Technische Mechanik (Statik Dinamik Fluidmekanik Festigkeitslehre)

Alfred Boge Technische Mechanik

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik • Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Boge • Aufgabensammlung Technische IMechaniic von A. Boge und W. Schlemmer • Losungen zur Aufgabensammlung Technische IMechaniic von A. Boge und W. Schlemmer • Formein und Tabellen zur Technischen IMechanilc von A. Boge

Alfred Boge

Technische Mechanik Statik - Dynamik - Fluidmechanik - Festigkeitslehre Unter Mitarbeit von Gert Boge, Wolfgang Boge, Walter Schlemmer und Wolfgang WeiBbach 27., iiberarbeitete Auflage Mit 569 Abbildungen, 15 Tabellen, 21 Arbeitsplanen, 16 Lehrbeispielen und 40 Ubungen

Viewegs FachbiJcher der Technik

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Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber abrufbar.

Gesetzt nach den Regeln der neuen Rechtschreibung.

Das Lehrbuch Technische Mechanik erschien bis zur 22. Auflage unter dem Titel Mechanik und Festigkeitslehre. Die Liste der Auflagen seit 1970 zeigt die intensive Weiterentwicklung des Werkes: 12., iiberarbeitete Auflage 1970 13., iiberarbeitete Auflage 1971 14., unveranderte Auflage 1972 15., vollstandig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974 16., durchgesehene Auflage 1975 17., uberarbeitete Auflage 1979 18., uberarbeitete Auflage 1981 19., iiberarbeitete Auflage 1983

20., iiberarbeitete Auflage 1984 21., verbesserte Auflage 1990 22., iiberarbeitete und erweiterte Auflage 1992 23., neu bearbeitete Auflage 1995 24., iiberarbeitete Auflage 1999 25., iiberarbeitete Auflage Juli 2001 26., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Marz 2003 27., iiberarbeitete Auflage September 2006

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Hartmut Kiihn von Burgsdorff, Wiesbaden Satz: Druckhaus Thomas Miintzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinska Tiskarna, a. s. Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN-10 3-8348-0115-1 ISBN-13 978-3-8348-0115-9

Vorwort zur 27. Auflage

Dieses Lehrbuch ist aus der Unterrichtsarbeit an Technikerschulen entstanden, es hat sich auch an Fachoberschulen, Fachgymnasien und in den Eingangssemestem der Fachhochschulen bewahrt. Das Lehrbuch ist Hauptteil des Lehr- und Lemsystems TECHNISCHE MECHANIK mit der Formelsammlung, der umfangreichen Aufgabensammlung und dem in jeder Neuauflage darauf abgestimmten Losungshuch. Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt: Die Hnke Buchseite enthalt den ausflihriichen Lehrtext mit hervorgehobenen Satzen und Regeln. Rechts daneben wird das Problem durch Zeichnungen, mathematische Entwicklungen und Beispiele erlautert. Ubungen schUeBen jeden groBeren Lemabschnitt ab. Hierbei wird der Unterrichtsstoff in die Berufspraxis umgesetzt. Lehrbeispiele zeigen die Form schriftUcher Arbeiten in Schule und Beruf. Arbeitsplane machen die im Unterricht erarbeiteten Losungsverfahren durchschaubar und erleichtem ihre Anwendung bei Mechanikaufgaben. Wichtigste Anderung in der vorangegangenen 26. Auflage war die Aufnahme des Abschnitts Mechanische Schwingungen. Auch in der vorliegenden 27. Auflage werden wieder die fachlichen und didaktischen Verbesserungsvorschlage beachtet. Die wichtigste Anderung im Buch betrifft den Abschnitt Festigkeitslehre. Hier war eine Anbindung an die neuen Berechnungsmethoden fiir Maschinenelemente erforderlich. Das geschieht im Kapitel 5.12 des Abschnitts Festigkeitslehre. Das Buch lebt von der Kritik, die Lehrer und Studierende an Autor und Verlag herantragen. Deshalb bitte ich auch fiir diese Auflage um Zuschriften, besonders zur Erarbeitung der Probleme in den oben angefiihrten neuen Teilen (Festigkeitslehre). Fiir den Informationsaustausch steht die E-Mail-Adresse zur Verfiigung: [email protected]

Braunschweig, Juli 2006

Alfred Boge

VII

IHIIIllil^^i^i^^^^^^^^^^^^^^ 1.1 Grundlagen 1.1.1 Die Aufgaben der Statik 1.1.2 Physikalische GroBen in der Statik 1.1.2.1 Die Kraft F 1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M 1.1.2.3 Das Kraftepaar 1.1.3 Ubungen zur Berechnung von Drehmomenten 1.1.4 Bewegungsmoglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Korpers 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum 1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene 1.1.5 Gleichgewicht des Korpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fiir Krafte 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kraften (Kraftereduktion) 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Krafte Fi und F2 1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Krafte 1.1.6.4 Ubungen zum Parallelogrammsatz fiir Krafte 1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberflachenund Volumenkrafte 1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen 1.1.7.3 Zweigelenkstabe 1.1.7.4 Beriihrungsflachen (ebene Stiitzflachen) 1.1.7.5 RoUkorper (gewolbte Stutzflachen) 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) 1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) 1.1.7.8 Dreiwertige Lager 1.1.8 Ubungen zum Freimachen 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kraftesystem 1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 1.2.3 Die zwei Losungsmethoden 1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kraftesystem 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe)

2 2 2 3 4 4 5 6 6 6 6 8 8 9 9 10 11 11 12 13 13 14 15 15 17 18 21 21 21 22 22 22

VIII

Inhaltsverzeichnis 1.2.4.2

1.2.5

1.2.6

1.2.7

Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) 1.2.4.3 Rechnerische Ermitdung unbekannter Krafte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Krafte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung 1.2.4.5 Ubungen zur dritten und vierten Grundaufgabe Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kraftesystem 1.2.5.1 Rechnerische Ermitdung der Resultierenden (fiinfte Grundaufgabe), der Momentensatz 1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren 1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Krafte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 1.2.5.4 Ubung zur Stiitzkraftberechnung 1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Krafte (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Systemanalytisches Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung 1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen 1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen 1.2.6.3 Beschreibung des Progranmilaufs zur Stiitzkraftberechnung 1.2.6.4 tjbung zum systemanalytischen Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Stiitzkraftermittlung beim raumlichen Kraftesystem (Getriebewelle)

1.3 Statik der ebenen Fachwerke 1.3.1 Gestaltung von Fachwerktragem 1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerktrager 1.3.3 Ermittlung der Stabkrafte im Fachwerktrager 1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren 1.3.3.2 Das Ritter'sche Schnittverfahren 1.3.3.3 Der Cremonaplan

26

28

32 35 38 38 40

44 46

48 53 53 60 61 62 64 68 68 69 70 70 72 74

Inhaltsverzeichnis

2 Sehwei^niiiktslehre

IX

76

2.1 BegrifTsbestimmung fiir Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt

76

2.2 Der Flachenschwerpunkt 2.2.1 Flachen haben einen Schwerpunkt 2.2.2 Schwerpunkte einfacher Rachen 2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flachen 2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Flachenschwerpunkts . . . . 2.2.3.2 Ubungen zur Bestimmung des Rachenschwerpunkts

77 77 78 79 79 83

2.3 Der Linienschwerpunkt 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt 2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien 2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienziige) 2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts

83 83 83 84 84

2.4

Guldin'sche Regeln 2.4.1 Volumenberechnung 2.4.2 Oberflachenberechnung 2.4.3 Ubungen mit den Guldin'schen Regeln

86 86 86 87

2.5

Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 2.5.1 Gleichgewichtslagen 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht 2.5.2 Standsicherheit 2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit 2.5.2.2 Ubung zur Standsicherheit

87 87 87 87 87 88 88 89

3 R^lNuig...

%

3.1

Gninderkenntnisse iiber die Reibung

90

3.2

Gleitreibung und Haftreibung 3.2.1 Reibwinkel, Reibzahl und Reibkraft 3.2.2 Ermittlung der Reibzahlen //, und /IQ 3.2.3 Der Reibungskegel 3.2.4 Ubungen zur Losung von Reibungsaufgaben

91 91 92 93 95

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 3.3.1 Verschieben des Korpers nach oben (1. Grundfall) 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel 3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht

100 100 100 101 103

X

Inhaltsverzeichnis 3.3.2

3.3.3

3.3.4 3.4

Halten des Korpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) 3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel 3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht Verschieben des Korpers nach unten (3. Grundfall) 3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel 3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht (Jbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene

Reibung an Maschinenteilen 3.4.1 Prismenfiihrung und Keilnut 3.4.2 Zylinderfiihrung 3.4.3 Lager 3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) 3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (Langslager) 3.4.3.3 Ubungen zur Trag- und Spurzapfenreibung 3.4.4 Schraube und Schraubgetriebe 3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde 3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde 3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 3.4.4.4 Ubungen zur Schraube 3.4.5 Seilreibung 3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung 3.4.5.2 Aufgabenarten und Losungsansatze 3.4.5.3 tJbungen zur Seilreibung 3.4.6 Bremsen 3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen 3.4.6.2 Bandbremsen 3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen 3.4.7 RoUwiderstand (Rollreibung) 3.4.8 Fahrwiderstand 3.4.9 Ubungen zum RoUwiderstand und Fahrwiderstand 3.4.10 RoUe und Rollenzug 3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) 3.4.10.2 Lose Rolle 3.4.10.3 Rollenzug 3.4.10.4 Ubung zum Rollenzug

105 105 106 108 110 110 Ill 112 114 114 114 115 116 116 117 118 119 119 120 121 122 124 124 124 125 128 128 132 133 133 134 135 138 138 139 141 142

Inhaltsverzeichnis

4 I^fn^Qiik .,,

XI

143

4.1 AUgemeine Bewegungslehre 4.1.1 GroBen und v, r-Diagramm, Ordnung der Bewegungen 4.1.2 (Jbungen mit dem v, r-Diagramm 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichformigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff 4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichmaBig beschleunigten (verzogerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff 4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmaBig beschleunigten oder verzogerten Bewegung 4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand 4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand 4.1.6.2 Luftwiderstand F 4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand 4.1.7 Ubungen zur gleichmaBig beschleunigten und verzogerten Bewegung 4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung 4.1.8.2 Uberlagerungsprinzip 4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 4.1.9 Ubungen zur zusammengesetzten Bewegung 4.1.9.1 Uberlagerung von zwei gleichformig geradlinigen Bewegungen 4.1.9.2 Uberlagerung von gleichformiger und gleichmaBig beschleunigter Bewegung

144 144 146

4.2

Gleichfbrmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 4.2.1 Die Drehzahl 4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit Vu 4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit Vu 4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit Vu und Drehzahl n 4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen fiir die Umfangsgeschwindigkeit 4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit 4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit o) 4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit 4.2.7.1 Zahlenwertgleichung fiir die Winkelgeschwindigkeit 4.2.8 BaugroBen und GroBen der Bewegung in Getrieben 4.2.9 tJbersetzung / (Ubersetzungsverhaltnis)

176 176 177 177 177

GleichmaBig beschleunigte (verzogerte) Drehbewegung 4.3.1 Gegeniiberstellung der allgemeinen GroBen mit den entsprechenden KreisgroBen

182

4.3

148 150 153 157 157 157 158 160 164 164 165 165 166 166 167

178 178 179 179 180 180 181

182

XII

Inhaltsverzeichnis 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5

Winkelbeschleunigung a Der Drehwinkel im co, /-Diagramm Die Tangentialbeschleunigung a j Arbeitsplan fiir Aufgaben der Kreisbewegung (Vergleich mit Abschnitt 4.1.5)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 4.4.1 Das Tragheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton'sches Axiom 4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte 4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton'sches Axiom 4.4.4 Die gesetzliche und Internationale Einheit fiir die Kraft 4.4.5 tJbungen zum dynamischen Grundgesetz 4.4.6 Prinzip von d'Alembert 4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d'Alembert 4.4.8 Ubungen zum Prinzip von d'Alembert 4.4.9 Impuls (BewegungsgroBe) und Impulserhaltungssatz 4.5

Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 4.5.1 Arbeit Weiner konstanten Kraft F 4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W 4.5.3 Federarbeit Wf (Formanderungsarbeit) als Arbeit einer veranderlichen Kraft 4.5.4 Ubungen mit der GroBe Arbeit 4.5.5 Leistung P 4.5.6 Wirkungsgrad rj 4.5.7 Ubungen mit den GroBen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung) 4.6.1 Gegeniiberstellung der allgemeinen GroBen mit den entsprechenden KreisgroBen 4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) 4.6.3 Drehleistung P^t (Rotationsleistung) 4.6.4 Zahlenwertgleichung fiir die Drehleistung Prot 4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und Ubersetzung 4.6.6 (jbungen zur Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und (Jbersetzung bei Drehbewegung 4.7

Energie 4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit 4.7.2 Potenzielle Energie E'pot und Hubarbeit Wh 4.7.3 Kinetische Energie E^^ und Beschleunigungsarbeit W^ 4.7.4 Spannungsenergie E^ und Formanderungsarbeit Wf 4.7.5 Energieerhaltungssatz fiir technische Vorgange 4.7.6 Ubungen zum Energieerhaltungssatz

183 183 183 184 188 188 189 191 193 193 195 197 197 202 203 203 204 205 206 209 210 212 213 213 214 215 215 216 216 218 218 218 220 220 221 222

Inhaltsverzeichnis 4.8

Gerader zentrischer StoB 4.8.1 StoBbegriff, Krafte und Geschwindigkeiten beim StoB 4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen StoBes 4.8.3 Elastischer StoB 4.8.4 Unelastischer StoB 4.8.4.1 Schmieden und Nieten 4.8.4.2 Rammen von Pfahlen, Eintreiben von Keilen 4.8.5 Wirklicher StoB 4.8.6 Ubungen zum geraden zentrischen StoB 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 4.9.1 Das dynamische Grundgesetz fiir die Drehbewegung 4.9.2 Tragheitsmoment J und Tragheitsradius / 4.9.2.1 Definition des Tragheitsmoments 4.9.2.2 iJbung zum Tragheitsmoment 4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner'scher Satz) 4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Tragheitsradius / 4.9.3 Ubung zum dynamischen Grundgesetz fiir die Drehung 4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz fur die Drehung 4.9.5 Kinetische Energie £"^1 (Rotationsenergie) 4.9.6 Energieerhaltungssatz fiir Drehung 4.9.7 Fliehkraft 4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft 4.9.7.2 Ubungen zur Fliehkraft 4.9.8 Gegeniiberstellung der translatorischen und rotatorischen GroBen 4.10 Mechanische Schwingungen 4.10.1 Begriff 4.10.2 Ordnungsbegriffe 4.10.3 Die harmonische Schwingung 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung 4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz 4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz 4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung 4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten GroBen und Gleichungen der harmonischen Schwingung 4.10.3.4 Ruckstellkraft FR, RichtgroBe D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung 4.10.4 Das Schraubenfederpendel 4.10.4.1 Ruckstellkraft FR und Federrate R 4.10.4.2 Periodendauer 7 des Schraubenfederpendels 4.10.5 Das Torsionsfederpendel 4.10.5.1 Federrate R, Riickstellmoment MR und Periodendauer T

XIII 224 224 224 224 227 227 228 228 230 232 232 233 233 234 236 238 239 239 240 241 242 242 243 245 246 246 246 246 246 247 247 247 248 249 250 251 251 253 254 254

XIV

Inhaltsverzeichnis

4.10.6 4.10.7 4.10.8

4.10.9

4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tragheitsmomenten J aus der Periodendauer Das Schwerependel (Fadenpendel) Schwingung einer Russigkeitssaule Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Fliissigkeitssaule Dampfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz.... 4.10.9.1 Dampfung 4.10.9.2 Energieminderung durch Dampfung 4.10.9.3 Energiezufuhr 4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz 4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm

5 Feis^^dtilehre 5.1

Grundbegriffe 5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre 5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kraftesystems 5.1.3 Spannung und Beanspruchung 5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung o und Schubspannung r) 5.1.5 Die ftinf Grundbeanspruchungsarten 5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug) 5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) 5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren) 5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegung) 5.1.5.5 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) 5.1.5.6 Kurzzeichen fiir Spannung und Beanspruchung 5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung 5.1.7 Bestimmen des inneren Kraftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten 5.1.7.1 Das allgemeine innere Kraftesystem 5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kraftesystems und der Beanspruchungsarten 5.1.7.3 Ubungen zum Schnittverfahren 5.2 Beanspruchung auf Zug 5.2.1 Spannung 5.2.2 Erkennen des gefahrdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen 5.2.2.1 Profilstabe mit Querbohrung 5.2.2.2 Zuglaschen 5.2.2.3 Zugschrauben

255 256 257

258 258 258 259 259 260 261

262 264 264 265 266 267 268 268 269 269 269 270 270 270 271 271 272 272 278 278 278 279 279 279

Inhaltsverzeichnis

5.2.3

5.2.4

XV 5.2.2.4 Herabhangende Stabe oder Seile 5.2.2.5 Ketten Elastische Formanderung (Hooke'sches Gesetz) 5.2.3.1 Verlangerung A/ und Dehnung e 5.2.3.2 Querdehnung e^ 5.2.3.3 Poisson-Zahl // 5.2.3.4 Das Hooke'sche Gesetz 5.2.3.5 Warmespannung 5.2.3.6 Formanderungsarbeit Wf ReiBlange

280 280 280 281 281 282 282 283 283 284

5.3

Beanspruchung auf Druck

285

5.4

Ubungen zur Zug- und Dnickbeanspruchung

286

5.5

Flachenpressung 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung 5.5.2 Rachenpressung an geneigten Rachen 5.5.3 Flachenpressung am Gewinde 5.5.4 Flachenpressung in Gleitlagem, Niet- und Bolzenverbindungen . . . . 5.5.5 Flachenpressung an gewolbten Flachen (Hertz'sche Gleichungen) 5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln 5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindem 5.5.6 Ubungen zur Flachenpressung

288 288 288 290 291

5.6

Beanspruchung auf Abscheren 5.6.1 Spannung 5.6.2 Elastische Formanderung (Hooke'sches Gesetz fiir Schub)

295 295 297

5.7

Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W 5.7.1 GleichmaBige und lineare Spannungsverteilung (Gegeniiberstellung) 5.7.2 Definition der Rachenmomente 2. Grades 5.7.3 Herleitungsiibung 5.7.4 Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 5.7.5 Axiale Flachenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte 5.7.6 Axiale Flachenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner'scher Verschiebesatz) 5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner'schen Satzes 5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner'schen Satzes

303

292 292 292 293

303 304 305 306 312 313 314 315

XVI

Inhaltsverzeichnis 5.7.6.3

5.7.7

Arbeitsplan zur Berechnung axialer Rachenmomente 2. Grades Ubungen mit Rachen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte

316 316

5.8

Beanspnichung auf Torsion 5.8.1 Spannungsverteilung 5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung 5.8.3 Formanderung bei Torsion 5.8.4 Formanderungsarbeit Wf

321 321 322 324 325

5.9

Beanspnichung auf Biegung 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kraftesystem bei Biegetragem 5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkrafte an beliebigen Tragerstellen 5.9.3 Spannungsverteilung im Tragerquerschnitt 5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung 5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt 5.9.6 Giiltigkeitsbedingungen fiir die Biege-Hauptgleichung 5.9.7 Ubungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tragerarten und Belastungen 5.9.7.1 Freitrager mit Einzellast 5.9.7.2 Freitrager mit mehreren Einzellasten 5.9.7.3 Freitrager mit konstanter Streckenlast (gleichmaBig verteilte Streckenlast) 5.9.7.4 Freitrager mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) 5.9.7.5 Stiitztrager mit Einzellast 5.9.7.6 Stiitztrager (Kragtrager) mit mehreren Einzellasten 5.9.7.7 Stiitztrager (Kragtrager) mit konstanter Streckenlast 5.9.7.8 Stiitztrager mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) 5.9.8 Trager gleicher Biegespannung 5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung 5.9.8.2 Achsen und Wellen 5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt 5.9.8.4 Konsoltrager mit Einzellast 5.9.8.5 Konsoltrager mit Streckenlast 5.9.9 Formanderung bei Biegung 5.9.9.1 Kriimmungsradius, Kriimmung 5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung 5.9.9.3 Neigungswinkel der BiegeHnie 5.9.10 Ubungen zur Durchbiegungsgleichung

328 328

5.10 Beanspruchung auf Knickung 5.10.1 Grundbegriffe 5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall)

329 329 330 332 332 333 333 334 335 336 337 338 340 342 343 343 343 344 345 345 346 346 347 348 349 351 351 352

Inhaltsverzeichnis 5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) 5.10.4 Arbeitsplan fiir Knickungsaufgaben 5.10.5 Knickung im Stahlbau 5.10.5.1 Vorschriften 5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstaben 5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel 5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis 5.10.5.5 Zusammengesetzte Knickstabe

XVII 355 356 359 359 359 359 359 362

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 5.11.1 Zug und Biegung 5.11.2 Druck und Biegung 5.11.3 tJbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen 5.11.4 Biegung und Torsion 5.11.4.1 Vergleichsspannung Oy 5.11.4.2 Vergleichsmoment M^ 5.11.4.3 Ubung zu Biegung und Torsion

365 365 366

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm 5.12.2 Einfliisse auf die Festigkeit des Bauteils 5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit 5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit 5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit 5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit 5.12.3 Spannungsbegriffe 5.12.3.1 Nennspannung 5.12.3.2 Ortliche Spannung 5.12.3.3 Zulassige Spannung 5.12.3.4 Berechnungen im Buch 5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau . . . 5.12.4 Dauerbruchsicherheit 5.12.4.1 Sicherheit 5D bei ruhender Belastung 5.12.4.2 Sicherheit 5D bei dynamischer Belastung 5.12.5 tJbungen zur Dauerfestigkeit

375 375 376 376 376 376 378 380 380 380 380 381 381 382 382 382 383

6 Fhiidmeehanik (Hydraiilik). 6.1

Statik der Fliissigkeiten (Hydrostatik) 6.1.1 Eigenschaften der Fliissigkeiten 6.1.2 Hydrostatischer Druck (Riissigkeitsdruck, hydraulische Pressung) 6.1.3 Druckverteilung in einer Flussigkeit ohne Beriicksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz

367 368 368 369 370

3S6 386 386 387 387

Inhaltsverzeichnis

xvm 6.1.4

Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes 6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock 6.1.4.2 Druckkraft auf gewolbte Boden 6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlangsnaht 6.1.4.4 Hydraulische Presse 6.1.5 Dmckveiteilung in einer Riissigkeit unter Beriicksichtigung der Schwerkraft Kommunizierende Rohren 6.1 Bodenkraft 6.1 Seitenkraft 6.1 6.1 9 Auftriebskraft 6.1 10 Schwimmen 6.1 11 Gleichgewichtslagen schwimmender Korper 6.1 12 Stabilitat eines Schiffes 6.2 Dynamik der Fluide (Stromungsmechanik) 6.2.1 Kontinuitatsgleichung (Stetigkeitsgleichung) 6.2.2 Bemoulli'sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Stromung) 6.2.2.1 Horizontale Stromung (Stromung ohne Hohenunterschied) 6.2.2.2 Nichthorizontale Stromung (Stromung mit Hohenunterschied) 6.2.3 Anwendung der Bemoulligleichung 6.2.3.1 Druck in einer Leitung 6.2.3.2 Ausfluss aus einem GefaB 6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel 6.2.3.4 Ausfluss bei Uberdruck im GefaB 6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel 6.2.4 Stromung in Rohrleitungen

388 388 390 390 391 392 394 394 395 397 398 399 400 402 402 402 402 403 405 405 406 407 407 408 410

Sachwortverzeichnis.

411

Umrechnungsbeziehungen fur die gesetzlichen Einheiten.

427

Inhaltsverzeichnis

Arbeitsplan zum Freimachen Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der unbekannten Krafte Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Krafte Arbeitsplan zum Momentensatz Arbeitsplan zum Seileckverfahren Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Krafte Arbeitsplan zum 3-Krafte-Verfahren Arbeitsplan zum 4-Krafte-Verfahren Arbeitsplan zum Ritter'schen Schnittverfahren Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Rachenschwerpunkts Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts Arbeitsplan zur gleichmaBig beschleunigten oder verzogerten Bewegung Arbeitsplan zur Kreisbewegung Arbeitsplan zum Prinzip von d'Alembert Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kraftesystems und der Beanspmchungsarten Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flachenmomente 2. Grades Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung Arbeitsplan fiir Knickungsaufgaben Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis

XIX

17 26 28 29 34 39 42 46 50 52 73 75 80 85 153 184 197 272 316 329 356 359

Ldirbeispele Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F^. eines zentralen Kraftesystems Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kraftesystems Seileckverfahren, Zusammensetzen zweier Parallelkrafte Reibung in Ruhe und Bewegung V, f-Diagramm Prinzip von d'Alembert Wirkungsgrad Nietverbindung im Stahlhochbau Nietverbindung im Stahlbau Zugbolzen Torsionsstabfeder Verdrehwinkel (Drehmomentenschliissel) Knickung im elastischen Bereich Knickung im unelastischen Bereich Berechnung einer Getriebewelle

30 31 43 94 156 198 217 298 300 302 326 327 357 358 371

XX

Inhaltsverzeichnis

UlHiBgen IJbungen zur Berechnung von Drehmomenten Ubungen zum Parallelogrammsatz fiir Krafte Ubungen zum Freimachen Obung zur dritten und vierten Grundaufgabe Ubung zur Stiitzkraftberechnung Ubung zum systemanalytischen Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Ubungen zur Bestimmung des Flachenschwerpunkts Ubungen mit den Guldin'schen Regeln Ubung zur Standsicherheit Ubungen zur Losung von Reibungsaufgaben Ubungen zur Reibung auf der schiefen Ebene tjbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung (Jbungen zur Schraube Ubungen zur Seilreibung Ubungen zum Roll- und Fahrwiderstand tjbung zum Rollenzug Ubungen mit dem v, ^Diagramm Ubungen zur gleichmaBig beschleunigten und verzogerten Bewegung tJbungen zur zusammengesetzten Bewegung Ubungen zum dynamischen Grundgesetz Ubungen zum Prinzip von d'Alembert Ubungen mit der GroBe Arbeit tJbungen mit den GroBen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Ubungen zum Energieerhaltungssatz Ubungen zum geraden zentrischen StoB tJbung zum Tragheitsmoment Ubungen zum dynamischen Grundgesetz fiir die Drehung Ubungen zur Fliehkraft Ubungen zum Schnittverfahren tJbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Ubungen zur Flachenpressung Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte Ubungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tragerarten und Belastungen tJbungen zur Durchbiegungsgleichung Ubung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen Ubung zu Biegung und Torsion Ubungen zur Dauerfestigkeit

llllljll 5 10 18 35 46 62 81 87 89 95 113 118 122 125 135 142 146 160 166 193 197 206 212 222 230 234 239 243 272 286 293 306 316 333 349 367 370 383

Inhaltsverzeichnis

XXI

TabeUen Tabelle 3.1 Tabelle 4.1 Tabelle 4.2 Tabelle 4.3 Tabelle 4.4 Tabelle 4.5 Tabelle 5.1

Reibzahlen /IQ und fi GleichmaBig beschleunigte geradlinige Bewegung GleichmaBig verzogerte geradlinige Bewegung GleichmaBig beschleunigte Kreisbewegung GleichmaBig verzogerte Kreisbewegung Gleichungen fur Tragheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) Axiale Flachenmomente /, Widerstandsmomente Wund Tragheitsradius / fur Biegung und Knickung Polare Flachenmomente 2. Grades /p und Widerstandsmomente W^ fiir Torsion Grenzschlankheitsgrad AQ fiir Euler'sche Knickung und Tetmajergleichungen Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen Zulassige Spannungen im Stahlhochbau Zulassige Spannungen im Kranbau Richtwerte fur die Kerbwirkungszahl Festigkeitswerte fur Stable Festigkeitswerte fur Gusseisen

Tabelle 5.2 Tabelle 5.3 Tabelle 5.4 Tabelle 5.5 Tabelle 5.6 Tabelle 5.7 Tabelle 5.8 Tabelle 5.9

Das pieehische Alphabet Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda My

A B F A E Z H

a ^ y d e

e

^

I K A M

S rj i K

X jU

Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

N E

o n

V

^ o JT

p

Q

s

o r

T Y
V

(P X W 0)

92 154 155 186 187 235 309 311 355 363 364 364 385 385 385

1 StBtUc in der Ebene Formelzeichen und Einheiten^^ A

m^, cm^, rnr

Flacheninhalt, Flache, Oberflache

b

m, cm, mm

Breite

d, D

m, cm, mm

Durchmesser

e

1

F

N= ^ , k N

Euler'sche Zahl (2,718 28 . . . ) Kraft. Bestimmte Krafte werden durch Indizes unterschieden, z. B. F^ resultierende Kraft = Resultierende, FR Reibungskraft (kurz: Reibkraft), F^ Normalkraft, Fq Querkraft (Belastung), FA Stiitzkraft im Lagerpunkt A usw.

kgm

FG

kN

Gewichtskraft. FG ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen fiir die Gewichtskraft

m

Fallbeschleunigung I Normfallbeschleunigung ^n = 9,80665 -^ J

h

m, cm, mm

Hohe, Tiefe

8

I

m, cm, mm

Lange jeder Art, Abstande

M

Nm

Kraftmoment, Drehmoment

MT, T

Nm

Torsionsmoment; auch das Formelzeichen T ist zulassig

m

kg, g 1

Tl

Masse

P

min W, kW

r

m, cm, mm

A,q s V V

Drehzahl, Umdrehungsfrequenz

. -1 = min

2

2

Leistung Radius, Halbmesser, Abstand 2

m , cm , mm m, cm, mm

Querschnittsflache, Querschnitt Weglange, Kurvenlange, Wanddicke

m^, cm^, mm^ m km m s' h ' min

Volumen, Rauminhalt Geschwindigkeit

W

J = Nm

Arbeit

x,y

m, cm, nmi

Wirkabstande der Einzelkrafte (und -flachen oder -linien), Koordinaten

xo,yo,zo

m, cm, mm

Schwerpunktabstande

a,p,y

rad, °

ebener Winkel

V

1

Wirkungsgrad

/^

1

Reibungszahl (kurz: Reibzahl)

o

Reibungswinkel (kurz: Reibwinkel)

Q

^^ AUe in diesem Buch verwendeten Einheiten ftir physikalische GroBen sind Einheiten des „Systeme International d'Unites" (Internationales Einheitensystem), kurz: SI-Einheiten. Es gelten die Normen: DIN 1301 (Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen), DIN 1304 (Formelzeichen).

1 Statik in der Ebene

1.1 Gnmdlagen 1.1.1 Die Aufgaben der Statik An technischen Bauteilen greifen Belastungskrdfte an, hervorgerufen durch Lasten, Eigengewicht, Winddruck, Gasdruck, Zahnkrafte, Riemenkrafte, Zerspanungswiderstande, Reibungswiderstande usw. Mit den Verfahren der Statik werden die Stutzkrdfte ermittelt, die den Korper im Gleichgewicht halten. Man sagt auch: Das angreifende Kraftesystem befindet sich im Gleichgewicht. Die Eraiittlung der Stutzkrafte, auch Auflagerkrafte genannt, ist der erste Schritt zur Konstruktion eines Maschinenteils. Sind alle angreifenden Krafte bekannt, konnen die Abmessungen der Bauteile nach den Regeln der Festigkeitslehre festgelegt werden: Die Ergd>nis$e der Statik sind die Grundlage do* FestigkeitsrechBung.

Belastung bekannt

Festlager

Loslager

J

Eigenge wich tskra ft bekannt Stutzkraft F^ gesucht

Stutzkraft Fg gesuctit

Belastungskrafte und Stutzkrafte Gegeben: Fi, F2, FQ, I, /], I2 Gesucht: F/s,, F^ Hinweis: Die Begriffe Los- und Festlager werden auf Seite 15 erlautert.

Beispiel: Erst wenn alle an einer Getriebewelle angreifenden Krafte bekannt sind, konnen Wellenund Lagerdurchmesser bestimmt werden.

Bei alien folgenden Untersuchungen in der Statik werden die Korper als unverformbar angesehen (Statik der starren Korper).

1.1.2 Physikalische GroBen in der Statik Die wichtigsten GroBen der Statik sind die Kraft F (Kurzzeichen F von engl. force), die in Newton (N), Dekanewton (daN), Kilonewton (kN) Oder Meganewton (MN) gemessen und angegeben wird; das Kraftmoment M der Kraft /% das in Newtonmeter (Nm) Oder NewtonmiUimeter (Nmm) angegeben wird. Bewirkt das Kraftmoment eine Drehung des Bauteils, dann nennt man es Drehmoment M, z. B. bei Wellen. In der Festigkeitslehre wird ein biegendes Kraftmoment als Biegemoment Mb, ein tordierendes (verdrehendes) Kraftmoment als Torsionsmoment MT bezeichnet.

Das Newton ist die gesetzliche und intemationale Einheit (SI-Einheit) fiir die Kraft F: 1 daN == 10 N; 1 kN = 10^ N = 1000 N 1 MN= 10^ N = 1000000 N

Das Kraftmoment M ist das Produkt aus einer Kraft F und einer Lange /. Daher ist die SIEinheit des Kraftmoments das Newtonmeter (Nm): 1 Nm ^ 10^ Nmm 1 kNm = 10^ Nm 1 MNm = 10^ Nm

1.1 Grundlagen 1.1.2.1 Die Kraft F Krafte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Korper lasst sich nur dann genau angeben, wenn drei Bestimmungsstucke bekannt sind: der Betrag der Kraft, z. B. F = 18 N, die Wirklinie WL und der Richtungssinn. Wie alle Vektoren wird auch die Kraft zeichnerisch durch einen Pfeil dargestellt. Die Lange des Pfeils gibt iiber den festgelegten Krdftemafistab M^ den Betrag (die GroBe) der Kraft an. Die Wirklinie zeigt, wo und unter welchem Winkel zu einer festgelegten Bezugsachse die Kraft wirkt {Richtungswinkel). Die Pfeilspitze bestimmt den Richtungssinn. Eine Kraft, die auf einen Korper dieselbe Wirkung ausiibt wie zwei (oder mehrere) gleichzeitig wirkende Krafte Fi und F2, nennt man die Resultierende F^ dieser Krafte: Die Resultieiende Fj. ist eine gedachte Ersatzkraft fllr iiielirei:e Einzelkiifte. Will man eine genaue Angabe iiber die Wirkung mehrerer Krafte auf einen Korper machen, z. B. dariiber, in welche Richtung er sich verschiebt, muss die Resultierende des Kraftesystems bekannt sein. Die Schubkraft F^ mit dem Angriffspunkt As bewegt den skizzierten Wagen mit der Geschwindigkeit V nach rechts oben. Die gleiche Wirkung wird durch die auf der selben Wirklinie WL liegende gleich groBe Zugkraft F^ = F^ (Angriffspunkt A^) erzielt: Krafte sind linienfluchtige Vektoren. Fiir sie gilt der

Krafte dMen auf ihmr Wiridinie beliebig verschoben werdaa, ohne dass sich ihre Widaing auf den starren Koip^ indert

GroBen, die erst durch ihren Betrag und ihre Richtung eindeutig bestimmt sind (gerichtete GroBen), heiBen Vektoren, z. B. Krafte, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. GroBen, bei denen zur eindeutigen Bestimmung die Angabe ihres Betrags geniigt, heiBen Skalare (nicht gerichtete GroBen), z. B. Warme, Temperatur, Masse, Arbeit, Leismng. starre, ebene Scheibe, in ihrer Ebene verschiebbar

^r^f^

Richtungssinn

^ '^^. ^^^^'^. Lageplan mit eingezeichneter Kraft F = 18 N KraftemaRstab

%

= / jf^

(1 mm=

^1

1 N)

WL von Fi

F,= F,

Die Kraft F^ (Schubkraft) = F^ (Zugkraft) kann auf der gemeinsamen Wirklinie WL von As nach A^ verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung auf den Korper andert (Langsverschiebungssatz).

1 Statik in der Ebene 1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem Wirkabstand / von einem beliebigen Bezugspunkt D heiBt Kraftmoment M = Fl. Die Bezeichnungen Kraftmoment und Drehmoment sind statisch gleichwertig. Der Betrag des Kraft- oder Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand I (z. B. in m). Der Wirkabstand / ist der rechtwinklig zur Wirklinie (WL) gemessene Abstand. KraftiiK>ment M = Kraft F - Wrkabstand / Der Drehsinn des Kraftmoments wird durch das Vorzeichen angegeben.

Drehsinn

{-)

Bezugspunkt D

Kraftmoment der Kraft F bezogen auf den Punkt D:M = Fl

M^m

M

F /

Nm

N m

(+) = Linksdrehsinn Q (-) = Rechtsdrehsinn O

1.1.2.3 Das Kraftepaar Wirken zwei gleich groBe, gegensinnige Krafte auf parallelen Wirklinien mit dem Wirkabstand I (_L zu den Wirklinien gemessen), so erzeugen sie ein Drehmoment M. Man nennt die beiden Krafte ein Kraftepaar. Ist der Korper frei beweglich, so dreht ihn das Kraftepaar auf der Stelle, ohne ihn zu verschieben (Welle, Handrad, Tretkurbel, Handkurbel, Drehstabfeder), denn die Resultierende des Kraftepaars ist gleich null.

Wirkabstand I

Wirklinien

Drehsinn des Korpers

Das Kraftepaar erzeugt ein Drehmoment M, die Resultierende ist Fr = 0.

Die Ehdiwifiamg d u e s Kraftepaai^ bezeichnet man als sein Drehmoment M. Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand I (z. B. in m). Der Wirkabstand ist der senkrecht zu den Wirklinien gemessene Abstand.

M DjielimoiiieiitM= Kimft F • Wiikabstand / Der Drehsinn des Drehmoments wird durch das Vorzeichen angegeben.

Kraftepaar am Fahrradlenker

'^M = Fl

M^Fl

Nm

(H-) = Linksdrehsinn Q (-) = Rechtsdrehsinn Q

F

/

N m

1.1 Grundlagen

1.1.3 Ubungen zur Berechnung von Drehmomenten 1. Ubung: Fiir die Tretkurbelwelle eines Fahrrads sollen die Drehmomente Mi, M2, M3 in den drei skizzierten Stellungen berechnet werden. In alien Stellungen wirkt die Kraft Fj senkrecht nach unten. In Stellung 1 steht die Tretkurbel horizontal, in Stellung 3 vertikal. Stellung 2 liegt zwischen beiden Stellungen. Wie verandert sich das Drehmoment mit fortschreitender Kurbeldrehung?

Stellung 1

h =0

Losung: Als Folge der Kraft Fx an der Tretkurbel tritt im Tretkurbellager eine gleich groBe, entgegengesetzt gerichtete Kraft F2 auf. Beide bilden ein Kraftepaar, das ein Drehmoment M erzeugt. Es ergibt sich als Produkt aus der Kraft Fx und ihrem jeweiligen Wirkabstand von der Kraft F2. Die Drehmomente Mx und M2 haben Rechtsdrehsinn. Sie erhalten daher das negative Vorzeichen.

Ml = -Fxh = -150 N • 0,2 m = -30 Nm M2 = -F1/2 = -150 N • 0,08 m = -12 Nm M3 = -F1/3 = -150 N • 0 m = 0 Das Drehmoment fallt von seinem Maximalwert in der horizontalen Stellung bis auf null in der vertikalen Stellung der Tretkurbel.

2. Ubung: Die Kraft Fx wirkt jetzt unter dem Winkel a = 45° auf die horizontal liegende Tretkurbel. Wie groB ist nun das Drehmoment M an der Tretkurbelwelle? Ij =200

Losung: Der Wirkabstand I2 zwischen den Wirklinien der Krafte Fx und F2 ist jetzt kleiner geworden als vorher in der Stellung 1. Dadurch ergibt sich auch ein kleineres Drehmoment M. Es erhalt das negative Vorzeichen, weil es Rechtsdrehsinn besitzt.

Aufgabai Nr. 1-8

mm

I2 = h sin a h = 0,2 m sin 45° h = 0,141m M = -Fxh = -150 N • 0,141 m M = -21,15 Nm

1 Statik in der Ebene 1.1.4 Bewegungsmoglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Korpers Jeder frei bewegliche starre Korper kann eine andere Lage erhalten, indem man ihn verschiebt Oder dreht. Diese Bewegungen heiBen Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung). Die Bewegungsmoglichkeiten, die ein Korper hat, nennt man seine Freiheitsgrade. 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum Ein Korper, der im Raum frei beweglich ist, kann sich in Richtung der drei Achsen x, y, z eines raumlichen Koordinatensystems verschieben (/"(x), T(y), ^(z)). Er kann sich auBerdem um jede der drei Achsen drehen (/?(x), /?(y), /?(z)). Daraus folgt: Ein im Raum frei beweglicher stairer Korper hat sechs Fmiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung im Raum lasst sich auf diese sechs Freiheitsgrade zuriickfiihren. \.\A2

^Ix)' ^(y)' ^(z)' Translation in Richtung der3

Achsen

^{x}' ^(y)' ^(z)' Rotation um die 3 Achsen

Freiheitsgrade in der Ebene

Ein Korper, der nur in einer Ebene frei beweglich ist, z. B. auf einer Richtplatte, kann sich nur in Richtung der zwei Achsen x, z eines ebenen Koordinatensystems verschieben {T^^^, T^^^) und um die Achse y drehen {R(y)). Daraus folgt: Ein in der Ebene frei beweglicher starrer Korper hat diei Freiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung in der Ebene lasst sich auf diese drei Freiheitsgrade zuruckfiihren. 1.1.5 Gleichgewicht des Korpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) Die Ursache einer Verschiebung ist eine Einzelkraft, die Ursache einer Drehung ist ein Krdftepaar. Daraus folgt: Wird ein Kdrper verschoben, muss eine Kraft F wirken^ wird er gedreht> muss ein Kraftmoment M wirken, wird er verschoben und gedreht, miissen eine Kraft F und ein Kraftmoment M wiiken.

Beachte: Die Drehwirkung eines Kraftepaars ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als Drehmoment bezeichnet.

\Drehung\

1.1 Grundlagen Umgekehrt lasst sich auch schlieBen, dass dann keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Korper nicht verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhanden ist, wenn er sich nicht dreht. Korper, die mit anderen fest verbunden sind, lassen sich auch durch Krafte und Kraftmomente nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, Klebung) Gegenkrafte und Gegenkraftmomente erzeugt.

AUe Krafte und alle Kraftmomente heben sich in solchen Fallen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: Krafte und Kraftmomente stehen miteinander im Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Krafte gleich null und die Summe aller Kraftmomente gleich null sein, weil sich der Korper so verhalt, als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment.

Keine Verschiebung: F = 0 Keine Drehung: M= 0

Beispiel: Frasmaschinentisch und darauf befestigter Schraubstock bewegen sich nicht gegeneinander, obwohl iiber das Werkstiick Krafte in den Schraubstock eingeleitet werden.

Keine Verschiebung: 2 F = 0 Keine Drehung: SM = 0

2 (Sigma) bedeutet: Summe aller ..., d. h. die Summe aller Krafte und die Summe aller Kraftmomente ist gleich null.

Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des Korpers in der Ebene bezogen ergibt: Ein Korper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Krafte in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summie aller Krafte in Richtung der y-Actee gleich null ist, und die Summe aller Kraftmomente um die z-Achse gleich nuU ist.

Nach dem Tragheitsgesetz gilt das fur alle Korper, deren Bewegungszustand sich nicht andert. Demnach ist ein Korper in drei Fallen im Gleichgewicht: wenn er ruht (Geschwindigkeit v = 0), wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleibender Geschwindigkeit bewegt (v = konstant) und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdrehungsfrequenz) umlauft {n = konstant).

ZFx 2Fy

=0 =0

Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet man unbekannte Krafte und Kraftmomente.

Beachte: Ruhelage und gleichformig geradlinige Oder rotierende Bewegung sind gleichwertige Zustande, d. h. es gelten die Gleichgewichtsbedingungen. Die Uberlegungen zum Tragheitsgesetz stammen von dem italienischen Physiker Galileo Galilei (1564-1642).

1 Statik in der Ebene 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fiir Krafte Der Parallelogrammsatz^^ ist die wichtigste statische Grundoperation fiir das Zusammensetzen und Zerlegen von gerichteten GroBen (Vektoren). Dazu gehoren neben Geschwindigkeiten v, Beschleunigungen a und Wegen s auch Krafte F. 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kraften (Kraftereduktion) Krafte sind linienfluchtige Vektoren, d. h. zwei Krafte Fi und F2 konnen auf ihrer Wirklinie in den Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem Parallelogrammsatz zur Resultierenden Fr zusammengesetzt werden. Man nennt dies eine geometrische (zeichnerische) Addition und das Verfahren eine Kraftereduktion.

ParalMc^famiBsatz Die ResoMereBde F^ (&satzkraft) zweier in einem Piiidct A angreifender Krafte Fi und F2 ist die Diagonale des Kitfiiepaiallelogramms.

Einfacher ist es, die Krafte nach Betrag und Richtungssinn maBstabsgerecht in beliebiger Reihenfolge aneinander zu setzen. Es ergibt sich das Kraftedreieck (Krafteck, Kraftezug).

Beachte: Skalare wie Masse m, Volumen K Flachen A usw. sind keine gerichteten Gro6en. Dire Betrage konnen algebraisch addiert und subtrahiert werden. Krafte dagegen sind als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu behandeln.

Geometrische Addition der Krafte Fi und F2 zur Resultierenden Fr

so-*-

Oder

Im Krafteck ist die Resultierende F^^ die Veibinduttgslinfc vom Anfangspnnkt A der zuerst ge2^iclineten Kraft 211111 Endpunkt E der zuletzt gexeichneten Kraft,

Der Betrag der Resultierenden Fj. zweier Krafte Fj und F2, die den Winkel a einschlieBen, lasst sich mit Hilfe des Kosinussatzes, der Winkel 13 mit dem Sinussatz berechnen. Die beiden Satze werden in der Mathematik (Trigonometrie) hergeleitet.

SO-*

Kraftedreiecke als Ersatz fiir das Krafteparallelogramm

Fr = y/F\ + F2^ +2F1F2 cos a

F\ sin a Fr

Boge, A.; Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Losungen, Vieweg 2005

1.1 Gmndlagen 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Krafte Fi und F2 Zerlegen einer Kraft F in zwei Komponenten

Das Krafteparallelogramm lasst sich auch aus einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, WL2 zweier gesuchter Krafte Fi, F2 zeichnen.

FuF2

Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL 1 und WL2 der gesuchten Krafte Fi, F2 parallel zu sich selbst in den Endpunkt E der maBstablich aufgezeichneten gegebenen Kraft F verschoben. Damit entsteht das Krafteparallelogramm. Die Betrage der beiden Komponenten der Kraft F lassen sich auch berechnen: Fiir Fi gilt der Sinussatz; die Gleichung fiir F2 lasst sich aus dem gestrichelt gezeichneten Kraftezug ablesen.

^ sin_p

Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Komponenten zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. es sind unendlich viele Losungen mogUch.

F2=Fcosl3-FiCOsa

^-2^^.

Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten F^ und Fy einer Kraft F zu rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe des Richtungswinkels a in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus.

1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Krafte Fj und F2 Fiir die gegebene Kraft F soUen die beiden parallelen Krafte Fi und F2 ermittelt werden, die auf ihren Wirklinien mit den Abstanden /i und I2 die gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F Zum Verstandnis fur die Losung dieser Aufgaben ist der spater erlauterte Momentensatz erforderlich (1.2.5.1): F/i = F2(/i + h)

und

—'—"^

Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Komponenten

F/2 = Fi (/i + h)

Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen fiir die Betrage der Krafte Fi und F2.

Fi=F /1+/2

10

1 Statik in der Ebene

1.1.6.4 Ubungen zum Parallelogrammsatz fiir Krafte 1. Ubung: Zwei Krafte Fi = 2 kN und F2 = 3 kN wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel a = 120° zueinander. Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden F^,

180°-a

b) der Winkel 13 zwischen den Wirklinien von Fi und Ff. Losung: a) der Betrag der Resultierenden lasst sich zeichnerisch durch maBstabliches Aufzeichnen des Krafteparallelogramms und rechnerisch mit dem Kosinussatz ermitteln. b) der Winkel yS zwischen den Wirklinien von Fj und Ff wird mit dem Sinussatz berechnet:

• ,,tf

sm(180°-a)

= F^ $ ; sin ^(180°-a)^

sin a

f^ ^T

VFX"-

- F-^^ + 2F1F2 cos a

: / ( 2 k N ) ^ ' ( 3 k N f + 2-2kN-3kN-cosl20°

^r = 2,646 kN

/5 = arcsin

F2 sin (180° -a)

= 79,1°

2. Ubung: Fiir das skizzierte Lager einer Getriebewelle wurden mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen die Stiitzkraftkomponenten FAX = 5089 N und FAy = 471 N berechnet. Zur Bestinmiung der Lagerabmessungen soil die Stiitzkraft (Lagerkraft) F A berechnet werden. Beachte: Die Stiitzkraftkomponenten konnen in den Lagermittelpunkt verschoben werden. Gesucht: a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt A verschobenen Lagerkraftkomponenten FAX und FAy (Langsverschiebungssatz von Seite 3),

Losung:

b) Betrag der Lagerkraft FA, c) Richtungswinkel a zwischen der positiven x-Achse des Koordinatensystems und der Wirklinie der Lagerkraft FA.

AiifgabeiiNn29--31

a

FAV 471 N ^ a r c t a n — = a r c t a n ^ ^ ^ ^ : : 5,29°

1.1 Grundlagen

11

1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberflachen- und Volumenkrafte Mit Hilfe der Statik werden unbekannte Krafte zeichnerisch und rechnerisch bestimmt, z. B. die Stiitzkrafte (Lagerkrafte), die eine Getriebewelle Oder einen Drehkran im Gleichgewicht halten. Solche Aufgaben konnen nur dann richtig gelost werden, wenn tatsachlich alle am Bauteil (Getriebewelle, Drehkran, Winkelhebel, Schraube usw.) angreifenden Krafte in die Untersuchung einbezogen wurden.

Beispiel: Fi, Fj bekannte Krafte, FAX, ^Ay, ^B gcsuchtc Stutzkiafte

Hinweis: Wird etwa die tatsachlich wirkende Stiitzkraftkomponente FAX nicht in die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen (2Fx = 0, 2Fy = 0 , 2 M = 0), dann wird die Losung falsch.

Jedes Bauteil wirkt auf die angrenzenden Bauteile mit Oberfldchenkrdften, die man sich im Mittelpunkt M der Beriihrungsflache A angreifend denkt, wie im Fall der beiden zusanmiengepressten Bauteile 1 und 2. Oberflachenkrafte heiBen auch auBere Krafte. Tatsachlich verteilt sich jede Oberflachenkraft mehr oder weniger gleichmaBig auf die Flachenteilchen der Beriihrungsflache A (siehe Abschnitt 5.5 Flachenpressung). Auf jede Beriihrungsflache eines Korpers wirkt die von ihr ausgeiibte Oberflachenkraft von dem anderen Korper zuriick (Aktion = Reaktion). Es ist also Fi2 (Kraft F von 1 auf 2) gleich F2,\ (Kraft F von 2aufl). AuBer den Oberflachenkraften konnen noch Volumenkrafte wirken, die man sich im Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt) M des homogenen Korpers angreifend denkt. Die wichtigste und stets wirkende Volumenkraft ist die Gewichtskraft FQ. Eine andere Volumenkraft ist die durch Magnete erzeugte Kraft. Gemeinsames Kennzeichen von Volumenkraften ist das Vorhandensein eines „Feldes", z. B. des Schwerefeldes der Erde oder eines Magnetfeldes. Volumenkrafte heiBen daher auch Feldkrafte.

Hinweis: Ob die Gewichtskraft FQ beim Freimachen beriicksichtigt wird, hangt davon ab, ob ihre Wirkung im Verhaltnis zu den Wirkungen der anderen Krafte groB oder klein ist.

12 Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden Krafte richtig erfasst zu haben, geht jeder statischen Untersuchung das Freimachen voraus.

Freimachen heifit: Man nimmt die Nachbarbautefle, die das ftei^aimactende Bauteil bertlhien. Stuck fur Stuck weg und briugt dafiir an den Berilhrungsstellen diejeuigoi Kraflte an, die von den weggenommenen Bauteil^i auf das fieigemachte Bauteil wiilcen.

1 Statik in der Ebene Hinweis: Statt „Freimachen" wird auch die Bezeichnung „Freischneiden" verwendet, weil man das Bauteil mit einem gedachten Schnitt von den angrenzenden Bauteilen trennt. Arbeitsplan zum Freimachen: 1. Das Bauteil schematisiert ohne die angrenzenden Telle aufzeichnen. 2. Die Angrijfspunkte aller Krafte und die Wirklinien dieser Krafte festlegen. 3. Den Richtungssinn in Bezug auf den freigemachten Korper eintragen. Fur die zeichnerische Losung maBstablich zeichnen (Lageplan), fiir die rechnerische Losung geniigt die Lageskizze.

Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Freimachen geben die folgenden Beispiele.

1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen Seile und itinliche flexible BauteUe konnen nw Zu^cfifte in Seilrichtung ausuben oder aufinehmen. Zugkrifte wiiken stets weg vom Angriflfspunkt am fteigemachten Biauteil. (Regel 1)

Beispiel: Der Kranhaken soil freigemacht werden.

Seilkraft F I

freigemachter Kranhaken

Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Korper ausuben kann. Es ist gleichgultig, ob das Seil durch eine Rolle umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils wirkt die gleiche Zugkraft.

Gewichtskraft

FQ

Man nimmt den angehangten Zylinder weg und ersetzt ihn im Beriihrungspunkt durch die Gewichtskraft FQ. Ebenso nimmt man das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es durch die Zugkraft F = FQ.

1.1 Grundlagen

13

1.1.7.3 Zweigelenkstabe ZweigeleokstMbe kcHmen Zag- oder I>ruckkilfte aufeehmea, deren WirklMe die Verbmdimgsgerade der Gdenkpunkte ist Die Gelenke werdea als teibungsftei aagesehen. (Regel2) Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Einfluss; er kann gerade oder gekriimmt sein oder jede beliebige andere Form haben. Zweigelenkstabe diirfen nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen verbunden sein und keine Krdfte an anderen Stellen aufnehmen. Zwei Krafte konnen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben, die durch die beiden Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen muss.

Beispiel: Der Zweigelenkstab (Pendelstutze) stiitzt eine Plattformab.

,

^wirklinie

Plattform — Druck

freigemachter Stab Zweigelenkstab

Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkrafte auf. Er konnte aber auch Zugkrafte aufnehmen, z. B. wenn der Wind unter die Plattform fasst.

1.1.7.4 Beriihrungsflachen (ebene Stiitzflachen) Berdhmngsflachen kdnnen NormalkiMe und TangentialkrHfte aufiiehmen. Normalkmfte wliken stets bin auf die Beriihmngsflache amfteigemachtenBauteil. (Regel3) Beriihren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem Fall zwischen beiden eine Normalkraft FN. Ihre Wirklinie steht immer senkrecht auf der Beriihrungsflache. Die Tangentialkraft FT wird durch Reibung (Reibkraft FR) oder durch einen Rollwiderstand hervorgerufen. Ihre Wirklinie liegt stets in der Beriihrungsebene, also rechtwinklig zur Wirklinie der Normalkraft F^. Den Richtungssinn kann man in den meisten Fallen erkennen, wenn alle ubrigen Krafte am freigemachten Bauteil eingezeichnet wurden. Die Tangentialkraft FT = Reibkraft FR wirkt der Bewegung entgegen, die durch die ubrigen Krafte verursacht wird oder verursacht werden konnte.

Beispiel 1: Ein prismatischer Korper liegt auf einer waagerechten Unterlage (z. B. Richtplatte) in Ruhe. freigemachter Korper

W///MMW///. Gewichtskraft FQ und Normalkraft F^ haben gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Beispiel 2: Der gleiche Korper hegt auf einer schiefen Ebene in Ruhe. freigemachter Korper

Gewichtskraft FG und Normalkraft F^ allein konnen nicht im Gleichgewicht sein. Der Korper wiirde abwarts gleiten, wenn ihn nicht die Tangentialkraft FT = Reibkraft FR daran hindem wiirde.

1 Statik in der Ebene

14 Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Beriihrungsflache gegeneinander gleiten oder das eine auf dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangentialkraft FT = Reibkraft FR. Der Richtungssinn ist in diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere Bauteil wirkt die Reibkraft FR entgegen seiner Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In vielen Fallen ist das „langsamere" Bauteil eine ruhende Unterlage.

Beispiel 3: Der Korper wird durch die Verschiebekraft F auf der Unterlage verschoben.

Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Richtung aufeinander, so wirkt an beiden die Reibkraft entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung.

Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft /% batten Gewichtskraft FQ und Normalkraft FN eine gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Beispiel 3 anders: F und F^ = FR bilden ein rechtsdrehendes Kraftepaar. Bei Gleichgewicht stellt sich dann das linksdrehende Kraftepaar aus FG und FN ein. Die Kraftmomente M beider Kraftepaare sind gleich groB und gegensinnig (2M = 0).

Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschiebekraft F versucht, es auf seiner Unterlage zu verschieben, so tritt auch bei waagerechter Beriihrungsflache eine Reibkraft FR auf. Diese ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich.

wmmmm. I • •••-d-V ^^/m7/Y/////////.

Jlf

freigemachter Korper

wf Krafte vom Gleitkorper auf die Unterlage

1.1.7.5 RoUkorper (gewolbte Stiitzflachen) RoUkorper kdnnen Radialkrafte und TangentiaJkrafte aufiiehmen. Die Radialkitfte wirken stets auf den BerCihningspunkt am fteigemachten Korper. (Regel4) Zwischen RoUkorper und Unterlage wirkt eine Radialkraft F^. Ihre Wirklinie verlauft durch den Beriihrungspunkt und den Rollkorpermittelpunkt. Die Bezeichnungen „Radialkraft" und „Nomialkraft" sind gleichwertig, denn die Wirklinie der Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf der Beriihrungstangente. Eine Tangentialkraft FT tritt am mhenden RoUkorper nur unter den gleichen Bedingungen auf wie an Beriihrungsflachen (siehe Regel 3, Seite 13). Dire Wirklinie ist die Tangente an den RoUkorper im Beriihrungspunkt und steht darum immer rechtwinklig zur Wirklinie der Radialkraft.

Beispiel: Eine RoUe ruht auf einer waagerechten Ebene und stiitzt eine waagerecht liegende Platte ab.

freigemachte

Rolle

Die Beriihrungspunkte A und B liegen senkrecht iibereinander. Die Radialkrafte FrA und FrB haben eine gemeinsame Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine Tangentialkraft.

15

1.1 Grundlagen 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) Einwerdge Lager (Loslager) koiinen nur eine rechtwinklig zur StCitzflache wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu, Wirhmgsanalyse: Wirklime der Lagerkraft bekannt, Betrag unbekannt {eine Unbekannte). (RegelS) Einwertige Lager werden fiir Trager auf zwei Stlitzen verwendet, um die Warmeausdehnung in Langsrichtung nicht zu behindem, z. B. an Briickentragem und Wellen. Bei zweifach gelagerten Tragem muss ein Lager ein Loslager sein.

1

p^ A

freigemachtes Gleitlager

freigemachtes Kugellager

1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) Zweiwertige Lager (Festlager) konnen eine beliebig gerichtete Kraft auftiehmen. Beim Freimachen ersetzt man die noch unbekannte Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy. Wirhmgsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft unbekannt, Betrag unbekannt {zy^ei Unbekannte). (Kegel 6)

Trager auf zwei Stiitzen, Wellen und Achsen erhalten ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine unzulassige Langsverschiebung zu verhindem. Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten durch die Bewegungsprobe:

Yerschiebt man die StCitzflache des einwertigen Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das gelagerte Bauteil in Ruhe. Beim zweiweitigen Lager bewegt sich das gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der Unterlage mit.

Beispiel 1: Trager auf zwei Stiitzen

^ 2 ^ : : : : : : ^ ^ ^ ^ ^ A Beiastung F

freigemachter Tragei

Lager B ist einwertig, wie die Bewegungsprobe ergibt. Also wirkt eine Normalkraft FB rechtwinklig zur Stiitzflache. Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe!). Die dort wirkende noch unbekannte Lagerkraft FA ersetzt man durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten F^ und Fy und legt den Richtungssinn fiir die spatere Rechnung nach Augenschein fest. Der zunachst angenommene Richtungssinn der Lagerkraftkomponenten F^ und Fy wird bei der spateren Berechnung durch ein positives Vorzeichen bestatigt. Ein negatives Vorzeichen fiir Fx oder Fy zeigt den entgegengesetzten Richtungssinn an.

1 Statik in der Ebene

16 Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebeebene (hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizontal). Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Krafte aus jeder behebigen Richtung auf, so dass hier im Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig festliegt. Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, hilft man sich wie bereits auf Seite 15 (1.1.7.7) erlautert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig zueinander stehenden Wirklinien die beiden Komponenten ein. Dabei wird versucht, deren Richtungssinn unter Beriicksichtigung der ubrigen Krafte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen.

Wellen soUen Drehmomente weiterleiten und die Zahnrad- oder Riemenkrafte uber Walz- oder Gleitlager auf das Gehause iibertragen. Eines der Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als Loslager ausgebildet. Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle wirken die beiden Zahnkraftkomponenten F^ und Fy. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waagerechte Komponente F^ wird allein vom Festlager B aufgenommen (Fx = FBX), denn das Loslager A ist in waagerechter Richtung im Gehause verschiebbar. Es kann nur Normalkrafte aufnehmen, hier die Lagerkraft FADie Stutzkrafte FA, FBX und F^y werden spater mit Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingungen SFx = 0, 2Fy = 0, 2M = 0 (siehe Abschnitt 1.2.5.3, Seite 44) berechnet.

Beispiel 2: Tur mit Halslager A und Spurlager B

T \

-o-o OSchwerpunktS

1

OS

1

XFG

£fix|

^

^By 1

Lageskizze der freigemachten Tur

Bewegungsprobe: B ist zweiwertig, A ist einwertig. Den Stiitzhaken bei A wegnehmen: Die Tur dreht nach rechts. Folglich muss FA nach links wirken. Den Stiitzhaken bei B wegnehmen: Die Tiir dreht nach Unks. FBX wirkt also nach rechts.

Beispiel 3: Getriebewelle mit Loslager A, Festlager 5 I I

Zahnkraftkomponenten

Lageskizze der freigemachten Welle

Beachte: AuBer F^ und Fy wirkt noch die Umfangskraft F^ in Normalenrichtung zur Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel Seite 371).

17

1.1 Gmndlagen 1.1.7.8 Dreiwertige Lager Dfeiwerlige Lager koimen eine beliebig gerichtete Kraft and ein Kraftmoment aufiiehmen. Beim Freim^hen metzt man die Lagericraft durch zwei rechtwiuklig aufeinander stehende Komponenten, das Kiaftmoment durch den MomentendrehpfeE. Wtrkungsanalyse: Wkklinie nnd Betrag der Lagerkraft iinbekannt, Betmg des Kraftmoments (Einspamimoment) unbekannt (drei Unbekannte). (Kegel 7)

Beispiel: Eingespannter Freitrager ^..^Mauerwerk

\ M = Fyl\i Einspannmoment

Lageskizze des Freitragers

Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung fiir die richtige zeichnerische und rechnerische Losung aller Statikaufgaben. Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan:

Art^its^bm nim Fr^maehen: L^esMzze des fieizumachenden Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Kraftangriffspunkte (BerCthmngspunkte mit den Nachbaibauteilen) fesdegen.

2. Schritt

Wilklimen aller Krifte nach den Regein 1 bis 7 fur das Freimachen einzeichnen. 3. Schritt Richtuttgssinn fllr alle Kraftpfeile nach den Regehi 1 bis 7 fesdegen*

4. Schritt

18

1 Statik in der Ebene

1.1.8 Ubungen zum Freimachen 1. Ubung: Die skizzierte Leiter lehnt in A reibungsfrei am Mauerwerk und ist am Boden rutschfest gestiitzt. Beim Besteigen wird die Leiter mit der Gewichtskraft FQ belastet. Die Leiter soil nach den besprochenen Regeln freigemacht werden, eine Aufgabe, die haufig Schwierigkeiten macht. Losung: Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lagerpunkte A und B markiert. Das sind die Beriihrungsstellen derjenigen Mauerteile, die gedanklich weggenommen sind. AuBerdem wird sofort die bekannte Gewichtskraft FQ eingezeichnet.

Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der Stiitzkrafte FA und F^ einzuzeichnen. Bei zweifach gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig.

Aufgabenskizze

B

Lageskizze der Leiter mit Lagerpunkten und gegebener Kraft

Beachte: Immer zuerst die einwertige Lagerstelle suchen. Dort ist die Wirklinie der Stiitzkraft bekannt. Diese ist eine Normalkraft.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Krafte Ubertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine Kraft iibertragen, wenn die Reibung nicht beriicksichtigt wird.

Bewegungsprobe: keine Lageveranderung bei Parallelverschiebung des einwertigen Lagers.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstiick um B ergibt Lageveranderungen der Leiter in jeder Richtung. Das Lager ist zweiwertig und ubertragt eine beliebig gerichtete Stiitzkraft mit x- und y-Komponenten.

Lageveranderung bei beliebiger Verschiebung des zweiwertigen Lagers.

Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die vollstandige Lageskizze der freigemachten Leiter. Die Wirklinie der Stiitzkraft F^ an der zweiwertigen Lagerstelle ist nicht bekannt. Es konnen nur ihre X- und y-Komponenten eingetragen werden. Das ist fiir die zeichnerische oder rechnerische Losung solcher Aufgaben ausreichend.

Lageskizze der freigemachten Leiter

1.1 Grundlagen

19

2. tjbung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B drehbar. An seinem Lastseil tragt er ein Werkstiick, das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der Gewichtskraft FQ belastet. Der Schwenkarm des Kranes soil nach dem Arbeitsplan von Seite 17 freigemacht werden.

Last FQ

Aufgabenskizze

Losung: Man skizziert den Schwenkarm in der vorgegebenen Lage zunachst wieder ohne Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. In diesem Fall ist die von dem Werkstiick hervorgerufene Gewichtskraft FQ bereits mit Angriffspunkt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird.

Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A (Loslager) und Lager B (Fesdager).

Die Bewegungsprobe fur beide Lager ergibt: Das Halslager A ist einwertig (Regel 5, Seite 15), denn es kann mit seiner Unterlage nach oben und unten verschoben werden, ohne dass sich der Schwenkarm bewegt. Verschiebt man dagegen das Spurlager B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist zweiwertig und wird nach Regel 6 freigemacht.

Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man den Richtungssinn der Lagerkrafte auf folgende Weise: Wird das obere Lager weggenommen, dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die Lagerkraft FA verhindert dies. Wird aber nur das untere Lager weggenommen, dann dreht der Schwenkarm unten nach links und fallt auBerdem nach unten. Beides miissen die Lagerkraftkomponenten FBX und F^y verhindem.

1. Schritt

\ p ^

Lageskizze des freigemachten Schwenkarmes

Die Kraftangriffspunkte A und B einzeichnen.

2. Schritt

3. Schritt Die Wirklinie der Halslagerkraft FA liegt horizontal (Normalkraft), weil die Lagerflache vertikal steht. Die Wirklinien der Komponenten der Spurlagerkraft F^ werden in Richtung der Lagerachse und rechtwinklig dazu eingezeichnet.

4, Schritt Auf der Wirklinie der Halslagerkraft FA einen nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, weil nur dann der Schwenkarm am Wegdrehen nach rechts gehindert werden kann. Auf der horizontalen Wirklinie von FBX einen nach rechts gerichteten und auf der vertikalen Wirklinie von Fey einen nach oben gerichteten Kraftpfeil einzeichnen.

20

1 Statik in der Ebene

3. Ubung: Der aufwarts fahrende Wagen eines Schragaufzugs soil freigemacht werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und nicht seine Einzelteile. Sonst miisste es z. B. heiBen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizumachen.

Zugseil

Aufgabenskizze

Losung: Man skizziert den Wagen in seiner augenblicklichen, schrag stehenden Betriebslage, und zwar zunachst wieder ohne Festlegung der Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile.

h Schiitt

Gewichtskraft

Lageskizze des freigemachten Wagens

Hier muss die Gewichtskraft FG beriicksichtigt werden, sonst konnten zwischen dem Wagen und seinen Nachbarbauteilen keine Krafte wirken. Im Zughaken ist das Seil eingehangt, die Rader beruhren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die Nachbarbauteile des Wagens.

Die Gewichtskraft FQ wirkt immer auf der Lotrechten. Am Zughaken wird nach Regel 1 freigemacht, denn dort ist ein Seil weggenommen. Die Rader werden nach Regel 4 (Seite 14) fiir Rollkorper freigemacht. Da der Wagen wilt, wirken an beiden Radem Radial- und Tangentialkrafte.

Die Gewichtskraft FQ wirkt immer nach unten. Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radialkrafte Fr sind aw/die Rader zu gerichtet. Die Tangentialkrafte FT versuchen den Wagen zu bremsen, weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn.

Aitfgaben Nn 9-28

2. Schritt In der Skizze den Schwerpunkt S des Wagens, den Zughaken und die Auflagepunkte A und B der beiden Rader als Kraftangriffspunkte kennzeichnen.

3. Schritt Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirklinie der Gewichtskraft FQ zeichnen. Die Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. Die Wirklinien der Radialkrafte verlaufen durch die Beriihrungs- und Radmittelpunkte, die der Tangentialkrafte rechtwinklig dazu.

4. Schritt Die Kraftpfeile einzeichnen: FQ nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken weg, Fr nach links oben und FT der Bewegung des Wagens entgegen nach links unten.

21

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

L2 Die Grimdaiifgabeii der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kraftesystem Unter einem Kraftesystem versteht man beliebig viele Krafte, die gleichzeitig an einem Bauteil wirken. Ein zentrales Kraftesystem liegt vor, wenn sich die Wirklinien aller Krafte in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt den Zentralpunkt A des Kraftesystems. Nach dem Langsverschiebungssatz konnen alle Krafte des Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentralpunkt verschoben werden. Ein zentrales Kraftesystem kann einen Korper nur verschieben, aber nicht drehen. Ein allgemeines Kraftesystem besteht aus Kraften, deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt miteinander haben. Allgemeine Kraftesysteme konnen genauso wie zentrale Kraftesysteme einen Korper verschieben. Sie konnen ihn aber auBerdem drehen oder beide Bewegungen gleichzeitig hervorrufen.

Zentrales Kraftesystem

Allgemeines Kraftesystem

1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 1. Hauptaufgabe: In einem Kraftesystem sind alle Krafte nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannt. Um eine Aus^ge lil^r die Wirkung des Kraftesystems auf ein Bauteil machen zu konnen (z. B. VerscMebung), miissen die resuMerende Kraft Ft wnd das jresultieiende Kraftmoment Mr ennittelt warden.

bekannt: Fi, F2, Fj gesucht: F^, Mj-

2. Hauptaufgabe: In einem Kraftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der Krafte bekannt. Una dm F^ti^ei^ii^hnung an einem Bauteil ausfiihiett zu konnen, miissen die noch unbekannten Kiifte emiitljelt werden.

bekannt: Fi, F2, F3 gesucht: FAX, FAy,FB

22

1 Statik in der Ebene

1.2.3 Die zwei Losungsmethoden Jede der beiden Hauptaufgaben ist auf zweierlei Weise losbar: rechnerisch und zeichnerisch. Die rechnerische Losung erfordert a) eine unmaBstabliche Lageskizze, die alle Krafte als Kraftpfeile sowie alle erforderlichen Langenmafie und Winkel — insbesondere die zwischen den Wirklinien der Krafte und einer Bezugsachse — enthalten muss, und b) den rechnerischen Ansatz in Form einer Gleichung Oder eines Gleichungssystems, das aus der Lageskizze entwickelt wird. Die zeichnerische Losung erfordert a) einen maBstablich aufgezeichneten Lageplan, der das Bauteil (meist in vereinfachter Darstellung) mit alien, ebenfalls maBstablich eingezeichneten Wirklinien darstellt, und b) einen Krdfteplan, der alle Krafte maBstabs- und richtungsgerecht enthalt.

Hinweis: Bel der rechnerischen Losung kann man „analytisch" vorgehen (analytische Methode) Oder Kraftecke „trigonometrisch" auswerten. Zur analytischen Losung legt man die Kraftpfeile in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und arbeitet mit ihren Komponenten (x- und y-Komponenten). Meist wird das Gleichungssystem aus den drei Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0, 2Fy = 0 , 2M = 0 fiir ebene Kraftesysteme entwickelt.

Hinweis: Lageplan und Krafteplan werden stets ?i\xfeinem Blatt aufgezeichnet. Langen- und KraftemaBstab werden so gewahlt, dass die Plane nicht zu klein werden. Der Lageplan wird zuerst gezeichnet, und daraus wird der Krafteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Krafteplan entwickelt. Zeichnen Sie immer zwei getrennte Plane!

1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kraftesystem 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) Aufgabe: Ein zentrales Kraftesystem besteht aus den Kraften Fj = 15 N, F2 = 40 N und F3 = 30 N. Die zugehorigen Richtungswinkel sind ax = 30°, a2 = 135° und as = 280°. Zu berechnen sind der Betrag der Resultierenden Fr und ihr Richtungswinkel a^ nach der analytischen Methode, d. h. durch Kraftezerlegung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit den vier Quadranten I, II, III und IV. Voriiberlegung: Der rechnerischen Losung dieser Aufgabe liegen folgende Gedanken zugrunde: Jede Kraft wird in die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten in Richtung der Achsen des rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt. Als Bezugswinkel fiir die Wirklinie der Krafte wird stets der Winkel a verwendet, den die Kraft

R ich tungs winkel: aj = 30° 0i2 = 135° F3 =30N 0(3 = 280°

Aufgabenskizze

1.2 Die Grundaufgaben der Statik mit der positiven x-Achse einschlieBt, und zwar im positiven Linksdrehsinn von 0° bis +360° (Richtungswinkel). Man erhalt dann Berechnungsgleichungen, die immer wieder in derselben Form gebraucht werden konnen. Den Richtungssinn der Kraftkomponenten F^ und Fy zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im Ergebnis an. Das negative Vorzeichen fiir eine x-Komponente zeigt den Richtungssinn „nach Unks", fiir eine y-Komponente „nach unten" an.

Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten werden in der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe n steht fiir den Index 1,2,3, •. • der Krafte F und ihrer Richtungswinkel a.

23 Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel a geneigten Kraft sind:

Fx —Fcmu

Fy = F$ma

Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schlieBt die Kraft F2 = 40 N mit der positiven x-Achse den Richtungswinkel 02 = 135° ein. Dazu liefert der Rechner: Fix = F2 cos a2 = 40 N • cos 135° = -28,28 N F2y = F2 sin a2 = 40 N • sin 135° = +28,28 N Die Kraftkomponente F2X wirkt nach links, F2y wirkt nach oben.

Fnx=FnCOSan

Berechnung der x-Komponenten Fny = Fn sin an Berechnung der y-Komponenten

Die x-Komponenten F^x sind die Produkte aus den Kraftbetragen F^ und dem Kosinus der Richtungswinkel an. Bei den y-Komponenten tritt an die Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion. Die Summe der x-Komponenten der Einzelkrafte ist die x-Komponente Frx der gesuchten Resultierenden (Frx = 2Fnx). Gleiches gilt fiir die y-Komponente Fry der Resultierenden (Fry = 2Fny).

Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum Beispiel a2 = 135°, braucht man sich nicht um den Richtungssinn der Komponenten zu kiimmem. Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei der Addition mit.

Weil die beiden Komponenten Frx und Fry rechtwinklig aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras der Betrag Fr der Resultierenden berechnet werden, denn Fr ist die Diagonale des rechtwinkligen Kraftecks aus Frx, Fry und Fr.

Ftx = Fi cos ai 4-F2 cos 02 + . . v+Fn cos an X-Komponente der Resultierenden F^

Fry — ^Ffiy

Fry = Fi sin ai H-F2 sin a2 + . . . +Fo sin Oj, y-Komponente der Resultierenden F^

Betrag der Resultierenden F^

24

1 Statik in der Ebene

Der Richtungswinkel a^ der Resultierenden kann nicht auf direktem Weg ermittelt werden. Man braucht erst den spitzen Winkel ^^^ den die Wirklinie der Resultierenden F^ mit der x-Achse einschlieBt. Es ist gleichgiiltig, in welchem Quadranten die Resultierende liegt. Dieser spitze Winkel ^^ kann im rechtwinkligen Dreieck mit der Tangensfunktion ermittelt werden, denn die beiden Katheten Frx und Fry sind jetzt bekannt. Damit sich keine negativen Winkel ergeben, darf nur mit den Betragen gerechnet werden. Je nach Lage der Resultierenden F^ im rechtwinkligen Achsenkreuz ergeben sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Richtungswinkels a^. Fj. liegt im I. Quadranten: In diesem Fall ist der Richtungswinkel a^ gleich dem spitzen Winkel /J^ zwischen der positiven x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F,. liegt nur dann im I. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: ^rx -^ positives Vorzeichen positives Vorzeichen

{F^ > 0) {Fry > 0)

Fr liegt im 11. Quadranten: Der spitze Winkel fi^ liegt zwischen der negativen x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fj. liegt nur dann im II. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx -^ negatives Vorzeichen positives Vorzeichen

(Frx < 0) (^ry > 0)

Fr liegt im III. Quadranten: Der spitze Winkel fij. liegt zwischen der negativen x-Achse und der wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fr liegt nur dann im III. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx -^ negatives Vorzeichen negatives Vorzeichen

(Frx < 0) (Fry < 0)

Hinweis: Die GroBen Fry und Frx stehen in sogenannten Betragsstrichen, d. h. es sind nur die Betrage (ohne Vorzeichen) einzusetzen.

-'•-m

"•—w

ar=/^r

ar = aiictan

\Fr.

ar = lSO''-P, a, = 180° - arctaa L ^ \Frx\

0^ = 180" + ^^^

\Frxl

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

25

Fr liegt im IV. Quadranten: Der spitze Winkel ^^ liegt zwischen der positiven x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F^ liegt nur dann im IV. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: ^rx -^ positives Vorzeichen (Frx > 0) (F^<0) negatives Vorzeichen

'^"'z

\

^^ O ; -v'

^

. ® ''

ar = 360^-^. ar = 360" - aictan \ ^

Losung: Zu berechnen ist die Resultierende F^ des gegebenen Kraftesystems. Zuerst werden die gegebenen Betrage der Krafte Fi, F^ und F3 und ihre Richtungswinkel ai, a2 und a^ aufgeschrieben.

Gegeben: Fi = 15 N F2 = 40 N F3 = 30 N

Zur Berechnung der Komponenten F^ und Fry der Resultierenden F^ werden die Produktsunmien gebildet.

Frx = (15 • COS 30° + 40 • cos 135° + + 30-cos 280°) N Frx =-10,08 N Fry = (15 • sin 30° + 40 • sin 135°+ + 30 • sin 280° N + 6,24N

30° ai a2 135° as 280°

Die gegebenen und berechneten GroBen konnen auch in eine Tabelle eingetragen werden. Durch Addition der Spalten fur Fnx und Fny erhalt man die beiden Komponenten F^ und Fry der Resultierenden Fr. n

Fn

1 2 3

15 N 40 N 30 N

«a

Fn, =

30° 135° 280°

Fn COS an

+ 12,99 N -28,28 N + 5,21 N Frx

F„y = Fa sin tta + 7,50 N +28,28 N -29,54 N

=-10,08 N Fry = + 6,24 N

Der Betrag der Resultierenden wird mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet.

F^ = y/FjTF^= Fr = 11,855 N

y/{^^,OH N)^ + (6,24 N)^

26 Die x-Komponente F^ der Resultierenden hat das negative Vorzeichen, die y-Komponente F^ hat das positive Vorzeichen. Die Resultierende Fr Uegt also im II. Quadranten. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung des Richtungswinkels a^ der Resultierenden fest.

1 Statik in der Ebene

a^ — 180° - arctan 6,24 N 10,08 N

CCT

=

180^ - arctan

CCr

=

180°- 31,76°

Gr

=

148,24°

Arbdts|iiaii zur reehnerisclien Ermittlung der Resultierenden: Lageskizze mit alien gegebenen Kraften unmaBstablich in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen. Gegebene Kraftbeti%e Fi, F2, F 3 . . . und Richtongswinkel a i , ai, a s . . . aufschreiben. Richtungswinkel von der positiv^i x-Achse von 0° bis 360"" im Linksdrdbsinn fesdegen. Mit den Kraftt)etmgen nnd Richtungswinkeln die Komponenten F^x und Fjfy der Resultierenden Fr berechnen, Betrag der Resultierenden F^ aus den Komponenten F^ und Fry berechnen

1. Schritt 2. Schritt

3. Schritt 4. Schritt

(P^ytbagoras).

Aus den Vor2:eichen fiir die Komponenten Fjx und Fjy den Quadranten die Resultieiende F^ feststellen. Richtungswinkel Or der Resultierenden F^ berechnen.

fiir

5. Schritt 6. Schritt

1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) Aufgabe: Das gleiche zentrale Kraftesystem wie in der vorhergehenden Aufgabe soil nun zeichnerisch reduziert werden. Zur Ermittlung der Resultierenden Fr und ihres Richtungswinkels a^ muss maBstablich in einem Lageplan und in einem Krafteplan gearbeitet werden. Die Aufgabenskizze zeigt die gegebenen Krafte, nachdem sie auf ihren Wirklinien in den gemeinsamen Zentralpunkt A verschoben wurden.

©

F2=40N

r \

0 Rich tungswinkel: ai = 30° 0L2 = 135°

as =280°

Aufgabenskizze

27

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Losung: Zuerst wird ein Lageplan gezeichnet. Grundlage dafiir ist ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kraftesystems ist. Durch diesen Zentralpunkt werden mit den gegebenen Richtungswinkeln ax = 30°, a2 = 135° und a^ = 280° die Wirklinien aller gegebenen Krafte gelegt. Je genauer im Lageplan die Winkel angetragen sind, desto genauer wird das Ergebnis. Fiir den Krafteplan wird ein Anfangspunkt A festgelegt und durch ihn eine Parallele zu einer der drei Krafte (hier F3) gezeichnet. Der Krafteplan wird weiterentwickelt, indem in gleicher Weise durch Parallelverschiebung die iibrigen Krafte in beliebiger Reihenfolge maBstabsgerecht und richtungsgemaB sich so aneinander reihen, dass sich ein fortlaufender, offener Kraftezug mit dem Endpunkt E ergibt.

Lageplan

Krafteplan KraftemaBstab: N = 10 — cm (lcm=10N)

MK

o

Die Resultierende F^ ist die Verbindungslinie zwischen Anfangspunkt A und Endpunkt E des Kraffceziigs. Ihr Richtungssinn weist vom Anfangspunkt zum Endpunkt, Aus der Lange der Verbindungslinie von A nach E kann mit Hilfe des festgelegten KraftemaBstabs der Betrag der Resultierenden berechnet werden.

Gemessen wird fiir F/. Lr= 1,2 cm. Damit wird ^ Fr -=LrMK = 1,2 cm- 10 — cm Fr=12N.

Die Resultierende wird nun aus dem Krafteplan parallel in den Zentralpunkt A des Lageplans verschoben und der Richtungswinkel a^ abgelesen.

Im Lageplan wird der Richtungswinkel gemessen: ttr = 148°. Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 12 N unter einem Winkel von 148° zur positiven x-Achse nach links oben.

Jetzt steht fest, wie sich der Korper unter der Einwirkung der gegebenen Krafte verhalt, d. h. ob und in welcher Richtung er sich verschiebt. Zugleich erkennt man, welche zusatzliche Kraft (hier F4) im Zentralpunkt A wirken miisste, wenn Gleichgewicht hergestellt werden soil.

Unter der Wirkung der Krafte Fi, F2 und JF3 verschiebt sich der Korper unter 148° zur positiven x-Achse so nach links oben, als ob eine Kraft von 12 N allein auf ihn einwirken wiirde. Um den Korper im Gleichgewicht zu halten, miisste man auf der Wirklinie von Fr mit 12 N nach rechts unten ziehen (im Lageplan gestrichelt eingezeichnete Gleichgewichtskraft F4).

AiifgabenNn 29-48

1 Statik in der Ebene

28

Arbdtesplan asur si^liiieris^heii Emiilfliii^ der Resultiereideii: Lageplaa mit de^ WWdinieB aller RrSfte winkelgetreu in ein rechtwinldiges Ach^rtoeuz dnzeichneu, Im Krift^lan die gegebenen Krafte entspt^hend dem gewahlten KraftemaBstab MK in beliebiger Reihenfolge mafistablich aneinander reihen. Anfangs- und En<|punkt des Kraftezuges verbinden, Richtungssinn eintragen. Resultierende F^ in den Zentralpunkt des Lageplans libertragen.

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

Bigebnisse abn^ssen (Betrag und Richtungswinkel).

5. Schritt

1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Krafte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Aufgabe: Dasselbe Kraftesystem wie in der ersten und zweiten Grundaufgabe mit den bekannten Kraften Fi, F2 und F3 soil jetzt durch zwei Krafte (F4 und F5) ins Gleichgewicht gesetzt werden. Die Krafte F4 und F5 sind nach der analytischen Methode zu ermitteln.

F2 = 40N

Richtungswinkel: «;= 30°

Losung: Man zeichnet eine unmaBstabliche Lageskizze mit alien Kraften. Fiir die Krafte F4 und F5 ist nur die Lage ihrer Wirklinien im rechtwinkligen Achsenkreuz (a4 = 15°, a^ = 60°) bekannt. Fiir den Richtungssinn der beiden Krafte F4 und F5 wird folgende Richtungsannahme festgelegt {Richtungsregel):

F3 = 30N

Aufgabenskizze

Der Richtungssina einer gesuchten Kiaft wild beliebig festgele^

Ob die Richtungsannahme richtig oder falsch war, stellt sich bei der spateren Rechnung heraus: Haben die gesuchten Krafte ein positives Vorzeichen, war die Richtungsannahme richtig. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Richtungsannahme falsch war. Diese Kraft wirkt in WirkHchkeit in entgegengesetzter Richtung.

Lageskizze zur rechnerischen Losung

a2 = 280° 135° 15° a4 60° "5

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen sind: Bin 2^iitmles Kiiftesystem ist im Gleichgewicht, weim die Suiimie aller Kitfte in x-Richtimg und die Sunm^ aller Kiafte in y-Richtiing gleich null ist

29 I. 2Fx = 0 = 2Fnx + F4 COS a4 + F5 cos as II. I!Fy = 0 = 2Fny + F4 sin a4 + F5 sin as Beide Gleichungen nach F4 aufgelost und gleichgesetzt ergibt eine Gleichung fiir F5: I. F4 11. F4

-EFnx - F5 cos as cosa4 -2Fny - F5 sin as sma4 -2Fnx sin a^ - F5 cos as sin a4 = = -2Fny COS 04 - F5 sin as cos 04

Setzt man die Summe aller Krafte oder Kraftkomponenten in beiden Richtungen des rechtwinkligen Koordinatensystems gleich null, erhalt man ein Gleichungssystem (I und II), das nach den beiden Unbekannten F4 und F5 aufgelost werden kann. Der Betrag fiir F5 hat ein negatives Vorzeichen, das heiBt, der angenommene Richtungssinn war falsch. Der errechnete Betrag ist richtig, nur wirkt die Kraft im entgegengesetzten Sinn als angenommen. (Pfeilrichtung im Lageplan umkehren) Hat die zuerst errechnete Kraft ein Minus-Vorzeichen (hier F5), muss es in der weiteren Rechnung mitgefiihrt werden. Um Gleichgewicht zu erreichen, muss auf den vorgegebenen Wirklinien die Kraft F4 mit 16,76 N nach rechts oben, die Kraft F5 mit 12,21 N nach links unten wirken.

F5(cos as sin 04 - sin as cos a4) — — 2Fny COS a4 - XFnx sin 04 F5 =

2Fny COS a4 — 2Fnx sin a4 : : COS as sin 04 — sin as cos 04

(SFny = 6,24 N von Seite 25) ^ 5 = 6,24 N • cos 15° - (-10,08 N) • sin 15° cos 60° • sin 15° - sin 60° • cos 15° Fs-12,21 N Mit F5 kann nun F4 nach Gleichung I bestimmt werden (Minus-Vorzeichen mitnehmen): -SFnx - F5 cos as cosa4 (2Fnx - -10,08 N von Seite 25) F4

(-10,08 N) - (-12,21 N) • cos 60° cos 15°

F4 = 16,76 N

Arbrits^an wm i^lmerticheii Ermitliiiii^ imbekannter Krafte: Lageskkze m t alien gegebenen und gesuchten Kraften zeichnen, dabei den Richtimgsstan der gesuchten Krafte nach der Richtungsregel annehmen. Gkichgewichfebedingungen ansetzen (LFx = 0,2Fy = 0).

2. Schritt

Gleichungssystem auflosen utid unbekannte Krafte berechnen.

3. Schritt

Bei negativem Betrag fiir eine beiechnete Kraft zum Schluss den angenomM^^n Richtoittgssinn umkehren.

4. Schritt

1. Schritt

30

1 Statik in der Ebene

Lehrbeispiel: Rmhnerische Bestlmmung der Resultlerenden Fr ernes zentralen Kraftesystems

Gegebem Krafte und Winkel nach Tabelle. n

fn

ctn

Fnx=FnCO$a„

F„y=FnSlnan

1

20N

20''

^18J94N

+ 6,840 N

2

40N

76''

^10,353 N

+38,637 N

3

SON

150^

-43,301 N

+25,0

N

4

SON

270^

~

-80,0

N

5

4SN

290''

+ 15,391 N

-42,286 N

16

35N

Bm""

+34,468 N

- 6,078N

1

:+35,705 N

Fnc - ^5ix = F,x + Fa^ 4- % + ... + Fgx = + 35,705 N Fry = EFny ==Fiy + F2y + F3y + ... + F6y = -57,886 N

Nun kann Ft berechnet warden: Ff = ^Frx^ + Fry^ = ^J{+35,705 Nf + (-57,886 Nf = 68,01 N Frx hat ein positives Vorzeichen, Fry ein negatives Vorzeichen. Damtt liegt die Gleichung zur Berechnung desftichtungswinkelsarfest: ar = 360" - arctan | § 4 - ^ ^ ^ - Cretan ^Jj^^ ^, - 301,7° \FTX\ 35,705 N

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

31

Lehrbeispiel: Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kraftesystems Gegebene Krafte und Winkel wie im vorhergehenden Lehrbeispiel: Hichtungswinkel a a , = 20^ a2= 75'' as = 150" a4 = 270" as = 290" ae = 350"

Krafte Ft = 20 N f2^40N F3==50N

F^^aoN Fs^45N Fe^ 35 N

spitzer Winkel zurx-Achse ^,=20" h = 75^ ^3-^30" ^4 = 90"

Ps=70" Pe = ^0"

Losung: Die Wirklinien der Krafte F^.,.Fs werden unter den gegebenen Winkein in den Lageplan eingezeichnet. AnschlieBend werden im Krafteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien die Krafte Fi.,.F6 in beliebiger Beihenfolge maBatabsgerecht aneinander gereiht Die ResuHierende Fr ist dann der Pfeil vom Anfangspunkt A der ersten Kraft zum Endpunkt E der letzten Kraft.

Lageplan Krafteplan KraftemaBstab: MK==25-^

(1cm =

cm 25N)

Ergebnis: Fr = 2J cm • 25—

Pr^58^

= 67,5 N

"""^

Damit sind die Resultierende Fr- 57,5 N und fir = 58'' bestimmt und Fr kann in den Lageplan ubertragen werden. (Die Gleichgewichtskraft Fg ist gleich Fr, nur entgegengesetzt gerichtet)

32

1 Statik in der Ebene

1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Krafte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung Aufgabe: Dieselben Gleichgewichtskrafte F4 und F5 wie in der vorhergehenden Aufgabe (dritte Grundaufgabe) soUen nun zeichnerisch ermittelt werden (Betrag und Richtungssinn). Auch hier sind die Wirklinien bekannt: F4 und F5 schlieBen mit der positiven x-Achse die Winkel a4 = 15° und as = 60° ein.

0C2/

Fi = 15N

p

nS^^W^TiT, , LA ^ ^ 1

-y

\ yjF3=30/\/ , -^

Richtungswinkel: af= 30^ 02=135' a3 = 280' a5=

Aufgabenskizze

Voriiberlegung: Ein Korper kann nur dann im Gleichgewicht sein, wenn die Resultierende aller an ihm wirkenden Krafte gleich null ist. Das bedeutet, dass im Krafteplan Anfangspunkt und Endpunkt des Kraftezuges zusammenfalien. Es ergibt sich ein geschlossener Kraftezug.

Losung: Wie in der zweiten Grundaufgabe zeichnet man einen Lageplan. Grundlage ist auch hier wieder ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kraftesystems ist. Durch diesen Punkt legt man die Wirklinien aller Krafte, also auch die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskrafte F4 und F5.

Lageplan mit alien Wirklinien

60'

33

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Fiir den Krafteplan wird der Anfangspunkt A und der KraftemaBstab festgelegt. Man legt eine Parallele zu einer der Wirklinien der bekannten Krafte durch den Anfangspunkt A des Krafteplans und zeichnet dort die entsprechende Kraft mit der maBstabsgerechten Lange ein (z. B. Fi). In gleicher Weise wird mit den ubrigen bekannten Kraften verfahren, und man erhalt wieder einen offenen Kraftezug von A nach E'. Zur Wirklinie einer der beiden unbekannten Krafte F4 oder F5 wird eine Parallele durch den Punkt E' des Krafteplans gelegt, die dort den Kraftezug fortsetzen soil. Zur Wirklinie der anderen unbekannten Kraft wird eine Parallele durch den Anfangspunkt A des Kraftezugs gezeichnet. Die beiden zuletzt gezeichneten Linien schneiden sich in einem Punkt. Sie bilden dadurch gemeinsam mit den gegebenen Kraften ein geschlossenes Krafteck.

,,Einbahnverkehr" = Gleichgewicht!

Krafteplan KraftemaBstab:

ION) 1st der Kraftezug Fi, F2, F^ (in beliebiger Reihenfolge) aufgezeichnet, kann er mit F4 (diinne Linie nach rechts oben) oder F5 (dicker Kraftpfeil nach hnks unten) fortgesetzt werden. Die letzte noch verbleibende Kraft muss dann in den Anfangspunkt A zurucklaufen (Kraftpfeil F4 nach rechts oben oder diinne Linie nach links unten). Nur dann wird die Resultierende gleich null.

Der Schnittpunkt der Parallelen zu den Wirklinien von F4 und F5 bestimmt im Krafteplan die Lange der Kraftpfeile F4 und F5. Mit Hilfe des KraftemaBstabs werden die Betrage der beiden Krafte berechnet.

Gemessen wird: N F4 = 1,66 cm 1 0 ^ = 16,6 N

Der Richtungssinn ergibt sich aus der Notwendigkeit, dass dtr fortlaufende Kraftezug in seinen Anfangspunkt zuriickkehrt. Alle Krafte miissen im Sinn eines „Einbahnverkehrs" aneinander gereiht werden.

Ergebnis: Um die Krafte Fi, F2, F3 im Gleichgewicht zu halten, miissen auf ihren vorgegebenen Wirklinien die Kraft F4 mit 16,6 N nach der „Einbahnverkehrs"-Regel nach rechts oben und die Kraft F5 mit 12,5 N nach links unten wirken.

Die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung also:

Hinweis: Diese Bedingung gilt auchfiirallgemeine Kraftesysteme, allerdings kommt dann noch eine weitere Bedingung hinzu: Neben dem Krafteck muss sich auch das Seileck schlieBen. Das Seileckverfahren wird auf Seite41 beschrieben.

lautet

Ein zentrales Kriftesystem ist im Gleichgewicht, w^in sich das Kmfteck schlieBt

F5 = 1,25 cm 1 0 — = 12,5 N cm

1 Statik in der Ebene

34 Nachiiberlegung: Die in den Krafteplan eingezeichnete Kraft Fj. ist die Resultierende der Krafte Fi . 3 . Die Kraft F^, ist diejenige Einzelkraft, mit der das Gleichgewicht hergestellt werden konnte.

Hinweis: Eigentlich war nur die Aufgabe zu losen, eine gegebene Kraft Fe in zwei Komponenten mit gegebenen Wirklinien zu zerlegen.

Arbeitspkui mac x^hnerii^heii Erniittlung unbekaiuiter Krafte: Lageplan mit den Wirklinien aller Krafte einschlieElich der unbekannten winkelgetreu in ein rechtwinkliges Achsenkreuz einzeichnen. Im Krafteplan die gegebenen Krafte maBstablich aneinander reihen.

1. Schritt 2. Schritt

Die Wrklinie der einen unbekannten Kraft aus dem Lageplan parallel in den i^dpunkt des Kraftezugs im Krafteplan verschieben, die der anderen unbekannten Kraft in den Anfangspunkt. Betrage der unbekannten Krafte abmessen.

3 Schritt

4. Schritt

Richtungssinn nach der ,JEinbalinverkehrs"-Regel festlegen.

5. Schritt

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

35

1.2.4.5 Ubung zur dritten und vierten Gnindaufgabe Aufgabe: In einer unsymmetrischen prismatischen Nut liegt eine Walze. Sie wird in ihrem hochsten Punkt mit einer vertikal wirkenden Kraft Fi - 800 N belastet. Die Stutzkrafte an ihren Auflagepunkten soUen zeichnerisch und rechnerisch ermittelt werden. Die Gewichtskraft der Walze soil vemachlassigt werden. a) Zeichnerische Losung Um alle auf die Walze wirkende Krafte zu erkennen, muss sie freigemacht werden. Nach der Regel 4 (Seite 14) wirken auf die Walze an den Auflagepunkten nur Radialkrafte. Im Lageplan der freigemachten Walze mit den drei Kraften F\, F2 und F3 ist zu erkennen, dass der Walzenmittelpunkt als gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirklinien der Zentralpunkt des Kraftesystems ist.

Fj =800 N

20""

Aufgabenskizze

1. Schiitt

Lageplan

Aus den Kraften F\, F2 und F3 wird nun ein geschlossenes Krafteck gezeichnet und dazu im Krafteplan die bekannte Kraft Fi maBstablich und mit dem richtigen Richtungssinn eingetragen. Durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Krafte F2 und F3 aus dem Lageplan in den Krafteplan wird das geschlossene Krafteck konstruiert. Dabei ergibt sich entweder das dick oder das dunn ausgezogene Dreieck; beide sind richtig.

2. Schritt

3. Schritt Krafteplan mit geschlossenem Krafteck N KraftemaBstab: MK = 400 — (1 cm = 400 N) cm

Aus der Lange der Kraftpfeile F2 und F3 werden mit Hilfe des festgelegten KraftemaBstabs die Betrage der beiden Krafte berechnet.

Gemessen wird:

4. Schritt

F2 = 1,65 cm -400 — - 660 N cm F3 - 0,72 cm -400 — = 288 N cm

Der Richtungssinn der Krafte F2 und F3 ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden geschlossenen Kraftezugs („Einbahnverkehrs"-Regel).

Ergebnis:

5. Schritt

Die Stiitzkraft am rechten Auflagepunkt wirkt mit 660 N nach links oben, die am linken mit 288 N nach rechts oben.

36

1 Statik in der Ebene

b) Rechnerische Losung nach der analytischen Methode Die Lageskizze der freigemachten Walze mit den angreifenden Kraften Fi, F2 und F3 wird gezeichnet, die zugehorigen Richtungswinkel a\, aj und as werden berechnet und in die Skizze eingetragen.

l.ScMtt

Richtungswinkel:

F; = 800N\]

Nun werden die beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen fur das zentrale Kraftesystem mit den Kraften aus der Lageskizze angesetzt.

2, ScMtt I. SFx =0 = F\ cos a\ + F2 cos a2 + F3 cos a^, II. 2Fy =0 = F\ sin a\ + F2 sin 02 + F3 sin a^

Der Ansatz ergibt ein Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten F2 und F3, das nach den Regeln der Gleichungslehre gelost wird, hier z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren. —Fi cos a\ — F2 cos a2 ^3

a^ = 270° 02=110° a3= 40°

3, ScMtt

—F\ sin ai — F2 sin a2

=

cos as

sm as

—F\ cos a\ sin as — F2 cos a2 sin as = —F\ sin ai cos as — F2 sin a2 cos as F2 (sin a2 cos as — cos a2 sin as)

= ^1 ( cos a\ sin as — sin ai cos as) sin (as

sin (a2 — as) F2

sin (as — a\) sin ( 1 1 0 ° - 4 0 ° )

sin (a2 — as) - F i cos ax - F2 cos a2

Fs ==

-ax)

COS as

^

- 8 0 0 N • cos 270° - 652,17 N • cos 110° ^^^ ^ _ ^^ rzrz = 291,18 N cos 40°

4. Schritt Da beide Krafte ein positives Ergebnis haben, war der angenommene Richtungssinn richtig.

Die Kraft F2 wirkt nach hnks oben, die Kraft F3 nach rechts oben.

37

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

c) Rechnerische Losung nach der trigonometrischen Methode Hinweis: Uber die trigonometrische AuswerErgeben sich bei der Losung von Statikaufgaben tung von Kraft-Dreiecken beliebiger Form Kraftecke in Dreiecksform, kann deren trigonosollte eingehender im Fach Mathematik gemetrische Auswertung der einfachere Losungsweg sprochen werden, wenn die erforderlichen trisein. Bei rechtwinkligen Kraft-Dreiecken reichen gonometrischen Kenntnisse vorhanden sind. die Winkelfunktionen aus, bei schiefwinkligen Kraft-Dreiecken, wie in der vorliegenden Aufgabe, sind dariiber hinaus der Sinussatz oder der Kosinussatz erforderlich.

Wie bei jeder Losung nach der trigonometrischen Methode wird auch hier zuerst eine unmaBstabliche Krafteckskizze gezeichnet. In diese werden alle Winkel sowie die Krafte als Seitenlangen des Dreiecks eingetragen. Der noch fehlende Winkel d ergibt sich hier aus der Bedingung, dass die Winkelsumme /? -h y + (3 = 180° betragen muss: (5 = 180°-()8 + y) = 110°.

Da alle drei Winkel und eine Seite des Dreiecks bekannt sind, konnen mit dem Sinussatz die beiden noch fehlenden Seitenlangen berechnet werden. Das sind hier die Krafte F2 und F3.

Krafteckskizze 6 = 180° -(p-f-j) = 180° - (50° -h 20°) = 180°-70°^ 110°

F3

F2

siny

stnfi

Fi

sind

Sinussatz mit den Bezeichnungen aus der Krafteckskizze

Aus der Gleichung Fs/sin y = F\/sin d erhalt man die noch unbekannte Kraft F3.

p =f ^^"^ = 800 N • ^^" ^^° = 291 18 N ^ ' sin^ sin 110°

Auf dem gleichen Weg erhalt man aus F2/sin j8 = Fi/sin d die noch fehlende Kraft F2.

f, = ^,il!i^ = 8 0 0 N . 4 ^ = 652,17N

Der Richtungssinn der Krafte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks („Einbahnverkehr").

Ai]%abeii Nn 49-71

smo

sin 110

1 Statik in der Ebene

38

1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kraftesystem 1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fiinfte Grundaufgabe), der Momentensatz Aufgabe: Fur das in der Lageskizze dargestellte Kraftesystem soil die Resultierende nach Betrag, Lage und Richtungssinn rechnerisch ermittelt werden. Die Wirklinien der Krafte liegen parallel, weil dieser Fall die groBere praktische Bedeutung hat und der Losungsgang iibersichtlicher wird. Voriiberlegung: Betrag und Richtungswinkel der Resultierenden werden auf dieselbe Weise berechnet wie in der ersten Grundaufgabe. Damit erhalt man zugleich Klarheit uber die VerschiebeW\xknr\g des Kraftesystems.

/; =0,5m

F4=20N

Fi = 15N

Fry = 2Fny

Frx = 2Fm

Fr = iJKFTf^

fi^

= aixjtan

IF^I

Die Resultierende muss aber auch die gleiche Dr^/iwirkung wie das Kraftesystem haben. Davon hangt ihre Lage ab. Diese Erkenntnis ist im Momentensatz festgelegt:

Das Kraftmoment Mr der Resultierenden, bezogen auf einen beliebigen Punkt D, ist gleich der Summe der Kraftmomente der Einzelkrafte in Bezug auf denselben Punkt.

Mr =Mi+M2-fM3 + ...+Mn Frk = Fi/i +F2/2 +F3/3 + . .. +Fn4 Momentensatz Beachte: Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einsetzen (links +, rechts - )

Losung: In eine unmaBstabliche Lageskizze werden alle gegebenen Krafte und alle bekannten AbstandsmaBe eingetragen. Fiir den Momentensatz wird der Momentenbezugspunkt D festgelegt und zwar zweckmaBig auf der Wirklinie einer gegebenen Kraft, weil deren Kraftmoment dann null wird und nicht in die Rechnung eingeht. Betrag und Richtungssinn der Resultierenden F^ lassen sich dann nach der Lageskizze berechnen. Da hier alle Wirklinien parallel sind, braucht man nur die algebraische Summe aller Krafte zu ermitteln.

^2

1

'^

t\F3

^ ^ ^ — ^

'

^

M—^'-

^"^ ' /. 1

F, = 2Fy = - F i - F2 + F3 - F4 Fr = - 1 5 N - 40 N + 10 N - 20 N Fr = - 6 5 N Das Minuszeic hiMl bedeutet hier: FrV /irkt nach iin ten

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Erst dann wird die Resultierende mit dem ermittelten Richtungssinn in die Lageskizze eingetragen, und zwar auf einer Wirklinie, deren Lage man unter Beriicksichtigung der gegebenen Krafte „nach Gefiihl" annimmt (hier zwischen den Wirklinien von F2 und F3). Die tatsdchliche Lage der Resultierenden wird mit dem Momentensatz bestimmt. Der Bezugspunkt D ist auf der Wirklinie der Kraft F4 festgelegt. Dann wird das Kraftmoment der Kraft F4 gleich null, well ihr Wirkabstand U gleich null ist.

Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung (+ und - ) kennzeichnen den Drehsinn der Kraftmomente, sie haben also nichts mit dem Richtungssinn der Krafte zu tun.

Ergibt sich der Abstand /Q positiv — wie in diesem Fall —, dann ist die Wirklinie der Resultierenden richtig in den Lageplan eingezeichnet. Ist er negativ, dann liegt die Wirklinie im errechneten Abstand auf der anderen Seite des Bezugspunkts D.

39 Beachte: Die Festlegung der WL von F^ ist willkiirlich; sie hatte hier auch rechts vom Bezugspunkt D eingezeichnet werden konnen.

+ Mr = +Mi + M2 - M3 ± M4 F,k = F i / i + F 2 / 2 - F 3 / 3 ± 0

Fill +F2/2 - F3I3

15 N • 0,5 m + 40 N • 0,3 m - 10 N • 0,2 m 65 N /o = 0,269 m

Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 65 N in einem Abstand von 0,269 m links vom Bezugspunkt D senkrecht nach unten.

Arbeits^an wm Momentensatz: Lageskizze mit den gegebenen Kraften zeichnen.

1. Schritt

Resultierende und gegebenenMls ihren Neigungswinkel ber^hnen.

2. Schritt

Resultierende in die Lageskizze einzeichnen (Lage der Wirklinie annehmen).

3. Schritt

Momentensate aufstellen und die Gleichung nach /Q auflosen.

4. Schritt

1 Statik in der Ebene

40

1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren Aufgabe: Ein gegebenes allgemeines Kraftesystem soil reduziert werden, d. h. seine Resultierende F^ ist nach Betrag, Lage und Richtungssinn zu bestimmen. Der nebenstehende maBstabliche Lageplan enthalt auch die Krafte maBstabsgerecht, d. h. die Lange der Kraftpfeile entspricht den Betragen der Krafte. Voriiberlegung: Da die Wirklinien der Krafte keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, kann man auch nicht voraussagen, wo die Wirklinie der Resultierenden liegt. Das ist neu gegenuber dem zentralen Kraftesystem (siehe 1.2A.2). Es gibt zwei Losungsmoglichkeiten:

Hinweis: Ein allgemeines Kraftesystem hat keinen Zentralpunkt.

a) Wiederholte Parallelogrammkonstruktion Man fasst zwei Krafte maBstablich zu einer Zwischenresultierenden zusammen, diese wieder mit einer giinstig liegenden dritten Kraft zur nachsten Zwischenresultierenden und so fort, bis samtliche Krafte schrittweise durch Parallelogrammzeichnungen erfasst sind und damit die Gesamtresultierende des Kraftesystems gefunden worden ist. Im nebenstehenden Beispiel wurde F\ und F2 zur Zwischenresultierenden F^x^, diese dann mit F3 zur neuen Zwischenresultierenden Fr 1,2,3 zusammengesetzt und so fort. Man erhalt am Ende maBstablich den Betrag, den Richtungssinn und die Lage der Gesamtresultierenden F^. Auch jede andere Reihenfolge wurde zum selben Ergebnis fiihren: Die Reihenfolge der Krafte ist beliebig. Das Verfahren ist umstandlich und versagt ganz, wenn die Krafte sich nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen lassen wie bei parallelen oder annahemd parallelen Kraften. Gerade dieser Fall kommt aber in der Technik haufig vor, so dass meist das folgende Verfahren benutzt wird.

^r 1,2,3,4

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

41

b) Das Seileckverfahren Lageplan

Aufgabe: Fiir das dargestellte Kraftesystem soil die Resultierende F^ nach Betrag, Lage und Richtungssinn zeichnerisch ermittelt werden. Die drei gegebenen Krafte Fi = 55 N, F2 = 25 N und F3 = 40 N sind im Lageplan maBstablich gezeichnet. Fj=55N

Losung: Aus dem Lageplan entwickelt sich in der bekannten Weise durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Krafte F\ . ..F^ der Krafteplan. Wie in der zweiten Grundaufgabe werden die drei Krafte in beliebiger Reihenfolge maBstablich und richtungsgemaB aneinander gereiht und die Resultierende Fr als Verbindungslinie vom Anfangspunkt der ersten Kraft bis zum Endpunkt der letzten Kraft eingezeichnet. Damit sind Betrag, Richtungssinn und Richtungswinkel der Resultierenden bekannt. Ihre Lage kann aber nur im Lageplan bestimmt werden.

OA

Krafteplan KraftemaBstab: MK

cm

(lcm = 25N)

Gemessen wird: Fr = 4,5 cm; das entspricht einer Kraft Fr= 112,5 N, die nach unten gerichtet ist.

Der Kunstgriff beim Seileckverfahren besteht darin, dass man im Krafteplan jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt, und zwar so, dass sich alle Komponenten in einem Punkt — dem Pol P — treffen. Dabei kann der Pol P beliebig gewahlt werden. Es wird PolP

Fi zerlegt in die Komponenten 5*0 und ^i, F2 zerlegt in die Komponenten —^i und ^2, F3 zerlegt in die Komponenten —S2 und ^3. Die Teilkrafte ^i und —S\, S2 und —^2 ... sind jeweils gleich groB und gegensinnig. Sie heben sich also auf. Damit bleiben nur noch Anfangsund Endkomponente SQ und 5*3 im Krafteplan iibrig. Dies sind die Komponenten der Resultierenden Ff. In gleicher Weise geht man im Lageplan vor.

erweiterter Krafteplan

42

1 Statik in der Ebene

Man zerlegt, ohne Beriicksichtigung des Betrags, die Kraft Fi wieder in ^o und Si auf WL 1, "j (Richtungen F2 wieder in — Si und ^2 auf WL 2, > aus dem F3 wieder in — ^2 und ^3 auf WL 3, J Krafteplan) und zwar so, dass die Wirklinien der Komponenten ^1 und —Si bzw. ^^2 und —^2 zusammenfalien. Zerlegungspunkt I ist beliebig, die folgenden ergeben sich. Es heben sich also auch im Lageplan ^i und —Si, S2 und —S2 wieder auf, es bleiben nur noch die Komponenten ^o und ^3 ubrig. Dies sind die Komponenten der Resultierenden F^ (siehe Kraftevon III ^3 von I plan). Der Schnittpunkt ihrer Wirklinien muss ein nach S verschoben nach S verschoben Punkt der Wirklinie der Resultierenden sein (S). Ergebnis: Damit ist auch deren Lage am Korper bestimmt. Die Resultierende wirkt mit 112,5 N auf der Man bezeichnet die Krafte 5*0, 5"!, —5i, ^'2, ... im Krafteplan als Polstrahlen, im Lageplan dagegen als Seilstrahlen. Bei der praktischen Arbeit mit dem Seileckverfahren zeichnet man Pol- und Seilstrahlen nur als einfache Gerade, also ohne Pfeile, und bezeichnet sie mit 0, 1,2,... (siehe Lehrbeispiel Seite 43). Der Linienzug, gebildet durch die Schnittpunkte der Teilkrafte (I, II, EI . . . ) , heiBt Seileck, weil ein zwischen den Kraften ausgespanntes Seil im Gleichgewicht ist und in den einzelnen Seilabschnitten die Seilkrafte ^o. Si usw. auftreten.

gefundenen Wirklinie nach unten. Beachte: Zu jedem Seilstrahlenschnittpunkt I, II, III ... im Lageplan gehort ein Polstrahlendreieck im Krafteplan. Es miissen immer die richtigen Seilstrahlen auf der richtigen Wirklinie zum Schnitt gebracht werden, also SQ und Sx auf WLl, -Sx und ^2 auf WL2 usw. Die zusammengehorigen Seilstrahlen zeigt der Krafteplan.

Arbeitsplan warn. Seileekverfahren: Lageplan des feigemachten Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Einzelkrafte durch Kmfteckzeichnung zu Ft veieimgen.

2. Schritt

Pol P beliebig wahlen und Polstrahlen im Krafteplan zeichnen.

3. Schritt

Seilstrahlen im Lageplan zeichnen (durch Parallelverschiebung do* Polstrahlen aus dem Krafteplan); Anfangspunkt I beliebig. Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt bringen.

4. Schritt

Schnit^unkt S der Seilzugenden ergibt die Lage der WL von F^ im Lageplan. BetragxmA Richtungssinn zeigt der Krafteplan.

6. Schritt

Aufgaben Nn 72-82

5. Schritt

43

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

LBhrbempmk SBlleckverfahren, Zusammensetzvng zweier Parallelkrafte a) Die Krafte $md parallel, glehhsinnig, gleich groB: I

Die Wirklinie der Resultierenden liegt auf halbem Abstand zwi$chen den Kraften.

b) Die Krafte sind parallel, gleichsinnig, ungleich gro&:

Fr = Fi + F2 Die Wirklinie der Resultierenden teilt den Abstand I im umgekehrten Verhaltnis der Krafte FiundF2.

c) Die Krafte sind parallel, gegensirtnig, ungleich groB:

Fr =

Fi-F2

Beachte: Die Wirklinie der Resultierenden liegt nicht zwischen den beiden Wirklinien vonFi und F2-

d) Die Krafte sind parallel, gegensinnig, gleich groB:

Fr =

neues KtMepaar

Fr~-F2^0

Die Zusammensetzung des Kraftepaars liefert keine Resultierende, sondern zwel gleich gro&e gegensinnig paratlele Krafte (0 und 2} mit anderer Lege und anderem Abstand: Bin Kraftepaar kann nur durch ein anderes ersetzt und beliebig verschoben werden.

^^ siehe auch: Arbeitsplan, Seite 42

1 Statik in der Ebene

44

1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Krafte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen im Der Korper ist dann im Gleichgewicht, wenn allgemeinen Kraftesystem lauten: die Summe aller Krafte (oder Komponenten) ^ -^ in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summe aller Krafte (oder Komponenten) in I. 2F. = 0 Richtung der y-Achse gleich null ist und die llFy ^0 Summe aller Kraftmomente, bezogen auf m. I;M(B)=O einen beliebigen Punkt D, gleich null ist. Aufgabe: Bin Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F = 30 kN belastet. Die Stiitzkrafte im Halslager A und im Spurlager B sollen berechnet werden.

I2 = 3m

Voriiberlegung: Bei jeder rechnerischen Behandlung eines beliebigen Kraftesystems miissen alle Krafte, auch die unbekannten, in x- und y-Komponenten nach den Achsrichtungen eines rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt werden. Vergisst man eine Kraft, wird die Losung falsch. Man legt das Achsenkreuz nach der Lageskizze so, dass moglichst wenige Krafte in Komponenten zerlegt werden miissen. Im Normalfall liegt dann die x-Achse horizontal und die y-Achse vertikal. Mitunter ist es zweckmaBiger, das Achsenkreuz anders zu legen, wie das nebenstehende Beispiel zeigt.

Beispiele fiir zweckmaBige Lage der Achsen

Losung: In die (unmaBstabliche) Lageskizze des freigemachten Wanddrehkrans werden entsprechend den Regeln fiir das Freimachen alle Krafte eingetragen, auch die noch unbekannten. Belastung F\ Betrag, Wirklinie und Richtungssinn bekannt\ Halslagerkraft Fp^\ Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt, Richtungssinn angenommen, und zwar positiv im Sinn des gewahlten Achsenkreuzes; Spurlagerkraft F^: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt, Richtungssinn der Komponenten FBX und Ffiy positiv im Sinn des Achsenkreuzes angenommen.

Lageskizze des freigemachten Drehkrans (mit nach Rechnung korrigiertem Richtungssinn von FA)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Anhand der Lageskizze werden nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Man erhalt ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten FA, FBX und Ffiy, das mit den Regeln der Gleichungslehre schrittweise nach diesen GroBen aufgelost wird. Das negative Vorzeichen bei FA = — 25 kN zeigt, dass FA nicht nach rechts, sondem nach hnks wirkt. Das negative Vorzeichen (-25 kN) wird beibehalten. Es ergibt sich richtig FBX = +25 kN. Den Momentenbezugspunkt D fiir Gleichung HI legt man in den Schnittpunkt mogUchst vieler unbekannter Krafte. Dadurch haben diese Krafte keine Drehwirkung und erscheinen nicht in der Momentengleichgewichtsbedingung. In den meisten Fallen enthalt dann diese Gleichung nur eine Unbekannte, die sofort berechnet werden kann: Die Momentengleichung (III) ist meist der Schliissel zur Losung. Wichtig ist auBerdem die Erkenntnis, dass auch jeder Punkt aufierhalh der Bauteile als Bezugspunkt benutzt werden kann, wenn dadurch die Rechnungen einfacher werden. Aus den Komponenten FRX und Fsy berechnet man die Stiitzkraft FB als Resultierende wie in der ersten Grundaufgabe. Falls erforderlich, wird der Richtungswinkel ihrer Wirklinie iiber die Tangensfunktion ermittelt.

45 Beachte: Auch gegen die (richtige) Vorstellung FA wirkt nach links, bleibt es bei der Regel: positives Vorzeichen annehmen. I. 11. III.

III. I. II.

2F, IFy

= 0 = F A + FBX

= 0 = - F + Fey

2M(D)=0=:-FA/I-F/2

-Fh - 3 0 kN • 3 m ^^^^^ FA =-r^ = ^^ = -25kN l\ 3,6 m FBX = - F A = - ( - 2 5 kN) = 25 kN Fey = F = 30 kN

Ergibt sich eine negative Kraft (d. h. mit Minus-Vorzeichen), wie hier die Kraft FA, dann bedeutet das, dass sie dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt. Die Krafte FBX und Fsy ergeben sich aus der Rechnung positiv (d. h. mit Plus-Vorzeichen). Das bedeutet, dass in der Lageskizze ihr Richtungssinn richtig angenommen wurde. Beachte: Das Minus-Zeichen bei der Kraft FA muss bei der weiteren Auflosung des Gleichungssystems mitgefiihrt werden.

= \ / ( 2 5 kN) ^ ' (30 kN)^

FB FB

= 39,051 kN : arctan

iFp ^Byl

• arctan

30 kN : 50,2° 25 kN^

Ergebnis: Im Lager A wirkt eine Kraft von 25 kN nach links, im Lager B eine Kraft von 39 kN nach rechts oben.

Arbeltsplan wm redmerischen Enmtfliing unbekannter Krafte: Lageskizze des freigemachten Bauteils mit alien KrSften zeichnen; Richtungssimi der unbekannten KrMfte nach der Richtungsiegel Seite28 annehmen*

1. Schritt

Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und ausweiten.

2. Schritt

Falls oforderlich, Richtungssinn der unbekannten Krafte in der Lageskizze k(mgi^:en.

3. Schritt

46

1 Statik in der Ebene

Nachiiberlegung: Die Losung hat gezeigt, dass die Berechnung der KiSiftbetrdge eine rein mathematische Aufgabe ist, namlich die Auflosung eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten. Dazu werden die drei Gleichgewichtsbedingungen in der nun bekannten Form benutzt. Die Losung ist aber auch mit drei beliebigen anderen Gleichungen moglich, wenn sie die Belastungsverhaltnisse durch die bekannten und unbekannten Krafte korrekt wiedergeben und voneinander unabhangig sind. Diese Behauptung soil am Beispiel des Wanddrehkrans bewiesen werden.

Beispiel:

Stellt man die Momentengleichgewichtsbedingung fiir drei verschiedene Bezugspunkte auf, dann erhalt man ein solches Gleichungssystem. Die drei Bezugspunkte diirfen nur nicht auf einer Gerade liegen, weil sich sonst voneinander abhangige Gleichungen ergeben und das Gleichungssystem dann nicht zu eindeutigen Losungen fiihrt.

I.

2M(i) = 0 -

II.

2M(n)

III.

I:M(„I) = 0 = FBX/I - FBy/2

Damit ist eine weitere rechnerische Gleichgewichtsbedingung gefunden: Ein Kdrper befindet sich im Gleichgewicht, weim die Summe aller an ihm wiricenden Kraftmomente in Bezug auf drei nicht auf einer Gerade liegenden Punkte gleich null ist.

Gegeben: F=30kN l\ = 3,6 m /? = 3 m

Lageskizze

-

-FA/I

0 = FBX/I -

- Fh Fh

30 kN • 3 m 3,6 m

I.

-25 kN

Beachte: Das Minuszeichen zeigt, dass FA nicht nach rechts, sondem nach links wirkt. Das war vorauszusehen. Fh 30 kN • 3 m ^^ , ^^ II. ^ B x = - r ^ = —^-T = 25kN l\ 3,6 m FBX/I

25 kN . 3,6

m

30 kN h 3m Hinweis: Auf diese Weise berechnet man beim Ritter'schen Schnittverfahren unbekannte Stabkrafte in Fachwerken (Seite 72). III. FBy =

1.2.5.4 Ubung zur Stiitzkraftberechnung Der skizzierte federbelastete Winkelhebel wird von einem Festlager (zweiwertig) und einem Loslager (einwertig) im Ruhezustand gehalten. In der gezeichneten Hebelstellung betragt die Spannkraft der Zugfeder F = 1 kN. Mit Hilfe der drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen soUen die Sttitzkrafte in den beiden Lagerpunkten ermittelt werden.

Festlager

Aufgabenskizze

47

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Die Lageskizze wird mit alien am Winkelhebel angreifenden Kraften und deren Komponenten in X- und y-Richtung gezeichnet. Das sind Belastungskraft F mit F^ = F cos a und Fy = F sin a Loslagerkraft FL mit FLX = ^L sin /? und FLy = FL COS 13 Festlagerkraft Fp mit Fpx = Fp cos y und Fpy = Fp sin y. Die Loslagerkraft FL wirkt als Normalkraft rechtwinklig zur Stiitzflache des Loslagers. Damit liegt der Richtungssinn durch die Loslagerkonstruktion fest. Der Richtungssinn der Festlagerkraft Fp ist nicht bekannt und wird nach der Richtungsregel von Seite 28 festgelegt (Annahme hier: Fp wirkt im ersten Quadranten, also nach rechts oben). Mit den Bezeichnungen aus der Lageskizze werden nun die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Der Drehpunkt D fiir den Ansatz der Momentengleichgewichtsbedingung wird wieder in den Festlagerpunkt D gelegt, well Gleichung III dann nur eine Unbekannte enthalt (FL). Aus der Momentengleichgewichtsbedingung SM(D) = 0 erhalt man den Betrag der Loslagerkraft F L - 188,1 N. Die beiden Kraftegleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und 21Fy = 0 lost man nach ^Fx = ^F cos y und Fpy = Fp sin y auf und berechnet diese Komponenten der Festlagerkraft. Die Rechnung ergibt fiir beide Kraftkomponenten Fpx und Fpy das negative Vorzeichen und zeigt damit, dass der Richtungssinn der Festlagerkraft Fp falsch angenommen wurde. Die Komponenten Fpx und Fpy stehen rechtwinklig aufeinander, so dass mit dem Satz des Pythagoras der Betrag der Festlagerkraft Fp berechnet werden kann. Die Lageskizze zeigt, dass der Winkel y aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Komponenten Fpx und Fpy iiber die Arcus-Tangensfunktion berechnet werden kann.

'•'-f^ Fcosa

Fps/n-y

Fisin^

D

Fpcos^

FLCOS^i^-^f'L

Lageskizze Gegeben: F=\kN,a

= 20°,p = 50°

l\ = 120 mm, k = 40 mm /3 = 30 mm

I.

SFx = 0 = F cos a - FL siny3 + FF COS y

II.

2Fy = 0 = F sin a + FL COS/3 + Fp sin y

m. 2M(D)= 0 = F sin ah - F cos ah + FL cos^h

Fi

=

F{h cos a-

h sin a)

h C0S)3

188,1 N

I. Fp cos y = - F cos a + FL sin yS = Fpx Fpx = - 1 000 N • cos 20° + 188,1 N • sin 50° Fpx = -795,6 N (falsche Richtungsannahme) II. Fp sin y = - F sin a - F L cos 13 = Fpy Fpy - - ( 1 000 N • sin 20° + 188,1 N • cos 50° Fpy = -462,9 N (falsche Richtungsannahme)

yFpx

-Fpy2

Fp = yj{195,6 Nf + (462,9 N)^ Fp = 920,5 N iFpyl 462,9 N ' = ' ' ' ' ' " ^ ^ ' ' ' ' ' " m 6 N y = 30,19°

1 Statik in der Ebene

48

1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung von unbekannten Kraften (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Hinweis: Fur alle Verfahren mussen wieder Fiir diese Aufgabe stehen zwei Losungsverfahren zur Verfiieung ^*" Lageplsm und ein Krdfteplsin mafistdblich ^ ^' gezeichnet werden. a) Das 3-Krafte-Verfahren (Gleichgewicht von 3 nicht parallelen Kraften) Drei nicht parallele Krafte sind im Gleichgewicht, weim sich die Wridinien der Krifte in einem Punkt schneiden und das Krafteek sich schlieBt

Hinweis: Das 3-Krafte-Verfahren ist nicht anwendbar bei parallelen Wirklinien. Dann bleibt allein die rechnerische Losung (siehe Seite 44).

Aufgabe: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F = 30 kN belastet. Er hat oben ein einwertiges Halslager A und unten ein zweiwertiges Spurlager B. Die Krafte Fp, und F^ in diesen beiden Lagem sollen zeichnerisch ermittelt werden.

In = 3m

F = 30kN

Aufgabenskizze

Voriiberlegung: Im Lageplan des Wanddrehkranes erkennt man die Krafte: Belastung F\ Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Halslagerkraft FA'. Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt (einwertiges Lager), Richtungssinn angenommen; iWL Fg istnoch

Spurlagerkraft FB: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt (zweiwertiges Lager); FB wird zunachst durch die Komponenten FBX und FBy ersetzt und mit angenommenem Richtungssinn eingezeichnet. 1st die Wirklinie von FB nicht bekannt, kann kein Krafteplan gezeichnet werden. Dann lassen sich auch die Betrage von FA und FB nicht ermitteln. Zuerst muss man die Wirklinie von FB finden.

/

I I I

7

unbekannt

By

Lageplan

49

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Fasst man gedanklich die Krafte FA und F, deren Wirklinien bekannt sind, zur Resultierenden Fr zusammen, hat man es wieder mit nur zwei Kraften zu tun. Angriffspunkt der Resultierenden Fr ist der Punkt S, der Schnittpunkt der Wirklinien der Krafte FA und F. Die Resultierende Fr kann mit der Lagerkraft FB nur dann im Gleichgewicht stehen, wenn beide Krafte auf gleicher Wirklinie liegen und ihr Krafteck geschlossen wird. Also muss die Wirklinie der Lagerkraft FB ebenfalls durch den Punkt S gehen.

Losung: Wie bei jeder zeichnerischen Losung wird erst der Lageplan mit alien bekannten Wirklinien maBstablich aufgezeichnet. Nach der Vortiberlegung wird im Lageplan die Wirklinie der Spurlagerkraft FB festgelegt. Dazu bringt man die Wirklinien der Krafte F und FA zum Schnitt. Ihr Schnittpunkt S ist ein Punkt der Wirklinie von FB. Der andere Punkt ist der Lagerpunkt B selbst. Eine Gerade, durch die Punkte B und S gelegt, muss die Wirklinie der Spurlagerkraft FB sein. Nachdem nun alle Wirklinien bekannt sind, wird der Krafteplan gezeichnet. Man legt den KraftemaBstab fest und verschiebt zuerst die gegebene Kraft F parallel aus dem Lageplan. Dann wird das Krafteck mit den parallel verschobenen Kraften FA und FB auf genau die gleiche Weise geschlossen wie bei der vierten Grundaufgabe (Seite 33). Aus der Lange der Kraftpfeile werden wieder mit Hilfe des KraftemaBstabs die Betrage der Krafte FA und FB berechnet. Dasselbe gilt fiir die Komponenten FBX und FBy der Spurlagerkraft. Der Richtungssinn der gesuchten Krafte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks nach der „Einbahnverkehrs"-Regel. Den Neigungswinkel der Spurlagerkraft entnimmt man dem Lageplan Oder dem Krafteplan. Zum Schluss wird der Richtungssinn der gefundenen Krafte in den Lageplan ubertragen.

(Lager A)-Q-

S ist der gemeinsame Schnittpunkt der Krafte F, Fy, und Fr,

Krafteck

<>^

^

Lageplan m LangenmaBstab: ML — 1,5 cm 1 cm = 1,5 m) Krafteplan KraftemaBstab: MK

„Einbahn- Verkehr" = Gleichgewicht

kN = 15 — cm

(1 cm = 15 kN)

Gemessen wird: .kN = 1,7 cm- 15— = 25,5 kN cm kN F B = 2 , 6 c m l 5 — = 39kN cm FA

Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss im Halslager eine Kraft von 25,5 kN waagerecht nach links, im Spurlager eine Kraft von 39 kN nach rechts oben wirken.

50

1 Statik in der Ebene

Arbeitsplan zum 3-Krafte-VerfaiiFen: Lageplan mit freigemachtem Bauteil zeichnen und darin WiiUinien der Belastung und der einwertigen Lagerkraft festlegen, Bekaimte Wkklinien zum Schnitt S bringen. Schnittpunkt S mit zweiwerdgem Lagerpunkt verbinden; damit sind alle WrkUnien bekaont. Krafteck mit einer bekannten Kraft begimien und mit den unbekannten Kraften schlieBen^ Richtungssinn in den Lageplan tibertragen.

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

AiifgabenNn 83-116

b) Das 4-Krafte-Verfahren (Gleichgewicht von 4 nicht parallelen Kraften) \^er nicht parallele Krafte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierende je zweier Krafte eine gemeinsame Wirklinie haben ~ die Culmann'sche G^ude ~ und das Krafteck sich schlieBt. Aufgabe: Ein gerader Stab hat an seinen beiden Enden zwei frei drehbare Rollen A und B, die sich an einer vertikalen und einer abwarts geneigten Flache reibungsfrei abstiitzen. Der Stab wiirde durch die Kraft Fi = 50 N nach unten verschoben werden, wenn ihn nicht die waagerecht gespannte Zugfeder in der skizzierten Ruhelage festhielte. Die Federkraft F2 und die Stlitzkrafte FA, FB an den Rollen sollen zeichnerisch ermittelt werden. Voriiberlegung: Der Lageplan des freigemachten Rollstabs zeigt die Krafte: Belastung F\: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Federkraft F2: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Zugfeder iibertragt nur Zugkrafte in Spannrichtung); Stiitzkraft FA: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollkorper); Stiitzkraft F^: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollkorper).

Hinweis: Das 4-Krafte-Verfahren ist nicht anwendbar bei mehr als zwei parallelen Kraften. Dann bleibt nur die rechnerische Losung (siehe Seite 44).

0,4 m

Aufgabenskizze

Lageplan

51

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Es wirken also vier Krafte mit bekannten Wirklinien und bekanntem Richtungssinn. Fiir drei von ihnen miissen nur noch die Betrage ermittelt werden. Fasst man nun wieder (wie beim 3-Krafte-Verfahren) gedanklich je zwei Krafte zu einer Resultierenden zusammen, z. B. die Krafte F\ und FA ZU Fri,A und die Krafte F2 und FB ZU Fr2,B, hat man es wiederum mit nur zwei Kraften zu tun. Diese beiden Resultierenden konnen nur im Gleichgewicht stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte I und II sein.

(Ro/le A)

Krafteck

Die auf der gemeinsamen Culmann'schen Geraden wirkenden Resultierenden Fri,A und Fr2,B miissen natiirlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. Welche beiden Krafte jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst werden, ist gleichgultig. Man kann z. B. auch die Krafte F\ und F2 zur Resultierenden Fri,2 und FA und FB zur Resultierenden FrA,B zusammenfassen. Das ergibt dann zwar eine andere Lage der Culmann'schen Geraden und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, das Ergebnis wird aber hierdurch nicht beeinflusst. Voraussetzung fiir die Anwendbarkeit des 4-Krafte-Verfahrens ist nur, dass alle vier Wirklinien bekannt sind. Losung: Man zeichnet im maBstablichen Lageplan des Rollstabs die Wirklinie der gegebenen Kraft F\ ein. Nach den Regeln fiir das Freimachen der Bauteile (hier Regeln 1 und 4, Seite 12 und 14) werden die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskrafte F2, FA und FB ermittelt und ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann bringt man je zwei Wirklinien miteinander zum Schnitt, z. B. Fi und FA im Schnittpunkt I und F2 und FB im Schnittpunkt II. Jetzt wird die Culmann'sche Gerade als Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte eingezeichnet. Sie ist die gemeinsame Wirklinie der beiden Teilresultierenden Fri,A und Fr2,B.

(Ro/le A)

Lageplan

WLFA

^Q^

LangenmaBstab: m ML = 0,2 — cm (1 cm = 0,2 m)

52 Im Krafteplan zeichnet man zuerst die gegebene Kraft F\ maBstablich und richtungsgemaB auf. Dann tibertragt man die Culmann'sche Gerade vom Lage- in den Krafteplan, lasst sie durch Anfangs- oder Endpunkt von Fi laufen und schlieBt dieses Krafteck durch die zugehorige Kraft FA. Das Krafteck zeigt die Krafte F\, F\ und ihre Teilresultierende Fri,A- Die gleichgroBe Teilresultierende Fr2,B hat entgegengesetzten Richtungssinn. Aus ihr und den parallel verschobenen Kraften F2 und FB wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck gebildet. Damit ist der Kraftezug aus Fi, F2, FB und FA geschlossen.

1 Statik in der Ebene

Krafteplan KraftemaBstab: MK = 2 0 — ( l c m = 20N)

cm

Gemessen wird:

Aus der Lange der Kraftpfeile werden dann mit Hilfe des KraftemaBstabes die Betrage der Gleichgewichtskrafte berechnet.

F2 = 2,65 cm • 20

:53N

FA = 1,95 cm-20

:39N

FB

Den Richtungssinn der Krafte F2, FB und FA findet man aus der Bedingung des fortlaufenden Kraftezugs, d. h. der Umfahrungssinn beim Einzeichnen der Pfeilspitzen muss, von Fi ausgehend, beibehalten werden („Einbahnverkehr").

= 2,6 cm • 20

N

:52N

Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss die Feder mit 53 N nach links ziehen. An der Rolle A wirkt die Stutzkraft FA mit 39 N nach rechts und an der Rolle B die Stutzkraft FB mit 52 N nach rechts oben.

Arbdlsplan zmn 4-Krafte-Veifaliren: Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen und darin die Wiridioien der Belastuiig und der StCttzkrate festlegen. WiridMen von je zwei Kraften zum Schnitt bringen. Geftinitene Schnitlpunkte zur Wirklinie der beiden Teilresultierenden (= Culmann'sche Getade) verbinden. Kfifteplao mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft anfangen, Krafteplan mit der Cuhnann*schen Geraden und den Wirklinien der anderen Krffite schlieBen, Beachte: EMe Ki^fte eines Schmt^nkts im I^eplan eigeben ein Teil-^^ im Krafteplan.

Aiifgal^iiNr. 117-136

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

53

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

1.2.6 Systemanalytisches Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Dieser Abschnitt soUte erst dann bearbeitet werden, wenn die rechnerische Ermittlung von Sttitzkraften an zweifach gelagerten Bauteilen sicher beherrscht wird. Die Lehrinhalte dieses Losungsverfahrens zur Stiitzkraftberechnung eignen sich gut fiir ein abschlieBendes Statik-Projekt mit Gruppenarbeit. Die Bezeichnung „systemanalytisch" soil darauf hinweisen, dass Krafte und geometrische GroBen in einem rechtwinkligen Achsenkreuz erfasst und mathematisch allgemein giiltig verarbeitet werden. Mit den drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0, 2Fy = 0 und EM = 0 soil ein Gleichungssystem entwickelt werden, mit dem die Stiitzkrafte (Fest- und Loslagerkrafte) bei beliebiger Lageranordnung „automatisiert" berechnet werden konnen. Fiir die Anzahl der Belastungskrafte F gibt es keine Beschrankung, auch nicht fiir ihre Lage zueinander. Vorausgesetzt wird nur, dass die Korper (Trager, Kran, Rebel usw.) durch ein Festlager und ein Loslager gehalten werden, wie der Winkelhebel in der vorhergehenden Aufgabe. GleichungssySterne dieser Art sind Bausteine fiir die Entwicklung von Rechnerprogrammen, die der Techniker fur seine Arbeit in der Praxis erstellen kann.

1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen Das gesuchte Gleichungssystem soil am Winkelhebel aus der vorhergehenden Ubungsaufgabe entwickelt werden. Dann stehen Vergleichsdaten zur Verfiigung.

Festlager M

:V

Loslacler

1

Losung: Die Lageskizze des freigemachten Winkelhebels wird in den ersten Quadranten eines rechtwinkligen Achsenkreuzes eingezeichnet. Aus den gegebenen MaBen lassen sich die Koordinaten der Kraftangriffspunkte berechnen: jci und y\ fiir die Kraft F\, jcp und yp fiir den Festlagerpunkt PF und JCL, yL fiir den Loslagerpunkt PL. AUe gegebenen GroBen werden in einer Tabelle zusammengefasst.

£^

h^

^

JvOfi

V

Aufgabe: Neben der BemaBung des Hebels ist die Belastungskraft Fi mit dem Richtungswinkel a\ gegeben. Zu berechnen sind: Festlagerkraft Fp und deren Komponenten Fpx, Fpy und die Loslagerkraft FL. Wichtig ist noch die Erkenntnis, dass bei alien Aufgaben dieser Art der Richtungswinkel a t der Loslagerkraft FL bekannt sein muss: Die Loslagerkraft FL steht immer rechtwinklig auf der Auflagerflache (siehe Seite 15).

/

^k> /

h Aufgabenskizze

Gegeben: Fi = l k N , a i = 2 0 ° , ^ - 5 0 ° l\ = 120 mm, k = 40 mm h = 3 0 mm

Quaeirant

-^

II

u.

PC

2>

h^

Lageskizze

1 Statik in der Ebene

54 Tabelle der gegebenen GroBen (Index n steht fiir 1, 2, 3, usw.)

li'i'lii ljl^^^^^^^^^^^ 1

2^ 3 4 5 .

mnn

y^mxmi on

Af\

Koordinaten des Festlagerpunkts

an

Zeilen fur mehr als eine gegebene Kraft, z. B. bei « = 5 fiir F\, F2, F^, F4, F5

Als erstes werden die Gleichungen fiir die Momente M der gegebenen Kraft Fi in Bezug auf den Festlagerpunkt PF ermittelt. Diese Gleichungen sollen fiir beliebig viele gegebene Krafte F^ mit beliebigen Richtungswinkeln an zwischen 0° und 360° gelten, ebenso fiir beliebig geformte Bauteile, d. h. fiir beliebige Lagen der Kraftangriffspunkte Pn-

= 120 mm

Koordinaten des Loslagerpunkts

XL

Richtungswinkel der Loslagerkraft FL

ttL = 140°

^* Fn Fn si nan I

PnV::M.

Pn

Fpcosap

rr\ xn>xf yn>yF

\!J

KHJ

yn>yF

PF (Momenten
Fn Pn

Xn<XF yn
Civ) ''"^'"'

Dazu wird nach dem Lageschema der Festlagerpunkt PF in den Ursprung eines rechtwinkligen Achsenkreuzes mit den vier Quadranten gelegt.

Lageschema fiir die Kraftangriffspunkte Pn, bezogen auf den Momentendrehpunkt (Festlagerpunkt PF).

Die Untersuchung, die gut in Gruppenselbstarbeit durchfiihrbar ist, fiihrt zu dem folgenden Gleichungssystem in Abhangigkeit von der jeweiligen Koordinatenbedingung:

Beachte: Damit der Klammerausdruck fiir die Koordinatendifferenz in den folgenden Gleichungen immer einen positiven Wert hat, wird er in Betragsstriche gesetzt. Es wird also stets mit dem Absolutwert der Differenz gerechnet.

Fiir Krafte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten liegt, gilt Gleichung (I):

MxB = -Fn cos an\{y^ ->^)|

(I)

Mytt = -f-Fn sin an |(xn - XF)| Gilt fiir x^ > JCp und y^ > J F (Koordinatenbedingung)

Fur Krafte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten liegt, gilt Gleichung (II):

Mxn = -Fn COS ai,|()?„ - yp)! Afyn = -Fn sina„ |(^„ - ^ F ) | Gilt fiir Xn < xp und jn > J F (Koordinatenbedingung)

(11)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Fiir Krafte Fn, deren Angriffspunkt P^ in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten liegt, gilt Gleichung (III):

55

Mxn = + F n COS U^Myn ~ ^ F ) !

Myn = -Fn sin a^\{xr,- XF)|

(HI)

Gilt fur jCn < JCF und ^n < yv (Koordinatenbedingung)

Fiir Krafte Fn, deren Angriffspunkt Fn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten liegt, gilt Gleichung (IV):

Mxn = +F„ cos anK^n - y^)\ Myn = +Fn sin an \{xn - XF)|

(IV)

Gilt fiir Xn > xp und y^ < y^ (Koordinatenbedingung)

Zur Losung einer Aufgabe ist zuerst die zutreffende Koordinatenbedingung herauszusuchen. Damit kann die fiir diesen Fall giiltige der vier Gleichungen (I)... (IV) festgelegt werden. Zur Gliederung der Losung wird dieser Schritt als Abfrage bezeichnet (siehe auch Seite 61).

Nach der Lageskizze (Seite 53) fiihrt die Abfrage 1 zu Xn = xi > xp und yn=yi > yp (40 nun > 0 und 30 mm > 0). Ein Vergleich der vier Koordinatenbedingungen zeigt, dass mit Gleichung (I) zu rechnen ist.

Die Rechnung ergibt Mxi = -28,19 Nm (rechtsdrehend) fiir das Moment der x-Komponente Fix. Die y-Komponente Fiy bewirkt das linksdrehende Moment Myi = +13,68 Nm. Der Drehsinn ist richtig, wie die Lageskizze zeigt (Seite 53).

M,i = - 1 000 N • cos 20° • 1(30 - 0)| mm M,i = -28 190,8 Nmm = -28,19 Nm Q Myx - +1 000 N • sin 20° • |(40 - 0)| mm Myx = +13 680,8 Nmm = +13,68 Nm Q

Greifen mehr als eine Belastungskraft am Korper an (Fi, F2, F 3 . . . ) , muss der Rechnungsgang entsprechend haufig durchlaufen werden. Fiir jede Kraft wird festgestellt, welche der vier Gleichungen (I)... (IV) gilt (Abfrage 1). Danach werden die Momente Mxi, Myi, Mx2, My2, Mx3, My3... berechnet.

In einem Rechnerprogramm sorgt eine Programmschleife mit Abfrage fiir die Wiederholung des Rechengangs (siehe Seite 61).

Der weitere Rechnungsgang vereinfacht sich, wenn die statischen Momente der Einzelkrafte ^^xn. ^^yn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF (Festlagerpunkt) zu einem resultierenden Gesamtmoment Ma addiert werden.

M.^HM^+HM. fyn Mg = Mxi + ^x2 + * • • Myi + ;My2 + . •. Beachte: Diese Gleichung hat nur den Zweck, die Rechnung bei mehreren Kraften F^ zu vereinfachen.

56 Neben den Belastungskraften F^ wirkt stets noch die Loslagerkraft FL drehend in Bezug auf den Festlagerpunkt PF. Deren statisches Moment ist ML=MxL+MyL.

Die vier Gleichungen (I)... (IV) gelten fur jede Kraft, die auf den Korper wirkt, also auch fiir die Loslagerkraft FL mit ihren Komponenten ^Lx = ^L cos aL und FLy = FL sin QL . Mit der Koordinatenbedingung wird als giiltige Gleichung fiir die Aufgabe Gleichung (I) ermittelt.

1 Statik in der Ebene Da XL

= 120 mm > jcp = 0 und

^L =

30 mm > yp = 0

ist, liegt der Loslagerpunkt PL im ersten Quadranten, und es gelten die Gleichungen (I):

M^ = - F t cos ai\{fL - n)\

(I)

MyL = 4 - F L siB aL \{xt - ^ F ) | Die Gleichungen werden fiir die weitere Entwicklung gebraucht. Da F L noch nicht bekannt ist, kann ML an dieser Stelle auch noch nicht berechnet werden.

Damit sind alle Gleichungen erfasst, die fiir die Momentengleichgewichtsbedingung 2M,(PF) 0 erforderlich sind. Mg = M K , + M y i + . . .Mxn+My,

Aus der Momentengleichgewichtsbedingung 2!M(pF) = 0 wird nun eine Gleichung fiir die Loslagerkraft FL entwickelt. Je nach Lage des Loslagerpunkts PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF ergeben sich vier Gleichungen: Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten, gilt fur die Berechnung von MXL und MyL die Gleichung (I). Damit ergibt sich die Gleichung (V):

2 M ( p L ) = 0 = M g + M x L + MyL FL = ?

Mg + A^xL + MyL = 0 A^g + [ - F L COS OLKJL - yv)\]

+

+ [ + F L sin aL K^L - xv)\] = 0

-M^ FL=-T

sin QLICXL-xp)| "COS a t l C ) ! - > ^ ) | (V)

Gilt fiir JCL > xp und JL ^ >^ (Koordinatenbedingung)

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten, gilt fiir die Berechnung von MXL und MyL die Gleichung (II).

Mg + MxL + MyL = 0 Mg + [ - F L COS QLKJL - yp)]] +

-h [ - F L sin aL |(XL - XF)|1 = 0

Damit ergibt sich die Gleichung (VI): FL=-

iBi -sin aL|(;i^-:iii|llii| (VI)

Gilt fiir JCL < xp und JL ^ ^F (Koordinatenbedingung)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten, gilt fur die Berechnung von MXL und MyL die Gleichung (III). Damit ergibt sich die Gleichung (VII):

57 Mg+MxL+MyL=0 Mg + [+FL COS QLKJL - y¥)\\ + [ - F L sin GL K-^L - -^F)!] = 0

/% =

-M. '-smat\{xL~XB)\-hcQsat\{yL-y^)\ (VII)

Gilt fiir XL < xp und ^L < yv (Koordinatenbedingung)

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten, gilt fiir die Berechnung von MXL und MyL die Gleichung (IV). Damit ergibt sich die Gleichung (VIII):

Mg + MxL + MyL = 0 Mg + [ + F L COS QLKJL - yF)W +

+

[+FL

sinttL\{XL -

XF)|]

=0

-Me FL =

sin QLUXL -~XW)\ + C O S aL|()^ ~~}^)|

(vni)

Gilt fiir JCL > JCF und >'L < J F (Koordinatenbedingung)

Eine Abfrage 2 im Losungsgang hat das Ziel, die gultige Gleichung aus (V)... (VIII) herauszufmden. RichtgroBen fiir die Auswahl der richtigen Gleichung sind die Koordinaten JCL, yh, ^F, ^F (siehe Lageskizze, Seite 53).

In der Aufgabe ist = 120 mm > jcp = 0 und yL = yF = 0 Damit gilt fiir die Berechnung der Loslagerkraft FL die Gleichung (V) mit X]^ > jcp und yL = ypDa nur eine auBere Kraft Fi am Winkelhebel angreift, ist die Momentensumme Mg = Mxl +Myi = -28,19 N m + (+13,68 Nm) Mg = -14,51 Nm.

Fehlerwamung: Der ausgerechnete Betrag fiir die Loslagerkraft FL muss stets positiv sein. 1st der Betrag negativ, muss der Richtungswinkel aL uberpruft werden. Meist wurde sein Betrag um ±180° falsch angenommen.

FL =

Bis zu diesem Losungsstand wurde nur die Momentengleichgewichtsbedingung genutzt und damit die Loslagerkraft FL berechnet. Jetzt fehlt noch die Berechnung der Fesdagerkraft Fp und deren Richtungswinkel ap. Dazu stehen die beiden Kraftegleichgewichtsbedingungen SFx = 0 und SFy = 0 zur Verfiigung. Es werden also die gleichen Losungsschritte wie bei der iiblichen Bearbeitung dieser Aufgabenart verwendet.

Bisher verwendet: Momentengleichgewichtsbedingung

XL

-Ms sinttLI (XL -

XF) I

- costtLI (jL - yp)

- ( - 1 4 , 5 1 Nm) Fx.= sin 140° • 1(0,12 - 0) m| - c o s 140° • | ( 0 - 0 ) m| FL =

188,1

N.

III. 2M(PF) - 0 SMxn + SMyn + M,L + MyL = 0 Noch verwendbar: Kraftegleichgewichtsbedingung: I. 2Fx - 0 2Fn COSttn-f FL II. SFy = 0 SFn sin an +

FL

COS QL + F F

cos

sin

sin

QL

+

FF

OF

QF

= 0 =0

58

1 Statik in der Ebene

Greifen mehrere Belastungskrafte F^ am Korper an, werden die Summenausdriicke in Gleichung (IX) gesondert ausgerechnet. Man erhalt damit die Resultierenden der x-Komponenten Frx und der y-Komponenten Fry. In einem Rechnerprogramm wird eine solche Summierung mit einer von F\ bis F^ laufenden Schleife durchgefiihrt. In der Aufgabe greift nur die Kraft F\ = 1000 N als Belastungskraft an.

Die Ausdriicke ftir Fp cos ap und Fp sin ap aus den Gleichungen I. und II. (oben rechts) sind die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten der Fesdagerkraft Fp in x- und y-Richtung. Der Betrag der Fesdagerkraft Fp kann daher mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

2Fn cos an = F\ cos ai +F2 cos a2 +.». = F,x 2Fn sin an — F\ sin a\ +F2 sin a2 +,., = F^ (IX) Eingesetzt in die Kraftegleichgewichtsbedingungen: I. Frx + II. Fry + Frx Frx Fry Fry

= = = =

F L COS OL FL

sin

QL

+ Fp cos ap = 0 + Fp sin ap = 0

Fl cos a\ 1 000 N • cos 20° = 939,7 N Fl sin a\ 1 000 N • sin 20° - 342 N

I. Fp cos ap = Fp; II. Fp sin ap = F\F y

•

-(Frx+FLCOSaL) -(Fry+FLsinaL)

Fi^ = - ( F ^ + F L C O s a L )

(X)

Fpy = - ( F r j , + F L s i n a L )

(XIa)

^ F = V h ( F r x + F L cos a t ) ] ^ + [ - ( F ^ + F L sin aC)f

(Xlb)

Fiir die Aufgabe mit dem Winkelhebel wird Frx = 939,7 N

F ^ = 342 N

FL cos ttL = 188,1 N • cos 140° = -144,1 N FL sin OL - 188,1 N • sin 140° = +120,9 N Fp = ^ [ - ( 9 3 9 , 7 N + (-144,1 N))]^ + [-(342 N + 120,9 N)]^ Fp - 920,5 N

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Den Abschluss dieses allgemein gultigen Losungsverfahrens bilden die Gleichungen, mit denen der Richtungswinkel ap der Fesdagerkraft Fp berechnet werden kann. Hierzu gelten die Uberlegungen aus dem Abschnitt 1.2.4.2 und die dort hergeleiteten Beziehungen.

59 Zunachst muss der spitze Winkel y^p zwischen der Wirklinie von Fp und der x-Achse des Achsenkreuzes berechnet werden.

* = " - ^

(XII)

Nach Abschnitt 1.2.4.2 gilt fur Je nach Lage der Festlagerkraft Fp im Achsenkreuz gelten dann die in Abschnitt 1.2.4.2 hergeleiteten Beziehungen zur Berechnung des Richtungswinkels ap der Festlagerkraft. Die richtige Auswahl aus den vier Gleichungen erfordert also noch eine Abfrage 3. RichtgroBen sind hier die Betrage der Festlagerkomponenten Fpx und Fpy. Fur die Aufgabe wird nach Gleichung (X): FFX = -(939,7 N + 188,1 N • cos 140°) - -795,6 N Fpy = -(342 N + 188,1 N • sin 140°) = -462,9 N ^p = arctan

^Py| 462,9 N - ^ = arctan _ , ^ N = 30,19° 795,6 "Fxl

Gilt fur die Komponenten der Festlagerkraft Fpx < 0 und Fpy < 0, dann ist der Winkel ap mit Gleichung (XV) zu berechnen.

FFX >OundFFy > 0 :

(XIII)

< 0 und Fpy > 0: aF = 1 8 0 ^ - i ^

(XIV)

FFX
(XV)

FFX >OundFFy < 0 : aF = 360°-i^F

(XVI)

FFX

aF = 180°+y3F = 210,19°

60

1 Statik in der Ebene

1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen Abfrage 1 Koordinatenbedingung

Abfrage 2

Momentenbedingung der Krafte F^

Loslagerkraft FL

Mxn = -Fn COS OnK^^n " J F ) !

Jn,jL >>'F

A^yn = + ^ n sin a^ 1 (jCn " ^ F ) |

Xn,XL < Xf

Mxn = - / ^ n COS anK^n " ^ F ) ! A^yn = -FnSinan\{Xn

-XF)|

^n5-^L > ^ F

M^n = + F n COS an|(>'n " }^F)| Myn = + F n sin an K^n " ^ F ) |

(V)

FL =

(11)

FL =

(HI)

FL-

zMl (VII) -sinaL|(^L--^F)|+ cosaL|(jL-3^F)|

(IV)

FL =

zMi (VIII) sinttL1 (-^L - -^F) 1 + costtL1 (jL - J F ) 1

Mxn = + F n COS OnK^^n " ^ F ) ! Myn = -Fn sin On |(jCn " ^ F ) |

-^s

(I)

sin QLK^L - A:F)| -

COS OLKJL - }^F)|

Z^^i

(VI)

-sinaL|(^L--^F)| - cosaL|(>'L-}'F)|

Resultierendes Moment Mg = SMxn + 2Myn

Festlagerkraft Fp F„ = F[ cos ai + F2 cos 02 + . . . Fry = Ft sin «! + F2 sin 02 + . . .

(IX)

Fpx = -(Frx + F L COS OL) Fpy = -(Fry + F L s i n a L )

(X)

/^F=V^Fp,2+Fpy2

(XIa)

/'F = -\/[-(F„+FLCOsaL)]^ + [ - ( ^ . y

+ FL

sin OL)]^

(Xlb)

Abfrage 3 Richtungswinkel ap ,

I^Fyl

Pv- = arctan -——, fur fiir

fur ftir

Fpx Fpx Fpx Fpx

> < < >

0 0 0 0

und und und und

(XII) Fpy > 0 :

ap

Fpy > 0 :

ap

Fpy < 0 : Fpy < 0 :

= Pv = 180° -^ O F = 180° + ^ ap -360° -PF

(XIII) (XIV) (XV) (XVI)

61

1.2 Die Grundaufgaben der Statik 1.2.6.3 Beschreibung des Programmlaufs zur Stiitzkraftberechnung Der Ubungsablauf zeigt, wie ein Rechnerprogramm gegliedert sein muss. Nach dem Programmstart folgt die Aufforderung zur Eingabe der Kraftbetrage F^, der Richtungswinkel an und der Koordinaten JCn, jn fiir die Angriffspunkte samtlicher Krafte. Es folgt eine Programmschleife fiir die Anzahl der gegebenen Krafte und Duchlaufe. Fiir z. B. F\ ,.. Fe ist der Anfangswert n = 1, der Endwert n=AZ (Anzahl) — 6. Die anschlieBende Programmverzweigung enthalt die Abfrage 1 zur Lage der Krafte F^ zur Festlagerkraft Fp: JCn > JCp und y^ > y^ usw., siehe Gleichungen (I)... (IV). Danach erfolgt die Zuweisung der giiltigen Gleichung und die Berechnung der Momente Mxn und Myn. Nach dem letzten Schleifendurchlauf (n = AZ) werden die Momente M^ und Myn zum Gesamtmoment Ma addiert:

(

Starf-

)

Eingab&n:

/ Laufvariable \von n=1 bis n=Az

Abfrage 7

ndchster Durchlauf von n

Durchlaufende

/

Abfrage 2

Mg=Mxi +Mx2 + ...+Myi -f-My2 + ... Es folgt eine zweite Programmverzweigung mit den Abfragen 2 nach der Lage der Loslagerkraft FL zur Festlagerkraft Fp, entsprechend den Gleichungen (V)... (VIII). Nach dem Ergebnis der Abfrage wird die gultige Gleichung zugewiesen und ausgerechnet (FL == .. .)•

GUV)...(Vm)

Gl.(IX) Fry

=lFnSin(Xn

Gl.(X)

FF. = - ^Fy--:.

AnschUeBend werden nach den Gleichungen (IX) und (X) die Teilresultierenden Frx, Fry der Belastungskrafte Fn und die Komponenten Fpx und Fpy der Festlagerkraft Fp berechnet. Mit Gleichung (XI a) oder (XI b) kann nun die Festlagerkraft Fp berechnet werden.

Gl.(XIa)oder (Xlb)

GL(XII)

Mit Gleichung (XII) wird der spitze Winkel )8p der Festlagerkraft Fp zur x-Achse berechnet. Nach dem Ergebnis der Abfrage 3 weist das Programm eine der Gleichungen (XIII)... (XVI) zu, mit der dann der Richtungswinkel ap der Festlagerkraft Fp berechnet wird.

Abfrage 3

y-\GUXIII)...(XVI) (

Ende

)

62

1 Statik in der Ebene

1.2.6.4 Ubung zum systemanalytischen Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Die Skizze zeigt den Klapptisch einer Biegepresse mit der ublichen BemaBung.^^ Der Tisch wird durch den Hydraulikkolben um das Festlager geschwenkt. Fiir die skizzierte waagerechte Tischlage sind zu berechnen: a) die Koordinaten der Kraftangriffspunkte und der Richtungswinkel QL der Loslagerkraft FL (Kolbenkraft), b) der Betrag der Loslagerkraft FL, c) der Betrag der Fesdagerkraft Fp in den Schwenklagem, d) der Richtungswinkel ap der Festlagerkraft Fp.

woo 300

500

Schwenklager

A— || M

Fj = 12kN\ Hydratilikkolben

k^ ^V_

^ V ^ 500

Aufgabenskizze

Losung: a) Die Rechnung wird einfacher, wenn das rechtwinklige Achsenkreuz so gelegt wird, dass sich nur positive Koordinaten fiir die Kraftangriffspunkte ergeben. Legt man die x-Achse in den tiefsten Kraftangriffspunkt (Loslagerkraft FL), wird die y-Koordinate JL = 0.

^

FL

?\ SO \\


. ^nH1 °

\

«.1^

S^

u. X FF

XL

_

J
Lageskizze Fl

: 12000 N, ax = 270°, xy = 0,5 m, yx = 0,1 m 1 m, J F = 0,1 m, JCL = 0,7 m, JL = 0

«L

b) Die Lageskizze zeigt, dass xi < jcp und yi = yv ist (Abfrage 1). Folglich gilt zur Berechnung der Komponentenmomente Mxi und My\ die Gleichung (II). Wegen |(ji—};p)|=0 und cos 270° = 0 ist auch Mxi — 0. Die Summe beider Teilmomente ist das Gesamtmoment Mg =Mxi +Myi.

: arctan ^ ^ = 30,96° 0,5 m : 180° - ttK = 149,04°

Mxi = - F l cos ai Kyi - > ' F ) |

= - 1 2 0 0 0 N- c o s 2 7 0 ° | ( 0 , l - 0 , l ) m | M,i=0 Myi = - F l sinaiK^i -xpj = - 1 2 0 0 0 N- sin270°|(0,5-l)m| Myi = + 6 0 0 0 N m Mg = Mxi + Myi = 0 + (+6000 Nm) Mg

=+6000NmO

Aufgabe 91 aus der Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

63

Fur die Berechnung der Loslagerkraft FL gelten die Gleichungen (V)... (VIII). Nach der Lageskizze ist JCL < JCF und JL < JF- Die Loslagerkraft FL ist also mit Gleichung (VII) zu berechnen {Abfrage 2).

-M, - sin GLKXL - XF)| H- COS a^KyL - yv)

- ( + 6 0 0 0 Nm) ( - sin 149,04° 1(0,7 - 1) m| + cos 149,04° • |(0 - 0,1 m|

FL =

24991 N

c) Nach Gleichung (IX) werden die Komponenten Frx und Fry berechnet. Natiirlich ist die Komponente F^c = 0, denn die Kraft F\ wirkt in y-Richtung, hat also keine Komponente in x-Richtung. Jetzt lassen sich mit Gleichung (X) die Komponenten Fpx und Fpy der Festlagerkraft Fp berechnen. Wie bei alien Rechnungen muss auch hier auf die exakte Vorzeichenmitnahme geachtet werden. Mit den Komponenten der Festlagerkraft kann nach einer der Gleichungen (XI a) oder (XI b) der Betrag der Festlagerkraft Fp berechnet werden. Da die Komponenten bereits bestimmt sind, wird die Gleichung (XI a) verwendet.

d) Zum Schluss wird der Richtungswinkel ap der Fesdagerkraft Fp ermittelt. Erforderlich ist dazu der spitze Winkel )8p, den die Wirklinie der Fesdagerkraft mit der x-Achse einschlieBt. Es gilt die Gleichung (XII). Bestimmungsgleichung fiir den Richtungswinkel ap ist wegen Fpx > 0 und Fpy < 0 die Gleichung (XVI), ausgewahlt durch die Abfrage 3.

Aiifgaben NK 83-116 und 137-159

12000 N - COS 270° 0 Fry = Fl sin ai - 12 000 N • sin 270° Frv = - 1 2 0 0 0 N Fr.

: Fl COS « !

Frx

FFX = -(Frx+FLCOSttL) FFX = - ( 0 + 24991 N • cos 149,04°) FFX=21430N

Fpy = - ( F r y + FLsinaL) Fpy = - ( - 1 2 0 0 0 N + 24991 N • sin 149,04°) FFy = -856,4 N F F ^ ^ F ^

+ F,Fy

F F - \ / ( 2 1 430 N)^ + ( - 8 5 6 , 4 N)^ FF

= 21 447

-• arctan /3p = arctan

ttF

N

\FF.\

1-856,4 N| |21430N|

: 2,29°

- 360° - i^F = 360° - 2,29° : 357,71°

1 Statik in der Ebene

64

1.2.7 Stiitzkraftermittlung beim raumlichen Kraftesystem (Getriebewelle) Das folgende Beispiel eines raumlichen Kraftesystems soil zeigen, dass mit den Kenntnissen aus der Statik in der Ebene auch kompliziertere Probleme gelost werden konnen. Die skizzierte Getriebezwischenwelle tragt die beiden schrag verzahnten Stimrader 2 und 3. Diese ubertragen das Antriebsmoment Mi des Rades 1 iiber die Getriebezwischenwelle auf das Stimrad 4. Die dabei auftretenden Zahnkraftkomponenten Tangentialkraft Ft, Radialkraft F^ und Axialkraft Fa sind bekannt, ebenso die Langen / und die Walzkreisradien r. Mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0, 2Fy = 0 und 2M = 0 sollen die Gleichungen zur Berechnung der Stiitzkrafte FA und FB in den beiden Lagem entwickelt werden. Bei der Entwicklung wird der Versatzwinkel a beriicksichtigt. Die Gleichungen gelten daher fiir jede beliebige Lage des Zahneingriffs des Raderpaars 3 und 4. In die Skizze des raumlichen Achsenkreuzes werden die Stiitzkraftkomponenten FAX, FAy, FBX und FBy eingetragen. Als Richtungssinn fiir die noch unbekannten Stiitzkraftkomponenten FAX, FAy, FBX, ^By wird, wie immer, die positive Achsenrichtung gewahlt. Der Richtungssinn der Radialkrafte Fr, der Tangentialkrafte Ft und der Axialkrafte Fa ergibt sich aus Getriebekonstruktion und Betriebsart (Schragstimrader, Zahneingriffspunkte, Versatzwinkel, Drehmomentenrichtung). Am Radmittelpunkt M2 werden parallel zu den Zahnkraftkomponenten Ft2 und Fa2 zwei gleich groBe gegensinnige Krafte Ft2 und Fa2 angebracht und Fr2 nach unten verschoben. Damit ergeben sich die Drehmomente Ma2 und Mt2 und in M2 die Krafte Ft2, Fa2 und Fr2. Die Drehmomente der beiden Kraftepaare wirken drehend, die Zahnkrafte verschiebend auf die Welle. Am Rad 3 lasst sich das gleiche Vorgehen wegen des Versatzwinkels a nicht gut darstellen. Das Untersuchungsergebnis muss unter Beriicksichtigung des Versatzwinkels a grundsatzlich das gleiche sein.

a Versatzwinkel

Aufgabenskizze zur Getriebezwischenwelle (Indizes: r fiir radial, t fiir tangential, a fiir axial)

Mt2 gewahltes

Achsenkreuz

Lageskizze 1 der freigemachten Getriebewelle Hinweis: Das Anbringen von zwei gleich groBen gegensinnigen Kraften (z. B. FIT) andert am Kraftesystem nichts, zeigt aber, welche Wirkung die Einzelkraft in Bezug auf den gewahlten Punkt (M2) hat. Das (gestrichene) Kraftepaar wirkt drehend, die Einzelkraft (Ft2) schiebend (biegend).

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

65

Vor dem Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Stiitzkrafte wird untersucht, mit welcher Winkelfunktion die Zahnkrafte am Stimrad 3 zu berechnen sind. Die Lageskizze 2 gibt dariiber Aufschluss: In y-Richtung gilt Ftsy = Fts sin a ^r3y = ^ r 3 COS a

In x-Richtung gilt Ft3x — Ft3 cos a Fr3x = ^r3 sin a Eine Uberpriifung mit anderen Zahneingriffspunkten zeigt, dass diese Gleichungen fur alle Versatzwinkel a zwischen 0° und 360° gelten. Der Wirkabstand der Axialkraft F^ bezogen auf den Radmittelpunkt M3 betragt r^ cos a.

Begonnen wird mit den Gleichgewichtsbedingungen fiir die in der z, y-Ebene wirkenden Krafte und Kraftmomente. In y-Richtung wirken die gesuchten Stiitzkrafte FAy und Ffiy, deren Richtungssinn wie inmier in positiver y-Richtung angenommen wird (siehe Seite 28). Der Richtungssinn der Axialkrafte Fa2 und Fa3 wird der Aufgabenskizze entnommen. Er richtet sich nach der Drehrichtung der Stimrader. Nicht zu vergessen ist, dass durch den Versatz um den Winkel a auch die Tangentialkraft Ft3 eine y-Komponente hat (Ft3 sin a, siehe Lageskizze 2 der Zahnkrafte am Rad 3.

Lageskizze 2 fiir die Zahnkrafte am Rad 3 (E Eingriffspunkt, a Versatzwinkel)

n A

Ffi sin a B

F^^cosab

rjcosal^

Lageskizze 3 der Welle fiir den Kraftangriff in der z, y-Ebene Beachte: In der z, y-Ebene liegen auch die Axialkrafte Fa2 und Fa3. Diese haben eine Kippwirkung auf die Welle (rechtsdrehend) und beeinflussen damit die Stiitzkraftkomponenten FAy und Fsy.

Man beginnt mit der Momentengleichgewichtsbedingung um den Lagerpunkt B\ I:M(B)

= 0 = -FAy/ - Fa2r2 + Fr2(/ - h) - (Fr3 COS « + Ft3 sin a) h - Fs3r3 cos a

liiiiiiiiiiiii,, lllllpllllllllil^^l^^B lUiiiM*

llilB|iiiiiliiiilP iliiiiiiifciiiiiiiiiiiiii

i^iiili

iSmlSKSmlA

"

'

(1)

66

1 Statik in der Ebene

Um direkt eine Gleichung fUr die andere Stutzkraftkomponente Fsy zu bekommen, wird die . . ,

- I t , .

,

•

,

Beachte: Die Kraftegleichgewichtsbedingung ^F^ = 0 wird dann zur KontroUe der voraufgegangenen Rechnung benutzt.

Momentengleichgewichtsbedingung noch einmal angesetzt, diesmal um den Lagerpunkt A: 2M(A) = 0 = -Fr2h + (Fr3 COS a -f Ft3 sin a) (/i + h) + F^yl - F^iri - F^-^r^ cos a

Fsy =

PS\ - (Fts cos a + Ft3 sin a) {h + k) -f- F^ri -f Fasra cos a

Q^.

/

Zur Kontrolle: 2Fy = 0 = FAy - Fr2 + Fr3 COS a + F^ sin a -f Fsy Aus der Kraftegleichgewichtsbedingung in z-Richtung ergibt sich: 2 F z = 0 - Fa2 - Fa3 " Fa

•:^:fe:*/:lii::^^^^^

(3) Die Axialkraft Fa ist die Differenz der beiden Axialkrafte Fa2 und Fa3. Sie wird entweder in A Oder in B von einem Festlager aufgenommen.

(4)

Nun werden die Gleichgewichtsbedingungen fiir die in der z, x-Ebene wirkenden Krafte und Kraftmomente entwickelt. Aus der Lageskizze 4 ist abzulesen:

_^4

2M(B)=0 = -FAx/ + Ft2(/-/i) + -h (Ft3 cos a — Fr3 sin a) /3 FAX

=

Ft2(/ — /i) + (Ft3 cos a - Fr3 sin a) /s

0

Fr3sina\

Lageskizze 4 der Welle fiir den Kraftangriff in der z, x-Ebene

Fg/i - (Ff3 sin g - Ft3 cos a) {h -f /2) (6)

Zur Kontrolle:

'l;^^g^^^ff^$i^^

I f»o COS a

(5)

2M(A) = 0 = - Ft2/i + (Fr3 sin a -Ft3Cosa)(/i + / 2 ) + F B X / Fgx ==

IV

sin a ~ Fb cos a -f FBX

(7)

1.2 Die Gmndaufgaben der Statik

67

Die Stiitzkraftkomponenten FAX und FAy stehen rechtwinklig aufeinander, ebenso FBX und F^y. Mit dem Lehrsatz des Pythagoras lassen sich daher die Stiitzkrafte FA und FB berechnen.

/[Ft2(/-/0 +

fe(^t3Cosa~Fr3sma)f

(8)

FB=yFBx2+FBy2

(9)

Hinweis: Fiir die Ermittlung des Biegemomentenverlaufs werden die Stiitzkraftkomponenten FAX, FBX und Fey gebraucht, fiir die Lagerberechnung die resultierenden Stiitzkrafte FA und FB.

Die Gleichungen (1), (2), (5) und (6) werden in die Gleichungen (8) und (9) eingebracht. Dann stehen zwei direkt auswertbare Gleichungen fiir die Stiitzkrafte zur Verfiigung.

^ ^j.

= Y FAX^ + FAy

FA

+ (10)

^ V + [^f2(/ - ^i) - F^iri - hiFts cos a + Ft3 sin a) - F^rs cos af

FB =

jlFah - ih + h){FT3 sin a - Fo cos a)f + + [Frzh - {h + h) {Fr3 cos a + Fts sin a) + F^r2 + F^r^ cos af

Berechnungsbeispiel: Fiir die Getriebezwischenwelle aus der Aufgabenskizze (Seite 64) sollen die Stiitzkrafte berechnet werden. Aus dem Getriebeentwurf sind alle erforderlichen Langen und Zahnkrafte des Schragstimradgetriebes bekannt, ebenso die Walzkreisradien r2 und r3 sowie der Versatzwinkel a.

Gegeben: Fr2 = 2 0 8 1 N Fr2 = 784 N Fa2 = 558 N r2 = 50,5 mm

Ft3 = 2 5 8 6 N Fr3 = 956 N Fa3 = 693 N rj, = 40,6 mm

(11)

/ = h= h= h=

220 mm 70 mm 100 mm 50 mm

Versatzwinkel a = 0° Gesucht: FAX, FBX,

FAy, f By,

FA, F B ,

Fa

Die Auswertung der entwickelten Gleichungen (1)... (9) fiihrt zu folgenden Ergebnissen: FAX = 2006,6 N FBX = 2 660,4 N

^Ay == ^By ==

61,3N F^ = 2007,5 N -233,3 N FB = 2 670,6 N

= -135N

Kontrolle: IFx = [2 006,6 - 2 081 + 956 . sin 0° - 2 586 • cos 0° + 2 660,4] N = 0 2Fy = [61,3-784 + 956- cos 0° + 2 586- sin 0° + (-233,3)] N = 0

68

1 Statik in der Ebene

L3 Statik der ebenen Fachwerke 1.3.1 Gestaltung von Fachwerktragem Fachwerktrager sind aus Profilstaben zusammengesetzte Tragkonstruktionen (Biegetrager), z. B. fiir Briicken, Krane, Dachbinder, Geriiste. Sie haben einen geringeren Materialaufwand als Vollwandtrager und erscheinen durch ihre Netzkonstruktion optisch leichter. Nachteilig ist die arbeitsintensivere Fertigung. Fachwerktrager sind meist in zwei oder mehr parallelen Ebenen aufgebaut. Jede Tragerebene wird dann als ebenes Fachwerk angesehen. Die auBere Form eines Fachwerktragers kann frei gestaltet werden. Geometrisches Element des Fachwerks ist der Dreiecksverband. Das Dreieck ist die einfachste „starre" Figur. Durch Ansetzen solcher Dreiecksverbande werden die verschiedenen Fachwerksformen (z. B. parallelgurtig, trapezformig) als Streben- oder Pfosten-Streben-Fachwerk entwickelt. Der Obergurt kann parallel zum Untergurt laufen, aber auch z. B. dem Biegemomentenverlauf des Tragers angepasst werden. Siehe dazu Festigkeitslehre, Abschnitte 5.9.7 und 5.9.10. Unter den skizzierten Fachwerksformen in der rechten Spalte stehen in Klammem die Angaben fiir die Anzahl der Knoten A: (z. B. A; = 11) und die Anzahl der Stabe s des Fachwerks (z. B. s= 19). Diese GroBen werden im folgenden Kapitel zum Ansatz der Gleichgewichtsbedingungen fiir die statische Bestimmtheit des Tragers gebraucht. Die Profilstabe werden untereinander im so genannten Knoten mit Knotenblechen verbunden, wobei sich die Profil-Schwerachsen moglichst im Knotenpunkt schneiden sollen. Damit wird das Einleiten von groBeren Biegemomenten in die Verbindung vermieden und die Knotenpunkte konnen als Gelenkpunkte fiir Zweigelenkstabe angesehen werden (siehe Statik, 1.1.7.3). Der Knoten kann genietet, geschraubt, geschweiBt oder z. B. bei Leichtmetallprofilen geklebt sein.

Dreiecksverband

Festlager

Obergurt

Untergurt

Knoten

Loslager

Streben-Fachwerktrager, parallelgurtig {k=\l Knoten, 5 = 1 9 Stabe)

Dreiecksverband

Strebe

(Diagonale) 6

Pfosten-Streben-Fachwerktrager, Biegemomentenverlauf trapezformig angepasst ik=\S Knoten, 5 = 33 Stabe)

Dreiecksverband

Polygon-Fachwerktrager, B iegemomentenverlauf angepasst {k = l Knoten, 5 = 1 1 Stabe)

-ProfilstabProfilschwerachse

^ Knotenpunkt jh^Vi

Ar— Knotenblech -

iX-

yM Geschraubter Knoten

-i

mm

69

1.3 Statik der ebenen Fachwerke

1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerktrager Der skizzierte einfachste Fachwerktrager besteht aus den drei Staben 1, 2, 3, die in Dreiecksform in den Knoten I, II und III miteinander verbunden sind. AuBere Krafte F diirfen nur iiber die Knoten in das Tragwerk eingeleitet werden (Kraft F in Knoten II). Im Festlager A und Loslager B ist der Trager mit den drei Auflagerkraften FAX, ^Ay und FB wie ublich statisch bestimmt abgestiitzt (statisches Gleichgewicht, siehe z. B. Abschnitt 1.2.5.3). Beim VoUwandtrager sind damit die Gleichgewichtsbetrachtungen abgeschlossen. Beim Fachwerktrager dagegen muss zusatzUch die Verschiebbarkeit der Stabe gegeneinander untersucht werden. Man unterscheidet daher zwischen au6erer und innerer statischer Bestimmtheit.

Knoten

Knotenpunkt

Freigemachter einfachster Fachwerktrager (Stabdreieck, Dreiecksverband) A: = 3 Knoten, 5 = 3 Stabe

1st k die Anzahl der Knoten fur das ganze System, so ist wegen l^F^ = 0, HFy =0 die Anzahl der zur Verfiigung stehenden Gleichgewichtsbedingungen 2 k.

2k = Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen (hier 2 • 3 Knoten = 6 Gleichgewichtsbedingungen)

Ist s die Anzahl der unbekannten Stabkrafte, dann ist mit den drei Lagerkraften FAX, ^Ay, FB die Anzahl der unbekannten Krafte s + 3. Bei einem statisch bestimmten System muss die Anzahl der Losungsgleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten sein, hier also 2 A: — 5" + 3. Es ist Ublich, diese Gleichung nach der Anzahl s der erforderlichen Profilstabe aufzulosen und als Bedingung fur die innere statische Bestimmtheit die Gleichung ^ = 2 /: — 3 zu verwenden.

5 -f 3 = Anzahl unbekannter Krafte (hier 5 + 3 = 3 + 3 = 6 unbekannte Krafte)

Der skizzierte Fachwerktrager mit vier Knoten (k = 4) und vier Staben (s = 4) ist in der eingezeichneten Drehrichtung beweglich (Gelenkviereck), fiir Kraftiibertragungen daher ungeeignet. Enthalt ein Fachwerk ein solches Stabsystem, nennt man es statisch unbestimmt. Die Bedingung fiir statische Bestimmtheit ist hier mit /: — 4 Knoten und s = 4 Staben nicht erfiillt (s = 4 <2k — 3 = 5). Aus dem statisch unbestimmten wird ein statisch bestimmtes Fachwerk erst bei Hinzunahme eines ftinften Stabes: 5= 5 = 2-4-3.

2^ = 5 + 3 5= 2it-3 Bedingung fiir die innere statische Bestimmtheit (mit 5 = 2 i ^ - 3 = 2 - 3 - 3 = 6 - 3 = 3 Stabe hier erfiillt)

Bewegliches Fachwerk, statisch unbestimmt (Gelenkviereck): 5 < 2 - 4 — 3 = 5

70 Die skizzierten vier Fachwerke mit 6 Knoten sollen mit Hilfe der Bedingung fiir statische Bestimmtheit untersucht werden. Fachwerk a) ist mit einem Fest- und einem Loslager sowie mit ^ = 9 Staben auBerlich und innerlich statisch bestimmt (2 A: - 3 = 2 • 6 - 3 = 9). Fachwerk b) ist wie a) auBerlich statisch bestimmt, jedoch inneriich statisch unbestimmt, weil bei 2 ^ - 3 = 2 - 6 - 3 = 9dieStabzahl^ = 8 < 9ist. Fachwerk c) ist wie a) und b) auBerUch statisch bestimmt, innerUch rmi s = 10 Staben jedoch statisch unbestimmt. Fachwerk d) ist zwar wie a) inneriich statisch bestimmt, mit einem Fest- und zwei Loslagem jedoch auBerlich statisch unbestimmt.

1 Statik in der Ebene

2k-3

= 9;s = 9

2k-3 = 9;s = 8

= 9; 3=^10

2k-3 = 9:s = 9

Beispiele fiir die statische Bestimmtheit

1.3.3 Ermittiung der Stabkrafte im Fachwerktrager Die Verfahren zur Ermittiung der Stabkrafte werden am Beispiel des gezeichneten Fachwerktragers erlautert (Knotenschnittverfahren, Ritter'sches Schnittverfahren und Cremonaplan). Der Trager besteht aus den Obergurtstaben 1, 4, 8, 11, den Untergurtstaben 2, 6, 10, den Pfosten oder Vertikalen 3, 9 und den Schragen oder Diagonalen 5 und 7. Belastet wird der Trager mit den Vertikalkraften Fi = 4 kN, F2 = 2 kN und F3 = 3 kN. Es ist immer zweckmaBig, zuerst aus der Tragerbelastung und den Abmessungen die Auflagerkrafte zu bestimmen. Nach der Ermittiung aller Stabkrafte hat man dann immer eine Kontrolle auch fiir die Auflagerkrafte (siehe Knoten VII im folgenden Knotenschnittverfahren). Mit den rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0, 2Fy = 0 und 2M = 0 ergibt sich: FA = 4,75 kN und Fg = 4,25 kN.

Fj=4kN

F2 = 2kN

Aufgabenskizze Hinweis: Der Trager ist auBerlich und inneriich statisch bestimmt. s = 2-1 — 3 = 11 Stabe. 2Fx = 0 ; keine waagerechten Krafte vorhanden. 2Fy = 0 = + F A - . F2 — F3 + F B 2Mr = 0 = - F i • 2 m F2 • 4 m — F3 • 6 m + FB • 8 m F\ • 2 m + F2 • 4 m + /^3 • 6 m = 4,25 kN 8m FT, — F^ : 4,75 kN

1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren (rechnerisches oder zeichnerisches Verfahren zur Ermittiung aller Stabkrafte) Mit einem Rundschnitt werden alle Knoten {k = 7) freigemacht und in ein rechtwinkliges Achsenkreuz gelegt. Die noch unbekannten Stabkrafte Fsi ...Fsu tragt man in den Knotenpunkt I . . . VII als Zugkrafte positiv (+) ein.

1.3 Statik der ebenen Fachwerke

71

Fiir jeden Knotenpunkt stehen die beiden Gleichgewichtsbedingungen SFx = 0 und 2Fy = 0 zur Berechnung von zwei unbekannten Stabkraften zur Verfiigung. Wurden vorher die Auflagerkrafte FA und FB berechnet, liegen meistens dort die Ausgangsknoten fiir den Berechnungsgang, wie hier im Beispiel die Knoten I und VII mit den zwei unbekannten Stabkraften Fsi und Fs2 am Knoten I und Fsio und Fsn am Knoten VII. Von den anschlieBenden Knoten sucht man sich denjenigen mit maximal zwei unbekannten Stabkraften heraus und erhalt nacheinander alle Stabkrafte des Fachwerktragers. Haufig ist dieses schrittweise Vorgehen einfacher als das Aufstellen und Losen eines Gleichungssystems. Das Knotenschnittverfahren kann auch zeichnerisch durchgefiihrt werden. Die entsprechenden Skizzen der Krafteplane zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Stabkrafte wurden daher mit aufgenonmien. Sie stehen rechts neben den Skizzen der freigemachten Knoten und fiihren zum Verstandnis des Cremonaplans in 1.3.3.3. Zur Lagebestimmung der schragen Stabkrafte als Zugkrafte wird der Winkel a als spitzer Winkel zur x-Achse verwendet. Es gelten dann die Beziehungen Fsx = Fs cos a fiir die x-Komponente und Fsy = Fs sin a fiir die y-Komponente der Stabkraft Fs (siehe Abschnitt 1.1.6.2). Der Winkel a betragt 45°. Die vorher berechneten Stiitzkrafte betragen FA = 4,75 kN, FB = 4,25 kN. Im Knoten I greifen auBer der bereits ermittelten Stiitzkraft FA = 4,75 kN nur noch die beiden Stabkrafte Fsi und Fs2 an, die nun berechnet werden konnen: Fiir Knoten I gilt: I) 2Fx = 0 = Fsi + ^S2 cos a II) SFy = 0 = FA — Fs2 sin a I) und II) Fs2 = —Fsi/cos a = FA/SIU a

und mit cos a/sin a = 1/tan a Fsi - -FA/tan a = -4,75 kN/1 = -4,75 kN (Druck) ^S2 = ^A/sin a = +6,72 kN (Zug) Fiir Knoten II gilt: I) 2Fx = 0 = - F s i + F s 4 -^ Fs4 = Fsi = -4,75 kN (Druck) II) 2Fy = 0 = - F i - Fs3 -> Fs3 = - F i = - 4 kN (Druck) Hinweis zum Krdfteplan: Die Stabkraft Fsi (Druckkraft) driickt von rechts nach links wirkend auf den Knoten I. Im Krafteplan II muss Fsi als Druckkraft auf den Knoten II nach rechts wirken. Fiir Knoten III gilt: I) II) II) I)

2Fx 2Fy Fs5 Fs6

= = = =

0 = Fs6 + Fs5 cos a - Fs2 cos a 0 = Fs3 + Fs2 sin a + Fss sin a (-Fs3 - Fs2 sin a)/sin a = -1,06 kN (Druck) Fs2 COS a — Fss cos a == +5,5 kN (Zug)

72

1 Statik in der Ebene

Fur Knoten IV gilt: I) 2Fx = 0 = Fs8 + Fsi cos a - Fs4 Fs5 cos a n) 2Fy = 0 = —F2 — Fsi sin a — Fss sin a II) Fs7 = (-F2 - Fs5 sin a)/ sin a = = -l,77kN(Druck) I) Fs8 = Fs4 + Fs5 cos a - Fsv cos a = = -4,25 kN (Druck)

''S8

Fiir Knoten V gilt: I) 2Fx = 0 = Fsio cos a - Fs6 - Fs? cos a n) 2Fy = 0 = Fs9 + Fsio sin a + Fs? sin a I) Fsio = 0 = (Fs6 + Fs7 cos a ) / cos a = = +6,01 kN (Zug) n) Fs9 = 0 = -Fs7 sin a — Fs\o sin a = - 3 kN (Druck)

SIO

Fiir Knoten VI gilt: I)

2F,-0-Fsii-Fs8 ^ Fsii = Fs8 = -4,25 kN (Druck) II) 2Fy = 0 = -F3 - Fs9 -^ Fs9 = -F3 = - 3 kN (Druck) Fur Knoten VII gilt: I) 2Fx = 0 = - F s i i - F s i o c o s a ^ Fsio = -Fsii/cos a = +6,01 kN (Zug) II) HFy = 0 = FB — Fsio sin a -^ FB = Fsio sin a = +4,25 kN (KontroUrechnung) 1.3.3.2 Das Ritter'sche Schnittverfahren (rechnerisches Verfahren zur Ermittlung einzelner Stabkrafte) Nach Ritter konnen an statisch bestimmten Fachwerktragem einzelne Stabkrafte rechnerisch ermittelt werden, z. B. Fs4, Fss und Fs6. Dazu wird der Trager mit dem Ritter'schen Schnitt X - X in die beiden Telle (a) und (b) zerlegt und an einem der beiden Telle (a) das Gleichgewicht wieder hergestellt. Die Stiitzkrafte miissen bei diesem Verfahren vorher ermittelt worden sein: FA = 4,75 kN, FB = 4,25 kN.

Fj=4kN

1

F2 = 2kN

F3=3kN

>v(^ III 2m

V , 2m ^ ^ 2m ^ ^ 2m

,

Lageskizze des Fachwerktragers mit Ritter'schem Schnitt x — x

73

1.3 Statik der ebenen Fachwerke Nach den Regeln des Freimachens werden in den drei Stabquerschnitten die unbekannten Stabkrafte ^S4, /^S5 und Fs6 als Zugkrafte angebracht. Das am Tragerteil (a) angreifende Kraftesystem aus den drei Stabkraften Fs4, Fs5, Fs6, der Belastungskraft Fi und der Stiitzkraft FA muss im Gleichgewicht sein. Nach Ritter werden zur Berechnung der unbekannten Stabkrafte die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen nach Seite 46 angesetzt. Der Ritter'sche Schnitt darf daher auch nur drei Fachwerkstabe treffen.

l=2m

..

l=2m

Kraftesystem am abgeschnittenen Tragerteil (a)

Die drei Momenten-Bezugspunkte diirfen nicht auf einer Geraden Uegen (siehe Seite 46). Knotenpunkt in bietet sich als erster Bezugspunkt an, weil er Schnittpunkt zweier unbekannter Krafte ist (Fs5 und Fs6) und sich damit eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ergibt. Die MomentenGleichgewichtsbedingung 2M(in) = 0 Uefert direkt die Stabkraft Fs4 = -4,75 kN (Druckstab). Als zweiter Bezugspunkt wird der Knotenpunkt IV gewahlt. Er ist Schnittpunkt der Stabkrafte Fs4 und Fs5 und liefert wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten, der Stabkraft Fse = +5,5 kN (Zugstab). Dritter Bezugspunkt kann I oder II sein. Mit 5:M(I) = 0 wird Fs5 = -1,06 kN (Druckkraft).

SMdii) = 0 = - F s 4 / - FA/

In manchen Fallen wird die Rechnung einfacher, wenn der Losungsansatz mit den ublichen drei Gleichgewichtsbedingungen 2Fx 0, 2Fy = 0, 2M() = 0 aufgestellt wird.

Ergebnis: Stab 4 ist ein Druckstab mit 4,75 kN Stab 5 ist ein Druckstab mit 1,06 kN Stab 6 ist ein Zugstab mit 5,5 kN

F s 4 = ^ = - F A = -4,75kN Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft Fs4 dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt: Stab 4 ist also ein Druckstab. 2M(iv) = 0 = Fi/ - FA • 2 / + Fse/ Fs6-^^'^!~^^^-2FA-Fi^5,5kN 2 M m = 0 = Fs6/ + Fs5/l - F i /

Fs5

Fi/-Fs6/^(Fi-Fs6)/^

^, ,06 kN

Arbdt^^a^ warn Rif^r^schen Schnittveifaliren Sttlt^rite etmitteta (ZF^ = 0,2Fy = 0,2M() = 0).

l.Schritt

Fachwarfc diiich einen Schnitt trennen. Der Schnitt darf hochstens drei FachweAistabe tieffen^ sie ddrfen keinen gemeinsamen Knolen haben. LagesMzze d ^ abgeschnittenen Tragerteils zeichnen, dabei Stabkrafte als Zugkrafte ainehmen. EHe
2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

74

1 Statik in der Ebene

1.3.3.3 Der Cremonaplan (zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkrafte) Beim Knotenschnittverfahren im vorstehenden Abschnitt 1.3.3.1 wurde neben der rechnerischen auch die zeichnerische Ermittlung der beiden unbekannten Stabkrafte dargestellt. Fiir jeden Knoten konnte das geschlossene Krafteck aus der gegebenen Kraft und den Wirklinien der zwei unbekannten Stabkrafte konstruiert werden, z. B. am Knoten I mit der gegebenen Stiitzkraft FA und den Wirklinien der Stabkrafte Fsi und Fs2. Jede Stabkraft musste bei diesem Verfahren zweimal gezeichnet werden. Im Cremonaplan erscheint jede Stabkraft nur einmal. Dazu ist es erforderlich, jedes Krafteck im gleichen Umfahrungssinn aufzuzeichnen, z. B. im Uhrzeigerdrehsinn. Fiir den Knoten I des bekannten Fachwerktragers ergibt sich dann der Kraftfolgesinn FA -^ Fs\ -^ Fs2Nach der Aufzeichnung des maBstablichen Lageplans wird der Krafteplan der auBeren Krafte im festgelegten Kraftfolgesinn konstruiert, hier im Uhrzeigerdrehsinn mit der Folge FA —> Fi -^ F2 ^ F2 —^ FBBegonnen wird der Cremonaplan mit dem Knoten, an dem nur zwei unbekannte Stabkrafte angreifen, hier z. B. mit Knoten I (auch VII ware moglich). Im festgelegten UhrzeigerdrehLageplan LangenmaBstab:

Kraftfolgesinn

ML

Kraftetabelle Krafte in kN (aus Cremonaplan) Zug

Stab 1

ill

Druck 4,75

6,70

ilii

4,00

lUm.

4,75

Wli

1,05

llilll 5,50

MK

WM

1,75

Wli ilil

4,25 3,00

IKm 6,00 ^KsSi

Cremonaplan KraftemaBstab

4,25

= 1,2 — ( 1 cm: cm

,2 m)

= 1 — (1 cm : Im) cm

1.3 Statik der ebenen Fachwerke

75

sinn ist an die gegebene Stiitzkraft FA die Stabkraft Fs\ (waagerecht) anzuschlieBen. Das geschlossene Krafteck mit Fs2 kommt nur zustande, wenn von der Pfeilspitze FA die Stabkraft Fsi nach links gezogen wird. Wird das gewonnene Krafteck von FA ausgehend umfahren, erhalt man den Richtungssinn der Stabkrafte in Bezug auf den Knoten I. Der gefundene Richtungssinn wird als Pfeil im Lageplan dicht neben dem Knotenpunkt I eingetragen und man erkennt: Stab 1 ist ein Druckstab (Fsi driickt auf Knotenpunkt I), Stab 2 ist ein Zugstab (Fsi zieht am Knotenpunkt I). Mit dem Eintragen der Gegenpfeile an den Knotenpunkten II und III im Lageplan und der Vorzeichen (+) fiir Zugstabe und (-) fiir Druckstabe im Krafteplan ist die Bearbeitung am Knoten I abgeschlossen. Man geht nun zum Knoten II iiber, an dem jetzt auch nur noch zwei Stabkrafte (Fs3 und FSA) unbekannt sind, Fsi wurde schon ermittelt. Mit Fsi beginnend (von links nach rechts wirkend) wird das geschlossene Krafteck im Kraftfolgesinn mit Fsi, Fi, Fs4 und Fss zuriick zum Anfangspunkt von Fsi konstruiert. Die Reihenfolge der Knotenpunkte ist beliebig, allerdings diirfen hochstens zwei Krafte unbekannt sein. Zum Schluss greift man die Langen fiir die Stabkrafte ab, berechnet diese mit dem KraftemaBstab MK und tragt die Betrage in eine nach Zug- und Druckkraften unterteilte Tabelle ein. Ist der Fachwerktrager symmetrisch aufgebaut und belastet, geniigt es, eine Halfte des Cremonaplans zu konstruieren. Liegt ein Fachwerkstab in der Wirklinie einer auBeren Kraft wie im Knoten II, so ist die Stabkraft gleich der in Stabrichtung angreifenden Belastung, hier also Fs3 = Fi = 4 kN. Tragt der Knoten in einem solchen Fall keine Belastung (Fi = 0), so nennt man den Stab einen NuUstab. Diese Nullstabe nehmen erst bei elastischer Verformung Krafte auf. Meist sollen sie die Knickgefahr langer Druckstabe verringem. Arbeitsplan zur Aiij^eichnimg des Cremonaplans Stutzkrafte ermitteln (ZF^ = 0,2Fy = 0,2M() = 0).

1. Schritt

Lageplan zeichnen und den Kraftfolgesinn (Umfahmngssinn) festlegen, z. B. Uhrzeigeidrehsinn. Krafteck der auBeren Krafte konstruieren, z. B. mit FA, F I , F2, F3, FB.

2. Schritt

Mit dem gewahlten Kraftfolgesinn die Kraftecke der Stabkrafte aneinander reihen, fur jeden Knoten eins in beliebiger Reihenfolge. Nach jeder Krafteckzeichnung den Richtungssinn der Stabkrafte durch Pfeile in den Lageplan iibatragen und Gegenpfeile eintragen. Im Krafteplan die Stabkrafte durch Plus- oder Minuszeichen als Zug- oder DruckkrMte kennzeichnen. Langen der Stabkrafte abgreifen und deren Betrage unterteilt nach Zug- und Druckkraften in eine Tabelle eintragen.

4. Schritt

Aufgaben Nr. 160-175

3. Schritt

5. Schritt 6. Schritt 7. Schritt

76

2 Schwerpmiktslehre 2A B€g]1f&bestiiimungmrSchwerliiiie,Schwerebene iiiid Sehwerpunkt Man denkt sich einen ebenen Blechabschnitt in drei Teilkorper zerlegt und durch eine Symmetrieebene mit den Teilflachen Ai, A2 und A3 in zwei gleichdicke Scheiben geschnitten. Auf jeden der drei Teilkorper wirkt die Erdanziehung mit den parallelen Teil-Gewichtskraften FGI, FG2 und FG3 lotrecht nach unten. Ihre Summe die Resultierende - ist die Gewichtskraft des Blechabschnitts FQ = FQI + FG2 + FQ^. Die Wirklinie dieser Resultierenden heiBt Schwerlinie, weil auf ihr die Gewichtskraft oder Schwerkraft des Korpers wirkt.

•.^•-..''"jiinillliimii bymmetrieebene des Korpers = Schwerebene \

Dreht man den Korper in der Symmetrieebene in eine beliebige andere Lage, erhalt man eine zweite Wirklinie der Gewichtskraft (zweite Schwerlinie, WL2). Der Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Angriffspunkt der Gewichtskraft FQ fiirjede Korperlage und heiBt Sehwerpunkt S. AUe durch den Sehwerpunkt gehenden Geraden Oder Ebenen heiBen Sehwerlinie oder Sehwerebene.

In der gezeichneten Lage wird die erste Wirklinie (WL1) der Gewichtskraft FQ ermittelt. Zur Bestimmung der zweiten Wirklinie (WL2) muss man sich den Korper um 90° im Uhrzeigersinn gedreht vorstellen. Es ware auch jede andere Winkeldrehung moglich, jedoch nicht so zweckmaBig.

Jede Symmetrielinie ist eine Schwerlinie, jede Symmetrieebene ist eine Schwerebene. Irgendwo auf ihnen liegt der Sehwerpunkt.

Beachte: Hat der Korper eine Symmetrielinie, so liegt damit schon eine Schwerlinie fest. Man braucht dann nur noch die zweite, rechtwinklig dazu stehende Schwerlinie zu bestimmen.

Fur komplizierte Korper wird die Lage des Schwerpunkts durch Versuche ermittelt. Fur einfacher aufgebaute Korper kann man sie mit Hilfe der in der Statik gewonnenen Erkenntnisse bestimmen: Man ermittelt die Wirklinie der Gewichtskraft aus den parallelen Teilgewichtskraften reehneriseh mit dem Momentensatz (Seite 42), zeiehneriseh mit dem Seileekverfahren (Seite 39), und zwarfiirzwei zueinander rechtwinklige Lagen.

Im Sehwerpunkt S gestiitzt oder aufgehangt, bleibt der Korper in jeder beliebigen Lage in Ruhe, er befindet sich also im Gleichgewicht.

Beachte: Der Sehwerpunkt ist derjenige korperfeste Punkt, durch den in jeder Lage des Korpers die Resultierende der Gewichtskrafte aller Einzelteilchen hindurchgeht.

2.2 Der Rachenschwerpunkt

77

2.2 Der Flachem^hwerpiiiikt 2.2.1 Flachen haben einen Schwerpunkt Es soil der Losungsansatz zur Schwerpunktsbestimmung fur eine diinne, symmetrische Blechscheibe mit Hilfe des Momentensatzes entwickelt werden. Dazu denkt man sich die Scheibe aus zwei Teilstiicken mit den Teilflachen A\ und A2 und der Dicke s zusammengesetzt. Der Schwerpunkt muss auf der Synmietrielinie x liegen. Man braucht nur noch den Schwerpunktsabstand XQ von der rechten Blechkante zu bestimmen.

Die Teilgewichtskrafte FQ\ und FQ2 berechnet man aus dem Volumen der Teilstucke, der Dichte Q ihres Werkstoffs und der Fallbeschleunigung g. Das Volumen der Teilstucke wird aus den Teilflachen Ai, A2 und der Blechdicke s bestimmt.

Die Gewichtskraft FQ der ganzen Blechscheibe berechnet man in gleicher Weise mit der GesamtflacheA — A\ +A2.

Dann stellt man den Momentensatz auf (Seite 42). Fiir die Gewichtskrafte setzt man die oben gefundenen Beziehungen ein und entwickeln daraus eine Bestimmungsgleichung fur den Schwerpunktsabstand XQ, aus der sich die Blechdicke s, die Dichte Q und die Fallbeschleunigung g herauskurzen.

Das Ergebnis zeigt, dass man die Schwerpunktslage auch mit den TQilfldchen und der Gesamt/Zac/z^ ermitteln kann. Auch Flachen haben also einen Schwerpunkt. Die Bestimmung des Flachenschwerpunkts ist z. B. fiir die Berechnung von Flachenmomenten zweiten Grades in der Festigkeitslehre erforderlich.

I TeilflacheAf Teilflache A 2

-452C

^Gi =mxg = VxQg FGI =rn2g = ViQg Vx — A\s und Wi — Ais folglich ist FGI = A i 5 ^ g u n d F G 2

^Q =FG\

FG

+FG2

= (Ai

=A2SQg

-\-A2)sQg

=AsQg

Momentensatz: -\-FGXO = +FG\XI

+ FG2X2

Vorzeichen beachten. Lm/:^drehsinn ist positiv. AsQgXo =AiSQgXi -\-A2SQgX2 {AiXi -{-A2X2)sQg _ A1X1 +A2X2 xo =• AsQg A

AXQ = A\Xi + A2X2 H

h AnJ^ti = ^AnXu

Momentensatz fiir Flachen Beachte: Fiir die Flachenmomente Ax sind die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen (links + , rechts - ) . Die Flachenmomente Ax heiBen nach DEN 1304 Flachenmomente 1. Grades.

78

2 Schwerpunktslehre

2.2.2 Schwerpunkte einfacher Flachen Dreieck Der Schwerpunkt der Dreieckflache liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Schwerpunktsabstand

Seitenhalbierende^

yo = j

Parallelogramm Der Schwerpunkt der Parallelogrammflache liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Schwerpunktsabstand

y^ -.

Trapez Man tragt an die Seite a die Seite b an und umgekehrt. Damit kann man die Strecke AB zeichnen. Durch eine Gerade verbindet man die Mitten der Seiten a und b miteinander. Der Schnittpunkt ist der Flachenschwerpunkt.

Schwerpunktsabstdnde

h a-\-2b y o = 3 - a^b ,

Die Seite a kann man auch nach rechts an die Seite b, und die Seite b nach links an die Seite a antragen.

h la^h 3 a-{-b Bogenb

Kreisausschnitt Schwerpunktsabstand

yo = j b 4R

Halbkreisflache:

yo

Viertelkreisflache:

yo

Sechstelkreisflache:

yo

Kreisringstiick Schwerpunktsabstand (Winkel a in Grad einsetzen)

Jo = 38,197

0,4244 R

3jt

4V2R 3jt

2R _ Jt

= 0,6002 R 0,6366 R

{R^-r^)a

Mittelpunkt M

Bogenlange Sehnenlange

b = 2/?a757,3° s = 2R sin a

2.2 Der Flachenschwerpunkt

79

Kreisabschnitt

J ^ ^

yFlacheA

BogenhohehJ

Schwerpunktsabstand

J0 =

12A

Sehnenlange

s = 2R sin a R(b-s)-\-sh Flacheninhalt A = Bogenhohe

h = 2R sin^ (a/2)

2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flachen 2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Flachenschwerpunkts Der Schwerpunkt zusammengesetzter Flachen wird mit dem Momentensatz fur Flachen nach 2.2.1 bestimmt. 1st die Flache unsymmetrisch, muss man die Lage zweier Schwerlinien ermitteln. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S. Man zerlegt die Flache in Teilflachen mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in ein Rechteck A\ und ein Quadrat A2, und zeichnet die Teil-Schwerpunkte 5"! und ^2 ein. Dann legt man einen Momentenbezugspunkt 0 fest, und zwar moglichst so, dass alle Flachenmomente den gleichen Drehsinn erhalten. Man wahlt hier die rechte untere Ecke der Flache und legt durch diesen Punkt ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Aus den gegebenen Abmessungen berechnet man die Teilflachen Ai und A2, ihre Schwerpunktsabstande xu -^2 von der y-Achse und yi, y2 von der x-Achse und die Gesamtflache A.

Aus 2.2.1 ist bekannt, dass die Flacheninhalte wie Gewichtskrafte behandelt werden konnen. Das deutet man durch vertikal nach unten und horizontal nach rechts gerichtete Pfeile in den Teilschwerpunkten an. Den Gesamtschwerpunkt S legt man an eine beliebige Stelle und tragt die beiden Pfeile A fiir die Gesamtflache und die Schwerpunktsabstande XQ und yo ein.

A^ = = A = = = y\

80 mm • 60 mm = 4 800 mm^ 40 mm • 40 mm = 1 600 mm^ Ai +A2 =6400mm^ X2 = 80 mm 30 mm y2 = 20 mm 40 mm

80 Mit Hilfe der vertikalen „Rachenpfeile" kann man nun den Momentensatz fiir Flachen bezogen auf den Punkt 0 aufstellen. Dabei muss man auf den Momentendrehsinn achten. In diesem Fall sind alle Momente linksdrehend. Sie erhalten das positive Vorzeichen.

2 Schwerpunktslehre Momentensatz:

AiXi

XQ

-\-A2X2

= -

XQ

-

4 800 mm^ • 30 mm + 1 600 mm^ • 80 nam 6400mm2

Aus dem Momentensatz entwickelt man eine Bestimmungsgleichung fiir den Schwerpunktsabstand XQ und berechnet ihn daraus.

XQ = 42,5 mm

Zur Ermittlung der waagerechten Schwerlinie stellt man noch einmal den Momentensatz fiir den Bezugspunkt 0 auf, diesmal mit den waagerechten „Flachenpfeilen". Daraus berechnet man den Abstand yo des Schwerpunkts S von der x-Achse auf die gleiche Weise wie vorher den Abstand JCQ. Bei diesem Ansatz sind alle Momente rechtsdrehend, also negativ.

Momentensatz:

Mit dem Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Schwerpunkt S der Gesamtflache bestimmt.

Die vertikale Schwerlinie hat einen Abstand XQ — 42,5 mm von der y-Achse.

-Ajo = -A\y\

-A2yi

A\y\ +A2J2 >^o •

yo

4800 mm^ • 40 mm + 1 600 mm^ • 20 mm 6400mm2

>'o ^

35 mm

Die waagerechte Schwerlinie hat einen Abstand y^ — 35 mm von der x-Achse.

Arbeit£|ilmi rm necluierisdien Bestbtimiuig des ilachenseliwerpunkts: FlSche in TeilflMcten mit bekaimtem Schwerpunkt zerlegen.

1. Schritt

Momentenbezugspiinkt 0 festlegen.

2. Schritt

Gesamtschweipunkt mit angenommener Lage sowie Schwerpunktsabstande jcb und yo einzeichnen. Teilflachen, Gesamtflache und Teilschwerpunktsabstande beiechnen.

3. Schritt

Momentensatz flir zwei zueinander senkrechte Achsen aufsteien, Momentendrehsinn beachten. Nach x^ und ji^ auflosen und Schwerpunktsabstande ausrechnen.

4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

2.2 Der Flachenschwerpunkt

81

2.2.3.2 Ubung zur Bestimmung des Flachenschwerpunkts 1. Ubung: Fur die skizzierte zusammengesetzte Rache soil die Lage des Schwerpunkts rechnerisch bestimmt werden.

Losung: Man muss die Rache in drei Teilflachen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen: in die Halbkreisflache Ai, die Rechteckflache A^ und die Quadratflache A3. Dann werden die Schwerpunktsabstande x\, xi und X3 eingezeichnet.

1. Schiitt

2. Schritt

Man wahlt als Momentenbezugspunkt 0 den Schnittpunkt zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse.

3, Sclmtl

Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der Lage fest, in der man ihn vermutet, und tragt den Schwerpunktsabstand JCQ in die Skizze ein. Dann fiihrt man die Rechnung in drei weiteren Schritten aus: Zuerst werden die Teilflachen, die Gesamtflache und die Teilschwerpunktsabstande berechnet.

4. Schiitt Ai = — • (70 mm)^ = 1 923 mm^ o

A2 = 600 mm^

A3 = 400 mm^

A = A i + A 2 + A 3 ==2923mm^ jci = 0,4244 R = 0,4244 • 35 mm = 14,9 mm JC2 = 10 mm

Nun wird der Momentensatz fiir den Bezugspunkt 0 aufgestellt. Das Moment der Teilflache Ai ist rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen Teilflachen sind positiv. Den Momentensatz lost man nach XQ auf und beachtet dabei sorgfaltig die Vorzeichen. Die Rechnung ergibt einen negativen Wert fiir JCQ. Das bedeutet, dass der Drehsinn fiir das Moment der Gesamtflache falsch angenommen wurde (siehe Momentensatz fiir Krafte, 1.2.5.2), d. h. der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondem rechts vom Bezugspunkt 0. Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln. Es ist die waagerechte Symmetrielinie.

XT, = 30 mm

5. Schntt +Axo = -AiX\

-\-A2X2-^ A3X1,

- A i X i -\-A2X2 +A3X3

XQ = XQ

=

A: -10650 mm^ • 2923mm2

>. o u •**

6. Schntt -3,6 mm

Ergebnis: Der Schwerpunkt 5" liegt auf der Symmetrielinie 3,6 nrni rechts vom Halbkreismittelpunkt. Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand, dann liegt der Schwerpunkt auf der anderen Seite des Bezugspunkts.

82

2 Schwerpunktslehre

2. Ubung: Aus einer Rechteckflache sind ein kleineres Rechteck und eine Kreisflache symmetrisch ausgespart. Der Schwerpunkt der Gesamtflache soil rechnerisch bestimmt werden.

1 r^^ LJ—LI

Losung: Die Gesamtflache ist aus drei Teilflachen entstanden: Von der groBen Rechteckflache Ai wurden die Kreisflache A2 und die kleine Rechteckflache A3 fortgenommen. A2 und A3 bezeichnet man als „negative" Flachen. In der Skizze kennzeichnet man die Teilflache A\ durch einen nach rechts gerichteten Pfeil, die „negativen" Teilflachen A2 und A3 durch nach links gerichtete Pfeile. Die Schwerpunktsabstandeyi, y2 und y^ werden eingetragen. Als Momentenbezugspunkt 0 wahlt man einen Punkt auf der oberen Rechteckseite. Man kann sich dann bei der Annahme des Gesamtschwerpunkts S nicht irren; er muss unterhalb des Bezugspunkts liegen. In die Skizze tragt man den Abstand yo und fiir die Gesamtflache A einen nach rechts gerichteten Pfeil ein. Die Rechnung wird wieder mit der Berechnung der Teilflachen, der Gesamtflache und der Teilschwerpunktsabstande begonnen.

Beim Aufstellen des Momentensatzes fur den Bezugspunkt 0 muss man bei der Festlegung des Drehsinns die eingezeichneten Pfeilrichtungen beachten. Die negativen Flachen wirken wie negative Krafte. Der Drehsinn ihrer Momente ist entgegen dem der positiven Flachen gerichtet. Der Momentensatz wird nun nach yo aufgelost, und der Schwerpunktsabstand wird aus der entwickelten Gleichung ausgerechnet. Das positive Ergebnis zeigt, dass der Schwerpunkt S auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen wurde. Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie der Flache. Aiifgabeii 201-219

\

1

1

1. Schritt •

.(!)-[+]

^

2. Schritt 3. Schritt

4. Schritt Ax = 4800 mm^, A2 = 314 mm^ A3 = 800 mm^ A = Ai - A2 - A3 = 3 686 mm^ y\ = 30 mm; ^2 = 20 mm; ^3 = 50 mm

5. Schritt ^-Ayo = -f-Aiyi -Ajyi - A^^y^ Beachte: Fiir negative Flachen (Aussparungen) kehit sich der Momentendrehsinn um.

6. Schritt yo

yo

••

Aiyi -A2yi - A^y-^, A 144 000 mm^ - 6 280 mm^ - 40 000 mm^ 3 686 mm2

Jo = 26,5 mm Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der Symmetrielinie 26,5 mm unterhalb der oberen Rechteckseite.

83

2.3 Der Linienschwerpunkt

2.3 Der Linienschwerpunkt 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt Wie in 2.2.1 geht man wieder von der Schwerpunktsbestimmung fiir einen Korper aus. Es wird ein zweifach abgekanteter Stab untersucht. Er hat auf der ganzen Lange den gleichen Querschnitt A. Man stellt sich den Stab in drei gerade Teilstiicke mit den Teillangen l\, h, h zerlegt vor. Der ganze Stab ist symmetrisch in Bezug auf die eingezeichnete x-Achse.

ii=h I

I

"•03

^0 ^2

FG\ =rn\g = /^G2 = rnig = FG3 =in3g =

Die Gewichtskraft FG des ganzen Stabes berechnet man in gleicher Weise mit der Gesamdange l = h +l2 + hDann wird der Momentensatz nach 1.2.5.2 aufgestellt, die fiir die Gewichtskrafte gefundenen Beziehungen eingesetzt und daraus eine Bestimmungsgleichung fiir den Schwerpunktsabstand XQ entwickelt. Die Flache A, die Dichte g und die Fallbeschleunigung g kiirzen sich wieder heraus.

FG

FG

= FGI 4=AlQg

y\Qg=AhQg yiQg=AhQg V3Qg=AhQg

FG2

+

FG3

= {h + /2 + h) Agg

+FGXO = + F G I X I + FG2.^2 + ^G3-^3

Alggxo xo

••

XQ

••

=Aliggxi

-\-Al2ggX2+AhggX3

{lix\ +12X2 +13X3) Agg lAgg Ixxx + I2X2 + I3X3

bcQ = hxi 4-/2^2 +

h 4^n = 2 4 %

Momentensatz fiir Linien Beachte: Fiir die Linienmomente Ix sind die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen (links + , rechts —).

2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien Gerade Linie (Strecke) Der Schwerpunkt einer Strecke liegt auf ihrer Mitte. Schwerpunktsabstand

yo = -

/

A

%v UL:

Die Teilgewichtskrafte FQ\, FG2, FG?> berechnet man aus dem Volumen der Teilstiicke, der Dichte ihres Werkstoffes und der Fallbeschleunigung. Das Volumen der Teilstiicke wird aus ihren Teillangen luh^ h und der Querschnittsflache A berechnet.

Das Ergebnis zeigt, dass man die Schwerpunktslage auch mit den TQilldngen und der Gessimildnge ermitteln kann. Auch Linien haben also einen Schwerpunkt. Man muss ihn z. B. als Schnittkantenschwerpunkt bei der Konstruktion von Stanzwerkzeugen bestimmen.

— ^ J ^^ Querschr Querschnittsflache

1

/

cP

K0 = 2

/ 2

/

1

2 Schwerpunktslehre

84 Dreiecksumfang Die Dreiecksseiten werden halbiert und das Hilfsdreieck ABC gezeichnet. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt des darin einbeschriebenen Kreises. Schwerpunktsabstand

\1 5 0

a^b a^b^c

>'o = r

2

V*

7

"^

/B/1

\

Vc:|fNi

o

'1 ^

c

Parallelogrammumfang Der Schwerpunkt des Parallelogrammumfangs (Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid) Uegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Schwerpunktsabstand

yo = ^

Kreisbogen Rs

Schwerpunktsabstand

Halbkreisbogen:

2R yo = - Jt

Viertelkreisbogen:

yo =

Sechstelkreisbogen:

2V2R

= 0,9003/?

JT

3R Jo

0,6366/?

- 0,9549/?

Bogenlange Sehnenlange

b = 2/?a757,3° s = 2Rsina

2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienziige) 2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts Fiir Linienzuge wird der Schwerpunkt mit dem Momentensatz fur Linien nach 2.3.1 bestimmt. Bei unsymmetrischen Linienziigen muss man die Lage fiir zwei Schwerlinien bestimmen. Im Ubrigen gelten die gleichen Regeln wie fiir den Momentensatz fiir Flachen (siehe Seite 77). Man zerlegt den Linienzug in TeiUinien mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in zwei Strecken /i, /3 und einen Halbkreisbogen I2, und zeichnet die Teilschwerpunkte ^i, 5*2, S3 ein. Die Lage des Gesamtschwerpunkts S wird angenommen. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt. Bei symmetrischen Linienziigen wahlt man dafiir zweckmaBig einen Punkt auf der SymmetrieUnie.

^2

\

/

c l^'^""-?

^iT^o

/ '-

t

Bogenlange 12 ~~

K

R = 20m

^

1

S lA^ ^SymmetrieUnie = Schwerlinie "^

S2

•s

^

// = 50 mm

2.3 Der Linienschwerpunkt

85

Aus den gegebenen Abmessungen des Linienzuges berechnet man die Langen der Teillinien /i, I2, h, ihre Schwerpunktsabstande x\, JC2, JC3 von der y-Achse und die Gesamdange / = /i + /2 + /s.

l\ = h — 50 mm I2 = KR = n-20 mm = 62,8 mm / = /j + /2 + /3 = 162,8 mm xi = 25 mm X3 — 25 mm JC2 = /i + 0,6366/? = = 50 mm + 0,6366 • 20 mm = 62,7 mm

Der Momentensatz fiir Linien liefert nun wieder eine Bestimmungsgleichung fiir den Schwerpunktsabstand XQ, aus der man JCQ berechnet. Das Ergebnis ist positiv, folglich wurde der Gesamtschwerpunkt auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen. Das war auch nicht anders zu erwarten, weil der Bezugspunkt an das Ende des Linienzuges gelegt worden war. Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie des Linienzuges.

Momentensatz: +/Xo = M\X\ + /2^2 + ^3^3 l\X\ +I2X2 xo

-\-l3X3

••

I 1 250 mm^ + 3 938 mm^ + 1 250 mm^ XQ 162,8 mm Xo = 39,5 mm Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrielinie 39,5 mm links vom rechten Ende des Linienzuges.

Art^ts^ian mat redmeiis^en Bestunraimg des Llnienschwerpiiiikts: Linieaziig in Teillinien mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen*

1. Schritt

Momentenbezugspunkt 0 festlegen.

2. Schritt

Gesamtschwerpunkt S mit angenommener Lage und den Schwerpunktsabs^aiden XQ^ yo einzeichnen. TeiUangen, Gesamdange und Teilschwerponktsabstande berechnen.

3. Schritt

Momentensatz fur Ewei zueinander rechtwinMige Achsen aufstellen, Momentaidrehsinn beachten. Nach j ^ und 3^0 aufldsen und Schwerpunktsabstande ausrechnen.

Aujfgaben Nn 22^-238

4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

2 Schwerpunktslehre

86

2.4 Guldin'sche Regeln 2.4.1 Volumenberechnung Ein Rotations/:dr/7^r entsteht durch Drehung seiner Profilfldche um seine Symmetrieachse. Bei einer Drehung „erzeugt" die Profilflache das Volumen des Korpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Flachenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. Das kleine Flachenteilchen A A erzeugt das Ringvolumen AV = 2jtjc A A. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck XAAx ist die Momentensumme aller Teilflachen, bezogen auf die Drehachse (siehe 2.2.1 Momentensatz fur Flachen), und damit gleich dem Moment AJCQ der ganzen Profilflache A. Daraus ergibt sich die Guldin 'sche Volumenregel: Das Volumen eines Rotationskorpers ist das Produkt aus der Profilflache und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung.

S 4 Flachenschwerpunkt AA Ringvolumen AV " V\ = erzeugende Flache (Profilflache)

V = 2 A V = 2 2 Jtjc AA = 2 Jt2 AA X 2 AAx = AXQ. Setzt man AXQ in die erste Gleichung ein, dann wird V = 2nAxo. Darin ist das Produkt ITCXQ der Weg, den der

Schwerpunkt S der Profilflache bei einer Umdrehung zuriicklegt.

Volumen

V = A' 2KXQ

A Profilflache jco Schwerpunktsabstand der Profilflache von der Drehachse nach 2.2.3.1

2.4.2 Oberflachenberechnung Oberfldchen oder Mantelfldchen von Rotationskorpem entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Langenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Flachenanteil beteiligt. Die kleine Teillange A/ erzeugt bei einer Drehung die Ringflache AA = 2jrjc A/. Die Summe aller Teilflachen ist die Mantelflache A. Der Summenausdruck SA/jc ist die Momentensumme aller Teillangen, bezogen auf die Drehachse (siehe 2.3.1 Momentensatz fiir Linien) und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie /. Daraus ergibt sich die Guldin 'sche Oberfldchenregeh Die Oberflache (ManteMache) eines Rotationskorpers ist das Produkt aus der Lange der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung.

Ringflache AA Linienschwerpunkt S J

\

" I

/ = Lange der erzeugenden Linie (Profillinie)

A = 2 AA = T2KX A / = 2jt2 Alx

2 Alx — IXQ. Setzt man Ixo in die erste Gleichung ein, dann wird A = IKIXQ. Darin ist das Produkt 2jtxo der Weg, den der Schwerpunkt S der Profillinie bei einer Umdrehung zuriicklegt. A = l' 2nxQ

Oberflache Mantelflache

I Lange der Profillinie XQ Schwerpunktsabstand der Profillinie von der Drehachse nach 2.3.3.1.

87

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit

2.4.3 Ubungen mit den Guldin'schen Regeln 1. Ubung: Der Rauminhalt der Kugel Losung: Die erzeugende Profilflache ist eine Halbkreisflache mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand XQ = 4r/3n von der Drehachse (siehe 2.2.2). 2. Ubung: Der Rauminhalt des Kegels Losung: Die erzeugende Flache ist ein Dreieck mit der Hohe /z, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand XQ = r/3 von der Drehachse. 3. Ubung: Die Oberflache der Kugel Losung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand XQ = 2r/jT von der Drehachse (siehe 2.3.2). 4. Ubung: Die Mantelflache des Kegels Losung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie mit der Lange s und dem Schwerpunktsabstand XQ = r/2 von der Drehachse.

V = A' ITCXQ

.

2

4r

2JI—= 3JT

y-±., nr'h

V = A • 2JTXO = - - • 2JT

3 A = I • 2iixo - jtr • 2JT

2r

-Anr^

A = 4ur^

A

=

I • IJIXQ

••

•In •

A — nrs Aufgaben Nr. 239-264

2.5 GleichgewiehlBlagen und Stands!^ 2.5.1 Gleichgewichtslagen Die Lage des Schwerpunkts eines Korpers bezogen auf seine Standflache bestimmt seine Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen: 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lageanderung gehoben wird. Hierbei entsteht immer ein rUckstellendes Kraftmoment, das den Korper wieder in die Ausgangslage zuruckfiihrt. 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner Lageanderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer ein ablenkendes Kraftmoment, das den Korper immer weiter aus der Ausgangslage herausfuhrt. 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster Lageanderung weder gehoben noch gesenkt wird. Hierbei entstehen weder ruckstellende noch ablenkende Kraftmomente.

Sch werpunk tsweg

Sch werpunk tsweg

= Drehpunkt

SchwerpunktswegV

•^'jTYY^Sch

werpunk tsweg

FQ

Sch werpunk tsweg

2 Schwerpunktslehre

2.5.2 Standsicherheit 2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Das Kippen eines Korpers soil untersucht werden: Der skizzierte Korper steht frei beweglich auf einer rauen horizontalen Standflache. Die waagerecht wirkende Kraft F greift im Abstand a so hoch von der Standflache an, dass der Korper nicht nach rechts wegrutscht. Bei geniigend groBer Kraft F wird der Korper eine Drehbewegung um die Korperkante K (Kippkante) ausfiihren: Der Korper kippt. Im Augenblick des Ankippens wirkt das (rechtsdrehende) Kippmoment M^ — Fa um die Kippkante K. Zugleich wirkt dem Kippmoment Mk entgegengerichtet (linksdrehend) das Standmoment Ms = FG^, das den Korper in der Ruhelage zu halten sucht. Der Korper wird nicht kippen, solange das Standmoment Ms groBer ist als das Kippmoment M^. Der Sicherheitsgrad gegen das Kippen wird durch das Verhaltnis beider Momente ausgedriickt. Dieses Momentenverhaltnis nennt man die Standsicherheit S. Ist 5 = 1, also Feb = Fa, so geht die Resultierende Fr der beiden Krafte durch die Kippkante K (keine Drehung). Der Korper befmdet sich gerade noch im Gleichgewicht. Je mehr sich Punkt B dem Punkt A nahert, umso groBer ist die Standsicherheit {S > 1). Fallt B mit A zusammen, ist die Standsicherheit unendlich groB. Wandert Punkt B iiber die Kippkante K hinaus auf Punkt C, so ist 5 < 1 und der Korper kippt um. Es kann notwendig sein, die Untersuchung zur Standsicherheit fur mehrere Kippkanten durchzufuhren, z. B. bei beladenen Fahrzeugen und Kranen (siehe Ubung). Beim Berechnen von Ms und Mk addiert man die Kraftmomente jeweils mit positivem Vorzeichen, im Gegensatz zur sonst ublichen Vorzeichenregel (siehe tJbung).

Kippkante K

M^ = Fa

Kippmoment

Ms = Fab

Standmoment

A4

Fa

S > \ sicherer Stand S = 1 Kippgrenze S < 1 kippen

Standsicherheit

Eine Betrachtung der geometrischen Verhaltnisse zeigt: Die Abstande/und a verhalten sich zueinander wie die Krafte F und FQ.

f_

und daraus a

a

JFG

F

Diesen Ausdruck in die Standsicherheitsgleichung eingesetzt, ergibt: b_ Mk

Fa

f

Standsicherheit

Beachte: Die Standsicherheit S hat immer das positive Vorzeichen.

2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit

89

2.5.2.2 Ubung zur Standsicherheit Die Skizze zeigt einen drehbaren Mobilkran mit den Langen /i = 1,8 m, I2 = 2,5 m, /s = 7 m und I4 = 0,9 m, gemessen von der vertikalen Bezugsachse durch den Kippkantenpunkt A. Die Standsicherheit fur den unbelasteten Kran um den Kippkantenpunkt A und fiir den belasteten Kran um B soil in beiden Fallen mindestens 1,5 betragen.

Die Gewichtskrafte FQI und FG2 sind bekannt, die erforderliche Gewichtskraft FQS soil emiittelt werden: FGI - 100 kN, FQI == 50 kN. AuBerdem sind die Achslasten FA und FB fiir beide Falle zu berechnen.

Losung: Fiir den unbelasteten Mobildrehkran ist die Gewichtskraft FQ2 = 0. Der Kran kann um die Hinterachse (A) kippen mit dem Kippmoment FQ^U. Standmoment ist dann das rechtsdrehend wirkende Kraftmoment FGI/I. Im umbelasteten Zustand darf FQ^ hochstens 133,3 kN betragen, jede groBere Gewichtskraft FG3 fiihrt zu einer kleineren Standsicherheit S.

Fiir den belasteten Mobildrehkran enthalt die Standsicherheitsgleichung die Kraftmomente fiir alle drei Gewichtskrafte. Der Kran kann um die Vorderachse (B) kippen durch das rechtsdrehend wirkende Kippmoment Mk = FG2(/3 - h)- Im belasteten Zustand muss die Gewichtskraft FG3 mindestens 78,7 kN betragen, wenn die Standsicherheit S mindestens 1,5 betragen soil. Jede groBere Gewichtskraft FGB > 78,7 kN fuhrt zu einer groBeren Standsicherheit 5". Die Gewichtskraft FG3 darf also zwischen 78,7 kN und 133,3 kN betragen.

Aii%abenNn265--279

Gegeben: h = 1,8 m, h = 2,5 m, /3 = 7 m, I4 = 0,9 m F G I - 100kN,FG2 = 50kN

Gesucht: Erforderliche Gewichtskraft FG3, Achslasten FA und FB .

FQI

h

FG3U

FGI/I

100 k N - 1 , 8 m

5/4

1,5 •0,9 m

FG3

S- = -^s SFciih

FG3

FG3

•

133,3 kN

FGI(/2-/I)+FG3(/2+/4

- k)

= F G I ( / 2 - /i) + FG3(/2 + I4)

5FG2(/3-/2)-FGI(/2-/I)

h+k 1,5 • 50 kN (7 - 2,5) m - 100 kN (2,5 - 1,8) m (2,5 + 0,9) m

FG3 = 78,7 kN

90

3 Reibimg 3*1 Grunderkeintnisse iiber dfe Reibiing Mochte man den Reitstock einer Drehmaschine auf dem Drehmaschinenbett verschieben, spurt man einen Widerstand. Diese bewegungshemmende Kraft ist die Reibungskraft, kurz Reibkraft. Solange sich die Beriihrungsflachen nicht gegeneinander bewegen, spricht man von Ruhe- Oder Hafireibung, im anderen Fall von Gleitreibung. Dabei steht meistens einer der beiden Korper still (Reitstockverschiebung auf dem Bett). Durch Versuche bekommt man einige Grunderkenntnisse iiber die wichtigsten Gesetze der Reibung:

ReibkraftFR = 10N\\ " -•'

a)

—•

T||| "•

^^^fcrr—-^

Gewichtskraft FQ n

Reibkraft Ff^ = ION yU^^'' ^ ^ y^—

,, \ . ^ , ^^ ,^,, ^rschiebekraft F = 10 N

'

»^

Verschiebekraft F = 10 N —

b) Gewichtskraft FQ

a) Man setzt ein Wagestiick von der Masse m = 5 kg auf eine fest stehende Tischplatte, legt eine Schlinge darum und misst mit einer Federwaage die parallel zur Tischebene erforderliche Verschiebekraft F bei konstanter Geschwindigkeit (a). Sie ist notwendig, um die zwischen beiden Korpem wirkende Reibkraft FR ZU iiberwinden. Man erkennt: Die Reibkraft FR ist eine in der Beriihrungsflache wirkende Tangentialkraft. Sie versucht den schnelleren Korper (das Wagestiick) zu verzogem, den langsameren oder stillstehenden Korper (den Tisch) dagegen zu beschleunigen. Die Kupplung ist ein gutes Beispiel dafiir. Bewegen sich beide Korper gegensinnig zueinander, dann wirkt die Reibkraft auf beide verzogemd. b) Verschiebt man einen Korper mit anderer Grundflache, aber gleichem Werkstoff und gleicher Masse m = 5 kg in gleicher Weise, so stellt sich an der Federwaage die gleiche Kraftanzeige ein. Man erkennt: Die Reibkraft FR ist unabhangig von der GroBe der Gleitflache. Man kann diese merkwiirdige Erscheinung damit erklaren, dass auch glatte, ebene Flachen nur in drei Punkten aufliegen. c) Verdoppelt man die Masse auf 10 kg, so verdoppelt sich auch die Gewichtskraft FQ und damit auch die Normalkraft F^ zwischen beiden Korpem. An der Federwaage stellt sich jetzt die doppelte Verschiebekraft ein, d. h. man muss jetzt mit 20 N statt vorher mit 10 N Ziehen. Man erkennt: Die Reibkraft FR ist proportional der Normalkraft FN, mit der die beiden Flachen aufeinander gedriickt werden. d) Benutzt man fiir das Wagestiick eine andere Unterlage, z. B. eine Hartfaserplatte, so stellt sich auch eine andere Verschiebekraft, also auch eine andere Reibkraft ein. Man erkennt: Die Reibkraft ist abhangig von den Werkstoffen der beiden aufeinander gleitenden Korper.

3.2 Gleitreibung und Haftreibung

91

e) Schon bevor man das Wagestuck aus der Ruhe in die Bewegung bringt, zeigt die Federwaage eine Kraft an, die von null bis zu einem Hochstwert ansteigt, der groBer ist, als die Reibkxaft FR zwischen gleitenden Flachen. Man erkennt: Auch zwischen ruhenden Korpem kann eine Reibkraft wirken. Man nennt sie die Haftreibkraft FRO. Sie kann groBer werden als die Gleitreibkraft FR. f) Durch weitere Versuche kann man noch zu folgenden Erkenntnissen kommen: Bei nicht allzu groBer Gleitgeschwindigkeit ist die Reibkraft FR unabhangig von der Gleitgeschwindigkeit zwischen beiden Flachen. Auch ein rollender Korper wird durch eine Kraft abgebremst, die man den Rollwiderstand nennt. Er ist erfahrungsgemaB kleiner als die Gleit- oder Haftreibkraft. Innerhalb bewegter (stromender) Fliissigkeiten und Gase tritt ebenfalls Reibung auf. Auch sie versucht, die schnelleren Stromungsfaden zu verlangsamen und die langsameren zu beschleunigen.

3*2 GUetoeibimg und Haftreibung 3.2.1 Reibwinkel, Reibzahl und Reibkraft Ein Korper driickt mit seiner Gewichtskraft FQ — Normalkraft F^ auf eine horizontale Gleitflache und wird durch die Kraft F mit gleich bleibender Geschwindigkeit v bewegt. Beim Verschieben muss die G/^//reibkraft (kurz: Reibkraft) tiberwunden werden. Sie wirkt stets tangential in der Beriihrungsflache. Den Richtungssinn fmden wir aus folgender Uberlegung: Die Reibkraft versucht, den schnelleren Korper zu verzdgem, den langsameren (oder stillstehenden) dagegen zu beschleunigen. Ruben beide Korper, bestimmt der zu erwartende Bewegungszustand den Richtungssinn der Reibkraft. Der Krafteplan zeigt die vier miteinander im Gleichgewicht stehenden Krafte. Die eingezeichnete Diagonale ist die Resultierende aus der Normalkraft FN und der Reibkraft FR, die man als Ersatzkraft FQ bezeichnen kann. Man sieht, dass mit zunehmender Reibkraft FR der Winkel g zwischen Normalkraft FN und Ersatzkraft Fe groBer wird und dass die Reibkraft der Tangensfunktion dieses Winkels proportional ist. Man nennt ihn den Reibwinkel g. Seine Tangensfunktion wird als Reibzahl fi bezeichnet.

freigemachter Korper Reibkraft Ff^ I Normalkraft

Normalkraft

F^

Fj^ I Reibkraft Fp^

Krafte auf die Gleitflache

Hinweis: Das Kippproblem durch die Kraftepaare FQ, F^ und F, FR bleibt hier unbeachtet, siehe dazu 2.5.2.1.

Krafteplan

tan ^ = ^ ^ =^

FR

=

FN

Reibzahl/i = tan^

FN

tan g

92

3 Reibung

Aus diesen Beziehungen erhalt man eine Gleichung zur Berechnung der Reibkraft FR. Ruhen beide Korper aufeinander, kann die Haftreibkraft von null bis auf einen Hochstwert anwachsen, der groBer ist als FR. Dann ist aber auch der Reibwinkel groBer als Q. Man bezeichnet ihn als den Haftreibwinkel QQ. Seine Tangensfunktion ist die Haftreibzahl /IQ- Sie ist groBer als die Gleitreibzahl pt, weil die Oberflachenrauigkeiten im Ruhezustand ineinander eindringen konnen und dadurch zusatzliche Haftwirkung entsteht. Wie oben erhalt man eine Gleichung zur Berechnung der maximalen Haftreibkraft FRO max- Die Reibzahlen // und //Q sind kleiner als eins. Folglich sind F R und FRO max immer ein Bruchteil der Normalkraft FN.

Reibkraft = Normalkraft * Reibzahl FR

Reibkraft

= FN/I

Haftreibzahl /fQ = tan ^Q /io>/i, weil ^ o > ^ Beachte: Reibzahlen konnen nur durch Versuche ermittelt werden (siehe 3.2.2). Sie sind unterschiedlich auch bei gleichartigen Bedingungen (Werkstoff, Schmierzustand, Rautiefen) durch nicht erfassbare Einfliisse. Angegebene Werte sind immer nur Richtwerte. maximale = Nonnalkraft Haftreibzahl Haftr^ibbraft FROHWX = FN/<0

maximale Haftreibkraft

Tabelle 3.1 Reibzahlen //Q und fi (Klammerwerte sind die Gradzahlen fiir ^o und Q)^^ Gldtxeibzaitl fi

Haftreibzahl/^

Werkstc^ Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen (GJL) oder CuSn-Leg. Gusseisen (GJL) auf Gusseisen (GJL) Holz auf Holz Holz auf Metall Lederriemen auf Gusseisen (GJL) Gummiriemen auf Gusseisen (GJL) Textilriemen auf Gusseisen (GJL) Bremsbelag auf Stahl Lederdichtungen auf Metall

trocken

gefettet

trocken

gefettet

0,15 (8,5) 0,19 (10,8)

0,1 (5,7) 0,1 (5,7) 0,16 (9,1) 0,16 (9,1) 0,11 (6,3) 0,3 (16,7)

0,15 (8,5) 0,18 (10,2) 0,3 (16,7) 0,5 (26,6)

0,01 0,01 0,1 0,08 0,1

0,4 (21,8) 0,4 (21,8) 0,5 (26,6) 0,2(11,3)

0,4 (21,8) 0,12 (6,8)

0,5 (26,6) 0,7 (35)

0,6 (31)

0,2 (11,3)

(0,6) (0,6) (5,7) (4,6) (5,7)

^^ Die angegebenen Reibzahlen sind Mittelwerte fur praktisch auftretende Streubereiche, z. B. fi^^^ = 0,14... 0,16.

3.2.2 Ermittlung der Reibzahlen n und )MO Zur Ermittlung der Reibzahlen benutzt man eine „Schiefe Ebene" mit verstellbarem und ablesbarem Neigungswinkel. Schiefe Ebene ist die ubliche Bezeichnung fiir „geneigte" Ebenen mit dem Ebenenwinkel a^O. Der Priifkorper bleibt bei zunehmender Neigung der Ebene solange in Ruhe, bis der Neigungswinkel a gleich dem Haftreibwinkel QQ ist. Liegt die Ebene unter dem Reibwinkel g, dann gleitet der Korper nach dem AnstoBen mit gleich bleibender Geschwindigkeit ab warts.

PriifkorperSchiefe Ebene

3.2 Gleitreibung und Haftreibung In beiden Fallen ist der Priifkorper im Gleichgewicht; es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. Der Winkel zwischen Normalkraft F^ und Gewichtskraft FQ ist beim Gleiten der Reibwinkel g, denn FQ ist die Gegenkraft der Ersatzkraft FQ. Eine Betrachtung der geometrischen Verhaltnisse zeigt, dass der Reibwinkel g im Krafteck gleich dem Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist.

93

freigemachter Priifkorper

Krafteck

Man braucht beim Versuch also nur den Neigungswinkel der schiefen Ebene abzulesen. Seine Tangensfunktion ist die Reibzahl ju (oder//Q). Zum gleichen Ergebnis kommt man auch mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. Als x-Achse legt man die Richtung der schiefen Ebene fest und zerlegt die Gewichtskraft in ihre Komponenten FQ sin g und FQ COS g. Dann miissen beim gleichformigen Abwartsgleiten die Gleichgewichtsbedingungen 2Fx — 0 und 2Fy = 0 erfiillt sein. Die Gleichungsentwicklung zeigt, dass der Tangens des Neigungswinkels gleich der Reibzahl // ist, also ist auch der Neigungswinkel gleich dem Reibwinkel g. Versuche mit verandertem Neigungswinkel a lassen erkennen, dass der Korper solange in Ruhe bleibt, solange a < ^o ^^^- ^^^ Bereich zwischen den Winkeln null und ^o heiBt Selbsthemmungsbereich.

Lageskizze I. 2Fx = 0 = - F G sin ^ + F R II. 2Fy — Q = F^ - FQ COS Q FQ sin Q = F^:= F^ju; FQ COS Q = FcsiuQ FQ COS Q

FN// = — - = // = tan ^ FN

Wenn a < QQ ist, dann ist auch tan a < tan ^0 tana
Selhsthemmungsbedingung

3.2.3 Der Reibungskegel Ist die Reibzahl /^o und damit der Reibwinkel ^o bekannt, kann der so genannte Reibungskegel gezeichnet werden. Man dreht dazu eine um den Reibwinkel ^o gegen die Wirklinie der Normalkraft F^ geneigte Gerade um die Pfeilspitze von FQ. Der Korper bleibt solange in Ruhe, wie die Resultierende F^ aller auBeren Krafte innerhalb des Reibungskegels liegt. Jede Mantellinie des Reibungskegels ist eine Wirklinie der aus Haftreibkraft FRO max und der Normalkraft (hier FG = FN) zusammengesetzten Ersatzkraft Fg.

F^

Reibungskegel

Resultierende Fr I

Verschiebekraft F

Gewichtskraft FQ

3 Reibung

94 Lehrbelsplel: Reibung in Ruhe und Bewegung Aufgabenstellung: Zwei Korper a und b mit den Gewichtskraften FQI undFoz liegen ubereinander auf elner ebenen Untertage. in den beiden GleitMchen sind die Reibzahlen: fta, ^0,19

fjtf

Korper a

Korperb

^0,17

a) Wie groS muss F werden, damit der Ruhezustand gerade aufgehoben wird? Wie verhaltsich Korper bT

Losung:

FROImax groBte Reibkraft, die Korper a auf b in R'tchtung von F ausubt bevor Gieiten eintritt. f^mimax groSte Reibkraft, die den Korper b am Verschieben In R'tchtung von F hindert. Fur Korper b gilt Kdrperb

Lageskizze

IFy==^0^-FGi--FG2 + FN; FN = FGI + FG2 EFx — 0 = F^Qtmax — Fnoiimax FRoimax = Faifia = 52 N • 0,19 ^ 9,88 N Fmimax = FNfiM

= {FGI + FGZ) ' t^mf = 76 N 0,12 ^ 9,12 N

Erkenntnis: Die Reibkraft in der Etmne il ist kleiner. Der Ruhezustand wird hier zuerst aufgehotmn. Die Kraft F muss sein: f-= Fam max ^9,12

N

Korper a bleibtzu b in Ruhe, sie gieiten gemeinsam auf der Unteriage.

b) Wie groB muss F sein, wenn a schon in Bewegung ist und weitergieiten soli, wahrend b festgehatten

Losung: K^pera

EFy = 0 = -~FGi^FN IFX=^O^F-FR,

FN = FGI

F = FRi = FNfii

= FGi'fii

F =^ 52 N'0,17

= 8,84 N

Mit F > 8,84 N bieibta in Bewegung.

c) Was geschieht, wenn beim Vorgang in Aufgabe b) der Korper b piotzlich losgelassen wird? Fm = Reibkraft von Korper a aufb t>eim Gieiten ausgeubt= i^^itnahmekraft. Ffn=8,84 N 5?o//niw = Reil>kraft, die Korper b auf seiner Unteriage am Verschieben hindert. FRoiimax = 9,12 N FRON max > 5?/ Beim Losiassen bieibtKorperb

in Ruhe.

sieheb} siehe a}

3.2 Gleitreibung und Haftreibung

95

3.2.4 Ubungen zur Losung von Reibungsaufgaben Reibungsaufgaben konnen zeichnerisch oder rechnerisch gelost werden. Man benutzt dazu dieselben Verfahren, wie aus der Statik bekannt. Nur muss man jetzt schon beim Freimachen auch die Reibkrafte (Tangentialkrafte) mit beriicksichtigen. Bei jeder rechnerischen Losung wird schon im Losungsansatz die Reibkraft durch das Produkt aus Normalkraft und Reibzahl ersetzt: FR == F^fi. Dann ergeben sich wieder Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten, die in der bekannten Weise aufgelost werden. 1. Ubung: Die skizzierte Backenbremse wird mit der Kraft F = 200 N angezogen. Die Reibzahl betragt// = 0,5. Abmessungen: / = 700 mm l\ = 250 mm h = 100 mm d = 300 mm Fiir Rechtsdrehung der Bremsscheibe sollen rechnerisch ermittelt werden: Reibkraft FR, Normalkraft FN auf die Bremsbacke, Lagerkraft FD im Drehpunkt D des Bremshebels, Bremsmoment M.

Losung: Man zeichnet die Lageskizzen des freigemachten Bremshebels und der freigemachten Bremsscheibe. Zwischen Bremsscheibe und Bremsklotz wirken an jedem Flachenteilchen Teil-Normalkrafte und Teil-Reibkrafte. Die resultierende Normalkraft FN und die entsprechende resultierende Reibkraft FR greifen am oberen Beriihrungspunkt zwischen Bremsscheibe und Bremsklotz an. Die Normalkraft FN wirkt bezogen auf den Bremshebel in y-Richtung nach oben, bezogen auf die Bremsscheibe entgegengesetzt nach unten. Die Reibkraft FR wirkt bezogen auf den Bremshebel und bei rechtsdrehender Bremsscheibe nach rechts, bezogen auf die Bremsscheibe nach links. Beim Festlegen des Richtungssinns der Reibkraft FR muss immer sorgfaltig uberlegt werden. Bin falscher Richtungssinn fiir die Reibkraft fiihrt zu falschen Ergebnissen der folgenden Rechnungen.

Aufgabenskizze

Lageskizze

96 Man beginnt mit den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Bremshebel. Als Bezugspunkt fur die Momentengleichgewichtsbedingung wird der Hebeldrehpunkt D gewahlt: 2M(D) = 0. Aus Gleichung III kann man die Normalkraft FN berechnen. Mit F^ = F^ju erhalt man dann die Reibkraft FR.

3 Reibung

I. 2Fx II. 2Fy

= 0 = FN// -FDX =0 = FN-F-FDy

III. 2M(D)

= 0 = FN/I + FN///2 -

III.

FN

/ h +fih

FN

= 200 N •

F/

700 mm = 466,7 N (250 + 0,5 • 100) mm

FR = F^fi = 233,3 N

Mit den Gleichungen I und II erhalt man Berechnungsgleichungen fur die Lagerkraftkomponenten FDX und Foy und damit auch fiir FD-

I. F D X = F N / ^ = 233,3 N

II. Foy = FN - F = (466,7 - 200) N = 266,7 N FD = Y^FDX^ + FDy2 = 354,3 N

Das Bremsmoment M ist das statische Moment des Kraftepaares, das aus den beiden Reibkraften gebildet wird. 2. Ubung: Fiir dieselbe Bremse wie in der ersten Ubung soUen die unbekannten Krafte zeichnerisch ermittelt werden, jedoch fiir eine Linksdrehung der Bremsscheibe. Losung: Man zeichnet den Lageplan des Bremshebels. Damit ist maBstablich die Lage der Angriffspunkte aller am Bremshebel angreifenden Krafte bekannt. Es sind drei Angriffspunkte. Man lost daher die Aufgabe nach dem 3-Krdfteverfahren{\2A3). Die Wirklinie der Kraft F kann man gleich einzeichnen. Am Punkt R greift die nach links wirkende Reibkraft FR an, ebenso die nach oben wirkende Normalkraft FN. Punkt D ist der Angriffspunkt der Lagerkraft FD, deren Wirklinie noch gefunden werden muss. Bei alien Reibungsaufgaben dieser Art, bei denen die Reibzahl fi bekannt ist, muss man sich immer als Erstes fragen, wie die Wirklinie der Ersatzkraft Fe einzuzeichnen ist. Mit der Reibzahl fi ist stets auch der Reibwinkel Q = arctan// bekannt. Er betragt hier g = arctan 0,5 = 26,6°.

M - F R — = 233,3 N • 0,15 m = 35 Nm

Lageplan LangenmaBstab cm (1 cm = 150 mm)

97

3.2 Gleitreibung und Haftreibung Entsprechend dem Richtungssinn von FR und F^ wirkt die Ersatzkraft F^ nach links oben. Damit hat man die Lage der Wirklinie WL Fe gefunden. Man bringt nun WL FQ und WL F zum Schnittpunkt S und hat damit auch die Lage der Wirklinie WL FD der gesuchten Lagerkraft.

Den Krdfteplan beginnt man mit dem Aufzeichnen der gegebenen Kraft F. Durch Anfangs- und Endpunkt von F zeichnet man Parallelen zu den Wirklinien WL Fe und WL FD im Lageplan. Damit hat man die Langen der Kraftpfeile fur die Ersatzkraft Fg und fiir die Lagerkraft FD- Der Richtungssinn ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden Kraftezugs („Einbahnverkehr") fiir das geschlossene Krafteck.

Krafteplan KraftemaBstab: N MK = 200 — cm (1 cm : 200 N)

Die horizontale Komponente der Ersatzkraft Fg ist die Reibkraft FR, die vertikale Komponente ist die Normalkraft FN- Auf gleiche Weise findet man die Komponenten FDX und Foy der Lagerkraft FD. Die Multiplikation der abgemessenen Pfeillangen mit dem festgelegten KraftemaBstab MK ergibt die Betrage fiir die gesuchten Krafte.

Man misst ab:

Bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe betrug die Reibkraft FR = 233,3 N. Bei Linksdrehung ist sie groBer: FR = 350 N. Folglich ist bei Linksdrehung auch das Bremsmoment M groBer als bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe.

M,^(Rechtsdrehung) = 35Nm

FD

= 3 cm • 200 — = 600 cm

FDX

= 1,75 cm • 200 — = 350 N cm

N

Foy = 2,5 cm • 200 500 N cm FN =3,5 cm-200 N :700N cm FR = 1,75 cm • 200 N ^ ^ = 350 N cm

M< (Linksdrehung) =

F^-^ ^ 2 = 350 N-0,15 m = 52,5 Nm

3 Reibung

98 3. Ubung: In der skizzierten Stellung lehnt eine Leiter von der Lange / an der senkrechten Wand. Mit dem waagerechten Boden schlieBt sie den Neigungswinkel a ein. Neben / und a sind die Reibzahlen /i^ und //g in den Stiitzpunkten A und B bekannt. Eine Person mit der Gewichtskraft FQ besteigt die Leiter.

Aufgabenskizze

Gesucht ist eine Funktionsgleichung der Form fur die Steighohe h, bei der die Leiter zu rutschen beginnt.

Losung: Man zeichnet die Lageskizze der freigemachten Leiter im Zustand des Rutschbeginns. FRA\ 'NAl^A

Im Stiitzpunkt A wirkt die vertikale Wand mit der Normalkraft FNA nach rechts auf die Leiter und die Reibkraft FRA = F^A/^A ^^^^ oben. In B wirkt die Normalkraft FNB nach oben, die Reibkraft FRB = FNB/^B ^^^^ links auf die Leiter. Man kann nun die drei Gleichgewichtsbedingungen fiir das ebene Kraftesystem ansetzen und auswerten.

Mit dem richtigen Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen wird der physikalische Sachverhalt in Bezug auf die Leiter vollstandig erfasst. Daher kiirzt man die nun erforderlichen algebraischen Rechnungen zur Ermittlung der gesuchten Gleichung fiir die Steighohe h ab.

Y^\

V; ^^

-c

0

T\

Bj

^NB\

Lageskizze der freigemachten Leiter bei Rutschbeginn

I. 2 F ,

= 0 = FNA - FNB/^B

11. SFy

= 0 = FNAy"A + ^NB " F Q

^^

III.

= 0= -

^f^

2:F(B)

FNA

/ sin a -

- FNA/^A / COS a + FQ

tan a

3.2 Gleitreibung und Haftreibung Es stehen drei voneinander unabhangige Gleichungen fiir die drei unbekannten GroBen h, FNA und FNB zur Verfiigung. Das Gleichungssystem ist losbar.

99

Aus I. FNB =

eingesetzt in 11.:

II. FNA/^A + - ^

- /^G = 0

^NA ( /^A -^

I = ^G

FG

FNA

eingesetzt in III.:

/^A i^B

FG

Wichtigste Erkenntnis der Entwicklung: Die Gewichtskraft FQ fallt heraus. Die Steighohe h ist nur abhangig von der Leiterlange /, dem Neigungswinkel a und den Reibzahlen, nicht jedoch von der Gewichtskraft.

: = :j- (sin a-\- fi^^ cos a) tana /^A+/^B

/j =

/tana ^ (sin a + /^A ^^^ ^)

Ein numerisches Beispiel mit / = 4 m , a = 60°, /^A = i^B = 0,2 ergibt die Steighohe h = 1,287 m.

Beispiel: l^A=f^B= 0,2 / = 4 m ; a = 60°

Zur Sicherheit wird hier mit der Gleitreibzahl

, 4mtan60° .^o , r.^ ^nox h= z— (sin 60 + 0,2 • cos 60 ) 0,2 + 0,2

/^A = /^B = 0'2 gerechnet.

h= 1,287 m

Die zeichnerische Losung der Aufgabe wird am Beispiel einer Zylinderfiihrung vorgefiihrt (Abschnitt 3.4.2).

AiifgabeitNr.301-*334

3 Reibung

100

33 Reibung aufderschiefeiiEbene Reibungsbetrachtungen an vielen Maschinenteilen (z. B. Schraube, Schnecke, Keil) lassen sich auf die Reibungsverhaltnisse eines Korpers auf der schiefen Ebene zuriickfiihren. Man unterscheidet drei Grundfalle, je nachdem, ob der Korper auf der schiefen Ebene nach oben Oder nach unten verschoben oder gehalten werden soil. Es werden die Falle anhand von Aufgaben mit unterschiedlicher Wirklinie der Verschiebekraft untersucht. Die Losung sucht man auf analytischem Weg mit den beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze (EF^ = 0, 2Fy = 0). AnschlieBend wertet man das unmaBstablich gezeichnete Krafteck (Krafteckskizze) trigonometrisch aus. Auf eine maBstabUche zeichnerische Losung wird verzichtet. Sie ist hier umstandlich und wegen der meist kleinen Reibwinkel ungenau, z. B. ist fur// = 0,1 der Reibwinkel g = 5,7° (siehe Seite 92). Den Korper stellt man sich sehr flach vor, so dass er nicht kippen kann. Dann konnen die Krafte als zentrales Kraftesystem behandelt werden. Diese Vereinfachung ist technisch zulassig, und sie hilft, das Reibungsproblem besser zu erkennen. Die mathematischen Bedingungen werden einfacher, weil dann keine Kraftepaare beriicksichtigt werden miissen.

3.3.1 Verschieben des Korpers nach oben (1. Grundfall) 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Ein Korper liegt auf einer schiefen Ebene, die unter dem Ebenenwinkel a zur Waagerechten geneigt ist. Die Zugkraft F wirkt unter dem Zugwinkel yS zur Waagerechten. Der Korper wird durch die Kraft F mit gleichbleibender Geschwindigkeit nach oben gezogen. Es soil eine Gleichung zur Berechnung der Zugkraft F entwickelt werden. Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Korpers mit der Gewichtskraft FQ und ihren Komponenten FQ sin a und FQ COS a, der Zugkraft F und deren Komponenten F sin y und F cos y, der Normalkraft FN und der Reibkraft FR = FN//. Die Reibkraft FR bremst den Korper gegenuber der ruhenden schiefen Ebene. Sie wirkt daher der Bewegungsrichtung des Korpers entgegen nach links unten. Die x-Achse des rechtwinkligen Achsenkreuzes legt man in Richtung der schiefen Ebene. Dann wird die Lageskizze mit den Kraftkomponenten iibersichdicher, und es ergeben sich einfachere rechnerische Beziehungen. Den Winkel jS — a bezeichnet man mit dem griechischen Buchstaben y.

(Zugwinkel)

Aufgabenskizze Gegeben: FQ, a, 13, fi Gesucht: F = / ( F G , a,/5,//)

LSchritt

Lageskizze

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

101

Aus der Lageskizze konnen die beiden Gleichgewichtsbedingungen abgelesen werden.

2. Schritt I. EFx = 0 = F cos 7 - F G sin a - F R II. SFy = 0 = F N + F sin y - F G cos a FR = F N / /

Man lost Gleichung II nach der Normalkraft FN auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F aufgelost. Damit erhalt man die gesuchte Beziehung F =f(FQ, a, y, /u) und mit y = jS — a F=f(FG,a,l3,fi) Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber sie gilt auch fur den allgemeinen Kraftrichtungsfall. Bei technischen Geraten wirkt die Kraft F meist parallel (Schragaufzug) oder waagerecht (Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung wird dann einfacher.

3. Schritt II. FN = F G COS a - F sin y I. 2Fx = 0 = F cos y - F G sin a - (FG COS a - F sin y) ju

F COS y -\- F sinyfi = FQ sin a + FQ/U COS a sin a + /^ COS a F = Fn cos y -\- fismy

siiia+/*cosa

F = FG

'cos(fi-a)+f4sin{0-

a)

Zugkraft beim Aujwdrtszug

3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Losung: Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet sich von der vorhergehenden nur durch die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in Richtung der schiefen Ebene, das heiBt, der Zugwinkel /S ist gleich dem Ebenenwinkel a. Lageskizze

Man schreibt die allgemein giiltige Zugkraftgleichung hin und ersetzt darin den Zugwinkel /? durch den Ebenenwinkel a: {13 = a). Im Nenner ist cos {a- a) = cos 0° = 1, sin {a - a) = sin 0° = 0. Damit erhalt man die spezielle Gleichung fur den Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt.

2. Schritt F = FG

FG

sin a + // cos a cos {P — a) -\- fi sin (^ sin a -f /I cos a cos (a - a) + / / sin (a 0

1 F = Fotsin a -h /i cos a )

Weil in Ubungsaufgaben und Klausuren haufig die Herleitung der Zugkraftgleichung fur den speziellen Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und HFy = 0. Das ist auch eine KontroUe des Ergebnisses der vorhergehenden Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung.

F = / (FG , a, fi)

3. Schritt I.

2Fx = 0 :=F — F G sin a — F^fi F^ —

FQ COS

a ^ F N = F G COS a

Der Ausdruck fiir FN wird in I. eingesetzt: I. 2Fx = 0 = F - F G sin a - F G COS a^ F = FoCsin a -h /^ cos a)

3 Reibung

102 Trigonometrische Losung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Korpers mit der Gewichtskraft FQ, der Verschiebekraft F, der Normalkraft FN und der Reibkraft FR.

l.Schritt Lageskizze

In der Krafteckskizze zeichnet man zuerst die Normalkraft FN (unmaBstablich) in Normalenrichtung zur schiefen Ebene und schlieBt rechtwinklig zu ihr die Reibkraft FR in beliebiger Lange an (diinne Pfeile). Beide werden zur Ersatzkraft Fg zusammengefasst. Dann schlieBt man das Krafteck, indem man in den Anfangspunkt der Kraft Fg die Gewichtskraft FQ und in ihren Endpunkt die Kraft F gelegt wird. Den Reibwinkel Q tragt man zwischen der Normalkraft FN und der Ersatzkraft Fg, den Ebenenwinkel a der schiefen Ebene zwischen der Normalkraft FN und der Gewichtskraft FQ ein. Nun setzt man den Sinussatz fiir die Krafte F und FG und die ihnen gegeniiber liegenden Winkel nach der Krafteckskizze an und entwickelt daraus eine Gleichung fiir die Kraft F Man erkennt, dass die Kraft F von der Gewichtskraft FG, dem Ebenenwinkel a und dem Reibwinkel Q abhangig ist.

2. Schritt

Krafteckskizze Beachte: Zwischen FN und Fg liegt immer der Reibwinkel Q, zwischen FN und FQ Uegt immer der Ebenenwinkel a der schiefen Ebene, zwischen FR und Fg Hegt immer der Winkel 90° - Q.

3. Schritt FG

sin (a + Q) sin (90° - Q) cos Q Beachte: sin (90° - ^) = cos ^ COS^

Man entwickelt die Gleichung mit Hilfe des Additionstheorems

4. Schritt sin (a + ^) = sin a cos ^ + cos a sin Q

sin (a + yS) = sin a cos yS + cos a sin /? F = Fn

weiter und erhalt sie wieder in der Form mit der Reibzahl fi. Wird der Korper aus der Ruhe nach oben in Bewegung gesetzt, tritt im Krafteck an die Stelle der Reibkraft FR die Haftreibkraft FRO max und an die Stelle des Reibwinkels Q der Haftreibwinkel ^0- Beide Gleichungen gelten auch fiir diesen Fall, nur muss Q durch ^o und // durch //Q ersetzt werden.

sin a cos ^ + cos a sin g COSQ ,

COS g

sm g

F = FQ [ sm a h cos a cos g cos g * Hierin ist

smp = iang = /i cosg

F = /=t(sina-{-/
F^f{FG,a,fi)

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Nachbetrachtung: Beide Gleichungen sind „Funktionsgleichungen". Sie zeigen die Abhangigkeit der gesuchten Kraft F von den „EinflussgroBen" FQ,

a,Q\xndfi\

F-=f{FG,a,Q)

Oder F

=f{FG,a,^)

Man erkennt: Die Kraft F wird umso groBer, je groBer die Gewichtskraft FG des Korpers ist, je groBer der Ebenenwinkel a ist und je groBer der Reibwinkel Q Oder die Reibzahl fi ist. Sie erreicht einen Hochstwert, wenn der Ebenenwinkel a — 90° — Q ist.

103 Die Diskussion der ersten Gleichung zeigt: Die Kraft F ist der Gewichtskraft FG proportional; sie wachst mit dem Ebenenwinkel a und dem Reibwinkel Q, denn die Summe a + ^ wird groBer und damit auch ihre Sinusfunktion, wahrend cos Q kleiner wird; den Hochstwert erreicht F, wenn a = 90° - Q ist, denn dann wird sin {a-\- Q) = \, die Kraft F ist groBer als FG und nimmt bei zunehmendem Ebenenwinkel wieder ab, bis sie bei a = 90° genauso groB ist wie die Gewichtskraft, well COS Q. sin (90° +Q)=

3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht Analytische Losung: Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. Die Zugkraft F soil diesmal waagerecht wirken. Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung fur das Verstandnis von Schraubgetrieben (Spindelpresse) und fiir die Berechnung von Befestigungsschrauben. Auch hier geht man zunachst vom allgemeinen Fall aus, bei dem die Zugkraft F unter einem beliebigen Zugwinkel ^ zur Waagerechten wirkt. Man setzt in der allgemein giiltigen Zugkraftgleichung den Zugwinkel yS = 0, denn die Wirklinie der Zugkraft F soil waagerecht liegen. Fiir die trigonometrischen Funktionen im Nenner gilt cos (—a) = cos a und sin (—a) = —sin a.

l.Schritt

oL Lageskizze

2. Schritt sin a + ju cos a COS (P - a) +/X sin {/S - a) sin a-\- ju cos a F = FG

cos (0 - a) +/^ sin (0 - a) cos a

Damit erhalt man die spezielle Gleichung fiir den Fall, dass die Zugkraft F waagerecht wirkt. Es soil auch fiir diesen Fall die Zugkraftgleichung mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen 2!Fx = 0 und 2Fy = 0 hergeleitet werden. Gleichung II lost man nach der Normalkraft F^ auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die Endgleichung stimmt mit der vorhergehenden iiberein.

F =

sma-^fi cos a FG ' cos a ~ IX sin a

-sma F

=f{FG,a,ju)

3. Schritt FR

2Fx = 0 = F cos a - F^fi - Fcsina 2Fy = 0 = F N - F G cos a - F sin a FN = FG COS a H- F sin a 2Fx = 0 = F cos a - F G sin a - ( F G COS a + F sin a) fi F(cos a— fisina) = FG (sin a+ jucos a)

F = FG

sin a -h // cos a cos a — fisina

3 Reibung

104 Haufiger wird die Gleichung mit dem Reibwinkel g anstelle der Reibzahl // gebraucht, zum Beispiel beim Schraubengewinde. Zur Umwandlung der Gleichung wird eingesetzt: T^ M

1.

sin a H F = FG

cos a

sin p

Bringt man nun Zahler und Nenner auf den gemeinsamen Nenner cos^, erhalt man mit den entsprechenden Additionstheoremen die gesuchte Gleichung mit dem Reibwinkel g. Mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Losung kann man diese Gleichung direkt aus der Krafteckskizze ablesen.

cos a

4. Schritt

sinp . sin a cos^

sin a cos ^ + cos a sin g

Reibzahl // = tan p = cos^ (siehe Abschnitt 3.2.1, Seite 91)

sinp COSQ

F = FG

cosg cos a cos ^ — sin a sin g cosg

sin (a + g) ' cos (a + g)

F = FG

F = FG tan (a + #)

F = /(/^G, a, g)

Trigonometrische Losung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Korpers.

1. Schritt

^ Die Krafteckskizze wird wieder mit der Normalkraft FN begonnen, an die man rechtwinklig die Reibkraft FR (nach links unten) anschheBt. Beide werden durch die Ersatzkraft Fg ersetzt. Dann schlieBt man das Krafteck aus Fg, FQ und F und tragt die Winkel a und g ein. Das Krafteck ist ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem man die Gleichung fur die Verschiebekraft F ablesen kann. Die Gleichung gilt auch fur den Fall, dass der Korper aus der Ruhe nach oben angezogen wird, wenn g durch ^o ersetzt wird. Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die Verschiebekraft F groBer wird mit zunehmender Gewichtskraft FQ, zunehmendem Ebenenwinkel a und zunehmendem Reibwinkel g. Ist a = 0, dann ist die Verschiebekraft F gleich der Reibkraft FR. Wachst der Neigungswinkel gegen a = 90° - g, geht die Verschiebekraft F gegen unendlich, d. h. schon bevor der Ebenenwinkel a = 90° erreichen wird, ist eine Verschiebung nicht mehr moglich.

^

Lageskizze 2. Schritt

FQ

Krafteckskizze 3. Schritt

F = iFb tan (a -h #)

F = / ( f b , a, g)

Ist a = 0, wird tan (a + g) = tan g = fi, und damit F = Fcfi. Bel waagerechter Ebene ist FQ = FN, folglich auch F = FN// = FR. 1st a = 90° - g, dann ist tan (a + g)= tan (90° - g + g) und tan 90° = oo. Dann wird F = FQ • oo = oo.

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

105

3.3.2 Halten des Korpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) 3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Die geometrischen GroBen sind die gleichen wie in den vorhergehenden Untersuchungen. Der Korper steht gerade vor dem Abgleiten und soil durch die Kraft F auf der schiefen Ebene in Ruhestellung gehalten werden. Die entsprechende Gleichung soil mit Hilfe der beiden Kraft-Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und llFy ~ 0 gefunden werden.

Aufgabenskizze Gegeben: F Q , a, P, //o Gesucht: F =f{FQ,a,p,jUQ)

Man zeichnet wieder die Lageskizze des freigemachten Korpers mit der x-Achse des Achsenkreuzes in Richtung der schiefen Ebene. Im Gegensatz zum 1. Grundfall (Verschieben nach oben) wirkt hier die maximale Haftreibkraft ^ROmax = ^N/^0 ^^ Korpcr nach rechts oben. Sie versucht, ihn in der Ruhelage zu halten. Die dann noch erforderUche Haltekraft F ist mit Sicherheit kleiner als die Zugkraft zum Aufwartsziehen im 1. Grundfall. Wegen der Ruhelage des Korpers gilt als Reibzahl die Haftreibzahl pio, nicht die (kleinere) Gleitreibzahl fi.

l.Schiitt

^^

Lageskizze

2. ScMtt Aus der Lageskizze liest man die beiden Gleichgewichtsbedingungen ab und geht dann genau so vor wie im 1. Grundfall. Ein Vergleich zeigt, dass sich die beiden Gleichungssysteme nur durch den Richtungssinn der Reibkraft unterscheiden.

I. I,F^=0

Gleichung II lost man nach der Normalkraft FN auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I

II- ^N = FG COS a - F sin y

FRO max =

= Fcosy

- Fcsina

+ FROmax

-^N/^O

II. 2Fy = 0 =

FN

+ F sin 7 -

FG

COS a

3. Schritt

em. Diese neue Gleichung I lost man nach der Haltekraft F auf und erhalt damit die gesuchte Beziehung

I. 2Fx =0 = F cos y -

F =f{FG,a,y,iUQ)

F(cos y - /^o sin y) = FG(sin a ~ JUQ COS a)

und mit

y^^-a

+

sin a — JUQ

F=/(FG,a,/3,//o)

FG-

FG

a -

(FG COS

COS

a

cos y — fiQ sin y

sin a + F

sin y)

JUQ

3 Reibung

106 Sieht man sich dazu die entsprechende Gleichung im 1. Grundfall (Seite 101) an, erkennt man, dass sich beide Gleichungen nur durch die Vorzeichen der //Q-Glieder unterscheiden. Die einzelnen Glieder selbst sind gleich. Es ist noch zu uberlegen, ob und wie die Haltekraft F sich andert, wenn der Korper mit konstanter Geschwindigkeit abwarts gleitet. Da die Reibkraft ihren Richtungssinn nach rechts oben beibehalt, gibt es nur eine Anderung in der Gleichung fur die Haltekraft F\ An die Stelle der Haftreibzahl //Q tritt die Gleitreibzahl //. Da // < /IQ ist, muss die Haltekraft F beim gleichformigen Abwartsgleiten groBer sein als beim Halten des Korpers, weil die Gleitreibkraft kleiner ist als die Haftreibkraft.

F = FG

sm a- fiQ cos a cos (fi - a) ~-fiQ sin (fi ~ a)

F=f(FG,a,l3,fio) Haltekraft F bei ruhendem Korper

4. Schiitt F = FG

sm a — /i cos a cos{fi~a)—fA, sin {fi — a)

Haltekraft F beim gleichformigen Abwartsgleiten

3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Losung: LSchritt Man zeichnet die Lageskizze und geht dann wieder so vor wie in 3.3.1.2 auf Seite 101. Haltekraft F und Haftreibkraft FRO max wirken parallel zur schiefen Ebene nach rechts oben. Der Zugwinkel /S ist gleich dem Ebenenwinkel a. Das ist die Anderung des physikalischen Sachverhalts gegenuber dem allgemeinen Fall. Lageskizze

Den neuen Sachverhalt bringt man in die allgemeine Haltekraftgleichung (siehe oben) ein. Dort ersetzt man den Zugwinkel /? durch den Ebenenwinkel a: (J3 = a). Im Nenner ist wieder cos (a - a) = cos 0 = 1 sin {a — a) = sin 0 = 0 Damit erhalt man die spezielle Gleichung fur den Fall, dass die Haltekraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt.

2. Schritt F = FG

F = FG

sin a — ^Q cos a cos [P - a) - JUQ sin {fi - a) sin a — fiQ cos a cos (a -a) V

^

—JUQ sin (a .

1 F = /^(sina-/^cosa)

V

^

a) /

0 F =f{FG,a,jUQ)

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Zur Kontrolle wird noch auf direktem Weg die Haltekraftgleichung entwickelt. Dazu setzt man die beiden Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und 2Fy = 0 an, die man aus der Lageskizze ablesen kann.

107

I.

I;FX = 0 = F +

F^JUQ -FQ

II. 2Fy =0 = Fi^ —

Dann setzt man wieder den Sinussatz an und entwickelt daraus die Gleichung fiir die Kraft F Aus der Gleichung erkennt man, dass die erforderliche Haltekraft F groBer wird mit zunehmender Gewichtskraft FQ und zunehmendem Ebenenwinkel a. Sie wird kleiner bei zunehmendem Haftreibwinkel ^o- Das ist leicht zu erklaren, denn die Haftreibkraft unterstutzt die Kraft F

Mit Hilfe des Additionstheorems sin {a — QQ) — sin a cos ^Q — cos a sin QQ findet man auch die zweite Form der Funktionsgleichung fiir die Kraft F Beide Gleichungen gelten auch fiir den Fall, dass der Korper gleichformig abwarts gleitet, wenn ^o durch Q und pto durch fi ersetzt wird.

sin a

cos a ^ F^ =

F G COS

FQ COS

a

a/^o -

FQ

sin a

F = FG(sin a — piQ cos a)

Trigonometrische Losung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Korpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe und Bewegung nach unten. Die maximale Haftreibkraft FRO max wirkt dann der zu erwartenden Bewegungsrichtung des Korper entgegen nach rechts oben. In der Krafteckskizze zeichnet man wieder zuerst die Normalkraft FN und rechtwinklig daran die Haftreibkraft FRO max- Beide fasst man zur Ersatzkraft Fe zusammen. Dann schlieBt man das Krafteck aus Fe, Fund FQ. Die Winkel a und ^o werden wie in der vorigen Aufgabe in die Krafteckskizze eingetragen: a zwischen FN und FQ und ^o zwischen FN und Fg.

FQ

Der Ausdruck fur F^ wird in I. eingesetzt: I. 2Fx = 0 = F +

Das Ergebnis stimmt mit der vorher entwickelten Gleichung iiberein.

3. ScMtt

^ROn

L Schritt

Lageskizze

pROi

2. Schfitt

a-Qo

Krafteckskizze

3. Schritt F sin (a — Qo)

FG

FG

sin(90° + Qo)

COS^Q

Beachte sin (90° + ^o) = cos ^ 0 F = Fn

sin1 ( 0 - -Qo)

F=

f(Fn,a,P

COSQQ

4 Schritt F = FG(sin a - ^0 COS a )

F = / ( F G , a,/^o)

Beachte: Beim Abwartsgleiten ist die erforderliche Haltekraft F groBer als in der Ruhe, well die unterstutzende Reibkraft kleiner ist.

108 Nachbetrachtung: Aus der ersten Gleichung kann man erkennen, dass bei reibungsfreier Auflage des Korpers (^o = 0) die Haltekraft F gleich der „Abtriebskomponente" der Gewichtskraft FQ sin a wird. 1st der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibwinkel Qo, dann wird die Haltekraft F gleich null. Nur die Haftreibkraft FRO max halt den Korper fest. 1st der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibwinkel ^0. dann ergibt die Gleichung einen negativen Wert fiir die Haltekraft F. Das bedeutet, dass die Kraft entgegen dem angenommenen Richtungssinn wirken muss. Um aus der Ruhe in die Bewegung iiberzugehen, muss der Korper abwarts geschoben werden.

3 Reibung Fiir ^0 = 0 wird die Winkeldifferenz a — QQ = a und cos ^Q = 1, und es wird F

^ = FG

sin (a - 0) ^ . ^-^ = FG sin a

Fiir Qo = a wird sin (a - QQ) = sin 0° = 0. Dadurch erhalt der ganze Quotient den Wert null, es wird ^^^^sin(,o-go)^^^ cos ^0

0 COS ^Q

0

Fiir a < QQ wird die Winkeldifferenz a — QQ und damit auch ihre Sinusfunktion negativ. Dadurch ergibt sich fur F ein negativer Wert. Erkenntnis: 1st der Ebenenwinkel a < ^Q' bleibt der Korper von selbst auf der schiefen Ebene liegen. GL^QQ

Selbsthemmungsbedingung

3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht Analytische Losung: Man schreibt zunachst die allgemeine Gleichung (Seite 106) fur den speziellen Fall der waagerecht wirkenden Haltekraft F um. Dann entwickelt man aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen die Haltekraftgleichung. AnschlieBend wird die Krafteckskizze wieder trigonometrisch ausgewertet.

Die Haltekraft F soil waagerecht von links nach rechts wirken. Dann gilt fiir den Zugwinkel (Haltewinkel) ^ = 0. Diese Bedingung bringt man in die allgemeine Gleichung ein. Da nach wie vor der Korper gerade vor dem Abgleiten stehen soil, muss wieder die Haftreibzahl /IQ eingesetzt werden. Mit ^ = 0 wird im Nenner cos (—a) = cos a sin ( - a ) = -sin a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung fiir eine waagerecht wirkende Haltekraft F.

L Schritt

&=o

F = FG

sin CL— fiQ cos a cos {^ — a) — JUQ sin (^ - a)

F = FG

sin a— JUQ COS a cos (0 - a) - f^Q sin (0 - a)

F = FG

, ^

.—

cosa-hfiQmna

F=f(FG,a,/XQ)

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Es soil auch hier wieder die Haltekraftgleichung aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen 2!Fx = 0 und 2Fy = 0 entwickelt werden. Man kommt zum gleichen Ergebnis wie im vorhergehenden Fall. Gleitet der Korper gleichformig abwarts, ist an Stelle der Haftreibzahl //Q die Gleitreibzahl fi in die Gleichung einzusetzen. Wegen fi < //Q* ist die Haltekraft F groBer als beim ruhenden Korper.

109 3. Schrltt FRO max

2Fx = 0 = F cos a + II. 2Fy = 0 FN = F G

—

COS

a +

F^/UQ -FQ

FQ COS

F

sin a

a — F sin a

sin a

Der Ausdruck fiir FN wird in I. eingesetzt: I. 2Fx = 0 = F c o s a + + F = FG

Trigonometrische Losung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Korpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe und Bewegung nach unten. Folglich wirkt die maximale Haftreibkraft FRO max der zu erwartenden Bewegungsrichtung entgegen nach rechts oben. Die Krafteckskizze beginnt man wieder mit der Normalkraft F^, schlieBt rechtwinklig nach rechts oben die Haftreibkraft FRO max an und fasst beide zur Ersatzkraft Fg zusammen. Das Krafteck wird mit FQ und F geschlossen, die Winkel a und ^o werden eingetragen.

FN

{FQ COS a

+

F

sin a)

/IQ

—

FQ

sin a

sm a - /IQ COS a cos a + /^o sin a

1. Schritt

Lageskizze

2. Schritt a-Qo

Krafteckskizze

Aus dem Krafteck liest man die Gleichung fiir die Haltekraft F ab. Die Gleichung gilt auch fiir den Fall, dass der Korper gleichformig abwarts gleitet, wenn ^o durch Q ersetzt wird. Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die erforderliche Haltekraft F groBer wird mit zunehmender Gewichtskraft FQ und zunehmendem Ebenenwinkel a. Sie wird kleiner mit zunehmendem Haftreibwinkel ^o. weil die Haftreibkraft jetzt die Haltekraft unterstiitzt. Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibwinkel ^0, dann wird die Haltekraft F gleich null, d. h. es liegt Selbsthemmung vor. Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibwinkel ^0, dann ergibt sich eine negative Haltekraft F, der Korper muss nach unten geschoben werden.

F == F G tan (a - ^•o)

3, Schritt

F=/(FG,a,^o) Beachte: Beim Abwartsgleiten ist die erforderliche Haltekraft F groBer als in Ruhe. Wird der Haftreibwinkel ^o groBer, dann wird die Winkeldifferenz a- QQ kleiner, also auch ihre Tangensfunktion. Das ergibt aber auch einen kleineren Betrag fiir die Haltekraft F

Fiir a = ^0 wird tan (a — QQ) = tan 0° = 0, und damit F = FG tan (^o - ^o) = F G • 0 = 0. Fiir a < QQ wird die Winkeldifferenz und damit auch ihre Tangensfunktion negativ. Dadurch ergibt sich fiir die Haltekraft F ein negativer Betrag.

3 Reibung

110

3.3.3 Verschieben des Korpers nach unten (3. Grundfall) 3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel Im 1. Grundfall wurde der Korper auf der schiefen Ebene nach oben gezogen, im 2. Grundfall im Ruhezustand gehalten (oder herabgelassen). Im 3. Grundfall wird der Korper unter der Wirkung der Schubkraft F gleichformig nach unten verschoben. Die Schubkraft F wirkt unter dem Schubwinkel /? zur Waagerechten. Gesucht ist die Gleichung zur Berechnung der Schubkraft F.

/3 (Schubwinkel)

Aufgabenskizze Gegeben: Gesucht:

F=f{FG,a,l3,fi)

Analytische Losung:

l.Schritt

Als Erstes wird wieder die Lageskizze des freigemachten Korpers gezeichnet. Die Reibkraft FR = F^pi wirkt der Bewegungsrichtung des Korpers entgegen nach rechts oben. Sie versucht, den Korper abzubremsen wie im 2. Grundfall. In der Lageskizze ftihrt man den Winkel y = JS — a ein. Das vereinfacht die weitere algebraische Entwicklung. Aus der Lageskizze liest man wieder die beiden GleichgewichtsbedingungenSFx = OundSFy = 0 ab. Fiir die Reibkraft wird FR = F^/U eingesetzt. Gleichung II wird nach F^ aufgelost und dieser Ausdruck in Gleichung I eingesetzt. Diese neue Gleichung I lost man nach der Schubkraft F auf. Das ist die Beziehung F=f{FG,a,y,iu) Setzt man dann wieder y — ^ ~ a ein, erhalt man die gesuchte Beziehung in der Form Nachbetrachtung: Ein Vergleich der Schubkraftgleichung mit der Haltekraftgleichung auf Seite 106 zeigt, dass sie fast iibereinstimmen. Bis auf die Vorzeichen im Nenner sind alle Glieder im Zahler und im Nenner gleich. Rechnet man die Kraft F mit gleichen GroBen fiir beide Gleichungen aus, dann sind die Zahlenwerte gleich. Nur die Vorzeichen sind verschieden. Das muss so sein, denn die beiden Lageskizzen unterscheiden sich nur durch den Richtungssinn der Kraft F.

Schritt I. 2Fx = 0 = FN/^ - Fcosy - FG sin a II. 2Fy = 0 = FN - F G cos a - F sin 7

3. Schritt 11. FN = FG COS a + F sin y I. 2Fx = 0 = ( F G cos a -h F sin y) ju- FG sin a - F cos / F sin y// - F cos y = F G sin a - F G COS aju sin a fi COS a F = FG ju sin y — cos y F =

sina-ju cos a " f^ sia {p - a) - cos (fi - a)

FG

F=/(FG,a,^,//) Schubkraft F beim gleichformigen Abwdrtsgleiten Nennervergleich: Ns = f^ sin {13 - a) - cos {fi - a) in der Schubkraftgleichung NH = cos {P - a) - ju sin (13 - a) in der Haltekraftgleichung A^s-(-l)-A^H

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

111

3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Losung: l.ScMtt

Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. Die Schubkraft F wirkt jetzt parallel zur schiefen Ebene in negativer x-Richtung. Das gilt auch fur die Gewichtskraftkomponente FG sin a. Entgegengesetzt zur Schubkraftrichtung wirkt die Reibkraft ^R — F^fi. Rechtwinklig zur schiefen Ebene wirkt in negativer y-Richtung die Gewichtskraftkomponente FQ COS a, in positiver y-Richtung die Normalkraft F^. Da die Schubkraft parallel zur schiefen Ebene wirken soil, wird der Schubwinkel yS gleich dem Ebenenwinkel a. Entsprechend schreibt man die allgemeine Schubkraftgleichung von Seite 110 um. Im Nenner ist dann sin {a- a) = sin 0 = 0 cos {a — a) = cos 0 = 1 . Damit erhalt man die spezielle Gleichung fiir den Fall, dass die Schubkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt. Bis auf das Vorzeichen stimmt auch diese Gleichung mit der entsprechenden Haltekraftgleichung in 3.3.2.2 (Seite 106) uberein, wenn dort//o durch fi ersetzt wird. Wie gewohnt fmdet man die Schubkraftgleichung auch mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und 2Fy = 0.

Lageskizze

2. Schiitt FG

sm a — ju cos a fi sin {13 — a) — cos (/3 — a)

FG

sma- ju cos a ju sin {a - a) — cos (a 0 sin a — /^ cos a ^^1

FG

F = FG(/«cosa —sina)

F

=f{FG,a,^)

3. Schritt I. 2Fx = 0 =

FN//

II. 2Fy = 0 = I. 2Fx = 0 =

FN

—

-

FG

(FG COS

F

-

FG

sin a

cos a =^ FN = FG COS a a) /I - F - FG sin a

F — FQQI COS a - sin a)

Es soil nun die Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibwinkel Q gebracht werden. Dazu ersetzt man die Reibzahl ju durch den Tangens des Reibwinkels. Den Klammerausdruck bringt man auf den Hauptnenner cos g. Mit Hilfe des Additionstheorems sin Q cos a — cos ^ sin a = sin {g — a) wird die gesuchte Gleichungsform gefunden.

// = tan ^ FG

sin^

sin Q cos a

FG

cos Q Sin a

COSQ

sin F =

4. Schritt

cos^

{Q

- a)

COSQ

F=f{FG,a,Q)

112

3 Reibung

3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht

LSchritt

Analytische Losung: Man geht wieder von der Lageskizze aus. Die Schubkraft F wirkt jetzt waagerecht. Dieses Kraftesystem wirkt zum Beispiel am Gewindegang einer Schraubenverbindung, wenn sie gelost wird.

^=0

FN

Bei waagerechter Schubkraftrichtung ist der Schubwinkel /? = 0. Entsprechend schreibt man wieder die allgemeine Schubkraftgleichung um. Mit )8 = 0 wird im Nenner sin ( - a ) = -sin a cos (—a) = cos a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung fiir eine waagerecht wirkende Schubkraft F. Diese Gleichung muss sich auch ergeben, wenn man die beiden Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und 2Fy = 0 auswertet.

Lageskizze

2. Schritt /I sin (P - a) - cos {^ - a) sin a — ju cos a —ju sin a — cos a

F = FG

- 1 ) (// s i n a + c o s a ) F =

FG

/I cos a — sin a /i sin a + cos a

F

=f{FG,a,fi)

3* Schritt I. 2Fx = 0 = F^ju — Fcsina — F cos a II. 2Fy = 0 = F N + F sin a — F G cos a FN = FQ COS a — F sin a I. 2Fx = 0 = [FQ COS a — F sin a) ju — — F G sin a — F cos a F sin a/i + F cos a = F G cos aju - FQ sin a

Es soil auch diese Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibwinkel g gebracht werden. Diese Form ist bei Untersuchungen der Reibungsverhaltnisse am Gewindegang gebrauchlich. Man ersetzt zunachst die Reibzahl ju durch den Tangens des Reibwinkels sinp // = tan p = ^ cos^ Zahler und Nenner bringt man auf den Hauptnenner cos g und erhalt die beiden Additionstheoreme sin g cos a — cos ^ sin a = sin {g — a) sin ^ sin a — cos g cos a — cos [Q — a) Diese Schubkraftgleichung unterscheidet sich von der Haltekraftgleichung in 3.3.2.3 nur durch die Winkelvorzeichen. Das ist verstandlich, denn Schubkraft und Haltekraft haben entgegengesetzten Richtungssinn.

F =

FG

/I cos a — sin a

/I sin a -f cos a

4. Schritt

F =

FG

= 1 sinp cos^ cos a - sin a cos Q cos Q sin p , cos p sin a + cos a cos Q cos Q sin Q cos a — cos g sin a COSQ

F =

FG

F = Fi

sin ^ sin a + cos g cos a cosg sin {g — a) cos {g - a)

F = fGtan(^-a)

F=f{FG,a,g)

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene

113

3.3.4 Ubungen zur Reibung auf der schiefen Ebene 1. Ubung: Auf einer schiefen Ebene (Rutsche) sollen Werkstiicke nach dem AnstoBen mit konstanter Geschwindigkeit abwarts gleiten. Der Ebenenwinkel der Rutsche ist verstellbar. Die Gleitreibzahl betragt fi — 0,3. Welcher Ebenenwinkel a muss eingestellt werden? Losung: Da keine Zug- oder Schubkraft wirkt (F = 0) und Gleichgewicht vorhanden ist (v = konstant), muss die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FQ sin a gleich der Reibkraft ^R = Fi^ju sein (LF^ = 0). Die Normalkraft FN ist gleich der Gewichtskraftkomponente FG COS a (LFy — 0). Daraus ergibt sich der gesuchte Ebenenwinkel a — arctan pi. Das sind die Uberlegungen zur Ermittlung der Gleitreibzahl/^ in Abschnitt 3.2.2 (Seite 92). Man hatte auch jede der in Abschnitt 3.3.3 hergeleiteten Gleichungen zur Losung ansetzen konnen, z. B. die Schubkraftgleichung aus Abschnitt 3.3.3.2 (Seite 111). Da keine Zug- oder Schubkraft wirken soil, muss in dieser Gleichung F = 0 gesetzt werden. Ist das Produkt zweier Faktoren gleich null, muss einer der beiden gleich null sein. Da die Gewichtskraft FG nicht null sein kann, muss der Faktor // cos a — sin a = 0 sein. Damit ergibt sich auch hier a = arctan/^ — 16,7°. 2. Ubung: Die Werkstiicke auf der Rutsche aus der 1. Ubung befmden sich zunachst in Ruhelage. Welche Kraft muss kurzzeitig parallel zur Rutsche auf ein Werkstiick wirken, um es in Bewegung zu setzen? Die Schubkraft F ist als Vielfaches der Gewichtskraft FG anzugeben. Die Haftreibzahl betragt/lo = 0.5.

Gegeben: Gleitreibzahl fi = 0,3 Gleitgeschwindigkeit v = konstant Keine Zug- oder Schubkraft (F-0) Gesucht: Ebenenwinkel a

Losung: Fur die Lage der Krafte am Werkstiick gilt die Lageskizze von Seite 111 und damit auch die dort hergeleitete Gleichung. Statt der Gleitreibzahl pi gilt die Haftreibzahl //Q.

Nach Seite 111 gilt mii ju = f^o die Schubkraftgleichung F = FQ (/^O COS a — sin a) Damit wird F = FG (0,5 • cos 16,7° - sin 16,7°)

sin a =

FR

FQ COS

FN

FG

a = sin a =

FQ COS

FQ

F^JA

aju

= ft = tan a a = arctan ju = arctan 0,3 a = 16,7°

Nach Seite 111 ist die Schubkraft F = FQ(JU cos a — sin

a)

0 = FQ{/J, COS a - sin

a)

// cos a — sin a = 0 sin a s\na = u cos a ^ = tan a = // cos a a = arctan /j, = arctan 0,3 a = 16,7° Gegeben: Haftreibzahl JUQ = 0,5 Ebenenwinkel a = 16,7° Schubwinkel /3 = Ebenenwinkel a Gesucht:

F =

Aitfj^ben Nr« 335-340

=:

Schubkraft F = / ( F Q )

0,19FG

3 Reibung

114

3*4 Reibung an Maschinenteilen 3.4.1 Prismenfuhrung und Keilnut Der Bettschlitten einer Werkzeugmaschine wird durch die vertikal wirkende Belastung F in eine unsymmetrische Prismenfuhrung gedriickt und von der Verschiebekraft Fy auf den Fiihrungsflachen gleichformig verschoben. Es wird hier davon ausgegangen, dass zwischen den beiden Fiihrungsflachen unterschiedliche Reibzahlen auftreten. Es soil eine Gleichung zur Berechnung der Verschiebekraft Fv entwickelt werden. Man bringt an einer beliebigen Querschnittsscheibe des Schlittens alle wirkenden Krafte an und schreibt dazu die Gleichgewichtsbedingungen in Richtung der drei Achsen eines raumhchen Achsenkreuzes auf. Gleichung II lost man nach FN2 auf und schreibt damit Gleichung I um. In gleicher Weise wird mit Gleichung III verfahren. Dort erweitert man sin a\ mit cos a2/cos a2Man lost nun Gleichung III nach FNI auf und setzt diesen Ausdruck in die Gleichung I ein. Daraus erhalt man die gesuchte Gleichung fiir die Verschiebekraft Fy.

Die synmietrische Prismenfuhrung ist ein Sonderfall mit ai = a2 = a. Da man auch gleiche Reibzahlen fiir beide Gleitflachen annehmen kann, erhalt man eine einfache Beziehung fiir die Verschiebekraft Fy. Nach den Gesetzen der Trigonometrie ist sin 2a = 2 sin a cos a.

Gleitflache 2

Lageskizze Gegeben: Belastung F Reibzahlen/Ii,//2 Winkel a\,a2 Gesucht: Fy =f{F,ju^,jU2,ai,a2) I.

2Fz

FRI

^v

FR2

II. 2Fx = 0 = FNI COS ai - FN2 COS a2 III.SFy = 0 = FNI sin ai + FN2 sin a2 - F COS «! II. FN ^ FNI cosa2 cosai I. Fv = F N I U I +f^2 cos a2y cos a2 cos a\ . III.F = FNI ( sinai 1 sin a2 cos a2 cos a2 F = FNI sin «! cos a2 + cos ai sin a2 cosa2 = FNI sin («! -I- a2) cosa2 Fcos a2 cosai I. Fv /^l +/^2 sin («! + 02) V ' " ^os a2 Fv = F

/ij cosaa -\-pi2Cosa1 . , sm (ai -f- a2)

Fv = / ( F , / ^ i , / / 2 , a i , a 2 ) fiir «! = a2 und//j = fij wird Fv

In diesem Fall ist es iiblich, mit der Keilreibzahl fi' — lAJ^in a zu arbeiten. Darin ist a der halbe Keilwinkel. Die Gleichung fiir die Keilreibzahl zeigt, dass Keilnuten groBere Reibungskrafte iibertragen konnen als Ebenen {fi' > ju). Daher konnen Keilriemen groBere Umfangskrafte (Drehmomente) iibertragen als Flachriemen.

= 0 = FNI/^I + FN2/^2 -

Ificosa 2//cos a fj, F —-.—-— = F ——. = F — sm 2a 2 sin a cos a sm a

Fv = Ffi' = F R Keilreibkraft

sin a Keilreibzahl

Beachte: Kleiner Winkel a ergibt groBe Keilreibzahl, groBer Winkel a kleine Keilreibzahl. Beispiel: Normalkeilriemen haben Keilwinkel (Rillenwinkel) von 32°, 34°, 36° und 38°.

3.4 Reibung an Maschinenteilen

115

3.4.2 Zylinderfiihrung Zylinderfiihrungen an bewegten Maschinenteilen (PressenstoBel, Ziehschlitten) sollen reibungsarm fiihren und nicht klemmen. In manchen Fallen wird aber verlangt, dass die Fuhrung klemmt, z. B. bei Bohrmaschinentischen, um auch im ungeklemmten Zustand sicheren Halt zu gewahrleisten. Man muss also wissen, unter welchen Bedingungen eine Zylinderfuhrungsbuchse klemmt.

Zylinderfiihrungen haben immer ein Passungsspiel. Bei exzentrisch angreifender Verschiebekraft kippt (verkantet) die Buchse gegen den Fiihrungszylinder. Betrachtet man beide als absolut starre Korper (keine Verformung), dann legt sich die Buchse an zwei im Langsschnitt diagonal gegeniiberliegenden Punkten des Zylinders an. Dort treten Normal- und Reibkrafte auf.

Aufgabe: Eine im Abstand l\ von der Ftihrungsmitte wirkende Kraft F versucht, eine Fiihrungsbuchse von der Lange / zu verschieben. Unter welcher Bedingung klemmt die Buchse? Zeichnerische Untersuchung: Man zeichnet einen Lageplan und tragt zuerst die Kraft F auf ihrer Wirklinie ein. Die Buchse wird rechtsherum kippen und legt sich links oben im Punkt 1 und rechts unten im Punkt 2 an den ZyUnder an. Dort zeichnet man die Normalkrafte FNI und FN2 (auf die Buchse zu gerichtet) ein. Die Kraft F versucht, die Buchse nach unten zu verschieben. Die Reibkrafte FRI und FR2 werden mit entgegengesetztem Richtungssinn eingezeichnet (nach oben gerichtet).

Lageplan

Man fasst gedanklich die Normal- und Reibkrafte zu ihren Ersatzkraften zusammen. Ihre Wirklinien konnen nach 3.2.3 nur innerhalb des Reibungskegels liegen, weil die Reibkraft nie iiber den Betrag FN tan g anwachsen kann. Nun ist Gleichgewicht (Klemmen) nur moglich, wenn sich die beiden Ersatzkrafte mit der Kraft F in einem Punkt schneiden (siehe 1.2.4.3, 3-Krafte-Verfahren). Dieser Punkt kann aber nur in der Uberdeckungsflache A der beiden Reibungskegel liegen, weil die Wirklinien der Ersatzkrafte nicht aufierhalb der Reibungskegel liegen konnen. Folglich lautet die zeichnerische Klemmbedingung:

Im Lageplan sind die Reibungskegel fiir die Gleitreibung eingezeichnet. Die Reibungskegel fiir die /fo/h-eibung haben einen groBeren Kegelwinkel, namlich 2 QQ. Ihre Uberdeckungsflache A reicht also noch weiter nach links. Man kann dann bei klemmender Buchse die Wirklinie der Kraft F bis an die Grenze der Uberdeckungsflache nach links verschieben, ohne dass die Buchse zu gleiten beginnt. Wird sie aber durch irgendeinen Umstand in Bewegung gesetzt, dann verklemmt sie sich nicht wieder, denn jetzt treten wieder die Reibungskegel fiir Gleitreibung auf, und die Wirklinie der Kraft F liegt dann im weiBen Feld aufierhalb der Uberdeckungsflache.

Eine Zylmd^luiiniiig klemmt, wenn die Wiriclinie dar Resultiaienden aller Verschiebekrafte durch die Uberdeckungsflache der beiden Reibungskegel geht

Hinweis: Diese Klemmbedingung gilt auch fiir andere Fuhrungsquerschnitte mit gegeniiberliegenden Fiihrungsflachen, z. B. fiir die Flachfiihrung mit seitlichen Fiihrungsflachen.

3 Reibung

116 Rechnerische Untersuchung: Man zeichnet eine Lageskizze und stellt daftir die drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf (siehe Lageplan, SeitellS).

I. SFx II. 2Fy

= 0= = 0=

Aus der ersten Gleichung erkennt man, dass die Normalkrafte FNI und FN2 gleich groB sind. Da beide Flachen die gleiche Reibzahl fx haben, sind auch die beiden Reibkrafte FR gleich groB.

I. FNI = FN2, daraus folgt:

Die Entwicklung der Gleichungen II und III ergibt die rechnerische Klemmbedingung:

11. F = 2F^ifi; in III. eingesetzt:

FN2 FRI

+

FNI

-

FR2

F

III.2M(2) = 0 = FNI/ - FRI J - F(/i -

FNI//

=

FN2//

=^

FRI

=

d/l)

FR2

III.FNI/-FNI//^-2FNI//(/I

-d/2)

= 0|:FNI

Eine Zylinderfiihrung klemmt, wenn die FCihmngslinge l<2fil\ ist Hierin ist h der W A abstand der Verschiebekraft von der Fiihningsmitte, Ist / > 2/i/i, dann gleitet die Fiihrungsbuchse, und zwar umso leichter, je groBer die Fiihrungslange / ist.

l-fid-2fih

/ < 2/i/i

+2/^^/2 = 0

Klemmbedingung

Beachte: Die Klemmbedingung ist unabhangig vom Betrag der Verschiebekraft F

Attfgaben Nr. 345-347 3.4.3 Lager^^ 3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) Der Tragzapfen einer Welle belastet das Lager mit der Kraft F und verursacht dadurch eine gleichgroBe Normalkraft FN- Versucht das Wellendrehmoment den ruhenden Zapfen zu drehen, wirkt zunachst die Haftreibkraft FRO max = ^N/^O ^^^ ihrem „Reibmoment" der Drehung entgegen. Man nennt diesen Zustand Anlaufreibung. Die Reibzahl betragt dann [1^ = 0,1... 0,25. Beim Anfahren tritt Mischreibung auf. Die Reibzahl verringert sich von //o auf die Tragzapfenreibzahl, kurz Zapfenreibzahl // = 0,01.. .0,1. Erst bei hoheren Gleitgeschwindigkeiten bildet sich zwischen Zapfen und Lager ein tragfahiger Schmierfilm mit FlUssigkeitsreibung. Die Zapfenreibzahl sinkt dann weiterauf//^: 0,002...0,01.

Wellendrehmomentj^^''^ Lager zap fen

Reibmoment Mff

Beispiel fiir die Veranderung der Zapfenreibzahl //: Schmierung: Ol Werkstoff: Welle aus Stahl, Lager aus Rotguss Anlaufreibung: /^o = 0 4 4 Mischreibung: fi = 0 , 0 2 . . . 0,1 Flussigkeitsreibung: fi = 0,003 . . . 0,006

^^ Genauere Untersuchungen in Rolojf/Matek: Maschinenelemente

3.4 Reibung an Maschinenteilen

117

Lagerkraft F und Normalkraft F^ sind praktisch gleich gro6. Darum wird die Lagerreibkraft unmittelbar aus der Lagerkraft berechnet.

FR = Fpi

Die Lagerreibkraft erzeugt ein dem Wellendrehmoment entgegengerichtetes Reibmoment MR.

MR = FR r = FfAr

Dreht sich der Zapfen im Lager mit der Umfangsgeschwindigkeit v (Gleitgeschwindigkeit) oder der Winkelgeschwindigkeit w, so lasst sich die Reibleistung PR berechnen, entweder als Produkt aus Reibkraft FR und Umfangsgeschwindigkeit v oder als Produkt aus Reibmoment MR und Winkelgeschwindigkeit 0).

Lagerreibkraft

Reibmoment

FR = FRV F R = MRCU

PR

W =

Nm s

FR

MR

r

V

N

Nm

m

m s

0)

rad s

^i

1 s

1

3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (Langslager) Beim Spurzapfen fallt die Wirklinie der Belastung F mit der Drehachse der Welle zusammen. Die Normalkraft verteilt sich gleichmaBig (iber die Stimflache des Zapfens. Dasselbe gilt fiir die Reibkraft. Man berechnet die Reibkraft FR aus der Belastung F und der Spurzapfenreibzahl fi\ F^ = Ffi. Die Reibzahlen fiir Quer- und Langslager werden aus Versuchen bestimmt. Die Spurzapfenreibzahl ist auBer von Schmierung und Werkstoffpaarung noch von der Bauart abhangig.

Die Skizze zeigt einen Ringspurzapfen. Fiir den Wirkabstand der Reibkraft von der Drehachse wird der mittlere Radius r^ — (r\ -\-r2)/2 gesetzt und damit das Reibmoment MR berechnet. Der Reibradius r^ — {r\ + r^jl ist ein Naherungswert, der fiir praktische Berechnungen ausreichend genau ist. Vom VoUspurzapfen hat die Lagerflache keine mittlere Aussparung. Dann ist r^ = r2/2. Die Reibleistung FR berechnet man genauso wie beim Tragzapfen, z. B. als Produkt aus dem Reibmoment und der Winkelgeschwindigkeit.

FR = F/«

Reibkraft

Ringspurzapfen

iillMi L agergleitflache

MR = FRTai = F/^Tni

PR = M^m

Reibmoment

Reibleistung

3 Reibung

118 3.4.3.3 Ubungen zur Trag- und Spurzapfenreibung 1. tjbung: Eine Welle belastet ihre beiden Querlager mit je einer Kraft F = 3 800 N. Der Zapfendurchmesser betragt 50 mm, die Drehzahl 3600 min~^ die Zapfenreibzahl 0,006.

Reibmoment MR und Reibleistung PR sind zu berechnen. Losung: Das Reibmoment wird aus Belastung, Zapfenreibzahl und Zapfenradius ermittelt. Als Belastung muss man hier beide Lagerkrafte, also 2F, einsetzen. Aus dem Reibmoment und der Winkelgeschwindigkeit kann man die Reibleistung errechnen. Die Winkelgeschwindigkeit wird vorher aus der Drehzahl ermittelt.

Gegeben: Belastung F = 3800 N Zapfendurchmesser d = 0,05 m Drehzahl n = 3600 min~^ Zapfenreibzahl fi = 0,006

Gesucht: ^ R ' ^R MR = IF fir = 2 ' 3800 N • 0,006 • 0,025 m MR=

Inn = 2K • 3600 rad a; = 22619 ^ = 377 mm OJ -

Reibmoment und Reibleistung sind zu berechnen.

min- 1 rad — s

PR = MROJ = 1,14 Nm -377 PR

2. Ubung: Ein Ringspurlager wird mit F = 12 kN belastet. Der Innenradius der Lagerflache betragt ri = 10 mm, der AuBenradius r2 = 40 mm, die Spurzapfenreibzahl // = 0,02. Die Drehzahl betragt 2000 min" ^

1,14 Nm

= 430

W

rad — s

-

„ Nm s

430

= 0,43 kW

Gegeben: Belastung F = 12 kN = 12 • 10^ N Spurzapfenreibzahl// = 0,02 = 2 • 10~^ Innenradius ri = 10 mm AuBenradius ^2 = 40 mm Drehzahl n = 2000 min"' Gesucht: MR,PR

Losung: Man ermittelt zunachst den Wirkabstand Tm der Reibkraft und dann mit der Belastung F und der Spurzapfenreibzahl das Reibmoment.

Die Reibleistung wird wieder als Produkt aus Reibmoment MR und Winkelgeschwindigkeit CO = 2Tin berechnet.

Aufgaben NR 349-356

n + ^2 10 m m + 40 mm •- 25 mm " ' 2 2 MR = FfiKm = 12 • 10^ N • 2 • 10"2 . 25 • 10" MR

= 600 • 10"^ Nm = 6 Nm

PR = MR • 27in = 6 Nm • 2JI • 2000 min-1 PR

= 75 400 — = 1 275 — = 1,257 kW min s

3.4 Reibung an Maschinenteilen

119

3.3.4 Schraube und Schraubgetriebe 3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde Das Anziehen (Heben der Last) und Losen (Senken der Last) einer Bewegungs- oder Befestigungsschraube entspricht dem Hinaufschieben und Herabziehen eines Korpers auf einer schiefen Ebene durch eine waagerechte Umfangskraft F^ (sieheSeiten 103 und 112). Alle Krafte werden auf einen Punkt im Langsschnitt der Schraube mit dem Flankenradius r2 bezogen. Es soil hier von dem Normalfall ausgegangen werden, dass das Gewinde selbsthemmend ist. Dann ist der Reibwinkel g groBer als der Steigungswinkel a. Im Bild ist der abgewickelte Gewindegang als schiefe Ebene dargestellt. Die Basislange ist der Flankenumfang 2jrr2, die Hohe die Gewindesteigung P. Beim Anziehen (Heben) wirkt die Umfangskraft F^ waagerecht nach rechts und die Reibkraft FR nach links unten, beim Losen (Senken) haben beide umgekehrten Richtungssinn. Aus den Kraftecken ergeben sich dieselben Gleichungen fiir die Umfangskraft wie bei der schiefen Ebene fiir die Verschiebekraft. Fu = F tan {g + a) fiir das Anziehen und Fyj = F tan {g — a) fiir das Losen Die Winkel sind hier nur deswegen vertauscht, weil fiir die Entwicklung g > a (Selbsthemmung) angenommen wurde.

Es ist iiblich, die Gleichungen in der Form zu schreiben, wie man sie von der schiefen Ebene her kennt. Beim Rechnen soUte jedoch stets der kleinere Winkel vom groBeren abgezogen werden, um immer einen positiven Tangenswert zu erhalten. Die Frage, ob die Last mit der errechneten Kraft Fu gesenkt oder am Absinken gehindert werden muss, wird durch einen Vergleich der Winkel a und g beantwortet.

F Schraubenlangskraft = Vorspannkraft Fu Umfangskraft, angreifend am Flankenradius r2 FR Reibkraft im Gewinde FN Normalkraft zwischen Schraube und Mutter a Steigungswinkel der mittleren Gewindelinie Krafte beim Anziehen (Heben) Losen (Senken) \F

1^ F.

^I

Q.

2-nr2\

2irr2\ 27rr2

Fu = F tan (a -b ^)

Umfangskraft

(H-) fiir Heben, (—) fiir Senken

Ist Q < a, heiBt das: keine Selbsthemmung, die Last muss mit Fu am Absinken gehindert werden. Ist Q > a, heiBt das: Selbsthemmung, die Last muss mit Fu gesenkt werden.

3 Reibung

120 Die Umfangskraft Fu wirkt im Abstand ri (Flankenradius) von der Schraubenlangsachse. Sie erzeugt das beim Heben oder Senken zu uberwindende Gewindereibmoment MRG. Der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes beim Heben ist das Verhaltnis der Nutzarbeit W^ zur aufgewendeten Arbeit Wa- Bezieht man beide Arbeiten auf eine Schraubenumdrehung, dann ist die Nutzarbeit das Produkt aus Schraubenlangskraft F und Steigungshohe P (Hubarbeit). Die aufgewendete Arbeit ist das Produkt aus Umfangskraft Fu und Rankenumfang 2 Ji r2. Bei Q = a beginnt der Bereich der Selbsthemmung. Dann ist der Wirkungsgrad rj = tan g/tan 2Q. Da die Steigungswinkel meist klein sind, kann tan 2^ = 2 tan ^ gesetzt werden. Man erkennt, dass an der Selbsthemmungsgrenze der Wirkungsgrad f] ^ tan Q/2 tan g = 0,5 wird.

MRG =

F^rt = Fr2 tan (a ± ^) ^^ .^

(+) fur Heben, (-) Senken

moment

w FP Fu • 2 Jt ^2

Fyi = F tan (a -h Q) und

2jTr2

= tan a

In die Ansatzgleichung eingesetzt ergibt das:

t] =

tma tan (a + ^ )

Wirkungsgrad fur Schraubgetriebe

Beachte: Ist der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes ?; < 0,5, liegt Selbsthemmung vor.

3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde Bei Spitz- oder Trapezgewinde mit dem Flankenwinkel yS wirkt die Normalkraft Fj^ nicht in derselben Ebene wie die Langskraft F, die Umfangskraft Fu und die Reibkraft FR, sondem sie ist um den halben Rankenwinkel gegen diese Ebene geneigt. Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkraft FJ^ groBer sein als FN beim Flachgewinde. Dann ist auch die Reibkraft FR groBer. Damit man trotzdem mit denselben Gleichungen wie beim Flachgewinde arbeiten kann, fasst man den Quotienten /^/cos ()S/2) zur Reibzahl [A! zusammen.

Fu,

F'

FR

FR

COS (y^/2) = F'^fi -

Setzt man

cos(^/2)

/^ cos (y^/2)

fi = F^

/^ cos(^/2)

-- fi', dann wird

FR = FN//'.

Fiir Spitz- und Trapezgewinde gelten dieselben Gleichungen wie fur das Flachgewinde, wenn man statt der Reibzahl ix die Reibzahl ^' =r ^/cos (^5/2) und fur den Reibwinkel g den Reibwinkel Q^ einsetzt

Fiir metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 ist P = 30° und damit//' = 1,04//, fiir metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist 13 = 60° und damit/<' = 1,15//. Der Reibwinkel Q' wird aus der Reibzahl //' ermittelt: tan g' = ju' ^ Q' = arctan//'.

3.4 Reibung an Maschinenteilen

121

3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde Bei Schraubverbindungen mit Befestigungsschrauben wird eine Langskraft F in der Schraube erst dann erzeugt, wenn Mutter und Schraubenkopf fest auf den zu verbindenden Teilen aufliegen. Die Erfahrung lehrt, dass das Anzugsmoment MA aus Handkraft Fh und Schliisselradius / mit fortschreitender Drehung der Mutter zunimmt. Gleichzeitig wachst auch die Vorspannkraft F in der Schraube. Das kennt man aus der Praxis: Bei zu starkem Anziehen wachst die Schraubenlangskraft F so stark an, dass die Schraube zerreiBt.

S

r^ = 0,ld= l,4r Wirkabstand der Auflagereibkraft, mit d = Gewindenenndurchmesser id = 2r).

Im Bild wurde die gesamte Schraubenlangskraft F auf Schraubenkopf und Mutter in jeweils FI2 aufgeteilt. In Wirklichkeit entsteht durch die Langskraft eine Oberflachenkraft auf den Auflageflachen von Kopf und Mutter (siehe 1.1.7.1). Dem Anzugsmoment MA wirken in der Schraubverbindung zw^ei Kraftmomente entgegen: das Gewindereibmoment MRG (wie bei der Bewegungsschraube) und das Auflagereibmoment MRS an der Auflageflache der Mutter. Das Gewindereibmoment ergibt sich aus den gleichen Uberlegungen wie bei der Bewegungsschraube mit Spitzgewinde oder mit Flachgewinde.

Gewindereibmoment bei Stahl auf Stahl (trocken) ist bei metrischem ISO-Gewinde g' ^ 9°

Das Auflagereibmoment ergibt sich aus der Auflagereibkraft jpRa und ihrem Wirkabstand ra von der Schraubenmitte. Fiir Sechskantschrauben wird Ta = 0,7J angenommen {d — Gewindew^Azndurchmesser, z. B. fiir M10: J = 10 mm).

Auflagereibmoment /la Reibzahl an der Auflageflache (bei Stahl auf Stahl isi ju^ P^ 0,15)

Die Sunmie dieser beiden Momente ist gleich dem Anzugsmoment. Aus dieser Erkenntnis kann man eine Gleichung fur das Anzugsmoment MA beim Anziehen und Losen einer Schraubverbindung in Abhangigkeit von der Schraubenlangskraft F entwickeln.

MA = MRG + MRS MA = Fr2 tan (a ± Q') + Fpi^r^

MRG = Fr2tan {a±Q')

AfRa = FRa^a =

Ffl^r^

MA = F *h• tan (a ^ ± ^0 ^ / ~h^^ ra J (+) fiir Anziehen, (—) fiir Losen

^''^"^'; moment

3 Reibung

122

3.4.4.4 Ubungen zur Schraube 1. Ubung: Mit der skizzierten Spindelpresse soil eine groBte Druckkraft von F = 40 kN auf die Werkstucke iibertragen werden. Am Handrad sollen beidhandig je 300 N Umfangskraft wirken. Das Trapezgewinde Tr 40 x 7 hat nach der Formelsammlung den Rankendurchmesser d2 = 36,5 mm und den Steigungswinkel a — 3,49°. Der Spindelkopf ist im Druckteller in Walzlagem gefiihrt, so dass die Reibung doit vemachlassigt werden darf. Beriicksichtigt wird daher nur die Reibung im Gewinde. Als Gewindereibzahl wird //' = 0,1 angenommen. Fur die gegebenen Daten soil der erforderliche Handraddurchmesser D ermittelt werden.

0D

m-

^

F^

fr^

^m

^^m %

Spindelpresse

Gegeben:

Schraubenlangskraft F - 40000 N Handicraft beidhandig je F^ = 300 N Gewindeflankendurchmesser ^2 = 36,5 mm Steigungswinkel a = 3,49° Gewindereibzahl/i' = 0,1 Gesucht: Erforderlicher Handraddurchmesser D

Losung: Ausgangsgleichung fiir die Losung der Aufgabe ist die Gleichung fur das Gewindereibmoment MRG.

A^RG = F y t a n ( a + ^ ;

Die GroBen F, J2 und a sind bekannt. Der Gewindereibwinkel g' kann aus der Gewindereibzahl ermittelt werden.

Q — arctan pi

Bei Gleichgewicht wahrend des Driickvorgangs ist das Gewindereibmoment MRG gleich dem Drehmoment am Handrad MH = FuD.

MRG = M H

Setzt man alle GroBen in die Ausgangsgleichung ein, dann kann daraus eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Handraddurchmessers D entwickelt werden.

=

FUD

do FHD = F-ian{a F

^2

D=

/

/N

tan (a + arctan u ) FH

D=

+ Q')

2

40000 N 36,5 mm

300 N

2

5,71° ,^ ^^^ ^ ,. • tan (3,49° + arctan 0,1)

^J

^

9,2° D = 394 mm

Nach der Rechnung ist ein Durchmesser von D — 394 mm erforderlich, wenn eine Druckkraft von 40 kN mit der Spindelpresse erzeugt werden soil.

LS

3.4 Reibung an Maschinenteilen 2. Ubung: Die skizzierte Schraubenverbindung soil mit zwei Befestigungsschrauben eine Zugkraft von 18kN allein durch Reibung zwischen den Stahlplatten iibertragen. Die Schrauben werden durch die Schraubenlangskrafte nur auf Zug beansprucht. Abscherbeanspruchung darf nicht auftreten. Fur die Reibkrafte zwischen den Stahlplatten wird aus Sicherheitsgninden mit der Gleitreibzahl von i^st/st = 0,15 gerechnet (Tabelle 3.1, Seite 92). Fur den Entwurf der Schraubenverbindung sollen ermittelt werden: a) das erforderliche Metrische ISO-Gewinde fiir eine zulassige Zugspannung azzui = 150 N/mm^. b) das erforderliche Anzugsmoment fiir die Schrauben, wenn fiir die Reibzahl an der Mutterauflage mit //a = 0,15 und fiir den Reibwinkel im Gewinde mit Q' = 9° gerechnet wird (siehe Formelsammlung). Losung: a) Die freigemachte Platte zeigt, dass je Druckflache die halbe Zugkraft F durch die Reibkraft FR = F/2 aufgenommen werden muss. Aus der Defmitionsgleichung fiir die Reibkraft FR = F^/u und bei /2 = 2 Schrauben erhalt man die Normalkraft FN, die jede Schraube aufzubringen hat. Das ist zugleich die Langskraft je Schraube. Aus der Zughauptgleichung erhalt man eine Gleichung fiir den erforderlichen Spannungsquerschnitt As der Schraube. Die Formelsammlung liefert damit das erforderliche Metrische ISOGewinde und die Gewindedaten. b) Man hat jetzt alle GroBen zur Berechnung des erforderlichen Anzugsmoments MA fiir die Schraubenverbindung ermittelt: Jede Schraube muss mit dem Drehmoment von 119 Nm angezogen werden. Das geschieht mit einem Drehmomentenschliissel (siehe Lehrbeispiel „Verdrehwinker' im Abschnitt Torsion). Aufgaben Nr. 357-363

123

F=18kN

Reibschliissige Schraubenverbindung

Gegeben: Zugkraft F - 18000N Anzahl der Schrauben n = 2 zulassige Zugspannung CTz zui = 150N/mm^ Gleitreibzahl// = 0,15 Reibzahl der Mutterauflage /la = 0,15 Reibwinkel im Gewinde Q' — 9° Gesucht: a) Schraubengewinde b) Anzugsmoment MA

2 ^ ^ ^ '^'-'

^.

^

\^.

F 18000 N FR = - = = 9000 N 2 2 _ F R _9000N 30000 N ^ ^ ~ ^ ~ 2 0,15 30000 N FN 200 mm^ Ozzu\ 150N/nmi2 Gewahlt: Schraube M20 mit As = 245 mm^ Gewindenenndurchmesser d = 20 mm Steigungswinkel a = 2,48° Flankendurchmesser ^2 = 18,376 mm

As

M^

FN

- t a n ( a + ^') -\-ju^r^

-- 0,7 d (siehe Abschnitt 3.4.4.3) [18,376 mm tan (2,48° + 9°) MA = 30000 N + 0,15 0,7-20 mm MA

118979 N m m = 119 Nm

124

3 Reibung

3.4.5 Seilreibung 3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung Ein einfacher Versuch soil die Erfahrungen aus dem Berufsalltag bestatigen: Nach Skizze legt man um einen fest stehenden zylindrischen Korper ein diinnes Sell (Band, Faden). Beide Seilenden belastet man mit Wagestiicken gleicher Masse m (Skizze a)). Das Seil befmdet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand). Daran andert sich auch dann nichts, wenn man eines der beiden Seilenden durch kleine Wagestucke der Masse Am zusatzlich zugbelastet (bis kurz vor den Rutschvorgang). Ursache dafiir ist die zwischen Seil und Mantelflache des Zylinders herrschende Seilreibkraft FR. Sie ist die Summe der kleinen Reibkrafte AFR = // AFN, die verteilt auf der ganzen umspannten Mantelflache wirken: FR = 2 AFR.

a) Versuchsanordnung

b) Lageskizze des Seils Fi = F2 + 2 AFR Fi = F2 + FR Beachte: F\ ist immer die gwfiere der beiden Seilkrafte: Fi > F2.

Eine Berechnungsgleichung ftir die groBere Seilzugkraft F\ fmdet man wegen der verschieden groBen Teil-Reibkrafte AFR nur mit Hilfe der hoheren Mathematik (Differenzial- und Integralrechnung). Das hat zuerst Euler^^ getan, spater auch EytelweinP, nach dem auch heute noch die Gleichung Fi = F2 e^" benannt wird.

Seilzugkraft (Eytelwein'sche Gleichung zur Seilreibung) e = 2,71828 .. . heiBt Euler'sche Zahl

Die Gleichung bestatigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft F\ wachst (linear) mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft F2 und (exponential) mit dem Produkt aus Reibzahl fi und Umschlingungswinkel a.

Daraus ergibt sich fiir die Seilreibkraft

Der Umschlingungswinkel a muss mit der Einheit rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung, wenn der Winkel in Grad vorliegt. Haufig wird die Anzahl der Umschlingungen (Windungen) angegeben, z. B. zwei voile Windungen.

*^ Leonard Euler (1707-1783), Mathematiker und Physiker 2^ Johann Albert Eytelwein (1764-1848), Ingenieur

Fi=F2#«

F^ = Fi - F2^ ¥-2^

a~a

- ^ ^ Fi

o 2Jt -—-r

360°

Umrechnungsbeziehung (Grad in rad) Beachte: a = 360° = 2 Jt rad = eine voile Windung

125

3.4 Reibung an Maschinenteilen 3.4.5.2 Aufgabenarten und Losungsansatze Bei alien Seilreibungsaufgaben liegt ein Sell um einen Zylinder (System Zylinder/Seil). Zum Verstandnis einer Aufgabe versetzt man sich gedanklich als „Beobachter" auf den Zylinder und versucht von doit aus, den Richtungssinn der Seilreibkraft FR ZU bestimmen. Es ist dann gleichgiiltig, ob der Zylinder fest steht oder ob er sich um seine Achse dreht. Zum Richtungssinn von FR siehe Abschnitt 3.2 Gleitreibung und Haftreibung.

Hat man den Richtungssinn der Seilreibkraft FR gefunden, weiss man auch, welche der beiden Zugkrafte an den Seilenden die groBere Seilkraft Fi ist. Sie ist immer der Seilreibkraft FR entgegengerichtet.

3.4.5.3 Ubungen zur Seilreibung 1. Ubung: Beim Anlegen eines Lastkahns wird das Befestigungsseil mehrfach um den Befestigungspfahl (Poller) geschlungen. Die Reibzahl zwischen Poller und Sell soil ju = 0,4 betragen, die Handkraft am (losen) Seilende 300 N. Ermittelt werden soil die maximale Haltekraft fiir den Lastkahn, wenn das Halteseil a) zweimal und b) viermal um den Poller geschlungen wird und bei Belastung nicht rutschen soil.

Losung: Nach dem Zeichnen der vereinfachten Lageskizze fiir die Krafte am Seil in Seilrichtung (Fi, F2, FR) berechnet man zunachst die Umschlingungswinkel tta und a\y mit der Einheit Radiant (rad). Das ist einfach, weil der Winkel fiir eine Umdrehung das Produkt 2jtrad ist (Vollwinkel = 2n rad).

Der Zylinder ist je nach Aufgabe a) ein (fest stehender) Pfahl, z. B. beim Anlegen von Schiffen (1. Ubung), b) ein (umlaufender) Spillkopf beim Verschieben von Eisenbahnwaggons oder von Schiffen (2. Ubung), c) eine (umlaufende) Riemenscheibe (3. Ubung), d) eine (umlaufende) Seiltrommel bei Kranen, e) eine (umlaufende) Bremsscheibe bei Bandbremsen.

Sell „gestreckt"

gezeichnet F2 = FH (Handkraft)

ZZ3Zk

2F,(in Seilrichtung) :0 - F i + FR + F2 - 0 F, - FR + F2 = F2 &"" Seilzugkraft F\ > F2 gilt immer.

Gegeben: Kleinere Seilzugkraft F2 = 300 N (Handkraft) Gleitreibzahl pi = 0,4 Umschlingungswinkel «» = 2 Vollwinkel ttb = 4 Vollwinkel Gesucht: Seilzugkrafte Fia, Fib

Seil

F^ (Schiff)

—H> ^

F2 = 300 N (loses Seilende)

tta = 2 • 2JI rad = 4Ji rad ttb = 4 • 2 jc rad = 8 JT rad

3 Reibung

126 Mit den Umschlingungswinkeln a^ = 4n rad und ab = 8jtrad sowie der Haltekraft F2 = 300 N = 0,3 kN und der Reibzahl // = 0,4 kann man die maximal zulassigen Seilzugkrafte Fia und Fib berechnen. Man erkennt, dass durch die Verdopplung des Umschlingungswinkels die maximal zulassige Seilzugkraft auf das 152-fache wachst.

Fia = 45,7 kN Fib=F2e^"b=0,3kN-eO'^-^^ Fib = 6968,3 kN Fib = 152-Fia Beachte: Die e^"-Werte werden mit der In x- oder e^-Taste eines Taschenrechners ermittelt.

2. Ubung: Bei Spillanlagen zum Verschieben von Waggons im Ausbesserungs- oder Verladebetrieb der Bahn wird der skizzierte Spillkopf durch einen Elektromotor angetrieben. Das Stahlseil wird am Waggon eingehangt, mehrfach um den Spillkopf geschlungen und mit dem freien Ende von Hand angezogen. Fiir eine maximale Zugkraft Fi = 2 kN und die Reibzahl ju = 0,1 soil fiir drei voile Seilwindungen die erforderliche Handkraft ermittelt werden.

Gegeben: Seilzugkraft F i - 2 0 0 0 N Reibzahl// = 0,1 Umschlingungswinkel a = 3 • 2jTrad = 6JT rad Gesucht: Kleinere Seilzugkraft F2 (Handkraft)

Losung: Mit der In x- oder e^-Taste des Taschenrechners wird e^""" = e^'^ ^"^ = 6,586 ermittelt und gleich in den Quotienten 2000/6,586 eingebracht. Die Handkraft betragt F2 = 303,7 N.

Fi = F2 el,^a -

F2=

— gHa

F . = ^ ^

gO, 1 -6:1

= 303,7N '

3.4 Reibung an Maschinenteilen 3. IJbung: Ein Elektromotor treibt nach Skizze iiber ein Flachriemengetriebe eine Arbeitsmaschine an. Die auf der Motorwelle mit Formschlussverbindung (Passfeder) fest sitzende Riemenscheibe 1 (Radius r\) lauft rechtsdrehend mit der Drehzahl n\ und dem Drehmoment M\ um. Antriebswelle 1 und die (nicht gezeichnete) Abtriebswelle 2 haben einen festen Wellenabstand. Die erforderliche Riemenvorspannung wird daher mit einer Spannrolle am (ablaufenden) Leertrum aufgebracht und nicht, wie beim Spannwellenbetrieb, durch Verschieben des Antriebsmotors auf Spannschienen.

Gesucht ist eine Gleichung fiir das maximal ubertragbare Motordrehmoment M\ in Abhangigkeit von der Riemenvorspannkraft Fy. Losung: Das Drehmoment M\ an der Motorscheibe wird durch Seilreibung auf das (auflaufende) Lasttrum des Riemengetriebes iibertragen. Die Reibkraft ist die Seilreibkraft FR. Sie wirkt am Scheibenradius r\.

127

f^ Leertrum (ablaufendes Trum)

Lasttrum (auflaufendes

Motor-Riemenscheibe

Gegeben:

Euler'sche Gleichung Fi = F2 e ^ " Haftreibzahl /IQ Umschlingungswinkel a Radius der Riemenscheibe r] Riemenvorspannkraft Fy = F2

Gesucht: Maximal tibertragbares Drehmoment M\ =f{Fv,rx,fiQ,a)

Leertrum

Mj = Ffj 0

Die Seilreibkraft FR ist die Differenz der beiden Seilzugkrafte F\ und F2.

Ml =

Die Vorspannkraft Fy ist die Seilzugkraft F2 am Leertrum des Flachriemens. Man ersetzt daher die Seilzugkraft Fi durch die Eytelweingleichung Fi = F2 e^o« und erhalt die gesuchte Beziehung Ml =f{Fy,r\,iUQ,a). Da das groBtmogliche Drehmoment ermittelt werden soil, ist statt der Gleitreibzahl die Haftreibzahl einzusetzen.

Ml = (Fi - F2) ri = (F2 e^^o« _ ^2) n

Aufgaben Nn 364-369

Trum)

FRH

= (Fi - F2) ri

Ml = F2ri(e^^« - 1) = Fvri(e^^o« - 1) Beachte: Ein Drehmoment M kann nur bei Riemenvorspannung iibertragen werden: Das iibertragbare Drehmoment M ist der Vorspannkraft proportional.

1

128

3 Reibung

3.4.6 Bremsen 3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen Bei der Backenbremse bestimmt die Lage des Bremshebeldrehpunkts D die Wirkungsweise der Bremse. Sie kann fur eine Drehrichtung der Bremsscheibe selbsthemmend oder fur beide Drehrichtungen gleichbleibend sein. a) Backenbremse mit iiberhohtem DrehpunktD Der Bremshebel ist in D zweiwertig drehbar gelagert. Er wird freigemacht skizziert. Die Bremskraft F am Bremshebelende ruft zwischen Scheibe und Backe die Normalkraft FN hervor. Wirkt an der Bremsscheibenwelle ein Drehmoment, so ruft es ein entgegengerichtetes Bremsmoment M aus Reibkraft FR = F^JU und Scheibenradius r hervor: M = F^^r — F^fir. Die Skizze zeigt Normalkraft FN und Reibkraft ^R = ^N/^, wie sie bei Rechtslauf auf die Bremsbacke wirken. Bei Linkslauf kehrt die Reibkraft FR ihren Richtungssinn um. Bei Gleichgewicht am Bremshebel miissen die Gleichgewichtsbedingungen erfiillt sein. Setzt man in den Gleichungen FR = FN// ein, so erhalt man aus Gleichung III eine Bestimmungsgleichung fur die erforderliche Bremskraft F. Das Bremsmoment M wird aus M = F^r = F^fir berechnet. Mit der nach FN aufgelosten Bremskraftgleichung lasst sich dann eine Bestimmungsgleichung fur das Bremsmoment M entwickeln. Die Gleichung fiir die Bremskraft zeigt, dass bei Linkslauf mit zunehmender Uberhohung h des Drehpunkts die Klammerdifferenz immer kleiner wird und gegen null geht. Das bedeutet, dass die Bremskraft schlieBlich null wird. Dann halt die Reibkraft allein die Bremsscheibe fest, und es liegt Selbsthemmung vor. Bei Rechtslauf ist Selbsthemmung nicht moglich. Aus der Gleichung fiir die Bremskraft F ergibt sich femer, dass bei Linkslauf und gleichbleibender Bremskraft F die Bremswirkung groBer ist als bei Rechtslauf. Die Backenbremse mit iiberhohtem Drehpunkt ist also dann besonders geeignet, wenn nur in einer Richtung gebremst wird, z. B. als Hubwerksbremse an Hebezeugen.

- i . ^"^Bremsscheibe (Umrisslinie)

Lageskizze des Bremshebels bei Rechtslauf der Bremsscheibe Gleichgewichtsbedingungen nach Lageskizze: I. 2Fx II. 2Fv

= 0 = F N / / - FDX 0 - F N - Foy - F

IIL2M(D) = 0 = FN/I + F^fih - Fl 2M(p) = 0 = FN/I + FR/2 - Fl (Rechtslauf) IM(D) = 0 = FN/I - FR/2 Fl (Linkslauf) F = Fn'

M =-

Flfir

I

Bremskraft

Bremsmoment

(-(-) bei Rechtslauf, ( - ) bei Linkslauf Selbsthemmung bei Linkslauf tritt ein, wenn li - jul2 = 0 wird, denn dann wird das Bremsmoment unendlich groB. h '^f^h

Selbsthemmungsbedingung

In der Gleichung fiir die Bremskraft F ist der Klammerausdruck fiir Linkslauf {l\ - fih) kleiner als fur Rechtslauf {l\ -\- fih)Wenn in beiden Fallen die Bremskraft F gleich groB ist, dann bedeutet das, dass bei Linkslauf eine groBere Normalkraft und dadurch eine groBere Reibkraft auftritt.

3.4 Reibung an Maschinenteilen b) Backenbremse mit unterzogenem DrehpunktD Der Bremshebeldrehpunkt D liegt bei dieser Bremse auf derselben Seite der Reibkraftwirklinie wie die Bremsscheibe. Auch hier muss beim Abbremsen die Momentengleichgewichtsbedingung 2M = 0 fiir den Bremshebel erfiillt sein. Setzt man wieder in beide Gleichungen fiir die Reibkraft FR = F^fi ein, dann ergibt sich daraus die Bestimmungsgleichung fiir die Bremskraft F fast in der gleichen Form wie bei der Bremse mit iiberhohtem Drehpunkt, nur die Vorzeichen in der Klammer sind vertauscht. Das bedeutet, dass beide Bremsen die gleiche Bremswirkung haben, nur fiir jeweils umgekehrten Drehsinn. Mit M = F^i^r = F^jur erhalt man wieder die Bestimmungsgleichung fiir das Bremsmoment M. Auch hier ist Selbsthemmung unter den gleichen Bedingungen wie vorher mogUch, aber bei Rechtslauf. Auch diese Backenbremse ist daher besonders fiir eine Bremsrichtung geeignet. c) Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt Z> Hier liegt der Bremshebeldrehpunkt auf der Wirklinie der Reibkraft FR, die als Tangentialkraft an der Bremsscheibe angreift. Dadurch hat die Reibkraft FR in Bezug auf den Hebeldrehpunkt weder bei Rechts- noch bei Linkslauf ein Kraftmoment. Sie fallt beim Aufstellen der Momentengleichgewichtsbedingung 2M(D) = 0 aus der Gleichung heraus. Aus der Gleichung fur die Bremskraft F ist zu sehen, dass F nur noch von der Normalkraft FN und dem Verhaltnis der beiden Hebelarme l\ und / abhangig ist, und dass fiir beide Drehrichtungen die Bremswirkung gleichbleibend ist. Auch hier erhalt man mit M = F^^r = F^jur die Bestimmungsgleichung fiir das Bremsmoment M. Die Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt ist besonders dann geeignet, wenn fiir beide Drehrichtungen gleiche Bremswirkung verlangt wird, z. B. bei Fahrwerkbremsen.

129

^Dy\

Lageskizze J-.^JLS(bei ^ - \.

Rechtslauf) V F

'-'^Bremsscheibe (Umrisslinie)

2M(D) = 0 = FN/I - FR/2 - Fl (Rechtslauf) 2M(D) = 0 = FN/I + FR/2 - Fl (Linkslauf) f ^ f^ JhTf^h)

Fl^r

M =-

Bremskraft

Bremsmoment

( - ) bei Rechtslauf, (-f) bei Linkslauf

Selbsthemmung tritt bei Rechtslauf ein, wenn l\ - juk = 0 wird. ^1 ^/*fa

Selbsthemmungsbedingung

Lageskizze

' (beiRechtslauf)\J r—y^

f

Bremsscheibe (Umrisslinie)

IM(D) = 0 = FN/I - Fl bei Rechtslauf und Linkslauf F = /^

M-

h

Flfxr

Bremskraft

Bremsmoment

Beachte: Da bei einer Bremse l\ nicht gleich null werden kann, ist Selbsthemmung hier nicht moglich.

3 Reibung

130 d) Doppelbackenbremse mit festen Bremsbacken Die Bremskraft an der skizzierten Doppelbackenbremse wird durch eine Druckfeder erzeugt. Die erforderliche Luftermechanik zum Losen der Bremse ist nicht gekennzeichnet. Die beiden Bremsklotze A und B sind fest mit den beiden symmetrischen Bremshebeln verbunden. Bremsen mit beweglichen Backen z. B. nach DIN 15434. (Handbuch Maschinenbau, Abschnitt Fordertechnik).

Bremshebel Druckfeder

Bremsscheibe (Trommel)

Schemaskizze einer Doppelbackenbremse

Man beginnt die Untersuchung der Bremse bei Rechtslauf der Bremsscheibe mit der Lageskizze des oberen Bremshebels und bekommt den gleichen Fall wie unter b) Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt (1. Schritt).

1. Schritt A

fRA =

/

~Fc,

vie Fc/

" \\Jl! Ir LA

y^cy

Lageskizze des oberen Bremshebels

Wie unter b) lasst man auch hier die Stiitzkraft Fc im Hebeldrehpunkt C auBer Acht und schreibt nur die Momentengleichgewichtsbedingung 2M(c) = 0 auf. Daraus entwickelt man wie unter b) eine Bestimmungsgleichung fiir die Bremskraft F (2. Schritt).

Die Reibkraft FRA = F^/^ju an der Bremsbacke A erzeugt das Bremsmoment MA = F^^r — F^p^jur. Man lost die Bremskraftgleichung nach FNA auf und entwickelt die Bestimmungsgleichung fiir das Bremsmoment MA (3. Schritt).

Das Bremsmoment MA ist das von der Reibkraft FRA an der oberen Bremsbacke erzeugte Teilmoment. Es muss nun auf dem gleichen Weg das zweite Teilmoment, das Bremsmoment MB, durch Freimachen des unteren Bremshebels ermittelt werden.

2, Schritt 2:M(C) = 0 = FNA/I - F^Af^h - Fl (Rechtslauf) /^NA(/I -fill)

=Fl

F^FiiA^^"^^

Bremskraft

3. Schritt Fl ^NA

=

Flfir MA

=

ih-f^k)

;

MA=F^Afir

Bremsmoment MA

Beachte: Es wurde beim Freimachen des Systems systematisch und exakt vorgegangen: oberen Bremshebel mit Bremsbacke A skizzieren, die Druckfeder gedanklich wegnehmen und dafiir die Federkraft F eintragen usw. So geht man auch beim unteren Bremshebel vor.

3.4 Reibung an Maschinenteilen

131

Man arbeitet nach der gleichen Gliederung wie bei der Untersuchung des oberen Bremshebels und beginnt mit der Lageskizze des unteren Bremshebels (1. Schritt).

1. Schritt

^Ox^, T

\V

foy

'

Lageskizze des unteren Bremshebels

Im 2. Schritt liest man wieder die Momentengleichgewichtsbedingung 2M(D) = 0 aus der Lageskizze ab und schreibt sie auf. Daraus entwickelt man emeut eine Bestinmiungsgleichung fiir die Bremskraft F (2. Schritt).

2. Schritt 2M(D)

= 0 = - F N B / I - F^^^h

Bin Vergleich der Gleichungen fiir FNA und FNB zeigt, dass die Normalkraft FNA groBer ist als FNB» weil der Nenner in der Gleichung fiir FNA kleiner ist als der Nenner bei FNB-

Das gesamte auf die Bremsscheibe wirkende Bremsmoment M der untersuchten Doppelbackenbremse ist die Summe der beiden Teilmomente MA und MB. Die hier entwickelten Gleichungen gelten nur fiir Doppelbackenbremsen mit Bremsbacken, die fest mit dem Bremshebel verbunden sind.

Bremskraft

3. Schritt Fl ' NB — / ,

,

, X

iriB — i NBA*'

Bremsmoment MB

FNA > FNB, weil (/i - juh) < {h + f^h)', wegen FNA > FNB ist auch FRA > FRB und MA > MB

M = MA 4- MB

Gesamt-Bremsmoment

Beachte: Sollen die Stiitzkrafte FQ und FD eimittelt werden, miissen jeweils alle drei Gleichgewichtsbedingungen angesetzt werden, z. B. fiir Lager D: 2Fx

= 0 =

FDX-FNB^

SFv 0 = Foy + F — FNB 2M(D) = 0 (siehe oben, 2. Schritt)

Aitfgabea Nr. 370-375

Fl

FMh+fil2)=Fl F = Fm ^ ^ ^ ^

Durch die Reibkraft FRB wird das zweite TeilBremsmoment MB = F^^r = F^^f^r erzeugt. Man lost im 3. Schritt die Bremskraftgleichung nach FNB auf und entwickelt damit die Bestimmungsgleichung fiir das Bremsmoment MB (3. Schritt).

+

(Rechtslauf)

3 Reibung

132 3.4.6.2 Bandbremsen Bei der Bandbremse wird die Bremswirkung durch Seilreibung (Bandreibung) erzielt. Fur die Spannkrafte Fi und F2 an den Bandenden und fur die Reibkraft FR gelten die Beziehungen aus 3.4.5. Bei der einfachen Bandbremse ist ein Bandende am Bremshebeldrehpunkt D befestigt, das andere am Bremshebel. Durch die Hebelkraft F wird das Band gespannt, und bei Drehung der Bremsscheibe entstehen in den Bandenden infolge der Seilreibung unterschiedliche Spannkrafte F\ und F2.

F, = F2 e^^« FR=F,-F2-F2(e^^«-1)-F]

\F2

(e^^« - 1) Q[ia

^

/; I

Die Krafte F\, F2 und FR wirken bei Rechtslauf in den eingezeichneten Richtungen auf das Bremsband.

Am Bremshebel herrscht Momentengleichgewicht (Ruhe). Bezieht man die Kraftmomente auf den Hebeldrehpunkt, dann hat die Kraft F\ kein Moment. Die Spannkraft F2 wird also von der Hebelkraft F und den Hebellangen / und l\ bestimmt.

1 XM^^)=0

I

= F2h-Fl;

Lageskizze des Bremshebels

F2 = F-

Nach den Gesetzen der Seilreibung kann man aus der Kraft F2 die Bandreibkraft FR = Bremskraft an der Bremsscheibe ermitteln. Sie wirkt im Abstand r von der Bremsscheibenmitte und erzeugt das Bremsmoment M = F^r.

FR=F2(e^^«-l)=F-(e^^«-l)

Bei Linkslauf wechseln Fi und F2 ihre Angriffspunkte. Fiir die gleiche Bremswirkung ware dann eine erheblich groBere Hebelkraft F erforderlich. Die einfache Bandbremse wird darum nur fur einen Drehsinn verwendet, z. B. fiir Hubwerke als Haltebremse (Bauaufzuge).

Aus der Gleichung erkennt man, dass das Bremsmoment vergroBert werden kann durch groBere Hebelkraft F, groBeren Scheibenradius r, groBere Hebellange /, kleineren Bandabstand l\, groBere Reibzahl // und groBeren Umschlingungswinkel a. Selbsthemmung ist nicht moglich.

Neben der einfachen Bandbremse gibt es noch die Summenbremse mit gleich groBem Bremsmoment M in beiden Drehrichtungen und die Differenzbremse fiir einen Drehsinn des Bremsmomentes.

Beachte: Funktionsskizzen fur Summen- und Differenzbremse sowie die Formeln fiir das Bremsmoment findet man in der Formelsammlung zur Technischen Mechanik.

Anfgaben Nn 376-378

I]

M = Far = Fr — ( e ^ — 1)

h

Bremsmoment

3.4 Reibung an Maschinenteilen

133

3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen a) Scheibenbremsen Gebaut werden Ein- und Mehrscheibenbremsen (Lamellenbremsen). Die Bremsscheibe der skizzierten Einscheibenbremse sitzt drehfest auf der Bremswelle. Die beiden Bremsbacken werden durch Druckfedem im gehausefesten Hydraulikzylinder an die Bremsscheibe gepresst. Mit Flussigkeitsdruck wird die Bremse gelost (Liiften). Die Einscheibenbremse wird zunehmend im Hebezeugbau verwendet, auch an Stelle der Bandbremse (gute Warmeableitung).

Bremsscheibe

Bremskraft-Feder

Hydraulikzylinder zum Liiften der Bremse

b) Kegelbremsen Die drehfest mit der Bremswelle verbundene Bremsscheibe mit AuBenkegel wird durch Federkraft axial gegen den gehausefesten Innenkegel gepresst und hydraulisch oder elektromagnetisch abgelost (Liiften der Bremse). Durch die Kegelreibflache kann das gleiche Bremsmoment wie bei der Einscheibenbremse mit kleinerer Bremskraft erzeugt werden (kleinere KonstruktionsmaBe).

c) Bremskraft und Bremsmoment Fiir die Bremskraft F und fur das Bremsmoment M kann man zwei Gleichungen entwickeln, die fiir Scheiben- und Kegelbremsen gelten. Wie bei jeder Bremse ist das Bremsmoment M das Produkt aus der Reibkraft FR = F^fi und dem zugehorigen Reibkraftradius (M = F^r — F^jur). Bei der Scheibenbremse ist die Bremskraft F zugleich die Normalkraft F^ = F. Dagegen ist bei der Kegelbremse F = 2FN sin a, wie die Krafteckskizze zeigt. Damit erhalt man die beiden Bestimmungsgleichungen fiir F und M.

F = 2Fs,sina

F>

Msma rzfA Frzfi

M< sin a

Bremskraft

Bremsmoment

z Anzahl der Reibflachen z = 1 bei Kegelbremsen z = 2 bei Einscheibenbremsen a Kegelwinkel a = 90° bei Scheibenbremsen a ^ 20° bei Kegelbremsen

3 Reibung

134

3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung) Betrachtet man einen Rollkorper und seine Unterlage als absolut starre Korper, dann ist Rollen nur infolge der tangential wirkenden Haftreibkraft moglich. Sonst miisste der Rollkorper auf der Unterlage gleiten. Tatsachlich driickt sich der Rollkorper etwas in die Unterlage ein, und er verformt sich auch selbst geringfiigig. Es kann hier also nicht mehr von „echter" Reibung gesprochen werden, sondem man muss sich den Rollvorgang als ein fortwahrendes Kippen tiber die Kante D vorstellen (vgl. 2.5.2 Standsicherheit). Bei gleichformiger Rollbewegung herrscht Gleichgewicht. Aus der Momentengleichgewichtsbedingung erhalt man eine Gleichung fiir die Rollkraft F. Wegen der geringen Eindriicktiefe kann man in dieser Gleichung den Kippabstand / gleich dem Rollradius r setzen. Die Rollkraftgleichung zeigt, dass die Rollkraft F mit zunehmendem Rollradius r kleiner wird. Den Abstand / bezeichnet man als „Hebelarm der Rollreibung". Er ist abhangig vom Werkstoff der Unterlage und des Rollkorpers und wird gewohnlich in cm angegeben. Aus diesem Grund setzt man in die Gleichung auch den Rollradius r zweckmaBig in cm ein.

Freigemachter „starrer" Rollkorper

„Wirklicher" Rollkorper XM^j,)=0 = FGf-Fl;

l^r

f

F,FG

Rollkraft

N

/

r

cm cm

Die Gewichtskraft steht hier fiir die Belastung der Radachse. Beachte: GroBe Rader oder Kugeln rollen leichter als kleinere. Werte fiir den Hebelarm der Rollreibung: Fiir Gusseisen und Stahl auf Stahl ist / ^ 0,05 cm, fur gehartete Stahlrollen und -kugeln auf geharteten Laufringen (Walzlager) ist / ^ 0,0005... 0,001cm.

3.4.8 Fahrwiderstand Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit auf horizontaler Fahrbahn fortbewegt, sind Widerstande zu (iberwinden: der Luftwiderstand, der Rollwiderstand, der Widerstand durch Lagerreibung. Die beiden letzten fasst man zum Fahrwiderstand F^ zusammen. Bei horizontaler Fahrbahn ist die erforderliche Zugkraft Fz gleich dem Fahrwiderstand (ohne Luftwiderstand). Bei geneigter Fahrbahn ist zusatzlich die Hangabtriebskraft F^ — FQ sin a zu iiberwinden. a ist der Neigungswinkel der Fahrbahn zur Waagerechten.

Fw = Fn/if

Fahrwiderstand

FN gesamte Normalkraft (Anpresskraft des Fahrzeugs an alien Radem). Bei horizontaler Fahrbahn ist die Normalkraft FN gleich der Gewichtskraft FQ des Fahrzeugs. //f Fahrwiderstandszahl; sie wird durch Versuche ermittelt. Erfahrungswerte fiir jUf: Eisenbahn StraBenbahn mit Walzlagem StraBenbahn mit Gleitlagem Kraftfahrzeug auf Asphalt Drahtseilbahn

0,0025 0,005 0,018 0,025 0,01

135

3.4 Reibung an Maschinenteilen Fur die Rollbewegung ist erforderlich, Damit sich die Rader drehen, muss die HaftreibFRO max > Fw, d. h. FN/ZQ > ^N/^f ist. kraft FRO max zwischen Radem und Fahrbahn gro6er sein als der Fahrwiderstand F^. Daraus ergibt /^o — i^f Rollbedingung sich die Rollbedingung JUQ > jUf. Bei JUQ < ju^ gleiten die Rader auf der Fahrbahn.

dass

3.4.9 tJbungen zum RoUwiderstand und Fahrwiderstand 1. Ubung: Die Laufachse einer Lokomotive mit zwei Radem von 1,1m Durchmesser hat 1,21 Masse. Sie soil durch eine in Achsmitte angreifende Kraft F auf waagerechten Schienen in gleichformiger Bewegung gehalten werden. Der Hebelarm der RoUreibung betragt 0,05 cm. Wie groB sind die erforderliche Rollkraft F und der RoUwiderstand Frou?

uegeben: Durchmesser d = 2r = 1,1 m Masse m = 1,2- 10^ kg Hebelarm/= 0,05 cm

Losung: Man kann die Rollkraft F mit der in 3.4.7 entwickelten Gleichung bestimmen. Der RoUwiderstand Froii ist hier gleich der Rollkraft F.

F=

2. Ubung: Der Tisch einer Werkzeugmaschine lauft auf einer Zylinderrollenfiihrung. Er belastet die Rollen mit einer Kraft Fi = 1800 N. Rollen und Fiihrungsschienen sind gehartet. Die Rollen haben 18 mm Durchmesser. Welche Kraft muss aufgebracht werden, um den Tisch zu verschieben?

Gegeben: BelastungFi = 1,8- 10^ N Hebelarm/ = 10"^ m (nach 3.4.7) Rollendurchmesser J = 18 • 10"^ m

Losung: Man darf alle Krafte auf eine Rolle beziehen, denn ob an 100 Rollen je ein Hundertstel der Krafte wirkt oder an einer Rolle alle Krafte, ist gleichgultig. Die Gewichtskrafte der Rollen konnen vemachlassigt werden, denn sie sind klein gegeniiber der BelastungFi. RoUwiderstand tritt an der unteren und an der oberen Fiihrungsschiene auf. Die Verschiebekraft F am Tisch hat ihre Gegenkraft im RoUwiderstand Frou oben, folglich ist F = Froll.

Das RoUmoment F • J ist gleich dem Lastmoment Fi • 2/. Fiir unterschiedliche Werkstoffe ist statt 2/die Summe (/i -^fi) einzusetzen.

Gesucht: Rollkraft F, RoUwiderstand Froii

— = mg — ^ . ^ m 5 • 10-4 ^ F = 1,2 • 10^ kg . 9,81 ^ • - — — — — s2 5,5 • 10"! m F = 10,7 N - Froll FG

Gesucht: Verschiebekraft F

Froll - F

F,oud = Fd = Fx^

d

Fi-2f

= F,

F = 1,8- 10^ N

2/ 10-^] 9 • 10--

:2N

3 Reibung

136 3. Ubung: Eine Kugel von 20 mm Durchmesser liegt auf einer schiefen Ebene. Bei welchem Neigungswinkel a beginnt die Kugel zu rollen, wenn der Hebelarm der Rollreibung / = 0 , 1 cmbetragt?

Losung: Die Kugel beginnt dann zu rollen, wenn die Wirklinie der Gewichtskraft FQ durch die „Kippkante" D geht (siehe 2.5.2). Die Rollkraft ist dann die Komponente FG sin a, die „Belastung" die Komponente FG COS a.

Gegeben: Durchmesser d = 20 mm Hebelarm/= 0,1 cm Gesucht: Neigungswinkel a

FQ

sin a

Das linksdrehende Kraftmoment FG sin ar ist gleich dem rechtsdrehenden Kraftmoment FG COS af. Damit ist der Losungsansatz gefunden. Die Diskussion der Gleichung tan a =f/r lasst erkennen, dass mit zunehmendem Kugelradius r die Tangensfunktion und damit der Neigungswinkel kleiner wird: GroBe Rollkorper rollen leichter als kleine. 4. Ubung: Ein Kraftfahrzeug mit 1100 kg Masse wird auf einer waagerechten AsphaltstraBe gleichformig geschoben. Wie gro6 ist der zu iiberwindende Fahrwiderstand Fw?

FG

sin ar =

FQ

sin g _ / a r

Losung: Man berechnet den Fahrwiderstand Fw aus der Normalkraft FN und der Fahrwiderstandszahl /If. Die gesamte Normalkraft an den vier Radem ist bei waagerechter Fahrbahn gleich der Gewichtskraft FG = Masse m • Fallbeschleunigung g. Die Fahrwiderstandszahl entnimmt man den Erfahrungswerten (3.4.8).

Fw = FN/^f = FG/^f = mg/if

5. Ubung: Ein Giiterzug fahrt auf waagerechter Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse der angehangten Wagen betragt 10001. Wie groB ist der Fahrwiderstand F^ der angehangten Wagen?

Gegeben: Masse m = 1 0 0 0 t = 10^ kg Fahrwiderstandszahl ^^ = 0,0025

FQ COS

af

FG COS

f

tan a = — / 0,1cm ^^^, a — arctan — = arctan — — 5,71 r 1 cm

Gegeben: Masse m = 1,1 • 10^ kg Fahrwiderstandszahl//f = 0,025 (siehe 3.4.8) Gesucht: Fahrwiderstand F^

Fw = 1,1 10^ kg-9,81 - - 2 5 s^ kgm :270N Fw = 270

Gesucht: Fahrwiderstand Fw

10-

3.4 Reibung an Maschinenteilen

137

Losung: Die Uberlegungen zur Losung dieser Aufgabe sind die gleichen wie in der 4. Ubung. Lediglich die Betrage der Masse und der Fahrwiderstandszahl wurden geandert. Da die Zugkraft am Zughaken der Lokomotive nur den Fahrwiderstand zu iiberwinden hat, sind Zugkraft Fz und Fahrwiderstand gleich groB.

Fw = F^pif = FcjUf = mgfif

6. Ubung: Derselbe Guterzug wie in der 5. Ubung wird eine Steigung 1:100 gleichformig bergauf gezogen.

Gegeben: Dieselben GroBen wie in Ubung 5; zusatzlich Steigung 1:100, das heiBt, der Tangens des Steigungswinkels betragt 1/100, tan a = 0,01

Wie groB ist jetzt die erforderhche Zugkraft Fz?

Gesucht: Zugkraft F^

Fw = 10^kg-9,81 ^ - 2 , 5 Fw = 24,53 • 10^

kgm

10-

: 24530 N

: 24,53 kN

Fw

Losung: Man orientiert sich iiber die Krafteverhaltnisse anhand einer Lageskizze. Ob man dabei den ganzen Zug betrachtet oder nur einen Wagen mit der Masse m = 10001, ist gleichgiiltig. Man erkennt: Da Gleichgewicht herrscht, ist die Normalkraft ^N = FG COS a. AuBerdem muss die Zugkraft Fz gleich der Summe aus Fahrwiderstand F^ und Hangabtriebskraft FQ sin a sein.

F/y/ (aufalle Rader verteilt)

FQ COS

a

Lageskizze

Zuerst wird der Steigungswinkel a aus seiner Tangensfunktion ermittelt. Der Winkel ist so klein, dass man in der weiteren Rechnung sin a = tan a = 0,01 und cos a = 1 setzen darf.

a = arctan 0,01 = 0,573° = 34,4'

Dann setzt man die Gleichgewichtsbedingung fur die Krafte in Richtung der Steigung an (x-Krafte) und lost schrittweise nach Fj auf.

2Fx = 0 = Fz - Fw -

FG

sin a

Fz = Fw + FG sin a = F^fif -h FG sin a Fz =

F G COS

a^f H-

FG

sin a =

= Fci/^f cos a + sin a) Fz = mg{iUf cos a + sin a) cos a = 0,99995 ^ 1 gesetzt:

Die Gleichung Fz = mg{fi^-\- sin a) zeigt, dass der Steigungswinkel a die Zugkraft stark beeinflusst. Hier ist sin a — 4//f, d. h. die Hangabtriebskraft FG sin a ist viermal so groB wie der Fahrwiderstand Fw Aiifgaliari Nn 379-385

Fz = mg{jUf + sin a) Fz = 10^ kg • 9,81 ^ • (0,0025 + 0,01) Fz = 12,26-10^ N = 122,6 kN

3 Reibung

138

3.4.10 RoUe und RoUenzug 3.4.10.1 Feste RoUe (Leit- oder UmlenkroUe) Die Achse der festen Rolle liegt raumlich fest. Ohne Reibung ware die Zugkxaft F im Seil gleich der Gewichtskraft FQ (F — FQ). Infolge der Zapfenreibung (siehe Seite 116) ist beim Heben der Last die Zugkraft jedoch stets groBer als die Gewichtskraft (F > FG). Aber auch ohne Beriicksichtigung der Zapfenreibung ware F > FQ, denn die Reibung zwischen den einzelnen Drahten des Seils macht das Seil biegesteif. Dadurch weicht der auflaufende Seilstrang um die seitliche Auslenkung e\ nach auBen. Der ablaufende Seilstrang schmiegt sich um €2 an die Rolle nach innen an. Dadurch vergroBert sich der Wirkabstand der Gewichtskraft FQ vom Rollendrehpunkt D auf den Betrag r-\-e], wahrend sich der Wirkabstand der Zugkraft F auf r — 62 verringert.

Zur Gleichgewichtsbetrachtung skizziert man die Lageskizze des Systems Rolle/Seil. Der geringfiigige Unterschied zwischen e\ und 62 lasst es zu, mit der Auslenkung e = e\ = ^2 zu rechnen. Die Rolle dreht sich beim Heben der Last mit konstanter Winkelgeschwindigkeit co rechts herum. Linksdrehend wirkt dann das Reibmoment MR == FR^Z = FNZ/TZ = (FG + F)fir^. Erlauterungen zum Reibmoment MR siehe Abschnitt 3.4.3.1, Seite 117.

Fiir die Reibungsbetrachtung am Rollenbolzen oder -zapfen kann die Zugkraft F ungefahr gleich der Gewichtskraft FG gesetzt werden (F ^ FQ). Das Reibmoment wird dann MR = 2FQjurj.. Legt man den Momentendrehpunkt D auf die Wirklinie der noch unbekannten Normalkraft FN (Lagerkraft) in den Rollenmittelpunkt, so fiihrt die algebraische Entwicklung zu einer Gleichung fiir die Zugkraft F

cj = konstant

Rollenzapfen

FQ F r Tz

Gewichtskraft Zugkraft Rollenradius Zapfenradius

cj = konstant

r+

ej^

Lageskizze fiir Lastheben

I.Fy=0 = - F G + FN - F FN

=

FG

+ F

2M(D) = 0 = FG(r + ^ ) - F ( r - e ) + M R Fair + e)- F{r - e) + IF^fir^ - 0 F{r-e)=FG{r _ t

+ e + l^ir^)

r + e + ajM/z = FQ—

'

r—e

•

Zugkraft an der festen Rolle beim Lastheben

3.4 Reibung an Maschinenteilen

139

Der Wirkungsgrad r] ist das Verhaltnis von NutzVf arbeit W^ zur aufgewendeten Arbeit W^. Die Nutzarbeit Wn ist hier das Produkt aus der GewichtsW^^FQS kraft FQ und dem Hubweg s, also (Hubarbeit). Entsprechend gilt fiir die aufgewendete Arbeit W^ = Fs. Kraft- und Lastweg sind gleich groB (5-1 = ^2 = s). Mit den beiden Ausdriicken fiir die Zugkraft F stehen also zwei voneinander unabhangige Gleichungen mit zwei Unbekannten (F und rjf) zur Verfiigung. Die Gleichsetzungsmethode fiihrt hier am einfachsten zu einer Gleichung fiir den Wirkungsgrad rjf der festen RoUe. Wie die Gleichung zeigt, ist der Wirkungsgrad rj^ abhangig vom Rollenradius r, vom Zapfenradius Tz, von der Zapfenreibzahl // und von der Auslenkung e. Die GroBen r und r^ sind konstruktiv festgelegt, dagegen konnen Zapfenreibzahl // und Auslenkung e nur angenommen werden. Dabei ist die Festlegung eines Auslenkungsbetrages am schwierigsten. Eine Rechnung mit bestimmten Betragen von r, rz und //, bei ^ = 0; 0,5 mm; 1 mm und 2 mm zeigt die geringe Abhangigkeit des Wirkungsgrades r]^ vom Auslenkungsbetrag e. Es ist daher berechtigt, mit einem Mittelwert rjf — 0,95 zu rechnen.

3.4.10.2 Lose Rolle Die Last mit der Gewichtskraft FG hangt an der Achse der losen Rolle und verteilt sich daher auf zwei Seilstrange. Der eine Strang ist z. B. an der Auslegerspitze eines Drehkrans befestigt, am anderen Strang greift die Zugkraft F an. War bei der festen Rolle ohne Reibungsverluste F — FQ, SO ist bei der losen Rolle F — F^ = FQII. Die aufgewendete Arbeit ist W^ = Fs\, die Nutzarbeit Wn = FQS2. Ohne Reibungsverluste sind beide Betrage gleich groB, also Fs\ = FG^2- Mit F = FG/2 wird dann FQS\I2 = FGS2, also auch ^i = 2s2- Der Kraftweg ^i ist doppelt so groB wie der Lastweg 52.

t =

Nutzarbeit W^ aufgewendete Arbeit W^ Fs

= TQ

r—e

%^ r + e -h 2/1%

Wirkungsgrad der festen Rolle

Berechnungsbeispiel: Fiir r = 200 mm, TZ = 30 mm und /i = 0,15 sowie e\ = 0; ^2 = 0,5 mm; ^3 = 1 mm und ^4 = 2 mm liefert die Wirkungsgradgleichung: ^0,96 Vn = 0,957 -^ Vn = 0,952 -^::;0,95 Vn = 0,948 ?=1^0,95 Vu - 0,938 ;=^0,94

fur fur fiir fiir

ei = 0 e2 = 0,5 mm ^3 = 1 mm ^4 = 2 mm

cj = konstant

Lageskizze fiir Lastheben

3 Reibung

140 Wie bei der festen Rolle stellt man die Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze auf. Auch hier wird angenommen, dass die seidiche Auslenkung am auf- und am ablaufenden Seilstrang gleich groB ist {e\ = e2 = e). Den Momentendrehpunkt D legt man auf die Wirklinie der Seilkraft Fs, weil die Entwicklung der Momentengleichgewichtsbedingung dann zu einer Gleichung mit nur einer Unbekannten fiihrt (Zugkraft F).

Auch bei Beriicksichtigung der Reibung gilt fiir den Kraftweg s\ = 2s2- Allerdings bleibt nicht mehr F = FG/2. Mit der Nutzarbeit W^ = FQSI und der aufgewendeten Arbeit Wa = F^i = F -Isi erhalt man wie bei der festen Rolle eine Gleichung fiir den Wirkungsgrad rji der losen Rolle und daraus eine Gleichung fiir die Zugkraft F. Wie bei der festen Rolle verfiigt man auch hier iiber zwei voneinander unabhangigen Gleichungen fiir die Zugkraft F, die man gleichsetzen und nach dem Wirkungsgrad rji auflosen kann.

^Fy = 0 = Fs-FG FG=F,

+F

+ F

2r 2M(D) = 0 = -FG(r + e)-M^+F(r-e MR = FRrz = F^jur^ = Fcfir^

+ r + e)

IFr = Fcir -h e) + Fcjur^ = F^r + e +/^r^) F^

FQT%€W^§I^ 2

•••^••••-

r

-

m

&

Zugkraft an der losen Rolle beim Lastheben

^i

Wn

FGS2

Wa

F2S2

FG _ F G r + g + / / r z Irji' 2 r rii —

'\;[^''^-3u'>i r + e +p?|

Wirkungsgrad der losen Rolle

Ein Vergleich der beiden Gleichungen fiir die Wirkungsgrade rji und T/f zeigt, dass der Zahler in der Wirkungsgradgleichung fiir die lose Rolle groBer ist als der Zahler in der Gleichung fiir die feste Rolle. Dagegen ist der Nenner bei rji kleiner als bei ?/f. Folghch ist der Wirkungsgrad rji der losen Rolle groBer als der Wirkungsgrad ?/f der festen Rolle {rji > rjf).

Zahlervergleich: r > r - e Nennervergleich: r-\- e + jur^ < r -\- e + 2firz

Das wird rechnerisch bestatigt mit den fiir die feste Rolle angenommenen GroBen (siehe Seite 139). Fiir praktische Rechnungen verzichtet man jedoch auf unterschiedUche Betrage fiir die Wirkungsgrade der festen und der losen Rolle. Man rechnet rmtrjf = r}i — rj = 0,96 fiir Gleidagerung der Rolle und rj — 0,98 fiir Walzlagerung.

Fur r = 200 mm, r^ = 30 mm, // = 0,15 und e = 1 mm wird der Wirkungsgrad fiir die lose Rolle: r Vi

folglich ist

Vi

200 mm ( 2 0 0 + 1 + 0 , 1 5 - 3 0 ) mm

rji - 0,973 >rj^ = 0,948

141

3.4 Reibung an Maschinenteilen 3.4.10.3 RoUenzug RoUenziige sind Ubersetzungsmittel zwischen Last und Kraft. Sie bestehen aus einer Kombination fester und loser Rollen, die in Flaschen (Kloben) gelagert sind. Die Rollen konnen untereinander oder auch nebeneinander liegen^^ Das eine Seilende ist mit einer Flasche verbunden, am anderen Ende greift die Zugkraft F an. Zur statischen Analyse des skizzierten Rollenzuges beim Heben der Last wird die untere Flasche freigemacht. Der Schnitt x — x trifft hier vier tragende Seilstrange. Fiir alle Rollen soil der Wirkungsgrad gleich groB sein {rj^ = Vi = V)- Mit den fiir feste und lose Rollen entwickelten Gleichungen ist dann Lageskizze der Fi — Y]F, F2 = r}F\ — rj^F, F3 = /7F2 = rj^F und V ^G unteren Flasche F4 = rj^F. Damit kann die Kraftegleichgewichts2Fy = 0 = Fi + F2 + F3 + F4 bedingung 2Fy = 0 aufgestellt werden. Der Ausdruck {I + rj -\- rj^ -\- rj^) lasst sich alge- r]F + rj^F + n^F + rj^F = F G braisch vereinfachen. Es ist Fir] -\-rj^ + rj^+ rj^) = FQ l+V

9

-I

1-yy^

1-7/

Der Beweis lasst sich durch Polynomdivision fuhren, indem man 1-7/^ durch I - rj dividiert. Der spezielle Fall mit vier tragenden Seilstrangen kann leicht auf beliebige Konstruktionen mit n tragenden Seilstrangen erweitert werden. Als Exponent steht dann „7i" statt „4" in der Zugkraftgleichung des RoUenzugs. Von den „Lasten", die mit Rollenzugen bewegt werden sollen, ist meistens die Masse m in kg bekannt. Aus diesem Grund wird nach FQ = mg die Zugkraftgleichung mit der Masse m geschrieben (Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s^). Eine Beziehung zwischen dem Kraftweg s\ und dem Lastweg ^2 lasst sich wie bei der losen Rolle mit der Nutzarbeit Wn = FQ S2 und der aufgewendeten Arbeit W^ = Fsi herleiten. Ohne Reibungsverluste ist auch hier Wn = Wa, und die Gewichtskraft FG ist gleich dem n-fachen der Zugkraft F (FG = nF Oder F = FQIH), Beispielsweise ist bei der losen Rolle FG = 2F, weil w = 2 tragende Seilstrange vorhanden sind.

F = FG

v% FG

1 1 = F( r}{l -\-rj-\-rj^ + rj^) r]~^rj^ +r}^ +7]"^ \-rj

F = FG

F = mg Zugkraftgleichung fiir RollenzUge mit n tragenden Seilstrangen beim Lastheben {mg = FQ)

FGS2 = FSI

(FG =

nF)

nFs2 = Fs\ Si = 1152

WeggleichungfUr RollenzUge mit n tragenden Seilstrangen

^^ Praktische Ausfuhrung siehe Handbuch Maschinenbau (Abschnitt Fordertechnik)

3 Reibung

142 Mit der Weggleichung si=ns2 kann nun wie bei den RoUen eine Wirkungsgradgleichung fiir den Rollenzug entwickelt werden. Ausgangsgleichung ist die allgemeine Wirkungsgradgleichung Vr = ^ n / ^ a Hiit der Nutzarbeit Wn = FQSI und der aufgewendeten Arbeit W^ = Fs\ = Fns2. Auch hier liegen wieder zwei voneinander unabhangige Gleichungen ftir die Zugkraft F vor, die gleichgesetzt und nach dem Wirkungsgrad ?/r des RoUenzuges aufgelost werden konnen. Darin steht mit rj der Wirkungsgrad der einzelnen Rolle, wobei zwischen fester und loser Rolle nicht unterschieden wird (rj^ = rj^ = rj = 0,96).

Vr

w„ w„ _FQ

VT

nF

FGSI

FGS2

Fsi

nFs2

-

1 -V

F=

Fo-rr

Vt =

-r) Wirkungsgrad rj^ des RoUenzuges fiir n tragende Seilstrange 7] Wirkungsgrad einer Rolle

-rf) nil -V)

Die folgende Tabelle gibt Werte fiir den Wirkungsgrad rj^ in Abhangigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstrange an. Obere Zeile fiir Gleitlagerung mit rj — 0,96, untere Zeile fiir Walzlagerung mit r] — 0,98. n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Vr

0,960

0,941

0,922

0,904

0,886

0,869

0,852

0,836

0,820

0,804

VT

0,98

0,97

0,961

0,951

0,942

0,932

0,923

0,914

0,905

0,896

3.4.10.4 Ubung zum Rollenzug Mit dem auf Seite 139 skizzierten Rollenzug soil ein Werkstiick von 900 kg Masse auf eine Hohe von 7 m gehoben werden. Zu berechnen ist a) die Zugkraft F im Sell beim Heben, b) die Lange si des ablaufenden Seilstrangs

Gegeben: Masse m = 900 kg Anzahl der tragenden Seilstrange n = 4 Lastweg ^2 = 7 m Rollenwirkungsgrad rj = 0,96 Gesucht: Zugkraft F, Ablauflange ^i

Losung: a) Die Zugkraft F beim Lastheben wird mit der Zugkraftgleichung fiir RoUenziige fiir n = 4 tragende Seilstrange berechnet.

F = 900 kg-9,81

b) nach der Weggleichung fiir RoUenziige ist der Kraftweg ^i (Ablauflange) n mal so groB wie der Lastweg 5*2, hier also 4-mal so groB.

F = 2442?^-2442 N s^ ^1 = ns2 = 4 • 7 m = 28 m

mg

1-^ 77(1 - 7 7 "

1 - 0,96 s2 0,96 (1-0,964)

143

4 Dynamik Formelzeichen und Einheiten^^ A a R

m'^, cm^, mm^ m

Flacheninhalt, Flache Beschleunigung {ui Tangentialbeschleunigung, An Normalbeschleunigung)

N N m ' mm

Federrate

Dx m, mm

Tragheitsdurchmesser = 2/

d

m, mm

Durchmesser, allgemein

E

J = Nm = Ws

Energie (Ep potenzielle Energie, Fk kinetische Energie)

F

N

Kraft (FT Tangentialkraft, FN Normalkraft)

f

1 s N

Frequenz, Periodenfrequenz; /

m

Fallbeschleunigung {gn Normfallbeschleunigung = 9,80665 m/s^)

h

m

Fallhohe, Hohe allgemein

i

1

Ubersetzungsverhaltnis (Ubersetzung)

i

m, mm

Tragheitsradius = —^

J

kgm^

Tragheitsmoment, Zentrifugalmoment

k

1

StoBzahl

I

m, mm

Lange allgemein

M

Nm, Nmm

Kraftmoment, Drehmoment

m

kg

Masse; m' langenbezogene Masse in kg/m

n

1 -1 1 — = s , —r- = mm s mm

Umdrehungsfrequenz, Drehzahl

P

W, kW

Leistung

t

s, min, h

Zeit

r

m, mm

Radius

V

m^, cm^, mm^

Volumen, Rauminhalt

FG

8

1

Gewichtskraft (Fcn Normgewichtskraft)

s

m, mm

Weglange

V

T

s

Periodendauer, Schwingungsdauer

W

m s J = Nm = Ws

T

N

Tragheitskraft T —ma

z

1

Anzahl der Umdrehungen

Winkel allgemein

V

1

Wirkungsgrad

Winkelbeschleunigung

Q

Dichte

Drehwinkel

Q

kg kg dm-^' m^ m, mm

a, ^° a

1

rad

9

(P rad

/^

1

^^ siehe FuBnote Seite 1

Reibungszahl, Reibzahl

CD

1 s

rad s

Geschwindigkeit Arbeit

Kriimmungsradius _i

Winkelgeschwindigkeit

4 Dynamik

144

4 1 AUgemeine Bewegiingslehre 4.1.1 GroBen und v, ^Diagramm, Ordnung der Bewegungen In der Bewegungslehre entwickelt man Gleichungen, mit denen sich die Ortsveranderung von Korpem und Korperpunkten beschreiben und berechnen lassen. Die Ursache der Ortsveranderung, also die einwirkenden Krafte und Kraftmomente, werden in der Bewegungslehre nicht untersucht. Die Bewegungslehre wird auch als Kinematik bezeichnet.

Beispiel: Der StoBel einer Waagerecht-StoBmaschine wird aus der Ruhelage heraus beschleunigt. Die Abmessungen aller Bauteile, die diese Bewegung in den StoBel einleiten, hangen vom Betrag der Beschleunigung ab. Folglich muss dieser Betrag berechnet werden.

Man kann Langenabschnitte und Zeitabschnitte messen. Die Lange des Weges, den ein Korper (oder ein Punkt dieses Korpers) durchlauft, nennt man „Wegabschnitt" und benutzt dafiir das Kurzzeichen „A5". Ebenso spricht man vom „Zeitabschnitt Ar", wenn man z. B. die Anzahl Sekunden (s) angibt, die wahrend der Ortsveranderung vergangen sind.

Hinweis: Wege (Wegabschnitte) werden mit dem Buchstaben s bezeichnet (von lat. spatium), Zeiten (Zeitabschnitte) mit dem Buchstaben t (lat. tempus). Der griechische Buchstabe Delta (A) steht fiir „Differenz", well Weg- und Zeitabschnitte Differenzen von Langen und Zeiten sind:

Die Vorstellung wird klarer und das Verstandnis wird erleichtert, wenn man sich immer nur auf einen Punkt des bewegten Korpers konzentriert.

Beispiel: Bei der umlaufenden Schleifscheibe beobachtet man die Bewegung eines Schleifkomes am Scheibenumfang.

Wegabschnitt A^ und Zeitabschnitt A^ sind so genannte Basisgrqfien; sie konnen direkt gemessen werden. Die zugehorigen Einheiten sind die Basiseinheiten Meter (Kurzzeichen m) und Sekunde (Kurzzeichen s). Geschwindigkeit v (lat. velocitas) und Beschleunigung a (lat. acceleratio) sind die aus den Basisgro6en abgeleiteten GroBen der Bewegung. Man unterscheidet daher Basisgrofien und abgeleitete Grofien.

Zusammenstellung der GroBen der Bewegung und ihrer Einheiten:

A5 = ^2 - "^1

Ar = ^2 - h

Gesprochen wird „Delta-es" und „Delta-te", also nicht etwa „Delta mal s".

Wegabschnitt A5 Zeitabschnitt Ar

mm in s

Geschwindigkeit v

m—

Beschleunigung a (Verzogerung)

in^

.

ni

s . m

Beachte: Das Zeichen fiir Beschleunigung und Verzogerung ist der Buchstabe a.

145

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Die Bewegungen eines Korperpunktes kann man zeitlich oder/und raumlich ordnen. Zeitliche Ordnung (Bewtgungszustand): 1. gleichformige Bewegung, 2. ungleichformige Bewegung (beschleunigte oder verzogerte Bewegung). Rdumliche Ordnung (BewegungsZ?a/zn): 1. geradlinige Bewegung, 2. krummlinige Bewegung. Spezialfall der krunmilinigen Bewegung ist die Kreisbewegung (Bewegung auf einer Kreisbahn).

Beispiele: Vorschubbewegungen an Werkzeugmaschinen sind meist geradlinig gleichformige Bewegungen. Der freie Fall ohne Luftwiderstand ist eine geradlinig ungleichformige Bewegung (beschleunigte Bewegung).

Kennzeichen der ungleichformigen Bewegung ist die Beschleunigung oder die Verzogerung. Beim beschleunigt bewegten Korper nimmt die Geschwindigkeit fortwahrend zu, beim verzogert bewegten Korper nimmt sie laufend ab. Kurz sagt man: Bei der ungleichformigen Bewegung ist immer v ^ konstanL

Beispiele: Freier Fall ohne Luftwiderstand ist eine gleichmaBig beschleunigte Bewegung, senkrechter Wurf nach oben ist eine gleichmaBig verzogerte Bewegung. Der StoBel der Waagerecht-StoBmaschine dagegen bewegt sich ungleichmaBig beschleunigt und verzogert.

Von besonderer Bedeutung sind die Falle, in denen die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v in gleichen Zeitabschnitten At gleich groB bleibt (konstante Zu- oder Abnahme). Man spricht dann von einer gleichmdfiig beschleunigten oder verzogerten Bewegung.

Beachte: GleichmaBig beschleunigte (verzogerte) Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit V 7^ konstant (nicht konstant), die Beschleunigung (Verzogerung) dagegen a = konstant ist. Beispiel: freier Fall und senkrechter Wurf.

Die zeitliche Ordnung von Bewegungen lasst sich am besten im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, r-Diagramm) erkennen: tjber der Zeitachse t wird von links nach rechts fortschreitend die Geschwindigkeit v aufgetragen. Man unterscheidet drei Falle und benutzt als Kriterium die Veranderung von Geschwindigkeit v und Beschleunigung oder Verzogerung a: V = konstant 1 a= 0 j

gleichformige Bewegung

V ^ konstant 1 a^O /

ungleichformige Bewegung ®

V 7^ konstant 1 gleichmaBig beschleunigte a — konstant J (verzogerte) Bewegung

®

Bin Punkt am Umfang einer Schleifscheibe bewegt sich krummlinig gleichformig (gleichformig auf einer Kreisbahn). Beim Auslaufen einer Schleifscheibe bewegt sich ein Schleifkom krummlinig ungleichformig (verzogert auf einer Kreisbahn).

Zeit t

V, r-Diagranmi fiir gleichformige und ungleichformige Bewegung

146

4 Dynamik

4.1.2 Ubungen mit dem v, ^Diagramm 1. Es soil das V, r-Diagramm fiir den freien Fall ohne Luftwiderstand skizziert werden: Der freie Fall ist eine gleichmaBig beschleunigte Bewegung, denn die Beschleunigung ist konstant. Sie heiBt Fallbeschleunigung (g = 9,81 m/s^). Die Geschwindigkeit nimmt in jeder Zeiteinheit um den gleichen Betrag Av = konstant zu. Die v-Linie ist also eine ansteigende Gerade. Der freie Fall mit Luftwiderstand wird im Abschnitt 4.1.6 behandelt (Seite 158).

2. Es soil das v, r-Diagramm fiir den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand mit anschlieBendem freien Fall skizziert werden: Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verzogerung ebenso groB wie die Beschleunigung wahrend des freien Falls (^ = 9,81 m/s^), und sie bleibt auch konstant. Der senkrechte Wurf ist demnach nichts anderes als der „umgekehrt" betrachtete freie Fall. Anfangsgeschwindigkeit VQ und Endgeschwindigkeit Vt sind daher gleich groB. VQ ist die Geschwindigkeit zur Zeit t = 0, Vt ist die Geschwindigkeit bei der Riickkehr zur Abwurfstelle. Die v-Linie schneidet die ^Achse. Von dort an hat die Geschwindigkeit entgegengesetzten Richtungssinn.

V, f-Diagramm des freien Falls (v 7^ konstant; a = g = konstant; g = 9,81 m/s^)

Beachte: Wird nichts anderes gesagt, sollen diese Bewegungsarten ohne Luftwiderstand behandelt werden.

^\

0

-v' f

Af

^ '^ ^ s ^ ^ ^

t 1 II

[

V, r-Diagramm des senkrechten Wurfs nach oben mit anschlieBendem freiem Fall (v ^ konstant; a = g = konstant)

3. Es soil das v, ^Diagramm fur den senkrechten Wurf nach unten skizziert werden: Wie beim freien Fall (Ubung 1.) ist die v-Linie eine ansteigende Gerade. Da der Korper schon eine Anfangsgeschwindigkeit VQ besitzt, wird die Gerade um den Betrag von VQ parallel verschoben eingezeichnet. Nach dem Zeitabschnitt At besitzt der Korper die Endgeschwindigkeit Vt, die um die Geschwindigkeitszunahme Av = Vt — VQ groBer ist V, r-Diagramm des senkrechten Wurfs nach als VQ. unten (v ^ konstant; a = g = konstant) Der Bewegungsablauf vor dem Erreichen der Anfangsgeschwindigkeit vo wurde nicht eingetragen.

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 4. Es soil das v, ^Diag^amm der StoBelbewegung einer Waagerecht-StoBmaschine skizziert werden: Der StoBel bewegt sich ungleichformig, denn er muss erst beschleunigt und dann verzogert werden (Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind null). Im Unterschied zum freien Fall ist diese ungleichformige Bewegung jedoch nicht gleichmaBig beschleunigt Oder verzogert, sondem ungleichmaBig. Es ist also a y^ konstant. Der GroBtwert der Geschwindigkeit liegt in Hubmitte (vmax)5. Ein Korper wird aus der Ruhelage heraus wahrend A^i = 5 s gleichmaBig beschleunigt und erreicht die Geschwindigkeit v = 12 m/s, die er wahrend At2 = 10 s beibehalt. AnschlieBend wird die Bewegung wahrend Ati, = 2,5 s gleichmaBig bis zur Ruhelage verzogert. Es ist das v, ^Diagramm des Bewegungsvorganges maBstablich zu zeichnen und daraus das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a, ^Diagramm) zu entwickeln: Im V, r-Diagramm ist die v-Linie wahrend des Zeitabschnitts At^ steiler geneigt als wahrend des Zeitabschnitts A^i (a2 > ai).

Auch wenn man die Beschleunigung a\, a^, noch nicht berechnen kann, sagt die Tatsache At\ =2Ar3, dass ^3 =2a\ sein wird. Wahrend des Zeitabschnitts A/2 ist keine Beschleunigung vorhanden (^2 = 0).

6. Es soil das v,r-Diagramm fur die Bewegung eines Schleifkoms skizziert werden, wenn die Schleifscheibe nach dem Abschalten des Antriebs gleichmaBig verzogert auslauft: Die v-Linie ist eine von VQ bis auf Vt = 0 abfallende Gerade. Eine Gerade deshalb, weil gleichmdfiige Verzogerung vorausgesetzt wurde.

Atfgaben Nr« 400-404

147

V, r-Diagramm eines StoBelhubes der WaagerechtstoBmaschine (v ^ konstant; a j^ konstant)

idealisierter /

Verlauf

v-Linie

\

V = konstant 32 = 0

V 4 konstant ai = konstant

V + konstant t - a j = konstant

{(X2 > Oil At3\

£^t2

V, f-Diagramm Beachte: Die v-Linien sind „idealisierte" Kurven. Kurvenknicke als Ubergange sind in der Praxis nicht moglich.

1\

1

32=0

0

-a\

^ti

t

At3

At 2

'

_

Aus dem v, r-Diagramm entwickeltes a, ^Diagramm 'i 1

vt = 0 1

0

At

t

V, r-Diagramm fiir auslaufende Schleifscheibe (v / konstant; a = konstant)

4 Dynamik

148 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichfbrmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff

Die folgenden GesetzmaBigkeiten gelten unabhangig von der Bahn des Korperpunktes, also fiir geradlinige und krummlinige Bewegungen. Zur Vereinfachung stellt man sich erst einmal eine gerade Bahn vor. Man beobachtet die Bewegung des Werkzeugtragers einer Drehmaschine bei eingeschaltetem Langsvorschub, oder die Bewegung des Tisches einer Frasmaschine. Mit BandmaB und Stoppuhr kann man feststellen, dass sich Werkzeugtrager oder Tisch in gleichen Zeitabschnitten A^ immer um den gleichen Wegabschnitt As verschoben haben. Das ist das Kennzeichen der gleichformigen Bewegung: Ein Koiper oder Korpopuiikt bewegt sich dann gleichfbrmig, weim er in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten At immer gleiche Wegabschnitte As zurCicklegt.

Beispiel: Man kann feststellen, dass sich der Frasmaschinentisch nach jeweils 10 s um 30 mm verschoben hat. Der Zeitabschnitt betragt At = 10 s. Der Wegabschnitt betragt A^ = 30 mm.

Exakt gleichformig ist eine Bewegung nur dann, wenn auch in beliebig kleinen Zeitabschnitten, z. B. in jeder millionstel Sekunde, die durchlaufenen Wegabschnitte gleich groB bleiben.

Dividiert man den durchlaufenen Wegabschnitt A^ durch den zugehorigen Zeitabschnitt At, dann erhalt man die Geschwindigkeit v: Die Geschwindigkeit v eines gleichformig bewegten Korpers ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt. Die Gei^hwindigkeit ist ein Vektor; mehrere Geschwindi^eiten dMen also nur geo~ metrischaddim warden. Bewegt sich ein Korper nicht gleichformig, erhalt man mit der Definitionsgleichung der Geschwindigkeit V == As/At seine Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit Vm.

Die Einheit fur die Geschwindigkeit v ergibt sich aus ihrer Definitionsgleichung. Man braucht also nur fiir die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden GroBen die Einheiten einzusetzen. Die Klammem sollen darauf hinweisen, dass nur die Einheit der GroBe benutzt werden soil.

A£ At

V

As At

m/s m

s

Grundgleichung der gleichformigen Bewegung

Beispiel: Der StoBel einer Waagerecht-StoBmaschine durchlauft einen Hub von 0,6 m in 1,5 s. Dann ist A^ 0,6 m = 24-^: = 0,4^ = 0,4-^ Ar 1,5 s s 1 60' ._{s)_ Weg-]Bnheit ^^^ ^ it) ~ Zeit-mnheit Beispiele: (V):

(£)

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Die Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) sind gesetzliche Basiseinheiten. Zur Umrechnung von m/s in km/h oder umgekehrt braucht man nur 1 km = 1000 m = 10^ m und 1 h == 3 600 s = 3,6 • 10^ s einzusetzen. Umrechnungszahl fur diesen Fall ist demnach 3,6.

Bewegungsablaufe werden leichter iiberschaubar, wenn man sie zeichnerisch im rechtwinkligen Achsenkreuz erfassen. Auch im einfachen Fall der gleichformigen Bewegung erkennt man schon GesetzmaBigkeiten, die spater bei der ungleichformigen Bewegung helfen, schwierigere Aufgaben zu losen. Das gilt vor allem fiir das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, r-Diagramm).

149 km ir~

10^ m 1 m * 3,6 • 103 s ~ 3 ^ 7

km_ 1 m

T~3^7 l 2 =3,6?^ s

Umrechnungsbeziehung

h

Hinweis: Auf der waagerechten Achse tragi man immer die Zeit t auf. Die vertikale Achse tragt entweder den Weg s, die Geschwindigkeit V Oder die Beschleunigung a: Weg-Zeit-Diagramm {s, r-Diagramm), Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, r-Diagramm), Beschleunigung-Zeit-Diagramm {a, r-Diagramm).

Im Weg-Zeit-Diagramm erhalt man bei gleichformiger Bewegung fur die Weglinie eine ansteigende Gerade, well in gleichen Zeitabschnitten (z. B. Ar = 1 s) gleiche Wegabschnitte zuriickgelegt werden (z. B. A^ = 5 m). Eine steilere Gerade wurde zeigen, dass der Korper in gleichen Zeitabschnitten At groBere Wegabschnitte As durchlauft, das heiBt, die Geschwindigkeit v ware groBer. 5, r-Diagramm der gleichformigen Bewegung

Die Weg-Linie im 5-, r-Diagramm ist immer die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, mit At und A^ als Katheten. Man erkennt: Der Tangeiis des Neigungswinkels a der Weg-linte eBtspricht dem Zahlenwert der Geschwindigkeit v (tan a = v). Man darf nicht schreiben v = tan a, sondem nur V ^ tan a (v entspricht tan a), denn es handelt sich um GroBen verschiedener Art, wie schon die verschiedenen Einheiten zeigen. v besitzt die Einheit m/s, der Tangens eines Winkels dagegen die Einheit Eins (VerhaltnisgroBe aus zwei Langen).

tan a = V = -r-~ == konstant At

Beispiel: v\ = 0,5 — = tan ai',a\ = arctan 0,5 = 26,6° s Dieser Winkel tritt im s, r-Diagramm aber nur dann auf, wenn auf den beiden Achsen die Lange fiir eine Zeiteinheit und fiir eine Wegeinheit gleich ist (gleicher MaBstab).

150 Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erhalt man bei gleichformiger Bewegung fiir die Geschwindigkeits-Linie eine zur ^Achse parallele Gerade, well zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit v gleich gro6 ist (v = konstant). Die Geschwindigkeits-Linie begrenzt mit Ar und v eine Rechteckflache A, deren Inhalt sich aus dem Produkt v A/ ergibt. Das ist aber zugleich der von einem Korper mit der Geschwindigkeit v durchlaufene Weg, denn aus v = A^/Ar wird A5 = v Ar:

Die Flache A unter der Geschwindigkeitslinie im V, r-Diagramm entspricht dem Wegabschnitt iSs {A = iis\ Kurz: Diagrammflache = Wegabschnitt,

Im Beschleunigung-Zeit-Diagramm erhalt man bei gleichformiger Bewegung fiir die BeschleunigungsUnie eine auf der ^Achse liegende Gerade, weil zu jedem Zeitpunkt die Beschleunigung fl = 0 ist. Das muss so sein, weil v = konstant voraussetzt, dass sich der Korper weder beschleunigt noch verzogert. Das a, r-Diagramm hat daher nur bei beschleunigter (verzogerter) Bewegung Bedeutung.

4 Dynamik

V, ^Diagramm der gleichformigen Bewegung

Hache A = Weg As = vAt Beachte: Flache A = Wegabschnitt A^ gilt immer. Daher skizziert man grundsatzlich zuerst das v, ?-Diagramm fiir den Bewegungsvorgang.

1 Besch leu nigungs-Lime 2^ 0

1

3 4 Zeit t in s —

te<

(^ a, f-Diagramm der gleichformigen Bewegung

AofgabeB Nr. 405-416

4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichmaBig beschleunigten (verzogerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff Wird ein Korper beschleunigt oder verzogert (Auto beim Anfahren oder Bremsen), dann andert sich seine Geschwindigkeit. Es ist also v j^ konstant, im Gegensatz zur gleichformigen Bewegung. Daher darf man nicht mit v = As/At rechnen, weil man damit nur die „gedachte" mitdere Geschwindigkeit erhalt (Durchschnittsgeschwindigkeit). In Anlehnung an die Definition der gleichformigen Bewegung muss hier gesagt werden:

Beachte: Die gleichmdfiig beschleunigte oder verzogerte Bewegung ist der wichtigste Sonderfall der ungleichformigen Bewegung. Da die folgenden Gesetze sowohl fiir die beschleunigte als auch fiir die verzogerte Bewegung gelten, spricht man im allgemeinen Fall nur von einer beschleunigten Bewegung.

4.1 AUgemeine Bewegungslehre

Bin Koiper oder Korperpunkt bewegt sich daim ungleichformig, weim er in gleichen beliebig kleinen Zeitabschnitten At ungleiche Wegabschnitte As zurucUegt. V ^ As/At ^gibt nor die mittlere Geschwindigkeit

Ein anschauliches Beispiel einer ungleichformigen Bewegung ist neben der Bewegung des StoBels der Waagerecht-StoBmaschine die Bewegung des Kolbens im ZyUnder des Verbrennungsmotors. Beide Bewegungen sind sogar noch M^gleichmaBig beschleunigt und verzogert. In gleichen Zeitabschnitten, gekennzeichnet durch den gleichformig umlaufenden Kurbelzapfen, legt der Kolben in der Nahe der Totpunkte nur kleine Wegabschnitte zuriick. Dazwischen legt der Kolben in gleichen Zeitabschnitten groBere Wegabschnitte zuriick. An den Umkehrpunkten (Totpunkten) steht der Kolben einen Augenblick still, seine Geschwindigkeit ist dann null.

Kennzeichen der beschleunigten oder verzogerten Bewegung (der ungleichfoimigen Bewegung) ist die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v, also eine Geschwindigkeitsandemng Av,

Ist die Bewegung gleichmdfiig beschleunigt (verzogert), dann ist die Geschwindigkeitsfl>i
151 Annahemd genau erhalt man die „Momentangeschwindigkeit v", wenn man den Wegabschnitt A^ fiir einen auBerordentlich kleinen Zeitabschnitt At misst. Zum Beispiel ist fiir A5 = 5 • 10~^ m undAt =2- 10"^ s: As

5 • 10-

At

2 •10-6 s

^2,5-

auSerer ^ Totpunkt^

innerer Totpunkt^ ungleiche Wege in gleichen Zeiten

Mine

Kurbelwelle

Kurbelzapfen

Bewegung des Kolbens im Zylinder

Wie As und At ist auch Av eine Differenz, namlich die Differenz zweier Momentangeschwindigkeiten, z. B. Av = V2 — vi oder Av = Vt — VQ.

CD

r. J^ Geschwindigkeitsj p , 5 'jy^ zunahme je Sekunde -m/^ = Beschleunigung -U

2

3 4 5 Zeittin s—•Beschleunigungsbegriff, dargestellt im V, r-Diagramm

152

4 Dynamik

Offenbar ist der Quotient aus der Geschwindigktiiszunahme und dem zugehorigen Zeitabschnitt ein Ma6 dafiir, wie schnell eine bestimmte Momentangeschwindigkeit erreicht wird: Die BescUeunigimg a eines gleichmMBig bescMeimiglea (veo^geiteii) Korpers ist der Quotient aus du Geschwindigkeitsarttfenmg Av und dem zugdidiigen Zeitabschnitt A^. Die Beschleumgung ist em Vektor; mehreie Beschleunigungen dtirfen aJso mir geometrisch addiert werden. GleichmaBig beschleunigt oder verzogert heiBt, dass die Beschleunigung oder Verzogerung konstant bleibt (a = konstant). Im a, ^Diagramm muss die Beschleunigungslinie eine zur r-Achse parallele Gerade sein, so wie die Geschwindigkeitslinie im V, f-Diagramm bei gleichformiger Bewegung. Die Einheitfur die Beschleunigung a ergibt sich in gewohnter Weise aus der Defmitionsgleichung fiir die GroBe. Mit den gesetzlichen Basiseinheiten Meter (m) und Sekunde (s) erhalt man als Einheit das „Meter je Sekundequadrat". Man mochte nun nachweisen, dass im Hinblick auf die Rache unter der Geschwindigkeits-Linie im v,^Diagramm das Gleiche gilt wie fur die gleichformige Bewegung: Die Geschwindigkeit v andert sich von VQ = 0 am Anfang, auf Vt am Ende des Zeitabschnittes Ar. Weil die Geschwindigkeitsanderung konstant ist, ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit zu Vm = (vo + Vt)/2 = Vt/2, und der zuriickgelegte Weg zu A^ z= Vj„ Ar = Vt Ar/2. Das entspricht aber auch dem Flacheninhalt der Dreiecksflache unter der v-Linie: In jedem v, ^Diag^anlm entspricht die Flache A unter der Geschwindigkeitslinie dem Wegabschnitt As (A = As). Mit dieser Erkenntnis kann man nun einen Losungsplan entwickeln, der alle zur Losung erforderiichen Gleichungen liefert.

GesdhwincMgkeitsaiiderung Av zugdioriga* Zeitabschnitt Ar Av

a

Av

^t

m

m s

s

Grundgleichung der gleichmdfiig beschleunigten (verzogerten) Bewegung BeschleunigungsLinie

0

t

a, t-Diagramm der gleichmdfiig beschleunigten Bewegung m

(«) - M - A - 1 ^ .

^i

,-2

\

CM II 1

j ^ ' ^o = 0 \ 0

^

.^. % + «^f M /I-As2

^£

' '^ M

Mittlere Geschwindigkeit Vm

Flache ii = Weg As Gilt fiir jede Bewegung Beachte: Man braucht nur die Grundgleichung a = Av/A^ im Kopf zu haben; alle anderen Gleichungen konnen aus dem V, /-Diagramm abgelesen werden.

t

4.1 AUgemeine Bewegungslehre

153

4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmaBig beschleunigten oder verzogerten Bewegung V, ^Diagramm aufzeichnen Man muss sich klar sein, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigende v-Linie) oder verzogert ist (fallende v-Linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verlauft. Danach skizziert man das V, f-Diagramm (unmaBstablich). Als Beispiel betrachtet man eine gleichmaBig beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit (VQ i- 0).

1. ScMtt

Grundgleichung hinschreiben Ausgangsgleichung ist immer die Defmitionsgleichung fur die Beschleunigung a = /S.v/IS.t, die man noch in der erweiterten Form mit den speziellen Bezeichnungen aus dem v,r-Diagramm hinschreibt: bier also mit Av = Vt — VQ.

XSchritt Av

Vt — Vo

Weggleichungen hinschreiben Man weiss, dass die Flache A unter der v-Linie dem Wegabschnitt A^ entspricht. Je nach Flachenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen ftir A^, zunachst ohne Riicksicht darauf, ob man fur die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen braucht: In der Praxis muss man haufig alle Gro6en der Bewegung bestimmen.

3, ScMtt A^:

Vo + Vt

Ar (Trapezflache)

A^ = Vo Ar H

AvA? ^ — ; Av = Vt - Vo

(Rechteckflache + Dreieckflache) A^ = Vt Ar

— ; Av = Vt - Vo

(Rechteckflache - Dreieckflache)

Gleichungen auswerten Grundgleichung und Weggleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es geniigen dann meistens die Grundgleichung und eine der Weggleichungen zur Losung. Hier ninmit man an, es sei Af =/(vo,«, A^)^^ gesucht, also vo, a, A^ gegeben und der Zeitabschnitt Af die gesuchte GroBe. Benutzt man die Gleichsetzungsmethode, kann man sowohl die Grundgleichung als auch die erste Weggleichung nach Vt auflosen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erhalt man eine gemischt-quadratische Gleichung.

4 ScMtt Vt — Vo

a = —I^t A

=^ Vt = Vo + a Af (Grundgleichung)

Vo + Vt '" ' 'I

A . _ .

^^^

As = — - — A t =>vt= - ^ - Vo (erste Weggleichung) 2A5 vo-\-aAt -- At Vo

(A0^ + 2voAr_2A^^O a a A/i,2

a

'o\2 a/

2Aj a

At=f{vo,a,Asy'>

^^ Die Schreibweise At = / ( v o , a. As) helBt: Ar ist eine Funktion von vo, a, As (ist abhangig von vo, a. As)

154

4 Dynamik

Tabelle 4.1 GleichmaBig beschleunigte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch fiir den freien Fall ohne Luftwiderstand: Fiir die Beschleunigung a wird die Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s^ eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung betragt gn = 9,80665 m/s^. Alle Aufgaben des Buches wurden mit ^ = 9,81 m/s^ gerechnet. Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v, ^Diagramme

^

y^

m

f

•^ •

Einheiten

As

t

At

V0*Vt


s

m s

m

0

Geschwindigkeitszunahme Av . m Zeitabschnitt At s^ Vt

Vt^

2 As

^~~At~ YAS ~ (Atf

Beschleunigung a (bei Vo 7^ 0)

_

~

Vt -

Vo _

At

Vt^ -

~

Vo^

2As

Endgeschwindigkeit Vt (bei Vo = 0)

Vt = aAt = Via As

Endgeschwindigkeit Vt (bei Vo i- 0)

Vt = VQ -^ Av = Vo + a At Vt = \/vo2 + 2a As

Wegabschnitt As (bei vo = 0)

Wegabschnitt As (bei vo ^ 0)

VtAt

A

Zeitabschnitt At (bei vo 7^ 0)

Vt^

^0 + Vt

a{At)

As = —-— At = Vo Af + As--

Zeitabschnitt At (bei vo - 0)

a(Atf

1 2 Vt - Vo^

2a

a

\

a

a

a

M

i

Beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (vo 7^ 0)

Beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindig keit (vo = 0)

Beschleunigung a (Definition) Beschleunigung a (bei Vo = 0)

T

t

At

•$"

\ \aJ

a

155

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Tabelle 4.2 GleichmaBig verzogerte geradlinige Bewegung

Die Gleichungen gelten auch fiir den senkrechten Wurfnach oben ohne Luftwiderstand: Fiir die Verzogerung a wird die Falibeschleunigung g = 9,81 m/s^ eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung betragtgn = 9,80665 m/s^. Alle Aufgaben des Buches wurden mit g = 9,81 m/s^ gerechnet. Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v, r-Diagramme

Einhe ten As m

V0,Vt

a,g

m

m

— $

— _. g2_

s

Verzogerung a (Definition)

verzogerte Bewegung ohne Endgeschwindigkeit (vt = 0)

« =

Geschwmdigkeitsabnahme Av . m TTT—,—7~.—I in -^ Zeitabschnitt A? s^

Verzogerung a (bei Vt = 0)

vo Ar

Verzogerung a (bei Vt 7^ 0)

Vo - Vt At

Anfangsgeschwindigkeit vo (bei Vt = 0)

verzogerte Bewegung mit Endgeschwindigkeit (vt ^ 0)

vo" 2 ^s

(At) Vo^ - Vt^ 2 As

Vo = aAt = \/la As

V[ = VQ — Av = VQ — a At Endgeschwindigkeit Vt Vt = v vo^ — 2a As Wegabschnitt A^ (bei Vt = 0)

As =

Vo Ar _ a{Atf 2 ~ 2

_ vo^ ~2^

A ^0 + Vt As = — - — At = VQ At Wegabschnitt A^ (bei Vt ^ 0)

2

a{At) -—

2

As = VQ - Vt 2a Zeitabschnitt At (bei Vt = 0) Zeitabschnitt A^ (bei Vt ^ 0)

a

y

a //vo\2

a

a

\

2 As

156

4 Dynamik

L0hrb0ispiei0: yA-Diagramm 1

We^nB j

AufgabmtsteHung: Zwel Wsf^n A und B tahren mtt emer Geschwindigkeit von 7Bkn^ im AlmUnd von 20 m h'mtere'mander. Der vordmrB Wagon A bmmst pidulich mit oiner Verzogorung von3,Bn^^,

^

; ,\

<

^

•> 1^

Wie vmlo ^cumien nmh dem Bremsen von A fihrt B auf? Wl0 groB im dann dm (^achmndlgkoH das Wagons A?

f

f

t U|

«H

Losung: Das v,t-Bktgramm mtgt dio Bewegungen als Geradon, Die Flachen daruimr enmprmhon don zuruckgologimt W^^on, Im Zoi^nkt t des Einhofons hat B o'tmn 20 m langeron Weg als A zuruckgol^t dann tst dor Ai^iami auf null gesunkon. [Hesem Wag As ^20 m ontsprichtdhsohraMorto Diagrammfl^ho. As^^^^;a^^^^Av^aLto^ngosom

As-^

aAtAtajAtf

2'Wm

At^i

V2'

\ 5,5 in

Vlt43^

Vi--aAt^2QM—-Sr5^3^s^9,0 s s^

= 3,38s

— - 32A s

km

*" . AufgatmnstaHung: Zwm Wsgan A und B tahmn im Abstand von Bm mit dor gtohhon Qoschvnndigficmt von ^ km/h hintoroinandor. Dor vor^ro Wagon A bromst plolzlich. Wm groB darf die BoakticmszeitAt bmm Fahror des Wagons B hdchsiBns soin, damn or nmht auffahrt? Dm Bremsverzogorung ist ^r boide Wagon ghm^.

i

i

^S^=^k ' II. •m

'—IN

f

Losung: Das V, t-Dlagramm zmgt, dass B bis zum Still^and oinon langoron W^ zurilckl^ als A, Dor Untorschiod darf nkht mohr als Bm i^^gon. Diosor W^di^renz As^Bm onupricht dio schraffiorto DIagrammflacho. As=vAt-Bm

.^ As Bm At^—.^—^^0,Bs s Dor Botragdor Bromsmfzogorung hat keinon Bnflu^ auf dio GroBe der schrafftorten flacho und damit amhnkMaufdie BoaklSonszeitAt, solange ^r boide Wagon dio Bremsverzogorung gtoich groB ist

4.1 Allgemeine Bewegungslehre

157

4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand Bei der Behandlung des freien Falls im Unterricht tritt immer die Frage auf, welchen Einfluss der Luftwiderstand auf den Bewegungsablauf hat. Bislang war es kaum ublich, neben den physikalischen (Widerstandsbeiwert, Geschwindigkeit) auch die mathematischen Zusammenhange naher zu erlautem und Berechnungen durchzufiihren. Mit den Rechnem lassen sich heute die Berechnungsgleichungen leicht auswerten. Aus diesem Grund wird der freie Fall mit Luftwiderstand ausfiihrlicher behandelt.

4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand Fallt ein Korper im Vakuum frei abwarts, z. B. in einer luftleer gepumpten Glasrohre, dann wirkt auf ihn allein die Schwerkraft FG (Gewichtskraft). Alle Korper fallen dann gleich schnell. Sie werden mit der Fallbeschleunigung g gleichmaBig beschleunigt, beim senkrechten Wurf nach oben mit g gleichmaBig verzogert.

Beachte: Die Fallbeschleunigung g wird mit zunehmendem Abstand des Korpers vom Erdmittelpunkt kleiner. In Erdnahe gilt die Normfallbeschleunigung g = 9,80665 m/sl In der Technik wird mit g = 9,81 m/s^ gerechnet.

Fiir den freien Fall und fiir den senkrechten Wurf gelten die Gesetze der gleichmaBig beschleunigten (verzogerten) Bewegung und damit auch die Gleichungen und v, r-Diagramme in den Tabellen 4.1 und 4.2.

Beispiel: Fiir die Endgeschwindigkeit Vt eines frei fallenden Korpers gilt nach Tabelle 4.1 mit a=g: Vt = ^ A? (A^ Zeitabschnitt)

4.1.6.2 Luftwiderstand F^ Auf jeden in ruhender Luft bewegten Korper, z. B. auf ein fahrendes Auto, wirkt unter anderem auch der Luftwiderstand F^ bremsend.

Versuche haben ergeben, dass der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit v des Korpers wachst. Er nimmt linear zu mit der Luftdichte Q^^ und mit dem Anstromquerschnitt Ap des Korpers (Projektionsflache). AuBerdem beeinflusst die Korper/brm den Luftwiderstand. Dieser Einfluss wird durch den Luftwiderstandsbeiwert c^ beriicksichtigt.

F =5Ll?kli?£v^ ^ 2

Luftwiderstand

Beispiele fur den Luftwiderstandsbeiwert: Cw = 0,2 fiir Kugeln Cw = 0,3 ... 0,4 fiir Pkw Dichte Q^ = 1,19 kg/m^ bei 20 °C und Luftdruck 1000 mbar.

158

4 Dynamik

4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand Auf den frei fallenden Korper wirkt die Gewichtskraft FG lotrecht nach unten. Entgegengesetzt dazu wirkt der Luftwiderstand F^. Dadurch verringert sich die Geschwindigkeitszunahme des Korpers immer mehr, bis der Gleichgewichtszustand mit ^w — FQ erreicht ist und die Geschwindigkeit V = konstant bleibt. Der Korper hat dann die stationdre Sinkgeschwindigkeit v^ erreicht.

Img

Stationdre Sinkgeschwindigkeit Vs

m s

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbetrachtungen nach d'Alembert (siehe Seite 195) fmdet man eine Gleichung fur den momentanen Bewegungszustand des fallenden Korpers im beliebigen Zeitpunkt {t). Solange der Korper beschleunigt fallt {a > 0), wirkt in Richtung des Luftwiderstandes F^ auch die d'Alembert'sche Tragheitskraft T. Es gilt die Gleichgewichtsbedingung 2Fy = 0 unter Einschluss der Tragheitskraft T —ma.

Aus Gleichung (2) lasst sich uber eine Differenzialgleichung eine Berechnungsgleichung fiir den Betrag der Momentangeschwindigkeit v{t) im Zeitpunkt (t) entwickeln.

Mit dieser Gleichung (3) kann fiir beliebige Zeiten t die Momentangeschwindigkeit v{t) berechnet werden. Die in Gleichung (3) enthaltene stationare Sinkgeschwindigkeit Vs hat man vorher mit Gleichung (1) ermittelt. Wie Vs ist auch die GroBe t^ eine Konstante. Sie ist abhangig von der Masse m, dem Luftwiderstandsbeiwert Cw, der Luftdichte ^ L ' ^^^ Projektionsflache Ap und der Fallbeschleunigung g. Gleichung (4) wurde nur zu dem Zweck aufgestellt, die Berechnung von v{t) zu vereinfachen. Man bezeichnet 4 als Zeitkonstante, well sie die Zeiteinheit Sekunde hat, wie eine Einheitenprobe zeigt.

FQ = mg

(1)

m

g

kg

m

^L

kg m3

^P

Cw

m2

1

f..5^.,B. Nach d'Alembert freigemachter Korper helm Fallen. v(t) I v{t) ist die FallgeschwinI FQ = mg digkeit im Zeitpunkt {t). *T=ma

II

ma-\- F^ — mg = 0\: m

^+f:^^g = o m

(2)

vit) = v,tmh^

(3)

^(^^-^^ m s

Momentangeschwindigkeit

2m

^^s

(4)

Zeitkonstante

CwQh^pg

k

m

Cyv

^L

Ap

s

kg

1

kg m^

m2

g m

Beachte: Bei der Auswertung der Gleichungen (3) und (5) wird vorausgesetzt, dass die Luftdichte Q^ und die Fallbeschleunigung g wahrend des Bewegungsablaufs konstant bleiben.

159

4.1 AUgemeine Bewegungslehre Gleichung (3) lasst sich mit dem Rechner leicht auswerten, wenn vorher die Konstanten Vs (Sinkgeschwindigkeit) und t^ berechnet wurden. Neu ist die Hyperbelfunktion tanh (Tangens Hyperbolicus). Aber man braucht den Hyperbelfunktionswert nur genauso zu behandeln wie die Kreisfunktionswerte sin, cos und tan. Der Taschenrechner hat dazu die Taste „hyp".

Mit Hilfe der hoheren Mathematik kann aus Gleichung (3) eine Gleichung fiir die vom fallenden Korper zuriickgelegte Wegstrecke s{t) entwickeh werden (Gleichung (5)). Darin ist In cosh der natiiriiche Logarithmus der Hyperbelfunktion cosh.

Zum Abschluss der Untersuchungen des freien Falls mit Luftwiderstand werden die Gleichungen (3) und (5) ausgewertet und die Graphen v{t) und s{t) konstruiert und diskutiert. Man rechnet mit dem Taschenrechner oder schreibt ein einfaches PC-Programm. Damit ist dann auch das Zeichnen der Graphen moglich. Kontrollwerte: v(2) = 17,04 m/s v(4) = 25,2 m/s v(6) - 27,77 m/s

Beispiel: Fiir einen Winkel von 30° sind mit dem Taschenrechner die Funktionswerte tan und tanh zu ermitteln. Losung: Man stellt den Rechner auf den RAD-Modus ein (BogenmaB). Dann ergibt tan (30-Ji/180) - 0 , 5 7 7 3 5 tanh (30 11/180)= 0,48047

s{t) = Vs4tocosh

(5)

Momentanwegstrecke

s{t)

Vs

Uh

m

m s

s

Gegeben: Zeitabschnitte t =0...10s Masse m = 1 kg Luftwiderstandsbeiwert Cw = 0,2 (Kugel) Luftdichte

Q^=1,\9

Projektionsflache Fallbeschleunigung

Ap = 0,1 m^ g =9,81m/s^

kgW

^(2) = 18,3 m s{A) = 61,9 m s{6) = 115,4 m

Das Diagramm enthalt neben den Kurven v(t) und s{t) auch den Graphen fiir den freien Fall im Vakuum. Dieser Graph v{t) = g • /ist eine ansteigende Gerade (siehe Seite 154). Am Graphen v{t) fiir den freien Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes sieht man, dass mit der Zeit t der GeschwindigkeitszMWflc/is- laufend kleiner wird, bis die stationare Sinkgeschwindigkeit Vs = 28,7 m/s erreicht ist. Beim Graphen v(/) = g • t dagegen bleibt der Geschwindigkeitszuwachs konstant Av = g = 9,81 m/s^

woo g 800 .c ^ 600

i 400 200 0

Graphen v{t) und s{t) fiir den freien Fall

160

4 Dynamik

4.1.7 Ubungen zur gleichmaBig beschleunigten und verzogerten Bewegung Es muss konsequent nach dem vorher erarbeiteten Losungsplan vorgegangen werden, auch wenn es in einigen Fallen nicht notwendig erscheint.

1. Ubung: Ein Auto wird aus der Geschwindigkeit vo = 100 km/h gleichmaBig bis zum Stillstand abgebremst. Die Bremsverzogerung soil a = 6 m/s^ betragen (Notbremsung). Es ist eine Gleichung fur den Bremsweg A^ zu entwickeln und daraus A^ zu berechnen.

km 100 m Gegeben: VQ = 100 -— = : 27,78 h 3,6 s

Gesucht: A5 =/(vo,fl)

Losung: Die v-Linie im skizzierten v, ^Diagra^lm ist eine von VQ = Av abfallende Gerade. Mit VQ und Ar begrenzt sie eine Dreieckflache, die dem Bremsweg A^- entspricht.

Die Grundgleichung wird in allgemeiner und spezieller Form hingeschrieben.

Die Weggleichung wird aus dem v, r-Diagramm abgelesen (Dreieckflache).

Zum Schluss entwickelt man mit Hilfe der Einsetzungsmethode aus Grund- und Weggleichung die gesuchte Beziehung A5=/(vo,<2) und berechnet daraus den Bremsweg A^. Die Gleichung fiir A^ steht auch in Tabelle 4.2. Die Einheit der gesuchten GroBe ergibt sich aus den Einheiten der gegebenen GroBen.

LSdiritt

Av A^

^s =

Vo Af

XSchritt

Vo Af

^0 ^

A.

3,Schritt

^0

: -— ^ Ar = — Ar a voAt Vo As = 2 " 2a

2a

4.Schiitt

: 64,3 m

As=f{vo,a) In vielen Fallen kommt es in der Technik nicht nur auf den Betrag einer GroBe an, sondem man will auch wissen, in welcher Weise die beteiligten GroBen voneinander abhangen.

Beispiel: Die Beziehung As =/(vo, a) sagt aus: Der Bremsweg fiir Autos wachst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

161

4.1 AUgemeine Bewegungslehre 2. Ubung: Ein Fahrzeug beschleunigt in 5 s auf 40 km/h, fahrt dann 50 s lang mit dieser Geschwindigkeit und bremst in 4 s bis zum Stillstand.

Gegeben: A^i = 5 s At2 = 50 s Ars = 4 s km Av

Es ist der Gesamtweg fur diesen Bewegungsvorgang zu bestimmen.

Gesucht: As = f{At\, At2, At^, Av)

Losung: In das v, ^Diagranlm wird eingetragen:

40 m

'

11,11-

L Schritt

Eine ansteigende Gerade iiber dem Zeitabschnitt daran anschlieBend die zur r-Achse parallele v-Linie iiber At2 und abschlieBend die fallende Gerade uber At^.

Dann stellt man die Grundgleichungen fur alle drei Bewegungsabschnitte auf.

\

^ <

\

pill

^2

Ati

At2

AaX t

Jts]

Av Av ax =—-;a2 = 0\a3 = - r A^i Atj,

2. Schiitt

Die von den v-Linien begrenzte Gesamtflache in drei Teilflachen zerlegt:

3. Schritt AvAri - (Dreieckflache)

A\ = Beschleunigungsweg A^i (Dreieck),

A^i

A2 = Weg As2 mit Av = konstant (Rechteck),

As2 = Av At2 (Rechteckflache)

A3 = Verzogerungsweg AST, (Dreieck).

AST,

AvA^3 (Dreieckflache) =4. Scimtt

Damit hat man die Weggleichungen und auch die gesuchte Bestimmungsgleichtung fiir As. Nun kann der Gesamtweg berechnet werden.

Auch wenn man nicht alle Grundgleichungen braucht, schreibt man sie hin, denn die Aufgabenstellungen in der Praxis sind immer umfangreicher, als das hier darzustellen moglich ist. Meistens wird man fiir alle GroBen Gleichungen entwickeln miissen.

As = As\ + As2 + A^3 AvA^i ^ ^ AvA^s A^ = ——-^ + Av At2 + —r—^

A5 = A v f ^ + Ar2 +

^ j

As = f{At\, At2, AtT,, Av) A5= 11,11 - ( 2 , 5 s + 50s + 2s) As = 605,5 m

162 3. Ubung: Bin Autofahrer fahrt mit 120 km/h. Er sieht ein Hindemis, bremst nach kurzer Reaktionszeit mit einer Verzogerung von 5 m/s^ und kommt 160 m nach dem Erblicken des Hindemisses zum Stehen. Gesucht werden die Reaktionszeit A/R (vom Wahrnehmen des Hindemisses bis zum Ansprechen der Bremse) und der dabei durchfahrene Weg A^R. Losung: Die Gesamtzeit Ar setzt sich zusammen aus der Reaktionszeit A^R und der Verzogerungszeit A/v Entsprechend ist der Gesamtweg A^- = A^R -f A^v Dabei muss man beachten, dass wahrend der Reaktionszeit A^R die Geschwindigkeit V konstant bleibt. A^-R entspricht einer Rechteckflache, A^v der Dreiecksflache. Das bedeutet auch, dass man in die Grundgleichung den Zeitabschnitt A^v einsetzen muss.

4 Dynamik

Gegeben:

v = 120 — = 33,33 h s <3 =

J

—

A^ = 160 m Gesucht:

A^R

=f{v,a,^s)

A5R = / ( v , a , A 5 )

1. Schritt :*

\ ASv\

ASR

' f

My/ h*

^

•

Av

• *

^

V

~ At~

2. Schritt

Atw

As — A^R + A5v

3, Schritt

As — V ArR H—-—

Im 4. Schritt wird wieder die Gleichsetzungsmethode angewandt, indem die Grundgleichung und die Weggleichung nach A/y aufgelost und die erhaltenen Ausdriicke gleichgesetzt werden. Daraus erhalt man A/R ==/(V, a. As).

^

^

Arv

4. Schritt

«

A5 = V A/R H

^ ArR

Die Bestimmungsgleichung fiir A^R entwickelt man wieder aus Grund- und Weggleichung, benutzt also nicht den vorher berechneten Wert fiir A^R, um A^R = V A^R zu berechnen. Nur mit der Bestimmungsgleichung A^R =f{v,a,As) hat man einen Uberblick tiber die gegenseitigen Abhangigkeiten zwischen den gegebenen GroBen und dem Reaktionsweg. Man bekommt damit auch die Moglichkeit, eine echte Probe vorzunehmen.

A

a = - — => Aty = -

-— => Aty

2a A . - ! ^ lav

2(A5-VA/R)

ArR = 1,467 s

=f{v,a,As)

Auf gleiche Weise ergibt sich fiir ASR

A5R

g = Ay - —

A5R

= 48,9 m

=f{v,a,As)

Probe: ASR = V A?R = 33,33 - • 1,467 s = 48,9 m s

4.1 AUgemeine Bewegungslehre 4. Ubung: Von einem Turm wird ein Stein fallen gelassen. Der Aufschlag des Steines auf den Boden wird oben nach Ar = 5,3 s gehort. Die als konstant angenommene Schallgeschwindigkeit in der Luft betragt Vs = 333 m/s. Es soil eine Gleichung zur Bestimmung der Turmhohe h=f{At,Vs,g) entwickelt und damit h berechnet werden. Losung: Man unterteilt die Gesamtzeit A^ vom Fallbeginn bis zum Horeindruck in die Fallzeit A^f und die Schallzeit At^. Wahrend der Fallzeit A^f ist die v-Linie eine von 0 bis Ve ansteigende Gerade (freier Fall mit Aufschlaggeschwindigkeit = Endgeschwindigkeit Ve). Da der Schall mit konstanter Geschwindigkeit Vs nach oben steigt, verlauft die v-Linie wahrend der Schallzeit A^s waagerecht (gleichformige Bewegung). Stein und Schall miissen den gleichen Weg zuriicklegen:

163 Gegeben:

a = g = 9,81 ^ 333 - ; s

Gesucht:

h

At = 5,3 s

=f{At,Vs,g)

i.Sclmtt Horeindruck 1

V

1 i 1lllll 1

,

!1 1 1

Aufschlag.

IIHIUss

< II

^

0

n

Ai^ASf

'

Atf

t

Ats M

Turmhohe h = Fall weg A^f = Schall weg A^sIm V, ^Diagramm muss demnach die Dreieckflache Ai gleich der Rechteckflache A2 sein. In den Nenner der Grundgleichung wird aus der Bedingung At = A^f + A^s ^ A^f = At — A4 eingesetzt. Die Weggleichung fiir die Turmhohe h fmdet man aus der Dreieckflache A\ = Ve Atf/2 und der Rechteckflache A2 = Vs A^s- Beide Flachen sind gleich groB. Grund- und Weggleichung lost man nach der Endgeschwindigkeit VQ auf und setzt die gefundenen Ausdriicke gleich. Aus der zweiten Weggleichung (h = Vs A^s) setzt man fiir die Schallzeit A4 = h/vs und schreibt den Klammerausdruck (A^ — /z/vs) in der dreigliedrigen Form At--

- A^2 - 2 Ar - + -

a = g-

Av At

h=Ai

=A2

Ve Atf

2. Schritt At - At.

3. Schritt

h = Asf = A^s h = ^—-

= Vs Ats

4. Schritt Ve = g{At - Ats] g{At--Ats) s h = —{At2 h =

-[At 2 \

=

2h

2h

Atf

At - Ats

2h

At - Ats 0 h Ats) fiir Ats = — eingesetzt: Vs V,

164

4 Dynamik

AbschlieBend wird die Gleichung auf die Normalform gebracht und nach h aufgelost. Das ist die gesuchte Bestimmungsgleichung fiir die Turmhohe h.

h=-

v.

26017 m = 78,1 s 333 m

Bei dieser Turmhohe h\ ware die Schallzeit A^s groBer als die Gesamtzeit: A^s = 78,1 s > Ar == 5,3 s.

-2At - + —,

2vs'

Von den beiden berechneten Betragen fiir die Turmhohe kann nur h2— 119,7 m richtig sein, wie die Auswertung der Gleichung h = v^ At^ (3. Schritt) mit hi = 26017 m ergibt: Schallzeit A^c

At'

gAt

+ vs^ At^ = 0

hi^

^mfW^ h

=f{At,Vs,g)

/ i i = 26017 m h2= 119,7 m

Aiifgatea Nn 417-443

4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung Beim Kopieren eines Kegelstumpfes auf der Drehmaschine soil die MeiBelspitze vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E wandem. Der DrehmeiBel wird dabei gleichzeitig vom Bettschlitten mit dem Langsvorschub si und vom Planschlitten mit dem Planvorschub ^p geradlinig bewegt. Zwei Einzelbewegungen „uberlagem" sich hier zu einer resultierenden (zusammengesetzten) Bewegung: Eine zusammengesetzte Bewegung entsteht dutch tfberlagemng von Enzelbewegungen.

F Planvorschub Sp

Zusammengesetzte Bewegung

Die Einzelbewegungen konnen gleichformig Oder ungleichformig sein; sie konnen in beliebiger Richtung zueinander verlaufen.

165

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 4.1.8.2 Uberlagerungsprinzip Theoretisch erreicht man den Endpunkt E der MeiBelspitze auch, wenn man von A ausgehend zunachst den Langsvorschub allein laufen lasst, bis Punkt B erreicht ist, und dann anschlieBend mit dem Planvorschub bis E fahrt. Auch in umgekehrter Reihenfolge wird das Ziel erreicht:

Man findet den Oit eines Korperpunktes bei zusamn^ngesetxtar Bewegung, indem man die Einzelbewegungen gedanklich nacheinander ausflihft Die Reihenfolge ist beliebig. Das Uberlagerungsprinzip wird in der Technik haufiger angewendet, wenn resultierende Wirkungen leichter ermittelt werden sollen. Ein markantes Beispiel ist die Berechnung der Durchbiegung eines Biegetragers, der durch beliebig viele Krafte belastet wird.

c

I

Geometrische Addition von Wegen

Zur Losung von Aufgaben setzt man die fiir die Einzelbewegung giiltigen Gesetze an (siehe waagerechter Wurf, Seite 167).

Hinweis: Siehe auch: Festigkeitslehre, Abschnitt 5.9.11, die 5. Ubung, Seite 350.

4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Soil ein Korper oder Korperpunkt von A nach E gelangen, dann kann diese Ortsveranderung auf verschiedene Weise ablaufen. Der kiirzeste Weg wird durch den „Ortsvektor 5" gekennzeichnet. Aber auch mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Ortsvektoren ^x, ^y kommt man von A nach E, oder mit den beiden beliebig gerichteten Ortsvektoren s^ S2. Wie alle Vektoren sind auch die Ortsvektoren eindeutig bestimmt durch ihren Betrag (z. B. 5 = 4 m), durch ihre Richtung (z. B. a = 30°) und durch den Richtungssinn (Pfeil zeigt von A nach E). Das Gleiche gilt fiir Geschwindigkeiten und Beschleunigungen: Wege (Wegabschnitte) s, Geschwindigkeiten v nnd Beschleunigungen a sind Vektoren (gerichtete CkoBen). Sie werden rechnerisch und zeichnerisch behandelt wie Krafte, also geometrisch addiert.

Geometrische Addition von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

Wie bei Kraften gilt der Parallelogrammsatz; Langs- und Parallelverschiebungssatz sowie Erweiterungssatz haben hier keinen Sinn (siehe Statik).

4 Dynamik

166

4.1.9 Ubungen zur zusammengesetzten Bewegung 4.1.9.1 tJberlagerung von zwei gleichfbrmig geradlinigen Bewegungen 1. Ubung: Der Laufkran in einer GieBerei fahrt mit der Geschwindigkeit vi = 120 m/min. Gleichzeitig bewegt sich rechtwinklig zur Fahrtrichtung die Laufkatze mit V2 = 40 m/min. Es soil die Geschwindigkeit der an der Laufkatze hangenden Last und der Neigungswinkel a des Lastweges zur Fahrtrichtung des Krans bestimmt werden. Losung: Die beiden Geschwindigkeitsvektoren stehen rechtwinklig aufeinander. Die gesuchte Geschwindigkeit Vr ist die Resultierende aus diesen beiden Vektoren. Sie wird, wie bei den Kraften, mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck sieht man, dass sich der Neigungswinkel a uber die Tangensfunktion bestimmen lasst.

Lageskizze V2 KatzfahrGesch windigkeit KranfahrGeschwindigkeit

vV

Vf

•V2'

126,491

a = arctan

V2

V

mm / mm m 2,108 40

arctan

18,4° 120

2. Ubung: Ein Boot (iberquert vom Punkt A aus einen Fluss. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes betragt vi = 30 km/h und liegt unter dem Winkel a = 30° zur Stromrichtung. Durch die Stromungsgeschwindigkeit V2 = 10 km/h wird das Boot aus seiner Fahrtrichtung abgelenkt und erreicht das gegeniiberliegende Ufer im Punkt B. Zu bestimmen sind: a) die resultierende Geschwindigkeit Vr des Bootes, b) der Winkel )8, c) die Strecke I2. Losung: Man skizziert das Geschwindigkeitsdreieck aus vi, V2, Vr und tragt die Winkel ein. Nach dem Parallelogrammsatz muss die resultierende Geschwindigkeit Vr vom Anfangspunkt der zuerst gezeichneten zum Endpunkt der zuletzt gezeichneten Geschwindigkeit (hier V2) gerichtet sein. Uber den Kosinussatz berechnet man dann Vp. Natiirlich kann auch die zeichnerische Losung allein oder zusatzlich angefertigt werden.

V mm /

A

Lageskizze

Geschwindigkeitsskizze

v^vi ^ -I- V2^ 21.918 " ^ h

— 2 v i V2 COS a

4.1 AUgemeine Bewegungslehre

167 sin(5

Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren vi und Vr entwickelt. Der Richtungswinkel ^ der resultierenden Geschwindigkeit Vr ist die Winkelsumme a-\- d. Zum Schluss findet man uber die Tangensfunktion die gesuchte Strecke I2.

Sin o = — sm a

V2

10

km sin 30° = 13,187°

21,918^ h ', + (5 = 43,187° /i tm/3

480 m tan 43,187°

511,4m

4.1.9.2 Uberlagerung von gleichformiger und gleichmaBig beschleunigter Bewegung VQ=:V^ = konstant; a = 0

a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand) Ein Korper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler Unterlage in x-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit VQ. Sobald die Kugel die Unterlage verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des freien Falls. Der gleichformigen Bewegung in x-Richtung iiberlagert sich eine gleichmaBig beschleunigte Bewegung in y-Richtung. Wie man spater aus der Weggleichung sehen wird, ist die Wurfbahn eine Parabel. Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im v,r-Diagramm dar und hest daraus die Berechnungsgleichungen ab. Das V, f-Diagramm fiir die HorizontaJbQv^tgnng des Korpers beim waagerechten Wurf ist das typische Diagramm fiir die gleichformige Bewegung mit vo = Vx = konstant und dem Flacheninhalt

Wurfbahn \(Parabel)

Vy ^ konstant a=g

V k

Ax = Sx = Votx tx

0

t

Ax = 5 x = Vo^x.

Das V, r-Diagramm fiir die VertikalbQyNQgxxng ist das typische Diagramm fiir den freien Fall ohne Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit (Vy = 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen werden: Ay =h — Vyt^/l. Damit stehen alle Gleichungen zur Verfiigung, die fiir einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden. Es ist also nur eine Frage der mathematischen Geschicklichkeit, wie schnell eine Losung gefunden wird. Zwei Ubungen sollen den Weg zeigen.

Weggleichung (Wurfweite)

= Vofx Vy

Grundgleichung

s = -f Vy^

2

V

S^^

U~ 2

Weggleichungen (Fallhohe)

4.1 AUgemeine Bewegungslehre Mit der Funktionsgleichung h — ks^ soil die Wurfparabel punktweise berechnet werden, z. B. fiir die horizontale Geschwindigkeit vo == 3 m/s. Zunachst wird die Konstante bestimmt

169

0 0 <; 0,545

2vo2

\

^

Vn = konstant

eV^i Vyl

9,81 m k=

Wurfweite Sx in m 1 '

Wertetabelle

\

.V

2,18

= 0,545

2-9 m^

m

Damit berechnet man fiir die Wurfweiten 5;c = 1 ni, 2 m und 3 m die zugehorigen Fallhohen h und tragt diese Betrage in die Wertetabelle ein. Die zueinander gehorenden Werte von ^x und h sind die Koordinaten jeweils eines Punktes der Wurfbahn, die man damit aufzeichnen kann.

Die resultierende Geschwindigkeit Vr lasst sich fiir jeden Bahn- und Zeitpunkt aus dem Geschwindigkeitsdreieck berechnen (Pythagoras).

X

E .c

Im 2m 3m

\^

,

h

0,545 m 2,18 m 4,905 m

VQ = konstant 4,905

[^

f Wurfpa irabel fiir den waagerechten Wurf

Vr =

ya RichtungsJLT winkel VyjJ v^ = ^vg+v^

y VO^ + V^2

2 Vr=\/vo2 + (g0'

Geschwindigkeit Vr nach der Wurfzeit t

Der Geschwindigkeitsvektor Vr liegt auf der Tangente 7 des jeweiHgen Bahnpunktes, z. B. Punkt B.

Vr == v V + 2g^

Geschwindigkeit Vr nach der Fallhohe h

Der Winkel a des Vektors Vr ergibt sich aus tan a — Vy/vo.

a = aictaii

Richtungswinkel a

a = a«:taii

Aul^toi Nn 444-447

vo

Vo

170

4 Dynamik

h X b) Schrager Wurf (ohne Luftwiderstand) ^y i V ^ P2 a) Beim schragen Wurf wird ein Korper mit der ^Ox Abwurfgeschwindigkeit VQ unter dem Steigungs- ^Oy winkel ao abgeworfen. Seine Wurfbahn ist wie V ^''Ox • beim waagerechten Wurf eine Parabel. 0 E r^ox T W Liegen Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher Ss Hohe, sind Abwurf- und Auftreffgeschwindigkeit Smax = Vox' vo gleich groB, ebenso deren Winkel ao. Voraussetzung: kein Luftwiderstand. ^x Smax = voxT Man zerlegt den Geschwindigkeitsvektor VQ in die b) \ 2 Sx = Voxtx beiden Komponenten VQX und voy. Es gilt auch hier 0 t tx das Uberlagerungsprinzip: ts Der gleichformigen Horizontalbewegung mit ^y vox = konstant ist die gleichmaBig beschleunigte Q 9 und dann verzogerte Vertikalbewegung mit Av=gtx *^^^>>
l/o

1

Es werden die v, f-Diagramme ausgewertet: Die Grundgleichung (1) schreibt man mit den speziellen Bezeichnungen. Diagramm b) liefert die Weggleichung (2) fiir die Wurfweite als Funktion der Zeit t. vo und ao sind Konstante. Diagramm c) liefert die Weggleichungen fiir die Vertikalbewegung. Das sind die Gleichungen fiir die Wurfhohe h in Abhangigkeit von den Geschwindigkeiten v (3) und von der Zeit t (4) und (5). Fiir die letzte Form der Gleichung (3) wird aus (1) fiir ^x = (voy - Vy)/g eingesetzt. Das Binom ergibt (VOy + Vy)(V0y - Vy) = VOy^ - Vy^.

g~ — = ^—-X

(1)

5x = %cosao% (2)

Grundgleichung

Weggleichung (Wurfweite)

^^VOy-hVy^^^VQy^-Vy^ (3)

2g h-=^Vyh+^h^

h^VQuna^h

Weggleichungen (Wurfhohe)

(4) g_ 2

2^^

Beachte: voy = vo sin ao

(5)

s

4.1 Allgemeine Bewegungslehre Zur Konstruktion der Wurfbahn muss man wie beim waagerechten Wurf die Abhangigkeit der Wurfhohe h von der Wurfweite ^x kennen, also eine Funktionsgleichung fiir h entwickeln, in der die Zeit t nicht erscheint. Dazu lost man die Gleichung Sx = vo cos aot^ nach ^x auf und setzt den gefundenen Ausdruck in die Gleichung fiir die Wurfhohe /? = VQ sin aot^ — gty^^/2 ein (Gleichung (5)). Damit erhalt man h = f{s^, g,vo,ao). Die GroBen g, VQ, tan ao und cos ao sind konstante GroBen. Mit den beiden Konstanten k\ = tan ao und k2 = g/2vo^ cos^ ao erhalt man die Funktionsgleichung in der zweckmaBigsten Form fiir die punktweise Berechnung der Wurfparabel. Es werden nun noch einige haufig gebrauchte Gleichungen entwickelt: Die Steigzeit U erhalt man aus der Gleichung Vy = Vo — gt (siehe v, r-Diagramm c) und der Uberlegung, dass im Scheitelpunkt der Wurfparabel die Geschwindigkeit in y-Richtung Vy = 0 ist (Richtungsumkehr der senkrechten Teilbewegung). Die Scheitelhohe /imax ist der Weg der verzogerten Bewegung in vertikaler Richtung wahrend der Steigzeit ^s (Dreieckflache im v, r-Diagramm c). Fiir ^s wird die in Gleichung (8) entwickelte Beziehung eingesetzt. Die gesamte Wurfzeit T bis zum Aufschlag ist das Doppelte der Steigzeit (immer unter Vemachlassigung des Luftwiderstandes). Die grofite Wurfweite ^max erhalt man mit der Wurfzeit T. Dann ist ^max = ^Q\T = VQ COS a^T. Fiir 7 wird der vorher entwickelte Ausdruck eingesetzt und fur 2 sin ao cos ao = sin 2 ao (siehe Handbuch Maschinenbau). Bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit vo hangt •Smax nur noch vom Steigungswinkel ao ab. Da der Sinus eines Winkels nicht groBer als 1 werden kann, wird der Maximalwert fiir die groBte Wurfweite dann erreicht, wenn sin 2ao = 1 ist. Das ist der Fall, wenn 2ao = 90° und damit der Steigungswinkel ao = 45° betragt.

171 5x = Vo COS ao^x => h

h = VQ sin ao^x

Vo COS a o

gt.' gSx

h = VQ sin ao Vo COS ao

^ = 5x tan ao -

2vo^ cos ^ao s 2

^

2vo^ cos^ oo

(6)

h ==/(^x,g,vo,ao) h = kis^-k2Si^

(7)

Gleichung der Wurfbahn beim schrdgen Wurf (Wurfparabel)

Vy = voy - gt^;

voy^vosinao;

Vy = vosinao -

gts=0

^^^v^smao

^3^

t^ = t^

^^^.^^^.^

vpy^s _ vosinao^

h^

=^

^" ^

(9)

Scheitelhohe

2g

r=

2vo sin OQ

(10)

Wurfzeit

8 2vo sin ao Vo cos a o r = Vo cos ao

_ VQ^ sin 2aQ Smsa — _

(A1)

grope Wurfweite

GroBter Wert fur s^ax bei ao = 45°, weil dann sin 2 ao = sin 90° = 1 ist. Beachte: Die hier entwickelten Gleichungen gelten auch fiir den waagerechten Wurf, wenn in den Gleichungen ao == 0 gesetzt wird. Der waagerechte Wurf ist also nur ein Sonderfall des schragen Wurfs.

172 Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen Bahnpunkt Pi nach dem Zeitabschnitt /x, ist die Resultierende der momentanen Vertikalgeschwindigkeit Vy = VQ sin ao - g^x (v, r-Diagramm c), Seite 170) und der konstanten Horizontalgeschwindigkeit VQX = VQ COS a^.

4 Dynamik

Vox = vo COS ao; Vy =

VQ

sin ao - gh

v = yCvoCosoof+ ( v b s i n a a - g l x f

(12)

Geschwindigkeit v{t)

Man erhalt die Momentangeschwindigkeit v in Abhangigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit VQ, dem Steigungswinkel ao, dem Zeitabschnitt ^x und der Fallbeschleunigung g.

Beachte: In dieser Gleichung muss fiir den Winkel ao immer der spitze Winkel zur positiven jc-Achse eingesetzt werden (siehe Wurfparabel Seite 170).

Soil der Zeitabschnitt t^ in Gleichung (12) aus der Wurfhohe h ermittelt werden, hilft die Gleichung (5) weiter: Man formt die Gleichung zur Normalform einer gemischt quadratischen Gleichung um. Danach stellt man die Losungsformel fiir t^i/2 auf und schreibt die endgiiltige Form mit voy = VQ sin ao. Mit der Weggleichung (2) ist dann auch der Wegabschnitt ^x zu berechnen.

h = voyt^-^

t/

(Gleichung (5))

^ - ^ t . ^ ^ h =0 VOy\

VOy

2/1

^xl/2 ^

vosmoo ,

//vosin ^ ^ ™^ 8 ) g

(13)

Zeitabschnitt t^{h)

Beim Berechnen des Zeitabschnitts ^x nach Gleichung (13) ergeben sich zwei Werte ^xi und t^2' Beide Werte sind richtig, denn die Wurfparabel (Seite 170) schneidet eine Hohenlinie in den beiden Punkten Pi und P2. Die zugehorigen Zeitabschnitte sind die berechneten Werte ^xi und t^j-

Beispiel: Ein Korper wird mit vo = 100 m/s unter ao = 60° abgeworfen. Die Rechnung nach (13) mit h = 300 m ergibt (aus Platzgriinden ohne Einheiten geschrieben): ^xl =

100- sin 60° TTTT. 9,81 4-

+

100- sin 60^ 9^81

2-300 9,81

fxi = 12,9 s ?x2 = 4,73 s

Den momentanen Richtungswinkel a an der Wurfparabel im sj-Dmgraxnm a) auf Seite 168 erhalt man aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Kosinusfunktion.

Vox Vo COS ao cos a = — = V V a = arccos

Vo cos oo

(14)

4.1 AUgemeine Bewegungslehre 1. Ubung: Das 5,/i-Diagramm, Bild a), zeigt die Wurfparabel eines schragen Wurfs, bei dem die Abwurfebene (Punkt Ei) nicht zugleich Auftreffebene ist. Diese liegt um die Fallhohe HE tiefer (Punkt El). Gegeben: Abwurfgeschwindigkeit VQ = 10 m/s Abwurfwinkel ao = 50° Fallhohe /^E = 2 m Gesucht: Gesamtzeit t, Wurfweite s, Auftreffgeschwindigkeit VE, Auftreffwinkel a^, Teilzeit t^ und Teilweg ^ELosung: Man sollte nicht versuchen, die bereits hergeleiteten Gleichungen fur die symmetrische Wurfparabel (Seite 170) auf den vorliegenden Fall anzuwenden. Das fiihrt leicht zu Fehlem. Daher skizziert man fiir jeden speziellen Fall, so wie hier, die zugehorigen v, r-Diagramme b) und c) und wertet die Diagramme wie gewohnt aus. Gegeniiber den Diagrammen, Seite 170, braucht man nur die Vx- und die Vy-Linie bis zum Auftreffpunkt E2 zu verlangem.

Wurfzeit t und Teilzeit tE'. Die gesamte Wurfzeit t setzt sich zusammen aus der Wurfzeit T nach Gleichung (10) und der Teilzeit tE fiir den Teilweg ^E und fiir die Fallhohe /IEFine Gleichung fiir die Teilzeit ^E erhalt man mit der Weggleichung HE nach dem v, r-Diagramm c). Darin entspricht die Trapezflache Aq = Fallhohe % =

173 h VO

a)

voy \

Abwurfebene

\ E I VOX

Auftreffebene

VOy

A Vox

X

0

4'-

s

\

Vy\

Vx

Vx-Linie

b)

%= 0

T=2vQSinao/g

t

JE^

a) 5, /i-Diagramm (Wurfparabel) b) V, r-Diagramm der Horizontalbewegung c) V, r-Diagramm der Vertikalbewegung

A g = /lE = Voy tE+—

2

tE

2

tE^ +-VOy^E

hE = 0

Mit voy = vo sin ao erhalt man

V0ytE+gtE^/2.

vosinoo ,

Die gemischt-quadratische Gleichung liefert eine Beziehung fiir die Teilzeit ^E.

//vosinao\

IHE

8 (15)

Teilzeit

Mit Vo = 10 m/s, ao == 50° und hE = 2m erhalt man als physikalisch sinnvolle Teilzeit t^ = tE\ = 0,228 s. Mit Gleichung (10) bekommt man die Gesamtzeit t = T-\-tE = 2vo sin ao/g + ^E-

\?

^Ei

= -

10 m / s - sin 50° 9,81 m/s2 ^Om/s- sin50°y 9,81 m/s2 J

^Ei = 0,228 s;

2-2m 9,81 m/s^

tE2 = -1,7896 s

_ 2- 10 m / s - sin 50° - 0,228 s = 1,79 s 9,81 m/s2

174 Um auf direktem Weg die Gesamtzeit t berechnen zu konnen, werden die beiden Gleichungen (10) und (15) zu einer Gleichung zusammen gefasst. Man erhalt dann die Gleichung (16). Auch hier ergibt nur der positive Wurzelwert ein physikalisch sinnvolles Ergebnis.

4 Dynamik

vo sin ao h/2 = T + t^i/2 = 2

Vo sin ao

1- fEl/2 VQ

sin ao ,

tl/2 = 2

± ••

/vQ sin ao\

ri/2 = — - — ±

\

8

2%

)

(16)

Gesamtzeit

Auftreffgeschwindigkeit v^: Sie ist die Resultierende aus der Horizontalgeschwindigkeit ^Ox = Vo cos ao und der Vertikalgeschwindigkeit Vy, die sich nach Bild c) Seite 173 zusammensetzt aus: voy = Vo sin ao und gt^.

VE

Vox

8

= y vox^ 4- Vy2

: vocosao; Vy = voy ^ gt^ • vosinao+g^E

VE =

V (vo cos Oaf -h (vo sin ao + gt^f

Auftreffgeschwindigkeit Rechnung aus Platzgriinden ohne Einheiten: VE = ^(10 • cos 50°)^ + (10 • sin 50° + 9,81 • 0,228)^ VE

Der Auftreffwinkel aE kann mit Gleichung (14) berechnet werden, wenn man fiir v = VE einsetzt.

m = 11,8 -

V cos a ^ ^ ~ " cos 50° aE = arccos — -= arccos ^ ^ VE 11,8 aE = 57°

Wurfweite s und Teilweg SE- Der Teilweg ^E ist nach Bild b) Seite 173 aus ^^E = Vox^E = Vo COS ao^E

zu berechnen. Mit dieser Gleichung und mit Gleichung (11) kann eine Gleichung fiir s entwickelt werden.

s^ = VQCosaQtE (18) 5E = 10 m/s • cos 50° • 0,228 s = 1,466 m vo^ sinloo

- + SE

(19)

8 (10m/s)'sinlOO° , ^^^ 5 = ^ J^; ., + 1,466 m = 11,5 m 9,81 m/s^

Kontrolle: Nach Bild b) ist 5 = vox ^ = vo cos ao t mit t nach Gleichung (16).

5 = vocosaof

(20)

1 0 - - cos 50° • 1,79 s = 11,5 m s

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 2. Ubung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem Winkel ao = 30° mit einer Geschwindigkeit vo = 5 m/s von der Dachtraufe, die h = 20m liber dem Erdboden liegt. Es soil eine Gleichung zur Bestimmung des Abstandes ^x =f{aQ,VQ,h) des Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt und damit ^x berechnet werden.

Losung: Es werden als Erstes wieder die beiden V, r-Diagramme fur die Horizontal- und die Vertikalbewegung skizziert. Wahrend des Zeitabschnitts ^x wird die Strecke ^x mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente vox = Vo cos ao zuriickgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt fallt die Dachpfanne im freien Fall um die Hohe h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente (Vertikalgeschwindigkeit) von VQy = Vo sin ao um Av = gt^ auf Vy.

Der Vergleich der beiden v, r-Diagramme mit den Diagrammen b) und c) auf Seite 173 zeigt vollstandige Ubereinstimmung des Bewegungsvorgangs zwischen den Punkten Ei und E2 der Parabel. Man kann also ohne Bedenken die dort entwickelten Gleichungen verwenden. Fiir die vorliegende Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung mit Gleichung (18).

Man hat damit die gesuchte Beziehung ^x = / ( a o , v o , / i ) gefunden. Der Aufschlagpunkt liegt um ^x = 7,71 m von der Hausmauer entfemt.

175 Gegeben: ao = 30° ^>V^o

5"^ s /z - 2 0 m Vo

^.=»*p

a

Gesucht: Sx =f{ao,vo,h)

1 0)_

Sx = ^Ox tx

t

r

gt? 'x

^ t

.

V, r-Diagramm der Horizontalbewegung a) und der Vertikalbewegung b)

J ^x — I

(

Vo sin CLQ\

vosinoo ^ r

-1 2h \

111

5x = vocosao|_rxj^—

Nur die positive Losung fiir ^x ist sinnvoll. Der Ausdruck fiir t^ (nach Gleichung (15)) wird in die Gleichung fiir ^x eingesetzt.

5x = Vo cos oo

+ s. — 1J\ m Aufgaben Nn 448-451

a) siehe auch V, r-Diagramm b) Seite 173 b) siehe auch V, r-Diagramm c) Seite 173

"x

vosmoo 8

/vosinooN

+

2h

\ i / ^T

(21)

4 Dynamik

176

42 Gleichformige Drehbewegung (Kreisbewegiing) Die bisher behandelten Gesetze gelten fiir geradlinige und krummlinige Bewegungen, also auch fiir die Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn, zum Beispiel fiir die Bewegung eines Schleifkoms auf einer umlaufenden Schleifscheibe. Die Drehbewegung wird gesondert behandelt, well fiir diese technisch wichtigste Bewegungsform besondere physikalische und geometrische GroBen eingefiihrt wurden. Das gilt beispielsweise fiir die Begriffe Drehzahl, Drehwinkel, Umfangsgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Ubersetzung.

4.2.1 Die Drehzahl n Bringt man auf einer umlaufenden Scheibe (Werkstiickspanner einer Drehmaschine, Schleifscheibe usw.) mit Kreide eine Markierung an, dann kann die Anzahl der Umdrehungen gezahlt werden. Sie werden hier mit z bezeichnet, also beispielsweise z = 25 U (Umdrehungen). Dividiert man z durch den zugehorigen Zeitabschnitt A^ dann erhalt man die Drehzahl n der Scheibe:

Beachte: Die Angabe einer Drehzahl bezieht sich inimer auf den ganzen umlaufenden Korper, z. B. auf den Rotor eines Elektromotors. Mit welcher Geschwindigkeit sich die einzelnen Punkte bewegen, ist noch unbekannt. _ Anzahl Umdrehungen z Zeitabschnitt At

At

Die Etehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl z der Umdrehungen und dem zugehorigen Zeitabschnitt Ar.

At

Die Drehzahl n umlaufender Maschinenteile wird meistens auf die Minute als Zeiteinheit bezogen. Mit 1 min = 60 s kann leicht umgerechnet werden.

Beispiel:

Das Wort Umdrehung mit dem Kurzzeichen U steht nur fQr die Zahl 1, so dass in der Technik die Einheit fiir die Drehzahl n auch mit der Eins geschrieben wird, meistens in der Potenzschreibweise (min~^).

Beispiel:

Beim Kurbelgetriebe eines Verbrennungsmotors entspricht einer Auf- und Abwartsbewegung (Doppelhub) des Kolbens eine Umdrehung der Kurbelwelle. Zur Berechnung der Kolbengeschwindigkeit ermittelt man daher die Zeit fiir eine Kurbelwellenumdrehung (Umlaufzeit):

Hinweis: In der Schwingungslehre ist T der kurzeste Zeitabschnitt, nach dem sich eine Schwingung periodisch wiederholt. Siehe auch Seite 149.

Die Periodendauer T (Umlaufzeit) ist der Ketewert der Drehzahl n.

n = 1 500 - ^ = 1500 - ^ = 25 mm 60 s s

n = 1500 min U

1

mm

mm

T =

= 1500 - ^ = 1500 min" mm

1 Drehzahl«

T =— n

-1

4.2 Gleichformige Drehbewegung (Kreisbewegung)

177

4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit Vu Umfangsgeschwindigkeit Vu ist die Bezeichnung fiir die Geschwindigkeit eines Umfangspunktes im Abstand r von der Drehachse eines umlaufenden Korpers auf seiner Kreisbahn.

drehende Scheibe Umfangspunkt

Drehachse

Drehbewegung um eine Drehachse

Bei gleichfdrmiger Drehbewegung ist die Umfangsgeschwiiidigjceit v^ der Quotient aus Wegund 2feitabschnitt,

Bei der ungleichformigen Drehbewegung ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt die mittlere Umfangsgeschwindigkeit Vum (Durchschnittsgeschwindigkeit).

4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit Vu Man stellt sich den Umfangspunkt B als Korper vor, der an einem Faden um die Drehachse A umlauft. Wird der Faden in einer der eingezeichneten Stellungen los gelassen, bewegt sich der Korper nach dem Tragheitsgesetz mit der momentanen Umfangsgeschwindigkeit Vu geradhnig fort und zwar in Richtung der jeweihgen Tangente an seine Kreisbahn:

rtttS*' Umfangsgeschwindigkeit Vu

Tangente 1 Radius

Kreisbahn

Richtung der Umfangsgeschwindigkeit

Die Umfangsgeschwindigkeit Vu ist immer tangential gmchtet; sie ist eine TangentialgroBe.

4.2A Umfangsgeschwindigkeit Vu und Drehzahl n Den Wegabschnitt A^ eines umlaufenden Umfangspunktes driickt man durch den Kreisumfang aus. Bei z Umdrehungen wird damit As = 2jtrz. Mit z/At = n erhalt man die tibhche Gleichung zur Berechnung der Umfangsgeschwindigkeit. Bei der gleichformigen Drehbewegung ist die Drehzahl n — konstant. Die Umfangsgeschwindigkeit Vu eines Umfangspunktes dagegen andert sich, wie die Gleichung zeigt, mit dem Radius r: Je grower der Radius, umso groBer ist auch Vu. Man sagt auch: Vu wachst proportional mit dem Radius (Vu ~ r).

As

Inn

^" = A^ = - M

— Izir

At

^ =2nrn

Vu

r

n

m H = i = s-' m s s s U m 1 . -1 - = — r - = nun m min min min

Beispiel: Wie groB ist die Umfangsgeschwindigkeit eines Umfangspunktes B, der doppelt so weit vom Scheibenmittelpunkt entfemt liegt wie PunktA? Losung: VuB = 2jcrB«;

rB = 2rA

VuB = 2jt • 2rA • /I = 2 • Inrj^n

= 2VUA

178

4 Dynamik

4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen fur die Umfangsgeschwindigkeit Fur Rechnungen an Werkzeugmaschinen wird die Umfangsgeschwindigkeit als Schnittgeschwindigkeit V meist in m/min gebraucht (Richtwerttabellen), wobei der Durchmesser d = 2rin mm eingesetzt werden soil. Man rechnet dann mit einer auf diese Einheiten zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. Fiir Schleifscheiben wurden sich mit der obigen Zahlenwertgleichung zu groBe Zahlenwerte ergeben. Man arbeitet dort mit der Einheit m/s und muss daher im Nenner noch den Faktor 60 aufnehmen. Man entwickelt aus der Grdfieng\t\ch\xng dann eine Zahlenwertgleichung, wenn haufig mit denselben Einheiten gerechnet wird.

ndn 1000 Schnittgeschwindigkeit v an Drehmaschinen, Frasmaschinen usw.

ndn 60000 Schnittgeschwindigkeit v fiir Schleifscheiben Beachte: Beim Rechnen mit Zahlenwertgleichungen darf man die Einheiten nicht mitschreiben.

4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit Ein Rad vom Radius r rollt ohne zu gleiten (also schlupffrei) auf seiner Unterlage. Ein Umfangspunkt P besitzt die Umfangsgeschwindigkeit Vu = 2Krn. Die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes M parallel zur Unterlage wird mit Mittelpunktsgeschwindigkeit VM bezeichnet. Es soil geklart werden, in welchem Verhaltnis Vu und VM zueinander stehen. Bei einer Umdrehung rollt der Radumfang 2Kr ab, bei z Umdrehungen z-mal so viel, also legt der Radmittelpunkt M den Wegabschnitt A^ = 2jrrz zuriick. Damit ergibt sich seine Geschwindigkeit VM = 2nrz/At. Das aber ist genau die Gleichung fiir die Umfangsgeschwindigkeit v^: Beim schlupfiBrei mllenden Rad sind Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit gleich groE. Das roUende Rad „kippt" laufend um den jeweiligen Stiitzpunkt A. Die momentane Geschwindigkeit V der Radpunkte auf dem gedachten Durchmesser AMP wachst hnear von VA — 0 auf VM = Vu und weiter auf vp = 2VM = 2v^.

Mittelpunktsgeschwindigkeit

Umfangsgeschwindigkeit

Inrz

Inrz

= Inrn

At

Inrn

Beachte: VM ist bezogen auf die Unterlage, Vu dagegen bezogen auf den Radmittelpunkt M. ^Vr, = 2vM = 2v,

VA = 0

4.2 Gleichformige Drehbewegung (Kreisbewegung)

179

4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit o Die Umfangsgeschwindigkeit Vu kennzeichnet immer nur den Bewegungszustand eines einzelnen Punktes, denn Vu ist vom Radius abhangig (Vu ~ r). Korperpunkte auf unterschiedlichen Radien legen bei jeder Umdrehung verschieden groBe Wege zuriick. Fiir alle Punkte ist aber der iiberstrichene Drehwinkel Aq) gleich groB. Deshalb hat man fiir umlaufende Teile eine vom Radius unabhangige GroBe definiert, die Winkelgeschwindigkeit CO (Omega): Die Winkelgeschwindigkeit o) eines gleichformig umlaufenden Korpers ist der Quotient aus dem tiberstiichenen Drehwinkel A^ und dem zugehdrigen Zeitabschnitt At, Alle Punkte eines rotieienden Korpers haben im gleichen Zeitpunkt gleiche Winkelgeschwindigkeit, nicht aber gleiche Umfangsgeschwindigkeit Dreht sich der Korper nicht gleichformig, dann erhalt man mit dieser Defmitionsgleichung die mittlere Winkelgeschwindigkeit co^ (Durchschnitts-Winkelgeschwindigkeit). Die Einheitfur die Winkelgeschwindigkeit w ergibt sich aus den gewahlten Einheiten fiir den Drehwinkel und dem Zeitabschnitt oder aus der gewahlten Einheit fiir die Drehzahl n. Als Einheit fiir den Drehwinkel benutzt man nicht die Einheit „Grad" (obgleich grundsatzlich moglich), sondem die Einheit „Radiant" (Kurzzeichen: rad). Wie „Umdrehung U" ist auch „Radiant rad" eine Umschreibung fiir die Zahl Eins. Statt rad/s kann man immer auch 1/s schreiben, ebenso: statt U/min auch 1/min.

}^u2 = 2Trr2 \ \ ungleiche = 2TT /- ; _ ^ Urn fangsgeschwindigkeiten, ^ well ^ ~-^ ungleiche Wege; aber gleicher Drehwinkel fur beide Punkte und damit auch gleiche Winkelgeschwindigkeit co

.^

At

Grundgleichung der gleichfdrmigen Drehbewegung

At

n

Aq) z A^

0)

rad s

= _ ^

1 s

rad 1 s

s

Beispiel: Beim ungebremsten Auslaufen braucht eine Drehspindel 60 U und 90 s bis zum Stillstand. Dann ist Aw

2KZ

2jr60

4

rad

(,)=i^ = ^s = si = s-' (t) (a,) = {2K)(n) =

rad

1

mm

mm

Umrechnungen: 23!; rad = 360'' 180^ 1 md = ^ 57,3^ Beispiel: ^r. rad ^^ 1 ft; = 90 — = 90 — s s

90 s~

4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit Aus den nun bekannten Gleichungen fiir die Umv^ = 27irn = Innrfangs- und Winkelgeschwindigkeit kann man _ Vu sofort die gegenseitige Abhangigkeit erkennen. m 1 Die Winkelgeschwindigkeit o) = Inn ist in der s s Gleichung fiir Vu = 2 jc rn enthalten.

r

(0

rad s

m

^ ^^ rad

4 Dynamik

180 Man kann den Zusammenhang zwischen Vu und o) auch zeichnerisch darstellen. Bei gleichfonniger Drehung ist n = konstant, also auch oj = 2nn = konstant, und die jeweilige Umfangsgeschwindigkeit der einzelnen Umfangspunkte hangt vom Radius r ab. Man sagt auch: Vu ist proportional r (Vu ~ r). Aus der zeichnerischen Darstellung ergibt sich, dass die Zahlenwerte der Umfangsgeschwindigkeit auf dem Einheitskreis und der Winkelgeschwindigkeit gleich groB sind.

^u3 = <^''3

Zusammenhang zwischen Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit

4.2.7.1 Zahlenwertgleichung fiir die Winkelgeschwindigkeit Da die Drehzahl n in der Technik meist in U/min = 1/min angegeben wird, fiir die Winkelgeschwindigkeit 0) aber die Einheit rad/s = 1/s iiblich ist, arbeitet man gem mit der entsprechend zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. Man erhalt die Zahlenwertgleichung fiirft>,indem man in die GroBengleichung co = 2nn die Umrechnungszahl aus 1 min = 60 s aufnimmt und die Zahlenwerte kiirzt. Mit jr/30 ?^ 1/10 erhalt man eine Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit w und Drehzahl n, mit der schnell iiberschlagig gerechnet werden kann oder genaue Rechnungen kontrolliert werden konnen (Stellenzahlkontrolle).

^ n n CO = 2n —- = K —60 30 nn ^"30

n

^ 1 s

= min~^ mm

« , . ^ = 0,l« Beispiel: V\\rn = 1500 min"' wird ,^^ rad nn n • 1500 1 0) = — = =157 — 30 30 s s n^

1500 min"' ^ o) ^ 150 s"^

4.2.8 BaugroBen und GroBen der Bewegung in Getrieben Getriebe tibertragen eine Drehbewegung von einer Antriebswelle A auf eine Abtriebswelle B, meist bei gleichzeitiger Anderung der Drehzahl n und damit auch der Winkelgeschwindigkeit co. Beim Riemengetriebe treibt ein Flach- oder Keilriemen durch Kraftschluss (nicht durch Formschluss wie beim Zahnradgetriebe) beide Scheiben mit gleicher Umfangsgeschwindigkeit

'Vu2

'u = ^u^__^^^^

I

f^ \ ^

Vul =

Vu2

Der geringfiigige Schlupf wird vemachlassigt. Beim Riemengetriebe veriialten sich Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten umgekehit wie die Scheibendiirchmesser.

^^^ B

I

vh

Riemengetriebe Vul =

InriHi Vu =

S"' Vu2

= 2nr2n2

7idin\ = Jid2n2 => «2

0)2

d\

d2 dx

d] und ^2 sind die BaugroBe n

Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die BaugroBen.

4.2 Gleichformige Drehbewegung (Kreisbewegung) Werden die beiden Scheiben aneinander gepresst, entsteht das Reibradgetriebe. Verzahnt man beide Scheiben, hat man ein Zahnradgetriebe, das die Drehbewegung durch Formschluss (Zahne) und daher schlupflos iibertragt. Hier rollen die beiden (gedachten) Teilkreise aufeinander ab (Teilkreisdurchmesser di, di). Fur den Teilkreisdurchmesser kann das Produkt aus Zahnezahl und Modul gesetzt werden. Daher konnen die Teilkreisdurchmesser d\, d2 auch durch die Zahnezahlen z\, zi ausdriickt werden. Beim Z^mradgetriebe veihalten sich die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Teilkreisdurchmesser und Zahnezahlen,

181

Zahnradgetriebe Vul = Vu2

nd\n\ nzimni

= 7id2n2 = jrz2^«2

«!

COi

d2

«2

«>2

dt

d

du ^2, zu zi sind die BaugroBen

Za

Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die BaugroBen.

Das folgende Bild zeigt die geometrischen GroBen am geradverzahnten Stimrad (ohne Profilverschiebung). Wichtigste GroBe ist der Modul m, weil alle anderen GroBen darauf bezogen werden. Sind Modul m und Zahnezahl z eines Zahnrades bekannt, konnen alle anderen Ma6e des Zahnrades berechnet werden. punktC

I

d

Kopfkreis''^>^ tg i i j '

^^

4 df

p m /

'yei\kreis\

L 1

y

\

Grundkreis r Fulikreis

a s w

K hf EL

Teilkreis-0 = mz Grundkreis-0 = dcosa Kopfkreis-0 = d -^2m FuBkreis-0 = J - 2 , 5 m Teilung = s ~\-w = nm Modul = p/n (genormt nach DIN 780 von 0,3 ••.75 mm) Eingriffswinkel (20°) Zahndicke = p/2 Liickenweite = p/2 Zahnkopfhohe = 1 m ZahnfuBh6he= 1,25 m Eingriffslinie

4.2.9 Ubersetzung i (Ubersetzungsverhaltnis) Der Begriff Ubersetzung / ist festgelegt als Verhaltnis (Quotient) von Antriebsdrehzahl Wan zu Abtriebsdrehzahl ^abDa sich die BaugroBen eines Getriebes umgekehrt wie die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten, kann man die Ubersetzung / auch mit den BaugroBen ausdriicken. Aufgaben Nr. 453-485

n\ = aj\/27i n2 = 0)2/2K

ft>2

5 ^2

0)2

Zi

182

4 Dynamik Pan = n 1

Besteht ein Zahnradgetriebe aus mehreren hintereinander geschalteten Raderpaaren, also auch aus mehreren Einzeliibersetzungen, dann lasst sich aus den Einzeliibersetzungen i\j2,h--- die Gesamtiibersetzung /ges bestimmen: Die Gesamtiibersetzung /ges ist limner das Produkt der Einzeliibersetzungen.

XI 'V

MehrfachUbersetzung

Aus der Definition fur / = «an/^ab ergibt sich: «an

/ > 1 => Ubersetzung ins „Langsame' / < 1 =^ Ubersetzung ins „SchneIle"

.

.

.

4.3 Gesetze iind Diagramme der gleichmaBig beschleunigten (veraogerten) Drehbewegiing Man versteht die Gesetze und Diagramme und auch das Verfahren zum Losen von Aufgaben der Kreisbewegung leicht, wenn man sich der entsprechenden Gesetze erinnert, die in der allgemeinen Bewegungslehre entwickelt wurden. Denn das gilt grundsatzlich auch hier, nur muss jede GroBe der allgemeinen Bewegung durch die entsprechende KreisgroBe ersetzt werden. Das nennt man den Analogieschluss.

4.3.1 Gegeniiberstellimg der allgemeinen GroBen mit den entsprechenden KreisgroBen Allgemeiae GroBe mit Definitionsgleichung Zeitabschnitt At Wegabschnitt A^ Geschwindigkeit (v = konstant)

A5 At

Geschwindigkeitsanderung Av = a At Beschleunigung (Grundgleichung)

Av "At

KreisgroBe mit Definitionsgleichung

Einheit

s m

Zeitabschnitt At

s

m s m s m

Winkelgeschwindigkeit (co = konstant)

Einheit

Drehwinkel Ag)

rad=l _ Aq) ~ At

Winkelgeschwindigkeitsanderung Aft; = a At Winkelbeschleunigung (Grundgleichung)

_ Aft> " A^

rad_ 1 s s rad_^ s s rad_ 1

V, r-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

oj, /-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

Beachte: Die Flache A unter der v-Linie entspricht dem Wegabschnitt As.

Beachte: Die Flache A unter der a>-Linie entspricht dem Drehwinkel Aq).

4.3 GleichmaBig beschleunigte (verzogerte) Drehbewegung

183

4.3.2 Winkelbeschleunigung a Bei der gleichmdfiig beschleunigten oder verzogerten Kreisbewegung muss die Anderung der Winkelgeschwindigkeit Aco konstant bleiben (Ao) = konstant), wie im allgemeinen Fall Av = konstant war (Seite 151). Die Winkelgeschwindigkeitslinie im ft>,^Diagramm muss eine ansteigende oder abfallende Gerade sein. Wird ein Korper aus der Ruhelage heraus drehend gleichmaBig beschleunigt, so dass er nach Ar = 6 s eine Momentan-Winkelgeschwindigkeit a>t = 9 rad/s besitzt, dann betragt seine WinkelgeschwindigkeitszMwa/im^ in jeder Sekunde Aw = 1,5 rad/s. Entsprechend der Beschleunigung a im allgemeinen Fall hat man fiir die Kreisbewegung die Winkelbeschleunigung a als VergleichsgroBe festgelegt:

Winkelgeschwindigkeit

1,5'-^ rad \ Winkelgeschwindigkeits^'^ ~s~ ~~^ zunahme je Sekunde Winkelbeschleunigung

2

3

4

Zeit t in s -

Winkelbeschleunigung a, dargestellt im CO, r-Diagramm Hinweis: Vergleiche das o), f-Diagramm mit dem V, r-Diagramm auf Seite 151.

_ Winkelgeschwindigkeitsaitdemng Ao) zugehoriger Zeitabschnitt At

Die Winkelbeschleunigung a eines gleichmaBig beschleunigten oder verzogerten Korpers ist der Quotient aus der Winkelgeschwindigkeitsom/erung Am und dem zugehorigen Zeitabschnitt At, Die Winkelbeschleunigung ist ein Vektor. Vergleiche diese Definition mit Seite 151. Die Einheit der Winkelbeschleunigung a ergibt sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung fiir die GroBe, hier also „Radiant je Sekundequadrat" (beachte: rad = 1 ) .

nach 6 s

a

Am

rad

At

Aft)

1

rad s

1 s

s

Grundgleichung der gleichmdfiig beschleunigten (verzogerten) Kreisbewegung rad [0J)_ rad 1

(«)

(t)

4.3.3 Der Drehwinkel im o , ^Diagramm Es muss noch nachgewiesen werden, dass fiir den Drehwinkel Acp im ft>,^Diagramm das Gleiche gilt wie fiir den Wegabschnitt A^ im v, r-Diagramm (vergleiche mit Seite 152). Die Winkelgeschwindigkeit CD andert sich von a>o = 0 am Anfang auf a>[ am Ende des Zeitabschnittes At. Weil die Winkelgeschwindigkeitsanderung konstant ist, ergibt sich die mittlere Winkelgeschwindigkeit zu a>m = (<^o + <^t)/2 und der iiberstrichene Drehwinkel zu Acp = CD^At = oj[ At/2. Das entspricht dem Flacheninhalt der Dreieckflache unter der a>-Linie.

0)0 = 0

Mittlere Winkelgeschwindigkeit ft>ni

184

In jedem cy,r-Diagrainm entspricht die Hache A unter der Winkelgeschwmdigkeitslinie dem iiberstrichenen CtehwiEkel A^ (A = A^?).

4 Dynamik

Flache A = Drehwinkel A^ Gilt fur jede Drehbewegung

4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aj Wird ein Korper drehend mit der Winkelbeschleunigung a bewegt, werden alle Korperpunkte in jedem Augenblick in Richtung der Tangente mit der Tangentialbeschleunigung aj beschleunigt. Wie jede Beschleunigung ist auch aj ein Verhaltnis von Geschwindigkeitsanderung und Zeitabschnitt. Hier handelt es sich um die Zunahme der Umfangsgeschwindigkeit Avu = Aco r. Damit ist uber aj = Av^/At = Ao; r/At = ar die Verbindung zwischen Tangential- und KreisgroBe hergestellt. Das wurde auch schon fiir Vu und co nachgewiesen (Seite 179, 4.2.7).

aT = ocr

Tangente^

Zusammenhang zwischen TangentialgroBen und KreisgroBen aj

TangentialgroBen (Umfangsgeschwmdigkeit Vu und Tangentialbeschleunigung ^T) eigeben sich aus den KreisgroBen durch Multiplikation mit dem Radius K

=

Avu At

Ao) r At

m

ar = ar

r

a

aj

rad

1

m

4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung (vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) C9,/-Diagramm aufzeichnen Man priift, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigendeft>-Linie)oder verzogert ist (fallende co-Linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verlauft. Danach skizziert man das co, r-Diagramm (unmaBstablich). Als Beispiel wird eine gleichmaBig beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangs-Winkelgeschwindigkeit (CDQ 7^ 0) betrachtet.

LSchritt 0)

3

orUSiS--

<

A^^^^S^^t

3

0

At

3

t

185

4.3 GleichmaBig beschleunigte (verzogerte) Drehbewegung G n i n d g l e i c h u n g hinschreiben Aa> "~Kt

Ausgangsgleichung ist immer die DefinitionsgleiAw/At. chung fur die Winkelbeschleunigung a =

Drehwinkelgleichungen hinschreiben Es ist bekannt, dass die Flache A unter der a>-Linie dem uberstrichenen Drehwinkel A^ entspricht. Je nach Flachenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen mit Aq), zunachst ohne Rucksicht darauf, ob fiir die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht werden. In der Praxis werden haufig alle GroBen der Bewegung verlangt.

Gleichungen auswerten Gnindgleichung und Drehwinkelgleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es geniigen dann meistens die Gnindgleichung und eine der Drehwinkelgleichungen zur Losung. Angenommen es ist die Funktionsgleichung At =f{(Oo,a,A(p) gesucht. Dann sind COQ, a, Acp gegebene GroBen. Der Zeitabschnitt At ist die gesuchte GroBe. Wird die Gleichsetzungsmethode benutzt, kann man sowohl die Gnindgleichung als auch die erste Drehwinkelgleichung nach cOi auflosen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erhalt man hier eine gemischtquadratische Gleichung(siehe Tabelle 4.3). Die analoge Gleichung wurde in 4.1.5 (Seite 153) entwickelt.

COt-OJQ

a)o-\-a)t Acp - — ^ ^ — At

3. Schiitt

(Trapezflache) Acp =ft>oAf +

Ao) At

Ao)

= COi —

(OQ

(Rechteckflache + Dreieckflache) ^ AwAt . Acp = coxAt — ; Ao; = a>t - <^o (Rechteckflache - Dreieckflache)

4. Schiitt Hinweis: Losung nach dem Einsetzungsoder Gleichsetzungsverfahren. coi = 0)0 -\- a At

At

(Gnindgleichung) Acp --

lAcp Ar =^ a>t = —. ~ ' "^ At

2

ft>o

(erste Drehwinkelgleichung) 2 Acp At

(jjQ + aAt

= - ^ ^ — CDQ

2 Acp At

2ft>o -\- oiAt -

a

At

Ar a a

a

Aufgal^n Nn 4^-493

2. Schiitt

At

=f{a)o,a,Acp)

V\a/

a

4 Dynamik

186 Tabelle 4.3 GleichmaBig beschleunigte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden (0, /-Diagramme.

(0

1 -#^ X

^

3

3

(ot At

Aip-—"2—^

1 At

Einheiten A^

At

Q}Q,a)t

rad

s

rad s

a

r

Vu

aj

tad m 12"

m s

m

Winkelbeschleunigung a (Definition) Winkelbeschleunigung a (beift^o= 0)

Beschleunigte Kreisbewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (COQ = 0)

^T-T—;—r^—I

Zeitabschnitt At ft^t

2 A(^

^~At'~2A(p~'

ft>t

(Atf

ft^t —

COQ

0)^

— COQ^

lAcp

At

Tangentialbeschleunigung ori

Aw Avu a^ = ar = —— r = —— At At

Endwinkelgeschwindigkeit (Oi (bei o)Q = 0)

0),

Endwinkelgeschwindigkeit ft>t (beift^o7^ 0)

ft>t = ft>o + Aft; = ft>o + a Ar

Drehwinkel Ao^ 0)

Zeitabschnitt At (bei (OQ = 0) Zeitabschnitt At (beift^o^ 0)

Af

0

= aAt = \fla~Acp

o)x = Vft^o^+ 2a Acp ft>t At _ a(Ar)^ _ ft>t^ 2 ^ 2 "2a

Ag) =

Acp =

ft>o + c^t.^ a(AO At = a)oAt + — - —

Aq) =

(Ot

2

2 - (Op

2a 12 Aq) V a

ft>t a

a

a

/{?)'-^

t

Beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangsgeschwindigkeit {(OQ ^ 0)

Winkelgeschwindigkeitszunahme Aft; . rad « =

Winkelbeschleunigung a (beift^o7^ 0)

Drehwinkel Acp (beift>o= 0)

t

1"

-T

s^

4.3 GleichmaBig beschleunigte (verzogerte) Drehbewegung

187

Tabelle 4.4 GleichmaBig verzogerte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden 0), /-Diagramme.

Verzogerte Kreisbewegung ohne Endgeschwindigkeit {(Ot = 0)

Einheiten A^ tad

At

Q)Q, (at

s

rad

a md

s

r

Vu ax

m

m s

Winkelverzogerung a (Definition)

m

a =

Winkelgeschwindigkeitsabnahme Aa> . rad -———-—— in —rZeitabschnitt At s^

Winkelverzogerung a (bei coi = 0)

"At~2Aq)~

Winkelverzogerung a (bei coi i- 0)

At

Tangentialverzogerung a-x

Anfangswinkelgeschwindigkeit (OQ (bei (Dt = 0)

Endwinkelgeschwindigkeit Wi

(Do

Drehwinkel Acp (bei cOt 7^ 0)

Zeitabschnitt At (bei 0)^ ^ 0)

(Atf

~

lAcp

0)0 = a At = yjla Acp

<ji)[ = <J)Q — Ao) —

COQ

— a At

(Dx = y/ojQ^ - la Acp ft^o At

a(A/)^

Acp = -^—A(p ••

Zeitabschnitt At (bei cOt = 0)

2 Acp

(DQ^

Ad) Avu aj = ar = —— r = —— At At

Drehwinkel Aq) (bei a)t = 0)

Verzogerte Kreisbewegung mit Endgeschwindigkeit (cot ^ 0)

(D^

At = 0)0 At

^—^

^t^

(^0^ -

2a

a

V

a

a

a

/©'-^

4 Dynamik

188

44 Dyiiamik der geradlMgen Bewegimg (1^^^ 4.4.1 Das Tragheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton'sches Axiom Nach den Gesetzen des freien Falls und der Bewegung der Korper auf der schiefen Ebene fand Galilei das Tragheits- oder Beharrungsgesetz, das spater von Newton formuliert wurde:

Galileo Galilei, ital. Mathematiker und Physiker, 1564-1642. Isaac Newton, engl. Physiker, Begriinder der Mechanik, 1642-1726

Jeder Korper behairt im Zustaad der Ruhe (v = 0) Oder der gleichfdnnigen geradlinigen Bewegung (v = konstant), solange keine resultierende Kraft auf Sm einwiikt. IMese KorpereigeEschaft heiBt TrSgheit oder Beharnmgsvenndgeii,

Beachte: Auch die Umkehrung gilt: Wirkt keine resultierende Kraft, dann ist auch V = 0 oder v = konstant. Ruhezustand und gleichformig geradlinige Bewegung sind gleichwertig. In beiden Fallen wirkt keine resultierende Kraft (Betonung auf ,/esultierende" Kraft).

Galilei leitete das Tragheitsgesetz gedanklich von seinen Erkenntnissen bei den Bewegungsvorgangen auf der schiefen Ebene ab: Aus der Hohe h roUt der Korper K von A nach O reibungsfrei herab. Bei O angekommen, hat er eine bestimmte Geschwindigkeit (v = yjlgh). Leitet man den Korper von O aus auf die verschieden geneigten Bahnen OB oder OC, so wird er wieder genau bis zur Hohe h emporsteigen.

Bleibt der Korper jedoch auf der horizontalen Bahn OD, wirkt jetzt keine zur Bahn parallele Komponente der Gewichtskraft auf ihn. Dann ist 2 F = 0, d. h. die Gewichtskraft FQ ist gleich der Stiitzkraft FN (Normalkraft). Wegen 2 F = 0 und damit Fres = 0 muss der Korper mit konstanter Geschwindigkeit v auf seiner horizontalen Bahn geradlinig in Bewegung bleiben.

^^^^^^^^^^^zm^. Tragheitsgesetz

v = konstant

Beachte: Ist die Summe aller Krafte gleich null (SF = 0), dann heiBt das auch, dass keine resultierende Kraftwirkung vorhanden ist, also Fres = 0.

189

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Die Zustande „Ruhe" und „gleichfomiig geradlinige Bewegung" heiBen auch „Gleichgewichtszustande" des Korpers, weil keine resultierende Kraft auf den Korper wirkt: Ein K5rper beiii
Beispiel: Ein Korper, der mit v = konstant eine schiefe Ebene abwarts gleitet, ist genauso „im Gleichgewicht" wie der auf horizontaler Ebene ruhende Korper: v=0 FR = FNII

Fres = 0

Man kann den vorstehenden Satz auch umkehren und sagen: Es wiikt inima- dann eine resultierende Kraft Fjes auf einen Kckper, wenn sich sein Bewegungszustand (Ruhe odar gleichformig geradlinige Bewegung) indert: Die resultierende Kraft F^s ist die Ursache jeder Bewegimgi^mfe/wig (nach Betrag und Richtung),

Eine Bewegungsan^^rMng liegt nicht nur dann vor, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit andert (v ^ konstant), sondem auch dann, wenn sich ihre Richtung andert, wie bei der gleichformigen Bewegung eines Korpers auf der Kreisbahn (siehe FHehkraft 4.9.7).

Man findet auf der Erde keine Moglichkeit, einen Korper ohne auBere Kraftwirkung in gleichfomiiger Bewegung zu halten, weil niemals die Reibungswiderstande der Bewegung (Unterlage, Wasser, Luft) ausgeschaltet werden konnen. Dadurch kommt jeder Korper, der sich bewegt, friiher oder spater zur Ruhe, wenn die Triebkraft fehlt, z. B. auch eine Stahlkugel, die uber die Eisflache eines Sees gestoBen wird. Rollwiderstand und Luftreibung ergeben hier eine bewegungsandemde resultierende Kraftwirkung, durch die die Kugel verzogert wird.

4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte Aus der Erfahrung weiB man, dass der Tragheitswiderstand eines Korpers umso groBer ist, je mehr Materie er enthalt. Umso groBer muss auch die resultierende Kraft Fres sein, wenn sein Bewegungszustand geandert werden soil.

Beispiel: Das Beschleunigen (oder Abbremsen) eines Giiterwagens erfordert eine erheblich groBere resultierende Kraft als die gleiche Bewegungsanderung eines Fahrrades. Gleiche Bewegungsanderung heiBt hier gleiche Beschleunigung a.

4 Dynamik

190 Als ein Ma6 fur die Menge an Materie (z. B. Luftmenge, Wassermenge, Stahlmenge) wurde die Masse m eingefiihrt. Sie ist damit auch zugleich ein Ma6 fiir die Tragkeit des Korpers. Die gesetzliche und Internationale Einheit der Masse m hi das Kilogranun (kg). 1 Gramm (g) = 10"^ kg; 1000 g = 1 kg 1 Tonne (t) = 10^ kg; 1000 kg = 11 Jeder Korper auf der Erde oder auf einem anderen Planeten unterliegt der Schwerkraft (Massenanziehungskraft). Diese Kraft nennt man Gewichtskraft (Formelzeichen: FQ). Sie kann mit der Federwaage am frei aufgehangten Korper gemessen werden. Die Masse m eines Korpers und seine Gewichtskraft FG sind zwei physikalische GroBen verschiedener Art, man darf sie nicht miteinander verwechseln. Daher sollen beide GroBen noch klarer voneinander abgegrenzt werden: Ein z. B. 1-kg-Wagestuck (man sollte nicht Gewichtsstiick sagen) behalt uberall auf der Erde — auch auf anderen Planeten — seine Materiemenge und damit auch die gleiche Tragheit. Dagegen andert sich die Gewichtskraft FG des Wagestiickes von der Masse m = 1 kg bei jedem Ortswechsel. Das hegt an der Fallbeschleunigung g, die sich mit dem Ort andert. Beispielsweise ist die Gewichtskraft des Kilogrammstiickes auf der Sonnenoberflache etwa 28mal so gro6 wie auf der Erde, wahrend sie auf dem Mond nur etwa 1/6 der Erd-Gewichtskraft betragt. Auch auf der Erde selbst bleibt die Gewichtskraft FG eines Korpers nicht uberall gleich groB, weil sich die Fallbeschleunigung g bis zu 0,5% andert, wenn man sie einmal an den Polen und zum anderen am Aquator misst. Zu intemationalen Vergleichen hat man eine Normfallbeschleunigung gn festgelegt. Die zur Normfallbeschleunigung gehorende Gewichtskraft heiBt Normgewichtskraft Fcn-

Beachte: Viel Materie = groBe Masse m — groBe Tragheit. Wenig Materie = kleine Masse m = kleine Tragheit. Die Masse kann durch Wagung mit der Hebelwaage gemessen werden. Als gesetzliche Basiseinheit wurde dazu das Kilogramm (kg) eingefiihrt, dessen intemationaler Kilogramm-Prototyp (ein Platin-Iridiumzylinder) im Intemationalen Biiro fiir MaBe und Gewichte in Paris aufbewahrt wird. In DIN 1304 (Allgemeine Formelzeichen) wird FG als Formelzeichen fiir die Gewichtskraft empfohlen.

Ein Korper hat viele physikalische Eigenschaften. Sie werden durch GroBen verschiedener Art beschrieben, z. B. die Temperatur T, die Warmeleitfahigkeit X, und auch die Masse m und die Gewichtskraft FQ.

Gewichtskraft

FQ^^ION

Gewichtskraft FQ = 280 N

Die Gewichtskraft FQ andert sich mit dem Ort, die Masse m dagegen bleibt uberall dieselbe. Hinweis: Den formalen Zusammenhang zwischen Masse m, Gewichtskraft FG und Fallbeschleunigung g zeigt das dynamische Grundgesetz fiir Gewichtskrafte auf Seite 192unten. Beispiele: Normfallbeschleunigung (international festgelegt): gn = 9,80665 m/s^ Fallbeschleunigung in Aquatomahe ga = 9,78049 m/s2 Fallbeschleunigung in Polnahe gp = 9,83221 m/s^

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

Die Masse m eines Korpers ist cine unveranderliche GroBe, sie wird in kg gemessen. Die Masse ist ein Skalar. Die Gewichtskraft FQ eines Korpers ist eine vom Ort abhangige Gr56e, sie wird in Newton (N) gemessen (siehe 4.4.4). Die Gewichtskraft ist (wie jede Kraft) ein Vektor. Die Aussage von der Unveranderlichkeit der Masse m eines Korpers gilt uneingeschrankt nur in der klassischen Mechanik. Das ist der Bereich fiir Geschwindigkeiten v, die wesentlich kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit c — 300 000 km/s. In der relativistischen Mechanik mit Geschwindigkeiten V in der GroBenordnung der Lichtgeschwindigkeit c ist die Masse m eines Korpers abhangig vom Geschwindigkeitsverhaltnis vie. Solche Falle treten in der Technik nicht auf.

191

Beispiel: Fiir einen Korper von der Masse m = 1 kg (z. B. das l-kg-Wagestiick) wird mit der Federwaage die Gewichtskraft FQ = 9,81 N festgestellt: In Erdnahe verhalten sich die Zahlenwerte der Masse m in kg und der Gewichtskraft FQ in Netwa wie 1:10. Beachte: Masse m und Gewichtskraft FG sind GroBen verschiedener Art. Die relativistische Mechanik geht auf Einsteins Relativitatstheorie zuriick. Hier gilt fiir die Masse m eines Korpers:

©

Beispiel: Fiir einen Korper mit der Masse m = 1000 kg und der Geschwindigkeit V = 0,9 • c wird die Masse

1 -

Die Dichte Q einer Materie ist der Quotient aus der Masse m und dem zugehorigen Volumen V. Die Einheit der Dichte ist daher auch der Quotient aus einer Masseneinheit und einer Volumeneinheit. Neben der Einheit kg/m^ sind fiir die Dichte auch alle Einheiten zulassig, die als Quotient aus einer zulassigen Masseneinheit und einer zulassigen Volumeneinheit gebildet werden.

mo Ruhemasse V Geschwindigkeit des Korpers c Lichtgeschwindigkeit

mo

1000 kg :2294 kg 0,436

mo 0,9 • c

Dichte Q =

Masse m Volumen F Q

^ = V

kg m3

m

V

kg

m'

kg kg g Beispiele: —r; —f, —r dm cm^ cm^

4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton'sches Axiom Nach dem Tragheitsgesetz wird ein Korper dann beschleunigt, verzogert oder zu einer Richtungsanderung gezwungen, wenn auf ihn eine resultierende Kraft Fres wirkt, d. h. wenn sich bei der zeichnerischen oder rechnerischen Zusammenfassung aller auBeren Krafte (Kraftereduktion) eine resultierende Kraft Fres ergibt.

Zugkraft)

FR

^F,^0;

= F/\jli (Reibkraft)

F^ = F,--Ffj

Krafteplar Lageskizze = F, FR Der Korper wird durch Fres (Zugkraft minus Reibkraft) in horizont aler Richtung beschleunigt.

4 Dynamik

192 Newton entdeckte, dass der Betrag der resultierenden Kraft Fres von der Masse m des Korpers und von der Beschleunigung a (oder Verzogerung a) abhangt. Jeder Versuch bestatigt dieses wichtigste Gesetz der Dynamik:

Die auf einen Koiper von der Masse m einwirkende konstante resullierende Kraft Fres ist gleich dem Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung (Verzogerung) a des Korpers.

Die drei Newton'schen Axiome: Tragheitsgesetz, Dynamisches Grundgesetz, Wechselwirkungsgesetz (actio gleich reactio).

BeschleuniresuMerende = Masse m • gang a KraftFi«s

Dynamisches Grundgesetz

N =

kgm

kg

Die Krafteinheit N (Newton) wird im folgenden Abschnitt 4.4.4 erlautert.

Man erkennt, dass das Tragheitsgesetz (erstes Newton'sches Axiom) im dynamischen Grundgesetz enthalten ist, denn fiir Fres = 0 ist auch a = 0, d. h. der Korper wird weder beschleunigt noch verzogert.

Hinweis: Ist ein Produkt gleich null, dann muss einer der Faktoren null sein; bei Fres = ma = 0 kann nur a = 0 sein, weil m = 0 nicht moglich ist. Bei a = 0 ruht der Korper oder er bewegt sich geradlinig gleichformig (v = konstant). Beide Zustande sind gleichwertig.

DcT frei fallende Korper wird mit der Fallbeschleunigung g in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt (beim senkrechten Wurf entsprechend verzogert). Die auf den Korper einwirkende resultierende Kraft ist die Gewichtskraft FG = Fres- Damit kann die Gewichtskraft FG eines Korpers aus seiner Masse m (auf der Hebelwaage gewogen) und der ortlichen Fallbeschleunigung g bestimmt werden. Vielfach kann man mit g = 10 m/s^ rechnen. In diesem Buch und in der Aufgabensammlung wurde mit g = 9,81 m/s^ gerechnet.

Fiir Fres wird die Gewichtskraft FQ und fiir die Beschleunigung a die Fallbeschleunigung g in das dynamische Grundgesetz eingesetzt:

Die Normgewichtskraft FQ^ ist das Produkt aus der Masse m und der Normfallbeschleunigung gn (siehe Seite 190).

CkwichtsFallbeschleunikraftFo "=^^^^*guiig^ FG=^mg

FG

Dynamisches N = Grundgesetz fur Gewichtskrdfte

FGO = ntgn

kgm

kg

Normgewichtskraft

193

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 4.4.4 Die gesetzliche und Internationale Einheit fiir die Kraft Die Einheit einer physikalischen GroBe erhalt man immer uber die Definitionsgleichung fiir die jeweilige GroBe. Fiir die Kraft F ist die Definitionsgleichung das dynamische Grundgesetz Fres = ma. Die Einheit der Masse m ist gesetzlich und international als die Basiseinheit „Kilogramm kg" festgelegt worden. Die Einheit fur die Beschleunigung a liegt ebenfalls mit „Meter je Sekundequadrat m/s^" fest. Also muss die Krafteinheit das Produkt dieser beiden Einheiten sein: 1 Newton (N) ist diejenige resultierende Kraft, die einem Kdip^ von der Masse m = 1 kg die Beschleiinigung a — 1 m/s^ erteilt

(F) = (m) • {a) (F) = kg • — = kg m s ^ = Newton (N)

1N=1

kgm

1 kg m s""

Die Form kg m s"^ wird als „Potenzprodukt von Basiseinheiten" bezeichnet, hier der Basiseinheiten kg, m, s (Kilogramm, Meter, Sekunde).

Zur Veranschaulichung: Hangt man eine 100-g-Tafel Schokolade an einem Faden auf, dann betragt die Zugkraft im Faden etwa 1 Newton. Als Krafteinheit ist das Newton natiirlich auch die Einheit der Gewichtskraft FQ.

4.4.5 Ubungen zum dynamischen Grundgesetz 1. iJbung: Ein Mann stellt sich auf die Waage. Der Zeiger bleibt bei 75 kg stehen. Welche physikalische Bedeutung hat diese Anzeige?

Der Mann besitzt die Masse m = 75 kg und damit die Normgewichtskraft: Fon = mg, = 75 kg • 9,80665 ^ FGU = 735,5

2. Ubung: An einem Kranhaken hangt ein Korper von der Masse m = 2000 kg. Er soil beim Heben mit 0,3 m/s^ beschleunigt werden. Welche Zugkraft Fz hat das Seil aufzunehmen?

kgm

: 735,5 N

Gegeben: m = 2000 kg fl = 0,3 ^

s^

Gesucht: Seilkraft Fz

Losung: Man zeichnet die Lageskizze (Korper freigemacht). Beschleunigung a und Geschwindigkeit V werden in Klanmiem eingetragen, um sie deutlich von den Kraften zu unterscheiden. Dann zeichnet man die Krafteskizze. Aus der Statik ist bekannt, dass die Resultierende vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E der auBeren Krafte zeigt (statischer Teil der Aufgabe): Im ersleB Schritt vej:schaift man sich am freigemachten Kdiper Klartieit liber den Richtungssimi der msolliereiiden Kraft Fj^s.

LSchritI Af.

lit Lageskizze

F^ A6

Krafteskizze

Hinweis: Als positiven Richtungssinn legt man den Richtungssinn von Fres fest, weil dann a immer positiv wird: ^res = F^-FG=F^-mg

4 Dynamik

194 Nachdem man die Beziehung fiir die resultierende Kraft Fres gefunden hat, setzt man sie in die Gleichung fiir das dynamische Grundgesetz ein (kinetischer Tail der Aufgabe):

2. Schritt

Im zweiten Schritt setzt man F^s niit dem Produkt ma gleich; bei mehreren Teilkorpem gleicher Beschleunigung muss die Gesamtmasse m^s eingesetzt werden. In manchen Aufgaben ist die Beschleunigung a nicht direkt gegeben, sondem muss erst aus anderen GroBen bestimmt werden (kinematischer Teil der Aufgabe): Im dritten Schritt ermittelt man nach 4.1.5 (Seite 151) eine Beziehung fur die Beschleunigung a, wenn sie nicht schon gegeben ist. Zum Schluss braucht man nur noch alle statischen, kinetischen und kinematischen Losungsansatze algebraisch auszuwerten: Im vierten Schritt bestimmt man aus den entwickelten Gleichungen die unbekannten Gro8en nach den mathematischen Gesetzen. 3. Ubung: Ein Kraftfahrzeug von der Masse m = 1000 kg soil auf horizontaler Bahn auf einer Strecke von 100 m bis zum Stillstand abgebremst werden. Die Geschwindigkeit betragt 72 km/h, der Fahrwiderstand (Summe aller Reibungswiderstande) des Fahrzeugs betragt F^ = 500 N. Zu bestimmen ist die Bremskraft Fb. Losung: Man fertigt als Erstes wieder die Skizze des freigemachten Korpers an (Lageskizze): Gewichtskraft FQ und Normalkraft FN wirken in y-Richtung (2!Fy = 0). In x-Richtung hat man Bremskraft Fb und Fahrwiderstand Fw nach links wirkend einzutragen. Man nimmt an, dass sich das Fahrzeug von links nach rechts bewegt. Die Verzogerung a ist dann nach links gerichtet, ebenso wie die resultierende Kraft Fres, die sich nach der Krafteskizze als Summe von Fb und F^ ergeben muss (2IFx / 0). Das Ergebnis des ersten Schrittes ist also Fres = Fb + Fw

3. Schritt

In der vorliegenden Aufgabe ist die Beschleunigung a = 0,3 m/s^ schon bekannt.

Fres = ma = F^-mg

4, Schritt

Fj^= ma + mg = m{a + g) Fz = 2000 kg • fo,3 ^ + 9,81 ^ ) Fz = 20 220 ^ ^ = 20,22 kN s^ Gegeben: m = 1000 kg ^s = 100 m „^ km 72 m ^^ m V =72— = — - = 20h 3,6 s s Fw = 500 N Gesucht: F\y (Bremskraft)

1. Schritt

Fres = Fb + Fw . Fres - Fb+ Fy^

77777^

IFN

I

^tv Ft, TA FN

FG

%VI

^F^^O;Fres = Ft, + F^ ^Fy = 0=FN-FQ

Lageskizze

Krafteskizze (zwei Moglichkeiten gezeichnet)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Im zweiten Schritt wird wieder Fres und das Produkt ma gleichgesetzt. Im dritten Schritt hat man hier die Beschleunigung a zu bestimmen (kinematischer Losungsteil). Dazu benutzt man den schon bekannten Losungsplan nach 4.1.5, Seite 153, der hier verkiirzt wiedergegeben wird: v, ^Diagramm, Grundgleichung, Weggleichung, Auswertung der Gleichungen {a = v^/2 A^). Es kann die gefundene Gleichung fur a in die weitere Rechnung ubemommen werden Oder es wird der Betrag berechnet. Im letzten Schritt wertet man die entwickelten Gleichungen aus und stellt die Gleichung Fb =/(m, V, A5,Fw) auf, mit der man dann noch den Betrag der Bremskraft berechnet. Vor dem Rechnen sollte man immer wieder priifen, ob die Einheiten „stimmen": Da rechts vom Gleichheitszeichen zwei Glieder stehen, miissen beide die gleiche Einheit fiihren. Das erste Glied hat die Einheit kg m/s^ = N, die gleiche Einheit wie das zweite Glied.

195 ^ Fb + Fw Av

A7~ ^s =

vAr

V2

2 A5

Schritt

— ^ Ar = Ar < _

V V —

2

a 2

_^ la

3. Schritt

J-?)". 2 • 100 m

= 2-

Fb + Fw

4. Schritt

Fb-

2^s

Fb^ Fb

2A5

Fw

=f(m,v,As,Fy,) 1000 k g - 4 0 0 ; 2•100 m

- 5 0 0 N = 1500 N

4.4.6 Prinzip von d'Alembert Das d'Alembert'sche Prinzip fuhrt zu einem Losungsverfahren fur Dynamikaufgaben, das die meisten Techniker dem Ansatz des dynamischen Grundgesetzes vorziehen, weil es auch komplizierteste Aufgaben durchsichtig macht. Der Grundgedanke des d'Alembert'schen Prinzips ist leicht zu erfassen, wenn noch einmal die Krafteskizzen zu den beiden letzten (Jbungen betrachtet werden. In beiden Fallen erhalt man sofort einen geschlossenen Kraftezug, wenn man nur den Richtungssinn der resultierenden Kraft Fres umkehrt. Das ist der Kunstgriff, der die Moglichkeit schafft, die zeichnerischen und rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf Dynamikaufgaben anzuwenden. Kurz gesagt: Aus der Dynamikaufgabe wird eine Statikaufgabe gemacht. Man mochte nun noch nachweisen, dass der Richtungssinn von Fres umgekehrt werden darf und welche Bedeutung das hat.

d'Alembert, franzosischer Gelehrter, 1717-1783. Beachte: Auch das Prinzip von d'Alembert beruht auf dem dynamischen Grundgesetz.

\^.

oo

0

A Fres

I

FN

AO

® \:^^JiJ'^ A=E

®

®

FN

® a) Krafteplane zum dynamischen Grundgesetz b) Krafteplane zum d'Alembert'schen Prinzip (geschlossen)

4 Dynamik

196 Nach dem dynamischen Grundgesetz wird jeder Korper in Pfeilrichtung der resultierenden Kraft beschleunigt. Fres ist also ausschlieBlich dazu erforderlich, die dem Korper innewohnende Tragheit zu iiberwinden. Die Tragheit auBert sich als eine Kraft, die sich der Beschleunigung widersetzt. Diese Tragheitskraft T ist immer genauso gro6 wie Fres, aber von entgegengesetztem Richtungssinn. Wachst Fres (Beschleunigung a wird groBer), dann wachst in gleichem MaB auch die Tragheitskraft F, denn Fres ist nur deshalb aufzubringen, weil T vorhanden ist und umgekehrt.

Weil beide Krafte Fres und T immer gleich groB sind, auf gleicher Wirklinie liegen und entgegengesetzten Richtungssinn haben, muss ihre geometrische Summe gleich null sein.

Da der Betrag von Fres nach dem dynamischen Grundgesetz gleich ma ist, darf man auch fur die Tragheitskraft T—ma setzen.

)

Fms = rna

A=E T = ma

Hinweis: Man wahlt fiir die Tragheitskraft das Zeichen T, weil es sich nicht um eine auBere Kraft handelt: Der Korper bringt sie „aus sich heraus" hervor. Die Tragheitskraft Twird durch die Masse m des Korpers hervorgerufen, daher wird sie immer im Korperschwerpunkt S angetragen.

/^-r = o

Tragheitskraft T — ma

Resultierende Kraft Fres und Beschleunigung a (Verzogerung) haben immer gleichen Richtungssinn. Die Tragheitskraft T wirkt der resultierenden Kraft Fres entgegen. Folglich gilt auch: Die Tragheitskraft T ist immer der Beschleunigung a (oder Verzogotmg a) entgegengesetzt gerichtet

1st der Richtungssinn der Beschleunigung a (Verzogerung) bekannt, kennt man auch den Richtungssinn von T=ma: entgegengesetzt 711 an ZU

Werden jetzt noch einmal die beiden Krafteplane betrachtet, dann erkennt man mit d'Alembert: Wttd ein Korper beschleunigt (verzogert), so kann man durch Einfilhrung der Tragheitskraft T=ma Wat den Kckper die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzen» um damit unbekannte Gr56en zu bestimmen.

Beachte: Mit Hilfe des Prinzips von d'Alembert wird aus einer „Ungleichgewichtsaufgabe" eine „Gleichgewichtsaufgabe", die nach den Gesetzen der Statik zeichnerisch oder rechnerisch gelost werden kann.

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

197

4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d'Alembert Koipear fieim^hen (Lageskizze)

l.Schritt

Beschleumgimgsrichtung eintragen

2. Schritt

TmgheitskraJEt T^ma entgegengesetzt zum Richtungssinn der Beschleunigimg eintragen (im Schwerpunkt angreifend) Gleichgewichtsbedingungen der Statik unter Einschluss der Tragheitskraft T ansetzen oder zeichnerische Verfahren anwenden

3. Schritt 4. Schritt

Wie beim Losen von Aufgaben nach dem dynamischen Grundgesetz kann es erforderlich sein, zusatzUch nach dem Losungsplan 4.1.5 (Seite 153) die Beschleunigung (Verzogerung) a zu bestimmen. Aufgaben Nr. 495-514 4.4.8 Ubungen zum Prinzip von d'Alembert 1. Ubung: Wie groB muss die Anzugskraft F des Lastseiles sein, wenn eine Last von der Masse m — 1000 kg mit der Beschleunigung a = 1,6 m/s^ nach oben befordert werden soil?

Gegeben:

m = 1000 kg

Gesucht:

F = / ( m , a, g)

Losung: Am Lastschwerpunkt greifen zwei auBere Krafte an: Die Anzugskraft F im Seil und die Gewichtskraft FQ. Im zweiten und dritten Schritt hat man nur darauf zu achten, dass Tragheitskraft T und Beschleunigung a immer entgegengesetzten Richtungssinn erhalten. Im vierten Schritt konnen entweder die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzt werden, hier also 2Fy = 0, oder es wird das geschlossene Krafteck zur zeichnerischen Losung entwickelt. Hier wird die Funktionsgleichung F =f{m,a,g) aus der rechnerischen Gleichgewichtsbedingung 2Fy = 0 gewonnen und die zeichnerische Losung skizziert.

L Schritt t i

Lageskizze der freigemachten Last

JT= ma

2. Schritt 3. Schritt

4. Schritt 2Fy - 0 - F F - F G - T

FG

- r

= 0

A = E<

F — mg — ma = 0 F= F

m{g-\-a)

=f{m,a,g)

F= 1000 kg(9,81 + 1 , 6 )

T = ma\

11,41 kN

198

4 Dynamik

Lehrbeispiel: Pr'mzip von d'Alembert Aufgat^nsteitung: E'm Lkw fahrt mit v-60 km/h. Er ist mit einem Kesset beladen, der nur gegen seitfhhes BoHen gesichert ist Reibzahien zwischen Kessei und Lkw: fJi0=O,3; f4 = 0,2S; Masse des Kessels m= 8000 kg.

a) Welcher kurzeste Bremsweg ist mogfich, ohne dass die Last ins Rutschen kommt?

Losung: Soli kein Butsctien auftreten, so muss unter Berucksichtigung der fragheitskraftTsein: EFy = 0 = FN-FG; FN--FG ZFx = 0 = -FRO max + T; FRO max = T = ma FRO max = F/v/i^ = FQ^O = f^9f^o FROmax-F^fiQ FG = mg

Lageskizze

. FRO max _ fTigfiQ

= figg = 0,3' 9,81 -J = 2,943 - j

Dem Weg As entspricht im v, t-Diagramm eine Dreieckflache. Damit erhait man die Weggieictiung As=v At/2, in die aus der Grundgleichung fut den Zeitat>schnitt At ~ v/a eingesetzt wird: vAt As = —;r-; 2

V V . a = —- ^ Af = - eingesetzt At a

V

Av_ V At' Af vAt AS=:-

As = - ^ = — 2 2a (60 mV _ \3,6 s) =^ 47,193 m As = 2 2,943 -^

Der Bremsweg darfnicfit kleiner als 47,193 m sein. b) Der Lkw wird gieictimaBig gebremst und kommt nacii 25 m zum Steiien, Wie gro& ist die Kraft F, die der Kessei auf die Stirnwand ausubt?

Losung:

At'

2 As

vAt ^^ 2 As eingeseUt As = —^ =» At: \3,6 2'25

s) m

'

s^

- ^Gr PN = FG == mg ZFX =

0=T-F-FR

F = T — FR = ma - F^fi F = ma- mgfi - m(a - gfi) kgm m F = 8000 kg {5,556 - 9,81 • 0,25) ^ = 24 828 F = 24824 N^ 24,8 kN Lageskizze

Die Kraft auf die Stirnwand betragt 24,8 kN,

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 2. Ubung: Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel a = 30° zur Horizontalen liegt ein Korper von der Masse m\. Uber Sell und Rolle ist er mit einem zweiten Korper von der Masse m2=l,5mi verbunden. Die Reibzahl betragt ju = 0,2. Rolle und Seil sind masselos und reibungsfrei gedacht. Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die beiden Korper?

199 ?geben:

m\ 1712 = 1,5 mi

^A

a = 30° // = 0,2 g = 9,81-

\m2

Gesucht: a = f{m, //, a, ^

Losung: Man schneidet das Seil gedanklich durch und fertigt fiir beide Korper die Lageskizze an. Da Seil und Rolle masselos und reibungsfrei sein sollen, muss die Seilkraft F an jeder Stelle des Sells gleich groB sein; man braucht also nicht zwischen F\ und F2 zu unterscheiden.

T2 =17123

Lageskizze fiir Korper 2

Lageskizze fiir Korper 1

Aus der zweiten Gleichgewichtsbedingung 21Fy = 0 fiir Korper 1 folgt FN = FQI cos a. Diesen Ausdruck braucht man fiir die Reibkraft FR — F^ju = FQI COS aju in der Gleichgewichtsbedingung 2Fx = 0 , die nach F auflost wird. Fiir T^Gi setzt man mig ein, fiir die Tragheitskraft Ti — mia.

4. Schritt 2F, = 0 = F —

FR

SFy = 0 =

FGI COS

FN

-

—

FQ\

sin a — T\

a ^

FN

=

FQ\ COS

F = FR + FGI sin a-\-Tx = F^fi + FQI sin F=

FQ\ COS

afi +

FGI

sin

a^-T\

F = migju cos a + mig sin a + mia F = m\ (g/u cos a + g sma-\- a)

Fiir den Korper 2 ist nur die Gleichgewichtsbedingung 2Fy = 0 anzusetzen. Daraus fmdet man eine zweite Gleichung fiir die Seilkraft F.

2Fy = 0

F -\- T2 —

Zum Schluss werden beide Gleichungen fiir die Seilkraft F einander gleich gesetzt. Als Vereinfachung bietet sich hier an, mit dem Verhaltnis der beiden Massen zu arbeiten. Man setzt also k = m2/m\ und lost die Gleichung nach der gesuchten Beschleunigung a auf.

mi {gju cos a + g sin a-\-a) = m2{g - a)

F = m2g-m2a

FQ2',

T2 •-

m2a

= m2{g - a)

1712 g/^ cos a + g sin a + (3 _ m\ g-a kg - ka = g(ju cos a+

sin a) + a

a{\ -\- k) = g{k - fjL cos ak—pi cos a— sin a a= g a=f{k,g,fi,a)

k+l

sin a)

a a^T\

4 Dynamik

200 Bei dem gegebenen Neigungswinkel von 30° ergibt sich eine Beschleunigung a = 3,244 m/s^. Verkleinert man den Neigungswinkel a, dann andert sich auch die Beschleunigung, und zwar miisste sie nach der Erfahrung groBer werden. Fiir a = 0 wiirde z. B. sin a = 0 und // cos a = 0,2 • 1 = 0,2 und damit a = 1,3^/2,5 = 5,101 m/s^ Aufgaben dieser Art kann man auch losen, ohne die beiden Korper voneinander zu trennen. Trotzdem sollten vorher die Lageskizzen wie oben angefertigt werden, damit die Gewichtskraftkomponenten klar erkannt und tatsachlich alle Krafte erfasst werden. Man kann dabei nach Bild a) vorgehen und danach die Gleichgewichtsbedingung 2Fx = 0 ansetzen. Am einfachsten wird der Ansatz zur Losung, wenn man beide Korper sofort zu einem zusammenfasst (mges = 2,5m) Bild b). Das ist richtig, weil beide Korper der gleichen Beschleunigung unterliegen. Aber auch hier sollte man von den beiden Lageskizzen der ersten Losung ausgehen, um klare Verhaltnisse zu schaffen. Das gilt vor allem fiir den richtigen Ansatz fiir die Reibkraft FR — FN/^, worin F^ durch FQI COS a ersetzt werden muss.

« = 9,81

m 1,5-0,2- cos 30° 1,5 + 1

sin 30°

« = 3,244^ s^

gj

T^ = mj a

m2=l5mj

o4fc=l

G J sin a FR =

FN^

T2 = 1,5 mj a

o ^G2

F[\j - FQICOSOL

a)

1.-3. Schritt =

Ansatz nach Lageskizze b): 2Fx = 0 = FQI -T FG\ =rng\

2,5m

4, Schritt

- FG\ sin a - F^ju

FG2= l,5mg

^N = FGI cos a = mucosa \,5mg - 2,5ma - mg sin a - mg cos afi = 0 l,5g - 2,5a - ^ sin a - g// cos a = 0 2,5a = g{l,5 — ju cos a - sin a) =0 g m a = ;^(1,5 —ficosa— sin a) = 3,244 -^

3. Ubung: Ein Transportband soil die Last von der Masse m nach oben befordem. Das Band ist unter dem Winkel a — 20° zur Waagerechten geneigt. Die Haftreibzahl betragt/^o = 0,4.

Gegeben: a = 20° luo = 0,4 ^ = 9,81

Gesucht ist die hochstzulassige Bandbeschleunigung tZmax, bei der ein Rutschen der Last gerade noch vermieden wird.

Gesucht: ^max =f{a,fiQ,g)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)

201

Losung: Die Lageskizze enthalt alle am Korper angreifenden Krafte einschlieBlich der Tragheitskraft T= mamai^. Da der Korper nach rechts oben beschleunigt wird, wirkt die Tragheitskraft T nach links unten. Die Haftreibkraft FRO max nimmt den Korper nach oben mit. Sie muss also den entsprechenden Richtungssinn erhalten. Nach der Lageskizze werden die beiden Gleichgewichtsbedingungen fiir das zentrale Kraftesystem angesetzt. Aus 2Fy = 0 fmdet man die Beziehung fiir die Normalkraft FN, fiir FQ wird wie ublich das Produkt aus Masse m und Fallbeschleunigung g eingesetzt, ebenso fiir T = mamax- Damit erhalt man die gesuchte Gleichung und kann a^ax berechnen.

Bisher wurden die Aufgaben mit Hilfe der rechnerischen (analytischen) Gleichgewichtsbedingungen gelost. Natiirlich kann diese Aufgabe auch trigonometrisch gelost werden. Man beginnt die Krafteckskizze mit FN und FROmax, die man zu Fg zusammensetzt, um damit das geschlossene Krafteck aus Fe, T und FG ZU zeichnen.

L-3. Schtitt ^fN v^o

Lageskizze

4, ScMtt FG sin a — r 2Fx = 0 — FROH SFy = 0 = F N - F G cos a ^ F N = F G COS a FROmax = FN/ZQ = FG COS aju^ = mg/UQ COS a SFx = 0 = mgfiQ cos a — mg sin a fnamax

sin a ) amax = 0 , 3 3 ^

Oam. = SiMo COS a '

a=f{a,fiQ,g)

=

FNI^O

T = ma max

Krafteckskizze

Nun wird der Sinussatz angesetzt und dabei beachtet, dass man fur sin (90° - ^Q) den Funktionswert cos QQ einsetzen kann. Die Gewichtskraft FG wird durch FQ = mg ausgedriickt, ebenso die Tragheitskraft T durch T = mamax' Die Gleichung wird durch die Masse m dividiert und nachflmaxaufgelost. Die Rechnung ftihrt zum gleichen Ergebnis, obwohl die Gleichung eine andere Form besitzt. Es wird hier gezeigt, wie die erste Gleichung in die zweite iiberfuhrt werden kann. Dazu ersetzt man zunachst die Haftreibzahl JUQ durch den Tangens des Reibwinkels. Zur Vereinfachung schreibt man ^max ^

^•

FG sin (^0 •

sin ( 9 0 ° - ^ o )

cospo

mg sin (^0

drntx

.ax

)

=g

COSQQ

sin JQ^ - a) ^max cos QQ

=f{a,QQ,g)

a = g(jUQ cos a - sin a sinQQ /lo = tan ^0

cos^o a =g

i-

sin^o cos a — sin a cos^o \cc

m

U,JJ 2

4 Dynamik

202 Die beiden Glieder in der Klammer bringt man auf den Hauptnenner cos QQ , indem sin a mit 1 = cos QQ/COS QQ erweitert wird. Dadurch erhalt man uber dem Bruchstrich einen zweigliedrigen Ausdruck, der nach den trigonometrischen Regeln durch sin {QQ — a) ersetzt werden kann. (siehe Handbuch Maschinenbau: Additionstheoreme, Summenformeln). Das Ziel ist erreicht.

sin go cos go

cos a — sin a

cos go cos go

sin QQ COS a - cos go sin a cos go sin (go cos go zweite Form

: g(jiQ cos a - sin a) -^ ^ ^ erste Form

4.4.9 Impuls (BewegungsgroBe) und Impulserhaltungssatz Es ist moglich das dynamische Grundgesetz in eine andere Form zu bringen. Dazu schreibt man fiir die Beschleunigung a — /S.v/^t und multipliziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt Ar. Diese Gleichung eignet sich besonders fiir Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt A^ eine Rolle spielt. Eigendich wird damit lediglich der dritte Schritt nach 4.4.5 (Seite 194) in das dynamische Grundgesetz einbezogen.

Das Produkt aus der resultierenden auBeren Kraft Fres und dem Zeitabschnitt A^ heiBt KraftstoB. Das Produkt aus der Masse m eines Korpers und seiner Geschwindigkeit v wird als Impuls oder BewegungsgroBe bezeichnet: Die Anderung des Impulses eines Korpers ist gleich dem KraftstoB der resultierenden Kraft wahrend des belrachteten Zeitabschnittes Ar. Der Impuls ist ein Vektor. Ist die Resultierende Fres aller auBeren Krafte gleich null (kraftefreies System), dann ist auch der KraftstoB Fres ^t gleich null: Bei Fjes = 0 bleibt der Impuls eines Korpers unveraodert (mv = konstant). Der Impulserhaltungssatz wird beim physikaUschen Vorgang „StoB" angewendet (siehe 4.8, Seite 224).

/^res

= m ^

konstant

Fres Ar

KraftstoB der resultierenden Kraft Impuls (BewegungsgroBe) des Korpers

Fres Af = mvt - mv\

Fres A/ = mV2 — mV\ = 0

mv2 — wvi = kcaistrt Impulserhaltungssatz

203

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Ubung: Bin Hobelmaschinentisch mit Werkstuck besitzt die Masse m = 14 700 kg. Er wird aus einer Schnittgeschwindigkeit von 80 m/min in 0,5 s bis zum Stillstand gleichmaBig abgebremst. Wie groB muss die Bremskraft Fb sein, wenn von Reibkraften abgesehen wird? Losung: Ohne Beriicksichtigung der Reibkraft ist ^res = ^b- Da die Endgeschwindigkeit Vt = 0 sein soil, ist Av = vo — Vt = vo — 0 = VQ = V, womit sich sofort die Gleichung fur die Bremskraft ^b = / ( ^ . V, Ar) ergibt.

Gegeben:

m-

14700 kg m 80 m v = 80 min 60 s At = 0,5 s

Gesucht:

Fb = / ( m , v, Ar)

''res — ' ' b

F\) At = m Av

Av = 14,7 • 10^ kg

Fb = mv

Fb=/(m,v,AO

80 m 6Q7

0,5 s

F^- : 3 9 2 0 0 N

Aufgaben Nr. 5 1 5 - 5 2 3

4.5 Arl^it^ Lektung^ Wirkungsgrad 4.5.1 Arbeit W einer konstanten Kraft F Soil der skizzierte Wagen langs eines Weges s gezogen (oder geschoben) werden, muss dazu eine Kraft F in Richtung des Weges wirken. Ihren Betrag kann man z. B. mit einer Federwaage messen. Zunachst wird angenommen: Die Kraft F wirkt exakt in Richtung des Weges, also nicht etwa schrag nach oben oder unten, und ihr Betrag bleibt wahrend des Vorgangs gleich groB {F — konstant). Um den physikalischen Aufwand bei solchen Vorgangen vergleichen zu konnen, hat man den Begriff der Arbeit W geschaffen: Die Arbeit W einer konstanten Kraft F ist das Produkt aus Kraft F und Verschiebeweg s (Arbeit gleich Kraft mal Weg). Die Arbeit ist ein Skalar.

Federwaage Kraft F

h^A

v^//i^////////////. )Neg s

Kraftwirkung langs eines Weges ist die Arbeit W Hinweis: Im Unterschied z. B. zmelektrischen Arbeit spricht man bei Kraften auch von mechanischer Arbeit.

W = Fs Definitionsgleichung der mechanischen Arbeit

W Nm = J

N

1 Nm = 1 J = 1 Ws Nm Newtonmeter Ws Wattsekunde

(F) • (5) = N . m = kg m kg m^ J s^ s^

Die Einheit fiir die Arbeit erhalt man aus der Defmitionsgleichung W = F^.

m

Die gesetzliche und Internationale Einheit Arbeit W ist das Joule J.

Die Einheit Joule wurde nach dem Physiker / P. Joule (1818-1889) benannt. Aussprache: „dschul".

der

4 Dynamik

204

1 Joule (Kurzzeichen J) ist gleich der Arbeit, die vemchlet wild, wean der Angriffspunkt der Kraft 1 Newton (1 N) in Richtung der Kraft um den Weg 1 m verschoben wird (1 J = 1 Nm). Man muss sich daran gewohnen, im Ergebnis einer Rechnung nicht das Newtonmeter (Nm) als Einheit einzusetzen, sondem das Joule (J). Es wurde fur die mechanische Arbeit, die elektrische Arbeit, die Warmemenge und die Energie die gleiche Einheit festgelegt, das Joule (J), weil es sich um physikalische GroBen gleicher Art handelt. Bei schrag am Korper angreifenden Kraften werden haufig Fehler gemacht. Zur Berechnung der aufgebrachten Arbeit W darf man in solchen Fallen nur die Kraftkomponente einsetzen, die tatsachlich Arbeit verrichtet. Das ist immer nur die in Bewegungsrichtung fallende Kraftkomponente, hier die Kraft F cos a. Die zweite Komponente F s i n a driickt den Korper auf seine Unterlage, ohne ihn zu verschieben. Mit ihr wird also keine Arbeit im Sinn der Begriffsbestimmung aufgebracht: Fallen Kraft- irnd Wegrichtung nicht zusammen^ muss mit der Kraftkomponente gerechnet werden, die in die Bewegungsrichtung M i t

1 Joule (J) = 1 Nm = 1 ^ ^ = 1 m^ kg s'^ Zur Veranschaulichung: Hebt man eine 100-g-Tafel Schokolade 1 m hoch, dann hat man an der Tafel die Arbeit von etwa 1 Joule aufgebracht. Beispiel: Ein Auto wird mit der konstanten Kraft f = 300 N parallel zur Fahrbahn gezogen. Der Verschiebeweg betragt s = 15 m. Dann gilt fiir die mechanische Arbeit: Vy = F5 = 300 N • 15 m = 4500 Nm = 4500 J

1 F sin (X

Arbeit \y einer schrag wirkenden Kraft (W = F cos a • s)

W =

mechanische Arbeit bei schrag angreifender Kraft

Fcosas

Welche Winkelfunktion zu benutzen ist (sin Oder cos ) hangt von der Lage des Winkels ab (siehe 1. Ubung, Seite 206).

4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W Wird die Kraft F iiber dem Weg s in einem rechtwinkligen Achsenkreuz aufgetragen, so erhalt man das Kraft-Weg-Diagramm (F, ^-Diagramm). Bei konstanter Kraft F ist die Kraftlinie eine zur 5-Achse parallele Gerade. Die Flache A unter der Kraftlinie ist dann ein Rechteck mit dem Flacheninhalt A — Fs, und man erkennt:

Kraft-Linie (F-Linie)

u.

Flache A = Arbeit W dennA-Fs- W

s

Weg s

F, 5-Diagramm (Arbeitsdiagramm) bei konstanter Kraft F

In jedem F, 5«Diagramm entspricht die Flache A unter der Kraftlinie der von der Kraft F aufgebrachten Albeit W

Flache A = Arbeit W =^Fs

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Das ist eine wichtige Erkenntnis, denn es ist jetzt moglich auch die Arbeit W einer veranderlichen Kraft F zu berechnen. Das entspricht dem Vorgehen zur Bestimmung des Wegabschnittes bei der gleichmaBig beschleunigten Bewegung im V, ^Diagramm. Man zerlegt in solchen Fallen die Gesamtflache in berechenbare Teilflachen (Rechtecke, Trapeze, Dreiecke) und erhalt die Gesamtarbeit als Sunime der Teilarbeiten.

205 it:

1^-Linie

1

A

A4

1 A3

^ t

Ai

/ S1

Arbeit W +A2+A3 + A4 S4

S3

S2

Weg s

Gesamtweg

F, ^-Diagramm einer veranderlichen Kraft F

4.5.3 Federarbeit Wf (Formanderungsarbeit) als Arbeit einer veranderlichen Kraft Wichtigstes Beispiel fiir die Arbeit einer veranderlichen Kraft ist die zur Formanderung einer Feder aufzubringende Arbeit Wf (Federkraft). Bei den meisten Fedem steigt die zur Formanderung erforderliche Kraft von null gleichmaBig (linear) an. Die Kraftlinie ist eine ansteigende Gerade; sie heiBt auch Federkennlinie. Angenommen, eine schon vorgespannte Schraubenzugfeder soil um A5 verlangert werden. Dann steigt die dazu erforderliche Zugkraft von F\ auf F2 an. Die Rache unter der Federkennlinie hat Trapezform, das heiBt, die Federarbeit kann aus Wf = (^1 + Pi) A5/2 berechnet werden. Meistens ist die Federrate R der Feder bekannt, Oder sie wird durch einen Versuch bestimmt^^: Die Federrate R gibt an, welche Kraft F fur einen Federweg 5 = 1 mm erforderlich ist Formal exakter. Die Federrate ist im elastischen Bereich der Proportionalitatsfaktor zwischen Federkraft F imd F^erweg (Verformungsweg) s einer Feder: F = Rs. Mit der Federrate R = F\/s\ = F2/S2 und daraus F\ = Rsi sowie F2 = Rs2 kann man eine Gleichung fiir die Federarbeit Wf entwickeln, in der nur die Federrate R und die Federwege ^i, ^2 enthalten sind. Wie die Entwicklung zeigt, ergibt sich das Binom (^2 + S\){s2 — s\) = S2^ — s\^.

Federarbeit (Formanderungsarbeit) Wf beim Spannen einer Schraubenzugfeder

Federkraft F Federweg s

Federrate

R

F

s

F2, As

N N mm mm

si

m=^J4^A.

Wf

Wf-

Federarbeit

Rsi + Rs2 {S2

-.— {S2 + Si)

{S2 -

-S\)

Si)

^^ Versuch in A. Boge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Losungen, Vieweg 2005 2> Bezeichnung Federrate R nach DIN 2089, Nov. 92

4 Dynamik

206 Setzt man in Rechnungen die Federrate in N/mm und den Federweg s in mm ein, erhalt man die Federarbeit Wf in Nmm. Wf ist die Arbeit, die an einer um ^i vorgespannten Feder verrichtet werden muss, um sie auf Strecke ^2 weiter zu verformen.

^ f = X {si^ — si^)

R

Wf

N

Nm

Federarbeit

s

mm

mm 1 Nm = 1000 Nmm = 1 J

4.5.4 Ubungen mit der GroBe Arbeit 1. Ubung: Ein Wagen von der Masse m = 400 kg soil auf eine um /i = 2,4 m hoher liegende Rampe gebracht werden. Das soil geschehen a) mit Hilfe eines Krans, b) durch Verschieben auf einer unter a = 30° geneigten Fahrbahn. Im Fall b) soil die Verschiebekraft F parallel zur schiefen Ebene wirken. Die Reibung soil unberiicksichtigt bleiben (geringe Rollreibung). Fiir beide Falle ist die aufzubringende Arbeit W zu bestimmen. Losung: a) Bei Kranen und anderen Senkrechtfordergeraten spricht man von Hubarbeit Wh. Da hier die Seilkraft F gleich der konstanten Gewichtskraft FQ = mg zu iiberwinden ist, gilt Wh = Fch = mgh. Wichtig ist die Erkenntnis, dass fur horizontale Bewegungen des Krans mit der Last keine Hubarbeit aufgebracht werden muss, weil keine Hohendifferenz zu iiberwinden ist (Ah = 0). b) Man beginnt mit der Skizze des freigemachten Wagens (Lageskizze) und entwickelt daraus die Krafteckskizze. Schon hier erkennt man, dass die Verschiebekraft F gleich der Gewichtskraftkomponente FG sin a ist. Diese Komponente heiBt auch Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FGZu Ubungszwecken werden noch einmal die beiden Gleichgewichtsbedingungen angesetzt (Achsenkreuz um a zur Waagerechten gedreht).

Gegeben:

Masse Hohe Winkel

m = 400 kg /? = 2,4 m a = 30°

Gesucht:

Hubarbeit Wh

Hubarbeit

Wi, = FGh = mgh Wu J = Nm

FG

kg

Wy, = mgh = 400 kg • 9,81 ^ • 2,4 m s"^ H^h = 9417,6 Nm = 9417,6 J

FQ

FQ

sin a

sin a

FQ COS

Lageskizze

a

FQ COS a

Krafteckskizze

2Fx = 0 = F - FG sin a =^ F = 2Fy == 0 = FN - F G cos a

FG

sin a

207

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Mit F = FQ sin a hat man die in Wegrichtung fallende Verschiebekraft (Kraft- und Wegrichtung miissen zusammenfalien). Der Verschiebeweg s kann mit Hilfe der Sinusfunktion aus der Hubhohe h bestimmt werden (s = h/sin a).

Da auch hier die Verschiebekraft konstant ist, gilt die einfache Beziehung: Arbeit ist gleich Kraft mal Weg. Die Rechnung fiihrt zum gleichen Ergebnis wie im Fall des Krans ( sin a kiirzt sich heraus). Das heiBt: Es ist gleichgiiltig, auf welchem Weg eine Last auf eine hohere Ebene gebracht wird. Immer ist dazu die Hubarbeit Wh = Gewichtskraft FQ mal Hubhohe h erforderlich. Horizontale Verschiebungen einer Last haben keinen Einfluss auf die Hubarbeit. 2. Ubung: In eine Vorrichtung sollen SchraubenDruckfedem eingebaut werden, deren Federrate vorher zu /? = 80 N/mm ermittelt worden ist. Jede Feder soil nach dem Einbau unter einer Vorspannkraft F\ — 400 N stehen. Sie wird dann um weitere 12 mm zusammengedriickt. Nach dem skizzierten Federdiagramm sind zu bestimmen: a) der Vorspannweg ^i nach dem Einbau, b) die maximale Federkraft F2, c) die Federarbeit Wf beim Betriebshub. Losung: a) Die Federrate R ist der Quotient aus Federkraft und Federweg, also bekommt man aus R — F\/s\ den Vorspannweg ^i.

W = Fs =^

sin a-

FQ

h Fch = mgh Fcsinasin a W = mgh = 94\1,6J (wie vorher)

W =

Beachte: Beim Verschieben einer Last auf einer schiefen Ebene wird nichts an mechanischer Arbeit gespart. Zwar wird die Verschiebekraft umso kleiner, je kleiner der Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist, umso groBer wird dann jedoch der Verschiebeweg. Das Produkt aus beiden ist immer wieder gleich der Hubarbeit.

Fj t ^ <

.

\^^

^®2^

^ /\ = Wf

1

0

As

S)

s

S2

Ge2eben:

Federrate R = SO

N

mm Vorspannkraft Fi = 400 N A^ = 12 mm Vorspannweg ^i Federkraft F2 Federarbeit Wf

Gesucht:

Fi

Fi

s\

-^2

400 N _Fx mm R ~ _ N "^

S] =

80

b) Auf gleiche Weise fmdet man die maximale Federkraft F2. Es darf nur nicht der falsche Federweg einsetzt werden: Zur Federkraft F2 gehort der Federweg 52.

Fi

mm = Rs2 (nicht etwa =-RAs)

F2 = 80

17 mm = 1360 N mm

4 Dynamik

208 c) Die Federarbeit wahrend des Hubes findet man mit den entsprechenden GroBen als Trapezflache unter der Federkennlinie. Wird die friiher hergeleitete Gleichung mit der Federrate R benutzt, darf nicht {s2^ - si^) = (A^)^ gesetzt werden. Natiirlich kann man auch eine Funktionsgleichung Wf =f{R,Fi,As) fixT die urspriinglich gegebenen GroBen entwickeln.

Wf = ^^ 1" ^^ As = 10560 Nmm Oder: 80 N Wf = ^ fe' - ^i') = ^ — (289 - 25) mm^ 2 '""^ "' ' 2 mm Wf = 10,56 Nm = 10,56 J

Wf =

ZFi-^RAs

Federarbeit

Wf=f{R,FuAs)

3. (Jbung: Bin Werkstiick von der Masse m= 10 kg soil auf horizontaler Bahn durch die Kraft F mit konstanter Geschwindigkeit v um den Weg ^R = 2 m verschoben werden. Die Kraft F greift unter dem Winkel a = 30° zur Horizontalen an. Die Gleitreibzahl zwischen Werkstiick und Unterlage betragt ju = 0,25. Gesucht wird eine Gleichung fiir die Reibarbeit WR und deren Betrag.

V = konstant

Gegeben:

Masse m= 10 kg Reibzahl// = 0,25 Winkel a = 30° Weg 5R = 2 m

Gesucht:

Reibarbeit WR =f{m, g,/a, a, 5R)

Losung: Zunachst wird festgelegt, was unter Reibarbeit zu verstehen ist: %=FR5R

Reibarbeit WR ist das Produkt aus der konstanten Reibkraft FR und dem Reibweg s^. Die erste Aufgabe besteht darin, eine Beziehung fiir die Normalkraft F^ zu entwickeln. Man erhalt sie aus den Gleichgewichtsbedingungen fiir das freigemachte Werkstiick, indem sowohl 2Fx = 0 als auch 2Fy = 0 nach F aufgelost wird und dann die beiden Gleichungen gleichgesetzt werden: FN///COS a = (FN — FG)/sin a.

Beim Auflosen nach F^f ergibt sich der Quotient sin a/cos a, der durch tan a ersetzt wird. Mit der Beziehung fiir die Normalkraft FN erhalt man die gesuchte Funktionsgleichung WR =f{m,g,fi,a,SR). Die Reibarbeit WR ist die beim Verschieben des Werkstiicks erforderliche Arbeit. Sie wandelt sich in Warme um. Das Endergebnis schreibt man mit der Einheit Joule (J), well dies die gesetzliche Einheit fiir die Arbeit ist ( l N m = 1 J).

Reibarbeit

I^=FWM% F sin a =FN

n

2Fx = 0 = F cos a -

F^/i

2Fy = 0 = FN - F G - F sin a F-

fi

FN

- FG

FN-

cosa FN

FG

\ - ju tan a

mg I - ju tan a

Wk = FR5R=FN/^% =

mg 1

—fitma

WR

=f{m,g,pi,a,SR)

WR

10 k g - 9 , 8 1 ^ ^— . 0,25 • 2 m 1 - 0,25 • tan 30°

Wu

: 57,32 Nm = 57,32 J

fiS^

209

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Diskussion der Gleichung fur die Reibarbeit WR Bei der nummerischen Auswertung der Gleichung konnen sich positive oder negative Werte oder null ergeben. Das richtet sich nach dem Wert des Nenners 1 — // tan a. Die Reibzahl // ist immer positiv mit technisch brauchbaren Werten /i > 0 < 0,5. Das gilt auch fiir Winkelwerte von a > 0 < 90°. Negative Werte fiir die Reibarbeit WR konnen sich bei groBen /i- und groBen a-Werten ergeben (physikalisch unbrauchbar). Wird der Nenner null, dann ist die Reibarbeit WR unendlich groB. Das System ist selbsthemmend.

Bei 1 > // tan a ergeben sich positive Werte fur die Reibarbeit (WR > 0). Das ist der ubliche Fall. Bei 1 = juX2ina liegt Selbsthemmung vor (WR

- ^ OO).

Bei 1 < /I tan a ergeben sich physikalisch unbrauchbare Werte fiir die Reibarbeit (WR < 0).

4.5.5 Leistung Ist die mechanische Arbeit W, die zur Ortsveranderung eines Korpers erforderlich ist bekannt, dann ist damit noch nichts iiber die Zeit ausgesagt, in der diese Arbeit verrichtet wird. Gerade das aber muss man in der Technik wissen, weil zeitlich geplant werden muss. Es wurde daher die in der Zeiteinheit (Is) verrichtete Arbeit als besondere GroBe festgelegt: Die Leistung P ist der Quotiait aus der veirichteten Arteit Wimd der dazu erforderlichen oder verwendeten Zeit t (Leistung gleich Arbeit dutch Zeit). Die Leistung ist ein Skalar. Die gesetzliche und Internationale Einheit der Leistung P ist das Watt W: 1 Watt (Kurzzeichen W) ist gleich der Leistung, bei der wihiend der Zeit 1 s die Arbeit 1 J urngesetzt wird. Mit der Gleichung P = W/t berechnet man die mittlere Leistung wahrend eines Zeitabschnittes r, denn es ist unbekannt, ob in der dritten Sekunde ebenso viel Arbeit verrichtet worden ist wie in der zwolften Sekunde. Das Endergebnis schreibt man mit der Einheit Watt (W), weil dies die gesetzliche Einheit fiir die Leistung ist (1 Nm/s = 1 W). Siehe auch Vorsatzzeichen (Vorsatze) am Ende des Buches.

Beispiel: Zum Heben einer Last ist eine Hubarbeit Wh= 10000 J erforderlich. Zur Planung muss man wissen, ob diese Arbeit mit den vorhandenen Geraten in einer Stunde oder in einer Minute „geleistet" werden kann. p — ^^^^^^ Definitionsgleichung zugehorige Zeit t der Leistung P-

W

p

W s

Mittlere Leistung wahrend der Zeit t

t

J = Nm s

s J c

S

Die Einheit Watt wurde nach dem englischen Erfmder der ersten brauchbaren Dampfmaschine / Watt (1736-1819) benannt. lW=li=l^=lm^kgs-^ s s Beispiel: Ein Kran hebt einen Korper von der Masse m = 600 kg auf /z = 5 m Hohe. Der Vorgang dauert 100 s. Die Hubgeschwindigkeit v andert sich dabei mehrfach.

W,

mgft

600kg.9,8l5-5m

100 s t Nm J : 294,3 '-^ = 294,3 - = 294,3 W s s Ph = 0,294 kW mittlere Leistung.

4 Dynamik

210 Sind die Arbeitsbetrage je Sekunde verschieden groB, dann gilt das auch fiir die Leistungen. Das kann zwei Ursachen haben: Entweder ist die Kraft F, welche die Arbeit verrichtet, nicht konstant, Oder es werden in gleichen Zeiten verschiedene Wege zuriickgelegt, d. h. die Geschwindigkeit V ist nicht konstant. Es kann auch beides zugleich der Fall sein.

Mit der Arbeitsdefinition W = Fs und der Gleichung fiir die konstante Geschwindigkeit V = s/t erhalt man:

Aus der Definitionsgleichung fur die Leistung P = W/t kann eine Gleichung fiir die Momentanleistung entwickelt werden, die unbeschrankt angewendet werden kann, also nicht nur bei konstanter Arbeit.

Beachte: Wie bei der mechanischen Arbeit W Kraft- und Wegrichtung iibereinstimmen miissen, so miissen auch bei der mechanischen Leistung die WirkUnien von Kraft F und Geschwindigkeit v zusammenfallen.

Die Leistung P ist das Produkt aus der Verschiebekraft F und der Verschiebegeschwindigkeit V (Leistung gleich Kraft mal Geschwindigkeit), Man pragt sich die Definitionen der beiden technisch wichtigen GroBen Arbeit W und Leistung P besser ein, wenn man sie untereinander stehend vor Augen hat. Man erkennt: W enthalt nicht die Zeit t\ P dagegen ist geschwindigkeits- und daher zeitabhangig. Entsprechend den speziellen Bezeichnungen fiir die mechanischen Arbeitsformen kennzeichnet man auch die Leistung.

W t

Fs ^ s — = F- = Fv t

t

Leistung P — Kraft F • Geschwindigkeit v

F

V

N

m s

p

P = Fv Momentanleistung

s

s

Albeit W = Kraft F • Weg 5 Leistung P === Kraft F • Geschwindigkeit v W = Fs P = Fv

w J

p

F

w

m N m s

5

V

Beispiele: Hubleistung Ph = Reibleistung PR =

Hubarbeit Wh Zeitr Reibarbeit WR Zeitr

4.5.6 Wirkungsgrad Kein technischer Vorgang lauft verlustfrei ab. Ein Teil der aufgebrachten Arbeit (oder Leistung) geht fiir den eigentlichen Zweck verloren. In technischen Maschinen und Vorrichtungen ist das vor allem die Reibarbeit (oder Reibleistung) infolge der unvermeidlichen Reibung zwischen den Maschinenteilen. Die Reibarbeit wird dabei in Warme umgewandelt, spiirbar in der Temperaturerhohung des festen, flussigen oder gasformigen Korpers.

Beispiel: Die Reibung in den Lagem eines Getriebes erwarmt Welle und Lagerteile, ebenso wie die Reibung zwischen den Zahnflanken die Zahnrader erwarmt. Das 01 erwarmt sich und muss im Rucklauf gekuhlt werden. Durch Konvektion und Strahlung geht ein Teil der Warme an die umgebende Luft iiber.

211

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Zur Beurteilung der Verluste in Maschinen, in einzelnen Maschinenteilen und Vorrichtungen hat man den Wirkungsgrad definiert: Der Wricungsgrad tj ist das Verhaltnis der Nutzarbeit Wn (Nutzleistung Pn) zur aufgewendeten Arbeit W^a (aufgewendeten Leistung Fa)-

Nutzarbeit Wn <1 aufgewendete Arbeit W^ Wn

Es ist iiblich, die aufgewendete Leistung Pa als Antriebsleistung zu bezeichnen und mit dem Index 1 zu kennzeichnen (Pa = Pm = Pi)- Die Nutzleistung Pn wird als Abtriebsleistung mit P2 bezeichnet. Meistens setzt man nicht die Arbeiten, sondem die Leistungen ins Verhaltnis. Am Beispiel eines einfachen Getriebes soil untersucht werden, wie sich der Gesamtwirkungsgrad ?7ges einer Anlage aus den Einzelwirkungsgraden zusammensetzt. Die Antriebsleistung Pan = Pi wird durch die Lagerverluste in den Lagem 1 und 2 vermindert auf ^Lgi,2 • ^1- I^^s ist zugleich die „neue" Antriebsleistung, die in den Zahneingriff einfliefit und dort verringert wird auf ^Lgi,2 'Vz'P\' Dieser Leistungsbetrag wiederum wird in den Lagem 4 und 5 auf ^Lgi,2 • Vz' ^Lg4,5 • ^1 reduziert. Das ist die Abtriebsleistung Pab = P2Mit der Ausgangsgleichung rj = P2/P\ erhalt man abschlieBend die Beziehung fiir den Gesamtwirkungsgrad. Der G^amtwirkuEgsgrad ^ges einer Maschine, einer Anlage oder eines physikalischen Vorganges ist das Produkt der Einzelwirkungsgrade. Der Wirkungsgrad wird nicht nur als Dezimalzahl angegeben, z. B. rj = 0,86, sondem auch als Prozentzahl, z. B. ?/= 86%.

Aii%almi Nr* 526«*542

Pn

Pl^,

Hinweis: Die Wirkungsgraddefinition gilt fiir alle technischen Vorgange, also auch z. B. fiir warmetechnische und chemische Vorgange. Allein wegen der stets vorhandenen Reibungswiderstande kann der Wirkungsgrad niemals den Wert 1 erreichen.

^Lg4,5

1,2,4,5

3

Leistungsverluste durch Reibleistung in den Lagem (Lagerverluste) Leistungsverlust zwischen den Zahnen (Zahnverluste)

_ Pab _ _ P2 ^ges --B~ - ^Lgl,2 • Vz ' ^Lg4,5 - p

Gesamtwirkungsgrad Beispiele fiir Wirkungsgrade: Gleitlager ?/ = 0,98(98%) Verzahnung r] = 0,98 (98 %) E-Motor rj = 0,9 (90%) rj = 0,25 (25 %) Ottomotor

4 Dynamik

212

4.5.7 Ubungen mit den GroBen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 1. Ubung: Beim Zerspanen auf einer Drehmaschine wird mit dem Schnittkraftmessgerat die Schnittkraft Fc = 5000N gemessen. Werkstuckdrehzahl und -durchmesser ergeben eine Schnittgeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit) von Vu = 60 m/min. Der Gesamtwirkungsgrad //ges der Drehmaschine vom Elektromotor bis zur Zerspanungsstelle z wird mit 78 % angenommen. Es ist die Antriebsleistung Pmot fiir den Motor zu bestimmen. Losung: Das Schnittkraftmessgerat zeigt nur geringe Schwankungen fiir den Betrag der Schnittkraft Fc an, es kann also F^ = konstant angenommen werden. Ebenso ist Vu = konstant. Die Wirklinien von Kraft und Geschwindigkeit decken sich (Tangente), so dass die Schnittleistung aus Pz = ^cVu berechnet werden kann. Aus der allgemeinen Beziehung ;; = PaJPsnx erhalt man die erforderliche Motorleistung Pmot- Sie muss natiirlich groBer sein als die Schnittleistung

Drehmeilieli

Gegeben: Schnittkraft F^ = 5000 N Schnitteeschwindigkeit Vu = 60 IT

Gesamtwirkungsgrad ?/ges = 0,78 Gesucht: Antriebsleistung Pmot Die Schnittleistung Pc betragt: m _ PcVu = 5000 N • 1 ~ s 5 000 — = 5000 - = 5000 W s s 5kW Pab ges p ' an

^ges ""

PQ)-

Bei alien Aufgaben dieser Art wird in aber nicht schrittweise vorgegangen, man geht von der Defmitionsgleichung Wirkungsgrad aus und bestimmt daraus suchte GroBe.

Zukunft sondem fiir den die ge-

2. Ubung: Ein Kran hebt eine Last von der Masse m = 21 mit einer Hubgeschwindigkeit V = 0,25 m/s. Der Antriebsmotor entnimmt dabei dem Netz die Leistung Pnetz = 7 kW, sein Wirkungsgrad betragt T/mot = 0,9. Es ist der Wirkungsgrad //aniage der restiichen Maschinenteile vom Motorritzel bis zum Kranhaken zu bestimmen. Losung: Hier geht man von der Gleichung fiir den Gesamtwirkungsgrad rj^^^ = ^mot^aniage aus. Fur Pab und Pan wcrdcn dann die speziellen GroBen mit den allgemeinen Bezeichnungen eingesetzt und nach der gesuchten GroBe aufgelost, hier also n a c h T/anlage.

5kW = 6,41 kW 0,78 Pc

Pab _ 7 ges

(^mot ^

^mot

^

^mot

Fan

5000 N • 1

PcVu

0,78

'/ges

Gegeben:

- ^ = 6,41 kW

m = 2i V = 0,25

Gesucht:

= mg

^netz ^^

7kW

^mot =

0,9

r4L-|

I/-AI

^anlage Pab_ Fan

Ph ^netz

mgv '/anlage FnetzVmol

vanlage

^mot

V mot'/anlage

Ph = mgv (Hubleistung)

2000 kg-9,81 ^ 0 , 2 5 s^ s : 0,779 Nm ^ 0,9 7000 s

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung

213

46 Arbeit^ Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbew^ung) 4.6.1 Gegeniiberstellung der allgemeinen GroBen mit den entsprechenden KreisgroBen Ebenso wie im Abschnitt 4.3.1 (Seite 182) werden hier die KreisgroBen den allgemeinen GroBen gegenuber gestellt (Analogieverfahren). Dabei erkennt man die Gleichartigkeit einander entsprechender GroBen und Gleichungen und kommt zu besserem Verstandnis. Wer die Definitionen der allgemeinen GroBen kennt, hat dann auch sofort die Defmitionen der entsprechenden KreisgroBen zur Hand, und er wird beim Losen von Aufgaben sicherer sein. Vor allem ist die Erkenntnis wichtig, dass der Kraft F (Verschiebekraft) im allgemeinen Fall das Drehmoment M bei der Kreisbewegung entspricht (F = M).

AUgeaadE^ Gt^& mit Etefimtiomgleichiing E M ^ t

Kreisgrofie mit Definitionsgleichuiii i EinMt

Zeit t

s

Zeit t

s

Verschiebeweg s

m

Drehwinkel cp

rad

m s

Winkelgeschwindigkeit ip) = konstant)

Verschiebekraft F

N

Drehmoment M = Fjr

Nm

Arbeit W = Fs W Leistung P = — = Fv

Nm = J

Dreharbeit Wrot = Mq) = Fjrq)

Nm = J

Verschiebegeschwindigkeit (v = konstant)

y =:— t

rad s

(X) = — t

Drehleistung Prot = —^ = ^<^ S

S

F, 5-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

M, (^-Diagramm je nach Aufgabenstellung:

Fi

M^

I

j^^^'"^""'^ ^.H.= f L l ^ ,

^ ^ ^ ^ ^

' ' ^ ^ = ^ ^ rd

LT

^ 0

s

Beac hte: Die Rache A unter der f entspricht der Arbeit W

s -Li nie

0

(p

1


Bead \te: Die Flache A unter der M- Linie entspricht der Dreharbeit V

214

4 Dynamik

4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) An einer Kurbel oder Kurbelwelle wirkt die konstante Kraft FT in tangentialer Richtung. Man spricht daher auch von Tangentialkraft oder Umfangskraft. FT dreht hier die Kurbel rechts herum und verrichtet iiber dem Drehweg s die Dreharbeit

Tangente

Mit der Anzahl der Umdrehungen z kann man fiir den Drehweg s = 2iirz schreiben und hat damit schon eine auf KreisgroBe bezogene Gleichung fiir die Dreharbeit W^oi-

Wr.

Das Produkt aus Tangentialkraft FT und Wirkabstand r (Radius) ist das Drehmoment M. Das Produkt Inz ist schon aus der Drehbewegung bekannt als Drehwinkel q) =^2nz. Damit erhalt man die der allgemeinen Definition W = Fs entsprechende Definitionsgleichung fiir die Dreharbeit Wrot-

Fjr = Drehmoment M (Kraftmoment)

Ist das Drehmoment M nicht konstant, sondem steigt es linear an, dann gelten die gleichen Diagramme und Gleichungen wie auf der Seite 205, wenn man darin fiir die Federkraft F das Drehmoment M und fiir den Federweg s den Drehwinkel q) einsetzt.

Wro

Wrot = F T 5 = Mq)

Rotationsarbeit

Wr.

M

(P

Nm = J

Nm

rad= 1

Drehmoment-Linie (f^-Linie)

Flache A = Dreharbeit Wmt den A = Mq> - Wmt

Arbeitsdiagramm fiir die Drehbewegung

Beispiel: Das Drehmoment in der Torsionsstabfeder eines Autos steigt hnear von 120 Nm auf 250 Nm an. Dabei wird die Feder um 30° verdreht. Die Federarbeit betragt dann nach Seite 205: Wf =

Ml + M2

Wi = 96,9 J

An die Stelle der in 4.5.3 (Seite 205) behandelten Schraubenzugfeder tritt die Torsionsstabfeder.

FT

Nm = J

Inz — Drehwinkel q)

Zeichnerisch stellt sich die Dreharbeit Wrot in^ M, ^-Diagramm als Flache unter der M-Linie dar. Man erkennt hier wieder die Entsprechung zur Flache unter der F-Linie im F, ^-Diagramm (siehe 4.5.2, Seite 204): In jedem M, ^-Diagramm entspricht die Flache A unter der M-Linie der Rotationsarbeit Wrot des Drehmoments M.

• Fjs

Wrot = Fjlnrz

q-

(120 +250) Nm 30° • Jt 2 180°

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung

215

4.6.3 Drehleistung Prot (Rotationsleistung) Wie bei der Herleitung der Gleichung fur die Dreharbeit geht man auch hier von der Tangentialkraft FT aus. In jedem Augenblick sind die Tangentialkraft FT und die Umfangsgeschwindigkeit Vu gleichgerichtet. Dann gilt die allgemeine Beziehung: Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit. Mit den speziellen Bezeichnungen gilt deninach P =

Tangentialkraft Fj

Umfangsgeschwindigkeit v^

FTVU.

Nach Abschnitt 4.2.7 (Seite 179) kann fur die Umfangsgeschwindigkeit Vu das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Radius r eingesetzt werden. Das Produkt aus Tangentialkraft FFund Radius r ist wieder das Drehmoment M. Damit erhalt man die der allgemeinen Definition P = Fv entsprechende Definitionsgleichung fiir die Drehleistung Prot (F = M und V = 0), siehe 4.6.1, Seite 213). Mit den koharenten Einheiten Newton N, Meter m und Sekunde s erhalt man als koharente Einheit fiir die Leistung P das Watt W.

Pm=^PiVn

Nm

^rot = Fjra) =

m s

= W

Fjlnrn

Fjr = Drehmoment M Drehleistung

Ptot —Mo) — M2mn M Nm

= W Nm

rad

4.6.4 Zahlenwertgleichung fur die Drehleistung Prot Auf den Leistungsschildem der Motoren ist nicht die Winkelgeschwindigkeit co, sondem die Drehzahl n angegeben (in U/min = min^^). Soil diese Drehzahl unmittelbar in die Leistungsgleichung eingesetzt werden, muss man sie durch 60 dividieren. Die Leistung ergibt sich dann in der Einheit Watt. Um Kilowatt kW zu bekommen, muss noch durch 1000 dividiert werden (lkW=1000W). Fasst man den Quotienten von 2jt/(60 • 1 000) = 1/9 550 zusammen, ergibt das die in der Technik iibliche Zahlenwertgleichung fiir die Drehleistung Prot- Wie jede Zahlenwertgleichung gilt sie nur fiir die eingetragenen Einheiten. Auf den Leistungsschildem steht neben der Motordrehzahl n auch die zur Verfugung stehende Leistung P. Aus beiden Angaben kann man mit der nach M aufgelosten Gleichung das verfugbare Drehmoment in Nm berechnen (siehe auch Festigkeitslehre, Torsionsbeanspruchung).

Proi =

Mn

In 60 • 1000

Mn

1 60000 2JT

^-=^^9550 _ Mn "^ ~ 9550

M kW Nm

Zahlenwertgleichung

M M = 9550 — n Zahlenwertgleichung

Nm kW

4 Dynamik

216

4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und Ubersetzung Eine wichtige Beziehung zwischen Wirkungsgrad Y], Drehmoment M und LFbersetzung / erhalt man, wenn von der Definitionsgleichung fiir den Wirkungsgrad ausgegangen wird und man fiir die Leistung P = Mco oder P = M2iin einsetzt. Es kann damit beispielsweise der Wirkungsgrad eines Getriebes berechnet werden, wenn man vorher An- und Abtriebsmoment gemessen und die Ubersetzung an Hand der BaugroBen (z. B. Zahnezahl) bestimmt hat.

rj =

Pah _ Pi

M2CO2

Pi

M\a)i

0)2 _ « 2 _

M22Tin2 M\ Inrix

= -(siehe 4.2.9, Seite 181)

_M2 V "Ml

1 i

M2

-M\iri

Ml Abtriebsmoment, M\ Antriebsmoment

4.6.6 Ubungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Ubersetzung bei Drehbewegung 1. Ein Werkstiick von m = 100 kg Masse soil 10 m hoch gehoben werden. Es steht eine Winde mit dem Kurbelradius r — 400 mm zur Verfiigung. Die Handkraft (Tangentialkraft) an der Kubel soil 60 N betragen. Es soil die Anzahl z der Kurbelumdrehungen bestimmt werden, wenn von Verlusten abgesehen wird. 2. Der Flanschmotor eines Getriebes gibt bei « = 2880 min~^ eine Leistung von 18 kW ab. Das Getriebe hat eine Ubersetzung von / = 420 und einen geschatzten Wirkungsgrad von rj = 0,1. Welches Drehmoment steht an der Abtriebswelle des Getriebes zur Verfiigung?

W\^ — mgh H^,ot = Fj2nrz=W^ ^ ^ , Fi2iirz = mgh mgh z = Fj2nr'

Aitfgaben Nr. 543-560

100 kg • 9 , 8 1 ^ - 1 0 m

sf

. : 65,05 U

60N-211; 0,4111

18 Nm = 59,69 Nm :9550 • nx 2 880 : Ml/?; = 59,69 N m - 4 2 0 0,7

Ml : : 9550 M2

M2--

17549 Nm

Hinweis: Ohne Beriicksichtigung des Wirkungsgrades hatte sich ergeben: M2

3. Ein E-Motor gibt am Wellenstumpf ein Drehmoment von 16 Nm ab bei einer Drehzahl von 2800 min~^ Das Wattmeter zeigt hierbei eine elektrische Leistungsaufnahme von 5,6 kW an. Wie groB ist der Wirkungsgrad des Motors? Hier wird schrittweise gelost, um GroBengleichungen und Zahlenwertgleichungen nicht miteinander zu vermischen.

erforderliche Hubarbeit (Hubarbeit = Dreharbeit)

Ml / - 59,69 Nm • 420 = 25 070 Nm

Pah —

16-2800. Mn h -kW ~ 9 5 5 0 ~ ~ 9550

^rot -

4,69 kW = ^ab

'mot

'an

' netz

'mot

4,69 kW : 0,838 5,6 kW

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung

217

L0hrb0iBpi0l: Wirkungsgrad Aufgaimmteilung: Wakfm LaM kann mk dm skizzierten Handwinde gehokmn werdanT Gagabem GroBem Handkr&k Fh-^150N Handkurbaltaditm rk^SSOmm GasamMrkung^rad rj ^0,6 Trommakiurchm^ser dt = 180 mm Trommalrmldufchmas^r d2 = 490mm Ritzatdurchma^ar di = 70 mm

Trmnnml TrommehmlleT

KurbelwethK

Losung: Ola Handkraft fh $oli in jadar Kurbalstailung tangential (im rachtan Winkai zum Badim) angreifan. Oar Saildurchmassar kann varnm^hlassigt warden. Qmrlaba Boihn maiat daa Drahmomant von Walla zu Walla andarn, Obersetzungan ins Langsame vargroBam €km Abtrtai^momant, Ubarsatzungan ins Schnalle varklainam as.

Oimtsatiung i

Antriabsdrahzahl na, Oder Abtrtabsdrehzaht nab . f^ =, fk Baachte: Die Baugrd&en (du d2} verhalten sich umgekafirt wie die ' nt'" di Drehzahlen {n^ Drehzahl dar Kurbatwelle, nt Drehzahl dat Trommelwalla). 4^ mm = 7 (Ubersatzung ins Langsame, well i> 1 ist) 70 mm

Fur Oimrsatzung i und Drahmomant M gilt M2 ^ Mt

Mt^ ISON'O^Sm'7 Mt = 220,5 Nm

0,6

Mt Trommeldrahmomant Mk Kurbeldrahmomant

Das Drahmomant Mt dar Trommalwelle Tist: Mf = F<j -^ daraus FQ = —j-V fur FQ ~ mg eingasetzt und nach der Masse m aufgelost 2

at

m ' dtg

kgm^

s^ 2 220,5 0,18 m'9,81

•- 250 kg Last

4 Dynamik

218

4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit Unter bestimmten Bedingungen sind feste Korper, Riissigkeiten und Gase in der Lage, von sich aus Arbeit zu verrichten. Das ist immer dann der Fall, wenn an ihnen selbst vorher eine Arbeit aufgebracht worden ist. Die im Korper „gespeicherte" Arbeit kann dann „abgerufen" werden: Die im Kdtper gespeicheite Arbeitsfahigkeit heiBt Energie E des Korpers. Kurz: Eneigie gleich ArbeitsMiigkeit Die Eaeigie ist wie die Arbeit ein Skalar, mehrere Eiiergiabetmge diirfen also algebraisch addiert werden.

Beispiele: Der herabfallende Bar eines Fallhammers verformt das Schmiedestiick, verrichtet also Verformungsarbeit (Formanderungsarbeit). Ein fahrendes Auto prallt auf ein Hindemis. Es verrichtet Formanderungsarbeit. Eine vorher gespannte Schraubenfeder hebt ein Werkstiick. Sie verrichtet Hubarbeit.

Nach dem Ursprung des Arbeitsvermogens der Korper unterscheidet man drei mechanische Energiearten: die potenzielle Energie (Hohenenergie), die kinetische Energie (Bewegungsenergie) und die Spannungsenergie (Verformungsenergie) elastischer Korper. Dariiber hinaus gibt es noch andere Energiearten, z. B. Warmeenergie, chemische Energie (in alien Brennstoffen), Atomenergie, Druckenergie, elektrische Energie, Strahlungsenergie (z. B. von der Sonne).

Beispiele: Der Bar des Fallhammers hatte in seiner oberen Ruhelage potenzielle Energie (Hohenenergie, Energie der Lage). Das fahrende Auto besaB vor dem Aufprall kinetische Energie (Bewegungsenergie). Gespannte Fedem aller Art besitzen Spannungsenergie (Verformungsenergie).

Die verschiedenen Energiearten konnen ineinander iiberfuhrt werden. Man spricht dann von Energieumwandlung, meint aber damit nicht nur die Umwandlung von einer Energieart in eine andere, sondem auch die Umwandlung von Energie in mechanische Arbeit und umgekehrt.

Beispiele: Die chemische Energie im Brennstoff wird in Warme umgewandelt, ebenso die Strahlungsenergie der Sonne. Jede Reibung erzeugt Warmer Reibarbeit wird in Warme umgewandelt (Temperaturerhohung der Maschinenteile).

Bei jeder technischen Energieumwandlung treten „Verluste" auf. Das heiBt nicht, dass Energie „verschwindet", man meint damit nur, dass ein Teil der Anfangsenergie^'r J^n beabsichtigten technischen Zweck verloren geht.

Bei technischen Vorgangen ist der Arbeitsaufwand immer groBer als der Nutzen. Diese Tatsache fiihrte zur Festlegung des Begriffes Wirkungsgrad (siehe 4.5.6, Seite 210).

4.7 Energie

219

Bei der Energieumwandlung in Maschinen treten Energieverluste hauptsachlich dadurch auf, dass sich ein Teil der Energie iiber die Reibarbeit in Warmeenergie umwandelt.

Hinweis: Die bei der Umwandlung von Reibarbeit in Warme auftretende Temperaturerhohung der Teile ist technisch nicht mehr nutzbar.

Dass Energie nicht verloren geht, sondem nur von der einen in die andere Form ubergeht, ist schon seit iiber hundert Jahren bekannt und konnte bis heute nur bestatigt werden. Es gilt der Satz von der Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz):

Mayer und Helmholtz haben diesen wichtigen Erfahrungssatz um 1840 unabhangig voneinander gefunden. Alle Versuche haben ihn bis heute bestatigt.

Die Summe aller im Universum vorhandenen Energien bleibt erhalten (konstant); Energie kaim weder aus Nichts gewonnen werden noch geht sie verloren. Energie kann nur umgewandelt weiden. Da Energie die Fahigkeit der Korper ist, Arbeit zu verrichten, miissen Energie- und Arbeitseinheit gleich sein.

Der Energieerhaltungssatz muss auch fiir technische Vorgange gelten, wenn man sie sich „abgeschlossen" vorstellt: Man spricht dann von einem abgeschlossenen System und meint damit ein von auBeren Kraften freies System.

Die Einheit der Energie und der Arbeit ist das Joule (J), siehe 4.5.1, Seite 203. kgm^ U = 1 Nm=: 1 Ws - I

1 m^ kg s"

4.7.2 Potenzielle Energie £pot und Hubarbeit Wh Wird ein Korper von der Masse m um die Hohe h gegeniiber einer Bezugsebene gehoben, dann ist dazu die Hubarbeit W^ = FQH = mgh erforderlich (siehe Seite 206). Das ist genau die Energie oder Arbeitsfahigkeit, mit der er nun an einem anderen Korper Arbeit verrichten kann. Er kann z. B. iiber Seil und Rolle einen anderen Korper heben.

Besitzt der Korper schon die potenzielle Energie Epoti =mgh\ gegeniiber der um hi tiefer liegenden Bezugsebene, dann ist zum weiteren Heben auf die Hohe h2 die Hubarbeit W^ = mg{h2 — h\) erforderlich. Das ist zugleich die Anderung der potenziellen Energie des Korpers: A£'pot — £'pot2

^potl •

potenzielle Energie Epot = Hubarbeit Wh E^-FGh

potenzielle Energie (Hohenenergie)

= mgh

Epot, H^h

EG

m

J = Nm

N

kg

Wh = mg(k2 -hi)

g m

h m

= AEpoi

Anderung der potenziellen Energie

220

4 Dynamik

4.7.3 Kinetische Energie E\^n und Beschleunigungsarbeit Wa Wird ein Korper, z. B. ein Auto, aus dem Stillstand auf die Geschwindigkeit v gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen Grundgesetz die resultierende Kraft Fres = ma erforderlich. Fres wirkt dabei in Bewegungsrichtung auf dem Weg s, verrichtet also am Korper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit Wa = FresS genanut wird. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfahigkeit, mit der der Korper nun an einem anderen Korper Arbeit verrichten kann. Da nur solche Korper diese Energieart besitzen, die sich mit der Geschwindigkeit V bewegen, spricht man von Bewegungsenergie oder kinetischer Energie FkinBesitzt ein Korper schon die Geschwindigkeit vi und wird durch Fres auf dem Wegabschnitt s auf die Geschwindigkeit V2 beschleunigt, dann wird fiir s nicht v At/2 (wie oben) eingesetzt, sondem (v2^ - vx^)/2a (Tabelle 4.1, Seite 154). Damit erhalt man eine Gleichung fur die Beschleunigungsarbeit Wa in der allgemeinen Form. W^ gibt dann zugleich die Anderung der kinetischen Energie des Korpers an:

Av = V gesetzt

^res = fna = m At V V At

A t ^ FrcsS = -

V = Wa

kinetische Beschleonigui^sEnergie £kin atbeitWa m

Fkin, W,

V

m J = Nm kg s kinetische Energie (Bewegungsenergie) Fre&s = mas = Wa V2

2a Wa = ma

^

V2

2a

0

At

Wa: ^2-(v2^-vi^) = A£ldn Anderung der kinetischen Energie

Wa = AFkin = F'kin2 " ^kinl •

4.7.4 Spannungsenergie E^ und Formanderungsarbeit Wf Wird eine vorher unverformte Feder gespannt, dann ist dazu die Formanderungsarbeit oder Federarbeit Wf erforderlich (siehe 4.5.3, Seite 205). Aus dem Federdiagramm (F, 5-Diagranmi) liest man dafiir Wf -= Fs/2 = Rs^/2 ab, mit R als Federrate. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfahigkeit, mit der die gespannte Feder nun an einem anderen Korper Arbeit verrichten kann. Diese Energie wird Spannungsenergie E^ genannt. Besitzt die Feder schon die Spannungsenergie Fsi, weil sie mit F\ vorgespannt worden ist, dann ist zum weiteren Spannen die Federarbeit Wf = (Fi + F2) s/2 = R{s2^ - si^)/2 erforderlich. Das ist zugleich die Anderung der Spannungsenergie in der Feder: Wf = AFs = Fs2 — Fsi.

Spannimgsenergie Es = Fedembeit Wf ^

Fs "1

R 2 t I

F

s

R

J = Nm N

m

N m

WuE,

Spannungsenergie Fi-fF2

w, = -

s=

-{s2^-Si'^}=AE,

Anderung der Spannungsenergie

4.7 Energie

221

4.7.5 Energieerhaltungssatz fiir technische Vorgange Ein Korper der Masse m, zunachst durch die Sperre S in Ruhe gehalten, wird nach seiner Freigabe durch eine Zugfeder die schiefe Ebene abwarts gezogen. Er durchlauft den Weg s vom Anfangspunkt (A) des Vorganges bis zum Endpunkt (E), wo die Feder gerade entspannt ist, also noch nicht zusammengedruckt wird. In (A) besitzt der Korper die Anfangsenergie EA = Epot — mgh gegentiber der um h tiefer liegenden Bezugsebene BE. Am Ende des Vorganges ist Epot = 0 geworden; dafiir besitzt der Korper die Endenergie EE = £"1011 =

mv^/l.

Nach dem Energieerhaltungssatz miissten die beiden Energiebetrage gleich groB sein {E^ ~ £'A)Das kann hier nicht sein, weil der Korper auf dem Weg s sowohl Arbeit aufgenommen als auch abgegeben hat: Aufgenommen hat der Korper die zugefiihrte Federarbeit Wzu = Wf = Rs^/2. Abgegeben hat der Korper die abgefuhrte Reibarbeit Wab = WR = E^s. Die Energieumwandlung durch Zu- und Abfuhr mechanischer Arbeit kann man in das Schema der Energiebilanz eintragen und danach den Energieerhaltungssatz fur technische Vorgange aufstellen, so wie er kunftig beim Losen von Aufgaben angewandt wird:

Beachte: Es ware ein Fehler, zu meinen, die Arbeit der Abtriebskomponente der Gewichtskraft FQ sin a mit aufnehmen zu miissen: Der Arbeitsbetrag FQ sin as ist die beim Heben um die Hohe h vorher aufgenommene potenzielle Energie Epot — mgh (siehe 4.5.4, Seite206, l.Ubung). W,u = Wf

R 2

(Federarbeit) Technischer Vorgang (beschleunigte Bewegung auf schiefer Ebene)

^mgh

Es-^^^

(Reibarbeit) E, =

E^-^W,-W^,

Schema der Energiebilanz

Die ^ a g i e BE ^^ B^d^ eines Vorgangs ist gleich der Energie £A am Anfang des Vorgangs, vetmehit vm die wahtend des Voigangs zaxgefuhrte Arbeit Wm und vennindert um die wahiiaKl d ^ Voigangs abgeflihrte Arbeit Wab. W. Enei^e 2m. Side des Vorgangs

Ett^gieam Anfang des Vorgangs

+

zugefiihrte Arbeit

Wab

abgeflihrte Arbeit

222

4 Dynamik

4.7.6 Ubungen zum Energieerhaltungssatz 1. Ubung: Ein Waggon von der Masse m = 40000 kg roUt aus der Geschwindigkeit V = 1,8 m/s auf horizontaler Bahn aus. Dabei wirkt ein Fahrwiderstand F^ = 280 N. Wie lang ist der Ausrollweg ^?

Gegeben:

V =1,8^ s Fw = 280 N Gesucht:

Ausrollweg s

(D

Losung: Am Ende des Vorgangs ruht der Korper auf der Bezugsebene, das heiBt, seine Endenergie ist null (EE = 0). Am Anfang des Vorgangs besitzt er die kinetische Energie Ep, = mv^/I.

m -40000 kg

^=0

rBE

U!mv/!^y/v^y^^^^^

EE=

EA-

m

Wab

9

Zwischen Anfang und Ende des Vorgangs wird die Arbeit des Fahrwiderstandes W^^ = ^^^ abgefuhrt.

Aus dem Energieerhaltungssatz fmdet man damit auf einfache Weise die gesuchte Gleichung und den Betrag fur den Ausrollweg s.

40000 kg-3,24 2-280

kgm

:231,4 m

2. Ubung: Die Skizze zeigt das Schema einer Sackrutsche. Die Reibzahl zwischen Sack und Rutsche soil fi = 0,3 betragen. Gesucht ist die Endgeschwindigkeit v des Sackes am Ende der schiefen Ebene.

Losung: Man geht wieder vom Energieerhaltungssatz aus: Die Energie am Ende des Vorgangs kann nur kinetische Energie sein, denn der Korper besitzt dort die Geschwindigkeit v, und der Hohenunterschied zur Bezugsebene BE ist null geworden (f'pot = 0). Am Anfang besaB der Korper nur potenzielle Energie, denn er ruhte in der Hohe h. Abgefuhrt wird nur die Reibarbeit WR = FR^. Ftir die Reibkraft wird F R = F^JA und ftir die Normalkraft F N = FQ COS a = mg cos a eingesetzt.

EE

EA

Wab

kinetische Energie

potenzielle Energie

Reibarbeit

^pot

m

J

mgh v"

mgh gh

ERS

mg cos afis\ : m gjus cos a

223

4.7 Energie Da der Weg s nicht gegeben ist, wird s = 1/ cos a eingesetzt (/ ist gegeben). Dadurch kiirzt sich auch cos a heraus und man fmdet die einfachste Gleichung fiir die Endgeschwindigkeit v=/(g,/z,//,/). Man erkennt, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit des Sackes unabhangig von seiner Masse m ist. Das gilt fiir alle auf einer schiefen Ebene ohne zusatzliche auBere Kraftwirkung gleitenden Korper. 3. Ubung: Welcher Hubarbeit W^ oder potenziellen Energie £pot oder Warme (Warmemenge) Q entspricht die kinetische Energie eines Autos von 1500 kg Masse, das mit 160 km/h fahrt?

Losung: a) Die kinetische Energie eines Fahrzeuges wachst mit dem Quadrat seiner Geschwindigkeit. Eine Verdoppelung der Fahrzeuggeschwindigkeit hat also eine Erhohung der kinetischen Energie auf das Vierfache zur Folge. b) Eine Vorstellung von den Folgen eines Aufpralls aus dieser Geschwindigkeit erhalt man, wenn die Fallhohe h berechnet wird, die dieser Energie entspricht.

c) Da Ekin auch gleich der Warme Q ist, kann man eine entsprechende warmetechnische Rechnung durchfiihren. Die Warme Q zum Erwarmen eines Stoffes ist gleich dem Produkt von Masse m, spezifischer Warmekapazitat c und Temperaturdifferenz AT (siehe Physik): Die kinetische Energie des Autos wtirde ausreichen (bei rj = I), die Temperatur von 10 kg Wasser (10 /) um AT = 35,4 K zu erhohen.

Aufgaben Nr, 561-576

— = gh-gfi cos a 2 cos a v' = 2g{h-fil) v=y/2g{h-fil)

v=f(g,h,fij)

= W2-9,81 - ( 2 m - 0 , 3 - 6 1 1 1 ) v= 1,98

Gegeben:

m = 1500 kg 160

Gesucht:

km

160 m 3,6 s

^kin

m 2 _ 1500 kg

/160ym2

£kin =- 1 481 481,5 Nm = 1 481 481,5 J ^kin = ^pot - Wh - e = 1 481 481,5 J

£'kin =£'pot

^mgh

^ 1481481,5^ ^-^ = 100,67 m h=— = ^^ 1500 kg-9,81

Q=

mcAT

Q J = Nm

AT = ^ . mc

m

c

AT

kg

J k ^

K

1481481,5 1 J 10 k g - 4 186,8 - — kgK

AT = 35,4 K - 35,4 °C

4 Dynamik

224

48 Gemder 2^iitrischer Stofi 4.8.1 StoBbegriff, Krafte und Geschwindigkeiten beim StoB Der physikalische Vorgang Stofi liegt dann vor, wenn sich zwei Korper wahrend eines sehr kleinen Zeitabschnittes At beriihren und dabei ihren Bewegungszustand andem. Bei der Beriihrung wirken an den Beriihrungsflachen gleich groBe Normalkrdfte (Wechselwirkungsgesetz). Wahrend der Beriihrungszeit Af erfahren also beide Korper den gleichen Kraftstofi F At (siehe 4.4.9). Dadurch verringert sich der Impuls mv des einen Korpers um denselben Betrag, um den der Impuls des anderen Korpers zunimmt, und man erkennt:

Beachte: Anderung des Bewegungszustandes heifit Anderung der Geschwindigkeit der Korper nach Betrag oder Richtung oder auch nach beiden gleichzeitig. Beachte: Werden die beiden Korper als ein System betrachtet, dann sind die Normalkrafte beim StoB innere Krafte dieses Systems. Da wahrend des StoBes keine dufieren Krafte auf die beiden Korper wirken, handelt es sich um ein krdftefreies System nach 4.4.9, dessen gesamter Impuls auch wahrend des StoBes konstant bleibt. mivi + m2V2 = mici + m2C2

Die Summe der Impulse (BewegungsgroBen) beider Kdrper bleibt in jedem AugenbUck des StoBes konstaBt Da die Massen beider Korper unverandert bleiben, bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des einen Korpers kleiner, die des anderen groBer wird.

Impulserhaltungssatzfur zwei Kdrper mi,m2 vi, V2 ci, C2

Massen beider Korper Geschwindigkeiten vor dem StoB Geschwindigkeiten nach dem StoB

4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen StoBes Durch den Beriihrungspunkt beider Korper bei StoBbeginn legt man die Tangentialebene und errichtet darauf im Beriihrungspunkt eine Normale, die Stofinormale. Sie ist die Wirklinie der beiden Normalkrafte, die wahrend des StoBes zwischen beiden Korpem wirken. Verlauft die StoBnormale durch die Schwerpunkte beider Korper, dann spricht man von zentrischem Stofi. Wird diese Bedingung nicht erfiillt, dann liegt exzentrischer Stofi vor. Liegen die Geschwindigkeitsvektoren vi und V2 beider Kdrper beim StoBbeginn parallel zur Stofinormalen, dann spricht man von geradem Stofi. Bewegt sich einer der Korper oder auch beide nicht parallel zur StoBnormalen, dann liegt schiefer Stofi vor. Beim geraden zentrischen Stofi verlauft die StoBnormale durch beide Korposchwerpunkte, Beide Kdrper bewegen sich in Richtung der StoBnormalen.

vj > V2

Beachte: Die Lage der Normalkrdfte im Beriihrungspunkt bestinmit, ob zentrischer oder exzentrischer StoB vorliegt. Beachte: Die Richtung der Geschwindigkeiten v\ und V2 bestinmit, ob gerader oder schiefer StoB vorliegt. Beispiel fiir geraden zentrischen StoB: ZusammenstoB von Kegelkugeln auf der Riicklaufbahn. Eine weitere Unterteilung der StoBarten ist notwendig durch das unterschiedliche Verformungsverhalten der Korper: Man unterscheidet elastischen, unelastischen und wirklichen StoB.

4.8 Gerader zentrischer Sto6

225

4.8.3 Elastischer StoB Elastische Korper verformen sich beim StoB fedemd. Nach dem StoB ist die Verformung vollstandig zuriickgegangen. Auch die Verluste infolge auBerer und innerer Reibung werden vernachlassigt. Zwei Kugeln bewegen sich in gleichem Richtungssinn auf gemeinsamer Bahn. StoBt die schnellere Kugel mit der Masse mi und der Geschwindigkeit vi auf die langsamere Kugel mit der Masse m2 und der Geschwindigkeit V2, so wird beim StoB die schnellere Kugel verzogert und die langsamere Kugel beschleunigt. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c\, C2 beider Kugeln nach dem StoB wird der gesamte StoBvorgang in zwei Abschnitte unterteilt.

Merkmale des elastischen StoBes: Keine bleibende Formanderung nach dem StoB, vollstandige Trennung der Korper voneinander nach dem StoB, verlustfreier Energieaustausch.

Erster StoBabschnitt (Zusammendriicken) Er beginnt mit der Beriihrung der Kugeln und endet, wenn ihr Abstand ein Minimum (Imm) geworden ist (siehe F, ^-Schaubild). Dabei verformen sich die Kugeln. Die Formanderungsarbeit Wi wird der kinetischen Energie der schnelleren Kugel entzogen.

Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt die Summe der Impulse (BewegungsgroBen) konstant: vor dem nach dem ersten StoB StoBabschnitt

Am Ende des ersten StoBabschnittes besitzen beide Kugeln dieselbe Geschwindigkeit c.

^Zusammendriicken ^ (1. Stoliabschnitt)

I

M vi

^ (2.

Verformungsweg Entspannen I Stoliabschnitt)

'min

i

'm M

>V2

miVi +m2V2 miv\ + m2V2

cj


m]C -\- m2C Geschwindigkeit beider Korper am Ende des ersten Stofiabschnittes

Fiir Kugel 1 gilt: Zweiter StoBabschnitt (Entspannen) Er beginnt beim Abstandsminimum Ij^m der Kugel- V] — c = c — c\\ daraus folgt: mittelpunkte und endet mit der Trennung der ^mxvx -\-m2V2 C\ =2c ~v\ =2 vi Kugeln. Dabei wird die durch die Abplattung der m\ -\-m2 Kugeln gespeicherte Spannungsenergie verlustlos 2(m\V\ + m2V2) - {rn\ + ni2) v\ an die Kugel 2 abgegeben {E2 = E\). Kugel 1 m\ -\-m2 andert dabei ihre Geschwindigkeit von c auf ci m\V\ + 2m2V2 ~ ni2V\ und Kugel 2 von c auf C2. m\ -\-m2 Beim Entspannen wirkt auf beide Kugeln der glei(mi — m2)v\ + 2m2V2 che KraftstoB wie beim Zusammendriicken. Folgm\ + m2 Uch ist fiir jede der beiden Kugeln die Geschwin(mi - mz) vi + 2m2V2 digkeitsanderung in beiden StoBabschnitten gleich ci = Ml 4-^2 groB: v\ — c = c — c\ und c — V2 = C2 — c. Aus (m2 - mi) V2 + 2miV\ dieser Erkenntnis kann eine Gleichung fiir die C2 = mj 4-^2 Geschwindigkeit ci der Kugel 1 nach dem StoB entwickelt werden; in gleicher Weise erhalt man Geschwindigkeiten beider Korper die entsprechende Gleichung fiir die Kugel 2. nach dem Stofi

s

4 Dynamik

226 Da ein „kraftefreies System" vorausgesetzt wird (es wirken keine dufieren Krafte), gilt neben dem Impulserhaltungssatz auch der Energieerhaltungssatz (4.7.1, Seite 219).

Energieerhaltungssatz ftir den elastischen StoB: EE\;nde des StoBes (m\C\^

^Anfang des StoBes

'

1

-\-m2C2^)

[mivi

- m2V2

Beim elastischen StoB bleibt die Summe der kinetischen Energien beider Korper bei horizontaler Bewegung konstant. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes und des Impulserhaltungssatzes kann man eine weitere wichtige Beziehung herleiten:

Der umgeformte Energieerhaltungssatz wird durch den Impulserhaltungssatz dividiert: mi(vi - c i )

Beim elastischen StoB wird die Relativgeschwindigkeit (Differenz der Geschwindigkeiten vi und V2) nicht geandert Sonderfalle des geraden zentrischen StoBes elastischer Korper:

Vi + Ci = C2 + V2 V, - V 2 = C 2 - C i

Aus der Gleichung von Seite 225: c\ =

Beim elastischen StoB zweier Korper mit gleichen Massen tauschen die Korper ihre Geschwindigkeiten aus, Beim elastischen StoB eines Korpers gegen eine starre Wand, prallt er mit gleicher Geschwindigkeit zuriick.

(mi - m2) vi + 2m2V2 ^ m\ + m2

ergibt sich mit m\ —m2 = m\ ci

=•

{m — m) vi + 2mv2 m-\-m 2mv2 , , c\ — = V2 und analog C2 = vi 2m

^2 = 00; ci =-

Beim elastischen StoB eines Korpers sehr groBer Masse mi gegen einen ruhenden Korper kleiner Masse mz erhalt der ruhende Korper die doppelte Geschwindigkeit des stoBenden Korpers fe = 2vi).

m2(c2 - V2)

V2 = 0;

m\ vemachlassigt

-m2Vi + 2 m 2 • 0

-Vi

1712

c\ = - v i mi > 1712', C2

V2 = 0;

m2 vemachlassigt

- m i • 0-h 2mi vi :2V1

=-

mi

C2 = 2vi

Bewegen sich die beiden Korper auf der StoBnormalen aufeinander zu, so erhalten die Geschwindigkeiten vi und V2 und damit auch die Impulse beider Korper entgegengesetzte Vorzeichen (der Impuls ist ein Vektor). Beim StoB kehrt dann entweder einer der beiden Korper seine Bewegungsrichtung um, oder beide. Auch fur diesen Fall gelten fiir die Geschwindigkeiten c, c\ und C2 die entwickelten Gleichungen. Man erkennt die Richtungsumkehr eines Korpers daran, dass seine Geschwindigkeit nach dem StoB ein anderes Vorzeichen hat als vor dem StoB.

4.8 Gerader zentrischer StoB

227

4.8.4 Unelastischer StoB Unelastische Korper verformen sich beim StoB plastisch, d. h. sie erhalten eine bleibende Formanderung. Es wird also angenommen, dass keiner der beiden Korper federt. Erster StoBabschnitt Er verlauft wie beim elastischen StoB. Beide Korper besitzen am Ende des ersten StoBabschnittes die gemeinsame Geschwindigkeit c. Die Formanderungsarbeit ist jedoch nicht als Spannungsenergie gespeichert, sondem in Warme umgesetzt worden. Da auch hier ein kraftefreies System vorliegt, bleibt wie beim elastischen StoB der Gesamtimpuls erhalten, und fur die Geschwindigkeit c gilt dieselbe Beziehung wie beim elastischen StoB. Zweiter StoBabschnitt Er entfallt, weil ohne gespeicherte Spannungsenergie auch kein KraftstoB mehr auftritt, sobald beide Korper die gemeinsame Geschwindigkeit c erreicht haben. Beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit c weiter:

Merkmale des unelastischen StoBes: bleibende Formanderung nach dem StoB, keine Trennung der Korper voneinander nach dem StoB.

VI >V2

Energieerhaltungssatz fiir den unelastischen StoB: 1 /

A 2

— (mx +m2)c

1

=—

mivi^ +m2V2^) - AW

AW — — [mivi^ + m2V2^ •• (mi + 1712) C^] miVi + m2V2\

Beim imelastischen StoB wird die Relativgeschwindigkeit zu null. Ein Teil der kinetischen Eneigie wird liber die Formandemngsarbeit hW 'm W^rme umgesetzt

m\ -\- mi

J

eingesetzt und umgeformt ergibt:

AW^

1 mim2(vi -V2) 2 mi -h m2

w

m

V

m J kg s

Der Energieverlust der Korper (= FormanderungsEnergieabnahme beim arbeit AW) wird aus dem Energiesatz berechnet, unelastischen Stofi in den der Ausdruck fiir die Geschwindigkeit c (Seite 225) einzusetzen ist. Dieser Energie-„Verlust" ist fiir einige technische Anwendungsfalle von groBer Bedeutung: das Schmieden und Kaltumformen von Werkstiicken, das Nieten und das Rammen. 4.8.4.1 Schmieden und Nieten Hierbei soil die aufgebrachte Energie der Formanderung dienen. Die verbleibende kinetische Energie der Korper nach dem StoB muss niedrig gehalten werden. Beim Schmieden ist der angestrebte technische Nutzen die Formanderung des Werkstiicks.

Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass zum Nieten ein Hammer kleiner Masse und als Gegenhalter ein Korper groBer Masse zweckmaBig sind. Formanderungsarbeit AW kinetische Energie E\ vor dem StoB

228 Der Schlagwirkungsgrad rj ist dann das Verhaltnis zwischen der Formanderungsarbeit AW und der kinetischen Energie Ei = m\V2^/2 des Hammerbars beim StoBbeginn. Amboss und Werkstuck haben die gemeinsame Masse m2 und ihre Geschwindigkeit vor dem StoB ist V2 = 0. Die Wirkungsgradgleichung zeigt: Je groBer die Ambossmasse m2 im Verhaltnis zur Barmasse m\ wird, umso groBer wird der Wirkungsgrad rj. Tatsachlich verformt sich der Bar elastisch. Er springt also nach dem Schlag geringfiigig zuriick. Dadurch wird der Wirkungsgrad verringert.

4 Dynamik m\m2[y\ - V2) 2(mi +m2)

m2(vi - V2) (mi H-m2) vi^

mivi m2 mi + m 2 =

1

V2 = 0

, Wirkungsgrad ^^1^ Schmieden

ffu 1-1

m2 Hinweis: Bei normalen Maschinenhammem ist die Masse der Schabotte ( = Amboss mit Unterbau) etwa zwanzigmal so groB wie die Masse des Bars. Der Schmiedevorgang ist nur annahemd ein unelastischer StoB.

4.8.4.2 Rammen von Pfahlen, Eintreiben von Keilen Hier wird keine Formanderung angestrebt. Vielmehr soUen beide Korper nach dem ersten StoBabschnitt eine moglichst groBe gemeinsame Geschwindigkeit c besitzen, um den Widerstand der Unterlage gegen das Eindringen zu iiberwinden. Beim Rammen ist der angestrebte technische Nutzen eine moglichst grofie kinetische Energie E2 beider Korper nach dem StoB (genauer: nach dem 1. StoBabschnitt, weil der Untergrund durch plastische Verformung nachgibt). Der Schlagwirkungsgrad rj ist darum hier das Verhaltnis zwischen der kinetischen Energie E2 bei StoBende und der kinetischen Energie Ei bei StoBbeginn. Auch hier ist die Geschwindigkeit des einzurammenden Pfahles (Korper 2) V2 = 0. Die entwickelte Gleichung zeigt, dass der Wirkungsgrad umso groBer wird, je groBer die Masse mi des Bars oder Hammers gegeniiber der Masse m2 des Pfahles oder Keiles ist. TatsachUch fedem aber beide Korper beim Schlag. Dadurch wird der Wirkungsgrad kleiner.

Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass beim Rammen und Eintreiben ein schwerer Bar oder Hammer wirksamer ist als ein leichter. rj =

kinetische Energie E2 bei StoBende kinetische Energie Ei bei StoBbeginn (mi + m 2 ) c ^ 2 mivi^ '

^ 2 _ /mivi +m2V2\ \ mi +m2 y

^

V2 =

(mi 4-m2) mi^vi^ _ mivi2(mi +m2)

n^'1 +M2 mi

0

mi ^\ + ^2

Wirkungsgrad beim Rammen

Beachte: Das Rammen ist nur annahemd ein unelastischer StoB.

4.8.5 Wirklicher StoB Wirkliche Korper sind weder vollkommen elastisch noch vollkommen unelastisch, so dass ihr Verhalten zwischen den beiden in 4.8.3 und 4.8.4 behandelten Grenzfallen liegt. Die Aussagen fiir elastischen und unelastischen StoB lassen sich fiir den wirklichen StoB kombinieren.

Merkmale des wirklichen StoBes: Ein Teil der Formanderungsarbeit Wi verwandelt sich infolge der inneren Reibung in Warme Q = A £ und wird nicht zuriickgegeben. Es kann bleibende Formanderung auftreten (geringer als beim unelastischen StoB). Trennung der Korper nach dem StoB.

4.8 Gerader zentrischer StoB

229

Beim wiridichen StoB verkleineit sich die Relativgeschwindigkeit Die Formanderungsaibeit wird im zweiten StoBabschnitt nicht volktandig zurttckgegeben, sondem teilweise in Wanne umgewandelt.

Warme AQ = ^E

00

do Ci
Die fiir den elastischen StoB hergeleiteten Gleichungen lassen sich fiir den wirklichen StoB weiterentwickeln, wenn als Verhaltnis der Relativgeschwindigkeiten die StoBzahl k eingefiihrt wird. Die StoBzahl k hangt von der Werkstoffpaarung ab und wird durch Fallversuche ermittelt. Beim Fallversuch fallt eine Kugel aus dem einen Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus dem anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der Unterlage vor und nach dem StoB ist gleich null (v2 = 0 und C2 = 0). Die Fallhohe h und die Riicksprunghohe hi werden gemessen. Daraus wird mit den Gesetzen des freien Falls und des Wurfs senkrecht nach oben die StoBzahl k berechnet.

it =

(^2~C\ V\ — V2

Stofizahlen:

k k k k

Definitions gleichung der Stofizahl = = = =

1 0 0,35 0,7

elastischer StoB unelastischer StoB Stahl bei 1100 °C Stahl bei 20 °C

Vl

/2^

0-1

vi - 0 k =

Die Ruckprallgeschwindigkeit ci der Kugel ist der Aufprallgeschwindigkeit vi entgegengerichtet und muss deshalb mit negativem Vorzeichen in die StoBzahlgleichung eingesetzt werden.

Auch fur den wirklichen StoB gilt der Impulserhaltungssatz fiir kraftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz die Beziehung fiir C2 eingesetzt, die man aus der Definitionsgleichung fiir die StoBzahl entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung eine Gleichung fiir die Geschwindigkeit ci des Korpers 1 nach dem wirklichen StoB. Durch Vertauschen der Indizes erhalt man die entsprechende Gleichung fiir die Geschwindigkeit cj des Korpers 2.

m\V\ + m2V2 = m\C\ + m2C2 C2 — k{v\ — V2) -\- c\ eingesetzt ergibt:

Setzt man die so entwickelten Beziehungen fiir ci und C2 in die Gleichung fiir den Energieerhaltungssatz des wirklichen StoBes E2 = Ei — /SW ein, dann erhalt man nach einer langeren Entwicklung die Gleichung fiir den Energieverlust AW beim wirklichen StoB.

E2=Ex-

miV\ 4- m2V2 — m2{y\ — V2) k ci

=

m i + m2 m i Vl + W2V2 + m i (vi - V2) k

C2

mi + m 2

Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stofi

^W

— (mici^ + m2C2^) = — (mivi^ + m2V2^) - AW

AW:

1 mim2(vi - vif (1 ^ k^) 2 mi-hm2

Energieverlust beim wirklichen Stofi

230

4 Dynamik

4.8.6 Ubungen zum geraden zentrischen StoB 1. IJbung: Ein beladener Waggon von 80 t Masse stoBt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s auf einen Waggon von 15 t Masse, der ihm mit einer Geschwindigkeit von 1,8 m/s entgegenkommt. Welche Geschwindigkeit c haben beide nach dem ersten StoBabschnitt und mit welchen Geschwindigkeiten c\, C2 fahren sie nach dem StoB weiter, wenn elastischer StoB angenommen wird? Losung: Da sich beide Waggons aufeinander zu bewegen, muss die eine Geschwindigkeit ein negatives Vorzeichen bekommen. Man wahlt dafiir die Geschwindigkeit V2 des kleineren Korpers, da die Erfahrung lehrt, dass meistens der Korper mit groBerer Masse seine Bewegungsrichtung beibehalt. Der Betrag fiir die gemeinsame Geschwindigkeit c hat ein positives Vorzeichen, also gleichen Richtungssinn wie vi (kein Vorzeichenwechsel), aber entgegengesetzten Richtungssinn wie V2 (Vorzeichenwechsel). Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c\ und C2 setzt man in die Gleichungen aus 4.8.3 (Seite 225) den Betrag der Geschwindigkeit V2 mit negativem Vorzeichen ein. Beide Geschwindigkeiten c\ und C2 ergeben sich positiv, d. h. Waggon 1 behalt seine Bewegungsrichtung bei. Waggon 2 lauft riickwarts weiter. Zusammenfassend kann gesagt werden: Waggon 2 lauft nach dem StoB in entgegengesetzter Richtung mit erhohter Geschwindigkeit weiter. Waggon 1 wird langsamer, behalt aber seine Bewegungsrichtung bei. 2. Ubung: Der Bar eines Fallhammers wiegt 1000 kg und seine Schabotte 25000 kg. Der Bar trifft mit einer Geschwindigkeit von 6 m/s auf das Werkstuck. Die StoBzahl betragt k^0,5, Zu berechnen sind: der Schlagwirkungsgrad rj und die prozentuale Verteilung der Gesamtenergie am Schlagende auf Bar, Schabotte und Werkstuck. Die Massen von Amboss und Werkstuck konnen vemachlassigt werden.

Gegeben: mi = 801 vi m2 = 15 t Gesucht:

1^ s

V2 = — 1,

Geschwindigkeiten c, c\ und C2

Die gemeinsame Geschwindigkeit c nach der ersten StoBperiode betragt: c=

m\V\ -\- m2V2

80 t l ^ + 1 5 t . ( - l , 8 5^ s V s80t4-15t

: 0,5579

(m\ — 1712) v\ + 2m2 V2 m\ +1712

(80-15)t-l - + 2.15t. ( - 1 , 8 - ) *-l

C\

80t+15t = 0,1158^ s (m2 — m\)v2

'^2

+

2m\V\

m\ -\- m2

(15-80)1- ( - l , 8 - ) + 2 - 8 0 t - l Cl

C2 =

80t+15t 2,9158^

Gegeben: Barmasse m\ = 1000 kg Schabottemasse 1712 = 25 000 kg Auftreffgeschwindigkeit vi = 6 m/s StoBzahl k = 0,5 Gesucht: Wirkungsgrad rj, prozentuale Verteilung der Energie auf Bar, Werkstuck und Schabotte.

4.8 Gerader zentrischer StoB Losung: Den Wirkungsgrad berechnet man aus Nutzen und Aufwand beim Schlag. Der Nutzen besteht hierbei in der dem Werkstiick zugefiihrten Verformungsarbeit. Das ist der Energieverlust AW beim StoB. Als Aufwand wird die Energie E\ beider Korper unmittelbar vor dem StoB eingesetzt. Das ist die kinetische Energie des Bars, da die Schabotte mit Amboss und Werkstiick ruht. Der errechnete Wirkungsgrad sagt aus, dass die Anfangsenergie zu 72,11% in Verformungsarbeit umgesetzt wird. Der Rest verbleibt als kinetische Energie nach dem StoB in beiden Korpem. Es werden zunachst die Geschwindigkeiten c\ und C2 der Korper nach dem StoB berechnet. Die Geschwindigkeit c\ enthalt ein negatives Vorzeichen, d. h. sie ist der positiv in die Rechnung eingesetzten Geschwindigkeit vi entgegengerichtet (Vorzeichenwechsel = Riickprall des Bars).

231 ^w-

"^'^^ (i v , - V 2-^2n ) ^ ( l - A :^2^ ^) 2(mi +m2^

2 • 26 • 10^ kg

s2

A\y = 12 980,77 Nm = 1,298 • 10^ J n2

£1 =

1 000 kg • 36m^

2

mivi 2

1,8 lOM

2

AW Ex

1,298 10^ J : 0,7211 1,8 104 J

m\V\ + m2V2 — m^iyx — V2) k m\V\ — m2V\k

m\ + m-i m 0,5 1 0 3 k g . 6 - - 25- 10^ kg 6 s s c\ = 26 • 103 kg 6"^-75?^ -2,6538-

26

Die Geschwindigkeit C2 der Schabotte nach dem StoB bestimmt man am einfachsten aus der Defmitionsgleichung flir die StoBzahl k. In die Gleichung fiir C2 muss c\ mit seinem MinusZeichen eingesetzt werden.

k —

Nun ist es moglich die kinetischen Energien £"26 fiir den Bar und £"28 fiir die Schabotte nach dem StoB zu berechnen.

ElB

= Vi -

; mit V2 = 0 Vl

V2

ci == kV] + C i Cl

=: 0 , 5 . 6 ™

s

-(-

2,6538 ^ ) = -h 0,3462

10^ k g . ^2,6538

Die Energiebilanz zeigt, dass fast 20% der aufgewendeten Energie durch den Riickprall des Bars nicht in Verformungsarbeit umgesetzt werden; eine Folge des halbelastischen StoBes mit der StoBzahl 0,5. Der Schlagwirkungsgrad wird dadurch betrachtlich verschlechtert.

AofgabeiiNn 577-581

V2 = 0

m\ Hhm2

2

2

IT

ElB = 3521,33 Nm - 3,521 • 10^J

m2C2^

25 10^ kg • (^0,3462

£25 = 1498,18 Nm - 1,498 • 10^ J

Energiebilanz: Korper

Energie in J

%

Bar Schabotte Werkstiick

3521,33 1498,18 12980,77

19,56 8,32 72,11

El

18000,28

99,99

-)

m s

232

4 Dynamik

49 Dynamik der Drehbewegiing (Rotation) Wie in der Bewegungslehre sollen auch hier die hergeleiteten Gleichungen und die wichtigsten Erkenntnisse sofort mit den entsprechenden Gleichungen der Dynamik fiir die geradlinige Bewegung verglichen werden (Analogiebetrachtung). Damit kommt man iiber Bekanntes leichter zum Verstandnis des Neuen.

4.9.1 Das dynamische Grundgesetz fiir die Drehbewegung Das dynamische Grundgesetz Fres = ma der geradlinigen Bewegung gilt auch fiir jede Teilmasse Am des beschleunigt umlaufenden Korpers. Fiir die resultierende Kraft Fres setzt man hier die (kleine) Tangentialkraft AFj ein. Gleichsinnig gerichtet ist die Tangentialbeschleunigung a^. Damit wird aus ^res — ma nach 4.4.3 (Seite 192) das dynamische Grundgesetz fiir die Teilmasse AFT = Am a^.

AFf Tangentialkraft a J Tangentialbeschleunigung

Resultierende Tangentialkraft A F T und Tangentialbeschleunigung aj der Teilmasse Am

Multipliziert man das dynamische Grundgesetz fiir die Teilmasse Am mit dem Radius r, dann steht links vom Gleichheitszeichen mit AFjr = AM das Teil-Drehmoment der Tangentialkraft FT in Bezug auf die Drehachse A des beschleunigt umlaufenden Korpers. AuBerdem wird nach 4.3.4 (Seite 184) fiir die Tangentialbeschleunigung aj = a r eingesetzt (a Winkelbeschleunigung).

Fres = ma = Am ajl • r A F T f" = Am aj r AM = Am aj r AM — Am arr = Am r^a

Es wird nun die Summe aller Teil-Drehmomente 2 AM gebildet. Dann steht auf der linken Gleichungsseite das resultierende Drehmoment Mres, was der resultierenden Kraft Fres bei der geradlinigen Bewegung ent-

2 AM ^ 2 Amn ''n «

AFT

Mres = 2 Amn ''n^«

(Index n heiBt natiirliche Zahl, also 1,2,3,...)

Spricht (Mres = Fres).

Auf der rechten Seite der Gleichung darf die konstante Winkelbeschleunigung a vor das Summenzeichen gesetzt werden. Der restliche Summenausdruck 2 Amn r^ wird als Trdgheitsmoment J bezeichnet. Das muss man gesondert behandeln (4.9.2, Seite 233). Damit ist das dynamische Grundgesetz fiir die Drehung eines Korpers um eine raumfeste Achse gefunden.

Mres = a 2 Amn ^n

Mres =

aJ

Das Tragheitsmoment J kann nach DIN 1304 auch als Massenmoment 2. Grades bezeichnet werden. Gleichungen fiir das Tragheitsmoment verschiedener Korper siehe Seite 235.

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

233 iiesultiaiendes T^ * », *^ iWinkdDiehmoment = ^^ ^^ ' • beschleiinimoment/ Mres gunga

Das auf einen Korper vom Trigheitsmoment J einwirkende resultierende Drehmoment M^s ist gleich dem Produkt aus dem Tragheitsmoment / iind der Wmkelbeschleunigung a (Winkelverzogemng) d ^ K5rpets.

J

Mres Mrm

=JGL XT

^g

kg m^

^^

a rad

Nm = —^— Der Vergleich mit d e m dynamischen Grundgesetz

Dynamisches GmndgesetzfUr

Fres = ma zeigt: Das resultierende Drehmoment entspricht der resultierenden Kraft (Mres = /^res). das Tragheitsmoment entspricht der Masse des Korpers (7 = m) und die Winkelbeschleunigung entspricht der Beschleunigung {a = a).

J = m

Mies — Fie

Fres =ma Mr^^Ja

Drehung

siehe auch 4.3.1, Seite 182 und 4.6.1, Seite 213.

4.9.2 Tragheitsmoment J und Tragheitsradius / 4.9.2.1 Definition des Tragheitsmomentes In der Herleitung des dynamischen Grundgesetzes fiir die Drehung eines Korpers entstand der Summenausdruck 2 Amn r^, der mit Tragheitsmoment J bezeichnet wird: MidtipMert mm jede Teilmasse Am eines Korpers mit dem Quadrat ihres Abstandes von der Dreh^hse, dann ergibt die Summe dieser Produkte das Tragheitemoment / dieses Korpers* Die Einheit des Tragheitsmomentes J ergibt sich wie gewohnt aus der Definitionsgleichung: Mit den koharenten Einheiten kg und m erhalt man hier das Kilogramm-Meterquadrat (kg m^). Natiirlich kann auch mit jedem anderen Produkt aus einer gesetzlichen Masseneinheit und dem Quadrat einer gesetzlichen Langeneinheit gerechnet werden. Mit Hilfe der Gesetze der Integralrechnung hat man fiir geometrisch einfache Korper die Berechnungsgleichungen fiir das Tragheitsmoment entwickelt (siehe Tabelle 4.5). Fiir kompliziertere Korper bestimmt man das Tragheitsmoment z. B. durch Schwingungsversuche (siehe FuBnote Seite 205).

He

: a l ! Amn ''n — CLJ

J = Ami ^1^ + Am2 r2^ + Ams r-^^ + .. + Amn ^n

/^SAmnTn

J

Am

r

kgm^

kg

m

{J) : (m) {r' {J)- kgm^

Beispiel: 0,004 kg m^ = 0,004 • 10^ g • 10^ mm^ J y = 4 • 10^ g mm^ : 4 - lO'^gcm^ = 40000 gcm^ Beispiel: Fiir einen Kreiszylinder wird in Bezug auf seine Langsachse mit m= 10 kg und r = 200 mm nach Tabelle 4.5, Seite 235:

A ^ Y mr^

1

10 kg • (0,2 m ) ' = 0,2 kg m^

4 Dynamik

234 4.9.2.2 Ubung zum Tragheitsmoment Das Verstandnis fiir die Berechnungsgleichungen in Tabelle 4.5 (Seite 235) wird vertieft, indem mit Hilfe der Definitionsgleichung fiir das Tragheitsmoment 7 = 2 Amn r^ eine Gleichung entwickelt wird, die fiir den Kreiszylinder gilt. Fiir die x-Achse des Kreiszylinders muss man nach Tabelle 4.5 die Gleichung J^ — Qiir^hjl fmden (Q ist die Dichte des Stoffes).

Man lost zunachst den Kreiszylinder in drei Teilkorper auf (Ami, Am2, tsm-^) und legt deren mittlere Radien ri, r2, rs in Abhangigkeit vom Radius r fest, denn das sind die Radien, mit deren Quadrat die Teilmassen Ami, Am2, Ams zu multipHzieren sind (/x = 2 Amn r^^.

I

Am2

Amj

J^ = Amj rf + Am2r2 + Arrisrj

2

Die Teilmassen selbst erhalt man nach 4.4.2 als Produkt aus Dichte Q, Flache A und Dicke h.

Am/

w 70x|

4

Ami = QA]h = ghnr

—

Am2 = gAih = Qhnr^

32 —

Am3 = QA^^h = Qhnr

I

2 64 —

Ai = Jt( —- r I = Jir^

6 \^ 10 10 V /lO 10

100 (1 \^ 10

^M' To

2 32 100 64 2

,

, 32

16 2

Too Am3 r^,'

Die Summierung der Produkte 2! Amn ^n^ = A ergibt in der Rechnung vor dem Produkt Qn/'h den Faktor 1/2,17, wahrend die exakte Berechnung zu dem Faktor 1/2,00 fiihren wiirde, wie die Tabelle 4.5 (Seite 235) zeigt. Wenn die sehr grobe Aufteilung des Kreiszylinders schon zu dieser Annaherung fiihrt, dann ist anzunehmen, dass eine Unterteilung in 6 oder 12 Teilkorper fast genau den exakten Faktor 1/2,00 ergibt.

4, 4096 ^^^'-'TOOOO 2

4612

4,

1

4

2,17 ^ / 1 I exakt nach Tabelle 4.5: A = ^m'

^'^^-^f,]

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

235

Tabelle 4.5 Gleichungen flir Tragheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) Tragl^itsmoment / (A urn die x-Achse; /z um die z-Achse; Jo um die 0-Achse)

Alt des Korpers Rechteck, Quader

A = T^ m{b^ +h^)=i^

Qhbs(b^ + h^)

bei geringer Plattendicke s ist gbh^ s',Jo = — mh^ = — gbh^ s

n mh'

Wiirfel mit Seitenlange a: J^ = Jz = m Kreiszylinder

^Liz

J. =

Hohlzylinder

mp- = — md^ = — gncfh 32

A 1

=—

gnr^h

1

-mU^^'-h^\^^,.d^hU^-h'

J>,2

A = ^QnhiR* - / )

Kreiskegel 3 /?5 - r ^ Kreiskegelstumpf: A = 77; ^ ^ 3 Zylindermantel Hohlzylinder mit Wanddicke s = (D — d)/2 sehr klein im Verhaltnis zum mittleren Durchmesser dm = {D-\- d)/2 Kugel

.-y^^.

1

Jx =-mdm 4

2

1

=-Q^dm 4

Jz =7:m{ dm^ +-h'

1

hs 1

}TCdjnhsl


•'"-|""'"[5"'''=S«"'''-B'""'

Hohlkugel (Kugelschale) Wanddicke 5 = {D ~ d)/2 sehr klein im Verhaltnis zum mittleren Durchmesser d^ = (D-\- d)/2

A=Jz=-r

Ring

y. = .(/e^+^.^)=yz,2^3^.

2\ D

16

o

mdm^ = — QKdJ^s o

V

4

/

4

-IS

4 Dynamik

236 4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner'scher Satz) Die Berechnungsgleichungen fiir Tragheitsmomente / in Tabelle 4.5 wurden fiir die Schwerachsen der Korper entwickelt, so wie bei der Herleitung der Gleichung J^ = {),5Qn/h fiir den Kreiszylinder. Diese Gleichungen gelten also fiir den Fall, dass die Korperschwerachse zugleich Drehachse ist. Decken sich Korperschwerachse x — x und Drehachse 0-0 (Bezugsachse) nicht, wie z. B. beim Kurbelzapfen (Kreiszylinder) auf der Kurbelscheibe, dann muss man das Tragheitsmoment JQ des Teilkorpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die parall e l Drehachse 0-0 nach dem Verschiebesatz von Steiner bestimmen. Das ist das gleiche Verfahren wie z. B. bei der Biegebeanspruchung in der Festigkeitslehre, wenn die Flachenschwerachse der Teilflache nicht zugleich Biegeachse der ganzen Flache ist (siehe 5.7.6). Zur Herleitung des Verschiebesatzes geht man von der uneingeschrankt giiltigen Defmitionsgleichung fiir das Tragheitsmoment aus, hier bezogen auf die Drehachse 0-0. Der Abstand der Teilmasse Am von der Bezugsachse betragt jetzt l-\- r^, wie die Skizze der Kurbelscheibe zeigt.

In Tabelle 4.5 (Seite 235) sind die x-Achsen und die z-Achsen Schwerachsen der Korper. /x ist das Tragheitsmoment des Korpers bezogen auf die Schwerachse x- x usw.

x-x Schwerachse des Kreiszylinders 0-0 Drehachse (Bezugsachse) Tn zu Amn gchoriger Radius Amn beliebige Teilmasse / Abstand Schwerachse-Drehachse (Bezugsachse)

Jo = Summe aller Teilmassen mal Abstandsquadrat yo = 2Amn(/ + rn)^ yo = 2Amn(/^+2/rn + rn2) JQ = fix Amn + 2/SAmn ^n + 2 Amn r^^ l.Glied

2.Glied

3. Glied

Das erste Glied der gefundenen Gleichung ftihrt zum Produkt m/^, weil 2 Am = m = Masse des Kurbelzapfens ist.

rSAmn = fim = mfi

Das zweite Glied wird null, weil 2 AmnTn = 0 ist. 21 Amn ''n ist die Summe der statischen Momente aller Teilmassen bezogen auf die Schwerachse des Korpers. Diese Momentensumme ist gleich null (siehe Momentensatz und Schwerpunktslehre).

2/2 Amn rn =21 0 = 0

Das dritte Glied erkennt man sofort: Es ist das Tragheitsmoment J^ des Teilkorpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die eigene Schwerachse (J^ — J^ nach Tabelle 4.5).

2 Amn rn^ = J^ = Js /s ist das Tragheitsmoment des Korpers bezogen auf die eigene Schwerachse. Es kann J^, J^ Oder Jo nach Tabelle 4.5 sein.

237

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Damit kann man den Verschiebesatz formulieren: Das TfigheitsmoHient Jo fur eine Drehachse 0-0 ist gleich dem Tragheitsmoment /g Air die parallele Schwerachse s—s des Korpers, vermehrt urn das Pmdukt aus der Masse m des Korpers und dem Abstandsquadrat f- der beiden Achsen. Eine der beiden parallelen Achsen muss stets Schwerachi^ sein.

Sind die Tragheitsmomente 7sh Jsi. Js3 mehrerer Teilkorper auf eine zu den Teilschwerachsen parallele Drehachse 0-0 zu beziehen, dann ist immer das Produkt mi/i^, m2l2^, ^3/3^ hinzuzufiigen. Decken sich die Schwerachsen der Teilkorper mit der Drehachse, dann werden die Produkte mPgleich null, d. h. man darf dann (aber nur dann) die Tragheitsmomente einfach addieren (fiir Bohrungen subtrahieren).

Ubung: Die im Abstand / = 200 mm um eine Drehachse 0 rotierende Kugel hat den Radius r = 10 mm und die Dichte ^ = 8,6 g/cm^. Es soil das Tragheitsmoment JQ fur die Drehachse bestimmt werden.

Losung: Der Verschiebesatz wird angesetzt. Fiir das Tragheitsmoment 7s der Kugel in Bezug auf die eigene Schwerachse findet man in Tabelle 4.5 (Seite 235) die Beziehung J^ = (2/5) mr^ = J^. Aus der Mathematik ist die Gleichung fiir das Kugelvolumen bekannt. AuBerdem weiB man, dass m = V^ ist (4.4.2, Seite 191). Fiir die Ausrechnung wird hier als Masseneinheit g, und als Langeneinheit cm benutzt. Mit 1 g = 10"^ kg und 1 cm^ = 10"^ m^ kann abschlieBend leicht umgerechnet werden.

Verschiebesatz 0

Jo, Js

m

/

kg m^

kg

m

Verschiebesatz Beachte: Bei Bohrungen werden J^ und auch mf fiir die Bohrung negativ.

Jo — Jsl + /s2 + is3 + ' • • + /sa

(gilt nur fur/i = 0 , / 2 = 0 , / 3 =0.../n==0)

S

Schwerpunkt

Drehachse 0 Kreisbahn

4 . m = — 71 rg J,=—mr^

(Kugelmasse) (nachTabelle4.5, Seite235)

Jo = _ mr^ +ml^ =m f — r^ + /^ Jo=\^r'Q(^r'^f Jo = 14424 g cm^ = 14,4 kg cm^ Jo = 14,4 • 10"^ kg m^

4 Dynamik

238 4.9.2.4 Reduzierte Masse iWred und Tragheitsradius / Reduzierte Masse mred eines Korpers ist eine in beliebigem Abstand r von der Drehachse gedachte Ersatzmasse, die in Bezug auf die Drehachse das gleiche Tragheitsmoment J^ besitzt, wie die verteilte Masse m des urspriingUchen Korpers. Dabei kann man sich die reduzierte Masse mred als sehr diinnen HohlzyHnder, als Kugel, als Punkt usw. denken. Manche Rechnungen und (Jberlegungen werden dadurch einfacher. Je nach Wahl des Abstandes r fiir die reduzierte Masse erhalt man daflir einen anderen Betrag, denn es muss immer von der Definitionsgleichung fiir das Tragheitsmoment ausgegangen werden, in diesem Fall also von

Beispiel: Gesucht ist die reduzierte Masse mred fur einen Kreiszylinder der Masse m, wenn man sich die Masse m auf den Zylinderumfang reduziert denkt. f^red-~^

dOnner

Kreiszylinder

Im nebenstehenden Beispiel soil die Masse m des Kreiszylinders auf den Zylinderumfang bezogen werden (r bleibt gleich groB). Dann ergibt sich aus «/s = ^red^ die reduzierte Masse ^red = Js/r^ = ml 2. Man erhalt demnach die reduzierte Masse mred, indem das Tragheitsmoment J^ des urspriinglichen Korpers durch das Quadrat des gewahlten Radius dividiert wird. Tragheitsradius i eines Korpers ist derjenige Abstand von der Drehachse, in dem man sich die Masse m des Korpers als reduzierte Masse umlaufend vorstellen muss, ohne dass sich das urspriingliche Tragheitsmoment J^ des Korpers andert. Nach der Definitionsgleichung fiir das Tragheitsmoment muss mit Masse m und Tragheitsradius / jetzt /s = mi^ gelten. Daraus lasst sich der Tragheitsradius bestimmen.

Anf^dMaiNr. 582-596

HohlzyHnder

If-

: mred r

mred Ersatzmasse {reduzierte Masse)

mted = -

rotierende Scheibe mit der Masse m

ragheitsradius i

in einem Punkt konzentrierte Scheibenmasse m

I— ^I'Ll

/s gegebenes Tragheitsmoment m gegebene Masse / gesuchter Tragheitsradius

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

239

4.9.3 Ubung zum dynamischen Grundgesetz fiir die Drehung Ubung: Durch einen Bremsversuch soil das Tragheitsmoment J einer Scheibenkupplung bestimmt werden. Die Kupplung besitzt die Masse m = 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes Bremsmoment von 20 Nm in 25 s von n\ = 2800 min"^ auf ^2 = 1345 min"^ abgebremst.

Losung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt man die Winkelbeschleunigung a defmitionsgemaB durch a = Aw/At = {a)\ - 0)2)/^t und lost die Gleichung nach J auf. In der Ausrechnung wird die Einheit Nm fiir das resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten (1 N = 1 kgm/s^) ersetzt.

Gegeben: M^c : 2 0 N m At- :25 s ^ni rad c^i = = 293,2 — 30 s 0)2 = -ir^ = 140,8 30 s J^= J = f{Mrcs, At, a) ], (1)2)

Gesucht:

Ao) Mres = JOi -

a)\ — 0)2

~Ai"'

/=

J

20

kg m^

=f{Mres,^t,a)u(02)

25 s

(293,2 - 140,8)

rad

: 3,28 kg m^

4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz fiir die Drehung Das dynamische Grundgesetz fiir Drehung kann in eine andere Form gebracht werden, mit der sich bestimmte Aufgaben einfacher losen lassen. Dazu schreibt man fiir die Winkelbeschleunigung a = Aco/At und multipHziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt At. Diese Gleichung eignet sich besonders fiir Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt At eine Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 202). Das Produkt aus dem resultierenden auBeren Drehmoment Mres und dem Zeitabschnitt At heiBt MomentenstoB. Das Produkt aus dem Tragheitsmoment / eines Korpers und seiner Winkelgeschwindigkeit o) wird als Drehimpuls oder Drall bezeichnet: Die Anderung des Drehimpulses eines Korpers ist gleich dem MomentenstoB des resultierenden Drehmomentes wahiend des betrachteten Zeitabschnittes. Der Itehimpuls ist ein Vektor.

Mre

Aft;

= Ja

a = —— At Ao) •At

M,e

At = t2- ti M,e

At = JAa)

Mre {t2-t\)

At

Aa) = a)2-a)i

=J (0J2 - (0\) gilt fiir ^^ Mres = konstant

M , ; At MomentenstoB des resultierenden

Drehmomentes

Jo)

Drehimpuls (Drall) des Korpers

Mies At = 7ft>2 -

Jm

4 Dynamik

240 1st das resultierende Drehmoment Mres aller au6eren Drehmomente gleich null (momentfreies System), dann ist auch der MomentenstoB Mres A/ gleich null: Bei Mfcs = 0 bleibt der Etehimpuls eines Kdrpars imveitiideit (Jm = konstant). Bin Vergleich der voranstehenden Entwicklungen mit den Herleitungen zum Impuls bei geradliniger Bewegung (4.4.9, Seite 200) zeigt deutlich die strukturelle Ubereinstimmung der Gesetze der geradlinigen Bewegung und der Drehbewegung (Analogic).

Mres ^ ^ = J^l

— J^\

JQ)2 = Jmi = konstant Impulserhaltungssatz fur Drehung

4.9.5 Kinetische Energie Erot (Rotationsenergie) Man geht auf die gleiche Weise vor wie im AbMres — JOL— J schnitt 4.7.3, Seite 220: Aa> = 0) gesetzt Wird ein Korper, z. B. eine Schwungscheibe, aus Mres A9? : dem Stillstand heraus auf die Winkelgeschwindigkeit 0) gebracht, dann ist dazu nach dem dyna3 (1) tS.t II Mn mischen Grundgesetz das resultierende Dreh'^'f=^lt 2 3 moment Mres = JcL erforderUch (4.9.1, Seite 232). < Wa Mres A(y9 = t [^ Af Mres dreht den Korper um den Drehwinkel Acp, verrichtet also am Korper eine Arbeit, die BeRotations- Beschleunigungsschleunigungsarbeit W^ — Mres A(^. energie £rot arbeit Wa Das ist genau die Energie oder Arbeitsfahigkeit, mit der der Korper, z. B. das Schwungrad, nun an Wa J 2 einem anderen Korper Arbeit verrichten kann. Da rad nur solche Korper diese Energieart besitzen, die J = Nm kgm^ Rotationsenergie sich mit der Winkelgeschwindigkeit o) drehen, spricht man von Rotationsenergie £rotMasse m = Tragheitsmoment J Mit der bisherigen Kenntnis der einander entspreGeschwindigkeit v ^ Winkelchenden GroBen der geradlinigen und der Drehbegeschwindigkeit 0) wegung hatte man die Gleichung fiir die RotatiJ 2 m 2 r, onsenergie sofort hinschreiben konnen. ^kin = — V =^ Efot = 2" Besitzt ein Korper schon die Winkelgeschwindigkeit a)\ und wird er durch Mres iiber dem Drehwinkel A99 auf die Winkelgeschwindigkeit 0)2 gebracht, dann wird fiir t^q) — {0)2'— (Ox'^jla eingesetzt (Tabelle 4.3, Seite 186). Damit erhalt man eine Gleichung fiir die Beschleunigungsarbeit V^^ in der allgemeinen Form. Wa gibt dann zugleich die Anderung der Rotationsenergie des KorWa-=jim2^'~mi^) A^tot pers an (Af'rot = £^rot2 — ^^roti)- Vergleiche mit Seite 220. Anderung der Rotationsenergie

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)

241

4.9.6 Energieerhaltungssatz fiir Drehung Der Energieerhaltungssatz fiir technische Vorgange nach Abschnitt 4.7.5, Seite 221, muss auch fiir die Drehbewegung gelten. Enei^ieerlialtiuigjsssate; Die Rotatiooseoeigie E^E ani Ende eines Voigangs ist gleich der Rotationsenergie EiotA am Airfang des Vojcgangs, vermehrt um die wahrend des Vorgangs zugefuhrte Arbeit Wm und veonindeit um die wahrend des Vorgangs abgegebene Arbeit W^, EtotE

Rotationsenergie am Sick des Vorgangs

Rotations. ^ enc^eamAnfang des Vorgangs

. +

Ubung: Eine Schleifscheibe von d\ = 500 mm Durchmesser und der Masse m = 25 kg wird bei einer Drehzahl n= 1480 min~' ausgeschaltet und lauft in 387 s aus. Der Lagerdurchmesser betragt ^2 = 50 mm. Gesucht wird die mittlere Reibzahl ju in den beiden Gleitlagem der Schleifscheibenwelle. Losung: Bei diesem „Auslaufversuch" zur Bestimmung der Reibzahl in den Lagem ist ErotE = 0, denn am Ende des Vorgangs ruht die Scheibe. Ebenso ist Wzu = 0, weil keine Arbeit zugefiihrt wird. Dagegen wird wahrend des Vorgangs Reibarbeit WR abgefiihrt (Reibarbeit der Reibkraft F^fi).

^.., _^ zugefuhrte ^^.^

, ^...^ abgefuhrte ^^^

-

n = 1480 min ' d2 = 50 mm

+ Wz, 0 = y a>2 + 0 WR=MRA(^;

Wat - WR

Ag) =

CO Ar -y0

MR = F^fi — = mgfx —\

WR = mgju

Anfangsenergie ist die Rotationsenergie Erot = Jco^/2, mit 7 = mr^/2 nach Tabelle 4.5, Seite 235. Fiir r^ muss man {d\ /2) einsetzen. 1

Beim Auslaufen wird demnach die gesamte Anfangsenergie durch die Reibarbeit aufgezehrt

di^ 2 m —— 0) 4

tr^

J.

mgfi

d2 (o Ar — 2~

(JO — gjud2 At

Aufgabm Nr. 597-605

i« =

^mg

d2 0) Ar

WR;

1

FN =

Af FG

4gd2 At

// = 0,051

4 mo)

t

4 Dynamik

242 4.9.7 Fliehkraft 4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft Nach dem Tragheitsgesetz bewegt sich jeder Korper mit konstanter Geschwindigkeit (v = konstant) auf geradliniger Bahn weiter, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt. Dann bleibt also nicht nur der Betrag des Geschwindigkeitsvektors erhalten (z. B. v = 4 m/s), sondem auch Richtung und RichtungS5i>zn. Soil sich ein Korper auf einer kreisformigen Bahn bewegen, dann kann zwar der Betrag der Geschwindigkeit Vu (Umfangsgeschwindigkeit) gleich groB bleiben (Vu = konstant), aber die Richtung des Geschwindigkeitsvektors andert sich laufend. Es soil nun der Betrag der zum Mittelpunkt M gerichteten Zentripetalbeschleunigung aj^ bestimmt werden: Bei gleichformiger Kreisbewegung bleibt der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit gleich groB, also Vui = Vu2 = Vu, jedoch hat sich ihre Richtung auf dem Weg von P\ nach P2 geandert. In beiden Punkten ist Vu tangential gerichtet. Der Kreisbogen P\P2 muss entsprechend der Grundgleichung fiir die gleichformige Bewegung gleich Vu Ar sein, alsoPiP2 == Vu A^ Der Radius des Kreises wird mit r^ bezeichnet, um schon hier deutlich zu zeigen, dass immer die Umlaufbahn des Massenschwerpunktes eines Korpers zu betrachten ist. Man zeichnet sich nun die beiden Geschwindigkeitsvektoren in den beiden Punkten P\ und P2 heraus (Parallelverschiebung) und bezeichnt die Endpunkte der Geschwindigkeitspfeile mitP\ und P'2. Aus der Ahnlichkeit der beiden schraffierten Dreiecke kann man die Verhaltnisgleichung herausgelesen werden. Fiir sehr kleine Zeitabschnitte Ar kann man p' pi P\P'2 setzen. Die Richtungsanderung der beiden Geschwindigkeitsvektoren Vui, Vu2 ist der Vektor der Geschwindigkeitsanderung Av. Damit wird die Verhaltnisgleichung entsprechend umgeschrieben.

Beachte: Wichtig ist fiir die folgende Betrachtung, dass jeder Korper ohne auBere Einfliisse von sich aus bestrebt ist, die gerade Bewegungsbahn beizubehalten.

Beachte: Auch bei gleichformiger Kreisbewegung muss der umlaufende Korper dauemd in Richtung zum Mittelpunkt bin abgelenkt werden: Das ist ein Beschleunigungsvorgang und es gilt

l^^ = y^^^2 -

Vu1,

denn v^t + Av = Vu2

P^P2

P\P'2

PIP2

= Vu Ar

pi

pi

= Av

Vu Ar

Av

r^

Vu

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Lost man die Gleichung nach Av/A^ auf, und beacht, dass jeder Quotient aus einer Geschwindigkeitsanderung und dem zugehorigen Zeitabschnitt eine Beschleunigung darstellt, dann erhalt man die Gleichung fiir den Betrag der Zentripetalbeschleunigung a^. Eine zweite Form findet man, indem nach 4.2.7 (Seite 179) fur v^ = r^a) eingesetzt wird. Die Zentripetalbeschleunigung «z ist zum Drehmittelpunkt gerichtet.

Ursache jeder Beschleunigung ist nach dem dynamischen Grundgesetz immer eine resultierende Kraft ^res = fna. Diese Kraft heiBt hier Zentripetalkraft Fz. Sie steht nach d'Alembert im Gleichgewicht mit der entgegengesetzt gerichteten Tragheitskraft des Korpers, die Fliehkraft oder Zentrifugalkraft heiBt. Diese Krafte haben Bedeutung bei Fliehkraftreglem, Kreiselpumpen, Unwuchten, Schleudergussverfahren, Kurvenfahrten von Fahrzeugen usw.

243 Av

VuVu

~Kt'' ^y 02= — =

2 /stt>

0)

^s

flz

Vu

m !!!

m

rad

m — s^ * s—

— s

Zentripetalbeschleunigung Beachte: r^ ist der Radius des Kreises, auf dem der Schwerpunkt des Korpers umlauft.

Fres = ma

2

^u

Fz = moz = mr^m^ = m — Zentripetalkraft

m

Fz S^

«z

m

kg

^-s

(D

Vu

m

rad s

m s

4.9.7.2 Ubungen zur Fliehkraft 1. Ubung: Eine Rennstrecke soil in einer Kurve vom Radius r^ = 400 m eine Geschwindigkeit von V = 280 km/h ermoglichen, ohne dass an den Reifen seitliche Reibungskrafte abgestiitzt werden miissen. Dazu muss der Neigungswinkel a der Fahrbahn so groB werden, dass die Resultierende aus Fliehkraft Fz und Gewichtskraft FQ in Normalenrichtung auf der Fahrbahn steht. Welchen Neigungswinkel a muss die Fahrbahn erhalten? Losung: Der Neigungswinkel a der Fahrbahndecke zur Horizontalen tritt auch im Krafteck auf, und zwar zwischen Gewichtskraft FQ und Resultierender FresDie Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der Neigungswinkel a der Fahrbahn unabhangig ist von der Masse m des Fahrzeugs, jedoch nicht von der Fallbeschleunigung g.

Kurvenradius rg

tan a = — = FG

^

Vu = V gesetzt

mg

tan a = -

^''s

a = aix:tan

a = arctan 9,81 ^ ^ O O m

57°

4 Dynamik

244 Kurvenradius rs

2. Ubung: Bin Lieferwagen mit der Masse m = 1000 kg fahrt mit v = 80 km/h durch eine nicht iiberhohte Kurve vom Radius rs = 55 m. Der Fahrzeugschwerpunkt S liegt h = 0,65 m iiber der Fahrbahndecke, die Spurweite der Rader betragt / = 1,2 m. Als Haftreibzahl wird //Q = 0,6 angenommen. Es ist zu untersuchen, ob der Wagen in der Kurve kippt Oder rutscht. 1

Losung: Die Lageskizze zeigt, dass der Wagen dann nicht um A kippt, wenn das linksdrehende Moment F^h (Kippmoment) kleiner ist als das rechtsdrehende FQI/2 (Standmoment). Auch hier zeigt die Entwicklung der Gleichung die Unabhangigkeit von der Masse m des Wagens. Die Ausrechnung ergibt: Der Wagen kippt (gerade noch) nicht. Der Wagen rutscht in der Kurve, wenn die Summe der an den vier Radem angreifenden Reibkrafte kleiner ist, als die nach links wirkende Fliehkraft Fz. Diese Bedingung wird iiberpruft, indem man die Gleichung nach der Haftreibzahl JUQ auflost. Die Ausrechnung zeigt: Die Haftreibzahl /UQ ist kleiner als erforderlich, d. h. der Wagen rutscht (JUQ = 0,6 < 0,915).

V2

Fzh
F^=m~ 2

r.

Fn = m£

n 2

80 m

• 0,65 m

3^7

<9,81 ^0,6111

55 m 5,836 < 5,886
i«0<

f^o

gn 80 3^

?)'

0,915

9,81 ! ^ - 5 5 111

0,6 < 0,915

3. Ubung: Bin dunner Ring von der Dichte g lauft mit der Winkelgeschwindigkeit co (Umfangsgeschwindigkeit Vu) um. Bs soil eine Gleichung zur Bestimmung der Zugspannung Oz im Schnitt A — B des Ringes hergeleitet werden. Losung: Fiir den geschnittenen Ring muss in der gezeichneten Stellung XF^ = 0 sein, d. h. im Flachenschwerpunkt beider Querschnitte greift die Normalkraft F^ — Fz/2 als innere Kraft an. Diese Normalkraft FN erzeugt die Zugspannung cTz — F^jA — FT,/2A (A = Querschnittsflache).

Fz 2A

mr^ar 2A

m = VQ = KrAg

^

_ 2r^ n

Schwerpunktsabstand des Halbkreisbogens

245

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Die Fliehkraft F^ ist eine Tragheitskraft (siehe d'Alembert, 4.4.6, Seite 195), d. h. sie greift im Schwerpunkt der Halbkreislinie mit dem Radius r an: r^ = 2r/jt. Man muss zwischen r und r^ unterscheiden.

nrAg — co .

Jt

lA r

Oz

N

m

0)

Vu

Q

rad

m

s

s

kg m^

m^

Man sieht, dass die Zugspannung o^ unabhangig von der Querschnittsflache A des diinnen Ringes ist.

10-

Dreht sich der dunne Ring mit einer Umfangsgeschwindigkeit von 36 m/s, und besitzt er eine Dichte von 7850 kg/m^, dann betragt die Zugspannung az ?^ 10 N/mm^.

Oz = Vu Q

36^^.7850^

N 10,17- 10^ —r= 10,17

A i i f i ^ t o i N n 610-620

4.9.8 Gegeniiberstellung der translatorischen und rotatorischen GroBen Geradlinige (translatorische) Bewegung <M6e

Defioitionsgleichung

Drehende (rotatorische) Bewegung Ejuheit

GroBe

Definitionsgleichong BasisgroBe

s

Zeit t

BasisgroBe

s

Zeit t

Verschiebeweg s

BasisgroBe

m

Drehwinkel q)

Masse m

BasisgroBe

kg

Tragheitsmoment /

b (p = r J = i: Amr^

A^

m s

Winkelgeschwindigkeit o) (o) = konstant)

Aw At

Geschwindigkeit v (v = konstant)

Einheit

rad kgm^ rad s J

Arbeit W

W=Fs

J

Dreharbeit Wrot

Wrot = ^(P =

Leistung P

P = — = Fv t F = Rs

W

Drehleistung Prot

Prot =

N

Elastische Verformung (kreisformig)

M = Rq)

Nm

W =

J

Elastische Verformung (geradlinig)

J

2 Av A/

Beschleunigung a

m

Winkelbeschleunigung a

= M(J^

^R(p^

rad

A(D At

Nm

Fres = ma

N

Beschleunigungsmoment Mres

Mres =

kinetische Energie Ey^n

F

J

Rotationsenergie Frot

J Frot = Y

Impulserhaltungssatz

m V = konstant

Impulserhaltungssatz

Jo) = konstant

' ^ v2

W

2

Beschleunigungskraft Fres

-

Fjrq)

Jo.

2 ^

J

4 Dynamik

246

410 Mechanische Schwingiuigen 4.10.1 Begriff Schwingung ist eine auch im Alltag bekannte Bewegungsform von Korpem oder Masseteilchen, die sich am Ort um eine Ruhe- oder Nulllage herum bewegen (pendeln, schwingen), z. B. hin und her bei alien Pendeln wie Uhrenpendel, Fadenpendel, Federpendel. Briicken schwingen bei Belastung, ebenso eine Blattfeder oder (drehend) eine Torsionsstabfeder am Auto, aber auch Masseteilchen in einer Riissigkeit oder Elektronen in der Atomhulle. Man spricht von elektrischen (Schwingkreis), optischen, akustischen (Ton-) Schwingungen. In diesem Kapitel werden nur mechanische Schwingungen behandelt, systematisch geordnet kinematisch mit der Frage nach den Veranderungen der BewegungsgroBen Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a und kinetisch mit der Frage nach den Kraften F und Kraftmomenten M.

4.10.2 Ordnungsbegriffe Der Pendelkorper (Schwinger) einer Uhr fiihrt eine freie Schwingung aus, wenn er ohne Antrieb nie zur Ruhe kame. Tatsachlich tritt immer Reibung auf und es kommt zu geddmpften Schwingungen. Die Reibung entzieht dem Schwinger (Kugel, Pendel) Energie, die Auslenkung (GroBtwert: Amplitude) wird immer kleiner. Wird dem Schwinger von auBen Energie zugefiihrt, spricht man von erzwungener Schwingung. Ist dabei die zugefiihrte Energiemenge durch Regelung so dosiert, dass die Schwingung gerade aufrecht erhalten bleibt, nennt man das eine erzwungene selbsterregte Schwingung (mechanisches Uhrwerk).

4.10.3 Die harmonische Schwingung 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung Lauft der Punkt P auf dem Radius r gleichformig mit der Winkelgeschwindigkeit CD um, dann entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn eine Aufund Abwartsbewegung des projizierten Punktes auf der Projektionswand. Die so entstandene Bewegung heiBt harmonische Schwingung. Gesucht werden die GesetzmaBigkeiten zur Berechnung von Auslenkung y, Geschwindigkeit Vy und Beschleunigung a^ des schwingenden Punktes P. Die gefundenen Gleichungen sind die Gleichungen der harmonischen Schwingung.

Auslenkung y

, Nulllage

Projektionsebene

247

4.10 Mechanische Schwingungen 4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit o) von 0 bis 1. Der Radius r hat dabei den Drehwinkel A(/9 uberstrichen. Die zugehorige momentane Auslenkung y von der Mittellage (NulUage) ist die Sinuskomponente des Radius r (j = r sin A(j9). Wird nach 4.2.6 OJ = Acp/At und daraus Aq) = CO At eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz y = rsin {(ot). Ftir At schreibt man verkiirzt t und bezeichnet den Klammerausdruck als „Omega-t'\

y = rmi Afp y — rsmimAfI y^ rsm(mt)

4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz Punkt P lauft mit der tangential gerichteten konstanten Umfangsgeschwindigkeit Vu um. Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit Vy des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes P. Wie das Parallelogranmi nach der Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors Vu zeigt, ist Vy die Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit Vu : Vy =: Vu cos Acp. Fiir die Umfangsgeschwindigkeit Vu kann nach 4.2.7 das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit o und Radius r eingesetzt werden (vu = cor).

Vy = Va cos A^? Vy = rco cos (a>t) Vy = roD sin (— ± (otj Beachte: Es ist cos Acp — sin (90 ± Acp), also cos {pt) — sin (ji/2 lb CDt)

4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch der gleichformig umlaufende, wird in jedem Augenblick zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt. Diese Beschleunigung heiBt Zentripetalbeschleunigung a^ (siehe 4.9.7.1). Die momentane Beschleunigung des Punktes P in der Projektionsebene ist die Sinuskomponente fly = —flz sin Acp. Die Beschleunigung a^ ist immer der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen.

—az sin Aq> —raP' sin (mt) —yo)^

248

4 Dynamik

4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung Werden mit den entwickelten Bewegungsgesetzen ftir gleiche Zeitabschnitte A^ (z. B. Ar = 10 s) die Auslenkung y, die Geschwindigkeit Vy und die Beschleunigung fly im rechtwinkligen Achsenkreuz tiber der Zeitachse t aufgetragen, erhalt man die folgenden Kurven: a) Fur die Auslenkung-Zeit-Linie (j, ^Linie) gilt das zuvor entwickelte Auslenkung-Zeit-Gesetz }^ = r sin Ag9 = r sin {(jot). Der Radius r ist eine Konstante, folglich ist die y, r-Linie eine Sinuskurve mit positivem Richtungssinn fur die Auslenkung y im Drehwinkelbereich A^ > 0 < 180° und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich A(/9 > 180° < 360°. b) Fiir die Geschwindigkeit-Zeit-Linie (v, /-Linie) gilt das zuvor entwickelte GeschwindigkeitZeit-Gesetz Vy = Vu cos A^ = ro) cos {(ot). Radius r und Winkelgeschwindigkeit oj sind Konstante, folglich ist die v, ^Linie eine Kosinuskurve mit positivem Richtungssinn fiir die Geschwindigkeit Vy im Drehwinkelbereich zwischen 0° und 90° sowie zwischen 270° und 360° und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich zwischen A(y9 > 90° < 270°. c) Fiir die Beschleunigung-Zeit-Linie (fly, /-Linie) gilt das zuvor entwickelte BeschleunigungZeit-Gesetz fly = —a^ sin A(^ = —ro)^ sin {cot). Radius r und Winkelgeschwindigkeit co sind Konstante, folghch ist diefly,r-Linie eine Sinuskurve mit negativem Richtungssinn fiir die Beschleunigung fly im Drehwinkelbereich zwischen 0° und 180° und positivem Richtungssinn zwischen 180° und 360°.

y = r sin A(p = r sin (co t)

4.10 Mechanische Schwingungen

249

4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten GroBen und Gleichungen der harmonischen Schwingung Periode (Schwingung) ist ein Hin- und Hergang; eine Schwingung entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn (siehe 4.10.3.1). Auslenkung y (Elongation) ist die momentane Entfemung des schwingenden Punktes von der NulUage (Mittellage, Gleichgewichtslage). Amplitude A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung aus der NuUlage. A ist konstant bei ungedampfter Schwingung. Periodendauer T (Schwingungsdauer) ist die Zeit fiir eine voile Schwingung. Frequenz / ist der Quotient aus der Anzahl z der Perioden und dem zugehorigen Zeitabschnitt Ar, also die Anzahl der Perioden je Sekunde. Die Frequenz/hat die Einheit 1/s und die Bezeichnung Hertz^^ (Hz). Kreisfrequenz (o ergibt sich aus at = Inf = liizjt^t, sie ist also die schon bekannte Winkelgeschwindigkeit o) (nach DIN 1304). Phase Sff ist der Winkel im BogenmaB, den der umlaufende Punkt im Zeitabschnitt Ar durchlauft.

Mit den festgesetzten GroBen konnen die hergeleiteten Bewegungsgesetze fiir die harmonische Schwingung neu geschrieben werden. Dazu setzt man fiir den Radius r die Amplitude A und fiir die Kreisfrequenz co — 2nf = 2TCZ/T ein. y,A

t, T

m

s

(oj

^y

ay

1 s

m s

?

tst

r=:•^

Af

r

m 2jt

A^ = <» Ar = 2nf At = Inz

y = A sin (cDt) =Amn {2nft) , . 2nt y = Asm—Vy = Am cos (mt) = Am cos (2Kft) 2m Vy = Am cos —-

m

Oy = ~Am^ sin (mt) = -Ai^ sin i^nft) Oy = —Am^ sm -— = —ym

Aafgal^n Nn 621-624 Heinrich Hertz, deutscher Physiker, 1857-1894.

4 Dynamik

250

4.10.3.4 Ruckstellkraft FR, RichtgroBe D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen fiir die harmonische Schwingung entwickelt und in 4.10.3.3 zusammengestellt. Jetzt sind noch die Kraftegleichungen fiir den harmonisch schwingenden Korper zu ermitteln. Auch dabei muss von der Kreisbewegung ausgegangen werden. Aus Kapitel 4.9.7, Seite 242, ist die Zentripetalkraft Fz = mraP' bekannt, die den Korper der Masse m auf der Kreisbahn halt und immer zum Kreismittelpunkt M hin gerichtet ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit o) konstant, gilt das auch fiir die Zentripetalkraft Fz und fiir deren Komponenten F^ = f^ cos A(p und Fy = Fz sin Aq). Die Komponente Fy ist die in Schwingungsrichtung wirkende Ruckstellkraft FR = Fy = Fz sin Aq). Sie ist stets der Auslenkung y entgegen zur NuUlage hin gerichtet. Der Sinus des Drehwinkels Aq) lasst sich durch die Auslenkung y und die Amplitude A ausdriicken (sin Aq) = y/A), sodass sich fiir die Riickstellkraft FR = Fzj/A ergibt. Darin sind Zentripetalkraft Fz (gleichformige Drehung) und Amplitude A = r = konstante GroBen. Damit ist auch der Quotient FzM konstant. Diese GroBe wird in der Schwingungslehre als Richtgrofie D bezeichnet. Die Riickstellkraft FR ist demnach der momentanen Auslenkung y proportional (FR ~ y).

\

!

/

Fy^F^ sin A^

Fy = FR = F^ sin Acp = F^y/A

'-X' ~ = konstant = RichtgroBeD A

FR

= Dy

Zusammenfassung: Die kinematische Untersuchung fiihrte bei der gleichformigen Kreisbewegung zu den Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung. Die kinetische Untersuchung hat gezeigt, dass die Riickstellkraft FR linear von der Auslenkung y abhangig ist. Wird diese Aussage in den folgenden Untersuchungen bestatigt, liegt eine harmonische Schwingung vor: Ene harmonii^he Schwingung liegt vor, wenn die Rlickstallfaaft FR dem linearen Kraftgesetz in der Form FR ^ y = D)? folgt.

F^^By

Kriterium fiir die harmonische Schwingung

4.10 Mechanische Schwingungen

251

4.10.4 Das Schraubenfederpendel 4.10.4.1 Ruckstellkraft FR und Federrate R Eine unbelastete, masselos gedachte Schraubenfeder wird mit einem Korper der Masse m belastet, sodass sie sich um A^ dehnt. In dieser Ruhelage (Nulllage 0-0) ist die Federspannkraft Fs gleich der Gewichtskraft FQ des Korpers (Fs = FQ), wie der frei gemachte Korper zeigt.

Wird der Korper um die Amplitude A = jmax nach unten gezogen und dann losgelassen, schwingt er um die Ruhelage 0-0 mit der Amplitude A weiter (reibungsfrei betrachtet). Im unteren Umkehrpunkt des frei gemachten Pendelkorpers zieht die Feder mit der Federkraft Fs nach oben, denn sie wirkt in dieser Stellung als Zugfeder. Die Ruckstellkraft FR ist immer die resultierende Kraft, hier also die Differenz von Federspannkraft Fs und Gewichtskraft FQ: FR = Fs — FQ.

Im oberen Umkehrpunkt wirkt die Feder als Druckfeder auf den Pendelkorper. Gewichtskraft FQ und Federspannkraft Fs sind gleich gerichtet (beide nach unten). Dann ist die Ruckstellkraft FR die algebraische Summe von Gewichtskraft und Federspannkraft: FR = FG + Fs.

Vy =

0 ^

FR = FS + FG\

Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelkorpers in beliebigen Zwischenstellungen kann zu keinem anderen Ergebnis fuhren:

FU =

FS±FG

4 Dynamik

252

Die Riickstjellkmft FR beim Federpendel ist die ResuMeiende aus Federspannkraft Fs und Gewichtskmft FQ des Pendelkorpers (Summe oder Diffi^ienz). Nach Kapitel 4.5.3 ist die Federrate R^^ der Quotient aus Federkraft Fs und zugehorigem Federweg A^*, also diejenige Kraft, die erforderlich ist, die Feder um eine Langeneinheit zu dehnen oder zu verkiirzen.

Zur Klarung der Frage, ob ftir das Federpendel das lineare Kraftgesetz der harmonischen Schwingung aus dem vorhergehenden Kapitel 4.10.3.4 gilt, werden zwei Pendelstellungen untersucht.

F=

FededcraftFs Federweg A5

R

Fs

^s

N mm

N

mm

Fq = Re 1^5 = ^S

A

Stellung a), unterhalb der NulUinie

F^ =

Fr = RAs

Fs-FG=Rs-R^s

s = y -\- /S.S

FR =R{y^^s-^s)

=Ry

Stellung b), oberhalb der Nulllinie FR = FG+FS=R^S

s = y — As FR=RAs-\-R{y-As)=

+ RS

FQ

= RAs

Beachte: Fur die Schraubenfeder gilt FR = Ry, folglich ist die Federrate R gleich der RichtgroBe D.

Ry

In beiden Fallen ist die Riickstellkraft FR der Auslenkung y proportional {R ist eine Konstante) und damit gilt:

F^^Dy

= Ry

D,R N m

Das Federpendel schwingt haimonisch, denn es gilt das lineaije Kmftgesetz. In der Maschinenbautechnik (z. B. Pressen- und Vorrichtungsbau) reicht zur fedemden Kraftubertragung haufig eine Einzelfeder nicht aus. In diesem Fall werden je nach Verwendungszweck zwei oder mehr Fedem in Parallel- oder Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) angeordnet. Fiir die konstruktiven Berechnungen braucht man dann die Federrate des ganzen Federsystems, die so genannte resultierende Federrate RQ, deren Betrag von der Art der Federschaltung abhangt. ^^ siehe FuBnote Seite 205

4.10 Mechanische Schwingungen

253

Parallelschaltung Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier parallel geschalteter Einzelfedem mit bekannten Federraten R\ und R2. Wird das Federsystem von s = 0 mif den Federweg ^o gedehnt, gilt fur die resultierende Federkraft FQ = Fi + F2, fiir den resultierenden Federweg dagegen ^o = ^i = ^2- Mit diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung der resultierenden Federrate RQ bei Parallelschaltung entwickelt werden: RoRo- =

So Ri

RQ=RI

+i

1 So

= ^

Federweg s

Ri + R2 Si

^^2

+ R2

4- i?2 + . • . 4" i?n

Federrate bei Parallelschaltung von n Fedem

Reihenschaltung Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier in Reihe (hintereinander) geschalteter Einzelfedem mit den Federraten R\ und Ri. Wird das Federsystem von F = null auf die Federkraft F = Fo = Fi = F2 belastet, gilt fiir den resultierenden Federweg ^o = ^^i + '^2- Mit diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung der resultierenden Federrate RQ bei Reihenschaltung entwickelt werden: Fo 1 Ro

resultierende Federkennlinie

Fo

So

S

Si

-\-Si _

-^S2 S\

+ F2

1

1

Ri

R2

Federrate bei Reihenschaltung von n Fedem

Ro =

R1+R2

gilt nur fiir zwei Fedem

4.10.4.2 Periodendauer T des Schraubenfederpendels Die Riickstellkraft FR ist immer die resultierende Kraft Fres und es gilt das dynamische Grundgesetz ^res = ^ « . Bei der harmonischen Schwingung ist fiir die momentane Beschleunigung a = ay und nach 4.10.3.1.3 ay = yo)^ einzusetzen.

FR

= may;

FR

= myo)^

In -yo)

4 Dynamik

254 Das dort vorhandene negative Vorzeichen entfallt, da nur der Absolutbetrag interessiert.

Die Periodendauer T ist unabhangig von der Amplitude A, Sie ist umso groBer, je gioBer die Masse m des Pendelkorpers und je kleiner die Federcate R ist, d. h. je „weicher" die Feder ist.

431?

FK

m

T R

N

kg

s

r = 2^J|

Aus der Gleichung fiir die Schwingungsdauer kann auch eine neue Beziehung fiir die Berechnung der Federrate der Schraubenfeder entwickelt werden.

N m

R,D N m

kg

Aiifi^b€^Nn625>-628 4.10.5 Das Torsionsfederpendel 4.10.5.1 Federrate /?, Riickstellmoment MR und Periodendauer T Wird der in Ruhelage an einem Stahldraht hangende Korper um den Drehwinkel Aq) verdreht, beschreibt jedes Teilchen eine Kreisbewegung. Zur tJberleitung von der geradlinigen in die kreisformige Bewegung wird das Analogieverfahren benutzt. Die Beziehung fiir die Kreisbewegung bekommt man, indem in die bekannte Beziehung der geradlinigen Bewegung die entsprechenden GroBen der Kreisbewegung eingesetzt werden. Beim Torsionsfederpendel entspricht der Riickstellkraft FR das Riickstellmoment MR, der Auslenkung y der Drehwinkel Aq). Auch fiir die Torsionsbeanspruchung des tordierten Drahtes gilt das Hooke'sche Gesetz, sodass die Gleichung fiir die Federrate R mit den entsprechenden GroBen festgelegt werden kann. Das Riickstellmoment MR andert seinen Betrag proportional mit dem Drehwinkel Aq) (MR ~ Aq)) (wie beim Schraubenfederpendel die Riickstellkraft FR mit der Auslenkung y), sodass man feststellen kann: Fiir das Torsionsfederpendel gilt ein lineares Momentengesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.

FR=MR

y = Aq} Riickstellmoment MR Drehwinkel Aq)

R

Aq)

Nm rad

MR

(P

Nm

rad

M R = R Aq> kreisformige Pendelbewegung F^ = Ry

geradlinige Pendelbewegung

255

4.10 Mechanische Schwingungen Eine Gleichung fur die Periodendauer T beim Torsionsfederpendel erhalt man mit der Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel im vorhergehenden Kapitel 4.10.4.2. Das Trdgheitsmoment J beim Torsionsfederpendel entspricht der Masse m des Pendelkorpers.

r = 2^J|

•=2"\^ Torsionsfederpendel

Schraubenfederpendel

Beachte: J ist das Tragheitsmoment bezogen auf die Drehachse (siehe Kapitel 4.9.2)

Auch beim Torsionsfederpendel ist die Periodendauer Tunabhangig von der Amplitude A. Sie ist umso groBer, je groBer das Tragheitsmoment J und je kleiner die Federrate R ist.

4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tragheitsmomenten / aus der Periodendauer Kupplungsscheiben, Zahnrader, Wellen und Schwungscheiben mussen im Betrieb beschleunigt und verzogert werden. Den erforderlichen Berechnungen liegt das dynamische Grundgesetz ftir die Rotation Mres = Jet zugrunde (siehe 4.9.1). Dazu muss das Tragheitsmoment J des umlaufenden Bauteils bekannt sein. Nicht alle Bauteile sind so einfach aufgebaut, dass das Tragheitsmoment J aus fertigen Formeln berechnet werden kann (siehe Tabelle 4.5). Dann wird das Tragheitsmoment J experimentell auf folgende Weise bestimmt: Bin geometrisch einfacher Rotationskorper K\ von bekanntem oder berechenbarem Tragheitsmoment J\ wird an einen Torsions stab von bekanntem Durchmesser d und bekannter Lange / gehangt. Benutzt man als Korper A'l z. B. eine Kreisscheibe, kann nach Tabelle 4.5 das Tragheitsmoment J\ berechnet werden.

11

Prufkorper K2 ' mit unbekanntem J2

Korper Kf

r,h Ji= — Q7tr^k kg m^ kg ^stahi = 7,85 . 10^ kg/m^

Fur den Korper Ki gilt fiir die Periodendauer T\ = 2jr ^/J]JR. Steckt man beide Prufkorper auf, dann gilt fur die Periodendauer T2 = 2ii y/{Ji -\-J2)/R. Darin ist R die in beiden Fallen gleiche Federrate des Torsionsstabs.

r / = 4r

R

TJ^ = 4jt'1 -^1

h

256 Durch Division beider Gleichungen ergibt sich eine Gleichung fiir das unbekannte Tragheitsmoment J2, in der neben dem berechneten Tragheitsmoment J{ nur noch die Periodendauer T\ und T2 steht, die man experimentell bestimmt.

4 Dynamik Jx

J2 ^J\

''.''^mmmm

Aiifgaben Nn 629-630

4.10.6 Das Schwerependel (Fadenpendel) Auch bier wird als Erstes untersucht, ob die Riickstellkraft FR der Auslenkung (bier dem Bogen s) proportional ist, denn nur dann gilt das lineare Kraftgesetz als Voraussetzung fiir eine harmonische Schwingung. Die Auslenkung s lasst sich aus der Pendellange / und dem Winkel a bestimmen. Da fiir kleine Winkel (a < 14°) der Arcus gleich dem Sinus gesetzt werden kann (arc a — sin a), ist ^ = / arc a = / sin a und daraus sin a — s/l. Die Ruckstellkraft FR ist die Sinuskomponente der Gewichtskraft FQ des Pendelkorpers. Sie andert sich laufend mit dem Winkel a. Masse m, Fallbeschleunigung g und Pendellange / sind fiir ein bestinmites Pendel gleich bleibende GroBen, d. h. es ist auch der Quotient mgll eine Konstante. Sie ist die schon bekannte RichtgroBe D: Auch fiir das Schwerependel gilt das lineare Kraftgesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.

FR

=

FQ

sin a = mg sin a

sin a = — emgesetzt ergibt FR

= mg sin a = — 5

FR=£>S

D

D

mg

sj kg

Einschrankung: Die Auslenkung muss klein sein, allerdings betragt der Fehler bei a= 14°nurca. 1%.

Die Periodendauer T fiir das Schwerependel erhalt man, wenn in die Gleichung fiir das Schraubenfederpendel T = In^m/R fiir die Federrate R = RichtgroBe D = mgll eingesetzt wird.

T = In xj-=

271 J - =

2JI

^/ —

4.10 Mechanische Schwingungen

Beim Schwerepeadel ist die Periodendauer T unabhtogig von der Amplitude s und von der Masse m des Pendelkoipers, Am selben Ort, also bei gleicher Fallbeschleunigung g, verhalten sich die Quadrate der Periodendauer verschiedener Pendel wie ihre Pendellangen /.

257 T / g m s m ?

r = 23t

/i

h

Ti^

Aufjpl^n Nr. 631-6J3

4.10.7 Schwingung einer Fliissigkeitssaule In Ruhe steht die Fliissigkeit in Hohe der Nulllinie 0-0. Hebt man z. B. durch Ansaugen die Hiissigkeitssaule auf der einen Seite um die Hohe h, muss sie auf der anderen Seite um den gleichen Betrag sinken.

Rohrquerschnitt

Die Ruckstellkraft FR ist die resultierende Gewichtskraft FG der iiberstehenden Fliissigkeitssaule mit dem Volumen V = A-lh. Flache A, Dichte Q und Fallbeschleunigung g sind konstante GroBen, die man wieder zu einer RichtgroBe D zusammenfassen kann. Damit ist nachgewiesen, dass auch bei der schwingenden Fliissigkeitssaule im U-Rohr die Riickstellkraft FR der Auslenkung h proportional ist.

A

FR-=FG==V6g--A2hQg

D =-2AQg FR

Q

m

m

Fiir die schwingettde Fltlssigkeitssaule gilt das lineare KraflgesetE und damit die GesetzmaBigkeit da* haniM^nischeii Schwingung, Die Periodendauer T fiir die schwingende Riissigkeitssaule erhalt man wieder, indem in die Gleichung fiir das Schraubenfederpendel T = 2n yJmjR fiir die Federrate R — RichtgroBe D — lAqg eingesetzt wird. AuBerdem wird fiir die Masse m = VQ — AIQ eingesetzt. Dann gilt:

\m

T = 2nJ-

m

= AIQ

•.2K

Dh

8 h kg m m m^ s^

A

D N

N

FR =

2AQg

2nJ-

258

4 Dynamik /

8 m

s m

?

T

Die P^crfendauer T ist unabhangig von der Amplitude h und von der Masse m (Dichte Q) derHiissigkeit

T = 2nA

Ein Vergleich mit der Gleichung fur die Periodendauer des Schwerependels zeigt, dass die Periodendauer 7f der Fliissigkeitssaule mit der Periodendauer T^ eines Schwerependels ubereinstimmt, dessen Lange 4 gleich der halben Lange / der Fliissigkeitssaule ist.

Aiifgaben Nr. 634

4.10.8 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Fliissigkeitssaule Physikalische GroBe

SchraubenFederpendel

Federrate R (RichtgroBe D) Riickstellkraft F R und Riickstellmoment MR

Periodendauer T

Torsionsfederpendel IpG

FR

= Ry

MR

T =

nd^G

= R A(p

2KX^

MR

Schwerependel

Schwingende Fliissigkeitssaule

D= f

D = 2AQg

FR = DS

FR = Dh

T = 2n,

—

yg

T =

2KJ--\2g

G = Schubmodul, d = Draht- oder Stabdurchmesser, D^ = mitderer Windungsdurchmesser, if — Anzahl der Windungen, / = Pendellange, s — Auslenkung des Pendelkorpers, h — Auslenkung der Fliissigkeitssaule, /p = polares Rachenmoment 2. Grades nach Tabelle 5.2,7 = Tragheitsmoment nach Tabelle 4.5

4.10.9 Dampfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz 4.10.9.1 Dampfung Durch die Gleitreibung in den Gelenken und Fiihrungen, durch Luft- oder Fltissigkeitsreibung wird die Bewegung eines schwingenden Korpers gebremst. Neben dieser „auBeren" Reibung steht die „innere", die Reibung der Teilchen im Korper selbst. Ergebnis: Die Schwingung wird gedampft.

b\e'\bt erhalten

Auslenkung-Zeit-Diagramm fur ungedampfte (a) und gedampfte Schwingung (b)

4.10 Mechanische Schwingungen

259

4.10.9.2 Energieminderung durch Dampfung Durch die Reibung wird dem schwingenden Korper Energie in Form von Reibarbeit entzogen (siehe 4.5.4). Beispiel Schwerependel: Der Pendelkorper schwingt nicht bis zur Ausgangshohe zuriick, die Amplitude verringert sich von A auf Ai, der Winkel von a auf a\ und die abgefiihrte Reibarbeit Wii entspricht der Hohendifferenz Ah, was mit dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5) nachgewiesen werden kann. Was fiir das Schwerependel gilt, kann bei alien Schwingungsvorgangen beobachtet werden:

WE Wab W^h Wah

=WAM^ab = WA-WE = mgh - mg{h - Ah) = mg Ah = Reibarbeit WR

Dutch Dampfung wird die Amplitude A jeder mechanischen Schwingung immer kleiner, weil sich die Energie des Schwingers laufend um die Reibarbeit WR vennindert. Soil die Dampfung iiberwunden werden, muss dem schwingenden System dauemd Energie zugefuhrt werden. Anfgabe Nr. 635

4.10.9.3 Energiezufuhr Ursache jeder Dampfung ist die dauemde Energieumwandlung in Reibarbeit. Den umgewandelten Energiebetrag muss man immer wieder ersetzen, wenn die Amplitude unverandert bleiben oder der Schwingungsvorgang iiberhaupt in Gang gehalten werden soil. Das kann z. B. durch periodisches AnstoBen des Schwingers geschehen, aber im richtigen Augenblick, damit der Schwingungsvorgang nicht gestort wird. Die Energiezufuhr wird daher am besten durch die Eigenschwingung des schwingenden Systems gesteuert. Das nennt man Selbststeuerung oder Rtickkopplung, wie z. B. bei der Pendeluhr durch Anker und Steigrad. Das Steigrad wird durch die Uhrfeder angetrieben, ruckt bei jeder Pendelschwingung um einen Zahn weiter und gibt dabei einen Energiebetrag iiber den Anker an das Pendel

'- Anker Steigrad

Pendel

4 Dynamik

260 ab (Arbeit wird zugefuhrt). Die Frequenz des periodisch wirkenden auBeren Erregers heiBt Erregerfrequenz/, die Frequenz des Schwingers nach einmaligem AnstoBen ist die Eigenfrequenz/o.

4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz Der Erreger (Oszillator)^\ z. B. Motor mit Exzenter zwingt der Schraubenfeder mit dem anhangenden Korper der Masse m, dem Resonator ^^ Schwingungen mit der Erregerfrequenz / auf. Dabei soil die Masse des Resonators klein sein gegeniiber der Masse des Erregers, damit die Schwingungen des Resonators nicht auf den Erreger zuriickwirken. Wahlt man zunachst die Frequenz / der erzwungenen Schwingung sehr klein gegenuber der Frequenz/o der Eigenschwingung, macht der Resonator genau die Bewegung der Fiihrungsstange mit. Mit wachsender Erregerfrequenz/werden die Amplituden des Resonators immer groBer. Die Erregerschwingung lauft der Eigenschwingung etwa um eine Viertelperiode voraus. Bei fehlender Dampfung wiirden dann die Amplituden des Resonators unendlich groB und das System wiirde zerstort werden. Das sind die in der Technik gefiirchteten Resonanzkatastrophen, z. B. bei Briicken, Schiffen, Maschinenfundamenten. Wachst die Erregerfrequenz / weiter (/ >/o), werden die Amplituden des Resonators wieder kleiner, die Bewegung wird ungeordnet, bis schlieBlich ein kaum merkliches Zittem die kleinsten Amplituden anzeigt.

Mitschwinger (Resonator)

Beachte: Kleine Frequenz/heiBt geringe Anzahl Schwingungen je Sekunde. Bei/ /o) verringert sich die Amplitude mit zunehmender Erregerfrequenz.

^^ Oszillator: Gerat zur Erzeugung von Schwingungen ^^ Resonator: Korper, der vom Erreger zum Schwingen angeregt wird (Mitschwinger)

261

4.10 Mechanische Schwingungen 4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm Uber der Erregerfrequenz / (als Vielfaches der Eigenfrequenz /o) ist die VergroBerungszahl Vz als Verhaltnis der Amplitude der erzwungenen Schwingung zur Amplitude des Erregers aufgetragen. Kurve a gilt fiir die dampfungsfreie Schwingung, Kurve b fiir schwache, Kurve c fiir starkere und Kurve d fiir sehr starke Dampfung des Resonators. Man erkennt, dass das Maximum mit zunehmender Dampfung nach links riickt, also zu Frequenzen/
f=fo Resonanzstelle

Erregerfrequenz f

Beispiel: Die Gehauseteile eines groBen Walzwerkgetriebes sind durch Passstifte miteinander verbunden. Diese losen sich durch Schwingungen: das Getriebe fallt aus, die Produktion steht voriibergehend still.

262

5 Festigkeitslehre Formelzeichen und Einheiten^^ A a b R d do d\ Ad

mm^, cm^, m^ mm mm N N ,— mm m mm mm mm mm

Flache, AM Momentenflache Abstand Stabbreite Federrate Stabdurchmesser urspriinglicher Stabdurchmesser Durchmesser des geschlagenen Nietes = Niedochdurchmesser Durchmesserabnahme oder -zunahme

N mm^

Elastizitatsmodul

e\ 62 F

mm mm N

Entfemung der neutralen Faser von der Druckfaser Entfemung der neutralen Faser von der Zugfaser Kraft, Belastung, Last, Tragkraft

F'

N — m

Belastung der Langeneinheit, Streckenlast

Fa f

N mm

Knickkraft (nach Euler) Durchbiegung

G

N T mm^^

Schubmodul

H mm h mm / mm^, cm^ 4 , /x, /y mm"^ /p mm"^ /xy mm"^ /i. III nrni^ /s nrni"^ / / (L) /o (LQ) A/ /r M Mb Mj

mm mm mm mm km Nmm, Nm Nmm, Nm Nmm, Nm

1 min ^^ siehe FuBnote Seite 1

Gesamthohe eines Querschnittes Hohe allgemein, Stabhohe axiales Flachenmoment 2. Grades auf die Achse a, x oder y bezogenes Rachenmoment 2. Grades polares Rachenmoment 2. Grades Zentrifugal- oder Riehmoment Hauptflachenmoment 2. Grades Rachenmoment 2. Grades, bezogen auf die Schwerachse des Querschnittes Tragheitsradius Stablange nach der Dehnung oder Stauchung urspningliche Stablange (Ursprungslange) Langenzunahme oder -abnahme ReiBlange Drehmoment, Moment einer Kraft, Kraftmoment Biegemoment Torsionsmoment Drehzahl

263

Formelzeichen und Einheiten p

W,kW

Lei stung

N

p r V

s V W W W..Wy %

w, «/

Flachenpressung

mm 1 mm mm^, m^ Nm = J — Ws mm^ mm^ mm^ mm^

Radius Sicherheit gegen Knicken Stabdicke, Blechdicke Volumen Arbeit, Formanderungsarbeit axiales Widerstandsmoment auf die x- oder >^-Achse bezogenes Widerstandsmoment polares Widerstandsmoment ftir Kreis- und Kreisringquerschnitt Widerstandsmoment bei Torsion nicht kreisformiger Querschnitte

1

Langenausdehnungskoeffizient

1

ao d

1 %

Anstrengungsverhaltnis Bruchdehnung, Bruchstauchung

£

1

A/ Dehnung, Stauchung, £ = —

£q

1

^ AT X

h

°C K,°C 1 1

Querdehnung, £q = — do Temperatur in Grad Celsius (1 °C = 1 K) Temperaturdifferenz Schlankheitsgrad Grenzschlankheitsgrad (untere Grenze)

IX

1

Poisson-Zahl, ju = —

V

1 mm

Sicherheit, allgemein bei Festigkeitsuntersuchungen Biegeradius, Kriimmungsradius der elastischen Linie

k

£Q

£

Q

Normalspannung allgemein (Druck, Zug, Biegung, Knickung)

CTZUI

^b

Zugfestigkeit Biegespannung

cTEntwurf r

^d

Druckspannung

o ^m

1 (CTB)

^E

N mm^

^

zulassige Normalspannung (C^bzuh <7dzul, tTKzuh CTzzui)

Spannung an der Elastizitatsgrenze

Entwurfsspannung Schubspannung allgemein, Tangentialspannung ^ N (Schub, Abscheren, Torsion) 9 mm^ f Abscherspannung, ^a = 7

Knickspannung Lochleibungsdruck

^

F Schubspannung, r^ = c —

R. (^s)

Spannung an der Proportionalitatsgrenze Streckgrenze

^t q)

Torsionsspannung Biege- oder Verdrehwinkel

^p0,2

0,2-Dehngrenze

Oz

Zugspannung

^K Ol (7p

rad

5 Festigkeitslehre

264

5*1 Gmndl^riffe

5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre Man betrachtet die technische Zeichnung einer Getriebewelle. Sie enthalt samtliche zur Herstellung notigen MaBe. Beispielsweise sieht man sofort, dass der linke Lagerzapfen 30 mm Durchmesser und 16 mm Lange haben soil. Wie ist der Konstrukteur, der die Welle entworfen hat, gerade auf diese MaBe gekommen? Es soil seinen Uberlegungen bei der Gestaltung der Welle einmal nachgegangen werden.

Der Konstrukteur kennt das Drehmoment M, das von der Welle iibertragen werden soil. Mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen werden samtliche an der Welle angreifenden Krafte ermittelt. Das sind die am Zahn angreifenden Umfangskrafte F^ und Radialkrafte F^ sowie die an den Lagerzapfen angreifenden Stiitzkrafte FA und F^ mit den Komponenten ^Ay, FAZ und Fey, FBZ- Damit ist die Belastung der Welle bekannt. Nach einer Reihe gegebener Bedingungen werden die Abstande /, /i, I2 festgelegt. Der Werkstoff wird gewahlt. Von diesem sind die wichtigsten Festigkeitswerte aus Tabellen oder Diagrammen greifbar. Jetzt beginnen die (Jberlegungen der Festigkeitslehre.

205

16

i 40

C

)

(

) 16

32

32

58

Technische Zeichnung einer Getriebewelle

Belastungsskizze einer Getriebewelle Fui, Fu2 Umfangskrafte, F,u Fri Radialkrafte, ^Ay, FAZ, ^By, FBZ Komponenten der Stiitzkrafte FA, FB,MDrehmoment

5.1 Grundbegriffe Die Welle darf nicht brechen. Sie darf sich aber auch nicht derart stark verformen (durchbiegen, verdrehen), dass das Getriebe klemmt oder durch starken VerschleiB vorzeitig unbrauchbar wird, z. B. durch eine unzulassig hohe Kantenpressung in den Lagem.

Die „von auBen" auf ein Bauteil einwirkenden Krafte wie beispielsweise die Umfangskrafte am Zahnrad, die Stutzkrafte in den Lagem und die Gewichtskrafte nennt man dufiere Krafte. Sie rufen im Werkstoffgefiige die inneren Krafte hervor, die dem Bruch und der Verformung des Bauteils entgegenwirken. Bevor die MaBe fiir ein Bauteil festgelegt werden konnen, miissen Betrag, Richtung und Richtungssinn der inneren Krafte bekannt sein, z. B. die inneren Krafte im Querschnitt x—x eines Zahnrades oder eines Hebezeugtragers.

265

Kantenpressung im Lager infolge der Durchbiegung

a u Here Kraft

AuBere Krafte rufen innere Krafte hervor

5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kraftesystems Die erste und wichtigste Arbeit beim Losen einer Aufgabe aus dem Bereich der Festigkeitslehre ist die Beantwortung der Frage, welche inneren Krafte die Bauteile zu iibertragen haben. Denn von der Art des „inneren Kraftesystems" hangt es ab, mit welchen Festigkeitsgleichungen gearbeitet werden muss. Aus der Statik ist bekannt, dass eine Kraft nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn ihr Betrag (z. B. 150 N), ihre Richtung (z. B. waagerecht, senkrecht, in Richtung der x-Achse) und ihr Richtungssinn (z. B. Druckkraft, Zugkraft) festgelegt worden ist. Das gilt auch fiir innere Krafte. Das Verfahren, mit dem die drei Bestimmungsstucke fiir jede innere Kraft ermittelt werden, heiBt Schnittverfahren. Es wird an einem einfachen Beispiel Schritt fiir Schritt vorgefiihrt.

Das stabformige Bauteil mit der Querschnittsflache A wird durch die Federkrafte F = 50 N belastet (auBere Krafte). Der Stab befmdet sich im Gleichgewicht, das heiBt, die beiden Zugkrafte sind gleich groB (von gleichem Betrag). Sie wirken auf einer gemeinsamen Wirklinie und sind entgegengesetzt gerichtet.

|>AA/\/wP" ®

-ip---[wvw<|

F = 50N

< 3 —

Zugfederbelasteter Rundstab (a), freigemacht (b)

F = 50N

5 Festigkeitslehre

266 Man denkt sich den Stab an der (beliebigen) Stelle x—x quer zur Stabachse durchgeschnitten. So entstehen die beiden Teilstiicke I und 11. Der Werkstoffzusammenhang ist damit aufgehoben und eine Kraftiibertragung vom Schnittufer I zum Schnittufer II nicht mehr moglich: Die beiden Teilstiicke werden durch die auBeren Krafte nach links und rechts gerissen. Im Schnittflachenschwerpunkt SP wird nun eine Normalkraft F^ angebracht, die den Restkorper wieder ins Gleichgewicht zuriickversetzt. Damit ist diejenige innere Kraft gefunden, die von der Querschnittsflache (kurz: Schnittflache) im unbeschddigten Zustand ubertragen wurde. Den Betrag der von einem Schnittufer zu ubertragenden inneren Kraft liefem die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aus der Statik: Fiir jedes Stabteil muss die Summe aller Krafte gleich null sein (Kraftmomente wirken hier nicht). Schmttrerfahren: Im Schnittflachenschwerpunkt SP werden diejenigen Krafte und Kraftmomente angebracht, die den ,,abgeschnittenen" Teilkorper in das Gleichgewicht zuriickversetzen. Diese inneren Krafte und KiBftmomente hat der Querschnitt zu titertmgen.

Schnittflachenschwerpunkt

^ ^Schnittufer

I

F

FN SP

Schnittufer

II

-ll~ Schnittflachenschwerpunkt

Zugfederbelasteter Rundstab getrennt in Teilstucke I und II und mit inneren Kraften versehen. fur Teilstuck I: ftir Teilstiick II: FN

- F = 50 N

FN

= F = 50 N

Ergebnis des Schnittverfahrens im Beispiel: Die untersuchte Querschnittsflache hat eine in Normalenrichtung auf die Schnittflache wirkende innere Kraft FN = 50 N zu ubertragen.

Beachte: NonnalkrMiQ FN stehen rechtwinklig auf der Schnittflache, gM^rkrafte Fq dagegen liegen in der Schnittflache. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (Aktion = Reaktion) von Newton mtissen die inneren Krafte und Kraftmomente beider Schnittufer gleich groB sein (von gleichem Betrag), jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben.

5.1.3 Spannung und Beanspruchung Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren die innere Kraft, die ein Zugstab aufzunehmen hat, mit FN == 300 N gefunden wurde. Damit ist noch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark „beansprucht". Das hangt offenbar davon ab, wie viele Flachenteilchen an der Kraftiibertragung beteiligt sind, z. B. 60 mm^ oder nur 6 mm^. Als Ma6 fiir die Hohe der Beanspruchung des Werkstoffes bietet sich diejenige innere Kraft an, die von der Fisicheneinheit Ubertragen werden muss, z. B. von 1 mm^ oder von 1 cm^.

aul^ere Kraft F = 300 N 1 mm^ Spannung in

innere Kraft F/v = SOON

Spannung als innere Kraft je Flacheneinheit; wegen der einfacheren Rechnung wurde ein Rechteckquerschnitt gewahlt. Beachte: Der WerkstojfWixd durch innere Krafte beansprucht, der Korper wird durch dufiere Krafte belastet.

267

5.1 Grundbegriffe Wird vorausgesetzt, dass jedes Flachenteilchen eines Querschnitts gleichmaBig an der Kraftiibertragung beteiligt ist, dann ist der Quotient aus der inneren Kraft (z. B. F^ = 300 N) und der Querschnittsflache (z. B. A = 6 mm^) ein Ma6 fur die Beanspruchung des Werkstoffs. Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftiibertragung beteiligten Flache heiBt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (z. B. Newton) und einer Flacheneinheit (z. B. mm^) sein: Die Spannung ist vors^bar als die pro Flacheneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzliehen Flacheneinheit.

Beispiel: Mit FN = 300 N und A = 6 mm^ betragt das MaB fiir die Beanspruchung des Werkstoffs 50 N/mm^. Mit anderen Worten: Jeder Quadratmillimeter des Querschnitts iibertragt eine Kraft von 50 N. Man sagt: „Die Spannung betragt 50 Newton pro QuadratmiUimeter".

SpMmung =

innere Kraft Querschnittsflache

Einheit der Spannung =

N ^ rmrt

Statt Spannung sagt man auch ,^echanische" Spannung.

Hinweis: In der Festigkeitslehre wird als Einheit der mechanischen Spannung das „Newton pro QuadratmiUimeter" verwendet.

Ubung: Der Kreisquerschnitt eines Stahlstabes von 3 mm Durchmesser hat eine innere Kraft FN = 50 N zu iibertragen. Es soil die Beanspruchung des Werkstoffs bestimmt werden. Die Rechnung zeigt, dass jeder QuadratmiUimeter eine innere Kraft von 7,07 N zu iibertragen hat.

Losung: Bei J = 3 mm Durchmesser betragt die Querschnittsflache Ji(3 mm) 7,069 nmi^ 4 4 Damit ergibt sich die zu iibertragende ^N 50 N ^^^

A =

Ti(P

Spannung = -— = TT^ZTT^

^

A

N

y = '-Syi

7,069 mm2

^

mm^

5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung a und Schubspannung r) Nicht immer liegt die Wirklinie der auBeren Kraft in der Stabachse, sie kann auch rechtwinklig (quer) zur Stabachse liegen. Die entsprechenden inneren Krafte erhalten daher unterschiedliche Bezeichnungen: Steht eiiie innem Kraft in NormaMchtung auf dem Querschnitt A, dann heifit sie Normalh-aft FN, liegt die irnieie Kraft dagegen im Qaerschnitt A, dann nennt man sie Querkraft Fq.

Normalkraft FN

Querkraft Fq

5 Festigkeitslehre

268 Die beiden inneren Krafte, die Normalkraft FN und die Querkraft Fq, stehen rechtwinklig aufeinander, also auch die aus ihnen zu berechnenden Spannungen. Es sind daher zwei Spannungsarten zu unterscheiden. Wird die Spannung aus einer inneren Normalkiafi FN berechnet, dann heiBt sie A^orm^/spannung und wird mit dem griechischen Buchstaben a (Sigma) bezeichnet. Wie die Normalkraft F^ muss auch die von ihr herriihrende Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt stehen. Spannungen dieser Art treten als Zugspannung z. B. in Kettengliedem, als Druckspannung z. B. in Pleuelstangen auf.

FN

Normalspannung o = -^

N

in

A Querschnittsflache

Die Normalspaxmxmg a, hervorgerufen durch die NormaMdii FN, steht rechtwinklig auf der Querschnitlsflache.

in mm^

F/v Normalkraft in N (izum Schnitt) 1 mm^

Wird die Spannung aus einer inneren Querkraft Fq berechnet, dann heiBt sie Schubspsinnung und wird mit dem griechischen Buchstaben r (Tau) bezeichnet. Wie die Querkraft Fq muss auch die von ihr herriihrende Schubspannung in der Querschnittsflache liegen. Spannungen dieser Art treten als Abscherspannung z. B. in Scherstiften auf. Die Sckubspaxmimg r, hervorgerufen durch die QuerkmA Fq, liegt in der Querschittsflache.

j^^

Fa . N Schubspannung r = -^ in ——2

R Y 4 - A Querschnittsflache

1 mm^

y

in mm^

Fq Querkraft in N fII zum Schnitt)

5.1.5 Die fiinf Grundbeanspruchungsarten Am stabformigen Bauteil lassen sich die Beanspmchungsarten am einfachsten erkennen. Dazu wird das Schnittverfahren (siehe 5.1.2) eingesetzt. Die Berechnungsgleichungen in den gerasterten Rechtecken werden spater hergeleitet. 5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug) Die auBeren Krafte ziehen in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer I und II voneinander zu entfemen: Der Stab wird verlangert (gedehnt). Die innere Kraft FN steht rechtwinklich auf der Schnittflache, es entsteht die Normfl/spannung CTZ (Zugspannung).

Stabachse

Beispiele fur Zugbeanspruchung: Seile, Ketten, Zuganker, Turbinenschaufeln und Luftschrauben infolge der Fliehkrafte, Zugstabe in Fachwerktragem.

5.1 Grundbegriffe

269

5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) Die auBeren Krafte driicken in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander naher zu bringen: Der Stab wird verkurzt. Die innere Kraft F^ steht normal (rechtwinklig) zur Schnittflache, es entsteht wieder eine Normalspannung ad (Druckspannung). Bei schlanken Staben besteht die Gefahr des „Ausknickens". Diese Beanspruchungsart wird als Sonderfall Knickung behandelt(5.10). Die Beanspruchung der Beriihrungsflachen von zwei aufeinander gepressten Bauteilen heiBt Fldchenpressung (5.5).

^N:.

Stabachse En2 CK

Stabachse ausgeknickt

Beispiele fur Druckbeanspruchung: Kolbenstangen, Druckspindeln, Saulen, Lochstempel, Nahmaschinennadeln, Knickstabe im Stahlhochbau und Kranbau.

5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren) Beim Scherschneiden wirken zwei gleich groBe gegensinnige Krafte F auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer parallel zueinander zu verschieben. Das entstehende Kraftepaar wird erst in Abschnitt 5.6.1 in die Untersuchung einbezogen. Im Schnittufer bewirkt die innere Querkraft Fq = F die Schubspannung r. Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart heiBt sie Abscherspannung r^.

Schneidspalt u beim Scherschneiden

€:

U

Fa.N

L5

Stabachse^

Beispiel fur Abscherbeanspruchung: In gescherten (Scherschneiden) und gestanzten Werkstiicken, in Nieten, Schrauben, Bolzen, SchweiBnahten.

5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegen) Die auBeren Krafte ergeben zwei Kraftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kraftepaare wirken in einer durch die Stabachse verlaufenden Ebene und versuchen die Schnittufer gegeneinander schrag zu stellen: Der Stab wird gebogen. Da das innere Kraftmoment, das Biegemoment Mb, in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittflache wirkt, entsteht die Normalspannung a (Biegespannung (Jb = Zug- und Druckspannung). In den Gleichungen a\y = M\^/W und it = Mj/Wp erscheinen die GroBen W und Wp. Sie heiBen Widerstandsmomente und werden in einem besonderen Abschnitt (5.7) behandelt.

Mb. N W\mm2

Beispiele fur Biegebeanspruchung: Biegetrager im Stahlhochbau und Kranbau, Wellen, Achsen, Drehmaschinenbetten, Spindeln von Arbeitsmaschinen, Kranhaken.

5 Festigkeitslehre

270 5.1.5.5. Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) Die auBeren Krafte ergeben zwei Kraftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kraftepaare wirken in zwei rechtwinklig (quer) zur Stabachse stehenden Ebenen und versuchen, die Schnittufer gegeneinander zu verdrehen: Der Stab wird verdreht (tordiert). Da das innere Kraftmoment, das Torsionsmoment MT, in der Schnittflache wirkt, entsteht die Schubspannung r (Torsionsspannung it).

/>^**^

MT.

N

Beispiele fur Torsionsbeanspruchung: Getriebewellen, Torsionsstabfedem, Schraubenfedem, Schrauben, Kurbelwellen

5.1.5.6 Kurzzeichen fiir Spannung und Beanspruchung Aus dem Kurzzeichen fiir die Spannung (a oder r) erkennt man, ob es sich um eine rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf dem Querschnitt stehende A^6>mz(2/spannung (Kurzzeichen a) oder um eine im Querschnitt Hegende Schubspannung (Kurzzeichen r) handelt. Die Beanspruchungsart, also Zw^beanspruchung, Z)rMc/:beanspruchung, AZ?5c/zerbeanspruchung, ^/^^^beanspruchung und ror^-Z^w^beanspruchung wird mit einem Index gekennzeichnet. Eine Einfuhrung in den Begriff der zulassigen Spannung steht im Abschnitt 5.12. Vorlaufig wird die zulassige Spannung fiir alle Festigkeitsaufgaben gegeben (siehe „Aufgabensammlung Technische Mechanik").

o^ C^zzul

Zugspannung zulassige Zugspannung

Odz\x\

Druckspannung zulassige Druckspannung

O'bzul

Biegespannung zulassige Biegespannung

^a zul

Abscherspannung zulassige Abscherspannung

^tzul

Torsionsspannung zulassige Torsionsspannung

Oh

5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung Die meisten Bauteile werden durch die auBeren Krafte so beansprucht, dass mehrere der vorstehenden Grundbeanspruchungsarten gleichzeitig auftreten. Kraftrichtungen mit beliebigem Winkel zur Stabachse ergeben immer zusammengesetzte Beanspruchung. Auch hierbei gibt das Schnittverfahren Aufschluss. Im beliebigen Schnitt x—x miissen zur Herstellung des Gleichgewichts am abgetrennten Stabteil die inneren Krafte F^ und Fq sowie das Biegemoment Mb angebracht werden. Der Vergleich mit den fiinf Grundbeanspruchungsarten ergibt Zug-, Abscherund Biegebeanspruchung.

Zusammengesetzte Beanspruchung durch schrag zur Stabachse wirkende Einzelkraft F

5.1 Grundbegriffe

271

5.1.7 Bestimmen des inneren ebenen Kraftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten Fiir die fiinf Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren, Biegung und Torsion gelten einfache Gleichungen, die spater grundlich entwickelt werden. Jetzt geht es darum, Sicherheit im Erkennen der Beanspruchungsarten zu gewinnen, die bei den verschiedenartigen Belastungen in den Bauteilen entstehen. Den Schliissel zum Verstandnis liefert stets das Schnittverfahren. Dazu ist es erforderlich, die folgenden Ubungen gewissenhaft durchzuarbeiten. Die Ubungen eignen sich sehr gut zur Gruppenarbeit: Jede Gruppe erarbeitet eine Ubung oder einen Ubungsschritt. Zur Einfiihrung in das Schnittverfahren wird das allgemeine innere Kraftesystem untersucht.

Zugbeanspruchung: FN Normalkraft o, A Querschnittsflache Druckbeanspruchung: FN A

Normalkraft Querschnittsflache

B iegebeanspruchung: Biegemoment Mb W ~ axiales Widerstandsmoment Abscherbeanspruchung: Fq Querkraft A Querschnittsflache Torsionsbeanspruchung: My Torsionsmoment Ti = Wp polares Widerstandsmoment

5.1.7.1 Das allgemeine innere Kraftesystem Im allgemeinen Fall kann der Querschnitt eines Bauteils das folgende innere Kraftesystem zu ubertragen haben: eine normal auf der Schnittfldche stehende innere Kraft FN, sie erzeugt die Normalspannung a (Zugoder Druckspannung (Jz, CTJ); eine in der Schnittfldche liegende innere Kraft Fq (Komponenten Fqx, Fqy), sie erzeugt die Schubspannung r; ein normal auf der Schnittfldche wirkendes Biegemoment Mb (Komponenten Mbx, Mby), es erzeugt die Normalspannung a (Biegespannung 0\y); ein in der Schnittfldche liegendes Torsionsmoment Mj, es erzeugt die Schubspannung r (Torsionsspannung Tt)-

Mx = M,,

Das allgemeine innere Kraftesystem

In nicht leicht durchschaubaren Fallen (z, B. Kurbelwelle) ist es zweckmaBig, diese vier statischen GroBen in der Schnittflache anzubringen und mit den Gleichgewichtsbedingungen am „abgeschnittenen" Bauteil die inneren Krafte und Momente zu bestimmen. Meist wird es geniigen, wenn durch Hinzufiigen von inneren Kraften und Kraftmomenten das abgeschnittene Bauteil Schritt fur Schritt ins Gleichgewicht gesetzt wird. Dafiir stehen die folgenden Ubungen.

5 Festigkeitslehre

272

Da diese Ubungen eine der wichtigsten Grundaufgaben der Festigkeitslehre erfassen, geht man nach einem Arbeitsplan vor. In jedem Fall miissen zuerst die auBeren Krafte und Kraftmomente mit den Gesetzen der Statik bestimmt werden.

5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kraftesystems und der Beanspruchungarten: AuBeiie Krafte imd Kraftmomente mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedmgimgen bestiinmen (zeichnerisch Oder rechnerisch). Bauteil durch einen Schnitt quer zur Stabachse an der Stelle schneiden, deren Beanspruchung untei^ucht werden soil. In den Schnitt Normalkraft FN, Querkraft Fq und Kraftmomente Mb und Mr so einzeichnen, dass der Restkorper wieder im Gleichgewicht steht. Betrage der inneien Krafte und Kraftmomente mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Beanspruchungsarten durch Vergleich des inneren Kraftesystems mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5 festlegen. Spannungen nach Abschnitt 5.1.7 berechnen.

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

AufgabenNn 651-656

5.1.7.3 Ubungen zum Schnittverfahren 1. Ubung: Durch die Last F wird ein Seil (Kette, Draht) belastet. Man macht das Seil frei und zerlegt es durch den Schnitt x—x in Teil I und II. Der betrachtete Restkorper ist wieder im Gleichgewicht, wenn man im Schnitt die normal (rechtwinklig) zur Schnittflache wirkende innere Kraft FN = F - 4000 N anbringt (2Fy = 0). Der Vergleich mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5 ergibt, dass Zwgbeanspruchung vorliegt. Es tritt die Normalspannung o^ (Zugspannung) auf. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Zug-Hauptgleichung az = F N / A .

Seil geschnitten, mit innerem Kraftesystem —

Inneres Kraftesystem beim Seil

273

5.1 Grundbegriffe 2. Ubung: Das innere Kraftesystem im Querschnitt x—x eines Stiitztragers soil bestimmt werden. Zunachst miissen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkorper die Stiitzkrafte FA und FB berechnet werden.

h = 2m

Ip^ 4 m li ^ 3m

F = 60kN

FAN

[\FB

l = 6m

Stiitztrager, freigemacht

Die Rechnung ergibt fiir die Stiitzkraft FA = 20 kN = 20 000 N, fiir die Stiitzkraft FB = 40 kN = 40 000 N.

Man sieht sich die Teilstiicke an, und wahlt zunachst Teil I. Soil sich der Restkorper I nicht mehr verschieben, muss im Schnitt eine nach unten wirkende innere Kraft Fq = FA = 20 000 N angebracht werden (2Fy = 0). Nun bilden Fq und FA jedoch ein Kraftepaar, das den Restkorper rechtsdrehend belastet. Folglich bringt man im Schnitt ein linksdrehendes, normal zur Flache wirkendes Biegemoment Mb = FA/I = 60000Nm an, das die Drehung verhindert (2M(sp) = 0). Auf diese Weise kann auch der Restkorper II untersucht werden.

Man erkennt: Waagerecht wirkende Krafte sind nicht vorhanden. Die im Schnitt wirkende innere Kraft Fq = 20000N ergibt nach Abschnitt 5.1.5 Ab^c/i^rbeanspruchung mit Schubspminung r^ (Abscherspannung). Ihr Betrag wird bestimmt durch die Abscher-Hauptgleichung Ta = Fq/A. AuBer der inneren Querkraft Fq hat der Querschnitt noch ein Biegemoment Mb zu iibertragen. Wie jedes Kraftmoment wird auch das Biegemoment Mb durch ein Kraftepaar erzeugt. Die Teilkrafte dieses Kraftepaares stehen hier normal zur Rache und ergeben nach Abschnitt 5.1.5 Biegebeanspruchung mit der A^orm^/spannung G\y. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Biege-Hauptgleichung ab = M\y/W.

2M(A)=0 =

f =fk

/ 2Fy = 0 = FA = F -

FB/-F/2

= 60 k N ^ = 40 kN 6m FA - F + FB FB = 20 kN AMIJ^F^IJ

=20000N-3m = 60000 Nm

\F^ = 20000 N

-S= 40000 N

.

Stiitzbalken geschnitten und mit innerem Kraftesystem versehen. Die inneren Kraftesysteme in I und II sind gleich groB und entgegengesetzt gerichtet.

Druck

Biegemoment und Kraftepaar

5 Festigkeitslehre

274 3. Ubung: Durch das Anziehen soil in der Schraubenspindel der skizzierten Schraubzwinge eine Langskraft F = 3000 N entstehen. Diese Kraft wird die Schraubzwinge etwas aufweiten. Es soil fur die willkurlich gelegten Schnitte x—x und y—y das innere Kraftesystem und die dort vorhandenen Beanspruchungsarten festgelegt werden.

?

PH]

im^

F = 3000N

1

^

C)

o

//

II

X

-£>"

^

Ti

hi -ro

'X

-L

Schraubzwinge mit auBerer Belastung F

a) Schnitt x—x Die Kraft F wiirde Schnittteil I nach rechts verschieben. Daher muss man im Schnitt die innere Kraft F^=F ^ 3000 N anbringen (SFx - 0). AuBere Kraft F und innere Kraft Fq ergeben nun aber ein Kraftepaar, das den Korper mit dem rechtsdrehenden Kraftmoment M = -Fli= -3000 N • 0,2 m = -600 Nm rechtsherum drehen wiirde. Gleichgewicht bringt erst das eingezeichnete linksdrehende Biegemoment M^-=^Fh= 600 Nm (EM(^sp) = 0). Damit Hegen auch die Beanspruchungsarten fest.

b) Schnitt y—y Zur Herstellung des Gleichgewichts am abgeschnittenen Bauteil II muss man im Schnitt die innere Normalkraft F^ = F = 3000 N anbringen (2Fx = 0). Auch hier hat man dann ein Kraftepaar mit dem Kraftmoment F/2, dem man mit dem eingezeichneten Biegemoment Mb = — F/2 rechtsdrehend entgegenwirken muss (2M(SP) = 0). Damit Hegen auch fiir diesen Schnitt die Beanspruchungsarten fest.

0 = F - Fq : F = 3000 N :0 = - F / i + M b : F/i = 600 Nm Inneres Kraftesystem am Teilstiick I Beanspruchungsarten im Schnitt x—x: Abscherbesinspmchung durch die Querkraft Fq = F = 3000 N mit Abscherspannung Ta = Fq/A und ^/e-g^beanspruchung durch das Biegemoment M\y = Fl] = 600 Nm mit Biegespannung 0\j = Mb/W.

¥^

2Fx = 0 = - F + FN FN = F = 3000 N 2M,(SP) :0 = F/2-Mb Mb =F/2 =900Nm SP y

f^b

Inneres Kraftesystem am Teilstiick II Beanspruchungsarten im Schnitt y—}': ZM^beanspruchung durch die Normalkraft F^ = F = 3000 N mit Zugspannung (7z = FN/A undfi/^gebeanspruchungdurch das Biegemoment Mb = F/2 = 900 Nm mit Biegespannung (7b = Mb/W.

5.1 Grundbegriffe 4. Ubung: Nun zu einer recht schwierigen Aufgabe: Fur die drei eingezeichneten Schnittstellen I, II, III einer Handkurbel sollen das innere Kraftesystem und die Beanspruchungsarten bestimmt werden. Gleiche oder ahnliche Probleme sind in der Praxis haufig. z. B. bei Kurbelwellen, bei Getriebewellen, iiberall dort, wo eine auBere Kraft drehend auf einen Korper wirkt.

275

Bolzen

Lager Welle

Handkurbel

a) Schnittstelle I (Bolzen) Um das Gleichgewicht am abgeschnittenen Bolzen wieder herzustellen, muss man zunachst die innere Querkraft Fq = F = 200 N anbringen (LFy = 0). Dadurch entsteht das aus Fq und F bestehende (rechtsdrehende) Kraftepaar. In gleicher Ebene wirkt das linksdrehende Biegemoment Mb = 200 N • 0,120 m = 24 Nm. Es ergibt sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung um den Schnittflachenschwerpunkt SP (EM^sp) = 0).

Die Beanspruchungsarten mit der jeweiligen Spannung, hier Abscherspannung Ta und Biegespannung ab, erhalt man durch Vergleich mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5.

F = 200N

Inneres Kraftesystem in der Schnittstelle I

2Fy = 0 = = F = 200 N 2M(sp) = 0 = - F / i + M b Mb = Fh = 2 0 0 N 0 , 1 2 m = 2 4 N m

Beanspruchungsarten im Schnitt I: Abscherbesinspmchung durch die Querkraft Fq = F = 200 N mit Abscherspannung

B/egebeanspruchung durch das Biegemoment Mb = F/i = 2 4 Nm mit Biegespannung ab = M b / W .

5 Festigkeitslehre

276 b) Schnittstelle II (Kurbel) Bevor das innere Kraftesystem im Schnitt II des Kurbelarmes bestimmt werden kann, muss man wissen, wie die Handkraft F in Bezug auf den Kurbelarm wirkt. Um das festzustellen, werden nach dem Parallelverschiebungssatz (siehe Statik) im Kurbelarmpunkt A zwei gleich groBe gegensinnige Krafte F angebracht. Man erkennt, dass die Handkraft im Punkt A zweierlei bewirkt: zum einen die nach unten gerichtete Kraft F, zum anderen aber noch das dem Kraftepaar (zweifach gestrichene Krafte) entsprechende (rechtsdrehende) DrehmomentM — Fl[ = 26 Nm. Mit diesem in A wirkenden Kraftesystem kann nun weitergearbeitet werden.

Handkraft F

Kurbelarm mit Handkraft F und auBerem Kraftesystem in Punkt A

Die in A angreifende Einzelkraft F = 200 N und das um A drehende Drehmoment M = 26 Nm sind dasjenige auBere Kraftesystem, dem man in der Querschnittsstelle II ein entsprechendes inneres Kraftesystem entgegensetzen muss. Der Kurbelarm soil sich weder verschieben noch soil er sich um seine Langsachse z—z verdrehen. Die Verschiebung kann ausgeschlossen werden, indem man im Schnitt die Querkraft Fq = F = 200 N anbringt (EFy = 0). Dadurch entsteht ein Kraftepaar (aus F und Fq), dem man im Schnitt ein entsprechendes Moment entgegensetzen muss. Das kann nur das um die x-Achse drehende Biegemoment M\y = FI2 = 4 0 Nm sein (2M(sp) = 0). Nun wiirde aber das auBere Drehmoment M = 26 Nm den Kurbelarm um die z-Achse rechtsherum drehen. Folglich hat der Querschnitt noch das Unksdrehende und in der Rache liegende Torsionsmoment Mj = 26 Nm zu ubertragen. Statt 2M(SP) = 0 miisste man hier exakter 2M(z-Achse) = 0 sagen. Die Beanspruchungsarten mit der zugehorigen Spannung erhalt man wie gewohnt nach Abschnitt 5.1.5.

M = 26Nm Fn=200N

iF = 200N

Inneres Kraftesystem in der Schnittstelle II 2Fy = 0 - - F + Fq Fa = F - 200 N 2M((SP)

0=

-F/2+Mb

Mb - FI2 = 200 N • 0,2 m = 40 Nm 2M(sp) =0=

-M-hMj

MT = M = 26 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt I: A^^c/z^rbeanspruchung durch die Querkraft Fc^= F = 200 N mit Abscherspannung ^a = Fq/A und 5/^g^beanspruchung durch das Biegemoment Mb = F/2 = 40 Nm mit Biegespannung (jb = Mb/lV und Tbr^/on^beanspruchung durch das Torsionsmoment My = 26 Nm mit der Torsionsspannung Tt = Mx/Wp.

277

5.1 Grundbegriffe c) Schnittstelle III (Kurbelwelle) Auch hier muss erst einmal festgestellt werden, welche Wirkung die Handicraft F auf den zu untersuchenden Korper ausubt. Dazu wird die Achse x—x der Welle bis zum Schnittpunkt B verlangert. Dort bringt man die beiden gleich groBen gegensinnigen Krafte F an. Man erhalt in Bezug auf die x-Achse die auBere Kraft F = 200 N und das dem gestrichenen Kraftepaar entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M = Fr = 50 Nm. Mit diesem in Punkt B wirkenden Kraftesystem kann man weiterarbeiten. Schritt fiir Schritt wird nun der abgeschnittene Korper ins Gleichgewicht zuriickversetzt: Zuerst bringt man eine nach oben gerichtete Querkraft Fq im Schnittflachenschwerpunkt an. Damit wird das Gleichgewicht in der x, y-Ebene wieder hergestellt (EFy = 0). Nun ist aber das Kraftepaar F, Fq entstanden, das die Welle in der jc, y-Ebene rechtsdrehend belastet. Folglich muss man als nachstes ein in gleicher Ebene wirkendes Kraftmoment im Schnitt anbringen, das linksdrehende Biegemoment Mb = F/4 = 5 2 Nm (2M(sp) = 0). Bis hierher ist gesichert, dass sich die Welle in der JC, >^-Ebene weder verschiebt noch dreht. Sie wiirde sich aber unter der Wirkung des Drehmomentes M um die x-Achse drehen (gegeniiber dem Restteil der Welle). Das verhindert das in der Schnittebene liegende linksdrehende Torsionsmoment Mj = 50 Nm. Wie iiblich erhalt man die Beanspruchungsarten und die Spannungen nach Abschnitt 5.1.5.

Handkraft

\IF = 200N

Handkurbel mit Handkraft F und auBerem Kraftesystem in Punkt B

Inneres Kraftesystem in der Schnittstelle III

2Fy = 0 = -F + Fa Fq = F = 200 N 2M(sp)=0=-F/4+Mb Mb = FI4 = 200 N • 0,26 m : : 5 2 N m 2M(sp) = 0 = - M + MT MT

= M = 50 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt III: A/?5c/i^rbeanspruchung durch die Querkraft Fq = 200 N mit Abscherspannung Ta == Fq/A, BiegebQSinspmchung durch das Biegemoment Mb = 52 Nm mit Biegespannung cTb = Mb/W und Tbr^/on^beanspruchung durch das Torsionsmoment MT = 50 Nm mit der Torsionsspannung It = Mj/Wp.

F

5 Festigkeitslehre

278

5*2 Beai^pruchungaufZiig 5.2.1 Spannung Ein Stab von beliebiger, gleich bleibender Querschnittsflache A wird durch die auBere Kraft F auf Zug beansprucht. Man legt einen Schnitt x—x quer (rechtwinklig) zur Stabachse. Das Gleichgewicht am linken Stabteil wird hergestellt durch die im Schnittflachenschwerpunkt SP angreifende innere Kraft F^ normal zum Schnitt (Normalkraft). Die Gleichgewichtsbedingung 2Fx = 0 ergibt F^ — F. Angenommen jedes Flachenteilchen des Querschnitts ist gleich stark an der Aufnahme der inneren Kraft beteiligt. Dann erhalt man die Zugspannung Oz einfach als Quotienten aus der Normalkraft F N und dem Flacheninhalt A der Querschnittsflache. Damit wurde die Zug-Hauptgleichung gefunden, die fiir jede gerade vorliegende Aufgabe umgestellt werden kann. Ist der Querschnitt langs der Stabachse gleichbleibend, herrscht auch in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei (allmahlichen) Querschnittsanderungen gehort zum kleineren Querschnitt die groBere Spannung und umgekehrt. Die im so genannten gefdhrdeten Querschnitt herrschende Spannung darf den festgelegten zulassigen Spannungswert nicht iiberschreiten.

i

FN

Querschnittsflache A Zugbeanspruchter Stab

Noonalkraft F^ Tugspannung o^ = Querschnittsflache A

Fn

Oz = -

Oz

N

Fn

A

N

mm^

Zug-Hauptgleichung Je nach voriiegender Aufgabe wird die ZugHauptgleichung umgestellt:

^erf =

FN

erforderlicher Querschnitt

Fn Oz voA = - ^ < CTz zui

vorhandene Spannung

FN max = >^
maximale Belastung

Gefahrdet ist bei Zugbeanspruchung der Querschnitt mit der kleinsten Flache.

5.2.2 Erkennen des gefahrdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen Fine festigkeitstechnische Aufgabe kann nur dann richtig gelost werden, wenn das zu untersuchende Bauteil richtig freigemacht und der gefdhrdete Querschnitt Agef richtig erkannt worden ist. Zur Ubung wird das Aufsuchen des gefahrdeten Querschnitts bei Zugbeanspruchung an einigen haufig vorkommenden Bauteilen erlautert.

5.2 Beanspruchung auf Zug

279

5.2.2.1 Profilstabe mit Querbohrung In ungeschwachten Profilstaben (Kreis-, Kreisring, Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss in jedem Querschnitt langs der Zugachse die gleiche Spannung herrschen, weil die Querschnittsflache iiberall gleich groB ist. Querbohrungen oder Querschnittsminderungen anderer Art fiihren an dieser Stelle zur Spannungserhohung. Dort liegt also auch der gefahrdete Querschnitt Agef, fiir den man mit den gewahlten Bezeichnungen fiir die geometrischen GroBen (Durchmesser d, Breite b, Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B. fiir den gefahrdeten Querschnitt eines Flachstahles in der Form Agef — hs — ds = s(b — d). Falsch ware etwa Agef = bs — sd'^n/A.

4

M

j ^

M—^^-

m »gef

]_J

Agef = Ax = s(b - d)

5.2.2.2 Zuglaschen Andem sich bei Zugstaben Querschnittsform oder Flacheninhalt langs der Zugachse, so legt man einen Schnitt nach jeder Querschnittsanderung, in der skizzierten Zuglasche beispielsweise die Schnitte x—x und y—y. Erst der Vergleich der Flacheninhalte Ax, Ay lasst den gefahrdeten Querschnitt erkennen; er liegt dort, wo der Flacheninhalt am kleinsten ist, denn nach a^ = FN/A gehort zum kleineren Querschnitt die groBere Spannung und umgekehrt.

^gef - ^x Oder Ay

5.2.2.3 Zugschrauben Auch fiir Schrauben gilt, dass der gefahrdete Querschnitt dort liegt, wo sich der kleinste Flacheninhalt ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund eines Spitzgewindes an, dann endet dieser Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang, und die Form des Querschnittes weicht etwas von der Kreisform ab. Der so entstandene gefahrdete Querschnitt heiBt Spannungsquerschnitt A^. Er ist fiir alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet worden. Man kann ihn in mm^ den Tabellen entnehmen (siehe Formelsammlung).

Agef = Ax ^A^ As Spannungsquerschnitt Hinweis: Als gefahrdeten Querschnitt bei Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde) nimmt man stets den Kemquerschnitt.

280

5 Festigkeitslehre

5.2.2.4 Herabhangende Stabe oder Seile Man denkt sich einen frei herabhangenden Stab der von unten nach oben fortschreitend durch die Spannungsverteilung bei Belastung allein durch Schnitte x\ — xi, JC2 — X2 usw. zerlegt ist, dann hat die Eigengewichtskraft /v. der jeweils hoher liegende Schnitt eine groBere Teilgewichtskraft FQX aufzunehmen. Das bedeutet, dass die Spannung an der Einspannstelle am groBSpannungsverteilung bei zusatzlicher Belastung ten ist. Dort liegt der gefahrdete Querschnitt. Da durch die Kraft F die Belastung durch das Eigengewicht Unear zunimmt, muss die Begrenzung der Spannungsverteilung eine Gerade sein. Tragt der Stab am unteF + FG Vf = ^x ren Ende noch die Last F, dann betragt die Gesamtbelastung Fges = F + FQ. Damit ist die Ax Querschnitt an der Einspannstelle maximale Spannung a^ax zu berechnen. Vielfach muss bei solchen Aufgaben die GewichtsFG = VQg FG = mg kraft FG = mg berechnet werden. Dazu ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem FG Volumen V, der Dichte Q des Stoffes und der Fallkgm kg beschleunigung g. kg N= m3

5.2.2.5 Ketten Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den tatsachlichen komplizierteren Beanspruchungsverhaltnissen (Biegung) nur auf Zug berechnet. Die Sicherheit im Hinblick auf die tatsachliche groBte Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der behordlich vorgeschriebenen zulassigen Zugspannung.

^ ^ - @ = @ = ^ ^

4i4

= 2f^=f^

Bei den Rechnungen wird haufig vergessen, dass der Schnitt x—x zwei Rundstahlquerschnitte trifft.

Aufgaben Nn 661-694 5.2.3 Elastische Formanderung (Hooke'sches Gesetz) Bei Belastung verandert ein Werkstuck seine Form. Man unterscheidet „elastische" und „plastische" Formanderung. Hier wird nur auf die elastische Formanderung eingegangen, bei der das Werkstuck nach Entlastung seine urspriingliche Form wieder annimmt.

Das von Robert Hooke (engl. Physiker, 1635—1703) gefundene Gesetz ist das Grundgesetz fiir jede elastische Verformung fester Korper. Im Physik-Lehrbuch^^ wird ein Versuch zum Hooke'schen Gesetz beschrieben.

^^ A. Edge, J. Eichler Physik - Grundlagen • Versuche • Aufgaben • Losungen, 2005

5.2 Beanspruchung auf Zug

281

5.2.3.1 Verlangerung A/ und Dehnung e Jeder auf Zug beanspruchte Korper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlangert sich um einen bestimmten Betrag A/. Hat der Korper im ungespannten Zustand die Ursprungslange IQ, im gespannten Zustand dagegen die Lange /, so ist seine Verlangerung A/ die Differenz von Lange / bei Belastung und Ursprungslange IQ. Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger Lange /Q verlangere sich bei einer bestimmten Zugspannung um 10 mm. Dann wiirde sich ein doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen um 20 mm verlangem. Je nach groBerer Oder kleinerer Ursprungslange /Q wird also die Verlangerung A/ trotz gleicher Spannung groBer oder kleiner. Um Imgcnunabhcingige Vergleichswerte fiir die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht man die Verlangerung A/ auf die Ursprungslange IQ. Dieser Quotient aus Verlangerung A/ und Ursprungslange /o heiBt Dehnung e. In der Werkstoffpriifung gibt man die Dehnung in Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden.

-|— Korper unbelastet - | -

F \ '<^mmm^—Korper belastet—

I,

I

1 F

<—

|

c>

^ ' .1

Stab ungespannt und gespannt A/ = / - / o Verlangerung Al Dehnung e = Ursprungslange k A/, /o, /

^ h

k

1

Beachte: Als Verhaltnis zweier Langen (Verlangerung A/ und Ursprungslange /Q) ist die Dehnung E eine VerhaltnisgroBe mit der Einheit Bins.

Beispiel: Ein Stab von 100 mm Lange verlangert sich bei einer bestimmten Belastung um 10 mm. Dann betragt die Dehnung A/ 10mm ^ , ..^ ^s £ = — = -7^ = 0,1 10 % /o 100 mm

5.2.3.2 Querdehnung fq An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei Belastung nicht nur langer, sondem auch diinner wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf Zug beanspruchten Metallstabes ab, wenn auch nicht mit bloBem Auge erkennbar. Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung verbunden. Daher hat man entsprechend der Dehnung e die Querdehnung £q definiert, und zwar als Verhaltnis von Dickenanderung AJ (entsprechend A/) und Ursprungsdicke d^ (entsprechend IQ). Als Verhaltnis zweier Langen muss auch die Querdehnung £q die Einheit Eins erhalten.

Korper unbelastet

—V Korper belastet ^^ Querdehnung des Stabes

Dickenanderung M Querdehnung Cq = urspriingUche Dicke 4)

Ad _(k — d do do

Ad, do, d

5 Festigkeitslehre

282 5.2.3.3 Poisson-Zahl fi Fur bestimmte Festigkeitsuntersuchungen ist es bequem, mit dem Verhaltnis von Querdehnung fq und Dehnung e zu rechnen. Dieses Verhaltnis bezeichnet man als Poisson-Zahl pi. Fur Stahl wurde die Poisson-Zahl ju — 0,3 ermittelt; fiir Gusseisen ist// = 0,25; fiir Gummi ist/i = 0,5.

^ ,,

Querdehnung £q

Poisson-Zahl u — TZ— ;", — - ^

Langsdehuung e

5.2.3.4 Das Hooke'sche Gesetz Fiir viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen der Spannung o und der zugehorigen Dehnung £ zu erkennen. Beim Ziehen eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender Spannung o auch die Dehnung E (Verlangerung AO ansteigt. Versuche mit Probestaben (siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung £ mit der Spannung o im gleichen Verhaltnis (proportional) wachst. Bei doppelter Spannung o zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung £. Man kann auch sagen: Das Verhaltnis von Spannung o und Dehnung E ist fiir jeden Werkstoff ein bestimmter, in den fiir die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen gleich bleibender Wert, der Elastizitdtsmodul E.

Der Elastizitatsmodul (kurz: E-Modul) ist eine Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache Dehnversuche ermitteln kann. Im Physik-Lehrbuch ist ein solcher Versuch ausfuhrlich beschrieben. Die Tabellen 5.8 und 5.9 (Seite 385) enthalten den £'-Modul fiir die wichtigsten Werkstoffe.

Spannung a Elastizitdtsmodid E = Dehnung e Umgestellt und fiir £ = A///o eingesetzt, ergibt sich die iibliche Form: o,E

o=:eE = -~- E h

£

mm

1

Hooke 'sches Gesetz Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten Staben zeigen die gleichen GesetzmaBigkeiten wie bei Zugbeanspruchung: Das Hooke'sche Gesetz gilt fiir Zug- und Druckbeanspruchung. Statt Oz und Od schreibt man daher hier nur o.

Beispiele: ^ y = 2,1 • 10^ mm^ mm^ N = 0,72 • 10^

Estahi = 210000 -AlCuMg

^GG26 =

Dem Elastizitatsmodul E entspricht fiir Schubspannungen (Abscher- und Torsionsspannung) dem Schubmodul G (5.6.2, Seite 297).

N

A/,/o

1,2

10^

N

Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe nur deshalb schwierig, weil man vergisst, dass der E-Modul schon bekannt ist (Tabelle 5.8).

5.2 Beanspruchung auf Zug Nach dem Hooke'schen Gesetz o = EE muss der f-Modul die Einheit der Spannung haben (N/mm^), denn die Dehnung e hat die Einheit Eins. Uber das Hooke'sche Gesetz E — O/E kann man den E-Modul auch als diejenige Spannung ansehen, die bei der Dehnung £ = 1 auftreten wiirde. Allerdings muss dabei beachtet werden, dass sich Metallstabe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslange verlangem lassen und dass das Hooke'sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt (Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375).

283 Beispiel: Angenommen, ein Probestab verlangert sich bei der Spannung cJz = 1000 N/mm^ auf das Doppelte seiner Ursprungslange. Dann ware seine Dehnung e = A///o = 1 und damit _Oz _ 1000 N

1000

N

5.2.3.5 Warmespannung Alle Metallstabe dehnen sich bei Erwarmung aus und Ziehen sich bei Abktihlung wieder auf die UrsprungsgroBe /Q zusammen. Die Verlangerung A/ (Verkurzung) des Stabes ist abhangig von der Ursprungslange /Q, von der Temperaturdifferenz A r = '&2 — ^\ vor und nach der Erwarmung (Abktihlung) und vom Langenausdehnungskoeffizienten a/ (siehe Physik-Lehrbuch). Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen an der Langenanderung gehindert, dann mtissen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie konnen mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes berechnet werden. Diese Normalspannungen heiBen Warmespannung a^, weil die Temperatur allgemein mit dem griechischen Buchstaben Theta bezeichnet wird. Den Elastizitatsmodul E entnimmt man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 385, den Langenausdehnungskoeffizienten a/ dem Handbuch Maschinenbau.

A/,/o

Al = kaiAT

«/ AT

Hinweis: Fur Stahl ist a/st = 12 • 10"^ 1/K, das heiBt, ein Stahlstab von 1 m Lange verandert sich bei Erwarmung um 1 K = 1 °C um 12- 10-^ m = 0,012 mm. o^ = EE

f^

Hooke'sches Gesetz in allgemeiner Form

Fiir die Verlangerung (Verkiirzung) wird Al = kai AT eingesetzt: kaiAT ao = — a^

E

^aiATE

o^,E

«/ AT

N mm^

1 K

K

Warmespannung Beachte: Die Warmespannung o^ ist unabhangig von den Abmessungen des Stabes.

5.2.3.6 Formanderungsarbeit Wf Im elastischen Bereich steigt die Belastung E von Zug- und Druckstaben proportional zur Langenanderung an. Dabei verrichtet die Kraft E auf dem Weg A/ (Verlangerung) eine mechanische Arbeit, die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung wieder vollstandig frei wird. Man sagt: Der Korper „federt". Das Kraft-Verlangerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende Flache entspricht der mechanischen Arbeit.

Kraft-Verlangerung-Schaubild eines elastisch verlangerten Stabes. Beachte: Bei Zug- oder Druckfedem ohne Vorspannung ist die Arbeitsflache ein Dreieck.

5 Festigkeitslehre

284 Mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes a = sE = Al E/lo schreibt man fur die Verlangerung

Wf =

F M

^^ =

Fur die Zugkraft F schreibt man mit der ZugHauptgleichung F = oA. Dann ergibt sich mit A/Q = Volumen V die ubliche Form fiir Wf. Die Formanderungsarbeit Wf wird auch als Federarbeit bezeichnet. Als Einheit erhalt man das Newtonmillimeter. Zur Umrechnung in J = Nm dividiert man den Betrag durch 1000 ( l m m = 1/1000 m =10-3 m).

Wf

=

Kraft F - Verlangerang J^

Formanderungsarbeit

oA OIQ IE

'

2

2E

F

Wf

A/

Nmm = lO-^J N mm

a,E

V

N mm^ mm^

5.2.4 ReiBlange Die Belastung frei hangender Seile z. B. in Forderanlagen setzt sich aus der Nutzlast und der Eigengewichtskraft des Seiles zusammen. Mit zunehmender Seillange wird man infolge der ansteigenden Gewichtskraft FQ des Seiles immer weniger Nutzlast anhangen diirfen, bis der gefahrdete Querschnitt (Aufhangequerschnitt) nur noch die Seilgewichtskraft FQ tragen kann. Wie das Bild zeigt, steigt die allein durch die Seilgewichtskraft verusachte Zugspannung a^ linear mit der Lange an. Das zeigt auch die folgende Entwicklung (siehe 5.2.2.4, Seite 280). In der Zug-Hauptgleichung wird die Zugkraft F durch die Gewichtskraft FQ = mg ersetzt. Die Masse m des Seils ersetzt man durch das Produkt aus Dichte g und dem Volumen V, letzteres wieder durch das Produkt aus Querschnittsflache A und Seillange /. Die Gleichung a^ = gig zeigt, dass die Zugspannung im Seil nicht vom Seildurchmesser abhangt. Wird in Oz =" gig statt der Zugspannung a^ die Zugfestigkeit R^^ fiir den Seilwerkstoff eingesetzt, so erhalt man eine Gleichung fiir die so genannte Reifildnge U, bei der das frei hangende Seil unter seiner Eigengewichtskraft reiBt.

gefahrdeter

Querschnitt

Spannungsverlau f

o^=—A QAlg

FG =mg = QVg = QAlg ,

Hinweis: Die Gleichung fur o^ zeigt, dass die Zugspannung gleichmaBig mit der Seillange / nach oben bin ansteigt. Oz = Qlg] o^=Rm; Rm Reifildnge

1 = IT

Rm Zugfestigkeit (Seite 359) Q Dicbte g Fallbescbleunigung

5.3 Beanspruchung auf Druck Setzt man in die GroBengleichung fur die ReiBlange die Zugfestigkeit R^ in N/mm^ ein, die Dichte Q in kg/m^ und die Fallbeschleunigung g in m/s^, dann muss bei der Ausrechnung die Racheneinheit nmi^ in m^ umgewandelt werden. Hierfiir gilt lmm^ = ( 1 0 - ' m \2 )'

10 -^m^

285

(/r)

(/?ni)

mm2

N • m^ • s^

{Q){g)

kg m m^ s^

mm^ • kg • m

kgm (/r)=-

3 2 kg • m"^ • s^ 10-6 m^ • kg • m • s^

10-^ m^ • kg • m

(Ir) = 10^ m = 10^ km

Damit kann man auch eine auf die Langeneinheit km zugeschnittene Zahlenwertgleichung entwickeln. Auch die Zahlenwertgleichung zeigt, dass die ReiBlange eines Seils nicht vom Seildurchmesser Oder vom Querschnitt A abhangig ist.

Q8 Zahlenwertgleichung

/r

^m

Q

g

km

N mm^

kg

m

m3

Rm siehe Seite 375

Anfgaben Nr. 6%-713

53 B^nspnidiungaufDnick Die auBeren Krafte wirken hier entgegengesetzt wie bei der Zugbeanspruchung. Man kann sagen: Zug- und Druckbeanspruchung liegen spiegelbildlich zueinander, und die GesetzmaBigkeiten sind von gleicher Art. Das gilt sowohl fiir die Spannungsarr (Normalspannung) als auch fiir die Spannungsv^rr^//wng. Daher hat die Druck-Hauptgleichung die gleiche Form wie die Zug-Hauptgleichung. Grundsatzlich gilt auch fiir die Druckbeanspruchung: Bei gleich bleibendem Querschnitt herrscht in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei Querschnittsanderungen tritt im kleineren Querschnitt die groBere Spannung auf und umgekehrt. Die im gefdhrdeten Querschnitt vorhandene Spannung darf den festgelegten zulassigen Spannungsbetrag nicht iiberschreiten. Gefahrdet ist der Querschnitt mit dem kleinsten Flacheninhalt (siehe auch Seite 278). Fiir die Formanderungsarbeit Wf gelten die Beziehungen von Seite 283.

Druckbeanspruchter Stab Druckspannung a^ =

Normalkraft F K Querschmttsflache A Od

FN

A

N mm^

N

mm^

Druck-Hauptgleichung Je nach vorliegender Aufgabe wird die Druck-Hauptgleichung umgestellt:

Aed

_ FN

FN^

A FNmax = A a d z i i l

erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

286

5 Festigkeitslehre

5,4 Ubungen mir Zug- und Druckbeansprachung Hier wird die rechnerische Auswertung der bisher bekannten festigkeitstechnischen Beziehungen vorgefiihrt. Der Studierende wird vor allem lemen, welche Form seine Rechnungen haben miissen und nach welchem Konzept er technische Berechnungen aufbauen sollte. Die beiden folgenden Aufgaben sind von der gleichen Art, wie sie in dem Buch „Aufgabensammlung Technische Mechanik" zusammengestellt wurden. Die Losungsgedanken stehen links, die numerische Rechnung in der rechten Spalte. 1. Ubung: Ein Stahldraht aus 20MnCr5 von 1 mm Durchmesser und 2 m Lange wird durch Zugbelastung um 4 mm verlangert. Zu bestimmen sind a) die Dehnung des Drahtes, b) die vorhandene Zugspannung, c) dieZugkraft. d) Es soil nachgewiesen werden, dass im Rechnungsbereich das Hooke'sche Gesetz tatsachhch noch gilt. Losung: a) Da Ursprungslange /Q und Verlangerung A/ gegeben sind, lasst sich die Dehnung e sofort berechnen (als Dezimalzahl und in %). b) 1st eine Formanderung im Spiel, hier die gegebene Verlangerung A/, dann ist es sicher, dass das Hooke'sche Gesetz gebraucht wird {Oz — eE oder auch in der Form az = A/ E/IQ). Daher hat man unter „Gegeben" auch sofort den f'-Modul hingeschrieben. c) Die Zugkraft F lasst sich nun uber die ZugHauptgleichung mit der vorher bestimmten Zugspannung berechnen. Allerdings: Das Ergebnis dieser Rechnung kann nur dann richtig sein, wenn ^zvorh fehlerfrei bestimmt worden ist. Auch fiir Teikechnungen sollte man daher immer versuchen, eine Gleichung fiir die gesuchte GroBe (hier Zugkraft F) zu entwickeln, in der rechts vom Gleichheitszeichen nur die gegebenen AusgangsgroBen stehen. In diesem Sinn ware auch die hier vorgefiihrte Kontrollrechnung noch nicht exakt, weil statt iKp- /A der schon berechnete Wert fiir den Querschnitt A = 0,785 mm^ eingesetzt wurde.

Gegeben:

= ^ ( l m m ) ^ = 0,785 1 4

4

/o = 2 m = 2- 10^ mm; A/= 4m £'stahl = 2,1

mm^

Gesucht: a) e b) <7zvorh C) F d) Spannungsnachweis fiir Hooke

A/ k

4 mm 2 10" 2 • 103 mm "

: 0,002

£ = 2 • 10"^ • 100% = 2 • 10"' % = 0,2% FN

F

(7^ vorh = — = — ^ fiihrt nicht welter. A A N ^ z vorh = eE = l- 10"^ -2,1 • 10^ Oz vorh = 4,2 • 10"^ • 10^ F = o,

N

r = 420

N

r • 0,785 mm^

,A=420

F = 329,7 N Kontrolle: M o -— £ ; '0

F

F . Oj^= — emgesetzt:

/S.I

— = —~ E =^ nach F aufgelost: A k MEA 4 mm • 2 , 1 - 10^

N

• 0,785 mm^

2 • 103 mm F = 329,7 N (wie oben)

;

287

5.4 Ubungen zur Zug- und Druckbeanspruchung d) Nach Tabelle 5.8, Seite 385, betragt die /?po,2Dehngrenze fur 20 MnCr5 650 N/mm^, d. h. bei dieser Spannung wurde sich der Probestab um 0,2 % bleibend gedehnt haben. Da die bier vorhandene Spannung (420 N/mm^) weit unter dieser Dehngrenze 650 N/mm^ liegt, durfte tatsachlich mit dem Hooke'schen Gesetz gerechnet werden. 2. Ubung: Ein Gummipuffer mit Kreisquerschnitt soil durch eine Druckkraft F = 150 N von 30 mm auf 25 mm elastisch zusanrniengedriickt werden. Der £^-Modul der verwendeten Gummisorte ist mit 5 N/mm^ angegeben. Zu bestimmen sind a) die Druckspannung im Gummipuffer, b) der erforderliche Pufferdurchmesser, c) die vom Puffer aufgenommene Formanderungsarbeit. Losung: a) Man sollte sich kiinftig die Erkenntnisse aus der vorigen Aufgabe zunutze machen und grundsatzlich die entsprechende Hauptgleichung und das Hooke'sche Gesetz hinschreiben. Entweder fiihrt dann eine der beiden Gleichungen direkt zum Ziel Oder beide werden zu einer Gleichung fiir die gesuchte GroBe entwickelt. b) Aus der Druck-Hauptgleichung und dem Hooke'schen Gesetz wird eine Gleichung fiir die gesuchte GroBe (hier t/erf) entwickelt. Nur so erhalt man eine „rechnergemaBe" Beziehung, die es uns ermoglicht, die gegenseitigen Abhangigkeiten aller GroBen zu diskutieren. Beispielsweise ist zu erkennen, dass bei groBerem £'-Modul der erforderliche Durchmesser kleiner wird, denn E steht im Nenner der Funktionsgleichung d =f{F, /Q, A/, E). c) Die aufgenommene Federarbeit Wf erhalt man direkt aus den gegebenen GroBen F und A/ (siehe Seite 285).

/?po,2 = 6 5 0 N O'zvorh = 4 2 0

r < /?p0,2

Gegeben: F = 500N /o = 30 mm;

A/ = 5 mm

mm^ Gesucht: a ) advorh

b ) ^erf

c)

Wf

A Al

5 mm

C^dvorh = £E = — E = — /o 30 m m

_ N 5mm^

C^dvorh — 0,83

A

lo Flo ME

4F/o 71 Al E

4 und daraus

4 • 500 N • 30 mm N ji • 5 mm • 5

Jerf = 27,6 mm

Wf =

F Al 500N-5mm ,^,^,, = = 1250 Nmm 2 2

Wf = 1,25 N m = 1,25 J

5 Festigkeitslehre

288

5»5 Flachenpressung 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung Unter Flachenpressung p (auch: Pressung) versteht man die Beanspruchung in den Beriihrungsflachen (Oberflachen) zweier gegeneinander gedriickter Bauteile. Ursache jeder Flachenpressung ist eine Normalkraft FN, die haufig erst aus der beliebig gerichteten Kraft F bestimmt werden muss. Werden zwei ebene Flachen gegeneinander gepresst, dann gilt:

Die Flachenpressung p ist der Quotient aus der Normalkraft FN und dem Flacheninhalt A der Beriihrungsflache,

:a

Belastung /

Normalkraft

1 Berijhrungsflache

F/^ A

-wmt"^

Flachenpressung

Flachenpressung p

Flachenpressung p —

^^^^^^

Norm^krafil; FN Beriihrungsflache A FN

FN

N FlachenpressungsHauptgleichung

Je nach vorliegender Aufgabe stellt man die Flachenpressungs-Hauptgleichungum.

Aerf =

^^^^^^

Fn_

erforderliche Beriihrungsflache vorhandene Flachenpressung

^

FN

N

"im

FNniax = ^Pzul

maximale Normalkraft

5.5.2 Flachenpressung an geneigten Flachen Im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik stellt sich haufig die Aufgabe, die Flachenpressung auf geneigten ebenen Flachen zu bestimmen, wie beispielsweise zwischen den Gleitflachen einer Prismenfiihrung. Der herausgeschnittene Teil der Gleitfiihrung zeigt, dass das Prisma neben der Belastung F = 800 N die Normalkrafte FNI und FN2 aufzunehmen hat. Das zugehorige Krafteck bildet ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem die Gleichungen fiir FNI und FN2 abgelesen werden konnen. Sind die Flacheninhalte A\ und Ai der Gleitflachen bekannt, kann die Flachenpressung p\ und p2 berechnet werden.

/A;

=2000mm^

A2 = WOOmm^ ^N2 = F tanoi

FNI

=

^Ni p\ — p2 =

^

F =

A\ FN2 A2

=

N = 0,462

Aicosa Ftana A2

r mm^ N = 0,462 r mm2

289

5.5 Flachenpressung Die Flachenpressung pi auf der geneigten Gleitflache A\ lasst sich bequemer nach folgender Uberlegung berechnen: Im Nenner der Gleichung pi = F/{A\ cos a) steht der Ausdruck Ai cos a. Das ist die Projektion der Beriihrungsflache Ai auf die zur Wirklinie von F rechtwinklige Ebene. Daraus folgt: Man kann — ohne den Umweg iiber die Normalkraft — mit der Kraft F und der so genannten projizierten Beriihrungsfldche Aproj die Rachenpressung p berechnen.

/ o -J

p

^proi

l(df-dj}

^<^mltana

Aproj ^^1 cos a

P

= ±-

p=

Aproj

(bi-b2)l

Kupplungsbelag ^1

Kegelkupplung:

p=

Anroi

ird^bsina

3n

^

^

^

Aproj = ^1 COS OL

projizierte

P

F

-'^proj

N

N

mm^

Beachte: Ap^j ist die Projektion der Beriihrungsflache auf eine Ebene, die rechtwinklig zur Wirklinie der Belastung F steht. Beispielsweise ist beim Kegelzapfen Aproj eine Kreisringflache, wie das folgende Bild zeigt.

PrismenfiJhrung:

^

/

A J Beriihrungsflache

In Zweifelsfallen fuhrt der Weg uber das exakte Freimachen und das Bestimmen der Normalkrafte F^f immer zum Ziel. Jedoch ist es in vielen praktischen Fallen einfacher, mit der projizierte Rache zu rechnen. Typische technische Beispiele zeigen die folgenden Bilder.

Kegelzapfen:

\~3

A^

Gewinde:

p=

Typische techische Beispiele fur die Verwendung der Gleichung p = F/Aproj

2lttanoL

Flache

5 Festigkeitslehre

290

5.5.3 Flachenpressung am Gewinde Der VerschleiB an den Gewindegangen einer Schraubenverbindung ist von der Flachenpressung zwischen Mutter- und Bolzengewinde abhangig. Vor allem bei so genannten Bewegungsschrauben (Spindeln in Pressen, Leitspindeln in Drehmaschinen usw.) muss die Mutterhohe m so groB gemacht werden, dass die zulassige Flachenpressung im Gewinde nicht iiberschritten wird. Fur Bewegungsschrauben benutzt man hauptsachlich metrisches ISO-Trapezgewinde, seltener metrisches ISO-Gewinde. Fiir beide Formen gelten die im Bild eingetragenen Bezeichnungen.

Zur Herleitung einer Gleichung fiir die erforderliche Mutterhohe m geht man von der projizierten Flache eines Gewindeganges aus (AAproj). Diese projizierte Flache AAproj ist eine Kreisringflache mit der Tragtiefe Hi als Ringbreite (siehe auch Bilder Seite 289).

Die Anzahl der tragenden Gewindegange / erhalt man, wenn die Mutterhohe m durch die Gewindesteigung P dividiert wird.

Die gesamte projizierte Beriihrungsflache Aproj zwischen Gewindebolzen und Mutter muss das Produkt aus AAproj und / sein. Damit erhalt man eine Gleichung zur Berechnung der Flachenpressung p im Gewinde. Bei dieser Berechnung wird vorausgesetzt, dass alle beteiligten Gewindegange gleichmaBig tragen. Tatsachlich werden die ersten Gange starker beansprucht. Zum Schluss wird die Flachepressungsgleichung zur Berechnung der erforderlichen Mutterhohe merf umgestellt.

Bezeichnungen am Trapezgewinde

AAproj

=Kd2Hi

Mutterhohe m Gewindesteigung P

iproj — AAproj /-A^proj i = 7id2H\i

FP

=

nd2H\


Fldchenpressungsgleichung fiir Gewinde

rried '•

FP ndiHiPfxA

erforderliche Mutterhohe

m,P,d2,Hi

F

P

mm

N

N mm^

5.5 Flachenpressung

291

5.5.4 Flachenpressung in Gleitlagem, Niet- und Bolzenverbindungen Schwieriger als bei ebenen Flachen sind die Pressungsverhaltnisse an der Oberflache eines Lagerzapfens, eines Bolzens oder eines Nietes. Die Flachenpressung ist in Belastungsrichtung am groBten (Pmax) und nimmt nach den Seiten hin bis auf null ab. Der Maximalwert p^ax miisste eingesetzt werden, wenn z. B. fur ein Gleitlager die erforderliche Lagerlange / bestimmt werden soil. Beziehungen zur Berechnung von p^ax hat Hertz aufgestellt (Hertz'sche Gleichungen, siehe Seite 292). Diese Gleichungen sind nicht einfach aufgebaut. Deshalb arbeitet man bei der Berechnung von Gleitlagerabmessungen sowie bei Niet- oder Bolzenverbindungen nicht mit den Hertz'schen Gleichungen, sondem rechnet mit einem Mittelwert p der Flachenpressung. Dazu denkt man sich die Kraft F gleichmaBig liber die projizierte Fldche Aproj des Zapfens (Bolzen, Niet) verteilt. Der „Fehler" bei dieser Betrachtung wird dadurch ausgeglichen, dass man die zulassige Flachenpressung entsprechend niedriger festlegt, so dass die tatsachlich auftretende Pressung /^^ax von den verwendeten Werkstoffen vertragen wird.

Die Flachenpressung am Nietschaft wird Lochleibungsdruck Oi genannt. Er ist abhangig von der aufzunehmenden Kraft F, von der Anzahl n der Niete und von der projizierten Schaltflache ^proj = d\s eines Nietes.

Pressungsverlauf y am Lagerzap fen

Flachenprojek tion des Lagerzapfens

P

p

p

N

F

d,l

N mm

Fldchenpressungsgleichung fur Gleitlager und Bolzenverbindungen

Oi

=

ndis

nAi ^proj

< CT/zul

Fldchenpressungsgleichung fur Nietverbindungen 0dj

Bei einschnittigen Nietverbindungen muss man fur s die kleinere der beiden Blechdicken einsetzen, weil hier der groBere Lochleibungsdruck auftritt. Ist die Verbindung mehrschnittig, dann ist s die kleinere der beiden Bleckdicken^wmm^w in einer Kraftrichtung. Im skizzierten Beispiel (vierschnittig) miisste man also s — 10,5 mm in die Gleichung fiir den Lochleibungsdruck Oi einsetzen.

ffl^ V i . 1, -V proj.h Flache

pro/. Flache einschnittige

Verbindung

rX:^ ^3^ ; = 2sj =2-

7mm mehrschnittige

s = 3 $2

o

= 3- 3,5mm Verbindung = 10,5 mm

292

5 Festigkeitslehre

5.5.5 Flachenpressung an gewolbten Flachen (Hertz'sche Gleichungen) Die Flachenpressung zwischen Korpem mit gekriinimter (gewolbter) Oberflache lasst sich mit den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen. Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise zwischen den Walzkorpem (Kugeln, Walzen, Rollen, Nadeln) und Laufringen von Walzlagem auf (Kugellager, Kegeh-ollenlager, usw.). Die Hertz'schen Gleichungen gelten unter folgenden Voraussetzungen: a) Die Korper verhalten sich vollkommen elastisch (keine bleibende Formanderung). b) Es gilt das Hook'sche Gesetz a = eE. c) Die elastische Verformung ist klein gegeniiber den Abmessungen des Korpers. d) In der Beriihrungsflache beider Korper treten nur Normalspannungen o auf, keine Schubspannungen r.

Bedeutung der Formelzeichen: a Radius der kreisformigen oder halben Breite der rechteckigen Druckflache in mm F Druckkraft in N ju Poisson-Zahl, VerhaltnisgroBe mit der Einheit 1, siehe Seite 282 r Kriimmungsradius der Kugel oder des Zylinders in mm; bei Kriimmung beider Korper ist die Summe beider Kriimmungen einzusetzen, also l/r = l / n + 1/^2. Fiir die ebene Platte ist l/r2 = 0, fur die Hohlkugel ist l/r2 negativ einzusetzen. E Elastizitatsmodul in N/mm^; bei unterschiedlichen £^-Moduln ist E = 2E\E2l{E\ 4- E2) einzusetzen. / Lange des Zylinders in mm p Druck auf der Beriihrungsflache im Abstand Q in N/mm^ PQ — p^^^ Druck in der Mitte der Beriihrungsflache in N/mm^ Q veranderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Beriihrungsflache in mm d Gesamtabplattung in mm, d. h. die gesamte Naherung der beiden Korper

5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln 3 Fr

-PQ

Va^-Q'

1 3/ 1,5 FE^

r

V

^^^^ 3 FE^

^ '*

1,5 F

V E^r

5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern

nEl

'

V El

la^ — Q^

FE

^,_

FE

IF

' ^ -77^ 9T = 0,418 \ —- = 2jcr/(l - / / ^ ) V rl Tial

5.5 Flachenpressung

293

5.5.6 Ubungen zur Flachenpressung 1. Ubung: Eine Zugspindel soil iiber die Mutter in Langsrichtung 20 kN iibertragen. Die Zugspannung in der Spindel darf 80 N/mm^ nicht uberschreiten, die Flachenpressung im Gewinde soil hochstens 15 N/mm^ betragen.

Gegeben: Zugkraft F = 20 kN = 20 • 10^ N

Zu bestimmen sind das erforderliche Trapezgewinde, die erforderliche Mutterhohe.

Gesucht: Trapezgewinde Mutterhohe m

Losung: Der Kemquerschnitt der Zugspindel muss bei CTzzui = 80 N/mm^ die Zugkraft F = 20000 N iibertragen. Aus der Zug-Hauptgleichung (Seite 278) fmdet man fur Aerf = 250 mm^ Kemquerschnitt.

on

Ozzu\ = 80

N

,^

; pzui = 15

N

r

(Zug-Hauptgleichung) Aerf

20 000 N = 250 mm^ N

=• C^zzul

80-

Aus der Formelsammlung wird dasjenige Trapezgewinde gewahlt, das den nachstgroBeren Kemquerschnitt A3 = 269 mm^ besitzt. Zur Berechnung der Mutterhohe m setzt man in die Gleichung nach Seite 290 die gegebenen und die aus der Gewindetafel (Formelsammlung) entnommenen GroBen ein.

Gewahlt wird Tr 24 x 5 mit A3 = 269 mm^, Steigung P = 5 mm, Rankendurchmesser flf2 = 21,5 mm, Tragtiefe Hx = 2,5 mm.

Als NormmaB wird m = 40 mm gewahlt.

merf = 39,48 mm; m = 40 mm gewahlt

FP fncrf

= 7ld2HiPzul

20 ' 10^ N • 5 mm fn^Tf

•

Jt • 21,5 mm • 2,5 mm • 15-

2. Ubung: Ein Gleitlager hat eine Radialkraft Fr = 15 000 N und eine Axialkraft Fa = 6000 N aufzunehmen. Das Bauverhaltnis soil l/d = 1,2, die zulassige Flachenpressung 5 N/mm^ betragen. Zu bestimmen sind die MaBe d, D, /. Losung: In die Flachenpressungsgleichung fiir Gleitlager, Seite 291, wird aus dem vorgegebenen Bauverhaltnis l/d = 1 , 2 entweder d = 1/1,2 oder fiir / = 1,2^ eingesetzt. Hier entscheidet man sich fiir die zweite Moglichkeit und erhalt damit eine Gleichung zur Bestimmung des erforderlichen Wellendurchmessers d. Im anderen Fall hatte sich eine Gleichung zur Berechnung der Lagerlange / ergeben. Aus dem Bauverhaltnis l/d =1,2 ergibt sich die Lagemngslange /.

1?^^^^

= 1,2=^1= l,2d Fr 1,2^/2

Fr d\,2d Fr l,2/7zul

15 000 N N ^1,2-5 ^ N mm^

dcrf — 50 mm / = l,2d = 1,2 • 50 mm = 60 mm

294 Man setzt die Beziehung fiir den Kreisringquerschnitt A in die Flachenpressungs-Hauptgleichung p = F^/A = F^jA ein und entwickelt eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Bunddurchmessers D =f{F^, p^uu d), aus der D berechnet werden kann. Gewahlt wird D = 65 mm als nachsthoheres NormmaB.

5 Festigkeitslehre

A

,2 _ ^2x (D'-d^

i>erf = i / - ^ + ^ lUPzul Z)erf = 63,47 mm;

D =f{F,, /7,ul, d)

D = 65 mm gewahlt

3. Ubung: Fiir die Festigkeitsiiberprufung (Spannungsnachweis) der Abmessungen eines Zahnrades, insbesondere des gewahlten Modus, ist die Flachenpressung pc im Walzpunkt C der beiden Zahnflanken von besonderer Bedeutung. pc darf nicht groBer sein als ein Grenzwert/?zui, der in Versuchen ermittelt worden ist. Die Kriimmungsradien r\ und ^2 fiir die skizzierte Nullstellung beider Rader lassen sich berechnen; hier ist r\ = 60 mm, r2 — 40 mm. Fiir b = 50 mm Zahnradbreite und Pzui = 520 N/mm^ soil die maximale Normalkraft ^Nmax bestimmt werden, die zwischen den beiden Zahnflanken auftreten darf. Losung: Die Beriihrung zweier Zahnflanken im Walzpunkt C entspricht der Pressung zwischen zwei Zylindem nach 5.5.5.2, Seite 292. Da beide Korper gekriimmt sind, muss der Kriimmungsradius r aus l/r= l/r\ + l/r2 berechnet werden. Diese Gleichung kann man in eine zweckmaBigere Form bringen und daraus dann r berechnen. Die Ausgangsgleichung wird nach FNmax umgestellt, wobei man auch noch pc — Pzu\ setzt. Wegen der Wurzel muss die Gleichung zuerst quadriert werden. Das Elastizitatsmodul fiir Stahl betragt wie iibUch 2,1 • 10^ N/mm^. Man erhalt als Ergebnis fiir die groBte Normalkraft F^ max =9187 N. Damit kann der Konstrukteur das maximal zulassige Drehmoment und die entsprechende Getriebeleistung festlegen.

PQ = 0,418 \ — V rl

Hertz'sche Gleichung

Po=Pc\

l= b

F = Fu',

l = l + i = ^l±^ rir2 (60^40) mm^ = —= 24 mm ri + r2 (60 + 40) mm

r=

2

pc^ =0AIS^ Pc'=OA\^'^ ^

rb

0,4182£ 530

N

24 mm • 50 mm

^Nn

0,4182.2,1 . 105-

AufgabenNr. 714-736 :9187N

295

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

5,6 Beanspnichong auf Abscheren 5.6.1 Spannung Die Beanspruchungsart Abscheren tritt immer dann auf, wenn die Belastung F rechtwinklig (quer) zur Achse des Bauteils wirkt. Praktisches Beispiel fiir das Auftreten von Abscherspannungen ist das Scherschneiden. Die auBeren Schnittkrafte F bilden ein Kraftepaar mit dem (kleinen) Wirkabstand u (Schneidspalt). Das entsprechend kleine Kraftmoment M = Fu wird bei dieser Untersuchung venachlassigt. In der Schnittflache des Werkstiicks W wird das Kraftegleichgewicht durch die innere Schnittkraft Fq (Querkraft) = F wieder hergestellt. Fq wirkt tangential zur Schnittebene, die auftretende Spannung ist also die Schubspannung r (Tangentialspannung). Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart nennt man sie Abscherspannung r^. Vereinfachend wird zunachst angenommen, dass jedes Flachenteilchen gleichmafiig an der Ubertragung der inneren Kraft Fq beteiligt ist. Dann erhalt die Abscher-Hauptgleichung die gleiche Form wie die schon bekannten Zug/Druck-Hauptgleichungen.

w

t7

A

y//////y

L—FA—^

E:

f

-fix

A- Querschnitisflache

Scherschneiden (Parallelschnitt) WWerkstuck, F Schnittkraft, A = Is Querschnittsflache, u Schneidspalt

QueikraftFq Abscherspannung t^ = Querschnittsflache A ra '^=A

N

^q

A

N

mm^

AbscherHauptgleichung

Die Abscherfestigkeit T^ von Stahl und Gusseisen kann aus der Zugfestigkeit R^ bestimmt werden:

fiir Flussstahl ist taB — 0,85 • Rjt fiir Gusseisen ist TaB = 1»1 * ^m Die Abscherfestigkeit TaB wird fiir Aufgaben aus der Stanzereitechnik gebraucht (siehe z. B. Aufgabe 741 aus der Aufgabensammlung). Zur richtigen Festlegung des gefahrdeten Querschnitts in Abscheraufgaben geben die nachstehenden Lehrbeispiele Anregungen.

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Abscher-Hauptgleichung umgestellt: Aerf^

•^azul

Fq

erforderlicher Querschnitt

Ta vorfi ^= "T" S Ta zal A

vorhandene Spannung

**q max — -^ ^a zul

maximale Belastung

5 Festigkeitslehre

296 Bei den auf Abscheren zu berechnenden Bauteilen wie Niete und Bolzen tritt auBer der Querkraft noch ein Biegemoment auf. Allein deshalb ist eine einfache Schubspannungsverteilung im Querschnitt nicht zu erwarten. In warm eingezogenen Nieten tritt keine Schubspannung auf, sie werden durch das Schrumpfen auf Zug beansprucht und trotzdem auf Abscheren berechnet. Genauere rechnerische Untersuchungen am Rechteckquerschnitt zeigen eine parabolische Schubspannungsverteilung mit r = 0 in der Randfaser und r = Tmax in der mittleren Faserschicht.

Mit dem Mittelwert Tmittei = ^a = ^qM ergibt die Rechnung fur den Rechteckquerschnitt ^max = (3/2) • Ta, d. h. die maximale Schubspannung ist um 50 % groBer als die rechnerische Abscherspannung ta = Fq/A.

Niete und Bolzen werden mit der obigen AbscherHauptgleichung berechnet, obwohl in der Schnittflache noch ein Biegemoment iibertragen werden muss. Berucksichtigt wird dies durch eine geringere zulassige Spannung Tazui- Bei langeren Bolzen sollte die Biegespannung uberpriift werden. Die zulassigen Abscherspannungen fiir Nietverbindungen im Stahlhoch- und Kranbau sind vorgeschrieben (siehe Tabellen 5.5 und 5.6, Seite 364).

ff

t-Kurve(Parabei)

''-i^§4

Schubspannungsverteilung im schubbeanspruchten Rechteckquerschnitt

Fiir die folgenden Querschnittsformen gilt: Rechteckquerschnitt Tmax = (3/2) • Ta Kreisquerschnitt imax = (4/3) • Ta Rohrquerschnitt Tmax ca. 2 • Ta

gefahrdeter

Querschnitt

^ innere

Kraft

Mfj = inneres Moment

Schnittuntersuchung am Niet

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

297

5.6.2 Elastische Formanderung (Hooke'sches Gesetz fiir Schub) Am Beispiel einer wurfelformigen Schubfeder kann die Formanderung bei Schub erlautert werden: Die Kraft F verschiebt die beiden Schnittufer 1 und 2 parallel gegeneinander, so dass sich die Seitenflachen des Wiirfels um den Winkel y neigen. Fiir kleine Winkel y darf angenommen werden, dass der Abstand /Q der beiden Schnittufer wahrend der elastischen Formanderung erhalten bleibt. Dann ist der Tangens des Winkels y ungefahr gleich dem Winkel in der Einheit rad, also tan y = A///o '^ y. Der Winkel y wird als Schiebung bezeichnet. Man versteht die Zusammenhange besser und erhalt zusatzlich eine gute Gedachtnisstiitze, wenn man die Formanderung bei Schub und bei Zug (5.2.3.4) einander gegeniiberstellt. Die bei Schubverformungen auftretende Schubspannung r wachst mit der Schiebung y verhaltnisgleich: Bei doppelter Schiebung stellt sich die doppelte Spannung ein. Wie bei der Zugbeanspruchung (Seite 282) ist auch hier das Verhaltnis von Spannung r und Schiebung y ein bestimmter und bei elastischer Verformung gleich bleibender Wert. Nach DIN 1304 heiBt er Schubmodul G. Wird die Gleichung fiir den Schubmodul G umgestellt, erhalt man das Hooke'sche Gesetz fiir Schub mit dem gleichen Aufbau wie bei Zugbeanspruchung. Die Defmitionsgleichung fiir den Schubmodul G = x/y gibt zu erkennen, dass G die Einheit der Spannung besitzt (vgl. mit 5.2.3.4, Seite 282). Ebenso wie das Elastizitatsmodul E ist auch der Schubmodul G eine Werkstoffkonstante, die den Tabellen auf Seite 385 entnommen werden konnen. Aufgaben Nn 738-765

- Schubfeder

Verschiebung A/ Schiebung y = Schnittuferabstand k tany f«y:

A/ k

A/,/o rad

Bei Zug ist die Dehnung e das Verhaltnis von Verlangerung A/ und Ursprungslange /Q, bei Schub ist die Schiebung y das Verhaltnis von Verschiebung A/ und Schnittuferabstand /Q. Bei Zug wachst die Dehnung e proportional mit der Normalspannung o (siehe Seite 282), bei Schub wachst die Schiebung y proportional mit der Schubspannung i.

SchubspanBung'r Schubmodul G = Schiebung y M

k Hook'sches Gesetz fiir Schub (r)

N mm2

T,G A/,/o N

l=rad

mm

mm^ 1

N mm^

Beispiel: 80000

y

8 • 10^

1

5 Festigkeitslehre

298

Lehrbeispiek Nietverbindung im Stahlhochbau

Aufgabenstellung: An einen L 200 x 1(H) x 10 soil ein Flachstahl genletet werden. ZugkraftF = 70 kN.

".

Nietung and Ftachsmhtprofif sind zu berechnen, wenn das Brettenvarhaltms fur den Flachstahl

/ ' " :'

I

Is CM

Breite b - 10 gewahit wird Dicke s

>J S I j^ 100 ^

Niete aus UStm-l; Stab aus S235JB (St 37); LastfallH (Hauptlasten, stehe Tabelle 5.S, Seite 364) T\F= '70kN

Losung: a) Stabprofii: Beanspruchung aufZug, gefahrdeter Querschnitt Im Schnitt quer zur Stabaehse dutch ein NIetloch, Die Schwachung des Stabpmftls durch die Nietlocher wird dutch das VerschwMchungsvethaltnis v --

An A

Nutzquerschnitt beruckslchtlgt. ungeschwachtet Quetschnitt

Manwahltv^0,8, Die zulassige Spannung wird det Tabelle 5.5, Selte 364, entnommen. Fut Bauteite aus S235JBozzui = 160

Aerf=:

OzzulV

Aerf

=

N mm^

70000 N = 547mm^ = d s = 10s s= 10s^ N 160 ^'0,8

y/54Jmn^^7,4i

A^rf-

s = 8 mm;

b= 10 $=^80 mm;

gewahit: tZJSOxB

b) Nietdurchmesser df. Oer Nletdurchmesser wird nach der Erfahrungsformel gewahit: 10 mm

dj = 8 mm + 10 mm - 18 mm

s kleinste Blechdicke

di^s-^

(dmax = 28 mm nach DIN 997)

dt Durchmesser des geschhgenen Nietes gewahit: dj-

17 mm

Ai^227mnf Rohnietdurchmesser d = 16 mm

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

299

c} Nmtanzahin: Beampmchurtg dBr Niete auf Abscheren, (Emschn'mige Verbindung: m= 1) N

n^rf = rBzuiAim

T^azul =

70000 N

UO

^2,2 mwi^ 1

f^erf -•

140-^-227 (fur Nietverbindungen mit Bauteiten aus S235JR und Nietwerksioff USt 36-1 nach Tabelie 5,5)

gewahit: n=3 Nlete

d} Nachprijfung de$ Lochieibungsdruckesai: Der Ltichlaibungsdruck kann umulassig hohe Werte erreichen, auch wenn der Niet auf Abscheren shher besttmmt wurde. f mvorn = -j^

N Ofzui = 280-^^^ nach Tabelte 5.5 s kteinste Blechdicke s—8mm

70 000 N ^ ' ^ " 17mm 8mm

3~'

N mrn^

otvo^ = 172-^^K

0,^,1^280-^^

3Nietezulassigmftd— 16 mm Rohnietdurchmesser

e) Spannungsnachwels furStabprofilim Schmitl-lk f azw>tft — *r~

8 mm dick

70000 N

^^

C>zvodi '

4 - ^ -4'/

=r 139

80 mm' 8 mm - 17 mm - 8 mm a.^^139-^
m f} Niatbitd: Das Nietbitd wird mit den MaBen fur Nietabstanda und Randabstand e entwickeft

©' = 40 ii

§1

Nietabstand: a > 2,5di -2,5' a « 45 mm

17 mm =

42,5mm

Randabstand: e = 2df ==2-17 mm = 34 mm e « 35 mm setttkher Randabstand: ^>1,5di= 1,5 17 mm ^25,5 mm fur€Z3&>x8wird: ^f^40mm

N i _

mtm

5 Festigkeitslehre

300

LBhrtmlBpIek NiBtvBrbindung Im Stahlbau Au^benstBlfung:

I« 6(H) mm

fur mne LaulbUhnB sotien Konsolbieche an Stutzen genietet warden, Bekih S2SSJB; Niete UStS&t Zulassige Spannungen mch Taimtte BS, Seite 304, £$ sind die Abmmsungan des Blechas {$ und h) und die VamieUjng m berechmn. LastfatI H.

Losung: a) Kon$otblm)it Beanspruchttng aufSiegung; gefatirdeter Querschnitt in der Nietreihe. W^

Mtii ffbzul

N Ob^

==

M4.

1^

Fl Obzul

IZOOON-mOmm N 160

45110^ mm^

bei ungesctiwachtem Querschnitt Die Schwactmng des Quersclinitts wird durch das Verschwaciiungsverhalmis v=0,8berucksictitigt Werf

45-10^ mrri^ 56,2S' 10^ mm^ 0,8

Oaraus kann -beis^S W

ihti

leW^

mm (gewahit) ~ die Konsolbiechhohe h berechtpt warden:

16'36,25 10^ mni^ = 205 mm 8 mm

gewahit: h~210 mm

b^ Nietdurchm^serdf di Durchmesser des geschlagenen Nietes: di = 8 mm + 10 mm ~ 18 mm df «# s + 10 mm gewahit.

d? = 19 mm Ai = 284 mm^ Hohnietdurchmesser d=18 mm

c) Nietanzahl Es warden zunachst n=4 Niete gewahit wait diese gut in derHohe verteih warden konnen (a = 2,5d= 2,5 • 18 mm = 50 mm). Das Nietsystem muss sowohl das auBere Biegemoment Mb = Fl als auch die Querkraft Qbertragen. Debet werden die auBeren Niete am starksten beansprucht Die Abscherspannung und der Lochletbungsdruck sind nachzuprufen.

5.6 Beanspruchung auf Abscheren

301

F

Aus der Skizze dm fretgemachten Kon$olbfech$ entnimmt man: SMisp)=-0

2F,^a^2F2~~Fl^0 Das Belastungsbild zelgt die Proportion: 3?. —- = — = - daraus: F2

3

1

F2 = -^ eingesetz InlM^sp) = 0 Konsolblmih fmigemacht (Krafte bezogen aufBlechLoc^quBfschmtt}

2F,-a^2^fj~Fl^0 Fi(3a + ^) =Fl= Fi =

12kN600mm=7,2^

7,2-10^ Nmm

10^ Nmm

432m>N

3-50mm-¥~^fT^rn

Die maximale Nietbelastung wird: r - j F ^ + Q

^y/(43.2

103Nf + (3 10^ N)'

43300 N Die zusatzliche Belastung der Niete druch die Querkr^ F/4 Mite man titer nicht zu berucksichtigen brauchen. Abscherspannungtg: Fm^ Ta = -J—

Krafte bezogen auf den einzelnen Niet ^Reaktionskrafte aus obiger Skizze)

43300N 9= ' 284mm2

~ na^

N 152,46

2 > ^«'"/ -

'^^

N mm^

Die zutassige Abscherspannung ist aiso uberschriiten. Neue Abmessungen gesctiatzt und naciigepruft: 4 Niete mit di = 21 mm; Ai = 346 mm^ Biechttohe h = 210 mm Nachprufung fur 4 Niete mit di = 21 mm: Abscherspannung tg: ^

Fmax 43 300 N JAJ 346 mm^

-«^ A/ mm^

i

Lochleibungsdruck oi: O r / = -

F„^ dis

N N 43300 N = 258 < Oi2ui = 280 21 mm - 8 mm mm^ mrn^

4 Niete mit d-20 mm Rohnietdruchmesserzufassig.

302

5 Festigkeitslehre

Lehrbelspmi: Zugbolzen Aufgabemteflung Fur den sktzzierten Zugbolzen, der von einer Kraft F = 2- 10* N ruhend belastet wird, sind zu bestimmen:

00

N a) Oer erfordertiche Botzendurchmesser d, wenn a^zuf = 60

^ ist.

b) Der Kopfdurchmesser D, wenn die Flachenpressung an der Beruhrungsstelie Pzut = IB

N

nieht uberschreiten soil.

c) Die Kopfhohe h bet einer zulassigen Absctierspannung

Losung: a) Botzendurchmesser d: F

F Ae^ =

=

20000N ™ ^ , - — = 333 mm^

derf- 20,6 mm gewahit: d—22 mm b) Kopfdurchmesser D:

^= ^

F 20000N ^^^^ 2fn' /I"*.. Aerf = — = — — T T - = ?333 mm^ {Bmgflache) Pzut -~ N To

-——sr

Bohrung angefast: Fur d hier 22 mm + 3 mm = 25 mm Derf = J{~

't333

gewatitt: D=50 c) Kopfhohe h: F

Agrf=

F

=

+ 2sA mm^ = 48,2 mm

mm

20000 N ^ ^ , 2 --—=667mm^ 30

X

mm^ A^ndh,

S = Zyftndermantet

h^rf^^^^lT' ^" nd 31'22 mm

gewahit: h~ 10 mm

^9,66mm

0d

"r

303

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W

5.7 flachenmomeiite 2. Grades / und Widerstandsmomente W Es bleibt selbstverstandlich dem Lehrer iiberlassen, an welcher Stelle er im Stoffplan die Flachenmomente 2. Grades und die Widerstandsmomente behandelt. Mancher Lehrer wird diesen Abschnitt erst einmal auslassen, um mit der Torsionsbeanspruchung und der Herleitung der Torsions-Hauptgleichung (5.8.2, Seite 322) einen engeren Bezug zu den Rachenmomenten herzustellen. Einige Lehrer sind der Meinung, man sollte auch noch die Biege-Hauptgleichung (5.9.4, Seite 330) vor diesen Abschnitt ziehen. Zum leichteren Einstieg fiir den Studierenden wurde der Stoff in Teilschritte zerlegt, und die Teilprobleme werden so eingehend behandelt, dass auch das Selbststudium zum Ziel fiihrt. Die Aufgabenstellungen in den Ubungen des Abschnitts 5.7.4, Seite 306 und 5.7.7, Seite 316, konnen den Gruppen zur selbststandigen Losung vorgelegt werden.

5.7.1 GleichmaBige und lineare Spannungsverteilung (Gegeniiberstellung) Zum Verstandnis der Beanspruchungsarten Torsion, Biegung und Knickung muss man eine geometrische Betrachtung vorausschicken. Die bisher bekannten Hauptgleichungen sind alle nach dem gleichen Schema aufgebaut: Im Zahler des Bruches steht in alien Fallen die Kraft F als statische GroBe, im Nenner die Querschnittsflache A als geometrische GroBe, well bei diesen vier Beanspruchungsarten jedes Flachenteilchen den gleichen Spannungsbetrag zu ubertragen hat. Anders gesagt: Die Spannung (oder Pressung) ist gleichmafiig iiber dem Querschnitt verteilt. Das ist bei den Beanspruchungsarten Torsion und Biegung anders. Hier haben die Randfasem des Querschnitts die groBte Spannung zu iibertragen. (^max bei Torsion und CTmax bei Biegung). Nach der Querschnittsmitte zu, genauer: zur neutralen Faser hin, sinkt die Spannung gleichmaBig bis auf null ab. Man spricht dann von einer linearen Spannungsverteilung, im Gegensatz zur gleichmaBigen Spannungsverteilung bei den Beanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren und Flachenpressung. Aussagebegrenzung: Alle Erlauterungen zur Torsionsbeanspruchung gelten nur fiir Kreis- und Kreisringquerschnitte.

FN

^z.d-

AbscherHauptgleichung

Zug/DruckHauptgleichung

a,=

• A

Fldchenpressungs-Hauptgleichungen

Torsionsmoment

Mj

Biegemoment Mg

neutrale Faserschicht Biegeachse

Spannungsbild bei Torsions- und Biegebeanspruchung (lineare Spannungsverteilung)

5 Festigkeitslehre

304 5.7.2 Definition der Flachenmomente 2. Grades Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung gegenuber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung wird verstandlich, dass die Hauptgleichungen fur Biegung und Torsion nicht ganz so einfach aufgebaut sein konnen, wie die bisher bekannten Hauptgleichungen. Tatsachlich erscheint in den Herleitungen dieser Gleichungen (5.8.2, Seite 322 und 5.9.4, Seite 330) nicht mehr die Querschnittsfldche als geometrische GroBe im Nenner, sondem ein Summenausdruck, der als Fldchenmoment 2. Grades I bezeichnet wird.

Beachte: Gleichmdfiige Spannungsverteilung bei Zug, Druck, Abscheren und Flachenpressung. Lineare Spannungsverteilung bei Biegung und Torsion.

Das Flachenmoment fur Biegung heiBt axiales, das fur Torsion von Staben mil Kreis- oder Kreisringquerschnitt (Wellen) heiBt polares Flachenmoment 2. Grades. Da beide Flachenmomente aus der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind, gilt die folgende Definition:

/x = AAiJi^ + AA2J2^ + AA3J3^ + . . . + AAn>^n^

Mb ab = — e

MT

Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch nicht endgiiltiger Form (siehe Seite 323 und 331).

/y = AAiXi^ + AA2X2^ + AA3JC3^ + . . . + AAn^n^

/ = 2 AA v^ axiales Flachenmoment 2. Grades (fiir Biegung /y = 2 AA XT uj^(j Knickung erforderlich) Definitionsgleichung

MuWplMert man jedes FLachenteilchen AA einer Hach^ mit dem Quadrat seines Abstandes von einem Bezugspunkt oder von einer Bexugsachse {Q^ X, y\ dann eigibt die Summe dieser Produkle das Flachenmoment zweiten Grades / dieser HMche.

/p = A4i^i2 + AA2^2 + AA3^3^

/p=EAA^2 Definitionsgleichung

- AAn^n

polares Flachenmoment 2. Grades (fiir Torsion von Staben mit Kreisoder Kreisringquerschnitt erforderlich)

Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht wird (jc—X, y—y oder 0).

Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit mm"^ (Flache mal Abstandsquadrat).

(/) = (A) • {x,y,Q) = mm^ • mm^ = mm^ (/) = mm^ Hinweis: Man geht hier von der Langeneinheit mm aus, well im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird. Grundsatzlich dtirfen auch cm und m benutzt werden (cm^, m"^).

305

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W In den Herleitungen der Abschnitte 5.8.2 (Seite 322) und 5.9.4 (Seite 330) erscheint auBer dem Summenausdruck der Quotient /p/r (bei Torsion) und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die Randfaserabstdnde, d. h. die Abstande vom Bezugspunkt Oder von der Bezugsachse bis zur Randfaser. Dieser Quotient heiBt Widerstandsmoment W =

Randfaserabstand e und r

e ^

Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich fiir die verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen entwickeln; die wichtigsten sind in den Tabellen 5.1 (Seite 309) und 5.2 (Seite 311) zusammengestellt. Fiir genormte Profile (Winkel-, I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete Werte fiir Rachenmomente / und Widerstandsmomente W.

Ih

W, Wp

Hachenmomeat/ Randfaserabstand r (oder e)

Am haufigsten werden die Widerstandsmomente in Bezug auf die beiden in der Querschnittsflache liegenden Achsen jc, y und in Bezug auf die rechtwinklig zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht. Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet.

\^olar

axial

axial J

fix

r

axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die jc-Achse

axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die j-Achse

5Vv=-

^ 0 = ^

polares Widerstandsmoment in Bezug auf die Verdrehachse 0 (gilt nur fiir Kreisoder Kreisringquerschnitt)

5.7.3 Herleitungsubung -cico

Um das Verstandnis fur das Rachenmoment zu vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung fiir das Rachenmoment h eines Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu entwickeln. Bezugsachse soil also die waagerecht im Rechteckquerschnitt liegende x-Achse sein. Was bei dieser Untersuchung herauskommen muss, kann aus Tabelle 5.1, Seite 309, abgelesen werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete waagerechte Achse muss / = bh^ /12 sein.

- < | 0 O H

-c:l
0 -0

AA4 A/Aj

0

AA2

^1^1

A yi

-X

^Ii5

o

AAj A A

;f=|^ O

2

AA3

b

Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt in Flachenstreifen AA parallel zur x-Achse.

306 Losung: Die Rechteckflache von der Breite b und der Hohe h wird in 8 Flachenstreifen gleicher Hohe zerlegt, deren Flacheninhalt dann AA = bh/S betragt. Die mittleren Abstande der Flachenstreifen von der Bezugsachse x driickt man als Bruchteile der Gesamthohe h aus und bildet die Produkte aus Flachenteilchen AA und zugehorigem Abstandsquadrat.

5 Festigkeitslehre 2 _^^ f ^ p. S \\6 ^ bh f 3 ~ 8 vl6 bh f 5 ^^3j3 = y \T^ n bh f 1 A44j4^ ^ Y (16 ^

Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: GemaB 4 = SAAy^ summiert man die Produkte aus Flachenteilchen AA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus: fieac/^re; Jedes Flachen/x = 2AA / = (AAi yx^ + AA2 yi^ + AA3 y^^ + AA4 J4^) • 2 ., , teilchen AAi, AA2, AA3, Ausgerechnet ergibt das: ^ ^ i,t oberhalb und , [bh I . bh 9 . bh 25 . bh 49 .\ ^ unterhalbderx-Achse /x = /i^ H /z"^ H /i^ H /z^ • 2 vorhanden, erschemt V8 256 8 256 8 256 8 256 / also zweimal in der bh h^ bh^ Rechnung.

Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 309 (/x = bh^/12) zeigt, dass schon die grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranfiihrt (12,2 statt 12). Auf gleiche Weise konnen samtUche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 gentigend genau entwickelt werden. Allerdings fiihrt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis.

5.7.4 Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 1. Ubung: Fiir eine Welle von 60 mm Durchmesser sollen die axialen und polaren Flachen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen 5.1 und 5.2 ab Seite 309. Losung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind die axialen Flachenmomente /x, /y und die zugehorigen Widerstandsmomente Wx, Wy, jeweils gleich groB. Die axialen Widerstandsmomente W^ und Wy konnen auch einfacher aus den vorher berechneten Flachenmomenten bestimmt werden, wenn man sich daran erinnert, dass allgemein W = I/e ist {e Randfaserabstand).

Gegeben: Wellendurchmesser J = 60 mm Gesucht: "" "" ^' ^' P' P

h =

~6A ^ w^ = Wy= -;^ = 21,2 • 10^ mm^ 32

^x=-

= j-jjy. =21,2 10^ mm^

Wy=— wie vorher

307

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen aus den Tabellen 5.1 und 5.2 zeigt: Die polaien Flachen- und Widerstandsmomente (/p, Wp) sind beim Kneisquerschnitt und beim Kieisiingquerschnitt doppelt so grofi wie die wdalen Widerstandsmomente (/, W).

/p = ^^^^ = — • (60 mm)^ = 127,2 • 10^ mm^ P 32 32 ^ / w = — = — • (60 mm)^ = 42,4 • 10^ mm^ 16 16 Oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment: /p 127,2 •lO'^mm^ .^.1^3 3 Wp = -B- = = 42,4 • 10^ mm^ ^ r 30 mm

2. Ubung: Fiir eine Hohlwelle von 60 mm AuBenund 40 nmi Innendurchmesser sollen wie in der ersten Ubung die axialen und polaren Flachenund Widerstandsmomente bestimmt werden.

Gegeben: D = de, = 60 mm, d = di = 40 mm

Losung: Die axialen Flachen- und Widerstandsmomente sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie fiir jede Schwerachse jeweils gleich groB, so dass man sie einfach mit / und W bezeichnen kann.

'-si°*

Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren Flachenmomente doppelt so groB sind wie die axialen, so dass /p und Wp noch einfacher hatte berechnet werden konnen (/p = 21 und Wp = 2W).

^=-{d:-d:)-

3. Ubung: Fiir einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt von 180 mm Hohe und 90 mm Breite sollen die axialen Flachenmomente 2. Grades bestimmt werden. Wird nichts anderes gesagt, gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden „Hauptachsen" (x- und y-Achse). Losung: Die axialen Flachenmomente sind ein MaB fiir die Steifigkeit des Querschnitts gegen Biegung oder Knickung. Der Balken ist „hochkant" schwerer zu biegen (/x = 43,74 • 10^ mm^) als „flachkant" (/y = 10,94 • 10^ mm^). Bei Knickbeanspruchung wiirde er nach der Seite mit dem geringsten / ausknicken, also flachkant (um die y-Achse), well /y < 4 ist.

Gesucht: h,Iy,Ip,W,,Wy,Wp

64

(60^^ - 40^*) mm^

7 = 51,1 • 10^ mm^ W-

/

SLllO'^mm^

(D/2)

30 mm

32

17- 10^ mm^

(60^ - 40^) mm^

Ip = 102,1 •lO'^mm^ /p

W,

(4/2)

102,1

lO^mm^

30 mm

34 • 10' mm'

Gegeben: Rechteckquerschnitt mit /i = 180 mm, ^ = 90 mm Gesucht:

: — = 43,74 10^ mm^ 12 H^x =

/v

W,

=

e

I2 /v

10,94- 10^ mm^ = 24,3- 10^ mm'

308

5 Festigkeitslehre 200

4. Ubung: Fiir den skizzierten Querschnitt (H-Profil) sollen die axialen Flachenmomente um die X- und }^-Achse berechnet werden, damit festgelegt werden kann, um welche Achse ein Balken mit diesem Querschnitt die groBere Biege- und Knicksteifigkeit besitzt.

Losung: Man benutzt die Gleichungen aus Tabelle 5.1 von Seite 310 zur Bestimmung von 4 und /y und erkennt aus den Ergebnissen: Die groBere Steifigkeit gegen Biegung und Knickung besitzt ein Balken dieses Querschnitts um die j-Achse (/y > /x). Bei Knickung wurde er um die jc-Achse ausknicken, well 4 < /y ist. Beachte: Flachenmomente / (nicht Widerstandsmomente W) von Teilflachen diirfen dann addiert oder subtrahiert werden, /. 17,19 • 10^ mm^ W,=wenn sich die Schwerachsen 22,92- 10^ mm e 75 mm der Teilflachen mit der Bebh^ _ 150mm-(200mm)^- 120mm • (140mm)^ zugsachse des Querschnitts /v decken. Das lasst sich hier so12 12 wohl fiir 1^ als auch fur /y /y = 72,56-10^ mm^ durch eine entsprechende Zerlegung der Gesamtflache er/v 72,56-10^ mm^ reichen. Das Vorgehen wird = 72,56-10^ mm^ Wv _Z e 100 mm im folgenden Abschnitt 5.7.5 auf Seite 312 erlautert.

BH^ +bh^ _60mm12 /x = 17,19- 10^ mm^

I.=

(150 mm)^ + 140 mm • (30 mm) 12

5. Ubung: Zur (Jbung im Auswerten von Tabellen sollen die Flachenmomente 2. Grades gegen Biegung und Knickung und die Widerstandsmomente aus den Profilstahltabellen herausgesucht werden (siehe Formelsammlung). Losung: IPEIOO

/ x = 171-lO^mm^ Wx 34,2-10^ mm^ / v = 15,9-10^mm4 Wy 5,79 10^ mm^ groBter Widerstand gegen Biegung und Knickung also um die x-Achse.

U 100

A= 1350 mm^

/x = 206-104mm^ /y = 29,3 10^mm^

L60x6

A=691mm2

/x = 22,8 • 10^ mm^

A=1030mm2

H^x==41,2 Wyi = 18,9 Wy2 = 8,49 Wxi - 13,5 Wx2 = 5,29

10^ 10^ 10^ 10^ 10^

mm-" mm^ mm^ mm^ mm^

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W

309

Tabelle 5.1 Axiale Flachenmomente 2. Grades /, Widerstandsmomente Wund Tragheitsradius / fur Biegung und Knickung y

'

'M

hb^ 12

O

Ix = ly = h

K

12

--C

9

^ b ^ 1 y

^ 6 /y = 0,2^

h = 0,289 h

: ^ / = 16

i = 0,289 /i 7= ^ 5 4 16

0,54135^

W = : | - 5 ^ =0,6255^ 8

W = 0,54135^ / = 0,4565

b

m\ ' •\

r^

-c

= 0,54135^

/ = 0,4565

I = —r^TT^ r-^— ^ 36{2b + bi) I = 6b^ + 6bbi+b l^Oi 12(3^H-2Z7i)

W

W^

2

"36"

e=—h 3 / = 0,236 h

W-

1 3b + 2^1 3 2b + bi

1 2

d^ '20 W =

^= ^(^^-^^) M^:

32 ' ' 10

Jt

D4-^4

32

D

i = 0,25 Jia^b

/v-

\ / D M ^

nb^a

/x ?^ ^ a^d {a + 3^) 4

/ - '^~2

^

4

• ^ ^y=-2

W = — « ^ f l ^ ( a + 3^) a 4 ^

/ x - 0 , 0 0 6 8 J"^

/ y = 0,0245 J^

Wxi = 0,0238 J^

Wx2 =- 0,0323^^

Wy = 0,049 J '

/x = 0 , 1 3 2 J

/x = 0,1098 {R"^ - r^) - 0,283/?V2

SR

4r

: 0,4244 r

3JI

/?-A-

(/?4 - r^) ^

^1

Wxl

2(D3

e\ = 3 j t ( D 2 - ^ 2 )

310

5 Festigkeitslehre

Fortsetzung Tabelle 5.1

I^ =

h-y^{H'-h')

m^

W.=^iH^-^^

p^

-{H-h)

Wy=-{H-h) iy = 0,289 Z7

\2{H-h)

1=

3~rr

b(h^- - h^^) + b,{h,^--h2^) 12 b{lv'- - / l | 3 ) + f o , ( / . , 3 - -112^)

w B

B

/ -

Li

6h

1 ^1

^

w

BH^ +bh^ 12 BH^ +bh^ 6^^ BH^ -bh^ 12

W

BH^ - bh^

b b 2 ,_3_^ 2

I = - {Bei^

'fp ^

e\

M

~i'

-bh^+ae2^)

aH^bd

€2 — H — e\

^ Y///7////m % a_

b

^ 1

•c^ W///////m

^ 1 . _

2 '-0

^ ? , .

a "1

^

2

^ m^

/ = - {Bex^ - bh^ + Bxe2^ - bxhx

r^ 7dmp.^ "i"

• «N 1

-c"

L-6

1 aH^+bd^+bidi

Q> 1

e\

2

62 = H — e\

{2H - dy

aH + bd + bidi

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W

311

Tabelle 5.2 Polare Flachenmomente 2. Grades /p und Widerstandsmomente Wp fiir Torsion^^

Querschnitt

Widerstandsmoment

Flachenmoment /o

.. = £.'4

H^n

Jt

Ja^-^i^

16

Ja

^P ~ 32 "^

d^ ' 10

/p=^(Ja^-^>)

Bemerkung

groBte Spannung in alien Punkten des Umfanges

groBte Spannung in alien Punkten des Umfanges

in den Endpunkten der kleinen Achse: Mj Wt: vyyyTxy/T/A "^

16

n^^

= n> 1

Jt n^h^ 16 n^ + l

b

VVt

in den Endpunkten der groBen Achse: ^tmax

/?a

K

^i

K

n 16

a<\

n^ n^^\

in den Endpunkten der kleinen Achse: Ttmax in den Endpunkten der groBen Achse: ^tmax Tt =

W,=-nK'{\-a') ID

in der Mitte der Seite: Wt = 0,208 fl3 3

h = OMa"" = 7,1

\

Wt = 0,05b^ =

W,-

T3~T

7,5^3

/t =

15 v ^ b' 46,2

^tmax

in den Ecken: it = 0

in der Mitte der Seite: ^tmax

in den Ecken: rt = 0

^^ Der Torsion nicht kreisformiger Querschnitte liegen andere schwierigere Gleichungen zugrunde als beim Kreis- oder Kreisringquerschnitt. Zur klaren Unterscheidung werden benannt: /t Torsionsflachenmoment, Wt Torsionswiderstandsmoment. Es gelten die Gleichungen: Torsionsspannung Ttmax = Mj/Wt; Verdrehwinkel (p = Mjl/{Gh).

312

5 Festigkeitslehre

5.7.5 Axiale Flachenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte Lassen sich Querschnitte derart in Teilflachen zerlegen, dass alle Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfalien, dann kann das Flachenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnittes aus der Summe oder Differenz der Teilflachenmomente berechnet werden. Anders ausgedriickt: Flachenmomente 2. Grades diirfen addiot und subtrahiert werden, wenn TeU- und Gesmntschwerachse zusammenfallen. Widerstandsmomete diirfen keinesfalls addiert oder subtrahiert werden. Man kann sich am Beispiel eines H-Profils klarmachen, wie vorzugehen ist. Das Profil lasst sich in drei Teilflachen zerlegen, deren Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse x—x zusammenfallen. 200

1 i t • W?^'- \M jfa^ Schwerachse

30

/

I

Wi

- I \30

•n\wiMm TeilSchwerachse

Schwerachse \ ^

30 \

30

Gesamtflachenmoment 2. Grades als Summe von Teilflachenmomenten

21 1 Nun wird das Gesamtflachenmoment einfach aus der Summe der Teilflachenmomente berechnet. Die Teilflachen sind Rechtecke, fur die / = bh^/12 gilt (Tabelle 5.1, Seite 309): 4 = 2 / . + / . = 2 . ^ Q " ^ i ' . ^ Q ' ^ ^ ' + ^ ^ Q " ' " ; ? " " " ) ^ 17,19.10^ mm^ 12 12 /. 17,19-10^ mm-> 3 37 = 22,92 • 10 mm vrX = — = e

75 nmi

Auch das axiale Flachenmoment des Querschnitts fiir die y-Achse lasst sich so bestimmen. Zur besseren Ubersicht dreht man fiir die Rechnung den Querschnitt um 90°. 150

150 60

m 21,

Gesamtflachenmoment 2. Grades als Differenz von Teilflachenmomenten

313

5.7 Rachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W

Wie vorher wird der Rechengang aus dem Bild der Teilflachen abgelesen, das heiBt, man subtrahiert vom Teilflachenmoment I\ das doppelte Teilflachenmoment I2: 60 mm- (140 mm)^ 150 mm (20001111)^ = 72,56 • 10^ mm^ L=L2/2 = 212 12 L 72,56 • 10^ mm^ w - 1 1 72,56 • 10^ mm^ 100 mm Wy^In der folgenden Bildtafel sind andere symmetrische Querschnitte so zerlegt, dass die Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen. Das Gesamtflachenmoment 2. Grades kann dann als Summe oder Differenz der Teilflachenmomente berechnet werden.

1*

1

- h

= /7

I'

-^3- + -^-

2I2

1 1 /

f = /,

- h

Profile mit gleichen Gesamt- und Teilschwerachsen

5.7.6 Axiale Flachenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner'scher Verschiebesatz) Zerlegt man die skizzierten unsymmetrischen Querschnitte in die Teilflachen A\ und A2, dann fallt auf, dass die Schwerachsen der Teilflachen (jci — x\ und JC2 — JC2) nicht mit der Gesamtschwerachse x—x zusammenfallen. Beim Winkelprofil gilt das auch ftir die Achse y—y. Die Schwerachsen aller Teilflachen sind gegeniiber den Gesamtschwerachsen um die Langen / parallel verschoben. Daher diirfen hier die Teilflachenmomente 2. Grades nicht einfach addiert werden, wie bei den Querschnitten in Abschnitt 5.7.5 auf Seite 312. Die Vorgehensweise in solchen Fallen kann am Beispiel des T-Profils gelemt werden. Dabei soil man aus dem speziellen Beispiel eine allgemein Teil- und Gesamtschwerachsen unsymmetrischer zusammengesetzter Querschnitte gultige Beziehung entwickeln.

314

5 Festigkeitslehre

5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner'schen Satzes^^ Fiir ein T-Profil soil das axiale Flachenmoment /x fiir die Gesamtschwerachse x—x ermittelt werden. Das Problem wird vereinfacht, indem nur die Teilflache A\ betrachtet wird. Deren Teilschwerachse xi — xi liegt um die Lange /i gegeniiber der Gesamtschwerachse parallel verschoben. Erinnerung: Das Flachenmomet /xi der Teilflache A\ in Bezug auf die Teilschwerachse x\ — xi ist bekannt; mit 7x1 = bh^/12 konnte man es sofort berechnen. Es wird aber eine Gleichung gesucht, in der das Flachenmoment der Teilflache A\ auf die Gesamtschwerachse x — x bezogen ist. Das erreicht man mit dem folgenden Kunstgriff. Es wird ein zur Achse x - x symmetrisches Profil gebildet, indem man die obere Teilflache Ai noch einmal unterhalb der jc-Achse ansetzt. Dann kann man nach Abschnitt 5.7.5, Seite 312, vorgehen und das Gesamtflachenmomemt in Bezug auf die x-Achse mit den allgemeinen Bezeichnungen bestimmen. Man subtrahiert vom Flachenmoment der aus bH gebildeten Rechteckflache das Flachenmoment der Rechteckflache b{H-2h)\ (beide Schwerachsen decken sich). Dieses Flachenmoment muss doppelt so groB sein wie das von nur einer Teilflache A\ gebildete Flachenmoment /x, da die beiden Teilflachen A\ symmetrisch zur X-Achse liegen. Es kann also /xges = 2/x gesetzt werden. 4ges — 2 4 —

Mit der bekannten Gleichung zur Berechnung des Flachenmomentes von Rechteckquerschnitten fmdet man die Ausgangsbeziehung, in die man fiir die Hohe H die Beziehung H = 2l\ -\- h einfuhrt (siehe Skizze).

2/x

2/x =

bH^

b{H-2hf 12

b{2h ^hy

b(2h

12

-^h-lhy 12

b[[2h^hf

-{ih-hy 12

Die Differenz der Potenzausdriicke

{2h^hf

-{2h-Kf

wird gesondert berechnet und das Ergebnis eingesetzt. ^^ Jakob Steiner, Schv/eizer Maihemaiiker, 1796—1863.

(2/, + hf - (2/1 - hy = 24hh^ + 2h^

315

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W Nach der Ausrechnung erhalt man rechts vom Gleichheitszeichen eine Summe. Diese kann mit bh=Ai vereinfacht werden. Dariiber hinaus ist bekannt, dass bh^/12 das axiale Flachenmoment 7x1 der Teilflache A] in Bezug auf die eigene Schwerachse xi — x\ ist. Damit wurde der Verschiebesatz von Steiner gefunden: Das axiale Flachenmoment 2. Grades 4 einer Teilflache Ai in Bezug auf eine zur Schwerachse um den Abst^d t\ parallel verschobene Achse ist gleich dem Flachenmoment hi der Teilflache in Bezug auf doren Schwerachse, vemehrt um das Produkt aus der Teilflache A\ und dem Abstandsquadrat l\^. Haufig muss mit mehreren Teilflachen Ai,A2 ... gerechnet werden, deren Teilschwerachsen die Abstande h.h"- von der Bezugsachse haben. Dazu schreibt man den Steiner'schen Satz in allgemeiner Form, /i, /2 ... sind die Flachenmomente 2. Grades der Teilflachen in Bezug auf die eigene Teilschwerachse. Sie werden mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, berechnet.

2/x

b{2Ahh^ + 2h^) _ 24bhh^ +2M? 12 12

h=bhU^-V

bh^ 12

/, = A i / , 2 + / x

ix=4l-hAi/i^

Verschiebesatz von Steiner

/x Flachenmoment fur parallele Achse x-x 7x1 Flachenmoment der Teilflache in Bezug auf die eigene Schwerachse x\ — x\ A1 Flacheninhalt der Teilflache l\ Abstand der parallelen Achsen

/ = /i + Ai/i^ +/2 -i-Ath^ + . . , + 4 +A|,/n^ Verschiebesatz von Steiner Beachte: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachse zusammen, dann sind die Abstande IxJi- • • gleich null, und es wird / = /j + /2 + . . . + / „ , d. h. die Teilflachenmomente 2. Grades werden einfach addiert (siehe Tabelle 5.7.5, Seite 312).

5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner'schen Satzes Gesucht wird wieder eine Beziehung zur Berechnung des Flachenmomentes 2. Grades /x einer Teilflache A\ in Bezug auf eine zur Teilschwerachse X\ — X\ parallel um den Abstand l\ verschobene Achse x—x. Das Flachenmoment h\ der Teilflache wird als bekannt vorausgesetzt (Tabelle 5.1, Seite 309). Man beginnt die Entwicklung mit der fiir alle Achsen giiltigen allgemeinen Defmitionsgleichung: Als „Abstandsquadrat" wird hier {l\ + j) eingesetzt. Nach der Ausrechnung erhalt man eine Summe von drei Gliedem. Die konstanten GroBen werden vor das Summenzeichen geschrieben. Das erste Glied ergibt das Produkt aus dem Abstandsquadrat und der Teilflache, weil 2AA = Ax ist.

Ai = 2 A/4

Losungsskizze

:2A4(/i+# :2AA(/r + 2/,>; + / : I A A / , 2 ^Y.^A2hy-

2A4J2

: /i^SAA + 2/i 2 A 4 j + Y.^Ay^ /i^SAA = /i^Ai

316 Das zweite Glied ist gleich null, denn der Faktor 2 A Ay stellt die Summe der Flachenmomente 1. Grades aller Flachenteilchen AA in Bezug auf die Achse x\ — x\ dar. Da das die Schwerachse der Flache Ai ist, wird yo = 0 und damit auch das ProduktAijo. Das dritte Glied ist das axiale Flachenmoment I^i der Teilflache Ai, bezogen auf die Teilschwerachse

5 Festigkeitslehre 2lxI.ls.Ay = 2/iAijo = 0 Beachte: Das Produkt aus einer Flache A und ihrem Schwerpunktsabstand x oder y von einer Bezugsachse heiBt Flachenmoment 1. Grades (siehe Schwerpunktslehre 2.2.1, ab Seite 77). 2AA j2 = 7,1

^1 — X\.

Damit erhalt man zum Schluss die gleiche Form fiir den Steiner'schen Satz wie in der ersten Herleitung iiber den speziellen Fall auf Seite 314.

4 = /xi-fAi/i2

Verschiebesatz von Steiner

5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flachenmomente 2. Grades

1. Schritt

Querschnitt in TeilflSchen Ai,A2... zerlegen und deren Flachenschwerpunkte SuS2,.»bestimmen. Abstiade h^k--* der Teilschwerachsen von der Bezugsachse fiir das Flachenmoment festlegen. Hachenmon^nte I1J2... der Teilflachen Ai,A2... nach Tabelle 5J berechnen. Hicheninhal^ der Teilflachen und die Quadrate der Abstande (/i^, k^.. 0 berechnen. Steiner'schen Satz aufstellen und ausrechnen.

2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

5.7.7 Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 1. Ubung: Fiir das skizzierte Winkelprofil soil das axiale Flachenmoment 2. Grades fiir die Profilschwerachse x - x bestimmt werden. Nach dem Losungsplan zerlegt man den Querschnitt in die Teilflachen Ai und A2. Die Lage der Teilschwerpunkte ergibt sich aus den gegebenen LangenmaBen, ebenso die Abstande /i, /2.

11 Teilflache A2 Teil-Schwerpunkt

70

!

^^24^^

Gesam t-Sch werpunkt SP.!

^

317

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W Losung: /x=/i+Ai/i2+/2+A2/2'

/^ = (0,75 + 144 + 229 + 87,5) • 10^^ mm"^ /x =461,25-10^ mm^

Nebenrechnung:

h =

bh?

90 m m - ( 1 0 mm)

12 = 0,75

A^=bh

12 10^mm^

= 900 mm^ ; /i = 40 mm

_bh^ _\0mm(140mm)^ _ ^^~~n~ 12 ~ = 229 10'^mm'^ A2 = bh=

Aus dem Flachenmoment 4 erhalt man die beiden axialen Widerstandsmomente W^\ und Wx2.

1400 mm^ ; /2 = 25 mm

/x 461,25 lO^mm^ W., - - = e\ 45 mm : 10,25- 10"^ mm^ 461,25-lO^mm^ W x 2 = -

62

-4,86

95 mm 10^mm^

2. Ubung: Da der Steiner'sche Satz fiir beliebige parallele Achsen gilt, kann das axiale Flachenmoment des Winkelprofils aus der 1. Ubung auch fiir die Achse A^—A^ bestimmt werden. Die Schwerpunkte SP\ und SPi der Teilflachen sind festgelegt, ebenso die Abstande der Teilschwerachsen von der Bezugsachse A^—A^ mit /i = 5 mm und h = 70 mm.

Losung: /N=/I+AI/I^+/2+A2/2^ /N

= (0,75 + 9 • 0,25 + 229 + 14 • 49) • 10^ mm^

/N = 918.10^mm'^

—A/

Nebenrechnung: /, - — = 12

Ai

0,75-10^mm4

=bh^9\Ql^mm^

/,2 = ( 5 m m ) ^ = 0 , 2 5 - 1 0 2 m m 2 / 2 = ^ = 229 104mm4 12 A2 = bh=^ H-lO^mm^ /2^ = ( 7 0 m m ) ^ = 4 9

102mm2

318

5 Festigkeitslehre 400

3. Ubung: Zu bestimmen sind das axiale Flachenmoment I^ und die Widerstandsmomente W^\, W^2 fur den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt.

Teil-Schwerpunkt SPo

^

1 Teilflache A2

Losung: Es werden Fehler vermieden, wenn man sich eine kleine Ubersicht zusammenstellt, etwa in der Form:

Teilflache

A in mm^

1 2

204,7 • 10^ 100 • 10^

Gesamt

304,7 • 10^

e in mm 200 412,5

/ in mm 70 142,5

/2

in mm^

/ in mm^

49 • 10^ 59556- 10^ 203 • 10^ 52 • 10^

Die Teilschwerpunkte SP\ und SP2 liegen im Abstand ei und ^2 von der unteren Kante (= Bezugsachse fur die Schwerpunktsbestimmung) entfemt. Die Lage des Gesamtschwerpunktes SP berechnet man nach 2.2.3.1, Seite 77. Als Bezugsachse wird die Unterkante des Querschnitts benutzt. Mit eo kann man die Abstande der Teilschwerachsen von der Bezugskante x—x bestimmen. Nun lassen sich die Flachenmomente I\ und I2 der Teilflachen in Bezug auf ihre Schwerachsen berechnen. Zur Berechnung von /i wird nach 5.7.5, ab Seite 312, vorgegangen.

400 mm ^^^ ei = — = 200 mm e2 = (400 + 12,5) mm = 412,5 mm

^0 = —: Ai +A2 li =eo-ei=10mm; l2=e2-eo

Zum Schluss berechnet man die beiden axialen Widerstansmomente W^i und W^2- Der auBere Randfaserabstand fiir Wxi ist die Lange CQ = 270 mm, fiir Wx2 dagegen 425 mm - ^0 = 155 mm.

/,2 = 4 9 - 10^ mm^

= 142,5 mm; /2^ = 203 • 10^ mm^

_ 300 mm (400 mm)^ 12

143 mm (348 mm)^ 12

/, = 5 9 5 5 6 - 1 0 ^ mm^ I2 =

Es sind nun alle GroBen vorhanden, die zur Berechnung des Flachenmomentes /x gebraucht werden. Damit stellt man wieder den Steiner'schen Satz auf.

= 270 mm

/x =

400 mm (25 mm)' 4 4 ^ — — 52 - 10 mm 12 -A,/i2+/2+A2/2^

/x = (59 556 + 204,7-49 + 52+100-203).10'*mm4 L = 89938 • 10^ mm^ ?:^ 9 - 10^ mm^

89938-10^ mm^ eo W,2-

270 mm /x

= 3331 - 10^ mm^

= 5802 - 10^ mm^ 425 mm — eo

319

5.7 Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W 200

4. Ubung: Fur den skizzierten unsymmetrischen Querschnitt sollen die Flachen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Losung fur die jc-Achse: Man denkt sich den Querschnitt entstanden aus der vollen Rechteckflache (200 x 300) mm^ abziiglich der Hohlraumflache (160 x 150) mm^ also A = Ai -A2. Mit dieser Uberlegung berechnet man sowohl die Schwerpunktslage (^0) als auch die Flachenmomente 2. Grades. Es wird mit der Schwerpunktsberechnung begonnen:

A

=

Aj-

A2

Unsymmetrischer Querschnitt mit Hohlraum

Aeo = Ai • 150 mm - A2 • 175 mm (Momentensatz fiir Flachen nach 2.2.3.1, Seite 80) Ai = (200 • 300) mm^ = 600 • 10^ mm^ A2 = (160 • 150) mm^ = 240 • 10^ mm^ A = Ai - A2 - (600 - 240) • 10^ mm^ = 360 • 10^ mm^ 600-10^ mm^ • 1,5 • lO^mm-240- lO^mm^ • 1,75 • 10^ mm 360 102mm2 900 • lO^mm^ - 420 • lO^mm^ 3,6 • 104 mm2

eo

CQ

— 133 mm

/i = 150 mm - eo = 17 mm; /i^ = 2,89 • 10^ mm^; h = 175 mm - ^o = 42mm;

h' / 1 -

17,6-10^ mm^ 200mm.(300mm)3^^^^^^^^^,^,^^^^160mm.(150mm)^^^^^^^^^,^, 12 12 h + Ai/i^ - {h + A2/2^) = (45 000 4- 600 • 2,89 - 4500 - 240 • 17,6) • 10^^ mm"^

h = 3,8 • 10^ mm"^ Wx

Wx2

h

3,8 • 10^ mm4 2,85 • 10^ mm^ 133 mm /x 3,8 10^mm4 = 2,28 • 10^ mm^ 300 mm — e^ 167 mm

Losung fiir die j-Achse: Die Berechnung der Flachen- und Widerstandsmomente fiir die j-Achse ist einfacher als fiir die jc-Achse, well jetzt Teilschwerachsen und Gesamtschwerachse zusammenfalien:

300 mm • (200 mm)^ 150 mm • (160 mm)^ 12 12 /y = 1,488-10^ mm^ L 1,488-10^ mm^ = 1,488- 10^ mm^ yyi e 100 mm

Iy=h

h=

300

5 Festigkeitslehre

320 5. Ubung: Ein Trager hat den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt aus genormten L-Stahlen und Blechen. Mit Hilfe der Profilstahltabelle aus der Formelsammlung ist zu berechnen: a) das Flachenmoment der oberen und unteren Gurtplatte, b) das Flachenmoment des Stegbleches, c) das Flachenmoment der L-Profile, d) das Gesamtflachenmoment in Bezug auf die Gesamtschwerachse 0—0. e) das Widerstandsmoment.

-200X10

Losung: 200 mm-(10 mm) 12 = 2250-10^mm^

1,67-10^ mm^ h) h

10mm-(300mm)^ 12

c) I4 = I^ = I^ = Ij = 52,6 • 10"^ mm"^ (Formelsammlung) d)/ges = 2(/i + A i / i ^ ) + (/3 +A3/3') + 4 ( / 4 +A4/4')

Zwischenrechnung: Ai = 200 • 10 mm^ = 20 • 10^ mm^ ; /i = 155 mm /i2=r240 102mm2 A3 = 10 • 300 mm^ =. 30 - 10^ mm^ ; /3 = 0 ; h^ = 0 A4 = 11,9 • 10^ mm^ (Formelsammlung) k = (150 - 20,5) mm = 129,5 mm; k^ = 167,7 - 10^ mm^ 9603 /ges = [2 (1,67 + 20 - 240) +(2250 + 30 - 0) + 4 (52,6 + 11,9 - 167,7)] • 10'* mm'' = = 2 . 10^ mm^ ^ o /ges 2 • 10^ mm^ e) W = ^^ = -^—TTo = 1,25 • 10^ mm^ e 1,6 - 10^ mm Obwohl die Einzelflachenmomente /i und I2 der Gurtplatten nur je 1,67 • 10"^ mm"^ betragen, tragen sie doch den groBten Anteil (^ 9600 • lO'* mm'' ^ 10^ mm'') zum /ges bei, einfach deshalb, weil sie am weitesten von der Bezugsachse 0—0 entfemt liegen. Daraus erkennt man: Es kommt beim Flachenmoment 2. Grades eines Querschnitts nicht auf den Flach^ninhalt, sondem auf die Flachen/bmz an, d. h. es muss moglichst viel Werkstoff moglichst weit von der Bezugsachse entfemt liegen, wenn der Querschnitt ein groBes Flachenmoment haben soil. Weiter kann man sagen: Bohrungen in Schwerpunktsnahe haben nur geringen Einfluss; sie mindem das Flachenmoment 2. Grades nur geringfiigig.

Aiifgaben Nn 7^-808

5.8 Beanspruchung auf Torsion

321

5.8 B^Mspraehung auf Torsion Die folgenden Herleitungen und Berechnungsgleichungen gelten fiir rotationssymmetrische Querschnitte (Kreise und Kreisringe). Fiir andere Querschnitte siehe Tabelle 5.2, Seite 311.

5.8.1 Spannungsverteilung Eine Welle wird durch das Drehmoment M auf Torsion (Verdrehung) beansprucht. Ein achsparallel angebrachter Kreidestrich geht dabei in eine Schraubenlinie iiber. Man legt einen Schnitt rechtwinklig zur Stabachse und stellt durch das innere Torsionsmoment Mj = M das Gleichgewicht am Stabteil I wieder her. Die Mantelgerade AB ist zur Schraubenlinie AC geworden. Die Schnittufer werden deninach drehend gegeneinander verschoben. Es entsteht eine in der Rache wirkende Schubspannung. Sie heiBt Torsionsspannung r^. Im Gegensatz zur Zug-, Druck- und Abscherbeanspruchung werden die Werkstoffteilchen bei der Torsionsbeanspruchung nicht gleich stark verformt. Dementsprechend wird sich auch eine andere Spannungsverteilung (iber dem Querschnitt einstellen miissen. Verformungs- und Spannungsbild geben dariiber Aufschluss. Das Verformungsbild des Schnittufers zeigt, dass die Stoffteilchen umso weiter drehend gegeneinander verschoben werden, je weiter sie von der Wellenachse entfemt liegen. Man sieht, dass Teilchen B auf dem Bogen b nach C gewandert ist, d. h. die starkste Verdrehung stellt sich am Querschnittsumfang ein. Im Abstand g von der Wellenachse ist die Verdrehung schon geringer (B' wandert auf Ab nach C'). Die Wellenachse 0 selbst ist unverformt. Im elastischen Bereich ist die Verformung der Spannung proportional (siehe Hooke'sches Gesetz, 5.2.3.4, Seite 282), d. h. die Spannung muss im Querschnitt ebenso verteilt sein wie die Verformung. Man spricht von einer linearen Spannungsverteilung: Die Wellenachse ist unverformt, also spannungsfrei. Die Spannung wachst mit Q bis zum Hochstwert Tmax am Querschnittsumfang (Randspannung). Mit dieser Randspannung miissen die Festigkeitsrechnungen erfolgen.

Kreidestrich vor <;^^^ und nach der Verformurn

Torsionsbeanspruchte Welle

Verformungsbild

Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faser: A^_ ^ Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional: — — t'

, und folglich

^max

=— ^max

''

Daraus ergibt sich die Spannung r an einer beliebigen Stelle: T —' tmaai

Spannungsbild AF=AAT

5 Festigkeitslehre

322

Bei Torsion eihaltBn die Randfasem die starkste Beanspmchuiig, die Wellenachse ist spannungslos. Daher kann die Wellenachse auch zentrisch ansgebohrt werden.

Hinweis: Vor allem im Fahrzeugbau wird der Konstrukteur //o/i/wellen vorsehen (Leichtbau).

5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung Das Flachenteilchen AA im Abstand g von der Wellenachse (Spannungsbild) iibertragt die im Querschnitt liegende Teilkraft AF. Unter der Annahme, daB die Spannung r (iber dem (sehr klein gedachten) Flachenteilchen AA gleichmaBig verteilt ist (wie beim Abscheren), kann man A F = AAr schreiben.

AAT

AF = AA r

Die Teilkraft A F wirkt in Bezug auf die Wellenachse drehend am Hebelarm g. Sie erzeugt also ein „kleines" Torsionsmoment AMj = A F ^ .

AMT = AF^ = AAzQ

Mit der Spannung r kann man nichts anfangen; dagegen wird die Randfaserspannung Tmax g^braucht, denn durch sie wird der Werkstoff am starksten beansprucht. Man ersetzt daher r durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung ^ = 7max^/^ und erhalt damit eine erweiterte Gleichung fiir das Torsionsmoment AMj.

AMT = A4r^ = AAim

Die Summe dieser kleinen Torsionsmomente ist das im Querschnitt wirkende (innere) Torsionsmoment M j .

Mr : 2 A M T

Die gleich bleibenden GroBen Tmax und r konnen vor das Summenzeichen gesetzt werden.

Mj

Der Summenausdruck 21AA^^ ist das schon bekannte polare Flachenmoment 2. Grades /p; der Ausdruck Ip/r ist das polare Widerstandsmoment Wp. Nur wegen der einfachen Schreibweise wird r,^^^ = Tt eingesetzt. it ist also ab jetzt immer die Randfaserspannung, die groBte Spannung im Querschnitt.

XAAQ^ = /p (siehe 5.7.2, Seite 285)

AAQ^

AMT

MT - 2 A M T = 2 -

2AA^2

=

MT

AAQ^

Wn

5.8 Beanspruchung auf Torsion

323

Die gefundene Gleichung lost man nach der Spannung auf und erhalt so die gesuchte Torsions-Hauptgleichung.

Tt

Torsionsmoment Mr Torsionsspannung tt = polares Widerstandsmoment Wp

Tt =

Mr

N

Mj

Nmm

% mm^

TorsionsHauptgleichung

Am haufigsten werden Kreisring- und Kreisquerschnitte zu berechnen sein. 1st aus Torsionsmoment Mj und zulassiger Torsionsspannung Ttzui das erforderliche Widerstandsmoment Wperf ermittelt worden, dann lassen sich mit den Gleichungen in Tabelle 5.2, Seite 311, die erforderlichen Durchmesser (J, d^, d\) berechnen. Ob dabei mit den genauen Gleichungen oder mit den abgerundeten Beziehungen gerechnet wird, ist gleichgultig. Statt zuerst Wperf und daraus erst den Durchmesser zu bestimmen, kann man auch sofort eine Gleichung fiir den erforderlichen Durchmesser entwickeln. Das wird in den folgenden Lehrbeispielen vorgefiihrt.

Das die Welle beanspruchende Torsionsmoment MT ist gleich dem von der Welle zu iibertragenden Drehmoment M. Man bestimmt das Drehmoment M entweder mit der GroBengleichung P = Moj oder mit der im Maschinenbau gebrauchlichen Zahlenwertgleichung. Dann sind die im Einheitenraster angegebenen Einheiten zu benutzen. Bei der GroBengleichung ist man von dieser Bedingung frei. Die Zahlenwertgleichung ist hier zugeschnitten auf die Einheit Nm fiir das Drehmoment M, wenn die Leistung P in kW und die Drehzahl n in min~^ eingesetzt werden.

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Torsions-Hauptgleichung umgestellt:

Wp«f^-

MT

erforderliches Widerstandsmoment vorhandene Spannung

" D

Mxinax = W^p^zol

maximales Torsionsmoment

hh = M m^lnn m Grofiengleichung zwischen Drehmoment M, Leistung P und Winkelgeschwindigkeit oj

M M = 9550

Nm kW Zahlenwertgleichung mit P in kW und n in U/min = 1/min = min~^

5 Festigkeitslehre

324

5.8.3 Formanderung bei Torsion Zwei benachbarte Querschnitte einer Welle werden durch Torsionsbeanspruchung gegeneinander verdreht. Bringt man vor der Verformung auf der Welle mit der Wellenlange / den Kreidestrich AB an, dann wird daraus nach der Verformung die Schraubenlinie AC. Zugleich dreht sich der Radius OB um den Kreismittelpunkt O in die Stellung OC, das heiBt, die beiden Stimflachen der Welle haben sich um den Verdrehwinkel cp gegeneinander verdreht. Die starkste Verformung zeigt die Randfaser: Das Stoffteilchen in B durchlauft die Formanderung b (Bogen BC). Im Bereich der elastischen Formanderung gilt auch bei Torsion das Hooke'sche Gesetz, in das die entsprechenden GroBen der Torsionsbeanspruchung eingesetzt werden. Man setzt fiir Zugspannung o Formanderung A/ Stablange /Q Stoffkonstante E (Elastizitatsmodul)

Torsionsspannung X[ Formanderung b Wellenlange / Stoffkonstante G (Schubmodul)

Verdrehwinkel (^

Formanderung bei Torsionsbeanspruchung

b ^

^ Hooke 'sches Gesetz fUr Zug/Druck

Hooke'sches Gesetz fur Torsion

Beachte: Der Schubmodul G entspricht dem Elastizitatsmodul (siehe Tabelle 5.8, Seite 385) und Abschnitt 5.6.2, Seite 297): <^stahi= 80000 N/mm2 £stahi = 210000 N/mm^

Das Bogenstiick BC — b ist vom Radius r abhangig. Es ist einfacher, mit dem Verdrehwinkel op in Grad zu rechnen. Zwischen b und op besteht eine Beziehung, die man aus der Skizze fiir die Formanderung (oben) ablesen kann. Es wird nun in die Gleichung cp — b • 180°/jrr der nach dem Hooke'schen Gesetz Wert b^rJ/G eingesetzt.

b

Fiir Xi kann man auch it = Mj/W^ und fiir Wp r = /p einsetzen und damit drei Formdnderungsgleichungen fiir Torsionsbeanspruchung entwickeln. Man erkennt aus den Gleichungen, dass bei Stahlwellen der Verdrehwinkel cp unabhdngig von der Werkstoffgiite ist, denn der Schubmodul G ist fiir alle Stahlsorten gleich gro6 (siehe Tabelle 5.8, Seite 385).

_x£ ISO ^"Gr' n

b r cp =

b r

180° n

180° Jt

_ Tt/ 180°

180° WprG 7t MTI

^ =

Mjl 180" /pG ' n

(p

Tt, G

/, r

0

N mm^

mm Nmm Wn

MT

325

5.8 Beanspruchung auf Torsion

5.8.4 Formanderungsarbeit Wf Bei der Beanspruchung einer Welle auf Torsion steigt das Torsionsmoment Mj von null bis zu einem Hochstwert proportional zum Verdrehwinkel an. Dabei wird in der Welle eine Formanderungsarbeit Wf gespeichert. Die Gleichung dafur liest man wieder aus dem Arbeitsdiagramm als Flache unter der Belastungskurve ab. Das Arbeitsdiagramm Oder Federungsdiagramm entsteht, wenn iiber dem Verdrehwinkel (p das Torsionsmoment Mj aufgetragen wird. Geht die Belastung von null aus, dann ist die Flache unter der Federkennhnie ein Dreieck und es gilt Wf = MjCp/2. Bei vorbelasteter Feder ergibt sich eine Trapezflache mit entsprechender Flachenformel. Die Neigung der Federkennhnie ist ein Ma6 fiir die „Harte" oder „Weichheit" der Feder. Eine Feder ist umso weicher, je flacher die Kennlinie verlauft oder, rechnerisch ausgedriickt, je kleiner die Federrate R ist. Sie entspricht dem Tangens des Neigungswinkels a (siehe Arbeitsdiagramm). Fiir Torsionsstabfedem von kreisformigem Querschnitt kann man wie fiir die Zugfedem auf Seite 284 die Gleichung fiir die Formanderungsarbeit weiter entwickeln, indem fiir Mx = r^W^ (Torsions-Hauptgleichung) und fiir Wp = jrJ^/16 (Tabelle 5.2. Seite 311) eingesetzt wird.

Mit der Formanderungsgleichung fiir den Verdrehwinkel cp erhalt man die endgiiltige Form der gesuchten Beziehung fiir Wf.

£^

c 0)

•-

o

1 c

5

o

1 0

Verdrehwinkel

Arbeitsdiagramm fur Torsionsstabfedem im Giiltigkeitsbereich des Hooke'schen Gesetzes (MT ~ cp) Wf

Wf=Mi-

J

MT

(P

Nm r a d = l

R Nm rad

Formanderungsarbeit (Federarbeit)

R = -^ = tma Federrate

7id^

MT = TtWp

''4

"4~

Wf=MT—

Wf =

2

nd^ d

%-= Volumen V

=--r,A-

MT^ 2

_T^V 40

Formdnderungs arbeit (Federarbeit), vergleiche mit Seite 284

Solange die Torsionsbeanspruchung im elastischen Bereich liegt, wird die im Werkstoff gespeicherte Arbeit bei Entlastung wieder vollstandig frei. Torsions- oder Drehstabfedem verwendet man z. B. als Wagenfeder oder Drehstab-Stabilisator im Kraftfahrzeugbau, fiir Drehmomentenschliissel zum Anziehen von Schrauben und Muttem oder im Messgeratebau.

AufgaJ^n Nn »»-833

5 Festigkeitslehre

326

Lehrbeisplel: Torsionsstabfeder

Aufgabenstellung: Erne Torsionsstabfeder soft fur folgende EinbaugroBen berechnet warden: h - 4(H) mm I -6(H)

^nungt>ei ungesparmter Fedar

mm

F^2B00N WerkstoffmttttM

= 320-~~^; mm^ Es sind zu berachnen:

G^80(m

N i

a) fedardyrchmasserdbei Vollprofil, b) Eederwegt ^ ^^ c) AuBendurchmessar D und innendurchmasser d fur Rohrquarschnitt der Fader mit — ~ -^, d) Federwag f fur Rohrquarschnitt.

Losurtg: a) Faderdurchmasserd:

f^r = FlT = 2500 N • 400 mm = 10^ Nmm nd^ 16

^

Wo ,

3

16' 10^ Nmm = 25,2 mm N

WMT

gawahit: d-25 mm

71-320

b) Federwag t

/

ud

^

n'25

4

4

4

~ ___ ~ —__— mm = 3,83' 10 mm 32 32 10^ Nmm • 0,6 3,83

10^ mm*

10^ mm N 8- 10*

. 0,196 rad

f=:=q)lj = 0,196 • 400 mm = 78,4 mm

c) Rohrquarschnitt.

W^,rf^

MT

_ 10^ Nmm

==3,125'

n . D*~-d\^n D*-(0,8DY^n W"perf aerf=™ 16 16 ^ 313,125' 10^ 103 mm^ ~r Derf

^1 £r ^ X. d) Federwag f:

/.=^(o^-^)

"" V

, <0* Ip = ^


MTI ^^^

0,116

d = 0,8 D

1(^mm^

^V - ^^^*) ^ g jfe D^ 16 gawahit: D = 30 mm d=0,8 D^24 mm

= 29,98 mm

~ d*) n{30* - 24*) mm* ^ ^^ ^^4 4 — - = -^^———^ = 4,^5 • 10^ mm* 10^ Nmm' 0,6 -10^ mm 4,695. 10* mm*' 8 • 10*

f = (pi J :=o,16' 400 mm ^64 mm

—.

0,16 rad

5.8 Beanspruchung auf Torsion

327

Lehrbeispiel: VBrdrehwinket (Drehmomentenschlussel) Aufgabensteltung Bin Torsionsstab-Messgerat soil bet einem Torsionsmoment von MT~8 Nm elnen Verdrehwinkel von q^^SS"" anzeigen. Werkstoff42CrMo4 mltxt^ui = 400 N/mrri^. Bestimme: a> Stabcfurchineser dr b) Stabiangel

l^

Losung: a} Stabdumhmesser d: Mr

Wperf = —

Wo

s=

T^tzul

^

— = 20 mm

400

ncfi .

N mm^

.

3116Wp^

3ll6-20r

dgff = 4,67 mm

gewahlt: d = 4,8 mm b) Stablange I aus Verdrehwinkel-Gleichung: r

Q -iM N '" ^ ^j


Glo

n

1=

180^ Mr

n

. 1

^^*

jt' 4,8* mm*

ao ^^*

SB''8'10*-^'52mm* - == 317,65 mm 180^"'8' lO^Nmm

328

5 Festigkeitslehre

53 BeaBspruchungaufBiegung 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kraftesystem bei Biegetragem Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung beansprucht. Die vor der Belastung gerade Stabachse verformt sich zur Biegelinie. Auf Biegung beanspruchte gerade stabformige Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man Trdger oder auch Balken. An einer beliebigen Stelle der Tragerlange / legt man den Schnitt x—x rechtwinklig zur Stabachse und bringt im Schnittflachenschwerpunkt dasjenige innere Kraftesystem an (Fq und Mb), das den Restteil I ins Gleichgewicht setzt.

l = 4m U= 1 m

L=3m

F = 2000

^

.ti Biegelinie ^

a fmax-Stelle

V7777

Xn, = y(l^-l2^)/3 = 2,23m^

x=1,2m

- !

! •

Nach der Berechnung der Stiitzkrafte FA = 500 N und FB = 1500 N ergibt die Untersuchung des Kraftegleichgewichts fiir Tragerteil I: 2Fyy —= 0^ — -l-^A - ^ q ; F^ = F^ 2 M ( s p ) = 0 - - F A J c + Mb Mb = F A J C = : 5 0 0 N - 1,2 m

500 N

600 Nm

Der Querschnitt hat demnach wegen SFy = 0 die in der Flache liegende Querkraft F^ = Ffi,^ 500 N zu ubertragen. Die Querkraft Fq ruft die Schubspannung r hervor. Aus 2M(sp) = 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt noch das rechtwinklig zur Flache wirkende Biegemoment Mb = FAX = 60 Nm zu ubertragen hat. Die Lage der groBten Durchbiegung /max wird durch die Lange x^ bestimmt:

Inneres Kraftesystem bei Biegung Hinweis: Das Biegemoment Mb ruft im Schnitt die Normalspannung o hervor, weil es dem in Normalenrichtung auf der Flache stehenden Kraftepaar F^ entspricht. Diese Normalspannung heiBt Biegespannung 0\y und besteht aus Zug- und Druckspannungen, entsprechend den beiden Normalkraften F^ (Zug- und Druckkraft).

xm = x/(/2 - h^)/3 = 2,23 m Bei Bieguog muss der Querschnitt eine Querkraft Fc^ und ein Biegemoment Mb Obertrageii. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am starksten; es erzeugt Biegespannungen Oh^

Hinweis: Bei langen Staben ist der Einfluss der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung r kann daher meist vemachlassigt werden. Bei kurzen, dicken Staben ist zu priifen, ob der Wert zulassig ist.

5.9 Beanspmchung auf Biegung

329

5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkrafte an beliebigen Tragerstellen Das Biegemoment Mb fiir eine beliebige Stelle langs des Biegetragers erhalt man als Momentensumme fur die Schnittstelle am linken oder rechten Tragerteil; ebenso erhalt man die Querkraft Fq als Kraftsumme an einem der beiden Telle. Am besten wird Schritt fiir Schritt nach folgendem Arbeitsplan vorgegangen:

ArMtepbm mar Bi^momenteii- and Querkraftbestimmimg: Fueimachen des Bauteils (BiegetiBger).

1. Schritt

Bestimmung der SttitEkrSfte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingimgen (^Fj, = 0,2Fy = 0, SM = 0).

2.Schritt

Momen^nsumme fur die SchnittsteUe bilden. Damit eigibt sich das dort voihandoiie Biegemoment Mb.

3. Schritt

Kraftsumme fiir die SchnittsteUe Widen (nur Queitoafte nehmen), Damit ei:gibt sich die dort voihandene Querkraft Fq,

4. Schritt

Man schaut von der SchnittsteUe aus nach Unks (oder r^hts) und addiert die Momente. Das Ergebnis ist das Biegemoment Mb. Man schaut von der SchnittsteUe aus nach Unks (oder rechts) und adcUert die QuerkrHfte. Das Ergebnis ist die Querkraft Fq.

Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht den dritten und vierten Schritt. Da sich Biegemoment und Querkraft langs des Tragers andem, miissen mehrere Schnittstellen untersucht werden.

5.9.3 Spannungsverteilung im Tragerquerschnitt be! Biegung Die auBere Kraft F biegt den Trager nach unten durch. Die vorher gerade Tragerachse wird eine gekrummte Linie, auch Biegelinie oder „elastische Linie" genannt. Zwei vorher parallele Schnitte ab, cd stellen sich bei Biegebelastung schrag gegeneinander: a'b', c'd'. Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasem verkiirzt (Stauchung — £), die unteren dagegen verlangert (Dehnung -he), so wie es das Verformungsbild auf der folgenden Seite zeigt.

unbelasteter

Ba/ken

elastische

\ Biegebeanspruchter Trager (Biegetrager)

Linie"

5 Festigkeitslehre

330 Zwischen den oberen (gestauchten) und den unteren (gestreckten) Stoffteilchen muss eine Faserschicht liegen, die sich weder verkiirzt noch verlangert, die ihre Lange also beibehalt. Das ist die „neutrale Faserschicht", bei der ± £ = 0 ist. Sie geht durch den Schwerpunkt SP der Schnittflache.

Verformungsbild

gestreckt

Nach dem Hooke'schen Gesetz sind im elastischen Bereich die Spannungen ebenso verteilt wie die Formanderungen. Wie die Langenanderung wachst auch die Spannung von der neutralen Faserschicht (Nulllinie) nach oben und unten gleichmaBig. Die Spannung verteilt sich linear. Die neutrale Faserschicht ist unverformt, also auch spannungslos. Die Spannung wachst mit dem Abstand y von der neutralen Faser bis zum Hochstwert + amax (Zugspannung) und — cJmax (Druckspannung). Genau wie bei der Torsion muss man also auch bei der Biegung mit der Randspannung cTmax rechnen, wobei die Unterscheidung zwischen + cr^ax als groBter Zugspannung und — cXmax als groBter Druckspannung nur bei solchen Werkstoffen notwendig ist, die auf Zug und Druck unterschiedlich reagieren, z. B. Gusseisen.

Bei Biegung erhalten die Randfasem die starkste Baanspruchung, die neutrale Faserschicht ist spannungslos, Bohrungen in SchwerpunktsnMie schaden daher nicht. Biegespannungen sind Zug- und Druckspannungen (Normalspannungen). Sie sind linear ttber dem Querschnitt verteilt.

d d'

Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional, also wachsen auch die Spannungen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Wie das Spannungsbild zeigt, ist o ^max

Daraus ergibt sich fiir die Spannung o an einer beliebigen Stelle: a = (Jffiax —

AF = AAo

Spannungsbild

5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung Das Flachenteilchen AA im Abstand y von der x-Achse (Schwerachse) iibertragt die rechtwinklig auf dem Querschnitt stehende Teilkraft AF. Unter der Annahme, dass die Spannung o gleichmaBig uber dem Flachenteilchen AA verteilt ist (wie bei Zugbeanspruchung), kann man fur AF = AA a schreiben.

^F = ^Aa

5.9 Beanspruchung auf Biegung

331

Die Teilkraft AF wirkt in Bezug auf die jc-Achse drehend am Hebelarm y, sie erzeugt also ein „kleines" Innenmoment AM[ = AFy.

AMi — AFy = AAoy

Die Spannung a andert ihren Betrag mit dem Abstand y. Fiir die Hauptgleichung braucht man die Randfaserspannung cTmax. well sie den Werkstoff am starksten beansprucht. Es wird daher a durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung

AMi =AAoy

O^-Orr

^y/e

= AAa^ax- y e

AMi =

AAy e

QYStizi.

Die Summe der kleinen Innenmomente AMi halt dem einwirkenden Biegemoment Mb das Gleichgewicht. Die gleichbleibenden GroBen cTmax und Randfaserabstand e konnen vor das Summenzeichen gesetzt werden. Der Summenausdruck SAAj^ ist das schon bekannte axiale Flachenmoment 2. Grades /, der Ausdruck I/e ist das axiale Widerstandsmoment W. Die gefundene Gleichung lost man nach der Spannung auf und erhalt so die gesuchte Biege-Hauptgleichung.

Bkgespcmnimg Ob =

Biegemoment Mb axidesWiderstandsmoinent W

Mb-2AMi=2^=AA>;2 e

J.,

t^max

"VAX

Mb =

2

zAAy

e Hinweis: Nur wegen der einfacheren Schreibweise wird o^, statt Om^x geschrieben. 0\y ist also immer die Randfaserspannung, die groBte Spannung im Querschnitt.

Oh

Mb

N Biege-Hauptgleichung

Hat man aus Biegemoment und zulassiger Biegespannung das erforderliche axiale Widerstandsmoment Werf berechnet, konnen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, die QuerschnittsmaBe festgelegt werden. Bei Tragem mit konstantem Querschnitt, z. B. bei alien Profilstahlen, reicht die Bestimmung des maximalen Biegemomentes aus. Dagegen ist es bei abgesetzten Bauteilen notig, das Biegemoment fur samtliche Ubergangsstellen zu ermitteln und zu garantieren, dass ab vorh ^ ^b zui ist.

Mb

W

Nmm mm^

Je nach voriiegender Aufgabe wird die BiegeHauptgleichung umgestellt: W^ =

Mbn

Mbm ^bVQlll

= '

W

erforderliche s Widerstandsmoment
vorhandene Spannung

maximales Biegemoment

5 Festigkeitslehre

332

5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt groSte I Druckspannung

Im unsymmetrischen Querschnitt, z. B. im skizzierten T-Profil, sind die Randfaserabstande verschieden groB (e\ < 62). Man berechnet also zwei verschiedene Widerstandsmomente W\ und W2 und damit auch zwei verschiedene Randfaserspannungen. Das gilt ftir alle unsymmetrischen Querschnitte.

Schwerachse = neutrale Faserschicht \SP

~0

groSte Zugspannung

Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt

Aus der Beziehung I/e\ — Wi erhalt man im Beispiel des T-Profils die groBte Zugspannung, die kleiner sein muss als ^zzui-

grofite Zugspannung

Aus der Beziehung Ije^ = ^1 erhalt man die groBte Druckspannung, die kleiner sein muss als

grofite Druckspannung

O'dzul-

Losung: Der Profilstahltabelle entnimmt man h = 87,5 • lO'* mm"^; e^ = e = 23,4 mm €2 = 80 mm — 23,4 mm = 56,6 mm. Damit berechnet man:

Ubung: Es soUen die beiden Randfaserspannungen cTbi, ab2 in dem gleichschenkligen Winkelstahl L 80 X 10 fur die jc-Achse berechnet werden (siehe Formelsammlung). Das zu iibertragende Biegemoment betragt Mb = 520 Nm. ^bi

=

(^b2 ^

Mb ei /x

N 52 • 10^ Nmm • 23,4 mm - 13,987,5 • 104 inni4

Mb^2 _ 52 • 10"^ Nmm • 56,6 mm 33,6/, 87,5 • lO'* mm^

5.9.6 Giiltigkeitsbedingungen fur die Biege-Hauptgleichung Die Biegehauptgleichung a\j = Mb/W gilt unter folgenden Voraussetzungen: 1. Die Stabachse ist gerade, also nicht gekriimmt wie z. B. beim Kranhaken. 2. Die Belastungen F liegen in einer Ebene, die durch die Stabachse geht. Das ist gleichzeitig die Ebene, in der die Biegemomente wirken. 3. Die Querschnitte bleiben bei der Beanspruchung eben. 4. Fiir den Werkstoff gilt das Hooke'sche Gesetz. 5. Der Elastizitatsmodul ist fiir Zug- und Druckbeanspruchung gleich groB (wie bei Stahl). 6. Die Spannungen bleiben unter der Proportionalitatsgrenze a? (siehe Seite 375).

Rechtecktrager, biegebeansprucht

5.9 Beanspruchung auf Biegung

333

5.9.7 tjbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tragerarten und Belastungen Man unterscheidet Freitrager und Stiitztrager. Ein typischer Freitrager ist z. B. das angeschweiBte Konsolblech. Stiitztrager sind z. B. alle zwei- oder mehrfach an den Tragerenden gelagerte Achsen oder Wellen. Ein Stiitztrager wird als Kragtrager bezeichnet, wenn er mit einem oder mit beiden Enden iiber die Lagerstelle hinausragt. 5.9.7.1 Freitrager mit Einzellast Eine Blattfeder wird nach Skizze im Abstand / = 120 mm von der Einspannstelle B durch die Federkraft F = 100 N biegend und abscherend belastet. Es wird der Biegemomenten- und Querkraftverlauf (Mb-und Fq-Linie) gesucht. Dazu lasst man eine Schnittebene x—x von A nach B wandem und ermittelt von dort aus Biegemoment Mb und Querkraft Fq nach dem Arbeitsplan Seite 329. Erste Arbeit ist stets die Ermittlung der Stutzkrafte und Momente am freigemachten Trager mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen 2!Fx = 0 , 2Fy = 0 und 21M = 0. Die Rechnung ergibt FB lOON, M(B) = 12 Nm. Fur die eingezeichnete Schnittebene x—x im Abstand jc vom Kraftangriffspunkt A erhalt man die Funktionsgleichung fur a) das Biegemoment Mb (x) = Fx und fiir b) die Querkraft F^ (x) = ^• Fiir die Festigkeitsberechnungen werden hier nur die Betrage der Biegemomente und Querkrafte gebraucht. In einem Mb, Jc-Diagramm ist Mb(x) = Fx die Gleichung einer mit zunehmendem Abstand JC ansteigenden Geraden. Das Biegemoment Mb(x) wachst also proportional von null bis zum GroBtwert Mb max an der Einspannstelle B. Dort betragt bei JC = / = 120 mm das Biegemoment Mbmax = F / - lOON- 120mm = 12000Nmm = = 12 Nm.

Freitrager

r

I—J

Stiitztrager

i±

(Getriebewelle)

Einseitiger Kragtrager

Tragerarten: Freitrager, Stiitztrager, Kragtrager

7F=100N

C$

^

^ ^ Mbmax-Stelle

Lageskizze einer Blattfeder als Freitrager mit Einzellast

2Fy = 0 : - F + FB - > F B = F = lOON 2M(B)=0 = F/-M(B) M(B) = Fl M(B) = 100 N • 120 mm = 12000 Nmm

Fiir den Freitrager mit Einzellast gelten die Funktionsgleichungen:

Mhm;*^ = Fl

Mb, Jc-Diagramm Beachte: Die Vorzeichenregel fiir die Biegemomente Mb werden aus der Statik iibemommen (Seite 4). ^hmax. == Fl Maximales Biegemoment

334

5 Festigkeitslehre

Die Querkraft Fq ist an jeder Tragerstelle gleich groB: Fq = F -= 100 N. Daher hat die Querkraftflache im Fq, x-Diagramm Rechteckform mit dem Flacheninhalt Aq = F/. Das ist exakt die Gleichung fiir das im Einspannquerschnitt zu ubertragende maximale Biegemoment. Gleiches gilt fur das Biegemoment M^^) an der Schnittstelle: A,q(x) M,b(x) Fx. Von links nach rechts fortschreitend (A -^ B) lasst sich fiir jeden Tragerquerschnitt die Gleichung fiir das Biegemoment Mb aus der Flachenformel fiir die Queikraftflache Aq ablesen (Querkraftsatz).

Fq, x-Diagramm Aq — ^bmax ^^bmax =

Maximales Biegemoment

Fl

Beachte: Dieser Satz von der Querkraftflache gilt fur alle Tragerarten und Belastungen. Vor allem Lage und Betrag des maximalen Biegemoments lassen sich danach am einfachsten ermitteln.

5.9.7.2 Freitrager mit mehreren Einzellasten Der skizzierte Freitrager wird durch drei EinzelkrafteFi,F2,F3belastet. Gesucht werden die Querkraftflache und eine Gleichung fur das maximale Biegemoment Mb max in der Einspannstelle B des Tragers. Auch hier setzt man als erstes die Gleichgewichtsbedingungen an und berechnet FB = 45 kN und M(B) = 190 kNm.

li = 6m lp = 4m )FT=15kN

Das maximale Biegemoment Mb max entspricht dem Flacheninhalt Aq der gesamten Querkraftflache. Darin ist das Produkt Fi/i das Biegemoment Mbx allein aus der Kraft Fi, ebenso Mb2 = F2/2 allein durch die Kraft F2 und M^3 = F3/3 allein durch F3. Die berechneten Ordinatenwerte tragt man im Mb, x-Diagramm auf und verbindet die Punkte durch Gerade miteinander, weil zwischen den Kraftangriffspunkten das Biegemoment linear zunimmt wie beim Freitrager mit Einzellast.

^F3=10kN

Lageskizze des Freitragers mit Einzellasten

Es wurde festgestellt, dass die Querkraftflache dem Biegemoment in der betrachteten Schnittstelle entspricht. Daher zeichnet man als erstes nach dem Arbeitsplan auf Seite 329 den Querkraftverlauf maBstablich auf. Dann ergibt sich: F^\=Fu F^i = Fi + F2, Fq3 = Fi + F2 + F3. Wegen SFy = 0 ist Fq4 = Fq3 = Fi + F2 + F3 nach oben gerichtet.

\jF2 = 20kN

iiiiiiiiiiiiiii|||||||||9~'

hHtHM F^m i i i m i j j | r ' 'v,t Fq, X-Diagramm

Aqi^Mt,3

= F3l3

Aq = Mbmax = M^ +Mb2 + ^ 5 3 Mb max = Fi/i + F2/2 + F3/3

Maximales Biegemoment

f^b3 =

Mb, JC-Diagramm

^bmax^

5.9 Beanspruchung auf Biegung

335

5.9.7.3 Freitrager mit konstanter Streckenlast (gleichmaBig verteilte Streckenlast) In einer Stahlbaukonstruktion wird ein Profilstahltrager IPE 360 nach DIN 1025 verwendet. Der 360 mm hohe Freitrager hat eine Eigengewichtskraft von F' = 560 N/m (siehe Formelsammlung). Das ist der typische Fall einer konstanten Streckenlast F'. Beim Profilstahltrager wird sie in Newton pro Meter (N/m) angegeben. Gesucht werden wieder die Querkraftflache und eine Gleichung fiir das maximale Biegemoment ^ b max an der Einspannstelle B des Tragers. Die Gleichgewichtsbedingungen 2Fy = 0 und 2M/(B) 0 liefem hier FiB 2240 N und M(B) - 4480 Nm.

Man zeichnet wie im vorhergehenden Fall zuerst das maBstabliche Fq, x-Diagramm und geht dazu genau so vor wie bei der Einzelkraftbelastung. Die Querkraftflache Aq wird durch die Querkraftlinie stufenartig begrenzt. Bei feinerer Unterteilung der Streckenlast, z. B. in acht Teilstrecken, ergibt sich auch eine immer feinere Stufung, bis die Querkraftflache Aq eine Dreieckflache wird.

Mit der Erkenntnis, dass der gesamte Flacheninhalt Aq dem maximalen Biegemoment an der Einspannstelle entspricht, erhalt man die Gleichung fur Mb max = Fl/2 = F7V2. Auch bei dieser Tragerbelastung zeigt sich, welche Bedeutung Querkraftlinie und -flache haben. Sie sollte daher immer als erstes aufgezeichnet werden.

Wie bei der Gesamtflache erhalt man auch mit der Teilflache Aq (x) das im Schnitt jc—jc wirksame Biegemoment Mb (x). Die entsprechende Gleichung Mb(x) = F'x^ /I ist die Funktionsgleichung zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagrammes. Sie ist die Gleichung einer Parabel, wie die Mb-Linie im skizzierten Mb, Jc-Diagramm zeigt.

l = 4m

Lageskizze des Freitragers mit konstanter Streckenlast

-Aq(x)^Mt,M

=

F'^

FB = F'1

Fq, jc-Diagramm

A^bmax = F

Maximales Biegemoment

M^, jc-Diagramm

5 Festigkeitslehre

336

5.9.7.4 Freitrager mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Bei Mischlast haben Biegetrager Strecken- und Einzellasten zu tragen. Diesen Fall zeigt der skizzierte Freitrager. MaBe und Streckenlast F' — 560 N/m sind dieselben wie bei der vorangegangenen Ubung in 5.9.7.3. Zusatzlich wird der Trager durch die Einzelkraft Fx = 1500 N belastet. Sie wirkt im Abstand /i = 3 m vom Einspannpunkt B unter dem Winkel a — 60° zur Tragerachse. Biegend wirkt aber nur die rechtwinklig zur Tragerachse stehende Komponente F\ sin a. Die waagerechte Komponente F\ cos a muss die Einspannung in B aufnehmen (FBX = ^i cos a).

Lageskizze des Freitragers mit Mischlast

Gesucht werden wieder die Querkraftflache und eine Gleichung fiir das maximale Biegemoment ^bmax an der Einspannstelle B des Tragers.

Die Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen ergibt: FBX = 705 N FBy = 3540 N Mr(B) : 8377 Nm

Mit den Angaben der Lageskizze wird maBstablich das Fq, jc-Diagramm gezeichnet. Vom Punkt A an nach rechts fortschreitend setzt man an die erste Streckenlast F ' = 560 N/m die Kraftkomponente F\ sin a = 1299 N an. Danach folgen auf ihren Wirklinien die restlichen drei Streckenlasten und zum Abschluss die im Einspannquerschnitt B wirkende Gleichgewichtskraft ^By = F'l^Fx sin a.

'f^^

Die gesamte Querkraftflache Aq setzt sich aus der Dreieckflache Aqi = F'f-jl und der Parallelogrammflache F\ sin a l\ zusammen. Mb max an der Einspannstelle B entspricht dem Inhalt dieser beiden Teilflachen. Es kann also die Berechnungsgleichung sofort hingeschrieben werden. Man ware zu der Gleichung fiir Afbmax auch auf anderem Weg gekommen. Man hatte die Querkraftflache nacheinander fiir den Trager mit konstanter Streckenlast F' und fiir die Einzelbelastung F\ sin a zeichnen konnen. Der Grundgedanke dazu: Der Trager wird erst allein mit der Streckenlast und danach allein mit der Einzelkraft belastet (LFberlagerungsprinzip).

11' ^,^^^'

v .c 55

+ II

^.» Fq, jc-Diagramm

^i

^ q = - ^ 1 + >^q2 — Mb max

Mbmax=-2^ + Fi small Maximales Biegemoment

Hinweis: Das Verfahren, Belastungen schrittweise aufzusetzen, heiBt Uberlagerungsverfahren (auch: Uberlagerungsprinzip oder Superpositionsprinzip).

5.9 Beanspruchung auf Biegung

337

Zum Aufzeichnen des Mb, Jc-Diagramms berechnet man einige Mb(x)-Werte oder entwickelt die Funktionsgleichung fur den Graphen. Fiir Querschnitte von jc = 0 bis zur Lastangriffsstelle von F\ gilt: F' M,b(x) F'x-

Mb(x)-Diagramm

An der Einspannstelle B gilt: F' x^-i-Fi sin a[x - {I - l\)] M,b(x) Der Ausdruck F'x^/2 weist auf einen parabolischen Kurvenverlauf bin. Beispiel fiir das maximale Biegemoment: Mit JC = / wird ^^b(x=/)

^bmax -

-'"bmax -

—-/ + F i small = Mlb

max

^ - • 4^ m2 +1500 Nsin 60° -3 m 2 m 8377 Nm

AitfgabenNn 835-863

5.9.7.5 Stiitztrager mit Einzellast l = 6m

Wie bei Freitragem lassen sich auch fiir Stiitztrager fiir jeden Querschnitt x Biegemoment Mb(x) und Querkraft Fq(x) berechnen (Arbeitsplan in 5.9.2). Der skizzierte Stiitztrager wird mit der Einzelkraft F = 6000 N biegend belastet. Erste Aufgabe ist auch bier, am freigemachten Trager (Lageskizze) mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen XFy = 0 und 2IM(B) = 0 die Stiitzkrafte FA und FB ZU berechnen. Die Berechnung ergibt hier FA = 4000 N, FB = 2000 N.

\jF=6000N

X2 = 2 m X3 = 4r

Lageskizze des frei gemachten Stutztragers mit Einzellast F = 6000 N Mbi = -FAJCI = - 4 0 0 0 N • 1 m = - 4 0 0 0 Nm Mb2 = -FAX2 = - 4 0 0 0 N • 2 m = - 8 0 0 0 Nm A^b3 = -FAXS

Fiir die eingezeichneten Schnittstellen 1, 2 und 3 berechnet man die Biegemomente Mbi, Mb2 und Mb3 unter Beachtung der Vorzeichen (linksdrehend (+), rechtsdrehend ( - ) ) . Fiir jeden Schnitt zwischen dem Lagerpunkt A und der Kraftangriffsstelle ist das Biegemoment Mb(x) = —FAX. Das ist im Mb, x-Schaubild der Graph einer Geraden (j = nvc mit m = konstant).

I Mbmax-Stelle I

Xf = 1 m

+ F(X3 - X2)

= - 4 0 0 0 N • 4 m + 6000 N • 2 m = - 4 0 0 0 Nm

\Mb2 = ^bmax

Mb(x)-Diagramm

Mfj-Linie

5 Festigkeitslehre

338 Das Querkraftschaubild (Fq, x-Diagramm) wird wie beim Freitrager maBstablich aufgezeichnet: Von A nach B fortschreitend tragt man die aus dem Lageplan erkennbaren Krafte aneinander. Es ergeben sich zwei gleich groBe Rechteckflachen uber und unter der NulUinie: Das Biegemoment M^J^) in jedem Tragerquerschnitt entspricht der Hache links oder rechts vom Schnitt, Das gr56te Biegemoment Mb max fegt dort, wo die Querkraftlinie dnrch die Nuillinie geht. Geht die Quericraftiinie mehrfach durch null, muss fur alle Nulldurchgange das Biegemoment berechnet und so Mb max bestimmt werden. Greift die Einzelkraft in der Mitte des Tragers an, dann wird mit FA = FB = F/2 und l\ = 1/2 das maximale Biegemoment Mbn.ax = (/^/2)(//2)=F//4.

M NuHdurchgang

^^f^bmax^Fsd-l^}

Maximales Biegemoment

Mbom = Fhh - FB{1 - h) FA = 4000 N

FB = 2000 N

Mb max = -FAII = -4000 N • 2 m = -8000 Nm Mb max = FB{l-h) =2000N-4m = 8000Nm Beachte: Beim Stiitztrager mit Einzellast wirkt Mb max dort, wo die Einzelkraft angreift. Berechnet wird Mb max aus der Querkraftflache rechts oder links vom NuHdurchgang.

5.9.7.6 Stiitztrager (Kragtrager) mit mehreren Einzellasten l=6m Fj

=25kN

,

h=2m

h= 1m

/; =2,5m

] '^-''''r]_ F3=20kNi

Berechnung der Stutzkrafte: IM(B)=0 =

^

FA^

Mtmax-Stelle

\ FA=-

Fi(l-h)-^F2l3-F3l2

lFy = 0 =

^^» FA^

-231

NuHdurchgang

m

S

FT(l-lj)-hF2l3-F3l2-FAl

l FA-hFB-Fj-F2-F3

= 9,583 kN

FB =FT+F2 + F3-FA ^-45,417 kN

NuHdurchgang 2 III

1'

1111

/ Aj2=

il f^bmax = F3l2

Kontrolle: IFy = 0 = FA-Fj-F2-i-FB-

(9,583-25-

^2%

Lageskizze mit F^, jc-Diagramm

Die Querkraftfldche im Fq, x-Diagramm zeigt zwei Nulldurchgange (1 und 2). Um festzustellen, welche der beiden Querschnittsstellen das maximale Biegemoment Mb max zu iibertragen hat, fiihrt man eine Vergleichsrechnung durch (ohne Beriicksichtigung der Vorzeichen).

NuHdurchgang 1: Mbi = A,q l

F3

10 + 45,417-20} kN == 0

FA/,

Mbi = 9,583 kN • 2,5 m Mbi = 23,958 kNm

339

5.9 Beanspruchung auf Biegung Das Biegemoment MM erhalt man am einfachsten uber die Rechteckflache links vom Nulldurchgang 1. Zur Mb2-Berechnung wird die Flache rechts vom NuUdurchgang 2 genommen. Die Rechnung zeigt: Das groBte Biegemoment tritt im Nulldurchgang 2 auf. Mb2 = 40 kNm > MM = 23,958 kNm. Damit hat man die Mbmax-Stelle und den Betrag des maximalen Biegemoments gefunden.

Nulldurchgang 2: Mb2 =Aq2 = F3I2 Mb2 = 20 kN • 2 m Mb2 = 40 kNm

Mb max =Mb2

=F3h

Mb max = 40 kNm

Zur KontroUe kann die Flache links vom Nulldurchgang 2 berechnet werden. Die algebraische Summe der Flacheninhalte Aqi und Aq3 muss gleich dem Flacheninhalt Aq2 sein. Begrundung: Das Biegemoment Mb2 im linken Schnittufer des Querschnitts 2 muss gleich dem Biegemoment im rechten Schnittufer sein.

Mb2=FA/i-(Fi-FA)(/-/i)-F2/3

Die beiden Betrage haben entgegengesetztes Vorzeichen (—40 kNm, +40 kNm), weil fur den Schwerpunkt des Querschnitts 2M = 0 erfiillt sein muss.

Mk2^ + M^2^ = 0

= (9,583 • 2,5 - (25 - 9,583) • 3,5 - 1 0 - 1 ) kNm Mb2 = - 4 0 kNm

Mb2 = -Mb2

Zum Aufzeichnen des Mb, Jc-Diagramms werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen berechnet: Fiir X = l\ ist: Mb(x) = -FAII

= - 9 , 5 8 3 kN • 2,5 m

= 23,958 kNm Fiir X = I - I3 ist: Mb(x) = - F 4 ( / - / 3 ) + F i ( / - / 3 - / i ) Mb(x)-Diagramm

= -9,583 kN • 5 m + 25 kN • 2,5 m = 14,585 kNm Fiir X = I ist: M^2 =-FAI

+ Fi(l

- h) +

F2h

= -9,583kN-6m + 25kN-3,5m+10kN- Im = 40 kNm = Mb max

Die Tragerstelle mit Mb(x) = 0 liegt zwischen den Lagerpunkten A und B. Fiir diese Schnittstelle muss die Summe der Querkraftflachen Aqi und Aq(x) gleich null sein.

Aqi — Aq(x)

F^l,=(x-h){F,-F^) FA/I F,-FA

X = 4,059 m

, ,

+ /i

9,583kN-2,5m

25kN-9,583 kN

-2,5 m

5 Festigkeitslehre

340 5.9.7.7 Stiitztrager (Kragtrager) mit konstanter Streckenlast l = 5m

li = 2m

Berechnung

der

Stutzkrafte:

(Ff ist die in der Mitte der Streckenlast angreifende Resultierende der Teil-Streckenlasten). Fa=Fr^^ = 74000 N " 21

^^

2

''^ ^ 5m

= 9800 N

IFy = 0 = F/^+FB-Fr FA=Fr-FB=4200 Kontrolle: IFy = 0 = FA-Fr (4200-

N

+ FB

14000 + 9800)

N=0

Lageskizze mit Fq, jf-Diagramm

Die Querkraftflache zeigt auch hier zwei Nulldurchgange (1 und 2) wie beim vorhergehenden Trager. Nur an einem der beiden kann Mb max auftreten. Auch hier lasst sich nicht sofort erkennen, welche der beiden Querkraftflachen groBer ist, Aqi oder Aq2' Daher miissen beide berechnet werden.

Beachte: Das Biegemoment Mbi im Nulldurchgang 1 berechnet man mit Blickrichtung von 1 nach links und sieht Aqi. Fiir den Querschnitt 2 blickt man vom Lagerpunkt B aus nach rechts und sieht Aq2.

Eine Kathete des rechtwinkhgen Dreiecks der Querkraftflache Aqi hat die Lange x. Sie kann abgemessen oder berechnet werden. Zur Rechnung benutzt man hier die Tatsache, dass beim Nulldurchgang, von links nach rechts gesehen, die Querkraft gleich null geworden ist.

Vom Nulldurchgang 1 aus nach links gesehen ergibt: FA - F'X = 0 _ FA _ 4200 N =:2,lm

Nun lassen sich beide Querkraftflachen auswerten und damit das maximale Biegemoment und dessen Lage bestimmen. Die Vergleichsrechnung zeigt, dass das maximale Biegemoment Mb max von 4410 Nm im hnken Nulldurchgang 1 auftritt.

^~y^~

N

2000-

:2,1m

4200 N-2,1 m

Mb, Mb,

:4410Nm

M b 2 = A q 2 = F 7 ih ^ = F'^ Mb2 = 2000 - • i ^ = 4000 Nm < Mb, m 2 Mb max = Mb, =4410Nm

5.9 Beanspruchung auf Biegung

341 Im Gegensatz zum Freitrager (5.9.7.4) sind hier wegen des Stiitzlagers B zwei Funktionsgleichungen zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms erforderlich. Fiir die Mb-Werte zwischen 0 und B gilt mit Blick nach links in Richtung A in der Lageskizze:

Mb(x)-Diagramm

Mb

2

FAX

Fiir die Mb-Werte rechts von B gilt mit Blick nach rechts: Mb2

2

In beiden Gleichungen erscheint der mathematische Ausdruck F'x^/2. Die entsprechenden Kurvenziige miissen daher parabolischen Verlauf haben (siehe Mb, Jc-Diagramm).

Fiir die beiden NuUdurchgange im Fq, x-Diagramm soUen die Biegemomente berechnet werden.

Mbi =

Fiir die Schnittstelle 1 wurde jc = 2,1 m errtiittelt.

Mb,

Das Biegemoment in der Lagerstelle B wird mit X = li = 2 m berechnet.

Mbi

Ein Verlgeich zeigt, dass im Tragerquerschnitt 1 das groBte Biegemoment auftritt: Mbi > Mb2.

Zur Ermittlung der Schnittstelle fiir den Nulldurchgang der Mb, JC-Kurve ist Mb = 0 in die Gleichung fiir die Schnittstelle 1 einzusetzen. Die Rechnung zeigt, dass im Tragerquerschnitt bei x = 4,2 m das Biegemoment gleich null ist.

Aafgaben Nn 864-880

F'x^

FAJC

2000 - (2, I m ) ^ 21 2

4200 N • 2,1 m

-4410 Nm

rrV 2000-(2 mf Mb2 = ^ r - = ^ = - 4 0 0 0 Nm 2 2

F'x^ Mbi == ^ F'x^

FAX

•F'

FAX

FA • 2

.0-X[X—-FA]

4200 N • 2 = 4,2m 2000m

=0;xy^O

5 Festigkeitslehre

342

5.9.7.8 Stiitztrager mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Berechnung der Stutzkrafte:

l = 8m

Resultierende aus der Streckenlast Fr = F'l3 = 2400 N, angreifend in lMfA,=0

Streckenmitte.

=

-FlT-Fr(l-l2)-f-FBl

Fl^i-Frd-h) FB-

-=1750 N

l

IFy = 0 =

FA-F-Fr^FB

FA = F-hFr-FB=1650

N

Berechnung des Abstandes x: Beim Nulldurchgang wird die Querkraft gleich null; das bedeutet Ffy - F- F'x = 0 (F'x= Streckenlast von der Lange x) FA-F

x=—

= 0,8125 m F'

Berechnung des maximalen Biegemoment

A

Biegemoments

Mijmax-

Querkraftflache (FA'F)X

Mbmax ^ Aqi A FA2m + (FA - F) 1,5 m + Oder:

_ ,. FgOm-x) Mbmax 4 Ag2^ Fg 1,5 m -h

Lageskizze mit Fq, jc-Diagramm

= 4539 Nm

, = 4539 Nm

Zum Aufzeichnen des Mb, Jc-Diagramms geniigt es, die Mb-Werte fiir die Querschnitte unter dem Lastangriff von F und an den beiden Begrenzungen der Streckenlast F' zu berechnen: Mjj - Linie

M,b(F)

-FA/I = 3300 Nm

-Mb

Mb, jc-Diagramm

^b(links) = - ^ A

+ FU

[l-h

+

/.-|./.

= -4275 Nm M,b(rechts)

"B

h--

= 2625 Nm

Der Mb-Verlauf zwischen den Endpunkten der Ordinatenwerte und den NuUpunkten A und B muss liniear sein (siehe 5.9.7.1 und 5.9.7.2). Dazwischen liegt der parabolische Kurvenzug fiir den Mb-Verlauf infolge der Streckenlast F' (siehe 5.9.7.3).

Dieser Fall zeigt besonders deutlich, wie einfach sich Lage und Betrag von Mb max niit Hilfe der Querkraftflache bestimmen lassen. Nachdem die Stutzkrafte berechnet wurden, kann der Querkraftverlauf aufgezeichnet werden. Bei nur einem Nulldurchgang liegt die Mbmax-Stelle sofort fest. Das MaB x wird abgemessen Oder berechnet. Damit lasst sich dann aus der Querkraftflache rechts oder links vom Nulldurchgang Mb max berechnen. AiifgabeiiNn 881-897

5.9 Beanspruchung auf Biegung

343

5.9.8 Trager gleicher Biegespannung 5.9.8.1 AUgemeine Anformungsgleichung Hat ein Biegetrager durchgehend gleichen Querschnitt (W = konstant), dann hat im Normalfall jeder Querschnitt eine andere Biegespannung ab. Die Maximalspannung abmax tritt nur in dem Querschnitt auf, der das maximale Biegemoment zu ubertragen hat. Durch die so genannte Anformung erreicht man, dass jeder Querschnitt gerade so groB wird, wie es zur Aufnahme der zulassigen Biegespannung abzui erforderiich ist. Man hat dann einen Trager gestaltet, der in alien Querschnitten die gleiche Biegespannung aufweist. Fur jeden beliebigen Querschnitt x gilt die BiegeHauptgleichung cXbx = Mbx/Wx, mit Biegemoment Mbx und dem Widerstandsmoment W^. Gleiche Biegespannung abx = ^bzui werden dann erreicht, wenn dafiir gesorgt wird, dass iiberall der Quotient ^^bx/V^x gleich groB ist. Diese Bedingung fuhrt zur Anformungsgleichung in der allgemeinen Form.

Trager mit W = konstant

Spannungsverteilung iiber der Lange I

CTbx = - ^ = CTbzui = konstant

Mbxi

Mbx2

= ... = konstant

Anformungsgleichung, allgemeine Form

5.9.8.2 Achsen und Wellen Am Beispiel einer Radachse von kreisformigem Querschnitt wird die Anformung von Achsen und Wellen erlautert: Die Einspannstelle hat das maximale Biegemoment Mbmax = ^ / zu ubertragen, der (beliebige) Querschnitt x-x das Biegemoment Mbx = Fl^. Die Anformung erfordert, dass der Quotient aus Biegemoment Mb und Widerstandsmoment W in alien Querschnitten gleich groB bleibt. Fur die Mbmax-Stelle gilt Mbmax/W^max = CTbzui, fiir jede beliebige Stelle Mbx/Wx = o^zuh so dass man beide Quotienten gleichsetzen kann. Beim Kreisquerschnitt gilt fiir das axiale Widerstandsmoment W = 0,ld^, Wird dieser Ausdruck in die Ausgangsgleichung eingesetzt, dann erhalt man die gesuchte Anformungsgleichung fiir Achsen und Wellen mit kreisformigem Querschnitt, wenn man auBerdem die beiden Biegemomente durch Fl und Fk ersetzt.

J/ I TWA

I ^

.MH.=FL

i^, ^bmax

^bx

''•^bmax

Wn,

Wx

M,bx

FL

0,1^x3 ' /x

'^max

d,^

Anformungsgleichung fur Achsen und Wellen

344

5 Festigkeitslehre

Mit der Anformungsgleichung konnen nun die Durchmesser d^ fiir mehrere Tragerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden: Wertetabelle

ll^i^^liplJliil •l^^^^^^gXlglA

f^^l§^^^ll^ff§li

I 1

"max

1'

1' ^.o,s

^ . 0 , , rfl=0,9-rf„ax

^ - .

V 4

d2 = 0,8 • drmx

Die Durchmesser nehmen vom Hochstwert Jmax an der Einspannstelle bis zum Tragerende nach einer kubischen Parahel ab. Als praktische Ausfuhrung der Anformung dient die Kegelform. Der Kegelstumpfmantel muss den Parabelkorper einhiillen. Mit der Anformungsgleichung lasst sich die Anformung als Graph gut auf dem Rechner darstellen.

i'

^

^4 = 0,5 • ^max

^3 = 0,63 • ^max

Kegelstumpf (praktische Form)

kubische Parabel (theoretische Form)

Anformung einer Radachse

5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt Der Rechteckquerschnitt von Biegetragem lasst sich in der Breite b oder in der Hohe h anformen. Als Beispiel kann man die Biegefeder als Biegetrager ansehen und sie in der Breite b anformen, also die Hohe (Dicke) h konstant halten. Dazu wird in gleicher Weise vorgegangen wie unter 5.9.8.2 bei der angeformten Achse. Statt W — ^,\ (P muss man hier W — bh^ jd einsetzen (Tabelle 5.1). Die Anformung der Hohe h bei konstanter Breite b wird im Anschluss unter 5.9.8.4 behandelt. Die Anformungsgleichung zeigt, dass die Breite von /^max an der Einspannstelle bis zum Tragerende gleichmaBig abnimmt. Es entsteht eine Dreieckblattfeder von gleichbleibender Dicke h. Wird der Wert bmax zu groB, teilt man die Blattfeder in gleich breite Streifen auf und schichtet diese aufeinander zur Mehrschichtfeder. Bei z = Blattzahl ist Z?niax = zbo, wobei bo die Blattbreite ist.

•Fl

Mh=FLLF

m ^bmax

'^max

Mxbx Fl FL

br^^hH b,h^6

^x — ^inax J

k

by,

Anformungsgleichung fiir Blattfedem

Dreieckblattfeder

Mehrschich tfeder

Anformung einer Biegefeder

5.9 Beanspruchung auf Biegung

345

5.9.8.4 Konsoltrager mit Einzellast . = Fl

MH,

Das Belastungsschema ist beim Konsoltrager das gleiche wie bei der Blattfeder, nur wird man beim Konsoltrager nicht die Breite b, sondem die Hohe h anformen. Wird auch hier wieder vom Rechteckquerschnitt ausgegangen, also W = bh^/6, dann kiirzt sich in der Gleichung unter anderem die Breite b heraus. Man erhalt die Anformungsgleichung fur die Hohe Mit der Anformungsgleichung kann die Hohe /zx fiir mehrere Tragerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden:

i^

Mb.

^ .

4^ /

Mb

•^max

Mbx "max

hx

-hft

Anformungsgleichung fur Konsoltrager

m

Wertetabelle 3/

im^M^

h^ =

: 0,866 • hn

Die Hohen h\,h2... nehmen vom Hochstwert /zmax an der Einspannstelle bis zum Tragerende hin nach einer quadratischen Parabel ab. Auch hier ist eine Graphik auf dem Rechner leicht zu erstellen.

- 0,354 • /i„i

/i3 = 0,5 • h^

h2 = 0,707 • hrr,

quadratische

Parabel

Angeformter Konsoltrager mit Einzellast

5.9.8.5 Konsoltrager mit Streckenlast Auch bei gleichmaBig verteilter Last wird man einen Konsoltrager nach der Hohe h anformen.

Streckenlast

""iiim

''*^bmax _

x

F'l'

F'l^

MH.

Im Gegensatz zum Konsoltrager mit Einzellast hat man hier in die allgemeine Anformungsgleichung fiir die Biegemomente einzusetzen: Mbmax = F'l'^/2 und Mbx -= F7xV2. Dann entwickelt man in gewohnter Weise die Anformungsgleichung. Sie ist ebenso aufgebaut wie die Gleichung in 5.9.8.3: Die Hohe h^ wachst proportional mit/xDie Querschnittshohe ninmit vom Hochstwert /zmax an der Einspannstelle bis zum Tragerende gleichmaBig ab. Es entsteht ein Trager in Hochdreieckform (Keilform).

F'

11111111111111111111 MHV

^•

W,max

Wbx

F'/V2

l^

k^ "% —' "max

/x I

max

h. 2

Anformungsgleichung fiir Freitrdger mit Streckenlast

Angeformter Konsoltrager mit Streckenlast

5 Festigkeitslehre

346

5.9.9 Formanderung bei Biegung^^ Wird ein Stab elastisch gebogen, dann behalt nur die neutrale Faserschicht ihre urspriingliche Lange bei, alle anderen Schichten verlangem oder verkiirzen sich. Die in der neutralen Faserschicht hegende und vor dem Kraftangriff noch gerade Stabachse wird zur Biegelinie verformt. Dabei entsteht die Durchbiegungf. Die Endtangente t der BiegeUnie hegt unter dem Neigungswinkel a. Geometrische Verhaltnisse am einseitig eingespannten Biegetrager (Freitrager) mit Einzellast; Kriimmung stark iibertrieben gezeichnet.

Beide GroBen sind fur die Konstruktion von Biegetragem aller Art von Bedeutung, z. B. fiir Getriebewellen. Es sollen deshalb Berechnungsgleichungen fiir Durchbiegung und Neigung der Biegehnie entwickelt werden. Dabei geht man stets von einem Trager mit gleichbleibendem Querschnitt aus (Achse, I-Trager).

5.9.9.1 Kriimmungsradius, Kriimmung Die beiden dicht beieinander hegenden Schnittufer 1 und 2, die vor der Verformung parallel zueinander lagen, stehen nun unter dem Winkel cp zueinander geneigt. Ihre Fluchtlinien schneiden sich im Krummungsmittelpunkt 0 und ergeben den Krummungsradius Q^ an der untersuchten Tragerstelle x. Gegeniiber dem kleinen Bogenstiick s der Biegelinie hat sich die aul3ere Zugfaser um A^ verlangert. Mit dem Ahnlichkeitssatz erhalt man die Proportion /S.s/s = eJQ^.

5 + A5 A5

1+-

Qy^^e

(Ahnlichkeitssatz) A5

1+— =» — = —

^^ Formeln zur Berechnung der Stutzkrafte, Momente und Durchbiegungungen bei Biegetragem siehe A. Bdge\ Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg.

5.9 Beanspruchung auf Biegung Mit dem Hooke'schen Gesetz, hier also mit o^ = eE, ergibt sich aus der Ausgangsproportion A5/5 — eJQ^ eine Beziehung fiir den Kriimmungsradius Q^ an der untersuchten Tragerstelle x. Darin ist ax die zwischen den Schnittufem herrschende Biegespannung. Schreibt man die Biegehauptgleichung in der Form ab ^My^ejl nach 5.9.5, dann lassen sich Biegespannung ax und Randfaserabstand e durch die GroBen Biegemoment Mx und axiales Flachenmoment 2. Grades / ersetzen.

347 A5

•- Dehnung £ (siehe 5.2.3.1)

E — — Hooke'sches Gesetz nach 5.2.3.4) E ^s e o^ ^^ eE — = — = — una daraus p^ = — s Q, E ''^ a.

eE Oy,

M^e I

e ax

/

E

^x

Qx

I Mx

El

N

mm mm^

Mx

mm"^ Nmm

Krummungsradius

Der Kehrwert des Krummungsradius wird als Kriimmung k^ bezeichnet.

% = •— = —

Krummung

5.9.9.2 AUgemeine Durchbiegungsgleichung Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht am Tragerende die Durchbiegung f. Werden in den Punkten 1 und 2 an die Biegehnie die Tangenten angelegt, so schUeBen sie ebenso wie die Kriimmungsradien Q^ den Winkel q) ein. Die Tangenten schneiden auf der Vertikalen am Tragerende (Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung/das stark ubertrieben gezeichnete Stiick A / ab. Es ist also/ = 2 A/. Aus der Ahnlichkeit der schraffierten Dreiecke an der Biegelinie ergibt sich die Proportion S/Q^ = Af/x. Fiir den Krummungsradius Q^ kann die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden. Werden noch die Teillangen A / summiert, dann fmdet man die gesuchte Gleichung fiir die gesamte Durchbiegung / . Elastizitatsmodul E und Flachenmoment 2. Grades / sind Konstante, sie konnen also vor das Summenzeichen 2 gezogen werden.

Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden schraffierten Dreiecke ahnlich.

A^^^A/ = ^ ^x

^

^x

sxM^ 1 Af = = — Mv 5JC ^ EI EI f = Y.Af = ^

EI

Z-^^M,sx

348

5 Festigkeitslehre

Das Produkt M^s (Biegemoment mal Teillange s an der Tragerstelle x) ist im Bild der Momentenflache das Teilstiick AAM der gesamten Momentenflache AM- AUS der Schwerpunktslehre (2.2) ist bekannt, dass die Summe der Momente der Teilflachen gleich dem Moment der Gesamtflache ist. Afl^ = M^gx p = Momentenflache

Mit XQ als Schwerpunktsabstand der gesamten Momentenflache (hier Dreieckflache) ergibt sich abschlieBend die allgemeine Durchbiegungsgleichung. Die Momentenflache AAM ist das Produkt aus dem Biegemoment M^ und der Teillange s; folglich hat AM die Einheit Nmm • mm = Nmm^.

2Mx5Jc = 2 A A M ^ = AUXQ

Allgemeine Durchbiegungsgleichung

f=^Yi ^^^ /

E

mm

N mm^

/

XQ

AM

mm"^ Nmm^ mm

5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie Das Bild zur allgemeinen Durchbiegungsgleichung zeigt, dass zwei dicht benachbarte Tangenten an die Biegelinie den Winkel q) einschlieBen. Der Neigungswinkel a der Endtangente ist also die Summe aller Winkel q). Die Gleichung (p = S/Q ist die Defmitionsgleichung fiir den Winkel (p. Das Produkt M^s ist gleich dem Flacheninhalt der Teilflache AAM; auBerdem ist 2 AAM = A M .

Man weiss, dass man fiir kleine Winkel mit der Einheit rad auch den Tangens des Winkels einsetzen kann. Damit ist die Endform fur die Gleichung des Neigungswinkels a gefunden. In der zweiten Form dieser Beziehung hat man entsprechend der allgemeinen Durchbiegungsgleichung AM/EI =f/xo eingesetzt.

CD =

Bogenstiick s Kriimmungsradius g

a = 2.cp = > Q

Q = — emgesetzt Mx sM^^

1

« - E £ 7 = E ^EI^ = EI ^ 2^x5 Mx a = — 2 A A M = TTT AM

EI

EI

a = arc a = tan a tan a = - EI -/. tana- XQ

AM

Neigung der Endtangente (^n die Biegelinie

5.9 Beanspruchung auf Biegung

349

5.9.10 Ubungen zur Durchbiegungsgleichung 1. Ubung: Freitrager mit Einzellast Fur den skizzierten Freitrager mit Einzellast hat die Momentenflache die Form eines Dreiecks. Mit der Balkenlange / und der Dreieckshohe Mb max = Fl lasst sich der Racheninhalt AM ausdriicken. Der Schwerpunktsabstand der Dreieckflache betragt jco = 2//3. Mit den Beziehungen fiir Mb max, AM und XQ erhalt man aus der allgemeinen Durchbiegungsgleichung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a fur die Endtangente.

r

^ ^

'

1'.

T~A Mon lentenflacheAM

a^^-

EI /

AM-^O;

f72 £ / ' o2

AM=Mbn

I'

2

taiia = — =

2. Ubung: Freitrager mit konstanter Streckenlast Die Momentenflache beim Freitrager mit konstanter Streckenlast wird von einer Parabel begrenzt (siehe 5.9.7.3). Der Flacheninhalt AM ist gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckflache: AM = Mb max V^- ^^^ Schwerpunktsabstand betragt JCo = 3 //4 (Formelsammlung). Das maximale Biegemoment ist hier halb so groB wie beim Freitrager mit Einzellast, also Mb max = F//2, mit der Resultierenden aus der Streckenlast F = F 7 . Damit erhalt man wie in der 1. Ubung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung fiir den Neigungswinkel a der Endtangente an die Biegelinie.

3. Ubung: Stiitztrager mit Einzellast in Tragermitte Zur Herleitung einer Gleichung fiir die maximale Durchbiegung / in Tragermitte darf man nur mit der Momentenflache bis zur Stelle der groBten Durchbiegung rechnen. Das ist zugleich die Mbmax-Stelle, mit Mbmax = {F/2) • (1/2) = F//4 (siehe 5.9.7.5). Der Schwerpunktsabstand der Momentenflache AM (Dreieckflache) betragt JCo = 1/3.

\

^

iniiliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiLu-^^

Momentenflache

2

FflEl

Aj^

f — ~E^ A M ^ O ; A M = ^ ^ b m a x I —

f-

2

•?'

1 £7

6 tana:

XQ

6EI

Momentenflache Aj^

350 Mit dem Ausdruck fiir XQ und mit der Beziehung fiir den Flacheninhalt der Momentenflache AM = F / ^ / 1 6 ergibt sich die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a fiir die Endtangente.

5 Festigkeitslehre

EI

I _Fl

f= f =

4. Ubung: Stiitztrager mit konstanter Streckenlast Zur Herleitung einer Gleichung fiir die maximale Durchbiegung / in Tragermitte darf nur mit der Momentenflache bis zur Stelle der groBten Durchbiegung gerechnet werden (siehe 3. Ubung). Das ist hier zugleich die Mb max-Stelle, mit ^bmax = Fl/S. Der Flacheninhalt AM der Parabelflache betragt zwei Drittel der umschriebenen Rechteckflache (siehe 2. Ubung). Der Schwerpunktsabstand betragt 5//16 (siehe auch Handbuch Maschinenbau, Flachenschwerpunkt). Wie in der 2. Ubung wird die Resultierende der Streckenlast mit F = F'l berechnet. Wie in den vorhergehenden Ubungen geht man von der allgemeinen Durchbiegungsgleichung aus, um die speziellen Gleichungen fiir / und tan a zu bekommen.

I _Fl^

1 Fl^ I 'EI'^'3

/ tana = xo

FP

4SEI

F' = konstant ii[[Miiiiiiiiiiiin lllilllllNNIII|ll^^ -B=-2

M, 'bmax Q Parade/

7 = 7^7 AM-^O EI _ 2 I _2

•^

EI

, 5 f= •^

Fl

Im vorUegenden Fall sind die Gleichungen fiir f\ (3. Ubung) und/2 (4. iJbung) bekannt und es kann damit eine Gleichung fiir/ges = / i 4-/2 erstellt werden.

_l

24 16

F/3

/ Ff tana = —— ^

384 EI

XQ

5. Ubung: Biegetrager mit mehreren Belastungen (Uberlagerungsprinzip) In praktischen Aufgaben wirken haufig mehrere Belastungen zugleich in einer Ebene biegend, z. B. eine Einzelkraft neben der gleichmaBig iiber dem Trager verteilten Eigengewichtskraft. Solche Aufgabenstellungen lost man nach dem Uberlagerungsprinzip. Es besteht darin, dass man sich die Belastungen einzeln auf den Trager aufgesetzt vorstellt, deren Einzeldurchbiegungen/1,/2,/3... mit den bekannten Gleichungen bestimmt und zum Schluss diese Betrage addiert.

F/2 16EI

F' = konstant ^\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\m\\

Ill

24EI

5.10 Beanspruchung auf Knickung

351

5*10 Beanspriiehung auf Knickung

5.10.1 Grundbegriffe 1st bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, d. h. ist die Stablange / im Verhaltnis zu seiner Querschnittsflache A sehr gro6, so besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung a^ noch unter der Proportionalitatsgrenze a^p liegt. Die Tragfahigkeit ist also schon vorher erschopft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondem ein Stabilitatsproblem: Trotz gleicher Querschnittsflache A und gleicher Druckkraft F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender Lange /.

Beispiele knickgefahrdeter Bauteile aus dem Maschinenbau: Pleuelstangen, Kolbenstangen, StoBel, Spindeln von Pressen, Bremsgestange

Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer GroBen gefiihrt.

Neue GroBen sind: Knickkraft FK, Knickspannung CTK, Tragheitsradius i, Schlankheitsgrad A (Lambda)

Knickkraft FK ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividiert man die Knickkraft FK durch die Querschnittsflache A, erhalt man eine Spannung, die als Knickspannung OK bezeichnet wird. Entsprechend der Definition von FK herrscht die Knickspannung CTK dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt.

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafiir zu sorgen, dass die tatsachUche Belastung, die Druckkraft F, immer wesentlich kleiner bleibt als die Knickkraft FK. Das gleiche gilt dann auch fiir die tatsachlich im Bauteil vorhandene Druckspannung o^dvorh und fiir die Knickspannung aK- Immer muss <>dvorh < CTK scin. Knickkraft FK und Knickspannung aK sind also GroBen, die niemals erreicht werden durfen.

zunehmende Langf Lange bedeutet

Knickkraft FK Knickspannung OYL = Querschnittsflache A FY.

OK

N

A 2

N mm

Sicherheit gegen Knicken _ Knickkraft FK (Knicksicheiheit v) Druckkraft F OK F

CTdvorh

v?^3...10im Maschinenbau

5 Festigkeitslehre

352

Die Knickkraft Fic (Knickspannung GJH) ist diejenige Kraft (Spaimung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorfi^dene Etackkraft muss mit Sicheiheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die voAandene Druckspannung unter der Knickspannung,

Beispiel: Fiir die Kolbenstange einer Kolbenpumpe sei die Knickkraft FK = 20000 N. Mit Knicksicherheit v = 8 darf die vorhandene Druckkraft hochstens F = FK/V = 20000 N / 8 = 2500 N betragen.

5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall) Fiir den Fall, dass die Knickspannung OK noch unterhalb der Proportionalitatsgrenze o^p des Werkstoffes liegt, hat Euler^^ eine Gleichung fiir die Knickkraft FK entwickelt. Mit einem Lineal kann man sich klarmachen, dass ein Stab stets um diejenige Achse knickt, fiir die das axiale Flachenmoment 2. Grades den kleinsten Wert hat (/nun). Die Knickkraft FK. also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen wiirde, kann allein durch die Fiihrungsverhaltnisse verandert werden, unter denen sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft F wahrend des Zusammendriickens exakt in der Stabachse wirkt, desto groBer kann die Knickkraft FK angesetzt werden. Mit Ausnahme der Einspannung mit freiem Ende (Fall 1) sollte immer nach dem Grundfall (Fall 2) gearbeitet werden, das heifit, man setzt nicht s = 0,7011 (Fall 3) oder ^ = 0,5/ (Fall 4), sondem 5 = / in die Eulergleichung ein. Man schreibt nun die Eulergleichung so, wie sie fiir das Losen von praktischen Aufgaben gebraucht wird. Dazu sollte man sich der Beziehung zwischen Knickkraft FK und vorhandener Druckkraft F iiber die Knicksicherheit v = F K / F erinnem. Statt /min wird /erf geschrieben, in Anlehnung an die Arbeitsgleichungen der vorangegangenen Beanspruchungsarten. Ist das erforderliche axiale Flachenmoment 2. Grades /erf berechnet, konnen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 309, die QuerschnittsmaBe festgelegt werden. ^^ Leonhard Euler,MsithQmaiikeT, 1707-1783

FK =

Elmrn^ S2

N

N E

/

E

FK

s

mm^ mm

Elastizitatsmodul (Tabelle 5.8, Seite 380)

/min kleinstes axiales Flachenmoment 2. Grades des Querschnitts (Tabelle 5.1, Seite 306) s freie Knicklange Freie Knicklange s fiir verschiedene Fuhrungsverhaltnisse Fall 1 s = 2l

Fall 2 5= 1

Fall 3 s = 0,7071

Fall 4 s = 0,5l

FK = Fv

/erf

V

F

E

mm^

1

N

N mm^

i&$ '•

V F

Knicksicherheit (Einheit Eins) vorhandene Druckkraft

s = I Einspannlange E Elastizitatsmodul (Tabelle 5.8, Seite 385)

5.10 Beanspruchung auf Knickung

353

Die nach /grf aufgeloste Eulergleichung garantiert nicht, dass der vorliegende Fall tatsachlich im Giiltigkeitsbereich dieser Gleichung liegt, also im Giiltigkeitsbereich des Hooke'schen Gesetzes. Nur in diesem Bereich ist der E-Modul eine Konstante, und nur fiir diesen Fall kann die Eulergleichung gelten.

Beachte: Die Eulergleichung gilt nur dann, wenn die Knickspannung CTK gleich oder kleiner ist als die Proportionalitatsgrenze ajp des Werkstoffs. Zur Proportionalitatsgrenze siehe Abschnitt 5.12.1, Seite 375.

Um zu wissen, ob und wann man im Einzelfall mil der Eulergleichung rechnen darf, wird eine Gleichung fiir die Knickspannung aK entwickelt. Dazu benutzt man die Beziehung ax = FK/A. Zur Vereinfachung wird statt /min nur / geschrieben.

aK

Mit dem Ziel, eine moglichst einfach aufgebaute Gleichung fur ^K ZU erhalten, hat man zwei neue GroBen eingefiihrt, den Tragheitsradius / und den Schlankheitsgrad X: Zunachst bieten sich die beiden geometrischen GroBen / und A zur Vereinfachung an. Man setzt das axiale Rachenmoment I = i^A und bezeichnet / als den Tragheitsradius des Querschnitts.

Fiir den ^r^/^querschnitt ist nach Tabelle 5.1, Seite 309, das axiale Rachenmoment / = JT J^/64; die Kreisflache berechnet sich aus A = iid^/A. Damit erhalt man eine sehr einfache Beziehung fiir den Tragheitsradius eines Kreisquerschnitts.

FK

aK = En^ GK

Damit ist die einfachste Form fiir die Eulergleichung gefunden. Sie zeigt, dass Stabe von gleichem Schlankheitsgrad (geometrisch ahnliche Stabe) die gleiche Knickspannung aK haben und dass CTK auBer von A nur vom Elastizitatsmodul E abhangig ist.

I 1 En^

-En^

= En^

Tragheitsgrad i" \J~T

^

T

(Gleichungen fiir / in Tabelle 5.1, Seite 309)

/o

"64"

Ao=W

lo

nd^ 4

yAo ^^

Nach der Einfuhrung des Tragheitsradius erscheint bei entsprechender Schreibweise in der Eulergleichung fiir die Knickspannung nun der Quotient s^/i'^ (siehe oben). Die Wurzel daraus heiBt Schlankheitsgrad X.

Eljf

A

4

Tragheitsradius fiir Kreisquerschnitt

fieie Knicklange s Tragheitsradius i

Schlankheitsgrad X =

A = I4

OK,E

N Knickspannung

2,

sj

1

mm

5 Festigkeitslehre

354 Tragt man entsprechend der Eulergleichung die Knickspannung ax iiber dem Schlankheitsgrad X auf, so ergibt sich eine Hyperbel dritten Grades. Es wird mit dem Elastizitatsmodul flir Stahl gerechnet:

400

E = 210000N/mm2 = 2,1 • 10^ N/mm^ . Bekannt ist, dass die Eulergleichung nur gilt, solange die Knickspannung ax < cJdp (Proportionalitatsgrenze) ist. Mit diesem Wert fiir adp (fiir S235JR etwa 190 N/mm^) kann mit einer Waagerechten im Diagramm die obere und linke Grenze des Gultigkeitsbereichs fiir die Eulergleichung festgelegt werden (elastischer Bereich). Lotet man vom Schnittpunkt der Waagerechten mit der EulerHyperbel auf die ?^-Achse, dann wird als einfaches Kriterium fiir alle Rechnungen der Grenzschlankheitsgrad XQ gefunden. Nur mit Schlankheitsgraden X rechts vom Grenzschlankheitsgrad XQ ist die Giiltigkeit der Eulergleichung gewahrt (siehe Arbeitsplan 5.10.4, Seite 356).

Uber die Eulergleichung fiir die Knickspannung kann man den Grenzschlankheitsgrad XQ fiir verschiedene Werkstoffe in Abhangigkeit von der Proportionalitatsgrenze adp berechnen. Da AQ immer der untere Grenzwert ist, fiir den die Eulergleichung gerade noch gilt, wird XQ = >lniin geschrieben. Je hoher die Proportionalitatsgrenze o^p des Werkstoffs liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad XQ, das heiBt, umso groBer wird der Bereich, fiir den die Eulergleichung gilt. Fiir die wichtigsten Werkstoffe gibt Tabelle 5.3 die Grenzschlankheitsgrade zur Euler'schen Knickberechnung an. Die Enlo^leichung gilt nur, solange der errechnete ScMaiddieitsgmd X gleich oder grofier ist als der in Tabelle 5 3 angegebene Grenzschlankheitsgrad XQ. Gilltigkeitsbereich d ^ Eulergteichnng: s/i = Avom > AQ.

1

A/ > ^

\ ;

o^P=190 S- 100

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 unelastische Knickung-mXm—elastische Knickung Schlankheitsgrad X —"^^

Euler-Hyperbel mit Grenzschlankheitsgrad Ao fiir S235JR (Tetmajer-Gerade siehe Seite 355) Beachte: Bei alien Rechnungen nach Euler muss garantiert sein, dass der vorhandene Schlankheitsgrad Ivorh g^ofi^r ist als der Grenzschlankheitsgrad XQ: ^vorb > XQ

Eulerbedingung

^

i.

— -^liiiB — ^

Grenzschlankheitsgrad

Beispiel: Fur den Werkstoff Stahl mit E = 2,1 • 10^ N/mm^ und einer Proportionalitatsgrenze cTd? = 190N/mm2 (S235JR) wird der Grenzschlankheitsgrad: 2,1 • 105 XQ = 11 \l

= Jl

190 XQ = 104,44

N

355

5.10 Beanspruchung auf Knickung Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad AQ fiir Euler'sche Knickung und Tetmajergleichungen Wa±stoff Nadelholz Gusseisen S235JR E295 und E335 Al-Cu-Mg Al-Mg3

£-Modiil in

N

10000 100000 210000 210000 70000 70000

r

Tetmajergleichungen

GrenzschlanMieitsgrad XQ 100 80 105 89 66 110

for aK in r ram'^ aK = 29,3-0,194 A (JK = 776 - 12 •;i +0,053/1^ aK = 3 1 0 - 1,14 A OK = 335 - 0,62 • A Beachte: Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwergleichungen mit GK in N/mm^.

5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) Es wird nun die Frage geklart, was zu tun ist, wenn sich bei der Nachrechnung des Schlankheitsgrades X mit den gegebenen Abmessungen zeigt, dass der Grenzschlankheitsgrad AQ (Tabelle 5.3) unterschritten worden ist (Avorh < AQ). In diesem Fall konnen die Eulergleichungen nicht mehr gelten. Man hatte dann mit einer Knickspannung aK gerechnet, die groBer ist als die Proportionalitatsgrenze cTdp. In diesem Spannungsbereich gilt das Hooke'sche Gesetz, das Euler seiner Gleichung zugrunde gelegt hat, nicht mehr. Das wird daran erkannt, dass in den Eulergleichungen fiir die Knickkraft FK und Knickspannung ^K der Elastizitatsmodul E erscheint. Tetmajer und andere Forscher haben fur die Falle Avorh < ^0 aus vielen Versuchen Berechnungsgleichungen entwickelt. Weil diesen Versuchen Knickspannungen o^ zugrunde liegen, die grofier sind als die Proportionalitatsgrenze cJdP, spricht man von unelastischer Knickung.

Beispiel: Fiir einen knickbeanspruchten Stab aus S235JR stellt sich heraus:

Mit den Tetmajergleichungen ist eine unmittelbare Berechnung der Querschnittsabmessungen im Gegensatz zum Eulerfall nicht moglich. Bei alien Knickaufgaben mit unbekannten Querschnittsabmessungen, also auch unbekanntem Schlankheitsgrad /I, berechnet man daher zunachst das erforderliche axiale Flachenmoment 2. Grades aus der Eulergleichung und bestimmt nach Tabelle 5.1, Seite 309, die Querschnittsabmessungen (im Beispiel den Durchmesser d) und den Tragheitsradius /.

Beispiel: Fur einen Stab aus S235JR (Kreisquerschnitt) wirdhQ\s = l = 300mm, F = 10000Nund 10-facher Knicksicherheit (v = 10):

s

100 mm

^vorh = — — -1^

_ — ^U < /to(S235JR) — ^^-^

I 2mm ^ ' Furlvorh = 50 und £: = 2,1 • 10^ N/mm^ wird Eii^

2,1 • 10^

OK

N

2500

:829

Die Proportionalitatsgrenze fiir S235JR liegt dagegen bei etwa 190 N/mm^ (siehe auch Euler-Hyperbel Seite 354),

Beispiel: Nach Tabelle 5.3 ergibt sich mit A == 50 aus der Tetmajergleichung fur S235JR aK = 3 1 0 - 1,14 A OK

= (310 - 1,14 • 50)

vF/2 En^

N N r = 253 ;r mm^ mm^

10- l O ^ N - 9 - 10^ mm^ N 2,1 • 105

4rf = 4342 mm^ 4rf = \ / 2 0 /erf = 17,2 mm d f = - = 4,3 mm 4

356 Jetzt lasst sich der vorhandene Schlankheitsgrad berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad (Tabelle 5.3, Seite 355) vergleichen. 1st /yorh groBer als Ao, dann war die Rechnung nach Euler zulassig. Die Aufgabe ware also gelost. Im anderen Fall berechnet man Avorh ™t etwas vergroBerten Abmessungen und bestimmt damit nach Tetmajer die Knickspannung axZur Uberprufung der Knicksicherheit v muss die vorhandene Druckspannung ermittelt werden. 1st Vvorh kleiner als die geforderte Knicksicherheit Vgrf, sind die Querschnittsabmessungen noch ein oder mehrere Male zu vergroBem, bis endlich Verf erreicht worden ist.

5 Festigkeitslehre s 300 mm ^^ , _ ^ Avorh = - = - n = 69,8 < Ao = 105 I 4,3 mm Also war die Rechnung nach Euler nicht zulassig (Avorh < Ao), daher mit etwas vergroBertem d = 20 mm nach Tetmajer: '^vorh —

OK

4/_4-300mm / d/A'' d ~ 20 mm

: 310 - 1,14 •Avorh= 241,6 F

^dvorh

N , mm^

N lO^N - ^^ , = 31,85 mm"^ 314 mm"^

CTK Vvorh '•

60

o^dvorh

241,6 N/mm^ - 7,586 31,85 N/mm^

Vvorh = 7 , 5 8 6 < Verf =

10

5.10.4 Arbeitsplan fiir Knickungsaufgaben: KnickloBft F^ aus Sicheiiieit v und Belastung F berechnen.

1. Schritt

Erforderliches Hachanmoment 2. Grades Jed nach der Eulergleichung berechnen. Ehimhn^sser oder andeie Querschnittsabmessungen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1 festlegen

2. Schritt 3. Schritt

Tragheitsmdius i nadi Tabelle 5.1 berechnen.

4. Schritt

Schlankbeitsiadius Xy^^ berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad XQ nach Tabelle 5 3 vergleichen, Ist Ayoiii > Ao» dann ist die Rechnung beendet.

5. Schritt

Bex Av<^ Meina* als Xo wird mit den Tetmajer-Formeln aus Tabelle 5 3 die Knickspannung a%, berechnet Dabei Avodi (eventuell neu mit vergoBertem Querschnitt), nicht etwa XQ einsetzen.

6. Schritt

Vorhandene Druckspannung adv<»ij = F/A berechnen

7. Schritt

Mit CTK uttd <^dvoiii dfe vorhandene Sicherheit v berechnen und mit der geforderten SicheAeit vergleichen.

8. Schritt

Bd zu Weiner SicheAeit v mussen die Querschnittsabmessungen waiter vap:^Bat warfen. Die R^hnung ist vom 5, Schritt an zu wiederholen.

9. Schritt

Eventuell muss noch die auftretende Etackspannung crdvoA mit der zulassigen Ehruckspannung cxdzai veiglichen werden.

10. Schritt

Aiifgabe»Nn8%--916

357

5.10 Beanspruchung auf Knickung

Lehrbelspief: Knickung Im elastischen Bereich

Aufgabenstettung: O-OH

Die Kottmmtange eirtBr Wasserpumpe hat einen kreisformigan Quarsd^nin. Warkstoff: B2BB mit atnar zulassigen Oruckspannung von 98

I =1400 mm

^

Gegabane GroBan: f^80 kN; SIcharheitgagan Knicken v ~ 3,5 Gasucht: Kolbanstangandurchmassar d

Losung: a} Kolbanatangandurchmasser d: FK^

Bl3^

KnickkraftFK^Fv s = / (GrundfafI)

hrf^

hrf =. .,^ = Bn^ ,

5rd^

lo^-^^d^^

:—Li-

_-

£_ = 26,48 • 10* mm*

2,11Q5~^7t^ mm^ ^

4l64Ierf

4164-26,48- 10* mm* = 48,2 mm n

V-^= V

gawMhIt: d^50 mm (NormatmaB nach DIN 3)

b) Nachprufung das SchiankheitsgradasX: A =

s i

I I -

1400mm'4

.._

.

' ,^.

5(7 mm

Also war die Hechnung nach Bular richtig.

c) Spannungsnm^wamfOrdiaDruckspannungatjt: F 801(fiN4 ,^, W o<^vorH^^-^^,^^^^^-40,7^^^
^^

N

5 Festigkeitslehre

358

Lehrbeispiel: Knickung im unelastischen Bereich Aufgabenstelfung: E'm Hydraulikarbeftszytinder soil eine Kraft F = 100 kN aufbringen. Die freie Kmcklange betragts = / = 350 mm, Es ist dar Durchmasser dar Kolbanstange mit kraisformigem Quam:hmlt zu bastimman. Sicharheit gegan Knicken v- 5. WarkstoffE2m,

Losung: ^

Dia Knickkraft FK, dia dar Stab gerada noch aushak, soil sain:

EI^

FK=^Fv=:100kN-5

= 500kN

I ^^^ S00 10^N3.5^W^mm' J erf ~ -E~T = AI

64'2,955'

10^ mm*

''-=V^=V^

/ = . 64

. „ . ,^4 „„4 = 2,Boo • 10^ mm^

: 27M mm

gewahit: d = 30 mm Nachprufung das Schlankheitsgradas:

89

30 mm

d

Dia Rachnung nach Eular ist also unzulassig. Nachrachnung nach Tatmajar: Dak- 47 sehr wait im Tatmajar-Baraich liegt wird dar Durchmasser erhoht auf d - 35 mm. Dadurch wird ,

OK =

33$-0,^1

4'350 mm 35 mm

^^ N mm^

OK = 335 ~ 0r62 • 40 == 310,2

Dia vorhandene Druckspannurtgodvorh ist: F

100'10^ N'4

O^vorh^-I^

^^. o 35^ mrr^jt

OK

310,2

^vorh ' Odvorh

103,94

^^^^, =

N mm^ N

Nauer Schlankheitsgrad X -

•• 2,98
^^___ 45 mm

OK = 335- 0,62 -31,1^ 315,7 Odvorh ~

100' 10^ N'4 45^ mm^ '7t '

OK

315,7

^vorti = -

Odvorh Q2,88

N

103,94

62,m

d neu gawahtt: d-45

= 31,1

N mm^ N

N SSm^ = S^02 Die verlangte Sicharheit ist vorhanden.

mm

359

5.10 Beanspmchung auf Knickung

5.10.5 Knickung im Stahlbau 5.10.5.1 Vorschriften Die in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten Knickungsgleichungen gelten nicht fiir die Druckstabe im Stahlbau. Hier sind die Berechnungsverfahren und die dabei verwendeten Gleichungen in Normen vorgeschrieben.

Bis zum Erscheinen einer Europaischen Norm (EN) gilt fiir die Ausbildung von Druckstaben die Norm DIN 18 800 vom Nov. 1990. Diese ersetzt die DIN 4114 von 1953, in der fiir die Knickungsberechnung das so genannte Omegaverfahren vorgeschrieben

5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstaben Nach DIN 18 800, Teil 2, muss die so genannte Tragsicherheit nachgewiesen werden. Tragsicherheit besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabquerschnitts bei mittiger Druckbelastung die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung erfiillt ist. Die dazu erforderlichen Berechnungen enthalt der Arbeitsplan (AP) in 5.10.5.4.

F

^Pi

K

N

N

1

< 1 KR pl

Tragsicherheits-Hauptgleichung F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse Fpi Normalkraft im vollplastischen Zustand nach AP Nr. 8 K Abminderungsfaktor nach AP Nr. 6

5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel (Zugeschnittene GroBengleichung) Der Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800 ist nur moglich, wenn die geometrischen GroBen des Knickstabs bekannt sind (Querschnittsflache A und axiales Flachenmoment /). Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt (Profil) an oder verwendet die folgende Entwurfsformel zur Profilermittlung. Sie wird hier aus der fiir elastische Knickung giiltigen Eulergleichung entwickelt. Fiir die uberschlagige Querschnittsbestimmung nimmt man eine Sicherheit an, z. B. v = 3. Mit dem Elastizitatsmodul fiir Baustahl £" = 210000 N/mm^ und 10^ N = 1 kN fasst man die Konstanten zusammen und erhalt die Entwurfsformel.

Im Abschnitt 5.10.2 wird die Eulergleichung entwickelt: hrf

VFSK^ /erf =

/erf V F 5K E

'"

V

F

E

^K

mm"^ 1 N mm N/mm^

erforderliches axiales Flachenmoment Knicksicherheit vorhandene Druckkraft (Normalkraft) Knicklange Elastizitatsmodul (Tabelle 5.8) 3 • FsK^ 210000 Ji^

/erf > 1,5 • 10-'

FSy,'

I

F

SK

mm^ kN mm

Entwurfsformel

5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstaben Sind sowohl die Belastung F des Knickstabs als auch das Stabprofil bekannt, bestimmt man der Reihe nach die folgenden GroBen (siehe 5.10.6 Ubungen)

Gegeben: Stabprofil (z. B. IPE 200), Werkstoff (z. B. S235JR), Belastung F des Druckstabs(z. B. F = 50kN). Gesucht: Tragsicherheit

360

5 Festigkeitslehre

1. Knicklange 5K Die Knicklange ^K entspricht der freien Knicklange s in Abschnitt 5.10.2 (Eulerfall) und es gilt auch das Bild fur die Fuhrungsverhaltnisse mit den Fallen 1 bis 4 (siehe Seite 352).

^^K

SK=l^l

P /

mm 1 mm

fi Knicklangenbeiwert nach Bild in 5.10.2. Danach ist einzusetzen fur Fall 1 I Fall 2 I Fall 3 I Fall 4

P=2

Die Druckstabe in Fachwerken konnen in der Fachwerkebene oder rechtwinklig dazu ausweichen (ausknicken). Fiir das Ausweichen in der Fachwerkebene ist die Systemlange / der geschatzte Abstand der beiden Anschlussverbindungen an den Stabenden. Fiir das Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene ist die Systemlange / der Abstand der NetzHnien.

P=l

1 = 0,7 y^ = 0,5

^T Ausweich- j | richtung

-JEr Ausweichen in der Fachwerkebene

Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene

2. Schlankheitsgrad AK und Tragheitsradius i Der Schlankheitsgrad AK wird wie bei der Euler'schen Knickung in 5.10.2 (Seite 353) aus der Knicklange ^K und dem Tragheitsradius / berechnet. Der Tragheitsradius / ist die Wurzel aus dem Flachenmoment 2. Grades / und der Querschnittsflache A des Knickstabprofils. Die Betrage fiir das Flachenmoment / und die entsprechende Querschnittsflache A werden den Profilstahltabellen entnommen.^^

SK ^K

AK

/

^K

=

1

mm mm

/

/

A

mm mm"^ mm^

3. Bezogener Schlankheitsgrad ^K Der bezogene Schlankheitsgrad XK ist der Quotient aus dem Schlankheitsgrad >1K und dem Bezugsschlankheitsgrad Aa, der von den Festigkeitswerten E (Elastizitatsmodul) und R^ (Streckgrenze) des Profilwerkstoffs abhangt.

5"

>^K

*^ Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg, 20. Auflage

AK AK

1

1

K 1

5.10 Beanspruchung auf Knickung

361

4. Bezugsschlankheitsgrad k^ Der Elastizitatsmodul fur Stahl betragt E = 210 000N/mm^ die Streckgrenze R^ ist abhangig vom verwendeten Werkstoff des Knickstabs. Fiir die im Stahlbau haufig verwendeten Werkstoffe ergibt sich damit: Bei S235JR (RSt 37-2) mit R^ = 240 N/mm^ und einer Erzeugnisdicke t < 40 mm zu Aa = 92,9, bei S355J2G3 (St 52-3) mit R^ = 360 N/mm^ und einer Erzeugnisdicke t < 40 mm zu Xg^ = 75,9. In Klammem stehen die friiher gultigen Bezeichnungen fiir Baustahl.

k 1

E

R.

N

N mm^

miTi^

2a = 92,9 fur S235JR und r < 40 mm Aa = 75,9 fiir S355J2G3 und ^ < 40 mm

5. Ermittlung der Knickspannungslinien Den im Stahlbau verwendeten verschiedenen Querschnittsformen (z. B. U-, L-, T-Profile) sind so genannte Knickspannungslinien a, b, c, d zugeordnet. Sie werden Tabelle 5.4 entnommen. Ausftihrlichere Hinweise in DIN 18 800, Teil 2, Tabelle 5.

Beispiel: Einem Doppel-T-Profil mit den Werten h/b > 1,2 und Erzeugnisdicke t < 40 mm ist nach Tabelle 5.4 die Knickspannungslinie b zugeordnet, wenn das Ausknicken rechtwinklig zur };-Achse erfolgt. Die Werte fiir t (Steg- oder Ranschdicke) stehen in den Profilstahltabellen.^^

^^ Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg, 20. Auflage

5 Festigkeitslehre

362

6. Abminderungsfaktor K Bereich X^ < 0,2 K=

Bereich /IK > 3,0

Bereich AK > 0,2

1

1

1

k^^/k^- XY}

^K (>^K + a)

mit k--= 0,5[l+a(XK-0,2)+XK^]

7. Parameter a zur Berechnung des Abminderungsfaktors K Knickspannungshnie

a

b

c

J

a

0,21

0,34

0,49

0,76

8. Normalkraft F^\ Fpi ist diejenige Normalkraft, bei der im Werkstoff des Stabes vom Querschnitt A vollplastischer Zustand erreicht wird. Als WiderstandsgroBe wird die Streckgrenze R^ oder die obere Streckgrenze /?eH eingesetzt.

Fpi = R^A

^pl

N

A

R. N

mm^

/?e Streckgrenze, siehe Tabelle 5.8 A Querschnittsflache, siehe Tabellen 4.27-4.31 ^>

5.10.5.5 Zusammengesetzte Knickstabe Die Berechnungsgleichungen im obigen Arbeitsplan gelten fur mittig belastete einteilige Knickstabe. Dazu gehoren auch die aus mehreren Walzprofilen zusammengesetzten Knickstabe, wenn die Einzelprofile durch Nieten oder SchweiBen (nicht Schrauben) so verbunden sind, dass sie als einzelnes Bauglied angesehen werden konnen. Die Gleichungen gelten nicht fur Knickstabe, deren Querschnitt eine stofffreie Achse y—y hat.

-JL.

-X X - -If - ^ x4- -]-

- r " _K-

Futter - nicht durchlaufend

^^ Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg, 20. Auflage

5.10 Beanspruchung auf Knickung

363

Tabelle 5.4 Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen Ausknicken rechtwinklig zur Achse

Stab-Querschnittsfonnen

Hohlprofile

warm gefertigt

x—x y-y

kalt gefertigt

x—x y-y

^sis^

Knickspannimgslime

-I.

-»-j-§-^ ^^s^ ^>D/10

geschweiBte Kastenquerschnitte

JC—JC

y-y

^^^^^s:^

dicke SchweiBnaht und hjh < 30 hy/ty < 30

s ^^^ ^^^ ^

gewalzte I-Profile

h/b>

1,2

r <40mm

h/b> h/b<

1,2 1,2

40
t > 80 mm

x—x y-y

x—x y-y

JC—JC

y-y

JC—JC

y-y

geschweiBte I-Querschnitte (tn = t,tut2)

tn < 40 mm ,

y

X

H

y

X

tn > 40 mm

gewalzte Profile und Vollquerschnitte

14-^

x—x y-y

JC—JC

c

y-y

d

JC—JC

y-y

•

364

5 Festigkeitslehre

Tabelle 5.5 Zulassige Spannungen im Stahlhochbau a) Zulassige Spannungen in N/mm^ fiir Bauteile Wericstoff

^^^^^W-:m

iillclillilipi-

S355

S235

:E360

Lastfall*>

H 140

HZ 160

H 210

HZ 240

H 410

HZ 460

Zug und Biegezug, Biegednick, wenn Stabilitatsnachweis nach DEV 18800 erforderlich ist

160

180

240

270

410

460

Schub

92

104

139

156

240

270

Druck und Biegednick, wenn Stabilitatsnachweis nach DIN 18800 erforderlich ist

b) Zulassige Spannungen in N/mm^ fiir Verbindungsmittel Passschrauben (DIN 7986)

Niete (DIN 124 mid DIN 302) Ust36-1 RSt44-2 fur Bauteile far Bauteile aus S235 attsS355

Sf^muiiigsait

4.6 fiir Bauteile ausS235

1

5.6

|

fur Bauteile aus S355

Lastfall*^

HZ 1 H

H

HZ

H

HZ

H

HZ

r^ zui

140

160

210

240

140

160

210

240

Lochleibungsdruck

oi zui

280

320

420

480

280

320

420

480

Zug

C7z zui

48

54

72

81

112

112

150

150

Abscheren

Tabelle 5.6 Zulassige Spannungen im Kranbau fiir Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel a) Zulassige Spannungen in N/mm^ fiir Bauteile Werkstoff

S235

Spaainmgsart

1

S355

Lastfall»>

Zug- und Vergleichsspannung Druckspannung, Nachweis auf Knicken Schubspannung

H 160 140 92

HZ

H

180 160 104

240 210 138

HZ 270 240 156

AuBer dem allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der FlieBgrenze ist fur Krane mit mehr als 20000 Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich veranderlichen, haufig wiederholten Spannungen fiir die Lastfalle H zu fiihren. Zulassige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis siehe Normblatt.

b) Zulassige Spannungen in N/mm^ fiir Verbindungsmittel Passschraubeia (DIN 7986) 4,6 fUr Bautiele aus S235

Spanmingsart

5.6 fllr Bauteile ausS355

Rohe Schraubiin (DIN 7900) 5,6 4.6 fiir Bauteile fUr Bauteile aus S355 aus S235

Niete (DIN 124) riir Bauteile aus S235

Lastfall*>

1

H

HZ

84 112

96 128

180

210 280

240 320

154

30 30

30 30

Abscheren

einschnittig zweischnittig

84 112

96 128

126 168

144 192

70

80

H 70

HZ 80

Lochleibungsdruck

einschnittig zweischnittig

210 280

240 320

315 420

360 480

160

180

160

Zug

einschnittig zweischnittig

100 100

110 110

140 140

154 154

100

110

140

H

HZ

H

HZ

H

HZ

^^ Einteilung nach DIN 18801 in Haupdasten (H), Zusatzlasten (Z) und Sonderlasten (S). Haupdasten (H) sind alle planmaBigen auBeren Lasten und Einwirkungen, die nicht nur kurzzeitig auftreten wie standige Last, planmaBige Verkehrslast, Schneelast, sonstige Massenkrafte. Zusatzlasten (Z) sind alle iibrigen bei der planmaBigen Nutzung auftretenden Lasten und Einwirkungen wie Windlast, Bremslast, SeitenstoBlast, nur kurzzeitig auftretende Massenkrafte, Warmewirkung. Sonderlasten (S) sind nicht planmaBige mogliche Lasten und Einwirkungen aus moglichen Baugrundbewegungen.

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

365

5.11 Ziis^nunengesetete Beanspruchung 5.11.1 Zug und Biegung Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge kann man sich Klarheit iiber das innere Krafte- und Spannungssystem verschaffen und die Spannungsgleichungen herleiten. Wie gewohnt, wird ein Schnitt x—x an eine zweckmaBige Querschnittsstelle gelegt und bringt dort dasjenige innere Kraftesystem an, durch das der Restkorper wieder ins Gleichgewicht gesetzt wird. Schraubzwinge

Aus der Kraft-Gleichgewichtsbedingung 2Fy = 0 ergibt sich als innere Kraft die Zugkraft F^ und aus der Momentengleichgewichtsbedingung das Biegemoment Mb. Die innere Kraft F^f (Normalkraft) ruft im Querschnitt x—x die gleichmaBig verteilte Zugspannung Oz = F^/A hervor (Zug-Hauptgleichung). Durch das innere Biegemoment Mb entsteht im Querschnitt x—x das bekannte System der Biegespannung, aufgebaut aus den Unear verteilten Zug- und Druckspannungen (Biege-Hauptgleichung). Im symmetrischen Querschnitt sind die GroBtwerte beider Normalspannungen gleich groB, also (Jbz = cJbd = cTb = Mb/W.

2Fy = 0 =

Inneres Kraftesystem FN

- F ^

FN

= F

SM(sp) = 0 = Mb - F / ^ Mb = F /

|:.|:|||p;.|||gp|||| Querschnittshohe

h

GleichmaBig verteilte Zugspannung

o% =

Linear verteilte Biegespannung

Sowohl Zug- als auch Biegebeanspruchung ergeben Normalspannungen a (rechtwinklig auf der Schnittflache stehend), die wie parallele Krafte addiert und subtrahiert werden konnen. Tragt man an die Spitzen der Biegespannung die Zugspannung richtungsgemaB an, erhalt man das Bild der Gesamtspannung (resultierende Spannung). Aus dem Bild der Gesamtspannung lassen sich nun leicht die Beziehungen fiir die resultierende Zug- und Druckspannung ablesen. Beide miissen gleich Oder kleiner als die zugehorige zulassige Spannung sein.

Bild der resultierenden Spannung

<7iesZug = <^bz +
5 Festigkeitslehre

366 Manchmal ist es zweckmaBiger, die Biegespannungen abz und abd nicht mit dem Widerstandsmoment W, sondem mit dem axialen Flachenmoment 2. Grades / zu bestimmen. Das gilt vor allem bei unsymmetrischen Querschnitten mit unterschiedlichen Randfaserabstanden e (siehe 5.9.5). In beide Gleichungen wurde fiir das Biegemoment M\y = Fl eingesetzt.

Mb^i Ohz •

Flei

I

^~T~

Mbg2

_Fle2

_ Flei

F

Ores Zug — —Z

H — < CTz ^xX

Fle2

F ^

OK& Dnick = —J

— < ^ d zul

/

Wie das Bild der resultierenden Spannung zeigt, ist die spannungsfreie Faserschicht um den Betrag a nach links verschoben. Aus der Ahnlichkeit der schraffierten Dreiecke erhalt man eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung fiir die VerschiebungsgroBe a weiterentwickelt werden kann. Aus dem Spannungsbild erkennen man weiter, dass die VerschiebungsgroBe a ein Kriterium fiir die Spannungsverteilung ist.

a

e

Oz

CTbz

A

Oj^

—=— ^ a—— e abz

¥ Mb Fie . o^=- und Obz=-777 = -y- eingesetzt: A W I

_ Fl _I/A_i2_ ""'AFTe^'T'l

a > e bedeutet, dass nur Zugspannungen auftreten a < e bedeutet, dass sowohl Zug- als auch Druckspannungen auftreten

5.11.2 Druck und Biegung Im Prinzip unterscheidet sich diese Beanspruchung von der vorangegangenen nur dadurch, dass sich hier der Biegespannung 0\y nicht eine Zugspannung a^, sondem die Druckspannung ad iiberlagert. Wieder erhalt man das Bild der resultierenden Spannung, indem an die Spitzen der Biegespannung richtungsgemaB die iiber dem Querschnitt konstante Druckspannung angetragen wird. Die resultierende Druckspannung ciresDruck ergibt sich ebenso wie die resultierende Zugspannung ^res Zug nach dem Spannungsbild wieder als Summe Oder Differenz der beiden Normalspannungen. 1st die Stablange eines auf Druck und Biegung beanspruchten Bauteils groB im Verhaltnis zum Querschnitt (schlanker Stab), dann muss auf Knickung nachgerechnet werden.

e

...

e _ t? N

I I I \Jt]\ ^i/^^ T3

to"

#

1 1 l/i « X

k1 4 / I AX

o-

o"

.J

Nulllinie

1

1! ^1

Bild der resultierenden Spannung

Ores Druck = <^hA -^^ O^ < O^ zul

O^rcs Zug = <^hz —0^<0x

Fie F_ Fie I

F A

zul

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

367

5.11.3 Ubung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen An einem Trager aus IPE 160 ist ein 12 mm dickes Knotenblech angeschweiBt, das die Zugkraft F in den Trager einleitet. Wie groB darf diese Zugkraft im Hinblick auf den Querschnitt A—B des Tragers hochstens werden, wenn ^zzui = ^dzui = 120N/mm^ nicht uberschritten werden darf?

4-1

SP

I

Mit der Vorstellung vom inneren Kraftesystem ist es leicht, das Bild der resultierenden Spannung zu skizzieren, wenn man zuerst den Verlauf der Biegespannung zeichnet und darauf die konstante Zugspannung aufsetzt. Allerdings weiss man noch nicht, ob die VerschiebungsgroBe a tatsachlich kleiner ist als der Randfaserabstand e. Das wird erst die Rechnung erweisen.

Die Frage, ob die VerschiebungsgroBe a groBer Oder kleiner als der Randfaserabstand e ist, wird durch die Rechnung a = i^/l schnell geklart. Da hier tatsachlich a < e ist, muss neben CTres zug noch cTres Druck auftreteu. Die resultierende Zugspannung (JresZug ist groBer als die resultierende Druckspannung aresOmckFolglich geht man von der Beziehung Ores Zug = ^ z + CTbz < O^ zul

aus, schreibt sie in der erweiterten Form und entwickelt daraus eine „gleich-kleiner-Beziehung" fiir die Zugkraft F. Das Ergebnis sagt aus, das die Zugkraft F immer unter 93 079 N bleiben muss, wenn o^ zui nicht uberschritten werden soil.

I

IPE 160

Losung: Wie gewohnt wird der abgeschnittene Restkorper durch das innere Kraftesystem wieder ins Gleichgewicht gesetzt. Als inneres Kraftesystem erscheint die Zugkraft F^ = F und das BiegemomentMb = Fl.

In der Formstahltabelle fmden sich alle fiir die weitere Rechnung notigen GroBen, wobei vor allem darauf geachtet werden muss, dass das richtige Flachenmoment 2. Grades abgelesen wird, hier also/x.

B s = 12mm

h = 160mm

Inneres Kraftesystem

tierenden Spannung

h = 869 cm'* = 869 • 10^ mm^ A = 20,1 cm^ = 20,1 • 10^ mm^ Tragheitsradius / = 6,58 cm = 65,8 mm Randfaserabstand ^ = 80 mm

i^

r (65,8 mm) ^ If 86 mm "^2 a = 50,3 mm < e = SO mm

F

Fie

- + —r < Oz zul A I (\ le\ C^zzul

F< - 1

le

120mnv^ :93079N F< 86 mm • 80 mm 1 -T + 2010 mm2 869 • 10^ mm^

5 Festigkeitslehre

368 Zuerst wird die Zugspannung az, dann die Biegespannung abz = cTbd = ^b berechnet. Beide setzt man zur resultierenden Spannung zusammen und vergleicht diese Betrage mit der angegebenen zulassigen Spannung. Fiir die Zugseite ist das zugleich eine Kontrolle der Kraftberechnung, denn nur bei richtiger Rechnung kann sich o'res Zug = ^z zui = 120 N/mm^ ergeben. Die resultierende Druckspannung aresOmck erhalt man nach dem Spannungsbild als Differenz von Biege- und Zugspannung (Ores Dmck = o^ - Oj).

F

93 079 N -A6,Z2010 mm2 " Fie

Ohz = <7bd

^^~

93 079 N-86 mm-80 mm 869 • 104 mm4

Ohz = ^bd = 7 3 , 7

T

mm^ O^res Zug

CTz + a b z -

^res Zug

N 120mm^

(46,3 + 73,7)= Oz zul

7res Druck = ^bd - O^ = ( 7 3 , 7 -

46,3)

Aidgaben Nr. 927-938 :27,4-


mm^ N

5.11.4 Biegung und Torsion 5.11.4.1 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung a^ Wellen sollen Drehmomente ubertragen, z. B. vom Elektromotor uber ein Zahnradpaar auf eine zweite Getriebewelle. Neben der dadurch hervorgerufenen Torsionsbeanspruchung tritt aber auch noch Biegung auf. Der Querschnitt einer Welle hat demnach sowohl Normalspannungen (Biegespannung a^) als auch Schubspannungen (Torsionsspannung rt) aufzunehmen. Wahrend die Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt steht, liegt die Schubspannung im Querschnitt. Eine einfache Addition beider Spannungen — wie bei Biegung und Zug/Druck — ist hier nicht moglich. Da beide Spannungsarten rechtwinklig aufeinander stehen, konnte man auf den Gedanken kommen, sie wie zwei Krafte geometrisch zu einer resultierenden Spannung ares — \/o^ + r^ zusammenzusetzen. So einfach geht das schon deshalb nicht, weil der Werkstoff gegeniiber einer Schubspannung anders reagiert als gegeniiber einer Normalspannung (vergleiche Schub- und Elastizitatsmodul, Seite 385).

Motordrehmoment

M

Radialkraft F^ wirkt biegend

Krafte und Momente in Bezug auf die obere Getriebewelle

beliebiger Querschnitt 1 zur Wellenachse = \/a2 Welle -

+

T2?

369

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung Alle Festigkeitshypothesen zur Losung dieses Problems laufen darauf hinaus, mit Hilfe einer so genannten Vergleichsspannung Oy die gemeinsame Wirkung der beiden ungleichartigen Spannungen zu erfassen. Die Vergleichsspannung wird auch ideelle Spannung genannt. Hier wird mit der Vergleichsspannung nach der Hypothese der groBten Gestaltanderungsenergie gearbeitet, weil sie mit Versuchsergebnissen gut iibereinstimmt. Die geometrische Addition beider Spannungen nach der vorherigen Uberlegung ist noch erkennbar. Der bei Tt stehende Faktor ao heiBt Anstrengungsverhdltnis. Es ist abhangig von den Grenzfestigkeitswerten fiir den betreffenden Werkstoff. Fiir Wellen aus Stahl ist das Verhaltnis der zulassigen Spannungen in Abhangigkeit vom jeweiligen Belastungsfall annahemd bekannt, so dass man die angegebenen Werte fiir ao einsetzen kann. Der Begriff Belastungsfall wird im Abschnitt 5.12.3.3 erlautert.

Hinweis: Bekannt geworden sind vor allem die Dehnungshypothese, die Schubspannungshypothese und die Hypothese der groBten Gestaltanderungsenergie.

o^ = y cTb^ + 3{aQTtf < abzui

Anstrengungsverhdltnis

Oh Gteitz 00

=

ao == 1 ctQ = 0,7

wenn 0\y und Tt im gleichen Belastungsfall wirken wenn db wechselnd (III) und tt schwellend (II) wirkt (Hauptfall bei Wellen, weil die Randfasem wahrend jeder Wellenumdrehung einmal unter +ab und einmal unter —0\y stehen.

5.11.4.2 Vergleichsmoment My Fiir Wellen mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt lasst sich die Gleichung fiir die Vergleichsspannung weiter entwickeln. Dazu werden fiir die Spannungen ab und Tt entsprechend den zugehorigen Hauptgleichungen, die Quotienten aus dem Kraftmoment und dem Widerstandsmoment eingesetzt. Die Gleichungen fiir axiales und polares Widerstandsmoment bei Kreis- und Kreisringquerschnitten zeigen, dass das polare Widerstandsmoment Wp doppelt so groB ist wie das axiale Widerstandsmoment W(Wp = 2W), so dass im Nenner der Torsions-Hauptgleichung W^ durch 2W ersetzt werden kann.

o-v =- V o-b^ + 3(aoTt) Mb

Ml

MbV, CTv

Mj

/

MTV

w) ^T'^)

Beispiel: Fur den Kreisquerschnitt ist W= ^ 32

und

Wp = —— also auch Wn

2 . ^ = 2W 32

5 Festigkeitslehre

370 Das Quadrat des Widerstandsmomentes lasst sich unter der Wurzel ausklammem und dann als \/W vor die Wurzel schreiben. Bringt man das Widerstandsmoment W nun noch auf die linke Seite der Gleichung, dann erhalt man dort das Produkt OyW. In Anlehnung an die Bezeichnung in der Biege-Hauptgleichung (Biegemoment Mb = 0\yW) wird hier das entsprechende Produkt als Vergleichsmoment My bezeichnet.

a v = —yMb2+-(aoMT)^ o^W = ^Mb2+0,75(aoMT)^ My = sjuyp- + 0,75(aoMTf

Das Vergleichsmoment My lasst sich auch zeichnerisch bestimmen (rechtwinkliges Dreieck, Lehrsatz des Pythagoras), wenn man beachtet, dass 0,8662ao^MT^ = 0,75 {a^M^f ist. Entsprechend der Biege-Hauptgleichung schreibt man Oy — My/W < abzui und entwickelt daraus mit W = 0,1J^ eine Gleichung fur den erf orderlichen Durchmesser einer Welle mit Kreisquerschnitt. Ebenso kann man bei Kreisquerschnitt verfahren und Werf = M v / a b z u l

qschreiben, wenn man q = djd setzt. Auf diese Weise erhalt man auch fiir den Kreisringquerschnitt eine Gleichung fiir den erforderlichen Aussendurchmesser d.

Vergleichsmoment

Zeichnerische Bestimmung des Vergleichsmomentes My

derf

My

ded

mm Nmm gilt fiir Kreisquerschnitt

O'bzul

N mm^

My rferf =

0,l^e'rf(l

gilt fiir Kreisquerschnitt mit: Innendurchmesser di AuBendurchmesser d

5.11.4.3 Ubung zu Biegung und Torsion Der gefahrdete Querschnitt einer Getriebewelle (Kreisquerschnitt) wird durch ein Biegemoment und ein Torsionsmoment beansprucht. Daraus sollen Vergleichsmoment und Wellendurchmesser bestimmt werden. Fiir das Anstrengungsverhaltnis wird ao — 0,7 eingesetzt (siehe Seite 369). M, =

Losung: Die Losung macht keine Schwierigkeiten, well hier nur mit den entwickelten Gleichungen zu arbeiten ist.

= 4 1 6 Nm = 200 Nm Oh zui = 60 N/mm^, gewahlt ao = 0,7 My und d

MT

Gesucht:

yjMh^+0,15{aoMjf

My = y ( 4 1 6

103Nmm)^ -h 0,75(0,7 • 200 • 10^ Nmm)^

My = 43,3 • 10"^ Nmm 4rf =

Aiifipbai Nn 939-949

Gegeben: Mb

Mv '0,labzui

^erf = 41,6 mm

433 • 103 Nmm N M 0,1-60 ^ausgefuhrt = 42 mm (NormmaB)

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung

371

Lehrbeisp'tef: Berechnung einer Getriebewelle Aufgabenstellung: Ein Getriebe mk GeradkahnStlmradem (BlngrW^mnkel a = ^ } soil eine Gesamtubersetzung

^

n4

n = 960 min

48 m/n"^

durch zwei Zahnradpaare ermoglichen. Die Entwurfsi)erechnttng ergab die Teiikreisdufchmesser:

dj= d2 = d!s= d4 =

48 mm 240 mm 72 mm 28B mm

ii = S 12^4

Getriebeskizze

Es wird die Aufgabe ges^lit, den Durciimesser fur die Getriebeweiie il festzuiegen, fur die WerkstoffE33B verwendet werden $oiL Da der Wirkungsgrad ij fur Zahnradgetriebe sehr gut ist (hier etwa n ^ OrBSh kann er bei featigkeitsrecitnungen unijerucksiciitigt bieiben.

Losung: Die zu utmrtragerfden Orehmomente konnen aus gegebener Antriebsleistung P~8kW drehzabi n = WO min" ^ berechnet werden.

h4, = 9550-

-• ^550 ^Nm = 79,583 Nm 960 Mn =r M/i, = 79,583 Nm-S^ 397,915 Nm

n

Mm = Mff/2 = 397,915 Nm4^

Fu

und Antriebs-

1591,66 Nm

"tsitvi:

Aus den errecbneten Orehmomenten ergeben sich dh Umfangskrafte am Teiikreisumfang:

M*

M^f^-

"^

d2

240 mm

*"

da

72 mm

Die Umfangskrafte fu2 und Fus sind Komponenten der in Eingri^richtung auf die Zabne wirkenden ZahnkrMfte F2 und F$. Der Eingriffswinkel tmtragt a = 20°.

^^m

des Emgr^

Rml4 Fv3 veti^td&eft

Em^c^sB^^^

372

5 Festigkeitslehre

Beachte: F3 1st die von Bad 4 aufRad 3 ausgeubte Kraft. Die Kraftrichmngen nach dem Gefuht prufen: Zahnrad 2 muss von Bad f nach unten, Bad3dage9envonBad4nachobengedrucktwerden.

h^

fu2 cos a

3316 N

Fs^

11053N ^u3 = 1UB2N cosa COS20''

cm2(f

= 3S2B N

Diese;^hnekrafteF2 undFs beanspruchen die WelleIIaufVerdrehungundBiegung: Manbringtm den BadmmelpunktenJezweiKrafte F2 bzw. F3 an (zweite und vierte statische GwndoperationK danh ^rmbtstchjeeinKrmepaar{DrehmomentM„)undeine£in2elkraft(BiegekraftF2 undFs). Radi Kri^paar

Bmg^(mnF^ Ra(i2

Die Kraftepaare ergeben Momenta, die gleich gro& sind und sich entgegenwirken: +Mu~Mn = 0; WelleIIwirddavon auf Verdrehungbeansprucht DieKomponenten F^ undFy d r Biegekrafte Fz und F3 sind aus dem Krafteck abzulesen: Fzy^FsSlniO"" =:^

3529 N sin 40"" ^

2268 N

Fix ^F2 cos 40^=^ 3629 N cos 40° == 2703 N F$y ^Fs sin 2(P ^11762 N sin 20"" ^

4023 N

Fsx = Fs cos 20^ =^ 11762N<x)s 20"" = 11063 N

OieperspektivischeBelastungsskizzegibtAufschlussQberdie Weiterentwicklung der Bechnung: i^mA

RQ02

373

5.11 Zusammengesetzte Beanspmchung

Man bestimmt nun die Stutzkraft-Komponenten FAX^ FAY, FBX, FBY mit HItfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen {aus Platzgrunden kann hierSM ~ 0 nicht ausgeschrieben warden):

senkrechte Bbene

waagerechte Ebene

IM{ Fsy' 200 mm + F2y80 mm ^ ~ 280 mm FBy--2220N

F2x' ^ fnm + Fsx • 200 mm FBX--

2^ mm

FBX^^N

ZFy = 0-^^-FAy-F2y~F3y^ Fsy

XFjf = 0 = -¥FAX --FSX - FSX-^ FBX

FAy=-471N

Die Komffmnenten werden geometrisch addiert: FA = ^/FAX^ + FAY^ - y/50892 N^ + 471^

fa = yJpBx^ + V

= V^7^

N^^SIIIN

m + 2226^ N^ = m48 N

Zur BmiMung der gro$ten B'legebeanspruchung werden fiir die beiden Ebenen die MomentenMchen gekennzehhnet und lu einer resuftierenden MomentenMche geometrisch addiert.

geometrisctm AddtSon

fsy - Foy • 80 (Tint ^i7*8'10*Nmm

Die gro&te Biegebeanspruchung ist also bei Had 3 vorhanden. Mb max = Mns3 = \JMsx^ + M^y^

Mbmax = y/{^,3

• to* Nmmf

Mb max = 7h55

10* Nmm

+ (17.8 • 10^ Nmmf

5 Festigkeitslehre

374

Die Welle n wird Mm Bad 3 also beansprucht durch das Blegemomant Mb max = 71,55 • W* Nmm und das Torsionsmoment Mr -39,79- 10* Nmm. Weil das Torsionsmoment Mr = Af// in der Welle II von Had 2 bis Bad 3 konstant ist, ergibt sich der gefahrdete Querschnitt im Punkt der gro^ten Biegebeansprmhung, also beiBad 3. Das resultierende Moment My aus Siege- und Torsionsbeanspruchung {= Vergleichsmoment) betragt:

My = SJM^^ + QJS(aoMrf Bet gleichbleibender Drehrichtung tiegt wechselnde Siege- und schweilende Torsionsbeanspruchung vor, alsoaQ = 0,7 My = iJ{7h5B • 10* Nmmf + OJS(OJ - 39J9 • 10* Nmmf My =^ 75,51' 10* Nmm Nach Abschnitt 5.11A,2 IMsst sich das Vergleichsmoment My auch zeichnerisch bestimmen. Beachte: 0,866 ao - Mr = 0,866 - 0,7 - Mr = 0,606 Mr. Nmm Momentenma&stab MM = 15 • 10* cm (1cm ^15'10* Nmm)

Brgebnis: My^5cm'15'

ro*^^^^r^75' 10* Nmm

Mitdem Vergleichsmoment My und der zulassigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser bestimmtwerden: My ^

W = 0,1d^ fur Kreisquerschnitt eingesetzt und nach d aufgeldst: derf


^0,1oi 10b2Ul

N

gewahlt

75,51 10* Nmm

N

0,1-80

~W

d^^ = 45,53 mm;

d^46 mm gewahlt (NormmaB)

375

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit

5«12 Fasitiigkeit^ zulassige Spanning, Sicherheit 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm Beim Zugversuch nach DIN EN 10002 wird eine Zugprobe allmahlich verlangert und die dabei von der Zugpriifmaschine angezeigte Zugkraft F ermittelt. Aus der Zugkraft F wird die auf den Ausgangsquerschnitt AQ bezogene Zugspannung az — F/AQ berechnet. Ebenso aus der Langenanderung A/ die auf die Messlange /Q bezogene Dehnung £. Zu jeder berechneten Spannung gehort ein bestimmter Dehnungswert. Tragt man die Spannung a uber der Dehnung e in ein rechwinkliges Achsenkreuz ein, dann erhalt man das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Bis zum Punkt E verhalt sich Stahl elastisch. Der zugehorige Festigkeitswert ist die Elastizitdtsgrenze o^. Bei anschlieBender Entlastung ist keine bleibende Dehnung festzustellen. Bis zum Punkt P ist der Spannungsanstieg geradlinig, also gilt bis zur Proportionalitdtsgrenze a? das Hooke'sche Gesetz a = eE. Der Elastizitdtsmodul E erscheint im schraffierten Dreieck als Tangens des Neigungswinkels der Spannungslinie (tan cp = E). Die den Punkten P und E entsprechenden Festigkeitswerte (Proportionalitats- und Elastizitatsgrenze) sind nicht leicht zu bestimmen. Anders dagegen ist es mit Punkt S {Streckgrenze RQ). Er ist durch einen plotzlichen Spannungsabfall deutlich markiert (jedenfalls bei weichem Stahl) und erscheint in alien Festigkeitsangaben. Die Streckgrenze ist der wichtigste Festigkeitswert bei statischer (ruhender) Belastung. Den eigentumlichen Zustand des Spannungsabfalls bei fortschreitender Verlangerung des Stabes nennt man Fliefien des Werkstoffes. Es gibt Werkstoffe ohne erkennbare Streckgrenze (z. B. legierte Stable). Als gleichwertigen Ersatz ermittelt man ftir diese Werkstoffe die 0,2 %Dehngrenze und nennt die dort wirkende Spannung/?p 0,2.

Verlangerung A/ Dehnung e = Urspmngslange fo

_M_l-k

A/, /, /o

Spannungs-Dehnungs-Diagramm fiir Stahl (schematisch)

Zusammenfassung der Festigkeitswerte fiir Zugbeanspruchung (Tabelle 5.8, Seite 383): 1 von geringerer OE Elastizitatsgrenze Op ProportionaUtatsgrenze J Bedeutung /?e Streckgrenze, wichtigster Kennwert, fiir S235JR z.B.R^ = 220 N/mm^ /?ni Zugfestigkeit fiir S235JR z.B.Rm> 340N/mm2

^po,2 0.2 %-Dehngrenze ist die Spannung, bei der nach Entlastung der Zugprobe eine bleibende Dehnung E = 0,2 % zunickbleibt.

5 Festigkeitslehre

376 5.12.2 Einfliisse auf die Festigkeit des Bauteils 5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit Die verschiedenen Beanspruchungsarten (Zug, Abscheren, Biegung usw.) rufen in den Bauteilen Spannungen verschiedener Richtung (Normal- und Schubspannungen) hervor. Auch die Spannungsverteilung iiber dem Querschnitt ist z. B. bei Zug und Biegung verschieden, so dass es einleuchtet, dass die Festigkeitswerte fiir die einzelnen Beanspruchungsarten zum Teil recht unterschiedlich sind. Den erheblichen Unterschied zwischen Zug- und Druckfestigkeit bei Gusseisen erklart der Gefiigeaufbau: Die zwischen den Komgrenzen Uegenden Graphitteilchen vermindem bei Zugbeanspruchung den Zusammenhang der Komer, wahrend sie bei Druck mittragen. Stahl halt im Gegensatz zu Gusseisen bei Zugund Druckbeanspruchung gleich viel aus. Andere Festigkeitswerte werden von der Art der Beanspruchung beeinflusst. So andert sich beispielsweise die Streckgrenze bei E295 in folgender Weise: /?e bei Zug = 280 N/mm^ /?e bei Biegung = 350 N/mm^, /?e bei Verdrehung = 190 N/mm^.

Beispiel: Die Zugfestigkeit R^^ von GJL-200 bei Raumtemperatur betragt (siehe Tabelle 5.9): Zw^festigkeit R^ =200N/mm2, DrMc/rfestigkeit adB = 720 N/mm^, fi/egefestigkeit 0\,^ = 290 N/mm^.

O^^A'Rri,

(gilt nur fur GJL)

Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte ist die Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion) zu beriicksichtigen.

S.122.2 Temperatur und Festigkeit Bei hoherer Temperatur als 20 °C wird die Festigkeit des Werkstoffs vermindert. Zum Vergleich die Streckgrenzwerte fur GJMW-400-5: /?ebei 20 °C = 220 N/mm^ /?ebei200°C= ISON/mm^, /?e bei 300 °C = 140 N/mm^.

Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte ist die Temperatur zu berucksichtigen.

5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit Die Festigkeit eines Bauteils ist nicht nur von der Beanspruchungsart wie Zug, Verdrehung usw. abhangig; sie wird auBerdem sehr stark beeinflusst durch die Belastungsart, d. h. durch den zeidichen Verlauf der jeweils voriiegenden Spannung.

Beachte: Man unterscheidet drei idealisierte Belastungsfalle: ruhende, schwellende und wechselnde Belastung (Fall I, II und III).

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit a) Ruhende (statische) Belastung Wird ein Blechband nach Skizze im Schraubstock in eine Richtung gebogen und doit festgehalten, liegt festigkeitstechnisch „statische" oder „ruhende" Belastung vor. Die Spannung o steigt dabei von null auf einen Hochstwert an und bleibt dann gleich groB. Diese Belastungsart wird als Belastungsfall I bezeichnet. Er kann bei jeder Beanspruchungsart auftreten (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Man unterscheidet in der Zustandsbeschreibung zwischen Belastung und Beanspruchung. Fiir Festigkeitsrechnungen maBgebend ist die im Zugversuch nach DIN 10020 ermittelte Streckgrenze R^ oder die fiir festere Stahlsorten entsprechende 0,2 %-Dehngrenze /?po,2 (siehe 5.12.1) und Tabelle 5.8. b) Schwellende (dynamische)

377

Belastungsfall I (T)

0'

Spannung bleibt

gleich

Zeit

Belastungsart ruhend

Belastung

Wird das Blechband fortwahrend in eine Richtung gebogen und von dort in die Ausgangsstellung zuriickgefiihrt, ist das „schwellende" Belastung. Die Spannung a schwillt dabei zwischen null und einem Hochstwert an und ab. Die Zeitdauer einer solchen Schwingung ist festigkeitstechnisch ohne Einfluss.

Belastungsfall II ^ 1 Spannung schwillt an ' ^/ und fallt wieder auf null

0^

Zeit

Belastungsart schwellend

Diese Belastungsart ist als Belastungsfall II bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart auftreten. Fiir Festigkeitsrechnungen an dieser Weise belastet werden, schwingversuch nach DIN Schwellfestigkeit asch oder (Werte in Tabelle 5.8). c) Wechselnde (dynamische)

Bauteilen, die in ist die im Dauer50100 ermittelte Tsch maBgebend

Die Schwellfestigkeit ist diejenige Spannung, die ein schwellend belasteter, glatter, polierter Probestab cUm^md erti%t, ohne zu brechen.

Belastung

Wird das Blechband fortwahrend in entgegengesetzte Richtungen gebogen, ist das „wechselnde" Belastung. Ebenso wie die Belastung F wechselt die Spannung o ihre Richtung zwischen gleich groBen Plus- und Minuswerten. Auch hier ist die Schwingungsfrequenz festigkeitstechnisch ohne Einfluss. Diese Belatungsart ist als Belastungsfall i n bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart auftreten.

Belastungsfall

III

Spannung wechselt die Richtung

Druck Druck

Balastungsart wechselnd

5 Festigkeitslehre

378 Fur Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch nach DIN 50100 ermittelte Wechselfestigkeit aw oder rw maBgebend (Werte in Tabelle 5.8). Wie Tabelle5.8 zeigt, ist die Wechselfestigkeit immer kleiner als die entsprechende Schwellfestigkeit: Ein wiederholt bin- und her gebogenes Bauteil bricht nach einer geringeren Anzahl Lastwechsel als ein schwellend belastetes.

Die 'Wcchsc\festigk£it ist diejenige Spannung, die ein wechselnd belast^er, glatter, poliater Probestab dauemd ertt^gt, ohne zu brechen.

5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit Die Festigkeitswerte asch, ^Sch, CTW, rw aus dem Dauerschwingversuch nach DIN 50100 werden mit dem Sammelbegriff „Dauerfestigkeit ap, TD" bezeichnet. Man ermittelt sie an glatten, polierten Staben mit einem Durchmesser von 7 bis 15 mm, am haufigsten als Biegewechselfestigkeit (JbwSoUen die an Probestaben gemessenen Festigkeitswerte auf Bauteile anderer GroBe, Form und Oberflache tibertragen werden, ist noch zu beachten: a) Grofie und Dauerfestigkeit Die Dauerfestigkeitswerte nehmen vor allem bei Biegebeanspruchung mit steigendem Durchmesser ab. Bei GroBteilen muss also mit kleineren Werten gerechnet werden. b) Form und Dauerfestigkeit Die meisten Bauteile weichen von der Form des Probestabs ab, hauptsachlich durch Kerben jeder Form. Im erweiterten Sinn ist jede schroffe Querschnittsanderung eine Kerbe. Die Kerbe ruft im Querschnitt ortliche Spannungsspitzen hervor. Messungen zeigen, dass die Spannungsspitze im Kerbgrund ein Mehrfaches der rechnerischen Spannung betragen kann. Die rechnerische Spannung heiBt Nennspannung o^. Die Spannungsspitze wird umso groBer, je spitzer die Kerbe ist; jedoch tritt nicht bei alien Werkstoffen die Spannungserhohung in gleichem MaB auf. Hochlegierte und gehartete Stable sind am kerbempfmdhchsten, Gusseisen und viele Leichtmetalllegierungen sind wenig kerbempfmdlich.

Beispiele (siehe Tabelle 5.8): (7bSch,E335 =430N/mm2 TtSch,E295 = 190N/mm^ c^zW,E360 =250N/mm2 7tw,s235JR = 115N/mm2

Beachte: Die Beanspruchungsart wird mit kleinem, die Belastungsart mit groBem Buchstaben gekennzeichnet.

Beispiele: 10 % weniger 20 % weniger 30 % weniger 40 % weniger

bei bei bei bei

20 mm 30 mm 50 mm 100 mm

Durchmesser Durchmesser Durchmesser Durchmesser

Beispiele fur Kerben: Wellenabsatze, Keilnuten, Bohrungen,

Naben. Nennspannung

Spannungsspitze

Spannungsverlauf im Kerbquerschnitt (Belasmngsart wechselnd, Beanspruchungsart Zug/Druck).

379

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit Die tatsachliche ortliche Spannungsspitze a^ax ist die Kerbspannung, die aus Nennspannung On und so genannter Kerbwirkungszahl /3j^^^ berechnet wird.

=

crn-^

Jede Kerbe verringert demnach die Dauerfestigkeit des Bauteiles mehr oder weniger, wie man am Beispiel eines wechselnd auf Biegung beanspruchten Probestabs erkennen kann. abWK ist die KerbWechselfestigkeit.

Beispiel: Biege-Wechselfestigkeit des glatten, polierten und des gekerbten (Index K) Stabes aus E295.

Der festigkeitsmindemde Einfluss der Kerbe wird bei hochfesten Stahlen besonders deudich.

Beispiel: Fiir Federstahl betragt:

^bw,giatt = 240 N/mm^

(Tabelle 5.8)

c^bWK = 133,3 N/mm^

CTbw = 560 N/mm^

(Wechselfestigkeit)

CTbWK = 270 N/mm^ (Kerb-Wechselfestigkeit)

Die Daueffestigkeitswerte asch» <^w» ^Sch* ^w kennzeichnen diejemge Spannung, die ein glatter, polierter Frobestab im Dauerschwingversuch (DIN 50100) dauemd ertragt, ohne zu brechen. Die Kerb'Dauerfestigkeitswerte (JschK* <7WK> ^Schic> ^WK geben diejenigen Spannungen an, die ein gekerbter Frobestab im Dauerschwingversnch dauemd ertragt, oline zu brechen.

Mit bekannter Kerbwirkungszahl ^Sj^ und Dauerfestigkeit kann die Kerb-Dauerfestigkeit berechnet werden. Angenommen, die Kerbwirkungszahl 13^ einer mit Lagerzapfen abgesetzten Welle aus E295 sei bekannt (J3^ = 1,8). Die Welle wird wechselnd auf Biegung beansprucht. Dann kann mit dem Festigkeitswert aus Tabelle 5.8, die Kerbwechselfestigkeit cTbWK berechnet werden. c) Oberfldche und Dauerfestigkeit Die Probestabe sind poliert und gelappt. Fine andere Oberflachengiite setzt die Dauerfestigkeit des Bauteils herab. Oberflachendriicken, Harten und Ziehen kann dagegen die Dauerfestigkeit deutlich erhohen.

Das Verhaltnis von Dauerfestigkeit zur KerbDauerfestigkeit nennt man die Kerhwirkungszahl P^ =

Dauerfestigkeit

IfebDauerfestigkeit

Kerbwirkungszahl (Tabelle 5.7) Die Kerbwirkungszahl /3j^ ist abhangig vom Werkstoff, von der Kerbform und von der Beanspruchungsart des gekerbten Stabes. 0j^^ — _E

Kerb-Dauerfestigkeit

Pk Beispiel: crbw,E295 = 240 N/mm^ (Tabelle 5.8) 240 O'bWK -

^,

N

, 133,3

N

l,i

Hinweis: Man rechnet mit einem Abzug von 10% bei geschliffener Oberflache, von 20 % bei geschlichteter Oberflache und von 30% bei Walz-, Gluh- oder Gusshaut.

^ Beachte: Zu den Rechnungen nach der FKM-Richtlinie (siehe 5.12.3.5) wird mit der Kerbwirkungszahl Kf gearbeitet.

380

5 Festigkeitslehre

5.12.3 Spannungsbegriffe 5.12.3.1 Nennspannung Berechnet man die Normal- oder Schubspannung (cr, r) mit den klassischen Gleichungen der Festigkeitslehre (wie im Buch), z. B. die Normalspannung o^ = F/A in einem Zugstab, wird die Zuspannung als Zug-Nennspannung a^n bezeichnet. Vereinbart gelten die Bedingungen: a) gleichmafiig verteilter Kraftfluss uber dem belasteten Querschnitt, b) es treten nur elastische Verformungen auf, c) die Schnittflachen bleiben dabei eben. 5.12.3.2 Ortliche Spannung Bei den praktisch verwendeten Bauteilen treten die obigen Bedingungen selten zusammen auf. Die Bauteile weichen von der idealisierten Form des glatten, polierten Probestabs im genormten Zugversuch ab, z. B. durch Kerben aller Art (Rundkerbe, Spitzkerbe), durch Absatze mit unterschiedlichen Abrundungsradien, durch Querbohrungen und Wanddurchbriiche. Dadurch andem sich Verlauf und Dichte der Kraftflusslinien, sie werden an Querschnittsiibergangen zusammengedrangt und die auftretende Spannung wird um eine Formzahl groBer als die berechnete Nennspannung a^ n = F/A. Diese Spannung nennt man ortliche Spannung oder Kerbspannung. 5.12.3.3 Zulassige Spannung Die zulassige Spannung wird zur Bestimmung geometrischer GroBen am Bauteil gebraucht. Beispielsweise soil der erforderliche Querschnitt Agrf (Durchmesser J) eines Zugankers aus Stahl S235JR bei gegebener maximaler Zugkraft F^ax = 50 MN ermittelt werden. Es Hegt schwellende Belastung vor. Fiir die Zugbeanspruchung gilt die Nennspannungsgleichung a^^ = F/A oder Aerf = F^Jo^ ^^i. Zur Wahl der zulassigen Spannung a^ ^ui wird der Werkstoffkennwert K^ des Werkstoffs zugrunde gelegt. Bei ruhender Belastung ware dies die Streckgrenze R^ der Werkstoffs: K^ = R^ = 220 N/mm^ (Tabelle 5.8 fur S235JR). In festigkeitstechnische Entwurfsberechnungen fiihrt man den Ausnutzungsgrad v < 1 ein und

ein%

Spannungs-Dehnungs-Diagramm (schematisch)

SetZt a^ zul = ^z Entwurf = V ' Kyf^ = V • R^.

Bei dynamischer Belastung wird als Werkstoffkennwert K^ die Schwell- oder Wechselfestigkeit (Tabelle 5.8) eingesetzt {K^ = a^ sch oder a^dw)Mit C7z Sch, S235JR = 210 N/mm und Ausnutzungsgrad V ~ 0,8 fiir schwellende Belastung und geschmiedetes Bauteil erhalt man den gesuchten erforderlichen Durchmesser Jgrf = 19,5 mm. Weitere Rechnungen werden mit dem nachst hoheren NormmaB ^Norm = 20 mm durchgefuhrt.

4rf =

Jt-v-crz,sch 4 • 50 • 103 N • inin2 jt-0,8-210N

= 20

19,5 mm

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit

381

5.12.3.4 Berechnungen im Buch Aufgaben zur Festigkeitslehre werden im Lehrbuch (Beispiele, Ubungen) und im Losungsbuch zur Aufgabensammlung^^ auf folgenden Wegen gelost. a) Gestalt und Bemafiung des Bauteils sind in einer Konstruktionsskizze dargestellt: Mit den Gesetzen der Statik werden die von aufien auf das Bauteil einwirkenden Krafte F (Normal- und Querkrafte) und Momente M (Dreh-, Biege- und Torsionsmomente) ermittelt. Mit diesen GroBen lassen sich die inneren Krafte und Momente bestimmen (siehe 5.1.7). Daraus konnen die auftretenden Nennspannungen avorh und Tvorh und die Formanderungen (z. B. Langenanderungen A/) am vorhandenen Bauteil berechnet werden. b) Vom geplanten Bauteil sind die Hauptmafie fur eine Entwurfsskizze zu berechnen: Die Hauptabmessungen wie Kantenlangen / oder Durchmesser d am Entwurf werden mit einer zulassigen Spannung a^ui und r^ui ermittelt. Man nennt diese Entwurfsberechnung das „Dimensionieren" des Bauteils. Dazu ist eine „zulassige" Spannung vorzugeben (o^zui = ^Entwurf). die aus Tabellen entnommen oder aus Erfahrungswerten festgelegt werden kann. Fur die Festigkeitsrechnungen im Lehrbuch und fur die entsprechenden Aufgaben in der Aufgabensammlung werden die Bezeichnungen o^^\ = aEntwurf methodisch gleichwertig verwendet. 5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau Ziel aller Festigkeitsrechnungen ist die Ermittlung der vorhandenen Spannung und der Nachweis, dass ein konstruiertes Bauteil mit Sicherheit „halt". So muss seine geforderte oder erwartete Tragfahigkeit unter alien denkbaren Umstanden gewahrleistet sein, es darf z. B. auch bei Dauerbelastung in der vorgeschriebenen Lebensdauer nicht brechen oder seine Form bleibend so verandem, dass es seine Funktion nicht mehr ausreichend erfullt. Das gilt fur den Maschinen- und Geratebau ebenso wie fur den Stahlbau- und Stahlhochbau (Brucken- und Gebaudebau), den Schiffs- und Flugzeugbau. Am Ende dieser Berechnungen steht der Zahlenwert fur die „Sicherheit S < geforderter Mindestsicherheit 5min"Die Festigkeitsrechnung beginnt mit dem Fesdegen der Entwurfs- oder Dimensionierungsspannung aEntwurf ^ ^zui- Damit werden die Hauptmafie der Konstruktion berechnet, z. B. der Durchmesser einer Welle an einer bestimmten Stelle, dem sog. gefahrdeten Querschnitt. Mit der Wahl des Werkstoffs liegen die FestigkeitsgroBen vor, z. B. die Zug-, Druck-, Biegeund Torsions-Wechselfestigkeit (o^w, cTdw, ^bw, ^tw) oder die entsprechenden 0,2%-Dehngrenzen (/?po,2)- Diese aus Tabellen greifbaren Werte sind an genormten (glatten, polierten) Probestaben ermittelt worden (also nicht am Maschinenbauteil selbst) oder an Bauteilen mit anderer Oberflachenbeschaffenheit, anderer Form usw. Zur Ermittlung der sog. Gestaltfestigkeit werden Faktoren K in die Berechnung der Sicherheit Sr> gegen Dauerbruch (Dauerhaltbarkeit) oder gegen bleibende Verformung (FlieBgrenze) eingefiihrt, z. B. der Rauheitsfaktor Kp^j oder die Kerbwirkungszahl Kf, die aus der Kerbformzahl Ki berechnet werden kann. Auf diese Weise wird z. B. die Biegewechselfestigkeit des Probestabs abw in die Biegewechselfestigkeit ^bWK des gekerbten Stabs umgerechnet. Aufgabensammlung Technische Mechanik, Boge/Schlemmer, 18. Auflage 2006, Vieweg Verlag

5 Festigkeitslehre

382

Die dazu erforderlichen Rechnungsgange, Methoden und Tabellen liegen unter anderem vor in: FKM-Richdinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fiir Maschinenbauteile, 5. erweiterte Ausgabe2003,VDMAVerlag; DEsT 743 Tragfahigkeitsberechnung von Wellen und Achsen, Oktober 2000; VDI-Richtlinie, VDI 2230: Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen.

5.12.4 Dauerbruchsicherheit 5.12.4.1 Sicherheit ^D bei ruhender Belastung Ruhende Belastung ist im Maschinenbau selten. Der zugehorige Festigkeitswert ist fiir Baustahl die Streckgrenze R^ des verwendeten Werkstoffs und der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergiitungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze /?p 0,2 (siehe 5.12.1). Fine Ubersicht gibt Tabelle 5.8. Bei Werkstoffen ohne ausgepragte FlieBgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit Rm und die Bruchfestigkeiten ads, ^bB aus Tabelle 5.9 verwendet.

Re SD

R,p0,2

=

^ '^min — ^^^

On

(gilt fiir Stahl; o^ Nennspannung)

^

'->min

2,0

On

(gilt fiir Gusseisen)

Kerbwirkungen sind beim Belastungsfall I (ruhend) nicht zu benicksichtigen. Die Bruchgefahr wird bei Ruhelast durch Kerben nicht erhoht, sondem durch Stutzwirkung weniger belasteter Stoffteilchen eher vermindert. Bei GJL (Lamellengusseisen) ist die Kerbwirkung durch das schon von Graphitteilchen vorgekerbte Gefiige selbst bei dynamischer Belastung (schwellend, wechselnd) kaum spiirbar (Kerbwirkungszahl )8j^ == 1). 5.12.4.2 Sicherheit 5D bei dynamischer Belastung Schwellende und wechselnde Belastung tritt im Maschinenbau am haufigsten auf. Der zugehorige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit OD des verwendeten Werkstoffs bei der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug/Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergiitungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze Rpo,2 (siehe 5.12.1). Fine Ubersicht gibt Tabelle 5.8. Bei Werkstoffen ohne ausgepragte FlieBgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit R^ und die Bruchfestigkeiten cTdB, cJbB aus Tabelle 5.9 verwendet. o^ ist die Nennspannung.

Oobib2 SD

(fiir Bauteile mit Kerbwirkung) an Nennspannung, bi Oberflachenbeiwert, siehe Diagramm, b2 GroBenbeiwert, siehe Diagramm, y^k Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7.

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit

383

Die Dauerfestigkeit CTD des Probestabs wird durch die Faktoren bi, b2, ySj, verringert, sie erhalten in der neueren Literatur^^ zum Teil andere Bezeichnungen z. B. ^f b statt )8k b fiir die Kerbwirkungszahl bei Biegebeanspruchung. Die vorhandene Sicherheit Vvorh lasst sich mit der Dauerfestigkeit, der Nennspannung o^ und den beiden Beiwerten fur Oberflachen- und GroBeneinfluss sowie der Kerbwirkungszahl ^^ bestimmen. Die Nennspannung o^ ist die Spannung, die mit Hilfe der bekannten Hauptgleichungen berechnet worden ist.

oxibib2 Vvorh =

•

mindestens L2

bei Bauteilen ohne Kerbwirkung

o^bibt Vvofii

= :

= mindestens 1,2

bei Bauteilen mit Kerbwirkung, ^^ bekannt

Der Oberfldchenbeiwert b\ beriicksichtigt das Zuriickgehen der Dauerfestigkeit durch Oberflachenrauigkeiten (Schleif- oder Drehriefen, Poren, Walznarben).

poliert \feinstgedreht J feingeschliffen 1 feingedreht, geschabt I geschliffen, gezogen gexhiichtet, gebohrt gefrast geschruppt

Der Gwfienbeiwert ^2 beriicksichtigt das Zuriickgehen der Dauerfestigkeit mit zunehmender BaugroBe. bj kann nur fiir Wellen angegeben werden.

60

70

80

100

120

Bauteildurchmesser d in mm

5.12.5 Ubungen zur Dauerfestigkeit 1. Ubung: Bin Bauteil aus S235JR wird durch F = 6000 N schwellend auf Zug beansprucht. Gefahrdeter Querschnitt A — lOOmm^; Kerbwirkungszahl/?}^ = 3,1.

Gegeben: WerkstoffS235JR ZugkraftF = 6000N Belastungsfall II (schwellend) Querschnitt A = 100 mm^ Kerbwirkungszahl ^1^ = 3,1

Die vorhandene Sicherheit und die maximale Spannung sollen berechnet werden.

Gesucht:

Losung: Die Nennspannung o^ wird immer aus den bekannten Hauptgleichungen berechnet, hier also aus der Zug-Hauptgleichung.

(^n= —

Vorhandene Sicherheit 5D, vorh Spannungsspitze cTmax 6000 N :60 100 mm2

^ z. B. FKM-Richtlinie fur den rechnerischen Festigkeitsnachweis, siehe oben

N

5 Festigkeitslehre

384 Aus Tabelle 5.8 wird die Zug-Schwellfestigkeit des Werkstoffes S235JR entnommen (azSch = 210N/mm2) und bestimmt damit die vorhandene Sicherheit. Die Spannungsspitze ist das Produkt aus Nennspannung und Kerbwirkungszahl. Die Rechnung zeigt, dass CTmax < o^sch ist.

210<7zSch Vvorh •

^nA

N N (?max = O^n/^k = 60 — - j • 3,1 = 186 — - 2

AbschlieBend bestimmt man noch die Festigkeit des gekerbten Bauteils, die Kerb-Dauerfestigkeit CJDK- Sie soil groBer sein als die geforderte Mindestsicherheit 5'niin = 1,2. 2. Ubung: Fiir eine auf Biegung schwellend beanspruchte Achse aus S275JO ist die vorhandene Sicherheit ^vorh zu ermitteln. Der Querschnitt ist durch eine SicherungsringKerbe geschwacht. Losung: Aus Tabelle 5.8 wird die Schwellfestigkeit absch = 350 N/mm entnommen, aus Tabelle 5.7 die Kerbwirkungszahl yS^ ~ 3 fiir Sicherungskerben. Die vorhandene Nennspannung betragt mit J = 50 mm On = 25,5 N/mm^. Mit dem Oberflachenwert bi — 0,85 (geschlichtet) und mit dem GroBenbeiwert h2 — 0,7 (fiir 4 0 . . . 120mm) kann die Sicherhet ^D gegen Dauerbruch berechnet werden. Die vorhandene Sicherheit ist groBer als die Mindestsicherheit:

1,13

.^ N ^-3,1

60

(Tzsch

210

N

nim^

Gegeben: WerkstoffS275JO Belastungsfall II B iegebeanspruchung Durchmesser d = 50 mm Gesucht: Sicherheit gegen Dauerbruch 350-

N

N

1

• 0,85 • 0,7

ODh\b2

- 2,7 > S^

SD =

3-25,5cTn bx ^2 /^k

Nennspannung, Oberflachenbeiwert, siehe Diagramm, GroBenbeiwert, siehe Diagramm, Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7.

»JDvorh = -"i, / > '^min ^^ A,^*

3. Ubung: Der gefahrdete Querschnitt des skizzierten Flachstabs wird mit einer Zugspannung (Nennspannung) CTZ, n = 60 N/mm^ schwellend beansprucht. Zu ermitteln ist die Sicherheit S^ gegen Dauerbruch. Losung: Mit azSch = 210N/mm^ aus Tabelle 5.8 und ^^ — 1,8 aus Tabelle 5.7 fur Flachstabe mit Querbohrung sowie b\ = 0,8 (geschruppt) und b2 = I (geschatzt) ist die Sicherheit '^Dvorh = I 5 5 6 > iSjnin =

1,2.

Gegeben: Werkstoff S235JR Belastungsfall II Zugbeanspruchung Nennspannung 60 N/mm^

210-

2,5

•0,8

0\ybxb2 SD =

1,8-60

N

1,0 1,56

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit

385

Tabelle 5.7 Richtwerte fur die Kerbwirkungszahl P^. K^fbnn

W^kstoff

Beanspnichung

Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung fiir Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfedemut in Welle Passfedemut in Welle Passfedemut in Welle Passfedemut in Welle Querbohmng in Achse (Schmierloch) Bohmng in Flachstab Bohmng in Flachstab Welle an Ubergangsstelle zu festsitzender Nabe

Biegung Verdrehung Biegung und Verdrehung Biegung Verdrehung Biegung Biegung Verdrehung Verdrehung Biegung und Verdrehung Zug Biegung Biegung und Verdrehung

*A

>

1,5... 2,2 1,3... 1,8 3...4 > S235JR-E335 1,5... 2,0 1,3... 1,8 1,5 ^ 1,8 CrNiSt 2,3 S235JR-E335 2,8 . CrNiSt 1,4... 1,7 > S235JR-E335 1,6... 1,8 1,3... 1,5 2

J

Tabelle 5.8 Festigkeitswerte fiir Stable (alle Werte in N/mm^) Wetkstoff

^m

^•^p0,2

^zSch

^zW

^bSdi

ObW

^ts<*

ftw

S235JR S275JO E295 E335 E360 50 CrMo4 20 MnCr5 AlCuMgPbF37

340 410 470 570 670 1100 1080 370

220 260 280 320 360 790 650 250

210 240 295 335 365 720 615 180

160 170 180 220 250 460 370 100

330 350 365 430 500 865 725 255

190 210 240 280 300 570 460 135

150 165 190 220 250 540 470 120

115 130 140 160 190 340 280 80

Elastizitat$«4 Schubmodul E modul G 210000 210000 210000 210000 210000 210000 210000 72000

80000 80000 80000 80000 80000 80000 80000 28000

Tabelle 5.9 Festigkeitswerte fur Gusseisen (alle Werte in N/mm^) W^kstoff

^m

GJL-150 GJL-200 GGJL-250 GJL-300 GJL-350 GJMW-400-5 GJMB-350-10

150 200 250 300 350 400 350

^»^pO,2

OdB

(^hB

<3yw

CTbW

^tw

90 130 165 195 228 220 200

600 720 840 960 1080 1000 1200

250 290 340 390 490 800 700

40 50 60 75 85 120 1000

70 90 120 140 145 140 120

60 75 100 120 125 115 100

Elastizitatsmodul E Schiibmodul G 82000 100000 110000 120000 130000 175000 175000

35000 40000 43000 49000 52000 67000 67000

Diese Werte gelten fur 15-30 mm Wanddicke; fur 8-15 mm 10% hoher, fur > 30 mm 10% niedriger; Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; fur Gusshaut 20 % Abzug.

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

386

6 Fluidmechanik (Hydraulik) Formelzeichen und Einheiten 1) m P

kg

qm q\

kg/s mVs 1 s m^ m/s 1 1 1 Ns/m^ — kg/ms 1 1 1 m^/s kg/m^ 1

N/m2=:: Pa, bar

Re t

V w a

? V rj

X 11 11 V

Q

(P

Masse Druck Massenstrom Volumenstrom Reynolds'sche Zahl {Re-ZdhX) Zeit Volumen Stromungsgeschwindigkeit Durchflusszahl bei Blenden Widerstandszahl eines einzelnen Hindemisses in Rohrleitungen Wirkungsgrad dynamische Viskositat Widerstandszahl fur Rohrleitung Reibzahl zwischen Kolben und Dichtung Ausflusszahl kinematische Viskositat; v = rj/g Dichte Geschwindigkeitszahl

6.1 Statik der Fliissigkeiten (Hydrostatik) 6.1.1 Eigenschaften der Fliissigkeiten Fliissigkeiten unterscheiden sich von festen Korpem durch leichte Verschiehbarkeit der Teilchen. Wahrend bei festen Korpem vielfach erhebliche Krafte notig sind, um ihre Form zu andem, ist die Formanderung einer Flussigkeit ohne Krafteinwirkung moglich, wenn nur hinreichend Zeit zur Verfugung steht. Bei raschem Formwechsel ist auch bei Fliissigkeiten ein Widerstand spiirbar; er hat seine Ursache in der „Zahigkeit" (Viskositat) und der Massentragheit. Bei Ruhezustanden oder sehr langsamen Bewegungen darf der Widerstand gegen Formanderung gleich null gesetzt werden.

Hinweis: Fluid ist die iibergeordnete Bezeichung fiir Fliissigkeiten, Gase und Dampfe. Das Wort „Hydraulik" kommt aus dem Griechischen: hydor = Wasser. Im iibertragenen Sinn spricht man von „Hydraulik" auch bei Verwendung anderer Flussigkeiten, wie z. B. 01 (Olhydraulik). Die Hydraulik behandelt alle Vorgange, bei denen Krafte und Bewegungen durch eine Fliissigkeit iibertragen werden. Die Fliissigkeit ist der Energietrager, z. B. im hydraulischen Getriebe, bestehend aus den hydraulischen Elementen Pumpe, Motor und Leitung.

Der widerstandslosen Formanderung der Fliissigkeiten steht ihr grofier Widerstand bei Volumendnderung gegeniiber. Beispielsweise wird es nicht gelingen, 1 Liter Wasser in ein GefaB von 1/2 Liter hineinzupressen. Ebensowenig ist es moglich, 1/2 Liter Wasser auf ein Volumen von einem Liter auszudehnen. Erst bei sehr hohen Driicken ist eine kleine Volumenanderung messbar, z. B. in Einspritzleitungen von Dieselmotoren. Wasser driickt sich bei einem Druck von 1000 bar um ca. 5 % zusammen. StoBe und Driicke werden daher in unvermindeter Starke iibertragen, z. B. Wasserschlage in Rohrleitungen und Driicke in hydraulischen Pressen. ^^ siehe Fussnote Seite 1

387

6.1 Statik der Fliissigkeiten (Hydrostatik) 6.1.2 Hydrostatischer Druck (Fliissigkeitsdruck, hydraulische Pressung) In der Festigkeitslehre nennt man die im Inneren eines festen Korpers je Flacheneinheit aufzunehmende Kraft die Spannung. Die Spannung in einer ruhenden Flussigkeit heiBt hydrostatischer Druck Oder kurz Druck p.

Der hydtostatische Druck ist die je Flacheneinheit von auBen (oder in ihiem Inneren) auf eine Htissigkeit wiikende Kraft Die Einheit des Druckes ergibt sich aus der Definitionsgleichung p = F/A\ Sie ist der Quotient aus einer Krafteinheit und einer Flacheneinheit.

Die gesetzliche und Internationale Einheit (SI-Einheit) des Druckes p ist das Newton je Quadratmeter. Einheitenname: Pascal mit dem Kurzzeichen Pa:

l § = lPa Die friiher gebrauchliche Druckeinheit kp/cm^ = at ist ungefahr so gro6 wie das Bar (1 at ?^ 1 bar).

Beachte: Der Druck p steht immer rechtwinklig auf der betrachteten Flache.

_ Kraft F ^ ~ Flachei4

p

F

A

N

N

m2

hydrostatischer Druck

(P) = (A)

m2

= Nm-2 = Pascal (Pa)

Hinweis: Weitere gesetzliche Einheiten sind N 1 MPa (Megapascal) = 10^ Pa = 10^ 1 bar (Bar) = 10^Pa= 10^

N

Einheitenname nach Blaise Pascal, 1623-1662

1 bar = 10

kp

lat.

6.1.3 Druckverteilung in einer Fliissigkeit ohne Beriicksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz Jede Flussigkeit hat eine Masse und folglich auch eine Schwerkraft, die Gewichtskraft FQ. In vielen Fallen, z. B. bei hohen Driicken, braucht man sie nicht zu beriicksichtigen. Man stellt sich im Inneren einer Flussigkeit einen flachhegenden „Russigkeitsquader" vor. Es ist kein Fehler, wenn dieser „Flussigkeitskorper" als erstarrte Flussigkeit betrachtet wird und die Gesetze der Statik starrer Korper auf ihn anwendet.

Fi =

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

388 Es soil das Gleichgewicht gegen Verschieben langs der Prismenachse betrachtet werden wobei man zunachst annimmt, dass die Driicke auf die Stimseiten (pi und P2) verschieden groB sind. Da die Druckkrafte auf den Seitenflachen immer rechtwinklig auf diese Flachen wirken, tragen sie zu den Kraften F\ und F2 auf die Stimflachen nichts bei. Da der Quader in der Russigkeit ruht, muss fiir die auf die Stimflachen wirkenden Krafte F\ und F2 die Gleichgewichtsbedingung 2 F = 0 erfiillt sein. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der Druck an beiden Stimseiten gleich ist. Dasselbe muss auch fiir die anderen einander gegeniiberliegenden Flachen gelten. Daraus ergibt sich das von Pascal aufgestellte Druck-Ausbreitungsgesetz: Der Druck, der auf irgendeinen Teil einer abgesperrten Russigkeit ausgeiibt wild, breitet sich nach alien Richtungen hin gieichmaBig aus.

Beachte: Weil p = F/A ist, ist auch F — pA, also F\ = piA und F2 = P2A.

I,F = 0 = Fi-F2

=piA-p2A

pxA =p2A

-^px=p2

d. h. es herrscht Druckgleichheit: PX~P2 -p3

~

.>

Beachte: Das Druck-Ausbreitungsgesetz, also Druckgleichheit an jeder Stelle der Fliissigkeit, gilt nur ohne Beriicksichtigung der Schwerkraft der Fliissigkeit.

6.1.4 Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes 6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock An das vollstandig mit Wasser gefiillte GefaB eines Wasserdmckhebebocks sind zwei Zylinder angeschlossen, in denen Kolben gleiten. Die Kolbenflachen sind Ai und A2. Auf den Kolben mit der Flache Ai wirkt die Triebkraft F\. Es sollen die Beziehungen zwischen den Kolbenkraften, Kolbenflachen und Kolbenwegen untersucht werden. Der Dmck in der abgeschlossenen Fliissigkeit ist uberall gleich gro6. Man kann ihn aus Triebkraft Fi und Triebkolbenflache Ai oder aus der Last F2 und der Lastkolbenflache A2 berechnen. Hat der Triebkolben einen kleineren Durchmesser als der Lastkolben, kann man mit kleiner Triebkraft groBere Lasten heben.

Lastkolben

Triebkolben

Hydraulischer Hebebock

F2^ A2 '"

A,

El

M

Fi

At

^F, An

Die Kolbenkrafte verhalten sich zueinander wie die Kolbenflachen.

6.1 Statik der Fliissigkeiten (Hydrostatik) Bewegt sich der Triebkolben um die Strecke ^i nach unten, so verdrangt er das Volumen V = AiS\. Das vom Triebkolben verdrangte Volumen muss gleich dem vom Lastkolben freigegebenen Raum

389 v=Aisi =A2S2 Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Kolbenflachen.

^i _A2 52 ~ Ai

V — A2S2 sein.

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der Uberlegung, dass die Triebarbeit ^ — F\S\ gleich der Lastarbeit W — F^s^ sein muss, wenn die Reibung unberiicksichtigt bleibt. Fiir F —pA eingesetzt ergibt sich fiir das Verhaltnis der Kolbenwege

s\

A2

Jr^2^/4

^1/^2 = A 2 / A i .

S2

Ai

ndx^/A

Wird in die zuletzt gefundene Gleichung schlieBlich fur die Flache A\ = jt^i^/4 und fiir die Flache A2 — lid^'j^ eingesetzt, dann erhalt man die Beziehung zwischen Kolbenwagen und Kolbendurchmessem. Ubung: Mit einem hydraulischen Hebebock soil am Lastkolben eine Kraft von 80 kN erzeugt werden. Mit einer entsprechenden Hebeliibersetzung wird auf den Triebkolben eine Triebkraft von 1,2 kN ausgeiibt. Der hydrostatische Druck im Behalter soil 45 bar betragen. Ohne Beriicksichtigung der Reibung sind die Durchmesser der beiden Zylinder zu bestimmen. AuBerdem ist die erforderliche Hebeliibersetzung fiir eine Handicraft von 150 N zu berechnen. Losung: Aus dem hydrostatischen Druck /?, der Triebkraft F\ und der Hubkraft F2 konnen mit Hilfe der Druckgleichung die Kolbenflachen A\ und A2 und daraus die Zylinderdurchmesser d\ und ^2 berechnet werden. Man setzt fiir

pAxS\

=pA2S2

Si

Ax

Die Kolbenwege verhalten si^h umgekehrt zueinander wie die Quadrate der Kolbendurchmesser.

* 2

5. — ^ S2 d\^

Gegeben: Hubkraft F2 = 80 kN = 80 • 10^ N Triebkraft Fj = 1,2 kN = 1,2 • 10^ N Druck p = 45 bar = 45 • 10^ N/m^ Handkraft F

= 150 N

Gesucht: Triebkolbendurchmesser d\ Lastkolbendurchmesser J2 Hebeliibersetzung /

p = — A\

daraus erhalt man

Fi 1,2 1 0 3 N ^ ^ ^ ^^_4 2 Ax = — = — ^ = 2,67 • 10 ^ m^ P 45 • 105 N/in2 Ax = 267 mm^

dx = 18,4 mm

N

1 kN = 10^ N und 1 bar = 10^ m^ in die Gleichungen ein und erhalt die Kolbenflachen in der Einheit m^. Mit 10~^ m^ = 1 mm^ kann dann umrechnet werden. Die erforderliche Hebeliibersetzung / driickt man durch das Verhaltnis der Triebkraft F\ zur Handkraft F aus.

p=— A2

daraus erhalt man

80 • 10^ N -2 ^ 2 1,778-10"^ m^ A2= — -p 45 • 105 N / m ^ A2 = 17 780 m m ^ Fx

1200N 150 N

^2 = 150,5 m m

1

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

390 6.1.4.2 Druckkraft auf gewolbte Boden Der zylindrische Kessel wird in Richtung seiner Langsachse durch die beiden Krafte Fi und F2 belastet. Beide Krafte sind gleich groB und werden aus dem inneren Uberdruck p und der kreisformigen Querschnittsflache berechnet. Die Querschnittsflache ist die Projektion der gewolbten Boden auf eine Ebene rechtwinkhg zur Kraftrichtung. Im technischen Anwendungsbereich sind die Driicke meist in bar und die Durchmesser in mm oder cm gegeben. Man sollte diese GroBen wie in der vorangegangenen Ubung vor der Rechnung in die koharenten Einheiten umrechnen. Um die dabei moghchen Fehler zu vermeiden, kann man aber auch eine Zahlenwertgleichung benutzen, in die der Druck in bar und der Durchmesser in mm unmittelbar eingesetzt werden.

FuF2

d

P

m

N

FuF2

Fi=F2 = 0,li?-r^^ 4

d

P

bar mm

N

Zahlenwertgleichung

6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlangsnaht Die Kraft F, die einen Kessel oder ein Rohr in radialer Richtung auseinanderzureiBen versucht, wird in ahnlicher Weise berechnet wie die Axialkraft auf gewolbte Boden. Die projezierte Flache ist ein Rechteck mit den Seitenlangen d (lichter Durchmesser) und / (Kessel- oder Rohrlange). Aus der Beziehung p = F/A ergibt sich die Gleichung fiir die Kraft F.

wzzAmmmwrnm

F A

F^

F

P

dj

N

N Pa = —r m^

m

F

P

d,l

N

bar

mm

Jl

F=pdl

Auch hier kann eine Zahlenwertgleichung benutzt werden in die man den Druck p in bar, den Durchmesser d und die Lange / in mm einsetzt.

1st s die Wanddicke des Kessels oder Rohres, dann erzeugt die Radialkraft F in zwei einander gegenuberliegenden Langsnahten die Zugspannung a = F/A = F/2sL Wird in diese Gleichung fiir F=pdl eingesetzt, dann erhalt man schlieBHch eine Gleichung fiir die erforderliche Wanddicke s bei gegebener zulassiger Spannung CTZUI-

F = 0,lpdl Zahlenwertgleichung A Bruchflache beim AuseinanderreiBen; es entstehen zwei Bruchflachen A = 2sL daraus folgt die erforderliche Wanddicke

A pdl

pd

s

d

P

^erf =

N

N Wanddicke

m

Pa

=^

C^zul

m

^

6.1 Statik der Flussigkeiten (Hydrostatik) Gebrauchlich ist eine Zahlenwertgleichung mit der zulassigen Zugspannung in N/mm^.

391 s

P

d

O^zul

mm

bar

mm

N mm^

Std

Zahlenwertgleichung

6.1.4.4 Hydraulische Presse Die hydraulische Presse arbeitet wie der hydrauHsche Hebebock in 6.1.4.1. Auch hier gilt das Druck-Ausbreitungsgesetz. Beim Hebebock wurde die Reibung an den Dichtungsstellen vemachlassigt. Bei der hydrauHschen Presse wird die Reibung beriicksichtigt. Bei reihungsfreiem Betrieb verbal ten sich die Krafte zueinander wie die Kolbenflachen. Daraus erhalt man eine Gleichung fiir die Presskraft F2. Soil die Reibung beriicksichtigt werden, dann muss man sich klar dariiber sein, dass die Reibkrafte an den Dichtungsstellen den Kolbenkraften entgegen wirken. Die Lippendichtungen werden mit dem Druck p an die Kolben auf einer Ringflache angepresst, die sich aus dem Kolbenumfang lid und der Dichtungshohe h ergibt. Um in der Fliissigkeit den Druck p zu erzeugen, muss die tatsdchliche Triebkraft F\ um die Reibkraft FRI groBer sein als bei reihungsfreiem Betrieb. Die Presskraft F'^ dagegen ist um die Reibkraft FR2 kleiner. Wird das Verhaltnis ^ I / ^ 2 = ( ^ I + ^ R I ) / ( ^ 2 - F R 2 ) gebildet, dann kann man daraus eine Gleichung zur Berechnung der tatsachlichen Presskraft F'2 in Abhangigkeit von der tatsachlichen Triebkraft F\, den Zylinderdurchmessem d\ und d2 und der Reibzahl // zwischen Dichtung und Kolben entwickeln.

WM/M///^/////?/m/^j//m

Fi

Ai

Jt

d2' Presskraft bei reihungsfreiem Betrieb

FR\ =Fmf^

=p7idihiju

FR2 = Fml^

=pnd2h2fi

O-'l)

F\ = p ^ di^ -\-pndihi^

= p J di^ ( 1 + 4 / /

F2 =p - di^ -pKd2h2/u=p

-d2^

ll-4ju

Beide Gleichungen durcheinander dividiert:

p-rf,Ml+4^

^ F;

h2\

p-d2'[\-An

d^ d2^

'^'^d, .

A

di .

A

*2

F'.=F Presskraft bei Beriicksichtigung der Reibung

Den letzten Faktor in der Gleichung fiir die Presskraft bezeichnet man als Wirkungsgrad t] der hydraulischen Presse. Man erkennt, dass dieser Faktor von der Reibzahl, den Kolbendurchmessem und den Hohen der Kolbendichtungen abhangt.

1-4/1

v=-

d2

Wirkungsgrad

1+4/*

F;

./ d2^ j 2^

Presskraft bei Beriicksichtigung der Reibung

''2

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

392 Ubung: Der Lastkolben einer hydraulischen Presse hat 500 mm Durchmesser, der Triebkolben hat 40 mm Durchmesser. Die Hohen der Lederdichtungen betragen /z2 = 100 mm und h\ = 16 mm. Die Reibzahl betragt fi — 0,1. a) Wie groB ist der Wirkungsgrad rjl b) Wie groB ist die Presskraft F2, wenn die TriebkraftF; = lOOONwirkt? c) Wie groB ist das Hubverhaltnis der Kolben? Losung: a) Der Wirkungsgrad wird mit der bekannten Gleichung aus den Kolbendurchmessem d\, dj, den Dichtungshohen /?i,/z2 und der Reibzahl pi bestimmt. b) Da der Wirkungsgrad bekannt ist, verwendet man die letzte Presskraftgleichung und berechnet F2 aus der Triebkraft F\, den Kolbendurchmessem d\, J2 und dem Wirkungsgrad. c) Unter dem Hubverhaltnis versteht man das Verhaltnis der Kolbenwege S2/s\.

Gegeben: Lastkolbendurchmesser

do — 500 mm Triebkolbendurchmesser d\ = 40 mm Dichtungshohe h2 = 100 mm Dichtungshohe h\ = 16 mm F^i=1000N Triebkraft Reibzahl

/^ = 0 , 1 Gesucht: Wirkungsgrad rj, Presskraft F2, Hubverhaltnis S2/s\

A

1

^2

V =

l+4fi-^

h] d\

10 cm 0,1 • 50 cm = 0,79 1,6 cm l+4-0,l--^ 4 cm 1-4

"2 .

., ^ 2 ^ . _ , _

(500mm)^ (40 mm)

F' = 123,4 kN

52

di^

(40 mm)^ _

51

d2^

(500 mm)^

1 156,25

AiifgabenNn 1001-^1012

6.1.5 Druckverteilung in einer Fliissigkeit unter Beriicksichtigung der Schwerkraft Im Abschnitt 6.1.3 wurde gezeigt, dass der Druck in jeder waagerechten Ebene innerhalb einer Fliissigkeit konstant ist. Anders ausgedriickt: Der Druck an alien Stellen gleicher Fliissigkeitshohe ist gleich groB. Es soil nun festgestellt werden, welche Beziehungen zwischen verschiedenen horizontalen Ebenen bestehen. Dazu wird das Gleichgewicht eines Fliissigkeitsquaders, dessen Langsachse vertikal steht, untersucht. Die Gewichtskraft FQ (Schwerkraft) muss man jetzt in die Gleichgewichtsbetrachtung in Richtung der Langsachse mit einbeziehen.

^Ebene 1 r^F^

=PiA^y^ r f Prismenachse

F2=P2A

^:

0,79

6.1 Statik der Flussigkeiten (Hydrostatik) Nach den Gesetzen der Statik miissen die Druckkrafte Fi und F2 die auf die Stimseiten des Quaders einwirken und die Gewichtskraft FQ die Gleichgewichtsbedingung erfullen. Wird die Ansatzgleichung weiter entwickelt, dann ergibt sich eine Beziehung zwischen beiden Driicken p\,p2 und der Druckwirkung der Schwerkraft (ggh). Legt man die obere Stimflache des Quaders in die Fliissigkeitsoberflache, so ist dort der Druck Pi = 0. Auf seine untere Stimflache wirkt dann allein der Druck p [= P2), der durch die Schwerkraft in der Tiefe h verursacht wird. Der hydrostatische Druck ist an alien Stellen gleicher Tiefe gleich groB. Die Funktionsgleichung p=f[Q,h) zeigt, dass der hydrostatische Druck proportional mit der Fliissigkeitsdichte und der Tiefe zunimmt.

393 2 F ,y - 0 = F 2 - F i F2 = Fi -\-

FG

FQ

fiir Fi — piA, F2= piA und FG =" Qg^ = Qg^h gesetzt, ergibt P2A=^P\A + QgAh. P2=P\^Qgh

p

p^Qgh Druck infolge der Schwerkraft

N

Pa-—r

Q

g

h

kg

m

m

Die Flussigkeitshohe h, die den Druck p hervorruft, heiBt Druckhohe oder auch Pressungshohe.

Die Einheitenrechnung kann bei dieser Gleichung Schwierigkeiten bereiten. Man muss die Einheit kg/s^ m mit 1 = m/m erweitem, um die Druckeinheit Pa zu erhalten.

{p) =

Die Erkenntnis uber den hydrostatischen Druck von Flussigkeiten infolge ihrer Schwerkraft verwendet man unter anderem zum Messen von Driicken, besonders des Luftdrucks. Den Luftdruckunterschied zwischen zwei voneinander abgeschlossenen Raumen (oder GefaBen) kann man z. B. mit einem beiderseits offenen U-Rohr messen, das teilweise mit einer Flussigkeit gefullt ist (siehe Skizze).

Beispiel: Der Kesselraum eines Schiffes wird durch ein Geblase unter Uberdruck /7u gesetzt. Das mit Wasser gefiillte U-Rohr-Manometer zeigt einen Hohenunterschied von 200 mm an. Der auBere Luftdruck betragt 1027 mbar. Zu berechnen ist der Uberdruck pu und der absolute Druck p2 im Kesselraum. Losung: A tmospharendruck p j ^

Der Druck auf die Flussigkeit an der Stelle E2 des U-Rohres ist gleich dem absoluten Luftdruck im abgeschlossenen Raum (z. B. in einem Kesselraum). Der Druck in waagerechten Ebenen einer zusammenhangenden Flussigkeit ist konstant. Folglich herrscht an der Stelle E\ des U-Rohres der gleiche Druck p2 wie bei £2- Der Druck p2 ist die Summe aus dem Flussigkeitsdruck der Saule von der Hohe h und dem Atmospharendruck (auBeren Luftdruck)/?!.

kgm

kgm/s

N

Pa

t

tatsachlicher Druck \ im Kesselraum P2

I

%

"^ii:^ Den Uberdruck po berechnet man aus der Flussigkeitshohe h = 200 mm. p^=Qgh=\Q^^9,%\ "^0,2 1962 Pa m^ s^ /?u — 19,62 mbar P2 = /7i + pu == 1027 mbar + 19,62 mbar P2 = 1047 mbar

394

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

6.1.6 Kommunizierende Rohren Kommunizierende Rohren sind oben offene, unten miteinander verbundene Rohren (vgl. U-Rohr). Enthalt dieses RohrengefaB nur eine Fliissigkeit, so steht sie in den beiden Schenkeln gleich hoch, unabhangig von der Form und GroBe der Schenkel. Die Flussigkeitsspiegel stehen immer waagerecht. Enthalt das GefaB z^ei Fliissigkeiten von verschiedener Dichte, so steht bei Gleichgewicht die leichtere Fliissigkeit in dem einen Schenkel hoher als die schwerere in dem anderen Schenkel. Sind Q^ und ^2 die Flussigkeitsdichten und h\ und /z2 ihre Flussigkeitshohen liber der Trennebene A—5, so sind in dieser Ebene die Driicke in beiden Schenkeln gleich groB: p\ = pi— P- Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass sich die Flussigkeitshohen iiber der Trennebene umgekehrt zueinander verhalten wie die Flussigkeitsdichten.

^^^

W-«c:

^ -^"T"-' — ^^ P=P\

=P2 =Qi8h\

=Q28h2

.02 hi

Qi

Beispiel: Wie groB ist die Dichte eines Ols, das einer 500 mm hohen Wassersaule mit einer Hohe von 545 mm das Gleichgewicht halt? Losung: P9

-• -^ hi

und daraus

Qi

500 mm- 1000

h\Qi ^2

545 mm

hi

kg m^ _ 917 kg

6.1.7 Bodenkraft Auf den waagerechten Boden eines Fliissigkeitsbehalters wirkt der hydrostatische Druck p = ggh (h Riissigkeitshohe iiber dem Boden). Die Bodenflache A wird dann mit der Bodenkraft F\^ = pA = QghA belastet. Die Belastung des Bodens ist also abhangig von der Riissigkeitshohe h iiber dem Boden, von der Bodenflache A und von der Dichte der Fliissigkeit. Sie ist dagegen unabhangig von der Form des GefaBes. Das zeigt auch die Versuchsanordnung zur Messung der Bodenkraft. Die vier Behalter haben die gleiche Bodenflache A, die iiber einen Hebel gegen die Bodenoffung gepresst wird. Fiillt man die GefaBe nacheinander mit Wasser, so wird man feststellen, dass sich die Bodenklappe bei alien GefaBen bei der gleichen Fiillhohe h offnet. Die Bodenkraft ist in alien vier Fallen gleich groB.

Fh=pA = QghM Fb

P

N

Bodenkraft

Q

g

N

kg

m

Pa--2

m3

m^

h

A

m

m2

I k.ffl-ffl_l y/M//M y/m/yyy/yAm'^z^

6.1 Statik der Flussigkeiten (Hydrostatik)

395

6.1.8 Seitenkraft Da sich der Druck in einer Riissigkeit nach alien Seiten hin gleichmaBig ausbreitet, wird nicht nur der Boden eines GefaBes belastet, sondem auch seine Seitenwande.

II

II - _ _- —

— — QJ

11~

J J

"-•"—-•4

y^^

Flachensch werpunkt D = Druckmittelpunkt

Teilt man die rechteckige Seitenwand eines GefaBes in eine Anzahl schmaler Flachenstreifen AA von gleichem Flacheninhalt, so wird z. B. das Flachenteilchen A A unter der Hohe h\ mit F\ = Qgh\ A A, dasjenige unter der Hohe h2 mit ^2 = Qgh2 A A belastet. Die Belastung nimmt proportional mit der Hohe nach dem Fliissigkeitsspiegel hin ab. Das Belastungsbild veranschaulicht diese Tatsache.

Belastungsbild Fj = gghf

F2=

Die Gesamtbelastung der Seitenflache, die Seitenkraft Fs, ist die Summe aller Teilkrafte F.

F,=1.F

Der Klammerwert ist, bezogen auf den Fllissigkeitsspiegel, die Summe aller Flachenmomente der Teilflachen A A. Diese Summe muss gleich dem Rachenmoment der gesamten Flache A sein (siehe 2.2.1 Rachenschwerpunkt). Fiir die Seitenkraft F^ ergibt sich daraus eine Funktionsgleichung der Form Fs =f{A,yo,Q). Daraus geht hervor, dass die Seitenkraft vom Betrag der Seitenflache A, von ihrem Schwerpunktsabstand jo, d. h. also ihrer Form, und von der Dichte g der Fliissigkeit abhangt.

F, = Qg{AAhi -\-AAh2 + ..-AAhn)

Der Angriffspunkt der Seitenkraft F^ heiBt Druckmittelpunkt D, er liegt immer tiefer als der Schwerpunkt der gedriickten Rache. Ist z. B. die gedriickte Rache ein Rechteck, so ist das Belastungsbild ein Dreieck. Die Resultierende F^ aller Teilkrafte F muss durch den Schwerpunkt D des Dreiecks gehen, der h/3 von der Basis bzw. 2h/3 vom Flussigkeitsspiegel entfemt liegt. Ist e der Abstand des Druckmittelpunktes D vom Rachenschwerpunkt, so gilt allgemein:

AA

= Qg AAhi+Qg

Fs = QgAyo

AAh2 + .. .Qg AAhr,

=QgAyo

Seitenkraft

yo Schwerpunktsabstand der belasteten Seitenflache vom Fliissigkeitsspiegel Beachte: Diese Momente der Flachen {AAKAyo) heiBen nach DIN 1304 „Flachenmomente 1. Grades".

e Ajo

Qgh2AA

/

m m^

A

Jo

m2

m

Abstand des Druckmittelpunktes vom Schwerpunkt 3? = 3^ + e

Abstand des Druckmittelpunktes vom Fliissigkeitsspiegel

Flachenmoment 2. Grades der gedriickten Flache bezogen auf die waagerechte Flachenschwerachse Flachenmoment 1. Grades der gedriickten Flache bezogen auf den Fliissigkeitsspiegel

396 Die Gleichungen fiir Seitenkraft und Abstande gelten nicht nur fiir die ganze Seitenwand und Rechteckflachen, sondem auch fiir Teile oder Ausschnitte der Wand von beliebiger Form.

6 Fluidmechanik (Hydraulik) Beispiel: Fiir die im Bild dargestellte Rechteckflache wird

h

Ayo

6

bhh h 2, y = y, + e = - + - = -h d. h. der Druckmittelpunkt D liegt um 2/i/3 unter dem Fliissigkeitsspiegel.

1. Ubung: Eine Ufermauer wird einseitig durch den Druck des Wassers belastet, das 6 m iiber der Sohle steht. a) Wie groB ist die Seitenkraft F^ fiir ^ = 1 m Mauerlange? b) Wie tief liegt der Druckmittelpunkt unter dem Wasserspiegel? c) Wie gro6 ist das Kippmoment je Meter Lange, bezogen auf die Kippkante A? Losung: a) Die gedriickte Flache ist ein Rechteck mit Breite b = Im und Hohe /z = 6 m. Ihr Schwerpunkt liegt in halber Hohe: yo = h/2 = 3 m. Die Kraft F^ wird mit der Seitenkraft-Gleichung berechnet. b) Das Rachenmoment 2. Grades der Rechteckflache isi I = bh^/12, ihr Flacheninhalt A = bh und ihr Schwerpunktsabstand yo = h/2. Mit diesen GroBen entwickelt man eine Gleichung fiir den Druckmittelpunktsabstand e. c) Das Kippmoment ist das Produkt aus der Seitenkraft Fs und ihrem Wirkabstand / von der Kippkante A. 2. Ubung: In einem Wehr befmdet sich 1 m unter dem hochsten Wasserspiegel eine rechteckige Offnung von 400 mm Breite und 600 mm Hohe. Die Offnung ist mit einer drehbaren Klappe verschlossen, die sich offnen soil, falls die Hohe des Wasserspiegels 1,80 m iibersteigt.

Gegeben: /z = 6 m ,

b = \ui

Q = 1000 kg/m^ Gesucht: Seitenkraft F^ Abstand y Kippmoment Mk

F,=QgAyQ = \Qr' - | - 9 , 8 1 ^ I m ^ m - S m m^ s^ Fs = 17,6 • 10^ ^ ^ - 176,6 kN

/

h

Ajo

6

6m ^ 6

(Entwicklung der Gleichung fur e siehe oben) y — 3;o + g = 3 m + l m = 4 m

MY =FJ=

176,6kN(6m-4m)

Mk = 352,2 kNm

^7

1 ri^:'-J

^

I ~ I^

- ., . ^^

X •

^

>

^s\i / 1

X

>

^ ^

—^ V/ //// '/////////Y/////////////A

Y A

_6_

Qll

6.1 Statik der Riissigkeiten (Hydrostatik) Mit welcher Gewichtskraft FQ muss der Klappenhebel belastet werden, wenn der Klappendrehpunkt 950 mm unter dem hochsten Wasserspiegel liegt und die Hebelausladung 800 mm betragt?

Losung: Um die Momentenverhaltnisse an der Klappe untersuchen zu konnen, muss man die Seitenkraft F^ kennen, mit der die Klappe durch den Wasserdruck belastet wird. Dafiir wird zuerst der Schwerpunktsabstand der Klappenflache (Rechteck) vom hochsten Fliissigkeitsspiegel: yo = h+h/2. AuBerdem muss der Angriffspunkt der Seitenkraft bekannt sein. Man ermittelt hierfur den Druckmittelpunkts-Abstand e und daraus den Abstand y der Seitenkraft vom Wasserspiegel. Die Klappe muss im Momentengleichgewicht sein. Man ermittelt den Wirklinienabstand U der Kraft Fs vom Klappendrehpunkt A und setzt dann die Momentengleichgewichtsbedingung fiir den Drehpunkt A an.

397 Gegeben: Offnungsabstand Offnungshohe Offnungsbreite Drehpunktsabstand Hebelausladung Dichte Gesucht: Gewichtskraft FQ

l\= 1 m h = 0,6m ^ = 0,4 m k = 0,95 m I3 = 0,8 m ^ = 10^ kg/m^

jQ — /j -\— = 1 m + 0,3 m = 1,3 m Dann ist die Seitenkraft kg ^s

=

^^^>'0

•

: 3,06 • 1 0 ' N = 3060 N

/ Ayo

h^

bh^ \2bhyo

y = yo-\-e=l,3m

l2yo

- 0,023 m

+ 0,023 m = 1,323 m

/4=j-/2-l,323m-0,95m-0,373m 2M(A)=0 = Fs/4 - Fch Fo = F . ; i = 3 0 6 0 N . ^ = 1 4 2 7 N 0,8 m

IT,

6.1.9 Auftriebskraft Taucht ein Korper in eine Fliissigkeit ein, so wird seine Oberflache allseitig durch den Rtissigkeitsdruck belastet. Die horizontalen Druckkrafte F3 heben sich auf, aber in vertikaler Richtung ist die nach oben gerichtete Kraft F2 groBer als die nach unten gerichtete Kraft Fi. Die Resultierende dieser beiden Krafte ist nach oben gerichtet. Sie heiBt Auftriebskraft F^ = F2 — F\. Wird die Gleichung F^ = F2 — F\ weiter entwickelt, dann erkennt man, dass die Auftriebskraft Fa genauso groB ist wie die Gewichtskraft FQ der von dem eingetauchten Korper verdrangten Fliissigkeitsmenge. Ihr Angriffspunkt muss demzufolge im Schwerpunkt F der verdrangten Flussigkeitsmenge liegen (Verdrangungsschwerpunkt, Formschwerpunkt). Das gilt auch fiir teilweise eingetauchte, also schwimmende Korper.

Vollstdndig eingetauchter Korper: Verdrangungs-

, ^

,

schwerpunkt F Verdragungs= Korperschwerpunkt F schwerpunkt K faiu mit Korper^?:~-~ schwerpunkt A" zusammen

Es istFi — Qgh\A undF2 = Qgh2A und Fa = F2 - Fi = QgA{h2 - hi) Hierin ist A{h2 - hi) = V das Volumen, QA(h2 — hi) = QV = m die Masse und QA{h2 - hi) g = mg die Gewichtskraft der verdrangten Flussigkeitsmenge.

Auftriebskraft

F,

V

N

m'

Q

8

kg

m

m3

398 Auftriebskraft und Gewichtskraft des eingetauchten Korpers sind entgegengerichtete Krafte. Daraus folgt: Die Gewichtskraft eines in eine Hiissigkeit eingetauchten Korpers verringert sich (scheinbar) urn die Gewichtskraft der von ihm verdrangten Flussigkeitsmenge.

Ubung: Ein Korper mit der Masse m\, = 250 g hangt ganz in Wasser eingetaucht an einer Waage. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sie mil einem Wagestiick von 200 g Masse belastet ist. Wie groB sind Volumen V und Dichte Q^ des Korpers? Losung: Die Auftriebskraft F^ am Korper ist die Differenz der Gewichtskrafte des Korpers Fok und des Wagestiicks FQ. In die Auftriebsgleichung setzt man fiir die Krafte die Produkte aus Masse und Fallbeschleunigung ein und erkennt, dass die Masse m^ des verdrangten Wassers gleich der Differenz zwischen Korpermasse mk und Wagestuckmasse m ist. Aus der Beziehung AWW = Vg^ wird das Verdrangungsvolumen V bestimmt, das gleich dem Korpervolumen V sein muss. Die Korpermasse m^ ist das Produkt aus dem Volumen V und der Korperdichte g^. Aus dieser Beziehung kann die Dichte ^j^ des eingetauchten Korpers bestimmt werden.

6 Fluidmechanik (Hydraulik) Schwimmender .

^^^P^^

VerdrangungsschwerpunktF liegt unter dem Korperschwerpunkt K. Beachte: Die Auftriebskraft ist nach oben gerichtet und gleich der Gewichtskraft der vom Korper verdrangten Flussigkeitsmenge. Sie greift im Formschwerpunkt F (Verdrangungsschwerpunkt) der verdrangten Flussigkeitsmenge an. Gegeben: Masse des Korpers m^ = 250 g Masse des Wagestiicks m = 200 g Dichte des Wassers ^^ = 10^ kg/m^ Gesucht: Volumen V und Dichte ^j^ des Korpers (mw Masse des verdrangten Wassers)

^a — ^Gk - FQ

^v^8 = rrn,g-mg Daraus ergibt sich:

mw = ^^w ' folglich ist mw

m^-m

^w

^w

50 • 10~^ kg

V •

10^

^ m^

V -.= 50- 10"^ m^ = 5 0 c m ^

mk := V^k'

^k =

Aiifgaben Nn 1013-1024

A./C = Korperschwerpunkt

T ^ 1^-^-^ ^'^?::rSS-

mk V

folglich ist 250 10-3 kg 50-10-6 m3

kg m3

6.1.10 Schvdmmen Wirken nur die Gewichtskraft FQ und die Auftriebskraft Fa auf einen Korper, so richtet sich sein Verhalten in einer Flussigkeit danach, wie groB die Auftriebskraft ist.

Beispiel: Wie tief taucht ein Wurfel aus Gusseisen mit a = 10 cm Kantenlange und der Dichte ^j = 7500 kg/m^ in ein Quecksilberbad mit der Dichte ^2 = 13 600 kg/m^ ein?

6.1 Statik der Riissigkeiten (Hydrostatik) 1st die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft des Korpers, so sinkt er. 1st die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Korper an jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flussigkeit, er schwebt. 1st die Auftriebskraft grofier als die Gewichtskraft, schwimmt der Korper an der Oberflache. Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit auftaucht, dass die Auftriebskraft (= Gewichtskraft der verdrangten Flussigkeit) gleich der Gewichtskraft des schwimmenden Korpers ist. Dann ist auch die Masse der verdrangten Flussigkeit gleich der Masse des Korpers.

399 Losung: Die Masse des Wiirfels ist ,3 kg a'Q. = 10-^ m^ • 7,5 • 10' ^

mi ^7,5 kg

mi

Bei Schwimmen ist die Masse m2 des verdrangten Quecksilbers gleich der Masse mi des Wiirfels. Das verdrangte Quecksilbervolumen hat die Form eines quadratischen Prismas mit der Hohe h: V2 = cp-h. Folglich ist: m2 = ViQi = a^hQ2 = mi h

= mi "" ^2

7,5 kg 10-2 m2 . 13,6 • 10^

kg

5,51 cm

6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Korper Man unterscheidet bei schwimmenden Korpem stabile und labile Gleichgewichtslagen. Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage. Zwei Krafte wirken auf den schwimmenden Korper: Die im Korperschwerpunkt K angreifende, nach unten gerichtete Schwerkraft FQ (Gewichtskraft) und die im Verdrangungsschwerpunkt F angreifende Auftriebskraft Fa. In der Gleichgewichtslage wirken die beiden gleich groBen Krafte Fa und FQ langs der gemeinsamen Wirklinie W — der Korpermittellinie — in entgegengesetzter Richtung. Dreht man nun den Korper in der Zeichenebene nach links (Schraglage), so wird die vorher vertikale Mittellinie W um den Winkel cp geneigt. Dabei bleibt zwar die Lage des Korperschwerpunkts K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsanderung den Verdrangungsschwerpunkt F an eine andere Stelle. Das heiBt aber auch: Die Parallelkrafte Fa und FQ bekommen einen mehr oder weniger groBen Wirkabstand /i, sie bilden ein rechtsdrehendes Kraftepaar. Das Drehmoment von Auftriebskraft Fa und Gewichtskraft FQ wirkt der Drehung des Korpers entgegen: Der Korper hat also eine stabile Schwimmlage. Das Wiederaufrichtungsmoment — die Stabilitat — hangt vom Wirkabstand h ab. Er heiBt deshalb auch: Hebelarm der statischen Stabilitat.

'-- Stabile Schwimmlage

Fa FQ W

Auftriebskraft, in F angreifend Gewichtskraft, in K angreifend Mittellinie des Korpers (Schwimmachse) F Verdrangungsschwerpunkt = Schwerpunkt der verdrangten Flussigkeit K Schwerpunkt des Korpers M Metazentrum = Schnittpunkt der Mittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft h — MK • sin q) Hebelarm der statischen Stabilitat (p Neigungswinkel MK metazentrische Hohe

400

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

Jeder andere Neigungswinkel cp bringt eine andere Lage des Verdrangungsschwerpunktes F und damit auch einen anderen Hebelarm h. Kennzeichnend und entscheidend fiir das Verhalten eines schwimmenden Korpers bei Storungen des Gleichgewichts ist das so genannte Metazentrum M, der Schnittpunkt der Korpermittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft: Liegt M iiber dem Korperschwerpunkt K, so schwimmt der Korper stabil. Das Drehmoment von Auftriebskraft und Gewichtskraft hat dann eine aufrichtende Wirkung. Die Strecke MK heiBt metazentrische Hohe. Die labile Schwimmlage erkennt man sofort daran, dass das Metazentrum M unterhalb des Korperschwerpunktes K liegt. Der nach links gedrehte Korper richtet sich nicht wieder auf. Das linksdrehende Kraftepaar aus Auftriebskraft und Gewichtskraft unterstiitzt die Drehung des Korpers noch, bis er in die stabile Schwimmlage kommt.

6.1.12 Stabilitat eines Schiffes Das Bild zeigt ein Schiff von bestimmtem Ausriistungszustand geneigt um zwei verschiedene Neigungswinkel cp^ und cp2. Wahrende bei alien Neigungen die Lage des Schiffsschwerpunkts K unverandert bleibt, bekommt der Verdrangungsschwerpunkt F jeweils eine andere Lage (hier von Fi nach F2). Damit andert sich auch die Lage des Metazentrums M (hier von M\ nach M2), es wandert je nach Neigung auf der Schiffsmittellinie auf- oder abwarts, die metazentrische Hohe MK wird groBer oder kleiner. Ebenso verandert sich der Hebelarm h, dessen GroBe die Stabihtat des Schiffes, d. h. sein Wiederaufrichtungsvermogen bestimmt. Ist h klein, so ist auch das Drehmoment von Schiffsgewichtskraft FG und Auftriebskraft Fa klein.

Labile Schwimmlage

6.1 Statik der Flussigkeiten (Hydrostatik) Durch Auftragen der GroBe h in Abhangigkeit vom Neigungswinkel q) erhalt man die „Stabilitatskurve". Sie vermittelt eine Vorstellung von den Stabilitatseigenschaften des Schiffes. Je steiler die Hebelarmkurve gleich im Anfang ansteigt, d. h. je rascher die Hebelarme h zunehmen, desto stabiler (steifer) ist das Schiff. Die aufrichtenden Drehmomente sind dann schon bei Neigungsbeginn verhaltnismaBig groB. Je flacher dagegen die Hebelarmkurve verlauft, desto weicher (ranker) ist das Schiff. Das groBte Aufrichtungsvermogen wird gekennzeichnet durch den hochsten Punkt der Kurve, d. h. durch den maximalen Hebelarm h. Er Uegt im Beispiel bei 35°. Bei einem guten Schiff liegt er zwischen 30° und 45°. 10° bis 15° sind schon unzulassig schlechte Werte. Neigt sich das Schiff liber den Nulldurchgang der Hebelarmkurve hinaus (hier bei 75°), so kehrt sich die Momentendrehrichtung um und unterstiitzt die Neigung des Schiffes; es wtirde kentem. Dieser Punkt wird deshalb auch Kenterpunkt genannt. Der Bereich von 0° bis zum Kenterpunkt heiBt „Umfang der Stabilitat". Der Kenterpunkt (hier 75°) gilt jedoch nur dann, wenn das Schiff z. B. im Seegang bis auf diesen Winkel aufgeschaukelt wiirde, ohne dass ein kontinuierlich wirkendes krangendes Moment, z. B. durch einseitige Beladung, Trossenzug, Winddruck oder Zentrifugalkraft im Drehkreis verursacht wird. Neigt sich dagegen das Schiff druch ein solches, anhaltend wirkendes Moment bis zu dem Winkel, bei dem die Hebelarmkurve ihr Maximum besitzt (hier 35°), so kentert es bereits bei dieser Schraglage, nicht erst beim eigentlichen Kenterpunkt. Treten ein kontinuierlich wirkendes, jedoch zum Kentem allein nicht ausreichendes krangendes Moment und SchUngerbewegungen gleichzeitig auf, so liegt der Kenterwinkel zwischen Kurvenmaximum und Nulldurchgang (hier zwischen 35° und 75°). Das Schiff schlingert dann um diejenige Neigung als Mittellage, die dem krangenden Moment entspricht.

401 i 0,7 0,6 ^"2 0,5 CO C O "5) c: 0,4 0,3 0,2

^1

0,1 1 1 T 0 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° Neigungswinkel (Krangungswinkei) ^

Stabilitatskurve

Hinweis: 1. Sehr stabile (steife) Schiffe haben unangenehme, im Verhaltnis zur GroBe rasche Schlingerbewegungen. Im Fall der Resonanz mit den Wellenbewegungen, die bei diesen Schiffen leichter eintritt, werden die Ausschlage groB. 2. Wenig stabile, ranke (weiche) Schiffe haben angenehme, im Verhaltnis zur GroBe langsame, meist kleine Schlingerbewegungen. 3. Bei einem guten, seetiichtigen Schiff liegen die Eigenschaften dazwischen.

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

402

6.2 Dynamik der Fluide (Stromiiiigsmechaiiik) Die folgenden GesetzmaBigkeiten gelten nicht nur fiir Fliissigkeiten, sondem auch fur Gase und Dampfe, wenn ihre Stromungsgeschwindigkeit unter 100 m/s liegt, was in der Technik meistens der Fall ist. Diese Fliissigkeiten, Gase und Dampfe nennt man Fluide.

6.2.1 Kontinuitatsgleichung (Stetigkeitsgleichung) Verandert ein Fluid sein Volumen nicht, so muss durch die verschiedenen Querschnitte A\, A2 einer Leitung in jeder Sekunde das gleiche Volumen flieBen. Das in einer Sekunde gleichformig dutch einen Stromungsquerschiutt flieBende Volumen heiBt Volumenstrom qy (auch Volumendurchfluss und Volumendurchsatz genannt). Der Volumenstrom qy ist das Produkt aus dem Stromungsquerschnitt A und der Stromungsgeschwindigkeit w. Er ist in alien Stromungsquerschnitten konstant.

/ Sekunde 1 Sekunde

Beachte: Die koharente Einheit des Volumenstwmes qy ist das Kubikmeter Sekunde

s

«,3

m — s qy ~A\Wi^A2W2

w

A


Volumenstrom q\ = Aw

2

m^

= konstant

Kontinuitatsgleichung

6.2.2 BernouUi'sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Stromung) 6.2.2.1 Horizontale Stromung (Stromung ohne Hohenunterschied) In einer horizontalen Leitung mit veranderlichem Querschnitt stromt ein Fluid. Im Querschnitt A hat es die kinetische Energie ^kini = mwi^/2, im Querschnitt E die kinetische Energie ^kin2 = mw2^/2 (siehe 4.7.3, Seite 220). Da der Leitungsquerschnitt A2 > Ai ist, muss nach der Kontinuitatsgleichung die Stromungsgeschwindigkeit W2 <w\ sein. Die Driicke p\, pi heiBen statische Driicke.

Leitungsquerschnitt

Leitungsquerschnitt A;

ifV P2mr

Kolben 1

Kolben 2'

A2

m s

6.2 Dynamik der Fluide (Stromungsmechanik) An einer beliebigen Stelle, z. B. bei A, wird dem Fluid uber einen Kolben durch die Kraft F\ langs des Weges ^i die Arbeit Wi = Fisi zugefiihrt. Bei E wird gegen die Kraft F2 die Arbeit W2 = F2S2 abgefiihrt. Nach dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite 221) ist die Energie EE am Ende dieses Vorganges gleich der Energie E\ am Anfang, vermehrt um die zugefuhrte Arbeit Wzu und vermindert um die abgefiihrte Arbeit WabWird in den Quotienten fiir die kinetische Energie fur die Masse m das Produkt Volumen V multipliziert mit der Dichte g eingesetzt, dann erhalt man den Energieerhaltungssatz in einer neuen Form. Auch die Ausdriicke Fi^i und F2S2 konnen weiterentwickelt werden, indem man fur die Krafte F = pA und fiir A 5 das Volumen V setzt. Der Energieerhaltungssatz erhalt dann eine Form, in der die Quotienten QW'^V/2 die kinetische Energie des Fluids und die Produkte pV seine Druckenerie sind. Dividiert man den Energieerhaltungssatz noch durch das Volumen V, dann erhalt man die BemoullVsche Druckgleichung fiir horizontal stromende Fluide. Die einzelnen Glieder der Bemoulligleichung sind also nichts anderes, als die Energien je Volumeneinheit. Aus der Druckgleichung erkennt man: Bei horizontaler Str5mung ist die Sunune aus dem statischen Druck p und dem kinetischen Dmck q = Qw^fl konstant.

403 Wi = Fx sx zugefiihrte Arbeit

W2 = F2 S2 abgefiihrte Arbeit

£kin2=^kinl+Wi-W2 mw2^

mw\^

mwx^

^vvj^

FxSx =pxAxSx

-Fxsx

mw2^ QW2'^

=pxy

F2S2 = P1A2S2 = P2y

Energieerhaltungssatz fiir horizontale Stromung

Bernoulli 'sche Druckgleichung fiir horizontale Stromung

p Pa- —

Q

w

V

kg

m s

«.3

m3

m

Beachte: Der kinetische Druck q = QMP-/2 wird auch Geschwindigkeitsdruck oder Staudruck genannt.

6.2.2.2 Nichthorizontale Stromung (Stromung mit Hohenunterschied) Der einzige Unterschied gegeniiber der horizontalen Stromung besteht darin, dass die Fluidteilchen im Verlauf der Stromung ihre Hohenlage gegeniiber einer beUebig gewahlten horizontalen Bezugsebene andem. Dadurch erhalten sie verschieden groBe potenzielle Energie (Lageenergie).

-F2S2

404

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

Im Energieerhaltungssatz muss also noch die potenzielle Energie E^ot = f^gh im Anfangs- und Endzustand hinzugefiigt werden, hier bezogen auf die gekennzeichnete Bezugsebene. Wird dann wieder m^Vg und F^= pV gesetzt, erhalt man den Energieerhaltungssatz fur die nicht horizontale Stromung.

EE=EA

mw2

+ W,U -

Wab

mw\

+ mgh2 •

-mghx + F i 5 i - E2S2

^w-^v + QghiV^^w^v^QghiV-vpiV-insn Energieerhaltungssatz fiir nichthorizontale Stromung

Die Division durch das Volumen V ergibt wieder die Energien je Volumeneinheit und damit die BernoulWsche Druckgleichung fiir nicht horizontal stromende Fluide.

i^iiM

Q

Pi ^Qghi

•i-^:wi^^^^

BemoulWsche Druckgleichung fiir nichthorizontale Stromung

Man erkennt: In einem Fluid ist die Summe aus dem statischen Dmck p, dem kinetischen Dmck q = QW^/2 und dem geodatischen Dmck Qgh konstant.

In der Praxis wird die Bemoulli-Gleichung oft in einer anderen Form angewendet. Wird die Druckgleichung durch Qg dividiert, dann ergeben sich fiir die einzelnen Glieder Ausdriicke, die Hohen darstellen. Die auf diese Weise gewonnene Gleichung nennt man die BemoullVsche Druckhohengleichung fiir nicht-horizontal stromende Fluide.

Beachte: p statischer Dmck q — —-yj^ kinetischer Druck (Geschwindigkeitsdruck, Staudruck) Qgh geodatischer Druck Die Summe der drei Driicke ist der Gesamtdruck /7ges. Er ist an alien Stellen der Leitung gleich groB.

Qg

2g

gg

2g

Bernoulli 'sche Druckhohengleichung fiir nicht-horizontale Stromung

p Pa =

N ^ m^

Q

g

kg

m

m3

h

w

V

m

m s

m'

Man erkennt: Bei nicht-horizontaler Stromung ist die Summe aus der statischen Dmckhohe, der kinetischen Druckhohe und der geodatischen Druckhohe konstant.

Beachte: — 98 2g

Die drei Gleichungen dieses Abschnitts sind auch fiir die horizontale Stromung anwendbar. Dann ist h\ = h2 und die Glieder, welche die Hohenlage beriicksichtigen, fallen aus den Gleichungen heraus.

statische Druckhohe kinetische Druckhohe geodatische Druckhohe

Die Summe der drei Hohen ist die Gesamthohe H. Sie ist fiir alle Stellen der Leitung gleich groB.

6.2 Dynamik der Fluide (Stromungsmechanik)

405

6.2.3 Anwendung der BernouUigleichung

6.2.3.1 Druck in einer Leitung In einer Leitung herrscht im Querschnitt 1 der Druck p = 1,2 bar. Das Fluid hat eine Geschwindigkeit vvi = 5 m/s. Es soil sich im ersten Fall um Wasser (Q^ = 1000 kg/m^), im zweiten Fall um Luft von 20 °C {QI - 1,4 kg/m^) handeln. Der Atmospharendruck betragt in beiden Fallen po = 1050 mbar. In beiden Fallen soUen fur den Querschnitt 2 der Druck p2 und der Unterdruck pu gegeniiber dem Atmospharendruck Po ermittelt werden.

Querschnitt 1

Querschnitt 2

I

1

-I

!

Gegeben: Druck/?! = 1,2 bar = 1,2 • 10^ Pa Geschwindigkeit w\ =5 m/s Dichte des Wassers Q^ = 1000 kg/m^ Dichte der Luft QI = 1,4 kg/m^ Atmospharendruck Po = 1050 mbar Gesucht: Druck p2 Unterdruck p^

Es wird zunachst nach der Kontinuitatsgleichung die Stromungsgeschwindigkeit W2 im Querschnitt 2 berechnet.

A\w\ =A2W2

Dann entwickelt man aus der Bernoulli'schen Druckgleichung fur die horizontale Stromung eine Gleichung fiir den Druck p2. Fiir den Fall des stromenden Wassers setzt man in diese Gleichung neben den anderen GroBen die Dichte des Wassers Q^ = 1000 kg/nv" ein.

Pi

^2

P2

P2

Ai 707 mm2 m ..^^ m : -— vvj = -— • 5 — = 13,92 — A2 254 mm2 s s Q

Q

2

--P2+ir Q

2

Q

2

^2 2

= Pi + y {w\^ • W2^)

10^ kg N (52 - 13,92^) 1,2- 10-^ — + 2m3 m-2

P2= 1,2- 10^ Pa - 0,844 • 10^ Pa P2 = 0,356 • 10^ Pa = 356 mbar

Der Unterdruck wird aus dem Atmospharendruck Po und dem Druck p2 in der Leitung berechnet. Fiir den Fall der stromenden Luft verfahrt man genauso, jetzt mit ^ = 1,4 kg/m^. Dabei wird voraus gesetzt, dass auch bei einem stromenden Gas die Dichte Qi konstant bleibt. Die Rechnung ergibt im Querschnitt 2 einen groBeren Druck als in der Atmosphare. Es herrscht also kein Unterdruck, sondem Uberdruck. Aufgabm Nr. 1025-1027

Pu= Po - Pi = 1050 mbar - 356 mbar p^^ =z 694 mbar P2

Q

/

2

•W2^)

kg P2 = 1,2 • 10' Pa + 0,7 ^ (25 - 194) - ^ m^ s2 P2= 1,2-10^ Pa - 118 Pa = 1,1988 bar p^= P2 — PQ = \ 198,8 mbar - 1050 mbar Pa = 148,8 mbar

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

406 6.2.3.2 Ausfluss aus einem GefaB Angenommen, die Fluidspiegelflache B eines GefaBes sei gro6 gegeniiber der Ausflussoffnung A. Dann sinken die Ruidteilchen bei B sehr langsam ab, und man kann das Quadrat ihrer Geschwindigkeit gegen das der Geschwindigkeit bei A vemachlassigen. Da das GefaB bei A und B offen ist, ist der statische Druck an beiden Stellen gleich dem Atmospharendruck po = PA = PBDie Ausflussgeschwindigkeit wird mit der Bernoulli'schen Druckhohengleichung ermittelt. Die Entwicklung fiihrt zu der Gleichung fiir die theoretische Ausflussgeschwindigkeit WA = y/2gTi. Bin Vergleich mit den Gleichungen fiir den freien Fall in Tabelle 4.1, Seite 154, zeigt die Ubereinstimmung mit der Gleichung Vt = y/2g As (mit A^ = h) fur die Endgeschwindigkeit Vt eines Korpers nach dem freien Fall um die Fallhohe h. Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit WA ist demnach ebenso gro6 wie die Endgeschwindigkeit Vt eines um die Hohe h frei fallenden Flussigkeitsteilchens. Die Hohe /i, die dem Fluid die Geschwindigkeit w erteilt, nennt man die Geschwindigkeitshohe. Nach der gleichen Uberlegung, die zur Kontinuitatsgleichung fiihrte, stromt aus einer Offnung mit dem Querschnitt A in jeder Sekunde der Volumenstrom^v = Aw aus. Der wirkliche Volumenstrom ist kleiner als der theoretische, well die Ausflussgeschwindigkeit Wg infolge der inneren Reibung und der Reibung an den GefaBwanden nicht ganz den theoretischen Wert w = \flgh erreicht. Dieser Einfluss wird durch die Geschwindigkeitszahl cp < 1 beriicksichtigt. Von noch groBerem Einfluss auf die Verringerung des Volumenstroms ist die Einschniirung (so genannte Kontraktion) des Ruidstrahls: Die Stromfaden im Inneren des GefaBes laufen radial auf die Offnung zu und konnen nicht plotzlich in Strahlrichtung umlenken. Der wirkliche Strahlquerschnitt ist dann nicht A sondem a A. a ist die Kontraktionszahl; sie ist immer kleiner als eins. Das Produkt acp hQi^iAusflusszahlju.

L.Po^^ h4=

^A

TPo ^ Bezugsebene

A

Bemoulli'sche Druckhohengleichung: — + «B + -Z- = — + /lA + -TTQg 2g Q8 2g Die statische D r u c k h 6 h e / 7 o / ^ g fallt auf beiden Seiten heraus, die Geschwindigkeitshohe WB^/2g kann vemachlassigt werden und es verbleibt.

hA=h

2g . w = y/2gn

theoretische Ausflussgeschwindigkeit Geschwindigkeitshohe

2g qy=zAw

r-—= A^/2gh

theoretischer Volumenstrom

w^ =
Ausflussgeschwindigkeit

(p ist abhangig von der Zahigkeit des Fluids und betragt fur Wasser 0,97 . . . 0,99.

Strahlkontraktion

407

6.2 Dynamik der Fluide (Stromungsmechanik) Der wirkliche Volumenstrom ^ve ist das Produkt aus Ausflusszahl fi und theoretischem Volumenstrom ^ v Die Ausflusszahl // ist abhangig von der Form der Ausflussoffnung. Drei Hauptformen mit den zugehorigen Ausflusszahlen fiir Wasser zeigt das nebenstehende Bild.

wirklicher Volumenstrom

i

^

fe^

0 ^

p = 0,62 ...0,64

M=

/i = 0,82 fur l^2,5d

0,97.0,99

Ausflusszahlen fiir Wasser

IJbung: Ein Wasserbehalter hat eine Bodenoffnung von 65 nmi Durchmesser. Sie liegt 5 m unter dem unveranderlich gedachten Wasserspiegel. Die Ausflusszahl betragt 0,8. In welcher Zeit flieBen Ve = 2,5 m^ Wasser aus der Bodenoffnung? Losung: Zunachst wird die Querschnittsflache A der Bodenoffnung berechnet. Um festzustellen, wieviel Wasser in einer Sekunde ausstromt, berechnt man den Volumenstrom ^veDemnach kann aus dem Ausflussvolumen Ve und dem sekundlichen Ausflussvolumen = Volumenstrom q\e die Ausflusszeit t berechnet werden.

Gegeben: Offnungsdurchmesser d =65 mm Geschwindigkeitshohe h =5 m Ausflusszahl /i = 0,8 wirkliches Ausflussvolumen Ve= 2,5 m^ Gesucht: Ausflusszeit t

A=— 4

d^ =— (0,065 m)^ = 0,00332m^ 4

^Ve = / ^ ^ V 2 g / Z

^ve = 0,8 • 0,00332 m^ • W2 • 9,81 ^ • 5 m = 0,0263 S

2,5 m^

= 95s

0,0263

6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel Verbindet eine Ausflussoffnung zwei benachbarte GefaBe unterhalb ihrer Fluidspiegel, so stromt das Fluid aus dem GefaB 1 in das GefaB 2 iiber, solange noch eine Hohendifferenz h = h\ —hi vorhanden ist. Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit w ist von dieser Druckhohendifferenz abhangig, ebenso der wirkliche Volumenstrom ^ve-

theoretische Ausflussgeschwindigkeit

w = y/2g (hi - h2) — — „ ^ ^ e = f^A y/2g {hi ^ h2}

wirklicher Volumenstrom

6.2.3.4 Ausfluss bei Uberdruck im GefaB Auf dem Fluidspiegel B eines GefaBes lastet der Druck p\, wahrend an der Ausflussoffnung A der Atmospharendruck/7o herrscht. Man ninmit wieder an, dass die Geschwindigkeit der Fluidteilchen bei B vemachlassigbar klein ist.

^Bezugsebene ^

j

•

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

408 Die Ausflussgeschwindigkeit ermittelt man mit Hilfe der BemouUi'schen Druckhohengleichung. Darin ist w^^/2g vemachlassigbar, also gleich null. Statt der beiden geodatischen Hohen /ZA und /ZB wird die geodatische Hohendifferenz h = HB - HA eingesetzt und erhalt damit eine Gleichung fiir die theoretische Ausflussgeschwindigkeit WA = W. Den wirklichen Volumenstrom bekommt man mit dieser Geschwindigkeit, der Ofl'nungsflache A und der Ausflusszahl // mit Hilfe der bekannten Gleichung. Wird nun noch der LFberdruck pa im Behalter gegeniiber dem auBeren Luftdruck fur die Druckdifferenz/71 - po gesetzt, dann vereinfacht sich die Gleichung.

h

AZB

Q8

+ -^— 2g

WA^

PI

PO

2g

Qg

Qg

w=4/2g

Qg

H «A + -:r— 2g

, . , -hB-hA=

Pi - Po , , \-h Q8 theoretische Ausflussgeschwindigkeit

h'if)

^Ve=M^ = M\/2^ (h+a ^Ve=Ml/2g

V

iili

QgJ

wirklicher Volumenstrom q\t

s

/^

A

1

m^

h P\,PO,Pu

8 m

m

Q

kg m3

Ubung: In einem Dampfkessel lastet auf der Wasseroberflache ein LFberdruck von 3,5 bar. Das Ablassrohr liegt 2,3 m unter dem Wasserspiegel und hat eine lichte Weite von 50 mm. Die Ausflusszahl betragt 0,8.

Gegeben: Uberdruck Pa = 3,5 bar - 3,5 • 10^ Pa geodatische Druckhohendifferenz h = 2,3m Rohrdurchmesser d = 50 mm Ausflusszahl ju = 0,8

Wieviel Wasser stromt in jeder Sekunde durch das Rohr?

Gesucht: wirklicher Volumenstrom ^ve

Losung: Zunachst wird die Querschnittsflache A des Ablassrohres berechnet. Dann bestimmt man mit Hilfe der bekannten Gleichung den Volumenstrom ^ve- Dabei muss beachtet werden, dass der Uberdruck p^ mit der Einheit Pa = N/m^ eingesetzt wird (1 bar = 10^ Pa).

A = ^d^=--254 4

\0-' m^ = 19,63 • lO'^ m^

9ve=MA/2g(/> + g j = 0,0429 J

6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel Bei den bisherigen Betrachtungen wurde die geodatische Druckhohe h des Fluidspiegels gegeniiber der Ausflussofl'nung als konstant angenommen. Damit war auch die Ausflussgeschwindigkeit konstant.

L?

t^ ^

iii^ii'

^

6.2 Dynamik der Fluide (Stromungsmechanik) Soil ein GefaB aber ganz oder teilweise entleert werden, dann muss man den absinkenden Fluidspiegel beriicksichtigen. Mit sinkendem Fluidspiegel nimmt die Ausflussgeschwindigkeit w und natiirlich auch der Volumenstrom ^ve ab. Die Ausflussgeschwindigkeit folgt dem Gesetz des freien Falls: w = y/Tgh. Weil hier die Hohe aber nicht zu- sondem abnimmt, handelt es sich um einen gleichmaBig verzogerten Geschwindigkeitsverlauf. Man rechnt deshalb in diesem Fall mit der mittleren Ausflussgeschwindigkeit Wm und erhalt daraus den mittleren Volumenstrom ^vem- Das wirklich ausflieBende Volumen Ve ist das Produkt aus dem mittleren Volumenstrom ^vem und der Ausflusszeit t: Ve = ^Vem t' Aus dieser Beziehung kann schlieBlich auch die Ausflusszeit t = Ve/^vem ermittelt werden. Soil das GefaB voUig entleert werden, dann verringert sich die Ausflussgeschwindigkeit vom Anfangswert vvi bis auf W2 = 0, weil die Hohe /z2 am Ende der Entleerung gleich null ist. Dann vereinfachen sich die Gleichungen durch den Fortfall des letzten Zahler- oder Nennergliedes.

409 Bei teilweiser Entleerung sind die Ausflussgeschwindigkeiten vvi = y/lghx wi

und W2 =

.MPiBi ^^'^t/M^'MS&i

mittlere theoretische

Ausflussgeschwindigkeit

yjlghx^s/lght

qVem^M

mittlerer wirklicher Volumenstrom t = -

Ve

2Ve

gvem

fiA {y/2ghi

+

mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit bei volliger Entleerung

V'^S^l 2

2Ve fiA

mittlerer wirklicher Volumenstrom

\/2^

qVem=I^A

wirkliche Ausflusszeit

y/lghi

Ubung: Ein zyhndrischer Wasserbehalter von 8 m Durchmesser hat in seinem Boden eine Ausflussoffnung von 400 mm Durchmesser. Das Wasser steht im Behalter 6 m hoch. Die Ausflusszahl betragtO,65. In welcher Zeit fliefien 120 m^ Wasser aus?

Gegeben: Behalterdurchmesser Offnungsdurchmesser Wasserspiegelhohe Ausflusszahl wirkliches Ausflussvolumen Gesucht: Ausflusszeit t

Losung: Da nicht bekannt ist, ob der Behalter nach der Entnahme von 120 m^ Wasser teilweise oder vollig entleert ist, wird zunachst die Wasserspiegelhohe /z2 nach der Entnahme bestimmt.

V,=jd^(hi-h2)

A n ^ t e i N r . 1028-1035

\/Egh)

wirkliche Ausflusszeit

t =

Dann berechnet man die Ausflusszeit mit der Gleichung fiir teilweise Entleerung.

y^ghi

hi =^ h\

4Ve

-^

6Wm111

nd^

J = 8 mm d\ — 0,4 m /ii = 6 m ii = 0,65 Ve= 120 m^

4 120m3 _^ ;rn.= 3,61 m jT-(8mf

Der Behalter wird nur teilweise entleert. 2Ve flA {y/2ih~i +

y/2^2)

152,5 s

410

6.2.4 Stromung in Rohrleitungen FlieBt ein Ruid durch eine Rohrleitung, so muss es dabei Reibungswiderstande an den Rohrwanden iiberwinden. Die Folge ist ein Druckabfall Ap (Druckverlust), der von der Fluiddichte Q, der Stromungsgeschwindigkeit w, dem Verhaltnis zwischen Rohrlange / und Rohrdurchmesser d und der Rohrreibungszahl A abhangt. Die Reibungszahl A (auch Widerstandszahl genannt) ist abhangig von der Reynolds'schen Zahl Re und von der Rauigkeit der Rohrwandung.

6 Fluidmechanik (Hydraulik)

^ = X — ~ w^ d 2 A/7

A

l,d

Pa- —

1

m

Druckabfall

Q

w

kg

m s

m3

1. tjbung: Durch eine gerade, 600 m lange Rohrleitung von 400 mm Durchmesser flieBen 12 m^ Wasser in der Minute. Die Widerstandszahl betragt 0,03.

Gegeben: Rohrlange / = 600 m Rohrdurchmesser d = 0,4m Volumenstrom qy = \2 m^/min — 0,2 mVs Rohrreibungszahl A = 0,03

Es soil die Ausflussgeschwindigkeit w und der Druckabfall Ap in der Rohrleitung berechnet werden.

Gesucht: Ausflussgeschwindigkeit w, Druckabfall Ap

Losung: Nach der LFberlegung, die zur Kontinuitatsgleichung fuhrte, flieBt aus der Leitung der Volumenstrom ^v = A^ aus. Aus dieser Beziehung berechnet man die Ausflussgeschwindigkeit w = Stromungsgeschwindigkeit. Mit den bekannten GroBen wird der Druckabfall A/7 ermittelt.

^v = Aw

2. tJbung: Durch eine Rohrleitung von 100 NW und 60 m Lange sollen 210 m^ Wasser je Stunde gedriickt werden.

Welcher Druckunterschied ist zwischen den beiden Leitungsenden erforderlich, wenn die Rohrreibungszahl A = 0,03 betragt? Losung: Hier fiihren dieselben Gedanken wie in der ersten tJbung zum Ergebnis.

qy 0,2 mVs w = -— A = JT/4 (0,4) Ap =

XIQW

2

2d

1,59

kg 0,03 • 600 m • 10^ - ^ • f 1,59 - ) m^ V s/ 2 • 0,4 m

Ap = 56 880 N/m^ = 56 880 Pa ^ 0,569 bar Gegeben: Rohrdurchmesser ^ = 100 mm = 0,1 m Rohrlange / = 60 m Volumenstrom ^v = 210 m'/h = 0,0583 mVs Rohrreibungszahl A = 0,03 Gesucht: Druckabfall A/?

0,0583 — ^ = 7,43^ w =^-^= ^ ^ T(0,lmf ^ 4 Ap = ^ , = 4,97 bar 2d

411

Sachwortvenceichiiis

a, t-Diagramm 147,149,152 abgeleitete GroBen 144 Abminderungsfaktor 362 Abscher- Hauptgleichung 295 —beanspruchung 269,271 - -festigkeit 295 Abscheren 295 absoluter Druck 393 Abstandsquadrat 189 Abtriebsdrehzahl 181 Abtriebsmoment 216 Achsen 343 actio gleich reactio 192 Additionstheoreme 102, 107, 202 Ahnlichkeitssatz 346 AUgemeine Durchbiegungsgleichung 347 allgemeines Kraftesystem 21, 38 Amboss 231 Amplitude 246,249 Amplituden-Frequenz-Schaubild 261 Analogic 240 - -schluss 182 —vcrfahrcn 213 Analogicn bci Schwingungcn 258 analytischc Losung 101,103,106 analytischc Mcthode 22, 36 Anfangscncrgie 221 Anfangsgcschwindigkeit 146, 154 Anfangswinkclgcschwindigkcit 187 Anformungsglcichung 343 Anlaufrcibung 116 Anstrcngungsvcrhaltnis 369 Anstromquerschnitt 157 Antricbsdrchzahl 181 Antricbslcistung 211 Antricbsmomcnt 216 Anzugsmomcnt 121, 123 Aproj 289 Arbeit 203, 213, 245 Arbeit einer vcrandcrlichcn Kraft 205 Arbeit, Ubungcn 206, 212, 216 Arbeit, zeichnerische DarstcUung 204 Arbcitsdiagramm 214, 325 Arbcitsfahigkeit 218, 240

Atmospharcndruck 393, 405 Auflagcreibmomcnt 121 Auflagcrkrafte 2 Auftriebskraft 397,400 Ausflussgeschwindigicit 406, 409 Ausflussoffnung 406 Ausflussvolumcn 407 Ausflusszahl 406-409 Ausfluss aus einem GefaB 406 - bci sinkendem Fluidspicgel 408 - bci Ubcrdruck im GefaB 407 - unter dem Fluidspiegel 407 Ausflusszeit 409 Ausknicken 269,351 Auslaufversuch 241 Auslenkung 246,249 Auslenkung-Zeit-Gesetz 247 Auslenkung-Zeit-Linie 248 Ausrollweg 222 auBere Krafte 265 axiale Flachenmomente 303 - Herleitung 304 - Tafel 309 - symmetrischer Querschnitte 312 - unsymmetrischer Querschnitte 313 - Ubungcn 306 axiale Widcrstandsmomente 303 - Ubungcn 306 - Tafel 309 Axialkraft 64

B Backenbremse 95, 128, 129 Bandbrcmsc 132, 133 Bandreibung 132 Bar 387 Barmasse 228 Basiscinhciten 144,149,152,412 BasisgroBcn 144,412 BaugroBcn 180 Bauverhaltnis 293 Beanspruchung 266, 378 - auf Abscheren 295 - aufBicgung 328 - auf Druck 285

412 - aufKnickung 351 - auf Torsion 321 - aufZug 278 - , zusammengesetzte 270, 365 Beanspruchungsart 268,270,271 Befestigungsgewinde 279 Befestigungsschraube 123 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 121 Beharrungsgesetz 188 Beharrungsvermogen 188 Belastungsart und Festigkeit 376 - ruhend 377 - schwellend 377 - wechselnd 377 Belastungsbild, Konsolblech 301 Belastungsfall 377 - I 377 - II 377 - m 377 Belastungskrafte 2 BemaBung eines Bauteils 381 Berechnung axialer nachenmomente 2. Grades, Ubungen 316 Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs, Ubungen 333 Bemoulligleichung 403 -, Anwendungen 405 Bemoulli'sche Druckgleichung 403 - Druckhohengleichung 404, 406, 408 - Gleichung 402 Beruhrungsflachen 13, 289 Beschleunigung 144, 152, 154, 182, 245 beschleunigte Bewegung, Formeln 154 Beschleunigung-Zeit-Diagramm 147, 150 Beschleunigung-Zeit-Gesetz 247 Beschleunigung-Zeit-Linie 248 Beschleunigungs-Linie 150, 152 Beschleunigungsarbeit 220, 240 Beschleunigungsbegriff 150 Beschleunigungskraft 245 Beschleunigungsmoment 245 Bestimmung des Flachenschwerpunkts 79 Bestimmung des inneren Kraftesystems und der Beanspruchungsarten 272 Betrag einer Kraft 3 Betragszeichen 24 Bewegungsanderung 189 Bewegungsaufgaben, Arbeitsplan 153 Bewegungsbahn 145 Bewegungsenergie 218 BewegungsgroBe 202, 224 Bewegungslehre 144 Bewegungsprobe 15, 18, 19

Sachwortverzeichnis Bewegungsschraube 290 - mit Flachgewinde 119 - niit Spitz-Oder Trapezgewinde 120 Bewegungszustand 7, 145, 179, 189,224 Bewegung des Kolbens 151 Bewegung in Getrieben 180 bezogener Schlankheitsgrad 360 Bezugsachse 236 Bezugsebene 219, 221 Bezugsschlankheitsgrad 361 Biege-Hauptgleichung 331,343,365 -, Giiltigkeitsbedingungen 332 -,Herleitung 330 Biegebeanspruchung 269,271,273 Biegefeder 344 Biegefestigkeit 376 Biegelinie 328, 346, 348 Biegemoment 2, 271, 328, 331, 333-338, 343, 347, 365 Biegemoment und Krafepaar 273 Biegemomenten- und Querkraftbestimmung, Arbeitsplan 329 Biegemomentenverlauf 333 Biegepresse 62 Biegespannung 328,331,343,365 Biegetrager 329 - mit mehreren Belastungen 350 Biegewechselfestigkeit 379, 380 Biegung 269, 328 - und Torsion 368 - -, Ubung 370 Blattfeder 333, 344 Bodenflache 394 Bodenklappe 394 Bodenkraft 394 Bogen 78 Bogenhohe 79 Bogeniange 78, 84 BogenmaB 124, 159, 348 Bohrmaschinentisch 115 Bolzenverbindungen 291 Bremsbacke 95, 128 Bremsen 128 Bremshebel 95, 128, 130, 132 Bremshebeldrehpunkt 128, 132 Bremsklotz 95 Bremskraft 128, 130, 133, 194, 203 Bremsmoment 95, 128, 130, 132, 239 Bremsscheibe 95, 97, 128, 132 Bremsversuch 239 Bremsverzogerung 156, 160 Bremsweg 160, 198 Bruchfestigkeit 382

Sachwortverzeichnis

Cremonaplan 74 - , Arbeitsplan 75 Culmann'sche Gerade 50-52 D d'Alembert 195 d'Alembert'sches Prinzip 195 Dachbinder 68 Dachpfanne 175 Dachtraufe 175 Dampfung einer Schwingung 258 Dauerbruchsicherheit 382 Dauerfestigkeit 378, 383 Dauerfestigkeitswerte 378 Dauerschwingversuch 377 Definitionsgleichung, Beispiele 182, 193,203, 213,297,304,306 Dehngrenze 375, 377 Dehnung 81,375 Dehnungshypothese 369 Diagramme der gleichformigen Bewegung 148 Dichte 189,191,394 -,Einheit 191 Dichtungshohe 391 Dichtungsstellen 391 Dickenanderung 281 Differenzbremse 132 Doppelbackenbremse 130 Drall 239 Dreharbeit 214, 245 Drehbewegung 176, 232, 241 -, Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 213 - , gleichmaBig beschleunigte 182 Drehimpuls 239 Drehleistung 213, 215, 245 Drehmoment 2, 4, 5, 16, 122, 127, 213, 233, 239, 323 Drehmomentengleichgewichtsbedingung 131 Drehmomentenschlussel 123, 327 Drehsinn des Drehmoments 4 Drehstab-Stabilisator 325 Drehstabfedem 325 Drehung 6, 7 Drehweg 214 Drehwinkel 179, 182, 186, 213, 245 Drehwinkelgleichungen 185 Drehwirkung 4, 6 Drehzahl 176,180,215 Dreieck 78 - -blattfeder 344 - -flache 78 Dreiecksumfang 84

413 Dreiecksverband 68 Dreikrafteverfahren 48, 96 - , Arbeitsplan 50 dreiwertige Lager 17 Druck 269, 387, 393, 404 Druck-Ausbreitungsgesetz 387 Druck-Hauptgleichung 285 Druck- und Zugbeanspruchung, Ubungen 286 Druckabfall 426 Druckbeanspruchung 269,271,285 Druckdifferenz 408 Druckeinheit 387, 393 Druckenergie 403 Druckgleichung 403, 404 Druckhohe 393,404 Druckhohendifferenz 407 Druckkraft 351 - auf gewolbte Boden 390 Druckmittelpunkt 395 Druckspannung 285 Druckstabe im Stahlbau 359 Druckverlust 426 Druckverteilung in einer Fliissigkeit 387, 392 Druck in einer Leitung 405 Druck und Biegung 366 Durchbiegung 346, 350 Durchbiegungsgleichung 347-350 - , Ubungen 349 Durchschnittsgeschwindigkeit 148, 177 Dynamik 143, 144 - der Drehbewegung 232 - derFluide 402 - der geradlinigen Bewegung 188 dynamische Belastung 377 Dynamisches Grundgesetz 192, 220, 232, 239 - fiir Drehung 233 - - , Ubungen 193, 239

E-Modul 282 Ebenenwinkel 92, 103 Eigenfrequenz 261 Eigenschwingungen 260 Einbahnverkehr 33 Einbahnverkehrsregel 33, 35, 49, 52 Eingriffslinie 181 Eingriffspunkt 65 Eingriffswinkel 181,371 Einheit - der Arbeit 203 - der Beschleunigung 152 - der Dichte 191 - der Kraft 1,2,193,411

414 - derLeistung 209 - der Masse 190 - Bins 149,281 Einheiten -, Dynamik 143 - , Festigkeitslehre 262 -,Hydraulik 386 -,Statik 1 - , Umrechnungen Einheitskreis 180 Einscheibenbremse 133 einschnittig 364 einschnittige Nietverbindung 291 Einspannlange 352 Einspannmoment 17 Einspannpunkt 336 Einspannstelle 333, 343 Einspannung 352 Eintreiben von Keilen 228 einwertige Lager 15 Einzellast 337 Einzeliibersetzung 182 Einzelwirkungsgrad 211 elastische Knickung 352 elastische Formanderung 280, 297, 324 elastischer Bereich 354 elastischer Sto6 225 Elastizitatsgrenze 375 Elastizitatsmodul 282, 324, 375, 385 elektrische Arbeit 204 Elongation 249 Endenergie 221 Endgeschwindigkeit 146, 154 Endtangente 346, 348, 350 Endwinkelgeschwindigkeit 186 Eergie 218 -,Einheit 218 —austausch 225 - -bilanz 221,231 - Energieerhaltungssatz 219,221,226,241, 402, 403 Energieerhaltungssatz der Stromung 402 -,Ubungen 222 Energieumwandlung 218 Energieverluste 219,227,229,231 Entwurfsformel 359 Entwurfsberechnungen 380 erforderliche Beriihrungsflache 288 erforderlicher Querschnitt 278, 285 erforderliches Widerstandsmoment 323, 331 Ermittlung - der Resultierenden, rechnerisch 22, 38 - der Resultierenden, zeichnerisch 26, 40 - unbekannter Krafte, Arbeitsplan 45

Sachwortverzeichnis - unbekannter Krafte, rechnerisch 28, 44 - unbekannter Krafte, zeichnerisch 32, 48 Ersatzkraft 3, 8, 91, 93, 95, 102, 104 Erregerfrequenz 261 erzwungene Schwingung 246, 260 Euler 124,352,356,358 - -Hyperbel 354 - -fall 352 —gleichung 352-355 — , Giiltigkeitsbereich 354 Euler'sche - Gleichung 124, 127 - Knickung 352 - Zahl 124 exzentrischer StoB 224 Eytelwein 124

F, s-Diagramm 204,213 Fachwerke 68 Fachwerktrager 68 Fadenpendel 256 Fahrbahnneigung 243 Fahrrad 5 Fahrwerkbremse 129 Fahrwiderstand 134-137,194,222 -,Ubungen 135 Fahrwiderstandszahl 134 Fallbeschleunigung 146, 157, 190 Fallhammer 218,230 Fallhohe 223 Federarbeit 205, 220, 284, 287, 325 Federdiagramm 205, 207 Federdurchmesser 326 Federkennlinie 25, 208, 325 Federkraft 205, 207 Federrate 205, 207, 252, 325 Federreihenschaltung 253 Federparallelschaltung 253 Federungsdiagramm 325 Federwaage 90 Federweg 205, 326 Fehlerwamung 57 Feldkrafte 11 FesteRolle 138 Festigkeit 375 Festigkeitslehre 262 Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau 381 Festigkeitsrechnung 2 Festigkeitswerte 375, 382, 385 Festlager 2, 15, 16, 53 Festlagerkraft 60, 63 Festlagerpunkt 53, 54, 56

Sachwortverzeichnis Rachen- und Widerstandsmomente zusammengesetzter Querschnitte, Ubungen 316 Flachenmomente 304, 395 Flachenmomente 2. Grades 303, 308, 312, 319, 396 - , Ubungen 306 Hachenpressung 269, 288, 291 - am Gewinde 290 - an geneigten Flachen 288 - an gewolbten Rachen 292 - anNieten 291 - an Schrauben 291 - inGleitlagem 291 -, Ubungen 293 Rachenpressungs-Hauptgleichung 288 Rachenpressungsgleichungen 291 Flachenschwerpunkt 77, 86 -,tFbung 81 Flachfiihrung 115 Flachgewinde 120 Rachriemengetriebe 127 Flankendurchmesser 122 Flankenradius 119 Flankenumfang 119 Flankenwinkel 120 Flasche 141 Fliehkraft 242, 245 -, Ubungen 243 FlieBen des Werkstoffes 375 Fluidmechanik 386,402 Fliissigkeiten, Eigenschaften 386 Fliissigkeits- behalter 394 - dichten 394 - druck 387, 393 - hohe 392 - menge 397 - oberflache 393 - quader 387 - reibung 116 - saule, Schwingung 257 Form und Dauerfestigkeit 380 Formanderung 324 - bei Biegung 346 - bei Schub 297 - bei Torsion 324 Formanderungsarbeit 205, 218, 220, 225, 283 - bei Torsion 325 Formanderungsgleichungen 324 Formelzeichen und Einheiten, Dynamik 143 - , Festigkeitslehre 262, Hydraulik 386 -,Statik 1

415 Fq, x-Diagramm 333-342 FreierFall 145, 157 - mit Luftwiderstand 158 - ohne Luftwiderstand 157 freie Knicklange 352 freie Schwingung 246 freigemachtes Konsolblech 301 Freiheitsgrade 6 Freimachen 11 -17, 95 - , Arbeitsplan 17 - , Ubungen 18-20 Freischneiden 12 Freitrager 17,333,336 - mit Einzellast 333, 349 - mit konstanter Streckenlast 335, 349 - mit mehreren Einzellasten 334 - mit Mischlast 336 - mit Streckenlast 345 Frequenz 249 Fiihrungsbuchse 116 Fiihrungslange 116 Fuhrungsverhaltnisse 352 Funktionsgleichung 98, 103, 393, 395 -, Beispiele 168, 185, 197, 201, 287, 333 FuBkreisdurchmesser 181 G Galilei 188 gedampfte Schwingung 246 gefahrdeter Querschnitt 278, 285 Gelenke 13 Gelenkpunkte 13,68 Gelenkviereck 69 geodatische Druckhohe 404 geodatischer Druck 404 geometrische Addition 165, 373 Gesamtenergie 230 Gesamtflachenmoment 320 - 2. Grades 312 Gesamtmoment 55, 61 Gesamtresultierende 40 Gesamtschwerpunkt 80, 85 Gesamtspannung 365 Gesamtiibersetzung 182 Gesamtwirkungsgrad 211 geschlossenes Krafteck 33 Geschwindigkeit 144, 148, 157, 182 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm) 145, 149 Geschwindigkeits- anderung 151 - begriff 148 - druck 403

416 - einheit 148 - hohe 406 - Linie 150 - zunahme 146, 151 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 247 Geschwindigkeit-Zeit-Linie 248 Gesetz der Dynamik 192 Gestalt und Dauerfestigkeit 378 Getriebe 180,371 Getriebewelle 2, 16, 64, 264, 333, 368, 370 Getriebezwischenwelle 64, 67 Gewichtskraft 11, 12, 189 - der verdrangten Fliissigkeit 399 Gewinde 289 Gewindeflankendurchmesser 122 Gewindegange 290 Gewindelinie 119 Gewindereibmoment 120 -122 Gewindesteigung 119,290 gleichformige Bewegung 145, 148 Gleichgewicht 2, 6, 30, 189 - , indifferentes 87 -,labiles 87 - , stabiles 87 Gleichgewichtsbedingungen 7, 16 -, rechnerische 29, 44 - , zeichnerische 33,48 Gleichgewichtslagen 87 - schwimmender Korper 399 Gleichgewichtszustande 189 gleichmaBig beschleunigte Bewegung 145 gleichmaBig beschleunigte und verzogerte Bewegung, Ubungen 160 Gleichung der Wurfbahn 168 GleichungssySterne 53 Gleitflache 90, 91 Gleitfuhrung 288 Gleitlager 15,293 Gleitreibung 90,91 Gramm 190 Grauguss (Gusseisen) 376 Grenzschlankheitsgrad 354, 356 -,Tabelle 355 GroBe und Dauerfestigkeit 378 GroBenbeiwert 383 GroBengleichung 178,180,323 Grundaufgaben der Statik 22, 38 Grundbeanspruchungsarten 268 Grundgleichung 153 - der gleichformigen Bewegung 148 Grundkreisdurchmesser 181 Guldin'sche - Oberflachenregel 86

Sachwortverzeichnis - Regeln 86 — , Ubungen 87 - Volumenregel 86 Gummipuffer 287 Gurte 68 Gurtplatten 320 Gusseisen (Grauguss) 376, 378, 385 H Haftreibkraft 92, 201 Haftreibung 90, 91 Haftreibwinkel 92 Haftreibzahl 92 Halbkreisbogen 84 Halbkreisflache 78 Halslager 16, 19,44,48 Halslagerkraft 44,48 Haltekraftgleichung 106, 109 Haltekraft 119, 121 Handkraft 121,276 Handkurbel 275, 277 Handraddurchmesser 122 Handwinde 217 Hangabtriebskomponente 206 Hangabtriebskraft 134, 137 harmonische Schwingung 246 Hauptaufgaben der Statik 21 Hauptgleichung -,Druck 285 - , Flachenpressung 288 -,Zug 278 Hebebock 391 Hebelarm - der Rollreibung 134, 136 - der statischen Stabilitat 399,401 Hebeldrehpunkt 129, 132 Hebeliibersetzung 389 Herleitungsiibung 305 Herleitung des Steiner'schen Satzes 314 Hertz'sche Gleichungen 292, 294 Hohenenergie 218 Hohlwellen 322 Hohlzylinder 235, 238 Hooke 280 Hooke'sches Gesetz 280, 282, 297, 347 - furSchub 297 - fur Torsion 324 Horizontalbewegung 167, 170 horizontale Stromung 402 Hubarbeit 120, 139, 206, 210, 216, 218, 223 Hubgeschwindigkeit 212 Hubhohe 207 Hubleistung 210

Sachwortverzeichnis Hubverhaltnis 392 Hubweg 139 Hubwerksbremse 128 Hydraulik 386 Hydraulikkolben 62 Hydraulikzylinder 133, 358 hydraulische Elemente 386 hydraulische Presse 391 hydraulische Pressung 387 hydraulischer Hebebock 388 Hydrostatik 386 hydrostatischer Druck 387, 389, 393 Hyperbelfunktion 159 Hypothese der groBten Gestaltanderungsenergie 369 Hypothesen 369 I ideelle Spannung 369 Impuls 202, 224 Impulserhaltungssatz 202, 224, 240, 245 - furDrehung 239 innere Krafte 265 inneres Kraftesystem 265, 271, 365, 367 - bei Biegetragem 328 -,Obungen 272 Internationales Einheitensystem 411

Joule 203,219,411 K Kalorie 412 Kantenpressung 265 Kegel 87 Kegelbremse 133 Kegelkupplung 289 Kegelstumpf 344 Kegelzapfen 289 Keilnut 114 Keilreibkraft 114 Keih-eibzahl 114 Keilriemen 114 Keilwinkel 114 Kelvin 412 Kentem 401 Kenterpunkt 401 Kenterwinkel 401 Kerb-Dauerfestigkeit 379 Kerbformen 385 Kerbquerschnitt 378 Kerbwechselfestigkeit 379 Kerbwirkung 379,382

417 Kerbwirkungszahl 385 Kemquerschnitt 293 Kesselnaht 390 Ketten 12,280 Kilogramm 190 Kilowatt 215 Kinematik 144 kinetische Druckhohe 404 kinetische Energie 218, 220, 222, 240, 245, 402 kinetischer Druck 403 Kippen 88 Kippkante 88, 136,396 Kippmoment 88, 244, 396 Klappendrehpunkt 397 Klapptisch 62 Klemmbedingung 115, 116 Klemmen 115 Klotzbremsen 128 Knickkraft 351,352 Knickung im Stahlbau 359 Knicksicherheit 351,356 Knickspannung 351-356 Knickspannungslinien 361, 363 Knickstabe 360, 362 Knickung 269,351 -,elastische 352 -, unelastische 355 Knickungsaufgaben, Arbeitsplan 356 Knoten 68 Knotenblech 68 Knotenschnittverfahren 70,71 Kolbendichtungen 391 Kolbendurchmesser 389, 391 Kolbenflachen 388, 391 Kolbengeschwindigkeit 176 Kolbenkrafte 388 Kolbenpumpe 352 Kolbenstange 357, 358 Kolbenwege 389 kommunizierende Rohren 394 Konsolblech 300, 333 - , freigemacht 301 Konsoltrager - mit Einzellast 345 - mit Streckenlast 345 konstante Streckenlast 336 Kontinuitatsgleichung 402,405 Kontraktion 406 Kontraktionszahl 406 Koordinaten 62 - des Festlagerpunktes 54 - Loslagerpunktes 54 Koordinatenbedingung 54, 55, 60

418 Koordinatendifferenz 54 Kopfdurchmesser 302 Kopfhohe 302 Kopfkreisdurchmesser 181 Kosinussatz 37, 166 Kraft 2, 3 -,Einheit 2, 193 —Verlangerung-Schaubild 283 —Weg-Diagramm 204 Krafteck 8 Kraftedreiecke 8 kraftefreies System 226 Kraftegleichgewicht 328 Kraftegleichgewichtsbedingung 50, 57, 58, 66 KraftemaBstab 3 Kraftepaar 4, 270, 273, 372 Krafteparallelogramm 8 Krafteplan 27,31,33,41 Kraftereduktion 8, 22, 26, 38, 40, 191 Kraftesystem 21 Kraftmoment 2, 4 -, Einheit 2 KraftstoB 202, 224 Kraftzerlegung 9 Kragtrager 333, 338 Krangungswinkel 401 Kran 206, 209, 212 Kranhaken 12, 193 Kreisabschnitt 79 Kreisausschnitt 78 Kreisbahn 177, 189 Kreisbewegung 145,176,182,213 - , Arbeitsplan 184 -,Formeln 186 Kreisbogen 84 Kreisfrequenz 249 KreisgroBe 182, 184,213 -,Gegenuberstellung 213 Kreiskegel 235 Kreiskegelstumpf 235 Kreisringstiick 78 Kreiszylinder 235, 238 krummlinige Bewegung 145 Kriimmung 346 Kriimmungsmittelpunkt 346 Kriimmungsradius 294, 346-348 kubische Parabel 344 Kugel 87, 235 Kugellager 15 Kupplung 90, 239 Kupplungsbelag 289 Kurbel 214 Kurbelarm 276

Sachwortverzeichnis Kurbelgetriebe 176 Kurbelwelle 176,214 Kurvenradius 243 labile Schwimmlage 400 Lageplan 3, 27 Lager 19,116 Lagerreibkraft 117 Lagerungslange 293 Lagerverluste 211 Lagerzapfen 116,385 Lageskizze 18, 19 Langenausdehnungskoeffizient 283,412 Langsdehnung 281 Langsvorschub 164, 165 Lambda 351 Lastarbeit 389 Lastfall 364 Lastheben 139 Lastkahn 125 Lastkolben 388, 392 Lasttrum 127 Laufkatze 166 Laufkran 166 Leertrum 127 Lehrbeispiel: - Berechnung einer Getriebewelle 371 - Knickung im elastischen Bereich 357 - Knickung im unelastischen Bereich 358 - Nietverbindung im Stahlbau 300 - Nietverbindung im Stahlhochbau 298 - Prinzip von d'Alembert 198 - Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kraftesystems 30 - Reibung in Ruhe und Bewegung 94 - Seileckverfahren, Zusanmnensetzung zweier Parallelkrafte 43 - Torsionsstabfeder 326 - Verdrehwinkel (Drehmomentschliissel) 327 - V, t-Diagramm 156 - Wirkungsgrad 217 - Zeichnerische Bestinmiung der Resultierenden Fr eines zentralen Kraftesystems 31 - Zugbolzen 302 Leistung 209, 213, 245, 323 -,Ubungen 212,216 Leistungsgleichung 215 Leiter 18 Leiteraufgabe 98 Leitungsquerschnitt 402 Lichtgeschwindigkeit 191 lineare Spannungsverteilung 303, 321

Sachwortverzeichnis lineares Kraftgesetz 250 Linienmomente 83 Linienschwerpunkt 83, 86 Linienziige 84 Lochleibungsdruck 291,299,364 loseRoUe 139 Loslager 2, 15, 46, 53 Loslagerkraft 47, 60, 63 Loslagerpunkt 53, 56 Losungsmethoden der Statik 22 Liickenweite 181 Luftdichte 157 Luftdruck 393, 408 Liiften der Bremse 133 Luftwiderstand 145, 157 Luftwiderstandsbeiwert 157 M M, cp-Diagramm 213 Magnetfeld 11 Mantelfiache 86 Masse 189,238 Masseneinheit 190 Massenmoment 232 Massenschwerpunkt 242 maximale Belastung 278, 285 maximale Normalkraft 288 maximales Biegemoment 331,333-337 maximales Torsionsmoment 323 Mb, x-Diagramm 333-342 mechanische Arbeit 203, 283 mechanische Energiearten 218 mechanische Schwingungen 246 Megapascal 387 Mehrfachiibersetzung 182 Mehrscheibenbremsen 133 Mehrschichtfeder 344 mehrschnittige Nietverbindung 291 metazentrische Hohe 399 Metazentrum 399 Mischlast 336 Mischreibung 116 Mittelpunktsgeschwindigkeit 178 mittlere Geschwindigkeit 151, 152 mittlere Leistung 209 mittlere Winkelgeschwindigkeit 183 Mobilkran 89 Modul 181 Momentangeschwindigkeit 151, 158, 172 Momentanwegstrecke 159 Momentenbedingung 60 Momentenbezugspunkt 45, 79, 82, 85 Momentendrehpunkt 54, 140

419 Momentendrehsinn 4, 80, 82 Momentenflache 348 Momentengleichgewichtsbedingung 46, 56, 65, 96,128,130,134,397 Momentensatz 77, 80, 82, 85 - , Arbeitsplan 39 - furFlachen 77,79,319 - fiir Linien 83, 85 MomentenstoB 239 Momentensumme 86 Momentenverhaltnis 88 Motordrehmoment 127 Mutterhohe 290, 293 N Neigungswinkel 346, 348, 401 Nennspannung 380 neutrale Faser 321 neutrale Faserschicht 330 Newton 2, 188, 191 Newtonmeter 2, 203 Newton'sches Axiom 192 - erstes 188 - zweites 191 Nietabstand 299 Nietanzahl 299 Nietbild 299 Nietdurchmesser 300 Niete 227, 364 Nietverbindung 299 Normalkeilriemen 114 Normalkraft 13, 15, 16, 90, 268, 271 Normalspannung 267, 268, 273 Normfallbeschleunigung 157, 190, 192 Normgewichtskraft 190, 192 Nulldurchgang 337-340 Nulllinie 330 Nutzarbeit 120, 139,211 Nutzleistung 211 Nutzquerschnitt 298 O ft;, t-Diagramm 182,186 Oberflache 86 Oberflache und Dauerfestigkeit 379 Oberflachenbeiwert 383 Oberflachenberechnung 86 Oberflachenkrafte 11 Obergurt 68 ortliche Spannung 380 Ortsvektor 165 Ortsveranderung 144, 165 Osillator 260

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Parabel 167,335,344 Parabelflache 350 Parallelogramm 78 Parallelogrammflache 78 Parallelogrammkonstruktion, wiederholte 40 Parallelogrammsatz 8, 165 Parallelogrammumfang 84 Parallelschaltung von Fedem 253 Pascal 387 Passfedemut 385 Passschrauben 364 Pendelstiitze 13 Periode (Schwingung) 249 Periodendauer 176,249 physikalische Atmosphare 411 physikalische GroBe 2 Planvorschub 164, 165 Platin-Iridiumzy Under 190 Poisson-Zahl 282 Pol 41 Polstrahl 41 polare Flachenmomente 307, Tafel 311 polare Widerstandsmomente, Tafel 311 polares Flachenmoment 2. Grades 304 polares Widerstandsmoment 305, 323 Polstrahlen 41 Polygon-Fachwerktrager 68 Polynomdivision 141 potentielle Energie 218,222,403 PressenstoBel 115 Presskraft 391 Presskraftgleichung 392 Pressung 292 Pressungshohe 393 Prinzip von d'Alembert 195 - , Arbeitsplan 197 -,Ubungen 197 prismatische Nut 35 Prismenfuhrung 114,288 Probestab 381 Profilflache 86, 87 Profillinie 86, 87 Profilstabe 279 Profilstahltrager 335 Programmablaufplan 61 Programmschleife 61 Programmstart 61 Programmverzweigung 61 Projektionsflache 158 projizierte Beriihrungsflache 289 - , technische Beispiele 289 projizierte Flache 289, 291, 390

Sachwortverzeichnis Proportionalitatsgrenze 354, 375 Pythagoras 58, 67, 166, 169, 370 Q Quadranten 22, 53 quadratische Gleichung 173 - , Beispiele 153, 164, 172 Querbohrung 279, 385 Querdehnung 281 Querkraft 268,271,329 Querkraftflache 334-340 Querkraftlinie 335, 337 Querkraftsatz 334 Querkraftschaubild 337 Querkraftverlauf 333, 340 Querlager 116, 118 Querschnittsflache 265,351 Querschnittsformen 305 R Radachse 344 Radialkraft 14,20,64,368 Radiant 124, 179 Rammen 228 Randabstand 299 Randfaser 324 Randfaserabstand 305, 332, 366, 367 Randfaserspannung 322,331,332 Randspannung 321 Rauigkeit 426 raumliches Kraftesystem 64 Reaktionszeit 162 rechnerische Ermittlung - der Resultierenden, Arbeitsplan 26 rechnerische Gleichgewichtsbedingungen 28, 44,46 Rechnerprogramm 53, 55, 58, 61 Rechteck 235 reduzierte Masse 238 Reibarbeit 208, 210, 221, 241 - , Diskussion der Formel 209 Reibkraft 13,90,95 Reibleistung 117,210 Reibmoment 116-118 Reibradgetriebe 181 reibschliissige Schraubenverbindung 123 Reibung 13,90 - am Spurzapfen 117 - amTragzapfen 116 - an Maschinenteilen 114 - auf der schiefen Ebene 100 - auf der schiefen Ebene, Ubungen 113 Reibungsaufgaben 95

Sachwortverzeichnis Reibungskegel 93, 115 Reibungskraft 90 Reibungswinkel 91,92 Reibzahl 91,92 -,Ermittlung 92 -,Weitetafel 92 ReiBlange 284 Reihenschaltung von Fedem 252 Relativgeschwindigkeit 226 Relativitatstheorie 191 Resonator 260 Resonanz 260 Resultierende 3, 8, 22, 26, 202 resultierende - Druckspannung 366 - Federrate 252 - Kraft 189,191,193,233 - Momentenflache 373 - Spannung 365, 368 - Zugspannug 367 resultierendes - Moment 60, 374 - Drehmoment 240 Reynolds' sche Zahl 426 RichtgroBe 250 Richtungsannahme 33 Richtungsregel 28 Richtungssinn 3 Richtungswinkel 3, 10, 22, 28, 33, 59, 61, 169, 172 - der Loslagerkraft 54 Riemen 12 Riemengetriebe 127, 180 Riemenkrafte 16 Riemenscheibe 127 Riemenvorspannkraft 127 Riemenvorspannung 127 Ring 235 Ringflache 86 Ringspurlager 118 Ringspurzapfen 117 Ringvolumen 86 Ritter'sches Schnittverfahren 72 - Arbeitsplan 73 Rohmietdurchmesser 298 Rohrlangsnaht 390 Rohrleitung 426 Rohrreibungszahl 426 RoUbedingung 135 Rolle 14, 138 RoUendrehpunkt 138 RoUenradius 138 RoUenzug 138, 141

421 -,Ubung 142 Rollkorper 14, 134 Rollkraft 134, 136 Rollmoment 135 Rollradius 134 Rollreibung 135 Rollwiderstand 13,91, 134 Rotation 232 Rotationsarbeit 214 Rotationsenergie 240, 245 Rotationskorper 86 Rotationsleistung 215 Riickprallgeschwindigkeit 229 Riickstellmoment 254 ruhende Belastung 377 Ruhezustand 189 Rundkerbe 385 Rutschbeginn 98 Rutsche 113 Rutschen 198

Sackrutsche 222 Schabotte 228, 230 Schabottemasse 230 Schallgeschwindigkeit 163 Schallzeit 163 Scheibenbremsen 133 Scheibenkupplung 239 Scheitelhohe 171 Schiebung 297 schiefe Ebene 92, 100, 102, 188, 199 schieferStoB 224 Schiffsmittellinie 400 Schift'sschwerpunkt 400 Schlagwirkungsgrad 228,231 Schlankheitsgrad 353, 356, 344 Schleifendurchlauf 61 Schleifscheibe 178,241 Schlingerbewegungen 401 Schlupf 180 Schliisselradius 121 Schmieden 227 Schmiedevorgang 228 Schmierloch 385 Schnittflache 266, 365 Schnittgeschwindigkeit 178, 212 Schnittkraft 212 Schnittkraftmessgerat 212 Schnittmethode 266 Schnittufer 266, 270, 297, 338, 347 Schnittuntersuchung am Niet 296 Schnittverfahren 265, 270

422 -,Ubungen 272 Schragaufzug 20 SchragerWurf 170 Schraglage 399 Schragstimradgetriebe 67 Schraube 119,121 -,Ubungen 122 Schrauben 279, 364 Schraubenfederpendel 251 Schraubenlangskraft 119, 121, 122 Schraubgetriebe 103, 119 Schraubverbindung 121, 123 Schraubzwinge 274, 365 Schubfeder 297 Schubkraftgleichung 110-113 Schubmodul 297, 324, 327, 385 Schubspannung 268, 273, 296, 321, 328 Schubspannungshypothese 369 Schubspannungsverteilung 296 Schubverformung 297 schwellende Belastung 377 Schwellfestigkeit 377 Schwenkarm 19 Schwerachse 236 Schwerebene 76 Schwerefeld 11 Schwerependel 256 Schwerkraft 76 Schwerlinie 76,81,82 Schweq)unkt 76, 83 -, zusammengesetzter Flachen 79 Schwerpunktsabstand 78, 81, 83, 395 Schwerpunktsberechung 319 Schwerpunktsbestimmung 83 - fiir Flachen, Arbeitsplan 80 - fur Liniengebilde, Arbeitsplan 85 Schwerpunktslage 83 Schwerpunktslehre 76, 86 Schwerpunktsweg 87 Schwimmen 398 Schwimmlage 399 Schwingung 176 Schwingung, erzwungene 260 Schwingungen, Analogien 258 Schwingungsdauer 249 Schwingungsweite 249 Sechstelkreisbogen 84 Sechstelkreisflache 78 Sehnenlange 78, 84 Sell 12,256 Seileck 42 Seileckverfahren 41,76 -, Arbeitsplan 42

Sachwortverzeichnis Seilgewichtskraft 284 Seilkraft 124 Seilreibkraft 124, 127 Seilreibung 124, 132 - , Ubungen 125 Seilstrahlen 42 Seilzugkraft 124, 126 Seitenhalbierende 78 Seitenkraft 395, 397 —Gleichung 396 Sekunde 149 selbsterregte Schwingung 246 Selbsthemmung 119,128,132,209 Selbsthemmungsbedingung 93, 108, 128 Selbsthemmungsbereich 93 Selbsthemmungsgrenze 120 Sicherheit 356 - gegen Dauerbruch 382 - gegen Knicken 351 Sicherheitsgrad gegen Kippen 88 Sicherungsring 385 Sicherungsring-Kerbe 384 SI-Einheiten 411,412 Sinkgeschwindigkeit 158 Sinussatz 102, 167,201 Skalar 3, 203, 209 Spannrolle 127 Spannschienen 127 Spannung 266, 278, 380 Spannungart 268 Spannungsbegriffe 380 Spannungsbild 303,321,330,366 Spannungsenergie 218,220,225 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 375 Spannungshypothese 369 Spannungsnachweis 286, 299, 368, 382 Spannungsquerschnitt 278 Spannungsspitze 378 Spannungsverlauf 378 Spannungsverteilung 321 - im Tragerquerschnitt bei Biegung 329 - im unsymmetrischen Querschnitt 332 Spannwellenbetrieb 127 Spillanlage 126 Spillkopf 125 Spindelkopf 122 Spindelpresse 103 Spurlager 16, 19,44,49 Spurlagerkraft 44, 49 Spurzapfen 117 Spurzapfenreibzahl 117 stabile Schwimmlage 399 - eines Schiffes 400

423

Sachwortverzeichnis Stabilitatsproblem 351 Stabilitatskurve 401 Stahlbau 68 Standflache 88 Standmoment 88 Standsicherheit 87, 88 -,Ubungen 89 Standsicherheitsgleichung 88 Statik 1,2 - der Fliissigkeiten 386 Statik-Projekt 53 statische Belastung 377 statische Bestimmtheit 69, 70 statische Druckhohe 404 statischer Druck 403 Staudruck 403 s, t-Diagramm 149 Steigungswinkel 119,122,170 Steigzeit 171 Steiner'scher Verschiebesatz 236, 314-316 Stetigkeitsgleichung 402 Strebe 68 stofffreie Biegeachse 362 StoB 202, 224 - , Sonderfalle 226 -,Ubungen 230 -,wirklicher 228 StoBabschnitt 225, 227, 229 StoBbegriff 224 StoBel 151 StoBelbewegung 147 StoBnormale 224, 226 StoBzahl 229 StoBzahlgleichung 229 Strahlquerschnitt 406 Strahlungsenergie 218 Strecke 83 Streckenlast 335, 340 Streckengrenze 375, 382, 385 Stromfaden 406 Stromung 402-404 - in Rohrleitungen 426 - mit Hohenunterschied 403 Stromungsgeschwindigkeit 166, 402, 405, 426 Stromungsmechanik 402 Stromungsquerschnitt 402 Stiitzbalken 273 Stutzflachen 13 Stutzhaken 16 Stiitzkraftberechung 53, 62 - , Programmablaufplan 61 Stutzkraftermittlung beim raumlichen Kraftesystem 64

Stiitzkrafte 2, 11, 16, 53, 64, 273 Stiitzkraftkomponenten 64 Stutztrager 273, 333, 337 - mit Einellast 337, 349 - mit konstanter Streckenlast 340, 349 - mit mehreren Einzellasten 338 - mitMischlast 340 Summenbremse 132 Summenformeln 202 Symmetrieebene 76,81, 84 systemanalytisch 53 systemanalytisches Losungsverfahren 62 - zur Stiitzkraftberechnung 53 Systemgleichungen, Zusammenstellung 60

Tangensfunktion 24, 136 Tangentialbeschleunigung 184, 186,232 TangentialgroBe 177, 184 Tangentialkraft 13, 20, 64, 90, 214, 232 Tangentialverzogerung 187 Taschenrechner 126, 159 technische Atmosphare 411 Teilkreisdurchmesser 181 Teilschwerpunkt 79 Teilung 181 Temperaturdifferenz 223 Temperatur und Festigkeit 376 Tetmajer 355, 358 Tetmajergleichungen 355 Tonne 190 Torr 411 Torsion 270,321 - , Formanderung 324 Torsionsbeanspruchung 270 Torsions-Hauptgleichung 323 -, Herleitung 322 Torsionsmoment 2, 270, 321, 325, 327 Torsionspendel 254 Torsionsspannung 270, 321, 323 Torsionsstabfeder 214, 325, 326 Torsionsstab-Messgerat 326 Totpunkt 151 Trag- und Spurzapfenreibung, Ubungen 118 Trager 15 - gleicher Biegespannung 343 Tragerbelastung 335 Tragsicherheit 359 Tragsicherheitsnachweis 359 Tragheit 188 Tragheitsgesetz 7, 177, 188, 191,242 Tragheitskraft 158, 196, 201, 245

424 Tragheitsmoment 232, 236, 245, 255 -,Ubung 234 Tragheitsmomente, Gleichungen 235 Tragheitsradius 233, 238, 309, 351, 367 Tragtiefe 290 Tragzapfen 116 Tragzapfenreibzahl 116 Translation 6, 188 translatorische und rotatorische GroBen, Gegeniiberstellung 245 Transportband 200 Trapez 78 Trapezgewinde 120, 122, 279, 293 - , Bezeichnungen 290 Tretkurbel 5 Triebarbeit 389 Triebkolben 388, 392 Triebkraft 189,388,391 trigonometrische - Losung 102, 104, 107 - Ausweitung 37 - Methode 37 Trum 127

U U-Rohr 393 U-Rohrmanometer 393 Uberdruck 393, 405, 408 Uberlagerung 164 - von beschleunigter Bewegung 167 - von gleichfomiig geradlinigen Bewegungen 166 Uberlagerungsprinzip 165, 336, 350 Ubersetzung 181,216 -,Ubungen 216 Ubersetzungsverhaltnis 181 Ufermauer 396 Umdrehung 176, 179 Umdrehungsfrequenz 143 Umfahrungssinn 37 Umfangsgeschwindigkeit 117, 177,212,215 Umfangskraft 16, 119, 368, 371 Umkehrpunkt 151 Umlaufzeit 176 Umlenkrolle 138 Umrechnungsbeziehung 149 - (Gradinrad) 124 Umschlingungswinkel 124, 126 unelastische Knickung 355 unelastischer StoB 227 ungleichformige Bewegung 145 unsymmetrische Querschnitte 313,319

Sachwortverzeichnis Unterdruck 405 Untergurt 68 Ursprungslange 281,283,375

V, t-Diagramm 144, 147, 156, 182 - des freien Falls 146 - eines StoBelhubes 147 - fiir senkrechten Wurf 146 - , Ubungen 146 v-Linie 146, 152 Vektor 3,8,152,226 verdrangte Fliissigkeitsmenge 397 Verdrangungsschwerpunkt 397-399 Verdrehung 270,321 Verdrehwinkel 324, 325, 327 Verformungsarbeit 218,231 Verformungsbild 321, 330 Verformungsenergie 218 Vergleichsmoment 369, 374 - , zeichnerische Bestimmung 370 Vergleichsspannung 368 VerhaltnisgroBe 281 Verkiirzung 283 Verlangerung 281,283,375 Versatzwinkel 64 Verschiebegeschwindigkeit 210, 213 Verschiebekraft 14,207,210,213 Verschiebesatz (Steiner'sche) 236, 314-316 Verschiebeweg 207,213,245 Verschiebung 6 VerschiebungsgroBe 366 Verschwachungsverhaltnis 298 Vertikalbewegung 167, 170 verzogerte Bewegung, Formeln 155 Verzogerung 144, 147, 155 Vierkrafteverfahren 50 - , Arbeitsplan 52 Viertelkreisbogen 84 Viertelkreisflache 78 Viskositat 386 Vollspurzapfen 117 Volumen 191 Volumenanderung 386 Volumenberechnung 86 Volumenkrafte 11 Volumenstrom 402, 406-409 vorhandene Flachenpressung 288 vorhandene Spannung 278, 285, 323, 331 Vorsatzzeichen 412 Vorschubbewegung 145 Vorspannkraft 119,207

Sachwortverzeichnis W Waagerecht-StoBmaschine 43, 147 Waagerechter Wurf 65 Walze 35 Walzpunkt 371 Wanddicke eines Kessels 390 Wanddrehkran 19,44,48 Warme 223 Warmekapazitat 223 Warmemenge 204, 223 Waraiespannung 283 Wasserdruckhebebock 388 Wassersaule 394,411 Watt 209,411 Wattsekunde 203 Wechselfestigkeit 377, 379 wechselnde Belastung 377 Wechselwirkungsgesetz 192, 224 Weg-Linie 149 Weg-Zeit-Diagramm 149 Wegabschnitt 144, 148, 154, 182 Wegeinheit 148 Weggleichung 153, 167 - fiir RoUenziige 141 Wehr 396 Wellen 343 Wellenachse 322 Wellendrehmoment 116 Werkzeugtrager 148 Widerstandsmoment 303, 305, 309, 312, 319, 320, 323, 366 -,Ubungen 306 Widerstandszahl 426 Winkelbeschleunigung 182, 186, 232, 245 Winkelgeschwindigkeit 118, 179, 213, 215, 245, 323 Winkelgeschwindigkeitsanderung 183 Winkelhebel 46, 53 Winkelprofil 316 Winkelverzogerung 187, 233 Wirkabstand 2, 214 - der Auflagereibkraft 121 wirklicher StoB 228 Wirklinie 3 Wirkungsgrad 203, 210, 216, 230 - der festen Rolle 139 - der hydraulischen Presse 391 - der losen Rolle 140 - //r des RoUenzuges 142 - fiir Schraubgetriebe 120 -,Ubungen 212,216 -,Beispiele 211 Wirkungsgradgleichung 139, 228

425 Wirkungsgradtabelle 142 Wurfbahn 170 - beim waagerechten Wurf 168 Wurfhohe 170 Wurfparabel 168, 173 Wurfweite 168, 170, 174 Wurfzeit 171, 173

Zahigkeit 386 Zahlenwertgleichung 178, 180, 215, 285, 323, 355, 390 Zahndicke 181 Zahneingriff 64 Zahnezahlen 181 Zahnflanken 294 ZahnfuBhohe 181 Zahnkopfhohe 181 Zahnkraft 65 Zahnkraftkomponente 16, 64 Zahnrad 294 Zahnradgetriebe 180 Zahnradkraft 16 Zapfenradius 138 Zapfenreibzahl 116, 118 zeichnerische Ermittlung - der Resultierenden, Arbeitsplan 28 - unbekannter Krafte, Arbeitsplan 34 Zeitabschnitt 144, 148, 154, 182, 186 Zeiteinheit 148 Zeitkonstante 158 zentrales Kraftesystem 21,22 Zentrifugalkraft 243 Zentripetalbeschleunigung 242, 247 Zentripetalkraft 242, 250 Zerlegung einer Kraft 9 Ziehschlitten 115 Zug 268, 278 Zug- und Druckbeanspruchung, Ubungen 286 Zug und Biegung 365 Zugbeanspruchung 268,271,278 Zugbolzen 302 Zug-Hauptgleichung 278, 365 Zughaken 20, 137 Zugkraft 12, 137 - an der festen Rolle 138 - beim Lastheben 140 Zugkraftgleichung 101, 103 - fiir RoUenziige 141 Zugfestigkeit 284, 375 Zuglaschen 279 Zugschrauben 279 Zugspannung 278

426 Zugversuch 375 zulassige Spannung 380 - Begriff 380 - fiirBauteile 364 - fiir Verbindungsmittel 364 - Spannungen im Stahlhochbau 364 zusammengesetzter Querschnitt 320 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 165

S ach wortverzeichnis Zweigelenkstabe 13, 68 zweischnittig 364 zweiwertige Lager 15 Zwischenresultierende 40 Zylinderfiihrung 115 Zylinderfiihrungsbuchse 115 Zylindermantel 235