1. (4-35):

= 0,08 bar

a. L c: Ap, = e l . Y, = el . A l . - . -, D 2 nach GI. (5-74)

Ap,

= 7,87.0,014.

Ap,

= 2,36

400 51,7' kg . m2 . , 2 5 2 [m3 s']

--- - - -

. lo5 N/m2 = 2,36. lo5 Pa = 2,36 bar

pz = p1 - Apv = 25 - 2,36

= 22,64

bar

Nur wenig verschieden vom Druckverlust (Ap, = 2,24 bar) nach U 59.

Es handelt sich ebenfalls um polytrope Rohrstromung. Anfangszustand: Temperatur: T, = t , 273 = 160 273 = 433 K Druck: p, = 2,2 bar = 2,2. lo5 N/mZ Dichte:

+

+

1. Aus Gasgleichung mit R = 461 J/(kg. K) nach Tab. 6-20:

1 -

- (2 . lg(D/k,) = 0,0205

'

Io6

)A

Bild6-11

1, = 0,0205 (rauh)

1

-

+ 1,14)' - (2 . Ig833 + 1,14)'

(wie Diagrammwert)

Endtemperatur : Der Temperaturabfall infolge der durch Druckverlust bedingten Dampfexpansion ist rechnerisch nur schwer zu fassen. Deshalb wird naherungsweise nur der Warmeverlust beriicksichtigt: Q = A , . q und andererseits Q

= ril

. c, . At

Gleichgesetzt und umgeformt ergibt: A,.q D;K.L.q At = ----- m.c, m.c,

Mit c,

= 2135 J/(kg. K)

nach Tab. 6-20 wird:

I

=

= 22,2 K

Mittlere Temperatur:

Damit wird nach GI. (5-71): 2. Aus (h,s)-Diagramm v, = 0,92m3/kg Gerechnet mit v, = 0,91 m3/kg

-+ Q , = 1,l kg/m3

Viskositat : Dynamische: Nach Bild 6-7: q , z 15,5.10-6 Pa. s Kinematische: Nach Bild 6-10: v, z 14. m2/s

Apv = 7,78 . lo4N/mZ z 0,8 . lo5 Pa = 0,8 bar p, = p, - Ap,

= 2,2 - 0,s =

1,4 bar

7 Losungen der Ubungsbeispiele

Bei dem groBen Hohenunterschied kann die potentielle Energie und damit der Druckanteil infolge der Gewichtskraft der Luftsaule nicht mehr vernachlassigt werden. Die durch Reibungsverluste entstehende Warme wird infolge fehlender Isolierung iiber das Bewetterungsrohr durch Warmeleitung nach auBen abgefiihrt, wodurch sich etwa isothermes Verhalten ergibt. Infolge dieser Warmeverluste ist es nicht sinnvoll, die Energiegleichung in Solentiefe anzuwenden. Um andererseits die unhandliche Beziehung fiir isotherme Luftschichtung, G1. (2-52) u. Abschnitt 2.2.8.2, zu umgehen, kann naherungsweise mit dem hydrostatischen Grundgesetz gerechnet werden, da - wegen gleichbleibendem Querschnitt - die Stromungsgeschwindigkeit im Rohr etwa konstant ist. Dabei wird an Stelle der veranderlichen Luftdichte die mittlere im Bewetterungsrohr zugrundegelegt. In Bild 7-37 ist der prinzipielle Druckverlauf aufgetragen. Nach dem hydrostatischen Grundgesetz gilt unter Beriicksichtigung des Druckverlustes

L c: Apv = el . n, . - . D 2'

455

Eingesetzt

Anfangszustand: Druck: p,

= p,,,

+ p, = 1,2 + 1,02 = 2,22 bar

Temperatur: TI = T = 273 + t = 273 + 22 = 295 K Dichte: Mit R = 287 J/(kg. K) (Tab. 6-20)

P ~ ~ P ~ + ~ . ~ . H - A P ~ Hierbei Viskositat: Nach Bild 6-9 v, . p, z 1,s Pa . m2/s Nach Gasgesetz v,

=R

. T2/p2= R . T/p2 Mittlere Stromungsgeschwindigkeit:

Rohrreibungszahl 1, =f (Re,, D,/k,)

D/k, = 400/0,4 = 1000

A, = 0,0213 (Ubergang)

Mit Formel fiir ubergangsgebiet nach COLEBROOK, GI. (4-33):

Bild 7-37. Losungsskizze zu U 63: Druckverlauf in und auBerhalb des Bewetterungsrohres. -Hydrostatischer Druckverlauf (ohne Stromung) --- Druckverlauf bei Stromung

= 0,146 -+

A,

= 0,0213

(wie Diagrammwert)

456

7 Losungen der ~bungsbeis~iele

Die Zahlenwerte in die Beziehung fur p2 eingesetzt ergibt: p2

1 9,81. 900 12 .287.295

I

Tkr - p,. v,, - 1,848. lo5.0,385 287 = 248 K

aus GI. (5-80) bei c, x 0. Hieraus

c2 =

Aus Ah = c,(Tl - T2)mit c, = 1005 nach kg.K Tab. 6-20,folgt

p, x 2,46.lo5N/m2 = 2,46.lo5Pa = 2,46 bar

Das vorhandene Druckverhaltnis pJp1 = 1/3,5 = 0,286 ist kleiner als das L ~ v ~ ~ d r u c k v e r h a l tPL= n i s 0,528(Tab. 5-1). Deshalb treten im Austrittsquerschnitt der ,,Miindung" die L ~ v ~ ~ w eauf. rte

a) m,,,

T, = 251,3 K Hiermit

d) Der Leistungsverlust ist identisch dem Energiestromverlust. P = m,, . Ah,

mit . m, nach GI. (5-108) (Abschnitt 5.3.3.2.1)

= cp,

( p , = 0,97

I

.J

. YA,,

2 . A nach G1. (5-104)

m,

= A,

Y,,

,= 0,484 nach Tab. 5-1

m, = 2.

m,,,

/= E]

0,484. .------

= 0,164kg/s

1,4 l,4-1

Ah, =-.

[m2.

wird

= 0,97. 0,164= 0,159

kg/s = 572,5 kg/h

e) W = P . t,. Mit t,

= 8760h/a

wird

W = 14,32. 8760 [kW. h/a] = 125443 kWh/a

W = 125 MWh/a

JG

b) ~ ~ = c , , = c p ; c ~ = c p , ~ Y ~ , ~ ~ GI. (5-100) K = W,, . k,, = 209071 . 0,2[kWh/a. DM/kWh] mit YG,, = 0,764 nach Tab. 5-1 K = 41 814 DM/a

pq c) p,,, = p, Aus p l .

.P, = 3,5.0,528 [bar] = 1,848bar =p,,, . v;, und pl/p,,, = l/PLfolgt: = p,

v,,, > v,, infolge Reibung, jedoch meist v,, x v,,,

Tabelle 7-2.Laut Tabelle 5-1 und Tabelle 6-20 LAVALund Stoffwerte.

7 Losungen der Ubungsbeispiele

a) Austrittsgeschwindigkeit c,:

. c, mit

c,

=

cp,

c,

=

YG,,

v,

=R

cp,

= 0,97

2. HeiBdampf

(Abschnitt 5.3.3.2.1)

JGnach GI. (5-99)

. TJp,

457

Fwd= 1,488 . 551 [kg/s . m/s] = 819,9 N

d) Gefalleverlust (Verlustenergie)

oder aus Anhang (Abschnitt 6). Ah

1. HeiBluft

-

"-

c2 (1 - cpi) nach GI. (5-87) 2

1. HeiDluft

2. HeiDdampf 2. HeiBdampf e) Umgesetztes Warmegefalle, gemal3 G1. (5-55) oder aus (h, s)-Diagramm: v, w 0,116 m3/kg bzw. aus Dampf-Tafel: c,

= 0,752

v, = 0,1141 m3/kg (genauer Wert)

.J2 . 2 5 . 10' .O,II4I

=

4s Ah,=-=2

c: und A h = A h , - A h v = c p ~ . A h , 2

1. HeiBluft

568 m/s

c, = 0,97 . 568 = 551 mls

Ah,

b) Mengenstrom k,,, = q, . m,

=

1,06 . lo5J/kg

= 106 kJ/kg

Ah = 0,972 . 106 = 99,7 w 100 kJ/kg

G1. (5-108)

GI. (5-104) . 'PA,, A, = Di . n/4 = 2,5' . 4 4 = 4,909 cm2 = A,

2. HeiDdampf

1. HeiBluft

f) Wirkungsgrad qv,,

=

cpi (Abschnitt 5.3.3.2.1)

HeiBluft und HeiBdampf q,,

,= 0,97'

= 0,94

g) Zustandswerte im Austrittsquerschnitt Druck: p,

= p,=

P; pl

Spezifisches LAVAL-Volumen: v, = v, . (p ,/p,)"" Oder aus (h, s)-Diagramm bzw. Dampftafel Ah Temperatur : TL= oder TL= TI - f c) Schubkraft (RiickstoB) F,

R

= Fwd

IS: F w d - I = O + F w d = I = m . c 1. HeiDluft Fwd= 1,91 . 446,8 [kg/s . m/s] = 853,4 N

P

bzw. aus (h,s)-Diagramm Endtemperatur:

T, =TI - Ah/cp bzw. aus (h, s)-Diagramm

Spezifisches Endvolumen: o,

=R

. T,/p,

458

7 Losungen der Ubungsbeispiele

1. HeiBluft

p,

= p, = 0,528

v,

= 0,0727 . (25/13,2)11',4[m3/kg] = 0,1147 m3/kg

. 2 5 [bar] = 13,2 bar Bemerkung: c,, x und R jeweils nicht konstant, da reales Gasverhalten. Bei Wasserdampf ist es besser, die Werte aus dem (h,s)-Diagramm zu entnehmen, da dieses das reale Verhalten des Dampfes berucksichtigt. In Bild 7-38 ist die Zustandsanderung mit den zugehorigen Werten im (h,s)-Diagramm dargestellt.

oder

1. Naherung: Annahme ideale, d. h. isentrope Entspannung. a) p, . v; = p, . v;,, Mit v = R . T / p wird:

Hieraus :

2. HeiDdampf p,

= pL= PL.p1 = 0,546

v,

= 0,117 . (25/13,65)11133 = 0,1864 m3/kg

TL=

13,65. lo5 ..,I864 461

. 2 5 = 13,65 bar = 552

bzw.

P1 = Pz . (T1/T,,,)x CO,, 3-atomig: x = 1,3 (Tab. 6-19 und 6-20) T,, ,= 273 - 78,5 = 194,5 K TI = 273 + 25 = 298 K 1,3

p, = 1 . (298/194,5)1.3-'[bar]

= 6,35 bar

Infolge der Stromungsverluste mu6 der tatsachliche Mindestdruck in der Flasche groBer sein als 6,35 bar. b) p,/p, = 1/6,35 = 0,16 < P, -+ LAvA~diisenotwendig (P, = 0,54 nach Tab. 5-1) c) Nach GI. (5-114), bei c, vernachlassigt

Mit R

C2

189 J/(kg. K) (Tab. 6-20) wird

= (PD"' Cz, s

q,, 1

6.885 E n t r o p ~ es IkJ/kg.KIBild 7-38. Losungsskizze zu U 65: Darstellung der Zustandsanderung im (h, s)-Diagramm. ---- theoretische (isentrope) Entspannung -tatsachliche (polytrope) Entspannung Bemerkung: v-Werte nur ungenau aus (h, s)-Diagramm ablesbar

=

=f

und p,

f,,

(f,,) = P,

mit fD, nach GI. (5-117)

. p,

= 0,54.6,35 = 3,43 bar

= 0,63

Hierzu nach Bild 5-17: q,,

= 0,94

7 Losungen der ~bungsbeispiele

459

c, = 0,94 . 410,3 = 385,7 m/s

d) Ma,

= c,/a,

Jx.R.T, = J 1 , 3 . 1 8 9 . 1 9 4 , 5 [ J ~ ]

a,

=

a,

= 218,6

Ma,

mit

m/s

= 385,7/218,6 = 1,76

Oder

1

1 ~ 6 7 a) p2/p, = 1/1,5 = 0,67 > P, (Tab. 5-1) Also unterkritische Ausstromung, d. h. nur einfache Dike notwendig.

Zwischen T, und T,,, vernachlassigbarer Unterschied

b) Nach GI. (5-79) R . T,,, - 287.265,4 02,s =-

. c,,,

= cp,

c,

= 0,97

-

PZ

= 0,7617 m3/kg.

I , lo5

. 262,85 = 255 m/s

f)

Nach Bild 7-39

AD'2 tan 612 = AR/L = L AD Dl-D2 L=I 2 tan 6122 d) T,

= Tl

-

Ahlc,

aus Ah

= c,

. (TI - T,)

~ieraus 1 tan612

50-28 . -------1 [mm] = 62,4 mm L = -------2 tan 10"

Ah,

Ah

= cp;.

Ah,

= w,,,= ----- . R

Ah,

=

x x-I

1,4-1

. Tl .

. 287.298 C Bild 7-39. Losungsskizze zu U 67, Frage f).

Oder

7 Losungen der ~bunrrsbeisviele

460

Tabelle 7-3. Nach Tabelle 5-1 und Tabelle 6-20 LAVAL-und Stoffwerte. Ohne Zustromgeschwindigkeit c, :

a) pJp, = 1/25 = 0,04 < PL-+ iiberkritisch, also L a v a ~ d u s ebei Helium- und Dampfstromung. b) A,=-.

m . v1

Hieraus

2. Wasserdampf: Mit Zustrorngeschwindigkeit c,:

b l = a

25 . lo5. 0,1266 = 598,48m/s

c1 1. Helium:

Ohne Zustrorngeschwindigkeit:

2. Wasserdampf: Aus Dampftafel: v,

= 0,1266 m3/kg

Der Unterschied durch die Berucksichtigung der Zustromgeschwindigkeit ist also vernachlassigbar klein, das bedeutet c, kann entfallen. Oder nach GI. (5-98) mit l,,, = 1839kJJkg aus Dampftafel [I001 fur p , = 25 bar.

= J2

c) c,

= cp,

cp,

. cL nach G1. (5-81) = 0,97

(Abschnitt 5.3.3.2.1)

Mit Berucksichtigung der Zustromgeschwindigkeit c,: c,

= Jc:

X + 2 x+l p1 .

Y

. [(1,3- 1)/(1,3+I)] . (3,287- 1,839) . 106

[fil = 614,6 m/s

d) Zustrorngeschwindigkeit wieder vernachlassigbar. Nach G1. (5-128) gilt: M(PM

X

p1 . v,

=

J2p,V, GI. (5-97)

1. Helium:

1

m

nach GI. (5-97)

Ohne Berucksichtigung der Zustromgeschwindigkeit c,:

(etwa wie zuvor!)

01

. y*,L

1. Helium: A = 68,08

.

Mit Zustrorngeschwindigkeit c,: 2. Wasserdampf:

m2 = 68,08 mm2

7 Losungen der Ubungsbeispiele

461

Aus (h,s)-Diagramm

AhL = AhM,s= Ahk,,, = hl - hM,,= 3287 - 3109 = 178 kJ/kg Ah,,,,

= h, - h,,, =

3287- 2575 = 712 kJ/kg

Damit wird nach GI. (5-114)

und nach G1. (5-116): f ~ i i=

f,, Bild 7-40. Losungsskizze 1 zu ti 68, Frage e)

(PZ/PL>""'

JAW

= (1/13,65)11133

fD, = 0,27 Hierzu aus Bild 5-17 extrapoliert: cp,, c, = 0,83

. c,, ,G1. (5-115), wobei nach

e) c, = cp,,

G1. (5-114)

Die Zustromgeschwindigkeit c, konnte auch hier wieder vernachlassigt werden. f) Ah, = Ah, - Ah = Ah,(I-

cp,, = f(fD,) nach Bild 5-17 rnit G1. (5-116) oder (5-117)

x 0,83

. 1193,48 = 991 m/s

cpi,)

Bei der zulassigen Vernachlassigung von c , :

1. Helium: 1. Helium:

c,,,

= 2281,63 m/s

p, = P, . p,

= 0,487

Nach G1. (5-116):

.25

= 12,18 bar

,

Ah,

= -------2281'632 . ( 1 -O,8'i")

Ah,

= 632769,3 J,kg

2

x 633 kJ/kg (sehr hoch!)

2. Wasserdampf: Ah,

= Ah,,,

,. ( 1 - cpi,)= 712. (1 - 0,83)'

= 222 kJ/kg

Oder nach G1. (5-117):

Verlustenergie in vorigen Fallen sehr grol3. Diisenbeiwert cp,, muB deshalb vergroljert, also Diisenqualitat erhoht werden. Dies zeigt auch der Diisenwirkungsgrad y,, , ,= cp;, :

1. Helium:

y,,

2. Wasserdampf:

y,,.,

,,= 0,87'

x 0,76

= 0,832 x 0,69

Hierzu aus Bild 5-17 extrapoliert: cp, x 0,87 c, = 0,87

. 2281,63 = 1985 m/s aus Durchfluljgleichung

2. Wasserdampf: p , = 0,546 . 25 = 13,65 bar

v2

=R

. T,/p2

aus Gasgleichung

462 T,

7 Losungen der ~bungsbeis~iele

= Tl -Ah/c,

h) Nach Bild 7-41 gilt:

aus Isentropengleichung

L= L,

Ah,, = cp;, . Ah,,,.

+ LE

mit

.L 'V -- b - b ,

1 tan 6,/2

---

2

b-b, 2 1.LE 2 tan6,/2

bzw. aus (h,s)-Diagramm 1. Helium: Ah,,

und

1

.

= 0,87'. -

1,67- 1 [J/(kg. K). Kl Ah,, = 1,97. lo6J/kg = 1970 kJ/kg

1. Helium: 1 54 - 8,3 [mm] = 55,16 x 55 mm 2 tan (45'12)

Lv=-.

1 [mm] = 36,84 w 37 mm tan (15'12)

18-8,3 LE --. 2

c, = 5238 J/(kg. K) aus Tab. 6-20

2. Wasserdampf: L v - 25-6 2

1 [mm] = 22,94 w 23 mm tan (45"/2)

L E -- 14 5-6 2

.

i) Ma, 2. Wasserdampf: = h,,,

+ Ah,

= 2575

+ 222 = 2797 kJ/kg

Hierzu aus (h,s)-Diagramm mit p,

= c,/a,

mit a, =

4-

=

4

G

1. Helium:

Aus (h, s)-Diagramm (Punkt 2): h,

1 [mm] = 32,28 x 32 mm tan (1S0/2)

= 1 bar:

t , = I60 "C und v , = 2,O5 m3/kg. Damit

a,

= J1,67.2078.317

Ma,

14-

= 1049mIs

[

= 198511049 = 1,9

Theoretisch, also isentrop: x-1

. (p2/pl)T

T,,,

= Tl

a,,,

= J1,67

Ma,,,

1.67-1

= 693

. (l/25)'.67

= 190,s K

. 2078 . 190,5 = 813 m/s

= c,,,/a,,, = 2281,63/813 = 2,8

2. Wasserdampf: a,

= J1,3.1.

Ma,

m lo5 .2,05 [ J N I ~ ' .m3/kg] = 516,2 S

= 991/516,2 = 1,9

Theoretisch, also isentrop: x = 1,17, geschatzter Mittelwert (Bild5-lo), da Expansion ins NaDdampfgebiet:

a,,,

=

J

G

= ,/1,17.1

. l o 5 . 1,62 [ J N / ~ , . m3/kg]

a,,, = 435,36 m/s x 435,4m/s Bild 7-41. Losungsskizze 2 zu

u 68, Frage h).

7 Losungen der 'irbungsbeispiele

a) I+I = cp,

. A, . FA,,.

Mit

9,

= 0,97

nach GI. (5-123)

463

nach G1. (5-130) mit GI. (5-90):

(Abschnitt 5.3.3.2.1)

YA,,= 0,484 (Tab. 5-1)

b) Nach G1. (5-115) mit c,

FZ

t , = - 84,7OC

0

Oder aus Ah,,

= c,

T2 = TI - Ah,,/c,. Ah," Mit q,,

=f

(f,,):

= y,,

Ah ,,,, Ah,, = 0,528

Hierzu aus Bild 5-17: ,p,r

Mit

.,. Ah,,,,

= 9;"

.Ah,",,

= c:,,/2 = 469,97'/2 = 110436m2/s2 =

wobei p,= P; p,

(TI - T,)

110 436 J/kg = 110,4 kJ/kg

= 0,955'.

110,4 = 100,7 kJ/kg

oder

.20 = 10,56 bar

= 0,955

,,

Unterschied infolge Vernachlassigung von vL/c2, bei Berechnung von m und der Nichtkonstanz von c,.

Zum Vergleich: Theoretische Werte bei idealer, d. h. isentroper Entspannung:

u,,.

= v1 . (p1/p2)1'X= 0,0428

. (20/4)1/1,4[m3/kg]

T,, ,= 188,3 K oder Ah,

= 9715,6 m2/s = 97l5,6 J/kg = q& = 0,9552 = 0,91

z 9,7 kJ/kg

nach G1. (5-119)

T,,, = 188,l K

(praktisch gleich!)

7 Losungen der ~ b u n g s b e i s ~ i e l e

464

b) Ma,

u

0

Ma, = 0 95

a2 ~V.DF

0.85

c2 = 60 r n k

p, = 2 bar

a,

=

u 70.

~1,4297356

= 384,74 m/s

Ma,

Bild 7-42. Losungsskizze zu

[/GI

= c2/a,

= 60/384,74 = 0,156

a) m=- '41. c1 mit 01

a) Aus K 0-0: c, .A,/v, das Flachenverhaltnis:

= c,

. A,/u,

folgt fiir

A2 - 0 2 C 1 . Mit: A, 01 c2 c, = Ma, . a, a,

R

x=1,4;

R=297-

kg.K

(Tab. 6-20)

a1=JQZFZE[JKJ/O]=354,9m/s

v,

R . T2

=-

P2

mit p, aus G1. (5-145) x-I

~ . D F

1

Hieraus Y

1 , 4

p2/p1= (0,1485 + I ) ~ 1,14851,4-1 = = 1,6238 p, T,

=

1,6238 . p,

=

01

=

c,

= Ma,

a,

=

3,25 bar

m2

x = 1,4 (Tab. 6-20) 4124.313 J . m 2 . K m3 = 2,4.105 k g . ~ = . 5,378 ~ kg

I-[

. a,

JXRT,= jm[/s]

a1=1344,3m/s

b) Kompressionstemperatur T, : Lt. Aufg. Ma,

(c," - c 3

2 x P1.01 0,85 1,4- 1 1 (337,22 - 602) 2 1,4 2 . lo5 .0,45 m 2 . kg = 0,1485

78,5 cm2 = 78,5 .

=

= 4124 J/(kg. K);

R.T,

= d m

N,:

n: A - - . D? I- 4

Da also Ma, '2

=

1 (LAVAL-Punkt).

= c2/a, = 1

folgt:

Mit:

= a2

a,

=

Jx.R.T,

c,

=

J-=

Jc:-~.c,(T~-T,)

x.R.T2=c:-2.c,(T2-TI) T2(x.R+2.c,)=c: c: + 2 . c, . TI T2 = x . R + 2.c,

Umgestellt :

+ 2.c,.T1

Hieraus : Oder mit:

nach G1. (5-147) Ma, = 1.8

T,=356K+t2=83"C 11,=-[

297.356 J/(kg. K) . K m3 3,25.105 N/m2 ]=0,3253- kg

A, A,

0,3253 -.-- 337,2 - 4,06 0,450 60

--

q v p =~ 0.8

p, = 2.4 bar

Bild 7-43. Losungsskizze 1 zu

U 71.

Ma,: 1

7 Losungen der ~bungsbeispiele

c und aus x = J cv

X

c =--.R x-I

R=cp-c,

465

Oder zur Kontrolle nach GI. (5-145):

Zahlenwerte eingesetzt, ergibt mit c, aus Tab. 6-20: Abweichung wieder infolge Rechnungsungenauigkeiten und Rundungen bei den StoffgroBen.

T,

= 431

K

Oder: Ah

=

1652 300 J/kg

E

1652 kJ/kg

Hiermit aus G1. (5-142): Ah,

Mittelwert:

= q,,

DF

.Ah

= 0,s

. 1652 = I322 kJ/kg

T2 = 429 K

Unterschied infolge Ungenauigkeiten bei den Stoffwerten x, R, c,, c, (reales Gas).

e) Ah,

Verdichtungsenddruck p, aus G1. (5-147):

Mit Ah,

Hieraus:

Ah,

=

= Ah

-

= q,,

Ah,

,,.Ah

wird

1652 (1 - 0,s) = 330 kJ/kg

Hiermit folgt die Verlustleistung P,

= ni

.Ah,

= 3,532 . 330 [kg/s . kJ/kg]

P,= 1167 kW = 1,2MW

Zahlenwerte wieder eingesetzt:

p2

= 2,5

.p ,

= 2,5

. 2,4 [bar] = 6 bar

Spezifisches Verdichtungsendvolumen:

Temperaturerhohung infolge der Energieverluste aus: Ah,

= Ah - Ah, = cP(T2- TI) - C,

Ah,

= cpV2 - T2.J

(T,,,

-

TI)

Umgestellt, ergibt:

T2,

= T, - (T,

-

T,, ,)

= 429 - 23 = 406 K

Oder aus Isentropengleichung: w-1

-

T;,, = TI. (p2/pl)

= 313

1,4-1 -

. 2,5

= 406,7 K

466

7 Losungen der ~bungsbeispiele

f) Aus DurchfluB D 2:

Flachenverhaltnis: AJA, Durchmesserverhaltnis: D,/D,

= 66,27/78,5 = O,84 = 92,400 = 0,92

g) Um die Bedingung Ma, = 1 zu verwirklichen, miiBte nach Frage b) auch bei idealer Stromung die Endtemperatur 429 K erreicht werden, also: T,., ,= 429 K. Der dabei erreichte Druck ware nach der Isentropengleichung : 1 , 4

X

p,,, ,= p, . (T,,, JT,)"' p,,,

= 7,23 bar

= 2,4 (4291313)134-1[bar]

I

I

S1 = S2.s = s2:s

s2

5

-

Bild 7-44. Losungsskizze 2 zu U 71, Frage i).

= 7,2 bar

Druckverlust der realen Stromung demnach: Apv = p2.,s- pz = 7,2 - 6 = 1,2 bar

c,,, ,= a,

=

1,2/7,2 = 0,17 G 17%

=

6. R TT

= c,

nach Frage c), also:

c ~ , =, ct ~ = 1577,5 m/s

Oder entsprechend GI. (5-136):

*)!?([

I]

s2

m2 . mi] N kg

Abweichung wieder bedingt durch Rechen- und Stoffwertungenauigkeiten. Mit grooerem Wert (sichere Seite) Berechnung fortgesetzt:

Hieraus folgt Ah = Ah:, das bedeutet, die Zustandsanderung liegt in dem Bereich des (h, s)-Diagrammmes, in welchem die Temperaturlinie T , parallel zur s-Achse verlauft, also zugleich Isenthalpe ist. Weiter gilt:

y,,,

und im vorliegenden Fall

Austrittsquerschnitt aus DurchfluBgleichung: A,,,,

m . v,,,,

= ----- CZ,, s

3,532.2,457 1588,5

A,,,, = 54,6 . I K 4 m2 = 54,6 cm2

= AhJAh

a) Ma,

= c,/a,

7 Losungen der ~bungsbeispiele

467

Spezifisches Endvolumen v, nach GI. (5-182):

+

v2=-. v1 [x - 1 2/Ma:] x+l Bild 7-45. Losungsskizze 1 zu

u 72.

x = 1,3 und R = 189-

kg . K

a, =J1,3 . 189 ,333 [J

Ma,

Hierbei nach Gasgl.

m

(Tab. 6-20) ]

= 286 m/s

= 6001286 = 2,l

b) Nach GI. (5-170):

Endtemperatur T, nach G1. (5-184): T2 - T1 [x - I f 2/Ma?] x +l

c,

= 196,6 m/s

Oder nach G1. (5-177): c2 = c:/c, c;

=2

mit

x-I . ----. h,

aus G1. (5-176)

x+l

c2 x hR --A+----. 2 x-I

R . T,

nach G1. (5-173)

Oder nach Gasgleichung:

Kontrollrechnung: c2 = 118 102,7/600 = 196,8 m/s (fast wie zuvor!)

Nach G1. (5-189):

c) Nach G1. (5-185):

e2 v, 0,1259 Andererseits: - = - = -= 3,056 el u2 0,0412 Ma:

= 0,3

Ma,

=

Ma,

$6 = 0,55

= c2/a2

a,

=

&-

= J1,3.189.529,6

= 360,7 m/s

d) Enddruck p2 nach G1. (5-180):

Ma,

= 196,8/360,7 = 0,55

(wie bei Frage c)

e) EE@-Q: h , + c ~ / 2 = h 2 + c : / 2 = h, 2 . 1,3 = 5 . I+-----(2,l 1,3+1

[

p, = 24,27 bar

-

I

1) [bar]

Mit: h,

= 4~2727 m2/s2 nach

wird: h,

= h,

h,

Frage b)

- 412 = 452727- 196,82/2[m2/s2]

= 433 362 m2/s2 = 433362 J/kg

468

7 Losungen der ~bungsbeis~iele

oder: h ,

= c,

. T2

mit c,

wenn h

=0

bei T = 0

= 819 J/(kg. K)

= 819

h,

= 433 742 J/kg

= 819

. 479,48 [J/kg. K) .K]

= 392 694 J/kg

(Tab. 6-20)

. 529,6 [J/(kg. K) - K]

h,

h,.,, Ah,

= 433 362 - 392 694 = 40 668 J/kg

%

41 kJ/kg

(etwa wie zuvor)

Ah-Ah, i) yv=-=l--=l Ah

f ) Nach GI. (5-186):

Ah, Ah

---L Ah

hz-h,

Mit

g) Aus Isentropenbeziehung mit Gasgleichung: Mit

T,,, = T2 = 529,6 K wird: 1 , 3

a) Ma,

= c,/a,

mit

p Z g s= 5 . (529,6/333)'z3-I [bar] = 37,34 bar

Aus Gasgleichung: V2,

Ma,

= --

b) Nach GI. (5-196):

Pz,s = 0,0268

= 540/354,6 = 1,52

2 Ma: . sin2a, - 1 tan6 =-. tana, ( x + 2 . c o s 2 a l ) . M a ~ + 2

m3/kg

h) Exergieverlust Ah, nach Bild 7-46:

2 1,52'. sin2 a, - 1 tan 10" = ----- . tan a, (1,4 2 . cos 2a1) . 1,52'

+

+2

tan a, sin2a, - 0,43 0,18 . ---- 2 1,4+2~cos2a1+O,86 0,09 . tan a,

=

sin2a, - 0,43 2,26 + 2 . cos2a1

0,18. tana,

=

sin2a, - 0,43 1,13 +cos2a1

Mit cos 2 a, = cos2a,

-

sin2a,

= 1- 2

. sinZa, :

sin2 a, - 0,43 2,13 - 2 . sin2a,

0,18. tana,

=

0,36 . tan a,

=-

sin2a, - 0,43 sin2a, - 1,07

Naherungsweise Losung dieser impliziten transzendenten Gleichung: Mit

f (a,)

= 0,36

und F(a,)= Bild 7-46. Losungsskizze 2 zu

0 72, Frage h).

gilt

tan a,

sin2a, - 0,43 , sin2a, - 1,07

f (a,) = F ( a , )

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Tabelle 7-4. Systematische Auswertung der Gleichung f (a,) = F(a,).

Bei Betrachtung als kleine Ablenkung A6 ergibt G1. (5-205):

Hieraus:

Andererseits: Ac = c, - c , c, = c, Losung also a,

= 52,g0z 53O

c) Nach G1. (5-197) mit a,

= a, - 6 = 53" - 10" = 43":

Ma: . sin2a,

=

(x - I) . Ma: . sin2 a, + 2 2.x.Mal.sin2al-(x-I)

Ma: . sin243" =

469

+ Ac = 540

-

124 = 416 m/s

Die Abweichung gegeniiber der Rechnung zuvor ist zu groR. Die 10"-Ablenkung kann deshalb nicht mehr als klein angesehen werden. e) Dichten nach G1. (5-202) mit a,

e2 - tan a, el tan a,

-

= a, - 6:

tan 53" - 1,42 tan 43"

(1,4 - 1) . 1,52, . sin2 53" + 2 2 . 1,4 . 1,52' . sin2 53" - (1,4 - 1)

Hieraus Ma, = 1,22 d) Nach G1. (5-198) und (5-199):

e,

= 1,42

. 2,004 = 2,846 kg/m3

oder

v , = l/e2 = 0,352 m3/kg

Hierbei nach Bild 5-37:

Driicke nach GI. (5-203):

~:,~=~~.~+2.h~=2(~~,~/2+h~)=2.h,,~ c,,,

= c,

. sin a,

= 540

h,

= C;

h,

= 314 565 J/kg

c;,,

. sin 53" [m/s] = 431 m/s

Tl = 1005. 313 [J/(kg.K).K]

= 431'

+ 2 . 314 565 [m2/s2]

p,

= 1,64 . p, =

1,64 . 1,8 = 2,95 bar

Temperatur T, nach Gasgleichung:

= 814 891 m2/s2 Cl,m =

903 m/s Kontrollrechnung: a,

=

Ma, Oder nach G1. (5-200):

c, - cos a, c,

cosa,

JxRT,= J1,4287362 = 381 m/s 462 380

= c2/a2= -= 1,22

(wie bei Frage c)

f) Nach G1. (5-186):

cos 53" - 0,82 cos43O

Abweichung (ungefahr 4%) relativ groR. Bedingt durch Rundungen und Stoffwertungenauigkeiten.

As = 4,3 J/(kg. K) (sehr wenig, also fast reversibel)

470

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Spannweite B z 2 . b = 2 . 10,s = 21 rn

g) Nach GI. (5-191):

b,) Ebenfalls nach Bild 5-61 fur 6

1, = 0,145; A F1 -

= 4"

(, = 0,175. Damit:

24000.9,81/2 = 20,23 m2 oder : 0,145.0,414. 440,32/2

Ah, = 1558J/kg h) Nach GI. (5-192):

Ah - Ah, q v --=I-Ah

Ah, Ah

mit

Spannweite B z 2 . b = 2 . 14,2 = 28,4 rn

. (T, - TI) = 1005 . (362 - 313) [JMkg. K ) . Kl Ah = 49 245 J/kg

Ah

qv -I---

a) c ,

= C,

Infolge schlechterem (, grol3ere Tragflache notwendig. Hierbei nach G1. (4-302):

1558 - 0,97 (fast ideal!) 49 245

= Ma,.

a,

a,

=Jm

Nach Tab. 6-4, Standardatmosphare in 10000 m Hohe: p = 0,2650 bar = p,; T = 223,3 K = 0,414 kg/m3 = Q,

Q

c,

=

m 2 3 , 3 1-[J

a,

=J

a,

= 299,5

m/s

1,47 . 299,5 = 440,3 m/s

=

1585 km/h

FA= F, = m . g b) Gleichgewichtsbedingung: Hiermit aus G1. (4-301) je Fliigel mit FA=F,/2: Bei stumpfer Profilnase ist also etwa die dreifache Vortriebsleistung notwendig.

Nach Bild 5-61 fur 6 = 4":

b,)

d) Nach GI. (5-231):

1, = 0,265; iw= 0,105 Hiermit: A F1 -

A,,

=

24000.9,81/2 0,265.0,414. 440,32/2

kg. m/s2

1

1l,O7 m2 Hieraus mit GI. (4-299):

b = a = f i m [ @ ] = 10,52m z 10,5 m 1 L=3L~b=-~10,5[m]=1,05m 10

FZ

1,52 fiir Ma,

= 1,47

nach Tab. 5-5:

q = 0,61 . lo5 Pa = 0,61 bar ps = pp,, = p,

+ q = 0,265 + 0,61 = 0,875 bar

7 Losungen der ~bungsbeispiele

Ware die Staustrom-Verdichtung isentrop, wiirde sich nach GI. (5-233) fur den Staudruck ergeben:

Auftriebskraft nach GI. (4-301):

em'Tc:. A F I

FA 1,4 -1 p,,

471

1 , 4 . 1,472]1'4-1 [bar]

= 0,932 bar

Infolge der Exergieverluste durch den vor der Profilnase auftretenden VerdichtungsstoD (Entropiezunahme) mu8 am Staupunkt ein Druckverlust von Apv = ps,s - ps

A,,

=b

. L=

0,8 . 1,8 [m2]= 1,44 mZ

= 0,932 - 0,875 - 0,057 bar

hingenommen werden. Das sind etwa 6,5% des Staudrucks p, (Transschall!).

Widerst and:

e) Nach GI. (5-232):

1. (Wellen-)Widerstand: Beiwert nach GI. (5-230):

Ma;

1

1

4 J i G 3

4

2,82

Jm0,1162

.p=-.-

lW.We".-'

Cw, we = 0,010. Oder nach GI. (5-229):

Kraft entsprechend GI. (4-302) bzw. GI. (5-234):

a) c,

= Ma,.

a, =

a,

= 0,Ol

mit

Jx.R.T,=Jm

1220,66' .0,810 . ------ . 1.44 2

[

Dim

]

wie zuvor

2. Flachenwiderstand: Beiwert nach G1. (4-111):

b) R e ,

=c,

. L/v,

mit

v,

=v

Luft 200°C; 1,l bar. Hierzu nach Bild 6-9: p .v

v

= 3,85

. Pa . m2/s

= ( p . v)/p = 3,85/1,1 . lo5 = 3,s.

Re,

=

B

0,455

Hieraus: m2/s

Iw3'

--

= (Ig ~ e , ) ' ~ ' ~Re,

Da Konstante B, Tab. 4-6, fiir Re, > 3 . lo6 nicht bekannt, wird naherungsweise (ungunstigster Fall) gesetzt: B = 0. Dann wird: 0,455

,,,,,= 2 3 6 .

(w," = (lg 2,s 10 )

c) Auftrieb: Beiwert nach GI. (5-227):

Kraft nach G1. (4-108): c", 2

Fw,R=rw,R.e,~-.A,

x 0,003

7 Losuneen der ~bunesbeisoiele

472

Der Fortbewegungswiderstand stumpfer Geschosse ist also bedeutend groDer als der angespitzter ( w 4fach). c) Staudruck und Staupunktdruck Nach G1. (5-231): . 2& . j

q=Ps-Pm=Q, j

= 1,74 fiir

Ma,

= 2,9

nach Tab. 5-5.

Widerstandsleistung : Pw = Fw . c ,

=

13,2 . 1220,66 [kN . m/s]

Pw=16112kWw16MW q = 9,975 lo5Pa

pq a) Ma,

Ma,

ps

= pBes= pm

FZ

10 bar. Damit:

+ q = 0,98 + 9,975 FZ 11bar

Bei isentroper Staupunktstromung ergabe sich nach GI. (5-233):

= c,/a,

= 1000/346 = 2,89 w

2,9

b) Nach G1. (5-234):

Fw

=i

w .

p,,.

e m . -c-",. A , ,

2 A,, = D2 . a14 = 0,025' . a/4 [m2] = 4,9i . 10-4m2

= 0,98

. 31,59 bar

= 30,96 w 31 bar

Der Druck- und damit Exergieverlust (Entropiezunahme) infolge des VerdichtungsstoBes (Stirnwelle) ist demnach erheblich. d) Stautemperatur nach G1. (5-232):

Nach Bild 5-60 fiir Ma,

= 2,9

1. Angespitztes GeschoB ( 2. Stumpfes GeschoD (,

=

1,3

4,3fach

Damit ergeben sich: 1. Angespitztes GeschoB:

Ma,

= cm/am= 152,8/338,4 = 0,45

Fiir 0,3 5 Ma, (A. "mpr

< 0,85 gilt nach G1. (5-217):

- LA, inkompr - JT

1 -Ma,

=

2. Stumpfes GeschoB:

> 0,3

Die Luft kann also nicht mehr als inkompressibel betrachtet werden. LA, inkompr 1 -0,45

=:J

' (A, inkompr

Mit iA,i,k,m,, = = 0,593 fiir den Reiseflug nach U 57, Frage a) wird: iA,

= 1,12 . 0,593 = 0,664

7 Ldsungen der ubungsbe~splele

Die Anstellung konnte entsprechend herabgesetzt, oder &e Tragflachen verkleinert werden. Erforderliche GroBe der Tragflbhe entsprechend aus GI. (4-301) mlt FA= F,:

473

weise unabhangig von Ma,. Deshalb hier, da = 0,45

Ma, i w , nk.

= Cw,i,tmm,,= 0,035

Damit wird der Flugwiderstand der Tragflachen entsprechend GI. (4-302):

A,,,,,

= 4,94 mZ

Je Tragflache: A,, = A ,,,,,,/2 = 2.47 m2 Mit A= 116 nach GI. (4-299): b = m = m [ @ ] = 3 , 8 5 m

und die notwendige Vortriebsleistung: m.m/s]

Pw= F w . c, = 2172.152,8

P,

= 331 882W

= 332 kW

Bei Unterschallflug ist nach ~ 5 7 Frage , b, eine Nach der P R A ~ T L - G L A ~ E ~ (Ahschnitt T-A~~~O~~~ 5.5.2) ist iw bis etwa Ma, = 0,85 naherungs- pressibilitat.

474

8 Schrifhm

8 Schrifttum

[19] Kappeli, Ernst: Stromungslehre und Stromungsmaschinen, Selbstverlag, Ruti (Schweiz).

8.1 Lehrbiicher

.1201. B6ss.

Rodel, Heinrich: Hydromechanik, Carl Hanser Verlag, Munchen. Kalide, Wolfgang: Technische Stromungslehre, Carl Hanser Verlag, Munchen. Bohl, Willi: Technische Stromungslehre, VogelVerlag, Wurzburg. Jogwich, Albert: Stromungslehre, Verlag W. Girardet, Essen. Estel; Pohlenz; Boesler: Mechanik der Flussigkeiten und Case, Wilhelm Heyne Verlag.

[6] Gersten, Klaus: Einfuhrung in die Stromungstechnik, Vieweg Verlag, Wiesbaden.

P.: Grundlaaen - der technischen Hydromechanik, Verlag Oldenbourg, Munchen.

[21] Stock, H.: Hydrodynamik, Harry Deutsch-Verlag, Frankfurt, Zwei Bande. [22] G i l a , R.: Stromungslehre und Hydraulik, McGraw Hill, Hamburg. [23] Zierep, J.; Biihler, K.: Stromungsmechanik, Springer-Verlag, Berlin. [24] Lust, R.: Hydromechanik, Bibl. Institut, Mannheim. Verlag W. -1251- Schade, H.: Kunz, E.: Stromungslehre, de Gruyter, Berlin.

[26] Kneser, H. D.: Physik, Springer-Verlag, Berlin.

[7] Windemuth, Eberhard: Stromungstechnik, Springer-Verlag, Berlin.

[27] Hering, E.; Martin, R.; Stohrer, M.: Physik fur Ingenieure, VDI-Verlag, Dusseldorf.

[8] Hackeschrnidt, Manfred: Grundlagen der Stromungstechnik, VEB Deutscher Verlag fur Grundstoffindustrie, Berlin.

[28] Pawlowski, J.: Die Ahnlichkeitstheorie in der physikalisch-technischenForschung - Grundlagen und Anwendungen, Springer-Verlag, Berlin.

191 Neunass, Ewald: Praktische Stromungslehre, VEBVerlag Technik, Berlin.

[29] Zierep, J.: ~hnlichkeitsgesetzeund Modellregeln der Stromungslehre, Verlag G. Braun, Karlsruhe.

[lo] Becker, Ernst: Technische Stromungslehre, Verlag B. G . Teubner, Stuttgart.

[30] Gortler, H.: Dimensionsanalyse - Theorie der physikalischen Dimensionen mit Anwendungen, Springer-Verlag, Berlin.

[ i l l Leiter, Erich: Stromungstechnik, Vieweg-Verlag, Braunschweig. [12] Eck, Bruno: Technische Stromungslehre, SpringerVerlag, Berlin, Zwei Bande.

8.2 ubungsbiicher

[13] Wieghardt, Karl: Theoretische Stromungslehre, Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[40] Kalide, Wolfgang: Aufgabensammlung zur technischen Stromungslehre, Carl Hanser Verlag, Miinchen.

[I41 Eppler, Richard: Stromungsmechanik, Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden.

[41] Bohl, W ; Wagner, W.:Technische Stromungslehre; Aufgaben und Losungen, Vogel-Verlag, Wurzburg.

[I 51 Boswirth, L.: Technische Stromungslehre, ViewegVerlag, Braunschweig.

[42] Becker, E.; Plitz, E.: Obungen zur Technischen Stromungslehre, Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[16] Prilffy, S.: Fluidmechanik, Birkhauser Verlag, Stuttgart.

[43] Federhofer, Karl: Aufgaben aus der Hydromechanik, Springer-Verlag, Berlin.

[I71 Ritter, R.; Tasca, D . : Fluidmechanik in Theorie und Praxis, Harri Deutsch-Verlag, Frankfurt.

[44] Szab6, Zstvan: Repetitorium und ubungsbuch der Technischen Mechanik, Springer-Verlag, Berlin.

[I 81 Truckenbrodt, E.: Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik, Springer-Verlag, Berlin.

[45] Oswatitsch, K.; Schwarzenberger, R.: ubungen zur Gasdynamik, Springer-Verlag, Wien.

8 Schrifttum 8.3 Weiterfiihrende Literatur [SO] Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik, Springer-Verlag, Berlin, Zwei Bande. [51] Prandtl, L.; Oswatitsch, K.; Wieghardt, K.: .Fuhrer durch die Stromungslehre, Vieweg-Verlag, Wiesbaden. [52] Albring, W : Angewandte Stromungslehre, Verlag Theodor Steinkopff Dresden.

475

[69] Wuest, Walter: StromungsmeRtechnik, ViewegVerlag, Braunschweig. [70] Herning, E : Grundlagen und Praxis der DurchfluR. messung, VDI-Verlag, Dusseldorf. [71] Kretzschmer, E: Taschenbuch der Durchflufimessung mit Blenden, VDI-Verlag, Dusseldorf. [72] Orlicek, Reuther: Zur Technik der Mengen- und DurchfluDmessung von Flussigkeiten, Oldenbourg-Verlag, Munchen.

[53] Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie, SpringerVerlag, Berlin. [54] Pfleiderer, C.: Die Kreiselpumpen fur Flussigkeiten und Gase, Springer-Verlag, Berlin. [55] Szabri, I.stvan: Einfuhrung in die Technische Mechanik, Springer-Verlag, Berlin. [56] Timm, Joachim: Hydromechanisches Berechnen, Verlag B. G. Teubner, Stuttgart. [57] Hutarew, Georg: Einfuhrung in die Technische Hydraulik, Springer-Verlag, Berlin.

[73] Ubbelohde, L.: Viskositats-Temperatur-Blatter, Hirzel-Verlag, Stuttgart. [74] Ubbelohde, L.: Zur Viskosimetrie, Hirzel-Verlag, Stuttgart. [75] Schmidt, E.: Thermodynamik, Springer-Verlag, Berlin. [76] Baehr, H . D.: Thermodynamik, Springer-Verlag, Berlin. [77] Boswirth, L.; Plint, A,: Technische Warmelehre, VDI-Verlag, Dusseldorf.

[58] Spurk, J.: Stromungslehre, Springer-Verlag, Berlin. [59] Dubs, E : Hochgeschwindigkeits-Aerodynamik, Birkhauser-Verlag, Stuttgart. [60] Molerus, 0.: Fluid-Feststoff-StrGmungen, Springer-Verlag, Berlin. [61] Bohme, G.: Stromungsmechanik nicht-newtonscher Fluide, Teubner-Verlag, Stuttgart. [62] Grahl, K.; Schwarz, M.: Stromungstechnik, VDIVerlag, Dusseldorf.

[78] Grober; Erk; GriguN: Grundgesetze der Warmeubertragung, Springer-Verlag, Berlin. [79] Dubs, Fritz: Aerodynamik der reinen Unterschallstromung, Birkhauser Verlag, Stuttgart. [80] Becker, Ernst: Gasdynamik. Verlag B. G. Teubner, Stuttgart. [81] Oswatitsch, Klaus: Grundlagen der Gasdynamik, Springer-Verlag, Berlin. [82] Ganzer, U.: Gasdynamik, Springer-Verlag, Berlin.

[63] Ebert, Fritz: Stromungen nicht-newtonscher Medien, Vieweg-Verlag, Braunschweig. [64] Tieijens, 0.:Stromungslehre, Springer-Verlag, Berlin, Zwei Bande. [65] Zoebl, H.; Kruschik, J.: Stromung durch Rohre und Ventile, Springer-Verlag, Berlin. [66] Richter, H.: Rohrhydraulik, Springer-Verlag, Berlin. [67] Piwinger, E : Stellgerate und Armaturen fur stromende Stoffe, VDI-Verlag, Dusseldorf. [68] Herfling, E : Stoffstrome in Rohrleitungen, VDIVerlag, Dusseldorf.

1831 Zierep, J.: Theoretische Gasdynamik, G . BraunVerlag, Karlsruhe. [84] Schlichting, H.; Truckenbrodt, E.: Aerodynamik des Flugzeuges, Springer-Verlag, Berlin. [85] Riegels, Friedrich, W : Aerodynamische Profile, Verlag Oldenbourg, Munchen. [86] Wortmann, E X.; Althaus, D.: Stuttgarter Profilka talog, Vieweg-Verlag, Wiesbaden. [87] Betz, A,: Konforme Abbildung, Springer-Verlag, Berlin.

[88] Trutnovsky, Karl: Beruhrungsfreie Dichtungen, Grundlagen und Anwendung der Stromung durch Spalte und Labyrinthe, VDI-Verlag, Dusseldorf. [89] Boswirth, L.: Mollier-(h, s)-Diagramm von Wasserdampf, VDI-Verlag, Dusseldorf. [90] Scheffler, K.; Straub, J ; Grigull. U.:Wasserdampftafeln, Springer-Verlag, Berlin. [91] Sigloch, H.: Stromungsmaschinen, Hanser-Verlag, Munchen.

[99f] Noll, B.: Numerische Stromungsmechanik. Springer-Verlag, Berlin. [99 g] Oertel, H.; Laurin, E. : Numerische Stromungsmechanik. Springer-Verlag, Berlin. [99h] Ferzinger. I-H.; Perik: Numerische Stromungsmechanik. Springer-Verlag, Berlin. [99 i] Lewinsky-Kesslitz, H . 2 : DruckstoRberechnung f i r die Praxis. Fortis-Verlag FH, Mainz.

[92] Zielke, W : Die elektronische Berechnung von Rohr- und Gerinnestromung. 8.4 Handbiicher

[93] Chung, 1: J.: Finite Elemente der Stromungstechnik, Hanser-Verlag, Munchen. [94] Kirchgraber, U.;Stiefel, E.: Methoden der analytischen Stromungsrechnung und ihre Anwendungen, Teubner-Verlag, Stuttgart. [95] Antes, Heinz: Anwendungen der Methode der Randelemente in der Elastodynamik und der Fluiddynamik, Springer-Verlag, Berlin. [96] Schneider, W : Mathematische Methoden der Stromungsmechanik, Vieweg-Verlag, Wiesbaden.

[loo] Dubbel: Taschenbuch fiir den Maschinenbau, Springer-Verlag, Berlin. [loll Hiitte: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften. Springer-Verlag, Berlin. [I021 VDI-Warmeatlas, VDI-Verlag, Dusseldorf. [I031 Energietechnische Dusseldorf.

Arbeitsmappe, VDI-Verlag,

[97] Traupel, W : Thermische Stromungsmaschinen, Springer-Verlag, Berlin. Zwei Bande.

[I041 Landolt-Bornstein: Zahlenwerte und Funktionen aus Physik, Chemie, Astronomie, Geophysik und Technik; 4. Band Technik, 1. Teil, Springer-Verlag, Berlin.

[98] Schonung, B. E.: Numerische Stromungsmechanik, Springer-Verlag, Berlin.

[I051 Klein, Martin: Einfuhrung in die DIN-Normen, Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[99] Zurmiihl, R.: Praktische Mathematik, SpringerVerlag, Berlin.

[I061 DIN-Taschenbuch, Band 9: GuSrohrleitungen, Beuth-Verlag, Berlin.

[99a] Marsal, 0.:Finite Differenzen und Elemente, Springer-Verlag, Berlin.

[lo71 DIN-Taschenbuch, Band 12: WasserversorgungsNormen, Beuth-Verlag, Berlin.

[99b] Zienkiewicz, 0.C.: Methode der finiten Elemente, Hanser-Verlag, Munchen.

[I081 DIN-Taschenbuch, Band 13: Abwassernormen, Beuth-Verlag, Berlin.

[99c] Vreugdenhil, C . B.: Computational Hydraulics, Springer-Verlag, Berlin.

[I091 DIN-Taschenbuch, Band 15: Normen fur Stahlrohrleitungen, Beuth-Verlag, Berlin.

[99d] Kamel, Franeck, Recke: Einfuhrung in die Methode der finiten Elemente, Hanser-Verlag, Munchen.

[I101 Bussel van, P. W E. A , : Gas-Zentralheizungen, VDI-Verlag, Dusseldorf.

[99e] Leder, A.: Abgeloste Stromungen; Physikalische Grundlagen, Vieweg-Verlag, Wiesbaden.

[ I l l ] Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G . ; Miihlig, H.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, FrankfurtIM.

Sachworter

477

-

Sachworter Abbildung, konforme 203 Abbruchfehler 242 Ablenkung, konkave 361 Ablenkung, konvexe 361 Abloseblase 166 Abfosegebiet 85 Ablosepunkt 85 Abrasiv-Verfahren 170 AbreiBkante 83 AbreiBstelle 288 Absaugung 286 Absolutdruck 39 Absolutstromung, Energiegleichung 97 Absolutsystem 185 Abspenorgan 136 ACKERET-Formel 171 Adhbion 10 Adiabate, dynamische 351 Adsorption 10 Aero-Akustik 276 Aerodynamik 276 Aerosol 9 Aggregatzustand 8 Ahnlichkeit, geometrische 66 Ahnlichkeit, physikalische 67 ~hnlichkeits~roRe67 ~hnlichkeitstheorie 66 Auergie 310 Anfahrmoment 185 Anfahrwirbel 283,294 Anfangswertproblem 248 ANGLER-Kurve 125 Anlaufstrecke 123, 140 Ansatz, kubischer 252 Ansatz, linearer 252 Ansatz, quadratischer 252 Ansatzfunktion 240, 250, 251 Anstellwinkel 279 Approximation 243 Approximationsfunktion 251 ~ ~ u i ~ o t e n t i a l f l a c h26e ~ ~ u i ~ o t e n t i a l l i n200 ie Arbeit, technische 307 ARCHIMEDES-Auftrieb 49 Armatur 136 Atmosphare 29 Aufkraft 44 Aufkraft, dynamische 177 Aufschlammung 9 Auftrieb 49 Auftrieb, dynarnischer 177,216 Auftrieb, fluidstatischer 217 Auftriebsbeiwert 282 Auftriebserzeugung 2 17 Auftriebskorper 80, 270 Auftriebskraft 281

Auftriebskraft, dynamische 279 Auftriebsverteilung 294 Auftriebsverteilung, elliptische 294 Aufwindverfahren 245 Ausdehnungskoeffizient 8 AusfluB-Formel 103 AusfluBfunktion 321 AusfluBgesetz 147 AusfluBquerschnitt 146 AusfluBzahf 146 Aussage, globale 55 Aussage, lokale 56 AusstoBungsgerausch 275 AVOGADRO-Gesetz 9 Bahnbeschleunigung 57 Bandmatrizen 240 Bar 29 Barometerdruck 37 Basiseinheit 1 Basisfunktion 255 BEAUFORD-Grad 382 BegrenzungsflChe 26 Belastnngsgrad 180 BERNOULLI-Gleichung 98 Beruhigungsstrecke 131, 140 Beschleunigung 57,60 Beschleunigung, konvektive 57 Beschleunignng, lokale 57 Beschleunigung, materielle 57 Beschranktheit 237 Betriebsdruck, zulksiger 379 BewegungsgroBe 161 Bezugsbasis 305 Bezugslinie 280 Bezugsraum 163 Bilanz-Ansatz 5 Bilanzbetrachtung 238 BINGHAM-Fluid 17 BLASIUS-Formel 120 BLASIUSsches Widerstandsgesetz 154 Blende 139 Blockierung 375 Bodenkraft 43 BOLTZMANN-Konstante 20 BOOLEsche Matrix 250,254 BORDA-CARNOTsche Gleichung 133 BORDA-Miindung 133 BORDA-StoB 133 BOUSSINESQ-Approximation 232 BOUSSINESQ-Hypothese 78 BOYLE-MARIOTTE-Gesetz 6 Bremszaun 296,366 BUCKINGHAM-Theorem 67 CARNOT-St08 133 CAUCHY-RIEMANNsche Differentialgleichung 199

478

Sachworter

CFD 237 Chaostheorie 76 Chyakteristikendiagramm 355 CHEZYsche FlieRfomel 150 Choking 375 COANDA-Effekt 88 COLEBROOK-Diagramm 119,398 COLEBROOK-Formel 120 Computational Fluid Dynamics 237,264 Computer-Programm 248 COOK-Formel 171 CORIOLIS-Kraft 96 COUETTE-Stromung 15.91 COULOMB-Kraft 17,25 CRANK-NICHOLSON-Differenz 244

D'ALEMBERTsches Paradoxon 102 DALTON-Gesetz 9 Dampfbildung 105 Dampfdruck 41, 105 Dampfdruckhohe 4 1 Dampfkem 207 DARCY-Formel 1 18 Deflagration 333 Deformation 61 Deformationsgeschwindigkeit 16,78 Delta-Flugel 366 Determinanten-Verfahren 70 Detonation 22, 300, 362 Dickenriicklage 267 Dickenverhaltnis 279 Differentialgleichung, Klassifizierung 239 Differenzdmck 101 Differenzen-Ansatz 244 Differenzen-Verfahren, finite 242 Differenzenapproximation 242 Diffusions-Term 236,246 Diffusionsgleichung 238 Diffusor 100, 134 Diffusoreffekt 269 Diffusorwirkungsgrad 337 Dilatation 61 Dimensionsanalyse 67 Dipol 241 Dipolstromung 21 0 DIRICHLET-Bedingung 264 DIRICHLET-Randbedingung 24P Diskontinuitatsflache 271 diskretieren 240 Diskretisierung 242 Diskretisierungsschema 245 Dispersion 9 Dissipation 76, 111, 3 11 Dissipations-Term 236 Dissipationsrate 235 Dissoziation 367 Divergenz 389 Doppelkeilbogenprofil 280 Doppelkeilprofil 368 Doppelwirbel 130

DOPPLER-Effekt 77,305 Drall 313 Drallsatz 181 Drehklang 277 Drehmomentbeiwert 158 Drehstromung 207 Drehungsfreiheit 63 Drosselgerat I39 Drosselung 3 17 Druck 29 Druck, dimensionsloser 323 Druck, dynamischer 99 Druck, statischer 99 Druckbegriff 39 Druckbeiwert 272,358 Druckenergie 32.98, 111 Druckenergiespeicher 33 Druckfortpflanzungsgesetz 3 1 Druckhohe 37,99 Druckkraft 73, 164 Druckliniengefalle 112 Druckmittelpunkt 44, 280 DruckstoB 97, 138 Druckstufe 379 Druckverhaltnis, kritisches 324 Druckwiderstand 267 Druckwiderstandskraft 270 DurchfluR 57 Durchfluabeziehung 305 Durchflu8messung 101 DurchfluRzahl 101, 139,405 Durchflutungsgesetz von MAXWELL 195 Durchgangsdrehzahl 186 Durchmesser, gleichwertiger 126 Duse 100,135 Duse, einfache 3 19 Diise, enveiterte 327 Dusen-Wirkungsgrad 330 Dusenabmessung 332 Dusenbeiwert 329 Dusenfaktor 330 Dusengefalle 330 Ebene, komplexe 201 Einbauten 128 Eingleichungsmodell 232 Einheitsmatrix 70 Einheitsvektor 53 Einlaufstrecke 123 EINSTEINsche Summationskonvention 61 Elastizitatsmodul 6 Element 251 Element, eindimensionales 25 1 Element, finites 25 1 Element, isoparametrisches 251 Elementarstromung 205 Emulsion 9 Energie, kinetische 98 Energie, mechanische 98 Energie, potentielle 34,98

Sachworter Energiebilanz 140 Energieentwertung 309 Energieerhaltungs-Satz 98 Energiegefalle 112 Energiegleichgewicht 111 Energiegleichung, erweiterte 111 Energiekaskade 79 Energieliniengefalle 112 Energieminimum-Prinzip 5, 240 Energiesatz 305 Englergrad 20 Entdimensionierung 223 Enthalpie 307 Entropie 307 Ergiebigkeit 206 Erhaltungsprinzip 65 Erhaltungssatz 111, 237 Ersatzmndrohr 126 Erstarrungsprinzip 26 Erweiterung 133 Erweiterung, stetige 134 Erweitemng, unstetige 133 EULER-LANGRANGE-Gleichung 255 EULER-Zahl 72 EULER-Dmck 29 EULER-Gleichung I87 EULERsche Betrachtungsweise 56 EULERsche Bewegungsgleichung 24,56,91, 190 EULERsche Kreiselradgleichung 187 Exergie 310 Expansionsstromung 319 Expansionszahl 101, 139,406 Explosion 22,305 Exzentrizitat 44 Fahrzeugwiderstand 273 FALKsches Matrix-Schema 390 Fall, kritischer 154 Fall, iiberkritischer 154 Fall, unterkritischer 153 FANNO-Kurve 348 FDM 265 Felddichte 222 FeldgroBe 56 Feldkraft 222 Feldstarke 222 FEM 265 Fernwirkungskraft 25 Finite-Elemente-Methode 248, 264 Finite-Volumen-Verfahren 264 Flachensatz 207 Flachenverhaltnis 166 Flachenwiderstand 266 Flachenwiderstandzahl 267 FLETTNER-Rotor 216 FlieBformel 150 FlieBzahl 150 Flugbedingung 297 Flugel 278 Flugelflkhe 270

Fliigelritter 217 Fliigelstreckung 279 Fluid 3 Fluid, elastoviskoses 17 Fluid, elektroviskoses 17 Fluid, inkompressibles 53 Fluid, kompressibles 53 Fluid, viskoelastisches 17 Fluidart 53 Fluidballen 168, 233 Fluide mit Gedachtnis 17 Fluide, ideale 24 Fluide, reale 24 Fluidik 5 Fluiditat 18 Fluidkraft 44 Fluidmechanik, numerische 220 Fluidmodell 53 Fluidreibungs-Gesetz 14 Formandemngsgeschwindigkeit 16 Formfunktion 240, 25 1 Formteile 128 Formwiderstand 266,267 Formwiderstandzahl 270 Freilegungsprinzip 29 Freistrahl 89 Frontspoiler 275 FROUDE-Theorem 180 FROUDE-Zahl 72 Funktion, analytische 202 Funktional 5,255 FuBventil 138 FVM 265 GabelungsstoB 346 GALERKIN-Methode 250 GALERKIN-Verfahren 255 Gasarbeit 307 Gasdynamik 299 Gasstrahlen, freie 362 GAUSS-Algorithmus 69,71 GAUSS-Ebene 201 GAUSSscher Integralsatz 66 GAY-LUSSAC-Gesetz 10 Gebiet, laminares 119 Gebiet, turbulentes 119 Gefalleverlust 320, 330 G e f i , kommunizierendes 40 Gegenwind 274,297 Geransch, aeropulsives 276 Gerauscherzeugung 275 Gerinne 148 Gerinnestromung 148 Gesamtdruck 99 Gesamtenergie 98 Gesamtgef'alle 112 Gesamthohe, ideale 99 Gesamtviskositat 78, 220 Gesamtwiderstand 266, 272 Gesamtwiderstandszlffer 272

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Geschiebebewegung 148 Geschwindigkeit 57,60 Geschwindigkeitsdelle 267 Geschwindigkeitsfunktion 320 Geschwindigkeitsgefalle 15 Geschwindigkeitshohe 99 Geschwindigkeitspotential 63, 199 Geschwindigkeitsprofil 117 Geschwindigkeitsverteilung 113, 116 Geschwindigkeitszahl 145,311 Gesetz der kleinsten Wirkung 124 Gesetz von STOKES 113 Gewichtungsfunktion 255 GIBBSsche Gleichung 305 Gitter, strukturierte 244 Gitterstruktur 241 Glattheitsbedingung 256 GLAUERT-Analogie 364 Gleitflug 286 Gleitwinkel 279 Gleitzahl 279 Gottinger Profilsystematik 280 Grad 251 Gradient 389 GREEN-GAUSS-Integral 248 GREEN-GAUSSscher-Integralsatz 249 GREEN-Theorem 242,249,261 GrenzflEhe 11 Grenzflachenenergie 11 Grenzflachenkraft 11 Grenzgeschwindigkeit 330 Grenzschicht 76, 80 Grenzschicht, turbulente 86 Grenzschicht-Absaugung 87 Grenzschicht-Gleichung 225,226 Grenzschichtablosung 87 Grenzschichtdicke 158 Grenzschichtstromung 81 Grenzschichttheorie 24,80 Grenzschichtzaun 366 Grobstruktursirnulation 232 GroBe, intensive 5 GroBe, spezifische 5 GroBturbulenz 76, 85 Grundgesetz, dynarnisches 161 Grundgesetz, fluidstatisches 36 Grundgesetz, hydrostatisches 36 Grundgleichung der Fluidmechanik 24 Giitegrad 18 1 (h,s)-Diagramm 307,411 Haftbedingung 14, 80 Haftbedingungs-Model1 89 HAGEN-POISEUILLEsches Gesetz 114 Hahne 137 Halbkorperumstromung 213 HAMEL-OSEEN-Wirbel 207 Hauptgleichung der Stromungsmaschinen Hauptschicht, turbulente 82 Hauptstrornungswert 241

Heberleitung 143 Heckspoiler 275 HeiDdarnpf 320 Hele-Shaw-Strornung 80 HELMHOLTZsche Bedingung 63 HELMHOLTZsche Unstetigkeitsflache 88.91 HENRY-Gesetz 10 HERMITE-Element 25 1 Hintereinanderschaltung 129 Hinterkantenruder 289 Hitzdrahtanemometer 77 Hodograph 54 Hohenformel, barometrische 38 Hohlwirbel 207 HOOKEsches Gesetz 15 Hufeisenwirbel 294 Hiitchenfunktion 25 1 Hybrid-Verfahren 245 Hydraulik 5 Hydro-Cutting 170 Hyperschall 336 Hypersonic 300,367 Impuls 161,313 Irnpulsaustausch 76, 168 Impulssatz 161 Impulsstrom 163 Indiz, freies 61 Indiz, gebundenes 61 Injektor 102 Innenstromung 113 Integralsatz von STOKES 198 Interferenzwiderstand 269, 297 Interpolationsfunktion 248,25 1 Ionisation 367 Isenthalpe 3 18 Isentrope 306 Isentropenexponent 308 isoenergetisch 309 Isotachen 54 JACOBI-Matrix 250,254 JOUKOWSKY-Profil 204 JOUKOWSKY-StoB 97 JOULE-THOMSON-Effekt 3 18 kc-Model1 234 Kaminzug 41 Kanalenveiterung 101 Kanalverengung 101 Kapillaritat 11 Kapillarkraft 12 Kapillarspannung 11 Kapillarstromung 80 Kapillarviskosimeter 20, 114 K?pillarwirkung 11 KARMANsche Wirbel 90 K A R M A N S CWirbelstraBe ~~ 272 Kennzahlen 67 Kernmatrix 70 Kerntotgebiet 124

Sachworter Kerntotraum 2 10 Kesselenthalpie 349 Kleinturbulenz 76 Kuiestiick 166 Kuotenpunkt 240,248 KNUDSEN-Zahl 4, 85 Kohasion 10 Kolloid 9 KOLMOGOROW-LangenmaB 241 KompaR-Notation 245 KompressibilitatseinfluB 236 Kompressiblitat 5 Kompressionsmodul 6 Konfusor 135 Konservativitat 35,237 Konsistenz 237 Kontigleichung 58, 65 Kontinuitat 58, 64 Kontinuitatsgleichung 58, 305 Kontiuuum 4 Koutraktion 146 Koutraktionszahl 145 Kontrollraum 163, 217 Konvektions-Term 236 Konvektionsgleichung 238 Konvergenz 237 Konvergenzbedingung 248 Koordinate, uaturliche 250 Koordinatensystem, lokales 252 Kopfwelle 355 Korkenzieherstromung 124 Komkennzahl 121, 156 Korper-Umstromnng 265 Kraft, aul3ere 163 Kraft, innere 163 Kraft, intermolekulare 25 Kraft-Potential 34 Krafte, energieerhaltende 35 Kraft, konservative 35 KraftemaRstab 73 KraftstoR 161 Kreisrohr-Stromung 167 Kreisstromung 206 Kreiszylinderumstromung 216 Kriimmer 129 Kriimmer, dusenformige 131 Kriimmerverlust 130 Krummungsdruck 12 Kugelfallviskosimeter 20, 277 KUTTA-AbfluRbedingung 217 KUTTA-Bedingung 283 KUTTA-JOUKOWSKY-Gesetz 219 kv-West 138 Lageeuergie 98 LAGRANGE-Element 251 LAGRANGEsche Betrachtungsweise 56 LAGRANGEsche Bewegungsgleichung 56 Laminardelle 293 Laminarisieren 293

Laminarprofil 267,292 Landeklappe 29 1 Langsrille 272 Langzeitaufnahme 54 LAPLACE-Gleichung 22,65,301 LAPLACE-Operator 65, 22 Laser-Anemometer 305 LASER-DOPPLER-Anemometrie 77 LAVAL-Druckverhaltnis 323 LAVAL-Dike 327 LAVAL-Erweiterung 329 LAVAL-Geschwindigkeit 302, 325 LAVAL-Massenstrom 326 LAVAL-Querschnitt 328 LAVAL-Wert 325 LAVAL-Zahl 302,326 Leeseite 268 Leistungszahll61 Leitschaufel 269 LES 232 LILIENTHAL-Diagramm 288 Linearisierung 244 Linearkombination 70 linearviskos 15 Linie, flussige 196 Linienintegral 192 Linsenprofil 368,370 Logarithmusgesetz 82, 1 17 Lougitudinalwelle 21 LOSCHMIDT-Zahl 13,20 Losungsalgorithmen 240,249 Luftfahrt-Norm 282 Luftschall 276 Luftwiderstand 273 Luftwiderstandsbeiwert 274 Luvseite 268 MACH-Zahl 7,72,302 MACHsche Linie 304 MACHscher Kegel 304 MACHscher Winkel 305 Magnethydrodynamik 196 MAGNUS-Effekt 216 Makrobetrachtungsweise 163 Mammutpumpe 40 Massenerhaltungssatz 7, 58 Massenstrom 321 Matrix-Methode 69,244 Matrix-Symbole 389 Matrizen 252 Matrizen-Symbole 390 Matrizenrechnung 248 MAXWELLsche Diagonalmethode Mehrphasen-Stromung 8 Mehrstoff-Stromung 8 Mengenstrom 58 MeBorgan 139 MeRsonde 77 Meteorologie 299 Methode der gewichteten Residuen

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Methode, direkte 239 Methode, finite 239, 240 MHD-Technik 196 Mikrobetrachtungsweise 163 Minimalprinzip 255 Mischstrahl 171 Mischungsweg 233 mks-System 1 Modellansatz 221,232,239 Modellgleichung 237 modellieren 240 Molekularbewegung 75 Molekula~iskositat 19 MOLLIER-Diagramm 307 Momentaufnahme 54 Momentenbeiwert 282 MOODY-Diagramm 119 Mundung 145,319 Miindungsgrad 320 Nablaoperator 222 NACA-Profilsystemaik 280 Nachlauf-Delle 91, 268 Naherungsansatz 244 Nahwirkungskraft 25 NaBdampf 320 Naturumlauf 41 NAVIER-STOKES-Gleichung 24,85,219 Nebel 9 Nenndruck 379 Nennweite 379 Netz 250 Netz, unstrukturiertes 250 NEUMANN-Bedingung 264 NEUMANN-Randbedingung 248 NEWTON-Zahl 161 NEWTONsche Fluide 15 Nicht-NEWTONsche Fluide 15 NIKURADSE-Formel 120 Niveauflache 26 Normalenthalpie 305 Normalzustand 4 Normatmosphire 39,379 Normdichte 381 Normzustand 7 Notation 245 Nullauftriebsrichtung 280 Nullauftriebswinkel 279 Nullgleichungsmodell 232 Oberflache, freie 26 Oberflachenkraft 23, 190 Oberflachenspannung 11 Oberflachenwelle 149 Oberschicht, turbulente 84 Offn~n~sverhaltnis103, 133, 139 Ortshohe 99 Ortsvektor 183 Osmose 10 OSTWALD-Verhalten 17

PANEL-Verfahren 241 Panelisation 241 Parabelprofil, bikonvexes 370 Paradoxon, hydrostatisches 43 Parallelschaltung 129 Parallelstromung 205 PASCAL 29 PASCALsches Paradoxon 43 PELTON-Turbine 174 Pfeilfliigel 366 Pfeilhohe 279 Piezo-Rohr 100 PITOT-Rohr 100 Platten-Reibungszahl 116 Plattenstromung 153 Pneumatik 5 POISSON-Gleichung 65 Polare 286 Polarendiagrarnm 282,286 Polymerbeimischung 124 Potential 35 Potential, komplexes 201 Potentialfunktion 199 Potentialgleichung 24,65 Potentialstromung 64, 205 Potentialtheorie 65, 205 Potentialwirbel 207 Potenzgesetz 82, 116 PRANDTL-Grenzschichtgleichung 226 PRANDTL-KOLMOGOROW-Formel 235 PRANDTL-MEYER-Expansion 359 PRANDTL-Rohr 100 PRANDTL-SCHLICHTINGschesWiderstandsgesetz 154 PRANDTLsche Grenzgleichung 85 PRANDTLsche Grenzschichtgleichung 24, 84 PRANDTLsche Regel 364 PRANDTLsche universelle Wiederstandsbeziehung 120 PRANDTLscher Mischungsweg 232 Presse, hydraulische 3 1 Prinzip des Opfers 217 Produktions-Term 236 Profil, druckpunktfestes 285 Profil, superkritisches 365 Profil, transsonisches 365 Profil-Bezeichnung 279 Profilbeiwert 282 Profilgitter 217 Profillange 279 Profilsehne 280 Profilsystematik 280 Profiltabelle 280 Profiltangente 280 Profilwiderstand 284 Projektionsquerschnitt 270 Propellerschub 179 Propellertheorie 179 ~ropellerwirkun~s~rad 181 Propulsionswirkungsgrad 180

Sachworter Priifdruck 379 Pulsationsfrequenz 275 Quadrat, kleinstes 255 QualitatsgroBen 5 Quell-Senke 216 QuellISenkeu-Term 247 Quelldichte 65 Quelle, numerische 265 Quellenstromung 205 Quellverteilung 242 Querkraft 216, 274 Querschnittserweiterung 166 Quenvirbel 130 Radius, gleichwertiger 150 Radseitenreibung 158 Raketentriebwerk 179 Randhedingung 248 Randgradient 257 Randschicht 80 Randumstromung 293 Randwirbel 293 RANKINE-HUGONIOT-Beziehung 351 RANKINE-HUGONIOT-Kurve 35 1 RANKINE-Wirbel 207 RANKINEsche Strahltheorie 181 Rauch 9 Rauhigkeiswert 383 Rauhigkeit 118 Rauhigkeit, inverse relative 118 Rauhigkeit, kritische 157 Rauhigkeit, naturliche 156 Rauhigkeit, zulassige 156 Rauhigkeitshohe, zulassige 384 Rauhigkeitsstromung 155 Raum, einfach zusammenhangender 195 Raum, mehrfach zusammenhangeuder 195 RAYLEIGH-Linien 348 RAYLEIGH-RITZ-Verfahren 250 Realgasfaktor 308 Rechenoperation, vektoranalytische 380 Redwood-Sekunden 20 Regelorgan 136 Reibleistung 159 Reibung, laminare 118 Reibung, turbulente 118 Reibungsfaktor 136 Reihungsglied 223 Reihungssatz 220 Reibungswiderstand 266 Relativdruck 39 Relativgeschwindigkeit 173 Relativkontrollraum 173 Relativstrombahn 96 Relativstromung, Energiegleichung 108 Relativstromungsgeschwiudigkeit 184 Relativsystem 173, 184 Relaxations-Methode 237 Relevanzliste 69

Residuen 248,255 Residuen, gewichtete 255 Restwiderstand 297 REYNOLDS-Beziehung 23 1 REYNOLDS-Gleichung 229 REYNOLDS-Spannung 168,233,236 REYNOLDS-Tensor 234 REYNOLDS-Zahl 72 REYNOLDS-Zahl, kritische 79,382 REYNOLDsche Bewegungsgleichung Rheologie 15 Rheopexie 17 Richtungscosinus 54 RIEMANNscher Abbildungssatz 204 Rilleneffekt 273 Rinnen 148 Rinnengefalle 150 Rohrauslaufe 133 Rohrdurchmesser, optimaler 124 Rohreinbauten 128 Rohreinlauf 132, 168 Rohrfiihrungsarten 129 Rohrleitungskennlinie 141 Rohrreibungsdiagramm 119 Rohrreibungszahl 114, 118,317, 398 Rohrstromung 313 Rohrstromung, adiabate 3 16 Rohrstromung, isotherme 316 Rohrstramung, laminare 112 Rohrstromung, transsonische 341 Rohrstromung, turbulente 116 Rohrverzweigung 136 Rollwiderstand 273 Rotation 61 Rotationsviskosimeter 20 Rotor 389 Ruckeuwiud 274,297 Ruckstau 147 RuckstoR 177 Ruckw5rtsdifferenz 243 Ruhe 306 Ruhewert 324 Ruhezustand 301 Ruhezustandsgrofie 346 S-Schlag 285 SAE-Viskositatsklasse 20 Sandrauhigkeit 119 Sandrauhigkeit, aquivalente 119, 156 Sattdampf 320 Saugdruck 42 Saughohe 41 Saugkorbe 138 Saugwirkung 41 Saybold-Sekunden 20 Schall 300 Schallgeschwindigkeit 7, 21, 300 Schallgeschwindigkeit, kritische 236 SchallgroRe 382 Schallmauer 304.366

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Schallpegel 123,275 Schattenflache 270 Schaufel, wirkungsfreie 213 Schaufelkraft 173 Scheibe, freie 158 Scheibe, rotierende 158 Scheibe, umschlossene 159 Scheinkraft 28 1 Scheinviskositat 78, 235 Schergef'alle 16 Scherkraftgeblase 158 Scherrate 15 Scherspannung 15 Scherviskositat 18 Schicht, viskose 82 Schichtenstromung 15,75 Schichtung, barotrope 38 Schichtung, isotherme 38 Schichtung, isotrope 38 Schieber 137 SchieBen 152 Schleppstromung 227 SchlieBungsproblem 23 1 Schmierschichtstromung 80 Schmierschichttheorie 227 Schmierschichttheorie, fluiddynamische 227 Schnellflugprofil 285 Schockwelle 170,333,347 Schnbbelastungsgrad 180 Schubspannungsgeschwindigkeit 122 Schwall 149 Schwallgeschwindigkeit 152 Schwankungsbewegung 168 Schwanknngsgeschwindigkeit 77 Schwerewirkung 36 Schwerpunktsatz 163 Schwimmen 50 SEGNER-Rad 183 Seitenkraft 43, 274 Sekundarstromung 130 semiempirisch 234 Senkenstromung 205 SERsche Scheibe 100 SI-Einheiten 1 Siedegrenze 8 Simulation, direkte numerische 241 Singularitat 209 Singularitaten-Verfahren 65 Singularitatenmethode 21 1 Skalierung 66, 223 Skelettlinie 279 Spaltenvektor 253 Spannungszustand, fluidstatisch 30 Spannweite 279 Spantflache 270 Spiegelflache 27 Spoiler 274 Stabilitat 237 Stabilitatsbedingung 52 Stabwelle 303

Standardatmosphare 379 Startklappe 291 Statthalterindex 60 Staubereich 267 Staudruck 7,99,372 Staupunkt 55,267 Staupunktbeiwert 373 Staupunktdruck 373 Staupunktstromung 99 Staupunkttemperatur 372 Staurohr 100 Staustromlinie 99 Stirnflache 270 StoffgroRe, thermische 387 Stoffwert 305 STOKESsche Formel 277 STOKESsche Kugelumstromung 80 STOKESscher Reibungsansatz 15 STOKESscher Satz 198 Stolperdraht 86 Stolperstelle 86, 120,290 Storbewegung 241 StoB, schiefer 172 StoB, senkrechter 169 StoBdiffusor 340, 352 Stofldruck 171 StoBkombination 358 StoRkomponente 167 StoBpolaren-Methode 355 StoBpolarendiagramm 355 StoBstrahl 171 StoBwelle 300, 343 Strahlduse 178 Strahleinschnurung 145 Strahlgeschwindigkeit 145 Strahlkraft 169, 173, 178 StrahlstoB 172 Strahltheorie 179 Strahltriebwerk 178, 186 Streichlinie 54 Streuteilchen 78 Strom 55 Strombahn 54 Stromdichte 344 Stromfaden 55 Stromfadentheorie 55 Stromflache 55 Stromfunktion 193, 199 Strornlinie 54 Stromlinienbild 55 Stromlinienkorper 87 Stromrohre 54 StromstoB 97 Stromung mit Energiezufuhr 140 Stromung, eindimensionale 56,91 Stromung, gestorte 334 Stromung, homotrope 359 Stromung, hypersonische 367 Stromung, instationare 53 Stromung, laminare 24,75

Sachworter Stromung, mehrdimensionale 59 Stromung, nichtquellfreie 65 Stromung, quellfreie 65 Stromung, reibungsfreie 24 Stromung, schleichende 80, 221 Stromung, stationare 53 Stromung, supersonische 367 Stromung, trage 80 Stromung, turbulente 24, 75 Stromung, ungestorte 333 Stromung, viskose 80 Stromung, wirbelfreie 65 Stromungs-Ablosung 85 Stromungs-AbreiBgefahr 104 Stromungs-Reibungskraft 154 Stromungsart 53 Stromungsform 53 Stromungsgerausch 123 Stromungsgeschwindigkeit 53 Stromungsgeschwindigkeit, mittlere 382 Stromungsgeschwindigkeit, turbulente 77 Stromungsgrenzschicht 85 Stromungsgruppe 53 Stromungsklasse 53,205 Stromungskraft 161 Stromungsmechanik, numerische 237 Stromungspotential 63 Stromungspoteutial, komplexes 202 Stromungsiiberlagerung 21 1 Stromungsumschlag 79 Stromungsverlust 111 Stromungswirkungsgrad 3 12 STROUHAL-Zahl 72,272 Stufenarbeit 188 Stutzenarbeit 188 Sublimation 8 Subsonic 300 SubstanzgroBe 56 Sunk 149 Superposition 61,211 Supersonic 367 Suspersion 9 Symmetriestromlinie 212 System, adiabates 306 TAYLOR-Entwicklung 242 TAYLOR-Reihe 242 TAYLOR-Reihenentwicklung 245 TAYLOR-Wirbel 9 1 Teilchenabstand 25 Teilchenkraft 10 Temperaturgleichung 237,3 17 Temperaturgrenzschicht 85 Tensor 254 Tensor-Operator 390 Tera-Rechner 241 Term, instationarer 246 Term, konvektiver 246 Thixotropie 17 THOMSON-Satz 196

TOLLMIN-SCHLICHTING-Instabilitat 83 TORRICELLIscbe Formel 103 Totalenergie 98, 111, 306 Totaltemperatur 308 Totraum 85, 166 Totraumbildung 87 Totraumgebiet 267 Tragflachen, verstellbare 291 Tragflugel 278 Tragflugel-Profil 410 Tragflugeleigeuschaft 285 Tragfliigelfamilie 280 Tragflugeltheorie 2 17 Tragheitsablosung 124 Tragheitskraft 73 Trausiens-Term 236 Translation 59 Translationsstromung 205 Transportgleichung 237 Transporttheorem 391 Transsonic 300 Trennflache 26,88 Treppenfunktion 245 Triebwerksgondel 298 Tripelpunkt 8 Turbulenz 76 Turbulenz, isotrope 77 Turbulenz-Modell 23 1 Turbulenzenballen 232 Turbulenzeuergie 234 Turbulenzfrequenz 78 Turbulenzgrad 77 Turbulenzkante 83 Turbulenzsieb 91 Turbulenzstelle 87 Turbulenzstruktur 78 Turbulenztheorie 234 Turbulenzviskositat 78 UBBELOHDE 114 Uberdruck 39 ~berdruckkraft 21 8 ubergangsbereich 120 ubergangszone 82 ~ b e r i s e n t r o ~3e12 ~berlageruug 65 Uberlageruugsgesetz 21 1 Uberschall 300, 329, 364 ~berschall,ortlicher 364 ~berschall,reiner 367 ~berschall-~lugzeug298 ~berschallblase 364,366 ~berschalldiffusor 340 Uberschallkante 366 Uberschallverbrennung 362 ~bertragungsfunktiou 204 Umleukflachen 269 Umlenkschaufel 130 Umlenkung, konkave 361 Umlenkung, konvexe 361

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Sachworter

Umschlagspunkt 80 Umstromung, iiberkritische Universalprofil 285 Unstetigkeitsflache 86, 88 Unterdruck 39 Unterisentrope 3 12 unterkritisch 292 Unterschall 239, 300 Unterschall-Flugzeug 298 Unterschalldiffusor 337 Unterschallkante 366 Unterschallverbrennung 362 Unterschicht, laminare 82, 84, 117 Unterschicht, viskose 84 Upwindverfahren 245 Vakuum 40 Valenzbindung 17 VAN-DER-WAALSsche Kraft 25 Variable, abgeleitete 250 Variable, primitive 242, 250 Variationsprinzip 255 Variationsrechnung 5 Vektoroperation 389 Ventil 136 VENTURI-Rohr 101 Verbrennung 23 Verdampfungswiirme 326 VerdichtungsstoB 331, 335, 343, 347 VerdichtungsstoB, schrager 353 VerdichtungsstoB, senkrechter 347 Verdichtungsstromung 337 Verdichtungswelle 343 ~ e r d r i n ~ u ~ ~ s d i8c1k e Verdunnungsfacher 359 ~erdiinnungswelle 343,359 Verengung 134 Verengung, stetige 135 Verengungsverhaltnis 135 Verfahren, explizite 244 Verfahren, implizite 244 Verfahren, schwache 255 Verforrnungsgeschwindigkeit 13,220 Vergleichs-Wirkungsgrad 312 Verhalten, dilatantes 16 Verhalten, plastisches 17 Verhalten, pseudoplastisches 17 Verhalten, rauhes 120 Verlustenergie 111, 118 Verlustleistung 140 Verpuffung 23 Verspermngseffekt 81 Verzermngsverhaltnis 204 Viereck-Element 253 Viskoses Fluid 16 Viskositat 13, 380, 393 Viskositat, absolute 18 Viskositat, dynamische 18 Viskositat, kinematische 18 Viskositat, scheinbare 78

Viskositats-Temperatur-Blatt 114 Viskositatsbereich 392 Viskositatsindex VI 21 Viskositatskraft 73 Viskositatsstromung 221 Viskosschicht 117 Volumen-Methode, finite 244 Volumendilatation 6 Volumenelastizitatsmodul 6 Volumenkraft 23,34, 190 Volumenstrom 58 Vorfliigel 88, 269 Vortex 120 Vortriebsleistung 274 Vortriebswirkungsgrad Vorturbulenzgrad 289 Vonvartsdifferenz 242 VT-Diagramm 19, 114 Wandfunktion 236 Wandkraft 164 Wandrauhigkeit 120 Wandschubspannung 122 Warmedichte 309 Wasserdampf 320 Wasserhammerdruck 170 Wassersprung 152 Wasserstrahlpurnpe 102 Water-Jet 170, 178 Wechselsprung 152 Wellenwiderstand 266, 365 Wichtungsfunktion 255 Widerstand, induzierter 294,295 Widerstands-Formel 272 Widerstandsaufteilung 297 Widerstandsbeiwert 282,408 Widerstandsbeiwert, induzierter 295 Widerstandsflache 272 Widerstandsgesetz, STOKESsches 277 Widerstandskorper 80,270 Widerstandskraft 153, 164, 266, 281 Widerstandskraft, induzierte 295 Widerstandsleistung 274 Widerstandszahl 128, 3 11,385 Widerstandsziffer 399 Windgerausch 275,277 Windgeschwindigkeit 382 Windkanale 412 Windkessel 33,97 Windstarke-Skala 382 Windstille 274 Wirbel 55 Wirbel mit starrern Kern 207 Wirbel, freier 284 Wirbel, gebundene 283 Wirbelbewegung 63 Wirbelfaden 210 Wirhelflkhe 294 WirhelfluB 210 Wirbelkegel 294

Sachworter Wirbelkeule 296 Wirbellinie 210 Wirbelmoment 210 Wirbelquelle 21 3 Wirbelrohre 210 Wirbelsatz 210 Wirbelschicht 89 Wirbelsenke 215 Wirbelstarke 63, 90, 208 WirbelstraBe 90 Wirbelstromung 75, 210 Wirbeltransportgleichung 221,224 Wirbelvektor 63, 210 Wirbelviskositat 78, 235 Wirbelviskositatsprinzip 78, 232 Wirbelzopf 294 Wirkdmck 101, 139 Wirkungsgrad 320

Zahigkeit 13 Zeitapproximation 243 Zeitdiskretisierung 264 Zeitschrittverfahren 264 Zentraldifferenz 243 Zirkulation 194 ZOELLY-Dike 3 19 Zusatzspannung, turbulente 168 Zustandsgleichung, thermische 305 ZustandsgroBe 305 ZustandsgroBe, primare 234, 305 ZustandsgroBe, sekund6re 305 Zweigleichungsmodell 232 Zwischenwertsatz 245 Zylinderstromung 215

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