Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren 2. Auflage

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Springer-Lehrbuch

Reinhard Lerch

Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestützte Verfahren

2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage

Mit 452 Abbildungen

13

Professor Dr. Reinhard Lerch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für Sensorik Paul-Gordan-Str. 3/5 91052 Erlangen e-mail: [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 3-540-21870-X Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1996, 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. din, vdi, vde) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Design & Production, Heidelberg Satz und Umbruch: Camera ready-Vorlage vom Autor Gedruckt auf säurefreiem Papier 07/3111 - 5 4 3 2 1

SPIN 11369301

Vorwort zur zweiten Auﬂage

Die zweite Auﬂage tr¨ agt insbesondere den aktuellen Entwicklungen im Bereich Computerunterstutzte Meßdatenerfassung Rechnung. Behandelt werden alle ¨ wesentlichen Hard- und Software-Komponenten der modernen rechnergestutz¨ ten Meßdatenerfassung. So werden beispielsweise die weltweite Vernetzung von Meßdaten- und Prozeßrechnern wie auch die Meßdatenerfassung unter Zuhilfenahme von Virtual Private Networks besprochen. Die zweite Auﬂage wurde ebenfalls erweitert auf dem Gebiet der Ausgleichsvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken, was der detaillierten Erl¨auterung der dynamischen Meßfehler und ihrer Korrekturm¨oglichkeiten zugute kommt. Auch die Analyse und Messung von nichtlinearen Bauelementen wurde in den Stoﬀ aufgenommen. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg mit großem Engagement unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor und Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler f¨ ur ihre fachlichen Beitr¨age zu diesem Werk zu großem Dank verpﬂichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der Erstellung des Manuskriptes und der Graﬁken gilt Frau Cornelia Salley-Sippel und Frau Bettina Melberg mein besonderer Dank. An der Korrekturlesung des Werkes waren alle Mitarbeiter des Lehrstuhls sowie Herr Dr.-Ing. G¨ unter Pretzl vom Lehrstuhl f¨ ur Technische Elektronik und meine Ehefrau Elke beteiligt. Auch ihnen sei an dieser Stelle daf¨ ur herzlich gedankt. Dank gilt auch den Mitarbeitern des Springer-Verlages f¨ ur die hervorragende Kooperation, insbesondere Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe. Erlangen, im Sommer 2004

Reinhard Lerch

Vorwort zur ersten Auﬂage

Die in der zweiten H¨alfte unseres Jahrhunderts erfolgten innovativen Entwicklungen auf dem Gebiet der Elektrotechnik haben f¨ ur die Elektrische Meßtechnik eine Vielzahl neuer Verfahren und Meßschaltungen mit sich gebracht. So basiert die Messung elektrischer und nicht-elektrischer Gr¨ oßen heute vorwiegend auf Schaltungen, die erst durch in j¨ ungster Vergangenheit entwickelte elektronische Halbleiterbauelemente und integrierte Schaltkreise, wie beispielsweise Operationsverst¨arker, digitale Grundschaltungen und AnalogDigital- bzw. Digital-Analog-Umsetzer, erm¨oglicht wurden. Die Nutzung dieser modernen Elektronik und die enormen Fortschritte auf dem Gebiet der Digitalrechner haben zu einer sehr engen Verﬂechtung von Elektrischer Meßtechnik und Computertechnik bzw. Informatik gef¨ uhrt. Dies zeigt sich unter anderem in der Tatsache, daß die heutige Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung zunehmend auf Digitalrechner oder digitale Signalprozessoren verlagert werden und zum Teil in Software implementiert sind. Nachdem in den letzten Jahren eine Vielzahl von leistungsf¨ ahigen Sensoren zur Detektion nicht-elektrischer Meßgr¨oßen entwickelt wurde, verst¨ arkt sich der Trend, daß viele nicht-elektrotechnische Wissenschaftszweige, wie z. B. der Maschinenbau und die Verfahrenstechnik, ihre meßtechnischen Probleme mit rein elektrotechnischen bzw. informationstechnischen Mitteln l¨ osen. Es wurde versucht, dieser Entwicklung mit der Struktur des vorliegenden Werkes Rechnung zu tragen, ohne die klassischen Grundlagen zu vernachl¨ assigen. So werden nach einem einf¨ uhrenden Kapitel u ¨ber Meßfehler, die konventionellen elektromechanischen Meßwerke besprochen, welche zwar zunehmend von digitalen Meßger¨aten abgel¨ost werden, deren grundlegende Wandlungsmechanismen aber f¨ ur das Gebiet der elektromechanischen Meßwertaufnehmer (Sensoren) von großer Bedeutung sind. Nach den Abschnitten zur Messung von elektrischer Spannung, elektrischem Strom und elektrischer Impedanz folgen als thematische Schwerpunkte die Methoden und Verfahren sowie die daraus resultierenden elektronischen Schaltungen der modernen Elektrischen Meßtechnik. Diese werden in den Kapiteln Operationsverst¨arker, Darstellung elektrischer Signale, Digitale Meßtechnik, Messung von Frequenz

VIII

und Zeit sowie Meßsignalverarbeitung und Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung behandelt. Die in diesem Buch angesprochenen Themen und Fragestellungen decken den Stoﬀ einer einf¨ uhrenden Vorlesung Elektrische Meßtechnik ab. Dar¨ uberhinaus ist die Thematik einer weiterf¨ uhrenden Vorlesung Rechnergest¨ utzte Meßdatenverarbeitung und Meßsignalverarbeitung enthalten, die als Wahlvorlesung f¨ ur Studenten h¨ oherer Semester Bestandteil des an der Johannes Kepler Universit¨ at Linz im Jahre 1990 eingerichteten Diplomingenieurstudienganges Mechatronik ist. Das Buch wendet sich jedoch nicht nur an Studenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Mechatronik, Maschinenbau, Informationstechnik, Physik und Chemie sondern auch an die bereits auf dem Gebiet der Meßtechnik praktisch t¨ atigen Ingenieure und Naturwissenschaftler, die ihr Wissen u ¨ber Meßtechnik auﬀrischen bzw. vertiefen wollen. Mit dem vorliegenden Werk sollen sowohl Kenntnisse u ¨ber die bei der Messung elektrischer Gr¨ oßen eingesetzten Standardverfahren vermittelt als auch der neueste Stand der zur modernen Elektrischen Meßtechnik z¨ ahlenden computergest¨ utzten Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung beschrieben werden. ¨ Das Buch ist in Verbindung mit dem Begleitwerk Ubungen zur Elek” ¨ trischen Meßtechnik“ (R. Lerch; M. Kaltenbacher; F. Lindinger: Ubungen zur Elektrischen Meßtechnik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1996) zum ¨ Selbststudium geeignet. In diesem Ubungsbuch werden neben kurzen Repetitorien zahlreiche praktische Aufgaben und weiterf¨ uhrende Beispiele zu dem gesamten im Lehrbuch behandelten Stoﬀ angeboten. F¨ ur das Verst¨ andnis des in den beiden genannten Werken dargebotenen Stoﬀes werden lediglich Grundkenntnisse auf den Gebieten Elektrotechnik, Mathematik sowie Schaltungstechnik erwartet. Bei der Ausarbeitung des Manuskriptes habe ich viele Anregungen und utzung von allen am Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik wesentliche Unterst¨ der Universit¨ at Linz t¨ atigen Mitarbeitern erfahren. In allererster Linie bin ich Herrn Dipl.-Ing. Manfred Kaltenbacher und Herrn Dipl.-Ing. Franz Lindinger f¨ ur ihre wesentlichen fachlichen Beitr¨ age zu diesem Werk sowie ihren unerm¨ udlichen Einsatz im Zusammenhang mit der Erstellung des Manuskriptes zu gr¨ oßtem Dank verpﬂichtet. Die wahrlich nicht immer einfachen Aufgaben des computergerechten Textschreibens sowie der Anfertigung von Abbildungen lagen in den H¨ anden von Frau Waltraud Kratzer, die die immer wieder an¨ stehenden Texterweiterungen und Anderungen der Abbildungen mit großem Engagement und Sachverstand vorgenommen hat. Ihr geb¨ uhrt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau Sylvia Preßl, die ebenfalls viele der Graﬁken angefertigt hat, wie auch Frau Ingrid Hagelm¨ uller, die f¨ ur die Texteingabe sowie die Erstellung der Abbildungen der ersten Manuskriptversion verantwortlich war. All denjenigen, die an der Korrekturlesung dieses Werkes beteiligt waren und Verbesserungsvorschl¨ age eingebracht haben, d. h. meinen Kollegen, meinen Assistenten, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Todor Sheljaskov und Dipl.Ing. Roland Exler, den Linzer Mechatronik-Studenten sowie meiner Ehefrau

IX

Elke, m¨ ochte ich ebenfalls meinen herzlichen Dank f¨ ur ihren großen Einsatz aussprechen. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Hubertus Riedesel, der die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Werkes gab, sowie seinen Mitarbeiterinnen Frau Marianne Ozimkowski und Frau Gaby Maas f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Erstellung des kamerafertigen Manuskriptes. Allen eben genannten Personen m¨ ochte ich auch danken f¨ ur ihr Verst¨ andnis und ihre Geduld bei der mehrmals verz¨ ogerten Abgabe des Manuskriptes. Da es erwartungsgem¨ aß auch bei noch so sorgf¨ altiger Bearbeitung des Textes nicht m¨ oglich sein d¨ urfte, die Erstauﬂage eines solchen Buches fehlerfrei zu halten, m¨ ochte ich mich schon vorab bei allen Lesern f¨ ur diese Fehler entschuldigen und sie ermutigen, von ihnen eventuell entdeckte Fehler an die folgende Adresse mitzuteilen: O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Lerch Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik Johannes Kepler Universit¨ at Linz Altenberger Straße 69 A-4040 Linz email: [email protected]

Linz, im Januar 1996

Reinhard Lerch

Inhaltsverzeichnis

1

Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik . . . . . . 1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Der Begriﬀ des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Begriﬀsdeﬁnitionen in der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Allgemeine Begriﬀe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Meßger¨at und Meßeinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) 1.4 Vorschriften und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Klassiﬁzierung von Meßmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode . . . . . . . . . 1.5.2 Analog - Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Direkt - Indirekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Die Informationstr¨ager im Meßsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 4 5 5 6 6 6 8 9 9 9

2

Die Grundlagen des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Abgeleitete Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oßen- und Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gr¨

11 11 11 12 13 13

3

Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und ¨ Vierpol-Ubertragungsverhalten ............................ 3.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ausgleichsvorg¨ange in linearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen . . . . . . 3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation – Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 21 24 27

30

XII

Inhaltsverzeichnis

¨ 3.5.1 Uberlagerung .................................... 3.5.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Diﬀerentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen - Faltung . . . . . . . . 3.5.5 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) . . . . . . . . . . 3.5.6 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) . . . . . . 3.5.7 Dehnung bzw. Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.8 Anfangswert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Endwert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation . Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨ osung von linearen Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . angen in elektrischen Berechnung von Einschwingvorg¨ Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen R¨ ucktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich . . Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bode-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 31 31 33 33 34 34 34 34

4

Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme . . . . . . 4.1 Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Nichtlinearer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Nichtlineare Induktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Messung von Hysteresekurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Nichtlineare Kapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 71 74 79 80 82 83

5

Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1 Systematische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2 Zuf¨ allige Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung . . . 91 5.2.2 Vertrauensbereich f¨ ur den Sch¨ atzwert . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.3 Fortpﬂanzung zuf¨ alliger Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4 Dynamische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen . . . . . . . . 99 5.4.2 Deﬁnition des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . . . 104 5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . 105 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

35 36 40 50 54 58 59 62

Inhaltsverzeichnis

XIII

6

Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.1.1 Drehspulmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.1.2 Galvanometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.4 Dreheisenmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) . . . . 124 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.1.8 Schaltzeichen f¨ ur Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.2 Messung von Gleichspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung . . . . . . 135 6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . 137 6.3.1 Begriﬀsdeﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3.2 Gleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) . 140 6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3.5 Messung des Eﬀektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.6 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7

Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.1 Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 oßen . . . 158 7.1.3 Deﬁnitionen von Operationsverst¨ arker-Kenngr¨ 7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . 165 7.2 Spezielle Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.2.1 Diﬀerenzverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨ arker) . 178 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2.4 Ladungsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8

Messung der elektrischen Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2.1 Begriﬀsdeﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen . . . . . . . . . . . . 197 8.3 Messung der elektrischen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

XIV

9

Inhaltsverzeichnis

Messung von elektrischen Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1.2 Vergleich mit einem Referenzwiderstand . . . . . . . . . . . . . 210 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle . . . . . . . . . . . . . 212 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes . . . . . . . . . . . . 213 9.2 Kompensationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.2.1 Gleichspannungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.2.2 Gleichstromkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.3 Gleichstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 usse von Erd- und Streukapazit¨ aten . . . . . . . . . . . . 227 9.5.2 Einﬂ¨ 9.5.3 Halbautomatischer Br¨ uckenabgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale . . . . . . . . . . 235 10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-R¨ ohre . . . . 235 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops . . . . . . . . . 242 10.1.4 Sampling-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . 248 10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie . . . . . . . 249 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeﬀizienten) . . . . . 249 10.3.2 Linearit¨ atsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.4 Digital-Speicheroszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes . . . . . . . . . . . . . . 261 10.4.3 Betriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops . . . . . . . . 263 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11 Digitale Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.1 Duales Zahlensystem und Bin¨ arcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.1.1 Dualzahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code . . . . . . . . . . . . . . . . 268 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . 268 11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Inhaltsverzeichnis

11.3

11.4 11.5

11.6

11.7

11.8 12 Die 12.1 12.2 12.3

12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

XV

11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . 269 11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) . . . . . . 270 11.2.3 Digitale Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Bistabile Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 11.3.1 RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . 277 11.3.3 Taktﬂankengesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 277 11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) . . . . 278 11.3.5 Taktﬂankengesteuertes D-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 11.3.6 Taktﬂankengesteuertes JK-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 281 11.3.7 Taktﬂankengesteuertes T-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Monostabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Z¨ ahler-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 11.5.1 Dualz¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 11.5.2 BCD-Z¨ Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 11.6.1 Grundlagen und Kenngr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 290 11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 294 Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.7.1 Abtastung (Sampling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . . . 303 11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator 310 11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (ImpulsbreitenMultiplizierer, S¨ agezahn-Multiplizierer) . . . . . . . . . . . . . 318 11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz . . . . 321 11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 329 Digital-Multimeter (DMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Messung von Frequenz und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Mechanische Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Digitale Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Digitale Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdiﬀerenzmessung) . . . . . . . . . . 340 12.3.2 Periodendauermessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Digitale Phasenwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Rechnender Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . 347 Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 12.8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 12.8.2 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 12.8.3 LC-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

XVI

Inhaltsverzeichnis

12.8.4 Relaxationsoszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 12.8.5 Quarzoszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators . 360 12.8.7 Fehler von Schwingquarzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung . . 362 12.10 Zeitzeichensender und Funknavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.10.1 DCF-77 Zeitzeichensender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.10.2 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.10.3 Galileo-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13 Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.1 Aufgaben und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.2 Signalarten und Analyseformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren . . . . . . . . . . . 376 13.4 Ermittlung des Eﬀektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 13.5 Bestimmung von Mittelungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale . . . . . . . . . 383 13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion 386 ¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 14 Rechnergestu ¨ tzte Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen . . . . . . . 397 14.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 14.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 14.2.2 Multiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.2.3 St¨ orungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen . . . . 409 14.2.4 Serielle Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 14.2.5 Parallelbussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.2.6 Datenlogger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.3 Grundtypen des Datentransfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.4 Meßdatenerfassung im Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.4.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) . . 416 14.4.2 Kenngr¨ oßen der seriellen Daten¨ ubertragung . . . . . . . . . . 426 14.4.3 Die RS485-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 14.4.4 Die 20 mA-Stromschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 14.4.5 Die USB-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 14.4.6 Der IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 14.4.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 14.5 Meßdatenerfassung im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 14.5.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) . . . . . . . 455 14.5.2 Hierarchie industrieller Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 14.5.3 Vorschrift f¨ ur eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 14.5.4 Netzwerktopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 14.5.5 Bus-Zugriﬀsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

Inhaltsverzeichnis

14.6

14.7

14.8

14.9

XVII

14.5.6 Modulationsverfahren und Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . 471 14.5.7 Schnittstellenkonverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 14.5.8 Der Feldbus (FAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 14.5.9 Prim¨ are Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) . . . . . . 493 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN) . . . 496 14.6.1 IP-Adressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 14.6.2 Subnetzmasken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 14.6.3 Internet-Protokoll (IP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 14.6.4 Transmission Control Protocol (TCP) . . . . . . . . . . . . . . . 499 14.6.5 Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 ¨ 14.6.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen . . . . . . . . . . . . . . 499 ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 500 14.6.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung 14.6.8 Ethernet-Telegrammstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 14.6.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 14.6.10 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 14.6.11 Rechnernetze zur Meßdaten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . 507 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen . . . . . . . . . . 512 14.7.1 Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 14.7.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard . . 513 Einsatz kommerzieller Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 14.8.1 Kategorien von Softwarel¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 14.8.2 LabView . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 14.8.3 LabWindows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 14.8.4 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Anwendungsbeispiel: Hausautomatisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 14.9.1 Struktur des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 14.9.2 Datenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 14.9.3 Lokale und weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 14.9.4 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik Die meßtechnische Erfassung von physikalisch-technischen Gegenst¨ anden und Prozessen stellt zusammen mit der logischen Denkf¨ ahigkeit des Menschen, also insbesondere auch der F¨ahigkeit, diese Objekte und Vorg¨ ange mathematisch zu beschreiben, eine wesentliche Grundlage aller Natur- und Ingenieurwissenschaften dar. Schon der griechische Philosoph Platon (427-347 v. Chr.) hat auf die große Bedeutung der Meßtechnik hingewiesen, als er im X. Buch seines Werkes Der Staat“ schrieb [86]: ” ’Dieselben Gegenst¨ande erscheinen uns krumm oder gerade, je nachdem ” wir sie in oder außer Wasser erblicken, ebenso hohl oder erhaben infolge der T¨auschung unseres Gesichtssinnes durch die Farben; und all dies deutet auf eine Verwirrung in der Seele hin.’ (...) ’Messen, Z¨ahlen und W¨agen zeigen sich dagegen als die willkommensten Helfer, so daß in uns nicht das scheinbar Gr¨oßere oder Kleinere oder Zahlreichere oder Schwerere von Ausschlag ist, sondern das Rechnende, Messende, W¨agende.’ ’Wie auch nicht!’ ’Das ist die Aufgabe des vern¨ unftigen Teiles in unserer Seele.’(...) ’Der Teil, der auf Maß und Berechnung vertraut, ist wohl der beste Teil der Seele?’ ’Nat¨ urlich!’ ’Sein Gegenteil geh¨ort zu dem Schwachen in uns?’ ’Notwendigerweise!’“ Zwischen der Meßtechnik, deren grundlegende Aufgabe die experimentelle Bestimmung physikalischer Gr¨oßen ist, und der Entwicklung der Industrielandschaft aber auch der kulturellen Entwicklung bestehen seit jeher große Abh¨ angigkeiten. Die Meßtechnik spielte schon in der Antike eine zentrale Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit Meßgr¨ oßen, die Bestandteil des t¨aglichen Leben sind, wie z. B. Entfernungen oder das Gewicht von Waren. Die entsprechenden Maßeinheiten lieferte oft der menschliche K¨ orper, wie u.a.

2

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

die in fr¨ uheren Zeiten gebr¨auchlichen Einheiten Fuß“, Spanne“ oder Klaf” ” ” ter“ zeigen. Wie die Funde von W¨agesteinen belegen, war das f¨ ur die Entwicklung der Ware-Geld-Beziehung notwendige, auf Gewichtseinheiten basierende Wiegen bereits Jahrtausende vor Christus eingef¨ uhrt. Eines der ¨ altesten, aus Babylon stammenden Maßsysteme enthielt auch schon Einheiten f¨ ur die Gr¨ oßen L¨ ange“ (babylonische Elle), Fl¨ache“, Volumen“ und Gewicht“. ” ” ” ” Um dem im Laufe der Jahrhunderte entstandenen Wildwuchs an Maßeinheiten Einhalt zu gebieten, war es eine Forderung der Franz¨ osischen Revolution, daß einheitliche Maße vereinbart werden sollten. Schließlich wurde im Jahre 1799 die L¨ angeneinheit Meter“ als der vierzigmillionste Teil des Erdmeri” dians zun¨ achst in Frankreich, sp¨ater auch in Preußen und Sachsen, festgeschrieben, w¨ ahrend von der industriellen Entwicklung Englands die bekannten angels¨ achsischen L¨angenmaßeinheiten ausgingen. Bis ins 19. Jahrhundert hinein beschr¨ ankte man sich auf die Messung geometrischer, mechanischer und thermischer Gr¨oßen. F¨ ur die quantitative Erfassung weiterer wichtiger Meßgr¨ oßen, wie z. B. die Ionendosis oder die Energiedosis von radioaktiver Strahlung, standen bis dahin keine entsprechenden Meßger¨ ate zur Verf¨ ugung; es bestand jedoch schon die M¨oglichkeit ihres qualitativen Nachweises. Die Meßtechnik hat auch ganz wesentlich zur Weiterentwicklung aller Natur- und Ingenieurwissenschaften beigetragen. So verhalf beispielsweise die Zeitmeßtechnik zu Aussagen u aßigkeiten bei der Erdrotation. ¨ber Unregelm¨ Heute ist die Meßtechnik als ein zentrales Element der modernen Technologieund Industrielandschaft etabliert. Sie dient dort neben dem Warenaustausch vor allem der Forschung und Entwicklung, der Fertigung sowie der Qualit¨ atssicherung von Produkten. Eine Vielzahl technischer Funktionsabl¨ aufe muß st¨ andig meßtechnisch kontrolliert werden, um beispielsweise die gew¨ unschte Qualit¨ at in der Fertigung zu erreichen oder auch um die notwendige Sicherheit und Umweltvertr¨aglichkeit von Prozessen zu gew¨ ahrleisten. Ein Beispiel aus dem Bereich des Umweltschutzes zeigt auch, daß sich manche der dort anstehenden Aufgaben erst mit der Entwicklung und Bereitstellung eines hochwertigen Meßverfahrens l¨osen lassen. So wurde am Institut f¨ ur Hochfrequenztechnik der Universit¨at Erlangen ein Empf¨ anger f¨ ur elektromagnetische Submillimeterwellen (Frequenzen im Terahertzbereich) entwickelt, welcher in Flugzeugen, die in großer H¨ohe ﬂiegen, eingesetzt werden kann, um dort Schadstoﬀkonzentrationen zuverl¨assig zu messen. Diese Messungen basieren im wesentlichen auf der Detektion elektromagnetischer Strahlung, die bei einer Frequenz von 2,5 Terahertz von sog. Hydroxyl-Ionen emittiert wird. Diese Hydroxyl-Ionen werden neben den Fluorkohlenwasserstoﬀen (FCKW) als eine Substanz angesehen, die zum Abbau der Ozonschicht f¨ uhrt. Viele technische Fortschritte spiegeln sich in der Entwicklung von Meßverfahren und dazugeh¨origen Meßger¨aten wider, die ihrerseits wiederum zu einer Verbesserung des Kenntnisstandes auf dem Gebiet der Elektrotechnik beitraungsten Beispiele daf¨ ur ist der Quanten-Halleﬀekt, f¨ ur dessen gen. Eines der j¨ Entdeckung im Jahre 1985 der Nobelpreis an Prof. von Klitzing vergeben wurde. Der Eﬀekt konnte nur durch Bereitstellung und Nutzung einer sehr

1.2 Der Begriﬀ des Messens

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hochwertigen Meßtechnik entdeckt werden. Andererseits kann der QuantenHalleﬀekt wiederum zur hochgenauen Deﬁnition der Einheit des ohmschen Widerstandes genutzt werden, womit er zu einer gr¨ oßeren Pr¨ azision in der Elektrischen Meßtechnik beitr¨agt. In nahezu allen Disziplinen der Technik geht die entsprechende Meßtechnik zunehmend in eine rein elektrische Meßwertverarbeitung u ¨ber. Der allgemeine Trend besteht darin, f¨ ur die verschiedenen Meßaufgaben Meßwertaufnehmer zu entwickeln, welche die unterschiedlichsten nicht-elektrischen Meßgr¨ oßen detektieren und in entsprechende elektrische Signale umsetzen. Die weitere Verarbeitung dieser nunmehr elektrischen Signale (Meßwerte) ist dann weitgehend standardisiert und mittlerweile ein fester Bestandteil der Elektrischen Meßtechnik geworden. Der große Vorzug der Elektrischen Meßtechnik liegt dabei vor allem in der großen Pr¨azision, mit der sich elektrische Signale, etwa im Gegensatz zu mechanischen Gr¨oßen, bei relativ geringem Aufwand verarbeiten und speichern lassen. Auch die Tatsache, daß sich die beiden Gr¨ oßen Frequenz“ und Zeit“ ” ” mit Hilfe der Methoden der Elektrischen Meßtechnik mit großer Genauigkeit bestimmen lassen, bildet eine weitere Basis ihres Erfolges. So beruht beispielsweise das Prinzip des heute weltweit angewendeten Navigationssystems GPS (Global Positioning System) auf einer pr¨azisen Messung von Zeiten, in diesem Fall von Laufzeiten, die ein elektromagnetisches Signal von einem in bekannter Position beﬁndlichen Satelliten bis zu einem Empfangsort ben¨ otigt. An diesem Empfangsort beﬁndet sich ein portabler Empf¨ anger, dessen geometrische Breiten-, L¨ angen- und H¨ohenkoordinaten aus diesen Zeitmessungen mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨onnen.

1.2 Der Begriﬀ des Messens Unter Messen versteht man das quantitative Erfassen einer Gr¨ oße, der sog. Meßgr¨oße. Pr¨ aziser formuliert heißt Messen, eine zu messende Gr¨ oße als Vielfaches einer allgemein anerkannten Einheitsgr¨oße derselben physikalischen Dimension zu bestimmen, und zwar durch experimentellen Vergleich mit einer Maßverk¨ orperung dieser Einheit. Dabei bedienen wir uns sog. Meßger¨ate. Meßger¨ ate k¨ onnen insbesondere auch den Teil der Natur erschließen helfen, f¨ ur den unsere Sinne keine Empﬁndungen haben, wie z.B. der Schall im Ultraschallbereich oder alle Arten von ionisierender Strahlung. Zur Durchf¨ uhrung von Messungen m¨ ussen die folgenden drei Voraussetzungen erf¨ ullt sein: • Existenz eines Zahlensystems • Deﬁnition einer Meßgr¨oße • Festlegung der Einheit. Die Elektrische Meßtechnik behandelt zun¨achst die Messung rein elektrischer Gr¨ oßen, wie Spannung, Strom, elektrische Leistung und Impedanz (Widerstand, Induktivit¨at, Kapazit¨at). Nach der eigentlichen Gewinnung (Detektion) des Meßsignals wird dieses verarbeitet, d. h. es wird u. a. kompensiert,

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

verst¨arkt, u ¨bertragen, linearisiert oder digitalisiert, bevor das Meßergebnis (Meßwert) entweder • auf einer Anzeige (analog oder digital) ausgegeben, • mittels Schreiber oder Drucker dokumentiert oder • zur Regelung eines Prozesses benutzt wird. Ein weiteres wichtiges Teilgebiet der Elektrischen Meßtechnik besch¨ aftigt sich mit der Messung nicht-elektrischer Gr¨oßen. Dazu bedient man sich sog. Sensoren (Aufnehmer, Meßf¨ uhler, Detektoren), welche die jeweilige physikalische Gr¨ oße in ein elektrisches Signal umwandeln, das dann leicht mit bew¨ ahrten Methoden der Elektrischen Meßtechnik weiterverarbeitet werden kann. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß sich die Elektrische Meßtechnik mit den folgenden Teilaufgaben besch¨ aftigt: • Gewinnung des Meßsignals, d. h. Detektion der (elektrischen oder nichtelektrischen) Meßgr¨oße und Umwandlung in ein f¨ ur die weitere Verarbeitung geeignetes elektrisches Signal ¨ • Verarbeitung und Ubertragung des elektrischen Meßsignals • Darstellung, Dokumentation und Speicherung der Meßwerte. Die Verarbeitung elektrischer Meßsignale zeichnet sich gegen¨ uber den Meßverfahren anderer Wissenschaftszweige durch folgende Vorz¨ uge aus: • leistungsarmes und damit r¨ uckwirkungsarmes Erfassen von Meßgr¨ oßen • großer Meßbereichsumfang (hohe Dynamik) • einfache Verarbeitbarkeit der Meßsignale mit Hilfe elektronischer Schaltungen ¨ • leichte Ubertragbarkeit und Speicherung der Meßsignale mit Standardverfahren der Nachrichtentechnik.

1.3 Begriﬀsdeﬁnitionen in der Meßtechnik 1.3.1 Allgemeine Begriﬀe Im folgenden werden die wichtigsten Begriﬀsdeﬁnitionen der Meßtechnik nach DIN 1319 (Grundbegriﬀe der Meßtechnik), VDI/VDE 2600 (Metrologie, Meßtechnik) sowie DIN VDE 0410 (Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ ate) zusammengefaßt: Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen Gr¨oße als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird (DIN 1319). Die Meßgr¨oße ist die physikalische Gr¨oße, deren Wert durch eine Messung ermittelt werden soll (VDI/VDE 2600). Der Meßwert ist der gemessene spezielle Wert einer Meßgr¨ oße, er wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit angegeben (DIN 1319).

1.3 Begriﬀsdeﬁnitionen in der Meßtechnik

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Das Meßergebnis ist ein aus mehreren Meßwerten einer physikalischen Gr¨ oße oder aus Meßwerten f¨ ur verschiedene Gr¨ oßen nach einer festgelegten Beziehung ermittelter Wert oder Werteverlauf. Ein einzelner Meßwert kann aber auch bereits das Meßergebnis darstellen (VDI/VDE 2600). Meßprinzip heißt die charakteristische physikalische Erscheinung, die bei der Messung benutzt wird (DIN 1319). Meßverfahren nennt man die spezielle Art der Anwendung eines Meßprinzips (VDI/VDE 2600). Man unterscheidet dabei im wesentlichen zwischen dem Ausschlagverfahren, bei dem der Ausschlag oder die Anzeige eines Meßwertes ein Maß f¨ ur die Meßgr¨oße ist (idealerweise proportional), und dem Nullabgleichverfahren, bei dem die in Kap. 1.5.1 beschriebene Kompensationsmethode eingesetzt wird. 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung Ein Meßger¨at liefert oder verk¨orpert Meßwerte, auch die Verkn¨ upfung mehrerer voneinander unabh¨angiger Meßwerte, z. B. das Verh¨ altnis von Meßwerten (DIN 1319). Eine Meßeinrichtung besteht aus einem Meßger¨ at oder mehreren zusammenh¨ angenden Meßger¨aten mit zus¨atzlichen Einrichtungen, die ein Ganzes bilden (DIN 1319). Als Hilfsger¨ate werden die Komponenten bezeichnet, die nicht unmittelbar der Aufnahme, der Umformung oder der Ausgabe von Meßwerten dienen. Meßsignale stellen Meßgr¨oßen im Signalﬂußweg einer Meßeinrichtung durch zugeordnete physikalische Gr¨oßen gleicher oder anderer Art dar (VDI/VDE 2600). 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) Eine komplette Meßkette besteht aus den in Abb. 1.1 gezeigten Komponenten. Grunds¨ atzlich besteht eine Meßeinrichtung zur elektrischen Messung elektrischer bzw. nicht-elektrischer Gr¨oßen aus den Meßger¨ aten (Meßgliedern), die im einzelnen folgende Aufgaben erf¨ ullen: • Aufnehmen der Meßgr¨oße • Weitergeben, Anpassen und Verarbeiten des Meßsignals • Ausgeben des Meßwertes. Nach dem Ger¨ ateplan (Abb. 1.1) sind die hierf¨ ur notwendigen Meßglieder in einer Meßkette zusammengeschaltet (VDI/VDE 2600, Bl. 3). Der Aufnehmer wandelt die Meßgr¨oße entweder direkt oder u oßen ¨ber andere physikalische Gr¨ ate, die in ein elektrisches Meßsignal y1 um. Die Anpasser enthalten Meßger¨ zwischen Aufnehmer und Ausgeber in der Meßkette liegen. Dazu geh¨ oren vor allem Meßverst¨arker und elektronische Rechenger¨ate. Der Ausgeber gibt die Meßwerte z analog oder digital entweder direkt (d. h. sofort sichtbar und verst¨ andlich) u ahler oder aber indirekt, ¨ber eine Anzeige, Schreiber bzw. Z¨

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

d. h. nicht ohne Spezialvorrichtung lesbar, zur weiteren Informationsverarbeitung aus. Die Hauptaufgabe des Hilfsger¨ates ist es, die von den Meßger¨ aten eventuell ben¨ otigte Hilfsenergie zu liefern.

Abb. 1.1. Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung nach VDI/VDE 2600

1.4 Vorschriften und Normen In Tabelle 1.1 werden die wichtigsten nationalen und internationalen Institutionen angef¨ uhrt, die zur Normbildung und zur Deﬁnition von Vorschriften im Bereich der Elektrischen Meßtechnik beitragen. In Tabelle 1.2 sind die wichtigsten in der Elektrischen Meßtechnik zu beachtenden Vorschriften und Normen in tabellarischer Form zusammengefaßt.

1.5 Klassiﬁzierung von Meßmethoden Eine Klassiﬁzierung von Meßmethoden kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen. Die wichtigsten Klassiﬁzierungsmethoden werden in den folgenden vier Abschnitten kurz beschrieben. 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode Bei der Ausschlagmethode wird die Meßgr¨oße direkt oder u oßen ¨ber Zwischengr¨ in einen m¨ oglichst proportionalen Ausschlag umgewandelt, z. B. die Winkelstellung eines Meßger¨atezeigers. Als Sonderfall kann dieser Ausschlag auch

1.5 Klassiﬁzierung von Meßmethoden

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Tabelle 1.1. Normbildende Institutionen und Standardisierungsgremien ANSI CCITT

American National Standards Institute, New York; USA/national Comit´e Consultatif International T´el´egraphique et T´el´ephonique, Genf; international CEE Commission Internationale de R´eglementation en vue de l’approbation de l’Equipment Electrique; Europa CENELEC Comit´e Europ´een de Coordination des Normes Electriques; Europa DIN Deutsches Institut f¨ ur Normung e. V., Berlin; national EIA Electronic Industry Association; USA/national IEC International Electrotechnical Commission; international IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York; national/international ISO International Standards Organisation, Genf; international ¨ ¨ OVE Osterreichischer Verband f¨ ur Elektrotechnik, Wien; national VDE Verband Deutscher Elektrotechniker e. V., Frankfurt; national VDI Verband Deutscher Ingenieure e. V., D¨ usseldorf; national DKE Deutsche Elektrotechnische Kommission im DIN und VDE; national

in reiner Zahlendarstellung mit theoretisch unendlich vielen Nachkommastellen erfolgen. Ein charakteristisches Kennzeichen dieser Meßmethode ist der Entzug von Energie aus dem Meßobjekt, was eine R¨ uckwirkung auf die zu messende Gr¨ oße zur Folge hat. Bei der Kompensationsmethode hingegen (Abb. 1.2) wird von der Meßoße xB eine mittels eigr¨ oße xE bzw. der daraus abgeleiteten Abbildungsgr¨ ner Hilfsquelle erzeugte gleichartige und gleichgroße Kompensationsgr¨ oße xK (Vergleichsgr¨ oße) subtrahiert, so daß die Diﬀerenz von Meßgr¨ oße bzw. Abbildungsgr¨ oße und Kompensationsgr¨oße gerade Null ergibt. Die Meßgr¨ oße wird dabei zun¨ achst mit Hilfe eines Aufnehmers in eine proportionale Abbildungsoße muß sowohl einstellbar als gr¨ oße xB umgewandelt. Die Kompensationsgr¨

Abb. 1.2. Signalﬂuß bei der Kompensationsmethode

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik Tabelle 1.2. VDE-Vorschriften und DIN-Normen (Auswahl) Norm

Inhalt

VDE 0410 VDE 0411 VDE 0414 VDE 0418 VDE 2600 DIN 1301 DIN 1304 DIN 1313 DIN 1319 DIN 1333 DIN 40108 DIN 40110 DIN 43710 DIN 43780 DIN 43802 DIN 43808 DIN 43821 DIN 43830 DIN 43850 DIN 5478 DIN 5483

Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ ate Bestimmungen f¨ ur elektronische Meßger¨ ate und Regler Bestimmungen f¨ ur Meßwandler Bestimmungen f¨ ur Elektrizit¨ atsz¨ ahler Metrologie (Meßtechnik) Einheiten Formelzeichen Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen Grundbegriﬀe der Meßtechnik Zahlenangaben Gleich- und Wechselstromsysteme Wechselstromgr¨ oßen Thermospannungen und Werkstoﬀe der Thermopaare Genauigkeitsklassen von Meßger¨ aten Skalen und Zeiger f¨ ur elektrische Meßinstrumente Zungenfrequenzmesser Widerstandsferngeber Schreibende Meßger¨ ate Elektrizit¨ atsz¨ ahler Maßst¨ abe in graphischen Darstellungen Zeitabh¨ angige Gr¨ oßen

auch meßbar sein. Da hierbei die zur Messung notwendige Energie aus der Hilfsquelle und nicht aus dem Meßobjekt stammt, ist diese Meßmethode r¨ uckwirkungsfrei, d. h. die Meßgr¨oße wird nicht durch Energieentzug w¨ ahrend des Meßvorganges ver¨andert. Dem Nachteil des gr¨ oßeren ger¨ atetechnischen Aufwandes stehen bei dieser Methode aber weitere Vorteile gegen¨ uber, wie z. B. die Reduzierung des St¨orgr¨oßeneinﬂusses beim Erzeugen der Kompensationsgr¨ oße in einer zweiten gleichartigen Meßstrecke oder die leichte Realisierung großer Meßbereiche [48]. 1.5.2 Analog - Digital Bei den analogen Meßmethoden wird die Meßgr¨ oße durch eine eindeutige und stetige Anzeigegr¨oße (Meßwert) dargestellt. H¨ auﬁg hat der Ausgeber einer analog arbeitenden Meßeinrichtung eine Skalenanzeige. Im Gegensatz dazu wird bei den digitalen Meßmethoden die Meßgr¨ oße in Form einer in festgelegten Schritten quantisierten Anzeigegr¨ oße dargestellt. Der Ausgeber wird hier im allgemeinen in Form einer Ziﬀernanzeige oder einer Bildschirmausgabe realisiert.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal

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1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich Von kontinuierlichen Meßvorg¨angen spricht man, wenn die Meßgr¨ oße ohne zeitliche Unterbrechung erfaßt und auch dargestellt wird. Von einer diskontinuierlichen Messung ist die Rede, wenn die Meßgr¨ oße nur zu bestimmten (diskreten) Zeitpunkten erfaßt (abgetastet) wird. 1.5.4 Direkt - Indirekt Bei den direkten Meßmethoden wird die Meßgr¨oße unmittelbar mit einer Maßverk¨ orperung derselben physikalischen Dimension verglichen. Bei den indirekten Methoden wird die Meßgr¨oße zun¨achst in eine proportionale Zwischengr¨ oße umgewandelt und erst diese wird schließlich mit der Maßverk¨ orperung verglichen. Die Bestimmung des Volumens eines Zylinders u ¨ber die Messung seines Durchmessers und seiner L¨ange ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine indirekte Messung.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal Der Tr¨ ager der Information in der Meßtechnik ist das Meßsignal, d. h. eine physikalische Gr¨oße mit einem informationstragenden Parameter, der eine Information u ¨ber eine Meßgr¨oße aufnehmen kann. In der Elektrischen Meßtechnik werden typischerweise elektrische Spannungen bzw. elektrische Str¨ ome als Informationstr¨ ager benutzt. Dabei werden von einem Signal folgende Eigenschaften verlangt: • Das Signal ist eine physikalische Gr¨oße (Signaltr¨ager, Informationstr¨ager), die sich zeitlich ver¨andern l¨aßt. • Der Signaltr¨ager besitzt einen wahrnehmbaren Parameter (Informationsparameter), der die Werte der Meßgr¨oße eindeutig und reproduzierbar wiedergeben kann, d. h. die Meßgr¨oße wird auf den Informationsparameter in mathematisch eineindeutiger Weise abgebildet. Da in der Elektrischen Meßtechnik die Meßsignale im allgemeinen in Form elektrischer Spannungen bzw. elektrischer Str¨ome verarbeitet werden, bieten sich alle Standardformen des Informationsparameters an, die aus der elektrischen Nachrichtentechnik bekannt sind. Die den Meßwert beschreibenden Informationen werden dabei auf eine der folgenden Arten codiert: • Amplitudenanaloges Signal (Amplitudenmodulation - AM) Meßwert ∼ Amplitude (Abb. 1.3a) • Frequenzanaloges Signal (Frequenzmodulation - FM) Meßwert ∼ Frequenz eines zeitkontinuierlichen Signals oder einer Impulsfolge (Abb. 1.3b) • Zeitanaloges Signal (Pulsdauermodulation - PDM) Meßwert ∼ Pulsdauer (Abb. 1.4a)

10

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

• Digitales Signal (Pulscodemodulation - PCM) Der Meßwert wird digital codiert (Abb. 1.4b).

Abb. 1.3. a) Amplitudenmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanamplitude.), b)Frequenzmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanfrequenz.)

Abb. 1.4. a) Pulsdauermoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Pulsdauer tX .), b) Pulscodemodulation (Der Meßwert ist in Form einer Dualzahl codiert.)

2 Die Grundlagen des Messens

2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten 2.1.1 Maßsysteme Die Messung einer physikalischen Gr¨oße besteht im Vergleich mit einer Maßeinheit, d. h. die physikalische Gr¨oße ergibt sich stets als Produkt aus einem Zahlenwert und einer Maßeinheit: Physikalische Gr¨ oße = Zahlenwert · Einheit Man ist bestrebt, die Einheiten durch unverg¨ angliche atomare Gr¨ oßen zu deﬁnieren, die an jedem Ort und zu jeder Zeit mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨onnen. Die Generalkonferenz f¨ ur Maße und Gewichte hat daher im Jahre 1960 das inzwischen weltweit eingef¨ uhrte Syst`eme International ” d’Unit´es“ (SI-System) vorgeschlagen, dessen Anwendung auch im deutschen Sprachraum gesetzlich vorgeschrieben ist. Das System deﬁniert zun¨ achst die Basisgr¨oßen und die dazugeh¨origen Basiseinheiten, welche beide in Tabelle 2.1 zusammengefaßt werden. Tabelle 2.1. SI-Basisgr¨ oßen und SI-Basiseinheiten Basisgr¨ oße

Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen

L¨ ange Masse Zeit Stromst¨ arke Temperatur Lichtst¨ arke Stoﬀmenge

l m t I T Iv n

Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Mol

m kg s A K cd mol

12

2 Die Grundlagen des Messens

Die Basiseinheiten der sieben Basisgr¨oßen sind im SI-System exakt festgelegt worden. Die entsprechenden Deﬁnitionen werden in der folgenden Aufstellung beschrieben: • Mechanik – 1 Meter (L¨ ange) L¨ ange der Strecke, die Licht im Vakuum w¨ ahrend des Zeitintervalls von (1/299 792 458) Sekunden durchl¨auft (1983). – 1 Kilogramm (Masse) Masse des internationalen Kilogrammprototyps (1889). – 1 Sekunde (Zeit) ¨ Die 9 192 631 770fache Periodendauer der dem Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids133 Cs entsprechenden Strahlung (1967). • Elektrotechnik – 1 Ampere (Stromst¨ arke) St¨ arke eines zeitlich unver¨anderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachl¨ assigbar kleinem, kreisf¨ ormigem Querschnitt ﬂießend, zwischen diesen Leitern pro 1 m urde Leiterl¨ ange elektrodynamisch die Kraft 0, 2 · 10−6 N hervorrufen w¨ (1948). • Thermodynamik – 1 Kelvin (Temperatur) ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers (1967). • Optik – 1 Candela (Lichtst¨ arke) ist die Lichtst¨arke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlst¨arke in dieser Richtung (1/683) Watt je Steradiant betr¨ agt (1979). • Chemie – 1 Mol (Stoﬀmenge) ist die Stoﬀmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12 C enthalten sind (1971). 2.1.2 Naturkonstanten Zahlenwerte und Einheiten von Naturkonstanten werden durch das Maßsystem, i.allg. das SI-System, festgelegt (Tabelle 2.2). So ergibt sich beispielsweise aus der Deﬁnition der Einheit der elektrischen Stromst¨ arke die magnetische Feldkonstante zu µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am = 1, 2566 · 10−6 Vs/Am [98].

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

13

2.1.3 Abgeleitete Einheiten Durch Multiplikation oder Divison der Basiseinheiten werden die f¨ ur die anderen physikalischen Gr¨oßen ben¨otigten Einheiten abgeleitet. Tritt bei dieser Ableitung nur der Zahlenfaktor 1 auf, so bezeichnet man die Einheiten als koh¨arent. Einige abgeleitete Einheiten haben eigenst¨ andige Namen (Tabelle 2.3), wie z.B. der Druck p gemessen in der Einheit Pascal (Pa), andere wiederum werden nur in Form ihrer Basiseinheiten ausgedr¨ uckt, wie beispielsweise die magnetische Feldst¨arke H mit der Einheit Ampere/Meter (A/m). Tabelle 2.2. Wichtige Naturkonstanten Naturkonstante

Zeichen

Elektrische Elementarladung Elektrische Feldkonstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Magnetische Feldkonstante Masse des Elektrons Plancksches Wirkungsquantum

e0 ε0 c0 µ0 m0 h

Zahlenwert −19

1, 6022 · 10 8, 8542 · 10−12 299 792 458 1, 2566 · 10−6 9, 1095 · 10−31 6, 6262 · 10−34

Einheit As AsV−1 m−1 ms−1 VsA−1 m−1 kg Js

Daneben gibt es noch abgeleitete Einheiten, die mit Hilfe von Einheiten ausgedr¨ uckt werden, die einen besonderen Namen haben, wie z.B. die Einheit der elektrischen Feldst¨arke Volt/Meter (V/m = kg m s−3 A−1 ) oder die der Peratze mittivit¨ at Farad/Meter (F/m = A2 s4 kg−1 m−3 ). Durch dezimale Vors¨ entstehen neue vergr¨oßerte bzw. verkleinerte Einheiten (Tabelle 2.4), z. B. die Einheit Megapascal (MPa), die 106 Pascal entspricht.

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen Die mathematische Beziehung zwischen physikalischen Gr¨ oßen wird durch Gleichungen beschrieben. Man spricht von Gr¨oßengleichungen, wenn sie ausschließlich den Zahlenfaktor 1 enthalten. Die elektrische Energie beispielsweise ist gegeben durch die Gr¨oßengleichung (2.1). Darin bezeichnen U die Gleichspannung, gemessen in Volt (V), I den Gleichstrom, gemessen in Ampere (A), und t die Zeit, gemessen in Sekunden (s) E = U It .

(2.1)

Bei Verwendung koh¨arenter Einheiten gelten f¨ ur die Einheiten die gleichen Formeln. Gleichung (2.1) resultiert also in folgender Einheitengleichung 1 Ws = 1 VAs = 1 Nm .

(2.2)

14

2 Die Grundlagen des Messens Tabelle 2.3. Abgeleitete SI-Einheiten mit eigenst¨ andigen Namen Gr¨ oße

Formel- Abgeleitete zeichen SI-Einheit

Beziehung zu SI-Einheiten

ebener Winkel r¨ aumlicher Winkel Frequenz Kraft Druck

α Ω f, ν F p

Radiant Steradiant Hertz Newton Pascal

rad sr Hz N Pa

1 rad 1 sr 1 Hz 1N 1 Pa

Energie, Arbeit, W¨ armeenergie Leistung, Energiestrom Ladung Spannung Widerstand Leitwert Kapazit¨ at

E

Joule

J

1J

P

Watt

W 1W

Q U R G C

Coulomb Volt Ohm Siemens Farad

C V Ω S F

magn. Fluß

Φ

Weber

Wb 1 Wb

magn. Flußdichte

B

Tesla

T

1T

Induktivit¨ at

L

Henry

H

1H

Lichtstrom Beleuchtungsst¨ arke

Φ Ev

Lumen Lux

lm 1 lm lx 1 lx

Aktivit¨ at einer radio- A aktiven Substanz Energiedosis D

1C 1V 1Ω 1S 1F

Becquerel Bq 1 Bq Gray

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 m m−1 1 m2 m−2 1 s−1 1 kg m s−2 1 N m−2 1 kg m−1 s−2 1 Nm 1 kg m2 s−2 1 Nm s−1 1 kg m2 s−3 1 As 1 kg m2 s−3 A−1 1 kg m2 s−3 A−2 1 s3 A2 kg−1 m−2 1 As V−1 1 A2 s4 kg−1 m−2 1 Vs 1 kg m2 s−2 A−1 1 V s m−2 1 kg s−2 A−1 1 Wb A−1 1 Vs A−1 1 kg m2 s−2 A−2 1 cd sr 1 lm m−2 1 cd sr m−2 1 s −1

Gy 1 Gy = 1 J kg −1 = 1 m2 s−2

In Zahlenwertgleichungen hingegen werden nicht-koh¨arente Einheiten verkn¨ upft, wie z. B. bei der Berechnung der elektrischen Energie in der Einheit Kilowattstunde (kWh) E (kWh) = 0, 278 · 10−6 U (V) I (A) t (s) = 0, 278 · 10−6 E (Ws) .

(2.3)

Bei Zahlenwertgleichungen m¨ ussen die Einheiten mit angegeben werden. Verschiedene Einheiten werden in einer Einheitengleichung verkn¨ upft 1 kWh = 1000 VA 3600 s =

1 VAs . 0, 278 · 10−6

(2.4)

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

15

Tabelle 2.4. Vors¨ atze zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Einheiten Vorsatz Zeichen Zahlenwert Vorsatz Zeichen Zahlenwert Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi

a f p n µ m c d

10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

da h k M G T P E

10+1 10+2 10+3 10+6 10+9 10+12 10+15 10+18

3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation ¨ und Vierpol-Ubertragungsverhalten

3.1 Fourier-Transformation Fourierreihen periodischer Funktionen Wir beginnen mit der Beschreibung periodischer Funktionen mit Hilfe von Fourier-Reihenentwicklungen und leiten daraus die Beschreibung auch nichtperiodischer Funktionen mittels der Fourier-Transformation ab. Die periodische Funktion f (t) = f (t + T ) l¨aßt sich bekanntlich in Form einer trigonometrischen Reihe angeben [28] ∞

a0 + (aν cos(νω0 t) + bν sin(νω0 t)) , 2 ν=1

f (t) =

(3.1)

wobei sich die Fourierkoeﬃzienten aν und bν mit aν =

2 T

bν =

2 T

+T /2 −T /2 +T /2 −T /2

f (t) cos (νω0 t) dt ν = 0, 1, 2, · · ·

(3.2)

f (t) sin (νω0 t) dt ν = 1, 2, · · ·

(3.3)

berechnen lassen und T die Periodendauer darstellt. Eine alternative Darstellung kann in Form einer Cosinus-Reihe mit den Koeﬃzienten cν und Phasenwinkeln ϕν erfolgen f (t) =

∞

cν cos(νω0 t + ϕν ) mit

ϕ0 = 0 .

(3.4)

ν=0

Mit der bekannten Beziehung cos x =

1 jx (e + e−jx ) 2

(3.5)

18

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

l¨aßt sich daraus eine ¨aquivalente Exponentialreihe ableiten ∞

f (t) =

dν ejνω0 t

(3.6)

ν=−∞

1 cν ejϕν ; 2 und do = co .

d−ν = d∗ν =

mit dν =

1 cν e−jϕν 2

(3.7) (3.8)

Um die komplexwertigen Koeﬃzienten dν aus der Funktion f (t) zu erhalten, l¨osen wir Gl. (3.6) nach dν auf. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit e−jµω0 t (µ ∈ Z) und integrieren u ¨ber eine Periode (Periodendauer T = 2π/ω0 )

T

f (t)e

−jµω0 t

dt =

0

0

T

∞

dν e−j(µ−ν)ω0 t dt .

(3.9)

ν=−∞

Auf der rechten Seite lassen sich Integral und Summe vertauschen und dν kann vor das Integral gezogen werden. F¨ ur das Integral gilt dann T 2π 0 f¨ ur ν = µ . (3.10) e−j(µ−ν)ω0 t dt = , wenn ω0 = T f¨ ur ν = µ T 0 Daraus folgt unmittelbar

T

0

f (t)e−jµω0 t dt = T dµ .

(3.11)

Jetzt ersetzen wir noch µ durch ν, so daß sich die Koeﬃzienten folgendermaßen berechnen lassen 1 T f (t)e−jνω0 t dt. (3.12) dν = T 0 ¨ Ubergang zur Fourier-Transformation Wir betrachten noch einmal die Exponentialentwicklung (Gl. (3.6)) und f¨ ugen einige g¨ unstige Erweiterungen ein (s. auch [117], [118]) f (t) =

∞ 1 2πdν jνω0 t e ω0 . 2π ν=−∞ ω0

(3.13)

In Gl. (3.12) verschieben wir die Integrationsgrenzen um eine halbe Periode 1 dν = T

T /2 −T /2

f (t)e−jνω0 t dt

mit T =

2π . ω0

(3.14)

Die Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen erreicht man, indem man die Periodendauer T → ∞ gehen l¨aßt. Die diskreten Frequenzen νω0

3.1 Fourier-Transformation

19

werden ersetzt durch die kontinuierliche Frequenz ω und die endlichen Frequenzschritte ω0 durch das Diﬀerential dω. Wenn man in Gl. (3.14) den Ausdruck T = 2π/ω0 auf die linke Seite bringt, erh¨ alt man die Fourier-Transformierte F (jω) der Zeitfunktion f (t) ∞ 2πdν = f (t)e−jωt dt = F (jω). (3.15) ω0 −∞ Zur R¨ ucktransformation wird in Gl. (3.13) die Summe u ¨ber die diskreten ν ersetzt durch ein Integral u ¨ber ω. Wir setzen dementsprechend die FourierTransformierte F (jω) nach Gl. (3.15) ein und erhalten die Fourier-Ru ¨ cktransformation (inverse Fourier-Transformation) ∞ 1 f (t) = F (jω)ejωt dω . (3.16) 2π −∞ Es sei noch angemerkt, daß die Fourier-Transformation bzw. die Fourier-R¨ ucktransformation symbolisch folgendermaßen geschrieben wird F (jω) = F{f (t)} f (t) = F −1 {F (jω)} .

(3.17) (3.18)

Die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) setzt ihre absolute Integrierbarkeit voraus ∞ |f (t)|dt < ∞ . (3.19) 0

Beispiele zur Fourier-Transformation Gegeben sei folgende Funktion f1 (t) = pT (t) =

1 f¨ ur −T ≤ t ≤ T , 0 sonst

(3.20)

welche einen Rechteckimpuls beschreibt. Die Fouriertransformierte dieser Funktion l¨ aßt sich mit Gl. (3.15) leicht berechnen F 1 (jω) =

T

−T

e−jωt dt =

2 sin(T ω) . ω

(3.21)

Die Anwendung des Satzes von L’Hospital liefert an der Stelle ω = 0 den Grenzwert 2T . Abbildung 3.1 zeigt die Darstellung dieser Funktion im Zeitund Frequenzbereich. Weiterhin sei ein zeitlich unendlich andauerndes Sinus-Signal gegeben f2 (t) = sin ω0 t.

(3.22)

20

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

p (t) T

1

T

-T

Re {F1(jω)}

t

Im {F1(jω)} = 0 2T

−π/T

π/T

2π/T

ω

Abb. 3.1. Der Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich

Die Fourier-Transformierte dieses Signals lautet F 2 (jω) =

π [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )], j

(3.23)

wobei δ dem Dirac-Stoß (s. Kap. 3.4) entspricht. Das Spektrum dieses Signals ist in Abb. 3.2 dargestellt. Es enth¨alt logischerweise nur einen Anteil bei der Frequenz ω0 bzw. −ω0 . Nun wollen wir durch Multiplikation der beiden Signale einen Teil des Sinussignals ausschneiden f3 (t) = f1 (t) · f2 (t) = pT (t) sin ω0 t.

(3.24)

Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich alt (s. Kap. 3.5.4), wodurch man leicht die Fourier-Transformierte F 3 (jω) erh¨ (∗: Faltungssymbol) π 2 sin T ω ∗ [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] ω j 2π ∞ sin T Ω [δ(ω − Ω − ω0 ) − δ(ω − Ω + ω0 )]dΩ = j −∞ Ω 2π sin T (ω − ω0 ) sin T (ω + ω0 ) = − . (3.25) j ω − ω0 ω + ω0

F 3 (jω) =

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

21

j . F2(jω)

Re {F2 (jω)} = 0 −ω0

ω0

ω

Abb. 3.2. Das Sinussignal im Frequenzbereich

In Abb. 3.3 ist der erste Term der Gl. (3.25) dargestellt. Bildlich gesprochen wird durch das Ausschneiden der unendlich scharfe Dirac-Stoß u ¨ber einen arfer ist, Frequenzbereich um ω0 verschmiert“, wobei der Impuls umso unsch¨ ” je k¨ urzer der Ausschnitt ist. F¨ ur ein unendlich langes Zeitfenster ergibt sich wiederum der Dirac-Stoß aus Abb. 3.2.

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken Es sollen die zeitlichen Verl¨aufe von Spannung und Strom in einem elektrischen Netzwerk ermittelt werden, wenn die Anregung einen beliebigen zeitlichen Verlauf zeigt. Schwerpunktm¨aßig betrachtete Spezialf¨ alle sind dabei eine zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltete periodische Anregung oder eine nach dem Einschaltzeitpunkt konstante Anregung. Nach diesem (Ein-) Schaltzeitpunkt l¨auft in dem Netzwerk ein sog. Einschwingvorgang ab, der sich nach mehr oder weniger langer Zeit dem station¨aren oder eingeschwun¨ genen Zustand ann¨ahert. Eine neuerliche Anderung der Anregung, z. B. das Abschalten der Anregung, ruft einen weiteren Ausgleichsvorgang hervor. Wenn wir uns auf ein elektrisches Netzwerk mit konzentrierten linearen und zeitinvarianten Elementen beschr¨anken, so erfolgt die mathematische Bej . F3(jω) Re {F3 (jω)} = 0 2πT ω0 −π/Τ

ω0

ω0 +π/Τ ω

Abb. 3.3. Das ausgeschnittene Sinussignal im Frequenzbereich

22

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

schreibung dieser Ausgleichsvorg¨ange anhand einer linearen Diﬀerentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeﬃzienten. Als Beispiel wollen wir den Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung betrachten, auf deren Eingangsklemmen zum Zeitpunkt t = 0 die Gleichspannung U0 aufgeschaltet wird (Abb. 3.4). t=0

R

i=C C

Uo

du c dt uc

Abb. 3.4. RC-Tiefpaßschaltung, die zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Gleichspannung beaufschlagt wird.

F¨ ur Zeiten t > 0 kann die Maschengleichung −U0 + R · i + uc = 0

(3.26)

unter Verwendung der Strom-Spannungs-Beziehung f¨ ur den Kondensator i=C

duc dt

(3.27)

zu einer Diﬀerentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeﬃzienten umgeformt werden duc + uc = U 0 . RC (3.28) dt ¨ Die allgemeine L¨osung dieser Gleichung ergibt sich aus der Uberlagerung der L¨ osung der homogenen Diﬀerentialgleichung RC

duch + uch = 0 dt

(3.29)

und einer partikul¨aren L¨osung der inhomogenen Diﬀerentialgleichung. Eine solche spezielle L¨osung ucp l¨aßt sich leicht angeben, wenn man bedenkt, daß f¨ ur t → ∞ der Ausgleichsvorgang abgeschlossen sein muß. Dann ist der Kondensator auf die Spannung U0 aufgeladen und es ﬂießt kein Strom mehr. Somit ist diese partikul¨are L¨osung (3.30) ucp = U0 . Die allgemeine L¨osung der homogenen DGL (Gl. (3.29)) lautet mit der Zeitkonstanten τ = RC (3.31) uch = ke−t/τ , wobei k eine noch festzulegende Konstante ist. Die Gesamtl¨ osung lautet also uc = uch + ucp = ke−t/τ + U0 .

(3.32)

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

23

Aus dem Anfangswert der Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t = 0 aßt sich die Konstante k bestimmen (uc (0) = 0) l¨ k = −U0 .

(3.33)

uc = U0 (1 − e−t/τ ) .

(3.34)

Die Gesamtl¨ osung lautet somit

Abbildung 3.5 zeigt den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung uc . uC(t) U0 U0 (1-e -t/τ )

τ = RC

t

Abb. 3.5. Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung des RC-Tiefpasses

Auch bei komplizierteren Netzwerken ist die Vorgehensweise analog, d.h. unter Verwendung der Kirchhoﬀschen Gesetze und den Strom-Spannungs-Beziehungen von Widerstand, Spule und Kondensator wird ein System von linearen Dif¨ ferentialgleichungen aufgestellt, dessen L¨osung sich aus der Uberlagerung der allgemeinen L¨ osung des homogenen Systems und einer partikul¨ aren L¨ osung des inhomogenen Systems ergibt. Wenn sich in einem Netzwerk nun n Energiespeicher (Kondensatoren und/oder Spulen) beﬁnden, so enth¨ alt die L¨ osung n Konstanten, die so bestimmt werden m¨ ussen, daß die n Anfangswerte (Spannung bei Kondensatoren und Strom bei Spulen) der Energiespeicher erf¨ ullt werden, d. h. es muß ein lineares Diﬀerentialgleichungssystem mit n Unbekannten gel¨ ost werden. In aller Regel wendet man aber zur Berechnung von Einschwingvorg¨ angen eine elegantere Methode an, die uns das Auﬂ¨osen dieses linearen Diﬀerentialgleichungssystems erspart. Diese basiert auf der sog. Laplace-Transformation, die eine spezielle Spektralzerlegung der Zeitfunktionen durchf¨ uhrt. Dies f¨ uhrt schließlich zu einem Rechengang, der die bekannten Methoden der komplexen Wechselstromrechnung [3], [96] benutzt.

24

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.3 Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. F¨ ur die Berechnung von Einschwingvorg¨ angen gen¨ ugt die Beschr¨ ankung auf Zeitfunktionen, die f¨ ur Zeiten t < 0 verschwinden. Man spricht dann von einseitiger Laplace-Transformation. Bei dieser wird nur u ¨ber positive t integriert. Ausgangspunkt ist die einseitige FourierTransformation ∞ f (t)e−jωt dt (3.35) F (jω) = 0

bzw. die inverse Fourier-Transformation ∞ 1 f (t) = F (jω)ejωt dω . 2π −∞

(3.36)

¨ Beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird nun die in Gl. (3.35) noch rein imagin¨ are Frequenz jω durch die komplexe Frequenz s = σ + jω

(3.37)

ersetzt. Aus Gl. (3.35) wird dadurch die Basisgleichung der einseitigen Laplace-Transformation (Laplace-Transformationsgleichung) ∞ F (σ + jω) = f (t)e−σt e−jωt dt (3.38) 0

bzw. F (s) =

∞

f (t)e−st dt .

(3.39)

0

Die Bedingung f¨ ur die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) (Gl. (3.19)) +∞ |f (t)| dt < ∞ , (3.40) −∞

d. h. die Forderung, daß f (t) absolut integrierbar sein muß, wird nunmehr entsch¨ arft, da Gl. (3.40) in ∞ |f (t)| e−σt dt < ∞ (3.41) 0

u ugen beispielsweise auch die Funktionen ¨bergeht. So gen¨ 1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = 0 f¨ ur t < 0 f¨ ur σ > 0 und

(3.42)

3.3 Die Laplace-Transformation

f (t) =

eα t t ≥ 0 0 t<0

25

(3.43)

f¨ ur σ > α der Bedingung nach Gl. (3.41). Wenn also der Wert σ in Abh¨angigkeit von f (t) nur gen¨ ugend groß“ ” gew¨ ahlt wird, so existiert die Laplace-Transformierte F (s). Das entsprechende Integral (Gl. (3.39)) konvergiert absolut und gleichm¨ aßig f¨ ur alle s mit angenσ > σmin , wobei der Wert σmin die von der jeweiligen Funktion f (t) abh¨ de Konvergenzabszisse beschreibt. Die der Fourier-R¨ ucktransformation entsprechende Laplace-Ru ¨ cktransformation ergibt sich unter Verwendung der Gln. (3.35) bis (3.38) f¨ ur t > 0 zu +∞ 1 −σt = F (σ + jω) · ejωt dω (3.44) f (t)e 2π −∞ bzw. f (t) =

1 2π

ω=+∞

F (σ + jω) · e(σ+jω)t dω .

(3.45)

ω=−∞

Unter Verwendung der komplexen Frequenz s = σ + jw und der Beziehung ds = jdω l¨ aßt sich die Laplace-R¨ ucktransformation in der Form s=σ+j∞ 1 F (s)est ds (3.46) f (t) = 2πj s=σ−j∞ darstellen. Das R¨ ucktransformations-Integral nach Gl. (3.46) existiert nur, wenn F (s) an den Enden des Integrationspfades verschwindet. Der Integrationspfad verl¨ auft in der komplexen s-Ebene (Abb. 3.6) parallel zur imagin¨ aren Achse ur σ > σmin ist F (s) eine holomorphe in einem Bereich, wo σ > σmin gilt. F¨ Funktion. Es sei erg¨anzt, daß das Integral einer holomorphen Funktion nur von den Endpunkten des Integrationspfades, nicht aber von dessen Wegf¨ uhrung selbst, abh¨ angt. Symbolische Darstellungen Laplace-Transformation: R¨ ucktransformation:

F (s) = L{f (t)} .

(3.47)

f (t) = L−1 {F (s)} .

(3.48)

Die Zuordnung wird auch durch folgendes Symbolzeichen dargestellt f (t) ◦−−• F (s) ,

(3.49)

wobei wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung (Eineindeutigkeit) aller im Bereich t > 0 stetiger Funktionen diese Zuordnung in beiden Richtungen der Transformation gilt.

26

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

W¨ ahrend die Fourier-Transformation auf die rein imagin¨ are Achse jω und damit auf Sinusgr¨oßen mit konstanter Amplitude beschr¨ ankt bleibt, kann mit einer komplexen Frequenz auch eine exponentiell anwachsende oder exponentiell abklingende Sinusgr¨oße dargestellt werden (s. Abb. 3.6) Laplace-Ebene (s-Ebene) j. ω harmonische Schwingungen mit konstanter Amplitude exponentiell anwachsende Schwingungen

exponentiell abklingende Schwingungen

σ = Re {s}

Abb. 3.6. Laplace-Ebene (s-Ebene)

ˆ · eσt cos(ωt + ϕ) = u(t) = U

1 (U e(σ+jω)t + U ∗ e(σ−jω)t ) 2

(3.50)

ˆ · ejϕ U ˆ · e−jϕ . U

(3.51) (3.52)

mit U= ∗ U =

Die ¨ aquivalente Darstellung in s bzw. s∗ lautet u(t) =

∗ 1 (U est + U ∗ es t ) 2

(3.53)

s∗ = σ − jω.

(3.54)

mit

Der Wert von σ stellt dabei das D¨ampfungsmaß dar (σ < 0) und ω die Kreisfrequenz (ω > 0). Es sei noch erg¨anzt, daß die rein reelle Achse (ω = 0) reine Exponentialfunktionen mit reellen Exponenten verk¨ orpert.

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

27

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Ziel dieses Abschnittes ist die Aufstellung einer Zuordnungstabelle, die elementare Zeitfunktionen und ihre entsprechenden einseitigen Laplace-Transformierten enth¨ alt. Bei der einseitigen Laplace-Transformation wird vorausgesetzt, daß die zu transformierende Zeitfunktion f¨ ur Zeiten t < 0 stets identisch Null ist. Dies wird f¨ ur jede Zeitfunktion durch Multiplikation mit der im folgenden deﬁnierten Sprungfunktion ε(t) erreicht. Aufgrund der eindeu¨ tigen Umkehrbarkeit der Transformation kann diese sowohl beim Ubergang vom Zeit- in den Laplace-Bereich als auch in umgekehrter Richtung verwendet werden. Sprungfunktion Die Sprungfunktion1 ε(t) beschreibt ein zum Zeitnullpunkt eingeschaltetes zeitlich konstantes Signal 1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = ε(t) = . (3.55) 0 f¨ ur t < 0 Die Laplace-Transformierte lautet ∞ ∞ 1 −st −st F (s) = e dt = − e . s 0 0

(3.56)

F¨ ur Realteile σ > 0 konvergiert das Integral in Gl. (3.56) und man erh¨ alt F (s) =

1 . s

(3.57)

Rampenfunktion F¨ ur die ab dem Zeitnullpunkt linear ansteigende Rampenfunktion t f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · t 0 f¨ ur t < 0

(3.58)

erh¨ alt man die Laplace-Transformierte nach einmaliger partieller Integration ∞ ∞ t −st 1 ∞ −st −st F (s) = te dt = − e + e dt . (3.59) s s 0 0 0 Auch hier konvergiert das Integral nur f¨ ur komplexe Frequenzen s, deren Realteil positiv ist (σ > 0). Man erh¨alt schließlich F (s) = 1

1 . s2

Die Sprungfunktion wird im folgenden stets mit ε(t) bezeichnet.

(3.60)

28

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Parabelfunktionen Die Laplace-Transformierte einer Parabel n-ten Grades (n = 1, 2, 3, ...) ergibt sich durch n-malige partielle Integration n ur t ≥ 0 t f¨ (3.61) oder f (t) = ε(t) · tn f (t) = 0 f¨ ur t < 0 entsprechend zu F (s) =

n! . sn+1

(3.62)

Exponentialfunktion Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion st ur t ≥ 0 e 0 f¨ oder f (t) = ε(t) · es0 t f (t) = 0 f¨ ur t < 0

(3.63)

ergibt sich zu

∞

e

F (s) =

(s0 −s)t

0

∞ 1 (s0 −s)t e dt = . s0 − s 0

(3.64)

F¨ ur σ > Re{so } erh¨alt man Konvergenz und es folgt F (s) =

1 . s − s0

(3.65)

Hyperbelfunktionen Da sich die Hyperbelfunktionen aus der Superposition von Exponentialfunktionen ergeben 1 s0 t e + e−s0 t 2 1 s0 t e − e−s0 t , sinh(s0 t) = 2

(3.66)

cosh(s0 t) =

(3.67)

lassen sich ihre Laplace-Transformierten aufgrund ihrer linearen Transformationseigenschaften leicht angeben

1 1 1 s + (3.68) L{ε(t) · cosh(s0 t)} = = 2 2 s − s0 s + s0 s − s20 bzw. L{ε(t) · sinh(s0 t)} =

1 2

1 1 − s − s0 s + s0

=

s0 . s2 − s20

(3.69)

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

29

sin- und cos-Funktionen Der Spezialfall s0 = jω0 liefert mit den Gln. (3.66), (3.67) und cosh jω0 t = cos ω0 t sinh jω0 t = j sin ω0 t

(3.70) (3.71)

die Laplace-Transformierte harmonischer Signale s s2 + ω02 ω0 . L{ε(t) · sin ω0 t} = 2 s + ω02

L{ε(t) · cos ω0 t} =

(3.72) (3.73)

Delta-Impuls δ(t) Der Delta-Impuls (auch Dirac-Impuls bzw. Dirac-Stoß genannt), der bei der Analyse elektrischer Netzwerke große Bedeutung hat, ist keine Funktion im herk¨ ommlichen Sinne, sondern mathematisch gesehen eine sog. Distribution. Die Distribution l¨aßt sich durch einen Grenz¨ ubergang deﬁnieren. Dazu betrachten wir Abb. 3.7. Der dort gezeigte Signalverlauf l¨ aßt sich folgendermaßen beschreiben 1 f¨ ur 0 < t < T . (3.74) δT = T 0 sonst F¨ ur T → 0 erh¨ alt man daraus den Delta-Impuls. δ

δT 1 T

1

δ (t)

T a)

t

t b)

Abb. 3.7. Delta-Impuls: a) Zeitfunktion, welche durch den Grenz¨ ubergang T → 0 den Delta-Puls deﬁniert, b) Symbolische Darstellung: der Zahlenwert an der Spitze +∞ des Pfeiles repr¨ asentiert den Fl¨ acheninhalt des Integrals −∞ δ(t)dt.

+∞ F¨ ur den Dirac-Impuls gilt die Nebenbedingung −∞ δ(t)dt = 1. Die LaplaceTransformierte des Zeitsignals nach Gl. (3.74) ergibt T 1 −st 1 T −st 1 − e−sT e dt = . (3.75) e dt = FT (s) = T 0 sT 0 T

30

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Die Laplace-Transformierte des Delta-Impulses erh¨ alt man schließlich durch den Grenz¨ ubergang T → 0 1 − e−sT =1. T →0 sT

lim FT (s) = Fδ (s) = lim

T →0

(3.76)

3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation – Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen Bei der Anwendung der Laplace-Transformation ist es allgemein von Interesse, wie sich die Transformation auf einfache mathematische Operationen auswirkt. Bei der L¨osung von Diﬀerentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation ist es beispielsweise wichtig zu wissen, wie sich die Operationen Diﬀerentiation oder Integration transformieren.

¨ 3.5.1 Uberlagerung Wenn die Laplace-Transformierten zweier Zeitfunktionen f1 (t) und f2 (t) existieren f1 (t) ◦−−• F1 (s) f2 (t) ◦−−• F2 (s) ,

(3.77) (3.78)

¨ so gilt f¨ ur beliebige Konstanten c1 und c2 der Uberlagerungssatz c1 f1 (t) + c2 f2 (t) ◦−−• c1 F1 (s) + c2 F2 (s) .

(3.79)

Seine G¨ ultigkeit folgt unmittelbar aus der Linearit¨ at der Transformationsintegrale.

3.5.2 Integration Die Laplace-Transformierte des Integrals t f (τ )dτ

(3.80)

0

ergibt sich durch Einsetzen in die Transformationsformel (Gl. (3.39)) und partielle Integration zu t 1 (3.81) f (τ ) dτ ◦−−• F (s) , s 0 wobei F (s) die Laplace-Transformierte der Funktion f (t) ist.

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

31

3.5.3 Diﬀerentiation Unter der Voraussetzung, daß die Funktion f (t) diﬀerenzierbar ist und ihre Laplace-Transformierte F (s) existiert, erh¨alt man nach einmaliger partieller Integration f¨ ur die Laplace-Transformierte der Ableitung ∞ df (t) −st e dt (3.82) F˜ (s) = dt 0 die Zuordnung df (t) ◦−−• s F (s) − f (0+ ) . (3.83) dt Der rechtsseitige Grenzwert f (0+ ) ist der Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, wenn man den Funktionsverlauf von f (t) von Zeiten t > 0 kommend bis hin zum Grenzwert f¨ ur t → 0 verfolgt. Wenn alle Ableitungen von f (t) bis zur nten sowie die entsprechenden Laplace-Transformierten existieren, kann analog abgeleitet werden dn f (t) ◦−−• sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f (0+ ) − · · · − f (n−1) (0+ ) . (3.84) dtn Nachdem sich die Operationen Integration und Diﬀerentiation im Laplaceuhren lassen, gehen lineaBereich in eine Multiplikation mit 1s bzw. s u ¨berf¨ re Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten, wie sie auch bei der Analyse elektrischer Netzwerke auftreten, in lineare algebraische Gleichungen u ange in linearen mecha¨ber. Damit lassen sich insbesondere Einschwingvorg¨ nischen und elektrischen Netzwerken einfach berechnen (s. auch Kap. 5.4). 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen - Faltung Die f¨ ur die Netzwerkanalyse wichtigste Eigenschaft ist die Transformation des zeitlichen Faltungsintegrals, das die Berechnung einer Systemantwort bei bekannter Erregung und gegebener Impulsantwort des Systems erlaubt (s. auch Kap. 3.11). Das Produkt zweier Laplace-Funktionen F1 (s) · F2 (s) ∞ f1 (τ )e−sτ dτ (3.85) F1 (s) = 0 ∞ f2 (ϑ)e−sϑ dϑ (3.86) F2 (s) = 0

l¨aßt sich (gleichm¨aßige Konvergenz vorausgesetzt) als Doppelintegral formulieren ∞ ∞ f1 (τ )f2 (ϑ)e−s(τ +ϑ) dτ dϑ . (3.87) F1 (s) · F2 (s) = 0

0

Die Variablensubstitution t = τ + ϑ f¨ uhrt mit ϑ = t − τ und dϑ = dt zu

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

32

t=∞

F1 (s) · F2 (s) =

τ =t

f1 (τ )f2 (t − τ )dτ e−st dt .

(3.88)

τ =0

t=0

Die obere Grenze des inneren Integrals darf auf τ = t gesetzt werden, weil ur negative Zeiten verschwindet. f2 (t − τ ) bei kausalen Netzwerken f¨ Das innere Integral ist gem¨aß der Laplace-Transformationsgleichung die zu F1 (s) · F2 (s) geh¨orende Zeitfunktion. Daher ist die Integraloperation t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ (3.89) 0

das Zeitbereichsergebnis der Multiplikation F1 (s)·F2 (s). Man bezeichnet diese Operation als Faltung und k¨ urzt sie mit dem Symbol ∗ ab, um sie von der gew¨ ohnlichen Multiplikation zu unterscheiden t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ . (3.90) f1 (t) ∗ f2 (t) = 0

Es gilt also die Zuordnung f1 (t) ∗ f2 (t) ◦−−•F1 (s) · F2 (s) .

(3.91)

Das Faltungsprodukt ist kommutativ, d. h. es gilt f1 ∗ f2 = f 2 ∗ f1 .

(3.92)

Es sei erg¨ anzt, daß sich die Faltung nach Gl. (3.90) auch ausf¨ uhren l¨ aßt, wenn f1 (t) und f2 (t) nur in rein graphischer oder numerischer Form gegeben sind. Abbildung 3.8 soll die Faltungsoperation verdeutlichen. f1 (t)

f2 (t) f2 (-t)

t1

f 1, 2 f1 (τ) t=0

-t 2

t > t2

f 2 (t)

t2

t

: f 2 (t - τ)

t

f 1 (t) * f2 (t) Faltungsergebnis

t > t1 + t 2

t1

τ

t2

t1

t1+ t2

Abb. 3.8. Zur Veranschaulichung des Faltungsintegrals

t

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

33

3.5.5 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) Es soll eine Funktion f (t) im Zeitbereich um eine Zeit t0 > 0 verschoben werden. F¨ ur die daraus resultierende Funktion (Abb. 3.9) f (t − t0 ) f¨ ur t ≥ t0 bzw. f1 (t) = ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) (3.93) f1 (t) = 0 f¨ ur t < t0 folgt deren Laplace-Transformierte ∞ F1 (s) = f (t − t0 )e−st dt .

(3.94)

t0

Durch die Variablensubstitution τ = t − t0 wird e−st = e−st0 · e−sτ und es folgt F1 (s) = e

−st0

∞

(3.95)

f (τ )e−sτ dτ = e−st0 F (s) .

(3.96)

0

Die Verschiebung im Zeitbereich um eine Zeit t0 entspricht also der Multiplikation im Frequenzbereich mit e−st0 . f1 (t)

f (t)

0

0

t

t0

t

Abb. 3.9. Verschiebung im Zeitbereich um die Zeit to

3.5.6 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) Wenn wir hingegen eine Verschiebung im Laplace-Bereich gem¨ aß F1 (s) = F (s + s0 ) vornehmen, folgt

∞

F1 (s) =

f (t)e−s0 t e−st dt .

(3.97)

(3.98)

0

Dies bedeutet, daß F (s + s0 ) der mit e−s0 t multiplizierten Zeitfunktion f (t) entspricht (3.99) e−s0 t f (t) ◦−−•F (s + s0 ) .

34

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Die Anwendung dieses Satzes auf Gl. (3.62) ergibt schließlich tn −s0 t 1 e ◦−−• . n! (s + s0 )n+1

(3.100)

Demnach l¨ aßt sich zu einer beliebigen rationalen Funktion in s die zugeh¨ orige Zeitfunktion direkt ermitteln. Dazu wird die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt und anschließend r¨ ucktransformiert. F¨ ur den Fall, daß die gebrochen rationale Funktion denselben Z¨ahler- und Nennergrad aufweist, muß vor der Partialbruchzerlegung eine Polynomdivision durchgef¨ uhrt werden. 3.5.7 Dehnung bzw. Stauchung Eine multiplikative reelle Konstante c, die auch als zeitlicher Dehnungsbzw. Stauchungsfaktor interpretiert werden kann, wirkt sich wie folgt auf die Laplace-Transformation aus 1 s f (ct) ◦−−• F c c

(c > 0) .

(3.101)

3.5.8 Anfangswert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Anfangswert f (0+ ) der zugeh¨origen Zeitfunktion f (t) bestimmt werden, ohne die Zeitfunktion selbst zu ermitteln [28] lim f (t) = f (0+ ) = t↓0

lim

sF (s) .

(3.102)

Re(s)→∞

3.5.9 Endwert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Grenzwert f (t → ∞) der zugeh¨origen Zeitfunktion f (t) ermittelt werden, ohne diese direkt zu kennen [28] lim f (t) = lim sF (s).

t→∞

s→0

(3.103)

3.6 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation Mit Hilfe der Laplace-Transformation l¨aßt sich beispielsweise der bereits in Kapitel 3.2 behandelte Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung (Abb. 3.4) wesentlich eleganter berechnen als im Zeitbereich. Wir gehen dazu von der DGL (Gl. (3.28)) aus, welche die Spannung uc am Kondensator beschreibt

3.7 Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich

RC

duc (t) + uc (t) = u(t) . dt

35

(3.104)

Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit Einf¨ uhrung der Zeitkonstanten τ = RC zu folgender linearer Gleichung τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) ,

(3.105)

wobei gilt Uc (s) = L{uc (t)}

U (s) = L{u(t)} .

und

(3.106)

Diese Gleichung kann leicht nach Uc (s) aufgel¨ ost werden Uc (s) = bzw. Uc (s) =

1 [U (s) + τ uc (0+ )] 1 + sτ 1 s+

1 τ

1 U (s) + uc (0+ ) . τ

(3.107)

(3.108)

Wenn wir voraussetzen, daß der Kondensator zu Beginn des Einschaltvorganges ungeladen ist (3.109) uc (0+ ) = 0 und zum Zeitnullpunkt eine Gleichspannung U0 eingeschaltet wird, erhalten wir mit der Laplace-Transformierten der Sprungfunktion 1 s

(3.110)

U0 s

(3.111)

U0 . s(1 + sτ )

(3.112)

ε(t) ◦−−• U (s) = und Gleichung (3.107) Uc (s) =

Abschließend erfolgt nun die R¨ ucktransformation von Gl. (3.112) in den Zeitbereich, was im folgenden Kapitel behandelt wird.

3.7 Die Ru ¨ cktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Zur R¨ ucktransformation einer Laplace-Funktion in den Zeitbereich ist prinzipiell das Umkehrintegral oder R¨ ucktransformationsintegral (Gl. (3.46)) zu l¨osen s=σ+j∞ 1 F (s)est ds . (3.113) f (t) = 2πj s=σ−j∞

36

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Dieses Integral existiert, wenn F (s) f¨ ur ω → ±∞ gegen Null strebt. F¨ ur die R¨ ucktransformation aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich existieren die bereits in Kapitel 3.3 eingef¨ uhrten Nomenklaturen f (t) = L−1 {F (s)}

(3.114)

f (t) ◦−−•F (s) .

(3.115)

bzw. Genauso wie bei der Fourier-Transformation ist die Zuordnung zwischen f (t) und F (s) f¨ ur alle im Bereich t > 0 stetigen Funktionen umkehrbar eindeutig. Dies bedeutet, daß das Symbol ◦−−• in beiden Richtungen gelesen werden kann. Diese Tatsache gibt Anlaß zu folgender Strategie f¨ ur die R¨ ucktransformation: Man zerlegt die r¨ uckzutransformierende Laplace-Funktion F (s) in eine Summe von Teilfunktionen F (s) = F1 (s) + F2 (s) + · · · Fn (s) ,

(3.116)

deren jeweilige R¨ ucktransformation aus Tabelle 3.1 bekannt ist. Insbesondere l¨aßt sich in Verbindung mit der Beziehung ε(t) ·

1 tn −s0 t e ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.117)

zu jeder rationalen Funktion in s die dazugeh¨ orige Zeitfunktion unmittelbar angeben, nachdem man die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt hat. Da andererseits die L¨osung von linearen Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten im Laplace-Bereich auf rationale Funktionen f¨ uhrt, lassen sich diese DGLn, die ja lineare elektrische Netzwerke mit konzentrierten Elementen beschreiben, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders leicht l¨osen.

3.8 L¨ osung von linearen Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten ¨ Zwecks leichterer Uberpr¨ ufbarkeit der L¨osung wenden wir uns nochmals dem Beispiel aus Kapitel 3.2 zu. Die Diﬀerentialgleichung, die den Einschwingvorgang der RC-Schaltung aus Abb. 3.4 beschreibt, lautet (Gl. (3.28) bzw. Gl. (3.104)) duc (t) + uc (t) = u(t) . (3.118) RC dt Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit τ = RC zu τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) .

(3.119)

Diese algebraische Gleichung l¨aßt sich leicht nach der gesuchten Gr¨ oße Uc (s) auﬂ¨ osen (vgl. Gl. (3.108))

3.8 L¨ osung von linearen Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten

37

Tabelle 3.1. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen f (t)

F (s)

δ(t)

1

ε(t)

1/s

ε(t) · tn /n!

(n = 0, 1, · · ·)

ε(t) · tn e−αt /n!

1/(sn+1 )

(n = 0, 1, · · ·) 1/(s + α)n+1

ε(t) · cos βt

s/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin βt

β/(s2 + β 2 )

ε(t) · e−αt cos βt

(s + α)/ (s + α)2 + β 2

ε(t) · e−αt sin βt

β/ (s + α)2 + β 2

ε(t) · t cos βt

(s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )2

ε(t) · cos2 βt

(s2 + 2β 2 )/ s(s2 + 4β 2 )

ε(t) · sin2 βt

2β 2 / s(s2 + 4β 2 )

ε(t) · cosh βt

s/(s2 − β 2 )

ε(t) · sinh βt

β/(s2 − β 2 )

ε(t) ·

sin βt t

arctan

√ ε(t) · 1/ πt ε(t) · 2

√ 1/ s √ 1/(s s)

t/π

1 Uc (s) = s+

β s

1 τ

1 + U (s) + uc (0 ) . τ

(3.120)

F¨ ur den Fall, daß u(t) eine im Zeitnullpunkt t = 0 eingeschaltete Gleichspannung U0 ist, d.h. U0 , (3.121) U (s) = s und der Kondensator zu diesem Zeitpunkt ungeladen ist (uc (0+ ) = 0), folgt

38

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Uc (s) =

U0 . τ s(s + τ1 )

(3.122)

Diese rationale Funktion wird nun in Partialbr¨ uche nale Grundfunktionen, die in Tabelle 3.1 enthalten C1 U0 = U0 + Uc (s) = s+α τ s(s + τ1 )

zerlegt, d. h. also in ratiosind C2 . (3.123) s+β

Durch Koeﬃzientenvergleich erh¨alt man die Werte der Konstanten α=

1 ; τ

β = 0 und

Daraus folgt

Uc (s) = U0

C2 = −C1 = 1 .

−1 1 1 + s s+ τ

(3.124)

.

(3.125)

Gem¨ aß Superpositionsregel und Tabelle 3.1 ergibt sich folgende Zeitfunktion (3.126) uc (t) = U0 − U0 e−t/τ = U0 (1 − e−t/τ ) . Der zeitliche Spannungsverlauf der Kondensatorspannung uc (t) wurde bereits in Abb. 3.5 gezeigt. Das Ergebnis (Gl. (3.126)) entspricht selbstverst¨ andlich der auf anderem Wege ermittelten L¨osung der linearen Diﬀerentialgleichung im Zeitbereich (Gl. (3.34)).

Lo ¨sung fu ¨ r eingeschaltete Sinusspannung Wenn die RC-Tiefpaßschaltung gem¨aß Abb. 3.4 nun mit einer bei t = 0 eingeschalteten harmonischen Wechselspannung beaufschlagt wird, so l¨ aßt sich das Ergebnis analog ermitteln. Dazu wird zun¨achst die Eingangsspannung u(t) u(t) = ε(t) · U0 sin ω0 t

(3.127)

gem¨ aß der Tabelle 3.1 in den Laplace-Bereich transformiert U (s) = U0

s2

ω0 . + ω02

(3.128)

Durch Einsetzen in Gleichung (3.120) erh¨alt man die Kondensatorspannung Uc im Laplace-Bereich 1 U0 ω 0 1 + Uc (s) = · + uc (0 ) . (3.129) s + τ1 τ s2 + ω02 Eine Partialbruchzerlegung f¨ uhrt zu

3.8 L¨ osung von linearen Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten

Uc (s) =

1 U0 ω 0 τ ω02 + τ12

1 s+

1 τ

+

1 τ −s s2 + ω02

+

uc (0+ ) . s + τ1

39

(3.130)

Die Zuordnungstabelle (Tab. 3.1) liefert 1 τ

ω02

◦−−• ε(t) ·

1 sin ω0 t τ ω0

s2

+

s2

s ◦−−• ε(t) · cos ω0 t . + ω02

(3.131) (3.132)

Das Ergebnis im Zeitbereich lautet also

1 U0 ω 0 1 −t/τ + −t/τ sin ω0 t − cos ω0 t + e + uc (0 ) · e . uc (t) = ε(t) · τ ω02 + τ12 τ ω0 (3.133) Abbildung 3.10 zeigt den Spannungsverlauf f¨ ur einen anf¨ anglich ungeladenen Kondensator uc (0+ ) = 0. Nach dem Ausgleichsvorgang (e−t/τ -Term), der mit

uC(t)

U0 1/τ (1/τ)2+ω02

ϕ

t= ω 0

sin(ω0 t-ϕ)

t

Abb. 3.10. Einschwingverhalten des RC-Netzwerkes nach dem Einschalten der Sinus-Spannung. Der station¨ are Anteil ist gestrichelt gezeichnet.

der Zeitkonstanten τ abklingt, bleiben nur noch die beiden sin −/ cos −Wechselanteile u ¨brig, die zu einer einzigen Sinusfunktion zusammengefaßt werden k¨ onnen 1 1 sin ω0 t − ω0 cos ω0 t = ω02 + 2 sin(ω0 t − ϕ) (3.134) τ τ mit (3.135) ϕ = arctan(ω0 τ ) . Dieser Teil der L¨osung beschreibt den eingeschwungenen Zustand, wie ihn auch die einfache Wechselstromrechnung liefert. F¨ ur einen anf¨ anglich ungeladenen Kondensator (uc (0+ ) = 0) folgt also

40

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

⎡ uc (t) = ε(t) ·

⎤

1 U0 ⎣ τ 2 ω + 0

1 τ2

sin(ω0 t − ϕ) +

ω0 e−t/τ ⎦ . ω02 + τ12

(3.136)

3.9 Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen In diesem Abschnitt soll das der linearen Netzwerkanalyse zugrundeliegende Schema erarbeitet werden, das die Berechnung von Ausgleichsvorg¨ angen mittels Laplace-Transformation behandelt. Neben der bereits im vorhergehenden Abschnitt besprochenen Methode, bei welcher die lineare Diﬀerentialgleichung des gegebenen Netzwerkes auf¨ gestellt und mit Hilfe der Laplace-Transformation (Uberf¨ uhrung der DGL in eine algebraische Gleichung) gel¨ost wird, gibt es n¨ amlich auch die M¨ oglichkeit, das zu analysierende Netzwerk direkt im Laplace-Bereich (Frequenzbereich) zu beschreiben. Dazu m¨ ussen die einzelnen Elemente (Widerstand, Kondensator oder Spule) mit Anfangswertgeneratoren versehen werden. Im folgenden wird gezeigt, wie man daraus unmittelbar eine lineare algebraische Gleichung in der Laplace-Variablen s gewinnen kann, welche nach Auﬂ¨ osen nach der gesuchten Gr¨ oße U (s) bzw. I(s) durch eine Laplace-R¨ ucktransformation den gesuchten Spannungs- und Stromverlauf u(t) bzw. i(t) liefert (Abb. 3.11) [16]. Zwecks Gewinnung eines Ersatzschaltbildes im Laplace-Bereich m¨ ussen sowohl die Kirchhoﬀschen Gleichungen uν (t) = 0 (Maschengleichung) und (3.137) iν (t) = 0 (Knotengleichung) als auch die die Netzwerkelemente beschreibenden Spannungs-Strom-Beziehungen uR = RiR (ohmscher Widerstand) uL = L didtL (Spule)

(3.138)

C iC = C du dt (Kondensator)

in den Laplace-Bereich transformiert werden. Transformation der Kirchhoﬀschen Gleichungen Wenden wir uns zun¨achst den Kirchhoﬀschen Gleichungen zu. Da die LaplaceTransformation eine lineare Operation ist, gelten die Kirchhoﬀschen Gleichungen f¨ ur die Spannungen und Str¨ome in derselben Form wie im Zeitbereich

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit konzentrierten linearen Bauelementen lineare Differential-

gleichungen + Anfangsbedingungen

LaplaceTransformation

gesuchte Größen I n (s), U n (s) im Laplace-Bereich

lineare algebraische Gleichungen in s

im Zeitbereich in(t), un(t)

KirchhoffGleichungen Auflösen nach den

Netzwerk mit Anfangsgesuchten Spannungen und wertgeneratoren Strömen im Frequenzbereich

LaplaceRücktransformation

Abb. 3.11. Prinzipielles Vorgehen bei der Berechnung von linearen Netzwerken mit Hilfe der Laplace-Transformation

Uν (s) = 0 (Maschengleichung) und Iν (s) = 0 (Knotengleichung) .

(3.139)

Transformation der Netzwerkelementgleichungen 1. Widerstandsgleichung Da ein idealer ohmscher Widerstand keinerlei Zeitverhalten zeigt, bleibt die Widerstandsgleichung bei der Laplace-Transformation unver¨ andert (Abb. 3.12) (3.140) UR (s) = RIR (s) .

iR(t) R

u R(t)

I R(s) R

UR(s)

Abb. 3.12. Transformation eines ohmschen Widerstandes in den Laplace-Bereich

41

42

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

2. Kondensatorgleichung Bei der Transformation der Kondensatorgleichung m¨ ussen die Anfangswerte der Kondensatorspannung ber¨ ucksichtigt werden. Dazu betrachten wir den allgemeinen Fall, daß ein urspr¨ unglich auf eine Spannung uC (0− ) aufgeladener Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen (Innenwiderstand Ri = 0) Spannungsquelle verbunden wird (Abb. 3.13).

i (t) t=0 U0

uc (0-)

Abb. 3.13. Kondensator, der zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen Spannungsquelle verbunden wird.

Dabei springt die Kondensatorspannung2 von uC (0− ) auf uC (0+ ) = U0 . Dies geht einher mit einer ebenso sprunghaft stattﬁndenden Ladungs¨ anderung, die von einem diracf¨ormigen Strom begleitet wird [16] i(t = 0) = C[uC (0+ ) − uC (0− )]δ(t) .

(3.141)

Damit kann die allgemeine Spannungs-Strom-Beziehung des Kondensators abgeleitet werden duC + [uC (0+ ) − uC (0− )]δ(t) . (3.142) iC (t) = C dt Mit der Laplace-Transformation geht Gl. (3.142) u ¨ber in 2

Anmerkung: Es sei an dieser Stelle ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß die Kondensatorspannung und der Spulenstrom im Schaltzeitpunkt (hier t = 0) nur im theoretischen Grenzfall bei idealen Netzwerkelementen, d. h. nicht verlustbhafteten Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨ aten, und idealen Quellen (ohne Innenwiderstand) springen k¨ onnen. In der Praxis kommen diese F¨ alle jedoch nicht vor, so daß hierbei nicht zwischen einem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert unterschieden werden muß. Es gilt hier stets uC (0− ) = uC (0+ ) bzw. iL (0− ) = iL (0+ ). Das Einschließen des o. g. theoretischen Grenzfalles und die daraus resultierende Unterscheidung zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert wird jedoch hier in Anlehnung an die Lehre von Bosse [16] beibehalten, weil sie aus Sicht des Au¨ tors das Ubertragen des Netzwerkes vom Zeit- in den Laplace-Bereich von der Vorstellung her erleichtert. Schließlich verbindet man mit den Anfangswerten zum Zeitpunkt t = 0− gedanklich stets den Zustand der Elemente (Kapazit¨ at bzw. Induktivit¨ at) unmittelbar vor dem Schalten. Man muß bei der Ana¨ lyse des Netzwerkes keine Uberlegungen mehr anstellen, was im Zeitschaltpunkt geschieht.

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit konzentrierten linearen Bauelementen

IC (s) = C sUC (s) − uC (0+ ) + uC (0+ ) − uC (0− ) uC (0− ) IC (s) = sC UC (s) − . s

(3.143) (3.144)

Ein Kondensator im Zeitbereich l¨aßt sich also gem¨ aß Abb. 3.14 in den Laplace-Bereich transformieren. Die Spannungsquelle im Ersatzschaltbild repr¨ asentiert die Kondensatorspannung zum Zeitnullpunkt. Es handelt sich dabei um die Kondensatorspannung unmittelbar vor einem eventuell zum Zeitnullpunkt stattﬁndenden Spannungssprung.

I C (s) iC (t) C

uc (0-) s

u C (t) sC

UC (s)

Abb. 3.14. Transformation eines Kondensators in den Laplace-Bereich [16]

3. Spulengleichung Die Strom-Spannungs-Beziehung einer Induktivit¨ at uL = L

diL dt

(3.145)

ahrt, wenn der Spulenbesagt, daß die Spannung uL einen δ-Impuls erf¨ strom iL und damit der magnetische Fluß in der Spule springt. Wenn man nun zul¨aßt, daß der Strom zum Zeitnullpunkt t = 0 von iL (0− ) auf iL (0+ ) springt, so ergibt sich die Spannungs-Strom-Beziehung in folgender ausf¨ uhrlicher Form [16] diL + [iL (0+ ) − iL (0− )]δ(t) . (3.146) uL = L dt Die Laplace-Transformation dieser Gleichung liefert mit Gl. (3.83) (3.147) UL (s) = L s · IL (s) − iL (0+ ) + iL (0+ ) − iL (0− )

− iL (0 ) UL (s) = sL IL (s) − . (3.148) s Die entsprechende Ersatzschaltung wird in Abb. 3.15 gezeigt. Der Spule mit der Impedanz sL ist eine Gleichstromquelle parallelgeschaltet, die den im Zeitnullpunkt durch die Spule ﬂießenden Strom repr¨ asentiert und zwar ¨ den Strom unmittelbar vor der eventuellen sprunghaften Anderung.

43

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

44

iL (t) L

I L(s) iL(0-) s

u L(t)

sL

UL(s)

Abb. 3.15. Transformation einer Induktivit¨ at in den Laplace-Bereich [16]

Die eben hergeleiteten Ersatzschaltungen f¨ ur Induktivit¨ aten, Kapazit¨ aten und ohmsche Widerst¨ande reduzieren sich auf die vereinfachte Form aus der Wechselstromrechnung, wenn die Elemente vor dem Schaltzeitpunkt (hier stets als Zeitnullpunkt angenommen) energiefrei sind, d. h. die Kapazit¨ aten sind spannungs- und damit ladungsfrei und die Induktivit¨ aten sind strom- bzw. ﬂußfrei. Zusammenfassung der Regeln fu ¨ r die Netzwerkanalyse im Laplace-Bereich • Alle Zeitgr¨ oßen werden f¨ ur t > 0 durch ihre Laplace-Transformierten ersetzt • F¨ ur die Impedanz im Laplace-Bereich Z(s) =

U (s) I(s)

(3.149)

gilt – ohmscher Widerstand ZR (s) = R

(3.150)

ZL (s) = sL

(3.151)

– Induktivit¨at – Kapazit¨ at 1 . (3.152) sC • Die Anfangswerte der Kondensatorspannungen und Spulenstr¨ ome (Werte zum Zeitpunkt t = 0− , also unmittelbar vor dem Schalt-Zeitpunkt t = 0) werden durch zus¨atzliche Quellen (in Serienschaltung beim Kondensator bzw. in Parallelschaltung bei der Spule) mit der Quellspannung uC (0− )/s bzw. dem Quellstrom iL (0− )/s erfaßt. • Die Spannungen und Str¨ome lassen sich mit den Methoden der Wechselstromrechnung und der linearen Netzwerkanalyse berechnen: ¨ – beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird der Frequenzterm jω durch die komplexe Frequenz s ersetzt ZC (s) =

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit konzentrierten linearen Bauelementen

– die transformierten Spannungen U (s) bzw. Str¨ ome I(s) entsprechen den komplexen Amplituden der Wechselstromrechnung; allerdings tragen die Laplace-Transformierten die Dimension einer Amplitudendichte (Einheit [V/s] bzw. [A/s]). • Nach dem L¨ osen der Netzwerkgleichungen im Frequenzbereich werden die gesuchten Spannungen bzw. Str¨ome in den Zeitbereich zur¨ ucktransformiert. Beispiel — Analyse eines Serienschwingkreises F¨ ur den in Abb. 3.16 gezeigten Serienschwingkreis (Reihenschwingkreis) ist der Strom i(t) f¨ ur t ≥ 0 zu berechnen. Dabei sind sowohl die Spannung u(t) als auch die Anfangswerte des Spulenstromes iL (0− ) und der Kondensatorspannung uC (0− ) bekannt. R

L

C

i(t) u(t) Abb. 3.16. Serienschwingkreis im Zeitbereich

Zur Berechnung wird zun¨achst das Zeitbereichsersatzschaltbild (Abb. 3.16) in den Frequenzbereich transformiert (Abb. 3.17). Aus dem Ersatzschaltbild des sL sC

R

I(s)

i L (0-) s

uC(0-) s

U(s) Abb. 3.17. Serienschwingkreis im Laplace-Bereich

Serienschwingkreises im Laplace-Bereich kann die Spannung U (s) abgeleitet werden

iL (0− ) I(s) uc (0− ) + . (3.153) U (s) = RI(s) + sL I(s) − + s sC s

45

46

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Diese Gleichung wird schließlich nach der gesuchten Gr¨ oße I(s) aufgel¨ ost I(s) =

U (s) + LiL (0− ) − uc (0− )/s . 1 R + sL + sC

(3.154)

Wir gehen davon aus, daß die beiden Energiespeicher zum Zeitnullpunkt leer sind und zu diesem Zeitpunkt eine Gleichspannung mit dem Wert U0 aufgeschaltet wird (3.155) u(t) = ε(t) · U0 iL (0− ) = 0

und

uc (0− ) = 0 .

(3.156)

Daraus folgt I(s) = bzw. I(s) =

U0 s(R + sL +

(3.157)

1 sC )

U0 1 · 2 L s + sR L +

1 LC

.

(3.158)

Laplace-Ru ¨ cktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades Die Aufgabe, den Strom I(s) nach Gl. (3.158) in den Zeitbereich zur¨ uckzutransformieren, soll m¨oglichst allgemein formuliert werden. Deshalb wird die R¨ ucktransformierte folgender rationaler Funktion 2. Grades gesucht F (s) =

A s+B . s2 + 2 d s + ω02

Diese Funktion hat die beiden Pole s1 und s2 s1 = −d + d2 − ω02 s2 = −d − d2 − ω02 .

(3.159)

(3.160) (3.161)

ur ω02 > d2 bei komplexwertigen F¨ ur ω02 ≤ d2 liegen die Pole bei reellen und f¨ Frequenzen. Das mit einer Partialbruchzerlegung eventuell einhergehende Rechnen mit komplexwertigen Gr¨oßen l¨aßt sich umgehen, indem man den Nenner von Gl. (3.158) in eine Summe von Quadraten zerlegt s2 + 2 d s + ω02 = (s + d)2 + (ω02 − d2 ) .

(3.162)

Mit der Hilfsgr¨ oße ωd (sie entspricht der Kreisfrequenz, die sich im ged¨ ampften Schwingkreis einstellt) (3.163) ωd2 = ω02 − d2 l¨aßt sich F (s) wie folgt angeben

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit konzentrierten linearen Bauelementen

F (s) =

A(s + d) + B − Ad . (s + d)2 + ωd2

(3.164)

Die Anwendung des Verschiebungssatzes (Gl. (3.97)) auf die Beziehungen ε(t) · cos ω0 t ◦−−•

s + ω02

(3.165)

ω0 s2 + ω02

(3.166)

s2

und ε(t) · sin ω0 t ◦−−•

liefert f¨ ur ωd2 > 0, also f¨ ur komplexwertige Pole, die Laplace-Zuordnungen s+d ◦−−• ε(t) · e−dt cos ωd t (s + d)2 + ωd2

(3.167)

ωd ◦−−• ε(t) · e−dt sin ωd t . (s + d)2 + ωd2

(3.168)

Unter Zuhilfenahme dieser Zuordnungen kann die zu F (s) geh¨ orige Zeitfunktion f (t) angegeben werden

B − Ad −dt sin ωd t . (3.169) A cos ωd t + f (t) = ε(t) · e ωd Sollten jedoch die Pole im Reellen liegen, so wird anstatt ωd die Hilfsgr¨ oße ωr2 = d2 − ω02

(3.170)

verwendet. Dies f¨ uhrt schließlich mit den Korrespondenzen s+d ◦−−• ε(t) · e−dt cosh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.171)

ωr ◦−−• ε(t) · e−dt sinh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.172)

und

zu der entsprechenden Zeitfunktion

B − Ad sinh ωr t . f (t) = ε(t) · e−dt A cosh ωr t + ωr

(3.173)

Die L¨ osungen f¨ ur komplexwertige Pole (Gl. (3.169)) und f¨ ur reellwertige Pole (Gl. (3.173)) lassen sich mit der Beziehung ωd2 = −ωr2

(3.174)

47

48

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

bzw. ωd = ±jωr

(3.175)

ineinander u uhren. ¨berf¨ Es ist noch der sog. aperiodische Grenzfall zu behandeln, bei dem die beiden Polstellen zusammenfallen, d. h. es gilt s1 = s 2 ω02 = d2

(3.176) (3.177)

und ωd = ω r = 0 .

(3.178)

Die physikalische Deutung von Gl. (3.178) besagt, daß sich gerade keine Schwingung mehr einstellt. Zur Berechnung der entsprechenden Zeitfunktion f (t) ist ein Grenz¨ ubergang von Gl. (3.169) bzw. Gl. (3.173) notwendig. Gleichung (3.169) beispielsweise f¨ uhrt mit sin ωd t =t ωd →0 ωd

(3.179)

f (t) = ε(t) · e−dt [A + (B − Ad)t] .

(3.180)

lim

zu

Anwendung auf den Serienschwingkreis Wenn man nun die eben abgeleiteten Transformationen auf die LaplaceGleichung anwendet, die den Strom im Serienschwingkreis beschreibt (Gl. (3.158)), so folgt mit R 2L 1 ω02 = LC

(3.181)

d=

(3.182)

A=0 B=

(3.183)

U0 2dU0 = R L

und ωd2

=

−ωr2

1 = LC

(3.184)

R2 C 1− 4L

(3.185)

der Strom im Serienschwingkreis beim Anlegen eines Gleichspannungssprunges U0 −dt 2d e sin ωd t , (3.186) i(t) = ε(t) · R ωd

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit konzentrierten linearen Bauelementen

wenn die Pole komplexwertig sind, bzw. U0 −dt 2d e sinh ωr t R ωr Uo d −dt ωr t = ε(t) · e (e − e−ωr t ) R ωr

Uo −t/τ1 = ε(t) · − e−t/τ2 e 2ωr L

Uo −(d−ωr )t = ε(t) · − e−(d+ωr )t e 2ωr L

i(t) = ε(t) ·

(3.187)

f¨ ur reellwertige Pole, d. h. wenn d2 − ω02 = ωr2 > 0 .

(3.188)

Gleichung (3.186) beschreibt eine ged¨ampfte Sinusschwingung mit der Abklingkonstanten d und der Kreisfrequenz 2 d ωd = ω 0 1 − . (3.189) ω0 F¨ ur verschwindende D¨ampfung (d = 0) handelt es sich dabei um eine harmo1 nische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω0 = √LC . Abbildung 3.18 zeigt den Stromverlauf f¨ ur solche D¨ ampfungswerte, bei denen die Pole konjugiert komplex sind, so daß eine abklingende Schwingung

i(t) U0 ωd L

Hüllkurve U0 - d t e ωd L

d= d=

ω0 4 ω0 2

aperiodischer Grenzfall (d = ω0 )

t

-

U0

ωd L

Abb. 3.18. Der Stromverlauf des Serienschwingkreises f¨ ur verschiedene D¨ ampfungswerte sowie f¨ ur den aperiodischen Grenzfall. Die Polstellen sind konjugiert-komplex.

49

50

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

i(t) U0 2ωr L

U0 . - t / τ 1 e 2ωr L

3 ω 2 0 aperiodischer Grenzfall (d = ω0 ) d=

1

τ2 = d+ ωr

1

τ1 = dωr

-

U0 2ωr L

t

U0 . - t / τ 2 e 2ωr L

Abb. 3.19. Vergleich des Stromverlaufs im aperiodischen Grenzfall mit dem Stromverlauf bei st¨ arkerer D¨ ampfung. Die Pole liegen im Reellen. Es bilden sich keine harmonischen Schwingungen mehr aus.

entsteht. Liegen jedoch die Pole im Reellen, so daß i(t) durch Gl. (3.187) beschrieben wird, ergibt sich ein Zeitverlauf gem¨ aß Abb. 3.19. Der zeitliche Funktionsverlauf errechnet sich aus der Diﬀerenz zweier Exponentialfunktiouhrt zu nen mit negativen Exponenten. Der aperiodische Grenzfall ω02 = d2 f¨ i(t) = ε(t) · 2

Uo −dt U0 d t e−dt = ε(t) · te . R L

(3.190)

In den Abbildungen 3.18 und 3.19 ist dieser Stromverlauf zum Vergleich ebenfalls eingezeichnet.

3.10 Ru ¨ cktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz Ist die Laplace-Transformierte F (s) als Quotient zweier Polynome gegeben F (s) =

Z(s) , N (s)

(3.191)

und hat F (s) nur einfache Pole bei s1 · · · sn F (s) =

Z(s) , (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sn )

(3.192)

so l¨ aßt sich die zu F (s) geh¨orende Zeitfunktion f (t) nach der sog. Residuenmethode (auch als Heavisidescher Entwicklungssatz bezeichnet) berechnen [16]

3.10 R¨ ucktransformation mittels Residuenmethode - Heavisidescher Entwicklungssatz

f (t) =

n n Z(sν ) sν t e = rν esν t . (s ) N ν ν=1 ν=1

(3.193)

ur Dabei stellt N (sν ) die Ableitung von N (s) nach s an der Stelle sν dar. F¨ den Fall, daß N (s) Mehrfachpolstellen enth¨alt, ist die Auswertung nach der Residuenmethode etwas aufwendiger. Daher soll an dieser Stelle nur auf die entsprechende Literatur verwiesen werden [28], [16]. Beispiel fu ¨ r die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes ¨ Wir betrachten einen Vierpol (Abb. 3.20) mit folgendem Ubertragungsverhalten GAP (s) =

u 1(s)

s2 − 2ds + ω02 U2 (s) = 2 . U1 (s) s + 2ds + ω02

GAP Allpaß

(3.194)

u 2 (s)

Abb. 3.20. Vierpol mit Allpaßcharakter

Ein solcher Vierpol wird auch als Allpaß bezeichnet, weil er alle Frequenzen bez¨ uglich ihren Amplituden gleichermaßen behandelt. Das heißt, f¨ ur jede beliebige harmonische Anregung mit jω ergibt sich ein konstanter Betrag der ¨ Ubertragungsfunktion von |GAP (jω)| =

|U 2 (jω)| =1. |U 1 (jω)|

(3.195)

Nur die Phase bzw. die Laufzeit der Signale wird durch den Allpaß beeinﬂußt. Dies kann auch anhand der vollkommen symmetrischen Anordnung der Pole und Nullstellen eines Allpasses in der s-Ebene veranschaulicht werden (Abb. 3.21). Die eingerahmten Pole bzw. Nullstellen entsprechen dem Fall d2 > ω02 ; die konjugiert-komplexen Paare dem Fall d2 < ω02 . GAP (s) besitzt Pole bei (3.196) s1,2 = −d± d2 − ω02 . Es sind wiederum die drei Standardf¨alle d2 > ω02

(3.197)

d2 < ω02

(3.198)

51

52

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

j. ω j . √ω02 - d 2 q1

s1

-d

+d σ = Re {s}

s2

q2 - j . √ω 2 - d 2 0

Abb. 3.21. Pol-/Nullstellen-Verteilung eines Allpasses. x: Polstellen, o: Nullstellen, 2 : d2 > ωo2 (s. Gl. (3.194))

und d2 = ω02

(3.199)

zu unterscheiden. Die zu GAP (s) geh¨orende Zeitfunktion gAP (t) wird als Impulsantwort des Vierpols bezeichnet (s. auch Kap. 3.11). Sie l¨aßt sich nach der Residuenmethode erst berechnen, wenn wir eine Polynomdivision vornehmen. Damit wird sichergestellt, daß der Grad des Z¨ahlerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms GAP (s) =

s2 − 2ds + ω02 4ds =1− 2 s2 + 2ds + ω02 s + 2ds + ω02

GAP (s) = 1 + G∗AP (s) .

(3.200) (3.201)

Wir wollen nun GAP (s) mit Hilfe der Residuenmethode zur¨ uck in den Zeitbereich transformieren ∗ (t) = δ(t) + r1 · es1 t + r2 · es2 t . gAP (t) = δ(t) + gAP

(3.202)

F¨ ur die beiden Residuen von G∗AP (s) ergibt sich r1 =

−2ds1 Z(s1 ) = N (s1 ) s1 + d

(3.203)

r2 =

−2ds2 Z(s2 ) = . N (s2 ) s2 + d

(3.204)

und

3.10 R¨ ucktransformation mittels Residuenmethode - Heavisidescher Entwicklungssatz

Mit Gl. (3.196) folgt

bzw.

2d(d − d2 − ω02 ) r1 = d2 − ω02

(3.205)

−2d(d + d2 − ω02 ) . r2 = d2 − ω02

(3.206)

Mit der Hilfsgr¨ oße ωr =

d2 − ω02

(3.207)

und Gl. (3.193) erh¨alt man ∗ gAP (t) = r1 e−dt eωr t + r2 e−dt e−ωr t .

(3.208)

Schließlich ergibt sich mit Gl. (3.201) die Impulsantwort gAP (t) = δ(t) + e−dt (r1 eωr t + r2 e−ωr t ) .

(3.209)

Nun sind wiederum die drei bekannten Fallunterscheidungen zu treﬀen: 1. d2 > ω02 : Es ergeben sich reelle Werte f¨ ur r1 , r2 und ωr . 2. d2 < ω02 : Es ergeben sich konjugiert-komplexe Werte r1 und r2 sowie ein rein imagin¨ arer Wert ωr . Mit der Beziehung ωd2 = −ωr2 (Gl. (3.174)) folgt

−2d(−d ± jωd ) d = −2d 1 ± j r1,2 = (3.210) ±jωd ωd ∗ (t) = r1 es1 t + r2 es2 t gAP

d d = −2d e−dt 1 + j ejωd t + 1 − j e−jωd t ωd ωd d jωd t = −2d e−dt ejωd t + e−jωd t + j e − e−jωd t ωd

d −dt sin ωd t . (3.211) gAP (t) = δ(t) − 4de cos ωd t − ωd

3. d2 = ω02 (aperiodischer Grenzfall): Mit Anwendung der Regel von L’Hospital folgt gAP (t) = δ(t) − 4de−dt (1 − d t) .

(3.212)

Abbildung 3.22 zeigt die Impulsantworten des betrachteten Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d bez¨ uglich ω0 .

53

54

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

JW $3

G ω

G< ω

W

G> ω

G Abb. 3.22. Impulsantwort des Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich Wir gehen von einem Vierpol aus, der aus passiven linearen konzentrierten Netzwerkelementen aufgebaut ist (Abb. 3.23). Der Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(t) und der zeitabh¨ angigen Eingangsgr¨ oße x(t) wird u ¨ber das Faltungsintegral hergestellt +∞ +∞ x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.213) y(t) = x(t) ∗ g(t) = −∞

−∞

Da wir kausale Systeme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0

x (t)

y (t)

g (t)

Abb. 3.23. Ein Vierpol kann durch seine Impulsantwort g(t) charakterisiert werden

verschwindet, und auch die Anregungsfunktion f¨ ur t < 0 zu Null angenommen werden darf, kann die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch 0“ ” und die obere Grenze (+∞) durch t“ ersetzt werden ” t t x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.214) y(t) = 0

0

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

Dirac-Stoß x(t)

δ (t)

t=0

lineares Netzwerk x(t)

Impulsantwort y(t)

Impulsantwort g(t)

55

y(t)

t

g(t) t

Abb. 3.24. Anregung eines linearen Systems durch einen Dirac-Stoß

Dabei bezeichnet g(t) die sog. Impulsantwort oder Gewichtsfunktion. Man erh¨ alt sie als Ausgangssignal f¨ ur den Fall, daß die Erregung am Eingang ein Dirac-Impuls δ(t) ist, d. h. (Abb. 3.24) y(t) = g(t)

f¨ ur

x(t) = δ(t) .

(3.215)

Im Laplace-Bereich vereinfacht sich das Faltungsintegral gem¨ aß Kap. 3.5.4 zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten der an der Faltung beteiligten Funktionen, d.h. y(t) = L−1 {Y (s)} = L−1 {G(s) · X(s)} .

(3.216)

¨ Dabei wird G(s) als Laplace-Ubertragungsfunktion (auch Netzwerku ¨ bertragungsfunktion) des Systems bzw. Vierpols bezeichnet. Im folgenden ¨ sollen die Eigenschaften und die Darstellungsm¨ oglichkeiten dieser Ubertragungsfunktion G(s) und der dazugeh¨origen Zeitfunktion g(t) (Impulsantwort) n¨ aher betrachtet werden. Es kann gezeigt werden, daß G(s) f¨ ur ein lineares passives Netzwerk aus konzentrierten Elementen als Quotient zweier Polynome darstellbar ist G(s) =

Z(s) . N (s)

(3.217)

Da G(s) gleichermaßen auch als Quotient von Laplace-Ausgangsfunktion Y (s) zu Laplace-Eingangsfunktion X(s) dargestellt werden kann G(s) =

Y (s) , X(s)

(3.218)

sind die Koeﬃzienten der Polynome Z(s) und N (s) reell und identisch mit den Koeﬃzienten der Diﬀerentialgleichung (Gl. (5.70)), die den Zusammenhang zwischen y(t) und x(t) f¨ ur t > 0 beschreibt. Aus diesem Grund liegen die Nullstellen der Polynome Z(s) und N (s) bei reellen, bei paarweise entgegengesetzt gleichen imagin¨aren oder bei paarweise konjugiert komplexen Werten. Die Pole sν von G(s), d. h. also die Nullstellen des Nennerpolynoms N (s), werden auch als Eigenwerte des Netzwerkes bezeichnet. Liegen diese Pole in der linken Laplace-Halbebene (σν < 0), dann gilt das Netzwerk als stabil, weil keine aufklingenden Schwingungen auftreten k¨ onnen. Dies liegt daran, daß die Pole bzw. Eigenwerte sν die Exponenten der in der Impulsantwort

56

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

auftretenden Schwingungen in der Form esν t festlegen. Bei Netzwerken, die nur aus passiven Elementen bestehen, liegen die Pole immer in der abgeschlosahlerpolynoms hingegen sind senen linken Halbebene. Die Nullstellen qµ des Z¨ bzgl. ihrer Lage nicht auf die linke s-Halbebene beschr¨ ankt. ¨ Zur anschaulichen Darstellung von Ubertragungsfunktionen verwendet man des ¨ ofteren sog. Pol-Nullstellen-Diagramme. Abbildung 3.25 zeigt j. ω

s1

s3

q1

q2

σ = Re {s}

s2 ¨ Abb. 3.25. Pol-Nullstellen-Diagramm einer Ubertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x)

¨ die Pol-Nullstellenverteilung einer Ubertragungsfunktion vom Grad n = 3, d. h. sie weist 3 Pole auf, G(s) = const. ·

(s − q1 )(s − q2 ) . (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 )

(3.219)

Die Pole sind im Diagramm mit Kreuzen (x) und die Nullstellen mit Rin¨ gen (o) gekennzeichnet. Das Pol-Nullstellen-Diagramm l¨ aßt das Ubertragungsverhalten des Vierpols, das ja durch G(s) mathematisch beschrieben wird, f¨ ur beliebige s, insbesondere auch f¨ ur s = jω, d. h. also f¨ ur unged¨ ampfte harmonische Schwingungen, unmittelbar erkennen. Wenn n¨ amlich das lineare Netzwerk eine rein harmonische Anregung der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ } = Re{X(ω)e e } x(t) = Re{X(ω)e

(3.220)

erf¨ ahrt, f¨ uhrt dies im eingeschwungenen Zustand bei einem linearen Vierpol stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨ anderter Amplitude und Phasenlage y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } ,

(3.221)

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

57

ˆ =X ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ¨ wobei |X| G(ω) des linearen Systems ist dann folgendermaßen deﬁniert G(ω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) = |G(ω)|ejϕ(ω) . = e ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(3.222)

¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) l¨aßt sich aufspalten in den Betragsgang |G(ω)| und den dazugeh¨origen Phasengang arg{G(ω)} = ϕ(ω). ¨ F¨ ur den Sonderfall s = jω beschreibt also diese Ubertragungsfunktion das Netzwerkverhalten f¨ ur den station¨aren harmonischen Betrieb bei der Kreisfrequenz ω. Der Funktionsverlauf G(jω) wird als Frequenzgang bezeichnet. Er ist komplexwertig und wird daher oft in den Amplitudengang und den Phasengang aufgespalten. Amplitudengang: |G(jω)| Phasengang: arg{G(jω)} Wir wollen zun¨ achst den Amplitudengang betrachten |G(jω)| = |const.| ·

|jω − q1 ||jω − q2 | . |jω − s1 ||jω − s2 ||jω − s3 |

(3.223)

Die einzelnen Betragskomponenten in dieser Gleichung entsprechen den Distanzen des beliebig variierbaren Aufpunktes jω zu den einzelnen Pol- und age charakterisiert den AmNullstellen sν bzw. qµ . Das Verh¨altnis dieser Betr¨ plitudengang. Es l¨aßt sich direkt aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm ermitteln (Abb. 3.26). Es verdeutlicht auch, wie sich |G(jω)| bei Ann¨ aherung an eine Polstelle vergr¨ oßert und bei Ann¨aherung an eine Nullstelle verkleinert. Der Phasenwinkel von G(jω) l¨aßt sich ebenfalls aus dem Diagramm bestimmen < ) G(jω) = ϕN 1 + ϕN 2 − ϕP 1 − ϕP 2 − ϕP 3 .

(3.224)

Allgemein kann man feststellen, daß in der linken Halbebene liegende Pole sowie die in der rechten Halbebene liegende Nullstellen mit wachsendem ω den Phasenwinkel verringern, w¨ahrend ihn die Nullstellen in der linken Halbebene erh¨ ohen. Nullstellen auf der imagin¨aren Achse liefern einen Winkel von ±π/2, ¨ der beim Uberschreiten einer Nullstelle um π springt. Der kleinstm¨ogliche Winkelbeitrag ergibt sich, wenn alle Nullstellen von ¨ G(s) in der linken Halbebene liegen. Ubertragungsnetzwerke mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als Minimalphasensysteme. Sobald Nullstellen ¨ in der rechten Halbebene auftreten, enth¨alt das Ubertragungsnetzwerk einen Allpaßanteil (s. auch Kap. 3.10).

58

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

j. ω s1

jω − s 1

ϕP1

jω − s 3

s = jω

frei variierbares ω jω − q = √ω 2 + q 2

jω − q1

2

ϕP3

ϕN1

s3

q1

2

ϕN2

q2

σ = Re {s}

jω − s2 = √s

2+ 2R

(s + ω 2I

2

ϕ

P2

s2 ¨ Abb. 3.26. Bestimmung von Betrag und Phase einer Ubertragungsfunktion anhand der Einzelbeitr¨ age aller Nullstellen und Pole

3.12 Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort Die Antwort y(t) eines vom Ruhezustand aus mit der Sprungfunktion ε(t) 0 f¨ ur t < 0 ε(t) = (3.225) 1 f¨ ur t ≥ 0 ¨ angeregten Netzwerkes wird Sprungantwort h(t) oder auch Ubergangsfunktion genannt (Abb. 3.27). Sie charakterisiert das Netzwerk ebenso vollst¨ andig wie Sprunganregung x(t)

x(t)

Lineares Netzwerk

y(t)

Sprungantwort h(t) y(t)

t=0 t

t

Abb. 3.27. Anregung eines linearen Netzwerkes durch einen Sprung

die Impulsantwort g(t). Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) l¨aßt sich leicht herleiten

t

g(τ )dτ .

h(t) = 0

(3.226)

3.13 Bode-Diagramme

59

3.13 Bode-Diagramme ¨ Wir betrachten die Ubertragungsfunktion G(s) eines zeitinvarianten linearen Netzwerkes. Diese l¨aßt sich gem¨aß Gl. (3.219) durch eine gebrochen rationale Funktion der Form G(s) =

(s − q1 )(s − q2 ) · · · (s − qn ) (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sm )

(3.227)

¨ darstellen. F¨ ur den Spezialfall s = jω folgt die Ubertragungsfunktion G(jw) G(jw) =

(jw − q1 )(jw − q2 ) · · · (jw − qn ) . (jw − s1 )(jw − s2 ) · · · (jw − sm )

(3.228)

¨ Als erstes Beispiel wollen wir die einfache Ubertragungsfunktion G(jω) =

10 jω + 10

(3.229)

betrachten. Abbildung 3.28 zeigt den im linearen Maßstab gezeichneten Amplitudengang. G(jω) 1

G (s) =

100

10 s + 10

200

300

¨ Abb. 3.28. Amplitudengang der Ubertragungsfunktion G(s) = Darstellung

ω

10 s+10

in linearer

In der Praxis ist es jedoch u ange in doppelt logarith¨blich, solche Amplitudeng¨ mischer Form aufzutragen. Dazu wird |G(jω)| logarithmiert3 , mit 20 multipliziert und in der Einheit Dezibel [dB] dargestellt (Abb. 3.29). |G(jω)|[dB] = 20 · lg |(G(jω))| .

3

(3.230)

Der hier verwendete Logarithmus mit der Basis 10 (Zehnerlogarithmus) wird in diesem Buch stets mit lg“ bezeichnet. ”

60

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

G(jω) [dB] 0 G (s) = -10

10 s + 10

-20 -30

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.29. Amplitudengang in doppelt logarithmischer Darstellung (sowohl die Abszisse als auch die Ordinate ist logarithmisch unterteilt)

arg{G(jω)} 0 G (s) =

10 s + 10

-45

-90 0,1

1

10

100

Abb. 3.30. Phasengang von G(s) =

1000

ω

10 s+10

Die graphische Darstellung des Phasenganges ϕ(jω) = arg{G(jω)}

(3.231)

erfolgt in aller Regel halblogarithmisch, d. h. man tr¨ agt ϕ linear und ω logarithmisch auf. Abbildung 3.30 zeigt den Phasengang der oben betrachteten ¨ Ubertragungsfunktion (Gl. (3.229)). Man bezeichnet diese Darstellungen dann als Bode-Diagramm. ¨ Solange die Pole und Nullstellen der Ubertragungsfunktion auf der negativen reellen Achse liegen, k¨onnen die Asymptoten der Diagrammverl¨ aufe nach einem einfachen Schema festgelegt werden. Dazu betrachten wir wiederum beispielhaft die Funktion

3.13 Bode-Diagramme

G(jω) [dB]

61

approximierter exakter Verlauf

0 -3 -10

G (s) =

10 s + 10

-20 -30

0,1

Abb. 3.31. 10 G(s) = s+10

1

10

100

1000

ω

Mit Hilfe von Asymptoten bestimmter Amplitudengang von

arg{G(jω)} 0° -6° exakter Verlauf G (s) =

-45°

10 s + 10

-84° -90°

0,1

1

10

100

1000

Abb. 3.32. Mit Hilfslinien angen¨ aherter Phasengang von G(s) =

G(s) =

10 , s + 10

ω

10 s+10

(3.232)

die einen Pol bei s1 = −10 hat. Eine einfache Analyse der Situation f¨ uhrt zu Tabelle 3.2 und dem in den ¨ Abbn. 3.31 und 3.32 dargestellten asymptotischen Verhalten. Hat die Ubertragungsfunktion statt des Pols eine entsprechende Nullstelle bei s = q1 , kehrt sich das Diagramm um (Abbn. 3.33 und 3.34).

62

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten ¨ Tabelle 3.2. Analyse der Ubertragungsfunktion G(s) =

10 s+10

20 · lg |G(jω)|[dB] Phase

ω

G(jω)

ω=0

1

0 dB

0o

ω < 0, 1|s1 |

1

0 dB

≈ 0o

ω < |s1 |

≈1

0 dB

ω = |s1 |

10 js1 +10

−3 dB

ω > |s1 |

≈

10 jω

−20 dB/Dekade

ω > 10|s1 | ≈

10 jω

−20 dB/Dekade

−45o

≈ −90o

G(jω) [dB] 50 40

G (s) = s + 10

30

exakter Verlauf

23 20

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.33. Mit Hilfslinien angen¨ aherter Amplitudengang von G(s) = s + 10

3.13.1 Regeln fu ¨ r Bode-Diagramme ¨ F¨ ur den Fall, daß die Ubertragungsfunktion mehrere reelle Pole und Null¨ stellen enth¨ alt, geht man folgendermaßen vor: Man zerlegt die Ubertragungsfunktion multiplikativ in Systeme 1. Ordnung und addiert dann den logarithmisch dargestellten Amplitudengang sowie die linear dargestellte Phase. Unter der Bedingung, daß sich alle Pole und Nullstellen auf der negativen reellen Achse beﬁnden und der gegenseitige Abstand gen¨ ugend groß ist, lassen sich Regeln deﬁnieren, die das Absch¨atzen der Amplituden- und Phasenverl¨ aufe erleichtern [42], [93]:

3.13 Bode-Diagramme

63

arg{G(jω)} +90° +84° G (s) = s + 10 +45°

exakter Verlauf

+6° 0°

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.34. Vergleich des exakt berechneten sowie des mit Hilfslinien angen¨ aherten ¨ Phasenganges der Ubertragungsfunktion G(s) = s + 10

Amplitudengang 1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen 2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 3. Bei ω = 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0 Steigung 0 b) pro Pol bei s = 0 Steigung -20 dB/Dekade c) pro Nullstelle bei s = 0 Steigung +20 dB/Dekade 4. Gerade Linie bis zur n¨achsten Eckfrequenz 5. F¨ ur jeden Pol Steigung um 20 dB/Dekade verringern, f¨ ur jede Nullstelle Steigung um 20 dB/Dekade erh¨ohen. Punkte 4 und 5 so lange wiederholen, bis alle Eckfrequenzen abgearbeitet sind 6. Beschriftung der vertikalen Achse durch Auswertung markanter Bereiche, da f¨ ur Steigungen ungleich Null im logarithmischen Maßstab kein Start” wert“ angegeben werden kann 7. Ecken um 3 dB pro Pol bzw. Nullstelle abrunden Phasengang 1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 2. Bei ω = 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0 Phase 0 b) pro Pol bei s = 0 Phase −90◦ c) pro Nullstelle bei s = 0 Phase +90◦ 3. Gerade Linie bis 0, 1× n¨achste Eckfrequenz

64

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

4. Jeder Pol subtrahiert 90◦ , jede Nullstelle addiert 90◦ u ¨ber einen Bereich von 0, 1× Eckfrequenz bis 10× Eckfrequenz verteilt. Auf diese Art alle Eckfrequenzen abarbeiten 5. Phasenskizze gl¨atten, so daß arctan-Verl¨aufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ pro Pol bzw. Nullstelle bei 0, 1× Eckfrequenz und 10× Eckfrequenz Bode-Diagramme fu ¨ r reelle Pol- und Nullstellen Betrachten wir folgendes Beispiel G(s) =

s + 1000 . (s + 10)2

(3.233)

Es beﬁnden sich weder Pole noch Nullstellen bei s = 0, daher ergibt sich bei ω → 0 f¨ ur den Amplitudengang |G(jω)| = 20 dB und eine Steigung von 0 dB sowie f¨ ur den Phasengang arg{G(jω)} = 0. Bei s = −10 beﬁndet sich ein doppelter Pol, daher f¨allt der Amplitudengang ab ω = 10 mit −40 dB/Dekade ab und die Phase verringert sich auf −180◦ u ¨ber einen Bereich von ω = 1 bis ω = 100 verteilt. Die Nullstelle bei s = −1000 f¨ uhrt dazu, daß die Steigung des Amplitudenganges sich ab ω = 1000 auf −20 dB/Dekade erh¨ oht und die Phase auf −90◦ ansteigt. Die Abbildung 3.35 zeigt die approximierten sowie die exakten Verl¨ aufe. Bode-Diagramme fu ¨ r komplexe Polpaare ¨ Wenn die Ubertragungsfunktion komplexe Polpaare aufweist, geht man folgendermaßen vor: F¨ ur Frequenzen weit oberhalb der Eckfrequenz f¨ allt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade aufgrund des doppelten Pols. Ferner ﬁndet eine Resoahe des Imagin¨ arteils des nanz¨ uberh¨ohung bei ω ≈ Im (si ) statt, d. h. in der N¨ Pols. Diese ist umso ausgepr¨agter, je dichter der Pol an der imagin¨ aren Achse liegt. Die Phase f¨allt an dieser Stelle wegen des doppelten Pols um 180◦ ab. Die N¨ ahe der Pole zur imagin¨aren Achse ist auch ein Maß f¨ ur die Steilheit dieses Phasensprungs. Im folgenden wollen wir zwei Beispiele diskutieren. Zun¨ achst betrachten wir die Funktion 1 . (3.234) G(s) = 2 s + 0, 4s + 1, 04 Sie besitzt lediglich ein komplexes Polpaar bei s1,2 = −0, 2 ± j. Daraus folgt, daß f¨ ur kleine ω die Phase gleich Null ist. Außerdem erh¨ alt man f¨ ur ω → 0 einen waagrechten Amplitudenverlauf mit |G(jω)| ≈ 0 dB. Das Polpaar f¨ uhrt zu einer deutlichen Resonanz¨ uberh¨ohung an der Stelle ω ≈ 1; f¨ ur h¨ ohere Frequenzen l¨aßt sich der Amplitudenverlauf durch eine Gerade mit −40 dB/Dekade Steigung ann¨ahern. Die Phase f¨ allt bei ω ≈ 1 um −180◦ ab (Abb. 3.36).

3.13 Bode-Diagramme

65

G(jω) [dB] 20 17 14 10

0,1

G (s) =

1

10

100

1000

s + 1000 (s + 10)

2

ω

10000

-20

-40

exakter Verlauf -60

arg{G(jω)} 0° 0,1

-45°

1

10

100

1000

ω

10000

exakter Verlauf G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

-90°

-135°

-180° Abb. 3.35. Approximierter und exakt berechneter Amplituden- und Phasengang

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

66

G(jω) [dB] 20 17 10

0,01

0,1

1

10

100

1000

ω

-20 G (s) =

1 s2 + 0,4s + 1,04

-40

-60

arg{G(jω)} 0° 0,01

0,1

1

10

100

1000

ω

-45° G (s) =

1 s2 + 0,4s + 1,04

-90°

-135°

-180° Abb. 3.36. Amplituden- und Phasengang mit einer Resonanz¨ uberh¨ ohung bei ω ≈ 1

3.13 Bode-Diagramme

67

j. ω s5

s2 s1 s7

σ = Re {s}

s4

s3

s6 Abb. 3.37. Gl. (3.235).

¨ Pol(x)-Nullstellen(o)-Diagramm der Ubertragungsfunktion nach

¨ Um den Einﬂuß der Pol-Nullstellenkonﬁguration auf das Ubertragungsverhal¨ ten eines Netzwerkes zu verdeutlichen, betrachten wir die Ubertragungsfunktion G(s) =

s(s + 100)2 (s + 104 ) . (3.235) (s + 0, 2 + j)(s + 0, 2 − j)(s + 20 + 1000j)(s + 20 − 1000j)

Diese Darstellung l¨aßt die Lage der Pole und Nullstellen sofort erkennen uhrt dazu, daß die Amplitude f¨ ur kleine (Abb. 3.37). Die Nullstelle bei s1 = 0 f¨ ω mit 20 dB/Dekade ansteigt (Abb. 3.38). Die erste Resonanz¨ uberh¨ ohung wird durch das komplexe Polpaar s2,3 = −0, 2 ± j verursacht und beﬁndet sich bei ω ≈ 1. Hier ¨ andert sich die Steigung um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Als n¨ achstes folgt eine doppelte Nullstelle auf der reellen Achse bei s4 = 100. Daher ¨ andert sich die Steigung bei ω = 100 um +40 dB/Dekade auf +20 dB/Dekade. Wegen des komplexen Polpaares s5,6 = −20 ± 1000j kommt es bei ω ≈ 1000 abermals zu einer Resonanz¨ uberh¨ ohung. Die Steigung des Amplitudenganges ¨ andert sich um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Schließuhrt, lich gilt es noch die Nullstelle s7 = −104 zu beachten, welche dazu f¨ daß sich die Steigung bei ω = 104 um +20 dB/Dekade auf 0 dB/Dekade erh¨ oht. Beim Vergleich des approximierten Amplitudenganges (d¨ unne Linie in Abb. 3.38) mit der exakten L¨osung (dicke Linie) f¨ allt auf, daß die zweite Resonanz wesentlich st¨arker ausgepr¨agt ist als die erste. Dies ist darauf aren Achse liegt als zur¨ uckzuf¨ uhren, daß das Polpaar s5,6 n¨aher an der imagin¨ aren das Polpaar s2,3 . N¨aher“ heißt, daß der Winkel der Pole mit der imagin¨ ” Achse kleiner ist. Abschließend muß noch die vertikale Achse beschriftet werden. Hierzu benutzt man die Tatsache, daß der Amplitudenverlauf f¨ ur ω → ∞ waagrecht ist und daß die Amplitude dort 0 dB betr¨ agt (limω→∞ |G(jω)| = 1).

68

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

G(jω) [dB] 60

s (s + 100)2 (s + 104 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

G (s) =

40

exakter

20

Verlauf approximierter

0 0,1

1

arg{G(jω)}

10

100

1000

10000

ω

4

G (s) =

s (s + 100)2 (s + 10 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

+90°

exakter

Verlauf approximierter

+45°

0° 0,1

1

10

100

1000

10000

ω

-45°

-90° Abb. 3.38. Amplituden- und Phasengang mit zwei Resonanz¨ uberh¨ ohungen bei ω ≈ 1 und ω ≈ 1000

3.13 Bode-Diagramme

69

F¨ ur die Phase bei kleinen Frequenzen erh¨alt man wegen der Nullstelle bei andert sich die Phas1 = 0 den Wert +90◦ . Beim ersten komplexen Polpaar ¨ uhrt zu einem se um -180◦ auf -90◦ . Die doppelte Nullstelle bei s4 = −100 f¨ Anstieg um 180◦ auf (ungef¨ahr) zwei Dekaden verteilt. Das zweite komplexe Polpaar verursacht wiederum eine Phasen¨anderung um −180◦ . Schließlich uckgeht. bleibt noch die Nullstelle s7 = −104 wodurch die Phase auf 0◦ zur¨ Betrachtet man den exakten Phasenverlauf in Abb. 3.38, so erkennt man, daß sich hier die st¨ arkere zweite Resonanz in einem deutlich steileren Phasen¨ ubergang auswirkt.

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Im Gegensatz zu den vereinfachenden Annahmen, daß die in den betrachteten elektrischen Netzwerken enthaltenen Bauelemente zeitinvariant, d. h. keine Funktion der Zeit darstellen R, L, C = f (t) ,

(4.1)

und linear sind, d. h. keine Abh¨angigkeiten der Widerstands-, Kapazit¨ atsund Induktivit¨ atswerte von den angelegten Spannungen bzw. den durch sie ﬂießenden Str¨ omen vorhanden sind R, L, C = f (u, i) ,

(4.2)

wollen wir in diesem Kapitel gerade diese Abh¨angigkeiten zulassen. Wir sprechen in diesem Fall von zeitvarianten bzw. nichtlinearen Bauelementen und Netzwerken. Sie stellen eine Verallgemeinerung der linearen Netzwerke dar.

4.1 Nichtlineare Bauelemente 4.1.1 Nichtlinearer Widerstand Das Schaltsymbol f¨ ur einen nichtlinearen Widerstand ist in Abb. 4.1 gezeigt. i u Abb. 4.1. Schaltsymbol f¨ ur nichtlinearen Widerstand

72

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Man unterscheidet zwischen stromgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form u = R(i)i

(4.3)

und spannungsgesteuerten Widerst¨anden, die in der Form i = G(u)u

(4.4)

dargestellt werden. Im zeitvarianten Fall tritt zu der jeweiligen Abh¨ angigkeit noch die der Zeit t hinzu. Passive ohmsche Widerst¨ ande sind ohmsche Widerst¨ ande, die weder Quellen enthalten noch Halbleitereigenschaften aufweisen. Sie zeigen eine bzgl. des Koordinatenursprunges im u − i−Kennlinienfeld punktsymmetrische Kennlinie (Abb. 4.2). Man bezeichnet diese Widerst¨ ande auch als bilateral. Die

i

u

Abb. 4.2. Kennlinie eines bilateralen Widerstandes

Klemmen dieses Widerstandes sind beliebig vertauschbar. Diese Punktsym¨ metrie geht verloren, wenn die Bauelemente Halbleiter mit pn−Uberg¨ angen enthalten, wie z.B. Dioden. Abbildung 4.3 zeigt die typische i−u−Kennlinie einer Diode (4.5) i = Is (eu/uT − 1), wobei UT die Temperaturspannung bezeichnet UT =

k·T e

mit k: Boltzmannkonstante k = 1, 38 · 10−23 WKs e: Elektronenladung e = 1, 6 · 10−19 As T : absolute Temperatur.

(4.6)

4.1 Nichtlineare Bauelemente

73

i i

u

IS

u

Abb. 4.3. Typische Diodenkennlinie mit Schaltzeichen

Eine besondere Eigenschaft weisen die sog. Tunneldioden auf; sie zeigen n¨ amlich in ihrer i − u−Kennlinie Bereiche mit negativer Steigung (Abb. 4.4). Dies bedeutet, daß sich die Tunneldiode dort wie ein diﬀerentieller negativer Widerstand verh¨alt. Bez¨ uglich eines vorgegebenen Stromwertes i kann es zu Mehrdeutigkeiten kommen. So weist die Kennlinie f¨ ur gewisse Stromwerte beispielsweise 3 Schnittpunkte mit dazugeh¨origen Spannungswerten auf. Die Tunneldiode ist daher als spannungsgesteuerter, zeitinvarianter nichtlinearer Widerstand zu betrachten.

i i di <0 du u

u

Abb. 4.4. Kennlinie und Schaltzeichen einer Tunneldiode

Ein weiterer Typ von Widerst¨anden wird in der Sensorik zur Temperaturmessung eingesetzt. Es handelt sich dabei um sog. Heißleiter (NTCWiderst¨ ande) oder um Kaltleiter (PTC-Widerst¨ ande) (NTC: Negative Temperature Coeﬃcient; PTC: Positive Temperature Coeﬃcient). Ihr Widerstandswert ist temperaturabh¨angig (Abb. 4.5).

74

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

R R0 3 Heißleiter

Kaltleiter

2

1

- 100

- 50

0

+50

°C

+100

ϑ

Abb. 4.5. Widerstandscharakteristiken von Heiß- und Kaltleitern

Heißleiter bestehen aus oxidischen Mischkristallen, deren Kristallgitteraufbau an den Korngrenzen durch Mischung verschiedener Oxide gest¨ ort wird. Dadurch wird der urspr¨ unglich hohe speziﬁsche Widerstand der reinen Oxide stark vermindert. Dieser Eﬀekt ist, wie die Kennlinie aus Abb. 4.5 belegt, stark temperaturabh¨ angig. Im Bereich der Raumtemperatur betragen die Temperaturkoeﬃzienten ca. −3 bis −6%/K. Heißleiter werden bis zu Temperaturen von mehreren Hundert Grad Celsius eingesetzt. Kaltleiter hingegen weisen positive Temperaturkoeﬃzienten auf (Abb. 4.5). Sie bestehen aus halbleitenden polykristallinen ferroelektrischen Keramiken, z.B. Bariumtitanat (BaTiO3 ). Ihr ohmscher Widerstand steigt oberhalb der sog. Curie-Temperatur sprunghaft an (Abb. 4.5), da sich an den Korngrenzen Sperrschichten ausbilden. Sie werden aufgrund ihrer relativ hohen Kennlinienstreuung in aller Regel weniger f¨ ur Meßaufgaben als f¨ ur Regelungs- und ¨ Uberwachungsaufgaben herangezogen. Die Strom-Spannungs-Kennlinie eines typischen Kaltleiters wird in Abb. 4.6 gezeigt. Sie hat zun¨ achst den Charakter eines nahezu linearen ohmschen Widerstandes. Wird die Spannung weiter gesteigert, so steigt mit der zunehmend verbrauchten Leistung infolge Eigenerw¨ armung die Temperatur des Bauelementes an, bis zur sog. Einsetztemperatur, bei der sich der Widerstand nahezu sprunghaft ¨ andert, so daß der onnte zwar prinzipiell bis zur Strom abnimmt (Werte uE , iE ). Der Kaltleiter k¨ unden Durchbruchspannung uD (Abb. 4.6) betrieben werden; aus Sicherheitsgr¨ beschr¨ ankt man sich aber auf Betriebsspannungen u ≤ umax .

4.1.2 Nichtlineare Induktivit¨ at Das Schaltsymbol f¨ ur eine nichtlineare Induktivit¨at wird in Abb. 4.7 gezeigt. Die allgemeine Strom-Spannungs-Beziehung lautet

4.1 Nichtlineare Bauelemente

75

i iE

uE

u max

uD

u

Abb. 4.6. Strom-Spannungs-Kennlinie eines typischen Kaltleiters [115, 94]

u=

d(Li) di dL dΦ = =L +i , dt dt dt dt

(4.7)

wobei Φ den magnetischen Fluß durch die Spule repr¨ asentiert. Im allgemeinen Fall kann der Wert der Induktivit¨at L sowohl vom Strom abh¨ angen als auch zeitlich variabel sein. Man spricht dann von einer nichtlinearen und zeitvarianten Induktivit¨at. In vielen F¨allen jedoch sind die Induktivit¨ aten zeitinvariant. Allerdings weisen sie h¨auﬁg nichtlineare Eigenschaften auf, die auf die Magnetisierungseigenschaften der verwendeten permeablen Materialien zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Es gilt dann di (4.8) u = L(i) . dt

i u Abb. 4.7. Schaltsymbol f¨ ur nichtlineare Induktivit¨ at

Eine typische Kennlinie (Fluß-Strom-Beziehung) f¨ ur eine nichtlineare Induktivit¨ at wird in Abb. 4.8 gezeigt. Sie ist wiederum punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und wird daher auch als bilateral bezeichnet. Die Kennlinie von Induktivit¨ aten wird in Form einer Fluß-Strom-Kennlinie dargestellt, wobei gilt Φ(t) = L(i, t) · i(t) . (4.9) Im Falle einer zeitinvarianten Induktivit¨at kann die f¨ ur einen bestimmten at wie folgt bestimmt werden Arbeitspunkt i0 (Stromwert) geltende Induktivit¨

76

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Φ

Sättigungsfluß

i

Abb. 4.8. Fluß-Strom-Beziehung einer nichtlinearen Induktivit¨ at

L(i) =

dΦ . di i=i0

(4.10)

Sie entspricht also der Steigung der in Abb. 4.8 gezeigten Kennlinie. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Kleinsignalinduktivit¨ at, deren typischer Verlauf in Abb. 4.9 gezeigt wird. Die in den Kennlinien zu erL

i Abb. 4.9. Typischer Verlauf einer Kleinsignalinduktivit¨ at (s. Gl.(4.10))

kennenden S¨ attigungseigenschaften sind auf magnetische Eigenschaften der meist verwendeten ferromagnetischen Spulenkernmaterialien zur¨ uckzuf¨ uhren. Da die Magnetisierungsvorg¨ange in Ferromagnetika, wie z.B. Eisen, recht kompliziert sind, werden sie in aller Regel nicht auf die physikalischen Vorg¨ ange in der Mikrostruktur zur¨ uckgef¨ uhrt, sondern mit der experimentell bestimmten Abh¨ angigkeit des magnetischen Flusses bzw. der magnetischen Flußdich (= magnetische Induktion) von der magnetischen Feldst¨ te B arke H beschrieben. Die Funktion B = f (H) (Abb. 4.11) wird auch als Magnetisierungskennlinie oder Magnetisierungskurve bezeichnet. Die Permeabilit¨at des Materials ist im nichtlinearen Fall nicht mehr konstant, sondern eine Funktion der anregenden magnetischen Feldst¨ arke (4.11) H ∼ I .

4.1 Nichtlineare Bauelemente

77

Man bezeichnet die Permeabilit¨at (Kleinsignalpermeabilit¨ at) in einem beat µd . Sie stimmten Arbeitspunkt H0 als sog. diﬀerentielle Permeabilit¨ entspricht der Steigung der Magnetisierungskurve im jeweiligen Arbeitspunkt. Abbildung 4.10 zeigt die Permeabilit¨atskurve von sog. Elektroblech.

µr 5000 4000 3000 2000 1000 0

1

2

3

4

A 5 cm

H

Abb. 4.10. Relative Permeabilit¨ at von Elektroblech als Funktion der magnetischen Feldst¨ arke

Hysteresekurven Wenn ein typisch ferromagnetisches Material, wie z. B. Eisen, aus einem v¨ ollig unmagnetisierten Zustand heraus erregt wird, startet die Magnetisierungskurve im Ursprung, d. h. f¨ ur i = 0 und damit H = 0 ist auch der Wert der Induktion B = 0. Mit zunehmendem Strom und damit zunehmender magnetischer Feldst¨ arke H 1 steigt die magnetische Flußdichte entsprechend der in Abb. 4.11 mit Neukurve bezeichneten Kurve an. Wenn dann ab einem bestimmten erreichten Wert f¨ ur H bzw. B die magnetische Erregung wieder verringert wird, nimmt die magnetische Flußdichte weniger ab, d. h. sie bleibt auf h¨ oheren Werten, als dies der Neukurve entspricht. Insbesondere nimmt sie noch einen positiven Wert Brem (Remanenzinduktion) an, wenn die magnetische Feldst¨arke bereits auf H = 0 reduziert wurde. Der weitere Verlauf f¨ uhrt bis zu einem negativen S¨attigungswert. F¨ ur danach wieder ansteigende H-Werte wird bei H = 0 die negative Remanenzinduktion −Brem erreicht und schließlich m¨ undet die Kurve wieder in den o.g. positiven Umkehrpunkt. Dazwischen erreicht bei der sog. Koerzitivfeldst¨ arke Hc die magnetische Induktion den Wert B = 0. Die negative Koerzitivfeldst¨ arke −Hc ergibt sich entsprechend im linken Kurvenast. 1

Bei den in diesem Kapitel folgenden Betrachtungen k¨ onnen wir uns auf die Be und der magnetischen Feldst¨

betr¨ age der magnetischen Flußdichte B arke H schr¨ anken, die vereinfacht mit B bzw. H bezeichnet werden.

78

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

B

2,0 T 1,5

Br

: weichmagnetisch

1,0

: hartmagnetisch

0,5

: Neukurve

0 -0,5

-Hc

H : Koerzitivfeldstärke

Hc

c

-1,0 -2,0

Br : Remanenzinduktion

-Br

-1,5 -100

-60

-20 0 20

60 A 100 cm

H

Abb. 4.11. Hystereseschleifen einer magnetisch harten und einer magnetisch weichen Eisensorte

Man bezeichnet die so gewonnene Magnetisierungskennlinie auch als Hysteresekurve. Abbildung 4.12 zeigt solche Hysteresekurven f¨ ur verschiedene Umkehrpunkte. Die von einer Hysteresekurve umschlossene Fl¨ ache entspricht B

H

Abb. 4.12. Hysteresekurven eines magnetischen Materials f¨ ur verschiedene Umkehrpunkte

der dem ferromagnetischen Material bei einem Ummagnetisierungszyklus zugef¨ uhrten W¨ armeenergie. Diese auch als Hystereseverlustenergie bezeichnete Energie wird bei der Drehung (Umorientierung) der Elementardipole dem Magnetfeld entzogen und in W¨arme umgewandelt.

4.1 Nichtlineare Bauelemente

79

B BSat Br H

Hc a) Magnetische Probe R

Oszilloskop u

u0 I

uc

C

R shunt uR

b) Abb. 4.13. a) Hystereskurve von ferromagnetischem Material (BSat : magnetische Induktion bei S¨ attigung), b) Anordnung zur Messung der Hysteresekurve

4.1.3 Messung von Hysteresekurven Die Hysteresekurven von magnetischen Materialien B(H) = µH

(4.12)

k¨ onnen mittels der in Abb. 4.13 gezeigten Anordnung gemessen werden. Dazu wird ein Oszilloskop (Kap. 8) ben¨otigt, dessen Horizontalkanal (x-Ablenkung) von außen angesteuert werden kann, d. h. es wird nicht die standardm¨ aßige Zeitablenkung (S¨agezahnspannung) auf das x-Plattenpaar gegeben. Stattdessen nimmt man eine Spannung uR , die proportional zum Erregerstrom I der Prim¨ arwicklung ist. Nach dem Durchﬂutungsgesetz ist dieser Strom n¨ amlich proportional der magnetischen Feldst¨arke I∼H.

(4.13)

Nach dem Induktionsgesetz ist andererseits die an der Sekund¨ arwicklung abgreifbare Spannung dB , (4.14) u∼ dt so daß nach zeitlicher Integration dieser Spannung ein der magnetischen Induktion B proportionales Signal vorliegt

80

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

B∼

udt .

(4.15)

Diese Integration wird von dem an die Sekund¨ arwicklung angeschlossenen RC-Tiefpaß vorgenommen. Die integrierte Spannung kann am Kondensator in Form von uc abgegriﬀen werden, d. h. uc ∼ B .

(4.16)

Sie wird zur Darstellung der Hysteresekurve auf den Vertikalkanal gelegt. 4.1.4 Nichtlineare Kapazit¨ at Das Schaltungssymbol f¨ ur eine nichtlineare Kapazit¨ at wird in Abb. 4.14 gezeigt. F¨ ur den allgemeinen Fall einer nichtlinearen und zeitvarianten Kapazit¨ at i u Abb. 4.14. Schaltsymbol f¨ ur eine nichtlineare Kapazit¨ at

gilt folgende Strom-Spannungs-Beziehung i=

d(Cu) du dC dq = =C +u , dt dt dt dt

(4.17)

wobei q die im Kondensator gespeicherte Ladung repr¨ asentiert. Meist besteht auch hier Zeitinvarianz, so daß die vereinfachte Beziehung i = C(u)

du dt

(4.18)

verwendet werden darf. Die Kennlinie beschreibt die von der Kapazit¨ at gespeicherte Ladung q als Funktion der angelegten Spannung (Abb. 4.15). Gem¨ aß der Beziehung q(t) = C · u(t) (4.19) entspricht die Steigung der Kennlinie aus Abb. 4.15 der Kapazit¨ at im jeweiat bezeichnet wird ligen Arbeitspunkt u0 , die auch als Kleinsignalkapazit¨ dq(t) C(u0 ) = · (4.20) du u=u0 Sie hat typischerweise den in Abb. 4.16 gezeigten Verlauf.

4.1 Nichtlineare Bauelemente

81

q

u

Abb. 4.15. Ladungs-Spannungs-Kennlinie einer nichtlinearen Kapazit¨ at

Varaktordiode Das klassische Beispiel f¨ ur eine nichtlineare Kapazit¨ at ist die sog. Varaktordiode. Diese stellt eine im Sperrbereich betriebene Halbleiterdiode dar, die die Spannungsabh¨ angigkeit der Kapazit¨at von Halbleiterdioden nutzt. Die klassischen Sperrschicht-Varaktoren mit ihrer ver¨anderlichen Sperrschichtkapazit¨ at werden oft zur Abstimmung von Schwingkreisen eingesetzt. Mit der folgenden Gleichung kann in vielen F¨allen die Abh¨angigkeit der Kapazit¨ at C von der ¨ Spannung u u beschrieben werden ¨ber dem pn-Ubergang 1

C = γ(UD + u)− k ,

(4.21)

¨ ur den abrupten pn-Uberwobei UD die sog. Diﬀusionsspannung darstellt. F¨ gang mit beidseitig konstanter Dotierung wird εe NA ND (4.22) γ=A 2 (NA + ND ) und k = 2. Dabei bedeuten A die Kapazit¨atsﬂ¨ ache, ε die Permittivit¨ at des Halbleitermaterials, e die Elementarladung, NA die Akzeptor-Konzentration C

u Abb. 4.16. Kennlinie einer Kleinsignalkapazit¨ at

82

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

und ND die Donator-Konzentration. F¨ ur diesen Fall zeigt Abb. 4.17 einen Funktionsverlauf. C 60 pF 40 20 -6

V

-4

-2

0

u

a)

b)

Abb. 4.17. Varaktordiode: a) Kennlinie, b) Schaltzeichen

¨ Beim pn-Ubergang mit linear ortsver¨anderlicher Dotierung wird k = 3, wobei der Wert von γ sich gegen¨ uber dem vorgenannten Fall entsprechend ¨ andert. Durch spezielle Dotierungsverl¨aufe k¨onnen auch andere k- und γ-Werte eingestellt werden. 4.1.5 Gesteuerte Quellen Insbesondere zur vereinfachten Beschreibung aktiver Bauelemente, wie z. B. Transistoren, oder ganzer Schaltungen, wie z. B. Operationsverst¨ arker, verwendet man sog. gesteuerte Quellen. Gesteuerte Quellen sind Spannungs- oder Stromquellen, deren Quellspannung bzw. deren Quellstrom von einer Steuergr¨oße abh¨ angt. Diese Steuergr¨oße ist in aller Regel eine Spannung oder ein Strom. So wird beispielsweise ein, abgesehen vom nicht unendlich hohen Verst¨ arkungsgrad, idealer Operationsverst¨arker durch die in Abb. 4.18 gezeigte gesteuerte Quelle beschrieben. Wird zus¨atzlich die Begrenzung der Ausgangsspannung infolge S¨attigung ber¨ ucksichtigt, so a ¨ndert sich die approximierte uA uE

uE . V

Stg. V uA uE

Abb. 4.18. Spannungsgesteuerte Spannungsquelle als Ersatzschaltung f¨ ur einen idealen Verst¨ arker

4.2 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

83

Kennlinie gem¨ aß Abbildung 4.19. uA +UB -UB/V +UB/V

uE

-UB Abb. 4.19. Kennlinie eines Verst¨ arkers (Verst¨ arkungsgrad V), bei dem die S¨ attigungserscheinungen ber¨ ucksichtigt sind (approximierter Verlauf)

Die Spannung der Quelle l¨aßt sich nun wie folgt angeben: ⎧ ur − UVB ≤ uE < UVB ⎨ uE V f¨ uA = +UB f¨ . ur uE > UVB ⎩ −UB f¨ ur uE < − UVB

(4.23)

UB entspricht in der Praxis der um ca. 1 Volt reduzierten Versorgungsspannung des Operationsverst¨arkers. Auch Transistoren lassen sich in Form von gesteuerten Quellen darstellen. oße Bei Bipolartransistoren (Abb. 4.20) ist der Basisstrom iB die steuernde Gr¨ und der Kollektorstrom die gesteuerte Gr¨oße (Abb. 4.21). Kollektor Basis iB uBE

iC

u CE

Emitter

Abb. 4.20. Schaltzeichen eines Bipolartransistors

4.2 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke Die Analyse von elektrischen Netzwerken, die nichtlineare Bauelemente enthalten, ist in aller Regel bedeutend aufwendiger als die Analyse vergleichbarer linearer Netzwerke. Dies beginnt damit, daß das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist. Selbst einfache Netzwerke mit nur einem oder zwei nichtlinearen Elementen erfordern oft numerische L¨ osungen. Bei einfacheren Netzwerken ist die graphische Bestimmung des (der) Arbeitspunkte(s) oft eine Alternative mit Anschauungscharakter. Wir beginnen daher mit der graphischen Bestimmung des Arbeitspunktes des in Abb. 4.22 gezeigten linearen

84

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

iB iC u CE iB

u BE

u CE b)

a)

Abb. 4.21. Transistorkennlinien: a) Eingangskennlinienfeld eines Bipolartransistors und b) Ausgangskennlinienfeld

Widerstandsnetzwerkes, das von einer Quelle gespeist wird. Bei der graphischen L¨osung werden die beiden Geraden, welche einerseits den ohmschen Lastwiderstand RL und andererseits die Quelle mit dem Innenwiderstand Ri beschreiben, in das i − u-Kennlinienfeld eingetragen (Abb. 4.23). Der Schnittpunkt, der auch als Arbeitspunkt bezeichnet wird, liefert die L¨ osung f¨ ur den Strom iAP , der durch den Zweig des Netzwerkes ﬂießt, sowie die Spannung uAP am eingezeichneten Klemmenpaar U0 , Ri + RL RL = U0 . Ri + RL

iAP =

(4.24)

uAP

(4.25)

Im Falle eines nichtlinearen Lastwiderstandes kann es keine, eine, mehrere oder sogar unendlich viele L¨osungen, sprich Arbeitspunkte, geben (Abb. 4.24 und 4.25). Formelm¨ aßig l¨aßt sich die Situation der mit einem nichtlinearen Widerstand belasteten Quelle folgendermaßen beschreiben. Die unabh¨ angige Quelle mit Innenwiderstand Ri wird durch u = U0 − Ri i

(4.26)

charakterisiert. i Uo

Ri

u

RL

Abb. 4.22. Zu analysierendes Netzwerk

4.2 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

85

u

Arbeitspunkt

u = RL i

Uo uAP

u = Uo - Ri i iAP

i

Abb. 4.23. Graphische Arbeitspunktbestimmung der Schaltung aus Abb. 4.22

Wenn sich der Lastwiderstand RL durch eine analytische Funktion der Form FRL (i, u) = 0

(4.27)

darstellen l¨ aßt, so f¨ uhrt die Tatsache, daß der Strom durch die Quelle mit dem durch den Lastwiderstand in Betrag und Richtung identisch ist, zu der Gleichung (4.28) FRL (i, U0 − Ri i) = 0 . Dies ist im allgemeinen Fall eine nichtlineare transzendente Gleichung, die mit Hilfe eines geeigneten numerischen Verfahrens, z.B. mit der Newton-RaphsonMethode, gel¨ ost werden kann. Prinzipiell ist also eine Gleichung der Form f (x) = 0

(4.29)

u U0 Kennlinie der Quelle Kennlinie des nichtlinearen Lastwiderstandes

i

Abb. 4.24. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes – Beispiel f¨ ur nichtexistente L¨ osung

86

4 Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme

iterativ zu l¨ osen, bis ein gew¨ unschtes Abbruchkriterium unterschritten wird. Dabei muß die L¨ osung, wie Abb. 4.25 zeigt, nicht eindeutig sein, sondern sie u

Kennlinie der Quelle

U0 uAP Kennlinien zweier beispielhafter nichtlinearer Lastwiderstände

iAP

i

Abb. 4.25. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes der Schaltung aus Abb. 4.22. Die durchgezogene Kennlinie liefert einen Arbeitspunkt, auf der gestrichelten sind zwei Arbeitspunkte m¨ oglich.

kann vom Startpunkt x(0) abh¨angen. Die L¨osung erh¨ alt man durch fortlaufende Iterationen u ¨ber n x(n+1) = x(n) −

f (x(n) ) . f (x(n) )

(4.30)

Voraussetzung f¨ ur die Anwendbarkeit des Verfahrens ist die stetige Diﬀerenzierbarkeit der Funktion f (x). Beispiel — Lineare Spannungsquelle mit Diode Es soll die in Abb. 4.26 gezeigte Schaltung analysiert werden. Die Diode l¨ aßt sich durch u (4.31) i = Is (e UT − 1) beschreiben. Im konkreten Fall betragen die Werte f¨ ur den S¨attigungssperrstrom der verwendeten Siliziumdiode IS = 10pA

(4.32)

und f¨ ur die Temperaturspannung bei Raumtemperatur UT = 26mV .

(4.33)

F¨ ur die Leerlaufspannung der Quelle gilt U0 = 3V und f¨ ur ihren Innenwider-

4.2 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

Ri

87

i u

Uo

Abb. 4.26. Zu analysierende Schaltung

stand Ri = 1kΩ. Da in diesem Fall zu erwarten ist, daß i IS ist, vereinfacht sich die Diodengleichung zu u (4.34) i = IS e UT . Wenn man jetzt die Quelle mit der Gleichung u = U0 − Ri i

(4.35)

ber¨ ucksichtigt, erh¨alt man folgende transzendente Gleichung zur Beschreibung der Schaltung u (4.36) f (u) = u − U0 + Ri IS e UT = 0 . Die Ableitung nach u ergibt f =

Ri IS Uu df =1+ e T. du UT

(4.37)

Da wir wissen, daß die Durchlaßspannung von Siliziumdioden bei etwa 0,6V ur das Iterationsverfahren. liegt, nehmen wir diesen Wert als Startwert u(0) f¨ Es ergeben sich die Iterationen von Spalte 1 der Tabelle 4.1. Auch f¨ ur kleinere Startwerte konvergiert der Algorithmus (Spalte 2). Je schlechter der Startwert gew¨ ahlt wird, umso mehr Iterationen werden ben¨ otigt (Spalte 3). Weitere Verfahren zur Analyse von nichtlinearen Netzwerken ﬁnden sich in [118]. Tabelle 4.1. Iterative L¨ osung von Gl. (4.36) f¨ ur verschiedene Startwerte u(0) u(0) u(1) u(2) u(3) u(4) u(5) u(6) u(7) u(8)

Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 = 0.6000V u(0) = 0.4500V u(0) = 2.0000V = 0.5746V u(1) = 0.6127V u(1) = 1.9740V = 0.5503V u(2) = 0.5871V u(2) = 1.9481V = 0.5284V u(3) = 0.5621V u(3) = 1.9221V = 0.5121V u(4) = 0.5388V u(4) = 1.8961V . .. = 0.5042V u(5) = 0.5193V = 0.5028V u(6) = 0.5070V u(58) = 0.5110V = 0.5027V u(7) = 0.5031V u(59) = 0.5039V = 0.5027V u(8) = 0.5027V u(60) = 0.5028V u(61) = 0.5027V

5 Meßfehler

Messungen sind in der Regel fehlerbehaftet, auch wenn sie noch so pr¨ azise durchgef¨ uhrt werden. Die Ermittlung und Angabe der entsprechenden Meßfehler sollte zu jeder zuverl¨assigen Messung geh¨ oren, damit die aus dem Meßergebnis abgeleiteten Schl¨ usse bzw. Entscheidungen auf einer sicheren Grundlage basieren. So besteht bei vielen Arten von Messungen die Gefahr, daß sich die zu messenden Gr¨oßen durch das Einbringen der Meßger¨ ate ver¨ andern. Beispielsweise kann ein Spannungsmesser die zu messende Spannung ver¨ andern, weil er infolge seiner nicht idealen (d.h. nicht unendlich hohen) Innenimpedanz die Spannungsquelle belastet. Generell ist darauf zu achten, daß solche R¨ uckwirkungen der Meßeinrichtung auf die Quelle, der die Meßgr¨ oße entstammt, so gering wie m¨ oglich gehalten werden. Eine weitere typische Fehlerquelle besteht in der unsachgem¨aßen Anwendung der Ger¨ ate, wie z. B. dem Betrieb in einem nicht speziﬁzierten Frequenz- oder Temperaturbereich. Aber selbst bei bestimmungsgerechter und r¨ uckwirkungsfreier Anwendung von Meßger¨ aten gibt es Meßfehler, die zuf¨alliger Natur sind, wie z. B. die Ablesefehler. Die Charakterisierung eines Meßfehlers erfolgt durch Angabe des absoluten oder des relativen Meßfehlers. Der absolute Meßfehler F ist deﬁniert als Diﬀerenz aus dem Meßwert A (Anzeigewert) und dem wahren Wert W F =A−W .

(5.1)

Der relative Fehler f entspricht dem absoluten Fehler, bezogen auf den wahren Wert F 100% . (5.2) f= W Bei nicht bekanntem wahren Wert W und kleinem Meßfehler (|F/A| 1) darf folgende N¨ aherung angewendet werden f≈

F 100% . A

(5.3)

Zur Charakterisierung von Meßger¨aten bezieht man den absoluten Meßfehler des Ger¨ ates h¨ auﬁg auf den Meßbereichsumfang, die sog. Meßspanne Msp, wel-

90

5 Meßfehler

che der Diﬀerenz zwischen Meßbereichsendwert und Meßbereichsanfangswert entspricht F 100% . (5.4) f˜ = Msp Die Gr¨ oße f˜ wird als normierter bzw. zum Teil auch als reduzierter Fehler bezeichnet. In der Meßtechnik unterscheidet man prinzipiell zwischen systematischen Meßfehlern und zuf¨alligen Meßfehlern. Der wesentliche Unterschied zwischen diesen Fehlerarten liegt in der Vorhersagbarkeit und damit der Korrigierbarkeit der systematischen Fehler, welche bei den zuf¨ alligen nicht gegeben ist. Die zuf¨ alligen Fehler lassen sich nur noch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten beziﬀern. Der Fehler beim Ablesen einer Meßger¨ ateskala ist ein typischer zuf¨ alliger Fehler. Eine weitere Klassiﬁzierung unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Fehlern. W¨ahrend sich die statischen Fehler nur auf die statischen Eigenschaften der Meßeinrichtung beziehen und damit nur f¨ ur rein statische Meßgr¨oßen bzw. f¨ ur den statischen Anteil von dynamischen Meßgr¨ oßen relevant sind, beschreiben die dynamischen Meßfehler das Verhalten bei zeitlich variablen Meßgr¨oßen. Dynamische Meßfehler sind die aus ¨ den nicht idealen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems resultierenden Abweichungen vom wahren zeitlichen Verlauf der Meßgr¨ oße.

5.1 Systematische Meßfehler Bei den systematischen Fehlern sind die Ursachen bekannt. Es gibt systematische Abweichungen, die w¨ahrend einer Messung einen konstanten Betrag und ein bestimmtes Vorzeichen haben (statische Meßfehler) und solche, die eine zeitliche Ver¨anderung des Meßwertes w¨ahrend einer Meßreihe bewirken (dynamische Meßfehler). Wenn die systematischen Fehler bekannt sind, kann nach Gl. (5.1) der wahre Wert berechnet werden. Da systematische Fehler also prinzipiell korrigierbar sind, sollten sie nach M¨ oglichkeit im ersten Schritt der Meßwertverarbeitung berichtigt werden. Fortpﬂanzung systematischer Fehler Ist das Meßergebnis y eine Funktion mehrerer Meßgr¨ oßen xi (i = 1 ... n), so muß die gesuchte Gr¨oße y durch Auswertung des sog. Aufgabengesetzes y = f (x1 , ..., xn )

(5.5)

ermittelt werden. Mit dem wahren Wert yw ergibt sich schließlich der absolute Meßfehler ∆y zu ∆y = y − yw = f (x1 + ∆x1 , ..., xn + ∆xn ) − f (x1 , ..., xn ) .

(5.6)

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

91

Wenn der absolute Einzelmeßfehler ∆xi klein ist gegen¨ uber der entsprechenden Einzelmeßgr¨ oße xi (|∆xi | |xi |), l¨aßt sich ∆y aus den partiellen Ablei¨ tungen und den kleinen Anderungen ∆xi auf der Basis der nach den linearen Gliedern abgebrochenen Taylorreihe der Funktion y entwickeln ∆y =

n ∂f ∆xi . ∂xi i=1

(5.7)

Aus Gl. (5.7) lassen sich die folgenden Regeln f¨ ur die Fortpﬂanzung systematischer Fehler herleiten: • • • •

Bei der Addition von Meßgr¨oßen werden die absoluten Fehler addiert. Bei der Subtraktion von Meßgr¨oßen werden die absoluten Fehler subtrahiert. Bei der Multiplikation von Meßgr¨oßen werden die relativen Fehler addiert. Bei der Division von Meßgr¨oßen werden die relativen Fehler subtrahiert.

Besteht das Aufgabengesetz beispielsweise aus einer Multiplikation von Meßgr¨ oßen mit gleichzeitiger Potenzierung y = kxr11 xr22 · · · xrnn ,

(5.8)

so ergibt sich der absolute Fehler ∆y durch Auswertung von Gl. (5.7) ∆y = y

n i=1

ri

∆xi . xi

(5.9)

Daraus kann der gesamte relative Fehler ∆y/y als Summe der mit den Exponenten ri gewichteten relativen Einzelfehler fi errechnet werden ∆y ∆xi = ri ri fi . = y xi i=1 i=1 n

n

(5.10)

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobe Zuf¨ allige Fehler sind nicht unmittelbar erfaßbare Abweichungen vom wahren Wert. Sie k¨ onnen nur in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen beschrieben werden. Typischerweise liefern die Wiederholungen eines Meßvorganges unalliger Fehler ist es terschiedliche, streuende Meßwerte xi . Zur Beurteilung zuf¨ daher notwendig, mehrere bzw. soviele Messungen wie m¨ oglich durchzuf¨ uhren. Aus der Annahme, daß unendlich viele voneinander unabh¨ angige, gleichverteilte (rein zuf¨ allige) Einﬂußgr¨oßen wirksam sind und gen¨ ugend (theoretisch

92

5 Meßfehler

Abb. 5.1. Gaußsche Verteilungsfunktion p(x)

unendlich) viele Einzelmessungen durchgef¨ uhrt wurden, liegt eine Normalverteilung (Gaußverteilung) der Meßwerte vor. Dies geht aus dem Normalverteilungsgesetz f¨ ur zuf¨allige Fehler hervor. Die Abweichungen sind dann durch folgende Eigenschaften charakterisiert: positive und negative Abweichungen treten gleich h¨ auﬁg auf und mit zunehmender Gr¨ oße der Abweichung nimmt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ihr Auftreten ab. Die H¨ auﬁgkeit ihres Auftretens wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) beschrieben. Sie entspricht einer Gauß- bzw. Normalverteilung (Abb. 5.1) p(x) =

1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) . σ 2π

(5.11)

Der arithmetische Mittelwert µ aller Meßwerte xi , der auch als Erwartungswert bezeichnet wird, ergibt schließlich den gesuchten wahren Wert xw N 1 xi . N →∞ N i=1

xw = µ = lim

(5.12)

Ein Maß f¨ ur die Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert µ ist die mittlere quadratische Abweichung, die man als Standardabweichung σ und deren Quadrat als Varianz σ 2 bezeichnet N 1 (xi − µ)2 . (5.13) σ= lim N →∞ N i=1 Die statistische Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) P f¨ ur das Auftreten eines einzelnen Meßwertes in einem Intervall x1 ≤ x ≤ x2 errechnet sich wie folgt x2 x2 2 2 1 P = p(x) dx = √ e−(x−µ) /2σ dx σ 2π x1 x1 x2 x1 2 2 1 1 −(x−µ)2 /2σ 2 e dx − √ e−(x−µ) /2σ dx . (5.14) = √ σ 2π 0 σ 2π 0

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

93

2 Da das Integral ekx dx keine analytische L¨ osung besitzt, wurde die sog. Errorfunction erf(x) eingef¨ uhrt w 2 2 erf(w) = √ e−c dc , (5.15) π 0 welche in Tafelwerken, z. B. in [1], tabelliert ist. Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen der Variablen c der Errorfunction und der Variablen x der Wahrscheinlichkeitsdichte c=

x−µ √ . σ 2

(5.16)

Aus Gl. (5.14) folgt unter Zuhilfenahme der Errorfunction die statistische Sicherheit P

x2 − µ x1 − µ 1 √ √ P = erf − erf . (5.17) 2 σ 2 σ 2 Aufgrund des schiefsymmetrischen Verhaltens der Errorfunction erf(w) = −erf(−w)

(5.18)

errechnet sich die statistische Sicherheit P f¨ ur das Auftreten eines Meßwertes xi im Bereich −δ ≤ x − µ ≤ δ zu

δ √ P (δ) = erf . (5.19) σ 2 In Tabelle 5.1 sind charakteristische Werte von P (δ) notiert (s. auch Abb. 5.1). Wenn im Rahmen einer Meßreihe die Standardabweichung σ ermittelt wurde, l¨ aßt sich mit Hilfe von Tabelle 5.1 der zu einer bestimmten statistischen Sicherheit P geh¨ orende Vertrauensfaktor t bestimmen δ = tσ .

(5.20)

Der zuf¨allige Fehler Fxi eines Einzelmeßwertes xi liegt dann mit einer statiTabelle 5.1. Fehlerwahrscheinlichkeit P (statistische Sicherheit) bei symmetrischem Intervall −δ ≤ x − µ ≤ +δ δ 0,5 σ 0,67 σ 1 σ 1,65 σ 1,96 σ 2,58 σ 3,0 σ 3,3 σ P [%] 38,3 50 68,3 90 95 99 99,73 99,9

stischen Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) von P innerhalb des Intervalls ±tσ Fxi = ±tσ .

(5.21)

94

5 Meßfehler

Bei der hier zun¨achst angenommenen unendlich hohen Anzahl von Messungen h¨ angt der Vertrauensfaktor t in der nach Tabelle 5.1 beziﬀerten Weise nur von der frei gew¨ahlten statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) ab. Wenn beispielsweise eine statistische Sicherheit von 95 % gefordert wird, betr¨ agt der Vertrauensfaktor t nach Tabelle 5.1 t = 1,96. Dies bedeutet, daß die Abweichung des Einzelmeßwertes vom wahren Wert µ = xw bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % nicht gr¨oßer ist als ± 1,96 σ. Wird die Messung einer Meßgr¨oße mit denselben Mitteln und unter gleichen Bedingungen N-mal wiederholt, bezeichnet man dies als Stichprobe aus der Grundgesamtheit der theoretisch unendlich vielen Messungen. F¨ ur den praktischen Fall einer nur endlichen Anzahl von Messungen (N < ∞) kann aus den einzelnen Meßwerten xi (i = 1...N ) der Mittelwert µ (wahrer Wert xw ) nicht mehr nach Gl. (5.12) gebildet werden, sondern nur noch ein Sch¨atzwert x ˜ angegeben werden N 1 x ˜= xi . (5.22) N i=1 F¨ ur eine endliche Anzahl N von Meßwerten deﬁniert man anstelle der Standardabweichung σ die Schwankung s (empirische Standardabweichung) bzw. die Streuung s2 N 1 s= (xi − x ˜ )2 . (5.23) N − 1 i=1 Der Wert von s wird auch als mittlerer quadratischer Fehler (vom Sch¨ atzwert) der Meßwerte xi bezeichnet. 5.2.2 Vertrauensbereich fu atzwert ¨r den Sch¨ Im Zusammenhang mit Meßfehlerabsch¨atzungen stellt sich im allgemeinen auch die Frage nach der G¨ ute des im Rahmen einer Meßserie ermittelten Sch¨ atzwertes x ˜. Die Antwort auf diese Frage kann ebenfalls nur in Form einer statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) gegeben werden. Um die G¨ ute des Sch¨ atzwertes x ˜ anzugeben, muß festgestellt werden, wie nahe dieser Sch¨ atzwert x ˜ (Mittelwert aus N Messungen) dem wahren Wert xw (Mittelwert f¨ ur N → ∞) liegt. Dazu nehmen wir zun¨ achst an, daß eine unendlich hohe Anzahl von Einzelmessungen xi vorliegt. Wenn wir dieser sog. Grundgesamtheit N Stichproben mit jeweils wiederum N Einzelmeßwerten entnehmen, k¨ onnen wir N Sch¨atzwerte x ˜i (i = 1 . . . N ) errechnen. Die Schwankung sx˜ dieser Sch¨ atzwerteverteilung liefert schließlich den gesuchten Vertrauensbereich eines allgemeinen Sch¨atzwertes x ˜. Der Mittelwert ( Supermittelwert“) x ¯ der ” N Sch¨ atzwerte ergibt sich zu x ¯=

N 1 x ˜i . N i=1

(5.24)

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

95

Das Gaußsche Fehlerfortpﬂanzungsgesetz (Kap. 5.2.3) liefert schließlich die gesuchte Schwankung sx˜ der Sch¨atzwerteverteilung N

2 ∂ x ¯ sx˜ = s2i . (5.25) ∂ x ˜ i i=1 Mit ∂ ∂x ¯ = ∂x ˜i ∂x ˜i

!

N 1 x ˜i N i=1

" =

1 N

folgt aus dem Gaußschen Fehlerfortpﬂanzungsgesetz (Gl. (5.25)) N 1 1 2 si . sx˜ = √ N N i=1

(5.26)

(5.27)

Wenn wir jeweils ausreichende Losgr¨oßen (d. h. die Anzahl N der Einzelmeßwerte ist sehr hoch) bei der Ermittlung der Sch¨ atzwerte x ˜i voraussetzen, streben die Einzelschwankungen si gegen einen konstanten Wert s, so daß Gl. (5.27) weiter vereinfacht werden kann N 1 1 1 1 2 sx˜ = √ Ns = √ s = (xi − x ˜ )2 . (5.28) N (N − 1) i=1 N N N Die Schwankung der ˜i ist also gem¨ aß Gl. (5.28) √ Verteilung der Sch¨atzwerte x um den Faktor 1/ N kleiner als die eines Einzelwertes x1 (s. auch Gl. (5.23)). Dies bedeutet, daß f¨ ur N = 50 Meßwerte der gefundene Mittelwert mit√einer Wahrscheinlichkeit von beispielsweise 99,73 % um h¨ ochstens ±3, 1sx˜ / 50 andige (Tabelle 5.2) vom unbekannten wahren Wert xw abweicht. Die vollst¨ Angabe eines Meßergebnisses x erfolgt durch Beziﬀerung des Sch¨ atzwertes x ˜ und seiner Vertrauensgrenzen V in der Form ts x=x ˜±V =x ˜± √ . N

(5.29)

Der zuf¨ allige Fehler Fx˜ des Sch¨atzwertes betr¨agt demnach ts Fx˜ = ± √ . N

(5.30)

Der Vertrauensfaktor ist bei einer endlichen Anzahl von Meßwerten neben der gew¨ ahlten statistischen Sicherheit P also auch von der Anzahl N der Einzelmessungen abh¨ angig. Die Funktion der entsprechenden Fehlerverteilung ist die sog. Student-Verteilung (Abb. 5.2), die auch als t-Verteilung bezeichnet wird. Die Student-Verteilung ist also die Verteilung der Stichprobe (N < ∞), welche verst¨ andlicherweise breiter ist als die Normalverteilung, weil die Ver-

96

5 Meßfehler

p(x) pN pt

µ−σ

µ

µ+σ

x

Abb. 5.2. Vergleich von Normalverteilung pN und Student-Verteilung (t-Verteilung) pt f¨ ur N = 5

trauensgrenzen bei gleicher statistischer Sicherheit P aufgrund der Tatsache, daß man u ur N → ∞ ¨ber weniger Meßwerte mittelt, gr¨oßer sind als bei der f¨ geltenden Normalverteilung (Tabelle 5.2). Mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Genauigkeit gehen Student- und Normalverteilung ab N > 200 ineinander u ¨ber. Die bei einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % bestehende Unsicherheit wird als der mittlere Fehler ∆x des Sch¨atzwertes bezeichnet s ∆x = |xw − x ˜| = √ . N

(5.31)

Die zuf¨ alligen Fehler k¨onnen im Gegensatz zu den systematischen Fehlern grunds¨ atzlich nicht korrigiert werden. Zuf¨allige Fehler k¨ onnen allerdings durch eine hinreichend große Anzahl von Einzelmessungen beliebig klein gehalten werden. Tabelle 5.2. Abh¨ angigkeit des Vertrauensfaktors t von der Anzahl der Messungen N bei verschiedener statistischer Sicherheit P

N

P = 68, 3% = ˆ 1, 0σ P = 95% = ˆ 1, 96σ P = 99% = ˆ 2, 58σ P = 99, 73% = ˆ 3, 0σ √ √ √ √ t t/ N t t/ N t t/ N t t/ N

2 3 4 6 10 20 50 100 200 > 200

1,84 1,32 1,20 1,11 1,06 1,03 1,01 1,00 1,00 1,00

1,30 0,76 0,60 0,45 0,34 0,23 0,14 0,10 0,07 1,00 √ N

≈0

12,71 4,30 3,20 2,60 2,30 2,10 2,00 1,97 1,96 1,96

8,99 2,48 1,60 1,06 0,73 0,47 0,28 0,20 0,14 1,96 √ N

≈0

63,66 9,9 5,8 4,0 3,2 2,9 2,7 2,6 2,58 2,58

45,01 5,70 2,90 1,63 1,01 0,65 0,38 0,26 0,18 2,58 √ ≈0 N

235,8 19,2 9,2 5,5 4,1 3,4 3,1 3,04 3,0 3,0

166,7 11,10 4,60 2,25 1,30 0,76 0,44 0,30 0,21 3,00 √ ≈0 N

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

97

Beispiel — Meßreihe mit zuf¨ alligen Fehlern Im Rahmen einer Meßreihe wurden folgende 10 Werte gemessen: i xi

1 85,0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 85,6 84,7 84,9 85,8 85,2 84,6 85,3 85,1 85,4

Der Sch¨ atzwert x ˜ betr¨agt nach Gl. (5.22) 1 xi = 85, 16 . 10 i=1 10

x ˜=

(5.32)

Die Schwankung s (empirische Standardabweichung) berechnet sich nach (Gl. (5.23)) zu 10 1 (xi − x ˜)2 = 0, 381 . (5.33) s= 10 − 1 i=1 ahlDer zuf¨allige Fehler Fxi der Einzelmessung beziﬀert sich bei einer (frei gew¨ ten) statistischen Sicherheit von 95 % nach Tabelle 5.2 auf Fxi (95 %) = ±ts = ±2, 3 · 0, 381 = ±0, 875 .

(5.34)

Der zuf¨allige Fehler des Sch¨atzwertes Fx˜ ergibt sich bei derselben statistischen Sicherheit von 95 % zu ts Fx˜ (95 %) = ± √ = ±0, 277 . N

(5.35)

Damit kann die vollst¨andige Angabe des Meßergebnisses in folgender Form geschehen x = 85, 16 ± 0, 277 , (5.36) wobei sich die Angabe der absoluten Toleranzgrenzen von ±0, 277 auf eine gew¨ ahlte statistische Sicherheit von 95 % bezieht. 5.2.3 Fortpﬂanzung zuf¨ alliger Fehler Wenn die gesuchte Meßgr¨oße y eine Funktion mehrerer mit voneinander unabh¨ angigen zuf¨ alligen Fehlern behafteter Einzelmeßgr¨ oßen xi (i = 1, . . . , n) ist (5.37) y = f (x1 , . . . , xn ) , l¨aßt sich der Mittelwert µy , der dem wahren Wert yw entspricht, wie folgt berechnen (5.38) yw = µy = f (µ1 , . . . , µn ) , wobei µi die Mittelwerte der Einzelmeßgr¨oßen xi bezeichnen (Anzahl der jeweils aufgenommenen Meßwerte N → ∞). Unter der Voraussetzung kleiner

98

5 Meßfehler

Einzelstandardabweichungen σi l¨aßt sich die Standardabweichung σy des Mittelwertes µy nach dem Gaußschen Fehlerfortpﬂanzungsgesetz (Gl. (5.39)) ermitteln n

∂f 2 σi2 . (5.39) σy = ∂xi i=1

(µ1 ,µ2 ,...,µn )

Ist beispielsweise das Aufgabengesetz vom Typ y = kxr11 xr22 ,

(5.40)

so ergibt sich der mittlere relative Fehler fy (Wahrscheinlichkeit von 68,3 %) zu σy Fy = fy = y y

2 2 r2 r1 2 = σ1 + σ22 . (5.41) x1 x2 Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß der absolute zuf¨ allige mittlere Fehler Fy , d. h. der Fehler f¨ ur eine Wahrscheinlichkeit von 68,3 %, gerade der Standardabweichung σy entspricht. Da im praktischen Fall die Anzahl der aufgenommenen Meßwerte endlich bleibt (N < ∞), handelt es sich bei dem errechneten Mittelwert nur um einen ˜i den Sch¨ atzwert der EinzelmeßSch¨ atzwert y˜ des wahren Wertes yw . Wenn x gr¨ oße xi bezeichnet, gilt ˜n ) . (5.42) y˜ = f (˜ x1 , . . . , x Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung und f¨ ur kleine Schwankungen atzwertes y˜ wiederum (si |xi |) berechnet sich die Schwankung sy˜ des Sch¨ nach dem Gaußschen Fehlerfortpﬂanzungsgesetz aus den Schwankungen si der Einzelmeßgr¨ oßen n

∂f 2 s2i . (5.43) sy˜ = ∂x i (˜ x ,˜ x ,...,˜ x ) 1 2 n i=1

5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten F¨ ur standardm¨ aßige elektrische Meßger¨ate wird vom Hersteller eine Genauigkeitsklasse, d. h. eine garantierte obere Fehlergrenze angegeben, die i. allg. mit G oder Gk bezeichnet wird. Sie gibt den Betrag der auf den Meßbereichsendwert bezogenen maximal m¨oglichen Abweichung ∆x vom wahren Wert in Prozent an ∆x |Fehlangabe| 100% = 100% . (5.44) G= xend |Meßbereichsendwert| Es gibt folgende genormte Genauigkeitsklassen nach VDE 0410:

5.4 Dynamische Meßfehler

99

• Betriebsmeßger¨ate: 1, 1,5, 2,5, 5,0 • Feinmeßger¨ate: 0,05, 0,1, 0,2, 0,5. Der entsprechende maximale relative Fehler betr¨ agt demnach xend G ∆x =± . x x 100%

(5.45)

Er nimmt also stark zu, wenn der Meßbereich nur im unteren Teil genutzt wird. Der durch die Genauigkeitsklasse beschriebene Maximalfehler gilt selbstverst¨ andlich nur bei Einhaltung der ansonsten vom Hersteller speziﬁzierten Randbedingungen, wie der Einhaltung von Temperaturgrenzen, Frequenzbereich, Fremdfeldeinﬂuß, Lage etc.. Bei Instrumenten, deren Meßbereichsanfangswert nicht mit dem Nullpunkt identisch ist, wird die Fehlangabe statt auf den Meßbereichsendwert auf den Meßbereichsumfang bezogen, die auch als Meßspanne Msp bezeichnet wird (Gl. (5.4)).

5.4 Dynamische Meßfehler Bei der Messung zeitlich variabler Gr¨oßen treten infolge der nicht-idealen ¨ Ubertragungseigenschaften der Meßsysteme stets dynamische Meßfehler auf. Diese sind im wesentlichen auf Tr¨agheiten der Meßeinrichtungen (Tiefpaßverhalten) zur¨ uckzuf¨ uhren, welche sich infolge ihrer Speichereigenschaften bez¨ uglich mechanischer, thermischer oder elektromagnetischer Energie nicht vermeiden lassen. Da das Verst¨andnis von dynamischen Meßfehlern grundlegende Kenntnisse auf dem Gebiet der systemtheoretischen Beschreibung von Meßsystemen verlangt, folgt zun¨achst ein Abschnitt, der die entsprechende Systemtheorie kurz wiederholen soll (s. Kap. 3). ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen ¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Impulsantwort bzw. Sprungantwort Ein lineares Meßsystem liefert an seinem Ausgang die Impulsantwort g(t) (Gewichtsfunktion), wenn die Eingangsgr¨oße ein Dirac-Impuls δ(t) ist (Abb. 5.3) (Kap. 3.11). F¨ ur eine beliebige Anregungsfunktion x(t) ergibt sich das Ausgangssignal y(t) durch Faltung mit der Impulsantwort (Kap. 3.11)

+∞

y(t) = −∞

x(τ )g(t − τ ) dτ =

+∞ −∞

x(t − τ )g(τ )dτ = x(t) g(t) .

(5.46)

Da wir kausale Meßsysteme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0

100

5 Meßfehler

x(t)

x(t)

δ(t)

t0

y(t)

y(t)

Lineares Meßsystem

g(t)

t

t

t0

Abb. 5.3. Impulsantwort g(t) eines linearen Meßsystems

verschwindet und auch die Anregungsfunktion x(t) f¨ ur t < 0 zu Null annehmen, kann man die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch 0 und die obere Grenze (+∞) durch t ersetzen (Gl. (3.214)) t t y(t) = x(τ )g(t − τ ) dτ = x(t − τ )g(τ ) dτ . (5.47) 0

0

Anstatt ein Meßsystem durch seine Impulsantwort zu beschreiben, ist es in der Meßtechnik auch gebr¨auchlich, seine Sprungantwort h(t) anzugeben. Diese erh¨ alt man als Ausgangssignal, wenn man als Anregungssignal x(t) eine Sprungfunktion verwendet (Abb. 5.4), wobei die Sprungfunktion folgendermaßen deﬁniert ist ⎧ ¨r t ≥ 0 ⎨ 1 fu ε(t) = (5.48) ⎩ 0 fu ¨r t < 0 . Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) wurde bereits in Kapitel 3.12 hergeleitet (Gl. (3.226)) t h(t) = g(τ ) dτ . (5.49) 0

Der Wert, der sich nach einer Sprunganregung als stabiler Wert einstellt, wird als Beharrungswert bezeichnet. x(t)

x(t) t0

t

Lineares Meßsystem

y(t)

y(t)

h(t) t0

t

Abb. 5.4. Sprungantwort h(t) eines linearen Meßsystems

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch ¨ Ubertragungsfunktionen Aus der linearen Systemtheorie weiß man (Kap. 3.11), daß harmonische Anregungen der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ } = Re{X(ω)e e } x(t) = Re{X(ω)e

(5.50)

5.4 Dynamische Meßfehler

101

bei linearen Systemen im eingeschwungenen Zustand stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨anderter Amplitude und Phasenlage f¨ uhren y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } ,

(5.51)

ˆ =X ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ¨ wobei |X| G(ω) des linearen Systems ist dann folgendermaßen deﬁniert G(ω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) e = |G(ω)|ejϕ(ω) . = ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(5.52)

¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) l¨aßt sich aufspalten in den Betragsgang |G(ω)| und den dazugeh¨origen Phasengang arg{G(ω)} = ϕ(ω). Daraus lassen sich die D¨ampfung a(ω) und deren Phase b(ω) wie folgt errechnen a(ω) = −20 lg |G(ω)| [dB] b(ω) = −arg(G(ω)) .

(5.53) (5.54)

¨ Die Ubertragungsfunktion gibt also Auskunft dar¨ uber, wie das Meßsystem die Amplitude und die Phasenlage einer harmonischen Anregung ver¨ andert. ¨ F¨ ur beliebige (nicht-periodische) Zeitsignale berechnet sich die Ubertragungsfunktion eines linearen Systems aus den Quotienten der FourierTransformierten (Tabelle 5.3) F{y(t)} und F{x(t)} vom Ausgangs- und Eingangssignal y(t) bzw. x(t) G(ω) =

F{y(t)} . F{x(t)}

(5.55)

Mit diesen Zusammenh¨angen und der Eigenschaft, daß eine Faltung zweier Signale im Zeitbereich einer Multiplikation der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, erh¨alt man aus Gl. (5.46) Y (ω) = X(ω) G(ω) .

(5.56)

Daraus folgt auch, daß die Fourier-Transformierte der Gewichtsfunktion der ¨ Ubertragungsfunktion entspricht. G(ω) = F{g(t)} .

(5.57)

Beschr¨ ankt man sich auf kausale Zeitsignale (x(t) = 0 f¨ ur t < 0), so ist es zweckm¨ aßig, anstatt der Fourier-Transformation die Laplace-Transformation ¨ (Tabelle 5.3) zu verwenden. Die Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) eines linearen Systems ist folgendermaßen deﬁniert G(s) =

Y (s) L{y(t)} = . L{x(t)} X(s)

(5.58)

102

5 Meßfehler

Tabelle 5.3. Deﬁnitionsgleichungen der Laplace- und Fourier-Transformationen (Kap. 3) Fourier-Transformation Fourier-R¨ ucktransformation x(t) = F −1 {X (ω)} F {x(t)} = X(ω) +∞ +∞ 1 = −∞ x(t)e−jωt dt = 2π X(ω)ejωt dω −∞ Laplace-Transformation L{x(t)} = X(s) ∞ = 0 x(t)e−st dt

Laplace-R¨ ucktransformation x(t) = L−1 {X (s)} σ+j∞ 1 = 2πj X(s)est ds σ−j∞

Dabei sind L{x(t)} und L{y(t)} die Laplace-Transformierten (Tabelle 5.3) der Zeitfunktionen x(t) und y(t), wobei s = σ + jω die Laplace-Variable darstellt. Die Faltungsoperation (Gl. (5.47)) vereinfacht sich f¨ ur kausale Zeitsignale im Laplacebereich ebenfalls zu einer Multiplikation der entsprechenden LaplaceTransformierten (Kap. 3.5.4) Y (s) = G(s)X(s) .

(5.59)

¨ Die Ubertragungsfunktion G(s) ist demnach auch die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) G(s) = L{g(t)} . (5.60) Entsprechend dem Integrationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.2) # t 1 (5.61) f (τ ) dτ = F (s) , L s 0 wobei L{f (t)} = F (s) ,

(5.62)

¨ folgt aus Gl. (5.49) der Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) und der Sprungantwort h(t) # G(s) −1 h(t) = L . (5.63) s Zusammengesetzte Systeme Die Gesamt¨ ubertragungsfunktionen der in Abb. 5.5 gezeigten zusammengesetzten Systeme ergeben sich wie folgt: Serienschaltung (Abb. 5.5a) G(s) =

Y (s) = G1 (s)G2 (s) X(s)

(5.64)

5.4 Dynamische Meßfehler

103

Parallelschaltung (Abb. 5.5b) G(s) =

Y (s) = G1 (s) + G2 (s) X(s)

(5.65)

Ru ¨ ckkoppelschaltung (Kreisschaltung) (Abb. 5.5c) G(s) =

G1 (s) Y (s) = . X(s) 1 + G1 (s)G2 (s)

(5.66)

¨ Abb. 5.5. Zusammengesetzte Ubertragungssysteme: a) Serienschaltung (Hintereinanderschaltung), b) Parallelschaltung, c) R¨ uckkoppelschaltung (Kreisschaltung)

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Diﬀerentialgleichungen F¨ ur lineare Systeme kann der mathematische Zusammenhang zwischen dem Anregungssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) in Form einer Diﬀerentiˆ algleichung mit konstanten Koeﬃzienten beschrieben werden ( =d/dt) a0 x + a1 x + . . . + an x(n) = b0 y + b1 y + . . . + bm y (m) .

(5.67)

Gem¨ aß dem Diﬀerentiationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.3) L{f (n) (t)} = sn F (s) − sn−1 f (t)|t=0 − . . . sf (t)(n−2) |t=0 − f (t)(n−1) |t=0 ,

(5.68)

wobei f (n) die n-te Ableitung der Funktion f nach der Zeit t ist, kann Gl. (5.67) f¨ ur den vereinfachten Fall, daß alle Anfangswerte f (t = 0) bis f (t)(n−1) |t=0 Null sind, folgendermaßen im Laplacebereich dargestellt werden

104

5 Meßfehler

a0 X(s) + a1 sX(s) + . . . + an sn X(s) = b0 Y (s) + b1 sY (s) + . . . + bm sm Y (s) . (5.69) ¨ Damit ergibt sich folgender fester Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) im Laplacebereich und den Koeﬃzienten der Diﬀerentialgleichung a0 + a 1 s + a 2 s2 + . . . + a n sn , (5.70) G(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s2 + . . . + b m sm wobei stets n ≤ m gilt. Der Quotient E E=

a0 b0

(5.71)

wird auch als Empﬁndlichkeit des Meßsystems bezeichnet. ¨ Bei Kenntnis der Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) bzw. der Fourier¨ Ubertragungsfunktion G(ω), der Impulsantwort g(t) bzw. der Sprungantwort h(t) oder auch der Koeﬃzienten ai und bj der Diﬀerentialgleichung lassen sich die dynamischen Meßfehler eines Meßsystems beschreiben. Die Deﬁnition des dynamischen Meßfehlers und seine Bestimmung anhand dieser Kennwerte wird in den beiden folgenden Abschnitten beschrieben. 5.4.2 Deﬁnition des dynamischen Meßfehlers Beim Erfassen zeitlich ver¨anderlicher Meßgr¨oßen entstehen aufgrund der oben ¨ beschriebenen (nicht-idealen) Ubertragungseigenschaften unweigerlich dynamische Meßfehler. Da sich im Falle linearer Meßsysteme die dynamischen Fehler von den statischen separieren lassen, k¨onnen wir uns im folgenden ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf dynamische Meßfehler konzentrieren und die statischen ausschließen. Der momentane dynamische Meßfehler Fdyn ist deﬁniert als (5.72) Fdyn = x(t) − xw (t) , wobei x(t) und xw (t) die zeitlichen Verl¨aufe des Meßwertes bzw. des wahren Wertes darstellen. Praktischer als die Angabe der Momentanverl¨ aufe von Fehlern ist die Angabe ihrer Mittelwerte. Wenn wir einen station¨ aren Verlauf der Meßgr¨ oße voraussetzen (station¨ar heißt, daß die sich durch zeitliche Mittelung ergebenden Kenngr¨ oßen, wie z. B. der quadratische Mittelwert des Signals (Kap. 6.3.1), konstant bleiben), l¨aßt sich als wichtige Kenngr¨ oße der mittlere quadratische dynamische Fehler angeben 1 T 2 2 Fdyn = lim Fdyn (t) dt . (5.73) T→∞ T 0 Wenn der Meßgr¨oßenverlauf periodisch ist, darf die Integrationszeit T auf die 2 Periodendauer begrenzt werden. Da Fdyn einen absoluten Fehler beziﬀert, ist es zweckm¨ aßig, diesen auf den quadratischen Mittelwert x2 des Meßsignals zu normieren (Kap. 6.3.1)

5.4 Dynamische Meßfehler

x2 =

1 T

T

x2 (t) dt .

105

(5.74)

0

Es ergibt sich somit der bezogene quadratische Mittelwert des dynamischen 2 Fehlers fdyn 2 fdyn =

2 Fdyn

x2

.

(5.75)

5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers Im folgenden wird angenommen, daß der dynamische Fehler durch das (nicht¨ ¨ ideale) Ubertragungsverhalten des Meßsystems, das sich durch die Ubertragungsfunktion G(s) beschreiben l¨aßt (Abb. 5.6), verursacht wird. Bei deterministischen Anregungssignalen l¨aßt sich der dynamische Meßfehler mit der ¨ bekannten Ubertragungsfunktion des Meßsystems G(s) ermitteln Fdyn (s) = X(s) − Xw (s) = Xw (s)[G(s) − 1] 1 = X(s) 1 − . G(s)

(5.76)

F¨ ur den Fall, daß das Eingangssignal (wahrer Wert) des Meßsystems bekannt

wahre Meßgröße x w (t)

Xw (s)

Meßsystem G(s)

gemessener Wert (Meßwert) X (s)

x(t)

¨ Abb. 5.6. Dynamischer Meßfehler aufgrund des (nicht-idealen) Ubertra¨ gungsverhaltens des Meßsystems. G(s) ist die Ubertragungsfunktion im LaplaceBereich.

ist (Vorw¨ artsanalyse), erh¨alt man den Momentanverlauf des absoluten Meßucktransformation fehlers Fdyn (t) durch folgende Laplace-R¨ Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[G(s) − 1]} .

(5.77)

Im umgekehrten Fall (Ru artsanalyse) ist der Meßwert x(t) bekannt, ¨ ckw¨ und man erh¨ alt Fdyn (t) als # 1 −1 Fdyn (t) = L X(s) 1 − . (5.78) G(s)

106

5 Meßfehler

5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten In aller Regel zeigen Meßsysteme ein mehr oder weniger ausgepr¨ agtes Tiefpaßverhalten. Im folgenden soll daher zun¨achst der aus einem Tiefpaß 1. Ordnung resultierende dynamische Fehler berechnet werden (Abb. 5.7), wenn der wahre Wert zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert X0 springt.

xw (t)

GM(s) =

Xw (s)

1 1+sτ

X (s)

x (t)

M

Abb. 5.7. Meßsystem (Tiefpaß 1. Ordnung)

Vorw¨ artsanalyse Wenn der wahre Wert bekannt ist, l¨aßt sich gem¨ aß Gl. (5.77) der absolute dynamische Meßfehler wie folgt berechnen Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[GM (s) − 1]} = L−1 {F(s)} . Mit

X0 s

(5.80)

1 X0 X0 τM −1 =− . s 1 + sτM 1 + sτM

(5.81)

Xw (s) = folgt F (s) =

(5.79)

Der zeitliche Verlauf des dynamischen Meßfehlers lautet Fdyn (t) = −X0 · e−t/τM .

(5.82)

Der mittlere quadratische dynamische Fehler betr¨ agt (Gl. (5.73)) 1 T→∞ T

2 Fdyn = lim

T

X02 e−2t/τM dt

0

T 1 −2t/τM −X02 τM lim e = T→∞ T 2 0 2 1 −2T /τM −X0 τM lim e −1 =0. = T→∞ T 2

(5.83)

5.4 Dynamische Meßfehler

107

Ru artsanalyse ¨ ckw¨ Hier ist nur der gemessene Wert bekannt. Aus Gl. (5.78) folgt der dynamische Fehler # 1 Fdyn (t) = L−1 X(s) 1 − . (5.84) GM (s) Die Auswertung f¨ uhrt selbstverst¨andlich zum selben Ergebnis wie die Vorw¨ artsanalyse # −X0 τM (5.85) = −X0 · e−t/τM . Fdyn (t) = L−1 1 + sτM Verringerung des dynamischen Fehlers durch Korrekturnetzwerk Der vom Meßsystem herr¨ uhrende dynamische Fehler kann durch ein nachgeschaltetes Korrekturnetzwerk zum Teil kompensiert werden. Dies soll anhand eines Beispiels demonstriert werden. Das Ausgangssignal des Meßsystems (Tiefpaß 1. Ordnung) wird aus diesem Grund mittels eines OszilloskopTastkopfes abgegriﬀen (s. auch Kap. 10.2). Die gesamte Meßkette wird in Abb. 5.8 gezeigt. Tastkopf

Me system RT x (t)

xW(t)

GM =

1 1+sτ

RE

CT

GT = M

CE

xT (t)

1+ sτT 1 + VR+ s (VR τ E + τ T )

Abb. 5.8. Meßsystem mit Korrekturnetzwerk (Tastkopf). Die Zeitkonstanten sind folgendermaßen deﬁniert: τT = RT CT ; τE = RE CE .

Mit VR =

RT . RE

(5.86)

¨ lautet die Ubertragungsfunktion der gesamten Meßkette (Meßsystem und Tastkopf) Gges (s) =

1 XT (s) 1 + sτT = . · XW (s) 1 + sτM 1 + sτT + VR (1 + sτE )

(5.87)

Dabei wird vorausgesetzt, daß die Ein- bzw. Ausgangsimpedanzen vom Meßsystem und dem Tastkopf so gew¨ahlt wurden, daß die beiden Netzwerke auch

108

5 Meßfehler

¨ nach der Zusammenschaltung ihr urspr¨ ungliches Ubertragungsverhalten beibehalten. Um die Auswirkung des Korrekturnetzwerkes auf das Ausgangssignal zu achst demonstrieren, werten wir wiederum das Ausgangssignal xT (t) (bzw. zun¨ ur eine Sprunganregung aus XT (s)) f¨ XT (s) =

1 X0 1 1 + sτT · . · · +VR τE s 1 + sτM 1 + VR 1 + s τT1+V R

Mit

τT + VR τE 1 + VR

(5.89)

1 1 + VR 1 1 + sτT = · · . X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗

(5.90)

τ∗ = erh¨ alt man XT ·

(5.88)

Eine Partialbruchzerlegung XT ·

1 + VR A C B = + + X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗

(5.91)

liefert A=1 τM (τT − τM ) τM − τ ∗ τ ∗ (τT − τ ∗ ) . C = −τC = − τM − τ ∗

B = τB =

(5.92) (5.93) (5.94)

Mit 1 τB X0 1 τC 1 + · − ∗ · XT (s) = 1 + VR s τM s + 1/τM τ s + 1/τ ∗ ergibt sich die entsprechende Zeitfunktion zu X0 τB −t/τM τC −t/τ ∗ ·e − ∗ ·e x(t) = ε(t) + . 1 + VR τM τ

(5.95)

(5.96)

Abbildung 5.9 verdeutlicht die Verbesserung des dynamischen Verhaltens der Meßeinrichtung durch das nachgeschaltete Korrekturnetzwerk. Es wurden folgende Werte verwendet: X0 = 10V ; τM = 100µs; VR = 9; τE = 0 (Weglassen von RE ). Die Zeitkonstante τT wird variiert.

5.4 Dynamische Meßfehler [W 7

τ

7

109

τ0

9 τ

9

τ τ

7

τ0

7

τ0

7

WµV

¨ Abb. 5.9. Den schnellsten Einschwingvorgang ohne Uberschwingen erh¨ alt man, wenn die Nullstelle des Tastkopfes genau auf dem Pol des Tiefpasses liegt. Der Wert τT = 0 liefert den prinzipiellen Zeitverlauf der Sprungantwort des Meßsystems ohne Korrekturnetzwerk.

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die Grundfunktionen eines Meßger¨ates gliedern sich in die Detektion der Meßgr¨oße, die Verarbeitung des Meßsignals und in die Ausgabe des Meßwertes (Abb. 6.1). Bei den Meßger¨aten zur Messung von elektrischem Strom bzw.

Abb. 6.1. Grundfunktionen eines Meßger¨ ates

elektrischer Spannung unterscheidet man zwischen den klassischen elektromechanischen Instrumenten mit analogen Zeigerskalen und den moderneren elektronischen, auf digitaler Basis arbeitenden Ger¨ aten mit interner AnalogDigital-Umsetzung und Ziﬀern- oder Bildschirmausgabe. Obwohl die klassischen Zeigerger¨ ate in den letzten Jahren an Bedeutung verloren haben, sollen diese im Kap. 6.1 ausf¨ uhrlich beschrieben werden, da die in diesen Ger¨ aten genutzten Wandlungsprinzipien von grundlegender Bedeutung f¨ ur die Elektrische Meßtechnik sind, insbesondere f¨ ur die Sensortechnik bei der Messung mechanischer Gr¨oßen. Auf die auf digitaler Basis arbeitenden Meßger¨ ate wird in Kap. 11 n¨ aher eingegangen.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate Elektromechanische Meßger¨ate beruhen auf dem Prinzip, einer zu messenden elektrischen Gr¨ oße (i. allg. Strom oder Spannung) mit Hilfe eines geeigneten

112

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

physikalischen Eﬀektes eine Kraftwirkung zuzuordnen. Diese Kraft wird auf einen Zeiger u ¨bertragen, der durch eine im allgemeinen von einer Feder erzeugten Gegenkraft in einer Stellung verharrt, so daß der Zeigerausschlag ein Maß f¨ ur die Meßgr¨oße darstellt, wenn m¨oglich ihr proportional ist. 6.1.1 Drehspulmeßwerk Kraft auf einen stromdurchﬂossenen Leiter im Magnetfeld Einer der im Bereich der Elektromechanik vielfach genutzten Eﬀekte ist die Kraftwirkung auf einen stromdurchﬂossenen Leiter im Magnetfeld. Wenn sich ein gerader linienf¨ormiger Leiter der L¨ange l, der einen Strom I f¨ uhrt, in beﬁndet einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B (Abb. 6.2), wirkt auf ihn die mechanische Kraft F [16] . F = I(l × B)

(6.1)

Dabei zeigt l in die positive Stromrichtung des Leiters.

Abb. 6.2. Kraft auf einen stromdurchﬂossenen Leiter im Magnetfeld

Aufbau und Prinzip Das Drehspulmeßwerk ist ein Standardmeßwerk, bei dem der eben beschriebene physikalische Eﬀekt genutzt wird, gem¨aß dem auf einen stromdurchﬂossenen Leiter in einem Magnetfeld eine mechanische Kraft ausge¨ ubt wird. Das Drehspulmeßwerk besteht aus einem mit Polschuhen versehenen, feststehenden Dauermagneten, der in Verbindung mit einem zylindrischen Weicheisen kern in einem begrenzten Winkelabschnitt des Luftspaltes ein radiales B-Feld erzeugt (Abb. 6.3). Der Weicheisenkern wird von einer drehbar gelagerten Spule mit rechteckigem Spulenrahmen und Windungszahl N umschlossen. Die H¨ ohe des Spulenrahmens betr¨agt l, seine Breite 2r. Wird die Spule von einem Strom I durchﬂossen, ergibt sich die Kraftwirkung auf einen einzelnen Leiter nach Gl. (6.1). Das auf die aus N Leiterwindungen bestehende Spule

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

113

Abb. 6.3. Drehspulmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Schnitt durch den Spulenrahmen, c) Symbol

el berechnet sich somit zu wirkende Drehmoment M el = 2Nr × F M = 2Nr × [I(l × B)] = 2N rIlBea ,

(6.2)

wobei der Einheitsvektor ea in Richtung der Drehachse zeigt. Durch eine an der Spule angebrachte Spiralfeder (Federkonstante D) wird das R¨ uckstellmo mech erzeugt ment M mech = −Dαea . M (6.3) el + M mech = 0 folgt der Winkel α, bei Aus der Gleichgewichtsbedingung M dem sich Gleichgewicht einstellt bzw. bei dem der Zeiger verharrt α=

2N lBr I = Si I . D

(6.4)

Dabei bezeichnet Si die Stromempﬁndlichkeit des Drehspulmeßwerkes. In technischen Ausf¨ uhrungen wird anstatt der Spiralfeder oft ein Spannband benutzt, das neben der Erzeugung des R¨ uckstellmomentes sowohl der Stromzuf¨ uhrung als auch der reibungsarmen Lagerung der Drehspule dient. Dynamisches Verhalten eines Drehspulmeßwerkes F¨ ur eine winkelgeschwindigkeitsproportionale D¨ ampfung mit D¨ampfungsmoment η α˙ und dem Beschleunigungsmoment Θα ¨ (das Tr¨ agheitsmoment der Drehspule wird mit Θ bezeichnet) ergibt sich die den Winkelausschlag α beschreibende Diﬀerentialgleichung zu Θα ¨ + η α˙ + Dα = Mel (t) ,

(6.5)

wobei ein Punkt u ¨ber dem Formelzeichen die zeitliche Ableitung der entsprechenden Formelgr¨oße nach der Zeit und zwei Punkte die zweifache zeitliche

114

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Ableitung bedeuten. Mit den Substitutionen f¨ ur die Eigenkreisfrequenz ω0 des unged¨ ampften Systems D (6.6) ω0 = Θ und mit dem normierten D¨ampfungskoeﬃzient η˜ η η˜ = √ (6.7) 2 ΘD ergibt sich die folgende Diﬀerentialgleichung 2˜ η 1 1 α ¨+ α˙ + α = Mel (t) . ω02 ω0 D

(6.8)

Von den L¨ osungen dieser Diﬀerentialgleichung interessiert im allgemeinen die Antwort auf eine zeitlich sprunghaft ansteigende Eingangsgr¨ oße (Sprungantwort). In Abh¨ angigkeit des (normierten) D¨ampfungskoeﬀizienten η˜ erh¨ alt man ur t → ∞ bedie normierte Sprungantwort α/α0 , wobei α0 den Ausschlag f¨ zeichnet (Abb. 6.4): • keine D¨ ampfung (˜ η = 0) α = 1 − cos ω0 t α0

(6.9)

• periodische (schwingende) Einstellung η˜ < 1 α ω0 −˜ηω0 t e =1− cos(ωt − ϕ) α0 ω mit ω = ω0

1 − η˜2 !

und ϕ = arctan

η˜

(6.11) "

1 − η˜2

• aperiodischer Grenzfall (˜ η = 1) α = 1 − e−ω0 t (1 + ω0 t) α0 • aperiodische (kriechende) Einstellung (˜ η > 1) α 1 1 1 √ =1+ − e−t/τ1 + e−t/τ2 α0 τ2 τ1 2ω0 η˜ − 1 mit

(6.10)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

τ1 =

1 ω0 (˜ η − η˜2 − 1)

(6.15)

τ2 =

1 . ω0 (˜ η + η˜2 − 1)

(6.16)

und

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

115

Abb. 6.4. Auf den Endausschlag α0 bezogene Sprungantwort eines Drehspulinstrumentes bei verschiedenen (normierten) D¨ ampfungskoeﬀizienten η˜

D¨ ampfung beim Drehspulmeßwerk Ein D¨ ampfungsmoment entsteht, wenn die durch die Drehspulenbewegung imMagnetfeld induzierte Spannung u ¨ber einen Widerstand zu einem Strom f¨ uhrt. Nach der Lenzschen Regel wirkt dieser Ausgleichstrom dem Meßstrom entgegen und d¨ ampft damit die Ausschlagbewegung des Zeigers. Bei einer Spule mit Rahmenh¨ohe l und Windungszahl N betr¨ agt die induzierte Spannung uind d dφ dA = −N B uind = −N dt dt $ & % ∂B − (v × B) ds =N dA A ∂t % = −N ωrB ds = −2N lrB

dα . dt

(6.17)

d ist dem resultierenden Strom iind proportional Das D¨ ampfungsmoment M d = 2Nr × F = 2Nr × [iind (l × B)] M Md = 2N rlBiind .

(6.18) (6.19)

Wenn die induzierte Spannung uind den Strom iind in einem Kreis mit Widerstand RK hervorruft, ergibt sich das D¨ampfungsmoment Md = (2N rlB)2

1 dα . RK dt

(6.20)

116

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Mit Md = η α˙

(6.21)

folgt f¨ ur den (nicht-normierten) D¨ampfungskoeﬀizienten η aus Gl. (6.5) η=

(2N rlB)2 . RK

(6.22)

Dabei setzt sich der Gesamtwiderstand des Meßkreises RK , der sog. Schließungswiderstand, aus dem Widerstand der Meßspule RSP , einem eventuell außeren Kreivorhandenen Abgleichwiderstand RT und dem Widerstand des ¨ ses RA zusammen (6.23) RK = RSP + RT + RA . Wenn ein Abgleichwiderstand RT vorhanden ist, kann dieser bei konstanampfung zu tem RA genutzt werden, um beispielsweise eine aperiodische D¨ erzielen. Die k¨ urzeste Einstellzeit wird allerdings f¨ ur einen D¨ ampfungsgrad ¨ η˜ < 1, also nach leichtem Uberschwingen erreicht. Abbildung 6.5 zeigt die auf die Periodendauer T0 der Grundschwingung bezogene Einstellzeit TE , die das

Abb. 6.5. Bezogene Einstellzeit TE /T0 als Funktion des normierten D¨ ampfungskoeﬀizienten η˜ bei einem zul¨ assigen Toleranzbereich von ± 1,5 % um den Endausschlag

Meßwerk nach einer Sprunganregung ben¨otigt, um innerhalb einer Schwankungsbreite von ± 1,5 % des Endausschlages zu bleiben. Die f¨ ur den Wert ± 1,5 % ermittelte Zeit wird auch als Beruhigungszeit bezeichnet. Nachteilig an dem eben beschriebenen D¨ampfungsmechanismus ist allerdings, daß die Gr¨ oße der D¨ ampfung u ¨ber den Schließungswiderstand RK vom jeweiligen Widerstand RA des ¨außeren Kreises abh¨angt. Um diese Abh¨angigkeit zu vermeiden, setzt man vorzugsweise die sog. Rahmend¨ampfung ein, bei der die Spule auf einen elektrisch leitenden Aluminiumrahmen aufgebracht wird. In dem Aluminiumrahmen werden infolge der

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

117

Drehbewegung elektrische Spannungen induziert, die im geschlossenen Rahmen Wirbelstr¨ ome zur Folge haben. In Verbindung mit dem Magnetfeld des Permanentmagneten bilden sich infolge dieser Str¨ ome Kr¨ afte (Gegenkr¨ afte) aus, die gem¨ aß der Lenzschen Regel so gerichtet sind, daß sie die Bewegung bremsen und damit d¨ampfen. Im allgemeinen werden Drehspulinstrumente so ausgelegt, daß die Rahmend¨ampfung u ampfungswerte von ¨berwiegt, um die D¨ den oben beschriebenen Einﬂ¨ ussen des jeweiligen Meßkreises (Gln. (6.22) und (6.23)) unbeeinﬂußt zu lassen. 6.1.2 Galvanometer Spezielle Bauformen des Drehspulinstrumentes, die darauf abzielen, eine besonders hohe Stromempﬁndlichkeit zu erreichen, werden als Galvanometer bezeichnet. Da sie im allgemeinen zum Feststellen der Stromlosigkeit in Meßbr¨ ucken oder Kompensatoren eingesetzt werden, ben¨ otigen Galvanometer keine in Strom- bzw. Spannungswerten kalibrierte Skala. Wenn der mechanische Zeiger durch einen Lichtzeiger ersetzt wird, f¨ uhrt dies zu besonders hoher Empﬁndlichkeit. Dieser Lichtzeiger besteht aus einem am Spannband befestigten Spiegel, dessen Winkelstellung mit Hilfe eines auf ihn auftreﬀenden und aus seiner Ruhelage ausgelenkten Lichtstrahles detektiert wird (Abb. 6.6). Typische Werte f¨ ur die Stromempﬁndlichkeit von solchen DrehspulSpiegelgalvanometern liegen zwischen Si = 10 mm/pA und Si = 105 mm/pA f¨ ur 1 m Lichtzeigerl¨ange. Die hohe Stromempﬁndlichkeit Si wird durch Verwenden einer Feder mit kleiner Drehfederkonstante D erreicht (Gl. (6.4)). Damit andererseits die Eigenfrequenz ω0 nicht zu klein und damit die Ein-

Abb. 6.6. Spiegelgalvanometer

schwingdauer nicht zu groß werden, muß auch das Tr¨ agheitsmoment Θ gem¨ aß Gl. (6.6) gering gehalten werden, was durch eine Spule mit geringem Rahmendurchmesser erreicht wird. Das dynamische Verhalten von Galvanometern wird durch die d¨ ampfende Wirkung des im Meßkreis induzierten Stromes gesteuert. F¨ ur aperiodische D¨ampfung (˜ η = 1) fordern Gln. (6.7) und (6.22) einen Schließungswiderstand RKaper , der sich wie folgt ergibt RKaper = √

2 (N rlB)2 . ΘD

(6.24)

118

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Durch eine geeignete Wahl des Abgleichwiderstandes RT kann nach Gl. (6.23) das Galvanometer so eingestellt werden, daß sein Zeiger entweder schwingend (RK > RKaper ) oder kriechend (RK < RKaper ) seine Endstellung erreicht. Die Einstellung der D¨ampfung von Galvanometern l¨ aßt sich gem¨ aß Gl. (6.22) bei entsprechenden Bauformen auch durch Ver¨andern der magnetischen Induktion in Form eines ver¨anderlichen magnetischen Nebenschlusses erreichen. Es ist B allerdings zu beachten, daß durch diese Maßnahmen auch die Empﬁndlichkeit des Galvanometers ver¨andert wird. Kriechgalvanometer Mit Hilfe eines kriechend ged¨ampften Galvanometers (RK RKaper ), einem sog. Kriechgalvanometer, bei dem außerdem das Richtmoment vernachl¨ assigbar klein ist (D → 0), kann ein Spannungsstoß = u dt (6.25) unmittelbar gemessen werden. Da wegen der kriechenden Einstellung (RK ist sehr klein) außerdem das Beschleunigungsmoment Θα ¨ vernachl¨ assigt werden darf, ist in diesem Fall nur das D¨ampfungsmoment relevant. Aus den Gln. (6.2) und (6.5) folgt f¨ ur D = 0 Θα ¨ + η α˙ = Mel (t) = 2N rlBi(t) .

(6.26)

Wegen der dominierenden Spulend¨ampfung ergibt sich mit Gl. (6.20) aus Θα ¨+

(2N rlB)2 2N rlBu(t) α˙ = RK RK

(6.27)

unter Vernachl¨ assigung des Beschleunigungsmoments die Eingangsspannung zu dα dα = cf (6.28) u(t) = 2N lrB dt dt bzw. t2 u(t) dt = cf [α(t2 ) − α(t1 )] t1

= cf [α2 − α1 ] .

(6.29)

Bei bekannter Flußmeterkonstante cf kann die Gr¨ oße des Spannungsstoßes unmittelbar aus der Diﬀerenz der Winkelstellungen (α2 − α1 ) des Zeigers zu den Zeiten t2 und t1 ermittelt werden. Eine solche Anordnung kann aufgrund des Zusammenhanges φ = u dt zur Messung des magnetischen Flusses φ bzw. der magnetischen Induktion unter Verwendung von Pr¨ ufspulen eingesetzt werden.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

119

Ballistisches Galvanometer Das ballistische Galvanometer dient dem Zweck, die von einem Stromstoß gelieferte Ladungsmenge zu messen. Dies wird dadurch erreicht, daß beim ballistischen Galvanometer ein im Vergleich zur Periodendauer der Meßwerkgrundschwingung zeitlich sehr kurzer Stromstoß einen Drehimpuls erzeugt. Mit Hilfe von Gl. (6.2) l¨aßt sich der Impuls M (t) dt, welcher der Drehspule durch den Stromstroß verliehen wird, wie folgt angeben

T

T

M (t) dt = 2N rlB 0

i(t) dt = 2N rlBQ0 .

(6.30)

0

uhrte Ladungsmenge. Die IntegrationsQ0 ist die mit dem Stromstoß zugef¨ zeit T in Gl. (6.30) wird so gew¨ahlt, daß der Strompuls bei t = T bereits wieder abgeklungen ist. Aus diesem Drehimpuls resultiert eine Schwingbewegung der Drehspule, die nach Gl. (6.5) beschrieben werden kann. Bei der L¨osung dieser Diﬀerentialgleichung gehen wir davon aus, daß der Drehimpuls der Drehspule eine Anfangswinkelgeschwindigkeit α(t ˙ = 0) verleiht, aber bereits zu Beginn der eigentlichen Schwingung die Anregung durch das Moment wieder abgeklungen ist. Damit kann man sich auf die L¨ M osung der homogenen Diﬀerentialgleichung beschr¨anken Θα ¨ + η α˙ + Dα = 0 .

(6.31)

Mit den geltenden Anfangsbedingungen α(0) = 0

(6.32)

und 1 T M (t)dt α(0) ˙ = ω(0) ≈ ω(T ) = Θ 0 Si DQ0 1 = Si ω02 Q0 = 2N rlBQ0 = Θ Θ

(6.33)

folgt als L¨ osung der Diﬀerentialgleichung f¨ ur den aperiodischen Grenzfall α(t) = ω(0)te−ω0 t ,

(6.34)

wobei ω0 die Kreisfrequenz der Grundschwingung der an der Drehfeder (Federkonstante D) aufgeh¨angten Drehspule mit Tr¨ agheitsmoment Θ ist D . (6.35) ω0 = Θ Es sei erw¨ ahnt, daß der Standardbetriebsfall f¨ ur das ballistische Galvanometer der aperiodische Grenzfall (˜ η = 1) (Gl. (6.7)) ist.

120

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Beim ballistischen Galvanometer interessiert von der Drehbewegung im wesentlichen nur der sog. ballistische Ausschlag αball , welcher der ersten Schwingungsamplitude entspricht. Dieses Schwingungsmaximum erh¨ alt man durch Nullsetzen der Funktion α(t) ˙ α(t) ˙ = ω(0)e−ω0 t (1 − ω0 t) = 0 .

(6.36)

Daraus folgt, daß sich der als ballistische Ausschlag bezeichnete Maximalausschlag αmax zu einem Zeitpunkt t = 1/ω0 einstellt. Der dazugeh¨ orige Winkel αball ergibt sich zu αball = αmax =

ω(0) Si ω0 Q0 . = eω0 e

(6.37)

Der ballistische Ausschlag ist somit proportional zur zugef¨ uhrten Ladungsmenge Q0 . Die Proportionalit¨atskonstante zwischen dem ballistischen Ausschlag αball und der Ladungsmenge Q0 wird als sog. ballistische Konstante cball bezeichnet e eT0 cball = = , (6.38) Si ω0 2πSi wobei cball folgendermaßen deﬁniert ist T Q0 =

i(t)dt = cball αball .

(6.39)

0

In Gl. (6.38) bezeichnen e die Eulersche Zahl (e = 2, 71828) und T0 die Periodendauer der unged¨ampften Meßwerkgrundschwingung. 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk Das elektrodynamische Meßwerk besitzt, ¨ahnlich dem Drehspulmeßwerk, eine bewegliche, von einem Meßstrom durchﬂossene Drehspule, die an einer Drehfeder aufgeh¨ angt ist. Der Unterschied zum Drehspulmeßwerk besteht darin, daß das zur Erzeugung der mechanischen Auslenkkraft notwendige Magnetfeld von einer zweiten, feststehenden Spule, der sog. Feldspule geliefert wird. Wenn diese Feldspule einen Eisenkern besitzt, spricht man von der sog. eisengeschlossenen Form des elektrodynamischen Meßwerkes (Abb. 6.7). Die feststehende Spule mit der Windungszahl N1 wird vom Strom I1 , die bewegliche mit Windungszahl N2 vom Strom I2 durchﬂossen. Mit dem auf die Feldspule angewendeten Durchﬂutungsgesetz [16] % · ds = N I H (6.40) folgt L + lFe · H Fe = N1 I1 , 2bL · H

(6.41)

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

121

Abb. 6.7. Elektrodynamisches Meßwerk (eisengeschlossen): a) Prinzipieller Aufbau, b) Schaltzeichen, c) Symbol f¨ ur die eisengeschlossene Form

wobei bL den radialen Abstand zwischen Weicheisenzylinder und Polschuh, Fe die magnetische ange des magnetischen Feldes im Eisen, H lFe die Wegl¨ arke im Luftspalt bezeichFeldst¨ arke im Eisen und HL die magnetische Feldst¨ = µH ergibt sich unter der Voraussetzung einer sehr großen Pernen. Mit B meabilit¨ at des Eisenkerns (µFe µ0 ) die im Luftspalt erzeugte magnetische L Induktion B µ0 N1 BL = I1 . (6.42) 2bL el auf die vom Strom I2 durchﬂossene Drehspule mit der Das Drehmoment M agt mit Gl. (6.2) Spulenquerschnittsﬂ¨ache 2rl und der Windungszahl N2 betr¨ (ea : Einheitsvektor in Richtung der Drehachse) el = 2N2r × F = 2N2r × I2 (l × B L) M = 2N2 rI2 lBLea =

µ0 rlN1 N2 I1 I2ea . bL

(6.43)

Analog zum Drehspulmeßwerk resultiert daraus f¨ ur das mit einer R¨ uckstellfeder der Federkonstanten D ausgestattete elektrodynamische Meßwerk ein Zeigerausschlag um den Winkel α α=

µ0 rlN1 N2 I1 I2 = kI1 I2 . bL D

(6.44)

Das elektrodynamische Meßwerk ist also ein multiplizierendes Instrument, welches das Produkt zweier Str¨ome anzeigt. Wenn man das elektrodynamische Meßwerk mit sinusf¨ormigen Str¨omen i1 (t) und i2 (t) (Kap. 6.3) derselben Frequenz speist

122

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

i1 (t) = Iˆ1 sin ωt i2 (t) = Iˆ2 sin(ωt + ϕ) ,

(6.45) (6.46)

dann ist die Anzeige zu dem Produkt der Eﬀektivwerte und dem Cosinus des Phasenwinkels ϕ zwischen den Str¨omen proportional α = ki1 (t)i2 (t) = k =k

1 T

T

1 T

T

i1 (t)i2 (t) dt 0

Iˆ1 Iˆ2 sin ωt sin(ωt + ϕ) dt

0 T

Iˆ1 Iˆ2 k Iˆ1 Iˆ2 [cos ϕ − cos(2ωt + ϕ)] dt = k cos ϕ 2T 0 2 = kI1eﬀ I2eﬀ cos ϕ . =

(6.47)

Bei der Auswertung von Gl. (6.47) wurde angenommen, daß die Tr¨ agheit des Instrumentes so groß ist, daß es in bezug auf die Wechselgr¨ oßen eine zeitliche T Mittelung vornimmt, d. h. der Term 0 cos(2ωt + ϕ) leistet keinen Beitrag zum Zeigerausschlag α. Das Haupteinsatzgebiet von elektrodynamischen Meßwerken liegt demzufolge auf dem Gebiet der Leistungsmessung. Man unterscheidet beim elektrodynamischen Meßwerk zwei Bauformen: Das eisengeschlossene elektrodynamische Meßwerk besitzt einen hochpermeablen Eisenkern, der oft aus geschichteten und isolierten Blechen aufgebaut ist, um die Wirbelstromverluste gering zu halten. Dabei wird auch auf geringe Hystereseverluste geachtet. Die eisengeschlossene Form erm¨oglicht geometrisch kleine Bauausf¨ uhrungen, bei L innerhalb des Luftspaltes stets in radialer der die magnetische Induktion B ¨ Richtung verl¨ auft, so daß der Ubergang vom Vektorprodukt zum Skalarprodukt in Gl. (6.43) analog zum Drehspulmeßwerk erlaubt ist. Außerdem bleibt der Fremdfeldeinﬂuß bei dieser Bauform gering. Beim eisenlosen elektrodynamischen Meßwerk nach Abb. 6.8 l¨ aßt sich durch geeignete Bauformen der Spulen erreichen, daß die am Spulenrahmen in tangentialer Richtung angreifende und f¨ ur die Drehbewegung maßgebende Kraftkomponente (in Abb. 6.8 eingezeichnet) in einem Drehwinkelbereich von α = ±45◦ bei konstanten Str¨omen I1 und I2 praktisch einen konstanten Betrag hat. Denn durch spezielle Spulenformen wird gerade ein solches Magnetfeld aufgebaut, daß die sich gem¨aß Gl. (6.43) ergebende Kraft eine auf den Spulenrahmen bezogene konstante und nicht von der Winkelstellung abh¨ angige Tangentialkomponente aufweist. Damit ist das mechanische Antriebsmoment und in Folge auch der Ausschlag α wiederum proportional zum Produkt I1 I2 aus Feld- und Drehspulenstrom. Nachdem die magnetische Induktion der Feldspulen typischerweise in der Gr¨ oßenordnung B = 0, 01 T liegt, ist auf Meßfehler durch Fremdfelder zu achten, z. B. auch auf die Ausrichtung im Erdmagnetfeld (B = 10−4 T). Bei eisenlosen Meßwerken entfallen die Fehlereinﬂ¨ usse infolge von Wirbelstrom-

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

123

und Hystereseverlusten, so daß sie als Pr¨azisionsleistungsmesser eingesetzt werden k¨ onnen.

Abb. 6.8. Elektrodynamisches Meßwerk (eisenlos): a) Prinzip, b) Symbol

6.1.4 Dreheisenmeßwerk Als physikalischen Eﬀekt nutzt das Dreheisenmeßwerk die Kraft zwischen zwei Magnetpolen, wobei das ben¨otigte Magnetfeld von dem zu messenden Strom erzeugt wird. Man verwendet eine feststehende Spule, in deren Feld zwei Eisenpl¨ attchen gleichsinnig magnetisiert werden und sich infolgedessen abstoßen (Abb. 6.8). Die mechanische Kraft (Kraft zwischen zwei Magnetpolen) ist proportional dem Quadrat der von der Spule erzeugten magnetischen Induktion, welche wiederum proportional dem durch die Spule ﬂießenden Strom I ist. Die in der Spule mit der Selbstinduktivit¨at L des Dreheisenmeßwerks aufagt grund des Meßstromes I gespeicherte magnetische Energie Emagn betr¨ Emagn =

1 2 LI . 2

(6.48)

Wenn das Meßger¨at als verlustfrei angenommen wird, entspricht die Reduzierung der magnetischen Feldenergie bei einer Zeigerdrehung exakt der Zunahme der in der Drehfeder gespeicherten potentiellen Energie (dEmech = el aus der Anderung ¨ −dEmagn ). Damit l¨aßt sich das erzeugte Drehmoment M der magnetischen Feldenergie errechnen el = dEmagn ea = 1 dL I 2ea . M dα 2 dα

(6.49)

Dabei bezeichnet ea den Einheitsvektor in Richtung der Drehachse. Da der Term dL/dα von der Winkelstellung abh¨angt, ergibt sich ein bauformabh¨ angiger, im allgemeinen nichtlinearer Verlauf des Drehmoments als Funktion des Winkels α. Mit dem durch eine Drehfeder (Drehfederkonstante D) erzeugten

124

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.9. Dreheisenmeßwerk: a) Prinzip, b) Aufbau, c) Symbol

mech Gegendrehmoment M mech = −Dαea M

(6.50)

l¨aßt sich der Winkel α des Zeigerausschlages f¨ ur den Gleichgewichtszustand mech = 0) angeben el + M (M α=

1 dL 2 I = k(α)I 2 . 2D dα

(6.51)

Durch entsprechende geometrische Formgebung der Pl¨ attchen, d. h. eine Beeinﬂussung des Terms dL/dα bzw. k(α), kann eine ann¨ ahernd lineare Abh¨ angigkeit des Ausschlags α vom Strom I erreicht werden. Bei Wechselstrom schwankt das Drehmoment infolge der quadratischen Abh¨ angigkeit vom Strom mit der doppelten Frequenz. Infolge der mechanischen Tr¨ agheit des Meßwerkes wird damit der quadratische Mittelwert, also der Eﬀektivwert, angezeigt. Dies kann analog zum elektrodynamischen Meßwerk abgeleitet werden (Gl. (6.47)). Der Energieverbrauch des Dreheiseninstrumentes und damit auch seine R¨ uckwirkung auf den Meßvorgang sind gr¨oßer als beim Drehspulinstrument. Es wird als robustes und preiswertes Betriebsinstrument vorwiegend in der elektrischen Energietechnik eingesetzt. Bei h¨oheren Frequenzen wird der Fehler vor allem von Wirbelstromverlusten in den Blechteilen des Meßwerkes bestimmt. 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) Beim Drehspulquotientenmeßwerk, das auch als Kreuzspulmeßwerk bezeichnet wird, sind zwei Spulen mit rechteckigem Spulenquerschnitt und demselben ome: I1 bzw. Rahmendurchmesser (Windungszahlen: N1 bzw. N2 ; Spulenstr¨

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

125

I2 ) starr miteinander verbunden, so daß ihre Querschnittsebenen einen Winkel von β = 90◦ bilden (Abb. 6.10) . Das Magnetfeld sei homogen zwischen den

Abb. 6.10. Drehspulquotientenmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Symbol

Polen N und S, was bedeutet, daß es im Gegensatz zum Drehspulmeßwerk radial inhomogen ist. Die von den Meßstr¨omen I1 und I2 hervorgerufenen mechanischen Kr¨afte F1 und F2 ergeben sich zu F1 = N1 I1 (l × B) F1 = N1 I1 lB F2 = N2 I2 (l × B) F2 = N2 I2 lB .

(6.52) (6.53) (6.54) (6.55)

Wenn ea den in Richtung der Drehachse der Spule zeigenden Einheitsvektor = 2r × F die und r den Radius der Spulenrahmen bezeichnen, folgen mit M Einzeldrehmomente M1 und M2 1 = 2rF1 sin α ea M 2 = −2rF2 cos α ea . M

(6.56) (6.57)

Nachdem Kreuzspulinstrumente keine Drehfedern zur Erzeugung der mechanischen R¨ uckstellkraft enthalten, lautet die Gleichgewichtsbedingung 1 + M 2 = 0 . M

(6.58)

Daraus folgt der Zusammenhang zwischen den Str¨ omen I1 und I2 sowie dem Winkel α des Zeigerausschlages tan α = bzw.

N2 I2 F2 = F1 N1 I1

(6.59)

126

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

α = arctan(k

I2 ). I1

(6.60)

Es ist anzumerken, daß Drehspulquotientenmeßwerke nach Gl. (6.60) unmittelbar zur Widerstandsmessung eingesetzt werden k¨ onnen, da ihr Ausschlag vom Quotient zweier Str¨ome bestimmt wird (Kap. 9.1.4). F¨ ur Ausf¨ uhrungsformen, bei denen die Winkelstellung zwischen den beiden Spulen nicht 90◦ sondern β betr¨agt, gilt !I N " 2 2 I1 N1 + cos β α = arctan . (6.61) sin β 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk Das Drehmagnetmeßwerk besteht aus einer feststehenden, vom Meßstrom I durchﬂossenen Feldspule der L¨ange l und Windungszahl N (Abb. 6.11). Bei Vernachl¨ assigung der Streuverluste erzeugt der Strom in ihrem Inneren ein I , die sich aus dem DurchﬂutungsMagnetfeld der magnetischen Feldst¨arke H gesetz berechnet % s = NI Hd (6.62) HI =

N I. l

(6.63)

In diesem Magnetfeld dreht sich ein Permanentmagnet. Die notwendige R¨ uck R eines zus¨atzlichen permanenten Richtmastellkraft wird durch das Feld H I ∼ I) und des Richtgneten gebildet. Die magnetischen Felder der Spule (H R = const.) u magneten (H ¨berlagern sich vektoriell (Abb. 6.12) und der bewegliche Magnet zeigt in Richtung des resultierenden Feldes, dessen Richtung

Abb. 6.11. Drehmagnetmeßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

127

¨ Abb. 6.12. Vektorielle Uberlagerung der magnetischen Felder im Drehmagnetmeßwerk

(und St¨ arke) vom Strom I abh¨angt. Der Proportionalit¨ atsfaktor k ist wiederum eine Funktion des Ausschlagwinkels α, so daß die Skala nicht-linear geteilt ist. F¨ ur obige Anordnung gilt nach Abb. 6.12 tan α =

N HI = I. HR lHR

(6.64)

Mit der Stromrichtung ¨andert sich also auch das Vorzeichen des Drehwinkels, der infolge der mechanischen Tr¨agheit des Meßwerkes letztlich ein Maß f¨ ur den zeitlichen Mittelwert (Gleichstromwert) des Spulenstromes ist. Die Vorz¨ uge des Drehmagnetmeßwerkes liegen in seiner einfachen Konstruktion; so ist beispielsweise keine Stromzuf¨ uhrung zu den beweglichen Teilen notwendig, wie dies beim Drehspulmeßwerk der Fall ist. Nachteilig wirkt sich jedoch der hohe Eigenverbrauch und seine im Vergleich zum Drehspulmeßwerk geringere Empﬁndlichkeit aus. 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk Die nach dem elektrostatischen Prinzip arbeitenden Meßwerke beruhen auf der Coulombschen Anziehungskraft zwischen elektrischen Ladungen. Die elektrostatischen Meßwerke dienen der Messung elektrischer Spannungen bzw. Ladungen. Im allgemeinen wird eine feststehende Elektrode mit dem spannungsm¨ aßig hohen Meßpotential verbunden und eine mechanisch bewegliche, meist drehbar gelagerte Elektrode auf Massepotential gelegt (Abb. 6.13). Das

Abb. 6.13. Elektrostatisches Meßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

128

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

el l¨ aus der Coulombschen Anziehungskraft resultierende Drehmoment M aßt sich auf der Basis des Energieerhaltungssatzes berechnen, demzufolge sich die Zunahme der mechanischen Energie Emech aus der Abnahme der elektrischen Energie Eel ergibt (6.65) dEmech = −dEel . Die elektrische Energie Eel entspricht der Energie, die im Kondensator gespeichert ist, w¨ ahrend sich die mechanische aus dem Produkt von Drehmoment el und Drehwinkel α errechnet. Mit Gl. (6.65) folgt M Mel dα =

1 2 u dC , 2

(6.66)

wobei u die am Meßwerk anliegende Spannung und C die Kapazit¨ at zwischen den Elektroden bezeichnen. Infolge des mit Federkraft erzeugten R¨ uckstellmomentes (6.67) Mmech = Dα ergibt sich der Ausschlagwinkel α aus der Gleichgewichtsbedingung (Mmech + Mel = 0) 1 dC 2 u = k(α)u2 . α= (6.68) 2D dα Bei angelegter Wechselspannung zeigt das Ger¨ at den quadrierten Eﬀektivwert der Spannung an, falls das Meßwerk als mechanisch tr¨ age gegen¨ uber der Wechselspannungsfrequenz bezeichnet werden kann. Diese Tatsache kann wiederum analog zu Gl. (6.47) abgeleitet werden. Durch spezielle Plattengeometrien kann der Zusammenhang zwischen dem Ausschlagwinkel α und der angelegten Spannung u linearisiert werden. Absolute elektrostatische Hochspannungsmesser beruhen auf der Messung der Anziehungskraft zwischen parallelen Kondensatorplatten. Dabei werden Meßgenauigkeiten im Bereich von 0,01 % erreicht [97].

Abb. 6.14. Aufbau eines elektrostatischen Meßwerkes, das auf der Inﬂuenz von Ladungen basiert.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

129

Der ohmsche Innenwiderstand elektrostatischer Meßwerke liegt in der Gr¨ oßenordnung 1012 bis 1014 Ω. Die Hochfrequenztauglichkeit wird allerdings durch den mit der Frequenz zunehmenden Blindstrom sowie den ebenfalls parasit¨ aren Einﬂuß der Zuleitungsinduktivit¨aten begrenzt. Eine besondere Bauform eines elektrostatischen Hochspannungsmeßwerkes wird in Abb. 6.14 gezeigt. Es beruht auf der Inﬂuenz von Ladung auf der beweglichen Rotorelektrode, die u ampfung des Meßwerkes wird ¨ber die Drehfeder geerdet ist. Die D¨ bei dieser Bauform durch Luftkammerd¨ampfung erzielt, also eine durch die Bewegung der Rotorplatte hervorgerufene Str¨ omungsd¨ ampfung. 6.1.8 Schaltzeichen fu ate ¨ r Meßger¨ In Tabelle 6.1 sind die f¨ ur den Bereich der elektromechanischen Meßger¨ ate wichtigsten Schaltzeichen und Symbole zusammengefaßt. Tabelle 6.1. Symbole f¨ ur Meßger¨ ate nach VDE 0410 und DIN 43802

130

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung In diesem Abschnitt wird die direkte Messung von Gleichstrom und Gleichspannung mit Hilfe von Strom- und Spannungs-Meßwerken beschrieben. 6.2.1 Messung von Gleichstro ¨men Die Messung des Gleichstromes in einem Zweig eines beliebigen, aus ohmschen Widerst¨ anden, Gleichspannungs- und Gleichstromquellen zusammengesetzten linearen Netzwerkes kann nach dem in Abb. 6.15 gezeigten Prinzip der Ersatzspannungsquelle ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit auf das in Abb. 6.16 dargestellte Problem reduziert werden. Wenn der Meßzweig aus dem Wi-

¨ Abb. 6.15. Aquivalenz von einem Tor eines linearen Netzwerkes und einer Ersatzspannungsquelle bzw. einer Ersatzstromquelle

derstand RL besteht und das restliche Netzwerk durch die Spannungsquelle aßt sich (mit Leerlaufspannung UQ und Innenwiderstand RQ ) ersetzt wird, l¨ der zu messende Strom IL mit einem idealen, d. h. widerstandslosen (RM = 0) Strommesser exakt bestimmen IL =

UQ . RQ + RL

(6.69)

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

131

Bei einem realen Meßger¨at ﬂießt infolge des endlichen Innenwiderstandes RM des Meßger¨ ates nicht mehr der urspr¨ unglich zu messende Strom IL (wahrer Wert), sondern der geringere Strom IL IL =

UQ . RQ + RL + RM

(6.70)

Nur f¨ ur RM (RQ + RL ) wird n¨aherungsweise der wahre Wert gemessen

Abb. 6.16. Strommessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

(IL ≈ IL ), ansonsten f¨ uhrt der endliche Innenwiderstand des Meßger¨ ates bei der Strommessung zu einem Belastungsfehler. Dies ist ein systematischer Meßfehler, der sich wie folgt ermitteln l¨aßt. F¨ ur den vereinfachten Fall RL = 0 achlich gemessene (Kurzschluß) berechnen sich der wahre Wert IL und der tats¨ Wert IL zu IL =

UQ RQ

(6.71)

IL =

UQ . RQ + RM

(6.72)

Der relative Meßfehler fI betr¨agt in diesem Fall also fI =

IL − IL −1 = . RQ IL 1 + RM

(6.73)

Bei unbekanntem Innenwiderstand der Quelle RQ , muß dieser vor einer Fehlerermittlung bzw. -korrektur nach Gl. (6.73) ebenfalls gemessen werden. Dies kann im (theoretisch vereinfachten) Fall durch Messung von Leerlaufspannung UQ und Kurzschlußstrom IK der Ersatzspannungsquelle geschehen. Der Innenwiderstand RQ ergibt sich bei Messungen von UQ und IK mit idealen Meßwerken zu UQ RQ = . (6.74) IK F¨ ur den allgemeinen Fall RL = 0 ist RQ durch (RQ + RL ) zu ersetzen. Das negative Vorzeichen bedeutet, daß infolge des systematischen Fehlers bei der

132

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Strommessung stets ein zu niedriger Wert gemessen wird. Man kann aus Gl. (6.73) bzw. der entsprechenden graphischen Darstellung (Abb. 6.17) als Regel ableiten, daß bei der Strommessung der Innenwiderstand des Meßger¨ ates m¨ oglichst klein sein sollte. Bei bekannten Innenwiderst¨ anden RMU bzw. RMI von Spannungs- bzw. Strommeßwerk kann RQ aus der mit systematischen (UQ ist der Meßwert, den ein an die KlemFehlern behafteten Spannung UQ men der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Spannungsmeßwerk mit In (IK ist der Meßwert, den nenwiderstand RMU anzeigt) und dem Strom IK ein an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Strommeßwerk mit Innenwiderstand RMI anzeigt) ermittelt werden. Die entsprechende Fehlerkorrektur liefert den exakten Wert von RQ

U RMU RMI − I Q K RQ = . (6.75) UQ − R MU I K

Abb. 6.17. Betrag des relativen Fehlers fI bei der Strommessung als Funktion von RQ /RM . RM : Meßger¨ ateinnenwiderstand, RQ : Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle

Meßbereichserweiterung fu ¨ r die Strommessung Zur Messung von Str¨omen, welche den Meßbereich des unbeschalteten Meßwerkes u ¨bersteigen, sind entsprechende Maßnahmen zur Meßbereichserweiterung zu treﬀen. Drehspulmeßwerke beispielsweise haben, je nach Auslegung, Endbereichswerte von nur IMend = 10 µA...100 mA bei einem Spannungsabfall ate hingegen weisen mehrere von UMend = 2 mV...200 mV. Praktische Meßger¨ umschaltbare Meßbereiche auf, so daß auch wesentlich h¨ ohere Str¨ ome mit ein-

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

133

Abb. 6.18. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Strommessung

und demselben Instrument gemessen werden k¨ onnen. Um einen Strommesser f¨ ur einen h¨ oheren Meßbereich vorzubereiten, wird dem Meßwerk ein Widerstand RP , ein sogenannter Shunt, parallel geschaltet (Abb. 6.18). Wegen der Parallelschaltung der Widerst¨ande RM und RP gilt RM IM = RP IP = RP (I − IM ) .

(6.76)

ur einen geforderten MeßbereichsDamit kann die Dimensionierung von RP f¨ endwert Iend = vi IMend nach folgender Formel erfolgen RP = RM

IMend RM . = Iend − IMend vi − 1

(6.77)

In Gl. (6.77) bezeichnet IMend den Strom durch das Meßwerk bei Vollausschlag und vi den Faktor, um den der Strommeßbereich erweitert wird. Abbildung 6.19 zeigt die Schaltung eines Vielfachmeßger¨ ates f¨ ur Strom mit den Meßbereichsendwerten 1 mA, 10 mA und 0,1 A. Durch die gezeigte Schaltung (Abb. 6.19) wird vermieden, daß der Kontaktwiderstand des Schalters das Verh¨ altnis RM /RP beeinﬂußt.

Abb. 6.19. Vielfachmeßger¨ at zur Strommessung (IMend =0,1 mA; Iend = 1 mA bis 0,1 A)

6.2.2 Messung von Gleichspannungen Meßwerke, die der Strommessung dienen, k¨onnen prinzipiell auch zur Spannungsmessung eingesetzt werden, indem der bei Anlegen einer Spannung U

134

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

an das Meßwerk ﬂießende Strom mit dem Innenwiderstand RM multipliziert und als Spannung ausgegeben wird. Abbildung 6.20 zeigt die entsprechende Meßschaltung. F¨ ur eine nicht vorhandene Last (RL → ∞) kann folgende Maschengleichung angegeben werden IM RQ + IM RM − UQ = 0 .

(6.78)

IM RM = UM = UQ − IM RQ .

(6.79)

Daraus folgt Der relative Meßfehler fU (Belastungsfehler) betr¨ agt somit fU =

UM − UQ −1 . = M UQ 1+ R RQ

(6.80)

F¨ ur den Fall eines endlichen Lastwiderstandes RL verringert sich der relative Meßfehler fU , da anstatt RQ in Gl. (6.80) jetzt der geringere Wert der Parallelschaltung von RQ und RL einzusetzen ist fU =

1+

−1 +

RM RQ

RM RL

=

−1 1 + RM

RQ +RL RQ RL

.

(6.81)

Abbildung 6.21 zeigt den Betrag des relativen Meßfehlers bei der Spannungsmessung. Aus den Gln. (6.80) und (6.81) und der entsprechenden graphischen Darstellung kann die Regel abgeleitet werden, daß bei der Spannungsmessung der Innenwiderstand des Meßger¨ates m¨oglichst groß sein sollte.

Abb. 6.20. Spannungsmessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

Meßbereichserweiterung fu ¨ r die Spannungsmessung Durch Vorschalten eines Pr¨azisionswiderstandes RS kann eine Erweiterung des Spannungsmeßbereiches erfolgen (Abb. 6.22). F¨ ur einen geforderten Meßur die Dimensionierung von RS bereichsendwert von Uend = vu UMend folgt f¨ RS =

vu − 1 RM . vi

(6.82)

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

135

Abb. 6.21. Betrag des relativen Fehlers fU bei der Spannungsmessung als Funktion von RM /RQ . RM Meßger¨ ateinnenwiderstand; RQ Innenwiderstand der Quelle, deren Leerlaufspannung gemessen wird.

F¨ ur den Fall, daß keine Strommeßbereichserweiterung (vi = 1 bzw. RP → ∞) vorgenommen wird, gilt RS = (vu − 1)RM =

Uend − RM . IMend

(6.83)

Durch Vorschalten von Widerst¨anden kann das in (Abb. 6.19) gezeigte Strommeßger¨ at zu einem Universal-Vielfachmeßger¨ at aufger¨ ustet werden (Abb. 6.23). Es ist anzumerken, daß der Innenwiderstand von Spannungsmeßger¨ aten

Abb. 6.22. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Spannungsmessung

meistens auf den Meßbereichsendwert bezogen wird. Die Angabe 100 kΩ/V beispielsweise bedeutet, daß im Meßbereich mit dem Endwert 10 V der Innenwiderstand des Ger¨ates 1 MΩ betr¨agt. 6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung Bei der gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung ergeben sich zus¨ atzliche Fehler. Es gibt zwei M¨oglichkeiten der Schaltungsanordnung. Bei der

136

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.23. Universal-Vielfachmeßger¨ at f¨ ur Spannung und Strom

Variante nach Abb. 6.24a wird die Generatorspannung UM sowie der Laststrom IL pseudokorrekt angezeigt, bei der Variante nach Abb. 6.24b hingegen wird die Lastspannung UL sowie der Generatorstrom IQ pseudorichtig gemessen. Der Begriﬀ pseudokorrekt“ bzw. pseudorichtig“ soll aussagen, ” ” daß die entsprechenden Meßwerke zwar die aktuelle Meßgr¨ oße richtig messen, daß jedoch durch das Vorhandensein eines realen (nicht-idealen) Meßwerkes die urspr¨ ungliche Meßgr¨oße infolge des oben besprochenen Belastungsfehlers verf¨ alscht wird.

Abb. 6.24. Gleichzeitige Messung von Strom und Spannung: a) Messung pseudokorrekt f¨ ur Generatorspannung UM und Laststrom IL , b) Messung pseudokorrekt f¨ ur Lastspannung UL und Generatorstrom IQ

Bei den nicht pseudokorrekt“ gemessenen Gr¨ oßen hingegen wird noch nicht ” einmal die aktuelle Gr¨oße richtig angezeigt. So wird beispielsweise bei der Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a die aktuelle Lastspannung UL vom Spannungsmesser nicht erfaßt. F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a ergibt sich folgender relativer Meßfehler fIL bei der Bestimmung des Laststromes IL fIL = −

RL RQ (RL + 2RMI ) + RMI (RL RMU + RMI RMU + RMI RQ ) . (6.84) (RL + RMI )[RMU (RL + RMI ) + RQ (RL + RMI ) + RQ RMU ]

F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24b hingegen errechnet sich der relative Fehler bei der Strommessung zu fIL = −

RQ RL + RMI RL + RMI RM U . RL RMU + (RQ + RMI )(RL + RMU )

(6.85)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

137

Bei den relativen Meßfehlern nach Gln. (6.84) und (6.85) ist als wahrer Wert stets derjenige Laststrom angenommen, welcher bei nicht vorhandenen bzw. idealen Meßger¨ aten ﬂießen w¨ urde.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.1 Begriﬀsdeﬁnitionen Es sei vorausgeschickt, daß die folgenden Deﬁnitionen gleichermaßen f¨ ur eine elektrische Spannung u(t) und f¨ ur einen elektrischen Strom i(t) gelten. Eine Wechselspannung u(t) mit sinusf¨ormigem Zeitverlauf wird durch Gl. (6.86) ' den Scheitelwert der Wechselspannung, ω = 2πf ihre beschrieben, wobei U Kreisfrequenz (Einheit (s−1 )), f die Frequenz der Wechselspannung (Einheit (Hz)) und ϕ den Phasenwinkel (Einheit (rad)) bezeichnen ' sin(ωt + ϕ) . u(t) = U

(6.86)

In der Meßtechnik sind folgende Gr¨oßen von Bedeutung: • Arithmetischer Mittelwert u= • Gleichrichtwert |u| =

1 T 1 T

T

u(t) dt

(6.87)

|u(t)| dt

(6.88)

0

T

0

• Eﬀektivwert (quadratischer Mittelwert) 1 T 2 Ueﬀ = u (t) dt . T 0

(6.89)

Eine Gleichspannung mit U = Ueﬀ setzt in einem Verbraucher (ohmscher Widerstand) die gleiche Leistung um wie die Wechselspannung mit dem Effektivwert Ueﬀ . In den Gln. (6.87-6.89) versteht man unter T = 1/f die Periodendauer der Wechselspannung (Einheit (s)). Es sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß obige Deﬁnitionsgleichungen auch auf nicht-sinusf¨ ormige Zeitverl¨ aufe angewendet werden d¨ urfen. Sie gelten beispielsweise auch f¨ ur Wechselspannungen mit u ¨berlagertem Gleichanteil. Weiterhin sind deﬁniert: • Scheitelfaktor Scheitelfaktor (crest factor) = C =

' U Scheitelwert = Eﬀektivwert Ueﬀ

(6.90)

138

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

• Formfaktor Formfaktor = F =

Ueﬀ Eﬀektivwert = . Gleichrichtwert |u|

(6.91)

√ F¨ ur rein sinusf¨ ormige √ Gr¨oßen betr¨agt der Scheitelfaktor C = 2 und der Formfaktor F = π/(2 2) = 1, 11. Setzt sich eine Spannung uges (t) aus ei¨ ner Uberlagerung von n Teilspannungen ui (t) (Gleichspannungen oder Wechselspannungen mit sinusf¨ormigem Zeitverlauf und Frequenzen, die in einem ganzzahligen Verh¨altnis stehen) zusammen uges (t) =

n

ui (t) ,

(6.92)

i=1

¨ so ergibt sich deren Eﬀektivwert Ueﬀges aus der quadratischen Uberlagerung der Eﬀektivwerte der Teilspannungen n 2 . Uieﬀ (6.93) Ueﬀges = i=1

Dies gilt insbesondere f¨ ur eine aus einem Gleich- (u ) und einem (reinen) oße der Form Wechselanteil (u∼ ) zusammengesetzte Mischgr¨ u(t) = u + u∼ (t) .

(6.94)

Der Eﬀektivwert des Wechselanteils U∼eﬀ ergibt sich gem¨ aß Deﬁnitionsgleichung (6.89) zu 1 T 2 u (t) dt . (6.95) U∼eﬀ = T 0 ∼ aßt sich schließlich anhand von Der Eﬀektivwert der Mischspannung Ugeseﬀ l¨ Gl. (6.93) berechnen 2 . (6.96) Ueﬀges = u 2 + U∼eﬀ In diesem Zusammenhang sollen auch die folgenden Gr¨ oßen deﬁniert werden: • Schwingungsgehalt s s= • Welligkeit w

U∼eﬀ Ueﬀges

(6.97)

U∼eﬀ . (6.98) u Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß alle obigen Deﬁnitionen in analoger Weise f¨ ur einen Wechselstrom i(t) gelten. w=

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

139

6.3.2 Gleichrichtung Zur Messung von Wechselgr¨oßen mit Hilfe der in der elektrischen Meßtechnik vorzugsweise eingesetzten Meßwerke ben¨otigt man Schaltungen zur Gleichrichtung des Meßstromes bzw. der Meßspannung. In diesen Schaltungen verwendet man heute im allgemeinen Halbleiterdioden, die der Einweg- bzw. der Zweiweg-Gleichrichtung der elektrischen Wechselgr¨ oßen dienen. Einweg-Gleichrichtung Wenn bei der Messung einer Wechselspannung eine Halbwelle unterdr¨ uckt werden soll, so ist die Gleichrichtung mit einer einfachen Diode zu bewerkstelligen. Die Anordnung nach Abb. 6.25 mißt den halben Gleichrichtwert der angelegten Spannung bzw. des Stromes. Genaugenommen ist noch das nicht-ideale Diodenverhalten in Form des Diodeninnenwiderstandes sowie der Schwellspannung von 0,7 V (bei Siliziumdioden) zu ber¨ ucksichtigen, die im Durchlaßbetrieb stets an der Diode abf¨allt. Aus dem nicht-idealen Diodenverhalten resultiert das in Abb. 6.26 gezeigte Ersatzschaltbild einer Halbleiterdi-

Abb. 6.25. Messung des halben Gleichrichtwertes einer Wechselspannung mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ ates

ode, das aus einer Serienschaltung von idealer Diode, Diodeninnenwiderstand und einer Spannungsquelle, welche die Schwellspannung repr¨ asentiert, besteht. Die parasit¨ are Parallelkapazit¨at (= Sperrschichtkapazit¨at) Cg wirkt sich bei h¨ oheren Frequenzen (typischerweise oberhalb 10 kHz) aus, indem sie die Diode f¨ ur hochfrequente Str¨ome u uckt und damit zum Teil ihre Gleichrichter¨berbr¨ wirkung aufhebt.

Abb. 6.26. Ersatzschaltbild einer Siliziumdiode mit idealisierter und realer Kennlinie

140

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Zweiweg-Gleichrichtung (Vollweg-Gleichrichtung) Die Graetz-Schaltung (Abb. 6.27) erm¨oglicht die vollst¨ andige Gleichrichtung beider Halbwellen, womit der vollst¨andige Gleichrichtwert mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ates gemessen wird. Bei dieser Schaltung sind stets zwei der vier Dioden in Durchlaßrichtung geschaltet, so daß die am Meßger¨ at anliegende Spannung uM im Vergleich zur Eingangsspannung u∼ um den doppelten Wert der Diodenschwellspannung reduziert wird (Abb. 6.27b). Bei Anliegen ahrend hingegen der positiven Halbwelle sind die Dioden D1 und D4 leitend, w¨ bei der negativen Halbwelle die Dioden D2 und D3 leiten.

Abb. 6.27. a) Graetz-Schaltung zur Erfassung beider Halbwellen bei der Gleichrichtung, b) Spannungsverlauf

6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) Der Scheitelwert US (Spitzenwert, Peak Value) ist der innerhalb eines deﬁnierten Zeitraumes betragsm¨aßig gr¨oßte Wert des Signals. Bei unsymmetrischem Kurvenverlauf gilt ˆ = max{U ˆ+ , U ˆ− } , (6.99) US = U ˆ+ und U ˆ− die im positiven bzw. negativen Amplitudenbereich liegenwobei U ˆ− ≥ 0). Zur Messung des positiven ˆ+ ≥ 0 und U den Spitzenwerte sind (U ˆ Spannungs-Scheitelwertes (U+ ) dient die Schaltung nach Abb. 6.28. Es wird hierbei der Ladekondensator auf den Spitzenwert der angelegten Spannung

Abb. 6.28. Schaltung zur Messung des Spannungs-Spitzenwertes (bei symmetrischem Spannungsverlauf)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

141

aufgeladen und vom Meßger¨at gemessen. Zur Messung des negativen Spitzenˆ− muß lediglich die Diode in der Meßschaltung (Abb. 6.28) umgewertes U polt werden. Die durch das Meßger¨at verursachten Ladungsverluste werden durch kurzzeitige Ladestr¨ome, die je Periode einmal auftreten, ausgeglichen (Abb. 6.29). Zur exakten Messung des Spitzenwertes werden daher vorwiegend Ger¨ ate mit elektronischem Eingangsverst¨ arker eingesetzt, welche sehr hohe Eingangsimpedanzen aufweisen.

Abb. 6.29. Spannungsverlauf bei der Spitzenwertgleichrichtung nach Abb. 6.28

Zur Messung des Spitzenwertes von Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf eignet sich die sog. Villard-Schaltung (Abb. 6.30), die auch als ein- stuﬁge Kaskadenschaltung bezeichnet wird. Die beiden Dioden laden den Kondensator C2 auf die Summe der Betr¨age von positivem und negativem Spitzenwert auf. Es handelt sich also um die Messung des Spitze-Spitze-Wertes (Peak to Peak Value) USS ˆ+ + U ˆ− . USS = U

(6.100)

Abb. 6.30. Villard-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS (Peak to Peak Value) bei Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf

142

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die Schaltung funktioniert so, daß w¨ahrend der negativen Halbwelle nur die Diode D1 leitet und den Kondensator C1 auf den negativen Spitzenwert auﬂ¨ adt ˆ− . (6.101) uC1 = U W¨ ahrend der positiven Halbwelle leitet D2 und l¨ adt die Kapazit¨ at C2 am Ausgang auf die Spannung ˆ+ = U ˆ− + U ˆ+ uA = uC1 + U

(6.102)

auf. In praktischen Schaltungen sind allerdings noch die Diodenschwellspannungen und die Entladung durch den Innenwiderstand des angeschlossenen Spannungsmeßwerkes zu ber¨ ucksichtigen. Die Villard-Schaltung kann also bei

Abb. 6.31. Delon-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS

gew¨ ohnlicher symmetrischer Eingangsspannung zur Spannungsverdopplung eingesetzt werden. Sie l¨aßt sich aber auch in Form einer mehrstuﬁgen Kaskadenschaltung aufbauen, so daß in jeder Stufe die Spannung verdoppelt wird. Allerdings treten dabei relativ hohe Innenwiderst¨ ande auf. Die in Abb. 6.31 gezeigte Delon-Schaltung eignet sich ebenfalls zur Messung des Spitze-SpitzeWertes USS . ˆ+ aufgeladen, W¨ ahrend der positiven Halbwelle wird C1 u ¨ber D1 auf U ˆ− w¨ ahrend in der negativen Halbwelle die Spannung am Kondensator C2 auf U ansteigt, so daß sich als Ausgangsspannung uA wiederum der nach Gl. (6.100) deﬁnierte Spitze-Spitze-Wert USS ergibt. Die Delon-Schaltung wird auch als Greinacher-Schaltung oder als doppelte Einweg-Gleichrichterschaltung bezeichnet. 6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes Prinzipiell l¨ aßt sich die Bestimmung des Gleichrichtwertes von Wechselgr¨ oßen mit Hilfe eines Doppelweggleichrichters durchf¨ uhren. Nachteilig wirkt sich allerdings die Nichtlinearit¨at der Dioden aus. Es besteht außerdem das Problem, daß die Diodenschwellspannung zweifach vorhanden ist. Aus diesen Gr¨ unden ist die Schaltungsvariante nach Abb. 6.33a g¨ unstiger, bei der in Reihe mit

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

143

dem Meßger¨ at jeweils eine Diode und ein Vorwiderstand RV liegen. Der Vorwiderstand dient der in Abb. 6.32 erl¨auterten Linearisierung der Kennlinie. Da jedoch ein Teil des Stromes am Meßwerk vorbeiﬂießt, werden f¨ ur Wechselgr¨ oßen sowohl die Empﬁndlichkeit des Meßger¨ ates als auch sein Innenwiderstand geringer. Dies belegt das Beispiel eines Standard-Meßger¨ ates, dessen ur Gleichstrom und RM = 10kΩ/V f¨ ur Innenwiderstand mit RM = 33kΩ/V f¨ Wechselstrom angegeben wird. Bei Verwendung eines Meßwandlers (Trans-

Abb. 6.32. Linearisierung einer Diodenkennlinie durch eine Serienschaltung mit einem hochohmigen Widerstand

formator mit Mittelanzapfung) (Abb. 6.33b) kann der Nachteil der Schaltungsvariante mit Vorwiderst¨anden (Abb. 6.33a) vermieden werden. Die bessere Linearit¨ at erreicht man bei dieser Schaltung durch Hochtransformieren der Spannung, wodurch die Kennlinienkr¨ ummung der Diode einen geringeren Einﬂuß hat. Dies geht allerdings wiederum auf Kosten des Innenwiderstandes, ¨ u: Ubersetdenn der Transformator setzt diesen im Verh¨altnis 1 : u ¨2 herab (¨ zungsverh¨ altnis des Transformators). Außerdem lassen sich Meßwandler nur zur Messung reiner Wechselspannungen (ohne Gleichanteil) einsetzen. 6.3.5 Messung des Eﬀektivwertes Bei Verwendung eines Drehspulmeßwerkes in Verbindung mit den oben gezeigten Vollweg-Gleichrichterschaltungen mißt man den Gleichrichtwert |u| einer ur einen bekannten Zeitverlauf kann dieSpannung (bzw. eines Stromes |i|). F¨ ser Gleichrichtwert in einen Eﬀektivwert umgerechnet werden. Bei entspre-

144

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

chender Kalibrierung zeigt das Ger¨at dann den im allgemeinen interessierenden Eﬀektivwert an. Meistens erfolgt diese Kalibrierung f¨ ur rein sinusf¨ ormige Zeitverl¨ aufe (Formfaktor F = 1,11). F¨ ur nicht sinusf¨ ormige Meßgr¨ oßen wird somit ein falscher Meßwert angezeigt. Das Dreheiseninstrument hingegen l¨aßt sich unmittelbar zur Eﬀektivwertmessung einsetzen. Es handelt sich hierbei um einen echten Eﬀektivwertmesser, da das Meßwerk die Operationen Quadrieren und Mitteln bis zu Frequenzen in der Gr¨ oßenordnung von 1 kHz ohne weitere Beschaltung durchf¨ uhrt. Bei Dreheiseninstrumenten ist allerdings zu beachten, daß ihr Innenwiderstand nicht rein ohmsch ist, sondern auch merkliche induktive Anteile enth¨ alt. Dies kann aber durch Zuschalten von Kapazit¨aten f¨ ur einen bestimmten Frequenzbereich wieder kompensiert werden. Auch das elektrodynamische Meßwerk kann zur Eﬀektivwertmessung eingesetzt werden. Zur Messung des Stromeﬀektivwertes werden beide Spulen des Meßwerkes in der Regel parallel- oder auch in Reihe geschaltet. Aufgrund der mechanischen Tr¨agheit bildet das Meßwerk den Mittelwert des Stromquadrates, d. h. der Ausschlagwinkel α seines Zeigers ergibt sich wie folgt α = ki2 .

(6.103)

Somit entsteht eine Anzeige, die dem quadratischen Mittelwert des Stromes und damit dem Quadrat des Eﬀektivwertes proportional ist. Dabei ist allerdings darauf zu achten, daß die Innenwiderst¨ande beider Pfade (feststehende Spule und Drehspule) klein gegen¨ uber dem Widerstand des Meßkreises sein sollten, um die systematischen Belastungsfehler so gering wie m¨ oglich zu halten. Verhalten von Standard-Zeigermeßwerken bei Wechselstrom In Tabelle 6.2 wird das Verhalten der Standard-Zeigermeßger¨ ate im Wechselstromfall zusammengefaßt.

Abb. 6.33. Schaltungen zur Messung des Gleichrichtwertes von Spannungen: a) Br¨ uckenschaltung mit Dioden und Widerst¨ anden, b) Transformatorbr¨ ucke

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

145

Tabelle 6.2. Das Verhalten von Standard-Zeigermeßger¨ aten bei der Messung von Wechselgr¨ oßen Typ

Anzeige

Verwendung

Drehspulmeßwerk

α ∼ i(t) = ¯i

Universelles Meßwerk (hohe Empﬁndlichkeit)

Drehspulmeßwerk mit Gleichrichter

ate α ∼ |i(t)| ∼ |i|· Formfaktor i. allg. werden die Ger¨ mit einem Formfaktor F = 1, 11 f¨ ur rein sinusf¨ ormige Wechselgr¨ oßen kalibriert

elektrodynamisches Meßwerk

α ∼ i1 (t)i2 (t)

Leistungsmessung (Eﬀektivwertmesser)

Dreheisenmeßwerk

2 α ∼ i(t)2 = Ieﬀ

robustes Betriebsmeßger¨ at (Eﬀektivwertmesser)

Drehspulquotienten- α = arctan const. meßwerk = Kreuzspulinstrument

i2 (t) i1 (t)

Drehmagnetmeßwerk α = arctan(const.i(t))

Widerstandsmessung

robustes Betriebsmeßger¨ at

6.3.6 Meßwandler Meßwandler haben die prim¨are Aufgabe, hohe Str¨ ome bzw. Spannungen auf einfach meßbare Werte zu transformieren. Weiterhin werden sie aus Sicherheitsgr¨ unden eingesetzt, wenn das Meßger¨ at galvanisch von den spannungsf¨ uhrenden Leitern getrennt werden soll, wie z. B. bei Messungen an ¨ Hochspannungsanlagen. Sie sind aber auch in der Lage, infolge ihrer Ubertragungseigenschaften bez¨ uglich hoher (Kurzschluß-) Str¨ ome Schutzfunktionen auszu¨ uben. ¨ Meßwandler sind von ihrem Aufbau her Ubertrager bzw. Transformatoren, die aus einer auf einen gemeinsamen Eisenkern gewickelten Prim¨ arspule mit Windungszahl N1 und einer Sekund¨arspule mit Windungszahl N2 bestehen (Abb. 6.34). Das entsprechende, aus diskreten Schaltelementen bestehende allgemeine Ersatzschaltbild eines Transformators wird in Abb. 6.35 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild stellen die Widerst¨ande R1 bzw. R2 die ohmschen Widerst¨ ande von Prim¨ar- bzw. Sekund¨arwicklung dar, w¨ ahrend R1E die Verluste asentieren die im Eisenkern beschreibt. Die Induktivit¨aten X1σ bzw. X2σ repr¨ arindukStreuverluste auf der Prim¨ar- bzw. Sekund¨arseite. X1h ist die Prim¨ tivit¨ at, die den Magnetisierungsstrom tr¨agt. F¨ ur einen idealen Transformator gilt R1 = R2 = 0 X1σ = X2σ = 0

(6.104) (6.105)

146

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.34. Transformator

X1h → ∞ R1E → ∞ .

(6.106) (6.107)

¨ Das Ersatzschaltbild beschr¨ankt sich damit auf den idealen Ubertrager mit ¨ dem Ubersetzungsverh¨altnis u ¨. Die sekund¨arseitig angeschlossene Lastimpeurde genannt. In Abb. 6.36 wird ein zu dem Ersatzschaltdanz (RL , XL ) wird B¨ bild von Abb. 6.35 a¨quivalentes Netzwerk gezeigt. Es wurden hier jedoch alle sekund¨ arseitig auftretenden Gr¨oßen (Str¨ome und Spannungen) und Elemente ¨ auf die Prim¨ arseite umgerechnet; außerdem wurde die infolge des Ubertragers stets vorhandene Potentialtrennung zwischen Prim¨ ar- und Sekund¨ arseite nicht ber¨ ucksichtigt. Prinzipiell w¨are auch ein weiteres Ersatzschaltbild denkbar, bei dem alle prim¨ arseitigen Gr¨oßen und Netzwerkelemente auf die Sekund¨ arseite transformiert werden. Stromwandler Beim Stromwandler wird der zu messende (Wechsel-) Strom durch die Prim¨ arwicklung des Transformators geschickt, w¨ahrend die Sekund¨ arwicklung im Idealfall von einem Strommeßwerk kurzgeschlossen wird (Abb. 6.37). F¨ ur ¨ einen idealen Stromwandler (Ubertrager) ergibt sich das Verh¨ altnis von Prim¨ ar¨ zu Sekund¨ arstrom aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨, dessen Kehrwert im Zusammenhang mit Meßwandlern meistens mit ki bezeichnet wird I1eﬀ N2 1 = = = ki . I2eﬀ N1 u ¨

(6.108)

Abb. 6.35. Ersatzschaltbild eines Transformators. Der im Ersatzschaltbild enthal¨ ¨ tene Ubertrager (Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨: 1) weist ideale Eigenschaften auf.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

147

Abb. 6.36. Transformator-Ersatzschaltbild, bei dem alle sekund¨ arseitig auftretenden Gr¨ oßen und Elemente auf die Prim¨ arseite umgerechnet wurden.

Der Stromwandler ist also ein sekund¨arseitig kurzgeschlossener bzw. niederohmig abgeschlossener Transformator, der nur aus wenigen Prim¨ arwindungen besteht. Der Transformator ist i. allg. so ausgelegt, daß bei prim¨ arem Nennagt. Bei strom I1 = INenn der Sekund¨arstrom I2 = 5 A bzw. I2 = 1 A betr¨ ugt prim¨ arseitig meist eine Windung. hohen Prim¨ arstr¨omen I1 > 500 A gen¨

Abb. 6.37. Stromwandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. K, L: Prim¨ aranschlußklemmen; k, l: Sekund¨ aranschlußklemmen.

Der Kern eines Stromwandlers ist lediglich f¨ ur den relativ geringen Diﬀerenzﬂuß bemessen, da der vom Prim¨arstrom erzeugte Fluß im Falle des niederohmigen sekund¨arseitigen Abschlusses bzw. Kurzschlusses von dem vom Sekund¨ arstrom herr¨ uhrenden Gegenﬂuß kompensiert wird. Eine Auftrennung des Sekund¨ arkreises h¨atte zur Folge, daß der gesamte Prim¨ arﬂuß pl¨ otzlich ¨ vom Kern aufgenommen werden m¨ ußte, was leicht zu thermischer Uberlastung ¨ f¨ uhren kann. Gleichzeitig w¨ urde eine sich aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis ergebende hohe Spannung an den Sekund¨arklemmen anliegen. Um Spannungs¨ uberschl¨age bzw. unter Umst¨ anden lebensgef¨ ahrlich hohe Spannungen zu vermeiden, d¨ urfen Stromwandler daher sekund¨ arseitig nicht ¨ im Leerlauf betrieben werden. Oft werden aus diesem Grund Uberspannungsableiter an Stromwandlern angebracht. Fehler des Stromwandlers Der Fehler des Stromwandlers ist bei gegebenem Prim¨ arstrom I1 die Abweiarstromes I2 chung des mit der Nenn¨ ubersetzung kNi multiplizierten Sekund¨ vom Prim¨ arstrom. Der relative Fehler betr¨agt

148

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Tabelle 6.3. Fehlerklassen und Winkelfehler f¨ ur Meßwandler bei 25 bis 100 % Nennb¨ urde Stromwandler Winkelfehler (in ’) Spannungswandler Winkelfehler (in ’) Fehlerklasse bei 1 . . . 1, 2Inenn Fehlerklasse 0, 1Inenn bei 0, 8 . . . 1, 2Unenn 0,1 0,2 0,5 1

5 10 30 60

fi =

0,1 0,2 0,5 1

5 10 20 40

I2ist − I2soll I2eﬀ kNi − I1eﬀ 100% = 100% . I2soll I1eﬀ

(6.109)

Neben diesem in Gl. (6.109) angegebenen Betragsfehler gibt es noch einen arWinkelfehler. Der entsprechende Fehlwinkel δi ist die Voreilung des Sekund¨ stromes gegen¨ uber dem Prim¨arstrom. Beide Fehler (Betragsfehler und Winkelfehler) lassen sich dem Zeigerdiagramm entnehmen, welches in Abb. 6.38 gezeigt ist. Man kann diesem Diagramm auch entnehmen, daß der Fehler des Stromwandlers mit dem magnetischen Fluß bzw. dem Magnetisierungsstrom ¨ I µ zunimmt. Der Magnetisierungsstrom I µ ergibt sich als vektorielle Uberlagerung aus dem eigentlichen Magnetisierungsstrom I 1h und dem entsprechenden Verluststrom I 1E (Abb. 6.35 und 6.36). Durch geeignete Dimensionierung und Materialauswahl wird daher versucht, den Magnetisierungsstrom klein zu halten. Die f¨ ur Stromwandler standardisierten Fehlerklassen sind in Tabelle 6.3 notiert. Die jeweilige Fehlerklasse beziﬀert den maximalen relativen Betragsfehler nach Gl. (6.109) in Prozent, w¨ahrend der zul¨ assige Winkelfehler von

Abb. 6.38. Zeigerdiagramm eines Stromwandlers. I µ entspricht dem Magnetisierungsstrom (= Prim¨ arstrom bei sekund¨ arseitigem Leerlauf).

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

149

der aktuellen Belastung durch die B¨ urde abh¨ angt. Mit Hilfe der Operationsverst¨ arkerschaltung nach Abb. 6.39 kann der mit dem Magnetisierungsstrom gekoppelte Fluß ann¨ahernd zu Null abgeglichen werden, so daß die Stromwandlerfehler sehr klein werden, wenn es gelingt, die Streuverluste sowie die Windungsverluste ebenfalls klein zu halten [109].

Abb. 6.39. Fehlerkompensierende Stromwandlerschaltung; P r: Prim¨ arwicklung; Se: Sekund¨ arwicklung; F u ¨: F¨ uhlerwicklung; R: winkelfehlerfreier Widerstand.

Spannungswandler Beim Spannungswandler wird die zu messende Wechselspannung an die Prim¨ arwicklung des Transformators gelegt, w¨ahrend an die Sekund¨ arwicklung ein Spannungsmesser mit sehr hohem Innenwiderstand angeschlossen wird (Abb. ¨ 6.40). F¨ ur einen idealen Spannungswandler (idealer Ubertrager) ergibt sich

Abb. 6.40. Spannungswandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. U , V : Prim¨ aranschlußklemmen; u, v: Sekund¨ aranschlußklemmen.

¨ das Verh¨ altnis von Prim¨ar- zu Sekund¨arspannung wiederum aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨, das bei Spannungswandlern meistens mit ku bezeichnet wird U1eﬀ N1 = =u ¨ = ku . (6.110) U2eﬀ N2 Spannungswandler sind also sekund¨arseitig im Leerlauf betriebene bzw. sehr hochohmig abgeschlossene Transformatoren. Die Sekund¨ arspannung betr¨ agt

150

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

bei prim¨ arseitig angelegter Nennspannung im Falle standardm¨ aßiger Auslegung U2 = 100 V. Fehler des Spannungswandlers Der Spannungsfehler eines Spannungswandlers ist bei gegebener Prim¨ arspannung U1 die Abweichung der mit der Nenn¨ ubersetzung kNu multiplizierten Sekund¨ arspannung U2 von der Prim¨arspannung. Der entsprechende relative agt Fehler fu betr¨ fu =

U2ist − U2soll U2eﬀ kNu − U1eﬀ 100% = 100% . U2soll U1eﬀ

(6.111)

Sowohl dieser Betragsfehler als auch der ihm zugeordnete Winkelfehler (Winarspannung) und dem Spankel zwischen dem Spannungszeiger U 1 (Prim¨

Abb. 6.41. Zeigerdiagramm eines Spannungswandlers

nungszeiger U 2 (Sekund¨arspannung)) sind dem Zeigerdiagramm des Spannungswandlers (Abb. 6.41) zu entnehmen. Dieses Zeigerdiagramm lehrt, daß der Fehler des Spannungswandlers sowohl vom Wandler selbst als auch von der B¨ urde abh¨ angt. Denn mit Ver¨andern der B¨ urde ¨ andert sich der Stromzeiger I 2 und somit das Teilzeigerdiagramm, bestehend aus den Zeigern ¨I 2 R2 , j u ¨I 2 X2σ und U 1h , und damit letztlich auch der Fehler. u ¨U 2 , u Die Genauigkeitsklassen beziﬀern wiederum den zul¨ assigen relativen Spannungsfehler fu nach Gl. (6.111) in Prozent. Der entsprechende Spannunsfehlwinkel δu ist in Tabelle 6.3 notiert. F¨ ur Meßspannungen oberhalb 200 kV verwendet man kapazitive Spannungsteiler, welche die Hochspannung auf etwa 10 % ihres urspr¨ unglichen Wertes herabsetzen (Abb. 6.42). Die nachgeschaltete Drossel wird so bemessen, daß bei Nennfrequenz im Meßkreis Resonanz herrscht [100]. Die zu messende Spannung U 1 und die am Spannungsmeßger¨at anliegende Spannung U 2 haben in diesem Fall dieselbe Phasenlage.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

151

Abb. 6.42. Grundschaltung des Spannungswandlers mit kapazitiver Teilung zur Messung sehr hoher Spannungen. C1 , C2 : Hochspannungs-Kondensatoren.

7 Meßverst¨ arker

Um mit Meßger¨aten auch Spannungen und Str¨ ome messen zu k¨ onnen, die unterhalb der Ansprechempﬁndlichkeit des Meßwerkes liegen, werden Meßverst¨arker eingesetzt. Sie wandeln die zu messende Spannung bzw. den zu messenden Strom in ein proportionales Signal h¨ oherer Amplitude um. Dabei werden folgende Eigenschaften der Meßverst¨arker gefordert: • geringe R¨ uckwirkung auf die Meßgr¨oße • Signaltreue (Linearit¨at) • hohe Amplitudendynamik (niedriges Eigenrauschen, geringe Verzerrungen bei großen Amplituden) • ausreichende Bandbreite (Ausgangssignal muß dem Eingangssignal zeitlich folgen k¨ onnen) • eingepr¨ agtes Ausgangssignal (Spannung oder Strom). W¨ ahrend man in der klassischen Meßtechnik versucht hat, die R¨ uckwirkungsfreiheit einer Messung durch Kompensationsverfahren zu erreichen, bedient sich die elektronische Meßtechnik dazu eines Meßverst¨ arkers mit geeigneter Eingangs- bzw. Ausgangsimpedanz. So kann beispielsweise die bei der Spannungsmessung stets vorhandene Belastung eines Meßkreises infolge der endlichen Innenimpedanz des Meßger¨ates und der daraus resultierende Meßfehler durch die Verwendung eines Meßverst¨arkers mit sehr hohem Eingangswiderstand i. allg. soweit reduziert werden, daß sie nicht mehr st¨ ort. Elektronische Verst¨arkerschaltungen werden weiterhin eingesetzt, um die in Form elektrischer Signale vorliegenden Meßwerte in analoger Form weiterzuverarbeiten. So werden beispielsweise Verst¨ arker verwendet, um Meßwerte zu addieren, subtrahieren, multiplizieren, logarithmieren, integrieren oder zu differenzieren. Bei der Realisierung elektronischer Meßverst¨ arker werden, abgesehen von Anwendungen im Bereich sehr hoher Frequenzen (> 150 MHz) oder hoher Spannungen (> 150 V), heute vorwiegend integrierte Operationsverst¨ arkerschaltungen eingesetzt. Diese Operationsverst¨arker (Operational Ampliﬁer, OpAmp) dienen dabei nicht nur als reine Meßverst¨ arker sondern

154

7 Meßverst¨ arker

Eingang

Ausgang Eingang

Ausgang

a)

uE

uA uE

uA

uE

uA

b) Abb. 7.1. Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker: a) allgemeine Symbole, b) massebezogene Darstellungen (allgemein, nicht-invertierend, invertierend)

auch als universelle Grundbausteine der gesamten analogen Signalverarbeitung. Abbildung 7.1 zeigt die standardm¨aßig verwendeten Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨arker.

7.1 Operationsverst¨ arker 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker Abbildung 7.2 zeigt das Schaltbild eines (idealen) Operationsverst¨ arkers. Er besitzt stets einen invertierenden mit N bzw. − gekennzeichneten und einen mit P bzw. + gekennzeichneten nicht-invertierenden Eingang sowie einen Ausgang. Sowohl die beiden Eingangsklemmen als auch die Ausgangsklemme bilden mit der Masseleitung jeweils ein elektrisches Tor. Das wichtigste Kennzeichen eines (idealen) Operationsverst¨arkers ist, daß die Eigenschaften des mit ihm realisierten Verst¨arkers nur durch die ¨ außere Beschaltung des Operationsverst¨arkerbausteins festgelegt werden, welche i. allg. auf rein passiven Bauelementen basiert. Ein idealer Operationsverst¨ arker ist ¨ aquivalent einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit der Leerlaufspannungsur die Ausgangsspannung uA gilt allgemein (Abb. 7.2) verst¨ arkung V0 → ∞. F¨ uA = V0 uD = V0 (uP − uN ) ,

(7.1)

aus der f¨ ur V0 → ∞ notwendigerweise uD = 0 folgt. Die Eingangsstr¨ ome iN bzw iP des idealen Operationsverst¨arkers sind Null iN = iP = 0 .

(7.2)

Infolgedessen muß f¨ ur den Eingangswiderstand rE , der bei einem realen Operationsverst¨ arker zwischen P - und N -Eingang liegt (Abb. 7.3), rE → ∞

(7.3)

7.1 Operationsverst¨ arker

N

iN iA

uD uN

155

u DV0 P

iP

uA

uP

Abb. 7.2. Ersatzschaltbild eines (idealen) Operationsverst¨ arkers

gelten. Der Ausgangswiderstand rA (Widerstand in Serie zur spannungsgesteuerten Spannungsquelle, s. Abb. 7.3) betr¨ agt wie bei einer idealen Spannungsquelle (7.4) rA = 0 . Weiterhin sind beim idealen Operationsverst¨arker alle Eigenschaften frequenzund temperaturunabh¨angig. 7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker In Abb. 7.3 wird das Schaltbild und in Abb. 7.4 die Kennlinie der Leerlaufverst¨ arkung eines realen Operationsverst¨arkers gezeigt. Genauer gesagt handelt es sich dabei um einen dahingehend idealisierten Operationsverst¨ arker, daß er innerhalb seiner Aussteuerungsgrenzen (uAmin ≤ uA ≤ uAmax ) linea¨ re Ubertragungseigenschaften aufweist (s. Kennlinie der Leerlaufspannungsverst¨ arkung in Abb. 7.4). Die maximale und die minimale Ausgangsspannung arkern betragsm¨ aßig uAmax bzw. uAmin liegen bei Standard-Operationsverst¨ arkers. etwa um 1 bis 3 V unter der Betriebsspannung ±UB des Operationsverst¨ Die wesentlichen Unterschiede zum idealen Operationsverst¨ arker sind: a) Der

+UB iN

u gl Vgl

u'D

rE

UD0

uD

u DV0

rA

iA

iP

uN

r gl

uP I N0

r gl

uA -UB

I P0

Abb. 7.3. Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines realen Operationsverst¨ arkers

156

7 Meßverst¨ arker

uA +UB u Amax UD0

uD

u Amin -UB Abb. 7.4. Kennlinie der Leerlaufverst¨ arkung eines Operationsverst¨ arkers (gestrichelt: mit Oﬀsetspannung)

Eingangs- und der Ausgangswiderstand nehmen endliche Werte an: rE ≈ 1MΩ arkungsgrad liegt zwischen bis 1TΩ; rA ≈ 2Ω bis 100Ω, b) der reale Verst¨ ur den realen Operationsverst¨ arker sind die im Kap. 7.1.3 104 ≤ V0 ≤ 107 . F¨ enthaltenen wichtigen Kenngr¨oßen deﬁniert. Zum Verst¨ andnis dieser Kenngr¨ oßen ist die Erl¨auterung der Funktionsweise einer R¨ uckkopplungsschaltung, und im speziellen Fall die Funktion einer Gegenkopplungsschaltung, gem¨ aß Abb. 7.5 notwendig. Eine solche Gegenkopplungsschaltung enth¨ alt einen uckkoppelnetzwerk mit der Verst¨ arker mit der Leerlaufverst¨arkung V0 , ein R¨ ¨ angig sein Ubertragungsfunktion Vg , welche im allgemeinen Fall frequenzabh¨ aßt sich anhand kann, und einen Subtrahierer. Die Ausgangsspannung uA l¨ von Abb. 7.5 wie folgt angeben uA = V0 uD = V0 (uE − uA Vg ) .

(7.5)

Daraus folgt f¨ ur die Gesamtverst¨arkung V V =

uA = uE

1 V0

1 . + Vg

(7.6)

arkung Im Falle eines idealen Verst¨arkers (V0 → ∞) ergibt sich die Gesamtverst¨ der Gegenkopplungsschaltung zu 1 V0 →∞ Vg +

lim V = lim

V0 →∞

1 V0

=

1 . Vg

(7.7)

Die Gegenkopplungsschaltung aus Abb. 7.5 l¨aßt sich f¨ ur den Fall einer sehr hohen Verst¨ arkung (V0 → ∞) (Gl. (7.7)) durch einen invertierenden Verst¨arker V0 uE

uD

Rückkoppel-Netzwerk

uA Vg

Abb. 7.5. Gegenkopplungsschaltung

7.1 Operationsverst¨ arker

157

nach Abb. 7.6 realisieren, wenn die Leerlaufverst¨ arkung des dort verwendeten Operationsverst¨arkers ebenfalls gegen einen unendlich hohen Wert strebt. Da bei einem Operationsverst¨arker die Eingangsstr¨ ome idealerweise verschwinden (iP = iN = 0), ergibt sich aus der Schaltung nach Abb. 7.6 i1 + i2 = 0 .

(7.8)

Zwei im Schaltbild (Abb. 7.6) vorgenommene Maschenuml¨ aufe ergeben weiterhin uE = R1 i1 − uD uA = R2 i2 − uD = V0 uD .

(7.9) (7.10)

Aus den Gln. (7.8 - 7.10) folgt die Gesamtverst¨ arkung V V =

2 −R uA R1 = uE 1 + V10 (1 +

R2 R1 )

.

(7.11)

ur die Gesamtverst¨ arF¨ ur einen idealen Operationsverst¨arker (V0 → ∞) folgt f¨ kung V schließlich uA R2 =− . (7.12) lim V = V0 →∞ uE R1 Ein Koeﬃzientenvergleich zwischen den Gln. (7.7) und (7.12) liefert die Be¨ uckkoppelnetzwerkes ziehung zwischen der Ubertragungsfunktion Vg des R¨ ande der Ope(Abb. 7.5) und den Werten R1 und R2 der ohmschen Widerst¨ rationsverst¨ arkerschaltung nach Abb. 7.6 Vg = −

R1 . R2

(7.13)

Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß die in Gl. (7.13) angef¨ uhrte Verst¨ aruckkoppelnetzwerkes nur dann mit der aus Gl. (7.6) bzw. kung Vg des R¨ Gl. (7.7) identisch ist, wenn V0 einen sehr hohen Wert annimmt. R2 i1 uE

R1

i2

iN uD

V0 uA

Abb. 7.6. Invertierende Verst¨ arkerschaltung

158

7 Meßverst¨ arker

7.1.3 Deﬁnitionen von Operationsverst¨ arker-Kenngr¨ oßen Im folgenden werden die wichtigsten Kenngr¨oßen von Operationsverst¨ arkern bzw. Operationsverst¨arkerschaltungen beschrieben. Die verwendeten Gr¨ oßenbezeichnungen beziehen sich auf die in Abb. 7.2 und Abb. 7.3 gezeigten Ersatzschaltbilder von idealem und realem Operationsverst¨ arker sowie die in Abb. 7.5 gezeigte Gegenkopplungsschaltung. • Leerlaufspannungsverst¨ arkung (open loop voltage gain) V0 Es handelt sich hierbei um die Diﬀerenzverst¨ arkung der oﬀenen Schleife, d. h. des nicht-r¨ uckgekoppelten, unbeschalteten Operationsverst¨ arkers. V0 =

∂uA ∂uD

- ideal: V0 → ∞ - real: 104 ≤ V0 ≤ 107 • Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß V0 [dB]

∂uA V0 [dB] = 20 lg V0 = 20 lg ∂uD

(7.14)

(7.15)

- ideal: V0 → ∞ - real: 80 dB ≤ V0 ≤ 140 dB • Gleichtaktspannung (common mode voltage) ugl Die Gleichtaktspannung entspricht dem arithmetischen Mittel der beiden Eingangsspannungen uN und uP ugl =

uP + u N . 2

(7.16)

• Gleichtaktspannungsverst¨ arkung (common mode voltage gain) Vgl Bei einem realen Operationsverst¨arker erscheint die um den Faktor Vgl verst¨ arkte Gleichtaktspannung Ugl am Ausgang Vgl =

∂uA . ∂ugl

(7.17)

- ideal: Vgl = 0 - real: Vgl ≈ 1 • Gleichtaktunterdru ¨ ckung (common mode rejection ratio) CMRR

V0 CMRR [dB] = 20 lg (7.18) Vgl - ideal: CMRR → ∞ - real: CMRR ≈ 100 dB

7.1 Operationsverst¨ arker

159

¨ • Ubertragungsfunktion (frequency response) G(ω) ¨ arkerschalDie komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) von Operationsverst¨ ¨ tungen, die auch als Ubertragungsfaktor bezeichnet wird, entspricht der komplexen Verst¨arkung, d. h. dem Verh¨altnis der in Zeigerform dargestellten Ausgangsspannung U A zur Diﬀerenzeingangsspannung U D . Die¨ se Ubertragungsfunktion l¨aßt sich f¨ ur reale Operationsverst¨ arker nach Gl. (7.19) approximieren G(ω) =

V U A (ω)

0

. = ω U D (ω) 1 + j ω1 1 + j ωω2

(7.19)

¨ eines Tiefpasses mit den G(ω) entspricht also der Ubertragungsfunktion beiden Eckfrequenzen ω1 und ω2 [101]. Dies bedeutet, daß der Betrag ¨ der Ubertragungsfunktion ab der Frequenz ω1 = 2πf1 mit 20 dB/Dekade (= ˆ 6 dB/Oktave) und ab der Frequenz ω2 = 2πf2 mit 40 dB/Dekade arkung (= ˆ 12 dB/Oktave) f¨allt. Der Wert V0 stellt die Gleichspannungsverst¨ dar. Bei unbeschalteten Operationsverst¨arkern liegt f1 typischerweise im Bereich einiger Hertz, w¨ahrend f2 der oberen Grenzfrequenz des unbeschalteten Operationsverst¨arkers entspricht. Abbildung 7.7 zeigt den Frequenzgang der Leerlaufverst¨arkung des Universal-Operationsverst¨ arkers vom Typ µA 741 nach Betrag und Phase (Tiefpaß-Eckfrequenzen: f1 ≈ 10 Hz und f2 ≈ 5 MHz).

Abb. 7.7. Frequenzgang der Leerlaufspannungsverst¨ arkung des Operationsverst¨ arkers µA 741 (UB = ±15 V) bei einer Temperatur von 25◦ C: a) Betrag, b) Phase

• Verst¨ arkung der geschlossenen Schleife (closed loop voltage gain), Gesamtverst¨ arkung V Es handelt sich hierbei um die Gesamtverst¨ arkung V des r¨ uckgekoppelten ¨ Verst¨ arkers nach Abb. 7.5 (die Ubertragungsfunktion des R¨ uckkoppelnetzwerkes wird mit Vg bezeichnet) V =

∂uA ∂uE

(7.20)

160

7 Meßverst¨ arker

- ideal (V0 → ∞):

1 Vg

(7.21)

V0 1 + V g V0

(7.22)

V = - real (Gl. (7.6)): V =

• Gleichtakteingangswiderstand (common mode input resistance) Der Gleichtakteingangswiderstand rgl wird wie folgt berechnet rgl =

∂ugl + iN )

1 2 ∂(iP

(7.23)

- ideal: rgl = ∞ - real: rgl = 1 GΩ . . . 100 TΩ • Diﬀerenzeingangswiderstand (diﬀerential input resistance) r E Da im allgemeinen der Gleichtaktwiderstand rgl groß ist gegen¨ uber dem Diﬀerenzeingangswiderstand rE (rgl rE ), gilt folgende Deﬁnitionsgleichung f¨ ur den Diﬀerenzeingangswiderstand rE =

∂uD − iN )

1 2 ∂(iP

- ideal: rE = ∞ - real: rE = 1 MΩ . . . 1 TΩ • Ausgangswiderstand (output resistance) rA ∂uA rA = − ∂iA uD =const.

(7.24)

(7.25)

- ideal: rA = 0 - real: rA = 2 Ω . . . 100 Ω • Eingangsfehlspannung (input oﬀset voltage), Oﬀsetspannung UD0 Durch nicht-identische Eingangstransistoren des bei Operationsverst¨ arkern stets vorhandenen Diﬀerenzeingangsverst¨arkers [113] wird auch f¨ ur uN = uP = 0 beim realen Operationsverst¨arker eine Ausgangsspannung uA = 0 erzeugt. Jene Spannungsdiﬀerenz UD0 , welche am Eingang angelegt werden muß, um die Ausgangspannung auf Null abzugleichen, wird als Eingangsfehlspannung oder als Eingangs-Oﬀsetspannung UD0 bezeichnet. Sie erscheint im Schaltbild des realen Operationsverst¨ arkers als Spannungsquelle am Eingang (Abb. 7.3). - ideal: UD0 = 0 - real: UD0 = 0, 5 µV . . . 5 mV • Gesamtausgangsspannung (output voltage) uA ¨ Die Gesamtausgangsspannung uA ergibt sich als Uberlagerung aus der verst¨ arkten Leerlauf-Diﬀerenzeingangsspannung uD , die um die Oﬀsetspanarkung multinung UD0 vermindert wird, und der mit der Gleichtaktverst¨ plizierten Gleichtaktspannung

7.1 Operationsverst¨ arker

uD = uP − uN uA = V0 uD + Vgl ugl = V0 (uD − UD0 ) + Vgl ugl = V0 (uP − uN − UD0 ) + Vgl ugl

161

(7.26) (7.27) (7.28)

• Versorgungsspannungsunterdru ¨ ckung (power supply rejection ratio) PSRR Die Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung ist ein Maß daf¨ ur, welchen Einﬂuß eine Spannungsschwankung der Versorgung auf die Ausgangsspannung hat

∂uA (7.29) PSRR [dB] = −20 lg ∂uB - ideal: PSRR → ∞ - real: PSRR ≈ 100 dB • Grenzfrequenz (cutoﬀ frequency) fg , Bandbreite (bandwidth) arkung geDie 3-dB-Grenzfrequenz fg ist jene Frequenz, bei der die Verst¨ gen¨ uber ihrem Gleichspannungswert um 3 dB (entspricht einem Faktor √ von 1/ 2) gesunken ist. Diese obere Grenzfrequenz, die im allgemeinen der Bandbreite des Verst¨arkers entspricht, ist von der ¨ außeren Beschaltung des Operationsverst¨arkers abh¨angig. F¨ ur unbeschaltete Operationsverst¨ arker liegt sie bei einigen Hertz (Abb. 7.7). • Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) SR Die Anstiegsgeschwindigkeit (Einheit V/µs) entspricht der zeitlichen Ableitung der Ausgangsspannung im Großsignalbetrieb bei Anlegen eines Spannungssprunges am Eingang

∂uA (7.30) SR = ∂t max - ideal: SR → ∞ V V . . . 10.000 µs - real: SR = 0, 5 µs • Eingangsruhestrom (input bias current) IB Die Eingangstransistoren eines Operationsverst¨ arkers weisen grunds¨ atzlich Basis- bzw. Gatestr¨ome auf. Selbst bei Operationsverst¨ arkerschaltungen mit einer sog. inneren Bias-Stromversorgung sind die Str¨ ome IN und IP noch ungleich Null und m¨ ussen durch die ¨ außere Beschaltung aufgebracht werden. Trotz des m¨oglichst symmetrischen Aufbaus der meisten Diﬀeattern sind renzeingangsstufen ist dar¨ uber hinaus IN = IP . In Datenbl¨ stets die Mittelwerte von IN und IP sowie der Betrag ihrer Abweichungen voneinander angegeben. F¨ ur den mittleren Eingangsruhestrom (Biasstrom, Input Bias Current) IB gilt dabei folgende Deﬁnition IB =

IN0 + IP0 2

(7.31)

- ideal: IB = 0 allen bis 25 µA) - real: IB = 3 fA(FET) . . . 1 µA (bipolar, in Sonderf¨

162

7 Meßverst¨ arker

• Eingangsfehlstrom (input oﬀset current), Oﬀsetstrom ID0 Der Oﬀsetstrom ID0 eines Operationsverst¨ arkers entspricht der Diﬀerenz der Eingangsruhestr¨ome IN0 und IP0 ID0 = IN0 − IP0

(7.32)

- ideal: ID0 = 0 - real: ID0 = 1 fA ... 20 nA • Oﬀsetspannungsdrift (oﬀset voltage drift) Die Oﬀsetspannungsdrift beschreibt die Abh¨ angigkeit der Oﬀsetspannung UD0 von der Temperatur ϑ ∂UD0 (7.33) ∂ϑ - ideal: 0 - real: 0, 01 µV/◦ C . . . 15 µV/◦ C • Eingangsstromdrift Die Eingangsstromdrift beschreibt die Temperaturabh¨ angigkeit des Eingangsstromes ∂(iP , iN ) (7.34) ∂ϑ uN =const.,uP =const. - ideal: 0 - real: 10 fA/◦ C . . . 1 µA/◦ C • Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt (gain bandwidth product) V fg Wichtiger noch als der reine Verst¨arkungsfaktor ist das sogenannte Verst¨arkungs-Bandbreite-Produkt fg0 V0 , welches bei Universaltypen bei etwa V0 fg0 = 106 Hz liegt und bei auf hohe Bandbreite ausgerichteten Operationsverst¨ arkern bis zu 3 · 109 Hz reicht. Durch eine Gegenkopplungsschaltung gem¨ aß Abb. 7.5 wird der eﬀektive Verst¨arkungsfaktor V und die eﬀektive Grenzfrequenz fg der Meßschaltung eingestellt. Das Produkt aus Verur Grenzst¨ arkungsfaktor V und Bandbreite bzw. Grenzfrequenz fg ist f¨ frequenzen oberhalb von fg0 (fg > fg0 ) bei einem bestimmten Operationsverst¨ arkertyp stets ein konstanter Wert (Abb. 7.8) V V0 1 0,1 f g0

0,01 0,01

0,1

1

fg 10

100

f f g0

Abb. 7.8. Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz und Verst¨ arkungsfaktor eines Operationsverst¨ arkers (Konstanz des Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produktes V fg )

7.1 Operationsverst¨ arker

V fg = V0 fg0 .

163

(7.35)

• Transitfrequenz (unity gain bandwidth) fT Die Transitfrequenz fT ist jene Frequenz, bei der die Leerlaufspannungsverst¨ arkung auf 0 dB abgesunken ist. In Tabelle 7.1 sind die Leistungsdaten einiger kommerziell erh¨ altlicher Operationsverst¨ arker zusammengefaßt. Diese Zusammenstellung enth¨ alt neben den beiden Universaltypen (µA 741, TL 081) Operationsverst¨ arker, die im Hinblick auf bestimmte Leistungsdaten optimiert wurden, wie z.B hohe Transitfrequenz (CLC425), hohe Slew-Rate (THS3201), geringes Rauschen (AD797) oder hohe Ausgangsspannung (PA89). Tabelle 7.1: Leistungsdaten kommerziell erh¨ altlicher Operationsverst¨ arker Bezeichnung µA 741 Hersteller Philips OPV-Typ Urvater UD0 IB ID0 rgl rE rA V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca. 1

TL 081 LM324 THS3201 TI Philips TI Universal FET Low Cost Universal High Slew-Rate

± 2 mV 80 nA 20 nA 2 MΩ

3 mV 30 pA 5 pA 1012 Ω

75 Ω 106 dB 90 dB 0,5 V/µs 1 MHz

128 Ω 103 dB 86 dB 13 V/µs 3 MHz

± 4 mV ± 80 µA 780 kΩ

∼ 10 mA ± 18 V

± 18 V

± 8 mA ± 15 V

140 dB 58 dB 10500 V/µs 1,8 GHz 20 ns √ 1,7 nV/ Hz > 10 MHz √ 20 pA/ Hz > 10 MHz ± 100 mA ± 8V

0,36 EUR

0,36 EUR

0,17 EUR

3,60 USD

√ 18 nV Hz 1 kHz √ 0,01 pA/ Hz 1 kHz

1

± 2 mV 45 nA ± 5 nA

100 dB 85 dB 0,3 V/µs 1 MHz √ 40 nV/ Hz 1 kHz

Rail to Rail heißt, daß der jeweilige Operationsverst¨ arker bez¨ uglich Eingangsspannung (IN) bzw. Ausgangsspannung (OUT) bis an die Grenzen der Betriebsspannung betrieben werden kann [113].

164

7 Meßverst¨ arker

Bezeichnung CLC425 Hersteller National OPV-Typ Wideband

AD8551 AD797 Analog Devices Analog Devices Precision Ultralow Noise

INA116 Burr Brown Ultralow Bias

1 µV 10 pA 20 pA

√ 42 nV/ Hz 1 kHz√ 2 fA/ Hz 10 Hz 10 mA 6V IN + OUT 1,08 USD

25 µV 250 nA 100 nA 100 MΩ 7,5 kΩ 3 mΩ 146 dB 130 dB 20 V/µs 110 MHz 800 ns √ 0,9 nV/ Hz 1 kHz √ 2 pA/ Hz 1 kHz 50 mA ± 15 V

0,5 mV 3 fA 1 fA ≥ 1015 Ω ≥ 1015 Ω 650 Ω programmierbar 89 dB 0,8 V/µs 800 kHz 22 µs √ 28 nV/ Hz 1 kHz √ 0,1 fA/ Hz 1 kHz ± 5 mA ± 18 V

4,31 USD

4,00 USD

Bezeichnung PA50 Hersteller Apex OPV-Typ High Output Current

PA89A Apex High Output Voltage

MAX4464 Maxim Low Power 1,8 V 750 nA

LTC 2053 Linear Technology 1 Chip Instrum. Amp.

UD0 IB ID0 rgl rE rA V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

5 mV 10 pA 10 pA 100 GΩ

250 nV 3 pA 3 pA 100 GΩ

0,5 mV 200 pA 13 pA

10 µV 10 nA 4 nA

2,5 Ω 102 dB 100 dB 50 V/µs 3 MHz 1 µs 10 µ RMS 100 kHz BW

120 dB 110 dB 16 V/µs 10 MHz 2 µs 4 µV RMS 10 kHz BW

100 dB 95 dB 20 V/ms 40 kHz

116 dB 0,2 V/µs 0,2 MHz

√ 150 nV/ Hz 1 kHz

2,5 µVpp 10 Hz

40 A 100 V

75 mA ± 600 V

370 USD

640 USD

11 mA 5,5 V OUT 0,65 EUR

1 nA 11 V IN + OUT 3,20 USD

UD0 IB ID0 rgl rE rA V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

± 0,1 mV ± 12 µA ± 0,2 µA 2 MΩ 6 kΩ 5 mΩ 96 dB 100 dB 350 V/µs 1,9 GHz 22 ns √ 1 nV/ Hz 1 - 100 MHz √ 1,6 pA/ Hz 1 - 100 MHz 80 mA ± 7V 32,50 USD

145 dB 130 dB 0,4 V/µs 1,5 MHz

7.1 Operationsverst¨ arker

165

7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen Ein Operationsverst¨arker kann durch entsprechende ¨ außere Beschaltung in sehr vielf¨ altiger Weise f¨ ur Meßaufgaben eingesetzt werden. Im folgenden werden verschiedene Standard-Operationsverst¨arkerschaltungen vorgestellt, wobei jeweils das Verh¨altnis von Ausgangsgr¨oße (i. allg. die Ausgangsspannung uA ) zu Eingangsgr¨oße (i. allg. die Eingangsspannung uE ) angegeben wird. Die Beziehung zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨ oße l¨ aßt sich leicht ableiten, wenn man den Operationsverst¨arker in der folgenden Weise idealisiert: Diﬀerenzeingangsspannung uD = 0, Eingangswiderstand rE → ∞, Eingangsstr¨ ome iN = 0 bzw. iP = 0, Leerlaufverst¨arkung V0 → ∞. Die Auswertung der aus dem jeweiligen Schaltbild resultierenden Knoten- und Maschengleichungen liefert dann unmittelbar den gesuchten mathematischen Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨oße. Invertierender Verst¨ arker Der invertierende Verst¨arker wurde bereits in Kap. 7.1.2 besprochen (s. Abb. 7.6). F¨ ur einen idealen Operationsverst¨arker ergibt sich das Verh¨ altnis von Ausgangsspannung uA zur Eingangsspannung uE zu (s. Gl. (7.12)) uA R2 =− . uE R1

(7.36)

Invertierer Der reine Invertierer (Abb. 7.9) hat die Aufgabe, die Polarit¨ at der Eingangsspannung am Ausgang umzukehren uA = −uE ,

(7.37)

was dadurch erreicht wird, daß beim invertierenden Verst¨ arker (Abb. 7.6) die Widerst¨ ande R1 und R2 identisch gew¨ahlt werden.

Abb. 7.9. Grundschaltung des Invertierers

166

7 Meßverst¨ arker

Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker Der nicht-invertierende Spannungsverst¨arker (Abb. 7.10) beh¨ alt die Polarit¨ at der Eingangsspannung bei und erlaubt die Einstellung des Verst¨ arkungsfaktors u ¨ber die Widerstandskombination R1 und R2 uA R2 =1+ . uE R1

(7.38)

Abb. 7.10. Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker

Addierender Verst¨ arker Der addierende Verst¨arker (Abb. 7.11) addiert die Eingangsspannungen und dreht die Polarit¨at nach der Summenbildung um. Mit Hilfe der Widerstandswerte R1 und R2 lassen sich die Eingangsspannungen u1 und u2 mit Gewichtsfaktoren versehen

u1 u2 + (7.39) uA = iG R3 = −(i1 + i2 )R3 = − R3 . R1 R2 Im allgemeinen w¨ahlt man R1 = R2 = R3 , so daß eine ungewichtete Summenbildung erzielt wird (7.40) uA = −(u1 + u2 ) .

Abb. 7.11. Addierender Verst¨ arker

7.1 Operationsverst¨ arker

167

Subtrahierender Verst¨ arker Der subtrahierende Verst¨arker (Abb. 7.12) erlaubt die Diﬀerenzbildung der ur beliebige Widerstandswerte lassen beiden Eingangsspannungen u1 und u2 . F¨ sich wiederum Gewichtsfaktoren einstellen uA = u 2

R4 (R1 + R3 ) R3 − u1 . R1 (R2 + R4 ) R1

(7.41)

unschte Subtraktion der F¨ ur den Fall R1 /R3 = R2 /R4 ergibt sich die gew¨ Eingangsspannungen mit zus¨atzlicher Verst¨arkung um den Faktor R3 /R1 uA =

R3 (u2 − u1 ) . R1

(7.42)

F¨ ur den reinen Subtrahierer w¨ahlt man R1 = R2 = R3 = R4 , so daß ungewichtet subtrahiert wird (7.43) uA = u 2 − u1 .

Abb. 7.12. Subtrahierender Verst¨ arker

Impedanzwandler Mit Hilfe des Impedanzwandlers (Abb. 7.13), der auch als Spannungsfolger bezeichnet wird, werden Quellen mit hohem Innenwiderstand an Schaltungen mit niedrigem Widerstand angepaßt. So kann beispielsweise an hochohmigen Schaltungen mit weniger hochohmigen Meßwerken r¨ uckwirkungsfrei gemessen werden. Die Eingangsspannung erscheint dabei unver¨ andert am Ausgang uA = u E .

(7.44)

168

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.13. Impedanzwandler

Integrierender Verst¨ arker In der analogen Signalverarbeitung ist der auf einem Operationsverst¨ arker basierende Integrierer (Integrator) eines der zentralen Elemente. Der integrierende Verst¨ arker (Abb. 7.14) bildet das zeitliche Integral einer Eingangsspannung. F¨ ur den Fall, daß der Anfangswert der Ausgangsspannung uA zu Beginn der Integration den Wert Null annimmt, folgt t 1 t 1 t 1 uA = iG dt = − iE dt = − uE dt . (7.45) C 0 C 0 RC 0

Abb. 7.14. Integrierende Operationsverst¨ arkerschaltung

Diﬀerenzierender Verst¨ arker (Prinzip) Der diﬀerenzierende Verst¨arker (Abb. 7.15) hat die Aufgabe, die Eingangsspannung uE zeitlich zu diﬀerenzieren uA = iG R = −iE R = −RC

duE . dt

(7.46)

Diﬀerenzierender Verst¨ arker (praktische Realisierung) Die Schwingneigung der Prinzipschaltung nach Abb. 7.15 kann vermieden werden, wenn die modiﬁzierte Diﬀerenzierer-Schaltung nach Abb. 7.16 verwendet wird. Die reine Diﬀerenzierung der Eingangsspannung erreicht man durch die

7.1 Operationsverst¨ arker

169

Abb. 7.15. Prinzip einer diﬀerenzierenden Operationsverst¨ arkerschaltung

Wahl entsprechender Zeitkonstanten R1 C1 und R2 C2 . Denn w¨ ahlt man diese so klein, daß die h¨ochste in der Eingangsspannung enthaltene Signalfrequenz ω klein ist gegen¨ uber den Kehrwerten der beiden Zeitkonstanten 1 R1 C1 1 , ω R2 C2

ω

(7.47) (7.48)

folgt wiederum duE . (7.49) dt Eine modiﬁzierte Operationsverst¨arkerschaltung eines Diﬀerenzierers wird in [61] behandelt. uA = −R2 C1

Abb. 7.16. Diﬀerenzierende Operationsverst¨ arkerschaltung (technisch verwendbar)

Logarithmierender Verst¨ arker mit Diode Eine die Eingangsspannung logarithmierende Operationsverst¨ arkerschaltung enth¨ alt eine Diode im R¨ uckkoppelzweig (Abb. 7.17). Mit der f¨ ur den Durchlaßbereich vereinfachten (Diodensperrstrom IS Diodenstrom iD ) Diodenkennlinie iD = f (uD ) uD iD = IS e mUT (7.50) folgt unter Ber¨ ucksichtigung der Knotengleichung iD = iE die Ausgangsspannung uA als logarithmierte Eingangsspannung uE

170

7 Meßverst¨ arker

iE uA = −mUT ln = −mUT ln IS

uE IS R

f¨ ur uE > 0 .

(7.51)

Dabei bezeichnen IS den temperaturabh¨angigen Sperrstrom der Diode, m = 1...2 den stromabh¨angigen Korrekturfaktor und UT die Temperaturspannung der Diode kT , (7.52) UT = e0 die bei einer Temperatur T = 25◦ C einen Wert von UT = 25, 7 mV aufweist. In Gl. (7.52) wurden folgende Bezeichnungen verwendet: die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K, die absolute Temperatur T (K) und die Elementarladung e0 = 1, 6 · 10−19 As.

Abb. 7.17. Logarithmierende Operationsverst¨ arkerschaltung mit Diode

Logarithmierender Verst¨ arker mit Transistor Der Einﬂuß des stromabh¨angigen Korrekturfaktors m (Gl. (7.51)) l¨ aßt sich umgehen, wenn man statt der Diode einen Transistor gem¨ aß Abb. 7.18 einsetzt. F¨ ur den Kollektorstrom iC gilt bei kleinem Kollektorsperrstrom ICS (ICS iC ) uBE iC = ICS e UT , (7.53) wobei uBE die Basis-Emitter-Spannung und UT die Temperaturspannung beur zeichnen. F¨ ur die Ausgangsspannung uA des Logarithmierers folgt daraus f¨

Abb. 7.18. Prinzipschaltung eines Logarithmierers mit Operationsverst¨ arker und einem Transistor im R¨ uckkoppelzweig

7.1 Operationsverst¨ arker

uE > 0

uA = −UT ln

uE RICS

171

.

(7.54)

e-Funktionsgenerator Wenn man in der logarithmierenden Operationsverst¨ arkerschaltung (Abb. 7.19) Widerstand und Transistor vertauscht, invertiert man die mathematische Operation des Logarithmierens, d.h. der nat¨ urliche Logarithmus aus Gl. (7.54) geht u ur uE < 0 kann die Ausgangsspan¨ber in eine Exponentialfunktion. F¨ nung wie folgt angegeben werden uA = RiC = RICS e−uE /UT .

(7.55)

Abb. 7.19. Einfacher e-Funktionsgenerator

Komparator ohne Hysterese Ein unbeschalteter Operationsverst¨arker, wie er in Abb. 7.20 gezeigt wird, stellt einen Komparator ohne Hysterese dar. Seine Ausgangsspannung l¨ auft f¨ ur positive Eingangsspannungen uD > 0, d. h. u1 < u2 , auf ihren positiven Grenzwert uAmax uA = +uAmax f¨ ur u1 < u2 . (7.56) Umgekehrt wird f¨ ur eine negative Diﬀerenzeingangsspannung uD < 0, d. h. u1 > u2 , der negative Grenzwert erreicht, der dem positiven mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht uA = −uAmax f¨ ur

u1 > u2 .

(7.57)

172

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.20. Komparator ohne Hysterese

Invertierender Komparator mit Hysterese (Invertierender Schmitt-Trigger) Bei einem Komparator mit Hysterese, der auch als invertierender SchmittTrigger bezeichnet wird, gibt es im Gegensatz zu einem Komparator ohne Hysterese zwei Schaltschwellen, die im folgenden mit uEauf und uEab bezeichnet werden. Dieses Schaltverhalten wird u ¨ber eine Mitkopplung des Komparators erreicht (Abb. 7.21a), d. h. ein Teil der Ausgangsspannung uA wird mit Hilfe des aus R1 und R2 bestehenden Spannungsteilers auf den nichtinvertierenden Eingang des Operationsverst¨arkers zur¨ uckgekoppelt. Bei ver-

Abb. 7.21. Invertierender Schmitt-Trigger: a) Operationsverst¨ arkerschaltung, b) Kennlinien des invertierenden Schmitt-Triggers

nachl¨ assigbarer Diﬀerenzeingangsspannung liegt die Eingangsspannung uE am ucksichtigung der Widerstand R1 des Spannungsteilers an, so daß unter Ber¨ Tatsache, daß die Ausgangsspannung infolge der Mitkopplung nur die Werte +uAmax bzw. −uAmax annehmen kann, die Schaltschwellen uEauf bzw. uEab (Abb. 7.21b) wie folgt hergeleitet werden k¨onnen R1 , R1 + R2 R1 = +uAmax . R1 + R2

uEauf = −uAmax uEab

(7.58) (7.59)

Es sei darauf hingewiesen, daß der einzige Unterschied zwischen der Schaltung eines Schmitt-Triggers (Abb. 7.21) und einem nicht-invertierenden Spannungsverst¨ arker (Abb. 7.10) die Form der R¨ uckkopplung ist. W¨ ahrend der nicht-invertierende Spannungsverst¨arker gegengekoppelt ist (R¨ uckkopplung

7.1 Operationsverst¨ arker

173

des Spannungsteilers auf den invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers) und damit absolut stabil arbeitet, ist die R¨ uckkopplung beim Schmitt-Trigger eine Mitkopplung (R¨ uckkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers), so daß sich das gezeigte bistabile Verhalten einstellt, d. h. die Ausgangsspannung l¨auft entweder auf ihren positiven oder ihren negativen Endwert. Multivibrator Wenn die Ausgangsspannung eines invertierenden Schmitt-Triggers zeitlich verz¨ ogert auf den Eingang zur¨ uckgef¨ uhrt wird, entsteht ein sog. Multivibrator. Dies ist ein Oszillator, der eine Rechteckschwingung liefert. Anhand des Schaltbildes nach Abb. 7.22 l¨aßt sich die Diﬀerentialgleichung f¨ ur uC (t) ableiten, indem man die Knotenregel f¨ ur den Verbindungsknoten zwischen R und C anwendet ±uAmax − uC duC = . (7.60) dt RC Mit der Anfangsbedingung uC (t = 0) = uEauf ergibt sich die L¨ osung dieser

Abb. 7.22. a) Multivibrator mit Komparator, b) Spannungsverl¨ aufe in der Multivibrator-Schaltung

Diﬀerentialgleichung zu

2R1 + R2 −t/RC e . uC (t) = uAmax 1 − R1 + R2 Die Periodendauer T der Rechteckschwingung betr¨ agt somit

2R1 . T = 2RC ln 1 + R2 F¨ ur R1 = R2 folgt

T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(7.61)

(7.62)

(7.63)

174

7 Meßverst¨ arker

Voltmeterschaltung Die Voltmeterschaltung (Abb. 7.23) erm¨oglicht eine hochohmige Spannungsmessung mit einem Strommeßger¨at. Es handelt sich dabei um einen Spannungsverst¨ arker mit Stromausgang. Bei Vernachl¨ assigung der Diﬀerenzeingangsspannung f¨allt die Eingangsspannung uE direkt am Widerstand R ab, so daß uE (7.64) iM = R gilt, woraus unmittelbar die gew¨ unschte Proportionalit¨ at zwischen uE und iM folgt (7.65) iM ∼ uE .

Abb. 7.23. Voltmeterschaltung

Stromgesteuerte Spannungsquelle Abbildung 7.24 zeigt die Schaltung einer mit Hilfe eines Operationsverst¨ arkers realisierten stromgesteuerten Spannungsquelle. Bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle ist die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsassigt, strom iE . Wenn man den Operationsverst¨arkereingangsstrom iN vernachl¨ folgt unmittelbar der Zusammenhang zwischen Eingangsstrom iE und der Ausgangsspannung uA uA = −iE R . (7.66) Prinzipiell k¨ onnte diese Schaltung auch der Strommessung mit niedrigem Innenwiderstand dienen. Der Nachteil, daß eine Eingangsklemme auf Massepotential liegt, wird allerdings erst durch die folgende Amperemeterschaltung vermieden. Amperemeterschaltung Die Amperemeterschaltung (Abb. 7.25) erlaubt die niederohmige Strommessung mit einem Spannungsmeßger¨at, wobei an den Meßkontakten keine Spannung abf¨ allt, d. h. es wird leistungslos und damit ohne einen durch den Innenwiderstand eines Meßger¨ates bedingten systematischen Fehler gemessen. Bei

7.1 Operationsverst¨ arker

175

Abb. 7.24. Stromgesteuerte Spannungsquelle

Vernachl¨ assigung der Eingangsdiﬀerenzspannungen der Operationsverst¨ arker verschwindet die Eingangsspannung uE uE = 0 .

(7.67)

Weiterhin liegen die mit u gekennzeichneten Punkte auf gleichem Potential. Die Potentialdiﬀerenz gegen Masse soll u betragen. Damit kann man bez¨ uglich der Operationsverst¨arker 1 und 2 die beiden folgenden Spannungsuml¨ aufe angeben (7.68) −u + iE R1 + u2 = 0 und

−u − iE R1 + u1 = 0 .

(7.69)

Die Subtraktion der Gl. (7.69) von Gl. (7.68) liefert 2iE R1 = −(u2 − u1 ) .

(7.70)

Die Diﬀerenzbildung (u2 −u1 ) der beiden Teilspannungen wird von dem nachfolgenden subtrahierenden Verst¨arker vorgenommen (siehe auch Abb. 7.12 bzw. Gl. (7.43)), so daß, wie bei der Strommessung gefordert, die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE ist uA = u1 − u2 = −(u2 − u1 ) = 2R1 iE .

Abb. 7.25. Erdfreie Amperemeterschaltung

(7.71)

176

7 Meßverst¨ arker

Stromverst¨ arker Beim Stromverst¨arker (Abb. 7.26) ist der Strom iM , welcher durch das am Ausgang des Operationsverst¨arkers liegende Meßwerk ﬂießt, proportional zum Eingangsstrom iE . Wenn man wiederum die Diﬀerenzeingangsspannung des u R1 iE

iM iE + iM R2

u

Abb. 7.26. Stromverst¨ arker

Operationsverst¨arkers vernachl¨assigt, f¨allt an den Widerst¨ anden R1 und R2 dieselbe Spannung u ab iE R1 = −u (iE + iM )R2 = u .

(7.72) (7.73)

Aus den Gln. (7.72) und (7.73) folgt iM = −

R1 + R2 iE R2

(7.74)

bzw. die gew¨ unschte Proportionalit¨at zwischen dem Eingangsstrom iE und dem Strom iM durch das Meßger¨at iM ∼ iE .

(7.75)

Aktiver Vollweg-Gleichrichter Mit Hilfe von Operationsverst¨arkern lassen sich auch mit realen Dioden nahezu ideale Gleichrichter in Form sog. aktiver Gleichrichterschaltungen realisieren. Der Hauptnachteil von nicht-aktiven Gleichrichterschaltungen, also Schaltungen, die nur auf Dioden basieren, beruht auf der endlichen Diodenschwellspannung (0,7 V bei Siliziumdioden (Kap. 6.3.2)). Abbildung 7.27 zeigt eine aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung, deren Ausgangsspannung uA dem Betrag der Eingangsspannung uE entspricht uA = |uE | .

(7.76)

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

177

Abb. 7.27. Aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung

Der linke Abschnitt der Schaltung stellt einen aktiven Einweg-Gleichrichter dar. Es gilt ur uE ≥ 0 (7.77) uA1 = −uE f¨ bzw. uA1 = 0 f¨ ur uE < 0 .

(7.78)

Die rechte Teilschaltung ist ein addierender Verst¨ arker (Abb. 7.11 bzw. Gl. (7.39)), der in Verbindung mit dem Einweg-Gleichrichter insgesamt zu einem Vollweg-Gleichrichter f¨ uhrt. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung ur negative Eingangsspannungswerte zu uA f¨ uA = −uE f¨ ur uE < 0 .

(7.79)

F¨ ur positive Eingangsspannungen uE folgt aus der f¨ ur den Addierer geltenden Beziehung zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung (Gl. (7.39)) ! " −uE uE + R ur uE > 0 . (7.80) R = uE f¨ uA = − R 2 Die Auswirkungen von nicht vernachl¨assigbaren Diodenschwellspannungen bei endlicher Verst¨ arkung der Operationsverst¨arker wird in [61] behandelt. Es sei darauf hingewiesen, daß aus Oﬀsetspannungen und Eingangsstr¨ omen des Operationsverst¨arkers weitere Fehler resultieren k¨ onnen.

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker 7.2.1 Diﬀerenzverst¨ arker Ein Diﬀerenzverst¨arker ist notwendig, um die Signale von Quellen mit ﬂoatendem Eingang (nicht massebezogenem Eingang) zu verst¨ arken. Dabei handelt es sich um Quellen, deren Potentiale gegen¨ uber Masse schwanken. Dies ist z. B. bei Strommessungen mittels Shunt oft der Fall. Auch bei massebezogenen Signalquellen bietet der Diﬀerenzverst¨arker den Vorteil hoher Gleichtakt-

178

7 Meßverst¨ arker

R1 R2

u E1

u E2

uA

R2 R1

Abb. 7.28. Diﬀerenzverst¨ arker

unterdr¨ uckung (> 100 dB). Abbildung 7.28 zeigt den Schaltungsaufbau. Der Verst¨ arkungsgrad dieser Schaltung kann leicht nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden V =

R1 uA = . uE2 − uE1 R2

(7.81)

Um die Eigenschaften des Diﬀerenzverst¨arkers zu verbessern, insbesondere im Hinblick auf eine Erh¨ohung der Eingangsimpedanz werden sog. Instrumentenverst¨arker eingesetzt, die auch als Instrumentierungsverst¨arker bezeichnetwerden (s. Kap. 7.2.2). Diese besitzen eine sehr hohe Eingangsimpedanz. Dabei ist zu bedenken, daß der Innenwiderstand Ri einer an den Diﬀerenzeingang des Verst¨ arkers nach Abbildung 7.28 angeschlossenen Spannungsquelle den Verst¨ arkungsgrad ver¨andert V →V =

R1 . R2 + Ri

(7.82)

7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨ arker) In der Elektrischen Meßtechnik werden h¨auﬁg pr¨ azise arbeitende Meßverst¨ arker ben¨ otigt, die in der Lage sind, einen hohen Gleichtaktst¨ oranteil m¨ oglichst vollst¨ andig zu unterdr¨ ucken und nur den Diﬀerenzanteil, der in diesem Fall dem Nutzsignal entspricht, zu verst¨arken. Zur Erf¨ ullung dieser Anforderungen scheiden somit alle Verst¨arkertypen aus, bei denen einer der Eing¨ ange auf Bezugspotential liegt. Mit dem in Abb. 7.29 gezeigten Instrumentenverst¨arker, der von einem Subtrahierverst¨arker mit zwei vorgeschalteten Elektrometerverst¨ arkern gebildet wird, werden die gestellten Anforderungen erf¨ ullt. Neben der hohen Gleichtaktunterdr¨ uckung zeichnet sich der Instrumentenverst¨ arker vor allem durch gute Linearit¨atseigenschaften, hohen Eingangswiderstand sowie eine geringe Beeinﬂussung durch Eingangsst¨ orgr¨ oßen aus. Die beiden Operationsverst¨ arker 1 und 2 liefern die Spannung u1

R1 uE1 − uE2 R1 = 1+ uE2 u1 = uE1 + R1 (7.83) uE1 − R R R

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

179

bzw. die Spannung u2 u2 = uE2 − R2

uE1 − uE2 = R

1+

R2 R

uE2 −

R2 uE1 . R

(7.84)

F¨ ur eine reine Gleichtakteingangsspannung uE1 = uE2 = ugl ergibt sich demnach f¨ ur beide Stufen (1 und 2) eine Gleichtaktverst¨ arkung vom Wert 1 u1 u2 = =1. ugl ugl

(7.85)

Der nachgeschaltete Subtrahiererverst¨arker (OpAmp 3) liefert f¨ ur die folgendermaßen dimensionierten Widerst¨ande R4 R6 = R3 R5

(7.86)

die Ausgangsspannung uA (Gl. (7.41)) uA =

R4 (u2 − u1 ) . R3

(7.87)

Mit den Gln. (7.83) und (7.84) ergibt sich die Diﬀerenzverst¨ arkung zu

uA R4 R1 + R2 = 1+ . (7.88) uE2 − uE1 R3 R Wenn man die Schaltung vollkommen symmetrisch aufbaut (R1 = R2 = R und R3 = R4 = R5 = R6 ), folgt uA 2R . =1+ uE2 − uE1 R

Abb. 7.29. Schaltung eines Instrumentenverst¨ arkers

(7.89)

180

7 Meßverst¨ arker

Die Gleichtaktverst¨arkung der Gesamtschaltung ist dann aus Symmetriegr¨ unden (Gl. (7.85)) gleich Null. Die Diﬀerenzverst¨arkung l¨ aßt sich u ¨ber R einstellen, ohne daß in die (abgeglichene) Stufe 3 eingegriﬀen werden muß. Instrumentenverst¨ arker sind komplett integriert als 1-Chip-Bausteine kommerziell erh¨ altlich (z.B. LTC 2053 von Linear Technology (s. Tab. 7.1)). 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker Mit Hilfe von Zerhacker-Verst¨arkern, die auch unter dem Begriﬀ ChopperVerst¨arker bekannt sind, werden Gleichspannungen verst¨ arkt, ohne daß gr¨ oßere Fehler durch Oﬀsetspannungen auftreten. Sie stellen hochwertige Gleichspannungsverst¨ arker mit geringen Spannungsdriften (5. . . 25 nV/K) dar, allerdings weisen sie h¨ohere Rauschpegel als Verst¨ arker ohne Chopper auf. Das Prinzip des Zerhacker-Verst¨arkers beruht auf der Umwandlung (Zerhacken) einer Gleichspannung in eine Wechselspannung, der Verst¨ arkung dieser Wechselspannung mit einem Wechselspannungsverst¨ arker und einer an-

Abb. 7.30. Prinzipschaltung eines Zerhacker-Verst¨ arkers. Der Verst¨ arker V muß keine Gleichspannungs¨ ubertragungseigenschaften aufweisen, da er als reiner Wechselspannungsverst¨ arker arbeitet. Die Signalverl¨ aufe gelten f¨ ur einen Verst¨ arker, der einen Verst¨ arkungsfaktor von 2 aufweist.

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

181

schließenden Synchron-Gleichrichtung. Abbildung 7.30 zeigt das Prinzip eines Eintakt-Zerhacker-Verst¨arkers. Der RC-Tiefpaß am Eingang stellt sicher, daß oher frequente Spektralanteile eventuell im Eingangssignal uE enthaltene h¨ weggeﬁltert werden; denn zum einwandfreien Funktionieren des ZerhackerVerst¨ arkers ist es notwendig, daß die Zerhackerfrequenz wesentlich gr¨ oßer ist als die h¨ ochste zu verst¨arkende Signalfrequenz. Die Hochpaßﬁlternetzwerke C2 R2 und C3 R3 befreien Verst¨arkereingangs- und -ausgangssignal jeweils vom Gleichspannungsanteil. F¨ ur den Fall eines idealen Wechselspannungsverst¨ arkers (frequenzunabh¨angige Verst¨arkung und keine Frequenzabh¨ angigkeit der Phasenverschiebung) sorgt das synchrone Umschalten der beiden ur eine am Ausgangstiefpaß R4 C4 anliegende SignalSchalter S1 und S2 f¨ spannung, die im wesentlichen wieder eine Gleichspannung ist. Die Schalter ur die ZerhackerS1 und S2 arbeiten dabei als Synchrongleichrichter. Wenn f¨ kreisfrequenz die Relation 1 ωtakt (7.90) R4 C4 eingehalten wird, ergibt sich die Ausgangsspannung uA zu [55] uA = V u E .

(7.91)

Als nachteilig kann sich bei Zerhacker-Verst¨ arkern die geringe Signalbandbreite auswirken, welche auf die am Eingang notwendige Tiefpaßﬁlterung zur¨ uckzuf¨ uhren ist. In der Praxis lassen sich nur Signalbandbreiten von etwa 0, 1 · ftakt bis 0, 3 · ftakt realisieren. 7.2.4 Ladungsverst¨ arker Die elektrische Ladung kann mit Hilfe eines ballistischen Galvanometers gemessen werden. Das ballistische Galvanometer ist eine spezielle Ausf¨ uhrungsform des Drehspulmeßger¨ates, dessen Wirkung darauf beruht, daß der ballistische Zeigerausschlag des Instrumentes unter bestimmten Bedingungen der ihm zugef¨ uhrten elektrischen Ladung proportional ist (siehe Kap. 6.1.2). Mit ballistischen Galvanometern sind Ladungsmessungen ab Q = 1 nC m¨ oglich, wenn die Integrationszeit (jene Zeit, in der dem Drehspulmeßwerk die Ladung durch einen Strom zugef¨ uhrt wird) nicht gr¨oßer ist als 10 % der Periodendauer der mechanischen Eigenschwingung des Galvanometers. In der modernen (elektronischen) Meßtechnik bedient man sich bei der Ladungsmessung elektronischer Verst¨arkerschaltungen, die als Ladungsverst¨arker bezeichnet werden. Mit Hilfe von Ladungsverst¨arkern lassen sich auch Ladungsmengen messen, die wesentlich kleiner sind als die oben angegebene Grenze von Q = 1 nC. Beim Ladungsverst¨arker (Abb. 7.31) wird eine verlustarme Kapazit¨ at C verwendet, um die von einem Strom i(t) in einem deﬁnierten Zeitintervall [0,t] gelieferte Ladung zu integrieren. Es gilt t i(t) dt = Cu(t) . (7.92) q(t) = 0

182

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.31. Ladungsverst¨ arker

Bei Vernachl¨ assigung der Eingangsdiﬀerenzspannung (uA = −u(t)) folgt uA (t) = −

1 q(t) . C

(7.93)

Die Ausgangsspannung uA (t) ist also proportional der vom Strom i(t) gelieferten Ladung q(t). Der eﬀektive Eingangswiderstand eines idealen Ladungsverst¨ arkers betr¨ agt RE = 0. Problematisch sind bei Ladungs- und Integrationsverst¨ arkern die Nullpunktfehlergr¨oßen, die auch bei nicht vorhandenem Eingangssignal eine Hochintegration der Ausgangsspannung bis zur Begrenzung durch eine der beiden Speisespannungen bewirken. Im Dauerbetrieb ist entweder eine zyklische R¨ ucksetzung der Spannung an der Integrationskapazit¨ at notwendig, oder es muß mit einem hochohmigen Parallelwiderstand zur Kapazit¨ at daf¨ ur gesorgt werden, daß die durch Nullpunktfehler bedingte langsame Auﬂadung der Kapazit¨at durch einen ebenso großen Entladestrom kompensiert wird.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern Unter Rauschen versteht man die statistische Abweichung eines Signals von seinem Sollwert. Bei elektronischen Bauteilen und damit auch bei elektronischen Meßverst¨ arkern unterscheidet man die folgenden, auf unterschiedlichen physikalischen Ursachen beruhenden Arten von Rauschen, welche verschiedenen Spektralbereichen zugeordnet werden k¨onnen (Abb. 7.32). • Thermisches Rauschen (Johnson-noise) Das thermische Rauschen, das auch Widerstandsrauschen genannt wird, ﬁndet man in allen elektrischen Bauteilen mit Verlustwiderst¨ anden. Es ist auf willk¨ urliche Ladungstr¨agerbewegungen (W¨ armebewegung der freien Elektronen (Valenzelektronen)) zur¨ uckzuf¨ uhren, die mit der Temperatur an Intensit¨ at zunehmen. Ein ohmscher Widerstand kann bez¨ uglich seines Rauschverhaltens durch eines der in Abb. 7.33 gezeigten Ersatzschaltbilder dargestellt werden [11]. Die Eﬀektivwerte der dort gezeigten RauschErsatzspannungs- bzw. Rausch-Ersatzstromquelle lassen sich anhand der sog. NYQUIST-Formel ermitteln:

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

spektrale Rauschleistungsdichte

183

PopcornRauschen 1/f - Rauschen (Funkelrauschen) Thermisches Rauschen, Schrotrauschen

f Abb. 7.32. Spektrale Zuordnung verschiedener Rauscharten

– NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzspannungsquelle 2 Ureﬀ = u2r (t) = 4kT RB

(7.94)

– NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzstromquelle (Abb. 7.33c) 2 = i2r (t) = 4kT Ireﬀ

1 B. R

(7.95)

Dabei bezeichnen k = 1, 38 · 10−23 (Ws/K) die Boltzmann-Konstante, T (K) die absolute Temperatur, B (Hz) die Beobachtungsbandbreite, R (Ω) den Wert des ohmschen Widerstandes, Ureﬀ die eﬀektive Leerlaufspannung der Rausch-Ersatzspannungsquelle und Ireﬀ den eﬀektiven Kurzschlußstrom der Rausch-Ersatzstromquelle. Das thermische Rauschen ist ein sog. Weißes Rauschen, d. h. es zeigt im interessierenden Frequenzbereich keinerlei spektrale Abh¨angigkeit. • Schrotrauschen (Schottky-Rauschen) Das Schrotrauschen, das auch als Stromrauschen bzw. Schottky-Rauschen bezeichnet wird, entsteht in Halbleitern, wenn Ladungstr¨ ager eine Sperrschicht passieren. Abbildung 7.34 zeigt die Rausch-Ersatzschaltung eines ¨ rauschenden pn-Uberganges. Es handelt sich hierbei ebenfalls um weißes

R R ur a)

G = 1R

bzw.

b)

ir c)

Abb. 7.33. Ersatzrauschquellen eines ohmschen Widerstandes: a) rauschender ohmscher Widerstand, b) Ersatzspannungsquelle: rauschfreier Widerstand mit Rausch-Ersatzspannungsquelle, c) Ersatzstromquelle: rauschfreier Widerstand (Leitwert G = 1/R) mit Rausch-Ersatzstromquelle

184

7 Meßverst¨ arker

I

I rauschend

rauschfrei i rschrot

¨ Abb. 7.34. Ersatzschaltung eines rauschenden pn-Uberganges in bezug auf sein Schrotrauschen

Rauschen. Bei Operationsverst¨arkern wird das Schrotrauschen vom Eingangsruhestrom verursacht. Der entsprechende Eﬀektivwert des Rauschstroms Irschrot ergibt sich aus dem Eingangsruhestrom IB , der Elektronenladung e sowie der Beobachtungsbandbreite B 2 Irschrot = 2|e|IB B .

(7.96)

• 1/f-Rauschen (Funkelrauschen) Das 1/f-Rauschen, das auch als Funkelrauschen (Flicker Noise) bezeichnet wird, erzeugt ein Rauschsignal mit einer Spektralverteilung, die mit 1/f zu h¨ oheren Frequenzen hin abf¨allt. Bei Halbleiterbauelementen werden Oberﬂ¨ acheneigenschaften daf¨ ur verantwortlich gemacht, genau genommen handelt es sich dabei um ﬂuktuierende Umladungen von Oberﬂ¨ achenzust¨ anden [11]. Das Funkelrauschen ist von seiner spektralen Verteilung her gesehen ein Rosa Rauschen, d. h. ein Rauschen, dessen charakteristisches Merkmal eine konstante Rauschleistung pro Frequenzdekade ist. • Rekombinationsrauschen (r-g-noise) (Quantenrauschen) Das Rekombinationsrauschen ist auf das willk¨ urliche Einfangen (Trapping) und Freigeben von Ladungstr¨agern in Halbleitern zur¨ uckzuf¨ uhren, d. h. es wird durch die zuf¨allige Generation bzw. Rekombination von Ladungstr¨ agern hervorgerufen. • Popcorn-Rauschen Das Popcorn-Rauschen, das auch als Burst-Rauschen bezeichnet wird, ist auf metallische Verunreinigungen im Halbleiter zur¨ uckzuf¨ uhren und ¨ außert ¨ sich in Form zuf¨allig auftretender Anderungen der Gleichstrom-Parameter. Es erscheint in der spektralen Rauschleistungsverteilung in Form eines diracf¨ ormigen Gleichanteils bei der Frequenz f = 0 (Abb. 7.32) [41]. Die Beschreibung des Verst¨ arkerrauschens Das Verst¨ arkerrauschen wird im allgemeinen in Form der von den (internen) Rauschquellen des Verst¨arkers erzeugten Rauschleistung bzw. der daraus resultierenden Reduzierung des Signal/Rausch-Verh¨ altnisses zwischen

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

185

Eingangs- und Ausgangstor angegeben. Der Berechnung dieses Signal/RauschVerh¨ altnisses legt man bei Vierpolen und somit auch bei Verst¨ arkern die in Abb. 7.35 gezeigte Rauschersatzschaltung zugrunde. Dabei wird das eigentliche Verst¨ arkerrauschen durch die Angabe einer eingangsbezogenen Rauschspannungsquelle und einer Rauschstromquelle beschrieben. Diese RauscherRauschspannungsquelle

ur

Rauschstromquelle ir

uE

uA

uE

uA RE

RE Vierpol mit Rauschquellen

rauschender Verstärker

rauschfreier Verstärker

Abb. 7.35. Ersatzschaltung eines rauschenden Verst¨ arkers

satzquellen sind dabei im allgemeinen durch die spektralen Werte der Rausch√ (f ) [nV/ Hz] bzw. der Rauschstromdichte Ifr (f ) [pA/spannungsdichte U fr √ Hz] gekennzeichnet. Die ¨ aquivalente Rauscheingangsspannung UrEges am ¨ Verst¨ arkereingang erh¨alt man durch quadratische Uberlagerung der von den Rauschquellen am Verst¨arkereingang hervorgerufenen Spannungsanteile. Diese wiederum ergeben sich aus der Integration der spektralen Rauschdichtegr¨ oßen u ¨ber das Frequenzintervall [fmin , fmax ], in dem gemessen wird. Die Eﬀektivwerte der Rauschspannung Ureﬀ sowie des Rauschstromes Ireﬀ berechnen sich demnach wie folgt 2 = Ureﬀ

2 = Ireﬀ

fmax

fmin fmax

Ufr2 (f ) df

(7.97)

Ifr2 (f ) df .

(7.98)

fmin

Infolge der ohmschen Spannungsteilung (Abb. 7.36) ergibt sich die quadrati¨ sche Uberlagerung der Eﬀektivwerte zu UrEges =

2 Ureﬀ

RE RE + RQ

2 2 + Ireﬀ

RE RQ RE + RQ

2 .

(7.99)

arkereingang bezoDie Spannung UrEges ist der Eﬀektivwert der auf den Verst¨ genen Rauschspannung, welche das gesamte Verst¨ arkerrauschen im Frequenzintervall [fmin , fmax ] repr¨asentiert, d. h. der in Abb. 7.36 gezeigte eigentliche Verst¨ arker ist frei von Rauschquellen. In obiger Ableitung wurde die Korrelation zwischen den beiden Rauschquellen vernachl¨ assigt, was in vielen prakti-

186

7 Meßverst¨ arker

Rausch-ErsatzSpannungsquelle RQ

ir uE

ur

uA RE

U0Signal Rausch-ErsatzStromquelle

Abb. 7.36. Rauschersatzschaltung eines mit einer Signalquelle beschalteten elektrischen Vierpoles

schen F¨ allen in erster N¨aherung erlaubt ist. F¨ ur den Fall nicht vernachl¨ assigbarer Korrelation ﬁndet sich die entsprechende Herleitung in der Literatur, z. B. in [68]. Das Rauschen von Operationsverst¨ arkern Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Verst¨ arkern ist beim Operationsverst¨ arker zu beachten, daß es sich hier nicht um ein Zweitor handelt. Der Eingang des Operationsverst¨arkers besteht strenggenommen aus drei Klemmen (invertierender Eingang, nichtinvertierender Eingang und Masse). Daher sind f¨ ur die Beschreibung des Rauschens von Operationsverst¨ arkern drei voneinander unabh¨angige Rauschquellen erforderlich. Abbildung 7.37 zeigt XU XG

X$

XG

X$

L U

L U

Abb. 7.37. Rauschersatzschaltung eines Operationsverst¨ arkers

einen Operationsverst¨arker und dessen Rauschersatzschaltung. Die Beschreibung mit einer Spannungsquelle und zwei Stromquellen ist die g¨ angigste Darstellung, wenn auch prinzipiell andere Darstellungsformen m¨ oglich sind. F¨ ur die Stromquellen gilt aus Symmetriegr¨ unden, daß die Rauschleistungsdichten gleich sind (7.100) i2r,1 = i2r,2 . Die Stromquellen sind dennoch als unkorreliert zu betrachten. Beispiele zum Rauschen von Operationsverst¨arkern ﬁnden sich in [61].

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

187

Signal/Rausch-Verh¨ altnis Das Signal/Rausch-Verh¨altnis (Signal-to-Noise-Ratio) S/N an einem elektrischen Tor ist deﬁniert als das Verh¨altnis von Signalspannung zu Rauschspannung an diesem Tor. So ergibt sich das Signal/Rausch-Verh¨ altnis am Ausgangstor des Verst¨arkers zu

UArauschfrei S [dB] = 20 lg , (7.101) N UrA wobei UArauschfrei das Nutzsignal am Verst¨arkerausgang (Eﬀektivwert) und UrA die Rauschspannung am Verst¨arkerausgang (Eﬀektivwert) bezeichnen. Das Signal/Rausch-Verh¨altnis l¨aßt sich aber auch auf den Verst¨ arkereingang beziehen. F¨ ur die in Abb. 7.36 gezeigte Beschaltung des Verst¨ arkers gilt " ! RE

UErauschfrei S RQ +RE U0Signal [dB] = 20 lg , (7.102) = 20 lg N UrEges UrEges wobei UErauschfrei das Nutzsignal am Verst¨arkereingang (Eﬀektivwert) und UrEges die Rauschspannung am Verst¨arkereingang (Eﬀektivwert) bezeichnen. Bei obiger Berechnung wurde die Signalquelle (Abb. 7.36) zun¨ achst als rauschfrei angenommen. Soll das Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Signal ersetzt quelle ber¨ ucksichtigt werden, muß UrEges in Gl. (7.102) durch UrEges werden

2 RE 2 , (7.103) UrEges = UrEges + 4kT RQ (fmax − fmin ) RQ + RE wobei UrEges die bereits in Gl. (7.99) berechnete, von den internen Rauschquellen des Verst¨arkers hervorgerufene Rauschspannung bezeichnet. Rauschzahl Die Rauschzahl F eines rauschenden (Verst¨arker-)Vierpols ist deﬁniert als das Verh¨ altnis von Signal/Rausch-Verh¨altnis am Eingangstor zum Signal/RauschVerh¨ altnis am Ausgangstor F =

PsE PrE PsA PrA

=

PsE PrA . PsA PrE

(7.104)

Dabei bezeichnen PsE die Signalleistung am Eingang, PsA die Signalleistung am Ausgang, PrE die Rauschleistung am Eingang (die von der Signalquelle oder von externen St¨orquellen eingespeiste Rauschleistung) und PrA die Rauschleistung am Ausgang. Die Rauschzahl wird oft auch in logarithmischer Form angegeben F˜ (dB) = 10 lg F . (7.105)

188

7 Meßverst¨ arker

Unter Einbeziehung der Leistungsverst¨arkung Vp des Vierpols PsA PsE

(7.106)

PrA . Vp PrE

(7.107)

Vp = erh¨ alt man F =

Wenn man voraussetzt, daß der Verst¨arker f¨ ur das Signal und das Rauschen dieselbe Leistungsverst¨arkung aufweist, folgt f¨ ur die Rauschleistung PrA am Ausgang PrA = PrE Vp + PrAamp = PrE Vp + PrEamp Vp = PrEtot Vp ,

(7.108)

wenn PrEamp die auf den Verst¨arkereingang bezogene und PrAamp die auf den Ausgang bezogene Rauschleistung des Verst¨ arkers darstellen. Aus den Gln. (7.107) und (7.108) folgt f¨ ur die Rauschzahl F F =

PrAamp PrEamp PrEtot =1+ =1+ = 1 + Fz . PrE PrE Vp PrE

(7.109)

Der Term Fz bezeichnet die sog. Zusatzrauschzahl, welche im Falle eines nichtrauschenden Verst¨arkers identisch Null ist, d. h. F = 1. Da die Leistungen PrEtot und PrE am selben Widerstand, n¨amlich dem Eingangswiderstand RE des Verst¨ arkers, wirken, folgt mit den oben gew¨ ahlten Bezeichnungen und der Rauschspannung UrEges aus Gl. (7.99) F =1+

2 UrEges = 1 + Fz . 2 UrQuelle

(7.110)

In Gl. (7.110) bezeichnet UrQuelle die eﬀektive Rauschspannung der Quelle, die mit dem Teilerverh¨altnis des Eingangsspannungsteilers gewichtet am Verst¨ arkereingang wirksam wird = UrQuelle UrQuelle

RE . RE + RQ

(7.111)

Wenn das Rauschen der Quelle durch das thermische Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Quelle beschrieben werden kann, folgt f¨ ur die entsprechende Rauschspannung UrQuelle 2 UrQuelle = 4kT RQ (fmax − fmin ) .

(7.112)

Im weiteren wollen wir annehmen, daß der Eingangswiderstand RE des Verst¨ arkers wesentlich gr¨oßer ist als der Innenwiderstand der Signalquelle (RE RQ ). Unter dieser Annahme folgt mit Gl. (7.99) und den Gln. (7.110)(7.112)

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

F =1+

2 2 2 + Ireﬀ RQ Ureﬀ = 1 + Fz . 4kT RQ (fmax − fmin )

189

(7.113)

Im allgemeinen deﬁniert man noch den sog. ¨ aquivalenten Rauschwiderstand Rr und den ¨ aquivalenten Rauschleitwert Gr des Vierpols, indem man den in Gl. (7.113) vorkommenden Rauschleistungen diese Werte wie folgt zuordnet 2 Ureﬀ = 4kT (fmax − fmin )Rr 2 Ireﬀ = 4kT (fmax − fmin )Gr .

(7.114) (7.115)

Damit l¨ aßt sich Gl. (7.113) in folgender Form schreiben F =1+

2 Rr + Gr RQ . RQ

(7.116)

Die durch Gl. (7.116) beschriebene Funktion F durchl¨ auft in Abh¨ angigkeit von RQ ein charakteristisches Minimum (Abb. 7.38). Man spricht von Rauschanlog F

F min R Q opt

log R Q

Abb. 7.38. Abh¨ angigkeit der Rauschzahl vom Quellenwiderstand RQ

passung, wenn der Minimalwert Fmin der Rauschzahl erreicht wird. Der dazu notwendige optimale Innenwiderstand RQopt der Signalquelle ergibt sich durch Ableitung von Gl. (7.116) nach RQ und anschließendem Nullsetzen zu Rr . (7.117) RQopt = Gr Damit l¨ aßt sich auch die bestenfalls erreichbare minimale Rauschzahl Fmin angeben Ureﬀ Ireﬀ . (7.118) Fmin = 1 + 2 Rr Gr = 1 + 2kT (fmax − fmin ) Rauschen von Kettenschaltungen Um die resultierende Rauschzahl einer Verst¨arker-Kettenschaltung (Abb. 7.39) zu ermitteln, wird zun¨achst jedem Vierpol eine Ersatzrauschspannungsquelle (mit der eﬀektiven Rauschspannung UrEgesi ) zugeordnet, welche die internen

190

7 Meßverst¨ arker

UrQuelle UrEges1

UrEgesn

UrEges2 .....

RQ U0Signal

Vierpol 1

Vierpol 2

Vierpol n

VU1

VU2

VUn .....

Abb. 7.39. Rauschen von Vierpol-Kettenschaltungen

Rauschquellen des Vierpoles ¨aquivalent ersetzt. Wenn man alle Spannungen auf den Eingang der ersten Vierpolstufe bezieht, folgt f¨ ur den Signal/RauschVerh¨ altnis ! " U0Signal S = 20 lg (7.119) N UrEges ⎞ ⎛ ⎜ U0Signal = 20 lg ⎜ ⎝ U2 2 2 UrQuelle + UrEges1 + rEges2 + V2 u1

2 UrEges3 2 V2 Vu1 u2

⎟ ⎟ , ⎠ + ...

wobei UrEgesi die Ersatzrauschspannung des i-ten Vierpols und Vui die Spannungsverst¨ arkung des i-ten Vierpols bezeichnen. Friis hat in einer grundlegenden Arbeit [38] die Gesamtrauschzahl Fges einer Vierpol-Kettenschaltung abgeleitet (siehe auch [11]) Fges = F1 +

F2 − 1 F3 − 1 Fn − 1 + + ... + . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.120)

In Gl. (7.120) bezeichnen Fi die Rauschzahl des i-ten Vierpoles und Vpi seine Leistungsverst¨ arkung. F¨ ur mehrstuﬁge Verst¨arkerschaltungen kann bei gen¨ ugend hoher Leistungsverst¨arkung der einzelnen Stufen folgende N¨ aherung angenommen werden F1

F2 − 1 F3 − 1 Fn − 1 ... . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.121)

Dies bedeutet, daß das Rauschverhalten der Kettenschaltung im wesentlichen vom Rauschen der Eingangsstufe bestimmt wird. Rauschmessung Ein ohmscher Widerstand gibt bei der absoluten Temperatur T gem¨ aß den Gln. (7.94) und (7.95) im Frequenzintervall B = fmax − fmin bei Leistungsanpassung die Rauschleistung PrR ab

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

PrR = kT B .

191

(7.122)

Leistungsanpassung heißt, daß der rauschende Widerstand seine Leistung an einen Zweipol abgibt, dessen Innenwiderstandswert mit dem des Rauschwiderstandes u alfte der urspr¨ ung¨bereinstimmt, so daß am Zweipol nur die H¨ lichen Rauschspannung (Gl. (7.94)) anliegt. Die auf diese Weise von einem ohmschen Widerstand abgegebene Rauschleistung h¨ angt nicht vom Widerstandswert ab, sondern wird nur von der Temperatur des Widerstandes und der Beobachtungsbandbreite B bestimmt. Gem¨ aß einer zweiten Rauschzahl-Deﬁnition gibt die Rauschzahl F auch an, um welchen Faktor ein Vierpol mit der Leistungsverst¨ arkung Vp bei der Referenztemperatur T0 = 290 K die thermische Rauschleistung PrR des Innenwiderstandes der Signalquelle durch sein Eigenrauschen vergr¨ oßert [68]. Die Umrechnung in die urspr¨ ungliche Deﬁnition (Gl. (7.104)) l¨ aßt sich wie folgt durchf¨ uhren PrA PrA PsE PrA . (7.123) = = F = PsA PrE Vp PrR Vp kT0 B Gleichung (7.122) ﬁndet Anwendung, um die Rauscheigenschaften von Vierpolen durch Angabe einer ﬁktiven Rauschtemperatur TR zu beschreiben. Dazu wird der Rauschleistung PrE mit Hilfe von Gl. (7.122) die Temperatur T0 und der Rauschleistung PrEamp die Temperatur TR zugeordnet. Mit Gl. (7.109) ergibt sich dann die ﬁktive Rauschtemperatur TR zu TR = (F − 1)T0 .

(7.124)

Die Rauschmessung kann nun mit Hilfe der Prinzipschaltung nach Abb. 7.40 erfolgen. Dabei wird die Rauschleistung am Ausgang eines Verst¨ arkers f¨ ur zwei unterschiedliche (aber bekannte) Eingangsrauschleistungen mit Hilfe eines Leistungsmeßger¨ates gemessen. Bei linearem Verhalten des Verst¨ arkervierangigpoles gilt f¨ ur die Gesamtrauschleistung PrA an seinem Ausgang in Abh¨ keit der am Eingang eingespeisten Rauschleistung PrE = kT B (Abb. 7.41) PrA0 = kT0 BVp + Pramp = kT0 BVp F

(7.125)

PrA0 bzw. PrA1 PrE0 = k T 0 B

R (T0 )

PrE1 = k T 1 B

Verstärker VP , Pramp

Leistungsmeßgerät

R (T1 )

Abb. 7.40. Prinzipschaltung zur Messung der Rauschzahl. Der Widerstand R gibt im Frequenzintervall B die temperaturabh¨ angige Rauschleistung PrE = PrR = kT B ab. Es wird Leistungsanpassung zwischen R und dem Verst¨ arkereingang vorausgesetzt.

192

7 Meßverst¨ arker

bzw. PrA1 = kT1 BVp + Pramp ,

(7.126)

wobei Pramp die Gesamtrauschleistung der internen Rauschquellen des Verst¨arkers bezeichnet. Infolge des linearen Verhaltens (Abb. 7.41) gilt weiterhin

bzw. F˜ (dB) = 10 lg

F =

T1 T0 − 1 PrA1 PrA0 − 1

∆T T0

(7.127)

− 10 lg

PrA1 −1 , PrA0

(7.128)

wobei ∆T = T1 − T0 die Rauschtemperaturdiﬀerenz beschreibt. In der Praxis werden keine rauschenden Widerst¨ande sondern Rauschgeneratoren verwendet, die in der Lage sind, deﬁnierte einstellbare Rauschleistungen abzugeben. Im allgemeinen wird dann auch die in dB gemessene Rauschleistungserh¨ohung ENR (Excess Noise Ratio) anstatt der Rauschtemperaturdiﬀerenz ∆T angegeben. Der Quotient PrA1 /PrA0 wird oft auch als Y-Faktor bezeichnet. Daraus folgt F˜ (dB) = ENR − 10 lg(Y − 1) . (7.129) Bei vorgegebenem Y-Faktor kann mit Hilfe eines geeigneten Leistungsmessers der Wert von ENR gemessen und damit die Rauschzahl anhand von Gl. (7.129) bestimmt werden. PrA PrA1 kTBVP

PrA0 = kT 0 BVP F Pramp

-T R = -

Pramp kBVP

0

T0

T1

T

P rE0

PrE1

PrE =kTB

Abb. 7.41. Rauschleistung am Vierpolausgang als Funktion der Temperatur des Quellwiderstandes bzw. als Funktion der Eingangsrauschleistung

8 Messung der elektrischen Leistung

8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis Die elektrische Leistung P an einem elektrischen Tor ergibt sich aus dem Produkt von Spannung U und Strom I P = UI .

(8.1)

Diese Leistung kann mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes gemessen werden. Dazu schickt man den Strom I durch die Feldspule (Widerstand RWA ) und legt die Spannung U an die Drehspule (Widerstand RWV ) an. Abbildung 8.1 zeigt die entsprechende Schaltung mit dem elektrodynamischen Meßwerk. uber dem Verbraucherstrom IV Falls der Strom I2 durch die Drehspule gegen¨ vernachl¨ assigt werden darf, ist der Zeigerausschlag α proportional zur Leistung PV des Verbrauchers ˜ 2 + IV )I2 ≈ kI ˜ V I2 ˜ 1 I2 = k(I α = kI ˜ V UV = kUV IV = kPV . = kI RWV

(8.2)

Die Feldspule sollte wegen der Strommessung niederohmig und die Drehspule wegen der Spannungsmessung hochohmig sein.

Abb. 8.1. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk. Der Punkt kennzeichnet die Polarit¨ at des Spannungspfades.

194

8 Messung der elektrischen Leistung

Die von der Quelle gelieferte Leistung PQ teilt sich in die vom Verbraucher otigte Leistung PM umgesetzte Leistung PV und die vom Meßger¨at ben¨ PQ = PV + PM .

(8.3)

Wie anhand von Abb. 8.2 deutlich wird, kann ein elektrodynamisches Meßwerk stromrichtig oder spannungsrichtig angeschlossen werden. Die Begriﬀe strom- und spannungsrichtig beziehen sich dabei entweder auf die Quellenseite (Quellentor) oder die Verbraucherseite (Verbrauchertor) des Meßger¨ ates. Spannungsrichtig in bezug auf die Verbraucherseite heißt, daß die am Verahrend der braucherwiderstand RV anliegende Spannung UV gemessen wird, w¨ Strom, der durch die Stromspule des Meßger¨ates ﬂießt, dem Quellstrom, d. h. also der Summe aus Verbraucherstrom IV und Drehspulenstrom I2 , entspricht (Abb. 8.2a). Bei der in bezug auf die Verbraucherseite stromrichtigen Messung ist es umgekehrt, hier wird der richtige Wert des Verbraucherstroms gemessen, w¨ ahrend am Spannungseingang die Summe aus Verbraucherspannung und Feldspulenspannung anliegt. Eine korrekte Messung der Verbraucherleistung

Abb. 8.2. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk: a) Es werden der Quellstrom und die Verbraucherspannung richtig gemessen. b) Es werden die Quellspannung und der Verbraucherstrom richtig gemessen.

PV bzw. der Quelleistung PQ ist erst m¨oglich, wenn das elektrodynamische Meßwerk um eine Korrekturspule erweitert wird, welche dieselbe Windungszahl aufweist wie die Stromspule (Abb. 8.3). Durch diese Korrekturspule ﬂießt der Strom, den auch die Drehspule f¨ uhrt (I2 ). Bei der Stromrichtung nach Abb. 8.3a addiert sich die Wirkung dieses Korrekturspulenstroms zu der des Feldspulenstroms I1 , so daß die Leistung quellrichtig gemessen wird. Bei Stromumkehr nach Abb. 8.3b kann die Leistung verbraucherrichtig gemessen werden. Es sollte jedoch erw¨ahnt werden, daß generell bei allen Messungen durch

Abb. 8.3. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk, das mit einer Korrekturspule ausgestattet ist: a) Es wird die Quelleistung richtig gemessen. b) Es wird die Verbraucherleistung richtig gemessen.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

195

das Einbringen des elektrodynamischen Meßwerkes systematische Meßfehler auftreten. So wird bei einer verbraucherrichtigen Messung beispielsweise zwar die aktuelle Verbraucherleistung korrekt erfaßt, die Verbraucherleistung jedoch, die bei nicht vorhandenem Meßwerk im Verbraucher umgesetzt w¨ urde, erh¨ alt man erst nach einer Fehlerkorrektur der systematischen Meßfehler.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis 8.2.1 Begriﬀsdeﬁnitionen Nachdem sich mit Hilfe der Fourieranalyse jeder beliebige periodische Zeitverlauf einer Spannung bzw. eines Stromes in seine rein sinusf¨ ormigen Spektralkomponenten zerlegen und in Form einer Fourierreihe darstellen l¨ aßt, k¨ onnen wir uns im folgenden ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit auf rein sinusf¨ ormige Zeitverl¨aufe beschr¨anken ˆ sin(ωt + ϕu ) u(t) = U i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi ) .

(8.4) (8.5)

Die entsprechenden Eﬀektivwertbetr¨age erh¨alt man mit der Deﬁnition aus Kap. 6.3.1 ˆ U Ueﬀ = √ 2 Iˆ Ieﬀ = √ . 2

(8.6) (8.7)

Die Wechselgr¨ oßen aus Gln. (8.4) und (8.5) lassen sich alternativ in komplexer Schreibweise als Zeigergr¨oßen ˆ e−jϕu ˆ ejϕu U ∗ = U U =U ˆ −jϕi , ˆ jϕi I ∗ = Ie I = Ie

(8.8) (8.9)

oder als Eﬀektivwertzeiger angeben U eﬀ = Ueﬀ ejϕu I eﬀ = Ieﬀ ejϕi .

(8.10) (8.11)

8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz In (einphasigen) Wechselstromkreisen sind die folgenden Leistungsgr¨ oßen deﬁniert:

196

8 Messung der elektrischen Leistung

Komplexe Leistung P Die komplexe Leistung P ist folgendermaßen deﬁniert P = U eﬀ I ∗eﬀ = Ueﬀ Ieﬀ ejϕu −ϕi = Ueﬀ Ieﬀ ejϕui

(8.12)

P = Re(P ) + jIm(P ) = PW + jPB .

(8.13)

Wirkleistung PW Die Wirkleistung PW ist der Teil der komplexen elektrischen Leistung, der in der Impedanz Z in eine andere (nicht-elektrische) Energieform, wie z. B. in mechanische Energie oder in W¨armeenergie umgesetzt wird. Sie entspricht dem Produkt von Spannungs- und Stromeffektivwert, multipliziert mit dem Cosinus der Phasenwinkeldiﬀerenz zwischen Strom und Spannung (Einheit Watt (W)) (8.14) PW = Re(P ) = Ueﬀ Ieﬀ cos ϕui . Die Messung der Wirkleistung kann direkt mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes erfolgen, da bei diesem der Zeigerausschlag dem Produkt ur I1eﬀ I2eﬀ cos ϕ proportional ist (Gl. (6.47)). Es gelten ansonsten die bereits f¨ den Gleichstromkreis aufgestellten Regeln (Kap. 8.1). Blindleistung PB Die Blindleistung PB wird durch das Speicherverhalten einer komplexen Impedanz verursacht. Dieser Teil der Leistung pendelt periodisch zwischen der Quelle und dem Verbraucher mit der Impedanz Z hin und her (Einheit VoltAmpere-reaktiv (VAR)) PB = Im(P ) = Ueﬀ Ieﬀ sin ϕui .

(8.15)

Die Blindleistung wird ebenfalls mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes bestimmt. Allerdings muß ein 90◦ -Phasenschieber verwendet werden, der den Strom des Spannungspfades gegen¨ uber der Spannung U V um −90◦ dreht

Abb. 8.4. Messung der Blindleistung in einem Wechselstromkreis mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes und einem 90◦ -Phasenschieber.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

197

(Abb. 8.4). F¨ ur den Zeigerausschlag α gilt dann ˜ 1eﬀ I2eﬀ cos ϕ ≈ kIVeﬀ UVeﬀ cos(ϕ − 90◦ ) = kIVeﬀ UVeﬀ sin ϕ . α = kI

(8.16)

Da die 90◦ -Phasenverschiebung frequenzabh¨ angig ist, sind die Ger¨ ate zur Blindleistungsmessung u ur eine Frequenz von 50 Hz bzw. 60 Hz ¨blicherweise f¨ konzipiert. F¨ ur stark oberwellenhaltige Signale ergeben sich daher fehlerhafte Meßwerte. Die Blindleistung wird bei induktiven Lasten positiv und bei kapazitiven Lasten negativ angezeigt. Scheinleistung PS Die Scheinleistung ist die in einer komplexen Impedanz Z umgesetzte Leistung. Sie entspricht dem Produkt der Eﬀektivwerte von Strom und Spannung an der Impedanz Z (Einheit Volt-Ampere (VA)) 2 + P2 . PS = |P | = Ueﬀ Ieﬀ = PW (8.17) B Meßtechnisch l¨ aßt sich die Scheinleistung am einfachsten durch separate Strom- und Spannungsmessungen der Eﬀektivwerte Ieﬀ und Ueﬀ und die anschließende Produktbildung gem¨aß Gl. (8.17) ermitteln. 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen Prinzipielle Schaltungsvarianten in Drehstromsystemen Bei Drehstromsystemen unterscheidet man zwischen dem 3-Leiter-System und dem 4-Leiter-System, je nachdem, ob ein Neutralleiter vorhanden ist oder nicht. Abbildung 8.5 zeigt beide Varianten. Die komplexen Verbraucher Z 1 ,

Abb. 8.5. a) 4-Leiter-Drehstromsystem mit Sternschaltung der Verbraucher (N: Neutralleiter), b) 3-Leiter-Drehstromsystem mit Dreieckschaltung der Verbraucher

198

8 Messung der elektrischen Leistung

Z 2 und Z 3 k¨ onnen in Form einer Sternschaltung (Abb. 8.5a) oder einer Dreieckschaltung (Abb. 8.5b) zusammengeschaltet werden. Beim 4-Leiter-System hat man zwischen den Leiterspannungen (verkettete Spannung) U 12 , U 23 und U 31 (Spannungen zwischen zwei Außenleitern) und den Sternspannungen U 1N , U 2N und U 3N (Spannungen zwischen Außenleiter und Neutralleiter) zu unterscheiden (Abb. 8.5). Der Neutralleiter wird auch als Sternpunkt bezeichnet. Im Falle eines 3-Leiter-Systems kann man sich zu meßtechnischen Zwecken (Abb. 8.9) einen k¨ unstlichen Sternpunkt N schaﬀen, indem man die drei Leiter L1 , L2 und L3 jeweils mit einem hochohmigen Widerstand R zu dem k¨ unstlichen Sternpunkt N verbindet. Im folgenden wollen wir zun¨achst eine symmetrische Belastung voraussetzen, d. h. die drei Lastimpedanzen sind identisch Z 1 = Z 2 = Z 3 . Im Zeigerdiagramm (Abb. 8.6) erkennt man, daß sowohl die Leiterspannungen als auch die Sternspannungen um jeweils 120◦ gegeneinander phasenverschoben sind. In Drehstromnetzen gilt generell U 12 = U 1N − U 2N U 23 = U 2N − U 3N U 31 = U 3N − U 1N .

(8.18) (8.19) (8.20)

Dabei sollte erw¨ahnt werden, daß sich in 3-Leiter-Systemen die Bezeichnung

Abb. 8.6. Zeigerdiagramm eines symmetrisch belasteten Drehstromsystems. Leiterspannungen: U 12 , U 23 , U 31 ; Sternspannungen: U 1N , U 2N , U 3N

N auf den k¨ unstlichen Sternpunkt N bezieht. Im speziellen gilt bei symmetrischer Belastung U 1N = U U 2N = U e U 3N = U e

(8.21) −j120◦ +j120◦

(8.22) (8.23)

und |U 31 | =

√ |U 1N |2 + |U 3N |2 − 2|U 1N ||U 3N | cos 120◦ = |U 1N | 3 . (8.24)

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

Die Leiterspannungen sind betragsm¨aßig stets gleich √ √ |U 12 | = |U 23 | = |U 31 | = |U | 3 = U 3

199

(8.25)

und ihre (Zeiger)-Summe ergibt Null U 12 + U 23 + U 31 = 0 .

(8.26)

Die Str¨ ome des 4-Leiter-Systems gen¨ ugen folgender Bedingung I1 + I2 + I3 = IN .

(8.27)

F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung (gleiche Lastimpedanzen Z 1 = Z 2 = Z 3 ) verschwindet der Strom im Neutralleiter des 4-Leiter-Systems. Weiterhin gilt f¨ ur die Leiterstr¨ome (8.28)

I1 = I I2 = I e I3 = I e

−j120◦ +j120◦

(8.29) .

(8.30)

Aus Abb. 8.7 folgt der Zusammenhang zwischen Leiterstr¨ omen und Strang-

Abb. 8.7. Zeigerdiagramm von Leiterstr¨ omen I i und Strangstr¨ omen I ij bei der Dreieckschaltung. Die Form des gleichseitigen Dreiecks erh¨ alt man nur f¨ ur symmetrische (gleiche) Lasten Z i .

str¨ omen bei einer Dreieckschaltung 1 |I 12 | = |I 23 | = |I 31 | = √ |I| . 3

(8.31)

Im 3-Leiter-System ist die Summe der drei Leiterstr¨ ome infolge des nicht vorhandenen Neutralleiters stets Null I1 + I2 + I3 = 0 .

(8.32)

200

8 Messung der elektrischen Leistung

Messung der Wirkleistung in Drehstromsystemen F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung gen¨ ugt ein Leistungsmesser, i.allg. wiederum ein elektrodynamisches Meßwerk. Die umgesetzte Gesamtleistung ergibt sich dabei als die dreifache Einzelleistung, welche gerade von dem einen Leistungsmesser angezeigt wird. F¨ ur den allgemeinen Fall unsymmetrischer Belastung jedoch werden beim 4-Leiter-System drei und beim 3-Leiter-System zwei Leistungsmesser ben¨otigt. Es gilt die generelle Regel, daß n−1 Leistungsmesser eingesetzt werden m¨ ussen, wenn n Leitungen zu einem Verbraucher f¨ uhren, da eine der Leitungen stets als R¨ uckleitung angesehen werden kann. 4-Leiter-System Zur Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-System werden drei elektrodynamische Meßwerke gem¨aß Abb. 8.8 zusammengeschaltet. Die Gesamtwirk-

Abb. 8.8. Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem

leistung PWges ergibt sich als Summe der einzelnen Leistungen PWi PWges = PW1 + PW2 + PW3 = U1Neﬀ I1eﬀ cos ϕ1 + U2Neﬀ I2eﬀ cos ϕ2 + U3Neﬀ I3eﬀ cos ϕ3 .(8.33) Dabei bezeichnet ϕi den Phasenwinkel zwischen dem Strom Ii und der Spannung UiN . 3-Leiter-System Oft werden auch bei 3-Leiter-Systemen drei Leistungsmesser eingesetzt, um die einzelnen Leistungen getrennt beobachten zu k¨ onnen. Das Meßergebnis ist damit außerdem genauer, insbesondere bei kleinen Leistungen und großen Phasenwinkeln. Da das 3-Leiter-System keinen Mittelpunktleiter aufweist,

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

201

Abb. 8.9. Wirkleistungsmessung im 3-Leiter-System

m¨ ussen die drei Spannungspfade zu einem k¨ unstlichen Sternpunkt N verbunden werden. Dies entspricht der Schaltung nach Abb. 8.9. Dabei m¨ ussen die Widerst¨ ande bzw. Impedanzen der Spannungspfade aus Symmetriegr¨ unden gleich sein. Die Gesamtwirkleistung l¨aßt sich dann wiederum nach Gl. (8.33) ermitteln. Im 3-Leiter-System gen¨ ugen allerdings auch zwei Leistungsmesser, wenn man sie in Form der sog. Aaronschaltung (Abb. 8.10) zusammenschaltet. Die

Abb. 8.10. Zwei-Wattmeter-Verfahren (Aaronschaltung)

beiden Meßwerke zeigen die von ihnen gemessenen Wirkleistungen PW1 und PW2 an, die sich in der Summe wie folgt darstellen )U 13 , I 1 ) + U23eﬀ I2eﬀ cos(< )U 23 , I 2 ) . PW1 + PW2 = U13eﬀ I1eﬀ cos(<

(8.34)

Die gesamte in einem Drehstromsystem umgesetzte komplexe Leistung P andererseits betr¨ agt deﬁnitionsgem¨aß P = U 1N I ∗1 + U 2N I ∗2 + U 3N I ∗3 .

(8.35)

Im Falle eines 3-Leiter-Systems stellen die Werte von UiN die Spannungen dar, unstlichen Sternpunkt liedie zwischen dem jeweiligen Leiter Li und dem k¨

202

8 Messung der elektrischen Leistung

gen. Aus dem Spannungszeigerdiagramm (Abb. 8.6) lassen sich die folgenden Zusammenh¨ ange ablesen U 1N = U 13 + U 3N U 2N = U 23 + U 3N .

(8.36) (8.37)

Da außerdem die Summe der drei Leiterstr¨ome Null ergibt 0 = I1 + I2 + I3 ,

(8.38)

folgt aus Gl. (8.35) die gesamte komplexe Leistung P P = U 13 I ∗1 + U 23 I ∗2 + U 3N (I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 ) P = U 13 I ∗1 + U 23 I ∗2 .

(8.39) (8.40)

Der Realteil von P entspricht also der im Drehstromsystem umgesetzten Wirkleistung PW PW = Re(P ) = U13eﬀ I1eﬀ cos(< )U 13 , I 1 ) + U23eﬀ I2eﬀ cos(< )U 23 , I 2 ) . (8.41) Die Identit¨ at mit Gl. (8.34) beweist, daß sich diese Gesamtwirkleistung auch als Summe von PW1 und PW2 ergibt, jenen Leistungen also, die mit den beiden Leistungsmessern der Aaronschaltung (Abb. 8.10) gemessen werden. Messung der Blindleistung Zur Messung der Blindleistung in Drehstromnetzen wird die Tatsache genutzt, daß bei (ann¨ ahernd) symmetrischer Lastverteilung die Sternspannungen und Leiterspannungen paarweise um 90◦ phasenverschoben sind (Abb. 8.11). Nach diesem Prinzip arbeiten die Schaltungen nach Abb. 8.12 und 8.14.

Abb. 8.11. Spannungszeiger in Drehstromsystemen

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

203

4-Leiter-System Die Blindleistung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem kann mit Hilfe von drei elektrodynamischen Meßwerken ermittelt werden. Dazu werden diese gem¨ aß Abb. 8.12 angeschlossen. Die Gesamtblindleistung ergibt sich n¨ amlich aus der

Abb. 8.12. Messung der Blindleistung im 4-Leiter-System. Die Leistungsmesser haben identische Innenwiderst¨ ande.

√ durch 3 dividierten Summe (PB1 + PB2 + PB3 ) der Leistungen, welche die Einzelmeßwerke anzeigen 1 PBges = √ (PB1 + PB2 + PB3 ) . 3

(8.42)

Die Einzelleistungen PB1 , PB2 und PB3 lassen sich unter Zuhilfenahme des Spannungszeigerdiagrammes (Abb. 8.11) und der Annahme RV = 0 wie folgt ableiten ) U 23 , I 1 ) = U23eﬀ I1eﬀ cos(< ) (U 1N , I 1 ) − 90◦ ) PB1 = U23eﬀ I1eﬀ cos(< = U23eﬀ I1eﬀ cos(ϕ1 − 90◦ ) = U23eﬀ I1eﬀ sin ϕ1 √ = 3U1Neﬀ I1eﬀ sin ϕ1 . (8.43) Analog zu Gl. (8.43) gilt f¨ ur die Anzeigen PB2 und PB3 PB2 = U31eﬀ I2eﬀ cos(< ) U 31 , I 2 ) = U31eﬀ I2eﬀ cos(< ) (U 2N , I 2 ) − 90◦ ) ◦ = U31eﬀ I2eﬀ cos(ϕ2 − 90 ) = U31eﬀ I2eﬀ sin ϕ2 √ (8.44) = 3U2Neﬀ I2eﬀ sin ϕ2 ◦ PB3 = U12eﬀ I3eﬀ cos(< ) U 12 , I 3 ) = U12eﬀ I3eﬀ cos(< ) (U 3N , I 3 ) − 90 ) ◦ = U12eﬀ I3eﬀ cos(ϕ3 − 90 ) = U12eﬀ I3eﬀ sin ϕ3 √ = 3U3Neﬀ I3eﬀ sin ϕ3 . (8.45)

204

8 Messung der elektrischen Leistung

Beim Anschließen der Leistungsmesser ist auf die richtige Polarit¨ at zu achten, welche durch die Punkte in Abb. 8.12 angezeigt wird. Wenn die Vorwiahlt werden, daß an den Spannungspfaden der Meßger¨ ate derst¨ ande RV so gew¨ √ eine um den Faktor 3 kleinere Spannung wirksam wird, ergibt sich die Gesamtblindleistung als Summe der drei Anzeigewerte, was durch einen Vergleich der Gln. (8.42 - 8.45) leicht veriﬁziert werden kann.

Abb. 8.13. Zusammenh¨ ange zwischen Stern- und verketteten Spannungen

3-Leiter-System Im 3-Leiter-System gen¨ ugen wiederum zwei Leistungsmesser, deren Spanaß Abb. 8.14 zusamnungspfade zu einem k¨ unstlichen Sternpunkt N gem¨ mengeschaltet werden. Dabei ist wiederum auf die richtige Polarit¨ at der Leistungsmesser zu achten, die√in Abb. 8.14 durch einen Punkt am Meßwerk gekennzeichnet ist. Die mit 3 multiplizierte Summe PBges der von den beiden in Abb. 8.14 dargestellten Leistungsmessern angezeigten Leistung betr¨ agt √ √ PBges = 3(PB3 + PB1 ) = 3(Re(U 1N I ∗3 − U 3N I ∗1 )) . (8.46) Unter Zuhilfenahme der Abb. 8.13 kann Gl. (8.46) folgendermaßen dargestellt werden 1 PBges = √ Re((U 13 + U 12 )I ∗3 + (U 23 + U 13 )I ∗1 ) . (8.47) 3 Indem man Gl. (8.47) wie folgt erweitert 1 PBges = √ Re ((U 13 + U 12 )I ∗3 + (U 23 + U 13 )I ∗1 + U 31 I ∗2 − U 31 I ∗2 ) 3 1 = √ Re (U 23 I ∗1 + U 31 I ∗2 + U 12 I ∗3 + U 13 (I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 )) (8.48) 3

8.3 Messung der elektrischen Arbeit

205

und die Tatsache ber¨ ucksichtigt, daß die Summe der Leiterstr¨ ome im 3-LeiterSystem verschwindet I 1 + I 2 + I 3 = I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 = 0 ,

(8.49)

gelangt man zur allgemeinen Blindleistungs-Beziehung 1 PBges = √ Re(U 23 I ∗1 + U 31 I ∗2 + U 12 I ∗3 ) . 3

(8.50)

Abb. 8.14. Messung der Blindleistung im 3-Leiter-System. Der Punkt gibt die Polarit¨ at des Spannungspfades an. Der Widerstand RWV entspricht dem Innenwiderstand des Spannungspfades der (identischen) Leistungsmesser.

8.3 Messung der elektrischen Arbeit Die elektrische Arbeit (Energie) ergibt sich aus der zeitlichen Integration der elektrischen Wirkleistung PW (t) t E= PW dt . (8.51) 0

Zur Messung der elektrischen Energie werden im Wechselstromfall sog. Induktionsmeßwerke eingesetzt, die u atsz¨ ahler bezeichnet ¨blicherweise als Elektrizit¨ werden. In diesen Induktionsmeßwerken wird vom Strom des Leistungskreises ein magnetisches Wechselfeld aufgebaut, das in einer elektrisch leitf¨ ahigen Scheibe Induktionsspannungen und damit Wirbelstr¨ ome hervorruft. Auf diese wirkt ein zweites, von der Spannung des Leistungskreises generiertes Magnetfeld, das in Verbindung mit den Wirbelstr¨omen Kr¨ afte erzeugt, welche die Scheibe in Rotation versetzen. Die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe ist letztlich ein Maß f¨ ur die elektrische Momentanleistung. Induktionsmeßwerke k¨ onnen allerdings nur f¨ ur Wechselstromanwendungen eingesetzt werden, da sie auf dem Induktionsprinzip beruhen.

206

8 Messung der elektrischen Leistung

Funktionsprinzip des Induktionsmeßwerkes (Elektrizit¨ atsz¨ ahler) Der prinzipielle Aufbau eines Elektrizit¨atsz¨ahlers wird in Abb. 8.16 gezeigt. Die auf dem hufeisenf¨ormigen Joch (Stromeisen) beﬁndliche Spule 1 f¨ uhrt den Strom i(t) des Leistungskreises i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕ) .

(8.52)

Der dadurch entstehende magnetische Fluß φ1 durchsetzt die Aluminiumscheibe und induziert in dieser die Wirbelstr¨ome iw . Entsprechend dem Durchﬂutungsgesetz sowie dem Induktionsgesetz lassen sich die folgenden Zusammenh¨ ange f¨ ur den magnetischen Fluß φ1 φ1 ∼ B1 ≈ µ0

N1 i(t) N1 ˆ = µ0 I sin(ωt + ϕ) 2δ 2δ

(8.53)

bzw. den Wirbelstrom iw ableiten iw ∼ uind ∼

dφ1 ∼ ω Iˆ cos(ωt + ϕ) . dt

(8.54)

Dabei bezeichnen B1 den Betrag der magnetischen Induktion im Stromeisen, φ1 den magnetischen Fluß im Stromeisen, N1 die Windungszahl des Stromeisens, δ den Luftspalt in Strom- und Spannungseisen (die Aluminiumscheibe z¨ahlt in diesem Fall wegen µr = 1 zum Luftspalt) und ϕ den Phasenwinkel zwischen Spannung u und Strom i. Legt man die Spannung u(t) des Leistungskreises an die Spule 2 des Spannungseisens, welches die Aluminiumscheibe U-f¨ ormig umschließt, entsteht im Luftspalt die magnetische Induktion B2 , welche sich wie folgt aus der angelegten Spannung u(t) u ¨ber den durch die Spule ﬂießenden Strom i2 (t) berechnen l¨aßt ˆ sin ωt u(t) = U 1 t 1 ˆ U cos ωt i2 = u dt = − L 0 ωL i2 N2 ˆ cos ωt . ∼ −U B2 ≈ µ0 δ

(8.55) (8.56) (8.57)

Dieses magnetische Feld wirkt nun auf die in der Aluminiumscheibe induzierten Wirbelstr¨ ome (Abb. 8.15) und verursacht eine mechanische Kraftwirkung. Die entsprechende Volumenskraft fr (r¨aumliche Kraftdichte) ergibt sich nach [107] 2 − 1 H 2 gradµ , fr = Jw × B 2

(8.58)

wobei Jw den Stromdichtevektor bezeichnet, der dem Wirbelstrom iw proportional ist. Da die Aluminiumscheibe eine konstante Permeabilit¨ at µ aufweist, verschwindet der Term gradµ, und der Betrag F der Gesamtkraft l¨ aßt sich wie folgt ermitteln

8.3 Messung der elektrischen Arbeit

207

Abb. 8.15. Wirbelstr¨ ome in der Aluminiuml¨ auferscheibe eines Elektrizit¨ atsz¨ ahlers

ˆ cos(ωt + ϕ) cos ωt . F ∼ iw B2 ∼ IˆU

(8.59)

Das auf die Aluminiumscheibe wirkende mittlere Moment Mel erh¨ alt man, wenn man u ¨ber die Periodendauer T integriert 1 T F (t) dt T 0 ˆ Iˆ ˆ Iˆ T 1 U U (cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)) dt = cos ϕ . ∼ T 0 2 2

Mel ∼

(8.60)

Gleichung (8.60) sagt aus, daß das Antriebsmoment Mel proportional der Wirkleistung PW des Leistungskreises ist Mel = k1 Ueﬀ Ieﬀ cos ϕ = k1 PW .

(8.61)

In der Praxis entsteht aufgrund des relativ großen Luftspaltes sowie der Eisenund Kupferverluste keine exakte 90◦ -Verschiebung zwischen dem Strom i2 in der Spule 2 und der Spannung u des Leistungskreises. Die exakte 90◦ Phasenverschiebung erreicht man erst durch den in Abb. 8.16 gezeigten magnetischen Nebenschluß des Spannungseisens (Grobabgleich der 90◦ -Phasenverschiebung durch Ver¨anderung von δN ) und eine Hilfswicklung am Stromeisen, die u ¨ber den regelbaren Widerstand R kurzgeschlossen ist (Feinabgleich der 90◦ -Phasenverschiebung durch Ver¨anderung des Widerstandes R).

208

8 Messung der elektrischen Leistung

Abb. 8.16. Prinzipieller Aufbau eines Elektrizit¨ atsz¨ ahlers

Der als Wirbelstrombremse wirkende Permanentmagnet (Abb. 8.16), der auch als Bremsmagnet bezeichnet wird, erzeugt ein Bremsmoment mit dem Betrag Mbrems Mbrems = k2 n , (8.62) wobei n die Drehzahl der Aluminiumscheibe bezeichnet. Die Drehzahl n der Scheibe l¨ aßt sich nun aus der Gleichgewichtsbedingung Mbrems = Mel ermitteln k1 (8.63) n = Ueﬀ Ieﬀ cos ϕ = kPW . k2 Nachdem die Drehzahl n der Scheibe proportional zur Wirkleistung PW ist, erh¨ alt man die elektrische Energie durch Aufsummieren (zeitliche Integration) der Umdrehungen der Aluminiumscheibe. Dies geschieht in einfacher Weise mit Hilfe eines mechanischen Z¨ahlwerkes.

9 Messung von elektrischen Impedanzen

9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden Ein ohmscher Widerstand R unterscheidet sich von einer komplexen Impedanz alt, was Z dadurch, daß er keine kapazitiven oder induktiven Anteile enth¨ eigentlich einen Idealfall darstellt, der in der Praxis nie ganz erreicht werden kann. F¨ ur den ohmschen Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz in der Form R=

u(t) , i(t)

(9.1)

d. h. Strom und Spannung sind zu jedem beliebigen Zeitpunkt einander proportional. Die Messung ohmscher Widerst¨ande ist im Rahmen der meßtechnischen Praxis eine wichtige Aufgabe, weil einige Sensoren als Widerstandsaufnehmer arbeiten; d. h. ihr Widerstandswert ist ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße. 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung Die Bestimmung des ohmschen Widerstandes kann durch eine Strom- und eine Spannungsmessung erfolgen. Der Widerstandswert R wird dann nach dem Ohmschen Gesetz (Gl. (9.1)) berechnet. Da hierbei stets zwei getrennte Messungen erforderlich sind, tragen sowohl der Fehler der Strommessung als auch der Fehler der Spannungsmessung zum Fehler des Meßwertes R bei. Es kommen die beiden in den Abb. 9.1a und 9.1b gezeigten Schaltungsvarianten in Frage. Die jeweiligen systematischen Fehler k¨ onnen korrigiert werden, wenn die Innenwiderst¨ ande des Spannungs- und des Strommeßger¨ ates bekannt sind. In der stromrichtigen Schaltung (Abb. 9.1a) ist die Spannungsmessung fehlerhaft und der Spannungsabfall RMI I am Strommesser ist zwecks Korrektur des systematischen Meßfehlers von der gemessenen Spannung abzuziehen RX =

U − RMI I U = − RMI . I I

(9.2)

210

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.1. Bestimmung des ohmschen Widerstandes RX durch separate Strom- und Spannungsmessung: a) Stromrichtige Schaltung, b) Spannungsrichtige Schaltung

In der spannungsrichtigen Schaltung (Abb. 9.1b) ist der gemessene Strom zu groß, so daß vom gemessenen Wert I der Teilstrom U/RMU abzuziehen ist, der durch den Spannungsmesser ﬂießt RX =

U . I − RU MU

(9.3)

Da im allgemeinen der Innenwiderstand des Strommessers RMI viel kleiner ist als der des Spannungsmessers RMU , wird die stromrichtige Schaltungsvariante ur kleine f¨ ur große Widerst¨ande (RX RMI ) und die spannungsrichtige f¨ Widerst¨ ande (RX RMU ) eingesetzt. 9.1.2 Vergleich mit einem Referenzwiderstand Spannungsvergleich Der bei getrennter Spannungs- und Strommessung auftretende Fehler l¨ aßt ugung steht. Durch sich vermeiden, wenn ein Referenzwiderstand Rref zur Verf¨ Messung der beiden Spannungen URX und URref (Abb. 9.2) kann bei bekanntem Referenzwiderstand Rref der Widerstand RX bestimmt werden. Die Spannung U0 , die an die aus den Widerst¨anden RX und Rref bestehende Serienschaltung angelegt wird, muß w¨ahrend der beiden Messungen konstant gehalten werden. Der Innenwiderstand des Meßger¨ ates geht f¨ ur den Fall, daß er bei beiden Messungen derselbe ist (Vorsicht bei Meßbereichsumschaltung), nicht in den Fehler ein, da die beiden Spannungsmeßwerte ins Verh¨ altnis gesetzt werden. Wenn man die Spannungen URref und URX in der Schaltung nach Abb. 9.2 mit Hilfe eines Spannungsmeßger¨ ates mit Innenwiderstand RMU mißt, ergeben sich infolge des endlichen Innenwiderstandes RMU die fehlerbe und URX hafteten Meßwerte URref (Rref RMU ) (Rref RMU ) + RX (RX RMU ) = U0 . (RX RMU ) + Rref

URref = U0 URX

(9.4) (9.5)

9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden

211

Abb. 9.2. Messung eines ohmschen Widerstandes mit Hilfe eines Referenzwiderstandes Rref und einer Konstantspannungsquelle Wenn man jedoch die beiden Meßwerte URref und URX ins Verh¨ altnis setzt, k¨ urzt sich der Wert des Innenwiderstandes RMU heraus, sodaß das Spannungsverh¨ altnis RX URX URX = = URref Rref URref

(9.6)

frei von systematischen Fehlern bleibt

RX =

URX Rref . URref

(9.7)

Stromvergleich Alternativ kann ein Stromvergleich nach Abb. 9.3 genutzt werden, um den ohmschen Widerstand RX zu bestimmen. Auch hier heben sich die systematischen Meßfehler bei der Messung der Einzelstr¨ ome IRX und IRref auf und gehen somit nicht in die Bestimmung von RX ein. Die infolge des Innenwiderstandes RMI des Strommeßger¨ates mit systematischen Fehlern behafteten und IRX ergeben sich entsprechend der Stromteilerregel bei Teilstr¨ ome IRref

Abb. 9.3. Messung eines ohmschen Widerstandes mit Hilfe eines Referenzwiderstandes Rref und einer Konstantstromquelle

212

9 Messung von elektrischen Impedanzen

parallelgeschalteten Widerst¨anden zu RX RRref + RMI + RX RRref . = I0 RRref + RMI + RX

IRref = I0 IRX

(9.8) (9.9)

Das Verh¨ altnis dieser Teilstr¨ome ist wiederum frei von Belastungsfehlern IRref RX IRref = = IRX Rref IRX

bzw. RX =

IRref Rref . IRX

(9.10)

(9.11)

W¨ ahrend der beiden Strommessungen muß der in die Parallelschaltung einates konstant gespeiste Strom I0 sowie der Innenwiderstand RMI des Meßger¨ gehalten werden. 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle Eine direkte und kontinuierliche Anzeige des Widerstandswertes ist mit Hilfe einer Konstantstromquelle m¨oglich (Abb. 9.4).

Abb. 9.4. Messung eines ohmschen Widerstandes unter Verwendung einer Konstantstromquelle

Der eingepr¨ agte Konstantstrom I0 ﬂießt dabei u ¨ber den zu messenden Widerstand RX , der gem¨aß Gl. (9.12) proportional zur gemessenen Spannung UX ist UX . (9.12) RX = I0 Mit der Korrektur des systematischen Fehlers, der durch den Innenwiderstand RMU des angeschlossenen Spannungsmessers verursacht wird, erh¨ alt man RX =

UX . X I0 − RUMU

(9.13)

Eine auf einer Konstantstromquelle basierende Meßschaltung wird in Abb. 9.5 gezeigt. Wenn man einen idealen Operationsverst¨ arker voraussetzt (uD = 0),

9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden

213

Abb. 9.5. Messung eines ohmschen Widerstandes mit Hilfe einer Konstantstromquelle. Bei der Verwendung in Digital-Multimetern werden die Spannungen an den Abgriﬀpunkten (1) und (2) dem Analog-Digital-Umsetzer zugef¨ uhrt.

kann die Spannung UX auch mit einem nicht-idealen Spannungsmesser ohne systematischen Meßfehler gemessen werden, so daß die Auswertung f¨ ur RX nach Gl. (9.12) vorgenommen werden kann RX =

UX UX = R0 . I0 Uref

(9.14)

F¨ ur Pr¨ azisionsmessungen sind allerdings die nicht-idealen Eigenschaften des Operationsverst¨arkers zu ber¨ ucksichtigen, wie z.B. endliche Verst¨ arkung, Eingangsstrom oder Oﬀsetspannung. Als nachteilig kann sich auch die nichtmassebezogene Messung erweisen, da so leicht St¨ orspannungen auftreten k¨ onnen. In Digital-Multimetern werden die beiden Spannungen Uref und UX (s. Abgriﬀpunkte (1) und (2) in Abb. 9.5) vom Analog-Digital-Wandler digitalisiert und anschließend nach Gl. (9.14) ausgewertet. Die relative Genauigkeit f¨ ur diese Messung liegt bei Standard-Digital-Multimetern typischerweise bei 0,02 bis 0,2 % (s. auch Tabelle 11.14). 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes Da der Zeigerausschlag α eines Kreuzspulinstrumentes eine Funktion des Verh¨ altnisses zweier Str¨ome I2 /I1 ist (Gl. (6.60)), kann es unmittelbar zur Widerstandsmessung eingesetzt werden. Abbildung 9.6 zeigt die dazu notwendige uber dem SpuBeschaltung. Wenn der zu bestimmende Widerstand RX gegen¨ lenwiderstand R1 groß ist (RX R1 ) und außerdem der Widerstand R3 groß ahlt wird, kann RX im Vergleich zum Spulenwiderstand R2 (R3 R2 ) gew¨ mit Hilfe der Schaltung nach Abb. 9.6a unmittelbar gemessen werden. Der zu bestimmende Widerstand RX ergibt sich dann aus der Stromteilerregel, da die beiden Widerst¨ande RX und R3 n¨aherungsweise an der Speisespannung U0 liegen. Der Zeigerausschlag α h¨angt aber i. allg. in nicht-linearer Weise vom Stromverh¨ altnis I2 /I1 ab (Gl. (6.60)) RX = R3

I2 1 = R3 f (α) = R3 tan α . I1 k

(9.15)

214

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.6. Widerstandsmessung mit Hilfe eines Kreuzspulinstrumentes: a) Schaltungsvariante f¨ ur große Widerst¨ ande, b) Schaltungsvariante f¨ ur kleine Widerst¨ ande

Zur Messung kleiner Widerst¨ande wird die Schaltungsvariante nach Abb. 9.6b eingesetzt. Unter der Voraussetzung (R1 + R1 ) RX und (R2 + R2 ) R3 gilt n¨ aherungsweise RX =

UX I1 (R1 + R1 ) (R1 + R1 ) R3 f˜(α) . ≈ = IX I2 (R2 + R2 )/R3 (R2 + R2 )

(9.16)

9.2 Kompensationsschaltungen Mit Hilfe sog. Kompensationsschaltungen kann die Beeinﬂussung des Meßvorganges durch das Meßger¨at infolge seiner nicht-idealen Innenimpedanz eliminiert werden. Str¨ome und Spannungen werden dabei leistungslos gemessen, d. h. Str¨ ome ohne Spannungsabfall u ¨ber den Meßkontakten und Spannungen ohne (Parallel)-Str¨ome durch ein angeschlossenes Spannungsmeßger¨ at. Die von klassischen Meßger¨aten jedoch stets ben¨ otigte Energie wird dabei einer Hilfsquelle und nicht, wie bei Standardmessungen u ¨blich, der zu messenden Schaltung entnommen. Der Hauptvorzug der Kompensatoren besteht also darin, daß bei der Messung keine Belastung des Meßkreises erfolgt. Infolge der r¨ uckwirkungsfreien Messung wird eine sehr hohe Meßgenauigkeit erreicht. Als eigentliches Meßinstrument ist dazu lediglich ein Galvanometer zum Nullabgleich erforderlich. Da die Kompensationsschaltungen eine Vorstufe der Br¨ uckenschaltungen darstellen, die zur Messung von ohmschen Widerst¨ anden bzw. komplexen Impedanzen eingesetzt werden, sollen sie an dieser Stelle besprochen werden. 9.2.1 Gleichspannungskompensation Abbildung 9.7 zeigt das Kompensationsprinzip f¨ ur eine Gleichspannungsmessung. Der Abgriﬀ des Widerstandes wird dabei solange ver¨ andert, bis das Galvanometer G stromlos ist. Es folgt damit

9.2 Kompensationsschaltungen

UX = U R =

R U0 . R0

215

(9.17)

Bei bekannten Gr¨oßen U0 , R0 , R kann UX ohne einen durch den Leistungsverbrauch eines Meßger¨ates hervorgerufenen Fehler bestimmt werden.

Abb. 9.7. Prinzip der Gleichspannungskompensation (UX ≤ U0 )

9.2.2 Gleichstromkompensation Mit der Kompensationsschaltung nach Abb. 9.8 kann ein unbekannter Strom IX kompensiert werden, indem Spannungsgleichheit an dem von dem Diﬀerenzstrom (I0 − IX ) durchﬂossenen Widerstand R und an dem vom Strom IX durchﬂossenen Widerstand R1 erreicht wird (I0 − IX )R = IX R1 .

(9.18)

Weiterhin kann die folgende Maschengleichung aufgestellt werden (I0 − IX )R + I0 (R0 − R) = U0 .

(9.19)

Aus den Gln. (9.18) und (9.19) kann unmittelbar der zu messende Strom IX bestimmt werden R . (9.20) IX = U0 R0 (R1 + R) − R2 Da u allt, wird leistungslos, d. h. ¨ber den Meßkontakten keine Spannung abf¨ ohne Belastung des Meßkreises, gemessen. Als Nulldetektoren verwendet man

Abb. 9.8. Gleichstromkompensationsschaltung. R0 ist der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers und R der Wert zwischen dem Teilerabgriﬀ und dem positiven Pol der Spannungsquelle

216

9 Messung von elektrischen Impedanzen

empﬁndliche Galvanometer mit Spannungsanzeigen im Bereich von 0,1 µV bis 1 µV bzw. empﬁndliche Spannungsverst¨arker mit kleiner Oﬀsetspannung. In der Praxis wird oft anstelle des Galvanometers ein Nullverst¨arker verwendet, der ein motorbet¨atigtes Potentiometer ansteuert. Dabei wird der Schleifer eines Potentiometers mit Hilfe eines Stellmotors so lange verstellt, bis die Eingangsspannungsdiﬀerenz des Verst¨arkers zu Null abgeglichen ist. Damit ist die Verstellung des Schleifers der zu messenden Spannung uE proportional. Ein angekoppeltes Schreibger¨at schreibt auf einem kontinuierlich bewegten Registrierpapier einen Linienzug, der f¨ ur den Fall entsprechend schneller Regelung dem Signalverlauf uE (t) entspricht. Solche Anordnungen werden in Form sog. Kompensationsschreiber realisiert (Abb. 9.9).

Abb. 9.9. Prinzip eines Kompensationsschreibers

9.3 Gleichstrom-Meßbru ¨ cken Die genaue Bestimmung von ohmschen Widerst¨ anden erfolgt in der Praxis oft mit Hilfe von sog. Br¨ uckenschaltungen. Die dazu von Wheatstone vorgeschlagene Meßbr¨ ucke (Wheatstonesche Meßbr¨ ucke) besteht aus zwei parallelgeschalteten Spannungsteilern (Abb. 9.10), die mit der Spannung UE gespeist werden. Beim Betrieb unterscheidet man zwischen dem Ausschlagverfahren (Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucke), bei dem die Diagonalspannung UD mit einem hochohmigen Instrument gemessen wird, und dem Abgleich- oder Nullverfahren (Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucke), bei dem die Diagonalspannung zu Null abgeglichen wird. 9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbru ¨cken Im nicht-abgeglichenen Zustand resultiert aus der Speisespannung UE eine Diagonalspannung UD UD = U E (

R2 R3 − R1 R4 R2 R4 . − ) = UE R1 + R2 R3 + R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

(9.21)

Durch Messung der Spannungen UD und UE kann bei drei bekannten Widerst¨ anden auf den vierten unbekannten Widerstand geschlossen werden. Die

9.3 Gleichstrom-Meßbr¨ ucken

217

Abb. 9.10. Wheatstonesche Meßbr¨ ucke

Genauigkeit des Verfahrens h¨angt neben der Toleranz der Br¨ uckenwiderst¨ ande von der Genauigkeit der Meßger¨ate zur Bestimmung von UD und UE ab. Bei ucksichtigen, daß der Innenwiderder Messung der Spannung UD ist zu ber¨ uhrt. stand RM des Meßger¨ates zu einem Fehler f¨ Die unter Ber¨ ucksichtigung der Innenwiderst¨ ande der Quelle RI und des Meßger¨ ates RM geltende Ersatzschaltung wird in Abb. 9.11a gezeigt. Die im uckenspeisespannung Falle oﬀener Klemmen (RM → ∞) eﬀektiv wirksame Br¨ UE kann aus der Leerlaufspannung UE0 der Speisequelle mit RB = (R1 + R2 ) (R3 + R4 )

(9.22)

wie folgt errechnet werden UE = UE0

RB . RI + RB

(9.23)

Damit l¨ aßt sich auch die Leerlaufspannung UQ der Ersatzspannungsquelle aus Abb. 9.11b angeben UQ = UD |RM→∞ = UE

R2 R3 − R1 R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

(9.24)

Abb. 9.11. a) Gleichstrom-Ausschlag-Br¨ uckenschaltung bei Ber¨ ucksichtigung der Innenwiderst¨ ande von Speisespannungsquelle und Meßger¨ at, b) bez¨ uglich der Klemmen 1 und 1 wirksame Ersatzspannungsquelle

218

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.12. Dreieck-Stern-Umwandlung

UQ = UD |RM→∞ = UE0 = UE0

1 1+

RI (R1 +R2 +R3 +R4 ) (R1 +R2 )(R3 +R4 )

R2 R3 − R1 R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

R2 R3 − R1 R4 . (R1 + R2 )(R3 + R4 ) + RI (R1 + R2 + R3 + R4 )

(9.25)

Der Innenwiderstand RQ der Ersatzspannungsquelle ist der Widerstand, den aßt man von den Klemmen 1 und 1 des Netzwerkes aus sieht. Dieser l¨ sich durch eine sog. Dreieck-Stern-Umwandlung (Abb. 9.12) der Widerst¨ ande R1 , R2 und RI zu der in der Abb. 9.13 gezeigten Schaltung vereinfachen. Die beiden Schaltungen in Abb. 9.12 sind bez¨ uglich der ¨ außeren Klemmen 1, 2 und 3 ¨ aquivalent. Diese Umwandlung sowie die entsprechende Stern-DreieckUmwandlung sind z. B. in [84] beschrieben. Der Innenwiderstand RQ der Ersatzspannungsquelle nach Abb. 9.13 ergibt sich dann zu RQ = R1S + (R3 + R3S ) (R4 + R2S ) (R3 + R3S )(R4 + R2S ) . = R1S + R3 + R3S + R4 + R2S

(9.26)

Unter Ber¨ ucksichtigung des von den Widerst¨ anden RM und RQ gebildeten

Abb. 9.13. Durch Dreieck-Stern-Umwandlung vereinfachte Schaltung aus Abb. 9.11

9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden

219

ur den Fall Spannungsteilers in Abb. 9.11b l¨aßt sich die Diagonalspannung UD f¨ nicht-idealer Innenwiderst¨ande von Quelle und Meßger¨ at wie folgt ableiten UD = UQ

RM . RM + RQ

(9.27)

Aus dem Vergleich mit der Diagonalspannung UD des idealen Falles (Gl. (9.21)) l¨aßt sich schließlich der entsprechende Fehler ermitteln. 9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbru ¨ cken Zur Messung von ohmschen Widerst¨anden wird i. allg. das Abgleichverfahren eingesetzt. Dabei wird einer der bekannten Br¨ uckenwiderst¨ ande, z. B. der Widerstand R4 (Abb. 9.10), solange ver¨andert, bis die Diagonalspannung UD Null wird. Mit Gl. (9.21) folgt daraus UD = 0 = U E (

R2 R3 − R1 R4 R2 R4 . − ) = UE R1 + R2 R3 + R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

(9.28)

So kann ein unbekannter Widerstand, beispielsweise R2 , aus den u ¨brigen bekannten Widerstandswerten ermittelt werden. Die Abgleichbedingung aus Gl. (9.28) lautet (9.29) R2 R3 = R1 R4 , bzw. nach dem gesuchten Widerstandswert R2 aufgel¨ ost R2 = R1

R4 . R3

(9.30)

Bei Pr¨ azisionsmeßbr¨ ucken werden als einstellbare Widerst¨ ande sehr genaue Widerstandsdekaden verwendet. Die Meßunsicherheiten liegen hierbei im Bereich 10−5 . Ein wesentlicher Vorzug des Abgleichverfahrens besteht darin, daß keine Absolutwerte von Spannungen oder Str¨omen gemessen werden m¨ ussen. Auch die Br¨ uckenspeisespannung UE geht nicht in die Messung ein, so daß an deren Konstanz keine hohen Anforderungen gestellt werden m¨ ussen. Ein weiterer Vorzug besteht in der Tatsache, daß die Diagonalspannung UD nur mittels Nullgalvanometer zu Null abgeglichen und nicht absolut erfaßt werden muß.

9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden Eine komplexe Impedanz (Scheinwiderstand) setzt sich aus einer Wirkkomponente R und einer Blindkomponente X zusammen Z = Re(Z) + jIm(Z) = R + jX = |Z|ejϕz . Bei vernachl¨ assigbarem ohmschen Anteil ergeben sich f¨ ur

(9.31)

220

9 Messung von elektrischen Impedanzen

• eine Kapazit¨ at C (idealer Kondensator) Z = jX =

−j ωC

(9.32)

• eine Induktivit¨ at L (ideale Spule) Z = jX = jωL .

(9.33)

Im realen verlustbehafteten Fall wendet man die im folgenden beschriebenen Ersatzschaltbilder an. Reihen- und Parallel-Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Induktivit¨ at Die Reihen- und die Parallel-Ersatzschaltung einer verlustbehafteten Induktivit¨ at werden in Abb. 9.14 neben den entsprechenden Impedanz- bzw. Admittanz-Diagrammen gezeigt. Die Impedanz Z und die Admittanz Y der

Abb. 9.14. Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Induktivit¨ at mit entsprechendem Impedanz- bzw. Admittanz-Diagramm: a) Reihenersatzschaltbild (Serienersatzschaltbild), b) Parallelersatzschaltbild

verlustbehafteten Spule ergeben sich wie folgt Z = RS + jωLS =

1 = Y

1 RP

1 . 1 + jωL P

(9.34)

Mit den Ersatzschaltbildelementen k¨onnen der Verlustfaktor tan δL sowie die G¨ ute Q angegeben werden tan δL =

RS ωLP 1 = = . Q ωLS RP

(9.35)

Reihen- und Parallel-Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Kapazit¨ at Die Reihen- und die Parallel-Ersatzschaltung einer verlustbehafteten Kapazit¨ at werden in Abb. 9.15 neben den entsprechenden Impedanz- bzw.

9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden

221

Abb. 9.15. Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Kapazit¨ at mit entsprechendem Impedanz- bzw. Admittanz-Diagramm: a) Reihenersatzschaltbild (Serienersatzschaltbild), b) Parallelersatzschaltbild

Admittanz-Diagrammen gezeigt. Die Impedanz Z und die Admittanz Y des verlustbehafteten Kondensators ergeben sich zu Z = RS −

j 1 = = ωCS Y

1 RP

1 . + jωCP

(9.36)

Mit den Ersatzschaltbildelementen lassen sich der Verlustfaktor tan δC sowie die G¨ ute Q bestimmen tan δC =

1 1 = ωRS CS = . Q ωCP RP

(9.37)

Ermittlung des Scheinwiderstandes Zur Messung von Scheinwiderst¨anden wird eine Wechselspannungsquelle bekannter Frequenz ben¨otigt, welche die Impedanz Z speist Z = Re(Z) + jIm(Z) .

(9.38)

Der Scheinwiderstand |Z| kann nach separaten Messungen von Spannung und Strom berechnet werden Ueﬀ . (9.39) |Z| = Ieﬀ Nachdem die komplexe Impedanz zwei skalare Unbekannte aufweist (Betrag und Phase bzw. Real- und Imagin¨arteil), m¨ ussen zu ihrer vollst¨ andigen Bestimmung immer zwei getrennte Gr¨oßen gemessen werden, wie z.B. der Scheinwiderstand und der Phasenwinkel oder der Scheinwiderstand und der Wirkwiderstand. Bei einer Spule beispielsweise k¨onnen Schein- und Wirkwiderstand auf die im folgenden beschriebene Art gemessen werden. Bei Anlegen einer Gleichspannung u− ergibt sich wegen X = 0 (Gl. (9.31)) der Wirkwiderstand R aus einer Gleichstrommessung u− R= . (9.40) i−

222

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Bei Anlegen einer Wechselspannung u∼ l¨aßt sich gem¨ aß Gl. (9.39) der Scheinwiderstand |Z| aus der Messung der Eﬀektivwerte von Spannung Ueﬀ und Strom Ieﬀ ermitteln Ueﬀ u∼ |Z| = = . (9.41) Ieﬀ i∼ Anhand der Gln. (9.38), (9.40) und (9.41) kann schließlich auch der Blindwiderstand X berechnet werden X = ωL = |Z|2 − R2 . (9.42) Ermittlung einer komplexen Impedanz mittels der 3-Spannungsmesser-Methode Verlustbehaftete Kondensatoren oder verlustbehaftete Spulen lassen sich mittels der sog. 3-Spannungsmesser-Methode anhand von drei unabh¨ angigen Spannungsmessungen ermitteln (Abb. 9.16). Dazu schaltet man der unbekannten Impedanz Z X einen ohmschen Widerstand in Serie und legt an diese Serienschaltung eine Wechselspannung U an. Anschließend mißt man die Betr¨ age bzw. Eﬀektivwerte der Spannungen U N und U X , die an dem Widerstand RN und der komplexen Impedanz Z X abfallen. Bei bekannter Zeigerl¨ ange von U hat man nunmehr drei Spannungszeiger in der komplexen Ebene, von denen man lediglich die Betr¨age kennt. Damit l¨ aßt sich aber bereits das in Abb. 9.16 gezeigte Zeigerdiagramm konstruieren. Allerdings gibt es ein zweites spiegelbildliches Zeigerdiagramm, das ebenfalls m¨ oglich w¨ are, d. h. es l¨ aßt sich letztlich nur der Betrag des Phasenwinkels ϕ, nicht aber sein Vorzeichen bestimmen. Durch Anwendung des Cosinussatzes auf das Dreieck der Spannungszeiger erh¨alt man den Phasenwinkel ϕ

|U |2 − |U N |2 − |U X |2 . (9.43) ϕ = ± 180◦ − arccos 2|U N ||U X |

Abb. 9.16. Bestimmung des Wirk- und Blindanteils verlustbehafteter passiver Bauelemente mit Hilfe der 3-Spannungsmesser-Methode. ϕ: Phasenwinkel von Z X

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

223

Mit bekanntem Widerstandswert RN , dem ermittelten Phasenwinkel ϕ sowie den Meßwerten f¨ ur |U X | und |U N | kann nunmehr Z X in Form der Elemente der Reihenersatzschaltung (Z X = RX + jXX ) angegeben werden RX =

|U | |U X | cos ϕ = RN X cos ϕ , |I| |U N |

(9.44)

XX =

|U | |U X | sin ϕ = RN X sin ϕ . |I| |U N |

(9.45)

9.5 Wechselstrom-Meßbru ¨ cken 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbru ¨cken Prinzipiell ist die Funktionsweise einer Wechselstrom-Meßbr¨ ucke mit der in Kap. 9.3 vorgestellten Gleichstrom-Meßbr¨ ucke identisch. Die Bedingung f¨ ur den Nullabgleich der Br¨ uckendiagonalspannung bezieht sich hier allerdings auf die komplexen Impedanzen Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 (Abb. 9.17) Z 2Z 3 = Z 1Z 4 .

(9.46)

Gleichung (9.46) l¨aßt sich in eine Betrags- und eine Winkelgleichung zerlegen

Abb. 9.17. Wechselstrom-Meßbr¨ ucke

|Z 2 ||Z 3 | = |Z 1 ||Z 4 |

(9.47)

ϕ2 + ϕ3 = ϕ1 + ϕ4 .

(9.48)

Aus der Tatsache, daß Gl. (9.46) jeweils f¨ ur Real- und Imagin¨ arteil erf¨ ullt sein muß, ergeben sich mit (9.49) Z i = Ri + jXi folgende, zu den Gln. (9.47) und (9.48) ¨aquivalente, Abgleichbedingungen

224

9 Messung von elektrischen Impedanzen

R2 R3 − X2 X3 = R1 R4 − X1 X4 X2 R3 + R2 X3 = X1 R4 + R1 X4 .

(9.50) (9.51)

Da beim Br¨ uckenabgleich zwei Bedingungen zu erf¨ ullen sind, m¨ ussen auch zwei unabh¨ angig voneinander abgleichbare Elemente vorhanden sein. Standard-Wechselstrom-Meßbr¨ ucken sind beispielsweise die Kapazit¨ atsmeßbr¨ ucke nach Wien (Wien-Br¨ ucke) zur Messung verlustbehafteter Kondensatoren oder die Induktivit¨atsmeßbr¨ ucke (Maxwell-Wien-Br¨ ucke) zur Bestimmung verlustbehafteter Induktivit¨aten. Solche Standard-Br¨ ucken werden in den folgenden Abschnitten beschrieben. Wien-Bru ¨ cke Die Kapazit¨ atsmeßbr¨ ucke nach Wien wird in Abb. 9.18 in zwei unterschiedlichen Darstellungen gezeigt, und zwar einmal nach Abb. 9.18a zur Ausmessung der Elemente des Reihenersatzschaltbildes und in Abb. 9.18b zur Ausmessung der Elemente des Parallelersatzschaltbildes einer verlustbehafteten Kapazit¨ at.

Abb. 9.18. Zwei Schaltungsvarianten der Wien-Br¨ ucke: a) zum Bestimmen des Reihenersatzschaltbildes einer verlustbehafteten Kapazit¨ at, b) zum Bestimmen des Parallelersatzschaltbildes einer verlustbehafteten Kapazit¨ at

Die Abgleichbedingungen der Wien-Br¨ ucke lauten f¨ ur beide Varianten R4 R3 R3 RX = R2 . R4 CX = C2

(9.52) (9.53)

Der Verlustfaktor der zu bestimmenden Kapazit¨ at tan δ betr¨ agt damit bei der Schaltungsvariante nach Abb. 9.18a (Reihenersatzschaltbild) tan δR = ωC2 R2

(9.54)

und bei der Schaltung nach Abb. 9.18b (Parallelersatzschaltbild) tan δP =

1 . ωC2 R2

(9.55)

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

225

Schering-Meßbru ¨cke Die Schering-Meßbr¨ ucke wird vorwiegend zur Bestimmung der Elemente des Ersatzschaltbildes von Hochspannungskondensatoren bzw. Hochspannungskabeln eingesetzt (Abb. 9.19). Nachdem die Br¨ ucke mit Hochspannung gespeist wird, ist Vorsicht in der Hinsicht geboten, daß die Br¨ uckendiagonalspannung nicht zu groß wird. Es werden dementsprechend folgende Gr¨ oßenverh¨ altnisse at C3 muß also ein hochgew¨ ahlt: |Z X | R2 und |Z 4 | 1/ωC3 . Die Kapazit¨ spannungsfester und verlustarmer Kondensator sein. Die Abgleichelemente ¨ sollten jedoch vorsichtshalber mit Uberspannungsableitern gesch¨ utzt werden.

Abb. 9.19. Schering-Meßbr¨ ucke zur Messung von Hochspannungskondensatoren

F¨ ur den Kapazit¨ atswert CX folgt CX = C3

R4 . R2 [1 + (ωR4 C4 )2 ]

(9.56)

Der im allgemeinen interessierende Verlustfaktor tan δX ergibt sich mit Gl. (9.48) zu 1 = ωC4 R4 . (9.57) tan δX = tan(90◦ − δ4 ) = tan δ4 Wien-Robinson-Bru ¨cke Br¨ ucken mit frequenzabh¨angigem Abgleich, wie die Wien-Robinson-Br¨ ucke (Abb. 9.20), k¨ onnen als einfache Frequenzmeßger¨ ate genutzt werden. Die Abgleichbedingungen der Wien-Robinson-Br¨ ucke lauten C4 R1 R3 = − C3 R2 R4 C3 C4 =

1 . ω 2 R3 R4

(9.58) (9.59)

226

9 Messung von elektrischen Impedanzen

H¨ auﬁg w¨ ahlt man R2 = R3 = R4 = R, R1 = 2R und C3 = C4 = C. Damit ist Gl. (9.58) automatisch erf¨ ullt, w¨ahrend Gl. (9.59) eine neue Abgleichbedingung ergibt, aus der die Frequenz ω der Br¨ uckeneingangsspannung ermittelt werden kann 1 . (9.60) ω= RC

Abb. 9.20. Wien-Robinson-Br¨ ucke

Maxwell-Wien-Bru ¨ cke Die Maxwell-Wien-Br¨ ucke (Abb. 9.21) wird zur Messung verlustbehafteter Induktivit¨ aten eingesetzt. Aus den Abgleichbedingungen dieser Br¨ ucke k¨ onnen

Abb. 9.21. Maxwell-Wien-Br¨ ucke

unmittelbar die Elemente LX und RX des Reihenersatzschaltbildes f¨ ur verlustbehaftete Spulen abgeleitet werden LX = C4 R2 R3 R3 RX = R2 . R4

(9.61) (9.62)

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

227

9.5.2 Einﬂu aten ¨ sse von Erd- und Streukapazit¨ Die Einﬂ¨ usse von Erd- und Streukapazit¨aten kommen beim technischen Aufbau einer Wechselstrom-Meßbr¨ ucke schnell zum Tragen. Abbildung 9.22 zeigt s¨amtliche Erd- und Streukapazit¨aten, welche beim Aufbau einer Meßbr¨ ucke auftreten k¨ onnen. Durch die Einf¨ uhrung deﬁnierter Erdungs- und Schirmverh¨ altnisse gilt es, die Einﬂ¨ usse der parasit¨aren Kapazit¨ aten zu eliminieren oder diese zumindest vernachl¨assigbar klein zu machen. M¨ oglichkeiten, dies praktisch zu realisieren, sind die einseitige Erdung der Speisespannungsquelle oder die einseitige Erdung der Nullanzeigeeinrichtung. Eine weitere M¨ oglichkeit zur Beseitigung der Erdkapazit¨ aten stellt die Verwendung des Wagnerschen Hilfszweigs dar. Hierbei wird ein Hilfszweig uhrt (siehe Abb. 9.22), welcher zwischen den einanalog zu Z 3 und Z 4 eingef¨ gef¨ uhrten Hilfszweig-Impedanzen Z 5 und Z 6 auf Erdpotential liegt. Dieser Punkt soll mit F bezeichnet werden. Nun wird abwechselnd der Zweig Z 3 ,Z 4 bzw. der Zweig Z 5 ,Z 6 hinzugeschaltet und beispielsweise anhand der Impeallen das danzen Z 3 und Z 5 der jeweilige Zweig abgeglichen. Zeigt in beiden F¨ Anzeigeinstrument Null an, so liegen Punkt C und D ebenfalls auf Erdpotential und die hier angreifenden Erdkapazit¨aten werden wirkungslos [12]. Es sei angemerkt, daß der Abgleich einer Meßbr¨ ucke mit Wagnerschem Hilfszweig aufwendig werden kann. Wagnerscher Hilfszweig A

CAE

CAC

Z3

Z1

CAD

Z5 F

C

D CCD

CAB CCE CBE

Z2

CBC

E

CDE Z4

CBD

Z6

B Abb. 9.22. Potentielle parasit¨ are Erd- und Streukapazit¨ aten bei Wechselstrombr¨ ucken

228

9 Messung von elektrischen Impedanzen

9.5.3 Halbautomatischer Bru ¨ ckenabgleich Abgleich von Wechselstrom-Meßbru ¨cken Da gem¨ aß den Gln. (9.47) und (9.48) bzw. den Gln. (9.50) und (9.51) bei Wechselstrom-Meßbr¨ ucken stets zwei Abgleichbedingungen gleichzeitig zu erf¨ ullen sind, m¨ ussen in der Br¨ ucke mindestens zwei voneinander unabh¨ angig verstimmbare Bauelemente enthalten sein, welche den Betrags- und den Phasenabgleich (bzw. den Real- und den Imagin¨ arteilabgleich) erm¨ oglichen. Da sich diese beiden Abgleichvorg¨ange in der Regel gegenseitig beeinﬂussen, ist ein stetiger Wechsel zwischen den beiden erforderlich. Dies bedeutet konkret, daß man zun¨ achst mit Hilfe eines Abgleichelementes die Diagonalspannung in ein lokales Minimum bringt. Dann setzt man den Abgleich mit dem zweiten Abgleichelement fort, bis wiederum ein neues lokales Minimum erreicht wird. Dieses schrittweise und wechselseitige Abgleichen wird solange fortgesetzt, bis die Diagonalspannung ein globales Minimum bzw. im Idealfall den Wert Null erreicht hat. Die Geschwindigkeit, mit der dieses globale Minimum eingestellt werden kann, also die Schnelligkeit des Abgleichvorganges, ist ein wesentliches G¨ utekriterium einer Wechselstrom-Meßbr¨ ucke. Die dabei erzielbare Konvergenz h¨ angt von der Br¨ uckenstruktur, der Wahl der Abgleichelemente und der Empﬁndlichkeit des Nullindikators ab. Es sei abschließend darauf hingewiesen, daß auch bei prinzipiell abgleichbaren Br¨ ucken die Konvergenz des Abgleichvorganges nicht allgemein sichergestellt ist und von Fall zu Fall u uft ¨berpr¨ werden muß. Dazu bedient man sich meist graphischer Methoden, bei denen die Diagonalspannung U D in Form von Ortskurven in der komplexen Ebene aufgetragen wird [46]. Eine solche Ortskurve beschreibt den Real- und Imagin¨ arteil von U D in Form einer graphischen Kurve, wobei das Abgleichelement, z. B. ein einstellbarer Widerstand, innerhalb eines bestimmten Wertebereiches variiert wird. Jedem Punkt dieser Ortskurve kann dann ein bestimmter Wert des Abgleichelements zugeordnet werden. Phasenempﬁndlicher Gleichrichter Da beim halb- und vollautomatischen Abgleich von Wechselstrom-Meßbr¨ ucken sehr oft phasenempﬁndliche Gleichrichter (Synchrongleichrichter) ben¨ otigt werden, soll deren Funktionsweise zun¨achst erl¨ autert werden. Bei einem phasenempﬁndlichen Gleichrichter wird die Gleichrichterwirkung nicht, wie beim normalen Gleichrichter u at der Eingangsspannung uE ¨blich, von der Polarit¨ gesteuert, sondern von der Phasenlage bzw. Polarit¨ at einer separaten Steuerspannung bestimmt (Abb. 9.23). Die Ausgangsspannung u ¯A ergibt sich aufgrund der Tiefpaßﬁlterung als zeitlicher Mittelwert des Produktes aus uE (t) und einem Schaltersignal s(t) u ¯A = uE (t)s(t) ,

(9.63)

wobei das Schaltersignal s(t) von der Polarit¨at der Steuerspannung bestimmt wird, d. h.

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

229

Abb. 9.23. Phasenempﬁndlicher Gleichrichter: a) Prinzipschaltung bestehend aus Schmitt-Trigger, Multiplizierer und RC-Tiefpaß, b) Spannungsverl¨ aufe f¨ ur sinusf¨ ormige Eingangs- und Steuerspannung, c) Schaltsymbol

⎧ ¨r ust > 0 ⎨ +1 f u s(t) = sign(ust ) =

⎩

.

(9.64)

−1 f u ¨r ust < 0

F¨ ur den Fall, daß die Steuerspannung einen sinusf¨ ormigen Zeitverlauf mit derselben Frequenz wie die Eingangsspannung uE aufweist, jedoch zu dieser phasenverschoben ist, ergibt sich ˆE sin(ωt) sign(U ˆst sin(ωt − ϕ)) uA (t) = U

(9.65)

ˆE sin(ωt + ϕ) sign(U ˆst sin ωt) . uA (t) = U

(9.66)

bzw. Daraus kann der zeitliche Mittelwert u ¯A durch Integration u ¨ber die Periodendauer errechnet werden 1 T ˆ ˆst sin ωt) dt . UE sin(ωt + ϕ) sign(U (9.67) u ¯A = T 0 Die Signum-Funktion kann ausgewertet werden, indem man das Integral in zwei Teile aufspaltet ! " T ˆE T2 U sin(ωt + ϕ) dt − sin(ωt + ϕ) dt . (9.68) u ¯A = T T 0 2 Die Auswertung der beiden Teilintegrale liefert schließlich das Ergebnis, daß die Ausgangsspannung u ¯A dem Gleichrichtwert der Eingangsspannung, die mit dem Cosinus der Phasenwinkeldiﬀerenz ϕ zwischen der Eingangs- und Steuerspannung multipliziert wurde, entspricht

230

9 Messung von elektrischen Impedanzen

u ¯A =

ˆE 4T ˆE 4 ˆE U U 2U cos ϕ = cos ϕ = cos ϕ . T ω T 2π π

(9.69)

Sollten in der Steuerspannung ust (t) Spektralanteile enthalten sein, die nicht mit der Frequenz der Eingangsspannung uE identisch sind, liefern diese infolge der zeitlichen Mittelwertbildung keinen Beitrag zur Ausgangsspannung u ¯A . Unter Verwendung von zwei phasenempﬁndlichen Gleichrichtern, die aufgrund ihrer Steuerspannungen um 90◦ gegeneinander phasenverschoben arbeiten, l¨ aßt sich eine Wechselspannung, die an beiden Eingangstoren als Eingangsspannung anliegt, in ihren Real- und Imagin¨ arteil zerlegen. Wenn man in diesem Fall die beiden Ausgangsspannungen quadratisch addiert, erh¨ alt man das Quadrat des (mit dem Faktor 2/π multiplizierten) Betrages des komplexen Zeigers der Eingangsspannung. Halbautomatisch abgleichbare Wien-Bru ¨ cke Um den iterativen und wechselseitigen Abgleich von Wechselspannungs-Meßbr¨ ucken nach Betrag und Phase zu umgehen, setzt man sog. halbautomati-

Abb. 9.24. Halbautomatisch abgleichbare Wien-Br¨ ucke

sche Meßbr¨ ucken ein, die nur noch einen einfachen manuellen Abgleich erfordern. Der zweite Abgleich erfolgt dabei automatisch im Ger¨ at. Abbildung 9.24 zeigt das Prinzipschaltbild einer halbautomatisch abgleichbaren Wien-Br¨ ucke. anden R2 bzw. R4 beWenn U R2 und U R4 die Spannungen an den Widerst¨ zeichnen, ergibt sich die Br¨ uckendiagonalspannung U D wie folgt U D = U R4 − U R2 = U R4 − Re(U R2 ) − jIm(U R2 ) .

(9.70)

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

231

Da U R4 rein reell ist (U R4 = UR4 ), kann die Aufspaltung von Gl. (9.70) in Real- und Imagin¨arteil in einfacher Weise erfolgen Re(U D ) = UR4 − Re(U R2 ) Im(U D ) = −Im(U R2 ) = f (R3 , R4 ) .

(9.71) (9.72)

Der in der Schaltung nach Abb. 9.24 enthaltene phasenempﬁndliche Gleichrichter ﬁltert den Imagin¨arteil der Diagonalspannung U D heraus und gibt diese auf einen Regler, der den spannungssteuerbaren Widerstand R2 ansteuert. ahrend der ImaDer Realteilabgleich wird per Hand an R4 vorgenommen, w¨ gin¨ arteilabgleich automatisch durch den spannungssteuerbaren Widerstand R2 erfolgt. Der Realteilabgleich kann anhand des Betrages der Diagonalspanuhrt werden, da mit Hilfe der eben beschriebenen Regelnung U D durchgef¨ schleife der Imagin¨arteilabgleich st¨andig nachgef¨ uhrt wird. Aus den Abgleichbedingungen ergeben sich schließlich die zu ermittelnden Bauelementgr¨ oßen der verlustbehafteten Kapazit¨at R4 (9.73) CX = C2 R3 R3 . (9.74) RX = R2 R4 9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbru ¨cken Mit Hilfe von Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken werden oft die Impedanz¨ anderungen von kapazitiven bzw. induktiven Sensoren gemessen. Dabei geht man i. a. davon aus, daß die Kapazit¨aten bzw. Induktivit¨ aten der Aufnehmer verlustlos sind und verwendet die Schaltung nach Abb. 9.25. Bei einer solchen

Abb. 9.25. Wechselstrom-Ausschlag-Meßbr¨ ucke

Meßbr¨ ucke stellt zumindest eine der Reaktanzen X1 oder X2 den Aufnehmer dar, es k¨ onnen jedoch auch sowohl X1 als auch X2 dem Aufnehmer zugeordnet ucke ergibt sich analog zu Gl. (9.21) sein. Die Diagonalspannung U D dieser Br¨ UD = UE

j(X2 − X1 ) R0 U (X2 − X1 ) . = E j(X2 + X1 ) 2R0 2 (X2 + X1 )

(9.75)

Im weiteren unterscheidet man zwischen Viertel-, Halb- und Vollbr¨ ucken.

232

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Viertelbru ¨cke Man spricht von einer Viertelbr¨ ucke, wenn X1 = X0 und X2 = X0 + ∆X. Die Diagonalspannung U D ist dann ann¨ahernd proportional zu ∆X UD =

∆X U UE ≈ E ∆X . 2 2X0 + ∆X 4X0

(9.76)

Der Reaktanzanteil ∆X stellt dabei ein Maß f¨ ur die aktuelle Meßgr¨ oße des Aufnehmers dar. Halbbru ¨ cke Bei der Halbbr¨ ucke w¨ahlt man X1 = X0 − ∆X

(9.77)

X2 = X0 + ∆X .

(9.78)

und Die Diagonalspannung U D ist damit exakt proportional ∆X UD =

U E ∆X . 2 X0

(9.79)

Auch hier ist ∆X ein Maß f¨ ur die Meßgr¨oße; nach M¨ oglichkeit sollte ∆X proportional der vom Sensor zu detektierenden Meßgr¨ oße sein. Die in Gln. (9.77) ¨ und (9.78) vorkommenden entgegengesetzten Anderungen ±∆X der Sensorreaktanz ergeben sich bei sog. Diﬀerentialsensoren [114]. Vollbru ¨cke Bei den Vollbr¨ ucken (Abb. 9.26) ¨andern sich alle vier Br¨ uckenreaktanzen um ¨ den Betrag ∆X. Die Anderungen erfolgen in den Br¨ uckenzweigen 1 und 4 und

Abb. 9.26. Wechselstrom-Vollbr¨ ucke

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

233

den Br¨ uckenzweigen 2 und 3 jeweils gleichsinnig gem¨ aß X1 = X4 = X0 − ∆X

(9.80)

X2 = X3 = X0 + ∆X .

(9.81)

und Analog zu Gl. (9.21) kann die Diagonalspannung U D abgeleitet werden UD = UE

X 2 X 3 − X1 X 4 . (X1 + X2 )(X3 + X4 )

(9.82)

Die Auswertung von Gl. (9.82) ergibt, daß die Diagonalspannung U D der doppelten der Halbbr¨ ucke entspricht U D = UE

∆X . X0

(9.83)

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale (Oszilloskope)

Es z¨ ahlt zu den Standardaufgaben der elektrischen Meßtechnik, den Zeitverlauf von elektrischen Signalen unter Angabe von Zeit- und Amplitudenwerten darzustellen bzw. zu registrieren. Sehr h¨ auﬁg wird dabei auf eine Realzeitdarstellung Wert gelegt, bei der das Signal zeitgleich mit seinem Erscheinen bildlich dargestellt wird. In der Elektrischen Meßtechnik setzt man zu diesem Zweck Elektronenstrahl-Oszilloskope ein, welche der Visualisierung des Zeitverlaufes einer elektrischen Spannung u(t) dienen. Die im folgenden beschriebenen Oszilloskope sind Ger¨ ate, die eine solche bildliche ¨ Darstellung des Signals entweder in Realzeit oder in Aquivalenzzeit (zeitlich gestaﬀelte Abtastung periodischer Signale) erlauben. Die Ger¨ ate k¨ onnen dabei auf analoger oder digitaler Basis arbeiten. Sie werden dementsprechend als Analog-Oszilloskope (analoge Elektronenstrahl-Oszilloskope) (Kap. 10.1) bzw. als Digital-Oszilloskope (Digitalspeicheroszilloskope, Digital Sampling Oscilloscope (DSO)) (Kap. 10.4) bezeichnet. Im Gegensatz zu den fr¨ uher verwendeten Oszillographen, welche die Registrierung von elektrischen Signalen auf fotograﬁschem Papier erm¨oglichten, handelt es sich bei den heute eingesetzten Oszilloskopen um Sichtger¨ate, bei denen ein Elektronenstrahl mit konstanter Geschwindigkeit in horizontaler Richtung u ¨ber eine phosphoreszierende Schicht gef¨ uhrt wird und beim Auftreﬀen auf diese Leuchtschicht f¨ ur eine kurze Zeitdauer einen sichtbaren Punkt erzeugt. Die vertikale Strahlablenkung ist proportional der dargestellten Spannung, so daß bei entsprechend schneller und permanenter Wiederholung des Schreibvorganges ein dauernd sichtbares Leuchtbild der darzustellenden Signalspannung entsteht.

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-R¨ ohre Das analoge Elektronenstrahl-Oszilloskop besitzt als Herzst¨ uck eine Braunsche R¨ohre, in der ein Elektronenstrahl den Zeitverlauf des angelegten elek-

236

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.1. Elektronenstrahl-R¨ ohre (Braunsche R¨ ohre) mit elektrostatischer Strahlfokussierung und elektrostatischer Strahlablenkung

trischen Signals auf eine Leuchtschicht schreibt. Abbildung 10.1 zeigt den Aufbau einer solchen Elektronenstrahl-R¨ohre. Die R¨ ohre besteht aus einem evakuierten Glaskolben, der die zur Erzeugung, Fokussierung und Ablenkung des Elektronenstrahls erforderlichen Einheiten enth¨ alt. Dabei werden die von einer Gl¨ uh-Kathode emittierten Elektronen infolge der zwischen Kathode und Anode anliegenden elektrischen Spannung zun¨achst in Richtung des Leuchtschirmes beschleunigt. Auf diesem Wege wird der Elektronenstrahl durch weitere elektrische Felder fokussiert, welche durch Anlegen von geeigneten elektrischen Spannungen an den Wehnelt-Zylinder, die Anoden 1 und 2 sowie die beiden Hilfsgitter erzeugt werden. Danach durchlaufen die Elektronen das Vertikal(y-Platten) sowie das Horizontal-Ablenksystem (x-Platten) und treﬀen schließlich auf der Leuchtschicht der R¨ohrenvorderseite auf. Abbildung 10.2 verdeutlicht die Geometrie der vertikalen Strahlablenkung, die im folgenden in Abh¨ angigkeit der Ablenkspannung sowie der Geometrie des Ablenksystems berechnet wird. Durch das Anlegen einer Spannung uz zwischen Kathode und Anode

Abb. 10.2. Geometrie der Strahlablenkung in einer Oszilloskop-R¨ ohre

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

237

entsteht ein elektrisches Feld Ez , welches die emittierten Elektronen (Masse m0 = 9, 1 · 10−31 kg, Ladung e0 = 1, 6 · 10−19 As) auf eine Horizontalgeschwinunden ist die kinetische Enerdigkeit vz beschleunigt. Aus Energieerhaltungsgr¨ gie Wkin des Elektrons gleich der beim Durchlaufen des elektrostatischen Feldes aufgenommenen elektrischen Energie Wel , sodaß die Horizontalgeschwindigkeit vz des Elektrons aus der Anodenspannung uz wie folgt ermittelt werden kann Wkin = Wel 1 m0 vz2 = e0 uz 2 e0 vz = 2 uz m0 vz (kms−1 ) = 1, 88 · 104

(10.1) (10.2) (10.3) uz (kV) .

(10.4)

Die mechanische Kraft Fy , die das Elektron in vertikaler Richtung ablenkt, ergibt sich aus dem Produkt von Elektronenladung und der Feldst¨ arke Ey , die zwischen den Vertikalablenkplatten herrscht Fy = m0 ay = e0 Ey .

(10.5)

Nach Durchlaufen der y-Plattenstrecke sz (Abb. 10.2) erreicht das Elektron seine vorerst maximale y-Geschwindigkeit vymax , die sich aus dem Produkt von y-Beschleunigung ay und der Verweilzeit Tz des Elektrons im y-Plattenpaar errechnet sz (10.6) vymax = ay Tz = ay . vz Dabei wurde die Ablenkspannung uy und damit die Vertikalbeschleunigung ur die Verweildauer Tz des Elektrons im Vertikalablenksystem als konstant ay f¨ angenommen. Die Ablenkung yL des Elektrons auf dem Schirm und damit die Vertikalposition des Leuchtﬂecks ergibt sich mit den in Abb. 10.2 bezeichneten Gr¨ oßen und unter Zuhilfenahme von Gln. (10.5) und (10.6) yL = yp + vymax

lz s z lz s z lz e0 = yp + ay = yp + Ey 2 . vz vz vz m0 vz

(10.7)

Mit der Vertikalkomponente Ey der elektrischen Feldst¨ arke zwischen den parallelen y-Ablenkplatten uy Ey = (10.8) dy und Gl. (10.3) erh¨alt man schließlich den gesuchten Zusammenhang zwischen der vertikalen Strahlablenkung yL , der Ablenkspannung uy , der Anodenspannung uz und den geometrischen Abmessungen des Vertikalablenksystems sowie dessen Distanz lz zur Leuchtschicht yL = y p +

uy s z lz . uz 2dy

(10.9)

238

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Die absolute Auslenkung yL auf dem Leuchtschirm ist exakt proportional assigt der Ablenkspannung uy , wenn der Beitrag von yp (Abb. 10.2) vernachl¨ werden darf (yp yL ), was in praktischen F¨allen in der Regel erlaubt ist uy s z lz uz 2dy

(10.10)

e 0 uy s z lz . m0 dy vz2

(10.11)

yL ≈ bzw. yL ≈

Die Proportionalit¨atskonstante zwischen uy und yL wird als Ablenkkoeﬀ izient Ky bezeichnet uy 2dy = uz . (10.12) Ky = yL s z lz Der Ablenkkoeﬀizient wird i.allg. in (V/cm) angegeben. Der Kehrwert des Ablenkkoeﬀizienten Ky wird Ablenkempﬁndlichkeit genannt. Ein kleiner Vertikalaßt sich Ablenkkoeﬀizient Ky und damit eine hohe Ablenkempﬁndlichkeit l¨ durch folgende Maßnahmen erreichen: -

-

-

-

große Plattenl¨ ange sz : Wenn die L¨ ange sz der y-Ablenkplatten groß ist, sind die Elektronen der Beschleunigungskraft Fy l¨anger ausgesetzt und infolgedessen nimmt die oheren AuslenGeschwindigkeitskomponente vymax zu, was wiederum zu h¨ kungen auf dem Schirm f¨ uhrt (Gln. (10.7 - 10.12)). Lange Platten f¨ uhren allerdings zu Laufzeitfehlern, da sich w¨ahrend der Verweilzeit der Elektroandern nen zwischen den Platten die Ablenkspannung uy bereits zeitlich ¨ kann (Kap. 10.3). So ist es zum Erreichen einer hohen Grenzfrequenz des Ablenksystems gerade notwendig, auf eine kurze Einwirkdauer der Coulombschen Anziehungskraft Wert zu legen, d. h. man fordert dementsprechend eine hohe Elektronengeschwindigkeit im Ablenksystem und kurze Ablenkplatten. großer Abstand lz Ablenkplatten - Leuchtschirm“: ” Die Schirmauslenkung yL ist dem Abstand lz zwischen Ablenkplatten und Schirm direkt proportional. Der Verl¨angerung dieses Abstandes steht allerdings der Wunsch nach kompakten R¨ohren mit kurzen Baul¨ angen entgegen. geringer Plattenabstand dy : oher wird die Feldst¨ arke Ey Je kleiner der Plattenabstand dy , desto h¨ (Gl. (10.8)) und damit auch die beschleunigende Kraft Fy (Gln. (10.5)). Allerdings steht diese Forderung indirekt dem Wunsch nach langen yAblenkplatten entgegen. Denn bei langen Platten mit geringen Abst¨ anden l¨ auft man Gefahr, daß die Elektronen auf die Platten auftreﬀen. geringe Anodenspannung uz : √ Da die Horizontalgeschwindigkeit vz proportional uz ist, sinkt mit der Anodenspannung die Horizontalgeschwindigkeit und damit steigt die Verweildauer der Elektronen zwischen den Ablenkplatten. In ihrer Wirkung

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

239

ist diese Maßnahme vergleichbar mit der Verl¨ angerung der Platten. Da eine niedrige Elektronengeschwindigkeit aber aufgrund der niedrigen kinetischen Energie der auftreﬀenden Elektronen auch zu einer Verringerung der Strahlhelligkeit f¨ uhrt, verwendet man sog. Nachbeschleunigungselektroden (siehe Abb. 10.1). Diese auf hohem positivem Potential (10 bis . . . 20 kV) liegenden Elektroden haben die Aufgabe, die Elektronen zu beschleunigen, nachdem sie das Ablenksystem bereits durchlaufen haben. Es wird damit erreicht, daß einerseits die Elektronengeschwindigkeit im Ablenksystem gering ist, w¨ ahrend sie andererseits beim Auftreﬀen auf die Leuchtschicht hoch ist. Es lassen sich also hohe Ablenkempﬁndlichkeiten bei gleichzeitig hoher Strahlhelligkeit verwirklichen. Die Nachbeschleunigungselektrode ist i. allg. in Form einer Graphitwendel ausgef¨ uhrt, die so aufgebaut ist, daß bei der Nachbeschleunigung eine m¨oglichst geringe parasit¨ are Richtungsbeeinﬂussung stattﬁndet. Aufgrund der Nachbeschleunigung kommt es i. allg. zu Linearit¨atsfehlern (Kap. 10.3.2), d. h. die Ablenkempﬁndlichkeit am Rand ist nicht mehr mit der in der Bildmitte identisch. Abschließend sei bemerkt, daß die oben abgeleiteten Beziehungen in analoger Weise auch f¨ ur das Horizontal-Ablenksystem gelten. Die Horizontalablenkplatten sind meistens nach dem Vertikal-Ablenksystem angeordnet, was aufgrund der geringeren Entfernung lz zum Leuchtschirm zu einer kleineren Ablenkempﬁndlichkeit f¨ uhrt (Gl. (10.12)). 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung ¨ Ublicherweise werden Oszilloskope als Spannungs-Zeit-Schreiber (y-t-Schreiber) genutzt. Dazu erzeugt der Horizontalverst¨arker (x-Verst¨ arker) eine Spannung, die proportional zur Zeit ansteigt (S¨agezahnspannung) (Abb. 10.3). Die Anstiegszeit dieser S¨agezahnspannung legt den Zeitmaßstab f¨ ur die x-Achse fest. Der Zeitablenk-Koeﬀ izient dieser S¨agezahnspannung Kx gibt somit jene Zeit an, die der Strahl zum Durchlaufen einer Rastereinheit ben¨ otigt, z. B. Kx = 100 µs/cm. Ein scheinbar stehendes Bild entsteht nur dann, wenn immer wieder derselbe zeitliche Abschnitt eines Signals erfaßt und dargestellt wird (Abb. 10.5). Daf¨ ur sorgt die sog. Triggerschaltung, die erkennt, wann der entsprechende Signalausschnitt beginnt. Nach Eintreten dieses Triggerereignisses wird die horizontale Strahlablenkung gestartet, d. h. es wird die S¨ agezahnspannung an die x-Ablenkplatten gelegt. Eine Triggereinrichtung (Abb. 10.4) gestattet zun¨ achst die Erzeugung einer beliebigen Vergleichsspannung mit Hilfe des Level-Potentiometers. Ein Komparator vergleicht schließlich den so gew¨ahlten Triggerpegel mit dem Eingangssignal, und wenn die Eingangsspannung den voreingestellten Pegelwert u ¨bersteigt, liefert der Komparator eine positive Taktﬂanke, die wiederum die monostabile Kippstufe ausl¨ost. Bei in − -Stellung beﬁndlichem Slope-Schalter ist der Invertierer aktiv und das Monoﬂop wird bei Unterschreiten des voreingestellten Pegels ausgel¨ost, d. h. es wird auf die abfallende Flanke (negative

240

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.3. Erzeugung eines Oszillogramms (Schirmbildes) mit Hilfe der Spannung uy (t) und der S¨ agezahnspannung ux (t)

Triggerﬂanke (Abb. 10.5)) getriggert. Bei Anliegen eines periodischen Eingangssignals (Triggersignal) wird am Komparatorausgang ein Rechtecksignal erzeugt, dessen Frequenz der des Triggersignals entspricht. Die monostabile Kippstufe erzeugt bei jeder positiven bzw. negativen Flanke des Rechtecksignals einen Impuls konstanter zeitlicher L¨ ange, welcher wiederum den S¨ agezahngenerator startet. Die Impulsdauer muß so kurz sein, daß auch bei der h¨ ochsten Triggersignalfrequenz die entstehenden Triggerimpulse getrennt werden k¨ onnen.

Abb. 10.4. Prinzipschaltbild einer Triggereinrichtung

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

241

Abb. 10.5. Prinzip der Triggerung: a) Generieren der S¨ agezahnspannung ux (t) bei positiver und negativer Triggerﬂanke, b) Schirmbilder bei positiver und negativer Triggerﬂanke

Mit Hilfe einer sog. verz¨ogerten Zeitbasis gelingt es, einen beliebigen zeitlichen Ausschnitt eines dargestellten Oszilloskopbildes auf die gesamte Breite des Schirmes zu expandieren. Diese Lupenwirkung l¨ aßt sich unter Verwendung von zwei unabh¨angigen Zeitbasen, der sog. Hauptzeitbasis (Main Time Base MTB) und der verz¨ogerten Zeitbasis (Delayed Time Base DTB), erreichen. Abbildung 10.6 erl¨autert die prinzipielle Arbeitsweise einer verz¨ ogerten Zeitbasis. Sie enth¨alt am Eingang eine der Abb. 10.4 entsprechende Triggereinheit, die die Hauptzeitbasis und damit die gew¨ ohnliche Schirmbilddarstellung startet. Die dazu notwendige S¨agezahnspannung der Hauptzeitbasis wird gleichzeitig mit Hilfe des gezeigten Komparators mit einem voreingestellten Spannungswert verglichen, der einem Wert tV auf der Zeitachse des Schirmbildes entspricht. Bei Erreichen dieses Schwellwertes bzw. der Zeitmarke tV wird die verz¨ ogerte Zeitbasis gestartet, deren S¨ agezahnanstiegsgeschwindigkeit i. allg. um ein Mehrfaches h¨oher liegt als die der Hauptzeitbasis. Wenn ogerten f¨ ur das dargestellte Schirmbild die S¨agezahnspannung uXV der verz¨ Zeitbasis verwendet wird, erscheint auf dem Schirmbild der mit tV bezeichnete Ausschnitt des urspr¨ unglichen Bildes (Ablenkspannung uXH ) auf der ganzen Breite des Schirmes. Im urspr¨ unglichen Schirmbild wird dieser Ausschnitt

242

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.6. Prinzip einer verz¨ ogerten Zeitbasis: a) Prinzipschaltbild, b) Ablenkung mit Hauptzeitbasis, c) Ablenkung mit verz¨ ogerter Zeitbasis

zwecks Positionierung der Zeitmarke tV und Einstellen der L¨ ange tV des zu spreizenden Bildausschnittes aufgehellt dargestellt. Von dieser Art der Darstellung wird man vor allem dann Gebrauch machen, wenn ein zeitlich zu spreizendes Signaldetail erst lange Zeit nach einer m¨ oglichen Triggerstelle im Signal folgt. 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops Abbildung 10.7 zeigt das Blockschaltbild eines 2-Kanal-Oszilloskops mit Standardausstattung, allerdings ohne verz¨ogerte Zeitbasis. Als Eing¨ ange stehen angiger Spanhier die beiden y-Eing¨ange y1 und y2 zur Messung zeitabh¨ nungen, der z-Eingang zur Helligkeitsmodulation des Elektronenstrahles, der Triggereingang zum externen Start der Zeitbasis sowie ein x-Eingang zur Einspeisung einer beliebigen Horizontal-Ablenkspannung zur Verf¨ ugung. Sowohl der Eingang der Triggerschaltung als auch die Eing¨ ange der y-Verst¨ arker sind mit einem Gleichspannungseingang (DC) und einem Wechselspannungseingang (AC) versehen. Am Triggereingang ist ein Triggerﬁlter vorhanden, welches das Ausblenden von hohen oder tiefen Spektralanteilen mit Hilfe eines RC-Tief- bzw. Hochpaßﬁlters erm¨oglicht. Die Vertikalverst¨ arker (Gleichund Wechselspannungsverst¨arker) sowie die Elektronenstrahl-R¨ ohre samt ihrer Ablenksysteme bestimmen die obere Grenzfrequenz des Oszilloskops, welche wiederum wesentlich den technischen Aufwand und damit die Herstellungskosten beeinﬂußt. Zur unverf¨alschten Darstellung bzw. Aufzeichnung eines Signals ist es generell notwendig, daß das Meßsystem (Oszilloskop) eine

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

Abb. 10.7. Blockschaltbild eines 2-Kanal-Oszilloskops

243

244

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Grenzfrequenz fg−Meßsystem aufweist, die mindestens so hoch liegt wie die des zu messenden Signals fg−Meßsystem ≥ fg−Signal .

(10.13)

Im Falle von Oszilloskopen wird vom Hersteller anstatt der oberen Grenzfrequenz oft die Anstiegszeit tr (Risetime) angegeben. Sie ist die Zeit, die der Strahl bei einem Spannungssprung am Eingang zum Schreiben des zwischen 10 und 90 % des Endwertes liegenden Signalverlaufes ben¨ otigt (Abb. 10.8). aheDie obere Grenzfrequenz fg l¨aßt sich aus der Anstiegszeit tr anhand der N¨ rungsformel (10.14) fg tr ≈ 0, 35 bestimmen, welche in Kap. 3.8 hergeleitet wird. Die Verz¨ ogerungsleitung im y-Kanal hat die Aufgabe, die y-Spannung zeitlich verz¨ ogert auf die Ablenkplatten zu geben. Damit wird sichergestellt, daß bei Sprungsignalen auch die ansteigende bzw. abfallende Flanke noch deutlich auf dem Schirm sichtbar ist. Ohne eine solche Verz¨ogerungsleitung best¨ unde bei sehr schnellen Signalen die Gefahr, daß die Flanke schon anliegt, bevor die Zeitbasis die Strahlablenkung starten konnte. Zur gleichzeitigen Darstellung mehrerer, im allgemeinen zweier, Signale verwendet man in der Regel ebenfalls einstrahlige Elektronenstrahl-R¨ohren, deren Vertikalablenksystem im Wechsel von verschiedenen y-Kan¨alen u ¨ber einen elektronischen Umschalter angesteuert werden. Dieser in Abb. 10.7 mit ALT/CHOP“ bezeichnete Schalter wird u ¨bli” cherweise in Form eines schnellen Analog-Multiplexers [113] realisiert. Die Ansteuerung der y-Platten geschieht dabei entweder im Alternierenden-Mode oder im Chopper-Mode (Abb. 10.9): • Alternierender-Mode W¨ ahrend einer vollst¨andigen x-Ablenkperiode wird immer nur das Signal ahrend in der eines Kanals, z.B. das Signal y1 (t), an die y-Platten gelegt, w¨ darauffolgenden Periode der x-Ablenkung das Signal y2 (t) des 2. Kanals geschrieben wird. F¨ ur Phasenvergleiche zwischen den Signalen y1 (t) und y2 (t) ist darauf zu achten, daß die Triggerung immer vom selben Kanal, entweder Kanal 1 oder Kanal 2, ausgel¨ost wird.

Abb. 10.8. Deﬁnition der Anstiegszeit (Risetime) tr

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

245

Abb. 10.9. Funktionsprinzip des Chopperbetriebs: a) Zeitverl¨ aufe der Eingangssignale, b) Schirmbilddarstellung

• Chopper-Mode Im Gegensatz zum alternierenden Mode wird in dieser Betriebsart w¨ ahrend einer einzigen x-Ablenkperiode in zeitlich sehr kurzen Abst¨ anden zwischen den Kan¨ alen 1 und 2 umgeschaltet, so daß die Darstellung der Signale y1 (t) und y2 (t) quasi zeitgleich, d. h. in einem, verglichen zur x-Ablenkperiode und damit auch zum alternierenden Betrieb, kurzzeitigen Wechsel erfolgt. 10.1.4 Sampling-Oszilloskop Das Sampling-Oszilloskop ist eine Ausf¨ uhrungsform des Oszilloskops, das auf die Darstellung periodisch wiederkehrender Signale mit sehr hohen Frequenzanteilen spezialisiert ist, wie z. B. die Visualisierung von in konstanten zeitlichen Abst¨ anden wiederkehrenden kurzen Pulsen. Dabei darf die Grenzfrequenz des (periodisch wiederkehrenden) Meßsignals sogar weit u ¨ber der oberen Grenzfrequenz des Oszilloskops liegen. Die Funktionsweise des Sampling¨ Oszilloskops beruht auf einer Signaldarstellung in Aquivalenzzeit, deren Prinzip anhand von Abb. 10.10 verdeutlicht werden soll. Das Meßsignal wird von einem Sampling-Oszilloskop stroboskopartig abgetastet, wobei die Abtastzeitpunkte gegen¨ uber einem zeitlich festen Bezugspunkt im Signalverlauf, z. B. dem Triggerpunkt, um ein ganzzahliges Vielfaches von ∆T versetzt werden. Dadurch gelingt die vollst¨andige Abtastung des Signals mit einer Abtastfrequenz fa , die kleiner ist als der Kehrwert der Signalperiodendauer Ts fa <

1 . Ts

(10.15)

Die Dauer der Abtastperiode Ta betr¨agt im einfachen Fall (Abb. 10.10) Ta = Ts + ∆T ,

(10.16)

Ta = kTs + ∆T k = 1, 2, 3, ... .

(10.17)

und im allgemeinen Fall

246

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

¨ Abb. 10.10. Sequentielle Abtastung einer periodischen Signalfunktion in Aquiva¨ lenzzeit: a) Darstellung im Realzeitmaßstab, b) Darstellung im Aquivalenzzeitmaßstab

¨ Dadurch erreicht man pro Abtastperiode eine auf die Aquivalenzzeit, d. h. auf den einmaligen Puls, bezogene zeitliche Verschiebung des aktuellen Abtastzeitpunktes gegen¨ uber dem vorhergehenden um ∆T . Mit fa = 1/Ta , fs = 1/Ts und f¨ ur k = 1 l¨ aßt sich diese zeitliche Verschiebung ∆T der Abtastzeitpunkte aus den Gln. (10.16) bzw. (10.17) wie folgt ableiten ∆T =

1 1 − . fa fs

(10.18)

Nach N Abtastungen ist eine Periode des Meßsignals vollst¨ andig abgetastet (Rundungsfehler außer acht gelassen) N=

fa Ts = . ∆T fs − fa

(10.19)

Bei dieser Form der Signalerfassung muß der eigentliche Abtastvorgang der einzelnen Signalwerte allerdings auch in Realzeit erfolgen, d. h. die Abtastung muß so schnell erfolgen, daß das Signal w¨ahrend dieser Zeit als konstant angesehen werden kann, wohingegen die restliche Verarbeitung des Abtastwertes in einem gegen¨ uber der Realzeit gedehnten Maßstab erfolgen darf. Die Grenzfrequenz des Oszilloskops wird damit letztlich von der Geschwindigkeit bestimmt, mit der ein einzelner Wert erfaßt (abgetastet) werden kann. altnis von Realzeit zu Das zeitliche Dehnungsverh¨altnis dvt , also das Verh¨

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

247

¨ Aquivalenzzeit (auf den abgetasteten Signalausschnitt bezogene Zeit) ergibt sich zu (Abb. 10.10) dvt =

Ta fs N Ta Tend = = = . Tend N ∆T ∆T fs − fa

(10.20)

Wie die beim Sampling-Oszilloskop vorkommende Unterabtastung mit dem Shannonschen Abtasttheorem (Kap. 11.6.1) vereinbar ist, soll anhand von Abb. 10.10 und 10.11 demonstriert werden. Infolge der Abtastung entstehen jeweils Duplikate des Spektrums des abgetasteten Signals bei den ganzzahligen ande der Spektrallinien ergeVielfachen der Abtastfrequenz fa [82]. Die Abst¨

¨ Abb. 10.11. Spektrum (schematisiert) bei Abtastung in Aquivalenzzeit

ben sich stets als Kehrwert der Zeit, bei der der gesamte Abtastvorgang beendet wird. Im Falle der Abtastung nach Abb. 10.10a lassen sich zwei Endzeiten deﬁnieren. Zum einen l¨aßt sich die reale Endzeit Tend (Realzeit), nach der die Abtastung aller N Signalperioden abgeschlossen ist (Abb. 10.10), gem¨ aß Gln. (10.16) und (10.19) wie folgt angeben Tend = N Ta = N (Ts + ∆T ) .

(10.21)

Damit ergibt sich der Spektrallinienabstand f0 f¨ ur das abgetastete Spektrum f0 =

1 1 fs = = . Tend N Ta dvt

(10.22)

¨ Die zweite Endzeit Tend ist die, die auf den komprimierten Zeitmaßstab (Aquivalenzzeit) bezogen wird (Abb. 10.10b) Tend =

Tend = N ∆T = Ts . dvt

(10.23)

Diese Endzeit Tend ist hier vereinbarungsgem¨ aß (Gl. (10.19)) mit der Periodendauer Ts des Signals identisch. Der Frequenzabstand f0 zwischen den

248

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

einzelnen Linien im Spektrum des Originalsignals (in Abb. 10.11 mit Origi” nalspektrum“ bezeichnet) entspricht damit der Wiederholfrequenz fs in der Signalfunktion 1 f0 = = f0 dvt = fs . (10.24) Tend Unter Ber¨ ucksichtigung der oben abgeleiteten Zusammenh¨ ange l¨ aßt sich das Originalspektrum gem¨aß dem in Abb. 10.11 gezeigten Schema aus dem real erhaltenen abgetasteten Spektrum rekonstruieren. Denn aus den Gln. (10.20), (10.22) und (10.24) folgt die Beziehung nf0 = nfa + nf0 n = 1, 2, . . . N bzw. nfs = nfa + n

fs n = 1, 2, . . . N , dvt

(10.25)

(10.26)

welche besagt, daß die n-te Spektrallinie des Originalspektrums identisch ist mit der n-ten Spektrallinie des abgetasteten Spektrums, das bei der n-fachen Abtastfrequenz entsteht.

10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen Spannungsteiler kommen in Elektronenstrahl-Oszilloskopen als Eingangsteiler oder als Tastkopf (s. auch Abb. 10.13) vor. Zur Erzielung eines guten dynamischen Verhaltens ist es notwendig, diese Spannungsteiler frequenzkompensiert auszuf¨ uhren. Die daraus resultierende Schaltung besteht aus einem Spannungsteiler, dessen Impedanzen jeweils aus einer Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazit¨at bestehen (Abb. 10.12). Das Tei-

Abb. 10.12. Eingangsspannungsteiler eines Oszilloskops

lerverh¨ altnis V T , also das Verh¨altnis von Eingangs- zu Ausgangsspannung, ergibt sich zu U RT (1 + jωRE CE ) . (10.27) V T = E1 = 1 + U E2 RE (1 + jωRT CT )

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

249

Wenn man die Zeitkonstanten τ1 und τ2 der beiden Impedanzen identisch w¨ ahlt (10.28) τT = RT CT = RE CE = τE , ergibt sich das frequenzunabh¨angige Teilerverh¨ altnis VTR RT = VTR = 1 + V T . RE τ1 =τ2

(10.29)

Die Eingangsimpedanz Z Eges des Teilers ist aber auch in diesem Fall sehr wohl frequenzabh¨ angig. Sie betr¨agt bei Frequenzkompensation, d. h. f¨ ur den Fall τT = τE = τ , RT + RE RT + RE . (10.30) = Z Eges = 1 + jωRE CE 1 + jωτ Die entsprechende Eingangsadmittanz Y Eges ergibt sich dementsprechend zu Y Eges =

1 REges

+ jωCEges ,

(10.31)

wobei sich REges und CEges mit dem reellen Teilerverh¨ altnis VTR aus Gl. (10.29) wie folgt berechnen REges = VTR RE CE CEges = . VTR

(10.32) (10.33)

Der Abgleich von CT kann gem¨aß Abb. 10.13 auf sehr einfache Weise durch Anlegen einer Rechteckspannung u uft bzw. eingestellt werden. ¨berpr¨

10.3 Fehler der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeﬀ izienten) Die einzelnen in Serie geschalteten Meßglieder des x- und des y-Kanals sind mit Empﬁndlichkeitsfehlern behaftet, die sich infolge der Multiplikation der Empﬁndlichkeiten der einzelnen Stufen im jeweiligen Kanal zum Gesamtempﬁndlichkeitsfehler summieren. Typische Werte der Fehlergrenzen von Ablenkkoeﬀizienten liegen sowohl f¨ ur die Vertikal- als auch f¨ ur die HorizontalAblenkung bei etwa 1 - 3 %. Die Fehlerangaben k¨ onnen mit der absoluten Gr¨ oße des Ablenkkoeﬀizienten variieren, wobei i. allg. die kleineren Ablenkkoeﬀizienten gr¨ oßere Fehler aufweisen. Bei diesen Fehlern handelt es sich vorwiegend um systematische Fehler, die u ¨ber den gesamten Anzeigebereich konstant bleiben. Sie lassen sich also quantitativ ermitteln und korrigieren.

250

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.13. Frequenzkompensation des Eingangsteilers: a) Ersatzschaltung eines Tastteilers am Verst¨ arkereingang, b) Unterkompensation (VTC > VTR ), Kompensa¨ (VTC < VTR ) tion (VTC = VTR ) und Uberkompensation

Beispiel — Fehler bei der Anstiegszeit Es sollen die maximalen Fehlergrenzen bei der Messung der Anstiegsgeschwindigkeit einer Rampenspannung ermittelt werden, wenn die relativen Fehler fy und fx der Vertikal- bzw. der Horizontal-Ablenkeinheiten bekannt sind. Der relative Gesamtfehler fan bei der Ermittlung der Anstiegsgeschwindigkeit ergibt sich zu ∆UMess − ∆Uw fan = ∆tMess∆Uw ∆tw , (10.34) ∆tw

wobei ∆UMess /∆tMess die mit dem Oszilloskop gemessene und ∆Uw /∆tw die wahre Anstiegsgeschwindigkeit ist. Aus Gl. (10.34) folgt mit den Deﬁnitionsgleichungen f¨ ur die relativen Fehler fy und fx von Vertikal- und HorizontalAblenkeinheit ∆UMess = 1 ± fy (10.35) ∆Uw und ∆tMess = 1 ± fx (10.36) ∆tw

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

251

der relative Gesamtfehler fan fan =

∆UMess ∆tw 1 ± fy −1= −1. ∆Uw ∆tMess 1 ± fx

(10.37)

F¨ ur kleine Fehler (|fy | 1) und (|fx | 1) gelten die N¨ aherungen 1 ≈ 1 ∓ fx 1 ± fx

(10.38)

(1 ± fy )(1 ∓ fx ) ≈ 1 ± fy ∓ fx .

(10.39)

und Damit lassen sich die Fehlergrenzen bei der Messung der Anstiegszeit als Summe der relativen (Einzel)-Fehler von Vertikal- und Horizontal-Ablenksystem angeben (10.40) fan = ±(|fy | + |fx |) . 10.3.2 Linearit¨ atsfehler Nichtlinearit¨ aten im Horizontal- sowie dem Vertikal-Ablenksystem f¨ uhren zu Linearit¨ atsfehlern, die sich darin ¨außern, daß die Ablenkkoeﬀizienten Ky und Kx innerhalb des Schirmbildes nicht mehr konstant sind. Typischerweise ¨ außern sich Linearit¨atsfehler in den Randbereichen des Schirmbildes (Abb. 10.14). Zur Angabe des Linearit¨atsfehlers werden die Ablenkkoeﬀizienten Ky und Kx jeweils im Bereich 1 des Schirmbildes (Abb. 10.14) gemittelt (K x1 bzw. K y1 ) und als wahre Werte herangezogen. Als Istwerte nimmt man jeweils die im Bereich 2 gemittelten Ablenkkoeﬃzienten (K x2 bzw. K y2 ), also die der Randbereiche. Damit ergibt sich der relative Linearit¨ atsfehler fNLy des Vertikalablenksystems zu

Abb. 10.14. Beispiel eines Linearit¨ atsfehlers bei der Vertikalablenkung. Die SollKennlinie ist eine Gerade.

252

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

fNLy =

K y2 − K y1 . K y1

(10.41)

Der entsprechende relative Linearit¨atsfehler fNLx des Horizontal-Ablenksystems ergibt sich dementsprechend fNLx =

K x2 − K x1 . K x1

(10.42)

Typische Werte f¨ ur die Linearit¨atsfehler liegen bei 2 - 5 %. 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops Da die Eingangsimpedanz eines Oszilloskops aus der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazit¨at besteht und damit frequenzabh¨ angig ist, kann es bei der Messung von zeitlich ver¨ anderlichen Spannungen zu dynamischen Meßfehlern kommen. Der entsprechende systematische Fehler soll im folgenden f¨ ur den Fall eines rein ohmschen Innenwiderstandes der Signalquelle bestimmt werden (Abb. 10.15). Der Fehler f|U| in bezug auf den Betrag der gemessenen Spannung ergibt sich bei einer reinen Sinuswechselspannung U Q (ω) der anregenden Signalquelle zu f|U| =

|U E | − |U Q | = |U Q |

1 −1.

2 RQ 2 1 + RE + (ωRQ CE )

(10.43)

Dieser Betragsfehler ist in Abb. 10.16 als Funktion der Frequenz f¨ ur verschiedene Widerstandswerte der Signalquelle aufgetragen. F¨ ur RE und CE werden dabei die Standardwerte RE = 1 MΩ und CE = 20 pF verwendet. Bei Anregung durch einen Spannungssprung kommt es aufgrund des (verlangsamten) Anstiegs gem¨ aß einer Exponentialfunktion zu Verzerrungen. Die Auﬂadung des Eingangskondensators erfolgt dabei mit der Zeitkonstante τ = CE

RE RQ . RE + RQ

Abb. 10.15. Beschaltung eines Oszilloskops mit einer Signalquelle

(10.44)

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

253

Abb. 10.16. Systematischer Betragsfehler bei Oszilloskopen infolge der komplexen Eingangsimpedanz Z E = (1 MΩ 20 pF)

Wenn man von einem urspr¨ unglich ungeladenen Kondensator ausgeht, betr¨agt die Spannung uE (t) am Eingang des Oszilloskops bei einem Sprung der Signalquellenspannung von 0 auf U0

RE 1 − e−t/τ . (10.45) uE (t) = U0 RE + RQ Abbildung 10.17 zeigt die Verzerrung eines anregenden Spannungssprunges infolge einer Standardeingangsimpedanz f¨ ur verschiedene Widerstandswerte RQ der Signalquelle. Verst¨ arker-Grenzfrequenzen Die Oszilloskop-Verst¨arker enthalten RC-Glieder, die zu einem Tiefpaßverhalten f¨ uhren, das modellhaft durch ein Verst¨ arkerersatzschaltbild gem¨ aß Abb. 10.18 beschrieben werden kann. F¨ ur ausgangsseitigen Leerlauf ergibt ¨ sich das Ubertragungsverhalten des Verst¨arkers im Frequenzbereich aus der ¨ komplexen Ubertragungsfunktion G(ω) G(ω) =

UA V , = UE 1 + jωRC

(10.46)

wobei R und C die Werte des Tiefpasses aus Abb. 10.18 bezeichnen und V eine in erster N¨aherung frequenzunabh¨angige Verst¨ arkung ist. Die obere Grenzfrequenz fg des Verst¨arkers ist erreicht, wenn die Ausgangsspannung auf -3 dB ihres Gleichspannungswertes (ω = 0) abgesunken ist. Dies entspricht einem Verh¨ altnis von UA 1 (10.47) = √ ≈ 0, 707 . V U 2 E f =fg

254

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.17. Verzerrung der (normierten) Sprungantwort bei Oszilloskopen infolge der komplexen Eingangsimpedanz (1 MΩ 20 pF) f¨ ur verschiedene Werte des Signalquellenwiderstandes RQ . Die Normierung erfolgte auf U0 = U0 RE /(RE + RQ ). Die Sprunganregung ﬁndet zum Zeitpunkt t = t0 statt.

Mit Gl. (10.46) ergibt sich daraus die obere Kreisgrenzfrequenz ωg bzw. die obere Grenzfrequenz fg des Verst¨arkers zu ωg RC = 1

(10.48)

bzw.

1 . 2πRC Der Betragsfehler f|U| infolge dieser Bandbegrenzung betr¨ agt U f|U| = A − 1 V UE 1 1 f|U| = −1= 2 − 1 . 2 1 + (ωRC) 1 + ffg fg =

(10.49)

(10.50) (10.51)

Abb. 10.18. Einfaches Modell eines Verst¨ arkers mit der Verst¨ arkung V

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

255

Beispiel — Fehler infolge oberer Grenzfrequenz Mit einem Oszilloskop, das eine obere Grenzfrequenz von 40 MHz aufweist, wird eine Spannungsamplitude bei 20 MHz bestimmt. Der relative Betragsfehler f|U| ergibt sich somit wie folgt 1 f|U| = 2 − 1 = −11% . 1 + 21

(10.52)

Dieser systematische Meßfehler ließe sich aber gem¨ aß Gl. (10.53) zur Korrektur des Meßwertes Umess nutzen 2 f . (10.53) Uw = Umess 1 + fg Die anhand von Gl. (10.53) ermittelte Spannung Uw entspricht dem wahren Wert im Sinne der Fehlerrechnung. Aufgrund des Verst¨arker-Tiefpaßverhaltens ergibt sich wiederum eine exponentiell ansteigende Sprungantwort

(10.54) uA (t) = V U0 1 − e−t/τ , wobei die Zeitkonstante τ die des Eingangstiefpasses aus Abb. 10.18 ist. Die Zeitkonstante τ ist demnach der Kehrwert der Kreisgrenzfrequenz ωg 1 1 = . (10.55) τ RC Somit lassen sich auch die Anstiegszeit tr und die Grenzfrequenz fg des Veragt st¨ arkers ineinander umrechnen. Die Anstiegszeit tr der Sprungantwort betr¨ mit Gl. (10.54) und unter Ber¨ ucksichtigung der Anstiegszeitdeﬁnition (tr ist die Zeit, die die Sprungantwort zwischen 10 und 90 % ihres Endwertes verweilt) (10.56) tr = t2 − t1 = τ (− ln(0, 1) + ln(0, 9)) = 2, 197τ . ωg =

Mit der Beziehung (Gl. (10.49)) fg = erh¨ alt man schließlich

1 1 = 2πRC 2πτ

(10.57)

2, 197 0, 35 = . (10.58) 2πfg fg Die Angabe der Anstiegszeit von Oszilloskopen ist von unmittelbarer praktischer Bedeutung (Kap. 10.1.3), weil ihr Zahlenwert deutlich macht, welche zeitliche Spannungs¨anderung noch korrekt darstellbar ist. Bei der Darstellung einer Rechteckspannung werden beispielsweise die Flanken als zeitlich exponentiell ansteigend bzw. abfallend mit einer Zeitkonstanten auf dem Schirmbild erscheinen, die nach den Gln. (10.55), (10.57) bzw. (10.58) aus der Anstiegszeit oder auch der oberen Grenzfrequenz des Oszilloskops ermittelt werden k¨ onnen. tr =

256

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Anstiegszeit und Grenzfrequenz des eigentlichen Ablenksystems Selbst wenn die Anstiegszeit des y-Verst¨arkers beliebig klein bzw. seine Grenzfrequenz beliebig groß w¨are, g¨abe es ein weiteres Ph¨ anomen, das die Gesamtanstiegszeit des Horizontal-Ablenksystems nach unten begrenzt. Dies ist auf die endliche Laufzeit der Elektronen zwischen den Platten des Ablenksystems zur¨ uckzuf¨ uhren. Wenn man sich den das Schirmbild schreibenden Elektronenstrahl als eine Aneinanderreihung von gleich schnell ﬂiegenden Elektronen vorstellt, so d¨ urfte klar werden, daß bei Anlegen eines Spannungssprunges an den y-Ablenkplatten die Elektronen, die sich gerade am Eingang der yAblenkeinheit beﬁnden, zeitlich viel l¨anger der in y-Richtung beschleunigenden Kraft ausgesetzt sind als die Elektronen, die bereits gerade die y-Platten wieder verlassen. Diese endliche Verweilzeit zwischen den y-Platten f¨ uhrt im Schirmbild bei Anlegen eines idealen Spannungssprunges zu einer mit der Zeit linear ansteigenden Rampe (Abb. 10.19). Die Anstiegszeit dieser Rampe kann

Abb. 10.19. Sprungantwort des Ablenksystems. tr : Anstiegszeit, yL : vertikale Strahlablenkung

anhand von Gl. (10.10) ermittelt werden, welche die Strahlablenkung yL auf dem Schirm beschreibt, wenn dort anstatt der Plattenl¨ ange sz die aktuelle Lauﬂ¨ ange vz tz des Elektrons nach erfolgtem Sprung, also das Produkt aus Horizontalgeschwindigkeit vz und der aktuellen Verweildauer des Elektrons im y-Plattenpaar eingesetzt wird yL =

uy vz tz lz . uz 2dy

(10.59)

In Gl. (10.59) wurden die bereits in den Kap. 10.1.1 (Abb. 10.2) eingef¨ uhrten Bezeichnungen verwendet. Mit Gl. (10.3) ergibt sich lz 2e0 1 yL = u y tz . (10.60) 2dy m0 uz Gleichung (10.60) verdeutlicht den linearen Anstieg der Strahlablenkung yL mit der Verweildauer tz des Elektrons im y-Plattenpaar nach erfolgter Sprunganregung, wobei uy in diesem Fall der Amplitude des Spannungssprunges

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

257

entspricht. Erst wenn ein Elektron nach erfolgtem Sprung der Spannung uy die gesamte L¨ ange sz durchlaufen hat, erh¨alt man den Endwert yLend der entsprechenden Strahlablenkung yLend =

uy s z lz . uz 2dy

(10.61)

Nach Normierung der zeitabh¨angigen Ablenkung yL aus Gl. (10.60) auf den station¨ aren Endwert yLend ergibt sich schließlich 2uz e0 tz yL = . (10.62) yLend m 0 sz Aus Gl. (10.62) l¨aßt sich die Anstiegszeit tr (Zeit zwischen yL = 0, 1yLend und yL = 0, 9yLend ) leicht herleiten 1 m0 tr = 0, 8sz . (10.63) 2uz e0 F¨ ur eine Plattenl¨ange sz = 5 cm und eine Anodenspannung uz = 1 kV ergibt sich bereits eine Anstiegszeit von tr = 2,1 ns. Das diesem Laufzeitfehler entsprechende Frequenzverhalten l¨ aßt sich aus dem Zeitverhalten der Ablenkkraft ermitteln. Die vertikale Ablenkkraft Fy betr¨ agt e0 uy (t) Fy (t) = m0 ay (t) = e0 Ey (t) = . (10.64) dy Mit bekannter Kraft Fy kann unmittelbar die y-Komponente der Elektronengeschwindigkeit vy durch zeitliche Integration errechnet werden Fy (t) e0 1 vy = ay (t) dt = dt = (10.65) uy (t) dt . m0 m 0 dy Im Hinblick auf eine spektrale Bewertung des Laufzeitverhaltens wollen wir ˆ0 cos ωt voraussetzen. Es soll also eine harmonische Ablenkspannung uy (t) = U zum Zeitpunkt t = 0 die Amplitude der Sinusschwingung dargestellt werden. Die Geschwindigkeit vyp in y-Richtung, welche die Elektronen beim Verlassen des y-Plattenpaares haben, l¨aßt sich demnach wie folgt berechnen vyp

e0 1 ˆ U0 = m 0 dy

+

ty 2

e0 1 ˆ U0 cos ωt dt = ty m 0 dy − 2 sz + 2v z e0 1 ˆ 1 U0 sin ωt = sz m 0 dy ω − 2v

z ωsz e0 2 ˆ 1 U0 sin = . m 0 dy ω 2vz

sz + 2v z

cos ωt dt

sz − 2v z

(10.66)

258

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Unter Zuhilfenahme von Gl. (10.7) und Vernachl¨ assigung von yp kann die Strahlablenkung yL wie folgt angegeben werden

ωsz lz lz lz e 0 1 1 ˆ sin yL = vymax = vyp = 2U0 . (10.67) vz vz vz m0 dy ω 2vz Bezieht man diese Ablenkung auf ihren wahren Wert (Gl. (10.10)) yLw =

lz s z ˆ U0 , uz 2dy

(10.68)

so ergibt sich unter Beachtung der Energiebeziehung (Gl. (10.2)) 1 m0 vz2 2 der Amplitudengang der y-Ablenkeinheit wie folgt

ωsz

sin 2vz ωsz ω yL = = sinc = sinc , ωsz yLw 2v ω z 0 2vz e 0 uz =

(10.69)

(10.70)

wobei

2vz . (10.71) sz Dabei bezeichnet sinc(x) = sin(x)/x die Spaltfunktion. Die 3-dB-Grenzfrequenz dieses Amplitudenganges berechnet sich wiederum aus der Bedingung 1 yL (10.72) = √ ≈ 0, 707 yLw f =fg 2 ω0 =

1, 39 1, 39 2vz 0, 44 2e0 uz ω0 = = . (10.73) 2π 2π sz sz m0 So ergibt beispielsweise eine Plattenl¨ange von sz = 5 cm und eine Anodenspannung von uz = 1 kV eine obere Grenzfrequenz der y-Ablenkeinheit von ur die Anstiegszeit tr (Gl. (10.63)) l¨ aßt fg = 165 MHz. Mit dem Ergebnis f¨ sich wiederum der Zusammenhang zwischen der Anstiegszeit tr und der oberen Grenzfrequenz ableiten (Gl. (10.58)) 1 1 0, 44 2e0 uz = 0, 44 · 0, 8 = 0, 35 . (10.74) fg = sz m0 tr tr zu

fg = 1, 39f0 =

Abbildung 10.20 zeigt den Amplitudengang der Ablenkempﬁndlichkeit. Zwei naheliegende Maßnahmen zur Erh¨ohung dieser Grenzfrequenz bzw. zur Verringerung der Anstiegszeit sind die Erh¨ohung der Beschleunigungsspannung sowie die Verk¨ urzung der Ablenkplattenl¨ange. Diese Maßnahmen stehen jedoch insbesondere der Forderung nach hoher Ablenkempﬁndlichkeit entgegen (Kap. 10.1.1). In Oszilloskopen mit Grenzfrequenzen oberhalb 200 MHz ﬁnden daher besondere Formen von Ablenkplatten, die sog. WanderfeldAblenkplatten, Einsatz [69].

10.4 Digital-Speicheroszilloskop

259

Abb. 10.20. Amplitudengang der Ablenkempﬁndlichkeit, bedingt durch den Laufzeitfehler der Elektronen w¨ ahrend ihrer Flugzeit zwischen den Ablenkplatten

10.4 Digital-Speicheroszilloskop Im Gegensatz zum analogen Elektronenstrahl-Oszilloskop werden die Meßsignale in Digital-Speicheroszilloskopen (DSO) intern in Form zeitlich diskreter Bin¨ arzahlen verarbeitet. Dadurch erm¨oglichen diese Ger¨ ate vor allem den kompatiblen Anschluß an die digitale Welt der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung sowie die der gesamten digitalen Signalverarbeitung. Andererseits kann man sie auch wie konventionelle Analog-Oszilloskope betreiben. Die Mitte der siebziger Jahre begonnene Entwicklung der Transientenrekorder zur digitalen Aufzeichnung von elektrischen Einzelvorg¨ angen f¨ uhrte im Laufe der letzten beiden Jahrzehnte im Zuge ihrer konsequenten Weiterentwicklung zum Digital-Speicheroszilloskop. Diese Entwicklung st¨ utzt sich im wesentlichen auf die schnell voranschreitende Technologie der Analog-DigitalUmsetzer, welche das Herzst¨ uck eines jeden Digital-Speicheroszilloskops sind. Die Vorz¨ uge des Digital-Speicheroszilloskops beruhen auf der leichten Speicherbarkeit von digitalen Meßwerten, ihrer einfachen rechnergest¨ utzten Weiterverarbeitung sowie der gleichzeitig vorhandenen M¨ oglichkeit einer komfortablen Bildschirmdarstellung. Die Grenzen der digitalen Speicherung und Verarbeitung liegen in den Nachteilen der notwendigen zeitlichen und amplitudenm¨ aßigen Diskretisierung der urspr¨ unglich analogen Meßwerte. 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise Digital-Speicheroszilloskope bestehen aus den in Abb. 10.21 gezeigten Standardbaugruppen Meßkanal, Triggermodul, dem Takt- und Steuerungsmodul sowie der Anzeige. Die wesentliche Komponente eines jeden digitalen Speicher-

y(t)

Takt- und Steuerungsmodul

Abb. 10.21. Blockschaltbild eines Digital-Speicheroszilloskops

externes Triggersignal

AC

DC

s

TriggerEinheit

Frequenzteiler r

AntiAliasingFilter

1

f takt r

R Q Q

D

R

Steuerung

A

&

Schieberegister

0 1 23

n

D A

p (Anzahl der Posttriggerwerte)

Stop-Signal (Einspeichern beenden)

A

y-Platten

D

x-Platten

k

x-Endverstärker

Einspeichern/Wiedergeben

S

W

Rückwärts-Zähler

R

Vorwärts-Zähler

S&H

Triggermodul

T

Vorgabe K t (Teilungsverh.)

f takt s

y-Vorverstärker

f takt Taktgenerator

Frequenzteiler

Vorgabe K y

Abschwächer

Meßkanal y-Endverstärker

260 10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale Anzeigeeinheit

10.4 Digital-Speicheroszilloskop

261

Oszilloskops bildet der Analog-Digital-Umsetzer mit einem nachgeschalteten Speicher, den man sich zwecks einfacherer Erkl¨ arung in Form eines Schieberegisters (FIFO = First In First Out Speicher) vorstellen m¨ oge. Dieses Schieberegister enth¨alt k Digitalworte zu je n Bit. Mit jedem Taktwechsel wird der Inhalt des Schieberegisters um eine Wortstelle nach rechts verschoben, wobei das k-te Wort nach dem n¨achsten Wechsel in der Schalterstellung S (Einspeichern) verlorengeht. Nur beim Auslesevorgang (Wiedergabe, Schalterstellung W ) wird das k-te Wort beim n¨achstfolgenden Taktwechsel an der 1. Stelle wieder eingespeichert. Das Digitalwort an der k-ten Stelle wird mit Hilfe des Digital-Analog-Umsetzers jeweils in seinen entsprechenden Analogwert umgewandelt und u ¨ber den y-Endverst¨arker auf die Vertikal-Ablenkplatten gegeben. Die Schalterstellung (S/W ) wird letztlich von der Triggereinheit gesteuert, welche aus einem Schwellwertkomparator mit nachgeschaltetem FlipFlop, einem UND-Gatter sowie einem R¨ uckw¨artsz¨ ahler besteht, der eine Vorahlt dieser einstellung von p erh¨alt. Nach Eintreﬀen des Triggerereignisses z¨ uck und l¨ost u Z¨ ahler von p auf 0 zur¨ ¨ber die Steuerung das Umschalten des Schalters von Einspeichern“ (S) auf Wiedergabe“ (W ) aus. Das be” ” deutet, daß p Abtastwerte nach Eintreﬀen des Triggerereignisses und (k − p) Abtastwerte vor Eintreﬀen des Triggerereignisses im Schieberegister gespeichert werden, die letztlich in der Wiedergabephase im Schirmbild erscheinen. Bei den (k − p) Werten vor dem Triggerereignis spricht man vom sog. Pretrigger. W¨ ahlt man p = k, so wird nur das Signal nach dem Triggerzeitpunkt dargestellt, so wie man es vom normalen Analog-Oszilloskop her gewohnt ist. Bei der Einstellung p = 0 hingegen liegen alle k dargestellten Abtastwerte vor dem Triggerzeitpunkt. Diese Art der Messung ist interessant bei der Kl¨ arung unvorhergesehener Ereignisse, weil man auf diese Weise das Signal vor Eintreten des Triggerereignisses speichern bzw. analysieren kann. Die Horizontal-Ablenkung erfolgt ebenfalls auf digitaler Basis, und zwar mit Hilfe eines gew¨ ohnlichen Vorw¨artsz¨ahlers, der mit einem nachgeschalteten DigitalAnalog-Umsetzer eine mit der Zeit ansteigende Rampenspannung erzeugt. Die Anstiegsgeschwindigkeit wird u altnis r des Frequenztei¨ber das Teilungsverh¨ lers vorgegeben. Nach Erreichen des Endwertes (der Strahl beﬁndet sich dann am rechten Bildschirmrand) wird der Z¨ahler wieder zur¨ uckgesetzt, und der Strahl springt an den linken Bildrand zur¨ uck. 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes Die Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes kann entweder, wie in Abb. 10.7 angedeutet, mit Hilfe einer konventionellen analogen Elektronenstrahl-R¨ ohre oder mit Hilfe eines mit magnetischer Ablenkung arbeitenden Rasterbildschirmes erfolgen. Bei neueren Ger¨aten setzt sich allerdings die Verwendung von TFT-LCD-Bildschirmen, die auch mehrfarbig ausgef¨ uhrt sein k¨ onnen, immer mehr durch (Abb. 10.22). Bei der letztgenannten Methode werden die digitalen Amplitudenwerte (y-Werte) mit korrespondierenden x-Werten, welche den zeitlichen Abtastpunkten entsprechen, verkn¨ upft und als (x, y)-Bildpunkte

262

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale Vorverstärker

ADC

Datenspeicher

µP

Bildspeicher

LCDDisplay

Abb. 10.22. Prinzip-Blockschaltbild eines digitalen Speicher-Oszilloskops

auf dem Rasterschirm in Form heller Bildpunkte dargestellt. Dies entspricht der sog. Punktdarstellung. Als weitere wichtige Darstellungsarten werden die lineare Interpolation und die Sinusinterpolation verwendet (Abb. 10.23). Bei der linearen Interpolation werden zeitlich aufeinanderfolgende Bildpunkte durch Geraden verbunden, was bei der Darstellung glatter Signalverl¨ aufe eine hohe Anzahl von Abtastwerten erforderlich macht, z. B. mindestens 10 Abtastwerte pro Periode bei Sinusschwingungen. F¨ ur die Darstellung glatter Signalverl¨ aufe ist die Sinusinterpolation empfehlenswert, bei der jedem einzelnen Abtastwert x(i) ein sin t/t-Ausgangssignal (mit Maximalwert an der Abtaststelle x(t)) zugeordnet wird. ¨ Das Ausgangssignal y(t) ergibt sich aus der additiven Uberlagerung aller sin t/t-Kurven gem¨aß

Abb. 10.23. Die wichtigsten Darstellungsarten von Digital-Speicheroszilloskopen: a) Eingangssignal, b) Punktdarstellung, c) lineare Interpolation, d) Sinusinterpolation

10.4 Digital-Speicheroszilloskop

y(t) =

x(i)

sin π t−tTaa(i)

i

π t−tTaa(i)

,

263

(10.75)

wobei ta (i) der Abtastzeitpunkt des i-ten Abtastwertes x(i) und Ta die Dauer der Abtastperiode bezeichnen. Ein entsprechend dem Nyquist-Kriterium abgetastetes, aus diskreten Abtastwerten bestehendes Signal kann n¨ amlich wieder zu dem urspr¨ unglichen (zeitlich kontinuierlichen) Signal verzerrungsfrei rekonstruiert werden, wenn man die Abtastwerte in zeitlicher Folge auf einen idealen Tiefpaß mit der Grenzfrequenz fg =

1 2Ta

(10.76)

gibt [82]. Dieser Tiefpaß hat aber bez¨ uglich der einzelnen Abtastwerte genau die Impulsantwort, die durch Gl. (10.75) beschrieben wird. Um auch im Zuge der in der Praxis unvermeidbaren zeitlichen Begrenzung bei der Realisierung der sin t/t-Funktion noch eine gute Rekonstruktion des Originalsignals aus den Abtastwerten zu erhalten, ist es in der Praxis notwendig, mit mindestens 2,5 Abtastwerten pro Periode der h¨ochsten im abzutastenden Signal vorkommenden Frequenzkomponente zu arbeiten. Die Zahl 2, die das Abtasttheorem theoretisch zul¨ aßt, ist also unter praktischen Bedingungen nicht ganz ausreichend. 10.4.3 Aufzeichnungs-/Anzeigebetriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops Recurrent-Mode (Refresh-Mode) Diese Arbeitsweise ist ¨ahnlich dem eines gew¨ohnlichen analogen Oszilloskops. Kennzeichnend dabei ist die st¨andige Erneuerung des Speicherinhaltes, die nach jedem Triggersignal erfolgt. Das Auslesen und die Anzeige der Speicherwerte erfolgt in den Pausen zwischen den Abtastphasen. Es k¨ onnen aber auch alternativ die Daten nach der Einspeicherphase in einen zweiten Speicher transferiert werden, aus dem sie dann zur Bilddarstellung beliebig oft und unabh¨ angig von der eigentlichen Signalerfassung ausgelesen werden k¨ onnen. Single Shot Nach Eintreten des Triggerereignisses wird nur eine Aufnahme gemacht, auch wenn danach die Triggerbedingungen erf¨ ullt sein sollten. Diese Einzelaufnahme kann im Gegensatz zum analogen Oszilloskop beliebig lange auf dem Schirm dargestellt werden.

264

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Roll-Mode Diese Aufzeichnungsart erlaubt das kontinuierliche Beobachten von langsamen Vorg¨ angen, deren zeitlicher Verlauf mit dem menschlichen Auge gerade noch wahrgenommen werden kann. Das aufgezeichnete Signal wird dabei, ¨ ahnlich wie auf einem Schreiber, von links nach rechts u ¨ber den Bildschirm gezogen, wobei der aktuelle Wert am gerade noch ¨außersten rechten Bildrand erscheint, w¨ ahrend der ¨ alteste Wert links aus dem Bild geschoben wird. 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern Derzeit eingesetzte Digital-Oszilloskope sind in der Regel mit einer Schnittstelle zu Computern versehen, so daß die aufgezeichneten Signale zu einem Computer u onnen. ¨bertragen und dort weiterverarbeitet oder archiviert werden k¨ Es ist ohne weiteres m¨oglich am Computer eine Echtzeitdatenverarbeitung durchzuf¨ uhren. Die detailierten Informationen u ¨ber das betrachtete Signal k¨ onnen dadurch dargestellt und vom Bediener ausgewertet werden.

10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope In der Praxis werden f¨ ur verschiedene Aufgaben unterschiedliche Oszilloskope eingesetzt (Tab. 10.1). Analoge Oszilloskope werden vor allem bei schnellen Signalen verwendet, die in Echtzeit betrachtet werden und deren Intensit¨ ats¨ anderung bzw. Signalstreuung durch die helligkeitsmodulierte Darstellung sichtbar werden sollen. Analoge Oszilloskope eigenen sich daher in besonderem Maße f¨ ur periodische Signale. Digitale Oszilloskope dagegen bieten den Vorteil, einmal aufgezeichnete Signale langfristig und ohne Informationsverlust speichern zu k¨ onnen. Weiterhin erlauben sie einfache Analysefunktionalit¨ aten, wie beispielsweise eine Darstellung des betrachteten Signals im Frequenzbereich. Im weiteren k¨ onnen mit dem Digital-Oszilloskop aufgezeichnete Signale mittels eines Computers weiterverarbeitet werden. Gemessene und aufgezeichnete Signale k¨ onnen bei Bedarf wieder orginalgetreu abgerufen werden, so daß Vergleiche mit ¨ alteren Meßsignalen m¨ oglich sind.

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop Die Vorteile des Analog- sowie des Digitaloszilloskops werden in einer neuartigen Oszilloskopart, dem sogenannten Digital-Phosphor-Oszilloskop (DPO), vereint. Dieses erm¨oglicht die Darstellung von schnellen Signalen in Echtzeit und kann ebenfalls die Signalintensit¨at bzw. Signalstreuung darstellen. Dadurch ist es m¨ oglich, selten auftretende Signalst¨ orungen zu erkennen, was

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop

265

Tabelle 10.1. Vergleich der Vorteile von Analog- und Digital-Oszilloskopen Analog-Oszilloskop + schnelle Signalerfassung + Darstellung der Signalintensit¨ at + Echtzeitdarstellung der Signale

Digital-Oszilloskop + Simultanbetrieb auf mehreren Kan¨ alen + Single-Shot Aufnahme m¨ oglich + Signalspeicherung m¨ oglich + Weiterverarbeitung der Daten im Computer + Signalanalyse m¨ oglich (z. B. FFT) + Pre-Trigger-M¨ oglichkeiten

insbesondere bei der Fehlersuche von Vorteil ist [110]. Das Digital-Phosphor-Oszilloskop kann die Vorteile von analogem und digitalem Oszilloskop nur deshalb vereinbaren, weil leistungsf¨ ahige Signalprozessoren die Signalabbildung u bernehmen. Dabei werden die Signaldaten in Echt¨ zeit von einem Erfassungs-Prozessor verarbeitet und in geeigneter Weise gespeichert, w¨ ahrend ein spezieller Signalabbildungsprozessor parallel dazu die Signaldarstellung erledigt. Der Aufbau eines solchen Oszilloskops ist schematisch in Abb. 10.24 dargestellt. Im Gegensatz zu einem digitalen SpeicherOszilloskop, welches keinen Mikroprozessor zur Aufbereitung der darzustellenden Daten besitzt (siehe Abb. 10.22), k¨onnen Digital-Phosphor-Oszilloskope die aufgezeichneten Daten schneller darstellen. Hierf¨ ur ist der spezielle Signalabbildungsprozessor verantwortlich, der die darzustellenden Werte entsprechend aufbereitet.

Vorverstärker

ADC

Digital Phosphor Acquisition Rasterizer

Erfassungs-Prozessor LCDFarbdisplay

Bildspeicher

µP

Abb. 10.24. Prinzip-Blockschaltbild eines Digital-Phosphor-Oszilloskops

Durch die Nachbildung des Nachleuchteﬀekts“ analoger Oszilloskope ” wurde der Begriﬀ Digital-Phosphor gew¨ahlt. Bei dieser Oszilloskopart werden die vergangenen Bildsequenzen bzw. Signalverl¨ aufe in einer dritten Dimension gespeichert und dann auf dem Bildschirm ausgegeben. Die Intensit¨ at eines Signals ist ein Maß f¨ ur die Signal-Varianz. So wird beispielsweise ein rauschfreies Sinussignal immer mit gleicher Intensit¨ at dargestellt. Wird nun dasselbe Sinussignal mit Rauschen u ¨berlagert, so ist die Sinuswelle mit gleicher Intensit¨at dargestellt. Die durch das Rauschen verursachte Varianz des Sinussignals erscheint mit einer geringeren Intensit¨ at auf dem Display.

266

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Digital-Phosphor-Oszilloskope k¨onnen die Intensit¨ at im Gegensatz zu AnalogOszilloskopen farbig darstellen, wodurch sich die Signalverl¨ aufe vom Beobachter leichter erkennen lassen.

11 Digitale Meßtechnik

Da die moderne Meßtechnik zunehmend die Verfahren der rechnergest¨ utzten Meßwerterfassung und digitalen Signalverarbeitung nutzt, z¨ ahlt es zu den wichtigsten Aufgaben der Elektrischen Meßtechnik, in analoger Form vorliegende Meßsignale zu digitalisieren. W¨ahrend in der analogen Meßtechnik alle Meßgr¨ oßen in wertkontinuierlicher Form verarbeitet werden, kennt die digitale Meßtechnik nur die bin¨are Darstellungsform. Bin¨ are Signale k¨ onnen den ur High) oder 0 (alternativ L f¨ ur Low) annehmen. Wert 1 (alternativ H f¨ F¨ ur den Fall, daß der Wert 1 einem hohen Spannungspegel und der Wert 0 einem niedrigen Spannungspegel entspricht, bezeichnet man dies als positive Logik, im umgekehrten Fall spricht man von negativer Logik. Bin¨ are Signale bieten den großen Vorteil, daß sie sich durch nur zwei, eindeutig zu unterscheidende Betriebszust¨ande der verarbeitenden elektronischen Komponenten darstellen lassen, wie z. B. Schalter EIN“ bzw. Schalter AUS“. Alle auf ” ” Halbleiterelementen basierenden Schalter sind bez¨ uglich ihrer High- und LowSpannungspegel mit so großz¨ ugigen Toleranzb¨ andern versehen, daß Digital¨ schaltungen im allgemeinen sehr zuverl¨assig funktionieren. Beim Ubergang in die Digitalwelt m¨ ussen die wert- und zeitkontinuierlichen Signale in wert- und zeitdiskrete Signale gewandelt werden. Dazu bedient man sich entweder der Analog-Digital-Umsetzer (Kap. 11.7) oder der Z¨ahlerschaltungen (Kap. 11.5). Zum Verst¨ andnis dieser Schaltungen sind Kenntnisse u arcodes und ¨ber Bin¨ digitale Grundschaltungen, wie Gatter und bistabile Kippschaltungen, notwendig. Diese Grundlagen sind Inhalt der Kap. 11.1 bis 11.3.

11.1 Duales Zahlensystem und Bin¨ arcodes 11.1.1 Dualzahlendarstellung Da Digitalschaltungen Signale nur in bin¨arer Form verarbeiten k¨ onnen, muß man bez¨ uglich der Zahlendarstellung vom u aren ¨blichen Dezimalsystem zum bin¨

268

11 Digitale Meßtechnik

System u ¨bergehen. Jede Dezimalzahl kann auch als Dualzahl dargestellt werden. Wenn wir uns zun¨achst auf ganze Zahlen beschr¨ anken, l¨ aßt sich die Dezimalzahl Zdez mit Hilfe einer Zweierpotenzzerlegung in eine entsprechende Dualzahlendarstellung konvertieren Zdez = zN 2N + zN−1 2N−1 + . . . + z1 21 + z0 20 .

(11.1)

Die entsprechende Dualzahl Zdual besteht dann aus den 0 - oder 1 -wertigen Bin¨ arstellen zi , die mit den Koeﬃzienten der Zweierpotenzen identisch sind Zdual = zN zN−1 . . . z1 z0 .

(11.2)

So entspricht beispielsweise die Dezimalzahl 68 der Dualzahl 1000100 . Die 0 - oder 1 -wertige digitale Informationseinheit wird dabei als 1 Bit und die zu 8 Bit zusammengefaßte Datenmenge als 1 Byte bezeichnet.

11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code In der Elektrischen Meßtechnik wird oft der sog. BCD-Code (Binary Coded Decimals) verwendet, bei dem die Dezimalziﬀern 0 bis 9 mit einer vierstelligen Dualzahl der Wertigkeit 8-4-2-1“ dargestellt werden. So entspricht beispiels” weise die Dezimalzahl 68 der BCD-Zahl 0110 1000. Da die Dezimalziﬀer bei der BCD-Darstellung von einer vierstelligen Dualzahl mit den Stellenwerten 23 , 22 , 21 und 20 repr¨asentiert wird, wird dieser Code auch als 8-4-2-1-Code bezeichnet. Ein weiterer, insbesondere in der Computertechnik sehr verbreiteter Code ist der Hexadezimalcode, der die Zahlen 0 bis 9 mit den entsprechenden Ziﬀern und die Zahlen 10 bis 15 mit den Buchstaben A bis F darstellt. Der in der vierten Spalte von Tabelle 11.1 enthaltene Gray-Code zeichnet sich dadurch ¨ aus, daß beim Ubergang von einer Zahl zur n¨ achsth¨ oheren nur ein einziges Bit seine Wertigkeit ¨andert, was oft zum Umgehen von Timing-Problemen in Digitalschaltungen genutzt wird. Tabelle 11.1 zeigt die Darstellung der Dezimalzahlen 0 bis 15 mittels der oben besprochenen Codes. 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur Die Verf¨ alschung eines einzelnen oder auch einer ungeradzahligen Anzahl von Bits im BCD-Code beispielsweise ist erkennbar, wenn pro 4-Bit-Wort ein 5. Bit, ein sog. Pr¨ ufbit, angeh¨angt wird. Dabei wird auf gerade oder ungerade Parit¨at gepr¨ uft. Man spricht dann von einem fehlererkennenden Code [98]. Wenn neben dieser Erkennung eines Fehlers eine lokale Ortung des fehlerhaften Bits durchgef¨ uhrt werden soll, werden pro Dezimalstelle 8 Bit statt der vier des BCD-Codes ben¨otigt. Man bezeichnet diesen Code dann als einen fehlerkorrigierenden Code.

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung

269

Tabelle 11.1. Gebr¨ auchliche Formen bin¨ arer Zahlendarstellungen Dezimalzahl Dualzahl BCD-Code Gray-Code Hexadezimalzahl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0001 0001

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0000 0001 0010 0011 0100 0101

0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verknu ¨ pfung mittels digitaler Schaltungen Die Funktionen digitaler Ger¨ate basieren im wesentlichen auf dem Zusammenwirken digitaler Grundschaltungen, die auch als Gatterschaltungen bezeichnet werden. Diese Gatterschaltungen f¨ uhren die logische Verkn¨ upfung von Bin¨ arsignalen durch. In Kap. 11.2.1 sollen zun¨achst einige wichtige mathematische Grundregeln beschrieben werden, welche die Verkn¨ upfung von logischen Variablen beinhalten, bevor anschließend die digitalen Grundschaltungen selbst erkl¨ art werden (Kap. 11.2.2). In Abschnitt 11.2.3 wird schließlich eine komplexere, aus mehreren logischen Grundschaltungen zusammengesetzte Schaltung beschrieben. 11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verknu arer Signale ¨ pfung bin¨ Die Grundlage der Mathematik von logischen Variablen bildet die Boolesche Algebra [120]. Die drei grundlegenden Verkn¨ upfungen zwischen zwei logischen Variablen (x1 und x2 ) zu einem Ergebnis y sind die Negation, die Konjunktion und die Disjunktion: Negation (NICHT-Verknu ¨ pfung) y=x ¯

(11.3)

270

11 Digitale Meßtechnik

Konjunktion (UND-Verknu ¨ pfung) y = x 1 ∧ x 2 = x 1 · x 2 = x 1 x2

(11.4)

Disjunktion (ODER-Verknu ¨ pfung) y = x 1 ∨ x2 = x 1 + x 2 .

(11.5)

Die hardwarem¨ aßigen Implementierungen obiger Verkn¨ upfungen erfolgen mit den in Kap. 11.2.2 beschriebenen Gatterschaltungen NICHT-Gatter, UNDGatter und ODER-Gatter. F¨ ur diese Grundrechenoperationen gelten eine Reihe von Gesetzen, wie die aus der Algebra reeller Zahlen bekannten Gesetze Kommutatives Gesetz, Assoziatives Gesetz und Distributives Gesetz. Besondere Formen nehmen im Falle von bin¨aren Variablen die folgenden Gesetze an: Negationsgesetz

x¯ x=0

x+x ¯=1

Tautologie

x+x=x

xx = x

Absorptionsgesetz

x1 (x1 + x2 ) = x1

x1 + x 1 x2 = x 1

Morgansches Gesetz

x 1 x2 = x ¯1 + x ¯2

x1 + x 2 = x ¯1 x ¯2 .

11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) Im folgenden werden die wichtigsten digitalen Grundschaltungen beschrieben, und zwar f¨ ur den Fall von zwei logischen Eingangsvariablen x1 und x2 . Das jeweilige Ergebnis bzw. das Ausgangssignal wird mit y bezeichnet. Die Gatterschaltungen werden jeweils sowohl mit dem fr¨ uher u ¨blichen Schaltzeichen als auch in Form des eckigen Schaltzeichens dargestellt, das der heutigen Norm [26] entspricht. NICHT-Gatter (NOT-Gatter) Das NICHT-Gatter liefert am Ausgang das negierte Eingangssignal (Abb. 11.1). Der kleine Kreis, der am Ausgang des Schaltsymbols eingezeichnet ist, deutet in der Digitaltechnik stets darauf hin, daß das Bin¨ arsignal bzw. die logische Variable an dieser Stelle negiert (invertiert) wird. y=x ¯ xy 0 1 1 0

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung

271

Abb. 11.1. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das NICHT-Gatter (fr¨ uher gebr¨ auchliche Form und normgerechte Darstellung)

UND-Gatter (AND-Gatter) Mit dem UND-Gatter wird die Konjunktion realisiert, d. h. sein Ausgangssignal ist nur dann 1 , wenn alle Eing¨ange auf 1 gesetzt sind (Abb. 11.2). y = x 1 x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Abb. 11.2. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das UND-Gatter

NAND-Gatter Das NAND-Gatter entspricht dem UND-Gatter mit negiertem Ausgangssignal (Abb. 11.3). y = x 1 x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

Abb. 11.3. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das NAND-Gatter

272

11 Digitale Meßtechnik

ODER-Gatter (OR-Gatter) Mit dem ODER-Gatter wird die Disjunktion realisiert, d. h. sein Ausgang ist dann 1 , wenn mindestens eine der Eingangsvariablen den Wert 1 aufweist (Abb. 11.4). y = x 1 + x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

Abb. 11.4. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das ODER-Gatter

NOR-Gatter Das NOR-Gatter entspricht der ODER-Schaltung mit negiertem Ausgangssignal (Abb. 11.5). y = x 1 + x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 0

Abb. 11.5. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das NOR-Gatter

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung

273

EXOR-Gatter (Antivalenz-Gatter, Exklusiv-Oder-Gatter) Das Ausgangssignal des EXOR-Gatters ist 1 , wenn genau eine Eingangsvariable den Wert 1 hat (Abb. 11.6). Diese auch als Antivalenz-Gatter bezeichnete Schaltung liefert also nur dann eine 1 am Ausgang, wenn die beiden Eingangsvariablen ungleiche bin¨are Wertigkeit aufweisen. ¯2 y=x ¯ 1 x2 + x 1 x x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

Abb. 11.6. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das EXOR-Gatter

¨ Aquivalenz-Gatter ¨ Der Ausgang des Aquivalenz-Gatters wird auf 1 gesetzt, wenn die Eingangs¨ signale dieselbe bin¨are Wertigkeit haben. Die Aquivalenz entspricht also der negierten Antivalenz (Abb. 11.7). ¯ 2 + x 1 x2 y=x ¯1 x x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

¨ Abb. 11.7. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das Aquivalenz-Gatter

274

11 Digitale Meßtechnik

11.2.3 Digitale Addierer Halbaddierer Die Addition von zwei einstelligen Dualzahlen kann in zwei verschiedenen ¨ Ergebnis- sowie zwei unterschiedlichen Ubertragswerten resultieren (Tabelle 11.2). Der entsprechende Addierer muß also einen Summenausgang s sowie ¨ einen Ubertragsausgang c besitzen. Die hardwarem¨ aßige Implementierung der Tabelle 11.2. Addition zweier einstelliger Dualzahlen ¨ x + y = Summe s Ubertrag c 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

0 0 0 1

dazugeh¨ origen Wahrheitstabelle (Tabelle 11.2) enth¨ alt ein Antivalenz- und ein UND-Gatter. Die entsprechende Schaltung (Abb. 11.8) wird als Halbaddierer

Abb. 11.8. Halbaddierer: a) Schaltung, b) Schaltsymbol

bezeichnet, da sie nur f¨ ur die Addition der niedrigsten Dualzahlenstelle ein¨ gesetzt werden kann. Bei allen anderen Stellen muß der Ubertrag von der n¨ achstniedrigeren Stelle ebenfalls Ber¨ ucksichtigung ﬁnden. Volladdierer ¨ Zur Ber¨ ucksichtigung des Ubertragswertes ci muß die Wahrheitstabelle (Tabelle 11.2) entsprechend modiﬁziert werden (Tabelle 11.3). Abbildung 11.9 zeigt das aus dieser modiﬁzierten Wahrheitstabelle nach den Regeln der Booleschen Algebra abgeleitete Schaltbild des Volladdierers. Ein aus einem Halbaddierer und drei Volladdierern zusammengesetzter 4-Bit-Volladdierer ist in Abb. 11.10 dargestellt.

11.3 Bistabile Kippschaltungen

275

Abb. 11.9. Volladdierer: a) Schaltung, b) Schaltsymbol Tabelle 11.3. Wahrheitstabelle des dualen Volladdierers xi yi ci si ci+1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1 1 1

11.3 Bistabile Kippschaltungen Bei den bistabilen Kippschaltungen, die auch Flip-Flop-Schaltungen genannt werden, h¨ angt das Ausgangssignal sowohl von den Eingangssignalen als auch dem jeweiligen, von der Vorgeschichte bestimmten Zustand der Schaltung ab. Im Gegensatz zu den in Kap. 11.2 behandelten kombinatorischen Schaltwerken zeigen demnach die bistabilen Kippschaltungen Speicherwirkung. Der Begriﬀ der Bistabilit¨ at sagt aus, daß die Schaltung zwei stabile Zust¨ ande kennt, die durch ein Setz-Signal bzw. ein R¨ ucksetz-Signal erreicht werden.

¨ Abb. 11.10. 4-Bit-Volladdierer mit seriellem Ubertrag

276

11 Digitale Meßtechnik

¯ Abb. 11.11. RS-Flip-Flop (R: Reset-Eingang; S: Set-Eingang; Q: Ausgang; Q: invertierter Ausgang): a) Realisierung mit NOR-Gattern, b) Schaltsymbol, c) Zeitdiagramm

11.3.1 RS-Flip-Flop Die bekannteste bistabile Kippschaltung ist das asynchrone RS-Flip-Flop (nicht-taktgesteuertes RS-Flip-Flop), dessen Realisierung mit Hilfe von zwei r¨ uckgekoppelten NOR-Gattern erfolgen kann (Abb. 11.11). Durch die Signalkombination S = 1 und R = 0 wird das Flip-Flop gesetzt, d. h. der Ausgang uhrt dabei folgende logische OpeQ nimmt den Wert 1 an. Die Schaltung f¨ rationen durch Q = S+Q=1+Q=0

(11.6)

Q = R+Q=0+0=1.

(11.7)

Mit der Eingangskombination S = 0 und R = 1 wird der Ausgang Q zur¨ uckgesetzt (Q = 0). Die Ergebnisse der u ¨brigen Eingangssignalkombinationen ﬁnden sich in Tabelle 11.4. Eine alternative Implementierung des RS-FlipFlops ergibt sich, indem man die NOR- durch NAND-Gatter ersetzt. Dabei ist zu beachten, daß die Eing¨ange des Flip-Flops nunmehr invertiert und die ¯ vertauscht sind (Abb. 11.12). Die Aquiva¨ Zuordnung der Ausg¨ange Q und Q lenz der Schaltungen folgt auch aus dem Morganschen Gesetz, das zwei logische Variablen x1 und x2 nach den Regeln eines NOR- bzw. NAND-Gatters verkn¨ upft Tabelle 11.4. Wahrheitstabelle eines auf der Basis von NOR-Gattern realisierten RS-Flip-Flops; (* je nach Innenschaltung des RS-Flip-Flops) SRQ

Q

0 1 0 1

Qn−1 0 1 *

0 0 1 1

Qn−1 1 0 *

speichern setzen r¨ ucksetzen nicht erlaubt

11.3 Bistabile Kippschaltungen

277

Abb. 11.12. Realisierung eines RS-Flip-Flops mit NAND-Gattern

x1 + x 2 = x ¯1 x ¯2 .

(11.8)

Die oben beschriebenen Kippschaltungen geh¨ oren zu der Klasse der transparenten Flip-Flops, zu denen auch die im folgenden beschriebenen taktzustandgesteuerten und taktﬂankengesteuerten RS-Flip-Flops z¨ ahlen. 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop Das taktzustandgesteuerte RS-Flip-Flop, das auch statisch getaktetes RSFlip-Flop genannt wird, reagiert auf Eingangssignale nur dann, wenn die statische Taktvariable (Clock) C = 1 gesetzt wird (Abb. 11.13). Es entspricht dann einem normalen RS-Flip-Flop. F¨ ur C = 0 hingegen speichert das Flip-Flop gem¨ aß der Wahrheitstabelle (Tabelle 11.5) den alten Zustand, da in diesem ¯ = S¯ = 1 gilt. Fall R Tabelle 11.5. Wahrheitstabelle eines auf der Basis von NAND-Gattern realisierten RS-Flip-Flops (* je nach Innenschaltung des RS-Flip-Flops) SRQ

Q

1 0 1 0

¯ n−1 Q 0 setzen 1 r¨ ucksetzen * nicht erlaubt

1 1 0 0

Qn−1 1 0 *

11.3.3 Taktﬂankengesteuertes RS-Flip-Flop ¨ Das taktﬂankengesteuerte RS-Flip-Flop zeigt Anderungen am Ausgang erst bei einer Flanke des Taktsignals. Das R- und S-Signal bereiten gem¨ aß der Wahrheitstabelle 11.4 das Flip-Flop zum Setzen, R¨ ucksetzen bzw. Speichern vor, jedoch erst bei einem Wechsel des Taktsignals von 0 auf 1 (ansteigende uhrt das Flip-Flop Taktﬂanke) bzw. von 1 auf 0 (abfallende Taktﬂanke) f¨ die logische Operation durch. Abbildung 11.14 zeigt die Schaltsymbole des

278

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.13. Taktzustandgesteuertes (statisch getaktetes) RS-Flip-Flop: a) Schaltungstechnische Realisierung auf der Basis von NAND-Gattern (Die Schaltung innerhalb des gestrichelten Rahmens entspricht einem RS-Flip-Flop mit negiertem Eingangssignal in NAND-Realisierung gem¨ aß Abb. 11.12.), b) Schaltsymbol

taktﬂankengesteuerten RS-Flip-Flops f¨ ur beide Varianten, also f¨ ur ansteigende Taktﬂanken (Abb. 11.14a) und abfallende Taktﬂanken (Abb. 11.14b). Das Zeitdiagramm (Abb. 11.14c) gilt f¨ ur die Version, die auf die ansteigende Taktﬂanke reagiert.

Abb. 11.14. Taktﬂankengesteuertes RS-Flip-Flop: a) Schaltsymbol f¨ ur ansteigende Taktﬂanke, b) Schaltsymbol f¨ ur abfallende Taktﬂanke, c) Zeitdiagramm f¨ ur die Version mit ansteigender Taktﬂanke: tS1 Setzvorgang vorbereitet, tS2 Setzvorgang ucksetzvorgang vorbereitet, tR2 R¨ ucksetzvorgang durchgef¨ uhrt. durchgef¨ uhrt, tR1 R¨

11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) Das taktzustandgesteuerte D-Flip-Flop ist in der Lage, den Wert einer logischen Eingangsvariablen D zu speichern. Die entsprechende Schaltung wird mit Hilfe eines taktzustandgesteuerten RS-Flip-Flops realisiert, bei dem eine ¯ vorgenommen wird. Zus¨ Verdrahtung gem¨aß S = D und R = D atzlich zu dem RS-Flip-Flop wird noch ein Inverter ben¨ otigt (Abb. 11.15 ). Wenn die

11.3 Bistabile Kippschaltungen

279

Abb. 11.15. Taktzustandgesteuertes (transparentes) D-Flip-Flop (Data-Latch): a) Schaltungstechnische Realisierung. Die innerhalb des gestrichelten Rahmens beﬁndliche Schaltung entspricht einem taktzustandgesteuerten RS-Flip-Flop. b) Schaltsymbol

statische Taktvariable C = 1 gesetzt wird, erscheint der Wert von D am Ausgang Q. Man spricht daher auch von einem transparenten D-Flip-Flop. F¨ ur C = 0 hingegen wird der Wert des Ausgangs Q gespeichert (Qn = Qn−1 ) (Tabelle 11.6). Die so aufgebaute Schaltung wird auch als Data-Latch bezeichnet. Abbildung 11.16 zeigt eine aus nur vier Gattern bestehende schaltungstechnische Realisierung des taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops. Tabelle 11.6. Wahrheitstabelle eines taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops C D Qn 0 0 1 1

0 1 0 1

Qn−1 Qn−1 0 1

Abb. 11.16. 4-Gatter-Realisierung eines taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops

280

11 Digitale Meßtechnik

11.3.5 Taktﬂankengesteuertes D-Flip-Flop Beim taktﬂankengesteuerten D-Flip-Flop wird der Zustand des Eingangs D mit der n¨ achsten Taktﬂanke auf den Ausgang Q u ¨bertragen. Damit ergibt sich die Ergebnisvariable Qn im n-ten Taktzyklus aus der Eingangsvariablen Dn−1 des vorhergehenden Taktzyklusses Qn = Dn−1 .

(11.9)

Die entsprechende Schaltung l¨aßt sich analog zum taktzustandgesteuerten D-Flip-Flop mit Hilfe eines taktﬂankengesteuerten RS-Flip-Flops und eines Inverters realisieren (Abb. 11.17). Es handelt sich hierbei um ein taktﬂankengesteuertes RS-Flip-Flop, bei dem, wie auch bereits bei der Schaltung des taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops, der undeﬁnierte Zustand R = S = 1 durch die Verkopplung von R- und S-Eingang u ¨ber ein NICHT-Gatter verhindert wird. Das Signal D = 1 f¨ uhrt zum Setzen des Q-Ausgangs, w¨ ahrend das Signal D = 0 das eindeutige R¨ ucksetzen bewirkt. Mit Hilfe der nach außen gef¨ uhrten S- und R-Eing¨ange (Abb. 11.17b) l¨ aßt sich wiederum ein eindeutig deﬁnierter Anfangszustand herstellen. Ein solches ﬂankengetriggertes D-

Abb. 11.17. Taktﬂankengesteuertes D-Flip-Flop: a) Realisierung mit Hilfe eines taktﬂankengesteuerten RS-Flip-Flops und eines Inverters, b) Schaltsymbol

Flip-Flop l¨ aßt sich auch in Form einer Hintereinanderschaltung von zwei mit komplement¨ aren Taktsignalen belegten taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops implementieren (Abb. 11.18). Das in der Reihenfolge erste Flip-Flop wird als Master-, das zweite als Slave-Flip-Flop bezeichnet. W¨ ahrend einer negativen ¨ Taktﬂanke (Ubergang des Taktsignals C von 1 auf 0 ) wird der Zustand von D auf den Ausgang Q1 geschaltet, d. h. das Master-Flip-Flop u ¨bernimmt den ¨ Zustand von D. Mit der darauﬀolgenden positiven Taktﬂanke (Ubergang des Taktsignals C von 0 auf 1 ) wird der Ausgang Q1 (nun gleicher Zustand wie Eingang D) des Master-Flip-Flops u ¨ber das Slave-Flip-Flop auf den Ausgang Q geschaltet, der damit denselben Zustand wie der Eingang D2 des SlaveFlip-Flops erh¨ alt (Q = D2 ). Damit ist der Zustand des Ausgangs Q nach dem Taktﬂankenanstieg mit dem Zustand des Eingangs D davor identisch, was schließlich Gl. (11.9) entspricht.

11.3 Bistabile Kippschaltungen

281

Abb. 11.18. Realisierung eines taktﬂankengesteuerten D-Flip-Flops durch eine Master-Slave-Anordnung, die aus einer Hintereinanderschaltung von zwei taktzustandgesteuerten Flip-Flops mit komplement¨ aren Takteing¨ angen besteht.

11.3.6 Taktﬂankengesteuertes JK-Flip-Flop Das taktﬂankengesteuerte JK-Flip-Flop entspricht einem RS-Flip-Flop, bei dem beide Eing¨ ange gesetzt sein d¨ urfen. Erreicht wird dieses durch eine R¨ uck¯ kopplung der Q- und Q-Ausg¨ ange u ¨ber zwei UND-Gatter auf den Eingang des RS-Flip-Flops, das bei einer fallenden Taktﬂanke schaltet (Abb. 11.19a). Die freien Eing¨ ange der UND-Gatter bilden dabei den J- bzw. den K-Eingang. Die Signalkombination J = 1 und K = 0 setzt den Q-Ausgang auf Q = 1, w¨ahrend ihn die Kombination J = 0 und K = 1 zur¨ ucksetzt. Die Eingangssignalkombination J = K = 1 bewirkt die Invertierung (Negierung) des aktuellen Zustandes (Tabelle 11.7).

Abb. 11.19. Taktﬂankengesteuertes JK-Flip-Flop: a) Prinzipieller Aufbau, b) Schaltsymbol, c) Zeitdiagramm

282

11 Digitale Meßtechnik Tabelle 11.7. Wahrheitstabelle eines JK-Flip-Flops J K Qn 0 1 0 1

0 0 1 1

Qn−1 1 0 Qn−1

speichern setzen r¨ ucksetzen invertieren

11.3.7 Taktﬂankengesteuertes T-Flip-Flop (Toggle-Flip-Flop) Wenn man bei einem taktﬂankengesteuerten JK-Flip-Flop den J- mit dem KEingang verbindet, erh¨alt man das taktﬂankengesteuerte T-Flip-Flop (T-Speicherglied), das auch als Toggle-Flip-Flop bezeichnet wird. Die entsprechende Wahrheitstabelle (Tab. 11.8) l¨aßt sich anhand derjenigen f¨ ur das JK-Flip-Flop ableiten, indem man beachtet, daß J = K geschaltet ist. Der Zustand der Ausgangsvariablen Q kann sich nur a ¨ndern, wenn ein 1 -Signal am T-Eingang anliegt. F¨ ur T = 1 invertiert dieses Flip-Flop nach jeder Taktﬂanke den Ausgang, d. h. es liefert am Ausgang Impulse mit der doppelten Periode des Taktsignals, was einer Halbierung der Eingangsfrequenz des Taktsignals entspricht (Abb. 11.20). Mit dieser Eigenschaft wird das T-Flip-Flop zu einem wichtigen Baustein in Digitalz¨ahlerschaltungen. Sowohl beim JK-

Abb. 11.20. Taktﬂankengesteuertes T-Flip-Flop (Toggle-Flip-Flop): a) Schaltsymbol f¨ ur invertierenden Taktﬂanken-Eingang, b) Zeitdiagramm

als auch beim T-Flip-Flop sind getrennte Setz- (S) und R¨ ucksetz-Eing¨ ange (R) vorgesehen, mit deren Hilfe ein deﬁnierter Anfangszustand vorgegeben werden kann. Tabelle 11.8. Wahrheitstabelle eines taktﬂankengesteuerten T-Flip-Flops T Qn 0 Qn−1 speichern 1 Qn−1 invertieren

11.4 Monostabile Kippstufe

283

11.4 Monostabile Kippstufe Eine monostabile Kippstufe, die auch als Monoﬂop oder Univibrator bezeichnet wird, kennt im Unterschied zu den im Kap. 11.3 behandelten bistabilen Kippstufen nur einen einzigen stabilen Ausgangszustand. Monostabile Kippstufen haben die Aufgabe, bei einer ansteigenden oder abfallenden Taktﬂanke in ihrem Eingangssignal einen Rechteckpuls mit einer deﬁnierten Amplitude U0 sowie einer deﬁnierten zeitlichen L¨ange T0 als Ausgangssignal zu liefern. Eine Realisierungsm¨oglichkeit von Monoﬂop-Schaltungen basiert auf der in Abb. 11.21 gezeigten r¨ uckgekoppelten Gatterschaltung. Wenn die Eingangsspannung zun¨ achst als Null angenommen wird (uE = 0), kann der sich daraus ergebende stabile Zustand nur in einer Ausgangsspannung uA = 0 resultieren, da nach einer bestimmten Zeit kein Kondensatorladestrom mehr durch den Widerstand ﬂießt. Die Spannung u2 ist dann identisch +U0 , was deﬁnitionsgem¨ aß dem 1 -Pegel entspricht. Somit liegt der Ausgang des Invertierers und damit auch der zweite Eingang des NOR-Gatters auf 0 -Pegel. Im Falle eines am Eingang eintreﬀenden positiven Pulses schaltet das Eingangsgatter entsprechend seiner NOR-Funktion auf 0 -Pegel am Ausgang. Da die am Kondensator anliegende Spannung (u2 − u1 ) nur mit der Zeitkonstanten τ = RC ansteigt (die Umladung des Kondensators erfolgt u ¨ber den Widerstand R), wird erst nach einer Zeit T0 der stabile Grundzustand wieder erreicht. Solange aber die Umladung des Kondensators erfolgt, liegt u2 unterhalb der Schaltschwelle des Invertierers und die Ausgangsspannung uA auf hohem Potential

Abb. 11.21. Monostabile Kippstufe: a) Schaltungsvariante mit Standardgattern, b) Signalverlauf, c) Schaltsymbol f¨ ur ansteigende und abfallende Flanke

284

11 Digitale Meßtechnik

( 1 -Pegel). Die Zeit T0 wird von der Zeitkonstanten τ in Verbindung mit der Schaltschwelle des Invertierers festgelegt.

Abb. 11.22. Realisierung einer monostabilen Kippstufe auf der Basis von taktﬂankengesteuerten D-Flip-Flops

Mit Hilfe der in Abb. 11.22 gezeigten Monoﬂop-Realisierung auf der Basis von D-Flip-Flops ist es m¨oglich, einen taktsynchronen Ausgangspuls zu generieren. Die Dauer des Ausgangspulses entspricht dabei genau der Dauer einer Periode des Referenztaktes. Das erste D-Flip-Flop schaltet n¨ amlich seinen Ausgang auf Q1 = 1, wenn bei einer positiven Flanke im Taktsignal uE auf 1 -Pegel liegt. Gleichzeitig wird u ¨ber Q1 das zweite D-Flip-Flop aktiviert, sodaß mit der n¨ achsten positiven Taktﬂanke sein invertierter Ausgang auf Q2 = 0 schalallt tet. Daraufhin sperrt“ das UND-Gatter und die Ausgangsspannung uA f¨ ” wieder auf uA = 0 ab. Die Schaltung reagiert erst wieder auf einen positiven ur Impuls am Eingang, wenn die Eingangsspannung uE vorher mindestens f¨ die Zeit einer Taktperiode gleich Null war. Bei dieser Realisierungsvariante ist allerdings zu beachten, daß kurze Triggerpulse in uE , die nicht von einer positiven Taktﬂanke erfaßt werden, keine Ausl¨osung des Monoﬂops bewirken.

11.5 Z¨ ahler-Schaltungen Jede Z¨ ahlung bedeutet eine Summation, wobei bei Eintreten eines zu z¨ ahlenden Ereignisses der Z¨ahlerstand jeweils um den Betrag 1 in positiver (Vorw¨ artsz¨ahlung) bzw. in negativer Richtung (R¨ uckw¨artsz¨ ahlung) ver¨ andert wird. Ein

11.5 Z¨ ahler-Schaltungen

285

Z¨ahler ist demnach ein Speicher, dessen Speicherpl¨ atze entsprechend dem vorgesehenen Zahlencode, z. B. dem Dualzahlencode oder dem BCD-Code, besetzt werden. Diese Speicherelemente m¨ ussen deﬁnierte stabile Zust¨ ande haben. Die wesentliche Eigenschaft einer Z¨ahlerschaltung besteht darin, daß ihre in einem vereinbarten Zahlencode vorliegende Ausgangsgr¨ oße der Anzahl der am Eingang eingetroﬀenen Z¨ahlerereignisse entspricht. Diese Einzelereignisse m¨ ussen in eindeutig trennbarer Form vorliegen. Es sind dies i.allg. ansteigende ¨ bzw. abfallende Flanken von elektrischen Pulsen oder auch das Uberoder Unterschreiten von Signalschwellwerten, insbesondere die Nulldurchg¨ ange von Signalspannungen. Die Schaltsymbole f¨ ur Vorw¨arts-, R¨ uckw¨ arts- und den kombinierten Vorw¨ arts-R¨ uckw¨artsz¨ahler werden in Abb. 11.23 gezeigt.

Abb. 11.23. Schaltsymbole f¨ ur Z¨ ahler: a) Vorw¨ artsz¨ ahler, b) R¨ uckw¨ artsz¨ ahler, c) Vorw¨ arts-R¨ uckw¨ arts-Z¨ ahler mit umschaltbarer Z¨ ahlrichtung: ZR = 1: Z¨ ahlrichtung vorw¨ arts, ZR = 0: Z¨ ahlrichtung r¨ uckw¨ arts

11.5.1 Dualz¨ ahler Asynchroner Dualz¨ ahler Die einfachsten elektronischen Z¨ahler sind Dualz¨ ahler, also Z¨ ahler, deren Z¨ahlerstand in Form einer Dualzahl codiert ist. Der asynchrone Dualz¨ahler kann in Form hintereinandergeschalteter T-Flip-Flops aufgebaut werden ange (Abb. 11.24), deren T-Eing¨ange alle auf 1 gesetzt sind und deren Takteing¨ mit dem Q-Ausgang des jeweils vorhergehenden T-Flip-Flops verbunden wurden. Wie bereits in Kap. 11.3.7 erl¨autert, untersetzt jedes dieser T-Flip-Flops die Frequenz des vorhergehenden im Verh¨altnis 2:1. Um die Summe der Taktimpulse zu erhalten, m¨ ussen nur die Ausg¨ange der Flip-Flops als Dualzahl ¨ interpretiert werden. Die Wertigkeit der n-ten Stufe betr¨ agt Qn = 2n . Uber die Reset-Leitung, die mit R bezeichnet ist, kann der Z¨ ahler auf Null gesetzt werden. Der gr¨ oßte Nachteil der asynchron arbeitenden Z¨ ahler besteht darin, daß der Ausgangszustand Qn der n-ten Stufe erst nach dem Umschalten (Kippen) aller (n − 1) vorhergehenden Stufen erreicht wird, was zur Folge haben kann, daß die Z¨ahlpulse so schnell eintreﬀen, daß die Flip-Flops der h¨ oherwertigen Stufen nicht mehr rechtzeitig schalten. Dann entspricht der aktuelle Z¨ ahlerstand nicht mehr der Anzahl der bereits eingetretenen Z¨ ahlereignisse.

286

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.24. Asynchroner Vorw¨ arts-Dualz¨ ahler: a) Schaltung auf der Basis von Toggle-Flip-Flops, b) Zeitdiagramm

Synchroner Dualz¨ ahler W¨ ahrend beim asynchronen Dualz¨ahler nur das erste Flip-Flop vom Takt gesteuert wird und dadurch die eben beschriebenen Verz¨ ogerungen auftreten, ist beim synchronen Dualz¨ahler ein gleichzeitiges und damit schnelleres Schalten der Flip-Flops durch einen gemeinsamen Takt gew¨ ahrleistet (Abb. 11.25). Die Bedingung, daß ein in einem Dualz¨ahler enthaltenes Flip-Flop nur kippen darf, wenn alle niederwertigen Flip-Flops auf 1 gesetzt sind, wird mit Hilfe der UND-Gatter erreicht. Diese werten die niederwertigen Ausg¨ ange Q0 . . . QN−1 aus und geben des Ergebnis auf den T-Eingang der n-ten Stufe, welche dann wiederum bei der n¨achsten Taktﬂanke umkippt. Es ist zu erw¨ ahnen, daß die bei realen Flip-Flops auftretenden Verz¨ ogerungszeiten zwischen Eintreﬀen der Taktﬂanke und dem Einstellen des entsprechenden Ergeb-

Abb. 11.25. Schaltung eines synchronen Dualz¨ ahlers

11.5 Z¨ ahler-Schaltungen

287

niswertes am Ausgang daf¨ ur sorgen, daß keine undeﬁnierten Schaltzust¨ ande auftreten. 11.5.2 BCD-Z¨ ahler Asynchroner BCD-Z¨ ahler Aus einem vierstelligen Dualz¨ahler kann man einen BCD-Z¨ ahler aufbauen, ¨ wenn die vierstelligen Dualz¨ahler nach jeder 10. Taktﬂanke einen Ubertrag arer Form vorgenerieren und den Z¨ahler wieder auf 0000 setzen. Der in bin¨ liegende Z¨ ahlerstand kann dann nach einer Dekodierung als Dezimalzahl ausgegeben werden. Mit BCD-Z¨ahlern ist die Anzeige in Form von Dezimalzahlen einfacher zu bewerkstelligen als mit reinen Dualz¨ ahlern, da sich jede Dekade f¨ ur sich dekodieren l¨aßt. Abbildung 11.26 zeigt eine prinzipielle Realisie-

Abb. 11.26. Prinzipschaltbild eines asynchronen BCD-Z¨ ahlers

rungsm¨ oglichkeit f¨ ur einen asynchronen Vorw¨arts-BCD-Z¨ ahler. Dieser Aufbau unterscheidet sich vom asynchronen Dualz¨ahler (Abb. 11.24) durch die Hinzunahme von zwei UND- und einem ODER-Gatter. Das UND-Gatter zwischen dem 1. und dem 2. T-Flip-Flop bewirkt, daß Q1 mit der 10. Taktﬂanke nicht gesetzt wird, solange Q3 = 1 ist. Dies ist eine Forderung, die sich unmittelbar aus dem entsprechenden Zeitdiagramm (Abb. 11.27) ablesen l¨ aßt. Das zweite UND-Gatter erreicht in Verbindung mit dem ODER-Gatter, daß Q3 nach der 10. Taktﬂanke wieder auf 0 geht, was ebenfalls nach dem Zeitdiagramm gefordert wird. Synchroner BCD-Z¨ ahler Der synchrone BCD-Z¨ahler weist im Vergleich zu der asynchronen Ausf¨ uhrung den Vorteil auf, daß er h¨ohere Z¨ahlfrequenzen gestattet. Abbildung 11.28 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines synchronen BCD-Z¨ ahlers. Das UND-Gatter zwischen dem 1. und 2. Flip-Flop bewirkt wiederum, daß Q1 mit der 10. Taktﬂanke nicht gesetzt wird. Die beiden weiteren UND-Gatter wirken in

288

11 Digitale Meßtechnik

Takt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

Q0

t

Q1

t

Q2

t

Q3

t 0 123 456 7 89 0 1

t

Abb. 11.27. Zeitdiagramm eines BCD-Z¨ ahlers

ahler. Um zu ¨ahnlicher Weise wie die entsprechenden im synchronen Dualz¨ erreichen, daß die 4. Kippstufe nach der 10. Taktﬂanke zur¨ uckgesetzt wird, ist diese als JK-Flip-Flop ausgef¨ uhrt. Der J-Eingang entspricht J = Q0 ·Q1 ·Q3 und der K-Eingang ist mit Q0 verbunden. Damit wird erreicht, daß vor der 10. Flanke J = 0 und K = 1 werden, woraufhin mit der 10. Taktﬂanke Q3 wieder ¨ von 1 zur¨ uckgesetzt wird. Der damit am Ausgang Q3 entstehende Ubergang ¨ auf 0 kann der Erzeugung eines Ubertragssignals f¨ ur die n¨ achste Z¨ ahldekade dienen.

Abb. 11.28. Prinzipschaltbild eines synchronen BCD-Z¨ ahlers

11.6 Digital-Analog-Umsetzung 11.6.1 Grundlagen und Kenngro ¨ßen Eine h¨ auﬁg gestellte Aufgabe der Elektrischen Meßtechnik besteht darin, in digitaler Form codierte Meßsignale wieder in analoge Spannungswerte zur¨ uckzuwandeln. Dazu bedient man sich der Digital-Analog-Umsetzer (DAU), die

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

289

auch als Digital-Analog-Converter (DAC) bezeichnet werden. Abbildung 11.29 soll das Prinzip der Digital-Analog-Umsetzung veranschaulichen. Im folgen-

Abb. 11.29. Prinzip der Digital-Analog-Umsetzung. Der Digitalwert Z wird in das Eingangsregister geschrieben und vom eigentlichen Digital-Analog-Converter (DAC) in die entsprechende Analogspannung uA (t) umgesetzt, welche wiederum von einem Ausgangsverst¨ arker ausgegeben wird.

den wird angenommen, daß der Digitalwert Z mit einer Auﬂ¨ osung von N Bit als Dualzahl im Dualcode vorliegt und in paralleler Form (1 Bit pro Datenleitung) zur Verf¨ ugung steht. Weiterhin werden nur unipolare Digital-Analog-Umsetzer betrachtet, d. h. solche, die nur positive Zahlen im Bereich 0 ≤ Z ≤ Zmax = 2N − 1

(11.10)

verarbeiten k¨ onnen, wobei die Dualzahl Zdual = zN−1 . . . z1 z0 durch ihre N Bin¨ arstellen zi festgelegt wird Z = zN−1 2N −1 + . . . + z2 22 + z1 21 + z0 20 .

(11.11)

Diese am Eingang des DAC anstehende N-Bit-Dualzahl wird zun¨ achst in ein Eingangsregister u bernommen und bei der n¨ a chstfolgenden Flanke des Takt¨ signals in ihren entsprechenden Analogwert umgesetzt (Abb. 11.29). Die aus der Quantisierung resultierende Stufenbreite ULSB entspricht der Diﬀerenz im analogen Ausgangssignal zwischen zwei aufeinanderfolgenden Digitalwerten ULSB =

UAmax , 2N

(11.12)

wobei UAmax die maximal m¨ogliche Ausgangsspannung des Digital-AnalogUmsetzers bezeichnet. Diese Stufenbreite entspricht auch dem zum niedrigstwertigen Bit geh¨ orenden Analogwert. Das niedrigstwertige Bit wird auch als

290

11 Digitale Meßtechnik

Least Signiﬁcant Bit (LSB) bezeichnet. Die aus K Punktwerten bestehende ¨ Ubertragungskennlinie eines idealen unipolaren Digital-Analog-Umsetzers ist in Abb. 11.30 dargestellt. Dabei ist K die Anzahl der diskreten Kennlinienpunkte, die sich aus der Bitanzahl N des Digital-Analog-Umsetzers ergibt K = 2N .

(11.13)

Die analoge Ausgangsspannung uA des Digital-Analog-Converters liegt im Intervall 0 ≤ uA ≤ ULSB (2N − 1) = UAmax

2N − 1 = UAmax (1 − 2−N ) . 2N

(11.14)

Weitere wichtige Kenngr¨oßen eines Digital-Analog-Umsetzers sind die Konversionsrate (wird teilweise auch als Umsetz- bzw. Wandlungsrate bezeichnet) und Konversionszeit (Umsetzzeit bzw. Wandlungszeit). Die Konversionsrate gibt an, wieviele Digitalwerte pro Zeiteinheit in analoge Werte umgesetzt werden k¨ onnen. Die Konversionszeit entspricht im Normalfall dem Reziprokwert der Konversionsrate. Analogspannung u A 7 U Amax 8

U Amax 2 U Amax 4 U Amax 8 000 001 010 011 100 101 110 111 Digitalwert Z

¨ Abb. 11.30. Ubertragungskennlinie eines idealen unipolaren 3-Bit-Digital-AnalogUmsetzers (ULSB = UAmax /8).

11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen von Digital-Analog-Umsetzern Summation gewichteter Spannungen bzw. Str¨ ome In Abb. 11.31 sind zwei prinzipielle Schaltungsvarianten f¨ ur Digital-AnalogUmsetzer dargestellt. Der in Abb. 11.31a gezeigte Umsetzer enth¨ alt einen

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

291

u/i-Verst¨ arker, der f¨ ur eine konstante Eingangsspannung Uref den konstanten Ausgangsstrom Iref = Uref /Rref liefert. Wenn die parallel zu den ohmschen Widerst¨ anden Ri liegenden Schalter Si von einem Digitalwort Z so gesteuoﬀnen (Si (zi = 1) = 1) ert werden, daß sie bei Anliegen einer digitalen 1 ¨ ur die und bei einer digitalen 0 geschlossen bleiben (Si (zi = 0) = 0), gilt f¨ Ausgangsspannung uA = Iref

N −1 i=0

Si Ri =

N −1 Uref Si Ri , Rref i=0

(11.15)

wobei die Widerst¨ande Ri bin¨ar gewichtet sind Ri = 2i R

i = 0, 1, ..., N − 1 .

(11.16)

In der in Abb. 11.31b gezeigten Schaltungsvariante wird ein i/u-Verst¨ arker

Abb. 11.31. Prinzipielle Schaltungen von Digital-Analog-Umsetzern mit N-BitAuﬂ¨ osung: a) Variante mit u/i - Verst¨ arker, b) Variante mit i/u - Verst¨ arker

eingesetzt, der als invertierender Summierer betrieben wird. Im Gegensatz zur vorher beschriebenen Schaltungsvariante sind die Schalter Si bei einer ur die Ausgangsspannung uA gilt digitalen 1 geschlossen (S¯i (zi = 1) = 1). F¨ demnach N −1 1 S¯i , (11.17) uA = −Rref Uref Ri i=0

292

11 Digitale Meßtechnik

wobei die Widerst¨ande Ri eine im Vergleich zu Gl. (11.16) reziproke bin¨ are Gewichtung haben Ri =

R 2i

i = 0, 1, 2...N − 1 ,

(11.18)

und S¯i = 1, wenn die i-te Bin¨arstelle gleich 1 ist, ansonsten S¯i = 0. Eine entsprechende auf Halbleiterschaltern basierende Realisierung wird in Abb. 11.32 gezeigt. Die Schaltung ist so dimensioniert, daß bei einer auf 1 gesetzten Bin¨ arstelle zi (entspricht einer positiven Spannung im Bereich von UB , d. h. U (zi = 1) ≈ UB ) der entsprechende Transistor o ¨ﬀnet und sein Kollektorstrom, der vom Widerstand R/2i bestimmt wird, u ¨ber den Summati” aß Gl. (11.17) gegeonswiderstand“ Rref ﬂießt. Damit ist eine Summation gem¨ i agt Uref , da die ben. Die an den Widerst¨anden R/2 anliegende Spannung betr¨ Diodenschwellspannung UD ungef¨ahr der negativen Basis-Emitter-Spannung UBE entspricht (UD ≈ −UBE ). Uref wird z. B. mit Hilfe einer Zenerdiode konstant gehalten.

Abb. 11.32. Realisierung eines 4-Bit-Digital-Analog-Umsetzers auf der Basis eines i/u-Verst¨ arkers

Bei solchen auf Widerstandsnetzwerken basierenden Digital-Analog-Umsetzern m¨ ussen allerdings sehr hohe Anforderungen an die Genauigkeit der in diesen Schaltungen eingesetzten Widerst¨ande gestellt werden. Denn bei einem Digital-Analog-Umsetzer mit einer Auﬂ¨osung von N Bit ergibt sich der Zusammenhang zwischen der maximalen Ausgangsspannung uAmax und der Quantisierungsschrittweite ULSB zu uAmax = (2N − 1)ULSB .

(11.19)

Wenn der maximale absolute Fehler |∆uA | der Ausgangsspannung uA kleiner als ULSB /2 bleiben soll (|∆uA | ≤ ULSB /2), folgt aus der Anwendung des Fehlerfortpﬂanzungsgesetzes f¨ ur systematische Fehler (Gl. (5.7)) auf Gl. (11.15)

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

N −1 −1 Uref N 1 Uref ∂Ri Si Si |∆Ri | < ULSB . |∆uA | = ∆Ri = Rref i=0 ∂Ri Rref i=0 2

293

(11.20)

Der Analogwert der ersten Quantisierungsstufe kann unter Beachtung von Gl. (11.15) und (11.16) als Funktion der Referenzspannung sowie der Wideruckt werden standswerte R und Rref ausgedr¨ Uref R. Rref

(11.21)

N −1 Uref 1 Uref Si |∆Ri | < R. Rref i=0 2 Rref

(11.22)

ULSB = Damit folgt aus Gl. (11.20) |∆uA | =

Im Worst-Case sind alle Si oﬀen (Si = 1), so daß folgende Bedingung eingehalten werden muß N −1 1 (11.23) |∆Ri | < R . 2 i=0 Wenn wir gleiche relative Fehler f¨ ur die einzelnen bin¨ ar gewichteten Widerst¨ ande Ri annehmen, folgt aus Gl. (11.16) |∆Ri | = |∆R| 2i .

(11.24)

Setzt man nun diesen Zusammenhang in Gl. (11.23) ein, erh¨ alt man schließlich den aus der Forderung |∆uA | ≤ ULSB /2 resultierenden maximal zul¨ assigen relativen Fehler, den die Einzelwiderst¨ande Ri aus der Schaltung nach Abb. 11.31 haben d¨ urfen |∆R|

N −1 i=0

bzw.

2i <

1 R 2

1 |∆R| < . R 2(2N − 1)

(11.25)

(11.26)

Diese Bedingung muß insbesondere bei dem Widerstand RN−1 , der f¨ ur das h¨ ochstwertige Bit, das sog. Most Signiﬁcant Bit (MSB), zust¨ andig ist, beachtet werden. Dieser Widerstand ist bez¨ uglich der Fehlertoleranzen der kritischste, weil er gem¨ aß Gl. (11.23) den gr¨oßten absoluten Fehler verursachen kann. F¨ ur einen 12-Bit-Umsetzer bedeutet dies, daß der Widerstand R11 mindestens folgende Genauigkeitsforderung erf¨ ullen muß |∆R11 | 1 = 0, 00024 = ˆ 0, 024% . = R11 2(211 − 1)

(11.27)

294

11 Digitale Meßtechnik

Leiternetzwerk Der oben geschilderte Nachteil, daß Widerst¨ande, die in ihren Werten zum Teil um Gr¨ oßenordnungen auseinanderliegen, mit sehr geringen Toleranzen gefertigt werden m¨ ussen, l¨aßt sich mit einem DAC auf der Basis eines R-2R-Widerstandsnetzwerkes umgehen. Bei diesem meist verwendeten DAC-Typ wird die Gewichtung der Stufen durch Anwendung einer fortgesetzten Spannungs- bzw. Stromteilung mit Hilfe eines Leiternetzwerkes realisiert. Die entsprechende Schaltung, welche nur Widerst¨ande mit den Werten R und 2R ben¨ otigt, wird in Abb. 11.33 gezeigt. Der Ersatzschaltung (Abb. 11.33b), die die Verh¨ altnisse zwischen zwei beliebigen Knoten i und i + 1 beschreibt, kann man entnehmen (Stromteilerregel) [61], daß das Gewichtungsverh¨ altnis der Str¨ ome Ii+1 und Ii stets den Wert 1/2 annimmt Ii+1 1 = . Ii 2

(11.28)

Dabei wurde angenommen, daß der zur i-ten Bin¨ arstelle geh¨ orende Schalter geschlossen ist, w¨ahrend alle anderen oﬀen sind. Der Wert von 1/2 entspricht andererseits genau der geforderten bin¨aren Wertigkeit des Schalters Si . F¨ ur die Spannung ui erh¨alt man mit Iref = Ii + Ii+1 ui = I i R =

2 Iref R . 3

(11.29)

Infolge der Spannungsteilung zwischen den Knoten i und i + 1 folgt ui+1 1 = . ui 2

(11.30)

Die Ausgangsspannung uA ergibt sich mit Anwendung des Superpositionsprinzips zu N −1 2 uA = Iref R Si 2i−N +1 (11.31) 3 i=0 unter Beachtung der bin¨aren Gewichtung der Teilspannung ui . Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 11.33c wird anstatt der N Stromquellen eine Referenzspannungsquelle ben¨otigt. Infolge der fortgesetzten Spannungsteilung ergibt sich die Ausgangsspannung uA zu uA =

N −1 2 Uref Si 2i−N +1 . 3 i=0

(11.32)

11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung Statische Fehler Die statischen Fehler sollen anhand der Kennlinie uA (Z) eines 3-Bit-DigitalAnalog-Umsetzers (Abb. 11.34) dargestellt werden. In Abb. 11.34 sind neben

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

295

Abb. 11.33. Digital-Analog-Umsetzer mit R-2R-Widerstandsnetzwerk: a) Prinzipschaltung mit Stromquellen, b) Ersatzschaltung zwischen den Knoten i und i+1 , wenn zi = 1 und alle anderen Schalter oﬀen, c) Prinzipschaltung mit Spannungsquelle.

den Kennlinienpunkten des idealen 3-Bit-Digital-Analog-Converters die des realen eingezeichnet. Durch die Punkte des realen DACs wird eine als Best” Straight-Line“ bezeichnete Bezugsgerade Ubest (Z) gelegt, welche garantiert,

296

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.34. Statische Fehler eines Digital-Analog-Umsetzers. Kennlinien von idealem und realem Digital-Analog-Umsetzer. Ubest ergibt sich als Best-Straight-Line durch die realen Kennlinienpunkte.

daß die maximale Abweichung zwischen der Punktfolge und der Geraden minimal wird. Diese Bezugsgerade weist gegen¨ uber der Sollkennlinie Uideal (Z) normalerweise einen Nullpunktfehler (Oﬀset) sowie einen Steigungsfehler auf. Da sich diese beiden Fehler im allgemeinen durch entsprechende Abgleichmaßnahmen auf relativ einfache Weise eliminieren lassen, sollen sie hier keine weitere Ber¨ ucksichtigung ﬁnden. Die verbleibenden Fehler sind die Abweichungen der Kennlinienpunkte von der Bezugsgeraden. Der entsprechende absolute Fehler (11.33) FNLint (Z) = uA (Z) − Ubest (Z) bzw. relative Fehler fNLint (Z) =

uA (Z) − Ubest (Z) Ubest (Zmax )

(11.34)

wird als integrale Nichtlinearit¨at bezeichnet (Abb. 11.34). Weiterhin weicht beim realen Umsetzer auch die Schrittweite der analogen Ausgangsgr¨ oße von ihrem Sollwert ULSB ab. Der entsprechende absolute Fehler FNLdiﬀ (Z) = [uA (Z + 1) − uA (Z)] − ULSB

(11.35)

bzw. relative Fehler fNLdiﬀ (Z) =

[uA (Z + 1) − uA (Z)] − ULSB ULSB

(11.36)

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

297

wird als diﬀerentielle Nichtlinearit¨at bezeichnet (Abb. 11.34). In den Datenbl¨ attern von Digital-Analog-Umsetzern werden im allgemeinen nur die Maximalwerte |fNLint |max sowie |fNLdiﬀ |max angegeben. Die diﬀerentielle Nichtlinearit¨ at von Digital-Analog-Umsetzern sollte ±50% entsprechend ±1/2ULSB (absolut) nicht u are. ¨bersteigen, da sonst das niedrigstwertige Bit wertlos w¨ Von einem Monotonie-Fehler spricht man, wenn der absolute diﬀerentielle Nichtlinearit¨ atsfehler kleiner als −ULSB ist, so daß bei steigendem Digitalwert die analoge Ausgangsspannung abnimmt bzw. bei sinkendem Digitalwert zunimmt. Dynamische Fehler Neben den statischen Kennlinienfehlern treten bei Digital-Analog-Umsetzern auch dynamische Fehler auf. Dazu sei beispielhaft eine Eingangs-Datenwortfolge nach Tabelle 11.9 sowie der zugeh¨orige ideale Ausgangsspannungsverlauf nach Abb. 11.35a betrachtet. Als wichtigste Ursachen f¨ ur dynamische Fehler sind zu nennen:

Abb. 11.35. Dynamische Fehler bei Digital-Analog-Umsetzern: a) Ideale Ausgangsspannung, b) Fehler durch Zwischencodes, c) Fehler infolge Tiefpaßverhaltens, d) ¨ Uberlagerung der dynamischen Fehler

298

11 Digitale Meßtechnik

¨ • Ubersprechen ¨ Das im wesentlichen auf kapazitiver Kopplung beruhende Ubersprechen der Schalter-Ansteuersignale in einem Digital-Analog-Umsetzer f¨ uhrt zu aussteuerungsabh¨angigen St¨orspitzen im Ausgangssignal. • Zwischen-Codes ¨ Wenn die Schalter die Operationen Oﬀnen bzw. Schließen unterschiedlich schnell durchf¨ uhren, so ist dies vergleichbar mit der Ansteuerung eines Digital-Analog-Umsetzers mit einer gest¨orten Digitalwortfolge (s. Tabelle 11.9 bzw. Abb. 11.35b). • Tiefpaßverhalten ¨ Ein realer Umsetzer weist in seinem Ubertragungsverhalten Tiefpaßverhalten auf (Abb. 11.35c), das auf (parasit¨are) RC-Glieder sowie die Bandbegrenzung der verwendeten Verst¨arker zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Dieses Tiefpaßverhalten f¨ uhrt nach jedem Codewechsel zu dem in Abb. 11.35c gezeigten typischen Einschwingverhalten in der Ausgangsspannung in Form von exponentiell ansteigenden oder abfallenden Flanken. Die Zeitdiﬀerenz zwischen dem Anlegen des maximal darstellbaren Digitalwertes Zmax (Full Scale Sprung) und dem Zeitpunkt, ab dem die Ausgangsspannung des Digital-Analog Umsetzers ein Toleranzband von ±ULSB /2 nicht mehr verl¨aßt, wird als Einschwingzeit (Settling time) bezeichnet. Die Summenwirkung aller oben beschriebenen dynamischen Fehler wird in Abb. 11.35d gezeigt.

Tabelle 11.9. Digitalwortfolge in einem DAC. zEingang bezeichnet die am Eingang anliegende und zwirksam die infolge der fehlerhaften Zwischencodes tats¨ achlich wirksame Codewortfolge. t

zEingang zwirksam

t0 t1 t1 + t d t2 t2 + t d t3 t4 t4 + t d t5 t5 + t d t6

1000 0100 0100 0010 0010 0010 0101 0101 0111 0111 0111

1000 0000 0100 0110 0010 0010 0111 0101 0000 0111 0111

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

299

11.7 Analog-Digital-Umsetzung Eine der Standardaufgaben der Elektrischen Meßtechnik besteht darin, analoge Meßsignale in entsprechende Digitalsignale, d. h. Bin¨ arzahlen, umzuwandeln. Selbst im Rahmen von einfacheren meßtechnischen Aufgabenstellungen werden analog arbeitende Meßger¨ate immer h¨auﬁger durch Digitalmeßger¨ ate abgel¨ ost, und andererseits wird auch die Signalverarbeitung der aufgenom¨ menen Meßsignale zunehmend auf Digitalrechner verlagert. Ein Ubergang in die Digitalwelt ist heute nicht zuletzt wegen der preiswerten auf Personalcomputern basierenden Meßdatenerfassungs- und Meßsignalverarbeitungssysteme attraktiv geworden. Als wesentliche Vorteile der digitalen Meßtechnik gegen¨ uber der konventionellen Analogtechnik k¨ onnen angef¨ uhrt werden: • keine Ablesefehler • unempﬁndlicher gegen ¨außere St¨oreinﬂ¨ usse, wie z.B. mechanische Ersch¨ utterungen oder Temperatureinﬂ¨ usse • M¨ oglichkeit der direkten computergest¨ utzten Weiterverarbeitung der Meßdaten ¨ • direkte Ubernahme der Meßwerte in digitale Signalverarbeitungssysteme • einfache und langzeitsichere Speicherung. 11.7.1 Abtastung (Sampling) Der erste Schritt bei einer Analog-Digital-Umsetzung besteht aus der zeitlichen Abtastung (Sampling) des urspr¨ unglich zeit- und wertkontinuierlichen Eingangssignals. Diese Abtastung wird mittels einer sog. Abtast-HalteSchaltung (Sample & Hold-Schaltung) vorgenommen. Durch diesen Abtastvorgang entsteht ein zeitdiskretes aber noch amplituden-kontinuierliches Signal (Abb. 11.36). In einem weiteren Schritt wandelt der eigentliche AnalogDigital-Umsetzer die zeitdiskreten wertkontinuierlichen Abtastwerte in zeitund wertdiskrete Signale, die schließlich in Form von Bin¨ arzahlen dargestellt werden. Es stellt sich zun¨achst die Frage, wie die Abtastfrequenz gew¨ ahlt werden muß, wenn die zeitdiskreten Abtastwerte das urspr¨ ungliche Signal ohne Informationsverlust repr¨asentieren sollen, insbesondere im Hinblick auf eine sp¨ atere R¨ uckumsetzung in ein zeitkontinuierliches Analogsignal. Die Verh¨ altnisse im Spektralbereich geben dar¨ uber Aufschluß. Abbildung 11.37 zeigt in der linken Spalte die Zeitverl¨aufe des Originalsignals y(t), der Sampling-Pulse (Abtastsignal) g(t) sowie des abgetasteten Signals y ∗ (t), das bereits durch eine Folge von zeitdiskreten Werten repr¨asentiert wird. In der rechten Spalte sind die entsprechenden Betrags-Spektren |Y (f )|, |G(f )| und |Y ∗ (f )| dargestellt. Nachdem das abgetastete Signal y ∗ (t) durch Multiplikation des Originalsignals y(t) mit dem Abtastsignal g(t) entsteht, ergibt sich das Spektrum des abgetasteten Signals Y ∗ (f ) aus dem Spektrum des Originalsignals Y (f ) durch Faltung mit dem Spektrum G(f ) der diracf¨ormigen Abtastwerte [13], [101]

300

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.36. Zeitliche und amplitudenm¨ aßige Abtastung

Y ∗ (f ) =

+∞ −∞

Y (η)G(f − η) dη .

(11.37)

Anhand des Spektrums Y ∗ (f ) erkennt man (Abb. 11.37c), daß das Originalsignal aus dem abgetasteten Signal zur¨ uckgewonnen werden kann, wenn das alt. Originalspektrum oberhalb der Frequenz fa /2 keine Anteile mehr enth¨ Denn dann kann ein Tiefpaßﬁlter (Rekonstruktionsﬁlter) mit hoher Flankensteilheit und der Eckfrequenz fa /2 (Abb. 11.37c) aus dem Spektrum Y ∗ (f ) das Originalspektrum Y (f ) herausﬁltern. Aus diesem l¨ aßt sich im Zeitbereich wieder das unverf¨alschte Originalsignal y(t) gewinnen. Wenn jedoch die Abtastfrequenz zu niedrig gew¨ahlt wird, u ¨berlappen sich in Y ∗ (f ) das Basisspektrum und das n¨achsth¨ohere Faltungsprodukt des Basisspektrums mit aßt sich der Spektrallinie bei f = fa . Aufgrund dieses sog. Aliasing-Eﬀekts l¨ das Originalspektrum dann nicht mehr zur¨ uckgewinnen (Abb. 11.38). Um aus dem abgetasteten Signal das urspr¨ ungliche Signal mit Hilfe eines (im Grenzfall idealen) Tiefpasses (Abb. 11.37) wieder rekonstruieren zu k¨ onnen, d¨ urfen sich also das Originalspektrum und das durch den Abtastvorgang entstehende, an der Spektrallinie f = fa gespiegelte Original-Spektrum nicht u ¨berlappen. Aus dieser Forderung resultiert das in Form von Gl. (11.38) formulierte Shannonsche Abtasttheorem, das auch als Nyquist-Kriterium bezeichnet wird fa > 2fsmax .

(11.38)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

301

Abb. 11.37. Abtastung von Analogsignalen und die daraus resultierende Spektralverteilung: a) Urspr¨ ungliches Analogsignal mit dem h¨ ochsten Spektralanteil bei f = fsmax , b) Abtastfunktion. (Die Abtastfrequenz fa entspricht dem Kehrwert der zeitlichen Distanz Ta der Abtastwerte fa = 1/Ta .), c) abgetastetes Signal

Um sicherzustellen, daß die h¨ochste im Originalsignal vorkommende Frequenz fsmax kleiner ist als die halbe Abtastfrequenz, wird dem Sample & Hold-Glied oft ein Tiefpaß mit entsprechender Grenzfrequenz vorgeschaltet (Abb. 11.39). Dieses Tiefpaß-Filter wird auch als Anti-Aliasing-Filter bezeichnet. 11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen (Sample & Hold-Schaltungen) Bei vielen Aufgaben der Elektrischen Meßtechnik, so z. B. bei der AnalogDigital-Umsetzung von Meßsignalen ist es notwendig, eine analoge, zeitlich ver¨ anderliche Spannung u(t) zu einem bestimmten Zeitpunkt abzutasten und

Abb. 11.38. Verletzung des Abtasttheorems (fsmax > fa /2): a) Spektrum des Originalsignals y(t), b) Spektrum des abgetasteten Signals y (t)

302

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.39. Prinzip der Analog-Digital-Umsetzung mit Anti-Aliasing-Filter und Sample & Hold-Schaltung

den so erhaltenen Analogwert f¨ ur die Dauer eines festgelegten Zeitintervalles zu speichern. Bei vielen Analog-Digital-Umsetzern beispielsweise muß das Meßsignal f¨ ur die Dauer des Konversionsvorganges zeitlich konstant gehalten werden. Dazu setzt man Abtast-Halte-Schaltungen ein, die i. allg. als FolgeHalte-Schaltungen (Track-and-Hold-Schaltungen) realisiert sind. Das Prinzipschaltbild einer solchen Folge-Halte-Schaltung wird in Abb. 11.40 gezeigt. Je nach Schalterstellung l¨adt sich der Kondensator auf den Beoﬀtrag der Eingangsspannung uE (t) auf bzw. speichert den vor der Schalter¨ nung anliegenden Momentanwert der Eingangsspannung. Die beiden Operationsverst¨ arker dienen der Puﬀerung von Eingang bzw. Ausgang. Abbildung 11.41 zeigt eine Realisierungsm¨oglichkeit der Folge-Halte-Schaltung. Zwischen einen ersten Operationsverst¨arker, der als nicht-invertierender Verst¨ arker arbeitet, und einen zweiten als Integrierer eingesetzten Operationsverst¨ arker ist ein IGFET (Isolated-Gate-FET) geschaltet. F¨ ur usamp = 0 ist der FET leitend und die Ausgangsspannung uA entspricht der negativen Eingangsspannung uE , vorausgesetzt die Integrationszeitkonstante des integrierenden Verst¨ arkers, die im wesentlichen durch die maximalen Ausgangsstr¨ ome der Operationsverst¨ arker bestimmt wird, ist hinreichend klein. Wird der FET zum Zeitpunkt t = t0 gesperrt, so bleibt auch die Kondensatorladung (Konalt den beim densatorspannung) konstant und die Ausgangsspannung uA beh¨ Sperren des Feldeﬀekttransistors anstehenden Wert uA (t) = uA (t0 ), bis der FET wieder leitend geschaltet wird. Bei gesperrtem FET werden die Dioden

Abb. 11.40. Grundstruktur einer Folge-Halte-Schaltung

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

303

Abb. 11.41. Prinzipielle Realisierung einer Folge-Halte-Schaltung mit einem nichtinvertierenden und einem integrierenden Verst¨ arker

¨ leitend und vermeiden so eine Ubersteuerung des Operationsverst¨ arkers. Die Kenngr¨ oßen von Sample & Hold-Schaltungen werden anhand von Abb. 11.42 und Tabelle 11.10 erl¨autert.

Abb. 11.42. Kenngr¨ oßen von Sample & Hold-Schaltungen (s. auch Tabelle 11.10)

11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer Bei den Analog-Digital-Umsetzern unterscheidet man prinzipiell zwischen den in diesem Kapitel behandelten direktvergleichenden Umsetzern und denen, die eine Frequenz oder eine Zeit als Zwischengr¨ oße verwenden, wie beispielsweise die wichtige Klasse der integrierenden Umsetzer. Parallel-Umsetzer (Flash-Converter, Vielfach-Diskriminator) Um eine sehr schnelle Umsetzung zu erreichen, werden Parallel-Umsetzer eingesetzt, die auch als Flash-Converter oder als Vielfach-Diskriminatoren be-

304

11 Digitale Meßtechnik

Tabelle 11.10. Kenngr¨ oßen von Folge-Halte-Schaltungen (s. auch Abb. 11.42) (Sample) Track : Hold: Oﬀset:

Ausgangsspannung folgt der Eingangsspannung. Ausgangsspannung ist eingefroren. Diﬀerenz zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung im Sample-Betrieb. ¨ Droop: Anderung der Ausgangsspannung im Hold-Betrieb aufgrund von Kondensatorleckstr¨ omen und Eingangsstr¨ omen der Operationsverst¨ arker (Haltedrift). Slew Rate: Max. Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung. Aperture Time tAP : Zeit zwischen dem Hold-Befehl und dem vollst¨ andigen ¨ Oﬀnen des Halbleiterschalters. ¨ Settling Time: Zeit zwischen Oﬀnen bzw. Schließen des Halbleiterschalters und dem Einschwingen der Ausgangsspannung innerhalb einer bestimmten Fehlergrenze. Aperture Time Jitter: Diese statistische und signalabh¨ angige Unsicherheit der Aperturzeit ∆tAp f¨ uhrt zu Amplitudenfehlern ∆u = (duE /dt)∆tAp . Acquisition Time: Zeit (Einstellzeit) zwischen dem Sample-Befehl bzw. dem Hold-Befehl und dem Einschwingen innerhalb einer bestimmten Fehlergrenze (beinhaltet Schaltzeit, Anstiegszeit durch Slew Rate und Settling Time).

zeichnet werden. Bei diesem Umsetzertyp wird die umzusetzende Spannung gleichzeitig mit (2N − 1) Referenzspannungen verglichen (Abb. 11.43). Das Kernst¨ uck eines Parallel-Umsetzers bilden die (2N − 1) Komparatoren, deren Funktion nochmals anhand von Abb. 11.44 verdeutlicht werden soll. Die Wandlung in einem Schritt bewirkt die h¨ochstm¨ ogliche Umsetzungsgeschwindigkeit, das Bereitstellen der (2N − 1) Komparatoren erweist sich jedoch als aufwendig und f¨ uhrt damit zu h¨oheren Kosten. Die Signale eines aus sieben Komparatoren aufgebauten 3-Bit-Parallel-Umsetzers sind in Tabelle 11.11 enthalten. Sukzessive Approximation (W¨ ageverfahren, Stufenumsetzer) Dieser Methode liegt das Balkenwaageprinzip zugrunde. Ein nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation arbeitender Umsetzer, der auch als Stufenumsetzer bezeichnet wird, enth¨alt neben einem Modul zur Ablaufsteuerung und einem Speicherregister als zentrales Element einen Komparator und einen Digital-Analog-Umsetzer (Abb. 11.45). In sukzessiven Schritten wird mit Hilfe des Komparators gepr¨ uft, ob die zu wandelnde Spannung gr¨ oßer oder kleiner ist als die vom DAC erzeugte Spannung u(Z). Zun¨ achst wird das h¨ ochstwertige Bit (MSB) gesetzt, das vom DAC in eine entsprechende Analogspannung u(Z) umgesetzt und mit der Eingangsspannung uE verglichen wird. Je nachdem, ob das Ergebnis u(Z) kleiner oder gr¨ oßer ist als uE wird

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

305

Abb. 11.43. 3-Bit-A/D-Umsetzer mit parallelen Komparatoren ULSB = Uref /2N = Uref /8

die Referenzspannung zum Ergebnis addiert oder subtrahiert und die entsprechende Stelle der resultierenden Ausgangsbin¨arzahl auf 0 oder 1 gesetzt. In jedem der darauﬀolgenden Zeitzyklen wird der eben beschriebene Vergleichsvorgang f¨ ur die jeweils n¨achst niedrigere Bin¨arstelle entsprechend wiederholt. F¨ ur einen N-Bit-Umsetzer sind somit N Vergleichsschritte notwendig, die sequentiell abgearbeitet werden m¨ ussen. Kaskadierter Vielfach-Diskriminator (Kombiniertes Parallel- und W¨ ageverfahren) Der kaskadierte Vielfach-Diskriminator schließt einen Kompromiß zwischenUmsetzungsgeschwindigkeit und Aufwand. Da f¨ ur h¨ ohere Auﬂ¨ osungen beim reinen Parallel-Umsetzer (Vielfach-Diskriminator) sehr viele Komparatoren ben¨ otigt werden, z. B. 255 bei einem 8-Bit-ADC, kaskadiert man die VielfachDiskriminatoren. Dies f¨ uhrt zu einer erheblichen Reduzierung der Anzahl an

Abb. 11.44. Komparator-Schaltung. Die Ausgangsspannung uA = +UB entspricht dem logischen Signal K = 1, w¨ ahrend uA = −UB dem Wert K = 0 entspricht.

306

11 Digitale Meßtechnik Tabelle 11.11. Signale eines 3-Bit-Parallel-Umsetzers (s. auch Abb. 11.43) Eingangsspannung

Komparatorsignale Bin¨ arcode Bin¨ arcode, in K7 K6 K5 K4 K3 K2 K1 Z2 Z1 Z0 Analogspannung uE umgerechnet

0 ≤ uE < 12 ULSB

0000000

000

0

1 U 2 LSB 3 U 2 LSB

≤ uE <

3 U 2 LSB 5 U 2 LSB

0000001

001

Uref /8

0000011

010

2 Uref /8

5 U 2 LSB 7 U 2 LSB 9 U 2 LSB

≤ uE < 72 ULSB

0000111

011

3 Uref /8

≤ uE <

0001111

100

4 Uref /8

0011111

101

5 Uref /8

0111111

110

6 Uref /8

1111111

111

7 Uref /8

≤ uE <

≤ uE <

11 ULSB 2 13 ULSB 2

≤ uE < ≤ uE

9 U 2 LSB 11 ULSB 2 13 ULSB 2

Komparatoren bei leichten Einbußen in bezug auf die Umsetzungsgeschwindigkeit. Abbildung 11.46 zeigt die Realisierung eines 8-Bit-Umsetzers durch zwei kaskadierte 4-Bit-Umsetzer (Parallel-Umsetzer). Der erste ADC u ¨bernimmt die Grobquantisierung, also die Quantisierung der vier h¨ oherwertigen Bits. Das Ergebnis dieser Wandlung wird u ¨ber einen Digital-Analog-Umsetzer wieder in eine Analogspannung umgesetzt und von der Eingangsspannung subtrahiert. Das Diﬀerenzsignal wird vom zweiten (um den Faktor 16 feineren) Analog-Digital-Converter quantisiert. Das Ergebnis dieser Umsetzung liefert

Abb. 11.45. 4-Bit-A/D-Umsetzer nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

307

Abb. 11.46. Kaskadierter 8-Bit-Vielfach-Diskriminator

die vier niederwertigen Bits. Die Einsparung an Komparatoren (beim obigen Beispiel reduziert sich ihre Zahl von 255 auf 30) geht auf Kosten der Umsetzungsgeschwindigkeit. Das in Abb. 11.46 gezeigte Umsetzungsprinzip wird auch als Half-Flash-Umsetzer bezeichnet. Umsetzer nach dem Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren) Beim Subranging-Verfahren verwendet man einen N-Bit-Parallel-Umsetzer (Flash-Converter) um einen 2N -Bit-Umsetzer nachzubilden [85]. Zur Umsetzung sind hier jedoch drei Zeitzyklen erforderlich. Gegen¨ uber dem eben beschriebenen Half-Flash-Umsetzer spart man allerdings daf¨ ur auch einen der beiden dort verwendeten Flash-Umsetzer ein. Das analoge Eingangssignal uE wird in einem ersten Taktzyklus (S1 geschlossen, S2 oﬀen) mit Hilfe eines N-Bit-Umsetzers umgesetzt (Abb. 11.47). Das Ergebnis, das die N h¨ ochstwertigen Bits liefert, wird wiederum mit einem DAC in den entsprechenden Analogwert zur¨ uckgewandelt und von der urspr¨ unglichen Eingangsspannung arkt und uE subtrahiert. Die Diﬀerenzspannung wird um den Faktor 2N verst¨ erneut auf den N-Bit-Parallel-Umsetzer gegeben (S1 oﬀen, S2 geschlossen). Durch Addition der Ergebnisse der 1. und 2. Umsetzung erh¨ alt man schließlich das Endergebnis der ’Pseudo’-2N-Bit-Umsetzung. In der Praxis verwen-

Abb. 11.47. Analog-Digital-Umsetzer nach dem Subranging-Verfahren. MSB und LSB bezeichnen hier die h¨ oherwertigen bzw. die niederwertigen Bits.

308

11 Digitale Meßtechnik

det man Direktumsetzer mit einer h¨oheren Auﬂ¨ osung als notwendig [47]. Die dadurch gewonnene Redundanz zieht man zur Korrektur von Linearit¨ atsfehlern des Flash-Umsetzers heran. So wird beispielsweise zur Realisierung des in Abb. 11.47 gezeigten 2(N − 1)-Bit-ADC ein N -Bit-Flash-Converter eingesetzt. Bei der Realisierung der Schaltung muß darauf geachtet werden, daß der Verst¨ arkungsgrad des Verst¨arkers sehr pr¨azise abgeglichen ist, weil er das Restsignal auf den vollen Skalenbereich verst¨arkt. Aus demselben Grund sollte der DAC nur sehr geringe Linearit¨atsfehler aufweisen. Da der Markt heute schnelle Direktumsetzer mit Umsetzzeiten von 10 ns und darunter bietet, stellt der eigentliche Analog-Digital-Umsetzer bei den Subranging-Architekturen heute kaum die zeitkritische Komponente dar. Diese liegt eher im R¨ uckkopplungszweig, da vor der zweiten Umsetzung das Eingangssignal des Flash-ADC, d. h. die Diﬀerenz aus r¨ uckgewandelter Gr¨ oße und Eingangssignal, um einen recht hohen Faktor verst¨ arkt werden und auf die Genauigkeit des kompletten Wandlerbausteins eingeschwungen sein muß. In der Praxis h¨ angt deshalb die erreichbare Konversionszeit stark von der Geschwindigkeit des R¨ uckkopplungszweiges ab. Heute sind Subranging-Umsetzer mit Konversionszeiten unter 100 ns kommerziell erh¨ altlich. Umsetzer nach dem Recursive-Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren) Beim Recursive-Subranging-Analog-Digital-Converter (RSR-ADC) wird mit Hilfe eines N-Bit-Parallel-Umsetzers eine Analog-Digital-Umsetzung, die zu einem n · N -Bit-Digitalwort f¨ uhrt, in theoretisch n Schritten durchgef¨ uhrt. Die prinzipielle Funktionsweise basiert auf dem Prinzip der schrittweisen N¨ aherung mit dem Unterschied, daß anstatt des einfachen Analog-Komparators, der als 1-Bit-Umsetzer angesehen werden kann, ein N-Bit-Parallel-Umsetzer verwendet wird. Allerdings muß auch hier die Genauigkeit der Verst¨ arker f¨ ur den vollen Skalenumfang von n · N -Bit gew¨ahrleistet sein. Wie beim reinen Subranging-Verfahren wird mit Hilfe eines DAC der digitale Ergebniswert in ein entsprechendes Analogsignal zur¨ uckgewandelt, das von der Eingangsspannung uE subtrahiert wird. Es wird dabei ein n · N -Bit DAC verwendet. Die wesentliche Verbesserung gegen¨ uber dem Verfahren der schrittweisen N¨ aherung besteht darin, daß bei einer n · N -Bit-Umsetzung nur noch n anstatt ¨ der n · N Zeitzyklen ben¨otigt werden. Ahnlich wie beim vorher beschriebenen Subranging-Verfahren nutzt man das N-te Bit jeweils zur Fehlerkorrektur, was allerdings einen weiteren Taktzyklus erforderlich macht. Abbildung 11.48 zeigt das Beispiel eines nach dem rekursiven Subranging-Verfahren arbeitenden ADC mit einer Auﬂ¨osung von 12 Bit. Er basiert auf einem 4-Bit-ParallelUmsetzer, von dem jeweils das LSB zur Fehlerkorrektur verwendet wird. Es sind dadurch vier anstatt der drei theoretisch m¨ oglichen Zeitzyklen zur Wandlung eines Wertes notwendig [122].

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

309

Steuerung und Umsetzlogik

S&H

4-BitFlash-ADC

V

-

V = 1, 8, 64, 256 u(Z) a) u Uref ULSB0 =

Uref { 16

(k+1)·ULSB0 k·ULSB0

uE

u Uref u1+ 8 ULSB1=

Uref { 128

8ULSB1

uE

12-BitDAC

u Uref u 2+ 64 Uref { ULSB2= 1024

u 3+ ULSB3 =

8ULSB2

u Uref 256

Uref { 8192

8ULSB3

uE

uE

Verstärkung: V = 1 Konversionszyklus Nr. 1 b)

u3

u2

u1

0

V=8

V = 64

V = 256

2

3

4

2ULSB0 u 1 = k·ULSB0 - i · 16

Abb. 11.48. 12-Bit-Analog-Digital-Umsetzer nach dem rekursiven SubrangingVerfahren. Zum Zwecke der Fehlerkorrektur werden anstatt der vier m¨ oglichen jeweils nur drei Bit genutzt, so daß die Gesamtwandlung vier Konversionszyklen anstatt der sonst drei erfordert: a) Prinzipieller Schaltungsaufbau, b) Ermittlung des Digitalwertes durch sukzessive Eingrenzung (k und i sind nat¨ urliche Zahlen).

Inkrementaler Stufenumsetzer (Z¨ ahlverfahren) Bei den auf dem Z¨ahlverfahren basierenden Analog-Digital-Umsetzern wird eine Vergleichsspannung u(Z) von einem DAC erzeugt, der eingangsseitig von einem gew¨ ohnlichen Z¨ahler angesteuert wird (Abb. 11.49). Sobald u(Z) die zu wandelnde Spannung uE u ¨bersteigt, wird die Umsetzung gestoppt. Aus dem Z¨ ahlerstand kann unmittelbar der Digitalwert der zu wandelnden Spannung errechnet werden. Der wesentliche Vorzug des Verfahrens liegt im geringen technischen Aufwand (es wird nur ein Komparator ben¨ otigt), w¨ ahrend als Nachteil die niedrige Geschwindigkeit angef¨ uhrt werden muß. Die Anzahl der

310

11 Digitale Meßtechnik

zur Wandlung notwendigen Zeitzyklen h¨angt von der Gr¨ oße der Eingangsspannung uE ab. Es k¨onnen zum Erreichen des N-Bit-Ergebniswertes maximal 2N Zeitschritte notwendig werden.

Abb. 11.49. A/D-Umsetzer nach dem Prinzip der inkrementalen Stufenumsetzung

Nachlaufumsetzer (Z¨ ahlverfahren) Der Nachlaufumsetzer z¨ahlt im Gegensatz zu dem im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen inkrementalen Stufenumsetzer r¨ uckw¨ arts und vorw¨ arts. Der prinzipielle Aufbau des Nachlaufumsetzers (Abb. 11.50) unterscheidet sich vom Inkrementalumsetzer im Grunde genommen nur in der Verwendung eines kombinierten Vorw¨arts-R¨ uckw¨artsz¨ahlers anstatt des reinen Vorw¨ artsz¨ ahlers beim inkrementalen Stufenumsetzer. Das Ausgangssignal des DAC wird da¨ durch der Eingangsspannung st¨andig nachgef¨ uhrt. Dabei darf die Anderung der Eingangsspannung w¨ahrend einer Taktperiode des Z¨ ahlers nicht gr¨ oßer als ULSB sein. Bei schnelleren Spannungs¨anderungen kann es recht lange dauern, bis wieder ein Abgleich erreicht ist, im ung¨ unstigsten Fall bis zu 2N Taktperioden. 11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator Die Delta-Sigma-Umsetzung ist ein Konvertierungsverfahren, bei dem eine Quantisierung mit niedriger Aufl¨osung, typischerweise 1 Bit, verwendet wird. ¨ Durch eine hohe Uberabtastung des Analogsignals wird die eﬀektive Auﬂ¨ osung erh¨ oht und damit das Quantisierungsrauschen reduziert. Ein nachfolgendes Digitalﬁlter unterdr¨ uckt zus¨atzlich noch verbleibende Rauschanteile und sorgt f¨ ur eine Bandbegrenzung. Bevor das Prinzip des auf einem Delta-Sigma-Modulator basierenden ADC beschrieben wird, soll zun¨achst die Funktionsweise eines Delta-Modulators

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

311

Abb. 11.50. A/D-Umsetzer nach dem Nachlauf-Prinzip. Das Ausgangssignal des Komparators bestimmt die Z¨ ahlrichtung (vorw¨ arts, r¨ uckw¨ arts) des Z¨ ahlers.

er¨ortert werden. Die Delta-Modulation ist eine Sonderform der in der Nachrichtentechnik gebr¨auchlichen Diﬀerenzpulscodemodulation (DPCM), bei der die Diﬀerenz zwischen einem Abtastwert und einem Vorhersagewert, z. B. dem vorhergehenden Abtastwert, digital codiert wird [62]. Das urspr¨ ungliche Signal kann schließlich auf einfache Weise wiedergewonnen werden, indem die Diﬀerenzwerte zu dem jeweils vorhergehenden Abtastwert addiert werden (Abb. 11.51). Das Blockschaltbild eines Delta-Modulators wird in Abb. 11.52 gezeigt. uckf¨ uhrgr¨ oße Das zu wandelnde Signal uE (t) wird zusammen mit einer R¨ uhrt. uR (t) einem Komparator mit nachgeschaltetem Schmitt-Trigger zugef¨ Der Schmitt-Trigger wiederum steuert ein D-Flip-Flop, das entweder 0 oder 1 am Ausgang Q liefert, je nachdem, ob die R¨ uckf¨ uhrgr¨ oße uR gr¨ oßer oder uckf¨ uhrsignal uR (t) entsteht kleiner ist als die Eingangsspannung uE . Das R¨ durch zeitliche Integration, d. h. also Mittelwertbildung, des digitalen Aus-

Eingangssignalfolge u E(n Ta )

übertragenes Signal u E (n Ta ) − u E ((n-1) Ta ) +

+

−

+

Ausgangssignalfolge (rekonstruiertes Eingangssignal) u*(n E Ta )

AbtastwertSpeicher u*E ((n-1)Ta )

AbtastwertSpeicher u E((n-1) Ta)

Modulator, Codierer

Demodulator, Decodierer

Abb. 11.51. Codierung und Decodierung eines Signals in Form von Diﬀerenzwerten zum vorhergehenden Abtastwert. Die Abtastwertspeicher beinhalten stets den vor dem aktuellen Abtastwert uE (nTa ) angestandenen Abtastwert uE ((n − 1)Ta ).

312

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.52. Prinzip des Delta-Modulators: a) Prinzipschaltbild, b) Ausgangssignal f¨ ur verschiedene Zust¨ ande der Eingangsspannung

gangssignals Q. Damit kann aus der Impulsfolge am Ausgang des Delta¨ Modulators eindeutig auf die Anderung des Eingangssignals geschlossen werden. F¨ ur eine originalgetreue Erfassung des Eingangssignals ist es allerdings notwendig, daß dieses sehr hoch abgetastet wird, weil die Diﬀerenz zum vorhergehenden Wert eben nur mit einem Bit quantisiert wird. Konkret bedeutet dies, daß man in den Phasen, die in Abb. 11.52b mit Anstieg bzw. Abfall bezeichnet sind, keine Information dar¨ uber hat, wie lange es noch dauern wird, bis der aktuelle Wert der Eingangsspannung wieder eingeholt wird, bzw. wie ¨ weit sich die Eingangsspannung infolge schneller Anderung bereits vom angezeigten Wert entfernt hat. Damit d¨ urfte auch verst¨ andlich werden, daß dieses ochste im EinVerfahren mit hohem Oversampling (1/Ta 2fsmax (fsmax : h¨ gangssignal enthaltene Frequenzkomponente)) arbeiten muß [108]. Der Delta-Sigma-Modulator ist ein modiﬁzierter Delta-Modulator, bei dem sich ein weiterer Integrierer im Vorw¨artszweig beﬁndet. Dies setzt voraus, alt. Dadurch kann daß die Eingangsspannung uE (t) keinen Gleichanteil enth¨ aus der digitalen Ausgangsimpulsfolge durch Mittelwertbildung direkt auf das analoge Eingangssignal geschlossen werden, d. h. das Eingangssignal kann durch einfache Tiefpaßﬁlterung des seriellen Bitstromes Q am Ausgang des Delta-Modulators wieder rekonstruiert werden. Die dabei ablaufenden Signalverarbeitungsoperationen bestehen aus Integrieren, Diﬀerenzieren und Tief-

Abb. 11.53. Funktionsgruppen eines Delta-Sigma-Modulators mit nachgeschaltetem Digitalﬁlter zur Mittelwertbildung und Abtastratenreduzierung (Dezimation)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

XW (

JW

³ GW

'

4

313

4W

7DNW ³ GW Σ

∆

Abb. 11.54. Blockschaltbild eines Delta-Sigma-Modulators

paßﬁltern mit Abtastratenreduzierung, der sog. Dezimation (Abb. 11.53) [81]. Um zu einer realisierbaren Struktur des Umsetzers aus Abb. 11.53 zu gelangen, ersetzen wir zun¨achst den Komparator des Delta-Modulators in Abb. 11.52 durch einen Diﬀerenzverst¨arker, was an der Funktion nichts ¨ andert. In Abb. 11.54 sind die Funktionsgruppen des Delta-Sigma-Umsetzers aus Abb. 11.53 in einem Blockschaltbild dargestellt. Man erkennt, daß sich die Eingangsspannung des Schmitt-Triggers g(t) folgendermaßen berechnet (11.39) g(t) = uE (t)dt − Q(t)dt . Da sich die linearen Operationen Integrieren und Subtrahieren vertauschen lassen, kann man das Blockschaltbild vereinfachen und gelangt zu Abb. 11.55. Durch diese Maßnahme f¨allt auch die Einschr¨ankung weg, daß keine Gleichanteile in uE (t) zul¨assig sind. Bez¨ uglich seiner Grundstruktur weist der ADC mit Delta-Sigma-Modulator ¨ große Ahnlichkeit mit der Struktur eines ADC mit sukzessiver Approximation auf. Eine einfache schaltungstechnische Realisierung zeigt Abb. 11.56. Die Schaltung um den Operationsverst¨arker stellt einen invertierenden Integrierer mit Summationspunkt dar. Da die Summe aus der Eingangsspannung uE (t) und der r¨ uckgekoppelten Spannung r(t) gebildet wird, muß der 1-Bit-DAC die Spannung invertieren. Der nachgeschaltete Komparator wirkt ebenfalls invertierend, um die Vorzeichenumkehr des Integrierers auszugleichen. Das

u E(t)

dt

D

Q

Q (t)

r (t) Takt Abb. 11.55. Funktionsgleiche Umwandlung des Blockschaltbildes aus Abb. 11.54

314

11 Digitale Meßtechnik C u E(t)

R

invertierender Komparator

R

K

D

Q (t) Q

r (t) Takt

inv. summierender Integrierer Uref

1-Bit-DAC mit Invertierer Uref

Abb. 11.56. Schaltungstechnische Realisierung eines Delta-Sigma-Umsetzers

Komparatorausgangssignal erscheint mit dem Takt am Ausgang des taktﬂankengesteuerten Flip-Flops. Die R¨ uckkopplung h¨ alt die Abweichung zwischen uE (t) und Q(t) minimal. Der Mittelwert der 1-Bit-Datensequenz Q am Ausgang (Folge von 0 und 1 ) ist dabei der Eingangsspannung uE proportional. Zur Mittelwertbildung wird ein digitales Tiefpaßﬁlter nachgeschaltet, welches aus dem (hochfrequenten) Ausgangssignal das interessierende (niederfrequente) Signalband herausschneidet. Schließlich wird die Abtastrate durch den Dezimator auf den gew¨ unschten Wert reduziert. Abbildung 11.57 zeigt die Struktur eines allgemeinen Analog-DigitalUmsetzers in Delta-Sigma-Technik anhand eines Blockschaltbildes. Im Teilbild 11.57a wird die oben diskutierte konventionelle 1-Bit-Technik vorgestellt, w¨ ahrend in Abb. 11.57b ein sog. Multi-Bit-Delta-Sigma-ADC gezeigt wird. Diese Multi-Bit-Technik wird zur Erzielung von Signal/Rausch-Verh¨ altnissen eingesetzt, welche sich mit der 1-Bit-Technik nicht mehr erzielen lassen, weil dazu zu hohe Abtastraten erforderlich w¨aren [63]. ¨ Signal/Rausch-Verh¨ altnis und Uberabtastung ¨ Allgemein l¨ aßt sich sagen, daß man durch Uberabtastung eines Signals das Signal/Rausch-Verh¨altnis (Signal to Noise Ratio, S/N) einer AD-Umsetzung verbessern kann. Nehmen wir zum Beispiel an, ein Meßsignal mit der Bandbegrenzung fb soll mit einem AD-Umsetzer digitalisiert werden. Nach dem Nyquist-Kriterium muß dieses Meßsignal mit mehr als der doppelten Bandbreite abgetastet werden. Betrachten wir zun¨achst den Grenzfall, daß die Abtastfrequenz fs gerade 2fb betr¨agt. Der ADC verursacht eine Quantisierungsrauschleistung PQ , deren Rauschleistungsdichte dann pQ,N =

PQ fb

(11.40)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

uE

+ _

315

u E (t)dt

Dezimator

UQ

digitales Mittelungsfilter

1-Bit-DAC a)

uE

+ _

u E (t)dt

Dezimator

ADC

UQ

digitales Mittelungsfilter

DAC b)

Abb. 11.57. Analog-Digital-Umsetzer auf der Basis eines Delta-Sigma-Modulators: a) Grundstruktur in 1-Bit-Technik, b) Grundstruktur in Multi-Bit-Technik

betr¨ agt, unter der Voraussetzung, daß von weißem Rauschen ausgegangen werden kann. Tastet man das Signal mit einer h¨oheren Abtastfrequenz fs > 2fb ab, so wird das Quantisierungsrauschen auf einen gr¨ oßeren Frequenzbereich verteilt (Abb. 11.58) und man erh¨alt f¨ ur die Rauschleistungsdichte bei dieser ¨ Uberabtastung 2PQ . (11.41) pQ,O = fs Wendet man eine ideale Tiefpaßﬁlterung mit der Grenzfrequenz fb an, so reduziert sich das Rauschen im Signalband PQ,O zu PQ,O = pQ,O · fb = S

2PQ fb , fs

(11.42)

5DXVFKOHLVWXQJVGLFKWH

S 41 34 3 42 S 42

IE

IV

I

Abb. 11.58. Spektrale Verteilung des Quantisierungsrauschens PQ

316

11 Digitale Meßtechnik

¨ und man erh¨ alt f¨ ur den Gewinn ∆S/N durch die Uberabtastung (siehe Gl. 7.101) PQ PQ fs = 10 lg = 10 lg = 10 lg m , (11.43) ∆S/N [dB] = 20 lg PQ,O PQ,O 2fb ¨ ¨ wobei m der Faktor der Uberabtastung ist. Durch eine Vergr¨ oßerung der Uberabtastung um den Faktor 4 erh¨alt man also eine eine Verbesserung des S/N um 6.02dB. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 11.59 dargestellt. ∆ 61 18

G%

12 6 0

1 2 3 4 5

10

15

20

)DNWRUGHUhEHUDEWDVWXQJ Abb. 11.59. Gewinn an Signal/Rausch-Verh¨ altnis nach [112, 122]

¨ Der S/N-Gewinn durch die Uberabtastung wird bei einem Delta-SigmaModulator durch die Methode des Noise-Shapings noch wesentlich verbessert [20]. Betrachten wir dazu das linearisierte Modell des Delta-SigmaUmsetzers im Laplace-Bereich (Abb. 11.60). Der Integrierer im Zeitbereich wird durch eine Multiplikation mit k/s modelliert (s. Gl. (3.81)), wobei die Verst¨ arkung k noch nicht n¨aher bestimmt ist. Der Komparator wird im Laplace-Bereich durch Addition des Quantisierungsrauschens N (s) beschrie¨ ur die Eingangsspannung zu erhalben. Um die Ubertragungsfunktion GU E f¨ ten, setzen wir zun¨achst das Quantisierungsrauschen N (s) ≡ 0 und erhalten Q(s) = [UE (s) − Q(s)]

k . s

(11.44)

¨ Damit l¨ aßt sich die Ubertragungsfunktion GU E (s) =

k Q(s) = UE (s) s+k

(11.45)

¨ berechnen. Um die Ubertragungsfunktion GN (s) f¨ ur das Rauschen zu bestimmen, setzen wir dann die Eingangsspannung UE (s) ≡ 0 und erhalten (hier: N (s) = 0)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

317

1V N V

8V (

4V

Abb. 11.60. Darstellung des Delta-Sigma-Umsetzers im Laplace-Bereich

Q(s) = N (s) − Q(s) GN (s) =

k s

(11.46)

s Q(s) = . N (s) s+k

(11.47)

Der Umsetzer wirkt also wie ein Tiefpaß auf die Eingangsspannung, aber wie ¨ ein Hochpaß auf das Quantisierungsrauschen. Die Ubertragungsfunktionen und der Einﬂuß des dadurch entstehenden Noise-Shapings sind in Abb. 11.61 ur die Frequenz, an der der dargestellt. Der Ausdruck fp = k/2π steht f¨ ¨ ¨ Pol in den Ubertragungsfunktionen auftritt. Ublicherweise wird man fp fb w¨ahlen, so daß f¨ ur GN (s) im interessierenden Frequenzbereich (f ≤ fb ) n¨ aherungsweise gilt s (11.48) GN (s) ≈ . k F¨ ur die Rauschleistungsdichte nach der Modulation pQ,mod gilt dann (s. auch Kap. 13.8) 2PQ ω 2 . (11.49) pQ,mod (ω) = pQ,0 |GN (jω)|2 = fs k 2 * * 8(

G%

*1

3 4PRG

IE

IS

I

Abb. 11.61. Betragsfrequenzgang der Signal- und Rausch¨ ubertragungsfunktion

318

11 Digitale Meßtechnik

Durch Integration erh¨alt man das Gesamtrauschen im Signalband 2πfb 2PQ 1 8(πfb )3 . PQ,mod = pQ,mod dω = 2 3 f k s 0

(11.50)

Mit k = 2πfp erh¨alt man nun f¨ ur den Gewinn ∆S/N ∆S/N [dB] = 10 lg

PQ PQ,mod

= 10 lg

3 fs fp2 . 4 πfb3

(11.51)

¨ Mit dem Faktor der Uberabtastung m = fs /2fb ergibt sich ∆S/N [dB] = 10 lg

πf 2 6 3 fp2 m 2 = 30 lg m − 10 lg s2 . π fs 6fp

(11.52)

¨ Der erste Term sagt aus, daß mit jeder Verdopplung der Uberabtastrate das Signal/Rausch-Verh¨altnis um 9,03 dB zunimmt, was eine erhebliche Steige¨ rung gegen¨ uber der gew¨ohnlichen Uberabtastung bedeutet. Der zweite Term in Gl. 11.52 sollte m¨oglichst klein sein, d. h. der Pol sollte betragsm¨ aßig m¨ oglichst groß sein. Dies erfordert allerdings eine gr¨ oßere Verst¨ arkung k. Da ¨ die Ubertragungsfunktion der oﬀenen Schleife einem reinen Integrierer entspricht, sind dem in der Praxis stabilit¨atsbedingte Grenzen gesetzt. Um das Signal/Rausch-Verh¨altnis weiter zu steigern, k¨ onnen auch DeltaSigma-Umsetzer h¨oherer Ordnung aufgebaut werden [79]. Abbildung 11.62 zeigt einen Umsetzer zweiter Ordnung, mit dem ein ∆S/N von 15.1 dB/Oktave erreicht wird. Die Herleitung dieses Zusammenhangs soll dem ambitionierten ¨ Leser als Ubung dienen [61]. 1V 8V (

N V

N V

4V

Abb. 11.62. Delta-Sigma-Umsetzer 2.Ordnung

11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (Impulsbreiten-Multiplizierer, S¨ agezahn-Multiplizierer) Ein weiteres AD-Umsetzverfahren, das insbesondere bei der Leistungsmessung eingesetzt wird, baut auf dem sog. Time-Division-Multiplizierer auf. Der

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

319

Time-Division-Multiplizierer ist eine spezielle Form eines Analog-Multiplizierers, der bevorzugt zur Leistungsmessung mit digitaler Ergebniswertausgabe eingesetzt wird. Dazuwird eine Rechteckspannung mit fester Periodendauer T gem¨ aß Abb. 11.63 erzeugt. Die positiven und negativen Amplitudenwerte ahrend die Diﬀerenz (t1 − t2 ) entsprechen dabei einer Eingangsspannung u1 , w¨ bez¨ uglich der zeitlichen Dauer von positiver und negativer Halbwelle proporaltnis t1 /t2 wird tional einer zweiten Eingangsspannung u2 ist. Das Tastverh¨ agezahnf¨ ormigen Spannung durch einen Vergleich von u2 mit einer zeitlich s¨ altnis t1 /t2 = 1. festgelegt (Abb. 11.63). F¨ ur u2 = 0 ist demnach das Tastverh¨ Die Periodendauer T , die dem Kehrwert der Pulsfolgefrequenz f entspricht, ergibt sich aus der Summe der Zeiten t1 und t2 von positiver und negativer Rechteckhalbwelle 1 (11.53) T = t1 + t2 = . f Aus dem in Abb. 11.63 gezeigten Zeitdiagramm l¨ aßt sich ablesen, daß die mit Gl. (11.54) deﬁnierte Proportionalit¨atskonstante k

Abb. 11.63. Prinzip des Time-Division-Multiplizierers. Der Mittelwert der Ausgangsspannung uA ist dem Produkt u1 u2 der Eingangsspannungen proportional: a) Zeitverl¨ aufe von Eingangs- und Ausgangsspannungen, b) Prinzipschaltbild

320

11 Digitale Meßtechnik

ku2 = t1 − t2

(11.54)

dem Kehrwert der Steigung der S¨agezahnspannung entspricht. Diese Konstante l¨ aßt sich auch als Funktion der Periodendauer T bzw. der Pulsfolgefrequenz ucken f sowie den S¨ agezahnamplituden U∆max ausdr¨ k=

1 T = . 2U∆ max 2f U∆ max

(11.55)

Am Ausgang des Tiefpasses (Abb. 11.63b) erh¨ alt man den zeitlichen Mittelwert uA der Spannung uA (t) ⎡t ⎤ T T 1 1 1 uA = uA (t) dt = ⎣ u1 dt + −u1 dt⎦ T T 0

0

t1

1 u1 u2 = (u1 t1 − u1 t2 ) = f u1 (t1 − t2 ) = f ku1 u2 = . (11.56) T 2U∆ max Dies bedeutet, daß die Ausgangsspannung uA proportional zum Produkt der beiden Eingangsspannungen u1 und u2 ist. Die Frequenz f sollte dabei wesentlich u ¨ber den Grenzfrequenzen der zu messenden Spannungen u1 und u2 liegen, da vorausgesetzt wird, daß u1 und u2 w¨ ahrend der Periode T konstant sind. Falls die Spannung u1 proportional der Spannung eines Leistungskreises und die zweite Eingangsspannung u2 proportional dem Strom dieses Leistungskreises ist, stellt der Time-Division-Multiplizierer ein elektronisches Wattmeter dar (Abb. 11.64). Wenn an den Time-Division-Multiplizierer ein Spannungs-Frequenz-Umsetzer angeschlossen wird, ist die Frequenz ein Maß ahrend der Z¨ ahlerstand, f¨ ur die im Leistungskreis verbrauchte Leistung Pel , w¨ welcher in einem nachgeschalteten Z¨ahler auﬂ¨ auft, der innerhalb der Z¨ ahlerTorzeit verbrauchten elektrischen Energie Wel entspricht.

Abb. 11.64. Elektronischer Leistungsmesser bzw. Energiez¨ ahler auf der Basis eines Time-Division-Multiplizierers. Es wird vorausgesetzt, daß infolge zeitlicher Mittelung am Ausgang des Time-Division-Multiplizierers bereits der der Wirkleistung entsprechende Anteil der Momentanleistung vorliegt.

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

321

11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz als Zwischengr¨ oßen Single-Slope-Umsetzer (u/t-Umsetzer) Bei einem Single-Slope-Umsetzer, den man auch als S¨ agezahnumsetzer bezeichnet, wird mit Hilfe eines Z¨ahlers die Zeit bestimmt, die vergeht, bis eine zeitlich linear vom Wert Null ansteigende Spannung in bezug auf ihre Amplitude die zu wandelnde Eingangsspannung uE erreicht hat (Abb. 11.65). Bei

Abb. 11.65. Single-Slope-Umsetzer (S¨ agezahnumsetzer): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

einem Spannungswert der S¨agezahnspannung von Null wird der Z¨ ahler gestartet. Erreicht die S¨agezahnspannung die zu wandelnde Eingangsspannung ahlerstand uE (nach einer Zeit tX ), wird der Z¨ahler wieder gestoppt. Der Z¨ NX ist damit proportional der zu wandelnden Spannung uE . Mit dem Kehrwert K der Anstiegsgeschwindigkeit der S¨agezahnspannung ergibt sich der ahlers) und der EinZusammenhang zwischen der Meßzeit tX (Torzeit des Z¨ gangsspannung uE tX = KuE . (11.57) Mit Hilfe der Taktfrequenz fref kann der Z¨ahlerstand NX berechnet werden NX = tX fref = Kfref uE .

(11.58)

Gleichung (11.58) zeigt die gew¨ unschte Proportionalit¨ at zwischen dem Z¨ ahlerstand NX und der Eingangsspannung uE . Als Nachteile dieses Verfahrens sind unter anderem anzuf¨ uhren, daß Steigungsfehler der S¨ agezahnspannung (Konstante K in Gl. (11.58)) und Taktfrequenzfehler (fref in Gl. (11.58)) unmittelbar das Ergebnis verf¨alschen.

322

11 Digitale Meßtechnik

Dual-Slope-Umsetzer (Integrierender Zweirampen-Umsetzer) Bei dieser Art der Analog-Digital-Umsetzung werden nicht einzelne Werte der Eingangsspannung abgetastet, sondern der Mittelwert der Eingangsspannung u arzahl ¨ber ein bestimmtes Zeitintervall gebildet und dieser in eine Bin¨ umgesetzt. Die Umsetzungszeit ist zwar h¨oher als bei den Momentanwertumsetzern, die Dual-Slope-Umsetzer liefern daf¨ ur allerdings im allgemeinen eine wesentlich h¨ ohere Genauigkeit. Beim Dual-Slope-Umsetzer wird die Eingangsspannung innerhalb einer ¨ Zeitspanne integriert, die durch das Uberlaufen eines mit konstanter Taktfrequenz fref angesteuerten Z¨ahlers festgelegt ist (Abb. 11.66). Der Schalter S1 beﬁndet sich w¨ahrend dieser Zeit in Stellung 1. Diese Integration ﬁndet ahler bei zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 statt (Abb. 11.66b). Wenn der Z¨ einem Z¨ ahlerstand Nmax u ¨berl¨auft, ergibt sich die entsprechende Zeitdiﬀerenz (t2 − t1 ) wie folgt Nmax t 2 − t1 = . (11.59) fref Ab dem Zeitpunkt t2 wird durch Umschalten von S1 die Referenzspannung −Uref integriert, so daß die Integratorausgangsspannung uA zu einem Zeitpunkt tX wieder den Wert Null erreicht. Daraufhin wird u ¨ber das Komparatorausgangssignal K mit Hilfe des nachgeschalteten UND-Gatters der Z¨ ahlvorgang gestoppt. Der dann erreichte Z¨ahlerstand sei mit NX bezeichnet. Die ahlerstand NX gem¨ aß Zeitdiﬀerenz (tX − t2 ) ist proportional zu diesem Z¨ NX . fref

t X − t2 =

(11.60)

Nachdem die Spannung uA zum Zeitpunkt tX wieder den Wert Null hat, kann man die in den Zeitintervallen (t2 − t1 ) und (tX − t2 ) integrierten Ausgangsspannungs¨ anderungen gleichsetzen. Es gilt demnach t2 tX 1 1 uE (t) dt = Uref dt . (11.61) RC t1 RC t2 Mit uE =

1 t2 − t1

t2

uE (t) dt

(11.62)

t1

folgt aus Gl. (11.61) 1 1 Uref (tX − t2 ) . uE (t2 − t1 ) = RC RC

(11.63)

Die Zusammenh¨ange in Gln. (11.59) und (11.60) best¨ atigen in Verbindung mit Gl. (11.63) die gew¨ unschte Proportionalit¨ at zwischen dem Z¨ ahlerstand NX und dem Mittelwert der Eingangsspannung uE NX =

uE Nmax = const. · uE . Uref

(11.64)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

323

Abb. 11.66. Dual-Slope-Umsetzer: a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

Man erkennt, daß weder die Zeitkonstante RC des Integrierers noch die onnen. Mit Hilfe des Schalters Taktfrequenz fref das Ergebnis verf¨alschen k¨ S2 wird sichergestellt, daß zu Beginn der n¨achsten Wandlungsphase die Kondensatorspannung Null ist. Spannungs-Frequenz-Umsetzer (u/f-Umsetzer) Die Spannungs-Frequenz-Umsetzung kann als besondere Art der AnalogDigital-Umsetzung aufgefaßt werden. Die zu wandelnde Spannung wird dabei zun¨ achst in die proportionale Zwischengr¨ oße Frequenz“ umgesetzt, die ” wiederum mit Hilfe eines Z¨ahlers leicht in eine digitale Information gewandelt werden kann (Abb. 11.67). Die Meßunsicherheit kann dabei aufgrund der u ¨blicherweise hohen Genauigkeit des Zeitnormals sehr klein gehalten werden. Bei dieser Methode der Analog-Digital-Umsetzung ist allerdings zu beachten, daß der Spannungswert 0 V aus verfahrenstechnischen Gr¨ unden nicht umgesetzt werden kann, was in praktischen Schaltungen durch Aufschalten eines

324

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.67. Prinzip der Analog-Digital-Umsetzung mit Hilfe von SpannungsFrequenz-Umsetzer und Z¨ ahler

Spannungsoﬀsets am Eingang des u/f-Umsetzers und Subtraktion des entsprechenden Z¨ ahlerwertes vom aktuellen Z¨ahlerstand umgangen werden kann. Infolge der bei der Messung sehr niedriger Frequenzen auftretenden Fehler geht man in diesen F¨allen zu einer Messung der Periodendauer (reziproke Frequenzmessung) u ¨ber. Eine elegante L¨osung bietet sich in Form des rechnenden Z¨ahlers an, der das einfache Umschalten zwischen den beiden Meßmethoden direkte Frequenzmessung“ und reziproke Frequenzmessung“ erm¨ oglicht (s. ” ” Kap. 12.5) [122]. Ein weiterer Vorzug solcher Z¨ ahlverfahren besteht darin, daß periodische St¨orspannungen ohne Einﬂuß bleiben, wenn man eine Torzeit w¨ ahlt, welche einem Vielfachen der Periodendauer des St¨ orsignals entspricht. Ein Spannungs-Frequenz-Umsetzer ist ein Oszillator, dessen Schwingfrequenz von einer von außen angelegten elektrischen Spannung gesteuert wird. Abbildung 11.68 zeigt eine m¨ogliche Schaltungsrealisierung. Diese besteht aus einem integrierenden Verst¨arker, der im zeitlichen Wechsel die Eingangsspannung uE bzw. ihren invertierten Wert −uE integriert. Das jeweilige Ergebnis dieser Integration wird mit Hilfe zweier Komparatoren mit den Referenzspannungen +Uref und −Uref verglichen. Wenn die Ausgangsspannung uA des integrierenden Verst¨arkers den Wert uA = +Uref erreicht, schaltet der Komparator K1 und setzt das RS-Flip-Flop. Gleichzeitig wird von der Steuerung der Schalter S am Eingang umgelegt, so daß nunmehr die Spannung +uE integriert wird. Die Eingangsspannung uE wird also solange integriert (fallende Rampe), bis die Integratorspannung die untere Schwelle (−Uref ) unterschreitet, woraufhin die Steuerung den Eingangsschalter S umschaltet, so daß danach wieder die invertierte Eingangsspannung integriert wird (steigende Rampe), bis die obere Schwelle (+Uref ) erreicht ist. Im stetigen Wechsel zwischen diesen zwei Zust¨anden entsteht am Ausgang des Integrierers eine Schwingung mit einem Zeitverlauf, der einem gleichschenkeligen Dreieck entspricht. Der Q-Ausgang des RS-Flip-Flops liefert daraufhin eine unipolare Rechteckspannung mit derselben Frequenz. Anhand von Abb. 11.68b lassen sich die folgenden Zusammenh¨ange ableiten 1 (11.65) u1 (t) dt uA (t) = − RC 1 uAmax = +Uref = −Uref + uE (tmax − tmin ) (11.66) RC 1 uE (TX + tmin − tmax ) . (11.67) uAmin = −Uref = Uref − RC

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

325

Abb. 11.68. Spannungs-Frequenz-Umsetzer (u/f-Umsetzer): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe am Ausgang des Integrierers (uA ) sowie am Ausgang des RS-FlipFlops (Q) f¨ ur eine kleine (linkes Teilbild) und eine gr¨ oßere Eingangsspannung uE (rechtes Teilbild)

Die Subtraktion der Gln. (11.67) und (11.66) liefert 4Uref =

1 uE TX . RC

(11.68)

Daraus l¨ aßt sich schließlich der gesuchte Zusammenhang zwischen der Frequenz fX des Rechtecksignals am Ausgang des RS-Flip-Flops und der Eingangsspannung uE ableiten fX =

1 1 uE = const. · uE . = TX 4Uref RC

(11.69)

Die Frequenz des Rechtecksignals am Ausgang ist also gem¨ aß Gl. (11.69) proportional zur Eingangsspannung uE . Sie l¨aßt sich aus dem Z¨ ahlerstand bei vorgegebener Torzeit leicht ermitteln.

326

11 Digitale Meßtechnik

ADC nach dem Ladungskompensationsverfahren (Charge-Balancing-Converter) Eine Spannungs-Frequenz-Umsetzung l¨aßt sich auch mit Hilfe eines sog. Charge-Balancing-Converters durchf¨ uhren, dessen prinzipielle Funktionsweise anhand von Abb. 11.69 erl¨autert werden soll. Beim Charge-BalancingConverter wird die Eingangsspannung uE ebenfalls bis zu einem vorgegebenen Schwellwert USW integriert. Bei Unterschreiten des Schwellwertes USW wird atzlich f¨ ur eine Zeit T0 , die von der monostabilen Kippstufe deﬁniert wird, zus¨ eine Stromquelle an den Ladekondensator angeschlossen. Mit diesem zus¨ atzlichen (Ent-) Ladevorgang erreicht die Ausgangsspannung uA nach Ablauf der Zeit T0 ihren Spitzenwert uAmax = USW + ∆uA .

(11.70)

Anschließend ist wiederum ausschließlich die Eingangsspannung uE am Ladevorgang beteiligt, sodaß sich der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung uA f¨ ur diese Zeitphase wie folgt ergibt T0 +t 1 uA (t) = uAmax − uE (t ) dt . (11.71) RC T0 Nach einer Zeit Tload wird (vom Abtrennen der Stromquelle an gerechnet) ange wiederum der Schwellwert USW erreicht. Es gelten folgende Zusammenh¨

Abb. 11.69. Analog-Digital-Umsetzung nach dem Ladungskompensationsverfahren (Charge-Balancing-Converter): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

1 uE Tload (Ladevorgang) RC

1 uE ∆uA = Iref − T0 (Entladevorgang) . C R

∆uA = +

327

(11.72) (11.73)

Aus den Gln. (11.72) und (11.73) kann bereits die Frequenz fX der Rechteckfolge angegeben werden, welche schließlich mit Hilfe des Z¨ ahlers und einer Torzeitvorgabe bestimmt werden kann fX =

1 1 = uE . Tload + T0 RIref T0

(11.74)

Gleichung (11.74) l¨aßt erkennen, daß die Frequenz fX nicht mehr vom Kapazit¨ atswert des Ladekondensators C abh¨angt, was bedeutet, daß dieser nur noch kurzzeitstabil sein muß. Wenn man das in bezug auf Genauigkeit kritischste Bauelement, die Monoﬂopstufe, durch ein D-Flip-Flop ersetzt, das von einem hochgenauen Taktgenerator angesteuert wird, gelangt man zum getakteten Ladungskompensations-Konverter (Abb. 11.70) [83]. Dieses Schaltungsprinzip weist den großen Vorzug auf, daß die Dauer und damit auch die Gr¨ oße der Ladungspulse durch die Periodendauer derselben Frequenz (Taktfrequenz) bestimmt wird, die auch die Torzeit des Z¨ahlers festlegt. Damit wird vermieden, daß dieser Frequenzwert die Meßgenauigkeit beeintr¨achtigt. Die Auﬂadung durch die Eingangsspannung uE erfolgt kontinuierlich durch den dabei ﬂießenden Eingangsstrom iE uE . (11.75) iE = R Zur Entladung wird wiederum eine Stromquelle verwendet, die von einem D-Flip-Flop geschaltet wird, dessen Steuertakt mit dem Referenztakt fref identisch ist. Der mittlere Entladestrom ¯ientl ergibt sich demnach zu ¯ ¯ientl = Iref fS , fref

Abb. 11.70. Getakteter Ladungskompensationskonverter [83]

(11.76)

328

11 Digitale Meßtechnik

wobei f¯S die mittlere Frequenz der Steuerimpulse f¨ ur den Stromschalter ist. Infolge der durch die Schaltersteuerung entstehenden R¨ uckkopplung wird sich die mittlere Schaltersteuerfrequenz so einstellen, daß der zeitlich gemittelte Entladestrom ¯ientl gleich dem Ladestrom iE ist. Mit iE = ¯ientl

(11.77)

liefern die Gln. (11.75) und (11.76) den Zusammenhang zwischen der mittleren Schaltfrequenz f¯S und der Eingangsspannung uE fref uE . f¯S = R Iref

(11.78)

Dieser Frequenzwert ist also wiederum der Eingangsspannung proportional. 11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien direktvergleichender Analog-Digital-Umsetzer In Tabelle 11.12 werden die vier wesentlichen bei der Analog-Digital-Umsetzung verwendeten Grundprinzipien verglichen. Tabelle 11.13 zeigt AnalogDigital-Umsetzer der oberen Leistungsklasse. Das Parallel-Verfahren ﬁndet Tabelle 11.12. Grundprinzipien zur Analog-Digital-Umsetzung Prinzip

Zahl der Zyklen

Zahl der Typ. Auﬂ¨ osung Komparatoren Typ. Konversionsraten 14 ≤ N ≤ 24 < 100 kSamples/s

Delta-SigmaVerfahren 2N − 1

N < 10 > 10 MSamples/s

ParallelVerfahren (Flash)

1 (word at a time)

W¨ ageVerfahren (SAR)

N (Bit at time)

N

8 ≤ N ≤ 16 10 kSamples/s − 1 MSamples/s

Z¨ ahlVerfahren

2N (max.) (level at a time)

1

8 ≤ N ≤ 20 < 1 kSamples/s

KaskadenVerfahren (Kombiniertes ParallelW¨ age-Verfahren)

n (bei einer Aufl¨ osung von n · N Bit)

2N − 1

8 ≤ N ≤ 16 1 MSamples/s − 100 MSamples/s

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

329

u ¨berall dort Anwendung, wo es auf h¨ochste Umsetzgeschwindigkeit (Konversionsrate) ankommt. F¨ ur Auﬂ¨osungen oberhalb von 10 Bit greift man i. allg. zu den Kaskadenverfahren, wo ein oder mehrere N-Bit-Parallel-Umsetzer in theoretisch n Zeitzyklen einen Umsetzer mit einer Auﬂ¨ osung von n · N Bit realisieren. Das Kaskadenverfahren ist ein kombiniertes Parallel-W¨ ageVerfahren. Das reine W¨ageverfahren bietet eine Kompromißl¨ osung, einerseits zum Parallel-Verfahren und andererseits zum Z¨ ahlverfahren. Im Bereich von 8 bis 10 Bit ist es langsamer, aber wegen der wesentlich geringeren Anzahl von Komparatoren deutlich kosteng¨ unstiger als das Parallel-Verfahren, w¨ ahrend es bei Auﬂ¨ osungen im Bereich 12 bis 16 Bit h¨ohere Konversionsraten erlaubt als das Z¨ ahlverfahren, allerdings bei h¨oheren Kosten. Die Z¨ ahlverfahren erm¨ oglichen h¨ ochste Genauigkeit bei deutlich niedrigeren Konversionsraten. Tabelle 11.13. Analog-Digital-Umsetzer der oberen Leistungsklasse Prinzip Delta-SigmaVerfahren

Hersteller Typ Auﬂ¨ osung Texas ADS 1252 24 Bit Instruments ADS 1625 18 Bit ADS 1605 16 Bit

Konversionsrate 41 kSamples/s 1,25 MSamples/s 5 MSamples/s

ParallelVerfahren (Flash)

Maxim

1,5 GSamples/s 5,3 W

W¨ ageVerfahren (SAR)

Analog Devices

MAX 108 8 Bit

AD7674 AD7667 AD7928 Texas Instr. ADS 5500

KaskadenMaxim Verfahren (Kombiniertes Maxim ParallelW¨ age-Verfahren (Half-Flash)

18 16 12 14

Bit Bit Bit Bit

Leistungsbed. 40 mW 520 mW 560 mW

800 kSamples/s 1 MSample/s 1 MSample/s 125 MSamples/s

98 mW 112 mW 13 mW 750 mW

MAX 1193 8 Bit

45 MSamples/s

57 mW

MAX 114 8 Bit

1 GSample/s

40 mW

11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung Statische Fehler Bei einem realen Analog-Digital-Umsetzer entsteht durch die endliche Stellenzahl und die daraus resultierende (stufenf¨ormige) Quantisierung ein sy¨ stematischer Fehler, der sog. Quantisierungsfehler, welcher in der Ubertragungskennlinie des ADC abgelesen werden kann (Abb. 11.71). Er betr¨ agt beim idealen Umsetzer maximal die H¨alfte der niedrigstwertigen Stelle ULSB . Wird das digitalisierte Signal u ¨ber einen Digital-Analog-Umsetzer wieder in

330

11 Digitale Meßtechnik

ein Analogsignal umgesetzt, so ¨außert sich dieser Fehler als eine Rauschspannung, die als Quantisierungsrauschen bezeichnet wird. Im folgenden soll das Signal/Rausch-Verh¨altnis als Funktion der ADC-Auﬂ¨ osung bestimmt werden. Das Signal/Rausch-Verh¨altnis S/N ist deﬁniert als

Useﬀ S [dB] = 20 lg , (11.79) N Ureﬀ wobei Useﬀ und Ureﬀ die jeweiligen Eﬀektivwerte der Signalspannung (Nutzspannung) bzw. der St¨orspannung (Rauschspannung) bezeichnen. Zur Ermittlung des Signal/Rausch-Verh¨altnisses eines N-Bit-Umsetzers nimmt man eine Vollaussteuerung des ADC mit einem Sinussignal us (t) an ˆ sin ωt . us (t) = U Wenn die maximale Aussteuerung des Umsetzers UAmax UAmax = 2N − 1 ULSB ≈ 2N ULSB

(11.80)

(11.81)

betr¨ agt, gilt somit ˆ = UAmax . 2U

(11.82)

Damit ergibt sich der Eﬀektivwert Useﬀ einer sinusf¨ ormigen Signalspannung an einem N-Bit-Umsetzer bei Vollaussteuerung zu

Abb. 11.71. Quantisierungsfehler bei der Analog-Digital-Umsetzung. Die Spannung uA (Z) ergibt sich durch ideale DA-Umsetzung der Zahl Z, die am Ausgang des AD-Umsetzers auftritt: a) ideale und reale Kennlinie eines ADC, b) Quantisierungsfehler als Funktion der Eingangsspannung

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

1 1 N 1 1 2 − 1 ULSB ≈ √ 2N ULSB . Useﬀ = √ 2 2 22

331

(11.83)

Die eﬀektive Rauschspannung des Umsetzers l¨ aßt sich aus dem Zeitverlauf des Quantisierungsrauschens bestimmen, wenn keine sonstigen Fehlspannungen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Wenn man annimmt, daß die Eingangsspannung uE zeitlich linear ansteigt, berechnet sich der Eﬀektivwert Ureﬀ der Rauschspannung aus dem zeitlichen Verlauf des Quantisierungsrauschens zu (der Zeitverlauf l¨aßt sich aus Abb. 11.71b ablesen, wenn man ber¨ ucksichtigt, daß uE zeitlich linear ansteigt) +T 2

2 1 t ULSB . (11.84) Ureﬀ = dt = √ ULSB T T 12 −T 2

Das Signal/Rausch-Verh¨altnis ergibt sich damit wie folgt ! "

√1 1 2N ULSB Useﬀ S 3 N 22 [dB] = 20 lg 2 (11.85) = 20 lg = 20 lg U√LSB N Ureﬀ 2 12

= (6N + 1, 76) . In realen Analog-Digital-Convertern ergibt sich aufgrund zus¨ atzlicher Fehler eine h¨ ohere Rauschspannung und damit unter praktischen Gegebenheiten ein geringeres Signal/Rausch-Verh¨altnis als das in Gl. (11.85) angegebene. Solche ¨ Fehler sind z. B. Oﬀsetfehler (Ubertragungskennlinie geht nicht durch den ¨ Ursprung) oder Verst¨arkungsfehler (Steigung der Ubertragungskennlinie hat nicht den Wert Eins). Weitere Fehler treten insbesondere in Form von Nichtlinearit¨aten auf, die sich darin ¨ außern, daß die Stufen der Kennlinie verschieden hoch bzw. verschieden breit sind. Bei einer nicht-linearen Kennlinie liegen die Eckpunkte der Stufenfunktion also nicht mehr auf einer Geraden (Abb. 11.72). Die uglich Oﬀset- und Steigungsfehler Abweichungen der Eckpunkte ui der bez¨ korrigierten realen Kennlinie (Abb. 11.72) zu denen der realen Kennlinie ohne Linearit¨ atsfehler bilden den sog. integralen (totalen) Nichtlinearit¨atsfehler FNLint bzw. fNLint FNLint = ui − iULSB (11.86) bzw.

ui − iULSB . (11.87) ULSB Die Abweichungen von der idealen Stufenbreite ULSB werden als diﬀerentielle Nichtlinearit¨at FNLdiﬀ bzw. fNLdiﬀ bezeichnet fNLint (i) =

FNLdiﬀ (i) = (ui+1 − ui ) − ULSB bzw. fNLdiﬀ (i) =

(ui+1 − ui ) − ULSB . ULSB

(11.88) (11.89)

332

11 Digitale Meßtechnik

¨ Abb. 11.72. Ubertragungsverhalten eines AD-Umsetzers mit Linearit¨ atsfehler. Die Spannung uA (Z) ergibt sich durch ideale DA-Umsetzung der Zahl Z, die am Ausgang des AD-Umsetzers auftritt. Die Spannung ui liegt in der Mitte des Spannungsintervalls, das durch die beiden benachbarten Schaltschwellen deﬁniert wird.

Dynamische Fehler Die Dauer eines Umsetzungsvorgangs ergibt sich aus der als Acquisition Time bezeichneten Summe von Aperture Time und Settling Time des Sample & Hold-Gliedes (Tabelle 11.10) sowie der Konversionszeit (Conversion Time) des eigentlichen Analog-Digital-Umsetzers. Diese Zeiten begrenzen daher die maximale Abtastfrequenz, d.h. ihre Summe muß kleiner sein als der Reziprokwert der doppelten Signalgrenzfrequenz fsmax , um das Shannonsche Abtasttheorem zu erf¨ ullen (Nyquist-Kriterium) fa > 2fsmax .

(11.90)

Die maximal m¨ogliche Abtastfrequenz famax errechnet sich dabei als Reziprokwert der Summe aller am Umsetzungsprozeß beteiligten Zeiten 1 1 . = Tamin ApertureTime + SettlingTime + ConversionTime (11.91) Schwankungen der Aperture Time, die auch als Apertur Jitter bzw. Apertur-Unsicherheit bezeichnet werden, bedeuten Schwankungen der Abtastzeitpunkte, was zu einem dynamischen Fehler f¨ uhrt. Dieser Fehler ist umso gr¨ oßer, ¨ je gr¨ oßer die zeitliche Anderung der Eingangsspannung (duE /dt) ist. Diese zeitlichen Schwankungen der Abtastzeitpunkte machen sich in Form von Amplitudenunsicherheiten bemerkbar, welche umso gr¨ oßer werden, je steiler der zeitliche Anstieg der Eingangsspannung ist. Im allgemeinen fordert man, daß der daraus resultierende Betrag des absoluten Fehlers |∆U | kleiner als 1/2ULSB bleiben soll, da ansonsten das niedrigstwertige Bit (Least Signiﬁcant Bit (LSB)) wertlos w¨are famax =

11.8 Digital-Multimeter (DMM)

333

1 ULSB . (11.92) 2 Um die aus dieser Vorgabe (Gl. (11.92)) resultierende Forderung bez¨ uglich der zeitlichen Schwankungen ∆Tjitter der Abtastzeitpunkte herzuleiten, wollen ormigen Zeitverlauf wir annehmen, daß die Eingangsspannung uE einen sinusf¨ aufweist ˆ sin ωt . (11.93) uE (t) = U |∆U | ≤

Mit der Beziehung

∆U =

duE (t) dt

∆t

(11.94)

max

folgt aus den Gln. (11.92) und (11.93) die entsprechende Forderung bez¨ uglich des zeitlichen Jitters ∆Tjitter ∆Tjitter ≤

1 ULSB . ˆω 2 U

(11.95)

ˆ = UAmax ) l¨ Bei Vollaussteuerung des ADC (2U aßt sich daraus die Grenze f¨ ur den absoluten Jitterfehler angeben ∆Tjitter ≤

1 1 ULSB = N ≈ N . UAmax ω (2 − 1)ω 2 ω

(11.96)

Soll beispielsweise mit Hilfe eines 8-Bit ADC ein 50-MHz-Signal gewandelt werden, leitet sich daraus die Forderung ab, daß die zeitliche AperturUnsicherheit ∆Tjitter ≤ 12, 5 ps sein muß.

11.8 Digital-Multimeter (DMM) Digital-Multimeter (DMM) sind universelle Meßger¨ ate zur standardm¨ aßigen Messung von Spannung, Strom und ohmschen Widerst¨ anden. Sie verwenden meist Dual-Slope-Umsetzer, da diese bei ausreichender Meßgeschwindigkeit hohe Meßgenauigkeiten bei geringem Aufwand garantieren. DigitalMultimeter arbeiten mit drei bis zehn (in Sonderf¨ allen bis zu einigen hundert) Wandlungen in der Sekunde. Je nach Genauigkeitsanforderungen liegt die Anzahl der angezeigten Stellen zwischen 3 1/2 und 8 1/2 (Tabelle 11.14). Dabei bezeichnet die erste Ziﬀer die Zahl der angezeigten Nachkommastellen. Die f¨ uhrende eins wird als halbes Digit angegeben. Es ist eine gewisse Diskrepanz zwischen der Auﬂ¨ osung und der Genauigkeit festzustellen. Der grunds¨atzliche Fehler von Digital-Multimetern betr¨ agt ±1 Digit, wobei 1 Digit der letzten angezeigten Nachkommastelle entspricht. Ein typisches Ger¨atebeispiel soll dies verdeutlichen. So betr¨ agt die (relative) Auﬂ¨osung eines 3 1/2-stelligen DMM 1/(2000) = 0, 0005. Die Genauigkeit wird jedoch mit 0, 25% angegeben, was 5 Digits entspricht (5/2000 = 0, 25%). Da die Verh¨altnisse bei DMMn mit noch mehr

334

11 Digitale Meßtechnik Tabelle 11.14. Daten von Digital-Multimetern Anzahl der Stellen

AnzeigeUmfang

Auﬂ¨ osung

typische Genauigkeit (Gleichspannung)

3 4 5 7

± ± ± ±

5·10−4 5·10−5 5 ·10−6 5·10−8

0,25 % 0,05 % 0,01 % 0,001 %

1/2 1/2 1/2 1/2

1,999 1,9999 1,99999 1,9999999

Stellen sich eher noch verschlechtern, muß meist die letzte angezeigte Stelle wegen ihrer großen Unsicherheit gestrichen werden.

Beispiel — 4 1/2-stelliges Digital-Multimeter Abschließend soll noch der Zusammenhang zwischen den angezeigten Stellen des Digital-Multimeters und der Auﬂ¨osung seines ADC ermittelt werden. Nimmt man beispielsweise ein 4 1/2-stelliges DMM, so betr¨ agt seine osung betr¨ agt relative Auﬂ¨ osung 5 · 10−5 . Die entsprechende absolute Auﬂ¨ 2 V ·5·10−5 = 10−4 V . Dieser Wert entspricht gleichzeitig dem absoluten Spannungspegel des Least Signiﬁcant Bit (ULSB ) des Analog-Digital-Converters. Mit dem Zusammenhang Umax = (2N − 1) · ULSB

(11.97)

folgt 2 V = (2N − 1) · 10−4 V 2N − 1 = 2 · 104 2N ≈ 2 · 104 lg(2 · 104 ) N= lg(2) 4 lg(2 · 10 ) = 14, 3 → N = 15 . lg(2)

(11.98)

Die entsprechenden Auﬂ¨osungen f¨ ur Digital-Multimeter mit anderer Stellenanzahl k¨ onnen Tabelle 11.14 entnommen werden. Im allgemeinen bestimmt der Widerstand eines Eingangsspannungsteilers den Eingangswiderstand des Digital-Multimeters (meistens in der Gr¨ oßenordnung 10 MΩ), w¨ahrend die eigentliche Meßschaltung Innenwiderst¨ ande uhrungen von Digital-Multimetern von > 108 Ω aufweist. Komfortable Ausf¨ (Abb. 11.73) verf¨ ugen heute oft u ¨ber genormte Rechnerschnittstellen, IECBus oder RS232 (Kap. 14.4.6).

11.8 Digital-Multimeter (DMM)

335

Abb. 11.73. Blockschaltbild eines Digital-Multimeters

F¨ ur den Aufbau von Digital-Multimetern sind integrierte Schaltungen erh¨ altlich, die bereits wesentliche Funktionen, wie Verst¨ arkung, Vorzeichendetektion mit Invertierung, Tiefpaß-Filterung, A/D-Umsetzung und Ausgangsregister aufweisen. DMM enthalten zur Wechselspannungs- bzw. WechselstromMessung entweder Gleichrichter-Schaltungen zur Bildung des Gleichrichtmittelwertes oder eine Schaltung zur Bildung des echten Eﬀektivwertes nach Gl. (6.89). Die letztgenannten beruhen auf einem integrierenden Operationsverst¨ arker mit Ausgleich sowie einem als Quadrierer und einem als Radizierer geschalteten Multiplizierermodul (Abb. 11.74). Die Operationsverst¨ arker-Schaltung realisiert einen Tiefpaß 1. Ordnung mit der Eckfrequenz fg = 1/(2πRC). Solche Schaltungen weisen Fehler im Bereich von 0,5 % auf. Schaltungen zur Gleichricht-Mittelwert-Bildung arbeiten mit kleineren Fehlern (0,1 %). Allerdings f¨ uhrt die Messung nicht-sinusf¨ ormiger Gr¨ oßen zu entsprechenden Fehlern.

Abb. 11.74. Prinzipschaltung eines Eﬀektivwertbausteines

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

In der modernen Meßtechnik werden in zunehmendem Maße die Zeit und Frequenz als informationstragende Parameter genutzt. Einer der Hauptvorz¨ uge dieser Codierungsart liegt in der sehr hohen Genauigkeit, mit der Zeitintervalle und Frequenzen gemessen werden k¨onnen. Ein weiterer Vorteil besteht darin, daß sich die im allgemeinen in analoger Form vorliegenden Meßsignale auf einfache Weise mit Hilfe von Z¨ahlerschaltungen digitalisieren lassen. Zeit- und Frequenzmessungen sind eng miteinander verkn¨ upft, da beide mit Hilfe von Z¨ ahlern durchgef¨ uhrt werden. Man kann erreichen, daß der Meßfehler bei der Zeit- bzw. Frequenzmessung im wesentlichen auf die Ungenauigkeit der eingesetzten Zeitbasis beschr¨ankt bleibt, deren Genauigkeit wiederum von dem dort verwendeten frequenzbestimmenden Element deﬁniert wird. Dieses Frequenznormal basiert standardm¨aßig auf einem Schwingquarz, der zur Erh¨ ohung der Genauigkeit temperaturstabilisiert betrieben werden kann. Selbst mit einfachen nicht temperaturstabilisierten Uhrenquarzen sind relative Frequenzfehler von weniger als 10−5 m¨oglich. Durch geeignete Temperaturregelungen lassen sich die relativen Fehler bez¨ uglich der Temperaturdrift sogar noch um drei bis vier Gr¨oßenordnungen reduzieren. Pr¨ azisionsfrequenzz¨ ahler hingegen enthalten Rubidium-Elemente, die Genauigkeiten im Bereich 10−10 bis 10−11 erm¨ oglichen. In speziell eingerichteten Laboratorien, wie z. B. der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig, werden bei der Zeitmessung sogar Genauigkeiten von 5 · 10−15 erzielt [9]. Wenn zeitlich ¨aquidistante Impulse (Pulsfolgefrequenz f ) eines Signals in einem Z¨ ahler w¨ahrend eines Zeitintervalls T summiert werden (Abb. 12.1), oßen ergibt sich der Z¨ahlerstand NX aus dem Produkt dieser beiden Gr¨ NX = f T .

(12.1)

Bei der Zeitmessung wird die Anzahl NX der Impulse eines frequenzstabilen ahlers w¨ ahrend der Referenzsignals mit der Taktfrequenz fref mit Hilfe eines Z¨ zu messenden Zeit TX gez¨ahlt. Damit berechnet sich die Zeit TX zu NX TX = . (12.2) fref

338

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.1. a) Prinzipschaltbild der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung, b) Zeitdiagramm

Bei der Frequenzmessung hingegen werden die w¨ ahrend der Referenzzeit Tref (Torzeit) einlaufenden Impulse des Meßsignals gez¨ ahlt. Aus dem Z¨ ahlerstand NX und der mit hoher Genauigkeit vorgegebenen Torzeit Tref kann die Frequenz fX bestimmt werden NX . (12.3) fX = Tref

12.1 Mechanische Frequenzmessung Zur Messung der Netzfrequenz mit Hilfe mechanischer Meßwerke beﬁnden sich teilweise noch die zur Kategorie der Vibrationsmeßwerke z¨ ahlenden Zungenfrequenzmesser im Einsatz. Diese Meßwerke besitzen bewegliche Komponenten, die infolge elektromagnetischer Anregung in resonante Schwingungen versetzt werden. Nennenswerte Auslenkungen treten nur bei der jeweiligen (mechanischen) Resonanzfrequenz der Zungen auf. Beim Zungenfrequenzmesser ist vor den Polschuhen eines Elektromagneten ein Kamm aus weichmagnetischen Stahlzungen angeordnet, welche sich in bezug auf ihre Resonanzfre¨ quenz unterscheiden (Abb. 12.2). Diese Meßwerke dienen der Uberwachung eines schmalen Frequenzbandes, typischerweise 47 - 53 Hz bzw. 46 - 54 Hz, in dem die Netzversorgungsspannung liegt. Die Frequenzunterschiede der einzelnen Zungen liegen bei 0,5 Hz. Daneben gibt es auch Ausf¨ uhrungsformen f¨ ur andere Frequenzbereiche, z. B. 10 Hz - 2 kHz.

12.2 Digitale Frequenzmessung

339

Abb. 12.2. Aufbau eines Zungenfrequenzmessers [109]

12.2 Digitale Frequenzmessung Bei der digitalen Frequenzmessung wird das Meßsignal zun¨ achst in einem als Impulsformer dienenden Schmitt-Trigger in eine Folge von Rechteckpulsen gewandelt. Diese Pulse werden w¨ahrend einer deﬁnierten Meßzeit Tref , die durch einen Referenztakt, einen Frequenzteiler mit Teilerverh¨ altnis Nref sowie ein Toggle-Flip-Flop vorgegeben wird, von einem Vorw¨ artsz¨ ahler zu einem Z¨ ahlerstand NX summiert. Die prinzipielle Schaltung zur digitalen Frequenzmessung wird in Abb. 12.3 gezeigt. Die zu messende Frequenz fX ergibt sich zu NX fref = NX . (12.4) fX = Tref Nref Der Z¨ ahler muß zu Beginn jeder neuen Meßperiode zur¨ uckgesetzt werden. Es sei darauf hingewiesen, daß dieser R¨ ucksetzvorgang von der in Abb. 12.3 gezeigten Prinzipschaltung noch nicht automatisch vorgenommen wird. Soll das

Abb. 12.3. Digitale Frequenzmessung

Verh¨ altnis zweier Frequenzen gebildet werden, so ist dies mit Hilfe einer leicht modiﬁzierten Schaltung (Abb. 12.4) ebenfalls m¨ oglich. Analog zur einfachen digitalen Frequenzmessung kann das Frequenzverh¨ altnis abgeleitet werden.

340

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Dazu ist in Gl. (12.4) fX durch f1 /N1 und Tref durch N2 /f2 zu ersetzen N1 f1 = NX . f2 N2

(12.5)

Abb. 12.4. Messung eines Frequenzverh¨ altnisses

12.3 Digitale Zeitmessung 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdiﬀerenzmessung) Bei der digitalen Zeitintervallmessung werden die von einem Taktsignal mit ahler bekannter Referenzfrequenz w¨ahrend der zu messenden Zeit TX in einen Z¨ einlaufenden Impulse gez¨ahlt (Abb. 12.5). Der konstante Referenztakt wird von einem Rechteckoszillator geliefert, der sich durch hohe Frequenzstabilit¨ at auszeichnet. Seine Pulse werden gez¨ahlt, solange der zweite Eingang des UND-Gatters auf 1 liegt. Dieses zweite Eingangssignal entspricht dem Ausgangssignal eines RS-Flip-Flops, dessen Setzen und R¨ ucksetzen mit der jeweils ansteigenden Flanke des Start- bzw. Stopsignals erfolgt. Wird das RS-FlipFlop zur¨ uckgesetzt, sperrt das Gatter und der Z¨ ahler wird gestoppt. Aus dem Z¨ ahlerstand NX und der bekannten Referenzfrequenz fref kann das Zeitinteraß vall TX gem¨ 1 TX = NX (12.6) fref ermittelt werden. F¨ ur den Fall, daß Start- und Stop-Signal auf ein und derselben Leitung einander folgen, wird anstatt des RS-Flip-Flops ein T-Flip-Flop eingesetzt (Abb. 12.6). Infolge eines anf¨anglichen Resetsignals erscheint am Eingang des achsten ansteigenersten T-Flip-Flops ein 1 -Signal. Daraufhin wird mit der n¨ den Flanke des Meßsignals (Start-Marke) der Ausgang des ersten T-Flip-Flops auf 1 gesetzt und bewirkt damit u ¨ber das UND-Gatter das Durchschalten des Referenztaktsignals auf den Z¨ahler. Die n¨ achste ansteigende Flanke des

12.3 Digitale Zeitmessung

Abb. 12.5. Digitale Zeitintervallmessung mit getrennten Signalleitungen: a) Prinzipschaltbild, b) Zeitdiagramm

341

Start-/Stop-

Meßsignals (Stop-Marke) stoppt den Z¨ahlvorgang durch R¨ ucksetzen des ersten T-Flip-Flops und das damit einhergehende Sperren des UND-Gatters. Das gleichzeitige R¨ ucksetzen von T1 = Q2 = 1 auf T1 = Q2 = 0 bewirkt, daß das erste T-Flip-Flop bis zum n¨achsten Resetimpuls verriegelt wird und nur noch Speicherwirkung hat, woraufhin die Schaltung auf keine weiteren Startbzw. Stopimpulse mehr reagiert. Aus Genauigkeitsgr¨ unden sollte die Taktfrequenz m¨ oglichst hoch liegen, weil die unweigerlich vorhandene Unsicherheit des Z¨ ahlerstandes bei ±1 liegt. Dieser sog. Quantisierungsfehler ist stets vorhanden, weil die Phasenlage zwi-

Abb. 12.6. Signalleitung

Digitale

Zeitintervallmessung

mit

gemeinsamer

Start-/Stop-

342

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

schen Takt und den Intervallgrenzen des Zeitintervalls TX i.allg. nicht koh¨ arent uhrt. Der daraus resulist, was zu einer absoluten Meßzeitunsicherheit ∆TX f¨ tierende relative Meßfehler betr¨agt ∆TX ±1 1 1 = (12.7) TX NX = NX = fref TX . Gleichung (12.7) sagt aus, daß der Fehler umso kleiner wird, je h¨ oher die Taktfrequenz fref und je l¨anger das Zeitintervall TX ist. Bei der Messung kleinerer Zeitintervalle werden daher oft sog. Zeitexpander eingesetzt. Ein Zeitexpander f¨ uhrt analog einem Frequenzteiler eine Zeittransformation durch, d. h. ein kurzes Zeitintervall wird in ein l¨ angeres u uhrt. ¨berf¨ Beim Schwebungsfrequenz-Zeitexpander werden zwei phasenstarr verbundene Rechteckoszillatoren G1 und G2 mit den Pulsfolgefrequenzen f1 = 1/T1 und f2 = 1/T2 vom Start- bzw. vom Stop-Signal des zu messenden Zeitintervalls TX gestartet (Abb. 12.7). Dabei wird vorausgesetzt, daß das Zeitintervall TX k¨ urzer ist als die Periodendauer T1 . Da die Pulsfolgefrequenz f2 geringf¨ ugig gr¨ oßer ist als f1 , wird nach einer Zeit TKoinzidenz erstmalig die Phasenkoinzidenz der beiden Oszillatoren erreicht sein. Wenn man von Rundungsfehlern absieht, kann die Koinzidenzzeit TKoinzidenz wie folgt berechnet werden TKoinzidenz = TX + NX T2 = NX T1 .

(12.8)

Das zu messende Zeitintervall TX und das Zeitexpansions-Verh¨ altnis dt ergeben sich zu TX = NX (T1 − T2 ) TKoinzidenz T1 dt = = . TX T 1 − T2

(12.9) (12.10)

Abb. 12.7. Zeitdiagramm eines Schwebungsfrequenz-Zeitexpanders (Rundungsfehler außer acht gelassen)

12.3 Digitale Zeitmessung

343

Abb. 12.8. Schwebungsfrequenz-Zeitexpander: a) Prinzipschaltung, b) Signalverl¨ aufe

Abbildung 12.8 zeigt eine entsprechende Schaltung mit den dazugeh¨ origen Signalverl¨ aufen. Nach einem anf¨anglichen Resetsignal ist die Schaltung vorbereitet, die Start- und Stop-Marke des zu messenden Zeitsignals TX in Form einer ansteigenden bzw. abfallenden Flanke eines Rechteckpulses u ¨ber die Leitung uE zu empfangen. Das T1 -Flip-Flop startet daraufhin den Generator G1 , w¨ ahrend das T2 -Flip-Flop nach Ablauf des Zeitintervalls TX den Generator G2 in Gang setzt. Der Schaltung kommt nun noch die wesentliche Aufgabe zu, zu ugig) erkennen, wann die erste ansteigende Taktﬂanke des G2 -Signals (geringf¨

344

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

fr¨ uher eintriﬀt als die korrespondierende Flanke des G1 -Signals. Dann n¨ amlich ahlerstand zur ist der Z¨ ahler, der die G1 -Pulse z¨ahlt, zu stoppen und der Z¨ Auswertung nach Gl. (12.9) heranzuziehen. Schaltungstechnisch wird dies ange erreicht. Dadurch kann durch die R¨ uckkopplung der Q3 - und Q4 -Ausg¨ das T4 -Flip-Flop erstmals kippen (dazu muß T4 = 1 sein und gleichzeitig eine positive Taktﬂanke am Takteingang anliegen), wenn die ansteigende G2 Taktﬂanke fr¨ uher eintriﬀt als die korrespondierende des G1 -Signals. Dies wird m¨ oglich, da diese (korrespondierende) G1 -Taktﬂanke jedesmal das T3 -FlipFlop auf Q3 = 1 bzw. Q3 = 0 schaltet, sodaß das T4 -Flip-Flop wegen T4 = 0 gegen ein Umschalten verriegelt wird. Erst bei einem fr¨ uheren Eintreﬀen ﬁndet die ansteigende G2 -Flanke ein mit T4 = 1 umschaltbares T4 -Flip-Flop vor. Durch diesen Schaltvorgang wird der Z¨ahler u ¨ber das UND-Gatter an seinem Eingang gestoppt. Gleichzeitig kann anhand des Q4 -Signals erkannt werden, wann die Messung zu Ende ist. 12.3.2 Periodendauermessung Bei der Periodendauermessung wird das Meßsignal uE (t) von einem SchmittTrigger zun¨ achst in ein Rechtecksignal mit derselben Periodendauer umgeformt. Die beiden T-Flip-Flops der in Abb. 12.9 gezeigten Schaltung bewirken, daß bei einer ansteigenden Flanke der Signalspannung uSt das Q1 -Signal ¨ uckgesetzt waren. Uber das am auf 1 geht, wenn vorher beide Flip-Flops zur¨ ahler dadurch f¨ ur geUND-Gatter anliegende Q1 -Signal (Q1 = 1) wird der Z¨ ahrend dieser nau eine Periode der Dauer TX ge¨oﬀnet (Abb. 12.9b). Aus dem w¨ Periode erhaltenen Z¨ahlerstand NX kann die zu messende Periodendauer TX ermittelt werden NX . (12.11) TX = fref Nach Ablauf dieser Periode wird das T1 -Flip-Flop u ¨ber das Q2 -Signal (Q2 = 0) f¨ ur weitere Messungen gesperrt, bis die beiden T-Flip-Flops u ¨ber ein gemeinsames Resetsignal wieder zur¨ uckgesetzt werden.

12.4 Digitale Phasenwinkelmessung Bei der digitalen Phasenwinkelmessung soll die Phasenwinkeldiﬀerenz ϕX zwischen zwei Sinusspannungen u1 (t) und u2 (t) derselben Frequenz u1 (t) = u ˆ1 sin ωt

(12.12)

u2 (t) = u ˆ2 sin(ωt + ϕX )

(12.13)

bestimmt werden. Eine solche Phasendiﬀerenzmessung kann auf die Messung der Zeitdiﬀerenz ϕX , (12.14) TX = ω

12.5 Rechnender Z¨ ahler

345

Abb. 12.9. Periodendauermessung: a) Prinzipschaltbild, b) Zeitdiagramm

die zwischen zwei gleichsinnigen Nulldurchg¨angen der beiden Sinusspannungen vergeht, zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die Zeitdiﬀerenz TX kann mit Hilfe der in Abb. 12.10a gezeigten Schaltung gemessen werden. Abbildung 12.10b soll die prinzipielle Funktionsweise anhand der Signalverl¨ aufe erl¨ autern. Der Phasenwinkel ϕX ergibt sich dann aus dem Z¨ahlerstand NX und der Kreisfrequenz ω des Eingangssignals 1 ϕX = ωTX = ω NX . (12.15) fref

12.5 Rechnender Z¨ ahler Rechnende Z¨ ahler enthalten zwei Z¨ahlwerke, welche die Pulse vom Referenztaktsignal und Meßsignal getrennt z¨ahlen (Abb. 12.11). Die Steuerfunktion sowie die numerische Auswertung u ¨bernimmt ein Mikrocomputer. Der rechnende Z¨ ahler mißt Frequenz und Periodendauer auf die gleiche Weise, wobei bei beiden Messungen die Eingangsimpulse und die Pulse des Referenztaktsignals gez¨ ahlt werden. Anschließend wird die Frequenz fX des Meßsignals aus dem Quotienten der beiden Z¨ahlerst¨ande NX und NY berechnet fX =

NX fref . NY

(12.16)

Der Kehrwert 1/fX entspricht der Periodendauer des Eingangssignals. Wenn

346

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.10. Digitale Phasenwinkelmessung: a) Prinzipschaltbild, b) Zeitdiagramm

die Messung mit dem Meßsignal uE synchronisiert wird, bezeichnet man die Messung als eingangssynchronisierte oder reziproke Messung; erfolgt die Synchronisierung hingegen mit dem Referenztakt der Zeitbasis, spricht man von taktpulssynchronisierter oder konventioneller Messung.

12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) Wenn die Impulsdauer der Informationstr¨ager eines Meßsignals ist (Pulsdauermodulation, Kap. 1.6), kann der Meßwert mit Hilfe eines Zeit-SpannungsUmsetzers (t/U-Umsetzer), der im einfachsten Fall aus einem RC-Tiefpaß besteht, in eine analoge Spannung zur¨ uckgewandelt werden. Wenn n¨ amlich das pulsdauermodulierte Signal uE (Rechteckpulsfolge mit konstanter Taktuhrt frequenz 1/T0 und konstanter Amplitude U0 ) einem RC-Tiefpaß zugef¨

12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer)

347

Abb. 12.11. Rechnender Z¨ ahler

wird, kann an dessen Ausgang eine Spannung abgegriﬀen werden, deren zeitlicher Mittelwert u ¯A proportional der Pulsl¨ange TX ist (Abb. 12.12) T0 TX TX 1 1 uE (t) dt = U0 dt = U0 ¯E = . (12.17) u ¯A = u T0 0 T0 0 T0 Bez¨ uglich der Zeitkonstanten des RC-Gliedes ist ein Kompromiß zu schließen zwischen dem Auﬂ¨osungsverm¨ogen, das von der Restwelligkeit begrenzt wird, und der Anzeigegeschwindigkeit, d. h. der Tr¨agheit beim Einstellen auf neue Meßwerte.

12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) Wenn die Frequenz der Informationstr¨ager des Meßsignals ist (Frequenzmodulation, Kap. 1.6), wird zur analogen Weiterverarbeitung der Meßwerte eine Frequenz-Spannungs-Umsetzung notwendig. Zur Analoganzeige drehzahlproportionaler Frequenzsignale wird beispielsweise oft ein mittelwertbildender Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) eingesetzt (Abb. 12.13). Nach eventueller Pulsformung durch einen Schmitt-Trigger wird auf die Eingangsﬂanke eines jeden Pulses hin ein Rechteckpuls deﬁnierter zeitlicher L¨ ange T0

Abb. 12.12. RC-Tiefpaß als einfacher Zeit-Spannungs-Umsetzer

348

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.13. Frequenz-Spannungs-Umsetzer: a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe f¨ ur zwei verschiedene Eingangsspannungen

und Amplitude U0 erzeugt. Dies geschieht mit Hilfe einer monostabilen Kippstufe (Kap. 11.4). Der zeitliche Mittelwert der Ausgangsspannung uA ist proportional der momentanen Puls-Frequenz fX der Eingangsspannung uE TX T0 1 1 u ¯A = uAM (t) dt = U0 dt = U0 T0 fX . (12.18) TX 0 TX 0 Die zeitliche Mittelwertbildung erfolgt wiederum mit Hilfe eines RC-Tiefpasses. Abbildung 12.13 zeigt das entsprechende Blockschaltbild der Gesamtschaltung, bestehend aus Impulsformer (Schmitt-Trigger), monostabiler Kippstufe ur verschie(Monoﬂop) und RC-Tiefpaß, sowie den Spannungsverlauf uAM (t) f¨ dene Zeitverl¨ aufe der Eingangsspannung uE . Ein solcher Frequenz-SpannungsUmsetzer wird in der Meßtechnik auch oft als Z¨ahlratenmesser verwendet. Die Welligkeit der Ausgangsspannung kann bei geringen Z¨ ahlraten bzw. kleiner Zeitkonstante sehr ausgepr¨agt sein. Die Zeitkonstante l¨ aßt sich allerdings nicht beliebig erh¨ohen, da sich die Schaltung sonst unter Umst¨ anden nicht mehr schnell genug auf die aktuelle Z¨ahlrate einstellen kann.

12.8 Oszillatoren 12.8.1 Grundlagen Unter dem Begriﬀ Oszillator versteht man in der Elektrotechnik eine Schaltung, die der Erzeugung unged¨ampfter Schwingungen mit deﬁnierter Frequenz und konstanter Amplitude dient. Der Schwingungserzeuger (Oszillator) erscheint dabei in einem elektrischen Netzwerk als ein aus aktiven und passiven Bauelementen bestehender Zwei- oder Vierpol. Der Begriﬀ Oszillator ist

12.8 Oszillatoren

349

aber nicht auf das Gebiet der Elektrotechnik beschr¨ ankt. So bezeichnet ein Oszillator allgemein ein schwingendes Gebilde, wie z. B. das einfache MasseFeder-System, welches einen typischen mechanischen Oszillator repr¨ asentiert. Man unterscheidet zwischen harmonischen Oszillatoren und Relaxationsoszillatoren. Harmonische Oszillatoren erzeugen Schwingungen mit harmonischem (sinusf¨ ormigem) Zeitverlauf, w¨ahrend die Relaxationsoszillatoren zur Generierung von Schwingungen mit nicht-sinusf¨ormigem Zeitverlauf, z. B. Rechteckspannungen, herangezogen werden. Zur Erzeugung harmonischer Schwingungen ist eine R¨ uckstellkraft erforderlich, die proportional mit der Auslenkung (Schwingungsgr¨ oße) zunimmt. Beim mechanischen Masse-Feder-Oszillator ergibt sich diese R¨ uckstellkraft aus dem Hookeschen Gesetz F = cx . (12.19) Dabei bezeichnen F die mechanische Kraft, die stets zur Gleichgewichtslage hin gerichtet ist, c die Federkonstante und x die Auslenkung. In Verbindung mit dem Newtonschen Gesetz ergibt sich die Schwingungsdiﬀerentialgleichung f¨ ur das Masse-Feder-System wie folgt m

d2 x + cx = 0 . dt2

(12.20)

Dabei bezeichnen m die Masse des Schwingers und t die Zeitvariable. Die L¨ osung von Gl. (12.20) liefert die harmonische Schwingung in Form einer zeitlich sinusf¨ ormigen Auslenkung ˆ sin(ω0 t + ϕ) x(t) = X

(12.21)

ˆ und ϕ sowie der Schwingkreisfrequenz ω0 (Resonanzmit den Konstanten X kreisfrequenz) c . (12.22) ω0 = m Analog dazu ergibt sich folgende Diﬀerentialgleichung f¨ ur den elektrischen LC-Schwingkreis (Parallelkreis) C

d2 u 1 + u=0. dt2 L

(12.23)

In Gl. (12.23) bezeichnen C die Kapazit¨at, L die Induktivit¨ at und u die Spannung an den beiden (parallelgeschalteten) Elementen. Die L¨ osung ergibt sich analog zu Gl. (12.21) ˆ sin(ω0 t + ϕu ) (12.24) u(t) = U mit

1 . (12.25) LC Harmonische Oszillatoren werden oft auch direkt als Sinusgeneratoren bezeichnet. ω0 = √

350

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Im Gegensatz zu den harmonischen Oszillatoren dienen die Relaxationsoszillatoren der Erzeugung periodischer Signale mit nicht-sinusf¨ ormigem Verlauf, insbesondere werden sie zum Generieren von periodischen Rechteck- und Dreiecksignalen herangezogen. Die Schaltungen von Relaxationsoszillatoren besitzen als zentrale Komponente einen Komparator mit Hysterese, der im gleichm¨ aßigen zeitlichen Wechsel seine beiden Ausgangsspannungszust¨ ande +UAmax bzw. −UAmax annimmt und damit eine periodische Rechteckspannung erzeugt (Kap. 12.8.4). 12.8.2 Harmonische Oszillatoren Harmonische Oszillatoren bestehen aus einem Verst¨ arker mit der komple¨ xen Ubertragungsfunktion V (ω) und einer R¨ uckkopplungsschleife (Mitkopp¨ lung) mit der komplexen Ubertragungsfunktion K(ω) (Abb. 12.14). Die Gesamt¨ ubertragungsfunktion des r¨ uckgekoppelten Systems lautet UA V = . UE 1−V ·K

(12.26)

Die Schwingbedingung ist erf¨ ullt, wenn sich f¨ ur ein verschwindendes Eingangssignal (U E → 0) eine harmonische Ausgangsspannung U A mit konstanter Amplitude einstellt. Die Schwingbedingung ergibt sich aus der Polstelle der Gesamt¨ ubertragungsfunktion nach Gl. (12.26) V ·K =1.

(12.27)

Wenn man Gl. (12.27) nach Betrag und Phase aufspaltet, ergeben sich zwei Bedingungen, n¨ amlich die Amplitudenbedingung | V |= | K |

−1

(12.28)

und die Phasenbedingung ϕV + ϕK = 2πk ,

(12.29)

wobei k eine ganze Zahl ist. Als Beispiel f¨ ur einen typischen Vertreter eines harmonischen Oszillators wird im folgenden Abschnitt der LC-Oszillator besprochen.

Abb. 12.14. Prinzip einer harmonischen Oszillatoranordnung

12.8 Oszillatoren

351

Abb. 12.15. Operationsverst¨ arker-Schaltung eines LC-Oszillators

12.8.3 LC-Oszillator Abbildung 12.15 zeigt einen mit einem Operationsverst¨ arker aufgebauten LC-Oszillator, der im eingeschwungenen Zustand eine sinusf¨ ormige Ausgangsspannung mit konstanter Frequenz und Amplitude liefert. Im weiteren wird ein idealer Operationsverst¨arker mit verschwindender Eingangsdiﬀerenzspannung (uD = 0) angenommen. Der Oszillator besteht also aus einem Elektrometerverst¨ arker mit der reellen Verst¨arkung V = V V =

UA , UC

(12.30)

die sich aus dem Verh¨altnis der beiden Widerst¨ ande R2 und R3 des Ausgangsspannungsteilers ergibt R2 + R3 . (12.31) V = R3 Andererseits bilden der LC-Parallelschwingkreis, dessen Zweipol-Impedanz mit Z LC bezeichnet werden soll, und der ohmsche Widerstand R1 einen Span¨ uckkoppelnetzwerkes nungsteiler, welcher die Ubertragungsfunktion K des R¨ deﬁniert K=

UC Z LC 1 = = UA Z LC + R1 1 + ZR1

LC

1

= 1+

R1 (1−ω 2 LC) jωL

.

(12.32)

Entsprechend der Schwingbedingung V K = 1 nach Gl. (12.27) folgt aus Gl. (12.32) 1 R2 + R3 =1. (12.33) R1 (1−ω02 LC) R3 1+ jω0 L

Gleichung (12.33) ist erf¨ ullt, wenn der Realteil des Ausdruckes auf der linken Seite gleich Eins wird und der Imagin¨arteil verschwindet.

352

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Daraus folgt R2 + R3 =V =1 R3

(12.34)

und die Resonanzkreisfrequenz ω0 des Oszillators ω0 = √

1 . LC

(12.35)

Wenn also die Widerst¨ande R2 und R3 gem¨aß Gl. (12.34) gew¨ ahlt werden, wird sich eine stabile harmonische Schwingung mit konstanter Amplitude einagt gem¨ aß stellen. Die Frequenz f0 (Resonanzfrequenz) dieser Spannung betr¨ Gl. (12.35) 1 1 1 √ ω0 = f0 = . (12.36) 2π 2π LC Die diese Schwingung beschreibende Diﬀerentialgleichung erh¨ alt man, wenn man die Knotengleichung am nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers aufstellt, d. h. es m¨ ussen die drei in den Knoten einﬂießenden Teilstr¨ ome von Kondensator C, Spule L und Widerstand R1 in Summe Null ergeben. Damit erh¨alt man die folgende Diﬀerentialgleichung t 1 uA (t) − uC (t) duC (t) − −C uC (t ) dt − iL (t0 ) = 0 . (12.37) R1 dt L t0 Mit dem (reellen) Verst¨arkungsgrad V =

uA (t) uC (t)

(12.38)

folgt aus Gl. (12.37) nach Diﬀerentiation d 2 uC 1 1 − V duC · + · uC = 0 . + dt2 R1 C dt LC

(12.39)

uhrt zu folgender L¨ osung Der f¨ ur den Oszillatorbetrieb relevante Fall α2 < ω02 f¨ der Diﬀerentialgleichung

−αt 2 2 ˆ sin ω 0 − α · t + ϕuC , (12.40) uC (t) = U e wobei gilt α=

1−V . 2R1 C

(12.41)

Demnach hat man die folgenden drei F¨alle zu unterscheiden: 1. V < 1, d. h. α > 0 Die Amplitude der Ausgangsspannung nimmt exponentiell mit der Zeit ab, d. h. die Schwingung ist ged¨ampft.

12.8 Oszillatoren

353

2. V = 1, d. h. α = 0 Dies ist der bereits oben behandelte Fall einer Sinusschwingung mit konur α bzw. V stanter Amplitude und der Frequenz f0 . Mit diesem Wert f¨ ist die Schwingbedingung exakt erf¨ ullt. 3. V > 1, d. h. α < 0 Bei Verst¨ arkungsgraden V > 1 steigt die Amplitude der Ausgangsspannung exponentiell an. Dieser Zustand ist lediglich in der Einschaltphase (Anschwingphase) erw¨ unscht. Der exponentielle Anstieg wird automatisch ¨ durch die daraus resultierende Ubersteuerung des Verst¨ arkers beendet, woraufhin sich stets automatisch der gew¨ unschte Verst¨ arkungsgrad V = 1 einstellt. 12.8.4 Relaxationsoszillatoren Relaxationsoszillatoren sind auch unter den Namen Multivibratoren bzw. astabile Kippstufen bekannt. Sie sind in der Lage, eine Folge von Dreieck- oder Rechteckpulsen zu liefern. Die frequenzbestimmenden Komponenten sind Widerst¨ ande, Kapazit¨aten oder auch Spannungen. Daher werden Relaxationsoszillatoren oft auch zur Messung dieser Gr¨oßen eingesetzt, insbesondere in der Sensortechnik bei der Messung nicht-elektrischer Gr¨ oßen. Abbildung 12.16 zeigt zwei prinzipielle Schaltungsvarianten von Funktionsgeneratoren zur gleichzeitigen Erzeugung von Dreieck- und Rechtecksignalen. Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a wird je nach Schalterstellung ein Kondensator mit dem Konstantstrom +Iref bzw. −Iref aufgeladen. Die am Kondensator anliegende Spannung uC (t) kann am Ausgang des nachgeschalteten Impedanzwandlers abgegriﬀen werden. F¨ ur das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ T /4 folgt 1 t 1 Iref dt = Iref t . (12.42) uC (t) = C 0 C ˆA1 des Komparators zur Zeit t = T /4 Nach Erreichen der Schaltschwelle +U (Abb. 12.16c) wird die Polarit¨at des Ladestromes gewechselt und der KonˆA1 entladen. Der Komdensator wird bis auf den negativen Schwellwert −U paratorausgang liefert infolge dieser st¨andigen Polarit¨ atswechsel eine Rechteckspannung UA2 mit der Frequenz f , welche mit der der Dreieckspannung identisch ist Iref f= . (12.43) ˆA1 4C U Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16b sind die zwei Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzt worden, die alternierend an den Eingang eines integrierenden Verst¨ arkers angeschlossen werden. Dadurch ergibt sich das gleiche Verhalten wie das der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a. Ein einfacher Multivibrator l¨ aßt sich bereits mit Hilfe eines mit einem RC-Glied r¨ uckgekoppelten Operationsverst¨arkers realisieren (Abb. 12.17). Wenn wir annehmen, daß zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung am Kondensator uC = UK2 und die

354

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Ausgangsspannung uA = +UB sind, l¨adt sich der Kondensator C u ¨ber den Widerstand R auf. Zum Zeitpunkt t = T /2 wird die Umschaltschwelle UK1 erreicht R2 . (12.44) UK1 = UB R1 + R2 Dabei kippt der Operationsverst¨arkerausgang infolge der Mitkopplung auf uA = −UB , woraufhin der Kondensator entladen wird. Zum Zeitpunkt t = T wird die negative Schwellspannung UK2 = −UK1 erreicht und die Komparatorausgangsspannung springt wieder auf uA = +UB . Auf diese Weise entsteht ein Rechtecksignal mit den Amplituden ±UB . Die Periodendauer T dieser Rechteckspannung l¨aßt sich anhand des Zeitverlaufes der Kondensatorspanur den Auﬂadevorgang wie folgt ergibt nung uC (t) errechnen, welche sich f¨ (Abb. 12.17)

R1 + 2R2 − t uC (t) = UB 1 − e RC . (12.45) R1 + R2 Weiterhin gilt

T = UK1 uC 2

(12.46)

Abb. 12.16. Prinzipieller Aufbau von Multivibratoren (Generatoren zur Erzeugung von Dreieck- und Rechteckspannungen): a) Schaltung mit Konstantstromladung eines Kondensators, b) Schaltung mit Integrator, c) Ausgangssignalverl¨ aufe

12.8 Oszillatoren

355

Abb. 12.17. Multivibrator mit Operationsverst¨ arker: a) Schaltbild, b) Spannungsverl¨ aufe

uC

T R2 R1 + 2R2 −T /2RC e . = UB = UB 1 − 2 R1 + R2 R1 + R2

(12.47)

aßig gleich sind, Da die beiden Schwellspannungen UK1 und UK2 betragsm¨ kann aus Gl. (12.47) bereits die Periodendauer T abgeleitet werden

2R2 . (12.48) T = 2RC ln 1 + R1 F¨ ur R2 = R1 vereinfacht sich Gl. (12.48) zu T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(12.49)

Eine alternative Realisierung eines Multivibrators basiert auf zwei Digitalinvertern und einem RC-Glied. Die entsprechende Schaltung mit Signalverl¨ aufen ist in Abb. 12.18 dargestellt. In dieser Schaltung repr¨ asentieren die Spannungen u2 und uA Digitalsignale, wobei die Ausgangsspannung uA stets dem logisch negierten Wert von u2 entspricht (Abb. 12.18b). Demzufolge wird der

u2

1 R

uA

1

u1 3 U 2 0 U0 USW = 2 - U0 2

C

t

u2

u1

t

uA

a)

b)

Τ/2

Τ/2

t

Abb. 12.18. Multivibrator mit Invertern: a) Schaltbild, b) Signalverl¨ aufe (USW bezeichnet die Schaltschwelle des Komparators (ohne Hysterese) am Eingang.)

356

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Kondensator u ¨ber den Widerstand abwechselnd geladen und entladen. Wenn die Schaltschwelle USW des Komparators genau in der Mitte zwischen den beiden Ausgangspegeln liegt, ergibt sich die Schwingungsdauer wiederum zu T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(12.50)

12.8.5 Quarzoszillator Die Genauigkeit bei der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung h¨ angt neben dem Quantisierungsfehler im wesentlichen von der Genauigkeit der verwendeten Referenzfrequenz bzw. Referenzzeit ab. Der bei einer Messung erhaltene Z¨ ahlerstand N = f T ist sowohl proportional der Meßzeit T als auch proportional der Meßfrequenz f . Bei der digitalen Zeitmessung muß also die Referenzfrequenz fref und bei der digitalen Frequenzmessung die Referenzzeit Tref konstant gehalten werden. Im Rahmen praktischer Schaltungen wird dies in beiden F¨allen im allgemeinen durch einen Quarzoszillator gew¨ ahrleistet, an dessen Frequenzkonstanz demzufolge hohe Anforderungen gestellt werden. Daf¨ ur geeignete piezoelektrische Resonatoren bestehen u ¨blicherweise aus nat¨ urlichen Quarzkristallen (SiO2 ) mit bestimmter Kristallorientierungsrichtung und deﬁnierten geometrischen Abmessungen. Schwingquarze sind d¨ unne Pl¨attchen, die mit bestimmter Orientierungsrichtung aus einem einkristallinen piezoelektrischen Quarzmaterial herausgeschnitten und mit Elektroden versehen werden (Abb. 12.19). Die Winkel, unter denen die Quarzpl¨attchen in bezug auf die optische, mechanische und elektrische Achse aus dem nat¨ urlichen Quarzkristall herausgeschnitten werden, legt die f¨ ur eine Anwendung als frequenzbestimmendes Element relevanten Eigenschaften des Quarzschwingers fest. Solche Quarzschwinger sind spezielle piezoelektrische Wandler, die im interessierenden Frequenzbereich eine scharfe Resonanzstelle aufweisen, bei welcher der Schwinger in mechanische Resonanz ger¨ at. Genauer gesagt, handelt es sich dabei infolge des piezoelektrischen Eﬀektes (und der daraus resultierenden Verkopplung von mechanischer und elektrischer Energie) um ein Resonanzstellenpaar, welches aus einer sog. Parallelresonanz (mit fp bezeichnet) und einer sog. Serienresonanz (mit fs bezeichnet) besteht. In der Serienresonanz schwingt das Quarzpl¨ attchen, wenn seine Elektroden elektrisch kurzgeschlossen werden, w¨ ahrend es in Parallelresonanz angeregt wird, wenn die beiden elektrischen Kontakte unbeschaltet bleiben, d. h. wenn der Schwinger im elektrischen Leerlauf betrieben wird. Man kennt verschiedene Standard-Quarzschwingertypen, die sich in Kristallrichtung sowie geometrischer Gestalt und damit auch in bezug auf ihre charakteristische Schwingungsform und Schwingfrequenz unterscheiden. So setzt man beispielsweise Biegeschwinger (NT-Schnitt) im Frequenzbereich zwischen 1 und 80 kHz ein, w¨ahrend die Fl¨achenscherschwinger (CT- oder DT-Schnitt) den daran anschließenden Frequenzbereich von 100 kHz bis knapp unterhalb 1 MHz abdecken (Abb. 12.20b). Die L¨angsschwinger (GT-Schnitt) arbeiten, in dem diese Frequenzbereiche u ¨berlappenden Intervall von etwa 50 - 200 kHz.

12.8 Oszillatoren

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357

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F

H

Abb. 12.19. Quarzkristallschnitte: a) Quarzkristall (SiO2 ) mit seinen Achsen und Darstellung der Orientierung des AT- sowie des BT-Schnittes, b) Schnittwinkel θ und ϕ zwischen Schwingquarz und optischer (z) Achse bzw. elektrischer (x) Achse

Der am h¨ auﬁgsten verwendete Quarzschwinger ist der Dickenscherschwinger (AT-Schnitt), dessen Grundmode-Schwingungsform in Abb. 12.20a gezeigt (n) wird. Er f¨ uhrt Dickenscherschwingungen aus, deren Resonanzfrequenzen fp (Parallelresonanz) n¨aherungsweise durch c n cD n 66 = n = 1, 2, 3, . . . (12.51) fp(n) = 2d 2d

Abb. 12.20. Schwingungsformen von Standard-Quarzschnitten: a) AT-Schnitt (Dickenscherschwinger, b) CT-Schnitt und DT-Schnitt (Fl¨ achenscherschwinger)

358

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

gegeben ist. Dabei bezeichnen d die Dicke des Quarzpl¨ attchens, seine Dichte, cD 66 den maßgebenden elastischen Schermodul und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Scherwelle. Das Produkt aus Grundwellenresonanzfrequenz (1) fp und Schwingerdicke d ist eine Konstante, die sog. Frequenzkonstante N , deren Wert sich aus den Materialdaten des verwendeten Schwingquarzes ergibt

fp(1) d = N =

⎧ ur AT-Schnitt ⎨ 1, 67 MHz mm f¨ ⎩

.

(12.52)

2, 50 MHz mm f¨ ur BT-Schnitt

Der typischerweise genutzte Frequenzbereich von Dickenscherschwingern reicht von einigen hundert Kilohertz bis zu etwa 25 MHz in der Grund- und etwa 200 MHz in der 9. Oberwelle. Detaillierte Beschreibungen des mechanischen und elektrischen Verhaltens von Schwingquarzen ﬁndet man in der einschl¨ agigen Literatur [18], [119], [64], [65], [66], [111]. Das vereinfachte elektrische Ersatzschaltbild eines Quarzschwingers sowie der Verlauf der elektrischen Impedanz Z Q (ω) = R(ω) + jX(ω) werden in Abb. 12.21 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild, welches das Verhalten des Schwingquarzes in der Umgebung der Grundschwingung (Grundwellenreso(1) nanz) fp = fp approximativ beschreibt, bedeuten C0 die statische Parallelkapazit¨ at (Kapazit¨at, wenn der Quarz nicht schwingt), C1 die dynamische Kapazit¨ at, L1 die dynamische Induktivit¨at und R1 den dynamischen Verlustwiderstand.

Abb. 12.21. Schwingquarz: a) Schaltzeichen, b) Elektrisches Ersatzschaltbild (Typische Werte f¨ ur einen 1-MHz-Schwingquarz sind: C0 = 60 pF, C1 = 0, 016 pF, L1 = 1, 5 H, R1 = 60 Ω), c) Wirk- und Blindanteil der Eingangsimpedanz eines Schwingquarzes mit den unter b) angegebenen Werten der Ersatzschaltbildelemente C0 , C1 und L1 . Der Widerstandswert R1 wurde, um die Details des Impedanzdiagrammes besser auﬂ¨ osen zu k¨ onnen, mit R1 = 600 Ω angenommen, was zu einer um den Faktor 10 reduzierten G¨ ute f¨ uhrt.

12.8 Oszillatoren

359

Die komplexe Eingangsadmittanz Y Q (ω) zwischen den Eingangsklemmen ergibt sich aus dem Schaltbild

Y Q (ω) = G(ω) + jB(ω) Y Q (ω) =

R1

R12 + ωL1 −

(12.53) ⎞

⎛ 1 ωC1

⎜

2 + j ⎝ωC0 −

1 ωL1 − ωC ⎟ 1

2 ⎠ . 1 2 R1 + ωL1 − ωC1

(12.54) Der Verlustwiderstand R1 kann bei Schwingquarzen aufgrund ihrer hohen G¨ ute i. allg. vernachl¨assigt werden, so daß sich die Eingangsimpedanz des Quarzes Z Q wie folgt vereinfacht Z Q ≈ jX =

ω 2 L1 C1 − 1 j . ω C0 + C1 − ω 2 L1 C1 C0

(12.55)

Bei der Parallelresonanzfrequenz fp des Quarzes strebt der Reaktanzanteil der Eingangsimpedanz gegen unendlich (X → ∞). Damit l¨ aßt sich fp aus der Polstelle der Funktion Z Q (Gl. (12.55)) ermitteln 1 √ fp = 2π L1 C1

1+

C1 . C0

(12.56)

Bei der Serienresonanzfrequenz fs des Quarzes verschwindet hingegen der Reaktanzanteil (X = 0) (Abb. 12.21c). Dementsprechend ergibt sich fs aus der Nullstelle des Z¨ ahlers von Gl. (12.55) fs =

1 1 √ . 2π L1 C1

(12.57)

Der relative Frequenzabstand zwischen Parallel- und Serienresonanz ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der in der Praxis gegebenen Kapazit¨ atsverh¨ altnisse (C1 C0 ) zu fp − fs 1 C1 ≈ . (12.58) fs 2 C0 Die G¨ ute Q, die dem Reziprokwert des tan δs = R/X entspricht, l¨ aßt sich ebenfalls aus den Elementen des elektrischen Ersatzschaltbildes bestimmen. L1 1 1 = . (12.59) Q= tan δs R1 C1 Sie liegt bei Schwingquarzen typischerweise zwischen 5 · 103 und 5 · 105 .

360

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators Abbildung 12.22 zeigt die Schaltung eines Quarzoszillators, bei welcher der Quarz im Mitkopplungszweig eines Operationsverst¨ arkers liegt. Nur bei der Serienresonanzfrequenz des Schwingquarzes ist die Schwingbedingung erf¨ ullt aßig so gering, daß bei dieund die Impedanz Z Q des Quarzzweipols betragsm¨ ser Frequenz eine unged¨ampfte harmonische Schwingung zustandekommt. F¨ ur alle anderen Frequenzen stellt der Quarz aufgrund seiner hohen Impedanzwerte ein Sperrﬁlter dar. Der LC-Schwingkreis am Eingang dient dabei lediglich dem sicheren Anschwingen der Oszillatorschaltung auf der Grundwelle bzw. auf der gew¨ unschten Oberwelle.

Abb. 12.22. Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators

12.8.7 Fehler von Schwingquarzen Als wesentlicher Fehler von Schwingquarzen macht sich deren Temperaturabh¨ angigkeit bemerkbar, insbesondere bei Oszillatoranwendungen mit hohen Forderungen an die Frequenzstabilit¨at. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Resonanzfrequenz l¨aßt sich bei Quarzen wie folgt approximieren f (T ) = f (0◦ C)(1 + αT + βT 2 + γT 3 ) .

(12.60)

F¨ ur bestimmte Schnittwinkel, so z.B. auch den meist verwendeten AT-Schnitt, verschwindet der lineare Temperaturkoeﬃzient α. Da außerdem der kubische Temperaturkoeﬃzient γ i. allg. bereits um einige Zehnerpotenzen unter dem linearen und quadratischen liegt, f¨allt dann nur der quadratische Temperaturkoeﬃzient ins Gewicht. Abbildung 12.23 zeigt die Abh¨ angigkeit des linearen Temperaturkoeﬃzienten vom Schnittwinkel sowie die relative Frequenz¨ anderung eines AT-Schnitt-Dickenscherschwingers als Funktion der Temperatur. Der Temperatureinﬂuß ist insbesondere bei den AT-Schnitten sehr gering. Er l¨aßt sich um weitere ca. drei Zehnerpotenzen reduzieren, wenn die Quarze in einem temperaturstabilisierten Geh¨ause betrieben werden. Neben dem parasit¨ aren Temperatureinﬂuß sind Schwingquarze einem Alterungsprozeß unterworfen, welcher sich in Form eines relativen Frequenzfehlers bemerkbar

12.8 Oszillatoren

361

Tabelle 12.1. Typische Werte f¨ ur Kurzzeitkonstanz, Temperaturdrift und Alterungsrate von Schwingquarzen ohne Temperaturregelung −9

Kurzzeitkonstanz < 3 · 10 (1 Sekunde) Temperaturdrift < 10−5 (0◦ C - 50◦ ) Alterungsrate < 10−8 /Tag

mit Temperaturregelung < 10−11 < 10−8 < 10−9 /Tag

macht, der mit der Zeit einem asymptotischen Endwert zustrebt. Dieser Endwert liegt bei etwa ∆f /f = 10−9 /Tag und wird bereits nach einigen Wochen erreicht (Tabelle 12.1). Schwingquarze lassen sich auch als sehr pr¨ azise arbeitende frequenzanaloge Temperatursensoren einsetzen. F¨ ur diese Anwendung wird der sogenannte HT-Kristallschnitt verwendet, der recht große Temperaturkoeﬃzienten aufweist α = 90 · 10−6 (K −1 ), β = 60 · 10−9 (K −1 ) und anderungen sind zwar γ = 30·10−12 (K −1 ) (Gl. (12.60)). Die relativen Frequenz¨ sehr gering, aber aufgrund der pr¨azisen Fertigungstechnik und der Stabilit¨ at des Quarzmaterials der Meßgr¨oße sehr exakt zuzuordnen bzw. andererseits

Abb. 12.23. Temperaturabh¨ angigkeit von Schwingquarzen [6, 36]: a) Linearer Temperaturkoeﬃzient α als Funktion des Schnittwinkels; 1: Dickenscherschwinger; 2: Fl¨ achenscherschwinger, b) Relative Frequenzabweichung eines AT-SchnittDickenscherschwingers als Funktion der Schwingquarztemperatur

362

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

auch wiederum mittels elektronischer Z¨ahlerschaltungen sehr genau meßbar. Wesentlich bessere Genauigkeiten erh¨alt man mit atomaren Frequenz-Standardelementen, bei denen die Atomresonanz zur Frequenzstabilisierung genutzt wird. So weisen beispielsweise Rubidium-Normalelemente relative Abweichungen von nur 10−11 im Kurzzeitbereich (Sekundenbereich) auf. Die Alterungsraten liegen bei 10−11 /Monat. Bei C¨asium-Elementen sind keine Alterungseinﬂ¨ usse meßbar. Aufgrund ihres hohen Anschaﬀungspreises und ihres hohen Gewichtes werden sie jedoch nur in Labors f¨ ur Pr¨azisionsmeßtechnik sowie als Frequenznormal f¨ ur Zeitzeichensender eingesetzt. Die Gesamtunsicherheit der beiden C¨ asiumNormaluhren CS1 und CS2 der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig wird mit 3 · 10−14 bzw. 1, 5 · 10−14 angegeben [10]. So wurde ein mittlerer Gangunterschied der beiden Uhren von 0,76 µs pro Jahr, entsprechend einem relativen Fehler von 2, 5 · 10−14 , ermittelt. Wenn auch die Kurzzeitkonstanz der Normalfrequenzaussendung des bekannten Zeitzeichensenders DCF-77 (s. Kap. 12.10.1) die eines sorgf¨ altig aufgebauten temperaturgeregelten Quarzoszillators (OCXO) nicht wesentlich u ¨bersteigt, so ist doch die Langzeitstabilit¨at des DCF-77 um Gr¨ oßenordnungen besser. Es bietet sich also an, temperaturgeregelte Quarzoszillatoren einzusetzen und deren Langzeitstabilit¨ at mit Hilfe einer DCF-77-Synchronisation zu erh¨ ohen. Ein entsprechendes hard- und softwarem¨aßiges Realisierungskonzept wird in [60] vorgestellt. Detaillierte Angaben u ¨ber die Genauigkeit von Zeit- und Frequenznormalen ﬁnden sich in [10].

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung Fehler bei der Messung eines Zeitintervalls Der absolute Fehler ∆TX bei der Messung eines Zeitintervalls TX ergibt sich aus der Anwendung des Fehlerfortpﬂanzungsgesetzes auf Gl. (12.2) zu ∆TX =

∂TX ∂TX ∆fref + ∆NX . ∂fref ∂NX

(12.61)

Daraus l¨ aßt sich leicht der entsprechende maximale relative Fehler ableiten ∆TX ∆fref ∆NX = + (12.62) TX fref NX . In Gl. (12.62) beziﬀert der Term ∆NX /NX den bereits in Kap. 12.3.1 angesprochenen Quantisierungsfehler (Z¨ahlfehler), der sich wie folgt angeben l¨ aßt ∆NX ±1 1 1 = (12.63) NX NX = NX = fref TX .

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung

363

Der Term ∆fref /fref in Gl. (12.62) hingegen beschreibt den Fehler der Zeitbasis, d. h. die relative Frequenzabweichung des Quarzoszillators. Dieser Fehler liegt bei praktischen Z¨ahlern in der Gr¨oßenordnung 10−7 ≤ ∆fref /fref ≤ 10−5 . Abbildung 12.24 (TX -Achse) zeigt den gesamten relativen Fehler bei der Zeitmessung f¨ ur den beispielhaften Fall, daß die Frequenz des Referenzsignals fref = 1 MHz und der relative Fehler der Zeitbasis 10−6 betragen.

Abb. 12.24. Relativer Fehler bei der Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung. TX Achse: Fehlerdiagramm f¨ ur die Messung eines Zeitintervalles TX . Es wurde fref = 1 MHz und ein Zeitbasisfehler ∆fref /fref von 10−6 angenommen. fX -Achse: Fehlerdiagramm f¨ ur die Frequenzmessung. Es wurde eine Torzeit von Tref = 1 s und ein Zeitbasisfehler ∆Tref /Tref von 10−6 angenommen.

Fehler bei der Frequenzmessung Der maximale relative Fehler bei der Frequenzmessung ergibt sich analog zu Gl. (12.61) ∆fX ∆Tref ∆NX ∆Tref = + = + 1 = ∆Tref + 1 fX Tref NX Tref NX Tref Tref fX . (12.64) Der Ausdruck ∆Tref /Tref entspricht dabei wiederum dem relativen Fehler der Zeitbasis. Damit ergibt sich im Prinzip wieder derselbe relative Meßfehler wie bei der Zeitintervallmessung Gl. (12.62). Er kann aus Abb. 12.24 abgelesen ur die Berechnung des relativen werden, wenn die fX -Achse verwendet wird. F¨ Fehlers bei der Frequenzmessung wurden eine Torzeit von Tref = 1 s sowie ein Zeitbasisfehler von ∆Tref /Tref = 10−6 angenommen.

364

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Fehler bei der Periodendauermessung Die großen Meßfehler bei der Messung tiefer Frequenzen (Abb. 12.24) lassen sich umgehen, wenn man eine Reziprokmessung durchf¨ uhrt, d. h. anstatt der Frequenz die Periodendauer mißt und den Kehrwert bildet. Wenn man den Fehler der Zeitbasis zun¨achst vernachl¨ assigt, ergibt sich durch Anwendung des Fehlerfortpﬂanzungsgesetzes auf Gl. (12.11) der relative Meßfehler bei der Periodendauermessung zu 1 1 fX ∆TX = = = . TX NX fref TX fref

(12.65)

Der relative Fehler h¨angt also lediglich vom Verh¨ altnis Meßfrequenz fX zu Referenzfrequenz fref ab. Wenn man beispielsweise fref = 1 MHz annimmt, so wird der Fehler einer Standardquarzzeitbasis von 10−6 erst bei einer Frequenz von 1 Hz erreicht. F¨ ur h¨ ohere Frequenzen dominiert der Quantisierungsfehler. Von praktischer Bedeutung ist noch die Meßfrequenz fXeq , bei der die Periodendauermessung (Reziprokmessung) und die direkte Frequenzmessung auf den gleichen relativen Fehler f¨ uhren. Das Gleichsetzen der relativen Fehler f¨ uhrt unter Vernachl¨ assigung der Zeitbasisfehler zu 2 = fXeq

fref , Tref

(12.66)

wobei fref die Taktfrequenz bei der Periodendauermessung und Tref die Torzeit bei der Frequenzmessung bedeuten. Wenn beispielsweise diese Taktfrequenz ahlt werden, ergibt sich zu fref = 1 MHz und die Torzeit zu Tref = 1 s gew¨ f¨ ur beide Meßprinzipien der gleiche Fehler bei fXeq = 1 kHz. Unterhalb dieser Frequenz f¨ uhrt die Periodendauermessung (reziproke Frequenzmessung) zu geringeren Meßfehlern, w¨ahrend sich im Frequenzbereich oberhalb fXeq die direkte Frequenzmessung als g¨ unstiger erweist (Abb. 12.25). Meßfehler durch u ¨ berlagertes Rauschen Dem Meßsignal u uhren zu Fehlern bei der Zeit¨berlagerte St¨orspannungen f¨ und Frequenzmessung, die zum Teil erheblich sein k¨ onnen. Diese Fehler werden durch zu fr¨ uhe bzw. zu sp¨ate Triggerausl¨ osung verursacht. Der so entstandene Triggerfehler addiert sich zu den oben bereits diskutierten Fehlern (Quantisierungsfehler und Zeitbasisfehler). Zur Absch¨ atzung des Triggerfehormigen Zeitverlauf lers wollen wir annehmen, daß das Meßsignal um (t) sinusf¨ aufweist ˆm sin(ωt) . (12.67) um = U

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung

365

Abb. 12.25. Relativer Meßfehler bei der digitalen Frequenzmessung (direkte Messung und Reziprokmessung). Es wurde eine Taktfrequenz fref = 1 MHz f¨ ur die Periodendauermessung sowie eine Torzeit Tref = 1 s f¨ ur die Frequenzmessung angenommen. Der relative Fehler der Zeitbasis liegt bei 10−6 .

Die maximale zeitliche Steigung dum /dt der Spannung wird im Nulldurchgang erreicht und betr¨agt

dum ˆm ω . =U (12.68) dt max ˆr kann den Zeitpunkt des NulldurchEine St¨ orspannung mit der Amplitude U ganges, der gleichzeitig Triggerzeitpunkt ist, um die Zeit ∆Ttrigg verschieben ˆr U ∆Ttrigg = ∆T = dum dt

= max

ˆr ˆr U U . = ˆm ω ˆm 2πfX U U

(12.69)

Diese zeitliche Verschiebung des Triggerzeitpunktes wird als der absolute Triggerfehler bezeichnet. Der entsprechende relative Triggerfehler ergibt sich bei der einfachen Periodendauermessung (Messung einer einzelnen Periode TX ) zu ˆr ˆr U ∆Ttrigg 1 1 U = = . (12.70) ˆm ˆm TX 2πfX TX U 2π U Um diesen Fehler zu reduzieren, geht man zur sog. Mehrfachperiodendauermessung u ¨ber, bei der anstatt der Dauer einer einzigen Periode nunmehr die Dauer von m Perioden bestimmt wird. Bei diesem integrierenden Meßverfahren reduziert sich sowohl der Triggerfehler als auch der Quantisierungsfehler um den Faktor m. Wie bei der Frequenzmessung ist auch hier eine gr¨ oßere Genauigkeit nur auf Kosten der Meßzeit zu erzielen.

366

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

12.10 Zeitzeichensender und Funknavigation 12.10.1 DCF-77 Zeitzeichensender Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig hat die Aufgabe u ur die Bundesrepublik Deutschland die absolute (amt¨bernommen, f¨ liche) Zeit festzulegen. Dies geschieht mit Hilfe einer sog. Atomuhr (C¨ asiumNormaluhr), deren Zeit nach dem BCD-Code codiert wird und u ¨ber den Zeitzeichensender DCF-77 in Mainﬂingen ausgestrahlt wird (max. Reichweite: ca. 2000 km). Der Tr¨ager von DCF-77 wird dazu auf zwei Arten moduliert, n¨ amlich zum einen mit einer Amplitudenmodulation und zum anderen in Form einer pseudozuf¨alligen Umtastung der Tr¨ agerphase. Bei der im Jahre 1970 eingef¨ uhrten Amplitudenmodulation wird die Amplitude der 77,5-kHzTr¨ agerschwingung zu Beginn einer jeden Sekunde bei einer zu u ¨bertragenden ur 0,1 s und bei einer digitalen 1 f¨ ur 0,2 s auf 25 % des normalen digitalen 0 f¨ Wertes abgesenkt (Abb. 12.26). Die pseudozuf¨ allige Umtastung der Tr¨ agerphase (Binary Phase Shift Keying BPSK) wurde erst im Jahre 1988 eingef¨ uhrt [50].

Abb. 12.26. Modulation einer log. 0 bzw. einer log. 1 beim Zeitzeichensender DCF-77

Mit Hilfe beider Modulationsformen werden einmal pro Minute die Zahlen u ur Minute, Stunde, Tag, Wochen¨bertragen, welche die aktuellen Werte f¨ tag, Monat und Jahr repr¨asentieren, und zwar bei der Amplitudenmodulation durch Impulsdauermodulation der Sekundenmarken und bei der BPSK durch Invertieren einer Pseudozufallsfolge. Abbildung 12.27 zeigt das Kodierschema und die Zuordnung zwischen u ¨bertragener Information und den einzelnen Sekundenmarken. Die Sekunden innerhalb einer Minute sind u ¨ber diese Amplituden¨ anderungen inkremental zu z¨ahlen. Das Fehlen der 59. Sekunde weist auf den Beginn der folgenden Minute hin. Dabei werden Pr¨ ufbits zur St¨ orerkennung verwendet. [50]. 12.10.2 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation Bereits in den sechziger Jahren war erkennbar, daß die herk¨ ommliche Funknavigation den k¨ unftigen Anforderungen nicht mehr gen¨ ugen w¨ urde. Zu diesen

12.10 Zeitzeichensender und Funknavigation

367

Abb. 12.27. Minutenprotokoll beim Zeitzeichensender DCF-77

Anforderungen geh¨ort die weltweite dreidimensionale und hochpr¨ azise Positionsbestimmung in Echtzeit, wobei das System wetterunabh¨ angig 24 Stunden am Tag zur Verf¨ ugung stehen muß. Dar¨ uber hinaus sollen die Empf¨ anger leicht zu handhaben sein. Unter Federf¨ uhrung der US Air Force entwickelten die amerikanischen Streitkr¨afte ab 1973 das NAVigation Satellite Timing ” And Ranging/Global Positioning System (NAVSTAR/GPS)“, welches auch f¨ ur die zivile Nutzung freigegeben ist. Systemaufbau Das Gesamtsystem besteht aus drei Segmenten: 24 von der Firma Rockwell entwickelte Satelliten, welche verteilt auf sechs Kreisbahnen in circa 20 000 Kilometern H¨ ohe die Erde in ungef¨ahr 12 Stunden je einmal umlaufen, bilden das Raumsegment. Auf der Erdoberﬂ¨ache beﬁndet sich das Kontrollsegment, bestehend aus f¨ unf weltweit verteilten Monitorstationen zur Satellitenbeobachtung und einer Master Control Station, um die Bahndaten der Satelliten vorauszuberechnen und das Verhalten der Satellitenuhren zu extrapolieren, sowie Bodenantennen, um die ermittelten Werte an die Satelliten zu senden. Das Benutzersegment wird von allen milit¨ arisch und zivil genutzten GPS-Empf¨ angern gebildet (Abb. 12.28). Jeder Satellit strahlt permanent ein kodiertes Signal ab (Frequenzen 1575,42 bzw. 1227,60 MHz), welches unter anderem die genaue interne Satellitenzeit und die aktuellen Bahndaten des Satelliten, insbesondere seine aktuelle Position, enth¨ alt. Zu diesem Zweck sind die Satelliten mit jeweils vier hochgenauen Atomuhren ausgestattet. Ein Benutzer empf¨ angt die Signale und mißt die Laufzeit zwischen dem Zeitpunkt des Sendens am Satelliten und dem Empfangszeitpunkt. Wird nun die gemessene Laufzeit mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen multipliziert, so erh¨alt man die Entfernung zwischen dem Empf¨ anger und dem Satelliten, dessen Signal empfangen wurde. Im Idealfall l¨ aßt sich mit einer Messung eine Kugelstandﬂ¨ache ermitteln, das heißt, der Empf¨ anger beﬁndet sich auf einer Kugeloberﬂ¨ache mit dem angepeilten Satelliten im

368

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.28. Funktionsprinzip des Global-Positioning-Systems (GPS)

Mittelpunkt. Aus diesem Grund werden die genauen Positionsdaten des Satelliten mitgesendet. Mißt man gleichzeitig die Signale zweier Satelliten, so beﬁndet man sich auf der Schnittlinie der beiden zugeh¨ origen Kugelstandﬂ¨ achen, also einer Kreisstandlinie. Bei einer dritten Messung erh¨ alt man den genau deﬁnierten Standort des Empf¨angers. Da jedoch die Empf¨ anger aus Kostengr¨ unden anstatt mit Atomuhren nur mit Quarzuhren ausger¨ ustet sind, entsteht ein Meßfehler, so daß das Signal eines vierten bzw. auch die Signale von weiteren NAVSTAR-Satelliten herangezogen werden m¨ ussen, um eine entsprechende Fehlerkorrektur durchf¨ uhren zu k¨ onnen. Minimale Zeitfehler entstehen zwangsl¨auﬁg auch aufgrund der sich zeitlich ¨ andernden Wellenausbreitung in Iono- und Stratosph¨are. Es gibt zwar Modelle, die diesen Einﬂuß zu beschreiben versuchen, ihre Anwendung kann aber die existierenden Fehler nicht vollst¨ andig eliminieren. Jeder Satellit sendet seine Signale auf zwei Frequenzen im L-Band, wobei f¨ ur den zivilen Nutzer nur das L1-Signal (1575,42 MHz) wichtig ist. Dazu wird diesem Signal zun¨achst der C/A-Code (Clear/Access-Code)“ in Form ” einer Pseudo-Random-Noise-Sequenz aufmoduliert. Dabei handelt es sich um eine scheinbar zuf¨allige Sequenz, die sich jedoch im Intervall von einer Millisekunde st¨ andig wiederholt. Benutzt wird die Methode der Phasenmodulation mit einem Modulationstakt von 1,023 MHz. Zus¨ atzlich wird dem Signal - ebenfalls durch Phasenmodulation - mit einem Takt von 50 Bit/s die Navigationsnachricht aufmoduliert, welche die Satellitenzeit und die Bahndaten alt. Die f¨ ur die zivile Navigation wichtigen Dades sendenden Satelliten enth¨ ten sind in Bl¨ ocken von 150 Bit enthalten, die sich st¨ andig wiederholen. Die Navigationsnachricht wird innerhalb von 30 Sekunden empfangen.

12.10 Zeitzeichensender und Funknavigation

369

Am Empf¨ anger wird mit einem Signalprozessor die Laufzeit des Signals gemessen, indem zun¨achst intern pseudo-gleichzeitig“ ein ebenfalls mit dem ” C/A-Code versehenes Vergleichssignal erzeugt wird. Dann wird durch Kreuz¨ korrelation eine Ubereinstimmung der Bitmuster des empfangenen und des intern erzeugten Signals herbeigef¨ uhrt. Die eigentliche Meßgr¨ oße ist also die ¨ Phasenverschiebung, die notwendig ist, um eine Ubereinstimmung der Signale zu erzeugen und die proportional zur Laufzeit der Signale zwischen Satellit und Empf¨ anger ist. Diese Information wird an einen Navigationscomputer weitergegeben, der aus mindestens vier Laufzeiten unter Zuhilfenahme der demodulierten Navigationsnachrichten ein System aus (mindestens) vier Gleichungen l¨ ost. Ber¨ ucksichtigt man die Tatsache, daß sich der C/A-Code jede Millisekunde wiederholt, so erh¨alt man alle 300 Kilometer eine Mehrdeutigkeit, welche jedoch in der Praxis durch weitere Informationen eindeutig zu kl¨ aren ist. Der milit¨ arische P-Code (Protected-Code) benutzt eine PRN-Sequenz von 266 Tagen Dauer, wobei mit einem Modulationstakt von 10,23 MHz gearbeitet wird. Daraus resultiert nicht nur eine zehnmal so große Genauigkeit sondern auch eine erheblich kompliziertere Entschl¨ usselbarkeit. Die Betreiber des GPS sind auch in der Lage, die den zivilen Nutzern zug¨ anglichen Signale und Daten bestimmter Satelliten k¨ unstlich zu verschlechtern. Dazu wird der Lauf der Satellitenuhren moduliert bzw. kleinere Fehler in die Bahndaten eingearbeitet. Eine Eliminierung dieser Fehler ist nur mittels geheimer Verfahren m¨ oglich. Diese mit Selective Availability bezeichnete Einschr¨ ankung der Genauigkeit wurde im Jahr 2000 vom damaligen Pr¨ asidenten der Vereinigten Staaten aufgehoben, so daß fortan f¨ ur die zivile Nutzung Genauigkeiten in der Positionsbestimmung von weniger als ± 20 Metern zur Verf¨ ugung stehen. Vor der Aufhebung der Beschr¨ankung betrug die Genauigkeit lediglich ± 50 Meter. Es ist dem Verteidigungsministerium der Vereinigten Staaten jedoch weiterhin m¨ oglich, die f¨ ur zivile Nutzer zug¨anglichen Daten und Signale beispielsweise in Kriegsgebieten gezielt zu verf¨alschen bzw. abzuschalten, was dann mit dem Begriﬀ Selective Deniability bezeichnet wird. Die absolute Genauigkeit der in den GPS-Satelliten im Einsatz beﬁndlichen Rubidium-Uhren wird mit 3 · 10−9 s angegeben. Diﬀerential GPS - DGPS Um die Genauigkeit des GPS-Satellitennavigationssystem weiter zu verbessern, wurde das Diﬀerential Global Positioning System (DGPS) entwickelt. Dabei wird an einem Ort, dessen exakte geographische Lage bekannt ist, die Position mittels GPS bestimmt. Aus der Diﬀerenz zwischen der errechneten Position und der tats¨achlichen geographischen Lage ergibt sich der lokale Fehler des GPS-Systems. Es ist m¨oglich den Fehler jedes in Reichweite beﬁndlichen Satelliten zu errechnen und diesen Fehler an DGPS-Empf¨ anger zu ¨ u der Fehler an geeignete Empf¨ anger werden FM¨bermitteln. Zur Ubertragung Frequenzen sowie Satelliten benutzt. Da der Fehler der einzelnen Satelliten in der jeweiligen Region nun bekannt ist, ist eine exaktere Berechnung der ak-

370

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

tuellen Position m¨oglich. DGPS-Empf¨angern k¨ onnen die Position metergenau bestimmen, typischerweise werden Genauigkeiten von ± 5 Metern erreicht. 12.10.3 Galileo-Satellitennavigation Aufgrund fehlender Alternativen zu dem US-amerikanischen GPS oder dem russischen GLONASS Satellitennavigationssystem beschloß die Europ¨ aische Union (EU) in den 90er Jahren ein unabh¨angiges Satellitennavigationssystem zu entwickeln. Dies wurde notwendig, da keines der bestehenden Systeme aus milit¨ arischen Gr¨ unden eine uneingeschr¨ankte Funktions- bzw. Verf¨ ugbarkeitsgarantie gew¨ ahrt. Außerdem ist so bei einem technischen Ausfall eines Systems noch ein weiteres vorhanden, was einen wesentlichen Sicherheitsaspekt darstellt.

Abb. 12.29. Satellitennavigationssystem Galileo [30]

Systemaufbau Das derzeit im Aufbau beﬁndliche Navigationssystem soll im endg¨ ultigen Ausbaustadium 30 Satelliten umfassen, von denen 27 dem Betrieb des Systems dienen und drei weitere sich als Ersatzsatelliten im Orbit beﬁnden. Die Satelliten werden in ca. 24.000 km H¨ohe ﬂiegen und bilden das Space Segment“ , ” das in Abb. 12.29 dargestellt ist.

12.10 Zeitzeichensender und Funknavigation

371

¨ Auf der Erde werden weltweit vernetzte Bodenstationen die Uberwachung ¨ der Satelliten u ¨bernehmen und Echtzeit-Ubertragungen von Diagnose- und Fehlermeldungen steuern. Die Zentrale des Galileo-Systems wird einer zivilen Galileo-Betreibergesellschaft u aischem Gebiet be¨bertragen und sich auf europ¨ ﬁnden. Insgesamt stellt das System 11 Navigationssignale zur Verf¨ ugung, wobei eines davon ausschließlich dem Search and Rescue Service“ zugeteilt ist. Es ” werden insgesamt drei Frequenzb¨ander f¨ ur die Signal¨ ubertragung verwendet: 1164 − 1215 M Hz, 1260 − 1300 M Hz und 1559 − 1593 M Hz. Das Galileo-Navigationssystem ist derzeit noch in der Entwicklungsphase. Im Jahr 2005 sollen zwei Test-Satelliten in den Orbit transportiert werden, denen dann im Falle erfolgreicher Tests weitere 28 Satelliten in den Jahren 2006 und 2007 folgen werden. Ab dem Jahr 2008 soll das europ¨ aische Navigationssystem Galileo dann zivilen und milit¨arischen Nutzern zur Verf¨ ugung stehen. Dienstleistungen Das von der EU geplante Navigationssystem soll vor allem der zivilen Nutzung zu Gute kommen. Es sind f¨ unf Ortungs-Dienstleistungen geplant: • Open Service: frei verf¨ ugbar Zielapplikation: Konsumerger¨ate • Safety of Life“ Service: sehr genaue Ortsauﬂ¨ osung, hohe Datenper” formance, hohe Sicherheit Zielapplikation: Navigation f¨ ur Flugzeuge, Schiﬀe und Z¨ uge • Commercial Service: geb¨ uhrenpﬂichtig, Ortsauﬂ¨ osung lokal bis zu 10 cm [30], verschl¨ usselter Datentransfer Zielapplikation: Daten-, Zeit- und Hochpr¨azisionsdienstleistungen • Public Regulated Service: garantierte Verf¨ ugbarkeit unter schwersten Bedingungen; verschl¨ usselter Datentransfer Zielapplikation: Dienste f¨ ur ¨oﬀentliche Organe, beispielsweise Polizei • Search and Rescue Service: Echtzeit¨ ubertragung von Notsignalen, genaue Ortsauﬂ¨osung von wenigen Metern Zielapplikation: humanit¨are Hilfs- und Rettungsdienstleistungen internationaler Vereinigungen.

13 Meßsignalverarbeitung

13.1 Aufgaben und Bedeutung Die wesentlichen Aufgaben der Meßsignalverarbeitung bestehen in der MeßwertVorverarbeitung sowie der Analyse der aufgenommenen Meßsignale mit Hilfe von Filtern, Funktionaltransformationen, Korrelationsverfahren, Mittelwertbildern, Eﬀektivwertbausteinen, Klirrfaktor-Meßbr¨ ucken, etc. (Abb. 13.1). Dabei sollen die in den gewonnenen Meßwerten enthaltenen und f¨ ur ihre weitere Verwendung (z. B. Regelung, Steuerung, etc.) relevanten Informationen extrahiert werden. Oft wird die im Rahmen einer Messung interessierende

Abb. 13.1. Meßwerterfassung sowie analoge und digitale Meßwertverarbeitung in einem Meßsystem

Zielgr¨ oße erst durch entsprechende Signalverarbeitungsmaßnahmen gewonnen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn ein stark verrauschtes Meßsignal

374

13 Meßsignalverarbeitung

erst durch geeignete Filtermaßnahmen vom St¨ orsignal getrennt werden muß. Zu den wichtigsten Signalverarbeitungsmaßnahmen z¨ ahlen: • • • • • • •

Kennlinien-Korrektur Filterung Mittelwertbildung Korrelationsbildung Bildung von Verteilungsfunktionen Ermittlung von speziellen Kenngr¨oßen, wie z. B. dem Klirrfaktor Ausf¨ uhren mathematischer Operationen, wie z. B. Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren, etc. • Eﬀektivwertermittlung. Grunds¨ atzlich ist zwischen analoger und digitaler Meßsignalverarbeitung zu unterscheiden. Als Vorteile der Analogtechnik sind unter anderem das hohe Auﬂ¨ osungsverm¨ogen und die hohe Verarbeitungsgeschwindigkeit zu nennen. Außerdem entfallen die bei digitalen Systemen stets ben¨ otigten Module zur Abtastung und Analog-Digital-Umsetzung. Im Zuge der in den letzten Jahrzehnten zu beobachtenden Qualit¨ atsverbesserungen elektronischer Digital-Bausteine (insbesondere in bezug auf Geschwindigkeit und Auﬂ¨osung) bei gleichzeitig stark reduziertem ﬁnanziellen Aufwand werden die Systeme zur analogen Signalverarbeitung zunehmend von digitalen abgel¨ost. So lassen sich mit Hilfe universeller digitaler Systeme, wie z. B. digitaler Signalprozessoren (DSP), komplexe Aufgaben wie Funktionaltransformationen relativ leicht in Software implementieren, die bei Analogl¨ osungen einen entsprechenden Aufwand an Hardware notwendig machen. Der Beitrag der analogen Meßsignalverarbeitung hingegen wird sich k¨ unftig vor allem auf Spezialprobleme bzw. Aufgaben mit h¨ ochsten Geschwindigkeitsanforderungen konzentrieren. Mit den M¨oglichkeiten der modernen digitalen Signalverarbeitung lassen sich nun auch anspruchsvolle meßtechnische Aufgabenstellungen bew¨altigen, die in der Vergangenheit oft aus Mangel an geeigneter Hardware oder auch aus Kostengr¨ unden nicht angegangen wurden. Die M¨ oglichkeit, komplexe Signalverarbeitungsaufgaben auf dem PC bzw. auf einem daran angeschlossenen digitalen Signalprozessor zu bearbeiten, erlaubt auch dem Meßtechniker, auf preiswertem Wege die Methoden der modernen digitalen Signalverarbeitung zu nutzen. W¨ ahrend die analoge Technik meist teure (Spezial-) Hardware in Form von Einzweckger¨ aten voraussetzt, l¨aßt sich die digitale Signalverarbeitung - von Problemen mit sehr hohen Geschwindigkeitsanforderungen einmal abgesehen - auf einem General-Purpose-Rechner, wie z. B. einem PC oder einer Workstation, bzw. auf einem universellen digitalen Signalprozessor relativ einfach in Software implementieren. Einzige Voraussetzung ist die korrekte zeitliche Abtastung des Signals sowie die anschließende Analog-Digital-Umsetzung (Kap. 11.6) der in der Regel in analoger Form vorliegenden Meßsignale. Der große Vorteil des digitalen Konzeptes besteht in der hohen Flexibilit¨ at der entsprechenden softwaretechnischen Implementierungen.

13.2 Signalarten und Analyseformen

375

13.2 Signalarten und Analyseformen Die in der Meßsignalverarbeitung angewendeten Analyseformen h¨ angen sehr stark von der Art des zu analysierenden Signales ab. Daher sollte man sich zun¨ achst einmal mit der prinzipiellen Art der vorliegenden Meßsignale auseinandersetzen, d. h. man sollte sie klassiﬁzieren. Abbildung 13.2 gibt einen ¨ Uberblick u ¨ber die prinzipiell m¨oglichen Signalklassen.

nichtdeterministische Signale Rauschen

analoge Signale

nicht-stationäre Signale kein konstanter Mittelwert stationäre Signale konstanter Mittelwert

transiente Signale Pulse

nicht-periodische Signale quasi-periodische Signale deterministische Signale vorhersagbar allg. periodische Signale periodische Signale harmonische Signale Sinus Abb. 13.2. Klassiﬁzierung von Signalen

Am einfachsten lassen sich die periodischen Signale analysieren. Sie z¨ ahlen zu den deterministischen Signalen, die bei Kenntnis nur einer einzigen Periode f¨ ur jede Zeit vorhersagbar sind. Bei den nicht-periodischen deterministischen Signalen muß auf eventuelle Abbruchfehler geachtet werden, die entstehen, wenn man anstatt der bei periodischen Signalen u ¨blichen festen Periodendauer eine beliebige Zeitspanne w¨ahlt. Insbesondere bei der Anwendung der Schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transformation FFT) werden oft nicht periodische Signale in das der FFT zugrundeliegende Korsett der Periodizit¨ at gezw¨angt, woraus entsprechende Fehler entstehen.

376

13 Meßsignalverarbeitung

Bei den nicht-deterministischen Signalen, den stochastischen Rauschsignalen also, kann man die Signalanalyse in aller Regel auf die Ermittlung von Mittelwerten beschr¨anken. Man muß dabei beachten, daß diese Mittelwerte nur bei den station¨aren Signalen zeitlich konstant sind. Wenn die zeitliche Schwankung der Mittelwerte infolge von Instationarit¨ aten groß wird, wird die Signalanalyse dementsprechend schwierig bzw. liefert wenig aussagekr¨ aftige Resultate.

13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren Die im Zuge der analogen Meßsignalverarbeitung standardm¨ aßig ben¨ otigten mathematischen Operationen Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren und Radizieren lassen sich mit Hilfe von Schaltungen implementieren, die einen Analog-Multiplizierer enthalten. Das Schaltsymbol eines Analog-Multiplizierers wird in Abb. 13.3 gezeigt. Wenn man sich die Eingangsvariablen uE1 und

Abb. 13.3. Analog-Multiplizierer: a) altes Schaltsymbol. E ist ein Bezugsspannungswert von typ. 10 V, b) neues Schaltsymbol mit Angabe eines Bewertungsfaktors (hier: − 2 ).

uE2 in einem kartesischen Koordinatensystem aufgetragen denkt, kann man entsprechend ihrer Position, welche die verarbeitbare Polarit¨ at der Eingangsspannungen beschreiben soll, nach Ein-, Zwei- oder Vier-Quadranten-Multiplizierern unterscheiden (Tab. 13.1). Tabelle 13.1. Grundtypen von Analog-Multiplizierern Bezeichnung

Polarit¨ at der Eingangsspannungen

Ein-Quadranten-Multiplizierer Zwei-Quadranten-Multiplizierer Vier-Quadranten-Multiplizierer

uE1 ≥ 0, uE2 ≥ 0 uE1 ≥ 0, uE2 beliebig uE1 und uE2 beliebig

13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren

377

Abb. 13.4. Dividierer-Schaltung

Schaltungen zur hardwarem¨aßigen Realisierung dieser Multiplizierer ﬁnden sich unter anderem in [113]. Solche Schaltungen sind kommerziell in Form von integrierten Bausteinen erh¨altlich. Dividierer Ein Analog-Dividierer l¨aßt sich mit der in Abb. 13.4 gezeigten Operationsverst¨ arkerschaltung realisieren. Wenn man die Eingangsdiﬀerenzspannung uD idealerweise zu Null annimmt, kann man aus Gleichung uD = uE2 −

uE1 uA =0 E

(13.1)

ableiten, daß sich die Ausgangsspannung uA durch Division der beiden Eingangsspannungen ergibt uE2 uA = E . (13.2) uE1

Radizierer Wenn man hingegen beide Eing¨ange des Multiplizierers mit dem Operationsverst¨ arkerausgang verbindet (Abb. 13.5), entsteht aufgrund der Beziehung uD = uE1 −

u2A =0 E

(13.3)

ein Radizierer, solange die Eingangsspannung positiv bleibt (uE1 ≥ 0). Daraus folgt (13.4) uA = EuE1 .

378

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.5. Radizierer-Schaltung

Frequenzverdoppler Mit Hilfe des in Abb. 13.6 gezeigten Quadriererbausteins und dem nachgeschalteten Hochpaßﬁlter l¨aßt sich ein Frequenzverdoppler realisieren. Wenn man n¨ amlich die Sinusspannung ˆ sin ωt uE = U

(13.5)

an den Eingang dieser Schaltung legt, entsteht am Eingang des Hochpasses die Spannung ˆ2 ˆ2 1U U sin2 ωt = (1 − cos 2ωt) . (13.6) E 2 E Wenn man weiterhin annimmt, daß die Kreisfrequenz ω weit oberhalb der Eckfrequenz des Hochpasses liegt, folgt f¨ ur die Ausgangsspannung ˆ2 1U cos 2ωt . (13.7) 2 E Das heißt, man erh¨alt am Ausgang ein Signal mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf, das in bezug auf das Eingangssignal die doppelte Frequenz und eine mit dem ˆ /(2E) multiplizierte Amplitude aufweist. Faktor U uA =

13.4 Ermittlung des Eﬀektivwertes Der Eﬀektivwert xeﬀ eines Signals, welcher auch als Root Mean Square Value xRMS bezeichnet wird, entspricht der Wurzel des quadratischen Mittelwertes

Abb. 13.6. Frequenzverdoppler-Schaltung

13.4 Ermittlung des Eﬀektivwertes

xeﬀ = xRMS =

µ2x + ∆x2 = µ2x + σx2 .

379

(13.8)

Dabei wurde angenommen, daß sich das station¨ are Zeitsignal x(t) aus einem Gleich- µx und einem Wechselanteil ∆x(t) zusammensetzt x(t) = µx + ∆x(t) .

(13.9)

Die Varianz σx2 (Standardabweichung σx ) entspricht also dem Eﬀektivwertquadrat des Wechselanteils. Der Eﬀektivwert l¨aßt sich neben der in Kapitel 6.3.5 erw¨ ahnten indirekten, aber kurvenformabh¨angigen Methode (Messung des Gleichrichtwertes und Umrechnung in den Eﬀektivwert) auch direkt mit Hilfe von echten Eﬀektivwertmessern, z. B. mittels eines Dreheiseninstruments oder durch thermische Verfahren (Hitzdrahtinstrument), erfassen. Neben diesen klassischen Eﬀektivwertmessern bietet die moderne Meßtechnik integrierte Bausteine an, die auf elegante Weise die Bestimmung des kurvenformunabh¨ angigen Eﬀektivwertes erlauben. Schaltung eines analogen Eﬀektivwertbausteins Eine Schaltung zur Bestimmung des echten (nicht kurvenformabh¨ angigen) Eﬀektivwertes eines Meßsignals besteht aus der Hintereinanderschaltung eines Quadrierers, eines Tiefpasses und eines Radizierers (Abb. 13.7). Die Eingangsspannung uE wird zun¨achst quadriert und tiefpaßgeﬁltert, sodaß sich die Spannung u ¯1 am Eingang des Radizierers als der quadrierte Eﬀektivwert der Eingangsspannung ergibt 1 T u2E (t) dt . (13.10) u ¯1 = T 0 E Die Ausgangsspannung uA entspricht schließlich dem (kurvenformunabh¨ angigen) Eﬀektivwert 1 T u2E (t) dt = uEeﬀ . (13.11) uA = E T 0 E

Abb. 13.7. Prinzipschaltung zur Bestimmung des kurvenformunabh¨ angigen Eﬀektivwertes

380

13 Meßsignalverarbeitung

Ein nicht unwesentlicher Nachteil der in Abb. 13.7 gezeigten Schaltung besteht in der Einschr¨ ankung ihres Dynamikbereiches, was letztlich auf die Quadrierung des Eingangssignals zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Wenn die Schaltung aufgrund ihrer hohen Bandbreite dennoch eingesetzt wird, muß im allgemeinen die Eingangsdynamik auf etwa 20 dB, d. h. also ein Verh¨ altnis von 1:10 zwischen kleinster und gr¨oßter Eingangsspannung, begrenzt werden, um den Gesamtfehler gering (typischerweise ca. 0,1 %) zu halten. Die Schaltungsvariante nach Abb. 13.8 hingegen deckt einen wesentlich gr¨oßeren Dynamikbereich ab, da die Quadrierung am Eingang mit einer gleichzeitigen Division verbunden ist. Diese Division ersetzt die ansonsten notwendige Radizierung am Ausgang. Infolge dieser Schaltungstechnik variiert die Signalamplitude innerhalb der gesamten Schaltung nur linear mit der Eingangsamplitude, womit eine entsprechende Dynamikerweiterung verbunden ist. Die Ausgangsspannung des kombinierten Quadrierer-Dividierer-Bausteins betr¨ agt u2 (13.12) u1 = E . uA Der nachgeschaltete Tiefpaß f¨ uhrt die zeitliche Mittelwertbildung durch u1 =

u2E uA

=

1 T

0

T

u2E (t) dt . uA (t)

(13.13)

Mit verschwindender Eingangsdiﬀerenzspannung des Operationsverst¨ arkers folgt 1 T u2E (t) dt = u ¯1 . (13.14) uA = T 0 uA (t) Im station¨ aren Zustand ist die Ausgangsspannung uA konstant und damit gleich dem Eﬀektivwert der Eingangsspannung 1 T 2 (13.15) u (t) dt = uEeﬀ . uA = T 0 E

Abb. 13.8. Schaltung zur Messung des kurvenformunabh¨ angigen Eﬀektivwertes

13.5 Bestimmung von Mittelungswerten

381

Weitere Variante eines analogen Eﬀektivwertbausteins Eine weitere M¨ oglichkeit, den kurvenformunabh¨ angigen Eﬀektivwert zu ermitteln, bietet sich unter Zuhilfenahme der mathematischen Operation des Logarithmierens an. Abbildung 13.9 zeigt das Prinzip der entsprechenden Schaltung. Die Ausgangsspannung uA entspricht dem echten“ kurvenformu”

Abb. 13.9. Schaltung zur echten“ (kurvenformunabh¨ angigen) Eﬀektivwertmes” sung auf der Basis eines Logarithmierers

nabh¨ angigen Eﬀektivwert uA =

(e[ln(|uE (t)|2 )−ln(uA )] )

=

uA = u2E (t) = uEeﬀ .

u2E (t) uA

=

u2E (t) uA

(13.16) (13.17)

13.5 Bestimmung von Mittelungswerten In der Meßtechnik muß sehr oft auf Mittelungswerte (Mittelwerte) zur¨ uckgegriﬀen werden, weil diese aussagekr¨aftiger sind als die direkte Zeitgr¨ oße. Dies gilt insbesondere f¨ ur stochastische Gr¨oßen, wie Rauschsignale, bei denen der Momentanwert nahezu ohne Aussage bleibt. Arithmetischer Mittelwert Der einfachste Mittelungswert ist der arithmetische Mittelwert µx einer Folge aus Abtastwerten x(tn ) bzw. eines kontinuierlichen Signals x(t) (s. auch Gl. (6.87)), der wie folgt deﬁniert werden kann +N 1 x(tn ) N →∞ 2N + 1

µx = lim

(13.18)

n=−N

bzw. 1 µx = lim T →∞ 2T

+T

x(t) dt . −T

(13.19)

382

13 Meßsignalverarbeitung

Da die Mittelungen aus ger¨atetechnischen Gr¨ unden nur u ¨ber endliche Zeitintervalle durchgef¨ uhrt werden k¨onnen, beschr¨ankt man sich auf sog. Kurzzeitmittelwerte, welche lediglich Sch¨atzwerte der obigen theoretischen Mittelwerte sind. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Signalverlauf x(t) station¨ ar ist, damit der Mittelwert in der endlichen Beobachtungsdauer T repr¨ asentativ f¨ ur den ganzen Signalverlauf ist. Diese Voraussetzung ist bei periodischen Signalen exakt erf¨ ullt, wenn die Beobachtungsdauer T gerade gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer gew¨ahlt wird. F¨ ur periodische Signale mit der Periodendauer N bzw. T vereinfachen sich die Gln. (13.18) und (13.19) daher zu N 1 x(tn ) (13.20) µx = N n=1 bzw. µx =

1 T

T

x(t) dt .

(13.21)

0

Der arithmetische Mittelwert entspricht bei station¨ aren Signalen dem Gleichanteil eines Signals. Er wird auch als Moment 1. Ordnung bezeichnet. Bei der zeitlichen Mittelung wird also der Gleichanteil xDC eines Signals von seinem Wechselanteil xAC getrennt x(t) = µx + ∆x(t) = xDC + xAC (t) .

(13.22)

Laufende Mittelung Wenn man die Entstehung des Mittelwertes ab dem Vorliegen der ersten (beiden) Meßwerte beobachten m¨ochte, bietet sich die sog. laufende Mittelung an, die wie folgt anhand des aktuellen Abtastwertes xn und des nach (n − 1) uhrt werden kann Schritten berechneten Mittelwertes µn−1 durchgef¨ µn = µn−1 +

xn − µn−1 . n

(13.23)

Die Richtigkeit dieser Formel l¨aßt sich durch folgende Umformung beweisen nµn−1 − µn−1 + xn n (n − 1)µn−1 + xn = n n−1 1 (n − 1) (n−1) xi + x n i=1 = n n 1 xi . = n i=1

µn =

(13.24)

13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale

383

Ein Sonderfall der laufenden Mittelung ist die exponentielle Mittelung, bei der ¨altere Meßwerte stets geringer gewichtet werden als neuere. Diese Art der Mittelung l¨ aßt sich durch ein Tiefpaßﬁlter 1. Ordnung realisieren, wobei bez¨ uglich der Grenzfrequenz dieses Tiefpasses ein Kompromiß zwischen schnellem Einschwingen des Mittelwertes (hohe Grenzfrequenz w¨ unschenswert) und dem Eliminieren des von sehr tiefen Frequenzanteilen hervorgerufenen station¨aren Fehlers (tiefe Grenzfrequenz g¨ unstig) geschlossen werden muß. Gleitende Mittelung Bei der gleitenden Mittelung (moving averaging) wird ein arithmetischer Mittelwert u ¨ber die letzten N Meßwerte wie folgt gebildet µn = µn−1 +

xn − xn−N−1 . N

(13.25)

F¨ ur den Fall, daß die letzten N + 1 Samplewerte nicht mehr verf¨ ugbar sind, l¨aßt sich Gl. (13.25) durch folgendes Bildungsgesetz approximieren µn ≈ µn−1 +

xn − µn−N . N

(13.26)

Dabei wurde der Samplewert xn−N−1 durch den Mittelwert µn−N ersetzt.

13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale Man hat generell zwischen Signalen mit periodischem Zeitverlauf und solchen mit nicht-periodischem Zeitverlauf zu unterscheiden (Abb. 13.10). Die folgenden Betrachtungen beschr¨anken sich ausschließlich auf periodische Signale, die im allgemeinen Fall einen nicht-sinusf¨ ormigen Zeitverlauf aufweisen. Ein nicht-sinusf¨ ormiges Signal wird dann als periodisch bezeichnet, wenn die in ihm enthaltenen Sinusfrequenzen im Verh¨ altnis rationaler Zahlen zueinander stehen. Man kann sich ein beliebiges, nicht-sinusf¨ ormiges Signal x(t) als Summe von (im allgemeinen Fall unendlich) vielen Sinusschwingungen

Abb. 13.10. Signalarten: a) Nicht-periodischer Signalverlauf, b) periodischer Signalverlauf

384

13 Meßsignalverarbeitung

unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage in Form einer Fourierreihe zusammengesetzt denken. Bei einer periodischen Schwingung stehen die Frequenzen dieser Sinusschwingungen in einem ganzzahligen Verh¨ altnis. Die Folgefrequenz eines periodischen Signals entspricht der Zahl der Perioden pro Sekunde. Mit Hilfe einer Fourieranalyse (Kap. 3) kann das Signal in seine Sinus-Komponenten (Fourier-Komponenten) zerlegt werden [101]. Die Amplituden der einzelnen Sinusschwingungen werden im sog. Amplitudenspektrum dargestellt. Abbildung 13.11 zeigt als Beispiel das Amplitudenspektrum eines periodischen Rechtecksignals. Auch ein urspr¨ unglich rein ¨ monofrequentes Sinussignal kann auf seinem Ubertragungsweg nicht-linearen (Schaltungs-)Einﬂ¨ ussen ausgesetzt sein, woraufhin Oberwellen des Originalsignals (d. h. der Grundwelle) entstehen. Diese Nichtlinearit¨ aten kommen beispielsweise in Verst¨arkern vor, wenn die Signalamplituden in den Bereich der Aussteuerungsgrenzen vorstoßen. In Audioanlagen sind die dabei entstehenden nicht-linearen Verzerrungen manchmal sogar akustisch wahrnehmbar. Diese Verzerrungen, die anhand des sog. Klirrfaktors bemessen werden, sind ungewollt und man ist bestrebt, sie zu unterdr¨ ucken.

Abb. 13.11. Amplituden-Spektrum einer unendlichen Folge von Rechteckpulsen mit der Periodendauer T1 = 1/f1

Klirrfaktor Durch Nichtlinearit¨aten in elektrischen (oder mechanischen) Schaltkreisen entstehen Oberschwingungen mit den Amplituden u ˆ2 , u ˆ3 , ... eines urspr¨ unglich ur diese sinusf¨ ormigen Signals mit der (Grundwellen-)Amplitude u ˆ1 . Als Maß f¨ Oberschwingungen wird der Klirrfaktor k angegeben, welcher das Verh¨ altnis des Eﬀektivwertes aller Oberwellen zum Eﬀektivwert des Gesamtsignals angibt 2 2 2 + ... U2eﬀ + U3eﬀ + U4eﬀ k= 2 2 2 + U 2 + ... 100% U1eﬀ + U2eﬀ + U3eﬀ 4eﬀ

13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale

k= Dabei bezeichnen u ˆ1 : U1eﬀ : ˆ3 , ...: u ˆ2 , u U2eﬀ , U3eﬀ , ... :

ˆ24 + ... ˆ23 + u u ˆ22 + u 100% . u ˆ21 + u ˆ22 + u ˆ23 + u ˆ24 + ...

385

(13.27)

Amplitude der Grundwelle Eﬀektivwert der Grundwelle Amplituden der Oberwellen Eﬀektivwerte der Oberwellen.

Zur Messung des Klirrfaktors werden Klirrfaktor-Meßbr¨ ucken eingesetzt, welche obige Formel mit Hilfe von Filterschaltungen auswerten (Abb. 13.12).

Abb. 13.12. Schaltung zur Ermittlung des Klirrfaktors

Dazu wird das zu analysierende Signal, je nachdem, ob es sich um ein hochoder niederfrequentes Signal handelt, auf den entsprechenden Eingang gegeben und zun¨ achst direkt einem Eﬀektivwertmesser zugef¨ uhrt, der den kurvenformunabh¨ angigen ( echten“) Eﬀektivwert des Gesamtsignals mißt und ” anzeigt bzw. speichert. Danach wird das Eingangssignal in einer zweiten Messung u uhrt. Dies ist eine steilﬂankige Bandsperre, ¨ber ein sog. Notchﬁlter gef¨ die eine bestimmte (einstellbare) Spektralkomponente unterdr¨ uckt und das restliche Signal durchl¨aßt. Wenn man mit Hilfe des Notchﬁlters die Grundwelle ausﬁltert, den dabei gemessenen Eﬀektivwert ins Verh¨ altnis zum gemessenen Eﬀektivwert des Gesamtsignals setzt und den Quotienten in Prozent ausdr¨ uckt, erh¨ alt man schließlich als Ergebnis den aktuellen Wert des Klirrfaktors des Eingangssignals. Abschließend soll noch erw¨ ahnt werden, daß aus der Angabe des Klirrfaktors keine R¨ uckschl¨ usse auf den Zeitverlauf des Signals gezogen werden k¨onnen, da aus dem Wert des Klirrfaktors weder die

386

13 Meßsignalverarbeitung

Phasenbeziehungen der Harmonischen zueinander noch die Werte ihrer Einzelamplituden hervorgehen. Spektralanalyse Die spektrale Zusammensetzung eines periodischen Signals l¨ aßt sich mit Hilfe eines abstimmbaren steilﬂankigen Bandpaßﬁlters und eines Eﬀektivwert- oder Amplitudenmeßger¨ates auf analoger Basis messen. Dazu wird das Filter, das durch seine Mittenfrequenz fm und seine Bandbreite ∆f gekennzeichnet ist, nacheinander auf die einzelnen Spektrallinien des periodischen Signals x(t) abgestimmt. Die jeweiligen Ausgangsspannungen des Filters werden mit Hilfe eines Eﬀektivwertspannungsmessers ermittelt. Bei einer automatischen Messung wird die Mittenfrequenz des Bandpaßﬁlters zwischen einer unteren fu und einer oberen Grenzfrequenz fo variiert und die jeweils gemessene Ausgangsspannung u ¨ber der Frequenz aufgetragen. Wenn ein reines Linienspektrum (d. h. man hat ein periodisches Eingangssignal) gemessen wird, entsteht aufgrund der Faltung der einzelnen Spektralli¨ nien mit der Ubertragungsfunktion des Bandpasses ein resultierendes Spektrum, das an den Stellen der Spektrallinien das Spektrum des Bandpasses zeigt. Aus diesen Gr¨ unden ist es einleuchtend, daß die Bandpaß¨ ubertragungsfunktion so schmalbandig wie m¨oglich sein sollte. Dies geht allerdings zu Lasten der Einschwingzeit, die proportional mit 1/∆f ansteigt.

13.7 Messung von Signaleigenschaften durch Bestimmung der Korrelationsfunktionen Neben der bereits in den vorangegangenen Kapiteln behandelten, standardm¨ aßig eingesetzten direkten Meßmethode (Abb. 13.13) sowie der in den Kapiteln 9.2 - 9.5 behandelten indirekten Meßmethode auf der Basis von Kompensationsschaltungen (Abb. 13.14) gibt es noch eine dritte grundlegende Meßmethode, n¨ amlich die Messung durch Korrelation mit einem Modellsignal. Bei diesem in Abb. 13.15 gezeigten Verfahren wird die Meßgr¨ oße nach einer Signalumformung mit einem Modellsignal, das wiederum auch das Meßsignal selbst sein kann, mit Hilfe eines Korrelators verglichen. Aus dieser Vergleichsmessung lassen sich wesentliche Signaleigenschaften der Meßgr¨ oße ableiten. Um die dabei ablaufenden Vorg¨ange besser zu verstehen, sollen zun¨ achst die Korrelationsfunktionen deﬁniert und anschließend gezeigt werden, welche Signaleigenschaften sich aus ihren Funktionsverl¨aufen ablesen lassen.

Abb. 13.13. Direkte Meßmethode

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

387

Abb. 13.14. Indirekte Messung durch Kompensation

Korrelationsfunktionen (Kreuzkorrelationsfunktion, Autokorrelationsfunktion) und Bestimmung von Signaleigenschaften durch Messung der Korrelationsfunktionen Es sind zwei Arten von Korrelationsfunktionen deﬁniert, n¨ amlich die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy +T 1 Rxy (τ ) = lim y(t)x(t + τ ) dt (13.28) T →∞ 2T −T sowie die Autokorrelationsfunktion Rxx +T 1 Rxx (τ ) = lim x(t)x(t + τ ) dt , T →∞ 2T −T

(13.29)

wobei x(t) und y(t) beliebige zeitkontinuierliche Funktionen sind. Die Korrelationsfunktionen bilden die Grundlage der Korrelationsmeßtechnik, in der ¨ die Ahnlichkeit von Signalverl¨aufen ermittelt wird. In der Meßtechnik werden diese f¨ ur T → ∞ deﬁnierten Grenz-Funktionen (Erwartungsfunktionen) durch entsprechende Sch¨atzfunktionen approximiert. ¨ ur die Ahnlichkeit Die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) stellt ein Maß f¨ zwischen den beiden Signalen x(t) und y(t) dar. Wenn die aus den Signalen x(t) und y(t) gebildete Kreuzkorrelationsfunktion f¨ ur alle Zeitverschiebungswerte τ den Wert Null annimmt, heißt das, daß sich die beiden Signale in

Abb. 13.15. Messung durch Korrelation mit einem Modellsignal

388

13 Meßsignalverarbeitung

keiner Weise ¨ ahnlich sind. Man bezeichnet sie dann als statistisch unabh¨angig bzw. als unkorreliert. Die Autokorrelationsfunktion beschreibt die Best¨ andigkeit eines Signals in Abh¨ angigkeit einer Zeitverschiebung τ . Ist Rxx (τ ) groß, so muß x(t + τ ) sehr ¨ ahnlich x(t) f¨ ur diesen speziellen Wert von τ sein. F¨ ur den Fall, daß die Autokorrelationsfunktion verschwindet (Rxx (τ ) = 0), sind x(t) und x(t + τ ) orthogonal zueinander. Die Autokorrelationsfunktion hat folgende grunds¨ atzliche Eigenschaften: • Ihr Wert f¨ ur τ = 0 entspricht dem zeitlichen Mittelwert des quadrierten Zeitsignals. Dieser ist wiederum mit dem Quadrat des Eﬀektivwertes identisch (13.30) Rxx (0) = x2 . • Die Autokorrelationsfunktion erreicht f¨ ur τ = 0 stets ihren Maximalwert Rxx (τ ) ≤ Rxx (0) .

(13.31)

• Die Autokorrelationsfunktion ist immer eine gerade Funktion bez¨ uglich der Zeitverschiebungsvariablen τ Rxx (τ ) = Rxx (−τ ) .

(13.32)

• Ihr Wert f¨ ur τ → ∞ entspricht dem Quadrat des zeitlichen Mittelwertes x ¯ Rxx (∞) = x2 .

(13.33)

Die sog. bezogenen Korrelationsfunktionen rxx bzw. rxy liefern aufgrund der in den Gln. (13.34) und (13.35) beschriebenen Normierungen nur Werte im Zahlen-Intervall [−1, +1] Rxx (τ ) Rxx (0) Rxy (τ ) = . Rxx (0)Ryy (0)

rxx =

(13.34)

rxy

(13.35)

Die Art und Weise, wie die Autokorrelationsfunktion vom Wert Rxx als Funktion der Verschiebungszeitspanne τ abf¨allt, ist f¨ ur die Erhaltungstendenz (innere Koh¨arenz) des Signals x(t) charakteristisch. Diese innere Koh¨ arenz eines Signals l¨ aßt sich aus der sog. Koh¨arenzzeit τ0 ablesen, welche aus der Subtangente der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) an der Stelle τ = 0 wie folgt ermittelt werden kann τ0 =

−Rxx (0) d dτ Rxx (τ )|τ =0+

=

Rxx (0) d dτ Rxx (τ )|τ =0−

.

(13.36)

Große Koh¨ arenzzeitwerte deuten auf eine hohe Erhaltungstendenz des Signals hin.

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

389

Mit Hilfe des Korrelationsverfahrens l¨aßt sich u ufen, ob das zu unter¨berpr¨ suchende Signal bestimmte vorgegebene Eigenschaften besitzt. H¨ auﬁg gen¨ ugt es bereits, den zeitlichen Produktmittelwert von Meßsignal x(t) und einem zu deﬁnierenden Modellsignal y(t) zu bilden. Dieser entspricht n¨ amlich dem Anfangswert der Korrelationsfunktion [89] Rxy (0) = x(t)y(t) .

(13.37)

Aus der Gr¨ oße des Produktmittelwertes bzw. dem Verlauf der Korrelationsfunktion kann man beispielsweise feststellen, ob ein unregelm¨ aßiges Signal eine verdeckte Periodizit¨at besitzt. Außerdem l¨aßt sich aus ihrem Verlauf gegebenenfalls die Periodendauer dieser Periodizit¨at ablesen (Abb. 13.16).

Abb. 13.16. Ermittlung von Periodizit¨ aten mit Hilfe der Autokorrelationsfunktion: a) mit Rauschen u ¨ berdecktes harmonisches Signal, b) harmonisches Signal

Die Kreuzkorrelation zweier gleichfrequenter harmonischer Signale u(t) = u ˆ sin(ωt + ϕ)

(13.38)

uM (t) = u ˆM sin(ωt + ϕM )

(13.39)

und beispielsweise ergibt sich nach Auswertung von Gl. (13.28) zu RuuM (τ ) =

u ˆu ˆM cos(ωτ + ϕM − ϕ) . 2

(13.40)

390

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.17. Beispiele von Autokorrelationsfunktionen: a) Normalverteiltes Rauschen, b) Bandbegrenztes Rauschen

Sie verl¨ auft also ebenfalls sinusf¨ormig mit der Variablen τ und der Kreisfrequenz ω. In Abbildung 13.17 werden die Autokorrelationsfunktionen von normalverteiltem und bandbegrenztem Rauschen verglichen. Anwendungen der Korrelationstechnik bei der Distanzmessung Die Korrelationstechnik kann genutzt werden, um auf einfache Weise unter Zuhilfenahme von in Wellenform ausbreitungsf¨ ahigen, stochastischen Signalen Distanzmessungen durchzuf¨ uhren. In der Akustik regt man dazu einen Lautsprecher mit einem (bandbegrenzten) Rauschsignal an (Abb. 13.18), das im

Abb. 13.18. Prinzip der Distanzmessung mit Hilfe akustischer Rauschsignale und der Korrelationstechnik

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

391

Abb. 13.19. Akustische Distanzmessung: a) Sendesignal, b) Empfangssignal

folgenden als Sendesignal x(t) (Abb. 13.19a) bezeichnet wird. Um die Strecke ugt es, Lx zwischen dem Lautsprecher und einem Mikrophon zu messen, gen¨ das vom Mikrophon gelieferte Empfangssignal y(t) (Abb. 13.19b) mit dem Sendesignal einer Kreuzkorrelation zu unterwerfen. Die entsprechende Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) zeigt eine Spitze bei der Zeit τ1 , die der Laufzeit des akustischen Signals zwischen Lautsprecher und Mikrophon entspricht (Abb. 13.20). Bei bekannter Schallausbreitungsgeschwindigkeit c kann daraus die Distanz Lx in einfacher Weise anhand folgender Gleichung bestimmt werden (13.41) Lx = cτ1 . Spektrale Leistungsdichte Neben der bekannten Fourier-Transformierten X(ω) eines Zeitsignals x(t) (Abb. 13.21) ist auch die Fourier-Transformierte der entsprechenden Autokor-

Abb. 13.20. Kreuzkorrelationsfunktion, die aus Sendesignal x(t) und Empfangssignal y(t) gebildet wird

392

13 Meßsignalverarbeitung

relationsfunktion Rxx (τ ) deﬁniert. Der daraus resultierende Funktionsverlauf Sxx (ω) wird spektrale Leistungsdichtefunktion genannt Sxx (ω) =

+∞

Rxx (τ )e−jωτ dτ

−∞ +∞

Rxx (τ ) cos(ωτ ) dτ .

=2

(13.42)

0

Die inverse Fourier-Transformation f¨ uhrt wiederum zu der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) +∞ 1 Sxx (ω)ejωτ dω 2π −∞ 1 +∞ = Sxx (ω) cos(ωτ ) dω . π 0

Rxx (τ ) =

(13.43)

Die Gln. (13.42 - 13.43) werden Wiener-Khintchine-Beziehungen genannt (s. auch Abb. 13.21).

Abb. 13.21. Fourier-Transformation eines Zeitsignals x(t), seiner Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) und seiner spektralen Leistungsdichtefunktion Sxx (ω) nach [92]

¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen

393

Parcevalsches Theorem Das Parcevalsche Theorem besagt, daß die mittlere totale Signalleistung im Zeitbereich gleich derjenigen im Frequenzbereich ist. Das Integral u ¨ber die spektrale Leistungsdichtefunktion Sxx (ω) von ω = −∞ bis ω = +∞ entspricht der mittleren totalen Leistung des Signals +∞ 1 1 ∞ 2 x = Rxx (0) = Sxx (ω) dω = Sxx (ω) dω . (13.44) 2π −∞ π 0 Der Autokorrelationskoeﬃzient Rxx (0) gibt also die in dem Signal enthaltene mittlere Gesamtleistung an und Sxx (ω) beschreibt die spektrale Leistungsverteilung des Signals. Dies bedeutet aber auch, daß sich das Leistungsdichtespektrum eines Signals und insbesondere auch das eines stochastischen (station¨ aren) Signals durch Bandpaßﬁlterung meßtechnisch ermitteln l¨ aßt. Ein steilﬂankiges Bandpaßﬁlter mit der Mittenfrequenz f0 und der Bandbreite ∆f liefert das Zeitsignal x (t) und damit die Leistungsdichte bei der Frequenz f0 1 2 Sxx (f0 ) = x , (13.45) ∆f wobei die Bandbreite ∆f klein werden muß, um die Mittelungsfehler gering zu halten.

¨ 13.8 Außere Sto ¨reinwirkungen Stochastische Fehler Zu den system-inh¨arenten Fehlern (Verf¨alschungen) der Meßsignale infolge der ¨ deterministischen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems treten zuf¨ allige dynamische St¨ oreinwirkungen d(t) hinzu (Abb. 13.22), wie beispielsweise addi˜ tiv u des am Ausgang ¨berlagertes Rauschen. Die Laplace-Transformierte D(s) des Meßsystems wirksamen St¨orsignals ergibt sich nach den bekannten Gesetzm¨ aßigkeiten der Systemtheorie auch im Falle eines stochastischen St¨ orsignals d(t) prinzipiell aus dem Produkt der Laplace-Transformierten D(s) und ¨ der wirksamen Ubertragungsfunktion G2 (s) des Meßsystems ˜ D(s) = G2 (s)D(s) .

(13.46)

¨ Abb. 13.22. Meßsystem mit deterministischen (inneren) Ubertragungsfehlern (cha¨ rakterisiert durch die Ubertragungsfunktionen G1 (s) und G2 (s)) und additiv u ¨berlagerten, ¨ außeren St¨ oreinwirkungen d(t) mit stochastischem Charakter

394

13 Meßsignalverarbeitung

Da jedoch f¨ ur stochastische Signale bez¨ uglich ihrer Signalverl¨ aufe nur statistische Aussagen sinnvoll sind, muß eine geeignete mathematische Beschreibungsform gefunden werden. ¨ Ubertragung stochastischer Signale ¨ Die Ubertragungsfunktion von rein stochastischen bzw. gemischt stochastisch¨ deterministischen Signalen u mit der Im¨ber ein kausales Ubertragungssystem pulsantwort g(t) (z.B. Filter-Vierpol) wird entsprechend Abbildung 13.23 dargestellt.

¨ Abb. 13.23. Ubertragung von stochastischen Signalen u ¨ber ein lineares Netzwerk, ¨ das durch die Ubertragungsfunktion G(ω) beschrieben wird

Anstatt der Laplace-Transformierten X(s) und Y (s) werden bei der Er¨ mittlung des Ubertragungsverhaltens bzw. des resultierenden Ausgangssignals die spektralen Leistungsdichtefunktionen Sxx (ω) und Syy (ω) verwendet (Abbildung 13.24).

¨ Abb. 13.24. Beschreibung des Ubertragungsverhaltens mit Hilfe von Leistungsdichtefunktionen

Dabei geht allerdings die Phaseninformation des Signals verloren. Es gilt nach [82] (13.47) Syy (ω) = Sxy (ω)G(ω) , wobei Sxy (ω) die spektrale Kreuzleistungsdichtefunktion zwischen den Signalen x(t) (Eingangssignal) und y(t) (Ausgangssignal) ist ∞ Sxy (ω) =

Rxy (τ )e−jωτ dτ .

(13.48)

−∞

Diese auch als spektrale Kreuzleistungsdichte bezeichnete Funktion S xy (ω) ist also die Fourier-Transformierte der Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ). Mit der ¨ konjugiert-komplexen Ubertragungsfunktion G∗ (ω) folgt der Zusammenhang [82]

¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen

Sxy (ω) = Sxx (ω)G∗ (ω)

395

(13.49)

und unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (13.47) Syy (ω) = |G(ω)|2 Sxx (ω) .

(13.50)

Bezogen auf Abb. 13.22 bedeutet dies, daß anstelle von Gl. (13.46) der folgende Zusammenhang verwendet wird, der die spektralen Leistungsdichtefunktionen Sdd (ω) und Sd˜d˜ (ω) der Signale d und d˜ nutzt Sd˜d˜ (ω) = Sdd (ω)|G2 (ω)|2 .

(13.51)

Dabei berechnet sich Sdd nach Gl. (13.42) aus der entsprechenden Autokorrelationsfunktion Rdd +∞ Rdd (τ )e−jωτ dτ (13.52) Sdd (ω) = −∞

mit Gl. (13.29) 1 Rdd (τ ) = lim T →∞ 2T

+T

d(t)d(t + τ )dt .

(13.53)

−T

Die folgende R¨ ucktransformation (Gl. (13.43)) der spektralen Leistungsdichtefunktion Sdd (ω) in den Zeitbereich ergibt wiederum die Autokorrelationsfunktion Rdd +∞ 1 Rdd (τ ) = Sdd (ω)ejωτ dω . (13.54) 2π −∞ Nach dem Parcevalschen Theorem (Gl. (13.44)) kann der h¨ auﬁg interessieren2 ˜ de quadratische Mittelwert d des St¨orsignals aus der spektralen Leistungs¨ dichtefunktion des St¨orsignals und der Ubertragungsfunktion des Meßsystems wie folgt berechnet werden 1 ∞ 1 ∞ 2 ˜ Sd˜d˜ (ω) dω = Sdd (ω)|G2 (ω)|2 dω . (13.55) d = π 0 π 0 ¨ Die Filterwirkung des Meßsystems infolge der Ubertragungsfunktion G2 (ω) ¨ kann sich sehr positiv auswirken, wenn sich der f¨ ur die Ubertragung relevante Spektralbereich des Meßsystems und der Spektralbereich, in dem sich das St¨ orsignal beﬁndet, nicht u ¨berlappen (Abb. 13.25).

396

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.25. Filterwirkung eines Meßsystems gegen¨ uber St¨ orsignalen. G(ω) ist die ¨ Ubertragungsfunktion des Meßsystems und Sdd (ω) die spektrale Leistungsdichtefunktion des stochastischen St¨ orsignals.

Maßnahmen gegen dynamische Sto ¨rwirkungen Es bieten sich mehrere M¨oglichkeiten der St¨orunterdr¨ uckung an: • • • •

Abschirmung der St¨orquellen Dynamische Kompensation der St¨orwirkung St¨ orungsunterdr¨ uckung durch F¨ uhrungsregelung St¨ orungsunterdr¨ uckung durch Filterung (Abb. 13.26)

Der Nutzen der direkten Filterwirkung durch das Meßsystem selbst (Abb. 13.25) tritt nur dann ein, wenn die Grenzfrequenz des Meßsystems unterhalb des f¨ ur das St¨ orsignal relevanten Spektrums liegt. Nachdem aber hochwertige Meßsysteme recht hohe Grenzfrequenzen aufweisen, wird i. allg. auch das St¨ orsignal mit erfaßt. In diesen F¨allen sind zus¨ atzliche Filtermaßnahmen erforderlich.

Abb. 13.26. Dynamische St¨ oreinwirkungen in Meßsystemen und ihre Unterdr¨ uckung durch Filterung

14 Rechnergestu ¨ tzte Meßdatenerfassung

14.1 Aufgaben, Bedeutung und Grundstrukturen von rechnergestu ¨ tzten Meßsystemen Im Digitalrechnerbereich wurden in den letzten Jahren in bezug auf Rechenleistung, Datentransfergeschwindigkeit sowie Speichergr¨ oße enorme Fortschritte erzielt. Daher werden die Digitalrechner, insbesondere die immer leistungsf¨ahigeren und preiswerteren Personalcomputer, auch gerne zur Bew¨ altigung komplexer und umfangreicher Aufgaben im Rahmen der Messung elektrischer und nicht-elektrischer Gr¨oßen herangezogen. Die Hauptaufgabengebiete sind dabei die Meßdatenerfassung und die Meßsignalverarbeitung. Daneben werden Digitalrechner auch zur Steuerung und Regelung von Anlagen und als Prozeßleitsysteme eingesetzt. Generell kann man Digitalrechner, die mit einem technischen Prozeß gekoppelt sind, als Prozeßrechner bezeichnen. Die Hauptaufgaben bei der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung sind die korrekte Erfassung der Meßdaten, ihre anschließende Auswertung inklusive Fehlerkorrektur sowie ihre Visualisierung und eﬃziente Speicherung (Archivierung) (Abb. 14.1). ¨ Die Ubernahme von Meßdaten in einen Digitalrechner kann dabei auf verschiedenen Wegen geschehen. Eine der Standardmethoden basiert auf an den Rechnerbus angeschlossenen Meßmodulen, die auf einer Computereinsteck-

Erfassen Auswerten (inkl. Fehlerkorrektur) Visualisieren

Archivieren

Abb. 14.1. Hauptaufgaben der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

398

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

karte realisiert sind (Instrument-on-a-Card) und in der Regel einen AnalogDigital-Umsetzer mit vorgeschaltetem Multiplexer enthalten (Abb. 14.2a). Eine weitere gebr¨ auchliche Methode besteht in der indirekten Steuerung von intelligenten“ Meßger¨aten u ¨ber digitale Computer-Schnittstellen (Computer ” Controlled Instruments (CCI )) (Abb. 14.2b). Die wichtigsten Anforderungen an ein Meßdatenerfassungssystem sind neben der korrekten Erfassung der Meßsignale die schnelle Reaktion auf externe bzw. interne Ereignisse, die Priorit¨ atensteuerung der verschiedenen Aufgaben, gute Visualisierungs- und Archivierungsm¨ oglichkeiten, einfache Bedienung, hohe Zuverl¨ assigkeit sowie die Erweiterbarkeit, Portierbarkeit und Wartbarkeit bez¨ uglich der Software. Als Hauptvorz¨ uge der computergest¨ utzten Meßdatenerfassung sind zu nennen: • • • •

Automatisierung kompletter Meßabl¨aufe Einsparung redundanter Hardware (durch zeitlichen Multiplexbetrieb) sichere und eﬃziente Speicherung von Meßdaten Ersatz von dedizierten und an spezielle Aufgaben gebundene HardwareKomponenten durch anwendungsﬂexible Software-Module, z. B. bei der Filterung • gute Visualisierungs- und Archivierungsm¨oglichkeiten durch Nutzung vielfach vorhandener Standard-PC-Software • leichte Einbindung der Meßdatenerfassung in Regelsysteme oder Anlagen der Automatisierungstechnik. Digitalrechner Rechner-Bus Prozeß (analoge) Meßgrößen a)

Meßdatenerfassungs-Karte mit ADC

Intelligente Meßgeräte

b)

Rechner-Bus

Schnittstellen-Karte (z. B. RS232C oder IEC)

Prozeß (analoge) Meßgrößen

Digitalrechner

digitale Daten

Abb. 14.2. Digitalrechner in der Meßdatenerfassung: a) Instrument-on-a-Card, b) Computer Controlled Instruments (CCI)

14.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen

399

Bei der Auswahl der einzelnen Systemkomponenten stehen i. allg. folgende Gesichtspunkte im Vordergrund: • Amplituden- und Zeitverhalten der Eingangssignale (Auﬂ¨ osung und Abtastrate der zu verwendenden Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzer) • Anzahl der zu verarbeitenden Meßpunkte (Abtastumfang bestimmt durch die Speichergr¨ oße) • Verf¨ ugbarkeit unterschiedlicher Triggerm¨oglichkeiten (Abb. 14.3) • Genauigkeit • Kosten, Zuverl¨assigkeit und Wartbarkeit.

u

u + Flanke

- Flanke

T+

T-

T

Pegel- (Flanken-) Triggerung

t

u

t

sequentielle Triggerung

u

T Fenster-Triggerung

T t

Alarm-Triggerung

T' t

Abb. 14.3. In der Meßdatenerfassung verwendete Triggerarten (T bezeichnet den Triggerzeitpunkt) [99]

Bei der Meßdatenerfassung unterscheidet man prinzipiell zwischen Onlineund Oﬄine-Erfassung. Bei der Online-Erfassung werden die Meßdaten direkt in den Prozeßrechner eingelesen, w¨ahrend sie bei der Oﬄine-Erfassung nach der Digitalisierung in einem Massenspeichermedium, z.B. einem digitalen Magnetband, zwischengespeichert und erst zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt, oft nach

400

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

einem Transport des Speichermediums von einer externen Meßstelle, in den Auswerterechner u ¨bernommen werden. Abbildung 14.4 zeigt die prinzipielle Hardware-Struktur eines rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassungssystems, w¨ahrend Abb. 14.5 den prinzipiellen Funktionsablauf der Softwaresteuerung bei der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung mit anschließender Meßsignalverarbeitung anhand eines Flußdiagrammes verdeutlichen soll. Die Grundfunktionen eines solchen Meßdatenerfassungssystems lassen sich unterteilen in Empfang, Verst¨arkung, Selektion des Meßkanals, Abtastung, Analog-Digital-Umsetzung und Daten¨ ubernahme. Bei der Implementierung dieser Grundfunktionen ist folgendes zu beachten: • Empfang Die wichtigste Maßnahme beim Empfang ist die Vorsorge gegen St¨ orungen des Meßsignals auf der Verbindungsleitung Prozeß-Meßdatenerfas” sungssystem“. Um einen m¨oglichst st¨orungsfreien Empfang der Signale zu erm¨ oglichen, werden vorzugsweise Trennverst¨ arker [113] eingesetzt und entsprechende Schirmungsmaßnahmen durchgef¨ uhrt (s. auch Kap. 14.2.3). • Verst¨ arkung Im allgemeinen ist ein Verst¨arker (Anpassungsverst¨ arker) notwendig, um den Meßkanalpegel (Sensorpegel) an den Eingangsspannungsbereich des A/D-Umsetzers anzugleichen. Die Verst¨arker werden weiterhin zur Erzielung einer hohen Gleichtaktunterdr¨ uckung eingesetzt.

Anpassungsverstärker analoge Meßgröße

Sensor

Filter

AnalogMultiplexer (MUX)

Adressen- und Steuerbus

S&H

ADC Datenbus

DigitalDatenbus DAC rechner

Aktor

Abb. 14.4. Prinzipielle Struktur eines rechnergesteuerten Meßdatenerfassungssystems. Die gestrichelt gezeichneten Funktionsbl¨ ocke z¨ ahlen bereits zu einem Datenausgabesystem.

14.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen

401

• Selektion des Meßkanals Die Auswahl des gerade zu messenden Signals aus einer Reihe von vorhandenen Meßkan¨alen geschieht mittels sog. Analog-Multiplexer. Als Schalter werden dabei vorzugsweise Halbleiterschalter eingesetzt, wenn die Priorit¨ at auf hoher Umschaltgeschwindigkeit liegt, w¨ ahrend man bei kompletter galvanischer Trennung die langsameren Relaisschalter bevorzugt (s. auch Kap. 14.2.2). Bei der Struktur von Analog-Multiplexern unterscheidet man zwischen der massefreien“ Messung einer Diﬀerenzspannung und ” der Messung der Signale gegen ein festes Massepotential. Man unterscheidet weiterhin zwischen Analog-Multiplexer-Schaltungen, die ohne Zeitver-

Grundzustand

Eintreten des Triggerereignisses

nein

ja Meßwerterfassung

Fehlerkorrektur

Zwischenspeicherung

nein

Ende der Messung

Meßdatenverarbeitung (digitale Signalverarbeitung der zeitdiskreten und amplitudenquantisierten Meßwerte) Visualisierung bzw. Archivierung der Meßergebnisse

Zurückführung der Meßergebnisse in einen Prozeß Weiterleitung der digitalen Meßwerte an ein digitales Ausgabesystem

Umsetzung der digitalen Meßwerte in entsprechende Analogwerte mit Hilfe eines DigitalAnalog-Umsetzers

Abb. 14.5. Ablaufplan zur Softwaresteuerung bei der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung

402

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

S&H

Analogeingänge

AnalogMultiplexer (MUX)

S&H

ADC

Digitalausgang

S&H

Triggerpuls Abb. 14.6. Analog-Multiplexing ohne Zeitversatz zwischen den Abtastpunkten der einzelnen Meßkan¨ ale

satz zwischen den Abtastzeitpunkten der einzelnen Kan¨ ale funktionieren (Abb. 14.6) und solchen, die mit Zeitversatz arbeiten, daf¨ ur aber mit einem Sample & Hold-Glied auskommen (Abb. 14.7). Der Zeitversatz l¨ aßt sich nur vermeiden, wenn f¨ ur jeden Meßkanal ein separates Sample & HoldGlied verwendet wird, so daß alle Meßkan¨ale zeitsynchron abgetastet werden k¨ onnen. • Abtastung (Sampling) Wenn das Meßsignal w¨ahrend der Konversionszeit des Analog-Digital-Umsetzers konstant gehalten werden muß, wird eine Sample & Hold-Schaltung eingesetzt. Dabei wird das zeitkontinuierliche Meßsignal in ein zeitdiskretes umgesetzt (Abb. 11.36). Eine besondere Form der Abtastung wird in Abb. 14.8 gezeigt. Mit Hilfe dieses Schaltungsprinzips kann ein schnelles“ Signal in Form eines ” zeitlich kurzen Pulses von einem vergleichsweise langsamen“ ADC um” gesetzt werden. Durch die Verwendung von n Sample & Hold-Gliedern, die von den Ausg¨angen einer n-stuﬁgen Verz¨ogerungsleitung (Tapped Delay Line) angesteuert werden, wird das Signal an n ¨ aquidistanten zeitliAnalogMultiplexer (MUX) Analogeingänge

S&H

ADC

Digitalausgang

Triggerimpuls Abb. 14.7. Analog-Multiplexing mit Zeitversatz zwischen den Abtastzeitpunkten der einzelnen Meßkan¨ ale

14.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen

403

chen St¨ utzstellen abgetastet und der i-te Abtastwert vom i-ten Sample & Hold-Glied erfaßt. Der Analog-Multiplexer ruft dann die Abtastwerte nacheinander ab und f¨ uhrt sie dem ADC zu. • Analog-Digital-Umsetzung Das Herzst¨ uck eines jeden rechnergest¨ utzten Datenerfassungssystems ist der A/D-Umsetzer, der das analoge Signal in eine entsprechende Dualzahl konvertiert. Dabei ﬁnden die in Kap. 11.7 beschriebenen Umsetzungsprinzipien Anwendung. • Datenu ¨ bernahme Die vom A/D-Umsetzer ausgegebenen Digitalwerte werden in einem Busregister gespeichert. Da meist mehrere Datenerfassungskomponenten auf den Rechnerbus geschaltet sind, werden die Ausg¨ ange des Registers als Tristate-Ausg¨ange [113] implementiert. Neben den eigentlichen Datenerfassungssystemen sind auf den einschl¨ agigen PC-Einsteckkarten zur Meßdatenerfassung in der Regel auch Datenausgabesysteme enthalten, deren Aufgabe es ist, in bin¨arer Form vorliegende Signale in Triggerleitungen

Tapped Delay Line

∆T

S&H

..........

S&H

AnalogMultiplexer (MUX) zum ADC

... S&H

Startpuls

u E (t)

uE

uE Spannungswerte einzelner Sample & Hold-Glieder

t ∆T

Abb. 14.8. Schaltung zur zeitlichen Abtastung schneller“ , transienter Signale mit ” langsamen “ A/D-Umsetzern ”

404

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

analoger Form auszugeben. Diese Analogsignale werden nach entsprechender Verst¨ arkung im allgemeinen zur Ansteuerung von Aktoren verwendet. Die Hauptfunktionen eines Datenausgabesystems bestehen darin, das zu wandelnde Digitalwort in ein Busregister zu schreiben (Daten¨ ubergabe), dieses Digitalwort anschließend mit Hilfe eines Digital-Analog-Umsetzers in eine Analogspannung umzusetzen (D/A-Umsetzung) und auf einen Ausgangsverst¨ arker zu geben (Ausgabe). Abbildung 14.9 zeigt die typische Struktur eines Datenausgabesystems, das mehrere Ausgabekan¨ ale aufweist. Rechnergesteuerte Datenausgabesysteme haben in letzter Zeit als ﬂexible Funktionsgeneratoren große Bedeutung erlangt. Solche sog. Arbitrary Waveform Synthesizer erlauben die rechnergesteuerte Synthese von (im Rahmen der zeitlichen Abtastung sowie Amplitudendynamik) beliebigen Signalformen. Die in Datenerfassungs- und Datenausgabesystemen typischerweise auftretenden Fehler sollen im folgenden kurz zusammengefaßt werden: ¨ • Ubersprechen (Crosstalk) zwischen den einzelnen, insbesondere benachbarten, Kan¨ alen • Gleichtaktst¨ orungen • Fehler der Sample & Hold-Schaltung in Form von Apertur-Unsicherheiten, ¨ Ubersprechen, etc. (s. Kap. 11.7.1 und 11.7.2) • Fehler des A/D-Umsetzers, z. B. Quantisierungsfehler (s. Kap. 11.7.8) • Fehler des D/A-Umsetzers, z. B. transiente Spannungsspitzen und Zeitfehler (s. Kap. 11.6.3) • Systemfehler der digitalen Signalverarbeitung, z. B. Rundungs-, Abbruch¨ und Uberlauﬀehler.

14.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung Das zentrale Element einer jeden rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung bildet der oft auch als Prozeßrechner bezeichnete Steuerrechner, welcher u ¨ber Datenbus DAC

Steuerbus

AblaufSteuerung

. . .

S&H

u1

S&H

u2

. . . S&H

. . . uk

Abb. 14.9. Prinzip eines Datenausgabesystems mit k Ausgabekan¨ alen

14.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

405

Einrichtungen f¨ ur die direkte informationstechnische Kopplung (Kommunikation) mit dem Prozeß verf¨ ugt. Als Steuerrechner kommen prinzipiell Mikround Minicomputer, Workstations und insbesondere leistungsf¨ ahige Personalcomputer in Frage. Es sind in Abh¨angigkeit von der Geschwindigkeit“ des ” Prozesses vor allem schnelle Computer gefragt, welche die F¨ ahigkeit haben, rechtzeitig“ auf externe Prozeß-Ereignisse zu reagieren. Man spricht in die” ¨ sem Zusammenhang auch von Echtzeitf¨ahigkeit (Realtimef¨ahigkeit). Uber die Realtimef¨ ahigkeit eines Computers entscheidet neben seinen hardwarem¨ aßigen Leistungsmerkmalen (vor allem die Geschwindigkeit) das verwendete Betriebssystem [34]. Die zur Meßdatenerfassung ben¨otigte Hardware gliedert sich in den eigentlichen Steuerrechner sowie die daran angeschlossenen bzw. die darin enthaltenen Schnittstellen zur Prozeßperipherie (Abb. 14.10). Die ProzeßrechnerHardware unterscheidet sich bez¨ uglich ihrer Grundkomponenten zun¨ achst nicht von der Architektur eines jeden anderen gew¨ ohnlichen Digitalrechners. Der Unterschied in bezug auf die Hardware besteht lediglich in der Verf¨ ugbarkeit von einer oder von mehreren der folgenden Komponenten (Abb. 14.10): • Prozeßperipheriekarte mit Analog- und Digital-Ein/Ausg¨ angen zum direkten Anschluß an externe Prozesse • Bus-Controller zum externen Busanschluß, z. B. IEC-Bus oder VXI-Bus (s. Kap. 14.4.6 und 14.4.7). F¨ ur die Verbindung zur Prozeßperipherie sind im konkreten folgende Standardl¨ osungen (Abb. 14.11) u ¨blich: • (Multifunktions-) Einsteckkarten mit eigenem Multiplexer und A/D-Umsetzer interner Bus CPU Rechen- Steuerwerk werk

PlattenController BusController

ROM/ EPROM RAM

Festplattenspeicher

externer Bus, z. B. IEC-Bus

DigitalSchnittstellenDigitalschnittstelle, Karte z. B. RS232 Prozeßperipheriekarten(n)

Peripheriegeräte Peripheriegeräte analoge und digitale Prozeßsignale

Abb. 14.10. Struktur eines Digitalrechners mit Peripherie-Schnittstellen zu einem Prozeß

406

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Rechner

Rechner Bus

Multifunktions-Einsteckkarte mit Analog-Multiplexer und ADC

ADC

analoge Meßsignale

a)

Einsteckkarte Rechner

b)

c)

RS232C-Schnittstelle

seriell Meßgerät mit ADC (digital) Rechner IEC-Bus intelligentes Meßgerät parallel (digital) intelligentes Meßgerät

analoge Meßsignale

analoge Meßsignale IEC-Bus

Datenlogger Rechner

d)

RS232C oder IEC-Bus

intelligentes Meßgerät mit Datenspeicher

analoge Meßsignale

mechanischer Transport oder Datenfernübertragung, z. B. über Modem

Abb. 14.11. Standardm¨ aßig verwendete Anschlußvarianten der Prozeßperipherie an einen Digitalrechner: a) Multifunktions-Einsteckkarte, b) RS232C-Schnittstelle, c) IEC-Bus, d)Datenlogger

• Meßger¨ ate (mit internem A/D-Umsetzer), die u ¨ber eine serielle Schnittstelle, z. B. eine RS232-Schnittstelle, zwecks Meßger¨ atesteuerung und Daten¨ ubernahme mit dem Rechner verbunden sind • Intelligente Meßger¨ate (mit internem A/D-Umsetzer), die an einen externen Rechnerbus, z. B. einen IEC-Bus, zwecks Meßger¨ atesteuerung und Daten¨ ubernahme angeschlossen sind • Autonom arbeitende Meßger¨ate mit Speicherm¨ oglichkeit (Datenlogger), die eine sp¨ atere Oﬄine-Daten¨ ubergabe in den Auswerterechner u ¨ber eine serielle oder parallele Schnittstelle, z. B. den IEC-Bus, erlauben. 14.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten Multifunktions-Einsteckkarten enthalten einen eigenen Analog-Multiplexer, einen Analog-Digital-(ADC) und im allgemeinen auch mindestens einen DigiStal-Analog-Converter (DAC). In Abh¨angigkeit vom Rechnertyp und der jeweiligen Anwendung stellt der heutige Markt eine Vielzahl von Einsteckkarten zur Verf¨ ugung. In Abb. 14.12 wird die Struktur einer typischen

14.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

407

Adress- / Steuerbus 1 2

1 2

...

AnalogEingänge

16

Multiplexer (MUX)

S&H

ADC

Trigger MUX

Trigger Modul

Steuerung Timer

16

TimingEingang 1 AnalogAusgänge

2

DAC 2 DAC 1

Busregister

Datenbus Abb. 14.12. Blockschaltbild einer typischen Multifunktions-Einsteckkarte

Multifunktions-Einsteckkarte gezeigt. Sie erm¨ oglicht die Erfassung von 16 bzw. 32 Meßkan¨alen im Multiplexbetrieb. Sollten die 16 bzw. 32 analogen Eingangskan¨ ale nicht ausreichen, k¨onnen diese durch spezielle Multiplexerkarten auf bis 8192 Eingangskan¨ale erweitert werden. Dabei werden die AnalogKan¨ ale gruppenweise auf die I/O-Kan¨ale der Karte gelegt (Abb. 14.13). In ¨ ahnlicher Weise lassen sich die Analogausg¨ ange mit 1 zu 32 demultiplexen. Die Kanalwahl und die Konﬁguration erfolgt u ange ¨ber die Digital-Ausg¨ der Meßkarte. Diese Zusatzkarten bieten auch die M¨ oglichkeit der ﬂexiblen Signalkonditionierung. Die Parametrierung dieser Signalkonditionierung erfolgt ebenfalls u ¨ber die Digitalausg¨ange der Meßdatenerfassungskarte [67]. Diese Zusatzkarten erweitern den Spannungsbereich auf bis zu 50 V, sie erm¨ oglichen die Messung von Temperaturen mit Pt100-Temperaturf¨ uhlern und sie verf¨ ugen u ¨ber Stromeing¨ange der Standard-Strom-Schnittstelle 0...20 mA. Bei Abtastraten von 100 ksamples/s bis 200 ksamples/s sind typischerweise A/Dbzw. D/A-Umsetzungen mit 16-Bit-Auﬂ¨osung m¨ oglich. Schnellere Meßdatenerfassungskarten erlauben mittlerweile Abtastraten von 500 ksamples/s bei 16 Bit-Auﬂ¨ osung. Die Auswahl an solchen Peripheriekarten f¨ ur PCs ist mittlerweile sehr umfangreich und vielf¨altig geworden. Hochgeschwindigkeitskarten erlauben Abtastraten von bis zu 100 Msamples/s oder mehr bei einer typischen Auﬂ¨ osung von 8 Bit. Bei 10 Msamples/s werden noch 12 Bit erreicht. F¨ ur hochgenaue Anwendungen besteht die M¨ oglichkeit, Meßwerte mit 21 Bit aufzul¨ osen. Dies l¨aßt eine maximale Abtastrate von 10 ksamples/s zu und erfordert einen sorgf¨altigen Aufbau der gesamten Meßschaltungen, um am

408

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Abb. 14.13. Beispiel f¨ ur erweitertes Multiplexing mit 256 Analogeing¨ angen auf eine Meßdatenerfassungskarte. Es ist eine Erweiterung auf ein 8192-zu-32-Multiplexing m¨ oglich [67].

unteren Ende des Dynamikbereiches Probleme infolge Rauschen oder elektromagnetischer Einstreuungen zu vermeiden. F¨ ur die sehr hohen Abtastraten ist es wichtig, daß gen¨ ugend Memory zum Zwischenspeichern der Meßwerte auf der Karte selbst zur Verf¨ ugung steht. Daf¨ ur stehen auf hochwertigen Karten mittlerweile 64 MByte Memory pro Meßkanal bereit. Solche Karten sind f¨ ur alle g¨ angigen PC-Busse, wie PCIBus, PXI-Bus oder USB-Schnittstelle, lieferbar. Treiberroutinen sind f¨ ur die Standard-Betriebssysteme erh¨altlich. Zur Triggerung durch externe Signale ist ein Timing-Eingang vorgesehen. Weiterhin enthalten die Karten meist zwei Digital-Analog-Umsetzer, welche Digitalwerte, die auf den Datenbus gelegt werden, in entsprechende Analogspannungswerte umsetzen und mit Hilfe von Ausgangsverst¨ arkern ausgeben. Die Leistungsdaten typischer Multifunktions-Datenerfassungskarten sind in Tabelle 14.1 enthalten.

14.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

409

Tabelle 14.1. Leistungsdaten typischer Multifunktions-Datenerfassungskarten Typ/Hersteller Anzahl Analogeing¨ ange single ended diﬀerentiell Auﬂ¨ osung des ADC Summen-Abtastrate Uin digitale I/O Kan¨ ale Analogausg¨ ange Typ/Hersteller Anzahl Analogeing¨ ange single ended diﬀerentiell Auﬂ¨ osung des ADC Summen-Abtastrate Uin digitale I/O Kan¨ ale Analogausg¨ ange

NI 6071E NI 6052E National Instruments National Instruments 64 32 12 Bit 1,25 Msamples/s ±0, 05 bis ±10V 8 2 (12 Bit)

16 8 16 Bit 333 ksamples/s ±0, 05 bis ±18V 8 2 (16 Bit)

NI 6115 PCI 9820 National Instruments Adlinktech 4 2 12 Bit 40 Msamples/s ±0, 2 bis ±42V 8 2 (12 Bit)

2 1 14 Bit 130 Msamples/s 0 bis ±5V 0 0

14.2.2 Multiplexer Der Multiplexer ist ein wesentliches Schaltungselement in Meßdatenerfassungssystemen. Als Multiplexer eignen sich neben den klassischen Relais die Halbleiter-Analogschalter (HL-Analog-Schalter) . W¨ ahrend die verschleißfreien Halbleiterschalter hohe Schaltgeschwindigkeiten bis in den MHz-Bereich zulassen, aber den Nachteil keiner vollst¨andigen galvanischen Trennung haben, bieten die Relais gerade diesen Vorzug, der bei vielen industriellen Anwendungen gefordert wird. Daf¨ ur zeigen sie wesentlich niedrigere Schaltgeschwindigkeiten (Tabelle 14.2). 3- und 5-polige Relais werden verwendet, um EMV-St¨ orungen (EMV = Elektromagnetische Vertr¨aglichkeit) infolge Erdschleifen und elektromagnetischer Einkopplungen zu vermeiden (Abb. 14.14). Der 3. Pol dient der Schirmtrennung, die beiden weiteren der 5-poligen Relais der zus¨ atzlichen Trennung der Stromversorgung. 14.2.3 St¨ orungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen Als Erdschleifen werden St¨orkreise bezeichnet, die durch Mehrfacherdung zustandekommen (s. Beispiel der 2-poligen Relaisschaltung aus Abb. 14.14). So ist beispielsweise das 50 Hz-Netzbrummen bei Verst¨ arkeranlagen auf solche Erdschleifen zur¨ uckzuf¨ uhren. Es handelt sich dabei um eine galvanische

410

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung Tabelle 14.2. Multiplexer in der Meßdatenerfassung

Typ

Vorteile

Nachteile

HL-Analog-Schalter schnell (Dauer eines Schaltzyklus > 50ns) Relais (2-polig) galvan. Trennung

Relais (3-polig) Relais (5-polig)

evtl. Oﬀsetspannungen und Gleichtaktst¨ orungen evtl. zu geringe Schaltspannung langsam, evtl. Erdschleifen (Dauer eines Schaltzyklus > 5ms) langsam, h¨ ohere Kosten

galvan. Trennung auch vom Schirmanschluß zus¨ atzliche galvan. hohe Kosten Trennung der Sensor-Stromversorgung

2-polige Relaisschaltung

A

Kanal n Sensor . . . . . .

D

digitale Masse = System-Masse

geschirmte Signalleitung

Kanal n+1

Gefahr von Erdschleifenbildung Die Schirmanschlüsse von allen n Kanälen haben dauernde elektrische Verbindung.

3-polige Relaisschaltung

Kanal n Sensor . . . . Kanal n+1

A

D

Infolge der 3-poligen Relaisschaltung wird nur der Schirm des aktuellen Meßkanals durchgeschaltet.

Abb. 14.14. Relais dienen der vollst¨ andigen galvanischen Trennung von Sensor und Meßschaltung. Im Falle der 3-poligen Relais kann der Schirm f¨ ur jeden Meßkanal getrennt werden, so daß nur der Schirm des aktuellen Meßkanals durchgeschaltet wird.

14.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

411

und/oder induktive Kopplung, die anhand eines Beispiels erl¨ autert werden soll. Eine Quelle Q und ein Empf¨anger E sind u ¨ber eine Zweidrahtleitung verbunden (Abb. 14.15). Beide Ger¨ate sind separat mit der Schutzerde PE verbunden. Eine St¨orspannung UESt kann nun entweder durch galvanische Kopplung u ¨ber die gemeinsame Koppelimpedanz (RSL und LSL ) oder durch induktive Einkopplung in die Schleife, die sich zwischen einem Leiter und der Erdverbindung bildet, entstehen. • galvanische Kopplung uhrt zu einer Spannung zwischen den Der Strom IP E1−2 im Schutzleiter f¨ Punkten 1 und 2 und wegen der Impedanzen Z Q und Z E zu unterschiedlichen St¨ orstr¨ omen in den beiden Leitern. Dies hat eine St¨ orspannung UESt im Signalkreis zur Folge. • induktive Kopplung Infolge magnetisch-induktiver Kopplung kann es zur Induktion von weiteren St¨ orspannungen (Abb. 14.15) kommen. Leitungswiderstände und Leitungsinduktivitäten der Zweidrahtleitung

Quelle 1'

ISt 2

ZQ 1

ISt 1

Empfänger 2'

UESt

dΦ2 dt

ZE 2

Erdschleife dΦ1 dt I PE1-2 . Z kopp

Schutzerdung der Quelle

PE1

PE2

I PE1-2

RSL

UStind

L SL

= Z kopp Koppel-Impedanz der Schutzerdung

Schutzerdung des Empfängers

Abb. 14.15. Erdschleife infolge Mehrfacherdung

So wird in der Erdschleife, die sich zwischen den Punkten P E1, 1, 2 und P E2 aufspannt, eine St¨orspannnung UStind induziert, wenn die zeitliche ¨ oﬀAnderung des magnetischen Flusses ∂Φ1 ungleich Null ist. Selbst bei ge¨ ∂t

2 orspannung zwischen neter Erdschleife kann infolge ∂Φ ∂t = 0 eine weitere St¨ den Signalleitungen (1 − 2) und (1 − 2 ) induziert werden. Die ist eine Gegentaktst¨ orung.

412

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Zur Unterscheidung von Gleich- und Gegentaktst¨ orungen ist anzumerken: • Gleichtaktst¨ orungen (common mode noise voltage) Es handelt sich dabei um St¨orspannungen zwischen den Signalleitungen und Masse (zur mathematischen Deﬁnition siehe Gl. (7.16)). • Gegentaktst¨ orungen (diﬀerential mode noise voltage) Diese St¨ orspannungen treten zwischen den Signalleitungen auf. Gegenmaßnahmen gegen Erdschleifen • Auftrennen der Erdschleife, d. h. nur einseitige Erdung. Vorsicht: Dies widerspricht oft den g¨ ultigen Sicherheitsbestimmungen, die in jedem Fall einzuhalten sind! • Trenntransformator in die Signalleitung einbauen. Beide eben genannten Maßnahmen verlieren bei hohen Frequenzen wegen der stets vorhandenen Streukapazit¨aten, die dann zunehmend als Kurzschluß wirken, an Wirkung. • Potentialtrennung durch Optokoppler. Diese wirkungsvolle Maßnahme wird sehr oft bei speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) eingesetzt. Gegenmaßnahmen gegen magnetisch-induktive Gegentaktst¨ orungen Gegen induktiv-magnetische Einkopplungen zwischen den Signalleitungen (Φ2 in Abb. 14.15) helfen verdrillte Signalleitungen (Twisted-Pair-Leitungen). Gegenmaßnahmen gegen Gleichtaktst¨ orungen Die Verwendung von Diﬀerenzverst¨arkern, insbesondere von Instrumentenverst¨ arkern (Kap. 7.2.2), unterdr¨ uckt Gleichtaktst¨ orungen weitgehend. Voraussetzung ist allerdings, daß Signaleing¨ange beim Empf¨ anger erd- bzw. massefrei angelegt werden k¨onnen. Weiterhin muß die Eingangsimpedanz des Differenzverst¨ arkers groß gegen¨ uber der Innenimpedanz der Quelle sein. 14.2.4 Serielle Schnittstellen Serielle Schnittstellen, wie z.B. die Standardschnittstellen RS232 bzw. RS422 geh¨ oren zur Standardhardware-Ausstattung eines jeden Rechners. Sie erlau¨ ben den einfachen Anschluß von Peripherieger¨ aten an diesen Rechner. Uber die serielle Schnittstelle k¨onnen sowohl Befehle zur Ger¨ atesteuerung abgesetzt werden als auch Daten vom Meßger¨at in den Rechner transferiert werden. Infolge der seriellen Daten¨ ubertragung ist die Daten¨ ubertragungsrate jedoch relativ niedrig. Die Verwendung serieller Schnittstellen in der Meßdatenerfassung wird in Kap. 14.4.1 bis 14.4.5 beschrieben.

14.3 Grundtypen des Datentransfers

413

14.2.5 Parallelbussysteme Ein Bussystem ist ein aus parallelen Leitungen bestehender elektrischer Verbindungsweg f¨ ur digitale bzw. auch analoge Daten mit fest vereinbarten ¨ Hardware-Komponenten, Signalpegeln und Ubertragungsprotokollen. Im Vergleich zu seriellen Schnittstellen sind Parallelbussysteme aufgrund der parallelen Daten¨ ubertragung wesentlich leistungsf¨ahiger, speziell in bezug auf die Datentransferrate. Sie erfordern jedoch den Einbau einer dedizierten Schnittstellenkarte, auf der ein entsprechender Schnittstellen-Controller arbeitet. Der IEC-Bus ist ein solches Bussystem, das mittlerweile auf dem Gebiet der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung zum Industriestandard avanciert ist. Nachdem inzwischen auch viele autonom arbeitende Meßger¨ ate, wie z. B. DigitalMultimeter und Spektrumanalysatoren, mit diesem Standard-Interface ausgestattet werden, lassen sich solche Ger¨ate mittels eines Rechners auf elegante Weise steuern bzw. zu kompletten Meßsystemen zusammenschalten. Dabei kann die gesamte Bedienung der Meßger¨ate vom Rechner aus erfolgen (s. Kap. 14.4.6). 14.2.6 Datenlogger Eine weitere M¨ oglichkeit der Anbindung von Prozessen an Rechner sind sog. Datenlogger. Diese nehmen vor Ort Prozeßdaten auf und speichern diese, um sie nach anschließendem Transport des Ger¨ates via serieller oder paralleler Schnittstelle (z. B. IEC-Bus) oﬄine dem Rechner zu u ¨bergeben. Dieser Datentransport kann auch mit Hilfe eines Modems u oﬀentliche Telephonnetz ¨ber das ¨ oder via Internet geschehen.

14.3 Grundtypen des Datentransfers Der Datentransfer zwischen den peripheren Meßger¨ aten und dem Rechner kann auf folgende Arten erfolgen: 1. Abfrage (Polling) Bei dieser Kommunikationsmethode startet der Rechner die Datenerfassung in einem Peripherieger¨at und wartet anschließend auf dessen Fertigmeldung. Danach k¨onnen die Daten vom Rechner u ¨bernommen werden. Vorteil: - einfach zu implementieren Nachteil: - Rechner ist bis zur Fertigmeldung blockiert 2. Interrupt-Methode Der Rechner arbeitet nach dem Starten des Peripherieger¨ ates im gerade aktuellen Programm weiter, bis das Ger¨at als Fertigmeldung ein InterruptSignal liefert. Das Interrupt-Signal bewirkt die von der Interrupt-ServiceRoutine gesteuerte Daten¨ ubernahme. Danach erfolgt ein R¨ ucksprung an

414

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

¨ das unterbrochene Programm. Ublicherweise werden f¨ ur verschiedene Interrupts gestufte Priorit¨atsebenen festgelegt. Vorteile: - unverz¨ ugliche Reaktion auf Triggerereignisse - im Gegensatz zum Polling keine Blockierung des Steuerrechners zwischen den Einlesephasen Nachteil: - Betriebssystem muß echtzeitf¨ahig sein bzw. zumindest die einwandfreie Interruptverarbeitung gestatten 3. Direct Memory Access (DMA) Bei dieser Methode wird der Datentransfer von einem sog. DMA-Controller ohne Beteiligung der CPU (abgesehen von der Initialisierung des Transfers) gesteuert. Die Daten gelangen dabei direkt in den Arbeitsspeicher des Rechners. Vorteil:

- schneller Datentransfer

¨ Nachteile: - keine zwischenzeitliche Uberpr¨ ufung der Daten - gr¨oßerer Hardwareaufwand (z. B. Speicher im Peripherieger¨at). - direkte Verbindung zum Rechnerbus erforderlich

14.4 Meßdatenerfassung im Labor Bei der computergesteuerten Meßdatenerfassung nutzt man im wesentlichen zwei M¨ oglichkeiten, digitale Signale zu u amlich u ¨bertragen, n¨ ¨ber Punkt-zuPunkt-Verbindungen oder u ¨ber Bussysteme. Bei den Punkt-zu-PunktVerbindungen sind zwei Teilnehmer, beispielsweise ein Meßger¨ at und ein Steuerrechner, u ¨ber eine bidirektionale Datenleitung verbunden. An Bussysteme hingegen lassen sich stets mehrere Teilnehmer gleichzeitig anschließen. Bei den ¨ Bussystemen wird je nach Form der Ubertragung, die bitseriell oder bitparallel erfolgen kann, zwischen dem seriellen Bus und dem Parallelbus unterschieden. ¨ Tabelle 14.3 soll einen Uberblick u ¨ber die wichtigsten im Rahmen der computerunterst¨ utzten Meßdatenerfassung und Meßwertverarbeitung genutzten Standardschnittstellen geben. Auf die in der Meßtechnik am h¨ auﬁgsten verwendeten Schnittstellen, z.B. die serielle RS232-Schnittstelle oder die parallele IEC-Bus-Schnittstelle, wird in den folgenden Abschnitten n¨ aher eingegangen. Weiterhin wird der derzeitige Stand der Feldbussysteme besprochen. Alle diese Digital-Schnittstellen bestehen aus normgem¨ aß abgestimmten Verdrahtungs- und Logiksystemen, die den Ablauf der Datenverbindungen steuern. Diese m¨ ussen in jedem einzelnen Ger¨ at, welches an die jeweilige Schnittstelle angeschlossen ist, implementiert sein. Ein wesentliches Ziel ist es dabei, die Ger¨ate verschiedener Hersteller mittels solcher Schnittstellen st¨orungsfrei zu verbinden. Mit Hilfe von sog. Schnittstellenwandlern lassen

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

415

Tabelle 14.3. Computer-Schnittstellen in der Meßdatenerfassung RS232

Punkt-zu-Punkt-Verbindung, serielle Daten¨ ubertragung mit 19200 Bit/s bei max. 20 m, d. h. max. ca. 2000 Zeichen/s (in der Praxis jedoch wird die RS232C-Schnittstelle abweichend von ¨ der Norm auch mit h¨ oherer Ubertragungsrate (38400 Bit/s) bzw. ¨ f¨ ur l¨ angere Ubertragungswege genutzt), Parit¨ atspr¨ ufung m¨ oglich, Synchronisation von Sender und Empf¨ anger mittels Soft- oder Hardware-Handshake.

RS422 (RS485)

Serielle Schnittstelle, diﬀerentielle Signal¨ ubertragung und damit ¨ h¨ ohere St¨ orsicherheit, max. Ubertragungsdistanz: 1200 m, bis 10 (32 bei RS485) Teilnehmer m¨ oglich, Daten¨ ubertragungsrate bis zu 12 MBit/s (siehe auch Tab. 14.7).

USB

(Universal Serial Bus) serielle Busverbindung, Daten¨ ubertragung mit bis zu 480 MBit/s bei einer maximalen Distanz von 5 m, die durch Einf¨ ugen von Repeatern auf bis zu 30 m erweitert werden kann; max. 127 Teilnehmer.

IEC-Bus

(auch IEEE488, HP-IB bzw. GPIB) Bussystem mit einem Controller (im Normalfall der Steuerrechner), Talkern und Listenern, max. 15 Ger¨ ate anschließbar (29 bei Verwendung eines Bus¨ Expanders), Ubertragungsdistanzen: von Ger¨ at zu Ger¨ at max. 2 m, total max. 20 m, Daten¨ ubertragungsrate: typ. 500 kByte/s, max. 1 MByte/s.

VME-Bus

(VERSA Module Europe) Mikrorechner-Bus f¨ ur Datenwortbreiten bis zu 32 Bit, der auf u ¨ blichen Europakarten-Steckverbindern basiert, Daten¨ ubertragungsrate: max. 24 MByte/s.

VXI-Bus

(VME Bus Extensions for Instrumentation) Um den Steckverbinder P3 erweiterter VME-Bus mit Versorgungsleitungen, Taktleitungen (bis 100 MHz), Trigger-Leitungen und Leitungen f¨ ur lokale Teilbusse. Die Steuerungs- und Kommandostruktur orientiert sich am IEC-Bus-Standard, d. h. eine Mischung von VME-, VXI- und IEC-Bus-Modulen in einem Meßsystem ist m¨ oglich, Daten¨ ubertragungsrate: max. 40 MByte/s.

PXI-Bus

(PCI Extension for Instrumentation) auf dem PCI-Bus (PCI=Peripheral Component Interconnect) basierendes Bussystem mit bis zu 64 Bit Datenbreite, Datentransferrate bis zu 528 MByte/s, max. 31 Ger¨ ate anschließbar, Triggerleitungen und Leitungen f¨ ur lokalen Bus analog zum VXI-Bus vorhanden.

CAMAC

Computer Application for Measurement and Control (Euratom 1969). Ein Bussystem, welches zun¨ achst f¨ ur die Belange der europ¨ aischen Kernforschungseinrichtungen entwickelt wurde, jedoch auch f¨ ur andere Prozeßautomatisierungsaufgaben eingesetzt wird.

416

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

sich Standardschnittstellen ineinander konvertieren. So gibt es beispielsweise standardisierte Schnittstellenwandler, die serielle RS232-Schnittstellensignale in IEC-Bus-Schnittstellensignale umsetzen. 14.4.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) F¨ ur die serielle Daten¨ ubermittlung stehen mehrere Standardschnittstellen zur Verf¨ ugung, deren Normung von zwei Beh¨orden, n¨ amlich dem CCITT = Comit´e Consultatif International T´el´egraphique et T´el´ephonique (Internationales Standardisierungsgremium im Fernmeldebereich) sowie der EIA = Electronic Industry Association (Nationales Normungsinstitut der USA), vorgenommen wurde. Die im Rahmen der Meßdatenerfassung interessanten seriellen Schnittstellen sind: • • • •

CCITT-Empfehlung V.24 entspricht der US-Norm EIA RS232C CCITT-Empfehlung V.11 entspricht der US-Norm EIA RS422A CCITT-Empfehlung V.10 entspricht der US-Norm EIA RS423A Strom-Schnittstelle; auch als Linienstrom-, 20 mA-, Current-Loopoder TTY-Schnittstelle bezeichnet.

¨ Die maximale Leitungsl¨ange betr¨agt 1000 m und die h¨ ochste Ubertragungsrate 9,6 kBit/s. Die ebenfalls genormte RS485-Schnittstelle entspricht der RS422ASchnittstelle mit dem Unterschied, daß 32 anstatt 10 Teilnehmer angeschlossen werden k¨ onnen. Die Unterschiede bez¨ uglich der beiden wichtigsten Schnittstellen, der RS232C und der RS422A, sind in Tabelle 14.7 dargestellt. Urspr¨ unglich wurde die RS232C-Schnittstelle f¨ ur Daten¨ ubertragungseinubermittlung richtungen, den Modems (Modulator/Demodulator), zur Daten¨ auf Telephonleitungen vorgesehen. Heute dient sie vorwiegend der Kopplung von Digitalrechnern mit Peripherieger¨aten. Die US-Norm RS232C (Recommended Standard Number 232, Revision C) beschreibt sowohl die elektrischen als auch die funktionellen Eigenschaften der Schnittstelle. Die Nutzung der RS232C-Schnittstelle im Rahmen von Meßdatenerfassungsaufgaben bietet vor allem einen Kostenvorteil, da diese Schnittstelle in den verwendeten Digitalrechnern in der Regel vorhanden ist. Als Nachteil muß die geringe Daten¨ ubertragungsrate angef¨ uhrt werden, die sich insbesondere beim Transfer gr¨ oßerer Datenmengen, z. B. den oft umfangreichen Datens¨ atzen von DigitalspeicherOszilloskopen, negativ bemerkbar macht. ¨ Ubertragungsmedien Zum Aufbau von seriellen Daten¨ ubertragungsstrecken verwendet man vorwiegend verdrillte Leitungspaare (Twisted-Pair-Leitungen), Koaxialkabel oder auch Lichtwellenleiter. W¨ahrend die kostenintensiven Lichtwellenleiter in be¨ zug auf Bandbreite und u uckbare Distanz ausgezeichnete Ubertragungs¨berbr¨ m¨ oglichkeiten bieten, beschr¨anken sich die verdrillten Leitungen auf m¨ aßige Bandbreite und Entfernung. Sie sind daf¨ ur aber wesentlich preisg¨ unstiger.

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

417

¨ Tabelle 14.4. Ubertragungsmedien in der Meßdatenerfassung ¨ Ubertragungsu uckbare St¨ oranf¨ alligkeit Kosten ¨ berbr¨ bandbreite Distanz Koaxialkabel (Basisband) + + ++ + verdrillte Leitungspaare 20 kBits/s < 20 m (Twisted-Pair-Leitungen) -/+ +++ Lichtwellenleiter GBit/s km-Bereich (LWL) +++ ++ +++ —

¨ Die Koaxialkabel stellen bei der Nutzung der Ubertragung im Basisband eine Kompromißl¨ osung dar (Tab. 14.4). Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle Abbildung 14.16b zeigt die Belegung des im allgemeinen verwendeten 25poligen Subminiatur-Steckers vom Typ Cannon 7529 mit den wichtigsten Signalen. In der Praxis werden RS232C-Schnittstellen f¨ ur Rechnerverbindungen in der in Abb. 14.16a gezeigten Konﬁguration verwendet, die auch von den meisten seriellen Interface-Bausteinen unterst¨ utzt wird. Zu dieser Konﬁguration geh¨ oren die in Tabelle 14.5 angef¨ uhrten Signalleitungen. Die RS232C-Schnittstellenleitungen lassen sich nach ihrer Funktion in die folgenden Gruppen untergliedern, deren wichtigste Vertreter im folgenden kurz erl¨ autert werden: • Betriebserde und Ru ¨ ckleiter – PG (Protective Ground) Schutzerde (Stift 1): Die Schutzerde wird mit dem Geh¨ause und dem Schutzleiter der beiden ¨ gekoppelten Ubertragungseinrichtungen verbunden. Betriebserde und Schutzerde m¨ ussen voneinander isoliert sein. – SG (Signal Ground) Betriebserde (Stift 7): Die Betriebs- oder Signalerde liegt auf einem Spannungspegel von 0 V. Tabelle 14.5. Leitungen der RS232C-Schnittstelle Leitungstyp

Bedeutung und Leitungsnummer

Masse und R¨ uckleiter Datenleitungen Steuerleitungen Meldeleitungen

Schutzerde (PG): 1; Signalerde (SG): 7 Sendedaten (TxD): 2; Empfangsdaten (RxD): 3 Sendeteil einschalten (RTS): 4; DEE betriebsbereit (DTR): 20 Sendebereitschaft (CTS): 5; Betriebsbereitschaft (DSR): 6; Rufanzeige (RI): 22; Empfangssignalpegel (DCD): 8 ¨ (DCE): 15; Sendeschrittakt von DUE ¨ (DTE): 24; Sendeschrittakt zur DUE ¨ (DCE): 17 Empfangsschrittakt von DUE

Taktleitungen

418

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

(1) Schutzerde, Protective Ground (PG) (2) Sendedaten, Transmitted Data (TxD) (3) Empfangsdaten, Received Data (RxD) (4) Sendeteil einschalten, Request To Send (RTS) (5) Sendebereitschaft, Clear To Send (CTS) (6) Betriebsbereitschaft, Data Set Ready (DSR) Rechner (DEE)

(7) Betriebserde, Signal-GND (SG) (8) Empfangssignalpegel, Data Carrier Detect (DCD) (20) DEE betriebsbereit, Data Terminal Ready (DTR)

Peripheriegerät (DÜE) z. B. Modem

(15) Sendeschrittakt von DÜE (17) Empfangsschrittakt von DÜE (22) Rufanzeige, Ring Indicator (RI ) (24) Sendeschrittakt zur DÜE

a)

Sendeschrittakt zur DÜE Rufanzeige, Ring Indicator (RI) DEE betriebsbereit, Data Terminal Ready (DTR) Empfangsschrittakt von DÜE Sendeschrittakt von DÜE

13 24 22 20 8 7 6 17 5 4 15 3 2 1

Empfangssignalpegel, Data Carrier Detect (DCD) Betriebserde, Signal-GND (SG) Betriebsbereitschaft, Data Set Ready (DSR) Sendebereitschaft, Clear To Send (CTS) Sendeteil einschalten, Request To Send (RTS) Empfangsdaten, Received Data (RxD) Sendedaten, Transmitted Data (TxD) Schutzerde, Protective Ground (PG)

b) Abb. 14.16. a) Leitungsbelegung bei der RS232C-Schnittstelle (die Zahlen beziehen sich auf den entsprechenden Stift des 25-poligen Steckers (DEE = Da¨ tenendeinrichtung (= DTE: Data Terminal Equipment), DUE = Daten¨ ubertragungseinrichtung (= DCE: Data Communication Equipment)), b) 25-poliger Standard-RS232-Stecker vom Typ Cannon 7529

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

419

• Datenleitungen – TxD (Transmit Data) Sendedaten (Stift 2): ¨ Uber diese Leitung werden der Empfangsstation die zu u ¨bertragenden digitalen Daten als serieller Bitstrom zugef¨ uhrt. Die Daten¨ ubertragung ist aber nur dann m¨oglich, wenn sich die Steuerleitungen RTS und DTR (Stifte 4 und 20) sowie die beiden Meldeleitungen CTS und DSR (Stifte 5 und 6) im EIN-Zustand beﬁnden. In den Sendepausen (idle state = Ruhezustand) beﬁndet sich die TxD-Leitung im Zustand log. 1 . – RxD (Receive Data) Empfangsdaten (Stift 3): ¨ Uber diese Leitung empf¨angt die DEE den ihr zugef¨ uhrten seriellen Bitstrom. • Steuerleitungen – RTS (Request to Send) Sendeteil einschalten (Stift 4): Durch Setzen des RTS-Signals zeigt die Datenendeinrichtung (DEE), daß sie Daten u ubertragungseinrichtung ¨bertragen will und die Daten¨ ¨ (DUE) diese u ¨bernehmen soll. Bei Verwendung eines Modems dient die RTS-Leitung der Steuerung des Modem-Sendeteils. Beﬁndet sich die Leitung im EIN-Zustand, schaltet das Modem in den Sendezustand und verbleibt dort solange, bis die Leitung wieder in den AUS-Zustand wechselt. Die RTS-Leitung kann auch, z. B. bei einer direkten RechnerRechner-Kopplung, zusammen mit der CTS-Leitung als HandshakeLeitung (Abb. 14.22) benutzt werden (RTS/CTS-HardwareProtokoll). – DTR (Data Terminal Ready) DEE betriebsbereit (Stift 20): Der EIN-Zustand auf dieser Leitung signalisiert dem Modem, daß die DEE eingeschaltet und betriebsbereit ist. Geht die DTR-Leitung in ¨ den AUS-Zustand u ab¨ber, wird das Modem vom Ubertragungskanal geschaltet. • Meldeleitungen – CTS (Clear to Send) Sendebereitschaft (Stift 5): ¨ Uber diese Leitung zeigt das Modem der DEE seine Bereitschaft (EIN¨ Zustand) an, Daten von der DEE zu u ¨bernehmen und u ¨ber den Ubertragungskanal zu senden. – DSR (Data Set Ready) Betriebsbereitschaft (Stift 6): Auf dieser Leitung signalisiert das Modem der DEE durch den EIN¨ Zustand, daß es mit dem Ubertragungskanal verbunden und betriebsbereit ist. – DCD (Data Carrier Detect) Empfangssignalpegel (Stift 8): Der EIN-Zustand auf dieser Leitung zeigt der DEE an, daß der Emp¨ fangssignalpegel des Ubertragungskanals innerhalb bestimmter Toleranzgrenzen liegt. Wird die Kopplung zweier Ger¨ ate durch eine direkte Kabelverbindung (ohne Zwischenschalten eines Modems und eines ¨ Ubertragungskanals) vorgenommen, zeigt die DCD-Leitung nach Aktivierung der beiden Schnittstellen an, ob die Kabelverbindung hergestellt ist oder nicht.

420

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

• Taktleitungen F¨ ur die synchrone Daten¨ ubertragung stehen folgende Taktleitungen zur Verf¨ ugung: ¨ – Transmitter Signal Element Timing, Sendeschrittakt von der DUE (Stift 15): Das Modem liefert auf dieser Leitung das Taktsignal an die DEE, mit dem die von der DEE kommenden Sendedaten (TxD) getaktet werden. ¨ – Receiver Signal Element Timing, Empfangsschrittakt von der DUE (Stift 17): Das Modem liefert auf dieser Leitung das Taktsignal an die DEE, mit dem die vom Modem empfangenen Daten in Richtung DEE u ¨ber die Leitung RxD getaktet werden. ¨ (Stift – Transmitter Signal Element Timing, Sendeschrittakt zur DUE 24): Es handelt sich hierbei um das Taktsignal, mit dem die Sendedaten (TxD) aus der DEE in Richtung Modem getaktet werden. Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung Alle Signale der RS232C-Schnittstelle sind bipolare Spannungen, die u ¨blicherweise im Bereich von -15 V ... +15 V liegen. Der Bereich von -3 V ... +3 V ist ¨ der Ubergangsbereich, in dem der Signalzustand nicht deﬁniert ist. Logikdeﬁnition fu ¨ r Datenleitungen Ist die Spannung eines Signals auf einer Datenleitung (RxD, TxD) gegen¨ uber der Signalerde (SG) betragsm¨aßig gr¨oßer als 3 V und • negativ, so herrscht der Signalzustand log. 1 , auch als MARK (marking condition) oder Ruhezustand (idle state) bezeichnet. • positiv, so herrscht der Signalzustand log. 0 , auch als SPACE (spacing condition) bezeichnet (Abb. 14.17).

Logikdeﬁnition fu ¨ r Steuer- und Meldeleitungen Ist die Spannung eines Signals auf einer Steuer- bzw. Meldeleitung gegen¨ uber der Signalerde (SG) im Betrag gr¨oßer als 3 V und • negativ, so herrscht der AUS-Zustand. • positiv, so herrscht der EIN-Zustand.

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

421

+u + 15V log. '0' (SPACE) EIN-Zustand + 3V 0 - 3V

Übergangsbereich (undefiniert)

Potential von SG

t

log. '1' (MARK) AUS-Zustand Ruhezustand = idle state - 15V -u Abb. 14.17. Pegeldeﬁnition bei der RS232C-Schnittstelle

Synchronisierung Die Synchronisierung zwischen Sender und Empf¨ anger sorgt bei der seriellen Daten¨ ubertragung daf¨ ur, daß die Taktgeschwindigkeiten auf der Sende- und Empfangsseite u ¨bereinstimmen und auch der Anfang und das Ende des in Form eines seriellen Bitstromes u anger ¨bertragenen Datenwortes vom Empf¨ richtig erkannt werden. Dabei unterscheidet man zwischen synchroner und ¨ asynchroner Ubertragung: ¨ Asynchrone Ubertragung (Start-/Stop-Verfahren) Da bei der asynchronen Daten¨ ubertragung die Synchroninformation jedem u bertragenen Zeichen beigef¨ u gt wird, ben¨otigt man keine zus¨ atzlichen Steuer¨ oder Taktleitungen. Der entsprechende asynchrone Zeichenrahmen setzt sich aus der in Abb. 14.18 gezeigten Bitfolge zusammen. Zwecks Fehlererkennung kann zus¨ atzlich zu den eigentlichen Datenbits sowie dem Start- und dem Stopbit ein Parit¨atsbit u ¨bertragen werden. Dazu wird die im Zeichenrahmen beZeichenrahmen 1

Pause

z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6

Pause

TS 0 ASCII-Zeichen Q Startbit

Paritätsbit

1, 1,5 oder 2 Stopbits

Abb. 14.18. Asynchroner Zeichenrahmen, bestehend aus: 1 Startbit, 5 ... 8 Datenbits (das LSB wird zuerst gesendet), evtl. 1 Parit¨ atsbit, 1, 1.5 oder 2 Stopbits

422

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

ﬁndliche Anzahl der logischen 1 auf eine gerade (even parity) bzw. eine un¨ gerade Anzahl (odd parity) aufgef¨ ullt. Dem Zeichenrahmen wird in der DUE und DEE durch Festlegen der gemeinsamen Baudrate das gleiche Zeitraster zugeordnet. Bei der Abtastung der Bits wird als Abtastrate ein Vielfaches ¨ der Ubertragungsgeschwindigkeit gew¨ahlt (Faktor 16, 32 oder 64). F¨ ur den asynchronen Betrieb ben¨otigt man h¨ochstens 9 Leitungen (Pins 1-8 und 20), da die Taktleitungen (15, 17 und 24) entfallen. ¨ Synchrone Ubertragung Bei der synchronen Daten¨ ubertragung werden mehrere Datenw¨ orter zu einem Datenblock zusammengefaßt und ﬂankiert von Synchronzeichen u ¨bertragen (Abb. 14.19). Dabei wird in der Regel das Zeichen SYN = 16 H (synchronous idle) zweimal zu Beginn eines jeden Blockes gesendet, w¨ ahrend das Zeichen ETB = 17 H (end of transmission block) das Ende eines Blockes markiert. Am Ende einer Sendung steht das Zeichen EOT = 4 H (end of transmission). Zur Taktsynchronisierung wird das Taktsignal des Senders (Pin 24) genutzt.

. SYN SYN

Daten

ETB Pause SYN SYN ......

Abb. 14.19. Synchroner Zeichenrahmen

Handshake-Verfahren (Quittierungsverfahren) Zur Kontrolle der Daten¨ ubertragung, z. B. um die Empfangsbereitschaft des Empf¨ angers zu signalisieren, verwendet man die im folgenden erl¨ auterten Handshake-Verfahren, die sowohl in Software als auch in Hardware implementiert sein k¨ onnen. Software-Handshaking Beim Software-Handshaking werden bestimmte Steuerzeichen in den seriellen Bitstrom integriert. Die beiden gebr¨auchlichsten Formen des SoftwareHandshakings sind: XON/XOFF-Protokoll Zu Beginn der Empfangsbereitschaft sendet der Empf¨ anger ein XON-Zeichen bermittelt der Sender Daten, bis er vom (i. allg. DC1 = 11 H). Daraufhin u ¨ Empf¨ anger durch ein XOFF-Zeichen (i. allg. DC3 = 13 H) aufgefordert wird, den Datenstrom anzuhalten. Danach wartet der Sender auf das n¨ achste XONZeichen des Empf¨angers, bevor er wieder Daten sendet. Die entsprechende Verdrahtung der Leitungen, die in Abb. 14.20 gezeigt wird, ist bez¨ uglich der

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

Sender TxD 2 RxD 3

SG 7

423

Empfänger 2 TxD 3 RxD

7 SG

Abb. 14.20. Leitungskonﬁguration f¨ ur das XON/XOFF-Protokoll

ben¨ otigten Leitungen minimal (es werden nur drei Leitungen ben¨ otigt). ETX/ACK-Protokoll Bei diesem Protokoll werden Datenpakete deﬁnierter L¨ ange u ¨bertragen, wobei ¨ ein Uberlauf des Empf¨angerspeichers prinzipiell vermieden werden muß. Bei Empfangsbereitschaft wird die DTR-Leitung vom Empf¨ anger auf log. 1 -Pegel gesetzt. Gleichzeitig wird vom Empf¨anger das Steuerzeichen ACK = 06 H gesendet, woraufhin der Sender das Datenpaket an den Empf¨ anger schickt und anger die Daten verarbeitet mit EXT = 03 H abschließt. Nachdem der Empf¨ hat, zeigt er seine erneute Empfangsbereitschaft mit ACK = 06 H an. Die Leitungskonﬁguration, die diesem Protokoll zugrunde liegt, wird in Abb. 14.21 gezeigt. Sender TxD 2 3 RxD DSR

Empfänger 2 TxD 3 RxD

6

SG 7

20 DTR 7 SG

Abb. 14.21. Leitungskonﬁguration f¨ ur das ETX/ACK-Protokoll

Hardware-Handshaking Beim Hardware-Handshaking wird die Kontrolle der Daten¨ ubertragung von der Schnittstellenhardware u ur das Leitungspaar RTS/CTS ¨bernommen, die daf¨ zur Verf¨ ugung stellt. Beim Mehrdraht-Handshake mit RTS/CTS-Protokoll (Abb. 14.22) wird dem Empf¨anger die Sendebereitschaft des Senders mit dem EIN-Zustand der RTS-Leitung gemeldet, welche auf die CTS-Leitung des Empf¨ angers geschaltet ist. Der Empf¨anger kann daraufhin seine Empfangsbereitschaft durch den EIN- Zustand seiner RTS-Leitung signalisieren. Der Sender darf nur senden, solange der Empf¨ anger seine RTS-Leitung im EIN-Zustand h¨ alt.

424

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Sender TxD RxD RTS CTS DSR DTR SG

2 3 4 5 6 20 7

2 3 4 5 6 20 7

Empfänger TxD RxD RTS CTS DSR DTR SG

Abb. 14.22. Leitungskonﬁguration f¨ ur Mehrdraht-Handshake

Hardware-Realisierung von seriellen Schnittstellen Die hardwarem¨ aßige Realisierung von seriellen Schnittstellen erfolgt i. a. mit Hilfe von Standardschnittstellenbausteinen. Ein solcher Schnittstellenbaustein hat zun¨ achst die wichtige Aufgabe, ankommende serielle Datenstr¨ ome in parallele Datenw¨ orter zu wandeln und an den Parallelbus des Rechners zu u ¨bergeben bzw. umgekehrt von dort kommende parallele Datenw¨ orter in serielle Datenstr¨ ome zu wandeln und an den seriellen Ausgang der Schnittstelle zu senden. Das Prinzipschaltbild eines solchen Schnittstellenbausteins, der auch als UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter) bezeichnet wird, ist in Abb. 14.23 zu sehen. Daneben gibt es auch Bausteinvarianten, die zus¨ atzParallel-Bus (interner Rechner-Bus)

Daten

Transmitter

Serieller Ausgang (TxD)

Serieller Eingang (RxD) Receiver Empfangstakt

Steuersignale

Taktsignal

.....

gemeinsame Taktleitung Sende/EmpfangsSteuerung

Zustandskontrolle

Taktgenerierung Synchronisierung

Abb. 14.23. Prinzipschaltbild eines Universal Asynchronous Receiver Transmitters (UART)

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

D7 ... D0

Datenbuspuffer

Sendepuffer

Reset CLK C/D RD WR

LeseSchreibSteuerlogik

Sendesteuerung

TxRDY TxE TxC

Modemsteuerung

Empfangspuffer

RxD

Empfangssteuerung

RxRDY RxC Syndet

DTR RTS

a)

b)

CS DSR CTS

interner Datenbus

D2 D3 RxD Gnd D4 D5 D6 D7 TxC WR CS C/D RD RxRDY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8251

28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

425

TxD

D1 D0 Vcc RxC DTR RTS DSR Reset CLK TxD TxEmpty CTS Syndet TxRDY

Abb. 14.24. Universal Synchronous Asynchronous Receiver Transmitter USART 8251: a) Blockschaltbild, b) Pinbelegung

lich die synchrone Daten¨ ubertragung erlauben. Es handelt sich dabei um sog. USARTs (Universal Synchronous and Asynchronous Receiver Transmitter). Als Beispiel f¨ ur einen in der Praxis oft eingesetzten USART soll hier der Chip 8251 der Firma Intel besprochen werden. Dieser in NMOS-Technologie gefertigte Peripheriebaustein wird als Parallel-Seriell-Schnittstellenwandler u. a. auf Boards der 8086-Mikroprozessor-Familie verwendet. Seine Ein- und Ausg¨ ange sind TTL-kompatibel. Das Blockschaltbild des 8251 sowie die Pinbelegung seines 28-Pin-Standardgeh¨auses werden in Abb. 14.24 gezeigt. Dieser Baustein erm¨ oglicht die folgenden Betriebsarten:

426

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

• Asynchronbetrieb: 5 bis 8 Bit Wortl¨ange, Baudratenfaktor (1, 16, 64), programmierbar 1, 1.5 oder 2 Stop-Bits. Die Synchronisierung erfolgt durch die fallende Flanke des Startbits. • Synchronbetrieb: 5 bis 8 Bit Wortl¨ange, interne oder externe Zeichensynchronisierung, automatisches Einf¨ ugen von SYN-Zeichen zur Markierung des Datenstrombeginns • Baudrate bis 9,6 kBit/s ¨ • Fehlererkennung durch Parit¨ats- und Uberlaufpr¨ ufung. In Tabelle 14.6 ist die Bedeutung der im Blockschaltbild (Abb. 14.24a) bzw. bei der Pinbelegung (Abb. 14.24b) gezeigten Leitungen stichwortartig erl¨ autert. Weitere Details zur Hardware sowie zur Programmierung dieses Bausteins ﬁnden sich in der weiterf¨ uhrenden Literatur, z. B. in [88]. 14.4.2 Kenngr¨ oßen der seriellen Datenu ¨ bertragung Im folgenden sollen die wichtigsten Kenngr¨oßen der seriellen Daten¨ ubertragung erl¨ autert werden. Diese sind: • • • •

Schrittgeschwindigkeit (Baudrate) ¨ ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit (Ubertragungsrate) Zeichengeschwindigkeit Wirkungsgrad (Datendurchsatz).

Die Schrittgeschwindigkeit vS (Baud = Bit/s) gibt die Anzahl der Kennzustandswechsel pro Sekunde an und entspricht dem Reziprokwert der Bitzeit TS , die oft mit der Schrittdauer identisch ist vS =

1 . TS

(14.1)

Die Zeichengeschwindigkeit vZ (Zeichen/s) gibt die eﬀektive Leistung einer Daten¨ ubertragungseinrichtung an, d. h. die Anzahl der pro Sekunde u ¨bertragenen Zeichen 1 1 vS . (14.2) vZ = = = TZ ZTS Z Dabei bezeichnet Z die Anzahl der Einheitsschritte in einem Zeichenrahmen und TZ die Dauer eines Zeichenrahmens. ¨ Die Ubertragungsgeschwindigkeit vU ¨ (Bit/s) gibt die Anzahl der pro Sekunde u ¨bertragenen Bits an. Im Falle bin¨arer Codierung (n = 2 Kennzust¨ ande) entspricht sie der Schrittgeschwindigkeit, w¨ ahrend f¨ ur n < 2 folgende Deﬁnitionsgleichung zu beachten ist vU¨ = vS ld n = ZvZ ld n

(14.3)

14.4 Meßdatenerfassung im Labor Tabelle 14.6. Signale des Bausteins USART 8251 Bezeichnung Bedeutung/Aufgaben der Signalleitung ProzessorSchnittstelle: D0 ... D7 RD WR C/D Reset CLK CS

bidirektionaler Datenbus; es werden auch Statusinformationen, Steuer- und Kommandow¨ orter u ¨bertragen Lesesignal Schreibsignal Auswahl des Steuerregisters (Control/Data): C/D = 0 : Daten; C/D = 1 : Kommando, Status R¨ ucksetzeingang TTL-Takteingang Bausteinauswahl-Eingang (Chip Select)

Serielle DatenSchnittstelle: RxD T xD

Empfangsdaten Sendedaten

Modemsteuerung: RT S CT S DT R DSR

Sendeauﬀorderung (Request to Send) Sendebereitschaft (Clear to Send) Datenstation bereit (Data Terminal Ready) ¨ bereit (Data Set Ready) DUE

Sendesteuerung: T xRDY T xE T xC

Sender bereit (Transmitter Ready) Sendepuﬀer leer (Transmitter Empty) Sendetakt (Transmitter Clock)

Empfangssteuerung: RxRDY RxC Syndet

Empf¨ anger bereit (Receiver Ready) Empfangstakt (Receiver Clock) Synchronisationserkennung (SYNC Detect) f¨ ur Synchronbetrieb

427

428

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

mit ld n =

lg n . lg 2

(14.4)

Dabei bezeichnet n den Kennzustand. Der Wirkungsgrad nU ur die asynchrone Daten¨ uber¨ (Datendurchsatz) ist f¨ tragung wie folgt deﬁniert nU¨ =

Datenbits . Startbit + Datenbits + Parit¨atsbit + Stopbits

(14.5)

Tabelle 14.7. Vergleich der seriellen Schnittstellen RS232C und RS422A (RS485) RS232C max. Leitungsl¨ ange

20 m (19,2 kBit/s) 900 m (1,2 kBit/s) ¨ max. Ubertragungsgeschwindigkeit 19,2 kBit/s) min. Eingangsspannung des 3V Empf¨ angers (single-ended) Versorgungsspannung ±15 V

RS422A (RS485) 1,2 km (100 kBit/s max.) 12 MBit/s (20 m max.) 200 mV (diﬀerentiell) ±5 V

14.4.3 Die RS485-Schnittstelle Die RS485-Schnittstelle hat in den letzten Jahren f¨ ur das Gebiet der Meß¨ datenerfassung gr¨oßte Bedeutung erlangt, da sie sich zunehmend als Ubertragungsmedium f¨ ur die industriellen Feldbussysteme (s. auch Kap. 14.5.8) durchsetzt. Die RS485-Schnittstelle entspricht weitgehend der bereits erw¨ ahnten RS422A-Schnittstelle. Das elektrische Grundprinzip ist bei beiden identisch. Sie arbeiten nach dem diﬀerentiellen Prinzip mit einem Spannungspegel von ±5 V . W¨ ahrend jedoch die RS422A-Schnittstelle f¨ ur Punkt-f¨ ur-PunktVerbindungen ausgelegt ist, ¨ahnlich dem RS232C-Interface, wird die RS485Schnittstelle hingegen zum Aufbau von Mehrpunktverbindungen genutzt, d. h. es k¨ onnen mehrere Teilnehmer an eine RS485-Verbindungsleitung angeschlossen werden. Es handelt sich also um ein serielles Bussystem. Die wichtigsten Unterschiede zwischen RS232C- und RS485-Schnittstelle sind in den Tabellen 14.7 bis 14.9 festgehalten. Tabelle 14.8. Pegeldeﬁnitionen bei der seriellen Schnittstelle RS232C log. 0 log. 1

+3 V < U < +15 V −15 V < U < −3 V

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

429

Tabelle 14.9. Pegeldeﬁnitionen bei der seriellen Schnittstelle RS422A (RS485) Sender log. 0 log. 1

+1, 5 V ≤ U < +7, 5 V −5 V ≤ U < −1, 5 V

Empf¨ anger U > +0, 2 V U < −0, 2 V

An eine RS485-Leitung k¨onnen bis zu 32 Teilnehmer angeschlossen werden. Es existieren zwei Versionen von Verdrahtungen, die aus einer bzw. zwei TwistedPair-Leitungen bestehen: 1 Twisted-Pair-Leitung Die Kommunikation geht in beiden Richtungen u ¨ber eine einzige Doppelleitung (Abb. 14.25), d. h. es wird im Halbduplex-Betrieb gearbeitet. Alle Teilnehmer haben Tristate-Ausgangsstufen [113]; ihr Eingangswiderstand betr¨ agt 12 kΩ. Die Doppelleitung ist an ihren Enden mit einem Abschlußwiderstand (Rt = 120 Ω) reﬂexionsfrei abgeschlossen. 2 Twisted-Pair-Leitungen In diesem Fall braucht der Master keine Tristate-Ausgangstreiberstufe, da die Slaves unabh¨ angig vom Master u ¨ber das zweite Twisted-Pair-Kabel senden. ¨ Generelle Vorteile der diﬀerentiellen (erdfreien) Ubertragung ist ihre wesentlich geringere St¨ oranf¨alligkeit gegen¨ uber unterschiedlichen Erdpotentialen der verschiedenen Teilnehmer und sonstigen Gleichtaktst¨ orungen. Dies in Verbindung mit dem beidseitigen reﬂexionsfreien Leitungsabschluß erlaubt Datenraten von 12 MBit/s bei Distanzen von ca. 20 m. Die maximale Distanz

R t = 120 Ω

R t = 120 Ω

.....

Abb. 14.25. RS485-Schnittstelle im Halbduplex-Betrieb

430

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

innerhalb eines Segments betr¨agt 1,2 km bei Datenraten von etwa 100 kBit/s. Neueste Chiptechnologien erlauben mittlerweile 25 MBit/s. 14.4.4 Die 20 mA-Stromschleife Neben der in der Elektrotechnik wegen ihrer hohen St¨ orsicherheit oft eingesetzten analogen 20 mA-Stromschleife gibt es in der Kommunikationstechnik ¨ auch eine digitale 20 mA-Stromschleife zur Ubertragung von bin¨ aren Signalfolgen. Die entsprechenden Signalpegel sind in Tab. 14.10 enthalten. Die maximale Leitungsl¨ ange betr¨agt 1000 m bei 9,6 kBit/s. Tabelle 14.10. Pegeldeﬁnitionen bei der 20 mA-Stromschleife log. 0 log. 1

0 mA ≤ I ≤ 3 mA 14 mA ≤ I ≤ 20 mA

14.4.5 Die USB-Schnittstelle Ein serielles Standard-Bussystem stellt die USB-Schnittstelle (Universal Serial Bus) dar. Bis zum jetzigen Zeitpunkt wurde die Schnittstelle nicht von einer Beh¨ orde genormt, sondern durch ein großes Firmenkonsortium standardisiert. Die Zertiﬁzierung von Produkten f¨ ur diesen Standard wird ebenfalls von diesem Konsortium durchgef¨ uhrt. Es wurden bisher drei unterschiedliche USB-Standards deﬁniert, wobei die Deﬁnition des USB-1.1-Standards lediglich bekannte Probleme von USB-1.0 beseitigt. Ziel der Einf¨ uhrung des USB-2.0-Standards ist die Erreichung h¨ oherer Datenraten, um somit konkurrenzf¨ahig gegen¨ uber der Firewireschnittstelle (auch als I-Link bzw. IEEE-1394-Standard bezeichnet) zu bleiben. Die maximal erreichbare Datenrate betr¨agt bei USB-2.0 480 Mbit/s, die Datenrate des USB-1.1-Standards hingegen erreicht h¨ochstens 12 MBit/s. Insgesamt werden die drei folgenden Datenraten unterschieden: • High Speed: 480 MBit/s • Full Speed: 12 MBit/s • Low Speed: 1.5 MBits/s. In Tabelle 14.11 sind die wichtigsten Merkmale des USB-2.0-Standards zusammengefaßt. USB-Ger¨ ate k¨onnen leicht in ein System integriert werden, da sie von einem USB-Host-Controller erkannt werden, sobald sie mit dem System verbunden werden und durch die im Ger¨at gespeicherten Informationen ein Treiber installiert werden kann. Ein weiterer Vorteil des USB ist die Hot-Plugahigkeit, das heißt, ein Ger¨at kann im laufenden Betrieb an einen Computer F¨

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

431

¨ Tabelle 14.11. Ubersicht u ¨ber den USB-2.0-Standard max. Datentransferrate max. Kabell¨ ange max. Anzahl anschließbarer Ger¨ aten Versorgungsspannung Hot-Plug-F¨ ahigkeit

480 MBit/s 5m 127 5V

angeschlossen werden. Dadurch entf¨allt ein Neustart des Systems und das entsprechende Ger¨at steht unmittelbar zur Verf¨ ugung. Die Bustopologie des USB-Standards ist sternf¨ ormig, wodurch der zentrale Host-Controller jedes angeschlossene Ger¨at direkt ansprechen kann. Der Standard erlaubt es, u ate begrenzt mit ¨ber die USB-Schnittstelle angebundene Ger¨ Spannung bzw. Strom zu versorgen. Durch Hubs kann die Anzahl der Anschlußm¨ oglichkeiten erh¨oht sowie die maximale Leitungsl¨ ange auf bis zu 30 m erweitert werden. Hierf¨ ur sind allerdings aktive Hubs n¨ otig, die eine zus¨ atzliche Spannungsversorgung des Busses bereitstellen und auch Signalaufbereitungsfunktionalit¨at (Repeaterfunktion) u ande zwischen ¨bernehmen. Die Abst¨ den einzelnen Hubs d¨ urfen die maximale Kabell¨ ange von 5 m nicht u ¨berschreiten. Zum Anschluß von USB-Ger¨aten werden standardisierte Kabel und Steckverbinder verwendet. Diese bestehen aus einem verdrillten Leitungspaar f¨ ur die Signal¨ ubertragung und einem Leitungspaar f¨ ur die Spannungsversorgung. F¨ ur Low-Speed-Ger¨ate ist ein verdrilltes Signalleitungspaar nicht zwingend vorgeschrieben, wird aber dennoch aufgrund der St¨ orsicherheit empfohlen. 14.4.6 Der IEC-Bus Die in der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung am h¨ auﬁgsten genutzte und mittlerweile zum Industriestandard avancierte Schnittstelle zum Anschluß von Meßger¨ aten an Digitalrechner ist die (parallele) IEC-Bus-Schnittstelle. Sie entstand in der Absicht, den Aufbau von Meßdatenerfassungssystemen zu standardisieren und dabei die Schnittstelle so einfach und kosteng¨ unstig wie m¨ oglich zu gestalten. Die IEC-Bus-Schnittstelle ist deﬁniert als ein Schnitt” stellensystem zur Verbindung von programmierbaren und nicht-programmierbaren elektronischen Meßger¨aten mit anderen Ger¨ aten, aus denen Meßsysteme zusammengestellt werden“ [5] .

432

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Historie des IEC-Bus 1965 Die Firma Hewlett Packard (HP) stellt ein Interface-System vor, das programmierbare Meßger¨ ate verschiedener Hersteller u ¨ ber eine gemeinsame Busstruktur verbinden soll, den sog. Hewlett-Packard-Interface-Bus (HP-IB). 1974 Vom Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) wird der IEEEStandard No. 488 herausgegeben, der auf dem HP-IB basiert. 1976 Das American National Standard Institute (ANSI) ver¨ oﬀentlicht diese Industrienorm als Standard ANSI MC1.1. 1977 Die International Electrotechnical Commission (IEC) erstellt einen entsprechenden Normentwurf (IEC66.22), der heute international als Norm IEC625 G¨ ultigkeit hat und in Deutschland unter DIN IEC625 bekannt ist [27].

Bezeichnungen des IEC-Bus Im Laufe der Zeit haben sich in der Praxis mehrere Bezeichnungen f¨ ur den IEC-Bus eingeb¨ urgert, die aber alle den urspr¨ unglich von Hewlett Packard entwickelten Bus bezeichnen. Unterschiede gibt es allenfalls in der Form der verwendeten Anschlußstecker: • • • • •

HP-IB (Hewlett-Packard-Interface-Bus) GPIB (General-Purpose-Interface-Bus) IEC625 (DIN IEC625) [27] IEEE488 [5] ANSI MC1.1 [5].

IEC-Bus-Komponenten Der aus 16 Leitungen bestehende IEC-Bus l¨aßt sich in folgende Funktionsgruppen untergliedern (Abb. 14.26): • Datenbus (Data Bus): 8 Datenleitungen • Steuerbus (Management Bus): 5 Steuerleitungen ¨ • Ubergabesteuerbus (Handshake Bus): 3 Signalleitungen. Es k¨ onnen nach der Normempfehlung bis zu 15 Ger¨ ate gleichzeitig auf den parallelen Bus geschaltet werden (Abb. 14.26), die mindestens eine der folgenden Grundfunktionen ausf¨ uhren: • Steuerfunktion (Controller) • Sender-/Sprecherfunktion (Talker) • Empf¨ anger-/H¨orerfunktion (Listener). ¨ Die Ubertragung der Nachrichten erfolgt bitparallel und byteseriell im 7-BitASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange).

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

433

Controller (Steuerrechner) kann sprechen, hören und steuern (Talker, Listener und Controller)

Datenbus

Meßgerät 1 kann sprechen und hören (Talker und Listener)

Steuerbus

Meßgerät 2 kann nur hören (Listener)

Handshake-Bus

Meßgerät 3 kann nur sprechen (Talker)

DIO 1-8 IFC, ATN, SRQ, REN, EOI DAV, NRFD, NDAC

Abb. 14.26. IEC-Bus mit Peripherieger¨ aten

Ger¨ ategrundfunktionen • Controller: Der Controller (Steuerger¨at) steuert und u ange auf dem ¨berwacht alle Vorg¨ Bus. In einem Meßsystem darf stets nur ein Ger¨ at als Controller arbeiten, das jederzeit eingeschaltet sein muß. Der Controller muß auch in der Lage ¨ sein, Talker- und Listener-Funktion zu u wird ¨bernehmen. Ublicherweise die Controller-Funktion von dem (zentralen) Steuerrechner ausge¨ ubt. Die Kommandos (Busbefehle), die ein Controller sendet, heißen Schnittstellennachrichten. • Talker: Der Talker (Sender) kann nach Aktivierung durch den Controller, welche mit der Adressierung durch eine Interface-Message erfolgt, Daten auf den Bus geben, welche von anderen Ger¨aten aufgenommen werden k¨ onnen. Es darf stets nur ein Talker aktiv sein, um Konﬂikte auf dem Bus zu vermeiden. • Listener: Der Listener (Empf¨anger) kann nach Aktivierung durch den Controller (erfolgt ebenfalls mit der Adressierung durch eine Interface-Message) auf dem Bus beﬁndliche Daten aufnehmen (h¨oren). Es d¨ urfen mehrere Listener gleichzeitig aktiv sein. Die vom Talker stammenden Nachrichten heißen Ger¨atenachrichten. Abbildung 14.27 zeigt beispielhaft einen u ¨ber den IECBus zusammengeschalteten Meßplatz, bestehend aus einem Steuerrechner,

434

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

der Controller-, Talker- und Listener-Funktionen u ¨bernehmen kann, einem Digitalvoltmeter, das als Talker und Listener arbeiten kann, und einem Signalgenerator, welcher nur als Listener fungiert.

Controller + Talker + Listener Rechner

IEC-Bus

Talker + Listener Digitalvoltmeter

Listener Signalgenerator

Analogeingang

Analogausgang

Abb. 14.27. Beispiel eines IEC-Bus-Meßplatzes

IEC-Bus-Leitungen • Datenbus: Die acht Datenleitungen des Datenbusses (Data Bus) werden mit DIO1 ... DIO8 (DIO = Data Input/Output) bezeichnet (Abb. 14.26). Sie die¨ nen der bidirektionalen Ubertragung von Daten, Adressen und Befehlen. Der Datentransfer erfolgt so, daß das LSB eines Bytes der DIO1-Leitung zugeordnet wird. Diese sog. Mehrdrahtnachrichten, die u ¨ber den Datenbus u atesteuerung ¨bertragen werden, sind entweder Kommandos zur Ger¨ (Schnittstellennachrichten) (ATN = aktiv (true)), Einstelldaten (Statusinformationen), oder es handelt sich um Meßdaten (Ger¨atenachrichten) (ATN = nicht-aktiv (false)). Entsprechend unterscheidet man auch zwi¨ schen Befehlsmode zur Ubertragung von Schnittstellennachrichten und Datenmode bei Ger¨atenachrichten. • Schnittstellen-Steuerbus: Die f¨ unf Leitungen des Steuerbusses (Management Bus) kontrollieren den Informationsﬂuß auf dem gesamten Bus in Form von folgenden Eindrahtnachrichten: – IFC Interface Clear (Schnittstellensystem r¨ ucksetzen) Durch diese Nachricht kann das System-Steuerger¨at (Controller) alle angeschlossenen Ger¨ate in eine normgem¨ aße Grundeinstellung bringen. – ATN Attention (Achtung) Durch diese Nachricht wird vom System-Steuerger¨ at festgelegt, ob die Information auf dem Datenbus als Schnittstellennachricht (ATN = aktiv) oder als Ger¨atenachricht (ATN = nicht-aktiv) zu interpretieren ist.

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

435

– SRQ Service Request (Bedienungsruf) Durch Setzen dieser Nachricht kann ein Ger¨ at Bedienung anfordern (Interrupt). – REN Remote Enable (Fernsteuerungsfreigabe) Durch diese Nachricht kann das System-Steuerger¨ at alle beteiligten Ger¨ ate in einen Fernsteuerungszustand versetzen und die lokalen Bedienungsfunktionen sperren. – EOI End Or Identify (Ende oder Kennung) Ein Talker (Sprecher) zeigt hiermit das Ende einer Block¨ ubertragung an, falls ATN = nicht-aktiv ist; das Steuerger¨ at kann daraufhin die Talkerfunktion wieder beenden. Falls ATN = aktiv ist, wird durch EOI vom Steuerger¨at die Identiﬁzierung eines SRQ-Rufes (Service Request) eingeleitet (s. Kap. Statusabfrage“ ). ” ¨ • Ubergabesteuerbus (Handshake-Bus): ¨ Die drei Leitungen des Ubergabesteuerbusses kontrollieren die Daten¨ ubertragung zwischen Talker und Listener (s. auch Abschnitt Handshake-Ver” fahren“ ): – DAV Data Valid (Daten g¨ ultig) ¨ Uber dieses Signal erkl¨art ein Talker eine von ihm auf den Datenbus ultig (eingeschwungen). gesetzte Mehrdrahtnachricht f¨ ur g¨ – NRFD Not Ready For Data (nicht bereit zur Daten¨ ubernahme) Dieses Signal wird von einer Ger¨ateschnittstelle gesetzt, solange sie nicht in der Lage ist, ein neues Datenwort aufzunehmen. – NDAC Not Data Accepted (Daten noch nicht u ¨bernommen) Dieses Signal wird von einer Ger¨ateschnittstelle gesetzt, solange sie ¨ mit der Ubernahme eines auf dem Datenbus anstehenden Wortes besch¨ aftigt ist. Bus-Logik Der IEC-Bus arbeitet mit den Spannungspegeln 0 V und 5 V der StandardTTL-Familie. Bei Signalleitungen, an die mehrere Ger¨ ate gleichzeitig angeschlossen sind, verwendet man u ¨blicherweise die in Abb. 14.28 gezeigten OpenKollektor-Ausgangsstufen, welche einen npn-Transistor besitzen, dessen Emitter direkt auf Massepotential liegt [113]. Die Ausg¨ ange von verschiedenen Ger¨ aten lassen sich damit parallelschalten, wobei der gemeinsame Ausgang Q (Busleitung) u ¨ber einen Kollektorwiderstand an die 5 V Speisespannung angeschlossen ist (Abb. 14.28). Die einfache galvanische Kopplung der Ausg¨ ange f¨ uhrt zu einer UND-Verkn¨ upfung, wenn dem hohen Spannungspegel (5 V) der logische Zustand 1 zugeordnet wird. Man spricht in diesem Fall von positiver Logik, die auch mit active high (active = high) bezeichnet wird. Bei Verwendung der positiven Logik erh¨alt man auf der Busleitung also nur dann ein High-Signal, wenn alle Ger¨ate ein High-Signal senden. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem wired-and (fest verdrahtetes UND). F¨ ur den Fall, daß hingegen eine negative Logik vereinbart wurde, unterliegen die

436

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

+5V (TTL-Pegel) +5V RP ....

Q Abb. 14.28. Parallelgeschaltete Open-Kollektor-Ausgangsstufen (npn-Transistor mit Emitter an Masse)

logischen Zust¨ ande der einzelnen parallelgeschalteten Ausgangsstufen einer ODER-Verkn¨ upfung (Tabelle 14.12). Tabelle 14.12. Logische Verkn¨ upfung von Open-Kollektor-Ausgangsstufen positive/negative Logik

Verkn¨ upfungs- Verdrahtungsgesetz mechanismus

active = high (positive Logik) Q = Q1 ∧ Q2 active = low (negative Logik) Q = Q1 ∨ Q2

WIRED–AND WIRED–OR

Da die meisten Busleitungen des IEC-Busses eine ODER-Verkn¨ upfung ben¨ otigen (z. B. wahlweises Senden mit einem der Ger¨ ate), hat man in der Norm alle Pegel als active-low“ , deﬁniert, d.h. true = 0 V (low) und false = 5 V (high). ” Es handelt sich beim IEC-Bus also vereinbarungsgem¨ aß um eine negative Logik. Daraus ergeben sich f¨ ur den IEC-Bus die in Tabelle 14.13 angegebenen Beziehungen zwischen elektrischen Signalpegeln und logischen Zust¨ anden. Tabelle 14.13. Zusammenhang zwischen logischen Zust¨ anden und elektrischen Signalpegeln der IEC-Bus-Leitungen Zustand

logischer Zustand TTL-Pegel

aktiv 1 nicht-aktiv 0

low (0 V) high (5 V)

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

Talker

Listener

H DIO 1-8 data input output L DAV H data valid L H NRFD not ready for data L H NDAC not data accepted L

1

Datenbyte 3

437

8

gültig

false

7

true 2 alle

false

4 keiner

bereit 1. bereit 2. bereit Zeichenübernahmephase

true

bereit 5

false true alle haben übernommen 6

9

¨ Abb. 14.29. Zeitdiagramm zur Ubertragung eines Datenbytes auf dem IEC-Bus (Dreidraht-Handshake)

Handshake-Verfahren (Dreidraht-Handshake) Um Meßger¨ ate mit unterschiedlichen Verarbeitungsgeschwindigkeiten zusam¨ menschalten zu k¨onnen, erfolgt die Ubertragung asynchron mit einer Kontrolle durch Quittungssignale (Handshake-Signale). Zum Verst¨ andnis der Daten¨ ubertragung in IEC-Bus-Systemen ist im wesentlichen nur die Erkl¨ arung des sog. Dreidraht-Handshakes notwendig. Den Ablauf dieses Dreidraht-Handshakes zeigt das in Abb. 14.29 dargestellte Zeitdiagramm. F¨ ur einen Zyklus muß der Talker Daten bereitstellen (1) und alle Listener bereit sein (NRFD = false) (2). Es ist zu erw¨ ahnen, daß der Zeitpunkt (2) auch vor (1) liegen kann. Daraufhin erkl¨ art der Talker die Daten f¨ ur g¨ ultig (DAV = true) (3), was die Listener veranlaßt NRFD = true zu setzen (4) und die Daten zu u ¨bernehmen. Sobald ein Listener mit der Daten¨ ubernahme fertig ist, setzt er NDAC = false (5). Ist auch der langsamste Listener fertig (6), so kann der Talker die G¨ ultigkeit der Daten aufheben (DAV = false) (7) und die Daten entfernen (8). Auf DAV = false reagieren die Listener mit dem R¨ ucksetzen von NDAC = true (9). ubertragung erst dann begonnen werden kann, Generell gilt, daß eine Daten¨ wenn alle Ger¨ ate ihre Bereitschaft (NRFD = false) angezeigt haben, und eine Daten¨ ubertragung erst dann abgeschlossen wird, wenn alle Ger¨ ate ihre Fertigmeldung (NDAC = false) gesendet haben. Da der Anbieter der Information, die sog. Source (i. allg. der Talker), nur die Bus-Signale NDAC und NRFD auswertet, kann die Source nicht feststellen, wieviele Listener an dem Datentransfer beteiligt sind. Vielmehr wartet die Source solange, bis auch das langsamste Ger¨ at seine Information ordnungsgem¨ aß u ogerung ¨bernommen und verarbeitet hat. Problematisch kann die Verz¨ durch ein langsames Ger¨at dann werden, wenn mit dem Bussystem besonders zeitkritische Operationen durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. ¨ Uber den IEC-Bus werden nicht nur Daten, sondern alle Arten von Mehrdrahtnachrichten, wie z. B. Steuerkommandos, Adressen oder Statusinformationen mit Hilfe des Dreidraht-Handshakes u ¨bertragen. In diesem Zusammen-

438

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

hang spricht man nicht mehr von Talker und Listener, sondern man unterscheidet ganz allgemein zwischen Source (Sender, Quelle) und Acceptor (Empf¨ anger, Senke). Die Verbindung zwischen Meßger¨ at und IEC-Bus Zur Realisierung der Schnittstelle Meßger¨at-IEC-Bus“ , ist neben der eigent” lichen IEC-Bus-Schnittstelle eine Ger¨ateschnittstelle erforderlich (Abb. 14.30). Das Meßger¨ at hat n¨amlich neben der Ger¨atefunktion, z.B. dem Messen von Spannungen bei einem Digitalvoltmeter, die folgenden Funktionen zu erf¨ ullen: Ger¨ atefunktionen Die Ger¨ atefunktionen beschreiben die von dem jeweiligen Ger¨ at ausgef¨ uhrten speziﬁschen Aufgaben, wie z. B. das Messen einer elektrischen Spannung bei einem Voltmeter. Schnittstellenfunktionen Die IEC-Norm deﬁniert 10 Schnittstellenfunktionen (Tabelle 14.14), die den reibungslosen Arbeitsablauf von IEC-Bus-Meßger¨ aten gew¨ ahrleisten. Die IECBus-Schnittstelle eines Ger¨ates kann in Abh¨angigkeit von denjeweiligen M¨ oglichkeiten des Ger¨ ates auch auf eine Teilausr¨ ustung dieser Schnittstellenfunktionen beschr¨ ankt sein. Nachrichtenarten Man unterscheidet zwischen externen Nachrichten, die wirklich auf den IECBus gelangen, und internen Nachrichten, welche nur zwischen dem Ger¨ at (Ger¨ atefunktion) und der eigentlichen Schnittstelle u ¨bermittelt werden (Abb. 14.31). Die IEC-Norm deﬁniert 19 interne Nachrichten (Tabelle 14.15). Die externen Nachrichten wiederum gliedern sich in die Eindrahtnachrichten der

IEC-Bus IEC-Bus Schnittstelle GeräteSchnittstelle

Meßgerät Abb. 14.30. Schnittstellen zwischen Meßger¨ at und dem IEC-Bus

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

439

Tabelle 14.14. Schnittstellenfunktionen Schnittstellenfunktion

Abk¨ urzung Erl¨ auterung

Handshake-Quelle (Source Handshake)

SH

wird von Talker bzw. Controller ben¨ otigt, um Nachrichten im DreidrahtHandshake-Mode zu u ¨bertragen

Handshake-Senke (Acceptor Handshake)

AH

M¨ oglichkeit, Nachrichten im Dreidraht Handshake-Mode zu empfangen

Sprecher oder erweiterter Sprecher (Talker oder Extended Talker)

T bzw. TE

Ger¨ at hat Sprecherfunktion

H¨ orer oder erweiterter H¨ orer L bzw. (Listener oder Extended Listener) LE

Ger¨ at hat H¨ orerfunktion

Bedienungsruf (Service Request)

SR

Ger¨ at kann Interrupt an Controller schicken

Umschaltung in den Fernsteuermode (Remote/Local)

RL

Fernsteuerbarkeit

Ger¨ at r¨ ucksetzen (Device Clear)

DC

Ger¨ at r¨ ucksetzbar

Ger¨ at ausl¨ osen (Device Trigger)

DT

Triggerm¨ oglichkeit

Parallelabfrage (Parallel Poll)

PP

Controller kann Statusinformation in 1-Byte-Form erhalten

Steuereinheit (Controller)

C

Ger¨ at kann Steuerfunktion u ¨bernehmen, d. h. SchnittstellenNachrichten u ¨bertragen

einzelnen Signalleitungen des Steuer- und Handshake-Busses sowie die Mehrdrahtnachrichten des Datenbusses. Man unterscheidet (Tabelle 14.16): • • • •

adressierte Befehle Universal-Befehle Adressen (H¨ orer- und Sprecher-Adressen) Sekund¨ ar-Befehle und Unteradressen.

Adressierte Befehle Die Gruppe der adressierten Befehle (ACG = Addressed Command Group) wirkt auf alle am Bus angeschlossenen Ger¨ate, die sich im Fernsteuerungszustand beﬁnden. Diese Ger¨ate m¨ ussen jedoch entweder als Sprecher oder als H¨ orer adressiert sein (Tabelle 14.17). • GET (Group Execute Trigger, Ger¨ategruppe ausl¨ osen) Dieser Befehl l¨ost in allen als H¨orer eingestellten Ger¨ aten einen Triggerimpuls aus, was vor allem der M¨oglichkeit dient, daß verschiedene Meßger¨ ate gleichzeitig mit einer Messung beginnen k¨onnen.

440

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Nachrichtenarten Interne Nachrichten

Externe Nachrichten

zwischen Geräteschnittstelle und IEC-Bus-Schnittstelle; gelangen nicht auf den IEC-Bus

zwischen den verschiedenen IEC-Bus-Teilnehmern; gelangen auf den IEC-Bus

SchnittstellenNachrichten Befehlsmode (ATN = aktiv) Ein- oder MehrdrahtNachrichten

GeräteNachrichten Datenmode (ATN = nicht-aktiv) stets MehrdrahtNachrichten

Abb. 14.31. Nachrichtenarten beim IEC-Bus Tabelle 14.15. Interne Nachrichten beim IEC-Bus Nachricht

gts ist ltn lon lpe lpd lun nba pon rdy rsv rtl tca tcs ton sre sic rpp rsc

Bedeutung, Funktion (go to standby) (individual status) (listen) (listen only) (local poll enable)

Bereitschaftszustand einnehmen Ger¨ atezustand H¨ oren nur H¨ oren intern zur Parallelabfrage freigeben (local poll disable) nicht zur Parallelabfrage freigeben (local unlisten) H¨ oren beenden (new byte available) neues Byte verf¨ ugbar (power on) Ger¨ at Ein“ , ” (ready) bereit f¨ ur n¨ achstes Byte (request service) Bedienung anfordern (return to local) Eigensteuerung Ein“ , ” (take control Kontrolle asynchron asynchronously) u ¨ bernehmen (take control Kontrolle synchron synchronously) u ¨ bernehmen (talk only) nur sprechen (send remote enable) Fernsteuerungsfreigabe senden (send interface clear) R¨ ucksetzbefehl senden (request parallel poll) Parallelabfrage anfordern (request system control) Systemsteuerung anfordern

Beteiligte Schnittstellenfunktion C PP L, LE L, LE PP PP L, LE SH alle AH SR RL C C T, TE C C C C

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

441

Tabelle 14.16. Codierung der Busbefehle und Adressen auf dem IEC-Bus (Codierungs¨ ubersicht gem¨ aß ISO-7-Bit-Code) (ATN = aktiv) Datenleitungen DIO Dezimal¨ aquivalent 7654321 000 .. . 011 00 100 .. . 111 000 .. 01 . 111 111

00

10 11

0 .. . 15 16 .. . 31 32 .. . 62 63

00000 .. 10 . 11110 11111

64 .. . 94 95

00000 .. 11 . 11111

96 .. . 127

11 00 11 00

Adressierte Befehle (Adressed Command Group (ACG)) Universal-Befehle (Universal Command Group (UCG)) H¨ orer-Adressen (Listener Address Group (LAG)) H¨ orer entadressieren (Unlisten (UNL)) Sprecher-Adressen (Talker Address Group (TAG)) Sprecher entadressieren (Untalk (UNT)) Sekund¨ ar-Befehle und Unteradressen (Secondary Command Group (SCG))

• PPC (Parallel Poll Conﬁgure, zur Parallelabfrage einstellen) Alle als H¨ orer eingestellten Ger¨ate werden f¨ ur die Parallelabfrage vorbereitet. • TCT (Take Control, Steuerung u ¨bernehmen) Der zur Zeit aktive Controller veranlaßt ein als Sprecher eingestelltes Ger¨ at, die Steuerung zu u ¨bernehmen, falls es als Controller zu arbeiten in der Lage ist. • GTL (Go To Local, auf Eigensteuerung schalten) Alle als H¨ orer eingestellten Ger¨ate werden auf manuelle Bedienung umgeschaltet. • SDC (Selected Device Clear, adressiertes Ger¨ at zur¨ ucksetzen) Ein oder mehrere als H¨orer adressierte Ger¨ ate werden zur¨ uckgesetzt. Universal-Befehle Die Universal-Befehle (UCG = Universal Command Group) wirken ebenfalls auf alle am Bus angeschlossenen Ger¨ate, die sich im Fernsteuerungszustand

442

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung Tabelle 14.17. IEC-Bus-Befehle (Auswahl)

Befehlsklasse

Befehl

ASCII- Bedeutung Zeichen

Entadressier- UNL (unlisten) Befehle UNT (untalk)

UniversalBefehle

LLO

? −

(local lockout) DC1

DCL (device clear) DC4

Adressierte Befehle

PPU (parallel poll unconﬁgure) SPE (serial poll enable) SPD (serial poll disable)

NAK

SDC

EOT

(selective device clear) GTL (go to local)

CAN EM

SOH

GET (group execute BS trigger) PPC (parallel poll ENQ conﬁgure) TCT (take control) HT

L¨ oscht alle Listener L¨ oscht alle Talker (Talker k¨ onnen auch durch eine nicht verwendete Talkadresse gel¨ oscht werden) Setzt die manuelle Bedienung des Ger¨ ates außer Betrieb Bringt alle Ger¨ ate in den Einschaltzustand Bereitschaft f¨ ur Parallelabfrage wird zur¨ uckgenommen Setzt alle Bedingungen f¨ ur serielle Statusabfragen L¨ oscht die Bedingung f¨ ur serielle Statusabfragen Bringt das adressierte Ger¨ at in einen deﬁnierten Anfangszustand Setzt das adressierte Ger¨ at in den manuellen Bedienmode zur¨ uck L¨ ost eine Messung bei allen vorprogrammierten Ger¨ aten aus Bestimmt, welches Bit ein Ger¨ at bei der Parallel-Poll-Abfrage aktivieren soll ¨ Ubergibt die Kontrolle vom aktiven Controller an das adressierte Ger¨ at

beﬁnden. Es ist dabei nicht entscheidend, ob sie sich im adressierten Zustand beﬁnden oder nicht (Tabelle 14.17). Neben den beiden Befehlen SPD und SPE, die das Schnittstellensystem f¨ ur eine Serienabfrage einstellen bzw. sperren, geh¨ oren zu dieser Gruppe folgende wichtige Befehle: • DCL (Device Clear, Ger¨at r¨ ucksetzen) S¨ amtliche Ger¨atefunktionen (außer den Schnittstellenfunktionen) aller am Bus betriebenen Ger¨ate werden in ihren Grundzustand zur¨ uckgesetzt. • LLO (Local Lock Out, Steuerung verriegeln) Die manuelle Bedienung der Ger¨ate wird gesperrt. • PPU (Parallel Poll Unconﬁgure, Parallelabfrage zur¨ ucknehmen) Die Bereitschaft f¨ ur eine Parallelabfrage wird bei allen Ger¨ aten aufgehoben.

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

443

Tabelle 14.18. H¨ orer- und Sprecher-Adressen LAG MLA OLA TAG MTA OTA

(Listener Address Group) (My Listener Address) (Other Listener Address) (Talker Address Group) (My Talker Address) (Other Talker Address)

H¨ orer-Adressen eigene H¨ orer-Adresse fremde H¨ orer-Adressen Sprecher-Adressen eigene Sprecher-Adresse fremde Sprecher-Adressen

H¨ orer- und Sprecher-Adressen Mit Hilfe dieser Nachrichten (Tabelle 14.18) werden die am Bus angeschlossenen Ger¨ ate als H¨orer oder als Sprecher eingestellt. Die H¨ orer-Adressen werden mit LAG (Listener Address Group) und die Sprecher-Adressen mit TAG (Talker Address Group) bezeichnet. Nachdem nun ein Ger¨ at u ¨ber die Datenleitungen DIO1 bis DIO5 eine H¨orer-Adresse (LAG) empfangen hat, wird anschließend diese Adresse mit der am Ger¨at voreingestellten verglichen. Bei ¨ Ubereinstimmung wird LAG als richtige Adresse MLA (My Listener Address) interpretiert, woraufhin das Ger¨at die H¨orer-Funktion u ¨bernimmt. Stimmt die empfangene Adresse nicht mit der voreingestellten u ¨berein, wird LAG als falsche Adresse OLA (Other Listener Address) gedeutet und das Ger¨ at verbleibt in seinem Zustand. In engem Zusammenhang mit den H¨ orer- und Sprecher-Adressen stehen die beiden folgenden Entadressierbefehle: • UNL (Unlisten) Alle als H¨ orer eingestellten Ger¨ate werden entadressiert. • UNT (Untalk) Dieser Befehl f¨ uhrt zur Entadressierung des als Sprecher eingestellten Ger¨ ates. F¨ ur den Fall, daß ein als Sprecher eingestelltes Ger¨ at die eigene H¨ orer-Adresse MLA oder eine fremde Sprecher-Adresse OTA erkennt, muß es sich selbst¨andig entadressieren. Damit vermeidet man Konﬂiktsituationen, bei denen mehr als ein Sprecher gleichzeitig am Bus aktiv ist. Sekund¨ ar-Befehle und Unteradressen Die mit der erweiterten H¨orer-Funktion LE oder mit der erweiterten SprecherFunktion TE ausgestatteten Ger¨ate werden mit einer 2-Byte-Adresse angesprochen. Soll ein solches Ger¨at als H¨orer adressiert werden, empf¨ angt es zun¨ achst die Nachricht MLA und wartet anschließend auf den Befehl SCG (Secondary Command Group). Erst wenn diese Nachricht mit der am Ger¨ at eingestellten Sekund¨ar-Adresse u at die H¨ orer¨bereinstimmt, u ¨bernimmt das Ger¨ Funktion. Die Sprecheradressierung erfolgt in analoger Weise. • SCG (Secondary Command Group) Den Ger¨ aten mit 2-Byte-Adressierung wird mit diesem Befehl nach Empfang einer MLA- oder MTA-Nachricht eine Sekund¨ ar-Adresse mitgeteilt.

444

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Schlußzeichen Bei Ger¨ atenachrichten sind Schlußzeichen zur Identiﬁzierung des letzten Bytes eines Datenblocks notwendig, um den beteiligten H¨ orern das Ende der Daten¨ ubertragung zu signalisieren. Die Norm l¨ aßt die folgenden zwei Endeoder Schlußzeichen zu: • Eindrahtnachricht EOI des Steuerbusses • Mehrdrahtnachricht EOS (End of String). Wenn die Mehrdrahtnachricht EOS verwendet werden soll, muß das Endezeichen im Sprecher und im H¨orer u ¨bereinstimmend festgelegt werden. Es werden hierf¨ ur in der Regel die beiden folgenden Steuerzeichen benutzt • •

CR (Carriage Return) und LF (Line Feed).

Nach diesen Zeichen folgt schließlich die Ger¨atenachricht EOS . Statusabfrage Der Controller kann jederzeit eine Statusabfrage an die an den IEC-Bus angeschlossenen Ger¨ ate senden, die daraufhin ein Statusbyte zur¨ ucksenden. Neben dieser programmierten Abfrage ist auch die M¨ oglichkeit vorgesehen, daß die Auﬀorderung zur Statusabfrage direkt von den einzelnen Ger¨ aten per Interrupt an den Controller ergeht. Die Statusabfrage kann auf zwei Arten erfolgen: • serielle Abfrage (Serial Poll) • parallele Abfrage (Parallel Poll). F¨ ur den Serial Poll wird von allen angeschlossenen Ger¨ aten dieselbe BusLeitung verwendet. Der Controller muß also, nachdem er den Service-Request empfangen hat, das entsprechende Ger¨at heraussuchen, indem er die in Frage kommenden Ger¨ate der Reihe nach adressiert, bis er vom rufenden Ger¨ at eine Best¨ atigung erh¨alt. Mit der Best¨atigung sendet das rufende Ger¨ at auch noch weitere Informationen, welche die Art der Bedienung pr¨ azisieren. Bei dieser R¨ uckantwort handelt es sich um das sog. Status-Byte. Beim Parallel Poll wird jedem daf¨ ur vorgesehenen Ger¨ at vom Controller eine der Datenleitungen f¨ ur die R¨ uckantwort zugewiesen. W¨ ahrend des Betriebes kann nun der Controller periodisch abfragen und Ger¨ ate, die eine Bedienung w¨ unschen, melden dies u ¨ber die ihnen zugewiesene Datenleitung. Dabei wird aber kein Statuswort gesendet. Man sollte also den Parallel Poll nur dann verwenden, wenn man weiß, welche Art der Bedienung vom betreffenden Ger¨ at gew¨ unscht wird.

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

+ GND GND GND GND GND GND GND REN DIO 8 DIO 7 DIO 6 DIO 5

24 12

18 6

13 1

+ a) IEEE488

445

+

SHIELD (GND) ATN SRQ IFC NDAC NRFD DAV EOI DIO 4 DIO 3 DIO 2 DIO 1

GND GND GND GND GND GND GND GND DIO 8 DIO 7 DIO 6 DIO 5

25 13

18 5 14 1

SHIELD (GND) ATN SRQ IFC NDAC NRFD DAV EOI REN DIO 4 DIO 3 DIO 2 DIO 1

+

b) IEC625

Abb. 14.32. Standardm¨ aßig verwendete IEC-Bus-Steckverbindungen: a) IEEE488Stecker, b) IEC625-Stecker

IEC-Bus-Hardware Historisch bedingt gibt es zwei verschiedene Steckverbindungen f¨ ur den IECBus, die beide in Abb. 14.32 gezeigt werden. Die entsprechenden Pinbelegungen sind in Tabelle 14.19 zusammengefaßt, w¨ ahrend Tabelle 14.20 Aufschluß ¨ u bzw. maximalen Entfer¨ber die maximalen Ubertragungsgeschwindigkeiten nungen in Abh¨ angigkeit der verwendeten Treiberschaltungen gibt. Mit Hilfe von IEC-Bus-Expandern ist es m¨ oglich, bis zu 29 Ger¨ ate gleichzeitig an den IEC-Bus anzuschließen. Das Prinzip der Verkabelung von IEC-Bus-Ger¨ aten wird in Abb. 14.33 gezeigt.

Abb. 14.33. Verkabelung von IEC-Bus-Ger¨ aten

446

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Tabelle 14.19. Pinbelegung der IEC-Bus-Steckverbindungen IEC625 und IEEE488 Kontaktstift Signalleitung Bedeutung IEC 625 IEEE 488 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 17 5 6 7

DI01 DI02 DI03 DI04 REN EOI DAV NRFD

9

8

NDAC

10

9

IFC

11

10

SQR

12

11

ATN

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -

12 13 14 15 16 24 18 19 20 24 22 23 21

DI05 DI06 DI07 DI08 -

Datenleitungen zum Transfer von Befehlen (ATN = aktiv) und Daten (ATN = nicht-aktiv) Fernsteuerbetrieb Ende oder Kennung Daten g¨ ultig Meldung eines Ger¨ ates, daß es nicht empfangsbereit ist Meldung eines Ger¨ ates, daß es die Daten noch nicht u ¨bernommen hat Schnittstellensystem r¨ ucksetzen (Einstellen des Grundzustandes aller Ger¨ ate) Service Request (Bedienungsanforderung durch ein Ger¨ at) Anzeige, ob Befehle (ATN = aktiv) oder Daten (ATN = nicht-aktiv) u ¨ bertragen werden Abschirmung Datenleitungen zum Transfer von Befehlen (ATN = aktiv) oder Daten (ATN = nicht-aktiv) Masse/GND Masse/(EOI) Masse/(DAV) Masse/(NRFD) Masse/(NDAC) Masse/GND Masse/(SRQ) Masse/(ATN) Masse/(IFC)

Realisierung der IEC-Bus-Schnittstelle Bei hardwarem¨ aßiger Implementierung der IEC-Bus-Schnittstelle kennt man drei Arten des Schaltungsaufbaus [88]: • diskrete Halbleiter-Schaltungen • IEC-Bus-Chips in VLSI-Technik • intelligente Universal-Interface-Bausteine. Das Herzst¨ uck einer solchen Implementierung bildet in der Regel ein IECBus-Interface-Controller, der durch weitere Komponenten, wie z. B. DMA-

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

447

Address Decoder

Turbo 488

Data Transceivers

GPIB Monitor

IEEE 488.2 Interface Controller

IEEE 488.1 Transceivers

IEEE 488.1 Transceivers

IEC-Bus

PC AT-Bus

DMA und Interrupt Controller

PC AT-Bus Interface Logic

Abb. 14.34. Blockschaltbild einer Einsteckkarte mit IEC-Bus-Interface f¨ ur PCs mit AT-Bus nach Unterlagen der Firma National Instruments [73]

Controller, Adress-Dekodierer und Datentransceiver erg¨ anzt wird. Auf solchen Schaltungen basierende Module m¨ ussen sowohl in den IEC-Bus-Meßger¨ aten als auch in dem als Controller arbeitenden Steuerrechner vorhanden sein. Dabei hat sich der Ingenieur, der einen IEC-Bus-Meßplatz zusammenzustellen hat, insbesondere um die Ausstattung seines Steuerrechners zu k¨ ummern. F¨ ur den Einsatz in PCs werden heute IEC-Bus-Einsteckkarten zum Anschluß an Standard-PC-Bussysteme in großem Umfang und in vielen Varianten kommerziell angeboten. Abbildung 14.34 zeigt das Blockdiagramm einer solchen Karte. Mit diesen IEC-Bus-Karten stellt der Hersteller i. allg. auch geeignete Treiber-Software zur Verf¨ ugung, mit deren Hilfe sich die Funktionen des Moduls in einer Standard-Hochsprache, wie z. B. C oder Pascal, programmieren lassen. ¨ Tabelle 14.20. Ubertragungsgeschwindigkeiten und max. Entfernungen am IEC-Bus ¨ Ubertragungsmaximale maximale erforderliche Ausgangsgeschwindigkeit Entfernung Entfernung von stufen (Treiber (insgesamt) Ger¨ at zu Ger¨ at -schaltungen) 250 kByte/s 500 kByte/s 1 MByte/s

20 m 20 m 10 m

2m 2m 1m

48 mA, Open Collector 48 mA, Tristate 48 mA, Tristate

448

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

14.4.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus VME-Bus In der Prozeßrechnertechnik wird in vielen Anwendungsf¨ allen auch auf konﬁgurierbare Systeme zur¨ uckgegriﬀen, die auf Standard-Parallelbus-Systemen basieren. In diesem Zusammenhang spielt der VME-Bus (Versa Module Europe) eine zentrale Rolle. Der VME-Bus ist ein auf Europakarten basierendes, aus der Mikrocomputertechnik stammendes 32-Bit-Bussystem mit den funktionellen Eigenschaften des 1981 von der Firma Motorola ins Leben gerufenen VERSA-Busses [33]. Die wesentlichen Leistungsmerkmale und Eigenschaften des VME-Busses sind: • • • • • • • • •

Daten- und Adreßbusbreite bis 32 Bit Multiprozessorf¨ahigkeit (Multimasterbetrieb) Datentransferrate bis 24 MByte/s asynchrones Busprotokoll zus¨ atzlicher serieller Bus (sog. Inter Intelligence Bus) 7 Interrupt-Ebenen Blocktransfer jeweils 96 Pins u ¨ber P1- und P2-Europakartensteckverbindungen im wesentlichen auf Prozessoren der Serie MC68000 ausgerichtet.

Die Bed¨ urfnisse der Prozeßmeßtechnik f¨ uhrten schließlich zu einer Weiterentwicklung des VME-Busses, dem sog. VXI-Bus (VME-Bus Extensions for Instrumentation), der im folgenden n¨aher beschrieben wird. VXI-Bus Beim VXI-Bus handelt es sich um eine speziell auf die Belange der Meßtechnik zugeschnittene Erweiterung des VME-Busses. Im IEEE-Normvorschlag P1155 werden dazu weitere Pin-Belegungen von P2 sowie ein zus¨ atzlicher dritter Steckverbinder (P3) deﬁniert. Damit erh¨alt der VXI-Bus im Vergleich zum Standard-VME-Bus neben weiteren Versorgungs-, Takt- und Triggerleitungen einen Analog-Summenbus sowie Leitungen f¨ ur lokale Teilbusse zur Verbindung benachbarter Module. Jedes VXI-Bus-System ben¨otigt einen sog. Mainframe. Es handelt sich dabei um ein Geh¨ause (VXI-Buscrate) mit Spannungsversorgung und einer R¨ uckwand (Backplane), in welche Europakarten verschiedener Gr¨ oßen eingeschoben werden k¨onnen (Abb. 14.35). Das in Steckplatz 0 (Slot 0) beﬁndliche Modul muß unter anderem die Takt- und Triggerinformationen f¨ ur die restlichen Einsteckkarten in den Steckpl¨atzen 1 bis 12 zur Verf¨ ugung stellen. Die wesentlichen Merkmalerweiterungen zum VME-Bus sind: • h¨ ohere Datentransferrate: max. 40 MByte/s • durch einen Triggerbus k¨onnen verschiedene Messungen zeitgleich gestartet und miteinander synchronisiert werden

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

P1 VME-Bus

P1

449

100 x 160 mm 233,35 x 160 mm

P2 P1

233,35 x 340 mm

P2 VXI-Bus

P1 P2 P3

366,70 x 340 mm

Abb. 14.35. Einsteckkarten bei VME- und VXI-Bus-Systemen

• es ist eine dem IEC-Bus ¨ahnliche Kommunikation m¨ oglich • es ist eine Schnittstelle zum IEC-Bus deﬁniert. Die Zielsetzung der VXI-Bus-Entwicklung war es, die Vorz¨ uge des IEC-Busses (Standard der Meßtechnik) mit denen des VME-Busses (Leistungsf¨ ahigkeit) zu vereinigen. Dies bedeutet aber auch, daß der VXI-Bus eine Konkurrenz zu einem IEC-Bus nur dort sein kann, wo es auf h¨ ohere Leistungsf¨ ahigkeit, insbesondere h¨ ohere Geschwindigkeiten, ankommt. Die VXI-Bus-Ger¨ate sind in Form von Einsteckkarten-Modulen ausgef¨ uhrt und beinhalten im allgemeinen keine Anzeigen oder Bedienelemente. Von diesen Einsteckmodulen lassen sich in der Regel 13 St¨ uck in einem Mainframe unterbringen. Sie arbeiten entweder als Resource Manager, Commander oder Servants. Resource Manager (System Manager) In Steckplatz 0 wird der sog. Resource Manager eingesteckt. Es handelt sich dabei um eine f¨ ur jeden VXI-Mainframe notwendige Kontrolleinheit, die alle angeschlossenen VXI-Bus-Ger¨ate identiﬁziert und die Adressentabelle des VXI-Systems (address map) verwaltet. Weiterhin startet bzw. u ¨berwacht der Resource Manager alle Systemoperationen. Bei den restlichen Modulen unterscheidet man zwischen sog. Commanders und Servants, die in eine hierarchische Struktur eingebettet sind. Der Resource Manager konﬁguriert und verwaltet alle Commander/Servant-Hierarchien des entsprechenden VXISystems. Commander Ein Commander kontrolliert eine Gruppe von Servants. Im Rahmen einer u ¨bergeordneten Hierarchie wiederum kann ein Commander aber auch als Ser-

450

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

vant eines weiteren Commanders dienen. Bei einem Commander handelt es sich stets um ein sog. nachrichtenorientiertes Modul (message based module). Solche Module sind in der Lage, ASCII-Zeichen als Kommandos zu interpretieren. Servant Der Servant ist ein Modul, welches unter der Kontrolle eines Commanders arbeitet. Ein Servant kann gegen¨ uber Servants einer untergeordneten Hierarchieebene wiederum Commanderfunktion (Masterfunktion) besitzen, so daß er in der Gesamthierarchie andere Servants kontrollieren kann. Servants k¨ onnen sowohl nachrichtenorientiert als auch registerorientiert arbeiten (registerorientiertes Modul, register based module). Registerorientierte Module verf¨ ugen u ber keine lokale Intelligenz, d. h. daß sie nicht in der Lage sind, Befehle in ¨ Form von ASCII-Zeichen zu empfangen. Diese Einschr¨ ankung f¨ uhrt allerdings auch zu der angenehmen Eigenschaft, daß sie direkt und damit sehr schnell ansprechbar sind. Daneben gibt es noch Speichermodule (memory devices) vom Typ RAM oder ROM. Busgliederung/Teilbusse Der VXI-Bus besteht aus den folgenden acht Teilbussen: • Standard-VME-Bus • Takt-Bus (liefert Taktsignale f¨ ur alle angeschlossenen Module) • Star-Bus (dient der schnellen asynchronen Kommunikation zwischen Modulen ohne Belastung des VME-Busses) • Trigger-Bus (8 TTL und 8 ECL-Leitungen zur internen und externen Triggerung) • lokaler Bus (zur Inter-Modulkommunikation) • Analog-Summenbus (Summation von Stromsignalen verschiedener Module) • Modul-Identiﬁkationsbus (dient der automatischen Konﬁguration) • Spannungsversorgungsbus (zus¨atzlich zum VME-Bus werden ±24 V, −2 V ugung gestellt) und −5, 2 V zur Verf¨ Einzelheiten zu VXI-Bussystemen ﬁnden sich in der weiterf¨ uhrenden Literatur, z. B. in [22], [99]. VXI- und IEC-Bus Ein großer Vorteil des VXI-Systems beruht auf der Tatsache, daß seine Steuerungs- und Kommandostruktur in Anlehnung an die IEC-Bus-Norm festgelegt wurde. Auf diese Weise k¨onnen in einem einzigen System VMEBus-, VXI-Bus- und IEC-Bus-Module gleichzeitig verwendet werden. So ist

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

451

beispielsweise die Steuerung von VXI-Modulen von einem IEC-Bus-Controller aus m¨ oglich. Der Slot 0 kann f¨ ur diesen Fall eine VXI-Bus/IEC-Bus-Schnittstelle enthalten, die mit einem Rechner kommuniziert, der ebenfalls eine IECBus-Schnittstelle enth¨alt (Abb. 14.36). Das VXI-Bus-System erscheint dem Anwender in diesem Fall als eines von eventuell mehreren angeschlossenen IEC-Bus-Ger¨ aten. VXI-Bus-System HostRechner

Resource Manager Commanders und Servants

IEC-BusInterface

Meßgerät

Abb. 14.36. VXI-Bus-System mit IEC-Bus-Verbindung zu einem Host-Rechner und einem Meßger¨ at

PXI-Bus Durch die weite Verbreitung von PC-Karten in der Automatisierungsbranche und den geringen Kosten f¨ ur Betriebssysteme und Software f¨ ur DesktopPCs wurde ein Standard basierend auf dem PCI-Bus (Peripheral Component Interconnect) entwickelt. Dieser wurde den rauhen Bedingungen im industriellen Meßumfeld angepaßt und robuster gegen¨ uber St¨ orungen ausgelegt. Im Jahre 1996 wurde durch die PICMG (PCI Industrial Computer Manufacturers Group) der CompactPCI-Standard deﬁniert, der Datenraten bis zu 264 MByte/s zul¨aßt. Hard- und softwarebedingt konnten allerdings keine deﬁnierten Interruptverz¨ogerungen eingehalten werden und Anwendungen, die ein exaktes Timing erfordern, k¨onnen daher nicht auf diesen Standard zur¨ uckgreifen. Der CompactPCI-Standard wurde 1997 von National Instruments konsequent weiterentwickelt und 1998 als PXI-BUS eingef¨ uhrt. Der PXI-Bus (PCI eXtension for Instrumentation) stellt einen oﬀenen Standard dar und verbindet wirkungsvoll bereits existierende Technologien, um Meßdatenerfassungssysteme mit hoher Performance zu schaﬀen. Der PXI-Bus adaptiert den PCI-Bus, der derzeit vor allem im Desktopcomputerbereich verwendet wird, f¨ ur meßtechnische Aufgaben und erweitert ihn um Robustheit in Bezug auf elektromagnetische Vertr¨aglichkeit, Temperatur- und Feuchtebedingungen im

452

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

industriellen Meßumfeld. Anders als beim Compact-PCI Standard wurden Softwaretreiber sowie Anforderungen an die K¨ uhleigenschaften und die elektromagnetische Vertr¨aglichkeit mit in den Standard einbezogen. Analog zu VXI-Bus-Systemen werden auch PXI-Systeme in Form eines Mainframe aufgebaut. In dieses Mainframe-Geh¨ ause (enth¨ alt auch die Spannungsversorgung) werden zwischen vier und 18 Europakarten (ANSI 310-C, IEC 297 und IEEE 1101.1) verschiedener Gr¨ oßen (3 oder 6 Gr¨ oßeneinheiten) eingeschoben. Im Steckplatz 1 (slot 1) beﬁndet sich der Systemcontroller, der entweder eine Fernsteuerung des Systems mittels eines Desktop-PCs erm¨ oglicht, oder aber einen Embedded Controller mit einem eigenst¨ andigen Betriebssystem darstellt. Module zur Erweiterung des Meßdatenerfassungssystems, wie Signalgeneratoren, Signalanalyseger¨ ate oder Meßger¨ ate, k¨ onnen in die verbleibenden Steckpl¨atze eingebracht werden. Außerdem existiert die M¨ oglichkeit, das System mit einem Stern-Trigger-Controller zu erweitern, um ¨ ahnlich den VXI-Systemen weitergehende Synchronisations- und Timingm¨ oglichkeiten zu verwirklichen. Die Hauptmerkmale des PXI-Bus sind: • Taktrate: 33/66 MHz • Datenbreite: 32 bzw. 64 Bit • Datentransferrate: 132 MByte/s (32 Bit, 33 MHz) bis 528 MByte/s (64 Bit, 66 MHz) • Systemerweiterung mittels PCI-PCI Br¨ ucken m¨ oglich • Einbettung in 3,3 V-Systeme • Plug-and-play F¨ahigkeit Der PXI-Standard stellt folgende Synchronisierungs-, Timing- und Kommunikationsm¨ oglichkeiten zur Verf¨ ugung: • Referenztakt (zur Synchronisierung mehrerer Komponenten; 10 MHzTTL-Signal) • Trigger-Bus (8 Leitungen zur internen und externen Triggerung) • lokaler Bus (13 Leitungen zur internen Kommunikation, die die PXIBandbreite nicht schm¨alern. Es k¨onnen TTL-Signale oder Signale bis zu 42 V verwendet werden.) • Stern-Trigger-Bus (je eine Trigger-Leitung f¨ ur ein Modul in sternf¨ ormiger Anordnung, um so einen m¨oglichst kleinen Bitversatz und schnellstm¨ ogliche Synchronisierung zwischen den PXI-Modulen zu gew¨ ahrleisten.) • PCI-PCI Br¨ ucken erm¨oglichen die Erweiterung eines PXI-Systems um weitere Steckpl¨ atze, wobei nur ein PXI-Controller ben¨otigt wird. Einen großen Vorteil von PXI-Systemen stellt die M¨ oglichkeit dar, CompactPCI-Module zu integrieren. Diese k¨onnen zu einem g¨ unstigen Preis die gew¨ unschte Funktionalit¨at, wie beispielsweise eine Netzwerkkarte, in ein bestehendes System einbinden, wobei dann auf die erweiterten PXI-Signale verzichtet werden muss. Die Verwendung eines PCs als Controller und die Anbindung

14.4 Meßdatenerfassung im Labor

453

an ein PXI-Geh¨ause mittels einer PCI-PCI-Br¨ ucke stellt einen h¨ auﬁgen Anwendungsfall von PXI-Systemen dar. Hierbei wird sowohl auf alle preisg¨ unstigen Ressourcen eines PCs zur¨ uckgegriﬀen als auch die schnellen Timing- und Synchronisierungsf¨ahigkeiten des PXI-Busses genutzt. Durch die Verwendung von PCI-PCI-Br¨ ucken kann ein PXI-System auf bis zu 31 Einsteckkarten erweitert werden. Es ist m¨ oglich, auch gr¨ oßere Systeme zu erstellen; durch den aktuellen PXI-Standard (Revision 2.1) wird diese Grenze jedoch vorgegeben. MXI-Bus Die erste Generation des MXI-Bus (Multisystem-Extension-Interface-Bus) ist ein 32-Bit breiter Bus zur Verbindung mehrerer VXI-Mainframes bzw. zur Anbindung von VXI-Modulen an einen PC [74]. Mit Hilfe des bis zu 20 m langen Buskabels k¨onnen bis zu 32 Mainframes verbunden werden. Die physikalische Verbindung basiert auf 48 single-ended verdrillten Leitungspaaren (twisted pairs), die einen hohen Grad an St¨orsicherheit gew¨ ahrleisten. Neben dem gemultiplexten, bis zu 32-Bit breiten Daten- und Adress-Bus gibt es u. a. eine Interrupt-Leitung, eine Fehlerleitung zur Behandlung von Deadlocks (Endlosschleifen) sowie Handshake-Steuerleitungen. Die theoretisch maximale Datentransferrate des MXI-Busses der ersten Generation liegt bei 20 MByte/s, wobei in der Praxis nur ca. 5 MByte/s erreicht werden. Abbildung 14.37 zeigt die prinzipielle Struktur einer MXI-Bus-Verbindung zwischen einem HostRechner und VXI-Bus-Systemen.

HostRechner

VXI-Bus-System I Resource Manager Commanders und Servants

MXI-BusInterface

VXI-Bus-System II Resource Manager Commanders und Servants

Abb. 14.37. VXI-Bus-Systeme mit MXI-Bus-Verbindungen zu einem Host-Rechner

Die Weiterentwicklung des MXI-Busses wird als MXI-2 bezeichnet. Sie nutzte die damals neueste Technologien f¨ ur Desktop-Computer, wobei vor allem durch den Einsatz des PCI-Busses eine erhebliche Verbesserung des Datendurchsatzes auf theoretisch 33 MByte/s und praktisch ca. 23 MByte/s erreicht wurde. Weitere Verbesserungen des MXI-2 Busses stellen die Verwendung von DMA (Direct Memory Access) und die M¨ oglichkeit zur asynchronen

454

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Steuerung dar. Die Einf¨ uhrung des synchronen MXI-Protokolls brachte eine deutliche Reduzierung des Protokoll-Overheads und damit eine Erh¨ ohung des Datendurchsatzes. Die dritte Generation des MXI Standards (MXI-3) basiert, unter Ber¨ ucksichtigung des Compact-PCI- und PXI-Standards, auf der PCI-Technologie. Im Prinzip verh¨alt sich eine MXI-3 Verbindung wie eine PCI-PCI Br¨ ucke, welche aus einem prim¨aren (PCI-MXI-3-Board) und einem sekund¨ aren (CompactPCI/PXI-MXI-3-Modul) Interface besteht, die mit einem Kupfer- oder Lichtwellenleiterkabel miteinander verbunden sind und somit eine transparente Ankopplung von Compact-PCI/PXI-Systemen an Standard-PCs erlaubt. Die Leitungsl¨ange darf bei Verwendung von Kupferkabeln 10 m und bei Lichtwellenleitern 200 m nicht u ussen gr¨ oßere Distanzen ¨berschreiten. M¨ u ¨berwunden werden, so kann dies durch Repeater, die nach der jeweils maximalen Kabell¨ ange eingesetzt werden, realisiert werden. Der theoretisch maximale Datendurchsatz von MXI-3 betr¨agt 100 MByte/s, wobei praktisch ca. 90 MByte/s erreicht werden. Historie der bisher diskutierten Bus-Standards Abschließend ist die zeitliche Einf¨ uhrung der bisher diskutierten Standards uhrt: aufgef¨ 1981 VME

Etablierung des VME-Standards (VERSAmodule Eurocard) 1987 VXI National Instruments f¨ uhrt VXI (VME eXtension for Instrumentation) als oﬀnen Standard ein 1989 MXI Einf¨ uhrung von MXI (Multisystem eXtension Interface) zur Anbindung von Computern an VXISysteme 1995 VME64 Weiterentwicklung des VME- zum VME64-Standard durch Erweiterung auf 64 Bit Datenbreite 1996 MXI-2 MXI-2 erm¨oglicht deutlich h¨ ohere Datenraten und Datendurchsatz 1997 VME64x VME64x (eXtension) erweitert VME64 u. a. um 3,3 V Spannungsversorgung, zus¨ atzlich wird die max. Datenrate auf bis zu 160 MByte/s erh¨ oht. 1998 PXI Einf¨ uhrung von PXI (PCI eXtension for Instrumentation), um die preisg¨ unstigen PCI (Peripheral Component Interconnect) Produkte des Desktop-PC Bereichs nutzen zu k¨onnen. 1999 MXI-3 Unter Verwendung von MXI-3 ist es m¨ oglich, PXISysteme mit hohen Datenraten an PCs anzubinden

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

455

14.5 Meßdatenerfassung im Feld 14.5.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) Aufbau einer SPS Speicherprogrammierbare Steuerungen sind modulare und frei programmierbare Steuerger¨ ate, die nicht als fertige Komplettsysteme angeboten, sondern nach den Anforderungen der jeweiligen Applikation anhand von Einzelmodulen konﬁguriert werden. Die Grundausstattung einer SPS beinhaltet: • • • •

eine Stromversorgung, einen Prozessor (CPU), Speichermodule (RAM, NOV-RAM, EPROM, EEPROM), mindestens je eine Eingangs- und Ausgangsbaugruppe.

Es existieren noch zahlreiche weitere Baugruppen f¨ ur speicherprogrammierbare Steuerungen, wie beispielsweise Schnittstellenerweiterungen, Kommunikationsbaugruppen oder CPUs f¨ ur spezielle Aufgaben, die je nach Anforderungen zu der SPS-Hardware hinzugef¨ ugt werden k¨onnen. So entsteht ein optimal an die Anwendung angepaßtes Hardwaresystem, das keine ungenutzten Komponenten enth¨ alt. Die Modularit¨at von speicherprogrammierbaren Steuerungen hat auch den Vorteil, daß bestehende Systeme leicht durch weitere Baugruppen ausgebaut werden k¨ onnen bzw. bei gegebener Kompatibilit¨ at ein leistungsf¨ ahigerer Prozessor einen f¨ ur die gew¨ unschte Aufgabe zu langsamen Prozessor ersetzt, ohne etwas an den anderen Baugruppen oder gar am Programmcode ver¨ andern zu m¨ ussen. Detaillierte Informationen zu speicherprogrammierbaren Steuerungen ﬁndet man in der Spezialliteratur [43], [44], [78]. Programmstruktur Steuerprogramme bestehen aus Aufrufen von Bausteinen (Programm-Module), die unabh¨ angig voneinander programmiert werden. Dadurch k¨ onnen im Laufe der Zeit große Bausteinbibliotheken entstehen, die auch in anderen Programmen verwendet werden. Traditionell unterscheidet man zwischen Programmbausteinen, Funktionsbausteinen, Organisationsbausteinen und Schrittbausteinen, wobei die beiden letztgenannten Bausteine im Standard IEC 61131-3 durch die Einf¨ uhrung von Tasks bzw. durch die Ablaufsprache ersetzt wurden. Die traditionellen Bausteine unterscheiden sich nach Art der Anwendung folgendermaßen: Funktionen: es werden Parameter u ¨bergeben und ein Parameter eines bestimmten Typs wird zur¨ uckgegeben. Der R¨ uckgabeparameter wird nicht gespeichert (= ohne Ged¨achtnis).

456

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Funktionsbl¨ ocke: erhalten Eingangsparameter und f¨ uhren bestimmte, von den Parametern abh¨angige Funktionen aus. Nach Ablauf der Funktion stehen die Ergebnisse in Form von Parametern dauerhaft zur Verf¨ ugung (= mit Ged¨ achtnis). ¨ Programme: erf¨ ullen Aufgaben ohne Ubergabe von Parametern. Organisationsbausteine: steuern den zeitlichen Ablauf von Programmen und Funktionsbausteinen. Schrittbausteine: steuern den Ablauf von Programmen. Permanent-zyklischer Betrieb Da speicherprogrammierbare Steuerungen nicht die u ¨bliche Architektur von Computern besitzen, ist auch der Programmablauf anders gestaltet. SPSProgramme laufen im permanent-zyklischen Betrieb ab, wobei vor und nach jedem Programmzyklus sog. Prozeßabbilder ver¨ andert werden. Das Prozeßabbild (Abb. 14.38) beschreibt den Zustand der Ein- und Ausg¨ ange zu einem bestimmten Zeitpunkt. Nur in Ausnahmef¨allen wird ein bestimmter Wert eines Eingangs bzw. Ausgangs direkt gelesen bzw. gesetzt (d. h. nicht erst zum Ende des Programmdurchlaufs). Der typische Ablauf eines Zyklus beginnt mit dem Erstellen des Prozeßabbildes der Ein- und Ausg¨ange. Da w¨ahrend des Programmdurchlaufs nur auf das Prozeßabbild zugegriﬀen wird, ist nur eine Momentaufnahme des Zustands der Ein- und Ausg¨ange w¨ahrend der Programmbearbeitung ¨ verf¨ ugbar. Alle Anderungen am Zustand der Ausg¨ ange werden erst nach dem

Prozessabbild Eingänge

SteuerungsProgramm

Prozess

Prozessabbild Ausgänge

Abb. 14.38. Permanent-zyklischer Betrieb einer speicherprogrammierbaren Steuerung (SPS)

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

457

¨ Ende des Programmdurchlaufs durch das Ubertragen des Prozeßabbildes der ¨ Ausg¨ ange auf die physikalischen Ausg¨ange wirksam. Anderungen des Zustands von Eing¨ angen nach dem Erstellen des Prozeßabbildes k¨ onnen erst bei dem n¨ achsten Programmdurchlauf ber¨ ucksichtigt werden (Abb. 14.39). Die Zykluszeit bezeichnet die Zeitdauer zwischen zwei Schreibvorg¨ angen auf die physikalischen Ausg¨ ange. Diese ist nicht konstant, da die Bearbeitung des Programmes in aller Regel situationsabh¨angig ist. Infolge bestimmter Ereignisse oder Meldungen werden jeweils andere Programmteile durchlaufen. Manche Hersteller bieten die M¨ oglichkeit an, den Zyklus in zeitlich ¨ aquidistanten Schritten zu starten, wobei w¨ahrend der verbleibenden Zeit entweder nichts geschieht oder Kommunikation mit anderen Ger¨aten betrieben wird. Ausnahmen vom permanent-zyklischen Betrieb Durch Verwendung spezieller Befehle besteht die M¨ oglichkeit, den Wert eines Eingangs direkt einzulesen bzw. einen Ausgangswert direkt zu setzen. Dies ¨ ist f¨ ur F¨ alle notwendig, bei denen z. B. unmittelbar auf eine Anderung ein Ausgang gesetzt werden muß. Bei der Verwendung solcher Befehle kann zwar, bezogen auf diesen Ausgang, Zeit eingespart werden, auf mehrere Ein- bzw. Ausg¨ ange angewandt, wird die Zyklusdauer jedoch erheblich verl¨ angert. Daher ist es in den meisten F¨allen sinnvoll, wie oben geschildert, nur auf die Prozeßabbilder zuzugreifen.

Prozessabbild der Eingänge einlesen

Prozessabbild der Ausgänge ausgeben

Programmbearbeitung

Prog.bearb.

Zyklus

Zyklus

Prog.bearb.

Prog.bearb.

Zyklus

Zyklus

Ereignis

...

Reaktion Reaktionszeit

Abb. 14.39. Reaktionszeit einer speicherprogrammierbaren Steuerung (SPS)

458

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Besonderheiten der Programmierung Aufgrund des permanent-zyklischen Betriebs ist es nicht m¨ oglich, innerhalb eines Programmdurchlaufs auf bestimmte Ereignisse zu warten. Es ist bei¨ spielsweise unm¨oglich, innerhalb eines Programmzyklus die Anderung eines Eingangswertes zu detektieren, da das Eingangsprozeßabbild nur eine Momentaufnahme der Eing¨ange zum Zeitpunkt des Zyklusstarts darstellt und das Programm lediglich auf diese zur¨ uckgreifen kann. Desweiteren ist es nicht ¨ m¨oglich, an einer bestimmten Stelle im Programm auf die Anderung einer Bedingung, z. B. das Verstreichen einer Zeitspanne, zu warten. Der permanentzyklische Betrieb muß vom Programmierer sichergestellt werden, andersfalls ¨ kommt es zu einer Uberschreitung der Zykluszeit, die je nach SPS entweder zu einem Abbruch der Programmausf¨ uhrung, einer Fehlermeldung oder Problemen mit der Kommunikation zur Außenwelt f¨ uhrt. Bei der Programmierung solcher Aufgaben wird daher die Ablaufsteuerung ¨ genutzt, die aufgrund von Ubergangsbedingungen daf¨ ur sorgt, daß der n¨ achste Schritt im Programm ausgef¨ uhrt wird. Dagegen wird die Verkn¨ upfungssteuerung verwendet, um innerhalb eines Programmdurchlaufs alle Ausgangswerte in Abh¨ angigkeit von bestimmten Eingangswerten und deren Verkn¨ upfungen zu setzen. Programmiersprachen fu ¨ r SPS nach IEC 61131-3 Es gibt viele Programmiersprachen f¨ ur speicherprogrammierbare Steuerungen, wobei leider nur wenige standardisiert sind und erst seit geraumer Zeit die Einsicht w¨ achst, daß nur ein Programmierstandard die Portabilit¨ at und damit die Zukunft von SPS-Programmen gew¨ ahrleistet. Viele SPS-Hersteller entwickelten anfangs speziell auf ihren SPS-Typ zugeschnittene Programmiersprachen, wodurch der Austausch einer SPS mit Modellen anderer Hersteller nicht ohne weiteres m¨oglich war. Erst in der Norm IEC 61131-3 wurden einige Programmiersprachen standardisiert und so die gew¨ unschte Portabilit¨ at erreicht. Es ist zu erw¨ahnen, daß die dort beschriebenen Programmiersprachen beliebig miteinander kombinierbar sind, um die St¨ arken der einen oder anderen Sprache in einem Programm nutzen zu k¨ onnen. Folgende Programmiersprachen werden durch die IEC Norm 61131 deﬁniert [78]: • • • • •

Anweisungsliste AWL, instruction list IL Strukturierter Text ST, structured text ST Kontaktplan KOP, ladder diagram LD Funktionsbausteinsprache FBS, function block diagramm FBD Ablaufsprache AS, sequential function chart SFC

Generell wird zwischen graphischen und textorientierten Sprachen unterschieden, wobei die Sprachen AWL und ST textorientiert, dagegen KOP und FBS

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

459

graphisch sind. AS ist sowohl textorientierte als auch graphische Programmiersprache. Textorientierte Programmiersprachen AWL: wie der Name schon sagt, besteht diese Programmiersprache aus einer Liste von Anweisungen, wobei jede Anweisung in einer neuen Zeile beginnt und einen Operator sowie, je nach Operatortyp, einen oder mehrere durch Komma getrennte Operanden beinhaltet. Es ﬁnden auch IdentiﬁkatorMarken Verwendung, die als Sprungpunkte dienen. ST: ist an Hochsprachen wie Basic, C oder Pascal angelehnt, eignet sich vor ¨ allem f¨ ur h¨ auﬁg benutzte Konstrukte und dient der Ubersichtlichkeit des Programmes. So k¨onnen Schleifen einfach implementiert werden. Strukturierter Text ist außerdem eine leicht lesbare Programmiersprache, die bei stark verschachtelten Anweisungen Vorz¨ uge bietet. Graphische Programmiersprachen KOP: ist an das Prinzip von elektrischen Schaltungen angelehnt. Die Sprache eignet sich zur Konstruktion logischer Schaltwerke, zur Steuerung von Funktionsbausteinaufrufen oder aber zum Erstellen von Netzwerken. Auf der linken und rechten Seite des Netzwerks wird selbiges von einer Stromleitung begrenzt, wobei mittels dazwischen angeordneter Kontakte, Spulen und Verbindungslinien ein Kontakt zwischen den Stromleitungen hergestellt werden kann. Kontakte sind dabei Datenquellen, wie z. B. boolesche Variablen oder Eingangssignale, und Spulen stellen Datensinken dar, z. B. boolesche Variablen oder Ausgangssignale. FBS: FBS-Programme k¨onnen sehr abstrakt und kompakt sein und zudem elegant und auch z¨ ugig erstellt werden. Wesentliche Sprachelemente sind Funktionen, Funktionsbl¨ocke, Funktionsbausteine, Variablen sowie horizontale und vertikale Linien. Daten ﬂießen von links nach rechts und werden an beiden Seiten durch Variablen begrenzt. Die Verwendung von Sprungmarken und Spr¨ ungen ist vorgesehen, allerdings sollten diese nur begrenzt verwendet werden, um die Lesbarkeit des Programmes zu gew¨ ahrleisten. Ablaufsprache AS: ist sowohl eine textbasierte als auch eine graphische Programmiersprache. Wesentliche Bestandteile der Programmiersprache stellen Schritte, ¨ Transitionen (Ubergangsbedingungen) und Verbindungen dar. Bei jedem Schritt wird eine bestimmte Menge von Aktionen f¨ ur diesen Schritt durch¨ gef¨ uhrt, diese Aktionen werden solange ausgef¨ uhrt, bis die Ubergangsbedingung zum n¨achsten Schritt erf¨ ullt ist. Jedes Programm bzw. jeder Funktionsbaustein kann als AS-Programm betrachtet werden, selbst wenn ur andere Sprachen zur Verwendung gekommen sind, da dann ein ASdaf¨ Programm aus nur einem Schritt besteht.

460

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Beispiele fu ¨ r die IEC-genormten SPS-Programmiersprachen Im weiteren werden die standardisierten Programmiersprachen anhand von kleinen Beispielen vorgestellt: AWL-Beispiel: ¨ Die Uberwachung eines R¨ uhrkessels soll als Beispiel f¨ ur ein AWL-Programm dienen. Abbildung 14.40 zeigt ein solches Programm, im oberen Teil die Variablendeklarationen und im unteren Teil die Implementierung des Programmes. Steigt die Kesseltemperatur u ¨ber eine bestimmte Maximaltemperatur oder sinkt die Kesseltemperatur unter einen Minimalwert, so wird die Variable NotAUS“ gesetzt und weitere Aktionen w¨ urden folgen. In diesem Beispiel” programm wurden folgende Befehle verwendet: LD LT

lade Variable in Stack (lower than) Abfrage, ob der Wert der im Stack beﬁndlichen Variablen kleiner als ein bestimmter Wert ist EQ (equals) Abfrage, ob der Wert der im Stack beﬁndlichen Variablen gleich einem bestimmten Wert ist GT (greater than) Abfrage, ob der Wert der im Stack beﬁndlichen Variablen gr¨ oßer als ein bestimmter Wert ist AND Und-Verkn¨ upfung von Bedingungen OR Oder-Verkn¨ upfung von Bedingungen ST Speichere Wert im Stack in Variable.

Eine AWL-Anweisung besteht immer aus einem Operator und, je nach Befehl, einem oder mehreren Operanden. Es k¨ onnen auch Sprungmarken deﬁniert werden (Sprungmarke:) oder Kommentare am Ende der Zeile eingef¨ ugt werden ((* Kommentar*)).

¨ Abb. 14.40. Beispiel eines AWL-Programmes (R¨ uhrkessel-Uberwachung)

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

461

ST-Beispiel:

Abb. 14.41. Beispiel eines ST-Programmes (Raumtemperatur-Regelung)

Abbildung 14.41 zeigt ein kurzes ST-Programm, welches mehrere Male denselben Funktionsblock zur Raumtemperaturregelung aufruft. Im oberen Teil der Abbildung sind die Deklarationen zu erkennen, im unteren Teil die Implementierung des Programmes. Die Benutzung von Schleifen erlaubt es, den Programmcode im Gegensatz zu den anderen Sprachen sehr kompakt zu formulieren. Die Sprache ST ¨ ahnelt der Hochsprache Pascal. Der im Deklarationsteil des Programmes erw¨ ahnte Funktionsblock T2PmitHysterese ist als STFunktionsblock in Abb. 14.42 zu sehen. Der Funktionsblock u uft, ob die ¨berpr¨ Raumtemperatur geringer ist als der vorgegebene Sollwert, abz¨ uglich eines Hysteresewertes. Der jeweils g¨ ultige Sollwert kann dabei entweder durch ein Tag- bzw. Nachtprogramm oder ansonsten durch einen Sollwertsteller vorgegeben werden. Die gleiche Funktionalit¨ at besitzt auch der in Abb. 14.44 ¨ gezeigte FBS-Funktionsblock, wobei die Ubersichtlichkeit und Anschaulichkeit der Funktion durch die Sprache FBS eher gegeben ist als bei Verwendung von ST.

Abb. 14.42. Beispiel eines ST-Funktionsblocks

462

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

KOP-Beispiel:

Abb. 14.43. Beispiel eines KOP-Funktionsblocks

Das KOP-Beispiel (Abb. 14.43) zeigt die einfache Verkn¨ upfung mehrerer Bedingungsvariablen. Die Variablen F1 , F2 und F3 stellen den Zustand von Fenstern dar. Wenn nur eines dieser Fenster ge¨ oﬀnet ist, dann soll die Variable Q gesetzt (= WAHR) werden. Sind weniger oder mehr als ein Fenster oﬀen, so wird die Variable nicht gesetzt (= FALSCH). Es wurden die Elemente Kontakt und Spule verwendet, wobei die M¨ oglichkeit der Negierung jeweils auf zwei der L¨ uftervariablen in einem Parallelzweig angewendet wurde. Die dabei realisierte Funktion lautet Q = (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) ∨ (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) ∨ (F1 ∧ F2 ∧ F3 ). F¨ ur diesen Funktionsblock m¨ ussen die Variablen deklariert sein, dieser Deklarationsblock k¨ onnte folgendermaßen aussehen: FUNCTION BLOCK EIN FENSTER OFFEN VAR INPUT F1, F2, F3: BOOL; END VAR VAR OUTPUT Q: BOOL; END VAR VAR END VAR

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

463

FBS-Beispiel:

Abb. 14.44. Beispiel eines FBS-Funktionsblocks (Raumtemperatur-Regelung)

Am Beispiel einer Raumtemperaturregelung (Abb. 14.44) wird die Sprache FBS vorgestellt. Es wird zwischen folgenden Szenarien unterschieden: • Steuerung durch Raumsollwertsteller • Steuerung durch Tagprogramm • Steuerung durch Nachtprogramm. Ist eines der Programme aktiv, so wird der jeweils deﬁnierte Sollwert herangezogen, andernfalls wird der Wert des Raumsollwertstellers verwendet. F¨ allt die Temperatur unter einen bestimmten Schwellwert (= Sollwert - Temperaturhysterese), so soll die Variable Heizung gesetzt werden, andernfalls nicht. Dieselbe Funktionalit¨ at wird auch von dem in Abb. 14.42 beschriebenen ¨ ST-Funktionsblock u des Funktions¨bernommen, wobei die Ubersichtlichkeit blocks durch die Sprache FBS wesentlich verbessert wird. Es wurden bei diesem Beispiel Funktionsbausteine, Negierungen sowie Einund Ausg¨ ange verwendet. Negierungen sind an einem Kreis am jeweiligen Einoder Ausgang eines Funktionsbausteins zu erkennen. Analog zum FBS-Beispiel ist auch hier ein Deklarationsblock f¨ ur Variablen n¨ otig. Dieser wird nicht explizit aufgef¨ uhrt, da er dem Deklarationsblock aus Abb. 14.42 entspricht.

464

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

AS-Beispiel: Die Steuerung einer Fußg¨ angerampel soll in Anlehnung an [44] als Beispiel f¨ ur die Ablaufsprache dienen. Das zugeh¨ orige Bild ist in Abb. 14.45 zu sehen. Die Steuerung unterscheidet dabei folgende Zust¨ ande der Fußg¨ angerampel: • Fahrbahn frei (Fahrzeuge d¨ urfen passieren) • Fahrbahn anhalten (Fahrzeuge sollen anhalten) • Straße r¨ aumen (Fahrzeuge sollen den Ampelbereich verlassen) • Fußweg frei (Fußg¨ anger d¨ urfen die Straße u ¨berqueren) • Fußweg r¨ aumen (Fußg¨ anger sollen die Straße verlassen) • Fahrbahn vorbereiten (Fahrzeuge sollen sich auf das Anfahren vorbereiten)

Abb. 14.45. Beispiel eines ASProgrammes

In diesem Beispiel wurden Transitionen, Aktionen und ein Sprung verwendet. Tran¨ sitionen sind Ubergangsbedingungen, die das Fortschreiten von einem Schritt zum n¨ achsten steuern. In den meisten F¨ allen ¨ des Beispiels heißt die Ubergangsbedingung Timer.Q, was den Ablauf einer bestimmten Zeit darstellt. Zu Beginn eines jeden Schrittes wird ein Timer gestartet, der nach dem Ablauf einer vorgegebenen Zeit eine logische ‘1‘ liefert. Der Ampelzyklus wird gestartet, indem entweder ein Knopf gedr¨ uckt wurde oder aber im Automatik-Modus eine bestimmte Zeit verstrichen ist. Ist das Programm am unteren Ende angekommen, so wird durch den Sprung zu Fußweg raeumen der Zyklus fortgesetzt. Ein ‘E‘ in der linken unteren Ecke eines Schrittes zeigt eine vorhandene Eingangsaktion, ein schwarzes Dreieck in der rechten oberen Ecke eine Schrittaktion an, die fortlaufend ausgef¨ uhrt wird solange der Schritt aktiv ist. Aktionen sind

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

465

Programm- oder Funktionsaufrufe in einer der genormten Programmiersprachen. In diesem Beispiel werden in den Eingangsaktionen die Ampelwerte (Rot, Gelb, Gr¨ un) gesetzt und in der Schrittaktion der Timer aufgerufen, um den Wert der abgelaufenen Zeit aufzufrischen. Die Zust¨ ande der Ampelfarben w¨ ahrend der jeweiligen Schritte sind in Tab. 14.21 aufgef¨ uhrt. Tabelle 14.21. Farbtabelle der Ampeln des AS-Beispiels Schritt Fussweg raeumen Fahrbahn vorbereiten Fahrbahn frei Fahrbahn anhalten Strasse raeumen Fussweg frei

Fahrzeugampel Rot Gelb Gr¨ un 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

Fußg¨ angerampel Rot Gr¨ un 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1

14.5.2 Hierarchie industrieller Bussysteme Die Anforderungen an die industrielle Meßdatenerfassung haben sich in den letzten Jahren stark ausgeweitet. Die Anwendungsfelder der Meßdatenerfassung und der damit verbundenen Kommunikationsnetze reichen von der Energietechnik, Fertigungstechnik und Geb¨audeleittechnik bis hin zum mobilen Einsatz in Fahrzeugen und Maschinen. Die zunehmende Automatisierung verlangt die Einbindung unterschiedlichster Sensoren und Aktoren in eine Prozeßsteuerung. Die einzelnen Prozesse wiederum m¨ ussen von u ¨bergeordneten Systemen u ¨berwacht werden. In j¨ ungerer Vergangenheit ist daher eine Vielzahl an Kommunikationsnetzen und Bussystemen entwickelt worden, um den unterschiedlichen Anforderungen gerecht zu werden. Im folgenden sollen Deﬁnitionen zur hierarchischen Einteilung der Bussysteme vorgenommen werden. Desweiteren werden die wichtigsten Bussysteme vorgestellt. Bedingt durch die weitgehende Automatisierung fast aller Einzelprozesse und deren Einbindung in ein Betriebsnetz wird in Zukunft der Aufbau hierarchischer Netzstrukturen immer mehr Bedeutung erlangen. Das Modell in Abb. 14.46 verdeutlicht die durchg¨angige Verbindung von der Betriebsebene bis zur Sensor-Aktor-Ebene. Als Hauptkennzeichen der unterschiedlichen ¨ Hierarchieebenen sind die H¨auﬁgkeit einer Ubertragung und die Datenmenge ¨ ¨ einer einzelnen Ubertragung wesentlich. Die H¨ auﬁgkeit von Ubertragungen geht mit der H¨ohe der Hierarchieebene zur¨ uck, d. h. auch die Echtzeitan¨ forderung nimmt ab. Die Datenmenge pro Ubertragung bzw. die Gr¨ oße der Datenpakete nimmt jedoch zu. Die Netze der h¨ochsten Ebene sind meist als Weitbereichsnetze (Wide Area ¨ Network, WAN) ausgebaut. Sie dienen der Uberbr¨ uckung großer Entfernun-

466

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

:$1

%HWULHEVHEHQH

/HLWHEHQH

%UREXV )DEULNEXV

/$1

6WHXHUXQJVHEHQH

)HOGHEHQH

6HQVRU$NWRU(EHQH

)HOGEXV

)$1

Abb. 14.46. Einteilung eines Automatisierungssystems in hierarchische Ebenen (FAN = Field Area Network; LAN = Local Area Network; WAN = Wide Area Network)

gen, wie z. B. bei der Vernetzung mehrerer regional getrennter Unternehmensbereiche oder Fabriken. Hierzu z¨ahlen insbesondere HochgeschwindigkeitsGlasfasernetze, deren typischer Teilnehmerabstand in der Gr¨ oßenordnung von 100 km und mehr liegt. Die Netze der Leit- und Steuerungsebenen werden als lokale Netze betrieben (Local Area Network, LAN). In weiten Bereichen wird hier das Ethernet mit dem TCP/IP-Protokoll eingesetzt. Dabei wird zwischen B¨ uro- und Fabrik-Netz unterschieden, da das Ethernet f¨ ur die industrielle Kommunikation in elektromagnetisch gest¨orten Umgebungen speziell ausgelegt sein muß. In diesem Zusammenhang spricht man auch vom Industrie-Ethernet. In den unteren Automatisierungsebenen, der Feldebene und der SensorAktor-Ebene, werden g¨anzlich andere Anforderungen an die Bussysteme bez¨ uglich Kosten, Verkabelungsaufwand, Leistungsf¨ ahigkeit der Teilnehmer, Datenrate, Datenmenge und nicht zuletzt Zuverl¨ assigkeit gestellt. In diesem Bereich kommen sog. Feldbusse (Field Area Network, FAN) zum Einsatz. Da die einzelnen Sensoren und Aktoren immer g¨ unstiger werden, muß auch der Verkabelungsaufwand minimiert werden. Daher arbeiten diese Bussysteme seriell. Die Daten m¨ ussen in Echtzeit abrufbar sein, allerdings meist nur in geringen Datenmengen. Die Protokolle sind einfach aufgebaut, um die einzelnen Teilnehmer nicht mit viel Intelligenz ausstatten zu m¨ ussen. Unter den Feldbussen sind sowohl sternf¨ormige, linienf¨ormige als auch ringf¨ ormige Topologien anzutreﬀen, wobei die letzten beiden aus Gr¨ unden der Zuverl¨ assigkeit

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

467

oft doppelt oder dreifach ausgef¨ uhrt sind. Im folgenden soll es haupts¨ achlich um dieses große Gebiet der Nahbereichskommunikation mittels Feldbussen gehen. 14.5.3 Vorschrift fu ¨ r eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell Die Kommunikation zwischen den Teilnehmern innerhalb eines Datennetzes ¨ kann nur funktionieren, wenn pr¨azise Ubereink¨ unfte u ¨ber die Kommunikation bestehen. Im Jahre 1983 wurde daher von der ISO (International Standards Organization) die ISO-Norm 7498 geschaﬀen. Sie deﬁniert ein abstraktes Modell f¨ ur die typischen Funktionen innerhalb eines Kommunikationsablaufes zwischen zwei Teilnehmern. Dieser Funktionsumfang wurde in sieben Schichten (Layer) unterteilt [56], [33]. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von dem ISO-7-Schichtenmodell. Jeder Schicht fallen dabei spezielle Aufgaben bei der Abwicklung der Kommunikation zu. Diese strenge Trennung hat den Vorteil, daß die Kommunikation auch noch gew¨ ahrleistet ist, wenn einzelne Schichten von unterschiedlichen Herstellern realisiert werden. In diesem Sinne wird die Kommunikation von oﬀenen Systemen deﬁniert: Open Systems Interconnection (OSI). PC: Senden des Befehls "Meßwert aufnehmen"

7 Application 6 Presentation 5 Session 4 Transport 3 Network 2 Data Link 1 Physical

logischer Informationsfluss (Meßwert aufnehmen)

Anwenderfunktionen Umsetzung und Interpretation von Daten Aufbau, Synchronisation und Abbau der Verbindungen transparente und gesicherte Übertragung zwischen Teilnehmern; Fehlerkontrolle Schaltung der Übertragungswege; optimales Routing Sicherung der Übertragung physikalische Verbindung (elektr., mechan. Eigenschaften)

Meßgerät: Empfangen des Befehls "Meßwert aufnehmen"

7 Application 6 Presentation 5 Session 4 Transport 3 Network 2 Data Link 1 Physical

Abb. 14.47. Das ISO/OSI-Referenzmodell mit sieben Schichten

468

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

In Abb. 14.47 ist der Aufbau dieses Referenzmodells f¨ ur ein konkretes Beispiel dargestellt. Es soll eine Kommunikation zwischen einem Leitrechner (PC) und einem Meßger¨at aufgebaut werden, wobei der Befehl, einen Meßwert aufzunehmen, u ¨bermittelt werden soll. Der Befehl wird an die Schicht 7 u ¨bergeben, wo er um bestimmte Steuerinformationen (z. B. Adresse) erweitert wird. Das entstehende Telegramm wird dann von Schicht zu Schicht weitergereicht und jeweils um die entsprechenden Informationen erweitert, bis in ¨ Schicht 1, dem Physical Layer, die eigentliche Ubertragung stattﬁndet. Beim Empf¨ anger durchl¨auft das Telegramm die Schichten in umgekehrter Reihenfolge, bis dem Meßger¨at die Information Meßwert aufnehmen“ zur Verf¨ ugung ” steht. Im einzelnen fallen den Schichten folgende Aufgaben zu: ¨ ¨ Schicht 1: Physikalische Schicht, Ubertragung der einzelnen Bits (Bit-Uber¨ tragungsschicht). Hier werden physikalische Parameter wie Ubertragungs¨ medium, Steckerbelegung, Pegel, Modulationsart und Ubertragungsrate festgelegt. Beispiele f¨ ur Ger¨ate, die auf der Schicht 1 arbeiten, sind Repeater. Sie haben die Aufgabe, Bussignale zu generieren und zu verst¨ arken, ¨ um die Ubertragungswege zu verl¨angern. ¨ Schicht 2: Koordiniert das Bus-Zugriﬀsverfahren und die fehlersichere Ubertragung von Datenbl¨ocken (Sicherungsschicht) von einem Sender zu einem Empf¨ anger bzw. mehreren Empf¨angern (Multicast). Wenn die Nachricht an alle Empf¨anger geht, spricht man von Broadcast. ¨ Schicht 3: Sucht geeignete Ubertragungswege durch das Netzwerk zwischen Sender und Empf¨anger (Vermittlungsschicht). Auf dieser Schicht arbeiten beispielsweise Router, die in weit verzweigten Netzen einen Weg vom Sender zum Empf¨anger suchen. Schicht 4: Steuerung und fehlerfreie Ablieferung der Telegramme (Transportschicht). Schicht 5: Aufbau, Unterhalt (auch Synchronisation) und Abbau von Verbindungen zwischen den Teilnehmern (Kommunikationssteuerschicht). Schicht 6: Zeichencodierung, Daten- und File-Formate in geeignete Darstellung f¨ ur das entsprechende System konvertieren (Darstellungsschicht). Schicht 7: Anbieten von Diensten (Lesen, Schreiben) f¨ ur die Teilnehmer im Netz. Schnittstelle zu den Anwenderprogrammen der Steuerungen und Rechner (Anwendungsschicht). Ein typisches Ger¨ at, das auf Schicht 7 arbeitet, ist ein Gateway. Seine Aufgabe ist es, die Verbindung zwischen u.U. v¨ ollig unterschiedlichen Netzwerken herzustellen. Man kann sich leicht vorstellen, daß diese starke Modularisierung f¨ ur Feldbussysteme eher zeitraubend und damit hinderlich ist. Die u ¨berschaubare Struktur der Feldbusnetze erlaubt meist eine Reduzierung auf die Schichten 1, 2 und 7.

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

469

14.5.4 Netzwerktopologien Die geometrische Struktur der Datenleitungen, welche die einzelnen Netzwerkteilnehmer verbinden, wird als Netzwerktopologie bezeichnet. Im Feldbusbereich sind alle g¨angigen Netzwerktopologien anzutreﬀen (Abb. 14.48). Dabei

Stern

Ring

Linie

Maschen

Abb. 14.48. Verschiedene Formen von Netzwerktopologien

sind die Linienstruktur und die Sternstruktur von besonderer Bedeutung f¨ ur die Anbindung von Sensoren und Aktoren. Beim Linienbus ist der Verdrahtungsaufwand am geringsten. Beim Ring (Abb. 14.48) f¨ uhrt der Ausfall eines Knotens zum Systemausfall, wenn nicht eine aufwendige Mehrfachverkabelung (gestrichelte Linien) vorgesehen wurde. Bei der ringf¨ ormigen Struktur ist die Nachrichten¨ ubermittlung oft so gestaltet, daß ein Knoten eine Nachricht vom n¨ achsten mit ihm verbundenen Nachbarn empf¨ angt. Je nach Ergebnis der Pr¨ ufung, ob der gerade empfangende Knoten der Adressat ist, wird die Nachricht an den folgenden Nachbarn weitergeleitet oder nicht. Die Maschentopologie kennt keine starren Regeln der Vernetzung. Nachteil ist die hohe Komplexit¨ at bez¨ uglich der Verdrahtung und Verwaltung. Es sei noch erw¨ ahnt, daß Baumstrukturen entstehen, wenn sternf¨ ormige Netze hierarchisch verkn¨ upft werden. 14.5.5 Bus-Zugriﬀsverfahren Es gibt verschiedene Methoden der Bus-Zugriﬀskontrolle, die bei Feldbussen anzutreﬀen sind:

470

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Beim Master/Slave-Verfahren gibt es im Netz zu einem bestimmten Zeitpunkt genau einen Masterknoten, der die Vorg¨ ange auf dem Bus bez¨ uglich ¨ Steuerung, Uberwachung, Fehlern und Ausf¨allen koordiniert. Dieser Leitknoten kann einem der restlichen Knoten, die als Slaves bezeichnet werden, die Sendeberechtigung erteilen. Beim Token Passing wird die Berechtigung, Nachrichten auf den Bus zu geben, von Knoten zu Knoten weitergeleitet. Der Teilnehmer, der den sogenannten Token gerade inne hat, darf senden. Die Reihenfolge der Weitergabe wird bei der Netzinitialisierung in Form eines logischen Ringes festgelegt. Dabei entspricht die Wartezeit bis zur n¨achsten Zuteilung der maximalen Nachrichtendauer, woraus sich die Eignung f¨ ur den Echtzeitbetrieb ableitet. Bei den CSMA-Verfahren (Carrier Sense Multiple Access) sind alle Busteilnehmer bez¨ uglich des Senderechtes gleichberechtigt. Ein sendewilliger Netzwerkknoten pr¨ uft, ob auf dem Bus gerade gesendet wird oder nicht. Bei freiem Bus darf er schließlich senden, ansonsten nicht. Dabei kann es zu Kollisionen kommen, wenn mehrere Teilnehmer gleichzeitig senden wollen. Daher wird der reine CSMA-Betrieb im allgemeinen durch einen der beiden folgenden Betriebsmodi erg¨anzt: CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access/Collision Detection) Bei diesem Verfahren, das auch beim Ethernet Anwendung ﬁndet, kontrolliert der Sender seine Nachricht auf dem Bus hinsichtlich St¨ orungen durch weitere Sender. Gegebenenfalls wird die Sendung abgebrochen und auf einen sp¨ ateren, zuf¨ allig gew¨ahlten Zeitpunkt verschoben. Da die Wartezeiten bis zur ¨ vollst¨ andigen korrekten Ubertragung lastabh¨angig sind, besitzt diese Methode keine Echtzeitf¨ ahigkeit. Beim CSMA/CA (Carrier Sense Multiple Access / Collision Avoidance) beginnt jede Daten¨ ubertragung mit einem Identiﬁzierungscode. Durch die senderseitige Busanschaltung nach dem WIRED-AND-Prinzip (s. Kap. 14.4.6) ist sichergestellt, daß sich der Buspegel 0 gegen¨ uber dem Pegelwert 1 eines weiteren sendenden Teilnehmers dominant verh¨ alt. Dadurch kann jeder sendende Busteilnehmer feststellen, ob seine Bits durch einen weiteren gerade aktiven Sender verf¨alscht werden. Die Entscheidung, ob ein Bit verf¨ alscht wurde, geschieht in der sog. Arbitrierungsphase. Bei ausgedehnugend groß gegen¨ uber der Signallaufzeit im ten Netzwerken ist die Bitzeit gen¨ Netzwerk zu w¨ ahlen, da das Abbruchkriterium w¨ ahrend der Bitzeit u uft ¨berpr¨ werden muß. Beim Summen(rahmen)telegramm, wie es beispielsweise beim Interbus-S verwendet wird, sind alle Teilnehmer an ein Schieberegister angeschlossen. In Verbindung mit der verwendeten Ringtopologie werden die Daten durch das Schieberegister geschoben. Die f¨ ur den Master bestimmten Daten der jeweiligen Teilnehmer werden an der entsprechenden Stelle durch den Slave in das Telegramm eingef¨ ugt. Die Adressierung der einzelnen Slaves entf¨ allt, weil deren Adresse sich aus der Position im Ringsystem bzw. im Schieberegister ergibt.

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

471

Klassiﬁzierung der Bus-Zugriﬀsverfahren Bei den Bus-Zugriﬀsverfahren unterscheidet man zwischen stochastischem Bus-Zugriﬀ und deterministischem Bus-Zugriﬀ. Der Bus-Zugriﬀ bei den CSMAVerfahren ist zuf¨allig, d.h. es handelt sich hierbei um einen stochastischen Bus-Zugriﬀ, w¨ ahrend die anderen Bus-Zugriﬀsverfahren kontrolliert erfolgen (deterministischer Bus-Zugriﬀ). Weiterhin unterscheidet man zwischen zentral und dezentral. Das Token-Ring-Verfahren bezeichnet man als dezentral und Master/Slave sowie Summenrahmentelegramm als zentrale Verfahren. 14.5.6 Modulationsverfahren und Bitcodierung Alternierende Puls Modulation (APM) Wenn bei einem Bussystem nur eine einzige Zweidrahtleitung verwendet wird, d.h., wenn gleichzeitig Energieversorgung und Nachrichten u ¨ber diese Leitung u ¨bertragen werden sollen, muß das Nachrichtensignal gleichstromfrei sein. Die sog. alternierende Puls Modulation (APM) erf¨ ullt diese Anforderung neben anderen, wie z. B. Schmalbandigkeit. Es handelt sich dabei um eine serielle ¨ Ubertragung im Basisband. Das Modulationsprinzip soll anhand von Abb. 14.49 erkl¨ art werden. Es wird zun¨ achst die zu sendende Bitfolge manchestercodiert, d. h. man geht von einer Pulsfolge aus, die bei jedem Bit alterniert. Wenn jedoch in der urspr¨ unglichen Sendefolge ein Bitwechsel stattﬁndet, wird der Zustand konstant gehalten, d. h. der ansonsten anstehende Wechsel des Signals wird dann aufgehoben. Daraus wird gem¨aß Abb. 14.49 der Sendestrom abgeleitet, aus dem durch Diﬀerenzieren das Spannungssignal der Busleitung entsteht. Letztlich wird dabei jede positive Flanke des Sendestromes in einen negativen Spannungspuls umgewandelt und umgekehrt. Mit diesen Spannungspulsen kann durch Demodulation“ nach dem Manchesterverfahren wieder leicht die ur” spr¨ ungliche Sendebitfolge rekonstruiert werden. Als Spannungspulse verwenorstrahlung det man vorzugsweise sin2 -Pulse, um die Bandbreite sowie die St¨ niedrig zu halten. Fehlererkennung und Datensicherung ¨ Durch St¨ orungen verschiedenster Art kann es zu Bitfehlern bei der Ubertragung kommen, d.h. zu Wechseln in einen falschen logischen Zustand. In diesem Zusammenhang wurde die Bitfehlerrate r deﬁniert r=

Anzahl der fehlerhaften Bits . Gesamtzahl der u ¨bertragenen Bits

(14.6)

Strategien zur Fehlererkennung beruhen bei Bussystemen vorwiegend auf Parit¨ atspru ¨ fung und Cyclic Redundancy Check (CRC). Die durch diese

472

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Sendefolge

0

0

0

1

Pause

0

1

manchestercodierte Sendefolge

Sendestrom

Spannungspulse (negativer differenzierter Sendestrom) im Empfänger rekonstruierte Folge

0

0

0

1

1

0

Pause

Abb. 14.49. Alternierende Puls Modulation (APM)

Verfahren erkannten Fehler werden korrigiert. Es bleibt ein Rest an unerkannten Fehlern, welche durch die sog. Restfehlerrate beschrieben werden. Sie ist also ein Maß f¨ ur die Datenintegrit¨at. Die St¨ orfestigkeit einer Codierung wird durch die sog. Hamming-Distanz charakterisiert. Sie wird mit HD oder auch mit d bezeichnet. Die HammingDistanz ergibt sich aus der kleinsten Anzahl e der noch sicher erkennbaren Fehler d=e+1. (14.7) Bei der Codesicherung durch ein Parit¨atsbit kann ein Fehler sicher erkannt werden, d. h. die Hamming-Distanz betr¨agt in diesem Fall d = 2. Die Hamming-Distanz gibt also die Anzahl von Bits an, die in einem u ¨bertragenen Datenblock verf¨alscht sein m¨ ussen, bis der Fehler nicht mehr korrigiert werden kann. HD = 4 heißt, daß 3 fehlerhafte Bits gerade noch korrigiert werden k¨ onnen. Bei professionell eingesetzten Bussystemen erwartet man Hamming-Distanzen von d = 4 bzw. d = 6. Solche Werte werden in aller Regel durch

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

473

einen CRC-Test (Cyclic Redundancy Check) erreicht. Hierbei wird der zu u ¨bertragende Datenblock als Bin¨arzahl B betrachtet, die senderseitig durch ein Pr¨ ufpolynom P dividiert wird B R =Q+ P P

bzw.

B =Q·P +R.

(14.8)

Der Rest R wird an die Nachricht angeh¨angt, d. h. man u agt letztlich ¨bertr¨ nicht B sondern B + R. Empf¨angerseitig subtrahiert man 2 R (B + R) − 2 R = B − R = Q · P .

(14.9)

Nach der Division durch das Polynom P muß sich also wieder Q ergeben, ohne jeglichen Rest. Die an die Nachricht anzuh¨ angenden Pr¨ ufzeichen sind ¨ meist 1 Byte (8 Bit) lang, so daß sich CRC-Tests nur f¨ ur Ubertragungen mit l¨angeren Datenbl¨ocken lohnen, z. B. beim PROFIBUS; d. h. sie sind weniger f¨ ur reine Sensor-Aktor-Busse geeignet. Bitcodierung Aus Aufwandsgr¨ unden werden die zu u auﬁg so auf die ¨bertragenden Bits h¨ Leitung gegeben, wie sie im UART-Baustein (s. Kap. 14.4.1) generiert werden. Dies wird als NRZ-Code (Non Return to Zero) (Abb. 14.50) bezeichnet. Dabei wird der Spannungspegel, je nach Wertigkeit des Bits, w¨ ahrend der Bitzeit auf einem von Null verschiedenen konstanten Spannungspegel gehalten.

Takt zu codierende Bitfolge

NRZ Non Return to Zero

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0V

NRZI Non Return to Zero Inverted

0V

RTZ Return to Zero

Abb. 14.50. Non Return to Zero (NRZ-) Codierung

474

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Daneben gibt es noch den invertierten NRZ-Code, der als Non Return to Zero Inverted (NRZI) bezeichnet wird. Beim Return to Zero Code (RTZ) hingegen erkennt man die 1-wertigen Bits an einer fallenden Flanke in Bitmitte, ¨ so daß die Bitbreite bei der Ubertragung halbiert wird. Dies entspricht der Durchschaltung des Taktsignals f¨ ur die Zeit der 1-wertigen Bits. Das NRZ-Verfahren hat zwar den Vorteil geringer Bandbreite, es kann aber daf¨ ur auch keine Taktsynchronisation aus einem Bit abgeleitet werden. Dies wird erst durch das sog. Bitstuﬃng erreicht. Dabei wird sp¨ atestens nach 5 Bitzeiten ein Flankenwechsel erzwungen, notfalls durch Hinzuf¨ ugen (stopfen = to stuﬀ) eines weiteren Bits, was invers ist zu den vorhergehenden. 14.5.7 Schnittstellenkonverter F¨ ur Meßdatenerfassungsaufgaben werden oft auch Schnittstellenkonverter eingesetzt, welche von einer an den Rechnern vorhandenen Standard-Schnittstel-

Konverter

RS485

RS485 RS232C Konverter

RS485 RS232C Konverter

Konverter

RS232C RS485

RS485 RS232C

Konverter

RS485

RS232C

RS485 RS232C Konverter

..............

RS485

RS232C

max. 31 Teilnehmer

Abb. 14.51. Aufbau eines Rechnernetzes zur Meßdatenerfassung unter Verwendung von RS232C- zu RS485-Konvertern.

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

475

le auf eine spezielle f¨ ur Meßdatenerfassungszwecke geeignetere Schnittstelle umsetzen. So gibt es Schnittstellenkonverter, die eine RS232C-Schnittstelle oder auch eine RS485-Schnittstelle auf den IEC-Bus umsetzen. Die Schnittstellenkonvertierung f¨ ur RS232 auf RS485 (Abb. 14.51) zeigt ein Anwendungsbeispiel, bei dem Computer und sonstige Hardware mit RS232-Schnittstelle u ¨ber einen seriellen RS485-Bus vernetzt werden. Verf¨ ugbar sind auch Schnittstellenkonverter, die Ethernet-Anschl¨ usse gleichzeitig auf RS232 und RS485 umsetzen [106]. Ein weiterer interessanter Schnittstellenkonverter ist der RS232Ethernet-Konverter. Er erm¨oglicht das Ansteuern von Meßger¨ aten mit RS232Schnittstellen am Ethernet mit TCP/IP-Protokoll [110]. So k¨ onnen Meßger¨ ate ferngesteuert und Daten u ¨ber große Entfernung u ¨bertragen werden. Dabei erh¨ alt der Konverter eine eindeutige IP-Adresse. Weitere Konverter f¨ ur die Meßdatenerfassung sind: • USB (Universal Serial Bus) ⇐⇒ IEC-Bus • Fire Wire (IEEE1394) ⇐⇒ IEC-Bus • USB (Universal Serial Bus) ⇐⇒ RS485. 14.5.8 Der Feldbus (FAN) Ein Feldbus ist ein Bussystem, welches der kommunikationstechnischen Verbindung von sog. Feldger¨aten dient. Zu diesen Feldger¨ aten z¨ ahlen insbesondere speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS) sowie intelligente Sensoren und Aktoren, die digitale bzw. analoge Signale an einen Steuerrechner senden bzw. von diesem empfangen. Im allgemeinen handelt es sich bei den Feldbussen um lokale Busse, die u ¨ber Buskoppler, sog. Gateways, an einen Hauptbus angeschlossen sind, der sie wiederum mit dem zentralen Leitrechner verbindet (Abb. 14.52). Der Feldbus stellt dabei in der Regel nicht nur Leitungen f¨ ur den

Abb. 14.52. Struktur eines Prozeßleitsystems mit Feldbussen

476

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Austausch von Daten bereit, sondern auch solche, die der Energieversorgung der Feldger¨ ate dienen. Dabei werden meist geringe Datenmengen u oßere ¨ber gr¨ Distanzen u uglich ¨bertragen. In Abb. 14.53 sind verschiedene Feldbusse bez¨ ihrer Leistungsf¨ahigkeit und Komplexit¨at gegen¨ ubergestellt. Sie werden im folgenden ausf¨ uhrlich behandelt. Die Struktur eines Feldger¨ates, das u ¨ber einen Zweidrahtanschluß an einen Feldbus angeschlossen ist, wird in Abb. 14.54 gezeigt. Die beiden Busleitungen dienen bei dieser Ausf¨ uhrungsform einerseits als Transportmittel der elektrischen Energieversorgung und andererseits als Tr¨ ager der prozeßtechnischen Information. Dazu werden der Versorgungsspannung mit Hilfe des Modulators die Daten aufmoduliert, die von einem Universal-Asynchronous-ReceiverTransmitter-Baustein (UART) geliefert werden (TxD), bzw. es werden die empfangenen Daten mittels des Demodulators demoduliert und an den UART weitergereicht (RxD) (s. auch Kap. 14.4). Bei den Prozeßsignal-Adaptern (Abb. 14.54) handelt es sich vorzugsweise um intelligente Sensoren und Aktoren, also Transducer f¨ ur elektrische und nicht-elektrische Gr¨oßen, die bereits genormte Schnittstellensignale liefern. Die zentrale Steuerung des Feldger¨ates obliegt einem Microcontroller, der auch die hardwarem¨aßige sowie logische Verbindung zwischen dem SendeEmpfangsbaustein (UART) und dem Prozeßsignal-Adapter herstellt. Feldbusse sind i. allg. f¨ ur den Einsatz in hierarchisch arbeitenden Systemen vorbereitet, was unter anderem auch in einer von einem Master kontrollierten Kommunikation zum Ausdruck kommt (Master-Slave-Systeme). In den letzten Jahren wurden zwar betr¨achtliche Anstrengungen unternommen, sich bez¨ uglich der derzeit diskutierten Feldbussysteme auf einen gemeinsamen Standard festzulegen, doch bisher leider ohne Erfolg. In Tabelle 14.22 werden

Sensor/Aktorbus

Factory-Bus

Feldbus

MAP

Komplexität Kosten/Knoten

EIB Profibus Bitbus CAN Interbus-S ASI "binäre" Teilnehmer, Echtzeitmeldungen verteilte E/A Multiplexer

Funktionalität DDL, FileTask-Task virtuelle Kommunikation Geräte Konfiguration Transfer

¨ Abb. 14.53. Ubersicht u ahigkeit kommerzieller Feldbusse [53] ¨ ber die Leistungsf¨

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

477

Abb. 14.54. Struktur eines Feldger¨ ates mit Feldbusanschluß in Zweidrahtausf¨ uhrung

einige der derzeit in Anwendung beﬁndlichen Feldbussysteme vorgestellt, wobei hinzugef¨ ugt werden sollte, daß die beiden Feldbussysteme Proﬁbus-DP und Interbus-S in Europa mit Abstand den derzeit gr¨ oßten Marktanteil auf sich vereinigen k¨onnen. Einzelheiten zu der Feldbus-Thematik ﬁndet man in der weiterf¨ uhrenden Literatur, z. B. in [14], [49], [56]. In den folgenden Abschnitten werden die derzeit aktuellen Feldbusse vorgestellt. ASI-Bus Beim ASI-Bus handelt es sich um eine in jeder Hinsicht origin¨ are FeldbusL¨ osung. Das AS-Interface (Aktor-Sensor-Interface) stellt ein serielles BusInterface f¨ ur die unterste Hierarchiestufe der Automatisierungstechnik dar. ¨ Das AS-Interface wurde zun¨achst als Low-Cost-L¨ osung f¨ ur die Ubertragung ¨ bin¨ arer Sensorsignale konzipiert, aber es kann auch f¨ ur die Ubertragung analoger Signale eingesetzt werden. Es handelt sich um ein oﬀenes System, d. h. das Protokoll ist oﬀengelegt und Hardwarekomponenten werden von vielen Herstellern angeboten. Der AS-Interface-Chip ist am Markt frei verf¨ ugbar.

478

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung Tabelle 14.22. Auswahl an wichtigen Feldbus-Systemen Bus-Bezeichnung

BusTyp

¨ max. TeilNachrichten- max. UberTopologie nehmeranzahl l¨ ange in Bit tragungsrate

Proﬁbus DP Master- 124 Slave

1984

Interbus-S

512

16

12 MBit/s 500 kBit/s bei 100 m 500 kBit/s

256

1024

5 MBit/s

32

4

FIP ASI CAN

BIT

Bus-Bezeichnung

MasterSlave MultiMaster MasterSlave Multimaster

nur abh¨ angig 64 von Treiberelektronik Master- 250 1984 Slave Datenleitung

Proﬁbus DP 2-Draht, geschirmt Interbus-S 4-Draht, geschirmt FIP 2-Draht, geschirmt ASI 2-Draht, ungeschirmt CAN 2-Draht, verdrillt oder LWL BIT 3 paarig verdrillte Zweidrahtleitung

Linie mit Abzweigen Ring

Linie mit Abzweigen 150 kBit/s Linie mit Abzweigen 1 MBit/s Linie mit (375 kBits/s Abzweigen bei 100 m) 500 kBit/s Linie mit Abzweigen

Versorgungs- max. Leitungsleitung l¨ ange 3-Draht oder LWL 5-Draht

9,6 km (90 km bei LWL) (1200 m zwischen 2 Teilnehmern) (400 m zwischen 2 Teilnehmern)

3-Draht

3500 m

Datenleitung 2-Draht

100 m

2-Draht

pro Segment 1200 m Gesamtl¨ ange 13,2 km

1000 m

Detaillierte Informationen zum ASI-Bus ﬁndet man in [57]. Allgemeine technische Daten: Der Bus ist aus einer Zweidraht-Proﬁlleiunstig tung aufgebaut (2x1,5 mm2 ). Die Installation ist einfach, kosteng¨ und verpolsicher. Die Maximall¨ange betr¨ agt 100 m, mit Repeatern sind ¨ 300 m m¨ oglich. Uber die Zweidrahtleitung werden Daten und Energie bis zu Str¨ omen von 10 A transportiert. Das System arbeitet mit zyklischer Abfrage und ist echtzeitf¨ahig. Die Bitdauer betr¨ agt 6 µs, durch ein kom-

14.5 Meßdatenerfassung im Feld ST SB A4 A3 A2 A1 A0 I4 I3 I2 I1 I0 PB EB

479

ST I3 I2 I1 I0 PB EB

Masteraufruf

Slaveantwort Masterpause

ST

Startbit

SB

Steuerbit

A0 ... A4

Adressbits

I0 ... I4

Informationsbits

PB

Paritätsbit

EB

Endbit

Slavepause

Abb. 14.55. Telegrammstruktur beim ASI-Bus

paktes Protokoll ist eine Reaktionszeit von 5 ms m¨ oglich. Es k¨ onnen max. 31 Slaves pro System angeschlossen werden, mit 4 Bit-Nutzdaten pro Slave. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Der Bus wird in einer Linien- oder Ring-Topologie aufgebaut. F¨ ur die Daten¨ ubertragung wird ein kompaktes Polling-Protokoll verwendet. Der Master sendet einen Befehl an einen Slave, der daraufhin antwortet. Abbildung 14.55 zeigt die genaue Bitfolge. Danach ruft der Master die anderen Slaves der Reihe nach auf. Eine ASI-Nachricht besteht somit aus einem Masteraufruf mit 14 Bit, der Masterpause, der Slaveantwort mit 7 Bit und der Slavepause. Als Modulationsverfahren wird die Alternierende Puls-Modulation (APM) verwendet. Das Nachrichtensignal ist damit gleichstromfrei und wird der Energieversorgung u uglich des ISO-Referenzmodells werden lediglich ¨berlagert. Bez¨ die Schichten 1 und 7 verwendet. CAN Der CAN-Bus (Controller Area Network Bus) wurde urspr¨ unglich f¨ ur die Automobiltechnik von der Robert Bosch GmbH entwickelt. Mittlerweile sind seine Speziﬁkationen in einer ISO-Norm festgehalten und sein Einsatzgebiet geht weit u ¨ber die Automobiltechnik hinaus (ISO 11 898). CAN wird heute sehr vielf¨ altig eingesetzt, u. a. in mobilen Systemen, in der Fertigungsautomatisierung sowie in der Geb¨audeautomatisierung. Eine detaillierte Beschreibung zum CAN-Bus ﬁndet sich in [59], [56]. Allgemeine technische Daten: Der CAN-Bus basiert entweder auf verdrillten Zweitdrahtleitungen (Twisted Pair) oder einem Lichtwellenleiter ¨ ¨ h¨ angt von der Ubertra(LWL). Der maximal zul¨assige Ubertragungsweg gungsrate ab, bei 1 MBit/s betr¨agt er 40 m und bei 50 kBit/s bereits 1000 m. Die maximale Teilnehmeranzahl bestimmt sich allein aus der Lei-

480

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

stungsf¨ ahigkeit der verwendeten Treiberstufenelektronik. Es sind verschiedene Mikrocontroller f¨ ur das CAN-Bus-Protokoll kommerziell erh¨ altlich. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Die CAN-Bus-Topologie weist Linienstruktur auf. Es sind beidseitig Abschlußwiderst¨ ande vorgesehen. Das Bus-Zugriﬀsverfahren basiert auf CSMA/CA mit bitweiser Arbitrierung. In der Arbitrierungsphase u ¨berschreiben Teilnehmer mit dem logischen Zustand 0 den logischen Zustand 1 der anderen gleichzeitig sendenden Teilnehmer. Man spricht in diesem Zusammenhang von dominantem (logisch 0) und rezessivem (logisch 1) Zustand. Die Teilnehmer mit rezessivem Zustand stellen ihren Sendevorgang ein und starten einen neuen Sendeversuch erst, nachdem wieder Busruhe“ detektiert wurde. Das Prinzip ” der bitweisen Arbitrierung wird in Abb. 14.56 gezeigt. Es bleibt als einziger Sender schließlich nur der Teilnehmer mit der h¨ ochsten Priorit¨at u ¨brig. Somit kann trotz des stochastischen BusZugriﬀsverfahrens Echtzeitverhalten garantiert werden.

Vcc Rpullup

T1

Busleitung

T2

T3

T Bit T1 T2

Sender

T3

Empfänger rezessiver Pegel

Bus

dominanter Pegel

T1 wird Empfänger

T3 wird Empfänger und T2 bleibt als Sender übrig

Abb. 14.56. Bitweise Arbitrierung nach dem CSMA/CA-Verfahren

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

481

Beim CAN-Bus werden eventuell auftretende Fehler anhand folgender Mechanismen ermittelt (siehe auch Abb. 14.57): • Bit-Monitoring: Jeder Sender empf¨ angt wieder die von ihm selbst gesendeten Bits und f¨ uhrt einen Identiﬁkationsvergleich durch. • Bit-Stuﬃng: Es wird eine Bitcodierungsregel u ¨berwacht, nach der sp¨ atestens nach 5 gleichen Bits ein verschiedenartiges zu folgen hat. • Acknowledge: Jede Nachricht (Telegramm) muß von mindestens einem Empf¨anger als fehlerfrei best¨atigt werden. Dazu dient der ACKSlot im CAN-Bus-Telegramm (Abb. 14.57). • Cyclic Redundancy Check (CRC): Dabei wird eine 15 Bit lange Pr¨ ufsumme eingesetzt, um Fehler in Nachrichten zu erkennen, was zu einer Hamming-Distanz von HD = 6 f¨ uhrt.

DatenArbitrierungsfeld Steuerfeld Datenfeld sicherungsfeld

EOF IFS BUS Idle

0-8 Byte Data 15 Bit CRC

Identifier 11 Bit

RTR IDE r0 DLC

SOF

ACK

Standardformat (CAN 2.0 A)

Arbitrierungsfeld

BUS Idle

RTR r1 r0 DLC

SRR IDE

SOF

EOF IFS

0-8 Byte Data 15 Bit CRC

18 Bit

11 Bit

SOF RTR IDE r0 DLC

DatenSteuerfeld Datenfeld sicherungsfeld

ACK

Erweitertes Format (CAN 2.0 B)

Start of Frame Remote Transmission Request Identifier Extension Bit reserviert Data Length Control

ACK EOF IFS SRR r1 Bus Idle

Acknowlegde-Field End of Frame Inter Frame Space Substitute Remote Request reserviert Busruhe

Abb. 14.57. CAN-Bus-Protokolle (CAN 2.0 A und CAN 2.0 B)

482

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

PROFIBUS-DP Der PROFIBUS ist ein universell einsetzbarer Bus und wurde origin¨ ar f¨ ur die Bereiche Fertigungsautomatisierung und Verfahrenstechnik entwickelt. Mittlerweile gibt es die Varianten PROFIBUS-FMS, PROFIBUS-DP und PROFIBUS-PA. Dabei stehen die Begriﬀe PROFIBUS f¨ ur PROcess FIeld BUS, DP f¨ ur Decentral Periphery bzw. Dezentrale Peripherie, FMS f¨ ur Fieldbus Message Speciﬁcation und PA f¨ ur Process Automation bzw. Prozeßautomatisierung. Hier soll nur auf den PROFIBUS-DP eingegangen werden. Es handelt sich dabei um ein oﬀenes System, das nach DIN 19 245 bzw. IEC 61 158 genormt ist. Es sei darauf hingewiesen, daß ﬁrmenspeziﬁsche Bezeichnungen f¨ ur PROFIBUS-kompatible kommerzielle Ausf¨ uhrungsvarianten existieren. Detaillierte Informationen zum PROFIBUS-DP ﬁndet man in [87], [56]. Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung erfolgt beim PROFIBUS entweder mit geschirmter und verdrillter Zweidrahtleitung oder Lichtwellenleiter. Die Maximall¨ange des Busses betr¨ agt bei elektrischer ¨ Verdrahtung ca. 10 km und f¨ ur die LWL-Variante 90 km, wobei die Uber¨ tragungsentfernung von der Ubertragungsrate abh¨ angt. Der PROFIBUS ¨ zeichnet sich durch eine hohe Ubertragungsgeschwindigkeit aus; sie beagt maximal 12 MBit/s. Die Busteilnehmer sind bei elektrischer Vertr¨ drahtung w¨ ahrend des Betriebes an- und abkoppelbar. Insgesamt lassen sich 124 Teilnehmer anschließen. Dabei l¨aßt sich der PROFIBUS in Bussegmente untergliedern (max. Anzahl 5; je Segment max. 32 Teilnehmer). logischer Tokenring

SPS/PC DP-Master Klasse 1

DP-Master Klasse 2 R termin.

R termin.

Slave 1

Slave 2

...

Slave n

Abb. 14.58. Linientopologie des PROFIBUS-DP [56]

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

DP-Master Klasse 1

DP-Master Klasse 1 Segment 2

Segment 1

483

DP-Master Klasse 1 Segment 3

R termin. R termin.

Segment x Repeater 1

Repeater 2

Repeater 3

Bus Slave 1 ... Slave n

Slave 1 ... Slave q Slave 1 ... Slave k

Slave 1 ... Slave m

Abb. 14.59. Segmentierung des PROFIBUS-DP mittels Repeater (k, m, n, q < 32; x < 5) [56]

Die Bitcodierung erfolgt im sog. NRZ-Code (Non Return to Zero). Der PROFIBUS verf¨ ugt u oglichkei¨ber weitreichende Fehler- und Diagnosem¨ ten. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Der PROFIBUS basiert auf einer Linienstruktur mit Abzweigen. Dabei existieren sowohl Single- als auch Multimastersysteme. Bei der Maximall¨ange von 9,6 km kann eine Daten¨ ubertragung von 94 kBit/s erreicht werden. Dabei d¨ urfen 7 Repeater eingesetzt werden. Der maximale Abstand zweier Teilnehmer betr¨ agt 1200 m. Wird die Datenrate auf 1,5 MBit/s gesteigert, sind nur noch 4 Repeater zul¨ assig. Das Zugriﬀsverfahren des PROFIBUSses wird als hybrides TokenPassing-Verfahren bezeichnet (Abb. 14.58 und Abb. 14.59). Bei Verwendung mehrerer Master kl¨aren diese ihr Zugriﬀsrecht zun¨ achst untereinander durch Weitergabe des Token nach dem standardm¨ aßigen TokenPassing-Verfahren. Die jeweiligen, den Mastern in der Initialisierungsphase zugeordneten Slaves werden dann von den betreﬀenden Mastern nach dem Master/Slave-Verfahren in zyklischer Reihenfolge abgefragt (Polling). Wenn nur ein Master verwendet wird (Single-Master-Betrieb), entf¨ allt das Token-Passing, wodurch sich die Abfragesequenz der Slaves sp¨ urbar erh¨ oht und somit die Echtzeitanforderungen in aller Regel erf¨ ullt werden k¨ onnen. Das Datenprotokoll (Abb. 14.60) enth¨ alt zwischen 2 Daten¨ ubertragungen mindestens 33 SYN-Zeichen, woraus die empfangenden Busteil¨ nehmer das Ende einer Ubertragung erkennen. Darauf folgt ein Start Delimiter SD zur Unterscheidung des Telegrammtyps [87], ein L¨ angenbyte LE sowie die Wiederholung (zwecks Datensicherung) des L¨ angenbytes LEr und des Start Delimiters SD.

484

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

SD

LE

LEr

SD

DA

SA

FC

DAT FCS

ED

START D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 PAR STOP SD

Start Delimiter

FC

Function Code

LE

Length (1 Byte)

DAT

Data

LEr

Length (1 Byte) Repetition

FCS

Frame Check Sequence

DA

Destination Address

ED

End Delimiter

SA

Source Address Abb. 14.60. Datenprotokoll f¨ ur PROFIBUS-DP (s. auch [87])

Desweiteren enth¨alt der Protokollrahmen Quell- und Zieladresse, einen Ende Delimiter sowie eine Verz¨ogerung von 8 Bit. Der eigentliche Datenteil enth¨ alt neben den 8 Datenbits ein Start-, ein Stopbit sowie ein Parit¨ atsbit. ¨ Dieser aufwendige Protokollrahmen erlaubt zwar eine relativ sichere Uber¨ tragung von Daten. Aus der Tatsache, daß zur Ubertragung von 8 relevanten Datenbit 154 Bit zu u ¨bertragen sind, kann geschlossen werden, daß der PROFIBUS nicht im Low-Cost-Segment zu ﬁnden ist. Er wird sehr oft zur Vernetzung von SPS-Komponenten eingesetzt. FIP-Bus Der FIP-Bus (Flux Information Process; ehemals: Factory Instrumentation Protocol) ist eine Entwicklung der franz¨osischen Industrie und kann als kommerzieller Gegenspieler des PROFIBUS angesehen werden. Die Datenu ¨bertragung erfolgt u ¨ber geschirmte und verdrillte Zweidrahtleitungen oder u ubertragungsraten liegen zwischen 32 kBit/s ¨ber Lichtwellenleiter. Die Daten¨ und 5 MBit/s (mit LWL). Ein st¨orungsfreies Anschließen von Teilnehmern w¨ahrend des Betriebes ¨ahnlich dem PROFIBUS ist hier nicht vorgesehen. Detaillierte Informationen zum FIP-Bus ﬁndet man in [56]. Allgemeine technische Daten: Es handelt sich ebenfalls um ein oﬀenes System, das in der Norm IEC 61 158 speziﬁziert ist. Die maximalen ¨ u uckbaren Distanzen sind entfernungsabh¨ angig: Bei einer Ubertra¨berbr¨ gungsrate von 2,5 MBit/s betr¨agt die Distanz 500 m, die auf 3500 m ge¨ steigert werden kann, wenn die Ubertragungsrate auf 32 kBit/s reduziert wird. Die Bitcodierung erfolgt im Manchester-Code. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Die Topologie des FIP-Busses ist eine ¨ Linienstruktur mit Abzweigen. Bei LWL-Ubertragung ist neben der Linienstruktur eine sternf¨ormige Topologie unter Verwendung aktiver Buskoppler m¨ oglich. Die maximale Teilnehmeranzahl liegt bei 256.

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

485

Der Bus-Zugriﬀ ist deterministisch und erfolgt nach dem sog. DelegatedToken-Prinzip. Dabei erhalten die Slaves vom Master ein Token in Form ¨ eines Identiﬁers (16-Bit-Wort). Uber diese Identiﬁer k¨ onnen mehrere Variable eines Slaves adressiert werden. Die eigentliche physikalische Adresse wird nur in Sonderf¨allen verwendet, ansonsten erfolgt die MehrfachAdressierung der Slaves durch den Identiﬁer. Die Kommunikation besteht gem¨ aß FIP-Protokoll aus der Initialisierungsphase und der Betriebsphase. In der Initialisierungsphase wird festgelegt, welcher Slave zu welchem Zeitpunkt welche Daten sendet. Die Datensicherung f¨ uhrt zu einer Hamming-Distanz HD = 4 und wird u ¨ber verschiedene Mechanismen erreicht [56], wie z.B. Telegrammrahmencheck mittels CRC-Quersumme, Dauerbelegungserkennung, Zeit¨ uberwachung der Teilnehmer oder auch die Abfrage eventuell ausgefallener Teilnehmer. Die l¨angste Reaktionszeit kann in der Initialisierungsphase als Vielfaches der Minimalzykluszeit (5 ms) konﬁguriert werden. INTERBUS-S Der Interbus-S ist ein speziell f¨ ur den echtzeitkritischen Bereich von der Fa. Phoenix Contact entwickeltes Bussystem. Es wird vorwiegend in der Fertigungsautomatisierung als objektnaher Feldbus zum Anschluß von Sensoren und Aktoren bzw. SPS-Komponenten eingesetzt. Auch beim Interbus-S handelt es sich um einen oﬀengelegten Standard. Beim Interbus-S ist prinzipiell zwischen dem Lokalbus (= Sensorloop) und dem Fernbus zu unterscheiden. Detaillierte Informationen zum Interbus ﬁndet man in [17], [8]. Allgemeine technische Daten: Der Fernbus kann bei einer maximalen Teilnehmerzahl von 512 und einem maximalen Teilnehmerabstand von 400 m eine Gesamtausdehnung von 12,8 km aufweisen. Er kann Daten bis zu max. 500 kBit/s u ¨bertragen. Ein Subbus zum Interbus-S ist die Sensorloop (Lokalbus), die den Anschluß von einfachen bin¨ aren Sensoren und Aktoren erm¨ oglicht. Dabei wird ein Twisted-Pair-Kabel zu den Teilnehmern und zur¨ uck zum Hauptbus gef¨ uhrt (Abb. 14.61). Dieser Lokalbus kann max. 8 Teilnehmer aufnehmen (max. Abstand: 1,5 m, max. Ausdehnung 10 m) [56]. Die Zweidrahtleitung dient gleichzeitig als Versorgungsleitung. Dazu steht in der Sensor-Loop-Busklemme ein Netzteil (24 V; 1,5 A) zur Verf¨ ugung. Der Fernbus nutzt eine auf RS485 basierende Schnittstelle, wobei jeder Fernbusknoten u ¨ber eine separate Hilfsenergieversorgung sowie aktive Busankopplung mit Repeaterfunktion verf¨ ugt. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Abbildung 14.62 zeigt die InterbusTopologie. Der Bus besteht aus (seriellen) Punkt-zu-Punkt-Verbindungen, die einen Ring formen, was dazu f¨ uhrt, daß der Ausfall bereits eines Busknotens den gesamten Bus lahmlegt.

486

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Fernbus Sensorloop (Lokalbus)

Slave 1

< 1,5 m

i < 40 mA

Slave 2

< 10 m

Slave n n < 32

Sensor-Loop-Busklemme (enthält Stromversorgung für Slaves) Abb. 14.61. Anschluß einer Sensor-Loop an den Fernbus (Interbus-S)

Die Koordination der Buskommunikation obliegt dem Masterknoten (Busmaster). Das Bus-Zugriﬀsverfahren l¨auft nach dem Prinzip des Summenrahmentelegramms ab. Dabei sind alle f¨ ur die einzelnen Teilnehmer bestimmten Daten im Telegrammrahmen enthalten. Die Daten, welche die Slaves an den Master senden, werden von den Slaves an der entsprechenden Stelle in den Telegrammrahmen eingebaut. Aufgrund der Ringtopologie k¨ onnen die Daten in einem Schieberegister gehalten bzw. durchgeschoben werden, wobei darauf zu achten ist, daß das dazugeh¨ orige Summenrahmentelegramm am Masterknoten beginnt und auch endet. Die explizite Adressierung der einzelnen Teilnehmer entf¨ allt, da deren Adresse implizit aus der jeweiligen Position im Schieberegister folgt. Die Kommunikation beim Interbus-S beginnt stets mit einem sog. Identiﬁkationszyklus, der vom Master nach dem Start des Systems initiiert wird, um festzustellen, welche Teilnehmer in welcher Reihenfolge aktuell am Bus angeschlossen sind. Dazu erh¨ alt jeder Teilnehmer einen 16 Bit langen Identiﬁkationscode (ID-Code). Nach dem Identiﬁkationszyklus folgt der sog. Datenzyklus, in dem die Ausgabedaten vom Master an die Slaves und auch die Daten der Slaves an den Master u ¨bertragen werden. Die Datensicherung erfolgt per Cyclic Redundancy Check (CRC) mit Hilfe eines 16 Bit langen Pr¨ ufpolynoms. Beim Interbus-S k¨ onnen seitens des Masters defekte Teilnehmer erkannt werden. In Folge ist es m¨ oglich,

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

487

Busmaster

Slave

Fernbus Distanz < 400m Slave

Slave

Buskoppler

Lokalbus (Sensorloop) max. 8 Teilnehmer; Distanz < 10m Slave

Slave

Buskoppler Fernbus (max. 12,8km) Slave

Slave

Abb. 14.62. Struktur des INTERBUS-S (Ringtopologie)

nach dem Stoppen der Daten¨ ubertragung Bussegmente abzukoppeln bzw. defekte Teilnehmer zu tauschen. BITBUS Der BITBUS, der im Jahre 1984 von der Fa. Intel deﬁniert wurde, ist f¨ ur Anwendungen in der Steuerungsebene (Abb. 14.46) sehr geeignet; er ﬁndet aufgrund seines langsamen Zeitverhaltens wenig Anwendung in den untersten Ebenen von Automatisierungssystemen. Detaillierte Informationen zum Bitbus ﬁndet man in [40], [56]. Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung, die sich am RS485-Standard orientiert, erfolgt beim Bitbus u ¨ber drei Paare von verdrillten Leitungen (1. Paar: Data+/Data-; 2. Paar: Masseleitungen; 3. Paar: request-to-send / Schirm). Die Daten¨ ubertragung ist auch u ¨ber Lichtwellenleiter m¨ oglich, was allerdings nicht in der IEEE-Speziﬁkation f¨ ur den Bitbus festgehalten ist. ¨ Die maximale Busl¨ange pro Segment betr¨ agt 1200 m bei einer Ubertragungsrate von 62,5 kBit/s. Aufgrund der H¨ ochstzahl von 10 Repeatern kommt man auf 11 m¨ogliche Segmente und eine Gesamtl¨ ange des Busses

488

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Master

1. Bus-Ebene

R termin.

R termin.

Stichleitungen

Slave 1

Slave 2 Master

...

Slave 28

2. Bus-Ebene

R termin. Slave 3

Slave 4

R termin.

Repeater

...

Slave 8

Abb. 14.63. BITBUS mit zwei Ebenen [56]

von 13,2 km. Es sind pro Segment 28 Teilnehmer und ein Masterknoten zugelassen; insgesamt d¨ urfen nicht mehr als 250 Teilnehmer angeschlossen werden. Die Codierung der Bitbussignale erfolgt gem¨ aß der NRZI (NonReturn-to-Zero-Inverted)-Methode. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Die Topologie des Bitbusses ist eine Linie mit Abzweigen, wobei gem¨aß Abbildung 14.63 die Struktur auch aus mehreren Linien bestehen kann, die hierarchisch zusammengeschaltet werden. Der Bitbus l¨aßt nur einen Masterknoten zu, der u ¨ber alle Ebenen hinweg die Daten¨ ubertragung auf dem Bus kontrolliert. Ein diesem Master untergeordneter Slave kann jedoch als (Sub-)Master einer darunterliegenden Ebene arbeiten. Abbildung 14.64 zeigt das Bitbus-Telegramm, gem¨ aß welchem die Daten in Paketen, bestehend aus Startblock, Informationsblock, Datenblock ¨ (Nutzdaten) und einem CRC-Pr¨ ufwort, gesendet werden. Bei der Ubertragung wird jeder Datenblock mit einer Anfangs- und einer Endemarke

Flag

Flag Adr Control Header Nutzdaten CRC

Adr

Control

Header

Nutzdaten

CRC

Marke Adresse Steuerfeld Bitbus-Meldungs-Header Bitbusdaten Prüfsumme Abb. 14.64. BITBUS-Telegramm [56]

Flag

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

489

versehen, die aus 6 aufeinanderfolgenden Bits mit dem logischen Wert 1 bestehen. Das Echtzeitverhalten des Bitbus ist gew¨ ahrleistet, da auf der ¨ Basis der Teilnehmeranzahl und der Ubertragungsrate die Antwortzeiten bestimmt werden k¨onnen. EIB (European Installation Bus) Der EIBus wurde von der EIB Association, einem Zusammenschluß f¨ uhrender Unternehmen der Elektroinstallationstechnik, ins Leben gerufen. Dabei ist es das vorrangige Ziel, in Europa zu einem einheitlichen Installationsbus zu kommen, der in der Geb¨audeautomation praxisgerecht eingesetzt werden kann. Er soll dabei in erster Linie der Vernetzung von Sensoren und Aktoren dienen, die typischerweise in der Haustechnik eingesetzt werden, wie z. B. Temperaturund Feuchtesensoren oder Beleuchtungs- und Jalousiesteuerungen. Detaillierte Informationen zum EIB ﬁndet man in [24]. Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung sowie die Stromversorgung (bis zu 320 mA pro Segment) erfolgt u ¨ber verdrillte und geschirmte Zweidrahtleitungen. Beim EIBus handelt es sich ebenfalls um ein oﬀenes System. Topologie und Datenu aßt Linien-, Stern- und ¨ bertragung: Der EIBus l¨ Baumstruktur, auch gemischt, zu. Die Gesamtstruktur kann in mehrere

Gateway

NT BK15

Bereichslinie LK1 BK3

LK2

NT . . .

LK12 1

NT

...

BK2

LK3

1

1

1

. . . Linie

LK12 1

64

LK12

...

LK2

1

64

...

...

...

...

64

64

64

64

NT

NT

NT

NT Bereich 1

1 ...

BK1 Hauptlinie NT LK1

LK12

NT

NT Bereich 2

64 NT Bereich 15

NT Bereich 3

NT Netzteil BK Bereichskoppler LK Linienkoppler

Abb. 14.65. Struktur des EIB-Systems [24], [56]

490

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

EIB-Bus EIB-Teilnehmer Buskoppler

Applikations Modul Abb. 14.66. Hauptkomponenten eines EIB-Teilnehmers

Bereiche unterteilt werden, die wiederum u ¨ber eine Bereichslinie, an der sog. Bereichskoppler h¨angen, miteinander verbunden sind (Abb. 14.65). Die Bereiche sind in Linien unterteilt (max. 12 pro Bereich). An einer der Linien d¨ urfen bis zu 64 Teilnehmer angeschlossen werden. Es sind insgesamt 15 Bereiche zugelassen. Die Leitungsl¨ ange pro Linie betr¨ agt 1000 m. Die Daten¨ ubertragungsrate f¨allt mit 9,6 kBit/s relativ gering aus. Die verdrillte Zweidrahtleitung dient als Datenleitung und gleichzeitig der Energieversorgung der Teilnehmer. Jeder EIBus-Teilnehmer ist untergliedert in einen Buskoppler und ein Applikationsmodul (Abb. 14.66). Die Anwenderschnittstelle zwischen Buskoppler und Anwendungsmodul ist ebenfalls Bestandteil der EIB-Norm. Es wird ein dezentrales CSMA/CA-Zugriﬀsverfahren eingesetzt. Die entsprechende Telegrammstruktur ist in Abb. 14.67 zu sehen. Die Nachrichten werden an bestimmte Zieladressen gesendet, wo sie von den entsprechenden Teilnehmern auf Fehlerfreiheit hin u uft werden. Danach ¨berpr¨ quittieren sie den Empfang.

Kontrollfeld Quelladresse Zieladresse Routing Inform. 8 Bit

16 Bit

17 Bit

7 Bit

Daten

Paritätsfeld

1 - 16 Byte

8 Bit

Abb. 14.67. Telegrammstruktur des EIB (f¨ ur Details siehe [53])

LON (Local Operating Network) Das Local Operating Network ist von der Fa. Echelon als Feldbussystem f¨ ur nicht-zeitkritische Anwendungen, wie z. B. die Geb¨ audeautomatisierung, entwickelt worden. Eine internationale Norm existiert nicht, wohl aber LONNutzerorganisationen, welche die Entwicklung von LON-Komponenten unterst¨ utzen. Die Ankopplung der Teilnehmer an den LON-Bus erfolgt u ¨ber sog. Neuron-Chips, die von den Firmen Motorola und Toshiba geliefert werden. In

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

491

diesen Chips ist das Protokoll aller 7 Schichten des OSI-Schichtenmodells in Form von Firmware enthalten. Detaillierte Informationen zu LON ﬁndet man in [25]. Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung erfolgt u ¨ber eine RS485-Leitung (Twisted Pair), u ¨ber Koaxialkabel, Lichtwellenleiter oder Netzleitungen (Powerline Communication). Die max. Daten¨ ubertragungsrate betr¨ agt 1,25 MBit/s. Die Bitcodierung erfolgt nach dem ManchesterVerfahren. Eine Fernspeisung der Teilnehmer u oglich. ¨ber den Bus ist m¨ Es lassen sich bis zu 32.385 Teilnehmer an den LON-Bus anschließen. Dazu m¨ ussen 255 Subnetze mit je 127 Teilnehmern eingerichtet werden. Die maximale Ausdehnung betr¨agt 6,1 km bei einer Datenrate von 5 kBit/s. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Der LON-Bus kann Linien-, Sternund Baumstruktur aufweisen. Die unterschiedlichen Topologien resultie¨ ren aus den verschiedenartigen Ubertragungsmedien, die beim LON zu¨ gelassen sind. Bei RS485-Ubertragung ergibt sich eine Linienstruktur, bei Powerline- oder Funk¨ ubertragung nat¨ urlich andere Topologien. In jedem Fall dienen die Neuron-Chips als Kommunikationscontroller. Um zwei ¨ Bussegmente mit unterschiedlichen Ubertragungsmedien zu verbinden, braucht man einen Router (Abb. 14.68).

R termin.

Klimalüftung

Fenstersteuerung

Neuron

Neuron

R termin.

verdrillte Zweidrahtleitung

Neuron Router

Beleuchtung

Schalter

Neuron

Neuron

Neuron

Wechselstromleitung

Neuron Router Neuron

Neuron Funk

LWL

Neuron

LWL

Router Neuron

Abb. 14.68. Topologievarianten des LON [56]

Neuron

492

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Prä

Data

CRC

Prä Data CRC CV Beta1 Beta2 RS

CV

Beta1

Beta2

RS

Präambel Datenpaket Prüfsumme (Cyclic Redundancy Check) Code Violation (Manchester-Code-Verletzung) Beta1-Zeit (Kanalfreihaltezeit) Beta2-Zeit (Prioritätsvergabe) Randomizing Slots (zufällige Zeitscheiben) Abb. 14.69. Telegramm des LON-Bus [56]

Als Bus-Zugriﬀsverfahren wird ein CSMA/CA-Verfahren eingesetzt. Die Daten¨ ubertragung erfolgt gem¨aß dem LONTALK-Protokoll (Abb. 14.69). Sie ist durch Datenpakete mit einer durchschnittlichen Gr¨ oße von 20 Byte optimiert. Die Hamming-Distanz bei der Daten¨ ubertragung betr¨ agt HD = 4 und wird durch eine 16 Bit lange CRC-Pr¨ ufsumme erreicht. Die NeuronChips sind recht komplex. Sie enthalten u. a. drei getrennte CPUs f¨ ur Bus-Zugriﬀ (CPU1), Abdeckung der OSI-Schichten 3 bis 7 (CPU2) und Anwendungsaufgaben (CPU3). Zu ihrer Programmierung ben¨ otigt man das nicht ganz preiswerte Entwicklungstool LONBUILDER. DIN-Meßbus Das Haupteinsatzgebiet des DIN-Meßbusses ist das professionelle Meß-, Pr¨ ufund Eichwesen, so z. B. bei der Tankstellenautomation. In Deutschland ist der DIN-Meßbus genormt (DIN 66348). Es gibt auch eine Anwendervereinigung (DIN-Meßbus e.V.). Detaillierte Informationen zum DIN-Meßbus ﬁndet man in [95], [56].

PC Master

Busleitungen

R termin.

R termin. Slaves

Empfangsleitung Sendeleitung

Repeater

Slave 0 reserviert für Rundruf

Slave 1 Meßgerät 1

Slave 2 Meßgerät 2

Slave n ...

Drucker

Abb. 14.70. Topologie des DIN-Meßbusses [56]

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

493

Allgemeine technische Daten: Der DIN-Meßbus basiert auf der RS485¨ Ubertragung mit zwei Twisted-Pair-Leitungen f¨ ur Vollduplex-Betrieb. Die Bitcodierung erfolgt nach NRZ (Non Return to Zero). Standardm¨ aßig k¨ onnen 32 Teilnehmer angeschlossen werden. Bei Verwendung von erweiterten Adressen und Repeatern sind 992 bzw. bei Kaskadierung bis zu 4.096 Teilnehmer zugelassen. Topologie und Datenu ¨ bertragung: Die Topologie ist eine Linienstruktur mit Abzweigen. Wegen des Vollduplexbetriebes sind zwei Adernpaare, also eine Sende- und eine Empfangsleitung, notwendig (Abb. 14.70). Das Bus-Zugriﬀsverfahren arbeitet nach dem Master/Slave-Prinzip mit Abfragepolling. Der Telegrammrahmen des DIN-Bus-Protokolls wird in Abb. 14.71 gezeigt. Übertragungsblock INFO

STX

STX INFO ETB/ETX BCC

ETB/ETX

BCC

Beginn des Datenblocks Informationsfeld max. 128 Zeichen Ende Datenblock / Ende Datenblock und gleichzeitig Ende Text Blockprüfzeichen

Abb. 14.71. Telegramm des DIN-Meßbusses

Die Fehlersicherung besteht u. a. aus einem Parit¨ atsbit und einem Blockpr¨ ufzeichen (BCC) je Datenblock. Schließlich wird eine Hamming-Distanz von HD = 4 erreicht. Aufgrund des deterministischen Pollings, der bekannten Teilnehmeranzahl und Blockl¨ange sowie der vereinbarten Datenrate ist die Echtzeitf¨ahigkeit des DIN-Meßbus gegeben. 14.5.9 Prim¨ are Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) Der deutsche AMA-Fachverband f¨ ur Sensorik [4] hat ein Schnittstellenkonzept f¨ ur die modulare Mikrosensorik vorgeschlagen. Dieser Vorschlag sieht Module f¨ ur die Funktionsbereiche Meßwerterfassung, Meßwertverarbeitung und die Systemanbindung vor (Abb. 14.72). Die Schnittstelle wurde vom AMAFachverband in Kooperation mit Sensorherstellern und den Fraunhoferinstituten IZM und IIS entwickelt. Kernpunkte der Deﬁnition sind: • Ein von Meßgr¨oße und Elementtyp unabh¨ angiges Ausgangssignal (Uout ) • Neutralit¨ at gegen¨ uber unterschiedlichen Betriebsspannungen (Vcc ) • Einheitliche Abmessungen und elektrische Kontaktierung.

494

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Vcc

SensorelementModul

TC

Uout Bezugs-

potential

AnalogAusgang

ADC, Mikrorechner

KommunikationsModul

oder

Bus, Ethernet, Bluetooth etc.

Analogstufe

Meßwerterfassung

Meßwertverarbeitung

PrimSensEmpfehlung

Systemanbindung

BuskopplerEmpfehlung

Abb. 14.72. Schnittstellen-Konzept der modularen Mikrosensorik [4]

Grunds¨ atzlich l¨ aßt sich die PrimSens-Empfehlung mit nahezu allen Sensorelementen realisieren. PrimSens deﬁniert absolute Ausgangs-Signalpegel, die unabh¨ angig von der im Sensorsystem vorhandenen Betriebsspannung sind. Erreicht wird dies durch eine modulinterne Stabilisierung der Versorgungsspannung am Sensorelement. Damit vermeidet PrimSens eine ratiometrische Auswertung des Meßsignals in Bezug auf die Betriebsspannung, denn dies w¨ urde alle aktiven Sensorelemente ausgrenzen. Um k¨ unftige Entwicklungen in der Betriebsspannung zu ber¨ ucksichtigen, deﬁniert PrimSens zwei m¨ogliche Ausgangspegel. Je nach Spannungsbereich der nachfolgenden Signalverarbeitung betr¨ agt der Signalhub ± 1,23 V bzw. ± 2,46 V. Dieser Pegel entspricht einem Vielfachen der BandgapReferenz, die in den meisten A/D-Umsetzern ohnehin als Spannungsnormal zur Verf¨ ugung steht. Das Bezugspotential ist in den Grenzen der jeweiligen Betriebsspannung frei w¨ahlbar, so daß hohe Flexibilit¨ at in der Anwendung erreicht wird. Aus wirtschaftlichen Gr¨ unden (Hardware-Kosten) wird in PrimSens die maximale Betriebsspannung f¨ ur das Modul auf 12 V begrenzt (Abb. 14.73). Abbildung 14.74 zeigt die wesentlichen Funktionselemente zur Realisierung eines Sensorelement-Moduls am Beispiel von resistiven Elementen bzw. Spannungsquellen. Dies sind: • • • • •

Sensorelement, im Beispiel eine Widerstands-Meßbr¨ ucke Instrumentenverst¨arker zur Auskopplung des Meßsignals Widerstandsnetzwerk f¨ ur Verst¨arkungsfaktor und Oﬀsetabgleich Spannungsregler Optionaler Temperatursensor.

angig von der im Sensorsystem Der Spannungsregler macht das Modul unabh¨ verf¨ ugbaren Betriebsspannung. Die Spannung am Element wird u ¨ber den Ab-

14.5 Meßdatenerfassung im Feld

495

Ausgangsspannung Uout

Vcc obere Aussteuerungsgrenze

Masse +1,23 oder 2,46 V (wählbar im Bereich - 1,23 oder 2,46 V 0 bis Vcc - 2,46 V (1,23V) bzw. Vcc -1,23V) untere Aussteuerungsgrenze

Meßgröße X X max

Abb. 14.73. Ausgangssignal f¨ ur Sensorelement-Module nach der PrimSensEmpfehlung [4]

griﬀ herausgef¨ uhrt, so daß etwaige Langzeit-Driften durch den Rechner des Sy¨ stems korrigiert werden k¨onnen. Uber den Abgriﬀ kann aber auch eine externe Spannung zugef¨ uhrt werden, so daß dann der Regler entfallen kann. Wird das Modul um einen Sensor zur Temperaturkompensation erweitert, so stellt dieser ebenfalls den Signalpegel nach PrimSens-Empfehlung zur Verf¨ ugung.

SpannungsRegler

Sensorelement, z.B. R-Meßbrücke

Vcc SVcc TCoptional Uout Vir.Masse Anal.Gnd

Abb. 14.74. Hardware-Konzept eines Sensorelement-Moduls [4]

496

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN) Die n¨ achsth¨ ohere Vernetzungsebene nach dem Feldbereich, in dem ja die Feldbusse dominieren, ist der Zellbereich bei der Fertigung und der Prozeßleitbereich bei der Prozeßautomatisierung. Feldbusse k¨ onnen hier nicht eingesetzt werden, weil im Vergleich zum Feldbereich sehr große Datenmengen transportiert werden m¨ ussen. Daf¨ ur d¨ urfen die Antwortzeiten f¨ ur eine Anfrage zum Teil bereits im Sekundenbereich liegen. Als Bussystem eignet sich hier das Ethernet, das als physikalische und logische Basis f¨ ur ein Local Area Network (LAN) dient. Ein LAN ist ein Kommunikations-Verbund von eigenst¨ andigen Rechnern und Controllern, die gegenseitig Daten austauschen m¨ ussen. Ein Rechner kann dabei als Serverstation dienen, die den Datentransfer zwischen allen an das Netz angeschlossenen Rechnern koordiniert. Den Zusammenschluß der LANs eines Unternehmens bezeichnet man als Intranet. Die LANs wurden ehemals vorwiegend in der B¨ urokommunikation eingesetzt. Um sie auch f¨ ur die Fabrikautomation und Prozeßtechnik verf¨ ugbar zu machen, mußten sie insbesondere bzgl. elektromagnetischer St¨ orungen resistent werden, z. B. durch doppelt geschirmte Koaxialkabel. Man spricht in diesem Zusammenhang von Industrie-LAN bzw. im Falle des Ethernet von Industrie-Ethernet. Das heutige Ethernet ist in der IEEE-Speziﬁkation 802.3 deﬁniert. Danach kann ein Ethernet aus 5 Segmenten mit je 500 m Koaxialkabel bestehen. Die maximale Teilnehmeranzahl liegt bei 1024 und die h¨ ochste Datenrate bei 10 MBit/s. Die Topologie ist in aller Regel eine Linienleitungsstruktur mit ¨ Abzweigen. F¨ ur h¨ohere Datenraten steht das sog. Fast-Ethernet f¨ ur Ubertragungen mit bis zu 100 MBit/s bereit. Mittlerweile gibt es noch schnellere Ethernet-Standards mit Datenraten von 1000 bzw. 2000 MBit/s. Um eine sichere Daten¨ ubertragung zu erm¨ oglichen, wird das Ethernet mit einer Kommunikationssoftware betrieben, welche die Daten¨ ubertragung durch Fehlererkennung und Fehlerkorrektur stark verbessert. Diese StandardKommunikationssoftware ist das Transmission Control Protocol / Internet Protocol (TCP/IP). Sie bildet auch die Schnittstelle zur Anwendungssoftware. TCP/IP ist den Schichten 3 und 4 des ISO-Schichtenmodells zuzuordnen. Das Ethernet insgesamt entspricht den Schichten 1 bis 4 (Abb. 14.75). 14.6.1 IP-Adressen Jeder Teilnehmer eines LAN erh¨alt eine ihm zugeordnete Adresse, die sog. IP-Adresse. Jede IP-Adresse ist 32 Bit lang und untergliedert sich in 4 Felder `a 8 Bit, die als Oktette bezeichnet werden. Ein Oktett repr¨ asentiert eine Dezimalzahl zwischen 0 und 255. Die einzelnen Oktette sind durch Punkte voneinander getrennt (Abb. 14.76).

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Application

7

Presentation

6

Session

5

Transport

4

Transport Control Protocol (TCP)

Network

3

Internet Protocol (IP)

Data Link

2

Packet-Driver

Physical Link

1

Ethernet-Controller/physik. Leitungen

497

Application

Abb. 14.75. Abbildung des ISO-Schichtenmodells auf das mit TCP/IP betriebene Ethernet

IPv6-Adressen Die bisher behandelten IP-Adressen basieren auf dem Protokoll IPv4 (IP Version 4), welches bis zu 232 verschiedene Adressen vorgibt. Die Internet Engineering Task Force (IETF) warnte schon in den 90er Jahren, daß die Anzahl freier IP-Adressen rapide abnimmt. Daher wurde das Protokoll IPv6 (IP Version 6) entwickelt, welches 128 Bit lange Adressen deﬁniert und 2128 verschiedene Adressen erlaubt. Die Einf¨ uhrung des neuen Standards ist derzeit noch ungewiß. Eine IPv6-Adresse setzt sich aus acht 16 Bit-Werten zusammen, wobei jeder der 16 Bit-Wert aus 4 hexadezimalen Werten besteht. Ein Beispiel Netzwerkklasse Netz-ID

Host-ID

A

7 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 0

B

7 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 0

C

7 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 0

Netz-ID

Host-ID

Netz-ID r 1 Byte

s 1 Byte

Host-ID t 1 Byte

u 1 Byte

NetzwerkIP-Adresse Netz-ID Host-ID klasse A r. s. t. u s. t. u r B t. u r. s. t. u r. s C u r. s. t. u r. s. t Abb. 14.76. Prinzipielle Struktur von IP-Adressen gem¨ aß IPv4

498

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

f¨ ur eine IPv6-Adresse: ADCF:BA43:0000:0000:0000:0000:0800:CAFE oder vereinfacht ADCF:BA43::800:CAFE Aufeinanderfolgende Nullwerte k¨onnen mittels ::“ einmalig abgek¨ urzt wer” den, f¨ uhrende Nullen werden weggelassen. Die im folgenden Abschnitt beschriebenen A-, B- oder C-Klasse Netzwerke spielen bei IPv6 keine Rolle mehr. Hier wird eine andere Unterscheidung von Netzwerktypen vorgenommen. Die gr¨oßte Neuerung von IPv6 stellt die Unterscheidung von Transportpriorit¨aten dar, somit werden in Zukunft EmailNachrichten langsamer transportiert als Echtzeitdaten. Details dazu werden unter anderem in [7] vorgestellt. 14.6.2 Subnetzmasken Subnetzmasken werden verwendet, um die Netz-ID von der Host-ID (Abb. 14.76) in einer IP-Marke zu trennen. Dies hat zur Folge, daß die Subnetzmasken von der Klasse des Netzes abh¨angen. Netz-Klasse A B C

Standard-Subnetzmaske in Dezimalnotation 255.0.0.0 255.255.0.0 255.255.255.0

Mit bitweiser Verundung von IP-Adresse und Subnetzmaske kann so leicht die Netz-ID herausgeﬁltert werden. F¨ ur den Fall, daß das (physikalische) Netz auf mehrere Subnetze aufgeteilt wird, muß eine spezielle Subnetzmaske deﬁniert werden. 14.6.3 Internet-Protokoll (IP) Dem Internet-Protokoll (entspricht Schicht 3 des ISO-Schichtenmodells) obliegt die prinzipielle Aufgabe, Datenbl¨ocke (Datagramme oder auch Telegramme genannt) vom Sender zu einem oder mehreren Empf¨ angern zu transportieren. Als Unteraufgaben resultieren daraus Adreßverwaltung (Adress Management), die Aufteilung des Telegramms in geeignete Datenbl¨ ocke (Segmentie¨ rung), die Suche eines geeigneten Ubertragungsweges im Netz (Routing) bei komplexeren Netzstrukturen sowie die Fehlererkennung im Falle von bei der ¨ Ubertragung auftretenden Fehlern. Erst durch eine weitere Softwareschicht, dem Transmission Control Protocol (TCP), wird der einwandfreie Empfang der Daten sichergestellt.

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

499

14.6.4 Transmission Control Protocol (TCP) Das Transmission Control Protocol (TCP) ist der 4. Schicht im ISO-Schichtenmodell zugeordnet. Den entsprechenden Software-Modulen obliegen folgende wichtige Teilaufgaben: • Aufbau sowie Abbau von Daten¨ ubertragungsverbindungen im VollduplexBetrieb. Vollduplex-Betrieb bedeutet gleichzeitiges Senden und Empfangen von Daten. • Kontrolle dieser Verbindungen und im Falle eventueller Probleme, wie z.B. Stau im Netz, R¨ uckmeldung an die dar¨ uberliegende Anwendersoftware. • Aufbereitung und eventuelle Zwischenspeicherung von zu u ¨bertragenden Datenbl¨ ocken • Datensicherung durch – Pr¨ ufsummenbildung (32 Bit) – Quittierung von korrekt empfangenen Segmenten (Acknowledgement) ¨ – Wiederholung (Repeat) im Falle von Ubertragungsfehlern – Zeit¨ uberwachung (Time Out). 14.6.5 Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet Die Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet ist im strengeren Sinne, bedingt durch das verwendete CSMA/CD-Zugriﬀsverfahren, nicht gegeben. Durch Lasteinschr¨ankung (Busauslastung < 25%) jedoch, die durch entsprechende Parametrierung der TCP/IP Software eingestellt werden kann, wird erreicht, daß die Responsezeiten auch bei den relativ großen Datenmengen der Leit- und F¨ uhrungsebenen klein genug sind (0,1 bis 10 Sekunden, je nach Anwendung), um f¨ ur die meisten Anwendungen von einer Echtzeitf¨ ahigkeit ausgehen zu d¨ urfen. Die entscheidenden Parameter zur Einstellung der Lastbegrenzung sind die Anzahl der pro Sekunde gesendeten Nachrichten (Nachrichtenrate), ihre maximale durchschnittliche Dauer sowie der minimale Zeitabstand zwischen den Nachrichten. Eine weitere M¨oglichkeit zur Verk¨ urzung der Antwortzeiten besteht in einer Unterteilung des Netzes in ein u ¨bergeordnetes Hauptnetz und darunterliegende Subnetze. Man spricht in diesem Zusammenhang von Switching-Technologie. Meistens sind die beiden Netzebenen u ¨ber optische Switch Module verbunden, deren wesentliche Aufgabe in der Kanalisierung des Datentransports besteht. ¨ 14.6.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen Es gibt Bestrebungen, die Funktionalit¨at und den Komfort von TCP/IPDaten¨ ubertragungen weiter zu verbessern, indem man auch die Schichten 5 und 6 des OSI-Schichtenmodells durch Standards abdeckt. In diesem Zusammenhang ist vor allem das Manufacturing Automation Protocol (MAP)

500

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

zu nennen, das f¨ ur die Entwickler von Automatisierungstechnikkomponenten eine Standard-Schnittstelle zu der darunterliegenden TCP/IP-Software bereitstellt. Diese Schnittstelle stellt Software-Komponenten der Schichten 5 und 6 zur Verf¨ ugung, welche die Kommunikation von Automatisierungstechnikkomponenten unterst¨ utzen, so daß sich der Entwickler nur noch um die eigentliche Anwendungssoftware (Schicht 7) k¨ ummern muß. ¨ 14.6.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung Historisch herrscht bei Ethernet-Verbindungen das Koaxialkabel vor, im Nahbereich werden heute vorrangig geschirmte Twisted-Pair-Leitungen mit 4 Adernpaaren verwendet, w¨ahrend auf Fernstrecken in aller Regel Lichtwellenleiter zum Einsatz kommen. Bei Verwendung von Twisted-Pair-Leitungen im Nahbereich werden die Teilnehmer (Knoten) eines Netzsegmentes sternf¨ ormig an einen sog. Hub angeschlossen. Es handelt sich dabei um einen MultiportRepeater, d. h. alle Nachrichten, die der Hub empf¨ angt, werden an alle an ihn angeschlossenen Teilnehmer gesendet. Dabei ist ein Hub im Gegensatz zu einem sog. Switch nicht in der Lage festzustellen, welche Teilnehmer die Nachricht empfangen sollen und welche nicht. Dies f¨ uhrt nat¨ urlich zu unn¨ otigem Datenverkehr im Netz und damit zu Problemen bei stark frequentierten Netzen. Ein Switch hingegen kennt die Adressen der an ihn angeschlossenen Teilnehmer und leitet Nachrichten gem¨aß ihrer Zieladresse nur gezielt an die Teilnehmer weiter, f¨ ur die sie gedacht ist. Dies erm¨ oglicht die (nahezu) gleich¨ zeitige Ubertragung von Nachrichten mit verschiedenen Zieladressen u ¨ber den Switch (Abb. 14.77). Ein Switch ist auch in der Lage, Nachrichten zwischenzuspeichern. Wenn die Verbindungen zum Switch 4-adrig ausgef¨ uhrt sind, .... Hub / Switch Ethernet

Hub / Switch

Hub / Switch Subnetze mit Sternstruktur

Ethernet

....

....

....

.... ....

....

Abb. 14.77. Ethernet-Topologie mit Hubs und Switches

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

501

Ethernet-Telegrammstruktur nach V.2 Preamble 8 Byte PRE

Cyclic Redundancy Check 4 Byte

Source Address Data 6 Byte 0 bis 1500 Byte DA

SA

Destination Address 6 Byte

Type Da ta Pad

CRC

PadField Type-Field 0 bis 46 Byte 2 Byte (wird gefüllt wenn Datenfeld < 46 Byte)

Ethernet-Telegrammstruktur nach IEEE 802.3 Destination Address 6 Byte

Preamble 7 Byte PRE

SD

DA

SA

Destination Service Address Point 1 Byte

Source Service Address Point 1 Byte

Len DSAP SSAP

Source Address Length of 6 Byte DataField Start Delimiter 2 Byte 1 Byte

Cyclic Redundancy Protocol-ID Data Check 3 Byte 0 bis 1500 Byte 4 Byte

CF

P-ID Type Da ta Pad CRC

Control-Field 1 Byte

Type-Field PadField 2 Byte 0 bis 46 Byte (wird gefüllt wenn Datenfeld < 46 Byte)

Abb. 14.78. Ethernet-Telegrammstrukturen

k¨onnen u ¨ber den Switch verbundene Teilnehmer in beiden Richtungen simultan, d. h. im Vollduplex-Betrieb, miteinander kommunizieren. Wenn zwei an einem Busstrang angeschlossene Switches diesen gleichzeitig benutzen wollen, kommt es jedoch zu Kollisionen. 14.6.8 Ethernet-Telegrammstruktur Es gibt zwei g¨ angige Telegrammstrukturen, n¨amlich die nach dem Standard V.2 und die nach IEEE 802.3, welche aufgrund ihrer Unterschiede nicht kompatibel sind (Abb. 14.78).

502

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

LAN 2 LAN 1 Router 1 Router 2 LAN 3

Router 3 Router 4 LAN 5 LAN 4

Abb. 14.79. Verbindung mehrerer lokaler Netzwerke

14.6.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze Gr¨ oßere Organisationseinheiten, wie Entwicklungszentren, Fabrikationsst¨ atten oder auch Universit¨aten betreiben meist mehrere lokale Netze (Local Area Networks (LANs)), die es dann wiederum untereinander zu verbinden gilt (Abb. 14.79). Dazu verwendet man sog. Router. Wenn nun ein Teilnehmer aus einem bestimmten LAN eine Nachricht in ein anderes LAN u ochte, wird ¨bertragen m¨ diese Nachricht zun¨achst an den dem Sendenetz zugeordneten Router geschickt. Dieser Router verf¨ ugt u ¨ber Routing-Tabellen, denen er entnehmen kann, auf welchem Wege er die betreﬀende Nachricht in das in Frage kommende LAN schicken kann. F¨ ur den Fall, daß dieses LAN nicht unmittelbar erreichbar ist, werden Wege u ur das eﬃziente ¨ber andere Router gesucht. F¨ Routing in komplexen Netzen stehen heute intelligente Routing-Algorithmen zur Verf¨ ugung. Router sind also kleine Rechner, die Netze auf der Ebene der 3. Schicht des ISO-Schichtenmodells verbinden, d. h. sie beinhalten bereits Realisierungen der Schichten 1 bis 3. 14.6.10 Standortu ¨ bergreifende Vernetzung Breitband-ISDN F¨ ur die Verbindung lokaler Netze, die sich an unterschiedlichen Standorten auf der Welt beﬁnden, ben¨otigt man zun¨achst geeignete physikalische Fern¨ uber-

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

503

tragungsmedien. Dazu z¨ahlen Standard-Telefonkabel, Koaxialkabel, Lichtwellenleiter, Richtfunkstrecken, Satellitenverbindungen und Mobilfunknetze. ¨ Das weltweit am weitesten verbreitete ¨oﬀentliche Standard-Daten-Ubertragungssystem ist das ISDN (Integrated Services Digital Network). Bei der Nutzung eines Kanals k¨onnen Daten mit 64 kBit/s u ¨bertragen werden. Die Daten¨ ubertragungsrate verdoppelt sich, wenn beide Standard-Kan¨ ale verwendet ¨ werden. Durch neue Ubertragungstechniken, wie High Bit Rate Digital Subscriber Line (HDSL) oder Asymmetric Digital Subscriber Line (ADSL) sind Daten¨ ubertragungsraten von ca. 3 MBit/s bis zum Endteilnehmer m¨ oglich. Zur Bereitstellung h¨oherer Bandbreite kann auch ein sog. Prim¨armultiplexanschluss genutzt werden, der durch B¨ undelung von 30 ISDN ¨ B-Kan¨ alen eine Ubertragungsrate von 1,92 MBit/s erreicht. Im Aufbau beﬁndet sich ein sog. Breitband-ISDN-Netz (B-ISDN), ¨ welches Ubertragungsraten von derzeit 155 MBit/s zul¨ aßt. Es sind Datenraten von bis zu 2,5 GBit/s realisierbar. Der Zugang zum B-ISDN ist an die Verf¨ ugbarkeit eines Koaxialkabels bzw. eines Lichtwellenleiters (LWL) zwischen Vermittlungsstelle und Endteilnehmer gebunden. Dies f¨ uhrt oft zum sog. Problem der letzten Meile, bei dem zwar prinzipiell HochleistungsTelekommunikationsnetze regional zur Verf¨ ugung stehen, aber der Anschluß ¨ von Endteilnehmern scheitert, weil nicht die geeigneten Ubertragungsmedien bis dorthin f¨ uhren. ¨ Das Breitband-ISDN verwendet als Ubertragungsverfahren das ATMProtokoll (Asynchronous Transfer Mode). Bei ATM werden die zu u ¨bertragenden Daten zu Paketen fester L¨ange (53 Bytes) zusammengefaßt und zum ¨ Ziel geroutet. Zur Ubertragung wird ein synchrones Zeitmultiplexverfahren eingesetzt, bei dem eine Zeitscheibe exakt dieser Datenzellenl¨ ange entspricht. Der Namensteil asynchronous“ bezieht sich auf die Tatsache, daß aufein” anderfolgende Nutzzellen eines logischen Datenstromes (Verbindung) zeitlich unabh¨ angig voneinander u ¨bertragen werden. Weitere Informationen zu ATMNetzen ﬁnden sich beispielsweise in [45]. Datex-P Ein ¨ alteres Weitverkehrs¨ ubertragungsmedium ist das Datex-P-Netz. Datex-P steht f¨ ur Data Exchange Packet Switching. Auch hier werden die Daten in Form von Paketen u ubertragung selbst erfolgt ¨bertragen. Die Paket¨ im Netz mit 64 kBit/s (k¨ unftig 1,92 MBit/s). Dem Datex-P-Netz liegt das X.25-Protokoll zugrunde. Die dort vorgesehenen Korrekturm¨ oglichkeiten erlauben Bitfehlerwahrscheinlichkeiten in der Gr¨ oßenordnung von 10−9 . Ein weiterer Vorteil von Datex-P besteht in der M¨oglichkeit, unterschiedlich schnelle Datenendeinrichtungen miteinander zu verbinden. Typischerweise wird das Datex-P-Netz heute u ¨ber den ISDN-Anschluß erreicht, wobei ein paketvermittelbares X.25-Endger¨at u ¨ber einen geeigneten Terminaladapter an den ISDNHauptanschluß angeschlossen wird, welcher damit aus Sicht dieses Endger¨ ates zum Datex-P10H-Hauptanschluß wird [45].

504

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

GSM Eine weitere M¨ oglichkeit des Datentransfers im Weitverkehrsbereich besteht in der Nutzung des Mobilfunknetzes GSM (Global System for Mobile Communication) unter Zuhilfenahme des General Packet Radio Services (GPRS). GPRS unterst¨ utzt alle g¨angigen Daten¨ ubertragungsprotokolle, inklusive X.25 und IP (Abb. 14.80). GPRS basiert ebenfalls auf einer paketvermittelnden Technologie, die zur eﬃzienten Nutzung der GSM-Netzwerkkapazit¨ at dient, d. h. ein Teilnehmer belegt die Funkstrecke nur dann, wenn wirklich Daten u ubertragungsrate betr¨ agt bei ¨bertragen werden. Die Standard¨ GPRS 14,4 kBit/s. Es k¨onnen schließlich 8 Kan¨ ale zu 115,2 kBit/s geb¨ undelt werden. Bei GPRS werden Datenpakete von den Basisstationen u ¨ber die sog. Serving GPRS Support Nodes (SGSN) auf den GPRS-Backbone u ¨bertragen. Dies ist ein Netz mit Internet-Protokoll (IP). Andere Netze k¨ onnen schließlich u ¨ber Gateways erreicht werden (Abb. 14.80). UMTS Als leistungsf¨ ahigerer Nachfolger der GSM-Mobilfunknetze ist seit Fr¨ uhjahr 2004 das Universal Mobile Telecommunications System (UMTS) in Betrieb. Auf geringe Distanzen sind dort 2 MBit/s ansonsten 384 kBit/s m¨ oglich. Powerline-Kommunikation (Power Line Communication, PLC) Bei der Powerline-Kommunikation nutzt man die Leitungen des elektrischen ¨ Energieversorgungsnetzes zur Ubertragung von Daten. Dabei werden Daten¨ ubertragungsraten von typischerweise 1 MBit/s erreicht. So wird die bisher nur zur Energieversorgung genutzte Kabelinfrastruktur zur Basis f¨ ur ein neues Marktsegment des Telekommunikationsmarktes. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Internet aus der Steckdose. Das Verfahren erlaubt hohe Datenraten auch bei den u orungen. Insbeson¨blicherweise vorhandenen Netzst¨ dere die Siemens AG hat sich der PLC-Thematik sehr stark angenommen und treibt sie voran. Es gibt allerdings noch keinen einheitlichen Standard u ¨ber die Herstellergrenzen hinweg. Satellitenkommunikation In Regionen mit schwach ausgebauten ¨oﬀentlichen Datennetzen (in Europa sind dies etwa 75% der Gesamtﬂ¨ache) stellt sich f¨ ur viele Unternehmen die Frage, wie sie an Highspeed-Datennetze angeschlossen werden k¨ onnen. Ein Breitbandanschluss l¨ aßt sich in diesen Gebieten oft nur u ¨ber Satellitenverbindungen realisieren. So gibt es bereits einige Unternehmen, die bei dieser Problemstellung L¨ osungen anbieten, wie z. B. das Thyssen-Krupp-Tochterunternehmen Triaton [116], das die datentechnische Anbindung von außerhalb einer guten

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Notebook mit Meßdatenerfassung

505

. .. ... . ..

...

ISDN

Gateway zum leitungsgebundenen Telefonnetz

Mobile Switching Center GSM-Netz Serving GPRS Support Node

GPRS-Netz

IP-basierter GPRS-Backbone Gateway

...

Gateway

Ethernet mit TCP/IP

X.25

PC

Modem

PC Abb. 14.80. GPRS-Netzwerkverbindungen

terrestrischen Tele-Kommunikationsinfrastruktur liegenden Niederlassungen u ¨ber Satellitenstrecken anbietet (Abb. 14.81). Der Anschluß erfolgt dabei u ¨ber ein serielles Interface. Die Datenraten der derzeit zur Verf¨ ugung stehenden Kan¨ale liegen zwischen 32 kBit/s und 34 MBit/s. Diese Dienste werden von der Industrie heute vorwiegend f¨ ur LANLAN-Kopplungen genutzt. Die Satellitenkommunikation ist prinzipiell in Gebieten mit schwacher Telekommunikationsinfrastruktur bei der Realisierung von WANs die erste Wahl, wenn man hohe Datenraten ben¨otigt. Pro Transponder erlaubt ein Satellit Datenraten von bis zu 50 MBit/s und dies quasi entfernungsunabh¨ angig.

506

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Satelliten-Zentrale Standort A

Zentrale

öffentliches Telefonnetz (ISDN bzw. B-ISDN)

Standort B Standort C

Abb. 14.81. Datentechnische Vernetzung via Satellit

Eutelsat beispielsweise bietet den Highspeed-Zugang zum Internet u ¨ber kleine mobile Satellitenstationen an. Dabei sind Downlink-Datenraten von bis zu 40 MBit/s und Uplink-Datenraten von derzeit 2 MBit/s m¨ oglich. Der Durchmesser der verwendeten Parabolantennen liegt zwischen 1 und 4 m [32]. Metropolitan Area Network (MAN) Metropolitan Area Networks (MANs) sind im IEEE-Standard 802.6 deﬁnierte Netzwerke, die kein LAN mehr und noch kein Wide Area Network (WAN) sind. Ein wichtiges Kriterium zu ihrer Klassiﬁzierung ist r¨ aumliche Ausdehnung. Sie geht bei MANs u ande hinaus, bleibt aber im ¨ber das Betriebsgel¨ inner¨ ortlichen Bereich. Es handelt sich um Citynetze, deren Topologie meist aus einem Ring besteht, an den lokale Netze und Endger¨ ate u ¨ber Stichleitungen angeschlossen werden. Wide Area Network (WAN) Man spricht von einem Weitbereichsnetz, wenn es sich um ein Datennetzwerk mit sehr großer r¨aumlicher Ausdehnung handelt, d.h., wenn sich die Netzwerkeinheiten in verschiedenen lokalen Regionen, L¨andern bzw. Erdteilen beﬁnden. Zur Verbindung u ussen ¨ oﬀentliche Kommunikati¨ber solch große Strecken m¨ onsnetze in Anspruch genommen werden, d. h. der private Geltungsbereich eines Unternehmens wird verlassen, und man ist bei der Etablierung und dem ¨ Betrieb des Netzes auf einen Anbieter von Ubertragungsdiensten, einen sog.

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

507

Provider, angewiesen. Die r¨aumliche Ausdehnung eines WANs unterliegt keinen Beschr¨ ankungen. Hochgeschwindigkeits-Glasfasernetz FDDI Glasfasernetze k¨onnen die Grundlage eines MAN bzw. eines WAN bilden. Ein Standard ist dabei das sog. Fibre Distributed Data Interface (FDDI) [52]. Diese FDDIs sind oft in Ringstruktur aufgebaut. Dabei wird aus Gr¨ unden h¨ oherer Zuverl¨ assigkeit ein Glasfaser-Doppelring verwendet, an den die Teilnehmer u ¨ber sog. Dual Attachment Stations (DAS) angeschlossen sind (Abb. 14.82). DAS

Primärring

SAS

SAS

SAC

SAC Sekundärring

SAS DAC

DAC

SAS

SAS

DAS Abb. 14.82. Implementierung eines FDDI-Glasfasernetzes (Siemens AG); A: Attachment, C: Concentrator, D: Dual, Sxx: Single, xxS: Station

Der maximale Ringumfang betr¨agt 10 km und es k¨ onnen bis zu 500 Netzknoten teilnehmen. Der Teilnehmerabstand darf jedoch nicht gr¨ oßer als 2 km sein, da die DAS u. a. Repeaterfunktionen wahrnehmen. Die max. Datenu oglichkeit, unter ¨bertragungsrate liegt bei 100 MBit/s. Es besteht auch die M¨ Verwendung von Dual Attachment Concentrators (DAC), Single Attachment Concentrators (SAC) sowie Single Attachment Stations Abzweignetze zu realisieren (Abb. 14.82). 14.6.11 Rechnernetze zur Meßdatenu ¨ bertragung Prinzipiell gibt es mehrere M¨oglichkeiten, Meßdatenerfassungssysteme kommunikationstechnisch zu vernetzen:

508

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Spezielle Bussysteme zur Meßdatenerfassung Wenn mehrere Ger¨ ate bzw. Systeme, die Meßdatenerfassungszwecken oder sonstigen Aufgaben der Laborautomatisierung dienen, vernetzt werden sollen, hat man in der Vergangenheit meistens Bussysteme genutzt, die speziell f¨ ur diese Aufgaben entwickelt wurden. Dazu z¨ ahlen vor allem der IEC-Bus, der VXI-Bus, der MXI-Bus, der PXI-Bus sowie alle Feldbussysteme. Solche L¨ osungen bergen die wenigsten Risiken in bezug auf Echtzeitf¨ ahigkeit und Zuverl¨ assigkeit. Aber abgesehen vom IEC-Bus, der seit langem einen Standard in der Laborautomatisierung darstellt, handelt es sich um Systeme, welche global gesehen, nicht unbedingt als der Standard“ angesehen werden k¨ onnen, wenn ” man bedenkt, daß allein bei den Feldbussen u ¨ber 20 konkurrierende Systeme existieren. Vernetzung von Meßdatenerfassungssystemen mittels Ethernet ¨ Das Ethernet ist in der Netzwerkwelt derzeit der Standard f¨ ur das Ubertragungsmedium und als Kommunikationsprotokoll dominiert das TCP/IPProtokoll als einheitliche Sprache. Es ist verst¨ andlich, auch f¨ ur die Vernetzung von Meßdatenerfassungssystemen das Ethernet zu nutzen. In logischer Folge PC 1

PC n

.......

Ethernet mit TCP/IP ipEther232

RS232C

ipEther232

RS232C

ipEther232

RS232C

Abb. 14.83. Ethernet-Anbindung von Meßger¨ aten mittels des RS232C-EthernetSchnittstellenkonverters ipEther232 [58]

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

509

wird auch das Internet zunehmend f¨ ur solche Aufgaben herangezogen. Das Internet mit seiner mittlerweile sehr hohen Verf¨ ugbarkeit stellt, vor allem was die Kosten betriﬀt, eine sehr gute Alternative zu mehr oder weniger propriet¨ aren L¨osungen dar. Sobald ein Gateway zum Internet vorhanden ist, lassen sich bequem Meßdaten von einem lokalen Rechner u ¨ber das Internet u ¨bertragen. Dabei k¨ onnen nat¨ urlich auch die gesicherten Daten¨ ubertragungsmechanismen von VPNs (Virtual Private Networks) genutzt werden, die im n¨ achsten Abschnitt behandelt werden. Gerade bei der Ferndiagnose von Maschinen lassen sich durch die Nutzung des Internets Kosten einsparen. Da aber das Ethernet nicht deterministisch arbeitet, k¨ onnen die Antwortzeiten und damit die Echtzeitf¨ahigkeit nicht garantiert werden. In der Pra¨ xis jedoch reichen in vielen F¨allen die Ubertragungsraten und Antwortzeiten des Ethernets bzw. des Internets vollkommen aus. Es ist auch ins Feld ¨ zu f¨ uhren, daß die Ubertragungsraten des Ethernet oft weit u ¨ber denen von Feldbussystemen liegen. So hat man festgestellt, daß Ethernet¨ ubertragungen in vielen praktischen Anwendungsf¨allen einer Feldbusl¨ osung durchaus u ¨berlegen sind. Die einfachste Anbindung des Meßger¨ ates an das Ethernet besteht in der Verwendung seiner Standard-RS232C-Schnittstelle und eines RS232Ethernet-Konverters (Abb. 14.83). Eine elegantere L¨osung bieten Meßdatenerfassungssysteme, die unmittelbar, d. h. ohne Zuhilfenahme eines Schnittstellenkonverters, an das Ethernet angeschlossen werden k¨onnen und die TCP/IP-Protokolle verwenden. Abbildung 14.84 zeigt ein solches von der Fa. GBM vertriebenes System. Es handelt sich dabei um einen Datenlogger, der nach Zuteilung einer IP-Adresse vom Internet aus mit jedem Standard-Web-Browser angesprochen werden kann. ange, die mit Er verf¨ ugt u ¨ber 8 diﬀerentielle bzw. 16 Single-ended Analogeing¨ 16 Bit quantisiert werden.

Abb. 14.84. Datenlogger mit Ethernet-Interface der Fa. GBM

510

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

z.B. zur Steuerung der Meßdatenerfassung

z.B. zur Visualisierung

PC1 .........

PC2 Ethernet

.........

Arbitrary Waveform Generator

Multimeter z.B. Keithley 2000er Serie

z.B. HP3320A

Meßobjekt Abb. 14.85. Beispiel zur webbasierten Laborautomation

Mittlerweile gibt es auf dem kommerziellen Meßtechnikmarkt eine Vielzahl von Ethernet Data Acquisition Systemen (EDAS), siehe z. B. [80], [31], [77], [19]. Der Trend, Standard-Meßger¨ate mit Ethernet-Schnittstellen auszustatten, d¨ urfte sich in den n¨achsten Jahren fortsetzen. So sind beispielsweise bereits auch die h¨oherwertigen Multimeter renommierter Meßger¨ atehersteller, wie z. B. Fluke, Agilent oder Keithley, mittlerweile Ethernet- bzw. Internetf¨ahig [54], [2], [37]. Die Standard-Schnittstellen der h¨oherwertigen Meßger¨ ate sind RS232C, USB, IEC-Bus und Ethernet mit TCP/IP. Die Nutzung der EthernetSchnittstellen bietet vor allem den Vorteil, daß die Meßger¨ ate nur eine Netzsteckdose zu ihrem Anschluß ben¨otigen und nicht etwa wie die IEC-BusAnbindung strengeren Reglementierungen bez¨ uglich der Kabelanschlußl¨ angen unterworfen sind. Auf dieser Basis lassen sich also lokal verteilte Meßsysteme konﬁgurieren (Abb. 14.85). VPN - Virtual Private Network Als Virtual Private Network (VPN) bezeichnet man die Vernetzung privater lokaler Netzwerke (LAN) unter Verwendung von Netzwerken, die von mehreren Parteien genutzt werden (shared networks), oder von ¨ oﬀentlichen Netzen, wie dem Internet. Durch die Nutzung des Internets beispielsweise k¨ onnen die Kosten f¨ ur die Vernetzung von Unternehmensstandorten erheblich gesenkt otigt, so werden. Wurde hierzu fr¨ uher eine Standleitung oder ¨ ahnliches ben¨ fallen unter Verwendung von VPN nur die Einwahlgeb¨ uhren zu einem lokalen Internet Service Provider (ISP) an.

14.6 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

511

Eine klare, wenn auch abstrakte Deﬁnition von VPNs lautet [15]: Ein VPN ist ein Overlay-Netz, d. h. eine logische Kommunikations-Struktur, ” unabh¨ angig von der unterliegenden physikalischen Struktur, bei der der Zugang solcherart kontrolliert ist, daß Kommunikations-Verbindungen nur innerhalb einer deﬁnierten Interessengruppe und somit exklusiv m¨ oglich sind; dies wird durch eine Art Partitionierung der gemeinsamen darunterliegenden Kommunikationsinfrastruktur erreicht, wobei die Kommunikationsinfrastruktur grunds¨ atzlich nicht-exklusive Netzdienste zur Verf¨ ugung stellt.“ Da durch die Nutzung ¨oﬀentlicher Netze prinzipiell die Gefahr besteht, daß sensible Daten von Dritten mitgelesen werden k¨ onnen, wird bei heutigen VPNs viel Wert auf Sicherheit gelegt. Die Sicherheit basiert dabei auf folgenden Maßnahmen: • Authentisierung/Kapselung • Entkapselung • Verschl¨ usselung/Entschl¨ usselung. Die Methode, Daten von einem Netzwerk in ein anderes u oﬀentliche Net¨ber ¨ ¨ ze zu transferieren, wird als Tunneling bezeichnet. Um diese Ubertragung ¨ durchf¨ uhren zu k¨onnen, m¨ ussen zwei deﬁnierte Endpunkte der Ubertragung durch das ¨ oﬀentliche Netz bekannt sein. Die Daten werden nun von dem Sender-Endpunkt optional verschl¨ usselt und dann eingekapselt, so daß die Informationen u ur Dritte sichtbar ¨ber das Quell- wie auch das Zielnetz nicht f¨ sind. Die Einkapselung umgibt die urspr¨ unglichen Datenpakete mit einem neuen Header, der f¨ ur den Transport der Daten u oﬀentliche Netz ¨ber das ¨ ben¨ otigt wird. Sind die Daten am Empf¨anger-Endpunkt angekommen, wird die Kapselung entfernt und das urspr¨ ungliche Datenpaket wird entschl¨ usselt. Anschließend werden die Daten ihrem Ziel in dem jeweiligen Netzwerk zuuhrt. gef¨ Der Begriﬀ Tunneling beinhaltet: • die Kapselung der Daten am Sender-Endpunkt • den Transport u ¨ber das ¨oﬀentliche Netzwerk • die Entkapselung der Daten am Empf¨anger-Endpunkt. Der logische Pfad der Verbindung zwischen zwei Endpunkten einer VPNVerbindung wird als Tunnel bezeichnet, weil die Daten unsichtbar bzw. nicht verwendbar f¨ ur Dritte durch diesen Tunnel transportiert werden. Heute werden haupts¨achlich die vier folgenden Tunneling-Protokolle verwendet [15], [70]. Layer Two Tunneling Protocol (L2TP) Dynamischer Auf- und Abbau des Tunnels; Authentisierung mittels PPPVerfahren (Point-to-Point Protocol); keine eigene Verschl¨ usselung deﬁniert; Verweis auf IPsec.

512

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Point-to-Point Tunneling Protocol (PPTP) Microsoft Standard“; Authentisierung mittels PPP-Verfahren; Verschl¨ usse” lung mittels RSA-(Rivest-Shamir-Adleman) oder MPPE-Verfahren (Microsoft Point-to-Point Encryption). Layer Two Forwarding Protocol (L2F) Mehrere Verbindungen u ¨ber einen Tunnel m¨oglich; PPP-Authentisierung bei der Einwahl und anschließend eine weitere Authentisierung am VPN-Gateway. Internet Protocol Security (IPsec) Vereint unterschiedliche Protokolle und Verfahren zur Authentisierung, Verschl¨ usselung und Tunneling; zur Benutzerauthentisierung wird ein Schl¨ usselpaar benutzt; Transport-Mode wird in LAN-Umgebungen verwendet und verschl¨ usselt und authentisiert nur den Protokollkopf; Tunnel-Mode wird f¨ ur WAN-Umgebungen benutzt und verschl¨ usselt das komplette Originaldatenpaket, um es vor dem Zugriﬀ Dritter zu sch¨ utzen. VPN-L¨ osungen werden vor allem aus Kostenersparnisgr¨ unden verwendet. Es fallen nur die Kosten f¨ ur eine Verbindung zu einem lokalen Internet-ServiceProvider (ISP) an und nicht, wie fr¨ uher u ur eine Verbindung ¨blich, Kosten f¨ von einem Unternehmensstandort zum anderen. Außerdem ist es durch VPN leicht m¨ oglich, einen Unternehmenszweig, einzelne Außendienstmitarbeiter oder aber auch Meßstellen außerhalb des Unternehmensnetzes mit in das Firmennetz einzubinden.

14.7 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen 14.7.1 Allgemeine Bemerkungen W¨ ahrend in den vorangegangenen Abschnitten ausschließlich von der reinen Erfassung der Meßdaten die Rede war, sollte die in diesem Abschnitt behandelte Software zur rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung auch im Zusammenhang mit den weiteren Aufgaben gesehen werden, welche nach der eigentlichen Meßdatenerfassung anstehen, n¨amlich die Analyse sowie die graphische Darstellung von erhaltenen Meßwerten (Abb. 14.86). Zur eigentlichen Meßdatenerfassung ben¨otigt man neben den entsprechenden, in den vorausgegangenen Abschnitten diskutierten Hardware-Modulen in jedem Fall Treibersoftware, die dem Benutzer eine nach M¨ oglichkeit komfortable Software-Schnittstelle zu der von ihm verwendeten Computer-Hochsprache zur Verf¨ ugung stellt. Erst durch die Verf¨ ugbarkeit von geeigneten Treiberroutinen wird die Bedienung der zur Prozeß-Peripherie geh¨ orenden HardwareBausteine per Softwaresteuerung m¨oglich. Diese Treiberroutinen sind ger¨ atesowie betriebssystemspeziﬁsche Softwaremodule, welche die softwareseitige kommunikationstechnische Verbindung zwischen dem Peripherieger¨ at bzw.

14.7 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

513

Abb. 14.86. Aufgaben der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung und Unterscheidung nach Schwerpunkten bez¨ uglich Hard- und Softwareanteilen

seiner Rechnerschnittstelle und dem Betriebssystem bzw. in Folge auch den dar¨ uberliegenden Softwareschichten erlauben. Die Entwicklung solcher Treibersoftware kann, je nach Komplexit¨ atsgrad der externen Schnittstelle sowie des jeweiligen Betriebssystems, recht aufwendig sein. Vielfach werden jedoch von den Herstellern unter verschiedenen Betriebssystemen einsetzbare Treiberroutinen mit der Schnittstellen-Hardware angeboten. Diese Software erlaubt dann i. allg. die Programmierung der Schnittstelle unter Verwendung g¨angiger Standard-Hochsprachen (C, Pascal, Fortran, etc.). Es erweist sich als ebenfalls vorteilhaft, wenn entsprechende Softwareunterst¨ utzung f¨ ur die Hochsprachenprogrammierung der im Einsatz beﬁndlichen Meßger¨ate verf¨ ugbar ist. Dabei steht das Absetzen von ger¨ atespeziﬁschen Befehlen zur Steuerung des eigentlichen Meßger¨ ates im Vordergrund. 14.7.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard ¨ In der IEC-Bus- bzw. VXI-Bus-Norm wurde zwar das Ubertragungsprotokoll f¨ ur Befehle festgelegt, die Ger¨atehersteller sind jedoch frei, was die Verwendung von Befehlen zur Steuerung des jeweiligen Meßger¨ ates betriﬀt. Daher versucht man, die Schnittstellen-Normung durch einheitliche Sprachelemente in der Programmierung von Meßger¨aten zu erg¨ anzen. Der betreﬀende Standard heißt SCPI (Standard Commands for Programmable Instruments). Er deckt die Anwendungsebene (Application Layer) nach dem ISO-7-Schichtenmodell ab. In die SCPI-Normung gingen wesentliche Elemente der in Tabelle 14.23 angef¨ uhrten Sprachen ein. Der Einsatz der SCPIKommandosprache erlaubt die Verwendung von standardisierten Befehlen und Meldungen f¨ ur alle Ger¨ate gleicher Funktionalit¨ at, z. B. allen digitalen Spannungsmeßger¨aten, unabh¨angig vom jeweiligen Ger¨ atetyp bzw. Herstel-

514

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Tabelle 14.23. Herstellerspeziﬁsche Programmiersprachen zur Meßger¨ atesteuerung Sprache

Bezeichnung Hersteller

HP Systems Language HPSL Test Measurement Systems Language TMSL Analog Data Interchange Format ADIF

Hewlett Packard Hewlett Packard Tektronix

ler. So gilt die einen Steuerbefehl zur Frequenzmessung enthaltende Abfrage MEASURE:FREQ?“ (das Ger¨at f¨ uhrt daraufhin eine Frequenzmessung durch ” und gibt den aktuellen Frequenzwert aus) beispielsweise f¨ ur alle Ger¨ ate einer Ger¨ ateklasse, unabh¨angig vom Hersteller (vertikale Konsistenz) sowie auch f¨ ur Meßger¨ ate aus verschiedenen Ger¨ateklassen, z. B. Oszilloskope und Z¨ ahler (horizontale Konsistenz). Die Basis f¨ ur den SCPI-Standard wurde in der IEEE-488.2-Norm festgelegt [51]. Eine Aufstellung der obligatorischen IEEE-488.2-Kommandos enth¨ alt Tabelle 14.24. Eine ausf¨ uhrliche Erl¨auterung der Kommandos ﬁndet sich beispielsweise in [103]. Exemplarisch sei hier nur der Befehl *IDN? herausgegriﬀen, der der Ger¨ateidentiﬁzierung dient. Folgendes MATLAB-Programmbeispiel erfragt eine Identiﬁzierung des Ger¨ates an Adresse 12: 1: 2: 3: 4: 5: 6:

g=gpib(’ni’,0,12); fopen(g) fprintf(g,’*IDN?;’); idn=fscanf(g); fclose(g)

% card manufacturer, card number, % instr. number % Erfragt Identifikation % liest Ausgabepuffer

Tabelle 14.24. Liste der obligatorischen IEEE-488.2-Kommandos Mnemonic Bezeichnung *CLS *ESE *ESE? *ESR? *IDN? *OPC *OPC? *RST *SRE *SRE? *STB? *TST? *WAI

Clear Status Command Standard Event Status Enable Command Standard Event Status Enable Query Standard Event Status Register Query Identiﬁcation Query Operation Complete Command Operation Complete Query Reset Command Service Request Enable Command Service Request Enable Query Read Status Byte Query Self-Test Query Wait-to-Continue Command

14.7 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

515

Das angeschlossene Instrument (Keithley 2400 SourceMeter) schickt dann folgenden String als Antwort: KEITHLEY INSTRUMENTS INC.,MODEL 2400,0637460,C04 Oct 16 2003 11:47:13/A02 Die IEEE-488.2-Norm stellt allgemeine Befehle zur Verf¨ ugung, w¨ ahrend SCPIBefehle f¨ ur die Bedienung spezieller Instrumentenklassen ausgelegt sind. Der SCPI-Standard ﬁndet neben dem IEC-Bus auch bei anderen in der Meßdatenerfassung gebr¨auchlichen Schnittstellen Verwendung, so z. B. bei VXISystemen oder auch bei der Meßger¨atesteuerung u ¨ber eine RS232C-Schnittstelle. Der SCPI-Standard wird von einem SCPI-Konsortium gepﬂegt und erweitert. Der jeweils aktuelle SCPI-Standard wird in mehreren B¨ anden eines j¨ ahrlich erscheinenden Werkes Standard Commands for Programmable ” Instruments“ festgehalten [102]. Auch im Internet sind die aktuellen Informationen rund um die SCPI-Sprache ver¨oﬀentlicht [103]. Syntax der SCPI-Sprache In einem IEC-Bus-System existieren ein Controller sowie mehrere Instrumente, die Talker und/oder Listener sein k¨onnen. Als SCPI-Programmiernachrichten (program messages) werden die Daten bezeichnet, die der Controller an ein Instrument schickt. SCPI-Antworten (response messages) sind die formatierten Daten, die das Instrument an den Controller zur¨ uckschickt. Die SCPI-Sprache deﬁniert sowohl Kommandos als auch Anfragen. Eine angenehme Eigenschaft von SCPI ist, daß es zu fast jedem Kommando, das einen Wert einstellt, auch eine passende Anfrage gibt, die diesen Wert wieder einliest. Ein weiteres Prinzip der Sprache ist die hierarchische Unterteilung der Kommandos in Systeme und Subsysteme. Diese hierarchische Struktur ist ¨ahnlich der Filesysteme g¨angiger Betriebssysteme aufgebaut. In SCPI wird diese Struktur Kommandobaum (command tree) genannt. Ein einfaches Beispiel des SENSe-Kommandos, wie es in Digitalmultimetern implementiert ist, wird in Abbildung 14.87 gezeigt. Auch die Bezeichnung der Kommandos erfolgt ¨ ahnlich der Nomenklatur von Filesystemen. In diesem Beispiel ist SENSe das Wurzelkommando (root command). Die Kommandos des Subsystems sind zu Pfaden (paths) verbunden. So entsteht der Kommandobaum. Beispielsweise ist ein Pfad des Baums durch die Kommandosequenz :SENSe:VOLTage:RANGe:AUTO

(14.10)

deﬁniert. Diese Sequenz stellt das Multimeter auf Spannungsmessung und der Meßbereich wird automatisch gew¨ahlt. Die Doppelpunkte dienen als Trennzeichen.1 Ein weiterer Pfad w¨are 1

Grunds¨ atzlich sind die SCPI-Befehle zwischen Ger¨ aten gleicher Funktionalit¨ at portierbar. Allerdings sollte auch in jedem Manual der komplette Kommandobaum beschrieben sein.

516

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung 6(16H

&855HQW

5$1*H

833HU

92/7DJH

5(6ROXWLRQ

$872

$872

5$1*H

833HU

5(6ROXWLRQ

$872

$872

Abb. 14.87. Hierarchische Struktur von SCPI am Beispiel des SENSe-Befehls

:SENSe:CURRent:RANGe:UPPer .

(14.11)

Das Multimeter wird auf Strommessung im oberen Meßbereich geschaltet. Die an ein Instrument geschickten Befehle werden von einem sogenannten Parser interpretiert. Wenn der Parser SCPI-Subsystem-Befehle dekodiert, muß er verfolgen, in welchem Pfad und in welcher Ebene er sich gerade beﬁndet, vergleichbar mit dem aktuellen Verzeichnis in Filesystemen. Entsprechend der folgenden Regeln navigiert der Parser durch die Subsysteme: • Nach dem Einschalten oder nach dem *RST-Kommando beﬁndet sich der Parser in der Root-Ebene. • Ein Zeilenumbruch beendet einen Befehl und setzt den Parser ebenfalls in die Root-Ebene zur¨ uck. • Der Doppelpunkt dient als Pfad-Trennzeichen. Findet der Parser einen Doppelpunkt, wechselt er in die n¨achsttiefere Ebene. Ein Doppelpunkt am Anfang eines Strings kennzeichnet die Root-Ebene. • Ein Strichpunkt trennt zwei Kommandos desselben Pfads voneinander. Beispielsweise bewirkt der Befehlsstring :SENSe:VOLTage ; RANGe:AUTO ; RESolution:AUTO dasselbe wie die beiden Zeilen :SENSe:VOLTage:RANGe:AUTO :SENSe:VOLTage:RESolution:AUTO . • Leerzeichen werden generell ignoriert, allerdings sind sie innerhalb von Schl¨ usselw¨ ortern verboten. Leerzeichen werden ben¨ otigt, um Parameter abzutrennen. • Werden mehrere Parameter nach einem Kommando ben¨ otigt, so werden diese durch Kommas voneinander getrennt. • Basiskommandos wie *RST sind nicht in das SCPI-System eingebunden und werden nicht als Teil eines Pfades interpretiert.

14.7 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

517

In den Handb¨ uchern der Instrumente wird der Kommandobaum mit seinen Kommandos und deren Parameter in Form einer Subsystem-KommandoTabelle deﬁniert. Als Beispiel ist in Tab. 14.25 der Kommandobaum des SENSe-Befehl aus Abb. 14.87 in dieser Tabellenform dargestellt. Die HierarTabelle 14.25. Der SENSe-Befehl in Tabellenform Command

Parameters

[:SENSe] :CURRent :RANGe :AUTO [:UPPer] :RESolution :AUTO

Boolean numeric numeric Boolean

:VOLTage :RANGe :AUTO [:UPPer] :RESolution :AUTO

Boolean numeric numeric Boolean

chieebene wird durch die Einr¨ uckung in der Kommandospalte gekennzeichnet. Zur Verwendung der Groß- und Kleinbuchstaben in der Tabelle sei noch folgendes angemerkt: die Teile des Kommandostrings, die in Großbuchstaben geschrieben sind, m¨ ussen an das Instrument geschickt werden, damit das Kommando verstanden wird. Die in Kleinbuchstaben geschriebenen Teile der Kommandos k¨onnen noch angef¨ ugt werden, um den String leserlicher zu machen. In der Kommunikation mit den Instrumenten spielt die Groß- und Kleinschreibung aber grunds¨atzlich keine Rolle. Beispielsweise haben die folgenden beiden Zeilen dieselbe Bedeutung: :SENSe:CURRent:RANGe:AUTO ON :SENS:CURR:RANG:AUTO ON Die Kommandos in eckigen Klammern k¨onnen auch weggelassen werden. Fehlen sie, springt der Parser automatisch in die richtige Ebene des Pfades. So f¨ uhren auch die folgenden beiden Zeilen zum selben Ergebnis: :SENSe:VOLTage:RANGe:UPPer 6.5 :VOLTage:RANGe 6.5 F¨ ur beinahe alle Kommandos, die einen Wert senden k¨ onnen, existiert ein entsprechender Befehl, der den Wert ausliest. Beispielsweise wird mit den eben angef¨ uhrten Befehlen der Spannungsmeßbereich deﬁniert, mit

518

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

:SENSe:VOLTage:RANGe? wird der eingestellte Bereich ausgelesen. SCPI-Datenformate Numerische Daten k¨onnen in g¨angigen Formaten f¨ ur Integer- und Fließkommazahlen verwendet werden. Die Formate sind ﬂexibel, d.h. es werden verschiedene Formate verstanden ( forgiving listening“ ): ” 100 100. -1.23 4.5e3 -7.89E-01 .5 Zus¨ atzlich zu den Zahlenwerten werden auch die Ausdr¨ ucke MAXimum und MINimum von allen Instrumenten verstanden, die repr¨ asentierten Werte sind allerdings vom Instrument abh¨angig. Einige Instrumente verwenden zudem die Ausdr¨ ucke UP, INFinity und DEFault. Werte f¨ ur Boolesche Parameter k¨onnen in den drei folgenden Varianten angegeben werden: ON OFF TRUE FALSE 1 0 String-Parameter werden als ASCII-Zeichenketten geschickt, die durch einfache oder doppelte Hochkommata abgetrennt sein m¨ ussen. Sollen Hochkommata selbst im String vorkommen, so m¨ ussen diese durch eckige Klammern abgetrennt sein: ’this is a STRING’ "this is also a string" "one double quote inside brackets: [""]" ’one single quote inside brackets: [’’]’ F¨ ur die Antworten der Instrumente (response data) sind strengere Regeln gesetzt (precise talking). Real-Daten werden in wissenschaftlicher Notation ausgegeben, wobei ein großgeschriebenes E“ den Exponenten kennzeichnet. Inte” gerzahlen werden mit f¨ uhrendem Vorzeichen gesendet. Werden Schl¨ usselw¨ orter

14.8 Einsatz kommerzieller Software

519

abgefragt, so wird nur der obligatorische Teil in Großbuchstaben ausgegeben (z. B. auf :RESistance:MODE? wird mit MAN statt MANual geantwortet). F¨ ur die Booleschen Variablen ist nur 0 und 1 als Antwort zul¨ assig. Bei den Strings ist zu beachten, daß sie immer in doppelten Hochkommata stehen.

14.8 Einsatz kommerzieller Software Die Grundaufgaben der Meßdatenerfassungssoftware lassen sich einteilen in Erfassen von Daten u ¨ber Schnittstellen und Einsteckkarten, Speicherung und graphische Darstellung. Hinzu kommt heute die Analyse der Daten mit m¨oglichst m¨ achtigen mathematischen Werkzeugen sowie die Berechnung von Ausgangsgr¨ oßen. Diesen Leistungsanforderungen stehen die Forderung nach zeit- und kosteng¨ unstiger Programmierung, kurzer Einarbeitungszeit, einfa¨ cher Bedienung, Flexibilit¨at bei Anderungen und Erweiterungen sowie die zuverl¨ assige Verf¨ ugbarkeit von Treibern f¨ ur die verwendeten Ger¨ ate und Instrumente gegen¨ uber. Im folgenden werden die Softwarel¨osungen gem¨ aß diesen Anforderungen in verschiedene Kategorien unterteilt und anschließend einige konkrete Beispiele kommerzieller Software vorgestellt. 14.8.1 Kategorien von Softwarel¨ osungen Die zur Meßdatenerfassung eingesetzte Software kann man in folgende Kategorien unterteilen: • Dialoggef¨ uhrte Komplettpakete (Fertigl¨osungen) • Modul-Bibliotheken • graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren mit Graphikdialogeingabe) • Systeme mit speziellen Kommandosprachen (i. allg. auf Interpreterbasis) • Vollst¨ andige Eigenentwicklung, teilweise unter Nutzung von – bereits vorhandenen ger¨atespeziﬁschen Treiberroutinen – Toolboxen – Standard-Entwicklungssystemen. Dialoggefu ¨ hrte Komplettpakete (Fertiglo ¨sungen) Unter Komplettl¨osungen versteht man fertig konﬁgurierte und auf eine bestimmte Prozeßperipherie (Schnittstellen und Meßger¨ ate) sowie Betriebssysteme abgestellte Programme. Dieser Typ von Software erlaubt i. allg. die Einstellung der notwendigen Parameter, das Starten der Messung sowie die Auswertung der Meßdaten mit Hilfe einer Eingabe u ¨ber maskenorientierte us. Teilweise Fenster bzw. mittels Maus u ¨ber Pull-Down- oder Pop-Up-Men¨

520

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

verf¨ ugen diese Programme u ¨ber Makrogeneratoren, mit deren Hilfe sich immer wiederkehrende Befehlsfolgen zum erneuten Ablauf speichern lassen. Ein auf diese Art aufgezeichneter Meßvorgang kann dann durch einfachen Tastendruck beliebig oft wiederholt werden. Vorteile: - keine Programmier- oder Systemkenntnisse erforderlich - unmittelbar einsetzbar ¨ Nachteile: - geringe bzw. keine Flexibilit¨at bez¨ uglich Anderungsw¨ unschen - auf bestimmte Hardware-Situationen beschr¨ ankt. Modul-Bibliotheken Die zur rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung verf¨ ugbaren Software-Modulbibliotheken enthalten neben den Grundelementen eines Meßdatenerfassungsprogrammes eine Reihe von verschiedenen Programm-Modulen, die den entsprechenden bei der Meßdatenerfassung und Meßdatenverarbeitung anstehenden Aufgaben zugeordnet sind. Im allgemeinen sind standardm¨ aßig folgende Modulgruppen vorhanden: • Treiberroutinen f¨ ur RS232-Schnittstellenkarten, IEC-Bus-Controller, Multifunktions-Einsteckkarten und diverse Meßger¨ ate • Signalverarbeitungsroutinen (z. B. Filter) • Mathematik-Routinen (z. B. f¨ ur Statistik) • Routinen zur Ergebnisvisualisierung • Schnittstellen f¨ ur Datentransfer (z. B. ASCII-Dateien mit fest vereinbarter Datenstruktur) • Hilfsroutinen. Der Benutzer wird zun¨achst vom Programm aufgefordert, mit Hilfe von Men¨ ueingaben den Meßablauf zu deﬁnieren. Dabei werden u. a. die Treiberroutinen sowie die f¨ ur die Steuerung von Interface-Karten und Meßger¨ aten notwendigen Parameter festgelegt und Triggerbedingungen vereinbart. Es k¨ onnen dabei auch leicht eigene Treiberroutinen oder weitere frei programmierte ProgrammModule eingebunden werden. Dieser Programmtyp unterscheidet sich von den vorhergehenden vor allem durch eine wesentlich gr¨ oßere Flexibilit¨ at auf Kosten des noch vom Benutzer zu erbringenden Eingabeaufwandes. osungen Vorteil: - gr¨ oßere Flexibilit¨at als bei den Komplettl¨ Nachteil: - gr¨ oßerer Aufwand bei der Eingabe Beispiel: Meßdatenerfassungs- und Signalanalysepaket DIA-DAGO (Fa. GfS) [23], [21]. Graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren) Bei den graphikorientierten Entwicklungssystemen handelt es sich um Softwareprodukte, mit deren Hilfe man das eigentliche Meßdatenerfassungsprogramm

14.8 Einsatz kommerzieller Software

521

erzeugen kann. Diese Programmgenerierung geschieht i. allg. im Rahmen eines graphisch-interaktiven Bildschirmdialoges. Dabei kann der Benutzer aus in Form von Blockschaltbildelementen vorgegebenen Operationen die einzelnen Schritte des Meßablaufes deﬁnieren und in Form eines Gesamtablaufplanes (Datenﬂußplan) zusammenstellen. Der eigentliche Programmgenerator erstellt dann anhand des so deﬁnierten Datenﬂußplanes den Programmcode zur Meßdatenerfassung. Das Funktionieren ist jedoch auch hier an die Verf¨ ugbarkeit entsprechender Treiberroutinen f¨ ur die gerade eingesetzten Interface-Karten und Meßger¨ ate gebunden. Vorteil:

- keine detaillierten Kenntnisse bez¨ uglich der eingesetzten Hard- und Software erforderlich

Nachteile: - geringe Flexibilit¨at und eingeschr¨ankte Erweiterbarkeit - bei zeitkritischen Anwendungen u. U. zu langsam Daneben gibt es noch Varianten von Programmgeneratoren, die Programmcodes in einer Standardhochsprache, wie z. B. C, generieren und ausgeben. Der so erzeugte Quellcode steht dem Benutzer f¨ ur eventuell gew¨ unschte Modiﬁkationen zur Verf¨ ugung. Die Modiﬁkationen f¨ uhren allerdings im allgemeinen dazu, daß aus dem modiﬁzierten Code der graphische Datenﬂuß nicht wieder zur¨ uckgewonnen werden kann. Der Vorteil gegen¨ uber den Programmgeneratoren, die keinen modiﬁzierbaren Hochsprachenquelltext ausgeben, liegt in der wesentlich gr¨ oßeren Flexibilit¨at bez¨ uglich notwendiger Programm¨ anderungen. Die graphikorientierten Entwicklungssysteme sind insbesondere f¨ ur die Entwicklung von virtuellen Meßger¨aten besonders hilfreich. Beispiele: LabVIEW (Fa. National Instruments) (s. Kap. 14.8.2) [73].

Systeme mit speziellen Kommandosprachen Es handelt sich hierbei um Entwicklungssysteme mit speziellen Programmierbzw. Makrosprachen. Diese Systeme arbeiten meist nach dem Interpreter¨ prinzip, d. h. es muß keine explizite Ubersetzung des Anwenderprogrammes in einen Maschinencode erfolgen, da jeder Funktionsaufruf unmittelbar in eine Zeigerzuweisung umgesetzt wird, die auf eine entsprechende Routine zeigt. Der klassische Vertreter dieses Typs von Meßdatenerfassungssoftware ist das Programm ASYST. Details zu diesem Softwarepaket ﬁnden sich u. a. in [99]. Der allgemeine Trend geht jedoch aufgrund des Inselcharakters einer solchen L¨osung zu Systemen, die auf Standardhochsprachen basieren. Eigenentwicklungen Die vollst¨ andige Selbstprogrammierung muß immer dann in Betracht gezogen werden, wenn die oben angef¨ uhrten Standardl¨ osungen versagen. So tritt

522

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

beispielsweise oft das Problem auf, daß Standardsoftwarepakete aufgrund ihres Systemoverheads in manchen F¨allen die gestellten Geschwindigkeitsanforderungen nicht erf¨ ullen. Eine Eigenentwicklung kann aber auch aus Kostengr¨ unden erwogen werden, wenn es sich um kleinere Meßdatenerfassungsprojekte handelt. Bei der Eigenentwicklung von Meßdatenerfassungssoftware k¨onnen, je nach Sachlage, Toolboxen genutzt werden, die geeignete Hilfsroutinen bereitstellen [99]. 14.8.2 LabView Bereits in den 70er Jahren wurden Anstrengungen unternommen, eine Programmierung basierend auf der Verwendung von Datenﬂußmodellen zu konzipieren, um das Man Machine Interface (MMI) nat¨ urlicher“ zu gestalten. ” National Instruments [75] ist als Pionier auf diesem Gebiet zu nennen. Bereits im Jahre 1986 wurde dort mit LabView (Laboratory Virtual Instrumentation Engineering Workbench) die erste Generation einer vollwertigen graphischen Benutzeroberﬂ¨ ache entwickelt. Wurde LabView urspr¨ unglich f¨ ur die Labor-Meßtechnik entwickelt, so avancierte es mittlerweile zu einem universellen graphischen Compiler, der alle Elemente einer modernen graphischen Benutzeroberﬂ¨ ache mit den Elementen der klassischen strukturierten, textuellen Programmiersprachen vereint. Einerseits sind Treiber f¨ ur verschiedene Schnittstellen und Ger¨ ate vorhanden bzw. k¨ onnen leicht eingebunden werden, andererseits sind vielf¨ altige und komfortable Mathematikfunktionen implementiert, die die Signalanalyse sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich erleichtern. Bei LabView handelt es sich um eine graphische Programmiersprache, d.h. die Programme werden nicht in Form von sequentiellem Text, sondern in Form von Blockschaltbildern oder Signalﬂußdiagrammen gezeichnet. Bestandteile der einzelnen Bl¨ocke sind entweder Unterprogramme (Virtuelle Instrumente, VI) zur Ansteuerung von Ger¨aten, einfache mathematische Operationen, wie z. B. Grundrechenarten oder trigonometrische Funktionen, komplexe mathematische Operationen, wie z. B. Faltungsintegrale oder Filterung, oder aber selbstdeﬁnierte VIs. Zwei weitere Eigenschaften machen LabView zu einer echten graphischen Programmiersprache im Gegensatz zu graphisch erscheinenden Sprachen. Zum einen sind dies die Ablaufstrukturen und zum anderen bietet es einen Abstraktionsmechanismus. LabView verf¨ ugt u ¨ber die wichtigen Ablaufstrukturen FOR- und WHILESchleife sowie CASE-Verzweigung und Sequenz-Struktur. Die graphischen Symbole dieser Anweisungen sind in Abb. 14.88 dargestellt. Die ersten beiden entsprechen ihren Pendants aus der textuellen Programmierung. Die CASEVerzweigung kann verschiedene Variablentypen als Argument verarbeiten und beinhaltet somit auch eine IF-Abfrage. Die Sequenz-Struktur legt mehrere Fenster fest, die nacheinander abgearbeitet werden und tr¨ agt so zu einer u ¨bersichtlichen und leicht nachvollziehbaren Programmierweise bei.

14.8 Einsatz kommerzieller Software

523

Abb. 14.88. Ablaufstrukturen in LabView

Der in LabView zur Verf¨ ugung stehende Abstraktionsmechanismus erm¨ oglicht eine modular-hierarchische Programmierung. Den VIs k¨ onnen Symbole, sogenannte Icons, zugeordnet werden. Damit kann das VI in ein u ¨bergeordnetes VI als Unterprogramm (SubVI) eingebunden werden. Jedes Problem l¨ aßt sich so stufenweise abstrahieren und bis ins Detail auﬂ¨ osen. F¨ ur das Programmieren selbst stellt LabView eine Vielzahl von DebuggingM¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung. Dazu geh¨oren das Setzen von Breakpoints“, das ” Plazieren von Probes“, um w¨ahrend des Programmablaufes Werte der Varia” blen anzuzeigen, sowie Highlight Execution“, ein verlangsamter Programm” durchlauf, der die Reihenfolge der Abarbeitung der Befehle verdeutlicht. Auch Funktionen wie Step In/Over/Out“ f¨ ur Unterprogramme erleichtern die Feh” lersuche in gr¨ oßeren Applikationen. Das folgende Beispiel soll einen kleinen Einblick in die Programmierung unter LabView geben. Die Programmieroberﬂ¨ache besteht aus zwei Teilen: der sogenannten Bedienoberﬂ¨ ache ( Front Panel“), die die Bedien- und An” zeigeelemente enth¨alt, so wie sie der sp¨atere Benutzer des Programmes sieht, und dem Programmierfenster ( Block Diagram“), wo das eigentliche ” Programm eingegeben wird. Abbildung 14.89 zeigt die Bedienoberﬂ¨ ache eines FFT-Analysators. LabView stellt f¨ ur diese Bedienoberﬂ¨ achen per Maus bedienbare Elemente, wie z. B. Drehkn¨opfe, Schalter und Taster, zur Verf¨ ugung sowie Anzeigeelemente, wie L¨ampchen und dynamische Graphiken. In diesem Beispiel wird u ¨ber eine eingebaute AD-Umsetzerkarte ein Signal eingelesen. Der Anwender kann die Abtastrate, die Anzahl der aufzunehmenden Werte sowie Informationen u ale in dem Kasten links ¨ber die abzutastenden Kan¨ oben eingeben. Nach erfolgter Messung werden darunter Daten, wie z. B. die tats¨ achlich erreichte Abtastrate und die Nyquist-Frequenz, ausgegeben. Auf der rechten Seite wird der Zeitverlauf des Signals sowie das berechnete Frequenzspektrum dargestellt. Abbildung 14.90 zeigt das zugeh¨orige Blockdiagramm. An dieser Stelle k¨onnen nur die wichtigsten Elemente erw¨ahnt werden. Es wurden drei Sub-VIs ¨ zum Bedienen der eingebauten AD-Umsetzerkarte verwendet, OPEN (Oﬀnen der Karte), SCAN (Einlesen der Daten) und CLOSE (Schließen der Karte). Die anderen Elemente sind Standard-LabView Befehle, wie beispielsweise F{x} f¨ ur das Ausf¨ uhren einer diskreten Fourier-Transformation (DFT) in Form einer Fast Fourier Transformation (FFT).

524

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung =HLWVLJQDO

(LQJDEH 6DPSOH5DWHV ( 1XPEHURI6DPSOHV 2XWSXW

FKDQHO UDQJH

)UPHP$'IRLPPHU UDQJH 9

)UHTXHQ]+]

=HLWV ))7GHV=HLWVLJQDOV (

$XVJDEH

(

5HSRUWHG6DPSOH5DWH

(

(

(

1\TXLVW)UHTXHQ]

(

$UUD\PLW 0HVVHUJHEQLVVHQ

Abb. 14.89. Analysator“

( (

Benutzerfenster (Front Panel) des LabView-Beispiels

FFT”

14.8.3 LabWindows Als Beispiel f¨ ur ein textbasiertes Programmierwerkzeug zur Meßdatenerfassung sei an dieser Stelle LabWindows vorgestellt. Es handelt sich dabei um einen 32-bit ANSI-C-Compiler. Dieser wurde um Meßtechnikfunktionen in Form von Bibliotheken erweitert und enth¨alt komfortable Werkzeuge zur Gestaltung graphischer Benutzeroberﬂ¨achen (Graphical User Interfaces, GUI), die dann ¨ ahnlich den LabView-Oberﬂ¨achen gestaltet sind. Hinter dem Front Panel verbirgt sich dann aber kein Blockdiagramm wie bei LabView sondern ein Steuerprogramm in ANSI C, das die Funktionalit¨ at des Virtuellen Instrumentes repr¨ asentiert. Somit unterscheiden sich LabView und LabWindows haupts¨ achlich in der Programmierphilosophie, also einerseits graphisch, andererseits textbasiert. Welche Programmierphilosophie zum Einsatz kommt, muß aufgrund der gestellten Aufgabe entschieden werden. • Die ereignisgesteuerte, C-basierte Programmierung von LabWindows ist vielen Programmierern und Systementwicklern gel¨ auﬁg. Sie wird bevorzugt eingesetzt, wenn es um hardwarenahes Programmieren, das Ansprechen physikalischer Speicher und das Interrupt-Handling geht.

14.8 Einsatz kommerzieller Software

525

Abb. 14.90. Programmierfenster (Block Diagram) des LabView-Beispiels FFT” Analysator“

• Die Entwicklungszeit von Programmen kann andererseits mit der graphischen Programmierung deutlich verk¨ urzt werden. Mit LabView lassen sich ¨ schnell Prototypen realisieren und Anderungen vornehmen. Diese Vorteile kommen vor allem Anwendern zugute, die erst wenig Erfahrung mit der konventionellen Programmierung gesammelt haben. 14.8.4 MATLAB Im Gegensatz zu LabView, das urspr¨ unglich f¨ ur die Meßdatenerfassung entwickelt und sp¨ ater mit vielseitigen Mathematik-Werkzeugen ausger¨ ustet wurde, verlief die Entwicklung von MATLAB in umgekehrter Richtung. Urspr¨ unglich f¨ ur mathematische Anwendungen konzipiert, wird das Programm heute auch in der Meßdatenerfassung eingesetzt. Das Programmpaket MATLAB wird st¨ andig um neue Module ( Toolbox“) f¨ ur die verschiedensten Anwen” dungen erweitert. Die neuesten Entwicklungen in Richtung Meßdatenerfassung sind die Data Acquisition Toolbox und die Instrument Control Toolbox. Die Data Acquisition Toolbox unterst¨ utzt den Zugriﬀ auf eingebaute Datenerfassungskarten. Man kreiert Objekte, die dann von MATLAB mit analogen Eing¨ angen, Ausg¨ angen und digitalen I/Os auf der Karte assoziiert werden. Wie bei MATLAB-Objekten u onnen dann mit den Befehlen GET und ¨blich, k¨ SET Eigenschaften der Karte abgefragt und eingestellt werden.

526

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Die Instrument Control Toolbox dient der Kommunikation mit externen Ger¨ aten u ¨ber IEC-Bus (GPIB) und den seriellen Schnittstellen RS232, RS422 und RS485. Leider ist die Toolbox bis dato noch nicht v¨ ollig plattformunabh¨ angig, und die volle Funktionalit¨at steht nur unter den WindowsBetriebssystemen zur Verf¨ ugung. Auch diese Toolbox arbeitet mit der MATLAB Objekt-Technologie und ordnet einzelnen Instrumenten Objekte zu. Das folgende Programmierbeispiel (Tab. 14.26) soll die Kommunikation mit einem Instrument u aher verdeutlichen. ¨ber den IEC-Bus (GPIB-Bus) n¨ Es beschreibt die Kennlinienaufnahme eines Zweipols mit einem sogenannten Source-Meter. In diesem Fall wurde ein Keithley 2400 verwendet. Zun¨ achst wird in den Zeilen 1 bis 7 das Spannungsintervall, die Anzahl der Schritte und Tabelle 14.26. MATLAB-Programmierbeispiel Kennlinienaufnahme“ ” 1: start=0.001; % Variablendefinition 2: stop=0.500; 3: z=500; 4: 5: step=(stop-start)/(z-1); 6: voltage=zeros(z,1); %Vektorinitialisierung 7: current=zeros(z,1); 8: 9: g=gpib(’ni’,0,12); % card manufacturer, card number, % instr. number 10: fopen(g) % Verbindung herstellen 11: fprintf(g,’*RST; *CLS;’); % garantiert default-Einstellungen 12: fprintf(g,’:sour:func volt;’); % Spannungsquelle 13: fprintf(g,’:sens:curr:prot 0.1;’); %Strommessung 14: for i=1:z 15: fprintf(g,’:sour:volt:mode fix;’); 16: fprintf(g,’:sour:volt:lev %g;’,(start+step*(i-1))); 17: fprintf(g,’:sour:del 0.1;’); 18: fprintf(g,’:form:elem volt,curr;’); 19: fprintf(g,’:output on;’); 20: fprintf(g,’:init; *OPC;’); 21: fprintf(g,’:fetch?;’); 22: mess=str2num(fscanf(g)); 23: voltage(i)=mess(1); 24: current(i)=mess(2); 25: end 26: 27: fclose(g) 28: 29: semilogy(voltage,current*1e3), grid on 30: xlabel(’U_d (V)’); 31: ylabel(’I_d (mA)’);

14.8 Einsatz kommerzieller Software

527

I (mA)

die Schrittweite bestimmt sowie die Vektoren f¨ ur das Ergebnis initialisiert. In Zeile 9 wird das Objekt g erzeugt, welches das Instrument Nr. 12 am GPIB-Bus 0 repr¨asentiert. Es sei angemerkt, daß ein Rechner u ¨ber mehrere GPIB-Karten verf¨ ugen kann, weshalb eine genaue Identiﬁzierung der Karte notwendig ist. In Zeile 10 wird das Objekt ge¨oﬀnet, ¨ ahnlich wie auch Dateien ge¨oﬀnet werden m¨ ussen, um Lese- oder Schreiboperationen auszuf¨ uhren. Mit dem fprintf-Befehl werden danach einige Kommandostrings an das Ger¨ at geschickt. Das ist zun¨achst das Reset Command *RST und das Clear Status Command *CLS, um das Ger¨at in einen deﬁnierten Zustand zu versetzen. In den Zeilen 12 und 13 wird das Ger¨at als Spannungsquelle konﬁguriert und f¨ ur die Strommessung eine Strombegrenzung von 0,1 A eingestellt. Danach startet die Schleife f¨ ur den punktweisen Durchlauf der Kennlinie. In Zeile 16 wird der aktuelle Spannungswert berechnet und u ¨bertragen. Der Befehl in Zeile 18 deﬁniert die Ausgabeinformation; so k¨onnte beispielsweise außer Strom und Spannung auch der Widerstand ausgelesen werden. Schließlich wird die Spannung an den Ausgangskontakten des Ger¨ats eingeschaltet und mit dem Befehl fetch? 2

10

forward backward

1

10

0

10

−1

10

−2

10

−3

10

−4

10

−5

10

−6

10

−7

10

−8

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 Ud (V)

Abb. 14.91. Kennlinien einer Diode in Durchlaß- (—) und Sperrichtung (- -), aufgenommen mit dem MATLAB-Programmierbeispiel Kennlinienaufnahme“ ” (Tab. 14.26)

528

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

werden die Ergebnisse abgeholt. Mit dem MATLAB-Befehl fscanf werden die Daten aus dem Objekt g in die Variable mess gespeichert und schließlich an die richtige Stelle in den Ergebnisvektoren plaziert. Nach dem Ende der Messungen wird die Verbindung geschlossen und die Kennlinie halblogarithmisch ausgegeben. Das Resultat ist in Abb. 14.91 zu sehen. Es wurde als Beispiel die Kennlinie einer Diode sowohl in Durchlaßrichtung als auch in Sperrichtung aufgezeichnet.

14.9 Anwendungsbeispiel: Hausautomatisierung Die Hausautomatisierungstechnik bietet die M¨ oglichkeit, einige der bisher vorgestellten Technologien anschaulich zu demonstrieren. Eine moderne Hausautomatisierung verlangt den Einsatz verschiedenster Sensoren und Aktoren, deren Werte und Zust¨ande permanent u ussen und deren ¨berwacht werden m¨ ¨ Anderung unterschiedliche Aktionen nach sich zieht. Beispiele f¨ ur Sensoren in der Hausautomatisierung sind Temperatur-, Luftfeuchte-, Einstrahlungs¨ oder Bewegungssensoren. Aktoren stellen Heizungsventile, Motoren zum Oﬀnen der Fenster oder Magnetventile zur Steuerung von Wasserleitungen dar. Da die Hausautomatisierung zum Konsumerbereich z¨ ahlt, muß ein Entwicklungsziel die kosteng¨ unstige Implementierung von Sensoren, Aktoren sowie die des Steuerrechners sein. In unserem Beispiel dient eine Industrie-SPS als Controller, wobei die folgenden Vorteile f¨ ur den Einsatz ausschlaggebend sind: • • • • •

bew¨ ahrt im industriellen Umfeld robust preiswert / kosteng¨ unstig - bei entsprechenden St¨ uckzahlen hohe Ausfallsicherheit sehr sicherer Neustart nach Stromausfall.

Der Controller des Hausautomatisierungssystems dient der Bearbeitung diverser Aufgaben. So m¨ ussen zun¨achst die Meßwerte der Sensoren und Parameter der Aktoren eingelesen und eventuell umgerechnet werden. Diese Werte werden dann in einzelnen Modulen verarbeitet und entsprechende Aktionen ausgef¨ uhrt. Im weiteren muß der Controller Kommunikationsaufgaben mit der Außenwelt durchf¨ uhren. Die Kommunikationspartner k¨ onnen dabei weitere speicherprogrammierbare Steuerungen oder aber ein Benutzer sein, der unter Verwendung eines geeigneten Bedienprogrammes Parameter des Automatisierungssystems ver¨andern will. 14.9.1 Struktur des Gesamtsystems Die im folgenden beschriebenen Elemente und Anforderungen sind wesentliche Bestandteile des hier vorgestellten Hausautomatisierungssystems (Abb. 14.92).

14.9 Anwendungsbeispiel: Hausautomatisierung

Computer mit Internetanschluß Überwachung Diagnose Steuerung World Wide Web

Überwachung Diagnose Steuerung

Sensor 1

Computer

529

LAN

Web Server

Controller Gateway

Aktor 1

Sensor 2

Aktor2

Sensor 3

Point-to-Point Verbindung

Gateway

Überwachung Diagnose Steuerung Computer

Abb. 14.92. Komponenten des Hausautomatisierungssystems

Dieses Hausautomatisierungssystem wurde am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik der Universit¨at Erlangen-N¨ urnberg entwickelt. Es hat sich in verschiedenen Feldversuchen bew¨ahrt und wird derzeit in der Praxis getestet [105]. Es enth¨alt folgende zentrale Elemente: • SPS als zentraler Controller, der die Kommunikation u ¨ber das Ethernet unterst¨ utzt • verschiedene Sensoren, welche frequenzcodierte Signale mittels einer Zweidrahtleitung an die SPS senden • verschiedene Aktoren, die direkt oder mittels pulsweitenmodulierter Signale an die SPS angeschlossen sind • Interaktionsm¨oglichkeit des Benutzers u ¨ber Bedienoberﬂ¨ache oder physikalische Schaltelemente • M¨oglichkeiten der Fernwartung unter Verwendung eines Routers oder eines Web-Servers. 14.9.2 Datenerfassung Die SPS fungiert als zentraler Controller des Hausautomatisierungssystems. Sie u ¨bernimmt alle wesentlichen Steuerungs- und Regelaufgaben, welche in der jeweiligen Systemkonﬁguration ben¨otigt werden. Anschaulich soll dies am Beispiel einer Temperaturregelung erl¨autert werden. Die Temperatur wird von einem Temperaturf¨ uhler gemessen und die gew¨ unschte Raumtemperatur wird vom Benutzer durch einen Sollwertsteller eingestellt. Beide sind auf einer Platine aufgebaut, welche in eine Unterputzschalterdose montiert werden kann (Abb. 14.93). Abbildung 14.94 zeigt, daß die Werte der Temperatur sowie die des Sollwertstellers frequenzcodiert (Rechtecksignal mit Frequenz 10 Hz < fR < 100 Hz) u ¨ber eine Zweidrahtleitung zur SPS u ¨bertragen werden, wobei jeder Sensor an eine digitale Eingangs-

530

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

(a) Platine mit Temperaturmodul und Sollwertsteller

(b) Platine mit LCD-Display und Bedienelementen

Abb. 14.93. Zwei Sensormodule zur Messung der Raumtemperatur und Einstellung des Temperatur-Sollwertes

und jeder Aktor an eine digitale Ausgangsklemme angeschlossen ist. Durch die Verwendung digitaler Klemmen wird eine erhebliche Kostenersparnis im Vergleich zu analogen Ein- und Ausgangsklemmen erreicht. Die Topologie der Sensor- und Aktoranschl¨ usse ist sternf¨ ormig, was zwar mehr Verkabelungsaufwand erfordert, aber zu Gunsten der hohen Ausfallsicherheit gegen¨ uber einem ringf¨ ormigen Bus in Kauf genommen wird.

Sensorsignal

Sensor

SPS

Aktorsignal

Controller

Aktor

Abb. 14.94. Raumtemperatur-Regelung per SPS

Die Frequenzen der Rechtecksignale (Sensorsignale) werden durch eine Mehrperiodenfrequenzmessung bestimmt, die ca. 3 Sekunden dauert und so eine Genauigkeit von 0, 1 Hz im speziﬁzierten Frequenzbereich erreicht. Um die Frequenzmessung nicht zu verf¨ alschen, d¨ urfen maximal sechs Frequenzen zum gleichen Zeitpunkt gemessen werden, daher sind in der Regel mehrere Frequenzbestimmungsbl¨ ocke im jeweiligen SPS-Applikationsprogramm n¨ otig. Die hieraus resultierende Struktur des SPS-Programmes entspricht einer Ablaufsteuerung (s. Kap. 14.5). Dies bedeutet, daß bevor das SPS-Programm einen weiteren Schritt ausf¨ uhren kann, erst eine Transitionsbedingung erf¨ ullt werden muß. Im Fall der Frequenzmessung muß gewartet werden, bis alle Frequenzen bestimmt sind, bevor der n¨ achste Programmschritt ausgef¨ uhrt werden kann. Da die Frequenz-Temperatur-Kurve der Temperaturmodule bekannt ist, k¨ onnen die Temperaturen der einzelnen Sensoren aus den jeweiligen Frequenzwerten bestimmt werden. Sind alle Frequenzen bzw. Sensorwerte gemessen

14.9 Anwendungsbeispiel: Hausautomatisierung

531

worden, so wird das n¨achste Programm der Ablaufsteuerung ausgef¨ uhrt, welches in diesem Beispiel den Algorithmus f¨ ur die Raumtemperaturregelung enth¨ alt. Dieser Regelalgorithmus implementiert einen Zweipunktregler, der einen Radiator ein- bzw. ausschaltet, wenn die Raumtemperatur bestimmte vorgegebene Schwellwerte unter- bzw. u ¨berschreitet. Der Temperatur-Sollwert soll dabei nicht nur durch den Sollwertsteller sondern auch durch ein programmierbares Tag-/Nachtprogramm oder einen vom Benutzer via Applikationsprogramm vorgegebenen Wert einstellbar sein. Abgesehen vom Temperatursollwert des Sollwertstellers k¨ onnen diese unter Verwendung des sp¨ater vorgestellten Benutzerinterfaces parametriert werden. 14.9.3 Lokale und weltweite Vernetzung Der Aspekt der Vernetzung betriﬀt an dieser Stelle nicht das Meßsystem an sich, da die Sensoren und Aktoren direkt an den Controller angeschlossen sind. Es w¨ are allerdings eine L¨osung denkbar, bei der mehrere Controller die Sensorwerte aufnehmen und diese sich dann untereinander abstimmen bzw. synchronisieren. Im folgenden wird auf die Vernetzung des Controllers mit Computern an unterschiedlichen Standorten eingegangen. LAN - lokales Netzwerk Beﬁndet sich der Benutzer in seinem Heim, so kann er unter Verwendung eines Computers die Parameter des Hausautomatisierungssystems einstellen. Hierzu wird das in dem jeweiligen Haus vorzuﬁndende LAN benutzt, an welches der Controller sowie der verwendete Computer angeschlossen sein m¨ ussen. Der SPS wird zu diesem Zwecke eine feste IP-Adresse zugewiesen, u ¨ber welche fortan mit der Steuerung kommuniziert werden kann. Mittels des ModBus/TCPProtokolls [72] k¨onnen die Parameter zwischen dem Controller und dem Computer unter Verwendung einer geeigneten Applikation abgerufen, kontrolliert und gesetzt werden. Abbildung 14.95 zeigt eine VisualBasic-Applikation, welche die Parametrierung des vorgestellten Hausautomatisierungssystems erlaubt. In Abb. 14.92 wird diese Parametrierung durch den zentralen Computer (PC) innerhalb des Hauses vorgenommen. F¨ ur alle weiteren Vernetzungsarten wird das ebenfalls in Abb. 14.92 gezeigte Gateway ben¨ otigt. Standortu ¨ bergreifende Vernetzung Ein Gateway (i.d.R. ein Router) dient als Schnittstelle des Hausautomatisierungssystems bzw. des LAN zur Außenwelt. Er erlaubt, eingehende Verbindungen oder abgehende Verbindungen aufzubauen. Im Fall der standort¨ ubergreifenden Vernetzung wird angenommen, daß ein Benutzer von einem beliebigen Punkt der Erde aus eine Point-to-Point-Verbindung zu dem Gateway des Hauses aufbaut. Dies geschieht mit einem Modem, wobei auf Seiat nicht zwingend ten des Benutzers in diesem Fall eine Routerfunktionalit¨

532

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

¨ Abb. 14.95. Hauptmenu des Benutzerinterfaces zur Parametrierung und Uberwachung des Hausautomatisierungssystems

ben¨ otigt wird. Der Bezug dieser Vernetzungsart zum ISO-Schichtmodell ist in Abb. 14.96 dargestellt. Es werden auf Seiten des Computers und des Controllers die Schichten 1 bis 4 und 7 verwendet, die Router verwenden dagegen nur die Schichten 1 bis 3. Diese M¨ oglichkeit der Parametrierung des Hausautomatisierungssystems setzt analog zum vorherigen Fall eine Software voraus, welche eine Kommunikation mit dem Controller erm¨oglicht. Weltweite Vernetzung In Abb. 14.92 ist die Verwendung eines Web-Servers skizziert, der bei Bedarf eine Point-to-Point-Verbindung zu dem betrachteten Haus aufbaut. Hiermit kann eine weltweit verf¨ ugbare Parametrierm¨oglichkeit des Hausautomatisierungssystems geschaﬀen werden. Der Benutzer muß sich, um Zugriﬀ auf die Daten seines Hauses zu erlangen, an einem Server anmelden. Auf diesem wird eine Applikation ausgef¨ uhrt, welche die Authentiﬁzierung des Benutzers sowie

14.9 Anwendungsbeispiel: Hausautomatisierung 7 4 3 2 1

Anwendung TCP IP Ethernet physikal.

OSI Schicht

IP Eth. ISDN phys. phys.

LAN

Computer

IP ISDN Eth. phys. phys.

Point-to-Point

Gateway

Gateway

533

Anwendung TCP IP Ethernet physikal.

LAN

Controller

Abb. 14.96. Bezug der Daten¨ ubertragung zum ISO-Schichtenmodell

den Datentransfer vom Controller zum Server bzw. vom Server zu demjenigen Computer durchf¨ uhrt, an welchem der Anwender sich gerade beﬁndet. 14.9.4 Software Einige Parameter des Hausautomatisierungsmoduls k¨ onnen von einem Systemadministrator ver¨andert werden. Dazu wird mit dem Controller unter Verwendung einer geeigneten Anwendung kommuniziert, und die Werte der Parameter werden aus der SPS ausgelesen bzw. die neu gesetzten Werte in die SPS geschrieben. Eine Programmoberﬂ¨ache, die der geschilderten Parametrierung dient, ist in Abb. 14.95 zu sehen, wobei hier die Einstellung diverser Temperatursollwerte einer Raumtemperaturregelung dargestellt ist. Die Kommunikation erfolgt mittels MODBUS/TCP-Protokoll, da dieses von der hier verwendeten SPS unterst¨ utzt wird. Eine weitere elegante M¨oglichkeit der Parametrierung stellt die WebApplikation in Abb. 14.97 dar. Der Web-Server dient dabei als Informationszentrale, die die Parameter aus der SPS ausliest, speichert und dem Benutzer ¨ zur Bearbeitung u die der Benutzer durchf¨ uhrt, werden ¨bergibt. Anderungen, in einem Abbild der Parameter, welches der Web-Server verwaltet, gespei¨ chert. Sind alle Anderungen durchgef¨ uhrt, werden die Parameter wieder in die SPS transferiert, und dem Benutzer werden die ver¨ anderten Parameter angezeigt. Es ist auch denkbar, diese Anwendung auf einem Web-Server zu implementieren, der in dem betreﬀenden Haus installiert ist. Diese L¨ osung ist jedoch erst dann sinnvoll, wenn das Hausautomatisierungssystem permanent mit dem Internet verbunden ist, da sonst die Kosten f¨ ur eine solche Datenverbindung zu hoch w¨ aren. Wenn in Zukunft Haushalte fest mit dem Internet verbunden sind, w¨ are dies die ideale L¨osung zur Parametrierung des Hausautomatisierungssystems. Allerdings m¨ ußte dann der Sicherheitsaspekt mehr in den Vordergrund r¨ ucken, denn ein System, welches permanent Dritten zug¨ anglich ist, muß in besonderer Weise vor unbefugtem Zugriﬀ gesch¨ utzt werden.

534

14 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Abb. 14.97. Web-Applikation des Hausautomatisierungssystems; hier: Parametrierung des Moduls zur Einstellung eines Kaltwasser-Magnetventils

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Index

20 mA-Stromschleife

430

Aaronschaltung 201 Abbildungsgr¨ oße 7 Abfrage (Polling) 413 Abgleichverfahren 216, 219 Abgleichvorgang 228 Ablenkkoeﬀizient 238 Fehler 249 Ablenkspannung 237 Ablenksystem Anstiegszeit 256 Grenzfrequenz 238, 256 horizontales 236, 239, 251 Sprungantwort 256 vertikales 251 Absorptionsgesetz 270 Abtast-Halte-Schaltung 301 ﬀ Abtastfrequenz 301 Abtastratenreduzierung 313 Abtastsignal 299 Abtastung 245, 247, 299 ﬀ Abtastvorgang 247 Abtastzeitpunkt 332 amplitudenm¨ aßige 300 zeitliche 300 Abtastwertspeicher 311 Acquisition Time 304 Addierer digitaler 274 ¨ Aquivalenz-Gatter 273 ¨ Aquivalenzzeit 245 Aktiver Vollweg-Gleichrichter 176 Aliasing-Eﬀekt 300

Amperemeterschaltung erdfreie 175 massebezogene 174 Amplitude 101 Amplitudenbedingung 350 Amplitudendynamik 153 Amplitudengang 57 Amplitudenmodulation 9, 366 Amplitudenspektrum 384 Analog-Digital-Umsetzer 299 ﬀ Delta-Sigma-Modulator 310 direktvergleichender 303 ﬀ Dual-Slope-Umsetzer 322 dynamische Fehler 332 ﬀ Fehler 329 ﬀ Flash-Converter 303 Grundprinzipien 328 Kaskadenverfahren 307 Kennlinie 330 Leistungsdaten 329 Multi-Bit-Delta-Sigma 314 Nachlaufumsetzer 310 Parallel-Umsetzer 303 Single-Slope-Umsetzer 321 Spannungs-Frequenz-Umsetzer statische Fehler 329 ﬀ Stufenumsetzer 304 Vergleich 328 Analog-Dividierer 377 Analog-Multiplexing mit Zeitversatz 402 ohne Zeitversatz 402 Analog-Multiplizierer 376

323

542

Index

Analog-Oszilloskop 235 ﬀ Funktionsgruppen 242 Analogtechnik 374 Anode 236 Anodenspannung 237 Anpasser 5 Anregung harmonische 100 Anregungsfunktion 99, 100 ANSI 432 Ansprechempﬁndlichkeit 153 Anstiegsgeschwindigkeit 161 Anstiegszeit 244, 255, 256 Deﬁnition 255 Anti-Aliasing-Filter 301 Anzeige 4, 5 Anzeigegeschwindigkeit 347 Anzeigewert 89 AperturUnsicherheit 304, 333 Zeit 304 Arbitrary Waveform Synthesizer 404 ASI-Bus 477 AT-Schnitt-Dickenscherschwinger 360 Atomuhr 366 Außenleiter 198 Aufgabengesetz 90 Auﬂ¨ osung 328, 330 Auﬂ¨ osungsverm¨ ogen 347 Aufnehmer 4 induktiver 231 kapazitiver 231 Ausgabe 5 Ausgangspuls taktsynchroner 284 Ausgleichsvorg¨ ange 21 ﬀ Ausschlag, ballistischer 120 Ausschlagbr¨ ucke 231 Ausschlagmethode 6 Aussteuerung Grenze 155, 384 maximale 330 Autokorrelationsfunktion 387 ﬀ, 393 Balkenwaageprinzip 304 Ballistische Konstante 120 Bandbegrenzung 254 Bandbreite 153, 161 Bandpaßﬁlter 386

Bandpaß¨ ubertragungsfunktion 386 Bandsperre 385 Basiseinheiten 11 ﬀ Basisgr¨ oßen 11 ﬀ Basisspektrum 300 Baudrate 422, 426 Bauelement passives 222 BCD-Code 268 ﬀ BCD-Z¨ ahler 287 ﬀ asynchroner 287 synchroner 287 Beharrungswert 100 Belastungsfehler 131, 134, 136, 212 Beleuchtungsst¨ arke 14 Beobachtungsbandbreite 183 Beruhigungszeit 116 Beschleunigungskraft 238 Beschleunigungsmoment 113, 118 Best-Straight-Line 295 Betrags-Spektrum 299 Betragsabgleich 228 Betragsgang 57 Betriebsmeßger¨ at 99, 124 Bezugsgerade 296 Bezugswert 4 Bias-Stromversorgung 161 Biegeschwinger 356 Bin¨ arcode 267, 267 ﬀ Bistabilit¨ at 275 Bit h¨ ochstwertiges (MSB) 304 niedrigstwertiges (LSB) 332 BITBUS 487 Bitcodierung 471 Bit-Monitoring 481 Bit-Stuﬃng 481 Datensicherung 471 Fehlererkennung 471 Manchesterverfahren 471 NRZ-Code 473 NRZI-Code 473 Blindkomponente 219 Blindleistung 196, 202 Blindleistungsmessung im 3-Leiter-System 204 im 4-Leiter-System 203 im Einphasennetz 196 Bode-Diagramme 59 ﬀ

Index Boltzmann-Konstante 183 Boolesche Algebra 269 Braunsche R¨ ohre 235 ﬀ Bremsmagnet 208 Br¨ uckenabgleich 228 Erdkapazit¨ aten 227 halbautomatischer 228 Br¨ uckendiagonalspannung 223 Br¨ uckenschaltung 214, 216 ﬀ Br¨ uckenspeisespannung 217 B¨ urde 149, 150 Bus Zugriﬀsverfahren 469 ﬀ Buskoppler 475 C¨ asium-Element 362 C¨ asium-Normaluhr 362, 366 CAMAC 415 CAN 479 Charge-Balancing-Converter 326 ﬀ Chopper-Verst¨ arker 180 Chopperbetrieb 245 Code fehlererkennender 268 fehlerkorrigierender 268 Codewechsel 298 Codewortfolge 298 Computer Controlled Instruments 398 Computer-Schnittstelle 398, 415 Datenleitung 419 Hardware-Realisierung 424 Meldeleitung 419 Pegelfestlegung 420 RS232C-Schnittstelle 417 Steuerleitung 419 Synchronisierung 421 Taktleitung 420 ¨ Ubertragungsmedien 416 Cosinussatz 222 Coulombsche Anziehungskraft 127, 238 D-Flip-Flop taktﬂankengesteuertes 280 taktzustandgesteuertes 278 D¨ ampfung 101, 129 D¨ ampfungsgrad 116 Koeﬀizient 114 ﬀ Mechanismus 116

543

Moment 113 ﬀ, 118 winkelgeschwindigkeitsproportionale 113 ﬀ Data-Latch 278 Datenausgabesystem 404 Ausgabe 404 D/A-Umsetzung 404 Daten¨ ubergabe 404 Prinzip 404 Datendurchsatz 426, 428 Datenlogger 413 Datensicherung Cyclic Redundancy Check 471 Hamming-Distanz 472 Parit¨ atspr¨ ufung 471 Daten¨ ubertragung asynchrone 421 Grundtypen 413 Kenngr¨ oßen 426 synchrone 422 Datex-P 503 Delon-Schaltung 142 Delta-Impuls (Dirac-Stoß, DiracImpuls) 21 ﬀ, 99 ﬀ Delta-Modulator 311 ﬀ Delta-Sigma-Modulator 310 ﬀ Detektion 3 Detektor 4 Dezimalzahl 268 ﬀ Dezimation 313 DGPS (Diﬀerential Global Positioning System) 369 Diagonalspannung 216 Dickenscherschwinger 357 Diﬀerentialsensor 232 Diﬀerenzeingangsspannung 159 Diﬀerenzeingangswiderstand 160 Diﬀerenzierer-Schaltung 168 Diﬀerenzpulscodemodulation 311 Diﬀerenzverst¨ arker 177 Diﬀerenzverst¨ arkung 158 Digital-Analog-Converter siehe Digital-Analog-Umsetzer Digital-Analog-Umsetzer 288 ﬀ dynamischer Fehler 297 ﬀ Kennlinien 296 Realisierung 290 statischer Fehler 294 ﬀ unipolarer 289

544

Index

Digital-Multimeter 333 ﬀ Blockschaltbild 335 Digital-Speicheroszilloskop 259 ﬀ Anzeigebetriebsart 263 Aufzeichnungsbetriebsart 263 Bildwiedergabe 261 Meßkanal 259, 260 Recurrent-Mode 263 Refresh-Mode 263 Roll-Mode 264 Single Shot 263 Triggermodul 259, 260 Digitalwortfolge gest¨ orte 298 DIN-Meßbus 492 DIN-Normen 8 Diode Innenwiderstand 139 Kennlinie 169 Schwellspannung 142, 176, 177 Sperrstrom 169 Temperaturspannung 170 Diodenkennlinie 72 Dirac-Impuls (Dirac-Stoß, DeltaImpuls) 21 ﬀ, 99 ﬀ Direct Memory Access (DMA) 414 Disjunktion 270 Distanzmessung akustische 391 Dividierer 377 Dreheisenmeßwerk 123 ﬀ, 144, 145 Drehfederkonstante 117, 123 Drehmagnetmeßwerk 126 ﬀ Drehmoment 113 Drehspul-Spiegelgalvanometer 117 Drehspulmeßwerk 112 ﬀ, 145 D¨ ampfung 115 ﬀ dynamisches Verhalten 113 ﬀ mit Gleichrichter 145 Drehspulquotientenmeßwerk 124 ﬀ, 145 Drehstromsystem 197 ﬀ 3-Leiter-System 198 4-Leiter-System 198 Aaronschaltung 201 Begriﬀsdeﬁnitionen 197 Blindleistungsmessung 202 Dreieckschaltung 197, 198 komplexe Leistung 201

Lastimpedanz 199 Leistungsmessung 197 Leiterspannung 198 Leiterstrom 199 Schaltungsvariante 197 Spannungszeiger 202 Sternschaltung 198 Wirkleistung 200 Zeigerdiagramm 198, 199 Zwei-Wattmeter-Verfahren 201 Dreieck-Stern-Umwandlung 218 Droop 304 Druck 14 Dual-Slope-Umsetzer 322 ﬀ Dualz¨ ahler asynchroner 285 synchroner 286 Dualzahl 10 Darstellung 268 ﬀ Dunkeltastung 240 Durchﬂutungsgesetz 120, 126, 206 e-Funktionsgenerator 171 Eckfrequenz 159 Eﬀektivwert 137, 138, 195, 378, 380 echter 335 kurvenformunabh¨ angiger 379, 381 Eﬀektivwertbaustein 373 analoger 379, 381 Schaltung 379 Eﬀektivwertmesser 128 echter 144 EIB (European Installation Bus) 489 Eigenfrequenz 114 Eigenrauschen 153 Eigenverbrauch 127 Einﬂußgr¨ oße 91 Eingangsfehlspannung 160 Eingangsfehlstrom 162 Eingangsrauschleistung 191 Eingangsruhestrom 161, 184 Eingangsstrom 154, 157 Eingangsstromdrift 162 Einheiten 3, 11 ﬀ Ampere 11, 12 Becquerel 14 Candela 11, 12 Coulomb 14 Farad 13, 14

Index Gleichung 13 Gray 14 Henry 14 Hertz 14 Joule 14 Kelvin 11, 12 Kilogramm 11, 12 koh¨ arente 13 Lumen 14 Lux 14 Meter 11 Mol 11, 12 Newton 14 nicht-koh¨ arente 14 Ohm 14 Pascal 13, 14 Sekunde 11, 12 SI-System 12 ﬀ Siemens 14 Steradiant 14 Tesla 14 Volt 14 Volt-Ampere 197 Volt-Ampere-reaktiv 196 Watt 14 Weber 14 Einheitengleichung 14 Einschwingvorg¨ ange 40 ﬀ Einschwingzeit 298 Einstellzeit 116 ﬀ Einweg-Gleichrichter 142, 177 Schaltung 142 Einweg-Gleichrichtung 139 ﬀ elektrische Arbeit 205 elektrische Energie 208 elektrische Leistung 193 Elektrizit¨ atsz¨ ahler 205 ﬀ, 206 Aluminiuml¨ auferscheibe 207 prinzipieller Aufbau 208 Spannungseisen 207 Stromeisen 207 Wirbelstrom 207 Wirbelstrombremse 208 Elektrodynamisches Meßwerk 120 ﬀ Elektromechanik 112 Elektrometerverst¨ arker 178, 351 Elektron Ladung 184, 237 Laufzeit 256

545

Masse 13 Verweildauer 256 Elektronenstrahl 235, 236 Elektronenstrahl-Oszilloskop analoges 235 ﬀ dynamischer Fehler 252 ﬀ Fehler 249 Grenzfrequenz 253, 258 Spannungsteiler 248 ﬀ Verst¨ arker-Grenzfrequenz 253 Elektronenstrahl-R¨ ohre 235 ﬀ Elementarladung, elektrische 13 Empﬁndlichkeitsfehler 249 Energie elektrische 128 Energiedosis 14 Energieerhaltungssatz 128 Energiestrom 14 Energiez¨ ahler 320 Entladevorgang 327 Erdmagnetfeld 122 Erhaltungstendenz 388 Errorfunction 93 ﬀ Ersatzschaltbilder einer Kapazit¨ at 221 Ersatzspannungsquelle 130, 132, 217, 218 Prinzip 130 Ersatzstromquelle 130 Erwartungswert 92 Ethernet 466, 496 ﬀ Hub 500 Industrie-Ethernet 466 Switch 500 Telegrammstruktur 501 Exklusiv-Oder-Gatter 273 f/U-Umsetzer 347 Faltung 31, 99 Faltungsintegral 100 Faltungsprodukt h¨ oherer Ordnung 301 FAN (Field Area Network) Feder 112 Fehler absoluter 89 ﬀ Erkennung 268 Fehlerarten 90

465 ﬀ

546

Index

Fehlerfortpﬂanzungsgesetz 292, 362, 364 Fehlerklassen 148 Fehlerwahrscheinlichkeit 93 ﬀ Frequenzmessung 362, 363 Korrektur 268 Monotonie 297 Periodendauermessung 364 relativer 89 ﬀ Schwingquarz 360 stochastischer 393 systematischer 292 Toleranzgrenze 97 wahrer Wert 89 Zeitintervallmessung 362 Fehleranalyse R¨ uckw¨ artsanalyse 105 Vorw¨ artsanalyse 105 Fehlerklasse 148 Feinmeßger¨ at 99 Feldbus 475 ﬀ aktuelle Systeme 478 Feldger¨ ate 475 Vergleich 476, 478 Feldenergie magnetische 123 Feldkonstante, elektrische 13 Feldkonstante, magnetische 12, 13 Feldspule 193 Feldst¨ arke elektrische 13 magnetische 13 Filterung 374 FIP-Bus 484 Fl¨ achenscherschwinger 356, 357 Flash-Converter 303 ﬀ Flip-Flop-Schaltung 275 ﬀ Flußmeterkonstante 118 Folge-Halte-Schaltung 302 Realisierung 303 Formfaktor 138, 144 Fourier-Transformation 18 ﬀ Fourier-Transformierte 18 ﬀ, 101 Fourieranalyse 17 ﬀ, 195, 384 Fourierreihe 17 ﬀ, 195 Frequenz 14 Frequenz-Spannungs-Umsetzer 347 Frequenz-Spannungs-Umsetzung 347 Frequenzgang 57

Frequenzkompensation 249 Frequenzkonstante 358 Frequenzmessung 338, 356, 363 digitale 339 direkte 324, 365 Fehler durch Rauschen 364 mechanische 338 relativer Fehler 365 reziproke 324, 364 Frequenzmodulation 9, 347 Frequenznormal 362, 366 Frequenzstabilit¨ at 360 Frequenzverdoppler 378 Schaltung 378 Full Scale Sprung 298 Funkelrauschen 184 Funktionaltransformation 373 Galileo 370 Galvanometer 117 ﬀ, 214, 216 ballistisches 119 Gateway 475 Gatter ¨ Aquivalenz 273 Antivalenz 273 EXOR 273 NAND 271 NICHT 270 NOR 272 ODER 272 UND 271 Gatterschaltung 269 ﬀ Gaußsche Verteilungsfunktion 92 Gaußsches Fehlerfortpﬂanzungsgesetz 95 ﬀ Gegenkopplungsschaltung 156, 156 ﬀ Gegentaktst¨ orungen 412 Genauigkeitsklasse 98, 150 genormte 98 Gesamtrauschleistung 191 Gesamtverst¨ arkung 159 Gesetz Absorptions- 270 assoziatives 270 distributives 270 kommutatives 270 Morgansches 270 Negations- 270 Gesteuerte Quellen 82

Index Gewichtsfunktion 55, 99 ﬀ Gewichtung bin¨ are 294 Glasfasernetz (FDDI) 507 Gleichgewichtsbedingung 113 Gleichrichter aktiver 176 phasenempﬂindlicher 228 Gleichrichterschaltung 176 Gleichrichtung 139 ﬀ Gleichrichtwert 137, 139, 379 Gleichspannungskompensation 214 Schaltung 215 Gleichspannungsmessung 130 ﬀ, 133 ﬀ Gleichspannungsverst¨ arkung 159 Gleichstrom-Meßbr¨ ucke 216 ﬀ Abgleichbr¨ ucke 219 ﬀ Ausschlagbr¨ ucke 216 ﬀ Gleichstromkompensation 215 Schaltung 215 Gleichstromkreis 193 Gleichstrommessung 130 ﬀ Gleichstromnetzwerk 131 Gleichtakteingangswiderstand 160 Gleichtaktspannung 158, 160 Gleichtaktst¨ oranteil 178 Gleichtaktst¨ orungen 412, 429 Gleichtaktunterdr¨ uckung 158, 178 Gleichtaktverst¨ arkung 158, 160, 179 Gleichtaktwiderstand 160 Gl¨ uh-Kathode 236 GPIB-Bus 432 GPRS (General Packet Radio Services) 504 GPS-Satellitennavigation 366 Benutzersegment 367 GPS-Empf¨ anger 367 kodiertes Signal 367 Kontrollsegment 367 Kugelstandﬂ¨ ache 367 Modulationsverfahren 368 Positionsdaten 368 Raumsegment 367 Satellitenuhr 367 Systemaufbau 367 Graetz-Schaltung 140 Graphitwendel 239 Gray-Code 268, 268 ﬀ Greinacher-Schaltung 142

547

Grenzfrequenz 159, 161, 244, 253, 255 3-dB- 161 obere 161 Grobquantisierung 306 Gr¨ oßengleichungen 13 Grundgesamtheit 94, 94 ﬀ Grundwelle 384 Grundwellenresonanz 358 GSM (Global System for Mobile Communication) 504 Halbaddierer 274 Halbbr¨ ucke 232 Halbleiter-Analogschalter 409 Half-Flash-Umsetzer 307 Handshaking 423 Hauptzeitbasis 241 Hausautomatisierung 528 Datenerfassung 529 SPS 530 webbasiert 534 HDSL (High Bit Rate Digital Subscriber Line) 503 Heißleiter 73 Hexadezimalcode 268 ﬀ Hilfsger¨ ate 5 Hilfsquelle 7 Hochspannungsmesser 128 Horizontalverst¨ arker 239 HP-IB-Bus 432 Hub 500 Hysteresekurven 77 ﬀ Hystereseverlust 122, 123 IEC-Bus 406, 415, 449 adressierte Befehle 439 Bus-Logik 435 Controller 433 Datenbus 432 Dreidraht-Handshake 437 Eindrahtnachrichten 438 Einsteckkarte 447 Empf¨ anger-/H¨ orerfunktion 432 externe Nachrichten 438 Ger¨ atefunktion 438 Ger¨ ategrundfunktion 433 Ger¨ atenachricht 434 Ger¨ ateschnittstelle 438 Handshake-Verfahren 437

548

Index

Hardware 445 H¨ orer-/Sprecher-Adressen 443 interne Nachrichten 438, 440 Komponenten 432 Leitungen 434, 436 Listener 433 Mehrdrahtnachrichten 434, 439 Nachrichtenarten 438 Parallel Poll 444 Quittierungssignal 437 Schlußzeichen 444 Schnittstelle 438 Schnittstellen-Steuerbus 434 Schnittstellenfunktion 438 Schnittstellennachrichten 434 Sekund¨ ar-Befehle 443 Sender-/Sprecherfunktion 432 Serial Poll 444 Software 513 Statusabfrage 444 Statusinformation 434 Steckverbindungen 445 Steuerbus 432 Steuerfunktion 432 Talker 433 ¨ Ubergabesteuerbus 432, 435 ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit 447 Universal-Befehle 441 IEC-Bus-Schnittstelle 431 ﬀ Realisierung 446 IEC-Busbefehle Codierung 441 Impedanz komplexe 219 Messung 222 Impedanzanpassung 167 Impedanzwandler 167 Impulsantwort 55, 99 ﬀ, 104 Impulsbreiten-Multiplizierer 318 ﬀ Impulsdauer 346 Impulsformer 348 Induktionsgesetz 206 Induktionsmeßwerk 205 ﬀ Funktionsprinzip 206 Induktionsprinzip 205 Induktivit¨ at 14, 220 dynamische 358 Ersatzschaltbild 220 nichtlineare 74

verlustbehaftete 220 Inﬂuenz 129 Informationstr¨ ager 9 Instrument-on-a-Card 398 Instrumentenverst¨ arker 178 ﬀ Schaltung 179 Integrierer-Schaltung 168 Interbus-S 477 INTERBUS-S 485 Internet-Protokoll (IP) 498 Interpolation lineare 262 Sinus 262 Interrupt-Methode 413 Invertierender Verst¨ arker 165 IP-Adressen 496 ISDN Breitband-ISDN (B-ISDN) 502 ISDN Integrated Services Digital Network 502 ISO-Schichtenmodell 467 ﬀ Isolated-Gate-FET (IGFET) 302 Jitter 333 JK-Flip-Flop taktﬂankengesteuertes

281

Kaltleiter 73 Kapazit¨ at 14, 220 dynamische 358 Ersatzschaltbild 220 nichtlineare 80 verlustbehaftete 220 Kaskadenschaltung 141 Kaskadenverfahren 307 ﬀ, 328 Kathode 236 Kenngr¨ oße 374 Kennlinien-Korrektur 374 Kettenschaltungen 189 Rauschen 189 Kippschaltungen bistabile 275 ﬀ Kippstufe astabile 353 monostabile 283 ﬀ, 348 Kleinsignalinduktivit¨ at 76 Kleinsignalkapazit¨ at 80 Klirrfaktor 374, 384 Meßbr¨ ucke 373, 385

Index Koh¨ arenz innere 388 Koh¨ arenzzeit 388 Koinzidenzzeit 342 Komparator 171 invertierender 172 mit Hysterese 172 ohne Hysterese 171 Komparatoren 328 Kompensationsgr¨ oße 7 Kompensationsmethode 5, 6 Signalﬂuß 7 Kompensationsprinzip 214 Kompensationsschaltung 214 ﬀ Kompensationsschreiber 216 Kompensationsverfahren 153 Kompensator 117, 214 komplexe Leistung 196 Kondensator 128, 141 idealer 220 Konjunktion 270 Konstantspannungsquelle 211 Konstantstromquelle 212 Kopplung kapazitive 298 Korrekturspule 194 ﬀ Korrelationsbildung 374 Korrelationsfunktion 386 bezogene 388 Korrelationsmessung 387 Korrelationsverfahren 373, 389 Kraftwirkung 112 Kreuzkorrelation 391 Kreuzkorrelationsdichtefunktion spektrale 394 Kreuzkorrelationsfunktion 387 ﬀ Kreuzleistungsdichte spektrale 394 Kreuzspule 125 Kreuzspulinstrument 213 Kreuzspulmeßwerk 124 ﬀ, 145 Kriechgalvanometer 118 Kurzschlußstrom 131 Kurzzeitmittelwert 382 Laborautomation webbasiert 510 LabView 522 ﬀ LabWindows 524

549

Ladekondensator 327 Ladevorgang 327 Ladung 14 Ladungskompensations-Konverter getakteter 327 Ladungskompensationsverfahren 326, 326 ﬀ Ladungsmessung 181 Ladungsverst¨ arker 181 Schaltung 182 L¨ ange 11 L¨ angsschwinger 356 LAN (Local Area Network) 465 ﬀ, 531 Laplace-Transformation 24 ﬀ Diﬀerentiationssatz 31, 103 elementarer Funktionen 27 ﬀ Faltung 31 Integrationssatz 30, 102 Netzwerkelemente 41 R¨ ucktransformation 35, 46 ﬀ Variable 102 ¨ Laplace-Ubertragungsfunktion 55, 101, 104 Lastimpedanz 146 Lastwiderstand 134 Laufzeitfehler 238, 257 LC-Oszillator 351 LC-Schwingkreis 349, 360 Least Signiﬁcant Bit (LSB) 290 Leerlauf-Diﬀerenzeingangsspannung 160 Leerlaufspannungsverst¨ arkung 154, 155, 158 Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß 158 Leerlaufverst¨ arkung 159 Leistung 14 Leistungsdichte spektrale 391 Leistungsdichtefunktion 394 spektrale 392 ﬀ Leistungsmesser elektronischer 320 Leistungsmessung 122, 193 ﬀ elektrodynamisches Meßwerk 193 im Drehstromsystem 197 im Einphasennetz 195 komplexe 196 spannungsrichtige 194

550

Index

stromrichtige 194 Wechselstromkreis 195 Leistungsverst¨ arkung 188 Leiter, stromdurchﬂossener 112 Leiternetzwerk 294 ﬀ Leiterspannung 198, 199 Leitwert 14 Lenzsche Regel 115 ﬀ Leuchtschicht 236 Lichtgeschwindigkeit 13 Lichtst¨ arke 11, 12 Lichtstrom 14 Lichtzeiger 117 Linearisierung 143 Linearit¨ atsfehler 239, 251, 308, 332 Linienspektrum 386 logarithmierender Verst¨ arker mit Diode 169 mit Transistor 170 Logik negative 267, 435 positive 267, 435 LON (Local Operating Network) 490 Luftkammerd¨ ampfung 129 Maßeinheit 11 ﬀ Maßsysteme 11 ﬀ Magnetfeld, radial inhomogen 125 magnetische Flußdichte 14 magnetischer Fluß 14 magnetisches Feld 121 Magnetisierungsstrom 145, 148 Masse 11 Masse-Feder-System 349 Master-Flip-Flop 280 MATLAB 525 ﬀ Maxwell-Wien-Br¨ ucke 226 Meßbereichsanfangswert 90 Meßbereichsendwert 90, 133 Meßbereichserweiterung 132 ﬀ, 134 ﬀ Meßbereichserweiterung, Spannungsmessung 134 ﬀ Meßbereichsumfang 4, 89 Meßbr¨ ucken f¨ ur Gleichspannung 216 Meßdaten Archivierung 397 Visualisierung 397 Meßdatenerfassung 397

-skarte 407 Abtastung (Sampling) 402 Analog-Digital-Umsetzung 403 Aufgabe 513 Bussysteme 508 Daten¨ ubernahme 403 Empfang 400 Entwicklungssystem graphikorientiertes 520 Ethernet 496 Ethernet Data Acquisition System (EDAS) 510 ETX/ACK-Protokoll 423 Handshake-Verfahren 422 ﬀ Hardware 404 ﬀ Haustechnik 529 Industrie-Ethernet 496 Kommandosprache 521 Komplettpaket 519 Meßkanal 401 Modul-Bibliothek 520 Oﬄine 399 Online 399 Powerline-Kommunikation 504 Programmgenerator 520 Quittierungsverfahren 422 ﬀ rechnergest¨ utzte 397 ﬀ Satellitenkommunikation 504 SCPI-Standard 513 SPS 530 System 431 UMTS 504 Vernetzung 496 ﬀ Verst¨ arkung 400 via GPRS 505 Virtual Private Network (VPN) 509 webbasiert 510 XON/XOFF-Protokoll 422 Meßeinrichtung 5 Struktur 5, 6 Meßergebnis 4, 5, 90 Meßfehler 89 ﬀ Absch¨ atzung 94 absoluter 89 ﬀ dynamischer 99 ﬀ, 104 ﬀ, 252 Korrektur 107 ﬀ Fortpﬂanzung zuf¨ alliger 97 ﬀ maximaler relativer 99 mittlerer 96

Index mittlerer dynamischer 104 mittlerer quadratischer 94 momentaner dynamischer 104 reduzierter 90 relativer 89 ﬀ, 134, 363 statischer 249 systematischer 90 ﬀ, 131, 209 Toleranzgrenze 97 u ¨berlagertes Rauschen 364 wahrer Wert 89 zuf¨ alliger 91 ﬀ, 96 Meßf¨ uhler 4 Meßger¨ at 5 Grundfunktion 111 Meßger¨ ate Bestimmungen 4 elektromechanische 111 Schaltzeichen 129 Meßgr¨ oße 3, 4 Aufnahme 5 Detektion 111 r¨ uckwirkungsarmes Erfassen 4 Meßkette 5 Meßmethode analoge 8 digitale 8 direkte 9, 386 diskontinuierliche 9 indirekte 386 kontinuierliche 9 r¨ uckwirkungsfreie 8 Meßmethoden Klassiﬁzierung 6 ﬀ Meßprinzip 5 Meßsignal 5 Anpassung 5 Informationstr¨ ager 9 Verarbeitung 5, 111 Weitergabe 5 Meßsignale Arten 375 Klassiﬁzierung 375 Meßsignalverarbeitung 373, 397 Meßspanne 89 Meßsystem 99 ﬀ, 105 Grenzfrequenz 396 Grundstruktur 397 nicht-ideales 105 rechnergest¨ utztes 373, 397

551

¨ Ubertragungsverhalten 99 ﬀ, 105 Meßtechnik Bedeutung 1 Grundbegriﬀe 4 Historie 1 Meßverfahren 5 Meßverst¨ arker 5, 153 ﬀ spezielle 177 ﬀ Meßwandler 143, 145 ﬀ, 146 Meßwerk Dreheisenmeßwerk 123 Drehmagnetmeßwerk 126 Drehspulmeßwerk 112 Drehspulquotientenmeßwerk 124 elektrodynamisches 120 ﬀ, 145, 193 elektrostatisches 127 multiplizierendes 121 Tr¨ agheit 122 Meßwert 4, 89 ﬀ Ausgabe 5, 111 Gewinnung 3 Meßwertverarbeitung analoge 373 digitale 373 Mehrdraht-Handshake 423 Mehrfachperiodendauermessung 365 Messen Begriﬀsdeﬁnitionen 3 ﬀ Messung Eﬀektivwert 143 ﬀ elektrische Arbeit 205 elektrische Impedanz 209 ﬀ Gleichrichtwert 142 Gleichspannung 130, 133 ﬀ Gleichstrom 130 ﬀ komplexe Impedanz 222 konventionelle 346 nicht-elektrische Gr¨ oßen 353 r¨ uckwirkungsfreie 214 Scheinwiderstand 221 Scheitelwert 140 Spitzenwert 140 taktpulssynchronisierte 346 Wechselspannung 137 Wechselstrom 137 Messung an nichtlinearen Bauelementen 79 ﬀ Messung von Blindwiderst¨ anden 219 ﬀ

552

Index

Messung von ohmschen Widerst¨ anden Kreuzspulmeßwerk 213 Messung von ohmschen Widerst¨ anden 209 ﬀ Konstantstromquelle 212 Strom- und Spannungsmessung 209 Vergleich mit Referenzwiderstand 210 Metropolitan Area Network (MAN) 506 Mischspannung 138 Mitkopplung 172, 350 Mittelpunktleiter 200 Mittelung gleitende 383 laufende 382 Mittelwert 91, 92, 94 ﬀ, 381 ﬀ arithmetischer 92, 137, 381 Bestimmung 381 bezogener quadratischer 105 quadratischer 137, 378, 395 zeitlicher 388 Mittelwertbildung 374, 380 Mittelwerte 381 ﬀ MODBUS 533 Modellsignal 386 Modem 416 Modulationsverfahren 471 APM 471 Monoﬂop 283 ﬀ, 348 Most Signiﬁcant Bit (MSB) 293 Multifunktions-Einsteckkarte 406 Blockschaltbild 407 Multiplexer 407, 409 -typen 410 Multiplizierer Ein-Quadranten 376 Vier-Quadranten 376 Zwei-Quadranten 376 Multivibrator 173 ﬀ, 353, 354 mit Inverter 355 mit Operationsverst¨ arker 355 Schaltung 173 MXI-Bus 448 ﬀ, 453 ﬀ Nachbeschleunigungselektrode Nachlaufumsetzer 310 Naturkonstante 11, 12 ﬀ Navigation 368

239

Navigationsnachricht 368 NAVSTAR siehe Satellitennavigation Nebenschluß 118 Negation 269 Negationsgesetz 270 Nennb¨ urde 148 Nenn¨ ubersetzung 147 Netzwerk 130 Netzwerke linear 21 Netzwerktopologien 469 Netzwerk¨ ubertragungsfunktion 55 Neutralleiter 197, 198 nichtlineare Bauelemente 71 nichtlineare Schaltungen 71 Analyse 83 nichtlinearer Widerstand 71 Nichtlinearit¨ at 142, 251, 331, 384 diﬀerentielle 297, 331 integrale 296 Nichtlinearit¨ atsfehler diﬀerentieller 331 integraler 331 Normalverteilung 91, 92, 95 Normbildende Institutionen 7 Normen 6 ﬀ Notchﬁlter 385 NTC-Widerst¨ ande 73 Nullabgleich 5, 214, 223 Nulldetektor 215 Nullpunktfehler 182, 296 Nullverfahren 216 Nullverst¨ arker 216 Nyquist-Formel 183 Nyquist-Kriterium 300 Oberwelle 384 Oberwellen-Schwingquarz 358 Oﬀset 304 Oﬀsetspannung 156, 160, 177 Oﬀsetspannungsdrift 162 Oﬀsetstrom 162 ohmscher Widerstand 209 ﬀ Einheit 3 Ohmsches Gesetz 209 Open-Kollektor-Ausgangsstufe 436 Operationsverst¨ arker 153 ﬀ Grundschaltungen 165 ﬀ idealer 154 ﬀ

Index Kenngr¨ oßen 158 ﬀ Rauschen 186 ﬀ realer 155 ﬀ Transitfrequenz 163 Ortskurve 228 Oszillator 173, 348 harmonischer 349 Operationsverst¨ arkerschaltung 360 Relaxationsoszillator 350 Oszillogramm 240 Oszillograph 235 Oszilloskop 235 ﬀ alternierender Betrieb 245 Digitalspeicher 259 ﬀ dynamischer Fehler 252 ﬀ Grenzfrequenz 253 ﬀ komplexe Eingangsimpedanz 252 Sampling 245 Spannungsteiler 248 ﬀ statischer Fehler 249 Verst¨ arker 253 Parallel-Seriell-Schnittstellenwandler 425 Parallel-Umsetzer 303 ﬀ Parallel-Verfahren 328 Parallel-W¨ age-Verfahren kombiniertes 305 ﬀ, 328 Parallelbus 413, 414 Parallelresonanz eines Schwingquarzes 356 ﬀ Parameter informationstragender 9 Parcevalsches Theorem 393, 395 Parit¨ atsbit 421 Periodendauermessung 344, 364 relativer Fehler 365 Peripherie-Schnittstelle 405 Permanentmagnet 125, 126 Permittivit¨ at 13 Phase 101 Phasenabgleich 228 Phasenbedingung 350 Phasendiﬀerenzmessung 344 Phasengang 57 Phasenkoinzidenz 342 Phasenwinkel 137, 345 Phasenwinkelmessung 344 physikalische Gr¨ oße 11

553

Plancksches Wirkungsquantum 13 ¨ pn-Ubergang 183 Pol-Nullstellen-Diagramme 56 Polschuh 112, 121 Potentialtrennung 146 Powerline-Kommunikation 504 Pr¨ azisionsfrequenzz¨ ahler 337 Pr¨ azisionsleistungsmesser 123 Pr¨ azisionsmeßbr¨ ucke 219 Pr¨ azisionsmeßtechnik 362 Pr¨ azisionswiderstand 134 Prim¨ arinduktivit¨ at 145 Prim¨ arseite 146 Prim¨ arspule 145 Prim¨ arwicklung 145, 146 PrimSens 493 PROFIBUS-DP 477, 482 ﬀ Prozeßleitsystem 475 Prozeßperipherie Anschlußvariante 406 Pr¨ ufbit 268 PTC-Widerst¨ ande 73 Puls-Frequenz 348 Pulscodemodulation 10 Pulsdauermodulation 9, 346 Punkt-zu-Punkt-Verbindung 414 PXI-Bus 415, 451 ﬀ Quadrierer-Dividierer-Baustein 380 Quanten-Halleﬀekt 2 Quantenrauschen 184 Quantisierung 306 Fehler 329, 341, 362, 364 Rauschen 330 Schrittweite 292 Quarzkristall 356 Quarzoszillator 356 ﬀ Operationsverst¨ arker-Schaltung 360 temperaturgeregelter 362 R-2R-Widerstandsnetzwerk 294 ﬀ r¨ uckgekoppeltes System 350 Radiant 14 radioaktive Substanz, Aktivit¨ at 14 Radizierer Schaltung 378 Rahmend¨ ampfung 116 ﬀ Rausch-Ersatzschaltung 183 Rausch-Ersatzspannungsquelle 182

554

Index

Rausch-Ersatzstromquelle 182 Rauschanpassung 189 Rauscheingangsspannung aquivalente 185 ¨ Rauschen 182 ﬀ 1/f 184 bandbegrenztes 390 Burst 184 Johnson-noise 182 normalverteiltes 390 Popcorn 184 Rosa 184 Schottky 183 thermisches 182, 183 Trapping 184 W¨ armebewegung 182 Weißes 183 Rauschgenerator 192 Rauschleistung 184, 187, 189 Rauschleistungsverteilung 184 Rauschleitwert aquivalenter 189 ¨ Rauschmessung 190 Rauschquelle 184 Rauschsignal 390 Rauschspannung 191 Rauschspannungsdichte 185 Rauschstromquelle 185 Rauschtemperaturdiﬀerenz 192 Rauschwiderstand 191 aquivalenter 189 ¨ Rauschzahl 187 ﬀ Deﬁnition 191 Realzeitmaßstab 246 Recursive-Subranging-Verfahren 308 ﬀ Referenztakt 340 Referenzzeit 356 Rekominationsrauschen 184 Rekonstruktionsﬁlter 300 Relais 409 Relaxationsoszillator 349, 353 Resonator piezoelektrischer 356 Reziprokmessung 364 RS-Flip-Flop 276 ﬀ mit NAND-Gattern 277 mit NOR-Gattern 276 statisch getaktetes 277

taktﬂankengesteuertes 277 taktzustandgesteuertes 277 RS232C-Schnittstelle 415, 416 ﬀ Leitung 417 Leitungsbelegung 417 Logikdeﬁnitionen 420 RS422-Schnittstelle 415 RS485-Schnittstelle 415, 428 ﬀ Rubidium-Element 337, 362 Rubidium-Uhr 369 R¨ uckf¨ uhrgr¨ oße 311 R¨ uckkoppelnetzwerk 156 ﬀ, 159, 351 R¨ uckkopplungsschleife 350 R¨ uckstellmoment 113 ﬀ R¨ uckwirkungsfreiheit 153 S¨ agezahnumsetzer (u/t-Umsetzer) S¨ agezahn-Multiplizierer 318 ﬀ S¨ agezahngenerator 240 S¨ agezahnspannung 239, 321 Steigungsfehler 321 Sample & Hold-Schaltung 301 ﬀ Sampling 299 ﬀ Sampling-Oszilloskop 245 Sampling-Pulse 299 Satellitenkommunikation 504 Satellitennavigation 366 ﬀ Sch¨ atzwert 94 ﬀ, 382 Sch¨ atzwerteverteilung 95 Schaltschwelle 172, 283 Scheinleistung 197 Scheinwiderstand 219, 221 Messung 221 Scheitelfaktor 137 Scheitelwert 137 Schering-Meßbr¨ ucke 225 Schermodul 358 Scherwelle 358 Schirmbild 240, 241 Schließungswiderstand 116 Schmitt-Trigger invertierender 172 Schnittstelle -nkonverter 474, 508 CAMAC 415 IEC-Bus 415 parallele 431 ﬀ PrimSens 493 PXI-Bus 415

321

Index RS232C 415 RS422 415 RS485 415 serielle 412, 416 ﬀ USB 415, 430 ﬀ VME-Bus 415 VXI-Bus 415 Schrittgeschwindigkeit 426 Schrotrauschen 183 Schwankung 94 ﬀ Schwebungsfrequenz-Zeitexpander 342 Schwingbedingung 350, 351 Schwingkreisfrequenz 349 Schwingquarz 356 Admittanz 359 Alterungsrate 361 AT-Schnitt 357 CT-Schnitt 356, 357 DT-Schnitt 356, 357 Ersatzschaltbild 358 Fehler 360 Frequenzfehler 360 GT-Schnitt 356 G¨ ute 359 HT-Schnitt 361 Impedanz 358 Kurzzeitkonstanz 361 Langzeitstabilit¨ at 362 NT-Schnitt 356 Parallelresonanz 356 Schaltzeichen 358 Schnittwinkel 360 Schwingungsform 359 Serienresonanz 356 Temperaturabh¨ angigkeit 360 ﬀ Temperaturkoeﬃzient 360 Verlustwiderstand 359 Schwingung Diﬀerentialgleichung 349, 352 ged¨ ampfte 352 harmonische 349, 360 instabile 353 Schwingungserzeuger 348 Schwingungsgehalt 138 Schwingungsgr¨ oße 349 SCPI-Programmiersprache 515 ﬀ Befehle 515 ﬀ Datenformate 518

555

Syntax 515 ﬀ Sekund¨ arklemmen 147 Sekund¨ arkreis 147 Sekund¨ arspule 145 Sekund¨ arwicklung 145, 146 Selbstinduktivit¨ at 123 Sensor induktiver 231 kapazitiver 231 serieller Bus 414 Serienresonanz eines Schwingquarzes 356 ﬀ Settling Time 298, 304 Shannonsches Abtasttheorem 247, 300 Shunt 133 Signal abgetastetes 299 amplitudenanaloges 9 amplitudenmoduliertes 10 bin¨ ares 267 Codierung 311 Decodierung 311 digitales 10 elektrisches 4 frequenzanaloges 9 frequenzmoduliertes 10 Kenngr¨ oßen 383 nicht-sinusf¨ ormiges 383 pulsdauermoduliertes 10 station¨ ares 382 stochastisches 390 Visualisierung 235 zeitanaloges 9 Zeitverlauf 235 Signal/Rausch-Verh¨ altnis 184 ﬀ, 330 Delta-Sigma-Umsetzer 318 Gewinn 316 Signaldarstellung 235 ﬀ Signaleigenschaft Messung 386 Signalﬂußweg 5 Signalleistung 187, 393 Signalprozessor digitaler 374 Signaltreue 153 Signum-Funktion 229 Siliziumdioden 139 Single-Slope-Umsetzer 321 ﬀ Slave-Flip-Flop 280

556

Index

Slew-Rate 163, 304 Slope-Schalter 239 Smart Home 528 Spaltfunktion 258 Spannband 113, 117 Spannung 14 induzierte 115 verkettete 204 Spannungs-Frequenz-Umsetzer 323 ﬀ Spannungseisen 206 Spannungsfehler 150 Spannungsfolger 167 Spannungsmessung 134 ﬀ, 174, 193, 209 Fehler 209 Spannungsquelle stromgesteuerte 174 Spannungsstoß 118 Spannungsverdopplung 142 Spannungsvergleich 210 Spannungsverst¨ arker 174 nicht-invertierender 166 Spannungswandler 148 ﬀ Fehler 150 Zeigerdiagramm 150 Spannungszeigerdiagramm 202 Speicheroszilloskop digitales 259 ﬀ speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) 455 Programmiersprachen 455 ﬀ AS 459 ﬀ AWL 459 ﬀ Bausteine 455 FBS 459 ﬀ KOP 459 ﬀ ST 459 ﬀ Programmiertechnik 456 ﬀ Spektralanalyse 386 Spektralbereich 299 Spektralkomponenten 195 Sperrschicht 183 Sperrschichtkapazit¨ at 139 Spitze-Spitze-Wert 141 Spitzenwertgleichrichtung 141 Sprungantwort 58, 99 ﬀ, 104, 255 normierte 114 Spule ideale 220

Spulend¨ ampfung 118 Spulenrahmen 112, 122 Standardabweichung 91 ﬀ, 379 empirische 97 Start/Stop-Verfahren 421 Startbit 421 Steigungsfehler 296, 331 Stern-Dreieck-Umwandlung 218 Sternpunkt 198 ﬀ k¨ unstlicher 198 ﬀ Sternspannung 198 stochastischer Fehler 393 stochastisches Signal ¨ Ubertragung 394 St¨ oreinwirkung dynamische 393 St¨ orquelle 187 St¨ orsignal 374 St¨ orspannung 364 periodische 324 St¨ orspitze 298 St¨ orungen Erdschleifen 409 galvanische Kopplung 411 Gegenmaßnahmen 412 ﬀ induktive Kopplung 411 Mehrfacherdung 411 St¨ orungseinﬂuß 8 St¨ orunterdr¨ uckung 396 Stoﬀmenge 11, 12 Stopbit 421 Strahlablenkung elektrostatische 236 Strahlfokussierung 236 Streuung 94 ﬀ Streuverlust 126 Str¨ omungsd¨ ampfung 129 Strom gewichteter 290 Stromeisen 206 Stromempﬁndlichkeit 113, 117 Strommeßbereichserweiterung 135 Strommessung 132 ﬀ, 174, 193, 209 Fehler 136, 209 Meßbereichserweiterung 132 ﬀ Stromschleife (20 mA) 430 Stromst¨ arke 11, 12 Stromteilerregel 211, 213 Stromvergleich 211

Index Stromverst¨ arker 176 Stromwandler 146 ﬀ, 148 Fehler 147 Student-Verteilung 95 Stufenbreite 289 Stufenumsetzer 304, 304 ﬀ inkrementaler 309 Subranging-Verfahren 307 ﬀ Subtrahierer 156, 178 sukzessive Approximation 304 ﬀ Supermittelwert 94 Superpositionsprinzip 294 Switch 500 Synchrongleichrichter 181, 228 Synchronzeichen 422 Systemtheorie 100, 393 T-Flip-Flop 282 taktﬂankengesteuertes 282 t-Verteilung 95 t/U-Umsetzer 346 Taktvariable 277 Taktzyklus 308 Tastkopf 248 Korrekturnetzwerk 107 ﬀ Teilerverh¨ altnis 248 ¨ Uberkompensation 250 Unterkompensation 250 Tautologie 270 Temperatur 11, 12, 191 Temperatursensor 361 Tiefpaßﬁlter 159, 300, 313, 380, 383 ideales 300 Time-Division-Multiplizierer 318 ﬀ Torzeit 338, 363 Tr¨ agerphase pseudozuf¨ allige Umtastung (BPSK) 366 Track-and-Hold-Schaltung 302 Tr¨ agheitsmoment 113, 117 Transformator 143 ﬀ Ersatzschaltbild 147 idealer 145 Transformatorbr¨ ucke 144 Transientenrekorder 259 Transmission Control Protocol (TCP) 499 Trennverst¨ arker 400 Trigger

557

-arten 399 -eingang 242 -einrichtung 239, 240 -ereignis 239 -ﬁlter 242 -modul 259 -m¨ oglichkeiten 399 -schaltung 239 Fehler 364 Triggerung 239 Tunneldiode 73 u/f-Umsetzer 323 ﬀ ¨ Ubertragungsfunktion 101, 350 ¨ ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit (Ubertragungsrate) 426 ¨ Ubertragungsmedien Koaxialkabel 416 Lichtwellenleiter 416 verdrillte Leitungspaare 416 ¨ Ubertragungsrate 426 ¨ Ubertragungsverhalten 99 ﬀ ¨ Uberabtastung (Oversampling) 312 ﬀ ¨ Uberspannungsableiter 147 ¨ Ubersprechen 298 ¨ Ubertrager 143 ﬀ idealer 145 ¨ Ubertragungsfunktion 159 Umsetzungsgeschwindigkeit 307 UMTS 504 Universal Asynchronous Receiver Transmitter (UART) 424 Universal Synchronous and Asynchronous Receiver Transmitter (USART) 425 Universal-Vielfachmeßger¨ at 135 Univibrator 283 ﬀ Unterabtastung 247 USB (Universal Serial Bus) 415 V.24-Schnittstelle 416 ﬀ Varaktordiode 81 Varianz 92, 379 Verbraucherleistung 194 Verbraucherspannung 194 Verbraucherstrom 194 Verbrauchertor 194 Vergleichsgr¨ oße 7 Vergleichsmessung 386

558

Index

verkettete Spannungen 204 Verkn¨ upfung logische 269 NICHT 269 ODER 270 UND 270 Verlustfaktor 220, 224 Verluststrom 148 Verlustwiderstand dynamischer 358 Vernetzung standort¨ ubergreifend 502, 531 weltweit 532 Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung 161 Verst¨ arker addierender 166, 177 diﬀerenzierender 168 integrierender 168 invertierender 156, 157, 165 Modell 254 Rauschen 184 ﬀ Rauschersatzschaltung 185 Schaltung 153 ﬀ subtrahierender 167 Tiefpaßverhalten 255 Verzerrung 153 Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt 162 Verst¨ arkungsfehler siehe Steigungsfehler Verteilungsfunktion 374 Vertikalablenkplatten 237 Vertrauensbereich 94 ﬀ Vertrauensfaktor 93 ﬀ Vertrauensgrenzen 95 Verz¨ ogerungsleitung 244, 402 Vibrationsmeßwerk 338 Vielfach-Diskriminator 303 ﬀ kaskadierter 305 ﬀ Vielfachmeßger¨ at 133 Vierpol 187, 190 Kettenschaltung 190 Rauscheigenschaften 191 ¨ Vierpol-Ubertragungsfunktion 54 Viertelbr¨ ucke 232 Villard-Schaltung 141 Virtual Private Network (VPN) 509, 510 ﬀ Tunneling 511

VME-Bus 415, 448 ﬀ Volladdierer 274 Vollbr¨ ucke 232 Vollweg-Gleichrichterschaltung aktive 177 Vollweg-Gleichrichtung 140 Voltmeterschaltung 174 Vorw¨ arts-Dualz¨ ahler asynchroner 286 synchroner 286 VXI-Bus 415, 448 ﬀ Busgliederung 450 Commander 449 IEC-Bus 450 MXI-Bus 453 ﬀ Resource Manager 449 Servant 450 Software 513 System Manager 449 Teilbusse 450

143

W¨ ageverfahren 304 ﬀ Wahrscheinlichkeitsaussagen 91 Wahrscheinlichkeitsdichte 92, 93 WAN (Wide Area Network) 465 ﬀ, 506 Wanderfeld-Ablenkplatte 258 Wattmeter elektronisches 320 Wechselgr¨ oße 195 Wechselspannungsverst¨ arker 180 idealer 181 Wechselstrom-Meßbr¨ ucke 223 ﬀ Abgleich 228 Abgleichbr¨ ucke 223 ﬀ Abgleichvorgang 228 Ausschlagbr¨ ucke 231 Halbbr¨ ucke 232 Viertelbr¨ ucke 232 Vollbr¨ ucke 232 Weicheisenkern 112, 121 Wheatstonesche Meßbr¨ ucke 216 Widerstandsaufnehmer 209 Widerstandsmessung 126, 214 Widerstandsrauschen 182 Wien-Br¨ ucke halbautomatisch abgleichbare 230 Wien-Br¨ ucke 224, 230 halbautomatisch abgleichbare 230

Index Wien-Robinson-Br¨ ucke 225 Wiener-Khintchine-Beziehungen Windungszahl 112, 145 Winkel ebener 14 r¨ aumlicher 14 Winkelfehler 148, 150 Wirbelstrom 117, 122, 124, 208 Wirkkomponente 219 Wirkleistung 196, 320 Wirkleistungsmessung 3-Leiter-System 201 4-Leiter-System 200 Einphasennetz 195 Wirkungsgrad 426, 428 Wirkwiderstand 221 Z¨ ahler Ereignisse 285 Fehler 362 rechnender 324, 345 Schaltungen 284 ﬀ Vorw¨ arts 310 Vorw¨ arts-R¨ uckw¨ arts 310 Z¨ ahlratenmesser 348 Z¨ ahlverfahren 309 Zahlendarstellung 267 Zahlensystem 3, 267 ﬀ Zahlenwert 11 Zahlenwertgleichungen 13, 14 Zeichengeschwindigkeit 426 Zeichenrahmen asynchroner 421 Zeiger 112, 113, 117 Zeigerdiagramm 148, 150, 222 Zeit 11

392

559

Zeit-Spannungs-Umsetzer 346 Zeitablenkung 239 Zeitbasis Fehler 363 verz¨ ogerte 241 Zeitbasisfehler 363–365 Zeitdiﬀerenzmessung 340 Zeitexpander 342 Zeitintervallmessung 340, 363 Zeitmessung 337, 340, 356 Fehler durch Rauschen 364 zeitvariante Bauelemente 71 Zeitzeichensender 366 DCF-77 362, 366 Kodierschema 366 Minutenprotokoll 367 Modulation 366 pseudozuf¨ allige Umtastung (BPSK) 366 Sekundenmarkierung 366 St¨ orerkennung 366 Tr¨ agerphase 366 Zerhacker-Verst¨ arker 180 Zielgr¨ oße 373 Zungenfrequenzmesser 338 Zusammengesetzte Systeme 102 Parallelschaltung 103 R¨ uckkoppelschaltung 103 Serienschaltung 102 Zusatzrauschzahl 188 Zwei-Wattmeter-Verfahren 201 Zweirampen-Umsetzer integrierender 322 ﬀ Zweiweg-Gleichrichtung 139 ﬀ, 140 Zwischen-Codes 298

Druck: Mercedes-Druck, Berlin Verarbeitung: Stein + Lehmann, Berlin

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