Technische Mechanik: Statik - Dynamik - Fluidmechanik - Festigkeitslehre

Alfred Böge Technische Mechanik Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik •Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge ...

Author: Boege A.

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Alfred Böge Technische Mechanik

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik •Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge •Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer •Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer •Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge

Alfred Böge

Technische Mechanik Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre 28., verbesserte Auflage Mit 569 Abbildungen, 15 Tabellen, 22 Arbeitsplänen, 15 Lehrbeispielen und 40 Übungseinheiten Unter Mitarbeit von Gert Böge, Wolfgang Böge, Walter Schlemmer und Wolfgang Weißbach STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Das Lehrbuch Technische Mechanik erschien bis zur 22. Auflage unter dem Titel Mechanik und Festigkeitslehre. Die Liste der Auflagen seit 1970 zeigt die intensive Weiterentwicklung des Werkes: 12., überarbeitete Auflage 1970 13., überarbeitete Auflage 1971 14., unveränderte Auflage 1972 15., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974 16., durchgesehene Auflage 1975 17., überarbeitete Auflage 1979 18., überarbeitete Auflage 1981 19., überarbeitete Auflage1983 20., überarbeitete Auflage 1984 21., verbesserte Auflage 1990 22., überarbeitete und erweiterte Auflage 1992 23., neu bearbeitete Auflage 1995 24., überarbeitete Auflage 1999 25., überarbeitete Auflage 2001 26., überarbeitete und erweiterte Auflage 2003 27., überarbeitete Auflage 2006 28., verbesserte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská Tiskárna, a. s., Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN 978-3-8348-0747-2

V

Vorwort zur 28. Auflage

Dieses Lehrbuch fu¨r Studierende an Fach- und Fachhochschulen ist Hauptteil des Lehr- und Lernsystems TECHNISCHE MECHANIK von A. Bo¨ge mit der umfangreichen Aufgabensammlung, dem Lo¨sungsbuch und der Formelsammlung mit Mathematik-Anhang. Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt. Die linke Buchseite entha¨lt den ausfu¨hrlichen Lehrtext mit hervorgehobenen Sa¨tzen und Regeln. Daneben in der rechten Spalte wird das Problem durch Zeichnungen, mathematische Entwicklungen und Beispiele erla¨utert. bungen schließen jeden gro¨ßeren Lernabschnitt ab. Lehrbeispiele zeigen die Form schriftlicher Arbeiten in Schule und Beruf. Arbeitspla¨ne machen die erarbeiteten Lo¨sungsverfahren durchschaubar und erleichtern ihre Anwendung. Die am Ende eines Lernabschnitts im Raster angegebenen Aufgabennummern beziehen sich auf das Buch „Aufgabensammlung Technische Mechanik“. Im Abschnitt Festigkeitslehre (Kapitel 5.12) wird in die Berechnungsmethoden fu¨r Maschinenelemente eingefu¨hrt. Das Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik hat sich auch an Fachgymnasien, Fachoberschulen und Bundeswehrfachschulen bewa¨hrt. In sterreich wird damit an den Ho¨heren Technischen Lehranstalten gearbeitet. Fu¨r Zuschriften steht die E-Mail-Adresse [email protected] zur Verfu¨gung.

Braunschweig, Januar 2009

Alfred Bo¨ge

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Statik in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

1.2

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Die Aufgaben der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Physikalische Gro¨ßen in der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2.1 Die Kraft F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2.3 Das Kra¨ftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 bungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Bewegungsmo¨glichkeiten (Freiheitsgrade) eines Ko¨rpers . . . . . . . . . 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Gleichgewicht des Ko¨rpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kra¨ften (Kra¨ftereduktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kra¨fte F1 und F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kra¨fte. . . . . . . . . . 1.1.6.4 bungen zum Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte . . . . . . . . . . . 1.1.7 Das Freimachen der Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberfla¨chen- und Volumenkra¨fte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.3 Zweigelenksta¨be. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.4 Beru¨hrungsfla¨chen (ebene Stu¨tzfla¨chen) . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.5 Rollko¨rper (gewo¨lbte Stu¨tzfla¨chen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7.8 Dreiwertige Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8 bungen zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Grundaufgaben der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kra¨ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Die zwei Lo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kra¨ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 2 3 4 4 5 6 6 6 6 8 8 9 9 10 11 11 12 13 13 14 15 15 17 18 21 21 21 22 22 22

VIII

Inhaltsverzeichnis 1.2.4.2

1.2.5

1.2.6

1.2.7

1.3

Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.5 bungen zur dritten und vierten Grundaufgabe . . . . . . . . . Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kra¨ftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fu¨nfte Grundaufgabe), der Momentensatz . . . . . . . . . . . . . 1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren . . . . . . . . . . 1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5.4 bung zur Stu¨tzkraftberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systemanalytisches Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . 1.2.6.3 Beschreibung des Programmlaufs zur Stu¨tzkraftberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.4 bung zum systemanalytischen Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stu¨tzkraftermittlung beim ra¨umlichen Kra¨ftesystem (Getriebewelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Statik der ebenen Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Gestaltung von Fachwerktra¨gern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerktra¨ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Ermittlung der Stabkra¨fte im Fachwerktra¨ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3.2 Das Ritter’sche Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3.3 Der Cremonaplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

28

32 35 38 38 40

44 46

48 53 53 60 61 62 64 68 68 69 70 70 72 74

Inhaltsverzeichnis

2 Schwerpunktslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

76

2.1

Begriffsbestimmung fu¨r Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt

76

2.2

Der Fla¨chenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Fla¨chen haben einen Schwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Schwerpunkte einfacher Fla¨chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Fla¨chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts . . . . 2.2.3.2 bungen zur Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts. . . . .

77 77 78 79 79 81

2.3

Der Linienschwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzu¨ge) . . . . . . . . . . . 2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts . . . . .

83 83 83 84 84

2.4

Guldin’sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Volumenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Oberfla¨chenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 bungen mit den Guldin’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 86 86 87

2.5

Gleichgewichtslagen und Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Gleichgewichtslagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit . . . . . . . . . . . 2.5.2.2 bung zur Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 87 87 87 88 88 89

3 Reibung

.........................................................

90

3.1

Grunderkenntnisse u¨ber die Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.2

Gleitreibung und Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ermittlung der Reibungszahlen m, und m0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Der Reibungskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 bungen zur Lo¨sung von Reibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 92 93 95

3.3

Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Verschieben des Ko¨rpers nach oben (1. Grundfall) . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel . . . . . . . . . . 3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . . . 3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 100 100 101 103

X

Inhaltsverzeichnis 3.3.2

Halten des Ko¨rpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) . . . . . . . . . 3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel . . . . . . . . . 3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . . 3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschieben des Ko¨rpers nach unten (3. Grundfall) . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel. . . . . . . 3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . 3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 105 106 108 110 110 111 112 113

Reibung an Maschinenteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Prismenfu¨hrung und Keilnut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Zylinderfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Lager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (La¨ngslager) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3.3 bungen zur Trag- und Spurzapfenreibung . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Schraube und Schraubgetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde. . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde . . . . . 3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4.4 bungen zur Schraube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5.2 Aufgabenarten und Lo¨sungsansa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5.3 bungen zur Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6.2 Bandbremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.8 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.9 bungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10 Rolle und Rollenzug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10.2 Lose Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10.3 Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10.4 bung zum Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 114 115 116 116 117 118 119 119 120 121 122 124 124 124 125 128 128 132 133 134 134 135 138 138 139 141 142

3.3.3

3.3.4 3.4

Inhaltsverzeichnis

4 Dynamik 4.1

4.2

4.3

XI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Allgemeine Bewegungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Gro¨ßen und v; t-Diagramm, Ordnung der Bewegungen . . . . . . . . . . . 4.1.2 bungen mit dem v; t-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichfo¨rmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Arbeitsplan zur gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6.2 Luftwiderstand F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.7 bungen zur gleichma¨ßig beschleunigten und verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . 4.1.8.2 berlagerungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. . . . . . . . . . . . . 4.1.9 bungen zur zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.9.1 berlagerung von zwei gleichfo¨rmig geradlinigen Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.9.2 berlagerung von gleichfo¨rmiger und gleichma¨ßig beschleunigter Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichfo¨rmige Drehbewegung (Kreisbewegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Die Drehzahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit vu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit vu und Drehzahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen fu¨r die Umfangsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit . . . . . . . 4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . 4.2.7.1 Zahlenwertgleichung fu¨r die Winkelgeschwindigkeit. . . . . 4.2.8 Baugro¨ßen und Gro¨ßen der Bewegung in Getrieben. . . . . . . . . . . . . . 4.2.9 bersetzung i (bersetzungsverha¨ltnis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichma¨ßig beschleunigte (verzo¨gerte) Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Gegenu¨berstellung der allgemeinen Gro¨ßen mit den entsprechenden Kreisgro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 144 146 148 150 153 157 157 157 158 160 164 164 165 165 166 166 167 176 176 177 177 177 178 178 179 179 180 180 181 182 182

XII

Inhaltsverzeichnis Winkelbeschleunigung a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Drehwinkel im w; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Tangentialbeschleunigung aT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur Kreisbewegung (Vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183 183 184

Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Das Tra¨gheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton’sches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton’sches Axiom . . . . . . 4.4.4 Die gesetzliche und internationale Einheit fu¨r die Kraft . . . . . . . . . . . 4.4.5 bungen zum dynamischen Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.6 Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.8 bungen zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.9 Impuls (Bewegungsgro¨ße) und Impulserhaltungssatz. . . . . . . . . . . . .

188

4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4

4.5

4.6

4.7

Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Arbeit W einer konstanten Kraft F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Federarbeit Wf (Forma¨nderungsarbeit) als Arbeit einer vera¨nderlichen Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 bungen mit der Gro¨ße Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Leistung P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6 Wirkungsgrad h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.7 bungen mit den Gro¨ßen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Gegenu¨berstellung der allgemeinen Gro¨ßen mit den entsprechenden Kreisgro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Drehleistung Prot (Rotationsleistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Zahlenwertgleichung fu¨r die Drehleistung Prot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 bungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und bersetzung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Potenzielle Energie Epot und Hubarbeit Wh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Kinetische Energie Ekin und Beschleunigungsarbeit Wa . . . . . . . . . . 4.7.4 Spannungsenergie Es und Forma¨nderungsarbeit Wf . . . . . . . . . . . . . . 4.7.5 Energieerhaltungssatz fu¨r technische Vorga¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.6 bungen zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

188 189 191 193 193 195 197 197 202 203 203 204 205 206 209 210 212 213 213 214 215 215 216 216 218 218 219 220 220 221 222

Inhaltsverzeichnis Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Stoßbegriff, Kra¨fte und Geschwindigkeiten beim Stoß. . . . . . . . . . . . 4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Unelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4.1 Schmieden und Nieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4.2 Rammen von Pfa¨hlen, Eintreiben von Keilen . . . . . . . . . . . 4.8.5 Wirklicher Stoß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.6 bungen zum geraden zentrischen Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Das dynamische Grundgesetz fu¨r die Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Tra¨gheitsmoment J und Tra¨gheitsradius i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2.1 Definition des Tra¨gheitsmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2.2 bung zum Tra¨gheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner’scher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Tra¨gheitsradius i . . . . . . . . . . . 4.9.3 bung zum dynamischen Grundgesetz fu¨r die Drehung. . . . . . . . . . . 4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz fu¨r die Drehung . . . . . 4.9.5 Kinetische Energie Erot (Rotationsenergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.6 Energieerhaltungssatz fu¨r Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.7 Fliehkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft . . . . . . . . . 4.9.7.2 bungen zur Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.8 Gegenu¨berstellung der translatorischen und rotatorischen Gro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2 Ordnungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3 Die harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . 4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten Gro¨ßen und Gleichungen der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . 4.10.3.4 Ru¨ckstellkraft FR, Richtgro¨ße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4 Das Schraubenfederpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4.1 Ru¨ckstellkraft FR und Federrate R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4.2 Periodendauer T des Schraubenfederpendels . . . . . . . . . . . 4.10.5 Das Torsionsfederpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.5.1 Federrate R, Ru¨ckstellmoment MR und Periodendauer T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8

XIII 224 224 224 225 227 227 228 228 230 232 232 233 233 234 236 238 239 239 240 241 242 242 243 245 246 246 246 246 246 247 247 247 248 249 250 251 251 253 254 254

XIV

Inhaltsverzeichnis

4.10.6 4.10.7 4.10.8

4.10.9

4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tra¨gheitsmomenten J aus der Periodendauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Schwerependel (Fadenpendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingung einer Flu¨ssigkeitssa¨ule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Flu¨ssigkeitssa¨ule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Da¨mpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz . . . . 4.10.9.1 Da¨mpfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.9.2 Energieminderung durch Da¨mpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.9.3 Energiezufuhr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz . . . . . . . . . . . 4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1

5.2

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Spannung und Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung s und Schubspannung t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Die fu¨nf Grundbeanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren). . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.5 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung). . . . . . . . . . 5.1.5.6 Kurzzeichen fu¨r Spannung und Beanspruchung . . . . . . . . . 5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Bestimmen des inneren Kra¨ftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7.1 Das allgemeine innere Kra¨ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7.3 bungen zum Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beanspruchung auf Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Erkennen des gefa¨hrdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1 Profilsta¨be mit Querbohrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.2 Zuglaschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.3 Zugschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255 256 257

258 258 258 259 259 260 261 262 264 264 265 266 267 268 268 269 269 269 270 270 270 271 271 272 272 278 278 278 279 279 279

Inhaltsverzeichnis

XV 5.2.2.4 Herabha¨ngende Sta¨be oder Seile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.5 Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastische Forma¨nderung (Hooke’sches Gesetz). . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.1 Verla¨ngerung Dl und Dehnung e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.2 Querdehnung eq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.3 Poisson-Zahl m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.5 Wa¨rmespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.6 Forma¨nderungsarbeit Wf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reißla¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280 280 280 281 281 282 282 283 283 284

5.3

Beanspruchung auf Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285

5.4

bungen zur Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

5.5

Fla¨chenpressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Fla¨chenpressung an geneigten Fla¨chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Fla¨chenpressung am Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Fla¨chenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen . . . . 5.5.5 Fla¨chenpressung an gewo¨lbten Fla¨chen (Hertz’sche Gleichungen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6 bungen zur Fla¨chenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288 288 288 290 291

5.6

Beanspruchung auf Abscheren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Elastische Forma¨nderung (Hooke’sches Gesetz fu¨r Schub) . . . . . . . .

295 295 297

5.7

Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W . . . . . . . . . . . 5.7.1 Gleichma¨ßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenu¨berstellung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Definition der Fla¨chenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Herleitungsu¨bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.6 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner’scher Verschiebesatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes . . . . . . . . . . . . . . 5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes . . . . . . . . . . . .

303

5.2.3

5.2.4

292 292 292 293

303 304 305 306 312 313 314 315

XVI

Inhaltsverzeichnis 5.7.6.3

Arbeitsplan zur Berechnung axialer Fla¨chenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

5.8

Beanspruchung auf Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Forma¨nderung bei Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.4 Forma¨nderungsarbeit Wf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

321 321 322 324 325

5.9

Beanspruchung auf Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kra¨ftesystem bei Biegetra¨gern . . . . . . . 5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkra¨fte an beliebigen Tra¨gerstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.3 Spannungsverteilung im Tra¨gerquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt . . . . . . . . . . . 5.9.6 Gu¨ltigkeitsbedingungen fu¨r die Biege-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . 5.9.7 bungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tra¨gerarten und Belastungen. . . . . . . . . 5.9.7.1 Freitra¨ger mit Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.7.2 Freitra¨ger mit mehreren Einzellasten . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.7.3 Freitra¨ger mit konstanter Streckenlast (gleichma¨ßig verteilte Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.7.4 Freitra¨ger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.7.5 Stu¨tztra¨ger mit Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.7.6 Stu¨tztra¨ger (Kragtra¨ger) mit mehreren Einzellasten . . . . . . 5.9.7.7 Stu¨tztra¨ger (Kragtra¨ger) mit konstanter Streckenlast . . . . . 5.9.7.8 Stu¨tztra¨ger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8 Tra¨ger gleicher Biegespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8.2 Achsen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8.4 Konsoltra¨ger mit Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8.5 Konsoltra¨ger mit Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.9 Forma¨nderung bei Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.9.1 Kru¨mmungsradius, Kru¨mmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.10 bungen zur Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328 328

5.7.7

5.10 Beanspruchung auf Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

329 329 330 332 332 333 333 334 335 336 337 338 340 342 343 343 343 344 345 345 346 346 347 348 349 351 351 352

Inhaltsverzeichnis

XVII

5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.4 Arbeitsplan fu¨r Knickungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.5 Knickung im Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.5.1 Vorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knicksta¨ben . . . . . 5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis . . . . . . . . . 5.10.5.5 Zusammengesetzte Knicksta¨be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355 356 359 359 359 359 359 362

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 Zug und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.2 Druck und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.3 bung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.4 Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.4.1 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung s v . . . . . . 5.11.4.2 Vergleichsmoment Mv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.4.3 bung zu Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365 365 366 367 368 368 369 370

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm . . . . . . . . . . . . 5.12.2 Einflu¨sse auf die Festigkeit des Bauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3 Spannungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3.1 Nennspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3.2 rtliche Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3.3 Zula¨ssige Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3.4 Berechnungen im Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau . . . 5.12.4 Dauerbruchsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.4.1 Sicherheit SD bei ruhender Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.4.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung . . . . . . . . . . . . . . 5.12.5 bungen zur Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

375 375 376 376 376 376 378 380 380 380 380 381 381 382 382 382 383

6 Fluidmechanik (Hydraulik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1

Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Eigenschaften der Flu¨ssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Hydrostatischer Druck (Flu¨ssigkeitsdruck, hydraulische Pressung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit ohne Beru¨cksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .

386 386 386 387 387

XVIII

Inhaltsverzeichnis 6.1.4

Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4.2 Druckkraft auf gewo¨lbte Bo¨den. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrla¨ngsnaht . . . . . . . 6.1.4.4 Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit unter Beru¨cksichtigung der Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6 Kommunizierende Ro¨hren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.7 Bodenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.8 Seitenkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.9 Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.10 Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Ko¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.12 Stabilita¨t eines Schiffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

388 388 390 390 391 392 394 394 395 397 398 399 400

Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Kontinuita¨tsgleichung (Stetigkeitsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Stro¨mung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.1 Horizontale Stro¨mung (Stro¨mung ohne Ho¨henunterschied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.2 Nichthorizontale Stro¨mung (Stro¨mung mit Ho¨henunterschied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Anwendung der Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.1 Druck in einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.2 Ausfluss aus einem Gefa¨ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.4 Ausfluss bei berdruck im Gefa¨ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Stro¨mung in Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

402 402

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

411

6.2

402 402 403 405 405 406 407 407 408 410

Inhaltsverzeichnis

XIX

Arbeitspla¨ne Arbeitsplan zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der unbekannten Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum Seileckverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum 3-Kra¨fte-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum 4-Kra¨fte-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur Berechnung axialer Fla¨chenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan fu¨r Knickungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 26 28 29 34 39 42 45 50 52 73 75 80 85 153 184 197 272 316 329 356 359

Lehrbeispiele Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems . . . . . . Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems . . . . . . Seileckverfahren, Zusammensetzen zweier Parallelkra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reibung in Ruhe und Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip von d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nietverbindung im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nietverbindung im Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zugbolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torsionsstabfeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdrehwinkel (Drehmomentschlu¨ssel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Knickung im elastischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Knickung im unelastischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung einer Getriebewelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 43 94 156 198 217 298 300 302 326 327 357 358 371

XX

Inhaltsverzeichnis

bungen bungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zur dritten und vierten Grundaufgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zur Stu¨tzkraftberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zum systemanalytischen Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung . . . . . . . . bungen zur Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen mit den Guldin’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zur Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Lo¨sung von Reibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Trag- und Spurzapfenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Schraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum Roll- und Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zum Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen mit dem v; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur gleichma¨ßig beschleunigten und verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . bungen zur zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum dynamischen Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen mit der Gro¨ße Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen mit den Gro¨ßen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum geraden zentrischen Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zum Tra¨gheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum dynamischen Grundgesetz fu¨r die Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zum Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Fla¨chenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte . . . . . . . . . . . bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte bungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tra¨gerarten und Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen . . . . . . . . . . bung zu Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bungen zur Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 10 18 35 46 62 81 87 89 95 113 118 122 125 135 142 146 160 166 193 197 206 212 222 230 234 239 243 272 286 293 306 316 333 349 367 370 383

Inhaltsverzeichnis

XXI

Tabellen Tabelle 3.1 Tabelle 4.1 Tabelle 4.2 Tabelle 4.3 Tabelle 4.4 Tabelle 4.5 Tabelle 5.1 Tabelle 5.2 Tabelle 5.3 Tabelle 5.4 Tabelle 5.5 Tabelle 5.6 Tabelle 5.7 Tabelle 5.8 Tabelle 5.9

Reibzahlen m0 und m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichma¨ßig beschleunigte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichma¨ßig verzo¨gerte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichma¨ßig beschleunigte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichma¨ßig verzo¨gerte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen fu¨r Tra¨gheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) . . . . Axiale Fla¨chenmomente I, Widerstandsmomente W und Tra¨gheitsradius i fu¨r Biegung und Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polare Fla¨chenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp fu¨r Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzschlankheitsgrad l0 fu¨r Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zula¨ssige Spannungen im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zula¨ssige Spannungen im Kranbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richtwerte fu¨r die Kerbwirkungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festigkeitswerte fu¨r Sta¨hle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festigkeitswerte fu¨r Gusseisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das griechische Alphabet Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda My

A B G D E Z H Q I K L M

a b g d e z h J i j l m

Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

N X O P R S T Y F C Y W

n x o p r s t u j c w w

92 154 155 186 187 235 309 311 355 363 364 364 385 385 385

1

1 Statik in der Ebene Formelzeichen und Einheiten1) A

m2, cm2, mm2

Fla¨cheninhalt, Fla¨che, Oberfla¨che

b

m, cm, mm

Breite

d, D

m, cm, mm

Durchmesser

e

l

Euler’sche Zahl (2,718 28 . . . )

F

kgm N ¼ 2 , kN s

FG

N¼

kgm , kN s2

Kraft. Bestimmte Kra¨fte werden durch Indizes unterschieden, z. B. Fr resultierende Kraft ¼ Resultierende, FR Reibungskraft, FN Normalkraft, Fq Querkraft, FA Stu¨tzkraft im Lagerpunkt A usw.

h

m s2 m, cm, mm

Gewichtskraft. FG ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen fu¨r die Gewichtskraft m Fallbeschleunigung Normfallbeschleunigung gn ¼ 9,80665 2 s Ho¨he, Tiefe

l

m, cm, mm

La¨nge jeder Art, Absta¨nde

M

Nm

Kraftmoment, Drehmoment

MT, T

Nm

Torsionsmoment; auch das Formelzeichen T ist zula¨ssig

m

kg, g

Masse

n

Drehzahl, Umdrehungsfrequenz

P

1 ¼ min1 min W, kW

r

m, cm, mm

Radius, Halbmesser, Abstand

A, q

m2, cm2, mm2

Querschnittsfla¨che, Querschnitt

g

Leistung

s

m, cm, mm

Wegla¨nge, Kurvenla¨nge, Wanddicke

V

m3, cm3, mm3

Volumen, Rauminhalt

v

m km m , , s h min

Geschwindigkeit

W

J ¼ Nm

Arbeit

x, y

m, cm, mm

Wirkabsta¨nde der Einzelkra¨fte (und -fla¨chen oder -linien), Koordinaten

x0, y0, z0

m, cm, mm

Schwerpunktabsta¨nde

a, b, g

rad,

h

l

Wirkungsgrad

m

l

Reibungszahl

r

Reibungswinkel

1)

ebener Winkel

Alle in diesem Buch verwendeten Einheiten fu¨r physikalische Gro¨ßen sind Einheiten des „Syste`me International d’Unite´s“ (Internationales Einheitensystem), kurz: SI-Einheiten. Es gelten die Normen: DIN 1301 (Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen), DIN 1304 (Formelzeichen).

2

1 Statik in der Ebene

1.1 Grundlagen 1.1.1 Die Aufgaben der Statik An technischen Bauteilen greifen Belastungskra¨fte an, hervorgerufen durch Lasten, Eigengewicht, Winddruck, Gasdruck, Zahnkra¨fte, Riemenkra¨fte, Zerspanungswidersta¨nde, Reibungswidersta¨nde usw. Mit den Verfahren der Statik werden die Stu¨tzkra¨fte ermittelt, die den Ko¨rper im Gleichgewicht halten. Man sagt auch: Das angreifende Kra¨ftesystem befindet sich im Gleichgewicht. Die Ermittlung der Stu¨tzkra¨fte, auch Auflagerkra¨fte genannt, ist der erste Schritt zur Konstruktion eines Maschinenteils. Sind alle angreifenden Kra¨fte bekannt, ko¨nnen die Abmessungen der Bauteile nach den Regeln der Festigkeitslehre festgelegt werden: Die Ergebnisse der Statik sind die Grundlage der Festigkeitsrechnung.

Belastungskra¨fte und Stu¨tzkra¨fte Gegeben: F1, F2, FG, l, l1, l2 Gesucht: FA, FB Hinweis: Die Begriffe Los- und Festlager werden auf Seite 15 erla¨utert.

Beispiel: Erst wenn alle an einer Getriebewelle angreifenden Kra¨fte bekannt sind, ko¨nnen Wellenund Lagerdurchmesser bestimmt werden.

Bei allen folgenden Untersuchungen in der Statik werden die Ko¨rper als unverformbar angesehen (Statik der starren Ko¨rper).

1.1.2 Physikalische Gro¨ßen in der Statik Die wichtigsten Gro¨ßen der Statik sind die Kraft F (Kurzzeichen F von engl. force), die in Newton (N), Dekanewton (daN), Kilonewton (kN) oder Meganewton (MN) gemessen und angegeben wird; das Kraftmoment M der Kraft F, das in Newtonmeter (Nm) oder Newtonmillimeter (Nmm) angegeben wird. Bewirkt das Kraftmoment eine Drehung des Bauteils, dann nennt man es Drehmoment M, z. B. bei Wellen. In der Festigkeitslehre wird ein biegendes Kraftmoment als Biegemoment Mb, ein tordierendes (verdrehendes) Kraftmoment als Torsionsmoment MT bezeichnet.

Das Newton ist die gesetzliche und internationale Einheit (SI-Einheit) fu¨r die Kraft F: 1 daN ¼ 10 N; 1 kN ¼ 103 N ¼ 1000 N 1 MN ¼ 106 N ¼ 1000000 N

Das Kraftmoment M ist das Produkt aus einer Kraft F und einer La¨nge l. Daher ist die SIEinheit des Kraftmoments das Newtonmeter (Nm): 1 Nm ¼ 103 Nmm 1 kNm ¼ 103 Nm 1 MNm ¼ 106 Nm

1.1 Grundlagen

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1.1.2.1 Die Kraft F Kra¨fte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Ko¨rper la¨sst sich nur dann genau angeben, wenn drei Bestimmungsstu¨cke bekannt sind: der Betrag der Kraft, z. B. F ¼ 18 N, die Wirklinie WL und der Richtungssinn.

Gro¨ßen, die erst durch ihren Betrag und ihre Richtung eindeutig bestimmt sind (gerichtete Gro¨ßen), heißen Vektoren, z. B. Kra¨fte, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. Gro¨ßen, bei denen zur eindeutigen Bestimmung die Angabe ihres Betrags genu¨gt, heißen Skalare (nicht gerichtete Gro¨ßen), z. B. Wa¨rme, Temperatur, Masse, Arbeit, Leistung.

Wie alle Vektoren wird auch die Kraft zeichnerisch durch einen Pfeil dargestellt. Die La¨nge des Pfeils gibt u¨ber den festgelegten Kra¨ftemaßstab MK den Betrag (die Gro¨ße) der Kraft an. Die Wirklinie zeigt, wo und unter welchem Winkel zu einer festgelegten Bezugsachse die Kraft wirkt (Richtungswinkel). Die Pfeilspitze bestimmt den Richtungssinn. Eine Kraft, die auf einen Ko¨rper dieselbe Wirkung ausu¨bt wie zwei (oder mehrere) gleichzeitig wirkende Kra¨fte F1 und F2, nennt man die Resultierende Fr dieser Kra¨fte: Die Resultierende Fr ist eine gedachte Ersatzkraft fu¨r mehrere Einzelkra¨fte. Will man eine genaue Angabe u¨ber die Wirkung mehrerer Kra¨fte auf einen Ko¨rper machen, z. B. daru¨ber, in welche Richtung er sich verschiebt, muss die Resultierende des Kra¨ftesystems bekannt sein. Die Schubkraft Fs mit dem Angriffspunkt As bewegt den skizzierten Wagen mit der Geschwindigkeit v nach rechts oben. Die gleiche Wirkung wird durch die auf der selben Wirklinie WL liegende gleich große Zugkraft Fz ¼ Fs (Angriffspunkt Az) erzielt: Kra¨fte sind linienflu¨chtige Vektoren. Fu¨r sie gilt der

La¨ngsverschiebungssatz Kra¨fte du¨rfen auf ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung auf den starren Ko¨rper a¨ndert.

Die Kraft Fs (Schubkraft) ¼ Fz (Zugkraft) kann auf der gemeinsamen Wirklinie WL von As nach Az verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung auf den Ko¨rper a¨ndert (La¨ngsverschiebungssatz).

4

1 Statik in der Ebene

1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem Wirkabstand l von einem beliebigen Bezugspunkt D heißt Kraftmoment M ¼ Fl. Die Bezeichnungen Kraftmoment und Drehmoment sind statisch gleichwertig. Der Betrag des Kraft- oder Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand l ist der rechtwinklig zur Wirklinie (WL) gemessene Abstand. Kraftmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l Der Drehsinn des Kraftmoments wird durch das Vorzeichen angegeben.

Kraftmoment der Kraft F bezogen auf den Punkt D: M ¼ Fl

M ¼ Fl

M

F

l

Nm

N m

(þ) ¼ Linksdrehsinn () ¼ Rechtsdrehsinn

1.1.2.3 Das Kra¨ftepaar Wirken zwei gleich große, gegensinnige Kra¨fte auf parallelen Wirklinien mit dem Wirkabstand l (? zu den Wirklinien gemessen), so erzeugen sie ein Drehmoment M. Man nennt die beiden Kra¨fte ein Kra¨ftepaar. Ist der Ko¨rper frei beweglich, so dreht ihn das Kra¨ftepaar auf der Stelle, ohne ihn zu verschieben (Welle, Handrad, Tretkurbel, Handkurbel, Drehstabfeder), denn die Resultierende des Kra¨ftepaars ist gleich null.

Das Kra¨ftepaar erzeugt ein Drehmoment M, die Resultierende ist Fr ¼ 0.

Die Drehwirkung eines Kra¨ftepaares bezeichnet man als sein Drehmoment M. Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand ist der senkrecht zu den Wirklinien gemessene Abstand.

Kra¨ftepaar am Fahrradlenker M

Drehmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l Der Drehsinn des Drehmoments wird durch das Vorzeichen angegeben.

M ¼ Fl

Nm

(þ) ¼ Linksdrehsinn () ¼ Rechtsdrehsinn

F

l

N m

1.1 Grundlagen

5

1.1.3 bungen zur Berechnung von Drehmomenten 1. bung: Fu¨r die Tretkurbelwelle eines Fahrrads sollen die Drehmomente M1, M2, M3 in den drei skizzierten Stellungen berechnet werden. In allen Stellungen wirkt die Kraft F1 rechtwinklig nach unten. In Stellung 1 steht die Tretkurbel horizontal, in Stellung 3 vertikal. Stellung 2 liegt zwischen beiden Stellungen. Wie vera¨ndert sich das Drehmoment mit fortschreitender Kurbeldrehung?

Lo¨sung: Als Folge der Kraft F1 an der Tretkurbel tritt im Tretkurbellager eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft F2 auf. Beide bilden ein Kra¨ftepaar, das ein Drehmoment M erzeugt. Es ergibt sich als Produkt aus der Kraft F1 und ihrem jeweiligen Wirkabstand von der Kraft F2. Die Drehmomente M1 und M2 haben Rechtsdrehsinn. Sie erhalten daher das negative Vorzeichen.

M1 ¼ F1 l1 ¼ 150 N 0,2 m ¼ 30 Nm M2 ¼ F1 l2 ¼ 150 N 0,08 m ¼ 12 Nm M3 ¼ F1 l3 ¼ 150 N 0 m ¼ 0 Das Drehmoment fa¨llt von seinem Maximalwert in der horizontalen Stellung bis auf null in der vertikalen Stellung der Tretkurbel.

2. bung: Die Kraft F1 wirkt jetzt unter dem Winkel a ¼ 45 auf die horizontal liegende Tretkurbel. Wie groß ist nun das Drehmoment M an der Tretkurbelwelle?

Lo¨sung: Der Wirkabstand l2 zwischen den Wirklinien der Kra¨fte F1 und F2 ist jetzt kleiner geworden als vorher in der Stellung 1. Dadurch ergibt sich auch ein kleineres Drehmoment M. Es erha¨lt das negative Vorzeichen, weil es Rechtsdrehsinn besitzt. Aufgaben Nr. 1–8

l2 l2 l2 M M

¼ l1 sin a ¼ 0,2 m sin 45 ¼ 0,141 m ¼ F1 l2 ¼ 150 N 0,141 m ¼ 21,15 Nm

6

1 Statik in der Ebene

1.1.4 Bewegungsmo¨glichkeiten (Freiheitsgrade) eines Ko¨rpers Jeder frei bewegliche starre Ko¨rper kann eine andere Lage erhalten, indem man ihn verschiebt oder dreht. Diese Bewegungen heißen Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung). Die Bewegungsmo¨glichkeiten, die ein Ko¨rper hat, nennt man seine Freiheitsgrade. 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum Ein Ko¨rper, der im Raum frei beweglich ist, kann sich in Richtung der drei Achsen x, y, z eines ra¨umlichen Koordinatensystems verschieben (T(x), T(y), T(z)). Er kann sich außerdem um jede der drei Achsen drehen (R(x), R(y), R(z)). Daraus folgt: Ein im Raum frei beweglicher starrer Ko¨rper hat sechs Freiheitsgrade.

Jede beliebige Bewegung im Raum la¨sst sich auf diese sechs Freiheitsgrade zuru¨ckfu¨hren. 1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene Ein Ko¨rper, der nur in einer Ebene frei beweglich ist, z. B. auf einer Richtplatte, kann sich nur in Richtung der zwei Achsen x, z eines ebenen Koordinatensystems verschieben (T(x), T(z)) und um die Achse y drehen (R(y)). Daraus folgt: Ein in der Ebene frei beweglicher starrer Ko¨rper hat drei Freiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung in der Ebene la¨sst sich auf diese drei Freiheitsgrade zuru¨ckfu¨hren.

1.1.5 Gleichgewicht des Ko¨rpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) Die Ursache einer Verschiebung ist eine Einzelkraft, die Ursache einer Drehung ist ein Kra¨ftepaar. Daraus folgt: Wird ein Ko¨rper verschoben, muss eine Kraft F wirken, wird er gedreht, muss ein Kraftmoment M wirken, wird er verschoben und gedreht, mu¨ssen eine Kraft F und ein Kraftmoment M wirken.

Beachte: Die Drehwirkung eines Kra¨ftepaars ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als Drehmoment bezeichnet.

1.1 Grundlagen

7

Umgekehrt la¨sst sich auch schließen, dass dann keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Ko¨rper nicht verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhanden ist, wenn er sich nicht dreht. Ko¨rper, die mit anderen fest verbunden sind, lassen sich auch durch Kra¨fte und Kraftmomente nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, Klebung) Gegenkra¨fte und Gegenkraftmomente erzeugt.

Keine Verschiebung: F ¼ 0 Keine Drehung: M¼0

Alle Kra¨fte und alle Kraftmomente heben sich in solchen Fa¨llen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: Kra¨fte und Kraftmomente stehen miteinander im Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Kra¨fte gleich null und die Summe aller Kraftmomente gleich null sein, weil sich der Ko¨rper so verha¨lt, als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment.

Keine Verschiebung: S F ¼ 0 Keine Drehung: SM ¼ 0

Beispiel: Fra¨smaschinentisch und darauf befestigter Schraubstock bewegen sich nicht gegeneinander, obwohl u¨ber das Werkstu¨ck Kra¨fte in den Schraubstock eingeleitet werden.

S (Sigma) bedeutet: Summe aller . . ., d. h. die Summe aller Kra¨fte und die Summe aller Kraftmomente ist gleich null.

Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des Ko¨rpers in der Ebene bezogen ergibt: Ein Ko¨rper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kra¨fte in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summe aller Kra¨fte in Richtung der y-Achse gleich null ist, und die Summe aller Kraftmomente um die z-Achse gleich null ist.

Nach dem Tra¨gheitsgesetz gilt das fu¨r alle Ko¨rper, deren Bewegungszustand sich nicht a¨ndert. Demnach ist ein Ko¨rper in drei Fa¨llen im Gleichgewicht: wenn er ruht (Geschwindigkeit v ¼ 0), wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleibender Geschwindigkeit bewegt (v ¼ konstant) und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdrehungsfrequenz) umla¨uft (n ¼ konstant).

S Fx ¼ 0 S Fy ¼ 0 S MðzÞ ¼ 0

Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet man unbekannte Kra¨fte und Kraftmomente.

Beachte: Ruhelage und gleichfo¨rmig geradlinige oder rotierende Bewegung sind gleichwertige Zusta¨nde, d. h. es gelten die Gleichgewichtsbedingungen. Die berlegungen zum Tra¨gheitsgesetz stammen von dem italienischen Physiker Galileo Galilei (1564––1642).

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1 Statik in der Ebene

1.1.6 Der Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte Der Parallelogrammsatz1) ist die wichtigste statische Grundoperation fu¨r das Zusammensetzen und Zerlegen von gerichteten Gro¨ßen (Vektoren). Dazu geho¨ren neben Geschwindigkeiten v, Beschleunigungen a und Wegen s auch Kra¨fte F. 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kra¨ften (Kra¨ftereduktion) Kra¨fte sind linienflu¨chtige Vektoren, d. h. zwei Kra¨fte F1 und F2 ko¨nnen auf ihrer Wirklinie in den Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem Parallelogrammsatz zur Resultierenden Fr zusammengesetzt werden. Man nennt dies eine geometrische (zeichnerische) Addition und das Verfahren eine Kra¨ftereduktion.

Parallelogrammsatz Die Resultierende Fr (Ersatzkraft) zweier in einem Punkt A angreifender Kra¨fte F1 und F2 ist die Diagonale des Kra¨fteparallelogramms.

Beachte: Skalare wie Masse m, Volumen V, Fla¨chen A usw. sind keine gerichteten Gro¨ßen. Ihre Betra¨ge ko¨nnen algebraisch addiert und subtrahiert werden. Kra¨fte dagegen sind als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu behandeln.

Geometrische Addition der Kra¨fte F1 und F2 zur Resultierenden Fr

Einfacher ist es, die Kra¨fte nach Betrag und Richtungssinn maßstabsgerecht in beliebiger Reihenfolge aneinander zu setzen. Es ergibt sich das Kra¨ftedreieck (Krafteck, Kra¨ftezug).

Im Krafteck ist die Resultierende Fr die Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft.

Der Betrag der Resultierenden Fr zweier Kra¨fte F1 und F2, die den Winkel a einschließen, la¨sst sich mit Hilfe des Kosinussatzes, der Winkel b mit dem Sinussatz berechnen. Die beiden Sa¨tze werden in der Mathematik (Trigonometrie) hergeleitet. 1)

Kra¨ftedreiecke als Ersatz fu¨r das Kra¨fteparallelogramm

Fr ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ F 1 2 þ F 2 2 þ 2F1 F2 cos a

b ¼ arcsin

F1 sin a Fr

Bo¨ge, A.; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lo¨sungen; Vieweg þ Teubner 2008

1.1 Grundlagen

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1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kra¨fte F1 und F2 Zerlegen einer Kraft F in zwei Komponenten F1 , F2

Das Kra¨fteparallelogramm la¨sst sich auch aus einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, WL2 zweier gesuchter Kra¨fte F1, F2 zeichnen. Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL1 und WL2 der gesuchten Kra¨fte F1, F2 parallel zu sich selbst in den Endpunkt E der maßsta¨blich aufgezeichneten gegebenen Kraft F verschoben. Damit entsteht das Kra¨fteparallelogramm. Die Betra¨ge der beiden Komponenten der Kraft F lassen sich auch berechnen: Fu¨r F1 gilt der Sinussatz; die Gleichung fu¨r F2 la¨sst sich aus dem gestrichelt gezeichneten Kra¨ftezug ablesen.

F1 ¼ F

sin b sin a

F2 ¼ F cos b F1 cos a

Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Komponenten zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. es sind unendlich viele Lo¨sungen mo¨glich.

Fy = F sin α

y F Fy

α

Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten Fx und Fy einer Kraft F zu rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe des Richtungswinkels a in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus.

x

Fx = F cos α

1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kra¨fte F1 und F2 Fu¨r die gegebene Kraft F sollen die beiden parallelen Kra¨fte F1 und F2 ermittelt werden, die auf ihren Wirklinien mit den Absta¨nden l1 und l2 die gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F. Zum Versta¨ndnis fu¨r die Lo¨sung dieser Aufgaben ist der spa¨ter erla¨uterte Momentensatz erforderlich (1.2.5.1, Seite 38): Fl1 ¼ F2 ðl1 þ l2 Þ und Fl2 ¼ F1 ðl1 þ l2 Þ

Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Komponenten

Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen fu¨r die Betra¨ge der Kra¨fte F1 und F2.

F1 ¼ F

l2 l1 þ l2

F2 ¼ F

l1 l1 þ l2

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1 Statik in der Ebene

1.1.6.4 bungen zum Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte 1. bung: Zwei Kra¨fte F1 ¼ 2 kN und F2 ¼ 3 kN wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel a ¼ 120 zueinander. Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden Fr, b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F1 und Fr. Lo¨sung: a) der Betrag der Resultierenden la¨sst sich zeichnerisch durch maßsta¨bliches Aufzeichnen des Kra¨fteparallelogramms und rechnerisch mit dem Kosinussatz ermitteln. b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F1 und Fr wird mit dem Sinussatz berechnet: sin b F2 ¼ ; sin ð180 aÞ ¼ sin a sin ð180 aÞ Fr

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ F 1 2 þ F 2 2 þ 2F1 F2 cos a qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Fr ¼ ð2 kNÞ2 þ ð3 kNÞ2 þ 2 2 kN 3 kN cos 120

Fr ¼

Fr ¼ 2,646 kN

b ¼ arcsin

F2 sin ð180 aÞ ¼ 79,1 Fr

2. bung: Fu¨r das skizzierte Lager einer Getriebewelle wurden mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen die Stu¨tzkraftkomponenten FAx ¼ 5089 N und FAy ¼ 471 N berechnet. Zur Bestimmung der Lagerabmessungen soll die Stu¨tzkraft (Lagerkraft) FA berechnet werden. Beachte: Die Stu¨tzkraftkomponenten ko¨nnen in den Lagermittelpunkt verschoben werden. Gesucht: a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt A verschobenen Lagerkraftkomponenten FAx und FAy (La¨ngsverschiebungssatz von Seite 3),

Lo¨sung:

b) Betrag der Lagerkraft FA, c) Richtungswinkel a zwischen der positiven x-Achse des Koordinatensystems und der Wirklinie der Lagerkraft FA.

FA ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FAx 2 þ F Ay 2 ¼ ð50892 þ 4712 Þ N2

FA ¼ 5111 N

Aufgaben Nr. 29–31

a ¼ arctan

FAy 471 N ¼ arctan ¼ 5,29 FAx 5089 N

1.1 Grundlagen

11

1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberfla¨chen- und Volumenkra¨fte Mit Hilfe der Statik werden unbekannte Kra¨fte zeichnerisch und rechnerisch bestimmt, z. B. die Stu¨tzkra¨fte (Lagerkra¨fte), die eine Getriebewelle oder einen Drehkran im Gleichgewicht halten. Die Lo¨sungen solcher Aufgaben ko¨nnen nur dann richtig sein, wenn tatsa¨chlich alle am Bauteil (Getriebewelle, Drehkran, Winkelhebel, Schraube usw.) angreifenden Kra¨fte in die Untersuchung einbezogen wurden.

Beispiel: F1, F2 bekannte Kra¨fte, FAx , FAy, FB gesuchte Stu¨tzkra¨fte Hinweis: Wird etwa die tatsa¨chlich wirkende Stu¨tzkraftkomponente FAx nicht in die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen (S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S M ¼ 0), dann wird die Lo¨sung falsch.

Jedes Bauteil wirkt auf die angrenzenden Bauteile mit Oberfla¨chenkra¨ften, die man sich im Mittelpunkt M der Beru¨hrungsfla¨che angreifend denkt, wie im Fall der beiden zusammengepressten Bauteile 1 und 2. Oberfla¨chenkra¨fte heißen auch a¨ußere Kra¨fte. Tatsa¨chlich verteilt sich jede Oberfla¨chenkraft mehr oder weniger gleichma¨ßig auf die Fla¨chenteilchen der Beru¨hrungsfla¨che (siehe Abschnitt 5.5, Seite 288 Fla¨chenpressung). Auf jede Beru¨hrungsfla¨che eines Ko¨rpers wirkt die von ihr ausgeu¨bte Oberfla¨chenkraft von dem anderen Ko¨rper zuru¨ck (Aktion ¼ Reaktion). Es ist also F1,2 (Kraft F von 1 auf 2) gleich F2,1 (Kraft F von 2 auf 1). Außer den Oberfla¨chenkra¨ften ko¨nnen noch Volumenkra¨fte wirken, die man sich im Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt) M des homogenen Ko¨rpers angreifend denkt. Die wichtigste und immer wirkende Volumenkraft ist die Gewichtskraft FG. Eine andere Volumenkraft ist die durch Magnete erzeugte Kraft. Gemeinsames Kennzeichen von Volumenkra¨ften ist das Vorhandensein eines „Feldes“, z. B. des Schwerefeldes der Erde oder eines Magnetfeldes. Volumenkra¨fte heißen daher auch Feldkra¨fte.

Hinweis: Ob die Gewichtskraft FG beim Freimachen beru¨cksichtigt wird, ha¨ngt davon ab, ob ihre Wirkung im Verha¨ltnis zu den Wirkungen der anderen Kra¨fte groß oder klein ist.

12 Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden Kra¨fte richtig erfasst zu haben, geht jeder statischen Untersuchung das Freimachen voraus.

Freimachen heißt: Man nimmt die Nachbarbauteile, die das freizumachende Bauteil beru¨hren, Stu¨ck fu¨r Stu¨ck weg und bringt dafu¨r an den Beru¨hrungsstellen diejenigen Kra¨fte an, die von den weggenommenen Bauteilen auf das freigemachte Bauteil wirken.

1 Statik in der Ebene Hinweis: Statt „Freimachen“ wird auch die Bezeichnung „Freischneiden“ verwendet, weil man das Bauteil mit einem gedachten Schnitt von den angrenzenden Bauteilen trennt.

Arbeitsplan zum Freimachen: 1. Das Bauteil schematisiert ohne die angrenzenden Teile aufzeichnen. 2. Die Angriffspunkte aller Kra¨fte und die Wirklinien dieser Kra¨fte festlegen. 3. Den Richtungssinn in Bezug auf den freigemachten Ko¨rper eintragen. Fu¨r die zeichnerische Lo¨sung maßsta¨blich zeichnen (Lageplan), fu¨r die rechnerische Lo¨sung genu¨gt die Lageskizze.

Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Freimachen geben die folgenden Beispiele.

1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen Seile und a¨hnliche flexible Bauteile ko¨nnen nur Zugkra¨fte in Seilrichtung ausu¨ben oder aufnehmen. Zugkra¨fte wirken stets weg vom Angriffspunkt am freigemachten Bauteil. (Regel 1)

Beispiel: Der Kranhaken soll freigemacht werden.

Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Ko¨rper ausu¨ben kann. Es ist gleichgu¨ltig, ob das Seil durch eine Rolle umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils wirkt die gleiche Zugkraft.

Man nimmt den angeha¨ngten Zylinder weg und ersetzt ihn im Beru¨hrungspunkt durch die Gewichtskraft FG . Ebenso nimmt man das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es durch die Zugkraft F ¼ FG .

1.1 Grundlagen

13

1.1.7.3 Zweigelenksta¨be Zweigelenksta¨be ko¨nnen Zug- oder Druckkra¨fte aufnehmen, deren Wirklinie die Verbindungsgerade der Gelenkpunkte ist. Die Gelenke werden als reibungsfrei angesehen. (Regel 2) Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Einfluss; er kann gerade oder gekru¨mmt sein oder jede beliebige andere Form haben. Zweigelenksta¨be du¨rfen nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen verbunden sein und keine Kra¨fte an anderen Stellen aufnehmen. Zwei Kra¨fte ko¨nnen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben, die durch die beiden Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen muss.

Beispiel: Der Zweigelenkstab (Pendelstu¨tze) stu¨tzt eine Plattform ab.

Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkra¨fte auf. Er ko¨nnte aber auch Zugkra¨fte aufnehmen, z. B. wenn der Wind unter die Plattform fasst.

1.1.7.4 Beru¨hrungsfla¨chen (ebene Stu¨tzfla¨chen) Beru¨hrungsfla¨chen ko¨nnen Normalkra¨fte und Tangentialkra¨fte aufnehmen. Normalkra¨fte wirken stets hin auf die Beru¨hrungsfla¨che am freigemachten Bauteil. (Regel 3) Beru¨hren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem Fall zwischen beiden eine Normalkraft FN. Ihre Wirklinie steht immer rechtwinklig auf der Beru¨hrungsfla¨che. Die Tangentialkraft FT wird durch Reibung (Reibkraft FR) oder durch einen Rollwiderstand hervorgerufen. Ihre Wirklinie liegt immer in der Beru¨hrungsebene, also rechtwinklig zur Wirklinie der Normalkraft FN. Den Richtungssinn kann man in den meisten Fa¨llen erkennen, wenn alle u¨brigen Kra¨fte am freigemachten Bauteil eingezeichnet wurden. Die Tangentialkraft FT ¼ Reibkraft FR wirkt der Bewegung entgegen, die durch die u¨brigen Kra¨fte verursacht wird oder verursacht werden ko¨nnte.

Beispiel 1: Ein prismatischer Ko¨rper liegt auf einer waagerechten Unterlage (z. B. Richtplatte) in Ruhe.

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN haben gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Beispiel 2: Der gleiche Ko¨rper liegt auf einer schiefen Ebene in Ruhe.

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN allein ko¨nnen nicht im Gleichgewicht sein. Der Ko¨rper wu¨rde abwa¨rts gleiten, wenn ihn nicht die Tangentialkraft FT ¼ Reibkraft FR daran hindern wu¨rde.

14

1 Statik in der Ebene

Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Beru¨hrungsfla¨che gegeneinander gleiten oder das eine auf dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangentialkraft FT ¼ Reibkraft FR. Der Richtungssinn ist in diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere Bauteil wirkt die Reibkraft FR entgegen seiner Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In vielen Fa¨llen ist das „langsamere“ Bauteil eine ruhende Unterlage.

Beispiel 3: Der Ko¨rper wird durch die Verschiebekraft F auf der Unterlage verschoben.

Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Richtung aufeinander, so wirkt an beiden die Reibkraft entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung.

Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft F, hatten Gewichtskraft FG und Normalkraft FN eine gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Beispiel 3 anders: F und FT ¼ FR bilden ein rechtsdrehendes Kra¨ftepaar. Bei Gleichgewicht stellt sich dann das linksdrehende Kra¨ftepaar aus FG und FN ein. Die Kraftmomente M beider Kra¨ftepaare sind gleich groß und gegensinnig (S M ¼ 0).

Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschiebekraft F versucht, es auf seiner Unterlage zu verschieben, so tritt auch bei waagerechter Beru¨hrungsfla¨che eine Reibkraft FR auf. Diese ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich.

1.1.7.5 Rollko¨rper (gewo¨lbte Stu¨tzfla¨chen) Rollko¨rper ko¨nnen Radialkra¨fte und Tangentialkra¨fte aufnehmen. Die Radialkra¨fte wirken immer auf den Beru¨hrungspunkt am freigemachten Ko¨rper. (Regel 4)

Beispiel: Eine Rolle ruht auf einer waagerechten Ebene und stu¨tzt eine waagerecht liegende Platte ab.

Zwischen Rollko¨rper und Unterlage wirkt eine Radialkraft Fr. Ihre Wirklinie verla¨uft durch den Beru¨hrungspunkt und den Rollko¨rpermittelpunkt. Die Bezeichnungen „Radialkraft“ und „Normalkraft“ sind gleichwertig, denn die Wirklinie der Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf der Beru¨hrungstangente. Eine Tangentialkraft FT tritt am ruhenden Rollko¨rper nur unter den gleichen Bedingungen auf wie an Beru¨hrungsfla¨chen (siehe Regel 3, Seite 13). Ihre Wirklinie ist die Tangente an den Rollko¨rper im Beru¨hrungspunkt und steht darum immer rechtwinklig zur Wirklinie der Radialkraft.

Die Beru¨hrungspunkte A und B liegen rechtwinklig u¨bereinander. Die Radialkra¨fte FrA und FrB haben eine gemeinsame Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine Tangentialkraft.

1.1 Grundlagen

15

1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) Einwertige Lager (Loslager) ko¨nnen nur eine rechtwinklig zur Stu¨tzfla¨che wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft bekannt, Betrag unbekannt (eine Unbekannte). (Regel 5) Einwertige Lager werden fu¨r Tra¨ger auf zwei Stu¨tzen verwendet, um die Wa¨rmeausdehnung in La¨ngsrichtung nicht zu behindern, z. B. an Bru¨ckentra¨gern und Wellen. Bei zweifach gelagerten Tra¨gern muss ein Lager ein Loslager sein.

1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) Zweiwertige Lager (Festlager) ko¨nnen eine beliebig gerichtete Kraft aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die noch unbekannte Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft unbekannt, Betrag unbekannt (zwei Unbekannte). (Regel 6)

Tra¨ger auf zwei Stu¨tzen, Wellen und Achsen erhalten ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine unzula¨ssige La¨ngsverschiebung zu verhindern. Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten durch die Bewegungsprobe:

Verschiebt man die Stu¨tzfla¨che des einwertigen Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das gelagerte Bauteil in Ruhe. Beim zweiwertigen Lager bewegt sich das gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der Unterlage mit.

Beispiel 1: Tra¨ger auf zwei Stu¨tzen

Lager B ist einwertig, wie die Bewegungsprobe ergibt. Also wirkt eine Normalkraft FB rechtwinklig zur Stu¨tzfla¨che. Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe). Die dort wirkende noch unbekannte Lagerkraft FA ersetzt man durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy und legt den Richtungssinn fu¨r die spa¨tere Rechnung nach Augenschein fest. Der zuna¨chst angenommene Richtungssinn der Lagerkraftkomponenten Fx und Fy wird bei der spa¨teren Berechnung durch ein positives Vorzeichen besta¨tigt. Ein negatives Vorzeichen fu¨r Fx oder Fy zeigt den entgegengesetzten Richtungssinn an.

16 Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebeebene (hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizontal). Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Kra¨fte aus jeder beliebigen Richtung auf, so dass hier im Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig festliegt. Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, hilft man sich wie bereits auf Seite 15 (1.1.7.7) erla¨utert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig zueinander stehenden Wirklinien die beiden Komponenten ein. Dabei wird versucht, deren Richtungssinn unter Beru¨cksichtigung der u¨brigen Kra¨fte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen.

Wellen sollen Drehmomente weiterleiten und die Zahnrad- oder Riemenkra¨fte u¨ber Wa¨lz- oder Gleitlager auf das Geha¨use u¨bertragen. Eines der Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als Loslager ausgebildet. Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle wirken die beiden Zahnkraftkomponenten Fx und Fy. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waagerechte Komponente Fx wird allein vom Festlager B aufgenommen (Fx ¼ FBx), denn das Loslager A ist in waagerechter Richtung im Geha¨use verschiebbar. Es kann nur Normalkra¨fte aufnehmen, hier die Lagerkraft FA. Die Stu¨tzkra¨fte FA, FBx und FBy werden spa¨ter mit Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S M ¼ 0 (siehe Abschnitt 1.2.5.3, Seite 44) berechnet.

1 Statik in der Ebene Beispiel 2: Tu¨r mit Halslager A und Spurlager B

Bewegungsprobe: B ist zweiwertig, A ist einwertig. Den Stu¨tzhaken bei A wegnehmen: Die Tu¨r dreht nach rechts. Folglich muss FA nach links wirken. Den Stu¨tzhaken bei B wegnehmen: Die Tu¨r dreht nach links. FBx wirkt also nach rechts.

Beispiel 3: Getriebewelle mit Loslager A, Festlager B

Beachte: Außer Fx und Fy wirkt noch die Umfangskraft Fz in Normalenrichtung zur Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel Seite 371).

1.1 Grundlagen

17

1.1.7.8 Dreiwertige Lager Dreiwertige Lager ko¨nnen eine beliebig gerichtete Kraft und ein Kraftmoment aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten, das Kraftmoment durch den Momentendrehpfeil. Wirkungsanalyse: Wirklinie und Betrag der Lagerkraft unbekannt, Betrag des Kraftmoments (Einspannmoment) unbekannt (drei Unbekannte). (Regel 7)

Beispiel: Eingespannter Freitra¨ger

Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung fu¨r die richtige zeichnerische und rechnerische Lo¨sung aller Statikaufgaben. Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan:

Arbeitsplan zum Freimachen: Lageskizze des freizumachenden Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Kraftangriffspunkte (Beru¨hrungspunkte mit den Nachbarbauteilen) festlegen.

2. Schritt

Wirklinien aller Kra¨fte nach den Regeln 1 bis 7 fu¨r das Freimachen einzeichnen. 3. Schritt Richtungssinn fu¨r alle Kraftpfeile nach den Regeln 1 bis 7 festlegen.

4. Schritt

18

1 Statik in der Ebene

1.1.8 bungen zum Freimachen 1. bung: Die skizzierte Leiter lehnt in A reibungsfrei am Mauerwerk und ist am Boden rutschfest gestu¨tzt. Beim Besteigen wird die Leiter mit der Gewichtskraft FG belastet. Die Leiter soll nach den besprochenen Regeln freigemacht werden, eine Aufgabe, die ha¨ufig Schwierigkeiten macht.

Aufgabenskizze

Lo¨sung: Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lagerpunkte A und B markiert. Das sind die Beru¨hrungsstellen derjenigen Mauerteile, die gedanklich weggenommen sind. Außerdem wird sofort die bekannte Gewichtskraft FG eingezeichnet.

Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der Stu¨tzkra¨fte FA und FB einzuzeichnen. Bei zweifach gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig.

Beachte: Immer zuerst die einwertige Lagerstelle suchen. Dort ist die Wirklinie der Stu¨tzkraft bekannt. Diese ist eine Normalkraft.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Kra¨fte u¨bertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine Kraft u¨bertragen, wenn die Reibung nicht beru¨cksichtigt wird.

Bewegungsprobe: keine Lagevera¨nderung bei Parallelverschiebung des einwertigen Lagers.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstu¨ck um B ergibt Lagevera¨nderungen der Leiter in jeder Richtung. Das Lager ist zweiwertig und u¨bertra¨gt eine beliebig gerichtete Stu¨tzkraft mit x- und y-Komponenten.

Lagevera¨nderung bei beliebiger Verschiebung des zweiwertigen Lagers.

Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die vollsta¨ndige Lageskizze der freigemachten Leiter. Die Wirklinie der Stu¨tzkraft FB an der zweiwertigen Lagerstelle ist nicht bekannt. Es ko¨nnen nur ihre x- und y-Komponenten eingetragen werden. Das ist fu¨r die zeichnerische oder rechnerische Lo¨sung solcher Aufgaben ausreichend.

1.1 Grundlagen 2. bung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B drehbar. An seinem Lastseil tra¨gt er ein Werkstu¨ck, das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der Gewichtskraft FG belastet. Der Schwenkarm des Kranes soll nach dem Arbeitsplan von Seite 17 freigemacht werden.

19

Aufgabenskizze

Lo¨sung: Man skizziert den Schwenkarm in der vorgegebenen Lage zuna¨chst wieder ohne Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile.

1. Schritt

In diesem Fall ist die von dem Werkstu¨ck hervorgerufene Gewichtskraft FG bereits mit Angriffspunkt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird.

Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A (Loslager) und Lager B (Festlager).

Die Bewegungsprobe fu¨r beide Lager ergibt: Das Halslager A ist einwertig (Regel 5, Seite 15), denn es kann mit seiner Unterlage nach oben und unten verschoben werden, ohne dass sich der Schwenkarm bewegt. Verschiebt man dagegen das Spurlager B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist zweiwertig und wird nach Regel 6 freigemacht.

Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man den Richtungssinn der Lagerkra¨fte auf folgende Weise: Wird das obere Lager weggenommen, dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die Lagerkraft FA verhindert dies. Wird aber nur das untere Lager weggenommen, dann dreht der Schwenkarm unten nach links und fa¨llt außerdem nach unten. Beides mu¨ssen die Lagerkraftkomponenten FBx und FBy verhindern.

Die Kraftangriffspunkte A und B einzeichnen.

2. Schritt

3. Schritt Die Wirklinie der Halslagerkraft FA liegt horizontal (Normalkraft), weil die Lagerfla¨che vertikal steht. Die Wirklinien der Komponenten der Spurlagerkraft FB werden in Richtung der Lagerachse und rechtwinklig dazu eingezeichnet.

4. Schritt Auf der Wirklinie der Halslagerkraft FA einen nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, weil nur dann der Schwenkarm am Wegdrehen nach rechts gehindert werden kann. Auf der horizontalen Wirklinie von FBx einen nach rechts gerichteten und auf der vertikalen Wirklinie von FBy einen nach oben gerichteten Kraftpfeil einzeichnen.

20 3. bung: Der aufwa¨rts fahrende Wagen eines Schra¨gaufzugs soll freigemacht werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und nicht seine Einzelteile. Sonst mu¨sste es z. B. heißen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizumachen. Lo¨sung: Man skizziert den Wagen in seiner augenblicklichen, schra¨g stehenden Betriebslage, und zwar zuna¨chst wieder ohne Festlegung der Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile.

Hier muss die Gewichtskraft FG beru¨cksichtigt werden, sonst ko¨nnten zwischen dem Wagen und seinen Nachbarbauteilen keine Kra¨fte wirken. Im Zughaken ist das Seil eingeha¨ngt, die Ra¨der beru¨hren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die Nachbarbauteile des Wagens.

Die Gewichtskraft FG wirkt immer auf der Lotrechten. Am Zughaken wird nach Regel 1 freigemacht, denn dort ist ein Seil weggenommen. Die Ra¨der werden nach Regel 4 (Seite 14) fu¨r Rollko¨rper freigemacht. Da der Wagen rollt, wirken an beiden Ra¨dern Radial- und Tangentialkra¨fte.

Die Gewichtskraft FG wirkt immer nach unten. Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radialkra¨fte Fr sind auf die Ra¨der zu gerichtet. Die Tangentialkra¨fte FT versuchen den Wagen zu bremsen, weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn. Aufgaben Nr. 9–28

1 Statik in der Ebene

Aufgabenskizze

1. Schritt

2. Schritt In der Skizze den Schwerpunkt S des Wagens, den Zughaken und die Auflagepunkte A und B der beiden Ra¨der als Kraftangriffspunkte kennzeichnen.

3. Schritt Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirklinie der Gewichtskraft FG zeichnen. Die Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. Die Wirklinien der Radialkra¨fte verlaufen durch die Beru¨hrungs- und Radmittelpunkte, die der Tangentialkra¨fte rechtwinklig dazu.

4. Schritt Die Kraftpfeile einzeichnen: FG nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken weg, Fr nach links oben und FT der Bewegung des Wagens entgegen nach links unten.

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

21

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kra¨ftesystem Unter einem Kra¨ftesystem versteht man beliebig viele Kra¨fte, die gleichzeitig an einem Bauteil wirken. Ein zentrales Kra¨ftesystem liegt vor, wenn sich die Wirklinien aller Kra¨fte in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt den Zentralpunkt A des Kra¨ftesystems. Nach dem La¨ngsverschiebungssatz ko¨nnen alle Kra¨fte des Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentralpunkt verschoben werden. Ein zentrales Kra¨ftesystem kann einen Ko¨rper nur verschieben, aber nicht drehen. Ein allgemeines Kra¨ftesystem besteht aus Kra¨ften, deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt miteinander haben. Allgemeine Kra¨ftesysteme ko¨nnen genauso wie zentrale Kra¨ftesysteme einen Ko¨rper verschieben. Sie ko¨nnen ihn aber außerdem drehen oder beide Bewegungen gleichzeitig hervorrufen.

Zentrales Kra¨ftesystem

Allgemeines Kra¨ftesystem

1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 1. Hauptaufgabe: In einem Kra¨ftesystem sind alle Kra¨fte nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannt. Um eine Aussage u¨ber die Wirkung des Kra¨ftesystems auf ein Bauteil machen zu ko¨nnen (z. B. Verschiebung), mu¨ssen die resultierende Kraft Fr und das resultierende Kraftmoment Mr ermittelt werden.

bekannt: F1, F2, F3 gesucht: Fr , Mr

2. Hauptaufgabe: In einem Kra¨ftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der Kra¨fte bekannt. Um eine Festigkeitsrechnung an einem Bauteil ausfu¨hren zu ko¨nnen, mu¨ssen die noch unbekannten Kra¨fte ermittelt werden.

bekannt: F1, F2, F3 gesucht: FAx , FAy , FB

22

1 Statik in der Ebene

1.2.3 Die zwei Lo¨sungsmethoden Jede der beiden Hauptaufgaben ist auf zweierlei Weise lo¨sbar: rechnerisch und zeichnerisch. Die rechnerische Lo¨sung erfordert a) eine unmaßsta¨bliche Lageskizze, die alle Kra¨fte als Kraftpfeile sowie alle erforderlichen La¨ngenmaße und Winkel –– insbesondere die zwischen den Wirklinien der Kra¨fte und einer Bezugsachse –– enthalten muss, und b) den rechnerischen Ansatz in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems, das aus der Lageskizze entwickelt wird. Die zeichnerische Lo¨sung erfordert a) einen maßsta¨blich aufgezeichneten Lageplan, der das Bauteil (meist in vereinfachter Darstellung) mit allen, ebenfalls maßsta¨blich eingezeichneten Wirklinien darstellt, und b) einen Kra¨fteplan, der alle Kra¨fte maßstabs- und richtungsgerecht entha¨lt.

Hinweis: Bei der rechnerischen Lo¨sung kann man „analytisch“ vorgehen (analytische Methode) oder Kraftecke „trigonometrisch“ auswerten. Zur analytischen Lo¨sung legt man die Kraftpfeile in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und arbeitet mit ihren Komponenten (x- und y-Komponenten). Meist wird das Gleichungssystem aus den drei Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S M ¼ 0 fu¨r ebene Kra¨ftesysteme entwickelt.

Hinweis: Lageplan und Kra¨fteplan werden stets auf einem Blatt aufgezeichnet. La¨ngen- und Kra¨ftemaßstab werden so gewa¨hlt, dass die Pla¨ne nicht zu klein werden. Der Lageplan wird zuerst gezeichnet, und daraus wird der Kra¨fteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kra¨fteplan entwickelt. Zeichnen Sie immer zwei getrennte Pla¨ne!

1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kra¨ftesystem 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) Aufgabe: Ein zentrales Kra¨ftesystem besteht aus den Kra¨ften F1 ¼ 15 N, F2 ¼ 40 N und F3 ¼ 30 N. Die zugeho¨rigen Richtungswinkel sind a1 ¼ 30 , a2 ¼ 135 und a3 ¼ 280 . Zu berechnen sind der Betrag der Resultierenden Fr und ihr Richtungswinkel ar nach der analytischen Methode, d. h. durch Kra¨ftezerlegung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit den vier Quadranten I, II, III und IV. Voru¨berlegung: Der rechnerischen Lo¨sung dieser Aufgabe liegen folgende Gedanken zugrunde: Jede Kraft wird in die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten in Richtung der Achsen des rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt. Als Bezugswinkel fu¨r die Wirklinie der Kra¨fte wird stets der Winkel a verwendet, den die Kraft

Aufgabenskizze

1.2 Die Grundaufgaben der Statik mit der positiven x-Achse einschließt, und zwar im positiven Linksdrehsinn von 0 bis þ360 (Richtungswinkel). Man erha¨lt dann Berechnungsgleichungen, die immer wieder in derselben Form gebraucht werden ko¨nnen. Den Richtungssinn der Kraftkomponenten Fx und Fy zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im Ergebnis an. Das negative Vorzeichen fu¨r eine x-Komponente zeigt den Richtungssinn „nach links“, fu¨r eine y-Komponente „nach unten“ an.

Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten werden in der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe n steht fu¨r den Index 1, 2, 3, . . . der Kra¨fte F und ihrer Richtungswinkel a.

23 Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel a geneigten Kraft sind: Fx ¼ F cos a

Fy ¼ F sin a

Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schließt die Kraft F2 ¼ 40 N mit der positiven x-Achse den Richtungswinkel a2 ¼ 135 ein. Dazu liefert der Rechner: F2x ¼ F2 cos a2 ¼ 40 N cos 135 ¼ 28,28 N F2y ¼ F2 sin a2 ¼ 40 N sin 135 ¼ þ28,28 N Die Kraftkomponente F2x wirkt nach links, F2y wirkt nach oben.

Fnx ¼ Fn cos an Berechnung der x-Komponenten Fny ¼ Fn sin an Berechnung der y-Komponenten

Die x-Komponenten Fnx sind die Produkte aus den Kraftbetra¨gen Fn und dem Kosinus der Richtungswinkel an . Bei den y-Komponenten tritt an die Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion. Die Summe der x-Komponenten der Einzelkra¨fte ist die x-Komponente Frx der gesuchten Resultierenden (Frx ¼ S Fnx ). Gleiches gilt fu¨r die y-Komponente Fry der Resultierenden (Fry ¼ S Fny ).

Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum Beispiel a2 ¼ 135 , braucht man sich nicht um den Richtungssinn der Komponenten zu ku¨mmern. Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei der Addition mit.

Weil die beiden Komponenten Frx und Fry rechtwinklig aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras der Betrag Fr der Resultierenden berechnet werden, denn Fr ist die Diagonale des rechtwinkligen Kraftecks aus Frx, Fry und Fr .

Frx ¼ S Fnx Frx ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ . . . þ Fn cos an

x-Komponente der Resultierenden Fr

Fry ¼ S Fny Fry ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ . . . þ Fn sin an

y-Komponente der Resultierenden Fr

Fr ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Frx 2 þ Fry 2

Betrag der Resultierenden Fr

24 Der Richtungswinkel ar der Resultierenden kann nicht auf direktem Weg ermittelt werden. Man braucht erst den spitzen Winkel br , den die Wirklinie der Resultierenden Fr mit der x-Achse einschließt. Es ist gleichgu¨ltig, in welchem Quadranten die Resultierende liegt. Dieser spitze Winkel br kann im rechtwinkligen Dreieck mit der Tangensfunktion ermittelt werden, denn die beiden Katheten Frx und Fry sind jetzt bekannt. Damit sich keine negativen Winkel ergeben, darf nur mit den Betra¨gen gerechnet werden. Je nach Lage der Resultierenden Fr im rechtwinkligen Achsenkreuz ergeben sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Richtungswinkels ar .

1 Statik in der Ebene

tan br ¼

jFry j jFrx j

br ¼ arctan

jFry j jFrx j

Fr liegt im I. Quadranten: In diesem Fall ist der Richtungswinkel ar gleich dem spitzen Winkel br zwischen der positiven x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fr liegt nur dann im I. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx ! positives Vorzeichen ðFrx 0Þ Fry ! positives Vorzeichen ðFry 0Þ

ar ¼ br

Fr liegt im II. Quadranten: Der spitze Winkel br liegt zwischen der negativen x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fr liegt nur dann im II. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx ! negatives Vorzeichen ðFrx < 0Þ Fry ! positives Vorzeichen ðFry 0Þ

ar ¼ 180 br

Fr liegt im III. Quadranten: Der spitze Winkel br liegt zwischen der negativen x-Achse und der wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fr liegt nur dann im III. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx ! negatives Vorzeichen ðFrx < 0Þ ðFry < 0Þ Fry ! negatives Vorzeichen

ar ¼ arctan

Hinweis: Die Gro¨ßen Fry und Frx stehen in sogenannten Betragsstrichen, d. h. es sind nur die Betra¨ge (ohne Vorzeichen) einzusetzen.

jFry j jFrx j

ar ¼ 180 arctan

jFry j jFrx j

ar ¼ 180 þ br ar ¼ 180 þ arctan

jFry j jFrx j

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

25

Fr liegt im IV. Quadranten: Der spitze Winkel br liegt zwischen der positiven x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fr liegt nur dann im IV. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt:

Frx ! positives Vorzeichen Fry ! negatives Vorzeichen

ðFrx 0Þ ðFry < 0Þ

ar ¼ 360 br ar ¼ 360 arctan

jFry j jFrx j

Lo¨sung: Zu berechnen ist die Resultierende Fr des gegebenen Kra¨ftesystems. Zuerst werden die gegebenen Betra¨ge der Kra¨fte F1, F2 und F3 und ihre Richtungswinkel a1, a2 und a3 aufgeschrieben.

Gegeben: F1 ¼ 15 N F2 ¼ 40 N F3 ¼ 30 N

Zur Berechnung der Komponenten Frx und Fry der Resultierenden Fr werden die Produktsummen gebildet.

Frx ¼ ð15 cos 30 þ 40 cos 135 þ þ 30 cos 280 Þ N Frx ¼ 10,08 N Fry ¼ ð15 sin 30 þ 40 sin 135 þ þ 30 sin 280 Þ N Fry ¼ þ 6,24 N

a1 ¼ 30 a2 ¼ 135 a3 ¼ 280

Die gegebenen und berechneten Gro¨ßen ko¨nnen auch in eine Tabelle eingetragen werden. Durch Addition der Spalten fu¨r Fnx und Fny erha¨lt man die beiden Komponenten Frx und Fry der Resultierenden Fr. n

Fn

an

1 2 3

15 N 40 N 30 N

30 135 280

Fnx ¼ Fn cos an

Fny ¼ Fn sin an

þ12,99 N 28,28 N þ 5,21 N

þ 7,50 N þ28,28 N 29,54 N

Frx ¼ 10,08 N Fry ¼ þ 6,24 N

Der Betrag der Resultierenden wird mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet.

Fr ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Frx 2 þ Fry 2 ¼ ð10,08 NÞ2 þ ð6,24 NÞ2

Fr ¼ 11,855 N

26 Die x-Komponente Frx der Resultierenden hat das negative Vorzeichen, die y-Komponente Fry hat das positive Vorzeichen. Die Resultierende Fr liegt also im II. Quadranten. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung des Richtungswinkels ar der Resultierenden fest.

1 Statik in der Ebene ar ¼ 180 arctan

jFry j jFrx j

ar ¼ 180 arctan

6,24 N 10,08 N

ar ¼ 180 31,76 ar ¼ 148,24

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden: Lageskizze mit allen gegebenen Kra¨ften unmaßsta¨blich in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen. Gegebene Kraftbetra¨ge F1 ; F2 ; F3 . . . und Richtungswinkel a1 ; a2 ; a3 . . . aufschreiben. Richtungswinkel von der positiven x-Achse von 0 bis 360 im Linksdrehsinn festlegen. Mit den Kraftbetra¨gen und Richtungswinkeln die Komponenten Frx und Fry der Resultierenden Fr berechnen. Betrag der Resultierenden Fr aus den Komponenten Frx und Fry berechnen (Pythagoras). Aus den Vorzeichen fu¨r die Komponenten Frx und Fry den Quadranten fu¨r die Resultierende Fr feststellen. Richtungswinkel ar der Resultierenden Fr berechnen.

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) Aufgabe: Das gleiche zentrale Kra¨ftesystem wie in der vorhergehenden Aufgabe soll nun zeichnerisch reduziert werden. Zur Ermittlung der Resultierenden Fr und ihres Richtungswinkels ar muss maßsta¨blich in einem Lageplan und in einem Kra¨fteplan gearbeitet werden. Die Aufgabenskizze zeigt die gegebenen Kra¨fte, nachdem sie auf ihren Wirklinien in den gemeinsamen Zentralpunkt A verschoben wurden. Aufgabenskizze

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Lo¨sung: Zuerst wird ein Lageplan gezeichnet. Grundlage dafu¨r ist ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kra¨ftesystems ist. Durch diesen Zentralpunkt werden mit den gegebenen Richtungswinkeln a1 ¼ 30 , a2 ¼ 135 und a3 ¼ 280 die Wirklinien aller gegebenen Kra¨fte gelegt. Je genauer im Lageplan die Winkel angetragen sind, desto genauer wird das Ergebnis. Fu¨r den Kra¨fteplan wird ein Anfangspunkt A festgelegt und durch ihn eine Parallele zu einer der drei Kra¨fte (hier F3) gezeichnet. Der Kra¨fteplan wird weiterentwickelt, indem in gleicher Weise durch Parallelverschiebung die u¨brigen Kra¨fte in beliebiger Reihenfolge maßstabsgerecht und richtungsgema¨ß sich so aneinander reihen, dass sich ein fortlaufender, offener Kra¨ftezug mit dem Endpunkt E ergibt.

27

Lageplan

Kra¨fteplan Kra¨ftemaßstab: MK ¼ 10

N cm

ð1 cm ¼ b 10 NÞ

Die Resultierende Fr ist die Verbindungslinie zwischen Anfangspunkt A und Endpunkt E des Kra¨ftezugs. Ihr Richtungssinn weist vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Aus der La¨nge der Verbindungslinie von A nach E kann mit Hilfe des festgelegten Kra¨ftemaßstabs der Betrag der Resultierenden berechnet werden.

Gemessen wird fu¨r Fr : L r ¼ 1,2 cm Damit wird N Fr ¼ L r MK ¼ 1,2 cm 10 cm Fr ¼ 12 N.

Die Resultierende wird nun aus dem Kra¨fteplan parallel in den Zentralpunkt A des Lageplans verschoben und der Richtungswinkel ar abgelesen.

Im Lageplan wird der Richtungswinkel gemessen: ar ¼ 148 . Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 12 N unter einem Winkel von 148 zur positiven x-Achse nach links oben.

Jetzt steht fest, wie sich der Ko¨rper unter der Einwirkung der gegebenen Kra¨fte verha¨lt, d. h. ob und in welcher Richtung er sich verschiebt. Zugleich erkennt man, welche zusa¨tzliche Kraft (hier F4) im Zentralpunkt A wirken mu¨sste, wenn Gleichgewicht hergestellt werden soll.

Unter der Wirkung der Kra¨fte F1, F2 und F3 verschiebt sich der Ko¨rper unter 148 zur positiven x-Achse so nach links oben, als ob eine Kraft von 12 N allein auf ihn einwirken wu¨rde. Um den Ko¨rper im Gleichgewicht zu halten, mu¨sste man auf der Wirklinie von Fr mit 12 N nach rechts unten ziehen (im Lageplan gestrichelt eingezeichnete Gleichgewichtskraft F4).

Aufgaben Nr. 29–48

28

1 Statik in der Ebene

Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden: Lageplan mit den Wirklinien aller Kra¨fte winkelgetreu in ein rechtwinkliges Achsenkreuz einzeichnen. Im Kra¨fteplan die gegebenen Kra¨fte entsprechend dem gewa¨hlten Kra¨ftemaßstab MK in beliebiger Reihenfolge maßsta¨blich aneinander reihen. Anfangs- und Endpunkt des Kra¨ftezuges verbinden, Richtungssinn eintragen. Resultierende Fr in den Zentralpunkt des Lageplans u¨bertragen. Ergebnisse abmessen (Betrag und Richtungswinkel).

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Aufgabe: Dasselbe Kra¨ftesystem wie in der ersten und zweiten Grundaufgabe mit den bekannten Kra¨ften F1, F2 und F3 soll jetzt durch zwei Kra¨fte (F4 und F5) ins Gleichgewicht gesetzt werden. Die Kra¨fte F4 und F5 sind nach der analytischen Methode zu ermitteln. Lo¨sung: Man zeichnet eine unmaßsta¨bliche Lageskizze mit allen Kra¨ften. Fu¨r die Kra¨fte F4 und F5 ist nur die Lage ihrer Wirklinien im rechtwinkligen Achsenkreuz (a4 ¼ 15 , a5 ¼ 60 ) bekannt. Fu¨r den Richtungssinn der beiden Kra¨fte F4 und F5 wird folgende Richtungsannahme festgelegt (Richtungsregel):

Aufgabenskizze

Der Richtungssinn einer gesuchten Kraft wird beliebig festgelegt.

Ob die Richtungsannahme richtig oder falsch war, stellt sich bei der spa¨teren Rechnung heraus: Haben die gesuchten Kra¨fte ein positives Vorzeichen, war die Richtungsannahme richtig. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Richtungsannahme falsch war. Diese Kraft wirkt in Wirklichkeit in entgegengesetzter Richtung.

Lageskizze zur rechnerischen Lo¨sung (angenommener Richtungssinn fu¨r F4 und F5 im I. Quadrant)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Die rechnerischen sind:

Gleichgewichtsbedingungen

Ein zentrales Kra¨ftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kra¨fte in x-Richtung und die Summe aller Kra¨fte in y-Richtung gleich null ist. Setzt man die Summe aller Kra¨fte oder Kraftkomponenten in beiden Richtungen des rechtwinkligen Koordinatensystems gleich null, erha¨lt man ein Gleichungssystem (I und II), das nach den beiden Unbekannten F4 und F5 aufgelo¨st werden kann. Der Betrag fu¨r F5 hat ein negatives Vorzeichen, das heißt, der angenommene Richtungssinn war falsch. Der errechnete Betrag ist richtig, nur wirkt die Kraft im entgegengesetzten Sinn als angenommen. (Pfeilrichtung im Lageplan umkehren) Hat die zuerst errechnete Kraft ein Minus-Vorzeichen (hier F5), muss es in der weiteren Rechnung mitgefu¨hrt werden. Um Gleichgewicht zu erreichen, muss auf den vorgegebenen Wirklinien die Kraft F4 mit 16,76 N nach rechts oben, die Kraft F5 mit 12,21 N nach links unten wirken.

29 I. S Fx ¼ 0 ¼ S Fnx þ F4 cos a4 þ F5 cos a5 II. S Fy ¼ 0 ¼ S Fny þ F4 sin a4 þ F5 sin a5 Beide Gleichungen nach F4 aufgelo¨st und gleichgesetzt ergibt eine Gleichung fu¨r F5: S Fnx F5 cos a5 I. F4 ¼ cos a4 S Fny F5 sin a5 sin a4 S Fnx sin a4 F5 cos a5 sin a4 ¼ ¼ S Fny cos a4 F5 sin a5 cos a4 F5 ðcos a5 sin a4 sin a5 cos a4 Þ ¼ ¼ S Fny cos a4 S Fnx sin a4 II. F4 ¼

F5 ¼

S Fny cos a4 S Fnx sin a4 cos a5 sin a4 sin a5 cos a4

(S Fny ¼ 6,24 N von Seite 25) 6,24 N cos 15 ð10,08 NÞ sin 15 F5 ¼ cos 60 sin 15 sin 60 cos 15 F5 ¼ 12,21 N

Mit F5 kann nun F4 nach Gleichung I bestimmt werden (Minus-Vorzeichen mitnehmen): F4 ¼

S Fnx F5 cos a5 cos a4

(S Fnx ¼ 10,08 N von Seite 25) ð10,08 NÞ ð12,21 NÞ cos 60 cos 15 F4 ¼ 16,76 N F4 ¼

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kra¨fte: Lageskizze mit allen gegebenen und gesuchten Kra¨ften zeichnen, dabei den Richtungssinn der gesuchten Kra¨fte nach der Richtungsregel annehmen. Gleichgewichtsbedingungen ansetzen (S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0).

1. Schritt 2. Schritt

Gleichungssystem auflo¨sen und unbekannte Kra¨fte berechnen.

3. Schritt

Bei negativem Betrag fu¨r eine berechnete Kraft zum Schluss den angenommenen Richtungssinn umkehren.

4. Schritt

30

1 Statik in der Ebene

Lehrbeispiel: Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems

Gegebene Kra¨fte und Winkel nach Tabelle. n

Fn

an

Fnx ¼ Fn cos an

Fny ¼ Fn sin an

1

20 N

20

þ18,794 N

þ 6,840 N

2

40 N

75

þ10,353 N

þ38,637 N

3

50 N

150

43,301 N

þ25,0

N

80 N

270

80,0

N

290

þ15,391 N

42,286 N

350

þ34,468 N

6,078 N

4 5 6

45 N 35 N

Frx ¼ þ35,705 N

+y

II

Fry ¼ 57,886 N

I F2

F3

αr F1

–x

+x

F6

III

F5

F4

IV

–y

Frx ¼ SFnx ¼ F1x þ F2x þ F3x þ . . . þ F6x ¼ þ35,705 N Fry ¼ SFny ¼ F1y þ F2y þ F3y þ . . . þ F6y ¼ 57,886 N

Fr

Lageskizze Nun kann Fr berechnet werden: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Fr ¼ Frx 2 þ Fry 2 ¼ ðþ35,705 NÞ2 þ ð57,886 NÞ2 ¼ 68 ,01 N Frx hat ein positives Vorzeichen, Fry ein negatives Vorzeichen. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung des Richtungswinkels ar fest: ar ¼ 360 arctan

jFry j 57,866 N ¼ 360 arctan ¼ 301,7 jFrx j 35,705 N

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

31

Lehrbeispiel: Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems +y

Gegebene Kra¨fte und Winkel wie im vorhergehenden Lehrbeispiel:

F2

F3

Kra¨fte α2

α3

α6

–x

F1 α1

α5

α4

+x

F6 F5

F1 F2 F3 F4 F5 F6

¼ 20 N ¼ 40 N ¼ 50 N ¼ 80 N ¼ 45 N ¼ 35 N

Richtungswinkel a a1 ¼ 20 a2 ¼ 75 a3 ¼ 150 a4 ¼ 270 a5 ¼ 290 a6 ¼ 350

spitzer Winkel zur x-Achse b1 ¼ 20 b2 ¼ 75 b3 ¼ 30 b4 ¼ 90 b5 ¼ 70 b6 ¼ 10

F4 –y

Lo¨sung: Die Wirklinien der Kra¨fte F1 . . . F6 werden unter den gegebenen Winkeln in den Lageplan eingezeichnet. Anschließend werden im Kra¨fteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien die Kra¨fte F1 . . . F6 in beliebiger Reihenfolge maßstabsgerecht aneinander gereiht. Die Resultierende Fr ist dann der Pfeil vom Anfangspunkt A der ersten Kraft zum Endpunkt E der letzten Kraft.

+y

Kra¨ftemaßstab:

3

WL

1

β1

β3

β2

WL

WL 2

Fg

–x

β5 βr β6

β

WL 6

MK ¼ 25 +x

F2

N cm

ð1 cm ¼ b 25 NÞ

F4

A

F1

Ergebnis: WL

WL 4

4

F3

Kra¨fteplan

βr

Lageplan

5

Fr

N Fr ¼ 2,7 cm 25 ¼ 67,5 N cm br ¼ 58

–y

Fr

F5 F6

E

Damit sind die Resultierende Fr ¼ 67,5 N und br ¼ 58 bestimmt und Fr kann in den Lageplan u¨bertragen werden. (Die Gleichgewichtskraft Fg ist gleich Fr , nur entgegengesetzt gerichtet.)

32

1 Statik in der Ebene

1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung Aufgabe: Dieselben Gleichgewichtskra¨fte F4 und F5 wie in der vorhergehenden Aufgabe (dritte Grundaufgabe) sollen nun zeichnerisch ermittelt werden (Betrag und Richtungssinn). Auch hier sind die Wirklinien bekannt: F4 und F5 schließen mit der positiven x-Achse die Winkel a4 ¼ 15 und a5 ¼ 60 ein.

Aufgabenskizze

Voru¨berlegung: Ein Ko¨rper kann nur dann im Gleichgewicht sein, wenn die Resultierende aller an ihm wirkenden Kra¨fte gleich null ist. Das bedeutet, dass im Kra¨fteplan Anfangspunkt und Endpunkt des Kra¨ftezuges zusammenfallen. Es ergibt sich ein geschlossener Kra¨ftezug.

Lo¨sung: Wie in der zweiten Grundaufgabe wird ein Lageplan gezeichnet. Grundlage ist auch hier wieder ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kra¨ftesystems ist. Durch diesen Punkt legt man die Wirklinien aller Kra¨fte, also auch die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskra¨fte F4 und F5.

Lageplan mit allen Wirklinien

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Fu¨r den Kra¨fteplan wird der Anfangspunkt A und der Kra¨ftemaßstab festgelegt. Man legt eine Parallele zu einer der Wirklinien der bekannten Kra¨fte durch den Anfangspunkt A des Kra¨fteplans und zeichnet dort die entsprechende Kraft mit der maßstabsgerechten La¨nge ein (z. B. F1). In gleicher Weise wird mit den u¨brigen bekannten Kra¨ften verfahren, und man erha¨lt wieder einen offenen Kra¨ftezug von A nach E 0 . Zur Wirklinie einer der beiden unbekannten Kra¨fte F4 oder F5 wird eine Parallele durch den Punkt E 0 des Kra¨fteplans gelegt, die dort den Kra¨ftezug fortsetzen soll. Zur Wirklinie der anderen unbekannten Kraft wird eine Parallele durch den Anfangspunkt A des Kra¨ftezugs gezeichnet. Die beiden zuletzt gezeichneten Linien schneiden sich in einem Punkt. Sie bilden dadurch gemeinsam mit den gegebenen Kra¨ften ein geschlossenes Krafteck.

Der Schnittpunkt der Parallelen zu den Wirklinien von F4 und F5 bestimmt im Kra¨fteplan die La¨nge der Kraftpfeile F4 und F5. Mit Hilfe des Kra¨ftemaßstabs werden die Betra¨ge der beiden Kra¨fte berechnet.

33

Kra¨fteplan Kra¨ftemaßstab: N MK ¼ 10 cm ð1 cm ¼ b 10 NÞ Ist der Kra¨ftezug F1, F2, F3 (in beliebiger Reihenfolge) aufgezeichnet, kann er mit F4 (du¨nne Linie nach rechts oben) oder F5 (dicker Kraftpfeil nach links unten) fortgesetzt werden. Die letzte noch verbleibende Kraft muss dann in den Anfangspunkt A zuru¨cklaufen (Kraftpfeil F4 nach rechts oben oder du¨nne Linie nach links unten). Nur dann wird die Resultierende gleich null.

Gemessen wird: N F4 ¼ 1,66 cm 10 ¼ 16,6 N cm F5 ¼ 1,25 cm 10

N ¼ 12,5 N cm

Der Richtungssinn ergibt sich aus der Notwendigkeit, dass der fortlaufende Kra¨ftezug in seinen Anfangspunkt zuru¨ckkehrt. Alle Kra¨fte mu¨ssen im Sinn eines „Einbahnverkehrs“ aneinander gereiht werden.

Ergebnis: Um die Kra¨fte F1, F2, F3 im Gleichgewicht zu halten, mu¨ssen auf ihren vorgegebenen Wirklinien die Kraft F4 mit 16,6 N nach der „Einbahnverkehrs“-Regel nach rechts oben und die Kraft F5 mit 12,5 N nach links unten wirken.

Die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung lautet also:

Hinweis: Diese Bedingung gilt auch fu¨r allgemeine Kra¨ftesysteme, allerdings kommt dann noch eine weitere Bedingung hinzu: Neben dem Krafteck muss sich auch das Seileck schließen. Das Seileckverfahren wird auf Seite 41 beschrieben.

Ein zentrales Kra¨ftesystem ist im Gleichgewicht, wenn sich das Krafteck schließt.

34 Nachu¨berlegung: Die in den Kra¨fteplan eingezeichnete Kraft Fr ist die Resultierende der Kra¨fte F1 : : : 3 . Die Kraft F6 ist diejenige Einzelkraft, mit der das Gleichgewicht hergestellt werden ko¨nnte.

1 Statik in der Ebene Hinweis: Eigentlich war nur die Aufgabe zu lo¨sen, eine gegebene Kraft F6 in zwei Komponenten mit gegebenen Wirklinien zu zerlegen.

Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung unbekannter Kra¨fte: Lageplan mit den Wirklinien aller Kra¨fte einschließlich der unbekannten winkelgetreu in ein rechtwinkliges Achsenkreuz einzeichnen. Im Kra¨fteplan die gegebenen Kra¨fte maßsta¨blich aneinander reihen. Die Wirklinie der einen unbekannten Kraft aus dem Lageplan parallel in den Endpunkt des Kra¨ftezugs im Kra¨fteplan verschieben, die der anderen unbekannten Kraft in den Anfangspunkt. Betra¨ge der unbekannten Kra¨fte abmessen. Richtungssinn nach der „Einbahnverkehrs“-Regel festlegen.

1. Schritt 2. Schritt

3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

35

1.2.4.5 bung zur dritten und vierten Grundaufgabe Aufgabe: In einer unsymmetrischen prismatischen Nut liegt eine Walze. Sie wird in ihrem ho¨chsten Punkt mit einer vertikal wirkenden Kraft F1 ¼ 800 N belastet. Die Stu¨tzkra¨fte an ihren Auflagepunkten sollen zeichnerisch und rechnerisch ermittelt werden. Die Gewichtskraft der Walze soll vernachla¨ssigt werden. a) Zeichnerische Lo¨sung Um alle auf die Walze wirkende Kra¨fte zu erkennen, muss sie freigemacht werden. Nach der Regel 4 (Seite 14) wirken auf die Walze an den Auflagepunkten nur Radialkra¨fte. Im Lageplan der freigemachten Walze mit den drei Kra¨ften F1, F2 und F3 ist zu erkennen, dass der Walzenmittelpunkt als gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirklinien der Zentralpunkt des Kra¨ftesystems ist.

Aufgabenskizze

1. Schritt

Lageplan

Aus den Kra¨ften F1, F2 und F3 wird nun ein geschlossenes Krafteck gezeichnet und dazu im Kra¨fteplan die bekannte Kraft F1 maßsta¨blich und mit dem richtigen Richtungssinn eingetragen. Durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Kra¨fte F2 und F3 aus dem Lageplan in den Kra¨fteplan wird das geschlossene Krafteck konstruiert. Dabei ergibt sich entweder das dick oder das du¨nn ausgezogene Dreieck; beide sind richtig.

2. Schritt

3. Schritt Kra¨fteplan mit geschlossenem Krafteck N Kra¨ftemaßstab: MK ¼ 400 ð1 cm ¼ b 400 NÞ cm

Aus der La¨nge der Kraftpfeile F2 und F3 werden mit Hilfe des festgelegten Kra¨ftemaßstabs die Betra¨ge der beiden Kra¨fte berechnet.

Der Richtungssinn der Kra¨fte F2 und F3 ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden geschlossenen Kra¨ftezugs („Einbahnverkehrs“-Regel).

Gemessen wird:

4. Schritt

N ¼ 660 N cm N ¼ 288 N F3 ¼ 0,72 cm 400 cm F2 ¼ 1,65 cm 400

Ergebnis:

5. Schritt

Die Stu¨tzkraft am rechten Auflagepunkt wirkt mit 660 N nach links oben, die am linken mit 288 N nach rechts oben.

36

1 Statik in der Ebene

b) Rechnerische Lo¨sung nach der analytischen Methode Die Lageskizze der freigemachten Walze mit den angreifenden Kra¨ften F1, F2 und F3 wird gezeichnet, die zugeho¨rigen Richtungswinkel a1, a2 und a3 werden berechnet und in die Skizze eingetragen.

Nun werden die beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen fu¨r das zentrale Kra¨ftesystem mit den Kra¨ften aus der Lageskizze angesetzt.

2. Schritt I. S Fx ¼ 0 ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 II. S Fy ¼ 0 ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3

Der Ansatz ergibt ein Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten F2 und F3, das nach den Regeln der Gleichungslehre gelo¨st wird, hier z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren. F3 ¼

1. Schritt

3. Schritt

F1 cos a1 F2 cos a2 F1 sin a1 F2 sin a2 ¼ cos a3 sin a3

F1 cos a1 sin a3 F2 cos a2 sin a3 ¼ F1 sin a1 cos a3 F2 sin a2 cos a3 F2 ðsin a2 cos a3 cos a2 sin a3 Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} sin ða2 a3 Þ F2 ¼ F1

F3 ¼

¼ F1 ð cos a1 sin a3 sin a1 cos a3 Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} sin ða3 a1 Þ

sin ða3 a1 Þ sin ð40 270 Þ ¼ 800 N ¼ 652,17 N sin ða2 a3 Þ sin ð110 40 Þ

F1 cos a1 F2 cos a2 800 N cos 270 652,17 N cos 110 ¼ ¼ 291,18 N cos a3 cos 40

Da beide Kra¨fte ein positives Ergebnis haben, war der angenommene Richtungssinn richtig.

4. Schritt Die Kraft F2 wirkt nach links oben, die Kraft F3 nach rechts oben.

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

37

c) Rechnerische Lo¨sung nach der trigonometrischen Methode Hinweis: ber die trigonometrische AuswerErgeben sich bei der Lo¨sung von Statikaufgaben tung von Kraft-Dreiecken beliebiger Form Kraftecke in Dreiecksform, kann deren trigonosollte eingehender im Fach Mathematik gemetrische Auswertung der einfachere Lo¨sungsweg sprochen werden, wenn die erforderlichen trisein. Bei rechtwinkligen Kraft-Dreiecken reichen gonometrischen Kenntnisse vorhanden sind. die Winkelfunktionen aus, bei schiefwinkligen Kraft-Dreiecken, wie in der vorliegenden Aufgabe, sind daru¨ber hinaus der Sinussatz oder der Kosinussatz erforderlich.

Wie bei jeder Lo¨sung nach der trigonometrischen Methode wird auch hier zuerst eine unmaßsta¨bliche Krafteckskizze gezeichnet. In diese werden alle Winkel sowie die Kra¨fte als Seitenla¨ngen des Dreiecks eingetragen. Der noch fehlende Winkel d ergibt sich hier aus der Bedingung, dass die Winkelsumme b þ g þ d ¼ 180 betragen muss: d ¼ 180 ðb þ gÞ ¼ 110 .

Da alle drei Winkel und eine Seite des Dreiecks bekannt sind, ko¨nnen mit dem Sinussatz die beiden noch fehlenden Seitenla¨ngen berechnet werden. Das sind hier die Kra¨fte F2 und F3.

Aus der Gleichung F3 =sin g ¼ F1 =sin d erha¨lt man die noch unbekannte Kraft F3. Auf dem gleichen Weg erha¨lt man aus F2 =sin b ¼ F1 =sin d die noch fehlende Kraft F2.

Der Richtungssinn der Kra¨fte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks („Einbahnverkehr“).

Aufgaben Nr. 49–71

Krafteckskizze

F3 F2 F1 ¼ ¼ sin g sin b sin d

Sinussatz mit den Bezeichnungen aus der Krafteckskizze

F3 ¼ F1

sin g sin 20 ¼ 291,18 N ¼ 800 N sin 110 sin d

F2 ¼ F1

sin b sin 50 ¼ 652,17 N ¼ 800 N sin 110 sin d

38

1 Statik in der Ebene

1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kra¨ftesystem 1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fu¨nfte Grundaufgabe), der Momentensatz Aufgabe: Fu¨r das in der Lageskizze dargestellte Kra¨ftesystem soll die Resultierende nach Betrag, Lage und Richtungssinn rechnerisch ermittelt werden. Die Wirklinien der Kra¨fte liegen parallel, weil dieser Fall die gro¨ßere praktische Bedeutung hat und der Lo¨sungsgang u¨bersichtlicher wird. Voru¨berlegung: Betrag und Richtungswinkel der Resultierenden werden auf dieselbe Weise berechnet wie in der ersten Grundaufgabe. Damit erha¨lt man zugleich Klarheit u¨ber die Verschiebewirkung des Kra¨ftesystems.

Frx ¼ S Fnx Fr ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Frx 2 þ Fry 2

Fry ¼ S Fny br ¼ arctan

jFry j jFrx j

Die Resultierende muss aber auch die gleiche Drehwirkung wie das Kra¨ftesystem haben. Davon ha¨ngt ihre Lage ab. Diese Erkenntnis ist im Momentensatz festgelegt:

Das Kraftmoment Mr der Resultierenden, bezogen auf einen beliebigen Punkt D, ist gleich der Summe der Kraftmomente der Einzelkra¨fte in Bezug auf denselben Punkt.

Mr ¼ M1 þ M2 þ M3 þ . . . þ Mn Fr l0 ¼ F1 l1 þ F2 l2 þ F3 l3 þ . . . þ Fn ln Momentensatz Beachte: Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einsetzen (links þ, rechts )

Lo¨sung: In eine unmaßsta¨bliche Lageskizze werden alle gegebenen Kra¨fte und alle bekannten Abstandsmaße eingetragen. Fu¨r den Momentensatz wird der Momentenbezugspunkt D festgelegt und zwar zweckma¨ßig auf der Wirklinie einer gegebenen Kraft, weil deren Kraftmoment dann null wird und nicht in die Rechnung eingeht. Betrag und Richtungssinn der Resultierenden Fr lassen sich dann nach der Lageskizze berechnen. Da hier alle Wirklinien parallel sind, braucht man nur die algebraische Summe aller Kra¨fte zu ermitteln.

Fr ¼ S Fy ¼ F1 F2 þ F3 F4 Fr ¼ 15 N 40 N þ 10 N 20 N Fr ¼ 65 N Das Minuszeichen bedeutet hier: Fr wirkt nach unten

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Erst dann wird die Resultierende mit dem ermittelten Richtungssinn in die Lageskizze eingetragen, und zwar auf einer Wirklinie, deren Lage man unter Beru¨cksichtigung der gegebenen Kra¨fte „nach Gefu¨hl“ annimmt (hier zwischen den Wirklinien von F2 und F3). Die tatsa¨chliche Lage der Resultierenden wird mit dem Momentensatz bestimmt. Der Bezugspunkt D ist auf der Wirklinie der Kraft F4 festgelegt. Dann wird das Kraftmoment der Kraft F4 gleich null, weil ihr Wirkabstand l4 gleich null ist.

Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung (þ und ) kennzeichnen den Drehsinn der Kraftmomente, sie haben also nichts mit dem Richtungssinn der Kra¨fte zu tun.

Ergibt sich der Abstand l0 positiv –– wie in diesem Fall ––, dann ist die Wirklinie der Resultierenden richtig in den Lageplan eingezeichnet. Ist er negativ, liegt die Wirklinie im errechneten Abstand auf der anderen Seite des Bezugspunkts D.

39 Beachte: Die Festlegung der WL von Fr ist willku¨rlich; sie ha¨tte hier auch rechts vom Bezugspunkt D eingezeichnet werden ko¨nnen.

þ Mr ¼ þM1 þ M2 M3 M4 Fr l 0 ¼ F1 l 1 þ F2 l 2 F3 l 3 0

l0 ¼

F1 l1 þ F2 l2 F3 l3 Fr

15 N 0,5 m þ 40 N 0,3 m 10 N 0,2 m 65 N l0 ¼ 0,269 m l0 ¼

Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 65 N in einem Abstand von 0,269 m links vom Bezugspunkt D rechtwinklig nach unten.

Arbeitsplan zum Momentensatz: Lageskizze mit den gegebenen Kra¨ften zeichnen.

1. Schritt

Resultierende und gegebenenfalls ihren Neigungswinkel berechnen.

2. Schritt

Resultierende in die Lageskizze einzeichnen (Lage der Wirklinie annehmen).

3. Schritt

Momentensatz aufstellen und die Gleichung nach l0 auflo¨sen.

4. Schritt

40

1 Statik in der Ebene

1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren Aufgabe: Ein gegebenes allgemeines Kra¨ftesystem soll reduziert werden, d. h. seine Resultierende Fr ist nach Betrag, Lage und Richtungssinn zu bestimmen. Der nebenstehende maßsta¨bliche Lageplan entha¨lt auch die Kra¨fte maßstabsgerecht, d. h. die La¨nge der Kraftpfeile entspricht den Betra¨gen der Kra¨fte. Voru¨berlegung: Da die Wirklinien der Kra¨fte keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, kann man auch nicht voraussagen, wo die Wirklinie der Resultierenden liegt. Das ist neu gegenu¨ber dem zentralen Kra¨ftesystem (siehe 1.2.4.2, Seite 26). Es gibt zwei Lo¨sungsmo¨glichkeiten:

a) Wiederholte Parallelogrammkonstruktion Man fasst zwei Kra¨fte maßsta¨blich zu einer Zwischenresultierenden zusammen, diese wieder mit einer gu¨nstig liegenden dritten Kraft zur na¨chsten Zwischenresultierenden und so fort, bis sa¨mtliche Kra¨fte schrittweise durch Parallelogrammzeichnungen erfasst sind und damit die Gesamtresultierende des Kra¨ftesystems gefunden worden ist. Im nebenstehenden Beispiel wurde F1 und F2 zur Zwischenresultierenden Fr1,2 , diese dann mit F3 zur neuen Zwischenresultierenden Fr1,2,3 zusammengesetzt und so fort. Man erha¨lt am Ende maßsta¨blich den Betrag, den Richtungssinn und die Lage der Gesamtresultierenden Fr. Auch jede andere Reihenfolge wu¨rde zum selben Ergebnis fu¨hren: Die Reihenfolge der Kra¨fte ist beliebig. Das Verfahren ist umsta¨ndlich und versagt ganz, wenn die Kra¨fte sich nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen lassen wie bei parallelen oder anna¨hernd parallelen Kra¨ften. Gerade dieser Fall kommt aber in der Technik ha¨ufig vor, so dass meist das folgende Verfahren benutzt wird.

Hinweis: Ein allgemeines Kra¨ftesystem hat keinen Zentralpunkt.

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

41

b) Das Seileckverfahren Lageplan

Aufgabe: Fu¨r das dargestellte Kra¨ftesystem soll die Resultierende Fr nach Betrag, Lage und Richtungssinn zeichnerisch ermittelt werden. Die drei gegebenen Kra¨fte F1 ¼ 55 N, F2 ¼ 25 N und F3 ¼ 40 N sind im Lageplan maßsta¨blich gezeichnet.

Lo¨sung: Aus dem Lageplan entwickelt sich in der bekannten Weise durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Kra¨fte F1 . . . F3 der Kra¨fteplan. Wie in der zweiten Grundaufgabe werden die drei Kra¨fte in beliebiger Reihenfolge maßsta¨blich und richtungsgema¨ß aneinander gereiht und die Resultierende Fr als Verbindungslinie vom Anfangspunkt der ersten Kraft bis zum Endpunkt der letzten Kraft eingezeichnet. Damit sind Betrag, Richtungssinn und Richtungswinkel der Resultierenden bekannt. Ihre Lage kann aber nur im Lageplan bestimmt werden.

Kra¨fteplan Kra¨ftemaßstab: MK ¼ 25

N cm

ð1 cm ¼ b 25 NÞ Gemessen wird: Fr ¼ 4,5 cm; das entspricht einer Kraft Fr ¼ 112,5 N, die nach unten gerichtet ist.

Der Kunstgriff beim Seileckverfahren besteht darin, dass man im Kra¨fteplan jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt, und zwar so, dass sich alle Komponenten in einem Punkt –– dem Pol P –– treffen. Dabei kann der Pol P beliebig gewa¨hlt werden. Es wird F1 zerlegt in die Komponenten S0 und S1, F2 zerlegt in die Komponenten S1 und S2, F3 zerlegt in die Komponenten S2 und S3. Die Teilkra¨fte S1 und S1 , S2 und S2 . . . sind jeweils gleich groß und gegensinnig. Sie heben sich also auf. Damit bleiben nur noch Anfangsund Endkomponente S0 und S3 im Kra¨fteplan u¨brig. Dies sind die Komponenten der Resultierenden Fr. In gleicher Weise geht man im Lageplan vor.

erweiterter Kra¨fteplan

42 Man zerlegt, ohne Beru¨cksichtigung des Betrags, die Kraft 9 F1 wieder in S0 und S1 auf WL 1; = ðRichtungen F2 wieder in S1 und S2 auf WL 2; aus dem ; F3 wieder in S2 und S3 auf WL 3; Kr¨afteplanÞ und zwar so, dass die Wirklinien der Komponenten S1 und S1 bzw. S2 und S2 zusammenfallen. Zerlegungspunkt I ist beliebig, die folgenden ergeben sich. Es heben sich also auch im Lageplan S1 und S1 , S2 und S2 wieder auf. brig bleiben nur noch die Komponenten S0 und S3. Dies sind die Komponenten der Resultierenden Fr (siehe Kra¨fteplan). Der Schnittpunkt ihrer Wirklinien muss ein Punkt der Wirklinie der Resultierenden sein (S). Damit ist auch deren Lage am Ko¨rper bestimmt. Die Kra¨fte S0 , S1, S1 , S2, . . . im Kra¨fteplan werden als Polstrahlen bezeichnet, im Lageplan dagegen als Seilstrahlen. Bei der praktischen Arbeit mit dem Seileckverfahren zeichnet man Pol- und Seilstrahlen nur als einfache Gerade, also ohne Pfeile, und bezeichnet sie mit 0, 1, 2, . . . (siehe Lehrbeispiel Seite 43). Der Linienzug, gebildet durch die Schnittpunkte der Teilkra¨fte (I, II, III . . . ), heißt Seileck, weil ein zwischen den Kra¨ften ausgespanntes Seil im Gleichgewicht ist und in den einzelnen Seilabschnitten die Seilkra¨fte S0 , S1 usw. auftreten.

1 Statik in der Ebene

Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 112,5 N auf der gefundenen Wirklinie nach unten. Beachte: Zu jedem Seilstrahlenschnittpunkt I, II, III . . . im Lageplan geho¨rt ein Polstrahlendreieck im Kra¨fteplan. Es mu¨ssen immer die richtigen Seilstrahlen auf der richtigen Wirklinie zum Schnitt gebracht werden, also S0 und S1 auf WL1, S1 und S2 auf WL2 usw. Die zusammengeho¨rigen Seilstrahlen zeigt der Kra¨fteplan.

Arbeitsplan zum Seileckverfahren: Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Einzelkra¨fte durch Krafteckzeichnung zu Fr vereinigen.

2. Schritt

Pol P beliebig wa¨hlen und Polstrahlen im Kra¨fteplan zeichnen.

3. Schritt

Seilstrahlen im Lageplan zeichnen (durch Parallelverschiebung der Polstrahlen aus dem Kra¨fteplan); Anfangspunkt I beliebig. Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt bringen.

4. Schritt

Schnittpunkt S der Seilzugenden ergibt die Lage der WL von Fr im Lageplan. Betrag und Richtungssinn zeigt der Kra¨fteplan. Aufgaben Nr. 72–82

5. Schritt 6. Schritt

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

43

Lehrbeispiel: Seileckverfahren, Zusammensetzung zweier Parallelkra¨fte a) Die Kra¨fte sind parallel, gleichsinnig, gleich groß: l

Lo¨sung:1)

l 2

WL Fr

l 2 F1

F2 Fr

1 Fr 2

0

F1

F2

Fr ¼ F1 þ F2

0 1

P

2

Die Wirklinie der Resultierenden liegt auf halbem Abstand zwischen den Kra¨ften.

b) Die Kra¨fte sind parallel, gleichsinnig, ungleich groß:

Lo¨sung:1)

WL Fr

l F1 l1 1

l2

F2

0 1

F2

2

Fr ¼ F1 þ F2 P

Fr

Fr

0

F1

Die Wirklinie der Resultierenden teilt den Abstand l im umgekehrten Verha¨ltnis der Kra¨fte F1 und F2.

2

WL Fr

c) Die Kra¨fte sind parallel, gegensinnig, ungleich groß:

Lo¨sung:1) l1

l

F2

0

F1 Fr

2

Fr

Fr ¼ F1 F2 P

2

Die Wirklinie der Resultierenden liegt nicht zwischen den beiden Wirklinien von F1 und F2.

1

1

F2

0

Beachte:

F1

d) Die Kra¨fte sind parallel, gegensinnig, gleich groß:

Lo¨sung:1) l F2

2

1

P

neues Kräftepaar

0

1)

Fr ¼ F1 F2 ¼ 0

0

2 F1

l1

F1

F2

siehe auch: Arbeitsplan, Seite 42

1

Die Zusammensetzung des Kra¨ftepaars liefert keine Resultierende, sondern zwei gleich große gegensinnig parallele Kra¨fte (0 und 2) mit anderer Lage und anderem Abstand: Ein Kra¨ftepaar kann nur durch ein anderes ersetzt und beliebig verschoben werden.

44

1 Statik in der Ebene

1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen im allgemeinen Kra¨ftesystem lauten: I: II: III:

S Fx ¼ 0 S Fy ¼ 0 S MðDÞ ¼ 0

Der Ko¨rper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kra¨fte (oder Komponenten) in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summe aller Kra¨fte (oder Komponenten) in Richtung der y-Achse gleich null ist und die Summe aller Kraftmomente, bezogen auf einen beliebigen Punkt D gleich null ist.

Aufgabe: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F ¼ 30 kN belastet. Die Stu¨tzkra¨fte im Halslager A und im Spurlager B sollen berechnet werden.

Lo¨sung: In die (unmaßsta¨bliche) Lageskizze des freigemachten Wanddrehkrans werden alle auf den Ko¨rper einwirkenden Kra¨fte eingezeichnet, auch die noch unbekannten. Man beginnt mit den nach Betrag, Wirklinie und Richtungssinn bekannten Kra¨ften. Das ist hier nur die lotrecht nach unten wirkende Belastungskraft F ¼ 30 kN. Der Wanddrehkran wird durch ein Loslager (Halslager A) und ein Festlager (Halslager B) in seiner Funktionsstellung gehalten. Von der Loslagerkraft FA ist nur die Wirklinie bekannt (waagerecht, parallel zur x-Achse, siehe Kap. 1.7.6). Der Richtungssinn muss angenommen werden, z.B. in positiver x-Richtung (nach rechts) oder negativer (nach links). Dabei bietet es sich an, den Richtungssinn nach physikalischem Empfinden anzunehmen, hier also in negativer x-Richtung (nach links). War der angenommene Richtungssinn falsch, zeigt sich bei der Rechnung ein negativer Betrag. Dieser Fall wird zur Probe angenommen. Fu¨r die Festlagerkraft FB im Spurlager B sind Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt (siehe 1.7.7). Dann arbeitet man im Koordinatensystem mit den Komponenten FBx und FBy, jeweils mit positivem Richtungssinn an. Bei der Rechnung weist ein negativer Betrag auf den entgegengesetzten Richtungssinn hin.

Aufgabenskizze

Lageskizze des freigemachten Drehkrans (mit nach Rechnung korrigiertem Richtungssinn von FA)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

45

Anhand der Lageskizze werden nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Man erha¨lt ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten FA , FBx und FBy, das mit den Regeln der Gleichungslehre schrittweise nach diesen Gro¨ßen aufgelo¨st wird.

Beachte: Auch gegen die (richtige) Vorstellung FA wirkt nach links, bleibt es bei der Regel: positives Vorzeichen annehmen.

Das negative Vorzeichen bei FA ¼ 25 kN zeigt, dass FA nicht nach rechts, sondern nach links wirkt. Das negative Vorzeichen (25 kN) wird beibehalten. Es ergibt sich richtig FBx ¼ þ25 kN.

III: FA ¼

I: S Fx ¼ 0 ¼ FA þ FBx II: S Fy ¼ 0 ¼ F þ FBy III: S MðDÞ ¼ 0 ¼ FA l1 Fl2

I: II:

Fl2 30 kN 3 m ¼ ¼ 25 kN l1 3,6 m

FBx ¼ FA ¼ ð25 kNÞ ¼ 25 kN FBy ¼ F ¼ 30 kN

Den Momentenbezugspunkt D fu¨r Gleichung III legt man in den Schnittpunkt mo¨glichst vieler unbekannter Kra¨fte. Dadurch haben diese Kra¨fte keine Drehwirkung und erscheinen nicht in der Momentengleichgewichtsbedingung. In den meisten Fa¨llen entha¨lt dann diese Gleichung nur eine Unbekannte, die sofort berechnet werden kann: Die Momentengleichung (III) ist meist der Schlu¨ssel zur Lo¨sung. Wichtig ist außerdem die Erkenntnis, dass auch jeder Punkt außerhalb der Bauteile als Bezugspunkt benutzt werden kann, wenn dadurch die Rechnungen einfacher werden.

Ergibt sich eine negative Kraft (d. h. mit Minus-Vorzeichen), wie hier die Kraft FA, dann bedeutet das, dass sie dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt. Die Kra¨fte FBx und FBy ergeben sich aus der Rechnung positiv (d. h. mit Plus-Vorzeichen). Das bedeutet, dass in der Lageskizze ihr Richtungssinn richtig angenommen wurde. Beachte: Das Minus-Zeichen bei der Kraft FA muss bei der weiteren Auflo¨sung des Gleichungssystems mitgefu¨hrt werden.

Aus den Komponenten FBx und FBy berechnet man die Stu¨tzkraft FB als Resultierende wie in der ersten Grundaufgabe. Falls erforderlich, wird der Richtungswinkel ihrer Wirklinie u¨ber die Tangensfunktion ermittelt.

FB ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FBx 2 þ FBy 2 ¼ ð25 kNÞ2 þ ð30 kNÞ2

FB ¼ 39,051 kN a ¼ arctan

jFBy j 30 kN ¼ 50,2 ¼ arctan 25 kN jFBx j

Ergebnis: Im Lager A wirkt eine Kraft von 25 kN nach links, im Lager B eine Kraft von 39 kN nach rechts oben.

Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kra¨fte: Lageskizze des freigemachten Bauteils mit allen Kra¨ften zeichnen; Richtungssinn der unbekannten Kra¨fte nach der Richtungsregel (Seite 28) annehmen.

1. Schritt

Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und auswerten.

2. Schritt

Falls erforderlich, Richtungssinn der unbekannten Kra¨fte in der Lageskizze korrigieren.

3. Schritt

46 Nachtrag: Dieselbe Aufgabe kann auch nach folgender Methode gelo¨st werden. Zur Erla¨uterung wird die Lagerskizze u¨bernommen. Die Loslagerkraft F A ist jetzt mit tatsa¨chlichem Richtungssinn eingezeichnet (linksdrehend). Zur Erinnerung: Die beiden gesuchten Lagerkra¨fte FA und FB wurden mit den beiden Kraftund einer Momentengleichgewichtsbedingung berechnet (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM( ) ¼ 0). Jetzt wird gezeigt, dass die Auswertung eines Gleichungssystems mit drei Momentengleichgewichtsbedingungen um drei Bezugspunkte zu denselben Ergebnissen fu¨hrt. Die Bezugspunkte wa¨hlt man so aus, dass sie mit La¨ngenmaßen leicht beschreibbar sind und nicht auf einer Geraden liegen, z. B. nach der Lageskizze mit SM (I) ¼ 0, SM (II) ¼ 0, SM (III) ¼ 0. Gleichungssysteme dieser Art werden als statisch a¨quivalent bezeichnet. Damit steht ein weiteres rechnerisches Gleichungssystem zur Bestimmung unbekannter Gleichgewichtskra¨fte zur Verfu¨gung:

1 Statik in der Ebene

Gegeben: F ¼ 30 kN l1 ¼ 3,6 m l2 ¼ 3 m

Lageskizze I:

S MðIÞ ¼ 0 ¼ FA l1 Fl2

II: S MðIIÞ ¼ 0 ¼ FBx l1 Fl2 III: S MðIIIÞ ¼ 0 ¼ FBx l1 FBy l2 I:

FA ¼

Fl2 30 kN 3 m ¼ ¼ 25 kN l1 3,6 m

II: FBx ¼

Fl2 30 kN 3 m ¼ ¼ 25 kN l1 3,6 m

FBx l1 25 kN 3,6 m ¼ 30 kN ¼ 3m l2 Hinweis: Auf diese Weise berechnet man beim Ritter’schen Schnittverfahren unbekannte Stabkra¨fte in Fachwerken (Seite 72).

III: FBy ¼

Ein Ko¨rper befindet sich auch dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller einwirkenden Kraftmomente auf drei beliebige Punkte gleich null ist. Einschra¨nkung: Die ausgewa¨hlten Punkte du¨rfen nicht auf einer Geraden liegen (Geradenregel). Zur Geradenregel: Mit der Bedingung SM (I) ¼ 0 ist fu¨r eine beliebige ebene Kra¨ftegruppe noch kein Gleichgewicht sichergestellt, weil eine durch den Bezugspunkt (I) selbst wirkende Resultierende den Ko¨rper in Kraftrichtung verschiebt. Gleiches gilt fu¨r SM (II) ¼ 0 und SM (III) ¼ 0; hier wird eine durch (I und II) wirkende Resultierende nicht erfasst. Erst wenn die drei gewa¨hlten Bezugspunkte keine gemeinsame Gerade haben, ist Gleichgewicht erreicht und es ko¨nnen unbekannte Gleichgewichtskra¨fte berechnet werden. 1.2.5.4 bung zur Stu¨tzkraftberechnung Der skizzierte federbelastete Winkelhebel wird von einem Festlager (zweiwertig) und einem Loslager (einwertig) im Ruhezustand gehalten. In der gezeichneten Hebelstellung betra¨gt die Spannkraft der Zugfeder F ¼ 1 kN. Mit Hilfe der drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen sollen die Stu¨tzkra¨fte in den beiden Lagerpunkten ermittelt werden.

Aufgabenskizze

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Die Lageskizze wird mit allen am Winkelhebel angreifenden Kra¨ften und deren Komponenten in x- und y-Richtung gezeichnet. Das sind Belastungskraft F mit Fx ¼ F cos a und Fy ¼ F sin a Loslagerkraft FL mit FLx ¼ FL sin b und FLy ¼ FL cos b Festlagerkraft FF mit FFx ¼ FF cos g und FFy ¼ FF sin g. Die Loslagerkraft FL wirkt als Normalkraft rechtwinklig zur Stu¨tzfla¨che des Loslagers. Damit liegt der Richtungssinn durch die Loslagerkonstruktion fest. Der Richtungssinn der Festlagerkraft FF ist nicht bekannt und wird nach der Richtungsregel von Seite 28 festgelegt (Annahme hier: FF wirkt im ersten Quadranten, also nach rechts oben). Mit den Bezeichnungen aus der Lageskizze werden nun die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Der Drehpunkt D fu¨r den Ansatz der Momentengleichgewichtsbedingung wird wieder in den Festlagerpunkt D gelegt, weil Gleichung III dann nur eine Unbekannte entha¨lt (FL). Aus der Momentengleichgewichtsbedingung S MðDÞ ¼ 0 erha¨lt man den Betrag der Loslagerkraft FL ¼ 188,1 N. Die beiden Kra¨ftegleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 lo¨st man nach FFx ¼ FF cos g und FFy ¼ FF sin g auf und berechnet diese Komponenten der Festlagerkraft. Die Rechnung ergibt fu¨r beide Kraftkomponenten FFx und FFy das negative Vorzeichen und zeigt damit, dass der Richtungssinn der Festlagerkraft FF falsch angenommen wurde. Die Komponenten FFx und FFy stehen rechtwinklig aufeinander, so dass mit dem Satz des Pythagoras der Betrag der Festlagerkraft FF berechnet werden kann. Die Lageskizze zeigt, dass der Winkel g aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Komponenten FFx und FFy u¨ber die Arcus-Tangensfunktion berechnet werden kann.

47

Lageskizze Gegeben: F ¼ 1 kN, a ¼ 20 , b ¼ 50 l1 ¼ 120 mm, l2 ¼ 40 mm l3 ¼ 30 mm

I:

S Fx ¼ 0 ¼ F cos a FL sin b þ FF cos g

II:

S Fy ¼ 0 ¼ F sin a þ FL cos b þ FF sin g

III: S MðDÞ ¼ 0 ¼ F sin al2 F cos al3 þ FL cos bl1

FL ¼

Fðl3 cos a l2 sin aÞ ¼ 188,1 N l1 cos b

I: FF cos g ¼ F cos a þ FL sin b ¼ FFx

FFx ¼ 1 000 N cos 20 þ 188,1 N sin 50 FFx ¼ 795,6 N (falsche Richtungsannahme)

II. FF sin g ¼ F sin a FL cos b ¼ FFy FFy ¼ ð1 000 N sin 20 þ 188,1 N cos 50 Þ FFy ¼ 462,9 N (falsche Richtungsannahme)

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FFx 2 þ FFy 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FF ¼ ð795,6 NÞ2 þ ð462,9 NÞ2 FF ¼ 920,5 N jFFy j 462,9 N ¼ arctan g ¼ arctan jFFx j 795,6 N

FF ¼

g ¼ 30,19

48

1 Statik in der Ebene

1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung von unbekannten Kra¨ften (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Fu¨r diese Aufgabe stehen zwei Lo¨sungsverfahren zur Verfu¨gung.

Hinweis: Fu¨r alle Verfahren mu¨ssen wieder ein Lageplan und ein Kra¨fteplan maßsta¨blich gezeichnet werden.

a) Das 3-Kra¨fte-Verfahren (Gleichgewicht von 3 nicht parallelen Kra¨ften) Drei nicht parallele Kra¨fte sind im Gleichgewicht, wenn sich die Wirklinien der Kra¨fte in einem Punkt schneiden und das Krafteck sich schließt.

Aufgabe: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F ¼ 30 kN belastet. Er hat oben ein einwertiges Halslager A und unten ein zweiwertiges Spurlager B. Die Kra¨fte FA und FB in diesen beiden Lagern sollen zeichnerisch ermittelt werden.

Hinweis: Das 3-Kra¨fte-Verfahren ist nicht anwendbar bei parallelen Wirklinien. Dann bleibt allein die rechnerische Lo¨sung (siehe Seite 44).

Aufgabenskizze

Voru¨berlegung: Im Lageplan des Wanddrehkranes erkennt man die Kra¨fte: Belastung F: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Halslagerkraft FA: Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt (einwertiges Lager), Richtungssinn angenommen; Spurlagerkraft FB: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt (zweiwertiges Lager); FB wird zuna¨chst durch die Komponenten FBx und FBy ersetzt und mit angenommenem Richtungssinn eingezeichnet. Ist die Wirklinie von FB nicht bekannt, kann kein Kra¨fteplan gezeichnet werden. Dann lassen sich auch die Betra¨ge von FA und FB nicht ermitteln. Zuerst muss man die Wirklinie von FB finden.

Lageplan

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

49

Werden gedanklich die Kra¨fte FA und F, deren Wirklinien bekannt sind, zur Resultierenden Fr zusammengefasst, hat man es wieder mit nur zwei Kra¨ften zu tun. Angriffspunkt der Resultierenden Fr ist der Punkt S, der Schnittpunkt der Wirklinien der Kra¨fte FA und F. Die Resultierende Fr kann mit der Lagerkraft FB nur dann im Gleichgewicht stehen, wenn beide Kra¨fte auf gleicher Wirklinie liegen und ihr Krafteck geschlossen wird. Also muss die Wirklinie der Lagerkraft FB ebenfalls durch den Punkt S gehen.

Lo¨sung: Wie bei jeder zeichnerischen Lo¨sung wird erst der Lageplan mit allen bekannten Wirklinien maßsta¨blich aufgezeichnet. Nach der Voru¨berlegung wird im Lageplan die Wirklinie der Spurlagerkraft FB festgelegt. Dazu bringt man die Wirklinien der Kra¨fte F und FA zum Schnitt. Ihr Schnittpunkt S ist ein Punkt der Wirklinie von FB. Der andere Punkt ist der Lagerpunkt B selbst. Eine Gerade, durch die Punkte B und S gelegt, muss die Wirklinie der Spurlagerkraft FB sein.

Lageplan m cm ð1 cm ¼ b 1,5 mÞ

La¨ngenmaßstab: ML ¼ 1,5

Nachdem nun alle Wirklinien bekannt sind, wird der Kra¨fteplan gezeichnet. Man legt den Kra¨ftemaßstab fest und verschiebt zuerst die gegebene Kraft F parallel aus dem Lageplan. Dann wird das Krafteck mit den parallel verschobenen Kra¨ften FA und FB auf genau die gleiche Weise geschlossen wie bei der vierten Grundaufgabe (Seite 32). Aus der La¨nge der Kraftpfeile werden wieder mit Hilfe des Kra¨ftemaßstabs die Betra¨ge der Kra¨fte FA und FB berechnet. Dasselbe gilt fu¨r die Komponenten FBx und FBy der Spurlagerkraft. Der Richtungssinn der gesuchten Kra¨fte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks nach der „Einbahnverkehrs“-Regel. Den Neigungswinkel der Spurlagerkraft entnimmt man dem Lageplan oder dem Kra¨fteplan. Zum Schluss wird der Richtungssinn der gefundenen Kra¨fte in den Lageplan u¨bertragen.

Kra¨fteplan Kra¨ftemaßstab: MK ¼ 15

kN cm

ð1 cm ¼ b 15 kNÞ Gemessen wird: kN ¼ 25,5 kN cm kN FB ¼ 2,6 cm 15 ¼ 39 kN cm

FA ¼ 1,7 cm 15

Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss im Halslager eine Kraft von 25,5 kN waagerecht nach links, im Spurlager eine Kraft von 39 kN nach rechts oben wirken.

50

1 Statik in der Ebene

Arbeitsplan zum 3-Kra¨fte-Verfahren: Lageplan mit freigemachtem Bauteil zeichnen und darin Wirklinien der Belastung und der einwertigen Lagerkraft festlegen. Bekannte Wirklinien zum Schnitt S bringen. Schnittpunkt S mit zweiwertigem Lagerpunkt verbinden; damit sind alle Wirklinien bekannt. Krafteck mit einer bekannten Kraft beginnen und mit den unbekannten Kra¨ften schließen. Richtungssinn in den Lageplan u¨bertragen.

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

Aufgaben Nr. 83–116

b) Das 4-Kra¨fte-Verfahren (Gleichgewicht von 4 nicht parallelen Kra¨ften) Vier nicht parallele Kra¨fte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierende je zweier Kra¨fte eine gemeinsame Wirklinie haben –– die Culmann’sche Gerade –– und das Krafteck sich schließt. Aufgabe: Ein gerader Stab hat an seinen beiden Enden zwei frei drehbare Rollen A und B, die sich an einer vertikalen und einer abwa¨rts geneigten Fla¨che reibungsfrei abstu¨tzen. Der Stab wu¨rde durch die Kraft F1 ¼ 50 N nach unten verschoben werden, wenn ihn nicht die waagerecht gespannte Zugfeder in der skizzierten Ruhelage festhielte. Die Federkraft F2 und die Stu¨tzkra¨fte FA, FB an den Rollen sollen zeichnerisch ermittelt werden. Voru¨berlegung: Der Lageplan des freigemachten Rollstabs zeigt die Kra¨fte: Belastung F1: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Federkraft F2: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Zugfeder u¨bertra¨gt nur Zugkra¨fte in Spannrichtung); Stu¨tzkraft FA: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollko¨rper); Stu¨tzkraft FB: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollko¨rper).

Hinweis: Das 4-Kra¨fte-Verfahren ist nicht anwendbar bei mehr als zwei parallelen Kra¨ften. Dann bleibt nur die rechnerische Lo¨sung (siehe Seite 44).

Aufgabenskizze

Lageplan

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

51

Es wirken also vier Kra¨fte mit bekannten Wirklinien und bekanntem Richtungssinn. Fu¨r drei von ihnen mu¨ssen nur noch die Betra¨ge ermittelt werden. Werden nun wieder (wie beim 3-Kra¨fte-Verfahren) gedanklich je zwei Kra¨fte zu einer Resultierenden zusammengefasst, z. B. die Kra¨fte F1 und FA zu Fr1,A und die Kra¨fte F2 und FB zu Fr2,B, hat man es wiederum mit nur zwei Kra¨ften zu tun. Diese beiden Resultierenden ko¨nnen nur im Gleichgewicht stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte I und II sein. Die auf der gemeinsamen Culmann’schen Geraden wirkenden Resultierenden Fr1,A und Fr2,B mu¨ssen natu¨rlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. Welche beiden Kra¨fte jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst werden, ist gleichgu¨ltig. Man kann z. B. auch die Kra¨fte F1 und F2 zur Resultierenden Fr1,2 und FA und FB zur Resultierenden FrA; B zusammenfassen. Das ergibt dann zwar eine andere Lage der Culmann’schen Geraden und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, das Ergebnis wird aber hierdurch nicht beeinflusst. Voraussetzung fu¨r die Anwendbarkeit des 4-Kra¨fte-Verfahrens ist nur, dass alle vier Wirklinien bekannt sind. Lo¨sung: Man zeichnet im maßsta¨blichen Lageplan des Rollstabs die Wirklinie der gegebenen Kraft F1 ein. Nach den Regeln fu¨r das Freimachen der Bauteile (hier Regeln 1 und 4, Seite 12 und 14) werden die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskra¨fte F2, FA und FB ermittelt und ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann bringt man je zwei Wirklinien miteinander zum Schnitt, z. B. F1 und FA im Schnittpunkt I und F2 und FB im Schnittpunkt II. Jetzt wird die Culmann’sche Gerade als Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte eingezeichnet. Sie ist die gemeinsame Wirklinie der beiden Teilresultierenden Fr1,A und Fr2,B.

Lageplan La¨ngenmaßstab: ML ¼ 0,2

m cm

ð1 cm ¼ b 0,2 mÞ

52 Im Kra¨fteplan wird zuerst die gegebene Kraft F1 maßsta¨blich und richtungsgema¨ß gezeichnet. Dann u¨bertra¨gt man die Culmann’sche Gerade vom Lage- in den Kra¨fteplan, la¨sst sie durch Anfangsoder Endpunkt von F1 laufen und schließt dieses Krafteck durch die zugeho¨rige Kraft FA. Das Krafteck zeigt die Kra¨fte F1, FA und ihre Teilresultierende Fr1,A. Die gleichgroße Teilresultierende Fr2,B hat entgegengesetzten Richtungssinn. Aus ihr und den parallel verschobenen Kra¨ften F2 und FB wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck gebildet. Damit ist der Kra¨ftezug aus F1, F2, FB und FA geschlossen.

1 Statik in der Ebene

Kra¨fteplan Kra¨ftemaßstab: N ð1 cm ¼ MK ¼ 20 b 20 NÞ cm

Gemessen wird:

Aus der La¨nge der Kraftpfeile werden dann mit Hilfe des Kra¨ftemaßstabes die Betra¨ge der Gleichgewichtskra¨fte berechnet.

Den Richtungssinn der Kra¨fte F2, FB und FA findet man aus der Bedingung des fortlaufenden Kra¨ftezugs, d. h. der Umfahrungssinn beim Einzeichnen der Pfeilspitzen muss, von F1 ausgehend, beibehalten werden („Einbahnverkehr“).

N ¼ 53 N cm N ¼ 39 N FA ¼ 1,95 cm 20 cm N ¼ 52 N FB ¼ 2,6 cm 20 cm Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss die Feder mit 53 N nach links ziehen. An der Rolle A wirkt die Stu¨tzkraft FA mit 39 N nach rechts und an der Rolle B die Stu¨tzkraft FB mit 52 N nach rechts oben. F2 ¼ 2,65 cm 20

Arbeitsplan zum 4-Kra¨fte-Verfahren: Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen und darin die Wirklinien der Belastung und der Stu¨tzkra¨fte festlegen. Wirklinien von je zwei Kra¨ften zum Schnitt bringen.

1. Schritt 2. Schritt

Gefundene Schnittpunkte zur Wirklinie der beiden Teilresultierenden 3. Schritt (¼ Culmann’sche Gerade) verbinden. Kra¨fteplan mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft 4. Schritt anfangen. Kra¨fteplan mit der Culmann’schen Geraden und den Wirklinien der anderen 5. Schritt Kra¨fte schließen. Beachte: Die Kra¨fte eines Schnittpunkts im Lageplan ergeben ein Teil-Dreieck im Kra¨fteplan.

Aufgaben Nr. 117–136

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

53

1.2.6 Systemanalytisches Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung Dieser Abschnitt sollte erst dann bearbeitet werden, wenn die rechnerische Ermittlung von Stu¨tzkra¨ften an zweifach gelagerten Bauteilen sicher beherrscht wird. Die Lehrinhalte dieses Lo¨sungsverfahrens zur Stu¨tzkraftberechnung eignen sich gut fu¨r ein abschließendes Statik-Projekt mit Gruppenarbeit. Die Bezeichnung „systemanalytisch“ soll darauf hinweisen, dass Kra¨fte und geometrische Gro¨ßen in einem rechtwinkligen Achsenkreuz erfasst und mathematisch allgemein gu¨ltig verarbeitet werden. Mit den drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0 und S M ¼ 0 soll ein Gleichungssystem entwickelt werden, mit dem die Stu¨tzkra¨fte (Fest- und Loslagerkra¨fte) bei beliebiger Lageranordnung „automatisiert“ berechnet werden ko¨nnen. Fu¨r die Anzahl der Belastungskra¨fte F gibt es keine Beschra¨nkung, auch nicht fu¨r ihre Lage zueinander. Vorausgesetzt wird nur, dass die Ko¨rper (Tra¨ger, Kran, Hebel usw.) durch ein Festlager und ein Loslager gehalten werden, wie der Winkelhebel in der vorhergehenden Aufgabe. Gleichungssysteme dieser Art sind Bausteine fu¨r die Entwicklung von Rechnerprogrammen, die der Techniker fu¨r seine Arbeit in der Praxis erstellen kann.

1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen Das gesuchte Gleichungssystem soll am Winkelhebel aus der vorhergehenden bungsaufgabe entwickelt werden. Dann stehen Vergleichsdaten zur Verfu¨gung. Aufgabe: Neben der Bemaßung des Hebels ist die Belastungskraft F1 mit dem Richtungswinkel a1 gegeben. Zu berechnen sind: Festlagerkraft FF und deren Komponenten FFx, FFy und die Loslagerkraft FL. Wichtig ist noch die Erkenntnis, dass bei allen Aufgaben dieser Art der Richtungswinkel aL der Loslagerkraft FL bekannt sein muss: Die Loslagerkraft FL steht immer rechtwinklig auf der Auflagerfla¨che (siehe Seite 15). Lo¨sung: Die Lageskizze des freigemachten Winkelhebels wird in den ersten Quadranten eines rechtwinkligen Achsenkreuzes eingezeichnet. Aus den gegebenen Maßen lassen sich die Koordinaten der Kraftangriffspunkte berechnen: x1 und y1 fu¨r die Kraft F1, xF und yF fu¨r den Festlagerpunkt PF und xL , yL fu¨r den Loslagerpunkt PL. Alle gegebenen Gro¨ßen werden in einer Tabelle zusammengefasst.

Aufgabenskizze Gegeben: F1 ¼ 1 kN, a1 ¼ 20 , b ¼ 50 l1 ¼ 120 mm, l2 ¼ 40 mm l3 ¼ 30 mm

Lageskizze

54

1 Statik in der Ebene

Tabelle der gegebenen Gro¨ßen (Index n steht fu¨r 1, 2, 3, usw.) an in

Fn in N

1 2 3 4 5

40 30 20 1000 ... ... ... ... Zeilen fu¨r mehr als eine gegebene Kraft, z. B. bei n ¼ 5 fu¨r F1, F2 , F3 , F4 , F5 ... ... ... ...

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

n

xn in mm

yn in mm

Als erstes werden die Gleichungen fu¨r die Momente M der gegebenen Kraft F1 in Bezug auf den Festlagerpunkt PF ermittelt. Diese Gleichungen sollen fu¨r beliebig viele gegebene Kra¨fte Fn mit beliebigen Richtungswinkeln an zwischen 0 und 360 gelten, ebenso fu¨r beliebig geformte Bauteile, d. h. fu¨r beliebige Lagen der Kraftangriffspunkte Pn.

Koordinaten des Festlagerpunkts

xF ¼ 0 yF ¼ 0

Koordinaten des Loslagerpunkts

xL ¼ 120 mm yL ¼ 0

Richtungswinkel der Loslagerkraft FL

aL ¼ 140

Dazu wird nach dem Lageschema der Festlagerpunkt PF in den Ursprung eines rechtwinkligen Achsenkreuzes mit den vier Quadranten gelegt.

Lageschema fu¨r die Kraftangriffspunkte Pn, bezogen auf den Momentendrehpunkt (Festlagerpunkt PF).

Die Untersuchung, die gut in Gruppenselbstarbeit durchfu¨hrbar ist, fu¨hrt zu dem folgenden Gleichungssystem in Abha¨ngigkeit von der jeweiligen Koordinatenbedingung:

Beachte: Damit der Klammerausdruck fu¨r die Koordinatendifferenz in den folgenden Gleichungen immer einen positiven Wert hat, wird er in Betragsstriche gesetzt. Es wird also immer mit dem Absolutwert der Differenz gerechnet.

Fu¨r Kra¨fte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten liegt, gilt Gleichung (I):

Mxn ¼ Fn cos an jðyn yF Þj Myn ¼ þFn sin an jðxn xF Þj

(I)

Gilt fu¨r xn xF und yn yF (Koordinatenbedingung)

Fu¨r Kra¨fte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten liegt, gilt Gleichung (II):

Mxn ¼ Fn cos an jðyn yF Þj Myn ¼ Fn sin an jðxn xF Þj Gilt fu¨r xn < xF und yn yF (Koordinatenbedingung)

(II)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Fu¨r Kra¨fte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten liegt, gilt Gleichung (III):

55 Mxn ¼ þFn cos an jðyn yF Þj Myn ¼ Fn sin an jðxn xF Þj

(III)

Gilt fu¨r xn < xF und yn < yF (Koordinatenbedingung)

Fu¨r Kra¨fte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten liegt, gilt Gleichung (IV):

Mxn ¼ þFn cos an jðyn yF Þj Myn ¼ þFn sin an jðxn xF Þj

(IV)

Gilt fu¨r xn xF und yn < yF (Koordinatenbedingung)

Zur Lo¨sung einer Aufgabe ist zuerst die zutreffende Koordinatenbedingung herauszusuchen. Damit kann die fu¨r diesen Fall gu¨ltige Gleichung der vier Gleichungen (I) . . . (IV) festgelegt werden. Zur Gliederung der Lo¨sung wird dieser Schritt als Abfrage bezeichnet (siehe auch Seite 61).

Nach der Lageskizze (Seite 53) fu¨hrt die Abfrage 1 zu xn ¼ x1 > xF und yn ¼ y1 > yF (40 mm > 0 und 30 mm > 0). Ein Vergleich der vier Koordinatenbedingungen zeigt, dass mit Gleichung (I) zu rechnen ist.

Die Rechnung ergibt Mx1 ¼ 28,19 Nm (rechtsdrehend) fu¨r das Moment der x-Komponente F1x. Die y-Komponente F1y bewirkt das linksdrehende Moment My1 ¼ þ13,68 Nm. Der Drehsinn ist richtig, wie die Lageskizze zeigt (Seite 53).

Mx1 Mx1 My1 My1

Greifen mehr als eine Belastungskraft am Ko¨rper an (F1, F2, F3 . . . ), muss der Rechnungsgang entsprechend ha¨ufig durchlaufen werden. Fu¨r jede Kraft wird festgestellt, welche der vier Gleichungen (I) . . . (IV) gilt (Abfrage 1). Danach werden die Momente Mx1, My1, Mx2, My2, Mx3, My3 . . . berechnet.

In einem Rechnerprogramm sorgt eine Programmschleife mit Abfrage fu¨r die Wiederholung des Rechengangs (siehe Seite 61).

Der weitere Rechnungsgang vereinfacht sich, wenn die statischen Momente der Einzelkra¨fte Mxn , Myn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF (Festlagerpunkt) zu einem resultierenden Gesamtmoment Mg addiert werden.

Mg ¼ S Mxn þ S Myn Mg ¼ Mx1 þ Mx2 þ . . . My1 þ My2 þ . . .

¼ 1 000 N cos 20 jð30 0Þj mm ¼ 28 190,8 Nmm ¼ 28,19 Nm ¼ þ1 000 N sin 20 jð40 0Þj mm ¼ þ13 680,8 Nmm ¼ þ13,68 Nm

Beachte: Diese Gleichung hat nur den Zweck, die Rechnung bei mehreren Kra¨ften Fn zu vereinfachen.

56 Neben den Belastungskra¨ften Fn wirkt immer noch die Loslagerkraft FL drehend in Bezug auf den Festlagerpunkt PF. Deren statisches Moment ist ML ¼ MxL þ MyL . Die vier Gleichungen (I) . . . (IV) gelten fu¨r jede Kraft, die auf den Ko¨rper wirkt, also auch fu¨r die Loslagerkraft FL mit ihren Komponenten FLx ¼ FL cos aL und FLy ¼ FL sin aL : Mit der Koordinatenbedingung wird als gu¨ltige Gleichung fu¨r die Aufgabe Gleichung (I) ermittelt. Damit sind alle Gleichungen erfasst, die fu¨r die Momentengleichgewichtsbedingung S MðPFÞ ¼ 0 erforderlich sind.

Aus der Momentengleichgewichtsbedingung S MðPFÞ ¼ 0 wird nun eine Gleichung fu¨r die Loslagerkraft FL entwickelt. Je nach Lage des Loslagerpunkts PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF ergeben sich vier Gleichungen: Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten, gilt fu¨r die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (I). Damit ergibt sich die Gleichung (V):

1 Statik in der Ebene Da xL ¼ 120 mm > xF ¼ 0 und yL ¼ 30 mm > yF ¼ 0 ist, liegt der Loslagerpunkt PL im ersten Quadranten, und es gelten die Gleichungen (I): MxL ¼ FL cos aL jðyL yF Þj

Die Gleichungen werden fu¨r die weitere Entwicklung gebraucht. Da FL noch nicht bekannt ist, kann ML an dieser Stelle auch noch nicht berechnet werden. S MðPFÞ ¼ 0 S MðPFÞ ¼ Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 Mg ¼ Mx1 þ My1 þ . . . Mxn þ Myn S MðPLÞ ¼ 0 ¼ Mg þ MxL þ MyL FL ¼ ?

Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 Mg þ ½FL cos aL jðyL yF Þj þ þ ½þFL sin aL jðxL xF Þj ¼ 0

FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj cos aL jðyL yF Þj

Gilt fu¨r xL xF und yL yF (Koordinatenbedingung)

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten, gilt fu¨r die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (II). Damit ergibt sich die Gleichung (VI):

(I)

MyL ¼ þFL sin aL jðxL xF Þj

(V)

Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 Mg þ ½FL cos aL jðyL yF Þj þ þ ½FL sin aL jðxL xF Þj ¼ 0

FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj cos aL jðyL yF Þj

Gilt fu¨r xL < xF und yL yF (Koordinatenbedingung)

(VI)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten, gilt fu¨r die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (III). Damit ergibt sich die Gleichung (VII):

57 Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 Mg þ ½þFL cos aL jðyL yF Þj þ ½FL sin aL jðxL xF Þj ¼ 0 FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj þ cos aL jðyL yF Þj (VII)

Gilt fu¨r xL < xF und yL < yF (Koordinatenbedingung)

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten, gilt fu¨r die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (IV). Damit ergibt sich die Gleichung (VIII):

Mg þ MxL þ MyL ¼ 0 Mg þ ½þFL cos aL jðyL yF Þj þ þ ½þFL sin aL jðxL xF Þj ¼ 0 FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj þ cos aL jðyL yF Þj

Gilt fu¨r xL xF und yL < yF (Koordinatenbedingung)

(VIII)

Eine Abfrage 2 im Lo¨sungsgang hat das Ziel, die gu¨ltige Gleichung aus (V) . . . (VIII) herauszufinden. Richtgro¨ßen fu¨r die Auswahl der richtigen Gleichung sind die Koordinaten xL , yL, xF , yF (siehe Lageskizze, Seite 53).

In der Aufgabe ist xL ¼ 120 mm > xF ¼ 0 und yL ¼ yF ¼ 0 Damit gilt fu¨r die Berechnung der Loslagerkraft FL die Gleichung (V) mit xL > xF und yL ¼ yF . Da nur eine a¨ußere Kraft F1 am Winkelhebel angreift, ist die Momentensumme Mg ¼ Mx1 þ My1 ¼ 28,19 Nm þ ðþ13,68 NmÞ Mg ¼ 14,51 Nm.

Fehlerwarnung: Der ausgerechnete Betrag fu¨r die Loslagerkraft FL muss immer positiv sein. Ist der Betrag negativ, muss der Richtungswinkel aL u¨berpru¨ft werden. Meist wurde sein Betrag um 180 falsch angenommen.

FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj cos aL jðyL yF Þj

FL ¼

ð14,51 NmÞ sin 140 jð0,12 0Þ mj cos 140 jð0 0Þ mj

Bis zu diesem Lo¨sungsstand wurde nur die Momentengleichgewichtsbedingung genutzt und damit die Loslagerkraft FL berechnet. Jetzt fehlt noch die Berechnung der Festlagerkraft FF und deren Richtungswinkel aF . Dazu stehen die beiden Kra¨ftegleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 zur Verfu¨gung. Es werden also die gleichen Lo¨sungsschritte wie bei der u¨blichen Bearbeitung dieser Aufgabenart verwendet.

FL ¼ 188,1 N

Bisher verwendet: Momentengleichgewichtsbedingung III. S MðPFÞ ¼ 0 S Mxn þ S Myn þ MxL þ MyL ¼ 0 Noch verwendbar: Kra¨ftegleichgewichtsbedingung: I. S Fx ¼ 0 S Fn cos an þ FL cos aL þ FF cos aF ¼ 0 II. S Fy ¼ 0 S Fn sin an þ FL sin aL þ FF sin aF ¼ 0

58

1 Statik in der Ebene

Greifen mehrere Belastungskra¨fte Fn am Ko¨rper an, werden die Summenausdru¨cke in Gleichung (IX) gesondert berechnet. Man erha¨lt damit die Resultierenden der x-Komponenten Frx und der y-Komponenten Fry. In einem Rechnerprogramm wird eine solche Summierung mit einer von F1 bis Fn laufenden Schleife durchgefu¨hrt. In der Aufgabe greift nur die Kraft F1 ¼ 1000 N als Belastungskraft an.

Die Ausdru¨cke fu¨r FF cos aF und FF sin aF aus den Gleichungen I. und II. (oben rechts) sind die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten der Festlagerkraft FF in x- und y-Richtung. Der Betrag der Festlagerkraft FF kann daher mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

S Fn cos an ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ . . . ¼ Frx S Fn sin an ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ . . . ¼ Fry (IX) Eingesetzt in die Kra¨ftegleichgewichtsbedingungen: I. Frx þ FL cos aL þ FF cos aF ¼ 0 II. Fry þ FL sin aL þ FF sin aF ¼ 0 Frx Frx Fry Fry

¼ F1 cos a1 ¼ 1 000 N cos 20 ¼ 939,7 N ¼ F1 sin a1 ¼ 1 000 N sin 20 ¼ 342 N

I. FF cos aF ¼ FFx ¼ ðFrx þ FL cos aL Þ II. FF sin aF ¼ FFy ¼ ðFry þ FL sin aL Þ FFx ¼ ðFrx þ FL cos aL Þ FFy ¼ ðFry þ FL sin aL Þ FF ¼

FF ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FFx 2 þ FFy 2

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½ðFrx þ FL cos aL Þ2 þ ½ðFry þ FL sin aL Þ2

(X)

(XIa)

(XIb)

Fu¨r die Aufgabe mit dem Winkelhebel wird Frx ¼ 939,7 N Fry ¼ 342 N FL cos aL ¼ 188,1 N cos 140 ¼ 144,1 N FL sin aL ¼ 188,1 N sin 140 ¼ þ120,9 N qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FF ¼ ½ð939,7 N þ ð144,1 NÞÞ2 þ ½ð342 N þ 120,9 NÞ2 FF ¼ 920,5 N

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Den Abschluss dieses allgemein gu¨ltigen Lo¨sungsverfahrens bilden die Gleichungen, mit denen der Richtungswinkel aF der Festlagerkraft FF berechnet werden kann. Hierzu gelten die berlegungen aus dem Abschnitt 1.2.4.3 und die dort hergeleiteten Beziehungen.

59 Zuna¨chst muss der spitze Winkel bF zwischen der Wirklinie von FF und der x-Achse des Achsenkreuzes berechnet werden. bF ¼ arctan

jFFy j jFFx j

(XII)

Nach Abschnitt 1.2.4.2 gilt fu¨r

Je nach Lage der Festlagerkraft FF im Achsenkreuz gelten dann die in Abschnitt 1.2.4.3 hergeleiteten Beziehungen zur Berechnung des Richtungswinkels aF der Festlagerkraft. Die richtige Auswahl aus den vier Gleichungen erfordert also noch eine Abfrage 3. Richtgro¨ßen sind hier die Betra¨ge der Festlagerkomponenten FFx und FFy. Fu¨r die Aufgabe wird nach Gleichung (X): FFx ¼ ð939,7 N þ 188,1 N cos 140 Þ ¼ 795,6 N FFy ¼ ð342 N þ 188,1 N sin 140 Þ ¼ 462,9 N

bF ¼ arctan

jFFy j 462,9 N ¼ arctan ¼ 30,19 jFFx j 795,6 N

Gilt fu¨r die Komponenten der Festlagerkraft FFx < 0 und FFy < 0, dann ist der Winkel aF mit Gleichung (XV) zu berechnen.

FFx 0 und FFy 0: aF ¼ bF

(XIII)

FFx < 0 und FFy 0: aF ¼ 180 bF

(XIV)

FFx < 0 und FFy < 0: aF ¼ 180 þ bF

(XV)

FFx 0 und FFy < 0: aF ¼ 360 bF

(XVI)

aF ¼ 180 þ bF ¼ 210,19

60

1 Statik in der Ebene

1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen Abfrage 1 Koordinatenbedingung

Abfrage 2 Loslagerkraft FL

Momentenbedingung der Kra¨fte Fn

xn ; xL xF yn ; yL yF

Mxn ¼ Fn cos an jðyn yF Þj Myn ¼ þFn sin an jðxn xF Þj

(I)

FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj cos aL jðyL yF Þj

xn ; xL < xF yn ; yL yF

Mxn ¼ Fn cos an jðyn yF Þj Myn ¼ Fn sin an jðxn xF Þj (II)

FL ¼

Mg (VI) sin aL jðxL xF Þj cos aL jðyL yF Þj

xn ; xL < xF yn ; yL < yF

Mxn ¼ þFn cos an jðyn yF Þj (III) Myn ¼ Fn sin an jðxn xF Þj

FL ¼

Mg (VII) sin aL jðxL xF Þj þ cos aL jðyL yF Þj

xn ; xL xF yn ; yL < yF

Mxn ¼ þFn cos an jðyn yF Þj (IV) Myn ¼ þFn sin an jðxn xF Þj

FL ¼

Mg (VIII) sin aL jðxL xF Þj þ cos aL jðyL yF Þj

Resultierendes Moment Mg ¼ S Mxn þ S Myn

Festlagerkraft FF Frx ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ . . . Fry ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ . . .

(IX)

FFx ¼ ðFrx þ FL cos aL Þ FFy ¼ ðFry þ FL sin aL Þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FF ¼ FFx 2 þ FFy 2 FF ¼

(X) (XIa)

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½ðFrx þ FL cos aL Þ2 þ ½ðFry þ FL sin aL Þ2

(XIb)

Abfrage 3 Richtungswinkel aF bF ¼ arctan fu¨r fu¨r fu¨r fu¨r

FFx FFx FFx FFx

jFFy j jFFx j

0 <0 <0 0

und und und und

(XII) FFy FFy FFy FFy

0: 0: < 0: < 0:

aF aF aF aF

¼ bF ¼ 180 bF ¼ 180 þ bF ¼ 360 bF

(XIII) (XIV) (XV) (XVI)

(V)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 1.2.6.3 Beschreibung des Programmlaufs zur Stu¨tzkraftberechnung Der bungsablauf zeigt, wie ein Rechnerprogramm gegliedert sein muss. Nach dem Programmstart folgt die Aufforderung zur Eingabe der Kraftbetra¨ge Fn, der Richtungswinkel an und der Koordinaten xn , yn fu¨r die Angriffspunkte sa¨mtlicher Kra¨fte. Es folgt eine Programmschleife fu¨r die Anzahl der gegebenen Kra¨fte und Duchla¨ufe. Fu¨r z. B. F1 . . . F6 ist der Anfangswert n ¼ 1, der Endwert n ¼ AZ (Anzahl) ¼ 6. Die anschließende Programmverzweigung entha¨lt die Abfrage 1 zur Lage der Kra¨fte Fn zur Festlagerkraft FF : xn xF und yn yF usw., siehe Gleichungen (I) . . . (IV). Danach erfolgt die Zuweisung der gu¨ltigen Gleichung und die Berechnung der Momente Mxn und Myn . Nach dem letzten Schleifendurchlauf (n ¼ AZ) werden die Momente Mxn und Myn zum Gesamtmoment Mg addiert: Mg ¼ Mx1 þ Mx2 þ . . . þ My1 þ My2 þ . . . Es folgt eine zweite Programmverzweigung mit den Abfragen 2 nach der Lage der Loslagerkraft FL zur Festlagerkraft FF, entsprechend den Gleichungen (V) . . . (VIII). Nach dem Ergebnis der Abfrage wird die gu¨ltige Gleichung zugewiesen und ausgerechnet (FL ¼ . . .). Anschließend werden nach den Gleichungen (IX) und (X) die Teilresultierenden Frx, Fry der Belastungskra¨fte Fn und die Komponenten FFx und FFy der Festlagerkraft FF berechnet. Mit Gleichung (XIa) oder (XIb) kann nun die Festlagerkraft FF berechnet werden. Mit Gleichung (XII) wird der spitze Winkel bF der Festlagerkraft FF zur x-Achse berechnet. Nach dem Ergebnis der Abfrage 3 weist das Programm eine der Gleichungen (XIII) . . . (XVI) zu, mit der dann der Richtungswinkel aF der Festlagerkraft FF berechnet wird.

61

62

1 Statik in der Ebene

1.2.6.4 bung zum systemanalytischen Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung Die Skizze zeigt den Klapptisch einer Biegepresse mit der u¨blichen Bemaßung.1) Der Tisch wird durch den Hydraulikkolben um das Festlager geschwenkt. Fu¨r die skizzierte waagerechte Tischlage sind zu berechnen: a) die Koordinaten der Kraftangriffspunkte und der Richtungswinkel aL der Loslagerkraft FL (Kolbenkraft), b) der Betrag der Loslagerkraft FL, c) der Betrag der Festlagerkraft FF im Schwenklager, d) der Richtungswinkel aF der Festlagerkraft FF.

Aufgabenskizze

Lo¨sung: a) Die Rechnung wird einfacher, wenn das rechtwinklige Achsenkreuz so gelegt wird, dass sich nur positive Koordinaten fu¨r die Kraftangriffspunkte ergeben. Legt man die x-Achse in den tiefsten Kraftangriffspunkt (Loslagerkraft FL), wird die y-Koordinate yL ¼ 0. Lageskizze des frei gemachten Klapptisches F1 ¼ 12 000 N, a1 ¼ 270 , x1 ¼ 0,5 m, y1 ¼ 0,1 m xF ¼ 1 m, yF ¼ 0,1 m, xL ¼ 0,7 m, yL ¼ 0 0,3 m ¼ 30,96 aK ¼ arctan 0,5 m aL ¼ 180 aK ¼ 149,04

b) Die Lageskizze zeigt, dass x1 < xF und y1 ¼ yF ist (Abfrage 1). Folglich gilt zur Berechnung der Komponentenmomente Mx1 und My1 die Gleichung (II). Wegen jðy1 yF Þj ¼ 0 und cos 270 ¼ 0 ist auch Mx1 ¼ 0. Die Summe beider Teilmomente ist das Gesamtmoment Mg ¼ Mx1 þ My1 .

1)

Mx1 ¼ F1 cos a1 jðy1 yF Þj ¼ 12 000 N cos 270 jð0,1 0,1Þ mj Mx1 ¼ 0 My1 ¼ F1 sin a1 jðx1 xF Þj ¼ 12 000 N sin 270 jð0,5 1Þ mj My1 ¼ þ6 000 Nm Mg ¼ Mx1 þ My1 ¼ 0 þ ðþ6 000 NmÞ Mg ¼ þ6 000 Nm

Aufgabe 91 aus der Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

63

Fu¨r die Berechnung der Loslagerkraft FL gelten die Gleichungen (V) . . . (VIII). Nach der Lageskizze ist xL < xF und yL < yF . Die Loslagerkraft FL ist also mit Gleichung (VII) zu berechnen (Abfrage 2). FL ¼

FL ¼

Mg sin aL jðxL xF Þj þ cos aL jðyL yF Þj

ðþ6 000 NmÞ ð sin 149,04 jð0,7 1Þ mj þ cos 149,04 jð0 0,1 mjÞ

FL ¼ 24 991 N

c) Nach Gleichung (IX) werden die Komponenten Frx und Fry berechnet. Natu¨rlich ist die Komponente Frx ¼ 0, denn die Kraft F1 wirkt in y-Richtung, hat also keine Komponente in x-Richtung.

Frx Frx Fry Fry

¼ F1 cos a1 ¼ 12 000 N cos 270 ¼0 ¼ F1 sin a1 ¼ 12 000 N sin 270 ¼ 12 000 N

Jetzt lassen sich mit Gleichung (X) die Komponenten FFx und FFy der Festlagerkraft FF berechnen. Wie bei allen Rechnungen muss auch hier auf die exakte Vorzeichenmitnahme geachtet werden. Mit den Komponenten der Festlagerkraft kann nach einer der Gleichungen (XIa) oder (XIb) der Betrag der Festlagerkraft FF berechnet werden. Da die Komponenten bereits bestimmt sind, wird die Gleichung (XIa) verwendet.

FFx FFx FFx FFy

¼ ðFrx þ FL cos aL Þ ¼ ð0 þ 24 991 N cos 149,04 Þ ¼ 21 430 N ¼ ðFry þ FL sin aL Þ

d) Zum Schluss wird der Richtungswinkel aF der Festlagerkraft FF ermittelt. Erforderlich ist dazu der spitze Winkel bF , den die Wirklinie der Festlagerkraft mit der x-Achse einschließt. Es gilt die Gleichung (XII). Bestimmungsgleichung fu¨r den Richtungswinkel aF ist wegen FFx > 0 und FFy < 0 die Gleichung (XVI), ausgewa¨hlt durch die Abfrage 3.

Aufgaben Nr. 83–116 und 137–159

FFy ¼ ð12 000 N þ 24 991 N sin 149,04 Þ

FFy ¼ 856,4 N qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FF ¼ FFx 2 þ FFy 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FF ¼ ð21 430 NÞ2 þ ð856,4 NÞ2 FF ¼ 21 447 N

bF ¼ arctan

jFFy j jFFx j

bF ¼ arctan

j856,4 Nj ¼ 2,29 j21 430 Nj

aF ¼ 360 bF ¼ 360 2,29 aF ¼ 357,71

64

1 Statik in der Ebene

1.2.7 Stu¨tzkraftermittlung beim ra¨umlichen Kra¨ftesystem (Getriebewelle) Das folgende Beispiel eines ra¨umlichen Kra¨ftesystems soll zeigen, dass mit den Kenntnissen aus der Statik in der Ebene auch kompliziertere Probleme gelo¨st werden ko¨nnen.

Die skizzierte Getriebezwischenwelle tra¨gt die beiden schra¨g verzahnten Stirnra¨der 2 und 3. Diese u¨bertragen das Antriebsmoment M1 des Rades 1 u¨ber die Getriebezwischenwelle auf das Stirnrad 4. Die dabei auftretenden Zahnkraftkomponenten Tangentialkraft Ft , Radialkraft Fr und Axialkraft Fa sind bekannt, ebenso die La¨ngen l und die Wa¨lzkreisradien r. Mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0 und S M ¼ 0 sollen die Gleichungen zur Berechnung der Stu¨tzkra¨fte FA und FB in den beiden Lagern entwickelt werden. Hierbei wird der Versatzwinkel a beru¨cksichtigt. Die Gleichungen gelten daher fu¨r jede beliebige Lage des Zahneingriffs des Ra¨derpaars 3 und 4. In die Skizze des ra¨umlichen Achsenkreuzes werden die Stu¨tzkraftkomponenten FAx, FAy, FBx und FBy eingetragen. Als Richtungssinn fu¨r die noch unbekannten Stu¨tzkraftkomponenten FAx, FAy, FBx, FBy wird, wie immer, die positive Achsenrichtung gewa¨hlt. Der Richtungssinn der Radialkra¨fte Fr, der Tangentialkra¨fte Ft und der Axialkra¨fte Fa ergibt sich aus Getriebekonstruktion und Betriebsart (Schra¨gstirnra¨der, Zahneingriffspunkte, Versatzwinkel, Drehmomentenrichtung). Am Radmittelpunkt M2 werden parallel zu den Zahnkraftkomponenten Ft2 und Fa2 zwei gleich große gegensinnige Kra¨fte Ft2 und Fa2 angebracht und Fr2 nach unten verschoben. Damit ergeben sich die Drehmomente Ma2 und Mt2 und in M2 die Kra¨fte Ft2, Fa2 und Fr2. Die Drehmomente der beiden Kra¨ftepaare wirken drehend, die Zahnkra¨fte verschiebend auf die Welle. Am Rad 3 la¨sst sich das gleiche Vorgehen wegen des Versatzwinkels a nicht gut darstellen. Das Untersuchungsergebnis muss unter Beru¨cksichtigung des Versatzwinkels a grundsa¨tzlich das gleiche sein.

Aufgabenskizze zur Getriebezwischenwelle (Indizes: r fu¨r radial, t fu¨r tangential, a fu¨r axial)

Lageskizze 1 der freigemachten Getriebewelle Hinweis: Das Anbringen von zwei gleich großen gegensinnigen Kra¨ften (z. B. Ft2) a¨ndert am Kra¨ftesystem nichts, zeigt aber, welche Wirkung die Einzelkraft in Bezug auf den gewa¨hlten Punkt (M2) hat. Das (gestrichene) Kra¨ftepaar wirkt drehend, die Einzelkraft (Ft2) schiebend (biegend).

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Vor dem Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Stu¨tzkra¨fte wird untersucht, mit welcher Winkelfunktion die Zahnkra¨fte am Stirnrad 3 zu berechnen sind. Die Lageskizze 2 gibt daru¨ber Aufschluss: In y-Richtung gilt Ft3y ¼ Ft3 sin a Fr3y ¼ Fr3 cos a In x-Richtung gilt Ft3x ¼ Ft3 cos a Fr3x ¼ Fr3 sin a Eine berpru¨fung mit anderen Zahneingriffspunkten zeigt, dass diese Gleichungen fu¨r alle Versatzwinkel a zwischen 0 und 360 gelten. Der Wirkabstand der Axialkraft Fa3 bezogen auf den Radmittelpunkt M3 betra¨gt r3 cos a.

Begonnen wird mit den Gleichgewichtsbedingungen fu¨r die in der z, y-Ebene wirkenden Kra¨fte und Kraftmomente. In y-Richtung wirken die gesuchten Stu¨tzkra¨fte FAy und FBy, deren Richtungssinn wie immer in positiver y-Richtung angenommen wird (siehe Seite 28). Der Richtungssinn der Axialkra¨fte Fa2 und Fa3 wird der Aufgabenskizze entnommen. Er richtet sich nach der Drehrichtung der Stirnra¨der. Nicht zu vergessen ist, dass durch den Versatz um den Winkel a auch die Tangentialkraft Ft3 eine y-Komponente hat (Ft3 sin a, siehe Lageskizze 2 der Zahnkra¨fte am Rad 3.

65

Lageskizze 2 fu¨r die Zahnkra¨fte am Rad 3 (E Eingriffspunkt, a Versatzwinkel)

Lageskizze 3 der Welle fu¨r den Kraftangriff in der z, y-Ebene Beachte: In der z, y-Ebene liegen auch die Axialkra¨fte Fa2 und Fa3. Diese haben eine Kippwirkung auf die Welle (rechtsdrehend) und beeinflussen damit die Stu¨tzkraftkomponenten FAy und FBy.

Man beginnt mit der Momentengleichgewichtsbedingung um den Lagerpunkt B: S MðBÞ ¼ 0 ¼ FAy l Fa2 r2 þ Fr2 ðl l1 Þ ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ l3 Fa3 r3 cos a

FAy ¼

Fa2 r2 þ Fr2 ðl l1 Þ ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ l3 Fa3 r3 cos a (1) l

66

1 Statik in der Ebene

Um direkt eine Gleichung fu¨r die andere Stu¨tzkraftkomponente FBy zu bekommen, wird die Momentengleichgewichtsbedingung noch einmal angesetzt, diesmal um den Lagerpunkt A:

Beachte: Die Kra¨ftegleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 wird dann zur Kontrolle der voraufgegangenen Rechnung benutzt.

S MðAÞ ¼ 0 ¼ Fr2 l1 þ ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ ðl1 þ l2 Þ þ FBy l Fa2 r2 Fa3 r3 cos a FBy ¼

Fr2 l1 ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ ðl1 þ l2 Þ þ Fa2 r2 þ Fa3 r3 cos a l

(2)

Zur Kontrolle: S Fy ¼ 0 ¼ FAy Fr2 þ Fr3 cos a þ Ft3 sin a þ FBy (3) Aus der Kra¨ftegleichgewichtsbedingung in z-Richtung ergibt sich: S Fz ¼ 0 ¼ Fa2 Fa3 Fa

Die Axialkraft Fa ist die Differenz der beiden Axialkra¨fte Fa2 und Fa3. Sie wird entweder in A oder in B von einem Festlager aufgenommen.

Fa ¼ Fa2 Fa3 (4) Nun werden die Gleichgewichtsbedingungen fu¨r die in der z, x-Ebene wirkenden Kra¨fte und Kraftmomente entwickelt. Aus der Lageskizze 4 ist abzulesen: S MðBÞ ¼ 0 ¼ FAx l þ Ft2 ðl l1 Þ þ þ ðFt3 cos a Fr3 sin aÞ l3 FAx ¼

Ft2 ðl l1 Þ þ ðFt3 cos a Fr3 sin aÞ l3 (5) l

S MðAÞ ¼ 0 ¼ Ft2 l1 þ ðFr3 sin a Ft3 cos aÞ ðl1 þ l2 Þ þ FBx l FBx ¼

Lageskizze 4 der Welle fu¨r den Kraftangriff in der z, x-Ebene

Ft2 l1 ðFr3 sin a Ft3 cos aÞ ðl1 þ l2 Þ (6) l

Zur Kontrolle: S Fx ¼ 0 ¼ FAx Ft2 þ Fr3 sin a Ft3 cos a þ FBx (7)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Die Stu¨tzkraftkomponenten FAx und FAy stehen rechtwinklig aufeinander, ebenso FBx und FBy. Mit dem Lehrsatz des Pythagoras lassen sich daher die Stu¨tzkra¨fte FA und FB berechnen.

Die Gleichungen (1), (2), (5) und (6) werden in die Gleichungen (8) und (9) eingebracht. Dann stehen zwei direkt auswertbare Gleichungen fu¨r die Stu¨tzkra¨fte zur Verfu¨gung.

67

FA ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FAx 2 þ FAy 2 (8)

FB ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FBx 2 þ FBy 2 (9)

Hinweis: Fu¨r die Ermittlung des Biegemomentenverlaufs werden die Stu¨tzkraftkomponenten FAx, FBx und FBy gebraucht, fu¨r die Lagerberechnung die resultierenden Stu¨tzkra¨fte FA und FB.

1 FA ¼ l

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½Ft2 ðl l1 Þ þ l3 ðFt3 cos a Fr3 sin aÞ2 þ þ ½Fr2 ðl l1 Þ Fa2 r2 l3 ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ Fa3 r3 cos a2

1 FB ¼ l

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½Ft2 l1 ðl1 þ l2 ÞðFr3 sin a Ft3 cos aÞ2 þ þ ½Fr2 l1 ðl1 þ l2 Þ ðFr3 cos a þ Ft3 sin aÞ þ Fa2 r2 þ Fa3 r3 cos a2

Berechnungsbeispiel: Fu¨r die Getriebezwischenwelle aus der Aufgabenskizze (Seite 64) sollen die Stu¨tzkra¨fte berechnet werden. Aus dem Getriebeentwurf sind alle erforderlichen La¨ngen und Zahnkra¨fte des Schra¨gstirnradgetriebes bekannt, ebenso die Wa¨lzkreisradien r2 und r3 sowie der Versatzwinkel a.

Gegeben:

Fr2 ¼ 2 081 N Fr2 ¼ 784 N Fa2 ¼ 558 N r2 ¼ 50,5 mm

Ft3 Fr3 Fa3 r3

(10)

(11)

¼ 2 586 N l ¼ 956 N l1 ¼ 693 N l2 ¼ 40,6 mm l3

¼ 220 mm ¼ 70 mm ¼ 100 mm ¼ 50 mm

Versatzwinkel a ¼ 0 Gesucht: FAx, FBx, FAy, FBy, FA, FB, Fa

Die Auswertung der entwickelten Gleichungen (1) . . . (9) fu¨hrt zu folgenden Ergebnissen: FAx ¼ 2 006,6 N FAy ¼ 61,3 N FA ¼ 2 007,5 N Fa ¼ 135 N FBx ¼ 2 660,4 N FBy ¼ 233,3 N FB ¼ 2 670,6 N

Kontrolle: S Fx ¼ ½2 006,6 2 081 þ 956 sin 0 2 586 cos 0 þ 2 660,4 N ¼ 0 S Fy ¼ ½61,3 784 þ 956 cos 0 þ 2 586 sin 0 þ ð233,3Þ N ¼ 0

68

1 Statik in der Ebene

1.3 Statik der ebenen Fachwerke 1.3.1 Gestaltung von Fachwerktra¨gern Fachwerktra¨ger sind aus Profilsta¨ben zusammengesetzte Tragkonstruktionen (Biegetra¨ger), z. B. fu¨r Bru¨cken, Krane, Dachbinder, Geru¨ste. Sie haben einen geringeren Materialaufwand als Vollwandtra¨ger und erscheinen durch ihre Netzkonstruktion optisch leichter. Nachteilig ist die arbeitsintensivere Fertigung.

Streben-Fachwerktra¨ger, parallelgurtig (k ¼ 11 Knoten, s ¼ 19 Sta¨be)

Fachwerktra¨ger sind meist in zwei oder mehr parallelen Ebenen aufgebaut. Jede Tra¨gerebene wird dann als ebenes Fachwerk angesehen. Die a¨ußere Form eines Fachwerktra¨gers kann frei gestaltet werden. Geometrisches Element des Fachwerks ist der Dreiecksverband. Das Dreieck ist die einfachste „starre“ Figur. Durch Ansetzen solcher Dreiecksverba¨nde werden die verschiedenen Fachwerksformen (z. B. parallelgurtig, trapezfo¨rmig) als Streben- oder Pfosten-Streben-Fachwerk entwickelt. Der Obergurt kann parallel zum Untergurt laufen, aber auch z. B. dem Biegemomentenverlauf des Tra¨gers angepasst werden. Siehe dazu Festigkeitslehre, Abschnitte 5.9.7, Seite 333 und 5.9.10, Seite 349. Unter den skizzierten Fachwerksformen in der rechten Spalte stehen in Klammern die Angaben fu¨r die Anzahl der Knoten k (z. B. k ¼ 11) und die Anzahl der Sta¨be s des Fachwerks (z. B. s ¼ 19). Diese Gro¨ßen werden im folgenden Kapitel zum Ansatz der Gleichgewichtsbedingungen fu¨r die statische Bestimmtheit des Tra¨gers gebraucht. Die Profilsta¨be werden untereinander im so genannten Knoten mit Knotenblechen verbunden, wobei sich die Profil-Schwerachsen mo¨glichst im Knotenpunkt schneiden sollen. Damit wird das Einleiten von gro¨ßeren Biegemomenten in die Verbindung vermieden und die Knotenpunkte ko¨nnen als Gelenkpunkte fu¨r Zweigelenksta¨be angesehen werden (siehe Statik, 1.1.7.3, Seite 13). Der Knoten kann genietet, geschraubt, geschweißt oder z. B. bei Leichtmetallprofilen geklebt sein.

Pfosten-Streben-Fachwerktra¨ger, Biegemomentenverlauf trapezfo¨rmig angepasst (k ¼ 18 Knoten, s ¼ 33 Sta¨be)

Polygon-Fachwerktra¨ger, Biegemomentenverlauf angepasst (k ¼ 7 Knoten, s ¼ 11 Sta¨be)

Geschraubter Knoten

1.3 Statik der ebenen Fachwerke

69

1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerktra¨ger Der skizzierte einfachste Fachwerktra¨ger besteht aus den drei Sta¨ben 1, 2, 3, die in Dreiecksform in den Knoten I, II und III miteinander verbunden sind. ußere Kra¨fte F du¨rfen nur u¨ber die Knoten in das Tragwerk eingeleitet werden (Kraft F in Knoten II). Im Festlager A und Loslager B ist der Tra¨ger mit den drei Auflagerkra¨ften FAx, FAy und FB wie u¨blich statisch bestimmt abgestu¨tzt (statisches Gleichgewicht, siehe z. B. Abschnitt 1.2.5.3, Seite 44). Beim Vollwandtra¨ger sind damit die Gleichgewichtsbetrachtungen abgeschlossen. Beim Fachwerktra¨ger dagegen muss zusa¨tzlich die Verschiebbarkeit der Sta¨be gegeneinander untersucht werden. Man unterscheidet daher zwischen a¨ußerer und innerer statischer Bestimmtheit.

Freigemachter einfachster Fachwerktra¨ger (Stabdreieck, Dreiecksverband) k ¼ 3 Knoten, s ¼ 3 Sta¨be

Ist k die Anzahl der Knoten fu¨r das ganze System, so ist wegen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0 die Anzahl der zur Verfu¨gung stehenden Gleichgewichtsbedingungen 2k.

2k ¼ Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen (hier 2 3 Knoten ¼ 6 Gleichgewichtsbedingungen)

Ist s die Anzahl der unbekannten Stabkra¨fte, dann ist mit den drei Lagerkra¨ften FAx, FAy, FB die Anzahl der unbekannten Kra¨fte s þ 3. Bei einem statisch bestimmten System muss die Anzahl der Lo¨sungsgleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten sein, hier also 2 k ¼ s þ 3. Es ist u¨blich, diese Gleichung nach der Anzahl s der erforderlichen Profilsta¨be aufzulo¨sen und als Bedingung fu¨r die innere statische Bestimmtheit die Gleichung s ¼ 2 k 3 zu verwenden.

s þ 3 ¼ Anzahl unbekannter Kra¨fte (hier s þ 3 ¼ 3 þ 3 ¼ 6 unbekannte Kra¨fte)

Der skizzierte Fachwerktra¨ger mit vier Knoten (k ¼ 4) und vier Sta¨ben (s ¼ 4) ist in der eingezeichneten Drehrichtung beweglich (Gelenkviereck), fu¨r Kraftu¨bertragungen daher ungeeignet. Entha¨lt ein Fachwerk ein solches Stabsystem, nennt man es statisch unbestimmt. Die Bedingung fu¨r statische Bestimmtheit ist hier mit k ¼ 4 Knoten und s ¼ 4 Sta¨ben nicht erfu¨llt (s ¼ 4 < 2 k 3 ¼ 5). Aus dem statisch unbestimmten Fachwerk wird ein statisch bestimmtes erst bei Hinzunahme eines fu¨nften Stabes: s ¼ 5 ¼ 2 4 3.

2k ¼ s þ 3 s ¼ 2k 3 Bedingung fu¨r die innere statische Bestimmtheit (mit s ¼ 2 k 3 ¼ 2 3 3 ¼ 6 3 ¼ 3 Sta¨be hier erfu¨llt)

Bewegliches Fachwerk, statisch unbestimmt (Gelenkviereck): s < 2 4 3 ¼ 5

70 Die skizzierten vier Fachwerke mit 6 Knoten sollen mit Hilfe der Bedingung fu¨r statische Bestimmtheit untersucht werden. Fachwerk a) ist mit einem Fest- und einem Loslager sowie mit s ¼ 9 Sta¨ben a¨ußerlich und innerlich statisch bestimmt (2 k 3 ¼ 2 6 3 ¼ 9). Fachwerk b) ist wie a) a¨ußerlich statisch bestimmt, jedoch innerlich statisch unbestimmt, weil bei 2 k 3 ¼ 2 6 3 ¼ 9 die Stabzahl s ¼ 8 < 9 ist. Fachwerk c) ist wie a) und b) a¨ußerlich statisch bestimmt, innerlich mit s ¼ 10 Sta¨ben jedoch statisch unbestimmt. Fachwerk d) ist zwar wie a) innerlich statisch bestimmt, mit einem Fest- und zwei Loslagern jedoch a¨ußerlich statisch unbestimmt.

1 Statik in der Ebene

Beispiele fu¨r die statische Bestimmtheit

1.3.3 Ermittlung der Stabkra¨fte im Fachwerktra¨ger Die Verfahren zur Ermittlung der Stabkra¨fte werden am Beispiel des gezeichneten Fachwerktra¨gers erla¨utert (Knotenschnittverfahren, Ritter’sches Schnittverfahren und Cremonaplan). Der Tra¨ger besteht aus den Obergurtsta¨ben 1, 4, 8, 11, den Untergurtsta¨ben 2, 6, 10, den Pfosten oder Vertikalen 3, 9 und den Schra¨gen oder Diagonalen 5 und 7. Belastet wird der Tra¨ger mit den Vertikalkra¨ften F1 ¼ 4 kN, F2 ¼ 2 kN und F3 ¼ 3 kN. Es ist immer zweckma¨ßig, zuerst aus der Tra¨gerbelastung und den Abmessungen die Auflagerkra¨fte zu bestimmen. Nach der Ermittlung aller Stabkra¨fte hat man dann immer eine Kontrolle auch fu¨r die Auflagerkra¨fte (siehe Knoten VII im folgenden Knotenschnittverfahren). Mit den rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0 und S M ¼ 0 ergibt sich: FA ¼ 4,75 kN und FB ¼ 4,25 kN.

Aufgabenskizze Hinweis: Der Tra¨ger ist a¨ußerlich und innerlich statisch bestimmt. s ¼ 2 7 3 ¼ 11 Sta¨be. S Fx ¼ 0; keine waagerechten Kra¨fte vorhanden. S Fy ¼ 0 ¼ þFA F1 F2 F3 þ FB S MðIÞ ¼ 0 ¼ F1 2 m F2 4 m F3 6 m þ FB 8 m FB ¼

F1 2 m þ F2 4 m þ F3 6 m ¼ 4,25 kN 8m

FA ¼ F1 þ F2 þ F3 FB ¼ 4,75 kN

1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren (rechnerisches oder zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkra¨fte) Mit einem Rundschnitt werden alle Knoten (k ¼ 7) freigemacht und in ein rechtwinkliges Achsenkreuz gelegt. Die noch unbekannten Stabkra¨fte FS1 . . . FS11 tra¨gt man in den Knotenpunkt I . . . VII als Zugkra¨fte positiv (þ) ein.

1.3 Statik der ebenen Fachwerke

71

Fu¨r jeden Knotenpunkt stehen die beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 zur Berechnung von zwei unbekannten Stabkra¨ften zur Verfu¨gung. Wurden vorher die Auflagerkra¨fte FA und FB berechnet, liegen meistens dort die Ausgangsknoten fu¨r den Berechnungsgang, wie hier im Beispiel die Knoten I und VII mit den zwei unbekannten Stabkra¨ften FS1 und FS2 am Knoten I und FS10 und FS11 am Knoten VII. Von den anschließenden Knoten sucht man sich denjenigen mit maximal zwei unbekannten Stabkra¨ften heraus und erha¨lt nacheinander alle Stabkra¨fte des Fachwerktra¨gers. Ha¨ufig ist dieses schrittweise Vorgehen einfacher als das Aufstellen und Lo¨sen eines Gleichungssystems. Das Knotenschnittverfahren kann auch zeichnerisch durchgefu¨hrt werden. Die entsprechenden Skizzen der Kra¨ftepla¨ne zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Stabkra¨fte wurden daher mit aufgenommen. Sie stehen rechts neben den Skizzen der freigemachten Knoten und fu¨hren zum Versta¨ndnis des Cremonaplans in 1.3.3.3. Zur Lagebestimmung der schra¨gen Stabkra¨fte als Zugkra¨fte wird der Winkel a als spitzer Winkel zur x-Achse verwendet. Es gelten dann die Beziehungen FSx ¼ FS cos a fu¨r die x-Komponente und FSy ¼ FS sin a fu¨r die y-Komponente der Stabkraft FS (siehe 1.1.6.2, Seite 9). Der Winkel a betra¨gt 45 . Die vorher berechneten Stu¨tzkra¨fte betragen FA ¼ 4,75 kN, FB ¼ 4,25 kN. Im Knoten I greifen außer der bereits ermittelten Stu¨tzkraft FA ¼ 4,75 kN nur noch die beiden Stabkra¨fte FS1 und FS2 an, die nun berechnet werden ko¨nnen: Fu¨r Knoten I gilt: I) S Fx ¼ 0 ¼ FS1 þ FS2 cos a II) S Fy ¼ 0 ¼ FA FS2 sin a I) und II) FS2 ¼ FS1 =cos a ¼ FA =sin a und mit cos a=sin a ¼ 1=tan a FS1 ¼ FA =tan a ¼ 4,75 kN=1 ¼ 4,75 kN (Druck) FS2 ¼ FA =sin a ¼ þ6,72 kN (Zug) Fu¨r Knoten II gilt: I) S Fx ¼ 0 ¼ FS1 þ FS4 ! FS4 ¼ FS1 ¼ 4,75 kN (Druck) II) S Fy ¼ 0 ¼ F1 FS3 ! FS3 ¼ F1 ¼ 4 kN (Druck) Hinweis zum Kra¨fteplan: Die Stabkraft FS1 (Druckkraft) dru¨ckt von rechts nach links wirkend auf den Knoten I. Im Kra¨fteplan II muss FS1 als Druckkraft auf den Knoten II nach rechts wirken. Fu¨r Knoten III gilt: I) II) II) I)

S Fx S Fy FS5 FS6

¼ 0 ¼ FS6 þ FS5 cos a FS2 cos a ¼ 0 ¼ FS3 þ FS2 sin a þ FS5 sin a ¼ ðFS3 FS2 sin aÞ=sin a ¼ 1,06 kN (Druck) ¼ FS2 cos a FS5 cos a ¼ þ5,5 kN (Zug)

72

1 Statik in der Ebene

Fu¨r Knoten IV gilt: I) S Fx ¼ 0 ¼ FS8 þ FS7 cos a FS4 FS5 cos a II) S Fy ¼ 0 ¼ F2 FS7 sin a FS5 sin a II) FS7 ¼ ðF2 FS5 sin aÞ= sin a ¼ ¼ 1,77 kN (Druck) I) FS8 ¼ FS4 þ FS5 cos a FS7 cos a ¼ ¼ 4,25 kN (Druck) Fu¨r Knoten V gilt: I) S Fx ¼ 0 ¼ FS10 cos a FS6 FS7 cos a II) S Fy ¼ 0 ¼ FS9 þ FS10 sin a þ FS7 sin a I) FS10 ¼ 0 ¼ ðFS6 þ FS7 cos aÞ= cos a ¼ ¼ þ6,01 kN (Zug) II) FS9 ¼ 0 ¼ FS7 sin a FS10 sin a ¼ 3 kN (Druck) Fu¨r Knoten VI gilt: I) S Fx ¼ 0 ¼ FS11 FS8 ! FS11 ¼ FS8 ¼ 4,25 kN (Druck) II) S Fy ¼ 0 ¼ F3 FS9 ! FS9 ¼ F3 ¼ 3 kN (Druck) Fu¨r Knoten VII gilt: I) S Fx ¼ 0 ¼ FS11 FS10 cos a ! FS10 ¼ FS11 =cos a ¼ þ6,01 kN (Zug) II) S Fy ¼ 0 ¼ FB FS10 sin a ! FB ¼ FS10 sin a ¼ þ4,25 kN (Kontrollrechnung) 1.3.3.2 Das Ritter’sche Schnittverfahren (rechnerisches Verfahren zur Ermittlung einzelner Stabkra¨fte) Nach Ritter ko¨nnen an statisch bestimmten Fachwerktra¨gern einzelne Stabkra¨fte rechnerisch ermittelt werden, z. B. FS4, FS5 und FS6. Dazu wird der Tra¨ger mit dem Ritter’schen Schnitt x x in die beiden Teile (a) und (b) zerlegt und an einem der beiden Teile (a) das Gleichgewicht wieder hergestellt. Die Stu¨tzkra¨fte mu¨ssen bei diesem Verfahren vorher ermittelt worden sein: FA ¼ 4,75 kN, FB ¼ 4,25 kN.

Lageskizze des Fachwerktra¨gers mit Ritter’schem Schnitt x x

1.3 Statik der ebenen Fachwerke Nach den Regeln des Freimachens werden in den drei Stabquerschnitten die unbekannten Stabkra¨fte FS4, FS5 und FS6 als Zugkra¨fte angebracht. Das am Tra¨gerteil (a) angreifende Kra¨ftesystem aus den drei Stabkra¨ften FS4 , FS5 , FS6 , der Belastungskraft F1 und der Stu¨tzkraft FA muss im Gleichgewicht sein. Nach Ritter werden zur Berechnung der unbekannten Stabkra¨fte die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen nach Seite 46 angesetzt. Der Ritter’sche Schnitt darf daher auch nur drei Fachwerksta¨be treffen. Die drei Momenten-Bezugspunkte du¨rfen nicht auf einer Geraden liegen (siehe Seite 46). Knotenpunkt III bietet sich als erster Bezugspunkt an, weil er Schnittpunkt zweier unbekannter Kra¨fte ist (FS5 und FS6) und sich damit eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ergibt. Die MomentenGleichgewichtsbedingung S MðIIIÞ ¼ 0 liefert direkt die Stabkraft FS4 ¼ 4,75 kN (Druckstab). Als zweiter Bezugspunkt wird der Knotenpunkt IV gewa¨hlt. Er ist Schnittpunkt der Stabkra¨fte FS4 und FS5 und liefert wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten, der Stabkraft FS6 ¼ þ5,5 kN (Zugstab). Dritter Bezugspunkt kann I oder II sein. Mit S MðIÞ ¼ 0 wird FS5 ¼ 1,06 kN (Druckkraft). In manchen Fa¨llen wird die Rechnung einfacher, wenn der Lo¨sungsansatz mit den u¨blichen drei Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S Mð Þ ¼ 0 aufgestellt wird.

73

Kra¨ftesystem am abgeschnittenen Tra¨gerteil (a)

S MðIIIÞ ¼ 0 ¼ FS4 l FA l FS4 ¼

FA l ¼ FA ¼ 4,75 kN l

Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft FS4 dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt: Stab 4 ist also ein Druckstab. S MðIVÞ ¼ 0 ¼ F1 l FA 2 l þ FS6 l FS6 ¼

FA 2 l F1 l ¼ 2FA F1 ¼ 5,5 kN l

S MðIÞ ¼ 0 ¼ FS6 l þ FS5 l1 F1 l FS5 ¼

F1 l FS6 l ðF1 FS6 Þl ¼ ¼ 1,06 kN l1 l1

Ergebnis: Stab 4 ist ein Druckstab mit 4,75 kN Stab 5 ist ein Druckstab mit 1,06 kN Stab 6 ist ein Zugstab mit 5,5 kN

Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren Stu¨tzkra¨fte ermitteln (S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S Mð Þ ¼ 0).

1. Schritt

Fachwerk durch einen Schnitt trennen. Der Schnitt darf ho¨chstens drei Fachwerksta¨be treffen, sie du¨rfen keinen gemeinsamen Knoten haben. Lageskizze des abgeschnittenen Tra¨gerteils zeichnen, dabei Stabkra¨fte als Zugkra¨fte annehmen. Die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen S Mð Þ ¼ 0 aufstellen und auswerten: positives Ergebnis beim Zugstab, negatives beim Druckstab.

2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

74

1 Statik in der Ebene

1.3.3.3 Der Cremonaplan (zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkra¨fte) Beim Knotenschnittverfahren im vorstehenden Abschnitt 1.3.3.1 wurde neben der rechnerischen auch die zeichnerische Ermittlung der beiden unbekannten Stabkra¨fte dargestellt. Fu¨r jeden Knoten konnte das geschlossene Krafteck aus der gegebenen Kraft und den Wirklinien der zwei unbekannten Stabkra¨fte konstruiert werden, z. B. am Knoten I mit der gegebenen Stu¨tzkraft FA und den Wirklinien der Stabkra¨fte FS1 und FS2. Jede Stabkraft musste bei diesem Verfahren zweimal gezeichnet werden. Im Cremonaplan erscheint jede Stabkraft nur einmal. Dazu ist es erforderlich, jedes Krafteck im gleichen Umfahrungssinn aufzuzeichnen, z. B. im Uhrzeigerdrehsinn. Fu¨r den Knoten I des bekannten Fachwerktra¨gers ergibt sich dann der Kraftfolgesinn FA ! FS1 ! FS2 . Nach der Aufzeichnung des maßsta¨blichen Lageplans wird der Kra¨fteplan der a¨ußeren Kra¨fte im festgelegten Kraftfolgesinn konstruiert, hier im Uhrzeigerdrehsinn mit der Folge FA ! F1 ! F2 ! F3 ! FB . Begonnen wird der Cremonaplan mit dem Knoten, an dem nur zwei unbekannte Stabkra¨fte angreifen, hier z. B. mit Knoten I (auch VII wa¨re mo¨glich). Im festgelegten UhrzeigerdrehLageplan La¨ngenmaßstab: ML ¼ 1

Kra¨ftetabelle Kra¨fte in kN (aus Cremonaplan) Stab

Zug

1 2

Druck 4,75

6,70

3

4,00

4

4,75

5

1,05

6

5,50

7

1,75

8

4,25

9 10 11

3,00 6,00 4,25

Cremonaplan Kra¨ftemaßstab m (1 cm ¼ MK ¼ 1,2 b 1,2 m) cm

m (1 cm ¼ b 1 m) cm

1.3 Statik der ebenen Fachwerke

75

sinn ist an die gegebene Stu¨tzkraft FA die Stabkraft FS1 (waagerecht) anzuschließen. Das geschlossene Krafteck mit FS2 kommt nur zustande, wenn von der Pfeilspitze FA die Stabkraft FS1 nach links gezogen wird. Wird das gewonnene Krafteck von FA ausgehend umfahren, erha¨lt man den Richtungssinn der Stabkra¨fte in Bezug auf den Knoten I. Der gefundene Richtungssinn wird als Pfeil im Lageplan dicht neben dem Knotenpunkt I eingetragen und man erkennt: Stab 1 ist ein Druckstab (FS1 dru¨ckt auf Knotenpunkt I), Stab 2 ist ein Zugstab (FS2 zieht am Knotenpunkt I). Mit dem Eintragen der Gegenpfeile an den Knotenpunkten II und III im Lageplan und der Vorzeichen (þ) fu¨r Zugsta¨be und () fu¨r Drucksta¨be im Kra¨fteplan ist die Bearbeitung am Knoten I abgeschlossen. Man geht nun zum Knoten II u¨ber, an dem jetzt auch nur noch zwei Stabkra¨fte (FS3 und FS4) unbekannt sind, FS1 wurde schon ermittelt. Mit FS1 beginnend (von links nach rechts wirkend) wird das geschlossene Krafteck im Kraftfolgesinn mit FS1, F1, FS4 und FS3 zuru¨ck zum Anfangspunkt von FS1 konstruiert. Die Reihenfolge der Knotenpunkte ist beliebig, allerdings du¨rfen ho¨chstens zwei Kra¨fte unbekannt sein. Zum Schluss greift man die La¨ngen fu¨r die Stabkra¨fte ab, berechnet diese mit dem Kra¨ftemaßstab MK und tra¨gt die Betra¨ge in eine nach Zug- und Druckkra¨ften unterteilte Tabelle ein. Ist der Fachwerktra¨ger symmetrisch aufgebaut und belastet, genu¨gt es, eine Ha¨lfte des Cremonaplans zu konstruieren. Liegt ein Fachwerkstab in der Wirklinie einer a¨ußeren Kraft wie im Knoten II, so ist die Stabkraft gleich der in Stabrichtung angreifenden Belastung, hier also FS3 ¼ F1 ¼ 4 kN. Tra¨gt der Knoten in einem solchen Fall keine Belastung (F1 ¼ 0), so nennt man den Stab einen Nullstab. Diese Nullsta¨be nehmen erst bei elastischer Verformung Kra¨fte auf. Meist sollen sie die Knickgefahr langer Drucksta¨be verringern. Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans Stu¨tzkra¨fte ermitteln (S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S Mð Þ ¼ 0).

1. Schritt

Lageplan zeichnen und den Kraftfolgesinn (Umfahrungssinn) festlegen, z. B. Uhrzeigerdrehsinn. Krafteck der a¨ußeren Kra¨fte konstruieren, z. B. mit FA , F1, F2, F3, FB.

2. Schritt

Mit dem gewa¨hlten Kraftfolgesinn die Kraftecke der Stabkra¨fte aneinander reihen, fu¨r jeden Knoten eins in beliebiger Reihenfolge. Nach jeder Krafteckzeichnung den Richtungssinn der Stabkra¨fte durch Pfeile in den Lageplan u¨bertragen und Gegenpfeile eintragen. Im Kra¨fteplan die Stabkra¨fte durch Plus- oder Minuszeichen als Zug- oder Druckkra¨fte kennzeichnen. La¨ngen der Stabkra¨fte abgreifen und deren Betra¨ge unterteilt nach Zug- und Druckkra¨ften in eine Tabelle eintragen.

4. Schritt

Aufgaben Nr. 160–175

3. Schritt

5. Schritt 6. Schritt 7. Schritt

76

2 Schwerpunktslehre 2.1 Begriffsbestimmung fu¨r Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt Man denkt sich einen ebenen Blechabschnitt in drei Teilko¨rper zerlegt und durch eine Symmetrieebene mit den Teilfla¨chen A1, A2 und A3 in zwei gleichdicke Scheiben geschnitten. Auf jeden der drei Teilko¨rper wirkt die Erdanziehung mit den parallelen Teil-Gewichtskra¨ften FG1, FG2 und FG3 lotrecht nach unten. Ihre Summe –– die Resultierende –– ist die Gewichtskraft des Blechabschnitts FG ¼ FG1 þ FG2 þ FG3 . Die Wirklinie dieser Resultierenden heißt Schwerlinie, weil auf ihr die Gewichtskraft oder Schwerkraft des Ko¨rpers wirkt.

Dreht man den Ko¨rper in der Symmetrieebene in eine beliebige andere Lage, erha¨lt man eine zweite Wirklinie der Gewichtskraft (zweite Schwerlinie, WL2). Der Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Angriffspunkt der Gewichtskraft FG fu¨r jede Ko¨rperlage und heißt Schwerpunkt S. Alle durch den Schwerpunkt gehenden Geraden oder Ebenen werden Schwerlinie oder Schwerebene genannt. Jede Symmetrielinie ist eine Schwerlinie, jede Symmetrieebene ist eine Schwerebene. Irgendwo auf ihnen liegt der Schwerpunkt. Fu¨r komplizierte Ko¨rper wird die Lage des Schwerpunkts durch Versuche ermittelt. Fu¨r einfacher aufgebaute Ko¨rper kann man sie mit Hilfe der in der Statik gewonnenen Erkenntnisse bestimmen: Man ermittelt die Wirklinie der Gewichtskraft aus den parallelen Teilgewichtskra¨ften rechnerisch mit dem Momentensatz (Seite 38), zeichnerisch mit dem Seileckverfahren (Seite 40), und zwar fu¨r zwei zueinander rechtwinklige Lagen.

In der gezeichneten Lage wird die erste Wirklinie (WL1) der Gewichtskraft FG ermittelt. Zur Bestimmung der zweiten Wirklinie (WL2) muss man sich den Ko¨rper um 90 im Uhrzeigersinn gedreht vorstellen. Es wa¨re auch jede andere Winkeldrehung mo¨glich, jedoch nicht so zweckma¨ßig. Im Schwerpunkt S gestu¨tzt oder aufgeha¨ngt, bleibt der Ko¨rper in jeder beliebigen Lage in Ruhe, er befindet sich also im Gleichgewicht. Beachte: Hat der Ko¨rper eine Symmetrielinie, so liegt damit schon eine Schwerlinie fest. Man braucht dann nur noch die zweite, rechtwinklig dazu stehende Schwerlinie zu bestimmen.

Beachte: Der Schwerpunkt ist derjenige ko¨rperfeste Punkt, durch den in jeder Lage des Ko¨rpers die Resultierende der Gewichtskra¨fte aller Einzelteilchen hindurchgeht.

2.2 Der Fla¨chenschwerpunkt

77

2.2 Der Fla¨chenschwerpunkt 2.2.1 Fla¨chen haben einen Schwerpunkt Es soll der Lo¨sungsansatz zur Schwerpunktsbestimmung fu¨r eine du¨nne, symmetrische Blechscheibe mit Hilfe des Momentensatzes entwickelt werden. Dazu denkt man sich die Scheibe aus zwei Teilstu¨cken mit den Teilfla¨chen A1 und A2 und der Dicke s zusammengesetzt. Der Schwerpunkt muss auf der Symmetrielinie x liegen. Man braucht nur noch den Schwerpunktsabstand x0 von der rechten Blechkante zu bestimmen.

Die Teilgewichtskra¨fte FG1 und FG2 berechnet man aus dem Volumen der Teilstu¨cke, der Dichte r ihres Werkstoffs und der Fallbeschleunigung g. Das Volumen der Teilstu¨cke wird aus den Teilfla¨chen A1, A2 und der Blechdicke s bestimmt.

FG1 ¼ m1 g ¼ V1 r g FG2 ¼ m2 g ¼ V2 r g V1 ¼ A1 s und V2 ¼ A2 s folglich ist FG1 ¼ A1 s r g und FG2 ¼ A2 s r g

Die Gewichtskraft FG der ganzen Blechscheibe berechnet man in gleicher Weise mit der Gesamtfla¨che A ¼ A1 þ A2 .

FG ¼ FG1 þ FG2 ¼ ðA1 þ A2 Þ s r g FG ¼ A s r g

Dann wird der Momentensatz aufgestellt (Seite 38). Fu¨r die Gewichtskra¨fte setzt man die oben gefundenen Beziehungen ein und entwickelt daraus eine Bestimmungsgleichung fu¨r den Schwerpunktsabstand x0, aus der sich die Blechdicke s, die Dichte r und die Fallbeschleunigung g herausku¨rzen.

Momentensatz: þFG x0 ¼ þFG1 x1 þ FG2 x2 Vorzeichen beachten. Linksdrehsinn ist positiv. A s r g x0 ¼ A1 s r g x1 þ A2 s r g x2

Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage auch mit den Teilfla¨chen und der Gesamtfla¨che ermittelt werden kann. Auch Fla¨chen haben also einen Schwerpunkt. Die Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts ist z. B. fu¨r die Berechnung von Fla¨chenmomenten zweiten Grades in der Festigkeitslehre erforderlich.

x0 ¼

ðA1 x1 þ A2 x2 Þ s r g A1 x1 þ A2 x2 ¼ A Asrg

Ax0 ¼ A1 x1 þ A2 x2 þ þ An xn ¼ S An xn Momentensatz fu¨r Fla¨chen Beachte: Fu¨r die Fla¨chenmomente Ax sind die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen (links þ, rechts ). Die Fla¨chenmomente Ax heißen nach DIN 1304 Fla¨chenmomente 1. Grades.

78

2 Schwerpunktslehre

2.2.2 Schwerpunkte einfacher Fla¨chen

S

y0

h y0 ¼ 3

Parallelogramm Der Schwerpunkt der Parallelogrammfla¨che liegt im Schnittpunkt der Diagonalen.

h

h 2

y0 ¼

h a þ 2b 3 aþb

y0 0 ¼

h 2a þ b 3 aþb

Schwerpunktsabsta¨nde

b

b 2

A

y’0

Trapez Man tra¨gt an die Seite a die Seite b an und umgekehrt. Damit kann die Strecke AB gezeichnet werden. Durch eine Gerade verbindet man die Mitten der Seiten a und b miteinander. Der Schnittpunkt ist der Fla¨chenschwerpunkt.

a

S

y0

y0 ¼

Diagonale

h

Schwerpunktsabstand

S

y0

Schwerpunktsabstand

Seitenhalbierende

h

Dreieck Der Schwerpunkt der Dreieckfla¨che liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

a

Bogen b Sehne s S

diu Ra

2 Rs y0 ¼ 3 b

a

a

Sechstelkreisfla¨che:

b ¼ 2Ra =57,3 s ¼ 2R sin a

Bogenla¨nge Sehnenla¨nge

2R ¼ 0,6366 R p S

ðR3 r 3 Þ sin a ðR2 r 2 Þ a

a

a

r

y0 ¼ 38,197

R

Kreisringstu¨ck Schwerpunktsabstand (Winkel a in Grad einsetzen)

y0 ¼

Mittelpunkt M

M

y0

Viertelkreisfla¨che:

4R ¼ 0,4244 R 3p pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 2R y0 ¼ ¼ 0,6002 R 3p y0 ¼

y0

sR

Halbkreisfla¨che:

b

Die Seite a kann auch nach rechts an die Seite b, und die Seite b nach links an die Seite a angetragen werden.

Kreisausschnitt Schwerpunktsabstand

B

a 2

2.2 Der Fla¨chenschwerpunkt

79

Kreisabschnitt Schwerpunktsabstand

y0 ¼

s3 12 A

s ¼ 2R sin a Rðb sÞ þ s h Fla¨cheninhalt A ¼ 2 Bogenho¨he h ¼ 2 R sin2 ða=2Þ Sehnenla¨nge

2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Fla¨chen 2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts Der Schwerpunkt zusammengesetzter Fla¨chen wird mit dem Momentensatz fu¨r Fla¨chen nach 2.2.1 bestimmt. Ist die Fla¨che unsymmetrisch, muss man die Lage zweier Schwerlinien ermitteln. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S. Man zerlegt die Fla¨che in Teilfla¨chen mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in ein Rechteck A1 und ein Quadrat A2, und zeichnet die Teil-Schwerpunkte S1 und S2 ein. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt, und zwar mo¨glichst so, dass alle Fla¨chenmomente den gleichen Drehsinn erhalten. Man wa¨hlt hier die rechte untere Ecke der Fla¨che und legt durch diesen Punkt ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Aus den gegebenen Abmessungen berechnet man die Teilfla¨chen A1 und A2, ihre Schwerpunktsabsta¨nde x1, x2 von der y-Achse und y1, y2 von der x-Achse und die Gesamtfla¨che A.

Aus 2.2.1 ist bekannt, dass die Fla¨cheninhalte wie Gewichtskra¨fte behandelt werden ko¨nnen. Das wird durch vertikal nach unten und horizontal nach rechts gerichtete Pfeile in den Teilschwerpunkten angedeutet. Den Gesamtschwerpunkt S legt man an eine beliebige Stelle und tra¨gt die beiden Pfeile A fu¨r die Gesamtfla¨che und die Schwerpunktsabsta¨nde x0 und y0 ein.

A1 A2 A x1 y1

¼ 80 mm 60 mm ¼ 4 800 mm2 ¼ 40 mm 40 mm ¼ 1 600 mm2 ¼ A1 þ A2 ¼ 6 400 mm2 ¼ 30 mm x2 ¼ 80 mm ¼ 40 mm y2 ¼ 20 mm

80 Mit Hilfe der vertikalen „Fla¨chenpfeile“ kann man nun den Momentensatz fu¨r Fla¨chen bezogen auf den Punkt 0 aufstellen. Dabei muss man auf den Momentendrehsinn achten. In diesem Fall sind alle Momente linksdrehend. Sie erhalten das positive Vorzeichen. Aus dem Momentensatz entwickelt man eine Bestimmungsgleichung fu¨r den Schwerpunktsabstand x0 und berechnet ihn daraus.

Zur Ermittlung der waagerechten Schwerlinie stellt man noch einmal den Momentensatz fu¨r den Bezugspunkt 0 auf, diesmal mit den waagerechten „Fla¨chenpfeilen“. Daraus berechnet man den Abstand y0 des Schwerpunkts S von der x-Achse auf die gleiche Weise wie vorher den Abstand x0. Bei diesem Ansatz sind alle Momente rechtsdrehend, also negativ. Mit dem Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Schwerpunkt S der Gesamtfla¨che bestimmt.

2 Schwerpunktslehre Momentensatz: þAx0 ¼ þA1 x1 þ A2 x2 x0 ¼

A1 x 1 þ A2 x 2 A

x0 ¼

4 800 mm2 30 mm þ 1 600 mm2 80 mm 6 400 mm2

x0 ¼ 42,5 mm Die vertikale Schwerlinie hat einen Abstand x0 ¼ 42,5 mm von der y-Achse.

Momentensatz: Ay0 ¼ A1 y1 A2 y2 y0 ¼

A1 y 1 þ A2 y 2 A

y0 ¼

4 800 mm2 40 mm þ 1 600 mm2 20 mm 6 400 mm2

y0 ¼ 35 mm Die waagerechte Schwerlinie hat einen Abstand y0 ¼ 35 mm von der x-Achse.

Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts: Fla¨che in Teilfla¨chen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen.

1. Schritt

Momentenbezugspunkt 0 festlegen.

2. Schritt

Gesamtschwerpunkt mit angenommener Lage sowie Schwerpunktsabsta¨nde x0 und y0 einzeichnen. Teilfla¨chen, Gesamtfla¨che und Teilschwerpunktsabsta¨nde berechnen.

3. Schritt

Momentensatz fu¨r zwei zueinander senkrechte Achsen aufstellen, Momentendrehsinn beachten. Nach x0 und y0 auflo¨sen und Schwerpunktsabsta¨nde ausrechnen.

5. Schritt

4. Schritt

6. Schritt

2.2 Der Fla¨chenschwerpunkt

81

2.2.3.2 bung zur Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts 1. bung: Fu¨r die skizzierte zusammengesetzte Fla¨che soll die Lage des Schwerpunkts rechnerisch bestimmt werden.

Lo¨sung: Die Fla¨che muss in drei Teilfla¨chen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegt werden: in die Halbkreisfla¨che A1, die Rechteckfla¨che A2 und die Quadratfla¨che A3. Dann werden die Schwerpunktsabsta¨nde x1, x2 und x3 eingezeichnet.

1. Schritt

Als Momentenbezugspunkt 0 wird der Schnittpunkt zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse gewa¨hlt.

2. Schritt

Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der Lage fest, in der man ihn vermutet, und tra¨gt den Schwerpunktsabstand x0 in die Skizze ein.

3. Schritt

Dann fu¨hrt man die Rechnung in drei weiteren Schritten aus: Zuerst werden die Teilfla¨chen, die Gesamtfla¨che und die Teilschwerpunktsabsta¨nde berechnet.

4. Schritt p ð70 mmÞ2 ¼ 1 923 mm2 8 A2 ¼ 600 mm2 A3 ¼ 400 mm2 A1 ¼

A ¼ A1 þ A2 þ A3 ¼ 2 923 mm2 x1 ¼ 0,4244 R ¼ 0,4244 35 mm ¼ 14,9 mm x2 ¼ 10 mm

Jetzt wird der Momentensatz fu¨r den Bezugspunkt 0 aufgestellt. Das Moment der Teilfla¨che A1 ist rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen Teilfla¨chen sind positiv. Den Momentensatz lo¨st man nach x0 auf und beachtet dabei sorgfa¨ltig die Vorzeichen. Die Rechnung ergibt einen negativen Wert fu¨r x0. Das bedeutet, dass der Drehsinn fu¨r das Moment der Gesamtfla¨che falsch angenommen wurde (siehe Momentensatz fu¨r Kra¨fte, 1.2.5.1, Seite 38), d. h. der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondern rechts vom Bezugspunkt 0. Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln. Es ist die waagerechte Symmetrielinie.

x3 ¼ 30 mm

5. Schritt þAx0 ¼ A1 x1 þ A2 x2 þ A3 x3 A1 x1 þ A2 x2 þ A3 x3 6. Schritt A 10 650 mm3 x0 ¼ ¼ 3,6 mm 2 923 mm2 x0 ¼

Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der Symmetrielinie 3,6 mm rechts vom Halbkreismittelpunkt. Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand, dann liegt der Schwerpunkt auf der anderen Seite des Bezugspunkts.

82

2 Schwerpunktslehre

2. bung: Aus einer Rechteckfla¨che sind ein kleineres Rechteck und eine Kreisfla¨che symmetrisch ausgespart. Der Schwerpunkt der Gesamtfla¨che soll rechnerisch bestimmt werden. Lo¨sung: Die Gesamtfla¨che ist aus drei Teilfla¨chen entstanden: Von der großen Rechteckfla¨che A1 wurden die Kreisfla¨che A2 und die kleine Rechteckfla¨che A3 fortgenommen. A2 und A3 werden als „negative“ Fla¨chen bezeichnet. In der Skizze kennzeichnet man die Teilfla¨che A1 durch einen nach rechts gerichteten Pfeil, die „negativen“ Teilfla¨chen A2 und A3 durch nach links gerichtete Pfeile. Die Schwerpunktsabsta¨nde y1, y2 und y3 werden eingetragen. Als Momentenbezugspunkt 0 wa¨hlt man einen Punkt auf der oberen Rechteckseite. Man kann sich dann bei der Annahme des Gesamtschwerpunkts S nicht irren; er muss unterhalb des Bezugspunkts liegen. In die Skizze tra¨gt man den Abstand y0 und fu¨r die Gesamtfla¨che A einen nach rechts gerichteten Pfeil ein. Die Rechnung wird wieder mit der Berechnung der Teilfla¨chen, der Gesamtfla¨che und der Teilschwerpunktsabsta¨nde begonnen.

Beim Aufstellen des Momentensatzes fu¨r den Bezugspunkt 0 muss man bei der Festlegung des Drehsinns die eingezeichneten Pfeilrichtungen beachten. Die negativen Fla¨chen wirken wie negative Kra¨fte. Der Drehsinn ihrer Momente ist entgegen dem der positiven Fla¨chen gerichtet. Der Momentensatz wird nun nach y0 aufgelo¨st, und der Schwerpunktsabstand wird aus der entwickelten Gleichung ausgerechnet. Das positive Ergebnis zeigt, dass der Schwerpunkt S auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen wurde. Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie der Fla¨che. Aufgaben 201–219

1. Schritt

2. Schritt 3. Schritt

4. Schritt A1 ¼ 4800 mm2, A2 ¼ 314 mm2 A3 ¼ 800 mm2 A ¼ A1 A2 A3 ¼ 3 686 mm2 y1 ¼ 30 mm; y2 ¼ 20 mm; y3 ¼ 50 mm 5. Schritt þAy0 ¼ þA1 y1 A2 y2 A3 y3 Beachte: Fu¨r negative Fla¨chen (Aussparungen) kehrt sich der Momentendrehsinn um.

6. Schritt A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 A 144 000 mm3 6 280 mm3 40 000 mm3 y0 ¼ 3 686 mm2 y0 ¼

y0 ¼ 26,5 mm Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der Symmetrielinie 26,5 mm unterhalb der oberen Rechteckseite.

2.3 Der Linienschwerpunkt

83

2.3 Der Linienschwerpunkt 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt Wie in 2.2.1 geht man wieder von der Schwerpunktsbestimmung fu¨r einen Ko¨rper aus. Es wird ein zweifach abgekanteter Stab untersucht. Er hat auf der ganzen La¨nge den gleichen Querschnitt A. Man stellt sich den Stab in drei gerade Teilstu¨cke mit den Teilla¨ngen l1, l2, l3 zerlegt vor. Der ganze Stab ist symmetrisch in Bezug auf die eingezeichnete x-Achse. Die Teilgewichtskra¨fte FG1, FG2 , FG3 berechnet man aus dem Volumen der Teilstu¨cke, der Dichte ihres Werkstoffes und der Fallbeschleunigung. Das Volumen der Teilstu¨cke wird aus ihren Teilla¨ngen l1, l2 , l3 und der Querschnittsfla¨che A berechnet.

FG1 ¼ m1 g ¼ V1 r g ¼ A l1 r g FG2 ¼ m2 g ¼ V2 r g ¼ A l2 r g FG3 ¼ m3 g ¼ V3 r g ¼ A l3 r g

Die Gewichtskraft FG des ganzen Stabes berechnet man in gleicher Weise mit der Gesamtla¨nge l ¼ l1 þ l2 þ l3 .

FG ¼ FG1 þ FG2 þ FG3 ¼ ðl1 þ l2 þ l3 Þ A r g FG ¼ A l r g

Dann wird der Momentensatz nach 1.2.5.1, (Seite 38) aufgestellt, die fu¨r die Gewichtskra¨fte gefundenen Beziehungen eingesetzt und daraus eine Bestimmungsgleichung fu¨r den Schwerpunktsabstand x0 entwickelt. Die Fla¨che A, die Dichte r und die Fallbeschleunigung g ku¨rzen sich wieder heraus.

þFG x0 ¼ þFG1 x1 þ FG2 x2 þ FG3 x3 A l r g x0 ¼ A l1 r g x1 þ A l2 r g x2 þ A l3 r g x3

Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage auch mit den Teilla¨ngen und der Gesamtla¨nge ermittelt werden kann. Auch Linien haben also einen Schwerpunkt. Man muss ihn z. B. als Schnittkantenschwerpunkt bei der Konstruktion von Stanzwerkzeugen bestimmen.

2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien Gerade Linie (Strecke) Der Schwerpunkt einer Strecke liegt auf ihrer Mitte. Schwerpunktsabstand

y0 ¼

l 2

ðl1 x1 þ l2 x2 þ l3 x3 Þ A r g l Arg l1 x1 þ l2 x2 þ l3 x3 x0 ¼ l x0 ¼

lx0 ¼ l1 x1 þ l2 x2 þ þ ln xn ¼ S ln xn Momentensatz fu¨r Linien Beachte: Fu¨r die Linienmomente lx sind die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen (links þ, rechts ).

84

2 Schwerpunktslehre

Dreiecksumfang Die Dreiecksseiten werden halbiert und das Hilfsdreieck ABC gezeichnet. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt des darin einbeschriebenen Kreises. Schwerpunktsabstand

y0 ¼

h aþb 2 aþbþc

Parallelogrammumfang Der Schwerpunkt des Parallelogrammumfangs (Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid) liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Schwerpunktsabstand

y0 ¼

h 2

y0 ¼

Rs b

Kreisbogen Schwerpunktsabstand

Halbkreisbogen: Viertelkreisbogen: Sechstelkreisbogen:

2R ¼ 0,6366 R p pﬃﬃﬃ 2 2R ¼ 0,9003 R y0 ¼ p y0 ¼

y0 ¼

3R ¼ 0,9549 R p

Bogenla¨nge Sehnenla¨nge

b ¼ 2 R a =57,3 s ¼ 2 R sin a

2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzu¨ge) 2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts Fu¨r Linienzu¨ge wird der Schwerpunkt mit dem Momentensatz fu¨r Linien nach 2.3.1 bestimmt. Bei unsymmetrischen Linienzu¨gen muss man die Lage fu¨r zwei Schwerlinien bestimmen. Im brigen gelten die gleichen Regeln wie fu¨r den Momentensatz fu¨r Fla¨chen (siehe Seite 77). Man zerlegt den Linienzug in Teillinien mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in zwei Strecken l1, l3 und einen Halbkreisbogen l2, und zeichnet die Teilschwerpunkte S1, S2, S3 ein. Die Lage des Gesamtschwerpunkts S wird angenommen. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt. Bei symmetrischen Linienzu¨gen wa¨hlt man dafu¨r zweckma¨ßig einen Punkt auf der Symmetrielinie.

2.3 Der Linienschwerpunkt

85 ¼ l3 ¼ 50 mm ¼ pR ¼ p 20 mm ¼ 62,8 mm ¼ l1 þ l2 þ l3 ¼ 162,8 mm ¼ 25 mm x3 ¼ 25 mm ¼ l1 þ 0,6366 R ¼ ¼ 50 mm þ 0,6366 20 mm ¼ 62,7 mm

Aus den gegebenen Abmessungen des Linienzuges berechnet man die La¨ngen der Teillinien l1, l2, l3, ihre Schwerpunktsabsta¨nde x1, x2, x3 von der y-Achse und die Gesamtla¨nge l ¼ l1 þ l2 þ l3 .

l1 l2 l x1 x2

Der Momentensatz fu¨r Linien liefert nun wieder eine Bestimmungsgleichung fu¨r den Schwerpunktsabstand x0 , aus der man x0 berechnet. Das Ergebnis ist positiv, folglich wurde der Gesamtschwerpunkt auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen. Das war auch nicht anders zu erwarten, weil der Bezugspunkt an das Ende des Linienzuges gelegt worden war. Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie des Linienzuges.

Momentensatz: þl x0 ¼ þl1 x1 þ l2 x2 þ l3 x3 x0 ¼

l1 x1 þ l2 x2 þ l3 x3 l

1 250 mm2 þ 3 938 mm2 þ 1 250 mm2 162,8 mm x0 ¼ 39,5 mm x0 ¼

Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrielinie 39,5 mm links vom rechten Ende des Linienzuges.

Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts: Linienzug in Teillinien mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen.

1. Schritt

Momentenbezugspunkt 0 festlegen.

2. Schritt

Gesamtschwerpunkt S mit angenommener Lage und den Schwerpunktsabsta¨nden x0 , y0 einzeichnen. Teilla¨ngen, Gesamtla¨nge und Teilschwerpunktsabsta¨nde berechnen.

3. Schritt

Momentensatz fu¨r zwei zueinander rechtwinklige Achsen aufstellen, Momentendrehsinn beachten. Nach x0 und y0 auflo¨sen und Schwerpunktsabsta¨nde ausrechnen.

Aufgaben Nr. 220–238

4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

86

2 Schwerpunktslehre

2.4 Guldin’sche Regeln 2.4.1 Volumenberechnung Ein Rotationsko¨rper entsteht durch Drehung seiner Profilfla¨che um seine Symmetrieachse. Bei einer Drehung „erzeugt“ die Profilfla¨che das Volumen des Ko¨rpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Fla¨chenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. Das kleine Fla¨chenteilchen D A erzeugt das Ringvolumen DV ¼ 2 p x D A. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck S D A x ist die Momentensumme aller Teilfla¨chen, bezogen auf die Drehachse (siehe 2.2.1 Momentensatz fu¨r Fla¨chen), und damit gleich dem Moment Ax0 der ganzen Profilfla¨che A. Daraus ergibt sich die Guldin’sche Volumenregel: Das Volumen eines Rotationsko¨rpers ist das Produkt aus der Profilfla¨che und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung.

V ¼ S DV ¼ S 2 p x D A ¼ 2 p S D A x S DA x ¼ A x0 . Setzt man Ax0 in die erste Gleichung ein, dann wird V ¼ 2 p A x0 . Darin ist das Produkt 2 p x0 der Weg, den der Schwerpunkt S der Profilfla¨che bei einer Umdrehung zuru¨cklegt. V ¼ A 2p x0

Volumen

A Profilfla¨che x0 Schwerpunktsabstand der Profilfla¨che von der Drehachse nach 2.2.3.1

2.4.2 Oberfla¨chenberechnung Oberfla¨chen oder Mantelfla¨chen von Rotationsko¨rpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes La¨ngenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Fla¨chenanteil beteiligt. Die kleine Teilla¨nge Dl erzeugt bei einer Drehung die Ringfla¨che D A ¼ 2p x Dl. Die Summe aller Teilfla¨chen ist die Mantelfla¨che A. Der Summenausdruck S Dl x ist die Momentensumme aller Teilla¨ngen, bezogen auf die Drehachse (siehe 2.3.1 Momentensatz fu¨r Linien) und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie l. Daraus ergibt sich die Guldin’sche Oberfla¨chenregel: Die Oberfla¨che (Mantelfla¨che) eines Rotationsko¨rpers ist das Produkt aus der La¨nge der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung.

A ¼ S DA ¼ S 2p x Dl ¼ 2p S Dl x S Dl x ¼ l x0 . Setzt man lx0 in die erste Gleichung ein, dann wird A ¼ 2p l x0 . Darin ist das Produkt 2p x0 der Weg, den der Schwerpunkt S der Profillinie bei einer Umdrehung zuru¨cklegt. Oberfla¨che Mantelfla¨che l La¨nge der Profillinie x0 Schwerpunktsabstand der Profillinie von der Drehachse nach 2.3.3.1. A ¼ l 2p x0

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit

87

2.4.3 bungen mit den Guldin’schen Regeln 1. bung: Der Rauminhalt der Kugel Lo¨sung: Die erzeugende Profilfla¨che ist eine Halbkreisfla¨che mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ 4r=3p von der Drehachse (siehe 2.2.2). 2. bung: Der Rauminhalt des Kegels Lo¨sung: Die erzeugende Fla¨che ist ein Dreieck mit der Ho¨he h, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ r=3 von der Drehachse. 3. bung: Die Oberfla¨che der Kugel Lo¨sung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ 2r=p von der Drehachse (siehe 2.3.2). 4. bung: Die Mantelfla¨che des Kegels Lo¨sung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie mit der La¨nge s und dem Schwerpunktsabstand x0 ¼ r=2 von der Drehachse.

V ¼ A 2p x0 ¼ V¼

4 3 pr 3

V ¼ A 2p x0 ¼ V¼

p r2 4r 4 2p ¼ p r3 2 3p 3

rh r 1 2p ¼ p r2 h 2 3 3

p 2 r h 3

A ¼ l 2p x0 ¼ p r 2p

2r ¼ 4p r2 p

A ¼ 4p r 2

A ¼ l 2p x0 ¼ s 2p

r ¼ p rs 2

A ¼ pr s Aufgaben Nr. 239–264

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 2.5.1 Gleichgewichtslagen Die Lage des Schwerpunkts eines Ko¨rpers bezogen auf seine Standfla¨che bestimmt seine Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen: 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lagea¨nderung gehoben wird. Hierbei entsteht immer ein ru¨ckstellendes Kraftmoment, das den Ko¨rper wieder in die Ausgangslage zuru¨ckfu¨hrt. 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner Lagea¨nderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer ein ablenkendes Kraftmoment, das den Ko¨rper immer weiter aus der Ausgangslage herausfu¨hrt. 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster Lagea¨nderung weder gehoben noch gesenkt wird. Hierbei entstehen weder ru¨ckstellende noch ablenkende Kraftmomente.

88

2 Schwerpunktslehre

2.5.2 Standsicherheit 2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Das Kippen eines Ko¨rpers soll untersucht werden: Der skizzierte Ko¨rper steht frei beweglich auf einer rauen horizontalen Standfla¨che. Die waagerecht wirkende Kraft F greift im Abstand a so hoch von der Standfla¨che an, dass der Ko¨rper nicht nach rechts wegrutscht. Bei genu¨gend großer Kraft F wird der Ko¨rper eine Drehbewegung um die Ko¨rperkante K (Kippkante) ausfu¨hren: Der Ko¨rper kippt. Im Augenblick des Ankippens wirkt das (rechtsdrehende) Kippmoment Mk ¼ Fa um die Kippkante K. Zugleich wirkt dem Kippmoment Mk entgegengerichtet (linksdrehend) das Standmoment Ms ¼ FG b, das den Ko¨rper in der Ruhelage zu halten sucht. Der Ko¨rper wird nicht kippen, solange das Standmoment Ms gro¨ßer ist als das Kippmoment Mk. Der Sicherheitsgrad gegen das Kippen wird durch das Verha¨ltnis beider Momente ausgedru¨ckt. Dieses Momentenverha¨ltnis nennt man die Standsicherheit S. Ist S ¼ 1, also FG b ¼ Fa, so geht die Resultierende Fr der beiden Kra¨fte durch die Kippkante K (keine Drehung). Der Ko¨rper befindet sich gerade noch im Gleichgewicht. Je mehr sich Punkt B dem Punkt A na¨hert, umso gro¨ßer ist die Standsicherheit (S > 1). Fa¨llt B mit A zusammen, ist die Standsicherheit unendlich groß. Wandert Punkt B u¨ber die Kippkante K hinaus auf Punkt C, so ist S < 1 und der Ko¨rper kippt um. Es kann notwendig sein, die Untersuchung zur Standsicherheit fu¨r mehrere Kippkanten durchzufu¨hren, z. B. bei beladenen Fahrzeugen und Kra¨nen (siehe bung). Beim Berechnen von Ms und Mk addiert man die Kraftmomente jeweils mit positivem Vorzeichen, im Gegensatz zur sonst u¨blichen Vorzeichenregel (siehe bung).

Mk ¼ Fa

Kippmoment

M s ¼ FG b

Standmoment

S¼

Ms FG b ¼ Fa Mk

S > 1 sicherer Stand S ¼ 1 Kippgrenze S < 1 kippen

Standsicherheit

Eine Betrachtung der geometrischen Verha¨ltnisse zeigt: Die Absta¨nde f und a verhalten sich zueinander wie die Kra¨fte F und FG. f F ¼ a FG

und daraus a ¼

f FG F

Diesen Ausdruck in die Standsicherheitsgleichung eingesetzt, ergibt: S¼

Ms FG b b ¼ ¼ Fa f Mk

Standsicherheit

Beachte: Die Standsicherheit S hat immer das positive Vorzeichen.

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit

89

2.5.2.2 bung zur Standsicherheit Die Skizze zeigt einen drehbaren Mobilkran mit den La¨ngen l1 ¼ 1,8 m, l2 ¼ 2,5 m, l3 ¼ 7 m und l4 ¼ 0,9 m, gemessen von der vertikalen Bezugsachse durch den Kippkantenpunkt A. Die Standsicherheit fu¨r den unbelasteten Kran um den Kippkantenpunkt A und fu¨r den belasteten Kran um B soll in beiden Fa¨llen mindestens 1,5 betragen.

Die Gewichtskra¨fte FG1 und FG2 sind bekannt, die erforderliche Gewichtskraft FG3 soll ermittelt werden: FG1 ¼ 100 kN, FG2 ¼ 50 kN. Außerdem sind die Achslasten FA und FB fu¨r beide Fa¨lle zu berechnen.

Lo¨sung: Fu¨r den unbelasteten Mobildrehkran ist die Gewichtskraft FG2 ¼ 0. Der Kran kann um die Hinterachse (A) kippen mit dem Kippmoment FG3 l4. Standmoment ist dann das rechtsdrehend wirkende Kraftmoment FG1 l1. Im umbelasteten Zustand darf FG3 ho¨chstens 133,3 kN betragen, jede gro¨ßere Gewichtskraft FG3 fu¨hrt zu einer kleineren Standsicherheit S.

Fu¨r den belasteten Mobildrehkran entha¨lt die Standsicherheitsgleichung die Kraftmomente fu¨r alle drei Gewichtskra¨fte. Der Kran kann um die Vorderachse (B) kippen durch das rechtsdrehend wirkende Kippmoment Mk ¼ FG2 ðl3 l2 Þ. Im belasteten Zustand muss die Gewichtskraft FG3 mindestens 78,7 kN betragen, wenn die Standsicherheit S mindestens 1,5 betragen soll. Jede gro¨ßere Gewichtskraft FG3 > 78,7 kN fu¨hrt zu einer gro¨ßeren Standsicherheit S. Die Gewichtskraft FG3 darf also zwischen 78,7 kN und 133,3 kN betragen. Aufgaben Nr. 265–279

Gegeben: l1 ¼ 1,8 m, l2 ¼ 2,5 m, l3 ¼ 7 m, l4 ¼ 0,9 m FG1 ¼ 100 kN, FG2 ¼ 50 kN Smin ¼ 1,5 Gesucht: Erforderliche Gewichtskraft FG3 , Achslasten FA und FB .

S¼

Ms FG1 l1 ¼ Mk FG3 l4

FG3 ¼

S¼

FG1 l1 100 kN 1,8 m ¼ 133,3 kN ¼ 1,5 0,9 m S l4

Ms FG1 ðl2 l1 Þ þ FG3 ðl2 þ l4 Þ ¼ Mk FG2 ðl3 l2 Þ

S FG2 ðl3 l2 Þ ¼ FG1 ðl2 l1 Þ þ FG3 ðl2 þ l4 Þ FG3 ¼

S FG2 ðl3 l2 Þ FG1 ðl2 l1 Þ l2 þ l4

FG3 ¼

1,5 50 kN ð7 2,5Þ m 100 kN ð2,5 1,8Þ m ð2,5 þ 0,9Þ m

FG3 ¼ 78,7 kN

90

3 Reibung 3.1 Grunderkenntnisse u¨ber die Reibung Mo¨chte man den Reitstock einer Drehmaschine auf dem Drehmaschinenbett verschieben, spu¨rt man einen Widerstand. Diese bewegungshemmende Kraft ist die Reibungskraft. Solange sich die Beru¨hrungsfla¨chen nicht gegeneinander bewegen, spricht man von Ruhe- oder Haftreibung, im anderen Fall von Gleitreibung. Dabei steht meistens einer der beiden Ko¨rper still (Reitstockverschiebung auf dem Bett). Durch Versuche bekommt man einige Grunderkenntnisse u¨ber die wichtigsten Gesetze der Reibung:

a) Man setzt ein Wa¨gestu¨ck von der Masse m ¼ 5 kg auf eine fest stehende Tischplatte, legt eine Schlinge darum und misst mit einer Federwaage die parallel zur Tischebene erforderliche Verschiebekraft F bei konstanter Geschwindigkeit (a). Sie ist notwendig, um die zwischen beiden Ko¨rpern wirkende Reibungskraft FR zu u¨berwinden. Man erkennt: Die Reibungskraft FR ist eine in der Beru¨hrungsfla¨che wirkende Tangentialkraft. Sie versucht den schnelleren Ko¨rper (das Wa¨gestu¨ck) zu verzo¨gern, den langsameren oder stillstehenden Ko¨rper (den Tisch) dagegen zu beschleunigen. Die Kupplung ist ein gutes Beispiel dafu¨r. Bewegen sich beide Ko¨rper gegensinnig zueinander, dann wirkt die Reibungskraft auf beide verzo¨gernd. b) Verschiebt man einen Ko¨rper mit anderer Grundfla¨che, aber gleichem Werkstoff und gleicher Masse m ¼ 5 kg in gleicher Weise, so stellt sich an der Federwaage die gleiche Kraftanzeige ein. Man erkennt: Die Reibungskraft FR ist unabha¨ngig von der Gro¨ße der Gleitfla¨che. Man kann diese merkwu¨rdige Erscheinung damit erkla¨ren, dass auch glatte, ebene Fla¨chen nur in drei Punkten aufliegen. c) Verdoppelt man die Masse auf 10 kg, so verdoppelt sich auch die Gewichtskraft FG und damit auch die Normalkraft FN zwischen beiden Ko¨rpern. An der Federwaage stellt sich jetzt die doppelte Verschiebekraft ein, d. h. es muss jetzt mit 20 N statt vorher mit 10 N gezogen werden. Man erkennt: Die Reibungskraft FR ist proportional der Normalkraft FN, mit der die beiden Fla¨chen aufeinander gedru¨ckt werden. d) Benutzt man fu¨r das Wa¨gestu¨ck eine andere Unterlage, z. B. eine Hartfaserplatte, so stellt sich auch eine andere Verschiebekraft, also auch eine andere Reibungskraft ein. Man erkennt: Die Reibungskraft ist abha¨ngig von den Werkstoffen der beiden aufeinander gleitenden Ko¨rper.

3.2 Gleitreibung und Haftreibung

91

e) Schon bevor das Wa¨gestu¨ck aus der Ruhe in die Bewegung gebracht wird, zeigt die Federwaage eine Kraft an, die von null bis zu einem Ho¨chstwert ansteigt, der gro¨ßer ist, als die Reibungskraft FR zwischen gleitenden Fla¨chen. Man erkennt: Auch zwischen ruhenden Ko¨rpern kann eine Reibungskraft wirken. Man nennt sie die Haftreibungskraft FR0. Sie kann gro¨ßer werden als die Gleitreibungskraft FR. f) Durch weitere Versuche kann man noch zu folgenden Erkenntnissen kommen: Bei nicht allzu großer Gleitgeschwindigkeit ist die Reibungskraft FR unabha¨ngig von der Gleitgeschwindigkeit zwischen beiden Fla¨chen. Auch ein rollender Ko¨rper wird durch eine Kraft abgebremst, die man den Rollwiderstand nennt. Er ist erfahrungsgema¨ß kleiner als die Gleit- oder Haftreibungskraft. Innerhalb bewegter (stro¨mender) Flu¨ssigkeiten und Gase tritt ebenfalls Reibung auf. Auch sie versucht, die schnelleren Stro¨mungsfa¨den zu verlangsamen und die langsameren zu beschleunigen.

3.2 Gleitreibung und Haftreibung 3.2.1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft Ein Ko¨rper dru¨ckt mit seiner Gewichtskraft FG ¼ Normalkraft FN auf eine horizontale Gleitfla¨che und wird durch die Kraft F mit gleich bleibender Geschwindigkeit v bewegt. Beim Verschieben muss die Gleitreibungskraft u¨berwunden werden. Sie wirkt immer tangential in der Beru¨hrungsfla¨che. Den Richtungssinn findet man aus folgender berlegung: Die Reibungskraft versucht, den schnelleren Ko¨rper zu verzo¨gern, den langsameren (oder stillstehenden) dagegen zu beschleunigen. Ruhen beide Ko¨rper, bestimmt der zu erwartende Bewegungszustand den Richtungssinn der Reibungskraft. Der Kra¨fteplan zeigt die vier miteinander im Gleichgewicht stehenden Kra¨fte. Die eingezeichnete Diagonale ist die Resultierende aus der Normalkraft FN und der Reibungskraft FR, die als Ersatzkraft Fe bezeichnet werden kann. Man sieht, dass mit zunehmender Reibungskraft FR der Winkel r zwischen Normalkraft FN und Ersatzkraft Fe gro¨ßer wird und dass die Reibungskraft der Tangensfunktion dieses Winkels proportional ist. Man nennt ihn den Reibungswinkel r. Seine Tangensfunktion wird als Reibungszahl m bezeichnet.

freigemachter Ko¨rper

Kra¨fte auf die Gleitfla¨che Hinweis: Das Kippproblem durch die Kra¨ftepaare FG , FN und F, FR bleibt hier unbeachtet, siehe dazu 2.5.2.1.

Kra¨fteplan

tan r ¼

FR ) FR ¼ FN tan r FN

Reibungszahl m ¼ tan r

92

3 Reibung

Aus diesen Beziehungen erha¨lt man eine Gleichung zur Berechnung der Reibungskraft FR. Ruhen beide Ko¨rper aufeinander, kann die Haftreibungskraft von null bis auf einen Ho¨chstwert anwachsen, der gro¨ßer ist als FR. Dann ist aber auch der Reibungswinkel gro¨ßer als r. Man bezeichnet ihn als den Haftreibungswinkel r0. Seine Tangensfunktion ist die Haftreibungszahl m0. Sie ist gro¨ßer als die Gleitreibungszahl m, weil die Oberfla¨chenrauigkeiten im Ruhezustand ineinander eindringen ko¨nnen und dadurch zusa¨tzliche Haftwirkung entsteht. Wie oben erha¨lt man eine Gleichung zur Berechnung der maximalen Haftreibungskraft FR0 max . Die Reibungszahlen m und m0 sind kleiner als eins. Folglich sind FR und FR0 max immer ein Bruchteil der Normalkraft FN.

Reibungskraft ¼ FR ¼ FN m

Normalkraft Reibungszahl

Reibungskraft

Haftreibungszahl m0 ¼ tan r0 m0 > m, weil r0 > r Beachte: Reibungszahlen ko¨nnen nur durch Versuche ermittelt werden (siehe 3.2.2). Sie sind unterschiedlich auch bei gleichartigen Bedingungen (Werkstoff, Schmierzustand, Rautiefen) durch nicht erfassbare Einflu¨sse. Angegebene Werte sind immer nur Richtwerte. Normalkraft maximale ¼ Haftreibungskraft Haftreibungszahl FR0 max ¼ FN m0

maximale Haftreibungskraft

Tabelle 3.1 Reibungszahlen m0 und m (Klammerwerte sind die Gradzahlen fu¨r r0 und r)1) Gleitreibungszahl m

Haftreibungszahl m0 Werkstoff

Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen (GJL) oder CuSn-Leg. Gusseisen (GJL) auf Gusseisen (GJL) Holz auf Holz Holz auf Metall Lederriemen auf Gusseisen (GJL) Gummiriemen auf Gusseisen (GJL) Textilriemen auf Gusseisen (GJL) Bremsbelag auf Stahl Lederdichtungen auf Metall 1)

trocken

gefettet

trocken

gefettet

0,15 (8,5) 0,19 (10,8)

0,1 (5,7) 0,1 (5,7) 0,16 (9,1) 0,16 (9,1) 0,11 (6,3) 0,3 (16,7)

0,15 (8,5) 0,18 (10,2) 0,3 (16,7) 0,5 (26,6)

0,01 0,01 0,1 0,08 0,1

0,4 0,4 0,5 0,2

0,4 (21,8) 0,12 (6,8)

0,5 (26,6) 0,7 (35)

0,6 (31)

0,2 (11,3)

(21,8) (21,8) (26,6) (11,3)

(0,6) (0,6) (5,7) (4,6) (5,7)

Die angegebenen Reibungszahlen sind Mittelwerte fu¨r praktisch auftretende Streubereiche, z. B. mStahl ¼ 0,14 . . . 0,16.

3.2.2 Ermittlung der Reibungszahlen m und m0 Zur Ermittlung der Reibungszahlen benutzt man eine „Schiefe Ebene“ mit verstellbarem und ablesbarem Neigungswinkel. Schiefe Ebene ist die u¨bliche Bezeichnung fu¨r „geneigte“ Ebenen mit dem Ebenenwinkel a 6¼ 0. Der Pru¨fko¨rper bleibt bei zunehmender Neigung der Ebene solange in Ruhe, bis der Neigungswinkel a gleich dem Haftreibungswinkel r0 ist. Liegt die Ebene unter dem Reibungswinkel r, dann gleitet der Ko¨rper nach dem Anstoßen mit gleich bleibender Geschwindigkeit abwa¨rts.

3.2 Gleitreibung und Haftreibung In beiden Fa¨llen ist der Pru¨fko¨rper im Gleichgewicht; es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. Der Winkel zwischen Normalkraft FN und Gewichtskraft FG ist beim Gleiten der Reibungswinkel r, denn FG ist die Gegenkraft der Ersatzkraft Fe. Eine Betrachtung der geometrischen Verha¨ltnisse zeigt, dass der Reibungswinkel r im Krafteck gleich dem Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist. Man braucht beim Versuch also nur den Neigungswinkel der schiefen Ebene abzulesen. Seine Tangensfunktion ist die Reibungszahl m (oder m0). Zum gleichen Ergebnis kommt man auch mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. Als x-Achse legt man die Richtung der schiefen Ebene fest und zerlegt die Gewichtskraft in ihre Komponenten FG sin r und FG cos r. Dann mu¨ssen beim gleichfo¨rmigen Abwa¨rtsgleiten die Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 erfu¨llt sein. Die Gleichungsentwicklung zeigt, dass der Tangens des Neigungswinkels gleich der Reibungszahl m ist, also ist auch der Neigungswinkel gleich dem Reibungswinkel r. Versuche mit vera¨ndertem Neigungswinkel a lassen erkennen, dass der Ko¨rper solange in Ruhe bleibt, solange a r0 ist. Der Bereich zwischen den Winkeln null und r0 heißt Selbsthemmungsbereich.

3.2.3 Der Reibungskegel Ist die Reibungszahl m0 und damit der Reibungswinkel r0 bekannt, kann der so genannte Reibungskegel gezeichnet werden. Man dreht dazu eine um den Reibungswinkel r0 gegen die Wirklinie der Normalkraft FN geneigte Gerade um die Pfeilspitze von FG. Der Ko¨rper bleibt solange in Ruhe, wie die Resultierende Fr aller a¨ußeren Kra¨fte innerhalb des Reibungskegels liegt. Jede Mantellinie des Reibungskegels ist eine Wirklinie der aus Haftreibungskraft FR0 max und der Normalkraft (hier FG ¼ FN) zusammengesetzten Ersatzkraft Fe.

93

freigemachter Pru¨fko¨rper

tan r ¼

FR ¼m FN

Krafteck

tan r0 ¼

FR0 max ¼ m0 FN

Lageskizze

I. S Fx ¼ 0 ¼ FG sin r þ FR II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos r FG sin r ¼ FR ¼ FN m; FG cos r ¼ FN FG sin r FN m ¼ ¼ m ¼ tan r FG cos r FN Wenn a r0 ist, dann ist auch tan a tan r0 tan a m0

Selbsthemmungsbedingung

94

3 Reibung

Lehrbeispiel: Reibung in Ruhe und Bewegung Aufgabenstellung: Zwei Ko¨rper a und b mit den Gewichtskra¨ften FG1 und FG2 liegen u¨bereinander auf einer ebenen Unterlage. In den beiden Gleitfla¨chen sind die Reibungszahlen: m0I ¼ 0,19 m0II ¼ 0,12

mI ¼ 0,17 mII ¼ 0,11

Körper b I II

Körper a FG1 = 52 N

FG2 = 24 N

F

a) Wie groß muss F werden, damit der Ruhezustand gerade aufgehoben wird? Wie verha¨lt sich Ko¨rper b? FR0I max gro¨ßte Reibungskraft, die Ko¨rper a auf b in Richtung von F ausu¨bt, bevor Gleiten eintritt.

Lo¨sung: FG1

I II

FR0 II max FN

FR0II max gro¨ßte Reibungskraft, die den Ko¨rper b am Verschieben in Richtung von F hindert.

FR0 I max

FG2

Körper b

Fu¨r Ko¨rper b gilt: SFy ¼ 0 ¼ FG1 FG2 þ FN ; FN ¼ FG1 þ FG2 SFx ¼ 0 ¼ FR0I max FR0II max FR0I max ¼ FG1 m0I ¼ 52 N 0,19 ¼ 9,88 N FR0II max ¼ FN m0II ¼ ðFG1 þ FG2 Þ m0II ¼ 76 N 0,12 ¼ 9,12 N

Lageskizze

Erkenntnis: Die Reibungskraft in der Ebene II ist kleiner. Der Ruhezustand wird hier zuerst aufgehoben. Die Kraft F muss sein: F ¼ FR0II max ¼ 9,12 N Ko¨rper a bleibt zu b in Ruhe, sie gleiten gemeinsam auf der Unterlage.

b) Wie groß muss F sein, wenn a schon in Bewegung ist und weitergleiten soll, wa¨hrend b festgehalten wird? F

FRI

I

FN

FG1

Körper a

Lo¨sung: SFy ¼ 0 ¼ FG1 þ FN SFx ¼ 0 ¼ F FRI

FN ¼ FG1 F ¼ FRI ¼ FN mI ¼ FG1 mI F ¼ 52 N 0,17 ¼ 8 ,84 N

Lageskizze Mit F 8 ,84 N bleibt a in Bewegung.

c) Was geschieht, wenn beim Vorgang in Aufgabe b) der Ko¨rper b plo¨tzlich losgelassen wird?

I II

FG1 FR0 II max FN

Lageskizze

FRI ¼ Reibungskraft von Ko¨rper a auf b beim Gleiten ausgeu¨bt ¼ Mitnahmekraft. FRI ¼ 8,84 N

FRI

FG2

Körper b

FR0II max ¼ Reibungskraft, die Ko¨rper b auf seiner Unterlage am Verschieben hindert. FR0II max ¼ 9,12 N FR0II max > FRI Beim Loslassen bleibt Ko¨rper b in Ruhe.

siehe b) siehe a)

3.2 Gleitreibung und Haftreibung

95

3.2.4 bungen zur Lo¨sung von Reibungsaufgaben Reibungsaufgaben ko¨nnen zeichnerisch oder rechnerisch gelo¨st werden. Es werden dazu dieselben, aus der Statik bekannten Verfahren, benutzt. Nur muss man jetzt schon beim Freimachen auch die Reibungskra¨fte (Tangentialkra¨fte) mit beru¨cksichtigen. Bei jeder rechnerischen Lo¨sung wird schon im Lo¨sungsansatz die Reibungskraft durch das Produkt aus Normalkraft und Reibungszahl ersetzt: FR ¼ FN m. Dann ergeben sich wieder Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten, die in der bekannten Weise aufgelo¨st werden. 1. bung: Die skizzierte Backenbremse wird mit der Kraft F ¼ 200 N angezogen. Die Reibungszahl betra¨gt m ¼ 0,5. Abmessungen: l ¼ 700 mm l1 ¼ 250 mm l2 ¼ 100 mm d ¼ 300 mm Fu¨r Rechtsdrehung der Bremsscheibe sollen rechnerisch ermittelt werden: Reibungskraft FR , Normalkraft FN auf die Bremsbacke, Lagerkraft FD im Drehpunkt D des Bremshebels, Bremsmoment M.

Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizzen des freigemachten Bremshebels und der freigemachten Bremsscheibe. Zwischen Bremsscheibe und Bremsklotz wirken an jedem Fla¨chenteilchen Teil-Normalkra¨fte und Teil-Reibungskra¨fte. Die resultierende Normalkraft FN und die entsprechende resultierende Reibungskraft FR greifen am oberen Beru¨hrungspunkt zwischen Bremsscheibe und Bremsklotz an. Die Normalkraft FN wirkt bezogen auf den Bremshebel in y-Richtung nach oben, bezogen auf die Bremsscheibe entgegengesetzt nach unten. Die Reibungskraft FR wirkt bezogen auf den Bremshebel und bei rechtsdrehender Bremsscheibe nach rechts, bezogen auf die Bremsscheibe nach links. Beim Festlegen des Richtungssinns der Reibungskraft FR muss immer sorgfa¨ltig u¨berlegt werden. Ein falscher Richtungssinn fu¨r die Reibungskraft fu¨hrt zu falschen Ergebnissen der folgenden Rechnungen.

Aufgabenskizze

96

3 Reibung

Begonnen wird mit den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Bremshebel. Als Bezugspunkt fu¨r die Momentengleichgewichtsbedingung wird der Hebeldrehpunkt D gewa¨hlt: S MðDÞ ¼ 0.

FR zﬄ}|ﬄ{ I: S Fx ¼ 0 ¼ FN m FDx II: S Fy ¼ 0 ¼ FN F FDy III: S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 þ FN m l2 Fl

Aus Gleichung III kann man die Normalkraft FN berechnen. Mit FR ¼ FN m erha¨lt man dann die Reibungskraft FR.

III. FN ¼ F

l l1 þ m l2

FN ¼ 200 N

700 mm ¼ 466,7 N ð250 þ 0,5 100Þ mm

FR ¼ FN m ¼ 233,3 N

Mit den Gleichungen I und II erha¨lt man Berechnungsgleichungen fu¨r die Lagerkraftkomponenten FDx und FDy und damit auch fu¨r FD .

Das Bremsmoment M ist das statische Moment des Kra¨ftepaares, das aus den beiden Reibungskra¨ften gebildet wird. 2. bung: Fu¨r dieselbe Bremse wie in der ersten bung sollen die unbekannten Kra¨fte zeichnerisch ermittelt werden, jedoch fu¨r eine Linksdrehung der Bremsscheibe. Lo¨sung: Man zeichnet den Lageplan des Bremshebels. Damit ist maßsta¨blich die Lage der Angriffspunkte aller am Bremshebel angreifenden Kra¨fte bekannt. Es sind drei Angriffspunkte. Man lo¨st daher die Aufgabe nach dem 3-Kra¨fteverfahren (1.2.4.3, Seite 28). Die Wirklinie der Kraft F kann man gleich einzeichnen. Am Punkt R greift die nach links wirkende Reibungskraft FR an, ebenso die nach oben wirkende Normalkraft FN. Punkt D ist der Angriffspunkt der Lagerkraft FD , deren Wirklinie noch gefunden werden muss. Bei allen Reibungsaufgaben dieser Art, bei denen die Reibungszahl m bekannt ist, muss man sich immer als Erstes fragen, wie die Wirklinie der Ersatzkraft Fe einzuzeichnen ist. Mit der Reibungszahl m ist immer auch der Reibungswinkel r ¼ arctan m bekannt. Er betra¨gt hier r ¼ arctan 0,5 ¼ 26,6.

I. FDx ¼ FN m ¼ 233,3 N II. FDy ¼ FN F ¼ ð466,7 200Þ N ¼ 266,7 N qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FD ¼ FDx 2 þ FDy 2 ¼ 354,3 N

M ¼ FR

d ¼ 233,3 N 0,15 m ¼ 35 Nm 2

Lageplan La¨ngenmaßstab mm ML ¼ 150 cm (1 cm ¼ b 150 mm)

3.2 Gleitreibung und Haftreibung

97

Entsprechend dem Richtungssinn von FR und FN wirkt die Ersatzkraft Fe nach links oben. Damit ist die Lage der Wirklinie WL Fe gefunden. Man bringt nun WL Fe und WL F zum Schnittpunkt S und hat damit auch die Lage der Wirklinie WL FD der gesuchten Lagerkraft.

Den Kra¨fteplan beginnt man mit dem Aufzeichnen der gegebenen Kraft F. Durch Anfangs- und Endpunkt von F werden Parallelen zu den Wirklinien WL Fe und WL FD im Lageplan gezeichnet. Damit hat man die La¨ngen der Kraftpfeile fu¨r die Ersatzkraft Fe und fu¨r die Lagerkraft FD. Der Richtungssinn ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden Kra¨ftezugs („Einbahnverkehr“) fu¨r das geschlossene Krafteck.

Die horizontale Komponente der Ersatzkraft Fe ist die Reibungskraft FR, die vertikale Komponente ist die Normalkraft FN. Auf gleiche Weise findet man die Komponenten FDx und FDy der Lagerkraft FD. Die Multiplikation der abgemessenen Pfeilla¨ngen mit dem festgelegten Kra¨ftemaßstab MK ergibt die Betra¨ge fu¨r die gesuchten Kra¨fte.

Bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe betrug die Reibungskraft FR ¼ 233,3 N. Bei Linksdrehung ist sie gro¨ßer: FR ¼ 350 N. Folglich ist bei Linksdrehung auch das Bremsmoment M gro¨ßer als bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe.

Kra¨fteplan Kra¨ftemaßstab: N MK ¼ 200 cm (1 cm ¼ b 200 N)

Man misst ab: N ¼ 600 N cm N FDx ¼ 1,75 cm 200 ¼ 350 N cm N FDy ¼ 2,5 cm 200 ¼ 500 N cm N ¼ 700 N FN ¼ 3,5 cm 200 cm N FR ¼ 1,75 cm 200 ¼ 350 N cm FD ¼ 3 cm 200

M(Rechtsdrehung) ¼ 35 Nm d 2 ¼ 350 N 0,15 m ¼ 52,5 Nm

M(Linksdrehung) ¼ FR

98 3. bung: In der skizzierten Stellung lehnt eine Leiter von der La¨nge l an der senkrechten Wand. Mit dem waagerechten Boden schließt sie den Neigungswinkel a ein. Neben l und a sind die Reibungszahlen mA und mB in den Stu¨tzpunkten A und B bekannt. Eine Person mit der Gewichtskraft FG besteigt die Leiter.

3 Reibung

Aufgabenskizze

Gesucht ist eine Funktionsgleichung der Form h ¼ f (l, a, mA , mB , FG) fu¨r die Steigho¨he h, bei der die Leiter zu rutschen beginnt.

Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizze der freigemachten Leiter im Zustand des Rutschbeginns.

Im Stu¨tzpunkt A wirkt die vertikale Wand mit der Normalkraft FNA nach rechts auf die Leiter und die Reibungskraft FRA ¼ FNA mA nach oben. In B wirkt die Normalkraft FNB nach oben, die Reibungskraft FRB ¼ FNB mB nach links auf die Leiter. Man kann nun die drei Gleichgewichtsbedingungen fu¨r das ebene Kra¨ftesystem ansetzen und auswerten.

Mit dem richtigen Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen wird der physikalische Sachverhalt in Bezug auf die Leiter vollsta¨ndig erfasst. Daher ku¨rzt man die nun erforderlichen algebraischen Rechnungen zur Ermittlung der gesuchten Gleichung fu¨r die Steigho¨he h ab.

Lageskizze der freigemachten Leiter bei Rutschbeginn

I. S Fx ¼ 0 ¼ FNA FNB mB II. S Fy ¼ 0 ¼ FNA mA þ FNB FG l1 z}|{ III. S FðBÞ ¼ 0 ¼ FNA l sin a h FNA mA l cos a þ FG tan a

3.2 Gleitreibung und Haftreibung Es stehen drei voneinander unabha¨ngige Gleichungen fu¨r die drei unbekannten Gro¨ßen h, FNA und FNB zur Verfu¨gung. Das Gleichungssystem ist lo¨sbar.

99 FNA eingesetzt in II.: mB FNA FG ¼ 0 II. FNA mA þ mB 1 ¼ FG FNA mA þ mB

Aus I. FNB ¼

FNA ¼

FG

Wichtigste Erkenntnis der Entwicklung: Die Gewichtskraft FG fa¨llt heraus. Die Steigho¨he h ist nur abha¨ngig von der Leiterla¨nge l, dem Neigungswinkel a und den Reibungszahlen, dagegen nicht von der Gewichtskraft.

FG mA þ

h ¼ tan a

h¼

Beispiel: mA ¼ mB ¼ 0,2 l ¼ 4 m; a ¼ 60

Zur Sicherheit wird hier mit der Gleitreibungszahl mA ¼ mB ¼ 0,2 gerechnet.

h¼

mA þ

1 mB

ðsin a þ mA cos aÞ

4 m tan 60 ðsin 60 þ 0,2 cos 60 Þ 1 0,2 þ 0,2

h ¼ 1,287 m

Aufgaben Nr. 301–334

FG l

l tan a ðsin a þ mA cos aÞ 1 mA þ mB

Ein numerisches Beispiel mit l ¼ 4 m, a ¼ 60 , mA ¼ mB ¼ 0,2 ergibt die Steigho¨he h ¼ 1,287 m.

Die zeichnerische Lo¨sung der Aufgabe wird am Beispiel einer Zylinderfu¨hrung vorgefu¨hrt. (Abschnitt 3.4.2, Seite 115).

eingesetzt in III.:

1 mB

100

3 Reibung

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Reibungsbetrachtungen an vielen Maschinenteilen (z. B. Schraube, Schnecke, Keil) lassen sich auf die Reibungsverha¨ltnisse eines Ko¨rpers auf der schiefen Ebene zuru¨ckfu¨hren. Man unterscheidet drei Grundfa¨lle, je nachdem, ob der Ko¨rper auf der schiefen Ebene nach oben oder nach unten verschoben oder gehalten werden soll. Es werden die Fa¨lle anhand von Aufgaben mit unterschiedlicher Wirklinie der Verschiebekraft untersucht. Die Lo¨sung sucht man auf analytischem Weg mit den beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze (S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0). Anschließend wertet man das unmaßsta¨blich gezeichnete Krafteck (Krafteckskizze) trigonometrisch aus. Auf eine maßsta¨bliche zeichnerische Lo¨sung wird verzichtet. Sie ist hier umsta¨ndlich und wegen der meist kleinen Reibungswinkel ungenau, z. B. ist fu¨r m ¼ 0,1 der Reibungswinkel r ¼ 5,7 (siehe Seite 92). Den Ko¨rper stellt man sich sehr flach vor, so dass er nicht kippen kann. Dann ko¨nnen die Kra¨fte als zentrales Kra¨ftesystem behandelt werden. Diese Vereinfachung ist technisch zula¨ssig, und sie hilft, das Reibungsproblem besser zu erkennen. Die mathematischen Bedingungen werden einfacher, weil dann keine Kra¨ftepaare beru¨cksichtigt werden mu¨ssen.

3.3.1 Verschieben des Ko¨rpers nach oben (1. Grundfall) 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Ein Ko¨rper liegt auf einer schiefen Ebene, die unter dem Ebenenwinkel a zur Waagerechten geneigt ist. Die Zugkraft F wirkt unter dem Zugwinkel b zur Waagerechten. Der Ko¨rper wird durch die Kraft F mit gleichbleibender Geschwindigkeit nach oben gezogen. Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Zugkraft F entwickelt werden. Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers mit der Gewichtskraft FG und ihren Komponenten FG sin a und FG cos a, der Zugkraft F und deren Komponenten F sin g und F cos g, der Normalkraft FN und der Reibungskraft FR ¼ FN m. Die Reibungskraft FR bremst den Ko¨rper gegenu¨ber der ruhenden schiefen Ebene. Sie wirkt daher der Bewegungsrichtung des Ko¨rpers entgegen nach links unten. Die x-Achse des rechtwinkligen Achsenkreuzes legt man in Richtung der schiefen Ebene. Dann wird die Lageskizze mit den Kraftkomponenten u¨bersichtlicher, und es ergeben sich einfachere rechnerische Beziehungen. Den Winkel b a bezeichnet man mit dem griechischen Buchstaben g.

Aufgabenskizze Gegeben: FG , a, b, m Gesucht: F ¼ f (FG , a, b, m)

1. Schritt

Lageskizze

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Aus der Lageskizze ko¨nnen die beiden Gleichgewichtsbedingungen abgelesen werden.

Man lo¨st Gleichung II nach der Normalkraft FN auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F aufgelo¨st. Damit erha¨lt man die gesuchte Beziehung F ¼ f (FG , a, g, m) und mit g ¼ b a F ¼ f (FG , a, b, m) Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber sie gilt auch fu¨r den allgemeinen Kraftrichtungsfall. Bei technischen Gera¨ten wirkt die Kraft F meist parallel (Schra¨gaufzug) oder waagerecht (Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung wird dann einfacher.

101

2. Schritt I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a FR II. S Fy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a FR ¼ FN m 3. Schritt II. FN ¼ FG cos a F sin g I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a ðFG cos a F sin gÞ m |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} FN F cos g þ F sin g m ¼ FG sin a þ FG m cos a sin a þ m cos a F ¼ FG cos g þ m sin g

F ¼ FG

sin a þ m cos a cos ðb aÞ þ m sin ðb aÞ

Zugkraft beim Aufwa¨rtszug

3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lo¨sung: Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet sich von der vorhergehenden nur durch die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in Richtung der schiefen Ebene, das heißt, der Zugwinkel b ist gleich dem Ebenenwinkel a.

1. Schritt

Lageskizze

Man schreibt die allgemein gu¨ltige Zugkraftgleichung auf und ersetzt darin den Zugwinkel b durch den Ebenenwinkel a: ðb ¼ aÞ. Im Nenner ist cos ða aÞ ¼ cos 0 ¼ 1, sin ða aÞ ¼ sin 0 ¼ 0. Damit erha¨lt man die spezielle Gleichung fu¨r den Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt.

2. Schritt sin a þ m cos a F ¼ FG cos ðb aÞ þ m sin ðb aÞ sin a þ m cos a F ¼ FG cos ða aÞ þ m sin ða aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 0 F ¼ FG ðsin a þ m cos aÞ

Weil in bungsaufgaben und Klausuren ha¨ufig die Herleitung der Zugkraftgleichung fu¨r den speziellen Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0. Das ist auch eine Kontrolle des Ergebnisses der vorhergehenden Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung.

F ¼ f (FG , a, m) 3. Schritt

I. S Fx ¼ 0 ¼ F FG sin a FN m II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a

Der Ausdruck fu¨r FN wird in I. eingesetzt: I. S Fx ¼ 0 ¼ F FG sin a FG cos a m F ¼ FG ðsin a þ m cos aÞ

102

3 Reibung

Trigonometrische Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers mit der Gewichtskraft FG , der Verschiebekraft F, der Normalkraft FN und der Reibungskraft FR.

1. Schritt Lageskizze

In der Krafteckskizze zeichnet man zuerst die Normalkraft FN (unmaßsta¨blich) in Normalenrichtung zur schiefen Ebene und schließt rechtwinklig zu ihr die Reibungskraft FR in beliebiger La¨nge an (du¨nne Pfeile). Beide werden zur Ersatzkraft Fe zusammengefasst. Dann schließt man das Krafteck, indem in den Anfangspunkt der Kraft Fe die Gewichtskraft FG und in ihren Endpunkt die Kraft F gelegt wird. Den Reibungswinkel r tra¨gt man zwischen der Normalkraft FN und der Ersatzkraft Fe , den Ebenenwinkel a der schiefen Ebene zwischen der Normalkraft FN und der Gewichtskraft FG ein. Nun wird der Sinussatz fu¨r die Kra¨fte F und FG und die ihnen gegenu¨ber liegenden Winkel nach der Krafteckskizze angesetzt und daraus eine Gleichung fu¨r die Kraft F entwickelt. Man erkennt, dass die Kraft F von der Gewichtskraft FG , dem Ebenenwinkel a und dem Reibungswinkel r abha¨ngig ist.

2. Schritt

Krafteckskizze Beachte: Zwischen FN und Fe liegt immer der Reibungswinkel r, zwischen FN und FG liegt immer der Ebenenwinkel a der schiefen Ebene, zwischen FR und Fe liegt immer der Winkel 90 r.

3. Schritt F FG FG ¼ ¼ sin ða þ rÞ sin ð90 rÞ cos r Beachte: sin ð90 rÞ ¼ cos r F ¼ FG

sin ða þ rÞ cos r

F ¼ f (FG , a, r)

Man entwickelt die Gleichung mit Hilfe des Additionstheorems sin ða þ bÞ ¼ sin a cos b þ cos a sin b weiter und erha¨lt sie wieder in der Form mit der Reibungszahl m. Wird der Ko¨rper aus der Ruhe nach oben in Bewegung gesetzt, tritt im Krafteck an die Stelle der Reibungskraft FR die Haftreibungskraft FR0 max und an die Stelle des Reibungswinkels r der Haftreibungswinkel r0. Beide Gleichungen gelten auch fu¨r diesen Fall, nur muss r durch r0 und m durch m0 ersetzt werden.

4. Schritt sin ða þ rÞ ¼ sin a cos r þ cos a sin r sin a cos r þ cos a sin r cos r cos r sin r þ cos a F ¼ FG sin a cos r cos r F ¼ FG

Hierin ist

sin r ¼ tan r ¼ m cos r

F ¼ FG ðsin a þ m cos aÞ

F ¼ f (FG , a, m)

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Nachbetrachtung: Beide Gleichungen sind „Funktionsgleichungen“. Sie zeigen die Abha¨ngigkeit der gesuchten Kraft F von den „Einflussgro¨ßen“ FG , a, r und m: F ¼ f ðFG , a, rÞ oder

F ¼ f ðFG , a, mÞ

Man erkennt: Die Kraft F wird umso gro¨ßer, je gro¨ßer die Gewichtskraft FG des Ko¨rpers ist, je gro¨ßer der Ebenenwinkel a ist und je gro¨ßer der Reibungswinkel r oder die Reibungszahl m ist. Sie erreicht einen Ho¨chstwert, wenn der Ebenenwinkel a ¼ 90 r ist.

103 Die Diskussion der ersten Gleichung zeigt: Die Kraft F ist der Gewichtskraft FG proportional; sie wa¨chst mit dem Ebenenwinkel a und dem Reibungswinkel r, denn die Summe a þ r wird gro¨ßer und damit auch ihre Sinusfunktion, wa¨hrend cos r kleiner wird; den Ho¨chstwert erreicht F, wenn a ¼ 90 r ist, denn dann wird sin ða þ rÞ ¼ 1, die Kraft F ist gro¨ßer als FG und nimmt bei zunehmendem Ebenenwinkel wieder ab, bis sie bei a ¼ 90 genauso groß ist wie die Gewichtskraft, weil sin ð90 þ rÞ ¼ cos r.

3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht Analytische Lo¨sung: Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. Die Zugkraft F soll diesmal waagerecht wirken. Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung fu¨r das Versta¨ndnis von Schraubgetrieben (Spindelpresse) und fu¨r die Berechnung von Befestigungsschrauben. Auch hier wird zuna¨chst vom allgemeinen Fall ausgegangen, bei dem die Zugkraft F unter einem beliebigen Zugwinkel b zur Waagerechten wirkt. Man setzt in der allgemein gu¨ltigen Zugkraftgleichung den Zugwinkel b ¼ 0, denn die Wirklinie der Zugkraft F soll waagerecht liegen. Fu¨r die trigonometrischen Funktionen im Nenner gilt cos ðaÞ ¼ cos a und sin ðaÞ ¼ sin a. Damit erha¨lt man die spezielle Gleichung fu¨r den Fall, dass die Zugkraft F waagerecht wirkt. Es soll auch fu¨r diesen Fall die Zugkraftgleichung mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 hergeleitet werden. Gleichung II lo¨st man nach der Normalkraft FN auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die Endgleichung stimmt mit der vorhergehenden u¨berein.

1. Schritt

Lageskizze

2. Schritt sin a þ m cos a F ¼ FG cos ðb aÞ þ m sin ðb aÞ sin a þ m cos a F ¼ FG cos ð0 aÞ þ m sin ð0 aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} cos a sin a F ¼ FG

sin a þ m cos a cos a m sin a

F ¼ f ðFG , a, mÞ

3. Schritt FR z}|{ I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos a FN m FG sin a II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin a FN ¼ FG cos a þ F sin a I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos a FG sin a ðFG cos a þ F sin aÞ m Fðcos a m sin aÞ ¼ FG ðsin a þ m cos aÞ F ¼ FG

sin a þ m cos a cos a m sin a

104

3 Reibung

Ha¨ufiger wird die Gleichung mit dem Reibungswinkel r anstelle der Reibungszahl m gebraucht, zum Beispiel beim Schraubengewinde. Zur Umwandlung der Gleichung wird eingesetzt: sin r Reibungszahl m ¼ tan r ¼ cos r (siehe Abschnitt 3.2.1, Seite 91)

sin r cos a cos r F ¼ FG sin r sin a cos a cos r

Wird nun Za¨hler und Nenner auf den gemeinsamen Nenner cos r gebracht, erha¨lt man mit den entsprechenden Additionstheoremen die gesuchte Gleichung mit dem Reibungswinkel r. Mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Lo¨sung kann man diese Gleichung direkt aus der Krafteckskizze ablesen.

F ¼ FG

sin a þ

4. Schritt

sin a cos r þ cos a sin r cos r F ¼ FG cos a cos r sin a sin r cos r sin ða þ rÞ cos ða þ rÞ

F ¼ FG tan ða þ rÞ

F ¼ f ðFG , a, rÞ

Trigonometrische Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers.

1. Schritt

Lageskizze

Die Krafteckskizze wird wieder mit der Normalkraft FN begonnen, an die man rechtwinklig die Reibungskraft FR (nach links unten) anschließt. Beide werden durch die Ersatzkraft Fe ersetzt. Dann schließt man das Krafteck aus Fe , FG und F und tra¨gt die Winkel a und r ein. Das Krafteck ist ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem man die Gleichung fu¨r die Verschiebekraft F ablesen kann. Die Gleichung gilt auch fu¨r den Fall, dass der Ko¨rper aus der Ruhe nach oben angezogen wird, wenn r durch r0 ersetzt wird. Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die Verschiebekraft F gro¨ßer wird mit zunehmender Gewichtskraft FG, zunehmendem Ebenenwinkel a und zunehmendem Reibungswinkel r. Ist a ¼ 0, dann ist die Verschiebekraft F gleich der Reibungskraft FR. Wa¨chst der Neigungswinkel gegen a ¼ 90 r, geht die Verschiebekraft F gegen unendlich, d. h. schon bevor der Ebenenwinkel a ¼ 90 erreichen wird, ist eine Verschiebung nicht mehr mo¨glich.

2. Schritt

Krafteckskizze 3. Schritt F ¼ FG tan ða þ rÞ

F ¼ f ðFG , a, rÞ

Ist a ¼ 0, wird tan ða þ rÞ ¼ tan r ¼ m, und damit F ¼ FG m. Bei waagerechter Ebene ist FG ¼ FN, folglich auch F ¼ FN m ¼ FR . Ist a ¼ 90 r, dann ist tan ða þ rÞ ¼ tan ð90 r þ rÞ und tan 90 ¼ 1. Dann wird F ¼ FG 1 ¼ 1.

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

105

3.3.2 Halten des Ko¨rpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) 3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Die geometrischen Gro¨ßen sind die gleichen wie in den vorhergehenden Untersuchungen. Der Ko¨rper steht gerade vor dem Abgleiten und soll durch die Kraft F auf der schiefen Ebene in Ruhestellung gehalten werden. Die entsprechende Gleichung soll mit Hilfe der beiden Kraft-Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 gefunden werden.

Aufgabenskizze Gegeben: FG , a, b, m0 Gesucht: F ¼ f ðFG , a, b, m0 Þ

Man zeichnet wieder die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers mit der x-Achse des Achsenkreuzes in Richtung der schiefen Ebene. Im Gegensatz zum 1. Grundfall (Verschieben nach oben) wirkt hier die maximale Haftreibungskraft FR0 max ¼ FN m0 am Ko¨rper nach rechts oben. Sie versucht, ihn in der Ruhelage zu halten. Die dann noch erforderliche Haltekraft F ist mit Sicherheit kleiner als die Zugkraft zum Aufwa¨rtsziehen im 1. Grundfall. Wegen der Ruhelage des Ko¨rpers gilt als Reibungszahl die Haftreibungszahl m0, nicht die (kleinere) Gleitreibungszahl m.

1. Schritt

Lageskizze

2. Schritt

Aus der Lageskizze liest man die beiden Gleichgewichtsbedingungen ab und geht dann genau so vor wie im 1. Grundfall. Ein Vergleich zeigt, dass sich die beiden Gleichungssysteme nur durch den Richtungssinn der Reibungskraft unterscheiden.

I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a þ FR0 max FR0 max ¼ FN m0

Gleichung II lo¨st man nach der Normalkraft FN auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein.

II. FN ¼ FG cos a F sin g

Diese neue Gleichung I lo¨st man nach der Haltekraft F auf und erha¨lt damit die gesuchte Beziehung

I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos g FG sin a þ

F ¼ f ðFG , a, g, m0 Þ

Fðcos g m0 sin gÞ ¼ FG ðsin a m0 cos aÞ

F ¼ f ðFG , a, b, m0 Þ

und mit

g¼ba

II. S Fy ¼ 0 ¼ FN þ F sin g FG cos a

3. Schritt

þ ðFG cos a F sin gÞ m0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} FN

F ¼ FG

sin a m0 cos a cos g m0 sin g

106 Sieht man sich dazu die entsprechende Gleichung im 1. Grundfall (Seite 101) an, erkennt man, dass sich beide Gleichungen nur durch die Vorzeichen der m0-Glieder unterscheiden. Die einzelnen Glieder selbst sind gleich. Es ist noch zu u¨berlegen, ob und wie die Haltekraft F sich a¨ndert, wenn der Ko¨rper mit konstanter Geschwindigkeit abwa¨rts gleitet. Da die Reibungskraft ihren Richtungssinn nach rechts oben beibeha¨lt, gibt es nur eine nderung in der Gleichung fu¨r die Haltekraft F: An die Stelle der Haftreibungszahl m0 tritt die Gleitreibungszahl m. Da m < m0 ist, muss die Haltekraft F beim gleichfo¨rmigen Abwa¨rtsgleiten gro¨ßer sein als beim Halten des Ko¨rpers, weil die Gleitreibungskraft kleiner ist als die Haftreibungskraft.

3 Reibung F ¼ FG

sin a m0 cos a cos ðb aÞ m0 sin ðb aÞ

F ¼ f ðFG , a, b, m0 Þ Haltekraft F bei ruhendem Ko¨rper

4. Schritt F ¼ FG

sin a m cos a cos ðb aÞ m sin ðb aÞ

Haltekraft F beim gleichfo¨rmigen Abwa¨rtsgleiten

3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lo¨sung: 1. Schritt

Man zeichnet die Lageskizze und geht dann wieder so vor wie in 3.3.1.2 auf Seite 101. Haltekraft F und Haftreibungskraft FR0 max wirken parallel zur schiefen Ebene nach rechts oben. Der Zugwinkel b ist gleich dem Ebenenwinkel a. Das ist die nderung des physikalischen Sachverhalts gegenu¨ber dem allgemeinen Fall. Lageskizze

Den neuen Sachverhalt bringt man in die allgemeine Haltekraftgleichung (siehe oben) ein. Dort ersetzt man den Zugwinkel b durch den Ebenenwinkel a: (b ¼ a). Im Nenner ist wieder cos ða aÞ ¼ cos 0 ¼ 1 sin ða aÞ ¼ sin 0 ¼ 0 Damit erha¨lt man die spezielle Gleichung fu¨r den Fall, dass die Haltekraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt.

2. Schritt F ¼ FG F ¼ FG

sin a m0 cos a cos ðb aÞ m0 sin ðb aÞ sin a m0 cos a cos ða aÞ m0 sin ða aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 0

F ¼ FG ðsin a m0 cos aÞ

F ¼ f ðFG , a, m0 Þ

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Zur Kontrolle wird noch auf direktem Weg die Haltekraftgleichung entwickelt. Dazu setzt man die beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 an, die man aus der Lageskizze ablesen kann. Das Ergebnis stimmt mit der vorher entwickelten Gleichung u¨berein.

107

3. Schritt FR0 max zﬄﬄ}|ﬄﬄ{ I. S Fx ¼ 0 ¼ F þ FN m0 FG sin a II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a Der Ausdruck fu¨r FN wird in I. eingesetzt: I. S Fx ¼ 0 ¼ F þ FG cos a m0 FG sin a F ¼ FG ðsin a m0 cos aÞ

Trigonometrische Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe und Bewegung nach unten. Die maximale Haftreibungskraft FR0 max wirkt dann der zu erwartenden Bewegungsrichtung des Ko¨rper entgegen nach rechts oben.

1. Schritt

Lageskizze

In der Krafteckskizze wird wieder zuerst die Normalkraft FN gezeichnet und rechtwinklig daran die Haftreibungskraft FR0 max . Beide fasst man zur Ersatzkraft Fe zusammen. Dann schließt man das Krafteck aus Fe , F und FG. Die Winkel a und r0 werden wie in der vorigen Aufgabe in die Krafteckskizze eingetragen: a zwischen FN und FG und r0 zwischen FN und Fe. Dann setzt man wieder den Sinussatz an und entwickelt daraus die Gleichung fu¨r die Kraft F. Aus der Gleichung erkennt man, dass die erforderliche Haltekraft F gro¨ßer wird mit zunehmender Gewichtskraft FG und zunehmendem Ebenenwinkel a. Sie wird kleiner bei zunehmendem Haftreibungswinkel r0. Das ist leicht zu erkla¨ren, denn die Haftreibungskraft unterstu¨tzt die Kraft F.

Mit Hilfe des Additionstheorems sin ða r0 Þ ¼ sin a cos r0 cos a sin r0 findet man auch die zweite Form der Funktionsgleichung fu¨r die Kraft F. Beide Gleichungen gelten auch fu¨r den Fall, dass der Ko¨rper gleichfo¨rmig abwa¨rts gleitet, wenn r0 durch r und m0 durch m ersetzt wird.

2. Schritt

Krafteckskizze

3. Schritt F FG FG ¼ ¼ sin ða r0 Þ sin ð90 þ r0 Þ cos r0 Beachte: sin ð90 þ r0 Þ ¼ cos r0 F ¼ FG

sin ða r0 Þ cos r0

F ¼ f ðFG , a, r0 Þ

4. Schritt F ¼ FG ðsin a m0 cos aÞ

F ¼ f ðFG , a, m0 Þ

Beachte: Beim Abwa¨rtsgleiten ist die erforderliche Haltekraft F gro¨ßer als in der Ruhe, weil die unterstu¨tzende Reibungskraft kleiner ist.

108 Nachbetrachtung: Aus der ersten Gleichung kann man erkennen, dass bei reibungsfreier Auflage des Ko¨rpers (r0 ¼ 0) die Haltekraft F gleich der „Abtriebskomponente“ der Gewichtskraft FG sin a wird. Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel r0, dann wird die Haltekraft F gleich null. Nur die Haftreibungskraft FR0 max ha¨lt den Ko¨rper fest. Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel r0 , dann ergibt die Gleichung einen negativen Wert fu¨r die Haltekraft F. Das bedeutet, dass die Kraft entgegen dem angenommenen Richtungssinn wirken muss. Um aus der Ruhe in die Bewegung u¨berzugehen, muss der Ko¨rper abwa¨rts geschoben werden.

3 Reibung Fu¨r r0 ¼ 0 wird die Winkeldifferenz a r0 ¼ a und cos r0 ¼ 1, und es wird F ¼ FG

sin ða 0Þ ¼ FG sin a 1

Fu¨r r0 ¼ a wird sin ða r0 Þ ¼ sin 0 ¼ 0. Dadurch erha¨lt der ganze Quotient den Wert null, es wird sin ðr0 r0 Þ 0 ¼ FG ¼0 F ¼ FG cos r0 cos r0 Fu¨r a < r0 wird die Winkeldifferenz a r0 und damit auch ihre Sinusfunktion negativ. Dadurch ergibt sich fu¨r F ein negativer Wert. Erkenntnis: Ist der Ebenenwinkel a r0 , bleibt der Ko¨rper von selbst auf der schiefen Ebene liegen. a r0

Selbsthemmungsbedingung

3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht Analytische Lo¨sung: Zuna¨chst wird die allgemeine Gleichung (Seite 106) fu¨r den speziellen Fall der waagerecht wirkenden Haltekraft F umgeschrieben. Dann entwickelt man aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen die Haltekraftgleichung. Anschließend wird die Krafteckskizze wieder trigonometrisch ausgewertet.

1. Schritt

Lageskizze

Die Haltekraft F soll waagerecht von links nach rechts wirken. Dann gilt fu¨r den Zugwinkel (Haltewinkel) b ¼ 0. Diese Bedingung bringt man in die allgemeine Gleichung ein. Da nach wie vor der Ko¨rper gerade vor dem Abgleiten stehen soll, muss wieder die Haftreibungszahl m0 eingesetzt werden. Mit b ¼ 0 wird im Nenner cos ðaÞ ¼ cos a sin ðaÞ ¼ sin a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung fu¨r eine waagerecht wirkende Haltekraft F.

2. Schritt F ¼ FG

sin a m0 cos a cos ðb aÞ m0 sin ðb aÞ

F ¼ FG

sin a m0 cos a cos ð0 aÞ m0 sin ð0 aÞ

F ¼ FG

sin a m0 cos a cos a þ m0 sin a

F ¼ f ðFG , a, m0 Þ

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Es soll auch hier wieder die Haltekraftgleichung aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 entwickelt werden. Man kommt zum gleichen Ergebnis wie im vorhergehenden Fall. Gleitet der Ko¨rper gleichfo¨rmig abwa¨rts, ist an Stelle der Haftreibungszahl m0 die Gleitreibungszahl m in die Gleichung einzusetzen. Wegen m < m0 , ist die Haltekraft F gro¨ßer als beim ruhenden Ko¨rper.

109 3. Schritt FR0 max zﬄﬄ}|ﬄﬄ{ I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos a þ FN m0 FG sin a II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin a FN ¼ FG cos a þ F sin a Der Ausdruck fu¨r FN wird in I. eingesetzt: I. S Fx ¼ 0 ¼ F cos a þ þ ðFG cos a þ F sin aÞ m0 FG sin a F ¼ FG

sin a m0 cos a cos a þ m0 sin a

Trigonometrische Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe und Bewegung nach unten. Folglich wirkt die maximale Haftreibungskraft FR0 max der zu erwartenden Bewegungsrichtung entgegen nach rechts oben. Die Krafteckskizze beginnt man wieder mit der Normalkraft FN, schließt rechtwinklig nach rechts oben die Haftreibungskraft FR0 max an und fasst beide zur Ersatzkraft Fe zusammen. Das Krafteck wird mit FG und F geschlossen, die Winkel a und r0 werden eingetragen.

1. Schritt

Lageskizze 2. Schritt

Krafteckskizze

Aus dem Krafteck liest man die Gleichung fu¨r die Haltekraft F ab. Die Gleichung gilt auch fu¨r den Fall, dass der Ko¨rper gleichfo¨rmig abwa¨rts gleitet, wenn r0 durch r ersetzt wird. Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die erforderliche Haltekraft F gro¨ßer wird mit zunehmender Gewichtskraft FG und zunehmendem Ebenenwinkel a. Sie wird kleiner mit zunehmendem Haftreibungswinkel r0, weil die Haftreibungskraft jetzt die Haltekraft unterstu¨tzt. Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel r0, dann wird die Haltekraft F gleich null, d. h. es liegt Selbsthemmung vor. Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel r0, dann ergibt sich eine negative Haltekraft F, der Ko¨rper muss nach unten geschoben werden.

F ¼ FG tan ða r0 Þ

3. Schritt

F ¼ f ðFG , a, r0 Þ Beachte: Beim Abwa¨rtsgleiten ist die erforderliche Haltekraft F gro¨ßer als in Ruhe. Wird der Haftreibungswinkel r0 gro¨ßer, dann wird die Winkeldifferenz a r0 kleiner, also auch ihre Tangensfunktion. Das ergibt aber auch einen kleineren Betrag fu¨r die Haltekraft F.

Fu¨r a ¼ r0 wird tan ða r0 Þ ¼ tan 0 ¼ 0, und damit F ¼ FG tan ðr0 r0 Þ ¼ FG 0 ¼ 0. Fu¨r a < r0 wird die Winkeldifferenz und damit auch ihre Tangensfunktion negativ. Dadurch ergibt sich fu¨r die Haltekraft F ein negativer Betrag.

110

3 Reibung

3.3.3 Verschieben des Ko¨rpers nach unten (3. Grundfall) 3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel Im 1. Grundfall wurde der Ko¨rper auf der schiefen Ebene nach oben gezogen, im 2. Grundfall im Ruhezustand gehalten (oder herabgelassen). Im 3. Grundfall wird der Ko¨rper unter der Wirkung der Schubkraft F gleichfo¨rmig nach unten verschoben. Die Schubkraft F wirkt unter dem Schubwinkel b zur Waagerechten. Gesucht ist die Gleichung zur Berechnung der Schubkraft F.

Aufgabenskizze Gegeben: FG, a, b, m Gesucht: F ¼ f ðFG , a, b, mÞ

Analytische Lo¨sung:

1. Schritt

Als Erstes wird wieder die Lageskizze des freigemachten Ko¨rpers gezeichnet. Die Reibungskraft FR ¼ FN m wirkt der Bewegungsrichtung des Ko¨rpers entgegen nach rechts oben. Sie versucht, den Ko¨rper abzubremsen wie im 2. Grundfall. In der Lageskizze fu¨hrt man den Winkel g ¼ b a ein. Das vereinfacht die weitere algebraische Entwicklung. Aus der Lageskizze liest man wieder die beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 ab. Fu¨r die Reibungskraft wird FR ¼ FN m eingesetzt. Gleichung II wird nach FN aufgelo¨st und dieser Ausdruck in Gleichung I eingesetzt. Diese neue Gleichung I lo¨st man nach der Schubkraft F auf. Das ist die Beziehung F ¼ f ðFG , a, g, mÞ Setzt man dann wieder g ¼ b a ein, erha¨lt man die gesuchte Beziehung in der Form F ¼ f ðFG , a, b, mÞ Nachbetrachtung: Ein Vergleich der Schubkraftgleichung mit der Haltekraftgleichung auf Seite 106 zeigt, dass sie fast u¨bereinstimmen. Bis auf die Vorzeichen im Nenner sind alle Glieder im Za¨hler und im Nenner gleich. Rechnet man die Kraft F mit gleichen Gro¨ßen fu¨r beide Gleichungen aus, dann sind die Zahlenwerte gleich. Nur die Vorzeichen sind verschieden. Das muss so sein, denn die beiden Lageskizzen unterscheiden sich nur durch den Richtungssinn der Kraft F.

Lageskizze

2. Schritt I. S Fx ¼ 0 ¼ FN m F cos g FG sin a II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a F sin g 3. Schritt II. FN ¼ FG cos a þ F sin g I. S Fx ¼ 0 ¼ ðFG cos a þ F sin gÞ m FG sin a F cos g F sin g m F cos g ¼ FG sin a FG cos a m sin a m cos a F ¼ FG m sin g cos g F ¼ FG

sin a m cos a m sin ðb aÞ cos ðb aÞ

F ¼ f ðFG , a, b, mÞ Schubkraft F beim gleichfo¨rmigen Abwa¨rtsgleiten Nennervergleich: NS ¼ m sin ðb aÞ cos ðb aÞ in der Schubkraftgleichung NH ¼ cos ðb aÞ m sin ðb aÞ in der Haltekraftgleichung NS ¼ ð1Þ NH

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

111

3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lo¨sung: 1. Schritt

Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. Die Schubkraft F wirkt jetzt parallel zur schiefen Ebene in negativer x-Richtung. Das gilt auch fu¨r die Gewichtskraftkomponente FG sin a. Entgegengesetzt zur Schubkraftrichtung wirkt die Reibungskraft FR ¼ FN m. Rechtwinklig zur schiefen Ebene wirkt in negativer y-Richtung die Gewichtskraftkomponente FG cos a, in positiver y-Richtung die Normalkraft FN. Da die Schubkraft parallel zur schiefen Ebene wirken soll, wird der Schubwinkel b gleich dem Ebenenwinkel a. Entsprechend schreibt man die allgemeine Schubkraftgleichung von Seite 110 um. Im Nenner ist dann sin ða aÞ ¼ sin 0 ¼ 0 cos ða aÞ ¼ cos 0 ¼ 1 . Damit erha¨lt man die spezielle Gleichung fu¨r den Fall, dass die Schubkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt. Bis auf das Vorzeichen stimmt auch diese Gleichung mit der entsprechenden Haltekraftgleichung in 3.3.2.2 (Seite 106) u¨berein, wenn dort m0 durch m ersetzt wird. Wie gewohnt findet man die Schubkraftgleichung auch mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0.

Lageskizze

2. Schritt F ¼ FG F ¼ FG

F ¼ FG

sin a m cos a m sin ðb aÞ cos ðb aÞ sin a m cos a m sin ða aÞ cos ða aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 0 sin a m cos a 1

F ¼ FG ðm cos a sin aÞ

F ¼ f ðFG , a, mÞ

3. Schritt I. S Fx ¼ 0 ¼ FN m F FG sin a II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a I. S Fx ¼ 0 ¼ ðFG cos aÞ m F FG sin a

F ¼ FG ðm cos a sin aÞ

Es soll nun die Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Dazu ersetzt man die Reibungszahl m durch den Tangens des Reibungswinkels. Den Klammerausdruck bringt man auf den Hauptnenner cos r. Mit Hilfe des Additionstheorems sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ wird die gesuchte Gleichungsform gefunden.

m ¼ tan r ¼ F ¼ FG

sin r cos r

4. Schritt

sin r cos a cos r sin a cos r

F ¼ FG

sin ðr aÞ cos r

F ¼ f ðFG , a, rÞ

112

3 Reibung

3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht Analytische Lo¨sung: Man geht wieder von der Lageskizze aus. Die Schubkraft F wirkt jetzt waagerecht. Dieses Kra¨ftesystem wirkt zum Beispiel am Gewindegang einer Schraubenverbindung, wenn sie gelo¨st wird.

Bei waagerechter Schubkraftrichtung ist der Schubwinkel b ¼ 0. Entsprechend schreibt man wieder die allgemeine Schubkraftgleichung um. Mit b ¼ 0 wird im Nenner sin ðaÞ ¼ sin a cos ðaÞ ¼ cos a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung fu¨r eine waagerecht wirkende Schubkraft F. Diese Gleichung muss sich auch ergeben, wenn man die beiden Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0 und S Fy ¼ 0 auswertet.

Es soll auch diese Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Diese Form ist bei Untersuchungen der Reibungsverha¨ltnisse am Gewindegang gebra¨uchlich. Man ersetzt zuna¨chst die Reibungszahl m durch den Tangens des Reibungswinkels sin r m ¼ tan r ¼ cos r Za¨hler und Nenner bringt man auf den Hauptnenner cos r und erha¨lt die beiden Additionstheoreme sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aÞ sin r sin a cos r cos a ¼ cos ðr aÞ Diese Schubkraftgleichung unterscheidet sich von der Haltekraftgleichung in 3.3.2.3 nur durch die Winkelvorzeichen. Das ist versta¨ndlich, denn Schubkraft und Haltekraft haben entgegengesetzten Richtungssinn.

1. Schritt

Lageskizze

F ¼ FG F ¼ FG

2. Schritt sin a m cos a m sin ðb aÞ cos ðb aÞ sin a m cos a m sin a cos a |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} ð1Þ ð m sin a þ cos aÞ

F ¼ FG

m cos a sin a m sin a þ cos a

F ¼ f ðFG , a, mÞ

3. Schritt I. S Fx ¼ 0 ¼ FN m FG sin a F cos a II. S Fy ¼ 0 ¼ FN þ F sin a FG cos a FN ¼ FG cos a F sin a I. S Fx ¼ 0 ¼ ðFG cos a F sin aÞ m FG sin a F cos a F sin a m þ F cos a ¼ FG cos a m FG sin a F ¼ FG

m cos a sin a m sin a þ cos a

4. Schritt sin r cos a sin a cos r F ¼ FG sin r sin a þ cos a cos r

¼1 zﬄ}|ﬄ{ cos r cos r cos r cos r

sin r cos a cos r sin a cos r F ¼ FG sin r sin a þ cos r cos a cos r F ¼ FG

sin ðr aÞ cos ðr aÞ

F ¼ FG tan ðr aÞ

F ¼ f ðFG , a, rÞ

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

113

3.3.4 bungen zur Reibung auf der schiefen Ebene 1. bung: Auf einer schiefen Ebene (Rutsche) sollen Werkstu¨cke nach dem Anstoßen mit konstanter Geschwindigkeit abwa¨rts gleiten. Der Ebenenwinkel der Rutsche ist verstellbar. Die Gleitreibungszahl betra¨gt m ¼ 0,3. Welcher Ebenenwinkel a muss eingestellt werden? Lo¨sung: Da keine Zug- oder Schubkraft wirkt (F ¼ 0) und Gleichgewicht vorhanden ist (v ¼ konstant), muss die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FG sin a gleich der Reibungskraft FR ¼ FN m sein (S Fx ¼ 0). Die Normalkraft FN ist gleich der Gewichtskraftkomponente FG cos a (S Fy ¼ 0). Daraus ergibt sich der gesuchte Ebenenwinkel a ¼ arctan m. Das sind die berlegungen zur Ermittlung der Gleitreibungszahl m in Abschnitt 3.2.2 (Seite 92). Man ha¨tte auch jede der in Abschnitt 3.3.3 hergeleiteten Gleichungen zur Lo¨sung ansetzen ko¨nnen, z. B. die Schubkraftgleichung aus Abschnitt 3.3.3.2 (Seite 111). Da keine Zug- oder Schubkraft wirken soll, muss in dieser Gleichung F ¼ 0 gesetzt werden. Ist das Produkt zweier Faktoren gleich null, muss einer der beiden gleich null sein. Da die Gewichtskraft FG nicht null sein kann, muss der Faktor m cos a sin a ¼ 0 sein. Damit ergibt sich auch hier a ¼ arctan m ¼ 16,7. 2. bung: Die Werkstu¨cke auf der Rutsche aus der 1. bung befinden sich zuna¨chst in Ruhelage. Welche Kraft muss kurzzeitig parallel zur Rutsche auf ein Werkstu¨ck wirken, um es in Bewegung zu setzen? Die Schubkraft F ist als Vielfaches der Gewichtskraft FG anzugeben. Die Haftreibungszahl betra¨gt m0 ¼ 0,5. Lo¨sung: Fu¨r die Lage der Kra¨fte am Werkstu¨ck gilt die Lageskizze von Seite 111 und damit auch die dort hergeleitete Gleichung. Statt der Gleitreibungszahl m gilt die Haftreibungszahl m0. Aufgaben Nr. 335–340

Gegeben: Gleitreibungszahl m ¼ 0,3 Gleitgeschwindigkeit v ¼ konstant Keine Zug- oder Schubkraft (F ¼ 0) Gesucht: Ebenenwinkel a

FG sin a ¼ FR ¼ FN m FG cos a ¼ FN FG sin a ¼ FG cos a m sin a ¼ m ¼ tan a cos a a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 a ¼ 16,7

Nach Seite 111 ist die Schubkraft F ¼ FG ðm cos a sin aÞ

0 ¼ FG ð m cos a sin aÞ m cos a sin a ¼ 0 sin a ¼ tan a ¼ m cos a a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 a ¼ 16,7

sin a ¼ m cos a )

Gegeben: Haftreibungszahl m0 ¼ 0,5 Ebenenwinkel a ¼ 16,7 Schubwinkel b ¼ Ebenenwinkel a Gesucht: Schubkraft F ¼ f ðFG Þ

Nach Seite 111 gilt mit m ¼ m0 die Schubkraftgleichung F ¼ FG ð m0 cos a sin aÞ Damit wird F ¼ FG ð0,5 cos 16,7 sin 16,7 Þ F ¼ 0,19 FG

114

3 Reibung

3.4 Reibung an Maschinenteilen 3.4.1 Prismenfu¨hrung und Keilnut Der Bettschlitten einer Werkzeugmaschine wird durch die vertikal wirkende Belastung F in eine unsymmetrische Prismenfu¨hrung gedru¨ckt und von der Verschiebekraft FV auf den Fu¨hrungsfla¨chen gleichfo¨rmig verschoben. Es wird hier davon ausgegangen, dass zwischen den beiden Fu¨hrungsfla¨chen unterschiedliche Reibungszahlen auftreten. Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Verschiebekraft FV entwickelt werden. Man bringt an einer beliebigen Querschnittsscheibe des Schlittens alle wirkenden Kra¨fte an und schreibt dazu die Gleichgewichtsbedingungen in Richtung der drei Achsen eines ra¨umlichen Achsenkreuzes auf. Gleichung II lo¨st man nach FN2 auf und schreibt damit Gleichung I um. In gleicher Weise wird mit Gleichung III verfahren. Dort erweitert man sin a1 mit cos a2 =cos a2 . Man lo¨st nun Gleichung III nach FN1 auf und setzt diesen Ausdruck in die Gleichung I ein. Daraus erha¨lt man die gesuchte Gleichung fu¨r die Verschiebekraft FV .

Die symmetrische Prismenfu¨hrung ist ein Sonderfall mit a1 ¼ a2 ¼ a. Da man auch gleiche Reibungszahlen fu¨r beide Gleitfla¨chen annehmen kann, erha¨lt man eine einfache Beziehung fu¨r die Verschiebekraft FV. Nach den Gesetzen der Trigonometrie ist sin 2a ¼ 2 sin a cos a. In diesem Fall ist es u¨blich, mit der Keilreibungszahl m0 ¼ m=sin a zu arbeiten. Darin ist a der halbe Keilwinkel. Die Gleichung fu¨r die Keilreibungszahl zeigt, dass Keilnuten gro¨ßere Reibungskra¨fte u¨bertragen ko¨nnen als Ebenen ( m0 > m). Daher ko¨nnen Keilriemen gro¨ßere Umfangskra¨fte (Drehmomente) u¨bertragen als Flachriemen.

Gegeben: Belastung F Reibungszahlen m1, m2 Winkel a1, a2 Gesucht: FV ¼ f ðF, m1 , m2 , a1 , a2 Þ I: S Fz ¼ 0 ¼ FN1 m1 þ FN2 m2 FV |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} FR1 FR2 II. S Fx ¼ 0 ¼ FN1 cos a1 FN2 cos a2 III. S Fy ¼ 0 ¼ FN1 sin a1 þ FN2 sin a2 F cos a1 II. FN2 ¼ FN1 cos a2 cos a1 I. FV ¼ FN1 m1 þ m2 cos a2 cos a2 cos a1 þ sin a2 III. F ¼ FN1 sin a1 cos a2 cos a2 sin a1 cos a2 þ cos a1 sin a2 F ¼ FN1 cos a2 sin ða1 þ a2 Þ ¼ FN1 cos a2 Fcos a2 cos a1 m1 þ m2 I. FV ¼ sin ða1 þ a2 Þ cos a2 FV ¼ F

m1 cos a2 þ m2 cos a1 sin ða1 þ a2 Þ

FV ¼ f ðF, m1 , m2 , a1 , a2 Þ fu¨r a1 ¼ a2 und m1 ¼ m2 wird FV ¼ F

2 m cos a 2 m cos a m ¼F ¼F sin 2a 2 sin a cos a sin a

FV ¼ Fm0 ¼ FR Keilreibungskraft

m sin a Keilreibungszahl m0 ¼

Beachte: Kleiner Winkel a ergibt große Keilreibungszahl, großer Winkel a kleine Keilreibungszahl. Beispiel: Normalkeilriemen haben Keilwinkel (Rillenwinkel) von 32 , 34 , 36 und 38 .

3.4 Reibung an Maschinenteilen

115

3.4.2 Zylinderfu¨hrung Zylinderfu¨hrungen an bewegten Maschinenteilen (Pressensto¨ßel, Ziehschlitten) sollen reibungsarm fu¨hren und nicht klemmen. In manchen Fa¨llen wird aber verlangt, dass die Fu¨hrung klemmt, z. B. bei Bohrmaschinentischen, um auch im ungeklemmten Zustand sicheren Halt zu gewa¨hrleisten. Man muss also wissen, unter welchen Bedingungen eine Zylinderfu¨hrungsbuchse klemmt.

Zylinderfu¨hrungen haben immer ein Passungsspiel. Bei exzentrisch angreifender Verschiebekraft kippt (verkantet) die Buchse gegen den Fu¨hrungszylinder. Betrachtet man beide als absolut starre Ko¨rper (keine Verformung), dann legt sich die Buchse an zwei im La¨ngsschnitt diagonal gegenu¨berliegenden Punkten des Zylinders an. Dort treten Normal- und Reibungskra¨fte auf.

Aufgabe: Eine im Abstand l1 von der Fu¨hrungsmitte wirkende Kraft F versucht, eine Fu¨hrungsbuchse von der La¨nge l zu verschieben. Unter welcher Bedingung klemmt die Buchse? Zeichnerische Untersuchung: Man zeichnet einen Lageplan und tra¨gt zuerst die Kraft F auf ihrer Wirklinie ein. Die Buchse wird rechtsherum kippen und legt sich links oben im Punkt 1 und rechts unten im Punkt 2 an den Zylinder an. Dort zeichnet man die Normalkra¨fte FN1 und FN2 (auf die Buchse zu gerichtet) ein. Die Kraft F versucht, die Buchse nach unten zu verschieben. Die Reibungskra¨fte FR1 und FR2 werden mit entgegengesetztem Richtungssinn eingezeichnet (nach oben gerichtet).

Lageplan

Man fasst gedanklich die Normal- und Reibungskra¨fte zu ihren Ersatzkra¨ften zusammen. Ihre Wirklinien ko¨nnen nach 3.2.3 (Seite 93) nur innerhalb des Reibungskegels liegen, weil die Reibungskraft nie u¨ber den Betrag FN tan r anwachsen kann. Nun ist Gleichgewicht (Klemmen) nur mo¨glich, wenn sich die beiden Ersatzkra¨fte mit der Kraft F in einem Punkt schneiden (siehe Seite 28, 3-Kra¨fte-Verfahren). Dieser Punkt kann aber nur in der berdeckungsfla¨che A der beiden Reibungskegel liegen, weil die Wirklinien der Ersatzkra¨fte nicht außerhalb der Reibungskegel liegen ko¨nnen. Folglich lautet die zeichnerische Klemmbedingung:

Im Lageplan sind die Reibungskegel fu¨r die Gleitreibung eingezeichnet. Die Reibungskegel fu¨r die Haftreibung haben einen gro¨ßeren Kegelwinkel, na¨mlich 2 r0. Ihre berdeckungsfla¨che A reicht also noch weiter nach links. Man kann dann bei klemmender Buchse die Wirklinie der Kraft F bis an die Grenze der berdeckungsfla¨che nach links verschieben, ohne dass die Buchse zu gleiten beginnt. Wird sie aber durch irgendeinen Umstand in Bewegung gesetzt, dann verklemmt sie sich nicht wieder, denn jetzt treten wieder die Reibungskegel fu¨r Gleitreibung auf, und die Wirklinie der Kraft F liegt dann im weißen Feld außerhalb der berdeckungsfla¨che.

Eine Zylinderfu¨hrung klemmt, wenn die Wirklinie der Resultierenden aller Verschiebekra¨fte durch die berdeckungsfla¨che der beiden Reibungskegel geht.

Hinweis: Diese Klemmbedingung gilt auch fu¨r andere Fu¨hrungsquerschnitte mit gegenu¨berliegenden Fu¨hrungsfla¨chen, z. B. fu¨r die Flachfu¨hrung mit seitlichen Fu¨hrungsfla¨chen.

116

3 Reibung

Rechnerische Untersuchung: Man zeichnet eine Lageskizze und stellt dafu¨r die drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf (siehe Lageplan, Seite 115).

I. S Fx ¼ 0 ¼ FN2 FN1 II. S Fy ¼ 0 ¼ FR1 þ FR2 F III. S Mð2Þ ¼ 0 ¼ FN1 l FR1 d Fðl1 d=2Þ

Aus der ersten Gleichung erkennt man, dass die Normalkra¨fte FN1 und FN2 gleich groß sind. Da beide Fla¨chen die gleiche Reibungszahl m haben, sind auch die beiden Reibungskra¨fte FR gleich groß.

I. FN1 ¼ FN2 , daraus folgt: FN1 m ¼ FN2 m ) FR1 ¼ FR2

Die Entwicklung der Gleichungen II und III ergibt die rechnerische Klemmbedingung:

II. F ¼ 2FN1 m; in III. eingesetzt: III. FN1 l FN1 m d 2FN1 mðl1 d=2Þ ¼ ¼ 0j: FN1 l m d 2 m l1 þ 2 m d=2 ¼ 0

Eine Zylinderfu¨hrung klemmt, wenn die Fu¨hrungsla¨nge l 2 m l1 ist. Hierin ist l1 der Wirkabstand der Verschiebekraft von der Fu¨hrungsmitte. Ist l > 2 m l1 , dann gleitet die Fu¨hrungsbuchse, und zwar umso leichter, je gro¨ßer die Fu¨hrungsla¨nge l ist.

l 2 m l1

Klemmbedingung

Beachte: Die Klemmbedingung ist unabha¨ngig vom Betrag der Verschiebekraft F.

Aufgaben Nr. 345–347

3.4.3 Lager1) 3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) Der Tragzapfen einer Welle belastet das Lager mit der Kraft F und verursacht dadurch eine gleichgroße Normalkraft FN. Versucht das Wellendrehmoment den ruhenden Zapfen zu drehen, wirkt zuna¨chst die Haftreibungskraft FR0 max ¼ FN m0 mit ihrem „Reibungsmoment“ der Drehung entgegen. Man nennt diesen Zustand Anlaufreibung. Die Reibungszahl betra¨gt dann m0 ¼ 0,1 . . . 0,25. Beim Anfahren tritt Mischreibung auf. Die Reibungszahl verringert sich von m0 auf die Tragzapfenreibungszahl, kurz Zapfenreibungszahl m ¼ 0,01 . . . 0,1. Erst bei ho¨heren Gleitgeschwindigkeiten bildet sich zwischen Zapfen und Lager ein tragfa¨higer Schmierfilm mit Flu¨ssigkeitsreibung. Die Zapfenreibungszahl sinkt dann weiter auf m ¼ 0,002 . . . 0,01. 1)

Beispiel fu¨r die Vera¨nderung der Zapfenreibungszahl m: Schmierung: l Werkstoff: Welle aus Stahl, Lager aus Rotguss Anlaufreibung: m0 ¼ 0,14 Mischreibung: m ¼ 0,02 . . . 0,1 Flu¨ssigkeitsreibung: m ¼ 0,003 . . . 0,006

Genauere Untersuchungen in Roloff/Matek: Maschinenelemente

3.4 Reibung an Maschinenteilen

117

Lagerkraft F und Normalkraft FN sind praktisch gleich groß. Darum wird die Lagerreibungskraft unmittelbar aus der Lagerkraft berechnet.

FR ¼ F m

Die Lagerreibungskraft erzeugt ein dem Wellendrehmoment entgegengerichtetes Reibungsmoment M R. Dreht sich der Zapfen im Lager mit der Umfangsgeschwindigkeit v (Gleitgeschwindigkeit) oder der Winkelgeschwindigkeit w, so la¨sst sich die Reibungsleistung PR berechnen, entweder als Produkt aus Reibungskraft FR und Umfangsgeschwindigkeit v oder als Produkt aus Reibungsmoment MR und Winkelgeschwindigkeit w.

M R ¼ FR r ¼ F m r

Lagerreibungskraft

Reibungsmoment

PR ¼ FR v PR ¼ M R w PR W¼

Nm s

FR

MR

r

v

w

m

N

Nm

m

m s

rad 1 ¼ s s

1

3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (La¨ngslager) Beim Spurzapfen fa¨llt die Wirklinie der Belastung F mit der Drehachse der Welle zusammen. Die Normalkraft verteilt sich gleichma¨ßig u¨ber die Stirnfla¨che des Zapfens. Dasselbe gilt fu¨r die Reibungskraft. Man berechnet die Reibungskraft FR aus der Belastung F und der Spurzapfenreibungszahl m: FR ¼ Fm. Die Reibungszahlen fu¨r Quer- und La¨ngslager werden aus Versuchen bestimmt. Die Spurzapfenreibungszahl ist außer von Schmierung und Werkstoffpaarung noch von der Bauart abha¨ngig. Die Skizze zeigt einen Ringspurzapfen. Fu¨r den Wirkabstand der Reibungskraft von der Drehachse wird der mittlere Radius rm ¼ ðr1 þ r2 Þ=2 gesetzt und damit das Reibungsmoment MR berechnet. Der Reibungsradius rm ¼ ðr1 þ r2 Þ=2 ist ein Na¨herungswert, der fu¨r praktische Berechnungen ausreichend genau ist. Vom Vollspurzapfen hat die Lagerfla¨che keine mittlere Aussparung. Dann ist rm ¼ r2 =2. Die Reibungsleistung PR berechnet man genauso wie beim Tragzapfen, z. B. als Produkt aus dem Reibungsmoment und der Winkelgeschwindigkeit.

FR ¼ F m Reibungskraft

Ringspurzapfen

rm ¼

M R ¼ F R r m ¼ F m rm

PR ¼ M R w

r1 þ r2 2

Reibungsmoment

Reibungsleistung

118

3 Reibung

3.4.3.3 bungen zur Trag- und Spurzapfenreibung 1. bung: Eine Welle belastet ihre beiden Querlager mit je einer Kraft F ¼ 3800 N. Der Zapfendurchmesser betra¨gt 50 mm, die Drehzahl 3600 min1 , die Zapfenreibungszahl 0,006.

Gegeben: Belastung F ¼ 3800 N Zapfendurchmesser d ¼ 0,05 m Drehzahl n ¼ 3600 min1 Zapfenreibungszahl m ¼ 0,006

Reibungsmoment MR und Reibungsleistung PR sind zu berechnen.

Gesucht: MR , PR

Lo¨sung: Das Reibungsmoment wird aus Belastung, Zapfenreibungszahl und Zapfenradius ermittelt. Als Belastung muss man hier beide Lagerkra¨fte, also 2F, einsetzen. Aus dem Reibungsmoment und der Winkelgeschwindigkeit kann man die Reibungsleistung errechnen. Die Winkelgeschwindigkeit wird vorher aus der Drehzahl ermittelt.

MR ¼ 2 F m r ¼ 2 3800 N 0,006 0,025 m MR ¼ 1,14 Nm

w ¼ 2 p n ¼ 2 p 3600 min1 rad rad ¼ 377 w ¼ 22 619 min s PR ¼ MR w ¼ 1,14 Nm 377 PR ¼ 430 W ¼ 0,43 kW

rad Nm ¼ 430 s s

2. bung: Ein Ringspurlager wird mit F ¼ 12 kN belastet. Der Innenradius der Lagerfla¨che betra¨gt r1 ¼ 10 mm, der Außenradius r2 ¼ 40 mm, die Spurzapfenreibungszahl m ¼ 0,02. Die Drehzahl betra¨gt 2000 min1 .

Gegeben: Belastung F ¼ 12 kN ¼ 12 103 N Spurzapfenreibungszahl m ¼ 0,02 ¼ 2 102 Innenradius r1 ¼ 10 mm Außenradius r2 ¼ 40 mm Drehzahl n ¼ 2000 min1

Reibungsmoment und Reibungsleistung sind zu berechnen.

Gesucht: MR , PR

Lo¨sung: Man ermittelt zuna¨chst den Wirkabstand rm der Reibungskraft und dann mit der Belastung F und der Spurzapfenreibungszahl das Reibungsmoment.

rm ¼

Die Reibungsleistung wird wieder als Produkt aus Reibungsmoment MR und Winkelgeschwindigkeit w ¼ 2 p n berechnet.

PR ¼ MR 2 p n ¼ 6 Nm 2 p 2 000 min1 Nm Nm PR ¼ 75 400 ¼ 1 275 ¼ 1,257 kW min s

Aufgaben Nr. 349–356

r1 þ r2 10 mm þ 40 mm ¼ 25 mm ¼ 2 2

MR ¼ F m rm ¼ 12 103 N 2 102 25 103 m MR ¼ 600 102 Nm ¼ 6 Nm

3.4 Reibung an Maschinenteilen

119

3.3.4 Schraube und Schraubgetriebe 3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde Das Anziehen (Heben der Last) und Lo¨sen (Senken der Last) einer Bewegungs- oder Befestigungsschraube entspricht dem Hinaufschieben und Herabziehen eines Ko¨rpers auf einer schiefen Ebene durch eine waagerechte Umfangskraft Fu (siehe Seiten 103 und 112). Alle Kra¨fte werden auf einen Punkt im La¨ngsschnitt der Schraube mit dem Flankenradius r2 bezogen. Es soll hier von dem Normalfall ausgegangen werden, dass das Gewinde selbsthemmend ist. Dann ist der Reibungswinkel r gro¨ßer als der Steigungswinkel a. Im Bild ist der abgewickelte Gewindegang als schiefe Ebene dargestellt. Die Basisla¨nge ist der Flankenumfang 2 p r2 , die Ho¨he die Gewindesteigung P. Beim Anziehen (Heben) wirkt die Umfangskraft Fu waagerecht nach rechts und die Reibungskraft FR nach links unten, beim Lo¨sen (Senken) haben beide umgekehrten Richtungssinn. Aus den Kraftecken ergeben sich dieselben Gleichungen fu¨r die Umfangskraft wie bei der schiefen Ebene fu¨r die Verschiebekraft. Fu ¼ F tan ðr þ aÞ fu¨r das Anziehen und Fu ¼ F tan ðr aÞ fu¨r das Lo¨sen Die Winkel sind hier nur deswegen vertauscht, weil fu¨r die Entwicklung r > a (Selbsthemmung) angenommen wurde. Es ist u¨blich, die Gleichungen in der Form zu schreiben, wie man sie von der schiefen Ebene her kennt. Beim Rechnen sollte jedoch immer der kleinere Winkel vom gro¨ßeren abgezogen werden, um immer einen positiven Tangenswert zu erhalten. Die Frage, ob die Last mit der errechneten Kraft Fu gesenkt oder am Absinken gehindert werden muss, wird durch einen Vergleich der Winkel a und r beantwortet.

F Schraubenla¨ngskraft ¼ Vorspannkraft Fu Umfangskraft, angreifend am Flankenradius r2 FR Reibungskraft im Gewinde FN Normalkraft zwischen Schraube und Mutter a Steigungswinkel der mittleren Gewindelinie Kra¨fte beim Anziehen (Heben) Lo¨sen (Senken)

Fu ¼ F tan ða rÞ

Umfangskraft

(þ) fu¨r Heben, () fu¨r Senken

Ist r < a, heißt das: keine Selbsthemmung, die Last muss mit Fu am Absinken gehindert werden. Ist r > a, heißt das: Selbsthemmung, die Last muss mit Fu gesenkt werden.

120 Die Umfangskraft Fu wirkt im Abstand r2 (Flankenradius) von der Schraubenla¨ngsachse. Sie erzeugt das beim Heben oder Senken zu u¨berwindende Gewindereibungsmoment MRG. Der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes beim Heben ist das Verha¨ltnis der Nutzarbeit Wn zur aufgewendeten Arbeit Wa . Bezieht man beide Arbeiten auf eine Schraubenumdrehung, dann ist die Nutzarbeit das Produkt aus Schraubenla¨ngskraft F und Steigungsho¨he P (Hubarbeit). Die aufgewendete Arbeit ist das Produkt aus Umfangskraft Fu und Flankenumfang 2 p r2 . Bei r ¼ a beginnt der Bereich der Selbsthemmung. Dann ist der Wirkungsgrad h ¼ tan r=tan 2 r. Da die Steigungswinkel meist klein sind, kann tan 2 r ¼ 2 tan r gesetzt werden. Man erkennt, dass an der Selbsthemmungsgrenze der Wirkungsgrad h tan r=2 tan r ¼ 0,5 wird.

3 Reibung MRG ¼ Fu r2 ¼ F r2 tan ða rÞ (þ) fu¨r Heben, () Senken

h¼

Wn Wa

h¼

FP Fu 2 p r2

Wn ¼ FP

Gewindereibungsmoment

W a ¼ F u 2 p r2

P ¼ tan a 2 p r2 In die Ansatzgleichung eingesetzt ergibt das:

Fu ¼ F tan ða þ rÞ und

h¼

tan a tan ða þ rÞ

Wirkungsgrad fu¨r Schraubgetriebe

Beachte: Ist der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes h 0,5, liegt Selbsthemmung vor.

3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde Bei Spitz- oder Trapezgewinde mit dem Flankenwinkel b wirkt die Normalkraft F 0N nicht in derselben Ebene wie die La¨ngskraft F, die Umfangskraft Fu und die Reibungskraft FR , sondern sie ist um den halben Flankenwinkel gegen diese Ebene geneigt. Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkraft F 0N gro¨ßer sein als FN beim Flachgewinde. Dann ist auch die Reibungskraft FR gro¨ßer. Damit man trotzdem mit denselben Gleichungen wie beim Flachgewinde arbeiten kann, fasst man den Quotienten m=cos ð b=2Þ zur Reibungszahl m0 zusammen. Fu¨r Spitz- und Trapezgewinde gelten dieselben Gleichungen wie fu¨r das Flachgewinde, wenn man statt der Reibungszahl m die Reibungszahl m0 ¼ m=cos ð b=2Þ und fu¨r den Reibungswinkel r den Reibungswinkel r0 einsetzt.

F 0N ¼

FN cos ð b=2Þ

FN m ; m ¼ FN cos ð b=2Þ cos ð b=2Þ m ¼ m0 , dann wird Setzt man cos ðb=2Þ FR ¼ FN m0 : FR ¼ F 0N m ¼

Fu¨r metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 ist b ¼ 30 und damit m0 ¼ 1,04 m, fu¨r metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist b ¼ 60 und damit m0 ¼ 1,15 m. Der Reibungswinkel r0 wird aus der Reibungszahl m0 ermittelt: tan r0 ¼ m0 ) r0 ¼ arctan m0 :

3.4 Reibung an Maschinenteilen

121

3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde

ra ¼ 0,7d ¼ 1,4r Wirkabstand der Auflagereibungskraft, mit d ¼ Gewindenenndurchmesser (d ¼ 2r).

Bei Schraubverbindungen mit Befestigungsschrauben wird eine La¨ngskraft F in der Schraube erst dann erzeugt, wenn Mutter und Schraubenkopf fest auf den zu verbindenden Teilen aufliegen. Die Erfahrung lehrt, dass das Anzugsmoment MA aus Handkraft Fh und Schlu¨sselradius l mit fortschreitender Drehung der Mutter zunimmt. Gleichzeitig wa¨chst auch die Vorspannkraft F in der Schraube. Das kennt man aus der Praxis: Bei zu starkem Anziehen wa¨chst die Schraubenla¨ngskraft F so stark an, dass die Schraube zerreißt. Im Bild wurde die gesamte Schraubenla¨ngskraft F auf Schraubenkopf und Mutter in jeweils F/2 aufgeteilt. In Wirklichkeit entsteht durch die La¨ngskraft eine Oberfla¨chenkraft auf den Auflagefla¨chen von Kopf und Mutter (siehe 1.1.7.1, Seite 11). Dem Anzugsmoment MA wirken in der Schraubverbindung zwei Kraftmomente entgegen: das Gewindereibungsmoment MRG (wie bei der Bewegungsschraube) und das Auflagereibungsmoment MRa an der Auflagefla¨che der Mutter. Das Gewindereibungsmoment ergibt sich aus den gleichen berlegungen wie bei der Bewegungsschraube mit Spitzgewinde oder mit Flachgewinde. Das Auflagereibungsmoment ergibt sich aus der Auflagereibungskraft FRa und ihrem Wirkabstand ra von der Schraubenmitte. Fu¨r Sechskantschrauben wird ra ¼ 0,7d angenommen (d ¼ Gewindenenndurchmesser, z. B. fu¨r M10: d ¼ 10 mm). Die Summe dieser beiden Momente ist gleich dem Anzugsmoment. Aus dieser Erkenntnis kann man eine Gleichung fu¨r das Anzugsmoment MA beim Anziehen und Lo¨sen einer Schraubverbindung in Abha¨ngigkeit von der Schraubenla¨ngskraft F entwickeln.

MRG ¼ Fr2 tan ða r0 Þ

Gewindereibungsmoment

bei Stahl auf Stahl (trocken) ist bei metrischem ISO-Gewinde r0 9 MRa ¼ FRa ra ¼ Fma ra

Auflagereibungsmoment

ma Reibungszahl an der Auflagefla¨che (bei Stahl auf Stahl ist ma 0,15)

MA ¼ MRG þ MRa MA ¼ Fr2 tan ða r0 Þ þ Fma ra MA ¼ F½r2 tan ða r0 Þ þ ma ra (þ) fu¨r Anziehen, () fu¨r Lo¨sen

Anzugsmoment

122

3 Reibung

3.4.4.4 bungen zur Schraube 1. bung: Mit der skizzierten Spindelpresse soll eine gro¨ßte Druckkraft von F ¼ 40 kN auf die Werkstu¨cke u¨bertragen werden. Am Handrad sollen beidha¨ndig je 300 N Umfangskraft wirken. Das Trapezgewinde Tr 40 7 hat nach der Formelsammlung den Flankendurchmesser d2 ¼ 36,5 mm und den Steigungswinkel a ¼ 3,49 . Der Spindelkopf ist im Druckteller in Wa¨lzlagern gefu¨hrt, so dass die Reibung dort vernachla¨ssigt werden darf. Beru¨cksichtigt wird daher nur die Reibung im Gewinde. Als Gewindereibungszahl wird m0 ¼ 0,1 angenommen. Fu¨r die gegebenen Daten soll der erforderliche Handraddurchmesser D ermittelt werden.

Gegeben: Schraubenla¨ngskraft F ¼ 40000 N Handkraft beidha¨ndig je FH ¼ 300 N Gewindeflankendurchmesser d2 ¼ 36,5 mm Steigungswinkel a ¼ 3,49 Gewindereibungszahl m0 ¼ 0,1 Gesucht: Erforderlicher Handraddurchmesser D

Lo¨sung: Ausgangsgleichung fu¨r die Lo¨sung der Aufgabe ist die Gleichung fu¨r das Gewindereibungsmoment MRG.

MRG ¼ F

Die Gro¨ßen F, d2 und a sind bekannt. Der Gewindereibungswinkel r0 kann aus der Gewindereibungszahl ermittelt werden.

r0 ¼ arctan m0

Bei Gleichgewicht wa¨hrend des Dru¨ckvorgangs ist das Gewindereibungsmoment MRG gleich dem Drehmoment am Handrad MH ¼ FH D.

MRG ¼ MH ¼ FH D

Setzt man alle Gro¨ßen in die Ausgangsgleichung ein, dann kann daraus eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Handraddurchmessers D entwickelt werden.

Nach der Rechnung ist ein Durchmesser von D ¼ 394 mm erforderlich, wenn eine Druckkraft von 40 kN mit der Spindelpresse erzeugt werden soll.

d2 tan ða þ r0 Þ 2

d2 tan ða þ r0 Þ 2 F d2 D¼ tan ða þ arctan m0 Þ FH 2 FH D ¼ F

5,71 zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{ 40 000 N 36,5 mm tan ð3,49 þ arctan 0,1 Þ D¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 300 N 2 9,2 D ¼ 394 mm

3.4 Reibung an Maschinenteilen 2. bung: Die skizzierte Schraubenverbindung soll mit zwei Befestigungsschrauben eine Zugkraft von 18 kN allein durch Reibung zwischen den Stahlplatten u¨bertragen. Die Schrauben werden durch die Schraubenla¨ngskra¨fte nur auf Zug beansprucht. Abscherbeanspruchung darf nicht auftreten. Fu¨r die Reibungskra¨fte zwischen den Stahlplatten wird aus Sicherheitsgru¨nden mit der Gleitreibungszahl von mSt/St ¼ 0,15 gerechnet (Tabelle 3.1, Seite 92). Fu¨r den Entwurf der Schraubenverbindung sollen ermittelt werden: a) das erforderliche Metrische ISO-Gewinde fu¨r eine zula¨ssige Zugspannung s z zul ¼ 150 N=mm2 . b) das erforderliche Anzugsmoment fu¨r die Schrauben, wenn fu¨r die Reibungszahl an der Mutterauflage mit ma ¼ 0,15 und fu¨r den Reibungswinkel im Gewinde mit r0 ¼ 9 gerechnet wird (siehe Formelsammlung). Lo¨sung: a) Die freigemachte Platte zeigt, dass je Druckfla¨che die halbe Zugkraft F durch die Reibungskraft FR ¼ F/2 aufgenommen werden muss. Aus der Definitionsgleichung fu¨r die Reibungskraft FR ¼ FN m und bei n ¼ 2 Schrauben erha¨lt man die Normalkraft FN, die jede Schraube aufzubringen hat. Das ist zugleich die La¨ngskraft der Schraube. Aus der Zughauptgleichung erha¨lt man eine Gleichung fu¨r den erforderlichen Spannungsquerschnitt AS der Schraube. Die Formelsammlung liefert damit das erforderliche Metrische ISOGewinde und die Gewindedaten. b) Man hat jetzt alle Gro¨ßen zur Berechnung des erforderlichen Anzugsmoments MA fu¨r die Schraubenverbindung ermittelt: Jede Schraube muss mit dem Drehmoment von 119 Nm angezogen werden. Das geschieht mit einem Drehmomentschlu¨ssel (siehe Lehrbeispiel „Verdrehwinkel“ im Abschnitt Torsion, Seite 327). Aufgaben Nr. 357–363

123

Reibungsschlu¨ssige Schraubenverbindung

Gegeben: Zugkraft F ¼ 18000 N Anzahl der Schrauben n ¼ 2 zula¨ssige Zugspannung s z zul ¼ 150 N=mm2 Gleitreibungszahl m ¼ 0,15 Reibungszahl der Mutterauflage ma ¼ 0,15 Reibungswinkel im Gewinde r0 ¼ 9 Gesucht: a) Schraubengewinde b) Anzugsmoment MA

FR ¼

F 18 000 N ¼ ¼ 9 000 N 2 2

FN ¼

FR 9 000 N ¼ 30 000 N ¼ n m 2 0,15

FN 30 000 N ¼ ¼ 200 mm2 s z zul 150 N=mm2 Gewa¨hlt: Schraube M20 mit AS ¼ 245 mm2 Gewindenenndurchmesser d ¼ 20 mm Steigungswinkel a ¼ 2,48 Flankendurchmesser d2 ¼ 18,376 mm d2 M A ¼ FN tan ða þ r0 Þ þ ma ra 2 ra ¼ 0,7 d (siehe Abschnitt 3.4.4.3) 18,376 mm tan ð2,48 þ 9 Þ þ MA ¼ 30 000 N 2 þ 0,15 0,7 20 mm AS erf ¼

MA ¼ 118 979 Nmm ¼ 119 Nm

124

3 Reibung

3.4.5 Seilreibung 3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung Ein einfacher Versuch soll die Erfahrungen aus dem Berufsalltag besta¨tigen: Nach Skizze legt man um einen fest stehenden zylindrischen Ko¨rper ein du¨nnes Seil (Band, Faden). Beide Seilenden belastet man mit Wa¨gestu¨cken gleicher Masse m (Skizze a)). Das Seil befindet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand). Daran a¨ndert sich auch dann nichts, wenn man eines der beiden Seilenden durch kleine Wa¨gestu¨cke der Masse Dm zusa¨tzlich zugbelastet (bis kurz vor den Rutschvorgang). Ursache dafu¨r ist die zwischen Seil und Mantelfla¨che des Zylinders herrschende Seilreibungskraft FR. Sie ist die Summe der kleinen Reibungskra¨fte DFR ¼ m DFN , die verteilt auf der ganzen umspannten Mantelfla¨che wirken: FR ¼ S DFR .

a) Versuchsanordnung

b) Lageskizze des Seils F1 ¼ F2 þ S DFR F1 ¼ F2 þ FR Beachte: F1 ist immer die gro¨ßere der beiden Seilkra¨fte: F1 > F2 .

Eine Berechnungsgleichung fu¨r die gro¨ßere Seilzugkraft F1 findet man wegen der verschieden großen Teil-Reibungskra¨fte DFR nur mit Hilfe der ho¨heren Mathematik (Differenzial- und Integralrechnung). Das hat zuerst Euler1) getan, spa¨ter auch Eytelwein2), nach dem auch heute noch die Gleichung F1 ¼ F2 ema benannt wird.

Seilzugkraft (Eytelwein’sche Gleichung zur Seilreibung) e ¼ 2,71828 . . . heißt Euler’sche Zahl

Die Gleichung besta¨tigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft F1 wa¨chst (linear) mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft F2 und (exponential) mit dem Produkt aus Reibungszahl m und Umschlingungswinkel a.

Daraus ergibt sich fu¨r die Seilreibungskraft

Der Umschlingungswinkel a muss mit der Einheit rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung, wenn der Winkel in Grad vorliegt. Ha¨ufig wird die Anzahl der Umschlingungen (Windungen) angegeben, z. B. zwei volle Windungen.

1) 2)

Leonard Euler (1707––1783), Mathematiker und Physiker Johann Albert Eytelwein (1764––1848), Ingenieur

F1 ¼ F2 ema

FR ¼ F1 F2 ¼ F2 ðema 1Þ ¼ F1

a ¼ a

ema 1 ema

2p 360

Umrechnungsbeziehung (Grad in rad) Beachte: a ¼ 360 ¼ 2 p rad ¼ eine volle Windung

3.4 Reibung an Maschinenteilen

125

3.4.5.2 Aufgabenarten und Lo¨sungsansa¨tze Bei allen Seilreibungsaufgaben liegt ein Seil um einen Zylinder (System Zylinder/Seil). Zum Versta¨ndnis einer Aufgabe versetzt man sich gedanklich als „Beobachter“ auf den Zylinder und versucht von dort aus, den Richtungssinn der Seilreibungskraft FR zu bestimmen. Es ist dann gleichgu¨ltig, ob der Zylinder fest steht oder ob er sich um seine Achse dreht. Zum Richtungssinn von FR siehe Seite 91 Gleitreibung und Haftreibung.

Hat man den Richtungssinn der Seilreibungskraft FR gefunden, weiss man auch, welche der beiden Zugkra¨fte an den Seilenden die gro¨ßere Seilkraft F1 ist. Sie ist immer der Seilreibungskraft FR entgegengerichtet.

Der Zylinder ist je nach Aufgabe a) ein (fest stehender) Pfahl, z. B. beim Anlegen von Schiffen (1. bung), b) ein (umlaufender) Spillkopf beim Verschieben von Eisenbahnwaggons oder von Schiffen (2. bung), c) eine (umlaufende) Riemenscheibe (3. bung), d) eine (umlaufende) Seiltrommel bei Kra¨nen, e) eine (umlaufende) Bremsscheibe bei Bandbremsen.

S Fðin SeilrichtungÞ ¼ 0 F1 þ FR þ F2 ¼ 0 F1 ¼ FR þ F2 ¼ F2 ema Seilzugkraft F1 > F2 gilt immer.

3.4.5.3 bungen zur Seilreibung 1. bung: Beim Anlegen eines Lastkahns wird das Befestigungsseil mehrfach um den Befestigungspfahl (Poller) geschlungen. Die Reibungszahl zwischen Poller und Seil soll m ¼ 0,4 betragen, die Handkraft am (losen) Seilende 300 N. Ermittelt werden soll die maximale Haltekraft fu¨r den Lastkahn, wenn das Halteseil a) zweimal und b) viermal um den Poller geschlungen wird und bei Belastung nicht rutschen soll.

Lo¨sung: Nach dem Zeichnen der vereinfachten Lageskizze fu¨r die Kra¨fte am Seil in Seilrichtung (F1, F2, FR) berechnet man zuna¨chst die Umschlingungswinkel aa und ab mit der Einheit Radiant (rad). Das ist einfach, weil der Winkel fu¨r eine Umdrehung das Produkt 2 p rad ist (Vollwinkel ¼ 2p rad).

Gegeben: Kleinere Seilzugkraft F2 ¼ 300 N (Handkraft) Gleitreibungszahl m ¼ 0,4 Umschlingungswinkel aa ¼ 2 Vollwinkel ab ¼ 4 Vollwinkel Gesucht: Seilzugkra¨fte F1a , F1b

aa ¼ 2 2 p rad ¼ 4 p rad ab ¼ 4 2 p rad ¼ 8 p rad

126 Mit den Umschlingungswinkeln aa ¼ 4p rad und ab ¼ 8p rad sowie der Haltekraft F2 ¼ 300 N ¼ 0,3 kN und der Reibungszahl m ¼ 0,4 ko¨nnen die maximal zula¨ssigen Seilzugkra¨fte F1a und F1b berechnet werden. Man erkennt, dass durch die Verdopplung des Umschlingungswinkels die maximal zula¨ssige Seilzugkraft auf das 152-fache wa¨chst.

3 Reibung F1a ¼ F2 emaa ¼ 0,3 kN e0,4 4p F1a ¼ 45,7 kN F1b ¼ F2 emab ¼ 0,3 kN e0,4 8p F1b ¼ 6968,3 kN F1b ¼ 152 F1a Beachte: Die ema -Werte werden mit der ln x- oder ex-Taste eines Taschenrechners ermittelt.

2. bung: Bei Spillanlagen zum Verschieben von Waggons im Ausbesserungs- oder Verladebetrieb der Bahn wird der skizzierte Spillkopf durch einen Elektromotor angetrieben. Das Stahlseil wird am Waggon eingeha¨ngt, mehrfach um den Spillkopf geschlungen und mit dem freien Ende von Hand angezogen. Fu¨r eine maximale Zugkraft F1 ¼ 2 kN und die Reibungszahl m ¼ 0,1 soll fu¨r drei volle Seilwindungen die erforderliche Handkraft ermittelt werden.

Gegeben: Seilzugkraft F1 ¼ 2000 N Reibungszahl m ¼ 0,1 Umschlingungswinkel a ¼ 3 2 p rad ¼ 6 p rad Gesucht: Kleinere Seilzugkraft F2 (Handkraft)

Lo¨sung: Mit der ln x- oder ex-Taste des Taschenrechners wird ema ¼ e0,1 6p ¼ 6,586 ermittelt und gleich in den Quotienten 2000/6,586 eingebracht. Die Handkraft betra¨gt F2 ¼ 303,7 N.

F1 ¼ F2 ema ) F2 ¼ F2 ¼

F1 ema

2 000 N ¼ 303,7 N e0,16p

3.4 Reibung an Maschinenteilen 3. bung: Ein Elektromotor treibt nach Skizze u¨ber ein Flachriemengetriebe eine Arbeitsmaschine an. Die auf der Motorwelle mit Formschlussverbindung (Passfeder) fest sitzende Riemenscheibe 1 (Radius r1) la¨uft rechtsdrehend mit der Drehzahl n1 und dem Drehmoment M1 um. Antriebswelle 1 und die (nicht gezeichnete) Abtriebswelle 2 haben einen festen Wellenabstand. Die erforderliche Riemenvorspannung wird daher mit einer Spannrolle am (ablaufenden) Leertrum aufgebracht und nicht, wie beim Spannwellenbetrieb, durch Verschieben des Antriebsmotors auf Spannschienen.

Gesucht ist eine Gleichung fu¨r das maximal u¨bertragbare Motordrehmoment M1 in Abha¨ngigkeit von der Riemenvorspannkraft FV.

127

Gegeben: Euler’sche Gleichung F1 ¼ F2 em0 a Haftreibungszahl m0 Umschlingungswinkel a Radius der Riemenscheibe r1 Riemenvorspannkraft FV ¼ F2

Gesucht: Maximal u¨bertragbares Drehmoment M1 ¼ f ðFV , r1 , m0 , aÞ

Lo¨sung: Das Drehmoment M1 an der Motorscheibe wird durch Seilreibung auf das (auflaufende) Lasttrum des Riemengetriebes u¨bertragen. Die Reibungskraft ist die Seilreibungskraft FR. Sie wirkt am Scheibenradius r1. Die Seilreibungskraft FR ist die Differenz der beiden Seilzugkra¨fte F1 und F2.

M1 ¼ FR r1 ¼ ðF1 F2 Þ r1

Die Vorspannkraft FV ist die Seilzugkraft F2 am Leertrum des Flachriemens. Man ersetzt daher die Seilzugkraft F1 durch die Eytelweingleichung F1 ¼ F2 em0 a und erha¨lt die gesuchte Beziehung M1 ¼ f ðFV , r1 , m0 , aÞ. Da das gro¨ßtmo¨gliche Drehmoment ermittelt werden soll, ist statt der Gleitreibungszahl die Haftreibungszahl einzusetzen.

M1 ¼ ðF1 F2 Þ r1 ¼ ðF2 em0 a F2 Þ r1

Aufgaben Nr. 364–369

M1 ¼ F2 r1 ðem0 a 1Þ ¼ FV r1 ðem0 a 1Þ Beachte: Ein Drehmoment M kann nur bei Riemenvorspannung u¨bertragen werden: Das u¨bertragbare Drehmoment M ist der Vorspannkraft proportional.

128

3 Reibung

3.4.6 Bremsen 3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen Bei der Backenbremse bestimmt die Lage des Bremshebeldrehpunkts D die Wirkungsweise der Bremse. Sie kann fu¨r eine Drehrichtung der Bremsscheibe selbsthemmend oder fu¨r beide Drehrichtungen gleichbleibend sein. a) Backenbremse mit u¨berho¨htem Drehpunkt D Der Bremshebel ist in D zweiwertig drehbar gelagert. Er wird freigemacht skizziert. Die Bremskraft F am Bremshebelende ruft zwischen Scheibe und Backe die Normalkraft FN hervor. Wirkt an der Bremsscheibenwelle ein Drehmoment, so ruft es ein entgegengerichtetes Bremsmoment M aus Reibungskraft FR ¼ FN m und Scheibenradius r hervor: M ¼ FR r ¼ FN m r. Die Skizze zeigt Normalkraft FN und Reibungskraft FR ¼ FN m, wie sie bei Rechtslauf auf die Bremsbacke wirken. Bei Linkslauf kehrt die Reibungskraft FR ihren Richtungssinn um. Bei Gleichgewicht am Bremshebel mu¨ssen die Gleichgewichtsbedingungen erfu¨llt sein. Setzt man in den Gleichungen FR ¼ FN m ein, so erha¨lt man aus Gleichung III eine Bestimmungsgleichung fu¨r die erforderliche Bremskraft F. Das Bremsmoment M wird aus M ¼ FR r ¼ FN mr berechnet. Mit der nach FN aufgelo¨sten Bremskraftgleichung la¨sst sich dann eine Bestimmungsgleichung fu¨r das Bremsmoment M entwickeln. Die Gleichung fu¨r die Bremskraft zeigt, dass bei Linkslauf mit zunehmender berho¨hung l2 des Drehpunkts die Klammerdifferenz immer kleiner wird und gegen null geht. Das bedeutet, dass die Bremskraft schließlich null wird. Dann ha¨lt die Reibungskraft allein die Bremsscheibe fest, und es liegt Selbsthemmung vor. Bei Rechtslauf ist Selbsthemmung nicht mo¨glich. Aus der Gleichung fu¨r die Bremskraft F ergibt sich ferner, dass bei Linkslauf und gleichbleibender Bremskraft F die Bremswirkung gro¨ßer ist als bei Rechtslauf. Die Backenbremse mit u¨berho¨htem Drehpunkt ist also dann besonders geeignet, wenn nur in einer Richtung gebremst wird, z. B. als Hubwerksbremse an Hebezeugen.

Lageskizze des Bremshebels bei Rechtslauf der Bremsscheibe Gleichgewichtsbedingungen nach Lageskizze: I. S Fx ¼ 0 ¼ FN m FDx II. S Fy ¼ 0 ¼ FN FDy F III. S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 þ FN ml2 Fl S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 þ FR l2 Fl (Rechtslauf) S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 FR l2 Fl (Linkslauf)

F ¼ FN

M¼

ðl1 m l2 Þ l

Fl m r ðl1 m l2 Þ

Bremskraft

Bremsmoment

(þ) bei Rechtslauf, () bei Linkslauf Selbsthemmung bei Linkslauf tritt ein, wenn l1 m l2 ¼ 0 wird, denn dann wird das Bremsmoment unendlich groß. l1 m l2

Selbsthemmungsbedingung

In der Gleichung fu¨r die Bremskraft F ist der Klammerausdruck fu¨r Linkslauf (l1 ml2 ) kleiner als fu¨r Rechtslauf (l1 þ ml2 ). Wenn in beiden Fa¨llen die Bremskraft F gleich groß ist, dann bedeutet das, dass bei Linkslauf eine gro¨ßere Normalkraft und dadurch eine gro¨ßere Reibungskraft auftritt.

3.4 Reibung an Maschinenteilen b) Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D Der Bremshebeldrehpunkt D liegt bei dieser Bremse auf derselben Seite der Reibungskraftwirklinie wie die Bremsscheibe. Auch hier muss beim Abbremsen die Momentengleichgewichtsbedingung S M ¼ 0 fu¨r den Bremshebel erfu¨llt sein. Setzt man wieder in beide Gleichungen fu¨r die Reibungskraft FR ¼ FN m ein, dann ergibt sich daraus die Bestimmungsgleichung fu¨r die Bremskraft F fast in der gleichen Form wie bei der Bremse mit u¨berho¨htem Drehpunkt, nur die Vorzeichen in der Klammer sind vertauscht. Das bedeutet, dass beide Bremsen die gleiche Bremswirkung haben, nur fu¨r jeweils umgekehrten Drehsinn. Mit M ¼ FR r ¼ FN mr erha¨lt man wieder die Bestimmungsgleichung fu¨r das Bremsmoment M. Auch hier ist Selbsthemmung unter den gleichen Bedingungen wie vorher mo¨glich, aber bei Rechtslauf. Auch diese Backenbremse ist daher besonders fu¨r eine Bremsrichtung geeignet.

c) Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D Hier liegt der Bremshebeldrehpunkt auf der Wirklinie der Reibungskraft FR, die als Tangentialkraft an der Bremsscheibe angreift. Dadurch hat die Reibungskraft FR in Bezug auf den Hebeldrehpunkt weder bei Rechts- noch bei Linkslauf ein Kraftmoment. Sie fa¨llt beim Aufstellen der Momentengleichgewichtsbedingung S MðDÞ ¼ 0 aus der Gleichung heraus. Aus der Gleichung fu¨r die Bremskraft F ist zu sehen, dass F nur noch von der Normalkraft FN und dem Verha¨ltnis der beiden Hebelarme l1 und l abha¨ngig ist, und dass fu¨r beide Drehrichtungen die Bremswirkung gleichbleibend ist. Auch hier erha¨lt man mit M ¼ FR r ¼ FN mr die Bestimmungsgleichung fu¨r das Bremsmoment M. Die Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt ist besonders dann geeignet, wenn fu¨r beide Drehrichtungen gleiche Bremswirkung verlangt wird, z. B. bei Fahrwerkbremsen.

129

Lageskizze

S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 FR l2 Fl (Rechtslauf) S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 þ FR l2 Fl (Linkslauf) F ¼ FN M¼

ðl1 m l2 Þ l

Fl mr ðl1 ml2 Þ

Bremskraft

Bremsmoment

() bei Rechtslauf, (þ) bei Linkslauf

Selbsthemmung tritt bei Rechtslauf ein, wenn l1 ml2 ¼ 0 wird. l1 ml2

Selbsthemmungsbedingung

Lageskizze

S MðDÞ ¼ 0 ¼ FN l1 Fl bei Rechtslauf und Linkslauf F ¼ FN

M¼

l1 l

Fl mr l1

Bremskraft

Bremsmoment

Beachte: Da bei einer Bremse l1 nicht gleich null werden kann, ist Selbsthemmung hier nicht mo¨glich.

130 d) Doppelbackenbremse mit festen Bremsbacken Die Bremskraft an der skizzierten Doppelbackenbremse wird durch eine Druckfeder erzeugt. Die erforderliche Lu¨ftermechanik zum Lo¨sen der Bremse ist nicht gekennzeichnet. Die beiden Bremsklo¨tze A und B sind fest mit den beiden symmetrischen Bremshebeln verbunden. Bremsen mit beweglichen Backen z. B. nach DIN 15434. (Handbuch Maschinenbau, Abschnitt Fo¨rdertechnik).

3 Reibung

Schemaskizze einer Doppelbackenbremse

Man beginnt die Untersuchung der Bremse bei Rechtslauf der Bremsscheibe mit der Lageskizze des oberen Bremshebels und bekommt den gleichen Fall wie unter b) Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt (1. Schritt).

1. Schritt

Lageskizze des oberen Bremshebels

Wie unter b) la¨sst man auch hier die Stu¨tzkraft FC im Hebeldrehpunkt C außer Acht und schreibt nur die Momentengleichgewichtsbedingung S MðCÞ ¼ 0 auf. Daraus entwickelt man wie unter b) eine Bestimmungsgleichung fu¨r die Bremskraft F (2. Schritt).

2. Schritt S MðCÞ ¼ 0 ¼ FNA l1 FNA m l2 Fl (Rechtslauf) FNA ðl1 ml2 Þ ¼ Fl F ¼ FNA

ðl1 ml2 Þ l

Bremskraft

Die Reibungskraft FRA ¼ FNA m an der Bremsbacke A erzeugt das Bremsmoment MA ¼ FRA r ¼ FNA m r. Man lo¨st die Bremskraftgleichung nach FNA auf und entwickelt die Bestimmungsgleichung fu¨r das Bremsmoment MA (3. Schritt).

FNA

Das Bremsmoment MA ist das von der Reibungskraft FRA an der oberen Bremsbacke erzeugte Teilmoment. Es muss nun auf dem gleichen Weg das zweite Teilmoment, das Bremsmoment MB, durch Freimachen des unteren Bremshebels ermittelt werden.

Beachte: Es wurde beim Freimachen des Systems systematisch und exakt vorgegangen: oberen Bremshebel mit Bremsbacke A skizzieren, die Druckfeder gedanklich wegnehmen und dafu¨r die Federkraft F eintragen usw. So geht man auch beim unteren Bremshebel vor.

3. Schritt Fl ; ¼ ðl1 ml2 Þ

MA ¼

Fl m r ðl1 ml2 Þ

MA ¼ FNA m r Bremsmoment MA

3.4 Reibung an Maschinenteilen

131

Man arbeitet nach der gleichen Gliederung wie bei der Untersuchung des oberen Bremshebels und beginnt mit der Lageskizze des unteren Bremshebels (1. Schritt).

1. Schritt

Lageskizze des unteren Bremshebels

Im 2. Schritt liest man wieder die Momentengleichgewichtsbedingung S MðDÞ ¼ 0 aus der Lageskizze ab und schreibt sie auf. Daraus entwickelt man erneut eine Bestimmungsgleichung fu¨r die Bremskraft F (2. Schritt).

2. Schritt S MðDÞ ¼ 0 ¼ FNB l1 FNB m l2 þ Fl (Rechtslauf) FNB ðl1 þ ml2 Þ ¼ Fl F ¼ FNB

Durch die Reibungskraft FRB wird das zweite TeilBremsmoment MB ¼ FRB r ¼ FNB mr erzeugt. Man lo¨st im 3. Schritt die Bremskraftgleichung nach FNB auf und entwickelt damit die Bestimmungsgleichung fu¨r das Bremsmoment MB (3. Schritt).

Ein Vergleich der Gleichungen fu¨r FNA und FNB zeigt, dass die Normalkraft FNA gro¨ßer ist als FNB, weil der Nenner in der Gleichung fu¨r FNA kleiner ist als der Nenner bei FNB.

Das gesamte auf die Bremsscheibe wirkende Bremsmoment M der untersuchten Doppelbackenbremse ist die Summe der beiden Teilmomente MA und MB. Die hier entwickelten Gleichungen gelten nur fu¨r Doppelbackenbremsen mit Bremsbacken, die fest mit dem Bremshebel verbunden sind.

Aufgaben Nr. 370–375

ðl1 þ ml2 Þ l

Bremskraft

3. Schritt FNB

Fl ¼ ðl1 þ ml2 Þ

MB ¼

Fl m r ðl1 þ ml2 Þ

MB ¼ FNB m r

Bremsmoment MB

FNA > FNB , weil ðl1 ml2 Þ < ðl1 þ ml2 Þ; wegen FNA > FNB ist auch FRA > FRB und MA > MB

M ¼ MA þ MB

Gesamt-Bremsmoment

Beachte: Sollen die Stu¨tzkra¨fte FC und FD ermittelt werden, mu¨ssen jeweils alle drei Gleichgewichtsbedingungen angesetzt werden, z. B. fu¨r Lager D: S Fx ¼ 0 ¼ FDx FNB m S Fy ¼ 0 ¼ FDy þ F FNB S MðDÞ ¼ 0 (siehe oben, 2. Schritt)

132

3 Reibung

3.4.6.2 Bandbremsen Bei der Bandbremse wird die Bremswirkung durch Seilreibung (Bandreibung) erzielt. Fu¨r die Spannkra¨fte F1 und F2 an den Bandenden und fu¨r die Reibungskraft FR gelten die Beziehungen aus 3.4.5. Bei der einfachen Bandbremse ist ein Bandende am Bremshebeldrehpunkt D befestigt, das andere am Bremshebel. Durch die Hebelkraft F wird das Band gespannt, und bei Drehung der Bremsscheibe entstehen in den Bandenden infolge der Seilreibung unterschiedliche Spannkra¨fte F1 und F2.

F1 ¼ F2 ema FR ¼ F1 F2 ¼ F2 ðema 1Þ ¼ F1

ðema 1Þ ema

Die Kra¨fte F1, F2 und FR wirken bei Rechtslauf in den eingezeichneten Richtungen auf das Bremsband.

Am Bremshebel herrscht Momentengleichgewicht (Ruhe). Bezieht man die Kraftmomente auf den Hebeldrehpunkt, dann hat die Kraft F1 kein Moment. Die Spannkraft F2 wird also von der Hebelkraft F und den Hebella¨ngen l und l1 bestimmt.

Lageskizze des Bremshebels

S MðDÞ ¼ 0 ¼ F2 l1 Fl ; F2 ¼ F

l l1

l ma ðe 1Þ l1

Nach den Gesetzen der Seilreibung kann man aus der Kraft F2 die Bandreibungskraft FR ¼ Bremskraft an der Bremsscheibe ermitteln. Sie wirkt im Abstand r von der Bremsscheibenmitte und erzeugt das Bremsmoment M ¼ FR r.

FR ¼ F2 ðema 1Þ ¼ F

Bei Linkslauf wechseln F1 und F2 ihre Angriffspunkte. Fu¨r die gleiche Bremswirkung wa¨re dann eine erheblich gro¨ßere Hebelkraft F erforderlich. Die einfache Bandbremse wird darum nur fu¨r einen Drehsinn verwendet, z. B. fu¨r Hubwerke als Haltebremse (Bauaufzu¨ge).

Aus der Gleichung erkennt man, dass das Bremsmoment vergro¨ßert werden kann durch gro¨ßere Hebelkraft F, gro¨ßeren Scheibenradius r, gro¨ßere Hebella¨nge l, kleineren Bandabstand l1, gro¨ßere Reibungszahl m und gro¨ßeren Umschlingungswinkel a. Selbsthemmung ist nicht mo¨glich.

Neben der einfachen Bandbremse gibt es noch die Summenbremse mit gleich großem Bremsmoment M in beiden Drehrichtungen und die Differenzbremse fu¨r einen Drehsinn des Bremsmomentes.

Beachte: Funktionsskizzen fu¨r Summen- und Differenzbremse sowie die Formeln fu¨r das Bremsmoment findet man in: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik.

Aufgaben Nr. 376–378

M ¼ FR r ¼ Fr

l ma ðe 1Þ Bremsmoment l1

3.4 Reibung an Maschinenteilen

133

3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen a) Scheibenbremsen Gebaut werden Ein- und Mehrscheibenbremsen (Lamellenbremsen). Die Bremsscheibe der skizzierten Einscheibenbremse sitzt drehfest auf der Bremswelle. Die beiden Bremsbacken werden durch Druckfedern im geha¨usefesten Hydraulikzylinder an die Bremsscheibe gepresst. Mit Flu¨ssigkeitsdruck wird die Bremse gelo¨st (Lu¨ften). Die Einscheibenbremse wird zunehmend im Hebezeugbau verwendet, auch an Stelle der Bandbremse (gute Wa¨rmeableitung).

b) Kegelbremsen Die drehfest mit der Bremswelle verbundene Bremsscheibe mit Außenkegel wird durch Federkraft axial gegen den geha¨usefesten Innenkegel gepresst und hydraulisch oder elektromagnetisch abgelo¨st (Lu¨ften der Bremse). Durch die Kegelreibfla¨che kann das gleiche Bremsmoment wie bei der Einscheibenbremse mit kleinerer Bremskraft erzeugt werden (kleinere Konstruktionsmaße).

c) Bremskraft und Bremsmoment Fu¨r die Bremskraft F und fu¨r das Bremsmoment M kann man zwei Gleichungen entwickeln, die fu¨r Scheiben- und Kegelbremsen gelten. Wie bei jeder Bremse ist das Bremsmoment M das Produkt aus der Reibungskraft FR ¼ FN m und dem zugeho¨rigen Reibungskraftradius (M ¼ FR r ¼ FN mr). Bei der Scheibenbremse ist die Bremskraft F zugleich die Normalkraft FN ¼ F. Dagegen ist bei der Kegelbremse F ¼ 2FN sin a, wie die Krafteckskizze zeigt. Damit erha¨lt man die beiden Bestimmungsgleichungen fu¨r F und M.

F

Msin a r zm

Bremskraft

M

F r zm sin a

Bremsmoment

z Anzahl der Reibungsfla¨chen z ¼ 1 bei Kegelbremsen z ¼ 2 bei Einscheibenbremsen a Kegelwinkel a ¼ 90 bei Scheibenbremsen a 20 bei Kegelbremsen

134

3 Reibung

3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung) Betrachtet man einen Rollko¨rper und seine Unterlage als absolut starre Ko¨rper, dann ist Rollen nur infolge der tangential wirkenden Haftreibungskraft mo¨glich. Sonst mu¨sste der Rollko¨rper auf der Unterlage gleiten. Tatsa¨chlich dru¨ckt sich der Rollko¨rper etwas in die Unterlage ein, und er verformt sich auch selbst geringfu¨gig. Es kann hier also nicht mehr von „echter“ Reibung gesprochen werden, sondern man muss sich den Rollvorgang als ein fortwa¨hrendes Kippen u¨ber die Kante D vorstellen (siehe 2.5.2, Seite 88). Bei gleichfo¨rmiger Rollbewegung herrscht Gleichgewicht. Aus der Momentengleichgewichtsbedingung erha¨lt man eine Gleichung fu¨r die Rollkraft F. Wegen der geringen Eindru¨cktiefe kann in dieser Gleichung der Kippabstand l gleich dem Rollradius r gesetzt werden. Die Rollkraftgleichung zeigt, dass die Rollkraft F mit zunehmendem Rollradius r kleiner wird. Den Abstand f bezeichnet man als „Hebelarm der Rollreibung“. Er ist abha¨ngig vom Werkstoff der Unterlage und des Rollko¨rpers und wird gewo¨hnlich in cm angegeben. Aus diesem Grund setzt man in die Gleichung auch den Rollradius r zweckma¨ßig in cm ein.

Freigemachter „starrer“ Rollko¨rper

„Wirklicher“ Rollko¨rper S MðDÞ ¼ 0 ¼ FG f Fl ; F ¼ FG

f r

lr F, FG

Rollkraft

N

f

cm cm

Die Gewichtskraft steht hier fu¨r die Belastung der Radachse. Beachte: Große Ra¨der oder Kugeln rollen leichter als kleinere. Werte fu¨r den Hebelarm der Rollreibung: Fu¨r Gusseisen und Stahl auf Stahl ist f 0,05 cm, fu¨r geha¨rtete Stahlrollen und -kugeln auf geha¨rteten Laufringen (Wa¨lzlager) ist f 0,0005 . . . 0,001 cm.

3.4.8 Fahrwiderstand Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit auf horizontaler Fahrbahn fortbewegt, sind Widersta¨nde zu u¨berwinden: der Luftwiderstand, der Rollwiderstand, der Widerstand durch Lagerreibung. Die beiden letzten fasst man zum Fahrwiderstand Fw zusammen. Bei horizontaler Fahrbahn ist die erforderliche Zugkraft Fz gleich dem Fahrwiderstand (ohne Luftwiderstand). Bei geneigter Fahrbahn ist zusa¨tzlich die Hangabtriebskraft Fa ¼ FG sin a zu u¨berwinden. a ist der Neigungswinkel der Fahrbahn zur Waagerechten.

Fw ¼ FN mf

r

Fahrwiderstand

FN gesamte Normalkraft (Anpresskraft des Fahrzeugs an allen Ra¨dern). Bei horizontaler Fahrbahn ist die Normalkraft FN gleich der Gewichtskraft FG des Fahrzeugs. mf Fahrwiderstandszahl; sie wird durch Versuche ermittelt. Erfahrungswerte fu¨r mf : Eisenbahn 0,0025 Straßenbahn mit Wa¨lzlagern 0,005 Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018 Kraftfahrzeug auf Asphalt 0,025 Drahtseilbahn 0,01

3.4 Reibung an Maschinenteilen Damit sich die Ra¨der drehen, muss die Haftreibungskraft FR0 max zwischen Ra¨dern und Fahrbahn gro¨ßer sein als der Fahrwiderstand Fw . Daraus ergibt sich die Rollbedingung m0 mf . Bei m0 < mf gleiten die Ra¨der auf der Fahrbahn.

135 Fu¨r die Rollbewegung ist erforderlich, dass FR0 max Fw , d. h. FN m0 FN mf ist. m0 mf

Rollbedingung

3.4.9 bungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand 1. bung: Die Laufachse einer Lokomotive mit zwei Ra¨dern von 1,1 m Durchmesser hat 1,2 t Masse. Sie soll durch eine in Achsmitte angreifende Kraft F auf waagerechten Schienen in gleichfo¨rmiger Bewegung gehalten werden. Der Hebelarm der Rollreibung betra¨gt 0,05 cm. Wie groß sind die erforderliche Rollkraft F und der Rollwiderstand Froll? Lo¨sung: Man kann die Rollkraft F mit der in 3.4.7 entwickelten Gleichung bestimmen. Der Rollwiderstand Froll ist hier gleich der Rollkraft F. 2. bung: Der Tisch einer Werkzeugmaschine la¨uft auf einer Zylinderrollenfu¨hrung. Er belastet die Rollen mit einer Kraft F1 ¼ 1800 N. Rollen und Fu¨hrungsschienen sind geha¨rtet. Die Rollen haben 18 mm Durchmesser. Welche Kraft muss aufgebracht werden, um den Tisch zu verschieben? Lo¨sung: Man darf alle Kra¨fte auf eine Rolle beziehen, denn ob an 100 Rollen je ein Hundertstel der Kra¨fte wirkt oder an einer Rolle alle Kra¨fte, ist gleichgu¨ltig. Die Gewichtskra¨fte der Rollen ko¨nnen vernachla¨ssigt werden, denn sie sind klein gegenu¨ber der Belastung F1. Rollwiderstand tritt an der unteren und an der oberen Fu¨hrungsschiene auf. Die Verschiebekraft F am Tisch hat ihre Gegenkraft im Rollwiderstand Froll oben, folglich ist F ¼ Froll. Das Rollmoment F d ist gleich dem Lastmoment F1 2 f . Fu¨r unterschiedliche Werkstoffe ist statt 2 f die Summe ð f1 þ f2 Þ einzusetzen.

Gegeben: Durchmesser d ¼ 2r ¼ 1,1 m Masse m ¼ 1,2 103 kg Hebelarm f ¼ 0,05 cm Gesucht: Rollkraft F, Rollwiderstand Froll

f f ¼ mg r r m 5 104 m F ¼ 1,2 103 kg 9,81 2 s 5,5 101 m F ¼ 10,7 N ¼ Froll F ¼ FG

Gegeben: Belastung F1 ¼ 1,8 103 N Hebelarm f ¼ 105 m (nach 3.4.7) Rollendurchmesser d ¼ 18 103 m Gesucht: Verschiebekraft F

Froll d ¼ Fd ¼ F1 2 f 2f 2f f ¼ F1 ¼ F1 d 2r r 5 10 m F ¼ 1,8 103 N ¼2N 9 103 m

F ¼ F1

136 3. bung: Eine Kugel von 20 mm Durchmesser liegt auf einer schiefen Ebene. Bei welchem Neigungswinkel a beginnt die Kugel zu rollen, wenn der Hebelarm der Rollreibung f ¼ 0,1 cm betra¨gt?

3 Reibung Gegeben: Durchmesser d ¼ 20 mm Hebelarm f ¼ 0,1 cm Gesucht: Neigungswinkel a

Lo¨sung: Die Kugel beginnt dann zu rollen, wenn die Wirklinie der Gewichtskraft FG durch die „Kippkante“ D geht (siehe 2.5.2). Die Rollkraft ist dann die Komponente FG sin a, die „Belastung“ die Komponente FG cos a.

Das linksdrehende Kraftmoment FG sin ar ist gleich dem rechtsdrehenden Kraftmoment FG cos a f . Damit ist der Lo¨sungsansatz gefunden. Die Diskussion der Gleichung tan a ¼ f =r la¨sst erkennen, dass mit zunehmendem Kugelradius r die Tangensfunktion und damit der Neigungswinkel kleiner wird: Große Rollko¨rper rollen leichter als kleine. 4. bung: Ein Kraftfahrzeug mit 1100 kg Masse wird auf einer waagerechten Asphaltstraße gleichfo¨rmig geschoben. Wie groß ist der zu u¨berwindende Fahrwiderstand Fw?

FG sin ar ¼ FG cos a f FG sin a f ¼ FG cos a r f tan a ¼ r f 0,1 cm ¼ 5,71 a ¼ arctan ¼ arctan r 1 cm

Gegeben: Masse m ¼ 1,1 103 kg Fahrwiderstandszahl mf ¼ 0,025 (siehe 3.4.8) Gesucht: Fahrwiderstand Fw

Lo¨sung: Man berechnet den Fahrwiderstand Fw aus der Normalkraft FN und der Fahrwiderstandszahl mf . Die gesamte Normalkraft an den vier Ra¨dern ist bei waagerechter Fahrbahn gleich der Gewichtskraft FG ¼ Masse m Fallbeschleunigung g. Die Fahrwiderstandszahl entnimmt man den Erfahrungswerten (3.4.8).

Fw ¼ FN mf ¼ FG mf ¼ m g mf m Fw ¼ 1,1 103 kg 9,81 2 25 103 s kgm Fw ¼ 270 2 ¼ 270 N s

5. bung: Ein Gu¨terzug fa¨hrt auf waagerechter Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse der angeha¨ngten Wagen betra¨gt 1000 t. Wie groß ist der Fahrwiderstand Fw der angeha¨ngten Wagen?

Gegeben: Masse m ¼ 1000 t ¼ 106 kg Fahrwiderstandszahl mf ¼ 0,0025 Gesucht: Fahrwiderstand Fw

3.4 Reibung an Maschinenteilen

137

Lo¨sung: Die berlegungen zur Lo¨sung dieser Aufgabe sind die gleichen wie in der 4. bung. Lediglich die Betra¨ge der Masse und der Fahrwiderstandszahl wurden gea¨ndert. Da die Zugkraft am Zughaken der Lokomotive nur den Fahrwiderstand zu u¨berwinden hat, sind Zugkraft Fz und Fahrwiderstand gleich groß.

Fw ¼ FN mf ¼ FG mf ¼ m g mf m Fw ¼ 106 kg 9,81 2 2,5 103 s kgm Fw ¼ 24,53 103 2 ¼ 24 530 N s Fw ¼ Fz ¼ 24,53 kN

6. bung: Derselbe Gu¨terzug wie in der 5. bung wird eine Steigung 1:100 gleichfo¨rmig bergauf gezogen.

Gegeben: Dieselben Gro¨ßen wie in bung 5; zusa¨tzlich Steigung 1:100, das heißt, der Tangens des Steigungswinkels betra¨gt 1/100, tan a ¼ 0,01 Gesucht: Zugkraft Fz

Wie groß ist jetzt die erforderliche Zugkraft Fz?

Lo¨sung: Man orientiert sich u¨ber die Kra¨fteverha¨ltnisse anhand einer Lageskizze. Ob man dabei den ganzen Zug betrachtet oder nur einen Wagen mit der Masse m ¼ 1000 t, ist gleichgu¨ltig. Man erkennt: Da Gleichgewicht herrscht, ist die Normalkraft FN ¼ FG cos a. Außerdem muss die Zugkraft Fz gleich der Summe aus Fahrwiderstand Fw und Hangabtriebskraft FG sin a sein. Zuerst wird der Steigungswinkel a aus seiner Tangensfunktion ermittelt. Der Winkel ist so klein, dass man in der weiteren Rechnung sin a ¼ tan a ¼ 0,01 und cos a ¼ 1 setzen darf. Dann setzt man die Gleichgewichtsbedingung fu¨r die Kra¨fte in Richtung der Steigung an (x-Kra¨fte) und lo¨st schrittweise nach Fz auf.

Lageskizze

a ¼ arctan 0,01 ¼ 0,573 ¼ 34,40

S Fx ¼ 0 ¼ Fz Fw FG sin a Fz ¼ Fw þ FG sin a ¼ FN mf þ FG sin a Fz ¼ FG cos a mf þ FG sin a ¼ ¼ FG ð mf cos a þ sin aÞ Fz ¼ mgð mf cos a þ sin aÞ cos a ¼ 0,99995 1 gesetzt:

Die Gleichung Fz ¼ mgð mf þ sin aÞ zeigt, dass der Steigungswinkel a die Zugkraft stark beeinflusst. Hier ist sin a ¼ 4 mf , d. h. die Hangabtriebskraft FG sin a ist viermal so groß wie der Fahrwiderstand Fw. Aufgaben Nr. 379–385

Fz ¼ mgð mf þ sin aÞ m Fz ¼ 106 kg 9,81 2 ð0,0025 þ 0,01Þ s Fz ¼ 12,26 104 N ¼ 122,6 kN

138

3 Reibung

3.4.10 Rolle und Rollenzug 3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) Die Achse der festen Rolle liegt ra¨umlich fest. Ohne Reibung wa¨re die Zugkraft F im Seil gleich der Gewichtskraft FG (F ¼ FG). Infolge der Zapfenreibung (siehe Seite 116) ist beim Heben der Last die Zugkraft jedoch immer gro¨ßer als die Gewichtskraft (F > FG ). Aber auch ohne Beru¨cksichtigung der Zapfenreibung wa¨re F > FG , denn die Reibung zwischen den einzelnen Dra¨hten des Seils macht das Seil biegesteif. Dadurch weicht der auflaufende Seilstrang um die seitliche Auslenkung e1 nach außen. Der ablaufende Seilstrang schmiegt sich um e2 an die Rolle nach innen an. Dadurch vergro¨ßert sich der Wirkabstand der Gewichtskraft FG vom Rollendrehpunkt D auf den Betrag r þ e1, wa¨hrend sich der Wirkabstand der Zugkraft F auf r e2 verringert.

Zur Gleichgewichtsbetrachtung skizziert man die Lageskizze des Systems Rolle/Seil. Der geringfu¨gige Unterschied zwischen e1 und e2 la¨sst es zu, mit der Auslenkung e ¼ e1 ¼ e2 zu rechnen. Die Rolle dreht sich beim Heben der Last mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w rechts herum. Linksdrehend wirkt dann das Reibungsmoment MR ¼ FR rz ¼ FN m rz ¼ ðFG þ FÞ m rz . Erla¨uterungen zum Reibungsmoment MR siehe Abschnitt 3.4.3.1, Seite 117.

Fu¨r die Reibungsbetrachtung am Rollenbolzen oder -zapfen kann die Zugkraft F ungefa¨hr gleich der Gewichtskraft FG gesetzt werden (F FG ). Das Reibungsmoment wird dann MR ¼ 2 FG m rz . Legt man den Momentendrehpunkt D auf die Wirklinie der noch unbekannten Normalkraft FN (Lagerkraft) in den Rollenmittelpunkt, so fu¨hrt die algebraische Entwicklung zu einer Gleichung fu¨r die Zugkraft F.

FG F r rz

Gewichtskraft Zugkraft Rollenradius Zapfenradius

Lageskizze fu¨r Lastheben

S Fy ¼ 0 ¼ FG þ FN F FN ¼ FG þ F S MðDÞ ¼ 0 ¼ FG ðr þ eÞ Fðr eÞ þ MR FG ðr þ eÞ Fðr eÞ þ 2 FG m rz ¼ 0 Fðr eÞ ¼ FG ðr þ e þ 2 m rz Þ F ¼ FG

r þ e þ 2 m rz re

Zugkraft an der festen Rolle beim Lastheben

3.4 Reibung an Maschinenteilen Der Wirkungsgrad h ist das Verha¨ltnis von Nutzarbeit Wn zur aufgewendeten Arbeit Wa. Die Nutzarbeit Wn ist hier das Produkt aus der Gewichtskraft FG und dem Hubweg s, also Wn ¼ FG s (Hubarbeit). Entsprechend gilt fu¨r die aufgewendete Arbeit Wa ¼ Fs. Kraft- und Lastweg sind gleich groß (s1 ¼ s2 ¼ s).

139 hf ¼

Nutzarbeit Wn FG s ¼ aufgewendete Arbeit Wa Fs

hf ¼

FG F

!

F¼

FG hf

FG r þ e þ 2 m rz ¼ FG hf re

Mit den beiden Ausdru¨cken fu¨r die Zugkraft F stehen also zwei voneinander unabha¨ngige Gleichungen mit zwei Unbekannten (F und hf) zur Verfu¨gung. Die Gleichsetzungsmethode fu¨hrt hier am einfachsten zu einer Gleichung fu¨r den Wirkungsgrad hf der festen Rolle.

F¼

Wie die Gleichung zeigt, ist der Wirkungsgrad hf abha¨ngig vom Rollenradius r, vom Zapfenradius rz , von der Zapfenreibungszahl m und von der Auslenkung e. Die Gro¨ßen r und rz sind konstruktiv festgelegt, dagegen ko¨nnen Zapfenreibungszahl m und Auslenkung e nur angenommen werden. Dabei ist die Festlegung eines Auslenkungsbetrages am schwierigsten. Eine Rechnung mit bestimmten Betra¨gen von r, rz und m, bei e ¼ 0; 0,5 mm; 1 mm und 2 mm zeigt die geringe Abha¨ngigkeit des Wirkungsgrades hf vom Auslenkungsbetrag e. Es ist daher berechtigt, mit einem Mittelwert hf ¼ 0,95 zu rechnen.

Berechnungsbeispiel: Fu¨r r ¼ 200 mm, rz ¼ 30 mm und m ¼ 0,15 sowie e1 ¼ 0; e2 ¼ 0,5 mm; e3 ¼ 1 mm und e4 ¼ 2 mm liefert die Wirkungsgradgleichung: hf1 ¼ 0,957 0,96 fu¨r e1 ¼ 0 hf2 ¼ 0,952 0,95 fu¨r e2 ¼ 0,5 mm hf3 ¼ 0,948 0,95 fu¨r e3 ¼ 1 mm hf4 ¼ 0,938 0,94 fu¨r e4 ¼ 2 mm

hf ¼

re r þ e þ 2 m rz

Wirkungsgrad der festen Rolle

3.4.10.2 Lose Rolle Die Last mit der Gewichtskraft FG ha¨ngt an der Achse der losen Rolle und verteilt sich daher auf zwei Seilstra¨nge. Der eine Strang ist z. B. an der Auslegerspitze eines Drehkrans befestigt, am anderen Strang greift die Zugkraft F an. War bei der festen Rolle ohne Reibungsverluste F ¼ FG , so ist bei der losen Rolle F ¼ Fs ¼ FG /2. Die aufgewendete Arbeit ist Wa ¼ Fs1, die Nutzarbeit Wn ¼ FG s2. Ohne Reibungsverluste sind beide Betra¨ge gleich groß, also Fs1 ¼ FG s2. Mit F ¼ FG /2 wird dann FG s1/2 ¼ FG s2, also auch s1 ¼ 2 s2. Der Kraftweg s1 ist doppelt so groß wie der Lastweg s2.

Lageskizze fu¨r Lastheben

140

3 Reibung

Wie bei der festen Rolle stellt man die Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze auf. Auch hier wird angenommen, dass die seitliche Auslenkung am auf- und am ablaufenden Seilstrang gleich groß ist (e1 ¼ e2 ¼ e). Den Momentendrehpunkt D legt man auf die Wirklinie der Seilkraft Fs , weil die Entwicklung der Momentengleichgewichtsbedingung dann zu einer Gleichung mit nur einer Unbekannten fu¨hrt (Zugkraft F).

S Fy ¼ 0 ¼ Fs FG þ F FG ¼ Fs þ F

Auch bei Beru¨cksichtigung der Reibung gilt fu¨r den Kraftweg s1 ¼ 2s2. Allerdings bleibt nicht mehr F ¼ FG /2. Mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und der aufgewendeten Arbeit Wa ¼ Fs1 ¼ F 2 s2 erha¨lt man wie bei der festen Rolle eine Gleichung fu¨r den Wirkungsgrad hl der losen Rolle und daraus eine Gleichung fu¨r die Zugkraft F. Wie bei der festen Rolle verfu¨gt man auch hier u¨ber zwei voneinander unabha¨ngigen Gleichungen fu¨r die Zugkraft F, die man gleichsetzen und nach dem Wirkungsgrad hl auflo¨sen kann.

hl ¼

Ein Vergleich der beiden Gleichungen fu¨r die Wirkungsgrade hl und hf zeigt, dass der Za¨hler in der Wirkungsgradgleichung fu¨r die lose Rolle gro¨ßer ist als der Za¨hler in der Gleichung fu¨r die feste Rolle. Dagegen ist der Nenner bei hl kleiner als bei hf . Folglich ist der Wirkungsgrad hl der losen Rolle gro¨ßer als der Wirkungsgrad hf der festen Rolle (hl > hf ).

Za¨hlervergleich: r > r e Nennervergleich: r þ e þ mrz < r þ e þ 2 m rz folglich ist hl > hf

Das wird rechnerisch besta¨tigt mit den fu¨r die feste Rolle angenommenen Gro¨ßen (siehe Seite 139). Fu¨r praktische Rechnungen verzichtet man jedoch auf unterschiedliche Betra¨ge fu¨r die Wirkungsgrade der festen und der losen Rolle. Man rechnet mit hf ¼ hl ¼ h ¼ 0,96 fu¨r Gleitlagerung der Rolle und h ¼ 0,98 fu¨r Wa¨lzlagerung.

Fu¨r r ¼ 200 mm, rz ¼ 30 mm, m ¼ 0,15 und e ¼ 1 mm wird der Wirkungsgrad fu¨r die lose Rolle: r hl ¼ r þ e þ mrz

2r zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{ S MðDÞ ¼ 0 ¼ FG ðr þ eÞ MR þ F ðr e þ r þ eÞ M R ¼ F R rz ¼ F N m rz ¼ F G m rz

2Fr ¼ FG ðr þ eÞ þ FG m rz ¼ FG ðr þ e þ mrz Þ

F¼

FG r þ e þ mrz 2 r

Zugkraft an der losen Rolle beim Lastheben

W n F G s2 ¼ W a F 2 s2

hl ¼

F¼

!

F¼

FG 2hl

FG FG r þ e þ mrz ¼ 2hl 2 r

hl ¼

hl ¼

FG 2F

r r þ e þ mrz

Wirkungsgrad der losen Rolle

200 mm ð200 þ 1 þ 0,15 30Þ mm

hl ¼ 0,973 > hf ¼ 0,948

3.4 Reibung an Maschinenteilen

141

3.4.10.3 Rollenzug Rollenzu¨ge sind bersetzungsmittel zwischen Last und Kraft. Sie bestehen aus einer Kombination fester und loser Rollen, die in Flaschen (Kloben) gelagert sind. Die Rollen ko¨nnen untereinander oder auch nebeneinander liegen1). Das eine Seilende ist mit einer Flasche verbunden, am anderen Ende greift die Zugkraft F an. Zur statischen Analyse des skizzierten Rollenzuges beim Heben der Last wird die untere Flasche freigemacht. Der Schnitt x x trifft hier vier tragende Seilstra¨nge. Fu¨r alle Rollen soll der Wirkungsgrad gleich groß sein (hf ¼ hl ¼ h). Mit den fu¨r feste und lose Rollen entwickelten Gleichungen ist dann F1 ¼ hF, F2 ¼ hF1 ¼ h2 F, F3 ¼ hF2 ¼ h3 F und F4 ¼ h4 F. Damit kann die Kra¨ftegleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 aufgestellt werden. Der Ausdruck ð1 þ h þ h2 þ h3 Þ la¨sst sich algebraisch vereinfachen. Es ist 1 h4 1 þ h þ h2 þ h3 ¼ 1h Der Beweis la¨sst sich durch Polynomdivision fu¨hren, indem man 1 h4 durch 1 h dividiert. Der spezielle Fall mit vier tragenden Seilstra¨ngen kann leicht auf beliebige Konstruktionen mit n tragenden Seilstra¨ngen erweitert werden. Als Exponent steht dann „n“ statt „4“ in der Zugkraftgleichung des Rollenzugs. Von den „Lasten“, die mit Rollenzu¨gen bewegt werden sollen, ist meistens die Masse m in kg bekannt. Aus diesem Grund wird nach FG ¼ mg die Zugkraftgleichung mit der Masse m geschrieben (Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2). Eine Beziehung zwischen dem Kraftweg s1 und dem Lastweg s2 la¨sst sich wie bei der losen Rolle mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und der aufgewendeten Arbeit Wa ¼ Fs1 herleiten. Ohne Reibungsverluste ist auch hier Wn ¼ Wa , und die Gewichtskraft FG ist gleich dem n-fachen der Zugkraft F (FG ¼ nF oder F ¼ FG /n). Beispielsweise ist bei der losen Rolle FG ¼ 2F, weil n ¼ 2 tragende Seilstra¨nge vorhanden sind. 1)

Lageskizze der unteren Flasche S Fy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4 FG hF þ h2 F þ h3 F þ h4 F ¼ FG Fðh þ h2 þ h3 þ h4 Þ ¼ FG F ¼ FG

1 1 ¼ FG h þ h2 þ h3 þ h4 hð1 þ h þ h2 þ h3 Þ

F ¼ FG

1h 1h ¼ mg hð1 h4 Þ hð1 h4 Þ

F ¼ mg

1h hð1 h n Þ

Zugkraftgleichung fu¨r Rollenzu¨ge mit n tragenden Seilstra¨ngen beim Lastheben (mg ¼ FG)

Wn ¼ Wa FG s2 ¼ Fs1 (FG ¼ nF) nFs2 ¼ Fs1 s1 ¼ ns2 Weggleichung fu¨r Rollenzu¨ge mit n tragenden Seilstra¨ngen

Praktische Ausfu¨hrung siehe Handbuch Maschinenbau (Abschnitt Fo¨rdertechnik)

142

3 Reibung

Mit der Weggleichung s1 ¼ ns2 kann nun wie bei den Rollen eine Wirkungsgradgleichung fu¨r den Rollenzug entwickelt werden. Ausgangsgleichung ist die allgemeine Wirkungsgradgleichung hr ¼ Wn =Wa mit der Nutzarbeit Wn ¼ FG s2 und der aufgewendeten Arbeit Wa ¼ Fs1 ¼ Fns2 . Auch hier liegen wieder zwei voneinander unabha¨ngige Gleichungen fu¨r die Zugkraft F vor, die gleichgesetzt und nach dem Wirkungsgrad hr des Rollenzuges aufgelo¨st werden ko¨nnen. Darin steht mit h der Wirkungsgrad der einzelnen Rolle, wobei zwischen fester und loser Rolle nicht unterschieden wird (hf ¼ hl ¼ h ¼ 0,96).

hr ¼

W n F G s2 F G s2 ¼ ¼ Wa Fs1 nFs2

hr ¼

F¼

FG nF

!

F¼

FG n hr

FG 1h ¼ FG n hr hð1 h n Þ

hr ¼

Wirkungsgrad hr des Rollenzuges fu¨r n tragende Seilstra¨nge h Wirkungsgrad einer Rolle

hð1 h Þ nð1 hÞ n

Die folgende Tabelle gibt Werte fu¨r den Wirkungsgrad hr in Abha¨ngigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstra¨nge an. Obere Zeile fu¨r Gleitlagerung mit h ¼ 0,96, untere Zeile fu¨r Wa¨lzlagerung mit h ¼ 0,98. n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hr

0,960

0,941

0,922

0,904

0,886

0,869

0,852

0,836

0,820

0,804

hr

0,98

0,97

0,961

0,951

0,942

0,932

0,923

0,914

0,905

0,896

3.4.10.4 bung zum Rollenzug Mit dem auf Seite 141 skizzierten Rollenzug soll ein Werkstu¨ck von 900 kg Masse auf eine Ho¨he von 7 m gehoben werden. Zu berechnen ist a) die Zugkraft F im Seil beim Heben, b) die La¨nge s1 des ablaufenden Seilstrangs

Lo¨sung: a) Die Zugkraft F beim Lastheben wird mit der Zugkraftgleichung fu¨r Rollenzu¨ge fu¨r n ¼ 4 tragende Seilstra¨nge berechnet. b) nach der Weggleichung fu¨r Rollenzu¨ge ist der Kraftweg s1 (Ablaufla¨nge) n mal so groß wie der Lastweg s2, hier also 4-mal so groß.

Gegeben: Masse m ¼ 900 kg Anzahl der tragenden Seilstra¨nge n ¼ 4 Lastweg s2 ¼ 7 m Rollenwirkungsgrad h ¼ 0,96 Gesucht: Zugkraft F, Ablaufla¨nge s1

F ¼ mg

1h hð1 h n Þ

F ¼ 900 kg 9,81 F ¼ 2 442

m 1 0,96 s2 0,96 ð1 0,964 Þ

kgm ¼ 2 442 N s2

s1 ¼ n s2 ¼ 4 7 m ¼ 28 m

143

4 Dynamik Formelzeichen und Einheiten1) m2, cm2, mm2 m s2 N N , m mm

A a R

Fla¨cheninhalt, Fla¨che Beschleunigung (at Tangentialbeschleunigung, an Normalbeschleunigung) Federrate

Di m, mm

Tra¨gheitsdurchmesser ¼ 2i

d

m, mm

Durchmesser, allgemein

E F

Energie (Ep potenzielle Energie, Ek kinetische Energie) Kraft (FT Tangentialkraft, FN Normalkraft) 1 Frequenz, Periodenfrequenz; f ¼ T Gewichtskraft (FGn Normgewichtskraft)

h

J ¼ Nm ¼ Ws N 1 s N m s2 m

i

1

i

m, mm

J k

kgm2 1

bersetzungsverha¨ltnis (bersetzung) Di Tra¨gheitsradius ¼ 2 Tra¨gheitsmoment, Zentrifugalmoment Stoßzahl

l

m, mm

La¨nge allgemein

f FG g

M Nm, Nmm m kg 1 1 ¼ s1 , ¼ min1 n s min

Fallbeschleunigung (gn Normfallbeschleunigung ¼ 9,80665 m/s2) Fallho¨he, Ho¨he allgemein

Kraftmoment, Drehmoment Masse; m0 la¨ngenbezogene Masse in kg/m Umdrehungsfrequenz, Drehzahl

P

W, kW

Leistung

t

s, min, h

r

m, mm

Radius

V

s

m, mm

Wegla¨nge

v

T

s

Periodendauer, Schwingungsdauer

W

m3, cm3, mm3 Volumen, Rauminhalt m Geschwindigkeit s J ¼ Nm ¼ Ws Arbeit

T N a, b 1 rad a ¼ 2 ¼ s2 s2 s j rad

Tra¨gheitskraft T ¼ ma Winkel allgemein

z h

Winkelbeschleunigung

r

Drehwinkel

r

m

Reibungszahl

w

1)

1

siehe Fußnote Seite 1

1 1 kg kg , dm3 m3 m, mm 1 rad ¼ ¼ s1 s s

Zeit

Anzahl der Umdrehungen Wirkungsgrad Dichte Kru¨mmungsradius Winkelgeschwindigkeit

144

4 Dynamik

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 4.1.1 Gro¨ßen und v, t-Diagramm, Ordnung der Bewegungen In der Bewegungslehre entwickelt man Gleichungen, mit denen sich die Ortsvera¨nderung von Ko¨rpern und Ko¨rperpunkten beschreiben und berechnen lassen. Die Ursache der Ortsvera¨nderung, also die einwirkenden Kra¨fte und Kraftmomente, werden in der Bewegungslehre nicht untersucht. Die Bewegungslehre wird auch als Kinematik bezeichnet.

Beispiel: Der Sto¨ßel einer Waagerecht-Stoßmaschine wird aus der Ruhelage heraus beschleunigt. Die Abmessungen aller Bauteile, die diese Bewegung in den Sto¨ßel einleiten, ha¨ngen vom Betrag der Beschleunigung ab. Folglich muss dieser Betrag berechnet werden.

Man kann La¨ngenabschnitte und Zeitabschnitte messen. Die La¨nge des Weges, den ein Ko¨rper (oder ein Punkt dieses Ko¨rpers) durchla¨uft, nennt man „Wegabschnitt“ und benutzt dafu¨r das Kurzzeichen „Ds“. Ebenso spricht man vom „Zeitabschnitt Dt“, wenn man z. B. die Anzahl Sekunden (s) angibt, die wa¨hrend der Ortsvera¨nderung vergangen sind.

Hinweis: Wege (Wegabschnitte) werden mit dem Buchstaben s bezeichnet (von lat. spatium), Zeiten (Zeitabschnitte) mit dem Buchstaben t (lat. tempus). Der griechische Buchstabe Delta (D) steht fu¨r „Differenz“, weil Weg- und Zeitabschnitte Differenzen von La¨ngen und Zeiten sind: Dt ¼ t2 t1 Ds ¼ s2 s1 Gesprochen wird „Delta-es“ und „Delta-te“, also nicht etwa „Delta mal s“.

Die Vorstellung wird klarer und das Versta¨ndnis wird erleichtert, wenn man sich immer nur auf einen Punkt des bewegten Ko¨rpers konzentriert.

Beispiel: Bei der umlaufenden Schleifscheibe beobachtet man die Bewegung eines Schleifkornes am Scheibenumfang.

Wegabschnitt Ds und Zeitabschnitt Dt sind so genannte Basisgro¨ßen; sie ko¨nnen direkt gemessen werden. Die zugeho¨rigen Einheiten sind die Basiseinheiten Meter (Kurzzeichen m) und Sekunde (Kurzzeichen s). Geschwindigkeit v (lat. velocitas) und Beschleunigung a (lat. acceleratio) sind die aus den Basisgro¨ßen abgeleiteten Gro¨ßen der Bewegung. Man unterscheidet daher Basisgro¨ßen und abgeleitete Gro¨ßen.

Zusammenstellung der Gro¨ßen der Bewegung und ihrer Einheiten: Wegabschnitt Ds

in m

Zeitabschnitt Dt

in s m in s m in 2 s

Geschwindigkeit v Beschleunigung a (Verzo¨gerung)

Beachte: Das Zeichen fu¨r Beschleunigung und Verzo¨gerung ist der Buchstabe a.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

145

Die Bewegungen eines Ko¨rperpunktes kann man zeitlich oder/und ra¨umlich ordnen. Zeitliche Ordnung (Bewegungszustand): 1. gleichfo¨rmige Bewegung, 2. ungleichfo¨rmige Bewegung (beschleunigte oder verzo¨gerte Bewegung). Ra¨umliche Ordnung (Bewegungsbahn): 1. geradlinige Bewegung, 2. krummlinige Bewegung. Spezialfall der krummlinigen Bewegung ist die Kreisbewegung (Bewegung auf einer Kreisbahn).

Beispiele: Vorschubbewegungen an Werkzeugmaschinen sind meist geradlinig gleichfo¨rmige Bewegungen. Der freie Fall ohne Luftwiderstand ist eine geradlinig ungleichfo¨rmige Bewegung (beschleunigte Bewegung).

Kennzeichen der ungleichfo¨rmigen Bewegung ist die Beschleunigung oder die Verzo¨gerung. Beim beschleunigt bewegten Ko¨rper nimmt die Geschwindigkeit fortwa¨hrend zu, beim verzo¨gert bewegten Ko¨rper nimmt sie laufend ab. Kurz sagt man: Bei der ungleichfo¨rmigen Bewegung ist immer v 6¼ konstant.

Beispiele: Freier Fall ohne Luftwiderstand ist eine gleichma¨ßig beschleunigte Bewegung, senkrechter Wurf nach oben ist eine gleichma¨ßig verzo¨gerte Bewegung. Der Sto¨ßel der Waagerecht-Stoßmaschine dagegen bewegt sich ungleichma¨ßig beschleunigt und verzo¨gert.

Von besonderer Bedeutung sind die Fa¨lle, in denen die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v in gleichen Zeitabschnitten Dt gleich groß bleibt (konstante Zu- oder Abnahme). Man spricht dann von einer gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung.

Beachte: Gleichma¨ßig beschleunigte (verzo¨gerte) Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit v 6¼ konstant (nicht konstant), die Beschleunigung (Verzo¨gerung) dagegen a ¼ konstant ist. Beispiel: freier Fall und senkrechter Wurf.

Die zeitliche Ordnung von Bewegungen la¨sst sich am besten im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm) erkennen: ber der Zeitachse t wird von links nach rechts fortschreitend die Geschwindigkeit v aufgetragen. Man unterscheidet drei Fa¨lle und benutzt als Kriterium die Vera¨nderung von Geschwindigkeit v und Beschleunigung oder Verzo¨gerung a: v ¼ konstant gleichf o¨ rmige Bewegung a¼0 v 6¼ konstant ungleichf o¨ rmige Bewegung ` a 6¼ 0 gleichm¨aßig beschleunigte v 6¼ konstant ´ a ¼ konstant ðverz¨ogerteÞ Bewegung

Ein Punkt am Umfang einer Schleifscheibe bewegt sich krummlinig gleichfo¨rmig (gleichfo¨rmig auf einer Kreisbahn). Beim Auslaufen einer Schleifscheibe bewegt sich ein Schleifkorn krummlinig ungleichfo¨rmig (verzo¨gert auf einer Kreisbahn).

v, t-Diagramm fu¨r gleichfo¨rmige und ungleichfo¨rmige Bewegung

146

4 Dynamik

4.1.2 bungen mit dem v, t-Diagramm 1. Das v, t-Diagramm fu¨r den freien Fall ohne Luftwiderstand soll skizziert werden: Der freie Fall ist eine gleichma¨ßig beschleunigte Bewegung, denn die Beschleunigung ist konstant. Sie heißt Fallbeschleunigung (g ¼ 9,81 m/s2). Die Geschwindigkeit nimmt in jeder Zeiteinheit um den gleichen Betrag Dv ¼ konstant zu. Die v-Linie ist also eine ansteigende Gerade. Der freie Fall mit Luftwiderstand wird im Abschnitt 4.1.6 behandelt (Seite 157).

2. Das v, t-Diagramm fu¨r den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand mit anschließendem freien Fall soll skizziert werden: Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verzo¨gerung ebenso groß wie die Beschleunigung wa¨hrend des freien Falls (g ¼ 9,81 m/s2), und sie bleibt auch konstant. Der senkrechte Wurf ist demnach nichts anderes als der „umgekehrt“ betrachtete freie Fall. Anfangsgeschwindigkeit v0 und Endgeschwindigkeit vt sind daher gleich groß. v0 ist die Geschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0, vt ist die Geschwindigkeit bei der Ru¨ckkehr zur Abwurfstelle. Die v-Linie schneidet die t-Achse. Von dort an hat die Geschwindigkeit entgegengesetzten Richtungssinn.

3. Das v, t-Diagramm fu¨r den senkrechten Wurf nach unten soll skizziert werden: Wie beim freien Fall (bung 1.) ist die v-Linie eine ansteigende Gerade. Da der Ko¨rper schon eine Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt, wird die Gerade um den Betrag von v0 parallel verschoben eingezeichnet. Nach dem Zeitabschnitt Dt besitzt der Ko¨rper die Endgeschwindigkeit vt , die um die Geschwindigkeitszunahme Dv ¼ vt v0 gro¨ßer ist als v0. Der Bewegungsablauf vor dem Erreichen der Anfangsgeschwindigkeit v0 wurde nicht eingetragen.

v, t-Diagramm des freien Falls (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant; g ¼ 9,81 m/s2)

Beachte: Wird nichts anderes gesagt, sollen diese Bewegungsarten ohne Luftwiderstand behandelt werden.

v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach oben mit anschließendem freiem Fall (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)

v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs nach unten (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 4. Das v, t-Diagramm der Sto¨ßelbewegung einer Waagerecht-Stoßmaschine soll skizziert werden: Der Sto¨ßel bewegt sich ungleichfo¨rmig, denn er muss erst beschleunigt und dann verzo¨gert werden (Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind null). Im Unterschied zum freien Fall ist diese ungleichfo¨rmige Bewegung jedoch nicht gleichma¨ßig beschleunigt oder verzo¨gert, sondern ungleichma¨ßig. Es ist also a 6¼ konstant. Der Gro¨ßtwert der Geschwindigkeit liegt in Hubmitte (vmax). 5. Ein Ko¨rper wird aus der Ruhelage heraus wa¨hrend Dt1 ¼ 5 s gleichma¨ßig beschleunigt und erreicht die Geschwindigkeit v ¼ 12 m/s, die er wa¨hrend Dt2 ¼ 10 s beibeha¨lt. Anschließend wird die Bewegung wa¨hrend Dt3 ¼ 2,5 s gleichma¨ßig bis zur Ruhelage verzo¨gert. Das v, t-Diagramm des Bewegungsvorganges ist maßsta¨blich zu zeichnen und daraus das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a, t-Diagramm) zu entwickeln: Im v, t-Diagramm ist die v-Linie wa¨hrend des Zeitabschnitts Dt3 steiler geneigt als wa¨hrend des Zeitabschnitts Dt1 (a2 > a1 ).

Auch wenn man die Beschleunigung a1, a3 noch nicht berechnen kann, sagt die Tatsache Dt1 ¼ 2 Dt3 , dass a3 ¼ 2a1 sein wird. Wa¨hrend des Zeitabschnitts Dt2 ist keine Beschleunigung vorhanden (a2 ¼ 0).

6. Das v, t-Diagramm fu¨r die Bewegung eines Schleifkorns soll skizziert werden, wenn die Schleifscheibe nach dem Abschalten des Antriebs gleichma¨ßig verzo¨gert ausla¨uft: Die v-Linie ist eine von v0 bis auf vt ¼ 0 abfallende Gerade. Eine Gerade deshalb, weil gleichma¨ßige Verzo¨gerung vorausgesetzt wurde. Aufgaben Nr. 400–404

147

v, t-Diagramm eines Sto¨ßelhubes der Waagerechtstoßmaschine (v 6¼ konstant; a 6¼ konstant)

v, t-Diagramm Beachte: Die v-Linien sind „idealisierte“ Kurven. Kurvenknicke als berga¨nge sind in der Praxis nicht mo¨glich.

Aus dem v, t-Diagramm entwickeltes a, t-Diagramm

v, t-Diagramm fu¨r eine auslaufende Schleifscheibe (v 6¼ konstant; a ¼ konstant)

148

4 Dynamik

4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichfo¨rmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff Die folgenden Gesetzma¨ßigkeiten gelten unabha¨ngig von der Bahn des Ko¨rperpunktes, also fu¨r geradlinige und krummlinige Bewegungen. Zur Vereinfachung stellt man sich erst einmal eine gerade Bahn vor. Man beobachtet die Bewegung des Werkzeugtra¨gers einer Drehmaschine bei eingeschaltetem La¨ngsvorschub, oder die Bewegung des Tisches einer Fra¨smaschine. Mit Bandmaß und Stoppuhr kann man feststellen, dass sich Werkzeugtra¨ger oder Tisch in gleichen Zeitabschnitten Dt immer um den gleichen Wegabschnitt Ds verschoben haben. Das ist das Kennzeichen der gleichfo¨rmigen Bewegung: Ein Ko¨rper oder Ko¨rperpunkt bewegt sich dann gleichfo¨rmig, wenn er in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten Dt immer gleiche Wegabschnitte Ds zuru¨cklegt.

Beispiel: Man kann feststellen, dass sich der Fra¨smaschinentisch nach jeweils 10 s um 30 mm verschoben hat. Der Zeitabschnitt betra¨gt Dt ¼ 10 s. Der Wegabschnitt betra¨gt Ds ¼ 30 mm.

Exakt gleichfo¨rmig ist eine Bewegung nur dann, wenn auch in beliebig kleinen Zeitabschnitten, z. B. in jeder millionstel Sekunde, die durchlaufenen Wegabschnitte gleich groß bleiben.

Dividiert man den durchlaufenen Wegabschnitt Ds durch den zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt, dann erha¨lt man die Geschwindigkeit v: Die Geschwindigkeit v eines gleichfo¨rmig bewegten Ko¨rpers ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor; mehrere Geschwindigkeiten du¨rfen also nur geometrisch addiert werden. Bewegt sich ein Ko¨rper nicht gleichfo¨rmig, erha¨lt man mit der Definitionsgleichung der Geschwindigkeit v ¼ Ds=Dt seine Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit vm .

v¼

v

Ds Dt

m/s m

s

Grundgleichung der gleichfo¨rmigen Bewegung

Beispiel: Der Sto¨ßel einer Waagerecht-Stoßmaschine durchla¨uft einen Hub von 0,6 m in 1,5 s. Dann ist vm ¼

Die Einheit fu¨r die Geschwindigkeit v ergibt sich aus ihrer Definitionsgleichung. Man braucht also nur fu¨r die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Gro¨ßen die Einheiten einzusetzen. Die Klammern sollen darauf hinweisen, dass nur die Einheit der Gro¨ße benutzt werden soll.

Ds Dt

Ds 0,6 m m m m ¼ 24 ¼ ¼ 0,4 ¼ 0,4 1 Dt 1,5 s s min min 60

ðvÞ ¼

ðsÞ Weg-Einheit ¼ ðtÞ Zeit-Einheit

Beispiele: ðvÞ ¼

ðsÞ m ðsÞ mm ¼ ¼ ms1 ; ðvÞ ¼ ¼ ðtÞ s ðtÞ min

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Die Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) sind gesetzliche Basiseinheiten. Zur Umrechnung von m/s in km/h oder umgekehrt braucht man nur 1 km ¼ 1000 m ¼ 103 m und 1 h ¼ 3 600 s ¼ 3,6 103 s einzusetzen. Umrechnungszahl fu¨r diesen Fall ist demnach 3,6.

Bewegungsabla¨ufe werden leichter u¨berschaubar, wenn man sie zeichnerisch im rechtwinkligen Achsenkreuz erfassen. Auch im einfachen Fall der gleichfo¨rmigen Bewegung erkennt man schon Gesetzma¨ßigkeiten, die spa¨ter bei der ungleichfo¨rmigen Bewegung helfen, schwierigere Aufgaben zu lo¨sen. Das gilt vor allem fu¨r das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm).

149 1

km 103 m 1 m ¼ ¼1 h 3,6 103 s 3,6 s km 1 ¼ h 3,6 m ¼ 3,6 1 s

1

m s km h

Umrechnungsbeziehung

Hinweis: Auf der waagerechten Achse tra¨gt man immer die Zeit t auf. Die vertikale Achse tra¨gt entweder den Weg s, die Geschwindigkeit v oder die Beschleunigung a: Weg-Zeit-Diagramm (s, t-Diagramm), Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm), Beschleunigung-Zeit-Diagramm (a, t-Diagramm).

Im Weg-Zeit-Diagramm erha¨lt man bei gleichfo¨rmiger Bewegung fu¨r die Weglinie eine ansteigende Gerade, weil in gleichen Zeitabschnitten (z. B. Dt ¼ 1 s) gleiche Wegabschnitte zuru¨ckgelegt werden (z. B. Ds ¼ 5 m). Eine steilere Gerade wu¨rde zeigen, dass der Ko¨rper in gleichen Zeitabschnitten Dt gro¨ßere Wegabschnitte Ds durchla¨uft, das heißt, die Geschwindigkeit v wa¨re gro¨ßer. s, t-Diagramm der gleichfo¨rmigen Bewegung

Die Weg-Linie im s, t-Diagramm ist immer die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, mit Dt und Ds als Katheten. Man erkennt: Der Tangens des Neigungswinkels a der Weg-Linie entspricht dem Zahlenwert der Geschwindigkeit v (tan a ¼ b v). Man darf nicht schreiben v ¼ tan a, sondern nur v¼ b tan a (v entspricht tan a), denn es handelt sich um Gro¨ßen verschiedener Art, wie schon die verschiedenen Einheiten zeigen. v besitzt die Einheit m/s, der Tangens eines Winkels dagegen die Einheit Eins (Verha¨ltnisgro¨ße aus zwei La¨ngen).

tan a ¼ b v¼

Ds ¼ konstant Dt

Beispiel: v1 ¼ 0,5

m ¼ b tan a1 ; a1 ¼ arctan 0,5 ¼ 26,6 s

Dieser Winkel tritt im s, t-Diagramm aber nur dann auf, wenn auf den beiden Achsen die La¨nge fu¨r eine Zeiteinheit und fu¨r eine Wegeinheit gleich ist (gleicher Maßstab).

Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erha¨lt man bei gleichfo¨rmiger Bewegung fu¨r die Geschwindigkeits-Linie eine zur t-Achse parallele Gerade, weil zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit v gleich groß ist (v ¼ konstant). Die Geschwindigkeits-Linie begrenzt mit Dt und v eine Rechteckfla¨che A, deren Inhalt sich aus dem Produkt v Dt ergibt. Das ist aber zugleich der von einem Ko¨rper mit der Geschwindigkeit v durchlaufene Weg, denn aus v ¼ Ds=Dt wird Ds ¼ v Dt:

Die Fla¨che A unter der Geschwindigkeitslinie im v, t-Diagramm entspricht dem Wegabschnitt Ds (A ¼ b Ds). Kurz: Diagrammfla¨che ¼ b Wegabschnitt.

Im Beschleunigung-Zeit-Diagramm erha¨lt man bei gleichfo¨rmiger Bewegung fu¨r die Beschleunigungslinie eine auf der t-Achse liegende Gerade, weil zu jedem Zeitpunkt die Beschleunigung a ¼ 0 ist. Das muss so sein, weil v ¼ konstant voraussetzt, dass sich der Ko¨rper weder beschleunigt noch verzo¨gert. Das a, t-Diagramm hat daher nur bei beschleunigter (verzo¨gerter) Bewegung Bedeutung.

4 Dynamik

Geschwindigkeit v in m/s

150

Geschwindigkeits-Linie

5 4 3

Fläche A = v Dt = Weg Ds

2

v

1 0 0

1

2

3 4 Zeit t in s

5

Dt

v, t-Diagramm der gleichfo¨rmigen Bewegung

Fl¨ache A ¼ b Weg Ds ¼ v Dt Beachte: Fla¨che A ¼ b Wegabschnitt Ds gilt immer. Daher skizziert man grundsa¨tzlich zuerst das v, t-Diagramm fu¨r den Bewegungsvorgang.

a, t-Diagramm der gleichfo¨rmigen Bewegung

Aufgaben Nr. 405–416

4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff Wird ein Ko¨rper beschleunigt oder verzo¨gert (Auto beim Anfahren oder Bremsen), dann a¨ndert sich seine Geschwindigkeit. Es ist also v 6¼ konstant, im Gegensatz zur gleichfo¨rmigen Bewegung. Daher darf man nicht mit v ¼ Ds=Dt rechnen, weil man damit nur die „gedachte“ mittlere Geschwindigkeit erha¨lt (Durchschnittsgeschwindigkeit). In Anlehnung an die Definition der gleichfo¨rmigen Bewegung muss hier gesagt werden:

Beachte: Die gleichma¨ßig beschleunigte oder verzo¨gerte Bewegung ist der wichtigste Sonderfall der ungleichfo¨rmigen Bewegung. Da die folgenden Gesetze sowohl fu¨r die beschleunigte als auch fu¨r die verzo¨gerte Bewegung gelten, spricht man im allgemeinen Fall nur von einer beschleunigten Bewegung.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

Ein Ko¨rper oder Ko¨rperpunkt bewegt sich dann ungleichfo¨rmig, wenn er in gleichen beliebig kleinen Zeitabschnitten Dt ungleiche Wegabschnitte Ds zuru¨cklegt. v ¼ Ds=Dt ergibt nur die mittlere Geschwindigkeit.

Ein anschauliches Beispiel einer ungleichfo¨rmigen Bewegung ist neben der Bewegung des Sto¨ßels der Waagerecht-Stoßmaschine die Bewegung des Kolbens im Zylinder des Verbrennungsmotors. Beide Bewegungen sind sogar noch ungleichma¨ßig beschleunigt und verzo¨gert. In gleichen Zeitabschnitten, gekennzeichnet durch den gleichfo¨rmig umlaufenden Kurbelzapfen, legt der Kolben in der Na¨he der Totpunkte nur kleine Wegabschnitte zuru¨ck. Dazwischen legt der Kolben in gleichen Zeitabschnitten gro¨ßere Wegabschnitte zuru¨ck. An den Umkehrpunkten (Totpunkten) steht der Kolben einen Augenblick still, seine Geschwindigkeit ist dann null.

Kennzeichen der beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung (der ungleichfo¨rmigen Bewegung) ist die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v, also eine Geschwindigkeitsa¨nderung Dv.

Ist die Bewegung gleichma¨ßig beschleunigt (verzo¨gert), dann ist die Geschwindigkeitsa¨nderung gleichbleibend (Dv ¼ konstant). Daher muss die Geschwindigkeitslinie im v, t-Diagramm eine ansteigende oder abfallende Gerade sein. Wird ein Ko¨rper aus der Ruhelage heraus gleichma¨ßig beschleunigt, so dass er nach Dt ¼ 6 s eine Momentangeschwindigkeit vt ¼ 9 m=s besitzt, dann betra¨gt seine Geschwindigkeitszunahme in jeder Sekunde Dv ¼ 1,5 m=s.

151 Anna¨hernd genau erha¨lt man die „Momentangeschwindigkeit v“, wenn man den Wegabschnitt Ds fu¨r einen außerordentlich kleinen Zeitabschnitt Dt misst. Zum Beispiel ist fu¨r Ds ¼ 5 106 m und Dt ¼ 2 106 s: v¼

Ds 5 106 m m ¼ ¼ 2,5 Dt 2 106 s s

Bewegung des Kolbens im Zylinder

Wie Ds und Dt ist auch Dv eine Differenz, na¨mlich die Differenz zweier Momentangeschwindigkeiten, z. B. Dv ¼ v2 v1 oder Dv ¼ vt v0 .

Beschleunigungsbegriff, dargestellt im v, t-Diagramm

152

4 Dynamik

Offenbar ist der Quotient aus der Geschwindigkeitszunahme und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt ein Maß dafu¨r, wie schnell eine bestimmte Momentangeschwindigkeit erreicht wird:

In jedem v, t-Diagramm entspricht die Fla¨che A unter der Geschwindigkeitslinie dem Wegabschnitt Ds (A ¼ b Ds). Mit dieser Erkenntnis kann man nun einen Lo¨sungsplan entwickeln, der alle zur Lo¨sung erforderlichen Gleichungen liefert.

Geschwindigkeits¨anderung Dv zugeh¨origer Zeitabschnitt Dt

a¼

Dv Dt

a

Dv

Dt

m s2

m s

s

Grundgleichung der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Bewegung

a, t-Diagramm der gleichma¨ßig beschleunigten Bewegung m ðvÞ m ðaÞ ¼ ¼ s ¼ 2 ¼ ms2 s ðtÞ s

v

vt = 2 vm

Gleichma¨ßig beschleunigt oder verzo¨gert heißt, dass die Beschleunigung oder Verzo¨gerung konstant bleibt (a ¼ konstant). Im a, t-Diagramm muss die Beschleunigungslinie eine zur t-Achse parallele Gerade sein, so wie die Geschwindigkeitslinie im v, t-Diagramm bei gleichfo¨rmiger Bewegung. Die Einheit fu¨r die Beschleunigung a ergibt sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung fu¨r die Gro¨ße. Mit den gesetzlichen Basiseinheiten Meter (m) und Sekunde (s) erha¨lt man als Einheit das „Meter je Sekundequadrat“. Man mo¨chte nun nachweisen, dass im Hinblick auf die Fla¨che unter der Geschwindigkeits-Linie im v, t-Diagramm das Gleiche gilt wie fu¨r die gleichfo¨rmige Bewegung: Die Geschwindigkeit v a¨ndert sich von v0 ¼ 0 am Anfang, auf vt am Ende des Zeitabschnittes Dt. Weil die Geschwindigkeitsa¨nderung konstant ist, ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit zu vm ¼ ðv0 þ vt Þ=2 ¼ vt =2, und der zuru¨ckgelegte Weg zu Ds ¼ vm Dt ¼ vt Dt=2. Das entspricht aber auch dem Fla¨cheninhalt der Dreiecksfla¨che unter der v-Linie:

a¼

A = Ds = v0 = 0 0

v0 + vt 2

Dt

vm

Die Beschleunigung a eines gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Ko¨rpers ist der Quotient aus der Geschwindigkeitsa¨nderung Dv und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt. Die Beschleunigung ist ein Vektor; mehrere Beschleunigungen du¨rfen also nur geometrisch addiert werden.

Dt

Mittlere Geschwindigkeit vm

Fl¨ache A ¼ b Weg Ds Gilt fu¨r jede Bewegung Beachte: Man braucht nur die Grundgleichung a ¼ Dv=Dt im Kopf zu haben; alle anderen Gleichungen ko¨nnen aus dem v, t-Diagramm abgelesen werden.

t

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

153

v; t-Diagramm aufzeichnen Man muss sich klar sein, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigende v-Linie) oder verzo¨gert ist (fallende v-Linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verla¨uft. Danach skizziert man das v, t-Diagramm (unmaßsta¨blich). Als Beispiel betrachtet man eine gleichma¨ßig beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit (v0 6¼ 0).

Dv

v-Lin

v0

4.1.5 Arbeitsplan zur gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung

A = Ds =

Grundgleichung aufstellen Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung fu¨r die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt. Auch die erweiterte Form mit den speziellen Bezeichnungen aus dem v, t-Diagramm wird aufgeschrieben: hier also mit Dv ¼ vt v0 .

Dv vt v0 ¼ a¼ Dt Dt

Weggleichungen aufstellen Man weiß, dass die Fla¨che A unter der v-Linie dem Wegabschnitt Ds entspricht. Je nach Fla¨chenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen fu¨r Ds, zuna¨chst ohne Ru¨cksicht darauf, ob fu¨r die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht werden: In der Praxis muss man ha¨ufig alle Gro¨ßen der Bewegung bestimmen.

1. Schritt v

0

v0 + vt Dt 2

1)

t

Dt

2. Schritt

3. Schritt v0 þ vt Dt (Trapezfla¨che) 2 Dv Dt Ds ¼ v0 Dt þ ; Dv ¼ vt v0 2 (Rechteckfla¨che þ Dreieckfla¨che) Ds ¼

Dv Dt ; Dv ¼ vt v0 2 (Rechteckfla¨che Dreieckfla¨che)

Ds ¼ vt Dt

Gleichungen auswerten Grundgleichung und Weggleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es genu¨gen dann meistens die Grundgleichung und eine der Weggleichungen zur Lo¨sung. Hier nimmt man an, es sei Dt ¼ f ðv0 , a, DsÞ1) gesucht, also v0 , a, Ds gegeben und der Zeitabschnitt Dt die gesuchte Gro¨ße. Benutzt man die Gleichsetzungsmethode, kann man sowohl die Grundgleichung als auch die erste Weggleichung nach vt auflo¨sen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erha¨lt man eine gemischt-quadratische Gleichung.

vt

ie

4. Schritt vt v0 a¼ ) vt ¼ v0 þ a Dt (Grundgleichung) Dt v0 þ vt 2 Ds Dt ) vt ¼ v0 Ds ¼ 2 Dt (erste Weggleichung) 2 Ds v0 þ a Dt ¼ v0 Dt 2v0 2Ds Dt ðDtÞ2 þ ¼0 a a ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ r v0 v0 2 2 Ds þ Dt1;2 ¼ a a a Dt ¼ f ðv0 , a, DsÞ 1)

Die Schreibweise Dt ¼ f ðv0 , a, DsÞ heißt: Dt ist eine Funktion von v0 , a, Ds ðist abha¨ngig von v0 , a, DsÞ

154

4 Dynamik

Tabelle 4.1 Gleichma¨ßig beschleunigte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch fu¨r den freien Fall ohne Luftwiderstand: Fu¨r die Beschleunigung a wird die Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2 eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung betra¨gt gn ¼ 9,80665 m/s2. Alle Aufgaben des Buches wurden mit g ¼ 9,81 m/s2 gerechnet. v

0

Ds

Dt

v0 , vt

a, g

m

s

m s

m s2

inie

0

t

Δt

Δs =

v0

vt Δt 2

Beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (v0 ¼ 0)

Beschleunigung a (Definition)

a¼

Geschwindigkeitszunahme Dv m in 2 Zeitabschnitt Dt s

Beschleunigung a (bei v0 ¼ 0)

a¼

vt vt 2 2 Ds ¼ ¼ Dt 2 Ds ðDtÞ2

Beschleunigung a (bei v0 6¼ 0)

a¼

vt v0 vt 2 v0 2 ¼ Dt 2 Ds

Endgeschwindigkeit vt (bei v0 ¼ 0)

vt ¼ a Dt ¼

Endgeschwindigkeit vt (bei v0 6¼ 0)

vt ¼ v0 þ Dv ¼ v0 þ a Dt pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vt ¼ v0 2 þ 2a Ds

Wegabschnitt Ds (bei v0 ¼ 0)

Ds ¼

vt Dt aðDtÞ2 vt 2 ¼ ¼ 2 2a 2

Wegabschnitt Ds (bei v0 6¼ 0)

Ds ¼

v0 þ vt aðDtÞ2 Dt ¼ v0 Dt þ 2 2

Ds ¼

vt 2 v0 2 2a

Zeitabschnitt Dt (bei v0 ¼ 0)

Dt ¼

vt ¼ a

Zeitabschnitt Dt (bei v0 6¼ 0)

Dt ¼

vt v0 v0 ¼ a a

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2a Ds

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 Ds a rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 2 2 Ds 0 þ a a

v0 + vt Δt 2 Δt

vt

v

Δs =

Einheiten

e

ni

i -L

v-L

Δv

v

vt

Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v, t-Diagramme

t

Beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (v0 6¼ 0)

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

155

Tabelle 4.2 Gleichma¨ßig verzo¨gerte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch fu¨r den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand: Fu¨r die Verzo¨gerung a wird die Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2 eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung betra¨gt gn ¼ 9,80665 m/s2. Alle Aufgaben des Buches wurden mit g ¼ 9,81 m/s2 gerechnet. v

v

Einheiten Dt

v0 , vt

a, g

m

s

m s

m s2

2

t

0

verzo¨gerte Bewegung ohne Endgeschwindigkeit (vt ¼ 0)

Verzo¨gerung a (Definition)

a¼

Geschwindigkeitsabnahme Dv m in 2 Zeitabschnitt Dt s

Verzo¨gerung a (bei vt ¼ 0)

a¼

v0 v0 2 2 Ds ¼ ¼ Dt 2 Ds ðDtÞ2

Verzo¨gerung a (bei vt 6¼ 0)

v0 vt v0 2 vt 2 ¼ Dt 2 Ds pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 ¼ a Dt ¼ 2a Ds

Anfangsgeschwindigkeit v0 (bei vt ¼ 0)

a¼

Endgeschwindigkeit vt

vt ¼ v0 Dv ¼ v0 a Dt pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vt ¼ v0 2 2a Ds

Wegabschnitt Ds (bei vt ¼ 0)

Ds ¼

v0 Dt aðDtÞ2 v0 2 ¼ ¼ 2 2 2a

Ds ¼

v0 þ vt aðDtÞ2 Dt ¼ v0 Dt 2 2

Wegabschnitt Ds (bei vt 6¼ 0)

Zeitabschnitt Dt (bei vt ¼ 0)

v0 2 vt 2 2a rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 2 Ds Dt ¼ ¼ a a

Zeitabschnitt Dt (bei vt 6¼ 0)

Dt ¼

Ds ¼

v0 vt v0 ¼ a a

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 2 2 Ds 0 a a

Δv

Δs =

v0 Δt

Δt

0

Ds

v0

v0 Δs =

inie

v0 + vt Δt 2

vt

v-L e ni Li v-

Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v, t-Diagramme

Δt

t

verzo¨gerte Bewegung mit Endgeschwindigkeit (vt 6¼ 0)

156

4 Dynamik

Lehrbeispiele: v,t-Diagramm

v

Δs = 20 m Wa ge nA

v2

v1

Zwei Wagen A und B fahren mit einer Geschwindigkeit von 75 km/h im Abstand von 20 m hintereinander. Der vordere Wagen A bremst plo¨tzlich mit einer Verzo¨gerung von 3,5 m/s2.

Δv

Wagen B

Aufgabenstellung:

Wie viele Sekunden nach dem Bremsen von A fa¨hrt B auf? Wie groß ist dann die Geschwindigkeit des Wagens A?

Δt

t

Lo¨sung: Das v, t -Diagramm zeigt die Bewegungen als Geraden. Die Fla¨chen darunter entsprechen den zuru¨ckgelegten Wegen. Im Zeitpunkt t des Einholens hat B einen 20 m la¨ngeren Weg als A zuru¨ckgelegt, dann ist der Abstand auf null gesunken. Diesem Weg Ds ¼ 20 m entspricht die schraffierte Diagrammfla¨che. Ds ¼

Dv Dt 2

a¼

Dv ) Dv ¼ a Dt eingesetzt Dt

a Dt Dt aðDtÞ2 ¼ 2 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u 2 Ds u2 20 m pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 Dt ¼ ¼t m ¼ 11,43 s ¼ 3,38 s a 3,5 2 s Ds ¼

v2 ¼ v1 a Dt ¼ 20,83

m m m km 3,5 2 3,38 s ¼ 9,0 ¼ 32,4 s s s h v

Δt

Aufgabenstellung: en

ag W

A

Δs=5m

v

ag W en B

Zwei Wagen A und B fahren im Abstand von 5 m mit der gleichen Geschwindigkeit von 36 km/h hintereinander. Der vordere Wagen A bremst plo¨tzlich. Wie groß darf die Reaktionszeit Dt beim Fahrer des Wagens B ho¨chstens sein, damit er nicht auffa¨hrt? Die Bremsverzo¨gerung ist fu¨r beide Wagen gleich.

Δt

t

Lo¨sung: Das v , t-Diagramm zeigt, dass B bis zum Stillstand einen la¨ngeren Weg zuru¨cklegt als A. Der Unterschied darf nicht mehr als 5 m betragen. Dieser Wegdifferenz Ds ¼ 5 m entspricht die schraffierte Diagrammfla¨che. Ds ¼ v Dt ¼ 5 m Dt ¼

Ds 5m ¼ m ¼ 0,5 s v 10 s

Der Betrag der Bremsverzo¨gerung hat keinen Einfluss auf die Gro¨ße der schraffierten Fla¨che und damit auch nicht auf die Reaktionszeit Dt , solange fu¨r beide Wagen die Bremsverzo¨gerung gleich groß ist.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

157

4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand Bei der Behandlung des freien Falls im Unterricht tritt immer die Frage auf, welchen Einfluss der Luftwiderstand auf den Bewegungsablauf hat. Bislang war es kaum u¨blich, neben den physikalischen (Widerstandsbeiwert, Geschwindigkeit) auch die mathematischen Zusammenha¨nge na¨her zu erla¨utern und Berechnungen durchzufu¨hren. Mit den Rechnern lassen sich heute die Berechnungsgleichungen leicht auswerten. Aus diesem Grund wird der freie Fall mit Luftwiderstand ausfu¨hrlicher behandelt.

4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand Fa¨llt ein Ko¨rper im Vakuum frei abwa¨rts, z. B. in einer luftleer gepumpten Glasro¨hre, dann wirkt auf ihn allein die Schwerkraft FG (Gewichtskraft). Alle Ko¨rper fallen dann gleich schnell. Sie werden mit der Fallbeschleunigung g gleichma¨ßig beschleunigt, beim senkrechten Wurf nach oben mit g gleichma¨ßig verzo¨gert.

Beachte: Die Fallbeschleunigung g wird mit zunehmendem Abstand des Ko¨rpers vom Erdmittelpunkt kleiner. In Erdna¨he gilt die Normfallbeschleunigung g ¼ 9,80665 m/s2. In der Technik wird mit g ¼ 9,81 m/s2 gerechnet.

Fu¨r den freien Fall und fu¨r den senkrechten Wurf gelten die Gesetze der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Bewegung und damit auch die Gleichungen und v, t-Diagramme in den Tabellen 4.1 und 4.2 (Seite 154, 155).

Beispiel: Fu¨r die Endgeschwindigkeit vt eines frei fallenden Ko¨rpers gilt nach Tabelle 4.1 mit a ¼ g: vt ¼ g Dt (Dt Zeitabschnitt)

4.1.6.2 Luftwiderstand Fw Auf jeden in ruhender Luft bewegten Ko¨rper, z. B. auf ein fahrendes Auto, wirkt unter anderem auch der Luftwiderstand Fw bremsend.

Versuche haben ergeben, dass der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit v des Ko¨rpers wa¨chst. Er nimmt linear zu mit der Luftdichte rL und mit dem Anstro¨mquerschnitt Ap des Ko¨rpers (Projektionsfla¨che). Außerdem beeinflusst die Ko¨rperform den Luftwiderstand. Dieser Einfluss wird durch den Luftwiderstandsbeiwert cw beru¨cksichtigt.

Fw ¼

cw rL Ap 2 v 2

Luftwiderstand

Beispiele fu¨r den Luftwiderstandsbeiwert: cw ¼ 0,2 fu¨r Kugeln cw ¼ 0,3 . . . 0,4 fu¨r Pkw Dichte rL ¼ 1,19 kg/m3 bei 20 C und Luftdruck 1000 mbar.

158

4 Dynamik

4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand Auf den frei fallenden Ko¨rper wirkt die Gewichtskraft FG lotrecht nach unten. Entgegengesetzt dazu wirkt der Luftwiderstand Fw. Dadurch verringert sich die Geschwindigkeitszunahme des Ko¨rpers immer mehr, bis der Gleichgewichtszustand mit Fw ¼ FG erreicht ist und die Geschwindigkeit v ¼ konstant bleibt. Der Ko¨rper hat dann die stationa¨re Sinkgeschwindigkeit vs erreicht.

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbetrachtungen nach d’Alembert (siehe Seite 195) findet man eine Gleichung fu¨r den momentanen Bewegungszustand des fallenden Ko¨rpers im beliebigen Zeitpunkt (t). Solange der Ko¨rper beschleunigt fa¨llt (a > 0), wirkt in Richtung des Luftwiderstandes Fw auch die d’Alembert’sche Tra¨gheitskraft T. Es gilt die Gleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 unter Einschluss der Tra¨gheitskraft T ¼ ma.

Aus Gleichung (2) la¨sst sich u¨ber eine Differenzialgleichung eine Berechnungsgleichung fu¨r den Betrag der Momentangeschwindigkeit vðtÞ im Zeitpunkt (t) entwickeln.

Mit dieser Gleichung (3) kann fu¨r beliebige Zeiten t die Momentangeschwindigkeit vðtÞ berechnet werden. Die in Gleichung (3) enthaltene stationa¨re Sinkgeschwindigkeit vs hat man vorher mit Gleichung (1) ermittelt. Wie vs ist auch die Gro¨ße ts eine Konstante. Sie ist abha¨ngig von der Masse m, dem Luftwiderstandsbeiwert cw, der Luftdichte rL , der Projektionsfla¨che Ap und der Fallbeschleunigung g. Gleichung (4) wurde nur zu dem Zweck aufgestellt, die Berechnung von vðtÞ zu vereinfachen. Man bezeichnet ts als Zeitkonstante, weil sie die Zeiteinheit Sekunde hat, wie eine Einheitenprobe zeigt.

FG ¼ Fw cw rL Ap 2 vs mg ¼ 2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2mg vs ¼ cw rL Ap

(1)

Stationa¨re Sinkgeschwindigkeit vs

m

g

rL

Ap

cw

m s

kg

m s2

kg m3

m2

1

Nach d’Alembert freigemachter Ko¨rper beim Fallen. vðtÞ ist die Fallgeschwindigkeit im Zeitpunkt (t). S Fy ¼ 0 ! T þ Fw FG ¼ 0; T ¼ ma ma þ Fw mg ¼ 0j: m aþ

Fw g¼0 m

(2)

t ts

(3)

vðtÞ ¼ vs tan h

Momentangeschwindigkeit

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2m ts ¼ cw rL Ap g

(4)

vðtÞ, vs

t, ts

m s

s

Zeitkonstante

ts

m

cw

rL

Ap

g

s

kg

1

kg m3

m2

m s2

Beachte: Bei der Auswertung der Gleichungen (3) und (5) wird vorausgesetzt, dass die Luftdichte rL und die Fallbeschleunigung g wa¨hrend des Bewegungsablaufs konstant bleiben.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Gleichung (3) la¨sst sich mit dem Rechner leicht auswerten, wenn vorher die Konstanten vs (Sinkgeschwindigkeit) und ts berechnet wurden. Neu ist die Hyperbelfunktion tanh (Tangens Hyperbolicus). Aber man braucht den Hyperbelfunktionswert nur genauso zu behandeln wie die Kreisfunktionswerte sin, cos und tan. Der Taschenrechner hat dazu die Taste „hyp“.

Mit Hilfe der ho¨heren Mathematik kann aus Gleichung (3) eine Gleichung fu¨r die vom fallenden Ko¨rper zuru¨ckgelegte Wegstrecke sðtÞ entwickelt werden (Gleichung (5)). Darin ist ln cosh der natu¨rliche Logarithmus der Hyperbelfunktion cosh.

159 Beispiel: Fu¨r einen Winkel von 30 sind mit dem Taschenrechner die Funktionswerte tan und tanh zu ermitteln. Lo¨sung: Man stellt den Rechner auf den RAD-Modus ein (Bogenmaß). Dann ergibt tan ð30 p=180Þ ¼ 0,57735 tanh ð30 p=180Þ ¼ 0,48047

sðtÞ ¼ vs ts ln cosh

vð2Þ ¼ 17,04 m=s vð4Þ ¼ 25,2 m=s vð6Þ ¼ 27,77 m=s

(5)

Momentanwegstrecke sðtÞ vs m

Zum Abschluss der Untersuchungen des freien Falls mit Luftwiderstand werden die Gleichungen (3) und (5) ausgewertet und die Graphen vðtÞ und sðtÞ konstruiert und diskutiert. Man rechnet mit dem Taschenrechner oder schreibt ein einfaches PC-Programm. Damit ist dann auch das Zeichnen der Graphen mo¨glich. Kontrollwerte:

t ts

m s

t, ts s

Gegeben: Zeitabschnitte Masse Luftwiderstandsbeiwert Luftdichte Projektionsfla¨che Fallbeschleunigung

t ¼ 0 . . . 10 s m ¼ 1 kg cw ¼ 0,2 (Kugel) rL ¼ 1,19 kg/m3 Ap ¼ 0,1 m2 g ¼ 9,81 m/s2

sð2Þ ¼ 18,3 m sð4Þ ¼ 61,9 m sð6Þ ¼ 115,4 m

Das Diagramm entha¨lt neben den Kurven vðtÞ und sðtÞ auch den Graphen fu¨r den freien Fall im Vakuum. Dieser Graph vðtÞ ¼ g t ist eine ansteigende Gerade (siehe Seite 154). Am Graphen vðtÞ fu¨r den freien Fall unter Beru¨cksichtigung des Luftwiderstandes sieht man, dass mit der Zeit t der Geschwindigkeitszuwachs laufend kleiner wird, bis die stationa¨re Sinkgeschwindigkeit vs ¼ 28,7 m/s erreicht ist. Beim Graphen vðtÞ ¼ g t dagegen bleibt der Geschwindigkeitszuwachs konstant Dv ¼ g ¼ 9,81 m=s2 .

Graphen vðtÞ und sðtÞ fu¨r den freien Fall

160

4 Dynamik

4.1.7 bungen zur gleichma¨ßig beschleunigten und verzo¨gerten Bewegung Es muss konsequent nach dem vorher erarbeiteten Lo¨sungsplan vorgegangen werden, auch wenn es in einigen Fa¨llen nicht notwendig erscheint.

Lo¨sung: Die v-Linie im skizzierten v, t-Diagramm ist eine von v0 ¼ Dv abfallende Gerade. Mit v0 und Dt begrenzt sie eine Dreieckfla¨che, die dem Bremsweg Ds entspricht.

Gegeben: v0 ¼ 100 a¼6

km 100 m m ¼ ¼ 27,78 h 3,6 s s

m s2

Gesucht: Ds ¼ f ðv0 ; aÞ

v

1. Schritt

v0 = Dv

1. bung: Ein Auto wird aus der Geschwindigkeit v0 ¼ 100 km/h gleichma¨ßig bis zum Stillstand abgebremst. Die Bremsverzo¨gerung soll a ¼ 6 m/s2 betragen (Notbremsung). Es ist eine Gleichung fu¨r den Bremsweg Ds zu entwickeln und daraus Ds zu berechnen.

A = Ds 0

Dt

Die Grundgleichung wird in allgemeiner und spezieller Form aufgeschrieben.

a¼

Dv v0 ¼ Dt Dt

2. Schritt

Die Weggleichung wird aus dem v, t-Diagramm abgelesen (Dreieckfla¨che).

Ds ¼

v0 Dt 2

3. Schritt

Zum Schluss entwickelt man mit Hilfe der Einsetzungsmethode aus Grund- und Weggleichung die gesuchte Beziehung Ds ¼ f ðv0 ; aÞ und berechnet daraus den Bremsweg Ds. Die Gleichung fu¨r Ds steht auch in Tabelle 4.2 (Seite 155). Die Einheit der gesuchten Gro¨ße ergibt sich aus den Einheiten der gegebenen Gro¨ßen.

In vielen Fa¨llen kommt es in der Technik nicht nur auf den Betrag einer Gro¨ße an, sondern man will auch wissen, in welcher Weise die beteiligten Gro¨ßen voneinander abha¨ngen.

t

v0 v0 ) Dt ¼ 4. Schritt Dt a v0 v0 Dt v0 a v0 2 ¼ ¼ Ds ¼ 2 2 2a m2 27,78 v0 2 s Ds ¼ ¼ m ¼ 64,3 m 2a 26 2 s Ds ¼ f ðv0 ; aÞ a¼

Beispiel: Die Beziehung Ds ¼ f ðv0 ; aÞ sagt aus: Der Bremsweg fu¨r Autos wa¨chst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

Lo¨sung: In das v, t-Diagramm wird eingetragen: Eine ansteigende Gerade u¨ber dem Zeitabschnitt Dt1 , daran anschließend die zur t-Achse parallele v-Linie u¨ber Dt2 und abschließend die fallende Gerade u¨ber Dt3.

Dann stellt man die Grundgleichungen fu¨r alle drei Bewegungsabschnitte auf.

Die von den v-Linien begrenzte Gesamtfla¨che wird in drei Teilfla¨chen zerlegt:

Gegeben: Dt1 ¼ 5 s Dt2 ¼ 50 s Dt3 ¼ 4 s km 40 m m ¼ ¼ 11,11 Dv ¼ 40 h 3,6 s s Gesucht: Ds ¼ f ðDt1 ; Dt2 ; Dt3 ; DvÞ

v

1. Schritt Dv

2. bung: Ein Fahrzeug beschleunigt in 5 s auf 40 km/h, fa¨hrt dann 50 s lang mit dieser Geschwindigkeit und bremst in 4 s bis zum Stillstand. Es ist der Gesamtweg fu¨r diesen Bewegungsvorgang zu bestimmen.

161

0

A1

A2

A3

Dt1

Dt2

Dt3

a1 ¼

t

Dv Dv ; a2 ¼ 0; a3 ¼ Dt1 Dt3

3. Schritt

A2 ¼ b Weg Ds2 mit Dv ¼ konstant (Rechteck),

Dv Dt1 (Dreieckfla¨che) 2 Ds2 ¼ Dv Dt2 (Rechteckfla¨che)

A3 ¼ b Verzo¨gerungsweg Ds3 (Dreieck).

Ds3 ¼

A1 ¼ b Beschleunigungsweg Ds1 (Dreieck),

2. Schritt

Ds1 ¼

Dv Dt3 (Dreieckfla¨che) 2 4. Schritt

Damit hat man die Weggleichungen und auch die gesuchte Bestimmungsgleichtung fu¨r Ds. Nun kann der Gesamtweg berechnet werden.

Auch wenn nicht alle Grundgleichungen gebraucht werden, schreibt man sie auf, denn die Aufgabenstellungen in der Praxis sind immer umfangreicher, als das hier darzustellen mo¨glich ist. Meistens wird man fu¨r alle Gro¨ßen Gleichungen entwickeln mu¨ssen.

Ds ¼ Ds1 þ Ds2 þ Ds3 Ds ¼

Dv Dt1 Dv Dt3 þ Dv Dt2 þ 2 2

Ds ¼ Dv

Dt1 Dt3 þ Dt2 þ 2 2

Ds ¼ f ðDt1 ; Dt2 ; Dt3 ; DvÞ m Ds ¼ 11,11 ð2,5 s þ 50 s þ 2 sÞ s Ds ¼ 605,5 m

162

Lo¨sung: Die Gesamtzeit Dt setzt sich zusammen aus der Reaktionszeit DtR und der Verzo¨gerungszeit DtV . Entsprechend ist der Gesamtweg Ds ¼ DsR þ DsV . Dabei muss man beachten, dass wa¨hrend der Reaktionszeit DtR die Geschwindigkeit v konstant bleibt. DsR entspricht einer Rechteckfla¨che, DsV der Dreiecksfla¨che. Das bedeutet auch, dass man in die Grundgleichung den Zeitabschnitt DtV einsetzen muss.

km m ¼ 33,33 h s

v ¼ 120

Gegeben:

a¼5

m s2

Ds ¼ 160 m Gesucht:

DtR ¼ f ðv, a, DsÞ DsR ¼ f ðv, a, DsÞ

v

1. Schritt

v

3. bung: Ein Autofahrer fa¨hrt mit 120 km/h. Er sieht ein Hindernis, bremst nach kurzer Reaktionszeit mit einer Verzo¨gerung von 5 m/s2 und kommt 160 m nach dem Erblicken des Hindernisses zum Stehen. Gesucht werden die Reaktionszeit DtR (vom Wahrnehmen des Hindernisses bis zum Ansprechen der Bremse) und der dabei durchfahrene Weg DsR .

4 Dynamik

DsR 0

DsV

DtR

a ¼

DtV

t

Dv v ¼ Dt DtV

2. Schritt

Ds ¼ DsR þ DsV

Im 4. Schritt wird wieder die Gleichsetzungsmethode angewandt, indem die Grundgleichung und die Weggleichung nach DtV aufgelo¨st und die erhaltenen Ausdru¨cke gleichgesetzt werden. Daraus erha¨lt man DtR ¼ f ðv, a, DsÞ.

a¼

3. Schritt

v DtV 2

Ds ¼ v DtR þ

v v ) DtV ¼ DtV a

Ds ¼ v DtR þ DtR ¼

4. Schritt

v DtV 2ðDs v DtR Þ ) DtV ¼ v 2

2a Ds v2 2av

DtR ¼ 1,467 s

DtR ¼ f ðv; a; DsÞ

Die Bestimmungsgleichung fu¨r DsR entwickelt man wieder aus Grund- und Weggleichung, benutzt also nicht den vorher berechneten Wert fu¨r DtR , um DsR ¼ v DtR zu berechnen. Nur mit der Bestimmungsgleichung DsR ¼ f ðv, a, DsÞ hat man einen berblick u¨ber die gegenseitigen Abha¨ngigkeiten zwischen den gegebenen Gro¨ßen und dem Reaktionsweg. Man bekommt damit auch die Mo¨glichkeit, eine echte Probe vorzunehmen.

Auf gleiche Weise ergibt sich fu¨r DsR ¼ Ds

v2 2a

DsR ¼ 48,9 m

DsR ¼ f ðv, a, DsÞ

Probe: DsR ¼ v DtR ¼ 33,33

m 1,467 s ¼ 48,9 m s

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

Gesucht:

m a ¼ g ¼ 9,81 2 s m vs ¼ 333 ; Dt ¼ 5,3 s s h ¼ f ðDt; vs ; gÞ

1. Schritt Höreindruck

v

vs

Lo¨sung: Man unterteilt die Gesamtzeit Dt vom Fallbeginn bis zum Ho¨reindruck in die Fallzeit Dtf und die Schallzeit Dts . Wa¨hrend der Fallzeit Dtf ist die v-Linie eine von 0 bis ve ansteigende Gerade (freier Fall mit Aufschlaggeschwindigkeit ¼ Endgeschwindigkeit ve ). Da der Schall mit konstanter Geschwindigkeit vs nach oben steigt, verla¨uft die v-Linie wa¨hrend der Schallzeit Dts waagerecht (gleichfo¨rmige Bewegung). Stein und Schall mu¨ssen den gleichen Weg zuru¨cklegen:

Gegeben:

Aufschlag

A2 = Dss

ve = g Dtf

4. bung: Von einem Turm wird ein Stein fallen gelassen. Der Aufschlag des Steines auf den Boden wird oben nach Dt ¼ 5,3 s geho¨rt. Die als konstant angenommene Schallgeschwindigkeit in der Luft betra¨gt vs ¼ 333 m/s. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Turmho¨he h ¼ f ðDt; vs ; gÞ entwickelt und damit h berechnet werden.

163

0

A1 = Dsf Dts

Dtf

t

Dt

Turmho¨he h ¼ Fallweg Dsf ¼ Schallweg Dss . Im v, t-Diagramm muss demnach die Dreieckfla¨che A1 gleich der Rechteckfla¨che A2 sein. In den Nenner der Grundgleichung wird aus der Bedingung Dt ¼ Dtf þ Dts ) Dtf ¼ Dt Dts eingesetzt. Die Weggleichung fu¨r die Turmho¨he h findet man aus der Dreieckfla¨che A1 ¼ b ve Dtf =2 und der Rechteckfla¨che A2 ¼ b vs Dts . Beide Fla¨chen sind gleich groß. Grund- und Weggleichung lo¨st man nach der Endgeschwindigkeit ve auf und setzt die gefundenen Ausdru¨cke gleich. Aus der zweiten Weggleichung (h ¼ vs Dts ) setzt man fu¨r die Schallzeit Dts ¼ h=vs und schreibt den Klammerausdruck ðDt h=vs Þ2 in der dreigliedrigen Form h 2 h h2 Dt ¼ Dt 2 2 Dt þ 2 vs vs vs

a¼g¼

Dv ve ve ¼ ¼ Dt Dtf Dt Dts

h¼ b A1 ¼ A2 h ¼ Dsf ¼ Dss h¼

2. Schritt

3. Schritt

ve Dtf ¼ vs Dts 2

4. Schritt 2h 2h ¼ Dtf Dt Dts 2h gðDt Dts Þ ¼ Dt Dts g h h ¼ ðDt Dts Þ2 fu¨r Dts ¼ eingesetzt: 2 vs g h 2 Dt h¼ 2 vs ve ¼ gðDt Dts Þ ¼

164 Abschließend wird die Gleichung auf die Normalform gebracht und nach h aufgelo¨st. Das ist die gesuchte Bestimmungsgleichung fu¨r die Turmho¨he h.

Von den beiden berechneten Betra¨gen fu¨r die Turmho¨he kann nur h2 ¼ 119,7 m richtig sein, wie die Auswertung der Gleichung h ¼ vs Dts (3. Schritt) mit h1 ¼ 26017 m ergibt: h1 26 017 m ¼ m ¼ 78,1 s vs 333 s Bei dieser Turmho¨he h1 wa¨re die Schallzeit Dts gro¨ßer als die Gesamtzeit: Dts ¼ 78,1 s > Dt ¼ 5,3 s. Schallzeit Dts ¼

4 Dynamik h h2 þ 2 vs vs 2 2vs g Dt 1þ h2 h þ vs 2 Dt2 ¼ 0 g vs h¼

g 2

h1;2 ¼

Dt2 2 Dt

vs 2 g Dt 1þ vs g ﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 vs g Dt 2 2 2 1þ vs Dt g vs

h ¼ f ðDt, vs , gÞ h1 ¼ 26017 m h2 ¼ 119,7 m

Aufgaben Nr. 417–443

4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung Beim Kopieren eines Kegelstumpfes auf der Drehmaschine soll die Meißelspitze vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E wandern. Der Drehmeißel wird dabei gleichzeitig vom Bettschlitten mit dem La¨ngsvorschub sl und vom Planschlitten mit dem Planvorschub sp geradlinig bewegt. Zwei Einzelbewegungen „u¨berlagern“ sich hier zu einer resultierenden (zusammengesetzten) Bewegung: Eine zusammengesetzte Bewegung entsteht durch berlagerung von Einzelbewegungen.

Zusammengesetzte Bewegung

Die Einzelbewegungen ko¨nnen gleichfo¨rmig oder ungleichfo¨rmig sein; sie ko¨nnen in beliebiger Richtung zueinander verlaufen.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

165

4.1.8.2 berlagerungsprinzip Theoretisch erreicht man den Endpunkt E der Meißelspitze auch, wenn man von A ausgehend zuna¨chst den La¨ngsvorschub allein laufen la¨sst, bis Punkt B erreicht ist, und dann anschließend mit dem Planvorschub bis E fa¨hrt. Auch in umgekehrter Reihenfolge wird das Ziel erreicht:

Man findet den Ort eines Ko¨rperpunktes bei zusammengesetzter Bewegung, indem man die Einzelbewegungen gedanklich nacheinander ausfu¨hrt. Die Reihenfolge ist beliebig. Das berlagerungsprinzip wird in der Technik ha¨ufiger angewendet, wenn resultierende Wirkungen leichter ermittelt werden sollen. Ein markantes Beispiel ist die Berechnung der Durchbiegung eines Biegetra¨gers, der durch beliebig viele Kra¨fte belastet wird.

Geometrische Addition von Wegen

Zur Lo¨sung von Aufgaben setzt man die fu¨r die Einzelbewegung gu¨ltigen Gesetze an (siehe waagerechter Wurf, Seite 167).

Hinweis: Siehe auch: Festigkeitslehre, Abschnitt 5.9.10, die 5. bung, Seite 350.

4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Soll ein Ko¨rper oder Ko¨rperpunkt von A nach E gelangen, dann kann diese Ortsvera¨nderung auf verschiedene Weise ablaufen. Der ku¨rzeste Weg wird durch den „Ortsvektor s“ gekennzeichnet. Aber auch mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Ortsvektoren sx , sy kommt man von A nach E, oder mit den beiden beliebig gerichteten Ortsvektoren s1, s2. Wie alle Vektoren sind auch die Ortsvektoren eindeutig bestimmt durch ihren Betrag (z. B. s ¼ 4 m), durch ihre Richtung (z. B. a ¼ 30 ) und durch den Richtungssinn (Pfeil zeigt von A nach E). Das Gleiche gilt fu¨r Geschwindigkeiten und Beschleunigungen: Wege (Wegabschnitte) s, Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a sind Vektoren (gerichtete Gro¨ßen). Sie werden rechnerisch und zeichnerisch behandelt wie Kra¨fte, also geometrisch addiert.

Geometrische Addition von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

Wie bei Kra¨ften gilt der Parallelogrammsatz; La¨ngs- und Parallelverschiebungssatz sowie Erweiterungssatz haben hier keinen Sinn (siehe Statik).

166

4 Dynamik

4.1.9 bungen zur zusammengesetzten Bewegung 4.1.9.1 berlagerung von zwei gleichfo¨rmig geradlinigen Bewegungen 1. bung: Der Laufkran in einer Gießerei fa¨hrt mit der Geschwindigkeit v1 ¼ 120 m/min. Gleichzeitig bewegt sich rechtwinklig zur Fahrtrichtung die Laufkatze mit v2 ¼ 40 m/min. Es soll die Geschwindigkeit der an der Laufkatze ha¨ngenden Last und der Neigungswinkel a des Lastweges zur Fahrtrichtung des Krans bestimmt werden. Lo¨sung: Die beiden Geschwindigkeitsvektoren stehen rechtwinklig aufeinander. Die gesuchte Geschwindigkeit vr ist die Resultierende aus diesen beiden Vektoren. Sie wird, wie bei den Kra¨ften, mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck erkennt man, dass sich der Neigungswinkel a u¨ber die Tangensfunktion bestimmen la¨sst.

Lageskizze

ﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m 2 m 2 120 þ 40 min min m m ¼ 2,108 vr ¼ 126,491 min s m 40 v2 min a ¼ arctan ¼ arctan m ¼ 18,4 v1 120 min pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vr ¼ v1 2 þ v2 2 ¼

2. bung: Ein Boot u¨berquert vom Punkt A aus einen Fluss. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes betra¨gt v1 ¼ 30 km/h und liegt unter dem Winkel a ¼ 30 zur Stromrichtung. Durch die Stro¨mungsgeschwindigkeit v2 ¼ 10 km/h wird das Boot aus seiner Fahrtrichtung abgelenkt und erreicht das gegenu¨berliegende Ufer im Punkt B. Zu bestimmen sind: a) die resultierende Geschwindigkeit vr des Bootes, b) der Winkel b, c) die Strecke l2. Lo¨sung: Man skizziert das Geschwindigkeitsdreieck aus v1, v2, vr und tra¨gt die Winkel ein. Nach dem Parallelogrammsatz muss die resultierende Geschwindigkeit vr vom Anfangspunkt der zuerst gezeichneten zum Endpunkt der zuletzt gezeichneten Geschwindigkeit (hier v2) gerichtet sein. ber den Kosinussatz berechnet man dann vr . Natu¨rlich kann auch die zeichnerische Lo¨sung allein oder zusa¨tzlich angefertigt werden.

Lageskizze

Geschwindigkeitsskizze vr ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v1 2 þ v2 2 2v1 v2 cos a

vr ¼ 21,918

km h

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren v1 und vr entwickelt. Der Richtungswinkel b der resultierenden Geschwindigkeit vr ist die Winkelsumme a þ d. Zum Schluss findet man u¨ber die Tangensfunktion die gesuchte Strecke l2.

167 sin a sin d v2 ¼ ) sin d ¼ sin a vr vr v2 km 10 h sin 30 ¼ 13,187 d ¼ arcsin km 21,918 h b ¼ a þ d ¼ 43,187 l2 ¼

l1 480 m ¼ ¼ 511,4 m tan 43,187 tan b

4.1.9.2 berlagerung von gleichfo¨rmiger und gleichma¨ßig beschleunigter Bewegung a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand) Ein Ko¨rper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler Unterlage in x-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit v0. Sobald die Kugel die Unterlage verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des freien Falls. Der gleichfo¨rmigen Bewegung in x-Richtung u¨berlagert sich eine gleichma¨ßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung. Wie man spa¨ter aus der Weggleichung sehen wird, ist die Wurfbahn eine Parabel.

Das v, t-Diagramm fu¨r die Vertikalbewegung ist das typische Diagramm fu¨r den freien Fall ohne Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit (vy ¼ 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen werden: Ay ¼ b h ¼ vy tx =2. Damit stehen alle Gleichungen zur Verfu¨gung, die fu¨r einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden. Es ist also nur eine Frage der mathematischen Geschicklichkeit, wie schnell eine Lo¨sung gefunden wird. Zwei bungen sollen den Weg zeigen.

Ax = sx = v0 tx tx

0

v

g=

vy tx Ay = h =

0

t

tx

vy tx 2

vy

Das v, t-Diagramm fu¨r die Horizontalbewegung des Ko¨rpers beim waagerechten Wurf ist das typische Diagramm fu¨r die gleichfo¨rmige Bewegung mit v0 ¼ vx ¼ konstant und dem Fla¨cheninhalt Ax ¼ b sx ¼ v0 tx .

v

v0

Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im v, t-Diagramm dar und liest daraus die Berechnungsgleichungen ab.

t

Weggleichung (Wurfweite)

sx ¼ v0 tx g¼

vy tx

vy ¼ gtx

Grundgleichung

h¼

vy tx vy 2 gtx 2 ¼ ¼ 2 2g 2

Weggleichungen (Fallho¨he)

168

4 Dynamik

1. bung: Von einem h ¼ 80 m u¨ber der Auftreffebene liegenden Punkt wird ein Ko¨rper mit v0 ¼ 297 m/s horizontal abgeschossen. Gesucht wird die Wurfweite sx.

m Gegeben: a ¼ g ¼ 9,81 2 s h ¼ 80 m m v0 ¼ 297 s

Lo¨sung: Fu¨r die horizontale (gleichfo¨rmige) Bewegung gilt die Weggleichung sx ¼ v0 tx . Der freie Fall (die vertikale Bewegung) wird durch die Weggleichungen fu¨r die Fallho¨he erfasst. Die hier zweckma¨ßigste ist die Gleichung h ¼ gtx 2 =2, weil sie nicht die zusa¨tzliche Unbekannte vy entha¨lt.

horizontale Bewegung

Beide Gleichungen lo¨st man nach tx auf, setzt sie gleich und erha¨lt die Bestimmungsgleichung sx ¼ f ðv0 , h, gÞ, nach der sx berechnet wird.

Gesucht: sx ¼ f ðv0 , h, gÞ

sx ¼ v 0 t x tx ¼

sx v0

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2h sx ¼ v0 g sx ¼ f ðv0 , h, gÞ

2. bung: Man mo¨chte sich nun Klarheit daru¨ber verschaffen, wie die Wurfbahn beim waagerechten Wurf aussieht. Zuna¨chst wird die allgemeine Beziehung fu¨r die Wurfbahn gesucht, d. h. es muss eine Funktionsgleichung fu¨r die Fallho¨he h in Abha¨ngigkeit von der Wurfweite sx gefunden werden. Diese Beziehung wurde fu¨r die vorhergehende bung schon entwickelt, sie braucht nur umgestellt zu werden. Fallbeschleunigung g und horizontale Geschwindigkeit v0 sind konstante Gro¨ßen, so dass man den Quotienten g=2v0 2 als Konstante k einsetzen kann. Damit hat man die gesuchte Funktionsgleichung in der u¨bersichtlichsten Form. Sie zeigt, dass die Fallho¨he h beim waagerechten Wurf mit dem Quadrat der Wurfweite wa¨chst. Als Wurfbahn ergibt sich damit eine Parabel ( y ¼ k x2 ). Tra¨gt man h als y-Wert und sx als x-Wert in einem Koordinatensystem auf, erha¨lt man die allgemeine Form y ¼ k x2 der Parabel.

vertikale Bewegung gtx 2 h¼ 2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2h tx ¼ g vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mu u2 80 m sx ¼ 297 t m s 9,81 2 s sx ¼ 1 199,4 m

Aus der obigen bung wird u¨bernommen: sﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2h ¼ f ðv0 , h, gÞ sx ¼ v 0 g Nach Quadrieren und Umstellen folgt daraus: h¼

g sx 2 2v0 2

h ¼ f ðg; v0 ; sx Þ

h Fallho¨he g Fallbeschleunigung v0 horizontale Geschwindigkeit sx Wurfweite

g ¼ konstant ¼ k 2v0 2

h ¼ ksx 2 Gleichung der Wurfbahn beim waagerechten Wurf (Wurfparabel)

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

169

Mit der Funktionsgleichung h ¼ ksx 2 soll die Wurfparabel punktweise berechnet werden, z. B. fu¨r die horizontale Geschwindigkeit v0 ¼ 3 m/s. Zuna¨chst wird die Konstante bestimmt:

Wertetabelle

m 9,81 2 g s ¼ 0,545 1 k¼ ¼ 2v0 2 m m2 29 2 s Damit berechnet man fu¨r die Wurfweiten sx ¼ 1 m, 2 m und 3 m die zugeho¨rigen Fallho¨hen h und tra¨gt diese Betra¨ge in die Wertetabelle ein. Die zueinander geho¨renden Werte von sx und h sind die Koordinaten jeweils eines Punktes der Wurfbahn, die man damit aufzeichnen kann.

Die resultierende Geschwindigkeit vr la¨sst sich fu¨r jeden Bahn- und Zeitpunkt aus dem Geschwindigkeitsdreieck berechnen (Pythagoras).

sx

h

1 m 0,545 m 2 m 2,18 m 3 m 4,905 m

Wurfparabel fu¨r den waagerechten Wurf

vr ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 2 þ vy 2

vr ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 2 þ ðgtÞ2

Geschwindigkeit vr nach der Wurfzeit t

Der Geschwindigkeitsvektor vr liegt auf der Tangente T des jeweiligen Bahnpunktes, z. B. Punkt B.

vr ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 2 þ 2gh

Geschwindigkeit vr nach der Fallho¨he h

Der Winkel a des Vektors vr ergibt sich aus tan a ¼ vy =v0 .

a ¼ arctan

vy v0

a ¼ arctan

gt v0

Aufgaben Nr. 444–447

Richtungswinkel a

170 b) Schra¨ger Wurf (ohne Luftwiderstand) Beim schra¨gen Wurf wird ein Ko¨rper mit der Abwurfgeschwindigkeit v0 unter dem Steigungswinkel a0 abgeworfen. Seine Wurfbahn ist wie beim waagerechten Wurf eine Parabel. Liegen Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher Ho¨he, sind Abwurf- und Auftreffgeschwindigkeit v0 gleich groß, ebenso deren Winkel a0. Voraussetzung: kein Luftwiderstand. Man zerlegt den Geschwindigkeitsvektor v0 in die beiden Komponenten v0x und v0y . Es gilt auch hier das berlagerungsprinzip: Der gleichfo¨rmigen Horizontalbewegung mit v0x ¼ konstant ist die gleichma¨ßig beschleunigte und dann verzo¨gerte Vertikalbewegung mit v0y 6¼ konstant u¨berlagert. Die Vertikalbewegung ist schon bekannt. Es ist der senkrechte Wurf mit anschließendem freien Fall. Das zeigt auch das v, t-Diagramm c), das bereits bekannt ist (Seite 154): Die Vertikalkomponente vy der Abwurfgeschwindigkeit v0 nimmt von v0y laufend bis auf null ab (wenn hmax erreicht ist), um dann wieder bis auf v0y ¼ v0y zuzunehmen. Fu¨r die weiteren Rechnungen hat das Vorzeichen (entgegengesetzter Richtungssinn) keine Bedeutung. Es werden die v, t-Diagramme ausgewertet: Die Grundgleichung (1) schreibt man mit den speziellen Bezeichnungen. Diagramm b) liefert die Weggleichung (2) fu¨r die Wurfweite als Funktion der Zeit t. v0 und a0 sind Konstante. Diagramm c) liefert die Weggleichungen fu¨r die Vertikalbewegung. Das sind die Gleichungen fu¨r die Wurfho¨he h in Abha¨ngigkeit von den Geschwindigkeiten v (3) und von der Zeit t (4) und (5). Fu¨r die letzte Form der Gleichung (3) wird aus (1) fu¨r tx ¼ ðv0y vy Þ=g eingesetzt. Das Binom ergibt ðv0y þ vy Þðv0y vy Þ ¼ v0y 2 vy 2 .

4 Dynamik

a) s, h-Diagramm (Wurfparabel) b) v, t-Diagramm der Horizontalbewegung c) v, t-Diagramm der Vertikalbewegung Beachte: Es ist v0x ¼ v0 cos a0 v0y ¼ v0 sin a0

g¼

Dv v0y vy ¼ tx tx

sx ¼ v0 cos a0 tx

h¼

(1) Grundgleichung

(2)

Weggleichung (Wurfweite)

v0y þ vy v0y 2 vy 2 tx ¼ 2 2g

h ¼ vy tx þ

g 2 tx 2

h ¼ v0 sin a0 tx

Weggleichungen (Wurfho¨he)

(4) g 2 tx 2

Beachte: v0y ¼ v0 sin a0

(3)

(5)

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Zur Konstruktion der Wurfbahn muss man wie beim waagerechten Wurf die Abha¨ngigkeit der Wurfho¨he h von der Wurfweite sx kennen, also eine Funktionsgleichung fu¨r h entwickeln, in der die Zeit t nicht erscheint. Dazu lo¨st man die Gleichung sx ¼ v0 cos a0 tx nach tx auf und setzt den gefundenen Ausdruck in die Gleichung fu¨r die Wurfho¨he h ¼ v0 sin a0 tx gtx 2 =2 ein (Gleichung (5)). Damit erha¨lt man h ¼ f ðsx , g, v0 , a0 Þ. Die Gro¨ßen g, v0 , tan a0 und cos a0 sind konstante Gro¨ßen. Mit den beiden Konstanten k1 ¼ tan a0 und k2 ¼ g=2v0 2 cos2 a0 erha¨lt man die Funktionsgleichung in der zweckma¨ßigsten Form fu¨r die punktweise Berechnung der Wurfparabel. Es werden nun noch einige ha¨ufig gebrauchte Gleichungen entwickelt: Die Steigzeit ts erha¨lt man aus der Gleichung vy ¼ v0 gt (siehe v, t-Diagramm c) und der berlegung, dass im Scheitelpunkt der Wurfparabel die Geschwindigkeit in y-Richtung vy ¼ 0 ist (Richtungsumkehr der senkrechten Teilbewegung). Die Scheitelho¨he hmax ist der Weg der verzo¨gerten Bewegung in vertikaler Richtung wa¨hrend der Steigzeit ts (Dreieckfla¨che im v, t-Diagramm c). Fu¨r ts wird die in Gleichung (8) entwickelte Beziehung eingesetzt. Die gesamte Wurfzeit T bis zum Aufschlag ist das Doppelte der Steigzeit (immer unter Vernachla¨ssigung des Luftwiderstandes). Die gro¨ßte Wurfweite smax erha¨lt man mit der Wurfzeit T. Dann ist smax ¼ v0x T ¼ v0 cos a0 T. Fu¨r T wird der vorher entwickelte Ausdruck eingesetzt und fu¨r 2 sin a0 cos a0 ¼ sin 2 a0 (siehe Handbuch Maschinenbau). Bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit v0 ha¨ngt smax nur noch vom Steigungswinkel a0 ab. Da der Sinus eines Winkels nicht gro¨ßer als 1 werden kann, wird der Maximalwert fu¨r die gro¨ßte Wurfweite dann erreicht, wenn sin 2 a0 ¼ 1 ist. Das ist der Fall, wenn 2 a0 ¼ 90 und damit der Steigungswinkel a0 ¼ 45 betra¨gt.

171 sx ¼ v0 cos a0 tx ) tx ¼

sx v0 cos a0

gtx 2 2 sx gsx 2 h ¼ v0 sin a0 2 v0 cos a0 2v0 cos 2 a0 h ¼ v0 sin a0 tx

h ¼ sx tan a0

g sx 2 2v0 2 cos2 a0

(6)

h ¼ f ðsx , g, v0 , a0 Þ h ¼ k1 sx k2 sx 2

(7)

Gleichung der Wurfbahn beim schra¨gen Wurf (Wurfparabel)

vy ¼ v0y g tx ; v0y ¼ v0 sin a0 ; tx ¼ ts vy ¼ v0 sin a0 g ts ¼ 0 ts ¼

v0 sin a0 g

hmax ¼

Steigzeit

v0y ts v0 sin a0 ts ¼ 2 2

hmax ¼

T¼

(8)

v0 2 sin2 a0 2g

2v0 sin a0 g

(9)

(10)

Scheitelho¨he

Wurfzeit

smax ¼ v0 cos a0 T ¼ v0 cos a0

2v0 sin a0 g

v0 2 sin 2a0 g

gro¨ßte Wurfweite

smax ¼

(11)

Gro¨ßter Wert fu¨r smax bei a0 ¼ 45 , weil dann sin 2 a0 ¼ sin 90 ¼ 1 ist. Beachte: Die hier entwickelten Gleichungen gelten auch fu¨r den waagerechten Wurf, wenn in den Gleichungen a0 ¼ 0 gesetzt wird. Der waagerechte Wurf ist also nur ein Sonderfall des schra¨gen Wurfs.

172 Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen Bahnpunkt P1 nach dem Zeitabschnitt tx , ist die Resultierende der momentanen Vertikalgeschwindigkeit vy ¼ v0 sin a0 g tx (v, t-Diagramm c), Seite 170) und der konstanten Horizontalgeschwindigkeit v0x ¼ v0 cos a0 .

4 Dynamik v¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0x 2 þ vy 2

v0x ¼ v0 cos a0 ; vy ¼ v0 sin a0 g tx v¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðv0 cos a0 Þ2 þ ðv0 sin a0 g tx Þ2 (12)

Geschwindigkeit vðtÞ

Man erha¨lt die Momentangeschwindigkeit v in Abha¨ngigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit v0, dem Steigungswinkel a0, dem Zeitabschnitt tx und der Fallbeschleunigung g.

Beachte: In dieser Gleichung muss fu¨r den Winkel a0 immer der spitze Winkel zur positiven x-Achse eingesetzt werden (siehe Wurfparabel Seite 170).

Soll der Zeitabschnitt tx in Gleichung (12) aus der Wurfho¨he h ermittelt werden, hilft die Gleichung (5) weiter: Man formt die Gleichung zur Normalform einer gemischt quadratischen Gleichung um. Danach stellt man die Lo¨sungsformel fu¨r tx1/2 auf und schreibt die endgu¨ltige Form mit v0y ¼ v0 sin a0 . Mit der Weggleichung (2) ist dann auch der Wegabschnitt sx zu berechnen.

h ¼ v0y tx

g 2 tx (Gleichung (5)) 2

2v0y 2 tx þ h ¼ 0 g g ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ s v0y v0y 2 2 h ¼ g g g

tx 2 tx1=2

tx1=2

v0 sin a0 ¼ g

ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ s v0 sin a0 2 2 h g g

(13)

Zeitabschnitt tx ðhÞ

Beim Berechnen des Zeitabschnitts tx nach Gleichung (13) ergeben sich zwei Werte tx1 und tx2. Beide Werte sind richtig, denn die Wurfparabel (Seite 170) schneidet eine Ho¨henlinie in den beiden Punkten P1 und P2. Die zugeho¨rigen Zeitabschnitte sind die berechneten Werte tx1 und tx2.

Beispiel: Ein Ko¨rper wird mit v0 ¼ 100 m/s unter a0 ¼ 60 abgeworfen. Die Rechnung nach (13) mit h ¼ 300 m ergibt (aus Platzgru¨nden ohne Einheiten geschrieben): tx1 ¼

100 sin 60 s9,81 ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 100 sin 60 2 2 300 9,81 9,81

tx1 ¼ 12,9 s tx2 ¼ 4,73 s

Den momentanen Richtungswinkel a an der Wurfparabel im s, t-Diagramm a) auf Seite 170 erha¨lt man aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Kosinusfunktion.

cos a ¼

v0x v0 cos a0 ¼ v v

a ¼ arccos

v0 cos a0 v

(14)

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 1. bung: Das s; h-Diagramm, Bild a), zeigt die Wurfparabel eines schra¨gen Wurfs, bei dem die Abwurfebene (Punkt E1) nicht zugleich Auftreffebene ist. Diese liegt um die Fallho¨he hE tiefer (Punkt E2). Gegeben: Abwurfgeschwindigkeit v0 ¼ 10 m/s Abwurfwinkel a0 ¼ 50 Fallho¨he hE ¼ 2 m Gesucht: Gesamtzeit t, Wurfweite s, Auftreffgeschwindigkeit vE , Auftreffwinkel aE , Teilzeit t E und Teilweg s E . Lo¨sung: Es sollte nicht versucht werden, die bereits hergeleiteten Gleichungen fu¨r die symmetrische Wurfparabel (Seite 170) auf den vorliegenden Fall anzuwenden. Das fu¨hrt leicht zu Fehlern. Daher skizziert man fu¨r jeden speziellen Fall, so wie hier, die zugeho¨rigen v, t-Diagramme b) und c) und wertet die Diagramme wie gewohnt aus. Gegenu¨ber den Diagrammen, Seite 170, braucht man nur die vx - und die vy -Linie bis zum Auftreffpunkt E2 zu verla¨ngern.

Wurfzeit t und Teilzeit tE: Die gesamte Wurfzeit t setzt sich zusammen aus der Wurfzeit T nach Gleichung (10) und der Teilzeit t E fu¨r den Teilweg sE und fu¨r die Fallho¨he hE. Eine Gleichung fu¨r die Teilzeit t E erha¨lt man mit der Weggleichung hE nach dem v, t-Diagramm c). Darin entspricht die Trapezfla¨che A ¼ b Fallho¨he hE ¼ v0y tE þ g tE 2 =2. Die gemischt-quadratische Gleichung liefert eine Beziehung fu¨r die Teilzeit t E .

Mit v0 ¼ 10 m/s, a0 ¼ 50 und h E ¼ 2 m erha¨lt man als physikalisch sinnvolle Teilzeit t E ¼ t E1 ¼ 0,228 s. Mit Gleichung (10) bekommt man die Gesamtzeit t ¼ T þ t E ¼ 2v0 sin a0 =g þ t E .

173

a) s; h-Diagramm (Wurfparabel) b) v, t-Diagramm der Horizontalbewegung c) v, t-Diagramm der Vertikalbewegung

¼ b hE ¼ v0y tE þ

A

g 2 tE 2

2 2 tE 2 þ v0y tE hE ¼ 0 g g s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0y v0y 2 2 hE þ tE1=2 ¼ g g g Mit v0y ¼ v0 sin a0 erha¨lt man tE1=2

v0 sin a0 ¼ g

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 sin a0 2 2 hE þ g g

(15)

Teilzeit

10 m=s sin 50 9,81 m=s2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ 10 m=s sin 50 2 22m þ 9,81 m=s2 9,81 m=s2

tE1 ¼

tE1 ¼ 0,228 s; t¼

tE2 ¼ 1,7896 s

2 10 m=s sin 50 þ 0,228 s ¼ 1,79 s 9,81 m=s2

174 Um auf direktem Weg die Gesamtzeit t berechnen zu ko¨nnen, werden die beiden Gleichungen (10) und (15) zu einer Gleichung zusammen gefasst. Man erha¨lt dann die Gleichung (16). Auch hier ergibt nur der positive Wurzelwert ein physikalisch sinnvolles Ergebnis.

4 Dynamik t1=2 ¼ T þ tE1=2 ¼ 2 t1=2 ¼ 2

t1=2

v0 sin a0 þ tE1=2 g

v0 sin a0 v0 sin a0 ... g g

v0 sin a0 ¼ g

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 sin a0 2 2 hE þ g g (16)

Gesamtzeit

Auftreffgeschwindigkeit vE : Sie ist die Resultierende aus der Horizontalgeschwindigkeit v0x ¼ v0 cos a0 und der Vertikalgeschwindigkeit vy , die sich nach Bild c) Seite 173 zusammensetzt aus: v0y ¼ v0 sin a0 und gtE .

vE ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0x 2 þ vy 2

v0x ¼ v0 cos a0 ; vy ¼ v0y þ g tE vy ¼ v0 sin a0 þ g tE vE ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðv0 cos a0 Þ2 þ ðv0 sin a0 þ g tE Þ2 (17)

Auftreffgeschwindigkeit

Rechnung aus Platzgru¨nden ohne Einheiten: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vE ¼ ð10 cos 50 Þ2 þ ð10 sin 50 þ 9,81 0,228Þ2 vE ¼ 11,8

Der Auftreffwinkel aE kann mit Gleichung (14) berechnet werden, wenn man fu¨r v ¼ vE einsetzt.

aE ¼ arccos aE ¼ 57

Wurfweite s und Teilweg sE: Der Teilweg sE ist nach Bild b) Seite 173 aus sE ¼ v0x tE ¼ v0 cos a0 tE zu berechnen. Mit dieser Gleichung und mit Gleichung (11) kann eine Gleichung fu¨r s entwickelt werden.

m 10 cos 50 v0 cos a0 s ¼ arccos m vE 11,8 s

sE ¼ v0 cos a0 tE

(18)

sE ¼ 10 m=s cos 50 0,228 s ¼ 1,466 m s¼ s¼

Kontrolle: Nach Bild b) ist s ¼ v0x t ¼ v0 cos a0 t mit t nach Gleichung (16).

m s

v0 2 sin 2 a0 þ sE g

(19)

ð10 m=sÞ2 sin 100 þ 1,466 m ¼ 11,5 m 9,81 m=s2

s ¼ v0 cos a0 t s ¼ 10

(20)

m cos 50 1,79 s ¼ 11,5 m s

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

Der Vergleich der beiden v, t-Diagramme mit den Diagrammen b) und c) auf Seite 173 zeigt vollsta¨ndige bereinstimmung des Bewegungsvorgangs zwischen den Punkten E1 und E2 der Parabel. Man kann also ohne Bedenken die dort entwickelten Gleichungen verwenden. Fu¨r die vorliegende Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung mit Gleichung (18).

Man hat damit die gesuchte Beziehung sx ¼ f ða0 ; v0 ; hÞ gefunden. Der Aufschlagpunkt liegt um sx ¼ 7,71 m von der Hausmauer entfernt.

a ¼ g ¼ 9,81

vx

a) siehe auch v, t-Diagramm b) Seite 173

sx = v0x tx t

h = v0y tx +

gtx2 2

tx

b) siehe auch v, t-Diagramm c) Seite 173

vy

vy

t

v, t-Diagramm der Horizontalbewegung a) und der Vertikalbewegung b)

v0 sin a0 þ tx ¼ g

ﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 sin a0 2 2 h þ g g

sx ¼ v0 cos a0 tx Nur die positive Lo¨sung fu¨r tx ist sinnvoll. Der Ausdruck fu¨r tx (nach Gleichung (15)) wird in die Gleichung fu¨r sx eingesetzt.

"

v0 sin a0 þ g s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ3 v0 sin a0 2 2 h 5 þ þ (21) g g

sx ¼ v0 cos a0

sx ¼ 7,71 m

Aufgaben Nr. 448–451

m s2

Gesucht: sx ¼ f ða0 ; v0 ; hÞ

v0x

Lo¨sung: Es werden als Erstes wieder die beiden v, t-Diagramme fu¨r die Horizontal- und die Vertikalbewegung skizziert. Wa¨hrend des Zeitabschnitts tx wird die Strecke sx mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente v0x ¼ v0 cos a0 zuru¨ckgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt fa¨llt die Dachpfanne im freien Fall um die Ho¨he h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente (Vertikalgeschwindigkeit) von v0y ¼ v0 sin a0 um Dv ¼ g tx auf vy .

Gegeben: a0 ¼ 30 m v0 ¼ 5 s h ¼ 20 m

v0y gtx

2. bung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem Winkel a0 ¼ 30 mit einer Geschwindigkeit v0 ¼ 5 m/s von der Dachtraufe, die h ¼ 20 m u¨ber dem Erdboden liegt. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung des Abstandes sx ¼ f ða0 ; v0 ; hÞ des Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt und damit sx berechnet werden.

175

176

4 Dynamik

4.2 Gleichfo¨rmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Die bisher behandelten Gesetze gelten fu¨r geradlinige und krummlinige Bewegungen, also auch fu¨r die Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn, zum Beispiel fu¨r die Bewegung eines Schleifkorns auf einer umlaufenden Schleifscheibe. Die Drehbewegung wird gesondert behandelt, weil fu¨r diese technisch wichtigste Bewegungsform besondere physikalische und geometrische Gro¨ßen eingefu¨hrt wurden. Das gilt beispielsweise fu¨r die Begriffe Drehzahl, Drehwinkel, Umfangsgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und bersetzung.

4.2.1 Die Drehzahl n Bringt man auf einer umlaufenden Scheibe (Werkstu¨ckspanner einer Drehmaschine, Schleifscheibe usw.) mit Kreide eine Markierung an, dann kann die Anzahl der Umdrehungen geza¨hlt werden. Sie werden hier mit z bezeichnet, also beispielsweise z ¼ 25 U (Umdrehungen). Dividiert man z durch den zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt, dann erha¨lt man die Drehzahl n der Scheibe:

Beachte: Die Angabe einer Drehzahl bezieht sich immer auf den ganzen umlaufenden Ko¨rper, z. B. auf den Rotor eines Elektromotors. Mit welcher Geschwindigkeit sich die einzelnen Punkte bewegen, ist noch unbekannt. n¼

Anzahl Umdrehungen z Zeitabschnitt Dt

Die Drehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl z der Umdrehungen und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt.

n¼

z Dt

Die Drehzahl n umlaufender Maschinenteile wird meistens auf die Minute als Zeiteinheit bezogen. Mit 1 min ¼ 60 s kann leicht umgerechnet werden.

Beispiel:

Das Wort Umdrehung mit dem Kurzzeichen U steht nur fu¨r die Zahl 1, so dass in der Technik die Einheit fu¨r die Drehzahl n auch mit der Eins geschrieben wird, meistens in der Potenzschreibweise ðmin1 Þ.

Beispiel:

Beim Kurbelgetriebe eines Verbrennungsmotors entspricht einer Auf- und Abwa¨rtsbewegung (Doppelhub) des Kolbens eine Umdrehung der Kurbelwelle. Zur Berechnung der Kolbengeschwindigkeit ermittelt man daher die Zeit fu¨r eine Kurbelwellenumdrehung (Umlaufzeit): Die Periodendauer T (Umlaufzeit) ist der Kehrwert der Drehzahl n.

n ¼ 1 500

n ¼ 1500

n

z

Dt

U 1 ¼ ¼ min1 U min min min

U U U ¼ 1500 ¼ 25 min 60 s s

U 1 ¼ 1500 ¼ 1500 min1 min min

U 1 ¼ ¼ min1 min min Hinweis: In der Schwingungslehre ist T der ku¨rzeste Zeitabschnitt, nach dem sich eine Schwingung periodisch wiederholt. Siehe auch Seite 151. T¼

1 Drehzahl n

T¼

1 n

T

n 1

min, s min , s1

4.2 Gleichfo¨rmige Drehbewegung (Kreisbewegung)

177

4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit vu Umfangsgeschwindigkeit vu ist die Bezeichnung fu¨r die Geschwindigkeit eines Umfangspunktes im Abstand r von der Drehachse eines umlaufenden Ko¨rpers auf seiner Kreisbahn. Drehbewegung um eine Drehachse

Bei gleichfo¨rmiger Drehbewegung ist die Umfangsgeschwindigkeit vu der Quotient aus Wegund Zeitabschnitt.

Bei der ungleichfo¨rmigen Drehbewegung ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt die mittlere Umfangsgeschwindigkeit vum (Durchschnittsgeschwindigkeit).

4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu Man stellt sich den Umfangspunkt B als Ko¨rper vor, der an einem Faden um die Drehachse A umla¨uft. Wird der Faden in einer der eingezeichneten Stellungen los gelassen, bewegt sich der Ko¨rper nach dem Tra¨gheitsgesetz mit der momentanen Umfangsgeschwindigkeit vu geradlinig fort und zwar in Richtung der jeweiligen Tangente an seine Kreisbahn: Richtung der Umfangsgeschwindigkeit

Die Umfangsgeschwindigkeit vu ist immer tangential gerichtet; sie ist eine Tangentialgro¨ße.

4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit vu und Drehzahl n Der Wegabschnitt Ds eines umlaufenden Umfangspunktes wird durch den Kreisumfang ausgedru¨ckt. Bei z Umdrehungen wird damit Ds ¼ 2 p r z. Mit z=Dt ¼ n erha¨lt man die u¨bliche Gleichung zur Berechnung der Umfangsgeschwindigkeit. Bei der gleichfo¨rmigen Drehbewegung ist die Drehzahl n ¼ konstant. Die Umfangsgeschwindigkeit vu eines Umfangspunktes dagegen a¨ndert sich, wie die Gleichung zeigt, mit dem Radius r: Je gro¨ßer der Radius, umso gro¨ßer ist auch vu . Man sagt auch: vu wa¨chst proportional mit dem Radius (vu r).

Ds 2 p r z ¼ Dt Dt z vu ¼ 2 p r Dt

vu ¼

vu ¼ 2 p r n

vu

r

n

U 1 m m ¼ ¼ s1 s s s m U 1 ¼ ¼ min 1 m min min min

Beispiel: Wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit eines Umfangspunktes B, der doppelt so weit vom Scheibenmittelpunkt entfernt liegt wie Punkt A? Lo¨sung: rB ¼ 2rA vuB ¼ 2 p rB n vuB ¼ 2p 2rA n ¼ 2 2 p rA n ¼ 2vuA

178

4 Dynamik

4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen fu¨r die Umfangsgeschwindigkeit Fu¨r Rechnungen an Werkzeugmaschinen wird die Umfangsgeschwindigkeit als Schnittgeschwindigkeit v meist in m/min gebraucht (Richtwerttabellen), wobei der Durchmesser d ¼ 2r in mm eingesetzt werden soll. Man rechnet dann mit einer auf diese Einheiten zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. Fu¨r Schleifscheiben wu¨rden sich mit der obigen Zahlenwertgleichung zu große Zahlenwerte ergeben. Man arbeitet dort mit der Einheit m/s und muss daher im Nenner noch den Faktor 60 aufnehmen. Man entwickelt aus der Gro¨ßengleichung dann eine Zahlenwertgleichung, wenn ha¨ufig mit denselben Einheiten gerechnet wird.

v¼

pdn 1000

v d n m mm min1 min

Schnittgeschwindigkeit v an Drehmaschinen, Fra¨smaschinen usw.

v¼

pdn 60 000

v d m mm s

n min1

Schnittgeschwindigkeit v fu¨r Schleifscheiben Beachte: Beim Rechnen mit Zahlenwertgleichungen darf man die Einheiten nicht mitschreiben.

4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit Ein Rad vom Radius r rollt ohne zu gleiten (also schlupffrei) auf seiner Unterlage. Ein Umfangspunkt P besitzt die Umfangsgeschwindigkeit vu ¼ 2 p r n. Die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes M parallel zur Unterlage wird mit der Mittelpunktsgeschwindigkeit vM bezeichnet. Es soll gekla¨rt werden, in welchem Verha¨ltnis vu und vM zueinander stehen. Bei einer Umdrehung rollt der Radumfang 2 p r ab, bei z Umdrehungen z-mal so viel, also legt der Radmittelpunkt M den Wegabschnitt Ds ¼ 2 p r z zuru¨ck. Damit ergibt sich seine Geschwindigkeit vM ¼ 2 p r z=Dt. Das aber ist genau die Gleichung fu¨r die Umfangsgeschwindigkeit vu : Beim schlupffrei rollenden Rad sind Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit gleich groß. Das rollende Rad „kippt“ laufend um den jeweiligen Stu¨tzpunkt A. Die momentane Geschwindigkeit v der Radpunkte auf dem gedachten Durchmesser AMP wa¨chst linear von vA ¼ 0 auf vM ¼ vu und weiter auf vP ¼ 2vM ¼ 2vu .

Mittelpunktsgeschwindigkeit 2pr z vM ¼ ¼ 2pr n Dt

Umfangsgeschwindigkeit 2prz vu ¼ ¼ 2pr n Dt

vM ¼ vu Beachte: vM ist bezogen auf die Unterlage, vu dagegen bezogen auf den Radmittelpunkt M.

4.2 Gleichfo¨rmige Drehbewegung (Kreisbewegung)

179

4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit w Die Umfangsgeschwindigkeit vu kennzeichnet immer nur den Bewegungszustand eines einzelnen Punktes, denn vu ist vom Radius abha¨ngig (vu r). Ko¨rperpunkte auf unterschiedlichen Radien legen bei jeder Umdrehung verschieden große Wege zuru¨ck. Fu¨r alle Punkte ist aber der u¨berstrichene Drehwinkel Dj gleich groß. Deshalb hat man fu¨r umlaufende Teile eine vom Radius unabha¨ngige Gro¨ße definiert, die Winkelgeschwindigkeit w (Omega): Die Winkelgeschwindigkeit w eines gleichfo¨rmig umlaufenden Ko¨rpers ist der Quotient aus dem u¨berstrichenen Drehwinkel Dj und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt. Alle Punkte eines rotierenden Ko¨rpers haben im gleichen Zeitpunkt gleiche Winkelgeschwindigkeit, nicht aber gleiche Umfangsgeschwindigkeit. Dreht sich der Ko¨rper nicht gleichfo¨rmig, dann erha¨lt man mit dieser Definitionsgleichung die mittlere Winkelgeschwindigkeit wm (Durchschnitts-Winkelgeschwindigkeit). Die Einheit fu¨r die Winkelgeschwindigkeit w ergibt sich aus den gewa¨hlten Einheiten fu¨r den Drehwinkel und dem Zeitabschnitt oder aus der gewa¨hlten Einheit fu¨r die Drehzahl n. Als Einheit fu¨r den Drehwinkel benutzt man nicht die Einheit „Grad“ (obgleich grundsa¨tzlich mo¨glich), sondern die Einheit „Radiant“ (Kurzzeichen: rad). Wie „Umdrehung U“ ist auch „Radiant rad“ eine Umschreibung fu¨r die Zahl Eins. Statt rad/s kann man immer auch 1/s schreiben, ebenso: statt U/min auch 1/min.

Dj 2 p z ¼ Dt Dt w ¼ 2pn

Grundgleichung der gleichfo¨rmigen Drehbewegung

w¼

w rad 1 ¼ s s

Dj

z Dt

rad 1

n 1 ¼ s1 s

s

Beispiel: Beim ungebremsten Auslaufen braucht eine Drehspindel 60 U und 90 s bis zum Stillstand. Dann ist Dj 2 p z 2 p 60 4 rad rad wm ¼ ¼ ¼ ¼ p ¼ 4,19 Dt Dt 90 s 3 s s ðjÞ rad 1 ¼ ¼ ¼ s1 ðtÞ s s rad 1 ðwÞ ¼ ð2pÞðnÞ ¼ ¼ ¼ min1 min min ðwÞ ¼

Umrechnungen: 2p rad ¼ 360 180 57,3 1 rad ¼ p Beispiel: rad 1 ¼ 90 ¼ 90 s1 w ¼ 90 s s

4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit Aus den nun bekannten Gleichungen fu¨r die Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit kann man sofort die gegenseitige Abha¨ngigkeit erkennen. Die Winkelgeschwindigkeit w ¼ 2 p n ist in der Gleichung fu¨r vu ¼ 2 p r n enthalten.

vu ¼ 2 p r n ¼ 2 p n r ¼ wr vu ¼ wr

vu

w

r

m s

1 rad ¼ s s

m

180 Man kann den Zusammenhang zwischen vu und w auch zeichnerisch darstellen. Bei gleichfo¨rmiger Drehung ist n ¼ konstant, also auch w ¼ 2 p n ¼ konstant, und die jeweilige Umfangsgeschwindigkeit der einzelnen Umfangspunkte ha¨ngt vom Radius r ab. Man sagt auch: vu ist proportional r (vu r). Aus der zeichnerischen Darstellung ergibt sich, dass die Zahlenwerte der Umfangsgeschwindigkeit auf dem Einheitskreis und der Winkelgeschwindigkeit gleich groß sind.

4 Dynamik

Zusammenhang zwischen Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit

4.2.7.1 Zahlenwertgleichung fu¨r die Winkelgeschwindigkeit Da die Drehzahl n in der Technik meist in U/min ¼ 1/min angegeben wird, fu¨r die Winkelgeschwindigkeit w aber die Einheit rad/s ¼ 1/s u¨blich ist, arbeitet man gern mit der entsprechend zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. Man erha¨lt die Zahlenwertgleichung fu¨r w, indem man in die Gro¨ßengleichung w ¼ 2 p n die Umrechnungszahl aus 1 min ¼ 60 s aufnimmt und die Zahlenwerte ku¨rzt. Mit p=30 1=10 erha¨lt man eine Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit w und Drehzahl n, mit der schnell u¨berschla¨gig gerechnet werden kann oder genaue Rechnungen kontrolliert werden ko¨nnen (Stellenzahlkontrolle).

w ¼ 2p

n n ¼p 60 30

w¼

pn 30

w

n ¼ 0,1n 10

w

n

1 1 ¼ min1 s min

Beispiel: Fu¨r n ¼ 1500 min1 wird p n p 1500 1 rad w¼ ¼ ¼ 157 30 30 s s n ¼ 1500 min1 ) w 150 s1

4.2.8 Baugro¨ßen und Gro¨ßen der Bewegung in Getrieben Getriebe u¨bertragen eine Drehbewegung von einer Antriebswelle A auf eine Abtriebswelle B, meist bei gleichzeitiger nderung der Drehzahl n und damit auch der Winkelgeschwindigkeit w. Beim Riemengetriebe treibt ein Flach- oder Keilriemen durch Kraftschluss (nicht durch Formschluss wie beim Zahnradgetriebe) beide Scheiben mit gleicher Umfangsgeschwindigkeit vu ¼ vu1 ¼ vu2 Der geringfu¨gige Schlupf wird vernachla¨ssigt. Beim Riemengetriebe verhalten sich Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Scheibendurchmesser.

Riemengetriebe vu1 ¼ vu2 2 p r1 n1 ¼ 2 p r2 n2 p d1 n1 ¼ p d2 n2 )

n1 d2 ¼ n2 d1

n1 w1 d2 ¼ ¼ n2 w2 d1

d1 und d2 sind die Baugro¨ßen

Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Baugro¨ßen.

4.2 Gleichfo¨rmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Werden die beiden Scheiben aneinander gepresst, entsteht das Reibradgetriebe. Verzahnt man beide Scheiben, hat man ein Zahnradgetriebe, das die Drehbewegung durch Formschluss (Za¨hne) und daher schlupflos u¨bertra¨gt. Hier rollen die beiden (gedachten) Teilkreise aufeinander ab (Teilkreisdurchmesser d1, d2). Fu¨r den Teilkreisdurchmesser kann das Produkt aus Za¨hnezahl und Modul gesetzt werden. Daher ko¨nnen die Teilkreisdurchmesser d1, d2 auch durch die Za¨hnezahlen z1, z2 ausdru¨ckt werden. Beim Zahnradgetriebe verhalten sich die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Teilkreisdurchmesser und Za¨hnezahlen.

181

Zahnradgetriebe vu1 ¼ vu2 p d1 n1 ¼ p d2 n2 d ¼ zm p z1 m n1 ¼ p z2 m n2

n1 w1 d2 z2 ¼ ¼ ¼ n2 w2 d1 z1

d1, d2, z1, z2 sind die Baugro¨ßen

Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Baugro¨ßen.

Das folgende Bild zeigt die geometrischen Gro¨ßen am geradverzahnten Stirnrad (ohne Profilverschiebung). Wichtigste Gro¨ße ist der Modul m, weil alle anderen Gro¨ßen darauf bezogen werden. Sind Modul m und Za¨hnezahl z eines Zahnrades bekannt, ko¨nnen alle anderen Maße des Zahnrades berechnet werden. d db da df p m a s w ha hf EL

Teilkreis-˘ ¼ mz Grundkreis-˘ ¼ d cos a Kopfkreis-˘ ¼ d þ 2 m Fußkreis-˘ ¼ d 2,5 m Teilung ¼ s þ w ¼ p m Modul ¼ p=p (genormt nach DIN 780 von 0,3. . .75 mm) Eingriffswinkel (20 ) Zahndicke ¼ p/2 Lu¨ckenweite ¼ p/2 Zahnkopfho¨he ¼ 1 m Zahnfußho¨he ¼ 1,25 m Eingriffslinie

4.2.9 bersetzung i (bersetzungsverha¨ltnis) Der Begriff bersetzung i ist festgelegt als Verha¨ltnis (Quotient) von Antriebsdrehzahl nan zu Abtriebsdrehzahl nab . Da sich die Baugro¨ßen eines Getriebes umgekehrt wie die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten, kann man die bersetzung i auch mit den Baugro¨ßen ausdru¨cken. Aufgaben Nr. 453–485

i¼

nan n1 w1 ¼ ¼ nab n2 w2

i¼

n1 w1 d2 z2 ¼ ¼ ¼ n2 w2 d1 z1

n1 ¼ w1 =2p n2 ¼ w2 =2p

182

4 Dynamik

Besteht ein Zahnradgetriebe aus mehreren hintereinander geschalteten Ra¨derpaaren, also auch aus mehreren Einzelu¨bersetzungen, dann la¨sst sich aus den Einzelu¨bersetzungen i1 ; i2 ; i3 . . . die Gesamtu¨bersetzung iges bestimmen: Die Gesamtu¨bersetzung iges ist immer das Produkt der Einzelu¨bersetzungen.

Mehrfachbersetzung

Aus der Definition fu¨r i ¼ nan /nab ergibt sich: ¨ i > 1 ) Ubersetzung ins ,,Langsame‘‘ ¨ i < 1 ) Ubersetzung ins ,,Schnelle‘‘

iges ¼

nan ¼ i1 i2 i3 . . . in nab

4.3 Gesetze und Diagramme der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Drehbewegung Man versteht die Gesetze und Diagramme und auch das Verfahren zum Lo¨sen von Aufgaben der Kreisbewegung leicht, wenn man sich der entsprechenden Gesetze erinnert, die in der allgemeinen Bewegungslehre entwickelt wurden. Denn das gilt grundsa¨tzlich auch hier, nur muss jede Gro¨ße der allgemeinen Bewegung durch die entsprechende Kreisgro¨ße ersetzt werden. Das nennt man den Analogieschluss.

4.3.1 Gegenu¨berstellung der allgemeinen Gro¨ßen mit den entsprechenden Kreisgro¨ßen Allgemeine Gro¨ße mit Definitionsgleichung

Einheit

Kreisgro¨ße mit Definitionsgleichung

Einheit

Zeitabschnitt Dt

s

Zeitabschnitt Dt

s

Wegabschnitt Ds

m m s m s m s2

Drehwinkel Dj

rad ¼ 1

Ds v¼ Dt

Geschwindigkeit (v ¼ konstant)

Geschwindigkeitsa¨nderung Dv ¼ a Dt Dv Dt v, t-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

Beschleunigung (Grundgleichung)

a¼

rad 1 ¼ s s rad 1 ¼ s s rad 1 Dw Winkelbeschleunigung ¼ 2 a¼ (Grundgleichung) s2 s Dt w, t-Diagramm je nach Aufgabenstellung: v

v-Lin

0

Δt

v0 + vt Δt 2

A = Δϕ =

v0

v0

A = Δs =

t

Beachte: Die Fla¨che A unter der v-Linie entspricht dem Wegabschnitt Ds.

0

ie

v0 + vt Δt 2 Δt

vt

ie vt

v-Lin

Δv = α Δt

v

Δv = a Δt

Dj Winkelgeschwindigkeit w¼ (w ¼ konstant) Dt Winkelgeschwindigkeitsa¨nderung Dw ¼ a Dt

t

Beachte: Die Fla¨che A unter der w-Linie entspricht dem Drehwinkel Dj.

4.3 Gleichma¨ßig beschleunigte (verzo¨gerte) Drehbewegung

183

4.3.2 Winkelbeschleunigung a Bei der gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Kreisbewegung muss die nderung der Winkelgeschwindigkeit Dw konstant bleiben (Dw ¼ konstant), wie im allgemeinen Fall Dv ¼ konstant war (Seite 151). Die Winkelgeschwindigkeitslinie im w, t-Diagramm muss eine ansteigende oder abfallende Gerade sein. Wird ein Ko¨rper aus der Ruhelage heraus drehend gleichma¨ßig beschleunigt, so dass er nach Dt ¼ 6 s eine Momentan-Winkelgeschwindigkeit wt ¼ 9 rad=s besitzt, dann betra¨gt seine Winkelgeschwindigkeitszunahme in jeder Sekunde Dw ¼ 1,5 rad=s. Entsprechend der Beschleunigung a im allgemeinen Fall hat man fu¨r die Kreisbewegung die Winkelbeschleunigung a als Vergleichsgro¨ße festgelegt: Die Winkelbeschleunigung a eines gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Ko¨rpers ist der Quotient aus der Winkelgeschwindigkeitsa¨nderung Dw und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt. Die Winkelbeschleunigung ist ein Vektor. Vergleiche diese Definition mit Seite 152. Die Einheit der Winkelbeschleunigung a ergibt sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung fu¨r die Gro¨ße, hier also „Radiant je Sekundequadrat“ (beachte: rad ¼ 1).

Winkelbeschleunigung a, dargestellt im w, t-Diagramm Hinweis: Vergleiche das w, t-Diagramm mit dem v, t-Diagramm auf Seite 151.

a¼

Winkelgeschwindigkeits¨anderung Dw zugeh¨origer Zeitabschnitt Dt

Dw a¼ Dt

a

Dw

Dt

rad 1 ¼ 2 s2 s

rad 1 ¼ s s

s

Grundgleichung der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Kreisbewegung rad ðwÞ rad 1 ¼ s ¼ 2 ¼ 2 ¼ s2 ðaÞ ¼ s ðtÞ s s

4.3.3 Der Drehwinkel im w, t-Diagramm

v0 = 2 vm

v

A = Δϕ =

v0 + vt Δt 2

vm

Es muss noch nachgewiesen werden, dass fu¨r den Drehwinkel Dj im w, t-Diagramm das Gleiche gilt wie fu¨r den Wegabschnitt Ds im v, t-Diagramm (vergleiche mit Seite 152). Die Winkelgeschwindigkeit w a¨ndert sich von w0 ¼ 0 am Anfang auf wt am Ende des Zeitabschnittes Dt. Weil die Winkelgeschwindigkeitsa¨nderung konstant ist, ergibt sich die mittlere Winkelgeschwindigkeit zu wm ¼ ðw0 þ wt Þ=2 und der u¨berstrichene Drehwinkel zu Dj ¼ wm Dt ¼ wt Dt=2. Das entspricht dem Fla¨cheninhalt der Dreieckfla¨che unter der w-Linie.

v0 = 0 0

Δt

Mittlere Winkelgeschwindigkeit wm

t

184

In jedem w, t-Diagramm entspricht die Fla¨che A unter der Winkelgeschwindigkeitslinie dem u¨berstrichenen Drehwinkel Dj (A ¼ b Dj).

4 Dynamik Fl¨ache A ¼ b Drehwinkel Dj Gilt fu¨r jede Drehbewegung

4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aT Wird ein Ko¨rper drehend mit der Winkelbeschleunigung a bewegt, werden alle Ko¨rperpunkte in jedem Augenblick in Richtung der Tangente mit der Tangentialbeschleunigung aT beschleunigt. Wie jede Beschleunigung ist auch a T ein Verha¨ltnis von Geschwindigkeitsa¨nderung und Zeitabschnitt. Hier handelt es sich um die Zunahme der Umfangsgeschwindigkeit Dvu ¼ Dw r. Damit ist u¨ber aT ¼ Dvu =Dt ¼ Dw r=Dt ¼ ar die Verbindung zwischen Tangential- und Kreisgro¨ße hergestellt. Das wurde auch schon fu¨r vu und w nachgewiesen (Seite 179, 4.2.7). Tangentialgro¨ßen (Umfangsgeschwindigkeit vu und Tangentialbeschleunigung aT) ergeben sich aus den Kreisgro¨ßen durch Multiplikation mit dem Radius r.

Zusammenhang zwischen Tangentialgro¨ßen und Kreisgro¨ßen aT ¼

Dvu Dw r ¼ ar ¼ Dt Dt aT

a

r

m s2

rad 1 ¼ 2 s2 s

m

aT ¼ ar

4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung (vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) w, t-Diagramm aufzeichnen 1. Schritt v

A = Δϕ =

0

v0 + vt Δt 2

Δt

vt

Δv

ie

v-Lin

v0

Als Erstes wird gepru¨ft, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigende w-Linie) oder verzo¨gert ist (fallende w-Linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verla¨uft. Danach skizziert man das w, t-Diagramm (unmaßsta¨blich). Als Beispiel wird eine gleichma¨ßig beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangs-Winkelgeschwindigkeit (w0 6¼ 0) betrachtet.

t

4.3 Gleichma¨ßig beschleunigte (verzo¨gerte) Drehbewegung Grundgleichung aufschreiben Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung fu¨r die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt.

Drehwinkelgleichungen aufschreiben Es ist bekannt, dass die Fla¨che A unter der w-Linie dem u¨berstrichenen Drehwinkel Dj entspricht. Je nach Fla¨chenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen mit Dj, zuna¨chst ohne Ru¨cksicht darauf, ob fu¨r die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht werden. In der Praxis werden ha¨ufig alle Gro¨ßen der Bewegung verlangt.

Gleichungen auswerten Grundgleichung und Drehwinkelgleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es genu¨gen dann meistens die Grundgleichung und eine der Drehwinkelgleichungen zur Lo¨sung. Angenommen es ist die Funktionsgleichung Dt ¼ f ðw0 , a, DjÞ gesucht. Dann sind w0 , a, Dj gegebene Gro¨ßen. Der Zeitabschnitt Dt ist die gesuchte Gro¨ße. Wird die Gleichsetzungsmethode benutzt, kann man sowohl die Grundgleichung als auch die erste Drehwinkelgleichung nach wt auflo¨sen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erha¨lt man hier eine gemischtquadratische Gleichung (siehe Tabelle 4.3, Seite 186). Die analoge Gleichung wurde in 4.1.5 (Seite 153) entwickelt.

a¼

Dw wt w0 ¼ Dt Dt

2. Schritt

w0 þ wt Dt 3. Schritt 2 (Trapezfla¨che) Dw Dt Dj ¼ w0 Dt þ ; Dw ¼ wt w0 2 (Rechteckfla¨che þ Dreieckfla¨che) Dw Dt Dj ¼ wt Dt ; Dw ¼ wt w0 2 (Rechteckfla¨che Dreieckfla¨che) Dj ¼

4. Schritt Hinweis: Lo¨sung nach dem Einsetzungsoder Gleichsetzungsverfahren. wt w0 ) wt ¼ w0 þ a Dt a¼ Dt (Grundgleichung) w0 þ wt 2 Dj Dt ) wt ¼ w0 2 Dt (erste Drehwinkelgleichung)

Dj ¼

2 Dj w0 Dt

2 Dj

Dt 2w0 þ a Dt ¼ Dt a w0 þ a Dt ¼

2w0 2 Dj Dt ¼0 a a rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 2 2 Dj w0 0 Dt1, 2 ¼ þ a a a

ðDtÞ2 þ

Dt ¼ f ðw0 , a, DjÞ

Aufgaben Nr. 486–493

185

186

4 Dynamik

Tabelle 4.3 Gleichma¨ßig beschleunigte Kreisbewegung v

0

Einheiten Dj

Dt

rad

s

w0 , wt rad s

a r vu rad m m s2 s

vt Δt 2

Δt

t

Beschleunigte Kreisbewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (w0 ¼ 0)

aT m s2

v-

Δv

e

Δϕ =

v0

Δϕ =

ni

vt

v

i -L

0

a¼

Winkelgeschwindigkeitszunahme Dw rad in 2 Zeitabschnitt Dt s

Winkelbeschleunigung a (bei w0 ¼ 0)

a¼

wt wt 2 2 Dj ¼ ¼ Dt 2 Dj ðDtÞ2

Winkelbeschleunigung a (bei w0 6¼ 0)

a¼

wt w0 wt 2 w0 2 ¼ Dt 2 Dj

Tangentialbeschleunigung aT

aT ¼ ar ¼

Endwinkelgeschwindigkeit wt (bei w0 ¼ 0)

wt ¼ a Dt ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2a Dj

wt ¼ w0 þ Dw ¼ w0 þ a Dt pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w0 2 þ 2a Dj

Endwinkelgeschwindigkeit wt (bei w0 6¼ 0)

wt ¼

Drehwinkel Dj (bei w0 ¼ 0)

Dj ¼

Drehwinkel Dj (bei w0 6¼ 0)

w0 þ wt aðDtÞ2 Dt ¼ w0 Dt þ 2 2 wt 2 w0 2 Dj ¼ 2a

Zeitabschnitt Dt (bei w0 ¼ 0)

Dt ¼

wt ¼ a

Zeitabschnitt Dt (bei w0 6¼ 0)

Dt ¼

wt w0 w0 ¼ a a

wt Dt aðDtÞ2 wt 2 ¼ ¼ 2 2 2a

Dj ¼

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 Dj a rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 2 2 Dj 0 þ a a

ie

v0 + vt Δt 2

Δt

t

Beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (w0 6¼ 0)

Winkelbeschleunigung a (Definition)

Dw Dvu r¼ Dt Dt

Lin

vt

v

Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden w, t-Diagramme.

4.3 Gleichma¨ßig beschleunigte (verzo¨gerte) Drehbewegung

187

Tabelle 4.4 Gleichma¨ßig verzo¨gerte Kreisbewegung v

vv ie Δt

0

rad

Dt

w0 , wt

s

rad s

a

Δϕ =

v0 Δt 2

t

Verzo¨gerte Kreisbewegung ohne Endgeschwindigkeit (wt ¼ 0)

Einheiten Dj

v0

in

v0

-L Δϕ =

r vu a T

rad m m m s2 s s2

0

a¼

Winkelgeschwindigkeitsabnahme Dw rad in 2 Zeitabschnitt Dt s

Winkelverzo¨gerung a (bei wt ¼ 0)

a¼

w0 w0 2 2 Dj ¼ ¼ Dt 2 Dj ðDtÞ2

Winkelverzo¨gerung a (bei wt 6¼ 0)

a¼

w0 wt w0 2 wt 2 ¼ Dt 2 Dj

Anfangswinkelgeschwindigkeit w0 (bei wt ¼ 0) Endwinkelgeschwindigkeit wt

aT ¼ ar ¼

Dw Dvu r¼ Dt Dt

w0 ¼ a Dt ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2a Dj

wt ¼ w0 Dw ¼ w0 a Dt pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w0 2 2a Dj

wt ¼

Drehwinkel Dj (bei wt ¼ 0)

Dj ¼

Drehwinkel Dj (bei wt 6¼ 0)

w0 þ wt aðDtÞ2 Dt ¼ w0 Dt 2 2 w0 2 wt 2 Dj ¼ 2a

Zeitabschnitt Dt (bei wt ¼ 0)

w0 ¼ Dt ¼ a

Zeitabschnitt Dt (bei wt 6¼ 0)

w0 wt w0 ¼ Dt ¼ a a

w0 Dt aðDtÞ2 w0 2 ¼ ¼ 2 2 2a

Dj ¼

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 Dj a rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 2 2 Dj 0 a a

ie

v0 + vt Δt 2

Δt

Verzo¨gerte Kreisbewegung mit Endgeschwindigkeit (wt 6¼ 0)

Winkelverzo¨gerung a (Definition)

Tangentialverzo¨gerung aT

Lin

Δv

v

vt

Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden w, t-Diagramme.

t

188

4 Dynamik

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 4.4.1 Das Tra¨gheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton’sches Axiom Nach den Gesetzen des freien Falls und der Bewegung der Ko¨rper auf der schiefen Ebene fand Galilei das Tra¨gheits- oder Beharrungsgesetz, das spa¨ter von Newton formuliert wurde:

Galileo Galilei, ital. Mathematiker und Physiker, 1564––1642. Isaac Newton, engl. Physiker, Begru¨nder der Mechanik, 1642–1726

Jeder Ko¨rper beharrt im Zustand der Ruhe (v ¼ 0) oder der gleichfo¨rmigen geradlinigen Bewegung (v ¼ konstant), solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt. Diese Ko¨rpereigenschaft heißt Tra¨gheit oder Beharrungsvermo¨gen.

Beachte: Auch die Umkehrung gilt: Wirkt keine resultierende Kraft, dann ist auch v ¼ 0 oder v ¼ konstant. Ruhezustand und gleichfo¨rmig geradlinige Bewegung sind gleichwertig. In beiden Fa¨llen wirkt keine resultierende Kraft (Betonung auf „resultierende“ Kraft).

Galilei leitete das Tra¨gheitsgesetz gedanklich von seinen Erkenntnissen bei den Bewegungsvorga¨ngen auf der schiefen Ebene ab: Aus der Ho¨he h rollt der Ko¨rper K von A nach O reibungsfrei herab. Bei O angekommen, hat pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ er eine bestimmte Geschwindigkeit (v ¼ 2gh). Leitet man den Ko¨rper von O aus auf die verschieden geneigten Bahnen OB oder OC, so wird er wieder genau bis zur Ho¨he h emporsteigen.

Bleibt der Ko¨rper jedoch auf der horizontalen Bahn OD, wirkt jetzt keine zur Bahn parallele Komponente der Gewichtskraft auf ihn. Dann ist S F ¼ 0, d. h. die Gewichtskraft FG ist gleich der Stu¨tzkraft FN (Normalkraft). Wegen S F ¼ 0 und damit Fres ¼ 0 muss der Ko¨rper mit konstanter Geschwindigkeit v auf seiner horizontalen Bahn geradlinig in Bewegung bleiben.

Tra¨gheitsgesetz

Beachte: Ist die Summe aller Kra¨fte gleich null (S F ¼ 0), dann heißt das auch, dass keine resultierende Kraftwirkung vorhanden ist, also Fres ¼ 0.

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Die Zusta¨nde „Ruhe“ und „gleichfo¨rmig geradlinige Bewegung“ heißen auch „Gleichgewichtszusta¨nde“ des Ko¨rpers, weil keine resultierende Kraft auf den Ko¨rper wirkt:

189

Beispiel: Ein Ko¨rper, der mit v ¼ konstant eine schiefe Ebene abwa¨rts gleitet, ist genauso „im Gleichgewicht“ wie der auf horizontaler Ebene ruhende Ko¨rper:

Ein Ko¨rper befindet sich dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller an ihm angreifenden a¨ußeren Kra¨fte gleich null ist (S F ¼ 0).

Man kann den vorstehenden Satz auch umkehren und sagen: Es wirkt immer dann eine resultierende Kraft Fres auf einen Ko¨rper, wenn sich sein Bewegungszustand (Ruhe oder gleichfo¨rmig geradlinige Bewegung) a¨ndert: Die resultierende Kraft Fres ist die Ursache jeder Bewegungsa¨nderung (nach Betrag und Richtung).

Eine Bewegungsa¨nderung liegt nicht nur dann vor, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit a¨ndert (v 6¼ konstant), sondern auch dann, wenn sich ihre Richtung a¨ndert, wie bei der gleichfo¨rmigen Bewegung eines Ko¨rpers auf der Kreisbahn (siehe Fliehkraft 4.9.7, Seite 242).

Man findet auf der Erde keine Mo¨glichkeit, einen Ko¨rper ohne a¨ußere Kraftwirkung in gleichfo¨rmiger Bewegung zu halten, weil niemals die Reibungswidersta¨nde der Bewegung (Unterlage, Wasser, Luft) ausgeschaltet werden ko¨nnen. Dadurch kommt jeder Ko¨rper, der sich bewegt, fru¨her oder spa¨ter zur Ruhe, wenn die Triebkraft fehlt, z. B. auch eine Stahlkugel, die u¨ber die Eisfla¨che eines Sees gestoßen wird. Rollwiderstand und Luftreibung ergeben hier eine bewegungsa¨ndernde resultierende Kraftwirkung, durch die die Kugel verzo¨gert wird.

4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte Aus der Erfahrung weiß man, dass der Tra¨gheitswiderstand eines Ko¨rpers umso gro¨ßer ist, je mehr Materie er entha¨lt. Umso gro¨ßer muss auch die resultierende Kraft Fres sein, wenn sein Bewegungszustand gea¨ndert werden soll.

Beispiel: Das Beschleunigen (oder Abbremsen) eines Gu¨terwagens erfordert eine erheblich gro¨ßere resultierende Kraft als die gleiche Bewegungsa¨nderung eines Fahrrades. Gleiche Bewegungsa¨nderung heißt hier gleiche Beschleunigung a.

190 Als ein Maß fu¨r die Menge an Materie (z. B. Luftmenge, Wassermenge, Stahlmenge) wurde die Masse m eingefu¨hrt. Sie ist damit auch zugleich ein Maß fu¨r die Tra¨gkeit des Ko¨rpers. Die gesetzliche und internationale Einheit der Masse m ist das Kilogramm (kg). 1 Gramm (g) ¼ 103 kg; 1000 g ¼ 1 kg 1 Tonne (t) ¼ 103 kg; 1000 kg ¼ 1 t Jeder Ko¨rper auf der Erde oder auf einem anderen Planeten unterliegt der Schwerkraft (Massenanziehungskraft). Diese Kraft nennt man Gewichtskraft (Formelzeichen: FG). Sie kann mit der Federwaage am frei aufgeha¨ngten Ko¨rper gemessen werden. Die Masse m eines Ko¨rpers und seine Gewichtskraft FG sind zwei physikalische Gro¨ßen verschiedener Art, man darf sie nicht miteinander verwechseln. Daher sollen beide Gro¨ßen noch klarer voneinander abgegrenzt werden: Ein z. B. 1-kg-Wa¨gestu¨ck (man sollte nicht Gewichtsstu¨ck sagen) beha¨lt u¨berall auf der Erde –– auch auf anderen Planeten –– seine Materiemenge und damit auch die gleiche Tra¨gheit. Dagegen a¨ndert sich die Gewichtskraft FG des Wa¨gestu¨ckes von der Masse m ¼ 1 kg bei jedem Ortswechsel. Das liegt an der Fallbeschleunigung g, die sich mit dem Ort a¨ndert. Beispielsweise ist die Gewichtskraft des Kilogrammstu¨cks auf der Sonnenoberfla¨che etwa 28mal so groß wie auf der Erde, wa¨hrend sie auf dem Mond nur etwa 1/6 der Erd-Gewichtskraft betra¨gt. Auch auf der Erde selbst bleibt die Gewichtskraft FG eines Ko¨rpers nicht u¨berall gleich groß, weil sich die Fallbeschleunigung g bis zu 0,5% a¨ndert, wenn man sie einmal an den Polen und zum anderen am quator misst. Zu internationalen Vergleichen hat man eine Normfallbeschleunigung gn festgelegt. Die zur Normfallbeschleunigung geho¨rende Gewichtskraft heißt Normgewichtskraft FGn.

4 Dynamik Beachte: Viel Materie ¼ große Masse m ¼ große Tra¨gheit. Wenig Materie ¼ kleine Masse m ¼ kleine Tra¨gheit. Die Masse kann durch Wa¨gung mit der Hebelwaage gemessen werden. Als gesetzliche Basiseinheit wurde dazu das Kilogramm (kg) eingefu¨hrt, dessen internationaler Kilogramm-Prototyp (ein Platin-Iridiumzylinder) im Internationalen Bu¨ro fu¨r Maße und Gewichte in Se`vres bei Paris aufbewahrt wird. In DIN 1304 (Allgemeine Formelzeichen) wird FG als Formelzeichen fu¨r die Gewichtskraft empfohlen.

Ein Ko¨rper hat viele physikalische Eigenschaften. Sie werden durch Gro¨ßen verschiedener Art beschrieben, z. B. die Temperatur T, die Wa¨rmeleitfa¨higkeit l, und auch die Masse m und die Gewichtskraft FG.

Die Gewichtskraft FG a¨ndert sich mit dem Ort, die Masse m dagegen bleibt u¨berall dieselbe. Hinweis: Den formalen Zusammenhang zwischen Masse m, Gewichtskraft FG und Fallbeschleunigung g zeigt das dynamische Grundgesetz fu¨r Gewichtskra¨fte auf Seite 192 unten. Beispiele: Normfallbeschleunigung (international festgelegt): gn ¼ 9,80665 m/s2 Fallbeschleunigung in quatorna¨he ga¨ ¼ 9,78049 m/s2 Fallbeschleunigung in Polna¨he gp ¼ 9,83221 m/s2

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

Die Masse m eines Ko¨rpers ist eine unvera¨nderliche Gro¨ße, sie wird in kg gemessen. Die Masse ist ein Skalar. Die Gewichtskraft FG eines Ko¨rpers ist eine vom Ort abha¨ngige Gro¨ße, sie wird in Newton (N) gemessen (siehe 4.4.4, Seite 193). Die Gewichtskraft ist (wie jede Kraft) ein Vektor. Die Aussage von der Unvera¨nderlichkeit der Masse m eines Ko¨rpers gilt uneingeschra¨nkt nur in der klassischen Mechanik. Das ist der Bereich fu¨r Geschwindigkeiten v, die wesentlich kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit c ¼ 300 000 km/s. In der relativistischen Mechanik mit Geschwindigkeiten v in der Gro¨ßenordnung der Lichtgeschwindigkeit c ist die Masse m eines Ko¨rpers abha¨ngig vom Geschwindigkeitsverha¨ltnis v/c. Solche Fa¨lle treten in der Technik nicht auf.

191

Beispiel: Fu¨r einen Ko¨rper von der Masse m ¼ 1 kg (z. B. das 1-kg-Wa¨gestu¨ck) wird mit der Federwaage die Gewichtskraft FG ¼ 9,81 N festgestellt: In Erdna¨he verhalten sich die Zahlenwerte der Masse m in kg und der Gewichtskraft FG in N etwa wie 1:10. Beachte: Masse m und Gewichtskraft FG sind Gro¨ßen verschiedener Art. Die relativistische Mechanik geht auf Einsteins Relativita¨tstheorie zuru¨ck. Hier gilt fu¨r die Masse m eines Ko¨rpers: m0 m ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 2 1 c

m0 Ruhemasse v Geschwindigkeit des Ko¨rpers c Lichtgeschwindigkeit

Beispiel: Fu¨r einen Ko¨rper mit der Masse m ¼ 1000 kg und der Geschwindigkeit v ¼ 0,9 c wird die Masse m0 1000 kg m ¼ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 ¼ 0,436 ¼ 2294 kg 0,9 c 1 c

Die Dichte r einer Materie ist der Quotient aus der Masse m und dem zugeho¨rigen Volumen V. Die Einheit der Dichte ist daher auch der Quotient aus einer Masseneinheit und einer Volumeneinheit. Neben der Einheit kg/m3 sind fu¨r die Dichte auch alle Einheiten zula¨ssig, die als Quotient aus einer zula¨ssigen Masseneinheit und einer zula¨ssigen Volumeneinheit gebildet werden.

Dichte r ¼ r¼

m V

Beispiele:

Masse m Volumen V r

m

V

kg m3

kg

m3

kg kg g ; ; dm3 cm3 cm3

4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton’sches Axiom Nach dem Tra¨gheitsgesetz wird ein Ko¨rper dann beschleunigt, verzo¨gert oder zu einer Richtungsa¨nderung gezwungen, wenn auf ihn eine resultierende Kraft Fres wirkt, d. h. wenn sich bei der zeichnerischen oder rechnerischen Zusammenfassung aller a¨ußeren Kra¨fte (Kra¨ftereduktion) eine resultierende Kraft Fres ergibt.

Lageskizze Kra¨fteplan Der Ko¨rper wird durch Fres ¼ Fz FR (Zugkraft minus Reibungskraft) in horizontaler Richtung beschleunigt.

192 Newton entdeckte, dass der Betrag der resultierenden Kraft Fres von der Masse m des Ko¨rpers und von der Beschleunigung a (oder Verzo¨gerung a) abha¨ngt. Jeder Versuch besta¨tigt dieses wichtigste Gesetz der Dynamik:

Die auf einen Ko¨rper von der Masse m einwirkende konstante resultierende Kraft Fres ist gleich dem Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung (Verzo¨gerung) a des Ko¨rpers.

4 Dynamik Die drei Newton’schen Axiome: Tra¨gheitsgesetz, Dynamisches Grundgesetz, Wechselwirkungsgesetz (actio gleich reactio).

Beschleuniresultierende ¼ Masse m gung a Kraft F res Fres ¼ ma Dynamisches Grundgesetz

Fres N¼

kg m s2

m

a

kg

m s2

Die Krafteinheit N (Newton) wird im folgenden Abschnitt 4.4.4 erla¨utert.

Man erkennt, dass das Tra¨gheitsgesetz (erstes Newton’sches Axiom) im dynamischen Grundgesetz enthalten ist, denn fu¨r Fres ¼ 0 ist auch a ¼ 0, d. h. der Ko¨rper wird weder beschleunigt noch verzo¨gert.

Hinweis: Ist ein Produkt gleich null, dann muss einer der Faktoren null sein; bei Fres ¼ ma ¼ 0 kann nur a ¼ 0 sein, weil m ¼ 0 nicht mo¨glich ist. Bei a ¼ 0 ruht der Ko¨rper oder er bewegt sich geradlinig gleichfo¨rmig (v ¼ konstant). Beide Zusta¨nde sind gleichwertig.

Der frei fallende Ko¨rper wird mit der Fallbeschleunigung g in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt (beim senkrechten Wurf entsprechend verzo¨gert). Die auf den Ko¨rper einwirkende resultierende Kraft ist die Gewichtskraft FG ¼ Fres. Damit kann die Gewichtskraft FG eines Ko¨rpers aus seiner Masse m (auf der Hebelwaage gewogen) und der o¨rtlichen Fallbeschleunigung g bestimmt werden. Vielfach kann man mit g ¼ 10 m/s2 rechnen. In diesem Buch und in der Aufgabensammlung wurde mit g ¼ 9,81 m/s2 gerechnet.

Fu¨r Fres wird die Gewichtskraft FG und fu¨r die Beschleunigung a die Fallbeschleunigung g in das dynamische Grundgesetz eingesetzt:

Die Normgewichtskraft FGn ist das Produkt aus der Masse m und der Normfallbeschleunigung gn (siehe Seite 190).

FallbeschleuniGewichtskraft F G ¼ Masse m gung g FG ¼ m g

FG

kg m Dynamisches N¼ 2 s Grundgesetz fu¨r Gewichtskra¨fte

FGn ¼ m gn

m

g

kg

m s2

Normgewichtskraft

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

193

4.4.4 Die gesetzliche und internationale Einheit fu¨r die Kraft Die Einheit einer physikalischen Gro¨ße erha¨lt man immer u¨ber die Definitionsgleichung fu¨r die jeweilige Gro¨ße. Fu¨r die Kraft F ist die Definitionsgleichung das dynamische Grundgesetz Fres ¼ ma. Die Einheit der Masse m ist gesetzlich und international als die Basiseinheit „Kilogramm kg“ festgelegt worden. Die Einheit fu¨r die Beschleunigung a liegt ebenfalls mit „Meter je Sekundequadrat m/s2“ fest. Also muss die Krafteinheit das Produkt dieser beiden Einheiten sein: 1 Newton (N) ist diejenige resultierende Kraft, die einem Ko¨rper von der Masse m ¼ 1 kg die Beschleunigung a ¼ 1 m/s2 erteilt.

ðFÞ ¼ ðmÞ ðaÞ m ðFÞ ¼ kg 2 ¼ kg m s2 ¼ Newton ðNÞ s 1N¼1

kg m ¼ 1 kg m s2 s2

Die Form kg m s2 wird als „Potenzprodukt von Basiseinheiten“ bezeichnet, hier der Basiseinheiten kg, m, s (Kilogramm, Meter, Sekunde).

Zur Veranschaulichung: Ha¨ngt man eine 100-g-Tafel Schokolade an einem Faden auf, dann betra¨gt die Zugkraft im Faden etwa 1 Newton. Als Krafteinheit ist das Newton natu¨rlich auch die Einheit der Gewichtskraft FG.

4.4.5 bungen zum dynamischen Grundgesetz 1. bung: Ein Mann stellt sich auf die Waage. Der Zeiger bleibt bei 75 kg stehen. Welche physikalische Bedeutung hat diese Anzeige?

Der Mann besitzt die Masse m ¼ 75 kg und damit die Normgewichtskraft: m FGn ¼ m gn ¼ 75 kg 9,80665 2 s kg m FGn ¼ 735,5 2 ¼ 735,5 N s

2. bung: An einem Kranhaken ha¨ngt ein Ko¨rper von der Masse m ¼ 2000 kg. Er soll beim Heben mit 0,3 m/s2 beschleunigt werden. Welche Zugkraft Fz hat das Seil aufzunehmen?

Gegeben: m ¼ 2000 kg m a ¼ 0,3 2 s m g ¼ 9,81 2 s Gesucht: Seilkraft Fz

Lo¨sung: Man zeichnet die Lageskizze (Ko¨rper freigemacht). Beschleunigung a und Geschwindigkeit v werden in Klammern eingetragen, um sie deutlich von den Kra¨ften zu unterscheiden. Dann zeichnet man die Kra¨fteskizze. Aus der Statik ist bekannt, dass die Resultierende vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E der a¨ußeren Kra¨fte zeigt (statischer Teil der Aufgabe): Im ersten Schritt verschafft man sich am freigemachten Ko¨rper Klarheit u¨ber den Richtungssinn der resultierenden Kraft Fres.

1. Schritt

Lageskizze

Kra¨fteskizze

Hinweis: Als positiven Richtungssinn legt man den Richtungssinn von Fres fest, weil dann a immer positiv wird: Fres ¼ Fz FG ¼ Fz m g

194

4 Dynamik

Nachdem man die Beziehung fu¨r die resultierende Kraft Fres gefunden hat, setzt man sie in die Gleichung fu¨r das dynamische Grundgesetz ein (kinetischer Teil der Aufgabe): Im zweiten Schritt setzt man Fres mit dem Produkt ma gleich; bei mehreren Teilko¨rpern gleicher Beschleunigung muss die Gesamtmasse mges eingesetzt werden.

2. Schritt

Fres ¼ Fz m g ¼ m a

In manchen Aufgaben ist die Beschleunigung a nicht direkt gegeben, sondern muss erst aus anderen Gro¨ßen bestimmt werden (kinematischer Teil der Aufgabe): Im dritten Schritt ermittelt man nach 4.1.5 (Seite 153) eine Beziehung fu¨r die Beschleunigung a, wenn sie nicht schon gegeben ist. Zum Schluss braucht man nur noch alle statischen, kinetischen und kinematischen Lo¨sungsansa¨tze algebraisch auszuwerten: Im vierten Schritt bestimmt man aus den entwickelten Gleichungen die unbekannten Gro¨ßen nach den mathematischen Gesetzen. 3. bung: Ein Kraftfahrzeug von der Masse m ¼ 1000 kg soll auf horizontaler Bahn auf einer Strecke von 100 m bis zum Stillstand abgebremst werden. Die Geschwindigkeit betra¨gt 72 km/h, der Fahrwiderstand (Summe aller Reibungswidersta¨nde) des Fahrzeugs betra¨gt Fw ¼ 500 N. Zu bestimmen ist die Bremskraft Fb . Lo¨sung: Man fertigt als Erstes wieder die Skizze des freigemachten Ko¨rpers an (Lageskizze): Gewichtskraft FG und Normalkraft FN wirken in y-Richtung (S Fy ¼ 0). In x-Richtung werden Bremskraft Fb und Fahrwiderstand Fw nach links wirkend eingetragen. Man nimmt an, dass sich das Fahrzeug von links nach rechts bewegt. Die Verzo¨gerung a ist dann nach links gerichtet, ebenso wie die resultierende Kraft Fres , die sich nach der Kra¨fteskizze als Summe von Fb und Fw ergeben muss (S Fx 6¼ 0). Das Ergebnis des ersten Schrittes ist also Fres ¼ Fb þ Fw .

3. Schritt

In der vorliegenden Aufgabe ist die Beschleunigung a ¼ 0,3 m/s2 schon bekannt.

Fres ¼ m a ¼ Fz m g

4. Schritt

Fz ¼ m a þ m g ¼ mða þ gÞ m m Fz ¼ 2000 kg 0,3 2 þ 9,81 2 s s kg m Fz ¼ 20 220 2 ¼ 20,22 kN s Gegeben:

m ¼ 1000 kg Ds ¼ 100 m km 72 m m ¼ ¼ 20 v ¼ 72 h 3,6 s s Fw ¼ 500 N

Gesucht:

Fb (Bremskraft)

1. Schritt

Lageskizze

Kra¨fteskizze (zwei Mo¨glichkeiten gezeichnet)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Fres ¼ Fb þ Fw ¼ m a Dv v v ¼ ) Dt ¼ Dt Dt a v v Dt v a v 2 ¼ ¼ Ds ¼ 2 2 2a m2 20 v2 s ¼2 m ¼ a¼ 2 Ds 2 100 m s2 a¼

2. Schritt 3. Schritt

v

Δv = v

Im zweiten Schritt wird wieder Fres und das Produkt ma gleichgesetzt. Im dritten Schritt hat man hier die Beschleunigung a zu bestimmen (kinematischer Lo¨sungsteil). Dazu wird der schon bekannte Lo¨sungsplan nach 4.1.5, Seite 153 benutzt, der hier verku¨rzt wiedergegeben wird: v; t-Diagramm, Grundgleichung, Weggleichung, Auswertung der Gleichungen (a ¼ v2 =2 Ds). Es kann die gefundene Gleichung fu¨r a in die weitere Rechnung u¨bernommen werden oder es wird der Betrag berechnet. Im letzten Schritt wertet man die entwickelten Gleichungen aus und stellt die Gleichung Fb ¼ f ðm, v, Ds, Fw Þ auf, mit der man dann noch den Betrag der Bremskraft berechnet. Vor dem Rechnen sollte immer wieder gepru¨ft werden, ob die Einheiten „stimmen“: Da rechts vom Gleichheitszeichen zwei Glieder stehen, mu¨ssen beide die gleiche Einheit fu¨hren. Das erste Glied hat die Einheit kg m/s2 ¼ N, die gleiche Einheit wie das zweite Glied.

195

0

Fb þ Fw ¼ m a Fb þ Fw ¼ m Fb ¼

A = Δs Δt

4. Schritt 2

v 2 Ds

mv 2 Fw 2 Ds

Fb ¼ f ðm, v, Ds, Fw Þ Fb ¼

1000 kg 400 2 100 m

m2 s2 500 N ¼ 1500 N

4.4.6 Prinzip von d’Alembert Das d’Alembert’sche Prinzip fu¨hrt zu einem Lo¨sungsverfahren fu¨r Dynamikaufgaben, das die meisten Techniker dem Ansatz des dynamischen Grundgesetzes vorziehen, weil es auch komplizierteste Aufgaben durchsichtig macht. Der Grundgedanke des d’Alembert’schen Prinzips ist leicht zu erfassen, wenn noch einmal die Kra¨fteskizzen zu den beiden letzten bungen betrachtet werden. In beiden Fa¨llen erha¨lt man sofort einen geschlossenen Kra¨ftezug, wenn man nur den Richtungssinn der resultierenden Kraft Fres umkehrt. Das ist der Kunstgriff, der die Mo¨glichkeit schafft, die zeichnerischen und rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf Dynamikaufgaben anzuwenden. Kurz gesagt: Aus der Dynamikaufgabe wird eine Statikaufgabe gemacht. Man mo¨chte nun noch nachweisen, dass der Richtungssinn von Fres umgekehrt werden darf und welche Bedeutung das hat.

d’Alembert, franzo¨sischer Gelehrter, 1717–1783. Beachte: Auch das Prinzip von d’Alembert beruht auf dem dynamischen Grundgesetz.

a) Kra¨ftepla¨ne zum dynamischen Grundgesetz b) Kra¨ftepla¨ne zum d’Alembert’schen Prinzip (geschlossen)

t

196 Nach dem dynamischen Grundgesetz wird jeder Ko¨rper in Pfeilrichtung der resultierenden Kraft beschleunigt. Fres ist also ausschließlich dazu erforderlich, die dem Ko¨rper innewohnende Tra¨gheit zu u¨berwinden. Die Tra¨gheit a¨ußert sich als eine Kraft, die sich der Beschleunigung widersetzt. Diese Tra¨gheitskraft T ist immer genauso groß wie Fres, aber von entgegengesetztem Richtungssinn. Wa¨chst Fres (Beschleunigung a wird gro¨ßer), dann wa¨chst in gleichem Maß auch die Tra¨gheitskraft T, denn Fres ist nur deshalb aufzubringen, weil T vorhanden ist und umgekehrt.

4 Dynamik

Hinweis: Man wa¨hlt fu¨r die Tra¨gheitskraft das Zeichen T, weil es sich nicht um eine a¨ußere Kraft handelt: Der Ko¨rper bringt sie „aus sich heraus“ hervor. Die Tra¨gheitskraft T wird durch die Masse m des Ko¨rpers hervorgerufen, daher wird sie immer im Ko¨rperschwerpunkt S angetragen.

Weil beide Kra¨fte Fres und T immer gleich groß sind, auf gleicher Wirklinie liegen und entgegengesetzten Richtungssinn haben, muss ihre geometrische Summe gleich null sein.

Fres T ¼ 0

Da der Betrag von Fres nach dem dynamischen Grundgesetz gleich ma ist, darf man auch fu¨r die Tra¨gheitskraft T ¼ ma setzen.

Tr¨agheitskraft T ¼ m a

Resultierende Kraft Fres und Beschleunigung a (Verzo¨gerung) haben immer gleichen Richtungssinn. Die Tra¨gheitskraft T wirkt der resultierenden Kraft Fres entgegen. Folglich gilt auch: Die Tra¨gheitskraft T ist immer der Beschleunigung a (oder Verzo¨gerung a) entgegengesetzt gerichtet.

Ist der Richtungssinn der Beschleunigung a (Verzo¨gerung) bekannt, kennt man auch den Richtungssinn von T ¼ ma: entgegengesetzt zu a.

Werden jetzt noch einmal die beiden Kra¨ftepla¨ne betrachtet, dann erkennt man mit d’Alembert: Wird ein Ko¨rper beschleunigt (verzo¨gert), so kann man durch Einfu¨hrung der Tra¨gheitskraft T ¼ ma fu¨r den Ko¨rper die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzen, um damit unbekannte Gro¨ßen zu bestimmen.

Beachte: Mit Hilfe des Prinzips von d’Alembert wird aus einer „Ungleichgewichtsaufgabe“ eine „Gleichgewichtsaufgabe“, die nach den Gesetzen der Statik zeichnerisch oder rechnerisch gelo¨st werden kann.

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

197

4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert Ko¨rper freimachen (Lageskizze)

1. Schritt

Beschleunigungsrichtung eintragen

2. Schritt

Tra¨gheitskraft T ¼ ma entgegengesetzt zum Richtungssinn der Beschleunigung eintragen (im Schwerpunkt angreifend) Gleichgewichtsbedingungen der Statik unter Einschluss der Tra¨gheitskraft T ansetzen oder zeichnerische Verfahren anwenden

3. Schritt 4. Schritt

Wie beim Lo¨sen von Aufgaben nach dem dynamischen Grundgesetz kann es erforderlich sein, zusa¨tzlich nach dem Lo¨sungsplan 4.1.5 (Seite 153) die Beschleunigung (Verzo¨gerung) a zu bestimmen. Aufgaben Nr. 495–514

4.4.8 bungen zum Prinzip von d’Alembert 1. bung: Wie groß muss die Anzugskraft F des Lastseiles sein, wenn eine Last von der Masse m ¼ 1000 kg mit der Beschleunigung a ¼ 1,6 m/s2 nach oben befo¨rdert werden soll?

Gegeben:

m ¼ 1000 kg m a ¼ 1,6 2 s m g ¼ 9,81 2 s

Gesucht:

F ¼ f ðm, a, gÞ

Lo¨sung: Am Lastschwerpunkt greifen zwei a¨ußere Kra¨fte an: Die Anzugskraft F im Seil und die Gewichtskraft FG. Im zweiten und dritten Schritt hat man nur darauf zu achten, dass Tra¨gheitskraft T und Beschleunigung a immer entgegengesetzten Richtungssinn erhalten. Im vierten Schritt ko¨nnen entweder die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzt werden, hier also S Fy ¼ 0, oder es wird das geschlossene Krafteck zur zeichnerischen Lo¨sung entwickelt. Hier wird die Funktionsgleichung F ¼ f ðm, a, gÞ aus der rechnerischen Gleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 gewonnen und die zeichnerische Lo¨sung skizziert.

1. Schritt

2. Schritt 3. Schritt

4. Schritt S Fy ¼ 0 ¼ F FG T F FG T ¼ 0 F mg ma ¼ 0 F ¼ mðg þ aÞ F ¼ f ðm, a, gÞ F ¼ 1000 kgð9,81 þ 1,6Þ

m ¼ 11,41 kN s2

198

4 Dynamik

Lehrbeispiel: Prinzip von d’Alembert Aufgabenstellung: Ein Lkw fa¨hrt mit v ¼ 60 km/h. Er ist mit einem Kessel beladen, der nur gegen seitliches Rollen gesichert ist. Reibungszahlen zwischen Kessel und Lkw : m0 ¼ 0,3; m ¼ 0,25 Masse des Kessels m ¼ 8000 kg. a) Welcher ku¨rzeste Bremsweg ist mo¨glich, ohne dass die Last ins Rutschen kommt?

Lo¨sung: )

(a

Soll kein Rutschen auftreten, so muss unter Beru¨cksichtigung der Tra¨gheitskraft T sein: SFy ¼ 0 ¼ FN FG FN ¼ FG SFx ¼ 0 ¼ FR0 max þ T FR0 max ¼ T ¼ ma FR0 max ¼ FN m0 ¼ FG m0 ¼ mg m0

T = ma

FR0 max = FN m0

FN

a¼

FG = mg

FR0 max mg m0 m m ¼ ¼ m0 g ¼ 0,3 9,81 2 ¼ 2,943 2 s s m m

Dem Weg Ds entspricht im v , t-Diagramm eine Dreieckfla¨che. Damit erha¨lt man die Weggleichung Ds ¼ v Dt =2, in die aus der Grundgleichung fu¨r den Zeitabschnitt Dt ¼ v =a eingesetzt wird :

Lageskizze

v

v

Ds ¼

Dt

t

a¼

v v ) Dt ¼ eingesetzt Dt a

v 2 a¼v 2 2a 60 m 2 v Dt 3,6 s Ds ¼ Ds ¼ m ¼ 47,193 m 2 2 2,943 2 s Der Bremsweg darf nicht kleiner als 47,193 m sein.

a¼

A = Weg Ds

v Dt 2

Dv v ¼ Dt Dt

Ds ¼

v

b) Der Lkw wird gleichma¨ßig gebremst und kommt nach 25 m zum Stehen. Wie groß ist die Kraft F, die der Kessel auf die Stirnwand ausu¨bt? v Dt 2 Ds ) Dt ¼ eingesetzt 2 v 2 60 m v2 m 3,6 s a¼ ¼ ¼ 5,556 2 2 Ds 2 25 m s

a¼

Lo¨sung:

(a

v Dt

Ds ¼

)

SFy ¼ 0 ¼ FN FG T = ma

F

FN ¼ FG ¼ mg

SFx ¼ 0 ¼ T F FR F ¼ T FR ¼ ma FN m

FR = FN m FG = mg

FN

F ¼ ma mgm ¼ mða gmÞ F ¼ 8000 kg ð5,556 9,81 0,25Þ F ¼ 24 824 N 24,8 kN

Lageskizze

m kg m ¼ 24 828 s2 s2

Die Kraft auf die Stirnwand betra¨gt 24,8 kN.

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 2. bung: Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel a ¼ 30 zur Horizontalen liegt ein Ko¨rper von der Masse m1. ber Seil und Rolle ist er mit einem zweiten Ko¨rper von der Masse m2 ¼ 1,5m1 verbunden. Die Reibungszahl betra¨gt m ¼ 0,2. Rolle und Seil sind masselos und reibungsfrei gedacht. Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die beiden Ko¨rper?

199

Gegeben:

m1 m2 ¼ 1,5m1 a ¼ 30 m ¼ 0,2 m g ¼ 9,81 2 s

Gesucht: a ¼ f ðm, m, a, gÞ

Lo¨sung: Man schneidet das Seil gedanklich durch und fertigt fu¨r beide Ko¨rper die Lageskizze an. Da Seil und Rolle masselos und reibungsfrei sein sollen, muss die Seilkraft F an jeder Stelle des Seils gleich groß sein; man braucht also nicht zwischen F1 und F2 zu unterscheiden.

1.–3. Schritt

Lageskizze fu¨r Ko¨rper 1

Aus der zweiten Gleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 fu¨r Ko¨rper 1 folgt FN ¼ FG1 cos a. Diesen Ausdruck braucht man fu¨r die Reibungskraft FR ¼ FN m ¼ FG1 cos a m in der Gleichgewichtsbedingung S Fx ¼ 0, die nach F auflo¨st wird. Fu¨r FG1 setzt man m1g ein, fu¨r die Tra¨gheitskraft T1 ¼ m1 a.

Lageskizze fu¨r Ko¨rper 2 4. Schritt

S Fx ¼ 0 ¼ F FR FG1 sin a T1 SFy ¼ 0 ¼ FN FG1 cos a ) FN ¼ FG1 cos a F ¼ FR þ FG1 sin a þ T1 ¼ FN m þ FG1 sin a þ T1 F ¼ FG1 cos a m þ FG1 sin a þ T1 F ¼ m1 g m cos a þ m1 g sin a þ m1 a F ¼ m1 ðg m cos a þ g sin a þ aÞ

Fu¨r den Ko¨rper 2 ist nur die Gleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 anzusetzen. Daraus findet man eine zweite Gleichung fu¨r die Seilkraft F.

S Fy ¼ 0 ¼ F þ T2 FG2 ; T2 ¼ m2 a

Zum Schluss werden beide Gleichungen fu¨r die Seilkraft F einander gleich gesetzt. Als Vereinfachung bietet sich hier an, mit dem Verha¨ltnis der beiden Massen zu arbeiten. Man setzt also k ¼ m2 /m1 und lo¨st die Gleichung nach der gesuchten Beschleunigung a auf.

m1 ðg m cos a þ g sin a þ aÞ ¼ m2 ðg aÞ

F ¼ m2 g m2 a ¼ m2 ðg aÞ

m2 g m cos a þ g sin a þ a ¼ ¼k m1 ga k g k a ¼ gð m cos a þ sin aÞ þ a að1 þ kÞ ¼ gðk m cos a sin aÞ a¼g

k m cos a sin a kþ1

a ¼ f ðk, g, m, aÞ

200 Bei dem gegebenen Neigungswinkel von 30 ergibt sich eine Beschleunigung a ¼ 3,244 m/s2. Verkleinert man den Neigungswinkel a, dann a¨ndert sich auch die Beschleunigung, und zwar mu¨sste sie nach der Erfahrung gro¨ßer werden. Fu¨r a ¼ 0 wu¨rde z. B. sin a ¼ 0 und m cos a ¼ 0,2 1 ¼ 0,2 und damit a ¼ 1,3g=2,5 ¼ 5,101 m=s2 . Aufgaben dieser Art kann man auch lo¨sen, ohne die beiden Ko¨rper voneinander zu trennen. Trotzdem sollten vorher die Lageskizzen wie oben angefertigt werden, damit die Gewichtskraftkomponenten klar erkannt und tatsa¨chlich alle Kra¨fte erfasst werden. Man kann dabei nach Bild a) vorgehen und danach die Gleichgewichtsbedingung S Fx ¼ 0 ansetzen. Am einfachsten wird der Ansatz zur Lo¨sung, wenn man beide Ko¨rper sofort zu einem zusammenfasst (mges ¼ 2,5m) Bild b). Das ist richtig, weil beide Ko¨rper der gleichen Beschleunigung unterliegen. Aber auch hier sollte man von den beiden Lageskizzen der ersten Lo¨sung ausgehen, um klare Verha¨ltnisse zu schaffen. Das gilt vor allem fu¨r den richtigen Ansatz fu¨r die Reibungskraft FR ¼ FN m, worin FN durch FG1 cos a ersetzt werden muss.

4 Dynamik m 1,5 0,2 cos 30 sin 30 s2 1,5 þ 1 m a ¼ 3,244 2 s a ¼ 9,81

a)

1.–3. Schritt

b) Ansatz nach Lageskizze b):

4. Schritt

S Fx ¼ 0 ¼ FG2 T FG1 sin a FN m FG1 ¼ mg; FG2 ¼ 1,5mg FN ¼ FG1 cos a ¼ m g cos a 1,5 m g 2,5 m a m g sin a m g cos a m ¼ 0 1,5g 2,5a g sin a g m cos a ¼ 0 2,5a ¼ gð1,5 m cos a sin aÞ ¼ 0 a¼

g m ð1,5 m cos a sin aÞ ¼ 3,244 2 2,5 s

a ¼ 20 m0 ¼ 0,4 m g ¼ 9,81 2 s

3. bung: Ein Transportband soll die Last von der Masse m nach oben befo¨rdern. Das Band ist unter dem Winkel a ¼ 20 zur Waagerechten geneigt. Die Haftreibungszahl betra¨gt m0 ¼ 0,4.

Gegeben:

Gesucht ist die ho¨chstzula¨ssige Bandbeschleunigung amax, bei der ein Rutschen der Last gerade noch vermieden wird.

Gesucht: amax ¼ f ða, m0 , gÞ

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

201

Lo¨sung: Die Lageskizze entha¨lt alle am Ko¨rper angreifenden Kra¨fte einschließlich der Tra¨gheitskraft T ¼ mamax. Da der Ko¨rper nach rechts oben beschleunigt wird, wirkt die Tra¨gheitskraft T nach links unten. Die Haftreibungskraft FR0 max nimmt den Ko¨rper nach oben mit. Sie muss also den entsprechenden Richtungssinn erhalten. Nach der Lageskizze werden die beiden Gleichgewichtsbedingungen fu¨r das zentrale Kra¨ftesystem angesetzt. Aus S Fy ¼ 0 findet man die Beziehung fu¨r die Normalkraft FN , fu¨r FG wird wie u¨blich das Produkt aus Masse m und Fallbeschleunigung g eingesetzt, ebenso fu¨r T ¼ mamax. Damit erha¨lt man die gesuchte Gleichung und kann amax berechnen.

1.–3. Schritt

Lageskizze 4. Schritt S Fx ¼ 0 ¼ FR0 max FG sin a T S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a FR0 max ¼ FN m0 ¼ FG cos a m0 ¼ m g m0 cos a S Fx ¼ 0 ¼ m g m0 cos a m g sin a m amax m amax ¼ gðm0 cos a sin aÞ amax ¼ 0,33 2 s a ¼ f ða, m0 , gÞ

Bisher wurden die Aufgaben mit Hilfe der rechnerischen (analytischen) Gleichgewichtsbedingungen gelo¨st. Natu¨rlich kann diese Aufgabe auch trigonometrisch gelo¨st werden. Man beginnt die Krafteckskizze mit FN und FR0 max , die man zu Fe zusammensetzt, um damit das geschlossene Krafteck aus Fe , T und FG zu zeichnen. Krafteckskizze

Nun wird der Sinussatz angesetzt und dabei beachtet, dass man fu¨r sin ð90 r0 Þ den Funktionswert cos r0 einsetzen kann. Die Gewichtskraft FG wird durch FG ¼ mg ausgedru¨ckt, ebenso die Tra¨gheitskraft T durch T ¼ m amax . Die Gleichung wird durch die Masse m dividiert und nach amax aufgelo¨st.

T FG FG ¼ ¼ sin ðr0 aÞ sin ð90 r0 Þ cos r0

m amax m g

¼ :m sin ðr0 aÞ cos r0

Die Rechnung fu¨hrt zum gleichen Ergebnis, obwohl die Gleichung eine andere Form besitzt. Es wird hier gezeigt, wie die erste Gleichung in die zweite u¨berfu¨hrt werden kann. Dazu ersetzt man zuna¨chst die Haftreibungszahl m0 durch den Tangens des Reibungswinkels. Zur Vereinfachung schreibt man amax ¼ a.

amax ¼ f ða, r0 , gÞ

amax ¼ g

sin ðr0 aÞ cos r0

amax ¼ 0,33

a ¼ gðm0 cos a sin aÞ m0 ¼ tan r0 ¼

sin r0 cos r0

sin r0 a¼g cos a sin a cos r0

m s2

202 Die beiden Glieder in der Klammer bringt man auf den Hauptnenner cos r0 , indem sin a mit 1 ¼ cos r0 =cos r0 erweitert wird. Dadurch erha¨lt man u¨ber dem Bruchstrich einen zweigliedrigen Ausdruck, der nach den trigonometrischen Regeln durch sin ðr0 aÞ ersetzt werden kann (siehe Handbuch Maschinenbau: Additionstheoreme, Summenformeln). Das Ziel ist erreicht.

4 Dynamik a¼g a¼g

sin r0 cos r0 cos a sin a cos r0 cos r0

sin r0 cos a cos r0 sin a cos r0

sin ðr0 aÞ a¼g ¼ gðm0 cos a sin aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} cos r0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ ﬄ} erste Form zweite Form

4.4.9 Impuls (Bewegungsgro¨ße) und Impulserhaltungssatz Es ist mo¨glich das dynamische Grundgesetz in eine andere Form zu bringen. Dazu schreibt man fu¨r die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt und multipliziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung eignet sich besonders fu¨r Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine Rolle spielt.

Das Produkt aus der resultierenden a¨ußeren Kraft Fres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Kraftstoß. Das Produkt aus der Masse m eines Ko¨rpers und seiner Geschwindigkeit v wird als Impuls oder Bewegungsgro¨ße bezeichnet:

Fres ¼ m a

a¼

Dv Dt

Dv

Dt Dt

Dt ¼ t2 t1 Fres Dt ¼ m Dv Dv ¼ v2 v1

Fres ¼ m

Fres ðt2 t1 Þ ¼ m ðv2 v1 Þ |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} Dt Dv

Fres Dt

Kraftstoß der resultierenden Kraft

mv

Impuls (Bewegungsgro¨ße) des Ko¨rpers

Die nderung des Impulses eines Ko¨rpers ist gleich dem Kraftstoß der resultierenden Kraft wa¨hrend des betrachteten Zeitabschnitts Dt. Der Impuls ist ein Vektor.

Fres Dt ¼ m v2 m v1

Ist die Resultierende Fres aller a¨ußeren Kra¨fte gleich null (kra¨ftefreies System), dann ist auch der Kraftstoß Fres Dt gleich null:

Fres Dt ¼ m v2 m v1 ¼ 0

Bei Fres ¼ 0 bleibt der Impuls eines Ko¨rpers unvera¨ndert (mv ¼ konstant).

m v2 ¼ m v1 ¼ konstant

Der Impulserhaltungssatz wird beim physikalischen Vorgang „Stoß“ und in der Hydrodynamik angewendet (siehe 4.8, Seite 224).

gilt fu¨r Fres ¼ konstant

Impulserhaltungssatz

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

203 m ¼ 14700 kg m 80 m ¼ v ¼ 80 min 60 s Dt ¼ 0,5 s

bung: Ein Hobelmaschinentisch mit Werkstu¨ck besitzt die Masse m ¼ 14 700 kg. Er wird aus einer Schnittgeschwindigkeit von 80 m/min in 0,5 s bis zum Stillstand gleichma¨ßig abgebremst. Wie groß muss die Bremskraft Fb sein, wenn von Reibungskra¨ften abgesehen wird?

Gegeben:

Lo¨sung: Ohne Beru¨cksichtigung der Reibungskraft ist Fres ¼ Fb. Da die Endgeschwindigkeit vt ¼ 0 sein soll, ist Dv ¼ v0 vt ¼ v0 0 ¼ v0 ¼ v, womit sich sofort die Gleichung fu¨r die Bremskraft Fb ¼ f ðm, v, DtÞ ergibt.

Fres ¼ Fb Fb Dt ¼ m Dv Dv ¼ v

Gesucht: Fb ¼ f ðm, v, DtÞ

mv Fb ¼ Dt

Fb ¼

14,7 103 kg

80 m 60 s

0,5 s

Fb ¼ f ðm, v, DtÞ Fb ¼ 39200 N

Aufgaben Nr. 515–523

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 4.5.1 Arbeit W einer konstanten Kraft F Soll der skizzierte Wagen la¨ngs eines Weges s gezogen (oder geschoben) werden, muss dazu eine Kraft F in Richtung des Weges wirken. Ihren Betrag kann man z. B. mit einer Federwaage messen. Zuna¨chst wird angenommen: Die Kraft F wirkt exakt in Richtung des Weges, also nicht etwa schra¨g nach oben oder unten, und ihr Betrag bleibt wa¨hrend des Vorgangs gleich groß (F ¼ konstant). Um den physikalischen Aufwand bei solchen Vorga¨ngen vergleichen zu ko¨nnen, hat man den Begriff der Arbeit W geschaffen: Die Arbeit W einer konstanten Kraft F ist das Produkt aus Kraft F und Verschiebeweg s (Arbeit gleich Kraft mal Weg). Die Arbeit ist ein Skalar.

Kraftwirkung la¨ngs eines Weges ist die Arbeit W Hinweis: Im Unterschied z. B. zur elektrischen Arbeit spricht man bei Kra¨ften auch von mechanischer Arbeit.

W ¼ Fs Definitionsgleichung der mechanischen Arbeit

W

F

s

Nm ¼ J N m 1 Nm ¼ 1 J ¼ 1 Ws Nm Newtonmeter Ws Wattsekunde

Die Einheit fu¨r die Arbeit erha¨lt man aus der Definitionsgleichung W ¼ Fs.

ðWÞ ¼ ðFÞ ðsÞ ¼ N m ¼ kg m kg m2 ¼ 2 m¼ 2 ¼J s s

Die gesetzliche und internationale Einheit der Arbeit W ist das Joule J.

Die Einheit Joule wurde nach dem Physiker J. P. Joule (1818–1889) benannt. Aussprache: „dschul“.

204

1 Joule (Kurzzeichen J) ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der Kraft 1 Newton (1 N) in Richtung der Kraft um den Weg 1 m verschoben wird (1 J ¼ 1 Nm). Im Ergebnis einer Rechnung wird nicht mehr das Newtonmeter (Nm) als Einheit eingesetzt, sondern das Joule (J). Es wurde fu¨r die mechanische Arbeit, die elektrische Arbeit, die Wa¨rmemenge und die Energie die gleiche Einheit festgelegt, das Joule (J), weil es sich um physikalische Gro¨ßen gleicher Art handelt. Bei schra¨g am Ko¨rper angreifenden Kra¨ften werden ha¨ufig Fehler gemacht. Zur Berechnung der aufgebrachten Arbeit W darf man in solchen Fa¨llen nur die Kraftkomponente einsetzen, die tatsa¨chlich Arbeit verrichtet. Das ist immer nur die in Bewegungsrichtung fallende Kraftkomponente, hier die Kraft F cos a. Die zweite Komponente F sin a dru¨ckt den Ko¨rper auf seine Unterlage, ohne ihn zu verschieben. Mit ihr wird also keine Arbeit im Sinn der Begriffsbestimmung aufgebracht: Fallen Kraft- und Wegrichtung nicht zusammen, muss mit der Kraftkomponente gerechnet werden, die in die Bewegungsrichtung fa¨llt.

4 Dynamik

1 Joule ðJÞ ¼ 1 Nm ¼ 1

kg m2 ¼ 1 m2 kg s2 s2

Zur Veranschaulichung: Hebt man eine 100-g-Tafel Schokolade 1 m hoch, dann hat man an der Tafel die Arbeit von etwa 1 Joule aufgebracht. Beispiel: Ein Auto wird mit der konstanten Kraft F ¼ 300 N parallel zur Fahrbahn gezogen. Der Verschiebeweg betra¨gt s ¼ 15 m. Dann gilt fu¨r die mechanische Arbeit: W ¼ Fs ¼ 300 N 15 m ¼ 4 500 Nm ¼ 4 500 J

Arbeit W einer schra¨g wirkenden Kraft (W ¼ F cos a s)

mechanische Arbeit bei schra¨g angreifender Kraft

W ¼ F cos as

Welche Winkelfunktion zu benutzen ist (sin oder cos ) ha¨ngt von der Lage des Winkels ab (siehe 1. bung, Seite 206).

In jedem F, s-Diagramm entspricht die Fla¨che A unter der Kraftlinie der von der Kraft F aufgebrachten Arbeit W.

F

Wird die Kraft F u¨ber dem Weg s in einem rechtwinkligen Achsenkreuz aufgetragen, so erha¨lt man das Kraft-Weg-Diagramm (F, s-Diagramm). Bei konstanter Kraft F ist die Kraftlinie eine zur s-Achse parallele Gerade. Die Fla¨che A unter der Kraftlinie ist dann ein Rechteck mit dem Fla¨cheninhalt A ¼ Fs, und man erkennt:

Kraft F

4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W Kraft-Linie (F-Linie) Fläche A = Arbeit W denn A = Fs = W

s

Weg s

F; s-Diagramm (Arbeitsdiagramm) bei konstanter Kraft F

Fl¨ache A ¼ b Arbeit W ¼ Fs

F-Linie

A4 A3

F2

A2

F1

Das ist eine wichtige Erkenntnis, denn es ist jetzt mo¨glich auch die Arbeit W einer vera¨nderlichen Kraft F zu berechnen. Das entspricht dem Vorgehen zur Bestimmung des Wegabschnitts bei der gleichma¨ßig beschleunigten Bewegung im v, t-Diagramm. Man zerlegt in solchen Fa¨llen die Gesamtfla¨che in berechenbare Teilfla¨chen (Rechtecke, Trapeze, Dreiecke) und erha¨lt die Gesamtarbeit als Summe der Teilarbeiten.

205 Kraft F

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

A1 s1

Arbeit W = A1 + A2 + A3 + A4 s2

s3

Weg s

s4

Gesamtweg

F, s-Diagramm einer vera¨nderlichen Kraft F

Die Federrate R gibt an, welche Kraft F fu¨r einen Federweg s ¼ 1 mm erforderlich ist. Formal exakter: Die Federrate ist im elastischen Bereich der Proportionalita¨tsfaktor zwischen Federkraft F und Federweg (Verformungsweg) s einer Feder: F ¼ Rs. Mit der Federrate R ¼ F1 =s1 ¼ F2 =s2 und daraus F1 ¼ Rs1 sowie F2 ¼ Rs2 kann man eine Gleichung fu¨r die Federarbeit Wf entwickeln, in der nur die Federrate R und die Federwege s1, s2 enthalten sind. Wie die Entwicklung zeigt, ergibt sich das Binom ðs2 þ s1 Þðs2 s1 Þ ¼ s2 2 s1 2 . 1) 2)

F-L

ini

e F2

ΔF F1

Wichtigstes Beispiel fu¨r die Arbeit einer vera¨nderlichen Kraft ist die zur Forma¨nderung einer Feder aufzubringende Arbeit Wf (Federkraft). Bei den meisten Federn steigt die zur Forma¨nderung erforderliche Kraft von null gleichma¨ßig (linear) an. Die Kraftlinie ist eine ansteigende Gerade; sie heißt auch Federkennlinie. Angenommen, eine schon vorgespannte Schraubenzugfeder soll um Ds verla¨ngert werden. Dann steigt die dazu erforderliche Zugkraft von F1 auf F2 an. Die Fla¨che unter der Federkennlinie hat Trapezform, das heißt, die Federarbeit kann aus Wf ¼ ðF1 þ F2 Þ Ds=2 berechnet werden. Meistens ist die Federrate R der Feder bekannt, oder sie wird durch einen Versuch bestimmt1):

Federkraft F

4.5.3 Federarbeit Wf (Forma¨nderungsarbeit) als Arbeit einer vera¨nderlichen Kraft

A = Wf

a Δs

s1

Federweg s

s2 F0 = 0

F1 F2

Federarbeit (Forma¨nderungsarbeit) Wf beim Spannen einer Schraubenzugfeder

R¼

Federkraft F Federweg s

R¼

DF F1 F2 ¼ ¼ ¼ ... Ds s1 s2

Wf ¼

F1 þ F2 Ds 2

Federrate 2) R

F

s

N N mm mm

Federarbeit

Rs1 þ Rs2 ðs2 s1 Þ 2 R Wf ¼ ðs2 þ s1 Þ ðs2 s1 Þ 2 Wf ¼

Versuch in A. Bo¨ge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lo¨sungen, Vieweg þ Teubner 2008 Bezeichnung Federrate R nach DIN 2089, Nov. 92

206 Setzt man in Rechnungen die Federrate in N/mm und den Federweg s in mm ein, erha¨lt man die Federarbeit Wf in Nmm. Wf ist die Arbeit, die an einer um s1 vorgespannten Feder verrichtet werden muss, um sie auf die Strecke s2 weiter zu verformen.

4 Dynamik

Wf ¼

R 2 ðs2 s1 2 Þ 2

Wf

R

Federarbeit

s

N mm mm 1 Nm ¼ 1000 Nmm ¼ 1 J Nm

4.5.4 bungen mit der Gro¨ße Arbeit 1. bung: Ein Wagen von der Masse m ¼ 400 kg soll auf eine um h ¼ 2,4 m ho¨her liegende Rampe gebracht werden: a) mit Hilfe eines Krans, b) durch Verschieben auf einer unter a ¼ 30 geneigten Fahrbahn. Im Fall b) soll die Verschiebekraft F parallel zur schiefen Ebene wirken. Die Reibung soll unberu¨cksichtigt bleiben (geringe Rollreibung). Fu¨r beide Fa¨lle ist die aufzubringende Arbeit W zu bestimmen. Lo¨sung: a) Bei Kranen und anderen Senkrechtfo¨rdergera¨ten spricht man von Hubarbeit Wh . Da hier die Seilkraft F gleich der konstanten Gewichtskraft FG ¼ mg zu u¨berwinden ist, gilt Wh ¼ FG h ¼ m g h. Wichtig ist die Erkenntnis, dass fu¨r horizontale Bewegungen des Krans mit der Last keine Hubarbeit aufgebracht werden muss, weil keine Ho¨hendifferenz zu u¨berwinden ist (Dh ¼ 0). b) Man beginnt mit der Skizze des freigemachten Wagens (Lageskizze) und entwickelt daraus die Krafteckskizze. Schon hier erkennt man, dass die Verschiebekraft F gleich der Gewichtskraftkomponente FG sin a ist. Diese Komponente heißt auch Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FG. Zu bungszwecken werden noch einmal die beiden Gleichgewichtsbedingungen angesetzt (Achsenkreuz um a zur Waagerechten gedreht).

m ¼ 400 kg h ¼ 2,4 m a ¼ 30

Gegeben:

Masse Ho¨he Winkel

Gesucht:

Hubarbeit Wh

W h ¼ FG h ¼ m g h

Hubarbeit

Wh

FG

m

h

g

J ¼ Nm

N

kg

m

m s2

m 2,4 m s2 Wh ¼ 9 417,6 Nm ¼ 9 417,6 J Wh ¼ m g h ¼ 400 kg 9,81

Lageskizze

Krafteckskizze

S Fx ¼ 0 ¼ F FG sin a ) F ¼ FG sin a S Fy ¼ 0 ¼ FN FG cos a

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

207

Mit F ¼ FG sin a hat man die in Wegrichtung fallende Verschiebekraft (Kraft- und Wegrichtung mu¨ssen zusammenfallen). Der Verschiebeweg s kann mit Hilfe der Sinusfunktion aus der Hubho¨he h bestimmt werden (s ¼ h=sin a).

Da auch hier die Verschiebekraft konstant ist, gilt die einfache Beziehung: Arbeit ist gleich Kraft mal Weg. Die Rechnung fu¨hrt zum gleichen Ergebnis wie im Fall des Krans ( sin a ku¨rzt sich heraus). Das heißt: Es ist gleichgu¨ltig, auf welchem Weg eine Last auf eine ho¨here Ebene gebracht wird. Immer ist dazu die Hubarbeit Wh ¼ Gewichtskraft FG mal Hubho¨he h erforderlich. Horizontale Verschiebungen einer Last haben keinen Einfluss auf die Hubarbeit. 2. bung: In eine Vorrichtung sollen SchraubenDruckfedern eingebaut werden, deren Federrate vorher zu R ¼ 80 N/mm ermittelt worden ist. Jede Feder soll nach dem Einbau unter einer Vorspannkraft F1 ¼ 400 N stehen. Sie wird dann um weitere 12 mm zusammengedru¨ckt. Nach dem skizzierten Federdiagramm sind zu bestimmen: a) der Vorspannweg s1 nach dem Einbau, b) die maximale Federkraft F2, c) die Federarbeit Wf beim Betriebshub. Lo¨sung: a) Die Federrate R ist der Quotient aus Federkraft und Federweg, also bekommt man aus R ¼ F1/s1 den Vorspannweg s1. b) Auf gleiche Weise findet man die maximale Federkraft F2. Es darf nur nicht der falsche Federweg einsetzt werden: Zur Federkraft F2 geho¨rt der Federweg s2.

sin a ¼ s¼

W ¼ Fs ¼ FG sin a

h s

h sin a

h sin a

h ¼ FG h ¼ m g h sin a W ¼ m g h ¼ 9417,6 J (wie vorher)

W ¼ FG sin a

Beachte: Beim Verschieben einer Last auf einer schiefen Ebene wird nichts an mechanischer Arbeit gespart. Zwar wird die Verschiebekraft umso kleiner, je kleiner der Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist, umso gro¨ßer wird dann jedoch der Verschiebeweg. Das Produkt aus beiden ist immer wieder gleich der Hubarbeit.

Gegeben:

Gesucht:

R¼

N mm Vorspannkraft F1 ¼ 400 N Ds ¼ 12 mm Vorspannweg s1 Federkraft F2 Federarbeit Wf

Federrate R ¼ 80

F1 F2 ¼ ¼ ... s1 s2

F1 400 N ¼ 5 mm ¼ N R 80 mm F2 ¼ R s2 (nicht etwa ¼ R Ds)

s1 ¼

F2 ¼ 80

N 17 mm ¼ 1360 N mm

208 c) Die Federarbeit wa¨hrend des Hubes findet man mit den entsprechenden Gro¨ßen als Trapezfla¨che unter der Federkennlinie. Wird die fru¨her hergeleitete Gleichung mit der Federrate R benutzt, darf nicht ðs2 2 s1 2 Þ ¼ ðDsÞ2 gesetzt werden. Natu¨rlich kann man auch eine Funktionsgleichung Wf ¼ f ðR, F1 , DsÞ fu¨r die urspru¨nglich gegebenen Gro¨ßen entwickeln.

4 Dynamik Wf ¼ oder:

F1 þ F2 Ds ¼ 10 560 Nmm 2

R 2 80 N ðs2 s1 2 Þ ¼ ð289 25Þ mm2 2 2 mm Wf ¼ 10,56 Nm ¼ 10,56 J Wf ¼

Wf ¼

2F1 þ R Ds 2

Federarbeit

Wf ¼ f ðR, F1 , DsÞ

3. bung: Ein Werkstu¨ck von der Masse m ¼ 10 kg soll auf horizontaler Bahn durch die Kraft F mit konstanter Geschwindigkeit v um den Weg sR ¼ 2 m verschoben werden. Die Kraft F greift unter dem Winkel a ¼ 30 zur Horizontalen an. Die Gleitreibungszahl zwischen Werkstu¨ck und Unterlage betra¨gt m ¼ 0,25. Gesucht wird eine Gleichung fu¨r die Reibungsarbeit WR und deren Betrag.

Gegeben:

Masse m ¼ 10 kg Reibungszahl m ¼ 0,25 Winkel a ¼ 30 Weg sR ¼ 2 m

Gesucht:

Reibungsarbeit WR ¼ f ðm, g, m, a, sR Þ

Lo¨sung: Zuna¨chst wird festgelegt, was unter Reibungsarbeit zu verstehen ist: Reibungsarbeit WR ist das Produkt aus der konstanten Reibungskraft FR und dem Reibungsweg sR. Die erste Aufgabe besteht darin, eine Beziehung fu¨r die Normalkraft FN zu entwickeln. Man erha¨lt sie aus den Gleichgewichtsbedingungen fu¨r das freigemachte Werkstu¨ck, indem sowohl S Fx ¼ 0 als auch S Fy ¼ 0 nach F aufgelo¨st wird und dann die beiden Gleichungen gleichgesetzt werden: FN m=cos a ¼ ðFN FG Þ=sin a : Beim Auflo¨sen nach FN ergibt sich der Quotient sin a=cos a, der durch tan a ersetzt wird. Mit der Beziehung fu¨r die Normalkraft FN erha¨lt man die gesuchte Funktionsgleichung WR ¼ f ðm, g, m, a, sR Þ. Die Reibungsarbeit WR ist die beim Verschieben des Werkstu¨cks erforderliche Arbeit. Sie wandelt sich in Wa¨rme um. Das Endergebnis schreibt man mit der Einheit Joule (J), weil dies die gesetzliche Einheit fu¨r die Arbeit ist (1 Nm ¼ 1 J).

W R ¼ F R sR W R ¼ F N m sR

Reibungsarbeit

S Fx ¼ 0 ¼ F cos a FN m S Fy ¼ 0 ¼ FN FG F sin a m FN FG ¼ sin a cos a FG mg FN ¼ ¼ 1 m tan a 1 m tan a

F ¼ FN

W R ¼ F R s R ¼ F N m sR ¼

mg m sR 1 m tan a

WR ¼ f ðm, g, m, a, sR Þ m 10 kg 9,81 2 s 0,25 2 m WR ¼ 1 0,25 tan 30 WR ¼ 57,32 Nm ¼ 57,32 J

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Diskussion der Gleichung fu¨r die Reibungsarbeit WR Bei der nummerischen Auswertung der Gleichung ko¨nnen sich positive oder negative Werte oder null ergeben. Das richtet sich nach dem Wert des Nenners 1 m tan a. Die Reibungszahl m ist immer positiv mit technisch brauchbaren Werten m > 0 < 0,5. Das gilt auch fu¨r Winkelwerte von a 0 < 90 . Negative Werte fu¨r die Reibungsarbeit WR ko¨nnen sich bei großen m- und großen a-Werten ergeben (physikalisch unbrauchbar). Wird der Nenner null, dann ist die Reibungsarbeit WR unendlich groß. Das System ist selbsthemmend.

209

Bei 1 > m tan a ergeben sich positive Werte fu¨r die Reibungsarbeit (WR > 0). Das ist der u¨bliche Fall. Bei 1 ¼ m tan a liegt Selbsthemmung vor (WR ! 1). Bei 1 < m tan a ergeben sich physikalisch unbrauchbare Werte fu¨r die Reibungsarbeit (WR < 0).

4.5.5 Leistung P Ist die mechanische Arbeit W, die zur Ortsvera¨nderung eines Ko¨rpers erforderlich ist bekannt, dann ist damit noch nichts u¨ber die Zeit ausgesagt, in der diese Arbeit verrichtet wird. Gerade das aber muss man in der Technik wissen, weil zeitlich geplant werden muss. Es wurde daher die in der Zeiteinheit (1 s) verrichtete Arbeit als besondere Gro¨ße festgelegt: Die Leistung P ist der Quotient aus der verrichteten Arbeit W und der dazu erforderlichen oder verwendeten Zeit t (Leistung gleich Arbeit durch Zeit). Die Leistung ist ein Skalar. Die gesetzliche und internationale Einheit der Leistung P ist das Watt W: 1 Watt (Kurzzeichen W) ist gleich der Leistung, bei der wa¨hrend der Zeit 1 s die Arbeit 1 J umgesetzt wird. Mit der Gleichung P ¼ W/t berechnet man die mittlere Leistung wa¨hrend eines Zeitabschnittes t, denn es ist unbekannt, ob in der dritten Sekunde ebenso viel Arbeit verrichtet worden ist wie in der zwo¨lften Sekunde. Das Endergebnis wird mit der Einheit Watt (W) geschrieben, weil dies die gesetzliche Einheit fu¨r die Leistung ist (1 Nm/s ¼ 1 W). Siehe auch Vorsatzzeichen (Vorsa¨tze) am Ende des Buches.

Beispiel: Zum Heben einer Last ist eine Hubarbeit Wh ¼ 10000 J erforderlich. Zur Planung muss man wissen, ob diese Arbeit mit den vorhandenen Gera¨ten in einer Stunde oder in einer Minute „geleistet“ werden kann. P¼

Arbeit W Definitionsgleichung zugeh¨orige Zeit t der Leistung

P¼

W t

P

W

t

J Nm ¼ ¼ W J ¼ Nm s s s J Nm Mittlere Leistung wa¨hrend der Zeit t 1 s ¼ 1 s ¼ 1 W Die Einheit Watt wurde nach dem englischen Erfinder der ersten brauchbaren Dampfmaschine J. Watt (1736–1819) benannt. 1W¼1

J Nm ¼1 ¼ 1 m2 kg s3 s s

Beispiel: Ein Kran hebt einen Ko¨rper von der Masse m ¼ 600 kg auf h ¼ 5 m Ho¨he. Der Vorgang dauert 100 s. Die Hubgeschwindigkeit v a¨ndert sich dabei mehrfach. m Wh m g h 600 kg 9,81 s2 5 m ¼ ¼ Ph ¼ t t 100 s Nm J ¼ 294,3 ¼ 294,3 W Ph ¼ 294,3 s s Ph ¼ 0,294 kW mittlere Leistung.

210 Sind die Arbeitsbetra¨ge je Sekunde verschieden groß, dann gilt das auch fu¨r die Leistungen. Das kann zwei Ursachen haben: Entweder ist die Kraft F, welche die Arbeit verrichtet, nicht konstant, oder es werden in gleichen Zeiten verschiedene Wege zuru¨ckgelegt, d. h. die Geschwindigkeit v ist nicht konstant. Es kann auch beides zugleich der Fall sein. Aus der Definitionsgleichung fu¨r die Leistung P ¼ W/t kann eine Gleichung fu¨r die Momentanleistung entwickelt werden, die unbeschra¨nkt angewendet werden kann, also nicht nur bei konstanter Arbeit. Die Leistung P ist das Produkt aus der Verschiebekraft F und der Verschiebegeschwindigkeit v (Leistung gleich Kraft mal Geschwindigkeit). Man pra¨gt sich die Definitionen der beiden technisch wichtigen Gro¨ßen Arbeit W und Leistung P besser ein, wenn man sie untereinander stehend vor Augen hat. Man erkennt: W entha¨lt nicht die Zeit t; P dagegen ist geschwindigkeits- und daher zeitabha¨ngig. Entsprechend den speziellen Bezeichnungen fu¨r die mechanischen Arbeitsformen kennzeichnet man auch die Leistung.

4 Dynamik Mit der Arbeitsdefinition W ¼ Fs und der Gleichung fu¨r die konstante Geschwindigkeit v ¼ s/t erha¨lt man: W Fs s ¼ ¼ F ¼ Fv t t t Leistung P ¼ Kraft F Geschwindigkeit v P¼

Beachte: Wie bei der mechanischen Arbeit W Kraft- und Wegrichtung u¨bereinstimmen mu¨ssen, so mu¨ssen auch bei der mechanischen Leistung die Wirklinien von Kraft F und Geschwindigkeit v zusammenfallen.

P ¼ Fv Momentanleistung

P

F

Nm J ¼ W¼ s s

N

v m s

Arbeit W ¼ Kraft F Weg s Leistung P ¼ Kraft F Geschwindigkeit v W ¼ Fs P ¼ Fv

W J

P

F

s

v m W N m s

Beispiele: Hubleistung Ph ¼

Hubarbeit Wh Zeit t

Reibungsleistung PR ¼

Reibungsarbeit WR Zeit t

4.5.6 Wirkungsgrad h Kein technischer Vorgang la¨uft verlustfrei ab. Ein Teil der aufgebrachten Arbeit (oder Leistung) geht fu¨r den eigentlichen Zweck verloren. In technischen Maschinen und Vorrichtungen ist das vor allem die Reibungsarbeit (oder Reibungsleistung) infolge der unvermeidlichen Reibung zwischen den Maschinenteilen. Die Reibungsarbeit wird dabei in Wa¨rme umgewandelt, spu¨rbar in der Temperaturerho¨hung des festen, flu¨ssigen oder gasfo¨rmigen Ko¨rpers.

Beispiel: Die Reibung in den Lagern eines Getriebes erwa¨rmt Welle und Lagerteile, ebenso wie die Reibung zwischen den Zahnflanken die Zahnra¨der erwa¨rmt. Das l erwa¨rmt sich und muss im Ru¨cklauf geku¨hlt werden. Durch Konvektion und Strahlung geht ein Teil der Wa¨rme an die umgebende Luft u¨ber.

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

211

Zur Beurteilung der Verluste in Maschinen, in einzelnen Maschinenteilen und Vorrichtungen hat man den Wirkungsgrad definiert: Der Wirkungsgrad h ist das Verha¨ltnis der Nutzarbeit Wn (Nutzleistung Pn) zur aufgewendeten Arbeit Wa (aufgewendeten Leistung Pa).

Es ist u¨blich, die aufgewendete Leistung Pa als Antriebsleistung zu bezeichnen und mit dem Index 1 zu kennzeichnen (Pa ¼ Pan ¼ P1). Die Nutzleistung Pn wird als Abtriebsleistung mit P2 bezeichnet. Meistens setzt man nicht die Arbeiten, sondern die Leistungen ins Verha¨ltnis. Am Beispiel eines einfachen Getriebes soll untersucht werden, wie sich der Gesamtwirkungsgrad hges einer Anlage aus den Einzelwirkungsgraden zusammensetzt. Die Antriebsleistung Pan ¼ P1 wird durch die Lagerverluste in den Lagern 1 und 2 vermindert auf hLg1, 2 P1 . Das ist zugleich die „neue“ Antriebsleistung, die in den Zahneingriff einfließt und dort verringert wird auf hLg1, 2 hz P1 . Dieser Leistungsbetrag wiederum wird in den Lagern 4 und 5 auf hLg1, 2 hz hLg4, 5 P1 reduziert. Das ist die Abtriebsleistung Pab ¼ P2 . Mit der Ausgangsgleichung h ¼ P2 /P1 erha¨lt man abschließend die Beziehung fu¨r den Gesamtwirkungsgrad. Der Gesamtwirkungsgrad hges einer Maschine, einer Anlage oder eines physikalischen Vorgangs ist das Produkt der Einzelwirkungsgrade. Der Wirkungsgrad wird nicht nur als Dezimalzahl angegeben, z. B. h ¼ 0,86, sondern auch als Prozentzahl, z. B. h ¼ 86%.

Aufgaben Nr. 526–542

h¼

Nutzarbeit Wn <1 aufgewendete Arbeit Wa

h¼

W n Pn P2 ¼ ¼ <1 Wa Pa P1

Hinweis: Die Wirkungsgraddefinition gilt fu¨r alle technischen Vorga¨nge, also auch z. B. fu¨r wa¨rmetechnische und chemische Vorga¨nge. Allein wegen der immer vorhandenen Reibungswidersta¨nde kann der Wirkungsgrad niemals den Wert 1 erreichen.

1, 2, 4, 5

3

hges ¼

Leistungsverluste durch Reibungsleistung in den Lagern (Lagerverluste) Leistungsverlust zwischen den Za¨hnen (Zahnverluste)

Pab P2 ¼ hLg1, 2 hz hLg4, 5 ¼ Pan P1

hges ¼ h1 h2 h3 . . . hn ¼

Pab P2 ¼ <1 Pan P1

Gesamtwirkungsgrad Beispiele fu¨r Wirkungsgrade: Gleitlager h ¼ 0,98 (98%) Verzahnung h ¼ 0,98 (98%) E-Motor h ¼ 0,9 (90%) Ottomotor h ¼ 0,25 (25%)

212

4 Dynamik

4.5.7 bungen mit den Gro¨ßen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 1. bung: Beim Zerspanen auf einer Drehmaschine wird mit dem Schnittkraftmessgera¨t die Schnittkraft Fc ¼ 5000 N gemessen. Werkstu¨ckdrehzahl und -durchmesser ergeben eine Schnittgeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit) von vu ¼ 60 m/min. Der Gesamtwirkungsgrad hges der Drehmaschine vom Elektromotor bis zur Zerspanungsstelle z wird mit 78% angenommen. Es ist die Antriebsleistung Pmot fu¨r den Motor zu bestimmen.

Gegeben: Schnittkraft Fc ¼ 5000 N m min Gesamtwirkungsgrad hges ¼ 0,78 Schnittgeschwindigkeit vu ¼ 60

Gesucht: Antriebsleistung Pmot

Lo¨sung: Das Schnittkraftmessgera¨t zeigt nur geringe Schwankungen fu¨r den Betrag der Schnittkraft Fc an, es kann also Fc ¼ konstant angenommen werden. Ebenso ist vu ¼ konstant. Die Wirklinien von Kraft und Geschwindigkeit decken sich (Tangente), so dass die Schnittleistung aus Pc ¼ Fc vu berechnet werden kann. Aus der allgemeinen Beziehung h ¼ Pab /Pan erha¨lt man die erforderliche Motorleistung Pmot. Sie muss natu¨rlich gro¨ßer sein als die Schnittleistung (Pmot > Pc ). Bei allen Aufgaben dieser Art wird in Zukunft aber nicht schrittweise vorgegangen, sondern man geht von der Definitionsgleichung fu¨r den Wirkungsgrad aus und bestimmt daraus die gesuchte Gro¨ße.

Die Schnittleistung Pc betra¨gt: m Pc ¼ Fc vu ¼ 5000 N 1 s Nm J ¼ 5000 ¼ 5000 W Pc ¼ 5 000 s s Pc ¼ 5 kW Pab Pc ¼ hges Pan Pmot Pc 5 kW Pmot ¼ ¼ ¼ 6,41 kW hges 0,78

2. bung: Ein Kran hebt eine Last von der Masse m ¼ 2 t mit einer Hubgeschwindigkeit v ¼ 0,25 m/s. Der Antriebsmotor entnimmt dabei dem Netz die Leistung Pnetz ¼ 7 kW, sein Wirkungsgrad betra¨gt hmot ¼ 0,9. Es ist der Wirkungsgrad hanlage der restlichen Maschinenteile vom Motorritzel bis zum Kranhaken zu bestimmen.

Gegeben:

Lo¨sung: Hier geht man von der Gleichung fu¨r den Gesamtwirkungsgrad hges ¼ hmot hanlage aus. Fu¨r Pab und Pan werden dann die speziellen Gro¨ßen mit den allgemeinen Bezeichnungen eingesetzt und nach der gesuchten Gro¨ße aufgelo¨st, hier also nach hanlage.

hges ¼ Pmot

Pab Pc Fc v u ¼ ¼ Pan Pmot Pmot

m Fc vu 5000 N 1 s ¼ ¼ ¼ 6,41 kW hges 0,78

Gesucht: hges ¼ hanlage ¼

hanlage ¼

m¼2t m v ¼ 0,25 s Pnetz ¼ 7 kW hmot ¼ 0,9 hanlage Pab Ph ¼ ¼ hmot hanlage Pan Pnetz

mgv Pnetz hmot

Ph ¼ m g v (Hubleistung)

m m 0,25 s2 s ¼ 0,779 Nm 0,9 7000 s

2000 kg 9,81

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung

213

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung)

4.6.1 Gegenu¨berstellung der allgemeinen Gro¨ßen mit den entsprechenden Kreisgro¨ßen Ebenso wie im Abschnitt 4.3.1 (Seite 182) werden hier die Kreisgro¨ßen den allgemeinen Gro¨ßen gegenu¨ber gestellt (Analogieverfahren). Dabei erkennt man die Gleichartigkeit einander entsprechender Gro¨ßen und Gleichungen und kommt zu besserem Versta¨ndnis. Wer die Definitionen der allgemeinen Gro¨ßen kennt, hat dann auch sofort die Definitionen der entsprechenden Kreisgro¨ßen zur Hand, und er wird beim Lo¨sen von Aufgaben sicherer sein. Vor allem ist die Erkenntnis wichtig, dass der Kraft F (Verschiebekraft) im allgemeinen Fall das Drehmoment M bei der Kreisbewegung entspricht (F ¼ b M).

Allgemeine Gro¨ße mit Definitionsgleichung

Einheit

Kreisgro¨ße mit Definitionsgleichung

Einheit

Zeit t

s

Zeit t

s

Verschiebeweg s

m

Drehwinkel j

rad

m s

Winkelgeschwindigkeit (w ¼ konstant)

Verschiebekraft F

N

Drehmoment M ¼ FT r

Nm

Arbeit W ¼ Fs

Nm ¼ J

Dreharbeit Wrot ¼ Mj ¼ FT r j

Nm ¼ J

Nm ¼W s

Drehleistung Prot ¼

Verschiebegeschwindigkeit (v ¼ konstant)

Leistung P ¼

v¼

s t

W ¼ Fv t

F; s-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

rad s

Nm ¼W s

Wrot ¼ Mw t

M

ie F-Lin

s

A = Wrot =

s

Beachte: Die Fla¨che A unter der F-Linie entspricht der Arbeit W

0

M1 + M2 f 2

f

M2

F2

F1 + F2 s 2

inie

M-L

M1

A=W=

F1

j t

M; j-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

F

0

w¼

f

Beachte: Die Fla¨che A unter der M-Linie entspricht der Dreharbeit Wrot

214

4 Dynamik

4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) An einer Kurbel oder Kurbelwelle wirkt die konstante Kraft FT in tangentialer Richtung. Man spricht daher auch von Tangentialkraft oder Umfangskraft. FT dreht hier die Kurbel rechts herum und verrichtet u¨ber dem Drehweg s die Dreharbeit Wrot ¼ FT s. Mit der Anzahl der Umdrehungen z kann man fu¨r den Drehweg s ¼ 2 p r z schreiben und hat damit schon eine auf Kreisgro¨ße bezogene Gleichung fu¨r die Dreharbeit Wrot.

Wrot ¼ FT s Wrot ¼ FT 2 p r z

Das Produkt aus Tangentialkraft FT und Wirkabstand r (Radius) ist das Drehmoment M. Das Produkt 2 p z ist schon aus der Drehbewegung bekannt als Drehwinkel j ¼ 2 p z. Damit erha¨lt man die der allgemeinen Definition W ¼ Fs entsprechende Definitionsgleichung fu¨r die Dreharbeit Wrot.

FT r ¼ Drehmoment M (Kraftmoment) 2 p z ¼ Drehwinkel j

Wrot

FT

s, r

z

Nm ¼ J

N

m

1

Wrot ¼ FT s ¼ Mj Wrot

M

Rotationsarbeit

j

Nm ¼ J Nm rad ¼ 1

Zeichnerisch stellt sich die Dreharbeit Wrot im M; j-Diagramm als Fla¨che unter der M-Linie dar. Man erkennt hier wieder die Entsprechung zur Fla¨che unter der F-Linie im F; s-Diagramm (siehe 4.5.2, Seite 204): In jedem M; j-Diagramm entspricht die Fla¨che A unter der M-Linie der Rotationsarbeit Wrot des Drehmoments M.

Arbeitsdiagramm fu¨r die Drehbewegung

Ist das Drehmoment M nicht konstant, sondern steigt es linear an, dann gelten die gleichen Diagramme und Gleichungen wie auf der Seite 205, wenn darin fu¨r die Federkraft F das Drehmoment M und fu¨r den Federweg s der Drehwinkel j einsetzt wird.

Beispiel: Das Drehmoment in der Torsionsstabfeder eines Autos steigt linear von 120 Nm auf 250 Nm an. Dabei wird die Feder um 30 verdreht. Die Federarbeit betra¨gt dann nach Seite 205:

An die Stelle der in 4.5.3 (Seite 205) behandelten Schraubenzugfeder tritt die Torsionsstabfeder.

Wf ¼ 96,9 J

Wf ¼

M1 þ M2 ð120 þ 250Þ Nm 30 p j¼ 2 2 180

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung

215

4.6.3 Drehleistung Prot (Rotationsleistung) Wie bei der Herleitung der Gleichung fu¨r die Dreharbeit geht man auch hier von der Tangentialkraft FT aus. In jedem Augenblick sind die Tangentialkraft FT und die Umfangsgeschwindigkeit vu gleichgerichtet. Dann gilt die allgemeine Beziehung: Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit. Mit den speziellen Bezeichnungen gilt demnach P ¼ FT vu . Nach Abschnitt 4.2.7 (Seite 179) kann fu¨r die Umfangsgeschwindigkeit vu das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Radius r eingesetzt werden. Das Produkt aus Tangentialkraft F T und Radius r ist wieder das Drehmoment M. Damit erha¨lt man die der allgemeinen Definition P ¼ F v entsprechende Definitionsgleichung fu¨r die Drehleistung Prot (F ¼ b M und v ¼ b w, siehe 4.6.1, Seite 213). Mit den koha¨renten Einheiten Newton N, Meter m und Sekunde s erha¨lt man als koha¨rente Einheit fu¨r die Leistung P das Watt W.

Prot ¼ FT vu vu ¼ r w ¼ r 2 p n

Prot

FT

Nm ¼W s

N

vu m s

Prot ¼ FT r w ¼ FT 2 p r n FT r ¼ Drehmoment M Prot ¼ Mw ¼ M 2 p n Prot

M

Drehleistung

w

Nm rad 1 ¼ W Nm ¼ s s s

n 1 ¼ s1 s

4.6.4 Zahlenwertgleichung fu¨r die Drehleistung Prot Auf den Leistungsschildern der Motoren ist nicht die Winkelgeschwindigkeit w, sondern die Drehzahl n angegeben (in U=min ¼ min1 ). Soll diese Drehzahl unmittelbar in die Leistungsgleichung eingesetzt werden, muss sie durch 60 dividiert werden. Die Leistung ergibt sich dann in der Einheit Watt. Um Kilowatt kW zu bekommen, muss noch durch 1000 dividiert werden (1 kW ¼ 1000 W). Fasst man den Quotienten von 2p=ð60 1 000Þ ¼ 1=9 550 zusammen, ergibt das die in der Technik u¨bliche Zahlenwertgleichung fu¨r die Drehleistung Prot. Wie jede Zahlenwertgleichung gilt sie nur fu¨r die eingetragenen Einheiten. Auf den Leistungsschildern steht neben der Motordrehzahl n auch die zur Verfu¨gung stehende Leistung P. Aus beiden Angaben kann mit der nach M aufgelo¨sten Gleichung das verfu¨gbare Drehmoment in Nm berechnet werden (siehe auch Festigkeitslehre, Torsionsbeanspruchung).

2p 1 ¼ Mn 60 000 60 1000 2p 1 ¼ Mn 9550

Prot ¼ Mn

Prot

Mn 9550 Zahlenwertgleichung Prot ¼

Prot n Zahlenwertgleichung M ¼ 9550

Prot M

n

kW Nm min1

M

Prot

n

Nm kW min1

216

4 Dynamik

4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und bersetzung Eine wichtige Beziehung zwischen Wirkungsgrad h, Drehmoment M und bersetzung i erha¨lt man, wenn von der Definitionsgleichung fu¨r den Wirkungsgrad ausgegangen wird und man fu¨r die Leistung P ¼ Mw oder P ¼ M 2 p n einsetzt. Es kann damit beispielsweise der Wirkungsgrad eines Getriebes berechnet werden, wenn man vorher An- und Abtriebsmoment gemessen und die bersetzung an Hand der Baugro¨ßen (z. B. Za¨hnezahl) bestimmt hat.

h¼

Pab P2 M2 w2 M2 2 p n2 ¼ ¼ ¼ Pan P1 M1 w1 M1 2 p n1

w2 n2 1 ¼ ¼ (siehe 4.2.9, Seite 181) w1 n1 i h¼

M2 1 M1 i

M2 ¼ M1 i h

M2 Abtriebsmoment, M1 Antriebsmoment

4.6.6 bungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und bersetzung bei Drehbewegung 1. Ein Werkstu¨ck von m ¼ 100 kg Masse soll 10 m hoch gehoben werden. Es steht eine Winde mit dem Kurbelradius r ¼ 400 mm zur Verfu¨gung. Die Handkraft (Tangentialkraft) an der Kubel soll 60 N betragen. Es soll die Anzahl z der Kurbelumdrehungen bestimmt werden, wenn von Verlusten abgesehen wird.

Wh ¼ m g h erforderliche Hubarbeit (Hubarbeit ¼ Wrot ¼ FT 2 p r z ¼ Wh Dreharbeit) FT 2 p r z ¼ m g h m 100 kg 9,81 2 10 m mgh s ¼ ¼ 65,05 U z¼ FT 2 p r 60 N 2p 0,4 m

2. Der Flanschmotor eines Getriebes gibt bei n ¼ 2 880 min1 eine Leistung von 18 kW ab. Das Getriebe hat eine bersetzung von i ¼ 420 und einen gescha¨tzten Wirkungsgrad von h ¼ 0,7. Welches Drehmoment steht an der Abtriebswelle des Getriebes zur Verfu¨gung?

P1 18 ¼ 9550 Nm ¼ 59,69 Nm n1 2 880 M2 ¼ M1 i h ¼ 59,69 Nm 420 0,7 M1 ¼ 9550

M2 ¼ 17549 Nm Hinweis: Ohne Beru¨cksichtigung des Wirkungsgrades ha¨tte sich ergeben: M2 ¼ M1 i ¼ 59,69 Nm 420 ¼ 25 070 Nm

3. Ein E-Motor gibt am Wellenstumpf ein Drehmoment von 16 Nm ab bei einer Drehzahl von 2800 min1 . Das Wattmeter zeigt hierbei eine elektrische Leistungsaufnahme von 5,6 kW an. Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors? Hier wird schrittweise gelo¨st, um Gro¨ßengleichungen und Zahlenwertgleichungen nicht miteinander zu vermischen.

Aufgaben Nr. 543–560

Mn 16 2800 ¼ kW 9550 9550 ¼ 4,69 kW ¼ Pmot

Pmot ¼ Pab ¼ Prot ¼ Pab

hmot ¼

Pab Pmot 4,69 kW ¼ 0,838 ¼ ¼ 5,6 kW Pan Pnetz

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung

217

Lehrbeispiel: Wirkungsgrad Aufgabenstellung: Fh

d2

Welche Last kann mit der skizzierten Handwinde gehoben werden?

Trommel Trommelwelle T

Gegebene Gro¨ßen: Handkraft Fh ¼ 150 N Handkurbelradius rk ¼ 350 mm Gesamtwirkungsgrad h ¼ 0,6 Trommeldurchmesser dt ¼ 180 mm Trommelraddurchmesser d2 ¼ 490 mm Ritzeldurchmesser d1 ¼ 70 mm

d1 Kurbelwelle K FG

Lo¨sung: Die Handkraft Fh soll in jeder Kurbelstellung tangential (im rechten Winkel zum Radius) angreifen. Der Seildurchmesser kann vernachla¨ssigt werden. Getriebe sollen meist das Drehmoment von Welle zu Welle a¨ndern. bersetzungen ins „Langsame“ vergro¨ßern das Abtriebsmoment, bersetzungen ins „Schnelle“ verkleinern es.

bersetzung

Antriebsdrehzahl nan oder Abtriebsdrehzahl nab nk d2 Beachte: Die Baugro¨ßen (d1 , d2 ) verhalten sich umgekehrt wie die ¼ i¼ nt d1 Drehzahlen (nk Drehzahl der Kurbelwelle, nt Drehzahl der Trommelwelle).

i¼

i¼

490 mm ¼ 7 (bersetzung ins „Langsame“, weil i > 1 ist) 70 mm

Fu¨r bersetzung i und Drehmoment M gilt: i¼

M2 Mt ¼ M1 h Mk h

Mt ¼ Mk ih ¼ Fh rk ih Mt ¼ 150 N 0,35 m 7 0,6 Mt ¼ 220,5 Nm

Mt Trommeldrehmoment Mk Kurbeldrehmoment

Das Drehmoment Mt der Trommelwelle T ist: Mt ¼ FG

dt 2Mt daraus FG ¼ 2 dt m¼

fu¨r FG ¼ mg eingesetzt und nach der Masse m aufgelo¨st:

2Mt dt g

kg m2 s 2 ¼ 250 kg Last m¼ m 0,18 m 9,81 2 s 2 220,5

218

4 Dynamik

4.7 Energie 4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit Unter bestimmten Bedingungen sind feste Ko¨rper, Flu¨ssigkeiten und Gase in der Lage, von sich aus Arbeit zu verrichten. Das ist immer dann der Fall, wenn an ihnen selbst vorher eine Arbeit aufgebracht wurde. Die im Ko¨rper „gespeicherte“ Arbeit kann dann „abgerufen“ werden: Die im Ko¨rper gespeicherte Arbeitsfa¨higkeit heißt Energie E des Ko¨rpers. Kurz: Energie gleich Arbeitsfa¨higkeit. Die Energie ist wie die Arbeit ein Skalar, mehrere Energiebetra¨ge du¨rfen also algebraisch addiert werden.

Beispiele: Der herabfallende Ba¨r eines Fallhammers verformt das Schmiedestu¨ck, verrichtet also Verformungsarbeit (Forma¨nderungsarbeit). Ein fahrendes Auto prallt auf ein Hindernis. Es verrichtet Forma¨nderungsarbeit. Eine vorher gespannte Schraubenfeder hebt ein Werkstu¨ck. Sie verrichtet Hubarbeit.

Nach dem Ursprung des Arbeitsvermo¨gens der Ko¨rper unterscheidet man drei mechanische Energiearten: die potenzielle Energie (Ho¨henenergie), die kinetische Energie (Bewegungsenergie) und die Spannungsenergie (Verformungsenergie) elastischer Ko¨rper. Daru¨ber hinaus gibt es noch andere Energiearten, z. B. Wa¨rmeenergie, chemische Energie (in allen Brennstoffen), Atomenergie, Druckenergie, elektrische Energie, Strahlungsenergie (z. B. von der Sonne).

Beispiele: Der Ba¨r des Fallhammers hatte in seiner oberen Ruhelage potenzielle Energie (Ho¨henenergie, Energie der Lage). Das fahrende Auto besaß vor dem Aufprall kinetische Energie (Bewegungsenergie). Gespannte Federn aller Art besitzen Spannungsenergie (Verformungsenergie).

Die verschiedenen Energiearten ko¨nnen ineinander u¨berfu¨hrt werden. Man spricht dann von Energieumwandlung, meint aber damit nicht nur die Umwandlung von einer Energieart in eine andere, sondern auch die Umwandlung von Energie in mechanische Arbeit und umgekehrt.

Beispiele: Die chemische Energie im Brennstoff wird in Wa¨rme umgewandelt, ebenso die Strahlungsenergie der Sonne. Jede Reibung erzeugt Wa¨rme: Reibungsarbeit wird in Wa¨rme umgewandelt (Temperaturerho¨hung der Maschinenteile).

Bei jeder technischen Energieumwandlung treten „Verluste“ auf. Das heißt nicht, dass Energie „verschwindet“, man meint damit nur, dass ein Teil der Anfangsenergie fu¨r den beabsichtigten technischen Zweck verloren geht.

Bei technischen Vorga¨ngen ist der Arbeitsaufwand immer gro¨ßer als der Nutzen. Diese Tatsache fu¨hrte zur Festlegung des Begriffes Wirkungsgrad (siehe 4.5.6, Seite 210).

4.7 Energie

219

Bei der Energieumwandlung in Maschinen treten Energieverluste hauptsa¨chlich dadurch auf, dass sich ein Teil der Energie u¨ber die Reibungsarbeit in Wa¨rmeenergie umwandelt.

Hinweis: Die bei der Umwandlung von Reibungsarbeit in Wa¨rme auftretende Temperaturerho¨hung der Teile ist technisch nicht mehr nutzbar.

Dass Energie nicht verloren geht, sondern nur von der einen in die andere Form u¨bergeht, ist schon seit u¨ber hundert Jahren bekannt und konnte bis heute nur besta¨tigt werden. Es gilt der Satz von der Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz):

Mayer und Helmholtz haben diesen wichtigen Erfahrungssatz um 1840 unabha¨ngig voneinander gefunden. Alle Versuche haben ihn bis heute besta¨tigt.

Die Summe aller im Universum vorhandenen Energien bleibt erhalten (konstant); Energie kann weder aus Nichts gewonnen werden noch geht sie verloren. Energie kann nur umgewandelt werden. Da Energie die Fa¨higkeit der Ko¨rper ist, Arbeit zu verrichten, mu¨ssen Energie- und Arbeitseinheit gleich sein.

Der Energieerhaltungssatz muss auch fu¨r technische Vorga¨nge gelten, wenn man sie sich „abgeschlossen“ vorstellt: Man spricht dann von einem abgeschlossenen System und meint damit ein von a¨ußeren Kra¨ften freies System.

Die Einheit der Energie und der Arbeit ist das Joule (J), siehe 4.5.1, Seite 203. 1 J ¼ 1 Nm ¼ 1 Ws ¼ 1

kg m2 ¼ 1 m2 kg s2 s2

4.7.2 Potenzielle Energie Epot und Hubarbeit Wh Wird ein Ko¨rper von der Masse m um die Ho¨he h gegenu¨ber einer Bezugsebene gehoben, dann ist dazu die Hubarbeit Wh ¼ FG h ¼ m g h erforderlich (siehe Seite 206). Das ist genau die Energie oder Arbeitsfa¨higkeit, mit der er nun an einem anderen Ko¨rper Arbeit verrichten kann. Er kann z. B. u¨ber Seil und Rolle einen anderen Ko¨rper heben.

potenzielle Energie Epot ¼ Hubarbeit Wh

Besitzt der Ko¨rper schon die potenzielle Energie Epot1 ¼ mgh1 gegenu¨ber der um h1 tiefer liegenden Bezugsebene, dann ist zum weiteren Heben auf die Ho¨he h2 die Hubarbeit Wh ¼ m g ðh2 h1 Þ erforderlich. Das ist zugleich die nderung der potenziellen Energie des Ko¨rpers: Wh ¼ DEpot ¼ Epot2 Epot1 .

Wh ¼ m g ðh2 h1 Þ ¼ DEpot

Epot ¼ FG h ¼ m g h Epot , Wh

FG

m

J ¼ Nm

N

kg

potenzielle Energie (Ho¨henenergie) g m s2

h m

nderung der potenziellen Energie

220

4 Dynamik

4.7.3 Kinetische Energie Ekin und Beschleunigungsarbeit Wa

Δv = v

t

Beschleunigungskinetische ¼ arbeit Wa Energie Ekin v m J ¼ Nm kg s kinetische Energie (Bewegungsenergie) Ekin ¼

Ekin , Wa

m 2 v 2

Fres s ¼ m a s ¼ Wa v2 2 v1 2 s¼ 2a v2 2 v1 2 Wa ¼ m a 2a Wa ¼

m

v

s= 0

v22 – v12

v2

Besitzt ein Ko¨rper schon die Geschwindigkeit v1 und wird durch Fres auf dem Wegabschnitt s auf die Geschwindigkeit v2 beschleunigt, dann wird fu¨r s nicht v Dt=2 (wie oben) eingesetzt, sondern ðv2 2 v1 2 Þ=2a (Tabelle 4.1, Seite 154). Damit erha¨lt man eine Gleichung fu¨r die Beschleunigungsarbeit Wa in der allgemeinen Form. Wa gibt dann zugleich die nderung der kinetischen Energie des Ko¨rpers an: Wa ¼ DEkin ¼ Ekin2 Ekin1 .

Dv Fres ¼ m a ¼ m ; Dv ¼ v gesetzt Dt v v Fres s ¼ m s Dt v v Dt Fres s ¼ m Dt 2 v Δt s= m 2 Fres s ¼ v2 ¼ Wa 2 0 Δt

v1

Wird ein Ko¨rper, z. B. ein Auto, aus dem Stillstand auf die Geschwindigkeit v gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen Grundgesetz die resultierende Kraft Fres ¼ ma erforderlich. Fres wirkt dabei in Bewegungsrichtung auf dem Weg s, verrichtet also am Ko¨rper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit Wa ¼ Fres s genannt wird. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfa¨higkeit, mit der der Ko¨rper nun an einem anderen Ko¨rper Arbeit verrichten kann. Da nur solche Ko¨rper diese Energieart besitzen, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, spricht man von Bewegungsenergie oder kinetischer Energie Ekin.

2a Δt

t

m 2 ðv2 v1 2 Þ ¼ DEkin 2

nderung der kinetischen Energie

4.7.4 Spannungsenergie Es und Forma¨nderungsarbeit Wf

Das ist genau die Energie oder Arbeitsfa¨higkeit, mit der die gespannte Feder nun an einem anderen Ko¨rper Arbeit verrichten kann. Diese Energie wird Spannungsenergie Es genannt. Besitzt die Feder schon die Spannungsenergie Es1, weil sie mit F1 vorgespannt worden ist, dann ist zum weiteren Spannen die Federarbeit Wf ¼ ðF1 þ F2 Þ s=2 ¼ Rðs2 2 s1 2 Þ=2 erforderlich. Das ist zugleich die nderung der Spannungsenergie in der Feder: Wf ¼ DEs ¼ Es2 Es1 .

F

F

Wird eine vorher unverformte Feder gespannt, dann ist dazu die Forma¨nderungsarbeit oder Federarbeit Wf erforderlich (siehe 4.5.3, Seite 205). Aus dem Federdiagramm (F; s-Diagramm) liest man dafu¨r Wf ¼ F s=2 ¼ R s2 =2 ab, mit R als Federrate.

A = Es =

0

Fs R 2 = s 2 2

s

s

Spannungsenergie Es ¼ Federarbeit Wf Es ¼

Fs R 2 ¼ s 2 2

W f , Es

s

R

J ¼ Nm N m

N m

Spannungsenergie Wf ¼

F

F1 þ F2 R s ¼ ðs2 2 s1 2 Þ ¼ DEs 2 2

nderung der Spannungsenergie

4.7 Energie

221

4.7.5 Energieerhaltungssatz fu¨r technische Vorga¨nge Ein Ko¨rper der Masse m, zuna¨chst durch die Sperre S in Ruhe gehalten, wird nach seiner Freigabe durch eine Zugfeder die schiefe Ebene abwa¨rts gezogen. Er durchla¨uft den Weg s vom Anfangspunkt (A) des Vorganges bis zum Endpunkt (E), wo die Feder gerade entspannt ist, also noch nicht zusammengedru¨ckt wird. In (A) besitzt der Ko¨rper die Anfangsenergie EA ¼ Epot ¼ m g h gegenu¨ber der um h tiefer liegenden Bezugsebene BE. Am Ende des Vorganges ist Epot ¼ 0 geworden; dafu¨r besitzt der Ko¨rper die Endenergie EE ¼ Ekin ¼ m v2 =2. Nach dem Energieerhaltungssatz mu¨ssten die beiden Energiebetra¨ge gleich groß sein (E E ¼ EA). Das kann hier nicht sein, weil der Ko¨rper auf dem Weg s sowohl Arbeit aufgenommen als auch abgegeben hat:

Beachte: Es wa¨re ein Fehler zu meinen, die Arbeit der Abtriebskomponente der Gewichtskraft FG sin a mit aufnehmen zu mu¨ssen: Der Arbeitsbetrag FG sin a s ist die beim Heben um die Ho¨he h vorher aufgenommene potenzielle Energie Epot ¼ mgh (siehe 4.5.4, Seite 206, 1. bung).

Aufgenommen hat der Ko¨rper die zugefu¨hrte Federarbeit Wzu ¼ Wf ¼ R s2 =2. Abgegeben hat der Ko¨rper die abgefu¨hrte Reibungsarbeit Wab ¼ WR ¼ FR s. Die Energieumwandlung durch Zu- und Abfuhr mechanischer Arbeit kann man in das Schema der Energiebilanz eintragen und danach den Energieerhaltungssatz fu¨r technische Vorga¨nge aufstellen, so wie er ku¨nftig beim Lo¨sen von Aufgaben angewandt wird:

Schema der Energiebilanz

Energieerhaltungssatz Die Energie EE am Ende eines Vorgangs ist gleich der Energie EA am Anfang des Vorgangs, vermehrt um die wa¨hrend des Vorgangs zugefu¨hrte Arbeit Wzu und vermindert um die wa¨hrend des Vorgangs abgefu¨hrte Arbeit Wab. EE Energie am Ende des Vorgangs

¼

EA

þ

Wzu

¼

Energie am Anfang des Vorgangs

þ

zugef u¨ hrte Arbeit

Wab abgef u¨ hrte Arbeit

222

4 Dynamik

4.7.6 bungen zum Energieerhaltungssatz 1. bung: Ein Waggon von der Masse m ¼ 40000 kg rollt aus der Geschwindigkeit v ¼ 1,8 m/s auf horizontaler Bahn aus. Dabei wirkt ein Fahrwiderstand Fw ¼ 280 N. Wie lang ist der Ausrollweg s?

m ¼ 40000 kg m s Fw ¼ 280 N

Gegeben:

v ¼ 1,8

Gesucht:

Ausrollweg s

Lo¨sung: Am Ende des Vorgangs ruht der Ko¨rper auf der Bezugsebene, das heißt, seine Endenergie ist null (EE ¼ 0). Am Anfang des Vorgangs besitzt er die kinetische Energie EA ¼ m v2 =2. Zwischen Anfang und Ende des Vorgangs wird die Arbeit des Fahrwiderstands Wab ¼ Fw s abgefu¨hrt.

Aus dem Energieerhaltungssatz findet man damit auf einfache Weise die gesuchte Gleichung und den Betrag fu¨r den Ausrollweg s.

EE ¼ EA Wab m 2 v Fw s 0¼ 2 s¼

s¼

m v2 2 Fw

s ¼ f ðm; v; Fw Þ

40 000 kg 3,24 2 280

kg m s2

m2 s2 ¼ 231,4 m

2. bung: Die Skizze zeigt das Schema einer Sackrutsche. Die Reibungszahl zwischen Sack und Rutsche soll m ¼ 0,3 betragen. Gesucht ist die Endgeschwindigkeit v des Sackes am Ende der schiefen Ebene.

Lo¨sung: Man geht wieder vom Energieerhaltungssatz aus: Die Energie am Ende des Vorgangs kann nur kinetische Energie sein, denn der Ko¨rper besitzt dort die Geschwindigkeit v, und der Ho¨henunterschied zur Bezugsebene BE ist null geworden (Epot ¼ 0). Am Anfang besaß der Ko¨rper nur potenzielle Energie, denn er ruhte in der Ho¨he h. Abgefu¨hrt wird nur die Reibungsarbeit WR ¼ FR s. Fu¨r die Reibungskraft wird FR ¼ FN m und fu¨r die Normalkraft FN ¼ FG cos a ¼ m g cos a eingesetzt.

EE kinetische Energie Ekin m 2 v 2 m 2 v 2 v2 2

¼

EA potenzielle ¼ Energie ¼ Epot

Wab

Reibungsarbeit

WR

¼

mgh

FR s

¼

mgh

m g cos a m sj : m

¼

gh

g m s cos a

4.7 Energie Da der Weg s nicht gegeben ist, wird s ¼ l= cos a eingesetzt (l ist gegeben). Dadurch ku¨rzt sich auch cos a heraus und man findet die einfachste Gleichung fu¨r die Endgeschwindigkeit v ¼ f ðg; h; m; lÞ. Man erkennt, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit des Sackes unabha¨ngig von seiner Masse m ist. Das gilt fu¨r alle auf einer schiefen Ebene ohne zusa¨tzliche a¨ußere Kraftwirkung gleitenden Ko¨rper. 3. bung: Welcher Hubarbeit Wh oder potenziellen Energie Epot oder Wa¨rme (Wa¨rmemenge) Q entspricht die kinetische Energie eines Autos von 1500 kg Masse, das mit 160 km/h fa¨hrt?

Lo¨sung: a) Die kinetische Energie eines Fahrzeuges wa¨chst mit dem Quadrat seiner Geschwindigkeit. Eine Verdoppelung der Fahrzeuggeschwindigkeit hat also eine Erho¨hung der kinetischen Energie auf das Vierfache zur Folge. b) Eine Vorstellung von den Folgen eines Aufpralls aus dieser Geschwindigkeit erha¨lt man, wenn die Fallho¨he h berechnet wird, die dieser Energie entspricht.

c) Da Ekin auch gleich der Wa¨rme Q ist, kann man eine entsprechende wa¨rmetechnische Rechnung durchfu¨hren. Die Wa¨rme Q zum Erwa¨rmen eines Stoffes ist gleich dem Produkt von Masse m, spezifischer Wa¨rmekapazita¨t c und Temperaturdifferenz DT (siehe Bo¨ge/Eichler, Physik): Die kinetische Energie des Autos wu¨rde ausreichen (bei h ¼ 1), die Temperatur von 10 kg Wasser (10 l) um DT ¼ 35,4 K zu erho¨hen.

Aufgaben Nr. 561–576

223 v2 l cos a ¼ gh gm cos a 2 v2 ¼ 2gðh m lÞ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ¼ 2gðh m lÞ

v ¼ f ðg, h, m, lÞ

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m 2 9,81 2 ð2 m 0,3 6 mÞ s m v ¼ 1,98 s v¼

m ¼ 1500 kg km 160 m v ¼ 160 ¼ h 3,6 s Ekin

Gegeben:

Gesucht:

Ekin ¼

m 2 1 500 kg 160 2 m2 v ¼ s2 2 2 3,6

Ekin ¼ 1 481 481,5 Nm ¼ 1 481 481,5 J Ekin ¼ Epot ¼ Wh ¼ Q ¼ 1 481 481,5 J

Ekin ¼ Epot ¼ m g h kg m2 1 481 481,5 Ekin s2 ¼ h¼ m ¼ 100,67 m mg 1 500 kg 9,81 2 s

Q ¼ m c DT

Q

m

J ¼ Nm kg DT ¼

Q ¼ mc

1 481 481,5 J 10 kg 4 186,8

DT ¼ 35,4 K ¼ 35,4 C

J kg K

c

DT

J kg K

K

224

4 Dynamik

4.8 Gerader zentrischer Stoß 4.8.1 Stoßbegriff, Kra¨fte und Geschwindigkeiten beim Stoß Der physikalische Vorgang Stoß liegt dann vor, wenn sich zwei Ko¨rper wa¨hrend eines sehr kleinen Zeitabschnitts Dt beru¨hren und dabei ihren Bewegungszustand a¨ndern. Bei Beru¨hrung wirken an den Beru¨hrungsfla¨chen gleich große Normalkra¨fte (Wechselwirkungsgesetz). Wa¨hrend der Beru¨hrungszeit Dt erfahren also beide Ko¨rper den gleichen Kraftstoß F Dt (siehe 4.4.9, Seite 202). Dadurch verringert sich der Impuls mv des einen Ko¨rpers um denselben Betrag, um den der Impuls des anderen Ko¨rpers zunimmt, und man erkennt: Die Summe der Impulse (Bewegungsgro¨ßen) beider Ko¨rper bleibt in jedem Augenblick des Stoßes konstant. Da die Massen beider Ko¨rper unvera¨ndert bleiben, bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des einen Ko¨rpers kleiner, die des anderen gro¨ßer wird.

Beachte: nderung des Bewegungszustandes heißt nderung der Geschwindigkeit der Ko¨rper nach Betrag oder Richtung oder auch nach beiden gleichzeitig. Beachte: Werden die beiden Ko¨rper als ein System betrachtet, dann sind die Normalkra¨fte beim Stoß innere Kra¨fte dieses Systems. Da wa¨hrend des Stoßes keine a¨ußeren Kra¨fte auf die beiden Ko¨rper wirken, handelt es sich um ein kra¨ftefreies System nach 4.4.9, dessen gesamter Impuls auch wa¨hrend des Stoßes konstant bleibt. m1 v1 þ m2 v2 ¼ m1 c1 þ m2 c2 Smv ¼ Smc

Impulserhaltungssatz fu¨r zwei Ko¨rper

m1, m2 Massen beider Ko¨rper v1, v2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß c1, c2 Geschwindigkeiten nach dem Stoß

4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes Durch den Beru¨hrungspunkt beider Ko¨rper bei Stoßbeginn legt man die Tangentialebene und errichtet darauf im Beru¨hrungspunkt eine Normale, die Stoßnormale. Sie ist die Wirklinie der beiden Normalkra¨fte, die wa¨hrend des Stoßes zwischen beiden Ko¨rpern wirken. Verla¨uft die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Ko¨rper, dann spricht man von zentrischem Stoß. Wird diese Bedingung nicht erfu¨llt, dann liegt exzentrischer Stoß vor. Liegen die Geschwindigkeitsvektoren v1 und v2 beider Ko¨rper beim Stoßbeginn parallel zur Stoßnormalen, dann spricht man von geradem Stoß. Bewegt sich einer der Ko¨rper oder auch beide nicht parallel zur Stoßnormalen, dann liegt schiefer Stoß vor. Beim geraden zentrischen Stoß verla¨uft die Stoßnormale durch beide Ko¨rperschwerpunkte. Beide Ko¨rper bewegen sich in Richtung der Stoßnormalen.

Beachte: Die Lage der Normalkra¨fte im Beru¨hrungspunkt bestimmt, ob zentrischer oder exzentrischer Stoß vorliegt. Beachte: Die Richtung der Geschwindigkeiten v1 und v2 bestimmt, ob gerader oder schiefer Stoß vorliegt. Beispiel fu¨r geraden zentrischen Stoß: Zusammenstoß von Kegelkugeln auf der Ru¨cklaufbahn. Eine weitere Unterteilung der Stoßarten ist notwendig durch das unterschiedliche Verformungsverhalten der Ko¨rper: Man unterscheidet elastischen, unelastischen und wirklichen Stoß.

4.8 Gerader zentrischer Stoß

225

4.8.3 Elastischer Stoß Elastische Ko¨rper verformen sich beim Stoß federnd. Nach dem Stoß ist die Verformung vollsta¨ndig zuru¨ckgegangen. Auch die Verluste infolge a¨ußerer und innerer Reibung werden vernachla¨ssigt. Zwei Kugeln bewegen sich in gleichem Richtungssinn auf gemeinsamer Bahn. Sto¨ßt die schnellere Kugel mit der Masse m1 und der Geschwindigkeit v1 auf die langsamere Kugel mit der Masse m2 und der Geschwindigkeit v2, so wird beim Stoß die schnellere Kugel verzo¨gert und die langsamere Kugel beschleunigt. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c1, c2 beider Kugeln nach dem Stoß wird der gesamte Stoßvorgang in zwei Abschnitte unterteilt.

Merkmale des elastischen Stoßes: Keine bleibende Forma¨nderung nach dem Stoß, vollsta¨ndige Trennung der Ko¨rper voneinander nach dem Stoß, verlustfreier Energieaustausch.

Erster Stoßabschnitt (Zusammendru¨cken) Er beginnt mit der Beru¨hrung der Kugeln und endet, wenn ihr Abstand ein Minimum (lmin) geworden ist (siehe F; s-Diagramm). Dabei verformen sich die Kugeln. Die Forma¨nderungsarbeit W1 wird der kinetischen Energie der schnelleren Kugel entzogen. Am Ende des ersten Stoßabschnitts besitzen beide Kugeln dieselbe Geschwindigkeit c.

Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt die Summe der Impulse (Bewegungsgro¨ßen) konstant: nach dem ersten vor dem Stoßabschnitt Stoß zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{ zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{ m1 v1 þ m2 v2 ¼ m1 c þ m2 c

Zweiter Stoßabschnitt (Entspannen) Er beginnt beim Abstandsminimum lmin der Kugelmittelpunkte und endet mit der Trennung der Kugeln. Dabei wird die durch die Abplattung der Kugeln gespeicherte Spannungsenergie verlustlos an die Kugel 2 abgegeben (E2 ¼ E1). Kugel 1 a¨ndert dabei ihre Geschwindigkeit von c auf c1 und Kugel 2 von c auf c2. Beim Entspannen wirkt auf beide Kugeln der gleiche Kraftstoß wie beim Zusammendru¨cken. Folglich ist fu¨r jede der beiden Kugeln die Geschwindigkeitsa¨nderung in beiden Stoßabschnitten gleich groß: v1 c ¼ c c1 und c v2 ¼ c2 c. Aus dieser Erkenntnis kann eine Gleichung fu¨r die Geschwindigkeit c1 der Kugel 1 nach dem Stoß entwickelt werden; in gleicher Weise erha¨lt man die entsprechende Gleichung fu¨r die Kugel 2.

Fu¨r Kugel 1 gilt:

c¼

m1 v1 þ m2 v2 m1 þ m2

Geschwindigkeit beider Ko¨rper am Ende des ersten Stoßabschnitts

v1 c ¼ c c1 daraus folgt: c1 ¼ 2c v1 ¼ 2

m1 v1 þ m2 v2 v1 m1 þ m2

¼

2ðm1 v1 þ m2 v2 Þ ðm1 þ m2 Þ v1 m1 þ m2

¼

m1 v1 þ 2m2 v2 m2 v1 m1 þ m2

¼

ðm1 m2 Þ v1 þ 2m2 v2 m1 þ m2

ðm1 m2 Þ v1 þ 2m2 v2 m1 þ m2 ðm2 m1 Þ v2 þ 2m1 v1 c2 ¼ m1 þ m2 c1 ¼

Geschwindigkeiten beider Ko¨rper nach dem Stoß

226 Da ein „kra¨ftefreies System“ vorausgesetzt wird (es wirken keine a¨ußeren Kra¨fte), gilt neben dem Impulserhaltungssatz auch der Energieerhaltungssatz (4.7.1, Seite 219).

4 Dynamik Energieerhaltungssatz fu¨r den elastischen Stoß: EEnde des Stoßes ¼ EAnfang des Stoßes 1 1 ðm1 c1 2 þ m2 c2 2 Þ ¼ ðm1 v1 2 þ m2 v2 2 Þ 2 2

Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der kinetischen Energien beider Ko¨rper bei horizontaler Bewegung konstant. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes und des Impulserhaltungssatzes kann man eine weitere wichtige Beziehung herleiten: Beim elastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit (Differenz der Geschwindigkeiten v1 und v2) nicht gea¨ndert. Sonderfa¨lle des geraden zentrischen Stoßes elastischer Ko¨rper: Beim elastischen Stoß zweier Ko¨rper mit gleichen Massen tauschen die Ko¨rper ihre Geschwindigkeiten aus. Beim elastischen Stoß eines Ko¨rpers gegen eine starre Wand, prallt er mit gleicher Geschwindigkeit zuru¨ck. Beim elastischen Stoß eines Ko¨rpers sehr großer Masse m1 gegen einen ruhenden Ko¨rper kleiner Masse m2 erha¨lt der ruhende Ko¨rper die doppelte Geschwindigkeit des stoßenden Ko¨rpers (c2 ¼ 2v1 ).

Der umgeformte Energieerhaltungssatz wird durch den Impulserhaltungssatz dividiert: m1 ðv1 2 c1 2 Þ m2 ðc2 2 v2 2 Þ ¼ m1 ðv1 c1 Þ m2 ðc2 v2 Þ v1 þ c1 ¼ c2 þ v2 v1 v2 ¼ c2 c1

Aus der Gleichung von Seite 225: c1 ¼

ðm1 m2 Þ v1 þ 2 m2 v2 m1 þ m2

ergibt sich mit m1 ¼ m2 ¼ m: ðm mÞ v1 þ 2 m v2 mþm 2 m v2 c1 ¼ ¼ v2 und analog c2 ¼ v1 2m m2 ¼ 1; v2 ¼ 0; m1 vernachla¨ssigt c1 ¼

m2 v1 þ 2 m2 0 ¼ v1 m2 c1 ¼ v1 c1 ¼

m1 > m2 ;

v2 ¼ 0; m2 vernachla¨ssigt

m1 0 þ 2 m1 v1 ¼ 2 v1 m1 c2 ¼ 2 v1 c2 ¼

Bewegen sich die beiden Ko¨rper auf der Stoßnormalen aufeinander zu, so erhalten die Geschwindigkeiten v1 und v2 und damit auch die Impulse beider Ko¨rper entgegengesetzte Vorzeichen (der Impuls ist ein Vektor). Beim Stoß kehrt dann entweder einer der beiden Ko¨rper seine Bewegungsrichtung um, oder beide. Auch fu¨r diesen Fall gelten fu¨r die Geschwindigkeiten c, c1 und c2 die entwickelten Gleichungen. Man erkennt die Richtungsumkehr eines Ko¨rpers daran, dass seine Geschwindigkeit nach dem Stoß ein anderes Vorzeichen hat als vor dem Stoß.

4.8 Gerader zentrischer Stoß

227

4.8.4 Unelastischer Stoß Unelastische Ko¨rper verformen sich beim Stoß plastisch, d. h. sie erhalten eine bleibende Forma¨nderung. Es wird also angenommen, dass keiner der beiden Ko¨rper federt.

Merkmale des unelastischen Stoßes: bleibende Forma¨nderung nach dem Stoß, keine Trennung der Ko¨rper voneinander nach dem Stoß.

Erster Stoßabschnitt Er verla¨uft wie beim elastischen Stoß. Beide Ko¨rper besitzen am Ende des ersten Stoßabschnitts die gemeinsame Geschwindigkeit c. Die Forma¨nderungsarbeit wurde jedoch nicht als Spannungsenergie gespeichert, sondern in Wa¨rme umgesetzt. Da auch hier ein kra¨ftefreies System vorliegt, bleibt wie beim elastischen Stoß der Gesamtimpuls erhalten, und fu¨r die Geschwindigkeit c gilt dieselbe Beziehung wie beim elastischen Stoß. Zweiter Stoßabschnitt Er entfa¨llt, weil ohne gespeicherte Spannungsenergie auch kein Kraftstoß mehr auftritt, sobald beide Ko¨rper die gemeinsame Geschwindigkeit c erreicht haben. Beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit c weiter: Beim unelastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit zu null. Ein Teil der kinetischen Energie wird u¨ber die Forma¨nderungsarbeit DW in Wa¨rme umgesetzt.

Energieerhaltungssatz fu¨r den unelastischen Stoß: 1 1 ðm1 þ m2 Þ c2 ¼ ðm1 v1 2 þ m2 v2 2 Þ DW 2 2 1 2 DW ¼ ½m1 v1 þ m2 v2 2 ðm1 þ m2 Þ c2 2 2 m 1 v1 þ m2 v2 c2 ¼ m1 þ m2 eingesetzt und umgeformt ergibt: DW ¼

1 m1 m2 ðv1 v2 Þ2 m1 þ m2 2

W m J

v m kg s

Der Energieverlust der Ko¨rper (¼ Forma¨nderungsEnergieabnahme beim arbeit DW) wird aus dem Energiesatz berechnet, unelastischen Stoß in den der Ausdruck fu¨r die Geschwindigkeit c (Seite 225) einzusetzen ist. Dieser Energie-„Verlust“ ist fu¨r einige technische Anwendungsfa¨lle von großer Bedeutung: das Schmieden und Kaltumformen von Werkstu¨cken, das Nieten und das Rammen. 4.8.4.1 Schmieden und Nieten Hierbei soll die aufgebrachte Energie der Forma¨nderung dienen. Die verbleibende kinetische Energie der Ko¨rper nach dem Stoß muss niedrig gehalten werden. Beim Schmieden ist der angestrebte technische Nutzen die Forma¨nderung des Werkstu¨cks.

Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass zum Nieten ein Hammer kleiner Masse und als Gegenhalter ein Ko¨rper großer Masse zweckma¨ßig sind. h¼

Form¨anderungsarbeit DW kinetische Energie E1 vor dem Stoß

228 Der Schlagwirkungsgrad h ist dann das Verha¨ltnis zwischen der Forma¨nderungsarbeit DW und der kinetischen Energie E1 ¼ m1 v2 2 =2 des Hammerba¨rs beim Stoßbeginn. Amboss und Werkstu¨ck haben die gemeinsame Masse m2 und ihre Geschwindigkeit vor dem Stoß ist v2 ¼ 0. Die Wirkungsgradgleichung zeigt: Je gro¨ßer die Ambossmasse m2 im Verha¨ltnis zur Ba¨rmasse m1 wird, umso gro¨ßer wird der Wirkungsgrad h. Tatsa¨chlich verformt sich der Ba¨r elastisch. Er springt also nach dem Schlag geringfu¨gig zuru¨ck. Dadurch wird der Wirkungsgrad verringert.

4 Dynamik m1 m2 ðv1 v2 Þ2 m2 ðv1 v2 Þ2 2ðm1 þ m2 Þ h¼ ¼ 2 ðm1 þ m2 Þ v1 2 m1 v1 2 h¼

m2 1 ¼ m1 þ m2 1 þ m1 m2

v2 ¼ 0

Wirkungsgrad beim Schmieden

Hinweis: Bei normalen Maschinenha¨mmern ist die Masse der Schabotte (¼ Amboss mit Unterbau) etwa zwanzigmal so groß wie die Masse des Ba¨rs. Der Schmiedevorgang ist nur anna¨hernd ein unelastischer Stoß.

4.8.4.2 Rammen von Pfa¨hlen, Eintreiben von Keilen Hier wird keine Forma¨nderung angestrebt. Vielmehr sollen beide Ko¨rper nach dem ersten Stoßabschnitt eine mo¨glichst große gemeinsame Geschwindigkeit c besitzen, um den Widerstand der Unterlage gegen das Eindringen zu u¨berwinden. Beim Rammen ist der angestrebte technische Nutzen eine mo¨glichst große kinetische Energie E2 beider Ko¨rper nach dem Stoß (genauer: nach dem 1. Stoßabschnitt, weil der Untergrund durch plastische Verformung nachgibt). Der Schlagwirkungsgrad h ist darum hier das Verha¨ltnis zwischen der kinetischen Energie E2 bei Stoßende und der kinetischen Energie E1 bei Stoßbeginn. Auch hier ist die Geschwindigkeit des einzurammenden Pfahles (Ko¨rper 2) v2 ¼ 0. Die entwickelte Gleichung zeigt, dass der Wirkungsgrad umso gro¨ßer wird, je gro¨ßer die Masse m1 des Ba¨rs oder Hammers gegenu¨ber der Masse m2 des Pfahles oder Keiles ist. Tatsa¨chlich federn aber beide Ko¨rper beim Schlag. Dadurch wird der Wirkungsgrad kleiner.

Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass beim Rammen und Eintreiben ein schwerer Ba¨r oder Hammer wirksamer ist als ein leichter. h¼

kinetische Energie E2 bei Stoßende kinetische Energie E1 bei Stoßbeginn

ðm1 þ m2 Þ c2 2 h¼ m1 v1 2 2 h¼

c2 ¼

ðm1 þ m2 Þ m1 v1

2

m1 v1 2 ðm1 þ m2 Þ2 1 m2 1þ m1

2

v2 ¼ 0 2

h¼

m1 v1 þ m2 v2 m1 þ m2

¼

m1 m1 þ m2

Wirkungsgrad beim Rammen

Beachte: Das Rammen ist nur anna¨hernd ein unelastischer Stoß.

4.8.5 Wirklicher Stoß Wirkliche Ko¨rper sind weder vollkommen elastisch noch vollkommen unelastisch, so dass ihr Verhalten zwischen den beiden in 4.8.3 und 4.8.4 behandelten Grenzfa¨llen liegt. Die Aussagen fu¨r elastischen und unelastischen Stoß lassen sich fu¨r den wirklichen Stoß kombinieren.

Merkmale des wirklichen Stoßes: Ein Teil der Forma¨nderungsarbeit W1 verwandelt sich infolge der inneren Reibung in Wa¨rme Q ¼ DE und wird nicht zuru¨ckgegeben. Es kann bleibende Forma¨nderung auftreten (geringer als beim unelastischen Stoß). Trennung der Ko¨rper nach dem Stoß.

4.8 Gerader zentrischer Stoß

229 F

Beim wirklichen Stoß verkleinert sich die Relativgeschwindigkeit. Die Forma¨nderungsarbeit wird im zweiten Stoßabschnitt nicht vollsta¨ndig zuru¨ckgegeben, sondern teilweise in Wa¨rme umgewandelt. Die fu¨r den elastischen Stoß hergeleiteten Gleichungen lassen sich fu¨r den wirklichen Stoß weiterentwickeln, wenn als Verha¨ltnis der Relativgeschwindigkeiten die Stoßzahl k eingefu¨hrt wird. Die Stoßzahl k ha¨ngt von der Werkstoffpaarung ab und wird durch Fallversuche ermittelt. Beim Fallversuch fa¨llt eine Kugel aus dem einen Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus einem anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der Unterlage vor und nach dem Stoß ist gleich null (v2 ¼ 0 und c2 ¼ 0). Die Fallho¨he h und die Ru¨cksprungho¨he h1 werden gemessen. Daraus wird mit den Gesetzen des freien Falls und des Wurfs senkrecht nach oben die Stoßzahl k berechnet.

E1 > E2

2. Stoßabschnitt

1. Stoßabschnitt +

+

+

v1 > v2

k¼

+

c

c2 c1 v1 v2

Wärme ΔQ = ΔE

+

s

+

c1 < c2

Definitionsgleichung der Stoßzahl

Stoßzahlen: k ¼ 1 k¼0 k ¼ 0,35 k ¼ 0,7

elastischer Stoß unelastischer Stoß Stahl bei 1100 C Stahl bei 20 C

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃ 0 ðc1 Þ c1 h1 2gh1 ¼ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ v1 h v1 0 2gh rﬃﬃﬃﬃﬃ h1 k¼ h k¼

Die Ru¨ckprallgeschwindigkeit c1 der Kugel ist der Aufprallgeschwindigkeit v1 entgegengerichtet und muss deshalb mit negativem Vorzeichen in die Stoßzahlgleichung eingesetzt werden.

Auch fu¨r den wirklichen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz fu¨r kra¨ftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz die Beziehung fu¨r c2 eingesetzt, die man aus der Definitionsgleichung fu¨r die Stoßzahl entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung eine Gleichung fu¨r die Geschwindigkeit c1 des Ko¨rpers 1 nach dem wirklichen Stoß. Durch Vertauschen der Indizes erha¨lt man die entsprechende Gleichung fu¨r die Geschwindigkeit c2 des Ko¨rpers 2.

m1 v1 þ m2 v2 ¼ m1 c1 þ m2 c2 c2 ¼ kðv1 v2 Þ þ c1 eingesetzt ergibt:

Werden die so entwickelten Beziehungen fu¨r c1 und c2 in die Gleichung fu¨r den Energieerhaltungssatz des wirklichen Stoßes E2 ¼ E1 DW eingesetzt, dann erha¨lt man nach einer la¨ngeren Entwicklung die Gleichung fu¨r den Energieverlust DW beim wirklichen Stoß.

E2 ¼ E1 DW 1 1 ðm1 c1 2 þ m2 c2 2 Þ ¼ ðm1 v1 2 þ m2 v2 2 Þ DW 2 2

m1 v1 þ m2 v2 m2 ðv1 v2 Þ k m1 þ m2 m1 v1 þ m2 v2 þ m1 ðv1 v2 Þ k c2 ¼ m1 þ m2

c1 ¼

Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß

DW ¼

1 m1 m2 ðv1 v2 Þ2 ð1 k2 Þ 2 m1 þ m2

Energieverlust beim wirklichen Stoß

230

4 Dynamik

4.8.6 bungen zum geraden zentrischen Stoß 1. bung: Ein beladener Waggon von 80 t Masse sto¨ßt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s auf einen Waggon von 15 t Masse, der ihm mit einer Geschwindigkeit von 1,8 m/s entgegenkommt. Welche Geschwindigkeit c haben beide nach dem ersten Stoßabschnitt und mit welchen Geschwindigkeiten c1, c2 fahren sie nach dem Stoß weiter, wenn elastischer Stoß angenommen wird? Lo¨sung: Da sich beide Waggons aufeinander zu bewegen, muss die eine Geschwindigkeit ein negatives Vorzeichen bekommen. Man wa¨hlt dafu¨r die Geschwindigkeit v2 des kleineren Ko¨rpers, da die Erfahrung lehrt, dass meistens der Ko¨rper mit gro¨ßerer Masse seine Bewegungsrichtung beibeha¨lt. Der Betrag fu¨r die gemeinsame Geschwindigkeit c hat ein positives Vorzeichen, also gleichen Richtungssinn wie v1 (kein Vorzeichenwechsel), aber entgegengesetzten Richtungssinn wie v2 (Vorzeichenwechsel). Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c1 und c2 setzt man in die Gleichungen aus 4.8.3 (Seite 225) den Betrag der Geschwindigkeit v2 mit negativem Vorzeichen ein. Beide Geschwindigkeiten c1 und c2 ergeben sich positiv, d. h. Waggon 1 beha¨lt seine Bewegungsrichtung bei, Waggon 2 la¨uft ru¨ckwa¨rts weiter. Zusammenfassend kann gesagt werden: Waggon 2 la¨uft nach dem Stoß in entgegengesetzter Richtung mit erho¨hter Geschwindigkeit weiter, Waggon 1 wird langsamer, beha¨lt aber seine Bewegungsrichtung bei. 2. bung: Der Ba¨r eines Fallhammers wiegt 1000 kg und seine Schabotte 25000 kg. Der Ba¨r trifft mit einer Geschwindigkeit von 6 m/s auf das Werkstu¨ck. Die Stoßzahl betra¨gt k ¼ 0,5. Zu berechnen sind: der Schlagwirkungsgrad h und die prozentuale Verteilung der Gesamtenergie am Schlagende auf Ba¨r, Schabotte und Werkstu¨ck. Die Massen von Amboss und Werkstu¨ck ko¨nnen vernachla¨ssigt werden.

Gegeben:

m1 ¼ 80 t v1 ¼ 1

m s

m2 ¼ 15 t v2 ¼ 1,8 Gesucht:

m s

Geschwindigkeiten c, c1 und c2

Die gemeinsame Geschwindigkeit c nach der ersten Stoßperiode betra¨gt: c¼

c¼

m1 v1 þ m2 v2 m1 þ m2 80 t 1

c1 ¼

c1 ¼

m m þ 15 t 1,8 s s ¼ 0,5579 m s 80 t þ 15 t

ðm1 m2 Þ v1 þ 2 m2 v2 m1 þ m2 ð80 15Þ t 1

c1 ¼ 0,1158 c2 ¼

m m þ 2 15 t 1,8 s s 80 t þ 15 t

m s

ðm2 m1 Þ v2 þ 2 m1 v1 m1 þ m2

m m þ 2 80 t 1 ð15 80Þ t 1,8 s s c2 ¼ 80 t þ 15 t c2 ¼ 2,9158

m s

Gegeben: Ba¨rmasse m1 ¼ 1000 kg Schabottemasse m2 ¼ 25000 kg Auftreffgeschwindigkeit v1 ¼ 6 m/s Stoßzahl k ¼ 0,5 Gesucht: Wirkungsgrad h, prozentuale Verteilung der Energie auf Ba¨r, Werkstu¨ck und Schabotte.

4.8 Gerader zentrischer Stoß Lo¨sung: Den Wirkungsgrad berechnet man aus Nutzen und Aufwand beim Schlag. Der Nutzen besteht hierbei in der dem Werkstu¨ck zugefu¨hrten Verformungsarbeit. Das ist der Energieverlust DW beim Stoß. Als Aufwand wird die Energie E1 beider Ko¨rper unmittelbar vor dem Stoß eingesetzt. Das ist die kinetische Energie des Ba¨rs, da die Schabotte mit Amboss und Werkstu¨ck ruht. Der errechnete Wirkungsgrad sagt aus, dass die Anfangsenergie zu 72,11% in Verformungsarbeit umgesetzt wird. Der Rest verbleibt als kinetische Energie nach dem Stoß in beiden Ko¨rpern. Es werden zuna¨chst die Geschwindigkeiten c1 und c2 der Ko¨rper nach dem Stoß berechnet. Die Geschwindigkeit c1 entha¨lt ein negatives Vorzeichen, d. h. sie ist der positiv in die Rechnung eingesetzten Geschwindigkeit v1 entgegengerichtet (Vorzeichenwechsel ¼ Ru¨ckprall des Ba¨rs). Die Geschwindigkeit c2 der Schabotte nach dem Stoß bestimmt man am einfachsten aus der Definitionsgleichung fu¨r die Stoßzahl k. In die Gleichung fu¨r c2 muss c1 mit seinem MinusZeichen eingesetzt werden. Nun ist es mo¨glich die kinetischen Energien E2B fu¨r den Ba¨r und E2S fu¨r die Schabotte nach dem Stoß zu berechnen. Die Energiebilanz zeigt, dass fast 20% der aufgewendeten Energie durch den Ru¨ckprall des Ba¨rs nicht in Verformungsarbeit umgesetzt werden; eine Folge des halbelastischen Stoßes mit der Stoßzahl 0,5. Der Schlagwirkungsgrad wird dadurch betra¨chtlich verschlechtert. Aufgaben Nr. 577–581

231 DW ¼

m1 m2 ðv1 v2 Þ2 ð1 k2 Þ 2ðm1 þ m2 Þ

DW ¼

103 kg 25 103 kg m2 36 2 0,75 3 s 2 26 10 kg

DW ¼ 12 980,77 Nm ¼ 1,298 104 J m2 m1 v1 2 1 000 kg 36 s2 E1 ¼ ¼ ¼ 1,8 104 J 2 2 h¼

DW 1,298 104 J ¼ 0,7211 ¼ E1 1,8 104 J

c1 ¼

m1 v1 þ m2 v2 m2 ðv1 v2 Þ k ; v2 ¼ 0 m1 þ m2

c1 ¼

m1 v1 m2 v1 k m1 þ m2

c1 ¼

103 kg 6

m m 25 103 kg 6 0,5 s s 26 103 kg

m m 75 s s ¼ 2,6538 m c1 ¼ 26 s c2 c1 c2 c1 ¼ mit v2 ¼ 0 k¼ v1 v2 v1 6

c2 ¼ k v1 þ c1 m m m þ 2,6538 ¼ þ 0,3462 s s s 2 m 3 m1 c1 2 10 kg 2,6538 s ¼ ¼ 2 2

c2 ¼ 0,5 6

E2B

E2B ¼ 3521,33 Nm ¼ 3,521 103 J

E2S

m2 3 m2 c2 2 25 10 kg 0,3462 s ¼ ¼ 2 2

E2S ¼ 1498,18 Nm ¼ 1,498 103 J Energiebilanz: Ko¨rper

Energie in J

%

Ba¨r Schabotte Werkstu¨ck

3521,33 1498,18 12980,77

19,56 8,32 72,11

E1

18000,28

99,99

232

4 Dynamik

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Wie in der Bewegungslehre sollen auch hier die hergeleiteten Gleichungen und die wichtigsten Erkenntnisse sofort mit den entsprechenden Gleichungen der Dynamik fu¨r die geradlinige Bewegung verglichen werden (Analogiebetrachtung). Damit kommt man u¨ber Bekanntes leichter zum Versta¨ndnis des Neuen.

4.9.1 Das dynamische Grundgesetz fu¨r die Drehbewegung Das dynamische Grundgesetz Fres ¼ m a der geradlinigen Bewegung gilt auch fu¨r jede Teilmasse Dm des beschleunigt umlaufenden Ko¨rpers. Fu¨r die resultierende Kraft Fres setzt man hier die (kleine) Tangentialkraft DFT ein. Gleichsinnig gerichtet ist die Tangentialbeschleunigung aT. Damit wird aus Fres ¼ m a nach 4.4.3 (Seite 192) das dynamische Grundgesetz fu¨r die Teilmasse DFT ¼ Dm aT .

Resultierende Tangentialkraft DFT und Tangentialbeschleunigung aT der Teilmasse Dm

Multipliziert man das dynamische Grundgesetz fu¨r die Teilmasse Dm mit dem Radius r, dann steht links vom Gleichheitszeichen mit DFT r ¼ DM das Teil-Drehmoment der Tangentialkraft FT in Bezug auf die Drehachse A des beschleunigt umlaufenden Ko¨rpers. Außerdem wird nach 4.3.4 (Seite 184) fu¨r die Tangentialbeschleunigung aT ¼ a r eingesetzt (a Winkelbeschleunigung).

Fres ¼ m a DFT ¼ Dm aT j r DFT r ¼ Dm aT r DM ¼ Dm aT r DM ¼ Dm a r r ¼ Dm r2 a

Es wird nun die Summe aller Teil-Drehmomente S DM gebildet. Dann steht auf der linken Gleichungsseite das resultierende Drehmoment Mres , was der resultierenden Kraft Fres bei der geradlinigen Bewegung entspricht (Mres ¼ b Fres ). Auf der rechten Seite der Gleichung darf die konstante Winkelbeschleunigung a vor das Summenzeichen gesetzt werden. Der restliche Summenausdruck S Dmn r n 2 wird als Tra¨gheitsmoment J bezeichnet. Das muss man gesondert behandeln (4.9.2, Seite 233). Damit ist das dynamische Grundgesetz fu¨r die Drehung eines Ko¨rpers um eine raumfeste Achse gefunden.

S DM ¼ S Dmn rn 2 a Mres ¼ S Dmn rn 2 a (Index n heißt natu¨rliche Zahl, also 1, 2, 3, . . .)

Mres ¼ a S Dmn r n 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} J Mres ¼ a J Das Tra¨gheitsmoment J kann nach DIN 1304 auch als Massenmoment 2. Grades bezeichnet werden. Gleichungen fu¨r das Tra¨gheitsmoment verschiedener Ko¨rper siehe Seite 235.

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

233 resultierendes WinkelTr¨agheitsDrehmoment ¼ beschleunimoment J Mres gung a

Das auf einen Ko¨rper vom Tra¨gheitsmoment J einwirkende resultierende Drehmoment Mres ist gleich dem Produkt aus dem Tra¨gheitsmoment J und der Winkelbeschleunigung a (Winkelverzo¨gerung) des Ko¨rpers.

Mres

Mres ¼ Ja

Nm ¼

Der Vergleich mit dem dynamischen Grundgesetz Fres ¼ m a zeigt: Das resultierende Drehmoment entspricht der resultierenden Kraft (Mres ¼ b Fres ), das Tra¨gheitsmoment entspricht der Masse des Ko¨rpers (J ¼ b m) und die Winkelbeschleunigung entspricht der Beschleunigung (a ¼ b a).

kg m s2

2

J

a

kg m2

rad s2

Dynamisches Grundgesetz fu¨r Drehung Mres ¼ b Fres Fres ¼ m a Mres ¼ Ja

J¼ bm

a¼ ba

siehe auch 4.3.1, Seite 182 und 4.6.1, Seite 213.

4.9.2 Tra¨gheitsmoment J und Tra¨gheitsradius i 4.9.2.1 Definition des Tra¨gheitsmomentes In der Herleitung des dynamischen Grundgesetzes fu¨r die Drehung eines Ko¨rpers entstand der Summenausdruck S Dmn r n 2 , der mit Tra¨gheitsmoment J bezeichnet wird: Multipliziert man jede Teilmasse Dm eines Ko¨rpers mit dem Quadrat ihres Abstands von der Drehachse, dann ergibt die Summe dieser Produkte das Tra¨gheitsmoment J dieses Ko¨rpers. Die Einheit des Tra¨gheitsmoments J ergibt sich wie gewohnt aus der Definitionsgleichung: Mit den koha¨renten Einheiten kg und m erha¨lt man hier das Kilogramm-Meterquadrat (kg m2). Natu¨rlich kann auch mit jedem anderen Produkt aus einer gesetzlichen Masseneinheit und dem Quadrat einer gesetzlichen La¨ngeneinheit gerechnet werden. Mit Hilfe der Gesetze der Integralrechnung hat man fu¨r geometrisch einfache Ko¨rper die Berechnungsgleichungen fu¨r das Tra¨gheitsmoment entwickelt (siehe Tabelle 4.5, Seite 235). Fu¨r kompliziertere Ko¨rper bestimmt man das Tra¨gheitsmoment z. B. durch Schwingungsversuche (siehe Fußnote Seite 205).

Mres ¼ a S Dmn rn 2 ¼ a J

J ¼ Dm1 r1 2 þ Dm2 r2 2 þ Dm3 r 3 2 þ . . . þ Dmn r n 2 J ¼ S Dmn rn 2

J

Dm

r

kg m2

kg

m

ðJÞ ¼ ðmÞ ðr 2 Þ ðJÞ ¼ kg m2

Beispiel: J ¼ 0,004 kg m2 ¼ 0,004 103 g 106 mm2 J ¼ 4 106 g mm2 ¼ 4 104 g cm2 ¼ 40 000 g cm2 Beispiel: Fu¨r einen Kreiszylinder wird in Bezug auf seine La¨ngsachse mit m ¼ 10 kg und r ¼ 200 mm nach Tabelle 4.5, Seite 235: Jx ¼

1 1 m r 2 ¼ 10 kg ð0,2 mÞ2 ¼ 0,2 kg m2 2 2

234

4 Dynamik

4.9.2.2 bung zum Tra¨gheitsmoment Das Versta¨ndnis fu¨r die Berechnungsgleichungen in Tabelle 4.5 (Seite 235) wird vertieft, indem mit Hilfe der Definitionsgleichung fu¨r das Tra¨gheitsmoment J ¼ S Dmn r n 2 eine Gleichung entwickelt wird, die fu¨r den Kreiszylinder gilt. Fu¨r die x-Achse des Kreiszylinders muss man nach Tabelle 4.5 die Gleichung Jx ¼ rpr 4 h=2 finden (r ist die Dichte des Stoffes).

Man lo¨st zuna¨chst den Kreiszylinder in drei Teilko¨rper auf (Dm1 , Dm2 , Dm3 ) und legt deren mittlere Radien r1, r2, r3 in Abha¨ngigkeit vom Radius r fest, denn das sind die Radien, mit deren Quadrat die Teilmassen Dm1 , Dm2 , Dm3 zu multiplizieren sind (Jx ¼ S Dmn r n 2 ).

Die Teilmassen selbst erha¨lt man nach 4.4.2 (Seite 189) als Produkt aus Dichte r, Fla¨che A und Dicke h. 2 A1 ¼ p 10 6 A2 ¼ p 10 10 A3 ¼ p 10

2

4 100 2 2 2 32 r p r ¼ p r2 10 100 2 2 6 64 r p r ¼ p r2 10 100 r

Dm1 ¼ rA1 h ¼ rhpr 2

4 100

Dm2 ¼ rA2 h ¼ rhpr 2

32 100

Dm3 ¼ rA3 h ¼ rhpr 2

64 100

Dm1 r 1 2 ¼ rhpr 2

¼ p r2

¼ rpr4 h Dm2 r 2 2 ¼ rhpr 2 ¼ rpr4 h

Die Summierung der Produkte S Dmn r n ¼ Jx ergibt in der Rechnung vor dem Produkt rpr 4 h den Faktor 1/2,17, wa¨hrend die exakte Berechnung zu dem Faktor 1/2,00 fu¨hren wu¨rde, wie die Tabelle 4.5 (Seite 235) zeigt. Wenn die sehr grobe Aufteilung des Kreiszylinders schon zu dieser Anna¨herung fu¨hrt, dann ist anzunehmen, dass eine Unterteilung in 6 oder 12 Teilko¨rper fast genau den exakten Faktor 1/2,00 ergibt.

Dm3 r 3 2 ¼ rhpr 2

2

¼ rpr4 h S Dmn r n 2 ¼ Jx ¼

4 1 2 r 100 100 4 10 000 32 16 2 r 100 100 512 10 000 64 64 2 r 100 100 4096 10 000

4612 1 rpr4 h ¼ rpr4 h 10 000 2,17

1 rpr 4 h 2,17

exakt nach Tabelle 4.5: Jx ¼

1 rpr 4 h 2,00

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

235

Tabelle 4.5 Gleichungen fu¨r Tra¨gheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) Art des Ko¨rpers

Tra¨gheitsmoment J (Jx um die x-Achse; Jz um die z-Achse; J0 um die 0-Achse)

Rechteck, Quader

1 1 mðb2 þ h2 Þ ¼ r h b sðb2 þ h2 Þ 12 12 bei geringer Plattendicke s ist 1 1 1 1 Jz ¼ m h2 ¼ r b h3 s; J0 ¼ m h2 ¼ r b h3 s 12 12 3 3 a2 Wu¨rfel mit Seitenla¨nge a: Jx ¼ Jz ¼ m 6

Kreiszylinder

1 1 1 1 m r2 ¼ m d2 ¼ r p d4 h ¼ r p r4 h 2 8 32 2 1 4 1 4 m d 2 þ h2 ¼ r p d 2 h d 2 þ h2 Jz ¼ 16 3 64 3

Hohlzylinder

1 mðR2 þ r 2 Þ ¼ 2 1 Jx ¼ r p hðR4 r 4 Þ 2 1 m R2 þ r2 þ Jz ¼ 4

Kreiskegel

Jx ¼

Jx ¼

Jx ¼

Jx ¼

1 1 mðD2 þ d 2 Þ ¼ rphðD4 d 4 Þ 8 32 1 2 h 3

3 m r2 10

Kreiskegelstumpf: Jx ¼

¼

1 4 m D2 þ d 2 þ h2 16 3

3 R5 r 5 m 10 R3 r 3

Zylindermantel Hohlzylinder mit Wanddicke s ¼ ðD dÞ=2 sehr klein im Verha¨ltnis zum mittleren Durchmesser dm ¼ ðD þ dÞ=2

1 1 Jx ¼ m d m 2 ¼ r p d m 3 hs 4 4 1 2 1 2 2 Jz ¼ m d m þ h2 ¼ r p dm h s d m 2 þ h2 8 3 8 3

Kugel

Jx ¼

Hohlkugel (Kugelschale) Wanddicke s ¼ ðD dÞ=2 sehr klein im Verha¨ltnis zum mittleren Durchmesser dm ¼ ðD þ dÞ=2 Ring

2 1 1 8 m r2 ¼ m d2 ¼ r p d5 ¼ r p r5 5 10 60 15

Jx ¼ Jz ¼

1 1 m dm 2 ¼ r p dm 4 s 6 6

3 1 3 Jz ¼ m R2 þ r 2 ¼ m D2 þ d2 4 4 4 " # 1 3 1 3 d 2 r p2 D d2 D2 þ d 2 ¼ m D2 1 þ Jz ¼ 16 4 4 4 D

236

4 Dynamik

4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner’scher Satz) Die Berechnungsgleichungen fu¨r Tra¨gheitsmomente J in Tabelle 4.5 (Seite 235) wurden fu¨r die Schwerachsen der Ko¨rper entwickelt, so wie bei der Herleitung der Gleichung Jx ¼ 0,5 rpr 4 h fu¨r den Kreiszylinder. Diese Gleichungen gelten also fu¨r den Fall, dass die Ko¨rperschwerachse zugleich Drehachse ist. Decken sich Ko¨rperschwerachse x x und Drehachse 0–0 (Bezugsachse) nicht, wie z. B. beim Kurbelzapfen (Kreiszylinder) auf der Kurbelscheibe, dann muss man das Tra¨gheitsmoment J0 des Teilko¨rpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die parallele Drehachse 0–0 nach dem Verschiebesatz von Steiner bestimmen. Das ist das gleiche Verfahren wie z. B. bei der Biegebeanspruchung in der Festigkeitslehre, wenn die Fla¨chenschwerachse der Teilfla¨che nicht zugleich Biegeachse der ganzen Fla¨che ist (siehe 5.7.6, Seite 313). Zur Herleitung des Verschiebesatzes geht man von der uneingeschra¨nkt gu¨ltigen Definitionsgleichung fu¨r das Tra¨gheitsmoment aus, hier bezogen auf die Drehachse 0–0. Der Abstand der Teilmasse Dm von der Bezugsachse betra¨gt jetzt l þ rn , wie die Skizze der Kurbelscheibe zeigt.

In Tabelle 4.5 (Seite 235) sind die x-Achsen und die z-Achsen Schwerachsen der Ko¨rper. Jx ist das Tra¨gheitsmoment des Ko¨rpers bezogen auf die Schwerachse x x usw.

xx 0–0 rn Dmn l

Schwerachse des Kreiszylinders Drehachse (Bezugsachse) zu Dmn geho¨riger Radius beliebige Teilmasse Abstand Schwerachse-Drehachse (Bezugsachse)

J0 ¼ Summe aller Teilmassen mal Abstandsquadrat J0 ¼ S Dmn ðl þ rn Þ2 J0 ¼ S Dmn ðl2 þ 2 l rn þ r n 2 Þ J0 ¼ l2 S Dmn þ 2 l S Dmn rn þ S Dmn rn 2 |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1: Glied 2: Glied 3: Glied

Das erste Glied der gefundenen Gleichung fu¨hrt zum Produkt m l 2, weil S Dm ¼ m ¼ Masse des Kurbelzapfens ist.

l2 S Dmn ¼ l2 m ¼ m l2

Das zweite Glied wird null, weil S Dmn rn ¼ 0 ist. S Dmn rn ist die Summe der statischen Momente aller Teilmassen bezogen auf die Schwerachse des Ko¨rpers. Diese Momentensumme ist gleich null (siehe Momentensatz und Schwerpunktslehre).

2l S Dmn rn ¼ 2 l 0 ¼ 0

Das dritte Glied erkennt man sofort: Es ist das Tra¨gheitsmoment Jx des Teilko¨rpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die eigene Schwerachse (Jx ¼ Js nach Tabelle 4.5).

S Dmn r n 2 ¼ Jx ¼ Js Js ist das Tra¨gheitsmoment des Ko¨rpers bezogen auf die eigene Schwerachse. Es kann Jx , Jz oder J0 nach Tabelle 4.5 sein.

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

237

Damit kann man den Verschiebesatz formulieren: Das Tra¨gheitsmoment J0 fu¨r eine Drehachse 0–0 ist gleich dem Tra¨gheitsmoment Js fu¨r die parallele Schwerachse ss des Ko¨rpers, vermehrt um das Produkt aus der Masse m des Ko¨rpers und dem Abstandsquadrat l 2 der beiden Achsen. Eine der beiden parallelen Achsen muss immer Schwerachse sein.

Sind die Tra¨gheitsmomente Js1, Js2, Js3 mehrerer Teilko¨rper auf eine zu den Teilschwerachsen parallele Drehachse 0–0 zu beziehen, dann ist immer das Produkt m1 l1 2 , m2 l2 2 , m3 l3 2 hinzuzufu¨gen. Decken sich die Schwerachsen der Teilko¨rper mit der Drehachse, dann werden die Produkte ml2 gleich null, d. h. man darf dann (aber nur dann) die Tra¨gheitsmomente einfach addieren (fu¨r Bohrungen subtrahieren).

J0 ¼ Js þ m l2 Verschiebesatz

J0 , Js

m

l

2

kg

m

kg m

J0 ¼ Js1 þ m1 l1 2 þ Js2 þ m2 l2 2 þ . . . Verschiebesatz Beachte: Bei Bohrungen werden Js und auch ml2 fu¨r die Bohrung negativ.

J0 ¼ Js1 þ Js2 þ Js3 þ . . . þ Jsn (gilt nur fu¨r l1 ¼ 0; l2 ¼ 0; l3 ¼ 0 . . . ln ¼ 0)

bung: Die im Abstand l ¼ 200 mm um eine Drehachse 0 rotierende Kugel hat den Radius r ¼ 10 mm und die Dichte r ¼ 8,6 g/cm3. Es soll das Tra¨gheitsmoment J0 fu¨r die Drehachse bestimmt werden.

Lo¨sung: Der Verschiebesatz wird angesetzt. Fu¨r das Tra¨gheitsmoment Js der Kugel in Bezug auf die eigene Schwerachse findet man in Tabelle 4.5 (Seite 235) die Beziehung Jx ¼ ð2=5Þ m r 2 ¼ Js . Aus der Mathematik ist die Gleichung fu¨r das Kugelvolumen bekannt. Außerdem weiß man, dass m ¼ Vr ist (4.4.2, Seite 191). Fu¨r die Ausrechnung wird hier als Masseneinheit g, und als La¨ngeneinheit cm benutzt. Mit 1 g ¼ 103 kg und 1 cm2 ¼ 104 m2 kann abschließend leicht umgerechnet werden.

J0 ¼ Js þ m l2 4 m ¼ p r 3 r (Kugelmasse) 3 2 Js ¼ m r 2 (nach Tabelle 4.5, Seite 235) 5 2 2 2 m r2 þ m l2 ¼ m r þ l2 J0 ¼ 5 5 4 2 J0 ¼ p r3 r r 2 þ l2 3 5 J0 ¼ 14 424 g cm2 ¼ 14,4 kg cm2 J0 ¼ 14,4 104 kg m2

238

4 Dynamik

4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Tra¨gheitsradius i Reduzierte Masse mred eines Ko¨rpers ist eine in beliebigem Abstand r von der Drehachse gedachte Ersatzmasse, die in Bezug auf die Drehachse das gleiche Tra¨gheitsmoment Js besitzt, wie die verteilte Masse m des urspru¨nglichen Ko¨rpers. Dabei kann man sich die reduzierte Masse mred als sehr du¨nnen Hohlzylinder, als Kugel, als Punkt usw. denken. Manche Rechnungen und berlegungen werden dadurch einfacher. Je nach Wahl des Abstandes r fu¨r die reduzierte Masse erha¨lt man dafu¨r einen anderen Betrag, denn es muss immer von der Definitionsgleichung fu¨r das Tra¨gheitsmoment ausgegangen werden, in diesem Fall also von Js ¼ mred r2.

Beispiel: Gesucht ist die reduzierte Masse mred fu¨r einen Kreiszylinder der Masse m, wenn man sich die Masse m auf den Zylinderumfang reduziert denkt.

Im nebenstehenden Beispiel soll die Masse m des Kreiszylinders auf den Zylinderumfang bezogen werden (r bleibt gleich groß). Dann ergibt sich aus Js ¼ mred r2 die reduzierte Masse mred ¼ Js =r 2 ¼ m=2.

Js ¼

Man erha¨lt demnach die reduzierte Masse mred, indem das Tra¨gheitsmoment Js des urspru¨nglichen Ko¨rpers durch das Quadrat des gewa¨hlten Radius dividiert wird.

Js ¼ mred r 2

m r2 2

mred ¼

mred ¼

Js r2

Js m r 2 m ¼ ¼ r2 2 r2 2

mred Ersatzmasse (reduzierte Masse)

Tra¨gheitsradius i eines Ko¨rpers ist derjenige Abstand von der Drehachse, in dem man sich die Masse m des Ko¨rpers als reduzierte Masse umlaufend vorstellen muss, ohne dass sich das urspru¨ngliche Tra¨gheitsmoment Js des Ko¨rpers a¨ndert. Nach der Definitionsgleichung fu¨r das Tra¨gheitsmoment muss mit Masse m und Tra¨gheitsradius i jetzt Js ¼ mi2 gelten. Daraus la¨sst sich der Tra¨gheitsradius bestimmen.

Aufgaben Nr. 582–596

Js ¼ m i 2 rﬃﬃﬃﬃ Js i¼ m

Js gegebenes Tra¨gheitsmoment m gegebene Masse i gesuchter Tra¨gheitsradius

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

239

4.9.3 bung zum dynamischen Grundgesetz fu¨r die Drehung bung: Durch einen Bremsversuch soll das Tra¨gheitsmoment J einer Scheibenkupplung bestimmt werden. Die Kupplung besitzt die Masse m ¼ 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes Bremsmoment von 20 Nm in 25 s von n1 ¼ 2800 min1 auf n2 ¼ 1345 min1 abgebremst. Lo¨sung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt man die Winkelbeschleunigung a definitionsgema¨ß durch a ¼ Dw=Dt ¼ ðw1 w2 Þ=Dt und lo¨st die Gleichung nach J auf. In der Ausrechnung wird die Einheit Nm fu¨r das resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten (1 N ¼ 1 kgm/s2) ersetzt.

Gegeben:

Gesucht:

Mres ¼ 20 Nm Dt ¼ 25 s p n1 rad w1 ¼ ¼ 293,2 30 s p n2 rad ¼ 140,8 w2 ¼ 30 s Js ¼ J ¼ f ðMres , Dt, w1 , w2 Þ

Mres ¼ Ja ¼ J J¼

Dw w1 w2 ¼J Dt Dt

Mres Dt w1 w2

J ¼ f ðMres , Dt, w1 , w2 Þ

kg m2 25 s s2 J¼ ¼ 3,28 kg m2 rad ð293,2 140,8Þ s 20

4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz fu¨r die Drehung Das dynamische Grundgesetz fu¨r Drehung kann in eine andere Form gebracht werden, mit der sich bestimmte Aufgaben einfacher lo¨sen lassen. Dazu schreibt man fu¨r die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt und multipliziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung eignet sich besonders fu¨r Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 202). Das Produkt aus dem resultierenden a¨ußeren Drehmoment Mres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Momentenstoß. Das Produkt aus dem Tra¨gheitsmoment J eines Ko¨rpers und seiner Winkelgeschwindigkeit w wird als Drehimpuls oder Drall bezeichnet: Die nderung des Drehimpulses eines Ko¨rpers ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden Drehmomentes wa¨hrend des betrachteten Zeitabschnitts. Der Drehimpuls ist ein Vektor.

Dw Mres ¼ Ja a ¼ Dt

Dw

Dt Mres ¼ J Dt

Mres Dt ¼ J Dw

Dt ¼ t2 t1 Dw ¼ w2 w1

Mres ðt2 t1 Þ ¼ J ðw2 w1 Þ gilt fu¨r |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Mres ¼ konstant Dt Dw

Mres Dt Momentenstoß des resultierenden Drehmomentes Jw

Drehimpuls (Drall) des Ko¨rpers

Mres Dt ¼ Jw2 Jw1

240

4 Dynamik

Ist das resultierende Drehmoment Mres aller a¨ußeren Drehmomente gleich null (momentfreies System), dann ist auch der Momentenstoß Mres Dt gleich null:

Mres Dt ¼ Jw2 Jw1 ¼ 0

Bei Mres ¼ 0 bleibt der Drehimpuls eines Ko¨rpers unvera¨ndert (Jw ¼ konstant).

Jw2 ¼ Jw1 ¼ konstant

Ein Vergleich der voranstehenden Entwicklungen mit den Herleitungen zum Impuls bei geradliniger Bewegung (4.4.9, Seite 202) zeigt deutlich die strukturelle bereinstimmung der Gesetze der geradlinigen Bewegung und der Drehbewegung (Analogie).

Impulserhaltungssatz fu¨r Drehung

4.9.5 Kinetische Energie Erot (Rotationsenergie) Man geht auf die gleiche Weise vor wie im Abschnitt 4.7.3, Seite 220: Wird ein Ko¨rper, z. B. eine Schwungscheibe, aus dem Stillstand heraus auf die Winkelgeschwindigkeit w gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen Grundgesetz das resultierende Drehmoment Mres ¼ Ja erforderlich (4.9.1, Seite 232). Mres dreht den Ko¨rper um den Drehwinkel Dj, verrichtet also am Ko¨rper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit Wa ¼ Mres Dj. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfa¨higkeit, mit der der Ko¨rper, z. B. das Schwungrad, an einem anderen Ko¨rper Arbeit verrichten kann. Da nur solche Ko¨rper diese Energieart besitzen, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit w drehen, spricht man von Rotationsenergie Erot. Mit der bisherigen Kenntnis der einander entsprechenden Gro¨ßen der geradlinigen und der Drehbewegung ha¨tte man die Gleichung fu¨r die Rotationsenergie sofort aufschreiben ko¨nnen. Besitzt ein Ko¨rper schon die Winkelgeschwindigkeit w1 und wird er durch Mres u¨ber dem Drehwinkel Dj auf die Winkelgeschwindigkeit w2 gebracht, dann wird fu¨r Dj ¼ ðw2 2 w1 2 Þ=2a eingesetzt (Tabelle 4.3, Seite 186). Damit erha¨lt man eine Gleichung fu¨r die Beschleunigungsarbeit Wa in der allgemeinen Form. Wa gibt dann zugleich die nderung der Rotationsenergie des Ko¨rpers an (DErot ¼ Erot 2 Erot 1 ). Vergleiche mit Seite 220.

Dw Dt Dw ¼ w gesetzt w Dj Mres Dj ¼ J Dt w w Dt Mres Dj ¼ J Dt 2 J Mres Dj ¼ w2 ¼ Wa 2 Mres ¼ Ja ¼ J

BeschleunigungsRotationsenergie Erot ¼ arbeit Wa Erot ¼

Erot , Wa

J 2 w 2

Rotationsenergie

J ¼ Nm kg m2

Masse m ¼ b Tra¨gheitsmoment J Geschwindigkeit v ¼ b Winkelgeschwindigkeit w Ekin ¼

m 2 J v ) Erot ¼ w2 2 2

Mres Dj ¼ Ja Dj Dj ¼

w2 2 w1 2 2a

Mres Dj ¼ Ja Wa ¼

J

w2 2 w1 2 2a

J ðw2 2 w1 2 Þ ¼ DErot 2

nderung der Rotationsenergie

w rad s

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

241

4.9.6 Energieerhaltungssatz fu¨r Drehung Der Energieerhaltungssatz fu¨r technische Vorga¨nge nach Abschnitt 4.7.5, Seite 221, muss auch fu¨r die Drehbewegung gelten. Energieerhaltungssatz Die Rotationsenergie Erot E am Ende eines Vorgangs ist gleich der Rotationsenergie Erot A am Anfang des Vorgangs, vermehrt um die wa¨hrend des Vorgangs zugefu¨hrte Arbeit Wzu und vermindert um die wa¨hrend des Vorgangs abgegebene Arbeit Wab . Erot E Rotationsenergie am Ende des Vorgangs

¼ ¼

Erot A Rotationsenergie am Anfang des Vorgangs

þ

Wzu

Wab

þ

zugef u¨ hrte Arbeit

abgef u¨ hrte Arbeit

bung: Eine Schleifscheibe von d1 ¼ 500 mm Durchmesser und der Masse m ¼ 25 kg wird bei einer Drehzahl n ¼ 1 480 min1 ausgeschaltet und la¨uft in 387 s aus. Der Lagerdurchmesser betra¨gt d2 ¼ 50 mm. Gesucht wird die mittlere Reibungszahl m in den beiden Gleitlagern der Schleifscheibenwelle. Erot E ¼ Erot A þ Wzu Wab 0¼

J 2 w þ0 2

Beim Auslaufen wird demnach die gesamte Anfangsenergie durch die Reibungsarbeit aufgezehrt (Erot ¼ WR).

Aufgaben Nr. 597–605

WR

WR ¼ MR Dj; Dj ¼

w Dt 2

Δf = vΔt 2 0

Δt

d2 d2 M R ¼ FN m ¼ m g m ; FN ¼ FG ¼ mg 2 2 WR ¼ m g m

Anfangsenergie ist die Rotationsenergie Erot ¼ Jw2 =2, mit J ¼ mr 2 =2 nach Tabelle 4.5, Seite 235. Fu¨r r2 muss man ðd1 =2Þ2 einsetzen.

v

v

Lo¨sung: Bei diesem „Auslaufversuch“ zur Bestimmung der Reibungszahl in den Lagern ist Erot E ¼ 0, denn am Ende des Vorgangs ruht die Scheibe. Ebenso ist Wzu ¼ 0, weil keine Arbeit zugefu¨hrt wird. Dagegen wird wa¨hrend des Vorgangs Reibungsarbeit WR abgefu¨hrt (Reibungsarbeit der Reibungskraft FN m).

d2 w Dt 2 2

2 J 2 1 1 d1 w ¼ WR ; J ¼ m r2 ¼ m 2 2 2 2

1 1 d1 2 2 d2 w Dt

4 w ¼ mgm m 4 2 2 2 2 mw d1 2 w ¼ g m d2 Dt 4 m¼

d1 2 w 4gd2 Dt

m ¼ 0,051

t

242

4 Dynamik

4.9.7 Fliehkraft 4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft

Fu¨r sehr kleine Zeitabschnitte Dt kann man _ P 01 P 02 ¼ P 01 P 02 setzen. Die Richtungsa¨nderung der beiden Geschwindigkeitsvektoren vu1, vu2 ist der Vektor der Geschwindigkeitsa¨nderung Dv. Damit wird die Verha¨ltnisgleichung entsprechend umgeschrieben.

Beachte: Wichtig ist fu¨r die folgende Betrachtung, dass jeder Ko¨rper ohne a¨ußere Einflu¨sse von sich aus bestrebt ist, die gerade Bewegungsbahn beizubehalten.

e

rma

ent

No

Tan g

le

Beachte: Auch bei gleichfo¨rmiger Kreisbewegung muss der umlaufende Ko¨rper dauernd in Richtung zum Mittelpunkt hin abgelenkt werden: Das ist ein Beschleunigungsvorgang und es gilt Fres ¼ m a.

P1

vu1 Ds = vu Dt

n (ω)

az

P2

Δϕ

rs

az

vu2

M

vu1 M’

vu2

_ _ P1 P2 P 01 P 02 ¼ rs vu _ P1 P2 ¼ vu Dt P 01 P 02 ¼ Dv vu Dt Dv ¼ rs vu

P’1

Δϕ

Nach dem Tra¨gheitsgesetz bewegt sich jeder Ko¨rper mit konstanter Geschwindigkeit (v ¼ konstant) auf geradliniger Bahn weiter, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt. Dann bleibt also nicht nur der Betrag des Geschwindigkeitsvektors erhalten (z. B. v ¼ 4 m/s), sondern auch Richtung und Richtungssinn. Soll sich ein Ko¨rper auf einer kreisfo¨rmigen Bahn bewegen, dann kann zwar der Betrag der Geschwindigkeit vu (Umfangsgeschwindigkeit) gleich groß bleiben (vu ¼ konstant), aber die Richtung des Geschwindigkeitsvektors a¨ndert sich laufend. Es soll nun der Betrag der zum Mittelpunkt M gerichteten Zentripetalbeschleunigung a z bestimmt werden: Bei gleichfo¨rmiger Kreisbewegung bleibt der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit gleich groß, also vu1 ¼ vu2 ¼ vu , jedoch hat sich ihre Richtung auf dem Weg von P1 nach P2 gea¨ndert. In beiden Punkten ist vu tangential gerichtet. Der Kreisbogen _ P1 P2 muss entsprechend der Grundgleichung fu¨r die gleichfo¨rmige Bewegung gleich vu Dt sein, _ also P1 P2 ¼ vu Dt. Der Radius des Kreises wird mit rs bezeichnet, um schon hier deutlich zu zeigen, dass immer die Umlaufbahn des Massenschwerpunkts eines Ko¨rpers zu betrachten ist. Man zeichnet sich nun die beiden Geschwindigkeitsvektoren in den beiden Punkten P1 und P2 heraus (Parallelverschiebung) und bezeichnt die Endpunkte der Geschwindigkeitspfeile mit P 01 und P 02 . Aus der hnlichkeit der beiden schraffierten Dreiecke kann die Verha¨ltnisgleichung herausgelesen werden.

Dv = vu2 – vu1, denn vu1 + Dv = vu2 P’2

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Lo¨st man die Gleichung nach Dv=Dt auf, und beacht, dass jeder Quotient aus einer Geschwindigkeitsa¨nderung und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt eine Beschleunigung darstellt, dann erha¨lt man die Gleichung fu¨r den Betrag der Zentripetalbeschleunigung az. Eine zweite Form findet man, indem nach 4.2.7 (Seite 179) fu¨r vu ¼ rs w eingesetzt wird. Die Zentripetalbeschleunigung az ist zum Drehmittelpunkt gerichtet.

Ursache jeder Beschleunigung ist nach dem dynamischen Grundgesetz immer eine resultierende Kraft Fres ¼ ma. Diese Kraft heißt hier Zentripetalkraft Fz . Sie steht nach d’Alembert im Gleichgewicht mit der entgegengesetzt gerichteten Tra¨gheitskraft des Ko¨rpers, die Fliehkraft oder Zentrifugalkraft heißt. Diese Kra¨fte haben Bedeutung bei Fliehkraftreglern, Kreiselpumpen, Unwuchten, Schleudergussverfahren, Kurvenfahrten von Fahrzeugen usw.

243 Dv vu vu vu 2 ¼ az ¼ ¼ Dt rs rs az ¼

vu 2 ¼ rs w2 rs

az

vu

m s2

m s

rs

w

m

rad s

Zentripetalbeschleunigung Beachte: rs ist der Radius des Kreises, auf dem der Schwerpunkt des Ko¨rpers umla¨uft.

Fres ¼ ma Fres ¼ Fz

a ¼ az

Fz ¼ m az ¼ m rs w2 ¼ m

vu 2 rs

Zentripetalkraft Fz kgm N¼ 2 s

m

az

kg

m s2

rs

w

vu

m

rad s

m s

4.9.7.2 bungen zur Fliehkraft 1. bung: Eine Rennstrecke soll in einer Kurve vom Radius rs ¼ 400 m eine Geschwindigkeit von v ¼ 280 km/h ermo¨glichen, ohne dass an den Reifen seitliche Reibungskra¨fte abgestu¨tzt werden mu¨ssen. Dazu muss der Neigungswinkel a der Fahrbahn so groß werden, dass die Resultierende aus Fliehkraft Fz und Gewichtskraft FG in Normalenrichtung auf der Fahrbahn steht. Welchen Neigungswinkel a muss die Fahrbahn erhalten? Lo¨sung: Der Neigungswinkel a der Fahrbahndecke zur Horizontalen tritt auch im Krafteck auf, und zwar zwischen Gewichtskraft FG und Resultierender Fres. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der Neigungswinkel a der Fahrbahn unabha¨ngig ist von der Masse m des Fahrzeugs, jedoch nicht von der Fallbeschleunigung g.

vu 2 m Fz rs tan a ¼ ¼ FG mg tan a ¼

vu ¼ v gesetzt

v2 grs

a ¼ arctan

2

v grs

280 m 2 3,6 s a ¼ arctan ¼ 57 m 9,81 2 400 m s

244

4 Dynamik

2. bung: Ein Lieferwagen mit der Masse m ¼ 1000 kg fa¨hrt mit v ¼ 80 km/h durch eine nicht u¨berho¨hte Kurve vom Radius rs ¼ 55 m. Der Fahrzeugschwerpunkt S liegt h ¼ 0,65 m u¨ber der Fahrbahndecke, die Spurweite der Ra¨der betra¨gt l ¼ 1,2 m. Als Haftreibungszahl wird m0 ¼ 0,6 angenommen. Es ist zu untersuchen, ob der Wagen in der Kurve kippt oder rutscht. Lo¨sung: Die Lageskizze zeigt, dass der Wagen dann nicht um A kippt, wenn das linksdrehende Moment Fz h (Kippmoment) kleiner ist als das rechtsdrehende FG l=2 (Standmoment). Auch hier zeigt die Entwicklung der Gleichung die Unabha¨ngigkeit von der Masse m des Wagens. Die Ausrechnung ergibt: Der Wagen kippt (gerade noch) nicht. Der Wagen rutscht in der Kurve, wenn die Summe der an den vier Ra¨dern angreifenden Reibungskra¨fte kleiner ist, als die nach links wirkende Fliehkraft Fz . Diese Bedingung wird u¨berpru¨ft, indem man die Gleichung nach der Haftreibungszahl m0 auflo¨st. Die Ausrechnung zeigt: Die Haftreibungszahl m0 ist kleiner als erforderlich, d. h. der Wagen rutscht ( m0 ¼ 0,6 < 0,915).

Fz h FG

l 2

Fz ¼ m

v2 rs

FG ¼ mg

v2 l h g rs 2

80 m 2 0,65 m m 3,6 s

9,81 2 0,6 m s 55 m

5,836 < 5,886 FR0 max Fz v2 rs

m g m0 m

v2 grs 80 m 2 3,6 s ¼ 0,915 m0

m 9,81 2 55 m s m0

0,6 < 0,915

3. bung: Ein du¨nner Ring von der Dichte r la¨uft mit der Winkelgeschwindigkeit w (Umfangsgeschwindigkeit vu) um. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Zugspannung s z im Schnitt A B des Ringes hergeleitet werden. Lo¨sung: Fu¨r den geschnittenen Ring muss in der gezeichneten Stellung S Fx ¼ 0 sein, d. h. im Fla¨chenschwerpunkt beider Querschnitte greift die Normalkraft FN ¼ Fz =2 als innere Kraft an. Diese Normalkraft FN erzeugt die Zugspannung s z ¼ FN =A ¼ Fz =2 A (A ¼ Querschnittsfla¨che).

sz ¼

Fz mrs w2 ¼ 2A 2A

m ¼ Vr ¼ p r A r rs ¼

2r p

Schwerpunktsabstand des Halbkreisbogens

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

245

Die Fliehkraft Fz ist eine Tra¨gheitskraft (siehe d’Alembert, 4.4.6, Seite 195), d. h. sie greift im Schwerpunkt der Halbkreislinie mit dem Radius r an: rs ¼ 2r=p. Es muss zwischen r und rs unterschieden werden. Man sieht, dass die Zugspannung s z unabha¨ngig von der Querschnittsfla¨che A des du¨nnen Ringes ist. Dreht sich der du¨nne Ring mit einer Umfangsgeschwindigkeit von 36 m/s, und besitzt er eine Dichte von 7850 kg/m3, dann betra¨gt die Zugspannung sz 10 N=mm2 .

sz ¼

2r 2 w p 2A

pr Ar

sz

s z ¼ r2 w2 r s z ¼ vu 2 r

N m2 1

r m

w

vu

r

rad s

m s

kg m3

N N ¼ 106 m2 mm2

m2 kg 7 850 3 s2 m N N s z ¼ 10,17 106 2 ¼ 10,17 m mm2 s z ¼ vu 2 r ¼ 362

Aufgaben Nr. 610–620

4.9.8 Gegenu¨berstellung der translatorischen und rotatorischen Gro¨ßen Geradlinige (translatorische) Bewegung Gro¨ße

Definitionsgleichung

Drehende (rotatorische) Bewegung Einheit Gro¨ße

Definitionsgleichung

Zeit t

Basisgro¨ße

s

Zeit t

Verschiebeweg s

Basisgro¨ße

m

Drehwinkel j

j¼

Masse m

Basisgro¨ße

kg

Tra¨gheitsmoment J

J ¼ S Dmr 2

Ds Dt

m s

Winkelgeschwindigkeit w (w ¼ konstant)

w¼

W ¼ Fs W P ¼ ¼ Fv t F ¼ Rs 1 R s2 W¼ 2

J

Dreharbeit Wrot

W

Drehleistung Prot

N J

Elastische Verformung (kreisfo¨rmig)

Geschwindigkeit v (v ¼ konstant) Arbeit W Leistung P Elastische Verformung (geradlinig)

v¼

Basisgro¨ße b r

Dj Dt

Wrot ¼ Mj ¼ FT r j Wrot Prot ¼ ¼ Mw t M ¼ Rj 1 R j2 W¼ 2

Beschleunigung a

a¼

Dv Dt

m s2

Winkelbeschleunigung a

a¼

Beschleunigungskraft Fres

Fres ¼ ma

N

Beschleunigungsmoment Mres

Mres ¼ Ja

kinetische Energie Ekin

Ekin ¼

J

Rotationsenergie Erot

Erot ¼

Impulserhaltungssatz

m v ¼ konstant

Impulserhaltungssatz

Jw ¼ konstant

m 2 v 2

Dw Dt

J 2 w 2

Einheit s rad kgm2 rad s J W Nm J rad s2 Nm

J

246

4 Dynamik

4.10 Mechanische Schwingungen 4.10.1 Begriff Schwingung ist eine auch im Alltag bekannte Bewegungsform von Ko¨rpern oder Masseteilchen, die sich am Ort um eine Ruhe- oder Nulllage herum bewegen (pendeln, schwingen), z. B. hin und her bei allen Pendeln wie Uhrenpendel, Fadenpendel, Federpendel. Bru¨cken schwingen bei Belastung, ebenso eine Blattfeder oder (drehend) eine Torsionsstabfeder am Auto, aber auch Masseteilchen in einer Flu¨ssigkeit oder Elektronen in der Atomhu¨lle schwingen. Man spricht von elektrischen Schwingungen (Schwingkreis), optischen und akustischen (Ton-) Schwingungen. In diesem Kapitel werden nur mechanische Schwingungen behandelt; unterteilt in den kinematischen Bereich mit der Frage nach den Vera¨nderungen der Bewegungsgro¨ßen Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a und in den kinetischen Bereich mit der Frage nach den Kra¨ften F und Kraftmomenten M.

4.10.2 Ordnungsbegriffe Der Pendelko¨rper (Schwinger) einer Uhr fu¨hrt eine freie Schwingung aus, wenn er ohne Antrieb nie zur Ruhe ka¨me. Tatsa¨chlich tritt immer Reibung auf und es kommt zu geda¨mpften Schwingungen. Die Reibung entzieht dem Schwinger (Kugel, Pendel) Energie, die Auslenkung (Gro¨ßtwert: Amplitude) wird immer kleiner. Wird dem Schwinger von außen Energie zugefu¨hrt, spricht man von erzwungener Schwingung. Ist dabei die zugefu¨hrte Energiemenge durch Regelung so dosiert, dass die Schwingung gerade aufrecht erhalten bleibt, nennt man das eine erzwungene selbsterregte Schwingung (mechanisches Uhrwerk).

4.10.3 Die harmonische Schwingung 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung La¨uft der Punkt P auf dem Radius r gleichfo¨rmig mit der Winkelgeschwindigkeit w um, dann entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn eine Aufund Abwa¨rtsbewegung des projizierten Punktes auf der Projektionswand. Die so entstandene Bewegung heißt harmonische Schwingung. Gesucht werden die Gesetzma¨ßigkeiten zur Berechnung von Auslenkung y, Geschwindigkeit vy und Beschleunigung ay des schwingenden Punktes P. Die gefundenen Gleichungen sind die Gleichungen der harmonischen Schwingung.

Auslenkung y 2

ω = konst.

1 0 P 8

2

3

r

1(3)

4

0,8(4)

Nulllage

M 5

7 6

-y

7(5) 6 Projektionsebene

4.10 Mechanische Schwingungen

247

4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w von 0 bis 1. Der Radius r hat dabei den Drehwinkel Dj u¨berstrichen. Die zugeho¨rige momentane Auslenkung y von der Mittellage (Nulllage) ist die Sinuskomponente des Radius r (y ¼ r sin Dj). Wird nach 4.2.6 (Seite 179) w ¼ Dj=Dt und daraus Dj ¼ w Dt eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz y ¼ r sin ðwtÞ. Fu¨r Dt schreibt man verku¨rzt t und bezeichnet den Klammerausdruck als „Omega-t“.

1

r P

y

ω

Δϕ

0

M

y ¼ r sin Dj y ¼ r sin ðw DtÞ y ¼ r sin ðwtÞ

4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz Punkt P la¨uft mit der tangential gerichteten konstanten Umfangsgeschwindigkeit vu um. Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit vy des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes P. Wie das Parallelogramm nach der Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors vu zeigt, ist vy die Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit vu: vy ¼ vu cos Dj. Fu¨r die Umfangsgeschwindigkeit vu kann nach 4.2.7 (Seite 179) das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Radius r eingesetzt werden (vu ¼ wr).

vy

vu

Δϕ 1

ω

Δϕ

-0

M

vy ¼ vu cos Dj vy ¼ rw cos ðwtÞ p wt vy ¼ rw sin 2 Beachte: Es ist cos Dj ¼ sin ð90 DjÞ, also cos ðwtÞ ¼ sin ðp=2 wtÞ

4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch der gleichfo¨rmig umlaufende, wird in jedem Augenblick zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt. Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung az (siehe 4.9.7.1, Seite 242). Die momentane Beschleunigung des Punktes P in der Projektionsebene ist die Sinuskomponente ay ¼ az sin Dj. Die Beschleunigung ay ist immer der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen.

1

ω

Δϕ

-0

ay

az

ay ¼ az sin Dj ay ¼ rw2 sin ðwtÞ ay ¼ yw2

248

4 Dynamik

4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung Werden mit den entwickelten Bewegungsgesetzen fu¨r gleiche Zeitabschnitte Dt (z. B. Dt ¼ 10 s) die Auslenkung y, die Geschwindigkeit vy und die Beschleunigung ay im rechtwinkligen Achsenkreuz u¨ber der Zeitachse t aufgetragen, erha¨lt man die folgenden Kurven: a) Fu¨r die Auslenkung-Zeit-Linie (y; t-Linie) gilt das zuvor entwickelte Auslenkung-Zeit-Gesetz y ¼ r sin Dj ¼ r sin ðwtÞ. Der Radius r ist eine Konstante, folglich ist die y; t-Linie eine Sinuskurve mit positivem Richtungssinn fu¨r die Auslenkung y im Drehwinkelbereich Dj 0 180 und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich Dj 180 360 . b) Fu¨r die Geschwindigkeit-Zeit-Linie (v; t-Linie) gilt das zuvor entwickelte GeschwindigkeitZeit-Gesetz vy ¼ vu cos Dj ¼ rw cos ðwtÞ. Radius r und Winkelgeschwindigkeit w sind Konstante, folglich ist die v; t-Linie eine Kosinuskurve mit positivem Richtungssinn fu¨r die Geschwindigkeit vy im Drehwinkelbereich zwischen 0 und 90 sowie zwischen 270 und 360 und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich zwischen Dj 90 270 . c) Fu¨r die Beschleunigung-Zeit-Linie (ay ; t-Linie) gilt das zuvor entwickelte BeschleunigungZeit-Gesetz ay ¼ az sin Dj ¼ rw2 sin ðwtÞ. Radius r und Winkelgeschwindigkeit w sind Konstante, folglich ist die ay ; t-Linie eine Sinuskurve mit negativem Richtungssinn fu¨r die Beschleunigung ay im Drehwinkelbereich zwischen 0 und 180 und positivem Richtungssinn zwischen 180 und 360 . y

y = r sin Δϕ = r sin ( ωt)

2 3

1

r

y

ω = konst.

Δϕ

0 8 P

4

M

y 0

1

ymax = r 2

3

4

5

6

7

8 t

ymax = - r 5

7

a) vy

6

vu

vy

2

Δϕ

3

1

vy max = vu

vx

r

M

vy max = vu vy

Δϕ

0 8

π vy = vu cos Δϕ = r ω cos ( ωt) = r ω sin ( 2 + ωt)

4

ω

0

1

2

3

4

5

6

7

8

t

vy max = - vu 5

7

b)

6

ay 2 1

ay = - az sin Δϕ = - r ω2 sin ( ωt) = - y ω2

3

ax

ay max = az

r 0 8

Δϕ az

ay

0

6

2

ay 5

7

c)

4

ω

ay max = - az

3

4

5

6

7

8

t

4.10 Mechanische Schwingungen

249

4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten Gro¨ßen und Gleichungen der harmonischen Schwingung

0

Zeit t

A

Auslenkung y (Elongation) ist die momentane Entfernung des schwingenden Punktes von der Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage).

y

A

Periode (Schwingung) ist ein Hin- und Hergang; eine Schwingung entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn (siehe 4.10.3.1).

T=1 f -y

Amplitude A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung aus der Nulllage. A ist konstant bei ungeda¨mpfter Schwingung. Periodendauer T (Schwingungsdauer) ist die Zeit fu¨r eine volle Schwingung. Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl z der Perioden und dem zugeho¨rigen Zeitabschnitt Dt, also die Anzahl der Perioden je Sekunde. Die Frequenz f hat die Einheit 1/s und die Bezeichnung Hertz1) (Hz).

T¼

Dt z

f ¼

z 1 w ¼ ¼ Dt T 2p

Kreisfrequenz w ergibt sich aus w ¼ 2pf ¼ 2pz=Dt, sie ist also die schon bekannte Winkelgeschwindigkeit w (nach DIN 1304).

w ¼ 2pf ¼

Phase Dj ist der Winkel im Bogenmaß, den der umlaufende Punkt im Zeitabschnitt Dt durchla¨uft.

Dj ¼ w Dt ¼ 2 p f Dt ¼ 2 p z

Mit den festgesetzten Gro¨ßen ko¨nnen die hergeleiteten Bewegungsgesetze fu¨r die harmonische Schwingung neu geschrieben werden. Dazu setzt man fu¨r den Radius r die Amplitude A und fu¨r die Kreisfrequenz w ¼ 2 p f ¼ 2 p z=T ein. y, A t, T m

s

w, f

vy

ay

1 s

m s

m s2

Aufgaben Nr. 621–624

1)

Heinrich Hertz, deutscher Physiker, 1857–1894.

2p T

y ¼ A sin ðwtÞ ¼ A sin ð2 p f tÞ 2pt y ¼ A sin T vy ¼ Aw cos ðwtÞ ¼ Aw cos ð2 p f tÞ 2pt vy ¼ Aw cos T ay ¼ Aw2 sin ðwtÞ ¼ Aw2 sin ð2 p f tÞ 2pt ¼ yw2 ay ¼ Aw2 sin T

250

4 Dynamik

4.10.3.4 Ru¨ckstellkraft FR, Richtgro¨ße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen fu¨r die harmonische Schwingung entwickelt und in 4.10.3.3 zusammengestellt. Jetzt sind noch die Kra¨ftegleichungen fu¨r den harmonisch schwingenden Ko¨rper zu ermitteln. Auch dabei muss von der Kreisbewegung ausgegangen werden.

Diese Gro¨ße wird in der Schwingungslehre als Richtgro¨ße D bezeichnet. Die Ru¨ckstellkraft FR ist demnach der momentanen Auslenkung y proportional (FR y).

m

0

M

Nulllage

ω

Δϕ

Fy

Δϕ

0

Fx = Fz cos Δϕ

r=A

Fz

y

Aus Kapitel 4.9.7, Seite 242, ist die Zentripetalkraft Fz ¼ mrw2 bekannt, die den Ko¨rper der Masse m auf der Kreisbahn ha¨lt und immer zum Kreismittelpunkt M hin gerichtet ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit w konstant, gilt das auch fu¨r die Zentripetalkraft Fz und fu¨r deren Komponenten Fx ¼ Fz cos Dj und Fy ¼ Fz sin Dj. Die Komponente Fy ist die in Schwingungsrichtung wirkende Ru¨ckstellkraft FR ¼ Fy ¼ Fz sin Dj. Sie ist immer der Auslenkung y entgegen zur Nulllage hin gerichtet. Der Sinus des Drehwinkels Dj la¨sst sich durch die Auslenkung y und die Amplitude A ausdru¨cken (sin Dj ¼ y=A), sodass sich fu¨r die Ru¨ckstellkraft FR ¼ Fz y=A ergibt. Darin sind Zentripetalkraft Fz (gleichfo¨rmige Drehung) und Amplitude A ¼ r ¼ konstante Gro¨ßen. Damit ist auch der Quotient Fz /A konstant.

Fz

Fy = Fz sin Δϕ

Fy ¼ FR ¼ Fz sin Dj ¼ Fz y=A FR ¼

Fz y A

Fz ¼ konstant ¼ Richtgro¨ ße D A

FR ¼ D y

FR y

Zusammenfassung: Die kinematische Untersuchung fu¨hrte bei der gleichfo¨rmigen Kreisbewegung zu den Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung. Die kinetische Untersuchung hat gezeigt, dass die Ru¨ckstellkraft FR linear von der Auslenkung y abha¨ngig ist. Wird diese Aussage in den folgenden Untersuchungen besta¨tigt, liegt eine harmonische Schwingung vor: Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die Ru¨ckstellkraft FR dem linearen Kraftgesetz in der Form FR y ¼ D y folgt.

FR ¼ D y

Kriterium fu¨r die harmonische Schwingung

4.10 Mechanische Schwingungen

251

4.10.4 Das Schraubenfederpendel 4.10.4.1 Ru¨ckstellkraft FR und Federrate R Eine unbelastete, masselos gedachte Schraubenfeder wird mit einem Ko¨rper der Masse m belastet, sodass sie sich um Ds dehnt. In dieser Ruhelage (Nulllage 0–0) ist die Federspannkraft FS gleich der Gewichtskraft FG des Ko¨rpers (FS ¼ FG), wie der frei gemachte Ko¨rper zeigt.

y

Δs

Umkehrpunkt

0

Ebene der Ruhelage

0

m

- y Umkehrpunkt

Im oberen Umkehrpunkt wirkt die Feder als Druckfeder auf den Pendelko¨rper. Gewichtskraft FG und Federspannkraft FS sind gleich gerichtet (beide nach unten). Dann ist die Ru¨ckstellkraft FR die algebraische Summe von Gewichtskraft und Federspannkraft: FR ¼ FG þ FS .

FR = FS – FG y FS

-y

vy = 0

y

0

FR

0

A = ymax

0

FG

FG

FS

FS

FG

FG

FS

vy = 0

A = ymax

Wird der Ko¨rper um die Amplitude A ¼ ymax nach unten gezogen und dann losgelassen, schwingt er um die Ruhelage 0–0 mit der Amplitude A weiter (reibungsfrei betrachtet). Im unteren Umkehrpunkt des frei gemachten Pendelko¨rpers zieht die Feder mit der Federkraft FS nach oben, denn sie wirkt in dieser Stellung als Zugfeder. Die Ru¨ckstellkraft FR ist immer die resultierende Kraft, hier also die Differenz von Federspannkraft FS und Gewichtskraft FG: FR ¼ FS FG .

FR = 0

FR

0 FR = FS + FG

-y

Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelko¨rpers in beliebigen Zwischenstellungen kann zu keinem anderen Ergebnis fu¨hren:

FR ¼ FS FG

252

4 Dynamik

Die Ru¨ckstellkraft FR beim Federpendel ist die Resultierende aus Federspannkraft FS und Gewichtskraft FG des Pendelko¨rpers (Summe oder Differenz). Nach Kapitel 4.5.3 (Seite 205) ist die Federrate R1) der Quotient aus Federkraft FS und zugeho¨rigem Federweg Ds, also diejenige Kraft, die erforderlich ist, die Feder um eine La¨ngeneinheit zu dehnen oder zu verku¨rzen.

Stellung b), oberhalb der Nulllinie FR ¼ FG þ FS ¼ R Ds þ R s s ¼ y Ds FR ¼ R Ds þ R ðy DsÞ ¼ R y In beiden Fa¨llen ist die Ru¨ckstellkraft FR der Auslenkung y proportional (R ist eine Konstante) und damit gilt:

Federkraft FS Federweg Ds

R

FS

Ds

N mm

N

mm

a)

b) FS = RS

FS = RS

s

vy ay FR

Δs

FR ay vy

y

Δs 0

y s

Zur Kla¨rung der Frage, ob fu¨r das Federpendel das lineare Kraftgesetz der harmonischen Schwingung aus dem vorhergehenden Kapitel 4.10.3.4 gilt, werden zwei Pendelstellungen untersucht. Stellung a), unterhalb der Nulllinie FR ¼ FS FG ¼ R s R Ds s ¼ y þ Ds FR ¼ R ðy þ Ds DsÞ ¼ R y

F¼

FG = R Δs

0

FG = R Δs

Beachte: Fu¨r die Schraubenfeder gilt FR ¼ Ry, folglich ist die Federrate R gleich der Richtgro¨ße D.

FR ¼ D y ¼ R y

FR D, R N

N m

y m

Das Federpendel schwingt harmonisch, denn es gilt das lineare Kraftgesetz.

In der Maschinenbautechnik (z. B. Pressen- und Vorrichtungsbau) reicht zur federnden Kraftu¨bertragung ha¨ufig eine Einzelfeder nicht aus. In diesem Fall werden je nach Verwendungszweck zwei oder mehr Federn in Parallel- oder Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) angeordnet. Fu¨r die konstruktiven Berechnungen braucht man dann die Federrate des ganzen Federsystems, die so genannte resultierende Federrate R0 , deren Betrag von der Art der Federschaltung abha¨ngt. Versuch in A. Bo¨ge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lo¨sungen, Vieweg þ Teubner 2008 Bezeichnung Federrate R nach DIN 2089, Nov. 92

1)

4.10 Mechanische Schwingungen

253

Parallelschaltung Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier parallel geschalteter Einzelfedern mit bekannten Federraten R1 und R2. Wird das Federsystem von s ¼ 0 auf den Federweg s0 gedehnt, gilt fu¨r die resultierende Federkraft F0 ¼ F1 þ F2 , fu¨r den resultierenden Federweg dagegen s0 ¼ s1 ¼ s2 . Mit diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung der resultierenden Federrate R0 bei Parallelschaltung entwickelt werden: R0 ¼

F0 F1 þ F2 F1 F2 ¼ ¼ þ ¼ R1 þ R2 s0 s0 s1 s2

R0 ¼ R1 þ R2

R0 ¼ R1 þ R2 þ . . . þ Rn Federrate bei Parallelschaltung von n Federn

Reihenschaltung Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier in Reihe (hintereinander) geschalteter Einzelfedern mit den Federraten R1 und R2. Wird das Federsystem von F ¼ null auf die Federkraft F ¼ F0 ¼ F1 ¼ F2 belastet, gilt fu¨r den resultierenden Federweg s0 ¼ s1 þ s2 . Mit diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung der resultierenden Federrate R0 bei Reihenschaltung entwickelt werden: R0 ¼

F0 F0 ¼ s0 s1 þ s2

1 s1 þ s1 s1 s2 1 1 ¼ ¼ þ ¼ þ R0 F0 F1 F2 R1 R2

1 1 1 1 ¼ þ þ ... þ R0 R1 R2 Rn Federrate bei Reihenschaltung von n Federn R0 ¼

R1 R2 R1 þ R2

gilt nur fu¨r zwei Federn

4.10.4.2 Periodendauer T des Schraubenfederpendels Die Ru¨ckstellkraft FR ist immer die resultierende Kraft Fres und es gilt das dynamische Grundgesetz Fres ¼ ma. Bei der harmonischen Schwingung ist fu¨r die momentane Beschleunigung a ¼ ay und nach 4.10.3.1.3 (Seite 247) ay ¼ y w2 einzusetzen.

FR ¼ m ay ; ay ¼ y w2 ; w ¼ F R ¼ m y w2

2p T

254 Das dort vorhandene negative Vorzeichen entfa¨llt, da nur der Absolutbetrag interessiert.

Die Periodendauer T ist unabha¨ngig von der Amplitude A. Sie ist umso gro¨ßer, je gro¨ßer die Masse m des Pendelko¨rpers und je kleiner die Federrate R ist, d. h. je „weicher“ die Feder ist. Aus der Gleichung fu¨r die Schwingungsdauer kann auch eine neue Beziehung fu¨r die Berechnung der Federrate der Schraubenfeder entwickelt werden.

4 Dynamik

FR ¼ m

4p2 y ¼ Ry T2 rﬃﬃﬃﬃ m R

FR

m

T R

T ¼ 2p

N

kg

s

4p2 ¼D T2

R, D

m T

N m

kg s

R¼m

N m

Aufgaben Nr. 625–628

4.10.5 Das Torsionsfederpendel 4.10.5.1 Federrate R, Ru¨ckstellmoment MR und Periodendauer T Wird der in Ruhelage an einem Stahldraht ha¨ngende Ko¨rper um den Drehwinkel Dj verdreht, beschreibt jedes Teilchen eine Kreisbewegung. Zur berleitung von der geradlinigen in die kreisfo¨rmige Bewegung wird das Analogieverfahren benutzt. Die Beziehung fu¨r die Kreisbewegung bekommt man, indem in die bekannte Beziehung der geradlinigen Bewegung die entsprechenden Gro¨ßen der Kreisbewegung eingesetzt werden. Beim Torsionsfederpendel entspricht der Ru¨ckstellkraft FR das Ru¨ckstellmoment MR, der Auslenkung y der Drehwinkel Dj. Auch fu¨r die Torsionsbeanspruchung des tordierten Drahtes gilt das Hooke’sche Gesetz, sodass die Gleichung fu¨r die Federrate R mit den entsprechenden Gro¨ßen festgelegt werden kann. Das Ru¨ckstellmoment MR a¨ndert seinen Betrag proportional mit dem Drehwinkel Dj (MR Dj) (wie beim Schraubenfederpendel die Ru¨ckstellkraft FR mit der Auslenkung y), sodass man feststellen kann: Fu¨r das Torsionsfederpendel gilt ein lineares Momentengesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.

FR ¼ b MR y¼ b Dj

Δϕ

R¼

R¨uckstellmoment MR Drehwinkel Dj

R¼

MR Dj

R

MR

j

Nm Nm rad rad

MR ¼ R Dj kreisfo¨rmige Pendelbewegung FR ¼ R y

geradlinige Pendelbewegung

4.10 Mechanische Schwingungen Eine Gleichung fu¨r die Periodendauer T beim Torsionsfederpendel erha¨lt man mit der Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel im vorhergehenden Kapitel 4.10.4.2. Das Tra¨gheitsmoment J beim Torsionsfederpendel entspricht der Masse m des Pendelko¨rpers.

255

T ¼ 2p

rﬃﬃﬃ J R

T ¼ 2p

rﬃﬃﬃﬃ m R

Torsionsfederpendel Schraubenfederpendel Beachte: J ist das Tra¨gheitsmoment bezogen auf die Drehachse (siehe Kapitel 4.9.2, Seite 233)

Auch beim Torsionsfederpendel ist die Periodendauer T unabha¨ngig von der Amplitude A. Sie ist umso gro¨ßer, je gro¨ßer das Tra¨gheitsmoment J und je kleiner die Federrate R ist.

4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tra¨gheitsmomenten J aus der Periodendauer

Benutzt man als Ko¨rper K1 z. B. eine Kreisscheibe, kann nach Tabelle 4.5 das Tra¨gheitsmoment J1 berechnet werden.

l

d

Prüfkörper K 2 mit unbekanntem J2

h

Kupplungsscheiben, Zahnra¨der, Wellen und Schwungscheiben mu¨ssen im Betrieb beschleunigt und verzo¨gert werden. Den erforderlichen Berechnungen liegt das dynamische Grundgesetz fu¨r die Rotation Mres ¼ Ja zugrunde (siehe 4.9.1, Seite 232). Dazu muss das Tra¨gheitsmoment J des umlaufenden Bauteils bekannt sein. Nicht alle Bauteile sind so einfach aufgebaut, dass das Tra¨gheitsmoment J aus fertigen Formeln berechnet werden kann (siehe Tabelle 4.5, Seite 235). Dann wird das Tra¨gheitsmoment J experimentell auf folgende Weise bestimmt: Ein geometrisch einfacher Rotationsko¨rper K1 von bekanntem oder berechenbarem Tra¨gheitsmoment J1 wird an einen Torsionsstab von bekanntem Durchmesser d und bekannter La¨nge l geha¨ngt.

Körper K1

J1 ¼

r

1 r p r4 h 2

kg m2 rStahl ¼ 7,85 103 kg=m3

Fu¨r den p Ko ¨ rperﬃ K1 gilt fu¨r die Periodendauer ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ T1 ¼ 2p J1 =R. Steckt man beide Pru¨fko¨rper auf, dannp gilt fu¨r die Periodendauer ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ T2 ¼ 2p ðJ1 þ J2 Þ=R. Darin ist R die in beiden Fa¨llen gleiche Federrate des Torsionsstabs.

J

J1 R 2 J1 þ J2 ¼ 4p R

T 1 2 ¼ 4 p2 T22

r r, h kg m m3

256 Durch Division beider Gleichungen ergibt sich eine Gleichung fu¨r das unbekannte Tra¨gheitsmoment J2, in der neben dem berechneten Tra¨gheitsmoment J1 nur noch die Periodendauer T1 und T2 steht, die man experimentell bestimmt.

4 Dynamik T12 J1 ¼ T 2 2 J1 þ J2 J2 ¼ J1

T 22 T 12 T12

Aufgaben Nr. 629–630

4.10.6 Das Schwerependel (Fadenpendel) α

l

Auch hier wird als Erstes untersucht, ob die Ru¨ckstellkraft FR der Auslenkung (hier dem Bogen s) proportional ist, denn nur dann gilt das lineare Kraftgesetz als Voraussetzung fu¨r eine harmonische Schwingung.

α max

Die Auslenkung s la¨sst sich aus der Pendella¨nge l und dem Winkel a bestimmen. Da fu¨r kleine Winkel (a < 14 ) der Arcus gleich dem Sinus gesetzt werden kann (arc a ¼ sin a), ist s ¼ l arc a ¼ l sin a und daraus sin a ¼ s=l. Die Ru¨ckstellkraft FR ist die Sinuskomponente der Gewichtskraft FG des Pendelko¨rpers. Sie a¨ndert sich laufend mit dem Winkel a. Masse m, Fallbeschleunigung g und Pendella¨nge l sind fu¨r ein bestimmtes Pendel gleich bleibende Gro¨ßen, d. h. es ist auch der Quotient mg=l eine Konstante. Sie ist die schon bekannte Richtgro¨ße D: Auch fu¨r das Schwerependel gilt das lineare Kraftgesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.

y

h

s α FG cos α

v0

FR = FG sin α FG

FR ¼ FG sin a ¼ m g sin a s eingesetzt ergibt sin a ¼ l FR ¼ m g sin a ¼

mg s l

FR ¼ D s

D¼

FR D s, l

m

g

N m

kg

m s2

N

m

mg l

Einschra¨nkung: Die Auslenkung muss klein sein. Allerdings betra¨gt der Fehler bei a ¼ 14 nur ca. 1%.

Die Periodendauer T fu¨r das Schwerependel erha¨lt man, wenn in die Gleichung pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ fu¨r das Schraubenfederpendel T ¼ 2p m=R fu¨r die Federrate R ¼ Richtgro¨ße D ¼ mg=l eingesetzt wird.

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃ m m ml T ¼ 2p ¼ 2p ¼ 2p R D mg

4.10 Mechanische Schwingungen

Beim Schwerependel ist die Periodendauer T unabha¨ngig von der Amplitude s und von der Masse m des Pendelko¨rpers. Am selben Ort, also bei gleicher Fallbeschleunigung g, verhalten sich die Quadrate der Periodendauer verschiedener Pendel wie ihre Pendella¨ngen l.

257 sﬃﬃﬃﬃﬃ l T ¼ 2p g

T

l

g

s m

m s2

T 1 2 l1 ¼ T 2 2 l2

Aufgaben Nr. 631–633

h 0

0

h

In Ruhe steht die Flu¨ssigkeit in Ho¨he der Nulllinie 0–0. Hebt man z. B. durch Ansaugen die Flu¨ssigkeitssa¨ule auf der einen Seite um die Ho¨he h, muss sie auf der anderen Seite um den gleichen Betrag sinken.

2h

4.10.7 Schwingung einer Flu¨ssigkeitssa¨ule

l Rohrquerschnitt A

Die Ru¨ckstellkraft FR ist die resultierende Gewichtskraft FG der u¨berstehenden Flu¨ssigkeitssa¨ule mit dem Volumen V ¼ A 2 h. Fla¨che A, Dichte r und Fallbeschleunigung g sind konstante Gro¨ßen, die man wieder zu einer Richtgro¨ße D zusammenfassen kann. Damit ist nachgewiesen, dass auch bei der schwingenden Flu¨ssigkeitssa¨ule im U-Rohr die Ru¨ckstellkraft FR der Auslenkung h proportional ist.

FR ¼ FG ¼ Vrg ¼ A 2 h r g

FR ¼ D h

D ¼ 2Arg FR

D

A

r

N

N m

m2

kg m3

g

m m s2

Fu¨r die schwingende Flu¨ssigkeitssa¨ule gilt das lineare Kraftgesetz und damit die Gesetzma¨ßigkeit der harmonischen Schwingung. Die Periodendauer T fu¨r die schwingende Flu¨ssigkeitssa¨ule erha¨lt man wieder, indem in die Gleichung fu¨r pdas ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃSchraubenfederpendel T ¼ 2p m=R fu¨r die Federrate R ¼ Richtgro¨ße D ¼ 2 A r g eingesetzt wird. Außerdem wird fu¨r die Masse m ¼ Vr ¼ A l r eingesetzt. Dann gilt:

rﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃ m m ¼ 2p R D sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Alr T ¼ 2p 2Arg T ¼ 2p

h

258

4 Dynamik sﬃﬃﬃﬃﬃ l T ¼ 2p 2g

Die Periodendauer T ist unabha¨ngig von der Amplitude h und von der Masse m ðDichte rÞ der Flu¨ssigkeit. Ein Vergleich mit der Gleichung fu¨r die Periodendauer des Schwerependels zeigt, dass die Periodendauer Tf der Flu¨ssigkeitssa¨ule mit der Periodendauer TS eines Schwerependels u¨bereinstimmt, dessen La¨nge ls gleich der halben La¨nge l der Flu¨ssigkeitssa¨ule ist.

T

l

g

s m

m s2

Aufgaben Nr. 634

4.10.8 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Flu¨ssigkeitssa¨ule Physikalische Gro¨ße

SchraubenFederpendel

Federrate R (Richtgro¨ße D)

R¼

Ru¨ckstellkraft FR und Ru¨ckstellmoment MR Periodendauer T

d 4G 8 Dm 3 if

FR ¼ Ry rﬃﬃﬃﬃ m T ¼ 2p R

Torsionsfederpendel R¼

Schwerependel

Ip G p d 4 G ¼ l 32 l

D¼

mg l

MR ¼ R Dj

FR ¼ Ds

rﬃﬃﬃ J T ¼ 2p R

sﬃﬃﬃﬃﬃ l T ¼ 2p g

Schwingende Flu¨ssigkeitssa¨ule D ¼ 2Arg FR ¼ Dh sﬃﬃﬃﬃﬃﬃ l T ¼ 2p 2g

G ¼ Schubmodul, d ¼ Draht- oder Stabdurchmesser, Dm ¼ mittlerer Windungsdurchmesser, if ¼ Anzahl der Windungen, l ¼ Pendella¨nge, s ¼ Auslenkung des Pendelko¨rpers, h ¼ Auslenkung der Flu¨ssigkeitssa¨ule, Ip ¼ polares Fla¨chenmoment 2. Grades nach Tabelle 5.2 (Seite 311), J ¼ Tra¨gheitsmoment nach Tabelle 4.5 (Seite 235)

4.10.9 Da¨mpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz a b

A

Durch die Gleitreibung in den Gelenken und Fu¨hrungen, durch Luft- oder Flu¨ssigkeitsreibung wird die Bewegung eines schwingenden Ko¨rpers gebremst. Neben dieser „a¨ußeren“ Reibung steht die „innere“, die Reibung der Teilchen im Ko¨rper selbst. Ergebnis: Die Schwingung wird geda¨mpft.

y

wird kleiner

4.10.9.1 Da¨mpfung

t

T bleibt erhalten

Auslenkung-Zeit-Diagramm fu¨r ungeda¨mpfte (a) und geda¨mpfte Schwingung (b)

4.10 Mechanische Schwingungen

259

4.10.9.2 Energieminderung durch Da¨mpfung

Was fu¨r das Schwerependel gilt, kann bei allen Schwingungsvorga¨ngen beobachtet werden:

α

α1

Δh

m

h

Durch die Reibung wird dem schwingenden Ko¨rper Energie in Form von Reibungsarbeit entzogen (siehe 4.5.4, Seite 206). Beispiel Schwerependel: Der Pendelko¨rper schwingt nicht bis zur Ausgangsho¨he zuru¨ck, die Amplitude verringert sich von A auf A1, der Winkel von a auf a1 und die abgefu¨hrte Reibungsarbeit WR entspricht der Ho¨hendifferenz Dh, was mit dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite 221) nachgewiesen werden kann.

A

WE Wab Wab Wab

A1

¼ WA Wab ¼ WA WE ¼ m g h m gðh DhÞ ¼ m g Dh ¼ Reibungsarbeit WR

Durch Da¨mpfung wird die Amplitude A jeder mechanischen Schwingung immer kleiner, weil sich die Energie des Schwingers laufend um die Reibungsarbeit WR vermindert. Soll die Da¨mpfung u¨berwunden werden, muss dem schwingenden System dauernd Energie zugefu¨hrt werden. Aufgabe Nr. 635 4.10.9.3 Energiezufuhr Ursache jeder Da¨mpfung ist die dauernde Energieumwandlung in Reibungsarbeit. Den umgewandelten Energiebetrag muss man immer wieder ersetzen, wenn die Amplitude unvera¨ndert bleiben oder der Schwingungsvorgang u¨berhaupt in Gang gehalten werden soll. Das kann z. B. durch periodisches Anstoßen des Schwingers geschehen, aber im richtigen Augenblick, damit der Schwingungsvorgang nicht gesto¨rt wird. Die Energiezufuhr wird daher am besten durch die Eigenschwingung des schwingenden Systems gesteuert. Das nennt man Selbststeuerung oder Ru¨ckkopplung, wie z. B. bei der Pendeluhr durch Anker und Steigrad. Das Steigrad wird durch die Uhrfeder angetrieben, ruckt bei jeder Pendelschwingung um einen Zahn weiter und gibt dabei einen Energiebetrag u¨ber den Anker an das Pendel ab (Arbeit wird zugefu¨hrt).

Anker

Steigrad

Pendel

BE

260

4 Dynamik

Die Frequenz des periodisch wirkenden a¨ußeren Erregers heißt Erregerfrequenz f, die Frequenz des Schwingers nach einmaligem Anstoßen ist die Eigenfrequenz f0.

4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz Der Erreger (Oszillator)1), z. B. Motor mit Exzenter zwingt der Schraubenfeder mit dem anha¨ngenden Ko¨rper der Masse m, dem Resonator 2) Schwingungen mit der Erregerfrequenz f auf. Dabei soll die Masse des Resonators klein sein gegenu¨ber der Masse des Erregers, damit die Schwingungen des Resonators nicht auf den Erreger zuru¨ckwirken. Wa¨hlt man zuna¨chst die Frequenz f der erzwungenen Schwingung sehr klein gegenu¨ber der Frequenz f0 der Eigenschwingung, macht der Resonator genau die Bewegung der Fu¨hrungsstange mit. Mit wachsender Erregerfrequenz f werden die Amplituden des Resonators immer gro¨ßer. Die Erregerschwingung la¨uft der Eigenschwingung etwa um eine Viertelperiode voraus. Bei fehlender Da¨mpfung wu¨rden dann die Amplituden des Resonators unendlich groß und das System wu¨rde zersto¨rt werden. Das sind die in der Technik gefu¨rchteten Resonanzkatastrophen, z. B. bei Bru¨cken, Schiffen, Maschinenfundamenten. Wa¨chst die Erregerfrequenz f weiter (f > f0 ), werden die Amplituden des Resonators wieder kleiner, die Bewegung wird ungeordnet, bis schließlich ein kaum merkliches Zittern die kleinsten Amplituden anzeigt. 1) 2)

Schnur

Erreger (Oszillator)

ne

Führungsstange

Mitschwinger (Resonator)

m

Beachte: Kleine Frequenz f heißt geringe Anzahl Schwingungen je Sekunde. Bei f < f0 bewegen sich Fu¨hrungsstange und Mitschwinger (Resonator) fast wie ein starrer Ko¨rper. Die Amplitude des Resonators wird umso gro¨ßer, je mehr sich die Erregerfrequenz f der Eigenfrequenz f0 des Mitschwingers na¨hert (unterkritischer Bereich). Bei Resonanz (f ¼ f0) wird die Amplitude am gro¨ßten (kritischer Bereich). Im u¨berkritischen Bereich (f > f0 ) verringert sich die Amplitude mit zunehmender Erregerfrequenz.

Oszillator: Gera¨t zur Erzeugung von Schwingungen Resonator: Ko¨rper, der vom Erreger zum Schwingen angeregt wird (Mitschwinger)

4.10 Mechanische Schwingungen

261

4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm ber der Erregerfrequenz f (als Vielfaches der Eigenfrequenz f0) ist die Vergro¨ßerungszahl VZ als Verha¨ltnis der Amplitude der erzwungenen Schwingung zur Amplitude des Erregers aufgetragen. Kurve a gilt fu¨r die da¨mpfungsfreie Schwingung, Kurve b fu¨r schwache, Kurve c fu¨r sta¨rkere und Kurve d fu¨r sehr starke Da¨mpfung des Resonators. Man erkennt, dass das Maximum mit zunehmender Da¨mpfung nach links ru¨ckt, also zu Frequenzen f < f0 . Die bei f ¼ f0 auftretende Resonanz ist im Maschinenbau von gro¨ßter Bedeutung. Vor allem bei Kraft- und Arbeitsmaschinen und Getrieben mit schnell laufenden Wellen zeigen sich durch kleine Ungleichfo¨rmigkeiten Schwingungen, die etwa die Frequenz der Drehzahl (oder eines Vielfachen davon) haben. Stimmt die Frequenz f eines Antriebsmotors mit der Eigenfrequenz f0 der umlaufenden Teile eines Getriebes u¨berein, kann es zu Resonanzschwingungen mit großer Amplitude kommen, die zersto¨rende Wirkung haben. Die Resonanzdrehzahl einer Maschine heißt kritische Drehzahl, die mo¨glichst schnell durchfahren werden muss, d. h. man muss mo¨glichst im u¨ber- oder im unterkritischen Drehzahlbereich arbeiten, um Bruch oder auch nur Verminderung der Lebensdauer zu vermeiden. Aufgaben Nr. 636–637

Vz 5 a

4 3

b

2 1 d 0

c f = f0 Resonanzstelle

f = 2f0

Erregerfrequenz f

Beispiel: Die Geha¨useteile eines großen Walzwerkgetriebes sind durch Passstifte miteinander verbunden. Diese lo¨sen sich durch Schwingungen: das Getriebe fa¨llt aus, die Produktion steht voru¨bergehend still.

262

5 Festigkeitslehre Formelzeichen und Einheiten1)

H h I Ia , Ix , Iy Ip Ixy II , III Is

mm2, cm2, m2 mm mm N N , mm m mm mm mm mm N mm2 mm mm N N m N mm N mm2 mm mm mm4, cm4 mm4 mm4 mm4 mm4 mm4

i l (L) l0 (L0 ) Dl lr M Mb MT

mm mm mm mm km Nmm, Nm Nmm, Nm Nmm, Nm

n

1 ¼ min1 min

A a b R d d0 d1 Dd E e1 e2 F F0 FK f G

1)

siehe Fußnote Seite 1

Fla¨che, AM Momentenfla¨che Abstand Stabbreite Federrate Stabdurchmesser urspru¨nglicher Stabdurchmesser Durchmesser des geschlagenen Nietes ¼ Nietlochdurchmesser Durchmesserabnahme oder -zunahme Elastizita¨tsmodul Entfernung der neutralen Faser von der Druckfaser Entfernung der neutralen Faser von der Zugfaser Kraft, Belastung, Last, Tragkraft Belastung der La¨ngeneinheit, Streckenlast Knickkraft (nach Euler) Durchbiegung Schubmodul Gesamtho¨he eines Querschnitts Ho¨he allgemein, Stabho¨he axiales Fla¨chenmoment 2. Grades auf die Achse a, x oder y bezogenes Fla¨chenmoment 2. Grades polares Fla¨chenmoment 2. Grades Zentrifugal- oder Fliehmoment Hauptfla¨chenmoment 2. Grades Fla¨chenmoment 2. Grades, bezogen auf die Schwerachse des Querschnitts Tra¨gheitsradius Stabla¨nge nach der Dehnung oder Stauchung urspru¨ngliche Stabla¨nge (Ursprungsla¨nge) La¨ngenzunahme oder -abnahme Reißla¨nge Drehmoment, Moment einer Kraft, Kraftmoment Biegemoment Torsionsmoment Drehzahl

Formelzeichen und Einheiten

263

W, kW

Leistung

p

N mm2

Fla¨chenpressung

r v s V W W Wx , Wy Wp Wt

mm 1 mm mm3, m3 Nm ¼ J ¼ Ws mm3 mm3 mm3 mm3

Radius Sicherheit gegen Knicken Stabdicke, Blechdicke Volumen Arbeit, Forma¨nderungsarbeit axiales Widerstandsmoment auf die x- oder y-Achse bezogenes Widerstandsmoment polares Widerstandsmoment fu¨r Kreis- und Kreisringquerschnitt Widerstandsmoment bei Torsion nicht kreisfo¨rmiger Querschnitte

al

1 1 ¼ K C

La¨ngenausdehnungskoeffizient

a0 d

1 %

Anstrengungsverha¨ltnis Bruchdehnung, Bruchstauchung

e

1

Dehnung, Stauchung, e ¼

eq

1

Querdehnung, eq ¼

J DT l l0

C K, C 1 1

m

1

v r

1 mm

Temperatur in Grad Celsius (1 C ¼ 1 K) Temperaturdifferenz Schlankheitsgrad Grenzschlankheitsgrad (untere Grenze) eq Poisson-Zahl, m ¼ e Sicherheit, allgemein bei Festigkeitsuntersuchungen Biegeradius, Kru¨mmungsradius der elastischen Linie

Rm (sB ) sb sd sE sK sl sP

Re (sS ) R p 0 ,2 sz

N mm2

Dd d0

Normalspannung allgemein (Druck, Zug, Biegung, Knickung) Zugfestigkeit Biegespannung Druckspannung Spannung an der Elastizita¨tsgrenze Knickspannung Lochleibungsdruck Spannung an der Proportionalita¨tsgrenze Streckgrenze 0,2-Dehngrenze Zugspannung

Dl l0

szul

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

s

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

P

sEntwurf t

ta ts tt j

N mm2

zula¨ssige Normalspannung (sb zul , s d zul , s K zul , sz zul ) Entwurfsspannung Schubspannung allgemein, Tangentialspannung (Schub, Abscheren, Torsion) Abscherspannung, ta ¼

F A

Schubspannung, ts ¼ c

F A

Torsionsspannung rad

Biege- oder Verdrehwinkel

264

5 Festigkeitslehre

5.1 Grundbegriffe

5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre Man betrachtet die technische Zeichnung einer Getriebewelle. Sie entha¨lt sa¨mtliche zur Herstellung no¨tigen Maße. Beispielsweise sieht man sofort, dass der linke Lagerzapfen 30 mm Durchmesser und 16 mm La¨nge haben soll. Wie ist der Konstrukteur, der die Welle entworfen hat, gerade auf diese Maße gekommen? Es soll seinen berlegungen bei der Gestaltung der Welle einmal nachgegangen werden.

Der Konstrukteur kennt das Drehmoment M, das von der Welle u¨bertragen werden soll. Mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen werden sa¨mtliche an der Welle angreifenden Kra¨fte ermittelt. Das sind die am Zahn angreifenden Umfangskra¨fte Fu und Radialkra¨fte Fr sowie die an den Lagerzapfen angreifenden Stu¨tzkra¨fte FA und FB mit den Komponenten FAy , FAz und FBy , FBz . Damit ist die Belastung der Welle bekannt. Nach einer Reihe gegebener Bedingungen werden die Absta¨nde l, l1, l2 festgelegt. Der Werkstoff wird gewa¨hlt. Von diesem sind die wichtigsten Festigkeitswerte aus Tabellen oder Diagrammen greifbar. Jetzt beginnen die berlegungen der Festigkeitslehre.

Technische Zeichnung einer Getriebewelle

Belastungsskizze einer Getriebewelle Fu1, Fu2 Umfangskra¨fte, Fr1, Fr2 Radialkra¨fte, FAy, FAz , FBy, FBz Komponenten der Stu¨tzkra¨fte FA , FB , M Drehmoment

5.1 Grundbegriffe Die Welle darf nicht brechen. Sie darf sich aber auch nicht derart stark verformen (durchbiegen, verdrehen), dass das Getriebe klemmt oder durch starken Verschleiß vorzeitig unbrauchbar wird, z. B. durch eine unzula¨ssig hohe Kantenpressung in den Lagern.

Die „von außen“ auf ein Bauteil einwirkenden Kra¨fte wie beispielsweise die Umfangskra¨fte am Zahnrad, die Stu¨tzkra¨fte in den Lagern und die Gewichtskra¨fte nennt man a¨ußere Kra¨fte. Sie rufen im Werkstoffgefu¨ge die inneren Kra¨fte hervor, die dem Bruch und der Verformung des Bauteils entgegenwirken. Bevor die Maße fu¨r ein Bauteil festgelegt werden ko¨nnen, mu¨ssen Betrag, Richtung und Richtungssinn der inneren Kra¨fte bekannt sein, z. B. die inneren Kra¨fte im Querschnitt x ––x eines Zahnrades oder eines Hebezeugtra¨gers.

265

Kantenpressung im Lager infolge der Durchbiegung

ußere Kra¨fte rufen innere Kra¨fte hervor

5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems Die erste und wichtigste Arbeit beim Lo¨sen einer Aufgabe aus dem Bereich der Festigkeitslehre ist die Beantwortung der Frage, welche inneren Kra¨fte die Bauteile zu u¨bertragen haben. Denn von der Art des „inneren Kra¨ftesystems“ ha¨ngt es ab, mit welchen Festigkeitsgleichungen gearbeitet werden muss. Aus der Statik ist bekannt, dass eine Kraft nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn ihr Betrag (z. B. 150 N), ihre Richtung (z. B. waagerecht, senkrecht, in Richtung der x-Achse) und ihr Richtungssinn (z. B. Druckkraft, Zugkraft) festgelegt worden ist. Das gilt auch fu¨r innere Kra¨fte. Das Verfahren, mit dem die drei Bestimmungsstu¨cke fu¨r jede innere Kraft ermittelt werden, heißt Schnittverfahren. Es wird an einem einfachen Beispiel Schritt fu¨r Schritt vorgefu¨hrt.

Das stabfo¨rmige Bauteil mit der Querschnittsfla¨che A wird durch die Federkra¨fte F ¼ 50 N belastet (a¨ußere Kra¨fte). Der Stab befindet sich im Gleichgewicht, das heißt, die beiden Zugkra¨fte sind gleich groß (von gleichem Betrag). Sie wirken auf einer gemeinsamen Wirklinie und sind entgegengesetzt gerichtet.

A a x F = 50 N

F = 50 N I b

II x

Zugfederbelasteter Rundstab (a), freigemacht (b)

266 Man denkt sich den Stab an der (beliebigen) Stelle x ––x quer zur Stabachse durchgeschnitten. So entstehen die beiden Teilstu¨cke I und II. Der Werkstoffzusammenhang ist damit aufgehoben und eine Kraftu¨bertragung vom Schnittufer I zum Schnittufer II nicht mehr mo¨glich: Die beiden Teilstu¨cke werden durch die a¨ußeren Kra¨fte nach links und rechts gerissen. Im Schnittfla¨chenschwerpunkt SP wird nun eine Normalkraft FN angebracht, die den Restko¨rper wieder ins Gleichgewicht zuru¨ckversetzt. Damit ist diejenige innere Kraft gefunden, die von der Querschnittsfla¨che (kurz: Schnittfla¨che) im unbescha¨digten Zustand u¨bertragen wurde. Den Betrag der von einem Schnittufer zu u¨bertragenden inneren Kraft liefern die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aus der Statik: Fu¨r jedes Stabteil muss die Summe aller Kra¨fte gleich null sein (Kraftmomente wirken hier nicht). Schnittverfahren: Im Schnittfla¨chenschwerpunkt SP werden diejenigen Kra¨fte und Kraftmomente angebracht, die den „abgeschnittenen“ Teilko¨rper in das Gleichgewicht zuru¨ckversetzen. Diese inneren Kra¨fte und Kraftmomente hat der Querschnitt zu u¨bertragen.

5 Festigkeitslehre

Zugfederbelasteter Rundstab getrennt in Teilstu¨cke I und II und mit inneren Kra¨ften versehen. fu¨r Teilstu¨ck I: fu¨r Teilstu¨ck II: FN þ F ¼ 0 F þ FN ¼ 0 FN ¼ F ¼ 50 N FN ¼ F ¼ 50 N

Ergebnis des Schnittverfahrens im Beispiel: Die untersuchte Querschnittsfla¨che hat eine in Normalenrichtung auf die Schnittfla¨che wirkende innere Kraft FN ¼ 50 N zu u¨bertragen.

Beachte: Normalkra¨fte FN stehen rechtwinklig auf der Schnittfla¨che, Querkra¨fte Fq dagegen liegen in der Schnittfla¨che. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (Aktion ¼ Reaktion) von Newton mu¨ssen die inneren Kra¨fte und Kraftmomente beider Schnittufer gleich groß sein (von gleichem Betrag), jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben.

5.1.3 Spannung und Beanspruchung Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren die innere Kraft, die ein Zugstab aufzunehmen hat, mit FN ¼ 300 N gefunden wurde. Damit ist noch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark „beansprucht“. Das ha¨ngt offenbar davon ab, wie viele Fla¨chenteilchen an der Kraftu¨bertragung beteiligt sind, z. B. 60 mm2 oder nur 6 mm2. Als Maß fu¨r die Ho¨he der Beanspruchung des Werkstoffes bietet sich diejenige innere Kraft an, die von der Fla¨cheneinheit u¨bertragen werden muss, z. B. von 1 mm2 oder von 1 cm2.

Spannung als innere Kraft je Fla¨cheneinheit; wegen der einfacheren Rechnung wurde ein Rechteckquerschnitt gewa¨hlt. Beachte: Der Werkstoff wird durch innere Kra¨fte beansprucht, der Ko¨rper wird durch a¨ußere Kra¨fte belastet.

5.1 Grundbegriffe Wird vorausgesetzt, dass jedes Fla¨chenteilchen eines Querschnitts gleichma¨ßig an der Kraftu¨bertragung beteiligt ist, dann ist der Quotient aus der inneren Kraft (z. B. FN ¼ 300 N) und der Querschnittsfla¨che (z. B. A ¼ 6 mm2) ein Maß fu¨r die Beanspruchung des Werkstoffs. Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftu¨bertragung beteiligten Fla¨che heißt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (z. B. Newton) und einer Fla¨cheneinheit (z. B. mm2) sein: Die Spannung ist vorstellbar als die pro Fla¨cheneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen Fla¨cheneinheit.

267 Beispiel: Mit FN ¼ 300 N und A ¼ 6 mm2 betra¨gt das Maß fu¨r die Beanspruchung des Werkstoffs 50 N/mm2. Mit anderen Worten: Jeder Quadratmillimeter des Querschnitts u¨bertra¨gt eine Kraft von 50 N. Man sagt: „Die Spannung betra¨gt 50 Newton pro Quadratmillimeter“.

Spannung ¼

innere Kraft Querschnittsfl¨ache

Einheit der Spannung ¼

N mm2

Statt Spannung sagt man auch „mechanische“ Spannung.

Hinweis: In der Festigkeitslehre wird als Einheit der mechanischen Spannung das „Newton pro Quadratmillimeter“ verwendet.

bung: Der Kreisquerschnitt eines Stahlstabes von 3 mm Durchmesser hat eine innere Kraft FN ¼ 50 N zu u¨bertragen. Es soll die Beanspruchung des Werkstoffs bestimmt werden. Die Rechnung zeigt, dass jeder Quadratmillimeter eine innere Kraft von 7,07 N zu u¨bertragen hat.

Lo¨sung: Bei d ¼ 3 mm Durchmesser betra¨gt die Querschnittsfla¨che p d 2 pð3 mmÞ2 ¼ ¼ 7,069 mm2 A¼ 4 4 Damit ergibt sich die zu u¨bertragende FN 50 N N Spannung ¼ ¼ ¼ 7,07 A 7,069 mm2 mm2

5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung s und Schubspannung t) Nicht immer liegt die Wirklinie der a¨ußeren Kraft in der Stabachse, sie kann auch rechtwinklig (quer) zur Stabachse liegen. Die entsprechenden inneren Kra¨fte erhalten daher unterschiedliche Bezeichnungen: Steht eine innere Kraft in Normalrichtung auf dem Querschnitt A, dann heißt sie

A

A

Normalkraft FN , liegt die innere Kraft dagegen im Querschnitt A, dann nennt man sie Querkraft Fq .

FN FN

Normalkraft FN

Fq Fq

Querkraft Fq

268

5 Festigkeitslehre

Die beiden inneren Kra¨fte, die Normalkraft FN und die Querkraft Fq , stehen rechtwinklig aufeinander, also auch die aus ihnen zu berechnenden Spannungen. Es sind daher zwei Spannungsarten zu unterscheiden. Wird die Spannung aus einer inneren Normalkraft FN berechnet, dann heißt sie Normalspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben s (Sigma) bezeichnet. Wie die Normalkraft FN muss auch die von ihr herru¨hrende Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt stehen. Spannungen dieser Art treten als Zugspannung z. B. in Kettengliedern, als Druckspannung z. B. in Pleuelstangen auf.

Normalspannung σ =

FN N in A mm2

A Querschnittsfläche in mm2

Die Normalspannung s, hervorgerufen durch die Normalkraft FN , steht rechtwinklig auf der Querschnittsfla¨che.

1

FN Normalkraft in N ( zum Schnitt)

mm 2

Wird die Spannung aus einer inneren Querkraft Fq berechnet, dann heißt sie Schubspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben t (Tau) bezeichnet. Wie die Querkraft Fq muss auch die von ihr herru¨hrende Schubspannung in der Querschnittsfla¨che liegen. Spannungen dieser Art treten als Abscherspannung z. B. in Scherstiften auf.

Schubspannung τ =

Fq N in A mm2

A Querschnittsfläche in mm2

Die Schubspannung t, hervorgerufen durch die Querkraft Fq , liegt in der Querschittsfla¨che.

1 mm 2

Fq Querkraft in N ( zum Schnitt)

5.1.5 Die fu¨nf Grundbeanspruchungsarten Am stabfo¨rmigen Bauteil lassen sich die Beanspruchungsarten am einfachsten erkennen. Dazu wird das Schnittverfahren (siehe 5.1.2) eingesetzt. Die Berechnungsgleichungen in den gerasterten Rechtecken werden spa¨ter hergeleitet. 5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug) Die a¨ußeren Kra¨fte ziehen in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer I und II voneinander zu entfernen: Der Stab wird verla¨ngert (gedehnt). Die innere Kraft FN steht rechtwinklich auf der Schnittfla¨che, es entsteht die Normalspannung s z (Zugspannung).

A

F

sz =

FN N in A mm2

F Stabachse

Beispiele fu¨r Zugbeanspruchung: Seile, Ketten, Zuganker, Turbinenschaufeln und Luftschrauben infolge der Fliehkra¨fte, Zugsta¨be in Fachwerktra¨gern.

5.1 Grundbegriffe

269

5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) Die a¨ußeren Kra¨fte dru¨cken in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander na¨her zu bringen: Der Stab wird verku¨rzt. Die innere Kraft FN steht normal (rechtwinklig) zur Schnittfla¨che, es entsteht wieder eine Normalspannung sd (Druckspannung). Bei schlanken Sta¨ben besteht die Gefahr des „Ausknickens“. Diese Beanspruchungsart wird als Sonderfall Knickung behandelt (5.10, Seite 351). Die Beanspruchung der Beru¨hrungsfla¨chen von zwei aufeinander gepressten Bauteilen heißt Fla¨chenpressung (5.5, Seite 288).

sd =

A

FN N in A mm2

F

F

Stabachse sK =

E p2 l2 F

F Stabachse ausgeknickt

Beispiele fu¨r Druckbeanspruchung: Kolbenstangen, Druckspindeln, Sa¨ulen, Lochstempel, Na¨hmaschinennadeln, Knicksta¨be im Stahlhochbau und Kranbau.

5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren) Beim Scherschneiden wirken zwei gleich große gegensinnige Kra¨fte F auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer parallel zueinander zu verschieben. Das entstehende Kra¨ftepaar wird erst in Abschnitt 5.6.1 (Seite 295) in die Untersuchung einbezogen. Im Schnittufer bewirkt die innere Querkraft Fq ¼ F die Schubspannung t. Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart heißt sie Abscherspannung ta .

Schneidspalt u beim Scherschneiden ta =

F

F

Stabachse

Fq N in A mm2

A

Beispiel fu¨r Abscherbeanspruchung: In gescherten (Scherschneiden) und gestanzten Werkstu¨cken, in Nieten, Schrauben, Bolzen, Schweißna¨hten.

5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegen) Die a¨ußeren Kra¨fte ergeben zwei Kra¨ftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kra¨ftepaare wirken in einer durch die Stabachse verlaufenden Ebene und versuchen die Schnittufer gegeneinander schra¨g zu stellen: Der Stab wird gebogen. Da das innere Kraftmoment, das Biegemoment Mb , in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittfla¨che wirkt, entsteht die Normalspannung s (Biegespannung sb ¼ Zug- und Druckspannung). In den Gleichungen s b ¼ Mb =W und tt ¼ MT =Wp erscheinen die Gro¨ßen W und Wp . Sie heißen Widerstandsmomente und werden in einem besonderen Abschnitt (5.7, Seite 303) behandelt.

sb = Mb

F

F

Mb

F

Stabachse

Mb N in W mm2

F

Beispiele fu¨r Biegebeanspruchung: Biegetra¨ger im Stahlhochbau und Kranbau, Wellen, Achsen, Drehmaschinenbetten, Spindeln von Arbeitsmaschinen, Kranhaken.

270

5 Festigkeitslehre

5.1.5.5. Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) Die a¨ußeren Kra¨fte ergeben zwei Kra¨ftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kra¨ftepaare wirken in zwei rechtwinklig (quer) zur Stabachse stehenden Ebenen und versuchen, die Schnittufer gegeneinander zu verdrehen: Der Stab wird verdreht (tordiert). Da das innere Kraftmoment, das Torsionsmoment MT , in der Schnittfla¨che wirkt, entsteht die Schubspannung t (Torsionsspannung tt ).

F

F

tt =

MT N in Wp mm2

F MT

MT Stabachse F

Beispiele fu¨r Torsionsbeanspruchung: Getriebewellen, Torsionsstabfedern, Schraubenfedern, Schrauben, Kurbelwellen

5.1.5.6 Kurzzeichen fu¨r Spannung und Beanspruchung Aus dem Kurzzeichen fu¨r die Spannung (s oder t) erkennt man, ob es sich um eine rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf dem Querschnitt stehende Normalspannung (Kurzzeichen s) oder um eine im Querschnitt liegende Schubspannung (Kurzzeichen t) handelt. Die Beanspruchungsart, also Zugbeanspruchung, Druckbeanspruchung, Abscherbeanspruchung, Biegebeanspruchung und Torsionsbeanspruchung wird mit einem Index gekennzeichnet. Eine Einfu¨hrung in den Begriff der zula¨ssigen Spannung steht im Abschnitt 5.12 (Seite 375). Vorla¨ufig wird die zula¨ssige Spannung fu¨r alle Festigkeitsaufgaben gegeben (siehe „Aufgabensammlung Technische Mechanik“).

sz s z zul

Zugspannung zula¨ssige Zugspannung

sd s d zul

Druckspannung zula¨ssige Druckspannung

sb s b zul

Biegespannung zula¨ssige Biegespannung

ta ta zul

Abscherspannung zula¨ssige Abscherspannung

tt tt zul

Torsionsspannung zula¨ssige Torsionsspannung

5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung Die meisten Bauteile werden durch die a¨ußeren Kra¨fte so beansprucht, dass mehrere der vorstehenden Grundbeanspruchungsarten gleichzeitig auftreten. Kraftrichtungen mit beliebigem Winkel zur Stabachse ergeben immer zusammengesetzte Beanspruchung. Auch hierbei gibt das Schnittverfahren Aufschluss. Im beliebigen Schnitt x––x mu¨ssen zur Herstellung des Gleichgewichts am abgetrennten Stabteil die inneren Kra¨fte FN und Fq sowie das Biegemoment Mb angebracht werden. Der Vergleich mit den fu¨nf Grundbeanspruchungsarten ergibt Zug-, Abscherund Biegebeanspruchung.

Zusammengesetzte Beanspruchung durch eine schra¨g zur Stabachse wirkende Einzelkraft F

5.1 Grundbegriffe

271

5.1.7 Bestimmen des inneren ebenen Kra¨ftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten Fu¨r die fu¨nf Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren, Biegung und Torsion gelten einfache Gleichungen, die spa¨ter gru¨ndlich entwickelt werden. Jetzt geht es darum, Sicherheit im Erkennen der Beanspruchungsarten zu gewinnen, die bei den verschiedenartigen Belastungen in den Bauteilen entstehen. Den Schlu¨ssel zum Versta¨ndnis liefert immer das Schnittverfahren. Dazu ist es erforderlich, die folgenden bungen gewissenhaft durchzuarbeiten. Die bungen eignen sich sehr gut zur Gruppenarbeit: Jede Gruppe erarbeitet eine bung oder einen bungsschritt. Zur Einfu¨hrung in das Schnittverfahren wird das allgemeine innere Kra¨ftesystem untersucht.

Zugbeanspruchung: FN Normalkraft ¼ A Querschnittsfl¨ache

sz ¼

Druckbeanspruchung: sd ¼

FN Normalkraft ¼ A Querschnittsfl¨ache

Biegebeanspruchung: Mb Biegemoment ¼ axiales Widerstandsmoment W Abscherbeanspruchung: sb ¼

ta ¼

Fq Querkraft ¼ A Querschnittsfl¨ache

Torsionsbeanspruchung: tt ¼

MT Torsionsmoment ¼ Wp polares Widerstandsmoment

5.1.7.1 Das allgemeine innere Kra¨ftesystem Im allgemeinen Fall kann der Querschnitt eines Bauteils das folgende innere Kra¨ftesystem zu u¨bertragen haben: eine normal auf der Schnittfla¨che stehende innere Kraft FN , sie erzeugt die Normalspannung s (Zugoder Druckspannung sz , s d ); eine in der Schnittfla¨che liegende innere Kraft Fq (Komponenten Fqx , Fqy ), sie erzeugt die Schubspannung t; ein normal auf der Schnittfla¨che wirkendes Biegemoment Mb (Komponenten Mbx , Mby ), es erzeugt die Normalspannung s (Biegespannung sb ); ein in der Schnittfla¨che liegendes Torsionsmoment MT , es erzeugt die Schubspannung t (Torsionsspannung tt ).

y

F

My = Mby

M z

x

Mx = Mbx

Mz = MT Fqx FN x

z

Fqy

y

Das allgemeine innere Kra¨ftesystem

In nicht leicht durchschaubaren Fa¨llen (z. B. Kurbelwelle) ist es zweckma¨ßig, diese vier statischen Gro¨ßen in der Schnittfla¨che anzubringen und mit den Gleichgewichtsbedingungen am „abgeschnittenen“ Bauteil die inneren Kra¨fte und Momente zu bestimmen. Meist wird es genu¨gen, wenn durch Hinzufu¨gen von inneren Kra¨ften und Kraftmomenten das abgeschnittene Bauteil Schritt fu¨r Schritt ins Gleichgewicht gesetzt wird. Dafu¨r stehen die folgenden bungen.

272

5 Festigkeitslehre

Da diese bungen eine der wichtigsten Grundaufgaben der Festigkeitslehre erfassen, geht man nach einem Arbeitsplan vor. In jedem Fall mu¨ssen zuerst die a¨ußeren Kra¨fte und Kraftmomente mit den Gesetzen der Statik bestimmt werden.

5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems und der Beanspruchungarten ußere Kra¨fte und Kraftmomente mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen (zeichnerisch oder rechnerisch). Bauteil durch einen Schnitt quer zur Stabachse an der Stelle schneiden, deren Beanspruchung untersucht werden soll. In den Schnitt Normalkraft FN , Querkraft Fq und Kraftmomente Mb und MT so einzeichnen, dass der Restko¨rper wieder im Gleichgewicht steht. Betra¨ge der inneren Kra¨fte und Kraftmomente mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Beanspruchungsarten durch Vergleich des inneren Kra¨ftesystems mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5 festlegen. Spannungen nach Abschnitt 5.1.7 berechnen.

Aufgaben Nr. 651–656

5.1.7.3 bungen zum Schnittverfahren 1. bung: Durch die Last F wird ein Seil (Kette, Draht) belastet. Man macht das Seil frei und zerlegt es durch den Schnitt x––x in Teil I und II. Der betrachtete Restko¨rper ist wieder im Gleichgewicht, wenn man im Schnitt die normal (rechtwinklig) zur Schnittfla¨che wirkende innere Kraft FN ¼ F ¼ 4000 N anbringt (S Fy ¼ 0). Der Vergleich mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5 ergibt, dass Zugbeanspruchung vorliegt. Es tritt die Normalspannung s z (Zugspannung) auf. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Zug-Hauptgleichung s z ¼ FN =A.

Inneres Kra¨ftesystem beim Seil

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

5.1 Grundbegriffe

273

2. bung: Das innere Kra¨ftesystem im Querschnitt x––x eines Stu¨tztra¨gers soll bestimmt werden. Zuna¨chst mu¨ssen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtko¨rper die Stu¨tzkra¨fte FA und FB berechnet werden. Stu¨tztra¨ger, freigemacht

Die Rechnung ergibt fu¨r die Stu¨tzkraft FA ¼ 20 kN ¼ 20 000 N fu¨r die Stu¨tzkraft FB ¼ 40 kN ¼ 40 000 N

Man sieht sich die Teilstu¨cke an, und wa¨hlt zuna¨chst Teil I. Soll sich der Restko¨rper I nicht mehr verschieben, muss im Schnitt eine nach unten wirkende innere Kraft Fq ¼ FA ¼ 20 000 N angebracht werden (S Fy ¼ 0). Nun bilden Fq und FA jedoch ein Kra¨ftepaar, das den Restko¨rper rechtsdrehend belastet. Folglich bringt man im Schnitt ein linksdrehendes, normal zur Fla¨che wirkendes Biegemoment Mb ¼ FA l1 ¼ 60 000 Nm an, das die Drehung verhindert (S MðSPÞ ¼ 0). Auf diese Weise kann auch der Restko¨rper II untersucht werden.

Man erkennt: Waagerecht wirkende Kra¨fte sind nicht vorhanden. Die im Schnitt wirkende innere Kraft Fq ¼ 20 000 N ergibt nach Abschnitt 5.1.5 Abscherbeanspruchung mit Schubspannung ta (Abscherspannung). Ihr Betrag wird bestimmt durch die Abscher-Hauptgleichung ta ¼ Fq =A. Außer der inneren Querkraft Fq hat der Querschnitt noch ein Biegemoment Mb zu u¨bertragen. Wie jedes Kraftmoment wird auch das Biegemoment Mb durch ein Kra¨ftepaar erzeugt. Die Teilkra¨fte dieses Kra¨ftepaares stehen hier normal zur Fla¨che und ergeben nach Abschnitt 5.1.5 Biegebeanspruchung mit der Normalspannung s b . Ihr Betrag wird bestimmt durch die Biege-Hauptgleichung s b ¼ Mb =W.

S MðAÞ ¼ 0 ¼ FB l F l2 l2 4m FB ¼ F ¼ 60 kN ¼ 40 kN l 6m S Fy ¼ 0 ¼ FA F þ FB FA ¼ F FB ¼ 20 kN

Stu¨tzbalken geschnitten und mit innerem Kra¨ftesystem versehen. Die inneren Kra¨ftesysteme in I und II sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

Biegemoment und Kra¨ftepaar

274

5 Festigkeitslehre

3. bung: Durch das Anziehen soll in der Schraubenspindel der skizzierten Schraubzwinge eine La¨ngskraft F ¼ 3000 N entstehen. Diese Kraft wird die Schraubzwinge etwas aufweiten. Es soll fu¨r die willku¨rlich gelegten Schnitte x––x und y––y das innere Kra¨ftesystem und die dort vorhandenen Beanspruchungsarten festgelegt werden. Schraubzwinge mit a¨ußerer Belastung F

a) Schnitt x––x Die Kraft F wu¨rde Schnittteil I nach rechts verschieben. Daher muss man im Schnitt die innere Kraft Fq ¼ F ¼ 3000 N anbringen (S Fx ¼ 0). ußere Kraft F und innere Kraft Fq ergeben nun aber ein Kra¨ftepaar, das den Ko¨rper mit dem rechtsdrehenden Kraftmoment M ¼ F l1 ¼ 3000 N 0,2 m ¼ 600 Nm rechtsherum drehen wu¨rde. Gleichgewicht bringt erst das eingezeichnete linksdrehende Biegemoment Mb ¼ F l1 ¼ 600 Nm (S MðSPÞ ¼ 0). Damit liegen auch die Beanspruchungsarten fest.

b) Schnitt y––y Zur Herstellung des Gleichgewichts am abgeschnittenen Bauteil II muss man im Schnitt die innere Normalkraft FN ¼ F ¼ 3000 N anbringen (S Fx ¼ 0). Auch hier hat man dann ein Kra¨ftepaar mit dem Kraftmoment F l2 , dem man mit dem eingezeichneten Biegemoment Mb ¼ F l2 rechtsdrehend entgegenwirken muss (S MðSPÞ ¼ 0). Damit liegen auch fu¨r diesen Schnitt die Beanspruchungsarten fest.

S Fx ¼ 0 ¼ F Fq Fq ¼ F ¼ 3000 N S MðSPÞ ¼ 0 ¼ F l1 þ Mb Mb ¼ Fl1 ¼ 600 Nm Inneres Kra¨ftesystem am Teilstu¨ck I Beanspruchungsarten im Schnitt x––x: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq ¼ F ¼ 3000 N mit Abscherspannung ta ¼ Fq =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb ¼ F l1 ¼ 600 Nm mit Biegespannung sb ¼ Mb =W.

S Fx ¼ 0 ¼ F þ FN FN ¼ F ¼ 3000 N S MðSPÞ ¼ 0 ¼ F l2 Mb Mb ¼ F l2 ¼ 900 Nm

Inneres Kra¨ftesystem am Teilstu¨ck II Beanspruchungsarten im Schnitt y––y: Zugbeanspruchung durch die Normalkraft FN ¼ F ¼ 3000 N mit Zugspannung s z ¼ FN =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb ¼ F l2 ¼ 900 Nm mit Biegespannung sb ¼ Mb =W.

5.1 Grundbegriffe

275

4. bung: Nun zu einer recht schwierigen Aufgabe: Fu¨r die drei eingezeichneten Schnittstellen I, II, III einer Handkurbel sollen das innere Kra¨ftesystem und die Beanspruchungsarten bestimmt werden. Gleiche oder a¨hnliche Probleme sind in der Praxis ha¨ufig. z. B. bei Kurbelwellen, bei Getriebewellen, u¨berall dort, wo eine a¨ußere Kraft drehend auf einen Ko¨rper wirkt.

a) Schnittstelle I (Bolzen) Um das Gleichgewicht am abgeschnittenen Bolzen wieder herzustellen, muss man zuna¨chst die innere Querkraft Fq ¼ F ¼ 200 N anbringen (S Fy ¼ 0). Dadurch entsteht das aus Fq und F bestehende (rechtsdrehende) Kra¨ftepaar. In gleicher Ebene wirkt das linksdrehende Biegemoment Mb ¼ 200 N 0,120 m ¼ 24 Nm. Es ergibt sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung um den Schnittfla¨chenschwerpunkt SP (S MðSPÞ ¼ 0).

Die Beanspruchungsarten mit der jeweiligen Spannung, hier Abscherspannung ta und Biegespannung s b , erha¨lt man durch Vergleich mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5, Seite 268.

Inneres Kra¨ftesystem in der Schnittstelle I

S Fy ¼ 0 ¼ F þ Fq Fq ¼ F ¼ 200 N S MðSPÞ ¼ 0 ¼ F l1 þ Mb Mb ¼ F l1 ¼ 200 N 0,12 m ¼ 24 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt I: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq ¼ F ¼ 200 N mit Abscherspannung ta ¼ Fq =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb ¼ F l1 ¼ 24 Nm mit Biegespannung s b ¼ Mb =W.

276 b) Schnittstelle II (Kurbel) Bevor das innere Kra¨ftesystem im Schnitt II des Kurbelarms bestimmt werden kann, muss man wissen, wie die Handkraft F in Bezug auf den Kurbelarm wirkt. Um das festzustellen, werden nach dem Parallelverschiebungssatz (siehe Statik) im Kurbelarmpunkt A zwei gleich große gegensinnige Kra¨fte F angebracht. Man erkennt, dass die Handkraft im Punkt A zweierlei bewirkt: zum einen die nach unten gerichtete Kraft F, zum anderen aber noch das dem Kra¨ftepaar (zweifach gestrichene Kra¨fte) entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M ¼ F l01 ¼ 26 Nm. Mit diesem in A wirkenden Kra¨ftesystem kann nun weitergearbeitet werden.

5 Festigkeitslehre

Kurbelarm mit Handkraft F und a¨ußerem Kra¨ftesystem in Punkt A

Die in A angreifende Einzelkraft F ¼ 200 N und das um A drehende Drehmoment M ¼ 26 Nm sind dasjenige a¨ußere Kra¨ftesystem, dem man in der Querschnittsstelle II ein entsprechendes inneres Kra¨ftesystem entgegensetzen muss. Der Kurbelarm soll sich weder verschieben noch soll er sich um seine La¨ngsachse z––z verdrehen. Die Verschiebung kann ausgeschlossen werden, indem man im Schnitt die Querkraft Fq ¼ F ¼ 200 N anbringt (S Fy ¼ 0). Dadurch entsteht ein Kra¨ftepaar (aus F und Fq Þ, dem man im Schnitt ein entsprechendes Moment entgegensetzen muss. Das kann nur das um die x-Achse drehende Biegemoment Mb ¼ F l2 ¼ 40 Nm sein (S MðSPÞ ¼ 0). Nun wu¨rde aber das a¨ußere Drehmoment M ¼ 26 Nm den Kurbelarm um die z-Achse rechtsherum drehen. Folglich hat der Querschnitt noch das linksdrehende und in der Fla¨che liegende Torsionsmoment MT ¼ 26 Nm zu u¨bertragen. Statt S MðSPÞ ¼ 0 mu¨sste man hier exakter S Mðz-AchseÞ ¼ 0 sagen. Die Beanspruchungsarten mit der zugeho¨rigen Spannung erha¨lt man wie gewohnt nach Abschnitt 5.1.5.

Inneres Kra¨ftesystem in der Schnittstelle II S Fy ¼ 0 ¼ F þ Fq Fq ¼ F ¼ 200 N S MðSPÞ ¼ 0 ¼ F l2 þ Mb Mb ¼ F l2 ¼ 200 N 0,2 m ¼ 40 Nm S MðSPÞ ¼ 0 ¼ M þ MT MT ¼ M ¼ 26 Nm Beanspruchungsarten im Schnitt II: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq ¼ F ¼ 200 N mit Abscherspannung ta ¼ Fq =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb ¼ F l2 ¼ 40 Nm mit Biegespannung s b ¼ Mb =W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment MT ¼ 26 Nm mit der Torsionsspannung tt ¼ MT =Wp .

5.1 Grundbegriffe c) Schnittstelle III (Kurbelwelle) Auch hier muss erst einmal festgestellt werden, welche Wirkung die Handkraft F auf den zu untersuchenden Ko¨rper ausu¨bt. Dazu wird die Achse x––x der Welle bis zum Schnittpunkt B verla¨ngert. Dort bringt man die beiden gleich großen gegensinnigen Kra¨fte F an. Man erha¨lt in Bezug auf die x-Achse die a¨ußere Kraft F ¼ 200 N und das dem gestrichenen Kra¨ftepaar entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M ¼ Fr ¼ 50 Nm. Mit diesem in Punkt B wirkenden Kra¨ftesystem kann man weiterarbeiten. Schritt fu¨r Schritt wird nun der abgeschnittene Ko¨rper ins Gleichgewicht zuru¨ckversetzt: Zuerst bringt man eine nach oben gerichtete Querkraft Fq im Schnittfla¨chenschwerpunkt an. Damit wird das Gleichgewicht in der x, y-Ebene wieder hergestellt (S Fy ¼ 0). Nun ist aber das Kra¨ftepaar F, Fq entstanden, das die Welle in der x, y-Ebene rechtsdrehend belastet. Folglich muss man als na¨chstes ein in gleicher Ebene wirkendes Kraftmoment im Schnitt anbringen, das linksdrehende Biegemoment Mb ¼ F l4 ¼ 52 Nm (S MðSPÞ ¼ 0). Bis hierher ist gesichert, dass sich die Welle in der x, y-Ebene weder verschiebt noch dreht. Sie wu¨rde sich aber unter der Wirkung des Drehmomentes M um die x-Achse drehen (gegenu¨ber dem Restteil der Welle). Das verhindert das in der Schnittebene liegende linksdrehende Torsionsmoment MT ¼ 50 Nm. Wie u¨blich erha¨lt man die Beanspruchungsarten und die Spannungen nach Abschnitt 5.1.5.

277

Handkurbel mit Handkraft F und a¨ußerem Kra¨ftesystem in Punkt B

Inneres Kra¨ftesystem in der Schnittstelle III

S Fy ¼ 0 ¼ F þ Fq Fq ¼ F ¼ 200 N S MðSPÞ ¼ 0 ¼ F l4 þ Mb Mb ¼ F l4 ¼ 200 N 0,26 m ¼ 52 Nm S MðSPÞ ¼ 0 ¼ M þ MT MT ¼ M ¼ 50 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt III: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq ¼ 200 N mit Abscherspannung ta ¼ Fq =A, Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb ¼ 52 Nm mit Biegespannung s b ¼ Mb =W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment MT ¼ 50 Nm mit der Torsionsspannung tt ¼ MT =Wp .

278

5 Festigkeitslehre

5.2 Beanspruchung auf Zug 5.2.1 Spannung Ein Stab von beliebiger, gleich bleibender Querschnittsfla¨che A wird durch die a¨ußere Kraft F auf Zug beansprucht. Man legt einen Schnitt x––x quer (rechtwinklig) zur Stabachse. Das Gleichgewicht am linken Stabteil wird hergestellt durch die im Schnittfla¨chenschwerpunkt SP angreifende innere Kraft FN normal zum Schnitt (Normalkraft). Die Gleichgewichtsbedingung S Fx ¼ 0 ergibt FN ¼ F. Angenommen jedes Fla¨chenteilchen des Querschnitts ist gleich stark an der Aufnahme der inneren Kraft beteiligt. Dann erha¨lt man die Zugspannung s z einfach als Quotienten aus der Normalkraft FN und dem Fla¨cheninhalt A der Querschnittsfla¨che. Damit wurde die Zug-Hauptgleichung gefunden, die fu¨r jede gerade vorliegende Aufgabe umgestellt werden kann. Ist der Querschnitt la¨ngs der Stabachse gleichbleibend, herrscht auch in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei (allma¨hlichen) Querschnittsa¨nderungen geho¨rt zum kleineren Querschnitt die gro¨ßere Spannung und umgekehrt. Die im so genannten gefa¨hrdeten Querschnitt herrschende Spannung darf den festgelegten zula¨ssigen Spannungswert nicht u¨berschreiten. Gefa¨hrdet ist bei Zugbeanspruchung der Querschnitt mit der kleinsten Fla¨che.

x F

F x F

FN

SP

Querschnittsfläche A

Zugbeanspruchter Stab

Zugspannung s z ¼

sz ¼

Normalkraft FN Querschnittsfl¨ache A

FN A

Zug-Hauptgleichung

sz

FN

A

N mm2

N

mm2

Je nach vorliegender Aufgabe wird die ZugHauptgleichung umgestellt:

Aerf ¼

FN sz zul

sz vorh ¼

FN sz zul A

FN max ¼ A sz zul

erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

5.2.2 Erkennen des gefa¨hrdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen Eine festigkeitstechnische Aufgabe kann nur dann richtig gelo¨st werden, wenn das zu untersuchende Bauteil richtig freigemacht und der gefa¨hrdete Querschnitt Agef richtig erkannt wird. Zur bung wird das Aufsuchen des gefa¨hrdeten Querschnitts bei Zugbeanspruchung an einigen ha¨ufig vorkommenden Bauteilen erla¨utert.

5.2 Beanspruchung auf Zug

279

5.2.2.1 Profilsta¨be mit Querbohrung

∅d 1

d

Agef ¼ Ax ¼

Agef

p 2 d d d1 4

b

s

∅d

In ungeschwa¨chten Profilsta¨ben (Kreis-, Kreisring, Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss in jedem Querschnitt la¨ngs der Zugachse die gleiche Spannung herrschen, weil die Querschnittsfla¨che u¨berall gleich groß ist. Querbohrungen oder Querschnittsminderungen anderer Art fu¨hren an dieser Stelle zur Spannungserho¨hung. Dort liegt also auch der gefa¨hrdete Querschnitt Agef ; fu¨r den man mit den gewa¨hlten Bezeichnungen fu¨r die geometrischen Gro¨ßen (Durchmesser d, Breite b, Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B. fu¨r den gefa¨hrdeten Querschnitt eines Flachstahls in der Form Agef ¼ b s d s ¼ sðb dÞ. Falsch wa¨re etwa Agef ¼ b s s d 2 p=4.

Agef ¼ Ax ¼ sðb dÞ

Agef

5.2.2.2 Zuglaschen

s s

b

∅D ∅d

ndern sich bei Zugsta¨ben Querschnittsform oder Fla¨cheninhalt la¨ngs der Zugachse, so legt man einen Schnitt nach jeder Querschnittsa¨nderung; in der skizzierten Zuglasche beispielsweise die Schnitte x ––x und y––y. Erst der Vergleich der Fla¨cheninhalte Ax , Ay la¨sst den gefa¨hrdeten Querschnitt erkennen; er liegt dort, wo der Fla¨cheninhalt am kleinsten ist, denn nach s z ¼ FN =A geho¨rt zum kleineren Querschnitt die gro¨ßere Spannung und umgekehrt.

Ax ¼ sðD dÞ Ay ¼ b s

Agef = Ax oder Ay

Auch fu¨r Schrauben gilt, dass der gefa¨hrdete Querschnitt dort liegt, wo sich der kleinste Fla¨cheninhalt ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund eines Spitzgewindes an, dann endet dieser Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang, und die Form des Querschnitts weicht etwas von der Kreisform ab. Der so entstandene gefa¨hrdete Querschnitt heißt Spannungsquerschnitt AS . Er ist fu¨r alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet worden. Man kann ihn in mm2 den Tabellen entnehmen (siehe Formelsammlung).

d

5.2.2.3 Zugschrauben

A gef

Agef ¼ Ax ¼ AS AS Spannungsquerschnitt

Hinweis: Als gefa¨hrdeten Querschnitt bei Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde) nimmt man immer den Kernquerschnitt.

280

5 Festigkeitslehre

5.2.2.4 Herabha¨ngende Sta¨be oder Seile Man denkt sich einen frei herabha¨ngenden Stab der von unten nach oben fortschreitend durch die Schnitte x1 x1 , x2 x2 usw. zerlegt ist, dann hat der jeweils ho¨her liegende Schnitt eine gro¨ßere Teilgewichtskraft FGx aufzunehmen. Das bedeutet, dass die Spannung an der Einspannstelle am gro¨ßten ist. Dort liegt der gefa¨hrdete Querschnitt. Da die Belastung durch das Eigengewicht linear zunimmt, muss die Begrenzung der Spannungsverteilung eine Gerade sein. Tra¨gt der Stab am unteren Ende noch die Last F, dann betra¨gt die Gesamtbelastung Fges ¼ F þ FG . Damit ist die maximale Spannung s max zu berechnen. Vielfach muss bei solchen Aufgaben die Gewichtskraft FG ¼ mg berechnet werden. Dazu ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem Volumen V, der Dichte r des Stoffes und der Fallbeschleunigung g.

smax ¼

Agef ¼ Ax

F þ FG Ax

Ax Querschnitt an der Einspannstelle FG ¼ Vrg FG N¼

kg m s2

FG ¼ mg V

r

m

g

m3

kg m3

kg

m s2

5.2.2.5 Ketten Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den tatsa¨chlichen komplizierteren Beanspruchungsverha¨ltnissen (Biegung) nur auf Zug berechnet. Die Sicherheit im Hinblick auf die tatsa¨chliche gro¨ßte Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der beho¨rdlich vorgeschriebenen zula¨ssigen Zugspannung. Bei den Rechnungen wird ha¨ufig vergessen, dass der Schnitt x ––x zwei Rundstahlquerschnitte trifft.

d

Agef

Agef ¼ 2

p 2 p d ¼ d2 4 2

Aufgaben Nr. 661–694

5.2.3 Elastische Forma¨nderung (Hooke’sches Gesetz) Bei Belastung vera¨ndert ein Werkstu¨ck seine Form. Man unterscheidet „elastische“ und „plastische“ Forma¨nderung. Hier wird nur auf die elastische Forma¨nderung eingegangen, bei der das Werkstu¨ck nach Entlastung seine urspru¨ngliche Form wieder annimmt. 1)

Das von Robert Hooke (engl. Physiker, 1635––1703) gefundene Gesetz ist das Grundgesetz fu¨r jede elastische Verformung fester Ko¨rper. Im Physik-Lehrbuch1) wird ein Versuch zum Hooke’schen Gesetz beschrieben.

A. Bo¨ge, J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lo¨sungen. Vieweg þ Teubner, 2008

5.2 Beanspruchung auf Zug

281

5.2.3.1 Verla¨ngerung D l und Dehnung e Jeder auf Zug beanspruchte Ko¨rper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verla¨ngert sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat der Ko¨rper im ungespannten Zustand die Ursprungsla¨nge l0 , im gespannten Zustand dagegen die La¨nge l, so ist seine Verla¨ngerung Dl die Differenz von La¨nge l bei Belastung und Ursprungsla¨nge l0 . Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger La¨nge l0 verla¨ngere sich bei einer bestimmten Zugspannung um 10 mm. Dann wu¨rde sich ein doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen um 20 mm verla¨ngern. Je nach gro¨ßerer oder kleinerer Ursprungsla¨nge l0 wird also die Verla¨ngerung Dl trotz gleicher Spannung gro¨ßer oder kleiner. Um la¨ngenunabha¨ngige Vergleichswerte fu¨r die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht man die Verla¨ngerung Dl auf die Ursprungsla¨nge l0 . Dieser Quotient aus Verla¨ngerung Dl und Ursprungsla¨nge l0 heißt Dehnung e. In der Werkstoffpru¨fung gibt man die Dehnung in Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden.

Stab ungespannt und gespannt Dl ¼ l l0

Dehnung e ¼

e¼

Verl¨angerung Dl Ursprungsl¨ange l0

Dl l l0 ¼ l0 l0

e Dl, l0 , l 1

mm

Beachte: Als Verha¨ltnis zweier La¨ngen (Verla¨ngerung Dl und Ursprungsla¨nge l0 ) ist die Dehnung e eine Verha¨ltnisgro¨ße mit der Einheit Eins.

Beispiel: Ein Stab von 100 mm La¨nge verla¨ngert sich bei einer bestimmten Belastung um 10 mm. Dann betra¨gt die Dehnung e¼

Dl 10 mm ¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ l0 100 mm

5.2.3.2 Querdehnung eq An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei Belastung nicht nur la¨nger, sondern auch du¨nner wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch nicht mit bloßem Auge erkennbar. Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung verbunden. Daher hat man entsprechend der Dehnung e die Querdehnung eq definiert, und zwar als Verha¨ltnis von Dickena¨nderung Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend l0 ). Als Verha¨ltnis zweier La¨ngen muss auch die Querdehnung eq die Einheit Eins erhalten.

Querdehnung des Stabes

Querdehnung eq ¼

eq ¼

Dd d0 d ¼ d0 d0

Dicken¨anderung Dd urspru¨ ngliche Dicke d0

eq Dd, d0 , d 1

mm

282

5 Festigkeitslehre

5.2.3.3 Poisson-Zahl m Fu¨r bestimmte Festigkeitsuntersuchungen ist es bequem, mit dem Verha¨ltnis von Querdehnung eq und Dehnung e zu rechnen. Dieses Verha¨ltnis bezeichnet man als Poisson-Zahl m. Fu¨r Stahl wurde die Poisson-Zahl m ¼ 0,3 ermittelt; fu¨r Gusseisen ist m ¼ 0,25; fu¨r Gummi ist m ¼ 0,5.

Poisson-Zahl m ¼

m¼

Querdehnung eq L¨angsdehnung e

eq e

5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz Fu¨r viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen der Spannung s und der zugeho¨rigen Dehnung e zu erkennen. Beim Ziehen eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender Spannung s auch die Dehnung e (Verla¨ngerung Dl) ansteigt. Versuche mit Probesta¨ben (siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung e mit der Spannung s im gleichen Verha¨ltnis (proportional) wa¨chst. Bei doppelter Spannung s zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung e. Man kann auch sagen: Das Verha¨ltnis von Spannung s und Dehnung e ist fu¨r jeden Werkstoff ein bestimmter, in den fu¨r die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen gleich bleibender Wert, der Elastizita¨tsmodul E.

¨ Elastizit atsmodul E¼

Spannung s Dehnung e

Umgestellt und fu¨r e ¼ Dl=l0 eingesetzt, ergibt sich die u¨bliche Form: s ¼ eE ¼

Dl E l0

Hooke’sches Gesetz

s, E

Dl, l0

e

N mm2

mm

1

Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten Sta¨ben zeigen die gleichen Gesetzma¨ßigkeiten wie bei Zugbeanspruchung: Das Hooke’sche Gesetz gilt fu¨r Zug- und Druckbeanspruchung. Statt s z und s d schreibt man daher hier nur s.

Der Elastizita¨tsmodul (kurz: E-Modul) ist eine Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache Dehnversuche ermitteln kann. Im Physik-Lehrbuch ist ein solcher Versuch ausfu¨hrlich beschrieben. Die Tabellen 5.8 und 5.9 (Seite 385) enthalten den E-Modul fu¨r die wichtigsten Werkstoffe.

Beispiele:

Dem Elastizita¨tsmodul E entspricht fu¨r Schubspannungen (Abscher- und Torsionsspannung) dem Schubmodul G (5.6.2, Seite 297).

Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe nur deshalb schwierig, weil man vergisst, dass der E-Modul schon bekannt ist (Tabelle 5.8).

N N ¼ 2,1 105 mm2 mm2 N EAlCuMg ¼ 0,72 105 mm2 N EGG26 ¼ 1,2 105 mm2 EStahl ¼ 210 000

5.2 Beanspruchung auf Zug Nach dem Hooke’schen Gesetz s ¼ e E muss der E-Modul die Einheit der Spannung haben (N/mm2), denn die Dehnung e hat die Einheit Eins. ber das Hooke’sche Gesetz E ¼ s=e kann man den E-Modul auch als diejenige Spannung ansehen, die bei der Dehnung e ¼ 1 auftreten wu¨rde. Allerdings muss dabei beachtet werden, dass sich Metallsta¨be nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungsla¨nge verla¨ngern lassen und dass das Hooke’sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt (Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375).

283 Beispiel: Angenommen, ein Probestab verla¨ngert sich bei der Spannung s z ¼ 1000 N=mm2 auf das Doppelte seiner Ursprungsla¨nge. Dann wa¨re seine Dehnung e ¼ Dl=l0 ¼ 1 und damit E¼

s z 1000 N N ¼ ¼ 1000 ¼ sz e 1 mm2 mm2

5.2.3.5 Wa¨rmespannung Alle Metallsta¨be dehnen sich bei Erwa¨rmung aus und ziehen sich bei Abku¨hlung wieder auf die Ursprungsgro¨ße l0 zusammen. Die Verla¨ngerung Dl (Verku¨rzung) des Stabes ist abha¨ngig von der Ursprungsla¨nge l0 , von der Temperaturdifferenz DT ¼ J2 J1 vor und nach der Erwa¨rmung (Abku¨hlung) und vom La¨ngenausdehnungskoeffizienten al (siehe Physik-Lehrbuch). Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen an der La¨ngena¨nderung gehindert, dann mu¨ssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie ko¨nnen mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes berechnet werden. Diese Normalspannungen heißen Wa¨rmespannung s J , weil die Temperatur allgemein mit dem griechischen Buchstaben Theta bezeichnet wird. Den Elastizita¨tsmodul E entnimmt man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 385, den La¨ngenausdehnungskoeffizienten al dem Handbuch Maschinenbau.

Dl ¼ l0 al DT

Dl, l0

al

DT

mm

1 K

K

Hinweis: Fu¨r Stahl ist al St ¼ 12 106 1=K, das heißt, ein Stahlstab von 1 m La¨nge vera¨ndert sich bei Erwa¨rmung um 1 K ¼ 1 C um 12 106 m ¼ 0,012 mm. s J ¼ eE ¼

Dl E l0

Hooke’sches Gesetz in allgemeiner Form

Fu¨r die Verla¨ngerung (Verku¨rzung) wird Dl ¼ l0 al DT eingesetzt: l0 al DT E l0

sJ , E

al DT

sJ ¼ al DT E

N mm2

1 K

sJ ¼

Wa¨rmespannung Beachte: Die Wa¨rmespannung sJ ist unabha¨ngig von den Abmessungen des Stabs.

5.2.3.6 Forma¨nderungsarbeit W f

F l0

Δl

F

Kraft

Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von Zug- und Drucksta¨ben proportional zur La¨ngena¨nderung an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem Weg Dl (Verla¨ngerung) eine mechanische Arbeit, die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung wieder vollsta¨ndig frei wird. Man sagt: Der Ko¨rper „federt“. Das Kraft-Verla¨ngerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende Fla¨che entspricht der mechanischen Arbeit.

K

Wf =

Δl

F Δl 2

Verlängerung

Kraft-Verla¨ngerung-Schaubild eines elastisch verla¨ngerten Stabs. Beachte: Bei Zug- oder Druckfedern ohne Vorspannung ist die Arbeitsfla¨che ein Dreieck.

284 Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes s ¼ eE ¼ Dl E=l0 schreibt man fu¨r die Verla¨ngerung s l0 Dl ¼ : E Fu¨r die Zugkraft F schreibt man mit der ZugHauptgleichung F ¼ s A. Dann ergibt sich mit A l0 ¼ Volumen V die u¨bliche Form fu¨r Wf . Die Forma¨nderungsarbeit Wf wird auch als Federarbeit bezeichnet. Als Einheit erha¨lt man das Newtonmillimeter. Zur Umrechnung in J ¼ Nm dividiert man den Betrag durch 1000 (1 mm ¼ 1/1000 m ¼103 m).

5 Festigkeitslehre

Wf ¼

Kraft F Verl¨angerung Dl 2

Wf ¼

F Dl 2

Forma¨nderungsarbeit

s A s l0 2E

Wf ¼

Wf ¼

F Dl s 2 V ¼ 2 2E

Wf

F

Dl

Nmm ¼ 103 J N mm

s, E

V

N mm3 mm2

5.2.4 Reißla¨nge Die Belastung frei ha¨ngender Seile z. B. in Fo¨rderanlagen setzt sich aus der Nutzlast und der Eigengewichtskraft des Seiles zusammen. Mit zunehmender Seilla¨nge wird man infolge der ansteigenden Gewichtskraft FG des Seiles immer weniger Nutzlast anha¨ngen du¨rfen, bis der gefa¨hrdete Querschnitt (Aufha¨ngequerschnitt) nur noch die Seilgewichtskraft FG tragen kann. Wie das Bild zeigt, steigt die allein durch die Seilgewichtskraft verusachte Zugspannung s z linear mit der La¨nge an. Das zeigt auch die folgende Entwicklung (siehe 5.2.2.4, Seite 280). In der Zug-Hauptgleichung wird die Zugkraft F durch die Gewichtskraft FG ¼ m g ersetzt. Die Masse m des Seils ersetzt man durch das Produkt aus Dichte r und dem Volumen V, letzteres wieder durch das Produkt aus Querschnittsfla¨che A und Seilla¨nge l.

sz ¼

FG A

sz ¼

rAlg ¼ rlg A

FG ¼ m g ¼ r V g ¼ r A l g

sz ¼ r l g

Nach der Gleichung sz ¼ r l g ist die Zugspannung im Seil nicht vom Seildurchmesser abha¨ngig.

Hinweis: Die Gleichung fu¨r s z zeigt, dass die Zugspannung gleichma¨ßig mit der Seilla¨nge l nach oben hin ansteigt.

Wird in s z ¼ r l g statt der Zugspannung s z die Zugfestigkeit Rm fu¨r den Seilwerkstoff eingesetzt, so erha¨lt man eine Gleichung fu¨r die so genannte Reißla¨nge l r , bei der das frei ha¨ngende Seil unter seiner Eigengewichtskraft reißt.

s z ¼ r l g ; s z ¼ Rm ; l ¼ l r lr ¼

Rm rg

Reißla¨nge

Rm Zugfestigkeit (Seite 375) r Dichte g Fallbeschleunigung

5.3 Beanspruchung auf Druck Setzt man in die Gro¨ßengleichung fu¨r die Reißla¨nge die Zugfestigkeit Rm in N/mm2 ein, die Dichte r in kg/m3 und die Fallbeschleunigung g in m/s2, dann muss bei der Ausrechnung die Fla¨cheneinheit mm2 in m2 umgewandelt werden. Hierfu¨r gilt 1 mm2 ¼ ð103 mÞ2 ¼ 106 m2 :

285 N ðRm Þ N m 3 s2 mm2 ¼ ðlr Þ ¼ ¼ ðrÞ ðgÞ kg m mm2 kg m m 3 s2 kgm 3 2 m s kg m4 s2 s2 ¼ 6 2 ðlr Þ ¼ 6 2 10 m kg m 10 m kg m s2 ðlr Þ ¼ 106 m ¼ 103 km

Damit kann auch eine auf die La¨ngeneinheit km zugeschnittene Zahlenwertgleichung entwickelt werden. Auch nach der Zahlenwertgleichung ist die Reißla¨nge eines Seils nicht vom Seildurchmesser oder vom Querschnitt A abha¨ngig.

lr ¼ 103

lr

Rm

r

g

km

N mm2

kg m3

m s2

Rm rg

Zahlenwertgleichung

Rm siehe Seite 385

Aufgaben Nr. 696–713

5.3 Beanspruchung auf Druck Die a¨ußeren Kra¨fte wirken hier entgegengesetzt wie bei der Zugbeanspruchung. Man kann sagen: Zug- und Druckbeanspruchung liegen spiegelbildlich zueinander, und die Gesetzma¨ßigkeiten sind von gleicher Art. Das gilt sowohl fu¨r die Spannungsart (Normalspannung) als auch fu¨r die Spannungsverteilung. Daher hat die Druck-Hauptgleichung die gleiche Form wie die Zug-Hauptgleichung. Grundsa¨tzlich gilt auch fu¨r die Druckbeanspruchung: Bei gleich bleibendem Querschnitt herrscht in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei Querschnittsa¨nderungen tritt im kleineren Querschnitt die gro¨ßere Spannung auf und umgekehrt. Die im gefa¨hrdeten Querschnitt vorhandene Spannung darf den festgelegten zula¨ssigen Spannungsbetrag nicht u¨berschreiten. Gefa¨hrdet ist der Querschnitt mit dem kleinsten Fla¨cheninhalt (siehe auch Seite 278). Fu¨r die Forma¨nderungsarbeit Wf gelten die Beziehungen von Seite 283.

x

F

x SP F

F

Druckbeanspruchter Stab

A FN

Druckspannung s d ¼

FN sd ¼ A

Normalkraft FN Querschnittsfl¨ache A sd

FN

A

N mm2

N

mm2

Druck-Hauptgleichung Je nach vorliegender Aufgabe wird die Druck-Hauptgleichung umgestellt: Aerf ¼

FN sd zul

sd vorh ¼

FN sd zul A

FN max ¼ A s d zul

erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

286

5 Festigkeitslehre

5.4 bungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Hier wird die rechnerische Auswertung der bisher bekannten festigkeitstechnischen Beziehungen vorgefu¨hrt. Der Studierende wird vor allem lernen, welche Form seine Rechnungen haben mu¨ssen und nach welchem Konzept er technische Berechnungen aufbauen sollte. Die beiden folgenden Aufgaben sind von der gleichen Art, wie sie in dem Buch „Aufgabensammlung Technische Mechanik“ zusammengestellt wurden. Die Lo¨sungsgedanken stehen links, die numerische Rechnung in der rechten Spalte. 1. bung: Ein Stahldraht aus 20MnCr5 von 1 mm Durchmesser und 2 m La¨nge wird durch Zugbelastung um 4 mm verla¨ngert. Zu bestimmen sind a) die Dehnung des Drahtes, b) die vorhandene Zugspannung, c) die Zugkraft. d) Es soll nachgewiesen werden, dass im Rechnungsbereich das Hooke’sche Gesetz tatsa¨chlich noch gilt. Lo¨sung: a) Da Ursprungsla¨nge l0 und Verla¨ngerung Dl gegeben sind, la¨sst sich die Dehnung e sofort berechnen (als Dezimalzahl und in %). b) Ist eine Forma¨nderung im Spiel, hier die gegebene Verla¨ngerung Dl, dann ist sicher, dass das Hooke’sche Gesetz gebraucht wird (s z ¼ e E oder auch in der Form sz ¼ Dl E=l0 Þ. Daher hat man unter „Gegeben“ auch sofort den E-Modul aufgeschrieben. c) Die Zugkraft F la¨sst sich nun u¨ber die ZugHauptgleichung mit der vorher bestimmten Zugspannung berechnen. Allerdings: Das Ergebnis dieser Rechnung kann nur dann richtig sein, wenn s z vorh fehlerfrei bestimmt wurde. Auch fu¨r Teilrechnungen sollte man daher immer versuchen, eine Gleichung fu¨r die gesuchte Gro¨ße (hier Zugkraft F) zu entwickeln, in der rechts vom Gleichheitszeichen nur die gegebenen Ausgangsgro¨ßen stehen. In diesem Sinn wa¨re auch die hier vorgefu¨hrte Kontrollrechnung noch nicht exakt, weil statt p d 2 =4 der schon berechnete Wert fu¨r den Querschnitt A ¼ 0,785 mm2 eingesetzt wurde.

Gegeben: p p A ¼ d 2 ¼ ð1 mmÞ2 ¼ 0,785 mm2 4 4 l0 ¼ 2 m ¼ 2 103 mm ; Dl ¼ 4 mm EStahl ¼ 2,1 105

N mm2

Gesucht: c) F a) e b) s z vorh d) Spannungsnachweis fu¨r Hooke

e¼

Dl 4 mm ¼ ¼ 2 103 ¼ 0,002 l0 2 103 mm

e ¼ 2 103 100 % ¼ 2 101 % ¼ 0,2 % FN F ) f u¨ hrt nicht weiter. s z vorh ¼ ¼ A A N s z vorh ¼ e E ¼ 2 103 2,1 105 mm2 N N s z vorh ¼ 4,2 103 105 ¼ 420 mm2 mm2 N F ¼ s z vorh A ¼ 420 0,785 mm2 mm2 F ¼ 329,7 N Kontrolle: Dl F sz ¼ eingesetzt: E sz ¼ l0 A F Dl E ) nach F aufgel¨ost: ¼ A l0 Dl E A F¼ l0 N 4 mm 2,1 105 0,785 mm2 mm2 F¼ 2 103 mm F ¼ 329,7 N ðwie obenÞ

5.4 bungen zur Zug- und Druckbeanspruchung d) Nach Tabelle 5.8, Seite 385, betra¨gt die Rp 0,2 Dehngrenze fu¨r 20 MnCr5 850 N/mm2, d. h. bei dieser Spannung wu¨rde sich der Probestab um 0,2 % bleibend gedehnt haben. Da die hier vorhandene Spannung (420 N/mm2) weit unter dieser Dehngrenze 850 N/mm2 liegt, durfte tatsa¨chlich mit dem Hooke’schen Gesetz gerechnet werden. 2. bung: Ein Gummipuffer mit Kreisquerschnitt soll durch eine Druckkraft F ¼ 500 N von 30 mm auf 25 mm elastisch zusammengedru¨ckt werden. Der E-Modul der verwendeten Gummisorte ist mit 5 N/mm2 angegeben. Zu bestimmen sind a) die Druckspannung im Gummipuffer, b) der erforderliche Pufferdurchmesser, c) die vom Puffer aufgenommene Forma¨nderungsarbeit. Lo¨sung: a) Man sollte sich ku¨nftig die Erkenntnisse aus der vorigen Aufgabe zunutze machen und grundsa¨tzlich die entsprechende Hauptgleichung und das Hooke’sche Gesetz aufschreiben. Entweder fu¨hrt dann eine der beiden Gleichungen direkt zum Ziel oder beide werden zu einer Gleichung fu¨r die gesuchte Gro¨ße entwickelt. b) Aus der Druck-Hauptgleichung und dem Hooke’schen Gesetz wird eine Gleichung fu¨r die gesuchte Gro¨ße (hier derf ) entwickelt. Nur so erha¨lt man eine „rechnergema¨ße“ Beziehung, die es ermo¨glicht, die gegenseitigen Abha¨ngigkeiten aller Gro¨ßen zu diskutieren. Beispielsweise ist zu erkennen, dass bei gro¨ßerem E-Modul der erforderliche Durchmesser kleiner wird, denn E steht im Nenner der Funktionsgleichung d ¼ f ðF, l0 , Dl, EÞ. c) Die aufgenommene Federarbeit Wf erha¨lt man direkt aus den gegebenen Gro¨ßen F und Dl (siehe Seite 284).

287

Rp 0,2 ¼ 850

N mm2

s z vorh ¼ 420

N < Rp 0,2 mm2

Gegeben: F ¼ 500 N l0 ¼ 30 mm

10Dl ¼ 5 mm

N E¼5 mm2 Gesucht: a) sd vorh

s d vorh ¼

b) derf

F ¼ eE A

s d vorh ¼ e E ¼ s d vorh ¼ 0,83

s d vorh ¼ A¼

derf

derf

c) Wf

Dl 5 mm N E¼ 5 l0 30 mm mm2

N mm2

F Dl p ¼ E ; A ¼ d2 A l0 4

p 2 F l0 d ¼ 4 Dl E

und daraus

ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v u4 500 N 30 mm 4 F l0 u ¼u ¼ p Dl E t N p 5 mm 5 mm2 ¼ 27,6 mm

Wf ¼

F Dl 500 N 5 mm ¼ ¼ 1250 Nmm 2 2

Wf ¼ 1,25 Nm ¼ 1,25 J

288

5 Festigkeitslehre

5.5 Fla¨chenpressung 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung Unter Fla¨chenpressung p (auch: Pressung) versteht man die Beanspruchung in den Beru¨hrungsfla¨chen (Oberfla¨chen) zweier gegeneinander gedru¨ckter Bauteile. Ursache jeder Fla¨chenpressung ist eine Normalkraft FN , die ha¨ufig erst aus der beliebig gerichteten Kraft F bestimmt werden muss. Werden zwei ebene Fla¨chen gegeneinander gepresst, dann gilt: Die Fla¨chenpressung p ist der Quotient aus der Normalkraft FN und dem Fla¨cheninhalt A der Beru¨hrungsfla¨che.

Je nach vorliegender Aufgabe stellt man die Fla¨chenpressungs-Hauptgleichung um.

Fla¨chenpressung ebener Fla¨chen ¨ Flachenpressung p¼

p¼

p

FN A

Fla¨chenpressungsHauptgleichung

Aerf ¼

FN pzul

pvorh ¼

Normalkraft FN Beru¨ hrungsfl¨ache A

FN pzul A

FN max ¼ Apzul

FN

N mm2

A

N mm2

erforderliche Beru¨hrungsfla¨che vorhandene Fla¨chenpressung maximale Normalkraft

5.5.2 Fla¨chenpressung an geneigten Fla¨chen Im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik stellt sich ha¨ufig die Aufgabe, die Fla¨chenpressung auf geneigten ebenen Fla¨chen zu bestimmen, wie beispielsweise zwischen den Gleitfla¨chen einer Prismenfu¨hrung. Der herausgeschnittene Teil der Gleitfu¨hrung zeigt, dass das Prisma neben der Belastung F ¼ 800 N die Normalkra¨fte FN1 und FN2 aufzunehmen hat. Das zugeho¨rige Krafteck bildet ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem die Gleichungen fu¨r FN1 und FN2 abgelesen werden ko¨nnen. Sind die Fla¨cheninhalte A1 und A2 der Gleitfla¨chen bekannt, kann die Fla¨chenpressung p1 und p2 berechnet werden.

p1 ¼

FN1 F N ¼ 0,462 ¼ A1 A1 cos a mm2

p2 ¼

FN2 F tan a N ¼ ¼ 0,462 A2 A2 mm2

5.5 Fla¨chenpressung Die Fla¨chenpressung p1 auf der geneigten Gleitfla¨che A1 la¨sst sich bequemer nach folgender berlegung berechnen: Im Nenner der Gleichung p1 ¼ F=ðA1 cos aÞ steht der Ausdruck A1 cos a. Das ist die Projektion der Beru¨hrungsfla¨che A1 auf die zur Wirklinie von F rechtwinklige Ebene. Daraus folgt: Man kann –– ohne den Umweg u¨ber die Normalkraft –– mit der Kraft F und der so genannten projizierten Beru¨hrungsfla¨che Aproj die Fla¨chenpressung p berechnen.

In Zweifelsfa¨llen fu¨hrt der Weg u¨ber das exakte Freimachen und das Bestimmen der Normalkra¨fte FN immer zum Ziel. Jedoch ist es in vielen praktischen Fa¨llen einfacher, mit der projizierte Fla¨che zu rechnen. Typische technische Beispiele zeigen die folgenden Bilder.

289

F p¼ Aproj

p

F

Aproj

N mm2

N

mm2

Beachte: Aproj ist die Projektion der Beru¨hrungsfla¨che auf eine Ebene, die rechtwinklig zur Wirklinie der Belastung F steht. Beispielsweise ist beim Kegelzapfen Aproj eine Kreisringfla¨che, wie das folgende Bild zeigt.

Typische techische Beispiele fu¨r die Verwendung der Gleichung p ¼ F=Aproj

290

5 Festigkeitslehre

5.5.3 Fla¨chenpressung am Gewinde Der Verschleiß an den Gewindega¨ngen einer Schraubenverbindung ist von der Fla¨chenpressung zwischen Mutter- und Bolzengewinde abha¨ngig. Vor allem bei so genannten Bewegungsschrauben (Spindeln in Pressen, Leitspindeln in Drehmaschinen usw.) muss die Mutterho¨he m so groß gemacht werden, dass die zula¨ssige Fla¨chenpressung im Gewinde nicht u¨berschritten wird. Fu¨r Bewegungsschrauben benutzt man hauptsa¨chlich metrisches ISO-Trapezgewinde, seltener metrisches ISO-Gewinde. Fu¨r beide Formen gelten die im Bild eingetragenen Bezeichnungen.

Zur Herleitung einer Gleichung fu¨r die erforderliche Mutterho¨he m geht man von der projizierten Fla¨che eines Gewindeganges aus (DAproj ). Diese projizierte Fla¨che DAproj ist eine Kreisringfla¨che mit der Tragtiefe H1 als Ringbreite (siehe auch Bilder Seite 289).

Bezeichnungen am Trapezgewinde

D Aproj ¼ p d2 H1

Mutterh¨ohe m Gewindesteigung P

Die Anzahl der tragenden Gewindega¨nge i erha¨lt man, wenn die Mutterho¨he m durch die Gewindesteigung P dividiert wird.

i¼

Die gesamte projizierte Beru¨hrungsfla¨che Aproj zwischen Gewindebolzen und Mutter muss das Produkt aus DAproj und i sein. Damit erha¨lt man eine Gleichung zur Berechnung der Fla¨chenpressung p im Gewinde. Bei dieser Berechnung wird vorausgesetzt, dass alle beteiligten Gewindega¨nge gleichma¨ßig tragen. Tatsa¨chlich werden die ersten Ga¨nge sta¨rker beansprucht. Zum Schluss wird die Fla¨chepressungsgleichung zur Berechnung der erforderlichen Mutterho¨he merf umgestellt.

Aproj ¼ DAproj i ¼ p d2 H1 i ¼ p d2 H1 p¼

m P

F FP ¼ pzul Aproj p d2 H1 m

Fla¨chenpressungsgleichung fu¨r Gewinde

merf ¼

FP p d2 H1 pzul

m, P, d2 , H1 F mm

N

erforderliche Mutterho¨he p

N mm2

5.5 Fla¨chenpressung

291

5.5.4 Fla¨chenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen Schwieriger als bei ebenen Fla¨chen sind die Pressungsverha¨ltnisse an der Oberfla¨che eines Lagerzapfens, eines Bolzens oder eines Nietes. Die Fla¨chenpressung ist in Belastungsrichtung am gro¨ßten (pmax ) und nimmt nach den Seiten hin bis auf null ab. Der Maximalwert pmax mu¨sste eingesetzt werden, wenn z. B. fu¨r ein Gleitlager die erforderliche Lagerla¨nge l bestimmt werden soll. Beziehungen zur Berechnung von pmax hat Hertz aufgestellt (Hertz’sche Gleichungen, siehe Seite 292). Diese Gleichungen sind nicht einfach aufgebaut. Deshalb arbeitet man bei der Berechnung von Gleitlagerabmessungen sowie bei Niet- oder Bolzenverbindungen nicht mit den Hertz’schen Gleichungen, sondern rechnet mit einem Mittelwert p der Fla¨chenpressung. Dazu denkt man sich die Kraft F gleichma¨ßig u¨ber die projizierte Fla¨che Aproj des Zapfens (Bolzen, Niet) verteilt. Der „Fehler“ bei dieser Betrachtung wird dadurch ausgeglichen, dass man die zula¨ssige Fla¨chenpressung entsprechend niedriger festlegt, so dass die tatsa¨chlich auftretende Pressung pmax von den verwendeten Werkstoffen vertragen wird.

Die Fla¨chenpressung am Nietschaft wird Lochleibungsdruck s l genannt. Er ist abha¨ngig von der aufzunehmenden Kraft F, von der Anzahl n der Niete und von der projizierten Schaltfla¨che Aproj ¼ d1 s eines Nietes. Bei einschnittigen Nietverbindungen muss man fu¨r s die kleinere der beiden Blechdicken einsetzen, weil hier der gro¨ßere Lochleibungsdruck auftritt. Ist die Verbindung mehrschnittig, dann ist s die kleinere der beiden Bleckdickensummen in einer Kraftrichtung. Im skizzierten Beispiel (vierschnittig) mu¨sste man also s ¼ 10,5 mm in die Gleichung fu¨r den Lochleibungsdruck s l einsetzen.

p F F p¼ ¼ pzul Aproj d l

F

d, l

N N mm2

mm

Fla¨chenpressungsgleichung fu¨r Gleitlager und Bolzenverbindungen

sl ¼

F F sl zul ¼ n Aproj n d1 s

Fla¨chenpressungsgleichung fu¨r Nietverbindungen

292

5 Festigkeitslehre

5.5.5 Fla¨chenpressung an gewo¨lbten Fla¨chen (Hertz’sche Gleichungen) Die Fla¨chenpressung zwischen Ko¨rpern mit gekru¨mmter (gewo¨lbter) Oberfla¨che la¨sst sich mit den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen. Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise zwischen den Wa¨lzko¨rpern (Kugeln, Walzen, Rollen, Nadeln) und Laufringen von Wa¨lzlagern auf (Kugellager, Kegelrollenlager, usw.). Die Hertz’schen Gleichungen gelten unter folgenden Voraussetzungen: a) Die Ko¨rper verhalten sich vollkommen elastisch (keine bleibende Forma¨nderung). b) Es gilt das Hook’sche Gesetz s ¼ e E. c) Die elastische Verformung ist klein gegenu¨ber den Abmessungen des Ko¨rpers. d) In der Beru¨hrungsfla¨che beider Ko¨rper treten nur Normalspannungen s auf, keine Schubspannungen t.

Bedeutung der Formelzeichen: a Radius der kreisfo¨rmigen oder halben Breite der rechteckigen Druckfla¨che in mm F Druckkraft in N m Poisson-Zahl, Verha¨ltnisgro¨ße mit der Einheit 1, siehe Seite 282 r Kru¨mmungsradius der Kugel oder des Zylinders in mm; bei Kru¨mmung beider Ko¨rper ist die Summe beider Kru¨mmungen einzusetzen, also 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 . Fu¨r die ebene Platte ist 1=r2 ¼ 0, fu¨r die Hohlkugel ist 1=r2 negativ einzusetzen. E Elastizita¨tsmodul in N/mm2; bei unterschiedlichen E-Moduln ist E ¼ 2E1 E2 =ðE1 þ E2 Þ einzusetzen. l La¨nge des Zylinders in mm p Druck auf der Beru¨hrungsfla¨che im Abstand r in N/mm2 p0 ¼ pmax Druck in der Mitte der Beru¨hrungsfla¨che in N/mm2 r vera¨nderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Beru¨hrungsfla¨che in mm d Gesamtabplattung in mm, d. h. die gesamte Na¨herung der beiden Ko¨rper

5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃ 3 1,5ð1 m2 Þ Fr 3 Fr a ¼ ¼ 1,11 E E pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a2 r2 p ¼ p0 a sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3 FE 2 1 3 1,5 FE 2 1,5 F ¼ 0,388 p0 ¼ ¼ 2 r2 p p a2 r 2 ð1 m2 Þ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3 2,25ð1 m2 Þ2 F 2 3 F2 a2 ¼ 1,23 d ¼ ¼ 2 r E r E 2r 5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 8ð1 m2 Þ Fr Fr a ¼ ¼ 1,52 pEl El rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a2 r2 p ¼ p0 a sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FE FE 2F p0 ¼ ¼ 0,418 ¼ 2 p r lð1 m2 Þ rl pal

5.5 Fla¨chenpressung

293

5.5.6 bungen zur Fla¨chenpressung 1. bung: Eine Zugspindel soll u¨ber die Mutter in La¨ngsrichtung 20 kN u¨bertragen. Die Zugspannung in der Spindel darf 80 N/mm2 nicht u¨berschreiten, die Fla¨chenpressung im Gewinde soll ho¨chstens 15 N/mm2 betragen.

Gegeben: Zugkraft F ¼ 20 kN ¼ 20 103 N N N s z zul ¼ 80 pzul ¼ 15 mm2 mm2

Zu bestimmen sind das erforderliche Trapezgewinde, die erforderliche Mutterho¨he.

Gesucht: Trapezgewinde Mutterho¨he m

Lo¨sung: Der Kernquerschnitt der Zugspindel muss bei sz zul ¼ 80 N=mm2 die Zugkraft F ¼ 20 000 N u¨bertragen. Aus der Zug-Hauptgleichung (Seite 278) findet man fu¨r Aerf ¼ 250 mm2 Kernquerschnitt. Aus der Formelsammlung wird dasjenige Trapezgewinde gewa¨hlt, das den na¨chstgro¨ßeren Kernquerschnitt A3 ¼ 269 mm2 besitzt. Zur Berechnung der Mutterho¨he m setzt man in die Gleichung nach Seite 290 die gegebenen und die aus der Gewindetafel (Formelsammlung) entnommenen Gro¨ßen ein. Als Normmaß wird m ¼ 40 mm gewa¨hlt.

F (Zug-Hauptgleichung) A F 20 000 N ¼ ¼ ¼ 250 mm2 N sz zul 80 mm2

sz ¼ Aerf

Gewa¨hlt wird Tr 24 5 mit A3 ¼ 269 mm2, Steigung P ¼ 5 mm, Flankendurchmesser d2 ¼ 21,5 mm, Tragtiefe H1 ¼ 2,5 mm. merf ¼ merf ¼ merf

FP p d2 H1 pzul 20 103 N 5 mm

N mm2 ¼ 39,48 mm ; m ¼ 40 mm gewa¨hlt p 21,5 mm 2,5 mm 15

2. bung: Ein Gleitlager hat eine Radialkraft Fr ¼ 15 000 N und eine Axialkraft Fa ¼ 6000 N aufzunehmen. Das Bauverha¨ltnis soll l=d ¼ 1,2, die zula¨ssige Fla¨chenpressung 5 N/mm2 betragen. Zu bestimmen sind die Maße d, D, l. Lo¨sung: In die Fla¨chenpressungsgleichung fu¨r Gleitlager, Seite 291, wird aus dem vorgegebenen Bauverha¨ltnis l=d ¼ 1,2 entweder d ¼ l=1,2 oder fu¨r l ¼ 1,2 d eingesetzt. Hier entscheidet man sich fu¨r die zweite Mo¨glichkeit und erha¨lt damit eine Gleichung zur Bestimmung des erforderlichen Wellendurchmessers d. Im anderen Fall ha¨tte sich eine Gleichung zur Berechnung der Lagerla¨nge l ergeben. Aus dem Bauverha¨ltnis l=d ¼ 1,2 ergibt sich die Lagerungsla¨nge l.

p¼

Fr Fr ¼ Aproj d l

l ¼ 1,2 ) l ¼ 1,2 d d

p¼

Fr Fr ¼ d 1,2 d 1,2 d 2

derf

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u 15 000 N Fr ¼ ¼u t N 1,2 pzul 1,2 5 mm2

derf ¼ 50 mm l ¼ 1,2 d ¼ 1,2 50 mm ¼ 60 mm

294 Man setzt die Beziehung fu¨r den Kreisringquerschnitt A in die Fla¨chenpressungs-Hauptgleichung p ¼ FN =A ¼ Fa =A ein und entwickelt eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Bunddurchmessers D ¼ f (Fa , pzul , d), aus der D berechnet werden kann. Gewa¨hlt wird D ¼ 65 mm als na¨chstho¨heres Normmaß.

5 Festigkeitslehre p¼

FN Fa ¼p 2 A ðD d2 Þ 4

Derf ¼

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4Fa þ d2 p pzul

Derf ¼ 63,47 mm

D ¼ f ðFa , pzul , dÞ D ¼ 65 mm gewa¨hlt

3. bung: Fu¨r die Festigkeitsu¨berpru¨fung (Spannungsnachweis) der Abmessungen eines Zahnrades, insbesondere des gewa¨hlten Modus, ist die Fla¨chenpressung pC im Wa¨lzpunkt C der beiden Zahnflanken von besonderer Bedeutung. pC darf nicht gro¨ßer sein als ein Grenzwert pzul , der in Versuchen ermittelt wurde. Die Kru¨mmungsradien r1 und r2 fu¨r die skizzierte Nullstellung beider Ra¨der lassen sich berechnen; hier ist r1 ¼ 60 mm, r2 ¼ 40 mm. Fu¨r b ¼ 50 mm Zahnradbreite und pzul ¼ 520 N/mm2 soll die maximale Normalkraft FN max bestimmt werden, die zwischen den beiden Zahnflanken auftreten darf. Lo¨sung: Die Beru¨hrung zweier Zahnflanken im Wa¨lzpunkt C entspricht der Pressung zwischen zwei Zylindern nach 5.5.5.2, Seite 292. Da beide Ko¨rper gekru¨mmt sind, muss der Kru¨mmungsradius r aus 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 berechnet werden. Diese Gleichung kann man in eine zweckma¨ßigere Form bringen und daraus dann r berechnen. Die Ausgangsgleichung wird nach FN max umgestellt, wobei man auch noch pC ¼ pzul setzt. Wegen der Wurzel muss die Gleichung zuerst quadriert werden. Das Elastizita¨tsmodul fu¨r Stahl betra¨gt wie u¨blich 2,1 105 N/mm2. Man erha¨lt als Ergebnis fu¨r die gro¨ßte Normalkraft FN max ¼ 9187 N. Damit kann der Konstrukteur das maximal zula¨ssige Drehmoment und die entsprechende Getriebeleistung festlegen.

p0 ¼ 0,418 p0 ¼ pC

F ¼ FN

Hertz’sche Gleichung l¼b

1 1 1 r2 þ r1 ¼ þ ¼ r r1 r2 r1 r2 r¼

r1 r2 ð60 40Þ mm2 ¼ ¼ 24 mm r1 þ r2 ð60 þ 40Þ mm rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ!2 FN E 2 2 pC ¼ 0,418 rb pC 2 ¼ 0,4182

FN E rb

p2zul r b 0,4182 E N 2 530 24 mm 50 mm mm2 ¼ ¼ N 0,4182 2,1 105 mm2 ¼ 9187 N

FN max ¼

FN max

Aufgaben Nr. 714–736

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FE rl

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

295

5.6 Beanspruchung auf Abscheren 5.6.1 Spannung

In der Schnittfla¨che des Werkstu¨cks W wird das Kra¨ftegleichgewicht durch die innere Schnittkraft Fq (Querkraft) ¼ F wieder hergestellt. Fq wirkt tangential zur Schnittebene, die auftretende Spannung ist also die Schubspannung t (Tangentialspannung). Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart nennt man sie Abscherspannung ta . Vereinfachend wird zuna¨chst angenommen, dass jedes Fla¨chenteilchen gleichma¨ßig an der bertragung der inneren Kraft Fq beteiligt ist. Dann erha¨lt die Abscher-Hauptgleichung die gleiche Form wie die schon bekannten Zug/Druck-Hauptgleichungen.

u W

F

A

F

s

Die Beanspruchungsart Abscheren tritt immer dann auf, wenn die Belastung F rechtwinklig (quer) zur Achse des Bauteils wirkt. Praktisches Beispiel fu¨r das Auftreten von Abscherspannungen ist das Scherschneiden. Die a¨ußeren Schnittkra¨fte F bilden ein Kra¨ftepaar mit dem (kleinen) Wirkabstand u (Schneidspalt). Das entsprechend kleine Kraftmoment M ¼ Fu wird bei dieser Untersuchung venachla¨ssigt.

F

l F

F Fq = F

A = Querschnittsfläche

Scherschneiden (Parallelschnitt) A ¼ l s Querschnittsfla¨che, W Werkstu¨ck, F Schnittkraft, u Schneidspalt

Abscherspannung ta ¼

ta ¼

Fq A

AbscherHauptgleichung

Querkraft Fq Querschnittsfl¨ache A

ta

Fq

A

N mm2

N

mm2

Die Abscherfestigkeit taB von Stahl und Gusseisen kann aus der Zugfestigkeit Rm bestimmt werden: fu¨r Flussstahl ist taB ¼ 0,85 Rm fu¨r Gusseisen ist taB ¼ 1,1 Rm Die Abscherfestigkeit taB wird fu¨r Aufgaben aus der Stanzereitechnik gebraucht (siehe z. B. Aufgabe 741 aus der Aufgabensammlung). Zur richtigen Festlegung des gefa¨hrdeten Querschnitts in Abscheraufgaben geben die nachstehenden Lehrbeispiele Anregungen.

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Abscher-Hauptgleichung umgestellt: Aerf ¼

Fq ta zul

ta vorh ¼

Fq ta zul A

Fq max ¼ A ta zul

erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

296 Bei den auf Abscheren zu berechnenden Bauteilen wie Niete und Bolzen tritt außer der Querkraft noch ein Biegemoment auf. Allein deshalb ist eine einfache Schubspannungsverteilung im Querschnitt nicht zu erwarten. In warm eingezogenen Nieten tritt keine Schubspannung auf, sie werden durch das Schrumpfen auf Zug beansprucht und trotzdem auf Abscheren berechnet. Genauere rechnerische Untersuchungen am Rechteckquerschnitt zeigen eine parabolische Schubspannungsverteilung mit t ¼ 0 in der Randfaser und t ¼ tmax in der mittleren Faserschicht.

Mit dem Mittelwert tmittel ¼ ta ¼ Fq =A ergibt die Rechnung fu¨r den Rechteckquerschnitt tmax ¼ ð3=2Þ ta , d. h. die maximale Schubspannung ist um 50 % gro¨ßer als die rechnerische Abscherspannung ta ¼ Fq =A.

Niete und Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung berechnet, obwohl in der Schnittfla¨che noch ein Biegemoment u¨bertragen werden muss. Beru¨cksichtigt wird dies durch eine geringere zula¨ssige Spannung ta zul . Bei la¨ngeren Bolzen sollte die Biegespannung u¨berpru¨ft werden. Die zula¨ssigen Abscherspannungen fu¨r Nietverbindungen im Stahlhoch- und Kranbau sind vorgeschrieben (siehe Tabellen 5.5 und 5.6, Seite 364).

5 Festigkeitslehre

Schubspannungsverteilung im schubbeanspruchten Rechteckquerschnitt

Fu¨r die folgenden Querschnittsformen gilt: Rechteckquerschnitt tmax ¼ ð3=2Þ ta Kreisquerschnitt tmax ¼ ð4=3Þ ta Rohrquerschnitt tmax ca. 2 ta

Schnittuntersuchung am Niet

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

297

5.6.2 Elastische Forma¨nderung (Hooke’sches Gesetz fu¨r Schub) Am Beispiel einer wu¨rfelfo¨rmigen Schubfeder kann die Forma¨nderung bei Schub erla¨utert werden: Die Kraft F verschiebt die beiden Schnittufer 1 und 2 parallel gegeneinander, so dass sich die Seitenfla¨chen des Wu¨rfels um den Winkel g neigen. Fu¨r kleine Winkel g darf angenommen werden, dass der Abstand l0 der beiden Schnittufer wa¨hrend der elastischen Forma¨nderung erhalten bleibt. Dann ist der Tangens des Winkels g ungefa¨hr gleich dem Winkel in der Einheit rad, also tan g ¼ Dl=l0 g. Der Winkel g wird als Schiebung bezeichnet. Man versteht die Zusammenha¨nge besser und erha¨lt zusa¨tzlich eine gute Geda¨chtnisstu¨tze, wenn man die Forma¨nderung bei Schub und bei Zug (5.2.3.4, Seite 282) einander gegenu¨berstellt. Die bei Schubverformungen auftretende Schubspannung t wa¨chst mit der Schiebung g verha¨ltnisgleich: Bei doppelter Schiebung stellt sich die doppelte Spannung ein. Wie bei der Zugbeanspruchung (Seite 282) ist auch hier das Verha¨ltnis von Spannung t und Schiebung g ein bestimmter und bei elastischer Verformung gleich bleibender Wert. Nach DIN 1304 heißt er Schubmodul G. Wird die Gleichung fu¨r den Schubmodul G umgestellt, erha¨lt man das Hooke’sche Gesetz fu¨r Schub mit dem gleichen Aufbau wie bei Zugbeanspruchung. Die Definitionsgleichung fu¨r den Schubmodul G ¼ t=g gibt zu erkennen, dass G die Einheit der Spannung besitzt (vgl. mit 5.2.3.4, Seite 282). Ebenso wie das Elastizita¨tsmodul E ist auch der Schubmodul G eine Werkstoffkonstante, die den Tabellen auf Seite 385 entnommen werden ko¨nnen. Aufgaben Nr. 738–765

Schiebung g ¼

tan g g ¼

Verschiebung Dl Schnittuferabstand l0

Dl l0

g

Dl, l0

rad

mm

Bei Zug ist die Dehnung e das Verha¨ltnis von Verla¨ngerung Dl und Ursprungsla¨nge l0 , bei Schub ist die Schiebung g das Verha¨ltnis von Verschiebung Dl und Schnittuferabstand l0 . Bei Zug wa¨chst die Dehnung e proportional mit der Normalspannung s (siehe Seite 282), bei Schub wa¨chst die Schiebung g proportional mit der Schubspannung t.

Schubmodul G ¼

t ¼ gG ¼

Dl G l0

Hook’sches Gesetz fu¨r Schub

Schubspannung t Schiebung g t, G l, l0 N mm2

mm

N ðtÞ mm2 N ¼ ¼ ðGÞ ¼ ðgÞ mm2 rad

Beispiel: GStahl ¼ 80 000

N N ¼ 8 104 mm2 mm2

g 1 ¼ rad

298

5 Festigkeitslehre

Lehrbeispiel: Nietverbindung im Stahlhochbau

Aufgabenstellung: An einen L 200 100 10 soll ein Flachstahl genietet werden. Zugkraft F ¼ 70 kN. 200

Nietung und Flachstahlprofil sind zu berechnen, wenn das Breitenverha¨ltnis fu¨r den Flachstahl Breite b ¼ 10 gew ahlt wird ¨ Dicke s

s

Niete aus USt 36-1; Stab aus S235JR (St 37); Lastfall H (Hauptlasten, siehe Tabelle 5.5, Seite 364)

100

F = 70 kN

Lo¨sung: a) Stabprofil: Beanspruchung auf Zug, gefa¨hrdeter Querschnitt im Schnitt quer zur Stabachse durch ein Nietloch. Die Schwa¨chung des Stabprofils durch die Nietlo¨cher wird durch das Verschw achungsverh altnis v¼ ¨ ¨

An Nutzquerschnitt ¼ ber ucksichtigt: ¨ A ungeschw achter Querschnitt ¨

Man wa¨hlt v 0, 8 . Die zula¨ssige Spannung wird der Tabelle 5.5, Seite 364, entnommen. N Fu¨r Bauteile aus S235JR s z zul ¼ 160 mm2 A erf ¼

F s z zul v

70 000 N ¼ 547 mm2 ¼ b s ¼ 10 s s ¼ 10 s 2 N 160 0, 8 mm2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A erf ¼ ¼ 54, 7 mm2 ¼ 7, 4 mm 10

A erf ¼

A erf

s ¼ 8 mm

b ¼ 10 s ¼ 80 mm

gew ahlt: ¨

b) Nietdurchmesser d1: Der Nietdurchmesser wird nach der Erfahrungsformel gewa¨hlt: d1 s þ 10 mm s kleinste Blechdicke

d1 ¼ 8 mm þ 10 mm ¼ 18 mm (dmax ¼ 28 mm nach DIN 997)

d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes gewa¨hlt:

d1 ¼ 17 mm A1 ¼ 227 mm2

Rohnietdurchmesser d ¼ 16 mm

80 8

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

299

c) Nietanzahl n: Beanspruchung der Niete auf Abscheren. (Einschnittige Verbindung: m ¼ 1) n erf ¼

F ta zul A1 m

N mm2

ta zul ¼ 140

n erf ¼ 140

70 000 N ¼ 2, 2 N 227 mm2 1 mm2

gewa¨hlt: n ¼ 3 Niete

(fu¨r Nietverbindungen mit Bauteilen aus S235JR und Nietwerkstoff USt 36-1 nach Tabelle 5.5)

d) Nachpru¨fung des Lochleibungsdruckes sl : Der Lochleibungsdruck kann unzula¨ssig hohe Werte erreichen, auch wenn der Niet auf Abscheren sicher bestimmt wurde. sl vorh ¼

F d1 sn

s l zul ¼ 280

N nach Tabelle 5:5 mm2

s l vorh ¼

s kleinste Blechdicke s ¼ 8 mm

70 000 N N ¼ 172 17 mm 8 mm 3 mm2

sl vorh ¼ 172

N N < sl zul ¼ 280 mm2 mm2

3 Niete zula¨ssig mit d ¼ 16 mm Rohnietdurchmesser

e) Spannungsnachweis fu¨r Stabprofil im Schnitt I––II: s z vorh ¼

F An

8 mm dick II

I 17

sz vorh ¼

70 000 N N ¼ 139 80 mm 8 mm 17 mm 8 mm mm2

sz vorh ¼ 139

N N < s z zul ¼ 160 mm2 mm2

80

f) Nietbild: Das Nietbild wird mit den Maßen fu¨r Nietabstand a und Randabstand e entwickelt.

Nietabstand: a 2, 5 d1 ¼ 2, 5 17 mm ¼ 42, 5 mm a 45 mm Randabstand: 160

e = 35 a = 45

a = 45 e = 35

e’ = 40

e ¼ 2 d1 ¼ 2 17 mm ¼ 34 mm e 35 mm seitlicher Randabstand: e 0 1, 5 d1 ¼ 1, 5 17 mm ¼ 25, 5 mm fu¨r

80 8 wird:

e 0 40 mm

300

5 Festigkeitslehre

Lehrbeispiel: Nietverbindung im Stahlbau Aufgabenstellung:

l = 600 mm

F = 12 kN

h

Fu¨r eine Laufbu¨hne sollen Konsolbleche an Stu¨tzen genietet werden. Belch S235JR; Niete USt 36-1. Zula¨ssige Spannungen nach Tabelle 5.5, Seite 364.

s

Es sind die Abmessungen des Blechs (s und h) und die Vernietung zu berechnen. Lastfall H.

Lo¨sung: a) Konsolblech Beanspruchung auf Biegung; gefa¨hrdeter Querschnitt in der Nietreihe. Werf ¼

Mb max sb zul

sb zul ¼ 160

N mm2

Werf ¼

Fl 12 000 N 600 mm ¼ ¼ 45 10 3 mm3 sb zul N 160 mm2

bei ungeschwa¨chtem Querschnitt.

Die Schwa¨chung des Querschnitts wird durch das Verschwa¨chungsverha¨ltnis v ¼ 0,8 beru¨cksichtigt: Werf ¼

W ¼

s h2 6

45 10 3 mm3 ¼ 56 , 25 10 3 mm3 0, 8

Daraus kann (bei s ¼ 8 mm (gewa¨hlt)) die Konsolblechho¨he h berechnet werden: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 6 Werf 6 56 , 25 10 3 mm3 herf ¼ ¼ 205 mm ¼ s 8 mm gewa¨hlt: h ¼ 210 mm

b) Nietdurchmesser d1 d1 s þ 10 mm

d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes: d1 ¼ 8 mm þ 10 mm ¼ 18 mm d1 ¼ 19 mm

gewa¨hlt:

A1 ¼ 284 mm2 Rohnietdurchmesser

d ¼ 18 mm

50 50 50 30

210

30

c) Nietanzahl Es werden zuna¨chst n ¼ 4 Niete gewa¨hlt, weil diese gut in der Ho¨he verteilt werden ko¨nnen (a ¼ 2,5 d ¼ 2,5 18 mm ¼ 50 mm). Das Nietsystem muss sowohl das a¨ußere Biegemoment Mb ¼ F l als auch die Querkraft u¨bertragen. Dabei werden die a¨ußeren Niete am sta¨rksten beansprucht. Die Abscherspannung und der Lochleibungsdruck sind nachzupru¨fen.

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

301

l Fq = F

Aus der Skizze des freigemachten Konsolblechs entnimmt man: F

3a 2

F1

SMðSP Þ ¼ 0 2F1

F2

Das Belastungsbild zeigt die Proportion:

a 2

a 3 F1 2 3 ¼ daraus : ¼ a 1 F2 2

SP = Schwerpunkt des Nietsystems F2

F2 ¼

F1

Konsolblech freigemacht (Kra¨fte bezogen auf BlechLochquerschnitt)

F 4

F1 F2

F 4

F1 eingesetz in SMðSP Þ ¼ 0 3

3 F1 a a þ 2 Fl ¼ 0 3 2 2 a ¼ F l ¼ 12 kN 600 mm ¼ 7,2 10 6 Nmm F1 3a þ 3 2F1

F1 ¼

Fmax

3 a a þ 2F2 F l ¼ 0 2 2

7,2 10 6 Nmm ¼ 43 200 N 50 mm 3 50 mm þ 3

Die maximale Nietbelastung wird: sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ F 2 Fmax ¼ F1 þ ¼ ð43,2 10 3 NÞ2 þ ð3 10 3 NÞ2 4 Fmax ¼ 43 300 N

F 4

F2

F 4

Fmax F1

Kra¨fte bezogen auf den einzelnen Niet (Reaktionskra¨fte aus obiger Skizze)

Die zusa¨tzliche Belastung der Niete druch die Querkraft F/4 ha¨tte man hier nicht zu beru¨cksichtigen brauchen. Abscherspannung ta : ta ¼

Fmax 43 300 N N N ¼ ¼ 152,46 > ta zul ¼ 140 284 mm 2 mm 2 mm 2 A1

Die zula¨ssige Abscherspannung ist also u¨berschritten. Neue Abmessungen gescha¨tzt und nachgepru¨ft: 4 Niete mit d1 ¼ 21 mm ; A1 ¼ 346 mm 2 Blechho¨he h ¼ 210 mm Nachpru¨fung fu¨r 4 Niete mit d1 ¼ 21 mm: Abscherspannung ta : ta ¼

Fmax 43 300 N N N ¼ ¼ 125 < ta zul ¼ 140 346 mm 2 mm 2 mm 2 A1

Lochleibungsdruck sl : sl ¼

Fmax 43 300 N N N ¼ 258 < sl zul ¼ 280 ¼ 21 mm 8 mm mm 2 mm 2 d1 s

4 Niete mit d ¼ 20 mm Rohnietdruchmesser zula¨ssig .

302

5 Festigkeitslehre

Lehrbeispiel: Zugbolzen Aufgabenstellung D

Fu¨r den skizzierten Zugbolzen, der von einer Kraft F ¼ 2 10 4 N ruhend belastet wird, sind zu bestimmen: N ist. mm 2

h

a) Der erforderliche Bolzendurchmesser d, wenn s z zul ¼ 60

d + 3 mm

b) Der Kopfdurchmesser D, wenn die Fla¨chenpressung an der Beru¨hrungsstelle p zul

N ¼ 15 nicht u¨berschreiten soll. mm 2

c) Die Kopfho¨he h bei einer zula¨ssigen Abscherspannung ta zul ¼ 30

N mm 2

Lo¨sung: a) Bolzendurchmesser d: sz ¼

F A

A erf ¼

F 20 000 N ¼ ¼ 333 mm 2 s z zul N 60 mm 2

d erf ¼ 20,6 mm gewa¨hlt: d ¼ 22 mm b) Kopfdurchmesser D: p¼

F A

F 20 000 N ¼ ¼ 1 333 mm 2 ðRingfl acheÞ ¨ pzul N 15 mm 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ p 4 4 A¼ D2 ¼ Derf ¼ ðD 2 d 2 Þ A þ d2 Aerf þ d 2 4 p p Aerf ¼

Bohrung angefast: Fu¨r d hier 22 mm þ 3 mm ¼ 25 mm s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 1 333 þ 25 2 mm2 ¼ 48 ,2 mm Derf ¼ p gewa¨hlt: D ¼ 50 mm c) Kopfho¨he h: F ta ¼ A

Aerf ¼

F 20 000 N ¼ ¼ 667 mm 2 ta zul N 30 mm 2

h

A ¼ pdh

herf ¼

Serf 667 mm2 ¼ ¼ 9,66 mm pd p 22 mm

gewa¨hlt: h ¼ 10 mm

S = Zylindermantel F

d

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W

303

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W Es bleibt selbstversta¨ndlich dem Lehrer u¨berlassen, an welcher Stelle er im Stoffplan die Fla¨chenmomente 2. Grades und die Widerstandsmomente behandelt. Mancher Lehrer wird diesen Abschnitt erst einmal auslassen, um mit der Torsionsbeanspruchung und der Herleitung der Torsions-Hauptgleichung (5.8.2, Seite 322) einen engeren Bezug zu den Fla¨chenmomenten herzustellen. Einige Lehrer sind der Meinung, man sollte auch noch die Biege-Hauptgleichung (5.9.4, Seite 330) vor diesen Abschnitt ziehen. Zum leichteren Einstieg fu¨r den Studierenden wurde der Stoff in Teilschritte zerlegt, und die Teilprobleme werden so eingehend behandelt, dass auch das Selbststudium zum Ziel fu¨hrt. Die Aufgabenstellungen in den bungen des Abschnitts 5.7.4, Seite 306 und 5.7.7, Seite 316, ko¨nnen den Gruppen zur selbststa¨ndigen Lo¨sung vorgelegt werden.

5.7.1 Gleichma¨ßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenu¨berstellung) Zum Versta¨ndnis der Beanspruchungsarten Torsion, Biegung und Knickung muss man eine geometrische Betrachtung vorausschicken. Die bisher bekannten Hauptgleichungen sind alle nach dem gleichen Schema aufgebaut: Im Za¨hler des Bruchs steht in allen Fa¨llen die Kraft F als statische Gro¨ße, im Nenner die Querschnittsfla¨che A als geometrische Gro¨ße, weil bei diesen vier Beanspruchungsarten jedes Fla¨chenteilchen den gleichen Spannungsbetrag zu u¨bertragen hat. Anders gesagt: Die Spannung (oder Pressung) ist gleichma¨ßig u¨ber dem Querschnitt verteilt. Das ist bei den Beanspruchungsarten Torsion und Biegung anders. Hier haben die Randfasern des Querschnitts die gro¨ßte Spannung zu u¨bertragen. (tmax bei Torsion und s max bei Biegung). Nach der Querschnittsmitte zu, genauer: zur neutralen Faser hin, sinkt die Spannung gleichma¨ßig bis auf null ab. Man spricht dann von einer linearen Spannungsverteilung, im Gegensatz zur gleichma¨ßigen Spannungsverteilung bei den Beanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren und Fla¨chenpressung. Aussagebegrenzung: Alle Erla¨uterungen zur Torsionsbeanspruchung gelten nur fu¨r Kreis- und Kreisringquerschnitte.

s z, d ¼

FN A

Zug/DruckHauptgleichung

p¼

FN A

ta ¼

Fq A

AbscherHauptgleichung

sl ¼

F1 Aproj

Fla¨chenpressungs-Hauptgleichungen

Spannungsbild bei Torsions- und Biegebeanspruchung (lineare Spannungsverteilung)

304

5 Festigkeitslehre

5.7.2 Definition der Fla¨chenmomente 2. Grades Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung gegenu¨ber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung wird versta¨ndlich, dass die Hauptgleichungen fu¨r Biegung und Torsion nicht ganz so einfach aufgebaut sein ko¨nnen, wie die bisher bekannten Hauptgleichungen. Tatsa¨chlich erscheint in den Herleitungen dieser Gleichungen (5.8.2, Seite 322 und 5.9.4, Seite 330) nicht mehr die Querschnittsfla¨che als geometrische Gro¨ße im Nenner, sondern ein Summenausdruck, der als Fla¨chenmoment 2. Grades I bezeichnet wird. Das Fla¨chenmoment fu¨r Biegung heißt axiales, das fu¨r Torsion von Sta¨ben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt (Wellen) heißt polares Fla¨chenmoment 2. Grades. Da beide Fla¨chenmomente aus der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind, gilt die folgende Definition:

Beachte: Gleichma¨ßige Spannungsverteilung bei Zug, Druck, Abscheren und Fla¨chenpressung. Lineare Spannungsverteilung bei Biegung und Torsion. sb ¼

Mb e I

tt ¼

MT r Ip

Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch nicht endgu¨ltiger Form (siehe Seite 323 und 331).

Ix ¼ DA1 y1 2 þ DA2 y2 2 þ DA3 y3 2 þ . . . þ DAn yn 2 Iy ¼ DA1 x1 2 þ DA2 x2 2 þ DA3 x3 2 þ . . . þ DAn xn 2 Ix ¼ S DA y2 Iy ¼ S DA x

2

axiales Fla¨chenmoment 2. Grades (fu¨r Biegung und Knickung erforderlich)

Definitionsgleichung

Multipliziert man jedes Fla¨chenteilchen DA einer Fla¨che mit dem Quadrat seines Abstandes von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse (r, x, y), dann ergibt die Summe dieser Produkte das Fla¨chenmoment zweiten Grades I dieser Fla¨che.

Ip ¼ DA1 r1 2 þ DA2 r2 2 þ DA3 r3 2 þ . . . þ DAn rn 2 Ip ¼ S DA r2 Definitionsgleichung

polares Fla¨chenmoment 2. Grades (fu¨r Torsion von Sta¨ben mit Kreisoder Kreisringquerschnitt erforderlich)

Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht wird (x––x, y––y oder 0).

Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit mm4 (Fla¨che mal Abstandsquadrat).

ðIÞ ¼ ðAÞ ðx, y, rÞ2 ¼ mm2 mm2 ¼ mm4 ðIÞ ¼ mm4 Hinweis: Man geht hier von der La¨ngeneinheit mm aus, weil im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird. Grundsa¨tzlich du¨rfen auch cm und m benutzt werden (cm4, m4).

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W In den Herleitungen der Abschnitte 5.8.2 (Seite 322) und 5.9.4 (Seite 330) erscheint außer dem Summenausdruck der Quotient Ip /r (bei Torsion) und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die Randfaserabsta¨nde, d. h. die Absta¨nde vom Bezugspunkt oder von der Bezugsachse bis zur Randfaser. Dieser Quotient heißt Widerstandsmoment W ¼

Randfaserabstand e und r

I e Ip Wp ¼ r

Fl¨achenmoment I Randfaserabstand r ðoder eÞ

Am ha¨ufigsten werden die Widerstandsmomente in Bezug auf die beiden in der Querschnittsfla¨che liegenden Achsen x, y und in Bezug auf die rechtwinklig zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht. Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet. Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich fu¨r die verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen entwickeln; die wichtigsten sind in den Tabellen 5.1 (Seite 309) und 5.2 (Seite 311) zusammengestellt. Fu¨r genormte Profile (Winkel-, I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete Werte fu¨r Fla¨chenmomente I und Widerstandsmomente W.

305

W¼

W, Wp I, Ip e, r mm3 mm4 mm

Wx ¼

Ix ex

axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die x-Achse

Wy ¼

Iy ey

axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die y-Achse

Wp ¼

Ip r

polares Widerstandsmoment in Bezug auf die Verdrehachse 0 (gilt nur fu¨r Kreisoder Kreisringquerschnitt)

5.7.3 Herleitungsu¨bung Um das Versta¨ndnis fu¨r das Fla¨chenmoment zu vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung fu¨r das Fla¨chenmoment Ix eines Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu entwickeln. Bezugsachse soll also die waagerecht im Rechteckquerschnitt liegende x-Achse sein. Was bei dieser Untersuchung herauskommen muss, kann aus Tabelle 5.1, Seite 309, abgelesen werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete waagerechte Achse muss I ¼ bh3 =12 sein.

Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt in Fla¨chenstreifen DA parallel zur x-Achse.

306

5 Festigkeitslehre

Lo¨sung: Die Rechteckfla¨che von der Breite b und der Ho¨he h wird in 8 Fla¨chenstreifen gleicher Ho¨he zerlegt, deren Fla¨cheninhalt dann DA ¼ bh=8 betra¨gt. Die mittleren Absta¨nde der Fla¨chenstreifen von der Bezugsachse x dru¨ckt man als Bruchteile der Gesamtho¨he h aus und bildet die Produkte aus Fla¨chenteilchen DA und zugeho¨rigem Abstandsquadrat.

bh 1 8 16 bh 3 ¼ 8 16 bh 5 ¼ 8 16 bh 7 ¼ 8 16

2

DA1 y1 2 ¼

h

DA2 y2 2

h

DA3 y3 2 DA4 y4 2

2 2 h 2 h

Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gema¨ß Ix ¼ S DA y2 summiert man die Produkte aus Fla¨chenteilchen DA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus: Ix ¼ S DA y2 ¼ ðDA1 y1 2 þ DA2 y2 2 þ DA3 y3 2 þ DA4 y4 2 Þ 2 Beachte: Jedes Fla¨chenteilchen DA1 , DA2 , DA3 , DA4 ist oberhalb und unterhalb der x-Achse vorhanden, erscheint also zweimal in der Rechnung.

Ausgerechnet ergibt das: bh 1 2 bh 9 2 bh 25 2 bh 49 2 h þ h þ h þ h 2 Ix ¼ 8 256 8 256 8 256 8 256 Ix ¼ 2

bh h2 bh3 ð1 þ 9 þ 25 þ 49Þ ¼ 8 256 12,2

Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 309 (Ix ¼ bh3 =12) zeigt, dass schon die grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranfu¨hrt (12,2 statt 12). Auf gleiche Weise ko¨nnen sa¨mtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 genu¨gend genau entwickelt werden. Allerdings fu¨hrt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis.

5.7.4 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 1. bung: Fu¨r eine Welle von 60 mm Durchmesser sollen die axialen und polaren Fla¨chen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen 5.1 und 5.2 ab Seite 309.

Gegeben: Wellendurchmesser d ¼ 60 mm Gesucht: Ix , Wx , Iy , Wy , Ip , Wp

p d4 ¼ 63,6 104 mm4 64

Lo¨sung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind die axialen Fla¨chenmomente Ix , Iy und die zugeho¨rigen Widerstandsmomente Wx , Wy , jeweils gleich groß.

Ix ¼ Iy ¼

Die axialen Widerstandsmomente Wx und Wy ko¨nnen auch einfacher aus den vorher berechneten Fla¨chenmomenten bestimmt werden, wenn man sich daran erinnert, dass allgemein W ¼ I=e ist (e Randfaserabstand).

Wx ¼

Ix Ix ¼ ¼ 21, 2 103 mm3 e ðd=2Þ

Wy ¼

Iy wie vorher e

Wx ¼ Wy ¼

p d3 ¼ 21,2 103 mm3 32

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen aus den Tabellen 5.1 und 5.2 zeigt: Die polaren Fla¨chen- und Widerstandsmomente (Ip , Wp) sind beim Kreisquerschnitt und beim Kreisringquerschnitt doppelt so groß wie die axialen Widerstandsmomente (I, W ).

Ip ¼

307

pd4 p ¼ ð60 mmÞ4 ¼ 127,2 104 mm4 32 32

Wp ¼

p d3 p ¼ ð60 mmÞ3 ¼ 42,4 103 mm3 16 16

oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment: Ip 127,2 104 mm4 ¼ 42,4 103 mm3 Wp ¼ ¼ r 30 mm

2. bung: Fu¨r eine Hohlwelle von 60 mm Außenund 40 mm Innendurchmesser sollen wie in der ersten bung die axialen und polaren Fla¨chenund Widerstandsmomente bestimmt werden.

Gegeben: D ¼ da ¼ 60 mm, d ¼ di ¼ 40 mm Gesucht: Ix , Iy , Ip , Wx , Wy , Wp

Lo¨sung: Die axialen Fla¨chen- und Widerstandsmomente sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie fu¨r jede Schwerachse jeweils gleich groß, so dass man sie einfach mit I und W bezeichnen kann.

I¼

W¼

I 51,1 104 mm4 ¼ 17 103 mm3 ¼ 30 mm ðD=2Þ

Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren Fla¨chenmomente doppelt so groß sind wie die axialen, so dass Ip und Wp noch einfacher ha¨tte berechnet werden ko¨nnen (Ip ¼ 2 I und Wp ¼ 2W).

Ip ¼

p p ðd a 4 d i 4 Þ ¼ ð604 404 Þ mm4 32 32

3. bung: Fu¨r einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt von 180 mm Ho¨he und 90 mm Breite sollen die axialen Fla¨chenmomente 2. Grades bestimmt werden. Wird nichts anderes gesagt, gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden „Hauptachsen“ (x- und y-Achse).

Gegeben: Rechteckquerschnitt mit h ¼ 180 mm, b ¼ 90 mm

Lo¨sung: Die axialen Fla¨chenmomente sind ein Maß fu¨r die Steifigkeit des Querschnitts gegen Biegung oder Knickung. Der Balken ist „hochkant“ schwerer zu biegen (Ix ¼ 43,74 106 mm4 ) als „flachkant“ (Iy ¼ 10,94 106 mm4 ). Bei Knickbeanspruchung wu¨rde er nach der Seite mit dem geringsten I ausknicken, also flachkant (um die y-Achse), weil Iy < Ix ist.

p p ðD4 d 4 Þ ¼ ð604 404 Þ mm4 64 64

I ¼ 51,1 104 mm4

Ip ¼ 102,1 104 mm4 Wp ¼

Ip 102,1 104 mm4 ¼ ¼ 34 103 mm3 ðda =2Þ 30 mm

Gesucht: Ix , Wx , Iy , Wy

Ix ¼

b h3 ¼ 43,74 106 mm4 12

Wx ¼

Ix ¼ 48,6 104 mm3 e

Iy ¼

h b3 ¼ 10,94 106 mm4 12

Wy ¼

Iy ¼ 24,3 104 mm3 e

308

5 Festigkeitslehre

4. bung: Fu¨r den skizzierten Querschnitt (H-Profil) sollen die axialen Fla¨chenmomente um die x- und y-Achse berechnet werden, damit festgelegt werden kann, um welche Achse ein Balken mit diesem Querschnitt die gro¨ßere Biege- und Knicksteifigkeit besitzt.

Lo¨sung: Man benutzt die Gleichungen aus Tabelle 5.1 von Seite 310 zur Bestimmung von Ix und Iy und erkennt aus den Ergebnissen: Die gro¨ßere Steifigkeit gegen Biegung und Knickung besitzt ein Balken dieses Querschnitts um die y-Achse (Iy > Ix ). Bei Knickung wu¨rde er um die x-Achse ausknicken, weil Ix < Iy ist.

Ix ¼

BH 3 þ b h3 60 mm ð150 mmÞ3 þ 140 mm ð30 mmÞ3 ¼ 12 12

Ix ¼ 17,19 106 mm4 Wx ¼ Iy ¼

Ix 17,19 106 mm4 ¼ ¼ 22,92 104 mm3 e 75 mm BH 3 b h3 150 mm ð200 mmÞ3 120 mm ð140 mmÞ3 ¼ 12 12

Iy ¼ 72,56 106 mm4 Wy ¼

Iy 72,56 106 mm4 ¼ ¼ 72,56 104 mm3 e 100 mm

Beachte: Fla¨chenmomente I (nicht Widerstandsmomente W) von Teilfla¨chen du¨rfen dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sich die Schwerachsen der Teilfla¨chen mit der Bezugsachse des Querschnitts decken. Das la¨sst sich hier sowohl fu¨r Ix als auch fu¨r Iy durch eine entsprechende Zerlegung der Gesamtfla¨che erreichen. Das Vorgehen wird im folgenden Abschnitt 5.7.5 auf Seite 312 erla¨utert.

5. bung: Zur bung im Auswerten von Tabellen sollen die Fla¨chenmomente 2. Grades gegen Biegung und Knickung und die Widerstandsmomente aus den Profilstahltabellen herausgesucht werden (siehe Formelsammlung). Lo¨sung: A ¼ 1030 mm2

IPE 100

Ix ¼ 171 104 mm4 Wx ¼ 34,2 103 mm3 4 4 Iy ¼ 15,9 10 mm Wy ¼ 5,79 103 mm3 gro¨ßter Widerstand gegen Biegung und Knickung also um die x-Achse.

U 100

A ¼ 1350 mm2

Ix ¼ 206 104 mm4 Iy ¼ 29,3 104 mm4

L 60 6

A ¼ 691 mm2

Ix ¼ 22,8 104 mm4

Wx ¼ 41,2 103 mm3 Wy1 ¼ 18,9 103 mm3 Wy2 ¼ 8,49 103 mm3 Wx1 ¼ 13,5 103 mm3 Wx2 ¼ 5,29 103 mm3

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W

309

Tabelle 5.1 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W und Tra¨gheitsradius i fu¨r Biegung und Knickung Ix ¼

bh3 12

Iy ¼

hb3 12

Wx ¼

bh2 6

Wy ¼

hb2 6

ix ¼ 0,289 h

Ix ¼ Iy ¼ ID ¼ Wx ¼ Wy ¼

iy ¼ 0,289 b

I¼

W ¼ 0,5413 s 3 i ¼ 0,456 s

6 b þ 6 bb1 þ b1 2 h W¼ 12 ð3b þ 2b1 Þ e¼

1 3b þ 2b1 h 3 2 b þ b1

I¼

pd4 d4 64 20

p d3 d3 32 10 d i¼ 4

e¼

W¼

ah2 24

i ¼ 0,236 h

2 h 3

p ðD4 d 4 Þ 64

p D4 d 4 D 32 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ i ¼ 0,25 D 2 þ d 2

W¼

p a3 b 4

Iy ¼

p b3 a 4

p 3 ða b a1 3 b1 Þ 4 p 2 a d ða þ 3bÞ Ix 4 Ix p a d ða þ 3bÞ W¼ 4 a Ix ¼

p b2 a 4 b iy ¼ 2

Wy ¼

Ix ¼ 0,0068 d 4

Iy ¼ 0,0245 d 4

Wx1 ¼ 0,0238 d 3

Wx2 ¼ 0,0323 d 3

Wy ¼ 0,049 d 3

ix ¼ 0,132 d

Ix ¼ 0,1098 ðR 4 r 4 Þ 0,283 R2 r 2 R4 r 4 8

ah3 36

I¼

W¼

Iy ¼ p

5

I¼

2

2

p a2 b 4 a ix ¼ 2

pﬃﬃﬃ h3 2 12

i ¼ 0,456 s

6b2 þ 6bb1 þ b1 2 3 h 36 ð2b þ b1 Þ

Wx ¼

WD ¼

pﬃﬃﬃ 3 4 s ¼ 0,5413 s4 16 5 W ¼ s 3 ¼ 0,625 s 3 8

pﬃﬃﬃ 3 4 s ¼ 0,5413 s4 I¼ 16

Ix ¼

h3 6

i ¼ 0,289 h

5

I¼

h4 12

Wy ¼ p

Rr Rþr

ðR 4 r 4 Þ 8R

e1 ¼

4r ¼ 0,4244 r 3p

Wx1 ¼ Wx2 ¼

Ix e1 Ix e2

e1 ¼

2 ðD 3 d 3 Þ 3p ðD 2 d 2 Þ

310

5 Festigkeitslehre

Fortsetzung Tabelle 5.1 b ðH 3 h3 Þ 12 b ðH 3 h3 Þ Wx ¼ 6H sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ H 3 h3 ix ¼ 12 ðH hÞ Ix ¼

Iy ¼

b3 ðH hÞ 12

Wy ¼

b2 ðH hÞ 6

iy ¼ 0,289 b

I¼

bðh3 h1 3 Þ þ b1 ðh1 3 h2 3 Þ 12

W¼

bðh3 h1 3 Þ þ b1 ðh1 3 h2 3 Þ 6h

I¼

B H 3 þ b h3 12

W¼

B H 3 þ b h3 6H

I¼

BH 3 b h3 12

W¼

B H 3 b h3 6H

I¼ e1 ¼

1 ðBe1 3 bh3 þ ae2 3 Þ 3 1 a H 2 þ b d2 2 aH þ bd

e2 ¼ H e1

I¼

1 ðBe1 3 bh3 þ B1 e2 3 b1 h1 3 Þ 3

e1 ¼

1 a H 2 þ b d 2 þ b1 d1 ð2 H d1 Þ 2 aH þ bd þ b1 d1

e2 ¼ H e1

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W

311

Tabelle 5.2 Polare Fla¨chenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp fu¨r Torsion1)

Querschnitt

Widerstandsmoment Wp

Bemerkung

p 3 d3 d 16 5

Ip ¼

p 4 d4 d 32 10

gro¨ßte Spannung in allen Punkten des Umfanges

p da 4 di 4 da 16

Ip ¼

p ðd a 4 d i 4 Þ 32

gro¨ßte Spannung in allen Punkten des Umfanges

Wp ¼

Wp ¼

Fla¨chenmoment Ip

in den Endpunkten der kleinen Achse: Wt ¼

p n b3 16

h ¼n>1 b

p n3 b4 It ¼ 2 16 n þ 1

ha hi ¼ ¼n>1 ba bi hi bi ¼ ¼a<1 ha ba p n ba 3 ð1 a4 Þ Wt ¼ 16

Wt ¼ 0,208 a3

Wt ¼ 0,05 b3 ¼ Wt ¼

h 3 2 It ¼ 13 h

h3 pﬃﬃﬃ 7,5 3

It ¼

p n3 2 16 n þ 1 ba 4 ð1 a4 Þ

It ¼ 0,14 a4 ¼

It ¼

h4 pﬃﬃﬃ 15 3

It ¼

b4 46,2

a4 7,1

tt max ¼

MT Wt

in den Endpunkten der großen Achse: tt max tt ¼ n in den Endpunkten der kleinen Achse: tt max in den Endpunkten der großen Achse: tt max tt ¼ n in der Mitte der Seite: tt max in den Ecken: tt ¼ 0

in der Mitte der Seite: tt max in den Ecken: tt ¼ 0

1) Der Torsion nicht kreisfo¨rmiger Querschnitte liegen andere schwierigere Gleichungen zugrunde als beim Kreis- oder Kreisringquerschnitt. Zur klaren Unterscheidung werden benannt: It Torsionsfla¨chenmoment, Wt Torsionswiderstandsmoment. Es gelten die Gleichungen: Torsionsspannung tt max ¼ MT =Wt ; Verdrehwinkel j ¼ MT l=ðG It Þ.

312

5 Festigkeitslehre

5.7.5 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte Lassen sich Querschnitte derart in Teilfla¨chen zerlegen, dass alle Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen, dann kann das Fla¨chenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts aus der Summe oder Differenz der Teilfla¨chenmomente berechnet werden. Anders ausgedru¨ckt: Fla¨chenmomente 2. Grades du¨rfen addiert und subtrahiert werden, wenn Teil- und Gesamtschwerachse zusammenfallen. Widerstandsmomete du¨rfen keinesfalls addiert oder subtrahiert werden. Man kann sich am Beispiel eines H-Profils klarmachen, wie vorzugehen ist. Das Profil la¨sst sich in drei Teilfla¨chen zerlegen, deren Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse x––x zusammenfallen.

Gesamtfla¨chenmoment 2. Grades als Summe von Teilfla¨chenmomenten

Nun wird das Gesamtfla¨chenmoment einfach aus der Summe der Teilfla¨chenmomente berechnet. Die Teilfla¨chen sind Rechtecke, fu¨r die I ¼ b h3 =12 gilt (Tabelle 5.1, Seite 309): 30 mm ð150 mmÞ3 140 mm ð30 mmÞ3 þ ¼ 17,19 106 mm4 Ix ¼ 2 I1 þ I2 ¼ 2 12 12 Ix 17,19 106 mm4 ¼ 22,92 104 mm3 Wx ¼ ¼ e 75 mm Auch das axiale Fla¨chenmoment des Querschnitts fu¨r die y-Achse la¨sst sich so bestimmen. Zur besseren bersicht dreht man fu¨r die Rechnung den Querschnitt um 90 .

Gesamtfla¨chenmoment 2. Grades als Differenz von Teilfla¨chenmomenten

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W

313

Wie vorher wird der Rechengang aus dem Bild der Teilfla¨chen abgelesen, das heißt, man subtrahiert vom Teilfla¨chenmoment I1 das doppelte Teilfla¨chenmoment I2 : 150 mm ð200 mmÞ3 60 mm ð140 mmÞ3 2 ¼ 72,56 106 mm4 Iy ¼ I1 2 I2 ¼ 12 12 Iy 72,56 106 mm4 Wy ¼ ¼ ¼ 72,56 104 mm3 e 100 mm In der folgenden Bildtafel sind andere symmetrische Querschnitte so zerlegt, dass die Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen. Das Gesamtfla¨chenmoment 2. Grades kann dann als Summe oder Differenz der Teilfla¨chenmomente berechnet werden.

Profile mit gleichen Gesamt- und Teilschwerachsen

5.7.6 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner’scher Verschiebesatz) Zerlegt man die skizzierten unsymmetrischen Querschnitte in die Teilfla¨chen A1 und A2, dann fa¨llt auf, dass die Schwerachsen der Teilfla¨chen (x1 x1 und x2 x2 ) nicht mit der Gesamtschwerachse x––x zusammenfallen. Beim Winkelprofil gilt das auch fu¨r die Achse y––y. Die Schwerachsen aller Teilfla¨chen sind gegenu¨ber den Gesamtschwerachsen um die La¨ngen l parallel verschoben. Daher du¨rfen hier die Teilfla¨chenmomente 2. Grades nicht einfach addiert werden, wie bei den Querschnitten in Abschnitt 5.7.5 auf Seite 312. Die Vorgehensweise in solchen Fa¨llen kann am Beispiel des T-Profils gelernt werden. Dabei soll man aus dem speziellen Beispiel eine allgemein gu¨ltige Beziehung entwickeln.

Teil- und Gesamtschwerachsen unsymmetrischer zusammengesetzter Querschnitte

314

5 Festigkeitslehre

5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes1) Fu¨r ein T-Profil soll das axiale Fla¨chenmoment Ix fu¨r die Gesamtschwerachse x––x ermittelt werden. Das Problem wird vereinfacht, indem nur die Teilfla¨che A1 betrachtet wird. Deren Teilschwerachse x1 x1 liegt um die La¨nge l1 gegenu¨ber der Gesamtschwerachse parallel verschoben. Erinnerung: Das Fla¨chenmomet Ix1 der Teilfla¨che A1 in Bezug auf die Teilschwerachse x1 x1 ist bekannt; mit Ix1 ¼ b h3 =12 ko¨nnte man es sofort berechnen. Es wird aber eine Gleichung gesucht, in der das Fla¨chenmoment der Teilfla¨che A1 auf die Gesamtschwerachse x x bezogen ist. Das erreicht man mit dem folgenden Kunstgriff. Es wird ein zur Achse x x symmetrisches Profil gebildet, indem man die obere Teilfla¨che A1 noch einmal unterhalb der x-Achse ansetzt. Dann kann man nach Abschnitt 5.7.5, Seite 312, vorgehen und das Gesamtfla¨chenmomemt in Bezug auf die x-Achse mit den allgemeinen Bezeichnungen bestimmen. Man subtrahiert vom Fla¨chenmoment der aus bH gebildeten Rechteckfla¨che das Fla¨chenmoment der Rechteckfla¨che bðH 2hÞ; (beide Schwerachsen decken sich). Dieses Fla¨chenmoment muss doppelt so groß sein wie das von nur einer Teilfla¨che A1 gebildete Fla¨chenmoment Ix, da die beiden Teilfla¨chen A1 symmetrisch zur x-Achse liegen. Es kann also Ix ges ¼ 2 Ix gesetzt werden. Ix ges ¼ 2 Ix ¼

Mit der bekannten Gleichung zur Berechnung des Fla¨chenmomentes von Rechteckquerschnitten findet man die Ausgangsbeziehung, in die man fu¨r die Ho¨he H die Beziehung H ¼ 2 l1 þ h einfu¨hrt (siehe Skizze). Die Differenz der Potenzausdru¨cke ð2 l1 þ hÞ3 ð2 l1 hÞ3 wird gesondert berechnet und das Ergebnis eingesetzt. 1)

Jakob Steiner, Schweizer Mathematiker, 1796––1863.

bH 3 bðH 2 hÞ3 12 12

2 Ix ¼

bð2 l1 þ hÞ3 b ð2 l1 þ h 2hÞ3 12 12

2 Ix ¼

b½ð2 l1 þ hÞ3 ð2 l1 hÞ3 12

ð2 l1 þ hÞ3 ð2 l1 hÞ3 ¼ 24 h l1 2 þ 2h3

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W Nach der Ausrechnung erha¨lt man rechts vom Gleichheitszeichen eine Summe. Diese kann mit b h ¼ A1 vereinfacht werden. Daru¨ber hinaus ist bekannt, dass b h3 =12 das axiale Fla¨chenmoment Ix1 der Teilfla¨che A1 in Bezug auf die eigene Schwerachse x1 x1 ist. Damit wurde der Verschiebesatz von Steiner gefunden: Das axiale Fla¨chenmoment 2. Grades Ix einer Teilfla¨che A1 in Bezug auf eine zur Schwerachse um den Abstand l1 parallel verschobene Achse ist gleich dem Fla¨chenmoment Ix1 der Teilfla¨che in Bezug auf deren Schwerachse, vemehrt um das Produkt aus der Teilfla¨che A1 und dem Abstandsquadrat l1 2 . Ha¨ufig muss mit mehreren Teilfla¨chen A1 , A2 . . . gerechnet werden, deren Teilschwerachsen die Absta¨nde l1 , l2 . . . von der Bezugsachse haben. Dazu schreibt man den Steiner’schen Satz in allgemeiner Form. I1 , I2 . . . sind die Fla¨chenmomente 2. Grades der Teilfla¨chen in Bezug auf die eigene Teilschwerachse. Sie werden mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, berechnet.

2 Ix ¼

315

bð24 h l1 2 þ 2 h3 Þ 24 b h l1 2 þ 2 b h3 ¼ 12 12

I x ¼ b h l1 2 þ

b h3 12

Ix ¼ A1 l1 2 þ Ix1

Ix ¼ Ix1 þ A1 l1 2

Verschiebesatz von Steiner

Ix Fla¨chenmoment fu¨r parallele Achse x––x Ix1 Fla¨chenmoment der Teilfla¨che in Bezug auf die eigene Schwerachse x1 x1 A1 Fla¨cheninhalt der Teilfla¨che l1 Abstand der parallelen Achsen

I ¼ I1 þ A1 l1 2 þ I2 þ A2 l2 2 þ . . . þ In þ An ln 2 Verschiebesatz von Steiner Beachte: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachse zusammen, dann sind die Absta¨nde l1 , l2 . . . gleich null, und es wird I ¼ I1 þ I2 þ . . . þ In , d. h. die Teilfla¨chenmomente 2. Grades werden einfach addiert (siehe Tabelle 5.7.5, Seite 312).

5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes Gesucht wird wieder eine Beziehung zur Berechnung des Fla¨chenmomentes 2. Grades Ix einer Teilfla¨che A1 in Bezug auf eine zur Teilschwerachse x1 x1 parallel um den Abstand l1 verschobene Achse xx. Das Fla¨chenmoment Ix1 der Teilfla¨che wird als bekannt vorausgesetzt (Tabelle 5.1, Seite 309). Man beginnt die Entwicklung mit der fu¨r alle Achsen gu¨ltigen allgemeinen Definitionsgleichung: Als „Abstandsquadrat“ wird hier ðl1 þ yÞ2 eingesetzt. Nach der Ausrechnung erha¨lt man eine Summe von drei Gliedern. Die konstanten Gro¨ßen werden vor das Summenzeichen geschrieben. Das erste Glied ergibt das Produkt aus dem Abstandsquadrat und der Teilfla¨che, weil S DA ¼ A1 ist.

Lo¨sungsskizze

Ix ¼ S DA ðl1 þ yÞ2 Ix ¼ S DA ðl1 2 þ 2l1 y þ y2 Þ Ix ¼ S DA l1 2 þ S DA 2l1 y þ S DA y 2 Ix ¼ l1 2 S DA þ 2l1 S DA y þ S DA y 2 l1 2 S DA ¼ l1 2 A1

316 Das zweite Glied ist gleich null, denn der Faktor S D Ay stellt die Summe der Fla¨chenmomente 1. Grades aller Fla¨chenteilchen DA in Bezug auf die Achse x1 x1 dar. Da das die Schwerachse der Fla¨che A1 ist, wird y0 ¼ 0 und damit auch das Produkt A1 y0 . Das dritte Glied ist das axiale Fla¨chenmoment Ix1 der Teilfla¨che A1, bezogen auf die Teilschwerachse x1 x1 . Damit erha¨lt man zum Schluss die gleiche Form fu¨r den Steiner’schen Satz wie in der ersten Herleitung u¨ber den speziellen Fall auf Seite 314.

5 Festigkeitslehre 2 l1 S D Ay ¼ 2 l1 A1 y0 ¼ 0 Beachte: Das Produkt aus einer Fla¨che A und ihrem Schwerpunktsabstand x oder y von einer Bezugsachse heißt Fla¨chenmoment 1. Grades (siehe Schwerpunktslehre 2.2.1, ab Seite 77). S DA y2 ¼ Ix1

Ix ¼ Ix1 þ A1 l1 2

Verschiebesatz von Steiner

5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Fla¨chenmomente 2. Grades

Querschnitt in Teilfla¨chen A1 , A2 . . . zerlegen und deren Fla¨chenschwerpunkte S1 , S2 . . . bestimmen. Absta¨nde l1 , l2 . . . der Teilschwerachsen von der Bezugsachse fu¨r das Fla¨chenmoment festlegen. Fla¨chenmomente I1 , I2 . . . der Teilfla¨chen A1 , A2 . . . nach Tabelle 5.1 (Seite 309) berechnen. Fla¨cheninhalte der Teilfla¨chen und die Quadrate der Absta¨nde (l1 2 , l2 2 . . .) berechnen. Steiner’schen Satz aufstellen und ausrechnen.

5.7.7 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 1. bung: Fu¨r das skizzierte Winkelprofil soll das axiale Fla¨chenmoment 2. Grades fu¨r die Profilschwerachse x x bestimmt werden. Nach dem Lo¨sungsplan zerlegt man den Querschnitt in die Teilfla¨chen A1 und A2. Die Lage der Teilschwerpunkte ergibt sich aus den gegebenen La¨ngenmaßen, ebenso die Absta¨nde l1 , l2 .

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W Nebenrechnung:

Lo¨sung: Ix ¼ I1 þ A 1 l1 2 þ I2 þ A 2 l2 2

b h3 90 mm ð10 mmÞ3 ¼ ¼ 12 12 ¼ 0,75 104 mm4

I1 ¼

Ix ¼ ð0,75 þ 144 þ 229 þ 87,5Þ 104 mm4 Ix ¼ 461,25 104 mm4

A1 ¼ b h ¼ 900 mm2 ; l1 ¼ 40 mm b h3 10 mm ð140 mmÞ3 ¼ ¼ 12 12 4 4 ¼ 229 10 mm

I2 ¼

A2 ¼ b h ¼ 1400 mm2 ; l2 ¼ 25 mm

Aus dem Fla¨chenmoment Ix erha¨lt man die beiden axialen Widerstandsmomente Wx1 und Wx2 .

Ix 461,25 104 mm4 ¼ ¼ e1 45 mm 4 3 ¼ 10,25 10 mm

Wx1 ¼

Ix 461,25 104 mm4 ¼ ¼ e2 95 mm ¼ 4,86 104 mm3

Wx2 ¼

2. bung: Da der Steiner’sche Satz fu¨r beliebige parallele Achsen gilt, kann das axiale Fla¨chenmoment des Winkelprofils aus der 1. bung auch fu¨r die Achse N––N bestimmt werden. Die Schwerpunkte SP1 und SP2 der Teilfla¨chen sind festgelegt, ebenso die Absta¨nde der Teilschwerachsen von der Bezugsachse N––N mit l1 ¼ 5 mm und l2 ¼ 70 mm.

Nebenrechnung:

Lo¨sung: IN ¼ I1 þ A1 l1 2 þ I2 þ A2 l2 2 IN ¼ ð0,75 þ 9 0,25 þ 229 þ 14 49Þ 10 mm 4

IN ¼ 918 104 mm4

4

b h3 ¼ 0,75 104 mm4 12 A1 ¼ b h ¼ 9 102 mm2 I1 ¼

l1 2 ¼ ð5 mmÞ2 ¼ 0,25 102 mm2 b h3 ¼ 229 104 mm4 12 A2 ¼ b h ¼ 14 102 mm2 I2 ¼

l2 2 ¼ ð70 mmÞ2 ¼ 49 102 mm2

317

318

5 Festigkeitslehre

3. bung: Zu bestimmen sind das axiale Fla¨chenmoment Ix und die Widerstandsmomente Wx1, Wx2 fu¨r den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt. Lo¨sung: Es werden Fehler vermieden, wenn man sich eine kleine bersicht zusammenstellt, etwa in der Form:

Teilfla¨che

A in mm2

1 2

204,7 102 100 102

Gesamt

304,7 102

e in mm 200 412,5

l in mm 70 142,5

l2 in mm2

I in mm4

49 102 59 556 104 203 102 52 104

Die Teilschwerpunkte SP1 und SP2 liegen im Abstand e1 und e2 von der unteren Kante (¼ Bezugsachse fu¨r die Schwerpunktsbestimmung) entfernt. Die Lage des Gesamtschwerpunktes SP berechnet man nach 2.2.3.1, Seite 77. Als Bezugsachse wird die Unterkante des Querschnitts benutzt. Mit e0 kann man die Absta¨nde der Teilschwerachsen von der Bezugskante x––x bestimmen. Nun lassen sich die Fla¨chenmomente I1 und I2 der Teilfla¨chen in Bezug auf ihre Schwerachsen berechnen. Zur Berechnung von I1 wird nach 5.7.5, ab Seite 312, vorgegangen.

Es sind nun alle Gro¨ßen vorhanden, die zur Berechnung des Fla¨chenmomentes Ix gebraucht werden. Damit stellt man wieder den Steiner’schen Satz auf. Zum Schluss werden die beiden axialen Widerstandsmomente Wx1 und Wx2 berechnet. Der a¨ußere Randfaserabstand fu¨r Wx1 ist die La¨nge e0 ¼ 270 mm, fu¨r Wx2 dagegen 425 mm e0 ¼ 155 mm.

e1 ¼

400 mm ¼ 200 mm 2

e2 ¼ ð400 þ 12,5Þ mm ¼ 412,5 mm

e0 ¼

A1 e1 þ A2 e2 ¼ 270 mm A1 þ A2

l1 ¼ e0 e1 ¼ 70 mm ; l1 2 ¼ 49 102 mm2 l2 ¼ e2 e0 ¼ 142,5 mm ; l2 2 ¼ 203 102 mm2

I1 ¼

300 mm ð400 mmÞ3 143 mm ð348 mmÞ3 2 12 12

I1 ¼ 59 556 104 mm4 I2 ¼

400 mm ð25 mmÞ3 ¼ 52 104 mm4 12

Ix ¼ I1 þ A1 l1 2 þ I2 þ A2 l2 2 Ix ¼ ð59 556 þ 204,7 49 þ 52 þ 100 203Þ 104 mm4 Ix ¼ 89 938 104 mm4 9 108 mm4

Ix 89 938 104 mm4 ¼ 3331 103 mm3 ¼ e0 270 mm Ix ¼ ¼ 5802 103 mm3 425 mm e0

Wx1 ¼ Wx2

5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W

319

4. bung: Fu¨r den skizzierten unsymmetrischen Querschnitt sollen die Fla¨chen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Lo¨sung fu¨r die x-Achse: Man denkt sich den Querschnitt entstanden aus der vollen Rechteckfla¨che (200 300) mm2 abzu¨glich der Hohlraumfla¨che (160 150) mm2, also A ¼ A1 A2 . Mit dieser berlegung berechnet man sowohl die Schwerpunktslage (e0 ) als auch die Fla¨chenmomente 2. Grades. Es wird mit der Schwerpunktsberechnung begonnen:

Unsymmetrischer Querschnitt mit Hohlraum

Ae0 ¼ A1 150 mm A2 175 mm ðMomentensatz f u¨ r Fl¨achen nach 2:2:3:1, Seite 80Þ A1 ¼ ð200 300Þ mm2 ¼ 600 102 mm2 ; A2 ¼ ð160 150Þ mm2 ¼ 240 102 mm2 A ¼ A1 A2 ¼ ð600 240Þ 102 mm2 ¼ 360 102 mm2 600 102 mm2 1,5 102 mm 240 102 mm2 1,75 102 mm ¼ 360 102 mm2 900 104 mm3 420 104 mm3 ¼ 3,6 104 mm2 e0 ¼ 133 mm e0 ¼

l1 ¼ 150 mm e0 ¼ 17 mm ; l1 2 ¼ 2,89 102 mm2 ; l2 ¼ 175 mm e0 ¼ 42 mm l2 2 ¼ 17,6 102 mm2 200 mm ð300 mmÞ3 160 mm ð150 mmÞ3 ¼ 45 000 104 mm4 ; I2 ¼ ¼ 4500 104 mm4 12 12 Ix ¼ I1 þ A1 l1 2 ðI2 þ A2 l2 2 Þ ¼ ð45 000 þ 600 2,89 4500 240 17,6Þ 104 mm4

I1 ¼

Ix ¼ 3,8 108 mm4 Ix 3,8 108 mm4 ¼ 2,85 106 mm3 ¼ e0 133 mm Ix 3,8 108 mm4 ¼ 2,28 106 mm3 ¼ ¼ 300 mm e0 167 mm

Wx1 ¼ Wx2

Lo¨sung fu¨r die y-Achse: Die Berechnung der Fla¨chen- und Widerstandsmomente fu¨r die y-Achse ist einfacher als fu¨r die x-Achse, weil jetzt Teilschwerachsen und Gesamtschwerachse zusammenfallen: 3

300 mm ð200 mmÞ 150 mm ð160 mmÞ3 12 12 Iy ¼ 1,488 108 mm4 Iy ¼ I1 I2 ¼

Wy1 ¼ Wy2 ¼

Iy 1,488 108 mm4 ¼ ¼ 1,488 106 mm3 e 100 mm

320

5 Festigkeitslehre

5. bung: Ein Tra¨ger hat den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt aus genormten L-Sta¨hlen und Blechen. Mit Hilfe der Profilstahltabelle aus der Formelsammlung ist zu berechnen: a) das Fla¨chenmoment der oberen und unteren Gurtplatte, b) das Fla¨chenmoment des Stegblechs, c) das Fla¨chenmoment der L-Profile, d) das Gesamtfla¨chenmoment in Bezug auf die Gesamtschwerachse 0––0. e) das Widerstandsmoment. Lo¨sung: 200 mm ð10 mmÞ3 ¼ 1,67 104 mm4 12 ¼ 2250 104 mm4

aÞ I1 ¼ I2 ¼

bÞ I3 ¼

10 mm ð300 mmÞ3 ¼ 12

cÞ I4 ¼ I5 ¼ I6 ¼ I7 ¼ 52,6 104 mm4 ðFormelsammlungÞ dÞ Iges ¼ 2ðI1 þ A1 l1 2 Þ þ ðI3 þ A3 l3 2 Þ þ 4ðI4 þ A4 l4 2 Þ Zwischenrechnung: A1 ¼ 200 10 mm2 ¼ 20 102 mm2 ; l1 ¼ 155 mm l1 2 ¼ 240 102 mm2 A3 ¼ 10 300 mm2 ¼ 30 102 mm2 ; l3 ¼ 0 ; l3 2 ¼ 0 A4 ¼ 11,9 102 mm2 ðFormelsammlungÞ l4 ¼ ð150 20,5Þ mm ¼ 129,5 mm ; l4 2 ¼ 167,7 102 mm2 9603 zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{ Iges ¼ ½2 ð1,67 þ 20 240Þ þð2250 þ 30 0Þ þ 4 ð52,6 þ 11,9 167,7Þ 104 mm4 ¼ ¼ 2 108 mm4 Iges 2 108 mm4 ¼ ¼ 1,25 106 mm3 e) W ¼ e 1,6 102 mm Obwohl die Einzelfla¨chenmomente I1 und I2 der Gurtplatten nur je 1,67 104 mm4 betragen, tragen sie doch den gro¨ßten Anteil ( 9600 104 mm4 108 mm4 ) zum Iges bei, einfach deshalb, weil sie am weitesten von der Bezugsachse 0––0 entfernt liegen. Daraus erkennt man: Es kommt beim Fla¨chenmoment 2. Grades eines Querschnitts nicht auf den Fla¨cheninhalt, sondern auf die Fla¨chenform an, d. h. es muss mo¨glichst viel Werkstoff mo¨glichst weit von der Bezugsachse entfernt liegen, wenn der Querschnitt ein großes Fla¨chenmoment haben soll. Weiter kann man sagen: Bohrungen in Schwerpunktsna¨he haben nur geringen Einfluss; sie mindern das Fla¨chenmoment 2. Grades nur geringfu¨gig. Aufgaben Nr. 766–808

5.8 Beanspruchung auf Torsion

321

5.8 Beanspruchung auf Torsion Die folgenden Herleitungen und Berechnungsgleichungen gelten fu¨r rotationssymmetrische Querschnitte (Kreise und Kreisringe). Fu¨r andere Querschnitte siehe Tabelle 5.2, Seite 311.

5.8.1 Spannungsverteilung Eine Welle wird durch das Drehmoment M auf Torsion (Verdrehung) beansprucht. Ein achsparallel angebrachter Kreidestrich geht dabei in eine Schraubenlinie u¨ber. Man legt einen Schnitt rechtwinklig zur Stabachse und stellt durch das innere Torsionsmoment MT ¼ M das Gleichgewicht am Stabteil I wieder her. Die Mantelgerade AB ist zur Schraubenlinie AC geworden. Die Schnittufer werden demnach drehend gegeneinander verschoben. Es entsteht eine in der Fla¨che wirkende Schubspannung. Sie heißt Torsionsspannung tt . Im Gegensatz zur Zug-, Druck- und Abscherbeanspruchung werden die Werkstoffteilchen bei der Torsionsbeanspruchung nicht gleich stark verformt. Dementsprechend wird sich auch eine andere Spannungsverteilung u¨ber dem Querschnitt einstellen mu¨ssen. Verformungs- und Spannungsbild geben daru¨ber Aufschluss. Das Verformungsbild des Schnittufers zeigt, dass die Stoffteilchen umso weiter drehend gegeneinander verschoben werden, je weiter sie von der Wellenachse entfernt liegen. Man sieht, dass Teilchen B auf dem Bogen b nach C gewandert ist, d. h. die sta¨rkste Verdrehung stellt sich am Querschnittsumfang ein. Im Abstand r von der Wellenachse ist die Verdrehung schon geringer (B 0 wandert auf Db nach C 0 ). Die Wellenachse 0 selbst ist unverformt. Im elastischen Bereich ist die Verformung der Spannung proportional (siehe Hooke’sches Gesetz, 5.2.3.4, Seite 282), d. h. die Spannung muss im Querschnitt ebenso verteilt sein wie die Verformung. Man spricht von einer linearen Spannungsverteilung: Die Wellenachse ist unverformt, also spannungsfrei. Die Spannung wa¨chst mit r bis zum Ho¨chstwert tmax am Querschnittsumfang (Randspannung). Mit dieser Randspannung mu¨ssen die Festigkeitsrechnungen erfolgen.

Torsionsbeanspruchte Welle

Verformungsbild

Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faser: Db r ¼ b r Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional: Db t ¼ b tmax

und folglich

t r ¼ tmax r

Daraus ergibt sich die Spannung t an einer beliebigen Stelle: t ¼ tmax

r r

Spannungsbild

322

Bei Torsion erhalten die Randfasern die sta¨rkste Beanspruchung, die Wellenachse ist spannungslos. Daher kann die Wellenachse auch zentrisch ausgebohrt werden.

5 Festigkeitslehre Hinweis: Vor allem im Fahrzeugbau wird der Konstrukteur Hohlwellen vorsehen (Leichtbau).

5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung Das Fla¨chenteilchen DA im Abstand r von der Wellenachse (Spannungsbild) u¨bertra¨gt die im Querschnitt liegende Teilkraft DF. Unter der Annahme, daß die Spannung t u¨ber dem (sehr klein gedachten) Fla¨chenteilchen DA gleichma¨ßig verteilt ist (wie beim Abscheren), kann man DF ¼ DAt schreiben.

DF ¼ DA t

Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die Wellenachse drehend am Hebelarm r. Sie erzeugt also ein „kleines“ Torsionsmoment DMT ¼ DFr.

DMT ¼ DFr ¼ DA t r

Mit der Spannung t kann man nichts anfangen; dagegen wird die Randfaserspannung tmax gebraucht, denn durch sie wird der Werkstoff am sta¨rksten beansprucht. Man ersetzt daher t durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung t ¼ tmax r=r und erha¨lt damit eine erweiterte Gleichung fu¨r das Torsionsmoment DMT .

DMT ¼ DA t r ¼ DA tmax DMT ¼

r r r

tmax DA r2 r

Die Summe dieser kleinen Torsionsmomente ist das im Querschnitt wirkende (innere) Torsionsmoment MT .

MT ¼ S DMT

Die gleich bleibenden Gro¨ßen tmax und r ko¨nnen vor das Summenzeichen gesetzt werden.

MT ¼

Der Summenausdruck S DA r2 ist das schon bekannte polare Fla¨chenmoment 2. Grades Ip ; der Ausdruck Ip =r ist das polare Widerstandsmoment Wp . Nur wegen der einfachen Schreibweise wird tmax ¼ tt eingesetzt. tt ist also ab jetzt immer die Randfaserspannung, die gro¨ßte Spannung im Querschnitt.

S DA r2 ¼ Ip

MT ¼ S DMT ¼ S

tmax DA r2 r

tmax S DA r2 r

(siehe 5.7.2, Seite 304)

Ip ¼ Wp r Ip MT ¼ t t ¼ t t Wp r

5.8 Beanspruchung auf Torsion

323

Die gefundene Gleichung lo¨st man nach der Spannung auf und erha¨lt so die gesuchte Torsions-Hauptgleichung.

tt

MT tt ¼ Wp

Torsionsmoment MT Torsionsspannung tt ¼ polares Widerstandsmoment Wp

N mm2

MT

Wp

Nmm

mm3

TorsionsHauptgleichung

Am ha¨ufigsten werden Kreisring- und Kreisquerschnitte zu berechnen sein. Wird aus Torsionsmoment MT und zula¨ssiger Torsionsspannung tt zul das erforderliche Widerstandsmoment Wp erf ermittelt, dann lassen sich mit den Gleichungen in Tabelle 5.2, Seite 311, die erforderlichen Durchmesser (d, da, di) berechnen. Ob dabei mit den genauen Gleichungen oder mit den abgerundeten Beziehungen gerechnet wird, ist gleichgu¨ltig. Statt zuerst Wp erf und daraus erst den Durchmesser zu bestimmen, kann man auch sofort eine Gleichung fu¨r den erforderlichen Durchmesser entwickeln. Das wird in den folgenden Lehrbeispielen vorgefu¨hrt.

Das die Welle beanspruchende Torsionsmoment MT ist gleich dem von der Welle zu u¨bertragenden Drehmoment M. Das Drehmoment M wird entweder mit der Gro¨ßengleichung P ¼ Mw oder mit der im Maschinenbau gebra¨uchlichen Zahlenwertgleichung bestimmt. Dann sind die im Einheitenraster angegebenen Einheiten zu benutzen. Bei der Gro¨ßengleichung ist man von dieser Bedingung frei. Die Zahlenwertgleichung ist hier zugeschnitten auf die Einheit Nm fu¨r das Drehmoment M, wenn die Leistung P in kW und die Drehzahl n in min1 eingesetzt werden.

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Torsions-Hauptgleichung umgestellt: Wp erf ¼

MT tt zul

erforderliches Widerstandsmoment

tt vorh ¼

MT tt zul Wp

vorhandene Spannung

MT max ¼ Wp tt zul

maximales Torsionsmoment

MT ¼ M M¼

w ¼ 2pn

P w

Gro¨ßengleichung zwischen Drehmoment M, Leistung P und Winkelgeschwindigkeit w

M ¼ 9550

P n

M

P

n

Nm kW min1

Zahlenwertgleichung mit P in kW und n in U/min ¼ 1/min ¼ min1

324

5 Festigkeitslehre

5.8.3 Forma¨nderung bei Torsion Zwei benachbarte Querschnitte einer Welle werden durch Torsionsbeanspruchung gegeneinander verdreht. Bringt man vor der Verformung auf der Welle mit der Wellenla¨nge l den Kreidestrich AB an, dann wird daraus nach der Verformung die Schraubenlinie AC. Zugleich dreht sich der Radius OB um den Kreismittelpunkt O in die Stellung OC, das heißt, die beiden Stirnfla¨chen der Welle haben sich um den Verdrehwinkel j gegeneinander verdreht. Die sta¨rkste Verformung zeigt die Randfaser: Das Stoffteilchen in B durchla¨uft die Forma¨nderung b _ (Bogen BC ). Im Bereich der elastischen Forma¨nderung gilt auch bei Torsion das Hooke’sche Gesetz, in das die entsprechenden Gro¨ßen der Torsionsbeanspruchung eingesetzt werden. Man setzt fu¨r Zugspannung s Forma¨nderung Dl Stabla¨nge l0 Stoffkonstante E (Elastizita¨tsmodul)

) Torsionsspannung tt ) Forma¨nderung b ) Wellenla¨nge l ) Stoffkonstante G (Schubmodul)

_

Das Bogenstu¨ck BC ¼ b ist vom Radius r abha¨ngig. Es ist einfacher, mit dem Verdrehwinkel j in Grad zu rechnen. Zwischen b und j besteht eine Beziehung, die man aus der Skizze fu¨r die Forma¨nderung (oben) ablesen kann. Es wird nun in die Gleichung j ¼ b 180 =p r der Wert b ¼ tt l=G nach dem Hooke’schen Gesetz eingesetzt. Fu¨r tt kann man auch tt ¼ MT =Wp und fu¨r Wp r ¼ Ip einsetzen und damit drei Forma¨nderungsgleichungen fu¨r Torsionsbeanspruchung entwickeln. Man erkennt aus den Gleichungen, dass bei Stahlwellen der Verdrehwinkel j unabha¨ngig von der Werkstoffgu¨te ist, denn der Schubmodul G ist fu¨r alle Stahlsorten gleich groß (siehe Tabelle 5.8, Seite 385).

Forma¨nderung bei Torsionsbeanspruchung

tt ¼

,

b G l

Hooke’sches Gesetz fu¨r Torsion

s¼

Dl E l0

Hooke’sches Gesetz fu¨r Zug/Druck

Beachte: Der Schubmodul G entspricht dem Elastizita¨tsmodul (siehe Tabelle 5.8, Seite 385) und Abschnitt 5.6.2, Seite 297): GStahl ¼ 80 000 N/mm2 EStahl ¼ 210 000 N/mm2 b j ¼ 2 p r 360 b 360 b 180 ¼ j¼ 2pr p r b 180 j¼ r p tt l 180 j¼ Gr p

j¼

tt l 180 Gr p

j¼

MT l 180 Wp r G p

j¼

MT l 180 Ip G p

j

tt , G

l, r

N mm2

mm Nmm Wp

MT

Ip

mm3 mm4

5.8 Beanspruchung auf Torsion

325

Geht die Belastung von null aus, dann ist die Fla¨che unter der Federkennlinie ein Dreieck und es gilt Wf ¼ MT j=2. Bei vorbelasteter Feder ergibt sich eine Trapezfla¨che mit entsprechender Fla¨chenformel. Die Neigung der Federkennlinie ist ein Maß fu¨r die „Ha¨rte“ oder „Weichheit“ der Feder. Eine Feder ist umso weicher, je flacher die Kennlinie verla¨uft oder, rechnerisch ausgedru¨ckt, je kleiner die Federrate R ist. Sie entspricht dem Tangens des Neigungswinkels a (siehe Arbeitsdiagramm). Fu¨r Torsionsstabfedern von kreisfo¨rmigem Querschnitt kann man wie fu¨r die Zugfedern auf Seite 284 die Gleichung fu¨r die Forma¨nderungsarbeit weiter entwickeln, indem fu¨r MT ¼ tt Wp (Torsions-Hauptgleichung) und fu¨r Wp ¼ p d 3 =16 (Tabelle 5.2. Seite 311) eingesetzt wird.

Mit der Forma¨nderungsgleichung fu¨r den Verdrehwinkel j erha¨lt man die endgu¨ltige Form der gesuchten Beziehung fu¨r Wf .

e

ni sli

=

Fe

r de

ke

nn

lin

ie

MT

Bei der Beanspruchung einer Welle auf Torsion steigt das Torsionsmoment MT von null bis zu einem Ho¨chstwert proportional zum Verdrehwinkel an. Dabei wird in der Welle eine Forma¨nderungsarbeit Wf gespeichert. Die Gleichung dafu¨r liest man wieder aus dem Arbeitsdiagramm als Fla¨che unter der Belastungskurve ab. Das Arbeitsdiagramm oder Federungsdiagramm entsteht, wenn u¨ber dem Verdrehwinkel j das Torsionsmoment MT aufgetragen wird.

Torsionsmoment

5.8.4 Forma¨nderungsarbeit Wf

ng Dreieckfläche = MT f Wf = a 2

tu

las

Be

0

Verdrehwinkel f

Arbeitsdiagramm fu¨r Torsionsstabfedern im Gu¨ltigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes (MT j) Wf ¼ MT

j 2

Wf MT

Nm rad ¼ 1

J Forma¨nderungsarbeit (Federarbeit)

R¼

j

R Nm rad

MT ¼ tan a j

Federrate

MT ¼ t t Wp j¼

tt l d G 2

Wf ¼ MT

Wp ¼

p d3 p d2 d ¼ 16 4 4

p d2 l ¼ Volumen V 4 j d ¼ tt A 2 4

Wf ¼ MT

j tt 2 V ¼ 2 4G

tt l tt 2 V ¼ d 4G G 2 2 Forma¨nderungsarbeit (Federarbeit), vergleiche mit Seite 284

Solange die Torsionsbeanspruchung im elastischen Bereich liegt, wird die im Werkstoff gespeicherte Arbeit bei Entlastung wieder vollsta¨ndig frei. Torsions- oder Drehstabfedern verwendet man z. B. als Wagenfeder oder Drehstab-Stabilisator im Kraftfahrzeugbau, fu¨r Drehmomentenschlu¨ssel zum Anziehen von Schrauben und Muttern oder im Messgera¨tebau. Aufgaben Nr. 809–833

326

5 Festigkeitslehre

Lehrbeispiel: Torsionsstabfeder l1

f

Aufgabenstellung: Eine Torsionsstabfeder soll fu¨r folgende Einbaugro¨ßen berechnet werden: l1 ¼ 400 mm Feder

F ¼ 2500 N Werkstoff mit tt zul ¼ 320

F

l

l ¼ 600 mm N mm 2

G ¼ 80 000

Stellung bei ungespannter Feder

N mm 2

Es sind zu berechnen: a) Federdurchmesser d bei Vollprofil b) Federweg f D 10 c) Außendurchmesser D und Innendurchmesser d fu¨r Rohrquerschnitt der Feder mit ¼ d 8 d) Federweg f’ fu¨r Rohrquerschnitt.

Lo¨sung: a) Federdurchmesser d: tt ¼

Mt Wp

MT ¼ F l1 ¼ 2500 N 400 mm ¼ 10 6 Nmm pd 3 16 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3 16MT ¼ ¼ p tt zul

Wp ¼

derf

b) Federweg f: j¼

MT l Ip G

Ip ¼ j¼

vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u u16 10 6 Nmm u ¼ 25,2 mm 3 t N p 320 2 mm

gew ahlt: ¨ d ¼ 25 mm

pd 4 p 25 4 ¼ mm4 ¼ 3,83 10 4 mm4 32 32

10 6 Nmm 0,6 10 3 mm ¼ 0,196 rad N 3,83 10 4 mm4 8 10 4 2 mm

f ¼ jl1 ¼ 0,196 400 mm ¼ 78 ,4 mm c) Rohrquerschnitt:

Wp ¼

p D4 d4 D 16

Wp erf ¼

Ip ¼

p ðD 4 d 4 Þ 32

d ¼ 0,8 D

p D4 d4 p D 4 ð0,8DÞ4 p D 4 ð1 0,8 4 Þ ¼ ¼ ¼ 0,116 D 3 D D 16 16 16 D sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ gew ahlt: ¨ 3 3,125 10 3 mm 3 ¼ 29,98 mm D ¼ 30 mm ¼ 0,116 d ¼ 0,8 D ¼ 24 mm

Wp erf ¼

Derf

d) Federweg f’:

MT 10 6 Nmm ¼ ¼ 3,125 10 3 mm3 N tt zul 320 mm 2

Ip ¼

pðD 4 d 4 Þ pð30 4 244 Þ mm4 ¼ ¼ 4,695 10 4 mm4 32 32

j¼

MT l ¼ Ip G

10 6 Nmm 0,6 10 3 mm ¼ 0,16 rad N 4,695 10 4 mm4 8 10 4 2 mm

f 0 ¼ jl1 ¼ 0,16 400 mm ¼ 64 mm

5.8 Beanspruchung auf Torsion

327

Lehrbeispiel: Verdrehwinkel (Drehmomentschlu¨ssel) Aufgabenstellung Ein Torsionsstab-Messgera¨t soll bei einem Torsionsmoment von MT ¼ 8 Nm einen Verdrehwinkel von j ¼ 35 anzeigen. Werkstoff 42CrMo4 mit tt zul ¼ 400 N/mm2 . Bestimme: a) Stabdurchmesser d b) Stabla¨nge l

Lo¨sung: a) Stabdurchmesser d: tt ¼

MT Wp

MT 8 10 3 Nmm ¼ ¼ 20 mm3 tt zul N 400 mm2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3 16 20 mm 3 pd 3 3 16 Wp erf Wp ¼ ¼ derf ¼ 16 p p

Wp erf ¼

derf ¼ 4,67 mm gew ahlt: d ¼ 4,8 mm ¨ b) Stabla¨nge l aus der Verdrehwinkel-Gleichung: G ¼ 8 10 4

j¼

MT l 180 p GI p

l¼

N mm 2

pjGI p ¼ 180 MT

Ip ¼

pd 4 p 4,8 4 mm4 ¼ ¼ 52 mm4 32 32

N 52 mm4 mm 2 ¼ 317,65 mm 180 8 10 3 Nmm

p 35 8 10 4

328

5 Festigkeitslehre

5.9 Beanspruchung auf Biegung 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kra¨ftesystem bei Biegetra¨gern Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung beansprucht. Die vor der Belastung gerade Stabachse verformt sich zur Biegelinie. Auf Biegung beanspruchte gerade stabfo¨rmige Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man Tra¨ger oder auch Balken. An einer beliebigen Stelle der Tra¨gerla¨nge l legt man den Schnitt x ––x rechtwinklig zur Stabachse und bringt im Schnittfla¨chenschwerpunkt dasjenige innere Kra¨ftesystem an (Fq und Mb ), das den Restteil I ins Gleichgewicht setzt.

l=4m l1 = 3 m F = 2000 N

B

A Biegelinie

1,2m m xx==1,2

Der Querschnitt hat demnach wegen S Fy ¼ 0 die in der Fla¨che liegende Querkraft Fq ¼ FA ¼ 500 N zu u¨bertragen. Die Querkraft Fq ruft die Schubspannung t hervor. Aus S MðSPÞ ¼ 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt noch das rechtwinklig zur Fla¨che wirkende Biegemoment Mb ¼ FA x ¼ 600 Nm zu u¨bertragen hat. Die Lage der gro¨ßten Durchbiegung fmax wird durch die La¨nge xm bestimmt: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ xm ¼ ðl 2 l2 2 Þ=3 ¼ 2,23 m Bei Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft Fq und ein Biegemoment Mb u¨bertragen. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am sta¨rksten; es erzeugt Biegespannungen s b :

FF

xx xx xm

FFAA

FFBB

Mb

Mb

SP

Mb ¼ FA x ¼ 500 N 1,2 m ¼ 600 Nm

f max -Stelle

xm = (l 2 - l2 2)/3 = 2,23 m

Nach der Berechnung der Stu¨tzkra¨fte FA ¼ 500 N und FB ¼ 1500 N ergibt die Untersuchung des Kra¨ftegleichgewichts fu¨r Tra¨gerteil I: S Fy ¼ 0 ¼ þFA Fq Fq ¼ FA ¼ 500 N S MðSPÞ ¼ 0 ¼ FA x þ Mb

l2 = 1 m

SP

FA Fq

Fq

FN FN

Inneres Kra¨ftesystem bei Biegung Hinweis: Das Biegemoment Mb ruft im Schnitt die Normalspannung s hervor, weil es dem in Normalenrichtung auf der Fla¨che stehenden Kra¨ftepaar FN entspricht. Diese Normalspannung heißt Biegespannung sb und besteht aus Zug- und Druckspannungen, entsprechend den beiden Normalkra¨ften FN (Zug- und Druckkraft).

Hinweis: Bei langen Sta¨ben ist der Einfluss der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung t kann daher meist vernachla¨ssigt werden. Bei kurzen, dicken Sta¨ben ist zu pru¨fen, ob der Wert zula¨ssig ist.

5.9 Beanspruchung auf Biegung

329

5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkra¨fte an beliebigen Tra¨gerstellen Das Biegemoment Mb fu¨r eine beliebige Stelle la¨ngs des Biegetra¨gers erha¨lt man als Momentensumme fu¨r die Schnittstelle am linken oder rechten Tra¨gerteil; ebenso erha¨lt man die Querkraft Fq als Kraftsumme an einem der beiden Teile. Am besten wird Schritt fu¨r Schritt nach folgendem Arbeitsplan vorgegangen:

Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung: Freimachen des Bauteils (Biegetra¨ger).

1. Schritt

Bestimmung der Stu¨tzkra¨fte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen (S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0, S M ¼ 0).

2.Schritt

Momentensumme fu¨r die Schnittstelle bilden. Damit ergibt sich das dort vorhandene Biegemoment Mb .

3. Schritt

Kraftsumme fu¨r die Schnittstelle bilden (nur Querkra¨fte nehmen). Damit ergibt sich die dort vorhandene Querkraft Fq .

4. Schritt

Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Momente. Das Ergebnis ist das Biegemoment Mb : Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Querkra¨fte. Das Ergebnis ist die Querkraft Fq .

Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht den dritten und vierten Schritt. Da sich Biegemoment und Querkraft la¨ngs des Tra¨gers a¨ndern, mu¨ssen mehrere Schnittstellen untersucht werden.

5.9.3 Spannungsverteilung im Tra¨gerquerschnitt bei Biegung Die a¨ußere Kraft F biegt den Tra¨ger nach unten durch. Die vorher gerade Tra¨gerachse wird eine gekru¨mmte Linie, auch Biegelinie oder „elastische Linie“ genannt. Zwei vorher parallele Schnitte ab; cd stellen sich bei Biegebelastung schra¨g gegeneinander: a 0 b 0 , c 0 d 0 . Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern verku¨rzt (Stauchung e), die unteren dagegen verla¨ngert (Dehnung þe), so wie es das Verformungsbild auf der folgenden Seite zeigt.

Biegebeanspruchter Tra¨ger (Biegetra¨ger)

330

5 Festigkeitslehre

Zwischen den oberen (gestauchten) und den unteren (gestreckten) Stoffteilchen muss eine Faserschicht liegen, die sich weder verku¨rzt noch verla¨ngert, die ihre La¨nge also beibeha¨lt. Das ist die „neutrale Faserschicht“, bei der e ¼ 0 ist. Sie geht durch den Schwerpunkt SP der Schnittfla¨che. Nach dem Hooke’schen Gesetz sind im elastischen Bereich die Spannungen ebenso verteilt wie die Forma¨nderungen. Wie die La¨ngena¨nderung wa¨chst auch die Spannung von der neutralen Faserschicht (Nulllinie) nach oben und unten gleichma¨ßig. Die Spannung verteilt sich linear. Die neutrale Faserschicht ist unverformt, also auch spannungslos. Die Spannung wa¨chst mit dem Abstand y von der neutralen Faser bis zum Ho¨chstwert þ s max (Zugspannung) und s max (Druckspannung). Genau wie bei der Torsion muss man also auch bei der Biegung mit der Randspannung smax rechnen, wobei die Unterscheidung zwischen þ s max als gro¨ßter Zugspannung und s max als gro¨ßter Druckspannung nur bei solchen Werkstoffen notwendig ist, die auf Zug und Druck unterschiedlich reagieren, z. B. Gusseisen. Bei Biegung erhalten die Randfasern die sta¨rkste Beanspruchung, die neutrale Faserschicht ist spannungslos, Bohrungen in Schwerpunktsna¨he schaden daher nicht. Biegespannungen sind Zug- und Druckspannungen (Normalspannungen). Sie sind linear u¨ber dem Querschnitt verteilt.

5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung Das Fla¨chenteilchen DA im Abstand y von der x-Achse (Schwerachse) u¨bertra¨gt die rechtwinklig auf dem Querschnitt stehende Teilkraft DF. Unter der Annahme, dass die Spannung s gleichma¨ßig u¨ber dem Fla¨chenteilchen DA verteilt ist (wie bei Zugbeanspruchung), kann man fu¨r DF ¼ DA s schreiben.

Verformungsbild

Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional, also wachsen auch die Spannungen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Wie das Spannungsbild zeigt, ist s y ¼ s max e Daraus ergibt sich fu¨r die Spannung s an einer beliebigen Stelle: s ¼ s max

y e

Spannungsbild

5.9 Beanspruchung auf Biegung

331

Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die x-Achse drehend am Hebelarm y, sie erzeugt also ein „kleines“ Innenmoment DMi ¼ DF y.

DMi ¼ DF y ¼ DA s y

Die Spannung s a¨ndert ihren Betrag mit dem Abstand y. Fu¨r die Hauptgleichung braucht man die Randfaserspannung s max , weil sie den Werkstoff am sta¨rksten beansprucht. Es wird daher s durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung s ¼ s max y=e ersetzt.

DMi ¼ DA s y ¼ DA smax DMi ¼

smax DA y 2 e

Die Summe der kleinen Innenmomente DMi ha¨lt dem einwirkenden Biegemoment Mb das Gleichgewicht. Die gleichbleibenden Gro¨ßen smax und Randfaserabstand e ko¨nnen vor das Summenzeichen gesetzt werden.

Mb ¼ S DMi ¼ S

Der Summenausdruck S DA y2 ist das schon bekannte axiale Fla¨chenmoment 2. Grades I, der Ausdruck I=e ist das axiale Widerstandsmoment W. Die gefundene Gleichung lo¨st man nach der Spannung auf und erha¨lt so die gesuchte Biege-Hauptgleichung.

Mb ¼ s b

Biegespannung sb ¼

Biegemoment Mb axialesWiderstandsmoment W

Hat man aus Biegemoment und zula¨ssiger Biegespannung das erforderliche axiale Widerstandsmoment Werf berechnet, ko¨nnen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, die Querschnittsmaße festgelegt werden. Bei Tra¨gern mit konstantem Querschnitt, z. B. bei allen Profilsta¨hlen, reicht die Bestimmung des maximalen Biegemomentes aus. Dagegen ist es bei abgesetzten Bauteilen no¨tig, das Biegemoment fu¨r sa¨mtliche bergangsstellen zu ermitteln und zu garantieren, dass s b vorh sb zul ist.

Mb ¼

y y e

s max DA y 2 e

smax S DA y 2 e

I ¼ sb W e

Hinweis: Nur wegen der einfacheren Schreibweise wird s b , statt smax geschrieben. s b ist also immer die Randfaserspannung, die gro¨ßte Spannung im Querschnitt.

Mb W Biege-Hauptgleichung sb ¼

sb

Mb

W

N Nmm mm3 mm2

Je nach vorliegender Aufgabe wird die BiegeHauptgleichung umgestellt: Werf ¼

Mb max sb zul

sb vorh ¼

erforderliches Widerstandsmoment

Mb max s b zul W

Mb max ¼ Ws b zul

vorhandene Spannung

maximales Biegemoment

332

5 Festigkeitslehre

5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt Das skizzierte T-Profil (z. B. nach DIN EN 10025) ist zur y-Achse symmetrisch, zur x-Achse jedoch unsymmetrisch. Es gibt dann zwei verschieden große Randfaserabsta¨nde e1 6¼ e2 und damit auch die beiden unterschiedlichen Widerstandsmomente W1 und W2 . Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt

Aus der Beziehung Ix =e1 ¼ W1 erha¨lt man im Beispiel des T-Profils die gro¨ßte Zugspannung, die kleiner sein muss als s z zul . Aus der Beziehung Ix =e2 ¼ W2 erha¨lt man die gro¨ßte Druckspannung, die kleiner sein muss als s d zul . bung: Aus der Profilstahltabelle fu¨r das T-Profil T80 ist abzulesen: Ix ¼ 73,7 104 mm4 , Randfaserabstand e1 ¼ 22,2 mm, damit wird e2 ¼ ð8022,2Þ mm ¼ 57,8 mm. Fu¨r das zu u¨bertragende Biegemoment Mbx ¼ 520 Nm sind die beiden Randfaserspannungen (s b1 , sb2 ) zu berechnen.

sz max ¼

Mbx e1 Mb ¼ Ix W1

gro¨ßte Zugspannung

sd max ¼

Mbx e2 Mb ¼ Ix W2

gro¨ßte Druckspannung

Lo¨sung: Mbx e1 520 103 Nmm 22,2 mm ¼ 73,7 104 mm4 Ix N ¼ 15,7 mm2

s b1 ¼ s b1

Mbx e2 520 103 Nmm 57,8 mm ¼ Ix 73,7 104 mm4 N ¼ 40,8 mm2

s b2 ¼ s b2

5.9.6 Gu¨ltigkeitsbedingungen fu¨r die Biege-Hauptgleichung Die Biegehauptgleichung s b ¼ Mb =W gilt unter folgenden Voraussetzungen: 1. Die Stabachse ist gerade, also nicht gekru¨mmt wie z. B. beim Kranhaken. 2. Die Belastungen F liegen in einer Ebene, die durch die Stabachse geht. Das ist gleichzeitig die Ebene, in der die Biegemomente wirken. 3. Die Querschnitte bleiben bei der Beanspruchung eben. 4. Fu¨r den Werkstoff gilt das Hooke’sche Gesetz. 5. Der Elastizita¨tsmodul ist fu¨r Zug- und Druckbeanspruchung gleich groß (wie bei Stahl). 6. Die Spannungen bleiben unter der Proportionalita¨tsgrenze s P (siehe Seite 375).

Rechtecktra¨ger, biegebeansprucht

5.9 Beanspruchung auf Biegung

333

5.9.7 bungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tra¨gerarten und Belastungen Man unterscheidet Freitra¨ger und Stu¨tztra¨ger. Ein typischer Freitra¨ger ist z. B. das angeschweißte Konsolblech. Stu¨tztra¨ger sind z. B. alle zwei- oder mehrfach an den Tra¨gerenden gelagerte Achsen oder Wellen. Ein Stu¨tztra¨ger wird als Kragtra¨ger bezeichnet, wenn er mit einem oder mit beiden Enden u¨ber die Lagerstelle hinausragt. 5.9.7.1 Freitra¨ger mit Einzellast Eine Blattfeder wird nach Skizze im Abstand l ¼ 120 mm von der Einspannstelle B durch die Federkraft F ¼ 100 N biegend und abscherend belastet. Es wird der Biegemomenten- und Querkraftverlauf (Mb - und Fq -Linie) gesucht. Dazu la¨sst man eine Schnittebene x ––x von A nach B wandern und ermittelt von dort aus Biegemoment Mb und Querkraft Fq nach dem Arbeitsplan Seite 329. Erste Arbeit ist immer die Ermittlung der Stu¨tzkra¨fte und Momente am freigemachten Tra¨ger mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen S Fx ¼ 0, S Fy ¼ 0 und S M ¼ 0. Die Rechnung ergibt FB ¼ 100 N, MðBÞ ¼ 12 Nm. Fu¨r die eingezeichnete Schnittebene x ––x im Abstand x vom Kraftangriffspunkt A erha¨lt man die Funktionsgleichung fu¨r a) das Biegemoment MbðxÞ ¼ F x und fu¨r b) die Querkraft FqðxÞ ¼ F Fu¨r die Festigkeitsberechnungen werden hier nur die Betra¨ge der Biegemomente und Querkra¨fte gebraucht. In einem Mb , x-Diagramm ist MbðxÞ ¼ F x die Gleichung einer mit zunehmendem Abstand x ansteigenden Geraden. Das Biegemoment MbðxÞ wa¨chst also proportional von null bis zum Gro¨ßtwert Mb max an der Einspannstelle B. Dort betra¨gt bei x ¼ l ¼ 120 mm das Biegemoment Mb max ¼ F l ¼ 100 N 120 mm ¼ 12 000 Nmm ¼ ¼ 12 Nm.

Tra¨gerarten: Freitra¨ger, Stu¨tztra¨ger, Kragtra¨ger

Lageskizze einer Blattfeder als Freitra¨ger mit Einzellast

S Fy ¼ 0 ¼ F þ FB ! FB ¼ F ¼ 100 N S MðBÞ ¼ 0 ¼ F l MðBÞ ! MðBÞ ¼ F l MðBÞ ¼ 100 N 120 mm ¼ 12 000 Nmm

Fu¨r den Freitra¨ger mit Einzellast gelten die Funktionsgleichungen: MbðxÞ ¼ Fx FqðxÞ ¼ F

Mb , x-Diagramm Beachte: Die Vorzeichenregel fu¨r die Biegemomente Mb werden aus der Statik u¨bernommen (Seite 4). Mb max ¼ F l Maximales Biegemoment

334 Die Querkraft Fq ist an jeder Tra¨gerstelle gleich groß: Fq ¼ F ¼ 100 N. Daher hat die Querkraftfla¨che im Fq , x-Diagramm Rechteckform mit dem Fla¨cheninhalt Aq ¼ b F l. Das ist exakt die Gleichung fu¨r das im Einspannquerschnitt zu u¨bertragende maximale Biegemoment. Gleiches gilt fu¨r das Biegemoment MbðxÞ an der Schnittstelle: AqðxÞ ¼ b MbðxÞ ¼ F x. Von links nach rechts fortschreitend (A ! B) la¨sst sich fu¨r jeden Tra¨gerquerschnitt die Gleichung fu¨r das Biegemoment Mb aus der Fla¨chenformel fu¨r die Querkraftfla¨che Aq ablesen (Querkraftsatz).

5 Festigkeitslehre

Fq , x-Diagramm Aq ¼ b Mb max Mb max ¼ F l

Maximales Biegemoment

Beachte: Dieser Satz von der Querkraftfla¨che gilt fu¨r alle Tra¨gerarten und Belastungen. Vor allem Lage und Betrag des maximalen Biegemoments lassen sich danach am einfachsten ermitteln.

5.9.7.2 Freitra¨ger mit mehreren Einzellasten Der skizzierte Freitra¨ger wird durch drei Einzelkra¨fte F1 , F2 , F3 belastet. Gesucht werden die Querkraftfla¨che und eine Gleichung fu¨r das maximale Biegemoment Mb max in der Einspannstelle B des Tra¨gers. Auch hier setzt man als erstes die Gleichgewichtsbedingungen an und berechnet FB ¼ 45 kN und MðBÞ ¼ 190 kNm.

Lageskizze des Freitra¨gers mit Einzellasten

Es wurde festgestellt, dass die Querkraftfla¨che dem Biegemoment in der betrachteten Schnittstelle entspricht. Daher zeichnet man als erstes nach dem Arbeitsplan auf Seite 329 den Querkraftverlauf maßsta¨blich auf. Dann ergibt sich: Fq1 ¼ F1 , Fq2 ¼ F1 þ F2 , Fq3 ¼ F1 þ F2 þ F3 . Wegen S Fy ¼ 0 ist Fq4 ¼ Fq3 ¼ F1 þ F2 þ F3 nach oben gerichtet. Das maximale Biegemoment Mb max entspricht dem Fla¨cheninhalt Aq der gesamten Querkraftfla¨che. Darin ist das Produkt F1 l1 das Biegemoment Mb1 allein aus der Kraft F1 , ebenso Mb2 ¼ F2 l2 allein durch die Kraft F2 und Mb3 ¼ F3 l3 allein durch F3 . Die berechneten Ordinatenwerte tra¨gt man im Mb , x-Diagramm auf und verbindet die Punkte durch Gerade miteinander, weil zwischen den Kraftangriffspunkten das Biegemoment linear zunimmt wie beim Freitra¨ger mit Einzellast.

Fq , x-Diagramm

Aq ¼ b Mb max ¼ Mb1 þ Mb2 þ Mb3 Mb max ¼ F1 l1 þ F2 l2 þ F3 l3 Maximales Biegemoment

Mb , x-Diagramm

5.9 Beanspruchung auf Biegung

335

5.9.7.3 Freitra¨ger mit konstanter Streckenlast (gleichma¨ßig verteilte Streckenlast) In einer Stahlbaukonstruktion wird ein Profilstahltra¨ger IPE 360 nach DIN 1025 verwendet. Der 360 mm hohe Freitra¨ger hat eine Eigengewichtskraft von F 0 ¼ 560 N/m (siehe Formelsammlung). Das ist der typische Fall einer konstanten Streckenlast F 0 . Beim Profilstahltra¨ger wird sie in Newton pro Meter (N/m) angegeben. Gesucht werden wieder die Querkraftfla¨che und eine Gleichung fu¨r das maximale Biegemoment Mb max an der Einspannstelle B des Tra¨gers. Die Gleichgewichtsbedingungen S Fy ¼ 0 und S MðBÞ ¼ 0 liefern hier FB ¼ 2240 N und MðBÞ ¼ 4480 Nm.

Lageskizze des Freitra¨gers mit konstanter Streckenlast

Man zeichnet wie im vorhergehenden Fall zuerst das maßsta¨bliche Fq , x-Diagramm und geht dazu genau so vor wie bei der Einzelkraftbelastung. Die Querkraftfla¨che Aq wird durch die Querkraftlinie stufenartig begrenzt. Bei feinerer Unterteilung der Streckenlast, z. B. in acht Teilstrecken, ergibt sich eine immer feinere Stufung, bis die Querkraftfla¨che Aq eine Dreieckfla¨che wird.

Mit der Erkenntnis, dass der gesamte Fla¨cheninhalt Aq dem maximalen Biegemoment an der Einspannstelle entspricht, erha¨lt man die Gleichung fu¨r Mb max ¼ F l=2 ¼ F 0 l 2 =2. Auch bei dieser Tra¨gerbelastung zeigt sich, welche Bedeutung Querkraftlinie und -fla¨che haben. Sie sollte daher immer als erstes aufgezeichnet werden.

Wie bei der Gesamtfla¨che erha¨lt man auch mit der Teilfla¨che AqðxÞ das im Schnitt x ––x wirksame Biegemoment MbðxÞ . Die entsprechende Gleichung MbðxÞ ¼ F 0 x2 =2 ist die Funktionsgleichung zum Aufzeichnen des Mb , x-Diagrammes. Sie ist die Gleichung einer Parabel, wie die Mb -Linie im skizzierten Mb , x-Diagramm zeigt.

Fq , x-Diagramm

Aq ¼ b Mb max Mb max ¼ F 0

l2 2

Maximales Biegemoment

Mb x

0

A

M b(x) = F’

x2 2

Mb(x)

Mb , x-Diagramm

Mb-Linie

Mb max

B x

336

5 Festigkeitslehre

5.9.7.4 Freitra¨ger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Bei Mischlast haben Biegetra¨ger Strecken- und Einzellasten zu tragen. Diesen Fall zeigt der skizzierte Freitra¨ger. Maße und Streckenlast F 0 ¼ 560 N/m sind dieselben wie bei der vorangegangenen bung in 5.9.7.3. Zusa¨tzlich wird der Tra¨ger durch die Einzelkraft F1 ¼ 1500 N belastet. Sie wirkt im Abstand l1 ¼ 3 m vom Einspannpunkt B unter dem Winkel a ¼ 60 zur Tra¨gerachse. Biegend wirkt aber nur die rechtwinklig zur Tra¨gerachse stehende Komponente F1 sin a. Die waagerechte Komponente F1 cos a muss die Einspannung in B aufnehmen (FBx ¼ F1 cos a). Gesucht werden wieder die Querkraftfla¨che und eine Gleichung fu¨r das maximale Biegemoment Mb max an der Einspannstelle B des Tra¨gers.

Mit den Angaben der Lageskizze wird maßsta¨blich das Fq , x-Diagramm gezeichnet. Vom Punkt A an nach rechts fortschreitend setzt man an die erste Streckenlast F 0 ¼ 560 N/m die Kraftkomponente F1 sin a ¼ 1299 N an. Danach folgen auf ihren Wirklinien die restlichen drei Streckenlasten und zum Abschluss die im Einspannquerschnitt B wirkende Gleichgewichtskraft FBy ¼ F 0 l þ F1 sin a. Die gesamte Querkraftfla¨che Aq setzt sich aus der Dreieckfla¨che Aq1 ¼ b F 0 l 2 =2 und der Parallelogrammfla¨che F1 sin a l1 zusammen. Mb max an der Einspannstelle B entspricht dem Inhalt dieser beiden Teilfla¨chen. Es kann also die Berechnungsgleichung sofort aufgeschrieben werden. Man wa¨re zu der Gleichung fu¨r Mb max auch auf anderem Weg gekommen. Man ha¨tte die Querkraftfla¨che nacheinander fu¨r den Tra¨ger mit konstanter Streckenlast F 0 und fu¨r die Einzelbelastung F1 sin a zeichnen ko¨nnen. Der Grundgedanke dazu: Der Tra¨ger wird erst allein mit der Streckenlast und danach allein mit der Einzelkraft belastet (berlagerungsprinzip).

Lageskizze des Freitra¨gers mit Mischlast

Die Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen ergibt: FBy ¼ 3540 N FBx ¼ 705 N MðBÞ ¼ 8377 Nm

Fq , x-Diagramm

Aq ¼ Aq1 þ Aq2 ¼ b Mb max Mb max ¼

F 0l 2 þ F1 sin a l1 2

Maximales Biegemoment

Hinweis: Das Verfahren, Belastungen schrittweise aufzusetzen, heißt berlagerungsverfahren (auch: berlagerungsprinzip oder Superpositionsprinzip).

5.9 Beanspruchung auf Biegung Zum Aufzeichnen des Mb , x-Diagramms berechnet man einige MbðxÞ -Werte oder entwickelt die Funktionsgleichung fu¨r den Graphen. Fu¨r Querschnitte von x ¼ 0 bis zur Lastangriffsstelle von F1 gilt: x F0 2 x MbðxÞ ¼ F 0 x ¼ 2 2 An der Einspannstelle B gilt: F0 MbðxÞ ¼ x2 þF1 sin a½x ðl l1 Þ 2 Der Ausdruck F 0 x2 =2 weist auf einen parabolischen Kurvenverlauf hin. Beispiel fu¨r das maximale Biegemoment: Mit x ¼ l wird F0 Mbðx¼lÞ ¼ l 2 þ F1 sin a l1 ¼ Mb max 2 Mb max ¼

337

MbðxÞ -Diagramm

560 N 2 2 4 m þ 1500 N sin 60 3 m 2 m

Mb max ¼ 8377 Nm

Aufgaben Nr. 835–863

5.9.7.5 Stu¨tztra¨ger mit Einzellast Wie bei Freitra¨gern lassen sich auch fu¨r Stu¨tztra¨ger fu¨r jeden Querschnitt x Biegemoment MbðxÞ und Querkraft FqðxÞ berechnen (Arbeitsplan in 5.9.2). Der skizzierte Stu¨tztra¨ger wird mit der Einzelkraft F ¼ 6000 N biegend belastet. Erste Aufgabe ist auch hier, am freigemachten Tra¨ger (Lageskizze) mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen S Fy ¼ 0 und S MðBÞ ¼ 0 die Stu¨tzkra¨fte FA und FB zu berechnen. Die Berechnung ergibt hier FA ¼ 4000 N, FB ¼ 2000 N. Fu¨r die eingezeichneten Schnittstellen 1, 2 und 3 berechnet man die Biegemomente Mb1 , Mb2 und Mb3 unter Beachtung der Vorzeichen (linksdrehend (þ), rechtsdrehend (ÞÞ. Fu¨r jeden Schnitt zwischen dem Lagerpunkt A und der Kraftangriffsstelle ist das Biegemoment MbðxÞ ¼ FA x. Das ist im Mb , x-Schaubild der Graph einer Geraden ðy ¼ mx mit m ¼ konstant).

Lageskizze des frei gemachten Stu¨tztra¨gers mit Einzellast F ¼ 6000 N Mb1 ¼ FA x1 ¼ 4000 N 1 m ¼ 4000 Nm Mb2 ¼ FA x2 ¼ 4000 N 2 m ¼ 8000 Nm Mb3 ¼ FA x3 þ Fðx3 x2 Þ ¼ 4000 N 4 m þ 6000 N 2 m ¼ 4000 Nm

MbðxÞ -Diagramm

338

5 Festigkeitslehre

Das Querkraftschaubild (Fq , x-Diagramm) wird wie beim Freitra¨ger maßsta¨blich aufgezeichnet: Von A nach B fortschreitend tra¨gt man die aus dem Lageplan erkennbaren Kra¨fte aneinander. Es ergeben sich zwei gleich große Rechteckfla¨chen u¨ber und unter der Nulllinie: Das Biegemoment MbðxÞ in jedem Tra¨gerquerschnitt entspricht der Fla¨che links oder rechts vom Schnitt. Das gro¨ßte Biegemoment Mb max liegt dort, wo die Querkraftlinie durch die Nulllinie geht. Geht die Querkraftlinie mehrfach durch null, muss fu¨r alle Nulldurchga¨nge das Biegemoment berechnet und so Mb max bestimmt werden. Greift die Einzelkraft in der Mitte des Tra¨gers an, dann wird mit FA ¼ FB ¼ F=2 und l1 ¼ l=2 das maximale Biegemoment Mb max ¼ ðF=2Þ ðl=2Þ ¼ F l=4.

Fq , x-Diagramm Mb max ¼ b Aq Mb max ¼ FA l1 FB ðl l1 Þ FA ¼ 4000 N

FB ¼ 2000 N

Mb max ¼ FA l1 ¼ 4000 N 2 m ¼ 8000 Nm Mb max ¼ FB ðl l1 Þ ¼ 2000 N 4 m ¼ 8000 Nm

Beachte: Beim Stu¨tztra¨ger mit Einzellast wirkt Mb max dort, wo die Einzelkraft angreift. Berechnet wird Mb max aus der Querkraftfla¨che rechts oder links vom Nulldurchgang.

5.9.7.6 Stu¨tztra¨ger (Kragtra¨ger) mit mehreren Einzellasten

Die Querkraftfla¨che im Fq , x-Diagramm zeigt zwei Nulldurchga¨nge (1 und 2). Um festzustellen, welche der beiden Querschnittsstellen das maximale Biegemoment Mb max zu u¨bertragen hat, fu¨hrt man eine Vergleichsrechnung durch (ohne Beru¨cksichtigung der Vorzeichen).

Maximales Biegemoment

Nulldurchgang 1: Mb1 ¼ b Aq1 ¼ b FA l1 Mb1 ¼ 9,583 kN 2,5 m Mb1 ¼ 23,958 kNm

5.9 Beanspruchung auf Biegung Das Biegemoment Mb1 erha¨lt man am einfachsten u¨ber die Rechteckfla¨che links vom Nulldurchgang 1. Zur Mb2-Berechnung wird die Fla¨che rechts vom Nulldurchgang 2 genommen. Die Rechnung zeigt: Das gro¨ßte Biegemoment tritt im Nulldurchgang 2 auf. Mb2 ¼ 40 kNm > Mb1 ¼ 23,958 kNm. Damit hat man die Mb max -Stelle und den Betrag des maximalen Biegemoments gefunden.

339 Nulldurchgang 2: Mb2 ¼ b Aq2 ¼ b F3 l2 Mb2 ¼ 20 kN 2 m Mb2 ¼ 40 kNm

Mb max ¼ Mb2 ¼ F3 l2 Mb max ¼ 40 kNm

Zur Kontrolle kann die Fla¨che links vom Nulldurchgang 2 berechnet werden. Die algebraische Summe der Fla¨cheninhalte Aq1 und Aq3 muss gleich dem Fla¨cheninhalt Aq2 sein. Begru¨ndung: Das Biegemoment Mb2 im linken Schnittufer des Querschnitts 2 muss gleich dem Biegemoment im rechten Schnittufer sein.

Mb2 ¼ FA l1 ðF1 FA Þðl l1 Þ F2 l3 ¼ ð9,583 2,5 ð25 9,583Þ 3,5 10 1Þ kNm Mb2 ¼ 40 kNm

Die beiden Betra¨ge haben entgegengesetztes Vorzeichen (40 kNm, þ40 kNm), weil fu¨r den Schwerpunkt des Querschnitts S M ¼ 0 erfu¨llt sein muss.

Mb2 þ Mb2 ¼ 0 Mb2 ¼ Mb2

Zum Aufzeichnen des Mb , x-Diagramms werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen berechnet: Fu¨r x ¼ l1 ist: MbðxÞ ¼ FA l1 ¼ 9,583 kN 2,5 m ¼ 23,958 kNm Fu¨r x ¼ l l3 ist: MbðxÞ ¼ F4 ðl l3 Þ þ F1 ðl l3 l1 Þ MbðxÞ -Diagramm

Die Tra¨gerstelle mit MbðxÞ ¼ 0 liegt zwischen den Lagerpunkten A und B. Fu¨r diese Schnittstelle muss die Summe der Querkraftfla¨chen Aq1 und AqðxÞ gleich null sein.

¼ 9,583 kN 5 m þ 25 kN 2,5 m ¼ 14,585 kNm Fu¨r x ¼ l ist: Mb2 ¼ FA l þ F1 ðl l1 Þ þ F2 l3 ¼ 9,583 kN 6 m þ 25 kN 3,5 m þ 10 kN 1 m ¼ 40 kNm ¼ Mb max Aq1 ¼ AqðxÞ FA l1 ¼ ðx l1 ÞðF1 FA Þ FA l 1 9,583 kN 2,5 m x¼ þ l1 ¼ þ 2,5 m F1 FA 25 kN 9,583 kN x ¼ 4,059 m

340

5 Festigkeitslehre

5.9.7.7 Stu¨tztra¨ger (Kragtra¨ger) mit konstanter Streckenlast

Die Querkraftfla¨che zeigt auch hier zwei Nulldurchga¨nge (1 und 2) wie beim vorhergehenden Tra¨ger. Nur an einem der beiden kann Mb max auftreten. Auch hier la¨sst sich nicht sofort erkennen, welche der beiden Querkraftfla¨chen gro¨ßer ist, Aq1 oder Aq2 . Daher mu¨ssen beide berechnet werden.

Beachte: Das Biegemoment Mb1 im Nulldurchgang 1 berechnet man mit Blickrichtung von 1 nach links und sieht Aq1 . Fu¨r den Querschnitt 2 blickt man vom Lagerpunkt B aus nach rechts und sieht Aq2 .

Eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks der Querkraftfla¨che Aq1 hat die La¨nge x. Sie kann abgemessen oder berechnet werden. Zur Rechnung benutzt man hier die Tatsache, dass beim Nulldurchgang, von links nach rechts gesehen, die Querkraft gleich null geworden ist.

Vom Nulldurchgang 1 aus nach links gesehen ergibt: FA F 0 x ¼ 0 FA 4200 N x¼ 0 ¼ ¼ 2,1 m N F 2000 m x ¼ 2,1 m

Nun lassen sich beide Querkraftfla¨chen auswerten und damit das maximale Biegemoment und dessen Lage bestimmen. Die Vergleichsrechnung zeigt, dass das maximale Biegemoment Mb max von 4410 Nm im linken Nulldurchgang 1 auftritt.

FA x 4200 N 2,1 m ¼ 2 2 Mb1 ¼ 4410 Nm l1 l1 2 Mb2 ¼ b Aq2 ¼ F 0 l1 ¼ F 0 2 2 N 4 m2 ¼ 4000 Nm < Mb1 Mb2 ¼ 2000 m 2 Mb max ¼ Mb1 ¼ 4410 Nm Mb1 ¼ b Aq1 ¼

5.9 Beanspruchung auf Biegung

341 Im Gegensatz zum Freitra¨ger (5.9.7.4) sind hier wegen des Stu¨tzlagers B zwei Funktionsgleichungen zum Aufzeichnen des Mb , x-Diagramms erforderlich. Fu¨r die Mb -Werte zwischen 0 und B gilt mit Blick nach links in Richtung A in der Lageskizze:

MbðxÞ -Diagramm

F 0 x2 FA x 2 Fu¨r die Mb -Werte rechts von B gilt mit Blick nach rechts:

Mb1 ¼

F 0 x2 2 In beiden Gleichungen erscheint der mathematische Ausdruck F 0 x2 =2. Die entsprechenden Kurvenzu¨ge mu¨ssen daher parabolischen Verlauf haben (siehe Mb , x-Diagramm).

Mb2 ¼

F 0 x2 FA x 2 N 2000 ð2,1 mÞ2 m 4200 N 2,1 m ¼ 2

Fu¨r die beiden Nulldurchga¨nge im Fq , x-Diagramm sollen die Biegemomente berechnet werden.

Mb1 ¼

Fu¨r die Schnittstelle 1 wurde x ¼ 2,1 m ermittelt.

Mb1

Das Biegemoment in der Lagerstelle B wird mit x ¼ l1 ¼ 2 m berechnet. Ein Verlgeich zeigt, dass im Tra¨gerquerschnitt 1 das gro¨ßte Biegemoment auftritt: Mb1 > Mb2 .

Zur Ermittlung der Schnittstelle fu¨r den Nulldurchgang der Mb , x-Kurve ist Mb ¼ 0 in die Gleichung fu¨r die Schnittstelle 1 einzusetzen. Die Rechnung zeigt, dass im Tra¨gerquerschnitt bei x ¼ 4,2 m das Biegemoment gleich null ist.

Aufgaben Nr. 864–880

Mb1 ¼ 4410 Nm N 2 F 0 x2 2000 m ð2 mÞ ¼ 2 2 ¼ 4000 Nm

Mb2 ¼ Mb2

F 0 x2 FA x ¼ 0 2 F 0 x2 F0 FA x ¼ 0 ; x x FA ¼ 0 ; x 6¼ 0 2 2

Mb1 ¼

x¼

FA 2 4200 N 2 ¼ ¼ 4,2 m N F0 2000 m

342

5 Festigkeitslehre

5.9.7.8 Stu¨tztra¨ger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast)

Lageskizze mit Fq , x-Diagramm

Zum Aufzeichnen des Mb , x-Diagramms genu¨gt es, die Mb -Werte fu¨r die Querschnitte unter dem Lastangriff von F und an den beiden Begrenzungen der Streckenlast F 0 zu berechnen: Mb , x-Diagramm

MbðFÞ ¼ FA l1 ¼ 3300 Nm l3 þ MbðlinksÞ ¼ FA l l2 2 l3 þ F l l2 þ l1 2 ¼ 4275 Nm l3 ¼ 2625 Nm MbðrechtsÞ ¼ FB l2 2 Der Mb -Verlauf zwischen den Endpunkten der Ordinatenwerte und den Nullpunkten A und B muss liniear sein (siehe 5.9.7.1 und 5.9.7.2). Dazwischen liegt der parabolische Kurvenzug fu¨r den Mb -Verlauf infolge der Streckenlast F 0 (siehe 5.9.7.3).

Dieser Fall zeigt besonders deutlich, wie einfach sich Lage und Betrag von Mb max mit Hilfe der Querkraftfla¨che bestimmen lassen. Nachdem die Stu¨tzkra¨fte berechnet wurden, kann der Querkraftverlauf aufgezeichnet werden. Bei nur einem Nulldurchgang liegt die Mb max -Stelle sofort fest. Das Maß x wird abgemessen oder berechnet. Damit la¨sst sich dann aus der Querkraftfla¨che rechts oder links vom Nulldurchgang Mb max berechnen. Aufgaben Nr. 881–897

5.9 Beanspruchung auf Biegung

343

5.9.8 Tra¨ger gleicher Biegespannung 5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung Hat ein Biegetra¨ger durchgehend gleichen Querschnitt (W ¼ konstant), dann hat im Normalfall jeder Querschnitt eine andere Biegespannung sb . Die Maximalspannung s b max tritt nur in dem Querschnitt auf, der das maximale Biegemoment zu u¨bertragen hat. Durch die so genannte Anformung erreicht man, dass jeder Querschnitt gerade so groß wird, wie es zur Aufnahme der zula¨ssigen Biegespannung s b zul erforderlich ist. Man hat dann einen Tra¨ger gestaltet, der in allen Querschnitten die gleiche Biegespannung aufweist. Fu¨r jeden beliebigen Querschnitt x gilt die BiegeHauptgleichung sbx ¼ Mbx =Wx , mit Biegemoment Mbx und dem Widerstandsmoment Wx . Gleiche Biegespannung s bx ¼ s b zul werden dann erreicht, wenn dafu¨r gesorgt wird, dass u¨berall der Quotient Mbx =Wx gleich groß ist. Diese Bedingung fu¨hrt zur Anformungsgleichung in der allgemeinen Form.

s bx ¼

Mbx ¼ s b zul ¼ konstant Wx

Mbx1 Mbx2 ¼ ¼ . . . ¼ konstant Wx1 Wx2 Anformungsgleichung, allgemeine Form

5.9.8.2 Achsen und Wellen Am Beispiel einer Radachse von kreisfo¨rmigem Querschnitt wird die Anformung von Achsen und Wellen erla¨utert: Die Einspannstelle hat das maximale Biegemoment Mb max ¼ F l zu u¨bertragen und der (beliebige) Querschnitt xx das Biegemoment Mbx ¼ F lx . Die Anformung erfordert, dass der Quotient aus Biegemoment Mb und Widerstandsmoment W in allen Querschnitten gleich groß bleibt. Fu¨r die Mb max -Stelle gilt Mb max =Wmax ¼ s b zul , fu¨r jede beliebige Stelle Mbx =Wx ¼ s b zul , so dass man beide Quotienten gleichsetzen kann. Beim Kreisquerschnitt gilt fu¨r das axiale Widerstandsmoment W ¼ 0,1d 3 . Wird dieser Ausdruck in die Ausgangsgleichung eingesetzt und außerdem die beiden Biegemomente durch F l und F lx ersetzt, dann erha¨lt man die gesuchte Anformungsgleichung fu¨r Achsen und Wellen mit kreisfo¨rmigem Querschnitt.

Mb max Mbx Mb max Wmax ¼ ) ¼ Wmax Wx Mbx Wx Fl 0,1d 3max ¼ F lx 0,1d x 3 rﬃﬃﬃﬃ 3 lx dx ¼ dmax l

l d3 ¼ max lx dx 3

Anformungsgleichung fu¨r Achsen und Wellen

344

5 Festigkeitslehre

Mit der Anformungsgleichung ko¨nnen nun die Durchmesser dx fu¨r mehrere Tra¨gerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden: Wertetabelle Lastentfernung lx ¼ Wurzelfaktor

¼

Durchmesser dx ¼

l

1 dmax

3 l 4 rﬃﬃﬃﬃﬃ 3 3 0,9 4

1 l 2 rﬃﬃﬃﬃﬃ 3 1 0,8 2

1 l 4

rﬃﬃﬃﬃﬃ 3 1 0,63 4

1 l 8 rﬃﬃﬃﬃﬃ 3 1 0,5 8

d1 ¼ 0,9 dmax

d2 ¼ 0,8 dmax

d3 ¼ 0,63 dmax

d4 ¼ 0,5 dmax

Die Durchmesser nehmen vom Ho¨chstwert dmax an der Einspannstelle bis zum Tra¨gerende nach einer kubischen Parabel ab. Als praktische Ausfu¨hrung der Anformung dient die Kegelform. Der Kegelstumpfmantel muss den Parabelko¨rper einhu¨llen. Mit der Anformungsgleichung la¨sst sich die Anformung als Graph gut auf dem Rechner darstellen.

Anformung einer Radachse

5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt Der Rechteckquerschnitt von Biegetra¨gern la¨sst sich in der Breite b oder in der Ho¨he h anformen. Als Beispiel kann man die Biegefeder als Biegetra¨ger ansehen und sie in der Breite b anformen, also die Ho¨he (Dicke) h konstant halten. Dazu wird in gleicher Weise vorgegangen wie unter 5.9.8.2 bei der angeformten Achse. Statt W ¼ 0,1 d 3 muss man hier W ¼ b h2 =6 einsetzen (Tabelle 5.1, Seite 309). Die Anformung der Ho¨he h bei konstanter Breite b wird im Anschluss unter 5.9.8.4 behandelt. Die Anformungsgleichung zeigt, dass die Breite von bmax an der Einspannstelle bis zum Tra¨gerende gleichma¨ßig abnimmt. Es entsteht eine Dreieckblattfeder von gleichbleibender Dicke h. Wird der Wert bmax zu groß, teilt man die Blattfeder in gleich breite Streifen auf und schichtet diese aufeinander zur Mehrschichtfeder. Bei z ¼ Blattzahl ist bmax ¼ z b0 , wobei b0 die Blattbreite ist.

Mb max Wmax ¼ Mbx Wx Fl bmax h2 6 ¼ F lx bx h2 6 bx ¼ bmax

lx l

l bmax ¼ bx lx Anformungsgleichung fu¨r Blattfedern

Anformung einer Biegefeder

5.9 Beanspruchung auf Biegung

345

5.9.8.4 Konsoltra¨ger mit Einzellast Das Belastungsschema ist beim Konsoltra¨ger das gleiche wie bei der Blattfeder, nur wird man beim Konsoltra¨ger nicht die Breite b, sondern die Ho¨he h anformen. Wird auch hier wieder vom Rechteckquerschnitt ausgegangen, also W ¼ b h2 =6, dann ku¨rzt sich in der Gleichung unter anderem die Breite b heraus. Man erha¨lt die Anformungsgleichung fu¨r die Ho¨he hx . Mit der Anformungsgleichung kann die Ho¨he hx fu¨r mehrere Tra¨gerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden:

Mb max Wmax ¼ Mbx Wx Fl bh2 6 ¼ max F lx b hx 2 6

hx ¼ h max

l h2 ¼ max hx 2 lx

rﬃﬃﬃﬃ lx l

Anformungsgleichung fu¨r Konsoltra¨ger

Wertetabelle Lastentfernung lx ¼ Tra¨gerho¨he hx

¼

l

3l 4

l 2

hmax h1 ¼ 0,866 hmax h2 ¼ 0,707 hmax

l 4

l 8

h3 ¼ 0,5 hmax

h4 ¼ 0,354 hmax

Die Ho¨hen h1, h2 . . . nehmen vom Ho¨chstwert hmax an der Einspannstelle bis zum Tra¨gerende nach einer quadratischen Parabel ab. Auch hier ist eine Graphik auf dem Rechner leicht zu erstellen. Angeformter Konsoltra¨ger mit Einzellast

5.9.8.5 Konsoltra¨ger mit Streckenlast Auch bei gleichma¨ßig verteilter Last wird man einen Konsoltra¨ger nach der Ho¨he h anformen. Im Gegensatz zum Konsoltra¨ger mit Einzellast hat man hier in die allgemeine Anformungsgleichung fu¨r die Biegemomente einzusetzen: Mb max ¼ F 0 l 2 =2 und Mbx ¼ F 0 lx 2 =2. Dann wird in gewohnter Weise die Anformungsgleichung entwickelt. Sie ist ebenso aufgebaut wie die Gleichung in 5.9.8.3: Die Ho¨he hx wa¨chst proportional mit lx. Die Querschnittsho¨he nimmt vom Ho¨chstwert hmax an der Einspannstelle bis zum Tra¨gerende gleichma¨ßig ab. Es entsteht ein Tra¨ger in Hochdreieckform (Keilform).

Mb max Wmax ¼ Mbx Wx F 0 l 2 =2 b h 2max 6 ¼ F 0 lx 2 =2 b hx 2 6 hx ¼ hmax

lx l

l2 h2 ¼ max 2 lx hx 2 Anformungsgleichung fu¨r Freitra¨ger mit Streckenlast Angeformter Konsoltra¨ger mit Streckenlast

346

5 Festigkeitslehre

5.9.9 Forma¨nderung bei Biegung1) Wird ein Stab elastisch gebogen, dann beha¨lt nur die neutrale Faserschicht ihre urspru¨ngliche La¨nge bei, alle anderen Schichten verla¨ngern oder verku¨rzen sich. Die in der neutralen Faserschicht liegende und vor dem Kraftangriff noch gerade Stabachse wird zur Biegelinie verformt. Dabei entsteht die Durchbiegung f. Die Endtangente t der Biegelinie liegt unter dem Neigungswinkel a. Geometrische Verha¨ltnisse am einseitig eingespannten Biegetra¨ger (Freitra¨ger) mit Einzellast; Kru¨mmung stark u¨bertrieben gezeichnet.

Beide Gro¨ßen sind fu¨r die Konstruktion von Biegetra¨gern aller Art von Bedeutung, z. B. fu¨r Getriebewellen. Es sollen deshalb Berechnungsgleichungen fu¨r Durchbiegung und Neigung der Biegelinie entwickelt werden. Dabei geht man immer von einem Tra¨ger mit gleichbleibendem Querschnitt aus (Achse, -Tra¨ger).

5.9.9.1 Kru¨mmungsradius, Kru¨mmung Die beiden dicht beieinander liegenden Schnittufer 1 und 2, die vor der Verformung parallel zueinander lagen, stehen nun unter dem Winkel j zueinander geneigt. Ihre Fluchtlinien schneiden sich im Kru¨mmungsmittelpunkt 0 und ergeben den Kru¨mmungsradius rx an der untersuchten Tra¨gerstelle x. Gegenu¨ber dem kleinen Bogenstu¨ck s der Biegelinie hat sich die a¨ußere Zugfaser um Ds verla¨ngert. Mit dem hnlichkeitssatz erha¨lt man die Proportion Ds=s ¼ e=rx .

1)

s þ Ds rx þ e ¨ ðAhnlichkeitssatzÞ ¼ s rx 1þ

Ds e Ds e ¼1þ ¼ ) s rx s rx

Formeln zur Berechnung der Stu¨tzkra¨fte, Momente und Durchbiegungungen bei Biegetra¨gern siehe A. Bo¨ge: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg + Teubner.

5.9 Beanspruchung auf Biegung

347

Mit dem Hooke’schen Gesetz, hier also mit s x ¼ e E, ergibt sich aus der Ausgangsproportion Ds=s ¼ e=rx eine Beziehung fu¨r den Kru¨mmungsradius rx an der untersuchten Tra¨gerstelle x. Darin ist s x die zwischen den Schnittufern herrschende Biegespannung.

Ds ¼ Dehnung e ðsiehe 5:2:3:1; Seite 281Þ s sx e¼ Hooke0 sches Gesetz nach 5:2:3:4Þ E Ds e sx eE und daraus rx ¼ ¼ ¼ E s rx sx

Schreibt man die Biegehauptgleichung in der Form sb ¼ Mb e=I nach 5.9.5 (Seite 332), dann lassen sich Biegespannung s x und Randfaserabstand e durch die Gro¨ßen Biegemoment Mx und axiales Fla¨chenmoment 2. Grades I ersetzen.

rx ¼

eE sx

sx ¼

EI rx ¼ Mx

Mx e e I ¼ ) I s x Mx

rx

E

mm

N mm2

I

Mx

mm4 Nmm

Kru¨mmungsradius

Der Kehrwert des Kru¨mmungsradius wird als Kru¨mmung kx bezeichnet.

kx ¼

1 Mx ¼ rx E I

Kru¨mmung

5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung

Aus der hnlichkeit der schraffierten Dreiecke an der Biegelinie ergibt sich die Proportion s=rx ¼ D f =x. Fu¨r den Kru¨mmungsradius rx kann die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden. Werden noch die Teilla¨ngen D f summiert, dann findet man die gesuchte Gleichung fu¨r die gesamte Durchbiegung f . Elastizita¨tsmodul E und Fla¨chenmoment 2. Grades I sind Konstante, sie ko¨nnen also vor das Summenzeichen S gezogen werden.

x s

s 1

x

r

ϕ

Bi

f

ϕ

F

eg

eli

Df

x

2

r

nie

α

Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht am Tra¨gerende die Durchbiegung f. Werden in den Punkten 1 und 2 an die Biegelinie die Tangenten angelegt, so schließen sie ebenso wie die Kru¨mmungsradien rx den Winkel j ein. Die Tangenten schneiden auf der Vertikalen am Tra¨gerende (Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung f das stark u¨bertrieben gezeichnete Stu¨ck D f ab. Es ist also f ¼ S D f :

Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden schraffierten Dreiecke a¨hnlich. s Df sx ¼ )Df ¼ rx x rx s x Mx 1 Mx s x Df ¼ ¼ EI EI 1 f ¼ SD f ¼ S Mx s x EI 1 S Mx s x f ¼ EI

348

5 Festigkeitslehre

Das Produkt Mx s (Biegemoment mal Teilla¨nge s an der Tra¨gerstelle x) ist im Bild der Momentenfla¨che das Teilstu¨ck DAM der gesamten Momentenfla¨che AM . Aus der Schwerpunktslehre (2.2, Seite 77) ist bekannt, dass die Summe der Momente der Teilfla¨chen gleich dem Moment der Gesamtfla¨che ist.

Mit x0 als Schwerpunktsabstand der gesamten Momentenfla¨che (hier Dreieckfla¨che) ergibt sich abschließend die allgemeine Durchbiegungsgleichung. Die Momentenfla¨che DAM ist das Produkt aus dem Biegemoment Mx und der Teilla¨nge s; folglich hat AM die Einheit Nmm mm ¼ Nmm2.

S Mx s x ¼ S DAM x ¼ AM x0 f ¼

1 AM x 0 EI

f

E

mm

N mm2

Allgemeine Durchbiegungsgleichung

I

AM

x0

mm4 Nmm2 mm

5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie Das Bild zur allgemeinen Durchbiegungsgleichung zeigt, dass zwei dicht benachbarte Tangenten an die Biegelinie den Winkel j einschließen. Der Neigungswinkel a der Endtangente ist also die Summe aller Winkel j. Die Gleichung j ¼ s=r ist die Definitionsgleichung fu¨r den Winkel j. Das Produkt Mx s ist gleich dem Fla¨cheninhalt der Teilfla¨che DAM ; außerdem ist S DAM ¼ AM .

Es ist bekannt, dass fu¨r kleine Winkel mit der Einheit rad auch der Tangens des Winkels eingesetzt werden kann. Damit ist die Endform fu¨r die Gleichung des Neigungswinkels a gefunden. In der zweiten Form dieser Beziehung hat man entsprechend der allgemeinen Durchbiegungsgleichung AM =E I ¼ f =x0 einzusetzen.

j¼

Bogenst¨uck s Kru¨ mmungsradius r

a ¼ Sj ¼ a¼

a¼

Ps r

r¼

EI eingesetzt Mx

P s Mx P s 1 ¼ ¼ S Mx s EI EI EI Mx 1 1 S DAM ¼ AM EI EI

a ¼ arc a ¼ tan a tan a ¼

1 AM EI

tan a ¼

f x0

Neigung der Endtangente an die Biegelinie

5.9 Beanspruchung auf Biegung

349

5.9.10 bungen zur Durchbiegungsgleichung 1. bung: Freitra¨ger mit Einzellast Fu¨r den skizzierten Freitra¨ger mit Einzellast hat die Momentenfla¨che die Form eines Dreiecks. Mit der Balkenla¨nge l und der Dreiecksho¨he Mb max ¼ F l la¨sst sich der Fla¨cheninhalt AM ausdru¨cken. Der Schwerpunktsabstand der Dreieckfla¨che betra¨gt x0 ¼ 2 l=3. Mit den Beziehungen fu¨r Mb max, AM und x0 erha¨lt man aus der allgemeinen Durchbiegungsgleichung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a fu¨r die Endtangente.

1 l l F l2 AM x0 ; AM ¼ Mb max ¼ F l ¼ EI 2 2 2 1 F l2 2 l f¼ EI 2 3 f¼

f ¼

2. bung: Freitra¨ger mit konstanter Streckenlast Die Momentenfla¨che beim Freitra¨ger mit konstanter Streckenlast wird von einer Parabel begrenzt (siehe 5.9.7.3, Seite 335). Der Fla¨cheninhalt AM ist gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckfla¨che: AM ¼ Mb max l=3. Der Schwerpunktsabstand betra¨gt x0 ¼ 3 l=4 (Formelsammlung). Das maximale Biegemoment ist hier halb so groß wie beim Freitra¨ger mit Einzellast, also Mb max ¼ F l=2, mit der Resultierenden aus der Streckenlast F ¼ F 0 l. Damit erha¨lt man wie in der 1. bung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung fu¨r den Neigungswinkel a der Endtangente an die Biegelinie.

3. bung: Stu¨tztra¨ger mit Einzellast in Tra¨germitte Zur Herleitung einer Gleichung fu¨r die maximale Durchbiegung f in Tra¨germitte darf nur mit der Momentenfla¨che bis zur Stelle der gro¨ßten Durchbiegung gerechnet werden. Das ist zugleich die Mb max -Stelle, mit Mb max ¼ ðF=2Þ ðl=2Þ ¼ F l=4 (siehe 5.9.7.5, Seite 337). Der Schwerpunktsabstand der Momentenfla¨che AM (Dreieckfla¨che) betra¨gt x0 ¼ l=3.

F l3 3E I

tan a ¼

f F l2 ¼ x0 2E I

1 1 1 Fl AM x0 ; AM ¼ Mb max l ¼ l EI 3 3 2 1 F l2 3 l f¼ EI 6 4 f¼

f ¼

F l3 8E I

tan a ¼

f F l2 ¼ x0 6E I

350 Mit dem Ausdruck fu¨r x0 und mit der Beziehung fu¨r den Fla¨cheninhalt der Momentenfla¨che AM ¼ F l 2 =16 ergibt sich die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a fu¨r die Endtangente.

5 Festigkeitslehre 1 AM x 0 EI l F l l F l2 AM ¼ Mb max ¼ ¼ 4 4 4 16 1 F l2 l f¼ E I 16 3 f¼

f ¼

4. bung: Stu¨tztra¨ger mit konstanter Streckenlast Zur Herleitung einer Gleichung fu¨r die maximale Durchbiegung f in Tra¨germitte darf nur mit der Momentenfla¨che bis zur Stelle der gro¨ßten Durchbiegung gerechnet werden (siehe 3. bung). Das ist hier zugleich die Mb max -Stelle, mit Mb max ¼ F l=8. Der Fla¨cheninhalt AM der Parabelfla¨che betra¨gt zwei Drittel der umschriebenen Rechteckfla¨che (siehe 2. bung). Der Schwerpunktsabstand betra¨gt 5 l=16 (siehe auch Handbuch Maschinenbau, Fla¨chenschwerpunkt). Wie in der 2. bung wird die Resultierende der Streckenlast mit F ¼ F 0 l berechnet. Wie in den vorhergehenden bungen geht man von der allgemeinen Durchbiegungsgleichung aus, um die speziellen Gleichungen fu¨r f und tan a zu bekommen.

F l3 48E I

tan a ¼

f F l2 ¼ x0 16E I

1 AM x 0 EI 2 l 2 Fl l AM ¼ Mb max ¼ ¼ 3 2 3 8 2 2 1 Fl 5 l f¼ E I 24 16 f¼

f ¼

5 F l3 384 E I

tan a ¼

f F l2 ¼ x0 24E I

5. bung: Biegetra¨ger mit mehreren Belastungen (berlagerungsprinzip) In praktischen Aufgaben wirken ha¨ufig mehrere Belastungen zugleich in einer Ebene biegend, z. B. eine Einzelkraft neben der gleichma¨ßig u¨ber dem Tra¨ger verteilten Eigengewichtskraft. Solche Aufgabenstellungen lo¨st man nach dem berlagerungsprinzip. Es besteht darin, dass man sich die Belastungen einzeln auf den Tra¨ger aufgesetzt vorstellt, deren Einzeldurchbiegungen f1 , f2 , f3 . . . mit den bekannten Gleichungen bestimmt und zum Schluss diese Betra¨ge addiert. Im vorliegenden Fall sind die Gleichungen fu¨r f1 (3. bung) und f2 (4. bung) bekannt und es kann damit eine Gleichung fu¨r fges ¼ f1 þ f2 erstellt werden.

F l3 EI F l3 ¼ 0,034 EI

fges ¼ f1 þ f2 ¼ fges

1 5 þ 48 384

5.10 Beanspruchung auf Knickung

351

5.10 Beanspruchung auf Knickung

5.10.1 Grundbegriffe Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, d. h. ist die Stabla¨nge l im Verha¨ltnis zu seiner Querschnittsfla¨che A sehr groß, so besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung s d noch unter der Proportionalita¨tsgrenze s dP liegt. Die Tragfa¨higkeit ist also schon vorher erscho¨pft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilita¨tsproblem: Trotz gleicher Querschnittsfla¨che A und gleicher Druckkraft F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender La¨nge l.

Beispiele knickgefa¨hrdeter Bauteile aus dem Maschinenbau: Pleuelstangen, Kolbenstangen, Sto¨ßel, Spindeln von Pressen, Bremsgesta¨nge

Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Gro¨ßen gefu¨hrt.

Neue Gro¨ßen sind: Knickkraft FK , Knickspannung s K , Tra¨gheitsradius i, Schlankheitsgrad l (Lambda)

Knickkraft FK ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividiert man die Knickkraft FK durch die Querschnittsfla¨che A, erha¨lt man eine Spannung, die als Knickspannung s K bezeichnet wird. Entsprechend der Definition von FK herrscht die Knickspannung s K dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt.

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafu¨r zu sorgen, dass die tatsa¨chliche Belastung, die Druckkraft F, immer wesentlich kleiner bleibt als die Knickkraft FK . Das gleiche gilt dann auch fu¨r die tatsa¨chlich im Bauteil vorhandene Druckspannung s d vorh und fu¨r die Knickspannung s K . Immer muss s d vorh < s K sein. Knickkraft FK und Knickspannung s K sind also Gro¨ßen, die niemals erreicht werden du¨rfen.

zunehmende Länge bedeutet zunehmende Knickgefahr

F F

F

l

l

l

A A

l

A A

F

Knickspannung s K ¼

sK ¼

FK A

Knickkraft FK Querschnittsfl¨ache A sK

FK

A

N mm2

N

mm

2

Sicherheit gegen Knicken Knickkraft FK v¼ Druckkraft F ðKnicksicherheit vÞ

v¼

FK sK ¼ F s d vorh

v 3 . . . 10 im Maschinenbau

352 Die Knickkraft FK (Knickspannung s K ) ist diejenige Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die vorhandene Druckspannung unter der Knickspannung.

5 Festigkeitslehre Beispiel: Fu¨r die Kolbenstange einer Kolbenpumpe sei die Knickkraft FK ¼ 20 000 N. Mit Knicksicherheit v ¼ 8 darf die vorhandene Druckkraft ho¨chstens F ¼ FK =v ¼ 20 000 N=8 ¼ 2500 N betragen.

5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall) Fu¨r den Fall, dass die Knickspannung s K noch unterhalb der Proportionalita¨tsgrenze sdP des Werkstoffs liegt, hat Euler1) eine Gleichung fu¨r die Knickkraft FK entwickelt. Mit einem Lineal kann man sich klarmachen, dass ein Stab immer um diejenige Achse knickt, fu¨r die das axiale Fla¨chenmoment 2. Grades den kleinsten Wert hat (Imin ).

FK ¼

E Imin p2 s2

FK

E

N

N mm2

I

s

mm4 mm

E Elastizita¨tsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385) Imin kleinstes axiales Fla¨chenmoment 2. Grades des Querschnitts (Tabelle 5.1, Seite 309) s freie Knickla¨nge

Die Knickkraft FK , also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen wu¨rde, kann allein durch die Fu¨hrungsverha¨ltnisse vera¨ndert werden, unter denen sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft F wa¨hrend des Zusammendru¨ckens exakt in der Stabachse wirkt, desto gro¨ßer kann die Knickkraft FK angesetzt werden. Mit Ausnahme der Einspannung mit freiem Ende (Fall 1) sollte immer nach dem Grundfall (Fall 2) gearbeitet werden, das heißt, man setzt nicht s ¼ 0,707 l (Fall 3) oder s ¼ 0,5 l (Fall 4), sondern s ¼ l in die Eulergleichung ein. Die Eulergleichung wird nun so geschrieben, wie sie fu¨r das Lo¨sen von praktischen Aufgaben gebraucht wird. Dazu sollte man sich der Beziehung zwischen Knickkraft FK und vorhandener Druckkraft F u¨ber die Knicksicherheit v ¼ FK =F erinnern. Statt Imin wird Ierf geschrieben, in Anlehnung an die Arbeitsgleichungen der vorangegangenen Beanspruchungsarten. Ist das erforderliche axiale Fla¨chenmoment 2. Grades Ierf berechnet, ko¨nnen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, die Querschnittsmaße festgelegt werden. 1)

Leonhard Euler, Mathematiker, 1707–1783

FK ¼ Fv ¼

Ierf ¼

v F s¼l E

E Imin p2 s2

v F s2 E p2

Ierf

v

F

E

mm4

1

N

N mm2

Knicksicherheit (Einheit Eins) vorhandene Druckkraft Einspannla¨nge Elastizita¨tsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385)

5.10 Beanspruchung auf Knickung Die nach Ierf aufgelo¨ste Eulergleichung garantiert nicht, dass der vorliegende Fall tatsa¨chlich im Gu¨ltigkeitsbereich dieser Gleichung liegt, also im Gu¨ltigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes. Nur in diesem Bereich ist der E-Modul eine Konstante, und nur fu¨r diesen Fall kann die Eulergleichung gelten. Um zu wissen, ob und wann man im Einzelfall mit der Eulergleichung rechnen darf, wird eine Gleichung fu¨r die Knickspannung s K entwickelt. Dazu benutzt man die Beziehung s K ¼ FK =A. Zur Vereinfachung wird statt Imin nur I geschrieben. Mit dem Ziel, eine mo¨glichst einfach aufgebaute Gleichung fu¨r sK zu erhalten, hat man zwei neue Gro¨ßen eingefu¨hrt, den Tra¨gheitsradius i und den Schlankheitsgrad l: Zuna¨chst bieten sich die beiden geometrischen Gro¨ßen I und A zur Vereinfachung an. Man setzt das axiale Fla¨chenmoment I ¼ i 2 A und bezeichnet i als den Tra¨gheitsradius des Querschnitts.

Fu¨r den Kreisquerschnitt ist nach Tabelle 5.1, Seite 309, das axiale Fla¨chenmoment I ¼ p d 4 =64; die Kreisfla¨che berechnet sich aus A ¼ p d 2 =4. Damit erha¨lt man eine sehr einfache Beziehung fu¨r den Tra¨gheitsradius eines Kreisquerschnitts.

Nach der Einfu¨hrung des Tra¨gheitsradius erscheint bei entsprechender Schreibweise in der Eulergleichung fu¨r die Knickspannung nun der Quotient s2 =i 2 (siehe oben). Die Wurzel daraus heißt Schlankheitsgrad l. Damit ist die einfachste Form fu¨r die Eulergleichung gefunden. Sie zeigt, dass Sta¨be von gleichem Schlankheitsgrad (geometrisch a¨hnliche Sta¨be) die gleiche Knickspannung s K haben und dass s K außer von l nur vom Elastizita¨tsmodul E abha¨ngig ist.

353 Beachte: Die Eulergleichung gilt nur dann, wenn die Knickspannung sK gleich oder kleiner ist als die Proportionalita¨tsgrenze sdP des Werkstoffs. Zur Proportionalita¨tsgrenze siehe Abschnitt 5.12.1, Seite 375.

FK E I p2 ¼ 2 A s A I 1 s K ¼ E p2 2 A s sK ¼

s K ¼ E p2

ðI=AÞ i2 E p2 ¼ E p2 2 ¼ 2 2 2 s s ðs =i Þ

rﬃﬃﬃﬃ I ¨ Tragheitsradius i¼ A

i2 ¼

I A

(Gleichungen fu¨r i in Tabelle 5.1, Seite 309) pd4 pd2 A ¼ 64 4 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 I pd 4 ¼ i ¼ A 64 p d 2

I ¼

d 4

i ¼

Tra¨gheitsradius fu¨r Kreisquerschnitt

Schlankheitsgrad l ¼ l¼

freie Knickl¨ange s Tr¨agheitsradius i

s i

sK ¼

E p2 l2

Knickspannung

sK , E

l

s, i

N mm2

1

mm

354

5 Festigkeitslehre

Tra¨gt man entsprechend der Eulergleichung die Knickspannung sK u¨ber dem Schlankheitsgrad l auf, so ergibt sich eine Hyperbel dritten Grades. Es wird mit dem Elastizita¨tsmodul fu¨r Stahl gerechnet: E ¼ 210 000 N=mm2 ¼ 2,1 105 N=mm2 : Bekannt ist, dass die Eulergleichung nur gilt, solange die Knickspannung s K s dP (Proportionalita¨tsgrenze) ist. Mit diesem Wert fu¨r s dP (fu¨r S235JR etwa 190 N/mm2) kann mit einer Waagerechten im Diagramm die obere und linke Grenze des Gu¨ltigkeitsbereichs fu¨r die Eulergleichung festgelegt werden (elastischer Bereich). Lotet man vom Schnittpunkt der Waagerechten mit der EulerHyperbel auf die l-Achse, dann wird als einfaches Kriterium fu¨r alle Rechnungen der Grenzschlankheitsgrad l0 gefunden. Nur mit Schlankheitsgraden l rechts vom Grenzschlankheitsgrad l0 ist die Gu¨ltigkeit der Eulergleichung gewahrt (siehe Arbeitsplan 5.10.4, Seite 356).

ber die Eulergleichung fu¨r die Knickspannung kann man den Grenzschlankheitsgrad l0 fu¨r verschiedene Werkstoffe in Abha¨ngigkeit von der Proportionalita¨tsgrenze s dP berechnen. Da l0 immer der untere Grenzwert ist, fu¨r den die Eulergleichung gerade noch gilt, wird l0 ¼ lmin geschrieben. Je ho¨her die Proportionalita¨tsgrenze s dP des Werkstoffs liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad l0 , das heißt, umso gro¨ßer wird der Bereich, fu¨r den die Eulergleichung gilt. Fu¨r die wichtigsten Werkstoffe gibt Tabelle 5.3 die Grenzschlankheitsgrade zur Euler’schen Knickberechnung an. Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad l gleich oder gro¨ßer ist als der in Tabelle 5.3 angegebene Grenzschlankheitsgrad l0 . Gu¨ltigkeitsbereich der Eulergleichung: s=i ¼ lvorh l0 .

Euler-Hyperbel mit Grenzschlankheitsgrad l0 fu¨r S235JR Beachte: Bei allen Rechnungen nach Euler muss garantiert sein, dass der vorhandene Schlankheitsgrad lvorh gro¨ßer ist als der Grenzschlankheitsgrad l0 : lvorh > l0

Eulerbedingung

l0 ¼ lmin ¼ p

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ E s dP

Grenzschlankheitsgrad

Beispiel: Fu¨r den Werkstoff Stahl mit E ¼ 2,1 105 N=mm2 und einer Proportionalita¨tsgrenze sdP ¼ 190 N=mm2 (S235JR) wird der Grenzschlankheitsgrad: vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u N u rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u2,1 105 E u mm2 ¼ pu l0 ¼ p t sdP N 190 mm2 l0 ¼ 104,44

5.10 Beanspruchung auf Knickung

355

Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l0 fu¨r Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen Werkstoff Nadelholz Gusseisen S235JR E295 und E335 Al––Cu––Mg Al––Mg3

E-Modul in

N mm2

10 000 100 000 210 000 210 000 70 000 70 000

Grenzschlankheitsgrad l0 100 80 105 89 66 110

Tetmajergleichungen N fu¨r sK in mm2 sK ¼ 29,3 0,194 l sK ¼ 776 12 l þ 0,053 l2 sK ¼ 310 1,14 l sK ¼ 335 0,62 l Beachte: Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwergleichungen mit sK in N/mm2.

5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) Es wird nun die Frage gekla¨rt, was zu tun ist, wenn sich bei der Nachrechnung des Schlankheitsgrades l mit den gegebenen Abmessungen zeigt, dass der Grenzschlankheitsgrad l0 (Tabelle 5.3) unterschritten worden ist (lvorh < l0 ). In diesem Fall ko¨nnen die Eulergleichungen nicht mehr gelten. Man ha¨tte dann mit einer Knickspannung sK gerechnet, die gro¨ßer ist als die Proportionalita¨tsgrenze sdP . In diesem Spannungsbereich gilt das Hooke’sche Gesetz, das Euler seiner Gleichung zugrunde gelegt hat, nicht mehr. Das wird daran erkannt, dass in den Eulergleichungen fu¨r die Knickkraft FK und Knickspannung s K der Elastizita¨tsmodul E erscheint. Tetmajer und andere Forscher haben fu¨r die Fa¨lle lvorh < l0 aus vielen Versuchen Berechnungsgleichungen entwickelt. Weil diesen Versuchen Knickspannungen sK zugrunde liegen, die gro¨ßer sind als die Proportionalita¨tsgrenze s dP , spricht man von unelastischer Knickung. Mit den Tetmajergleichungen ist eine unmittelbare Berechnung der Querschnittsabmessungen im Gegensatz zum Eulerfall nicht mo¨glich. Bei allen Knickaufgaben mit unbekannten Querschnittsabmessungen, also auch unbekanntem Schlankheitsgrad l, berechnet man daher zuna¨chst das erforderliche axiale Fla¨chenmoment 2. Grades aus der Eulergleichung und bestimmt nach Tabelle 5.1, Seite 309, die Querschnittsabmessungen (im Beispiel den Durchmesser d ) und den Tra¨gheitsradius i.

Beispiel: Fu¨r einen knickbeanspruchten Stab aus S235JR stellt sich heraus: lvorh ¼

s 100 mm ¼ ¼ 50 < l0 ðS235JRÞ ¼ 105 i 2 mm

Fu¨r lvorh ¼ 50 und E ¼ 2,1 105 N=mm2 wird N 2,1 105 p2 E p2 2 N mm ¼ 829 sK ¼ 2 ¼ 2500 mm2 l Die Proportionalita¨tsgrenze fu¨r S235JR liegt dagegen bei etwa 190 N/mm2 (siehe auch Euler-Hyperbel Seite 354).

Beispiel: Nach Tabelle 5.3 ergibt sich mit l ¼ 50 aus der Tetmajergleichung fu¨r S235JR s K ¼ 310 1,14 l s K ¼ ð310 1,14 50Þ

N N ¼ 253 mm2 mm2

Beispiel: Fu¨r einen Stab aus S235JR (Kreisquerschnitt) wird bei s ¼ l ¼ 300 mm, F ¼ 10 000 N und 10-facher Knicksicherheit (v ¼ 10): Ierf ¼

v F l 2 10 10 4 N 9 10 4 mm2 ¼ N E p2 2,1 105 p2 mm2

Ierf ¼ 4342 mm4 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ derf ¼ 4 20 Ierf ¼ 17,2 mm d i ¼ ¼ 4,3 mm 4

356 Jetzt la¨sst sich der vorhandene Schlankheitsgrad berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad (Tabelle 5.3, Seite 355) vergleichen. Ist lvorh gro¨ßer als l0 , dann war die Rechnung nach Euler zula¨ssig. Die Aufgabe wa¨re also gelo¨st. Im anderen Fall berechnet man lvorh mit etwas vergro¨ßerten Abmessungen und bestimmt damit nach Tetmajer die Knickspannung s K . Zur berpru¨fung der Knicksicherheit v muss die vorhandene Druckspannung ermittelt werden. Ist vvorh kleiner als die geforderte Knicksicherheit verf , sind die Querschnittsabmessungen noch ein oder mehrere Male zu vergro¨ßern, bis endlich verf erreicht wird.

5 Festigkeitslehre lvorh ¼

s 300 mm ¼ ¼ 69,8 < l0 ¼ 105 i 4,3 mm

Also war die Rechnung nach Euler nicht zula¨ssig (lvorh < l0 ), daher mit etwas vergro¨ßertem d ¼ 20 mm nach Tetmajer: l 4 l 4 300 mm ¼ ¼ ¼ 60 d=4 d 20 mm N s K ¼ 310 1,14 lvorh ¼ 241,6 mm2

lvorh ¼

s d vorh ¼ vvorh ¼

F 104 N N ¼ 31,85 ¼ A 314 mm2 mm2 sK s d vorh

¼

241,6 N=mm2 ¼ 7,586 31,85 N=mm2

vvorh ¼ 7,586 < verf ¼ 10

5.10.4 Arbeitsplan fu¨r Knickungsaufgaben Knickkraft FK aus Sicherheit v und Belastung F berechnen.

1. Schritt

Erforderliches Fla¨chenmoment 2. Grades Ierf nach der Eulergleichung berechnen. Durchmesser oder andere Querschnittsabmessungen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1 (Seite 309) festlegen

2. Schritt

Tra¨gheitsradius i nach Tabelle 5.1 berechnen.

4. Schritt

Schlankheitsradius lvorh berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad l0 nach Tabelle 5.3 vergleichen. Ist lvorh l0 , ist die Rechnung beendet.

5. Schritt

Bei lvorh kleiner als l0 wird mit den Tetmajer-Formeln aus Tabelle 5.3 die Knickspannung s K berechnet. Dabei lvorh (eventuell neu mit vergo¨ßertem Querschnitt), nicht etwa l0 einsetzen.

6. Schritt

Vorhandene Druckspannung sd vorh ¼ F=A berechnen

7. Schritt

Mit s K und s d vorh die vorhandene Sicherheit v berechnen und mit der geforderten Sicherheit vergleichen.

8. Schritt

Bei zu kleiner Sicherheit v mu¨ssen die Querschnittsabmessungen weiter vergro¨ßert werden. Die Rechnung ist vom 5. Schritt an zu wiederholen.

9. Schritt

Eventuell muss noch die auftretende Druckspannung sd vorh mit der zula¨ssigen Druckspannung sd zul verglichen werden.

10. Schritt

Aufgaben Nr. 898–916

3. Schritt

5.10 Beanspruchung auf Knickung

357

Lehrbeispiel: Knickung im elastischen Bereich

d

Aufgabenstellung: F

Die Kolbenstange einer Wasserpumpe hat einen kreisfo¨rmigen Querschnitt. Werkstoff: E295 mit einer zula¨ssigen DruckN spannung von 98 mm 2

F

l = 1400 mm

Gegebene Gro¨ßen: F ¼ 80 kN; Sicherheit gegen Knicken n ¼ 3,5 Gesucht: Kolbenstangendurchmesser d

Lo¨sung: a) Kolbenstangendurchmesser d: FK ¼

EIp2 s2

I erf ¼

FK s 2 Ep2

Knickkraft FK ¼ F n s ¼ l (Grundfall)

F nl2 80 10 3 N 3,5 ð1,4 10 3 mmÞ2 ¼ ¼ 26 ,48 10 4 mm4 N Ep2 2 2,1 10 5 p mm2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 4 64 26 ,48 10 4 mm4 pd 4 64 I erf Io ¼ ¼ 48 ,2 mm ) derf ¼ 64 p p

I erf ¼

gewa¨hlt: d ¼ 50 mm (Normalmaß nach DIN 3)

b) Nachpru¨fung des Schlankheitsgrades l: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ s l Io d ¼ io ¼ l¼ ¼ i i 4 Ao (s ¼ l) l¼

1400 mm 4 ¼ 112 > l0 ð 89Þ 50 mm

Also war die Rechnung nach Euler richtig.

c) Spannungsnachweis fu¨r die Druckspannung s d : sd vorh ¼

F 80 10 3 N 4 N N < s d zul ¼ 98 ¼ 40,7 ¼ A 50 2 mm2 p mm 2 mm 2

Die zula¨ssige Spannung wurde eingehalten.

358

5 Festigkeitslehre

Lehrbeispiel: Knickung im unelastischen Bereich l

Aufgabenstellung: Ein Hydraulikarbeitszylinder soll eine Kraft F ¼ 100 kN aufbringen. Die freie Knickla¨nge betra¨gt s ¼ l ¼ 350 mm.

F

d

Es ist der Durchmesser der Kolbenstange mit kreisfo¨rmigem Querschnitt zu bestimmen. Sicherheit gegen Knicken n ¼ 5. Werkstoff E295.

Lo¨sung: FK ¼

EIp2 s2

Die Knickkraft FK , die der Stab gerade noch ausha¨lt, soll sein: FK ¼ F n ¼ 100 kN 5 ¼ 500 kN FK s 2 500 10 3 N 3,5 2 10 4 mm 2 ¼ ¼ 2,955 10 4 mm4 N Ep2 2 2,1 10 5 p mm 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 64 2,955 10 4 mm4 4 64 I erf ¼ ¼ 27,85 mm ¼ p p

I erf ¼

I¼

pd 4 64

derf

gewa¨hlt: d ¼ 30 mm Nachpru¨fung des Schlankheitsgrades: s l l¼ ¼ i i

l¼

4s 4 350 mm ¼ ¼ 46 ,7 < l0 ¼ 89 d 30 mm

Die Rechnung nach Euler ist also unzula¨ssig. Nachrechnung nach Tetmajer: Da l ¼ 47 sehr weit im Tetmajer-Bereich liegt, wird der Durchmesser erho¨ht auf d ¼ 35 mm. Dadurch wird l¼ sK ¼ 335 0,62 l

4 350 mm ¼ 40 35 mm

s K ¼ 335 0,62 40 ¼ 310,2

N mm 2

Die vorhandene Druckspannung sd vorh ist: s d vorh ¼

nvorh ¼

F 100 10 3 N 4 N ¼ ¼ 103,94 A 35 2 mm2 p mm 2 sK sd vorh

¼

N mm 2 ¼ 2,98 < n ¼ 5 erf N 103,94 2 mm 310,2

Neuer Schlankheitsgrad l ¼

4 350 mm ¼ 31,1 45 mm

sK ¼ 335 0,62 31,1 ¼ 315,7 sd vorh ¼

nvorh ¼

d neu gew ahlt: d ¼ 45 mm ¨

N mm 2

100 10 3 N 4 N ¼ 62,88 45 2 mm2 p mm 2 sK

sd vorh

¼

N mm 2 ¼ 5,02 N 62,88 mm 2 315,7

Die verlangte Sicherheit ist vorhanden:

5.10 Beanspruchung auf Knickung

359

5.10.5 Knickung im Stahlbau 5.10.5.1 Vorschriften Die in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten Knickungsgleichungen gelten nicht fu¨r die Drucksta¨be im Stahlbau. Hier sind die Berechnungsverfahren und die dabei verwendeten Gleichungen in Normen vorgeschrieben. 5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knicksta¨ben Nach DIN 18 800, Teil 2, muss die so genannte Tragsicherheit nachgewiesen werden. Tragsicherheit besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabquerschnitts bei mittiger Druckbelastung die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung erfu¨llt ist. Die dazu erforderlichen Berechnungen entha¨lt der Arbeitsplan (AP) in 5.10.5.4.

Bis zum Erscheinen einer Europa¨ischen Norm (EN) gilt fu¨r die Ausbildung von Drucksta¨ben die Norm DIN 18 800 vom Nov. 1990. Diese ersetzt die DIN 4114 von 1953, in der fu¨r die Knickungsberechnung das so genannte Omegaverfahren vorgeschrieben war.

F 1 j Fpl

F

Fpl

j

N

N

1

Tragsicherheits-Hauptgleichung F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand nach AP Nr. 8 j Abminderungsfaktor nach AP Nr. 6

5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel (Zugeschnittene Gro¨ßengleichung) Der Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800 ist nur mo¨glich, wenn die geometrischen Gro¨ßen des Knickstabs bekannt sind (Querschnittsfla¨che A und axiales Fla¨chenmoment I). Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt (Profil) an oder verwendet die folgende Entwurfsformel zur Profilermittlung. Sie wird hier aus der fu¨r elastische Knickung gu¨ltigen Eulergleichung entwickelt.

Fu¨r die u¨berschla¨gige Querschnittsbestimmung nimmt man eine Sicherheit an, z. B. v ¼ 3. Mit dem Elastizita¨tsmodul fu¨r Baustahl E ¼ 210 000 N/mm2 und 103 N ¼ 1 kN fasst man die Konstanten zusammen und erha¨lt die Entwurfsformel.

Im Abschnitt 5.10.2 wird die Eulergleichung entwickelt: Ierf v F sK E v F sK 2 Ierf ¼ 2 Ep mm4 1 N mm N/mm2 Ierf v F sK E

erforderliches axiales Fla¨chenmoment Knicksicherheit vorhandene Druckkraft (Normalkraft) Knickla¨nge Elastizita¨tsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385)

Ierf ¼

3 F sK 2 210 000 p2

Ierf 1,5 103 F sK 2

I

F

sK

mm4 kN mm

Entwurfsformel

5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knicksta¨ben Sind sowohl die Belastung F des Knickstabs als auch das Stabprofil bekannt, bestimmt man der Reihe nach die folgenden Gro¨ßen:

Gegeben: Stabprofil (z. B. IPE 200), Werkstoff (z. B. S235JR), Belastung F des Druckstabs (z. B. F ¼ 50 kN). Gesucht: Tragsicherheit

360

5 Festigkeitslehre

1. Knickla¨nge sK Die Knickla¨nge sK entspricht der freien Knickla¨nge s in Abschnitt 5.10.2 (Seite 352) (Eulerfall) und es gilt auch das Bild fu¨r die Fu¨hrungsverha¨ltnisse mit den Fa¨llen 1 bis 4 (siehe Seite 352).

Die Drucksta¨be in Fachwerken ko¨nnen in der Fachwerkebene oder rechtwinklig dazu ausweichen (ausknicken). Fu¨r das Ausweichen in der Fachwerkebene ist die Systemla¨nge l der gescha¨tzte Abstand der beiden Anschlussverbindungen an den Stabenden. Fu¨r das Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene ist die Systemla¨nge l der Abstand der Netzlinien.

sK sK ¼ b l

b

l

mm 1 mm

b Knickla¨ngenbeiwert nach Bild in 5.10.2. Danach ist einzusetzen fu¨r Fall 1

Fall 2

b¼2

b¼1

Fall 3

Fall 4

b ¼ 0,7 b ¼ 0,5

Ausweichen in der Fachwerkebene

Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene

2. Schlankheitsgrad lK und Tra¨gheitsradius i Der Schlankheitsgrad lK wird wie bei der Euler’schen Knickung in 5.10.2 (Seite 353) aus der Knickla¨nge sK und dem Tra¨gheitsradius i berechnet. Der Tra¨gheitsradius i ist die Wurzel aus dem Fla¨chenmoment 2. Grades I und der Querschnittsfla¨che A des Knickstabprofils. Die Betra¨ge fu¨r das Fla¨chenmoment I und die entsprechende Querschnittsfla¨che A werden den Profilstahltabellen entnommen.1)

lK ¼

i¼

sK i

rﬃﬃﬃﬃ I A

lK

sK

1

mm mm

i

i

I

A

mm mm4 mm2

3. Bezogener Schlankheitsgrad lK Der bezogene Schlankheitsgrad lK ist der Quotient aus dem Schlankheitsgrad lK und dem Bezugsschlankheitsgrad la , der von den Festigkeitswerten E (Elastizita¨tsmodul) und Re (Streckgrenze) des Profilwerkstoffs abha¨ngt. 1)

lK lK ¼ la

lK lK la

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Vieweg þ Teubner, 21. Auflage

1

1

1

5.10 Beanspruchung auf Knickung

361

4. Bezugsschlankheitsgrad la Der Elastizita¨tsmodul fu¨r Stahl betra¨gt E ¼ 210 000 N=mm2 , die Streckgrenze Re ist abha¨ngig vom verwendeten Werkstoff des Knickstabs. Fu¨r die im Stahlbau ha¨ufig verwendeten Werkstoffe ergibt sich damit: Bei S235JR (RSt 37-2) mit Re ¼ 235 N=mm2 und einer Erzeugnisdicke t 40 mm zu la ¼ 93,9, bei S355J2G3 (St 52-3) mit Re ¼ 355 N=mm2 und einer Erzeugnisdicke t 40 mm zu la ¼ 76,4. In Klammern stehen die fru¨her gu¨ltigen Bezeichnungen fu¨r Baustahl.

la ¼ p

rﬃﬃﬃﬃﬃ E Re

la 1

E

Re

N N mm2 mm2

la ¼ 93,9 f u¨ r S235JR und t 40 mm la ¼ 76,4 f u¨ r S355J2G3 und t 40 mm

5. Ermittlung der Knickspannungslinien Den im Stahlbau verwendeten verschiedenen Querschnittsformen (z. B. U-, L-, T-Profile) sind so genannte Knickspannungslinien a, b, c, d zugeordnet. Sie werden Tabelle 5.4 entnommen. Ausfu¨hrlichere Hinweise in DIN 18 800, Teil 2, Tabelle 5.

1)

Beispiel: Einem Doppel-T-Profil mit den Werten h=b > 1,2 und Erzeugnisdicke t 40 mm ist nach Tabelle 5.4 die Knickspannungslinie b zugeordnet, wenn das Ausknicken rechtwinklig zur y-Achse erfolgt. Die Werte fu¨r t (Steg- oder Flanschdicke) stehen in den Profilstahltabellen.1)

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg + Teubner, 21. Auflage

362

5 Festigkeitslehre

6. Abminderungsfaktor j Bereich lK 0,2

Bereich lK > 0,2

j¼1

j¼

kþ

Bereich lK > 3,0

1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ k2 lK 2

j¼

1 lK ðlK þ aÞ

mit k ¼ 0,5 ½1 þ a ðlK 0,2Þ þ lK 2

7. Parameter a zur Berechnung des Abminderungsfaktors j Knickspannungslinie

a

b

c

d

a

0,21

0,34

0,49

0,76

8. Normalkraft Fpl Fpl ist diejenige Normalkraft, bei der im Werkstoff des Stabes vom Querschnitt A vollplastischer Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgro¨ße wird die Streckgrenze Re oder die obere Streckgrenze ReH eingesetzt.

Fpl ¼ Re A

Fpl N

A

N mm2 mm2

Re Streckgrenze, siehe Tabelle 5.8 (Seite 385) A Querschnittsfla¨che, siehe Tabellen 4.27––4.311)

5.10.5.5 Zusammengesetzte Knicksta¨be Die Berechnungsgleichungen im obigen Arbeitsplan gelten fu¨r mittig belastete einteilige Knicksta¨be. Dazu geho¨ren auch die aus mehreren Walzprofilen zusammengesetzten Knicksta¨be, wenn die Einzelprofile durch Nieten oder Schweißen (nicht Schrauben) so verbunden sind, dass sie als einzelnes Bauglied angesehen werden ko¨nnen. Die Gleichungen gelten nicht fu¨r Knicksta¨be, deren Querschnitt eine stofffreie Achse y––y hat. 1)

Re

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Vieweg þ Teubner, 21. Auflage

5.10 Beanspruchung auf Knickung

363

Tabelle 5.4 Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen Ausknicken rechtwinklig zur Achse

Knickspannungslinie

warm gefertigt

x––x y––y

a

kalt gefertigt

x––x y––y

b

x––x y––y

b

x––x y––y

c

h=b > 1,2 t 40 mm

x––x y––y

a b

h=b > 1,2 40 < t 80 mm h=b < 1,2 t 80 mm

x––x y––y

b c

t > 80 mm

x––x y––y

d

tn 40 mm

x––x y––y

b c

tn > 40 mm

x––x y––y

c d

x––x y––y

c

Stab-Querschnittsformen

Hohlprofile

d D=10 geschweißte Kastenquerschnitte dicke Schweißnaht und hx =tx < 30 hy =ty < 30 gewalzte I-Profile

geschweißte I-Querschnitte (tn ¼ t, t1 , t2 )

gewalzte Profile und Vollquerschnitte

364

5 Festigkeitslehre

Tabelle 5.5 Zula¨ssige Spannungen im Stahlhochbau a) Zula¨ssige Spannungen in N/mm2 fu¨r Bauteile Werkstoff S355

S235

Spannungsart

Druck und Biegedruck, wenn Stabilita¨tsnachweis nach DIN 18800 erforderlich ist Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilita¨tsnachweis nach DIN 18800 erforderlich ist Schub

E360

Lastfall1) H HZ

H

HZ

H

HZ

140

160

210

240

410

460

160

180

240

270

410

460

92

104

139

156

240

270

b) Zula¨ssige Spannungen in N/mm2 fu¨r Verbindungsmittel Niete (DIN 124 und DIN 302) RSt 44-2 Ust 36-1 fu¨r Bauteile fu¨r Bauteile aus S355 aus S235

Spannungsart

Abscheren Lochleibungsdruck Zug

ta zul s l zul s z zul

H

HZ

H

140 280 48

160 320 54

210 420 72

Passschrauben (DIN 7986) 5.6 4.6 fu¨r Bauteile fu¨r Bauteile aus S355 aus S235

Lastfall1) HZ H

HZ

H

HZ

240 480 81

160 320 112

210 420 150

240 480 150

140 280 112

Tabelle 5.6 Zula¨ssige Spannungen im Kranbau fu¨r Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel a) Zula¨ssige Spannungen in N/mm2 fu¨r Bauteile Werkstoff S235

Spannungsart H

S355

Lastfall1) HZ H

HZ

Zug- und Vergleichsspannung

160

180

240

270

Druckspannung, Nachweis auf Knicken

140

160

210

240

Schubspannung

92

104

138

156

Außer dem allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze ist fu¨r Krane mit mehr als 20 000 Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich vera¨nderlichen, ha¨ufig wiederholten Spannungen fu¨r die Lastfa¨lle H zu fu¨hren. Zula¨ssige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis siehe Normblatt.

b) Zula¨ssige Spannungen in N/mm2 fu¨r Verbindungsmittel Passschrauben (DIN 7986) 4.6 5.6 fu¨r Bautiele fu¨r Bauteile aus S235 aus S355

Spannungsart

H

HZ

H

HZ

Rohe Schrauben (DIN 7900) 4.6 5.6 fu¨r Bauteile fu¨r Bauteile aus S235 aus S355 Lastfall1) H HZ

Niete (DIN 124) fu¨r Bauteile aus S235

H

HZ

H

HZ

Abscheren

einschnittig zweischnittig

84 112

96 128

126 168

144 192

70

80

70

80

84 112

96 128

Lochleibungsdruck

einschnittig zweischnittig

210 280

240 320

315 420

360 480

160

180

160

180

210 280

240 320

Zug

einschnittig zweischnittig

100 100

110 110

140 140

154 154

100

110

140

154

30 30

30 30

1) Einteilung nach DIN 18801 in Hauptlasten (H), Zusatzlasten (Z) und Sonderlasten (S). Hauptlasten (H) sind alle planma¨ßigen a¨ußeren Lasten und Einwirkungen, die nicht nur kurzzeitig auftreten wie sta¨ndige Last, planma¨ßige Verkehrslast, Schneelast, sonstige Massenkra¨fte. Zusatzlasten (Z) sind alle u¨brigen bei der planma¨ßigen Nutzung auftretenden Lasten und Einwirkungen wie Windlast, Bremslast, Seitenstoßlast, nur kurzzeitig auftretende Massenkra¨fte, Wa¨rmewirkung. Sonderlasten (S) sind nicht planma¨ßige mo¨gliche Lasten und Einwirkungen aus mo¨glichen Baugrundbewegungen.

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

365

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 5.11.1 Zug und Biegung Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge kann man sich Klarheit u¨ber das innere Kra¨fte- und Spannungssystem verschaffen und die Spannungsgleichungen herleiten. Wie gewohnt, wird ein Schnitt x ––x an eine zweckma¨ßige Querschnittsstelle gelegt und dort dasjenige innere Kra¨ftesystem angebracht, durch das der Restko¨rper wieder ins Gleichgewicht gesetzt wird. Schraubzwinge

Aus der Kraft-Gleichgewichtsbedingung S Fy ¼ 0 ergibt sich als innere Kraft die Zugkraft FN und aus der Momentengleichgewichtsbedingung das Biegemoment Mb .

Inneres Kra¨ftesystem

S Fy ¼ 0 ¼ FN F ) FN ¼ F S MðSPÞ ¼ 0 ¼ Mb F l ) Mb ¼ F l

Die innere Kraft FN (Normalkraft) ruft im Querschnitt x ––x die gleichma¨ßig verteilte Zugspannung sz ¼ FN =A hervor (Zug-Hauptgleichung). Durch das innere Biegemoment Mb entsteht im Querschnitt x ––x das bekannte System der Biegespannung, aufgebaut aus den linear verteilten Zug- und Druckspannungen (Biege-Hauptgleichung). Im symmetrischen Querschnitt sind die Gro¨ßtwerte beider Normalspannungen gleich groß, also s bz ¼ s bd ¼ s b ¼ Mb =W.

sz ¼

FN A

sb ¼

Mb W

Gleichma¨ßig verteilte Zugspannung

Linear verteilte Biegespannung

Sowohl Zug- als auch Biegebeanspruchung ergeben Normalspannungen s (rechtwinklig auf der Schnittfla¨che stehend), die wie parallele Kra¨fte addiert und subtrahiert werden ko¨nnen. Tra¨gt man an die Spitzen der Biegespannung die Zugspannung richtungsgema¨ß an, erha¨lt man das Bild der Gesamtspannung (resultierende Spannung). Aus dem Bild der Gesamtspannung lassen sich nun leicht die Beziehungen fu¨r die resultierende Zug- und Druckspannung ablesen. Beide mu¨ssen gleich oder kleiner als die zugeho¨rige zula¨ssige Spannung sein.

Bild der resultierenden Spannung

s res Zug ¼ sbz þ s z s z zul sres Druck ¼ sbd s z s d zul

366 Manchmal ist es zweckma¨ßiger, die Biegespannungen s bz und sbd nicht mit dem Widerstandsmoment W, sondern mit dem axialen Fla¨chenmoment 2. Grades I zu bestimmen. Das gilt vor allem bei unsymmetrischen Querschnitten mit unterschiedlichen Randfaserabsta¨nden e (siehe 5.9.5, Seite 332). In beide Gleichungen wurde fu¨r das Biegemoment Mb ¼ F l eingesetzt.

5 Festigkeitslehre Mb e1 F l e1 ¼ I I Mb e2 F l e2 ¼ ¼ I I

s bz ¼ s bd

F l e1 F þ s z zul I A F l e2 F ¼ s d zul A I

s res Zug ¼ sres Druck

a e sz ¼ )a¼ e sbz s z s bz

Wie das Bild der resultierenden Spannung zeigt, ist die spannungsfreie Faserschicht um den Betrag a nach links verschoben. Aus der hnlichkeit der schraffierten Dreiecke erha¨lt man eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung fu¨r die Verschiebungsgro¨ße a weiterentwickelt werden kann.

sz ¼

Aus dem Spannungsbild erkennen man weiter, dass die Verschiebungsgro¨ße a ein Kriterium fu¨r die Spannungsverteilung ist.

a > e bedeutet, dass nur Zugspannungen auftreten a < e bedeutet, dass sowohl Zug- als auch Druckspannungen auftreten

a¼

F Mb F l e und sbz ¼ eingesetzt : ¼ A I W Fl I=A i 2 e¼ ¼ l AF le l

5.11.2 Druck und Biegung Grundsa¨tzlich unterscheidet sich diese Beanspruchung von der vorangegangenen nur dadurch, dass sich hier der Biegespannung s b nicht eine Zugspannung s z , sondern die Druckspannung sd u¨berlagert. Wieder erha¨lt man das Bild der resultierenden Spannung, indem an die Spitzen der Biegespannung richtungsgema¨ß die u¨ber dem Querschnitt konstante Druckspannung angetragen wird.

Bild der resultierenden Spannung

Die resultierende Druckspannung s res Druck ergibt sich ebenso wie die resultierende Zugspannung s res Zug nach dem Spannungsbild wieder als Summe oder Differenz der beiden Normalspannungen.

sres Druck ¼ sbd þ s d s d zul

Ist die Stabla¨nge eines auf Druck und Biegung beanspruchten Bauteils groß im Verha¨ltnis zum Querschnitt (schlanker Stab), dann muss auf Knickung nachgerechnet werden.

sres Druck ¼

s res Zug ¼ sbz s d s z zul

s res Zug

F le F þ I A F le F ¼ I A

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

367

5.11.3 bung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen An einem Tra¨ger aus IPE 160 ist ein 12 mm dickes Knotenblech angeschweißt, das die Zugkraft F in den Tra¨ger einleitet. Wie groß darf diese Zugkraft im Hinblick auf den Querschnitt A––B des Tra¨gers ho¨chstens werden, wenn s z zul ¼ s d zul ¼ 120 N/mm2 nicht u¨berschritten werden darf ? Lo¨sung: Wie gewohnt wird der abgeschnittene Restko¨rper durch das innere Kra¨ftesystem wieder ins Gleichgewicht gesetzt. Als inneres Kra¨ftesystem erscheint die Zugkraft FN ¼ F und das Biegemoment Mb ¼ F l.

Inneres Kra¨ftesystem

Mit der Vorstellung vom inneren Kra¨ftesystem ist es leicht, das Bild der resultierenden Spannung zu skizzieren, wenn man zuerst den Verlauf der Biegespannung zeichnet und darauf die konstante Zugspannung aufsetzt. Allerdings weiss man noch nicht, ob die Verschiebungsgro¨ße a tatsa¨chlich kleiner ist als der Randfaserabstand e. Das wird erst die Rechnung erweisen. In der Formstahltabelle finden sich alle fu¨r die weitere Rechnung no¨tigen Gro¨ßen, wobei vor allem darauf geachtet werden muss, dass das richtige Fla¨chenmoment 2. Grades abgelesen wird, hier also Ix .

Bild der resultierenden Spannung

Ix ¼ 869 cm4 ¼ 869 104 mm4 A ¼ 20,1 cm2 ¼ 20,1 102 mm2 Tra¨gheitsradius i ¼ 6,58 cm ¼ 65,8 mm Randfaserabstand e ¼ 80 mm i2 i2 ð65,8 mmÞ2 ¼ ¼ s l 86 mm eþ 2 a ¼ 50,3 mm < e ¼ 80 mm

Die Frage, ob die Verschiebungsgro¨ße a gro¨ßer oder kleiner als der Randfaserabstand e ist, wird durch die Rechnung a ¼ i 2 =l schnell gekla¨rt. Da hier tatsa¨chlich a < e ist, muss neben sres Zug noch s res Druck auftreten.

a¼

Die resultierende Zugspannung s res Zug ist gro¨ßer als die resultierende Druckspannung s res Druck . Folglich geht man von der Beziehung s res Zug ¼ s z þ s bz s z zul aus, schreibt sie in der erweiterten Form und entwickelt daraus eine „gleich-kleiner-Beziehung“ fu¨r die Zugkraft F.

F F le þ s z zul A I 1 le sz zul þ F A I sz zul F 1 le þ A I

Das Ergebnis sagt aus, das die Zugkraft F immer unter 93 079 N bleiben muss, wenn s z zul nicht u¨berschritten werden soll.

120 F

N mm2

1 86 mm 80 mm þ 2010 mm2 869 104 mm4

¼ 93 079 N

368 Zuerst wird die Zugspannung s z , dann die Biegespannung s bz ¼ s bd ¼ s b berechnet. Beide setzt man zur resultierenden Spannung zusammen und vergleicht diese Betra¨ge mit der angegebenen zula¨ssigen Spannung. Fu¨r die Zugseite ist das zugleich eine Kontrolle der Kraftberechnung, denn nur bei richtiger Rechnung kann sich s res Zug ¼ s z zul ¼ 120 N/mm2 ergeben. Die resultierende Druckspannung s res Druck erha¨lt man nach dem Spannungsbild als Differenz von Biege- und Zugspannung (s res Druck ¼ s bd s z ). Aufgaben Nr. 927–938

5 Festigkeitslehre F 93 079 N N ¼ 46,3 ¼ A 2010 mm2 mm2 F le s bz ¼ sbd ¼ sb ¼ I 93 079 N 86 mm 80 mm sb ¼ 869 104 mm4 N s bz ¼ sbd ¼ 73,7 mm2 sz ¼

s res Zug ¼ sz þ s bz ¼ ð46,3 þ 73,7Þ s res Zug ¼ 120

N mm2

N ¼ s z zul mm2 N mm2 N ¼ 120 mm2

s res Druck ¼ sbd s z ¼ ð73,7 46,3Þ s res Druck ¼ 27,4

N < sd zul mm2

5.11.4 Biegung und Torsion 5.11.4.1 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung s v Wellen sollen Drehmomente u¨bertragen, z. B. vom Elektromotor u¨ber ein Zahnradpaar auf eine zweite Getriebewelle. Neben der dadurch hervorgerufenen Torsionsbeanspruchung tritt aber auch noch Biegung auf. Der Querschnitt einer Welle hat demnach sowohl Normalspannungen (Biegespannung s b ) als auch Schubspannungen (Torsionsspannung tt ) aufzunehmen. Wa¨hrend die Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt steht, liegt die Schubspannung im Querschnitt. Eine einfache Addition beider Spannungen –– wie bei Biegung und Zug/Druck –– ist hier nicht mo¨glich. Da beide Spannungsarten rechtwinklig aufeinander stehen, ko¨nnte man auf den Gedanken kommen, sie wie zwei Kra¨fte geometrisch pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃzu einer resultierenden Spannung s res ¼ s 2 þ t2 zusammenzusetzen. So einfach geht das schon deshalb nicht, weil der Werkstoff gegenu¨ber einer Schubspannung anders reagiert als gegenu¨ber einer Normalspannung (vergleiche Schub- und Elastizita¨tsmodul, Seite 385).

Kra¨fte und Momente in Bezug auf die obere Getriebewelle

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung Alle Festigkeitshypothesen zur Lo¨sung dieses Problems laufen darauf hinaus, mit Hilfe einer so genannten Vergleichsspannung s v die gemeinsame Wirkung der beiden ungleichartigen Spannungen zu erfassen. Die Vergleichsspannung wird auch ideelle Spannung genannt. Hier wird mit der Vergleichsspannung nach der Hypothese der gro¨ßten Gestalta¨nderungsenergie gearbeitet, weil sie mit Versuchsergebnissen gut u¨bereinstimmt. Die geometrische Addition beider Spannungen nach der vorherigen berlegung ist noch erkennbar. Der bei tt stehende Faktor a0 heißt Anstrengungsverha¨ltnis. Es ist abha¨ngig von den Grenzfestigkeitswerten fu¨r den betreffenden Werkstoff. Fu¨r Wellen aus Stahl ist das Verha¨ltnis der zula¨ssigen Spannungen in Abha¨ngigkeit vom jeweiligen Belastungsfall anna¨hernd bekannt, so dass man die angegebenen Werte fu¨r a0 einsetzen kann. Der Begriff Belastungsfall wird im Abschnitt 5.12.2.3 (Seite 376) erla¨utert.

369 Hinweis: Bekannt geworden sind vor allem die Dehnungshypothese, die Schubspannungshypothese und die Hypothese der gro¨ßten Gestalta¨nderungsenergie.

sv ¼

a0 ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sb 2 þ 3ða0 tt Þ2 s b zul

s b Grenz 1,73 tGrenz

Anstrengungsverha¨ltnis

a0 ¼ 1

wenn s b und tt im gleichen Belastungsfall wirken a0 ¼ 0,7 wenn s b wechselnd (III) und tt schwellend (II) wirkt (Hauptfall bei Wellen, weil die Randfasern wa¨hrend jeder Wellenumdrehung einmal unter þsb und einmal unter s b stehen.

5.11.4.2 Vergleichsmoment Mv Fu¨r Wellen mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt la¨sst sich die Gleichung fu¨r die Vergleichsspannung weiter entwickeln. Dazu werden fu¨r die Spannungen sb und tt entsprechend den zugeho¨rigen Hauptgleichungen, die Quotienten aus dem Kraftmoment und dem Widerstandsmoment eingesetzt. Die Gleichungen fu¨r axiales und polares Widerstandsmoment bei Kreis- und Kreisringquerschnitten zeigen, dass das polare Widerstandsmoment Wp doppelt so groß ist wie das axiale Widerstandsmoment WðWp ¼ 2WÞ, so dass im Nenner der Torsions-Hauptgleichung Wp durch 2W ersetzt werden kann.

sv ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ s b 2 þ 3ða0 tt Þ2

Mb MT MT ¼ tt ¼ eingesetzt : W Wp 2W sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 ﬃ Mb MT 2 þ3 a0 sv ¼ W 2W

sb ¼

Beispiel: Fu¨r den Kreisquerschnitt ist pd3 und W¼ 32 pd3 also auch Wp ¼ 16 p d3 ¼ 2W Wp ¼ 2 32

370

5 Festigkeitslehre

Das Quadrat des Widerstandsmoments la¨sst sich unter der Wurzel ausklammern und dann als 1/W vor die Wurzel schreiben. Bringt man das Widerstandsmoment W nun noch auf die linke Seite der Gleichung, dann erha¨lt man dort das Produkt s v W. In Anlehnung an die Bezeichnung in der Biege-Hauptgleichung (Biegemoment Mb ¼ s b W) wird hier das entsprechende Produkt als Vergleichsmoment Mv bezeichnet. Das Vergleichsmoment Mv la¨sst sich auch zeichnerisch bestimmen (rechtwinkliges Dreieck, Lehrsatz des Pythagoras), wenn man beachtet, dass 0,8662 a0 2 MT 2 ¼ 0,75 (a0 MT )2 ist. Entsprechend der Biege-Hauptgleichung schreibt man s v ¼ Mv =W sb zul und entwickelt daraus mit W ¼ 0,1d 3 eine Gleichung fu¨r den erforderlichen Durchmesser einer Welle mit Kreisquerschnitt. Ebenso kann man bei Kreisquerschnitt verfahren und Werf ¼ Mv =s b zul ¼ 0,1d 3erf ð1 q4 Þ schreiben, wenn man q ¼ di =d setzt. Auf diese Weise erha¨lt man auch fu¨r den Kreisringquerschnitt eine Gleichung fu¨r den erforderlichen Aussendurchmesser d.

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mb 2 MT 2 þ 3a0 2 2 W 4W 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 3 sv ¼ Mb 2 þ ða0 MT Þ2 W 4 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 s v W ¼ Mb þ 0,75ða0 MT Þ2 sv ¼

Mv ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mb 2 þ 0,75ða0 MT Þ2

Vergleichsmoment

Zeichnerische Bestimmung des Vergleichsmoments Mv

derf ¼

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mv 3 0,1s b zul

derf

mm Nmm

gilt fu¨r Kreisquerschnitt

derf

Mv

s b zul N mm2

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mv 3 ¼ 0,1s b zul ð1 q 4 Þ

gilt fu¨r Kreisquerschnitt mit: q¼

Innendurchmesser di Außendurchmesser d

5.11.4.3 bung zu Biegung und Torsion Gegeben: Mb ¼ 416 Nm Der gefa¨hrdete Querschnitt einer Getriebewelle MT ¼ 200 Nm (Kreisquerschnitt) wird durch ein Biegemoment s b zul ¼ 60 N=mm2 , gewa¨hlt und ein Torsionsmoment beansprucht. Daraus sola0 ¼ 0,7 len Vergleichsmoment und Wellendurchmesser beGesucht: Mv und d stimmt werden. Fu¨r das Anstrengungsverha¨ltnis wird a0 ¼ 0,7 eingesetzt (siehe Seite 369). qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ

Mb 2 þ 0,75ða0 MT Þ2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mv ¼ ð416 103 NmmÞ2 þ 0,75ð0,7 200 103 NmmÞ2

Mv ¼

Lo¨sung: Die Lo¨sung macht keine Schwierigkeiten, weil hier nur mit den entwickelten Gleichungen zu arbeiten ist.

Aufgaben Nr. 939–949

Mv ¼ 43,3 104 Nmm ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v u433 103 Nmm Mv 3 u 3 ¼t derf ¼ N 0,1s b zul 0,1 60 mm2 derf ¼ 41,6 mm

dausgef u¨ hrt ¼ 42 mm ðNormmaßÞ

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

371

Lehrbeispiel: Berechnung einer Getriebewelle Aufgabenstellung:

iges

P = 8 kW

Rad 1

n = 960 min –1

Rad 3

¼ 48 ¼ 240 ¼ 72 ¼ 288

mm mm mm mm

°

i1

n1 960 min 1 ¼ ¼ ¼ 20 n4 48 min 1

II i2 Rad 2

durch zwei Zahnradpaare ermo¨glichen. Die Entwurfsberechnung ergab die Teilkreisdurchmesser: d1 d2 d3 d4

Welle I

70

Ein Getriebe mit Geradzahn-Stirnra¨dern (Eingriffswinkel a ¼ 20 ) soll eine Gesamtu¨bersetzung

III Rad 4

i1 ¼ 5 i2 ¼ 4

80

120

80

Getriebeskizze

Es wird die Aufgabe gestellt, den Durchmesser fu¨r die Getriebewelle II festzulegen, fu¨r die Werkstoff E335 verwendet werden soll. Da der Wirkungsgrad h fu¨r Zahnradgetriebe sehr gut ist (hier etwa h 0,96 ), kann er bei Festigkeitsrechnungen unberu¨cksichtigt bleiben.

Lo¨sung: Die zu u¨bertragenden Drehmomente ko¨nnen aus gegebener Antriebsleistung P ¼ 8 kW und Antriebsdrehzahl n ¼ 960 min 1 berechnet werden. M ¼ 9550

P n

P 8 ¼ 9550 Nm ¼ 79,583 Nm n 960 MII ¼ MI i1 ¼ 79,583 Nm 5 ¼ 397,915 Nm MI ¼ 9550

MIII ¼ MII i2 ¼ 397,915 Nm 4 ¼ 1591,66 Nm d

d 2

Fu

Aus den errechneten Drehmomenten ergeben sich die Umfangskra¨fte am Teilkreisumfang:

M

M ¼ Fu

d 2

Rad 1 I Fu2 F3

Wälzpunkt C1

Fu2 ¼

2MII 2 397,915 10 3 Nmm ¼ 3316 N ¼ 240 mm d2

Fu3 ¼

2MII 2 397,915 10 3 Nmm ¼ ¼ 11 053 N 72 mm d3

Die Umfangskra¨fte Fu2 und Fu3 sind Komponenten der in Eingriffsrichtung auf die Za¨hne wirkenden Zahnkra¨fte F2 und F3 . Der Eingriffswinkel betra¨gt a ¼ 20 .

Rad 2

a II

Rad 3

Beginn des Eingriffs

Wälzpunkt C3

a

F2

F3 =

a

Fu3 III

Rad 4 Wälzvorgang in C3 vergrößert

Fu3

Fu3 cos a Eing riffs linie C3

Ende des Eingriffs

372

5 Festigkeitslehre

Beachte: F3 ist die von Rad 4 auf Rad 3 ausgeu¨bte Kraft. Die Kraftrichtungen nach dem Gefu¨hl pru¨fen: Zahnrad 2 muss von Rad 1 nach unten, Rad 3 dagegen von Rad 4 nach oben gedru¨ckt werden.

F2 ¼

Fu2 3316 N ¼ 3529 N ¼ cos a cos 20

F3 ¼

Fu3 11 053 N ¼ 11 762 N ¼ cos a cos 20

Diese Za¨hnekra¨fte F2 und F3 beanspruchen die Welle II auf Verdrehung und Biegung: Man bringt in den Radmittelpunkten je zwei Kra¨fte F2 bzw. F3 an (zweite und vierte statische Grundoperation), dann ergibt sich je ein Kra¨ftepaar (Drehmoment MII ) und eine Einzelkraft (Biegekraft F2 und F3 ). Rad 1

Kräftepaar erzeugt + MII Biegekraft F3

F2

F3y

F3

F2x

40°

II

F3x

F2y

Biegekraft F2

Rad 4

Rad 2

Rad 3

20°

F2

II Kräftepaar erzeugt – MII

F3

III

Die Kra¨ftepaare ergeben Momente, die gleich groß sind und sich entgegenwirken: þMII MII ¼ 0; Welle II wird davon auf Verdrehung beansprucht. Die Komponenten Fx und Fy der Biegekra¨fte F2 und F3 sind aus dem Krafteck abzulesen: F2y ¼ F2 sin 40 ¼ F ¼ F cos 40 ¼

3529 N sin 40 ¼ 3529 N cos 40 ¼

2268 N

2703 N F3y ¼ F3 sin 20 ¼ 11 762 N sin 20 ¼ 4023 N F3x ¼ F3 cos 20 ¼ 11 762 N cos 20 ¼ 11 053 N 2x

2

Die perspektivische Belastungsskizze gibt Aufschluss u¨ber die Weiterentwicklung der Rechnung: Lager A FAx

Rad 2 Welle II

FAy F2x

80

12 0

F3x 80

Rad 3 F3y

F2y

FBy FBx Lager B

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

373

Man bestimmt nun die Stu¨tzkraft-Komponenten FAx , FAy , FBx , FBy mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen (aus Platzgru¨nden kann hier SM ¼ 0 nicht ausgeschrieben werden):

waagerechte Ebene

senkrechte Ebene

SMðAÞ ¼ 0 ¼ . . .

SMðAÞ ¼ 0 ¼ . . .

FBx FBx

F2x 80 mm þ F3x 200 mm ¼ 280 mm ¼ 8667 N

F3y 200 mm þ F2y 80 mm 280 mm ¼ 2226 N

FBy ¼ FBy

SFx ¼ 0 ¼ þFAx F2x F3x þ FBx

SFy ¼ 0 ¼ þFAy F2y þ F3y FBy

FAx ¼ 5089 N

FAy ¼ 471 N

Die Komponenten werden geometrisch addiert: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FA ¼ FAx 2 þ FAy 2 ¼ 5089 2 N 2 þ 4712 N 2 ¼ 5111 N FB ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FBx 2 þ FBy 2 ¼ 8667 2 N 2 þ 2226 2 N 2 ¼ 8948 N

Zur Ermittlung der gro¨ßten Biegebeanspruchung werden fu¨r die beiden Ebenen die Momentenfla¨chen gekennzeichnet und zu einer resultierenden Momentenfla¨che geometrisch addiert.

= 3,77 · 10 4 Nmm

M3x

= FBx · 80 mm = 69,3 · 10 4 Nmm

M2x

M2y = FAy · 80 mm

senkrechte Ebene F2y

Mres2

FBx

Mres

F3x

= FAx · 80 mm = 40,7 · 104 Nmm

F2x FAx

3

geometrische Addition

waagerechte Ebene

M3y = FBy · 80 mm = 17,8 · 104 Nmm

FBy F3y

FAy

Mres 3

Mres 2

resultierende Momentenfläche

Die gro¨ßte Biegebeanspruchung ist bei Rad 3 vorhanden. qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mb max ¼ Mres 3 ¼ M3x 2 þ M3y 2 Mb max ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ð69,3 10 4 NmmÞ2 þ ð17,8 10 4 NmmÞ2

Mb max ¼ 71,55 10 4 Nmm

374

5 Festigkeitslehre

Die Welle II wird beim Rad 3 beansprucht durch das Biegemoment

Mb max ¼ 71,55 10 4 Nmm und MT ¼ 39,79 10 4 Nmm.

das Torsionsmoment

Weil das Torsionsmoment MT ¼ MII in der Welle II von Rad 2 bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefa¨hrdete Querschnitt im Punkt der gro¨ßten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3. Das resultierende Moment Mv aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (¼ Vergleichsmoment) betra¨gt: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mv ¼ Mb 2 þ 0,75ða0 MT Þ2 Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor, also a0 ¼ 0,7 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mv ¼ ð71,55 10 4 NmmÞ2 þ 0,75ð0,7 39,79 10 4 NmmÞ2 Mv ¼ 75,51 10 4 Nmm Nach Abschnitt 5.11.4.2 (Seite 369) la¨sst sich das Vergleichsmoment Mv auch zeichnerisch bestimmen. Beachte: 0,866 a0 MT ¼ 0,866 0,7 MT ¼ 0,606 MT . Momentenmaßstab MM ¼ 15 10 4 (1 cm ¼ b 15 10 Nmm) 4

Nmm cm

0,606 MT

Mv

Mb max

Ergebnis: Mv ¼ 5 cm 15 10 4

Nmm ¼ 75 10 4 Nmm cm

Mit dem Vergleichsmoment Mv und der zula¨ssigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser bestimmt werden:

sv ¼

Mv sb zul W

W ¼ 0,1d 3 fur ¨ : ¨ den Kreisquerschnitt eingesetzt und nach d aufgel ost sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Mv N 3 gew ahlt s b zul ¼ 80 ¨ 0,1sb zul mm 2 vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u u75,51 10 4 Nmm 3 ¼ u t N 0,1 80 mm 2

derf ¼

derf

derf ¼ 45,53 mm

d ¼ 46 mm gew ahlt ðNormmaßÞ ¨

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit

375

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm Beim Zugversuch nach DIN EN 10002 wird eine Zugprobe allma¨hlich verla¨ngert und die dabei von der Zugpru¨fmaschine angezeigte Zugkraft F ermittelt. Aus der Zugkraft F wird die auf den Ausgangsquerschnitt A0 bezogene Zugspannung s z ¼ F=A0 berechnet. Ebenso aus der La¨ngena¨nderung Dl die auf die Messla¨nge l0 bezogene Dehnung e. Zu jeder berechneten Spannung geho¨rt ein bestimmter Dehnungswert. Tra¨gt man die Spannung s u¨ber der Dehnung e in ein rechwinkliges Achsenkreuz ein, dann erha¨lt man das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Bis zum Punkt E verha¨lt sich Stahl elastisch. Der zugeho¨rige Festigkeitswert ist ¨ die Elastizit atsgrenze s E . Bei anschließender Entlastung ist keine bleibende Dehnung festzustellen. Bis zum Punkt P ist der Spannungsanstieg gerad¨ linig, also gilt bis zur Proportionalit atsgrenze sP das Hooke’sche Gesetz s ¼ e E. Der Elastizita¨tsmodul E erscheint im schraffierten Dreieck als Tangens des Neigungswinkels der Spannungslinie (tan j ¼ b E). Die den Punkten P und E entsprechenden Festigkeitswerte (Proportionalita¨ts- und Elastizita¨tsgrenze) sind nicht leicht zu bestimmen. Anders dagegen ist es mit Punkt S (Streckgrenze Re ). Er ist durch einen plo¨tzlichen Spannungsabfall deutlich markiert (jedenfalls bei weichem Stahl) und erscheint in allen Festigkeitsangaben. Die Streckgrenze ist der wichtigste Festigkeitswert bei statischer (ruhender) Belastung. Den eigentu¨mlichen Zustand des Spannungsabfalls bei fortschreitender Verla¨ngerung des Stabes nennt man Fließen des Werkstoffes. Es gibt Werkstoffe ohne erkennbare Streckgrenze (z. B. legierte Sta¨hle). Als gleichwertigen Ersatz ermittelt man fu¨r diese Werkstoffe die 0,2 %Dehngrenze und nennt die dort wirkende Spannung Rp 0,2 .

Dehnung e ¼

e¼

Verl¨angerung Dl Ursprungsl¨ange l0

Dl l l0 ¼ l0 l0

e Dl, l, l0 1

mm

Spannungs-Dehnungs-Diagramm fu¨r Stahl (schematisch)

Zusammenfassung der Festigkeitswerte fu¨r Zugbeanspruchung (Tabelle 5.8, Seite 385): von geringerer s E Elastizit¨atsgrenze sP Proportionalit¨atsgrenze Bedeutung Re Streckgrenze, wichtigster Kennwert, fu¨r S235JR z. B. Re ¼ 235 N/mm2 Rm Zugfestigkeit fu¨r S235JR z. B. Rm 360 N/mm2

Rp 0,2 0,2 %-Dehngrenze ist die Spannung, bei der nach Entlastung der Zugprobe eine bleibende Dehnung e ¼ 0,2 % zuru¨ckbleibt.

376

5 Festigkeitslehre

5.12.2 Einflu¨sse auf die Festigkeit des Bauteils 5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit Die verschiedenen Beanspruchungsarten (Zug, Abscheren, Biegung usw.) rufen in den Bauteilen Spannungen verschiedener Richtung (Normal- und Schubspannungen) hervor. Auch die Spannungsverteilung u¨ber dem Querschnitt ist z. B. bei Zug und Biegung verschieden, so dass es einleuchtet, dass die Festigkeitswerte fu¨r die einzelnen Beanspruchungsarten zum Teil recht unterschiedlich sind. Den erheblichen Unterschied zwischen Zug- und Druckfestigkeit bei Gusseisen erkla¨rt der Gefu¨geaufbau: Die zwischen den Korngrenzen liegenden Graphitteilchen vermindern bei Zugbeanspruchung den Zusammenhang der Ko¨rner, wa¨hrend sie bei Druck mittragen. Stahl ha¨lt im Gegensatz zu Gusseisen bei Zugund Druckbeanspruchung gleich viel aus. Andere Festigkeitswerte werden von der Art der Beanspruchung beeinflusst. So a¨ndert sich beispielsweise die Streckgrenze bei E295 in folgender Weise: Re bei Zug ¼ 280 N/mm2 Re bei Biegung ¼ 350 N/mm2 Re bei Verdrehung ¼ 190 N/mm2

Beispiel: Die Zugfestigkeit Rm von GJL-200 bei Raumtemperatur betra¨gt (siehe Tabelle 5.9, Seite 385): Zugfestigkeit Rm ¼ 200 N/mm2 Druckfestigkeit sdB ¼ 720 N/mm2 Biegefestigkeit sbB ¼ 290 N/mm2

sdB 4 Rm

(gilt nur fu¨r GJL)

Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte ist die Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion) zu beru¨cksichtigen.

5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit Bei ho¨herer Temperatur als 20 ºC wird die Festigkeit des Werkstoffs vermindert. Zum Vergleich die Streckgrenzwerte fu¨r GJMW-400-5: Re bei 20 ºC ¼ 220 N/mm2 Re bei 200 ºC ¼ 180 N/mm2 Re bei 300 ºC ¼ 140 N/mm2

Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte ist die Temperatur zu beru¨cksichtigen.

5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit Die Festigkeit eines Bauteils ist nicht nur von der Beanspruchungsart wie Zug, Verdrehung usw. abha¨ngig; sie wird außerdem sehr stark beeinflusst durch die Belastungsart, d. h. durch den zeitlichen Verlauf der jeweils vorliegenden Spannung.

Beachte: Man unterscheidet drei idealisierte Belastungsfa¨lle: ruhende, schwellende und wechselnde Belastung (Fall I, II und III).

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit a) Ruhende (statische) Belastung Wird ein Blechband nach Skizze im Schraubstock in eine Richtung gebogen und dort festgehalten, liegt festigkeitstechnisch „statische“ oder „ruhende“ Belastung vor. Die Spannung s steigt dabei von null auf einen Ho¨chstwert an und bleibt dann gleich groß. Diese Belastungsart wird als Belastungsfall I bezeichnet. Er kann bei jeder Beanspruchungsart auftreten (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Man unterscheidet in der Zustandsbeschreibung zwischen Belastung und Beanspruchung. Fu¨r Festigkeitsrechnungen maßgebend ist die im Zugversuch nach DIN 10 020 ermittelte Streckgrenze Re oder die fu¨r festere Stahlsorten entsprechende 0,2 %-Dehngrenze Rp 0,2 (siehe 5.12.1) und Tabelle 5.8 (Seite 385). b) Schwellende (dynamische) Belastung Wird das Blechband fortwa¨hrend in eine Richtung gebogen und von dort in die Ausgangsstellung zuru¨ckgefu¨hrt, ist das „schwellende“ Belastung. Die Spannung s schwillt dabei zwischen null und einem Ho¨chstwert an und ab. Die Zeitdauer einer solchen Schwingung ist festigkeitstechnisch ohne Einfluss. Diese Belastungsart ist als Belastungsfall II bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart auftreten. Fu¨r Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch nach DIN 50 100 ermittelte Schwellfestigkeit sSch oder tSch maßgebend (Werte in Tabelle 5.8). c) Wechselnde (dynamische) Belastung Wird das Blechband fortwa¨hrend in entgegengesetzte Richtungen gebogen, ist das „wechselnde“ Belastung. Ebenso wie die Belastung F wechselt die Spannung s ihre Richtung zwischen gleich großen Plus- und Minuswerten. Auch hier ist die Schwingungsfrequenz festigkeitstechnisch ohne Einfluss. Diese Belastungsart ist als Belastungsfall III bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart auftreten.

377

Belastungsart ruhend

Belastungsart schwellend

Die Schwellfestigkeit ist diejenige Spannung, die ein schwellend belasteter, glatter, polierter Probestab dauernd ertra¨gt, ohne zu brechen.

Balastungsart wechselnd

378 Fu¨r Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch nach DIN 50 100 ermittelte Wechselfestigkeit s W oder tW maßgebend (Werte in Tabelle 5.8). Wie Tabelle 5.8 zeigt, ist die Wechselfestigkeit immer kleiner als die entsprechende Schwellfestigkeit: Ein wiederholt hin- und her gebogenes Bauteil bricht nach einer geringeren Anzahl Lastwechsel als ein schwellend belastetes Teil.

5 Festigkeitslehre

Die Wechselfestigkeit ist diejenige Spannung, die ein wechselnd belasteter, glatter, polierter Probestab dauernd ertra¨gt, ohne zu brechen.

5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit Die Festigkeitswerte s Sch , tSch , s W , tW aus dem Dauerschwingversuch nach DIN 50 100 werden mit dem Sammelbegriff „Dauerfestigkeit s D , tD “ bezeichnet. Man ermittelt sie an glatten, polierten Sta¨ben mit einem Durchmesser von 7 bis 15 mm, am ha¨ufigsten als Biegewechselfestigkeit s bW . Sollen die an Probesta¨ben gemessenen Festigkeitswerte auf Bauteile anderer Gro¨ße, Form und Oberfla¨che u¨bertragen werden, dann ist noch zu beachten: a) Gro¨ße und Dauerfestigkeit Die Dauerfestigkeitswerte nehmen vor allem bei Biegebeanspruchung mit steigendem Durchmesser ab. Bei Großteilen muss also mit kleineren Werten gerechnet werden. b) Form und Dauerfestigkeit Die meisten Bauteile weichen von der Form des Probestabs ab, hauptsa¨chlich durch Kerben jeder Form. Im erweiterten Sinn ist jede schroffe Querschnittsa¨nderung eine Kerbe. Die Kerbe ruft im Querschnitt o¨rtliche Spannungsspitzen hervor. Messungen zeigen, dass die Spannungsspitze im Kerbgrund ein Mehrfaches der rechnerischen Spannung betragen kann. Die rechnerische Spannung heißt Nennspannung s n . Die Spannungsspitze wird umso gro¨ßer, je spitzer die Kerbe ist; jedoch tritt nicht bei allen Werkstoffen die Spannungserho¨hung in gleichem Maß auf. Hochlegierte und geha¨rtete Sta¨hle sind am kerbempfindlichsten, Gusseisen und viele Leichtmetalllegierungen sind wenig kerbempfindlich.

Beispiele (siehe Tabelle 5.8, Seite 385): s b Sch, E335 ¼ 435 N/mm2 tt Sch, E295 ¼ 160 N/mm2 s z W, E360 ¼ 310 N/mm2 tt W, S235JR ¼ 105 N/mm2

Beachte: Die Beanspruchungsart wird mit kleinem, die Belastungsart mit großem Buchstaben gekennzeichnet.

Beispiele: 10 % weniger bei 20 mm Durchmesser 20 % weniger bei 30 mm Durchmesser 30 % weniger bei 50 mm Durchmesser 40 % weniger bei 100 mm Durchmesser Beispiele fu¨r Kerben: Wellenabsa¨tze, Keilnuten, Bohrungen, Naben.

Spannungsverlauf im Kerbquerschnitt (Belastungsart wechselnd, Beanspruchungsart Zug/Druck).

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit Die tatsa¨chliche o¨rtliche Spannungsspitze s max ist die Kerbspannung, die aus Nennspannung s n und so genannter Kerbwirkungszahl bk 1) berechnet wird.

379 smax ¼ sn bk

Jede Kerbe verringert demnach die Dauerfestigkeit des Bauteiles mehr oder weniger, wie man am Beispiel eines wechselnd auf Biegung beanspruchten Probestabs erkennen kann. s bWK ist die KerbWechselfestigkeit.

Beispiel: Biege-Wechselfestigkeit des glatten, polierten und des gekerbten (Index K) Stabes aus E295. s bW, glatt ¼ 245 N=mm2 ðTabelle 5:8; Seite 385Þ

Der festigkeitsmindernde Einfluss der Kerbe wird bei hochfesten Sta¨hlen besonders deutlich.

Beispiel: Fu¨r Federstahl betra¨gt: sbW ¼ 560 N=mm2 ðWechselfestigkeitÞ

sbWK ¼ 136,1 N=mm2

s bWK ¼ 270 N=mm2 ðKerb-Wechselfestigkeit)

Die Dauerfestigkeitswerte s Sch , s W , tSch , tW kennzeichnen diejenige Spannung, die ein glatter, polierter Probestab im Dauerschwingversuch (DIN 50100) dauernd ertra¨gt, ohne zu brechen. Die Kerb-Dauerfestigkeitswerte sSch K , s WK , tSch K , tWK geben diejenigen Spannungen an, die ein gekerbter Probestab im Dauerschwingversuch dauernd ertra¨gt, ohne zu brechen.

Mit bekannter Kerbwirkungszahl bk und Dauerfestigkeit kann die Kerb-Dauerfestigkeit berechnet werden. Angenommen, die Kerbwirkungszahl bk einer mit Lagerzapfen abgesetzten Welle aus E295 sei bekannt (bk ¼ 1,8). Die Welle wird wechselnd auf Biegung beansprucht. Dann kann mit dem Festigkeitswert aus Tabelle 5.8 (Seite 385), die Kerbwechselfestigkeit s bWK berechnet werden. c) Oberfla¨che und Dauerfestigkeit Die Probesta¨be sind poliert und gela¨ppt. Eine andere Oberfla¨chengu¨te setzt die Dauerfestigkeit des Bauteils herab. Oberfla¨chendru¨cken, Ha¨rten und Ziehen kann dagegen die Dauerfestigkeit deutlich erho¨hen. 1)

Das Verha¨ltnis von Dauerfestigkeit zur KerbDauerfestigkeit nennt man die Kerbwirkungszahl bk ¼

bk ¼

sD sDK

Dauerfestigkeit KerbDauerfestigkeit

Kerbwirkungszahl (Tabelle 5.7, Seite 385)

Die Kerbwirkungszahl bK ist abha¨ngig vom Werkstoff, von der Kerbform und von der Beanspruchungsart des gekerbten Stabes. sDK ¼

sD bk

Kerb-Dauerfestigkeit

Beispiel: s bW, E295 ¼ 245 N=mm2 (Tabelle 5.8) s bWK ¼

N s bW 245 mm2 N ¼ ¼ 136,1 mm2 bk 1,8

Hinweis: Man rechnet mit einem Abzug von 10 % bei geschliffener Oberfla¨che, von 20 % bei geschlichteter Oberfla¨che und von 30% bei Walz-, Glu¨h- oder Gusshaut.

Beachte: Zu den Rechnungen nach der FKM-Richtlinie (siehe 5.12.3.5) wird mit der Kerbwirkungszahl Kf gearbeitet.

380

5 Festigkeitslehre

5.12.3 Spannungsbegriffe 5.12.3.1 Nennspannung Berechnet man die Normal- oder Schubspannung (s, t) mit den klassischen Gleichungen der Festigkeitslehre (wie im Buch), z. B. die Normalspannung s z ¼ F=A in einem Zugstab, wird die Zuspannung als Zug-Nennspannung sz, n bezeichnet. Vereinbart gelten die Bedingungen: a) gleichma¨ßig verteilter Kraftfluss u¨ber dem belasteten Querschnitt, b) es treten nur elastische Verformungen auf, c) die Schnittfla¨chen bleiben dabei eben. 5.12.3.2 rtliche Spannung Bei den praktisch verwendeten Bauteilen treten die obigen Bedingungen selten zusammen auf. Die Bauteile weichen von der idealisierten Form des glatten, polierten Probestabs im genormten Zugversuch ab, z. B. durch Kerben aller Art (Rundkerbe, Spitzkerbe), durch Absa¨tze mit unterschiedlichen Abrundungsradien, durch Querbohrungen und Wanddurchbru¨che. Dadurch a¨ndern sich Verlauf und Dichte der Kraftflusslinien, sie werden an Querschnittsu¨berga¨ngen zusammengedra¨ngt und die auftretende Spannung wird um eine Formzahl gro¨ßer als die berechnete Nennspannung sz, n ¼ F=A. Diese Spannung nennt man o¨rtliche Spannung oder Kerbspannung. 5.12.3.3 Zula¨ssige Spannung Die zula¨ssige Spannung wird zur Bestimmung geometrischer Gro¨ßen am Bauteil gebraucht. Beispielsweise soll der erforderliche Querschnitt Aerf (Durchmesser d) eines Zugankers aus Stahl S235JR bei gegebener maximaler Zugkraft Fmax ¼ 50 MN ermittelt werden. Es liegt schwellende Belastung vor. Fu¨r die Zugbeanspruchung gilt die Nennspannungsgleichung s z, n ¼ F=A oder Aerf ¼ Fmax=s z zul . Zur Wahl der zula¨ssigen Spannung s z zul wird der Werkstoffkennwert Kw des Werkstoffs zugrunde gelegt. Bei ruhender Belastung wa¨re dies die Streckgrenze Re des Werkstoffs: Kw ¼ Re ¼ 235 N/mm2 (Tabelle 5.8, Seite 385 fu¨r S235JR). In festigkeitstechnische Entwurfsberechnungen fu¨hrt man den Ausnutzungsgrad n < 1 ein und setzt s z zul ¼ s z Entwurf ¼ n Kw ¼ n Re . Bei dynamischer Belastung wird als Werkstoffkennwert Kw die Schwell- oder Wechselfestigkeit (Tabelle 5.8) eingesetzt (Kw ¼ s z Sch oder s z, dW). Mit sz Sch, S235JR ¼ 158 N=mm2 und Ausnutzungsgrad n ¼ 0,8 fu¨r schwellende Belastung und geschmiedetes Bauteil erha¨lt man den gesuchten erforderlichen Durchmesser derf ¼ 22,5 mm. Weitere Rechnungen werden mit dem na¨chst ho¨heren Normmaß dNorm ¼ 25 mm durchgefu¨hrt.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm (schematisch)

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4Fmax ¼ p n s z; Sch sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 50 103 N mm2 ¼ 22,5 mm ¼ p 0,8 158 N

derf ¼

dNorm ¼ 20

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit

381

5.12.3.4 Berechnungen im Buch Aufgaben zur Festigkeitslehre werden im Lehrbuch (Beispiele, bungen) und im Lo¨sungsbuch zur Aufgabensammlung1) auf folgenden Wegen gelo¨st: a) Gestalt und Bemaßung des Bauteils sind in einer Konstruktionsskizze dargestellt: Mit den Gesetzen der Statik werden die von außen auf das Bauteil einwirkenden Kra¨fte F (Normal- und Querkra¨fte) und Momente M (Dreh-, Biege- und Torsionsmomente) ermittelt. Mit diesen Gro¨ßen lassen sich die inneren Kra¨fte und Momente bestimmen (siehe 5.1.7, Seite 271). Daraus ko¨nnen die auftretenden Nennspannungen svorh und tvorh und die Forma¨nderungen (z. B. La¨ngena¨nderungen Dl ) am vorhandenen Bauteil berechnet werden. b) Vom geplanten Bauteil sind die Hauptmaße fu¨r eine Entwurfsskizze zu berechnen: Die Hauptabmessungen wie Kantenla¨ngen l oder Durchmesser d am Entwurf werden mit einer zula¨ssigen Spannung s zul und tzul ermittelt. Man nennt diese Entwurfsberechnung das „Dimensionieren“ des Bauteils. Dazu ist eine „zula¨ssige“ Spannung vorzugeben (s zul ¼ s Entwurf ), die aus Tabellen entnommen oder aus Erfahrungswerten festgelegt werden kann. Fu¨r die Festigkeitsrechnungen im Lehrbuch und fu¨r die entsprechenden Aufgaben in der Aufgabensammlung werden die Bezeichnungen s zul ¼ sEntwurf methodisch gleichwertig verwendet. 5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau Ziel aller Festigkeitsrechnungen ist die Ermittlung der vorhandenen Spannung und der Nachweis, dass ein konstruiertes Bauteil mit Sicherheit „ha¨lt“. So muss seine geforderte oder erwartete Tragfa¨higkeit unter allen denkbaren Umsta¨nden gewa¨hrleistet sein, es darf z. B. auch bei Dauerbelastung in der vorgeschriebenen Lebensdauer nicht brechen oder seine Form bleibend so vera¨ndern, dass es seine Funktion nicht mehr ausreichend erfu¨llt. Das gilt fu¨r den Maschinen- und Gera¨tebau ebenso wie fu¨r den Stahlbau- und Stahlhochbau (Bru¨cken- und Geba¨udebau) , den Schiffs- und Flugzeugbau. Am Ende dieser Berechnungen steht der Zahlenwert fu¨r die „Sicherheit S geforderter Mindestsicherheit Smin“. Die Festigkeitsrechnung beginnt mit dem Festlegen der Entwurfs- oder Dimensionierungsspannung s Entwurf szul. Damit werden die Hauptmaße der Konstruktion berechnet, z. B. der Durchmesser einer Welle an einer bestimmten Stelle, dem sog. gefa¨hrdeten Querschnitt. Mit der Wahl des Werkstoffs liegen die Festigkeitsgro¨ßen vor, z. B. die Zug-, Druck-, Biegeund Torsions-Wechselfestigkeit (s zW, s dW, sbW, ttW) oder die entsprechenden 0,2%-Dehngrenzen (Rp 0,2). Diese aus Tabellen greifbaren Werte sind an genormten (glatten, polierten) Probesta¨ben ermittelt worden (also nicht am Maschinenbauteil selbst) oder an Bauteilen mit anderer Oberfla¨chenbeschaffenheit, anderer Form usw. Zur Ermittlung der sog. Gestaltfestigkeit werden Faktoren K in die Berechnung der Sicherheit SD gegen Dauerbruch (Dauerhaltbarkeit) oder gegen bleibende Verformung (Fließgrenze) eingefu¨hrt, z. B. der Rauheitsfaktor KFs oder die Kerbwirkungszahl Kf, die aus der Kerbformzahl Kt berechnet werden kann. Auf diese Weise wird z. B. die Biegewechselfestigkeit des Probestabs s bW in die Biegewechselfestigkeit s bWK des gekerbten Stabs umgerechnet. 1)

Lo¨sungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik, Bo¨ge/Schlemmer, 14. Auflage 2009, Vieweg þ Teubner

382

5 Festigkeitslehre

Die dazu erforderlichen Rechnungsga¨nge, Methoden und Tabellen liegen unter anderem vor in: FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fu¨r Maschinenbauteile, 5. erweiterte Ausgabe 2003, VDMA Verlag; DIN 743 Tragfa¨higkeitsberechnung von Wellen und Achsen, Oktober 2000; VDI-Richtlinie, VDI 2230: Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen.

5.12.4 Dauerbruchsicherheit 5.12.4.1 Sicherheit SD bei ruhender Belastung Ruhende Belastung ist im Maschinenbau selten. Der zugeho¨rige Festigkeitswert ist fu¨r Baustahl die Streckgrenze Re des verwendeten Werkstoffs und der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergu¨tungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze Rp 0,2 (siehe 5.12.1). Eine bersicht gibt Tabelle 5.8. Bei Werkstoffen ohne ausgepra¨gte Fließgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit Rm und die Bruchfestigkeiten s dB , s bB aus Tabelle 5.9 verwendet.

SD ¼

Re Rp 0;2 ¼ Smin ¼ 1,5 sn sn

(gilt fu¨r Stahl; s n Nennspannung)

SD ¼

Rm Smin ¼ 2,0 sn

(gilt fu¨r Gusseisen)

Kerbwirkungen sind beim Belastungsfall I (ruhend) nicht zu beru¨cksichtigen. Die Bruchgefahr wird bei Ruhelast durch Kerben nicht erho¨ht, sondern durch Stu¨tzwirkung weniger belasteter Stoffteilchen eher vermindert. Bei GJL (Lamellengusseisen) ist die Kerbwirkung durch das schon von Graphitteilchen vorgekerbte Gefu¨ge selbst bei dynamischer Belastung (schwellend, wechselnd) kaum spu¨rbar (Kerbwirkungszahl bk ¼ 1). 5.12.4.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung Schwellende und wechselnde Belastung tritt im Maschinenbau am ha¨ufigsten auf. Der zugeho¨rige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit sD des verwendeten Werkstoffs bei der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug=Druck, Biegung, Torsion).

SD ¼

s D b1 b2 Smin ¼ 1,2 bk sn

(fu¨r Bauteile mit Kerbwirkung) s n Nennspannung, b1 Oberfla¨chenbeiwert, siehe Diagramm, b2 Gro¨ßenbeiwert, siehe Diagramm, bk Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7 (Seite 385).

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit

383

Die Dauerfestigkeit sD des Probestabs wird durch die Faktoren b1, b2, bk verringert, sie erhalten in der neueren Literatur1) zum Teil andere Bezeichnungen z. B. Kf, b statt bk, b fu¨r die Kerbwirkungszahl bei Biegebeanspruchung. Die vorhandene Sicherheit vvorh la¨sst sich mit der Dauerfestigkeit, der Nennspannung s n und den beiden Beiwerten fu¨r Oberfla¨chen- und Gro¨ßeneinfluss sowie der Kerbwirkungszahl bk bestimmen. Die Nennspannung s n ist die Spannung, die mit Hilfe der bekannten Hauptgleichungen berechnet wurde. Der Oberfla¨chenbeiwert b1 beru¨cksichtigt das Zuru¨ckgehen der Dauerfestigkeit durch Oberfla¨chenrauigkeiten (Schleif- oder Drehriefen, Poren, Walznarben).

vvorh ¼

sD b1 b2 ¼ mindestens 1,2 sn

bei Bauteilen ohne Kerbwirkung vvorh ¼

sD b1 b2 ¼ mindestens 1,2 sn bk

bei Bauteilen mit Kerbwirkung, bk bekannt

Der Gro¨ßenbeiwert b2 beru¨cksichtigt das Zuru¨ckgehen der Dauerfestigkeit mit zunehmender Baugro¨ße. b2 kann nur fu¨r Wellen angegeben werden.

5.12.5 bungen zur Dauerfestigkeit 1. bung: Ein Bauteil aus S235JR wird durch F ¼ 6000 N schwellend auf Zug beansprucht. Gefa¨hrdeter Querschnitt A ¼ 100 mm2 Kerbwirkungszahl bk ¼ 3,1. Die vorhandene Sicherheit und die maximale Spannung sollen berechnet werden. Lo¨sung: Die Nennspannung s n wird immer aus den bekannten Hauptgleichungen berechnet, hier also aus der Zug-Hauptgleichung.

1)

Gegeben: Werkstoff S235JR Zugkraft F ¼ 6000 N Belastungsfall II (schwellend) Querschnitt A ¼ 100 mm2 Kerbwirkungszahl bk ¼ 3,1 Gesucht: Vorhandene Sicherheit SD; vorh Spannungsspitze smax sn ¼

F 6000 N N ¼ 60 ¼ A 100 mm2 mm2

z. B. FKM-Richtlinie fu¨r den rechnerischen Festigkeitsnachweis, siehe Seite 382

384 Aus Tabelle 5.8 wird die Zug-Schwellfestigkeit des Werkstoffs S235JR entnommen (s z Sch ¼ 158 N=mm2 ) und bestimmt damit die vorhandene Sicherheit. Die Spannungsspitze ist das Produkt aus Nennspannung und Kerbwirkungszahl. Die Rechnung zeigt, dass smax > s z Sch ist.

5 Festigkeitslehre

vvorh

s z Sch ¼ ¼ sn bk

158 60

s max ¼ sn bk ¼ 60

N mm2

N 3,1 mm2

N N 3,1 ¼ 186 mm2 mm2

Abschließend bestimmt man noch die Festigkeit des gekerbten Bauteils, die Kerb-Dauerfestigkeit s DK . Sie soll gro¨ßer sein als die geforderte Mindestsicherheit Smin ¼ 1,2.

s DK ¼ s z Sch K

2. bung: Fu¨r eine auf Biegung schwellend beanspruchte Achse aus S275JO ist die vorhandene Sicherheit Svorh zu ermitteln. Der Querschnitt ist durch eine SicherungsringKerbe geschwa¨cht.

Gegeben: Werkstoff S275JO Belastungsfall II Biegebeanspruchung Durchmesser d ¼ 50 mm Gesucht: Sicherheit gegen Dauerbruch

sz Sch ¼ ¼ bk

N 0,85 0,7 mm2 ¼ 2,5 > Smin N 3 25,5 mm2

sn b1 b2 bk

3. bung: Der gefa¨hrdete Querschnitt des skizzierten Flachstabs wird mit einer Zugspannung (Nennspannung) s z, n ¼ 60 N/mm2 schwellend beansprucht. Zu ermitteln ist die Sicherheit SD gegen Dauerbruch.

Gegeben: Werkstoff S235JR Belastungsfall II Zugbeanspruchung Nennspannung 60 N/mm2

Lo¨sung: Mit s z Sch ¼ 158 N=mm2 aus Tabelle 5.8 und bk ¼ 1,8 aus Tabelle 5.7 fu¨r Flachsta¨be mit Querbohrung sowie b1 ¼ 0,8 (geschruppt) und b2 ¼ 1 (gescha¨tzt) ist die Sicherheit SD vorh ¼ 1,17 < Smin ¼ 1,2.

Gesucht: Sicherheit SD

320

N N mm2 ¼ 51 mm2 3,1

158

Lo¨sung: Aus Tabelle 5.8 wird die Schwellfestigkeit s b Sch ¼ 320 N=mm2 entnommen, aus Tabelle 5.7 die Kerbwirkungszahl bk 3 fu¨r Sicherungskerben. Die vorhandene Nennspannung betra¨gt mit d ¼ 50 mm s n ¼ 25,5 N/mm2 . Mit dem Oberfla¨chenwert b1 ¼ 0,85 (geschlichtet) und mit dem Gro¨ßenbeiwert b2 ¼ 0,7 (fu¨r 40 . . . 120 mm) kann die Sicherhet SD gegen Dauerbruch berechnet werden. Die vorhandene Sicherheit ist gro¨ßer als die Mindestsicherheit: SD vorh ¼ 2,5 > Smin ¼ 1,2.

s D b1 b2 ¼ SD ¼ bk sn

¼ 0,85

Nennspannung, Oberfla¨chenbeiwert, siehe Diagramm, Gro¨ßenbeiwert, siehe Diagramm, Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7.

s D b1 b2 SD ¼ ¼ bk sn

N 0,8 1,0 mm2 ¼ 1,17 N 1,8 60 mm2

158

5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit

385

Tabelle 5.7 Richtwerte fu¨r die Kerbwirkungszahl bk bk

Beanspruchung

Werkstoff

Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung fu¨r Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Querbohrung in Achse (Schmierloch) Bohrung in Flachstab Bohrung in Flachstab Welle an bergangsstelle zu festsitzender Nabe

Biegung Verdrehung Biegung und Verdrehung Biegung Verdrehung Biegung Biegung Verdrehung Verdrehung Biegung und Verdrehung Zug Biegung Biegung und Verdrehung

1,5 . . . 2,2 1,3 . . . 1,8 3...4 S235JR-E335 1,5 . . . 2,0 1,3 . . . 1,8 1,5 CrNiSt 1,8 S235JR-E335 2,3 CrNiSt 2,8 1,4 . . . 1,7 S235JR-E335 1,6 . . . 1,8 1,3 . . . 1,5 2

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

Kerbform

Tabelle 5.8 Festigkeitswerte fu¨r Sta¨hle (alle Werte in N/mm2) Werkstoff

Rm 360 430 490 510 590 690 1100 1200 900

S235JR S275JO E295 S355JO E335 E360 50 CrMo42) 20 MnCr53) 34 CrAlNi74) 1) 5)

Re , Rp 0,2 s zd Sch 235 275 295 355 335 360 900 850 680

158 185 205 215 240 270 385 365 335

s zd W 160 195 220 230 265 310 495 480 405

sb Sch5Þ s b W tt Sch6Þ 270 320 370 380 435 500 785 765 650

180 215 245 255 290 340 525 510 435

115 140 160 165 200 220 350 335 300

tt W 105 125 145 150 170 200 315 305 260

Elastizita¨ts- Schubmodul E modul G 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000

80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000

Richtwerte fu¨r dB < 16 mm, 2) Vergu¨tungsstahl, 3) Einsatzstahl, 4) Nitrierstahl, berechnet mit 1,5 s bW , 6) berechnet mit 1,1 ttW

Tabelle 5.9 Festigkeitswerte fu¨r Gusseisen (alle Werte in N/mm2) Werkstoff

Rm Re , Rp 0,2 s dB

s bB

s zdW

s bW

ttW

GJL-150 GJL-200 GJL-250 GJL-300 GJL-350 GJMW-400-5 GJMB-350-10

150 200 250 300 350 400 350

250 290 340 390 490 800 700

40 50 60 75 85 120 1000

70 90 120 140 145 140 120

60 75 100 120 125 115 100

90 130 165 195 228 220 200

600 720 840 960 1080 1000 1200

Elastizita¨tsmodul E Schubmodul G 82 000 100 000 110 000 120 000 130 000 175 000 175 000

35 000 40 000 43 000 49 000 52 000 67 000 67 000

Diese Werte gelten fu¨r 15–30 mm Wanddicke; fu¨r 8–15 mm 10 % ho¨her, fu¨r > 30 mm 10 % niedriger; Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; fu¨r Gusshaut 20 % Abzug.

386

6 Fluidmechanik (Hydraulik) Formelzeichen und Einheiten1) m p qm qV Re t V w a z h h l m m v r j

kg N/m2 ¼ Pa, bar kg/s m3/s 1 s m3 m/s 1 1 1 Ns/m2 ¼ kg/ms 1 1 1 m2/s kg/m3 1

Masse Druck Massenstrom Volumenstrom Reynolds’sche Zahl (Re-Zahl) Zeit Volumen Stro¨mungsgeschwindigkeit Durchflusszahl bei Blenden Widerstandszahl eines einzelnen Hindernisses in Rohrleitungen Wirkungsgrad dynamische Viskosita¨t Widerstandszahl fu¨r Rohrleitung Reibungszahl zwischen Kolben und Dichtung Ausflusszahl kinematische Viskosita¨t; v ¼ h=r Dichte Geschwindigkeitszahl

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) 6.1.1 Eigenschaften der Flu¨ssigkeiten Flu¨ssigkeiten unterscheiden sich von festen Ko¨rpern durch leichte Verschiebbarkeit der Teilchen. Wa¨hrend bei festen Ko¨rpern vielfach erhebliche Kra¨fte no¨tig sind, um ihre Form zu a¨ndern, ist die Forma¨nderung einer Flu¨ssigkeit ohne Krafteinwirkung mo¨glich, wenn nur hinreichend Zeit zur Verfu¨gung steht. Bei raschem Formwechsel ist auch bei Flu¨ssigkeiten ein Widerstand spu¨rbar; er hat seine Ursache in der „Za¨higkeit“ (Viskosita¨t) und der Massentra¨gheit. In Ruhezusta¨nden oder bei sehr langsamen Bewegungen darf der Widerstand gegen Forma¨nderung gleich null gesetzt werden.

Hinweis: Fluid ist die u¨bergeordnete Bezeichung fu¨r Flu¨ssigkeiten, Gase und Da¨mpfe. Das Wort „Hydraulik“ kommt aus dem Griechischen: hydro ¼ Wasser. Im u¨bertragenen Sinn spricht man von „Hydraulik“ auch bei Verwendung anderer Flu¨ssigkeiten, wie z. B. l (lhydraulik). Die Hydraulik behandelt alle Vorga¨nge, bei denen Kra¨fte und Bewegungen durch eine Flu¨ssigkeit u¨bertragen werden. Die Flu¨ssigkeit ist der Energietra¨ger, z. B. im hydraulischen Getriebe, bestehend aus den hydraulischen Elementen Pumpe, Motor und Leitung.

Der widerstandslosen Forma¨nderung der Flu¨ssigkeiten steht ihr großer Widerstand bei Volumena¨nderung gegenu¨ber. Beispielsweise wird es nicht gelingen, 1 Liter Wasser in ein Gefa¨ß von 1/2 Liter hineinzupressen. Ebensowenig ist es mo¨glich, 1/2 Liter Wasser auf ein Volumen von einem Liter auszudehnen. Erst bei sehr hohen Dru¨cken ist eine kleine Volumena¨nderung messbar, z. B. in Einspritzleitungen von Dieselmotoren. Wasser dru¨ckt sich bei einem Druck von 1000 bar um ca. 5 % zusammen. Sto¨ße und Dru¨cke werden daher in unvermindeter Sta¨rke u¨bertragen, z. B. Wasserschla¨ge in Rohrleitungen und Dru¨cke in hydraulischen Pressen. 1)

siehe Fußnote Seite 1

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik)

387

6.1.2 Hydrostatischer Druck (Flu¨ssigkeitsdruck, hydraulische Pressung) In der Festigkeitslehre nennt man die im Inneren eines festen Ko¨rpers je Fla¨cheneinheit aufzunehmende Kraft die Spannung. Die Spannung in einer ruhenden Flu¨ssigkeit heißt hydrostatischer Druck oder kurz Druck p.

Der hydrostatische Druck ist die je Fla¨cheneinheit von außen (oder in ihrem Inneren) auf eine Flu¨ssigkeit wirkende Kraft. Die Einheit des Druckes ergibt sich aus der Definitionsgleichung p ¼ F=A: Sie ist der Quotient aus einer Krafteinheit und einer Fla¨cheneinheit.

Die gesetzliche und internationale Einheit (SI-Einheit) des Druckes p ist das Newton je Quadratmeter. Einheitenname: Pascal mit dem Kurzzeichen Pa: 1

N ¼ 1 Pa m2

Die fru¨her gebra¨uchliche Druckeinheit kp/cm2 ¼ at ist ungefa¨hr so groß wie das Bar (1 at 1 bar).

Beachte: Der Druck p steht immer rechtwinklig auf der betrachteten Fla¨che.

p¼

Kraft F Fl¨ache A

hydrostatischer Druck

ðpÞ ¼

p

F

A

N m2

N

m2

ðFÞ N ¼ Nm2 ¼ Pascal ðPaÞ ¼ ðAÞ m2

Hinweis: Weitere gesetzliche Einheiten sind N 1 MPa (Megapascal) ¼ 106 Pa ¼ 106 2 m N 1 bar (Bar) ¼ 105 Pa ¼ 105 2 m Einheitenname nach Blaise Pascal, 1623–1662

1 bar ¼ 10

N kp 1 ¼ 1 at : cm2 cm2

6.1.3 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit ohne Beru¨cksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz Jede Flu¨ssigkeit hat eine Masse und folglich auch eine Schwerkraft, die Gewichtskraft FG . In vielen Fa¨llen, z. B. bei hohen Dru¨cken, braucht man sie nicht zu beru¨cksichtigen. Man stellt sich im Inneren einer Flu¨ssigkeit einen flachliegenden „Flu¨ssigkeitsquader“ vor. Es ist kein Fehler, wenn dieser „Flu¨ssigkeitsko¨rper“ als erstarrte Flu¨ssigkeit betrachtet wird und die Gesetze der Statik starrer Ko¨rper auf ihn anwendet.

388 Es soll das Gleichgewicht gegen Verschieben la¨ngs der Prismenachse betrachtet werden wobei man zuna¨chst annimmt, dass die Dru¨cke auf die Stirnseiten (p1 und p2 ) verschieden groß sind. Da die Druckkra¨fte auf den Seitenfla¨chen immer rechtwinklig auf diese Fla¨chen wirken, tragen sie zu den Kra¨ften F1 und F2 auf die Stirnfla¨chen nichts bei. Da der Quader in der Flu¨ssigkeit ruht, muss fu¨r die auf die Stirnfla¨chen wirkenden Kra¨fte F1 und F2 die Gleichgewichtsbedingung S F ¼ 0 erfu¨llt sein. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der Druck an beiden Stirnseiten gleich ist. Dasselbe muss auch fu¨r die anderen einander gegenu¨berliegenden Fla¨chen gelten. Daraus ergibt sich das von Pascal aufgestellte Druck-Ausbreitungsgesetz: Der Druck, der auf irgendeinen Teil einer abgesperrten Flu¨ssigkeit ausgeu¨bt wird, breitet sich nach allen Richtungen hin gleichma¨ßig aus.

6 Fluidmechanik (Hydraulik) Beachte: Weil p ¼ F=A ist, ist auch F ¼ p A, also F1 ¼ p1 A und F2 ¼ p2 A.

S F ¼ 0 ¼ F1 F2 ¼ p1 A p2 A p1 A ¼ p2 A ! p1 ¼ p2 d. h. es herrscht Druckgleichheit: p1 ¼ p2 ¼ p3 ¼ . . .

Beachte: Das Druck-Ausbreitungsgesetz, also Druckgleichheit an jeder Stelle der Flu¨ssigkeit, gilt nur ohne Beru¨cksichtigung der Schwerkraft der Flu¨ssigkeit.

6.1.4 Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes 6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock An das vollsta¨ndig mit Wasser gefu¨llte Gefa¨ß eines Wasserdruckhebebocks sind zwei Zylinder angeschlossen, in denen Kolben gleiten. Die Kolbenfla¨chen sind A1 und A2 . Auf den Kolben mit der Fla¨che A1 wirkt die Triebkraft F1 . Es sollen die Beziehungen zwischen den Kolbenkra¨ften, Kolbenfla¨chen und Kolbenwegen untersucht werden. Der Druck in der abgeschlossenen Flu¨ssigkeit ist u¨berall gleich groß. Man kann ihn aus Triebkraft F1 und Triebkolbenfla¨che A1 oder aus der Last F2 und der Lastkolbenfla¨che A2 berechnen. Hat der Triebkolben einen kleineren Durchmesser als der Lastkolben, kann man mit kleiner Triebkraft gro¨ßere Lasten heben.

Hydraulischer Hebebock

p¼

F1 F2 Fn ¼ ¼ ... ¼ A1 A2 An

F1 A1 ¼ F2 A2

Die Kolbenkra¨fte verhalten sich zueinander wie die Kolbenfla¨chen.

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik)

389

Bewegt sich der Triebkolben um die Strecke s1 nach unten, so verdra¨ngt er das Volumen V ¼ A1 s1 . Das vom Triebkolben verdra¨ngte Volumen muss gleich dem vom Lastkolben freigegebenen Raum V ¼ A2 s2 sein.

V ¼ A1 s1 ¼ A 2 s2

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der berlegung, dass die Triebarbeit W ¼ F1 s1 gleich der Lastarbeit W ¼ F2 s2 sein muss, wenn die Reibung unberu¨cksichtigt bleibt. Fu¨r F ¼ p A eingesetzt ergibt sich fu¨r das Verha¨ltnis der Kolbenwege s1 =s2 ¼ A2 =A1 . Wird in die zuletzt gefundene Gleichung schließlich fu¨r die Fla¨che A1 ¼ pd1 2 =4 und fu¨r die Fla¨che A2 ¼ pd2 2 =4 eingesetzt, dann erha¨lt man die Beziehung zwischen Kolbenwegen und Kolbendurchmessern.

W ¼ F 1 s1 ¼ F 2 s2

bung: Mit einem hydraulischen Hebebock soll am Lastkolben eine Kraft von 80 kN erzeugt werden. Mit einer entsprechenden Hebelu¨bersetzung wird auf den Triebkolben eine Triebkraft von 1,2 kN ausgeu¨bt. Der hydrostatische Druck im Beha¨lter soll 45 bar betragen. Ohne Beru¨cksichtigung der Reibung sind die Durchmesser der beiden Zylinder zu bestimmen. Außerdem ist die erforderliche Hebelu¨bersetzung fu¨r eine Handkraft von 150 N zu berechnen.

Gegeben: Hubkraft Triebkraft Druck Handkraft

Lo¨sung: Aus dem hydrostatischen Druck p, der Triebkraft F1 und der Hubkraft F2 ko¨nnen mit Hilfe der Druckgleichung die Kolbenfla¨chen A1 und A2 und daraus die Zylinderdurchmesser d1 und d2 berechnet werden. Man setzt fu¨r N 1 kN ¼ 10 N und 1 bar ¼ 10 2 m 3

p A1 s1 ¼ pA2 s2 s1 A 2 ¼ s2 A 1 s1 A2 p d2 2 =4 ¼ ¼ s2 A1 p d1 2 =4 Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Quadrate der Kolbendurchmesser.

s1 d2 2 ¼ s2 d1 2

F2 F1 p F

¼ 80 kN ¼ 80 103 N ¼ 1,2 kN ¼ 1; 2 103 N ¼ 45 bar ¼ 45 105 N/m2 ¼ 150 N

Gesucht: Triebkolbendurchmesser d1 Lastkolbendurchmesser d2 Hebelu¨bersetzung i

p¼ A1 ¼

F1 A1

daraus erh¨alt man

F1 1,2 103 N ¼ 2,67 104 m2 ¼ p 45 105 N=m2

A1 ¼ 267 mm2

5

in die Gleichungen ein und erha¨lt die Kolbenfla¨chen in der Einheit m2. Mit 106 m2 ¼ 1 mm2 kann dann umrechnet werden. Die erforderliche Hebelu¨bersetzung i dru¨ckt man durch das Verha¨ltnis der Triebkraft F1 zur Handkraft F aus.

Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Kolbenfla¨chen.

s1 A 2 ¼ s2 A 1

p¼ A2 ¼

F2 A2

d1 ¼ 18,4 mm

daraus erh¨alt man

F2 80 103 N ¼ ¼ 1,778 102 m2 p 45 105 N=m2

A2 ¼ 17 780 mm2 i¼

d2 ¼ 150,5 mm

F1 1200 N ¼ ¼8:1 F 150 N

390

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

6.1.4.2 Druckkraft auf gewo¨lbte Bo¨den Der zylindrische Kessel wird in Richtung seiner La¨ngsachse durch die beiden Kra¨fte F1 und F2 belastet. Beide Kra¨fte sind gleich groß und werden aus dem inneren berdruck p und der kreisfo¨rmigen Querschnittsfla¨che berechnet. Die Querschnittsfla¨che ist die Projektion der gewo¨lbten Bo¨den auf eine Ebene rechtwinklig zur Kraftrichtung. Im technischen Anwendungsbereich sind die Dru¨cke meist in bar und die Durchmesser in mm oder cm gegeben. Man sollte diese Gro¨ßen wie in der vorangegangenen bung vor der Rechnung in die koha¨renten Einheiten umrechnen. Um die dabei mo¨glichen Fehler zu vermeiden, kann man aber auch eine Zahlenwertgleichung benutzen, in die der Druck in bar und der Durchmesser in mm unmittelbar eingesetzt werden.

F1 ¼ F2 ¼ p

p 2 d 4

F1 , F2 N

F1 ¼ F2 ¼ 0,1p

p 2 d 4

p

d

Pa ¼

N m m2

F1 , F2

p

N

d

bar mm

Zahlenwertgleichung

6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrla¨ngsnaht Die Kraft F, die einen Kessel oder ein Rohr in radialer Richtung auseinanderzureißen versucht, wird in a¨hnlicher Weise berechnet wie die Axialkraft auf gewo¨lbte Bo¨den. Die projezierte Fla¨che ist ein Rechteck mit den Seitenla¨ngen d (lichter Durchmesser) und l (Kessel- oder Rohrla¨nge). Aus der Beziehung p ¼ F=A ergibt sich die Gleichung fu¨r die Kraft F.

p¼

F F ¼ A dl

F ¼ pd l

Auch hier kann eine Zahlenwertgleichung benutzt werden in die man den Druck p in bar, den Durchmesser d und die La¨nge l in mm einsetzt.

Ist s die Wanddicke des Kessels oder Rohrs, dann erzeugt die Radialkraft F in zwei einander gegenu¨berliegenden La¨ngsna¨hten die Zugspannung s ¼ F=A ¼ F=2 s l. Wird in diese Gleichung fu¨r F ¼ p d l eingesetzt, dann erha¨lt man schließlich eine Gleichung fu¨r die erforderliche Wanddicke s bei gegebener zula¨ssiger Spannung s zul .

F ¼ 0,1p d l

F

p

d, l

N

Pa ¼

N m2

m

F

p

d, l

N

bar

mm

Zahlenwertgleichung F A pd l s¼ 2sl

s¼

serf ¼

pd 2 s zul

Wanddicke

A Bruchfla¨che beim Auseinanderreißen; es entstehen zwei Bruchfla¨chen A ¼ 2 s l. Daraus folgt die erforderliche Wanddicke: s

p

m Pa ¼

N m2

d

s zul

m

N m2

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) Gebra¨uchlich ist eine Zahlenwertgleichung mit der zula¨ssigen Zugspannung in N/mm2.

391

serf ¼

pd 20 s zul

s

p

d

s zul

mm

bar

mm

N mm2

Zahlenwertgleichung

6.1.4.4 Hydraulische Presse Die hydraulische Presse arbeitet wie der hydraulische Hebebock in 6.1.4.1. Auch hier gilt das Druck-Ausbreitungsgesetz. Beim Hebebock wurde die Reibung an den Dichtungsstellen vernachla¨ssigt. Bei der hydraulischen Presse wird die Reibung beru¨cksichtigt. Bei reibungsfreiem Betrieb verhalten sich die Kra¨fte zueinander wie die Kolbenfla¨chen. Daraus erha¨lt man eine Gleichung fu¨r die Presskraft F2 . Soll die Reibung beru¨cksichtigt werden, dann muss man sich klar daru¨ber sein, dass die Reibungskra¨fte an den Dichtungsstellen den Kolbenkra¨ften entgegen wirken. Die Lippendichtungen werden mit dem Druck p an die Kolben auf einer Ringfla¨che angepresst, die sich aus dem Kolbenumfang p d und der Dichtungsho¨he h ergibt. Um in der Flu¨ssigkeit den Druck p zu erzeugen, muss die tatsa¨chliche Triebkraft F 01 um die Reibungskraft FR1 gro¨ßer sein als bei reibungsfreiem Betrieb. Die Presskraft F 02 dagegen ist um die Reibungskraft FR2 kleiner. Wird das Verha¨ltnis F 01 =F 02 ¼ ðF1 þ FR1 Þ=ðF2 FR2 Þ gebildet, dann kann man daraus eine Gleichung zur Berechnung der tatsa¨chlichen Presskraft F 02 in Abha¨ngigkeit von der tatsa¨chlichen Triebkraft F 01 , den Zylinderdurchmessern d1 und d2 und der Reibungszahl m zwischen Dichtung und Kolben entwickeln.

p d1 2 F1 A1 4 ¼ ¼ p F2 A2 d2 2 4 F2 ¼ F1

d2 2 d1 2

Presskraft bei reibungsfreiem Betrieb

FR1 ¼ FN1 m ¼ p p d1 h1 m FR2 ¼ FN2 m ¼ p p d2 h2 m F 01 ¼ p

p 2 p d1 þ p p d1 h1 m ¼ p d1 2 4 4

F 02 ¼ p

p 2 p d2 p p d2 h2 m ¼ p d2 2 4 4

1 þ 4m

h1 d1

1 4m

h2 d2

Beide Gleichungen durcheinander dividiert: p h1 p d1 2 1 þ 4 m 1 þ 4m 0 F1 d 2 d1 4 ¼ 12 ¼ 0 p h2 F2 d2 1 4m p d2 2 1 4 m 4 d2

F 02

¼

F 01

d2 2 d1 2

h2 d2 h1 1 þ 4m d1 1 4m

Presskraft bei Beru¨cksichtigung der Reibung

Den letzten Faktor in der Gleichung fu¨r die Presskraft bezeichnet man als Wirkungsgrad h der hydraulischen Presse. Man erkennt, dass dieser Faktor von der Reibungszahl, den Kolbendurchmessern und den Ho¨hen der Kolbendichtungen abha¨ngt.

h2 d2 h¼ h1 1 þ 4m d1 1 4m

F 02 ¼ F 01

d2 2 h d1 2

Wirkungsgrad

Presskraft bei Beru¨cksichtigung der Reibung

h1 d1 h2 d2

392

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

bung: Der Lastkolben einer hydraulischen Presse hat 500 mm Durchmesser, der Triebkolben hat 40 mm Durchmesser. Die Ho¨hen der Lederdichtungen betragen h2 ¼ 100 mm und h1 ¼ 16 mm. Die Reibungszahl betra¨gt m ¼ 0,1. a) Wie groß ist der Wirkungsgrad h? b) Wie groß ist die Presskraft F 02 , wenn die Triebkraft F 01 ¼ 1000 N wirkt? c) Wie groß ist das Hubverha¨ltnis der Kolben?

Gegeben: Lastkolbendurchmesser d2 ¼ 500 mm Triebkolbendurchmesser d1 ¼ 40 mm Dichtungsho¨he h2 ¼ 100 mm Dichtungsho¨he h1 ¼ 16 mm Triebkraft F 01 ¼ 1000 N Reibungszahl m ¼ 0,1 Gesucht: Wirkungsgrad h, Presskraft F 02 , Hubverha¨ltnis s2 =s1

Lo¨sung: a) Der Wirkungsgrad wird mit der bekannten Gleichung aus den Kolbendurchmessern d1 , d2 , den Dichtungsho¨hen h1 , h2 und der Reibungszahl m bestimmt.

h2 10 cm 1 4 0,1 d2 50 cm ¼ 0,79 h¼ ¼ h1 1,6 cm 1 þ 4m 1 þ 4 0,1 d1 4 cm

b) Da der Wirkungsgrad bekannt ist, verwendet man die letzte Presskraftgleichung und berechnet F 02 aus der Triebkraft F 01 , den Kolbendurchmessern d1 , d2 und dem Wirkungsgrad. c) Unter dem Hubverha¨ltnis versteht man das Verha¨ltnis der Kolbenwege s2 =s1 .

1 4m

F 02 ¼ F10

d2 2 ð500 mmÞ2 h ¼ 1 kN 0,79 d1 2 ð40 mmÞ2

F 02 ¼ 123,4 kN

s2 d1 2 ð40 mmÞ2 1 ¼ 2¼ ¼ s1 d2 ð500 mmÞ2 156,25

Aufgaben Nr. 1001–1012

6.1.5 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit unter Beru¨cksichtigung der Schwerkraft Im Abschnitt 6.1.3 (Seite 387) wurde gezeigt, dass der Druck in jeder waagerechten Ebene innerhalb einer Flu¨ssigkeit konstant ist. Anders ausgedru¨ckt: Der Druck an allen Stellen gleicher Flu¨ssigkeitsho¨he ist gleich groß. Es soll nun festgestellt werden, welche Beziehungen zwischen verschiedenen horizontalen Ebenen bestehen. Dazu wird das Gleichgewicht eines Flu¨ssigkeitsquaders, dessen La¨ngsachse vertikal steht, untersucht. Die Gewichtskraft FG (Schwerkraft) muss man jetzt in die Gleichgewichtsbetrachtung in Richtung der La¨ngsachse mit einbeziehen.

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) Nach den Gesetzen der Statik mu¨ssen die Druckkra¨fte F1 und F2 die auf die Stirnseiten des Quaders einwirken und die Gewichtskraft FG die Gleichgewichtsbedingung erfu¨llen. Wird die Ansatzgleichung weiter entwickelt, dann ergibt sich eine Beziehung zwischen beiden Dru¨cken p1 , p2 und der Druckwirkung der Schwerkraft (r g h). Legt man die obere Stirnfla¨che des Quaders in die Flu¨ssigkeitsoberfla¨che, so ist dort der Druck p1 ¼ 0. Auf seine untere Stirnfla¨che wirkt dann allein der Druck p ð¼ p2 Þ, der durch die Schwerkraft in der Tiefe h verursacht wird. Der hydrostatische Druck ist an allen Stellen gleicher Tiefe gleich groß. Die Funktionsgleichung p ¼ f ðr, hÞ zeigt, dass der hydrostatische Druck proportional mit der Flu¨ssigkeitsdichte und der Tiefe zunimmt. Die Einheitenrechnung kann bei dieser Gleichung Schwierigkeiten bereiten. Man muss die Einheit kg/s2 m mit 1 ¼ m/m erweitern, um die Druckeinheit Pa zu erhalten. Die Erkenntnis u¨ber den hydrostatischen Druck von Flu¨ssigkeiten infolge ihrer Schwerkraft verwendet man unter anderem zum Messen von Dru¨cken, besonders des Luftdrucks. Den Luftdruckunterschied zwischen zwei voneinander abgeschlossenen Ra¨umen (oder Gefa¨ßen) kann man z. B. mit einem beiderseits offenen U-Rohr messen, das teilweise mit einer Flu¨ssigkeit gefu¨llt ist (siehe Skizze). Der Druck auf die Flu¨ssigkeit an der Stelle E2 des U-Rohrs ist gleich dem absoluten Luftdruck im abgeschlossenen Raum (z. B. in einem Kesselraum). Der Druck in waagerechten Ebenen einer zusammenha¨ngenden Flu¨ssigkeit ist konstant. Folglich herrscht an der Stelle E1 des U-Rohrs der gleiche Druck p2 wie bei E2 . Der Druck p2 ist die Summe aus dem Flu¨ssigkeitsdruck der Sa¨ule von der Ho¨he h und dem Atmospha¨rendruck (a¨ußeren Luftdruck) p1 .

393 S Fy ¼ 0 ¼ F2 F1 FG F2 ¼ F1 þ FG fu¨r F1 ¼ p1 A , F2 ¼ p2 A und FG ¼ r g V ¼ r g A h gesetzt, ergibt p2 A ¼ p1 A þ r g A h. p2 ¼ p1 þ r g h p ¼ rgh Druck infolge der Schwerkraft

p Pa ¼

N m2

r

g

h

kg m3

m s2

m

Die Flu¨ssigkeitsho¨he h, die den Druck p hervorruft, heißt Druckho¨he oder auch Pressungsho¨he.

ðpÞ ¼ ðrÞ ðgÞ ðhÞ ¼

kg m kg m¼ 2 m 3 s2 s m

kg m kg m=s2 N ¼ ¼ 2 ¼ Pa m2 s2 m 2 m

Beispiel: Der Kesselraum eines Schiffs wird durch ein Gebla¨se unter berdruck pu¨ gesetzt. Das mit Wasser gefu¨llte U-Rohr-Manometer zeigt einen Ho¨henunterschied von 200 mm an. Der a¨ußere Luftdruck betra¨gt 1027 mbar. Zu berechnen ist der berdruck pu¨ und der absolute Druck p2 im Kesselraum. Lo¨sung:

Den berdruck pu¨ berechnet man aus der Flu¨ssigkeitsho¨he h ¼ 200 mm. pu¨ ¼ r g h ¼ 103

kg m 9,81 2 0,2 m ¼ 1962 Pa m3 s

pu¨ ¼ 19,62 mbar p2 ¼ p1 þ pu¨ ¼ 1027 mbar þ 19,62 mbar p2 ¼ 1047 mbar

394

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

6.1.6 Kommunizierende Ro¨hren Kommunizierende Ro¨hren sind oben offene, unten miteinander verbundene Ro¨hren (vgl. U-Rohr). Entha¨lt dieses Ro¨hrengefa¨ß nur eine Flu¨ssigkeit, so steht sie in den beiden Schenkeln gleich hoch, unabha¨ngig von der Form und Gro¨ße der Schenkel. Die Flu¨ssigkeitsspiegel stehen immer waagerecht. Entha¨lt das Gefa¨ß zwei Flu¨ssigkeiten von verschiedener Dichte, so steht bei Gleichgewicht die leichtere Flu¨ssigkeit in dem einen Schenkel ho¨her als die schwerere in dem anderen Schenkel. Sind r1 und r2 die Flu¨ssigkeitsdichten und h1 und h2 ihre Flu¨ssigkeitsho¨hen u¨ber der Trennebene AB, so sind in dieser Ebene die Dru¨cke in beiden Schenkeln gleich groß: p1 ¼ p2 ¼ p. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass sich die Flu¨ssigkeitsho¨hen u¨ber der Trennebene umgekehrt zueinander verhalten wie die Flu¨ssigkeitsdichten.

p ¼ p1 ¼ p2 ¼ r1 g h1 ¼ r2 g h2 h1 r2 ¼ h2 r1 Beispiel: Wie groß ist die Dichte eines ls, das einer 500 mm hohen Wassersa¨ule mit einer Ho¨he von 545 mm das Gleichgewicht ha¨lt? Lo¨sung: h1 r2 ¼ h2 r1 r2 ¼

und daraus

kg h1 r1 500 mm 1000 m3 kg ¼ 917 3 ¼ h2 545 mm m

6.1.7 Bodenkraft Auf den waagerechten Boden eines Flu¨ssigkeitsbeha¨lters wirkt der hydrostatische Druck p ¼ r g h (h Flu¨ssigkeitsho¨he u¨ber dem Boden). Die Bodenfla¨che A wird dann mit der Bodenkraft Fb ¼ p A ¼ r g h A belastet. Die Belastung des Bodens ist also abha¨ngig von der Flu¨ssigkeitsho¨he h u¨ber dem Boden, von der Bodenfla¨che A und von der Dichte der Flu¨ssigkeit. Sie ist dagegen unabha¨ngig von der Form des Gefa¨ßes. Das zeigt auch die Versuchsanordnung zur Messung der Bodenkraft. Die vier Beha¨lter haben die gleiche Bodenfla¨che A, die u¨ber einen Hebel gegen die Bodeno¨ffung gepresst wird. Fu¨llt man die Gefa¨ße nacheinander mit Wasser, so wird man feststellen, dass sich die Bodenklappe bei allen Gefa¨ßen bei der gleichen Fu¨llho¨he h o¨ffnet. Die Bodenkraft ist in allen vier Fa¨llen gleich groß.

Fb ¼ p A ¼ r g h A Fb

p

N

Pa ¼

N m2

Bodenkraft

r

g

h

A

kg m3

m s2

m

m2

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik)

395

6.1.8 Seitenkraft Da sich der Druck in einer Flu¨ssigkeit nach allen Seiten hin gleichma¨ßig ausbreitet, wird nicht nur der Boden eines Gefa¨ßes belastet, sondern auch seine Seitenwa¨nde. Teilt man die rechteckige Seitenwand eines Gefa¨ßes in eine Anzahl schmaler Fla¨chenstreifen D A von gleichem Fla¨cheninhalt, so wird z. B. das Fla¨chenteilchen D A unter der Ho¨he h1 mit F1 ¼ r g h1 D A, dasjenige unter der Ho¨he h2 mit F2 ¼ r g h2 D A belastet. Die Belastung nimmt proportional mit der Ho¨he nach dem Flu¨ssigkeitsspiegel hin ab. Das Belastungsbild veranschaulicht diese Tatsache. Die Gesamtbelastung der Seitenfla¨che, die Seitenkraft Fs , ist die Summe aller Teilkra¨fte F.

Fs ¼ S F ¼ r g D A h 1 þ r g D A h 2 þ . . . r g D A h n

Der Klammerwert ist, bezogen auf den Flu¨ssigkeitsspiegel, die Summe aller Fla¨chenmomente der Teilfla¨chen D A. Diese Summe muss gleich dem Fla¨chenmoment der gesamten Fla¨che A sein (siehe 2.2.1, Seite 77 Fla¨chenschwerpunkt). Fu¨r die Seitenkraft Fs ergibt sich daraus eine Funktionsgleichung der Form Fs ¼ f ðA, y0 , rÞ. Daraus geht hervor, dass die Seitenkraft vom Betrag der Seitenfla¨che A, von ihrem Schwerpunktsabstand y0 , d. h. also ihrer Form, und von der Dichte r der Flu¨ssigkeit abha¨ngt.

Fs ¼ r gðD A h1 þ D A h2 þ . . . D A hn Þ ¼ r g A y0

Der Angriffspunkt der Seitenkraft Fs heißt Druckmittelpunkt D, er liegt immer tiefer als der Schwerpunkt der gedru¨ckten Fla¨che. Ist z. B. die gedru¨ckte Fla¨che ein Rechteck, so ist das Belastungsbild ein Dreieck. Die Resultierende Fs aller Teilkra¨fte F muss durch den Schwerpunkt D des Dreiecks gehen, der h=3 von der Basis bzw. 2h=3 vom Flu¨ssigkeitsspiegel entfernt liegt. Ist e der Abstand des Druckmittelpunkts D vom Fla¨chenschwerpunkt, so gilt allgemein: e¼

Fs ¼ r g A y 0

Seitenkraft

y0 Schwerpunktsabstand der belasteten Seitenfla¨che vom Flu¨ssigkeitsspiegel Beachte: Diese Momente der Fla¨chen (D A h, A y0 ) heißen nach DIN 1304 „Fla¨chenmomente 1. Grades“.

e¼

I A y0

e

I

A

y0

m

m4

m2

m

Abstand des Druckmittelpunkts vom Schwerpunkt y ¼ y0 þ e Abstand des Druckmittelpunkts vom Flu¨ssigkeitsspiegel

Fl¨achenmoment 2. Grades der gedru¨ ckten Fl¨ache bezogen auf die waagerechte Fl¨achenschwerachse Fl¨achenmoment 1. Grades der gedru¨ ckten Fl¨ache bezogen auf den Fl¨ussigkeitsspiegel

396 Die Gleichungen fu¨r Seitenkraft und Absta¨nde gelten nicht nur fu¨r die ganze Seitenwand und Rechteckfla¨chen, sondern auch fu¨r Teile oder Ausschnitte der Wand von beliebiger Form.

6 Fluidmechanik (Hydraulik) Beispiel: Fu¨r die im Bild dargestellte Rechteckfla¨che wird b h3 I h e¼ ¼ 12 ¼ A y0 6 h bh 2 h h 2 y ¼ y0 þ e ¼ þ ¼ h 2 6 3 d. h. der Druckmittelpunkt D liegt um 2 h=3 unter dem Flu¨ssigkeitsspiegel.

1. bung: Eine Ufermauer wird einseitig durch den Druck des Wassers belastet, das 6 m u¨ber der Sohle steht. a) Wie groß ist die Seitenkraft Fs fu¨r b ¼ 1 m Mauerla¨nge? b) Wie tief liegt der Druckmittelpunkt unter dem Wasserspiegel? c) Wie groß ist das Kippmoment je Meter La¨nge, bezogen auf die Kippkante A? Lo¨sung: a) Die gedru¨ckte Fla¨che ist ein Rechteck mit Breite b ¼ 1 m und Ho¨he h ¼ 6 m. Ihr Schwerpunkt liegt in halber Ho¨he: y0 ¼ h=2 ¼ 3 m. Die Kraft Fs wird mit der Seitenkraft-Gleichung berechnet. b) Das Fla¨chenmoment 2. Grades der Rechteckfla¨che ist I ¼ b h3 =12, ihr Fla¨cheninhalt A ¼ b h und ihr Schwerpunktsabstand y0 ¼ h=2. Mit diesen Gro¨ßen entwickelt man eine Gleichung fu¨r den Druckmittelpunktsabstand e. c) Das Kippmoment ist das Produkt aus der Seitenkraft Fs und ihrem Wirkabstand l von der Kippkante A. 2. bung: In einem Wehr befindet sich 1 m unter dem ho¨chsten Wasserspiegel eine rechteckige ffnung von 400 mm Breite und 600 mm Ho¨he. Die ffnung ist mit einer drehbaren Klappe verschlossen, die sich o¨ffnen soll, falls die Ho¨he des Wasserspiegels 1,80 m u¨bersteigt.

Gegeben: h¼6m b¼1m r ¼ 1000 kg=m3 Gesucht: Seitenkraft Fs Abstand y Kippmoment Mk

kg m 9,81 2 1 m 6 m 3 m m3 s kg m Fs ¼ 17,6 103 2 ¼ 176,6 kN s I h 6m ¼1m ¼ ¼ e¼ A y0 6 6 Fs ¼ r g A y0 ¼ 103

(Entwicklung der Gleichung fu¨r e siehe oben) y ¼ y0 þ e ¼ 3 m þ 1 m ¼ 4 m

Mk ¼ Fs l ¼ 176,6 kN ð6 m 4 mÞ Mk ¼ 352,2 kNm

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) Mit welcher Gewichtskraft FG muss der Klappenhebel belastet werden, wenn der Klappendrehpunkt 950 mm unter dem ho¨chsten Wasserspiegel liegt und die Hebelausladung 800 mm betra¨gt?

Lo¨sung: Um die Momentenverha¨ltnisse an der Klappe untersuchen zu ko¨nnen, muss man die Seitenkraft Fs kennen, mit der die Klappe durch den Wasserdruck belastet wird. Dafu¨r wird zuerst der Schwerpunktsabstand der Klappenfla¨che (Rechteck) vom ho¨chsten Flu¨ssigkeitsspiegel bestimmt: y0 ¼ l1 þ h=2. Außerdem muss der Angriffspunkt der Seitenkraft bekannt sein. Man ermittelt hierfu¨r den Druckmittelpunkts-Abstand e und daraus den Abstand y der Seitenkraft vom Wasserspiegel. Die Klappe muss im Momentengleichgewicht sein. Man ermittelt den Wirklinienabstand l4 der Kraft Fs vom Klappendrehpunkt A und setzt dann die Momentengleichgewichtsbedingung fu¨r den Drehpunkt A an.

397 Gegeben: ffnungsabstand ffnungsho¨he ffnungsbreite Drehpunktsabstand Hebelausladung Dichte Gesucht: Gewichtskraft FG y0 ¼ l1 þ

l1 ¼ 1 m h ¼ 0,6 m b ¼ 0,4 m l2 ¼ 0,95 m l3 ¼ 0,8 m r ¼ 103 kg/m3

h ¼ 1 m þ 0,3 m ¼ 1,3 m 2

Dann ist die Seitenkraft Fs ¼ r g A y0 ¼ 103

kg m 9,81 2 0,24 m2 1,3 m m3 s

Fs ¼ 3,06 103 N ¼ 3060 N I b h3 h2 ¼ ¼ ¼ 0,023 m A y0 12 b h y0 12 y0 y ¼ y0 þ e ¼ 1,3 m þ 0,023 m ¼ 1,323 m e¼

l4 ¼ y l2 ¼ 1,323 m 0,95 m ¼ 0,373 m S MðAÞ ¼ 0 ¼ Fs l4 FG l3 l4 0,373 m FG ¼ Fs ¼ 3060 N ¼ 1427 N 0,8 m l3

6.1.9 Auftriebskraft Taucht ein Ko¨rper in eine Flu¨ssigkeit ein, so wird seine Oberfla¨che allseitig durch den Flu¨ssigkeitsdruck belastet. Die horizontalen Druckkra¨fte F3 heben sich auf, aber in vertikaler Richtung ist die nach oben gerichtete Kraft F2 gro¨ßer als die nach unten gerichtete Kraft F1 . Die Resultierende dieser beiden Kra¨fte ist nach oben gerichtet. Sie heißt Auftriebskraft Fa ¼ F2 F1 . Wird die Gleichung Fa ¼ F2 F1 weiter entwickelt, dann erkennt man, dass die Auftriebskraft Fa genauso groß ist wie die Gewichtskraft FG der von dem eingetauchten Ko¨rper verdra¨ngten Flu¨ssigkeitsmenge. Ihr Angriffspunkt muss demzufolge im Schwerpunkt F der verdra¨ngten Flu¨ssigkeitsmenge liegen (Verdra¨ngungsschwerpunkt, Formschwerpunkt). Das gilt auch fu¨r teilweise eingetauchte, also schwimmende Ko¨rper.

Vollsta¨ndig eingetauchter Ko¨rper: Verdra¨gungsschwerpunkt F fa¨llt mit Ko¨rperschwerpunkt K zusammen

Es ist F1 ¼ r g h1 A und F2 ¼ r g h2 A und Fa ¼ F2 F1 ¼ r g Aðh2 h1 Þ Hierin ist Aðh2 h1 Þ ¼ V das Volumen, r Aðh2 h1 Þ ¼ rV ¼ m die Masse und r Aðh2 h1 Þ g ¼ mg die Gewichtskraft der verdra¨ngten Flu¨ssigkeitsmenge. Fa ¼ Vrg Auftriebskraft

Fa

V

r

g

N

m3

kg m3

m s2

398

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

Auftriebskraft und Gewichtskraft des eingetauchten Ko¨rpers sind entgegengerichtete Kra¨fte. Daraus folgt: Die Gewichtskraft eines in eine Flu¨ssigkeit eingetauchten Ko¨rpers verringert sich (scheinbar) um die Gewichtskraft der von ihm verdra¨ngten Flu¨ssigkeitsmenge.

Schwimmender Ko¨rper: Verdra¨ngungsschwerpunkt F liegt unter dem Ko¨rperschwerpunkt K. Beachte: Die Auftriebskraft ist nach oben gerichtet und gleich der Gewichtskraft der vom Ko¨rper verdra¨ngten Flu¨ssigkeitsmenge. Sie greift im Formschwerpunkt F (Verdra¨ngungsschwerpunkt) der verdra¨ngten Flu¨ssigkeitsmenge an.

bung: Ein Ko¨rper mit der Masse mk ¼ 250 g ha¨ngt ganz in Wasser eingetaucht an einer Waage. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sie mit einem Wa¨gestu¨ck von 200 g Masse belastet ist. Wie groß sind Volumen V und Dichte rk des Ko¨rpers?

Gegeben: Masse des Ko¨rpers mk ¼ 250 g Masse des Wa¨gestu¨cks m ¼ 200 g Dichte des Wassers rw ¼ 103 kg=m3

Lo¨sung: Die Auftriebskraft Fa am Ko¨rper ist die Differenz der Gewichtskra¨fte des Ko¨rpers FGk und des Wa¨gestu¨cks FG . In die Auftriebsgleichung setzt man fu¨r die Kra¨fte die Produkte aus Masse und Fallbeschleunigung ein und erkennt, dass die Masse mw des verdra¨ngten Wassers gleich der Differenz zwischen Ko¨rpermasse mk und Wa¨gestu¨ckmasse m ist. Aus der Beziehung mw ¼ Vrw wird das Verdra¨ngungsvolumen V bestimmt, das gleich dem Ko¨rpervolumen V sein muss. Die Ko¨rpermasse mk ist das Produkt aus dem Volumen V und der Ko¨rperdichte rk . Aus dieser Beziehung kann die Dichte rk des eingetauchten Ko¨rpers bestimmt werden.

Fa ¼ FG k FG

Aufgaben Nr. 1013–1024

Gesucht: Volumen V und Dichte rk des Ko¨rpers

mw g ¼ mk g m g

(mw Masse des verdra¨ngten Wassers)

Daraus ergibt sich: mw ¼ mk m

mw ¼ Vrw , folglich ist V¼

mw mk m 50 103 kg ¼ ¼ kg rw rw 103 3 m

V ¼ 50 106 m3 ¼ 50 cm3 mk ¼ Vrk rk ¼

folglich ist

mk 250 103 kg kg ¼ ¼ 5 103 3 50 106 m3 m V

6.1.10 Schwimmen Wirken nur die Gewichtskraft FG und die Auftriebskraft Fa auf einen Ko¨rper, so richtet sich sein Verhalten in einer Flu¨ssigkeit danach, wie groß die Auftriebskraft ist.

Beispiel: Wie tief taucht ein Wu¨rfel aus Gusseisen mit a ¼ 10 cm Kantenla¨nge und der Dichte r1 ¼ 7500 kg/m3 in ein Quecksilberbad mit der Dichte r2 ¼ 13 600 kg/m3 ein?

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) Ist die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft des Ko¨rpers, so sinkt er. Ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Ko¨rper an jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flu¨ssigkeit, er schwebt. Ist die Auftriebskraft gro¨ßer als die Gewichtskraft, schwimmt der Ko¨rper an der Oberfla¨che. Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit auftaucht, dass die Auftriebskraft (¼ Gewichtskraft der verdra¨ngten Flu¨ssigkeit) gleich der Gewichtskraft des schwimmenden Ko¨rpers ist. Dann ist auch die Masse der verdra¨ngten Flu¨ssigkeit gleich der Masse des Ko¨rpers.

399 Lo¨sung: Die Masse des Wu¨rfels ist m1 ¼ V1 r1 ¼ a3 r1 ¼ 103 m3 7,5 103 m1 ¼ 7,5 kg

Bei Schwimmen ist die Masse m2 des verdra¨ngten Quecksilbers gleich der Masse m1 des Wu¨rfels. Das verdra¨ngte Quecksilbervolumen hat die Form eines quadratischen Prismas mit der Ho¨he h: V2 ¼ a2 h: Folglich ist: m2 ¼ V2 r2 ¼ a2 h r2 ¼ m1 h ¼

6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Ko¨rper Man unterscheidet bei schwimmenden Ko¨rpern stabile und labile Gleichgewichtslagen. Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage. Zwei Kra¨fte wirken auf den schwimmenden Ko¨rper: Die im Ko¨rperschwerpunkt K angreifende, nach unten gerichtete Schwerkraft FG (Gewichtskraft) und die im Verdra¨ngungsschwerpunkt F angreifende Auftriebskraft Fa . In der Gleichgewichtslage wirken die beiden gleich großen Kra¨fte Fa und FG la¨ngs der gemeinsamen Wirklinie W –– der Ko¨rpermittellinie –– in entgegengesetzter Richtung. Dreht man nun den Ko¨rper in der Zeichenebene nach links (Schra¨glage), so wird die vorher vertikale Mittellinie W um den Winkel j geneigt. Dabei bleibt zwar die Lage des Ko¨rperschwerpunkts K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsa¨nderung den Verdra¨ngungsschwerpunkt F an eine andere Stelle. Das heißt aber auch: Die Parallelkra¨fte Fa und FG bekommen einen mehr oder weniger großen Wirkabstand h, sie bilden ein rechtsdrehendes Kra¨ftepaar. Das Drehmoment von Auftriebskraft Fa und Gewichtskraft FG wirkt der Drehung des Ko¨rpers entgegen: Der Ko¨rper hat also eine stabile Schwimmlage. Das Wiederaufrichtungsmoment –– die Stabilita¨t –– ha¨ngt vom Wirkabstand h ab. Er heißt deshalb auch: Hebelarm der statischen Stabilita¨t.

kg m3

m1 ¼ a2 r2

7,5 kg 2

10

m2

13,6 103

kg m3

¼ 5,51 cm

Stabile Schwimmlage

Fa FG W

Auftriebskraft, in F angreifend Gewichtskraft, in K angreifend Mittellinie des Ko¨rpers (Schwimmachse) F Verdra¨ngungsschwerpunkt ¼ Schwerpunkt der verdra¨ngten Flu¨ssigkeit K Schwerpunkt des Ko¨rpers M Metazentrum ¼ Schnittpunkt der Mittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft h ¼ MK sin j Hebelarm der statischen Stabilita¨t j Neigungswinkel MK metazentrische Ho¨he

400

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

Jeder andere Neigungswinkel j bringt eine andere Lage des Verdra¨ngungsschwerpunktes F und damit auch einen anderen Hebelarm h. Kennzeichnend und entscheidend fu¨r das Verhalten eines schwimmenden Ko¨rpers bei Sto¨rungen des Gleichgewichts ist das so genannte Metazentrum M, der Schnittpunkt der Ko¨rpermittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft: Liegt M u¨ber dem Ko¨rperschwerpunkt K, so schwimmt der Ko¨rper stabil. Das Drehmoment von Auftriebskraft und Gewichtskraft hat dann eine aufrichtende Wirkung. Die Strecke MK heißt metazentrische Ho¨he. Die labile Schwimmlage erkennt man sofort daran, dass das Metazentrum M unterhalb des Ko¨rperschwerpunkts K liegt. Der nach links gedrehte Ko¨rper richtet sich nicht wieder auf. Das linksdrehende Kra¨ftepaar aus Auftriebskraft und Gewichtskraft unterstu¨tzt die Drehung des Ko¨rpers noch, bis er in die stabile Schwimmlage kommt.

6.1.12 Stabilita¨t eines Schiffes Das Bild zeigt ein Schiff von bestimmtem Ausru¨stungszustand geneigt um zwei verschiedene Neigungswinkel j1 und j2 . Wa¨hrend bei allen Neigungen die Lage des Schiffsschwerpunkts K unvera¨ndert bleibt, bekommt der Verdra¨ngungsschwerpunkt F jeweils eine andere Lage (hier von F1 nach F2 ). Damit a¨ndert sich auch die Lage des Metazentrums M (hier von M1 nach M2 ), es wandert je nach Neigung auf der Schiffsmittellinie auf- oder abwa¨rts, die metazentrische Ho¨he MK wird gro¨ßer oder kleiner. Ebenso vera¨ndert sich der Hebelarm h, dessen Gro¨ße die Stabilita¨t des Schiffes, d. h. sein Wiederaufrichtungsvermo¨gen bestimmt. Ist h klein, so ist auch das Drehmoment von Schiffsgewichtskraft FG und Auftriebskraft Fa klein.

Labile Schwimmlage

6.1 Statik der Flu¨ssigkeiten (Hydrostatik) Durch Auftragen der Gro¨ße h in Abha¨ngigkeit vom Neigungswinkel j erha¨lt man die „Stabilita¨tskurve“. Sie vermittelt eine Vorstellung von den Stabilita¨tseigenschaften des Schiffes. Je steiler die Hebelarmkurve gleich im Anfang ansteigt, d. h. je rascher die Hebelarme h zunehmen, desto stabiler (steifer) ist das Schiff. Die aufrichtenden Drehmomente sind dann schon bei Neigungsbeginn verha¨ltnisma¨ßig groß. Je flacher dagegen die Hebelarmkurve verla¨uft, desto weicher (ranker) ist das Schiff. Das gro¨ßte Aufrichtungsvermo¨gen wird gekennzeichnet durch den ho¨chsten Punkt der Kurve, d. h. durch den maximalen Hebelarm h. Er liegt im Beispiel bei 35 . Bei einem guten Schiff liegt er zwischen 30 und 45 . 10 bis 15 sind schon unzula¨ssig schlechte Werte. Neigt sich das Schiff u¨ber den Nulldurchgang der Hebelarmkurve hinaus (hier bei 75 ), so kehrt sich die Momentendrehrichtung um und unterstu¨tzt die Neigung des Schiffs; es wu¨rde kentern. Dieser Punkt wird deshalb auch Kenterpunkt genannt. Der Bereich von 0 bis zum Kenterpunkt heißt „Umfang der Stabilita¨t“. Der Kenterpunkt (hier 75 ) gilt jedoch nur dann, wenn das Schiff z. B. im Seegang bis auf diesen Winkel aufgeschaukelt wu¨rde, ohne dass ein kontinuierlich wirkendes kra¨ngendes Moment, z. B. durch einseitige Beladung, Trossenzug, Winddruck oder Zentrifugalkraft im Drehkreis verursacht wird. Neigt sich dagegen das Schiff druch ein solches, anhaltend wirkendes Moment bis zu dem Winkel, bei dem die Hebelarmkurve ihr Maximum besitzt (hier 35 ), so kentert es bereits bei dieser Schra¨glage, nicht erst beim eigentlichen Kenterpunkt. Treten ein kontinuierlich wirkendes, jedoch zum Kentern allein nicht ausreichendes kra¨ngendes Moment und Schlingerbewegungen gleichzeitig auf, so liegt der Kenterwinkel zwischen Kurvenmaximum und Nulldurchgang (hier zwischen 35 und 75 ). Das Schiff schlingert dann um diejenige Neigung als Mittellage, die dem kra¨ngenden Moment entspricht.

401

Stabilita¨tskurve

Hinweis: 1. Sehr stabile (steife) Schiffe haben unangenehme, im Verha¨ltnis zur Gro¨ße rasche Schlingerbewegungen. Im Fall der Resonanz mit den Wellenbewegungen, die bei diesen Schiffen leichter eintritt, werden die Ausschla¨ge groß. 2. Wenig stabile, ranke (weiche) Schiffe haben angenehme, im Verha¨ltnis zur Gro¨ße langsame, meist kleine Schlingerbewegungen. 3. Bei einem guten, seetu¨chtigen Schiff liegen die Eigenschaften dazwischen.

402

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

6.2 Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik) Die folgenden Gesetzma¨ßigkeiten gelten nicht nur fu¨r Flu¨ssigkeiten, sondern auch fu¨r Gase und Da¨mpfe, wenn ihre Stro¨mungsgeschwindigkeit unter 100 m/s liegt, was in der Technik meist der Fall ist. Diese Flu¨ssigkeiten, Gase und Da¨mpfe nennt man Fluide.

6.2.1 Kontinuita¨tsgleichung (Stetigkeitsgleichung) Vera¨ndert ein Fluid sein Volumen nicht, so muss durch die verschiedenen Querschnitte A1 , A2 einer Leitung in jeder Sekunde das gleiche Volumen fließen. Das in einer Sekunde gleichfo¨rmig durch einen Stro¨mungsquerschnitt fließende Volumen heißt Volumenstrom qV (auch Volumendurchfluss und Volumendurchsatz genannt). Der Volumenstrom qV ist das Produkt aus dem Stro¨mungsquerschnitt A und der Stro¨mungsgeschwindigkeit w. Er ist in allen Stro¨mungsquerschnitten konstant.

Beachte: Die koha¨rente Einheit des Volumenstroms qV ist das Kubikmeter m3 ¼ s Sekunde Volumenstrom qV ¼ A w

qV 3

m s

qV ¼ A1 w1 ¼ A2 w2 ¼ konstant Kontinuita¨tsgleichung

6.2.2 Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Stro¨mung) 6.2.2.1 Horizontale Stro¨mung (Stro¨mung ohne Ho¨henunterschied) In einer horizontalen Leitung mit vera¨nderlichem Querschnitt stro¨mt ein Fluid. Im Querschnitt A hat es die kinetische Energie Ekin 1 ¼ mw1 2 =2, im Querschnitt E die kinetische Energie Ekin 2 ¼ mw2 2 =2 (siehe 4.7.3, Seite 220). Da der Leitungsquerschnitt A2 > A1 ist, muss nach der Kontinuita¨tsgleichung die Stro¨mungsgeschwindigkeit w2 < w1 sein. Die Dru¨cke p1 , p2 heißen statische Dru¨cke.

A

w

m2

m s

6.2 Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik) An einer beliebigen Stelle, z. B. bei A, wird dem Fluid u¨ber einen Kolben durch die Kraft F1 la¨ngs des Weges s1 die Arbeit W1 ¼ F1 s1 zugefu¨hrt. Bei E wird gegen die Kraft F2 die Arbeit W2 ¼ F2 s2 abgefu¨hrt. Nach dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite 221) ist die Energie EE am Ende dieses Vorganges gleich der Energie EA am Anfang, vermehrt um die zugefu¨hrte Arbeit Wzu und vermindert um die abgefu¨hrte Arbeit Wab : Wird in den Quotienten fu¨r die kinetische Energie fu¨r die Masse m das Produkt Volumen V multipliziert mit der Dichte r eingesetzt, dann erha¨lt man den Energieerhaltungssatz in einer neuen Form. Auch die Ausdru¨cke F1 s1 und F2 s2 ko¨nnen weiterentwickelt werden, indem man fu¨r die Kra¨fte F ¼ p A und fu¨r A s das Volumen V setzt. Der Energieerhaltungssatz erha¨lt dann eine Form, in der die Quotienten rw2 V=2 die kinetische Energie des Fluids und die Produkte pV seine Druckenergie darstellen. Dividiert man den Energieerhaltungssatz noch durch das Volumen V, dann erha¨lt man die Bernoulli’sche Druckgleichung fu¨r horizontal stro¨mende Fluide. Die einzelnen Glieder der Bernoulligleichung sind also nichts anderes, als die Energien je Volumeneinheit. Aus der Druckgleichung erkennt man: Bei horizontaler Stro¨mung ist die Summe aus dem statischen Druck p und dem kinetischen Druck q ¼ rw2 =2 konstant.

403 W1 ¼ F1 s1 zugefu¨hrte Arbeit

W2 ¼ F2 s2 abgefu¨hrte Arbeit

EE ¼ EA þ Wzu Wab Ekin 2 ¼ Ekin 1 þ W1 W2 m w2 2 m w1 2 ¼ þ F 1 s1 F 2 s2 2 2 m w1 2 r w1 2 ¼ V 2 2

m w2 2 r w2 2 ¼ V 2 2

F1 s1 ¼ p1 A1 s1 ¼ p1 V F2 s2 ¼ p2 A2 s2 ¼ p2 V r r w2 2 V ¼ w1 2 V þ p1 V p2 V 2 2 Energieerhaltungssatz fu¨r horizontale Stro¨mung p1 þ

r r w1 2 ¼ p2 þ w2 2 2 2

Bernoulli’sche Druckgleichung fu¨r horizontale Stro¨mung p Pa ¼

N m2

r

w

V

kg m3

m s

m3

Beachte: Der kinetische Druck q ¼ r w2 =2 wird auch Geschwindigkeitsdruck oder Staudruck genannt.

6.2.2.2 Nichthorizontale Stro¨mung (Stro¨mung mit Ho¨henunterschied) Der einzige Unterschied gegenu¨ber der horizontalen Stro¨mung besteht darin, dass die Fluidteilchen im Verlauf der Stro¨mung ihre Ho¨henlage gegenu¨ber einer beliebig gewa¨hlten horizontalen Bezugsebene a¨ndern. Dadurch erhalten sie verschieden große potenzielle Energie (Lageenergie).

404

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

Im Energieerhaltungssatz muss also noch die potenzielle Energie Epot ¼ mgh im Anfangs- und Endzustand hinzugefu¨gt werden, hier bezogen auf die gekennzeichnete Bezugsebene. Wird dann wieder m ¼ Vr und Fs ¼ pV gesetzt, erha¨lt man den Energieerhaltungssatz fu¨r die nicht horizontale Stro¨mung.

EE ¼ EA þ Wzu Wab m w2 2 m w1 2 þ m g h2 ¼ þ m g h1 þ F1 s1 F2 s2 2 2

r r w2 2 V þ r g h2 V ¼ w1 2 V þ r g h1 V þ p1 V p2 V 2 2 Energieerhaltungssatz fu¨r nicht-horizontale Stro¨mung

Die Division durch das Volumen V ergibt wieder die Energien je Volumeneinheit und damit die Bernoulli’sche Druckgleichung fu¨r nicht horizontal stro¨mende Fluide.

p1 þ r g h1 þ

r r w1 2 ¼ p2 þ r g h2 þ w2 2 2 2

Bernoulli’sche Druckgleichung fu¨r nichthorizontale Stro¨mung

Man erkennt: In einem Fluid ist die Summe aus dem statischen Druck p, dem kinetischen Druck q ¼ rw2 =2 und dem geoda¨tischen Druck rgh konstant.

In der Praxis wird die Bernoulli-Gleichung oft in einer anderen Form angewendet. Wird die Druckgleichung durch rg dividiert, dann ergeben sich fu¨r die einzelnen Glieder Ausdru¨cke, die Ho¨hen darstellen. Die auf diese Weise gewonnene Gleichung nennt man die Bernoulli’sche Druckho¨hengleichung fu¨r nicht-horizontal stro¨mende Fluide.

Beachte: p statischer Druck r 2 w kinetischer Druck (Geschwindig2 keitsdruck, Staudruck) r g h geoda¨tischer Druck Die Summe der drei Dru¨cke ist der Gesamtdruck pges . Er ist an allen Stellen der Leitung gleich groß. q¼

p1 w1 2 p2 w2 2 þ h1 þ ¼ þ h2 þ rg 2g rg 2g Bernoulli’sche Druckho¨hengleichung fu¨r nicht-horizontale Stro¨mung p Pa ¼

N m2

r

g

h

w

V

kg m3

m s2

m

m s

m3

Man erkennt: Bei nicht-horizontaler Stro¨mung ist die Summe aus der statischen Druckho¨he, der kinetischen Druckho¨he und der geoda¨tischen Druckho¨he konstant. Die drei Gleichungen dieses Abschnitts sind auch fu¨r die horizontale Stro¨mung anwendbar. Dann ist h1 ¼ h2 und die Glieder, welche die Ho¨henlage beru¨cksichtigen, fallen aus den Gleichungen heraus.

Beachte: p statische Druckho¨he rg w2 2g

kinetische Druckho¨he

h

geoda¨tische Druckho¨he

Die Summe der drei Ho¨hen ist die Gesamtho¨he H. Sie ist fu¨r alle Stellen der Leitung gleich groß.

6.2 Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik)

405

6.2.3 Anwendung der Bernoulligleichung 6.2.3.1 Druck in einer Leitung In einer Leitung herrscht im Querschnitt 1 der Druck p ¼ 1,2 bar. Das Fluid hat eine Geschwindigkeit w1 ¼ 5 m/s. Es soll sich im ersten Fall um Wasser (rw ¼ 1000 kg/m3), im zweiten Fall um Luft von 20 C (rl ¼ 1,4 kg/m3) handeln. Der Atmospha¨rendruck betra¨gt in beiden Fa¨llen p0 ¼ 1050 mbar. In beiden Fa¨llen sollen fu¨r den Querschnitt 2 der Druck p2 und der Unterdruck pu gegenu¨ber dem Atmospha¨rendruck p0 ermittelt werden.

Gegeben: Druck p1 ¼ 1,2 bar ¼ 1,2 105 Pa Geschwindigkeit w1 ¼ 5 m/s Dichte des Wassers rw ¼ 1000 kg/m3 Dichte der Luft rl ¼ 1,4 kg/m3 Atmospha¨rendruck p0 ¼ 1050 mbar Gesucht: Druck p2 Unterdruck pu

Es wird zuna¨chst nach der Kontinuita¨tsgleichung die Stro¨mungsgeschwindigkeit w2 im Querschnitt 2 berechnet.

A1 w1 ¼ A2 w2 w2 ¼

A1 707 mm2 m m w1 ¼ 5 ¼ 13,92 A2 254 mm2 s s

Dann entwickelt man aus der Bernoulli’schen Druckgleichung fu¨r die horizontale Stro¨mung eine Gleichung fu¨r den Druck p2 . Fu¨r den Fall des stro¨menden Wassers setzt man in diese Gleichung neben den anderen Gro¨ßen die Dichte des Wassers rw ¼ 1000 kg/m3 ein.

p1 þ

r r w1 2 ¼ p2 þ w2 2 2 2

p2 ¼ p1 þ

r r r w1 2 w2 2 ¼ p1 þ ðw1 2 w2 2 Þ 2 2 2

p2 ¼ 1,2 105

N 103 kg 2 m2 þ ð5 13,922 Þ 2 2 3 s m 2m

p2 ¼ 1,2 105 Pa 0,844 105 Pa p2 ¼ 0,356 105 Pa ¼ 356 mbar

Der Unterdruck wird aus dem Atmospha¨rendruck p0 und dem Druck p2 in der Leitung berechnet. Fu¨r den Fall der stro¨menden Luft verfa¨hrt man genauso, jetzt mit r ¼ 1,4 kg/m3. Dabei wird voraus gesetzt, dass auch bei einem stro¨menden Gas die Dichte rl konstant bleibt. Die Rechnung ergibt im Querschnitt 2 einen gro¨ßeren Druck als in der Atmospha¨re. Es herrscht also kein Unterdruck, sondern berdruck. Aufgaben Nr. 1025–1027

pu ¼ p0 p2 ¼ 1050 mbar 356 mbar pu ¼ 694 mbar p2 ¼ p1 þ

r ðw1 2 w2 2 Þ 2

p2 ¼ 1,2 105 Pa þ 0,7

kg m2 ð25 194Þ 2 3 s m

p2 ¼ 1,2 105 Pa 118 Pa ¼ 1,1988 bar pu¨ ¼ p2 p0 ¼ 1198,8 mbar 1050 mbar pu¨ ¼ 148,8 mbar

406

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

6.2.3.2 Ausfluss aus einem Gefa¨ß Angenommen, die Fluidspiegelfla¨che B eines Gefa¨ßes sei groß gegenu¨ber der Ausflusso¨ffnung A. Dann sinken die Fluidteilchen bei B sehr langsam ab, und man kann das Quadrat ihrer Geschwindigkeit gegen das der Geschwindigkeit bei A vernachla¨ssigen. Da das Gefa¨ß bei A und B offen ist, ist der statische Druck an beiden Stellen gleich dem Atmospha¨rendruck p0 ¼ pA ¼ pB . Die Ausflussgeschwindigkeit wird mit der Bernoulli’schen Druckho¨hengleichung ermittelt. Die Entwicklung fu¨hrt zu der Gleichung fu¨rpdie ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃtheoﬃ retische Ausflussgeschwindigkeit wA ¼ 2 g h. Ein Vergleich mit den Gleichungen fu¨r den freien Fall in Tabelle 4.1, Seite 154, zeigt dieﬃ bereinstimpﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mung mit der Gleichung vt ¼ 2g Ds (mit Ds ¼ hÞ fu¨r die Endgeschwindigkeit vt eines Ko¨rpers nach dem freien Fall um die Fallho¨he h. Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit wA ist demnach ebenso groß wie die Endgeschwindigkeit vt eines um die Ho¨he h frei fallenden Flu¨ssigkeitteilchens. Die Ho¨he h, die dem Fluid die Geschwindigkeit w erteilt, nennt man die Geschwindigkeitsho¨he. Nach der gleichen berlegung, die zur Kontinuita¨tsgleichung fu¨hrte, stro¨mt aus einer ffnung mit dem Querschnitt A in jeder Sekunde der Volumenstrom qV ¼ A w aus. Der wirkliche Volumenstrom ist kleiner als der theoretische, weil die Ausflussgeschwindigkeit we infolge der inneren Reibung und der Reibung an den Gefa¨ßwa nden p¨ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ nicht ganz den theoretischen Wert w ¼ 2 g h erreicht. Dieser Einfluss wird durch die Geschwindigkeitszahl j < 1 beru¨cksichtigt. Von noch gro¨ßerem Einfluss auf die Verringerung des Volumenstroms ist die Einschnu¨rung (so genannte Kontraktion) des Fluidstrahls: Die Stromfa¨den im Inneren des Gefa¨ßes laufen radial auf die ffnung zu und ko¨nnen nicht plo¨tzlich in Strahlrichtung umlenken. Der wirkliche Strahlquerschnitt ist dann nicht A sondern a A. a ist die Kontraktionszahl; sie ist immer kleiner als eins. Das Produkt a j heißt Ausflusszahl m.

Bernoulli’sche Druckho¨hengleichung: p0 wB 2 p0 wA 2 ¼ þ hA þ þ hB þ rg 2g rg 2g Die statische Druckho¨he p0 =rg fa¨llt auf beiden Seiten heraus, die Geschwindigkeitsho¨he wB 2 =2g kann vernachla¨ssigt werden und es bleibt: wA 2 ¼ hB hA ¼ h 2g w¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2gh

h¼

w2 2g

theoretische Ausflussgeschwindigkeit Geschwindigkeitsho¨he

qV ¼ A w ¼ A

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2gh

we ¼ j w ¼ j

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2gh

theoretischer Volumenstrom

wirkliche Ausflussgeschwindigkeit j ist abha¨ngig von der Za¨higkeit des Fluids und betra¨gt fu¨r Wasser 0,97 . . . 0,99.

Strahlkontraktion

6.2 Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik) Der wirkliche Volumenstrom qVe ist das Produkt aus Ausflusszahl m und theoretischem Volumenstrom qV . Die Ausflusszahl m ist abha¨ngig von der Form der Ausflusso¨ffnung. Drei Hauptformen mit den zugeho¨rigen Ausflusszahlen fu¨r Wasser zeigt das nebenstehende Bild.

407 qVe ¼ m qV ¼ m A

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2gh

wirklicher Volumenstrom

Ausflusszahlen fu¨r Wasser

bung: Ein Wasserbeha¨lter hat eine Bodeno¨ffnung von 65 mm Durchmesser. Sie liegt 5 m unter dem unvera¨nderlich gedachten Wasserspiegel. Die Ausflusszahl betra¨gt 0,8. In welcher Zeit fließen Ve ¼ 2,5 m3 Wasser aus der Bodeno¨ffnung?

Gegeben: ffnungsdurchmesser Geschwindigkeitsho¨he Ausflusszahl wirkliches Ausflussvolumen

Lo¨sung: Zuna¨chst wird die Querschnittsfla¨che A der Bodeno¨ffnung berechnet. Um festzustellen, wieviel Wasser in einer Sekunde ausstro¨mt, berechnt man den Volumenstrom qVe . Demnach kann aus dem Ausflussvolumen Ve und dem sekundlichen Ausflussvolumen ¼ Volumenstrom qVe die Ausflusszeit t berechnet werden.

p 2 p d ¼ ð0,065 mÞ2 ¼ 0,00332 m2 4 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ4ﬃ qVe ¼ m A 2 g h rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m 2 qVe ¼ 0,8 0,00332 m 2 9,81 2 5 m s m3 ¼ 0,0263 s Ve 2,5 m3 t¼ ¼ 95 s ¼ qVe m3 0,0263 s

6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel Verbindet eine Ausflusso¨ffnung zwei benachbarte Gefa¨ße unterhalb ihrer Fluidspiegel, so stro¨mt das Fluid aus dem Gefa¨ß 1 in das Gefa¨ß 2 u¨ber, solange noch eine Ho¨hendifferenz h ¼ h1 h2 vorhanden ist. Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit w ist von dieser Druckho¨hendifferenz abha¨ngig, ebenso der wirkliche Volumenstrom qVe . 6.2.3.4 Ausfluss bei berdruck im Gefa¨ß Auf dem Fluidspiegel B eines Gefa¨ßes lastet der Druck p1 , wa¨hrend an der Ausflusso¨ffnung A der Atmospha¨rendruck p0 herrscht. Man nimmt wieder an, dass die Geschwindigkeit der Fluidteilchen bei B vernachla¨ssigbar klein ist.

d ¼ 65 mm h ¼5m m ¼ 0,8 Ve ¼ 2,5 m3

Gesucht: Ausflusszeit t A¼

w¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g ðh1 h2 Þ

qVe ¼ m A

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g ðh1 h2 Þ

theoretische Ausflussgeschwindigkeit wirklicher Volumenstrom

408 Die Ausflussgeschwindigkeit ermittelt man mit Hilfe der Bernoulli’schen Druckho¨hengleichung. Darin ist wB 2 =2 g vernachla¨ssigbar, also gleich null. Statt der beiden geoda¨tischen Ho¨hen hA und hB wird die geoda¨tische Ho¨hendifferenz h ¼ hB hA eingesetzt und erha¨lt damit eine Gleichung fu¨r die theoretische Ausflussgeschwindigkeit wA ¼ w. Den wirklichen Volumenstrom bekommt man mit dieser Geschwindigkeit, der ffnungsfla¨che A und der Ausflusszahl m mit Hilfe der bekannten Gleichung. Wird nun noch der berdruck pu¨ im Beha¨lter gegenu¨ber dem a¨ußeren Luftdruck fu¨r die Druckdifferenz p1 p0 gesetzt, dann vereinfacht sich die Gleichung.

6 Fluidmechanik (Hydraulik) p1 wB 2 p0 wA 2 þ hB þ ¼ þ hA þ rg 2g rg 2g wA 2 p1 p0 p1 p0 ¼ þ hB hA ¼ þh 2g rg rg rg sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ p1 p0 w ¼ 2g h þ rg

qVe qVe

theoretische Ausflussgeschwindigkeit

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ p1 p0 ¼ mAw ¼ mA 2g h þ rg sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ pu¨ ¼ mA 2g h þ rg

wirklicher Volumenstrom qVe

m

A

g

h

p1 , p0 , pu¨

m3 s

1

m2

m s2

m

Pa ¼

r

N kg m2 m3

bung: In einem Dampfkessel lastet auf der Wasseroberfla¨che ein berdruck von 3,5 bar. Das Ablassrohr liegt 2,3 m unter dem Wasserspiegel und hat eine lichte Weite von 50 mm. Die Ausflusszahl betra¨gt 0,8.

Gegeben: berdruck Pu¨ ¼ 3,5 bar ¼ 3,5 105 Pa geoda¨tische Druckho¨hendifferenz h ¼ 2,3 m Rohrdurchmesser d ¼ 50 mm Ausflusszahl m ¼ 0,8

Wieviel Wasser stro¨mt in jeder Sekunde durch das Rohr?

Gesucht: wirklicher Volumenstrom qVe

Lo¨sung: Zuna¨chst wird die Querschnittsfla¨che A des Ablassrohrs berechnet. Dann bestimmt man mit Hilfe der bekannten Gleichung den Volumenstrom qVe . Dabei muss beachtet werden, dass der berdruck pu¨ mit der Einheit Pa ¼ N=m2 eingesetzt wird (1 bar ¼ 105 Pa). 6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel Bei den bisherigen Betrachtungen wurde die geoda¨tische Druckho¨he h des Fluidspiegels gegenu¨ber der Ausflusso¨ffnung als konstant angenommen. Damit war auch die Ausflussgeschwindigkeit konstant.

A¼

qVe

p 2 p d ¼ 25 104 m2 ¼ 19,63 104 m2 4 4

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ pu¨ m ¼ 0,0429 2 ¼ mA 2g h þ s rg

6.2 Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik) Soll ein Gefa¨ß aber ganz oder teilweise entleert werden, dann muss man den absinkenden Fluidspiegel beru¨cksichtigen. Mit sinkendem Fluidspiegel nimmt die Ausflussgeschwindigkeit w und natu¨rlich auch der Volumenstrom qVe ab. Die Ausflussgeschwindigkeit pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ folgt dem Gesetz des freien Falls: w ¼ 2 g h. Weil hier die Ho¨he aber nicht zu- sondern abnimmt, handelt es sich um einen gleichma¨ßig verzo¨gerten Geschwindigkeitsverlauf. Man rechnt deshalb in diesem Fall mit der mittleren Ausflussgeschwindigkeit wm und erha¨lt daraus den mittleren Volumenstrom qVem . Das wirklich ausfließende Volumen Ve ist das Produkt aus dem mittleren Volumenstrom qVem und der Ausflusszeit t: Ve ¼ qVem t. Aus dieser Beziehung kann schließlich auch die Ausflusszeit t ¼ Ve =qVem ermittelt werden. Soll das Gefa¨ß vo¨llig entleert werden, verringert sich die Ausflussgeschwindigkeit vom Anfangswert w1 bis auf w2 ¼ 0, weil die Ho¨he h2 am Ende der Entleerung gleich null ist. Damit vereinfachen sich die Gleichungen durch den Fortfall des letzten Za¨hler- oder Nennerglieds.

409 Bei teilweiser Entleerung sind die Ausflussgeschwindigkeiten pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w1 ¼ 2 g h1 und w2 ¼ 2 g h2 wm ¼

w1 þ w2 ¼ 2

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g h1 þ 2 g h2 2

mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g h1 þ 2 g h2 2 mittlerer wirklicher Volumenstrom qVem ¼ m A

t¼

Ve 2Ve pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ qVem m A ð 2 g h1 þ 2 g h2 Þ

wirkliche Ausflusszeit pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mittlere theoretische 2 g h1 Ausflussgeschwindigkeit 2 bei vo¨lliger Entleerung pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mittlerer 2 g h1 wirklicher ¼ mA 2 Volumenstrom

wm ¼

qVem t¼

mA

2Ve pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g h1

wirkliche Ausflusszeit

bung: Ein zylindrischer Wasserbeha¨lter von 8 m Durchmesser hat in seinem Boden eine Ausflusso¨ffnung von 400 mm Durchmesser. Das Wasser steht im Beha¨lter 6 m hoch. Die Ausflusszahl betra¨gt 0,65. In welcher Zeit fließen 120 m3 Wasser aus?

Gegeben: Beha¨lterdurchmesser ffnungsdurchmesser Wasserspiegelho¨he Ausflusszahl wirkliches Ausflussvolumen Gesucht: Ausflusszeit t

Lo¨sung: Da nicht bekannt ist, ob der Beha¨lter nach der Entnahme von 120 m3 Wasser teilweise oder vo¨llig entleert ist, wird zuna¨chst die Wasserspiegelho¨he h2 nach der Entnahme bestimmt.

Ve ¼

Dann berechnet man die Ausflusszeit mit der Gleichung fu¨r teilweise Entleerung.

Der Beha¨lter wird nur teilweise entleert.

Aufgaben Nr. 1028–1035

d ¼ 8 mm d1 ¼ 0,4 m h1 ¼ 6 m m ¼ 0,65 Ve ¼ 120 m3

p 2 d ðh1 h2 Þ 4 4Ve 4 120 m3 ¼6m ¼ 3,61 m h2 ¼ h1 2 pd p ð8 mÞ2

t¼

2Ve pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 152,5 s m A ð 2 g h1 þ 2 g h2 Þ

410

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

6.2.4 Stro¨mung in Rohrleitungen Fließt ein Fluid durch eine Rohrleitung, so muss es dabei Reibungswidersta¨nde an den Rohrwa¨nden u¨berwinden. Die Folge ist ein Druckabfall Dp (Druckverlust), der von der Fluiddichte r, der Stro¨mungsgeschwindigkeit w, dem Verha¨ltnis zwischen Rohrla¨nge l und Rohrdurchmesser d und der Rohrreibungszahl l abha¨ngt. Die Reibungszahl l (auch Widerstandszahl genannt) ist abha¨ngig von der Reynolds’schen Zahl Re und von der Rauigkeit der Rohrwandung.

Dp ¼ l Dp Pa ¼

N m2

l r 2 w d 2

Druckabfall

l

l, d

r

w

1

m

kg m3

m s

1. bung: Durch eine gerade, 600 m lange Rohrleitung von 400 mm Durchmesser fließen 12 m3 Wasser in der Minute. Die Widerstandszahl betra¨gt 0,03.

Gegeben: Rohrla¨nge l ¼ 600 m Rohrdurchmesser d ¼ 0,4 m Volumenstrom qV ¼ 12 m3/min ¼ 0,2 m3/s Rohrreibungszahl l ¼ 0,03

Es soll die Ausflussgeschwindigkeit w und der Druckabfall Dp in der Rohrleitung berechnet werden.

Gesucht: Ausflussgeschwindigkeit w, Druckabfall Dp

Lo¨sung: Nach der berlegung, die zur Kontinuita¨tsgleichung fu¨hrte, fließt aus der Leitung der Volumenstrom qV ¼ Aw aus. Aus dieser Beziehung berechnet man die Ausflussgeschwindigkeit w ¼ Stro¨mungsgeschwindigkeit. Mit den bekannten Gro¨ßen wird der Druckabfall Dp ermittelt.

qV ¼ Aw w¼

qV 0,2 m3 =s m ¼ ¼ 1,59 2 s A p=4 ð0,4Þ

m2 3 kg l l r w2 0,03 600 m 10 m3 1,59 s ¼ Dp ¼ 2d 2 0,4 m Dp ¼ 56 880 N=m2 ¼ 56 880 Pa 0,569 bar

2. bung: Durch eine Rohrleitung von 100 NW und 60 m La¨nge sollen 210 m3 Wasser je Stunde gedru¨ckt werden.

Gegeben: Rohrdurchmesser d ¼ 100 mm ¼ 0,1 m Rohrla¨nge l ¼ 60 m Volumenstrom qV ¼ 210 m3=h ¼ 0,0583 m3=s Rohrreibungszahl l ¼ 0,03

Welcher Druckunterschied ist zwischen den beiden Leitungsenden erforderlich, wenn die Rohrreibungszahl l ¼ 0,03 betra¨gt?

Gesucht: Druckabfall Dp

Lo¨sung: Hier fu¨hren dieselben Gedanken wie in der ersten bung zum Ergebnis. Aufgaben Nr. 1036–1038

m3 0,0583 qV s ¼ 7,43 m ¼p w¼ A s ð0,1 mÞ2 4 Dp ¼

l l r w2 ¼ 4,97 bar 2d

Sachwortverzeichnis

411

Sachwortverzeichnis

A a, t-Diagramm 147, 150, 152 abgeleitete Gro¨ßen 144 Abminderungsfaktor 362 Abscher– Hauptgleichung 295 – beanspruchung 269, 271 – festigkeit 295 – Spannung 295 Abscheren 295 absoluter Druck 393 Abtriebsdrehzahl 181 Abtriebsmoment 216 Achsen 343 actio gleich reactio 192 Additionstheoreme 102, 107, 202 hnlichkeitssatz 346 Allgemeine Durchbiegungsgleichung 347 allgemeines Kra¨ftesystem 21, 38 Amboss 231 Amplitude 246, 249 Amplituden-Frequenz-Diagramm 261 Analogie 240 – -schluss 182 – -verfahren 213 Analogien bei Schwingungen 258 analytische Lo¨sung 101, 103, 106 analytische Methode 22, 36 Anfangsenergie 221 Anfangsgeschwindigkeit 146, 154 Anfangswinkelgeschwindigkeit 187 Anformungsgleichung 343 Anlaufreibung 116 Anstrengungsverha¨ltnis 369 Anstro¨mquerschnitt 157 Antriebsdrehzahl 181 Antriebsleistung 211 Antriebsmoment 216 Anzugsmoment 121, 123 Aproj 289 Arbeit 203, 213, 245 Arbeit einer vera¨nderlichen Kraft 205 Arbeit, bungen 206, 212, 216 Arbeit, zeichnerische Darstellung 204 Arbeitsdiagramm 214, 325 Arbeitsfa¨higkeit 218, 240

Atmospha¨rendruck 393, 405 Auflagereibmoment 121 Auflagerkra¨fte 2 Auftriebskraft 397, 400 Ausflussgeschwindigieit 406, 409 Ausflusso¨ffnung 406 Ausflussvolumen 407 Ausflusszahl 406–409 Ausfluss aus einem Gefa¨ß 406 – bei sinkendem Fluidspiegel 408 – bei berdruck im Gefa¨ß 407 – unter dem Fluidspiegel 408 Ausflusszeit 409 Ausknicken 269, 351 Auslaufversuch 241 Auslenkung 246, 249 Auslenkung-Zeit-Gesetz 247 Auslenkung-Zeit-Linie 248 Ausrollweg 222 a¨ußere Kra¨fte 265 axiale Fla¨chenmomente 303 – Herleitung 304 – Tabelle 309 – symmetrischer Querschnitte 312 – unsymmetrischer Querschnitte 313 – bungen 306 axiale Widerstandsmomente 303 – bungen 306 – Tabelle 309 Axialkraft 64 B Backenbremse 95, 128, 129 Bandbremse 132 Bandreibung 132 Bar 387 Ba¨rmasse 228 Basiseinheiten 144, 149, 152 Basisgro¨ßen 144 Baugro¨ßen 180 Bauverha¨ltnis 293 Beanspruchung 266, 378 – auf Abscheren 295 – auf Biegung 328 – auf Druck 285

412 – auf Knickung 351 – auf Torsion 321 – auf Zug 278 –, zusammengesetzte 270, 365 Beanspruchungsart 268, 270, 271 Befestigungsgewinde 279 Befestigungsschraube 123 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 121 Beharrungsgesetz 188 Beharrungsvermo¨gen 188 Belastungsart und Festigkeit 376 – ruhend 377 – schwellend 377 – wechselnd 377 Belastungsbild, Konsolblech 301 Belastungsfall 377 – I 377 – II 377 – III 377 Belastungskra¨fte 2 Bemaßung eines Bauteils 381 Berechnung axialer Fla¨chenmomente 2. Grades, bungen 316 Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs, bungen 333 Bernoulligleichung 403 –, Anwendungen 405 Bernoulli’sche Druckgleichung 403 – Druckho¨hengleichung 404, 406, 408 – Gleichung 402 Beru¨hrungsfla¨chen 13, 289 Beschleunigung 144, 152, 154, 182, 245 beschleunigte Bewegung, Formeln 154 Beschleunigung-Zeit-Diagramm 147, 150, 152 Beschleunigung-Zeit-Gesetz 247 Beschleunigung-Zeit-Linie 248 Beschleunigungs-Linie 150, 152 Beschleunigungsarbeit 220, 240 Beschleunigungsbegriff 150 Beschleunigungskraft 245 Beschleunigungsmoment 245 Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts 79 Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems und der Beanspruchungsarten 272 Betrag einer Kraft 3 Betragszeichen 24 Bewegungsa¨nderung 189 Bewegungsaufgaben, Arbeitsplan 153 Bewegungsbahn 145 Bewegungsenergie 218 Bewegungsgro¨ße 202, 224 Bewegungslehre 144 Bewegungsprobe 15, 18, 19

Sachwortverzeichnis Bewegungsschraube 290 – mit Flachgewinde 119 – mit Spitz- oder Trapezgewinde 120 Bewegungszustand 7, 145, 179, 189, 224 Bewegung des Kolbens 151 Bewegung in Getrieben 180 bezogener Schlankheitsgrad 360 Bezugsachse 236 Bezugsebene 219, 221 Bezugsschlankheitsgrad 361 Biege-Hauptgleichung 331, 343, 365 –, Gu¨ltigkeitsbedingungen 332 –, Herleitung 330 Biegebeanspruchung 269, 271, 273 Biegefeder 344 Biegefestigkeit 376 Biegelinie 328, 346, 348 Biegemoment 2, 271, 328, 331, 333–343, 347, 365 Biegemoment und Kra¨fepaar 273 Biegemomenten- und Querkraftbestimmung, Arbeitsplan 329 Biegemomentenverlauf 333 Biegepresse 62 Biegespannung 328, 331, 343, 365 Biegetra¨ger 329 – mit mehreren Belastungen 350 Biegewechselfestigkeit 379, 380 Biegung 269, 328 – und Torsion 368 – –, bung 370 Blattfeder 333, 344 Bodenfla¨che 394 Bodenklappe 394 Bodenkraft 394 Bogen 78 Bogenho¨he 79 Bogenla¨nge 78, 84 Bogenmaß 124, 159, 348 Bohrmaschinentisch 115 Bolzenverbindungen 291 Bremsbacke 95, 128 Bremsen 128 Bremshebel 95, 128, 130, 132 Bremshebeldrehpunkt 128, 132 Bremsklotz 95 Bremskraft 128, 130, 133, 194, 203 Bremsmoment 95, 128, 130, 132, 239 Bremsscheibe 95, 97, 128, 132 Bremsversuch 239 Bremsverzo¨gerung 156, 160 Bremsweg 160, 198 Bruchfestigkeit 382

Sachwortverzeichnis C Cremonaplan 74 –, Arbeitsplan 75 Culmann’sche Gerade 50–52 D d’Alembert 195 d’Alembert’sches Prinzip 195 Dachbinder 68 Dachpfanne 175 Dachtraufe 175 Da¨mpfung einer Schwingung 258 Dauerbruchsicherheit 382 Dauerfestigkeit 378, 383 Dauerfestigkeitswerte 378 Dauerschwingversuch 377 Definitionsgleichung, Beispiele 182, 193, 203, 213, 297, 304, 306 Dehngrenze 375, 377 Dehnung 281, 375 Dehnungshypothese 369 Diagramme der gleichfo¨rmigen Bewegung 148 Dichte 189, 191, 394 –, Einheit 191 –, Luft 157 Dichtungsho¨he 391 Dichtungsstellen 391 Dickena¨nderung 281 Differenzbremse 132 Doppelbackenbremse 130 Drall 239 Dreharbeit 214, 245 Drehbewegung 176, 232, 241 –, Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 213 –, gleichma¨ßig beschleunigte 182 Drehimpuls 239 Drehleistung 213, 215, 245 Drehmoment 2, 4, 5, 16, 122, 127, 213, 233, 239, 323 Drehmomentschlu¨ssel 123, 327 Drehsinn des Drehmoments 4 Drehstab-Stabilisator 325 Drehstabfedern 325 Drehung 6, 7 Drehweg 214 Drehwinkel 179, 182, 186, 213, 245 Drehwinkelgleichungen 185 Drehwirkung 4, 6 Drehzahl 176, 180, 215 Dreieck 78 – -blattfeder 344 – -fla¨che 78 Dreiecksumfang 84

413 Dreiecksverband 68 Dreikra¨fteverfahren 48, 96 –, Arbeitsplan 50 dreiwertige Lager 17 Druck 269, 387, 393, 404 Druck-Ausbreitungsgesetz 387 Druck-Hauptgleichung 285 Druck- und Zugbeanspruchung, bungen 286 Druckabfall 410 Druckbeanspruchung 269, 271, 285 Druckdifferenz 408 Druckeinheit 387, 393 Druckenergie 403 Druckgleichung 403, 404 Druckho¨he 393, 404 Druckho¨hendifferenz 407 Druckkraft 351 – auf gewo¨lbte Bo¨den 390 Druckmittelpunkt 395 Druckspannung 285 Drucksta¨be im Stahlbau 359 Druckverlust 410 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit 387, 392 Druck in einer Leitung 405 Druck und Biegung 366 Durchbiegung 346, 350 Durchbiegungsgleichung 347–350 –, bungen 349 Durchschnittsgeschwindigkeit 148, 177 Dynamik 143, 144 – der Drehbewegung 232 – der Fluide 402 – der geradlinigen Bewegung 188 dynamische Belastung 377 Dynamisches Grundgesetz 192, 220, 232, 239 – fu¨r Drehung 233 – –, bungen 193, 239 E E-Modul 282 Ebenenwinkel 92, 103 Eigenfrequenz 261 Eigenschwingungen 260 Einbahnverkehr 33, 37 Einbahnverkehrsregel 33, 35, 49, 52 Eingriffslinie 181 Eingriffspunkt 65 Eingriffswinkel 181, 371 Einheit – der Arbeit 203 – der Beschleunigung 152 – der Dichte 191 – des Drucks 387

414 – der Kraft 1, 2, 193, 393 – der Leistung 209 – der Masse 190 – Eins 149, 281 Einheiten –, Dynamik 143 –, Festigkeitslehre 262 –, Hydraulik 386 –, Statik 1 –, Umrechnungen Einheitskreis 180 –, Geschwindigkeit 149 Einscheibenbremse 133 einschnittige Nietverbindung 291 Einspannla¨nge 352 Einspannmoment 17 Einspannpunkt 336 Einspannstelle 333, 336, 343 Einspannung 352 Eintreiben von Keilen 228 einwertige Lager 15 Einzellast 337 Einzelu¨bersetzung 182 Einzelwirkungsgrad 211 elastische Knickung 352 elastische Forma¨nderung 280, 297, 324 elastischer Bereich 354 elastischer Stoß 225 Elastizita¨tsgrenze 375 Elastizita¨tsmodul 282, 324, 375, 385 elektrische Arbeit 204 Elongation 249 Endenergie 221 Endgeschwindigkeit 146, 154 Endtangente 346, 348, 350 Endwinkelgeschwindigkeit 186 Energie 218 –, Einheit 218 – austausch 225 – bilanz 221, 231 Energieerhaltungssatz 219, 221, 226, 241, 402, 403 Energieerhaltungssatz der Stro¨mung 402 –, bungen 222 Energieumwandlung 218 Energieverluste 219, 227, 229, 231 Entwurfsformel 359 Entwurfsberechnungen 380 erforderliche Beru¨hrungsfla¨che 288 erforderlicher Querschnitt 278, 285 erforderliches Widerstandsmoment 323, 331 Ermittlung – der Resultierenden, rechnerisch 22, 38 – der Resultierenden, zeichnerisch 26, 40

Sachwortverzeichnis – unbekannter Kra¨fte, Arbeitsplan 45 – unbekannter Kra¨fte, rechnerisch 28, 44 – unbekannter Kra¨fte, zeichnerisch 32, 48 Ersatzkraft 3, 8, 91, 93, 95, 102, 104 Erregerfrequenz 261 erzwungene Schwingung 246, 260 Euler 124, 352, 356, 358 – -Hyperbel 354 – -fall 352 – -gleichung 352–355 – –, Gu¨ltigkeitsbereich 354 Euler’sche – Gleichung 124, 127 – Knickung 352 – Zahl 124 exzentrischer Stoß 224 Eytelwein 124 F F, s-Diagramm 204, 213 Fachwerke 68 Fachwerktra¨ger 68 Fadenpendel 256 Fahrbahnneigung 243 Fahrrad 5 Fahrwerkbremse 129 Fahrwiderstand 134–137, 194, 222 –, bungen 135 Fahrwiderstandszahl 134 Fallbeschleunigung 146, 157, 190 Fallhammer 218, 230 Fallho¨he 223 Federarbeit 205, 220, 284, 287, 325 Federdiagramm 205, 207 Federdurchmesser 326 Federkennlinie 205, 208, 325 Federkraft 205, 207 Federrate 205, 207, 252, 325 Federreihenschaltung 253 Federparallelschaltung 253 Federungsdiagramm 325 Federwaage 90 Federweg 205, 326 Feldkra¨fte 11 Feste Rolle 138 Festigkeit 375 Festigkeitslehre 262 Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau 381 Festigkeitsrechnung 2 Festigkeitswerte 375, 382, 385 Festlager 2, 15, 16, 53 Festlagerkraft 60, 63 Festlagerpunkt 53, 54, 56

Sachwortverzeichnis Fla¨chen- und Widerstandsmomente zusammengesetzter Querschnitte, bungen 316 Fla¨chenmoment – Herleitungsu¨bung 305 Fla¨chenmomente 304, 395 Fla¨chenmomente 2. Grades 303, 308, 312, 319, 396 –, bungen 306 Fla¨chenpressung 269, 288, 291 – am Gewinde 290 – an geneigten Fla¨chen 288 – an gewo¨lbten Fla¨chen 292 – an Nieten 291 – an Schrauben 290 – in Gleitlagern 291 –, bungen 293 Fla¨chenpressungs-Hauptgleichung 288 Fla¨chenpressungsgleichungen 291 Fla¨chenschwerpunkt 77, 86 –, bung 81 Flachfu¨hrung 115 Flachgewinde 120 Flachriemengetriebe 127 Flankendurchmesser 122 Flankenradius 119 Flankenumfang 119 Flankenwinkel 120 Flasche 141 Fliehkraft 242, 245 –, bungen 243 Fließen des Werkstoffes 375 Fluidmechanik 386, 402 Flu¨ssigkeiten, Eigenschaften 386 Flu¨ssigkeits– beha¨lter 394 – dichten 394 – druck 387, 393 – ho¨he 392 – menge 397 – oberfla¨che 393 – quader 387 – reibung 116 – sa¨ule, Schwingung 257 Form und Dauerfestigkeit 380 Forma¨nderung 324 – bei Biegung 346 – bei Schub 297 – bei Torsion 324 Forma¨nderungsarbeit 205, 218, 220, 225, 283 – bei Torsion 325 Forma¨nderungsgleichungen 324 Formelzeichen und Einheiten, Dynamik 143 –, Festigkeitslehre 262, Hydraulik 386 –, Statik 1

415 Fq , x-Diagramm 334–342 Freier Fall 145, 157 – mit Luftwiderstand 158 – ohne Luftwiderstand 157 freie Knickla¨nge 352 freie Schwingung 246 freigemachtes Konsolblech 301 Freiheitsgrade 6 Freimachen 11–17, 95 –, Arbeitsplan 17 –, bungen 18–20 Freischneiden 12 Freitra¨ger 17, 333, 336 – mit Einzellast 333, 349 – mit konstanter Streckenlast 335, 349 – mit mehreren Einzellasten 334 – mit Mischlast 336 – mit Streckenlast 345 Frequenz 249 Fu¨hrungsbuchse 116 Fu¨hrungsla¨nge 116 Fu¨hrungsverha¨ltnisse 352 Funktionsgleichung 98, 103, 393, 395 –, Beispiele 168, 185, 197, 200, 286, 333 Fußkreisdurchmesser 181 G Galilei 188 geda¨mpfte Schwingung 246 gefa¨hrdeter Querschnitt 278, 285 Gelenke 13 Gelenkpunkte 13, 68 Gelenkviereck 69 geoda¨tische Druckho¨he 404 geoda¨tischer Druck 404 geometrische Addition 165, 373 Gesamtenergie 230 Gesamtfla¨chenmoment 320 – 2. Grades 312 Gesamtmoment 55, 61 Gesamtresultierende 40 Gesamtschwerpunkt 80, 85 Gesamtspannung 365 Gesamtu¨bersetzung 182 Gesamtwirkungsgrad 211 geschlossenes Krafteck 33 Geschwindigkeit 144, 148, 157, 182 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm) 145, 149 Geschwindigkeits– a¨nderung 151 – begriff 148 – druck 403

416 – einheit 148 – Umrechnungsbeziehung 149 – ho¨he 406 – Linie 150 – zunahme 146, 151 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 247 Geschwindigkeit-Zeit-Linie 248 Gesetz der Dynamik 192 Gestalt und Dauerfestigkeit 378 Getriebe 180, 371 Getriebewelle 2, 16, 64, 264, 333, 368, 371 Getriebezwischenwelle 64, 67 Gewichtskraft 11, 12, 189 – der verdra¨ngten Flu¨ssigkeit 399 Gewinde 289 Gewindeflankendurchmesser 122 Gewindega¨nge 290 Gewindelinie 119 Gewindereibmoment 120–122 Gewindesteigung 119, 290 gleichfo¨rmige Bewegung 145, 148 Gleichgewicht 2, 6, 29, 189 –, indifferentes 87 –, labiles 87 –, stabiles 87 Gleichgewichtsbedingungen 7, 16 –, rechnerische 29, 44 –, zeichnerische 33, 48 Gleichgewichtslagen 87 – schwimmender Ko¨rper 399 Gleichgewichtszusta¨nde 189 gleichma¨ßig beschleunigte Bewegung 145 gleichma¨ßig beschleunigte und verzo¨gerte Bewegung, bungen 160 Gleichung der Wurfbahn 168 Gleichungssysteme 53 Gleitfla¨che 90, 91 Gleitfu¨hrung 288 Gleitlager 15, 293 Gleitreibung 90, 91 Gramm 190 Grauguss (Gusseisen) 376 Grenzschlankheitsgrad 354, 356 –, Tabelle 355 Gro¨ße und Dauerfestigkeit 378 Gro¨ßenbeiwert 383 Gro¨ßengleichung 178, 180, 323 Grundaufgaben der Statik 22, 38 Grundbeanspruchungsarten 268 Grundgleichung 153 – der gleichfo¨rmigen Bewegung 148 Grundkreisdurchmesser 181 Guldin’sche

Sachwortverzeichnis – Oberfla¨chenregel 86 – Regeln 86 – –, bungen 87 – Volumenregel 86 Gummipuffer 287 Gurte 68 Gurtplatten 320 Gusseisen (Grauguss) 376, 378, 385 H Haftreibkraft 92, 201 Haftreibung 90, 91 Haftreibwinkel 92 Haftreibzahl 92 Halbkreisbogen 84 Halbkreisfla¨che 78 Halslager 16, 19, 44, 48 Halslagerkraft 44, 48 Haltekraftgleichung 106, 109 Haltekraft 119, 121 Handkraft 121, 276 Handkurbel 275, 277 Handraddurchmesser 122 Handwinde 217 Hangabtriebskomponente 206 Hangabtriebskraft 134, 137 harmonische Schwingung 246 Hauptaufgaben der Statik 21 Hauptgleichung –, Druck 285 –, Fla¨chenpressung 288 –, Zug 278 Hebebock 391 Hebelarm – der Rollreibung 134, 136 – der statischen Stabilita¨t 399, 401 Hebeldrehpunkt 129, 132 Hebelu¨bersetzung 389 Herleitung des Steiner’schen Satzes 314 Hertz’sche Gleichungen 292, 294 Ho¨henenergie 218 Hohlwellen 322 Hohlzylinder 235, 238 Hooke 280 Hooke’sches Gesetz 280, 282, 297, 347 – fu¨r Schub 297 – fu¨r Torsion 324 Horizontalbewegung 167, 170 horizontale Stro¨mung 402 Hubarbeit 120, 139, 206, 210, 216, 218, 223 Hubgeschwindigkeit 212 Hubho¨he 207 Hubleistung 210

Sachwortverzeichnis Hubverha¨ltnis 392 Hubweg 139 Hubwerksbremse 128 Hydraulik 386 Hydraulikkolben 62 Hydraulikzylinder 133, 358 hydraulische Elemente 386 hydraulische Presse 391 hydraulische Pressung 387 hydraulischer Hebebock 388 Hydrostatik 386 hydrostatischer Druck 387, 389, 393 Hypothese der gro¨ßten Gestalta¨nderungsenergie 369 I ideelle Spannung 369 Impuls 202, 224 Impulserhaltungssatz 202, 224, 240, 245 – fu¨r Drehung 239 innere Kra¨fte 265 inneres Kra¨ftesystem 265, 271, 365, 367 – bei Biegetra¨gern 328 –, bungen 272 Internationales Einheitensystem 1 J Joule 203, 219 K Kantenpressung 265 Kegel 87 Kegelbremse 133 Kegelkupplung 289 Kegelstumpf 344 Kegelzapfen 289 Keilnut 114 Keilreibkraft 114 Keilreibzahl 114 Keilriemen 114 Keilwinkel 114 Kentern 401 Kenterpunkt 401 Kenterwinkel 401 Kerb-Dauerfestigkeit 379 Kerbformen 385 Kerbquerschnitt 378 Kerbwechselfestigkeit 379 Kerbwirkung 379, 382 Kerbwirkungszahl 385 Kernquerschnitt 293 Kesselnaht 390 Ketten 12, 280

417 Kilogramm 190 Kilowatt 215 Kinematik 144 kinetische Druckho¨he 404 kinetische Energie 218, 220, 222, 240, 245, 402 kinetischer Druck 403 Kippen 88 Kippkante 88, 136, 396 Kippmoment 88, 244, 396 Klappendrehpunkt 397 Klapptisch 62 Klemmbedingung 115, 116 Klemmen 115 Klotzbremsen 128 Knickkraft 351, 352 Knickung im Stahlbau 359 Knicksicherheit 351, 356 Knickspannung 351–356 Knickspannungslinien 361, 363 Knicksta¨be 360, 362 Knickung 269, 351 –, elastische 352 –, unelastische 355 Knickungsaufgaben, Arbeitsplan 356 Knoten 68 Knotenblech 68 Knotenschnittverfahren 70, 71 Kolbendichtungen 391 Kolbendurchmesser 389, 391 Kolbenfla¨chen 388, 391 Kolbengeschwindigkeit 176 Kolbenkra¨fte 388 Kolbenpumpe 352 Kolbenstange 357, 358 Kolbenwege 389 kommunizierende Ro¨hren 394 Konsolblech 300, 333 –, freigemacht 301 Konsoltra¨ger – mit Einzellast 345 – mit Streckenlast 345 konstante Streckenlast 336 Kontinuita¨tsgleichung 402, 405 Kontraktion 406 Kontraktionszahl 406 Koordinaten 62 – des Festlagerpunktes 54 – – Loslagerpunktes 54 Koordinatenbedingung 54, 55, 60 Koordinatendifferenz 54 Kopfdurchmesser 302 Kopfho¨he 302 Kopfkreisdurchmesser 181

418 Kosinussatz 37, 166 Kraft 2, 3 –, Einheit 2, 193 – -Verla¨ngerung-Schaubild 283 – -Weg-Diagramm 204 Krafteck 8 Kra¨ftedreiecke 8 kra¨ftefreies System 226 Kra¨ftegleichgewicht 328 Kra¨ftegleichgewichtsbedingung 50, 57, 58, 66 Kra¨ftemaßstab 3 Kra¨ftepaar 4, 270, 273, 372 Kra¨fteparallelogramm 8 Kra¨fteplan 27, 31, 33, 41 Kra¨ftereduktion 8, 22, 26, 38, 40, 191 Kra¨ftesystem 21 Kraftmoment 2, 4 –, Einheit 2 Kraftstoß 202, 224 Kraftzerlegung 9 Kragtra¨ger 333, 338 Kra¨ngungswinkel 401 Kran 206, 209, 212 Kranhaken 12, 193 Kreisabschnitt 79 Kreisausschnitt 78 Kreisbahn 177, 189 Kreisbewegung 145, 176, 182, 213 –, Arbeitsplan 184 –, Formeln 186 Kreisbogen 84 Kreisfrequenz 249 Kreisgro¨ße 182, 184, 213 –, Gegenu¨berstellung 213 Kreiskegel 235 Kreiskegelstumpf 235 Kreisringstu¨ck 78 Kreiszylinder 235, 238 krummlinige Bewegung 145 Kru¨mmung 346 Kru¨mmungsmittelpunkt 346 Kru¨mmungsradius 294, 346–348 kubische Parabel 344 Kugel 87, 235 Kugellager 15 Kupplung 90, 239 Kupplungsbelag 289 Kurbel 214 Kurbelarm 276 Kurbelgetriebe 176 Kurbelwelle 176, 214 Kurvenradius 243

Sachwortverzeichnis L labile Schwimmlage 400 Lageplan 3, 27 Lager 19, 116 Lagerreibkraft 117 Lagerungsla¨nge 293 Lagerverluste 211 Lagerzapfen 116, 385 Lageskizze 18, 19 La¨ngenausdehnungskoeffizient 283 La¨ngsdehnung 281 La¨ngsvorschub 164, 165 Lambda 351 Lastarbeit 389 Lastfa¨lle 364 Lastheben 139 Lastkahn 125 Lastkolben 388, 392 Lasttrum 127 Laufkatze 166 Laufkran 166 Leertrum 127 Lehrbeispiele: – Berechnung einer Getriebewelle 371 – Knickung im elastischen Bereich 357 – Knickung im unelastischen Bereich 358 – Nietverbindung im Stahlbau 300 – Nietverbindung im Stahlhochbau 298 – Prinzip von d’Alembert 198 – Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kra¨ftesystems 30 – Reibung in Ruhe und Bewegung 94 – Seileckverfahren, Zusammensetzung zweier Parallelkra¨fte 43 – Torsionsstabfeder 326 – Verdrehwinkel (Drehmomentschlu¨ssel) 327 – v, t-Diagramm 156 – Wirkungsgrad 217 – Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems 31 – Zugbolzen 302 Leistung 209, 213, 245, 323 –, bungen 212, 216 Leistungsgleichung 209, 215 Leiter 18 Leiteraufgabe 98 Leitungsquerschnitt 402 Lichtgeschwindigkeit 191 lineare Spannungsverteilung 303, 321 lineares Kraftgesetz 250 Linienmomente 83 Linienschwerpunkt 83, 86 Linienzu¨ge 84

Sachwortverzeichnis Lochleibungsdruck 291, 299, 364 lose Rolle 139 Loslager 2, 15, 46, 53 Loslagerkraft 47, 60, 63 – Fehlerwarnung 57 Loslagerpunkt 53, 56 Lo¨sungsmethoden der Statik 22 Lu¨ckenweite 181 Luftdichte 157 Luftdruck 393, 408 Lu¨ften der Bremse 133 Luftwiderstand 145, 157 Luftwiderstandsbeiwert 157 M M, j-Diagramm 213 Magnetfeld 11 Mantelfla¨che 86 Masse 189, 238 Masseneinheit 190 Massenmoment 232 Massenschwerpunkt 242 maximale Belastung 278, 285 maximale Normalkraft 288 maximales Biegemoment 331, 333–337 maximales Torsionsmoment 323 Mb, x-Diagramm 333–342 mechanische Arbeit 203, 283 mechanische Energiearten 218 mechanische Schwingungen 246 Megapascal 387 Mehrfachu¨bersetzung 182 Mehrscheibenbremsen 133 Mehrschichtfeder 344 mehrschnittige Nietverbindung 291 metazentrische Ho¨he 399 Metazentrum 399 Mischlast 336 Mischreibung 116 Mittelpunktsgeschwindigkeit 178 mittlere Geschwindigkeit 151, 152 mittlere Leistung 209 mittlere Winkelgeschwindigkeit 183 Mobilkran 89 Modul 181 Momentangeschwindigkeit 151, 158, 172 Momentanwegstrecke 159 Momentenbedingung 60 Momentenbezugspunkt 45, 79, 82, 85 Momentendrehpunkt 54, 140 Momentendrehsinn 4, 80, 82 Momentenfla¨che 348

419 Momentengleichgewichtsbedingung 46, 56, 65, 96, 128, 130, 131, 134, 397 Momentensatz 38, 77, 80, 82, 85 –, Arbeitsplan 39 – fu¨r Fla¨chen 77, 79, 319 – fu¨r Linien 83, 85 Momentenstoß 239 Momentensumme 86 Momentenverha¨ltnis 88 Motordrehmoment 127 Mutterho¨he 290, 293 N Neigungswinkel 346, 348, 401 Nennspannung 380 neutrale Faser 321 neutrale Faserschicht 330 Newton 2, 188, 191 Newtonmeter 2, 203 Newton’sches Axiom 192 – erstes 188 – zweites 191 Nietabstand 299 Nietanzahl 299 Nietbild 299 Nietdurchmesser 300 Niete 364 Nieten 227 Nietverbindung 298 Normalkeilriemen 114 Normalkraft 13, 15, 16, 90, 268, 271 Normalspannung 267, 268, 273 Normfallbeschleunigung 157, 190, 192 Normgewichtskraft 190, 192 Nulldurchgang 337–340 Nulllinie 330 Nutzarbeit 120, 139, 211 Nutzleistung 211 Nutzquerschnitt 298 O w, t-Diagramm 182, 186 Oberfla¨che 86 Oberfla¨che und Dauerfestigkeit 379 Oberfla¨chenbeiwert 383 Oberfla¨chenberechnung 86 Oberfla¨chenkra¨fte 11 Obergurt 68 o¨rtliche Spannung 380 Ortsvektor 165 Ortsvera¨nderung 144, 165 Oszillator 260

420 P Parabel 167, 335, 344 Parabelfla¨che 350 Parallelogramm 78 Parallelogrammfla¨che 78 Parallelogrammkonstruktion, wiederholte 40 Parallelogrammsatz 8, 165 Parallelogrammumfang 84 Parallelschaltung von Federn 253 Pascal 387 Passfedernut 385 Passschrauben 364 Pendelstu¨tze 13 Periode (Schwingung) 249 Periodendauer 176, 249 physikalische Gro¨ße 2 Planvorschub 164, 165 Platin-Iridiumzylinder 190 Poisson-Zahl 282 Pol 41 Polstrahl 41 polare Fla¨chenmomente 307, Tabelle 311 polare Widerstandsmomente, Tabelle 311 polares Fla¨chenmoment 2. Grades 304 polares Widerstandsmoment 305, 323 Polstrahlen 41 Polygon-Fachwerktra¨ger 68 Polynomdivision 141 potentielle Energie 218, 222, 403 Pressensto¨ßel 115 Presskraft 391 Presskraftgleichung 391 Pressung 292 Pressungsho¨he 393 Prinzip von d’Alembert 195 –, Arbeitsplan 197 –, bungen 197 prismatische Nut 35 Prismenfu¨hrung 114, 288 Probestab 381 Profilfla¨che 86, 87 Profillinie 86, 87 Profilsta¨be 279 Profilstahltra¨ger 335 Programmablaufplan 61 Programmschleife 61 Programmverzweigung 61 Projektionsfla¨che 158 projizierte Beru¨hrungsfla¨che 289 –, technische Beispiele 289 projizierte Fla¨che 289, 291, 390 Proportionalita¨tsgrenze 354, 375 Pythagoras 58, 67, 166, 169, 370

Sachwortverzeichnis Q Quadranten 22, 53 quadratische Gleichung 173 –, Beispiele 153, 164, 172 Querbohrung 279, 385 Querdehnung 281 Querkraft 268, 271, 329 Querkraftfla¨che 334–340 Querkraftlinie 335, 337 Querkraftsatz 334 Querkraftschaubild 337 Querkraftverlauf 333, 340 Querlager 116, 118 Querschnittsfla¨che 265, 351 Querschnittsformen 305 R Radachse 344 Radialkraft 14, 20, 64, 368 Radiant (rad) 124, 179 Rammen 228 Randabstand 299 Randfaser 324 Randfaserabstand 305, 332, 366, 367 Randfaserspannung 322, 331, 332 Randspannung 321 Rauigkeit 410 ra¨umliches Kra¨ftesystem 64 Reaktionszeit 162 rechnerische Ermittlung – der Resultierenden, Arbeitsplan 26 rechnerische Gleichgewichtsbedingungen 28, 44, 46 Rechnerprogramm 53, 55, 58, 61 Rechteck 235 reduzierte Masse 238 Reibungsarbeit 208, 210, 221, 241 –, Diskussion der Formel 209 Reibungskraft 13, 90, 95 Reibungsleistung 117, 210 Reibungsmoment 116–118 Reibungsradgetriebe 181 reibungsschlu¨ssige Schraubenverbindung 123 Reibung 13, 90 – am Spurzapfen 117 – am Tragzapfen 116 – an Maschinenteilen 114 – auf der schiefen Ebene 100 – auf der schiefen Ebene, bungen 113 Reibungsaufgaben 95 Reibungskegel 93, 115 Reibungswinkel 91, 92

Sachwortverzeichnis Reibungszahl 91, 92 –, Ermittlung 92 –, Wertetafel 92 Reißla¨nge 284 Reihenschaltung von Federn 252 Relativgeschwindigkeit 226 Relativita¨tstheorie 191 Resonator 260 Resonanz 260 Resultierende 3, 8, 22, 26, 202 resultierende – Druckspannung 366 – Federrate 252 – Kraft 189, 191, 193, 233 – Momentenfla¨che 373 – Spannung 365, 368 – Zugspannug 367 resultierendes – Moment 60, 374 – Drehmoment 240 Reynolds’sche Zahl 410 Richtgro¨ße 250 Richtungsannahme 33 Richtungsregel 28 Richtungssinn 3 Richtungswinkel 3, 10, 22, 28, 33, 59, 61, 169, 172 – der Loslagerkraft 54 Riemen 12 Riemengetriebe 127, 180 Riemenkra¨fte 16 Riemenscheibe 127 Riemenvorspannkraft 127 Riemenvorspannung 127 Ring 235 Ringfla¨che 86 Ringspurlager 118 Ringspurzapfen 117 Ringvolumen 86 Ritter’sches Schnittverfahren 72 – Arbeitsplan 73 Rohnietdurchmesser 298 Rohrla¨ngsnaht 390 Rohrleitung 410 Rohrreibungszahl 410 Rollbedingung 135 Rolle 14, 138 Rollendrehpunkt 138 Rollenradius 138 Rollenzug 138, 141 –, bung 142 Rollko¨rper 14, 134 Rollkraft 134, 136

421 Rollmoment 135 Rollradius 134 Rollreibung 135 Rollwiderstand 13, 91, 134 Rotation 232 Rotationsarbeit 214 Rotationsenergie 240, 245 Rotationsko¨rper 86 Rotationsleistung 215 Ru¨ckprallgeschwindigkeit 229 Ru¨ckstellmoment 254 ruhende Belastung 377 Ruhezustand 189 Rundkerbe 385 Rutschbeginn 98 Rutsche 113 Rutschen 198 S s, h-Diagramm 170 s, t-Diagramm 149, 159 Sackrutsche 222 Schabotte 228, 230 Schabottemasse 230 Schallgeschwindigkeit 163 Schallzeit 163 Scheibenbremsen 133 Scheibenkupplung 239 Scheitelho¨he 171 Schiebung 297 schiefe Ebene 92, 100, 102, 188, 199 schiefer Stoß 224 Schiffsmittellinie 400 Schiffsschwerpunkt 400 Schlagwirkungsgrad 228, 231 Schlankheitsgrad 353, 356, 360 Schleifendurchlauf 61 Schleifscheibe 178, 241 Schlingerbewegungen 401 Schlupf 180 Schlu¨sselradius 121 Schmieden 227 Schmiedevorgang 228 Schmierloch 385 Schnittfla¨che 266, 365 Schnittgeschwindigkeit 178, 212 Schnittkraft 212 Schnittkraftmessgera¨t 212 Schnittmethode 266 Schnittufer 266, 270, 297, 339, 347 Schnittuntersuchung am Niet 296 Schnittverfahren 265, 270 –, bungen 272

422 Schra¨gaufzug 20 Schra¨ger Wurf 170 Schra¨glage 399 Schra¨gstirnradgetriebe 67 Schraube 119, 121 –, bungen 122 Schrauben 279, 364 Schraubenfederpendel 251 Schraubenla¨ngskraft 119, 121, 122 Schraubgetriebe 103, 119 Schraubverbindung 121, 123 Schraubzwinge 274, 365 Schubfeder 297 Schubkraftgleichung 110–113 Schubmodul 297, 324, 327, 385 Schubspannung 268, 273, 296, 321, 328 Schubspannungshypothese 369 Schubspannungsverteilung 296 Schubverformung 297 schwellende Belastung 377 Schwellfestigkeit 377 Schwenkarm 19 Schwerachse 236 Schwerebene 76 Schwerefeld 11 Schwerependel 256 Schwerkraft 76 Schwerlinie 76, 81, 82 Schwerpunkt 76, 83 –, zusammengesetzter Fla¨chen 79 Schwerpunktsabstand 78, 81, 83, 395 Schwerpunktsberechung 319 Schwerpunktsbestimmung 83 – fu¨r Fla¨chen, Arbeitsplan 80 – fu¨r Liniengebilde, Arbeitsplan 85 Schwerpunktslage 83 Schwerpunktslehre 76, 86 Schwerpunktsweg 87 Schwimmen 398 Schwimmlage 399 Schwingung 176 Schwingung, erzwungene 260 Schwingungen, Analogien 258 Schwingungsdauer 249 Schwingungsweite 249 Sechstelkreisbogen 84 Sechstelkreisfla¨che 78 Sehnenla¨nge 78, 84 Seil 12 Seileck 42 Seileckverfahren 41, 76 –, Arbeitsplan 42 Seilgewichtskraft 284

Sachwortverzeichnis Seilkraft 124 Seilreibkraft 124, 127 Seilreibung 124, 132 –, bungen 125 Seilstrahlen 42 Seilzugkraft 124, 126 Seitenhalbierende 78 Seitenkraft 395, 397 – -Gleichung 396 selbsterregte Schwingung 246 Selbsthemmung 119, 128, 132, 209 Selbsthemmungsbedingung 93, 108, 128 Selbsthemmungsbereich 93 Selbsthemmungsgrenze 120 Sicherheit 356 – gegen Dauerbruch 382 – gegen Knicken 351 Sicherheitsgrad gegen Kippen 88 Sicherungsring 385 Sicherungsring-Kerbe 384 SI-Einheiten 1 Sinkgeschwindigkeit 158 Sinussatz 37, 102, 167, 201 Skalar 3, 203, 209 Spannrolle 127 Spannschienen 127 Spannung 266, 278, 380 Spannungart 268 Spannungsbegriffe 380 Spannungsbild 303, 321, 330, 366 Spannungsenergie 218, 220, 225 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 375 Spannungshypothese 369 Spannungsnachweis 286, 299, 368, 382 Spannungsquerschnitt 278 Spannungsspitze 378 Spannungsverlauf 378 Spannungsverteilung 321 – im Tra¨gerquerschnitt bei Biegung 329 – im unsymmetrischen Querschnitt 332 Spannwellenbetrieb 127 Spillanlage 126 Spillkopf 125 Spindelkopf 122 Spindelpresse 103 Spurlager 16, 19, 44, 49 Spurlagerkraft 44, 49 Spurzapfen 117 Spurzapfenreibzahl 117 stabile Schwimmlage 399 – eines Schiffes 400 Stabilita¨tsproblem 351 Stabilita¨tskurve 401

Sachwortverzeichnis Stahlbau 68 Standfla¨che 88 Standmoment 88 Standsicherheit 87, 88 –, bungen 89 Standsicherheitsgleichung 88 Statik 1, 2 – der Flu¨ssigkeiten 386 statische Belastung 377 statische Bestimmtheit 69, 70 statische Druckho¨he 404 statischer Druck 403 Staudruck 403 s, t-Diagramm 149, 159 Steigungswinkel 119, 122, 170 Steigzeit 171 Steiner’scher Verschiebesatz 236, 314–316 Stetigkeitsgleichung 402 Strebe 68 stofffreie Biegeachse 362 Stoß 202, 224 –, Sonderfa¨lle 226 –, bungen 230 –, wirklicher 228 Stoßabschnitt 225, 227, 229 Stoßbegriff 224 Sto¨ßel 151 Sto¨ßelbewegung 147 Stoßnormale 224, 226 Stoßzahlen 229 Stoßzahlgleichung 229 Strahlquerschnitt 406 Strahlungsenergie 218 Strecke 83 Streckenlast 335, 340 Streckgrenze 375, 382, 385 Stromfa¨den 406 Stro¨mung 402–404 – in Rohrleitungen 410 – mit Ho¨henunterschied 403 Stro¨mungsgeschwindigkeit 166, 402, 405, 410 Stro¨mungsmechanik 402 Stro¨mungsquerschnitt 402 Stu¨tzbalken 273 Stu¨tzfla¨chen 13 Stu¨tzhaken 16 Stu¨tzkraftberechung 53, 62 –, Programmablaufplan 61 Stu¨tzkraftermittlung beim ra¨umlichen Kra¨ftesystem 64 Stu¨tzkra¨fte 2, 11, 16, 53, 64, 273 Stu¨tzkraftkomponenten 64 Stu¨tztra¨ger 273, 333, 337

423 – mit Einellast 337, 349 – mit konstanter Streckenlast 340, 349 – mit mehreren Einzellasten 338 – mit Mischlast 340 Summenbremse 132 Summenformeln 202 Symmetrieebene 76, 81, 84 systemanalytisch 53 systemanalytisches Lo¨sungsverfahren 62 – zur Stu¨tzkraftberechnung 53 Systemgleichungen, Zusammenstellung 60 T Tangensfunktion 24, 136 Tangentialbeschleunigung 184, 186, 232 Tangentialgro¨ße 177, 184 Tangentialkraft 13, 20, 64, 90, 214, 232 Tangentialverzo¨gerung 187 Teilkreisdurchmesser 181 Teilschwerpunkt 79 Teilung 181 Temperaturdifferenz 223 Temperatur und Festigkeit 376 Tetmajer 355, 358 Tetmajergleichungen 355 Tonne 190 Torsion 270, 321 –, Forma¨nderung 324 Torsionsbeanspruchung 270 Torsions-Hauptgleichung 323 –, Herleitung 322 Torsionsmoment 2, 270, 321, 325, 327 Torsionspendel 254 Torsionsspannung 270, 321, 323 Torsionsstabfeder 214, 325, 326 Torsionsstab-Messgera¨t 326 Totpunkt 151 Trag- und Spurzapfenreibung, bungen 118 Tra¨ger 15 – gleicher Biegespannung 343 Tra¨gerbelastung 335 Tragsicherheit 359 Tragsicherheitsnachweis 359 Tra¨gheit 188 Tra¨gheitsgesetz 7, 177, 188, 191, 242 Tra¨gheitskraft 158, 196, 201, 245 Tra¨gheitsmoment 232, 236, 245, 255 –, bung 234 Tra¨gheitsmomente, Gleichungen 235 Tra¨gheitsradius 233, 238, 309, 351, 367 Tragtiefe 290 Tragzapfen 116 Tragzapfenreibzahl 116

424 Translation 6, 188 translatorische und rotatorische Gro¨ßen, Gegenu¨berstellung 245 Transportband 200 Trapez 78 Trapezgewinde 120, 122, 279, 293 –, Bezeichnungen 290 Tretkurbel 5 Triebarbeit 389 Triebkolben 388, 392 Triebkraft 189, 388, 391 trigonometrische – Lo¨sung 102, 104, 107 – Auswertung 37 – Methode 37 Trum 127 U U-Rohr 393 U-Rohrmanometer 393 berdruck 393, 405, 408 berlagerung 164 – von beschleunigter Bewegung 167 – von gleichfo¨rmig geradlinigen Bewegungen 166 berlagerungsprinzip 165, 336, 350 bersetzung 181, 216 –, bungen 216 bersetzungsverha¨ltnis 181 Ufermauer 396 Umdrehung 176, 179 Umdrehungsfrequenz 143 Umfahrungssinn 37 Umfangsgeschwindigkeit 117, 177, 212, 215 Umfangskraft 16, 119, 368, 371 Umkehrpunkt 151 Umlaufzeit 176 Umlenkrolle 138 Umrechnungsbeziehung 149 – (Grad in rad) 124 Umschlingungswinkel 124, 126 unelastische Knickung 355 unelastischer Stoß 227 ungleichfo¨rmige Bewegung 145 unsymmetrische Querschnitte 313, 319 Unterdruck 405 Untergurt 68 Ursprungsla¨nge 281, 283, 375 V v, t-Diagramm 144, 147, 152, 156, 182 – des freien Falls 146 – eines Sto¨ßelhubes 147

Sachwortverzeichnis – fu¨r senkrechten Wurf 146 –, bungen 146 v-Linie 146, 152 Vektor 3, 8, 152, 226 verdra¨ngte Flu¨ssigkeitsmenge 397 Verdra¨ngungsschwerpunkt 397–399 Verdrehung 270, 321 Verdrehwinkel 324, 325, 327 Verformungsarbeit 218, 231 Verformungsbild 321, 330 Verformungsenergie 218 Vergleichsmoment 369, 374 –, zeichnerische Bestimmung 370 Vergleichsspannung 368 Verha¨ltnisgro¨ße 281 Verku¨rzung 283 Verla¨ngerung 281, 283, 375 Versatzwinkel 64 Verschiebegeschwindigkeit 210, 213 Verschiebekraft 14, 207, 210, 213 Verschiebesatz (Steiner’sche) 236, 314–316 Verschiebeweg 207, 213, 245 Verschiebung 6 Verschiebungsgro¨ße 366 Verschwa¨chungsverha¨ltnis 298 Vertikalbewegung 167, 170 verzo¨gerte Bewegung, Formeln 155 Verzo¨gerung 144, 147, 155 Vierkra¨fteverfahren 50 –, Arbeitsplan 52 Viertelkreisbogen 84 Viertelkreisfla¨che 78 Viskosita¨t 386 Vollspurzapfen 117 Volumen 191 Volumena¨nderung 386 Volumenberechnung 86 Volumenkra¨fte 11 Volumenstrom 402, 406–409 vorhandene Fla¨chenpressung 288 vorhandene Spannung 278, 285, 323, 331 Vorschubbewegung 145 Vorspannkraft 119, 207 W Waagerecht-Stoßmaschine 147 Waagerechter Wurf 165, 167 Walze 35 Wa¨lzpunkt 371 Wanddicke eines Kessels 390 Wanddrehkran 19, 44, 48 Wa¨rme 223 Wa¨rmekapazita¨t 223

Sachwortverzeichnis Wa¨rmemenge 204, 223 Wa¨rmespannung 283 Wasserdruckhebebock 388 Wassersa¨ule 394 Watt 209 Wattsekunde 203 Wechselfestigkeit 377, 379 wechselnde Belastung 377 Wechselwirkungsgesetz 192, 224 Weg-Linie 149 Weg-Zeit-Diagramm 149 Wegabschnitt 144, 148, 154, 182 Wegeinheit 148 Weggleichung 153, 167 – fu¨r Rollenzu¨ge 141 Wehr 396 Wellen 343 Wellenachse 322 Wellendrehmoment 116 Werkzeugtra¨ger 148 Widerstandsmoment 303, 305, 309, 312, 319, 320, 323, 366 –, bungen 306 Widerstandszahl 410 Winkelbeschleunigung 182, 186, 232, 245 Winkelgeschwindigkeit 118, 179, 213, 215, 245, 323 Winkelgeschwindigkeitsa¨nderung 183 Winkelhebel 46, 53 Winkelprofil 316 Winkelverzo¨gerung 187, 233 Wirkabstand 2, 214 – der Auflagereibkraft 121 wirklicher Stoß 228 Wirklinie 3 Wirkungsgrad 203, 210, 216, 230 – der festen Rolle 139 – der hydraulischen Presse 391 – der losen Rolle 140 – mr des Rollenzuges 142 – fu¨r Schraubgetriebe 120 –, bungen 212, 216 –, Beispiele 211 Wirkungsgradgleichung 139, 228 Wirkungsgradtabelle 142 Wurfbahn 170 – beim waagerechten Wurf 168 Wurfho¨he 170 Wurfparabel 168, 173 Wurfweite 168, 170, 174 Wurfzeit 171, 173

425 Z Za¨higkeit 386 Zahlenwertgleichung 178, 180, 215, 285, 323, 355, 390 Zahndicke 181 Zahneingriff 64 Za¨hnezahlen 181 Zahnflanken 294 Zahnfußho¨he 181 Zahnkopfho¨he 181 Zahnkraft 65 Zahnkraftkomponente 16, 64 Zahnrad 294 Zahnradgetriebe 180 Zahnradkraft 16 Zapfenradius 138 Zapfenreibzahl 116, 118 zeichnerische Ermittlung – der Resultierenden, Arbeitsplan 28 – unbekannter Kra¨fte, Arbeitsplan 34 Zeitabschnitt 144, 148, 154, 182, 186 Zeiteinheit 148 Zeitkonstante 158 zentrales Kra¨ftesystem 21, 22 Zentrifugalkraft 243 Zentripetalbeschleunigung 242, 247 Zentripetalkraft 242, 250 Zerlegung einer Kraft 9 Ziehschlitten 115 Zug 268, 278 Zug- und Druckbeanspruchung, bungen 286 Zug und Biegung 365 Zugbeanspruchung 268, 271, 278 Zugbolzen 302 Zug-Hauptgleichung 278, 365 Zughaken 20, 137 Zugkraft 12, 137 – an der festen Rolle 138 – beim Lastheben 140 Zugkraftgleichung 101, 103 – fu¨r Rollenzu¨ge 141 Zugfestigkeit 284, 375 Zuglaschen 279 Zugschrauben 279 Zugspannung 278 Zugversuch 375 zula¨ssige Spannung 380 – Begriff 380 – fu¨r Bauteile 364 – fu¨r Verbindungsmittel 364 – Spannungen im Stahlhochbau 364 zusammengesetzter Querschnitt 320

426 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 165 Zweigelenksta¨be 13, 68 zweischnittig 364 zweiwertige Lager 15

Sachwortverzeichnis Zwischenresultierende 40 Zylinderfu¨hrung 115 Zylinderfu¨hrungsbuchse 115 Zylindermantel 235