Einführung in die Finanzmathematik: Klassische Verfahren und neuere Entwicklungen: Effektivzins- und Renditeberechnung, Investitionsrechnung, Derivative Finanzinstrumente, 10. Auflage

lurgen Tietze EinfUhrung in die Finanzmathematik Jorgen Tietze EinfOhrung in die Finanzmathematik Klassisc he Verf a...

Author: Jürgen Tietze

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lurgen Tietze EinfUhrung in die Finanzmathematik

Jorgen Tietze

EinfOhrung in die Finanzmathematik Klassisc he Verf ahren und neuere Entwi cklun gen: Effektivzins- und Renditeber echn ung, Investiti onsrechnung, Derivati ve Finanzinst rum ente 10., akt ualisierte Auf lage Mit uber 500 Obungsaufgaben STUDIUM

II VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeicbnet diese Pubttkation in der Deutschen Nationa lbibliografie; detail lierte bibllogratische Daten sind im Internet uoer abrufbar.

Prof. Dr. jnrgen Tietze Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Fachhochschule Aachen Eupener streee 70 52066 Aachen

uetzeern-aacneo.oe

1. Auflage 1996 2., durchgesehene Auflage 1999 3., uberarbeitete Auflage 2000 4., vertesserte und aktualisierte Auflage 2001 5., aktuansterte und erweiterte Auflage 2002 6., verbesserte Auflage 2003 7., veroesserte Auflage 2004 8., vertesserte Auflage 2006 9., Ilberarbeitete Auflage 2009 10., aktuansterte Auflage 2010 Aile Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner I GVN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 l ektorat : Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow Vieweg +Teubner ist reu der Fachverlagsgruppe Springer Science-Business Media. www.viewegteubner.de

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Oas Werk etnschnesuch alter seiner ist urheberrechtuch geschutzt. lede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urbeberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und stralbar. Das gilt insbesondere fOr vervielfaltigungen, Dbersetaungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche rung und Verarbeitung in eleklronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen - und Markenschutz-Gesetzgebung ats frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt weroen dOrften . Umschlaggestaltung: Kunkeltopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Bertin Gedruckt auf ssurerrerem und chlorfrei gebleich lem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1014-4

v

Vorwort zur 10. Aul1age Die Finanzmathema uk stcllt das quant itative Instrumentarium bcreit fur die Bcwetuog aukunrtlger cd er vcrgangencr Zahlungsstr6me und eigne! sich daher vor allem fur die viclfattlgen Problcme des Bank- und Kreditwesens. Finanzmathcmatische Methode n simi weiterhin unverzichtbare Hilfsmittd fur weite Bcrciche von Investition, Hnanzi orung, Wirtschaftlichkeitsrcchnung und Op timalplanung. w etterc wichtigc Anw end ungsmoglichkcitcn dcr Finanzmalhcmatik Regen in verwandtc n Gebieten wie ctwa Stcuem, v erstchcrungswesen . Volkswirtschaftslchre oder Rcehnungswesen . Das vorlicgcnd e Lch rhuch umfasst ncbe n den klassischen Verfa hrcn der Finanzmath cmarik wie Z insIRcnten-lTilgungs-/ Kurs- und Investitionsrech nung schwcepunktmaulg die (immer wiederdiskutieneni vcrschicdcncn in der Praxis vorkornmcnden Effek tivzinsbe rechnungsvetfahren und leite r daraus wescntliche Aspekte zur " rich l igen ~ Verzinsung von Kapital abo Das einleite ndc KapiteJ iiber Prozentr cchnung tragt vielen leidvollen E tfahrungen Rcc hnung, die der Aut or als Lchrend cr odcr Priifcr maehen musste: Offenbar enthalt die Prozentrcchnun g sclbst fur wachsame Student en ungcahnt e T iickcn, ganz zu sehweigen von dem, was man tagtaglich andcrno rts mil den "Prozentcn" anricht ct (einige Koslproben entha lt etwa Seue J ...). Weiterhin wird - wie untcn naher ausgcfiihrt - auf Fragcn der Risikoanalyse und moderner dcnvativer Finanzinstrumcn te cingcgangcn.

Ic h habe mie h bemuht, die in der " Einfiihrung in die angcwandtc wirtschattsma thcrnatik "! bcwahrte (auf Venumdnis durdi zwar stets anschaufich motivierte, aber dennoch korrekt e math ematische Begrandung abzielende) brettc und ausfOhrliehe Darstellungsweise beizubchalten. Die im vorliegenden Bueh be handeJten klassischen Vcrfahren der Finanzmathematik werden konsequ ent auf da s iibergcordncte Aquivalenzprinzip der Finanzmathematik ausgerich tet , die Pulle der Dctailprobleme wird so unrcr clnem einheitliehen Konzept abgchandelt. Moglichcrweise gclingt es sogar, maneher Leserin (oder man chem Leser) die E insicht zu vcrmitteln, dass das G rundgcrtist der klassisehen Finanzmathemat ik aus zwci bis drci mathcma tischen " FonneJ n~, dem Zahlungssuahl (ats Hilf e zur Veranschaulichung) und einer einzigc n Idee (nam lich dem Aquivalenzprinzip) bcsteht. Das Buch - vorrangig fUr das Sclbststudiurn konziplcrt - wendct sich sowohl an den Praktike r, der mit Geldgesehaften zu tun hal, als auch an Studierende der vorks- und Belriebswirtschaftslehre, die im Selhstst udium d ie notwendigcn finanzmathematisehen Grundlagcn versteh en und einubcn wollen. Ich hoffe ebcnso, dass das Buch aueh fur den Lehrenden von Nut zcn ist - maneh unkonvcntirmclles Beispiel od er ctgcnwitttgc Darstellungswcise erganzt mogtichcrwersc die eigene Ideen palette. Die notwendigen Grundlagen der Elcmentarmathematik (aujkr der Prozentrechnung) werd en hier vorausgesetz t. lassen sich allerdings problemlos nae harbeiten (z.B. mit der " Einfiihrung in die angewaml le Wirtschahsmathematik "]; Notwendigcs H ilsmittel zum Nachvollziehen der Beispiele cder zum Loscn der Problcme ist d ie saehkundige Verwendung cines elcktro nisehen Tasehenrechners (er m uss mit Potenzen und Logaruhmen umgehen kon nen; empjeh lenswen - wenn auch nicht zwingend erforderlich f ur die Ejj eklivzinsb erechnung ist die Moglichkdl , den Rechner [rei programmieren zu konnen ). Die im Text vorkommcndcn Bcispiclc habc ich mit dncm hcrkornmlichcn Taschcnr echncr durchgerechr ct, dabei Zwisch encrgebnissc ungerundct wdtcrverarbcitel und lcdiglich bei Bedarf das Endrcsultal ange· messen !>'Crundel.

1 Tietze, J.: Eillfuhrung in die angewandte Winschaftsmathcmatik, Wicsbadcn, 15. Aunagc 2010

v orwort

VI

Dec Text enthan H underte von Bcispielen und Ubungsautgaben, die dcm Lcmend en H inweise libel seine Stoff- und Problembeherrschung, dcm Lchrcndcn Anregungcn zur Gcs taltung und wettertrunung eigene r didakt isch er Ideen und dem Prakt iker Fallbcispicle zur Losung eigener Problemsrellung !icfem solle n. Da das schnclle Nachschlagcn von Losungcn den bcabsich ligtcn Lemeffck l - dec nur dur ch eigcne A nstrengungc n erziclba r ist - verhindcrt, wurdc darauf verzichtet, im Buch selbst cinco Losuogsanhang fur die roche als 500 Obungsaufgabc n aufzunehmen . Interessenten wtrd das im gleichen Verlag crschienenc n Ubungsbuch zur Finanzmathcmatik" empfohlen, in dcm (neben mehr als 20 Testklausu Ten) u.a. auch samtliche Aufgaben und Losun gcn des vorliegendcn Lehrbuc hcs cnrhalten sind: Tietze, J.:

Ubungsbuch zur Finanzmathcmat ik - Aufgaben , Test klausuren und LOsungcn 5 . aktualis iert e Auflage, Wiesbadcn 2008, ISBN 978~3~8 3 4 8 -o4 42~6

Zum Gebrauch des Buchcs: Urn die Lesbarkeit des Tcxtcs zu vcrbcssem, wurde die auacre Ponn struktu nert:

Dcfinitionen , Regeln, Satze und

I

wichtigc E rgehnisse

I

sind jcwcils eingerahmt .

Bemerlamgen sind in schroger Schrifttype gehalten

I

Belspiele sind mit eincm senkrechtcn Strichbalkcn am linkcn Rand gcken nzcichnet.

Dcfi nitionen (De/.), Satze, Bcmcrk ungcn (Bern.), Formcln, Tabellen ( Tab.), Bcispiclc (Bsp.), Autgaben (Aufg.) und Abbildungen (Abb.) sind in jcdcm erstste!ligen Un terkapite! ohne Rucksicht auf den Typ fortlaufend durchn umericrt . So folgcn etwa in Kap. 2.3 nacheinandcr Def . 2.3.1 1, Ponn e! (2.3.12), Ssp. 2.3.13, Bsp. 2.3.14, Fonne! (2.3.15), Bern. 2.3.16 und Aufg. 2.3.17 usw.

Ein • an einer Aufgabc weist auf einen crwas erhohren Schwierigkeitsgrad hin. Mein Dank gill de n Mita tbcncrinnen und Mitarbcitem des Vieweg+Teubncr-Verlags und hier beson ders Frau Ulrike Schmickler-H lrzebruch und Frau Nasta ssja Vanselow fiir die gute Zusammenarbeit. Die hiennit vo rlicgcnde 10. Auflage wurde erncut sorgfaltig d urchgesehcn und in vielen Details vcrbcssert . Scit der 5 . Auflagc wurdcn wcscnthch c Erweiterungcn hinzugcfiig1: H inz ugckommen sind Kap. 2,4 (Inflation und Verzinsung) , Kap. 3.9 (Renten mit verandedichen Ralen) sowie Kap. 7 (DurationKonzept) und Kap. 8 (Futures und Optionen) . Mit den bcidcn zulctzt genannten Kapitcln weicht das vorliegende, zunac hst " kl assisch ~ konzipicrte Buch von der impliziten Vorausserzung sichcrer zuk untnger Daten ab und wendel sich Aspekten der Risikoanalyse (Kap. 7 - Duration und Convexity) zu und besc haftigt sich mit de r Einfiihrung in modem e derivat ive Finanzinst rumente (Kap . 8 - Futures und Optionen) . Da es ein fehlerfrcics Malh ematikbuch nicht gibt, gche ich davon aus, dass sich gcwissc Ungcrenr uhciten han nackig verborgen gchalten haben oder hinzu gekommen sind. Auch wenn cs in der Mathematik sen alters her ein menschlichcs Vorrecht des Irrens gibl - das auch der A utor fur sich in Anspruch nimrnt - , bitte ich aile Lcserinnen und Leser urn Riickme1dung tz.B. via E~Maj/: tietze @fh -aachende) , wenn ihnen Fehler oder l rrtumcr auffallen oder wenn auc h nut Fragen zum fachl ichen Inhalt auttret en. Ich wcrde in allen Fallen urn schnelle Antwort bemiiht scin. Aac hen, im November 2009

Ijjrgen Tietze

VII

Inhaltsverzeichnis

Abkiirz ungen, varta blenna men Voraussetzu ngen und Hilfsmitt el

. .

I I

1.1 Pmzcntrcchnung . 1.2 Lincarc (cinfachc) Verzinsung . . 1.2.1 Grundlagcn J eTlinearen Vcrzinsung . 1.2.2 Das A quivalcnzprinzip dcr Finanzmathcmatik (bei lincarcr Vcrzinsung) 1.2.3 Terrninrcchnung - mitt lcrcr Zahlungstcrmin . 1.2 .4 Vorschiissigc Vcrzinsung, Wcchscldiskonticrung .

2 zlnsesalnsrechnung (cxponenticllc Vcrzinsung)

17 18

26 38 46

.

2.1 Grundlagen der Zinseszinsrcchnung

.

2 .2 Das Aquivalenzprinzip der Finanzmathcmatik (bei Zi nseszinscn)

.

2.3 Unterjabrige Verzinsung . 2.3.1 Diskrete umcrjahrigc Verzinsung . 2.3.2 Zu r Effektivvcrzinsung kurzfristigcr Krcdite . 2.3.3 Gcmischte Vcrzinsung . 2.3.4 Stetige Verzinsung . . 2.4 Inflation und vemnsung 2.4.1 Inflation . 2.4.2 Exponentielle Verzinsung unter Bcriicksichtigungvon Prcissteigcrungenl Inflation .

3 Renten rechnu ng 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Vorbcmerkungcn Gcsamtwert (Zc itwert) einer Rente zu bcliehigen Bcwcrtungsstiehtagen vor- und nachschiissige Renten Rentenrechnung und Aquivalcnzprinzip - Bcispicle und Aufgabcn Zusamme ngcsetztc Za hlungsrcihen und wcchsclndcr Z inssatz . E'.Vib'C Rcnten Kapitalaufbau/ Kapitalabbau durch laufende Zufliisse/Entnahmcn Auscinandctfallcn von Ratentennin und Zinszuschlagtermin 3.8.1 Rentenpcriode groBer als Zinsperiode 3.8.2 Zinspcriode groBerals Rentenperiode 3.8.2.1 ICMA - Methode (~internationale Methode ") . 3.8.2.2 US-Methode .. .. . . . .. . .. . . 3.8.2 .3 ~ 3 60 - Tage - Met hodc"

x

51 51

62 75 75 82 85

88 93 93 96 . . . . .

101 101 102 106 109

.

118 121

. . . . . .

126 I32 I3J 136 136 138 139

.

Inhaltsverzcichnis

VI II

3.9 Renten mit vcrandcrtlchcn Ra ten . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.9.1 Arithmctisch vcriindc rlichc Rcn tcn . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Gcomet risch verandcrlichc Rcntcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . .

149 149 155

3.9.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . .

155

3.9.2.2 Geometrisch steigcnde Renten - Knmpcnsation von Preisstcigcrungcn

159

3.9.2.3 Zusammenfassung . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . 3.9.3 v eranderttche untcrjahrig zahlbarc Renten

..J Ttlgungsrechnung 4.1 Grundlagen, Tllgungsplan. Vergleichsko nto 4.2 Tilgungsartcn 4.2.1 Allgemeine Tilgungsschuld 4.2.2 GesamtfalligeSchuld ohne Zinsansammlung 4.2.3 Gesamtfantgc Schuld mit vollstandiger Zinsansammlung 4.2.4 Ratentilgung (Ratenschuld) 4.2.5 A nnurta tcn tngueg [Annuitatenschuld) 4.2.5.1 An nuitatcnkrcdit - Standardfall 4.2.5.2 A nnuitatcnkrcdit - E eganzun gcn 4.2.5.3 Exkurs: Annuitatcnkrcdit mit Disagio 4.2.5.4 Exkurs: Tilgungsstrcckung, Zahlungsaufschub, Tilgungsstrcckungsdarlehen, Stilckelung 4.3 Tilgungsrcchnung bci unteejahrigen Zahlungcn 4.3.] Kontofiihrungsmethode 1 (360-Tagc-Mcthod e) . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Kontofiihrungsmcthode 2 (Braess] 4.3.3 Kontofiihrungsmelhode 3 (US) 4.3.4 Kontofuhrungsmcthode 4 (leMA) . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4.4 Nachschilssigc Tllgungsverrechnung

5 Die Ennitt lung des Effektivzinssatz es in der Finanzmath ematlk 5.1 Grundlagen 5.1.1 Ocr Effcktivzinsbcgriff 5.1.2 Berechnungsverfahren filr den Effekt ivzinssatz 5.2 Effcktivzinscnni ttlung bel jahrlichen Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Effcktivzinsenn ittlung bel StandardkreJiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . 5.2.2 Ex kurs: Disagiocrstatt ung 5.2.3 Exkurs: Untersc hiedliche KrcditkonJ itionen bci gleichem Za hlu ngsstrom 5.3 Effektivzinscnnittlung bet untcrjahngcn Leistungen 5.3.1 2- Phasen-Plan zur Effeknvzinscrmitrlung 5.3.2 Die Bcrechnung von id f : Anwendungen des 2-Phasen-Plans - Variationcn cines Basis-Krcdits . . . . . 5.3.3 Effektivverzinsung und untcrja hrigc Zahlungen - ausgcwahltc Problcme . . . 5.3.3.1 Disagio-Varianten bci idcntischcn Zahtungsstromcn 5.3.3 .2 Tilgungsstrcckungsdarlehcn bei untcrja hrigcn Lcistungcn 5.3.3.3 Di sagio-Ruckerstatrung bei untesjahrigen Leistungcn . . .. . . . .. . . . . 5.3.3.4 Effektivverzinsung von Ratenkrcditen 5.3.3.5 An lagcfonnen mit unterjahrigen Leistungen - Beispiel Bonussparcn 5.3.3.6 Obungsaufgabcn zur Effcktivzinscnnittl ung bel unrcrjahrfgen Leistungc n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Exkurs: Finanzmathcmatischc Aspekte zur " richt igcn~ Vcrzinsungsmcthodc

161 165

173 173 181 181 184 185 186 187 187 193 198

203 212 213 214 215 217 220 225 225 225 230 234 234 245 246 253 253 260 273 274 279 283 284 288 292 297

lnhaltsverzcichnis

IX

6 EinfUhru ng in die Fina nz mat hematik festverzl nsllcher Wertpap iere 6.1 Grundlagen dcr Kursrcchnung und Renditccrmitclung . . . . . . . . . . . . .. . . 6.2 Kurs und Rendite bei ganzzahligcn Restlaufzeiten . . _. . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Kurs und Renditc zu beliebigcn Zcitpunkten - Stuckzinscn und Borscnkurs . . . . . . . .

7 Exkurs: Aspekte der Risikcanalyse - das Durat ion-Konzept 7.1 7.2 7.3 7.4

Die Duration als MaGfur die Zinscmpfindlichkeit von Anleihen Die Duration von Standard-A nlcihen - Bcrcchnungw crfahren und EinflussgroJ3cn . . . Die immunisierende Eigcnschaft der Duration Duration und Convexity

8 Exkurs: Derivative Finanz inslru mente - Futures un d Opt lonen , . . , . . . . . . . . . 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

Termingeschaftc: Futures und Optionen - ein Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forwards/Futures: Tenn inkauf und -verkauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optionen: Basisformcn Einfaehe Kombinalioncn aus Hxgcschartcn und Optionen Spreads :. .. . .. .. . .. .. . .. . . . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . Straddles Strangles I Combinations. . .. . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . Einfilhrung in die Opuonsprcisbewertung

9 Fina nzmat hematisc he Verfa hre n der- In vesttrl onsrechnung 9.1 Vorbemcrkungcn _.. . . . . . . . . . . . . 9.2 Kapitalwcrt und aquivakntc Annultat einer Investino n . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9.3 Intcrncr Z inssalz ciner Investition - Vorteilhaftigkcitskrilerien

Literaturverzeichnis

307 307 313 316 321 322 328 339 345 351 352 353 359 367 372 377 379 381 395 395 397 404

..............

421

Sachwortverzeic h nis . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

425

x

Abklirzungen, Variablennamen (auf den angegebenen Sri/en linden sich nahere Edauterungen zu den jrweiligen A bkWzungenlVariablen)

A '= B B = 'A

s

%.o/ro I +i

A is! dcflnltionsgcmag glcic h B A is! dcflnlnonsgcm ag glcich B cntspricht Prozent , Promitlc 2ff Z uwachsfaklor 3,

Aufzinsungsfaktor 52 l- i Abnahmefaklor 3 9617/1 Konditionen An nuit arenkrcdit [Bsp.]; A uszah[ung/Zi ns! Anfangstilgung 198 ~EV Endvcrmogensdifferenz ( = EV1- EVlJ)3 98f

A A' A'

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a .H . A bb.

AG AGB A IB D

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A, A ufg.

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B&S BB

(aqulvalc nte) A nnuttat 187ff,403 A ktie Long 367 A ktie Short 367 auf Hundert 9 Investitionsauszahlung 399 Ab bildu ng Aktiengcsellsehaft, Amtsgcncht Allgemeine Gcschaf tsbedingu ngen A ssoc iation of Inter national Bon d Dealers 60 nachschussigcr Rcntcnbarwertfak tor vorschnsslgcr Rentenbarwertfaktor 10Sf aq uivalc nt Invcst .-auszah lung E nde Period e t 399 Annutt at am Ende der Period e t 173ff A ufgabc

Anfangsvcrmogcn Potcnz 56

Black & Scholes 387 Be triebs-Berat er (Zeitsch rift) Bcm. Bem erku ng BGB Biirge rlich es Gcsetzbuch BGH Bundesge rich tshof BOHZ E ntscheidungen des Bu ndesge richtshofes in Zivils ach cn Bsp. Beispiel BU ND Standard-Fut ure 355 B&S Black-Scholes 3S7 bzgl. beziiglich bzw. beziehungsweise

c C +,CCo

Co Co(i) C~(i)

ca.

Q uotient zweic r Raten 149,155 = 1 + idyn : Dynamikfaktor 155 Long Call, Sho rt Call 367 (Emissions ·) Kurs cines tcstvcrztnslichen w crtpeplcrs 307ff, Preis emcr Anlcihc 32 2ff Kapitaiwcrt eincr Invcstition 398 ff Kapitalwcrtfu nkt io n 404ft , Ku rsfu nktio n 345

Naherungspolynom Iur Co 346 circa, ungefahr

CBOT Chicago Board of Trad e 35 4 Rucknahmckurs eines IestverzmsC, lichen wertpapters 308 ,328 c.p .

C; C;'

ce te ris parib us aktueller finan zm athcmatiseher Kurs (Preis) eines Wertpapiers 313

aktueller Borsenkurs cines Iestverzinslichen w ertpapiers 3 t 7

Differenz zweier Rat en 149 Duration 323 das heiJ3t Definition OM Deutsch e Mark 360TM 360-Tage- Me thode 60, 136,139f,2 13 d

0 d.h. Det.

,

Eu lersche Za hl 57,SSf Elastizuat von u bzgl. v 327 ist enrhalten 57 € Eu ro eff. effcktiv EG E uropaischc Gcmcinschaft (EU) E inzahlung Endc de r Pcriode t 399 ~ cte . ct ce ter a (und so welter) EUREX European Exchange O rganisat ion 35 4 EV Endvc rmogcn EV, Endvcrmogc n bci Invesl it ion 397ff EVu Endve rmoge n bci Untcrlass ung 397ff eventuell ""I. fu,v E

F, . Fn.

Finna

Fuunote

XI

AbkOrzungen, Variablennamen

G

Gewinn 356,360 Gewin n aus Bastsgeschan A + 368 G A' ana log G A-, G c +' 0 c-, 0P+' c.. gIf. gegebcnenfalls GL Gegenleistung GmbH Gcscllschaft mit bcsc hrankter H aftung Geldbctrag (Wert) im Zcitpunkt t 93 G,

I Liter L Leistung Ifd. Nr. laufende Nummer LIFFE Londo n International Financial Futures Exc hange 354 lim Limes, Grenzwert 88f,121 log, In Logarithmus 57

;

M.

Prozentsatz 2, Zin ssarz 18,52 nominc1ler Zinss at z eines festverzinslichen Wert papiers 30 7,3 t 1 La. im allgemeinen LH. im H undcrt 9 aquivatc ntcr Zin ssatz 80 iaqu l e MA International Ca pital Market Association 136f (allch [ SMA) Tageszinssatz Id Steigenmgsrat e, Dynamikrate 155 id)'n Effckti vzinssat z 78f,90,225ff ieff H albjahreszinssatz, Semestcrzinssatz ill Inflat ionsrate 93 ,160 iinn konfonner Zinssatz 78f ikon Monatszinssatz iM incl. inklusive (einsehliefilieh) inom nomi neller Zin ssatz 76,199f Insg. insgesamt Periode nzfnssarz 76f I, 10 Quartalszinssatz relativer Z inssatz 76 ire! stet iger Zinssatz 88ff I, Ti lgungssatz 193 IT iv vorsehiissigcr Zinssatz 46f

J'

J.

J ahr

K Grundwert, Bczugsgrose 2 K Konvcxitat, Co nvexity 347 K +,K- vermehrter, vcnnindert er Wert 3f (An fangs-)KapitaI18 , Barwert 21,58, Kreditsunune 175f K"._ Realwert von K., bezogen auf t = 0, 96 ,160 Kap. Kapitel KG Kommandirgescllschaft Km Kontostand, Restseh uld 126ff,188 Ko E ndk apital, Endwert 20,23f,52f ko n. konfo nn Zcitwert cincr Zahlung(sreihe) 66ff,88f I<, Rcstschukl am Bndc dcr Pcriod e t 175f Rcstsehuld zu Beginn d. Per. t 175f,178 1<,-,

'"

Monat mil ande ren Wort en MD modifizierte D urat ion 326 min M inute Mio. Millionen (106) Mo n. Monat Mrd. Milliarden (10 9 ) MWSt. Mehrwert steuer

m.e.w,

0

N(dl NJW nom.

o.a.

o.a.

oH G

Laufzcit 18,52f, Tenn inza hl 103f, Rcstla ufzcit einer A nleihe 328 Wert der Standard-Normal- vcrtctlungsfunktion 387 Neue J unst ische Wochcnsc hrift nominc11 obcn angcm hrt, obcn angegcben oder ahnlie h(cs) offene H andelsgesellschaft

P

Prozcntfug 2f, ZinsfuB 18,52 nom incllcr ZinsfuB eines tcsrverzinslichen Wertpapi ers 307 synthotische Optionspramie 370 p' P"', P- Lo ng Put, Short Put 367 p.a. pro ann o (pro Jahr) PA ngV Prcisan gabcnvcrordnung 139ff,255f Call- Optionspramic 359 Pc p.d. pro Tag Per. Periode p.H. pro H albjahr p.M. pro Monat Put-O ptionspramic 359 p" p.Q. pro Quartal

p'

q 1!J qinn

q-"

q' qreal

Qu.

A ufzinsungsfaktor (= 1 + i) 52 Menge der rationalen Zahlcn = l+i;nn 93,160,163 Abzinsungsfaktor 58,62 Aufzinsungsfaktor 58,62 = q/qinn 97,163 Quartal

Abkiirzungcn, Variah1cnnamcn

XII

r

internee Zinssatz d oer Invcst ition

404ff, Marktzinssatz 382 konfonne Brsatzrate 135, untcrjahrige

R R

R' R.,

R'n

Rat e 42f,255, Monat sratc 284f Rate(nhohe) 101 Menge der rccllcn Zahlen aqui valcnt e Ersat zrate, Kontoendstand

43f,139ff,255f,262,265 Barwert ciner nachschussigen Rente 108 Barwert ciner vorschusslgcn Rente 108

T

Laufzeit cincr Invcstition 399,

Tab .

Restlaufzeit d oer Opti o n 382 H altcdaucr cincr Anlcihc 339 T uguegsrarc bci Rat cntilgung 186 Tabcllc

T€ T,

T ilgung am E nde der Period e I 173ff

TOM lauscnd DM tausend €

TV

Tilgungsverrcchnung 220ff

R.,-

Barwcrt cincr cwigcn Rente 121ff

u.a.

reI.

relat iv

usw.

unter andcrcm, und and ere und so welte r

R"

Gesamtwcrt cincr Rente am Tag der letzten (n-Icn) Rate 94f, Endwcrt etoer nachsschOssigcn Rente 108

v.H.

vom H um.lcrt 9

vg].

vergleichc versus, gegen

R'n R,

Endwert ctncr vorscbasstgcn Rente to!! Einzahlungsiibcrschus s ( = ~ - aUzum

E nuc dcr Pcriodc t 399

,.

s

Skontosatz 84 sichc

S

Stock Price 355

a Scm. s.o. s.u.

Semester, Halbjahr siche oben siche unten

'" sn

sog.

votanluat 382

nachschilssiger Rentencndwcrtfaktor vorschilssigcr Rcntcncmlwcrtfaklor 108 sogenanntc

Laufzeit in Tagcn, lautcndc Nummcr

"

ciner Pcriod c 173,322 Zc itp unkt dc r Zahlung Z k 322

vs.

W, WIll

Wcrtpapier-Zeitwert in T 339 w arentcrmmborse

X X'

Basisprcis, Exercise Price 355 synt hct ischcr Erfiillungsp rcis 368f

Z Z

z.B.

ZE ZIP Z, Z"

Z,

ZV

Prozentwc rt 2

Zahlung zum Beispiel Z citcinhcit Zci tsc hrift fur Wirtschaft srcch t Zin sza hlung im Zcitpunkt t k 322 Z inscn 18 Zi nscn am Endc dc r Pcriodc t 173ff, Kupon-Za hlung E nde 1322 ,324,328

Zinsverrcchnung

1

Voraussetzungen und Hilfsmittel

Aufgabc der Finanzmathcmatik ist cs, quant itative Mcthodcn bcreirzustellcn , die es ermoglichen, zwci Oller mchr zu versc hiedenen Zeitpunkten fallige (oder wrrtgestellte) Kapitalbetragc (bzw. Zahlungen] miteinander zu verglcichen Oller zusammcnzufassen. Die fur cinco solchen Vcrglcich notwendigc zeitliche Oberbriickung der verschicdcncn Zahlungstcrmine erfolgt mit H ilfc des Zinses, der - fur finanzmath ernatische Zwecke ausreichend - als Nunungsemgelt I fOr zeitwciligc Kapitalilbcrlassung definiert werden kan n. Grundl cgcnd fur das vcrstanonls der vcrschicdc nen Verzinsu ngsvorgange und dcr daraus resuttfcrcnden verschic dcncn f inanzmath cmati schen M et hod en sind di e sichcre Beherrschung der Potenz- und

Logarithm cnrcchn ung sowie die Fahigkeit, Terme umzuformen und Glcichungen [insbesondere Bruch-

gleichungen) zu toscn 2 .

Von den norwcndtgcn kautrn annisch -arithmctischcn Rechenmethoden werden hicr - wei! sre fur den Aufbau dcr Finanzmathematik grundlegend sind - die Prozemrechnung und die lineare (ein/ ache) Zinsreclmung bchandclt. Auf cincn - in der Litcratur gclegcntlieh ublichen - egcncn Abschnitt iiber Folgen und Rcihcn wird vcrzichtet, die cntsprcchcnden Hilfsmittcl werden dafiir an Ort und Stelle cingeschobcn.

1.1 P ro zen lrec h n u ng In kaum cincm Bereich dcr Elcrn entarmathemat ik wird so Mu ng gesiindib'l wie in der Prozcntrcchnung. Die naehstehenden Beispiclc dcmonstneren einigc belicbtc Varianten im Umgang mit den gclicbten ~ Prozcnlen", die al1enfalls noch zu erganecn waren um das jungste Untersuchungsergcbnts cines beka nnten Meinungsforsehungsinstitutes, dcmzufolge 105% der Bcvalkerung Problemc mit der Prozcntrechnung haben ._. Aus dcr Noedemeyer BadezeifWlg: ~ Fuhr vor cinigcn Jahrc n noch jedcr zehnrc Autcfahrcr zu scbncll, so ist es mittlcrw eile hcute nur noc h jedcr ftinfte. Doeh auch fti nf Prozc nt sind zu viele , und so wird wei-

terhin kontrollien, unddie Schnellfahrer habe n zu zahlen." (I , I, fI

Rechnung ARD, 21.8.. Heu t abend •. Zu GiSt: Giorg io Moroder

Au! die Anzahl der Oska rs fU r seine Filmmusiken angesprochen , meinte Moroder, er hat e 3 Oskars fU r bislang 12 Fi)me erhal1en; dasentspreche immerhin 30 Prozenl. Darau!hin verbesserte Fuchsberger, das seien sonar 40 Prozenl. Morodergab sich zufrieden. (1. 1.2/

" .. die ja hrhc hen Prcissteigcrungcn ill dcr Lcbcnshaltung (Jwgenaber d. jeweiUgen Vorjahr) beuugen 3% in 2001, 4% in 2002 , 3% in 2003 sowie 2% in 2()(}4, zusammcn also 12% in 4 Jahren . (1 13) (siehe Bem. 1.120ii)

.. _ aIlS

der Wohlberi chlerSlallWtg:

MD<:r Stimmcnanteil der FOP stieg Illll 3 Prozcm von 5% auf 8% der Wahlcrstimrncn."

(1.' .41

(sieheBem.1.1.231

Wir wollen vcrsuchcn, die Grundidee der Prozentrechnung und ihrc moglichen Anwendungcn soweit zu verdeutficben, dass zumindcst die Sinne geschartt werden, wcnn cs urn den korrckten Umgang mit Mden Prozenten" gehen soli: Je nach Zinsthcorie sind andere Definitioncn gcbrauchlich, so z.B.: Zins ,. (en/gUltgc/ler) lnvcstitionse-r-sg oder Zins .• Liquidanonsverzichrspramie . vg l. etwa Lutz, F. A .: Zinst hco ric . 2. Aufl., Tu bingcn, Zurich 1967. 2 sidle erwa [T i( 3), Kap. I.2.Z • 1.2.4.

2

vcraussetaungcn und H ilfsmillel

Unter Prozentrechnung verstcht man cine Verhiiltnisrecbnung, bei der Teile einer Grundgr6Llc zucinander ins ve rt aunrs gesctat werden und dann dieses ve rhattms auf 100 als Vergleichscinheit bczogcn wird. Dabei bcdicnt man sich des Proz entbegriffs:

1 Prozent (1%) cines Grundwcrtcs K bcdeutet ein lIunden ..tel dicscs Grundwcrtcs, entsprcchcnd verstc ht man unter p% von K das p-fachc des cinhundc rtsten T cils von K. Betsplel 1.1.5:

I)

1 l % = I~ = O,Q1 ; 2"% =

87 %

0,005

=.£. 100

100%=

= 087 •

! ()() =

100

I

918 % = 9,18 usw. 1 ii ) 1 % von 320 crgcbcn 320· 100 = 3,20;

7% von 200 sind 200 '0,07 = 14 ;

100% von 65 sind 65 · 100 :: 65 .• 100

8500 % von 20 sind 20 8500 = 20 '85 = 1.700 usw. 100

Zusammcnfasscnd dcfinicrt man:

Der. 1.1.6: (Prozenlbegrift) 1

I)

1% ,= -

ii)

p% '=

iii)

p% vo n K ••

100

1~

= O,Q1

=,

K· ...£....

I

j

100

(Der Doppdpfril in jii) soli andeulen, doss hei der Bi/dung des Prozauwenes " p% Mn K'" dus Wort " von" dUTCh das Mul/ip lik u/ionszeichm ; . " zu erseuen ist.]

K ·j

I

I

Bemerkung 1.1.7: i) Die Bezeichnung i fa r 1:0 is/ hier bereits im Vorgrif f auf die Z insrechn ung gewahlt. ii) Stan p % schreibt man gdegentlich auch p v. H. (vom Hundert). Danehen gihl es im kaufmanni-

scnen Bereich allerdings uuch andere Prozentbegriff e (% a.H: auf Hundert bzw. % i.H.: im Hun den), vgl. die sptuere Bem erkung 1.1.24). iii) Neben dem .Prozent" (%) verwendet man auch den Begriff . Prom llle" ( %?), wenn als Vergteichsgrofte 1000 verwendel wird: 10/00 = _1_= 0,001 ; 50/00 von 80 = 80· ...L. = 400 = 0,4 . 10 00

1000

JOOO

Bezcichnct man den Wcrt , p%von K " (= p % 'K = i ' K) als ProzentwertZ, so folgt aus Def. 1.1.6

iii) die grundlegend e Beziehung (1.1.8) Dabci hcijcn:

1-

Z = K ·i

bzw.

Z = K'~ 100

K,

Orundwert, G rundgroae. Basiswc rt, Bastsgrosc, BezugsgroRe

p'

ProzcntMI (= 100 · i)

i( = ..i... 100

= p%): Prozcntsatz

Z ( = K ' i):

Prozentwert

1.1

3

Prozcntrcchnung

Bemerkung 1.1.9: i) Aus (1.1.8) wirddurch Umformung deudich, doss es sich bei der Prozentrechnung um eme Verhiill-

nisredmung mit Basis 100 handelt: ;

= i =

m Zwischen p una i (= 1

1~0'

d.h. es verhall sicn Z zu K wit! P zu JOO.

:0) solhe deutlidi umersdi ieden werden, urn Missvemananisse zu vermeiden.

So kann man etwa bei Vorliegen eines Prozenuoa es von z.B. 7% schreiben: p = 7 oder i = 7% = 0,0 7. Falsch dagegen ware die Gieichung p= 7%, denn daraus ergabe sicn . p 7 % 0,07 1= 100 = 100 = 100 = 0,0007. Beispiel 1.1.10:

(Van'antenzu (1.1.8) - durch Umformung aus (1.1.8) erhalten]

i) Gegcbcn K, i; gesucht: Z. z.B.: Auf den Netto-Warenwert von 938,-- € werden 19% MWSt. erhoben. Wie hoch (in €) ist die Mehrwcrtsteuer (= Z) ? Z = K 'i ~~~~_ I = 938 '0,19 = 178.22 E (MWSt.) .

3% ergtbt sich ein Skonto-Belrag in Hohe von 22.50 E. Wie hoch war der ursprunghche Rechnungsbctrag (= K)?

ii) Gcgebcn: Z, i; gesucht: K, z.B.: Bet eincm Skontosatz von

K = -

Z

i

iii ) Gegcbcn: K, Z; gesucht: i, z.B.: 186 von 240 Klausurteilnelunern haben die Klausur bestanden. Wie hoch (in %) iSI die sag. DurchraJlquole, d.h. der Anleil der nichl erfolgreichen Klausurteil-

ncluner bezogen auf samtlichc Klausurteilnehrncr ?

. Z ,=K

54

240

= 0,225 = 22,5%.

Die Beispielc 1.1.10 i) und ii) zcigcn, dass in vielen Anwcndungsfallen der Grundwert K urn den Proze ntwcrt Z ( = K 'i) venn ehrt (z. B. MWSt., d.h: Brunowen = Basiswen (K) plus MWSI. (Z)) oder vermlndert (z.B. Skonto, d.h. Zahlbelrag = Rechnungsbetrag (K) minus Skonlo (Z)) werden muss, urn einen gcwunschten Endwert zu crhal tcn. Bezeichnct man den vermehrten c rundwen mil K+ UTIlI den venninderten Grundwert mil K-, so folg1 mit Hilfe der grundlegcndcn Beziehung (1.1.8) Z = K · l:

K+ '=K + Z =K +K ' l~

= K +K · i.

I (vermehner Wen)

(1.1.1 1)

K + = K ( 1 +i )

und analog

K- ,=K - Z =K -K · i .

(1.1.12)

K- = K ( l - i )

d.h. (i: Zuwachsrate; 1+ i: Zuwachsfaktor]

d.h .

I tvermindener Wert)

(1: Abnahrncratc; l -r i: Abnahmcfaktor)

4

Vo rauss ctzungcn und H iltsmittel

Bemerkung 1.1.13: Man kann die heiden Beziehungen (1.1.11lund (1.1.12) zu einereinzigcn Relation K* =K -(l + i)

(1.1.14)

zusa mmenfassen: 1st i p ositiv, so ueut K' einen vennehrten Welt dar, is! i negativ, so handelt es sich bet K ' um einm vermindenen Weft Beispiel t, U S:

(siehe Beispiel 1.1.10)

i) Oc r Nctto-Wa renwcrt von 938 ,· - € wird urn die M\VSt. (in Hohe von 938 · 0,19) zum Brutt ow arenwert K + vermehrt; = K (l +i)

K+ '" 938 +9380, 19 = 938'1 ,19 = 1.l 16,22 € . ii ) Der ursprUngliche Rechn ungsbe rrag von 750,--

€ wird urn den Skontobetrag (in Hahe von

750' 0,03) zum Rechnungsendbctragvermlndert: = K ( l - i)

K- = 750 -750 ' O,Q3 = 750 · 0,97

727,50 € .

Die Grundbczichungcn (1.1.8), (1.1.11/12) bieten vorteilhafte Hilfe, wenn man von Z bzw. K+bzw. Kauf den Grundwert K schliepen m 1L<;S (i grgeben) :

a) Z gcgcbcn, Grundwcrt K gcs ucht

;=} ( U.S)

Belspleb 19% MWSt . en lsprcc hcn 99,18 € ;=} K = 9:'~198=522,n € ( l
b) K + gcgcbe n, Grundwert K gesuchl

;=}

, [KJ K=-

1+ i

Beispiel: Der Bruttoberrag (ind. 19% MWSI.) bctragt 542,64

€

;=} K = 542,64 = 456,-- € (Nenobetrag vor MWSI.) 1, 19

c) K- gegcbcn, Grundwcrt K ges ucht

00>

[KJ K= -

1- i

Beispiel: Nac h A bzu g von 18% Mengenrabatt betragt tier Zahlbctrag 420,66 € 00>

K=

420,66

0,82 = 513,-- € {Recnnungsbarag vor Raballabzug)

Die Faile a) - c) bcs tatigen die bckan nte l\fe rkregel Ilir den Ruck.~chhL"'~ a uf den Grun dwert:

1.1

5

Prozentrec hnung

Merkregel fllr- den Ruckschtuss a uf den Grundwert: (1. 1.16)

Ma n ertan de n G rundwert K. indcm man den abgeleiteten Wert (d.h. Z oder K+oder K-) durc h den Prozentsatz (d.h. i taw. 1 + i bzw. 1- i ) dividiert, de r ihm (bezogen auf K) entspricht, z.B.: 19%vonK

a)

Z

b)

K + == 119% von K

c)

K- '" 82 % von K

==

Bemerkung 1.1.1 7: Ein routinieno Anwender de, Prozemrechnung solhe ausschliepJich mil den Faktoren i (Anteil), 1 + i (ZuwachsfaklOr) bzw. 1 - i (Abnahmefaklor) rechnen. Dabei ist freilich die Bezugnohme auf den richtigen Grumfwert von entscheidender Bedeutung. Bei etten Problemen der Prozentrechnung soute daherstas zunachst die korrekteGmndgrope (Bel,ugsgrofle) ermiueu werden!

Wie das folgendc Beispiel zcigt, lassen sich die grundlegcnden Beziehungen (1.1.11): K + == K ( 1+ i ) und (1.1.12): K- = K ( 1 - i) besonde rs vorteilhaft dann verwenden, wenn nac heinande r mehre re prozcntualc (oder ,.relative") A nderungcn erfolgcn: Beispiel 1. 1.18: Nach A bz ug von 17% Personalrabatt, A ufsehlag vo n 19% MWSt. und anschlicgendcm Abzug von 2% Skonto zahft dcr Kunde 2.323 ,07 €. Wie hoch war de r Warenwert K vor Bcrucksichngung aller Zu - und A bschlage? Offenbar muss fUr den - noc h unbc kannt en - ursprunglichcn Warenwert K gelte n: [ {K ' ( I - O,I7) } (1+0,19)] '(I-O,oz)

1 2.323,07

,

d.h . in vcrkurzte r Fonn und - wegen des Assoziativgesetzes - ohne uberflussfge Klammem :

K ' 0,83 ' 1,I 9 ' 0 ,98 '" 2.323,07

~

K=

2.323.07 0.83'1.19'0,98

'" 2.400,-- € .

Zwei Dingc sind an dicsem Beispiel gut zu erkennen: i) Wcgen dcr Giiltigkeit des Kommutat ivgesctzes ist die Anwendungs-R eihenfolge dcr Zuwaehs-

/ A bnahmcfaktoren unwesentlich fur das E ndresultat, d.h. der ursprunglichc Warenwert (und daher auch der sptuae Endwen) Ist unah hiingig davon, in wetcber Reihenfolge Rabat te, MWSt. oder auch soesttgc Z u- oder Abschlage crfo lgcn. Es ande rn sich lediglieh die aosotuien Werte dcr cinzelnc n Z u· /AbsehHige. so dass im Ei nzclfall noc h die ko rrckt cn Zu- IAbse hlagsbelrage, z.B. dcr korrcktc Umsatzstcuerbelrag zu ennitteln sind. ii) Saldie rt man die Prozentsarzc fur die Abschlage (17%, 2 %) nom inell mit dcm (M WSt.-) Z u-

schlag (19%), so crgibt slch Null. Da sich aber jcder Prc zentsatz auf cinen anderen Gnmdwert bezie ht, ist cine derartige Addition/Suhtra ktion ~'on Prozemsarzea prinzipiell unzuiiissig. Dies iSI am vorHegende n Beispiel schon daran zu crkcnnc n, dass de r Endwert (2.323,07) und der A nfangswert (2.400,--) deut lich diffcriercn.

Voraussetzun gcn und H ilfsmitt cl

6

Prozentua l ("r elativ ") vcnnc hrtc bzw. venn indcrte Werle Iret en besondcrs hau flg im Zusamrncnhang mit zennchen Anderu ngen von (oko nomischen) Groacn auf (z.B. Preise, Umsaize; Gewinne, Le hne, GeM /ref, Pensionszahlungen, ...). Auch hier empfiehlt sich die vorteilhaftc Verwcndung der Bczichungcn (1.1.11) bzw. (1.1.12), vor allcm dann, wcnn cs darum geht, durch schruttfiche Zu-IAhnahmcratcn

iibe r mc hrcrc Z citraumc hinwcg Zll cnni ttcln:

1.1. 19: 1m Jahr OI betregt del Umsatz einer Unlcmehmu ng 2.500 T€:. In den folgendcn funf J ahren ande rt er sich - jcwcrts bczogcn auf den v orjab reswcrt - wie folgt: 02: +8 % ; 03: -3% ; 04: +20% ; 05: + 10%; 06: + 13% .

Bei~piel

I) Wie hoch is! dcr Umsatz im J ahr 06? il) Wic hoch is! die Gesamt and cru og (in %) des Urnsatzcs in 06 gcgcnubce 01 '1 iii) Urn wieviel Prozent pro Jahr hat slch der Umsatz in den J ahren 02 - 06 (bezogen auf das jewellige Vorjahr) durchschniulich vcrandcrt? Ges ucht ist also cine in allen 5 Jahrcn gleich e jahrliche Zuwaehsrat c (in % p .a., Basisjahr: 01) , die cine prozcn tuale Gcs amtanderung wie in ii) licfcrt. zu i)

Bczcichnen wir die Urnsa tzc 01 bis 06 mit VOl' V 02' ..., V 06' so bcstcht zwischen dicscn Werten die folgend e Beziehung (mehrfacheAnwendung von (1.J.11) , (1.1.12)) :

V02 = VOl · (1+ 0,0 8) = UOI · 1,08

u" V 06 = VOl ' 1,08 ·0,97 ' 1,20, 1.io 1,13 = VOl ' 1,5626 = 2500 · 1,5626 '" 3.906,50 T €

z u ii)

Aus der letztcn a ile von i) folgt: U 06 '" V Ol' 1,5626 '" V Ol' (1+0,5626), d.h .: die relat ive Ges arman dcrung thier: Z unahm e) bct ragt: 0,5626 '" 56 ,26'J1~.

z u iii) Die gcsuchtc durchschrutt lichc jahrlic he Zuwachsrate des U msatzes (bewgen auf den Umsatz des jeweiJigen Vorjahres) sci i . Dann gilt (analog zu i)) :

U06 = UOI ' (1+i)(1+i)( 1+i)(1 +i)(1+i) '" UoI · ( l+ i)5 . Naeh ii) gilt fu r V06: U 06 = VOl · 1.5626 , d.h. wir suchc n den jahrlichen Z uwach s i, der inncrhalb von 5 Jahren cinc n Gesa mrzuwachs von 56,26 % ermoglicht. Du rch E inset zen folgt: U 01' 1,5626 '" U oI ' ( I+ i)5 bzw. (1 +i)5 = 1,5626 d.h . der du rcbschnittlic hc jahrlichc Z uwachsfaktor 1+i, potenzlcrt mit der A nzahl de r Laufzcit- Jah rc, muss den Gcsa mt- Zuwaehsfaktor 1,5626 ergcbc n. Daraus folgt:

1+i '"

s

V1,5626

'" 1,093 4,

d.h.

i = 0,093 4 = 9,34% pro Jahr.

Bemerkung / . / .20: (geometrisches M iJtel) i) Die Ermiulung des ~ durchschn iltlichen" jiihrlichen Z u wachsfak tors 1 +i in Teil iii) des tauen Beisp iels entspridu exata der Ermittlung des sag. " geom e/rischen MitteJwertes " xg von n Zahlen-

werten Xl' Xl ' ... X,.:

Xg ,-

Vr.x~,~·x~,7.-..-.~·x~".

1m obigen Beispiel entsprechen diext den ZuwuChsfakto,r.r," ;-;lii,Oc8~;;;O",c97",;;;I,c2;:.a,,;;;I~,Ii'a,';·/: ' /3. Deren /,093 4, geometnsches Miud xg mecnnet sich da nach zu xg = 1,08' 0,97 ' J ,20' J , 10 · J , J3 wie gesehen. A uf anatoge Weisr t enuei man das geom emsche Miuel, wenn es urn diedurchschniu tiche jiihrLiche Veninsung eines Ko.pitalbetrages gent, der n Jahre lang zu wechsetnden Z inssiitzen ange/egt wird (Beispiel: Bundesschatzbnefe; vgl. Aufgabe 2./.23 v)).

V

1.1

7

Prozentrcchnu ng ii) /m letuen Beispiel 1./.19 dWfm zur Ermittlung der Gesamtanderung die jahrliche Zuwachsraten

8%, -3%, usw. niehJ addiert werden; da sie sich jeweils auf andere Gmndwerte (BezugsgrofJen) beziehen: +8% (02) beziehtsich auf VOl' - 3% (03) dogegen auf V oz usw. Wiirde man (jalschlicherweise) die Prozentsdtze addieren, so ergabe sich eine " Gem mliinderung" von +48% (richtig 56,26 % !). Diesem Trugsch/uss ist offenbar der Vetfasser des auf Seue 1 in (1. /.3) wiedergegebenen Zeitungsartikels erlegm: Die korrekte PreLfS/eigernng in 4 Jahren betragt 12,54% [denn: 1,03· 1,04 ·/,03·1,02'" 1,/254). iii) 1m Zusammenhang mit Tell iii) des Beispiels / .J. /9 beachteman, dass sich die durchschnittliche jiihrliche Zuwachsrate i ("'9,34 %) auf den jeweiJigen Vorjahreswert bezieht und nicht etwa auf

den Ausgangswert U OI ! Man tuue sieh also vor " DurchschniltsbiJdungen" der Art: 56,26% Zuwachs in 5 Jahren mtsprechen 56,26 : 5 '" / 1,25 % Zuwachs pro Jahr (richtig: 9,34 %!).

Gclcgentlich empflchlt sich (insbesonderefiir komplexe Problems/d fungen) cine tabellarischc Ubcrslcht: Beispiel 1,1.21: i) Ocr (durchschnillliche) Benzi nprcis lag im Jahr 03 urn 26% hohcr ats im Jahr 02 und urn 17% hohcr als im Jahr 01. Urn wicviel Prozent lag dcr Bcnz inprcis in 02 tiber (bzw. unur] dem Bcnalnprcis des J ahrcs 01 ?

Bczcichnct man die durchschn ittlichcn Bcnz inprcis c mit Pol' Poz' PC!)' so hat das Problem die folgcndc Strukt ur Johr Of

Johr OZ

""

BenZlnpreis

Jahr03

,""

p" + 26 i

• I + 17 i

Besondcrs einfach wird der Losu ogsweg. wenn man cincn der Prcisc, ctwa POI' mil cinc m flktivcn Wert vorwahlt, z.B. Pol ,= 100. Dann vercinfacht sich die T abcllc ; JahrO f

JahrOZ

Jahr03

p.,

117

100

BenZinpreis

,

.,

t + 26 i

+ 17'1. -

117

Ubcr Poz· l ,26 '" 117 folgt Pea = - - = 92,86, d.h . man muss Pol (=100) urn 7,14% mindcrn,um poz zu crreichen:

t,26 100(1+ i) =92,86

~

i =0,921l6 - 1 "'-0,0714"' -7, 14%.

(Auch eine rein rechnerische Losung fUhn zum Ziei, isc aber weniger anschaulich: Aus P03 = Poz · 1,26 und P03 = POI · / ,17 folgl durch Gleichsetzm: P0 2 · 1,26 '" P OI · 1,1? und daraus Poz = POI· I ,ll =PoI ·O,9286. Aus 0,9286 = l +i ~ i '" - 7,14% wie eben.) 1,26

emes

ii) 1m Jahr 05 lagcn die Exporterlose Unternehmens um 8 % tiber dem entsprcc hendcn Wert von 04. In 05 harte dcr Export cincn wertma13igen Anteil von 70% am Gcsamt umsatz. Urn wicvicl Prozcnt hat sich de r Inlandsumsalz in 05 gcgcnubcr 04 verandcrt , wcnn aul3crdem beka nnt ist, dass der Gcsarntumsa tz in 05 gegencber 04 urn 6 % zugenommen hat?

Voraussetzungcn und H ilfsmittel

8

Auch jetzt wahh man zwcckrnagigerweise cinco dcr W erte (mi l 100) fiktiv vor, hicr bietet stcb der Gesa mturnsatz 0 05 im Jahr 05 an. Jahr 04 Johr 05 Dann lass! sich sofo rt folgcndc Ma trix autstellcn:

nanasomsatr

30

+

Exportum satz

= Gesamtumsotz

100

+"

Aus (1.1.16) folgt: P .

"-4JII

=...2!!.... 1,08 =

64 •815 sowre . G 04 = 106 100 = 94 , 340

--

[iktiv

vorgewahh

t

~ 104 = G Q4 - E Q4 = 29,525 .

Daraus folgt fur die noc h unbckannte Andcrungsratc i d es Inlundsumsarzes :

29,525 '( I+i) = 30

l +i = 1,0161 ,

~

d.h . del Inlandsurnsatz stieg in 05 urn 1,6 1% gcgcnubc r 04. A n de n bcidc n Bcispiclcn crkcnncn wir, dass man bc i relativen (d.h. prozentualen} A ndcrungcn unabhangig von dcr Rich tung dcr A nderung CD+ « oder »- Ii) stcts die G lcichung (1.1.14)

I K'

= K ( I +;)

I

verwcndc n kann, vor altern dan n, wenn i ouc h unlx:kannt ist . J e nac h Vorzc ichcn von i handelt cs sich da nn um cine Z unahme (i > 0) od cr cine Abnahmc (i < 0): Beisp iel:

E s folgt die

K*=:K '(l +i) =: K ' O,95 K* =: K ' (l+i)=: K' },08 Z l1'iam men ra<;.~ung

~ ~

i=:-O,05 «O),d.h.AbnahmevonKum5 % i", O,08 (>O),d.h. Zunahmevon Kum8 %.

(1 .1.22) der wichti gsten Bcgriffe und Beziehungen de r Prozentrechn ung:

IA nteile eines Grumiwertes K I (relatiw:r) ADleil (=: Prozemsutz} absol uler AnieU ('" ProzenlWen)

IA'nderung eines Grundwenes K um p % I

Beispide (mil 7%) p% =:...£.... "" i 100 Z = p% vonK = K · ...£.... = K · i 100

(rdative) Anderu ngsra te (= Prozentsatz] ( i > 0 : Zuwachsrate i < 0: Abnahmerate

P . P% (J = - = .

absol ute Ande rung (» Prozemw en Z)

Z =p% von K = K . ...£.... =K · i 100 K · = K (I + ...£....) = K · ( I + i) 100

H~

,

7% '" l Oa '" 0,07 Z .. K ·0,07

7% ..

r TOO = 0,07

oder negative Zuwochsrate)

verrne hrter Wert (K + = K + Z)

Z =K- O,07 K + '" K ' 1,07

verminderter Wert (K '", K -Z)

K - =K ( I - ...£.... ) = K (I -i)

X - '" K '0,93

Anderungsfaktor (i > 0: Zuwachsfakror i < 0: A bnahmef ataor oder Zuwochsf akror mit negativer Zuwachsrate)

l + i =l + ...£.... 100

1,07 = t « lOa

H~

,

r

0,93 '" 1- lOa

(1.1.22 )

1.1

9

Prozentrechnu ng

Bemerkung 1.1.23: lst die Gmndgrofte K selbst ein Prozenisasz (Beispiel: Wiihlerstimm enarueiie}, so benutzt man bei absoluten Andem ngen dieser Prozentsiitze den Begriff .Prozempunta ", Beisp iel (vgl. (1.1.4) auf Seile 1): Wenn der Wah lerstimm enantdl einer Pan ei von 5% auf 8% zunimmt, so hal er urn 3 Prozerupunkze zugenommen (und nicht um 3 Prozent 1). Diese 3 Prozerupunkte entsprechen im vorliegenden Fall riner Z unahme um 60%! Bemerkung 1.1.24: Bei tradhioneilen kaufmiinnischen Rechnungen (insbesondere bei der Preiskalkulation) werden im Z usam m enhang mit prozemualenAnteilen gelegemlich die Begnff e Protem v.H. (vom Hundert), a.H. (au/ Hundert) und t.H, (im Hundert) veiwenaa. Die Bedeutung dieser (entbehrlichen) Begnff e sei an einem Beispiel erkliirt. Es mbgen ein Be/rag von 240,-- € sowie ein Prozerusatz von 20 % vorgegeben sein: i) 20% (v.H.) bedeute: Dergegebene Be/rag (240£) ist der Grunawen K, d.h. K = 240,-- £. Damit gill fur den Prozemw en Z nach (1.1.8): Z K ' i 240 '0,2 48,-- €.

=

=

=

Betrag (240 £) ist der (um 20%) vermenne Wert K+ (z.B. Sdbstkosten plus 20% Gewinnzuschfag), d.h. K+ = 240, - £, nach (1.1.11) gilt: K+ 24 0 K = T+T = T;2 = 200,- - £ ; d.h.: Z = K ·i = 200 '0,2 = 40" , £ .

jj) 20% (a.H. ) bea eua: Der gegebene

Beispiel: Der Bruuowarenwen einschlieftlich 19% MWS/. be/rage 2.856, -- £ . Dunn ergibt sicn der Nenowarenwen zu 2.85611,19 = 2.400 £. Die Mehrwens teusteuer selbst betragt d unn 19% von 2.400£, a.n. M WSt. = 19% a.H. bezogen auf 2.856,--, d.h. 45 6,-- £. iii) 20% (i.H.) bedeutet: Der gegebene Betrag (240 £) ist der (urn 20%) verminderte Wert K · (z.B. Rechnungs betrug minus 20 % Rabatt), a.n. K - = 240" , £, nach (1.1.12) gill: K24 0 K =~ = 0,8 =300,--£;d.h.: Z = K ' i = 3 00 ' 0,2 = 60,-. £ .

Beisp iel: Nach A bzug van 40% Lohnneuer verbteiben einemArbeimehmer nocn 5.400 £ ("Nettolohn "). Donn ergibt sich der Bruuolohn zu 5.40010,60 = 9.000,-£, d.h. die Lohnsteuer betriigt donn 40% von 9.000 £, d.h. Lohnsteuer = 40% i.H. des Nettolohns 5.400,-£, d.h. Lohnsteuer = 3.600£. Aufgabe 1.1.25: i) Rick kauft in der Buchh andlu ng Wu rm das "Handbueh der Icgalcn Stcucrgcstaltu ng" zu € 136,5 0 {incl. MWSt.) . Wahrend der Lektu re stern cr fest , dass ihm dcr Buchhandlcr falschlichcrweisc 19 % MWSt. berechnct hat (rich/lg waren 7% gewesen). Daraufhm verlangt er vom Buchhandler die R iehtigstellung des v ersehens.

Welehen Bctrag mu ss ihm der Buchhand ler zuruckgcbcn? ii ) Ei ne Firma steigerte ihren Um satz des Jahrcs 02 in den folgenden drei J ahrcn urn jcweils 11%

(gegenuber dem Vorjahr), musste im Folgcjahr einen Um satzruckgang von 8% hinnchmen, ko nnte ansc oueaend den Umsatz zwci J ahre lang konstant halten und erreic hte schlicBlich im nachstcn J ahr wieder eine Umsa rzsteigerung, a) Urn wicvicl % pro J ahr hat sich der Umsatz in den Jahren 03 bis 08 durc hsch nitt lich crhoht? b) Wie hoch ist die gcsamte prozen tuale Umsa tzste igerung bis 08? c) Wclche Umsalzsteigcrung muss die Firma im Jahr 09 errclchen, urn in den J ahren 03 bis 09 auf cine durchschruttlichc Umsatzsteigcrung von 5% pro J ahr zu konunen? d) Wc1ehe du rch schnittliche Umsatz stcigerung pro J ahr ftihrt zu einer Gesa mrstelgeru ng von 44 % in 7 Jahren?

10

1 iii) Aus dem Jahresbcricht der H uber AG:

~ Der

Voraussctzungcn und Hilfsmittcl

Preisdruck hal sich verscharft . Gcmessen an den

Durcbschnittsprciscn des Jahres 08 ergibt sich rer 09 insgesamt ein UmsatzrOckgangvon 2,9% ( = 58 Mio. €) . Im Einkauf glichen slch Verteucrungen und Verbiltigungcn im wcsentlichen

aus." a) Wic hoc h ware del Gcsamtumsatz im Jahr 09 ohne diese Preiscinb ufie gcwesc n? b) Wic hoch war der Gesamtumsatz bt ) in 08 ? b2) io09 ? c) Urn wievicl % lag der Umsatz imJahr 08 tiber (hzw. unlrr) dcm von 09? iv) Bet dcr Wa hl zum Stadtrat dcr Stadt Domumcrs jcl im J ahr 09 konnte die vom Landwirt Onn o Ohmscn gcfOhrte Os tfricscnpartci (OP) cnd lich mit 8,3 % del Wahle rstirnmen d ie gcfOrchtete S-%-H iirdc ubcrspringcn, nachd cm cs bcim letz te n Mal (im Jahr05) our zu 4,7% del Wahler stimmcn gcrcicht hattc. a) Urn wicvicl Prozcnt hat sich in 09 dcr Anteil der O P- Wahlcrstimmcn gegeniiber 05 erho ht? b) Urn wievicl Prozent (bezogen auf das Jahr 09) darf der Antcil der OP-Wahlerstinunen bei dcr nachst cn Wahl im Jahr 13 hocbstens sinken, damit die Partei gemde noch die 5- %H Orde eneic hcn kann ? v) De r Disko ntsat z der Bundesbank lag im Jahr 08 im Mitt el urn 45% unter dcm ents prechendcn Mittelwert des J ahres 07 und urn 10% untcr dcm ent sprechenden Mittelwcrt des Jahres 06.

a) Man ermnne die prozentual e Vcrandcrung des D iskont satzmittelwertes in 07 gcgcniibe r 06. b) Man enn ittle die durchsch nittlichc jahrhche v erandcrung (in % p.a. gegenuber dem jeweiligen Vorjahr) des D iskontsatzrnittclwcrtes fur die J ahre 07 - 08. \"i) Der Brutt ovcrka ufspreis cines Computers bctragt nach Abzug von 7% Rabatt, 3% Skont o und

unt er Berucksichtigung von 19% Mchrwertsteuer € 5.996,--, Man ennitt le den Nettowarenwert ohnc vorherigc Bcrucksichngung von MWSt, Rabatt und Sko nto.

\ii ) Nac h Abzug von 5% Mietminderung (bezogen auf die Kaltmiete] wcgcn undichter Fenster betragt der monatlich zu iibcrweisende Betrag € 593, · · (incl. 80,-- € Nebenkosteni , a) Wie hoch war die im Mietvertrag ursp riinglich vcrcinbarte Kaltm iet e? b) Die gesamten Nebcakosten cinschl. H eizkosten be tragcn 80,-- € . Welcher Bctrag wiirde sich fur die Wamuniete ergeben, wenn die im Mietvert rag zunllehst vcrcinbarte Kaltmiet e urn 20% und die Nebe nkost en urn 10% erhoht wiirdcn? Da die Fenst er nach wie vor undicht sind, wiirde aueh jetzt eineMietrmnderung der Kalrmiete urn 5% erfolgcn. viii) Der Prcis fur Benzin (in €II) crhohc sich ab sofort urn 21,8%. H uber s Auto verbraueht durehseh nittlieh 8 I Benzin pro 100 km. Urn wicvicl Prozcnt muss H uber seine bisherige dure hsehnillliehe jahrliche Fahrleistung (in km/Jahr) verringcrn {odervermehren) , damit sieh seine Ausgaben (in €I Jahr) Iur Benzin aueh aukunfng nicht andcm?

Aufgahe 1.1,26:

i) Die Kundsehaft etnes Part nervcrmit rfungslnst itutcs hattc am 01.01 .05 die folgende Strukrur: 55 % Mann er;

43% Frauen ;

2% sonstigc.

Infolge vo rausgegangener umfangr eieher Werbeaktion cn lag am 01.01.05 die Anzahl der Klienten des ~ se hwaehen" Ges chlcch rs urn 15% nicdrigcr als cin J ahr zuvor, die Anzahl der Klienten des ~s larken" Gesehlechts lag urn 28% hohcr und die der sonstigcn K1ienten urn 60 % hoh er als ein J ahr zuvor .

1.1

Prozentrcch nung

11

a) Urn wicvicl Prozent insgcsamt harte sich de r Kundenkreis des Institut s zum 01 .01.05 (gegen-

aber01.OJ.04) vcrandert" b) Wie laut cte die prozentuale Verteilung der Kundongru ppen am 01.01.04?

iii Der Schafbcs taoJ dcr Lu ncb urgcr H eide bcst eht aus sc hwarzen und weil\cn Schafen. Die A nzahl dc r schwarzen Schafe sticg irn Jahr 10 gcgenube r 09 urn 10%, die Anzahl dcr \.VCiGen Schafe urn 2% . Im Jahr 10 bct rug dc r An teil de r schwarzen Schafe 15% des Gesa rrubcsta ndcs an Schafen. Urn wicviel Prozcnt sticg dc r Gcs amtsc bafbes ta nd in 10 gcgcnuber 09? iii) Vo n den im Ja hr 10 in Deutschland zugelasse nen Krantahraeugen waren 70 % PKW, 25%

LKW, 5 % sonsngc Kraftfahrzeugc. Im J ahr 10 sttcg der Pkw -Bcstand gegcnOber09 urn 10% , dcr LKW-Bcs tand urn 6% und der Hestand der nbrtgcn Fahrzeuge urn 3%. Urn wicvicl % ist der Fahrzeuggcsamtbest and im J ah r 10 gcgenOber 09 gesti cgcn '!

iv) A us einem Bcricht der H uber AG: MOc r Auslan dsumsatz (Expon) st tcg im Jahre 10 gcgenOber dem J ahr 09 um 4,5%, der Inlandsumsatz urn 1,9 %. Oc r E xportantei l crrcichtc in 10 62,2 % des Gesamtumsatzcs.~ Urn wievicl Prozcnt sfieg der Gesamtumsatz der H uber AG im J ahr 10 gcgcnabcr 09 '!

v) D ie Oenaucr fur Diplom-Kaulleut e lagcn in im J ahr 10 urn 24 % hohcr als in 05 und urn 37% bohcr ats in 02. a)

Urn wicvicl Prozent lagen die Gch alter fOr D iplom -Ka ullcute in 05 hoher als in 02?

b)

Urn wicvicl Prozent waren die Gchalte r fur Diplom - Kauftcutc in den J ahren 03-10 d utchschrnttlich gegenuber dem jcwciligcn Vorjah r gcst rcgcn?

\1) Die Huber A G produziert nur rote, gelbe und blauc Luft ballons. Im J ah r 03 wurdcn 20% weniger gclbc Luftballons als im J ahr 00 hcrgcstellt. Die du rchschnit tliche jahrhchc Mehrprod uktion von roten Luftballons in 01 bfs 03 tbezogen auf das jewrilige Vorjahr, Basisi ahr also 00) bet rug + 2,2 % p.a. In 00 wurd en 300 Million en und im J ahr 03 360 Millionen blau e Luftballons hergestellt. In 03 macht cn die roten und blaucn Luftballon s jewcils gcnau 30 % der Gesamt prod uktion aus, a) Urn wieviel Prozenr hat sich d ie Prod uktion dcr rot en Luftbahons in 03 bczogc n auf 00

verandert? b) Urn wicvid Pruzent pro J ah r (ba ogen auf das jeweilige Vorjahr) hat sich - ausgehend vom Basisjahr 00 - die Gcsa rnt produkt ion an Luftballons in 01 bis 03 du rchsch nittlich verandert?

loU) Die Maseh inenbaufabri k H uber AG erziclte in 11 cincn Auslandsumsatz, dc r urn 30 % tiber dem Auslandsumsat z 3 J ahre zuvor (08) lag. Ocr A nteil des Inlandsumsatzes am Gcs amtumsatz lag in 08 bci 59 % und in 11 bei 37% . Urn wicvicl Prozent sind a) dcr Inlandsumsatz

b) der Gesamtumsa tz

von 08 (= Basisjahr) bis 11 (incl.) durchschnill lich pro Jahr gestiegcn (bzw. gefallen)?

12

Vorauss ctz ungcn und Hilfs rnittel

Aufgabe 1.1.27:

IErtragslage gut I

i) Anhand dcr ncbcnste henden Graphik (Daten z. T. geschtilzt) bea ntwortc man die folgcndcn Pragcn:

2002

I

03

I

04

I

05

I

06

08

I

I

Bruttoelnkommen der

a) Wic hoch is! (in % p -a., te zogen auf das jeweilige Vorjahr)

Produktlonsunternehmen InM'd €

die durchsch nittlichc jah rliche 2 u-/ A bnahmc des Bruttoein-

kommens dcr Produktionsuntcmchmcn in den Jahren 04 bis 08?

r

I

(Basisjuhr: 03)

b) Urn wieviel Prozcnt pro Jahr (ha ogen auf das jeweiligeVorj ahr) is! das Volkscinkommcn

in den Jahren 03 bis 08 durchschnittlich gestiegen? (Basisjahr: 02)

ii ) Man bca ntwor te anha nd der untenstehenden sta tistisc hen Daten folgcndc Fragen : (Sei Ande-

nmgswerten gebeman stets die Richtung derAndernllg - d.h. Zu - oderAbnahme - an.)

Ungesundes Schrumpfen

Enfwicklung der 8evdlkerung von Transs ylvanien, nach Alfersg rupp en in Millionen Ig eschtitzll

Elnwohner 1m

Alter von:

20bls unle,

60 bh,en

'"34:90

'34:J9

"",,, 20

60 bh,e

J:

~ 14,49

Jahr:

27.70

und (1l!er

12.32

2005

20.75

~ 12.35

I

15.13

13.07

8.48

2015

15,52

7.14

2040

2055

a) Urn wievie1 % wird sic h die Gcsamtbcv iilkerung im Jah re 204 0 gegenuber 2005 vcra ndc rt haben ? b) Wic hoch (in %) tst de r An teil der 20- bis ent er 60-jahrigen an der Gesarnrbevotkcrung im Jahr 2055? c) Urn wievicl Prozent pro J ahr (bezogrn auf das VO/j ahr) ande rt sich d urehschnittlich in de n J ahrcn 2006 his 2055 die Zahl de r Ei nwohncr unt er 20 J ahren?

1.1

13

Prozentrechnung

iii) D ie Zahl der auf der E rde lebenden Mcnschcn bet rug zum 01.01.85 4,8 Milliarden (Mrd.). Laut UNO-Berieht ist die Bevolkerungszahl bis zum 01.01.2000 auf 6, 1 Mrd . Men schen angest iegen, von denen 80% in de n E ntwieklungslande m leben.

D ie durchschruttliche (diskrm) w achstumsratc der Bcv olkerung in den Entwicklungslandem bctrug im angegebenen Zeitraum 3% pro J ahr. a) Man crmittlc die dutchschrutt lichc w acbstumsrate (in % p.a.) der Gesam lbcv61kerung der Erde im angegcbcnen Zcit raum . b) Wicvicl Prozent der Gesamtbcv6lkeru ng lcbt c am 01.01.85 in Entwicklungslandcm?

c) Urn wieviel Proz ent pro J ahr nahrn d ie Bcvolk crung in den Nichtentwicklungslande rn im betrachtc ten Zc itraum d urchsehnitt lieh zu (bzw. ab) ? d) E s werde untcrstcllt, cass die o.a. du rch sehnitt liehen w achstumsratcn dcr Bcvotkeru ngen in den Nic hr- Enrwicklungslandem und in den E ntwicklungsliinde rn auch nach dcm 01.01.2000 unvcrandcrt gultig sind. Wie groB wird die w eltbevotkerung am 01.01.2050 sein? Wicvie! Prozent davon wird in den En twicklungslandcm leben?

iv) Man bea nrworte anhand dcr A uJ3cnhan dclsstatistik Tran ssylvaniens folgend e Fragen:

IMMfR BfRGAUF

Oer AuBenhandel Transsylvaniens

mit den EU-Landern

....

.~

2000 2002 2004 2007 2009 2012 Anteile des EU'AuBenhandels am aesemteeneetance r Transsylvan iens in Prozent.

1m nne: 29,0 31,8 33,5 33,1 36,9 37,0 39,0 41,9 44,S 41,3 42,4 44,3 45,6 % Ex orte 28,6 3D, 32,5 33,5 32,6 36,0 37,0 38,5 43,0 43 4 41 4 41,643,8 % 2000

2002

2004

2007

2009

2012

a) Urn wicviel Prozent verandcrte sich de r transsylvanischc Import aus EU-Uindem 2008 gegcnObcr 2007 ? (Zu-/ Ahnahme?) b) Urn wieviel Prozent venn inde rte (bzw. rrhOh te) sich der Gesamtimport Tr anssytvaniens (d.h. Impon aus EU- plus Nidu-Ell-Landem} 2009 gegen Obcr 200 8'! c) Man crmittle die durchschnittliche jah rhche Z unahme (bzw. A bn ahme) in Prozcnt p.a. des Btj-Bxportcs Transsylvaniens seit 2002 (Basisjahr) bis 20 12 cinsehlieBlich.

14

Vora ussctz ungcn und H ilfsmittel

v) Die nachstehenden Schaubilder zeigcn im Zeitablauf (von links nach rechts): die Gesamte innahmen des Staates

die in etnem Liter Benzin

an Mincralolsteucr (auf Benzin)

entbaltene Mmcralolsteuer.

Lohnende Mineralolsteuer

Fiskus am Zapfhahn Mineralolsleuer

fiiijJ 199'

inPfennig

Jeliter Benzin

a) Urn wievic1 Prozenr hat sich dcr rneegcnmaulgc Bcnzinverbrauch in 1987 gegenOber 1967

insgesamt erhoht? b) Es werdc unrcrstcllt, dass sich die Mincralolstcucrcinnahmcn in Zukunft prozcntual pro Jahr so wciterentwickcln wie irn D urchschnitt dcr Jahre scit 1964 his 1987. Wic hoch worde n unt er dicscr Voraussetzung die MineralOlsteucrcinnahm cn [in €] im J ahr 2009 scin? (l € = 1,95583 DM)

\ i ) Anhand del ncbcnstchcndcn Statistik beantworte ma n folgendc Fragcn:

a) Wic hoc h isl dcr prozcntualc Gcsamt-

ansneg a1) der Wohnungsmictcn a2) dcr Lebcnshaltung (ohm! Miere) im Zcitraum 1993 - 1998? (Basisjuhr

also 1992)

b) Im Jahr 1992 gilt

20% der gesamten Lcbc nshaltungskosten entfa llen auf die w ohnungsmlcr cn.

Man ermittle, urn wicviel Prozent sich die gcsamte Lebcns haltung (aiso incl. Wohnungsmierrn) im Zeitraum 1993 1998 dur cbscbnlttuch pro Jahr vcrteu-

crt hal. (Basisjehr: 1992)

1.1

15

Prozent rcchnun g

lii) Anhand der folgcnden Wahlergebnisse beantworte man folgende Pragee:

Die Ergebnisse der Parlamentswahlen in Tra nssylvanien:

Wahlbcrcchtigte: Abgegebene Stim men:

wahlbctciligung : Ungiiltige St immen: Giiltige Snmmc n;

2004

2008

44,451.981 25.234.955 56,8% 393 ,64 9 24, 84 1.306

42.751.940 28.098 .872 65,7% 25 1.763 27 ,847.109

Devon entflclcn auf: S07j al is\en

Konserveuve Vampire

Libcralc Griine

9.294.9 16 9.306 .775 2.104.590 1.192 .138 2.0 24,801

- 37,4 % - 37, 5 % - 8,5 % - 4,8 % - 8,2 %

11.370.04 5 10.89 1.370 2.816 .75 8 1.662.621 893 .683

- 40 ,8 - 39,1 - 10,1 6,0 - 3,2

% % % % %

a) Urn wicviel % haben sich die Stimmen fur die Libcraien in 2008 gcgcnubcr 200 4 vera ndcrt? b) Urn wicvicl % hat sich dec Stimmenanteil der Libe ralc n (%, bezogen auf die Anzant gii/tiger Stimmen) 2008 gcgcnabcr 200 4 verandcrt? c) Urn wievicl % hat sieh dcr Stimmenanteil dcr Liberalen (%, bezogen auf die Anzahl der

Wahlbaechtigten] 2008 gcgcnubcr 2004 vcrandcrt?

viii) In der nebenst ehenden Tabelle sind f ur d ie J ahre 2000 bis 2005 die Subventio nsausgaben der EU (in Mrd. Euro) sowie deren An leil (in %) an de n Gcsamtausgabcn der E U aufgcfOhrt.

a) U ntcrs tellc n wir, die Subventionen entwiekcln sich prozen tual wie im Durehsehnitt dcr Jahre vo n 2000 bis 2005: Wie hoch (in Mrd. Euro) werden die Subventionsausgaben im Ja hr 2018 scm? b) Urn wievie1 Prozent pro J ahr (bezogen auf das jewellige Vorjahr) haben sieh die Gesamtausgaben der E U von 2001 (d.h. Basisjahr 2000) bis 2005 durehseh nittlich verandert?

Sl./bvenHonsausgaben der EU.. Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Subvennonen in % der (in Mrd. Euro) Gesam t-A usga ben

76,8 100,3 101,7 113,6 128,3 140,5

22,7% 29,4 % 2 7, 1% 29, 9% 30,7% 31,7%

16

Vorausselzungen unct Hilfsmittcl

ix)

Anhand des ncbcnstchcnden Schaubildcs bcantworte man folgcndc Pragcn: a) Urn wicv icl Prozent hat die Kaufkraft der Lehne eincs Erwerbstatigenim J ab r 18 im Vcrgleieh zu 15 zu- bzw.abgenomme n? (nKoufkraft" = Lohnni veau

dividiert durch Preisniveau, bezogen auf s Basisjahr) b) ErrnillclnSie bitt c die dutchsehnilt liche jah rhche Preisste igerungsratc (in %p.a., bezogen auf das jeweilige Vorjahr)in den J ahren zwischen 03 und 21. Lesebetspleh

(jcw ctls Saulc gam links)

1m Jahr 06

•

lagen die Le hne urn 28,4% tibe r den Lehnen drei J ahre zuvor (d.h. 03)

•

lag die Wirt sehaftsleistung je Erwc rbstatigcn ("Lcistung") urn 8,9 Prozent hohcr als 3 Jahre zuvor

•

lagen die Prcis c urn 18,3% ho her als 3 Jahre zuvor lL' W .

Lincare Verzinsung

1.2

1.2

17

Linea re (ein/ ache) Verzinsung

Wird ein Kapital fur cinen gcwissen Zeltraum ausgeliehen (oder angelegt), so worden als Nuezungsentgelt z msen erboben (vgl. Vorbemerkung S. 1) 3 . Wenn bcispictsweise fur ein bcure geliehcnes Kapital von 100 € ein ..Nutzungsentgelt" in Hohc von 10 € nach etncm Jahr fanig tst, wenn m.a.w. nach einem J ahr ein Betrag von 110 € zur Ruckzahlu ng fallig ist, so sagt man, das (heUle ge/iehene) Kapital von 100 € sci - bei 10% p.a. J ahreszinsen - wertgleieh (oder: aquivalent) zu 110 € (zurilckzuzahlen nach einemJahr). Die Zeilp unkle, zu denen die Z insen raJlig wcrdcn (und mit dem Kap ual zusammengeiasst werden), heiBcn Zlnszuschlagtermlne (oder: Zinsvarechnungsterminet, Ocr Zeitraum zwischen zwci Zinszuschlagterminen heil3t Zinsperiode. Uhlich sind Zi nspcrioden vo n z.B.: 1 Jahr ljahrlicher Zinszuschlag); 1/2 Ja hr (halbjiihrlicher Zinszuschlag) ; 1/4 Jahr (= 1 Quartal, vierteljiihrlicher Zinszuschlag); 1 Monat

tmonatlicherZinszuschlag); usw. Werden die Z insen am E nde der Kapitalubcrtassungsfrist (bzw. der Zi nspc riode) gczahlt, so sprieht man von naeh~chih;siger (ode r dekursiver) v ernnsun g, worden sle zu Beginn des Ubc rlassungszcitraumcs (bzw. der Zinsperiode) gezahlt, so spricht man von \'orsch ii..siger (oder antizipativer) Vcrzinsung.

Bemerkung 1.2.1: Wir werden im folgenden • wenn nicht ausdrucklich anders vermerkt - stets die allgemein ubliche nachschiissige Verzimung rorausseJzen. Zur vorschussigen Verzinsung vgl. Kap. 1.2.4. E in zll..atzlicher (auperordentlieher) Z inszusehlagtenn in ergibt sich am Ende dcr Kapitaliibcrlassungsfrist, sofem dicscr Zcitpunkt nicht ohnehin mit eincm Zinszuschlagterrnin zusammenfallt. Beispiel 1.2.2: Z inspc riode sei 1 Jahr, Z insz usehlagtennin jcwcils der 01.01. (0.00 Uhr) . Fiir ein Kapital, das vom 04.07. bis 13.11. cines J ahrcs ausgcliehen ist, werde n die Zi nsen tneben dem Kapital) zahlba r am 13.11., obwohl dcr ..regulate" Zinszuschlagtermin erst am folgenden 01.01. Ist.

Prinzipiell untcrschcldcr man zwei Gnmdformen der Ven.in~ ung (Verzinsungsanen) . narnhch !ineare (einfache) veransueg und exponentielle Ven.in.~ul1g (Zinseszinsprinzip) , slehe Abb. 1.2.3:

I

U n..... (" nf n" ')

Veni nsung...arte n

V,ro",~gl /

Die Z insen wcrdcn zcitan tcilig bercchnet und ers t am Ende der Lauf· zeit dem Kapital zugcschlagcn (bzw. mit dem Kapital verrcchnet]. Innerhalb der Laufzeit cxisticrt kein Zins-

zuschlagtermin.

(vgl. Kap. 1.2.1)

~ I E~entielle Ven.in_~ung (ZJnseszjllSen)

Abb. 1.2.3

Die Z insen werden nach jeder Ztnspcriode dem Kapital hinzugerligt und tragen von da an selbst wieder Zi nsen. l nnerhalb der La ufzcit liegen ein ode r mehrere Zinszuschlagtermine.

(vgl. Kap. 2.1)

A ueh cine aus beiden Kornponen tcn zusammcngcsctzte Mischform (d ie gemischte Verzjnsung, vgl. Kap. 2.4) ist uhlich. Z unae hst wollen wir uns mit der Iinearen (oder: rinfachen) Venins ung befasse n: 3 Je nach Zinstheorie sind andere Dcfinitioncn gcbrauchhc h, so z.B.'; Zins ,. (entgangener) Invcstitionsertrug oder Zins ,. Liquidu/i()JlSyerzichtsprdmie, vg l. elwaLldz, F.A.: Zinsthcoric. 2. Aun., Tiibingcn, Ziirich 1967.

v ora ussctzungcn und H ilfsmillcl

18

1.2.1 Gnmdlagen der Iinearen Verzinsung Sci del (im ka uf miinnischen Verkehr iiblichen) Iinea re n Verzinsnng hal man es dcfinition sgcmll.J3 mi l Kapi ta hj bcrlassu ngsze itraum cn zu tun, innerhalb deter grundsatznch kein ZinszlLschlagtennin (Olle r; Zinsverrechnungstermin) liege 4

Die nachschiissigcn Zinsen Zn fur die Ubcrlassung des Kapitals Ko tOr einen Zcitraum von n Zeiteinheiten (ZE) sind dabei proportional. (-) ZUT Hohe Ko des Kapitals und ZUT Laufzeit n : (1.2.4)

Zn

-

Ko -n

Der fchlende Preportionalitatsjaktcr wirddurch den Zinso;atl I (von mgt. "interest = Zinsen) gelicfcrt, der definitionsgcma13 lias Nutzungscmgelt (die "Z insenj fur einen auf tin e Zeltelnhelt ansgclichenen Betrag von 1,- - € angibt. Statt des Zinssatzes i bcnutzt man haufig auch den (zcitraumbczogcnen) N

Zin sfuR p, der die pro Zc itcinheit falligcn Zinsen fOr ein Kapital von 100,-- € angibt. E s gilt somit:

(1.2.5)

i ""

p toU

=

P 'f~

Is

-----Beispiel 1.2.6: i = 6% p.a. ("pro anno ") bcd cu tct: Fur jcwcils 100,· · € ausgclie hcncs Kapit al worde n pro J ahr 6,-- € an Zinsen erhobcn. Starr i = 6 % p.a . kon nte man aq uivalcnt schrcibcn : i = 0,06 od er p = 6 (p.a.). Analog: i = 1,5% p.Oc 1,5 Prozent Zinsen pro Q uartal (i = 0,0 15 bzw. P = 1,5); i = 0,5 % p.M: 0 ,5 Prozent Z insen pro Monat (i = 0,00 5 bzw. P = D,S) usw.

Bemerkung: ,,6% p,a. "hedeuset nid a immer zwingend dasselbe wie ,,0,5% p.M. ", siene Kap. 2.3.11 M it i als Pro portionahta tsfaktor ergibt sich aus (J .2.4) bci linearer nachschiis siger Ver,jnsung die grundlcgcnde Bcziehung ( 1.2.7)

Zn

Dabci bcdcutcn;

(lilleare Zinsen)

~ 'i' n

Zn : Z insen , fatlig am E nde dcr Kapita lubc rlassungsfrist

Ko : (A nfangs-) Kapital

p

i

: (nachschiissiger) Zinssatz ( = 100 = p%), bczogcn auf cine Zeiteinhcit

n

: Kapi taliiberlassungsfrist, Laufzeit (in Zeitcinhciten Oller Z insperioden)

Man beach te, das s sich Zin",..atz i und laufzeit n stets auf dieselbe Zeiteinheit bcz ichcn ! Beispiel 1.2.7a: i) Ein Kapital von 500€ werde 2 Jahre zu i = 6 % p.a. ausgclieh cn, innerhalb der Laufzclt cxisticrc kcin Zi nszus ch lagtermin. Dan n folgt m it ( 1.2.7): Zn = 500· 0,06 ' 2 = 60 € . ii ) Gleiehe Situation wie i), abe r Laufzeit 7 Monate.

Falsch ware; Z n = 500 · 0,06 . 7 , da sich Zinssarz und Lau fzcit auf vcrschicdenc Zeitcin heiten bczichcn. Daher misst man die Laufzeit (ebenso wie den Zinssatz} in Jahren: 7 Monaro glcieh 7/ 12 Jahre . A us ( 1.2 .7) folgt: Z n = 500 ' 0,06' 7/ 12 = 17,50 € . Ma n harte stat tdcssen auch den Z inssat z auf die Zeitcin heit I Monat bez iehcn knnncn: 6% p.a. = 0,5 % p.M. (da linearerZinsverlaufl . Damit tauter (1.2.7):

Z n = 500 · 0,005 ' 7 = 17,50 € , wie eben.

4 Die Zinszusch lagtcrminc sind in dcr Praxis La durch die GeschaIl.sbedingungcn dcr bctciligtc n Part ner vcrgcgcbcn oder kcnncnausgchandclt worden . In der Regel handel l cs sic h urn Zcitraume bis zu maximal einem Jahr. 5 Hinsic bthc h der Untcrsc heidung "on Zinssatz i und Zinsfull p vgl . Bcm erk ung 1. 1.9 ii).

1.2

19

Lincare Verzinsung

Ubcr die Festsetzung von Zm scn, uber Verrec hnungen von Z tnsc n oder ubc r "gcsetzliehe" H ohc von Z inscn gibl cs in Deutschland cine Rcih c von geset zlichen Vorschnften, auf d ie hier (ohne Nennu ng weuererEinzelheuen} vcrwicscn wird: BOrgerliches Gescrzbuch (BGB):

Gcsctzlic hcr Z inssatz (§ 246), Basisztnssatz (§ 247), Zin seszmsen (§ 248), Ven ugszinssa tz (§ 288 ), Fa lligkcit dcr Zin scn (§ 608 )

Handclsgeset zbuch (H GB):

Gesetzllche r Zinssatz (§ 352), Falligkcitszinscn (§ 353 )

Abgabenordnung (AD):

Ven insung von Stc uemachforderu ngen u. -erstatt ungcn (§ 233a) Stundungszinsen (§ 234),Ven insung von hinterzoge nen Sreuem (§ 235 ), H ohc und Bercchn ung dcr Zinsen (§ 238)

Jahresbruchteile werde n haufig [nidu immerf) unte r Kautlcu lcn vcrcinfachcnd wie Iolgt umgc rcch net: 6 • • • • •

I Mo nat '" 30 Zinstage I J ahr == 12Mon ate zu je 30 Zi nstagen == 360 Z instagc (,,30E/360"-Ziihlmethode) Falls Zinszuschlag E nde (" Ult imo") Februar, so wird mil 28 bzw. 29 Tagcn Im Fcbruar gcrcchnct. Bci dcr Ermit rlung eincr Kapitalubcrlassungsfrist (Gesamtlaufzeil) wird der 1. Tag nicht geza hlt, der letztc Tag dagege n va ll rnitgczahlt. Ein Zinssatz i bcz ieht sich bcifehlender Zeitangabc sters auf 1 J ahr.

Bemerkung 1.2.8: Aujjerderenviihnten 30E/360-Melhode werdenfo/gende Zii hlmethoden verwendet: " acluall360" oder " ad /360": Tage kalendergenau, Jahres/iinge 360 Tage; " act/act": Tagr una Jahre ka lendergmau. " actl365": Tage k a/endrrgenau, Iahres tange 365 Tage; Sri! dem 01.09.2000 gilt in Deutschland far die Effrktivzinsermittlung bet Verbraucherkrediten (gerege/t in der Preisangab enverordnung (PAngJl) fo/gende Ziihlung:

1 Jah r == 365 Tage == 52 Wochen = 12g1eich/ange Monatezuje365JJ2 == 30,416 Tagen (slandardisierte Berechnungsm ethodr)

Beispiel 1.2.9: Ei n Kapita l von 2.000,-- € wird vom 13.01. bis zum 27 .06 . {desselben Jahres) ausgcliehen, Zins-

satz: i == 0,08 = 8% p.a. Laufzeit: n == 17 + 4 . 30 + 27

Zu

= 2 .000 0 ,08 '

~~

== 164

Tagc = ~~~ Jahre .

A us (1.2.7) folgu

== 72,89 € Zinsen, fallig tzusammen mil dem Kapual} am 27.06.

Bemerkun g 1.2.10: Wird die La uf zeil in Tagen gemrssen (t Tage), so wird ouch die fofgende zu (1.2.7)

aquivatente Z insf onnet (mil t == 1:0 p.a.] verwendet: (J.2.lJ)

Zn ==

Bei der Anwendung von (1.2.11) beachte man, dass sich dabei Zimfujj p taw. Zinssatz i z wingena auf 1 Jahr beziehen mussen, wiihrend (1.2. 7): Z n = K o ' i- n far be1iebige Zeiteinheiten gUftig ist. 6 FOr die Ermittlu ng des effektiven l ahreszinses eines Verbraucherkredil!i hat die Europaischc Union zwischcnzcnItch Richtlinien liir die Lange der anzuwcndcndcn Zinsperioden crtasscn. Danach werden flir das Jahr 365 Tage, im Fall von Schaltjahren 366 T age oder einheitlich 365,25 TagcJJahr zugrundcgelcgt. Auch mogtich sind 52 Wochen oder 12 gleichlange Monate zuj e 365/ 12 = 30,4 16 Tagen (Rich/I. 98/7/EG Y. 16. 02.98), siehc Bern. 1.2.8 .

20

Vora ussctzungcn und H ilfsmiltcl

Am Endc dcr Kapitaliibcriassungsfrisl wird neben de n Zins cn Zn auch das ausgcliehenc Anfangskapital Ko fal1 ig, so
Kn =

Ko + Zn

=

Ko + Ko ' i · n ,

d.h . es gilt (Ko auskfammem!) die grund1cgcnde

Endwertfonnel bet hneerer Verzi nsung: Kn ;

(1.2 .12)

!Co : i n

(End -] Kapital am Endc dcr

Kapstaluberlassungsfrist, Endwert

Anfangska pital, Anfangswert, Barn-en (nachschilssigcr, h nearer) Zinssatz (pro ZE) Kapitafubcrtassungsfnst, Laufzeit (in ZE)

Dabei is! sorgfaltig zu bcachtcn: In (1 .2.12) musscn sich i und n stc rs auf dieselbe u ite inheil l Zlnsperiode bcz ichcn !

Bemerkung 1.2.13: (,,Auf zinsung") j) (vgl. Bern. 1.2.10)

Bezieht sich i auf I Jahr,

und wird die L aujzeu

A u fz in s u ng s vorg a ng

I in Tagen gemessen

Ko -. -

(wobei t Tage = - ' - Jahre!), so emii ll man (m il i = 1:0) den : ; /4gezinsten" Wen Kn :

(I. 2.14)

s; =

Ko (I +in) = Ko(I +1:0'

t----

3~0 )

-

Kn = Kof l+in J

-

(Zei/l

l aufzeit -

-I

(n Zeiteinheiten (ZfI, z.8. t rage)

ii) Die Srmiutung des Endw enes Kn heijJt Auft.insen von K o .

Beispiel 1.2.15: i) Ein Anfangskapital von to.OOO,· · € wird bci cinem Q ua rlalsz inssatz von 4% p.Q fur 9 Monate (ohn e zwischenzeitliche Zi nsv arechnung} angclegt . Dun n lautct das aufgczin ste Endkapit al Kn naeh (1.2.12), da n = 3 Quartale:

Kn = 10.000 ( I + 0,04 ' 3) = 11.200,-· € . ii) 1.500 ,-- € werden vom 19 .04 . bis zwn 06.09. zu 9% I t-e- (linear) ausgcliehen . Dann betragt das aufgczinste E ndkapital 137

Kn = 1.500(1 + 0 ,09 ' 360 ) = 1.55 1,38 € .

Ku ' (1 + i · n] fur lineare Verzinsung enthalt vier Variable: (2) Ku (Anfangswen ) (3) i {Zinsseu pro ZE) (4) n (L aufzei( in ZE)

D ie Z insformcl (1.2. 12): K n = ( 1) K n (Endw m)

und gcstattct dahcr die Bcstnnrnung jcdcr di escr Gro Ben, wcnn nur die drei iibrigcn gegcbc n sind:

(I) Endwert K n ( = (1.2.12»:

I

Kn =

Ku(1

+ i · n)

I,

vgl. Esp. 1.2.15 (auft.insen von K o)·

1.2

Linca re Vcrzinsun g

21

Ko (abrinsen von KrJ : Welchen Betrag Ko muss em Sparer am 05 .02 . zu 3% p.a, anlegcn, damit er (bei tinearer

(2) Anfang!>wert

Beispiel: Vm insUIIg) am J ahresendc uber 10.000,-- € vctf Ogcn ka nn? 10.000

Nac h (1.2.12) muss geltc n: Umfonnung liefert fur den Anfangswcrt

Ko:

=' I[

' '0

Die allgem eine Umfo nnung von (1.2 .12) licfcrt:

It'"

."

(1 + 0,03'

10.000

='

1,027083

f + in

K,

9.736,31 €

-

-

-

Kn

(Zei/)

f--

loufzei/ - - I (n Zei!einheilen (ZEJ, rs. n Mono/e)

1 + i· n

Ko wird auch Barwe rt 7 zu

='

Abzinsungs vorg a ng

K, - - : K() -

(1.2.16)

ill ) 360

K., genannl, der rechnerische Prozcss heilll Abzinsung von K., .

Bemerkung: Man beadue: Der (heutige) Barwen K o einer nach n Zeiieinheiten falligen spiueren Zah lung Kn ist derjenige Betrog K o , den man heute zum (nachschUssigen) Zinssa tz i (in % pro Zeiteinheit) on legen muss te. urn sptuer (d.h. nach n ZE) Kn als aufgezinsten Endwert zu emahen (sirenggeno mmen mUsSle man sms noch zusalzlich angeben, nacn wekher Vazinsungsmemode - linear oder exponemiell Kn aus K o zu ermineln ist). «

Anf anger neigen gelegrntlich dazu, den Barwen K o riner spateren Zahlung Kn bei linearer Venin sung (fiilschlicherwrise) dadurch zu ermiueln, dass tie vo m Endwert Kn die (auf diesen. Endwert entfallenden) Zin sen ahziehen: K o =' Kn - Zin sen auf Kn =' Kn - Knin =' K,ll - in). Dies Vetfahren lauft auf von chussige Vmin.~UIIg hinaus (vgl. Kap. 1.2.4) una win! auper bei der Wechseldisk ontiernng ka um angewenda. (3) Zins.<;alz i : Beispiel: Am 07.03. nirnrnt die Huber GmbH einen Kredit in H ohc vo n 72.000,-- € auf, dcr am 22.09. (incl. Krcditzinsen) mil 78.8 25,· · € zurOekgczah lt werden muss. Wie hoc h ist dcr (auf ein Jahr bezagene) Krcditzinssatz ("Effeklivzinssatz " tei linearer Ven insung) ? Nac h (1) bzw, (1.2. 12) mu ss gclten: 78 .825

='

1,094 792 i

72.000 · ( I+ i · ='

1 + i ' 0 ,541667

0,094792 ='

~~~ )

0,54 1667

='

0, 1750

='

17,50 % p.e.

Die allgemeine Umfonnung dcr Zin sfonncJ Kn '"

Ko(l +i n) naeh

i ergibt :

(1. 2.17)

,

M1n beacbtc , dass dcm so dcfinicrtcn Barwc rt ~ kcine eigenstandigc Okooo mischc Bedeutung zukomm t. Dcr (finanzma tbc matisc bc) Barwe rt Ko ist nur durch dcn Umweg tiber dcn Endwcrt K n ckoromisch erklarbar.

Voraus sctzungcn und H ilfsmillcl

22 (4) Laufzelt n :

Beispiel:

Wie lange mu ss ein Kapita l von 10.000, -- € zu 16 % p.a. (linear) angclcgt werden, damit sich ein Endkapilal von 11.000,-- € crgibt?

Nach(t) bzw. (1.2.12) muss gcltcn: 10.00 0 .(1 +0, 16 . n)

11.000

1 + 0,16 - n = 1,10 n =

~t :~

'"

0,16 -" = 0,10

0,625 Jahre

0,62 5 ' 360 T age = 225 Tege

Die allgemeine Umfonnung dcr Zinsfonncl Kn = Ko( l +in) nach n ergibt: ( 1.2.18)

Auch fur die Gcsarnt hcit mehrerer ZahI ungen

Ko l ' Ko2 , ...

lass! stch

em Summen-E ndwert

Kn mit

Iincarer Verzinsung cmdcuug cnnittcln, sofern das gcmeinsamc Laufzeitcnde am Tag der letzten vorkomm cndcn Za hlung (oder spa/er) licgt. K~

-

-

-

-

Kn = ?

----1----+----1--------1- - - - - - - - t - - -rzeil) Bei.~piel

1.2. 19: Auf ein Kania (6% p.a . linear) worden 500,-- € am 31.03. und 1.000,-- € am 31.08.

eingezahlt. Am 30.09. werden 700,-- € abgehoben.

1+1

1+1

500

1000

I-I

Kn -- ·?

700

-if--+---+--+---+-- jI--l ~m

5 M onale

f3112.

~w

---+tM-t-

3 M onale

-~

(Ein ( +) beaeuterEinzahlung, ein (-) bedeufet Ahhebung). Gcsucht is! dcr Kontostand Kn am 31.12.. Bci Anwendung dcr im traditioncllcn kautmaneiscben Ve rkchr (bei tineorer Ver.:insung) ubttchcn Kontosta rrelmethode wird im Prinzip wic folb" gcrcchnct {etne tabellarische Darstellung erfolgt writer

unten): Die erste Zahlung(500 ,- - € ) tragt bis zum 31.08. Zi nscn Z\ in H ohc von 5 Z\ = 500·0,06 '12 = 12,50 € .

vgl.(1.2 .7)

(Dieser Zinsbetrag wird auf einem separaten Komo gesamme/t und erstam Ende der Laufzeit ftil/ig !)

1.2

Lincare Verzinsung

23

Der neue Kapitafbetrag am 31.08. ist 1.500,-- € , er tragt bts zum 30.09. Zinsen Z 2 in Hchc von

~

=

1500'0,06 '1~

= 7,50€

(ebenfal/s em ftillig am Leufzeuende}.

Nach dcr Abhcbung ergibt sich ein zu vcrzinscndcr Kapitalbctr ag von 800,-- € , auf ihn entfallcn in den rcstlichcn 3 Monatcn Z insen Z3 in Hebe von Z3 = 800'0,06 ' 1.. = 12,00 € . 12

Somit ergibt sich insgesamt zumSt ichtag 31.12. ein Endwert ( = Kontostand} Kn in Hohc von Kg = 800 + Z\ +

~

+ Z3 = 832 ,-- €

= 500 + 1000 - 700

Die nachstchcnde Tabellc 1.2.19a vcrdcuthcbt in cincr Kontostaffcl rechnung die En lwicklung des Kontostandcs sowie (bei Zinsentstehung am Monatsende von 0,5% p.M. auf den zu Monatsbeginn vorhandenen Konlos/and ) die Sanunlung und Verrcchnung dcr Zinsen zum Schlusstennin 31.12.: Konlostand (€ )

l\Ionat~zinsen

l\looal

(zu Monatsbeginn)

(separat gesammell)

03 04 05 06 07 08 09 10 II 12

0 5(J{) 500 500 5(J{) 500

(0) (2.50) (2.50) (2.50) (2.50) (2.50) (7.50) (4.00) (4.00) (4.00)

Tab. 1.2.19a

1.500 800 800 800

(0,5% p.M.) kumulierl und mm Lau! ze i/ende \!erredlllel

Zahlung

(Ef/de d. M.)

(m m Monatsende]

+500

500 500 500 500 500

+1.000

1.500

700

800 800 800

32,00

Konlostand (€)

8J2

(Komoslaff el bei linearer Veninsung)

Denselben End-Kootostand (: 832€) harte man indes mit wescntlich weniger Muhc crmittcln konncn: Zinst man namlich jede Einzelz.ahlung getrennt mit (1.2.12) auf und bildct erst zwn Schluss den Saldo, so lauter die Rcchnung; 32) Kn = 500(1+0,06 ' 1~)+ 1000(1+0,06 ' 1~) -700(1 +0,06 ' 1 = 522,50+ 1020,00- 710,50 = 832 € Das im lctztcn Beispiel zum Ausdruck kommende Prinzip gilt al1gcmcin fur bcliebige Zahlungsrcihcn: Salz 1.2.20: (Endwert elner Zahlungsreihe bci hnearer Verzinsung) Der Endwert Kn einer Zahlung.sreihe [d.h. einer Gesamsheu von uruerschledlichen und zu unterschiedlichen Zeupunksen falligen ZahlungenlKapilalbelriigen) darf durch geuenmes Iinear es Aufzinsen zum gemcinsamen Stichtag und Saldierung am I..aufzeitende crmittelt werden. vora ussetaung dabei Ist, dass das Laufzcitende (der Slichtag) am Tag der lctztcn vorkommenden Za hlung (oder spaler) liegt.

24

Vorau ssctzungcn und H ilfsmitt el

Ocr Bewets wird fur zwci Antangskapitalbetrage beliebigvieleZahlungen ausgedehnl werden) : KOf

---1

Ko2 gcfiihrt (und kann auf analoge Weise auf

«; =?

K02

1

1- -

~

~ (a)

~l '

(Zeltl

I

n,

-IS "h"'"

---':i n, -

Abb. 1.2.2 1

Endwert Kn bel gelrennler Aurn nsung: Kol muss " I Zelteinheitcn, Ko2 muss "2 Zeiteinheiten aufgczinst werden, rnithin lautet dcr

Konto-Endstand Kn:

Kn '" KoI(1 +i· nJ) + Ko2(1 + i : "2)· (b)

Endwert nach der {umstandlich en, aber korrelaen} KonlostaffeH\lethode: Nomi nal kapita l:

Zinse n:

KoJ + Ko2 KoJ triigt fur nl- nz Z E Z inscn

Kol+Koz 1rab'Cnfilr nzZEZ insen

:::> :::>

Z I = Ko I "j "(" j -n z) Z 2=(Ko I+Koz) "j"nz

Das Endkapital Kn am Slichtag sctz t sich zusammcn aus dcm Nomi nalkapital plus den scparat gcsammclt en (und erst am Ende de, Lau/zeit zu verrechnenden} Zinsbctragcn Z l und Z 2' d.h. Kn = Kol + Ko2 + Z l + Z 2 = Kol + Ko2 + Kol ' i · (n l - n2) + (Kol + Ko2) ' i · n2

(umfo nnen!)

= Kol + Ko2 + Kol ' j ' n l - K01' i' n2 + KO} 'i ' n 2 + Ko2 ' i ' n2 = Kol + KoI ·i · n 1

+

Ko2 + Ko2 ' i ' n 2

= KoI(1+ i'n 1) + Ko2(1+ i ' n2) '

alsocxaktdasErgchnisnaeh (a) .

Oc r mit dcr (umstiindfichen, aber ko rrekten] Kont ostaffcl-Methode (h) errnin elte Konto-Endstand Kn ist somit Identisch mit dcm Saldo der jeweils get rennt his zum Stiehtag aufgeri ns ten Zah lungcn nach (a), genau das abcr solltc gezcigt werden. Gctrenntcs Aufzinsen der E inzelzahlungcn cincr Zah lungsreihe fOhn nicht nur zum gleichcn Ko ntoends tand, sondcm isl - wie in Beispiel 1.2.19 gcsehen - sowohl ubcrsichtlicher als auch rec hentcchnise h einfaeher zu handhabcn als die rabc llarischc Staffelme thode. Insbesondere ist es dad ureh au f einfache Weise rnoglich, cine nach traglichc An derung cinzclncr Zahlungen oder Zahlungstcrmin e in de n Endwert Kn einfl iel3en zu lassen, ohne e rneut die komp lette Za hlungsreihe aufzinse n zu mnssc n.

Bemerku ng 1.1.22: i) Das in Satz 1.2.20 zum Ausdmck k ommende Prinzip wird sich im Zusammenhang mit dem Aqui-

valenzbegriff bei der Ennitt lung von Eff ektivzinssiitzen als hilfreich erweisen, vgl. Satz 1.2.34. ii) Getrenntes lineares Aufzinsen der verschiedenen Zahlungen einer Zahlungsreihe kann man reausieren, indem man (zumindest fik tiv) jede Zahlung auf ein eigenes Komo legt wul am gemeinsam en Stichlag die aufge16sten Konten (inel. Zinsen) saldiert.

Bei stets gleichem Zin t satz teuchtet es unmittelhar t in, dass et f ur die Hone des Endwens nicht darauf ankommen dar[, ob die Kapaalbetrage auf einem oder auf m ehreren Konten liegen. iii) Wie sich im nacnne n Kapuet 1.2.2 herausstellen wird, gibt es bei finearer Ven insung f ur den Vorgang des Abzinsens keine mil Satz 1.2.20 vergleich bare Regel. Dies ist der Grund f ur die einschrankende Vorausserzung fur den Stichtag in Suu 1.2.20 im Falllinearer Verzinsung.

1.2

25

Lineare Verzinsung

Aufgahe 1.2.23: i) E inc am 18 . Ma i in Rcchnung gcstcllte WarcnJicfcrun g wurdc am 2. Dczcmber mit 4.768.-- € einsc hl. 8 % p.a. Zin sen bcza hlt.

Man ermittle den Rcchnungsbetrag und die Zin scn . ii) Ein Schuld ncr Obcrweist seincm Glaubiger am 05. 12. Verzugszin sen in H oh e von € 821,37 fur cinen scit dcm 18.04. dcssclbcn Jahrcs ausstehendcn Rcchnungsbet rag in H ohe von 10 .600 € .

Welch cm nachsch Ossigcn (effek tivrn) J ahreszmsset z cn tsp richt diesc Zin szahlu ng? iii) Bei dcr fatligcn Uberprutung der Steuennoral von U nte me luner Xaver H ube r stoBt dcr Beamt e

der Ste uetfahndung auf folgcnde Zahluogscingangc emes Hubcrschen Sonderkoruos: 74.720 161.600 4 1.600 150.400

€

€

€ €

am 20. 03. am 06.0 4. Da tum u nlcserlieh am 05 .06 .

Wann wurden die 41.600,-- € gc zahlt , wenn da s Konto naeh dcm Zinszusehlag am 30 .06 . cin Gcs amtguthabe n (inel. Z insen von 4,5% p.a.) von 431.680,-- € aufwies? iv) H ubers Girokon to wird vien cljahrlich abgcrcchnet, Z mssat ze: 0,5% p.a, fur Guthabcn, 15 % p.a. fur Ubcrzi chu ngcn . Am Ende des lctzt cn Vierteljah res wurden H uber 23,2 1 € Guthabenzin sen sowie 696,30 € Schuldzinscn in Rcchnung gest ellt. Wic hoch war der durchschnittficbc Komostand im tctztcn Viertcljahr? Erklarung? v) E in Bankhaus bcrechnet fur einen kurzfristigcn Kredit (Kreausumme = A usze hlungsbetrag = 42.000,- - € , L auf zeit: 23.02. - 16.07.) 9% p.a. Z insen sowie 0,25% Provision (bezogen auf die Kredusumme}. Welc her nachsch ussige Jahrcszinssatz liegt dicscm Kredit zugrundc, wcnn die Zinsen (sowie die reine Kapitatruckzahtung (Tilgun g) von 42.000,- - € ) am Endc dcr Laufzeit , d ie Provision sowie a uscrdc m 50,-- € Bearbeitungsgcbilhren da gcgcn zu Beginn dcr Laufzeit fallig (und auch bezahlt) worden? vi) Ei n Kapital in H ohc von € 22 .000,-- ist vom O3.oJ . bis zum 29.12. a ngclcgt. Z inszuscblag erfolgt am 29 .12.

Zunachst bctragt dcr Zinssatz 8 % p.a. Mit Wirkung vom 19.05. stcigt er auf 10% p.a. und mit Wirkung vom 02.09. fallt cr auf 4 % p.a. a) Wie hoch ist das Kapital am Endc dcr Laufzcit? b) Welch es Anfangskapital Mite man tanstelle der 22.000, -- € ) am 03.01. anlcgcn musscn, urn auf cin Endkapital von gcnau 100.000,-- € zu kommc n? \ii) H ube r lciht sich am 15.03. 9.000,-- € und zahlt am 11.1 1. 10.000 ,-- € zuriiek. Zu wclchcm Effekt ivzinssatz erhielt er den Kredit?

26

Vo raussclzungc n und H ilfsmillel

1.2.2 Das Aquivalen zp rin zip der F1nan zmat hematik

(be; linearer Verzinsutlg)

Die M6g1 ichkcit, Geld fu r ein en gcwi sscn Ze itraum anz ulegen/aufzu nchmcn und zum spatcrcn Zeitpunk! incl. Z insc n zuriickz ucr haltcn bzw. zu riickzuza hle n, liefcrt glcichzeitig die M6g1 ichkcit de r zeitlichen Transrormution ven Zahluugen in cine bcliebigc " Z ukunfl~ (aufzimen) odcr " Vcrgangcnhcit"

(ubzinsen), vg!. Abb. 1.2.25: -

-

-

Zukunft -

Vergangenheil

I Zeilpunkf :

Zahlungen'

I

I

- 1

2 - -

- - aukinsen - - - -

(KapitafJ

Abb. 1. 2.25

Ko - - - -

(Zeit)

I Kn

Ko

.=

K,/I+in/ l

I Ko' ~1

ai¥insen

1 +m

Damit crgibl sich glcic hze itig die Moglch kctt. Zatllungcn, d ie z n versclae de nen Termlnen Hillig sind, mitcin andcr zu vergleichen oder zu sal dieren (d.h. zu addieren oder zu subtrahieren], In dicsem Z usam menhang tes ter der Bcgriff der Aquivalenz wertvollc Hilfc ;

Definition 1.2.26:

(Aquivalenz zweter Zahlungen tlineare Veninsung))

Die Zahlungcn/Kapitalbctragc Ko (fa/fig im Zeitpunkt 0) und Kn (fiillig im Zeap unkt n; d.h. n ZE spater) hcif3cn - bei linearer Veni nsung (zum Zinssatz i pm ZE) - iiquivalent. wenn zwischen Ihnen d ie Bcziehung (1.2.27)

Kn

:

Ko( I + i ' n)

beste ht.

Beispiel 1.2,28: In diesem Sinnc sind 100,-- € ('= K o) heute und 110,-- € (: K,J in cincm Jahr bci i = 10% p.a, und lincarer Verzinsung equivalent, de nn 100· (1 + 0,10 ' l ) = l l f). Dass cine Zahlung ..100 € hcutc" und eine andere Zahlung ..110 €, fallig in einem Jahr", auch nach unserem Atttagsvcrstandnis bei 10% p.a. glcichwertig (aquivalent) sind, sieht man wie folgt : (a) A ngenommen, ich vcrfuge heute ater 100 €. Dann kan n ich hcutc auf d icsc Summc vcrzichten, indcm ich sic zu 10% p.a. fOr I Jahr verlcihc. Dan n verfOgc nach d icsem cinen Jahr ubcr 110 € . A us ,,100 neue " kann ich somit ,,110 in einem Iahr " machen. (b) 1st umgckchrt der Z ulluss von 110 € in cinem Jahr gcsichert, so kann ieh auf dicsc zukiinftigc Za hlung vcrztchtcn und mir dafiir heute 100 € versc baffcn: Ich nehme hcutc zu 10% p.a. cinen Krcdit von 100 € auf (verfiige also heute uber 100 €). Die gcslchcrtc Riickzahlung von 110 € nurze ich, um davon nach 1 Jahr das Kapital (=100) sowic die Zinsen (= 10) zuruckzuzahlen. Au s ,,110 in einem l ahr" kann ich sornit ,,100 neuse" machen. Somit kann ich je nach Bcliebcn .Jreute 100" transformiere n in ..110 in einem Jahr' (und umgekehrt): Beidc Zahlungcn sind (bei i = 10% p .a.) wertgleich, eben iiqui\'alenl. Ein Krcditgcschaft " nimm hcutc 100, zahle nach einem Jahr I to zuruck" ist also bei i = 10% p.a. "fai r~ im Sinnc des Aquivakmzbcgriffcs.

1.2

27

Linca re Verzinsung

Bemerkung 1.2.29: Die vollstandige Aquivalenz in heiden Zeitrichtungen eifordert slrenggenommen die Gleichheil von SoU- und Haben-Zinssa~ DiesePramisse ist (zumindesl nahenmgsweise} immer dann erfiilJl, wennsich aile Zohlungsvorgange auf einem [moglicherweise f iktiven) Kreditkonto (z.B. Kontokotrentkonto] ereignen:

• Iede Kapitalauftlahme bewirkr Sollzinsen i in entsprechmder Hobe; • JedI' KiJpitalanfage verminden den Schulaenstand und vermetda Souzmsen i , oder - gleichbedeutend - erwmschaftet Habem insen deneiben Hohe i. Vergleichl man dagegen nur die Endwerte von Zahlungen, is/ die angesprochene Pramisse entbehriich. Mil Hilfc der Z insfonncl Kn = Ko(l +in) und Dcr. 1.2.26 ta sst sich fur zwei bcliebigc Bcrragc (z.B. Kredit KrJKreditriickzahlung Kn,. Wenpapierkauf KrJWertpapierverkauf Kn ,.Barzahlungspreis Kr/Ziefzahtungspreis Kn ; atlgemein: . Leistung" Ko /" Gegrnlei.slung~ Kn oder .Zahiungsweise A I ZohlungsweiSf!

B ~)

feststellen, ob sie - bei lincarer Vcrzinsung -aqutvelent sind oder nicht bzw. welche G roBe (K o

oder Kn oder n oder i) man in welchcr Weise andem muss, damit Aqu ivalenz eint ritt.

In dcr Praxis ane rdmgs hat man cs mcist mil Ze hlungsvorgangcn zu tun, bci dene n die " Lcistung" undJod cr die "Gc b'Cnlcislung" aus mehrercn Zahlungen ("Zah/ungsreihe") bcstch t. Lcistung

Bei.~pieJe:

Gcgcnlcist ung

Investltion (z.B. Neubau eines Burogebaudes: mehrere Auszahlungen in der Emcmungs- und Betriebsphase)

Ruckttnsse (Mie/eIl, Enrage, Sieuem, evtl. Verkauf) ebcr mchrcre J ahre

•

Krcditaufna hme

me hrere R uckza hlungsratcn

•

Sparplan tmehrere Einzahlungen) - __

R Ockzahlung odc r mehrere Ruckzahlunge n (Rentensparen}

•

Urn fcsts tellen zu konnen, ob in solchen Fallen "faire Bcdingun gcn" vorlicgen, d.h. ob Aquivalenz voo Lei~lung(en) und G~nleislunge(en) gegcbcn ist (hzw. bei wekhem Zins i Aquil'a/enz grgeben ware " Eff ekiivzins") , muss d ie Aquivalcnz von Zahlungsreihen dcfmicrt scin. E.~ stellt sich hicr im Gcge nsatz z u Def. 1.2.26 die Frage, welcher Termin als Vergkichsstichtag hcrangezoge n werden soli: Beispiel 1.2 .30: Ein Krcd it in Hohe von 200,-- € (" Lei.stung~) soil durch zwci Zahlungcn (100,-- € nach 6 Monaten, 1l 5,-- € nach weitcren 6 Mo natcn: ("Grgenleislung") zurOckgezahlt worden. Es wird lincare Vcni nsung zu 10 % p.a. unterstellt . Licgt Aquivalenz zwischen Lcistu ng (L) und Gcgcnlcist ung (G L) vor ? il Slichlag

eoo

-----1f---------I•

IiI Slichlag

I.

Abb. 1.2.3 /

6 M onate

(II

- - - - I --

---+--100

I

,

115

6 Monale - - - . ,

(Gil

(Zeit)

Voraussctzungen und Hilfsmittel

28

i) Wah l! man als Stichtag den Tag dcr temen vorkomm cndcn Zahlung (= 115) , vgl. Abb. 1.2.31, so ergcben sich (bei getrennsem Aufzinsen I'on L eistung und Gegmteistung, vgl. Set z 1.2.20):

- die autgezinste Letstung zu 200 ' (1 + 0,10 ' 1) = 220,-- € - die aufgczinstc und saldicrte Gcgcnleistung zu 100 -(1+0,10 -0.5)+ 115 = 105 +11 5 = 220,--£ d.h . offcnbar wachscn Lcrsumg und Gcgenlcistung bci 10% p.a. jcwoils auf dcnsclbcn Endwert an, wir sprechcn in Analogi e zu Del . 1.2 .26 von Aquivale nz zwischen L und GL. Dassclbc E rgcbnis crzielt ma n (vgl. Satz 1.2.20) , wcnn man aile Bctragc auf eincm cinzigcn (Kredit- ) Kon to staff clmJiBigwie in Be isp iel 1.2.19 abrcchnct: Ilalbj.zinsen

Kootostand (€ ) Halbj.

(m Hatbjahresbegirm)

01 02

200 100

(5% p,H ,) kumulien und

(sep Tal

zum LJuf::eit-

gesammell )

ende verrechnet

Zahlung (Ende d Hj. ) -100

(10,00)

15,00

(5,00)

- 115

Kontostand ( €) (zum Halbj . -

ende]

100 0

Das Krcditkonto cgch t gcnau auf", am Endc dcr Laufzeit ist dcr Kontostand (= Schuldr:nsland) genau Null, Lcistung und Gegenleistung heben sich gcnau auf, Leistung und Gcgcnlcistungcn sind liquivalenl. ii) Wahlt man dagegcn als Stichtag den Tag der ersten Zahlung (= 200), vg!. Abb . 1.2.3 1, so crgcbcn sich

- die Lcistung zu 200,-- € die abgczinstcn und saldicrtcn Gegcnlcistungcn zu 100 1 + 0,10' 0,5

115

• --

1 + 0,10

=

100

115

1,05

1,10

-. -

=

95 24 + 104,55 '

199,79 (* 2001)

Dicsclbcn Zahlungcn sind also jetzt nlch t mehr aqwvalenl ! Bemerkung: Man ko nnte in ii) nach demjenigen tinea ren Z inssat z ijragen (= " Effektivzins"), der die Gleichung L = GL (abgezinst) wahr macht. Dazu lost man die entsp rechende Aquiva lenzgleichung 100

1 + j ' 0,5

bzgl. i ,

Ergebnis:

i = ieff = 9,85 % p.a . (* lO% p.a. II)

Das lctz te Beispiel zeigt, dass die Aquivalen'l ' {Ill ZahlungHeihen bci Iinearer Ver.t.insung abhiingig von der Wahl des Bezug.""~tichtags ist.

>---~--- 2.bhre - - - - - -

, bh,

Ibh,

1.2

29

Lincarc Verzinsun g

Die 100, · · € wachsen bet 10% p .a. linear in 2 I ahren auf 120,-- € an, die 110,-- € wachsen in einem Jahr um 11,-- € auf 121,-- € an. Ebensowenig erweisen sich die heiden Z ahlungen als iiqu ivalent, wenn ma n etwa die ll'illiche Mille als Sticmog wanu:

+--

100

-1

6Mon'-1

5fichtog. I = 10'

~

I

I

6 Mon. ~

-

- --

(Zeitl

110

--j

6 100,-- € 6 Mo nale eufz insen ..... 100 (1 + 0,1 '12) = 105,--

110, -- € 6 Monate atainsen

II '

---'-'-'--., = 104,76 / + 0'/'12

( *' 105,-- 1)

Z wei Z ahlungen sind also brim gleichen Zinssatz sowoh l iiquivalent Widerspruch , u jeder Logik.

ets auch

nicht iiquivalrnt - im

D ie im jctz ten Beisp iel zutagc gctrc tcne " l derspriichlichkeilen bet linea re r Verzi n.\u ng lassen sich prinzipiell nieht vermcidc n [es set denn, m an venichtet vollstandig auf die lineare Verzinsung, vgl. Kap . 5.4). Daher cm pfichlt es sich, eine Verci nbarung dariiber zu trcffen , welcher Stiehtag bci fincarcr Vcrzinsung gewahl t werden soli. Da die finan zmathcmatis chcn v organge bcsondcrs a nschaulich werde n, wenn nur A ufzinsungcn sta ttfinden, wollen wir vcrctnbarcn: Konven ucn 1.2.33:

(Stichtag bei nnes re r

Verzin.~u ng)

Werden Zahl ung.~rei hcn mit H ilfe der linearen Verzinsu ng saldiert od er vergnchen, soli als gcmcin samer Bewertnngssu chteg der Tag der letzten vorkcenme nden Zahl ung gcwahtt werden (oder es muss a(l:j'drtick lich ein anderer Stiduag vereinbon sein.v:

Dcr A quivalcnzbcgriff (vgl. Drf 1.2.26) tasst sich darnit bci linearcr Vcrzinsung auf Zahtungsrenien crweitem: 1.2.34: Zwei Zahlungs reihen A , B (" Lci slu ng~1 ~ Gegen leis t u ng") hciBen bci uneere r verzius ung zum Zin ssatz i iiquivalent , wenn sie - aufgcz inst auf den Tag der letztcn vorkommenden Zahlung - dcnselbe n . Kontostand" (d.h. dense/ben Welt) ergebe n.

Denmncn

Damit sind wir in dcr Lege. das finanzrn athcmatischc Aquivalcnzprinzip (jur lineare Ver.:insung) zusammc nfasscml zu dcflmcrcn:

Sat z 1.2.35: (Aquivaleuzprinzip der Finanzmalhematik (bei linearer Ver.:insung) Zwei Zahl ungsrcihcn (LeistunglGegenleistung bzw. Za htungs reihe AlZahlungsreihe B) durten nur dan n

• verglichen [im Sinne de! Aquivalc nz} • add iert ) • sub trahiert

"sa ldicrt

U

werden, wenn samulc bc vorkomme ndc n Zahlungen zuvor auf elnen und deuselben Stichtag tra nsfo rmicrt wurdcn . Der verwcndc tc (lineare Ia hres-] Z mssa tz hcillt Kal kulatioh!.zi.n....satz (bzw. - bei Ubereinstimmung von L elsumg und Gegm lnstung - Eff ek tivzinssa lz, siehe Def inilw n 1.2.39).

Voraussetzungcn und Hilfsmittcl

30

Bci Vcrwcnd ung dcr linea ren Veninsung crfolgt - nach Konvention 1.2 .33 - diescr zcitlich e Transformations prozess durch Auhinsen samtlicher Zahlungcn mit H ilfe der Zinsformcl (1.2.12):

I K.

1<,,(1 + ; .)

=

I

auf den Falligkeitstag dcr lerzten vorkommcndcn Zahlung. Dabei konncn aile E inzelzahlungcn getrennt aufgczinsl und ansch licBcnd zusammcngcfassl werden (vgl. Salz 1.2.20).

Bemerlamg 1.2.36: Da es (nach Satz 1.2.20) fur die Hoh e des Kontorndstands unerheblich ist, ob die

Zahlungen staffe/mafJig varecnnet oder gelrennl aufgrzinst werden; kann man eineeinfacheund nach-

voffziehbare Interpretation fur die (korrrkre) Anwendung desAquivalenzprinzips[ormuliaen: Gegeben seien zwei ZahlungsreihenA , B (Leistung/ Oegenleistung]. Alle Zah lungen von A werden auf ein « linear mil i verzinstiches - Komo A gelegl und der Kan tostand am Stichmg ermiueu. Ebenso werden alle Zahlungen von B auf ein anderes - ebenfalls linearmit i verzinsliches - Komo B gelegt und der Kontostand am selhen Stichtag ermiudt. Dunn woden die an diesem gemeinsamen Stich/ug resultierenden somoenastande A und B mueinander verglichen (oder - wie z.B. im Fallder Resischuldermiulung bei Schuldentilgung - saldien]. Beispiel 1.2.37: Ein Kredit in Hohe von 21.000 € wird am 01.03. aufgcnommcn und du rch zwei Zahlungcn zu je 12.000 € am 03 .08. und 30.11. desselbe n J ahres vollstandig zuruckgezahlt.

,

I Stichtag

01.03.

-1f--2 1.000

-

-

03 08

30.1 1.

I

I

12000

12000

- - - - - - - --

(LJ

L

117Tage -

269 lage

L

(Zeit'

IGJ.}

J

-l

Abb 1.2.38

Nach Konvennon 1.2.33 wird als gcmcinsamcr Bcwcrtungsstichtag der T ag der letzten Zah lung gcwahlt, d.h. der 30. 11. i) Gcgcbcn sci em Kalkulationszins ( Q Krcd itzins) von 15% p.a. Ist Leistung und Gcgcnlcist ung ~ fai r~ vereinbart, d.h. bcste ht Aqu ivalcnz von Leistung und Gegenlcistung? Die aufgczinste Leistung betragt (vgl. Abh. 1.2.38): L = 21.000(1 + 0,15 '

;:~)

= 23.3 53,75

€.

Die a ufgczinslc Gcgcnlcist ung bctragt 117

GL = 12.000(1 + 0, 15' 360 ) + 12.000 = 24.585,·· € . Also sind bci i = 15% p.a. linear - Kredit und Krcd itruckza hlung nicht aq uivalcnt, viclmchr ist die Riickza hlung am Slichtag urn 1.23 1,25 € hohcr a ls der Kredit. -r

1.2

Lineare Vcrzinsung

31

E s konn en slch zwei Fragen anschlieAen: ii) Wic hoch messtc die Kredftsumme ~ [anstelle von 21.000) scln, damit Lund GL bci 15% p.a .

(linear) aqwvalenl sind? iii) Bci wclchcm (finearen) Jahrcszinssatz i (= i. : Eff ektivzinssatz) sind Lcistung (L) und Gc gcn-

ff

lcistung (G L) aquivalcnt ?

zu ii ) (A"quivalenz von Lund GL ): E s mus s dann am Stiehtag gclten: L

GL , d.h.

(vgl. Abb. 1.2.38 mil Ko stall 21.000):

12.000(1 +0, 15' 24.585

'"

1 + 0,15'360

~~~) +

12.000 = 24.585

22. 107, 16 € (n/airel< Kreditsumme bet i = 15% p.a.) .

Bemerkung: Haee man zur Ermiutung von Ko die heiden Ruckzahlungsraten getrennt abgezinst (wie es nicht seuen in der Praxisgeschieh/), lautet das Ergebnis:

«,

=

n oon

/.S2

+

1 + 0,15' 160

nooo269

1 + 0,15'

=

22.075,82€

160

also - wie erwanet - ein vom vorhergehenden abweichendes Resulta/. Dies t ewein einmaf mehr, dass es bei linearer Veninsung zwingend geboten ist, eine Vereinbarnng iiber den Vergleichs. stichtug vorab zu /reffen. Gerade weil die beiden eben demonsui enen Lasungswege zur Ermntfung der "f ainn" Kreditsumme in sich sditussig sind, bewelsen die unterschiedlichenResultate, dass an der lineuren Veninsungsmethode generell etwas mdu stimmt, vgl. auch Kap. 5.4. zu iii) (Effektivzinssalz): Wir wollen unt crsuchen, wel chcr (lineare) Kalkulatlonszinssat z i die urspriingliehen Ktcd itzahlunge ny-ruckzahlungen (vgl. Abb. 1.2.38) aquivalc nt macht . Dicser Kalkulatlonszinssatz heillt . E ffektivzins" ode r . cffektiver Jahreszmssatz" des zugrundclicgcnden Kredit gesc haftes: Definition 1.2.39: (E ffektivzin.<;,o;alz) Derjen ige (nachschtlssige) J ahreszinssatz i, fOr den zwet (gegebene) Zahlungsreihen A,B (Leisrung/ Gegenleistung) iiqw\'a1 enl werden, heil"lt Effeklivzins.o;a lz (ieff) des zugrundcliegenden v organgs. 8

Bemerkung: Definition 1.2.39 gilt analog fu r die Aquivalenz von Zahlungsreihen bei An wrndung der Zinsesnnsmethode, siehe den spaseren Satz 2.2. 18 iv). (Fonsetzung von Beispiel 1.2.3 7 iii)) D ie Aquivalcnzglcichung zur Ermiulung von i~ff tauter (vgl. Abb. 1.2.38): 21.000 (1 + i · mit der Lo sung i =

i~ff =

~~ ) 1

12.000( 1 + i ·

~~ ) + 12.000

25,44% p.a.

8 Jc nach Methode zur Ermittlung dcr Aquivale nz (lineure. exponeruiel le Verzinrung...J kann cs untcrscbiedlichc Effeklivzinss.' lt.c liir densclben Vorgang gebe n, vgL Kap. 5.3 bzw. 5.4. UllabMngi g davo n karin es aus matbcmatischen Grunde n mchrcre Effckttvzinssatze fur dcnsclben Vorgang geben, dann namncb, wenn die zur Emuttlung von ieff zu lcscude Aquivalcnzgleichung L = GL mchrcrc Lcsungcn aufwcist, vgl. Kap. 5.1.2 oder Kap. 9.3.

32

Voraussctzu ngcn und H ilfsmillcl

Die folgcndcn Bcispiele dcmonst rieren cioigc typische Anwendun gen fur das Aq uh'a1enzprinzip bel Iineare r Verzinsung. Als Vergleid1.~stichtag wird nach Konvcntion 1.2.33 grunds1ilzlich dcr Tag der lelzen Zahlung gewa hlt und aile vorkommendcn Za hlun gen linear auf dics cn Tcrmin a ufgczins t. Zwischenzeitlich existicrt - wic stets bei Iincarcr Verzinsung - kein Zlnsv errechnungstermlnl Beisp iel 1.2.40: (typischeAnwendungen f ur das Aquivalrnzprinzip bei Iinearer Verzinsung)

Der Kaufer cincr Ware konntc hcute den Kaufprcis (11.600 € ) zahlen odcr aber Ratcnzahlung (Anzah/ung heute: 5.000 €, 4.000 € nach 3 Monaten sowie 3.000 € nach weueren 3 Mon aten) in

Anspruch nehmen. l) Fur welche A lte rnative soutc cr sich e ntsc heidc n, wenn er aile Zahlungcn zu

a) 10% p-e- b) 20% ne. (jeweils linear) finanzieren mu sste?

ii) Sci wclchcm (linearrn) Katkutauonsztnssatz sind Barzahlung und Ratenzahlung aquivalente

Alt ernativen? (Gesucht ist also der Effektivzins t ei Ratenzahtung gegenuber Ban ahlung). S/ichlag

11.600 (leis/ilngl

I

,

-1f-- - -- - - I- - - - - - - 1 5.000 4.000 3.000 3Moo"'" -I!--- 3 Monale ·1

r--

(M)

fGegenfeis/ilngenJ

Aueh hier handelt es sieh um die Gru ndstruktur "Lcistung - Gcgcnleistung": Fur den Fall namlich, dass der Kaufer Ratenzahlung in Anspruch nimmt, crhalt cr Yom Vcrkaufcr cincn .Xrcdit " in Hohc des Barverkautspreiscs 11.600,-- €. Die beiden Zahlungsrcihen wcrden verglichcn, indcm sic getrennr auf den Stiehtag (vgl. Konvention 1.2.33) aufgczinst und dann vergliehen wcrden: zu i) a):

i = 10% p.a. (linear) 6

L = 11.600(1 + 0,1 ' 1i ) = 12.180,-- € GL = 5.000(1 + O, I

' I~ ) + 4.000(1 + 0,1 · 132) + 3.000

= 12.350,--

€

Somit stellt die Gcgcnlcist ung bci 10%p.a. den (urn 170 € ) hohcrcn Endwcrt dar. Da dcr Kaufer alles zu 10% p.a. (linear) fremdfinanziert, miiss tc er bet Rat cnzahlung cincn urn 170 € hohercn Bctrag zum Stichtag zuriickzahlen - also wird er sich fur Barzahlung entscheiden. Analog verlauft die Argumentation, wcnn der Kaufer zu Beginn iiber ausreichende Eigcnmittel verfiigte, die er zu 10% p.a. (linear) anlcgcn konntc: Ent scheidet er sich fOr Barzahlung. konote er die im jcweiligen Zcit punkt "erspartcn" Raten zu 10% p.a. anlcgcn und am Stichtag ubcr 12.350 € verfiigen. Ent schcidcl cr sich dagegcn fur Ratenzahlung, kann er die nlcht vcrausgabte n 11.600 € z u 10% p.a. anlegen mil cincm urn 170 € gcringeren Kontocndsta nd von 12.180 € . Also auch luer: Barzahlung (bei 10% p. a. linear) giinstiger fur den Kaufer. Bemerkung: 1m letuen Beisp iel wurde wieder von der Moglichkdt Gebrauch gemocht, Leistung una Oegenteiuung separat und auf gelrennlen Kamen zu baraduen und aui zuzinsen, vgl. Satz 1.2.20 bzw. Bern. 1.2.22. Man iiben eugt sich emeur devon, dass auch eine Kontostaffelrecn-

nung dasselhe Resulsat tiefen:

1.2

33

Lincare Verzinsung

Der Fall . Frem df inant ierung " verlauft wie eben, da fii r beide Zahlungsweisen nur soviei

Kapnat aufgenommen wird, wie benotigt. Fur den Fall "Eigenkapital " gill: Angrnommrn, der Kaufer Ilerfugr hcute uber 11.600, -- £ (mil der Moglichkeil der Anlage zu 10% p.a. linear). Zahlt er bar, so ist sein Kapuulsaldo Null, sowohl j rtzt, als auch am Stichtag. Nimmt er dagegen R atenzahlung in Anspruch, so leistet er heute eine Anzahlung von 5.000, -- £ wui kann die verbleibenden 6.600,-- € zu 10 % anlegen. Nach Ablauf von 3 Monaten sind 6.600 ·0,1 · 1~ = 165,-- £ an Zinsen emstanaen, die aber da lineare Vazinsung - asl am Stichlag verrechnet werden. Nach den ersten drei Monalen wird «

die zweue Rate (4.000,- - €) f iillig, der &pitalsaldo ( = 2.600,- - €) tragi in den res/lichen drei Monaten Zinsen in Hone von 2.600 ·0, 1· 1~ = 65,- - £. Zusammen ergibt sich so am Slichtug ein Guthaben von 2.600 + 165 + 65 = 2.830,-- £ . Du von wird die anne Ratr (3.000, -- £) obgezogen, so doss ein " Verlust" von 170, -- £ bei Ratmzahtung gegenuher Borzahlung resuluen - wie wir es aucn tei getrennterA nlage zuvo r erhatten haben .

b) Bei i = 20 % p.a. ergcbcn sich fur Barzahlung: L = 11.600( 1 + 0,2. + ) = 12.760,- - € und fur Rarenzahlung: GL = 5.000( 1 + 0,2 . + ) + 4.000(1 + 0,2 . + > + 3.000 = 12.700,-- € , d.h. jetzt ergibt sich bei Barzahlung der hobere Endschuldcnstand (bzw. der geringere Vermogenssaldo}, so dass nunrnchr Ratcnza hlung fur den Kaufer bei 20% p.a. die gunstigere Alternative darstcllt. z u Ii)

Bei welchcm Kalkulatlonszins sind Barzahlung und Ratenza hlung aquivalcnt c Altcmativen?

Gesueht ist jetzt dcr Effek tivzins i = ierf (im Sinne von Def. 1.239) . Zur Ennittlung von ieff muss die Aquivalenzgleichung bzgl. i gclcstwerdcn:

L = G L bedeuter hier: 11.600(1 + i .+ > = 5.000( 1 + i ·t > + 4.000( 1 + i - + > + 3.000 mitderLOs ung: i = i eH =

2~:

= 0, 173913 '"

17,39o/~p.a.

(Die Probe ergiht - his auf Rundungsungenauigkeitrn - [ur heide Zahlungsweisen Endwene von ca. 12.608,70£).

lk-ispiel l.2.4 l: (Lleferantenkreditj Fur die Bczahlung einer Warenliefcrung gc1tcn folgcnde Zahtungsbedingungen: "3% Skon loabzug ("Banahlungsrabatt ") bci Zahlung innerhalb von 10 Tagcn , andernfalls Zahlu ngdcs vollcn Rechnungsbctrages innerhalb von 30 Tagcn''. Unterst ellen wir vercinfaehcnd cinc n Rcch nungsbctrag vo n 100,-- € , so lassen sich die v erbatrnissc wie folgt am Zahlungsstrahl vcrdcutlichcn 9 :

"""". rermin

Zahlung mit Sk.ontoObzug 97 (= 1I

fieferung

10

rage -

-1- - - -f5k.onlobezugsspanneJ ,," 20 rage

9 Wir gchcn stlllschwcsgcnd davon aus, dass der Kunde - getreu dem ckonomischcn Prinzip - jcweils zum spatcamoglichcn Termin zahlt.

Voraus selzungcn um.l H ilfsmillcl

34

Auch hier haben wir es mit eincr cinfachen Struktu r von Lctstung und Gcgcnleistung zu tun: Nimmt del Kund e das An gebo l " Zahlung unt cr Skont oabzug zum fruhcren Tcrrnm" nicht wahr, so gcwahrt ihm dcr Licfcrant del Ware gcwisscnnal3cn omen " Kredit" (in Hohe des urn das Skomo vermindenen Rechnungsbarages, hier: 97,-- E) , den dcr Kunde 20 Tage spacer ( = Skomo- Baugssp anne) in H ohe von 100,-- € zuriickzahlcn muss.

I) An gcnornmen, del Kunde zahle zum fruhcrcn Termin und werde die frubcre Za hlung von 97,-€ frerndfinanzicrcn (zu 18% p. a. linear[ardie Dauer der Skomobezugsspanne 20 Tage) .

Dann belaufcn sich seine Kredn -Schulden nach 20 Tagc n auf 97(1 + 0,18 . 3:~ ) ", 97,97 E . Dicsen Bctragmusste er jcrzt seiner Krcditbank zuriickgeben. Harre cr dagcgcn den "Licferantenkrcoit " in An spruch genomm en und zum spatcren Zcitpunkt gezahlt, so waren 100 € fallig

gcwesen , also dcutlich mohr ats bei Barzahlung und Frcmdf inanzierung zu 18 % p.aIinear.

ii) Wie hoch ist dcr lineare Frcmdkapitalzinssatz p.a., der Barzahlung und Zielzahlung equivalent macht (" Kosten" des Lief erantenkredits, Eff ektivzins des Lief erantenkredus]?

Gcs ucht ist also derjenigc (Iineare) Jah reszins i , bei dcm 97,- - € in 20 Tagen auf 100,- - € anwachscn, d.h . die Losue g i (= ieff) der Aquivalenzglcichung 97(1 + i ·1Q. ) = 100

mit dcr Losung

360

i

=

i eff

= (t~ - 1)' 3:~ =

=

0,5567

55,67% p.a.

Dcr Kunde sollte also in diescm Beispiel immer dann Barzahlung zwn frOhcren T crmin unter Skontoabzug vomchmcn, wenn sein Frcrndkapital- odor An lagczinssatz unter 55,67% p.a. (linear) ltcgt.

(L ie{erantenkredil - VeraJlgemeinerung - bei linearer Verzinsung, vgl. Bsp. 1.2.4 1)

Bemerkung 1.2.42:

Bezeichnet man mit s den Skontosatz, mil t die Sko ntobezugsspanne, so gill (bei 100,- - € (bzw. R) Rechnungsbetrag ohn e Sk ontoabzug): Zahfung mit SkontoaWug

Zahfung ohne Skontoabzug

Rtf-s l _ teat-s)

R _ 100

----j1 - - - - - - - -- ---1f--d.h. f ur i (=

Tage ----~ II---~(SkonlDbezugsspanneJ

i,gJ muss geuen:

f

100(1 - s) '(1 +i· - '- ) = 100

, 360

360

__ J _ 1 1- ,

s 1- ,

= 3%; 1 = 20 Tage ~

I

1 bzw. R (1 - s) ' (l+ i - - ) = R 360

d.h.

i,!! =

(Effe1di~z"ns

Beispiel (s.o.) : s

IM I

i'fJ =

s ] - s

s: Skontosatz

,

36 0

t: Sk omo -

bezugsspann e

(linear) des Lie/ era" tenkredils)

J _OO~:3

'

32600 =

0,5567

=

55,67% p.a. s.o.

Bemerkungs Die hiiufig anuureffende Praxis, von 3% (Skontosatz fu r 20 Tage) linear auf s Jahr hochzurechnen, d.h. 360 3 % ' 20 = 3% '18 = 54 %p. a.

ist nach dem Vorhergehenden zwar [alsch, aber ats Nah erungsm etnod e gu l zu gebrauchen.

1.2

35

Linea re Verzinsung

Beispiel 1.2.43: Der Schuldner S. muss an seincn Glaubigcr 0. am 17.02 . und am 17.05. jcweils 50.000, v- € zahlcn. S. wililicbcr am 08 .03 ./ 08.06./ 08 .09 . drci gleichhohe Rate n zahlcn, G . ist einverstanden be i cinem Kalkulationszins von 10% p.a. linear. Wie hoch sind dicse drei Rat en R jeweits?

201 rage 1f 1 rage

I 1102 .

11M

50.000

50.000

---1

I

I

R

~~

l 5#~;~ I

I

R

R

~~

~~

ton

(Zeit/

Leistung und Gcgenleistung musscn bei 10% p.a. (linear) am Stiehtag 08.09. (vgl. Konvention 1.2.33) aquivalcnt scm, d.h . die Aqulvalcnzgleichung L ; GL muss wahr werden: III ! 201 50 .000(1 + 0,1 ' 360) + 50.0 00( 1 + 0,1 ' 360) =

R (1+ 0,1 ·

180

360)+

R (1 + 0,l ·

90

360) +R .

Daraus crgibt sich fur R (ausklammem!):

R

=

104.333.33 3,075

=

33 929 54 C ( Ra) • • "" pro te

E rncut wird dcutlich, welche Vereinfachu ng die Moglichkeit des getrennten A ufzinsens biet et.

Aufgabe 1.2,44: i) Sci welchcm Zinssatz p.a. sind die Bctragc 4.850 ,-- €, fallig am 15 .03 ., und 5. 130 ,-· € , fallig am 20 .11., bei lineare r Verzinsung equivalent?

rnusstc cine Zahlung in Hohe von 20.000 ,-- € fiillig sein, damit sic bqutvalcnt ist zu einer am 05.05.01 falligen Zahlung in Hohc von

ii) Wann

a) 19 .500 ,--

€

b) 21.000 ,-- € ?

(lineore Zinsen, i = 12% p.a.)

Aufgabe 1,2,45: Das Steucrberatungsbu ro H ube r crwi rbt cinen Min icomputer zu folgcnden Konditioncn:

1. Rate fallig bci Lieferun g am 04 .05 .08 : 2. Rat e am 0 3.08. 08 : 3. Rat e am 03 .12.08 :

€ 50 .0oo ,· v € 30.000,--

€ 23 .700 ,- -

I) Z u welchcm T ennin kann die nomincl lc Gcsamtsc hukl in H ohc von € 103.700, v- o hnc Ztnsvor- bzw. Nachteile bczahlt werden bei (a) i '" 11,5% p.a.

(b) i = 66,75% p.a.?

ii) Huber will nur cine cinzige Zahlung in Ho he von 102.000 ,-- € tersten. warm ist diese Zahlu ng fallig? (i = 10% p.a.]

iii) H uber will seine Gcsamtschuld an scincm Gcburtstag (01.09.08) beglcichen. Wicvicl muss cr - bei 10% p.a. - dann zah len?

Vo rausscrzungcn und H ilfsmitt cl

36

h') H ube r will anstelle der zunachs t vcreinba rtcn Zahlwcise am 10.06.08 € 80,000,-- und de n Rest am 31.12.08 zah lcn. Wicvicl muss cr dann - bci 10% p.a. - ouch zah1c n? v) H ubc r wil1 3 g1eichh ohc Rat en R am 0 1.06.10 1.08./01 .10.08 zahlc n. Man ermittle die Ra ten hohc bci 10% p.a. ~i)

H uber zahlt - mit E inwilligung des verka urers - 4 0.000 € am 0 1.06.08 und 70 .000 € am J ah rcscnd e 08. Bci welchcm Effektivzins sind diose Za hlungcn eq uivalent zu den ursprunglichen drci Raten ?

Hinweis: Lineare Veninsung; Stiduag (wie immer, wenn nicht ausdrUcklich andersgefordert) Tag der lemen Leistung)

Aurgabe 1.2.46: Huber hat am 01.oz.06 und am 27.08.06 jcwcils erne Rat e in Hohc von 40.000,· · € zu zahlcn. (Kolk ulationszinssatz; 4% p.a. - Rneare Vrrzinsung) i) Huber bcglctcht die ganzc Schuld mit ciner cinma ligen Zahlung am 15.01.06. Wievicl zahlt cr.

a) wcnn als Stichtag der Tag dcr lctzten Ra te (27 .08 .06 ) gl.;wiihlt wird? b) wc nn als Stiehtag der Tag dcr Einmalzahlung (15 .0 1.06) gewii. hlt wird und die beidcn Ratcn getrennt abgczinst werden? c) wenn als Stiehtag wiederum der 15.01 . gt.-......ahlt wird, aber die bciden Rarcn zunachst auf den 27.08. aufgczinst und dann gcmeinsam abgczinst werden?

d) wen n zunachs t dcr ~ m ittlcre Z ahlu ngstcrmin " (= zeitliche Mille zwischen den heiden hetragsgleichen Raten, siehe auch Kap. 1.2.3) der belden R atcn crmtttcrt wird und dan n dcr normnclle Gcs amtbetrag der heiden Rat en (= 80.000) vom mittler en Za hlungste nn in a uf de n Stich tag 15.01. abgczinst wird?

e) ..ve nn die 80 .000, · · € vom mittleren Zahlungsterrnin (vgl. d)) zunachst auf den Tag der letztcn Lcist ung (27 .08.06) aufgezinsl und dann auf den Stichtag 15.01.06 abgezinst werden ? i1) H ube r zahlt in drci nominell gleichhohen Ratcn am 01.02.06. am 27.08.06 und am 01.10 .06.

Wie hoch sind d ie Rat en (Stichtag: 01. 10.06)? Aufgabe 1.2.47: Moser erwirbt im Sponhaus H ube r cine vollclekt ronische Trimm -Di eh-Anl agc. E r konntc den falligcn Kaufpreis in H ohc von 29 .995,-- € am 1. Marz bezahlen odc r aber in vier cbcqucmcn Teilratenvzu je 8 .995,-- € am 1. Mara, 1. Juni, 1. September und 1. Dezc mhc r dessc lbcn Jahrcs .

Mil wclchcm Effektivzins rech net das Sporlhaus H ube r bei dieser Art Kredirgcwa hrung ? (bei linearen Zinsen, Stichtag = Tag der temen vorkommenJen Zah lung) AUfgahe 1.2.48: H uber muss cine Warenlieferung bczahlen . Za hlt cr inncrha lb von 10 Tagcn, so kann er 2% Skon to abzie hen, ande mfalls ist der Bcnag innerhalb von 60 Tagen in voucr H ohe z u zahlcn. Es wird jahrhcher Zinszusc hlag be l unrcrjah rig lincarer Vcrzinsung untcrstcllt . i) Ubcrzieht H ube r sern Konto zwecks Skont oerzielung, so bcrcchnct die Bank 15% p.a, Ubcrziehu ngszinsen. Sollie H uber die Skontogewahrung in Ansprueh nehmen? ii) Wclchem linearcn naehse hiissigen A ngcbot der Lieferfinna ?

(a) J ahreszinssatz (b) Ouartalszin ssat z

cnts pricht das

iii) Man bcantwortc die Frage ii), wenn die Za hlungsbcdingu ngen lauren. 3 % Sko nto be i Zahlung inne rhalb 14 Tagen, 30 Tage ncn o .

1.2

Lincarc Vcrzinsung

37

Anfgahe 1.2.49:

Das Bankhaus H uber bcrcchnct fu r einen Krcdit in H ohe von € 45 .000,- · (Laufze it: 18.02. bis 04.07.09) 8% p.a. Z insen sowie 0 ,25% Provision (brzogen auf die Kreditsum me) . Welcher lineare Ztnssatz ("Effektivzinsscl/Z. ") Iiegt diesem Kredit zugrunde, wenn da rOber hmaus € 100,-- Ko ntofOhrungs- und Bearbeitungsgcbubren in Rechn ung gestellt werdcn und i) Provuionen und BcarbcitungsgcbOhrcn zusammen mit dem Kapita l und den Zinscn (d.h . am Ende der L aufzeit) fallig sind? ii) Provisioncn und Bcarbe itungsgcbOhrcn zu Beginn (Kapital und Z insen dogegen - wie immer-

am Ende) dcr Laufzclt fallig sind'?

Anfgabe U .50:

H ube r muss am 15.02.10 eine Rec hnung von 10 .000,-- € bc gleichcn. E r hat d rci Zahlungsmoglic hkeite n zur Auswahl tlinearer Kalkulationszinsnuz in allen Fallen: 4 % p.a.) : A : Barzahlung mit 3 % Skon to B: An zahl ung 5 .000,-- € und den Restbetrag (5 .000,-- ) am 15.07 .10 zuzuglich Ubc rzichungszinsen in H ohe von 8% p.a C: Vier nominell g1cichhohc Ratcn am 15.02 .10, 15 .04 .10 , 15.07.10 und 15.10.10, deren Gcsamrwert (bewertet mit dem Kalk ulationszinssatz = 4 % p.a.) z um Stichrag 15.07 .10 10 .300,-- € betra gt (hier wird ausnahms weise und bewussl von der Konvention 1.2.33 abgewichen f). i) Wic hoc h sind die Rat en bei dcr Zahlungswcise C ? ii) Verglcichen Sic die Zahlungswcisen am 15.07.10.

iii) Bci welcher vcrandcrten An zah lung im Mod us B waren d ie Zahlungsweisen B und C am 15 .07 .10 aquivalent ? H inweis: A bweichung von der Stichtags-Kon vemio n 1.2 .33 (d.h. in dieser A ufgabenstellung hier gilt ausnahm sweise: Stichtag * Tag der letnen Leis tung)!

Aufga be U .S I :

Huber kann cine Schuld vcrcmbarungsgcmaa entwcde r in zwei Raten zu jc 5.000 ,-· €, fallig am 20. 02 . und 10.05., oder durch cine Einmalzah lung in H ohe von 11.000,- - € begleic hcn. I) w ann ware d ie Ei nmalzahlung (bei 20% p.a. linear) fallig?

II) Bci wc lchcm (linearen) Jahrcszins sind beidc Zahlungswcisen aquivalcnt, wenn die 11.000,· - € am 02.12. zu zahlcn sind? iii ) Wie mOsstcn sich die beidcn 5 .000- €·Ra ten andem, wenn die Schuld mit einer E inmalzahlung in Hoh c von 12.000,-- € (stalt J1.000,-- €) am J ahresende (bei i == 10 % p.a. linear) zuruckzahlbar ware?

AUfga be 1.2.52:

Am 07.01. 10 wird H uber Yom Amtsgericht Schlumpfba usen dazu verurte ilt, seiner Ex-Gatti n jewens am 07.02.10 und 07. 05.10 cinen Bctrag von 50.000,·- € auszuzahlen. H uhcr mochte start-

dcssen liebe r drei g1eiehc Raten in H ohe von jcwcils 35.0 00,-· € am 0 1.04 .10/ 15.10 .101 27 .12. 10 zahlcn. i) Welcher (lineare) Effe ktivzins lfegt seincm Angcbo t zugru ndc '? ii) Welche Zahl ungsweise du rfte Frau H ube r bevorz ugcn, wcnn ste stcts cine Kapitalanlage zu

10% p.a. (linear) rcalisicrcn kann ?

38

Voraussc tz ungcn und H ilfsmitt el

1.2.3 Tenninrechnung - mittl erer Za hlungstennin /Zeitzentrum Fur viele Anwend ungcn wichtig ist der Fall. dass eine aus mehreren Zahlu ngcn (K l • K2• ...• K.,,)

bcstcbcnde Zahlungsrcihe d urch cine cinzige aquivalc nte Zah lung K crsetzt worden so li (Beispide sind Em/wert oder Barwen von Z ahlungsreihen) . Gib l man als aquivalc ntc Einmalzahl ung K d ie nominelle Summ e der Einzelzahluugen der Za hlungsreihe vor, d.h .: K ·- K] + K2 + ... + K", , so blei bt - bci vorgcgebencn Fiilligkd tstermin cn der K;-

lediglich der Falligkeitsterminder Gesamtzahlung noch offen. Diescr Tennin hciBt ~ m ittlerer Zahlungstermln" odcr " Zei tzentrum~ der Zahlungsrcihe (Beispiel: 12 Mona tsraten zu je 1.000, -- € souen durch eine Einma lzahlung von 12.000 € aquivalem ersem wcrden. W ann mussen - bei tineurer Verzinsung m it dem gegebenen Kalkulationsunssatz i-die 12.000,-- € gezahlt werden"] Definilion 1.2.53: Gcgcbcn sci cine Z ahlungsrcihe. bcs tehcnd aus m E inzclza hlungcn Kl' K2•..., zu dcfiniertcn Ri lligkeitslenni nen, sowie ein (Jinearer) Jahreszinssatz I.

Km

U nter dem mittleren Zahl ungstermin toder: dem ZeiJze,l17um) d iesel Za hlu ngsrcihe vcrstcht man denjenigen F"illligkeiMermin, zu dem man die norninelle Summe K ( = K] + K2 + ... + Km) aller Einzelza hlunge n auf lilluivale nte Weise zah1en konnte .

Bem erkung: A uf ana loge Weise definiert ma n den "mittleren Z ahlungstermin " bzw. des "Zeitzentmm" fur andere Vemnsungsmethoden (wie etwa die Zinseszinsmethode, siene etwa Bem. 2.2.22): Die Zahlung der nom m etlen Gesamtsumme einer Zahlungsreihe im Zeitzentmm dieser Zahlungsreihe bewirkt defin itionsgemafl die Aouivatenz von Zahlungsrdhe und Einma/zahlung. Wir wollen zur Bcan twort ung der Fragc nach dem mittleren Zahlungstennin en l~en der Konvention 1.2.33 zun achst cinen Stic htag ann ehm en, dcr spaler licgt ats d ie lctzte vorkommcndc Zahlung Km. Dann crgibt sieh - bc i defi nierten Einzclzah lungcn und defi nicrte m Stiehtag - folgende Z ahlungsstrukt ur (vgl. A bb. 1.2.54):

I

---j K,

Abb. 1.2.54

K2

~

I, I, I,

5/ichlag

I

I~,

I

K _ m 1

K3

Km

K (=Kt + ... + Km I I

r:

1= ?

Im -~

I

I

~

(Zeit)

11/

IGiI

A ile in Abb. 1.2.54 auftretenden G roacn K;, t i seton bckannt bis auf d ie (nocn zu bestimmende) Laufzeit t der E inmal zahl ung K ( = K] + ... + Km). (Dabci untcrstcllcn wir, dass sie h die Laufzeiten I]. t 2.... auf dicsclbc Zcitcinhcit (z.B. 1 fah r) bez ieht wie der Kalk ulationszinssatz i). Naeh dem Aquivale nzprinzip (bei linearer Veninsung) muss t so gewahlt worden, dass d ie aufgczinsten K 1• K2••••• K,., cine Sum me bildcn, die mit der aufgcz insten E inma lzahlun g K ( = K l + ... + K,.,) ubcreinstimmt:

1.2

Lincare Verzinsu ng

39

Nach Umfonnung erhan man tiber (K I + Kl + ... + 1<",) + j' (Kl t l+ Kl t l+ ... + K",t m)

(K I + Kl + ... + 1<",) + I t ' (K I + ... + 1<",)

· K fur t das (vom Zinssa tz i lUlaMangigr) Res ultat Kill

(1.2.55)

+ Kztz + . . + K mt m

KI +Kl + ··· +K m

Dabci bcdcutct - vgl. Abb. 1.2.54 -I d ie Zeit\panne vom mitt leren Zahlu ngstennin - d.h . dcm Falligkeilstenn in der Einmalzahlung K (= K} + ... + K"J - bi-, zum gewiihllen Stichtag. Da der mittlere Za hlu ngstermm zinsunabhlingig isl (vgl. (1.2.55)), kann man II ' ..., tm und I in hcliebigcn Zcitcinheite n messen [Tage, Mona/I', Qu artale, Jahre, ...).

Beispiel 1.2.56: Auf ein Konto (i = 12%p.a.linear) worden am 30.03. € 500,--, am3 1.05. € 200,-und am 31.10. € 300,-- cingczahlt. A n welchem Tag (= miulerer Zahlungstermin) konote man stattdessen auf aquivalcntc Weise die Summe (= /. 000,-- €) zah1en? Wahlt man z.B. als Stlchtag den 31.12., so crgibt sich folgcnde Zahlungs-zZcitstruktur (Abb. 1.2.57) :

r- - - --,====---""- .

--:-===== ~

9MM"'" '2 = 7 Mooale

500

200

K,

K2

~03

3 105

-jl---+---

I

II ----+--

-+----+-

---+---

' 3 = 2 M on.

300

-1

11/

+---+- II-I K3

3110

, (= 1/ M ooote

Abb. 1.2.57

31.12.

I

~

(Zeit)

IGiI

Man konnte die gesuchte Zc ilspannc I wieder ubcr die Aquivalcnzglcichung vl, = GL" crmitteln Oller die Daten direkt in Forrncl (1.2.55) einsctzcn. Es folgt: I =

500 ' 9 + 200' 7 + 300 ' 2

1000

'" 6,5 Monale,

d.h. K (= 1.000) ist 6,5 Monate vor dem gcwahltcn Stichtag (31.12.) fallig, mithin am 15.06. Bemerkung: Haue ma n aile L aufzeiten in Tagen gemessen, so latuete (1.2.5 5):

t'"

500 '170 + 200 '110 + 300 '60 1.000

also wieder 15.06. als mutterer Zahlungstermin.

= 195 Tage Ivar dem I lFl],

40

Voraussc rzungen und H ilfsmillcl

Man kann nu n affcnhar den Slichtag (hier: 31.1 2.) bclicbig andcrs wahlcn , solangc kcinc Abzinsungen vorgenommcn werden mussen, iiul3crstcnfa lls darf som it der Stichtag am Tag dec lctztcn Einzcl zahlung Km [d.h. mit [111 "" 0) Iiegen (vgl. Konvention (1.2.3 3».

Wahlen wir dahcr in unsercm Beispiel den Tag dcr lctztcn Zahlung (31.10.) als Stichtag, so ist gcgcnubcr dec soc bcn durchgcfiihrtcn Rcchnung jcdc Lau fzcil dcr drei gcgcbcn cn Einz clzahlungcn urn 2 Monate zu kiirzen (7, 5, 0 Monate stan 9, 7, 2 Monat e, vgl. Abb. 1.2.57) , so das s wir mit

(1 .2.55) crhattcn: t

=

$00 · 7 + 200 ' S + 300 ' 0 \ 000

'" 4,5 Monatc,

d.h. dcr mittlcrc Zah lungstcrmin licgt jctzt 4,5 Monate vor dcm (neurn) Stichtag ljelZl: 31.10.), somit ergibt sich crncut dcr 15 .06. als Stichtag . In dicscm bcs oodcrcn Fall fuhrt also die Verletzung der Snchtags -Konvent ion (1. 2.33) (Slichiag ;: Tag aer letuen Zahlung) nieht zu abwcichcndcn E rgebnissen, sofcrn dcrSt ichtag cnrwcdcr am T ag der letztcn Zahlung oder spaser licgt.

Zusamrncnfasscnd crhalrcn wir: Satz 1.2.58: (miUlerer Zahlungsl ennin /hitzentrnm bei uneerer Verzinsung) Gcgeben sci cine Zahlungsreih e, best ehend aus den Einzelzahlungcn Kl' K2, ..., dcf lnlcrt cn Z eitpunkten fallig sind, vgl. Abb. 1.2.54 .

K""

die zu gcnau

Dan n kann man samrfiche Zahlunge n aquivalent (d.h. onn e Zinsvor- oder -nachteilc] crsctzcn durch die cinmalige Zahlung K (= K. + ... + K",) des nomi nellen Gcsamtbctragcs . Oc r Fiilligkcitstag [Zeltzentru m der Zahlungsreihe I mn ue rer Zah lungstennin) dieser E inmalzahlung K liegt - lincare Verz insung vorausgesetzt - t Zcitci nhcite n vor eincm zu wahjendc n Stichtag ( = Tag der lemen Einzelzahlung oder spaler). Fur t gilt dann (1. 2.55), d.h .

(1.2.59)

Ki ll + K 2t 2 + .n + Kmtm K J + K2 + ··· +K m

Zeitsparme von K bis zum Stichtag tl' ..., t m: Zcitspannen von Kl' . ., K", t:

bis zum Stichtag

Die im mittle ren Zahlungstennin/ Zeitzentrum gclcistc lc EinmalzaWung K( ;: K] + ... + K",) fuhrt zu jed em Stichtag (der nicht friiher l ie~,,'t als K",) zum gleichen Endwert (odcr: Ko ntostand) wic die einzelnen Zahlungen insgcsamt.

Bemerkung; Es ist bemerkmswen, dass - anders als bei exponemieller Verzinsung, siehe die spa/ere Bemerkungen 2.2.22 und 3.4.3 - bet linearer Ve17insung das Zeitzentrum nicht vom verwendeeen Katkulationsun ssatz «bhangl. De n zu let zt anges proc henc n Sachverhalt macht man sich zunutze, urn den Endwert oder End-K ontostand (bei tmearer Veninsung) vieler EinzelzahIungen zu crmitt eln: • •

Z unachst ersctzt ma n sarntliche Einzclzahlungcn du rch ihrc (nominelle) Summe im mittleren Zahlungstcrmin; Dann zinst man lcdiglich dtes e Swnme auf bis zum gcwunschten Stichtag (der aflerdings nicht vor

FiUligkeil der sptuesten Einzelzahlung Km liegen soil/e).

1.2

4J

Linca re Verzinsun g

Beispiel 1.2.60: wtr kniipfen an Beispiel 1.2.56 an uml suchen den Kon toc ndstand K· zum 3 1.12. der drd gegebenen Zahlungen, vgI. Abb. 1.2.57. Da -

wie vorhcr crmttrclt - de r mitt lere Za hlungste rmin am 15.06. liegt, bra ucht man jetzt nur die

Summc ( "" 1.000,-- €) der drei E inze lzah lungen his zwn 31 .12. mit i "" 12% p.a. autzuzinscn: Dcr E ndwert K· Iau ret: K* = 1.000(1 + 0,12 '

~'; )

1 .065.~· € .

=

Bemerkung: Selbstverstandlicn ergib/ stcn dasselbe Resultat bei Eimelaufzmsung der drei Einzelzahlungen und anschliefJende Saldenbildung: K * "" 500(1+0,12 ' l~ ) + 200(1+0,12 'l~) + 300(1 +0,12 'l~ ) = 545 + 214 + 306"" 1.065 €.

Dc r mittl ere Zahlungstermin (bei linearer Verzinsung) lasst sich imme r dan n besonderslcicht angcbcn, wenn sarntlichc E inzclza hlungen Kl' ..., K.n . punktsymmetrisch" urn einc n einzigen Zel tpun kt (dies ist gerade der mittlere Zahlungslermin bzw. das Zeitzentrum der Zahlungsreihe!) liegen.

So kann man ctwa 2 gleiche Zahlungcn zu je 100,- - € aquivale nt crsctzc n durch cine E inmalzahlung in H 6hc von 20 0,-- € , d ie gcnau in dcr zeitlichen Mitt e zwischen den E inzclzah lungen liegt:

t

I

-

rage

roo

t OO

-----1

>I'

--

,',

200 -

t:Jqvivafenler Ersatz :

""""

(Zeit/

Beweis: Wenn zwischen den heiden 100-€-Zahlungen T Ta ge liegen, so muss - bet Stich tag auf dcm T ermin der zwciten E inzc1zah lung - fur t nach (1.2.59) gclten: t =

loo ' T + 100 ' 0 200

T

="2'

wie behauptct.

(Dies ist - bei lineorer Verzinsung - auch anschaulich klar: Bei Gesamtzahlung von 200 € im Zeitzen/rum werden die ersten 100 € um dicselbe Zeitspanne zu spat gezahlt wie die zweuen 100 € zu friih gezahlt werden, Zinsvenust und Zinsgewinn gleichen sich genau aut , Einzelzahlungen und Gesamtzahlung im mittleren Zohlungstam in/Zeiu emrum [uhren stets zu identischen spiiteren Kontostiinden.) Ga nz analog crkcnnt man den mittleren Zahl ungstermin unmit tclbar in den folgenden "symme lrisehen" Fallen (der mittlere Zahlungstermin is/ jeweils durch einen Pf eil markiert) :

roo I

,,

roo I

t OO

,

" t,

5oo I

,I'

2oo , , I

C1qvivalenler saae ,

I

,,

t OO I

(Zeil/

500

C1quivafenler f rscm :

ii)

t OO //

1.400

,,

2oo I

,I '

5oo I

(Zeil/

Abb , 1, 2.6 1

42

1

iii) 12 . nachscbussigc'' Monatsratcn zu jc 10 3112

-1

€:

JI.M

10 I

10

I

10

I

3OQ!.

10

10

10

I I I

(jqul",alenlef Ersolz .

3112.

M(XI

10

I

I

Voraussctzungcn und H ilfsmittcl

10

10

I

I

I 120

10

10

I

I

5,5 Monote

om 15.01.

10

~(Zei!)

-l

Konfosland am bhresende:

K1 '" 120"ofi. f!J

Iv} 12 "vorschiissigc" Monats raten zu je 10 €: 31'2

10

-1

310J

10

Abb. 1.2.61

10

I

10

I

3006

10

I

10 10 fa 10 10 10 I --+--
10

I

311 2

I

I

(JquivalenterErsatz : 120 am 1506

(,,5 Monale

-----1 Konlostond am bhresende

K1 = 120(1"" 7/)

Bemerkung: Einfach zu merkende Feustreget[ur den mittleren Zahlungstennin bei linearer Venin sung: Links vorn mittleren Zahlungstmnin (innerhalb dersdben Zmsperiode) /iegm - nach Anzahl, Hone

und zeitlichem Abstand - dieselben Zahlungen wierechts dation. Einfaches Modell Ilirdie Enn ittJulIg des mitt leren Zah lung...termi nslZei tzentrum s (bei lin. Vmimung): Man dcn ke sich die Zeitachsc als (gewichts/osen) Waageb alkcn , d ie Zahlungen ats entsprecbend ihrcr H ohc gcwichtctc MassestOcke (»Gewichte").

Zeiu entrum 2020 )20 20 DO, 0

Abb. 1.2.6 10

I aquivalente Einmalzahlung

14JOI

0

(Zeit)

'K SI~Chlag, I

Zinsvcnechnungl
Dann Iiegt dcr mittlcre Zahlungstenni n/ das Zcitzentrum fur die nom inclle Summe aller Zahlungcn

(bel linearer Verzinsung) lm Gle ichgcwichtspunkt diese r Balkenwaa ge: E inc Untcrstutzung des Balkens im mitt leren Zahlungste nn in halt die Waage im Gle ichgcwicht, da links wie rcch ts je zwei gleichhohe Z ahlungcn (Gewichte) densclbcn Absta nd vom U nterstiltzungspunkt (= minlerer Zahlungstermin) besitzcn, siehe aueh die A bbildungcn obcn und auf der vorhcrgchcndcn Scire.

(Sollie es keinen auf Anhieb erkennbaren »Gleichgf!Wichtspunkt " gehen, muss aermituereZahlungstermin mit Hilfe von (1.2.59) ermittelt werden.) De r auf den Snchtag (siehe Abb. 1.2.61 a) aufgczins te Wert Kn der gcsamtcn Zahlungsrcihe kann jctzt dad urch enni ttcl t werden, dass (anstelle des mcnevotten separaten Aujzinsm s samtlicherEinzelzahlungen) lediglic h die im Zc itze nt rum gczahlte nomlneue Oesamtsumme (= 400 im Beispiel) einmaJig ents prechcnd aufgczinst wird - de r Konlostand Kn ist in bcidcn Fallen ste ts idcntisch!

Bemerkung: Man beachte, dass die eben geschildene einfache Methode zur Bestimmung des miuleren Zahlungstermines nur bei tinearer Verzinsung (bei beliehigem Zinssatz) funktionien. BeiAnwendung der aponentidlen Verzinsung (Zinseszinsmelhode) hangl der miutere Zahlungslennin hingegen von der Hone des verwendeien Zinssatzes ab und lieglkeineswegs "symmetrisch" zu den Zahlungen!

1.2

43

Lineare Verzinsung

Insbesondere bci der Effekt ivzinsennittlung von Ratenkrcdit en naeh der 360-Tage-Methode (vgl. Kap. 5.3 und insbesondere Kap. 5.3.3.4) lasst sich haufig der rnittlere Zah lungstcnnin verwenden, urn de n Endwert von untcrjahrigen, linear verzinslichcn Raten zurn Jahresendc zu enn ittcln: Beispiel 1.2.62: i) Jemand zahlt 12 Mona tsraten zu je 10 T oE: auf ein Konto (i '" 12% p .a.) ein, crste Rate am End c des ersten Monat s (man spricht lion »nachu hiissigen" Monatsraten) , vgl. Abb. 1.2.61 iii). Dann crhalt man unmitt clbar den Kontostand K· am Jah rcscndc, indem man aile Einzel raten aquivalcnt crsctzt durch ihrc Summc ('" 120 T€) im mittleren Zahlungstermm (= 15.07.) und da nn Icdiglich dicsc Ersatzzahlung bis zum Jahrcscndc linear aufzinst:

K· = 120(1 + 0,12 .+f ) = 126,6 T oE:.

(Probe durch Einzelaufzin.\·ung...)

ii) Liegt jcdc Einzclzahlung einen Monat fruhcr (man sp richt lion .vorschussigen " Monatsralen), vgl. Abb. 1.2.61 iv], so liegt das Zcitz entrum am 15.06., d.h . der E ndwert allcr autgczinstcn Einzelzahlungcn ergibt sich durch linca res Aufzi nsen der Sununenzah lung 120 T oE: urn 6,5 Monale (bis zum 31.12.) : K- = 120(1 + 0,12 'W> = 127,8 T oE:.

(Probedurch Einzelaufzinsung...)

Bemerlamg 1.2.63: Man ka nn die heiden Fiille des letuen Beispiels durch einen - analog herzutenenden - fo nnelmapigen Aus drnck erfassen. Die Z insperiode (z.B. 1 Jahr) sei in m gleichlange lntervalle aufgeteill (z.B. m = 12 Monate), in jedem Interval/ liege genau nne Zahlung der Hone r. i) Wenn es sich um m nachschiissige Raten r handelt (lig /. Ahb. 1.2.61 iii) , Beispiel 1.2.62

i» , so

erhalt man (hei linearer Vm insung) den Kontoendstand R · am I ahresende zu (1.2.64)

(Beispiel: m '" 12, r = 10, i = 12%p. a., IIgl.Abb. I .2.61 iii)

~ R·

= 120(1 + 0, 12 '

~:)

= 126,6

, IIg1. BW 1.2.62

i»

il) Wenn es sich urn m rorschiissige Raten r handelt (vgl. A bb. 1.2.61 ill), Beispiel 1.2.62 ill), so

laUlet (bei linearer Veninstmg) der Kantoendstand R· am Iahresende: (1.2.65)

(Beisp iel: m = 12, r = 10, i = 12 % p.a., vgl. Abb. 1.2.61 ill)

~ R· =1 20(1 + 0, 1 2 · ~:) = 127,8

, lIgl. Bsp. 1.2.62 ii»

iii) Wenn die Raten unregelmap ig liegen, muss der Kontoendsta nd R · entweder uter lineare Einzelauf zinsung oder durch tineare Aujzinsung der aquivalenten Einmalzahlung m .r vom tvorher zu ermiuelnden} mittleren Za hlungstennin bis zum t anresende beredmet werden:

44

vorausseeuogcn und H ilfsmitt cl

Beispiel 1.2.66: i) Gegeben: 4 Quartalsraten zu je 5.000,-- € , zahlbar Ende Marz/Ende J uni/E ndc Septembcr/Ende Dezember; lineare Zinse n 10% p.a.; Kontostand R · am Jahresende? 311».

-

~w

31 12

5000

5000

~~

/€/ 5000

5000

I

I

I

t O<>i7IaI ' - " (iquivalenlef Ersatz

I

I

(Zeit)

j

20000 -

4,5 Moo

-~

fl- = ?

Nach Abbildung ergibt sich R* zu: R* = 20.000(1 + 0,1 .

'W-) '"

20.750,-- €

(auch Beuehung (1.2.64) anwendbarmil: r '" 5.000; m '" 4; i = 0,10: ~ R* '" 4"5.000(1 + 0,1 ' ; ) = 20.750 € .) ii) Gcgcbc n 6 Ratcn zu jc 2.000 ,· · € zahlbar jcwcils E nde Januar/Marz/M ailJu li/Scptcrnbcrl November. Kon tostand R · am J ahrcscndc bei 8 % p.a. Hncarc Zinscn'!

" ,2

"ro

(T£/

2

-I

I

2

I

I

I

3112

~w

~~

2

2

2

2

I

I

I

t

12

~ Jdhr r.. . . 1

6 Monale

rCiqviv(J/en/er

l-

-1

fl - = ,

Ersatz!

GemiiB AbbilJung tauter der gesuchte Kontoendstand R· : R* = 12.000(1 + a,OR '

1~)

= 12.480,--

€.

(In diesem Fall ist keine der Formein (1.2.64)/(1.2.65) anwendbar, da - bezogen auf das 2Monats-Iruervall wedereineregelmaftige vor- noch nachschitssige Zahfungsweise vorliegl). «

Aurgabe 1,2.67: i) H uber schulder dcm Moser noch drci Ocklbctrage, die wie folgt fiillig sind:

€ 5.000,-- am 18.03.10;

€ 8.000.-- am 09.05 .10; € 7.000,-- am 16.09.10. H uber mocbte die nominelle Gcsamtschuld (= 20.000,-· € ) auf einmal bezahlen. Zu welchcm T ermln kann er das ohne Z msvor-r- nach tcilc bcwcrkstelligcn?

(i '" 10% p.a. linear)

[Hinwets: Als Vergleichsstichtag wdhle man den 16.09.10) ii) Huber muss im laufcnden Kalendcrjahr folgcndc Zahlungcn an seinen Olaubiger Moser lcistcn :

5.500,-- € am 09.01. 8.100,-- € am 04.09.

7.500,-- € am 16.03. 10.000,-- € am 01.10.

4.000,-- € am 18.04. 9.200,-- € am 20.12.

An welchcm Tag kann Huber srandcsscn die nominelle Gcsamtsummc (= 44.300.-- €) zahlcn, ohne dass sich Zmsvor- odcr -nachteile ergeben? [i = 8,75% p.a.Hnear)

1.2

Lincare Verzinsung

45

iii) Huber zahlt 12 Monatsraten zu je 1.350,-- E, falligk eit am 01.01.1 0 1.02.1 .. J 01.12. Zlnssatz: i = 8,125% p.a. linear.

a) An wclchcm Tag konntc cr stattdcsscn (ohne Zinsvor- oder -nachteile] die Gcsamtsumme ( = 16.200,-- E ) auf einmal zahlcn? b) Wie andert sich dcr mittlcre Za hlungstermin, wenn die Raten start zu Monatsbeginn jcwcils erst am Monatsende ( = 3 1.0 1 ...) fallig sind? iv) Man ermittle jeweils den Kontostand am Jahresende (3 1.12.) , wenn folgendc Rarcn von jcwcils 1.000,-- E auf cin Sparkonto (8% p.a. linear) eingczahlt worden: a) 12 Monatsratcn, crstc Rate am 31.01.; b) 12 Monatsraten, erste Rate am 31.12. des Vorjahres; c) 4 Quarta lsraten, crstc Rate am 31.03. usw.;

d) 6 Rarcn im 2-Monatsahstand, erstc Rate am 31.01., 2. Rate am 31.03. usw. Aurgabe 1.2.68: i) Computerhiindlcr H uber kauft einen Posten Farbmon itore, der vercinbarte Listcnprcis bcna gt

70.000,-- E , zahlbar am 19.01. Er kcnnte aueh a uf folgcnde Weise hczahlcn: Anzah lung am 19.01.: 20% des Listenprcises, aul.\crdem, beginnend zwci Monate sparer [d.h: am 19.03.) , 10 Monatsratcn zu je 6.000,-- E. Wclch cm (linearen) Bffcktivzlnssatz - hczogen auf die Alternative dicsc Ratenzahlungsvereinbarung'!

~ Barzah l ung~

- entspricht

ii ) Huber kann seine PKW- Haftpflichtversicherungsprllmie auf drci vcrschiedcnc Arten bczahlcn:

A: Gcsamtpramic in eincm Bctrag sofort; B: 2 Halbjahres pramien (jewd ls die halbe Gesamtpriimie p lus 3%), erste Rate sofort: C: 4 Quartalspramien (jewdls ein Viertel der Gesamtpramie p lus 5%) , crstc Rate soto rt. a) Welche Zahlungsweisc sollte Huber rcalisicrcn, wcnn cr aile Bctragc zu 15% p.a. (linear) fremdfinanzieren kann? (Suchtog = Tag der leme n vorkommenden L eisw ng) b) Wie hoch ist jcwcils der (lineare) Effektivzins dcr Altcmativcn B und C bezogen auf den BarzahlungsfalJ A ? c) Wie hoch (in % der Pramie) musstc im Fall C der Quarta lsratcnzusehlag gewahlt werden, damit sich derselbc (lineare) Effektivzins wie bci Halbjahrcsratcn ( = B) ergibt (jedesmal bezogen auf den Barzahlungsf aUA ) ? (Hinweis: Die Rechnungen gestalten sich ungenehmer, wenn ma n f ur die Gesamtpramie einen fik tiven Be/rag, z.B. 1.000,- - €, un terstelit.] iii ) Hu ber soli von scincm Gcschaftspartncr Knarzcl vcreinbarungsgemau die folgcnden Za hlungcn

erhalten: 10.000,-- E am 07.03.

20.000,-- E am 19.06 .

50.000,-- Earn 11.11.

a) Zu wclehcm Tcrmin konntc Knarzcl die nominelJe Summe (= 80.0 00," €) bei i = 12,5% p.a. (linear) equivalent zahlcn? b) Knarzcl bietet an, anstclle dcr 3 oben angcgcbcncn Bctrage zwei Raten in Hohe von jcwcils 39.600,-- E am 10.04. bzw. 10.12. zu zahJcn. Sci wclchcm (/inearen) Effcktivzinssatz warc diescs Angebot equivalent zu den ursprunglichcn Zahlungsvereinbarungcn?

46

Vo rausse tz ungc n und H ilfsmitt el

1.2.4 vorschusslge Verzinsung, w echseldtskontrecbnung Bei der tsetten gebrauchlichm } lmearcn ' ''orschil...~igefl Verzimung worden die Ztnsen Z n linea r vom Endkap ital K n berechnet und zu Beginn dec Kap ilaliibcrlassu ngsfrist (bzw. Zi nsperiode} gcza hlt. Der

Barwert Ko ergibt slch also aus der Differenz Endwert minus Zinsen. Bezeichncn wir den vorschiissigcn Zin ssatz mit iv' so gilt:

(1.2.69)

Werden 1.000,-- € zu iv '" 20 % p .a . linear fur cin Jahr angc lcgt (n = 1) . so werde n

Beispiel 1.2.70:

die vorschOssigcn Zinscn 2 \ = 1.000 '0,2'" 200,-- € zu Bcginn gczahlt, dcr Barwcrt Ko hctragt somit 800,-- €. Ocr aquivalcntc lineare nachschlissige Ja hreszinssatz i crgibt sich aus folgcndcr Obc rlcgu ng :

Sci wclchcm lincarcn nachschus sigcn J ah resz ins i liefcrn 800,-- € in cincm J ah r 200 ,-- € Zinscn'! A us

800 · i . 1 = 200

~

i = 0,25 = 25% p.a. naehsch iissig (:::::0 20 % p.(l. vorschussig} ,

Allgemcin kann zu jedem vorsc hii...-.;igen lincarcn Z inssat z iv dcr iiquivalen te nach~ch ii~sige Jinca rc Z inssatz i berechnet werde n: Ocr sich aus vo rsch usssige r Verz insung ergcbcndc Barwcrt (vgl . (1.2.69)) muss, zum aq uivalente n nach schiis sigcn Zinssatz i angclcgt, am Ende der La ufzeit aquivelenre Z insen in Hohc von Z n K n ' iv ' n crbringcn : ~ ' i 'n

,

Einsetzen licfcrt : ~ i· n

(1.2.7 1)

K,

,;, Kn 'iv ' n ; naeh (I.2.69) gilt: K n und somit:

i =

-,-

(i,.· n

I - i,.' n

*

1)

Bcteagt insbes ondere d ie Laufzeit 1 Jahr, so gill (bei J ahreszinscn i, iy): (1.2 .72)

i =

(iy

*

1)

Beispiel: Ein vorscbusstger J ah reszins iv = 20% ist bquivalcnt zum nacbscbusstgcn J ah reszins ., = .Qd 0,8 --

A nalog: iy = 10% p.a.

i =

25m-HJ p.a. 0, 10

0,90

11,11 %

p.a naehschiissig, usw.

1.2

47

Linea re Verzinsung

Obwohl cs in der Prax is immer wieder Boispiel e fur die vorsche sstgc Verrechnung von Z insen gibt (z.B.

" abgezins/er Sparbriej", Wechseldiskontierung (s.u.», ist cin vorschu sslgcr Zins nie ht brauchba r als {natumches] Entgelt Iur die (en/gangene) Nutzung von Kapiral (vgl. Fn.1). E inerscits erkennt man dies daran, dass cin vorschusstgcr Zinsvorgang im Prinzip eincm aquivalcnten nachscbussfgem Zinsvorgang entspricht, vg!. etwa Beispiel 1.2.70. Andcrerseits zeigt das folgcndc Beispiel die Unvc reinbarkeit vorschiissiger Zinsen mil dem Wes cn des Zlnscs als (en/gangener) Ert rag, der durch andcrweitigc Nutzung (z.B. lnvestuion} des Kapirals erzic1bar ware : Beispiel 1.2.73: Ein Kapital von 100,--

€ wcrde fur cin J ahr zu 100% p.a. a usgcliehen toder investiert],

w ahrcnd es (zumindes/ prinzlpiell) vorstc1lbar ist, das s 100,- - € bei nach~ch ii~si~r Verzinsung zu 100% nach cincm J ahr auf 200,-- € anwachsen (eMa durch eine geglo.ckte, wenn uucn tisikoreiche lnvenition / Speku/ation), fuhrt die Annahme einer l OO%igen ,'orsch iil>~igen Ve rzinsung zwangslaufig in eine Sackgasse: Wen n ich mir fur cin J ahr 100,-- € zu 100% p.a . vorsc hussig leihe, so betragcn die Frcmdkapitalzins cn gcnau 100,-- € , sind aber vorschnsstg fallig, d.h. im Zeupunkt der Krcdita ufnahme. Damit bet ragt de r mir zur Verfiigung stchcndo Kreditbetrag €, dc facto habe ieh somit iiberhau pt kcin cn Kredit erhaltc n, muss aber nach cinem Jahr das "a usgclichcne" Kapital von 100,-- € zuriickza hlcn - ein offenbar unsinniger und widerspriichlieher Vorgang [bereits erkennbar in (1.2. 72): i", '" 1 I)

a

Dicscs Extrcmhcispicl zcigt, das s nur nach~chii<;.~ ige (und auch "stetlge", \)gl. Kap. 2.3.4) Veni nsungsvorglinge cincn okonomisch sin nvollen Hin tergrund besitzen. Mil cincr Ausnahme - Wec hscldi skontierung, s.u. - werde n wir zukunftig ausschli eBlich nachschussigc Vemnsuogsvorgae gc betrachten. Die einzige wescn thchc A usnahme zur nachsc hiissigen Verzinsung wird dUTCh die Wech.'ieldiskontierung gelicfert, be i der nach (1.2.69) verfahren wird: Beispiel 1.2.74: E in Wec hsel lO iiber 8.000,-- € (:: wechselscmme, ffillig am Ende der Laufzcit) win! 2 Monate vcr Falligkcit bei cmcr Bank zum Diskon ricrcn eingcrcicht. Bci cincm DiskonL'illtz von 9% p.a. (entsprieht einem lincaren vorscbassstgen Zinssatzl)erhan der Einrciehcr (ohm: Berucksichtigung von Provisionen oder Spesen) cine Gutschri ft ( :: w ecbserbarwert) in Hohe von:

Ko ""

2 8.000(1 -0,09 '12) "" 7.880,-- € .

Es wurdcn somit die Zinsen in Hohe vo n 8.000 ' 0,09 '

(Endwert!) abgczogcn.

~ :: 120,- - €

von dcr Wcc hsclsumme

Ocr aquivalcntc (" eff ektive") lincar e nac hschussigc Zinssatz i bereehnet sic h nach (1.2 .71) ZU 0,09

Aufgabe 1.2.75: I) H uber kann scin Kapital in H ohe von 10.000,-erfolgt cntwedcr

€ fur neun Monate anlegcn. Die Verz insung

a) zu 11% p.a. (und nachschiissiger tinearer Verzinsung) b) zu 10% p.a . (und sarschussiger tinearer Verzinsung).

odcr

(In heiden Fullen sotten die lV .OOO,_. € in voller Hohe ongelegt werden!) Man enn itt le fOr be ide Alternalivcn den Endwert nac h neun Monalcn und gcbc daraufh in cine An lagccmpfchlung fOr H uber. 10 Nahcrcs zum WcchscldiskonlgescMfi siehc [Nic) 22 It

48

Vo raussctzungcn und H ilfsmitt el

ii) H ube r legt am 07 .02.10 cinco Bct rag in H obo von 12.000,··

€ auf eincm Bankkonto an.

Die Bank ken nt H ubers Vorliebe fur ausgcfallene Z insvcreinbarungen und bict et daher folgcm.lc (lineare} Vcrainsungsmodatttaten an :

• Zlnssatz bis inel. 22 .06 .10; 8% p.a.: • Zinssacz ab 23 .06.10 bis zum Jahrcsende: 10% p.a.; Am 0 1.10 .10 zahlt die Bank aoaeruem cinco T re ue-Sonder-Bon us in H ohe von 250, · - € auf

Hubers Konto. a) Man ennittle den Kontostand zum Jahresende (vorher kein Zinszuschfagunn inf ) b) Welch cn cin hertlichcn bl) nach schusstgcn b2) vorschussigcn Jahreszlnssatz harte ihm cine andere Bank bict cn rnuss cn, urn - ausgchcnd vom glcichcn Anfa ngskapital - clx:nfalls den unter a) ermittcllcn Kont ostand zu m J ahrcscnd c erreic hen zu k6nnen?

Aurgabe 1.2.76 : i) Ei n Bankkredit in H ohc von € 248 .000,-- wird bc i Falligkeit durc h cinen Wcch sel ebgclost . Dieser Wechscl ist nach weiteren drei Mon aten fallig, Diskontsatz 5% p.a.

Man ermitt le den Betrag des Wechsels (Wcrhselsumme) . ii) E ine Ban k bercchn el beim Diskonticrcn von w ccbscln 8% p.a.

a) welchc cf fc ktivc (lineare) Verzin sung ergibt sich, wen n dcr Wce hscl 4 Monat e vor Palligk elt eingcrcicht und diskonti ert wird?

b) Wclchen Disko ntsatz mus s die Bank ansetzen, urn auf einen (linearrn) Effcknvzinssatz von 9% p.a. zu komm en'! iii) Kaufmann Alois H uber - zweimal vorbcstraft wcgcn bctregerischcn Bankrotts - ist in flnan ziellen Dingen pingelig geworden .

A ls ihm e in Schu ldner fur cine am 17.08.10 fallige Schuld in H ohc von € 10.000,-- am gleichcn Tagc ein cn wcchscl tiber € 10.150,-- , fallig am 03. 11.10 ubertrage n will, wird er stutng.

a) Reichl dieser Wechsel zur Abdeckungdcr Schuld '! (Disko ntsarz 8% p.a.]

b) Bei welchem Dtskc ntsatz entspricht der Wert des w ecbsers am 17 .08 .10 genau der Schuldsumme?

iv) Der Druckereibesitzer Urban Unsinn nimmt am 12.02 .10 einen kurzfristigcn KreJit in Hohe von € 25 .000, -- auf , den er am 31.08 .10 incl. 8,5% p.a. Z insen zu rtickzah len muss. wcgen cines Druckcrstrciks kann er am 31 .08 . nicht zah len und akzcpnert daher etnen am selben Tag ausgcsteuten Wechsel in Hohe von € 27.000,-- (Diskomsan: 8 % p.a.). A n welehcm Tag (aufn mden/) ist der Wcchscl fallig'! (durchgehend lineore Verzinsung, d.h. kein Zin szus chlag am Iah resendet] Aufgabt" 1.2.77: i) H uber hat an Ohmscn cine Forderung in H ohe von € 18.000,--, fallig am 15 .08 . Als A nzah lung crhalr H uber am 20.06. von O bmsen zwei 3-Mo nats-Wce hsel tiber je € 9.000 ,-- . Ein Wcchscl ist am 10.06., der andere am 18.06. ausgesrenr. Am 01 .08. reich! H uber mit Ohmsens Einverstandnis beide Wechscl seiner Bank cin, die dicsc mit 8% Pe- diskontiert.

Wic groB ist am Falligkeitstag der Forderung (15.08.) die Restforderung H ube rs an Ohms en (Hneerer Kalkulancnszinssatz: i = 7% p.a.)?

1.2

Linea re Verzinsu ng

49

ii) Hu ber hal am 01. 02. und am 27 .08 . jcw cils cine Rate in H ohe yon 40.000 ,- - € zu zah len. (Diskontsatz: 9,5 % p.a.]

Huber bcgleicht die Schuld mit zwei Wechseln. a) Der crstc w cchscl isl ein Drcimonatswcchsel, ausgcs tcut am 01.02 ., ftlr de n die Bank sofo rt 40.000 ,- - € auszah lt. Wcchs clsummc?

b) De r zweite w cchscl hal die Wcch sc1summe 40 .500 ,- - €. Dicscr w cchsel wird zum 27.08. auf 40.000 ,-- € diskonliert . Wann ist er fiillig? (auJnmden!)

iii) Die Emi l H aberle oH G schuldct der Alois Knorz AG folgcnde Berrage: € 5.700 ,-- , fallig am 07.02. sowic € 4.300,--, fallig am 18 .04 . Am 02. 05. lcistct Fa. Haberle cine A nzahlung in H ohe yon 5 .000,-- € und bittct darum, am 28.05. (Ausstcllungstag) cincn j -Monats-wcchscl zu zichcn, urn die Restschuld auszuglcichen. Am 01.07. rcicht die Knorz AG ihrcr Bank den w cchsct zur Diskontietung ein. Welcher Bctrag wird ihr {ohnc Bcruckstchugung yon Steucm, Provisione n) gutgeschriebe n?

(linearer Verzugszinssatz: 13% p.a., Diskonisan: 11% p.a., Stichtag: 28.05.)

iv) H uber m uss his zurn 15.05 . eine Schuld von 35.000,-- € begleic hcn. Al s An zah lung ubcrgibt H uber am 18 .02 . einen Wcchscl tiber ~1.000,-- € , der am 18.04 . fal1ig ist und vorhcr vcrembarungsgcmau nicht d isko ntiert wird. A n diesem Rilligkeitsdatum zahlt H uber mit cincm zwcilen Wcchs cl ubcr 20 .000 ,-- €, fOr de n der Empfiinger am 15.05. von der Bank 19 .852,22 € erM II. Die Restsehu ld wird von H uber vcreinbarungsgemau m it eincm 3- Monats- Wcchse!, ausgest cllt und ubcrgcbcn am 15.05., begliehen. ilinearer Kalk ulationszinssatz: 6,5 % p.a.; Diskontsatz: 7% p. a.) a) Wann ist der zweite Wech sel fii11ig? b) Wie hoch iSI die Reslschuld am 15.05.? c) Welche w echselsummc hat dcr dnttc Wcch scl?

Aufgahe 1.2, 78: Blunt sch sch uldct dem Knorz noch die folgcndcn Bctragc: 8.700,-- € , fa11ig am 12.03 .

sowie

12.900 ,- - €, fallig am 21 .11.

Blunls ch lcistct am 01.06 . zueacbst eine A nzahlung mit e incm 3- Monats- Wec hscl, w echsclsumme 11.000,-- € , Ausslcllu ngsdaturn 03 .04 . (dieserWechsel wird vereinharungsgemoli nicht vorzeitig d iskon tiert].

Am 15.06. beglcichl Bluntsch vorzcitig seine Schuld, indcm e r cincn am glciche Tagc aosgcsrcnrc n Wec hscl (Wechseisumme 10.600,- - €) akzeptiert tdieser wecnset wird vaeinbarnngsg!!miift ebenjalls niehl vor FiiUigkeit diskontiert) . i) Wclche Laufzcil mu ss diescr zwcitc Wcchscl haben , damit sich - bezogc n auf den Stlcbtag 2 1.11. - Letstungcn und Gcgcn leistungen insgesamt gcna u ausglc ichcn ? ii) Man ermill ie die Wcch scllaufz cit des zweite n Wech sel s, wenn jcd cr Wech sel unmittelbar bci Ubergabe (d.h. am 01.06. bzw. /5 .06.) diskonti ert wlrd .

(Diskontsatz: l 2% p. a., lincarer Kalkutationszinssatz: 10% p.a.]

vorausscu ungen und Hilfsmittcl

50 Aufgabe 1.2.79: Knorzcr schuldct dcm Glunz die folgcndcn Bctrage:

2.500,· · € 7.500,-- € 3 .800,~~ €

fiillig am

rallig am fallig am

19.0 4. 11.05. 01.08.

Als A nzahlung hat Knorzer dem G lunz d ie folgcndcn Wechscl iibcrgcbc n:

3.000,·· €

5.000,-- €

fallig am fiHlig am

27.04. 19.05.

Dber d ie nommelle Rcstschuldsummc (= 5.800, -- € ) wird ein wcitcrcr w cchscl am 19.04. ausge-

stout. Glunz uno Knorzer einigcn sich darauf dass kcincr

del

drc i w cchscl VOl Falligkeit diskonticrt wird.

Wan n is! del (am 19.04. ausgestellte) w echset fallig'!

(Diskont satz: 12,5% p.a.; Ubcrziehungszi nssatz (linearer Kalku lalionszinssa lz) 9,5 % p.a.]. (Die angegebene Losung ergibl sich, wenn ma n die Be/rage bz w. w ecnsetsumm en aufzinst- awa his zum 01.08.).

51

2 Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung) Kennzeichcn der (im tauen Kapitei behandelten} hneeren Vcrzi nsung is! cs, das s innerhal b dcr bctrachteton Vcrzin sungsspanne kein ertei Zin!." crrechnun gen vorgcnonuncn worden . Vcrcinbart man linca re Vcrzinsu ng. so werden erst am Bndc des Bctrachru ngszen rau ms (vgl. Kon vcnno n 1.2.33) das Kapital und die entstandenen Zi nsen zusamme ngcfasst bzw. verrechner. E in andcrcs Prinzi p licgt de r Zin seszinsr echnung (oder exponemteuen Yerzins llng) zugrundc : Inn erhalb dcr Kapitalubcrlassungsfri st cxis tie ren ein cd cr meh rere Zinwerrechnungs· Oller Zins"Zuschfagte nnine, in dcn en die bis dah in entstandenen Z insen dem Kapital hinzugcfOgt (Zinszuschtag, Zinsvemdmung} worden und mit ihm zusammen das weiterhin zu verzinscndc Kapital hilden. Dies Verfah ren - nac h § 248 Absatz 2 BGB fur die Institutio nen d es Bank- und Kreditwcscns ausdrucklich zugclassen - besitzt Grundlagencharakl er fur P1anungen und Bewertungen in den Bcreichen Irwcstition, Hnanzicrung, Versichc rungswescn sowtc fur krcditthco retische Ansatzc dcr Volkswirts chaftslchre.

Sind sowohl Anfan gs- als auch Endzenpunkt des bctrachteten Zeitintcrvalls Zinszuschlagtcrmine, so spricht man von remer Zinseszin.~rechn u ng. andem falls von gem i~chter Zinseszinsrechnung. Wir wcrden zunac bst die rcinc Z inscszinsrechnu ng bc handeln und di e gcmischte Zinsesz insrechnung - cine Kombination aus cinfacher und Z inseszinsrechnu ng - in einc m spatcrcn Absch nitt (lWpilrl 2.3.3) da rstcllcn.

2.1 Gru ndlagen der Zinseszinsrechnung (Reine Zinseszillsrechmmg) Wir bct rachte n ein irn Zcitpunkt t == 0 (nach VoraussetzUllg Beginn einer Zinsperiode) vorhandc ncs Kapital Ko und fragen, wic sich Ko im Zcitabla uf cnrwickclt, wcnn nach 1 jeder Z inspcriode (z.B. nach jedem Mona t oder jedem Jahr) cin Zi nszuschlag (oder: eine Zinsverrechnung) in Hohc von i = p% des zu Beginn der vorausgcgangc ncn Zinspcriode vorhandc ncn Kapitals crfolgt. Gesuc ht ist das Endkapital K n , da s sich au s Ko nach insgesamt n Zinspcrioden ergibt, siehe Abb . 2.1.1:

Zinsverrechnungstermine

+-t=

-1

K,

I-

o

1--

,I

--+--

-+2

-

n Zinsp erioden

0-1

o

------1

0,1

Abb, 2,1.1

D ie Entwieklung des Kapitals erfolgt sukzcssive mit H ilfe del lincaren Zinsr echnung, wo bci die TeilLaufzcit jcwcils cine volle Zinspcriode his zurn nachstcn Zln svcrrcc hnungstcrmtn bc tragt (d.h. n = 1). Am End e der 1. Zinspcriode betragt das End kapita l K 1 nach ( 1.2.12): K 1 = Ko (1 +i). Da nun Kj das zu vcrzinsende Kapital ist, gilt fUr ca s sich nach ciner wcitcren Zins pcriode crgcbcndc Kapita l K2 zu rn Ende dcr 2. Zinspenodc: Es wird ausscll li epUch flUchschassiger Zinszuschlag urscrscnt. Jcdcr vorschiissige Verzinsu ngsprozcss (vorschiissiger Pertodcnzins i".) kahn i.a durcb die Ermittlung des aquivalecten nachschiissigen Pcnodcnzinssatzcs

gcmaR (1.2.72) auf einen nachschussigcn Zinsvorgang zuruckgcfil hrt wcrdcn

2

52 (Ko(1 +

Z inseszins rechnung (cxponcnlicllc Vcrzinsung)

i» (1 + i)

'" K 1 A nalog crhalt man am Ende ocr dritten Zinsperiodc den W ert fur K 3:

K3

'"

KlI + i) '" (Ko (1 + if ) (l + i) = Ko (1 + i) 3,

USW.

A1lgcmcin erhalt man sorntt am Ende dcr n-ten Z inspcriode sen dcr Wen stcll ung von

Ko:

(2.1.2) Fiihrt manfur den Aufzins ungsfakto r M1 + i ~ die ubttcbc Ab kiirzung Mq" cin, so ergebcn sich aus (2.1.2)

wcgen i = I ~ drei aqutvalenre Schreibweisen dcr grunctlegendcn Zinseszinsronnel (exponenlielle Verzins nng)

(2.1.3) mit:

Ko: Anfangs kapital (Wertstd lung zu Beginn aer ersten Zinspenode] Kn: Endkapital (nach n Zinsperioden) i = P % = 1 ~ : Pcnodcnzinssatz, Pcriodenzinsratc (p: Periodenzinsfujj) q = 1 + i '" 1 + I ~ ; Period enzinsfaktor, AUfzi nsungsfaktor 2 n : zeitlicher Abstand (in Zinsperioden) zwischen Ko und Kn .

Beispiel 2.1.4: i) Ein Anfangskapital von 200.000,-- € (= KoJ wachst be i 10% £l.a. und ja hrlichcr Zin svcrrcc hnung in 9 Jahren zu folgcndcm Endkapital Kn an:

Kn = 200 .000 - 1,10 9 = 471.58 9,54 € 3.

Die entsprec hende Konlostaffel lautct (m it tdenuscnem Kontoendstand} : Kontosta nd zu Jahresbcginn

Zinscn ( 10% p.a.) Ende des Jahrcs

9

200 .000, -220.000,-242.000,-266.200,-· 292 .820,-322 .102,-354.312,20 389.743,42 428 .717,76

20.000,-22.000,-24.200,-26.620 ,-29.828,-32.210,2 0 35.431,22 38.974,3 4 42.871,78

10

471. 589,54

Jahr

,

2 3

4 5 6 7

8

Konrcstand zum

Elide des Jahres

220.000,-242.000,-266 .200,-292 .820,-322 .102,-354.312,20 389 .743,42 428.717,76 471.589,54

2 Manbcachtc die Analogicn zu dcn cntsprcchcedc n Begriffen in der Prczentrechncng. vg l. (1. 1.22), 3 Die Rechnungcn crfblgcn mit ciocm elc ktronische n Taschcnrcchncr. Die Endrcsu ltate werden sirmvoll geru ndet

(hier z.B. auf zwei Nachkomm astelIen).

2.1

53

Grundlagen dcr Zinscszins rcchnung

€ wa chst bci vicrtcljahrlichcr Z insvcrrcchnun g von 2,5 % p.O. in 9 J ahren (= 36 Zinsperioden) an auf

ii) Dasselbe Anfangs kapit al von 200.000,--

Kn = 200.000-1,02536 = 486.507,06 €. (Zum Vergleich: In beiden Fallen naue lineare Venins ung mit i :: 10% p.a. linearer Veninsung) in 9 Iahrenzu einem Endwen von (nuT)

200.000(1 + 0,10 -9) = 200.000(1 + 0,025 -36) = 3BO.OOO€

(~

2,5 % p.m. bei

gefuhn.

In A bb. 2. 1.5 sind (bei vorgegebenem Anfan gskapital Ko sowie unverandenem Periodenzinssatz i) die Endwcrt e K n in Abhiingigkcit von der Laufzeit n fur lin care sowie fur

Zinseszinsen dargestellt. Bci linearer Vcrzinsung cntwickclt sich

Kn linear mit

der Laufz cit n,

wahrcnd K n bei z tnses-ztnsen ex-

ponent iell wachst und fu r groucs n zu schnell anwa chscndcn E ndwerten Iuhrt, vgl. das folgend e Beispiel 2.1.6.

Wendel man die Ztnscszlnsforrncl (zuniichst fo rmal) auf gcbrochene Laufzeiten an (vgl. Kap. 2.3.1) , so zeigt sich (vgl. Ab b. 2.1.5) , dass nur inncrhalb der ersten Z insperiode das Endkapit al Kn be i linca rcr Verzinsung ho her ausfallt als bei (forma/er) A nwendung de rZ inseszinsform cl.

In}

~f--' -~1

Abb.2.1.5

Beispiel 2.1.6: Wic ebe n scho n angedc ute t, kann bci Zin scszlnsvorgangcn dc r Bnd wcrt Ku sehr schnell anwachsen auf Betrage, d ie sieh dem mcnschhchcn Vorstcttungsvcrmogcn cn tzichcn {und ats unrealistisch gclte n miisscn): i) Ocr beriihmte CeO!, vor 200 0 J ahren zu 4 % p.a . Zinscszinscn angclegt, bcsitzt hcute eincn (rechnerischen 4) E ndwert Kn in H ohe von

(2.1.7)

Kn

'='

0,Q1 ' 1,04

2oOO

"'"

1,1659 ' 10

32

€.

(d.h. einen 33-sldligen €- Belrag) Urn cine Vorste llung von dicscm Bet rag zu crhalten, rechnen wir ihn in Gold (zu 20.000 €lkg ) urn und benutzen als E inheit ~ 1 goldcnc E rdkugcl ", 4 Bankiiblichc Gcpflogenhciten wic Nichtberucksichtigung von Zinscn unterhalb cines Cent o.a. bleiben hier aujcr

Betracht.

2 Zinseszinsrechnung (exponenticlle Vcrzinsung)

54 Mit den Dalen: Erdradius: r:: 6.370 km,

Kugelvolumen: V ::

D tchtc von Go ld: p = 19,3 kgldm 3

:It :=

3,1 4159

4x

rJ.

erhaltcn wir als Masse mEciner goldencn Erdkugel: me = 1,lTo(6,37 -10 7)3 . 19,3 "" 2,0896 -1025 kg und da raus nach Mult iplikat ion mit dem Go ldpreis den w ert We elner goIdenen Erd kugel:

WE =4,1792 -1029

€.

Dividieren wir den Endwcrt Kn (2.1.7) unscrcs Cent durch den Wert d oer go ldcncn Erdkugcl, so erhalten wir 279, d .h. der cine Cen t stellt - bei 4% p.a. Zinscszinscn - nach 2000 Jahren

eincn Endwcrt dar, dcr dcm Gegenwert von 279 goldcnen Erdkugeln entspricht. (Wit empfindJich Kn auf die

Hone des Zinssatzes reagien, zeigen folgende - auf

gtelche Weise «mil/rile - Vergieichswate:

Bet 4,5 % p.a . isl Kn aquivalent zu rd. 4 Millionen goldrnen Erdkugeln, und bei 5% p.(l. sind es bereits 57 Milliarden goidme Erdkugeln. Andererseits wachst bei 1% p.a. der Cent nur auf einen Gegenwen von ca. 220 kg Goldes, und bei 0,5% p.a. (wie z.B, als Kreditzinssatz gewisser langfristiger staauicher Darlehen durchaus vorkommend} erhaftnocn 2000 lohren der Cent-Anleger-Erbe nur noch einm bescheidenen Mini-Goldbarren von ca. 10,75 g (d.h. ca. 215 € ) uls aquivalemen Endwen.]

Ku kann cxpo nentiellcs w achstum wcrden, wen n man sich im Ze itabJauf die Gesch'olindigkeit {z.B. in €f l ahr) des Wertzuwachses vergegcnwiirtigt (die Gnmdidee des fotgenden Beispiels stamml aus Ahrogge [AJa] 63 ff) '

ii) Noc h atcmbc raubcnd er als die in i) vcransc haulic hte Zunahme des Endwert s

w ahrend (vgl. (2.1.3»)

(i: l ahreszinssotz; t: Laufzeit in Jahren)

(2.1.8)

de n Endwert K(t) des aufgczinstcn Anfangskapitals nach t Zinsperiod en darstellt, beschreibt die erste Ableitung K'(I) [ntiherungsweise} die A ndcrung von K(t), wen n t urn eine Ze itein heit zunimmt, d.h . die Wacho;t um.o;gesch'olindigkeit (in €/Jahr) des Endwertc s K(t) 5 . Es gilt (sieheAblritungsregeln der Differentialrechnung) 6: (2. 1.9)

K'(I) = Ko 'ln(l+ i) ' (l + i)' = In( l + i) ' K(I)

Fur Zinssetze zwischen 3% und 4% p.a. sei wieder de r bcruhmte Ce nt, angclegt vor ZOOO Jahrcn bctr ach tet. Um eine (e/Was drastische] Vorste llung von dcr Wachst WTIsgesch\tindigkeit K'(t) des aufgezinsten Kapitals zu erha ltcn, stellen wir uris vor, das nach (2.1.8) ermtnene En dkapital K(I) sci in Fo nn eines Stapels von 500-€-Schcinc n gcgcbcn . w cnn wir an nchmcn , jedcr Schein set ca. 0, 1 nun dick, so machen 5.00 0,-- € cine Gcld stapelh ohc von ca . 1 mm a us. Wie hoc h mu sste der jahrlichc Kapitalzuwachs K'(t] ausfallen, damit dieser Stapel mit Lichtgeschwindigkeit ('" 300.000 km/sec) anwach st? 5 siebe etwa (Ti e3] Kap. 6. 1.2. 6 siejc etwa (T ie3] Kap. S.2.S ( II ).

2.1

55

G rundlagen dcr Zinscszinsrcchn ung Dazu rcchnc n w ir die in einc m J ahr vom Licht zurnckgctcgt c Streckc s aus: S

d.h.

km Tagc h min sec = 300 .000 - '365 ' 24 6 0 - 60- : sec Jahr Tag h min

9,46 ,10

12 km Jahr

(wegen J km = ]06 mm):

s = 9,46 ·10 18 .!!!!!!.. . Jahr

Diese Strcckc s , dargcstcllt als Hohe cines Gcldstapels aus 500,-- € -$chcincn, rcprasentlcn somit einen Wert von 9,46' 10 18 mm- 5.000 ;m = 4,73 . 1022 € , andcrs ausgedruckt : E in Lichtst rahl du rchfahrt in cincm Jahr cinco 500-€-Slapcl im Gcgcnwcrt vo n 4 ,73 - 10 22 € , odcr: Wcnn d o Gclds tape l aus 500 -£-Scheincn mit Lichtgcsc hwindig kcit wac hst , so nimm l dcr Wert des Stapcls pro J ahr urn 4,73 ' 1022 € zn .

WiT konecn nun da nach fragen, mit wclchern Bruchl eil der Llchtgeschwiadlgkelt dc r Endwert

K(I) des Cent nach 2000 Jahrcn zunimmt: Aus dcm jahrlichen Kapitalzuwachs (2.1 .9) folgt ctwa fur i = 3 % p.a. K'(2000) = Om 'lnl,03 ' ( 1,03jOOO = 1,40 . 10 22 J;hr '

d.h . der (aus einem "or 2000 Iahren angelegten Cent resultierende} Gcldstape l wachst (bei 3 % p.a.) mit knapp O,3-facher Lichtgeschwindigkeit, also immerh in noc h mit ctner Gescbwtndigkett von ca . 88 ,600 km/scc. D teser Verglcichswen nimm t mit stcigcndcm Anlagczi ns drama tisc h zu:

Bci 3,I % p.a. wachst der 500-0£ -Stapcl nach 2000 J ahrcn mit etwas meh r als da ppelter Lichtgc'schwindigkcit, bel 3,5 % p.a. mit 5525-fachcr Lichtgeschwindigkcu und bet 4% p.a. mil ciner Geschwindigkcit, die fast 100 Millionen mal so groB ist wie die des Lichtcs. U nd bercits bei 2 ,22% p.a. wac hst unser 500-0£-Stapel mit mehr als Sta dt -Gcsc bwindigkcit (50 kmlh) . A ndererseits wachst bci 1 % p.a. dcr Stapel naeh 2000 J ahren vnur noc h" urn ca. 8 ,7 mm pro J ahr und bei 0,5 % p.a. urn kaum noch rnessba re 0,0002 mmlJah r (d.h . urn ca. / ,07 Mahr). iii) w ahtr man Ianstelle "on 2000 Jahren) rcalistische, wenn auc h relativ lange Anlagczcitraumc,

z.B . 50 J ahre, so crgibt sich folgcndes Bild taer An/agebetrag K Q be/rage jetzr ah wekhend vorhagehenden 1, · · € I) , vgl. Tab. 2 .1.10 (bzw. Abb. 2./.1/) : Tab. 2.1.10

Zinssatz i (p.o.) 0.5 % I % J % % 5 % 10 % 15 % 20 %

,

"om

Anlagcbctrag : 1," o£ ; Laufzcit: 50 Jahre Endwert K(50) 1,28 1,64 4,38 7, 11

lI ,n

117,39 1.083,66 9. 100.44

Wachstumsgcschwindigkcil K' (50) d. Endwcrts

€ € € € € € € €

0,006 0,0 16 0. 13 0,28 0,56 11,19 115,45 1.659,21

o£/Jahr o£/Jahr o£Oahr o£/Jahr o£/Jahr €Jlahr €I1ahr €I1abr

56

2

Zinseszinsrechnung (exponcnticlle Verzinsung)

iK,,) 100

€

Errdwert noell SO.bhren

K:;cliJ= (f+ifD K'soliJ = In(1+1j. (1+1)50 Zunahmegesc:h windigkeit nrxh 50 bhren

50

(il

o

100

150

20 0

Abb .Z f.lf

Die vorangcgangenen (bewusst ausfuhrlichen} Uberlegunge n zum cxponcntiellen Wachstum nach dcm

Zinscszinsprinzip zeigen: •

Die tatsachliche (oder auch nUT f iktive) Entwicklung von (Kapital-) Bestandcn bci, ungcbrcmstern'" exponentiel1em Wachstum nach dem Gesetz Kn = I
•

N ur bei verglcichswcise kurzen Laufzeitcn odcr schr kleincn Zin ssat zcn kann cin derartigcs exponentielles Wachstum ats mit de r Rcalttat vereinbar angcschcn werden.

Die cxponcnt iclle Form der Zinscszinsfonncl sowte die AusfUhrungen des Ietzten Beisplels vcrdc utlichen , dass zum erfo lgrcichen Umgang mit exponentieller Verzinsung die Potenzrechnun g und die Logarithmenrechnung als rcchcntcchnische Grundlagcn unverzichtbar sind. Z ur E rinnerung werde n nachfolgcnd die wesentlichcn Grundtatsachen kompakt zusanun engefasst 7:

Satz 2.1.12: (Pote nzgesetze) Unter Bcachtung der Dcfinitionen Det. (I)

,= a ' a ' a ' ...

a

.,

(n E IN)

a' ,= a

;

n Fakrorcn

Def. (2)

I

a- " ,= - ; aO,= 1 ; a

.L

Det. (3)

a•

.~

•v;;-

Def. (4)

,

,=

•van'

.

m

(nEIN); =

(v;;-r

(n E IN ; m e Z )

gilt fUr Potenzcn mit posluver Basts (a, b > 0) und beliebigcn reellen Exponenlen (x. y 7

Nahcre Ausfilhru ngen findct man z.B. in lTie3J Kap. 1.2. 2 bzw. 1.2.3.

E

IR):

2.1

57

Grundlagcn dc r Z inscszins rcchnung

Potenzgesetzer

(P I)

(P2)

Vereinbarungen: ab" "" a(JII) (P3)

(a")Y ::;: a"Y = (aYf

-a'l "" _(a/'l) abc "" a(b")

(P4)

(ab)' = a'b"

Satz 2.1.13: (Logari th mengesetz e) DeC. (I)

Det, (2)

I a~::;: x IOg10 x logex

=:

u::;: log, x

{=>

19x

=, lnx

I . a", IR + \ {l )

; x e IR + ; U E IR

(dekadischer Loga rithmus )

tnaturlicher Logaruhmus, e ::;: Euler'sche Zahl "" 2,7182818 ..)

Fur aile x, y > 0, a > 0 ( *1 ) gill; (1,1)

Vereinharnng: logax' := loga(x')

log, (x ·y) = 1o&, ,, + [og,y

( *' (log xV (Ll)

(L3)

x

10&,( -y ) = log, x- Iog.y .

log., (x' ) = r log, x

(r

E

IR)

Insbesondere gilt (wegen Def (l )) : tog, av =

U

a1oga' = x

d.h.

IglOU = u l Olgx = X

Aul3crdcm gill:

sowic

In x

Belspieler

In e = I;

Ig lO = 1; In I = OJ

Ig l = 0

19 x

log,x = = In a 19 a

!)

2

58

Zinscszinsrcchnun g (exponcntiellc Verzinsung)

Je nachdem, welchc der vier Variablen i (bzw. q), n , K.:J , Kn in dcr Zinscszinsformcl (2.1.3) (bei gleichzeiliger Kennmis der ubrigen drei Variabien) gesucbt Ist, unterschcidct man die vter grund~(fullli gen Prohl emtypen (bei reiner Zinseszinsrechnung und Verzinsung eines Binreibetrages Ko); P roblemtyp I: Endwert K n gesuct u Man erhalt Kn durch Auf'zi nsen des Anfangskapitals der Standard-Zi nseszinsformcl (2.1.3) (2,1.3)

K,

=

""q'

Ko mit dem Auhi nsung.<;raklor II" gemaB

I

(q = l + i)

(vgl. Beisp ide 2.1.412.1.6)

Probjemtyp 2: Anrangskapital Ko ~suchl ,

das be i cinem Pcriodcnzinssatz i nach n Zinspcriodcn zurn E ndwcrt Kn fuhrt. Aus (2.1.3) falgl dUTCh

Umformung:

(2.1.14)

bzw

Man sagt, del Anfangswcrt

Ko

I '"

=

K, q- '

I

(auch Barwert oder Gegen warts weni des (sp ater fiilligen) Kapitals

K., ergcbc sich d urch Abzinsen (oder Diskontieren} des Endwert.. Kn mit dcm Abzinsungsfaktor ...!.. [hzw. q- n). 8 q"

Beispiel 2. 1. 15: Mit wclche m hcute zahlharcn Bctrag kann man cine in 8 J ahrcn falligcSchuld in H c he von 50 .000 € ablosen , wen n vicrtclja hrlic hcr Zinszusehlag und i = 3% p.Q. unt erstellt werden?

Nach (2.1.3) gilt: Kn = 50 .000 = Ko · I.03 32 ~

Ko

= 50 .000 ' 1.03 - 32 = 19.416,85

€.

w urdc man umge kchrt den cnnitteltcn Barwert von ] 9.4 16,85 € wicJerum zu 3% p.O . Zinseszinsc n anlegcn, res ultic rtc nac h 8 J ahrcn cin E ndwert von 50.000.-- € . D
So ergabc sich ctwa fur i = 5% p .Q . und be i einer Laufzcit von 50 J ahren im vorlicgenden Fall cin Barwcrt von: 50.000 ' 1,05 - 200 = 2,89

€ ! (d.h. « etwas safopp ausgedriickl -: Bei 5 %p.Q. Z inses-

zinsen sind 50.000, -- €, die in 50 Jahren gezahlt werden, heute nur 2,89€ wen.) 8 Auf:tinsungsfaktoren qn sowtc Abzinsungsfaktoren q - n liegen tabclliert vor , vgl. z.B. [Dan]. Altcrdings lassen

sich mil den dcrzeit verfbgbaren e1cktronischcn Taschcnrccbncr n samtlichc Fcrmeln dcr Finanzruarhcmetik ubersichtlichcr, schncllcr undgcnauer als mil Tabellen bcrechncn

2.1

59

Grundlagcn der Z inscszin srcch nung

Bemerknng 2.1.16: i) Wit schon im Zusammenhang mil der linearen Verzinsung erlauten (vgl. (twa Abb. 1.2.25), liefer! das Zinseszinsgesaz (2.1.3) die Moglichkeil, Zahlungen in die Zuklmft zu transformieren ("auf zinsen") oder spa/ere Zahlungen in die Vergangenheit ZII transformieren (..ahl insen" ), vgl. Ahb. 2.1.1 7: Kn=Ko·qll

---

pufzinsen " K.

K"

- I

(ZeiN

l-

..I,

n Zinsp rNiode n

K.

K"

1

Ko =Kn ' qn Abb.2. I. 11

.obzinsen"

Ii) Wiihrend aem (aus Ko gewon" ene,,) aufgrzinsten Endwen Kn eine reate eigensliindige Bedeutung zukommf (etwa: An lage von Ko auf einem Konto und abwan en ...), lasst sich der (obgrzins/e) Barwert Ko nicht dirckt, sondern nur durch einm Umweg uber den spa/a erzielbaren Endwen Kn deuten, ~xl.

ouch Kap. 1.2.1, Fn . 7.

P roblemtyp 3: Periodenzinssatz t gesucht, der cin Anfa ngskapltal Ko in n Z inspcriodcn zu eincm End kapitaJ Kn anwachse n lasst . Au s (2.1.3) folgt durch Umformung: I

(2 .1.18)

Ko ·qn

q"

n

q =(~ )" =V~

Aus dcm Zahlenwcrt von q ergibt sich wegcn 1 + i = q sofort dcr gcsuchtc Zinssatz: i = q - I .

Ocr Kon tosta nd cines Festgehlkontos bctmgt am 0 1.0 1.05, 0°° Uhr, 40.000,·· €. Die Kondutoncn sehe n monatlichen Zin szuschlag vor. Mit wclchcm glcichblcibcndcn Monatszins i wird die Festgclda nJage verzinst, wenn sich am 01.01.08, 0°0 Uhr, ein Koruostand von 50.000,-- € crgibt ? - Nach (2.1.3) gill:

Bei~piel 2. 1.19:

50.000 = 40.000 · q 36

, q = 1,25 " = 1,006218

i "" 0,62% p.M .

9 Aus okonomischcn Grunden kommt nur die positive Ldsung dicscr Gleichung in Bctracht. Zur Losungstcchnik (uuch im folgendell) sichc ctwa [Tie 3] Kap. 1.2.2 - 1.2.4 (Pcte nzcn. Logarithmcn, Glcichungen).

60

2

Problemtyp 4: La utzen

h

Zinscszinsrechnung (exponentielle Verzinsung)

(in Zinsperioden) gesucht,

in dec bei einem Pcriodcnzinssatz von p % en Anfangskapital Ko zum End kapital Kn anwachst. Aus (2.1.3) folgt dutch Umformung: Kn =Ko -q"

~

~

qn :: ..!S!. I(,

(log, Basis beliebig}

'0'_" ~

ntog q

K

log - " I(,

K

(2.1.20)

n =

Jog q

log K n - log Ko log q

Beispiel 2. 1.2 1: Inncrhalb welcher Zcitspannc wachst bci 6% p.H. (pro Halbj ahr) Zinscszinsen ein Kapital von 10.000,-- € auf 18.000,· - € an '! - Aus (2.1.3) folgt:

Kn = 18.000 = 1O.OOO· I,06 11 (n = Anzahl dcr Halbjahrc) ¢'}

1,06" = 1,8

n =

l~n 11,~ =

10,09 H albjah re.

Der nicht-ganzza hlige Wert von n dc utct an, dass dcr Endwcrt 18.000,-· € zwischen dcm 10. und 11. Zinszuschlagtenni n erreicht wird, sofem ein "aul3crordcntlichcr" Zinszuschlagtcnnin eingeschoben wird. Der gcnaue Zcitpunkt dieses auJ.lcrordentJichen Terrnins konntc z.B. mit Hilfc dcr gcmischtcn Zinscszinsrechnung'? ermittelt werden, vgl. Kap. 2.3.3. In diesem Fall crgibt sich der gesuchte Zcitpunkt durch die Obcrlegung, wieviele Tagc (= t) das stch nach 10 Halbjahrcn angesammeltc Kapitai KIO ( = 10.000 ' 1,06' ° = 17.908,48 €) noch zusatzlich linear angelegt worden muss, damit cs auf 18.000,-- € anwachst:

17.908,48(1 + 0,06'

I ~O) l

18.000

~

= 15,33 "" 16 Tage

Bemerkung 2.1.22: i)

Kmnzeidi en fin onsmathematischer Ptanungen ist die (nahezu ausschlief3lidle) Verwenaung aer Z inseszinsmethode. Lediglich bei einfa chen k aufmiinnischen Zinsbcrechnungen (charakleristisch: k uru Laufzeiten, i.a. kuaer als ein Jahr) sowte fur die Wechseldiskontimmg win} die tineare Zinsrechnung verwenda. Eine Komhination aus Zin sessinsrechnung und tineorer Verzinsung ("gemischte Verzin sung ", vgl. Kap. 2.3.3) wurde fruher im Zusammmhang mil der Effektivzinsennilllung von Verbrau cher-Krediten nach der his 31.08.2000 in Deutschland vorgeschriebenen ,,3 60- Tage-Methode" angewendet, vgl. Kap. 4.3 bzw. Kap . 5.3.1.1. Zur Zins tage-Ermiulung siehe auch Bem. 1.2.8. Die f olgendenfinanzmathematischen Berechnungen benuizen - wenn nidu ausdrncklich anders bemerkt stets die Zinseszinsmethode.

«

10 Einc andere Methode zur Oberbrtickung untcrjahriger Lautzcitcn ist die intcmationalc ICMA-Methode (jrilher: /SMA -oder A/BD-Methode), vgl. Kap. 3.8.2 bzw. Kap. 4.3 bzw . Kap. 5.3.

2.1

61

G rundlagcn dcr Zi nscszinsrechnung

ii) Urn nicht jedes Ma l xu umstandlichen Erkla rungen greifen zu miissen, wouen wir zur Vereinf achung des Sprachgebrauchs Datumsan gaben fur Zahlungstermine und/oder Zinsverrecnn ungs termine (obweichend von der ka ufmiinn ischen Z dhlweise} im folgenden Sinne verstanden wissen:

-

31 .12 .13 1.03. usw. bedeuten Jahresende, Qu artalsende usw. 24.00 Uhr. 01.01./01.04 . usw. bedeuten l ah resanfang. Qua n alsa nfang usw . 0.00 Uhr.

So bezeichnen etwa ~ 3 l. 1 2. 08" wul p01.01.0 9" denseJben aitpunkt (allenfalls durch die beruhmte plogisch/!Sekunde" gerrf'nnt). jji) Fur praknscne A nwendungsf iille (Kredue, Fin anza nlagen, l n vestitionen, ...) sind beliehige Zahlungszeupunk te w id Zinspenoden iiblich, die unabhangig von [esten Kalenderzeurau men sind (<
So k ann ein Z insja hr (bei Kapi talanlage am 16.03.) durcnaus vom 17.03., 0.00 Uhf, his sum 16.0 3., 24.00 Uhf, des Fo/geja hres dau em. Andere Antogeform en wiederum (z.B. Sparbuch ) benotigen aus banku btidi en oder fisk oiiscnen Gepfl ogenheiten hera us Katenderzehraum e (01.0 1. - 3 1.12.: Kalenderjahr; 0/.07. - 3 0.09 .: Kalenderqua n al elc.) . Um nicht jedes Ma l umstandticne Zeu-Formaiierungen verwenden zu mussen, sind im [olgenden ka lendenniijJige Zeuraume [a r Fiilligk eiten, Zinsperioden etc. auch dann vorgegeben. wenn das Problem beliebig zeitlich verschiebbur ist.

Aurgabe Z.1.23: l)

E in Kapital von 10.000,-- € wird 2 J ahre lang mit 6%, dana ch 5 J ahre mit 7% und anschlicucnd noch 3 Jahre mit 4 % p.a, vcrzmst.

a) Auf wclchcn Bctrag is! es angcwachscn? b) Zu welchcm durchschnittlichcn jahrlichcn Zinssat z war cas Kapital angelegt? Ii) Innerhalb welcher Zeitspannc verdrcifacbt stcb ein Kapital bci 7,5% p.a, Zin seszinsen'! iii ) Zu welchcm J ahreszinssatz musstc man sein Kapital anlegcn, urn nach 9 J ahrcn tiber nominal denselben Bctrag vert ugcn zu konnen wie am End e ciner vierjahrigcn Anla ge zu 12% p.a.?

iv) Wc1chen cinmaligen Bctrag muss ein Schuldne r am 0 1.01.06 zahlen, urn cine Verbindliehkcit zu begtctcbcn. die aus drci nominc11g1cich hohen Zahlungcn von je 8.000,-- € bcstc ht, von dcncn jc cine am 31.12.08, 31.12.10 und 31.12.14 Hillig ist? (i = 7% p.a.] v) Die Bundcsschatzbriete vom Typ B crziclen folgcndc J ah reszinscn, die jeweils am Jahresende dc m Kapital zugeschlagcn werde n: 1. J ahr: 5,50 %; 5. Jah r: 8,50 %;

2. J ahr: 7,50 % ; 6. J ahr: 9,00%;

3. J ahr: 8,00 % ; 7. J ahr: 9,00% .

4. Jahr: 8,25 % ;

Man crmit tlc die dur chschn ittfiche jahrlichc Verzinsung wahrcnd dec Gcs arntlaufzeit (= 7 Jah re) .

62

2

Zinseszinsrcchnung

2.2 Das Aqul valenzprl natp der Fina nz mat hemat ik (bci Zinseszinsen) Die cxponentiellc Verzinsung tZinseszinsmethodei licfert (wit ouch die llneare Venimung, vgl. Kap.

1.2.2) cine Methode, mit oer Zahlungen (zum Zweck der Vergfeichharmachung oderder ZusammenJassung) zettnch uansrormtert worden konncn. Urn cine Zahlung ~ - bezogcn auf ihren Falligkelts- bzw. Wertstellungstermin - in cine n Zinsperloden cntfcmte Zukunft (bzw . VergangenheiJ) zu transferiercn, muss man ~ urn n Z inspcriodcn autzinsen (bzw. abzinsen) , d.h. mit dcm cntsprcchcndcn Aufzi nsung.~ raktor q" (bzw. A bzins/lngsf aktor q-n) rnultiplizicrcn (vgl. (2.1.3) undAbb. 2.2.1): abzinsen

aufzinsen

,~

K_n= Ko·q-n

- I f--

n Zinspenoden

-

Ko

1- - - - - - + - n ZI/lspenoden - -1

(Zeill

Abb.2. 2.1 Die so (aus Ko entstandenen) auf- oder abgeziosten Wcrte KIl , K _n ncnnt man Zeitwerte von Ko. 10 analoger Weise dcfinicrt man zenwerte von Zahlungm'i hen alsSummevon in dcnscfben Zeitpunkt aufoder abgcz instcn Einzelzahlungco. Der entschcidende vorte n der exponenliellen verarosuog gegenabcr allen sonsngcn T ransformationsmethodcn (insbesondere der lineuren Zinsrechnu ng) best eht in dc r Tat sache, dass die mit dcr Z lnscs-

ziosformcl (2.1.3) bzw. (2.1.14) crminelten Zettwerte Kn unabhiingig davon sind, auf welchem wege (oder Umwege) dieser Zeitwert per Auf-/Abzi nsuogsstufenfolgc erreicht wird: Satz 2,2.2 :

(Umweg-Salz der exponenliellen Verzinsung)

Der untcr Verwendung dcr Zinseszinsmcthod e ermittclte Zeltwert Kn (im Zeirpunkt n) ciner Zahlung Ko (im Zeitpunkt 0) hang! auger vom Zinssatz i nur von der zettlrchen Differenz n zwischen den w crt stcltungsrcrrmncn von Kn und Ko ab, nlchr aber von der Anzahl, Art cdcr Rcihcnfolgc moglicher Auf-I Abzi nsungssc hrittc, mit dcncn dcr Endtcrmin 0 sehliefilich erreich t wird. n = Za hl dcr Zinspcnodc n zwischen Ko und Kn • Falls K n urn n Zinspcnoden spater Hcgt als Ko: • Falls Kn urn 0 Zinspcriodeojmher Hcgt als Ko:

K Il = Kn =

Ko Ko

q''; q- n

vgl.Abb. 2.2.1).

Der Beweis des ~ Umweg-Satzcs" folgt direkt aus der Zinscszinsformcl (2.1.3) und den Potenzgesetzen (vgl. San 2.1./2): Sci ctwa n = n l + n2 - oJ ein Zeitraum von n Zinsperioden, der aus drci Tcilzcitraumcn or- n2' oa zusanunengesetzt ist, vgl. Abb. 2.2.3:

2 .2

63

Aq uivalcnzprinzip der Roanzmathcmatik

n Zinsperiod en _

n, Zinsper

-

«;

-----1- - - --+- - - --+- - - - - n,

n2 Zinsperl oden

Zinsper _

-.

(Zeil)

Abb. 2.2.3

Wenn jctzt Ko zunacbst 0 1 Zinspcriodcn aufgezinst, daoaeh urn 02 Zinspcrioden aufgczinst und dann urn n3 Zi nspcrioden ahgczinst wird, so ergiht sich naeh (2.1.3) als Endwert K n bc i ~ Umwcg'verzinsung I K n "' (Ko · Q"q ·qn2)!i"3 '" Ko 'q n l+" y n 3

(POIenzgesetze!)

q

Kn == Ko ' 1.1 "

d.h. (da n 1 + n 2 - n 3 '" n) genau das zu bcwciscndc Rcsulta t: Beispiel 2.2.4:

Ko soli urn 10 J ahre aufgczinst werden

Ohne Umwcg erhalt ma n:

K IO

'"

Ko ' qlO

Mil versehicd enen Umwegen erhalten wir durch stufenweises Auf -f Ahzinsen auf den Zielzcitpunkt n = 10 etwa tPotemeesene I): I) Umweg I: Erst 8 J ahre abzmscn, dann 20 J ahre aut- , dann 2 J ahre abzinsen :

Kn = Ko·q- 8. q 20. q - 2 = Ko' q- 8+ 20- 2 == Ko 'qIO , s.o. ill Umweg 2: Erst 2 J ahre, dann 5 J ahre, dan n 3 Jahre a ufzinscn: Kn = Ko·q2 . q5 . q 3 = Ko·q2+5+ 3 = Ko ·qlO , s.o. , usw. Man kan n Ko in belicbig vielen Stufcn he liebig weit auf- und/ oder abzinse n: Der Zeltwert Kn fur n = 10 blcibt - wegcn dc r Gutttgkctt der Zi nsesz insfonncl (2 .1.3) und der Pot enzgcsctze - stets leo ' 1.1 1

°.

Beispiel 2.2.5:

Der Umweg-Satz 2.2.2 Ist fLir lineare Verzinsu ng nicht giiltig, unter Verwemlung der Daten von Bcispicl2.2.4 mil Ko = 1.000 ,-- € , i = 10% p.a . crhalt man viclrnehr (mit (1.2. 12) und (1.2.16»):

€ .

•

ohne Umweg:

•

Umweg I: erst 8 Jahre abzlnsen, dann 20 Jahre aufzin sen, dann 2 Jahre abzinscn :

K IO

= 1.000(1 + 0, 1 '10) = 2.000,--

I 1'8'(1+0,1' 20)' 1 ~~17-7 K lO = 1.000' 1+0, +0, 1 ' 2 = 1,388,89 € .

•

Umweg 2: erst 2 Jahre, dann 5 Jahre, dann 3 Jahre aufzinscn: K lO =

1.000(1 + 0,1 ' 2)(1 +0,1 ' 5)(1 +0,1 '3) = 2,340,--

e.

Je nach Verzinsungsfolgc ("Um weg") ergibt stch cin and crcr Zcitwert, so fem lin eare Verzinsung

stattfindct . Dicsc (und andere) U ngcretmt hettcn dcr linca rcn Vcrzinsung hatton wir bc rcits in Kap. 1.2 .2 diskuticrt, vgl. etwa Bcmerkung 1.2.32 .

2

64

Zinscszinsrcc hnung

In Anal ogie zu Dcf. 1.2.26 (bei tinearer Verzinsung) ldsst sich numnehr dc r Aq uivale nzbegriff fur zwci zcirvcrsctztc Kapita lbctragc Ko und Kn auch bei cxponcn ncllcr Vcrzinsung definieren : Def. 2.2.6: (A quivalenz zwe ier 7...ahlunge n bet Zinseszinse n)

Z wci Zahlungcn Ko und Kn (Ko f!lllig im Zc itpu nkt 0, K n fallig im Absta nd von n Zin spcrioden, bczogc n auf den Zcitpunkt 0) heiBen (unter An wend ung der exponemiellen Verzmsung, d.h des Zinseszins-Ptinzips, und dem Periodenzinssatz j) aquivalent, wenn zwischen ihncn die Bezich ung (2.2 .7)

I

K, = 1<, (1+')'

I

( =I<, q'j

bcs tcht.

lsI IT positiv (negalil') , so licgt Kn zcitJich wn IT Zinspcrj{xlcn spatcr (frii her) [lIs Ko. (Abb. 2.2.1),

Beis piel 2.2. 8: Bei i = 10% r -e- sind 100,-- €, fa llig am 0 1. 0 1.05 und 12 1,-- €, fltllig am 01.01.07, iiquivalcnt , denn cs gilt: 121 = 100 · 1,1 2• Man konnte etwa den Bctrag von 121,-- € als E ndwcrt des friiher Hilligcn Bctragcs yon 100,-- € ode r - umgek chrt - 100,-- € ats Barwcrt des sparer falligcnBetrages yon 121,- - € lntcrpretieren.

A nders als bei lincarer Vc rzinsung [vgl. Bern. 1.2.32) blci bl die Aquh 'a1enz erhal len, wcnn man beide Bcrragc zu cincm be lichigcn an deren Zeitpunkl ( = Zinszuschlagtennin) bcrrachtct . So baben etwa die 100 ,- - € am 01.0 1.09 cinen Wert yon 100 ' 1,14 == 146,41 €, d ie 12 1,-- € wach scn ebenfalls auf 146,41 € (= 121 . 1,12 == (100' 1,) 2) '1,1 2 = 100 · 1,14) an. Die fotgcndcn A usfiihrungcn zum Aquivalenzprinzip bel Zinseszi n.sen untc rschcidcn sich (auper in der Vm insungsm ethode und den da raus resultierenden " technischen « Erleichterungen) nicht yon den cntsprcchc nden Prinzipicn be i hn carcr Vcrzi nsung (Kap. 1.2 .2). Zur E rleichle rung des Versrandnisscs wird daher dem Lese r empfohlcn, vor de m Studium der folgcn de n A bsa tze noch einmal das cnts prcchende Kap. 1.2 .2 d urchzugc hcn . Nac h Def 2 .2.6 stimmen die (per exponemieller Auf-l.Abzmsung gewonnenen) Bet ragc zweier 3lluivalenrer Zahlungen (z.B.) am Frilligkeitsmg dcr spa rer falligen Zahlu ng iiberein . Zin SI ma n nun diese identiscbcn Bet rage cxponcntiell gcmeinsam auf odcr ab, so erhalt man (A nwendu ng der Potenzgesaz el] zwangslaufig wiederum Idcnt ische Zeirwcrt c. Zu sammen mit dem Umweg-Satz 2 .2.2 folgt dara us bet Anwendung der Zinseszins-Melhod c: Salz 2.2.9: Sind zwei zu untcrsehicdlichen Zcitpunkle n fallige Zahlungcn aq uivalent bez iiglich cines Zcitpunkt es, so a uch in Bczug auf jeden anderen Zcltpu nk t.

Bemerlamg 2.2.9a: SalZ 2.2.9 k ann man - etwas salopp - in folgende Merkrege/n kleiden: "Emmal nicht iiquivalenl - nil' aquivalou " " Einm al aquivalent - imm er equi valent " und (gilt fUr zwei Zahlungsreihen bei exponemieller Verzinsung zum ko nstanten Zinstatz]. Urn die Aquivalenz zwuier Za hlungcn uberprufen zu konnen, geniigt es, beide Zahlungen auf irgendeinen beliebigen Sliehtag auf-j abzuzinsen und die so crhaltc nc n Zcltwertc zu vcrglcichcn. Die A quivalenz der beide n Zahlungen hangt dahci nlcht vern gcwahltc n Bczugstcrmin abo Daraus fo lgt umgckehrt, dass zwci Kapital bctrage, deren Z eitwerte bzgl. eines T erm ins dilTerieren , auch zu jedem an derea Tcrmin unlersch iedliche Zcitwerte aufwcisen.

2.2

Aqu ivalenzprinzip der Finanzmathematik

65

Beispiel 2.2. 10: I) Aus Beispiel 2.2.8 wisscn wir, dass die Bctrage K = 100,-- €, fiil1i g am 01.01.05. und K * = 121,-- € , fallig am 0 1.0 1.07, bci 10% p.a. aquivalent sind. Bczichcn wir bcidc Bct ragc z.B. auf den OJ.Ol .20, so folgt mit i = 10% p.a.: K 20 = 100, 1,1 15 = 121 ' 1,1 13 = K; o '

Die Aq uivalcnz bcidcr Bctragc blcibt crhaltc n, wie in Satz 2.2.9 postuliert. ii) Sind die heiden Bctragc K = 2.000,-- € , falligam 01.01.2009, und K* = 90.453,-- € , fallig am 0 1.01.2051, bet i = 10% p.a. equivale nt ?

Wahlt man ats Stichtag z.B. den 01.01.08, so folgt:

Kos

= 2.000 '1 , 1- 1 = 1.818,18

€ und K;s

=

90.453 · 1,r

43

= 1.501,54

€.

also sind K und K * nlchtaquivaknt, vtelmchr reprasenttert K den hohcren Wert.

Benutzt man dagegen cinen Zinssatz von 9% p.a., so folgt:

Kos

= 2.000' 1,09- 1 = 1.834,86

€ und K;s = 90 .453· 1,Q9-43 = 2.223,74 €,

so dass nun K* hohcrwcrtig ist.

Bei 9,50% p.a. sind K und K* aquivalcnt (jeweils 1.826, 48 € am Stichtag 0].0].08) . Bemerkung 2.2.11: i)

Zw ri nichJ cquivaleme Za hlungen X, und X t· ( = Wene am gemeinsamen Stichtag] hahen zu j edem Zeitpunkt dasselbe Werfferhiiltnis, denn et gilt stets: Kt

Kt' q"

Kt

Kt" q"

°

ii) Bezeichnet ma n die Dijferenz. Ko - K~ zweier nichJaou ivaiemer Za hlungen am gemeinsamen Stichtag I = mil Do , so ergiht sich die muprechende Diff erenz D( zu irgendeinem anderen Bezugstermin t durch enisprechendes Auf -/ Abzinsen von Do mil q ':

D( = Kt-Kt = KO·q ' - K~ 'q / = (Ko - K~) ' q/ = Do ·q( Beispiel: Zwischen 1.500 € und 1.000 € , fa llig am 01.01. 06, hesteht die Diff erenz Do = 500 € . Nach 12 Z insjahren (i = 8% p.a .) lauren die Z eitwen e: 1.500'1 ,08 12 = 3.777,26 €

bzw.

1.000 '1,08 12 = 2.518,17€ .

Die Diff erenz helragl som u 1.259,09 € . Dasselbe Ergehnis fiefen die Auf zinsung der ursprungtichen Diff erenz: D 12 = 500 '1 ,08 12 = 1.25 9,09 € .

Mil Hilfe des Aquivalenzbegriffes ist es moglich, mehrere Zahlungcn, die zu untcrschicdtichcn Zeitpunkten fallig sind, zu einern einzigen Betreg zusammenzula..sen. v oraussctzung fur jcde Zusammenfassung (A ddition, Suhtrak tion] von Zah lungcn ist dcren Vergleichbarkeit, die nur d urch vorherigcs Au HAbzinsen auf eincn gemeinsamen Bezug\uitpun kl hergestellr werden kann, vgl. Satz 1.2.35. Auch fur exponcenc tlc Vcrzinsung I Zin seszinscn gilt daher: Satz 2.2. 12: Zwei (oder mehr) zu untcrschicdliehen Zcitpunktcn fallige Zahlungen durten nur dann zu cincm (zeithezogenen) Cesamt wert (addiliv und/oder suh lrak tiv) zusammcngefasst werdcn, wenn sic zuvor auf cincn gemeinsamen Bezugs lenn in aut-rabgczinst wurdcn.

66

2

Zin seszinsrechn ung

2.2. 13: E s sci die ~Summe~ der Bctrage 1.000,-* € (01,01,06) und 2.000,-- € (01.01.09) gesucht, i = 8% p.a .. D iose Frage hat nur Sinn, wenn fur die Summenbildung d o Bczugstermin gcbildct wird, z.B. dcr 01.01. 11. Der cntsprcchc ndc Ocs amt wert K l1 tauter:

Bei~pi el

KII = 1.000 · q5+ 2.000 ·q2 = 1.000 -1,085 + 2.000 ' 1,082 = 3.802,13£. Soli dcr Gcsamlwcrt Kos zum 0 1.0 1.05 gcbildct werden, so braucht man lcdiglich den bc kanntcn Gesamtwert Ki l urn 6 Jahre abzuzinscn:

Ko5 = K11 "q-6 :

(I.OOOq5+2.000q2)'q-6 = 1.OOO·q - l + 2.000 ·q-4 :: 2.395,99£.

Man crhalt also dicsclbc Surnmc, als hart e ma n crncut die be iden Ei nzclzahlungcn auf den 01.0 1.05 abgczinst und anschlicBcnd addicrt.

Das Im jctzten Beispiel angcsprocbeec Prinzip gilt fur die Saldic rung bcliebigcr Zahlungsrcihcn und ist besond crs wichtig fur die Rentenrcc hnung. Mit dcm Umwcg-Sat z 2.2. 2 folgt :

Satz 2.2. 14: 1st cine Zahlung.o;reihe (insbesondere eine Rente) in emem Zeitpunkt zu cincm Gesamtwert K zusammcngcfasst 'Norden, so erhalt man jeden an dere n Zeitwert derselben Zah fungsreihe (Rente) durch einmaliges A uf-{Abzi nsen des be rets crmittelten Ocs amtwertes K

Bem erlamg 2.2.15: Nach Satz 2.2.14 genugt die einmalige Erminlung eines die Zahlungsreihereprasen tierenden Gesamtwenes. Fur weitere Zeitwene dersdben Zahlungsreihe entfal/t dann das emeute um standlidle Auf -/Abzins en somtlicher Einzelzohlungm. Bem erlamg 2.2.16: Die erstmalige Zusam menfa ssung einer Za hlungsreihe zu einem Gesamtwen Kt in einem Zeitp unkt t erfolg/ am einfo chsten dadurch, dass jeder Betrog einzeln und unab hangig von den ubrigen Zahlungen his zum Snchtag auf-/abgamst wird wid erst zum Schtuss die Saldobildfmg zum Gesamtwen erfulgt, vgl. A bb. 2.2.17a (sowiedie A nalogie 2Utinearen Verzinsung, Setz 1.2.20):

Abb. 2.2.170

K,

K4

I

I

(Zeil/

I

I

Umstdnalicher una vor atlem bri vieten Einzdzahlungen erheblich unubersichtiicher - wenn auch na ch Satz 2.2.2 k orreki ist die sogenannle " Kontostaffd-Methode "", diedarin bestehs, den ieweiligen Kamostana stets zunacnst his zum Wensteltungstermin aer zeitlich fo lgenden Zahlung aujnainsen, den neuen Z wischensaldo durcn Addition/ Subtraktion der falli gen Zah lung m bilden, diesen wiederurn bis zum na chsten Falligk eitstermin aufzuzinsen us w.. In unserem Beisp iel (Abb. 2.2.17a) fuhrt dies zufolgendem Term: ;; = ((( K I ·q2 - K~ ' q + K 3) . q 2 + K4) .q2. Ausmultipliueren bestiiligl die Ubereinstimmung beider Resullate. «

2 .2

67

A quivale nzpri nzi p der Fina nzm athematik

Soil nun der Wert der eben betrachteten Zahlungsreihe zu irgendeinem anderen Zeitpunkt ennmeu werden, so genugt es nocn dem Umweg-Sarz 2.2.2, den bereits erminelten Zeitwen K/ einmalig en/sprechend auf- ada abzuzinsen, siehe die falgende Abb. 2.2.1 7b:

K, I

~

neuer Slich/ag fz 8 vier bhre spdfer)

I

i

K' - - - - - ,

- K2

I

I

'I S~'rhtag ~,

Abb. 2.2.17 b

K,

IZeill

I

K,, =K, q 4

( = K1' q7 -K2 ' q5 +K3 · q4 +K4' q2 /

Nach dem Umweg-Satz 2.2.2 t eaeutei K/ ·q 4 dasselbe, als hiute man jede Einzefzahlung um 4 Zinsperiaden tanger aufgezins/.

Bes onders bcd cutsam fu r finanzpraktisehe Plan ungcn ist die Fragc. enter welchen Bed lnguege n cine Za hlung (oder Zahtungsreihe} zu ciner andercn Za hlung ioder Zahlungsreihe) liquivalent ist .

So besrch t ctwa jcde Finanzierung aus zcitli eh transformi ert e n Zahlungc n [heute Krcdit, sparer Ruck zah fungen usw.). Es ist dahcr das Problem zu losen , in welcher Weise cine KapitaJleistung (z.B. Krednsumme} durch Kapitalgegentee tungen (z.B. Ruckla hlungsra/en) in liquhalenl er H ohc kompcn-

slcrt werdcn konnen. E in andcrcs Beispiel etwa bcmfft d ie Frage, unt er wclc hcn Bcdingungcn d ie Raten zahlungen fu r den Kauf cines Wirtschaftsgutes iiquil"a!enl sind zum Barverkau fsp reis (Vergleich umcnchiedlicher Zahtungsbedingungm}. Die Uisung so lcher Problcm c erfolgt aueh jctzt - analog zu Satz 1.2.35 - nach dcm finanzmathematischen A quiva len zprinzip. Bcnutzr ma n Iur d ie zcitli ehe Transformation dcr vorkommenden Zahlungen die (reine) Z inses zinsme thode (2.1 .3), so e rhalr man den grundlcgcnde n

Sa lz 2.2. 18:

(Aquh'a1enz prinzip de r Flnanzmathematlk]

Zwei Zahhmgsrcihcn (Leistung / Oegentetuung bzw . Zahlungsreihe A / Zahtungsreihe B) durfen nu l' dann verglichcn (im Sinne derAquivalellz)

addicrt

subnahlert

I ("saI'tilert· ")

wcrdcn, wcnn zuvor sarntlic hc vorkommende n Zahlungen (mit Hilfe elnerzuvor definierten oder vereinbonen Verzinsullgsmelhode/Kontof iihnmgsmelhode) auf einen und denselben Stichtag auf- od er abgezin st wurd en. Der dabc i verwendc te Zinssatz heiet Kal kuJalionszi ns...atz odcr (im Faile derAquivalem) Effektivzia ssatz (aueh: Renaue (bei Wenpapieren) oder: Iruem er Zinssatz (bei ln vesthionem ) ,

68

2

Zinscszinsrcchnung

Bci Anwendung der (reinrn) Zlnseszmsmerhede, sicbc (2.1.3), gilt:

I)

Der Zeitwert K t (zu einem gewiihlten Slich/ag) eincr Za hlungsreihe Kl' K2••• ., K,. dad bci cxponenticJlcr Verzinsung ermitrelt worden durch getrenntes Auf·/Abzin sen jcder Einzclzahlung (zum gewiih/ten Stichwg) mit anschhcbendcr Saldobildung: ~ = KJ · qn, + Kz ' qR. + ... + K,, ' qR .

ii)

Bcim A uf-jAbzi nscn ciner Za hlung (bzw. eines ZUVO f nach i) emuueuen Zeitwertes) auf cinco gcwahltcn St ichtag d urfcn behebj ge v ernnsun gssturen od er -umwege ge-

macht worden: K, :: Ko -ql = Ko · qR'.qRl .... . qR. = Ko "qR, +R, +... +Rx

iii)

(solem 1= fl J+n z+ .. +fl,,)

Sind Lcistungcn (L) und Gcgenlcistungcn (Gl) (oder: Zahlungsreihe A und Zahlungsreihe B) beziiglich cines Stichtagcs (= Zinszuschlaglennin, Zinsverrechnungstermin) aquivalenl, so aue h hcziiglich eincs beliebigen anderen Stichtagcs. Die A quivalcnzgleiehun g L = G L ist daher fur jeden beliebig wahlbaren Sliehlag (sol em Zinsvenechnungstermin} g1ciehennaJ3cn gccignet, urn fcstzustcllcn, ob ode r untcr wclchen Bcdingungen Lciuung und Gcgenlcistung aquivalent sind .

.

"

(Somu tst bei Aquivalmzumenuchungen "L '" GL " mil Hilfe der (reinen) Zinsen ins-

rechnung der Stkhtag beiiebig wahlbar - im Gegenssatz zu linearer Verzinsung, vgl. Bern. 1.2.32.)

Iv)

Derjcr ugc nachschussige Jahreszmssatz i, fur den (unter Beachtung derjeweils anzuwendenden Veninsungs- und Kontofuhrungsmethode} d ie A quivalenzglcich ung L = GL wahr wird, hci131"elTektiver Jah~-zins" (Rendile, intemerZillJsatz) des zugrundc licgcnd cn finanzwirlsc haftlichcn LlGL-Vorgangs (z.B. Kredu, Investuion, ...) .11

In ptak tischcn A nwcnduagsfa llcn wird man den Bezugstenn in (d.h. den Stichtag) so wahlen, dass d ie Rcchn ungcn cinfach sind odcr glciehzcitig crwunschrc Nebe nresulta te erhahen werden. Eine fur aile vorkommenden Faile gultige Regelung existien nicht ! Das Aqu ivalcnzprinzip ~ Lcist ung

= Gcgc nleistung"

fuhrt stets auf cinc mathcmatischc G lciehung ("Aquiva/enzgleichung in mehreren Variablcn . In dcr Regel ist dcr Wert eincr dicscr Variablen unbckannt (z.B. die Hohe des Zinssanrs, die Laufzeil nnes Barages, die Anzahl der Raten einer Rente, die Hohe einerRentenrate, ein Knpilalbrlrag) und muss d urch Glcichun gslosung cnnittclt werden: N

)

II Hie rzu beachte man die Ausflihrungen in FuBnolc 8 (Kap. I, zu Dcf 1.2.39) .

2.2

69

Aquivaienzprinzip de r Finanzma thcmank

2.2. 19: E in Schutdner muss am 01 .01.06 und am 01.01.09 jc 20.000.-- € zahlen. Er mocht c stattdcsscn Iichc r vier nomincll glcichhoh c Zahlu ngcn R am 0 1.01.07/0 8/10 / 13 leislen. Wie hoch ist jcde der vier Ralen (exponentielfe Ven insung zu i = 9%) ?

Bei~piel

5fichlog (zSI 01.01.

06

lelsfung:

07

08

20000

09

10

11

12

, I

13 IZeitl

20000

R

Gegenlelsfun g :

R

R

R Abb , 2220

w ahlt man als Stichtag z.B. den 0 1.01.13 (ligi. Ahh. 2.2.20) , so licfert das Aquivalcnzprinzip die Aquivalenzgleichung (. )

20.00 0 '''1' + 20.000 ' ' 1 4

=

(aufgezinstr LrisllIng)

R ·"16 + R ·q5 + R ·q3 + R

(aufgezinste Gegenleistungi

Klamrnert man R aus. so folgt dutch Urnformung (mil q = 1,09):

R

=

20.000(q' + q4) 6

5

3

q +q + q + l

= 11.757,452

€

i) Zur Kontrolle (und zum Vergieich} bct racht cn wir jetzt cin Konto (Vergleichskon to oder Effrklillkomo], d.1S nur die Leistungcn (+) und die Gegenleist ungen (-) cnthalt und das mil dem o.a. Kalkulanonszinssatz (9% p.a.) abgcrcchnct wird: Jah r

Konto stand zu Jah resbcginn

06 07 08 09 10 11 12

20.000,-10.042,55 -8 11m 19.115,93 9.078,91 9.896,01 10.786 ,65

13

0

Zinscn (9% p.a.) Ende des Jahres

1.800 ,-903,83 - 73,-1.120,43 817,10 890,64 970,80

Zahlung am

Ende des Jahres

11.757,45 - 11.757,45 20.000,-- 11.757,45 - 11.757,45

Kontc stand zum Ende desJahres

10.042,55 -8 11m 19.11 5,93 9.078,9 1 9.896,01 10.786,65 0,00

(Vrrgleichskonto zum Zahlung sstraht A hh. 2.2.20)

wtc bci aqaivalcnten Zahlungsreihcn nicht anders zu erwartcn, heben sieh am End e Lctstungcn und Ge gcnlcistungcn (his auf eventuelle Rundungsfehler) genau auf. Dcnsclbcn Sachvcrhalt hatton wir bcrctts im Falllinearcr Vcrzinsung fcststcllen konnen, siehe Beispiel 1.2.30 i). Allgcmcin formuliert, tauter dies vergtekhskonto- Prf nzjp : Ge gcben seien zwei Zahlungsreihcn (" Lristung " und "GrgrnlrislUng ") . Wird ein Konr o (" Vergleichsk on.lo " ode' " Effrktivkonto "), das gcnau dicsc Lcistungen (+) und Gcgcnlcistungen (-) enthah, mit dem zur Aquivalcnz fu hrcndcn cffcknvcn Zin ssatz abgcrechnet, so ergibt sich als Endo;aIdo (his auf evIl. Rundefehler) stc ts Null (m.o. w. das Verglrichskonto /Effekli llkonto "gehl stas au!") .

70

2 ii )

Zinscszinsrcchoung

wte in Satz 2.2.9 allgcmcin gczcigt, muss auch bci unserem Beispiel jede and ere Wahl des Stichtages dasse lte Resulta t (d.h. dieseibe Ratenh ohe R) crgcocn. Dies soil ouc h cinmal exemplarisch dcmonstriert werden durch Wahl des 0 1.0 1.06 ( » Tag der m ien L eistungi ats Stlchtag. Mit q ( =1,09) lautet dann die Aq uivalcnzglcichung (aile Za hlungen aufJer der m ien m ussen jecu abgezinst werden): 20.000 + 20.000 -q- 3

[abgezinste Le/slung)

(abgezin sle G egenfeislUflg)

Mu ltipliziert man nun dicsc Glcich ung mit q7, so crgibt sich gcoau die berc its eben erhaltene Aquivalcnzgicich ung (*) und somit dicsclbe Rat cnhoh e 11.757,45 € .

Bemerkung 2.1.21: Die uneingeschrankte GUftigkeil des .'j"quj~·ale1llprinzjps bei exponentieiler Verzinsung (Sotz 2.2.18) bernht wesentlicn auf der Tatsache, dass der Z eitwen riner Zahlungsreihe unabhiingig von ~ Verzimungsumwrgen " ist (vgl. Satz 2.2.2). Dies wlederum gill in voller Allgemeinheil nur unter [olgenden (bisher stillschweigend vorausgesauen] Prdmissenr j)

I eder wifugbare Kapitalbetrag wird - wenn eiforderlich, betiebig lange - zum Kulkula tiom zinsfu ft angelegt. leder zukunftig fill lige Kapitaibetrag kann zu jedem fruher geiegenen Zeitpunkt uls /(redit in Hone seines [ inanzma tnem atischen Burwen es aufg enommen woden. Dahei mussen A n/agezinssatz (Haben zim satz) und Aufnahm ezjr/$satz (Sollzinssatz) slelS identlscn sein J2• Werden nur uufgezin..w Endwene vt'flw ndel, ist dtese Pramisse mtbehrlich, stene auch Bern. 1.2.29.

ii) Die Hone des verwendeten Auf -l.4bzinsungs -Zin ssalu s [Kalkulationssinssaues] hang/ llklll Laujzeu oder Kapitalnohe abo

VO Il

der

iii) Auf-IAbzinsungsprou sst' k onnen beliebig weit in Zukunft oder Vergungenheit eifolgen. if) Auf-l.4b zinsungsprozesse eifolgen mit Hilfe der (reinen) aponemidlen Verzinsung (reine Z inseszins-

methode) (vgl. dagegen Beispiel 2.2.5). r) Stimm en dagegen (im Gegmsatz zu Pramisse i» Auf - und Aminsungsnnssatze nicht ubcrein, ist der ZeiMert K eines Barages K o dav on abhiingig, auf wekhem Wege der Bewenun gsstichtag etreicht wurde. Beispiel: Vorgegeben seien: K o '" 1.000,- - £ ; n '" 10 Jah re; i all! '" 4% p.a.; i ab '" 10% p.a. Dann ergeben sieh f ar den aufgezinslen Zeuwen nach 10 Iahren je nach Umweg folg ende Werte: onn e Umweg: Umw eg I: Umw eg 2:

K}O '" 1.000 · I ,04 }O K }O'" 1.000 ·1,0415 ·I, r

1.480,24 £ 5

"" 1.118,24£ K IO", 1.000·1,04l1o· 1,r tOO = 5,42 £

(! ]?)

Bei reat durcnzufuhrenden Finanzierungen oder lnvestuionen ist daher vor [unkritischer} A nwendun g des Aquivatenzpnnzips zu pruf en. ob wechselnde Sou- und Hab enzinssatze berucksiduigt werden massen.

J2

Diesc Pramissc kann a1 s annahcrnd crmtu gcuen. wenn sieh z.B. samtliche Kapilalbewegungen auf eincm KOIltoko rrentkonro ereigncn und dec Konlostand entwede r stcts posuiv oder s es ncgeuv isr, vgl. auch Belll.l .2.29 . Dassclbe gilt, wenlllllan alle zahl ungsbewegungen auf eincm Kred itkontofrilgungsp lan abwic kelt, siehc Kap , ~ .

2.2

Aquivalcnzprinzipdcr Finanzmathcmatik

71

Bem erkung 2.2.22: (Zeitzentrum einer Zahlllllgsreihe bei exponentieller Ven.insftng) Analog zu Definition 1.2.53 tasn sich auch bei aponentieller Veninsung das " Zeitzentrum" (oder: der milt/ere Zahlungstermin) riner beliebigen Zeureihe X l' X },J ..., X m definieren: Zah/t man namlich die nominelle Summe X ,= X l + Xl + ... + Xm ailer Einulzahlungen in diesem nZ eitzentrnm ", so sind Zahlungsreihe und Einmalzah/ung beim gegebmen Zinssatz equivalent. Die fo/gende Skizze (= Abh. 1.2.54) verdeut/icht den Sacnvemau: Am Stichtag gift dieAquivalenzglei· chung (jetzt betAnwendung der exponemiellen Veninsung) :

~

I, I,

I,

S/ichfag

I. ,

I

m '

-~

I

1

Km_1 K ( = K, +_ . +Km' I

I

(Xl+ Kl+ ... +X"J .q f =

t =

~

1= ?

(Zeil!

III

IGiI

'"

X .qf

In (K/ql+ Kd-+. . +K"d"') _ In (Kl+ K l+ ·

+K"J

(t miss/ die Zeuspanne vom Z euzemrum/m intaen Zah/ungstermin bis zum (sptnereni Stichtag.) B eispiel J: Gegeben seien zwei g/eich hohe Zah/ungen

sieneSkizze:

1- - -

K. zwischen aenen genaa n Zinsperioden liegen,

n Zinspenoden

K

-1 K

1f - - - I - - - 1-2K

f-

(Zeit)

,

t (=?/ZIIlSper. - - .

Zeitzentrum

Die Frage nach dem Zeitzentrflm dieser beiden Zahlungen bedeutet: Wann muss die nominelle Summe (=2K) dieser beiden Belrage gezahlt werden, damit beideZahlungsweisen (bei exponenueiler Veninsung) aquivalent sind ? Gesucm ist also die Zeitspanne t (in Zinsperioden) zwischen Zeitzenoum und Falligkeitstermin der letzten Zahlung, siehe Skizze. Mit dem Periodenzinssatz i und q = J +i lautet die Aquivalcnzglei-

cnung:

2K-qf = X · q'l + K

2ql=qn+J

d.h.

t =

In O,5(r/' +J ) Inq

Liegen also etwa die beiden Z ahlungen 10 Jahre auseinanaer, so folgt mit (z.B.) 8,57% p.aIn O,5(J,08 57 JO+ I)

t = """"t"~1~,~08~5~7;-'-'

= 6,00 , d.h. das Zeitzen/mm lieg/4 Jahre nach der ersten Zahlung.

2

72

Zinseszinsrechnung

Beispiel 2: Die Be/rage 4000€ , 3000£, 2000 €. und 1000€' fallen wie aus fa/gender Skizze ersidnlich gezahli werden. Zwischen je zwei benachbanen Zahlu ngen liege genau ein Jahr ( » J Zinsperiode), Z inssatz i = JO% p ,a., d.h. q = 1,10: 4 000

-j

2.000

3.000

1

1.000

1---

i 10.000

Zeilzen/rum f -

IMI

!5lichtog

-

-

, f: ?J.bhre -

-

J

(ZB J

WahlEman als Stich/ag etwaden Tag der letuen Zahlung, so tauter dieA"quivalenzgleichung: IO.OOOq' = 4.000q3 + 3.000q2 + 2.000q + 1.000 d.h. [ur das Zein entrum gill: I =

Aufga~

I)

In (O,4q3+ O,3 q2t O,2q + 0,1)

/'q

= 2,0 467 Ja hre vor dem Stichtag.

2.2.23:

Z wei Kapitalbetragc sind vorgcgebcn: 10.000 ,-- € , fll.lIig am 0 1.01.09. und 8.000,-- € , fallig am 0 1.01.06 . a l ) 8% p.a, 31) bei 7% p.a .? a) Welche Zahlung hat de n bohcrcn Wert bci b) Bci welchem Ztnssatz habcn bcide Zahlungcn dcnselben Wert?

ii ) Zwci Za hlungsrcihen A, B sind gegcbcn (Zahlungszeitpunkle in Klammem , I Z E A: 1.000 (I = 0) ; 2.000 (I = 2) ; 5.000 (I = 6) B; 1.500 (I = 1); 1.000 (I = 3); 3 .000 (I = 4); 2.000 (I = 5)

~

I Jahr)

a) Wclchc Zahl ungsrcihe reprascnt tcrt den hohcrcn Wert bc i a l ) 10% p.a. a2) 20 % p.a.? b) Bel welchem (cff.] Z tnssat z sind bcidc Zahlungsrcihen aqutvatcnt? (Niihernngsverfahrrn!) 13 iii) Man enn ittle dcn Gcsa rntwcrt fclgender Zah lungsrcihe am Tag der letzt en sowie am Tagder ersten

Zahlung; 10.000 (01.01. 06); 30 .000 (01.01.08); 40 .000 (01.01.09); 50 .000 (01.0U2) ; 70 .000 (01.01.17).

Zinssatze:

7% p.a. his zum 31.12.07, danach 10% p.a. his zum 31.12 .08, da nach 8% p.a.

iv) Ein Arbcitnehmcr soil am 31.12.15 cine Abfindung in Ho he von 100.000 ,-- € crhalten. Er mocbte stattdcssen drci nomincll glcichhohc Bcrragc am 01.0 1.07, 0 1.01.09, 01.01. 12 erhalten. w clchcn Bctrag kann cr (bei i = 6 % p. a.) jewcils crwarlcn? v) Bcim Vcrkauf eines Grundstuc ks gehcn Iotgcndc Angebnte ein: I) 20 .000,-- € sofort, 20.000 ,- - € nach 2 Jahren, 30 .000 ,-- € nach weiteren 3 Jahren. II) 18 .000,-- € sofort, 15.000,- - € nach 1 Ja hr, 40.000 .- - € nach weiteren 5 Jahren. a) Welches An gcbot is! fur den vcrkauter bci i = 8% p.a. am glinstigsten? b) Sci wclchcm effektivcn Jahreszinssatz sind bcidc Angcbotc aquivalent? [Naherungsverjahren, vgl. tnue Fupnole) vi) Ein Schuldncr muss jcwcils to.OOO,_· € am 01.01.05, am 01.01.10 und am 0 1.01.15 zahlcn. Z u wclchcm Tcrmin konntc cr stattdcssen auf aquivajcnte Weise die nominelle Gcsarnts urnme (d.h. 30.000,-- €) a uf einrnal zahlen? (i = 13,2 % p.a.) 13 VgL Kap. 5.1. Oller [Ticl] Kap. 2.4. bzw.Kap. SA .

7J

2.2 Aquivalenzprinzip der Finanzmathcm atik Autgabe 2.2.24: E in Inccstltio nsvorha bcn (Kauf rinerMaschine) erforde re hcute den Bctrag von 100.000,- - € . Die jiihrliehen Einzahlungsuberschusse nus dicscrn Projck t werden wie folgt geschatzt: E nde I. Jahr: E nde 2. Jahr: Ende 3. Jahr: Ende 4. J ahr: End c S. J ah c

10 .000,-20 .000 ,-30.000,-30 .000,-15.000,· ·

€; €; €; €; €.

Am Endc des 5. Jahrcs kann die Masehine zu 20 % des A ns ehaffungswertes vcrauucrt vverden. i) Soli d ie Maschin o gekauft worden . wenn alternative Irwcstition en cine Verz insung von 8% p.a.

garanticrcn? ii) Die Masehine konntc stattdesscn auch gemiete l werdcn, D ie Nutzung a uf Mlctbasis erfordert fu r 5 J ahre Mic tzahlungcn in H ohe von 20.000, -- € / Ja hr ljeweiLI' fiilUg am Ende einesjeden

Nutzungsjahres]. Soli die Masch ine gckauft ode r gemietet worden bci

a) 8% p.a.

b) 6% p.a,

c) 4 % p.a.?

Aufgabe 2.2.25: i) Zwei Zahlungen sind wic fclgt fallig: 20 .000,-- € am 01.01.05 (0 00 Uhr !) sowie 14.000,-- € am 31.12.0 1 (24 00 U hr !). al ) 8 % p.a, a2) 20% p.a.. b) Bci wclchem Z inssatz habe n bcidc Za hlungcn denscl bcn w ert?

a) Welchc Zahlung hal den hohercn Wert?

ii ) Wclehen einmaligcn Bctrag muss Huber am 01.01.04 za hlen, urn cine Schuld abz ukisc n, die aus

drei nomi nell gleiehhohe n Zahlungen zu jc 20 .000 € besteht, von denen die erste am 0 1.01.05, die zwcite am 0 1.0 1.08 und d ie Ietztc am 0 1.01.14 fii.llig ist? (i :0 10% p.a.) iii) H ube r leiht stch von sernem Freund Moser 100 .000,-- €. A ls Gege n1cist ung mocnt c Moser nach cincm J ah r 60.000,-- € und naeh cincm weiteren J ahr 70 .000 ,-- € . Welchem [positiven] effcktivcm Ztnssatz cnts prieht dicser Krcditvorgang? iv) H ube r kann sieh cndlich ein A uto lcistcn l Dcn von ihm in die engcrc Wahl gczogc nc Po rccdcs GTXS L 47 12i Tu rbo kann er wie folgt bczahlcn. A nzahlung: 30.000 ,-- €, nach cmcm J ah r zwcite Zahlung 20.000,-- € , Restzahlung 50.000,-- € n ach wcitercn 2 Jah ren . Wie hoch ist der Barverkaufsprcis am E rwcrbstag, wenn dcr H andler mit 18% p.a . kalkullcrt? v) Man ermitt1e den Gesamtwert dcr folgcnden Za hlungsrcihc am Tag der lctztcn Za hlung (d. h. am 31.12.10); (in Klammem: Flif{igkrilslennin der jeweiligen Zahlung)

20.0 00,· 60.000,-80.000,-100 .000 ,-140.000 ,- -

€ € €

(31.12.02) ;

€

(01.01.03); (OJ.01.06) ;

€

(3J.12.1O) .

(OI .OJ.OO) ;

a) Zinssatz 9% p.a . durchgehend; b) Zinssatz e: 7% p.a. bis lOCI. 31.12.02, dana eh 10% p.a, bis incl. 31 .12.04, danach 8 % p.a.

2

74

Zinscszinsrcchn ung

Aufgabe 2.2.26: i) Huber muss an das Finanzamt die folgendenSreucrnachzahlungen Ieistcn:

Am 01.01.04 € 50.000 ,--, am 01.01.07 € 70.000,--. Stattdesscn vcrcinhart cr mit dem Finanzamt als (iiquivaleme) E rsatzzahlungcn: 4 glcichho he Zahlungcn (Raton) jcwcils am 31.12.04/

05/06/09 . Wic hoch u t jede der vier Raton?

(i = 8%p.a.)

ii) Huber braucht eincn Krcdit. Welche Kreditsumme wird ihm seine Hausbank am 01.01.05 aus-

zahtcn, wcnn er bcrcit ist, als Riickza hlung - bcginncnd am 01.01.08 - 5 J ahrcs ratcn zu jc 50 .000,-- € zu lcistcn'! (Die Bank redmet mit einem Kreditzinssa n von 15% p.a.)

iii) Huber konnte einen Krcdit entweder bei der A-Bank Oller bei der B-Bank aufnehmcn. (In heiden Fallen dieselbe Kredusummel] D ie A-Bank vcrlangt als Riickzahlung: Nach einem Quartal: 100.000,-- € , nach cincm wettcrcn Qu arta l 50 .000,-- € und nac h zwei weitercn Quarta1cn 180.000,-- € . Die B-Bank vcrtangt als Ru ckzahlung nac h eincm Ja hr 200.000,-- €, nac h eincm weiteren halbe n Jahr 80 .000,-- € und nach drei wcite ren Quartalcn 90 .000,- - € . H uber rcchnct stets mit cinem Q uartalszinssatz von 4% p.Q. (und mit vieneijiihrlichen Zinses-

zlnsen, die Zinsperiodebeginne bei Kreditauszahlung). Welches Krcdita ngebot sollte H uber annehmen? iv) H uber nimmt cine n Kredit be l der Moser-Bank in H o he von 200.000,-- € auf urul vercinbart die folgenden Ruckzahlungen: Nac h einem J ahr: 40 .000,-- € und nac h ctnem weiteren J ahr eine Schlusszahlung in H obe von 240.00 0,-- € . a) War H uber mit dicscm Krcdil gut bcra tcn, wcnn er be i der Shark- Krcditbank denselbcn Kredit (200.000,-- €) zu cmcm Zinssatz von 18% p.a . erhalten harte? Dabei unters tcllcn wir folgendc ROckzahlungen an die Shark -Krcditbank: Nach einem Ja hr 40 .000 € (wie bei der Moser-Bank) und nac h einem weiteren Jahr eine Schlusszahlu ng, die genau de r noch vorhandenen Restsch uld (bei 18 % p. a. Zinseszinsen} entspricht . b) Z u wclchcm Effektivzinssatz (d.h. Iahreszinssatz, der zur Aquivatenz fahlt) hat H uber den Krcdit bei dcr Moser-Bank crha ltcn?

2.3

75

Unrcrjahrigc Verzinsung

2.3 Unte rja hrige Verzinsung 2.3.1 Diskrete un terjabrige Verzinsung In der Praxis hat man es haufig mil Verzinsungsmodalitaten naeh folgcndem Muster zu tun: Beispiel 2.3.1: Eine Bank gibl fu r die Verzinsung cines Kapitals cincn (nominellen] Ja hreszinssatz i an (z.B. i '" 6% p.a.] , Ocr Zinszu.'>C hlag erfolge dabci allerdings nicht jahriich. sondc m unlerjahrig, z.B. nach jedem Quartal und zwar zu cinem zeitproportionalcn Quartalszinssatz io ' der von dcr Bank - da das Jahr vier Quartalc hat - als vicrtcr Toil des J ahreszinssatzes angegeben wird: .

10 '"

i

(im Beispiei: 'o '" 0,06:4 '" 1,5%p.Q.).

"4

i) Bci durchgehend tineurer Verzinsung fUhren 1,5% p.Q. wiedcrum auf emen tatsachlichen (effekliven) Jahreszins von 4 ' 1,5% '" 6% . Da im vorlicgenJ en Fall abcr die ZinseszinsmcthoJ e innerbalb des Jah res angcwcndet werdcn soil, wachsen z.B. 100,-- €, zu Beginn des Jahres angclegt, naeh 4 Quartalcn ( '" 1 Jahr) auf 100· 1,01 54 '" 106,14 € an, ergebcn also am Jahrcscndc eincn urn effektiv 6,14% p.a. hohcrcn Wert (und nicht awa - wie man aus dem angekundigten nominellen lahressins sch{iejJen konme - einen um 6 % p.o. hoheren Wen ! ) Ii) Umgc kchrr fuhrt die Frage, wclchcn Quanalszins satz iQ die Bank anwenden musxtc, um bet un-

verandcrtcn Zinszuschlagterminen am Jahrescnde einen erreknv haltcn , auf die folgcndc Aqui\l3lenzbezieh ung:

tun

6% hohcrcn Wert zu CT-

iO '" 1,06°,25_ 1 '" 1,46738% p.Q. Die Bank musste also eincn nnmincllen Jahrcszins von 4 ' 1,46738 "" 5,8695 % p.a. aegebcn. urn bci vicrteljahrlichem Zinszuschlag zum zeirproportionelcn Q uartalszins io ( '" 1,46738 % p.Q.) cine effektive jahrliche Verzinsung von 6% p.a. zu gcwa hren.

Das lcrztc Beispiel zcigt. dass nominclle und effektive Verzinsung bei untcrjahrigcm Zinszusehlag differieren konncn. Wir wollen das Problem dcr untcrjahrigcn Verzinsung veral1gemeinern: Das Jahr mage aus m (m e N) glcichlangen unrcrjahrigen Zinspcrioden bestehen, d.h. cine Ztnsvcrrcchnung finde nach jcwcils ...!... Jahr stall , vgl. Abb . 2.3.2: m

Johreszins I

Ko - j-

---+-

---+-

- K,

--+

= 1 Zinsper.

Abb. 2.3.2

2

76

Zinscszinsrcchnung

Ocr tatsachlich zur Anwendung kommendc untcrjahrige Pcriodcnzinssatz sci ill' Dann gilt fur den Endwert cines Kapitals nach der Zm scszinsfonnel (2 .1.3):

(2.3.3) (2.3.4)

Beispiel 2.3.5:

K,

Ko'(l + ipr

J
j

nach I Jahr

(= m Zinsperioden)

nach t Jahre n

(= m -t Zinsperioden).

E s sci monatlichcr Zinszuschlag gcgcbc n, d. h. m '" 12. E in Kapual von 1.000 ,-- € == 1% p.M. an auf:

wachst bei monatlichen Zinscszinscn von i p

K j = 1.000 · ( I + 0,01)12 = 1.126,83 €

nach eincm Jahr

2.842,79 €

naCh 8 ~ Jahren

und a uf (= 105 Monu /en).

J e nachdcm, in welcher Weise dcr tatsac hnch angcwcndcte unt crjahnge Z inssatz ip in Rela tion zu

scincm ~cntsrrcche ndcn" Jahrcszinssatz i steht, untcrschcidct man folgcnJc Begriffe (vgl. auch Beispiel 2.3.1): DcC. 2.3.6:

(nomineller /relatiwJ Zins!>atz)

Das Z insjahr bcstehe aus m gleichlangcn untcrjahrigen Zinspcrioden, dcr Zinszu.'iChlag erfolgc nach

je 1. Jahr (m EN), vg\. Abb . 2.3.2. m

Wird dc r angcwcndct c unt eJjiihrige Pertodenzlnssatz ip zci tproportional als m-rer Teil des (angekundtgten) Jahreszinssatzes i ermittclt, d.h. gilt ip '" so heusen

,

bzw,

m

i = m 'ip

i: uomtneuer Jahreszlnssatz (i nom) ip : relanver unteJjiihriger Penodenzmssarz (i' d )

Zwischen nomin ellem Jabreszinssatz inom und relativcm unterjahrigcm Z inssatz i' d bestchen also d ie deftnitonschcn Bezi ehungen

(2.3.7) Dabci liefcrt m-mali gcs Aufzinsen mit i' d cincn anderen Endwert als etnmahges Aufzinsen mit inom, d.h. i rd und i nom licfem (bei g/eimer Gesamt- Verzinsungsdauer] nlchtaquivalcnrc Werle .

Nae h (2.3.4) ergibt sieh fOr den Endwe rt

I
nommelten Jahreszmssatzes inom und bel m-maligem unt eJjiihri gen Zim;zu.<;chlag zum retan ven Period . . lnom cnzms I, d = """"iii'""" : (2.3.8)

](,, (1+

'.;mr ·'

I

2.3

77

Untetjahrigc Verzinsung

Beispiel 2.3.9: In den Bcdingungen cines Krcditvertrages kann es (sinngemiip) heiBcn: . Der l ahreszinssatz betragt 18% p.a. , die anteiligen Zinsen werden nach Ahiauf eines jeden Quartals nach aer zu Beginn des Quartals vothandenen Schuld enniuelr und dem Kreditkonto

belastet. " A ueh wenn es dicscm Text nieht wortlich zu cntnchrnen Ist: Gcmcint ist, dass nach jcdem Quartal dcr zu inom "" 18% p.a. relative Quartalszins ire! '" 0,~8 : 4,5% p.Q. zur Anwendung komm cn soli. Eine Schuld von (z.B.) 100.000,-- € wachst somtt - falls keinc zwischenzcitliehen Tilgungcn erfolgcn - in cincm Jahr an auf K] : 100.000 ' 1,0454: 119.251,86 € ,

cntsprcchcnd in 5 Jahren auf ~ :

100.000 ' 1,045 20 : 24 1.171,40€ usw.

H arte man stattdesscn die Anfangssehuld t- 1OO.OUll) zum angckundigten (nominellen)Jahreszins 18% p.a. bci jahrfichem Zinszusrh lag verzinsr, lautetcn die entsprcchenden - nunmehr deutlich geringcren - Endwcrtc:

K,

100.000 ' 1,18

118.000,·· € bzw.

100.000 '1 ,18 5

228.77 5,78 € .

An diesem Beispiel erkennt man crncut, dass einc untetjiihri~ Zinsverrechnung zum zeitproportionalen (relariven) Zinssatz Widerspriichlichkeiten und Inkonsistenz det Endwerte hcrvorruft. FOr cine logisch cinwandfrcie und widerspruchsfreic finanzmathc..m atischc v orgchcnswcise ist daher die in Dei . 2.3.6 bcschriebene Methodc dcr unterjahrigcn Lincarislcrung von Zinssatzcn bei unterjahrigcm Zinszuschlag nicht geeignet. Die Tatsachc, dass dennoch diose (zu Widerspruchlichkeuen fu hrende) Lincarisicrung im Finanzalltag gang und gabe iSI, bcweis t allcnfalls ein gcwisses Bcharrun gsvermogc n des Gcldgewerbes und den weitvc rbreiteten menschlichen Hang zum linearen, proportionalcn Denken (und zwar aucn dann, wenn dies zu unsinnigen Resuluuen fuhrt).14

Eine konsistcntc, widcrspruchsfreic Bcziehung zwischen Jahrcsatnssarz i und untcrjiihrigcm Verrcchnungszinssatz ip muss aus g1eiehen Anfangswerten gleiche Endwcrte Kt garantieren. unabhangig davon, in wicvic lc (: m) Tcilpcriodcn (jeweils zum Zinssatz das Z insjahr unrcrteltr wird. Es muss daher bci A ufzinsung von Ko um t Jahre (» m 'r Teilperiodrn) gclten

9

•

elnerseus (beijiihrlicherVerzinsung zu i) ;

• andererseus (bei m-maliger unterjahriger Verzinsung zu i~ :

,

Ko(I+ ip)nl' I ,;, Ko(l + i)' , d.h.

(2.3.10)

14 Vgl. Kap. 5.4 oder [T ic3] 62lJ.

Ko(1 + i)t Ko(1 + ip)ffi " , m.a.W.

2

78

Zinscszinsrcchnung

Wird auf drcsc Weise Aquivale Dz zwischen jiihrtich er und m-mali gcr unt erjiihrig er Verzin~ung hcrgcstcllt, bczc ichne l man J ah rcszins i und untcrjiihrigen Z ins ip m it eigenen Begriffcn : Definition 2.3 .11: (effeklh 'er / konfonner Zlnssat z) Das Zinsjahr bcst che a us ill glcichlangcn unter jah rigen Zins period cn, der je ~ Jahr (m EN), vgl. Abb. 2.3.2.

Zi m"z ll~chlag

crfolge nach

Wird der angewendctc unterjahrige Periodcnzinssatz i p aus dem entsprechcnden Jahrcszinssatz i so

ermittclt, das s die Kapitalendwerte Kt unabhangig vom V erzinsungs vorgang aq uivaknt sind, d.h. zwischen i uno i p die Bezichung(2.3.1O): (1 + ip)m = 1 + i gilt, so hciBcn

( ieff )

i:

effektil-'er ' s Jah rcszinssat z

ip=

kenrermer untcrjahrigcr Zie ssatz

( i~on)'

Zwischen dell effektiven Jah reszins ieff und dem (zur .-fquivalenz [uhrenden] kontormcn (u/1/erjiihrigen) Z tnssatz i~on bes teht also die Aqui ~'a1 enzhezi{'h u ng: (2.3.12)

Beispiel 2.3. 13: Oil' im Beisp iel 2.3. 1 bchandelte n faile lassen sich mit den Begriffsbildungcn nominell/relativ (Dcf 2.3.6) bzw, cffektiv/ konfonn (Dcf.2.3.11) wic folgt bcschrcibcn: I) Gcgebcn sci der nominelle J ahrcszinssatz inom = 6% p.a. Die Zin svcrrcc hnun g crfolgc vicrtcl; jahrhch zum relativen Ouartatszlnssatz io = i r el = n;m = 1,5% p.O,

Bei viertelja hrlichcm Zin szuschlag zu 1,5 % p.O. crgib t sich der (zur A quivalenz der Endwene fUhrende) cffe ktive J ahreszins nach (2.3.] 2) aus de r G le ichung 1+

terr

1,0 154 =

=

1,0614

d.h .

ieff

=

6, 14% p.a.

Somit ist der Quartalszins 1,5% p.O. co nfo rm zum effektiven Jahre.s zins 6, 14% p.a . (und retouv zum nominellen J ahrcszins 6,00% p.a.) Ii) Ist de r effek tlvr J ahrcszins ieff mit 6% p.a. vorgcgcbc n. so licfe.rt die. Aq uivalcnzbcziehung (2.3.] 2) fur den konfonnen Quartalszins i ~on (= iQ) :

i~on

, =

d .h.

und daraus

1,06°,25_ 1 = V 1,06 - 1 = ] ,46 738% p.O .

Ocr sich darau s du rch Multiplikanon mit m (= 4) ergcbc nde J ahreszins 5,8695% p.a . tst dann (wegen (2.3.7)) dc r zu 1,46738% p.O. nominelle Jahreszins, i Q = 1,46738 % p.Q. der daz u relative Quartalszinssatz.

IS Vgl. auch SaIl. 2.2. 18 iv).

2.3

Unterjiihrigc Verzinsung

79

Wir sind nun in der Lagc, das Zinseszinsgesetz (2 .1.3) auch fur gebroc hene Exponenten zu interpretieren (vgl. Ahh. 2.1.5: Don hetten wir bereits in! Vorgriff auf dieses Kapitel gehandelt und den Graph des Z inseszinsgeseszes fur nidu-ganzzahlige Exponemen angegehen) : Beispiel 2.3. 14: Wir bct rachtc n cin aus 365 Zinstagen bcs tehcndes Zin sjahr, d ie Zins verrechnung erfolge taglich (d.h. die Zinsperiode baragt einen Tag, m = 365) . Vorgcgcben set ein (effekliver) Jabrcszins von 16% p.a., daraus crtecbnct sich der konfonne T ageszins ikon (nach (2 .3.12»

(')

1,16 d.h.

E in Anfangskap ital

(**)

~

1 + ikon

-'-

1,16 3~5

ikon = 0,0406 7 13% p.d. ~

~1 1 5 )

(z.B. = 100, -- € ) wachst z.B. in 115 Tagcn an auf =

100 ' (1 + ikon) 115 =

100 ' 1,000 406713 1l 5 =

104, 7873 € .

Gc nausogut Mite ma n die " gt.-"WOhnliche u Zinseszinsfonn cl (2 .1.3) mit dcm cffcklivcn J ahreszin s 16 % und dem gebroc henen Bxpon ent en n = ~~~ verwenden konnen, den n aus (.), (**) folgt: 1

115

~1I 5 ) = 100 ·(1 + ikon)115 = 100 .(1,16 365 ) 115 = 100 . 1,16 365

(= 104, 7873 € wie eben).

Allgemein: Wird ~ urn t (ume rjiihrige) Pcnodcn aufgczinst (wobei ein l ahr m solcher Perioden besuu, in jeder Tedpenode werde de' zum effek tiven Jahreszins i,u ko njonne Zins it"" angewendeq, so folgt fur das E ndkapital K, wegcn (2 .3.12)

,

= (1 + ieff)m sofort:

(2.3.15)

Damit ergibt sich fur das exponentielle Aufzinsen mil nlcht -ganzzahngen La ufzeiten folgende I nterpretation aus der Bcziehung (2.3.15): Wird das Kapital ~ zum effek tiven J ahreszins i (= i'ff ) sowic mit dcrn "gebrochen en Expen enten'' ~\ (wob ei 1 Jahr = m Zinsperioden] acfgczin st, so wird ~ zurn konformen untcrpcriodis chcn Zins ikon fu r t T eilpcriod en aufgczins t. A nders (und etwas salopp) ausgcdruckt : Auf- und Abz insen mit ..gebrcc beuee" E xponcn tc n zu 1 +i ist wie cine Verzinsung mit dcm (zu i) konfonnen (unrerjahrigen) Z inssatz. Da man die unt erjah rigen T eHperiod en belieb ig klein mec hen kann , hat die Zinscszin sfor mel (2.1.3) auch fur beliebi ge (gebrochene) Exponente n n (E 0 ) eincn (ok onom isehen) Sinn, siehe Beispicle 2.3.14 und 2.3.15b .

2

80 Beispiel 2.3.15b: Ein Kap ital werden.

Kt

Ergcbn is: Bcwcis:

Ko

Zinscszinsrcchnung

200 .QOO € soli bci ieff = 10 % p.a. 9 Monate kon fo rm aufgczinst =

Ko

1,1°·75

(= 214.819,90€).

Oc r zu 10% p.a. konfonnc Monat szinsfaktor 1+ i m ergibt sich tiber: ( l +i m )12 = 1, 10

-'-

,

zu l +im = 1,)l2 .

Kt

c-monatigcs Aufzi nsen licfc rt:

Bem erkun g 1.3.16:

1 = Ko -1 ,l O,75 . wic bc hauptct .

= Ko'(1+ im)9= (1, ] 12

Die vorstehenden Defi nuion en gelten sinngemiijJ auch fur Basiszinsperioden, die

grof3er oder kleiner ats ein Jahr sind. i) Beispiel:

Sci i = 9% p . H. tin Halbjahreszins, Zinszusch lag halbjahrig. Dunn ahalt man den

entsprechenden reiativen Mon alszinssalz zu i" 1 =.222 = 1,5% p. M. (keine A quivalenz zu 9% p. H. bei m onatticnem Zinszuschlag zu 1,5%!) 6 Den zu 9% p. H. konfonnen Monatszins ik on (bei mona tlichem Zinszuschlag) (2.3.1 2) dUTCh 6

(1 .. i h "J 6 '" 1,09

~

ikon =

ematt man

¥1,09 - 1 = 1,4467%p. M.

ii) Beispiel: Bei i = 8% p .(l. ergibl sich nach (2.3.12) ein iiquiva{enler l6 l -Jahres-Zins penode: 3 Jahrr) wie [Olgl: (1 .. 0,08) 3 = 1,2597 = 1 .. i"qu

nach

~

it1'l"

tZins-

i"qu = 25,97% fur 3 Jahre.

Umgekehn reprasenuen dan n i = 8% p .a. den zu 25,97% p.3a. k ontormen l ahreszins. Der End wen eines Kapi lals K o nach drei Ia hren ergibt sich somis entweder uber einen dreimaligen Zinseszinsprozess zu 8% p. a. oder iiquivalent -durch einm ohge Verzinsung zu 25,97% p.3a. «

Aufgabe 2.3. 17:

I) Man bcrcchnc den Endwe rt cines hcute wertgestclltcn Kapitals von 100.000,-- € nach Ablauf von 20 Jahren. Dcr nominclle Jahreszins bctrage 12% p.a. Folgcnde Vcrzinsungskonditioncn sollen unterschiedcn werden (umerjiihrig komm en relative Zinsen zur A llwrndung) ; a) jahrlichcr Zinszuschlag b) halbjahrlichur Zinszuschlag c) vicstcljahrhchcr Zinszuschlag d) monatlichcr Zinszuschlag e) taglicher Zinszuschlag Man enn ittle weiterhin ftlrjede Kondition den effektiven Jahrcszins.

(1 Jahr = 360 Zinstage]

Ii ) Man bcanrwortc i), wenn der effektive Jahrcszins mit 12% p.a. vorgcgcbcn ist und untcrjahng

der konformc Z tnssarz (billr jewdLt allgeben) angewendct wird. 16 Da dcr Begriff ~effekliv ~ fllr J ah n:sz iJlSSjl/.e rcscrvicrt ist. verwc ndc n wir hier stall dessen den vom Prinzip her glcichbedeulcndcn Bcgriff ~ liqllivalcO\er~ ZiIlSS
2.3

81

U nterjah ngc Verzinsung

Aufgabe 2.3. 18: i) a) wtc hoch muss der konfonne Monat szinssatz bci monatlieher v erz tnsung sem, wenn ein wert glcichcr cffckt iver Jahrcszinssatz von 12% p.a. e rrcicht werden so il? b) Welehcm wertglciehen cffcktiven J ahres zinssatz cntspricht bci monatlichcm Zinszuschlag cin Monalszinssat z von I % p.M.?

c) Auf welchen Bctrag wach sen 100,-- € in cincm J ah r a n. wenn bci nominal i = 10% p.a. die ents prechenden relativen Zinsen stiindlich gezah lt und wcitc rvcrzinst werd en?

(Hier: 1 Jahr = 365 Tagd ) i1) a) Ocr cffcktiv c J ahreszins cmcr Anlage bctrage 8,5 % p.a. Wie hoeh Ist der konfonne Qu ar-

ta lszins ?

b) Wie lautet de r relative Halbjahrcsnn s bei 8,5 % p.a. nominell? c) Welcher cf fcktive J ahrcszins ergibt stch, wenn nomincll mil 9,72% p.a. gereehnet wird und monatuchcr Z inszuschlag zum rclauvcn Zi nssatz erfolgt'! d) E ine Anlage wird zwennonatfich zu ip = 3% p.2 M. verzmst, Zinsvcrrcch nung cbe nfalls

zwcirnonathch.

dl )

d2)

Wie tauter der nominelle 4- Ja hres- Z inssatz? Wie lautet tier aqutvalcnrc (" tffektivt ") 2-J ahrcs-Zl nssatz?

iii) Die Knorz-Kredit-GmbH verleiht Kapital zu nomincll 24% p.a. Dabci eJfolgt tier Z inszuschlag allcrdings nach jewcils 2 Monat en.

a) Knorz bc rcchnct rur die 2-monali ge Zinsperiod c den sag. ~ relal iven " Zin s, d.h. 1/6 des nominc1len Jahrcszinscs. Wclchcm cffcknvcn Jahrcs zins cntspricht dies? b) Welch en 2- Mo nats- Zi ns musstc Knorz anwendcn, damit der Kunde cffektiv 24 % p.a. bezahlt? Welchen nomlnellcn Jahrcszin s rnusstc Knorz in diesem Faile ford em ?

Aufgabe 2.3. 19: i) E ine Bank gewahrt folgendc Festgcldk ond itionen :

a) b) c)

A nlage Iur 30 Tagc: Anlage fur 60 Tagc: Anlage fu r 90 Tagc:

5,28 % p.a. 5,33 % p.a, 5.38% p.a.

(Angegebrn ist jeweils der nominelle Jahreszinssatz, unterjahrig werden relative Zinsen berechnel.) wclche Geldanlage erbringt den hochstcn cffekt iven Ja hreszins? (J Jahr = 360 Zinstage} [Hinweis: Die jeweils zu bemcksichtigmde (unlerjahrige) Zinsperiode ist dUTCh die Anlageduuer def miert. Nach Ablauf jeder (Unlerjahrigen) Zinsperiode werden die entstandenen Poi oaenzinsen dem Kapital hinzugefugl und das (nun erhohte) Feslgeldkapilal zu identischen Konditionen "prokmgiert", d.h. emeut angelegt usw.) ii) Die Sparka ssc Sprockhovel vcrzinst 60· Tage · Festge1dc r derzcit mil 5,5 % p.a. nomm cll. Nae h jewcils 60 T agcn werde n die Zin sen (relaliver 2-Monats-Zinssatz!) dem Kont o gutgc schricbe n. wird das Festgeld " prolonb"iert ~, so ergcbcn sieh stc rs wcitcrc z-Mona ts-Zlnspcriodc n z um rctaliven 2- Monats -Z inssatz.

a) H uber legt 26.700,-- € auf diese Weise fur 2,5 Jahre an. E ndkapira l? b) Wclchcn cffcktiven J ahreszinssatz rcalislcrt H uber'! c) H alle Huber bessc r 30- Tagc-fcstgcldcr zu 5,48 % ['.a . nomincll nchmcn sollen'!

(1 Jahr : 360 Zinstage)

82

2

Z inscszinsrcchn ung

Aufgabe Z.3.20:

Die Moser Gmb H 1St mit der Qualit1lt eincr Warenlicfcrung dcr Hu ber AG nicht cinvcrstandc n, Daher zahlt sic den Kaufpreis in Hohc von 180.000,-- € zunach st auf ein notaricll geslchertes Spcrrkonto (Konditioncn: 8% p.a, nominell, Zinszuschlag; oaeh jedcm Quartal zum relarlven Zinssat z). i) Effektiver J ahrcszins? ii) Man cnn ittle den Kontostand nach 9 Monatcn.

iii) Nach zwci weiteren Mo natcn (d.h . nach insgesamt J1 Mona len) einigcn sich die Parteien: Ocr

sich unter ii) crgcbendc Kapitalbetrag wlrd sogleich ohne weitercn Zinszuschlag an die Huber AG ausgczahlt. Welchem rclativcn Verzugszinssatz pro Lautzcit-Monat (insgesamt also I J Monald) entspricht dicscs Rcsultat? (Die Zinsperiode sott jerzt1 Jahr betragen, d.h. es ist jelzl mil umerjahrig unearen Zinsen zu rechnent] Iv) Die kontofUhrende Bank hatt e alternativ zu obiger Regclung die folgcnden Kondrtion cn angebo ren: Mona tlicher Zin szuschlag zum (zu 8 % p.a.) konforrnen Zin ssatz. Urn welchcn Bctrag ware die A usza hlung naeh 11 Zins cszin s-Monatcn an d ie Moser A G hoher bzw. nicdrigcr gcwescn als bci dcr Vereinbaru ng unter iii)?

2.3.2 Zur Elfektlvveralnsung ku rzfristiger Kred ite (Exku rs)

Ein e hautlgc Anwend ung unrcrjahngcr Z insrcchnung irn bct riebswirtse haftlie hen Bereich wird dutch die Frage nach dc r Effektivveninsung kurz rristiger Kred ile odc r Finanzieru ngcn (z.B. Liefemmenkredue] hervorgeruten. Das folgende Beispiel sreut den Prototyp dera rtiger Prob lcrne vor: Beispiel 2.3 .2 1: Jcma nd vcrlcih t (oder investiert) hc utc Ko = 100 € und crhatt als einma lige Gegenlelst ung (Ruck za hlung, Ruckf luss) naeh t = 10 Tagcn den Bet rag von Kt = 102 €, d.h. cinc n urn 2 % hoheren Bct rag. Welcher jah rlichen Effektivverzinsung ents prieht dicscr Kreditvorgang? (siehe Ahh. 2.3.22) Le/stung Ko= lOa€:

Gegenle/stung

KI = 102 €o

-If-- - - ---------1f-----;Zei'l

I

1= fOrage

Effeldivzins ??

-1

Abb.2.3.22

E s zcigt sich, dass d ie Bcantwortung dicsc r Frage entsc heidcn d davon abhangt, wclche unt erjahr lgen vemos ungsmodalltaten vorausgcsctzt worden. Z ur Vereinfac hung nehmen wir an, dass die Krcditnahme (100,-- €o) zu Beginn ciner Zin spcriod c stattfinde t: i) Die Zinsperiode sei em Jahr (= 360 Zinst agei. Innerha lb dc r Z inspc nodc werde mit linearcr Verzinsun g gcrechnet. Da in 10 Tagcn 2% Z insen gczahlt wurden, cntspric ht dies - da unterjahrig kcine Z insverrcchnungsterrnine liegen - einem J ahresztns von 36 · 2% = 72% p.a.

2.3

83

Unt crja hngc Verzinsung

Zin~perioc le sci fi n Quartal (: 90 Zin.>lage) , inne rha lb des Qu artals wcrdc mit lincarcr Vcrzinsung gercchnet. 2 % in 10 Tagen cntsprcchcn da nn (linear) 18 % im Quartal. Nae h cincm J ahr ergibt sieh cffekt iv nach (2 .3.12):

ii ) Die

1 + ief f

:

1. 184 :

und som it

1,9388

i ef f

:

93,88%p.a.

iii) D ie Zin speri ode sci nunmchr idc ntisch mit der Krcditlau fzci t, d.h . Ztnspertcde = 10 ZinSlage. Pro J ahr crgchc n sich 360 : 10 : 36 Z inspcrioden zu jc 2%, naeh (2.3. 12) gilt: 1

+ ieff

:

1,02 36

:

2,0399

ieff :

103,99% p.a.

Das Beispiel lasst sie h verangememern. vgl. Abb. 2.3.22: Fur cine Krcd illaufzcit von I Tagcn crgibr ~ : Ko(l + ill der fur diese Krcd itlaufzcit ~,'cl tcnde "t ~ Tage - Zinssatz" il:

sich wegen

i

Vcrz insung pIO Tag dcr Krcditlaufzcit = ~.

(2.3 .23)

wcucrfun bcstehc cas Z insjahr (hier z.B. angenommen mil 360 Zimtagen) aus m untcrjahrigcn Zinspcriodcn (diese Zinsperioden sollen alterdings nicht kiirzer sein als die J(reditluufzeit . lnnerhalh der einzelnen Zinsperiode tineare Verzinsung!) , so dass jede einz elne Zi nspc riode aus 360 !m Z instagcn beste ht. Somit crgibt sieh - wcnn ma n die Tagcsvcrain sung linear auf cine untcrjabrigc Zi nspcriode hochrechnct - ern Pcriod enzinssatz ip in Hohc von

K,

mit : i l = K - 1. o

(2.3.24)

Z um Pcriodcnzinssatz ip geh6rt - bci m-maligem Z inszusc hlag pro J ahr - der errekuve J ahreszins i eff , dcr sic h am (2. 3.12) crgibt: 1 + ierr = ( I + ip)m , d.h . mit (2.3 .24):

Kl

mit

360 m

;err = (1 ' (K- - 1) 'I) 'm

(2.3.25 )

o

~:

Kt.: I:

rn:

-1

(Effektivverzinsllllg klm/ristiger Kredite) falls Kredillaufzeil < Zinsperiode (Ulu/falLI" Zimjahr : 360 Zinslage)

Krcditsumme, aufgenommcn in t : 0 (~Leislung "') Ruckzahfung nach t Tagcn (~GegenleL~tung") Krcditlaufzclt (in Tagen) An zahl unt crjnhrigcr Z inspcrioden pro J ah r, d.h . jcdc dieser Z inspc riode n besteht aus ]~O T agcn (mit 3~O ;>: I)

Fur den (in der Praxis aus Vereinf uchungsgranden hii.ufjg aflZutrefferuJen) Fall. dass die Z inspc riode mit dcr Krcditlaufzcit t ubcrcmstimrnt gilt: I : 360 m e 360 m

und (2 .3.25) vcrcinfaeht sie h zu:

, - - - --

(2.3.26)

'"' .ld f : (K,)-, i
-, -1

,

(Effektivven insung kurifristiger Kredite) f alls Kreditlaufzeit = Zinspenode (undfalls Zinsjahr = 360 Zinsrage) ~:

l
Krcdits ummc, aufgcno mmc n in t : 0 Ru ckza hlung nach t Tagcn Krcditlaufzcit (in Tagen)

84

2

Z inscszinsrcchnung

Al s Beispiel diene cmcut (sieheBeispiel 1.2.41, dortfur ausschliep/ich lineore Vl'tZinsung) der I.terersnten kredit, den wir an diescr Ste lle mit den mog hchen Verzinsungsva rianrcn beh andcln wollen:

Beispiel 2.3.27:

(l.i efera nlenkredit)

Die Zahlungsbedingungen fOr cine Warenlieferung lauren: »Bei Zahfung des Rechnungsberrages innerhalb von 10 Tagen nach Warentieferung kann der Kunde 3% Skamo \10m Rechnungshetrag abziehen, andem[alls ist der volle Rechnungsbetrag 30 Tage nach Warenliefernng [tWig. "

Hier handelt cs sich urn cinco kurzfr istige n Kr edit, den del Lieferant dem Kundcn fur 30 - 10 '" 20 Tage ( =, I) gcwahrt. Die Krcditsumme Ko isl hierallcrJings niche der Rcchnungsbetrag, sondem der urn das Sko nto vcrminderte Rechnungsbetrag. Dcr Rec hnungsbctrag sclbs t cn tsp richt dcm am Bndc dcr Krcditgcw ah rungsfrist (= Skontabezugssponne} zu jcist cndcn R iickzah lungsbctrag Kt :

_M-

Zahlung mit Skonloi:1bzug

Termin

lieferung

Zahlung ohne Skonloabzug

Ko

K,

-If---- - I- -- - - - - I- - 1=20 Tage f- 10 Tage _ .•, +-- - -(Skontobezugsspann -I e Q

Abb. 2.3.28

Kredll/oufzeil)

Sei s der Sko ntosatz (hier 3 %) , so folgt: K = satz it ftlr d ie Kreditla ufzeit (= t Tage): Kt

Kt ·(1 -

s). d .h. nac h 2.3 .23 lautet dc r (lineare) Zins-

Kt

--- - I

-- 1

it

(Zeil)

Ko

Kt (I - s)

(2.3 .29) Be i s = 3% [Skontosatz} ergibt sich fur die Skontobcz ugss pannc (I = 20 Tage) cin linca rcr Zin s von : it = 0,03 : (1 - 0,03) = 0 ,0309 = 3,09 % (und nicht (twa 3%f).

Aus (2 .3.25) crgib t stch da nn mit [ffekti~'Verzinsun g

I - 1 = il = - ' I- s

I< .~

die

des l.iererantenkredi l~ (falls Zin.l'periode > Skomobaugssponneu ;

(2.3.3 0)

K

)rn _ 1

_ (1._,_ . 360

erf -

l- s I'm

s: SkontosalZ t: Skontobezugsspanne (in Tagen ) m: Anzahl der Zinsperioden pro Jahr (l Zinsjahr = 360 Zinstage)

Im Beispiel mit s = 0,03; t = 20 Tage; m = 4 (d.h. Zinszuschtag noch jeaem Quartal) Iolgt: ief f

= 1,1392 4 -1 = 68,4 1%p.a.

Nimmt man die Skontobczugsspan nc

vereinfac ht stch zu

(2.3 .31)

ieff

=

1m Beisp iel crgibt sic h mit s

t

360

als Zin spcnodcn langc an, so gilt m = - ,- , und (2.3.30)

L ~ s )-,""- - I = 3% = 0,03 und t

Elfektiwerzinsung des Liejerantenkredirs (falls Zinsperiode = Skonlobezugsspanne) s: Sko nlosatz I: Skoruobezugsspanne (in Tagen) (l Zinsjahr = 360 Zinslage) = 20 Ta gc:

i err = 73, 02% p.a., also ctwa 5 Prozcn tpunktc ho hcr als bci Ouartatsvcrzmsung.

2.3

85

Unterjahngc Verzinsung

Aufgahe 2.3.3 2: E ine U nternehmung nimmt kurzfristig 15.000,-- € auf und zahjt diesc n Betra g incl. Z insen und Gcbuhrcn nach 15 T agcn mit 15.300,-- € zuruck. Welcher effcktiven Verzinsung cntsp richt dies bci I) jahrlichem Z inszusc hlag ii) monatlich cm Z inszu schlag iii) Zinszuschla g allc 15 Tagc? (l Jahr = 360 Zinstage, 30/360- Melhode)

Aufgabe 2.3.33: i) In den Zahl ungsb<xlingungcn hci13t es: . Bei Zahlung innerhalb J2 Tagen 2 % Sk onto; bei Zahlung inn erhalb von 20 Tagen neuo Kasse ",

Man crmittlc die Effe ktivverzinsung dieses Licferan tcnkrcdit s fur die folgenden alrcrnanven Verzinsungsfiktio nen: (l Jahr = 360 Zin,doge, 301360-Methode) Z inszus chlag a) jahrlich b) halbjthrlich c) aile 2 Monate d) naeh je 8 T agen ii) Wic laut en d ie Effcktivverzinsungcn bei fulgc nder Skont oklauscl: Tagc nctto?

10 Tagc 3 % Skonto, 30

Zi nszusehlagt:enni ne (l Jahr = 360 Zinstage, 30/360-Melhode): a) jahr lich b) nach jcdcm Q uartal c) mon atlich d) nach jc 20 T agcn.

2.3.3 Gemischte Verzin sun g Fallt bei jahrlic h nacnsch asstgcrn Z inszusch lag dc r Beginn und / oder das Ende de r Kapitaluberlass ungsfrist niehl auf einen Zinszll'>Chlaglennin (wie z.B. beim klassischen Sparb uch moglich), so erfoigcn in der Bankenpraxis ba utlg En dwcrt- und Barwertcrmittlung mit Hilfe dcr sog. gemi.schten Venins ung: Dabei werde n die unterjahrigcn Zcitmtervalle zu Beginn (td und am Endc (t 3 ) mit Hilfe dcr nnearen Venin.sung ubcrbruck t, vgl. A bb. 2.3.3 4:

Ko

f--

K,

---If-- ---I-----1~ +----------+-;-" f--II -+ - - - - - - - - - - - -- - + '-1

1

1i""~" I

exponenfrelfe Vemnsung (Zlnseszlnsenl f,n

Zmsen

Abb.2.3.34

IZms

I

Um den Endwcrt Kt zu erhalte n, wird Ko bis zum nachst folgcndcn Zin szuschlag linear aufgczinst, ills vcrmchrte Kapita l 12 Jahre per Z.inseszi ns aufgczinst und schlicJ31 ich der am Bndc noc h vorhandene Jahrcsb ruch teil t., wicdcrum mit nnearer A ufzinsung iiberbriickt. Darmt laut et dcr Endwert bet gemhchter Verli nsung: (2 .3 .35)

2

86

Zin scszinsrceh nung

Beispiel 2.3.3 6: Ein Betrag von 1.000 € wird vom 31.07 .05 bts zurn 30.04.09 zu R% Pe- angclcgt. Die Zinsverrcch nung finder zum 31.12. (24°0 Uhf) cines jedc n J ahrcs statt. Am 31.05.09 ergibt sich als Endwert KI bei Anwcndung dcr gcmischtcn Vcrzinsung:

H all e man die Gcsam tlaufzcit t sich crgcbcre

3,75 Ja hre dirckt in di e Zinscszinsfonncl eingeset zt, so Mil e

K t = 1.000 '1 ,08 3,75 = 1.33 4,56 € .

DeT Unt erschied ruhrt dahcr, ces s bei noearer Verzinsung innerhalh cines Jahres (hier zu Beginn taw. am Emir der Laufzeit) stcts em hohcrer Wert erziclt wird als bei cxpo nentid lcr Vcrzinsung mit ~( 1 + {siehe Abb. 2.1.5 im Zeitimervall 0 < I < 1 ) .

ii

Die gemio;chle Ven.insung besttz t sarntliche Nachteile dcr linearen Vcrzinsungsrncrbode (siehe aw a Beispiel 2.2.5 ada Bern. 1.2.32) . Das folgendc Beispiel demonstriert die Inkonstsrenz dcr gcmisehtcn Verzin sung und zcigt crncut. wie mit konforrncr unterjahngcr v erztnsung sarntlichc Widorspruchlichkcitc n besettigt worden konncn: Beispiel 2,3.37: Zwci Za hlungcn zu jc 100.000 ,-- € . fallig im Abstand von 6 Monaren, sollcn auf einen Stichtag aufgczinst worden, der cin J ahr nach dcr zwcitcn Zahlung licgt, vgl. Ahb . 2.3.38:

I f$h'chlag )

tOO

, K1,5

tOO

(Zeitl

I

f-- 6 Monate - -+-~-~~

-

- -I

Ab b , 2.3.38

Zmspenode sci 1 Jahr, i '" 12% p.a. Gcsu cht isc der E ndwert K1,5 bet gemischrcr Vcrzinsung fOr drci (von vieten moglichen) Fallen: E ndwcrt:

Ka .

(b) Die Z inspcriodc beginnt mit der zwcitcn Rate (d.h. cndct ~ rcch Cs ") ;

Endwcrt:

K!J.

(c) Die Zi nspcriode liege gcnau in dcr Mitte des jc 3 Monatc. Endwcrt: 1\: .

Mlinks" und Mrcchts" liegen

(a) Die Zinspcriode beginnt Mlinks", d.h. mit dcr crst cn Rat e: l .s·J a hrc..~ ·Zei C raumes ;

Abb. 2.3.39 a.b.c zcigcn die jewcitigc Positionieru ng dcr Z inspcrioJe:

to)

tOO

fin r €1

- I

tOO I

(Zeit)

I

Itb!

I {Stichlagl

, Ko

tOO Zinsperiade

(in

re,

•I

Abb, 2.3.390

I (Sfichlagl

, Kb

tOO

I-

I-

-+----+-- - + - - -1Zinsperiade

-~-I

-

(Zeit)

Abb, 2,3,39b

2.3

87

Untcrjahnge v crztnsung

Ie}

fro

{in T€ J

I (Sfichtagl

, K,

fro

- I - - I --+--

I-

I ---!-- I-

I --+--

-

(Zeit)

-1

Zlflsperiode

Abb. 2.3.39c

Bci gemisrhter Verzinsung crgcbcn sich nun folgcnde E ndwcrte (i ::: 12% p.a.]

(a)

K,

100.000 . 1,12 ' 1,06 + 100.000 ' 1,06 ' 1,06 ::: 231.080,-- €

""

100.000 . 1,06 '1 ,12 + 100.000 ' 1, 12 = 230.720,-- €

K, = 100.000 ' 1,03 ' 1,12' 1,03 + 100.000 ' 1,09' 1,03 '" 231.090 ,80 €

(e)

Wie nicht andcrs zu crwarten, licfert d ie gemischte Vcrzinsung (wegen ihrer tinearen Kamponemei jedesmal cin andcrcs E rgcbnis. Samrhche Widcrspruchllchkcit en dcr gcmischte n Verzins ung verschwi nden, wenn wir cine unterjah rige Verzinsung zum kon form en Zinssatz vo mehm cn [dahei ka nn mall wahlweise konfonne Tages-, Monats- oder Quenalszinsen nehmen, VorausselZlmg ist lediglich, dass die Zahlungen lind der Stiduag in das Periodenrasterf allen - das Endresultat ist [edesmal dasselbe.]

v crwcndcr man z.B. mon atlichen Zinszuschlag zum (zu 12% p.a.) konfonnen Monarszins ikon' so erhalt man wcgen (2.3 .12) rz 12 1,12 ; d.h . I + ikon :::

VW"'2 : :

(a) K a

•

•

,

•

100.000 ' 1, 12 ' 1,12 12 + 100.000 ' 1,12 12 . 1,12 12 ::: 100.000 ,1,12 1,5 + 100.000 '1, 12 230.529,66 € ;

•

12

' 1,12 + 100.000'1 ,12

)

)

100.000 ' 1,12 1,5 + 100.000 '1 ,12::: K a ;

(b) K b

100.000 ' 1,12

(0) K,

100.000 ' 1,12 12 . 1,12 ' 1,12 12 + 100.000 ' 1,12 12 . 1,12 12

9

3

::: 100.000 '1 , 12 1,5 + 100.000 '1, 12::: Ka ' also in allen Falle n dcnselbcn Endwcrt .

Aufgabe 2.3.40: E in Kapit al ~ werde zum 0 1.0 1.05 (0°° Uhr) zu 8% p.a. angc1cgt. An wclchcm Tag tritt Kapitalverdopplung em, wenn i) gcm ischte Verzinsun g (unterjiihrig wird also mit retauven Zinsen gerechllet) unt crstcllt wird und

der (jiihrliche) Z inszuschlag jeweils a) nur am 31.12. (24°° Uhf)

b) nur am 30.06. (24°0 Uhr) crfolgt?

ii) konfonnc untcrjiihrigc Tagcsvcrzin sung untcrstcllt wird (i.U ::: 8 % p.a.) ?

(301360-Melhode)

(301360-Methode)

88

2

Zinscszinsrcc hnung

Aufgahe 2.3.4 1: Welc hes Kapital muss ma n am 24 .03 .05 (24 00) auf eincm Kont o anlegen, urn am 03 .11.13 f24 ( 0) ubcr 100,000,-- € vcrfugen zu kon ncn? i) Z inszuschlag 3 1.12 . (24°°), 30 .06 . (24 00) zu 5 % p.H .; gemischt c Verzi nsung. Zinszuschlag taglich zum konformen Zins (zu J 0% p.a . effekti v) . (30!360-Melhode)

ii)

2.3.4 Stet ige Verzin sung Nach (2.3.8) licfcrt cin nomineller Jahrcszins i bei jllhrlich m-maJigem Zinssatz ilm nach t Jahren den Emlwert I<.t mil

Zi nszll~chlag

zum relattven

i m-t '" = 1<,, ·(1. m)

(2.3.42 )

Lasst ma n nu n die Anzahl m de r untcrjahrigcn Zinspcriodcn imm cr grofkr (und damit die Lange jeder einzelnen umerjiihrigen Zinsperiode immer kldner) wcrdcn, so sprichr man fur den Grenzfall ill - <><> von sletiger Verzins ung. kontinuierlicher odcr Augenblic k.weninsung. (Beispiele: organisches Wachs(urn, chemische Prozesse, radioaktiverZeifall.) In inuner kurzcrcn Zcitabstandcn worden d ie rclarlven Zi nsen dem Kapital zugcschtagc n und wciterve r-

zmst. Die vorausgcgangcncn Bcispicle (I'gi. A ufg. 2.3.17 i» zeigen, dass der Endwert K, oeste grcaer wurde, jc hautlger der unterjahnge Zinszusc hlag erfolgte, d.h. je groacr m gcwahlt wurdc. Es stellt sieh nun hcraus, dass (auch bet beiiebig haufigem Zinszuschlag pro luhr, d.h. m Endwert

I<.t

Dazu bilden wir in (2.3.42) den C renzwert (~limes") von

x__(l + .~ t lim

I<.t

00) der

ci ncn maxima1cn G renzbctrag nich t ubcrschrcitcn kann.

I<.t t a r m -

",, 17.

Unt er dc r Vomussetzung

= e '" 2,718281 828459... (" Eulersche Zahi "] 18 fo lgt aus (2.3.42);

(

1

m

.

i m ot )~ ' I .t = Ko ' (l +m) = Ko ' 1 + -;;;- ,

(Ziel: m -.. 00)

;

Subs titu tion

7'' ' x licfcn (fails dann

m - 00, so au cn x - 00 (da

j =

canst. ( > 0)) );

I<.t = Ko · ( l+~t ·i . t . Bci steligem Zim"z ll~chlag m G renzwc rtb ildu ng:

"" [d.h. x -

00) folgt untcr Zuhilfcnahmc c1cmcntarcr Rcgcln dcr

d.h . es gilt schlicfllich

-,

Satz 2,3,4 3: Ein Anfangskapilal Ko wachst bei stenger Veni nsung ("k ontinuierlicha Zlns tuschlag "] zum nominellen J ah rcsztnssatz i in t Ja hren zum End kapital Kt an mit:

(2.3.44)

17 siche (T ie3) 4- )JT. 18 siche lT ic3] 4-14.

I '"

= K"i t

I

2.3

Unt crjahrige Vcrzinsung

Bemerkung 2.3.45: i)

Im Fall k ominuierlichen Z mszuschlages nenm m an den nominellen I ahreszins i auch stetigen JahreszillSsal1. oder Zinsintensitiit und schreibt daf ur is '

ii) Zur sprachlichen Unterscheidung der ueugen, kominuierlichen VerzillSung von der " nO/m alen U expo-

n entieilen Vazinsung sp richt m an bei Anwendung der klassiscnen Zinseszinsf ormel von diskreter VerVn.sung. weil der Zinszuschlag zu disk raen, d.h. zeitucn gelrellmen Terminen eifolgl. iii) Soc: 2.3.43 bzw. (2.3.44) gestauen eine iikonomische Interp retation der Euler-Zalll e:

FurKo = I ,-- € , 1 = 1 Jahr, i = 100%p.a. (= 1) liefen (2.3.44): K I '" I ' e l ' l '" e , m .a. W. der Wen e [€] is/ iaenascn mil dem Endkapual K 1, das nach einem l ahr aus einem Anf angskap i/al von 1,*- € bei stetiger Verzinsung zum stetigen Zinssatz 100% p.a. enweht. Die [olgende Tabe/Ie zeig/ Jur einige Wen e von m den entsprechenden GrellZprozess von diskreter zu stetiger Verzinsung mit (2.3.42): III

i ml

1

(Zi nszuschlag jiihrlich zu 100%)

2

(Zinszuschlag halhjiihrlich zu je 50%)

1 2 {Zinszuschl. mona u zu je

365 525.600

J 2= K 1 = (I + _)

2,25€

J

2,6130 €

12

K = (I

1

1

+ _

1

3 /.536. 000 (Z.z. sekundl. z. je 3 J. 53~. 000 )

1

365

K = (I +

525.600 )

K = (l + 1

=

J3 6 5

J

525 .600

) 52 S.600

I ~

2,7146€ =

2, 7182 79€

1 ) 3 1.5 36 .00 0 =271828179 3 1. 536. 000 '

I

m-_

1 Jahr)

2,--€

K I '" (I +_)/ 2 '"

(2"msz./ag.zuJe3"65 I . 100 % = 365 1 )

I '"

K1 =(J+ l) J = 2

IJ~O % = / ~)

(Zinsz. minial. zu je

J m

K] = Ko(J + m) = (l + 11/) (K o = 1,-- € ; i = 100% p .a.;

(= An zahl d. un/erjiihri. Zin sp erioden)

I

m_.... (I + -) .

K l = 11m

1

III

III

e [€] (= 2,718281828 459 0...)

Beispiel 2.3.46: Gc gcbcn solen cin A nfangskapital Ko = 1.000,-- € sowic ein nomtneller J ah rcszinssat z i = 12% p.a .. Fur
(m = 1):

= Ko ' ( l + i) lO = 1.000 ' 1,1210 =3.105,85€

ii) bci monatticnem Z inszuschlag

(m = 12):

" "(1 + l..)l2· lO= 1000 -1,01 120 = 3.300,39 € K1O = 1<'''lJ 12 . iii) bci k ominuierlichem (sleligem) Zin szusch lag

(m -

00 ):

K IO = 1<.0 ' c i ' 10 = 1. 0 0 0 · cO, 12 ' 10 = 3.320,1 2 € .

90

2

Zinscszinsrcchnung

Durch Umformung von (2.3.44) kann jcde dcr vier vorkommcnden Variab len bci Kcnn tnis dc r drel librigcn bestirn mt worden (vgl. die emsprechenden vier Problemtypen t ei diskreter Zin seszinsrerhnung) . Es crgcbc n sich die vier iiquimll'nten Gleichungen: (2.3.47)

i)

Kl '" Ko ' ei ' t

(Endwertennilli ung)

ii)

len

(Bafl.l'ertenni ttl ung)

iii)

iv)

=

= K t ' e- i ' t I In Kt

( Zin ~enn i ttl uhg,

K.,

I

In

i = sreuger- Zills.
K

~

(Lautaen ermtu hmg]. (staiger Zin ssa tz i und Lauf zrit I mu ssen rich dab ei stets auf diesclbe Zeiteinheu, z.B. ein Jahr, einen Tag, eineMinUli! ... beziehen]

Bemer/amg 2.3.48: Handelt et rich urn einen okonomischen, biologischen oder p hysika lis chen Prozess, der mil riner A bnohme des Anfangsheslandes veibunaen ist (z.B. redinaknver ZerfalJ, Konosion, ...), so gilt (2.3.4 4) analog, jedoch m it negativem Z inssatz (" Zerfallsrate N

) :

(2.3.49)

I K,

I

= Ko -e- ·

t

I

Beispiel; Ein RvJutoff/a ger (A nfangsbestand 90.000 kg) nimmt durch Korrosion nominell um 5% p .a. abo Umer derAnnahme, doss sich der Karrostonsprozess stetig weitercntwickeh, sind nach Ablauf von 8 Mon aten no ch brauchba r: . · 0 05·..! K/ = Ko · e- I · t = 90.000 ,1." 12 = 87.049,45 kg.

Zum gleichen Ergebnis gelangt m an, wenn man den kantinu ieriichen Z erfallsprozess als zeitlich umgekehn ablauf enden k ontinu ierlichen Wachstumsprozess imerpretien und som it In der Barwenform el (2.3.47 Ii)) Ko als zeitlich sptueren, K" als zeuucn [niheren B estund ansieht.

Der zum nominellen , steugen Jahrcszinssatz i = is iiquivalenle disk re te erfckuve J ahreszinssatz ieff ergibr sieh nach dem A quivalenzp rinzip aus der Forderung nac h Glciehhcit der Zc itwerte K l = Ko' (1 + ieff)1 '" Ko·eis · t • Daraus folgt die Aq uivalenzbeziehung zwischen effektiwm und sletigem Aufzinsung.\faklor:

(2.3.50) und somit die he iden nae h ieff bzw is autgcrostcn Beziehungen (2.3. 51)

sowie

(2.3. 52) .

Beispiel 2,3.53: i) Zu is '" 10% p.a. (stetlg, nominell) gchort de r diskrct c, nachschus stgc effek tive Jahreszins ieff = eO,I _ ] '" 10,517 1% p.a.

Ein cffcktlvcr Jahreszins von 10% p.a. ist equivale nt ci ncm stctigcn, nominellcn Zi ns von is '" In 1,1 '" 0.095310 '" 9.53 10% p.a.

2.3

91

Vnt erjiihrige Verzinsung

Ii) Werden 100 ,-- € diskret zu 10% p.a. ( = ieff ) f ur 2 Jah re aufgezinst, so kann man entwedcr die d iskrc te Zi nsfonnel (2.1 .3) verwenden: K2 = 100 '1,1 2 = 121,--€ Oller abe r d ie stetige Zinsto rmcl (2.3.44) mit dem cnts p rcchcndcn aqu ivalcntcn stct igen Jahreszinssatz is = 9,53 10% p.a. (vgl. i) ) : K 2 = 100 ' eo,o953 1'2 = 121,- - € . Klar, dass wegen cis ", 1,1 die E ndwett e - abgesehe n von gelege ntlichc n R undcfchlcm - stcrs

identisch sein rnusscn.

A us (2 .3.50) folgt somit, dass es fur die E ndwerte/ Barwertc von Zahlu ngcn unerhcblich ist, ob man '" ~( 1 + i)1 oder abcr mit dcr ,.stcligen" Zinsformcl Kt = ~ . cis ' 1 rechn ct, vorausgcsctzt, es gilt cis = 1+i.

mit der . dtskretcn- Zinsforrncl Kt

Daher kann man jeden d iskrcten Vorga ng auch mit dcr stcngcn Z insformcl, jeden stetigcn Vorgang auch mit de r diskrcten Zi nsfonnel besc hrciben: Betde Form eln sind - sofcm cis = 1+i - idl'ntisch.

Handctr cs stch bri m zugrundcliegenden finanzmathcmatischcn Vorga ng lin cincn stetige n Prozess, so darf in beide n Formcln die Laufzeu t beliebige rcellc Werle annc hmcn, handelt cs sich dagegen urn cinen diskrctcn, diskontin uierlichcn Prozess, ka nn die Laufz cit nur cntsprcc hende ganzzah lige (oder gebrochene - bei koniormer untajahriger Verzinsung) w erte annehme n. A uucr be i real existiercndc n stetigcn Prozcsscn in Nat urwissensehaftcn und Okonomie grcift ma n allcrdings auch bei diskrcten nichtk ontinui crlichcn w achstum s- oder Zcrfallsprozessen auf die Formeln (2.3.47) der ste uge n Verzin sung zuruck! ", da sie malhemalisch einfacher zu hand habcn sind (vor euem im Zusammenhang mit dem Diff erenlial- und Integralk alk ul) als die cnts prcchcndc n diskrclcn Zi nseszinsfonncln . v oraussetzung dabci ist allerdings d ie vorherige Enni ttlu ng des entspreehenden stet igen Zin ssat zcs gcmaB (2.3 .52) .

Bemerkung 2.3.54: Man beadue, dass sicn der stetige, nom in elle Z inssatz auch auf andere Ba ugsp erioden ots ein Jahr beziehen k enn . In aiesem Fall muss a ucn die Lauf zeil I in der entsprecnenden Zeileinheil gemessen werden. Beispiel: Gegeben sei die Zinsimensiun is = 0,1 % pro Stunde. Bei einem Anfangskapital von 100€ ergibt sich nach 1 Jahr (=365 TagI') der Endwert K I mit: (I Jah r = 365 TagI" 24 hlTag

8.760 h) .

Aufgabe 2.3.55: i) Man ennittlc de n aquivatcnten nominellen stc ngcn Jahreszinssatz bei fclge nden Vcrzmsungsmodalitaten:

a) jahrlichcr Z inszusehlag mit 8 ,5% p.a. b) mon atlichcr Z inszuschlag mit 0,8 % p.M. e) steligcr Z inszusehlag m it nominell is = 10- 8 % pro Sckunde .

(l Jahr '" 365 Tage)

19 so ctwa im Zusammcnhang mil dcr gesamtwirtschafllichcn lnvc stitionsanalyse bei kontinuicrlic hcn zatuungsstrc-

men, siehe auch(Tie3] 8-29 f[

2

92

Zins cszins rcchn ung

ii ) Man cnn itt le den diskreren effektivcn J ahreszinssatz bci Vorliegcn cines nominelle n, stct igcn

Ztnssarzes von a) 9% p.a.

b) 2,5% p.Q.

c) 0,0 0002% pro Min ute

(I Jahr = 365 Tage)

iii) In wctcbcm Zeitraum nimmt d oe Bevolkcrung urn real lO% zu, wen n man von slct igcm Bev el-

kerungswachstum von nominell 3% p.a. ausgeht? iv) wclchcn Wert muss die stetigc jahrhche Wachstum srate ciner Bcvolkcrung annchmcn, damit cine Bcvolkerungsvcrdoppclung allc 100 J ahre stallfindc t? Wic tauter die cntsprcchcnde d iskrcte jahrliche wachstumsrate?

v) Ocr Holzbcstand cines w aldes, dcr zum Ende des Jahrcs 02 mit 150.000 m3 gcscbatzt wurde,

bc rrug End c 05 nur finch 130.000 m 3, E s wird angcnommcn , class es sich urn cinco stctigcn Abnahmcprozess (N Waldsteraen"] handelt . Man crmitt lc

a) die stctigc und die diskrctc jahrfichc Ahnalunerate;

b) den Zci tpunkt, zu dem nur noe h die Haln c des watccs (bezogen auf den Besuma End e des lohres 02) vorhande n ist. AufgalJe 2.3.56: i) Die Bevolkcrung von Tra nssylvanien bctrug zum End c des Jahrcs 05 noch 65 Min. Einwohncr, Ende 08 waren es 60 Mio . Einwohn cr . Vnter der Annahmc, das s die Bevolkerung stetig abnimmt, crmitt le man den Z citpunkt, zu dcm noch gcnau cin E inwohncr das Land T ranssylvanicn ~ bcv6I kert". ii) Die Kc nntnissc ci nes Studcnt cn bzw. cmcr Studcnt in nchm cn im Verlauf des Studiums stctig zu. Oc r bckannte Psychologe Prof. Dr. Schlaumcycr crrechn cte jnngst cine durch schmttlichc stc ugc Wacbstumsrate von 25% pro Studicnsemester.

Uruer der Annahmc, dass ein Student bzw, cine Studcn tin zu Beginn seines bzw. ihres Studiurns 10 Kcnntniseinheiten (KE) beskze, c rrcchne man seinen bzw, ihrcn Kcn ntnisstand (in KE) nach

Abschluss des 24. Semesters. Aufgahe 2.3.57: I) Die Bcst andc cines MetaJlwarenlagcrs nclunen wcgcn Ko rrosion stctig urn (nomin e//) 8% p.a . ab oNac h wclch cr Zeit sind 40 % des Bcstandcs verruch tct ? Wieviel Proz ent des ursprlinglichcn Bcstandcs sind nach Ablaut von zwei J ahren noe h brauchba r? Ii) Am 04. Mat 06 bcfandcn sich im Aachcner Rau m pro m 3 Luft x radioaktivc Jed 13 J -A romc . An welchcm Tag (Datum !) war d ie dad urch hcrvorgcrutcnc Stra hlungsintcnsitat auf J% (hezogen auf den Wen am 04.0 5.06) abgcsunken, wenn die H albwertzcit 8 Tagc bctragt?

Hin weis: Der radioaktive Ze rfa// va /duf t nach dem Oesnz de, stetigen Abzinsung.

2 .4

93

Inflation und Verzinsung

2.4

Infl ation und Verzinsung

2.4.1 Inflation Ncbcn dem Aqui valenzprinzip (siehe Satz 2.2.18) ist haufig ein wcitcrcr A spck t zu bcrucksichtigcn, wenn es urn den Vergleich von Ge ldbctragcn oder Zahlungcn gcht. die zu versehicdenen Zcitpunkten rallig sind oder waren: D as Phanomcn der Infla tion d.h . die A nderung tmeist der A nstieg} des allgemeinen Prcisnivca us (der Lebenshaltung] im Z citablauf (bei Ruckgang des allgemeinen Preisniveaus spricht ma n von Dejlarwn) . Beispiel 2.4.1: Wenn der Warcnkorb des durchschnittlichen Konsumenten (wit wotlen ihn im [otgenden " Sland ard Warenkorh " nennm), der heute lOOE kostet, in cincm Ja hr 103 E kostct, so sagt man , die Inflations rate (oder: die allgem eine Preissteigerungsratei betrage 3% p .a. Die Innaucesrate ijnn ist also definicrt als derjcnige Prozc ntsatz, der in ciner Vo lkswirtse haft die Veriinderu ng des allgemeinen Prcisruvcaus gcgcnubc r dcm jcweiligcn Vorjahr angibt.20 Die Intlanonsraten dc r Vergangcnhei t crgcbc n sieh aus den vom Statistischcn Bundcsamt herausgcgcbcnen Da len zur allgcmcmcn Preisentwieklung (etwa aus dem Preisind ex der allgem einen Lebenshaltungi, Die folgcndc Tabe l1e enrban fur cinige J ahre d ie Prcisentwick lung der allgemeinen Lcbcnshaltung in Deutschland: Tabe l1e 2 .4.2

Jahr 199 1 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Preismdcx

vcra rdcrung gegen Vorjahr

87,2 9 1,6 95,7 98,3 100 ,0 101,4 103,3 104,3 104 ,9 106, 9 109,5 111 ,8

(iinjl in % p.a.)

Lebcnshaltung

5,05 4 ,48 2,72 1.73 1,40 1,87 0,97 0, 58 1.9 1 2,4 3 2, 19

(= 5,0) (= 4,5) (= 2, 7) (= 1,7) (= 1,4) (= 1,9) (= 1,0) (= 0,6) (= 1,9) (= 2, 4) (= 2,2)

Bei.fpiet: 95,7(I+iw.JJ = 98,3 ii"J1 = 0,027 17 <:; 2,7 %

•

(199 4 gegm (Jher 19 93)

Wir konnen also sagen: Bci einer gcgcbcnc n Inflationsrate iinn muss ein zu cin cm Zc itp unkt t gcgebencr Gc ldbctrag G I (entspridu dem Wel1 des reitgleichen S/anda rd- Warenkorbes) urn den Prozcntsatz ii nn erhoht werdc n. urn den lnllat ionshereinigen Geldbetrag G t + 1 (entspricht emem dem Wert des W aren k orh es] each einer Periode zu erhalte n: Man muss da nn den Bctrag Gu t aufwcnden, urn dicsclbc Lcbcnsha hung fina nzieren zu konnen, wie man sic sich fur de n Betrag G I cin J ah r zuvor harte lcisten kon nen:

(2.4.3) G t + 1 nach einem J ahr hat somit de nselbcn ~ Wert " (dieselbe Knufkra f /) wie G I bcutc.

20

Von der Inllalionsrate zu umcrschcidcn ist die - vcrwandtc - Gcldcntwcnungsrate, die dcnje nigen Prozc ntsatz angibt, um den man dcu spatcrcn Betrag (im ohigen Beispiel: I0 3€ ) vc rmin dcrn muss, urn semen wahre n Wen (im Beispiel: 100€ ) - bezogen auf die Vorpcriodc- zu erhaltcn. 1m Beispiel ergibt sieh als Rate dcr Geldcntwcrtung: 3/] 03 = 0,029126 .. 2,91% p.a .

94

2

Zinscszinsrcchnung

Is! umgckeh rt ein Bctrag G, + I in cinem Jahr gcgeben, so entspricht ihm - bezogc n auf hcute - dcr G t in Hobc von (Umsle/lung lion 2.4.3)

~ Real- Wert ~

(2.4.4)

Kennt man - ctwa in Fonn dcr Daten von Tabelle 2.4.2 - die Innauonsraren

iinfl, l ' iinll,2 , ...

fOr

mchrere aufci nandcr folgcndc Zcirraumc, so lassen sich vcrgtctc hba re zuknnfugc Gcldbctragc G n odcr zcitlich zuruckncgcedc Real-Werre Go dUTCh multiplikativcs Hintcrcinandcrschaltcn dcr cinzclncn Inflationsfaktorcn 1+i infU crmitt cln. Aus (2 .4.3) und (2.4. 4) folgt durch Mchrfachanwcndung:

(2.4.5)

(On = inflationsbereinigter Realwen eines zeitlich zumckliegenden Be/rages Go auf de, Preisniveau-Basis des spt neren Be/rages G,J

G.

(2.4.6)

G o = -r-t-- , - , - , - " - - - - , - - , ( I + linll,I )' ( 1+ i infl,Z) ' .... ( I + iinfl,n)

(Go = inflatiQnsbereinigter Realwert cines zuk unftigen Barages G n auf der Prelsniveeu-Basls des fru heren Betrages G ol Bemerkung 2.4.7: Die Beziehungen (2.4.5) und (2.4 .6) f ur den inflationshereinigten Vergleich zeitversduedener Zahlungen haben zwar dieselbe aufJere Gestalt wie die Zins eszinsf ormel (2.1.3), durfen uber keinesfalls tm Sinne von »Kapitalwachslum ~ o.a. missverstanden werden: Wenn bei einer Ini lationsrate von (z.B.) 3% p.a. ein heutiger Siand ard-Wa renk orb 100€ kostet, so benoligl man ein Jahr spater 103€ , am denselhen Warenk orb fi nanzieren zu kon nen. Dies bedeuta j edoch nicht, dass bei 3%p.a. Inflat ion ein heute gegebener Geldbetrag von 100€ in einem Jahr »awo matisch" auf einen (dann auch verfugbaren) Geldbelrag in Hohe von 103€ angewachsen ist (wie es nur bei einer Veninsung mit 3 % p .a. der Fall ware). Ober die tatsachliche Existenz von (in! Beispiel) 103€ in einem Jahr sagt die tnflationsbereinigung nidus aus, sondem nur daruber, wekher (spiitere oderf mhere) Betrag bereiistehen m asue (oder hi nte bereitstehen mussen}, damil Kauf kraflgleichheil zwischen den zeitverschiedenen Betragen hesteht. Beispiel 2.4,8: (siehe Tabelle 2.4.2 ) i) Eincm Gcldbctrag (z.B. Preis des Siandard- Warenkorbs) im J ahr 1991 in H ohc von 3.000,-- € cn tspricht im Jahr 2000 cin inflation sbcrcinlgtcr Gcldbcrrag 0 2000 in H ohc von

0 2000

'"

3 .000 ' 1,0505 . 1,044 8 ' 1,0272 ' 1,01 73 ' 1,014 0 ' 1,018 7 ' 1,0097 · 1,0058 . 1,0191

'" 3.00 0 ' 1,22614 :: 3.678,42 € ,

d.h . lias allgemeine Prcisnivcau (z.B. der Preis des Stand ard-Warenkorbs) ist im be treffendcn Zeitraum urn insgesamt ca . 22,6 % gesne gen. Daraus erhalt man die durchscbnlttltche jahrl iche Andenmg des allgemeincn Preisnivcaus im betrcffcndcn Zcitraum ubcr lias geomemsc hes Milici [siehe Bern. 1./.20) der Andercngsfakrorcn 1+i jnn •k:

2.4

95

Inflat ion und Verzinsung

Sci etwa iinn die gcsuchtc durc hsch ninJichc An derungsrate des allgeme incn Preisnivca us gegenubcr dem jeweiligen Vo rjahr. Dcfinitionsgemag bcs itzt i;nn in jcdem der n J ahre des betrcffende n Zcil raum s dcnsclbcn Wert (im obigen Beispiel: n = 9 Jahre, Basisiahr 1991, ersteAnderung in 1992, neunte Anderungin 2000). Dann muss (Anfangs-Geldbetrag in 1991 : G 1991) ein erscits gcltcn (5.0.) ;

G 2000 = G 1991 ' 1,226 14 und andcretseits G 2000 =

G I991· (1 +iinn}·(1 + i;nn) · ... ' (1+ i;nn) = G I991 '(1+ iinn}9 .

Gleichsctzcn ocr rcc bten Scitcn ergibt sc hlicglich die durchsc hnltflic he Inflali onsrate iinfl :

d.h .

(1+i;nn)9 = 1,226 14

iinfl =

'rc:= V 1,226 14 - I = 0,02291 "" 2,29 % p.a .

(l +i;nJl = 1,02291: geometrisches Mittel der 9 lnfknion sfoktoren, vgl. Bern. 1.1.20)

€ stcllt in Bczug auf das Prcisniveau des J ah rcs 1995 den Realwert G I995 dar , dcr sich wie folgt ergibt: G 1999 500.000 G I995 = = 476 .630,42 €. 1.01-40 ' 1.0 187 ' I,OO?7 ' 1,0058 1,0-49031

ii ) Umgckch rt: Ein im Jahr 1999 verfiigbarer Bct rag G I999 in H ohc von (z.B.) 500 .00 0,·-

iii) Sci ctncr durchschnutlichcn (geschiUZII!l1) Inflationsrat e von iinn (= 2% p.(l.) hal ein in n (= 5) Jahren falliger Betrag in Hohe von Gn (Os = 1.000,-- €) heu te den Realwert G o mil Go =

Gn ( I+ i;nn)

n

1.000

= -

-5

1.02

= 905,73

€ ,

denn infolge der Prci ssteigcrungcn kann man heute fur 905 ,37 € dcnselben Warcn korb kaufcn wie in 5 Jahren fOr 1.000,- - € . Zusamrncnfusscnd Iasst sich tunterBeactuung von Bemerkung 2.4 . 7) fest halt en:

- Inflationsraten lassen sfch ubcr veroffcntlichte Preisi ndizcs sowohl diskrcl von Jah r zu Jahr crmitteln ats auch in Form von durchschn ittl ichcn jahrhchcn lnfl ationsraren nbcr lxngcrc Zeitraume him.veg (siehe Bd rpiel 2.4.8

i» .

- Friiher u Bctrxgc (Go) lassen sic h in inflationsbcrcmigtc (kaufkraftg1eiche) spatcre Bcr rage (Gn) um rec hnen, indcm man den fruh cren Bct reg Go mit dem durchschnitthchcn Inflatkm sfaktor 1+i;nn ~ aufzi ns t ~:

tsiehe Bei!.pieI 2.4.8 i)) .

(2. 4.9)

- Spatcrc Betrage (Gn ) lassen sich in Inflauonsbcretnigtc (kaufkraftgleiche) fruhcre Bctragc (Go) umrcchncn, indcm man den spat ercn Bct rag G n mit dcm durehsehni llliehen Inflationsfakto r 1 + i;nn ~a hzi nst~: (2.4 .10)

Go =

(l+ iinn)n

(siehe Beispiel2.4.8 ii) und iii) .

96

2

Zin seszinsrechnung

2.4.2 Expone nt ielle Verzins ung unter Beriicks ichtigung von Prelsstelgerungen/l nfla tton Offe n ist bishcr noch geblicbcn, wie sich ein zu verzinsendes Kapital ~ im Zeitab lauf nominal und real verandert, wcnn etncrscns mil dem Periodcn-Zinssatz i zu vcrzinscn ist und andcrcrscits cine Inflationsrate in Hohc von iinfl pro Pcriodc zu berucksichtigen ist.

Beispiel 2.4.11: WiTbctracbren cin Kapital Ko

'" 1.000,-- € . das heute zu ctncm Zinssatz von 10% p.a. fOr 5 Jahre

an gelcgt wird. Im gleichen Zcitraum bctragc die Inflationsratc 3% p.a.

Als nomincllcs vcrfugbarcs Endkapital Ks ergibt sich: w cgcn der gleichzcitig stanflndendcn Gcldenrwertung reprasenticrt dieser spate rc Endwcrt allerdings - bczogen a uf den Tag der Kapitalanlage ("hI'Ule" ) - cinco gcringeren Rcalwcrt Ks.o' als seinem Nominalhctrag entsprlcht: Bcw crter zu den Prciscn von heute betragt die Kaufkraft Ks,o des Endwerts ~ im Zcitpun kt seiner Falligkeit Icdiglich (siehe (2.4.6) oder (2.4./0))

°

1.610,51

Ks = - - , ,

\ ,03

= 1.389,24

€

Dcr Kapitalanlcgcr kann sich daher nach 5 Jahren von seinem E ndwc rt 1.610,5 1 € nur Waren lcistcn, fur die er funf Jahre zuvor 1.389 ,24 € bczahlen musste, d.h . aus Kaufkraft-Sicht hat sich scm Kapital nicht urn 610 ,51€, sondcm nur urn 389,24 € ve rrnehrt.

Bemerlamg 2.4.11: Wir wollen die inflarionsbereinigten Realwene physisch veifugbarerGddbetrage - wie schon im tesuen Beispiel - mit einer doppe/ten lndiziemng symbolisieren: In Ks 0 bedeum der erste Index (= 5) den Zeupunkt, in dem der Geldbetrag physLrch verfugbar ist (oder gezah/t wird). Der zweite Index (» 0) deutes an, auf welchen Zeirpunkt dieserGetdhetrcg kaufk raf tmapig bezogen wird. So bedeulet etwa K 20 35 ,20 02 = 15.000,--£: Ein im Jahr 2035 falfiger Betrag hat - bezogen auf das Pms niveau im Jahr 2002 - den Realwert (oder: die & ufkraft) von 25.000, -- €. Analog bedeutet K l 95 0 20 10 = 900.000,-- DM: Ein im Jahr 1950 verfugbarer (oder gezahlter) Geldbetrag haue von seiner Kaufk raft her gesehen dense/ben Rea/-Wen, wie ihn 900.000,-- DM ( ~ 460.162,69€ ) im Jahr 2010 haben. Beispiel 2.4. 11 (Fortselzung): Mit Hilfe von (2A .6) ode r (2A. 10) kann man von cincm physisch vorhandc ncn Gcld bcrrag die entsprechende Kaufkraftparitat zu jcdcm bcliebigcn anderen Zcitpunkt crmittclo, vorausgesetzt, die Innanon srarcn sind be kannt odcr konnen halbwegs zuvc rlassig abgcschatzt worde n. 1m obigen Beispiel (Ko = 1000; i = 10% p.a.; n = 5 Jahre; iinjl = 3% p.a.) ctwa gilt fur cinige Realwerte K.;,. des nomincllen Endwcrts ~ (= 1000 . 1,15 = 1.610,51): 1.6 10,51

~ 0 = - -.- =

,

1,0Y

1.610,5 1

1.389,24 €;

K, . - '~ = -1,03 -,- = 1.309,49 €;

K.; 4 = ,

1.610,51 - - = 1.563,60 € 1,03

K S•7 = 1.61 0,51 -1 ,03 2 = 1.708,59 €

2.4

97

Inflation und Vcrzinsung A bbild ung 2. 4.13 vcranschaulic ht anhand dc r Beispiel-Daten noc h einma l dieZ usammenhange:

g ezahlte oder physisch verkJg bare Geldbetrtige 1000,1=-2

1=-1

KS,_2

KS,_1

{I3O'J,49i

{I348,78i

Ko

/=0

Abb.2.4.13 t v toe o.o. inn =

1= 1

1= 3

1= 4

1= 6

3' p.o.

1= 7 (Zeitl

Kaulkra hparlldten (RealwerteJdes Endwerfs Ks• bezogen aufunterschledliche Zeifpunkte Fu r den Kapit alan leger ist nun bcsonders inrercssant zu wissen, mit welchem Reetzmssaz ireal sich sein A nfangskapital Ko verztnst hat, d.h . er wird die Ka utk raftpa ritat Kn.o des E ndwerts KJI auf sei nen A nlagczcitpunkt t = 0 bczichcn tsiehe rewa den feagedrudaen Wert K5,o in A hb. 2.4 .13) . Mit de n Dalen des Be ispiels (Kalkula/io nszinssal z: 10 % p .a., l nf lationsrate 3% p.a.] crhalt cn wi r fur de n a uf t = 0 bczogcnen Realwert Ks,o des Endwert s Ks cmc ut (s.o.) 1.6 10,51 K,," = -,1,03

1.389,24

1000 ' I lOS ~ = 1000 1,03

d.h.

Ks o=

d.h.

1+ ireal = 1,06796 1

.

mit

1.6 10 ,5 1 = 1000 ' 1,10

S

1000 · -I '10 - ) ' = 1000 ' 1,067961 s = 1.389,24 ( 1,03

und da her

ireal = 0,06796 1 ::::: 6,80 % p.a. (non nom inelll O,OO% p.a.)

Am tctztc n Beispiel wu rdc dcu tlich, wie allgcmei n die Realvt'rzin sung elner Kapitalan lage - bczogcn auf das Pretsnlveau des Anlagezei tpunktes zu crmitl eln ist: Das A nfan gskapi tal Ko wird zu nac hst mit Hllfe des Kalkulation szin ssat zes i = inom fu r n Jahre aufgczinst und licfert so den (nom inellen) E ndwcrt K n mit

~ norma l~

K n = Ko-(l +i nom)n

Urn den Realwert Kn.o auf Basis Anlagezeitpunkt zu erhalte n, muss der En dwe rt K n mit H ilfe des I nflat ionsfaktors 1 + i;nn urn dieselbe Z eitspa nne ~ abgczi nst" werde n (siehe (2.4 .10)) , d.h . es gilt (2.4 .14)

Ko(l +inom)n (1 +i;nn)"

d. h.

K

_ L ."0

no -

l +inom _ _) " ( l +i-

m"

,

Mil dcm resulticrcndcn ~ Rcal - Zi nsfakfor" 1+ irea1muss also gc lten: ~ . (I + irea1)n ,; KI~ O ' und daraus folgt die grund legendc Bczichu ng zwischen Kalkula rlonszinssatz inom' Inflationsrate iinn und Realzinssatz i real (in[l alionsbereinig/ auf Basis des Aniagezeupus ktes}

(2.4 .15)

und daraus

I+i nom - - I I+ iinn

2

98

Zinscszinsrcchnung

Beispi el 2.4.1 6: Bci nomincllcr Verzins ung zu 10% p.a. und dcr Inflatio nsrate von 3% p.a. crgiht sich nac h (2.4 .15)

fUr cine Kapitalanlagc die Realverzinsung i"'~ 1 von 1, 10

i real : 1 03 - } '" 0,06 796 1 z 6,80% p.a .

(s.o.)

Stimmcn Kalku latio nszins und Inflationsrate ubercin, ergibt sich cine Rca lverzinsung von 0 %, ist

die Inflationsrate groBer als die Nominaivcrzinsung, crgibt sich cine negative Rcaivcrzinsung, z.B. i nom

'"

4% p.a., i infl

'"

1,04

-- I

6%

1,06

0,981132 -1 '" - 0,018868 ""' - 1,89%p .a.

Bem erkung 2.4.1 7: i) Gelegemlich wird die Reatv erzinsung vereinj achend als Differenz von Katkulationszinssatz und Inftation srate angegebcn, d.h. i",,,, = i""", - i;"/I .

Diese Beziehung ist [alsch, wit ailgem ein an der lenten Fonnel in (2.4, ] 5) erkennb ar. Unsere Beispielwene [siehe temes Beispiel) [uhren denn auch bei il1<_ = 10% und i illjl = 3% zu i,.,.al = 6,80 % (und nichr etwa auf die Diffmnz 7%). Lediglich fur die Grrnzfiill e i illjl = 0 % und i illjl = in,.",., sind Nanerungswert i lWll = ill("" - i illjl und exakter Wen (2.4.15) ideruisdt. 1m ubrigen stimmt der pro zentua/e Fehler des Naherungswerres exak t mil der lnftetlon srete uherein tstehe uuch Aufgub e 2.4.22) . ii) Wir werden - im Zusammenhang mu der Remenredmung - emeur auf das Problem der Preissteigerungen

zuruck k om men, siene Kup. 3.9.2.2. Aufgabe 2.4 .1 8:

Alfons H uber wird in 35 J ahrcn (ab heute gerecJrnel) von seiner v crstcherungsgeseltschaft cinen Bctrag von 800.000 € erhalten. Welehem Rcalwert - auf Basis des heuti gcn Prcisniveaus - cnts pricht dicser zu kiinftige Betrag, i) wenn die Inflatio nsratc konstant mit 1,9% p.a. gcschatat wird? ii ) wen n die Inflatio nsratc aus Vcrgangenhcitsdat en wic folgt hochgerech net worden sol!'?

Prcisindcx heu te: Prcisindcx vor 13 Jahren:

122,5 87,2

Annahmc: Die jahrtic hc prozcntuale Andcrung des Preisindex gegenuber dcm jcwciligcn Vorjah r Ist zukunftig id entisch mit dcm entspreehcnJen Durchsehn itt dcr lctz tcn 13 J ahre . Aufgabe 2.4. 19:

E in Kapital von € 100.00 0,-- wcrde zu 7% p.a. angcicgt. di e Prcu stcigcrungsratc bc trage 4 % p.a. Obcr wclchcn Bctrag verfOgtdcr Anl cgcr I) nach cinem Jahr a) nomindl b) real - bczogcn auf den Anlagetennin? ii ) naeh 9 J ahrcn

a) nominell b) rcal> bczogen auf den Anlagetcrmin ?

iii) Welche Realverzinsung (% p. a.) erzid t dcr Anlcger?

2 .4

99

Intlation und Verzinsung

Aufga~

2.4 .20:

H uber will fur scin A ller vorsorgcn uno rech tzcitig genugcnd Kapit al ansparen, damit er fotgcndes Ziel e rreichen kann : Am 3 1.12 .09 und am 3 1.12.16 will er jeweils eincn Bctr ag abhcbc n, de r eincm inflations bereinigt en Rcalwcrt von je 500.000 € (bezogen auf de s Preisniveau Ende 2002 ) cntspricht. Bs wird cine stc ts kon stantc durchsch nittliche I nflatio nsrate von 2,3% p.a. angcnommen . Huber will Kapila l ansparen und rcchnet mit cinem Anl agczin s vo n 6 % p.a . i) Wie hoch muss cn seine he iden (belragsmiifJig gleichhohen) Ansparraten (am 01.01.2003 und am 01.01.2004) scm, damit er genau sctn Zicl errcieht?

*ij) An gcnomm en , er spare unt cr i) jcweils 350.000 € an: Wie hoeh darf die (stets konsta nte) du rchschnittlichc Inflationsral e jctzt hoc hstcns scin, damit er sci n Zicl errciehen kann?

A u fga~

2.4. 2 1:

H uber legt zum 31.12.04 einen Bctrag von 100 .000

€ fur 11 J ahre an, Zinssatz 7% p.a.

Die Z insen worden ja hrlieh (zum Jahresende) ausgescbuttc t und unterliegcn cincr 3 1,65%igen Kapiratcn ragstcucr (30 % Zinsabschlog plu s 5,5 % Solidamtnszuschlag auf die 30%), die unmitt elbar von den Zinsen cin be halte n und an das Finanzamt ubcrwi cscn wird. D ie vcrblcibcndc n Z insen c rhohcn lias Kapita l und werden im nachstcn J ahr mitverzinsl USW. i) Ermitteln Sie H ubers Kont ostand am Ende der Kapitalanlagcfrist . ii) Wie hoeh ist de r inilat ionshcreinigte (bezogen auf den An Jagezeilpunkt) Rcalwcrt seines EndKont ostand s, wcnn die l nflat ionsratc in der bctr cffendcn Zcits panne 2,9% p.a, bctragt"

iii) Mil welcher (effekli ven) Real verzinsung (% p .a.) rcntiert sich seine Gcldanlage a) b) c) d)

o hnc Bcr uckslchrigung vo n Steucm und I nflat ion ? mit Bcriiek sichti gung von Stuuc rn, abc r o hne Infla tion? mit BerOcksichti gung von Infl ation, abe r ohne Steu ern? mit Bcriicksichtigung von Stcucrn und Inflation?

AUfgabe 2.4.2 2: Gcgeben scic n cin Kalk ulationszinssatz ino m sowtc cine Infla tionsrate ijnll • Al s Nahcru ngswc rt fur die rcsulticrende Rcalverzinsung ire al wcrdc tsiehe Bemerkung 2.4.17) die Differenz zwischen Zin ssatz und Inflalio nsrate vcrwcndet, d.h .

Zcigen Sic: Der prozcntualo Pch lcr dicscs Na hcnmgs wertes tbezogen auf den wahren Wen (2.4.15) \ion iffl1J stimrnt stc ts gcna u mit dcr Inflationsrate iinll ubcrcin.

101

3

Rentenrechnung

3.1 Vorbemerkungen Wic aus Sarz 2.2. 14 bis Satz 2.2. 18 (Aquivalenzprinzip) hcrvor gcht , kann man mil H ilfe dcr Zinseszinsrcc hnung auch mehrere Zahlungen zu eincm Gesam twert zusammcnfassc n, indcm ma n JOOe Zah lung einze ln bis zum gcwahltcn Bczugszcitpu nkr auf-/abzi nst und dann die so ermittclten Wert e saldicrt . Fur praktischc Anwcnd ungcn bcdcutsam sowic rcch nerisch bcsondc rs einfac h is! der Fall dan n, wen" cs sic h urn glek hhohe Za hlungcn in gleichen Zeitabsta ndcn han dclt .

Definition 3. 1. 1: Unler d oer n-mallgcn Rente vers tcht man eine Zah lungsreihe, die aus n gleichhoh en Zahfungcn (Raten) dcr Holle R bcstcht, die in gleichen z euabsrenden aufcinandcr fclgen.

Bemerku.ng 3.1.2:

i) Die Anzahl de, Rentenraten heiPI Terminzahl der Rente. ii) Die Zeuspanne zwischen zwei Ratemerminen hdPI Remenperiode

(oder: Ratenperiode). Um die Gru ndidccn der Rentenrcchnung transparent zu machcn, woucn wir zunachst vcrausserzen (siehe Ahb. 3.1.4), dass die

vorlaufige Prarmssc:

(3.1.3)

Renlenperi ode "" Zinsperiode

erfullt ist. Wir wolk-n also runochst our solc hc Renten bctrac htc n, bc i dcncn jede Rate zu cincm Z insz uschlagte rmin fallig ist und dcr zcitlichc Abstand zwcicr Ratent enni nc gena u cfncr Zinspcriodc cnts pricht. (Spa/tr werden wit uns u.usfuhrlich mil den (reu.liratsniiheren) Fallen beschiiftigen, in diese

Voru.ussetzWlg nichtgill, sieheKapitel 3.8). Abb . 3.1.4 veranschaulic ht den Sachvcrhalr am Za hlen strahk Renlen -

pEffiorJe

I-- - j RafenhOhe__ ltd

n-.

der Role,

R

R

R

(II

(2)

(3)

0 101.06

0 1,01.07

I I Rolenlermine rs. 0 101.05

Abb. 3. 1.4

l-

R

141

R

(n-1J

R

Inl

(Zeill

I-- - j Z'/15pen'orJe

n-1 Zin5pen'orJen -----~----_I

Bemerkung 3.1.5: Man beachte, dass bei n Ratentermine/l zwischen der 1. Rate und der letljen Rate genau " - J Zi'lSperioden iiegen, vgl.Abb. 3.1.4 !

3

102

Rcntenrcchn ung

Renton (als " LeislUngen« bzw. " Gegen{eislUngen") trctcn in nahczu allen praktisch vorkommendcn finanzicllcn voegangcn auf (z.B. als Zinszahlungen auf [estverzinstiche Wm p ap iere, Mietzahlungen, Lohn- una Gehaltszah/ungen, Versicnerungspramien, DarlehensrUckzahlungen u.v.a.m.) . A uch worden Renton gcrne als (Jiktive) Rcc hcngroBcn gcnammen, crwa wenn es darum gcht, spa tcr zuflicBcndc Einzclzahlungcn zu vcranschautichcn. w ahrcnd clwa do in 20 Jahren zutl icBcnder Betrag vo n 800,000,-- € (z.B. Ahlauf/eistung d na Lebensversicnerung} wegen seiner zeitliche n Feme r ucht ganz einfach vorstcllbar ist, erschcint cine (bei 4% p.o. aquillaleme) heu re cinsetzende 20 Jah re lang

f1i cJ3cnde Rente zu je ca. 2.200,-- € / Monatweitaus anschaulicher. Prinzi picll bcd cutct dcr finanzrnat hcmatischc Umga ng mil Renten niehts andcrcs als
Es wird sich allerdings hetauss tellen, dass sich dcr Rechenaufwand fur das Auf-I Abzinsen von Rcn ten (wegen der zeit-r wensymmemschen Anordnung der ROlen) betrachthc h reduzicrcn Iasst. Die folgenden Kapitel stollen das Inslrum entarium fUr die finan zmathe malis che Behandlllng len bcrc it lind demonstrieren ihre vic jfalngen Anwend ungsmoglichkeiten.

~on

Ren-

3.2 Gesamtwert (Zeitwert) einer Rente zu beliebigen Bewertungsstichtage n Sam thc hc Problcmlosungcn in dc r Ren lenrcch nung basic rcn au f der Kcnntnis des Renrengesamtw enes, bezogen auf emen Bcwcrt ungssnchtag. E s zcigt sich, uass die Uberlcgungcn und Rcchnungcn bcso nders ubcrs ichtlich und cinfac h ..ve rden, wenn man zunachst de n Gesam twert R g etncr n-mahgc n R ent e bczogen auf den T ag der terzree Ratenzahillng crmittclt. Dazu worde n die n Raten R einzeln auf den Stichtag aufgezinst und schnc slich samnlchc En dwerte addiert (vgL Bemerkung 2.2.16). Ab b. 3 .2.1 vcransc haulieht diescn Vorgang (beachten Sie beim Aufzinsen Bemerkung 3.1.5!):

--

{q=1+ l j

R

Abb . 3.2. 1

R

r.

R

R . q n-1 R . q n -2

R_ q2

Rq R j

I

R

R I 101

I

I

I

I

(1)

III

(n -21

In-f!

Bewer1ungsstichlrJg = Tog de' felZien Ralenzahfung

e.

(Zeitl

3.2

Gcsamtw crt dner Rente

103

Die so auf dcnselbcn Bcwcrtungsstichtag autgcenst en n Einzclraten uurfcn (naeh Satz 2.2.18) zu cincm Gesamlwert R o zusarnmcngcfasst worden. Additi on von un tcn naeh obcn (vgl. Ab b. 3.2.1) licfcn : (3.2.2)

Ro

R + R ·Q +R · q2 + ... + R· qO-2+ R qO-l ::: R '(l + q + q2 + ... + qll-2 + qU- I)

Oc r Klammerausdruek (= s,J stcllt cine " endliche geometrische Reihe uus n Sum manden (Gltedem) mit dem Anfang sglied 1 una dem Fak tor q " da r, deren Wert sich (fur jedes beliehige n) durr h eincn gesc hlossencn Forrnc1ausdruck (Summenf onnd ) beschreiben lasst. Zur H erlcitung diesc r Summenforrncl multiplizicrcn wir die gcometris che Reihe Sll = 1 + q + q2 + ... + qll-2 + qll- I mit dem Faktor q (q

* 1) und erhalten

Ziehen wir vo n dcr letzten G leichung (. ") die vorlctzte Gleichung (*) ab, so crhaltc n wir q ' sn - So = q + q2 + q3+ ... + qll-I + gO _ 1 - LJ _ q2 _ ... _ qll-2 _ qll- I dh.

So (q -1 ) = q ll- 1

unddaher (naeh Divisiondurch q- l

q'' - 1 - , q

sn = 1 + q + q2 + ... + qn- l = -

(3.2.3)

q- l

*

( to)):

(Summenfo rmel der enJ liehen geomemschen Reihl')

1.

Aus (3.2.2) und (3.2.3) fa lgl somit dc r fUr die Rentenrechnun g zentrale Satl. 3.2.4: (" Rentenformel") - Oc r autgczinsre Cesamiwert R n cmcr aus n Raten dcr H ohc R besrehendcn Rente beuagr am Tag de r let zten Ratenz.ahlung:

IR

(3.2.5)

U

= R · -4" -- 1

q- 1

I

,

q = 1 +i

Bemerku ng 3.1.6.i) Die Remenf orm el (3.2.5) iu nur dann ohne weueres anwendbar, wenn f ofgende Pramts sen erfultt

sind:

(a) exponemielle Vetzinsung (mit q ,*,1) (b) zwischen emer und n-ter Rate hab en Zin ssatz und Ratennohe einen k onstonten Welt. (e) Remenp eriode = Z insperinde

Abweichungen von (a) haben wir in Kap. 1.2.3 betraduet tRentmoujzinsung linear mit Hilf e des Z euzentrums utter Raten). Abweichungen von (h) werden in Kap. 3.5, Abweichungen von (c) in Kap. 3.8 behandeli. ii) Fur q = 1 + i = J, d.h, fur einen Zin ssa/Z i ::: 0% p.a., ist Satz 3.2.4 nicht anwendba r. In diesem Fall tiefen (3.2.2) direkt:

Rn =R +R+ ... + R=n· R .

3

104

Rcntcnrcchnung

q" - J iii) lm Term --1 der Rentenformd (3.2.5) beaeua aer Exponent n die Zahi der in der Rente vor-

qkommenden Raten [Terminzahl] . Geiegemlich wirddieser Exponentmit einer" Laufu it" verwechsell, una die Verwunderung ist groj3, doss zwischen dem Termin der ersten Rate um! dem der fetzten Rale ( Q StidJtag) "nur" n - 1 Zinsperiodm /iegen ...

Doss in der Rentenformel (3.2.5) n als Exponent auf/ritt, hat ausschlieplich innermathematische Grande, die in der soeben hergeleiteten SummmformdI + q + q 2 + ... + qn- r =

J

if' - I q-

liegen.

Beispiel 3.2.7: Ein Sparer zahlt insgcsamt 7-mal jcweils zum Ja hrescndc € 50 ,000,-- auf cin Konto (10% p .a.) ein. Uber wclchcn Bctrag vcrtugt cr - Z inszusch lag jeweils zum J ahrcscndc - am Tag dcr 7. E inzahlu ng (inel. dieserletuen Einzahlung)? I

50

50

50

50

50

50

I

I

I

I

I

I

l..,.rl

(i = fO~ p.a.I

50 IT€I

I

(Zeit)

Abb . 3.2.7

Rn (= ?/

Nach (3.2.5) crhalr man, da dcr Bcwertungsstichtag der Tag der lctz tcn E inza hlung ist:

R n '" R7

'"

I 10 7 - I

50.000 ' '

0 .\0

= 474.358 ,55

€

I

Das folge ndc Vergleichskonto zeigt detaillicrt (und etwas umstandlich] Zahlungcn, Zlnsvc rrcchnung und Kapilalcntwicklung dcssciben Rentcnvorganges: hill

Konlostand zu

Jahrcsbcginn

01 02 03 04 05 06 07

50.000,00 105 .000,00 165 .500,00 232,050,00 305.255,00 385.780,50

0

08

4 74.358,55

Zinscn ( 10"10 p.a.)

Endc des Jahres

0

5 .000,00 10.500,00 16.550,00 23.205 ,00 30.525 ,50 38.578,05

Ratcnzahlung am Endedes Jahres

50.000,00 50.000,00 50.00 0,00 50.000,00 50.000 ,00 50.000 ,00 50.000 ,00

Kontostand zum Endedes Jahres

50.000,00 105 .000,00 165 .500,00 232 .050,00 305 .255,00 385 .780,50 474.358,55

(=

50.000

(Vergleichsk onto zum Zahlungsstrahl Abb. 3.2.7)

r-

Ist der (auf- oder abgezinste] zenwert eincr Rente aquivaler uer Remengesamtweni zu cinem and ere n Zeitpunkt als dem letztcn Ratcntermin gesueht (z.B. am Tag der a s/en Rate oder 7 Jahre nacn der lemen Rate usw.), so ko nnte man analog zum Vorgchen nach Abb . 3.2.1 jedc cinzcl nc Rate R auf den betrcffenden Stiehtag auf- /abzinsen und dann die Summe bildcn. Schr viol einfaeher, ubcrsichtlichcr (und nacn dem " Umweg -Satz (2.2.2) iiquivalent) ist folgcnde Methode (vgl. Satz 2.2.14): U

Satz 3.2.8: Man erhalt den Renten zeu wert zu jedem beliebigen Stich tag, indem man nach Satz 3.2.4 zunac hst R n ennittcit und da nn diesc n Rent en-Endwert - ausgc hcnd Yom letz ten Ratcntcrm in Icd iglieh einmal cntsprcchend wcit auf - oder abzinst . >

In der Rentcnformcl (3. 2.5 ) treten insgcsamt 4 Variab le (R", R, n, q) auf. Dcmcntsprechend gibt cs (neben dem im Anschluss behandellen Renlenzeitwertproblem ) vier Grundtypcn von einfachen Rcntenproblcmcn, j e nacbdemo wclcbcr der vier Variablenwene (be; Kenn/nis der drei ilbrigen) bcsummt wcrdcn soil. Wir werden diese Grurulproblcme in allgcmcincr Form in Beispiel 3.4. 1behandeln.

3 .2

105

Gcs amtwert dner Rente

Abbildung 3.2.9 vcranschaulic ht das Vo rgchen sehernatisch:

1-- R

III I

R

R

121 I

R

R

(3)

In - 1! I

(0)

I

I Zinspen'oden _ _

..J (Zeit!

I

Abb. 3.2.9

Beispiel 3.2. 10:

J cmand leg{ - bcginne nd am 01.01.06 - jahrlich R ( = 10,000," €) auf cincm Konto (i = 8% p.a.) an. l nsgcsarnt worden 6 Rat en cingczah lt; vgl. A bb. 3.2. 11. i) Wie laut ct dc r Kontostan d am 01 .01.15'? ii) Welchen E inrnalbclrag hatt e man a nstcl le de r Rente a) am 0 1.01.04 und b) am 01.01.08 anlegen rnussen , urn uber ein dcm Rentenwcrt aquivalen tcs Kapital vcrfugcn zu konncn?

USllng:

I 0101.04 OS

• • • • •

e

(1)

(2)

(3)

(4)

($)

(6)

I

I 01

I 08

I 09

I 10

I

0'

t Ii 01

"

(Zeit!

I

I

I

I

I

12

13

14

IS

16

I

. b) 1 " I

q -3 .

~

q -7 .

® I

j J

~,

I mxh (3251

I '

Abb. 3.2. 11

Zuniichst wird mil (3 .2.5) dcr Rcnt cngcsamtwcrt R n am Tag der letnen Rentenzahlung crmn relt: q6 _J 1,086 - 1 R ·- - = 10.000 · = 73 .359, 29 € . q I 0,08 e

DUTC h einfachcs A uf-I Abzinscn von R n crhalt man sukzess ivc: q6-) i) K IS = R · _ _ -q' = R 6 q 4 = 99.804,50 € ; q- I

q6 _ 1

J

q_ )

q7

q6-J

J

ii ) a)

Ko, =

R· -

b)

Ko. =

R· -

- ·-

- ·-

q _ 1 q3

R.

=

R.

I

q' I

q'

=

42 .804,44

€;

=

58.23 4,9 7

€.

Samthc hc vier Rentengcsamtwcrlc sind (bei exponenneller Verzinsung zu 8% p.a.) aquivalent!

3

106

Rcnteruechnung

3.3 vo r- und ne chschu sslge Renten Mit Hilfe des Icrztcn Ergcbnisscs (Sac 3.2.8) und unter Berucksichugung der Prarrussen von Bern. 3.2.6 i) lassen sich die Zeitwerte heliebiger Rente" zu heliebigl'n Zeitp unkt en mit Hllfc ciner einzigen Fonnel (3.2.5) sowic cinmaligcr a nschlicbcndcr A uf-I A bzinsung bcstimmcn. In nahczu allen etnschlegigcn Fachb uchcm zum Th ema ~ Fi na nzmathcmat i k" worden dcmgcgcnabcr mehrerc Rcntcnformcln angcgcbcn, d ie sich auf die Bcrcchnung von sogcnanntc n Mnachsc hiissigen" bzw. cvorschusstgcn" Renten bczichcn. Wic sich gtcich zcigc n wird, sind dicse Begriffsbildungen und zusatzfichcn Rcntcnformcln enrbehr uc h {es handelt sicn lediglich urn Spezialfiille lion Satz 32.S) ! Wir wollcn dah cr (und urn nach " draufJen" hin k ompatibel zu bleiben} cinco Blick auf diese sog. .vorund nacbschusstgen" Renten werlen: Unte r dcm Ptenuegszeltpunkt (l = 0) irn Zusammcnhang mit einer n-maligen Rente soil cin Zinszu-

schlagtcrmin vcrstandcn werden, dcr nieht spate r hcgt als d cr Termin dcr ersten Rat enzahlun g, E s kon ntc sich zum Beispiel urn den v crtr agsabsc btusszeitpun kt ci nes Darlehen svcn ragcs handeln . Je nachdcm, in welcher zeitlichen Beziehung ein solcher Planungszcitp unkt zur Ren tcnrcih c stcht, unt ersc bedct man naclt..cha.....igc 2 und vorsc husege 3 Renten (vgl. Ahb. 3.3.2) ; Del. 3.3. 1: (nachsc hussige, vorschii...slge Rent e) i) Einc Rente, deren ers re Rat e cine Zi nsperiode nach dem PJanungszcitpunk t fallig ist, hem t necnschu ss~ige Rent e.

ii) Ein e Rent e, deren ersre Rate gcnau im Planungszcitpunk t fallig ist, hdBt vorschii...~ ige Rent e. iii) Unt er dern Rentenzeilra um einer n-maligcn nac h- odcr vorsc hussige n Rente vcrst cht man cine Zei t~pan ne von gcnau n Zinspe rioden, beginnend im Planungszenpun kt.

I?entenzeilraum tor .na.hs. hOssige "l?enle Planungszellpunkl fUr . n a. h s ch Oss ig e" l?enle

R

R

III

(21

R

R

131

{n-1J

I

I

Planungszeitpunkf fOr " lIors ch Os s!g e' Rente

Ab b. 3.3.2

1- - -

2 auch. Postnumcrardorcntc 3 aucb: Pranumcrardo rcntc

Rentenzeilraum fUr .lIors ch Ossig e " Rente

,

R ("I

(Zed)

3.3

107

vor- und nachschussigc Renton

Bemerkung 3.3.3 : i) In A bb. 3.3.2 erkennt man, dass sichjede Rente sowohl als vorschiissige, wie ouch als nochschiissige Rente auffasun lasst. Es genugt dafur, den Planungszeitpunkt und darnit den Rentenzeitraum willkurlich urn eine Zinsperiode nach rechis oder nach links zu verscnieben.

Ein (auf* oder abgezinster) Zeitwert einer solchen Rente zu irgendeinem x-beliebigen Zeupunta iindert sich dadurch in keiner Weise: Siim/liche Zahlungen R hleiben niimlich in Hohe und Zahlungszeitpunkt unverandat, egal wo der " Planungszeitpunkt" liegt. ii) In der Praxis werden Renten gelegenllich in folgender Weise definien:

Beispiel: a) Nachschussige b) vorschUssige Rente, l ahresrate R, fur die Jahre 2009 - 2014. In diesem Fall wird durch die Begriffsverwendung deutlich gemacht, an welchen Terminen die einzelnen Roten fiiUig sind: 1st die Rente "nachschiiSsig" (Fall a)), so ist (im Beispiel) die erste Rate am 01.01.10 ( :31./2.09) 4 fii/lig, ist sie "vorschilssig" (Fall b)), so muss die ersteRate am 01.01.09 gezahll werden. rein handel: es sich urn zwei verschiedene Rauen, hestehend jeweils aus 6 Roten, gegenein ander urn eine Zinsperiode zeitlich verschoben. iii) Haufig werden nachschUssige (bzw. vorschUssige) Rauen dadurch definien, doss ihre Roten am Ende (bzw. am Anfang) einer Perlode fiillig sind. Gegen diese Definition ist einzuwenden, dass grundsatzlich das Ende einer Periode identisch ist mil dem A njang de' jolgemien Penode, z.B. 31.12.05 (24 00 Uh,) '" 01.01.06 (000 Uh,). Fu r bes timmte Zeltwerte (End-lBaM erte) naeh-/vorsehOssiger Renten sind folgende Begriffe uhlich:

Dennm cn 3.3.4:

(Endwene, Barwerte "00 Renten)

i) Dcr Endwert eincr naehsehiissigcn (bzw. vorschussigen] Rente ist dcr Rentenzeltwert am Ende des Renteazeitra umes, d.h. n Zinsperioden nach dcm Planungszeitpunkt.

Dies bcdcutet im cfnzetncn: (a) Dcr Endwert ciner necbschusstgcn Rente rst der Zcitwert am Tag dcr lcrzten Ratenzahlung. (b) Dcr Endwcrt cincr vcrschusstgcn Rente ist dcr Zeitwert emc

Zinspcriode nach der lelzten Ratenzahlung. ii ) Det Barwert etner naehsehOssigen (bzw. vorschussigen} Rente ist de r Rent enzeuwert zu Beginn

des Rentenzeitraumes, d.h. im Planungszcitpunkt. Dies bedeutet im einzelnen: (a) Der aerwert eincr nachsehOssigen Rente isl dcr Zcitwert cine Zinspenode "or der ersten Ratenzahlung. (b) Der Barwert emer verschnssigcn Rente ist der Zctrwert am (sieheAbb. 3.3.2 und insh. A bb. 3.3.5). Tag der ersten Ratenzahlung.

Bemerkung 3.3.4a: Da man prinzipiel! beliebig weit in die Zu kunf t aufzinsen (und beliebig weit in die Vergangenheit abzinsen) kann, decken die erwdhmen Stichtage nur wenige Moglichkeiten (allerdings die beliebtestenf) unter beliebigvielen anderen denkbaren Bewertungsstichtagen von Renten abo

Aus Dcf. 3.3.4 wird deutlieh, dass die versehiedenen End - und Barwerte lediglich erkennen lassen, in wclchem Bewenungsstichtag der Rentenzeitwert bereehnet werden soli. Abbildung 3.3.5 vcrdeutlieht graphiseh die Zusammenhange: 4 Zur vcrci llbartc n Inlcrp rctalion von DalUlIls-lZc itangabell vgI. BellI. 2. 1.22 ii).

3

108 Sh'chlag for den

Rcnlcnrcehnung

Sh'chtag fUr den

Barwert Ro

Endwert Rn

,

einer nach schOssigen Rente

einer n a ch schossigen Rente

I

R

R

121

111

R

R

R Inl

(n-l1

131

Abb . 3.3.5

Stichtag fUr den

(Zeitl

Slichlag lur den

Borwert Ro'

En dwerf Rn'

elnef lIorschossig en Rente

einer Iforschli ssig en Rente

D ie vier Rentenzcitwcrtc fOrd ie vier vcrsctneccncn bcso nde ren Stichtagc (vgl. Ahb. 3.3.5) ergebcn sich nach Satz 3.2.8 und ocr, 3.3.4:

Salz 3.3.6: Gcgcbcn sci cine n-rnalige (vor-machuhUssige) Rente. Dann gilt: ;)

Endwert R n cincr nechschu...sigen Ren te:

R,

ii)

Barwert

Ro einer nach~c hii~sigen Rente:

R,

iii)

Endwen R n' einer ,"orschii..sigen Rente:

Rn'

lv]

Barwert R o' einer vorschii.....lgen Rente:

Rc'

=

q" - I

R· - -

q- I

R ' sn

R · qn - I . __ q - 1 qn- I

Bemerlamg 3.3.7: Die in den Fonneln i) his jv) von Satz 3.3.6 auftretendrn Faktoren

if' -

I , -I

i)

'n

ii)

iii)

". ,n '

M

an' ,.

'"

(nachschUssigerRemenend wenf ak tori

if' - 1

1

q -I

if'

if' - 1 q -l

q

tvorschussiger Rauenendwenjaktori

q" . 1

tvorschussiger Rentenborwertj;oklor)

if' - 1 q -1

(nacbschussiger Remenborwert].uktur)

sind filr verschiedene q und n tabdtien s . Gleichwohl ist die direkte Berechnung nacn Satz 3.2.8 vor allem bei kompliiienen Zusammenhiingen atersicnuicner und lasst sich mil den derzeit veTj'ilgbaren etearontscnen Tuscnenrechnem auch filr beliebige Zinssatze und Terminzahlen ohne Interpolation sdmell undproblemlos bewaltigen.

s

Vg l. ctwa [Dilu) 338 If.

3.4 Rcntenrechnung und Aquivalcnzprinzip - Bcispielc und Aufgabcn

109

Da wir - wie aus Abb. 3.3.2 ersiehtlich - grundsatzlieh jcde Rente sowohl als vorschiissigwie auch als naehschiissig auffassen konnen (ohm: dass sich ihr Gesamtwert zu irgendeinem vorgegehmen Stichtag andent], empfiehlt es sich aus vcrcmtachungsgrundee, [ede Rente als nach~chii~sige Rente aunutassen, ihren Wert Rn ( ~ Endwert einer nachschussigen Rente) am Tag der letzten Ratenzahlung nach (3.2.5) zu errnittcln und jcdcn anderen Renrenzeitwert dureh entsprechendes Aut- und Abzinsen von Rn zu berechncn.

Verschiedene Rentenfonneln sind daher entbebrlich ! Die Bczeichnungswcisen "Eml-/Barwert" ciner .vor-znachscbusstgen- Rente J cfinieren dann ledigJich (vgl. A bb. 3.3.5) den Bewertungsstlehtag. auf den die Rentenraten auf- oder abzuzinsen sind. Somit geniigt fur die gcsamte Rentenrechnung eine einzige ro nnel, namlicb:

(3.2.5Jc

R =R·q" - l n q_ / (Rentengesamtwen am Tag der n- ten und lem en Rate)

sowieggf. ansehlicl3enJ die riehtige zcitliche Transformation dteses Rentengesamtwcrtes mit Hilfe der zutreffcnden Auf-I Abzinsungsfaktoren qt (d.h. die k orrek te A nwendung drs A qui valenzprinsips (Sarz 2.2. 18)). Bemerkung 3.3.8: Ein haufiges Missverstandnls bei Anwendung der vor-m achscnessigen Rentenf onneln nach Satz 3.3.6 bestem darin, bei diesen vor-machscnussigen Rauen schematisch an nur einen moglichen Bewenun gsstichsag zu denken (wie er awa durch die Begriff e " Endwen " und " BalWert" delinien ist, siehe DeI 3.3.4). Taisachtich aber gilt (siehe Bern. 3.3. 40) : Der in einer Problemstellung mapgebliche Bewenun gsstichtag (d.h . der Zielzeitpunkt far alle auf- oder abzuunsenden Betrage) ist willkurlich vorgesbar und beliebig wah/bar, er entspricm allrin der Zielvorgabe des Problemsteilen bzw. Problem 16sers und muss led iglich am A quivalenzprinzip onemien sein.

Wir wollen diesen Saehverhalt im folgenden Kapitel, das im wesentliehen aus cinem umfangrcieben Beispiel zur praktlschen Anwendung ocr Rentenrcchnung bcsteht, demonstrieren.

3.4 Rent enrechn ung und Aquivalenzprinzip - Beispiele und Aufga ben Beispiel 3.4. 1: Gegcben ist eine in den Jahren 05 - 18 nachschiissig zahlbarc Rente mit ciner Jahresrate in Hohc von 24.000,-- € . Der Zinszuschlag erfolgejeweilsam Jahrescnde mit i =: 7% p.a. i) Gesucht sind End- und Barwert diescr Rente.

ii) Mit wclchem Eirunalbctrag konnte die gesamtc Rente am 01.01.10 aq uiva jcnr crscrzr werden? iii) Die gegebene Rcntc soil aqulvalent umgcwandell worden in cine lO-maligc Rente, deren erste Jahrcsrare am 0 1.01.07 Callig iSI. Wit: hocb ist die Jahrcsrate? Iv) Die gegcbene Rente soli aquivalent crsetzr werden durch cine Rente mit der Jabresrate 36.000,-€ /Ja hr, dcren 1. Rate am 01.01.08 fallig ist. Wicviele Raten muss dicse neue Rente besitzen? v) Weleher Jahrcszinssatz muss ZUT AnwenJung kommcn, damit die gegebcnc Rente am 01.01.20 den Wert von 1 Mia. € bcsitzt?

110

3

Rcntcnrec hnung

Urn die Ubc rsic ht zu wahren, so llte in jedem Fall vaT dc r Rechnu ng die graphischc vcranschaulich ung am Zahlcnstrahl crfolgen, vgl. Abb. 3 .4 .2 (Be/rage in T€ ) :

LOsung:

i eislungltd fW',

24

24

24

24

24

'"

m

rn

'"

'" '"

08

0 1.ot,05

24

24 m

24

24

'" '"

24

24

24

24

24 {TO'I

/101

Iff!

1121

/ 13/

/141

iI R, oe-

120

IS

'0

R" KIO

;j)

gen. tet- iii) stung

R

R

3'

M

R

m

m

'"

R

R

R

'" 3.'" 3.'" '"

3' m

R

R

m

'" 3. '"

R

110/

--

'" " "'bh~

vi

R

In: "

I.IXXJ

Abb. 3.4.2

zu I): Da es sich urn cine nachschussige Rent e handeln soil, is! die erstc Rat e am 0 1.01.06 ( ;;;;: 3 1.12.05) und die letzre Rate am 01.0 1.19 ( :20 31.12. 18) fallig. Dann Ist del Endwen R n iJ entisch mit dcm Rcntcnwert am Tag der lctztcn Rate, der Barwen Ro idcntisch mit dcm Rcnrenwert ein Jahr vor der crstcn Rate (vgl. AM. 3.2.5 bzw. 3.4.2) . Es folgt:

Rn

'"

R·

1 07 14 - I

'" 24.000 ' ,

0,07

24.000 .

q"

'" 541.211 ,71 € ;

1,07 14 - I I 209 .891 ,23 0,07 . 1 07 14 =

€.

zn ii)

Der Rcntenzeitwen KIO am 01 .01. 10 crgibt sich durch Ahzinscn von R n urn 9 Ja hre:

KIO = R ·

I

"""'9 '" q

1.07 14 - 1

24.000 '

= 294.383,3 1

0,07

€.

zu iii) A nwcndu ng des Aquivalcnzprinzips: Stic htag bcliebig wa h jbar, z.B . Tag dcr lct zcn Rat cnzahlung dc r neuen Rente, d.h. 01. 01 .16. Dann folgt aus " Lcistung = Gegcnletstung'': 1 07 14 _ 1 1

24.0 00 ' '

R

0,07

1,07 14 - I

._

24 .000 . 1,07 10 _ 1 '

-

1,07 3

1 07 1° -1

= R· '

0.07

1

-,,07-3

'" 31.975,65

€.

:::}

3.4

I II

Rcntcnrcchnung und Aquivalenzprinzip - Bcispicle und Aufgabcn

zu lv] Jetzt ist die Terminzahl n der Rente gesucht. Aueh hier ist dcr Bewertungsstiehtagbeliebigwahlbar, die Rechnung wird alleniings bcsonders eintach, wenn (vgl. Abb. 3.4.2) ats Stichtag dcr 01.01.07 (d.h. ein lah r vor der m ien Rule in Huhe von 36.000,-- € ) gc.'Wahlt wird. Naeh dem Aquivalenzprinzip c l.eistung = Gegenleistung" folgt: 24.000 '

1.07

14

- I

0,07

._

I

-

1.07 12

I

c,c,Oc7_"c -.:."

= 36.000 , -

1,07n

0,07

Mulriplikanon mit 0,07 ' 1,07n und anschlieBcnde Division dureh 24.000 licfert 1,07n

1,07 14 - 1 1,07 12

= 1,5 '(l ,Oi1 -l)

O,7009 ' 1,07n

~

...LL

1,5 = 0,7991 ' 1,Q7n

0,7991

= 1,8771

1,5 ' 1,07n- 1,5

,, = In 1,8771 In 1,07

"" 9,31.

Da die Tenninzahl n = 9,31 keine naturlichc Zahl iSI, bedarf das Ergcbnis ciner Interpretation. Offenbar sind 9 Ratcn zu jc 36.000 € zu wenig und 10 Raten zu vicl, urn die Rente aquivalcnr zu crsetzcn. In der Praxis gehr man mcistens so vor, dass man - bezogcn auf unser Bcispiel 9 vollc Ratcn zu je 36.000 € zahlt und, ein Jahr sparer, aostene einer vouen 10. Rate nUT cine venninderte "irrcguHire" Schlussrate R*, die so zu bcmcsscn ist, dass gcnau Aquivalcnz erreicht wird. r-

Urn R* zu crmittcln, bczieht man sowohl die Leistung. als auch die Gegcnlcetung (abcr mit 10 vollen Raten) auf den Tag der letuen ( = 10.) Rale der Gegenleistung (htcr: 0 1.01.17) ; Wert dcr Lcistung am 0l.01.l7;

24.000 '

Wert der Gcgenlcistung am 01.01.17: (bei 10 Raten]

36.000 .

1,07 14 - 1

0.07 1.07 10 - I 0.07

I = 472.715,27€ j 1,072

497.392,13

e.

Die Gcgcnlcistung am 0 1.01.17 ist also um 24.676,86 € zu hoch, d.h. anstelle der vollcn lctztcn Rate zu 36.000,-- € brauchen am 01.01.17 nur R* = 36.000 - 24.676,86 = 11.323,14 € ats lrregctare 10. Rate gczahlt zu worden, so cass gcnau Aquivalenz von Lcistung und Gcgenlcistung errcicht ist. Wir wcrdcn im Zusammenhangmit TilgungspUinen (Kap. 4.2.5.1) erneut das Problem gcbrochener Tenninza hlcn aufgrcifen.

zu v) Jetzt isl der anzuwendendc jahrlicho Effektivzinssotz i bzw, der effektive Zinsfaktor q (= 1 + i) gesuch t. Der Stichtag kann wicdcr bcliebig gcwiihlt werdcn , z.B. 0 1.0 1.20. Dann folgt naeh dem Aquivalcnzprinzip ql4 _ 1

24.000 ' q:-i'" ' q = 1.000.000 , d.h. eine Gleichung, deren Losu ng nieht in ciner gcschlossenen Formel angebbar ist. In derartigcn Fallen hclfen iterative Niiherungsverfahrcn wetter: Anwendung z.B. dcr . Rcgula falsi" (vgL Kapitd 5.1) Iicfcrt auf zwci Nachkommastellen genau q = 1,1367, d.h, der Effektivzins betragt i 13,67% p.a. (Z UI' allgemeinen Ermlulung des Effeklivzinssut2es vgl. Kap. 5.).

3

112

Rcntenrcchnung

Bemerlamg 3.4.3: Au ch jetzt «onnen wir - bei d na gegebenen n-m aligen Rente der Hohe R - nocn dem Zeitzentrum alter Ralen [mgm, d.h. flam dem Zeitp unkt, an dem auf aquivalentc Weise samt liche n Roten (d.h. die Summe n -R) gelUhll woden konnen. Analog zum Vorgehen in Bern. 2.2. 22 aha/len wlr - wi/! aus der Skizze ablesbar 11/

/2/

/3/

R

R

R

/,,·fl

R

R

R

In!

R

+-+I-

I

- --/Zeif}

,

~ f t-rn ZlnspenOden -~

n·

die Aouivalenzgteicnung: n R ql I,

(!.:L!) n

III

Zeifzentrum

if' - I R· -q -I-

,

d.h.

q l = _1 . _
und daher

(dabei bezeichnet I die Zeitspanne in Zinsperioden, die zwischen dem Zeitzmtrum «nd dem Tag aer tetuen Ratenzahlung lirgt)

q- 1

" q

Beispiel: Gegeben set fine l O-mallgt Rente der Hohe 24.000 €fl ah,. Wann konme auf iiquivalente Weise die nominelle Gesamtsumme (= 480.000 € ) - bei /0 % p.a. gaahll werden?

,, (~. rt Nach dem Vorgehenden gilt:

n q -/

t=

, (.!-. 200, }

l)

}, }20 _ } )

11,039"" 11 Jahre ,

in 1,1

lnq

d.h. das Zeitzenlm m liegt ca. 11 Jahre vor der tetuen (20.) Rate und somis um 1,5 Jahre [niher als bei tineorer Verzinsung (9,5 Jahre vor ietzter Rate, enniueJt nach Satz 1.2.58 bzw. Abb. 1.2.61a). Diefolgende Skizze veranschaulicht das Ergebnis unseres BeispieJs: lid ft.

-I

'"

R

R

R

R

'"

R

I

R

R

R

'"

/10/

,I R

R

III/

R

I

20RI

,ro,

ItSi

R

R

R

R

I

R

R

R

R

R

~eill

120R

Zeifzentren bel exponenfieller beilinearer Verzinsung Aurgebe 3.4.4:

i) H uber will - beginne nd am 0l.0 1.05 - jahrlic h einen Bctrag in H ohc von € (insgesami Ltl Raten].

12,OOO , ~·

sparen

Seine Ha usbank offcricrt ihm mchrere untcrschicdliche Anl agealtcrnativcn (die Zinsperiode

betrage stets ein Jahr, die Verzinsung des angewachsenen Kapitals zum angegebenen Zinssatz ist auch nacn Zahlung der letzten Spa" ale weiterhin gewiihrhflel): a) i '" 6% p.a" zusatzlich erhalt cr 4% jcdcr Sparrate cin J ahr nach dcr jcw ciligen Ratcnzahlung, b) i '" 7% p.a., am Tag d. letzten Rate erhalt er cinen Bo nus in Hohc von 20% der letzt en Rate; c) Ztnsen: 7,5% p.a. (keine weueren Gegenleiswngen). We1che Anlagealrcmative ist fur H uber am gunstigstcn, wcnn er am 01.01.15 cin moglichst groBcs Endvcrmogcn bcs itzc n will?

3.4

113

Rentenrcch nung und Aquivalenzprinzip - Bcispiclc und A ufgaben

ii) H uber zahlt, beginnend am 01.01.09 (= 31.12.08) , pro Jahr € 12.000 ,- - auf ein Kon to, insgc-

samt 20 Ra ton. Man Iasse diose Ralen als a) naehsc hilssig gezahlt a uf und bcs timmc jcwcils E ndwert und Barwert (10% p.a .) ,

b) vo rsehilssig gczahlt

iii) E inc Schuld soil mit insgcsam t 10 Ratcn in H e be von jewcils 3 .000 ,- - € / Jah r getilgt werden

(die 1. Rate sott - von heute an geredmet - nacn einem lahr fliefJen ). Wie hoc h muss bei 6% p.a. dc r Einmal-Bctrag scin, d urch den die gesamtc Schuld auf aquivalentc Weise a) hcurc b) am Tag dcr 3. Rate (ohm: vorhai ge Ratema hlungen] ebgelost werden keno? iv) Zur T ilgung einer Schuld soli ein Schuldner zu Beginn dcr J ahre 00, 04 und 09 jc € 10.000,-za hlen. Stattdcsscn moch tc cr die Schuld licber in 12 g1cichen J ahres raten (heginnrnd urn 0].0].01) zahlen. Auf welchen Bctrag lauten die einzelnc n Rat en? (i = 7 % p.o.)

Aufgabe 3.4.5: i) Ein Schuldner so li cincn Krcdit mit gena u 10 J abrcsratcn zu je 20 .000 € (beginnend 01.01.07) zuriiekzah len, i = 9% p.a. Da er d ie hohen J ahrcsratc n mcht autb ringen kann, willigt die Bank auf cine J ahres ratc von 12.000,- - € cin, allcrdings scho n begin nend am 0 1.0 1.05. Wicvicle J ahresraten muss der Schuldner nun zahlen? ii) D ie Bundesregierung bcabsichtigt die Vergabe von zinsloscn A utbaukrcditen fur die Grn ndun g

von Untemehmungen zur E nlwieklung mod erner Technologien. Die Krcditm odalita tcn scicn an eincm Sla ndardbe ispicl crtautcrt: Die gcford crtc U nlernehmung erhalt 5 J ahre lang (jewrils am 01.01.) jahrhch je 100 .000,-- € ats Aufbaukredi t. Die Ruckza hlung des Aulba ukrcdits crfolgt in 10 glcichhohen Ratcn zu jc 50 .000 ,-- € /Jahr, von dcncn die ersre Ra te genau 4 J ahre nach Erhalt der letztcn Krcdurate fallig iSI. Nac h Zahlung der lctzt cn Rat e ist der Krcdit vollsta ndig get i1gt, Zins forde rungcn werden ntcht erhobe n. Welcher Betra g wi rd der gcfordcrtc n U nlernehm ung z usatzltc h als Zin sgesehen k am Tag der erste n A ufbaukrcdi lrale gewahrt, wenn cin Krcdnzinssatz von 9% p.a. untcrstellt wird, den der Staat (ans/eUe des Kreditnehmers] tragt? iii) H uber und Moser vergleiehcn ihre finanzicllen Z ukunftsaussichten . f olgc nde Dalen legcn sic

dabei zugrunde: H uber isl Bcamtc r, er hat noch 35 Bcrufsjah re sowie 15 R uhcstandsjahre vor slch. Moser ist Angc stcntcr, auch bei ihm worden noeh 35 Bcrufsjahrc plus 15 Rcntncrjahre unl erstcllt. Moser verd ienl jahrlich 2.500,-- € mehr als H uber , mus s abcr - im Gegc nsatz zum Bearntcn H uber - jahrlich 4.200,-- € Rentenvcrsichcrungsbcit ragc abfiihren (wahrend der 35 Berujsjahre) .

Dic H e be von Pensions -/A llersren tc ist bci heide n gleieh. E inziger U nterschicd : Beamt cr H ube r muss jahrlich 7.000,-- € an Stcucrn abfuhrcn [wahrend der 15 Pensiom j ahre), Mosers Rent e blcibt stcuc rfrci. Vereinfachend wird untcrstellt, dass aile Za hlungcn jewctls am J ahrcsend e fallig sind. Welehcn Ausglciehsbet rag milsste Bcamtcr Huber zu Beginn des ersten Bcrufsjahres dem A ngestellten Moser (oder umgekehn) libergcben, damit bcidc A rbeitn ehmer wertmaBig gtecbgcstcnt sind'! (Als Kalkulationsunssatz wird 6 % p.a. zugrunde geleg/.)

1I 4

3

Rcntcnrec hnung

Aufgabe 3.4.6: i) Hu ber muss seiner Bx-Gauin 15 Jahrcsratcn zu [c € 40,000,-- Ibeginnena 01.01.02) zahlcn (Z inssalz: 8% p.a.],

a) Ubcr welchcn Bctrag aus dicscn Zahlungcn verfugt seine Ex-Gattin cin J abr nac h der letzten Ra tcnzahlung. wcnn sic aile Bctragc verzinsttch (8% p.a.) angclcgt hat?

b) Mit wclchcm Einmalbctrag konnte H uber aile Raten am 0 1.0 1.02 auf cinmal abl6scn? c) H ube r will sta ll der vcrcinbartcn Ralen lieber drci nom incll glcic hhohc Bcrragc am 3 1.12.02, 01.01.06 und 3 1.12.20 zahlen. Wie hoc h sind diese d rci Zahlungen jewcils?

d) Huber m6chtc anstene del vcrcinbartcn 15 Raten licbcr 25 Raten zahlcn, crsrc ROlle am 01.01.04. Wic grol3 isl d ie Ratcnhohe ciner dcrartigen aquivalcnten 25-maligcn Rente? ii) Witwe H uber untcrstu tzt ihren flciLligcn Ncffen Alois in jcdcr H insich t - insbesondere finan-

ziert sic scin Wirtsehaftsst udium an der Univcrsltat Entcnhausen: Alois erhall- beginnend mil dem 1. Semester am 01.10.02 - jcwcils zu Monatsbeginn cinen Bctrag vo n £ 850,-- ausgezahlt. ( Wi/wc Huber rechnet mil mona/lichen Z inseszinsen von 0,5% p.M.)

a) wirwe H ube r erwartet zunachst cine Gcsamrstudiendaucr von 8 semestem (entspn cht 48 Mo-

na/sra/t'Il). Wcleh e Summc musste witwc H ube r am 0 1.10.02 zur Gcsamrfinanzicrung des Studiurns bercitstcllcn? b) wtrwc H uber zahlt zum 01.10.02 cinen Bctrag in H nhe von Studten-Kontc" (0,5 % p.M.) cin,

€ 50.000,-- auf ihr ~ Aloi s

Wicviclc Semest er kor mtc Alois damit studiercn?

iii) H aberle muss am 31.12.05 £ 20.000,- - und am 31.12.09 £ 50.000,-- an seinen Glaubigcr zahlcn (10 % p.o.) . Er erwagt. seine Schuld nquivalcnt umzuwandeln: a) Umwandlung in 10-mal igc Rente, beginnend 01.01.0 4. Ratcnhohc? b) Umwandlung in Rente mit R = 5.000,- - £ /Ja hr, bcginnen d 01.01.07. Anzahl der Raten ?

(dasselhe mil 6.000, -- €I Jahr I). c) Umwandlu ng in zwci nominell glcichhohe Bcrragc zu den ursprunglich vcrcmbartcn Tcrminen. H ohc diescr Bclrage?

d) Umwandlung in cine Rent e zu 7.000,- - £ 1 Jahr, beginnend 01 .01.03. Naehdem 4 Zahlungcn geleis tet wurdc n, soli d ie Restschuld in eincm Bctrag am 01.01.13 gezahlt werdcn. Restsehuldbetrag zu dicscm Tcrm in? Aufgabe 3.4.7: i) Die Rcibach oHG verkauft cines ihrcr Bctriebsgrundsttlck e. Folge nde A ngcbote gehen cin : a) £ 400.000,-- sofo rt, Rest in 10 nachschussigcn J ahresraten zu je £ 160.000,- -. b) £ 1,8 M io nach ctncm J ahr. c) £ 100.000 ,- - sofort, danach aile 2 Jahre £ 200.000,-- (14 mal), danac h - bcginncnd 2 J ahre spatcr jahrlich £ 100.000,-- (29 mal). r-

Welches A ngebot ist fur die v erkautertn bei 6,5% p.a. am gunsugsten?

3 .4

Renl enr cchnung und Aquivalenzprinzi p - Bcispiele und Aufgaben

11 5

ii) FOr d ie bahnbreehende En twicklung cines c1ektronisc h gc stcucrten hydr aulischcn D rehmo-

mc ntwandlers mil pneuma tisch scnneseodcn Ventilen soli dcr Mechatronik -Ingenieu r Robert Riecher in den nacbstcn 20 Jahren jcwcils am 3 1.12. € 50 .000 ,· - (beginnend im Jahr 08) crhaltc n. R.R. rnoc hte dagegen licbcr zwci gleiehhohc Zahlungen am 0 1.0 1.10 und 01.0 1.15 erhaltcn. (i = 6,5% p .a.) Wclchc Zahlungen kan n er zu dics cn Terminen erwarte n? iii) E rhtant e Amanda will ihr V crmogcn scho n zu Lebzeit cn an ihren Neffen Amadeus vcrschcnken

und verspricht, ihm jcweils zum 01 .01.12, 0 1.0 1.14 und 01 .01 .18

€ 100 .000,· · zu ebcrtragcn.

Amadeus lieb t kcine sprunghaften Verhaltnisse und moc htc daher stat tdcsscn lieber cine 30malige Jahresrcntc, Zahlungsbeginn 3 1.12. 10, haben. T ante Am anda willigt cin. Welche Jahresrat en wird A madeus erhalten? (i = 5% p.a.] iv) Sieglind e Saucrbicr zahlt (beginnend 01.01.10) 22 Jah rcsratcn zu je 18.000 € zu i = 7,5 % p.a. ein, um anschlieBcnd eine Rent e von 25 Jahrcs ratcn (die 1. Rale sott genau 3 Jahre nach der tnuen 18.000- € -Rale fliej3en) beziehen zu konn cn (bei unv erandenem Zin ssatz) . Bcrcehnen Sic die Hchc von Sieglindcs Jahresrente, v) Oc r bekannle Schonhcitschirurg Prof. Dr. H ackcbcrg liftete einige Korpcrpartien des H ollywood- Filmsta rs Anita Rundthal infolge cines bcdauerlichen vcrschcns in die falschc R iehtun g. Oc r falligc Schadenscrsat zprozess em.lete mit ciner Scha densersatzverptliehlung fur H aekebe rg in Hohc vo n 1 Mio. € , zahlbar am 0 1.0 1.05.

a) H ackebcrg will lieber 20 tes te J nhrcsraten zahlen, ers te Rat e am 0 1.0 1.08. Welche Rat cnhohe ergibt sic h bel i = 6% p.a.?

b) Wieviele Raten muss er zahlen. wenn er bercit ist, stattdcsscn - bcginnend 3 1.12.06 jahrlich 100.000,-- € zu zahlen? (i = 6% p.a.) \ i ) Fra u H ube r mu ss ihrem Ex- Ca tt en 16-mal 20 .000,-- € I J ahr zahlen, crste Zahlung hcut c.

a) Mit wclehem cinmaligcn Bctrag ko nntc sic d iese Verptlichtung bci 8% p.a. hcut e ablosen?

b) Kurz OC-VOf sic die 6. Rat e zahlcn will, gcwinnt sic im A achcncr Spiclcasino cine groacrc Summ e und mochte nun am Tag der 6. Ratenzahlung ihrc Rcstschukl auf einmal abtragcn. Welcher Bct rag ist dazu erforderlieh? (8% p .a.) Autge be 3.4 .8: i) Ein Immohilienmakler bietet hcutc em Mietshau s zum Kauf fOr 1.200.000 ,- - € an . Die jahrhchc n Mietdnnahmen betragen 150 .000,·· € . Fur Insta ndhaltung, Steuern etc. konncn pauschal 30 .000,-- € /J ahr angcsctzt worden . Nach 20 N utz ungsjahren bcs itzt das H aus eincn Wiedcrvcrkauf swert von 75% des heutigen Kaufpreises.

Lohnt stcb drcses Mierobjekt als Kapital anla ge, wenn sich alternative Invcstittoncn mil 9 ,5% p.a. vcrz inscn? (Aile regelmiij3igen - im Zeilahlauf un verandenen - jiihrlichen Zahlungen werden als pnachschussig" aufgef assi. Beginn des Zinsjah res: pheule ".) il) H ubers Erbtan le Amalic zcigt sieh grofizugig: Am 3 1. 12 .00/ 3 1.12.021 3 1.12.07 soil cr jcwc ils 30 .000, -- € als Ges ehenk erhalten. a) H uber bane lieber cine l S-malige J ahresren te, bcgin nend am 01.01.00. Welche Bctre gc kann cr erwartc n? (8% p.a.) b) Die Tantc gcht zunac bst nicht auf H ubers Vorschlag (vgl. i)) ein. Nacbdcm sic bcrei ts die erste Sch enkun gszahlu ng gcmac ht hat , willigt sic ein, die beld en Rcstschenkungcn in cine 12rnaligc Rente - lx:ginnend 0 1.01.02 - umzuwa ndcln. Wie haute! die Rs tenbohe? (8% p.a.}

116

3

Rcntcnrcchnung

iii) Bricfmarkcnsamrnler Huber erstcigcrt auf ciner Auktion die . Blauc Mauritius" fur

650.000€

plus 15% Aukt ionsgebiihr. Er verstchcrt die Marke zu cincr Jahrcspramie von to.OOO € /Ja hr (die Priimie fiir das erste Versichemngsjahr isl fiillig am Tage des Erwerbs der Marke) . Nach gcnau 8 Jahren vcrauacrt er die Markc an den Dorfapothcker Dr. Xaver O bcrrnoscr, dcr dafiir insgcsarnt 1,2 Mia . € zu zah1cn bcrcit ist. Daya n soil H uber die crste Haute am Tagc des Erwcrbs, die restlirhen 0,6 M ia. € zwei J ahre sparer erhalten. a) Man untersuche, ob Huber mil diesem Geschaft gut beraten war, wenn er scin Geld enemativ zu 5% p.a. harte an1egen konncn.

b) Man stelle die Bcdingungsglcichung auf, die Huber losen musstc, um die cffektive v crafnsung seiner Vermogcnsan lagc zu crhaltcn.

iv) wl rwc Huber verkauft ihr Haus, um ins Alten hcim zu zichcn. Der Kaufer zahlt vcrcinbarungsgcmall - beginnend 01.01.06 - jahrlich 24.000,-- € fur 25 Jahre. 1m Februar des Jahres 10 kommen ihr Bcdcnken. Sic mochtc kcinc weiteren Ratenzahlungen mehr, sondem den aquivalcnten Gcgcnwcrt aller jctzt noch ausstehenden Zahlungen Heberauf cinmal am 01 .OJ .13 erhalten. Dcr Kaufer willig! cin. Welchen Bctrag kann Witwc Huber zum OJ .Ol.13 erwarten (7% p.a.)? v) Rocco Huber invcsticrt in cine Spielhalle zunachst to.OOO,-- € , naeh cincm Jahr nochmals 20.000,-- £ . Am Ende des vicrtcn Jahrcs wird wegcn wicderholter Uberschreitung der Spcrrstunde eine Ordnungsstmfc von 5.000,-- £ fallig. Aus dem Bctrieh der Spielhalle resultieren folgendc Etnzablungsubcrschussc: Ende Jahr 1: 2.000£, Em.lcJahr 2: 4.000 € , danach ja hrlich (am lahresende] 5.000€ (8 mal}, Am Ende des to. Jahres scit der Erstinvestition verkauft Huber scincn Anteil fur 8.000€. War die Investition fur Huber lohnend, wenn er scin Kapital zu 6% p.a. harte anlegcn konncn? AU fgahe 3.4.9:

i) Huber will am 01.01.30 cinen Kontostand von 1 Mio. € rcalisicrcn. Jahrl ich sparr cr - begin-

ncnd mil dcm 01.01.01 - 33.021 ,· · £ auf einem mit to% p.a. verzinsten Konto. wtevtctc Ratcn muss er ansparcn, urn zum 01.01.30 sctn Zicl zu erretcben? ii) Hu ber kann zur Zeit tiber 60.000,-- € verfiigen. Er kon ntc 50.000,· · £ (nicht mehr und nidu weniger) fur genau 5 Jahre mit einer Rendtte von 10% p.a. anlegcn. Aul3crdem will cr ("heute") ein Auto (Kaufpreis 40.000,-- €) kaufen. Kalkulationszins: 6% p.a.

Ocr Autohandlcr bictct drci m6gliehe Za hlungswciscn a n: A: Barzahlung von 40.000 £; B: Anzahlung to.OOO € , dann - beginnend nach einem Jahr - 4 Jabresraten zu je 9.000 €; C: An zahlung to.OOO € , nach vier Jahren 38.000 € . a) Welchc Za hlungswcise wird Huber ohnc Bcriieksiehtigung seiner Gcldanlagcmoglichkeit bevorzugen? *b) Ist unter Bcrucksichtigung der Geldantagcmoghchkeit Zahlungsweise A odcr Zahlungswcisc C fur H uber gunstlgcr? Dazu ermittle man fUr jede Za hlungswcise (A und C) die Ho he von Hubers Endvermogen nach 5 Jahren und vergk-ichc. Dieser Vergleich soli fur die beidcn folgenden unterschiedliehen Annahmen gctrcnnt erfolgcn: b I) Es wird unterstellt, dass cine Gcldaufnahme zum Kalkulationszinsful3 fur Huber erstmalig nach 4 Ja hren moglich ist.

bZ) Es wird untcrstcllt, dass Huber von Anfang an bclicbige Bctrage zum KalkulationszinsfuB aufnchmcn kann.

3 .4

117

Rent enrcch nung und Aq uivalenzprinzip - Beispiele und Aufgabe n

iii ) H ube r will zum 0 1.01.20 cinen Betrag von € 500 .000,-- auf seincm izunachst Ieeren} Konto (10% p.a .) haben, urn sich denn eine Segelyacht kauten zu konnen .

Daz u zahlt er - beginnend am 0 1.01.05 - jahrhch 22 .350,-- € auf dicses Ko nto em. a) Wicvie1e Raten muss er einzahlen, urn sein Ziel zu err eiehen? b) Abweiehend von a) will er nur 10 Rat en zu je 16 .00 0,-- € /J ahr lwiederum ab 01.01.05) cinza hlen und dafur - beginnend ab 01.0 1.20 - cine 20-mali gc Rente in H ohc von 24 .000 ,-€ / Jah r crhaltcn.

(nUl' A'1uivalenzgleidJung angeben,

Bei welcher Verzinsung seines Kontos isl d ies mOglieh?

ketne Losung !)

iv) Ocr in fossilcr Fonn vorhandcne Well -Energievorrat bctrug zu Beginn des Jahres 05 noc h 7200 En ergie-Einhciten (E E ).

Ocr Wcltjahresverbr auch an fossiler En ergie bc trug 12 EE im J ahr 05 und vcrgroac rt sich cincr Expcrtensehatzung zufolge jahrhch urn 4% gcgcnube r dem Vorjahreswert. a) Untcr dcr A nnahme, class die o.a. Daten im Zeitabla uf unvera ndert g\iltig bleibe n, erminlc man dcn Zeitpunkt (Jahreszahl) , in dcm die fossilcn E nergicrcserven der Erde crschopft setn werden. b) Welehen Wert rnnss tc die durchschnitthchc jahrliche Zunahme des Energieverbraueh s anneh-

men, darnir der Vo rral noch 150 J ahre Ibezogen auf den 01.01.05) ausrctcht? v) Au s crncr Invcsnnon fliel.lcn dern Investor jah rlich 36 .000 £ zu, crs rma ttg zum 01 .01 .09, insgesamt 30 Ruckfl ussrarcn. a) Man ermmlc (bei exponenneiier Veninsung m 10% p .a) das Zci lzentrum sarntlichcr Raten (Datum!) und gebe cine okonomische Interpretation. b) Man ennitt le das Zcit zcntrum (Dalum.'), wcnn die R uckflussraten 120.000€/ Ja hr bctragen be l ciner Verzinsung von 8,78 % p.a . (exp. Veninsu ng) und verglciehe den crhaltcncn Wert mit dcm cnts prcchende n Zeirzcntrum bci durehgehen d lincarer Verzinsung zu 8,78% p.a .

Bemerkung 3.4.10: Geiegentlich nu tzlidt ist die folgen de A'1uivalenzbeziehung: Eine Rente, bestehena aus n l ahresraten der

Hone R, soli durch tine Einmalzahlung Ko am

Tag der

J. Rate iiquivalent ersau werden. Dann gilt (mil '1 = 1 +i = Jahreszinsf aktor):

/3.4.11)

I

Ko ''1" - 1 - R

"

(Ko -R) ·'1"

'"R I

K,

m R

R

R

'"'

R

/11

I

(Gil

... +-+ I

Beweis: Fur den (heliehig wahlbaren] Stichtag " Tag der n-ten Rate " (siehe A hh.) ergiht sidJ die [olgende A '1uivalenzgleichung: '1" -J

K - q -I

=

K o'1,, - 1 K O·'1,,- 1 - R

=

(Ko- R)·'1" , wie behauptet.

3

118

Rentcnrcchnung

3.5 Zusamm engesetzte Zahlungsreihen un d wechselnder Zinssatz Bci wec hselnder Rat enhohe undJode r Zinshohe inncrhalb des Bctrachtungszeilraumes rnussen Rentonformel bzw. Zinseszinsformel mehrlach angewendct werden: i) Wird ein einzelner Kapitalbet rag K uber mehre re zinsverse bredene Zi nszeitraume hinweg auf- /abgczinst (siehe etwa A bb. 3.5.1), so erbalt man den entsprechenden Zcitwert I
Zins-

I.. penode-j I

rZell)

I

Zinssalz i l

Zinssa fz i2

(Upa l

Wlpa /

- - - - - <

Zinssotz i J

--

(31 pa l

Abb. 3.5 1

1m Beispiel (A bb. 3.5.1) gill mit K = 1.000,-- € ; i l '" 0,01l; i z = 0,09; i 3 = 0,03 : 1
ii) Andert slch inncrhalb des Rentcnzcitraumes eincr Rente der Z inssatz und/ oder d ie Rateeh ohe, so

gill d ie Rentenfonn el (3 .2.5) nicht mehr ftlr samtlic hc Rat en (sieheBern. 3.2.6 i)). Daher muss man die gcgcbcnen Renten in zwei oder mchrcr c Te ilrenlen zerlegen, deren Rat en a) d ie gleiehe HBhe a ufwcisen und auBcrdem b) inncrhalb von Zeitraumen glelcben Zinssalzes liegen (vg/. A bb. 3.5.2) ;

K, Renle A

K,

K,

Rente : 8

I

1-

s;

I

ZlflSSalz . -

"

I

I

0

'2 '2 '2 '2 '2 '2

" " " " " " I

Rente

RM " C

~

I

K,

I

I

I

I

I

I

I

ZlflSsaIz

Zlfl ssalz

I,

i,

Abb. 3.5.2

I

I

I

K,

De r Rentengesamrwcrt Kt zu eincm vorgcwahltc n Stichtag (wie z.B. in A bb. 3.5. 2) ergibt sich als Saldo dcr einzelnen au f-/ abgezinsten T eilrent en . 1m Beispiel (vgl. A bb. 3.5.2) erhalte n wir mit R 1 = 2 .000,-- € /J ah r; R 2 = 5 .000,-- € / Jahr; i l = 7% p.a.; i 2 = 9% p.a.; i 3 = 5% p.a.:

3.5

119

Z usanuncngcsctztc Zahlungsrcihcn und wcchsc lndcr Zins sat z

1 053 - I

+ R · ' 2

= Kc

0,05

- 1,052

67.222,98

c.

- KD

Zum Vergleich (und zur Kontrolle] werden Kapital- und Z insentwicklung im folgcndcn Vcrglcichs -

konto dctaitlicrt abgebildet. Dabei legen wir die erste Ratenzahlung (wiJ/kurJich) an das Ende von Jahr 01. Damn Iiegt der Stichtag fur den Rentengesamtwert Kt am Ende von Jahr 16 (=Brginn von Jahr 17) : Jahr

Konlostand

01 02

2.000,00

O.

4.140 ,00 6.429,80

03

05 06 07

0

16

8.879,89 11.679,08 14.730,19 16.055,91 17.500,94 24.076,03 31.242,87 39.054,73 46.007,46 53.307,84 60.973,23 64.021,89

17

67,222,98

08

09 10

11 12 13

I'15

1JJ

Jah resbcginn

Zins

p.a.

7% 7% 7% 7% 9% 9% 9% 9% 9% 9% 9% 5% 5% 5% 5% 5%

Gurhebcnzinsen Ende des Jahres

Ende d.Jahres

Rarcnzahlung

Kontostand zum Endc des Jahre s

0

2.000,00

2.000,00

140,00 289,80 450 09 799,19

2.000,00 2.000 00 2.000,00

6.429,80 8.879,89 11.679,08

1.05 1,12

2.000,00

1.325,72 1.445,03 1.575,08 2.166,84 2,81186 1.952,74 2.300,37 2.665,39 3.048,66 3.201,09

14.730,19 16.055,91

5.000,00 5.000,00 5.00000 5.000,00 5.000,00 5.000,00

2.000,00

-

-

-

4.140,00

17.500,94 24.076,03 31.242,87 39.054,73 46.007,46 53.307,84 60.973,23 64.021,89 67.222,98 (,. 0.)

(Vergleichsk onlOzum Z ahlungsstrohl A bb. 3.5.2)

Den Gesamtwert Ko derselbcn Zahlungsrcihc am Tag der us/en Ratenzahlung erhalt man durch sukzcssivcs Abzinsen von I<;:

K., = K,

1 1 . --3 = 23.519,85 € . 1,09' 1,07

Bemerkung 3.5.3: Man dar[ diejenigen Raten, die genau an der NahtstelJezinsverschiedener Zeuraum e liegen, wahlweise zur /inken oder rechten Teitreme zahkn, ohne dass sich der Rentengesam twen K, (oder KoJ anaen: In beiden Fatten namlidi bleiben zwischen emer und tetuer Rate einer jeden Teilrente die Ratenhohe und der Zinssatz unveronden, m ithin lasst sich fur jede Teilreme die eumemare Rentenf onnd (3.2.5) anwenden, siehe auch Bern. 3.2.6 i). Z war and em sick die aufgains/en Ergebnisterme der einzelnen Teilrenten, die Summe aller auf- oder obga insten'Teitremen am Stichtag abet bleibt un reriindert.

3

120

Rcntenrechnung

Aufgabe 3.5.4: i) Man bcrcchnc den Wert der folgcnden Zahl ungsreihe am Tag dcr crstcn Zahlung sowic 4 J ahre

nac h del lctz ten Zah lung:

12 Rarcn zu jc 6.000€/Ja hr, bcginncnd 01.01.00 ; ansc hlicJ3cnd 10 Raten zu 8.000€/Jahr, bcginncnd 3 1.12. 15. Verzinsung: bis 31.12.11: 7% p.a.; danach his 31.12.26: 6% p.a.;

danac h: 7% r -e.

ii) Man cnnitt lc den aquivalentcn Gesarmwert dcr folgendcn Zahlungsreihe

a) 2 Jahre vor dcr erstcn Z ahlungund

b) am Tag der letzten Zahlung:

4 Frcijahre (d.h. ohne Zahl ungen, Zinssatz 5 % p .a.), bcginncnJ im Folgejahr: 6 vorschiissige Raten zu jc 8.000,-- € /J ah r (6%), ansch lid3cnd 3 Frcijahrc (7%), bcginncnd im Folgcjah r: cine

vorschtissigc Zahlung zu 12.000,--0£(8%), bcginncm.l im Folgcjahr: 5 nachschiissigc Zahlungcn zu jc 9.000,-- € /Jahr (6%). iii) H uber zahlte - beginnend 01.01.10 - 8 Jahresraten zu je 10.000,-- € /Ja hr auf ein Konto ein .

Beginnend 01.01.20 zahlte er wenerc 5 Raten zu je 12.000 ,-- €/J ahr cin und - beginnend 01.01.26 - wcitcrc 3 Raten zu je 15.000 ,-- € /Ja hr. Dcr Zmssatz bctragt 3% p.a. bis 31.12.14, danach 7% p.a. bis zum 31.12. 19, danac h 9% p.a. his 31.12.26, danac h 10%

r-e.

a) Ma n errnmtc den Gcsarntwcrt alter Zahlungcn 2 Jah re nach der letztcn Zah lung. b) Wclehen Ei nmalbclrag harte H uber am Tag dcr erste n Zahl ung lcisten mussco, urn dam il sarntlichc Zahlungen aquivalent ersetzcn zu kon nen'! iv) D ie H uber AG will am 01.01.06 von der Moser Gmb H cin Ak tienpa ket erwcrbc n. Der Wert dicscs Aktienpakets wird von einem Sachverstandigcn mit 800 .000 € zum 01.01.06 bcziffert . D ie H ube r AG bczwcifclt, dass der Wert des Akti cnpak etes ta rsachlich 800.00 0 € bctragt . Viclmchr bictct sic der Moser Gmb H ats Gcgcn1cistung fur die Obcrlassung des Aktienpaketes folgcnde Zahlu ngen an: 7 Raten zu je 70.000 € /Ja hr, bcginnend 01.0 1.06, sowie da nach 8 Rat en zu je 90 .000 €/Jahr, bcginnend 01.0 1.16. Dabci wird unterstcllt, dass bis zum J ahrescnde 09 ein Kal kulationszlnssatz von 10% p.a. und danac h von 14% p.a. gilt. Wie hoc h ist nac h Auffassung der Hu ber AG der Wert des Aktl enpaket es am 01.01.06? v) Witwe Bolte will ihr H a uschcn verkaufen. Drei Intcrcsscntcn mclden sich und gebcn jeweils cin Zahlungsangcbot ab: Angebot I:

A nzahlung 60.000€, nach d rei Ja hrcn 1. Zahlung einer zu-maugcn Rent e von zunachst 20.00 0€/J ahr (12 ma l) , ansch lidlcnd 16.000€/ Jahr (8 mal) .

Aegcbot II :

Nach eincm Jahr 80.000€, nach weltercn zwei J ahren 100.000€, nach wcitercn drei J ahren 100.000 € .

Angebot III:

Anzahlung 50.000€, nach 2 J ahren erstc Zah lung cincr Lcibren te in Hohc von 15.000 € /Ja hr. (Wilwe Bolle ist genau 24 Jahre aIr und hat nach Auskunit des natistischen Landesamles nocn eine Renlehenserwanung von 51,5 I ahren. In die Berechnung gehen nur volle Raten ein, die ti e - uotisuscn gesehen -noch etwanen kan n.)

Welches Angebot ist fur Frau Bolte am gllnstigsten?

(8% p.a.)

3.6

121

EwigcRenten

3.6 Ewige Renten Eine Rente wirdals ewige Rente bezelchnet, wenn die Anzahl n dcr Ratenzahlungcn nieht hcgrenzt ist, n also bcliebig groll wird (Beisp iel: Ewige Rente aus einem Stiflungsfonds.) Der " E ndwert~ eincr cw igen Renee ist naeh dem Vorhergchendcn nieht dcfinicrt, da es keine " [etzte~ Rate gibt. Es zcigt sich aber, dass die gcsamre Rente zu Beginn der Rentenpcriode trotz "uncndlich vielcr" zukOnftiger Raten einen dcfinierten endlichen Berwert besitzt, sofcm cin positivcr Kalkulatlonszinssatz anwcndbar tst.

~

R

R

R

R

R

R

R

I

I

I

I

I

I

111

(2)

(3 )

fn~ 1J

M

I fn+1J

-i,

n bhre

Ro~

q~ n .

und n - -

R ... ...

m-et

(n+3) ... _

00

(n _oo )

(Rnl

00

Abb, 3,6. 1

Wahlen wit als Bewertungsstiehtag ein Jahr vcr der ersren Rate (vgl. Abb. 3.6.1), so erhalten wir nach Satz 3.2.8 fU r die ersten n Raten den Barwert qR _ I

(3.6.2)

1

1- q- n

R·-

rdcr crwas umgcformt

Ro '" R ' q _-' 1 -q''

-

s- I

Der im Za hler von (3.6.2) stehende Term q_lI nimmt (bri posuivem Zin ssatz t, d.h. f alls q '" 1 + i > 1 gill) fOr waehsendes n (n - 00) immer mchr ab und nabcrt sieh sehlieJ1lieh beliebigdem Wert O. 6

Beispiel: FOr i '" 10% etwa gilt: q- l O"' 1, r IO "' 0,39; q-20 "' 0,IS;

.--

d.h.

q _l OO ",

0,00007;

q_ l OOO",

0,00...04 (42 Nulll'n) usw.•

lim l ,l -lI ", O.

Damit crhalten wir aus (3.6.2) fu r beliebig wachsendes n den Barwert R; cincr ewigen Rente (Stichtag is! ein Jah, vor der ersten Ratenzahlung) durch Grcnzwcrtbildung;

Ro:=

.-- .-lim

Ro

lim

R

(3.6.3)

R

R·

twegen q '" I + i]

R;- '" Gesamtwcn cincr ewigen Rent e mit dcr Ratenhohe R cine Zinsperiode

.-

vor RUligkeil dcr 1. Rate

I

o

6 VgL ctwa [Tic3] Formel (4.2. 11) b).

d.h .

q" I

• • I

I

3

122

Rentenrechnung

Bemerkung 3.6.40: Nach Satz 3.2.8 erhall man den Gesamtwen riner ewigen Rente zu jedem am/eren Stich/og, indem man den mit (3.6.3) enniueuen Wen R'Q{edig/jeh einma/ig entsprechend auf- oderabzinst. So ergibt sich beispieisweise de, Gesamtwert einer ewigen Rente am Tag der I . Zahlung aus (3.6.3) durch Auf-

, ,

zinsen urn eineZinspcriode: I

urw,

I

R~ ~

Beispiel 3.6.4b: Gcgcben set cine ewigc Rente von 40.000 € /Ja hr, crste Rate am 01.01.07 . Dann bctr iil,1 - bei 8% p.a. - der aquivalente Barwert R;" diese r cwigc n Rente am 01.01.06:

Ro

<>0

..

~

..

4~:: :: 500.000 €.

Dann bctragt dcr aquivatcntc Gcsarntwcrt dieser cwigcn Rente z.B .

amOl .Ot.09:

629 .856,00 €

Rj''' :: RQ - 1,08 3

am 0 1.01.00:

"

R- .

I 1,08 6

315.084,81 €

usw.

Aus (3.6.3 ) folgt d urch Umstellung

Ro""·j

(3.6.4)

A uf der linken Scite stehen gcrade die Zi nscn Ro- i, die der Gcsamtwcrt Ro"'in ciner Z inspc riode erwirtse haftet. Daher gilt der pragnante Sachvcrhalr

Satz 3.6.5:

(e...tge Ren le, i "" cons t.)

Bci ciner ewigcn Rente mit der Zcitstrukt ur

'0I

, , I

~--j

I

f Zklsperiode (ZklssoIz II

ist die Rate nhbhe R der e...i gcn Rente ident isch mit den (/;'Wig zahlbaren) Period cnzlnsen Ro"':i auf den Rentenba rwert R;':

R

(3.6.6)

Ro...· i

Bemerkung 3.6. 7: j) Etwas salopp ausgedruckt, bedeutet der Inhall von Satz 3.6.5: Leder Kapita lbetrag K o ist aquiva-

lent zu seinen unendlich oft ("ewig ") fliefJenden Penodenzinsen Ko ' i (beginnena eine Zinsperiode

nacn Wertslellung von

KoJ.

Wir wollen diesen Sech vemalt veraeuuicnen in einem Vergleichsko nio mil den Daten von Beisp iel 3.6. 4b: Fasst man den Remenb arwen ( =500.000€) ats L eistung, die jiihr/ichen A usschullungeni Abhebungen (=40.000 €l lahr) als Gegenkis tungen; so resuuim folgende Kontoslaff el (8% p.a.]:

3.6

123

Bwigc Renten

Jahr

06 07 08 09

Zimen (8% p.a.) Ende des lahres

Konloliland ;:/1 JahreIbeg;l/1l

500 .000,-500 .000,· · 500 .000,- -

40.000,-40.000,-40.000,--

Konumand zum

Abh ebung am Entk aes lahres

Ende de s JalveI

500.000,-500.000,-500.000,··

40.000 ,-· 40.000,-40.000,-·

usw.

(Vergleichskonto zu Beispiel3. 6.4h)

Em eut wird deutlich: Bei Ausschuuung/Abhebung einer ewigen Rente in Hone der Zinsen auf den iiquivalenten Rentenharwert hleibt dieser Barwert [als Kapitul!Kontoslund) uuf »ewig" erhalten. ii) Schon bei retativ kurzen Loui zenen umersduiden sich endlicher Remenharwert R o und Burwert R;;

einer ewigen Rente nicht wesentlich voneinander, wie das folgende Beispiel zeigt:

Eine 50malige Rente zu 150.000 €IJahr hut bei 15% p.a. den Barwen (Stichtug: ein Juhrvo rder I . Ralr) von (vgl. Satz 3.3.6 ii» : Ro "" 150.000 "

1 15 50 _1 0 ,15

'-

1

-

1,15 50

:: 984.897,-- € .

Am gleichen Stichtug betrdgt der Wert von "u nendlich" vielen Raten zu je 150.000,' · €/ Jahr jedoch nur (vgl. (3.6.3)) .' R"" = 1 000 000 -- € o :: J50.000 0,15 .., .

Der Unterschiea der Barwene betriig/ nur ca. 1,5 % f Somit bewirken die aber den Ablauf von 50 Jahren hinaus noch zu erwanenden (immerhin"unend lich vielrn"f) Iahresraten zu je 150.000 €/ Jahr lediglich eine ErhOhung des Barwenes Ro urn ca. 15.000 €, dh . 1,5 %. Daran erkenni man emeut, dass Zahlungen, die erst nach mehreren Jahrzehnten fliefJen, heute praktisch wenlos sind jedenfalL~ bet einem miuleren his hohen Zinsntveau. Dies ist die Umkehrung der »Explosivkraf t" exponemiellen Wachs/urns, vgl. BeispieI 2.I.6. Beispiel 3.6,8: Au s ctncm Kapitalbct rag von 100.000 ,-- € fliegcn - bci i = 5% p.a. - jahrlich auf cwige Zcitcn die Kapitalzinson 5.000 ,· · € / Jahr , bcginnc nd ein J ahr spiller. Umgckehrt Ist eine ewige Rente in Hohe von 20.000 € / J ahr, die in einem J ahr einsctzt, heute wert, dcnn 20.000 sind gerade 5 % von 400.000 usw.

2~.~ = 400.000€ '

Beispiel 3.6.9: i) Einc Stittung schunet jahrlich (auf et....ige Zeiten) 160.000 ,- - € aus, crstc Ausschnttung am 0 1.01.07. Welches Stiflungs kapital muss dafur (bd i = 8% p.a.) am OJ.01.07 vorhandc n scin"

ii) Ein Kapital von 2 Mio. € wird am 0 1.0 1.06 ungc tcgt (i = 6 % p. a.) , wn daraus ab 01.01.12 cine ewige Rent e eusscbuuen zu kronen. Wic lautcr die J ah rcsrate diesc r ewigen Rente'! iii ) Wie hoc h iSI de r Ertragswert ( = abgezinster Wert samtlicher zukiinf/iger Gewinne) einer U nterneh mung zum 0 1.01.05, wenn de r " ewig~ crziclbare Gt:winn ("nachhaltig erzielharer Iahresertrag") auf 4,2 Mio. € / Ja hr gcschatzt wird taste Gewinnjeststellung 01.01.06; i = 0,075)? 1-i)'~Ull g:

zu i) Stichtag ist der Tag der crsten Ratc nzahlung. so dass R;'noch cin Jahr aufgezinst werdcn

muss

\;"

" Q

00

= 'R'U~ q = 160.000 ' 1,08 O,OK

= 2 ,16

M·

C

10 . ",-.

3 Rcntcnrcchnung

12'

,

zu ii)

I

2Mlo I 0 1,01.06

I

I

07

0'

I 09

I

I

tt

10

R

R

I 12

I

R.

13

{Zeit}

Urn (3.6.3) anwcnden zu kcnnen, bezicbt man liasStiftungskapital auf den OJ.01.11: ~ ~- : 2 Mio ' I,065 = 2.676.451,16 €. Die Z inscn (= 6 % p.a.) a uf dicscn Betrag bilden (nach Satz 3.6.5) die Rcnrenraten , d.h.:

R =

R;' ' 0,06

= 160.587,07 € /Jahr.

zu iiI) Es bcgt cine cwige Rente mit Bcwcnungsslichtag d o Jabr vor der erstcn Gewinncrzielung ( = Ratenzahlung) vor, so class (3.6.3) unmittelbar anwcndbar ist: =>

Ertragswcrt (am 01.01.05) =

-u0,075 Mio.

= 56 Mia. E.

Anfgabe 3.6. 10: i) Welche ~cwig" flicl3cndc Rente kann man (bei 10% p.a.) ab 01.01.10 aussc hunen. wcnn das dafiir zur v crfugong stehcndc Kapitalam 01.01.06 cinco Wert von 2,5 Mio. € hat?

ii) Wic grol3 ist am 0 1.01.05 JeT aquivalcntc Wert cincr am 0 1.01.12 cinsctzcndcn cwigcn Rente von 700 .000 ,-- € / J ahr (8% p.a.]?

Aufgabe 3.6. 11: i) H uber mu ss fur die Ubcmahm c von Firmcnantcilcn folgcndc A bt indun ge n zahtcn:

100.000,-- € am 01.01.07, 350.000,-- € am 0 1.0 1.10 sowic ansehlicJ3cnd cine 6-matige Rent e von 20 .000,-- € / J ahr, ers te Rate am 01 .01.13. E r moc htc seine Verpflichtu ngen gcrnc aqulvelcnr umwandcln und crwagt folgcndc Variante: An stclle der o.a. A bfind ungszablungcn rnoc hte H ube r a m 0 1.01.09 einen Bctrag von 200.000,-€ und am 0 1.01.11 einen Bcrrag von 100.000,-- € gcbc n und danac h cine jah rhch za hlbarc ewige Rente (1. Rate am 01.01.15). Wie hoeh musste die Rate dicser cwigen Rente scin? (8 % p .a.) ii) H uber soll vertragsgcmiiBvon seiner v crstchcrong folgen de Lcistungen erbaltc n: 100.000, ·~ € am 01.01.00; 200.000,~ ~ € am 01.0 1.05 sowie cine 10-matigc Rente in H ohc von 50.000,-- € / J ahr, crstc Rate am 01.01.09 .

E s wird srcrs mit cinem Zinssatz von 7% p.a. gcrcchnct . Nae hdcm er den erste n Bctrag (l00.000 € am 01.01. 00) erhaltcn hat , bcse hlieBt er, die noch ausstehcndcn Za hlungcn in cine c......ige Rent e umwandcln zu lassen, crstc Rate am 01.01. 10. Wie hoch ist die Ra te dicsc r ewlgen Rente? iii) Am 01.0 1.05/0 6/0 9 musstc H uber scincn Gcsc haftspa rtncr Moser jeweils 150.000 € zahJcn. E r will sta ttdessen (auf dquivaleme Weise) cine Ren te zahlcn. (l 0% p. a.)

a) Die Ratcnhohc sci 30 .000 € / Ja hr, erste Rate am 01.01.07. Wicvicle Raten sind zu zahlcn? b) Welche ewige Rente, beginnend am 01.01 .11, ware zu zahlcn'!

3.6

Ewigc Rent en

125

lv] H uber crhalt von scine m Gcs chaftspa n ncr Moser - beginnend 0 1.01.09 - zu Beginn cines jcdcn Ouartals je 8.000 ,- - €, letzte Rate am 0 1.01.15. a) H uber ....' ill stattdessen Heber Qu artalsraten zu je 16 .000,-- € , bcginnend 0 1.0 1.13. Wicvicle Raten kann er crwartcn'! b) H uber - von scincn zukiinftigcn Erben bcbevcllubcrrecct - Ist sehlieBlich der Meinung, uass cine cwige Rente das Beste sci: Wie hoc h ist die Quartals-Rat e - beginnend 0 1.0 1.10 dieser aq uivalenten ewigc n Rent e ? (Es wird m it rierteljiihrlichen Zinseszinsen lion 2% p.Q. gerechnetf) Aufgabe 3.6. 12: i) H ube rs U nternehmu ng erwinsc haftet Ma uf cwige Zeitcn" einen jahrhchen Ocwi r mvon 50 Mio. € /J ah r, erstmalig zum Endc des J ahres 08. A llcininhaber H ube r kassicrt d ie crstcn drei Jahresgcwinne (zum 31.12.08/09/ 10). 1m Verlauf des J ahrcs 11 vcrkauft er seine U nternchmung an Mose r. Der Kaufer Moser ist ab 01.07. 11 allcinigcr Eigcntiimer der Unternehmung (ers/ lion diesem Z eupunk t an erhiilt er die sam/lichen noch auss/ehenden Gewinn e} und zahlt am 31.12 .11 cine erste Kaufprcisratc in H ohe von 150 Mio. € . Den Rcstkaufprcis, der sich nach dt.-"I11 finanzmat hemat ischen Aq uivalenzprinzip ergibt, bcza hlt er am 31.12. 14. Der Kalkula non szinssatz witd mit 8 % p.a. angesetzt. Wclchen Betrag muss cr zu diesem Zci tpunkt entriehten? ii) H uber verfugt zum 01.0 1.08 ubc r einen Bctrag von 1.000 .000,-- € . die er in FoRO ciner

Stiftung (= cwige Rcnte) jahrlich an begabte Nachwuchs finanzmatbcmatiker a usschancn will. Die crstc Rat e soil am 01.01. 11 ausgczahlt worden. Si s zum 31.12 .13 bctragt der Zin ssarz 6% p.a.• danaeh stcts 10 % p.a. Wie hoc h ist die jahrliche Au sschutt ung, wen n - unabhangig von der Zin shohc - stcts die glciehe Summe pro J abr ausgesc hlittet werden soli? iii) Die Komporustenwirwe C lara H uber verkauft zum 0 1.0 1.01 ihren histo nsc hc n H ugel. auf dem

scho n der bcru hmte Robe rt H uber gcspiclt hat , an das Aaehencr Co uven- Muse um. A is Ge genleistung erwartet sie 2 Bctragc zu jc 15.000,-- € am 0 1.01.02 und 0 1.01.04 sowie cine ewige Rente in H ohe von 3 .600,-- € / Ja hr - bcginnend 01.01 .06 . a) wicv iel warder A li/,'CI am 0 1.01.01 - ous Stou der Clara H. - wert? (i = 12%p. a.) b) Das Museum schatzt den Wert des Aiigcls zum 01.0 1.01 auf 50.000.-- €. Wclchcm Effcktivzinssatz entsprechcn nunmehr die eingangs angcgebe nen Gegc nlcist ungcn an Clara H .? iv) Huber uberlegt, ob er seine H eizungsanlage modernisieren soli. E r musstc dann zum 01.01.03 cincn Betrag in H e be von 15.000,-- € und zum 0 1.01.04 in Hohe von 20.000.-- € zahlc n. An derens ens spart cr du rch cine modc rnc H eizungsa nlage erheb lich an H eizkoste n. a) H uber schatzt , dass er pro J ahr terstmals zum 01.01.04) 2.500.-- € an H cizkostcn spa rt. Wie lange mus s die neue H eizungsanlage mindest en s genutzt wcrden, damit sioh die Modernisicrung fur H uber lohnt ? (i = 8% p.a.) b) An gcnommcn , Hu ller kon ntc die neue H cizungsanla ge auf ~ ewi g~ nutzen : wic hoch musstcn die [ahrhch eingcs parten E nergicausgabcn [erstmals zum 01.01.04) da nn mindestcns scin? (Es wird ein Kalk ulationszinssa tz lion 8% p .a. angt'setzt.)

3

126

Rcntcnrcchnung

3.7 Kapitalaufbau /K apitalabbau d urch laufende Zu f'l usse/ Ent na hmen Mit H ilfe des in den lctzten Abschnitt cn entwickelten Instrumcntariums, insbesondere mit Satz 3.2.8 und der Anwcndung des Aquivalcnzprinzips lassen sich nabczu alle Problcme dcr Finanzmathcmatik toscn . FOr z wei besonders hiiufig vorko mmende Anwendungen nchmcn die anzuwcndc ndcn Formclbczichungcn cine lcicht zu mcrkcndc und charaktcristischc Gest alt an, so dass sic gcsondcrt bchandclt werden sollen . i) Kapltalaufbau durch laurence Zuflih .<>e

Gcgcbc n sci auf cinem Konto im Zc itpunkl I = 0 ein Anfangskapital

~.

Bcginnend nach elnem Jahr

werden n Rcntcnraten dcr Hohc R hinzugezahlt (vgl. Ahb. 3.7. J) :

1 --K

Kontostond: m Zio,periodM - --

Anfangs-

t op/tal Hinzu-

zahlungen.-

o

R (f)

R

R

12)

13)

R

(m-lI

-I Km

R

Aile Zohlungen. die spoter ofs dIN S/ichlag liogen, b!@lber!bel frmifllung des Kon fosfandes Km u nb erOc ksich ffg f !

R

1m)

R

tn-II

R 10 )

Abb.311 Gcsueht ist dcr Kontostand Km des Kontos unmittclbar naeh Einzahlung dcr m-ten Rate, d.h . in t :: m n) (vgl. Pfeil ~ in Abb. 3.7.1). 1m Untcrsehied zu den bishcrigen Bctrachtungcn gchen nun nieht mehr siimlliche n Raren in die Bcuaehtung cin, sonuem looiglich die ersten m Raten, denn: (~

(3.7. 2)

Bci E rmittlu ng cines Kentosrandes d urfen (im Gegmsatz zum aqui vetemen GesamlWert) zukiinflige Zahlungcn (zuku nfrig: bezogen auf den Slich/ug) nieht cingerechnet werdcn !

Aus Abb. 3 .7.1 liest man ab:

De r Kontos tand Km am Tag dc r m-tcn Rate sctzt sich zusarnmcn

i) aus dcm aufgczinsten A nfangskapital:

~.

q'"

und zusatzuch

ii) aus dcr auf den Tag dcr lctztcn (m-Ien) Rate bezogcncn m-maligen Rente

so dass wirerhaltcn:

Sarz 3.7.3

(~Sparlui."-'ien rormel"

Illr Kapitalaufbau):

Wird zu einem Anfangskapital ~ cine n-malige Rente - bcginncnd naeh emer Zmspcriod e hinzugezahlt, so ergibt sich ats Kontestand Km am Tage der m-ten Rate (m s n): (3.7.4)

q'" _ t q- I

3 .7

Kapitala ufbau/Kapitalabbau du rch laufende Z ufliisse/ Entnahm en

127

Bema kung 3.7.5: Man beadne, doss in (3.7.4) - beelingl durch die besondere Strukiur der Zahtungsrclhe, vgl. A bb. 3.7.1 - die Variable m zweil:rlei Bedeutung b esim: a) m gibl die A nza hl derA U/zimungsperinden des A nj angska pilals Ko (in Ko .qm) an; b) m giht die A nza hl aer Raten an (in R · if" q.

'J'>.

Beispiel 3.7.6 : Auf cinem Sparko nto (10% p .a.) hcfindet sieh am 01.01.06 cin G uth abcn von 25 .000 € . Oc r Kontoinhabcr zahlt j ahrlic h am 01 .01. - beginncnd 0 1.01.07 - 6.000,-- € hmzu. insgesaml 20 Ratcn. Wie lautet der Kontosta od am 01.01. 12? Liisung: l nsgesamt worden 6 Rat en his zum 01.0 1.l2 (ind) gczahlt. Da cine Za hlungsstruktur nach Satz 3.3.7 vorlicgt, folgt fur den Kontostand am 01.0 1.12:

x,

= 25 .000 ' 1, 106 + 6.000 '

1 , ~~:~ 1

'" 90,582,69 € .

Das cnts prcchcndc Vcrglciehskon to [aus Siehl des SparerY) lautct: Jahr

Kontostand ZII Jahresbcginn

06 07 08 09 11

25 .000,00 33.500,00 42.850,00 53 .135,00 64.448,50 76 .893,35

12

90.582,69

10

Zinsen (10% p.a.) Elide des Jahres

Kc ntostard rom Ende desJahres

Einzahlung am Ende des Jahres

2.500,00 3.350,00 4.285,00 5.313,50 6 .444,85 7 .689,34

6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6,000 ,00

33 .500,00 42 .850,00 53 .135,00 64 .448 ,50 76.893,35 90.582,69

(Vergleiehskonlo fur Kapilalaufba u, Beispiel ], 7.6)

Wic nicht enders zu erwartcn , besteht Obcreinstimmung m it dem zuvor finanzma themarisc h errechncten Kcn tostand.

il) Kapitalabhau durch laufend e Entnah men l Abheb ungen

E s handelt sich in dicscm Fall urn cine idcntische Struktu r der Zahlungsreihe wie in Abb. 3.7.1:

Anfongs. kap i/a{

I

R

I II

R

121

R

(3}

Km

- ,I

m ZinsperiodM

Ka

Abhebung en:

1·1

«oatostara.

R

(m +f)

R

Iml

Aile ZahlungM, die spiJ fer a1s der 5tichtag !Iegen, bleiben bei Ermillfung des Konfosfan des Km un ber()ckslchfig f.1

R (m+fI

R

to-n

R I")

1m Un tcrschied zum Kapitalaufbau werden nun atlerdings d ie Raten Yom Gut habcn Ko abgehohen, vermindem also den aufgezin sten Guthabe nsta nd Ko ·qrn urn die aufgczinstc n Rat on, so dass wir crhaltcn (vgl. Bern. 2.2.16):

128

3

Rcntcnrcchnung

Sat z 3.7.7 (..Spa rka...senfbrmel" fUr Kap italabbau ):

Wird von cinem Anfangs kapital Ko cine n-malige Ren te - bcginncnd nach elner Zinspcriode ahgehob en (Ahb. 3.7.1), so crgibt sic h ats Konlostand Km a m Tagc der ill-len A bhebung (m s o):

(3 .7.8)

Beispiel 3.7.9: Am 0 1.01.01 bcuagt das Gut habcn a uf eincm Konro (10% p.a.) 400.000,-- €. Bcginnend 01.01.02 worden jahrlich 60 .000,-- € abgehoben. I) Wie tauter der Kon tostand nach der 5. Abhcbung? Ii ) Wlcviclc Rat cn zuje 60,000,--

€ knnncn abgehobcn we rden, bis cas Ko nto crschoptt ist?

llisung: zu i) Nach (3.7.8) gilt - da die Zahlungsstruktur der Vorra ussctz ung nach Abb. 3.7.1 cnts pricht: Ks = 400.000 -1,105- 60.000 '

J,~:~ I

= 277.898,••

€.

l si das Kont o am Tagc dcr n-t en A bhcbung( = let ztc Rate) crschOpft, so mu ss gclten: Kn "" 0 (m '" n). Scm man diese Bezichung in (3. 7.8) em, so crhalt man die sogenanntc Kapitaherzehrsfonnel

zu Ii)

q" - 1 q- I

o

(3.7.lO)

'----------

I

1m vorlicgcndcn Beispie l (n gesuchtt] gilt: 0", 400.000 · I,lO "-60.000 · 1, 10" - 1 0, 10

~

2 ' 1,1" '" 6

~

0", 40.000 ' 1,1"-60.000'(1 ,1"-1)

. 0,1

n '" In3/1n1 ,1 :=:: 11,53 Raton (d.h . JI Ratenplus eine vermindene Schlussrate, siene wetter un/en)

~

Man kann die Gleic hung (3.7.lO) aueh in a1lgemein naeh n aunosco: Multip likation von (3.7.lO) mit (q - I) licfcrt : o _ R 0'" Ko(y - l ) yn-R yn + R , d.h . q

10

(3.7.11)

" =

-

R -Kq(q - I )

R

R - Ko(q - I) 10 q

60.000

Sctzt rnan die gcgcbcne n Da len cin, so folgt : n '"

60.000 - -10,000 In 1,10

:=:: 11,53 , wic eben.

Wie in Beispiel 3.4. 1 iv) ist die Tcrminzahl n kcine natOrJichc Zahl. Daher worden im vorncgcnden Fall 11 volle Ratcn abgc hobc n sowie nach ctncm weiteren J ahr cine vcnn inde rte irreguJiire 13. Schlussrate dcr Hone 32.3 14,32 € ('" K ll ' 1,10), vgl. Berechnung in Beispiel 3.4.1 iv». Danach ist das Ko nto erschopft.

3.7

129

Kapitalaulbau /Kapitalabbau durch laufcnde Zuflussc/E ntnahmcn Das folgende Verglciehskont o bildet den bcschriebenen Kapitalabbau-Vorgang dctailliert naeh: Jahrcsbcginn

Kontostand zu

Zinscn (10% p.a.) Ende des Jahrcs

Abhebung (-) am Ende des Jahres

12

400.000 ,00 380.000 ,00 358.000,00 333.800,00 307.180,00 277.898,00 245 .687,80 210.256,58 171.282,24 128.410 ,46 81.25 1,51 29.376,66

40.000,00 38.000,00 35.800,00 33.380,00 30.718,00 27.789,80 24.568,78 21.025,66 17.128,22 12.841,05 8.125,15 2.937,67

60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000 ,00 32.3 14,33

13

0,00

Jahr

01 02 03 0' 05 06 07 0' 09 10 11

Kontostand zum Endc des Jahrcs

380.000,00 358 .000,00 333.800.00 307.180,00 277.898,00 ( 245.687,80 210.256,58 171.282,24 128.410,46 8 1.25 1,5 1 29 376,66 ( 0,00

( Vergleichskon to [ur Kapualabhau, Beispiel 3. 7.9)

Bet der Ennittlung vo n ~Kon too;tan den" bel Kapitalautbau /Kapitalabbau ist - wic gcsehen - der bctrachtete Bewertun gs.\ tichtag \tichti g. denn fur eincn Kontost and im Zcitpunkt t = m sind nur solcbc Za hlungen (Zufliisse/Abhebungen) relevant, die brs zum Stichtag einschlieJllich gefloo;sen sind. Unter dtcser Pramisse gilt aucb fur die Ermittlung von ~ Kontos tande n " das grundlcgende Aquivalenzp rinzip (Salz 2.2.18) : Ocr Kontostand Km (vgl. Abb. 3.7.1) kann grundsatzftch ennittc1t werden d urch getre nntes Aufzinsen von ,.Lcistungcn" und . Ocgcnlcistungcn" mit anschlieBcnder Saldobildung am Snch tag (vgl. Aquivalenzp rinzip Satz 2.2.18) .

(3.7.12)

Vcrcinfacht ausgcdruckt gilt am Sticbtag: Kontostand = Leistung - Oegenleetuog (wobei nur Leistungen/Gegenleistung en bemcksich ngt werden, die bis

zurn Stichtag einschliefJlidJ geflossen sind!).

Dabci sind die sog. "sparka..senfortneln" (3 .7.4)/(3 .7.8 ) lediglich vcrwendbar fur den (hiiufig votkom menden} Sonderlal l. bci dem die Lcistung durch lias Anfangskapital Ko gcgebcn iSI, wahrend die Gcgenleislungen (bei Kapitalaufh au: "Zusaaleislungen ") aus den Raten etner Rente bcstchen, die genau cine Zmsperiode nach Wertstellung von Ko einsctzt , wie in Abb. 3.7.1 zu sehcn. Das folgende Beispiel zcigt die Bildung des .Kontostandes" in eincm Nicht-Standardfalk 8 eispieI 3.7.13:

I

Gcsucht ist der Kontostand Km am 0 1.01.06 bci Vorliegcn folgcndcr Zahl ungssuuktur (Einzahlungen (L ) sind obernatb, Auszahlungen (GL) sind unterhalb d es Zahlungsstrahls aufgefiihrt) : Km

(l=fO%p.o/

I ;Z01.

Of Of.OC

3000

4000

I

I

1500

f

te t

II!

I

1500

1500

1500

1500

1500

1500

1500

{GlI

3

130

Rcntemechnung

Nach dcm Aquivalcnzprinzips gilt fur den Kontostand Km zum 0 1.0 1.06 (mil q = J,l) 6

4

S

3 1 1 - 1

Km = 3.000 - 1,1 + 4.000' 1,1 -1.500' 1,1 -1.500· ~ = 3.790.32 € . D ie vier let zten Rat en (xuje 1.500 €) gehen nicht in den Kontostand zum 01.01.06 d o! Z ur Kon trolle sci wicder d ie cnts precbendc Verglcichs-Kontostaffcl abgcbildct. Jahr

00 01 02 03 04 05 06

Komcstand zu Jahrcsbcginn

3.000,00

1.800,00 5.980,00 6.5 78,00

Ende des Jahres

Endc des Jahrcs

Eiw, {+)/Abh.(-)

Ko ntostand zum Ende des Jahres

300,00 180,00

- 1.500,00 4.0 00,00 0,00 - 1.500,00 -1.500,00 -1.500, 00

J .800,00 5.980,00

Zinscn (10% p.a. )

598,00

5.735,80

657,80 573,58

4.809 ,38

480,94

3.790,32

6.578,00 5.735,80 4.809,38 3.790,32

(Vergleichskonto zu Beispiel 7. J.13)

Aurgebe 3.7. 14: i) Ein U nternchmcr sclZt sich am 0 1.01.06 mit 250.000,- - € zu 8 % p.a . angclcgt zur Ru ne.

a) Wclche glcic hblcibendc nachschussigc Rate kann cr ab 08 jahrbch davon 16 J ahre lang abhcben, so das s dan n da s Kapital aufgcbraueht ist ? b) Welehen Bct rag hat cr am 0 1.01.12 noch auf sci nem Konto, wen n er ab 06 ja hrlich vorschussig 30 .000,-- € abgchobcn ha t? ii) Z immenn an n zahlt - bcginnend 0 1.0 1.05 - 7 J abrcsrat cn zu je 12.000 ,- - € auf ein Konto ein. Bcginnend 0 1.0 1.15 zahlt cr weitere 6 Ra ten zu je 18 .000,· - € und - beginnend 0 1.0 1.22 wcitere 6 Raten zu jc 24.000,-· € / Ja hr cin. De r Zin ssatz bctragt 7% p.a. bis zum 3 1.12.08 , da naeh 9 % p.a . bis zum 31.12 .16, dan ach bis zum 3 1.12 .24 10 % p.a., danach 5% p.a. a) Man enn ittle den Kontostand am 0 1.0 1.29. b) Man enn ittle den Kontostand am 0 1.01.12. c) Durch wclehen E irunalbctrag am 0 1.01.05 konnte ma n samuic hc Raten aquiv alcnt crsct zcn? iii) Tennisprofi Boris H ube r hal in den letz ten J ahren - beginnend 01 .0 J .05 - aus scincn

wcrtc -

einnahmen jahrlic h 1.000.000,- - € auf scin Konto bei d cr Bank of Bahamas cin - gcza hlt, letz re Rate 0 1.0 1.08. Die Vcrzinsung erfolgt mil 10% p.a. Mangels dureh sehlagcndcr sportlicher E rfolge trill cr m it Wirkung vom 0 1.0 1.09 in de n Ruhestand und will nun die Fruchtc seiner vcrgangencn Anst rengungen genicBcn. a) Wicvicle J ahresraten zu je 600 .000, · · € /Jahr kann cr - begin nend 31.12.09 - abhcbe n, bis sein Konto erschopft ist ? b) Wclchcn Jahrcsbctrag - bcginnc nd 3 1.12 .09 - darf e r hochstcns abhebe n, damit er insge samt 60 J ahrcsraten von seincm Konto abhebe n kann? c) D ie Bank of Bahamas bietet ihm cine aquivalc nte " t.--wige" Rent e, bcginnend 0 1.0 1.10. Wie hoc h Ist die Jahresrate dicser ewigen Rente? iv) Gc gcben sci cine vorsch usslgc Rente zuje 50.000 € /J ah r in den J ahren 00 - 08, i "" 8% p.a . a) Man cnn itt le Endwcn und Barwcrt dicscr Rent e. b) Wclehe jahrlich naehsehOssigc Rente ko nnte in den J ahren 10 - 20 daraus bczogc n worden?

3.7

Kapitala ufbau/ Kapitalabba u durch laufcnde Zuflti sse/ E ntn ahm en

131

v] Wic gro/3muss cin Kapital am 01.01.09 scin, damit ab 1. Q uartalJ O- gcnau J7 nachschussige Raten zu jc 12.000,-- € / Ouartal davon abgehoben werd en k6n nen? (i = 2 % p.Q.) r-

vi) Pietsch hat 1 Mia . € zum 01.01.05 auf cincm Ka nia (7%) angclegt. Davon will er jahdic h nachschussig - beginnend 08 - 90.000,· · € / J ahr abhcbcn. a) Er bcabsichtigt, das Verfahrcn zunac hst 20 Jahre lang durchzufiihren . Welchen Betrag wcist scin Ko nto am 0 1.0 l.1 4 auf?

b) wrcvrete Rat en kann cr abheben, bis sein Konto leer ist? c) Man bcan twc rte Frage b), wenn er stets 80.000,-- € / J ahr abhcbt.

Aufgabe 3.7.15:

Huber spart fur d ie Zeit nach seiner Pcnsionieru ng. Jiihr lieh zum 3 l.12. Oberwcist c r 8.000,-- € auf scm An tage zont o, ers tmalig am 31.12.08, lctzte Sparrate am 3 1.12.19 . Am 01.09 .20 wird er penslonicrt. Er will dann die Friichte seiner Spara nstrengungcn genieBen und - beginnend am 01.0 1.2 1 - jahrlich 12.000,-- € abhcbcn (6 ,5% p.a.). i) Ober welchen Kontostand verfOgt er am 0 1.0 1.28? ii) Wicviclc Raten kann cr abbebcn, bis sein Kan ia erschopft ist?

iii) Welchcn Jahresbetrag tonstelle von € 12.000, --) konnt e cr insgcsa mt 25- mal abheben, so dass da nn das Konro lee r Ist?

iv) Wclche jahrfichen A nsparratcn [ansidte von 8.000,-- €) bane er zuvor Icisten mnsscn, urn genau 16 Jahrcsraten zu je 12.000,-- € /J ahr abhcbcn z u konnen"

Aufgabe 3.7. 16:

H ube r hat sich im Ra hmen cines Sparp lan s vcrpflichtc t, auf cin Kcn to dcr Moser-Bank (dar vieneija hrlich mil 1,5 % p .Q. abgerechnet wird) beginne nd zum 01.0 1.00 viertcljiihrliehe Raten zu jc 5 .00 0,-- € / Q uartal einzuzah lcn, lctzt e Rat e am 0 1.01.03. i) Wie hoch ist dcr aq uivalcntc Gcsa mtwert von Hu bers Zahlungcn am 01.01.00? ii) Man crmiulc H ubers Kontostand zum OJ .0 1.00 .

beantworte Frage i), wenn dcr Z inssatz zunachst J,5% p.O. bc tragt und mit Wirkungcn vom OJ.I 0 .01 auf 2% p.Q . steigt .

iii) Ma n

iv) H uber vcreinbart mit der Moser- Kredit -Bank, aile urspr unglich vcrci nbart cn Raten in aquivalcnter Weise du rch cine lO-mal ige Rente (Quarta/.l"ra/en, erue Rate am 01.07.01) zu crsctzcn. Rat cnhnhc? (1,5 % p. Q.) v) A lles wie iv) mit folgend cm Unt crsch icd: Ratcnhohc dcr E rsatzratc Ist vcrcin hart mit 6 .000 ,-€ / Qu artal. Wie viele dicscr Rat en sind zu zahlcn? vi) Wclche "cwige" Ouartalsrcnt c - 1. Rate am 01.01.04 - ist aquivalcnt zu H ubers ursprlinglichcr Rente ? (1,5 % p.Q.) Gc sucht ist die Ratcn hohc dieser cwigcn Rente.

' vii) H ube r will (wie bei vi)) samtlirhe ursprunglich verein bartc n Ra ten aquivalent ersetzen du rch eine ewige Viertcljahres- Re nte, erste Quartalsrate am 01.01.0 4. Unterschicd : De r Zi nssatz bct ragc zu nacbst w iedcr J,5% p.Q . und ste ige mit Wirk ung vom 01 .07 .04 auf 2% p.Q .

Wic hoc h muss die Rat e R dicscr aquivalcntcn cwigcn Rente gewiihlt werden (dabei soil die RatenhOhe R sich nicht zwischenzenltch ondeml]

3

132

Rcntcnrcehnung

3.8 Auseinanderfall en von Rate nte nnin und Zinszuschlagtenn in Die bishcrigcn U bcrlcgungen zur Rcntcnrcehnung gingcn von d cr Prarmsse . Rcntcnpcnodc gleich Z inspcriodc" aus, vgl. (3.1.3) und Bern. 3.2.6i). In der Praxis slimmc n jcdoch hfiufigdie U ngen '-00 Rent en und Zinsperiode nichl iiberein . Wirwollcn in den folgendcn bciden U nterkapitcln 3 .8. 1/3.8.2 zunachst nUT die beid en wichtigsten Rille bctrachten (wobei stets vorausgesetzt wtrd, dass die Rm tenperiode ein

ganzzahliges V ieifaches der Zinspenode (oder umgekehrt) LSI):

Fall (I)

(d.h. esgebrmgleichlange Zinspenoden pro Remenperiode, vgl. Abh. 3.8.1)

Rentenpenede grofler als Zinsperi ode (sidle Kap. 3.8. J)

,I

,

u s.

Ra ten/erm i ne

Idhrlich!

I

~~~,

R

R

I

R

R

I

I

Z in SZ IJ s c h l a g f e r m i n e

Abb. 38. f

tdh. es gebepro Zinspetiode m gleichabsliindige Ratentam ine, sieheAbb. 3.8.2)

Zlnspertode gooBer els Rent enp enode

Fall (2)

[siehe Kap. 3.8.2)

,I , ,I I

R

R

R I

I

1

R I

~ Abb. 3.8.2

u e.

Rate nte rm ine

..

viertel/ehrlich}

,I ,I ,I ,I ,I ,I ,I ,I ,I

R I

I

I

R I

R I

R I

R I

I

I Z /nsz us ch la g t e r m / n e

R

R

R

R

~ (z.B phrfkh, ZinssalZ i J

3.8

Auseinanderfallcn von Ratentennin und Zinszuscblagtermin

133

Zicl de r folgenden Uberl egungcn ist es, in heiden Fallen de n R entengcsamtwert mit Hilfe dcr bckannte n kompakten Rentene ndwertfonncl (3.2.5) q'' - 1

Rn ", R · --q:J

(und deren Erweiterungen sowie mit zusanncnen Auf'/Abzinsu ngs vorgangen) enn itt cln zu kon ncn. Wie sich in Kap. 3.2 bci der Herlcit ung dieser Fonnel ergab. gilt die Rentenfonncl (3 .2.5) allerdings nur unter dcr (jelzt gerade nk ht erful/len) Pramisse dcr Uberemstimrnung von Renten - und Zinsperiodc .

Wir werden dah cr im folgendcn die Zinspcnodcntangc so veran dcm , dass - unt er Wah rung der Aquivalenz - wieder nZ insperiode = Rcntcnpc nodc" gilt und somit die Rentenfonnel (3.2 .5) anwcrujbar wird.

3.8.1

Rentenperiode gr08er als Z in speri od e

Z wische n je zwci Raten liegen m glciehlange Zinspcriodcn [Periodenzinssatz ipJ , vgl. Ahh. 3.8.1. Wir wollen das Gru ndprinzip an eincm klcinen Beispiel erlaurcro: Gc suc ht sci der Wert R 3 cine r 3 ~ma]jge n Rente der H d hc R am T ag ihrer letzten Rat e, stchc Abh. Zwischen jc 2 Raten liegen (m "') 4 Zinspcriodcn, Periodenzinssatz 'p'

Bei.~piel :

'""--./"--./"--./"--./"--./"--./"--./"--./ '" ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

Elcmcntarcs Aufzinsen licfert:

Substuutert ma n nun:

(I +i p)4 ", q , so tauter dcr Rentcn endwert:

R 3 = R q 2+Rq +R = R ' (q2+ q + 1),

d.h . wegen (3.2 .3):

qL I R3 ",R · - q- I

Dabci ist q (= (l + ipJ 4) der Effeklivzinsfak lor fur d ie 4 T cilpcriodcn, die zwischen jc zwci Rat en Hcgcn. siehe aueh Dcf . 2.3.11 und Forme! (2 .3.12).

Ganz analog vcrlauft die Uberlegung im allgemeinen Fall, in dem zwische n je 2 Raten ill Zins pcnod cn (jeweils mil dem Penodenzinssatz ipJ liegen: Man fasst namlich da nn die Renlenperiode ats vcrgrouert e neue Zin ~periode auf und ermittelt den zugchorigcn effe ktiven z rnssatz i r pro Renl enperiode naeh (2.3 .10) iiber die Aquivalenzbcziehung (1 + ip)m = 1 + i r

(3 .8 .3)

("',qr)'

Damit hal man wicdcr " Z inspcrl(x1e = Rcntcnpcrlodc". Der Gcsamtwert eincr n-mal igcn Rente am Tag der Ieeren Ra lenmhlung ergibt sich da nn naeh (3.2.5) zu

(3 .8.4)

R,

bzw. wegen (3.8.3):

R,

wobc i man anschlietjend led iglich bcachten muss, dass die zu lJr pa sscrdc neue (lange) Zinsperiode mmal so lang wic die urspr ungtichc (kune) Zinsperiode ist.

3

134

Rcntenrechnung

(3.8.4) tassr stch dirckt anhand von Abb. 3.8. 1 mit Hilfevon Satz 2.2.18 (Aquivalenzprinzip) bcwetscn. Dazu muss lediglich bcacntct worden, dass die crstc Rate bis zum Stichlag (= Tag der tetzun Rale) m -(n - 1) Zins pcriodcn aufzuzinscn ist, die 2. Rate urn m ' (n - 2) Z inspc riodcn usw. Dan n folgt fU r den Rcntcncndwcrt R n:

R n = R _qm(n - l)+ R ·q m(n- 2)+ ... + R _q m+ R

(mit q'= l+ ip)'

Ausklammcm von R sowic d ie Substitution q'" "" q r Iicfcrt: I

q n- 1

2

Rn = R(q/ - +q/- + ... +q + 1) = R · - 'r

-

(wegen (3.2.3» .

q r -)

Dies gcnau isl die Aussagc von (3.8.4).

Belsplel 3.8.5: Gcgeben is! cine 8-maHgc Rente, Ratenhohc 15.000,-- € /Jahr, zahlbar jcwctts am 01 .01., crstmalig am 01 .0 1.06 . Die Zinsen word en vicrtcljahnich (relativ) bci nomincll 8% p.a. zugcschlagen, d.h. cs muss mit i o = 2 % p.Q. gcrcch net werdcn . i) Ges ue ht ist dcr R cntengcsamtwcrt am Tag dcr Ictzte n R atenzah lung. ii ) Dutch wclchcn Bctrag - zahlbar zum 01.10 .06 - kann die gcsarntc Rent e aquivalcnt crsctzt

worden? l .-Osung: tsiehe Abh. 3.8.6)

R

R m

tn

1

I

0101,06

I

R

'"

R

R

'"

R

'"

01

R

'"

R

'"

'f-"

10

01.,0,06 1iiI

13

I

III

Abb 3.8.6

zu i) Neue Zinspcriod e = Rentenpcriod e = 1 J ahr. Dc r zu gchongc Effektivzmsfaktor qr = 1 + i r bctragt naeh (3.8.3): qr = 1 + i r = (1 + 0,02)4 = 1,0824321 6

(ip = 0,02 is' der tatsachlicn pro Vierteljahr angewendete Zinssan t] s s.s ~ R g = 15.0GO ' 1.082.13.. - I 15 .000 ' (1, 02 I = 160.957,92 € .

1-

0,08243..

1,02 - I

Zur Kontrolle folgt das mit 8,243216% p.a. abgcrechnere Vcrglcfchsko nto: Zinscn (8,2.n.. %) Ernie des Jahrcs

Rate (+) am Ende des Jahres

Kontcstand zum

Jahresbcginn

12

0,00 15.000,00 31 .236,48 48 .81 1.37 67.835 ,00 88 .426,79 110.716,00 134.842 .56

0,00 1.236,48 2.574,89 4,023,63 5.59 1,79 7,289 ,21 9 .126,56 11.115,36

15 ,000,00 15.000,00 15.000,00 15,000.00 15 .000 ,00 15 .000 ,00 15 .000,00 15 .000,00

15.000,00 3 1.236,48 48.811.37 67.835 ,00 88.426.79 110.716 ,00 134.842,56 160.957,92

13

160.957,92

Jahr

05 06 07 08 09 10 11

Kontostand zu

Ernie des Jahrcs

(Vergleichskonto fur Beispiel 3.8.5 i))

3.8

135

Auscinandcrfallcn von Ra tcntcnn in und Z inszuschlagtermin zu ii)

Ocr unter i) crmttte nc Bn dwcrt R s muss 6 J ahre + 1 Quartal p .Q.) abgczinsl worden; R · _ 1_ 98.108,82 € .

25 Q uartale (mil j '" 2%

8 1,0225

Bemerkung 3.8.7: Zur Ermiulung der Remenformel (3.8.4) wurde die gegebene Zinsperiode (2ins: ipJ an die m-malso grope Rentenperiode angepassl durch A nwendung des ZI/. ip effeklivrn Z inssatzes i'li

R - ] -- + - --+--

-+

I .~ I ~ I ~ I Renlenpen'ode

=m

Ab b . .3. 8.8

Zinspen'oden

Dasselhe Resuttat erzieh man Jurch Ermittlung einer sag. " konf ormen Emuzrate" , , m-mal zu

zahlen in jeder Remenperiode; unJ zwarjeweils zum Ende einerjeden Zinspaiode:

r

r

III

-]

l

r

121

r

fm-1)

131

+--------+--a;;, "-'v R

~ ~

~

1 Zinsper

1 Renlenperiode

r

Iml

=m

Zinspen'oden

Abb. 3.8.9

Die m Ersatzmten , pro Remenp eriode mu.ssen dabei so gcwiihlt werden, doss sit ZI/. der Ialsiichlich gezahlun Rate R iiquivalent sind, wobei R mit der lenten der m Ersatzraten zeitucn zusammenfiillt, vgl. Abb. 3.8.9. Daher muss -mil a » 1 + ip - gdten: (3.8.10)

,
(3.8.11)

R·-

,-I

dh.

,-I-

(r = konforme Ersalzrale) .

I

Jetzl kann ma n - do die neue Remenpen od e (Rate: r) nun mit de, Zinspenode (Zinssatz: inJ ubereinstim rm - normole Remenrechnung beueiben, wobei lediglich zu heuchten ist, doss eine "ofse" Role R mit (3.8.11) aquivatent ersetu wurde du rch m Ersanraten r grmiip A hh. 3.8.9. Fur den Remenendwen Rn am Tag der n-Ien Rate R (:20 Tag de' n 'm-Im Ersatzrate r) gilt nun mil (3.2.5), (3.8.11) sow ie q ,= 1 + ip :

t/"m-l

R n = , . -'-=---,-' ,

d.n .

I

R·

R' -

t/'
,-I

I,idmlisch mil (3.8. 4), do q = 1 + ip •

136

3 Rentenrcchnung Zinsp eri ode gro8er als Renten periode

3.8.2

Innerhalb ciner Z inspcriode {Paiodeminssatz: i) Iiegen m Raten der Hohe R, vgl. Abb. 3.8.2/3.8.12:

I·I

-

R

-1--

Zinspeliode Zinss alz, i

R

R

_ - I Re'! fen- 1--

penode

R

I

R

-I

Zinspeliode ZinssalZ__ i

R

(Ssp ,: m = 4)

R

R

I

R

Abb.3.8. 12

Wir betrachten (zuniichst) nur den Fall, dass die Zinsperiode in m glcichlange Rentenpcrioden autgetcilt ist und in iedem Ratcnintervall genau eine Rate Iiegt (und zwar rnlWeder zu Beginn oder zum Ende der Rentenp enode) ,

Jetzt ist die Anpassung von Zins- und Rentenperiode sehwieriger ars in Kap. 3.8. 1, da unklar ist, in wclchcr Weise die unterjahngcn Raten per Aufzinsung auf das Zinsperiodenende transformiert werden konn cn bzw. rnnssen. So gibt es denn auch in der Praxis mehrere prinzipiell unterschiedliche Auffa..;sungen 7 daruber, auf welche Weise hier Verzinsung untcrj ahrig durchzufiihren sci:

•

Sci der international bcsondcrs haufig anzutreffcnden "ICl\-lA-MethodeU (siehe Kap . 3.8.2.1) ist die Zinsperiode idcntisch mit dem Zcitintervallzwischen zwci Zahlungen, entsprechend oft erfolgt der Zinszuschlag. Der anzuwendcnde Periodenzinssatz i p ist ko nfo rm zum Jahreszinssatz i.

•

Bei der "US-Methode" (siehe Kap. 3.8.2.2) crfclgt der Zinszuschlag (eoenso wie bei der lOlA Method e) mit jcder Zahlung. Allerdings isl hier dafur anzuwendende Periodenzinssatz ip re/ativ

zum Jahreszinssatz. • Bei der in Deutschland noch haufig anzutreffenden ,,360-Tage-Methode" (360 TM, siehe auch Kap. 3.8.2.3) betragt die Zinsperiode stcrs ein Jahr. Untcrjahrige Zahlungcn werden mit Hilfe der tinearen Vazinsung auf- oder abgezinst (Sparbuch-Modell). Bemerkung 3.8.120: Far die Berechnung des Eff ektivzinssatzes von Verbraucnerc reduen schreibt die akt uelle Preisangabenv erordnung (PAngJl) ab 01.09.2000 d ie l e MA -Methode vor, wiihrend vor diesem Zeupunkt die 360- Tage-Melhode anzuwenden war.

3.8.2. 1

ICl\-IA·Methode 8

("intematiollale Methode")

Die Zinsperiode (Zinss atz: i) wird auf aquivalente Weise verklcinert und an die Rcntenperiode angepasst. Dcr Z tnssatz ip der neuen verklcincrten Zinsperiode (= Rentenp eriode) wird konform aus i cnnittelt nach (2.3.10): (3.8.13)

Jetzt kann man "gewohnlichc" Rentenrcchnung mit R und ip betreiben, da die Gleichhcit von Z insund Rcntenperiode gewahrleistet lst.

7 Wir werden spiller (vgl. Kap. 4.3 bzw. Kap. 5.3) wcucre Koorofuhnmgsvanantcn und insbesondere Miscbformen der drci j ctzt bchandclten Methoden kennc nterocn. 8 leMA: International Capital Market Association. Die ICMA-Methode ist idcntisch mil der friiheren ISMAMethode (ISMA: International Securities Markel Association).

3.8

137

Auscinanderfallen von Ratentermin und Zinszuschlagtcrmin

Beispiel 3.8.1 4 (l e MA·Methode):

Gcgcbc n sci cine l1 -maligc Rente, Ratenhohe R (::: 1.000,-- €/Quan aL) , erste Rate zum 01.01.01 (d.h. Jelzle Rate zum 01.07.03, vgl.Abb . 3.8.14) :

s,I

,

Ro

l ~, ~,

0 1.01.0 1

01.01,02

il------if----+-R

'"

R m

f---

R

R

'"

0 1.01,03

----+--+----+--t---+------iR

R

'"

'"

Of ,0703

R

R

m

'"

R

m

'"

R (10/

R

/111

Abb. 3.8, f4

Ocr (eff) Jah rcszins i sci mit 12% p.a. vorgegcbcn. Gcsucht sci der Wert der Rente am Tag der letzten (RrJ sowie am Tag dcr ersten Rate (Ro) mit Hilfe der (eben erliiutenen) ~ i ntemat ionalen" Methode (diese beiden Wertslel/ungstage sind willkurtiche Vorgaben bzw. Fordemngen des Problemstellers, siene aucn Bern. 3.3.8!) . Ocr zu ieff ::: 12% p.a. konfonne Quart alszins ip ergibt sich mit m ::: 4 wegcn (3.8.13) zu (1 + il

::: 1,12 ,

d.h .

q ,= 1 + ip = 1,12°.25 "" 1,028737

und somit der Rcntcnendwcrt R n zu I 122,75 - I

q l l _l

1.000 , - - = 1.000 · ' q- I

025

1,12 '

- 1

.. 12.724,97 E.

Zur Kont rolle wird das ICMA-Vergleichskonto mit 2,8737345 % p.O. (ko nfonn zu 12 % p.a.) durchgcrechnet : Quart.b cginn

Zinscn (2,K73..%) Endc des Quart.

Rate (+) am Ende desQuart.

11

0,00 1.000,00 2.028,74 3.087,04 4.175,75 5.295,75 6.447,94 7.633,23 8.852,59 10.106,99 11.397,44

0,00 28,74 58,30 88,7 1 120,00 152,19 185,30 219,36 254,40 290,45 327,53

1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000 ,00

12

12,724,9 7

Quart.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Kontostand zu

Kontostand zum Endcd. Quartals

1.000,00 2.028,74 3.087,04 4.175,75 5.295 ,75 6.447,94 7.633,23 8.852,59 10.106,99 11.397,44 12.724,9 7

(Vergleichskonto zu Beispiel 3.8.14 - leMA-Methode)

Durch Abzinsen urn 10 Quartal e crgibt sich Ro zu

Ro

I = Rn · 1,122,5 = 9.585,43 E .

Diese Methode lasst sich pnnzipiell fur belicbig vielc Raten in beliebig kleinen (auch wechselnden) Abs tandc n anwenden, da notfalls mit konfonncn Tageszinsen gcrechnct werden kann . Stets werden die Ergebnisse unabhangig von der gcwiihltcn Zinsperiodentangc sctn - die re MA-Methode ist in sich konsistent.

138

3.8.2.2

3

Rentenrechnung

~ US· Meth ode"

Ebcn so wic bei dcr le MA -Methode erfolgt dcr Zinszuschlag sofort mit jeder Ratenzahlung. Ein Untcrschicd bcsrcht allerdings in der H ohe des anz uwendendcn un terjahrigcn Pcriodcnzinssatzes ip' der in dicscm Fall retouv zum J ahreszinssatz i ist. Besteht das J ahr aus m unterjiihrigcn Rentcnpcriod cn (= Zinspe riodenJ, so ist der Periodcnzinssatz lp bci uer US-Methode dcmna ch gcgcbcn durch . i lp=ffi .

BeispieI 3.8.1S ( US-AfetJwde):

Wir bctrac htc n dcnsclbcn Zahlungsstrahl wic im vorangegangcncn Beispiel. Beim unterst ellte n J ahrcsz inssat z von 12% p.a. ist nunmchr dcr anzuwcndende Q uartalszinssatz 12%:4 = 3 % so sich am Tag dcr 11. Rate folgcndcr Rentencndwcrt R n crgibt:

r.o..

ql L J

I 0311 - 1

q -l

Om

Rn = 1.000·-- = 1.000 · '

=

12.807,80 €.

(Der US·EndWeJ1isl - da starker au!gezinsl- hOherals der /CMA-Endwen.)

Das US-Vergleich skonl o hat dicsclbe Strukt ur wic das ICMA- Konto, lcdiglich dcr Quartalszinszins betragt nunmehr 3% p.Q. (Slott 2,87373 45% p.Q.); Q",'"

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Kontostand Z\I

Quart.bcg inn

11

0,00 1.000,00 2.030,00 3.090,90 4.183,63 5.309,14 6.468,4 1 7.662,46 8.892,34 10.159,11 11.463,88

12

12.807,80

Zinsc n (3% p.Q.)

Ende des Quart.

Rate (+) am Erniedes Quart.

Kontostand zum Ernied. Quartals

1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

1.000,00 2.030,00 3.090,90 4.183,63 5.309 ,14 6.468,41 7.662,46 8.892,34 10.159,11 11.463,88 12,807,80

0,00

30,00 60,90 92,73 125,51 159,27 194,05 229,87 266,77 304,77 343,92

(Vergleichsk onto zu Beispiel 3.8./5 - US-Methode)

DUTCh Abzi nsen um 10 Q uartale crgibl sich dcr Barwcrt

Ito

I

Ito (siehe Abb. 3.8 ./4) z u

= Rn ' - 10 = 9.530,20 1,03

€ .

(Der US- Borwen iss - da uarcer abgennsc-: gennger ats der / CMA -Borwen.)

Auch d ie US-M ethcxlc lasst sich prinzipiell fur belicbig viele Raten in belieb ig klcincn (ouch wechselnden) A bstanden anwenden. Allcrdings fuhrt dabe i die Verwendung des relativen unterjiihrigcn Z inssatzes zu vcrzcrrt cn Wert en, die Effektivverzmsung wcicht dcst o meh r vom (nominellen) Ja hreszins ab, je klciner d ie Zin sperioden gewahlt werden mussen.

3.8

Au seinandcrfallcn yon Rat cntcrmin und Zinszusch lagtcrmin

139

3.8.2.3 ,,360.Tage-Methode" (360TM -Sparbuchmethode) E mcut bcstcht die G rundidee darin, Ren tenperiode und Zinsperiode in ~reinstim m nng zu bringcn.

w ahrcnd die l e MA-M ethode (Kap. 3.8.2.1) und die US-Methode (Kap. 3.8.2.2) zwischcn jc zwei Rate n Zi nseszL nsen ansetzen, hasiert die 360-Tage-Methode auf der Rktion, dass innerhalb dcr votgcgebenen Zi nspcriodc keine weiteren Ztnsverrechn ungste rmlne liegen durfen, so das s die innerhal b jedcr Z inspcriodc liegenden Raten nunmehr mit H ilfe dc r liuearen Verzin.~u ng a uf den nachsterreichbarcn

Zinsverrechnungstennin aurgezinsl werden rnusscn. D ies Verfahren wird zunachst unabhangig filr jcde Zi nspcriode d urchgcfuhrt, so da ss sich am En dc nur noc h (durch lineureAujzinsung gewonnene) sog. Ersatuaten R· in de n Z inszusehlagtenni nen bcfinde n und somit wiederum Obcrcinstimm ung von Rent en-zZahlungsperiode und Z inspcriode bcs tcht. Ei ne Besond erfJeil 9 gilt lcdiglich fur die in der lctztcn l'' Z inspcriode Iatttgcn Zahlungcn, wenn die letzle Zah1ung niehl auf einen Zlnszuschlagtermin rallt:

•

Soli cin Barwert

~ der gcsamten Zahlungsrcihe crmittelt werdcn (d.h. liegtder Bewenungsstichtag »links") , so zinsl man die innerpcriodi sehen Zahlu ngen dcr letzlen Zinsperiooe zunac hst linear auf den Tag del' lelz ten Rate auf (vgl. auch unsere Konvemion 1.2.33) . Dcr crhalte ne Wert wird dann linear auf den unmillclbar vorhergchcnde n Zinsverrcchnu ngste rmin abgczinst und von dort mit Hilfe der Zi nscszi nsrechnung weiter abgezinsl bis zum gcwiinsehten Barwert-Stichtag, (Denkbar ware audl das sep arate A bzinsen der Zahlungen der len ten Zinsperiode gewesen - allerdings mil ab -

wocnenaem Resultat ...)

A bb. 3.8 .16 zeigt schematisc h das Prinzip der 360-Tage-Methode fur Barwerterm iltJung:

1--

Zlflsperiode

- +-

Zlflsperiode

- +-

Zinsperiode

-+-

Zinsperiode

---I

R

I

Ab b . 3.8, 16

•

Soil der Endwert K n der gesam te n Zahlungsrcihe crmit tclt worden, (d,h. tiegtder Bewenungssiiduag

.recms", also am Tag der letzten Za hlung * Zinszuschlag lennin), so ztnst man die Zahlungcn der letztcn Zi nspc riode (und ebenso da s zu Beginn der letue n Periode vorhandene angesammeue Kapual KJ linear auf diescn Stichtag auf .

9 Diese - leider notwendi ge - Bcsondcehcit hat ihre Ursachc in der sattsam bckannten Inkonsistcnz de r lincarcn Vcrzinsu ng . 10 Sci der 360 -Tage -Melho de begi nnt die crste Zinsperiode definitionsgelllaA mit der ersten vorkomme nden lablung. Dcnkbar ist cbcnsogur der Fal l, dass die letzte Zinspe riode endct mit der Ietzten vo rkommenden Zahl ung, vgl. KontoHiIuungsmethode nac h Brecss'Fa ngmcycr, Kap. ,* ,3 bzw. 5.3.

140

3

Rentcnrechnung

Abo. 3.8.17 zcigt wiederum schematisch das Vorgchcn der 360· Tage-Melhode fur EndwerterrniUlung:

~-

1

Zinsperiode

-+-

RRRR

1

Zinsperiode

- +-

R

R

R

I hn L'::f?\ R I 'L--==: hnL- :: ~~

q

-+ -

ZIf1Speriode -

1----- -

r , L I

Zinsperiode

I

2

l .i

R

R

-

-1

---tf-

Ii~

-~

,

-([;),;;-@

Abb. 3,8, 17

Beispiel 3.8.18: Gc gcbcn sci die folgcnde Zah lungsrcihe tuntcre Ahhildung) :

~.

Zinsperiode - -1

01 01.

0101 00

0 1.01.

01.01

02

0'

0 1 0 1. 04

03

,, -1--+--+--+-t-+--+--+-+-I-+--+-+-+----i--+j

05

5

ITE!

1

01 01,

Ko

Ocsucht:

i) Barwcrt ~

ii) Endwert

Kn

(sieheAhb.)

a u i): Z unachst werden mit linearer Vcrzinsung die E rsat zmten R ~, R; , R; cmuttclt:

, R', R', "

R' " 1.000(1 + 0,12 ·1) + 5.000(1 + 0,12 ·1) + 2.000 " 8.210,-3.000(1 + 0,12

·1)+ 1.000(1 + 0,12 , 1 )

2.000(1 + 0, 12 · 1) + 2.000

4.300,-4.060,--

' - + R' -- ' - + R' - --~'-c -- 1-3 = 12•" 1,87 "" c K," R 'I --1, 122 2 1,123 3 1 +0 ,12 . 1, 12 zu ii ):

R;, R;

wird wic ebe n crmittclt. Anstcuc von R; m uss jetzt R; * ermittell werden, da de r Stichtag in ciner spetcrcn Zinspcriodc liegt als die lct zte Za hlung: R; *

2.000(1 + 0, 1 2. ~) + 2.000(1 + 0,12 '{) = 4.300,--

~

Kn = 8.210 .1,12 3+ 4.300 .1 ,122+ 4.300 .1 ,12 = 2 I.744,38 €

Bemerkung: Zinst man jecu Kn auf den 0/.01.00 ah, so erhall ma n 12.338,34, also - wic 2U erwar/en - ein von K o verschiedenes Ergebnis. Ursache: l nkonsistenz der linearen Vcninsung.

3.8

141

Auscinanderfallcn von Rat cntermin und Z inszuschlagtcrmin

Bcsonders wichtig (und hiiufig vorkommend) is! der Fall, dass mnerpenodig gleiche Raten R in gleiche n zenabsrdndcn vor licgcn. Jetzt licfcrt fur jcdc Z inspcriodc die lincare Aufzinsungder unterpcriodi schc n Ratcn dieselbe Ersalzrale R· am Periodcncnde. Mit dicsen Ersatzratcn R * kann ma n dann . ncrmaie'' Rcntcnrcchnung durchfuhren. (Uber die - I!Vtl. unregelmiipigen - Zahlungen innerhalb der

tetuen Periode gill das ebenGesagte analog.) 1J(>i.~p iel :

Zin spcriod c = 1 J ah r, Ratenpcriod c = I Quartal, siche nachfolgcndc A bh . 3.8.19 /3.8.20:

f-- -

, - - '-1 I I If-------+--+---''---+-I- - - + - -+---'--+--+-I

-

--I --

-L.. ,

ZinsperiQ(/e

R

R

R

R

Zinsperiode

1

[R

R

R

j

lin

fin

~-

®

= 4/?-( 1+ /

~51

R

I .. · .. ..

L~l

®

Abb, 3.8. 19

Bci der Bcrcc hnun g von R · untcrsc hcidct man . nachschussfgc inncrpcnodischc Zahlungcn " (wenn die erste Rate R der emen Zinspaiode, wie in Abb. 3.8.19, am Emil' der mten Teilperiode feillig ist} und ~ vcrscbusstge inncrpcnodische Zahhmgen" [wenn die erste Rate der ersten Ztnsperiodezu Beginn atese Zinspen ode fallig ist, wie awa in Ahb. 3.8.20) .

-L.. Zinsperiode Zinsperiode , -1 f, I --l I :t=~:::'::::';==~:t==;=~~:::;I-

.... [ R

R

lin.

R'

R

R

I

' --

= 4R-( f + / 2,5/ 4

R

1 [

R

R

L-

R

_

lin.

R'

Abb. 3 8_20

R'

Bci insgesamt m innerperiodisc bcn Rarcn R erhalten wir nach linearer Au fzinsung und Summcnbildung fur d ie aq uh'a1ente Ersatzrate R· [siehe Kup. 1.2.3 und don insbesondere Bem. 1.2.63): Sarz 3.8.21: Die Zinsperiode (Zinssatz i) sei in m gleichlange Intcrvalle aufgetd lt, injedem Interval! liege genau cine Rate R. inncrhalb der Z inspcriod e sollen keine Zinsverrechnungstcrmine liegen. Dan n crgibt sieh fur die aquivalente Ersa tzrate R· am Ende dcr Zinspcriode (bei linearer Veninsung innerhalb de' Zinspaiode, Paiodenzinssatz i) I) bc i m nach.'iChil.o;sigen inncrpcriodisehen Raton dcr Ho lte R

(3.8.22)

R· "" m-R · (I + i · ~~ I )

(ygl. (1.2.64) sowie Abb. 3.8.19),

ii) bel m ,·orschil.\.o;igen innerpcriodischcn Raten dcr Hohe R

(3.8.23)

R· :: m · R · (1 + i·

~~ 1)

(vgl. (J.2.65) sowte A bo. 3.S.20).

3

142

Rcntenrcchnung

Bemerkung 3.8.2 4: i) Die Ermiulung der Ersaurate R* erfofgt am einfachsten mit der Methode des mittleren Zah/ungstern/ins, vgJ. Kap. 1.2.3, Bsp. 1.2.62, Bern. 1.2.63, zwnaf dann, wenn die Raten nicht so gleich-

miifiig liegen wiein Ahb. 3.8. /9/20 und somit Satz 3.8.2 1 nicht anwendbar ist. ii) Man kann Satz 3.8.2 1 durch Verwendung des mittleren Zahlungstermins beweisen: Da dieser bei linearer Ven insung stetsgenau in derMutezwischen ersterund m-ier Rate liegt, muss die aqui lla /en-

te Gesam tzahlung m . R hei nachschussigen Raten noch

m - J.

2

..!... m

(=

Zin sperioden

m -1 )

2m

linear aujgezinst werden, bei vorschussigen Rotenurn .!.... Zinspenode langer, d.h. m

aden. Genau dies lieien un/a Venvendung de, linearen ZinsfonneJ Setz 3.8.21 .

m

+ 1Zinsperi-

2m

Beispiel ~.8. 25: Ein Sparer zahlt i) zum E ndc ii) zum Anfang cines jcde n Monals (beginnend im Janua r 20 05) 500,-- € auf cin Konto cin, i = 12% p.a., Zin szuschlag jcwctls am Jahrcsendc, innerhalb des Jahrcs lincare Vcrzinsung. Man crmittlc den Konrostand zum E ndc des Jahres 2007. LOsun g: i)

Es handelt sich urn nachsc hiissige untcrjahrige Raten. Daher lautct die (nachschiissige) Ersatzrate R- nach (3.8.22) R* = 12 ' 500 ' (1 +

~~ ' 0, 1 2) =

6.330,00 € I Jahr

(erstmaligzum3J.12.05).

Insgcsamt gibt cs drci Ersatzratcn, dcren Gesamt wcrt am 31.12.07 laueet: q3 _ 1

Kq7 = R* ' q-:-i' = 6.330,00'

1,123 - 1 0,12 = 21.35 9,95 € ;

ii) Die E rsatzrate R * tauter nach (3.8.2 3), da vorschOssigc

R* = d.h .

1 2 ' 500 ' (1 + ~~ ' 0, 1 2)

= 6.390,OO€/ Ja hr

I 123 - I

Kq7 = 6.390,00 ' '0 12

uorcrjat mge Raton vorliegcn:

= 21.562,42

terstmatig zum Ll.l Ltti],

€.

FOrdiescn Fall (36 vorschussigeMonatsralen) sei
Monalwinsen (1% p.M)

(separal gesamme//)

kumulie n

Wi d

JahTesende verrechnec ZUni

(Ende d. M.)

Zahlun g

Kontostand (€ ) (zum Mona/Sende)

04 05

OJ

500 1.0nO 1.500 2.000 2.500

( 5,00) (10,00) (15,00) (20,00) (25,00)

500 500 500 500 500

1.000 1.500 2.nOO 2.500 3.000

10 11 12

5.000 5.500 6.000

(50,00) (55,00) (60,00)

500 500 500

5.500 6.000 6.890

2006 01 02

6.890 7.390 7.890

(68,90) (73,90)

500 500

7.390 7.890

OJ

,

390,00

(Fortsetzung sieheFo/gesei/e)

3.8

143

Au scinandcrfallcn von Ratcnt crmm und Zinszuschlagtcnnin

(Fo n seu ung] Kootostand (€)

Jahr Mon.

2006 03

0' 05

,

10 11

12 2007 01

(zu Monatsbegillll)

7.890,00 8.390,00 8.890,00

Monal~zin~n ( 1% p.M. )

(separat gesummelf)

«umuuen Jmd

zurn lohresende verrecnnet

( 78,90) ( 83,90 )

,

( 88,90)

,

11.390,00 11.890,00 12.390,00

(118,90)

(113,90)

(123,90)

1.156,80

(Elide d. M ')

(zum M onau ellde)

500 500 500

8.390,00 8.890,00 9.390,00

500 500 500 500

11.890,00 12.390,00 14.046,80

14.046,80 14.546,80 15.046,80 15.546,80

(150,47) (155,47)

500 500

14.546,80 15.046,80 15.546,80 16.046,80

11 12

18.546,80 19.046,80 19.546,80

(185,47) (190,47) (195,47)

500 500 500

19.046,80 19.546,80 21.562,42

2008 01

21.562,42

(Vergleichskon/o zu Beispiel 3.8.25 ii) - 360- Tage-Me/hode)

02 03 0'

,

10

,

(140,47) (145,47)

Koolostand (€)

Zah!Wlg

500

,

,

2.0 15,62

Aufgabe 3.8.26: i) Ein Sparcr zahn am Ende cines jeden Vicrtcljahres, beginnend im Jahr 07, 1.200,-- € auf sein Sparkonto [i = 4,5% p.a.). (DerZinszuschtag e!folgt am lah resende, innerhalb des Jahre! werden

lineare Zinsen berechnet.] Man ennittle den Wert des Guthabens naeh Ab lauf von 20 Jahren. ii) Sicdenbicdel zahlt am Ende cines jcdcn ungeraden Monats (d.h. Jan., Marz, Mai, ....) - bcginncnd im Jahr 06 - jcwcils 2.000,-- € auf scm Sparkonto (i = 4,5% p.a.) (Der Zinszuschlag

em.

e!folg/ am lah resende, tnnernatb des Jahres werden lineareZinsen berechnet.] Wie groB ist Sicdcnbicdcls Guthabcn am 01.01.28?

ii i) C rap vcrkauft auf Anraten seiner Ehcfrau scin Wohnmohil. Drci Kaufprcisangebote gehen cin:

Moser:

Otermosce Untcrmoser:

Anzahtung 6.000,-- € , nach 3 Jahrcn crstc Zahlung einer insgesamt 20maligen Rente, die sich zusammcnsctzr aus zunachst 12 Raten zu je 2.000,€ /Ja hr und anschlieBcnd 8 Raten zu je 1.600,-- € /Jah r. nach cinem Jahr 8.000,-- €, nach wcitcrcn 2 Jahren 10.000,-- € , nach wcitcren 3 Jahren € 10.000,--. Anzahlung 5.000,-- € , nach 3 Jahren erste Rate elner lnsgesamr 16 Ratcn umfassenden Rente von jc 3.500,-- € /2 Jahre. (Der zeulicne Abstand zwischen zwei Ralenzahlungen betriig/ also 2 Jahre.)

Es erfolgt jahrhchcr Zinszuschlag zu 8% p.a. Welches An gcbol is! fur Grap am gunsngstcn?

3

144

Rcntenrcchnung

lv] Zimmermann zahlt d o Jahr lang monatlich 50, -- € auf scin Sparkonto (6,5 % p.a.). ObeT welchcn Bctrag verfugt er am Jahresendc, wenn die Zahl ungen a) jewcils am crsten Tag cines Monals (d.h. »vorschussig "] b) jcwc ils am lctz tcn Tagc cines Mo nats (d.h. . rui chschussig"] crfolgtcn und inncrhalb des Ja hrcs kein Zinszusch lag c rfolgte? (Innrrhalh des l chres mus.~ also mit linearen Zinsen geredmet werdenl]

c) Dbcf welchc Betrage kann Zimmermann nach Ablauf von insgcsamt 5 Jahren verfugen, wenn er das Vcrfahren nach a) bzw. b) auch in den folgenden vier Jahren wettertuhrt? (Dabei eifalgl der ZinszuschlagjeweiL~ nach Ablauf eines vollen l ahres.]

v) Einc Rente, bcstchcnd aus 52 Quartalsratcn eu jc 3.000,-- € beginnc mit der 1. Rate am 0 1.04.00 . Ocr Zinszuschlag crtolgc jahrlich mil 8% p.a, (Zimjahr '" Kalenderjahr). a) Man ennittlc die [ahrlichc Brsatzratc (hei umenahng linearer Verzinsung) mit Hilfe des mittleren Za hlungstenni ns. b) Man cnnittlc den Barwert dcr Rente am 0 1.01 .00. ·c) Die Rente soli wngcwandcl t worden in cine Barauszahlung von 50.000,· · € am 01.01.05 und eine cwigc Zwcirnonatsrcnrc, bcginncnd 01.03.05 . (jiihrl. Zinszuschlag 8% p .a., innerhalb des Jahres lineare Veninsung, Zinsjahr '" Kalenderjahr) Man enn ittlc die Rat e dicscr ewigcn Rente.

Aufgabe 3.8,27: *i) Pietsch soli von sctncm Schuld ner Weigand - bcginnend 01.01.05 - 9 Raten zu je Jahr crhaltcn (Renle J) .

15 .000,·~ € /

Er mochtc stattdesse n heber 16 Halbjahrcsraten, bcginnend 01.0 1.10 (Renle 2) . Mit wclchcr Rat enhohc kann er bet Rente 2 rechnen? Dabci beaehte man: Zins pcriode ist das Kalcndcrquartal, nomincllcr Jahrcszins: 12% p.a. (d.h. der latstich/lch anzuwendende Quanolszmssatz ist derzu J2% p.a. relative unlerjiihrige Zinssatz). *ii) Call will seinen Oldtimer Marke Trabanr 525 GTX verkaufen. Zwci Licbhaber gcbcn jcwcils cin

Angebot ab: Batzer:

Anzah lung 10.000,· · €, danaeh - bcginnend mil dcr ersten Rat e nach genau einem Jahr 60 Monatsraten zu [c 500,· · € /M ona t. r-

WeHling:

Anzahlung 18.000,-- €, danach - beginncm.l mit dcr 1. Rate naeh genau ctncm halbcn Jahr - 16 Quartalsraten zu je 1.000,-- € /Qua rtal.

Welches dcr belden Angcbotc ist fur Call ganstlger? Dabci berucksichngc man: Zinspcriode ist ein halbcs Jahr, bcginnend mit dem Zci tpunkl dcr Anzahlung. Zinssatz (nom .): 10% p.a. Ocr Semesterzmssatz ist rctatlv zum Jahreszinssatz.

Bemerkung: lnnerhalh der jeweiligen Zinsperioden sott hier stas mit linearer Veninsung gerecnnet werden!

3.8

Auscinanderfallcn von Ratcnt crmin und Zinszusehlagtennin

145

Iii) Bcstmann braueht cinen neuen Mot or-Rascnm ahcr. E r kann das Modell seiner Wahl (ein " Ratukah l GTl ") cntwcdcr kaufen oder mictcn . Fiir die verans ehlagte Lcben sdauer des Ra scnrnahers (10 Jahre) ergcbe n sich folgcnde Dat en: Kauf:

Kaufprcis 1.250,-- € , naeh 10 Jahren Schrottwert 0,-- €. Fiir Jnspck tion en/ Reparaturen mu ss Bestm an n jahrlich naehschiissig 100,-- € /Jahr autbri ngcn.

Miele:

Halbjahrfiche Mletgeb uhr: 150,-- € (jeweils zu Beginn des betreffenden Ha/bj ahres za hlba r) . Inspektio neni Reparatu ren sind in der Mlet gcbuhr ent halten und verursachen dah er keine zusatzlic hcn Ausgaben.

Sollte Bcstmann kaufcn oder micron, wenn cr sein Ge ld altema tiv zu 7,5 % p.a. anlegen konn re? - a) untcrjah rig lincarc Z insen (360 - Tage-Methode) b) l e MA-Methode c) US-Meth ode iv) Karen M uller-Oestreich erwagt. ihr Trau mau to zunac hst zu leasen und nach zwei J ahren zu kaufen. Die Lcas ing-Kondit io nen sehen vor: Anzahlung (Leasi ng-Sondenahlung} monalliche Leas ingrate tbeginnena einen Monat nach Anzahlung) Laufzeit : 24 Mon ate Restkaufpreis (zahlba r am Ende der Laufzeit)

€ 15 .000,--

€

320,- -

€ 15.000 ,- -

(Die nomin eUe Sum me aller Z ahlungen betriigt somit 37.680,-- €) Altemativ zum Leasing kormtc Mulle r-Oestreich dc nsclbc n PKW fUr eine n (sofon fiil/igen) L1slenpreis von 37.400 ,-- € abztiglich 10% Naeh lass kauten. Soil sie kaufen oder leasen, wenn sic mit eincm Z ins von 10% p.a, rechnct? -a) unterjahrig Iineare Zinscn (360-Tage-Methode) b) ICMA-Method e

c) Us- Mct bode.

Aufgabe 3.8,28: i) Da s Studium der Bernebswirtschan am Fachbe rcich Wirtsehafts'.Vissenschaft cn der Fachhochschulc Aa chen dauert du rcbschnittlich 4 J ahre. E s wird angenommen, das s cinc cdurchschnit tfiche" Studcntin wahrcnd diescr Zei t mon atlich 1.320,-- € benotigt.

Ocsucht ist derjen igc Bctra g, der zu Beginn ihres Studtu ms auf eincm Konto bcreitstehen rnusste, damit sic aus dieser Sunun e - bel 6% p.a . - ihr Studium gcna u finanzieren kann . Wcit erhin werd en folgcnde Bcdingungen untcrstellt: -

Der Beginn des St udiu ms fallt mil eincm Z inszuschlagterm in zusammen; Die monatl ich en Bctra ge (1.320,-- € ) f1iel3cn jeweils zu Monatsbcginn.

*a) unt crjahri g lineare Zinsen (36 0-Tage-Methode)

b) ICMA-Methode

c) US-Met hooe .

- Ii) Weigand bcnottgt cincn Personal- Computer (PC) mit tempcraturgcst euertcm Zutalls-Text-Gcncrat or. Berm Modell seiner Wah l bestehen die M6g1ichk eiten Kauf ode r Mict e.

Konditi onen bel Kauf: Kaufpreisbarzahlu ng 10.000,-- € im Zcitpunkt t = O. FOr w artung und Reparatur - beginnend im Zei t punkt des Kauts - pro Qu artal vorscbussig 200,-- € . Nach Ablauf von 5 Nutzun gsjahren (und 20 Qua rtalsraten) kann der PC einen Res twerterlos von 2.000,-- € erzielen . Konditioncn bei Miele : Kcine A nschaffungsausza hlung bci Nu tzun gsbcgmn in I = O. Die Mietzahlungen bc tragcn 250,-- € / Monat (eme Rale einen Mona t nach Nu rzungsbeginn ) ube r eine Laufzeit von ebc nfalls 5 J ahrcn. Wartu ng und Reparaturen sind im M ietpreis cnthalten. Nach 5 Jahren Iallt dcr PC an d ie L1cferfirma zuruck. Welc he Alt ernat ive ist fur Weigand giinstiger? Dabe i bcacht e man: Zi nssatz 10% p.a., Zi nszuschlag nach jedcm J ahr, untcrjahrig werdcn lincare Zinsen angcsctzt (360- Tage-Methode) .

3

146

Rcntcnrcchnung

iii) Lactsch will sich cin Cabrio mit Wcgwcrfspcrre und eingebaucem Parkplatz zulegcn. Die Hand-

lcrin vcrlangt entwcdcr furzahlung (in Hone von 26.000,-- €) oder Ratenzahlung zu folgenden Kond itioncn: Anzahlung: 5.000, w- € sowie da nach monatliche Raten (beginnend einen Monat nach AmahJung) 627,30 € /Monat. insgcsamt 36 Ratcn.

a) Lactsch kann bet seiner Hausbank einen Kredit zu effektiv 6% p.a. erhalten. Soli er bar bezahlen Oller Ra lcnzahl ung in A nspruch nchmcn?

' b) Bei welchem Zinssarz p.a. sind Ratcnzahlung und Barzahlung tur Lactsch equivale nt ? (DerInnott von Kap. 5.1.2 wirdhie, vorausgesetzt.) Man beantworte beide Frage n -I) unter verwcnd ung dcr 360-Tagc-Mcthodc; 2) unter VerwemJungdcr l e MA-Method e; 3) unter v erwcndung de r US-Methode. Iv) G untcrmann bcnongt ein ncucs Tclcfon mit halbautomatischcr Stinunbandkontrollfunktion und integriertcm GPS-Satellitcn- O rtungssystcm . Er konntc das von ihm favorisierte Gcrat vom Typ . Am aceus TX" enrwcdcr bar kaufcn (600,-- € im Venragszeitpunkt) oder abet mictcn (Miele 11,50 €!Monat , erste Rale 1 Monal nach Vmragszeitpunkt fallig) . a) Wie lange massr e Guntennan n das Gc rat m indcstcns nutzcn, urn sicherzustc jlcn, class ~ Ka uf" bcsscr ist als ~ MieteM? (6% p.a.) *b) Es wetde unterstel1t, dass Gu ntcrrnann seinen MAm adeus" auf ~ cwig" nutzt. Bci welchem Zinssatz sind beide A ltemariven (d.h. Kauf und Miele) aquivalcnt? Man bcantworte bcide Fragen jcweils unter verwendung der · 1) 360-Tage-Melhode 2) ICMA-Method e 3) US-Methode. (jur Frage b) wird der Inha/t von /VIp. 5.1.2 hier vorausgesem.} v) Ex-Studentin Aloisia H ube r hal zu m 01 .01.07 noch Schuld altemativ auf zwei Arten abnagen: A;

Regulate Tilgung:

B: Vorzeitigc Tilgung;

1 8.000 ,-~

€ BafOG-Schulden. Sie kan n ihre

mo nat liche R iickzahlungcn 150,-- € (beginnend 31 .01.07) insgesamt 120 Raten (lO Jahre) Gesamttilgung zum 01 .01.07 mit eincm Rabatt von 38%.

Aloisia rec hne t stet s mil 12% p.a. Wclch e Moglichkcit sollte sic wahlen, urn - unter Bcruckslc hIigung de r Verzinsung - mogltchs t wenig zuruckzuzahlcn? *a) 360- Tage- Mct hode

b) l CMA- Methode

e) US-Met hode .

vi) Call will sein Traurnauto, einen Bentley CSi 007 , lcascn, Dcr A utohandler Theo Rost unrerbreitet ihm zwci alternative Leasmg-Angebote.

Angebol 1: Ca ll zah lt bei Vertragssehluss cine Anzahlung (~Mietsonderzahlung ") in H ohe von € 5 .900, --. Weiterhin zahlt Ca ll - beginnend einen Mo nal naeh Vertragsabschluss - 36 Monatsrat cn zu je 99,99 € . Naeh Abla uf der 36 Monate seit v ertragsabschluss fallt das Aula an den H andler zunlck. Angcbot 2:

Keine Sonderzahlung, dafur 36 Monatsraten zu jc 299,99 € , sonst allcs wic bci 1.

Angcnommen , Call finanziere allc Zahlungen Iremd zu 18 % p.a . ("" Calls Kalkulationszinssatz], Welches Leasi ng-Angebot ist fOr ihn am gunsugstcn? Man bcantworte dicse Frage *a) nach der

360 ~Tage-Mel hode

b) nach der IO .1A-M cth ode.

3 .8

Auscinandcrfall en von Ratent ermin und Zinszusehlagterm in

147

Aufgabe 3.8.29:

i) Janz verkauft seine Sammlung wertvoner Kuckuek suhren. Die Interessent en R. Ubcl und Z. A ster geben je ein A ngebo t ab.

R. Ubel:

A nzahlung 19 .000,-- € (hcut c). Dann - beginnend mit der ersten Rate nach gcnau 7 Mon at en - 18 Monat sraten zu je 1.500 ,·· € .

Z . Aster:

Ein e Rat e nach 2 Monaren zu 15.000 ,- €, c ine weitcrc Rate nach weiteren 3 Monaten zu 15 .000,-- € und cine Schlussrale zu 15.000,·· € nach weitercn 7 Monaten.

Welches Angcbot isl fur J anz gunstiger? (Ka/k u/ationszi ns: 9% p.a., Zi nsp eriode: 1 Jahr, beginnend im Verkaufszeirpunkt) . Man beantworte dtese Frage jeweils bei A nwendung der *a)

360-Tage-Met hode

b) l eMA-M ethode .

ii) Frtngs ist der Meinung, cine Schuld auf zwei alte rnat ive Arten an T imme zahlcn zu konncn (10% p.a.):

Entwcd cr (A): od er (B):

500,-- € zum 01 .01.04 400,-- € zum 01.0 4.04

sowie sowie

500 ,-- € zum 0 1.07.04 888 ,-- € zum 0 1.10 .04

T imme beha uptct (zu Recht!) , die bciden Altcmat iven seicn nich t aquivalent, der hchcrc Wert sei ko rrek t. Fnngs crklart sich (nach kurzer Rechnung) einverstandcn und will nun die gcrmgerwerti ge Zahlungsrclhc mit cincr A usglcichsza hlung K zum 0 1.01.04 so aufbcssern, dass dann beide Zahlungsrelhcn aq uivatent sind .

wlc hoch ist (bei 10% p.a.) die Ausgleicbszahlcng K. und welche der heiden Za hlungsreihcn (A oder B) mus s durch diese Ausgl cichszahlung aufgebessert (d.h . erMht) werde n?

Man bcantwortc diose Frage, wcnn a) nur mit linearen Ztnscn gcrcchnet werden dart; b) nur mit viertcljahrfichcn Zmscszlns cn zum konformen Q uartalszi ns gcrcchnet worde n dart.

iii) Moser kauft einen Mailserver mit ATM-Network- Performance. Dcr (heuli gc) Barzahlun gspreis bc nagt 17.000 € .

Moser konntc den Server auc h wie folgt bezahlen: A nzahl ung (heute): 3.000 € , Rest in drei glciehhohe n Q uartalsraten zu ]c 5.000 € / Quartal, erste Rate ein Quartal nach dcr Anzahlung. a) Es wird mil Iinearen Z insen gcrcchnct. I n wclehem Zahleninte rvall muss Mosers Kalkulatlonszinssatz (in % p. a.) Itegen. damit fu r ihn Ratenzahlun g vortci lhafte r ars Barzahl ung isl? b) A bwcichend von a) gilt Mosers Kalkulat ionszinssatz bc nagt sters 15% p.a. Dabe i rech net er weiterhin mil cin er Z inspc riode vo n einem Monat (beginnend heute), der anzuwendende Monatszinssat z ist dabei konform zu seinem J ahres-Kalkulationszinssatz.

Soil er lieber bar zahlcn, odc r tst Ratenzah lung die giinstigcre Alt ernative ? c) A lles wic b), nur Ist dcr Monatszinssatz relativ zum kalkulatorisch en Jah reszinssat z. Wie laut et jetzt die von ellhaftere Zahlungsweise?

3

148

Rcntenrcchnung

iv) Die Stude ntin Tanj a R. Huber erhal t von ihre n Eltem verein ba rungsgcmaa wahre nd ihres Studt-

urns Untcrhaltszahlungen in Hohe von 1.600,-- € /Monat. crstc Rat e am 01.01.05, lctzte Rate am 01.01.2009. Sic will aber aus pcrsonlichcn Grunden die komplct tcn Unt crhaltszahlun gcn aquivalcnr umwandcln , und zwar in cine E inmalzahlung am 01.01.05 plus zwci weiterc Raten zu je 10.000 € am 0 1.07.07 und 0 1.04.08 . Wi c hoch is! die Einmatzahlun g am 0 1.0 1.05 ? ((no m.) Zi ns: 12% p. a., Z insp eriode = Kalendermona t zum refativen Monarszins)

v) Der Autohiindlcr Wolfgang K. Ros stcuscber biete t Ihnen das ncucste Modell de r ~ NuckeJ rinnc

2.0 aTXLi" zu Sondcr- Finanzicrungs-Konditioncn an: Anstcllc des Barpreises in Hohc von 36.290,-- € zahlcn Sic nur 13.293,25 of an, lcislcn rnonatlich 198,-- € [erste Rale nach einem Monat, letue Rate nach arei Jahren) und musscn zusatzlich zur lctzt cn Monatsrate noc h cine Schlusszahlung in H ohe vo n 18.309,90 € lcisten. In ciner groatormangen Anzeige vcrspricht Rosstcu schcr. " Effcktivzinssatz 3,99% p.a." H at Rosstcuschcr Rec ht ? (KiJnlofuhrung nach I GMA -Methode, d.h. mo natliche Zinseszi nsen zu m konfonnen Monalszinssa tz)

vi) Moser muss zu (ihm zuniichst noch unbekannten) Zcitpunkte n des Jahres 2009 zwci Za hlungc n zu je 50 .000,-- € (Abstand zwischen den Za hlungen: I Monat) lcist en , die - be i 12% p.a. und linca rer Verzinsung inn erhal b des Kalcnd erjahrcs - zum Ende des Jahres 20 11 einen Gcsarruwert von 134 .848,-- € rcprascnt icrcn sollcn.

w arm (Datum!) muss Moser diese heiden Zahlunge n leisten ?

(30/360-Methode)

\ii ) Moser will 10 J ahr e lang einen feste n monatli chen Bctrag ansparen , um danach auf "cwigc Zci ten" cine monatlich e Ren te in H 6he von 2 .400,-- € / Monat zu erha lte n.

- a) Wi e hoch musscn sei ne An sparrat en sein?

(Zi nsperiode: 1 Jahr, beginnend neue; Zinssatz 8% p.a., innerhalb des Jahres iineare Ven insung; erue A nsparrate nach einem Monat, tetue A nsp an ate nach 10 Jah ren; erste Ruckzahlungsroie einen Mona t nach Abfauf der ersten 10 Jahre) b) Wie lautet das Ergcbn is zu a), wenn die Zins pcriode 1 Mon at bctragt und der Monat szln ssarz kontorm zu 8% p.a. ist?

3.9

149

Renten mit vcrandc rhchcn Ratcn

3.9 Renten mit vera nderlichen Raten Sind d ie (in gieichen zeitlidten Abuanden ftil/igen, z.B. jiihrlichen) Raten R I • R2 , ... einer Zahlungsrcihe niehl untereinand er gleich, lasst stch zur Ennittlung ihres Gcsa mtwertes (z.B. Zeitwert, Endwert, Barwen) d ie Sta ndard-Rc ntc nformel (3 .2.5) zunac hst nicbt verwendc n, vielmehr rnnsscn dan n in dcr Regel die etnzclnc n Zahlungcn R I• R 2••• • auf den gcwahltc n Stichtag einzeln auf- odc r abgczinsr werden. v ctandcm sich d ie Raten jcdoc h nach besti mmtcn mathcmatis chcn Ocse tzmaaigkciren, so lasst sich in einige n Fallen auch f ur den aut-rabgezinsten Gcsarntwert cincr dcrart tgcn Zahlungsreihe cine passe nde und kompakte mathcrnanschc Bc rcchnungsvorschrift (" Formd «) finden und anwenden.

wir wollcn im folgendcn zweisolcher Faile betrac htcn: (1)

In Kap. 3.9 .1 bc handel n wi r d ie sog. arn hmensch veran derliche (steigendeoder[allende] Rente mit dem typischcn Kcnnz eichcn: J ede Rat e geht aus der vorangcgangcnen Rate hervor d urch Addition de r stcts gleiehen Konstanten d (d = Differm z aufeinandrrfolgenderRaten = const.).

Beispide fur arilllmetisch veriinderliche Rauen:

/00; 105; 1/0; 1/5; 120; 125; 30000; 28000; 26000; 24000; (2)

(d = 5) (d = -2000)

In Kap. 3.9.2 bc handcln wir die sog. geometrisch verandern che (steigende oder fal/ende) Rent e mit dcm typisc hcn Kennzcic hen : Jedc Rat e gcht aus dc r vorangegangencn Ra te hcrvor durch 1\Iu1liplikation mit dcr stc ts gleiehen (positiven) Konstan ten I' (e = Quotient aufeinander[olgen-

der Raten = const.). Beispielefur geometrisch veriinder/iehe Renten:

/0 00; 1/00; 1210; 1331; 1464,1 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

(e = 1, 1) (e = 0,5)

Bemerkung: Die Bezeichnungen "arithmetiseh" bzw. "geometriseh " fu r Remen des eben beschriebenen Typs sind nahe iiegend, da die aufeinanderfolgenden Raten in Fal/ (1) eine arithmaische und in Fall (2) einegeometrische Folge bitden. WiTwollen vcrsuche n, in de n bc ide n fo lgcndc n Abschnitten fu r arithrnclisc h und gcometrisch vcrandcrliche Renten Pormcl-Beziehun gcn zu cntwickeln, die cine einfache Gcsa mtwcrt-Erminlu ng diese r Rcnten gestalten. Dabc i wollen wir - wenn nicht im E inzclfall ausdriicklich enders vcrcinbart - zunac hst aile Rat en als im Jahresabstan d gezah lt unte rslcllen.

3.9.1 Arit hmetisch veranderlich e Rente n W ie seton einleitcnd ausgctuhrt, versteht man unte r cincr arithmetisc h veran derfichen Rente cine Za hlungsreihe R I' R 2, .... R n• fUr deren Elemenre R t gilt: (3.9. 1)

R1 = R H + d

I

odor

I

R, -R t _1 = d

(t

= 2, ..., n ;

d

= const.)

3

150

Rcntcnrcchnung

in Wonen : Bei ciner arithmctisch veranderlic hen Rente crgibt sich jcdc wcitcrc Ra te R t aus dcr vor hcr-

gchcndcn Rate Rt _1 durch Addilion dcr Konstant cn d.

oder:

Die Dtrte renz d =0 R,-Rt _1 zweier aufe inandc r folgc ndcr Za hlungcn cincr arit hmc lisch vcrande rhchcn Rente is! kee stant, die Za hlungcn R I• R j +1.1, R j + 21.1, ... bildcn cine ar nhmeusche Folge.

D ie Zahl u n g.<>.~truklur einer arithmetisch versn derffchen Rent e lautet also (mit R J '" R): (= R/)

(= R 2)

( =RJ)

R I ( I)

R+d

R+2d I

lfd.:'ir.

I (Z)

I•

(= R... 2) R+{ n-J )d I

(3)

(0-2)

(2 R". /)

(E R,.)

R+( n- 2)d I (0-1)

R+(n-I)d

-[

j

(I Jahr)

R = R, '" 32.000€ . 32 .()()()

Ird ,Nr .

(I)

(Z eit)

Abb. 3.92

I Kn =?

1 :tinsperiod e

Bt-ispieI 3.9.3:

I (0)

29.600 I (')

d = -2.400£/Jahr, 27.200 I

24 ,800

I

(')

(')

n", 5 22.400 I (')

E s konnte sich dabci erwa urn die Zahlun gcn ("An nuitilten") handeln, die cin Schuld ner jah rlicb zurnckzuzahtcn bane, wcnn er eincn 5 ~Jahres- Kredit in H 6hc von 100.000 £ zu 12% p.a. aufnimm t und jahrfich neben den Zinsen (auf die nocn bestehende Re~,t.\·chuld) zusarzlich ein Filnftel der Schutds umme (= 20.000 €) ats Schulde nt ilgung zahlt (sog. nRalefl lilguflg", siehe etwadas analogc BrispieI 4.2 .1O) . Die I . Ruckzahlungsrate ergibt sie h dann mit 0,12 '1 00.000 + 20.000 = 32.000, die 2. Rate mit 0,12 ' 80.000 + 20.000 = 29.600 usw. siehe Za hlungsst rahl. Jedc Folgcrate ergibt sich aus der vor hergchende n Ra te durch Addi tion von - 2.400 (2.400 = 12% von 20.000 = Zinserspam ls durch Resischutdverminderung lion jiihrlidl 20.000). Nae h Z ahl ung der 5. Ra te ist der Kredil volls tandig zunlckgczablt .

Wi r wollen - be i gcgebcnem Periodenzinsfaktor q (= 1 +i) - den Endwert K n der arnhmensch \'er.inderlichen Rente zunachst am Ta g der a -t en (und lelzlen) Rat e ermittcln, sicbc A bb. 3.9.2. Wir suehen somit ein cn kompakten Ausdruek fur die aufgcz inste Summ e K n der n cinzclnen Ra ten Rt (analog zum Vorgehen in Kap. 3.2, insb. A bb. 3.2. 1) . Per E inzcJaufzinsu ng der n Ratcn R 1, R 2 , .. . , R" crhalten wir

(3.9.4) wobci gilt:

sowie

R 1 = R + (t - I ) ' d

(I = 1, 2, ..., n) .

Wi r crkcnncn daran tund eoenso aus Ab b. 3.9.2), dass sic h etne arithmeti seh vcrandcrlichc Rente in zwc i Tcilrenlen I und II splittcn tasst : Naeh dcr jetzten Forme! (3.9.4) eruhah namlich jed e Rate R t cme rseirs die erste Ra te nR" sowie addit iv den Term n(t - I) ' d". W ir kon nen da her anst elle cines cinzigen Zahlungsstrahls (Abb. 3.9.2) genauso gu t zwei Za hlungsstrahlen mit den Etnzclrcntcn I und II aufstcl len, deren E ndwcrtc Kn(I ) und Kn(Il) getrennt crmitteln und sc hlieBlich zum Gesamt- E ndwert K n = Kn(I ) + Kn(I I) saldie ren tsiehe A bb. 3.9.5):

3.9

151

Renten mit vcrandcrnchcn Raten

Rente I ist cine gcwohnncbc Rente mit konstan tcr Ratcnho he R, ihr Gesamtwen am Tag der o-ren lctztcn Rat e lautet (siehe (3.2.5»: (3.9.6)

K. (I)

=

q" - l

R· . q- 1

(q

* 1)

.

Ocr Endwert Kn(ll) der zweiten Tell-Rente II crgi bt sich nach Abb. 3.9.5 [siehe umerer Kasten, von unfen nach ohen addien}: (3.9.7)

Kn(ll) = d qn- 2 + 2d 'qn-3 + 3d'qn-4 + = d - (qn-2 + 2 'qn-3 + 3 ' qn-4 +

+ (n-3)d 'q 2 + (n-2)d ·q + (n-t jd + (n-3) · q2 + (n-2) ' q +

(n-I»)

= d ·S.

Um den jctzt noch fchlcndcn kompakten Wert des Ktammcra usdrucks (wlr haben inn mit ,,5 " bezeichnet) zu crmittcln, multiplizieren wir die damit dcfinicrtc Bcstimmungs-G leichung (3.9.8) mit ~ q" (Resuluu: q ' S = q"' / + 2 ' q" ' 2 ...) und schrcibcn die Ausgangsgleichung (3.9.8) - erwas vcrsetzt - daruntcr:

(3.9.9)

q ·S = qn-l + Z 'qn- 2 + 3 qn-3 + S=

qn-2+z qn-3+ .

+ (n-3) '13 + (n-2) ' q2 + (n-l ) ' q + (n-3) ·q2 + (n-Z) 'q + (rr-l ]

3

152

Rcnt cnrcchnung

Suht rahicren wir jctzt in (3.9 .9) g1 icdwcise die untcre von d cr olx:rcn G leichun g, so lassen sich die gcnau untercinandcr stc hcndcn Tenn e bcider G lcich ungcn zusa mmcnfasscn mit dcm Rcsultat:

q·s -s '" qn - l+ qn-2+qn-3+ ... + q3 + q2 +q + l

-t

n •

(s/the (3.2.3); q * 1) d.h . wir erhalten

5 · (q - 1)

-

und daher

0

5=_11 .(,0 -I1_0). q-

q-

Einsctz cn in (3.9 .7) licfcrt den Rcntencndwcrt Kn(ll) dcr zwcite n Tcilrcntc:

K (II ) = II

d -S = _

1 , . (,0) - - - 0. q l

q- l

r

Damit crgiht sich timmer uruer der Voraussetzung: q :I: 1) zusa mmcn mit (3.9.6) am Tag dcr n-t en (und letzten) Rat e fur den Endwert Kn (= K,/ J) + Kn(Il)) der arith metisch veriindertichen Rent e

(3.9.10)

R·

q" - I

+

,-I

XII = (aufgezinster) Wr/1 dera rirh-

d

mettscn verandedicnen Rente

, -I

am Tag der Lemen (n-Ien) Rate

R = erste Ralr

bzw. - in andererZusammcnfassungK

(3.9.11)

n

(

' ) ,' -I

=R + - - · - q_1 q -l

d = Diff erenz zweier auf einander [olgender Raten n = Anzahl der [lahres-} Raten

,., s- 1

q (*l) = (Jahres-) Zinsf aktor (I + i)

Z inSI man d ie ebe n erhallenen E ndwcrtc auf cinen andcrcn, fur d ie kon krete Probtcmlos ung ggf. bcssc r geeigneten Stichtag auf oder ab, crhalt ma n den Gcsarn rwcn ("Zritwert") dcr arithme liseh vcrandc rlichen Rente zu jedem be liebigen anderen Stichtag (siehe Satz 3. 2.8).

Bemerkung 3.9.12:

(FaU q = l )

Die Endwertfonneln (3.9.10) und (3.9.1 l) sind fur q = 1 (d.h i = 0% p.a.) nicht anwendbar. Fur diesen Fall sind alle Zinsfaktoren qn gleich Eins, m an ematt daner den Endwen Kn (und etenso den Barwert Ko oder jeden beliebigen anderen Zeitwel1 Kt ) durch nominelle Addition samtlicher n Rotenzahlungen. A us Abb. 3.9.2 bzw. Abb. 3.9.5liest man fiir q = 1 ab: Kn = R + R r d + R +2d + ... + R+ (n' l) d = nR + d(J+2+ ... +(n-l)) unddaher ll

(3.9 .12)

n(n-l )

K =n · R + - - ·d " 2

(q = 1

bzw.

i = 0% p .a.)

11 Die Summe S = 1+2+3+...+k dcr k crstcn naiurlichcn Zahlcn ta uter; S = k(k+I)/2. Beweis: Schrcibt mall S cirunal ill dcr Form S = 1+2+...+(k- I)+k und zum anderen in dcr Form S =k+(k- I)+... +2+ 1 , so licfert bcidcrseitige gliedweise Addition: 2S = (k+1)+(k+t )+...+(k+ I) = k(k+l ) und somit S = k(k+1)12.

3 .9

153

Rcntcn mit vcrandcrlichcn Rat cn

Beisp iel 3.9.13 : Wir betrachtcn noch einma! die Zah lungsreihe von Bcispiel 3.9 .3 (nRauflIilgung ") mit den Dal en : I. Rat e: R = 3200 0;

d = - 2400 € /Jahr;

32.000 I Ifd.Nr.

29.600 I

ra

(I)

I

i = 12% p.a.,d.h . q = 1,12:

n'" 5 Jah resratcn ;

27.200 I 1"

24.800

22.400 I€]

I

I

("

rs

•

(Z eit)

I

I K n =?

I I<,, = ?

Am Tag dcr lctzt cn Rate crgtbt sich nach (3.9 .11) (oder (3.9. 10)) dcr Endwert Kll zu - 2400 ) 1125 -1 5 '(-2400) Kn ( 3200 0 + -0, 12 . - '-0, 12- - 0, 12 176.234,1 7 €.

=

=

Z inst man dicsen Wert his 1 J ahr vor der ersten Rat e ab, so lauect der ent sprecb ende Barwcrt

Ko

= Kn '

1,12 - 5 =

100 .000 ,

Ko:

die Rente ist also aquivalcnt zur Krcdttsurnm c 100.000 € .

Kn = K o = 5'32000 + 10 ' (-2400) : 136.000 €)

(1m Fall i =O% p .a. liefen (1.9.12):

Beisp iel 3.9. 14: Fu r die Att ersversorguog von Lemar C. H uber stcht zum 0 1.01 .09 ein Anfangskapilal in Hoh c von Ko [€] auf einem Kon lo zu r Vcrfugu ng, das Kon lo wird mil 6 % p.a . vcrzinst. Bcginnend mit dcr etste n Rate [ Hohe: R) am 0 1.01.12 sollen H uber daraus n Jahresraten zuflleBcn, w obei jude Folgerate urn cinen kons tant cn fest cn Bctrag von dcr vorhergchc ndcn Rat c abwcichcn 5011. OWI()'l

Ko

0101 12

/AJl1~al

I

I

I

R+d

I- - - - - - - - -

I

m

R+2d ...

m

n +2Jahre

I

R+fn -2Jd R+fn- fld In_II

'"'

- --1

I) wtc hoch muss da s Anfangskapil al Ko ausfallcn, damit Hube r gcnau 30 Ratcn kasslcrcn kan n, wobei die 1. Rate miI 60 .000€ vorgcgcbcn ist und jcde Folgcratc urn 200 0£ anstcrgcn so il?

Los ung:

Da die erue Rate 3 Jahre nach Wertslellung von K o e1 01gl, ergibl sich ein zeitlicher A bstand von 32 Jahren zwischen K" und K o , d.h. K o : K" ' 1,06 '32. Somit folgt aus (1.9.1 1):

Ko =

!(

30 2000) 1,06 _1 30'2000 f I 60.00 0 + . - - . 0,06 0,06 0,06 1,0632

= 988 .436,67 €

Ii ) An genommcn , cs stc hcn 500 .000€ als Anfangskapi tal zur v erfugung. die crstc Rat e ( :R) be-

trage 80 .000 €. Urn welchen gleicbblcibe nden Bctr ag m ussen sieh die Polgcratcn ja hrlich veran dcrn, damit genau 20 (positive) Raten aus dem Kapital an H uber fliellen konncn?

3

154

lfisung:

Rcnlcnrcchnung

Ko und ten ter Rate 22 luhre, d.h. K" ist zu erseuen dureh Ktf/ 2l, De jetzt I'd" gesuchi ist, eignel sich zur Urnformung tes ser Formel (3.9.11). Es folgt:

l etzt liegen zwischen

_

d

0 ,06

.

( 1,0620- 1

- 20

0,06

)

1,06 20 - I

qn _ 1

500.000 ' 1,06 22 - 80.000' "':':7--'

= Kn- R ' - -

0,06

q- I

die gesucme Differenz d {aulet daher:

d = - 4078 ,78 € / Ja hr.

Dies bedewel, dass die Ausschuuungs-Raten fur Huber von lahr zu l ahr urn den [esten Betrag von 4.078,78 £ sinkcn mussen, die 20. und leme Rate hat schlieplich nur noch den Besrag 80.000 - 19' d = 2.503,20£. iii) Wic hoc h mnssrc in ii) die crste Rat e ( = R) gl.'Wiihl t werden, damit H uber Jahr fOr Jahr cinen

urn 5.000€ hohcrcn Betrag als zuvor crhaltcn kann?

Losung:

Auch iem eignet sich zur Umfonnung nesser Fonnel (] .9.11), onsonsun gilt dasuma ii) Gesagte. Fur die erste Rate (=R) ergibt sich daher:

R = ( 500.000 ' 1,0622-

~~:. C,~:- I

20) )

· l .;~~- l

= 10.954,55 € .

Bemerkung 3.9. 15 - " Ewige arilhmetisch veriinderlicheRente":

Es zeigt sich, dass auch arithmetisch veriinderliche Rauen " ewig " fliefien kon nen und dennoch einen endlichen Barwert besinen (zum Standard-Fal! der el'>'igen Rente siehe Kap. 3.6). Zur Herleitung din es Barwenes Ko- ennitteln wirden Remen-Gesamtwen Ko einercndlichcn arithmetisch veriinderli· chen Rente ein Jahr vor aer ersten Rate:

KO'- " I

I

I

R

I

'"

f-

I

R+d m

I

I

R+2d

R+ln-2/d

'"

I

In _II

I

,.,

R+ln-l/d

n Jahre

R+nd IM I I

I

(Zeit!

R+{n+ l /d 1n~21

/n -

0>0 1

IrKnl

Zinst man in (3.9.11) den Endwen K'l fur n Jahre ab, so ergibt sich fur den Barwen I Iahr vor aer ersten Renun-Rate: d 1 q 1I d Ko = K . .!.... = ( R . _ _ ) . rf - . .!.... _ ~ ..!.... = ( R +-.!!...-) .1 - n

rf

q -J

q-l

et

q- l

et

q -J

q- 1

q -1

rf

Lasst man jetzt die Anzahl n der Ralen uberalle Grenzen wachsen (n - 0>0), so streben in der letuen Gleichung (wegen q > I) die Terme q -II und I"i gegen Null 12, und wir erhalten ats Barwen Ko- der q ewigen arithmetisch verandedichenRente d )1 _q-n d = lim R.n _ OO ( q_/ q _1 q_1 q-1 q - 1 rf

(R.-,,-) ,_I

d.h. (3.9. 16)

K/ ": Barwert der ewigen urlthmetisch

R

d

q -1 + (q- I F

R: d: q:

12 siche z.B. ITie3),SA-14f

verUnderUchcn Rerue eine Ztnsperiode vor der 1. Rale erste Rale Dilferen:: =weier uufeinunder fo/gender Ralen Perioden-Zi,lS/aklor ( K 1 +i)

3.9

155

Renten mit vcrandcrlichcn Rat en Beispiel: i) Erste Rate: 10.000£;

K/ "

jiihr/iehe Steigerung 1.OOO€;

10.000 1000 = --, -( )2 = 0,1 0,1

i = 10% p.a.

100.000 + 100.000 = 200.000€

(d.h. von einem Stankapual in Hohe von 200.000£ kann man - tei 10% p .a. und beginnend naeh einem lahr - beliebig lange eine jiihrlich um 1.000E zunehmmde Rente (1. Rale: 10.00DE)

beziehen.] ji) A lles wie in i), nur solf jml die - mil 1V.000E beginnende - Rate jahrlieh um 1.000€" a bnenmen: 10.000

-/000

Ko"" = - - ' - ( )2 = 100.000 - UJO.OOO = 0 (!) 0,1 0,1

Dieses auf den mien Blick elWas merkwiirdige Ra ulun besagt: Von einem lmen(!) Komo (10% p.a.) kann man in aouivalenter Weise - beginnend m illO.OOO€" naeh einem l ahr - brliebig viele Ralen "abheben", die allerdings von l ahr zu l ahr um 1.000€" sinkm. Erklarn ng: Da bereits die 12. Rate negaliv wird, bestehen von da an die "A bhebungen" aus Einzahlungen (lUfs Kanto, und zwar jiihrlil:h um ].000£ zunehmend. 1m Grenzf all n -- "" heben sichAhhehungen und EinzahIWJKen - wegen dcr Berucksichtigung von 10% p. a. Zinsen - genau auf.

3.9.2

Geometrisch vera nderliche Renten

3.9.2.1 Gru ndlagen Wic schon in der Einfcitung des Kap. 3.9 ausgcfiihrt, vcrstcht man umer elner geomeut sch verandertlchen Rente cine Zahlungsrcihc R I , Rz' ..., Rn, fur deren Elcmcnte Rt gilt:

(3.9.17)

(I = 2, ..., n ; e = const. (> 0) )

oder

in Won en:

Bei dner geomcmsch verandcrltchen Rente crgibt slch jcJe wcitcre Race R t aus der vorhcrgehcndcn Rate R t _ l dutch Multiplikation mit dcr Konstanten c (>0) , die Za hlungcn R l , R l .c, R l e 2, ... bilden cine geometrische Folge.

oder:

Ocr Quotient c = ~ zweicr aufcinander folgcnder Zahlungen cincr gcometriseh vet-

R H

andcrlichcn Rente ist konstant (c = 1 +id;v. wird auch als " Dynam ik. Faktor" bezeichnet], Beispiele: e = J,03 ~ Rate erhOhl siehjiihrlieh um i d}"/t = 3%; c = 2 ~ Rate verdop peu sieh jiihrlieh; e = 0,85 ~ Rate sink t jiihrlieh um 15% (i d}.. = -J 5% p.a.) usw.

Die Zah!ung......truk tur elner grometrisch veriinderlichen Rente lautet also (mil R1 = R) : (~ RJ)

R

I

IldSr.

0'

.<

(" R 2) I

I

( z R"_2) R · c..- 3 I

tz

1"

(n - 2)

-I I Zin, per iode

I-

( l Ja hr)

( "R j ) R ' c2

( " R,,_J) R ·c..- 2 I ( n-I)

( .. R,J R · cll. - I I (0'

I

.

(Ze it)

Abb. 3.9. f8

I K"-- ,.

3

156 kispieI 3.9. 19:

R = R 1 = 10.000 £ , id)'n = 10% p.ll., d.h. c = I,to , 11.000

12. 100

13.310

1

1

1

1

I"

I"

I"

I"

Rentenrcchnung

n '" 5

14.64 1

Es konntc sich dabci ctwa urn Abfindungs-Zahlungcn fur d ie Ubc mahmc cines Vnt crnchm cns handeln- Der Kaufer zahlt dem bishcrigcn Eigcntiimer cine von Jah r zu Jahr urn 10% " dynamisch~ steigende A bfindung, bcginnend mit ciner ersten Rate in H ohe von 10.0aO€ . Di e jahrliche Steigcrung konnre cinco Ausglcich fOr cine in g1eicher H ebecrwartcteSteigcrungdcr allgcmeincn Lebenshaltungskosten [Preisindex] darstel1cn {, wengesicnene Rente").

Wit wollen jetzt - bci gcgcbcnem Penodenzfnstaktor q ( =1 f i) - den Endwert KIl der gecmemsch veranderlichen Rent e (zuniichst) am Tag dcr n-tcn fund [elZlen) Rate cnnitteln, siehe Abb. 3.9.18. Wir suchcn somtr cinen kcmpa ktcn Ausdruck fur die aufgczinstc Sununc Kn der n einzelncn Raton Rt (analog zum Vorgrhrn in Kap. 3.2, insb. A bb. 3.2.1 oder dem Vorgehen im (letzten) Kap . 3.9.1). Pcr E lnzcla ufzinsung der n Raten R " R 2, ..., R n erhaltcn wir

Kn = R1' qn-l + R2 ' qn-2 + R3 ' qn-3 + ... + R"_2 q2 + Rn., · q + R"

(3.9.20)

wobe i gilt:

R , '" R

sowie

R1 '" R 'c l - I

(r '" 1, 2, ..., n;

fI_' idIIt1

c '" 1 +id}'" > 0).

R. q n-1

r----:-,-;;;;:-- - -- - - - - - -

Rc · q n-2

{q = 1+0 {c = 1+ ldfttJ

geomofrisch veninderliche

Rente

R

Re

1

1 (21

(11

Ren-3

Re2 1

1

In-21

131

I

Ren-1

Ren-2 1

1

In-',

("I

Abb.3.9.2 1 (Zeill

Oc r gcs uchtc En dwcrt Kn am Tag del n- tcn (und fetzten) Rate lasst sic h naeh A bb . 3.9.21 bcrcchnen:

(3.9.22) A usk lammem von Re n- l in (3.9.22) licfcrt

"

(3.9.23)

q" -

Rc n- I . -. -

... + c2 + gec mctriscbc Reibc

'" Rc n- '

('fC . _--

1

~-

I

l~it dcrn Faklor

t

=, q [siene (3. 2.3»

qn _ en Ren- I .

c

s-c c

R·

I

,-I

qn_ en , -c

(q '" c) .

3.9

157

Renton mil veriinde rliehen Rat cn

Damit ergibt sich (unter der Voraussetzung: q oF c) fu r den Endwert Kn der geornetrisch verander ncnen Rente am T ag der n- tcn (und (elzlen) Rate:

(3 .9.24)

K = Re"- I "

.-

(qc)"- I

(q

-

-

q cI

Kn = (aufgezinster) Wert der geometrisch veriinderlichen Rente am Tag der letuen (n-ten) Rate

q" - e"

R· -

q- ,

R = erste Rate c

= 1 +i~ , Qu olienl zweier aujeinan-

derlolgrnder Ralen (c oF q)

"* c)

n = A nzahl der (l ahres-) Rolen q = [lahres -} Zinsfa k tor

Bemerkung 3.9.25: Der Falf q = c (dA Zi nssalz = Sieigernngsrafe) fuhrt mil (3.9.22) unmillelbar auf:

(3.9.26)

K" = Rq" ' [ + Rq" -l + Rq ,,-J + ... + Rq ,,-I + Rq" -l

=

n - Rq ,,- J

(= n- Rc,,-J)

Auch jetzt gilt: Zinst man de n Endwerl K n auf einen andcren, fur d ie Problemlosung eher gccignetc n Stichtag auf odc r ab, crha lt man den Gcs amtwcrt (" Z eilwe1t ") dcr goometrisch vcrandcrlichen Rente zu jedem bc licbigen ande ren Stichtag {siehe Satz 3.2.8). Insbesondere crhalt man (mit q c) fur den

'*

Barwert Ko der geomctrisch veriinderliehen Rente: (Stichlag: 1 Zinsperiode vor der 1. Rate)

c

= Sieigerungsfa ktor R = aste von n Raten q = Z insfa k tor ( oFC)

q"

Beispi el 3.9.27: H uber zahlt - crste Rate in Hohc von 20.000€ am 01.01.05 - fnsgcsamt t u Jahrcsratc n aut ein An lagekont o (10% p.o.) cin . Jede Folgcrate wird (zum Ausg feich von Preissteigerungen oder wegen zuk unffig nanerem Sparvennogen) gegenObcrdc r vorangcgangcnen Rat e urn 5% (= i~ crhohr. i) Ubcr wclchcn Bctrag vcrfugt H uber am Tag seiner letztcn Zahlung?

Losung:

Hier konnen wir unminelbar (3.9.24) verwmdrn m it dem ResuJtal

q" -e" 1 110 _105 10 Kn = R ' ~ =20.000 ' '1,1 - 1.'05 = 385 .939, 13 € ii ) Mit wclchen beld en glcichhohcn Betriigcn zum 01 .01.09 und 01.01.12 Mite er dc nsc1ben Kon to-

stand wie unt er i) rcalisicrt ?

Losung:

Bezeidm en wir die heiden gesuchten Betrdge mil B, so muss nach dem Aqulvalemprinzip (Stichlag z.B. 01.01 .14, d.h. Tag der tenun Sp ar-Rate wie unter i)) gelten: 1 110 _ 105 10 8 ' 1,15 + 8 ' 1,1 2 = 20.000' ' 1,1- 1:05 = 385 .939,13 d.h. 136.833, 10 €

(pro Belrag)

iii) Wie hoch messtc H uber die crste Rat e wablen, wn am T ag seiner

to. Ratcnzahlung ubcr gcnau

cine Mio € vcrfugcn zu kiinncn ? Losung:

t en t kon nen wir wieder unm iuelbor (3.9.24) - d.h. Stichtog = Tag der lemen Rate -:

verwenden: 1.000.000 = Kn = R ·

1,1\0 _ 1,05\0 1,1 - 1.05

unddaher

R = 51.821,64€ (1. Rate)

3

158

Rentcnrechnung

Bemerkung 3.9.28: Die Frage nach dem anzuwendenden Zinssatz i , dem . Dynamik- Fak sor" c (= l+idy,J oder der Lou/zeit t aw. der A nzahl n der Raten einer geomemsch veranaatichen Rente[uhrt in der Regel auf Gleichungen, die nicht mehr elementar losbar sind und daher zu ihrer Losung eines iterativen Naherungsveriahrens hediirfm, Wir werden in Kap. 5.1.2 mil der Regula [alsi fin deraniges (und recm wirksames) Losungsverjahren kennen/emen.

Gleiches gilt fur arithmetisch vertinderfiche Renten, wenn der Zinssatz gesuchl sind.

j

oder die Zahi

11

der Raten

Aufgabe 3.9,29: i) Grap sparr intensiv, urn sich endhch ein zwertes Wohnmobil fur familiare Notfalle leisten zu

kcnnen. Er will dazu 15 Jahrcsratcn ansrercn Zinssarz 6% p.a- crstc Rate 2.400 € . Dbcr

wclchcn Ko nto-E ndstand am T ag dcr lctzt cn Einzahl ung vcrfugt er, wenn jcdc Folgerat e von J ahr zu Jahr urn jewcils 240 € gegcnubc r dcr Vorjahr esrat c anstcigt ? H ohc dcr lctztcn Rat e? ii) G rap will dcnsclbcn End -Ko ntos tand wtc unte r i) crrcichcn, atlcrdtngs sollcn die auf die crstc Ra te R folgenden Ratcn urn jcwcils 3% gcgcniihcr dcr Vorjah rcsratc ans teigcn. Wic hoc h muss cr die crstc Rat e R wablcn, damit er - bci sonst glcichcn Daren wic unt er i) - scin Zi cl crreieht ? iii) Frings crhan von seiner Lebcnsversicherung zum 0 1.01.07 sowie zurn 01.01. 10 jcweils cine Aus-

schiittung in H obo von 400 .000 £ . Aus dicsen beiden Betragen will e r (Zinssatz 5,5 % p.a.] eine 20 -maligc jahrliche Rente bczieh cn, die crstc Rat e in H ohe von 48 .000 £ soli zum OJ.0 1.15 abgehohcn werde n. Urn a) wclchcn festen Bctrag *b) welchen festen Prozcntsatz (i/erative Gleichungstosung notwendig, siene Kap. 5.1.2 !) musscn stch d ie Folgcraten von J ahr zu J ahr gcgcnOber dc r Vorjabrcsratc andem, damit die bciden A usschuu ungsbcrragc gcnau fur die Fina nzicrung dcr Rente aus reichcn? iv) E inc Rente ( n Raten tm l ohresehstond] habe folgende Stru ktur:

R

3R

2R

m

'"

'"

{n·1jR In_Ii

nR

'"'

Zcigcn Sic: Ocr aufgczinsle (Jahres·Zinsfaklo r: q ) Gcsamtwcrt Kn allcr Raton am Tag der letzten Rate hat den Wert , R

Kn

=:

q- I

(qn+ - I

--q:-I

(Tipp: (3.9.11) verwenden!)

Bemerkung 3.9.30 - " Ewige geomeoiscb verdnderliche Renle": A uch geomemsch veranderliche Renten konnen einen mdlichen Barwert Ko- besitzen, wenn die Raten " unendlich oft " flieften. Zur Ermiuhmg von K o"" verfahren wit analog zum Vorgehen bei aruhmetiscn verandedichen Renten [siehe Beispiel 3.9.15): Wir berechnen zunachst durch gewohnliches Abzinsen des Endwenes K" [siehe (3.9.24» urn n Jahre den Barwen Ko einer endlichcn geomanscn veranderacnen Rente und lassen dann in Ko die Zahl n der Ruten uberatte Grenzen wacnsen. AIlS (3.9.24) folgl so fur Ko: (3.9.30)

q" - c" J q - c c('

R· -- · -

mil q=l+ i; c = 1+idyn

3.9

Renten mit vcrandcrlichcn Raten

159

l.asn man nun die Anzoht n der Roten uber alle Grmzen . . . achsen, bildet also den Grenzwertl3 des tetuen Terms in (3.9.30) fu r n - 00, muss manje nach Grope des Quotiemen eine Fallunterscheidung macnen:

t

- Falls gill:

C

· K0 1m ,,_00 '

R ..

der Term (~f gegen Null, . . . ir em auen

00

( b · · 'r · 1'.'0 el glt: >· ' d}")

l _'dyn

f

- Falls gilt: c > q , d.h. > 1, so strebt fur n- 00 der Term (~f ebenfalls gegen 00, a.h. ein Grenzwen f ur Ko existien nidu, derFall c >q (d.h. i dyn > i) sduidet somit aux. - Falls gilt: c = q, so ist (3.9.30) nicht an.. . .endbar, wir mussen vielmehr (3.9.26) verwenden: Aus K" = n ' Rq"' / ernatten wir den Barwen Kodurch Abzinsen (d.h. Mul/iplika/ion mit ~ ) zu Ko '" n :Rq" ·l .~ '"

R

q ' n , der fur n -

Daher schetdet auch der Fall C

'"

00

q (d.h. i d} ..

uber aiie Orenzen stre bt. '"

q

i) uus.

Es gibt also nur im erslen Fall, d.h. f ur c < q (d.h. id).. < i) einen mdlidien Barwen fur die ewige geometrisch wriinderlkhe Rente, sein Wert knuet Ko

OO

(3.9.3 J)

R

Ko"" = q _c

R ..

l _ ' dyn

(q > c t aw. i > id}."J

R.. c:

q..

:

Barwert aer ewigen geometriscll vertInder/ichen Rente eine Zirnperiode VOl" der I. Rate ersie Rate Quotient zweier aufeinander fa/gender Raten (c ~ I+idynl Perioden-Zinsfakto- ( = 1 +i)

Beispiel: jiihrliche Steigerung um idy" = 6%, d.h. c '" 1,06; i '" 10% p.a. 24.000 ~ K o '" '" 600.000£, 1,1-1,06 d.h. von einem Slartkapilal in Hone von 600.000£ kann man - beginnend nach einem Jahr und bei 10% p.a. - betiebig langeeinejiihrlich um 6% steigende Rente (1. Rate: 24.000£) baichen.

i) Erste Rate: 24.000€ ;

oo

ii) Alles wie in i), nur soll jelzl die - mil 24.000£ beginnende - Rate jiihrfich um 6%£ abnehmen, d.n. es gilt c = 0,94: ~

oo

Ko =

24.000 = 150.000£, 1,1 0,94

d.h. jetzi henijtigl man ledig/ich ein Startkapitul ill Hone VOII 150.000£, um - beginnend nadv einem Jahr und hri 10% p.a. - »unendlich ofI" eine jiihrlich um 6% abnehmende (alladings stets posi/ivel) Rmte (1. Rate: 24.000£) beziehen zu konnen.

3.9.2.2 Geometrisch steigende Rente n - Kompensation von Prelsstelgerungen Geomctrisch stetgendc Renten worden insbesondere dan n verwcndct, wcn n es darum geht, zukiinftige Prelsstelgeru ngen vorwegaunchmen bzw. aufzufangcn: So ko nnte man ctwa daran dcnkcn, bci cinem

Sparvertrag odor einem Lcbensvcrslcherungsvertrag von vomehe rcin cine jahrhche Steigerung dcr Sparraten/ Priimien urn die voraussichtliche Prctssteigerungsratc (doh. Dynamik-Rate gleicn Infl ationsrate) zu vercinbarcn, damit in jcdcm Jahr die He be der Einzahlu ng/P ramic den glciehen . Realwene, ctwa bczogen auf den Startzcitpunkt des Ventages, darstellt. 13 siehcctwa [Tic3], Kap. U , (4.2. 11)

3

160

Rentcnrcchnung

In Kap. 2.4 tinsbesondere Kap. 2.4. 2) habcn wir bereits die G rundziigc dcr Bchamllung zuku nftigcr (oder auch vergangener] Zahlungcn unt er Bcriicks ichligung vo n Verzinsung und Inflation bchandelt und insbesond ere fcstgcstcllt (siehe (2.4.9) und (2.4.10) bzw. (2.4.14)): Dc r (auf den Bezugspunkt I = 0 inflationsberrinigte) Realwert Kn,oeines (sptilrren) Kapitats K n, das n J ahre nach I = 0 falliglvorhand cn isl, cr gibt sich unt er Beruck slchngung dcr dur chschnilllichcn jahrlichen l nflat ionsrate iinf1 (Influtjomfa klor q injl = J +i;n,J zu

K.

K",o =

(3.9.32)

( I + iinn)"

=

K. q~n

Beispiel 3.9.33:

Bet du rchs chnittfic h 3% p.a. Prcisstcigerung hat cin Kapital in Hchc von 500 .000 € , zahlbar E ndc 22, bczogcn auf den Zc itpunkt Endc 09 cinen Realwcrt K22,09 in Hohc von KZ2 500.000 -,-, = - -,,- = 340 .475,67 0£ 1,03 1,03

K 22 09 = -

,

d.h, in 22 kann man fur dan n 500,0000£ nur einen Warcnk orb kaufcn wie in 09 fur 340 .475,67 O£ .

Wird nun das Endkapital K n (im letuen Bri.\pid : 500.000€) dur ch Ans pa ren ciner (z.B. geometrisch steigmden] Ren te erzielt, vcrfahrt man analog: Beispiel 3.9.34:

Ein Anl egcr za hlt die erste Rate (:0 30.000€ ) ciner j ahrllc h urn 5% steige ndcn Rent e am 01.01.10.

Insgcsarnt werde n 13 Raren eingezahlt (die tetue Rule tst also am 01.01.22 [MUg) , Zins satz 7% p.a.

Ocsucht ist - bel durchschnittlich 2% I ve- Prcissteigcrung - der Rcalwert des sich am T ag der lctz ten E inzahlung ergchcnden Rcntcn-E ndwcrtcs bczo gcn auf den Tag der 1. Einzahlung (01.01./0) . Mit dem Dynamik-Faktor e = 1,05 und dem Zinsfaktor q = 1,07 lautet der verfugbarc Kontostaod Kn am T ag der letztcn Rate naeh (3 .9.24) Kn

qn_ cn

= R · -q-_-,- == 30.000 '

1 0713 _ 10513

.1 07 _ 1'05

= 786.293,79 0£

(Nominulwert 0/. 01.22) .

Dlcscr Bctrag muss noch inflat ionshc rcinigt worden hzgl. des 01.01.10 (liegl 12 (f) Jahre vor aem Endwett- Termin 01.01.22), d.h . nac h (3.9.32 ) gilt

K

o Kll, 1 -- - 1,0212-

71>6.293,79 1,02

12

= 619.98 7,28 0£.

(Rralwrrt bzgf. 01.01./0).

Zum Vcrglcich: E ine 13malige Rente mit der konstamen Ratcnh ohc 30.000 € /Jahr fuhrt auf cinen Endkontostan d von Kn = 604.219,29 0£, was inllationshe reinigt 476.4 22,7 8 of entsprtcht. Es liegt also nahe, die Inllation bzw. Gcld entwertung bei Raten zahlu ngen dadurch zu kompcnsieren, dass ma n cine jcdc Renton-Rare gegeniiber dcr vorhcrgchcnd c n Rate urn einen fcst en Prc zcntsatz idyn, erwa die mitt lere Prosstclgcrungsratc iinfl (Inflalionsrate) , crho ht (n dynamischr Rente" mit Inflationsausgleich). Auf diesc w cise kann man spatc r cntwedcr tibe r ein angcmessenes inflationsbcrcinigtes Rcalkapital vcrfugcn od er aueh nur dcr E rwartung Rcch nung tragen , dass man in spat eren Jahren leislungsfahigcr in Bczug auf die Sparrat enhOhe ist als zu fruhcrcn Zeitcn. Wenn aber die H ohc clncr Renton-Rate J ahr fur Jahr urn den sclbcn Prozent sat z stcigt, handelt es sich urn den ebe n be handelten klassisehen Fall der gcometriseh steigenden (ndynamischen") Rente.

3.9

161

Rcnt cn mit vcrandc rnchcn Raten

Bei\pi el 3.9.35: H uber spart - beginnend mit einer crstcn Rate in Hohe vo n 20.000 € am OJ.0 1.05 - insgesamt 9 Rate n an, Kalku lationszinssatz 8% p.a. Die Folgeraten stelgen jahrlich urn 2% (= durchschninliche l nfl ationsrote} gcgenfibcr der Vorjahresrare. Hu be r moc ht c geme w issen , fiber welches Rcalkapital - bczogcn auf den T ag der crstcn Sparrate -' cr am Tag dcr let zten Sparrate verfiigt .

IT€I

01.01.05

20 I

I (t: ~l ,02)

20,

202

20~3

I

I

I

p,

("

20c7

("

01.01.13

20eS

I

I

(8)

(9)

I

I K.

Mit (3.9.24) erhalten wir rnr den Konto-Bndsrand K I3 (= KrJ: qn_ r:" 1.089 _ 1,029 Ku = K13 = R · ~ '" 20.000 ' 1,08 -1 ,02 267.970,69€.

M it (3 .9.32) rcsulticrt da raus der (auf den 01.01 .05 bezogene) Rcalwcrt K." I = K13.05 zu I

K13.05 = Kn · - - 8 1,02 (zum Vergleich:

'"

228 .710,40 €

Renlenendwert Rn ohne nDynam ik ":

R n = 20 .000 '

J,~~:;l

= 249.75/,/6€.

inf lationsbereinigl auf den 01.0/ .05: 2/3./60,21 €.

Bemerkung 3.9.36: GeJegenllk h lasst m an - aus [ormalen Grunden - eine geomeuisch veranderliche Rente, DynamikfaklOr c ( '" 1 +i d}J , stall mit " R " mit " R -c" beginnen. A ile bishengen Formeln lassen sich auch dann komp fell wetter verwenden, wenn ma n stan .e : nun mehr " R -c " seat.

A bsc hlieBcnd soli die Viclzah l der mogtichcn Beziehungen und Sondcrfalle bei geometnsch vcra ndc rlichen Renten mit/o hne I nflatio nsausgleich sowie unte r Beruck siduigung der letuen Bemerk ung 3.9.36 ubcrstchtttch und zusammcntasscrd dargestcnt worden:

3.9.2.3 Zusammenfassu ng (geometrisch veranaenicne R enten ) voraussenungem

A ile Raten worden jahrfich gczahlt, Z insperiod e = Rcntcnpcriodc = 1 Jahr q '" 1 +i c '" 1 +!d)"l

Z insfaktor Dyna,?ik-Faktor

Inflations-Faktor

qinn = 1+l inn

Zahlungsstr ukt ur dcr gcometrisch verandcrhchcn Rente;

fo il b]

Follal

R R c

I

I

j

'"I

iiil

iiI

R· c R· c2 I

tn

IKo I,e 0

)

R' c2

R c' I

R -c"..3 f? cn-2 (1)'21

Abb. 3.9.37

Fall b) R ] e R vc

Falla) R ] = R

I

'"

jcweils p.a.

R- c"..2 R· Cn-1 I 11>' 1)

R·c"..1 R' c n I

'"'

IKn

II

(Zeil)

3

162

Rent cnrechnun g

Mit (3.9.24) folge n darau s die Gesemtwerte tier geomelri s ch veran derncben Rent e, bcs tchcnd au s n Raten, zu den verschtcdceenStichtagcn i), ii], iii) {sieheAbb. 3.9.37) f Or q c [d.h. i idy,,):

*

'*'

I R , '" Rc I

(s. Bern. 3.9.36)

Fall a)

Fall b)

i) EnJwert K n am Tag cler lrlZ/en Rale

i) Endwcrt Kn am Tag de r leu ten Rale q" - c"

R, · - -

13.9.381

q- ,

=

'---

---'

f3.9 24) L

ii) Barwcrt ~ am Tag dcr mien Rate Kn lq ll -l)

ii) Barwcrt ~ am T ag de r ersten Rate

r-

(= Kll lqn . J)

q "

co- 1 ( c) -I R qn_c" K; = R - · - - = _ . (3.9.39)

9_1

q"-I

q' "!

c

Mit dcr AbkOrzung

qn _ I I K; = R ·-_ _ . _ , q I qn-

q'''' t

-------!

q- c

q "

c n- l ( c)-1

,

KQ =Rc -

qn- l

13.9.40/

v

iii) Barwert Ko ein Jahr vor der ersten Rate (= Kn lq ll)

iii)

~

= Rc ·-_-

q -I

Barwcrt

9 _1

q''

c

Mil dcr A hkOrzun g q

R q " _1

q ,= c

1

Ko =C ' q_l "qn

·-

Rc

q" - c"

qn-I

q-c

= _._-

c

lin _ I

q'''' t

folgt

I

q"-I

Ko ein Jahr vor der ersten Rare

(= Kn /q n)

q "

C"- l ( ;:) - 1 R K, =R - · - = _ ._q''

-

9 _1

Mit dcr Abkiirzung

folgt

q- ,

·-

c -I ," (qJ"

R,

9, c

q"

/3.9.4 11 K, = R- . _ - =

q"

Mit der AbkOrzung q ''''

folgt

/3.9.421

qn _I

,

q

c

qn _ c"

q-,

folgt

K, " R ·-_ _ .q_I

qn

Wic in (3.9.31) schon da rgclcgt. cxistiert fur <J > C auch dcr Barwert Kn"" der ewigen gecmet nsc h veriinderlichen Rent e. FOr den Stichtag ii i) gilt

R

~ "" = q - -,

SONDERF.·fL LE: c = q

/3. 9.43)

Rc

~ "" = -q - '

(d.h. Dynamikf aktar J +id}.,,=Z insfa ktor J +i , siehe Bemerkung 3. 9.2 5)

i)

Kn "' n ' Rqn- l

/3.9.44)

i)

Kn "' n-Rqn

ii )

~"' n- R

/3. 9.45)

ii)

~ '" nRq

iii)

Kn "'n- R '!q

/3.9.46)

iii)

Kn '" n ·R

3.9

Re nton mit verandcrlichcn Rat en

163

Werde n die Endwerte Kn inllationsbereinigt (mit Hilfe von (3.9.3 2)) , so ergcben sich aus den Rontenendwerten die nachfulge ndcn Realwert e (dahei haben wir ots Bezugslerminfu rdie Inflationsberei-

nigung zum einen den Tag aer erslen Rate sowie undererseus ein Jahr vor der ersten Ralegewii hlt.) Die Gr undid cc fOr die Realwert cnnittlun g ergibt sich aus (3.9.32): Kn

Kn,o '" (I + ii nfl)n =:

(3.9.47) =: (3.9.3 2)

r

Kn

inn

(sof em der Bezugstermin f ur die lnjlationsbereinigung n Jahre vor der Fiilligkeil von K" liegt)

Dann crgibt sich aus den obigcn Bezieh ungen (3.9 .38) bzw. (3 .9.44) fur d ie belden Falle a) und b):

Fall a)

Fall b)

( I ) Inflationsbe reinigter Rcalwert

KI~ 1

des Rentenendwerts K o, bewgen auf den T ag dcr mIen Rale:

13. 9.48/

0"

Kn r -~R · n-I · q;nfl

(q

* c)

* c)

(q

1m Kompcnsationsfall e = q inn (d.h. Dynamikfaktor '" lnfla /ionsfa ktor) ussr sich in dcr letz ten Fo rrnd zunachst der crste Bruch kurzcn . Verwendet man weit erhin f ur pragnante Beziehungen :

" ·1 R . qreal qreaJ- I (q;njl

q

c'"

q

qinfl

die AbkOrzung qreal (siehe (2.4.15» , so crgcben sieh

13. 9. 49/

c)

Kil,l =

" -1 Re ' qreal qreal - I

(q;njl

c)

dh. dcr reate Rentenendwert Kn 1 der geomelrisch vetiindcriichen Rente mil " Dynamikrate = lnflauonsrate" ist ideruiscn mit dem 'nominel/en Renlenendwert der . runm alen" Rente (RUlenhohe = R = l. Rate der dyn. Rente), allerdings aufgezinst mit dem reaten Zinsfak tor q"al' Stimmen zusiitzlich Kalkulationszinssatz i und Inf'l at ionsrate iinfl (= idynJ ubcrcm, so ergibt sich qreal = I, so dass d ie belde n lctz tcn Formcln nicht anwcnd ba r sind . Vielmehr resumen aus (3.9.44) unmittclbar durch Inflati onsbcrcinigende ~ Abzl nsu ng~ mit q~:~ = qn- J :

I Kll,I =:n ' R (qi'if/

c

13.9 50/

q)

t Kil,l '" n ·Rc

(q;nfl

c

I

q)

(2) Die inflations bcrci nigten Rcalwcrte Kil,Oder Rentcncndwe rte Kw bczogc n auf I Jahr vor der ersten RUle crgcbcn sich unmittclbar aus den lctztcn Forrncln (3. 9.48) . (3.9.5 0), indem ma n lediglich 1 J ahr langer mit dem Inflationsfaktor M abzi ns t ~. So crgibt sich bcispielsweise fur den Kompcnsanonsfall (d.h. Dynumikrote = lnflanonsrate} aus (3 .9.49) Kil,O'"

R

"

qreal - I c . qreal - 1

(q;njl

oj

13.9.5 f/

Kil,O = (qinjl

" -l R · qreal qreal - 1

0)

3

164 Bei~pi el

Rentcnrechnung

3.9.52 :

E inc Re nte soll dynamisch anges part worden, erste Rat e z urn 01.0 1.07. J cde Rate soli so gcwahlt werden, dass ihr inflatio nsbcremigter Realwcrt - bczogc n auf den 01.01.06 td.h. 1 Jahr vor der mIen Rate) - einem Rcalwcrt in Hohe von 50.000 € cntspricht, durchsc hnittlichc Infl ationsratc Ocr Kalkulatio nszinssat z bctragt 9 % r -e. 3,5 %

r-e.

I) Uber welchcn inflationsbcrcinigtcn Rcalwcrt - bczogen auf den 0 1.0 1.06 - venugt der Sparer

am Tagdcr 20. und 1etztcn Ratenzahlung? Losung:

Die erste Ralt he/ragt 50.000 ·1 ,035 '" 51. 750£ ( ~ Rea/wert '" 50.000f), j rde weuere RaIl' erg/hI sich durch M ultipJik atian der vorhergehenden RaIl' mil C = 1,035.

Da der Bezugstermin fur die Reaiwenermatlungein Jahr vor de! mien Rale Uegt, konnen wir Ba iehung (3.9.5 /b) mit R '" 50.000 (oder (3.9.51a) mil R "" 51.750) an wenden: Mit q ",al "" 1,0911,035 "" 1,053140097 erholtea wir aus (3.9.5 1 alb ) KIl,O "" R

q~eal

- 1

qreal - 1

20

"" 50.000. 1,053.. - 1 = 1.709.241,96€ 0,053..

(Rea/wen) .

Ausfiihrlich: Der nominate Remenendwen KII ergibt sich nach (3.9.24) zu

K" "" 51.750'

1,09 20 _ 1,035 20 1,(}9 - 1,035

= 3.401.03 0,61 €

(Nom inalwen).

Es schliejjl sich nun die lnflationsbereinigung an: KII muss mil dem l nf lationsf akuor 1,035 urn 20/ahre »abga insl" tdiskoruien] werdm:

K",o "" 3 .401.030,61 · 1,03r

20

"" 1.70 9.241 ,96€ "" Realwert (s.o.)

ii) Wic hoch musstc d ie crstc Rate ausfallen, damit sich nach 15 Einza hlungen ein inflat io nsbe-

reinigtcr Rcalwert (in Bezug auf den Tag der mien Rail') in H ohc von 1 Mio €: ergibt?

Ocr Dynamikfaktor soli mit der c rwan ctcn durchsch nitt lichcn Inflat ionsratc (2,7% p.a.) iibcrcinstimmcn . Losung:

Mil (3.9.49a) haben wir

1.000.000 "" Kll, l = R

q;eal - 1 qreal - 1

Weilerhin gilt: q",al = 1,0911,027 = 1,06134372 ~

1.000.000 "" R ·

1,06 1..15 -1 0,061 ..

~

R = 42.524,94 € .

Ausfuhrfich: Nominata Remenend wen KIl nuch (3.9.2 4) : I 09 15 - 1 027 15 KIl "" R · ' , = R '34,/462091I 1,09 - 1,02 7

Dieser Wen muss noch 14 Jahre (d a Bezugseermin = Tag der 1. Rale) mil der l nflatiomrale 2,7% p.a. " abgezinsl" wcrden, urn den Realwen ,,1 Mia" zu liefern: R '3 4,14620921 . 1,027 - 14 = 1.000.000 ~

R

= 42.5 24.9 4€ (s.o.)

3.9

Renten mit vera nderlichen Ra ten

165

3.9.3 Unterja hrig zahlbare verandertl che Renten Da Renten haufig nieht jahrlich, sondem in kurzcr cn Zeitabstandcn gczahlt werden tz.B. monatlich oder vieneljahrlich) , erhcbt sich die Frage, wie man in solchen Fallen mil Raten-Stcigerungen umgcht. Wir wollen die belden wichtigslen (und rypischen) Faile (A una B) cxemplariseh bchandcln: (A)

Die untcrjahrig gcza hltcn Raton r scicn innerhalb riner jeden Jahres k anstant, erhohen sich aber in jed em Folgejahrdure h Mult ipllkation mit dcm Dynamik-Faktor c ( = J +idyn) : 1 >m,

-I

t-;-Q
1----1

-1 e.a.

(idyn =

1

100

100

100

100

f--+

rc

rc

rc

rc

,,'

110

110

110

110

121

R

10% p.a.)

- ?I

Kn - ·

Abb . 3.9.53

Rc

I

-+-+-rc n - 1

(Z ert)

rc n - 1

Rcn- 1

Allgemein wollen wir im vorliegem.lcn Fall A von folgcndc n Voraussetzungen ausgehen: Das J ahr set in m Teilperiodcn aufget cilt, am Endc jeder Teilperiode wird eine unterjahrige Zahlung fiillig (m gleiche nachschussige Raten pro Jahr, siehe Abb. 3.9.53, don mit m = 4 (QuanaleIJahr)). Die Rat en des crsren Jahres werden mit ~r" bczcichnct. Jahrcszinssatz i, q = l+ i J ah res -Dynamik rate idyn , C =

1 + idyn

Urn den Endwcrt Kn am Tag des n-tcn (und letzten) Jahrcs ermitte ln zu konnen, fassen wir zu-

nac hst d ie m Raten des crstcn Jahres pe r unterjahrlicher Aufzin sung zu einer naehse hiissigen Einmal-Rate R ("J ahres-Ersatz-Rate") zusammen, siche Abb . 3.9.53. Dann muss im Folgcjahr - da jedc einzclne untcrjahrigc Ra te mit e multiplizi crt wird - a ueh die resultlc rcnde nachschussigc E inmalrale mit c multip liziert wcrdcn, es e rgibt sich Rc usw. Offen ist noc h, welche untcrjahrigc Verzinsungsmethode anzuwend cn ist . Wir wollen hier cxernplarisch nur (A I) (A2)

die le MA -Methode [siehe Kilp. 3.8.2 .1) die360-Tage-Methode (siehe Kap.3.8.2.3)

behandcln:

(AI ) ICl\tA·l\fetbod e: Der fur eine untcrjahrige Pcriod c giiltigc konfonne Zins satz werde mit im bezeich net, ko nformer Zi nsfak tor somu qm = 1 + im. Dann gilt bet m Perioden pro J ah r (siehe z.B. (2.3 .12))

bzw.

(3.9.54)

und wir erhalte n fur den Wert R de r m untcrjahrigcn Raten r am J ahresende (siehe 3.2.5): (3.9.55)

q::: -l

q -l

R = r' - = r' - qm- 1 q~ - l

Wird nun im Folgejahr jede einzclne Ra te r mit c muitip lizicrt, so folgt aus (3.9.55) sofo rt dasselbe auch fOr R, als Endwert dieser m Rate n (je r -c) am Jahresende rcsultiert Rc, usw. Wir erhalte n somit aus den unterjahrigcn Raten die J abres-E rsatz-Ra ten R, Rc, Re 2, ..., die ubcrcinstimm cn mil den Rat en ciner gcomelriseh vcrandcrlichen Rente, siehe A bb. 3.9.18. Da-

3

166

Rcntenrechnung

mit lassen sich sarnrhche Ergebnisse von Kap. 3.9.2 auch auf die socbcn bcschrichcnc Art untcrjahrhch gezahltcr Rcnten mit verandcrhchen Raten anwenden. So erhalten wirjctzt beispiclswcisefur die zcntra1e Endwertformel (3.9.38) bzw. (3.9.24)

(3.9.56)

Kn :: R ·

qn _ cn

q

e

= r

c

~.

, • q iii - 1

qn _ cn

q

r

usw.

c

Beispiel (sieheAhh. 3.9.53):

Rarcn vicrteljahrlich nachschOssigzahlbar, d.h. m '" 4

r e 10.000 € pro Q uartalsratc Dynamik-Satz: 10% p.a. ='> c e 1,1 ; Erhohung erst nach jcdcm vollen Jahr Z inssatz : 7% p.a. ~ q :: 1,07 ~ qm:: 'lo = 1,07°,25 (d.h. i Q = 2,4113689 % p .Q.) Ratenhohc der 4 Raren des crsten Jahres:

lnsgcsamt soli die Rente 20 Jahre lang llic11cn. Gcsu cht: Endwc rt am Tag dcr tctztcn Rate sowic Barwcrt zu Beginn des ersten Jahres. Dam it lautet die Jahrcs- E rsatzrare R des crsten Jahres nach (3.9.55):

q::: -

1 q- 1 R = r' - - - = , qm- ) q m- 1

,

=

0,07

7;;, - = 41.035,20 € 1,07°·25 _ 1

10.000 ·-

und wir crhaltcn uber (3.9.56) und (3.9.41) I 07 20 _ 1 1020

Kn = 41.03 5,20 ' '1 07 - 1'10

= 3.909.03 4,34 €

~ = Kn/ 1,07 20 = 1.010.168,76 €

(A2)

(Endwen am Tag der temen Rate) (Ba rwen zu Beginn des er.l'len l uhres],

36 0 -Tage~ Methode: Jctzt musscn die m unterjah rigcn Rat en elncs [ede n Jah res linear aufs Jabresende autgcatnst werdcn, um die jeweiligc Jabres-Ersat z-Rat e R, Rc, Re 2, ... zu bilden.

FOrdie E rsatz-Rate R der m Raten r des crsten Jabres ergibt sich mit Hilfe des minlercn Zahlungstcrmms odor mit (1.2.64) R = m 'r ' (l + i

(3.9.57)

m - ]

2m )

Brhoht sich im Folgcjahr jedc Elnzclra tc r auf rc, so crhoht sich wegen (3.9.57) auch R auf Rc. Dassclbe gilt fur aile Folgcralen, so dass wir auch jctzt die kjassische gcomctrise h vcrandcrncte Rente erhalle n und sarntlichc Ergebnisse von Kap. 3.9.2 anwcndc n konncn, wen n wir anstel1e von R den Term (3.9.57) einscrzcn. Die Endwertfonncl (3.9.56) hat jetzt die Gestalt qn_ cn

K = R· - 11 q- c

(3.9.58)

m- I

qn_cn

2m

q- c

= m ' r '(l + i ' - -) ' - -

Beispiel: Wir Ohcm ehmen komplctt die Dalen des lctztcn Bcispicls , bcnutzcn abcr untcrjahrig die 360-Tage-MethoJ e. Naeh (3.9.57) tauter die crste Ersa rzrare R: R

= 4 · 10.000 ' (1 + 0,Q7 '"8J ) = 41.050,-- € ,

1 07 20 _ I 1020 Kn = 41.050 · '1 07 - 1'10 = 3.91O.444, 19€

K,

= K,/1 ,Q7'" =

l.OIO.533,09 €

so dass wir mit (3.9.58) erhalten:

(End wen am Tag der tetuen Rate} (BalWen xu Beginn des us/en l ahres]:

3.9

R cnt cn mit verandcnichc n Ratcn

167

(B) Im zwcit en Fall (8) - bel sons t gleichcn v orausseuun gen wie unter (A), d.h . m aquidistante nacbscbussfgc Ra ten pro J ahr - erhdhe n sich bereits die m unterja hrigen Z ahlungen von Rate zu Rat e urn einen konstanten Fakt or c m. Weite rhin betrae hte n wir nur den Fall untetjahriger cxpo ncntieller Verzinsungmit dem konfonnen un terjah rigen Z inssatz im (ICM4-Melhode). Wenn em explizit vorgegcbcn ist, handelt es sich wn cine geomerrisch verander liche Ren te, lediglieh Dynamik-Faktor em und Zinsfakt or qm bcziehc n sich auf kurzcre Periodcn als ein Jahr. Sind dagcgcn jahrcsbczogene Dynamik-Fakt oren e und Zin sfakt oren q vorgcgeben, erminelt man die jcweils konfonnen unterjahrigen Faktoren em und q m gemaG(2.3.12)

,

(3.9.59)

~ e m =e m

em=e m

sowic

q~ =

q

I n jed em Fall ergibt sich eine Za hlungsstruktu r sinngema13wic in folgcndcr Abb . 3.9.60:

t;-O«o'/
'''''',

-I

h-~-I

---1 'u

I

"m

re~

K.n -- '?

Abb, 3,9.60

I

I

re~

re~

re~

I re~

(rc)

fc----+

rc~

rc~

,I

(Zeitl

---+----+-re~- 2

rc::,- t

(rc2)

Wir konn en (bei einer Laufzeu (= Ralenanzahl) von m .n unlerjahrigen Penoden] die Sta ndardFo nnelbcziehu ngen anwenden, z.B. (3.9.38) = (3.9.2 4) K.n n = r

(3.9.61)

qmn _ c?" m _ m , wobei q dur ch q m und c dur ch c m ersctzt wurdc, qm cm

n bczcichn et in (3.9.61) die Anzahl der J ahre (n dar[ auch eine nicht-ganze Zahl sein, muss atlerdings ein Vie/raches von m seinr , m die Za hl der Rat en pro J ahr (z.B. n = 3,25 Jahre, m = 4 Quartale p ro Jahr q m :n = 3,25 ' 4 = 13 Qu artale und somis 13 Quartals·Ralen) Sci Vcrwcndun g dcr jahresbezogenen Fak toren q und c fclgt darau s wegen (3.9.59) qn _ c" (3.9.62 ) Kn = r : -'C--";(n = Anzahl der Jahre, n = ganzzahliges Vielfa ches ! ! von m, d.h. m .n muss ganzzahfig .rein) qm - c m Gcs ucht sind E ndwcrt (am Tag der teuen Rale) , Barwert (am Tag aer ersten Rale) sowie He be der letzten Rate cincr monatlich dynamisch wachsenden Rent e, die erste Rate in H ohc von 5.000,-- € sci fallig Endc Ja nuar 06, die lctzte Rate End e Marz 13.

Bei~piel:

Jahres-Dynamik -Fakton 4% p.a. (die einzelnen Raten steigen m onatlich ko nfonn zu 4% p.a.)

Zinssatz: 6 % p.a., unterjahrig exponenticlle Verzinsung zum konfonnen Mon atszinssatz. LOsung: Es sind 12 nachscnussige Ralen p-a . [allig, d.h: m = 12. Die Zeit zwischen 01.01.06 und 31.03.13 be/ragl 7 l ahre und 3 Monale, d.h. 7,25 Jahre, die Anzahl m'n der Mon atsralen belragl d aher 7,25 · 12 = 8 7. Nach (3.9.62) {ebmso mil (3.9.61)) sowie aus Abb. 3.9.60 fo lgl

Kn =

qn_ cn

r: !

!

500 0 "

1067,25 _ 1047 ,25 l ' 1 =

"

~ = K I/ l ,06 12 f

617.3 76 £

(Endwerta m31.03.13 )

1,0612 - 1,0412

qm - cw

..

406.622£

12 = 6.622,8 ]£ S7 = [ ' c~6 = 5000 ' 1,04

(Barwert am 31.01.06) (letzte Rate, fa llig am 31 .03.13)

3

168

Ren tcnrechnung

Aufgabe 3.9.63:

Wesslingcr bcnottgt zur Durchsctzung seiner bahnbrcchcnden Grundungs-Idee (E-Coaching p er Iruemet} dringcnd cinco Kredit, Kreditsumme ~ (g/eichAuszahlungssumme) . Seine Krcdit bank lst einverstanden, vcrJa ngt allcrdings cineo Kreditzins in Hohc von 13% p.a. und fordcrt die Oesamt R iickzahlung des Krcdits in 10 Jahren . i) Laut Geschaft splan kann Wesslingcr - beginnend d o J abr nach Kreditaufnahme - cin co Bc trag

von 70.000 € zurOckzahlen sowie in den 9 Folgejahren jeweils Raton, die gcgeniibcr der jewciligcn Vorjahresrate um 5.000 € gcringer werdcn. Wic hoch is! d ie Krcd itsummc, die Wesslingcr von seine r Ban k crhaltc n wird'! ii ) Altcrnativ zu i): Wcsslinger konnte nach cincm Jahr 40 .000£ zuruckzahlcn sowic in den 9 Fol-

gcjahrcn jewels Raton, die gcgcnubcrdCT Vorjahrcsratc Urn 6.000 € honer ausfallcn a) Wie hoch Ist jctzt die Kreditsurnrne, die Wcsslingcr von seiner Bank erhalten wird? b) Wic rnussrcn die ljiihrlich gleichen) Stc rgcrungsbc tragc der cinzclnen Folgc-Ratcn ausf aj jen, damit sich dicsclbc Krcditsummc ergibt wie unrcr i)? c) Angcnomrncn. er kon nre (ahweichend vom Vorhergehenden) in den 9 Fo lgcjahren cinen vo n Ja hr zu Jah r um 10% hohercn Bct rag als im Vorjahr zu ruckzah len.

c l) Wie hoc h ist jcrzt die Kreditsumme, die wessnogcr von seiner Bank crha lten wird?

c2) Mit wclchcr ersten Riickza hlungsratc (stall 40.000) musstc cr beginnen , wenn die Bank nun cine jahrliche Stcigerung der Folgeratcn von 7% p.a. fordert , dafur aber berett ist, ihm cmc n Kredit von 1 Mio € einzuraumcn? · Aufgahe 3.9,64: Pietsehling hat im Spieleasino (am einarmigen Banditen} cinen Bctrag von 250.000€ gewonnen. und mochtc daraus ~ fO r immcr und cwig" cine Rente - es tc Rate sorort - beziehen. Dabci soli diose crstc Rate 10.000 € betragcn und dann jahrhch urn 1.000 € stcigen. Jetzt suchr er eine Bank, dic ihm den dazu passcndcn Anlagc-Zinssatz (welchen?) bict ct. Aufgabe 3.9.65: Gcgcbcn ist cine lO-maligc Rente mil der Ratcnhoho R (in €/Jahr). v crztnsung: 9% p.a.• Prcisstcigcrungsrate 5% p.a ., Bewertungsstichtag: Tag dcr letztcn Ratenzahlung. Man ennittle den i) nominellen Rentcncndwcrt, wenngi lt:

R = 10.000,-- € /Jahrj

ii) rcalen Rcntcncndwcrt (inflationsbereinigt bezogen auf J Jahr liar der J. Rate), wenn gill: R =

10.000,- - € /Jahr ; iii ) nomincllc n Renten-E ndwert, wenn die crstc Rate 10.000 ' 1,05 = 10.500 ,-- € betragt und jcde Folgerate das 1,05-fac hc dcr vorhcrgchendcn Rate bctragt (d.h. die Roten steigen - wie ouch die Preise - in H6he der Preissteigerungsmte ( = 5 % p.a.);

iv) realcn Rentcnendwert (inf lationsberd nigt bezogen auf I Jahr vor der 1. Rate), wenn die Raten wie unrer iii) bcsch ncbcn - gezahlt worden. v) Z u i) und iii) cnni ttle man die jeweiligen Rentenbarwertc, bczogcn auf 1 Jah r vor der 1. Rat e.

3.9

Renten mit vcrandcrlichcn Rat on

169

Aufgabe 3.9.66: Ulrike Schmick1er-H irzebruch (USH) legt jahrhch - beginnend am 01.01.0 1 - 20 .000,-- € auf ihr Konto, insgesamt 8 Rat en . (j = 6% p.a., Preisueigerungsrate 4,5 % p .a.)

i) Wclehem R calwert (inflationsbereinigl bezogen auf den 01.01.01) ents pricht am Tag dcr 8. Rat e ihr Guthabcn? ii) Welche nominell gleichhohen Bctragc rnnsst e sic jahrhc h sparen, damit ihr Guthabcn am Tag

dcr 8. Rate crncm Realwcrt (inflalionsbaeinigt bezogen auf den 01.01.01) von € 160 .000 ,·entsprieht? iii) a) Obcr welehen Betrag vcrfugt USH am Tag dcr 8. Ra te, wcnn stc zum Inflat io nsausglcich jcdc Foigerat e urn 4,5% der vorhcrgchcnden Rate crhoht? (1. Rate = 20.000€ )

b) Welchcm Rcalwert (inflationshereinigt bezogen auf d en 01.0 1.01) cnts pricht dicsc Scmrn e? c) Mit welch er Einmalzahlung am 01.01.0 1 hatte sic die Rent e aquivalent erset zen konn cn? Aufgahe 3,9.67: Zur Sicherung seiner Altersrcnrc zahlt Weigand - beginn ena am 01.0 1.00 - 20 jahrlich e Raten (Hoh e jeweils R €/J ahr) auf ein Kont o (i = 8% p.a .) ein. 3 Jahre naeh dcr letzten Einzahlung [also am 01.01.22) soli die crst e von fnsgesamt 12 A bhebun gcn im J ahresabstand crfolgcn, so dass danach das Konto e rscboptt ist. i) Wic hoch muss Wcigands Sparrate R sein, damit jcdc seiner Abh eb ungen 24 .000€ bctragt? ii) Wic hoch muss Wcigands Sparrat e R scin, damit jcdc seiner Abhebungen einen Wert bes itz t,

der dem Betrag von € 24. 000,-- am 01 .01 .00 idem Fiilligkeilslennin der mIen Spa"ate) entspricht? Dabc i wird cine stcts konst antc Prcisstcigcrungsrarc in H o hc von 5% p.a . unterstellt. iii) Abweichend vom Vorh ergchend en will Weigand - beginn end 01.01.24 - bclicbig lange eine Rente von seinc n Erspamissen bezichen kon nen. Dabei so li die crste Abhebung 10.000 € bct ragcn und dann jahrhch urn immer dcnselben Prozentsatz gcgcnOber dem Vorjahr steigen.

a) Wie groB ist dicscr ~ Dynami k " -Proze ntsatz (auf »('Wig ") , wen n weigands erste An sparrate 12.000€ (= R) betragt ? b) Mit welcher Rate R rnusstc er anspar cn, urn - bci ciner ersten A bhebung am 01.0 1.24 von 18 .000 € - auf "cwig" jiihrlieh cine urn 3 % hohcre R ate ats im Vorjahr abh eben zu konncn ? AUfgabe 3.9.68 : Naehdcm Buehkremer in de r Vergangenheit mehrfaeh emp findlichc Fchhnvestitionen in Akti en dcr Silberbaeh AG vorgcnomrncn batte, sucht cr nunmehr finan zielle Sohditat beim Ren tcnsparen . Scin Anlagebcrater stellt ihm zwei Alternativen {Antagezinssatz jeweits 6,5% p.a.) vor: Alternative 1: Falls Buehkrcmer Prcisniveau-Stabihtat (d.h. l nf lalionsrall! = Null) erwartc, kommc cine 17ma ligc Rente, Ratcnhohc 12.000€:/Jahr, erste Rat e zum 01.01.09 in Fragc. Alt ernative 2: Falls Buehkremer dagegcn mit Inflatio n rechne ([nf1a1if.Jnsrale = iinfl (p .a.)), sci cine tebenja lls 17malige) stcigcnde Rente, beginnend ebe nfalls mit 12.000 € zum 01.0 1.09, anzurat en , urn am Ende auch iiber einen angemessene n Rcalwcrt der Er spamisse verfilgcn zu konncn. Als jahrliche Steigerung der Folgcrar cn werde 5% p.a. vorgeschlagcn. i) Wic hoch mus s die Inflationsrate iinfi bci Alt ernative 2 scm, damit der inflano nsbcrcinigte Realwert tbezogen auf den Tag der as/en Rale) des am Tag der lctzt en Sparrate vert ugbarcn EndKontostandcs dcnsclbcn Wert besitzt wie der verfugbarc End-Kontostand bc i A lternative 1?

170

3

Rcntcnrcchnung

ii) Buchkrcmcr - fiir cigcnwillige, wcnn auch nicht selte n z utreffe m.lc Prognosen bc kannt - erwartet

cine mmtere Inflationsrate von 2,3% p.a. um.lentscheidet sich schlieLlJich fur die 3. Alternative: Bcginncnd mit dcr crstcn Rate von ebenfalls 12.000 € zum 0 1.01.09 sollen seine (insgesamt ebenfal/s 17) Sparraten in den Folgcjah ren um jcwcils dcnselbcn konstantcn Bctrag von der Vorjahr csrat e abweichcn. Wie muss dcr jiihrlichc Andcrungsbct rag dcr Rat en aus.fallcn, damit dcr infla tionsbcrcinigtc Rea1wert (bezogen auf den Tag der ersten Rate) des am T ag dcr lctz ren Sparrate vcrf ugbarcn EndKontostandcs dcnsclbcn Wert besit zt wie dcr vcrfiigbarc End-Kontosta nd bci A lternative I ? Aurgabe 3.9.69:

Mischke mochrc scin uberschussigcs Kapitai gcmc in 20 Ja hresratcn zu je 50.000 € /Jahr anlegcn, Z inssatz 6,9 % p.a. Mit dcm geplanten End-Kcnt ostand K n am Tag der letzrcn Einzahlung will cr

cine mehrjahrige Weltreise ant rctcn.

Nac hdcm cr die crste Rat e cingezahlt hat, macht ihn cin Kollcge darauf autmcrksam, dass infolgc von Inflati on/Gcldcntwertu ng (Inflationsrate 2,5 % p.a.) der Rcntcncndwert weit weniger wert sein wird als cs dcm da nn vcrtugbarcn Gcldbetrag Ko entspricht . Daraufb in bcschlicgt Mischke. seine noc h folgenden 19 Sparraten regermaaig urn densclben Prozentsatz gcgeniibcr der Vorjahresrat e zu erhnhcn. i) Angcnommcn, cr crhohe die Folgcraten jcwcils genau urn die Inflationsrate: Wie hoch ist dcr

inflationsbcreinigte Rcalwcrt seines End-Kontostandcs, bezogcn auf dcn Tag dcr 1. Rate?

· ii) Angcnommen, Mischke moc hte einen End -Knntostand realisieren, der inflationsbcrcinigt (bzgl. Tag der I. Rate) mit dem ursprunglich geplanten E nd-Kon tostand Kn (ohne Berucksiduigung der inflation) Obereinstimmt: Wie hoch muss er dann den jah rlichen Steigerungs-Prozentsatz (n Dynamik-Satz") seiner Anspar -Rat en wahlen? (Iterative Gleichungslosung erforderlich!) Anfgabe 3.9.70: Mit welchcm Einm albetra g am 01.01 .09Iasst slch die tolgcndc Rente aquivalent ersctzco: Jahrlich 12 nachsc hussigc Monat sraten, beginncnd 31.01 .09 mit 100 €. Jedc wcitcrc Monarsrate stcigt urn 0,5% gcgenuber dcr vorhcrgehenden Rate. Zinssatz: 7,5% p.a., monatlichc Zin scszinsen zum konforrnen Monat szinssat z. Die lctztc Monatsrate crtolgt am 30.09.20. Aufgabe 3.9.7 1: Lebcn sversicherungs-Gcsellsehaft en werbcn gelcgcntlieh mit traumhaftcn Rcnditcn! Naeh cntsprechender Bcrarung durch seinen Makler H uber kauft Roland R. Kaefer cine kapitalhildendc Lebensversicheruog bei ocr Gcsellsehaft Asse&Kuranz AG. Ocr Vertrag wird wie folgt abgewickelt: Kaefer zahlt im Jahr 01 vier nachschussigc Qua rtalsraten zu je 24.125,-- € . In de n nacbstcn neun Folgejahren worden ebcnfalls je vier nachschussigc Quartalsraten gezahlt, die von Jahr zu Jahr urn 5% gegcoater dem Vorjah rcswcrt anstcigcn (innerhalb fines Jahres bleiben die vier Raten unveranden }, Am Ende des to. Jahrcs (d.h. zeilgleich mi l der tauen QuurtaJ.m lle) , zahlt die Asse&Kuranz AG als aquivalcntc Ablaufleistung einen Bctrag in Hche von 1.266.000,-- € an Kaefer aus.

Kaefer frcut sich zunachst tiber die hubsche Summe und ist nun naturlich daran interessiert, die resulticrcndc Kapital-Rcndite aus dem Gesam t- Engagcmcnt zu erfahren. Als cr cincn bcfreundcten Finanzmathcmatiker deswegcn bcfragt, kann Kaefer das E rgcbnis zunachst kaum glauben! Machen Sic dahcr fur Kaefcr cinige Kontro llrcchnun gcn:

3 .9

Renten mit veranderliehen Rat en

171

i) An gcnommen , Kaefer harte sein Kapit al alte ma tiv zu 5% p.a. anlegcn konnen. Urn welchcn Bctrag harte scin Kapital -Endwcrt Ober/ unter de r Abl aufleistung gelegc n a) bci unt crjahrig finca rer Verzinsun g? b) bei untcrjahrig cxponenticller Verzinsung zum konfonnen Zins satz ? il) Al s er emp6rt die Asse & Kuranz AG vom E rgcbnis in Kenn tnis setzt, wird Hun entgcgengehal-

len, die Versicherungspramicn enthielten einen nenn enswerten Anteil fur d ie Abdeckung des zwischcnzcitlichen Sterbe- Rtstkos. Da raufh in erk undigt sich Kaefer nach den Oblichen Pramien fUr cine Risiko-Le bcn sversicheru ng und erhalt folgend e Information: Eine passende entsprechende Risiko-Lebensversicherung fur 10 Jahre harte im crstcn Jahr 3.140 € (d.h vier gleiche nachschusstge Quan alsraten zu je 785 € ) an Pramicn gckos tet. In den 9 Folgcjahren batten auch diese Raten urn 5% p.a. angchobcn worde n rnuss cn (jeweils viergleiche nachscnussige Quartalsraten pro Jahr) . Daraufhin bcreinigt Kaefer seine ursprunglichcn Pramicnzahlungen urn den enthalte nen Bctrag der Rtsi ko-Lcbc nsversichcrun g, Bcan twort cn Sie nunmch r unt er Betiicksiehtigung der reduzicrten Pramien die Fragcn nach i)! Dcr Zinssatz fur die Alternat iv-Anlagc betragt jetz t 6% p.a. *iii) Ennittcln Sic Kacfers Effektivverzinsung nac h der ICMA-M ethcx.le unt er Betiiek sieht igung der ers partcn R isiko- Lebensversicherungspramien (iterative Gteichu ngslosung eiforderlich!)

Aufgabe 3.9.72: Bcstmann will sich endlich zu r R uhe sctzcn und sorgcnfrei sein Leben genie/3en. Da der lctztc Akticn -Crash seine Nerven und seine Finanzen arg stra paziert hat, verka uft er be i nachs rer Gclcgcnhcil seinen gcsam ten resUiehen Aktienbcs tand und legt de n Erlos (750.000€ ) zurn 01.01.02 bci der A ach ener& Hamburgcr Schifffahrtskasse (7% p .a., umerjtihrig expon entielle Verzinsung zum konformen Zi nssatz -leMA-Methode) an. Mit Kassen -Fil ialleiter H ube r wird folgcnder Rent enplan erarbeite t: Bestmann erhalt - wei! er auch fur seine N achk ommcn cin fOr aile Mal vorsorgcn will- eine cwige monatl iche Rent e, erste Rate am 31.01.02 in H ohc von R[ € ] . Dcr Rent enplan sieht weite rhin vor, da ss jede weite re Monat srate gegcnUber der vorhergchende n Monatsrate urn einen im Zei tablauf fest en Prozentsatz zunimmt. I) a) Angcnomm en, der monatliehe Steigcrungssatz be trage 0, 1% p.m.; Wie hoch ist die crste Rate fu r Bcstmann? Mit welcher Monatsrat e kann er Ende des J ahres 2015 rech nen? b) Man bca ntwo rte d ie Fragcn von a), wenn dcr Steigcrun gssatz 0,6% p.m. bctragt. ji) An gcnommen , seine crstc Rate soli 1.200 € betragen: Urn wlevicl Prozent crho hen sieh jetzt die Rat en rnonallieh ? welchc Monatsrate erhalten seine Nac hkommcn Ende des J ahres 21oo ?

173

4 Tilgungsrechnung 4.1 Grundlagen, Tilgungsplan, verglelchskonto Die Tilgungsrcchnung bcsc hatngt sich mit allen Vorgangcn und Problem cn, die bei dcr Ven.insung umJ Ruckzahlun g (Tilgung 1) einer Schuld (z.B. Kredu, Dadehm , Hypothek, Anleihe, Wenpupier, ...) auf-

treten. Bci sarntlichc n Schutdc ntftgungsvorgangcn ste hen sich Letstungen ( = Zahl ungcn) des Krcd itgcbcrs (Gliiubigers) und Gege nleistungen ( = Zahlungcn) des Krcd it nchmcrs (Schuldnrrs) gcgcniibcr, so dass das finanzmat hrmatischc Instrumentarium (Zinsrechnung, Renlenkalkal, Aquivalemprinzip) ohnc Einschriinkungcn angcwcndct wcrdcn kann. Siehl man von einigcn spcz iellcn noc h zu crlaute mdc n Bcgriffsbild ungcn ab, so lasst sich jcdcr Tilgungsvorgang autfassc n als cin mit H ilfc des Aquh 'a1enzprinzips (" Leis/nng minus Gegenieistung gleich RestschuldlKontostand ") zu hchandelnde r finanzmat hemat isch er Vorgang ("Finanzinvestition"). D ie chara ktcristisc hc Bescndemett del Tilgung~ rechnung ist da rin zu schen, dass - enders als sonst in dcr Finanzmat hematik - die Gege nlcislungen ( = Zahlungen, Annuitiilen) des Darlchcnsschu ldncrs Periode fur Periode ze rtegt worden in den •

Zinsanl eil, d.h. die am E nde jcdcr Pcriodc entsta ndenen und falligcn Zin sen auf die zu Beginn dcr Periodc noch vorhandcne Rcstschuld, sowic - als Diffcrenzgrogo - den

•

Tilgungsanl eil (Differenz von Annuitiil und f iilligen Zinsen):

- Ist die Gc genleistung (Annuitiit, Zahlung) griiRer als d ie falligcn Zinsen, so ist d ie Tilgung die am Period cncnde uber die ftilligen Ztns en hinausgehende Ruckza hlungssumm c, die allcin z ur Minderun g der bisherigen Restschuld beitragt . -

Ist die Gc genteistung (Annuitot, Zah fung) kletncr als ats die falligen Zi nsen, so crgibt sich cine negative Tilgung, die Rcstsch uld erho ht stch cntsprcc hcn d.

Die nommcllc Summe alter im Zci tab lauf gczahlte n T ilgungcn [Tilgungsraten, Tilgungsquolen) crgibt gcnau die ursprunghchc Krcdits ummc. Die Annuita t 2 setzt sich add itiv zusammen aus den (entstandenen) Zinsen plus der Tilgung.

Bczeichnct man mit

Zt ' T t bzw. At jcweils Zinsantcil. T ilgungsantcil bzw. Annuitat (fiilligEnde der

Periode I) , so gilt fur jede Periode die grundtegen de dcfinitorische Bcziehung: (4 .1.1)

(I = 1, 2, 3, ...)

Dabci ist allcin die AnnuitJit AI (= Zahlung) die aus Siehl dcr Finanzmathematik entscheide nende ZahlungsgroBe, denn nur Zahlungen bcein tlusscn Kontostand odor Restsehuld und fiihren zukunftig zu Z insanfall od er Zinsvermeidu ng.

I von lal. "delete" (zcrstoren, auslcschcnj 2 und T.war auch dann, we nn die Zinspcriodc oder Zahlungspcriode kein Jahr isr. Weiterhin beachte man, dass auch negative Tilgungen urd Annuitatcn denkbar sind, siehc Bcmerkung 4. 1.8 . Stall von "Annuiliit" spri cht man gelege mlich auch von .Kapitaldicnst".

174

4

T ilgungsrechnung

Beispiel 4.1.1: Ein Krcdit (Kredusumme 100.000, -- € ) soli - bci 10% p.a. Zinsen - dureh jahrlichc Raten (Annuiliilen) von 12.000,-- € zuruckgezahlt werden . Die Zahlungsstru ktur wird am Zeitstrahl deutlfch: leislUng

100.000 (Kreditsumme/ (Zeit )

12.000

12.000

12.000

(Annuifdten/

Die jcweiligc Res tschuld K 1, K2, K3, ... (nach I, 2, 3, .n Jahren) lasst sieh mit Htlfc des finanzma-

thcmatischcn Kalkuls nach dcm Prinzip (3.7. 12)

Rcstscbuld (= Kim LOsland) = aufgezins te Lcistung - aufgczinste Gcgc nlcistung bcs timmcn. So crgibt sich etwa die Restschuld K 3 nach Ablauf von 3 J ahren zu K) = 100.000 · 1,13-1 2.000

1, 13 - I 0, 1

= 93.380,-- €

usw.

Demgegcnubcr listet die Tilgungsrechnung Period e fur Per iod e auf einem Konro Rcstschuld, Zin sen. Tilguog, Annuitat tabcllarisch auf (,.Tilgungsplan ", " Kontoslaffel"). Im Un tcrsc hicd zu den bisher betrachtct en Kontos taffeln (siehe etwa die Konloabrechnungen in Beispiel 3.8.14) cnrhan cin Tilgungsplan neben Zinscn und Zahl ungcn (A nnuiuuen} nun aueh den rcinen Tilgungsantcil 3 (rechnerisch der Saldo AnnuilUl m inus er ustendene Z insen) .

FOr unscr obigcs Betsplettautct cin derartiger 'Iugungsplen fur die crst en drci Jahre:

,

Jahr

1

2 3 4

Restschuld ~ - 1 (zu Beginn d./. )

100.000 98.000 95.800 93.380

(= ~ (= K1)

t- K,)

Zi n!'Cn z, (10 % ) (zum Eli de d.J.)

10.000 9.800 9.580

Tilgu ng T t (zum Ende d./.)

2.000 2.200 2.420

Anlluid l At (m m Elide d./. )

12.000 12.000 12.000

(= KJ

(Z ahlungen!) Ocr Ti1gungsplan liefert - wic nicht andcrs zu erwarten - zu Beginn des viertcn J ahres (= End e des dnnen Jahres) cxakt dicsctbc Rcstschukl K3 (= 93.380 € ) wie zuvor be l A nwendu ng des finanzmathcmatisehen Formctapparatcs.

Wir wollen nu n die Bcgriffsbi1dungcn und Da rstcllungsvarian ten der T ilgungsrechnunglTi1gungsplanc be i den untcrschicdlic hstcn Krcdit fonnen gcnauer bctrachtcn. 3 Ein wtcbngcr c konomtscter Grund flir dic Auftcilung dcr Annuitat in Zins- und T tlgungsantcil besteht indcr stcuerlich relcvantcn Tatsachc, dasszmsen aufwands-fcn ragswirksam sind , rcioe Tilgungslcistungen dagcgcn nicht.

4.1

Grundlagcn, Tilgungsptan, Vcrglcich skon to

175

Bemerkung 4.1.2: i) Wir wollen zunachst vereinbaren, dass alie Zahlungen (d .h. L eistungen, Gegenleiswngen, Annuita· len) zu Zin szus chtagtenninen afolgen und sogleich verrecnnet werden. Abweichungen von dieser Vereinbanmg Ire/en vor allem dann auf, wenn unlerjiihrig mit linearen Zin sen gerechnet wird, vgl. etwa Kap . 4.3.

ii) Wie bisher wird mil nachschilssigen Zinsen gerechnel, d.h. die Zinshiihe Z t am Ende einer Zi nsperiode riduet sich na ch der Restschuld K t. 11.fl Begin" dieser Zin speriode: Zt ::: K,_r ' i

(4.l.3)

iii) Aufkr Zin sen und Tilgung konnte die Annuilat weitere Bestandteite (wie ein Aufgeld oder Provi-

sions·/GebUhrenanteile) emhauen. Solehezusiilzfiehen Bestandteile werden hia (zuniichst) nieht betrachtet. iv) Man beadue, d oss nur p ositive Tilgungsleistungen die zu Beginn de, Periode vomandene Rest· schuld mind em, vgl. auch unlen (4.J.5b).

Fur die jeweiligc Dadchcnsschuld vcreinbaren wir folgcndc Bezc ichnungen:

Ko:

Kredil..umme, zinspffichtigc ' Lcistung des Krcditgcbcrs im Zcitpunkt t ::: 0, d.h . zu Beginn der ersten Periode

Kt: Reslsehuld am Ende

der Pcriode t tunmiuelbar noch Varedmung der gezahlten Annuuat At ) . Kt stem somit die zu Beginn der Folgepe riode 1+1 noch vo rhand ene (und zu verzlnsende} Rest -

fordcrungdes Gliiubigcrs dar, m.a.w.

Kt- I ::: Rcstscbuld zu Beginn dcr Period c I Kt = Restseh uld am Ende dcr Pcriodc I

(= Restschuld am Ende der Periode t -I ) (= Restschuld zu Beginn de, Periode I + I)

Nach dem finanzmathemati scben Aqui valenzprinzip ergibt sich die Rcstschuld Kt am Ende dcr Periode I au s dcr c n ts p rcc he ndc n R cs tsc h uld Kt - l (zu Beginn dieser Period e) durc h Aufzinsen un d Saldieren mil der am Endc von Pcriode I gcaah ttcn Annuttat Ai' vgl. Abb. 4.1.4: ·( 1+i l

li e/stung ) K'.1

-----1- - - - - - - - 1 --

l

Daraus folgt unmittclbar:

Penode I

Kt ::: Kt-I '( l + i)- A I

~t

(Zeitl

/Gegen-

Ie/stung)

I,

Abb. 4.1.4

(4. 1.5a)

(d.h. : N eue Restschuld = aujgezinne alte Renschutd m inus AnnuitiillZahlun g) 4 Gctangt - clwa wegcn cines einbchaltenen Disagios, vgl. Kap. -1 ,2.5.3 - nicht die volle Kreditsumm c K" zur Auszahlung, so wird dClUIOCh K" a1s zu vcrzinsendes und z u tilgcnd es Schuldkapital aufgcfasst. Lcdiglich bei Ermiulung des Effektiv zinssatzes (vgl. Kap. 5.2 ) wird auf die tatsec hlich gcllosscncn ZaItIungen zuruck gcgnffcn

4

176 Umformung untcr Bcac htung vo n (4.1.3) bzw. (4 .1.1) Iicfert fUr die Restsch uJd

Tilgungsrcch nung

I
K,-, - (A, - z,)

d.h .

(4.1. 5b) Aus dcr lctzt cn Glc ichung geht hClVOI, dass nur positive T ilgungcn die Restschuld mindcrn, mithin muss - bc i vollstand igcr T ilgung - cbe nsovicl gclilgt scin, wic an Rcstschuld insgcsaml vorhandcn war; andc rs ausgcdriickt : Die nom inclle Summc aller Tilgungcn licfert stets die ursprunglichc Krcdits ummc

~

(d,h die Res/schuld zu Beginn der emen Periode): (4. 1.6)

D icsc Bczichung (4 .1.6) is! insbesondere fur Ko ntrollrcchnungcn niitzlich .

Beispiel 4. 1.7: Vorgc gc be n seien folgen de Kredit bcdin gungcn ({t. Kreditvenrag): Kred itsummc:

Ko

:0

100 ,00 0,-- € ;

i '" 10% p.a.

A u& r den jahrlic h a nfallcndcn Zi nscn so llen zusatz fich jewcils 20 ,000,-- € / Ja hr als Tugun g gczahlt werde n. Mit den vcrcinba rtcn Bczciehnun gcn gilt am E nde von J ah r 1: Z] =

~'i =

10.000,-- €

sowie Tl A ] = Z ] + T ] = 30 .000,-- €.

20 .000,-· € ,

d.h .

Somit bctragt die Restsehuld K] am End e der erslcn Pcriod e

K, (oder: K I

~ - Tl =

100.000 -20.000 = 80 .000,· · €

Ko·q - A I = 100.000 '1,1 -30.000 = 80.000,--£).

E ntsprcc hend folgt am E nde des zwcitcn J ahrcs: Z 2 = K ] ' i = 8.000,-- €

sowtc

T 2 = 20 .000,-- € ,

d.h .

A 2 = Z 2 + T 2 = 28 .000 ,-· €.

Dam il crgibt sich die Rcstschuld K z am En dc des 2. Jahrcs zu

Kz = Kl -T z = 60.000,-- € usw,

Bemerkung 4.1.8: Ebenso wie p Qsili~'e Tilgungsbetriige die Restschuld mindem, wirken negative Tilgungsbetriige restschlUderhiihend. Negative Tilgungen trrten rechnerisch immer donn auf, wenn die Annuiun geringer is/ als die fii{[jgen Zinsen oder wenn dem Schuldner emrut Kreaumiuet zufliefien. 1m teu sen Fall - Millelzufluss fur den Schuldner- ergeben skh rechnerisch im Tilgungsplan auch negative Annuitiiten, vgl. S sp. 4.2.3.

4.1

Grundlagcn, T ilgungsplan, Vergleich skont o

177

Ein Darlehensvorgan g, bet dem die Lcis tung des Glaubigcrs in dcr Z ahlung eines Kreditbetragcs ~ (im Zei/punkt / = 0) bcstcht, tasst sich allgemein am Zeits trah l wie folgt darstellen (Abb. 4.1.9):

, Per 2-l.-, Per 3-l I- Per: t -1-_

Ko

----1rvo

1--per.n ---j

le/slung des Glaubigers

(Kredilsummel t

s

"~,

, ~"

Tilgung

Z, T,

Z3 T3

Zn_f T_ n 1

Zo To

=Annuitd t

Z2 T2

A,

A2

A3

An _1

Ao

Zinsen

+

(Zeill

Gegenleislungen 5 des 5chuldners

Abb . 4.1.9 Nur die Kreditsumrne ~ sowie die Annuttaten Ai' A z' ..., An rcprasentiercn die im Z usammenh ang mit dem Kredit- und T ilgungsvorgang gcflossc ncn Zahlungen . Eine zahlu ngsstrom oricnti crte finanzmathcmati sche Bctrac htung untc r Verwendung des A quivalenzprinzips fjlhrt dahcr stets zum gleichcn Rcsultat wie die Verwcndung von Tuguegsptanen odc r Kontostaffclrcch nungcn mit der dcta illicrten A uflist ung all er Z ins·JTilgungsvorgange (siehe auch das Eingangs·Beispiel4.J. 1) . So barto sich die Rest schukl K2 (im teuten Beisp iel 4.J. 7) bei Kenntnis der beiden Annuitatcn A l = 30 .000; A 2 = 28 .000 auch direkt tiber die Aquivalcnzmcthodc (3.7 .12) ergebcn:

,

K2

IKol flXJ.()()()

I

I

I 30000

fAfl (aufgezinste) Lcistung 100.000 ' 1,l

I 28000

fA2l

(aufgezinste) Oegcnlctstung

z - 30.000 ' 1,1 -

(Zeitl

( i = 10% p.a.}

28 .000 = 121 .00 0 - 33.000 - 28.000 = 60 .000 € , s.o.

Wic schon im Eingangs-Bcispiel 4.1. 1 ansatzweis e demons triert, benutzt man zur Vcrdeutlie hung dcs gcsamten Abl aufs c ines Kreditvorgangs (mit allen Zahlungsvorgangen, der Ennittlung von Zins- und TilgungsbelaslUngen sowie der Resrschuldenrwick!ung im Zeirablauf ) cine Kontosta ffelrec hnung, auch T ilgungsplan gcnannt. Wir wollcn (analog zu Beispiel 4.1.1) mit den Dat en von Bcispiel4.1.7 cinen kom plcttcn Tilgungsp lan (siehe Tabel/e 4.1.10) a ufste llen:

Kredi/summe: Ko = J 00.000, · ' €, Zinssa tz: i = 10% p.a. , Tilgungen: Tr = 20.00 0, --€JJ ahr. 5 Ein wichtiger /lkonomischcr Grund fur die A uftcilung dcr Annuitat inZins- und Ti lgungsanteil bcstchtindct steucrlich relcvantcn Tersecbc, dass ztnscn aufwands -sertragswirksam sind , rcine Tilgungslcisrungen dagcgen nicht.

178

4

Ti lgungsrcc hnung

(11

(1)

(3 )

(4)

(51

(6)

,

Rcsbc huld ~- 1 (Bcginn I)

(entst andc ne)

Ti l!:un!: -r, (Ende I)

r- Zlth l un~

Ann uitlit At

RC!
(I )

(1)

(3) - (2) "0, 10

Perio dc

Zin!iCn 1,

(E nde I)

(Ende t)

( 5) .. (3)

(4)

+ (4 )

(6) - (2) - (4)

r- K\l

I

100.000 (= K o)

10.000

20 ,000

30 ,000

80.000

2

RO .OOO (= K,)

8.000

20 ,000

21\,000

3

60 ,000

r- K 2)

60.000 (= K 2)

6.0 {)o

20 ,()()()

26 ,O()()

-to.OOO (.. K3)

4

40 .000 (.. K 3)

20 .0()()

24 ,000

20.000 (= K4)

5

20,OOll

c- K4)

4.00 0

1.000

20. 000

22.000

0 (= KS)

(= K s)

(Z,

"

6

+

T,

=

(Tilgungsplan zu 8eispiel 4,1.7/

Tab. 4. f. 10

Ad Spaue (6)

1St ou-

behrtich, do s4ml -

liche ResucnutabemIge ill Spatce (2) ernaa ouJge-

j fll lFt worden:

Tabcllc 4.1.10 zeigt , class stch die Lei.\tung (= Zahlung) A l (= 30.000,- - € ) am End e des erstcn J ah res zusammcnsctzt aus den tatttgcn Zlnsen Z l (= 10% von J 00.000 '" 10.000,-- €) plus der dariibc r hinausgehcndc n Tilgungsleistung T l (= 20,000,· , € ) . Da nur die T ilgung T I d ie vorhanden e Restschuld Ko (= 100.000,-- € ) mindcrt , crgibt sich als Sch uldrcst KI am E nde des ersten Jah res (d.h. als Restschuid K1 zu Beginn des zweuen l ahres]: K l = 100.000 - 20.000 = 80.000,-- € , vgl. crstc Zahlcnreihe des Titgungsplans. A ile weiteren Zeilcn des Tugungsptans entstehen nach ana logcm Muster. 6 Zur Konu o lle Iur die kon ek te Abwic klung cines Tugungspla ns ist cs sinnvoll, die folgcnden Rctano nen auf ihre ~ Wahrbcit" hin zu uberprutcn

(1) (2)

(3)

AI =

Zt + T l

L, T I = K,.

(d.h. f ur aile I muss gehen:

Annuilii/ = 2ins plus Tilgung)

Krcdit summo

= K,.' I - T 1

(d.h. fur alle t muss gel/en: RestschuldEnde Periode t = vom enge Restschutd minus Tilgung Ende Per. /)

Urn cincn Tilgungsplan aufstellcn zu konnc n musscn in jcdcr Periode (aufJer Kreditsumme, Zinssatz und Kon/ofiihm ngsmethode 7) cnrwcdcr der T ilgungsbctrag od er die Annultar bckannt (oder verein-

bart) scm. Wahrcnd fu r die H ohc der cnts tchcndcn Zins cn die jew eits zu Pcriodcnbcginn vorhandene Restschuld und der vercinharte/anzuwendende Zinssa tz rnaBgeblich ist, k6nn en fUr die Hohe der T ilgungsra len bzw. der Annuitaten untcrschicdlichc Vereinhan mgen getroffen werde n, wic in den nae hfolgcnden Kapitcln cxemplarisch dcm onst ricrt wird.

6 Wie seton angedcutet , ist die in Tab . ·4.1 .10 aufgefLihrte letac Spahe (6) cntbehrlich, da die j cwcillgc n Restsehuldbctriige - um cinc Zeilc nachuntcn vcrschcbcn - in der Spalte ( 2) cmcul crschcinen (die Res/schuld zum Ende der Perlode I v,1 idemiscn mil der Resrschuld zu Beg/nil der Fotgeperiode If 1). Wirwerdcn dahcr im folgenden meist auf Spal tc (6) verzichtcn. 7 Bis auf'weiteres verw endcn wir - vg l. Bern. 4. 1.2. i) - ats Konto fhh rungsrnerhodc jahrlicbc Zins - und Tilgungsverrcc hnu ng (bcijahrlicbcr zahrung der Annuil!il).

4 .1

179

Gru ndlagcn , Tilgungsplan, Vcrglcichskont o

Bei allcdcm beachtc man, dass T ilgungsplan /Kontostaffcl cine rscits und zahjungsstromorientterter Zahlungsstrahl andcre rscits nur zwei Seitcn dersclbcn (finanzmathemalischf'n) Mcdaille sind: •

Jcdcr in cinc r Kont ostaffcl oder in ctncm T ilgungsplan abgcbiklete Invesurto ns- od er Finanzierungsvorgang kann dureh Bctraehtung der Zahlungcn/Annuitatcn zahlungsoricntiert aufgefasst und mit den klassischen Methoden der Finanzmathematik bcwcrt ct werdcn.

•

Um gckehrt Iasst sieh jede r Vorgang, der mil (Zahlungs-) Leistu ngen und (Zah[ung.~-) Gegenleistungen zu tun hat , als Krcditvorgang deuten und vollstaadig in einem Tilgungsplan od or einer Ko nto staffclrech nung abbilden und abrechnen.

Bcide Bet raehtu ngswcisen fuhrcn - unter sonst gleiehen v oraussetaungc n .....tc Zinsho he, v erzfnsungsmeth ode, Za hlungsh6hc etc. - stcts zu glciehen Laufzeiten, Resrschuldbetragcn, Kontostandcn usw.

Die linan zmath ematische Melhode hat dabei den Vorzug der kompakten Darstellung mit den Moglichkeiten, mathcmatfsche Werkzeuge fur Analyse, Simulation und Optimieru ng anwendc n zu konnen. D ie Darstcllung in einem Tilgungsplan hietel dcmgcgc nuber d ie auc h flir N ichtmathemattkcr leichtere Na ehvollziehbarkcit und Ube rsichtlichke it im H inhlick auf tatsachliche gegenwartige und eukunmge Z ahlungen, Restschuldentwickhmgen, Lau fzeiten usw. Ein Beispiel soli die genannten Aussagcn erlautcm: Beispiel 4.1.11: E in Kredit in H dhe von 100 .000 € ( = ~) soli durch zwei Zahlungcn zu je60.000,-€ / Jahr (erne Zahlung fin Jahr nacn Kreditauszahlung) vollstandig zuruckgcmhrt worden. i) Die Iinanzm athemati sche Darstellung am Zahlungsstrahlla utet:

100 I=Kol

IT€ I

I

fieislung)

I

I

60

60

(Zeitl (Gegenleislung)

Sueht man z.B. denjcnigen J ahrcszins i, fur den Lcistu ng und Gcgc nlcistung aq uivaknt sind (aLI"O den Efff'ktillzins iell dieses Kredits), so muss mao d ie Aq uivalenzgleichung

IOOq2 = 60q + 60

(mil: q = I + iel)

loscn . E rgcbnis (quadralischeGleichung):

'h.a

q2 - 0,60q - 0,60 = 0

= 0,30

± VO ,302 + 0,60

d .hdie (posilive) LOsung lautet q = 1,1306624 "" 1, 1307 und som it

= 0,30 ± 0,8307, ieff

""

13.07 %p.a .

Fiir die korrekte Ennittlun g von ieff ist al1cin die fioanz mathematische Darstellung slnnvoll, da nur sic die Anwendung cines mathematisch korrek ten L6sungsverlahrens ermoglic ht tzur aJlgemeinen Eff ektivxinsennittlung vgl. Kap. 5.1). Mod eme Tabellcnkalkulationsprograrnmc biet en mit sog. ~Solvern " allerdings die Moglichkcit, auc h in Ta bcllcn nac h L6s ungswerte n zu suchcn. ii) Bildct man den Finan zieru ng.w organg in einem TilgulIg.splan abo so crgibt sich sofort das Problem, in welcher Weise die An nun at in Zin s und Tilgung aufzuteilen Ist :

t

"t-.

Z.

T.

1 2

100 .000 ?

? ?

? ?

J

0

At 60.000 60.000

4

180

Tilgungsrcchnung

vcrs uchrc man cs crwa mit i = 10% p.a., so lautct del T ilgungsplan: t

K,-,

z,

1

100.000 50.0 00

10.000

2

3

0

T,

,

At

50.000 50.000

60 .000 60 .000

1: - K o

Die sich in der crstcn Ze ile ~ automat isch~ bci i = 10% crgebendc Tilgung von 50.000 € fuhrt zwangs tautlg in dcr zwcitcn Zeile zu cincr Tilgung von c bcnfalls 50 .000 . Dann abcr mnsste man (urn die Bedingung " Z ins + Tilgung = Annuua " zu eifiillen) im zweiten Jahr mit 20% (stall 10%) Zinscn auf die Rcstschuld rechnen. Statt cines einzigcn (Effektiv-)Zinscs Mile man in jedcm Jahr cincn anderen Zins.

Wenden wir dagcgenauch in dcr zwcitcn Zeile cinco Zins von 10% an, so ergabcn sich 5,000,-€ an Zinscn, mithin d oe Obcrzahlung des Kred ites (6 0.000,-- € stall 55.000,-- € ) , d.h. der Tilgungsplan "gingc nicht auf", In dcr Praxis versucht ma n dahcr, den Tilgungsplan probcweise mit anderen Zins satzcn so lange bis das Ko nro genau ~aufgeh t", d.h. bis sich die R estschuld cNuh" am Ende des zwciten Jahrcs ergibt 8. ~ dure hzurcchnen~,

Rcc hnen wir mit dem zuvor finanzmathemansch korrckt ennitteltcn Effcktivzinssatz icrf '" 13,0662 4% p.a. (mil ernohter Genauigk eit angegeben, um Rumiungsf ehler zu eliminieren} , so ergibl sich folgcnder Tilgungsplan, der den Krcdit genau auf N ull zu ruckfuhrt :

,

z,

K,-,

2

100.000,-53.066,24

3

0

1

T,

13.066,24 6.933,76

46.933,76 53.066,24

A, 60.000,-60,000, --

(I - Ko)

Dies Beispiel verdcu tlic ht cinen allgcmcingii ltigen Saehverhalt [siehe ouch Bsp . 2.2.19 i) : Satz 4,1, 12:

(Vergleich~konto, Effe kti ~'konto)

E in Tilgung,~plan (auch: Verglek hslwnto, Ejfek!ivlwnto) , das sam tttcbe tat~lkhlich geOos.wnen Zahlungen (d.h. Leistungen und Gegenleislungen) bcriicksichtigt, geht bci A nwendu ng des Effe ktlvzlussarzes sowie der dabci bcnutzten Kontoruhrungsmet hode genau auf (d.h. nach Zahlung der /etzten LeistunglGegenleistunglRestschu/d weist das Kanta einen Bestand von Nul! auf) . Man bcnutzt dicscs Ergebnis u.a. dazu, urn die Rieh tigkeit eroes zuvor berechneren Bffeknvzlnssnrzcs zu Obc rpriifen hzw. zu demonstricren, sichc Kap. 5.1.1. AUfgabe 4.1.13: Ein Krcd it in Hohc von 200.000,-- € soli durch zwei jeweils im J ahrcsabstand folgende Zahlungen aquivalent ersetzt (d.h. verzinst und getilgl) wcrdcn, vgl. Zahlungsstrahl: (i e/slung!

200 I

fT€1 I

I

156

94,4

8 Modernc Tabellcnkalkulanonsp rogramrne crmdghc hcn dicscs Probierverfahrc n cntwcdcr recht schnell ~ per Hand" odcr aber mit cingcbeutcn Losungsprogrammen. Nabcreszur Effcktivzmscrmiulung folglin Kap. 5,I,

4.2 Tilgungsartcn

181

4.2 Tilgungsarten Je nach Hohe und /oder zeitlicher Vert cilung von T ilgungsral en oder An nuitat cn unterschcidct man verschicdcnc T ilgung.\arten bzw. Schuldlypen:

(I)

A llgemeine T ilgungsschuld, vgl. Kap. 4.2.1

(2)

Ges amtfalhgc Schuld ohne vollsta ndige Zinsan sammlung, vgl. Kap. 4.2 .2

(3)

Ges arntfa lhgc Sch uld mil vollstandiger Zi nsansammlung, vgl. Kap. 4.2.3

(4)

Rat en tilgung (Rmemchuld), vgl. Kap. 4.2.4

(5)

AnnuiHitentilgung (Annuitiitenschuld), vgl. Kap. 4. 2.5

Die DarsteJlung dieser klassischcn T ilgungsart en crfolgt zunac h..t. unter folgenden P ranussem

•

Samthchc Za hlungen (Leistungen; Gegenleistungen] erfolgcn an Zi nsverrcch nungsterminen (und zwa r in aller Regel im J ahresrhythmus, d.h . zunac hst keine untcrjahrigcn Zahlungen);

•

Samthche Leistungcn/ Gegenlctstungcn werden unm ittc1bar bci Zahlung wcrtgcsrcttt. d.h. angcrcchne t a uf Ko ntostand bzw. Restschuld ("sofor/ige Zins - und Tiigungsvetrechnung "},

Abweichungen von d icsc n Pramts scn worden in Kap. 4.3/4.4 bzw. Kap. 5.3 bcha ndc1t.

4.2.1 Allgemeine Tilgun gsschuld Sci dicsc r Krcditform erfolgcn Lcistu ngcn (L) und Gcgc nleislungen (G L) in un regelm anrger Weise und masscn cntsprcchend vercin bart werde n. E s muss looiglich sichergeste llt sein, dass Leis tungcn und Gc gcnlcislungcn im finanzmat hematisehcn Stnnc aq uivalcnt sind oder - glcichbcd cutc nd - , dass •

die nominc1le Summc aller Tilgungsbctrage gleich dcr nominelien Kreditsumrnc ist,

•

die (jiihrlich nachsdiussig fiilligen) Zin sen von der jcweiligcn Rest schuld berechnct werd en.

D ie sich so crgebcnden (La. vollig unregelm iipigen) Annuitaten At srenen die Gc gen leistung des Schuldncrs fur die H ingabc des Krcdit es dar (Abh. 4.2.1) :

UJ

~ I

A,

A,

A,

A"'.1

A,

{Gi l Abb. 4 2.1

Beispiel 4.2.2: Ei n Kred it von 100.000,-- € (in I = 0) word en:

5011 bei

i = 10% p.a. du rch folgcnde Tilgungs rate n gctilgt

20.000,- - € in t = 3; 30.000,·- € in I = 4; 50.000,-- € in t = 6 (insg. nom 100.000 €) An jcdem J ahresende sollcn die entsta nde nen Zin sen voll bczahlt worden. Gcs ucbt tst:

i) der Til gungsplan ii) die Barwcrtsum mc alief Annunat cn in I = a

(d.h. im Z ei/punkt der Kreditaufn ahme).

4 Tilgungsrcehnung

182 Liisung: zu i)

Die du rch die Krcdilbcdingungen a priori Ieststc hc nde n Dat en sind fell gcdtuc kt: (1)

(2)

(3)

(4 )

(5)

,

Rcstschuld K t _ l (Beginn /)

Zinscn z, (Ende t)

Tilgung T t

Annuitat Al (Ende I)

Pcriode

(E'lde I)

100.000 ( = Ko)

100.000

10.000 10.000

0 0

10.000

2 3

100.000

1a.ODD

20.000

8.000 5.000

30.000 0

5.000

5 0.000

30.000 38.000 5.000 55.000

1

4

5 6 7

80.000 50.000 50.000

2:" Ko

0

10.000

(Allgemeine Tilgungsschuld)

In dicsc m Beispiel sind die heiden crste n J ah re " tilgungsfrc i". d.h . cs wcrdcn kcinc Tilgungslcist ungcn crbracht (wahl aber die entstandenen Zinsen, s.c.}, die Rcstsch uld zu Beginn des 3. Jahrcs ents pricht daher der ursprunglichcn Darlchcnsschuld. (Werden zu Beginn der Kredhloujzeit tilgungsfreie Zeiten vereinban, in denen - wie hie' - nur die fulligen Zinsen gezahlt weraen, so spricht man aucn von Tilgungsstreckung, ~gl. Bsp. 4.2.58.)

zu u) D ie Barwcrtsumme 8 0 aller An nuitatcn in t = 0 lautct:

d.h, 8 0 ist (in Ubereinstimmung mit dem A"quivalenzprinzip) identisch mit der Krcdttsum me

Ko.

E benso cinfac h lassen sich die Vcrhattmsse darstcllen, wenn •

cinzclne A nnuitate n Null sind {d.h. weder Zinsen noch Til gung gczahlt werdcn - man sprieht von ..Zahlungsaufschub"). In diesen Pcriodcn crhoht sich die Rest schuld um d ie in de r betreffenden Periode ents tandenen Zinsen (es enntcht eine negative Tilgung in Hohe der[alligen Zinsen);

•

inncrhalb dcr Laufzcit cin z usatzlicher Kredit a ufgenomme n wird (erkenabar an einem negatil'en

Ti/gungsbetrag in Verbindung mit riner entsprechenden negauven Annuiliit Schuldnert,

:::::0

KP.ssenzufluss beim

Beispiel 4.2.3: E ine U nternehmun g crt att zu Bcginn von Periodc 1 einen Kredit von 100.000,·· € und nach Ab lau f vo n sechs J ahren cinen wcitc rcn Krcd it von 200.000,-- € , i = 10% p.a. Die Tilgungen werden wie folgt vereinba rt: E nde J ahrl : Ende J ahr 5: End eJahr 9:

2O.000,--€. 10.000,-- e,

Ende Jahr 3: E nde J ahr 7:

60.000,-- €, 80.000,· · e,

130.000, ·~ €,

som it insgcsa ml 300.000,-- € an T ilgungcn, korrcspo ndlerend zu den als Kredit crhaltc nen Berragen von insgesamt nominell 300.000,-- €.

4.2

183

T ltgungsartcn

Die Z insen worden von dcr jcwciligcn Rest schuld naeh sch iissig bcrcchnet und auch gczahlt. Lcdlg lieh am Ende des 4 . und 6 . Jahres sollen (in diesem Beispiel) keine Zinszahlungcn crfolgcn. Die zu Beginn des 10. Jahres noch bcst chcnde Rcstschuld wird Bnd c des 10. J ahres vonsta ndig getugt. Der folgcnde Tilgu ngspla n (Tab . 4.2.4) cnthntr die Lcistu ngcn im cinzclncn. Da bci bcac hte man : •

Ein e neganve Tilgungsra te bcdcutc t Schuldenzunah me in gleicher Ho he, vgl. (4 .1.5b)

•

Ein e negeu ve Annuitiit bcdeutet cine Einzah lung zugunsten des Schuldners ( = Leisum g des Glaubigers) .

Die a priori feststehendcn Daten sind felt gcdruckt : Pcriodc I

1 2 3 4

5 6

, 7

9

10

11

Rcstschuld KI - t [Beginn t)

Zinscn 2;

100.000 ( . K,,) 80.000 80 .000 20.000 22 .000 12 .000 213 .200 133 .200 133.200 3 .200

10.000

0

(Ende t) iWOO 8.000 2.000 2.200 1.200 21.320 13.320 13.320

320 (Allgemeine Tilgungsschuld)

T ilgu ng T 1

(Ende I)

20.000 0 60 .000 - 2.00 0 10.00 0 - 201.2 00 80.000 0 130.000 3 .200

(2: = K,,)

AnnuiL'l1 At

(Ende I)

30.000 8.000 68 .000 0 12.200 - 200.000 10 1.320 13.320 143.320 3.520 Ta b. 4.2.4

Au ch hier stel lt man dUTCh Na chrcch nen fest , dass das Aquh 'alenzp rinzip elngehelten ist: Die (auf t '" 0 diskomietten] Summen von positiv cn und negativen Zahlungen (d.h. Leistungen und Gegenleislungen) stimmen iiberein :

100.000,-- € d.h. der Barwert 8 0 (zu Beginn der as/en Periode) aller (positiven und negativen) A nnuttatcn isl ide nt isch mit der zu diescm Ze itpunkt erhaltc ncn Kroditsurnmo Ko (A"quivalenzprinzip !) .

Ebcnso crbatt man naeh dem Prinzip " Konto sland = aufgczin ste Lc istung minus aufgezinste Gege nleist ung", vg!. (3. 7. 12), jedc im T ilgungsplan ausgcwicscoc Rcstschuld du rch A ufzinse n und Saldieren vo n Kredit sumrne und bis da hin gcflosscncr Annuita tcn . Bcts piclswcise ergibt sfch die zu Beginn der 6. Pcn ode ausgcwicscnc Rcstsch uld Ks ('" 12 .0 00) wic folgt: K5 = 100.000 ' 1,15- 30 .000 '1 ,1 4 - 8 .000 ' 1,1 3 - 6 8 .000 '1 ,1 2- 12.2 00 '" 12.000 €.

Aufgabe 4.2 .4: E in Krcd it (Ko '" 35 0.00 0,-- €) soli mil 10% p.a. vcrzinst worden. Folgcnde Tllgungcn werden vcreinba rt: Ende J ahr 1: E nde J ahr 6:

70 .000,-- € 224 .500,-- €

E ndeJahr 4: Ende Jahr 7:

63.000,-- € Resttilgung.

Am E ndc des 3 . und 5 . Jabres erfolgen keincrlci Zahlungen des Schuldners, vielmchr erfolgt Endc des 5. J ahres cine Ncuverschu ldung urn 175.000,-- €. In allen anderen J ahrcn (aujJer 3. und 5. Jahr) werde n ncbe n den vcrctobarte n Ti lgungcn zusat zlich die falligcn Zinsen bczahlt.

Man stclle cinen Tilgungsplan auf.

4

184

T ilgungsrcchn ung

4.2.2 Gesa mtfa llige Sc h uld ohne Zinsansammlung Bci dieser T ilgungsart erfolgt die gesamte Tilgung von ~ in eln er einzigen Zahlung ( = Ko) am E ndc dcr Laufzcil (ngesamtfallige Tilgung "). Wiihrcnd der Laufzcit werden nur die jcwcils r:illigen l..insen gezahlt (,.ohne Zinsansammlung "), jcdoch keine T ttgongsbe rra ge gclcistct . Al s typisc hcs und wichtigcs Beispiel fUr dic se Tilgungsform gilt die endfaJlige Kupon -An leihe, siehe S. 307f. Beispi eI4.2.5: Krcditsummc: Ko " 100 .000,-- € ; i = 8 % p.a., Laufzeit 7 J ahre. I n den crstcn Pcriod en we rde n nu r die Zi nsen gcaa htt, d.h . die crstcn 6 Annuit at cn bctragcn jeweils 8.000,-- €. die lctz tc Annuitat erhoht sich urn die Gcsamttilgung: A 7 = 8.000 + 100.000 = 108.000,- - € . Ocr cnrsprcchcndc Ti lgungsplan tauter:

,

Pcriodc

Restschuld Kj _ \ (Beginn I)

I

100.000

2 3

100 .000 100 .000 100 .000 100 .000 100 .000 100 .000

4 5

6

7

,

Ziuscn

Z;

T ilgung T, (Ende t)

(E nde I)

0 0 0 0 0 0

8.000 8.000 8. 000 8. 000 8 .000 8.000 8 .000

JOO.OOO

Annuilat

~

(Ende t)

8 .000 8 .000 8. 000 8 .000 8 .000 8.000 108. 000

L=I<,

0

Beispi el 4.2 .6: E in bckanntes Be ispi el fur cin e gesamtfallige Schu ld ohnc Zinsansammlung ist - alter d ings bci wcchsclndcr Z inshohe - dutch den Bundesschatzhrier vom Typ A gegebe n. Sc i ctncr La ufzcit von 6 Jahrcn konnten die Zinssatze z.B. wie folgt vor gegebe n sein:

1. J ahr: 4. J ahr:

2,50% 3, 75%

2 . J ahr: 5 . J ahr:

3,00% 4,50 %

3. J ahr: 6. Jahr:

3,50 % 4,75 %

Der entsprec hcndc Zinsbc rrag wird jah rlich ausgczahlt, cas Kapital ~ in einem Bctrag am Bndc dcr Laufzcit gctilgt. Dam it ergibt sich (etwa fur K o = 1.000,-- € ) folgcndcr T ilgun gsplan:

(II

(2)

(31

(4)

(5)

,

Rcstschuld ~- 1

Zinsen 1,. (E nde I)

Tilgung T, (E nde t)

Annuilat At

(Begi1lJ1 l )

Pcriodc

I

1.000 ( = 1<,)

6

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

7

0

2 3 4 5

(2,50%) 25,·· (3,00%) 3D,·· (3,50%) 35,··

0

0 0 0

(3,75%) 37,50

(4,50%) 45,· -

0

(4, 75%) 47,50

1.000

L= I<,

Z ur Effcknvzlnscrmiulung sichc Kap . 5.2. 1, Bern. 5.2 .4a ii) .

(Ende I)

25,· · 30, - 35.·· 37,50 45,-1.047,50

4.2

185

Tilgungsarten

4.2.3 Gesamtfa llige Schuld mit voltstandlger Zinsan sammlung Bel diescm Schuldtyp worden am Ende der Laufzeit neben dcm Gesarntkapital Ko (Tilgung in einem Betrag) die angesamme lten (Zinses- )Zinsen fiillig; vorher erfolgc n weder Zins- noe h Tilgungszah lungen. d.h . sarnurche An nutt atcn (m il Ausnahme der Letzten) sind N ull. Typisches Beispiel: Nullkupon·A nleihe, Zero hond, slehe S. 307 f. Beispiel 4.2.7: Krcdit summc: Ko = 100.000.·· € , Laufzcit 5 J ahre; i = 10% p.a. N ach dl.-'I11 Zinscszinsprlnzip bestcht in dicscm Fall die (einzige) Gc gcnlcislung A s des Schuldnc rs am Laufzcil endc gcnau aus der aufgez inslen Krcdilsumme: A n = Ko ' q' ', d.h. A s = 100.000 · 1.I S = 161.051.- - € . Dcr ents prcchende Tilgungsplan lautet: Pcriodc

•

1 2

3 4

5

Rcstschuld K\", (Beginn t)

Zinscn Z, (Ende t)

Tilgung 'r, (Ende /)

Annuitat ~ (Ende /)

100.000 ( 0 t<,) 110.000 121.000 133.100 146.410

10.000 11.000 12.100 13.310 14.641

--

-

0 0 0 0 161.051

6

-

10.000 11.000 12.100 13.310 146.410

~> t<,

0

An dicsem Beispiel crkcnnr man (em eut), dass T ilgunge n a uch negauv werden konn cn : In den erstcn 4 J ahren gill narnlich (wegcn A l = 0 und At = l; + T t ) : T t = - l; < 0 . Daher fmdet (wegen Kt = Kt., - T t ) in den crstcn 4 J ahren cine Rcst schul derltohung sta n . Beispiel 4,2.8: Beim Bundesschatzbrt ef vom Typ 8 cnrwickelt sich dcr Zi nssatz analog zurn Typ A (vgl. Beisp iel 4.2.6) , wobe i ein stebtcs Laufzcitjahr (mit 5,00% p.a . als Beispiel) hinz utritt, an dessert E nde das Kapital und d ie vollstandig angesammclten (Z inscs-)Z insen in einem Bctreg gczahtt werdcn. Bci Ko = 1.000,-- € ergibt stch folgend er Tilgungsplan : Periode

•

1 2

3 4

5 6

7 8

Restschuld Kl " , (Beginn t)

1.000 ,· · (.. Ko) 1.025,-1.055 ,75 1.092,70 1.133.68 1.184,70 1.240,97 0

ZiTI5Cn z,

T ilgung T l (Ende t)

(Ende I)

25,00 30.75 36,95 40.98 51.02 56,27 62,05

(2,50 ( 3,00 (3, 50 (3,75 (4,50 (4,75 ( 5,00

%) %) %) %) %) %) %)

- 25,00 - 30,75 - 36,95 - 40,98 -51 ,02 - 56,27 1.240,97

Annuttat A,

(Ende r) 0 0

0 0 0 0 1.303,0 2

LO t<,

Aus 1.000.- - € sind so (ohne Z wischenzahlungen) in 7 Jahren 1.303,02 € gcworden. Dies entspricht ctncr in allen 7 Jabrcn glcichen cffcktivcn Vcrzinsung ieff von 3.8536 % p.a. (berechna au s "L == GL ": 1000(1 + iell ) 1 = 1303,02) .

4

186

T ilgungsrechnu ng

4.2.4 Ratentilgung (Ratenschuld) Bei d icscm Krcdittyp crfolgt die Tilgung crfo lgt am E nde jcdc r Pcriod e in gleich bohen Tilgu n~l'll len T l '" T 2 '" ... '" Tn T. Bei eincr Laufzeit von n Jahren vcnnindert sich sornit die KreJitsu mmc Ko jahrlich urn dicscn gleichblcibcndenTilgungsberrag T mit

=.

~

(4 .2.9)

~.

Da wcgcn fort schrcitcndcr T ilgung im Zcitablauf die Zinszahlungcn abnchmcn, musscn bei unvcrandcrtcn T ilgungsratcn aueh die AnnuilJitc n ab nehmen: Die ja hrlich falligc Gcsamtlcistung (»KapilaJ -

dienst ") des Schuldners nimmt im Zeitablauf abo Beispiel 4.2.10: Ein Krcdi t von IOG,OGO,- - € soli bei cmcm Krcditzinssat z von 8 % p.a. in 20 J ahren be i ja hrlich glcic hhohcn T ilgun gsraten zur iickgczahl t worde n. D ie jahrlich e Tllgungsratc bctriigt:

T =

100,000

€

20 Jahre

= 5.000 ,-- € /Jahr.

Damil c rgibt sich d c r folgende T ilgungsplan :

,

Rcstschuld Kt - \

1 2 J

100.000 (" 1(,,)

z,

Zinscn (Ende /)

Til gung T t (Ende t)

Annuitat At

95.000 90.000

8.00 0 7.600 7.200

5.000 5.000 5.000

13.000 12.600 J2.WO

20

19

10.000 5.000

800 400

5.000 5.000

5.800 5.400

21

0

Pcriodc

,

(Begi1ll1 /)

,

,

,

(Ende t)

100.000 ( " 1(,,)

Zur Effektivzinshcrcchnung von Rarcnschuldcn vgl. Kap. 5.2.1.

Ocr bei Rat entilgung auftretende Nachteil fur den Kredirsc huld ner, dass in der Anlaufphase des Krcditcs die Annuitaten (und damu der Millefabflus s) am hochsten sind. wird bc i de r sogcnannten ~ Ann ui ta ten tilgung- venn ieden:

187

4.2 Tilgungsarten (A nnuiliilrntilgung)

4.2.5 Annuttaten tllgu ng (An nult atenscbuld, Annuit a tenkredit) Kennzeichcn dicscr Tilgungsart ist die im Zeitablauf unverenderr e Hdhe A der Annuital wahrcnd dcr Laufzcit (Abb. 4.2.11) :

Ko

{Kred/Isumme = ie/slung des (j{iJub/g ersJ

----1

1:0

t

,

Z in s en

Z,

Zz

Z3

Tilgung

T,

TZ

T3

Z n_l T _ n 1

A

A

A

A

+

= A n n u i fd /

(Zeill

I: n

. ~,

e;

Abb. 4.2. 11

To

A

Gegenl1i!l5lungen des Schuldners

Durch die im Zeilablauf fortsehrcitende Tilgung des Kredites werden auch die spatercn Zin szahlungen immer geringcr. Der an Zinsen gegenubcr dem Vorjahreingesparte Betrag wird bel Annuintcnnlgung jcwells zur ErhOhung dcr Tilgung des laufenden Jahres vctwendet, so uass die jahrlichc Summe A aus zt nsen und Tilgung konstan t bleib t. Man nennt daher diese T ilgungsfonn auch nTilgung durch (um die errpanrn Zi nsen] wachsende Tilgungsraten" oder kurz nTilgung plll~ ersparte z rnsen' ', Die Annuitatenschuld (oder: der Annuitiilenkredil) gcbort zu den wichtigsten Kreditfonnen des Gcldmarktes und hat daher unterschicdliche v artantcn ausgcpragt, von dcncn die wichtigsten in den nachfolgcndcn Unterkapitc1n dargcstctlt werdcn .

4.2.5.1 Annuitatenkredit

- Sta ndardfa ll

Der Standardfall des Annuntatcnkredits Iiegt vor, wenn unter der vcrau...~elz u ng: Zinsperiodc '" Zahlungspcriodc cine Zahlungsslruklur \tic in Abb. 4.2.1 J vorncgt. d.b .: •

•

Leisrung (des Gliiuhigrrs): die Kredn summe Ko Gegcoteistung (des Schuldnm) : g1eichhohc Annuitatcn A, beginnend cine Pcriode nach Kreditauszahlung.

Beispiel 4.2.12: Ein Krcdit von 100 .000,· · € soli bci i = 10% p.a. durch jahrlich gleicbe Annumten von 12.000,-- € /Jabr zuruc kgcza hlt wcrdcn. Tab. 4 .2.13 zcigt die crsrcn Zeilen des Tilgungsplans: t

Restschuld K._1 (Beginn t)

Zinscn Z. (Ende t)

Tilgung T, [Ende I)

1 2 3 4

100.000 ('" KJ 98 .000 95.800 93 .380

10.000 9.800 9.580

2.0 00 2.200 2.420

Periode

Annuitat At (Ende t)

12,000 12.000 12.000

Tab. 4.2.13

4

188

Tilgungsrechnung

Am Zahlungsstrahl Abb. 4.2 .11 erkcnnt ma n, dass cs sic h bc i der Annultatentilgung urn denselben vorgang handelt, wie im Fall des Kepttabbteus durch regermaaige und gleich hohe A bhebungsratcn (vgl.

Satz 3.7.7): Dcm Guthaben Ko cnts pricht hicr die Krcditsumme I
Sa tz 4.2.14: E inc Darlchensseh uld (Kredusumm e} Ko wcrd c - begi nnend cine Z inspcriod c naeh A uszahlung - mil cinc r konslanten Annuitat zuriiekgczahlt (wobei bis zur vollstiindigen Tilgung der Schuld n Annuusten notwendig seien). Dann ergibt sic h die Restscbuld K m unmitt clbar nac h Za hlung der m- Ien (m ~ n) An nunat (vgl. A hh. 4.2.15)

Restschuldm Zin5penodlM

Ko

ILeistungJ

-jf--

t----+--

A III

A

121

t-

A 131

A

tm-tt

Km

- ,I A

Iml

Aile Ann ui!Olen, die soater a1s der 5h'chtag liegen. bleiben bel Ermrlt/ung der Re s tsch uld Km un b erOcksichlig t!

A fm+1)

A

fn-1J

A 1"1

IGegenleistungenl

Abb. 4.2,15

du rch die aufgczinste Lci stung ( '" Ko ' qrn) ab ziiglich der aufgezinslen bis dahin gczahltcn Gcgen leistung ( = A · (qrn - 1)/(q - 1)):

(4.2.16)

(m s n]

Bemerkung 4.2 .17: Die Restschaldf ormel (4.2 .16) ist nur dann anwendbar, welln Leistung und Gegenleistungen die aus A bb. 4.2.15 ersiduliche zeit/iche Struktur aufweisen.

Beispiel 4.2. 18: Die Krcditsummc bctragc 100. 000 € ; i = 10 % p.a.; A = 11.000 € JJa hr. Dann crgibt sich z.B . die Res tschuld Ko) nach Zahlung der 9. Ann unar zu

x,

= 100.000 '1 ,19 -11 .000 ,

" ~~I-I

= 86. 42 0,5 2 £ .

Dam it erbatr ma n als Tugung T IO im 10 . J ah r (wegenA = 2 /0 + T IO = 11.000): T IO = 11.000 - 86 .420 ,52 ' 0.10 = 2.357,95

£ usw.

4.2

189

Tilgungsart en (An nllitiitentilgllng)

E in fur die A nnuitate ntilgung bcsonders wichti gcr Fall ergibt sich aus (4.2.16) da nn, wcnn das Darlehen ~'oIMandig getilgt ist, d.h . wen n nac h dcr letzten in-ten] Annutta t die Restscbuld Null ist (vg/. aucn die ana/oge .Kapitalverzehrsf ormel " (3. 7.10» : Sat"l 4.Z. 19: (Sch uldem dgungsformel rur Annuita lenlilgung - Standard fall) Zwischen Kredit summe Ko, Pcriodenzinsfakt or q, Gesamtza hl n von Annultatcn J et konstanten H ohe A (d.h. Gesam llallf u il n des Kredues] besteht bel ~"OIMandiger Schuldentilgung (Ko "" 0) die Beziehung

o

(4.2.20)

(Bem. 4.2.17 gilt entsprechend !) .

Mil H ilfe von (4.2.16 ) bzw. (4.2.20) lassen sich sarnutc he Prob leme im Z usammenhang mit dcr Annuitatentilgung (im Standardfall - vgl. Satz 4.2./4) rosen. Beispiel 4.Z.Z I :

( Ennitt lung dcr Annuita l - Standmdfall)

Ein Krcdit von 100.000.-- € soli bci i "" lO% p.a . mit 15 glcichhohen A nnultatcn zuriickgczahlt wcrdcn. Annunat enhobc?

Da nach n ('" 15) Annulratcn die Schuld vollsta ndig getilgt ist (K n = 0), fa lgt aus (4.2. 16) bzw. (4.2.20) ' qn _ 1 bzw. K" gO = A . q- I

(4.2.22)

I

A =

K" .

qn(q - 1) qn - 1

Bernerkung 4.2.23 : Der in (4.2.2 2) auftretende Faktor

I

= 13.147,38 € /Jahr.

tf;q-JJ) heifJt "A nnuitiitenf aktor N oder aucn

" Kilpita{wiedergewinnu ngsfaktorN und ist f iir verschiedene p und n tabellien, siehe etwa [Diiu]. A I/erdings gilt aucn hier die A Ufsage von Bern. 3.3.7 unveranden .

Belsplel 4.2.24:

(E nn ittl ung der Lau fzelt - Sta ndatdfall)

Ein Krcdit von 100 .000,-- € soil bci i = lO% p.a. mil A nn uitaten von 1 1.000,-- € / Jahr zuruckgczah lt werde n. Ges ucht lst die A nzahl dcr An nutta tcn (bzw. die Lauf zeit) bis zur vollstandigen

Tilgung. Losung: N ach (4.2.20) folb'1: durch Aun osen nac h J et gcsuc hte n Variablen n:

(4.2.25)

n =

A ]Og A - Ko(q - l)

log q

25,16.

E s rnusscn 25 voltc An nuitatcn sowie einc vcrminderte ~ i rrcgulitrc'" 26. A nnuttat geleisret werden , vgl. Bcispicl3 .4.1 iv) bzw. das folgcnde Bcispicl4.2.28 .

4

190

Tilgungsrcchnung

Bemerkung 4.1.26: Der in (4.2.25) auftretende Term A - Ko(q -1) muprichtwegen KQ(q - 1) '" Ko ' i = 2 1 genau der Ti/gung 7 1 des ersten Jahres, so dass man stan (4.2.25) ouch kurz schreihen kann: A T,

Wegen A = Ko · (i +i r) sowie 7 ] = KQ"i T (i T = Tilgungssalz) [olgt daraus:

/og-

(4.2.27)

" =

log,

" =

j +i r log iT /og ( 1 +1)

Die TerminzahllLaufzeil n einesAnnuitiitenkredits ist somit nicht von der Hohe K() der Kreditsumme abhiingig, sondem ausschliep/ich vom Zinssatz i und dem anfiinglichen Tilgungssatz i T '

Das folgenJc Beispiel klan das Problem von nicht-ganzzahligcn Tcnninzahlcn: Bei.~piel

4.2.28: (filgung.;plan, nicht-gaJ1zzahlige Terminzahl)

Ein Krcdit von 100.000 € soli bci i = 10% p.a. mit Annu ttarcn von 30.000 €l1ahr zunlckgczahlt werden. Nach (4.2.25 ) crgibt sich die nicht-ganzzahligc Tenninzahl n = 4,25. Tilgungsplan:

,

Pcriodc

Rcstschuld "-t-l (Beginn I)

1

100.000 80.000 58.0UO 33.800 7. 180

2

3 Tab. 4.2.28

4

5

z,

TilgungT,

Ammitat A,

(Ende I)

(Ende I)

(Ende t)

to .OOO

20.000 22.000 24.200 26.620 ?

30 .000 30.000 30.000 30.000 ?

Zi nscn

8.00 0 5.800 3.380 ?

Z u Beginn des 5 . J ahres bctragt die Restschuld noch 7.180 € ( = ~ ). Man sieht unmittclbar, dass am Ende des 5. J ahres keme volle An nultat ( = 30.000 €) mehr zu leisten iSI, um dicse Restschuld vollstandig zu tilgen tbereits erkennbar an der "gebrochrnen « Tenninzah/ 4,25) . In dcr Praxis gibt es versebledene tqulvaienre ~Iodel l e , urn nichl-ganzzahlige T enninzahlen zu crfasscn. Bczogcn auf das vorliegcnde Beispiel lauren sie: i) Die am E nde dcr 4. Pcriodc noch bcste hende Rcstfor derung in H ohe von 7.180, -- € wird zusammen mit der lctztcn vollcn A nnuitat gczahlt: Dann lautet die 4. ( = feme) A nnuitat :

A 4 = 30.000 + 7.180 = 37. 180,· · € . ii) Die am End e der 4. Periode noeh bcstehe nde Restschuld ~ = 7. 180,-- € wird mit Hilfe cincr in I = 1 (d.h. zusammen mil der ersten A nnul/iii) falligcn Sonderza hlung Sl vorab gclelstct . Dazu muss K, urn 3 Pcrtoden (auf 1 = /) abgczins t werden:

s,

= K4 'q-3 = 5 .394,44 €.

A uuer dieser Sondcrzahlung gcnuge n nun genau 4 volle A nnuitiiten zur Schulde ntilgung. iii) Wie ii), abc r d ie Sondcrza hlung wird in I = 0 gclcistc t, vermindc rt also d ie Krcd itswnme wn K4 ' q-4 = 4.904,04 € . M it Ko = 95.095,96 €, i = 10% und A = 30.000,-- € /J ahr sind gcnau

4 Annui tittcn zur Schulde nt ilgung crforderlich.

iv) In den mekr en Hillen wird die zu Beginn des 5 . J ahrcs noch bcstehende Res tschuld ~ his zum nacbsten Z inszuseh lagtermin weitcrvcrzinst und dann incl. Zin sen als ~ irregu lare" Abschlussannuitat As zuriickgczahlt. 1m obigcn Beispiel gilt: As =

~'i

+

~

=

~~

Z insen

T ilgung

718 +7. 180

=

7.898 ,--€.

4.2

191

Tilgungsartcn (A nnu itiitenti/gung)

Sci dicscr - im folgcndcn auch hicr stillschwcigcnd pra ktizierten - Method e lauten die beide n lerzten Zeilen des Tilgung.~plan es (siehe Tab. 4.2.28) :

,

Periodc

...

Rcstschuld K,_\ (Beginn f)

...

4

5

33.800 7.180

6

0

Zinscn 2,

T ilgung T,

(Ende f)

(Ende t)

(Ende I)

3.380 718

26.620 7.180

30.000 7.898

...

An nuitat

...

~

...

Abseh liel3cnd (was das Kapit el uber den Standard-An nuiunmkredu angeht) soli dcr Krcditvorgang des Eingangs-Bc ispicls 4.1.1 komplctt in cincm T ilgungsplan abgcb ildc t werden: Bl'ispieI4.2.29: (Standa rd- AnnuitJi ll'nkredit, Tilgung.~plan tiber Gesam tlaufzeit) Krcdit summc: Zi nssatz: A nnuttat:

x,

= 100.000 e. i = 10% A = 12.000 € /J ahr.

too. ooo

r-e.

te t

Sfichtag l

fieislungl

,

te.ooo

fzBI

,

,

tzooo

tzooo

121

(n: ?)

fGegenleislungJ (1J

Au s dicsen Daten crgibt sich fur die Gcsam tlaufzeit n ( ~ Zahl der Annuitarcn} die Aquivalenzglcichung 1 1" _ 1 o 100 ' 1,1" - 1 2 ' ~ (sieheelWaSalz 4.2.J9) mit der L6sung:

,

',6

= - - = 18,7992

In 1,1

(Raten bzw: Jahre) .

Die ~ krumme'" Laufzeit signalisicrt, dass 18 volle und eine vermindcrte 19. An nunat zu leiste n sind. Damit ergibt sich folgcndcr T ilgungsplan fur das Kredukonto (alle Zahlungen ~'jnd fetl gedrnckt) :

,

J'M

Rcstschuld K t - 1

(Beginn t)

Zinsen ~ (Ende t)

T ilgung

r,

Annuitat At

1 2 3

19

100.000 ,00 98.000,00 95.8 00,00 93.380,00 90.718,00 87 .789 ,80 84.568, 78 81.025,66 77.128,22 72.8 41,05 68. 125,15 62.93 7,67 57.23 1,43 50.95 4,58 44.050.D3 36.455.04 28.100 ,54 18.910,59 8.801,65

10.000 ,00 9.800,00 9.580.00 9.338 ,00 9.071,80 8.778.98 8.456.88 8.102,57 7.712,82 7.284, 10 6.8 12,52 6.293,77 5.723,14 5.095 ,46 4.405,00 3.645,50 2.810 ,05 1.89 1,06 880, 17

2.000,00 2.200,00 2.420,00 2.662,00 2.928,20 3.221,02 3.543,12 3.897,43 4.287,18 4.715,90 5 .187,48 5.706,23 6.276,86 6.904,54 7.595,00 8.35 4,50 9. 189,95 10.108,94 8.801,65

12.000,00 12.000 ,00 12,000 ,00 12.000,00 12.000,00 12,000 ,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12,000,00 12.000,00 12.000 ,00 12.000,00 12.000,00 9.681,82

20

0,00

4 5 6

7 8 9 10 11

12 13 14

15 16 17

18

(Ende r)

(Ende t)

(Gesa mt- Tilgungspla n Standard-Annuitiilenkred j()

4

192

Tilgungsrcchn ung

Aufgabe 4.2.30 :

E in Kredit in H dhc von 500.000 ,- - € is! irmcrhalb von 5 Jahren vollstandig (inc/. Zinsen) zuruck-

zuzahlen, i '" 8% p.a. Man stelle fur jcdc der folgendcn Krcdukondino ncn cinco T ilgungsplan auf: i) Ti lgung in cincm Bctrag am End e des 5. J ahrcs; Z inszah lungcn jahrlich ; ii) Riickza hlung inel. angcsamrncltcr Zin scn in eincm Bctrag am End c des 5. Jahrcs (vomer erfoi-

gen a/so krinerlei Ruckzahlungen I); iii ) Ratcntilgung;

lv) Annuuatentngung v) Tilgungsvereinbarungcn: Endc des crstcn Jahrcs werde n nur die Z insen gczahlt; End e des zweiten J ahrcs ctfolgcn ubcrhau pt kcine Zahlungcn; Ende des dritten und vicrtcn Ja hres: jcweils Tilgung 20D.OOO,-- € (plus Zinszahlung); Ende des 5. Jahrcs: Zinscn plus Rcsllilgung. Aufgabe 4.2.31:

Ein Kredil von 150.000 € soil mil 10 gleichhohcn Jahresraren (Annuitiilen), Kreditztnssatz 9% p.a., verzinst und gctilgt worden. Die erste A nnuita t wird dn Jahr nach Kreditaufnahm e f:illi g. Man cnnit ttc [ohne TilgungspJun) i) die Annutt at

ii) die Tilgung zum End e dcs lctzten Jahres iii) die Rcstschuld nach 5 Jahren

iv) d ie Tllgung E nde des 8. Jahrcs v) d ie Gesa mtlaufzcit , wenn die Annuitat vorgcgcbcn ist mit a) 14.000 € /J ahr b) 13.600 € /Ja hr c) 13.000 €/Jahr ? \'i) Nach wclchcr Zeit sind - bci einer Annuttat von 13.750,-- € /Jahr - 40% der Schuld getilgt?

Wicviel Prozent der enlsprcchenden Gcsamtlaufzeit sind dann verstncben? AUfgahe 4.Z.3Z:

H uber nimmt cinen Krcdit in H ohc von 200.000,-- € auf. Bcginncnd nach cmcm J ahr sollcn fur Zins cn un d Tilgung insgcsa mt 15.000,- - € /J ahr autgcbracht werden (Annuitatentifgung). i) Wie hoch ist die Gcsamtlaufzcil des Krcdits bei a) I = 5% p.a. b) i 7,4% p.a.

=

c) i

= 8% p.a.

?

ii) Nach w ieviel Prozcnt dcr Gesarntlaufzeit ist in den drei verschiedenen Rillcn a),b),c) jewcils cin

Viertel der Schuld gctilgt? Aufgabe 4.2 .33:

Ein Krcdit (100.000,- € ) soil d urch gleiehe Annultatcn (11 .000,- € /Jahr) bci i = 10% p.a. zurnckgczahlt worden, die crste An nunat flieBt cin Jahr naeh Krcditaufnahmc. Welehe Ausglciehszahlung messtc dcr Krcditnchmcr zusatzhch zur ersten Annuuat jcis tcn, damil sich die zunachst (d.h. ohm: Ausgleichszahlung) crrcchnete Gcsamtl aufzcit des Kredits auf die nachst kleinere ganzzah ligc Jahresanzahl vermindert? Aufgabe 4.2.34:

Alois H uber hal aus cinem Lo ttcriegcwinn 20 Jahrcsraten zu je 120.000,-- € zu crwartcn, erstc Rale zum 01.01.01. I) Wie hoch knnnt c (bei i = 14,5 % p.a. Kreditzins] die Kreditsumme cines Annuitatenkrcdits sctn, den er am 0 1.0 1.00 aufnlmmt und mit den Raten des Lottericgewinns zuruckzahlt ?

4.2

Tugungsarten (Annuitiitenlilgung)

193

ii ) Man bcantwo rte Frage i), wenn 50 Jah rcsraten zu crwarten sind.

iii) Man bcantworte Fragc i), wenn die erste de r 20 Gewinnraccn am 01.01.05 erfolgt und die Verzinsung und vollstandigc Ti lgung des am 0 1.01.00 aufgenommcnen Kredits ausschlieglich mit diesen 20 Raten crfolgc n sou. Aufgabe 4.2.35: i) Gcgcbcn ist die lctztc Zcile cines T ttgungsplans fur ein en Standa rd-Annuitatcnkrcdit (Armuitat in den crsrcn 19 J ahren : 15.000,-- € /Jahr):

Pcriodc I

Rcstschuld KI-l

Zinscn Z ,

(Beginn t)

...

...

20

10.328,5 1

(Ende t)

...

774,64

Ti1gung T t

(Ende t)

Annuitat A , (Ende t )

10.328,5 1

11.103,15

...

15.000 ,--

wtc hoch war die ursprungttc hc Krcdit summc zu Beginn dec Laufzcit? ii ) Gcgcbcn ist folgcnde Zcilc cines Tilgungsplans (Annuifiitenkredit):

Pcncd c I

Rcstschuld Kt_1

Zinsen Zt

(Begitlll l)

(Ende I)

492.000 ,"

T ilgung T,

(Ende I)

AllnuiUit A t

(Ende I)

4 1,820,· ·

60.000 ,--

a) Wie hoc h war die Restschuld zwel Periodcn zuvor? b) Wie lautct die lctztc Zei le des Ti lgungsplanes?

4,2,5,2 AnnuitiitenkTedil -

Ergiinzungen

Insbesondere im praxisrelcv antc n Bereich dee H ypot hckarkrcdilc Ist cs ublich, die Kondtnon en cines Annuillitl'nkredit'i nicht in absoluten , sondcm relativen ("prozentualen" ) Groton (baogen auf eine beliebige Kreausumme K o) anzugeben.

Dazu gibt ma n ncben dem Zins.'iatz i (z.B. 9% p.a.) den auf d ie Krcditsummc Ko bcwgenen TIlgungssatz iT (z.B. 2%) dcs ers ten Jahres an, so das s sich da raus sofort die Ar muuat A ats Prozcntwert i + iT der urspnl nglichcn Darlc hensse huld Ko (hier: 11% von Ko) ergibt:

1m Krcd itvertrag heiBt cs dazu sinngcmaB:

.Das Dar/ehen isl mit jiihrlich 9% zu verzinsen. Die Tltgung helragt 2 % jahrlichdes Dasiehensbarages zuziiglich aerdurch[onschreuende Tilgung erspanen Zinsen." Die Fonn ulierung n Tilgung 2 % ... zuziiglich ersparte Zinsen" soli and euten, dass es sich hier urn cinen Annuiliitenkre dil handclt , bci dcm im ers ten Jahr 2 % von ~ getilgt wird und in de n Folgcjahren d ie (durch bcrcns erfolgte Tilgungcn) venninderten ("e rspart cn") Zinsen derart durc h erhohte Tilgungen kem pensl ert werden, daB ihre Summe (d.h. die Annuit.'it) stct s konstan t blcibt. Die Angabc diescr Prozemannunaren crlaubt cs, Ar muitatcnkrcditc mit bclieb igcn Kreditsummcn im T ilgungsplan rJarzustellcn:

4

194

T ttgongsrcchnung

Beispiel 4.2.36: Ein An nuitatcnk rcdir mit ciner Krcditsumme von 200,000,-- € soli mit 9% p.a. vcrrinst und mit 2% p.a . (zuzuglich ersporter Zinsen) gentgt werdcn (i = 0,09 ; h· = 0,0 2). Wegcn A = [i + iT)"Ko = 0, 11 . Ko gilt:

A = 0,11 -200.000 = 22.000 € /Jahr.

Z ur Lautzcitcrmittlung konn re man die Aquiv alcnzgleic hu ng (4.2.20) hzgl. " n" losen :

o

n

= 200.000 , 1 09"- 22 000. I,09 - I , . 0,09

D ivid icrt man dicso Glcichung dur ch 2.000, so crhan man: L09 n - 1 0,09

(4.2.37)

An dicscm Beispiel crkcn nt man, dass cs ZUI Laufzcit cnnittlung bc i Prozentannuitatcn gcnugt, mit ciner n knven Kredil..umme Ko = 100 zu rcchncn. In diescm Fall crgibt sich die Anmntat sofort d UTCh Addition dcr Prozcmfuuc p und P-r [hier: 9 + 2). Noch cinfachcr (und allgemeiner) wird Gleichung (4.2.37 ), wen n man I) : Variablen i, iT und q (= I + i) arbeit et (q

'*

Ko

= I wahl! und mil den

=i

d.h. i

In ( I + -:- ) (4.2.38)

'T

" =

" =

In q

In (I+i)

, analogz u (4.2.27).

_ J!!12. _

1m letzt en Beispiel folgt mit i = 0 ,09; iT = 0,02: n - In 1,09 - 19,78 "" 20 J ahre.

Sornit bctragt fur jeden A nnuitatcn krcdit mit i = 9 % p.a. und cincr Anfangstilgung von iT "" 2% p.a. die Laufzeit 19,78 J ahre (d .h. 19 voue A nnu itiiten plus eine Schtussannuuat End e des 20. Jahres). Fur die Krcd itsumme (Beisp iel) 200 .000 lautcu die drei crstcn Zeilen des Ti lgungsplans (Tab. 4.2.39) : Pcriod e

1

2 3

Rcstschuld K\_I (Begilll l t)

200 .000 196 .000 191.640

zmscn ~ (Elide t}

18 .000,-· 17.640,-17 .247,60

Til gung T\ (E lide I )

4.0OD,- 4.360 ,- 4.752 ,40

AnnuitiU ~

(E li de t]

22 ,000 22.000 22 .000 Tab. 4.2.39

Urn die letzt en belden Zeilen des Tilgungsplans direkt angcbcn zu konn cn, crmittcln die Rcstschuld K I8 zu Beginn des 19 . Laufzcitjahrcs: 18 K I8 = 200 .000 ' 1,09 18 - 22.000 ' 1,09 - I 0,09

34.794,65.

wir mit (4.2. 16)

4.2

Tilgungsarten (Annuiliitenlilgung)

195

Damit tauter dcr Rest des Tilgungsplans (Tab, 4.2.40) : t

Rcstschuld K , _, (BegiMI)

...

....

Periode

19 20

34.794,65 15 .92 6,17

zrnsen z,

T ilgung T1

(Ende I)

(Ende I)

Annuitat AI (Ende t)

...

...

...

3.13 1,52 1.433,35

18 .868,4 8 15 .926,17

22.000,-17.359,52

0

21

T,b 4.2.4 0

Man crkcr mt : Dur ch die An gabe de r Prozentannuitat cn crhalt man zwar handclr ma n sich abe r cine ~ krumme " Laufz cit cin.

~ glatte"

Annuit aten, dafur

An stclle dc r ~ i rregu laren" 20 . A nnuttar bane man - wie es oft in de r Praxis vork ommt - auch die erst e

Aonuttat so ahwandcln konn cn, dass auch die 20. Annultat dem regutarcn Wert 22 .000 ,- - € cntspric ht. Urn die Meh rzahlung von 4.640,48 (= 22,000 - 17.3 5 9,52, vgl. Tab. 4.2.4 0) am Ernie des 20. Jahres dureh cine cntsprcchcndc Mindcrzahlung am End e de s ersten Jahrcs ausgleiehen zu konncn , muss der Mehrbctrag urn 19 Jahre abgczinst worden (- 902,53) und vcrmindcrt so die crsre A nnutt at entsprechend au f 2 1.09 7,47 € . Damit lautcn die drci crstcn sowic die heide n lctztcn Zeilen des Tilgungsplan s (Ta b. 4.2.41) : Periodc

1

2 3

Restschuld KI _,

z,

Zinscn (Ende t)

Tilgung TI

Annuitnt A.,

(Beginn t)

(E nde I)

(E nde I)

200 .000 ,-196 .902,53 192.623,75

18.000,-17.72 1,23 17.336,14

3.097,47 4.278,77 4.663,86

21.0 97,47 22 .000.-22.000.--

(Ncbc nrec hnung:

K"

20

19

38 .700, 45 20.183,49

21

o

196.90 2,53 ' 1,09 ' 7 - 22.000 '

3.483,04 1.816,51

1.09 17 - I = 38 .700,45) 0,09

18 .5 16,96 20 .183,49

22 .000,-22 .000,-Tab . 4 .2.41

Beispiel 4.2.42: (ReSl'iChuldenrni d d ung im Zeitablauf - Standard-Annuitatenkrcdit) Aus (4 .2.20) bzw. (4 .2.25) bzw. (4.2.38) folgt, uass die Laufzeil n cines Standard-Annuitatcnkred its (z.B. Krediuumme Ko = 100.000 €) mit dcm (nom .) Zi nssatz i = 12% p.a. undder Anfangstilgung iT = 1% (Ann uiLiit somit A = 13.000,-- €fl ahr) den Wert 22,63 an ninunt [d.h. 22 volle A nnuiunen und cine irreguldre Schlussretei , Fragt ma n nun etwa nach dcm Zeitpunk t, in dem z.B. 60 % des Darlehens gctilgt sind, so liefcn die Restsrhu ldformcl (4.2 .16): 40 .000

mit der Lasu ng:

m " ~ log 1,12 - 18 ,57 , d.h . 60 % dcr Gcsa mtscbuld sind erst nach fund 82 % der Ges amtlaufzcit get ilgt .

4

196

Tilgungsrcch nung

Da be i Annuitiitenschuldcn die Ttlgung antangs nur relanv langsam einsctzt, crgibt sich allgcmein als typischer zeitlicher Verlauf der Resbchuld cine s Annuitiitenda rlehens die in Abb. 4 .2.42 wicdcrgegebene graphische Darstellung (hirrfurdas Beispiel Ko = lOa T€ , i = 0,12 undi T = 0,01) :

I IResfschuld in T€ I 100

I

I--~

Restschuldkurve eines Annuildfenkredifs mit Zins 12%, Tilgung f%

78.3 -----

50

/Kredltlau(zeif, in %

10

derGesamHaufzeilJ 10%

50 %

100%

75.9 \1>

Abb. 4.2.42

122.63 bhreJ

A bb. 4.2 .42 dcmonstriert am Beispiel dcr vorgc gebcnen Kreditkonditlonen, dass nac h Ablauf von 50 % der Gcsa mllaufzeit erst 2 1,7% der Schuld gcti lgt sind . Andcrerseit s tritt cine 50%i!,'C Krcdittilgung erst nach 75,9% de r Gcsa mtlaufzeit ctn.

Zur Enniltlung einer allgemeinen Bezichung zwischen Laufzeit und Restschuld (allgem eine Restschuldjunktion) fur bclicbige Kombinationcn von Ztnss etz i und Tilgungssatz

ir gehcn wir wic folgt vor:

Gcgcbcn sci cin Ann uilatenkredil (Zimperiode '" Za htperiode '" / Jahr) 9 mit folgendcn Merkmalcn.

Ko:

Kreditsumm e Zinssatz (pro Periode) Tilgungssatz (zuzuglich ersparte Zinsen) konstante Annultat mit A '" Ko ' (i+ iT) Zusatzlich dcfinieren wir ftl r unscrc Zweckc: i: iT: A:

~

n: m:

K.,,:

Gesamt laufzcit (in Penodeni bis zur vollstandigcn Tilgung Tcillaufzcit (in Perioden, 0 s m s n) Rcstschuld nach m Penodcn

nach m Periodcn (d.h. Restschuld in Prozem der Kreditsumm e)

k:

Rcstschuldverhalt nis

I;

Laufzcitvcrhaltnis ~ nach m Periodcn (d.h. Teillauf zeu in Prozem de, Gesamtlaufzeit)

Die gcsuchtc allgemeine Restschuldfunk tion k: k '" f(t) gibt defininitio nsgcmals zu jedcm Laufzeitverhaltn is I (% de, Gesamtlaufzeit) das zugcordncte Rcstschukfvcrhalt nis k (% der Kreditsumme) an. qm _ 1

Ko'qm -A- -

Zunachst crgibt sich nach (4.2.16) fur die Rcstschuld (nach m ( $ n) Penoden Tei/lauf zeiL) Wcgen A '" Ko(i+iT) Iicfert Division durch

-

, -I

Ko: ;

In( .,..-(I-k) + I)

Autlosen d icscr Gleichungnach m licfert (m it q - 1 '" i):

m = -

'T

--'--- In (I +i)

-

9 Die nachfolgcndcn Il bc ncgu ogcn gcucn analo g fur kurze re ZillS-IZahlpcriodcn . Dabci sind ledig lich ZiIlS- und T ilgu ngssatz, Laufzeiten sowie A nnuitatcn auf die jcwcils gcnc nde Periode zu beziehen.

4.2

Tilgungsarten (Allllui/ii/emilgullg)

197 ; In{1+ -:-) 'T

FUT die Gcsarntlaufzclt n gill nun nach (4.2.38):

In ( l +i)

Die seitenwctsc Division de r heide n letzten G leichungcn liefert wegcn ~ = t ;

m

t = -

n

I n ( ':'"" ( I ~ k) +

=

'T

In (I +i)

I)

(s.o.)

;

[n (.,....(l -k)+ I)

In (I +i)

'T

d.h.

; In( l + -:-)

In ( I + .)...)

'T

(.)

'T

Les t man die G leichung (*) nach k auf tLogarithmensinze (2. 1.13) beaduenl}, so tolgt schlicjtlich die Darslellung k = k(l) de r gcwunschrcn Bcziehung zwischen Laufzcitanrcil lund Reslsehuldantcil k:

;T ( (1 + -:-) ; t - 1) k = k(t) = 1 - -;-

(4.2.4 3)

,

'T

Res tschutdvertaun-Funkue n elnes (0 S / S 1)

An n uitlilen krediL~

i: Z tnssatz

k: Rcstschuldanteil I: Laufzcila nteil

iT: T ilgungssatz

Beisp iel: Gesucm is/ der Restschuldanteii k eines An nuitatenkredus nach del Hiilfte der Gesamtlauf u i/, d.h. I = 0,5. Kreait-Kona uionen: Zinss atz: i = 12% p.a .; A nf angstilgung: i r = 1 % p.a. Mit (4.2.43) folgt:

O,OI ( 012 0,5 ) k = 1 - 0,12 (l +~) - 1 = 0,783 = 78,3% , d.h.

nach 50% der Gesamtl auizeit betragt die Reslschuld noch 78,3 % der Kreditsum me, siene A hb. 4.2.42 Die folgendc Abbildung 4.2.44 zeigt cxcmplarisch die ResL~chuld\'Crlaure k(t) fur Ann uita tenkredite mil idcntischcr Kredits umme ( = 100) und Annuitat ( = 13) , aber untersehicd lichcm Verhaltnis von Zins satz i zu Tilgungssatz iT (sle/s aber gilt: i + i r = 0,13 !):

If}

f$chuldanteil, i = 1:/.9'1, . f IReS ~ der Kredif$UmmeJj

r-~"":::::::::--''--_

10() •

kif}

so .

10.

Resf$chu/dfunkfionen kll) fOr Annuildfenkredile mit i +i, =0,13

+-+--- -+--------",100 '1, 10 . so .

IK,ediHoufzeil, in % der GesomHaufzeil) If}

Man sicht: Die "ReslschuIJ kUlVcn" (Abb. 4.2.44) sind oes te sta rker naeh "rcchts eben" gekrOmmt, [e grOBer im ers ten Jahr dCTZinsantcil im Verglcich zum Tilgungsa nteil iSI. Die Rcstschuldkurve tst linear fur i = 0% p.a. oder wenn es sich urn Ralenlilgung handclt.

4 Tilgungsrechnung

198

4.2.5.3

Exkurs: Annu itatenkredit e mit Disagio

Ha ufig wird - vor allem bel Hypotbekarkrediten - neben dem Krcditzins noch cine (einmalige) Kredn(Disagw, Damnum, Abge/d ) zu Beginn dcr Krcditlaufzeit vom Schuldner vcrlangt

~bilhr

Dicses Disagio wird ObHchcrn'Cise in Prozent von dcr Darlchensschuld (d.h. der Kreausumme K o) angcgebcn und mit der Krcditsumme ~ zu Beginn der Laufzeit verrcchnct. So bewirkt etwa im Beispiel 4.2.36 (K o = 200.000, -- € ) cin Disagio von z.B. 7%, dass der Krcditnchmcr cine Allw.ahlung von nur 93% der Kreditsumme, d.h. 186.000,-- € erhalt. Gleichwohl hat sich damit d ie zu vcrzinsend e und zu tilgcndc Darlehcnsschuld nich t vcrmindert, sic be tragt nach wie vor 200.000,- - € (= Ko)' DUTch Vcrcinbarung cines Disagios andcrt sich dah er am Til gungsplan des Kreditkontos (siehe Tab. 4.2.39/40 oder 4.2.41) kcine cinzigc Zcile! Er st bet Bctrachtung der Effektivverzinsung spielt die H ohc des Disagios cine wcsentlie he Rolle (im Sinne einer Verteuemng des Kredits), sichc coo Kap. 5 .2.

Bemerkung 4.2.45:

(Basis-Konduionen einesAm/fliJiitenkredits - Kurt/arm)

Hdufig wenlen die Basis -Konditlonen eines Annuitiilenkredils in Kurt/arm angegehen, z.B. 96 / 711 . Ubersetzung: Auszahlung: 96% (d.h. Disagio 4 %); Zin ssatz: 7% p .o.; Anf angstilgung: 1% p.a., d.h. die Annuilal belragl8% der unprun glichen Kreditsumme} Ko . Wird ein Krcd it nur unrcr Einhaltun g eines Disagios vergcbcn, so muss die Kreditsumme gcwahlt werd en, dass nach Abzug des Disagios die gcwonschte Summ e ausgeza hlt wird:

Ko so hoch

4,2.46: Ein Annuitatenkrcdlt mit den Konditionen 96 /8/1 soli zu ciner rea len Mittclbcrcitstellung (nach Einbehattendes Diragios) von 240 .000 ,-- € fiihre n. Dann muss die Krcd itsummc Ko v.i c folgt gcwahlt worden (die Au szahlung 240.000,- - € m tsprichi also der um 4 % vermindenen Kredusumme - vgl. (J .1.16c)) :

Bei~piel

240.000 0,96

= 250 .000,-- € .

Ein e weitere Mogliehkcit, den Auszahlungsvcrlust ausz ugleiche n, besteht darin, ein sog. "T ilgungsstreckungsdartehen- dazwischcnzusc hattcn, vgl. Bcispiel4.2.66 .

Bemerkung 4.2.47:

Wie wir noch im Zusammenhang mit der Eff ektivzinsbmxhnung (vgl. etwa KJJp. 5.3) sehen werden,

ist fUr den "Erfolg " einer tnveninon oder anes Kredits allein der reate Zahlungsslrom von Bedeutung. d.h. Hohe und Zenpunkte dertatsachfich gejlossenen zahlungen. Durch die in der Praxis ubiiche Kandiuonenvielfati (duTCh Vereinbamng unterschiedlicher Auszahlungen und nom. ZinshOhe) wirddiese Relevanzder reoten Zahlungen Mufig verschleien.

Es zeigl sich namlich, dass zwd Kreaue, die auf den ersten Blick votligverschieden sind (unlerschiedfiche Kreditsummen, unterschiedliches Disagio, untertchiedticher nomineller Zinssatz) in Wirklichkeit exata dieselbe Zahlungsreihe besitzen und somit idenusche "Ertrage" (bzw. " K1Jslen ") vesursachen k onnen.

4.2

199

Tilgungsarlcn (Annuitiitel1lilgung)

Betracmen wit dazu etwu einen Annuitiitenkredit mil derfolgenden reaten Zahlungsstruktur:

I T€J

100 I

IleisfungJ

I

I

25

25

11/

121

(Zeitl

25

25

'"

25

25

'"

'"

'"

(Gegenfeisfungenl

Weitete Zahlungen seien mit diesem Kredit nicht verbunden, d.h. mit Zahlung der sechsten Annuuat

ist der Kredu vollstiindiggetilgt. Rei der »Leistung" in Hone WI1I 100.000 € handelt es sich also um die tatsacnticne Kreditaus'l.ahJung (d.h. um die bereits um ein eventuettes Disagio gekiirue Krediuumme], Da sich der Kredin inssatz i (= i"urJ aber auf die volle (und noch nichl bekanme) Kreditsumme Ko baidu, muss die [olgende Aquivalenzgleichung erfullt sein (mit q .: 1 + i"",,) : q6 _ 1 K -q6- 25.000 ·- -

(.J

o

o ,

q_]

(q = l+i""", *1) ,

(denn die sechsAnnuhoten und die ungekurzte KreausummeKo musses bei Anwendung des nominellen Krediuinssatzes aouivalent sein). Diese Gleichung aher el1lhiilt zwei voneinander ullabhiillgige Variable, niimlich die (noch nicht bekannte] Kreditsumme Ko und den (noch nichtjestgelegten) Kreditzinssalz i",,,,, (bzw. q = 1 + ino<>J. Wiihlt mall daher eine der beiden Variablen (Ko oderq) vor, so {iissl sich die andereuber die Aquivalenzgleichung (.) ermittrln. Beispiel: Bei einem (wiJ/kurlich vorgegebm en) Kredinins i",,,,, = 10% p.a. ergibt sich uher (.) die

Kredusumme Ko zu

J,/ 6 _1

J

25.000,--· - = 108.881,52. 6 0,/

1,1

Da 100.000 € ausgezahlt wurden, bctragt der Auszahlungsprozentsatz 91,84%. Da weiterhin die Annuitiit (= 25.000 €) einem Prozentsatz von 22,96% der Kreditsumme Ko entspncht, muss die Anfangstilgung (wegen i""", = 1 0%) 12,96% p.a. (zuzuglich erspaner Zimen) betragm. Die Kredit konditionen knuen daher (nach der in Bem. 4.2.45 vereinburten Knrzjorm): 91,84% I 10% I 12,96% und [uhren bei einer (nom.) Kreditsumme von 108.881,52 € zum o.a. Zahlungsstrahl. Dieselben Uberlegungen [uhren (wenn mun i",,,,, mtsprecnena vorgibt), z.B. zu den Konditionen: Auszahlung (%)

(nom.) Kredltzins (%)

An/angstiIgling (%)

78,81

5,00 8,00 9,00 10,00 12,00

14,70 13,63 13,29 12,96 12,32 ?

86,53 89,17 91,84 97,29 100,00

,

Kreditsumme (€)

126.892,30 115.571,99 112.147,96 108.881,52 102.785,18 100.000,00

Jeder aieser Kredae besiru dieseihe Zahlungsteihe, es handelt sich in allen Fallen um einen und aenselben Kredn (mit einem und demselben Ejjektivzins).

200

4

Tilgungsrechnung

Gibt man umgrkehrt diegewunsdue Auszahlung (und somisdas gewunschleDisagio) vor, so ergeben sicn {zunachst] rechentechniscne Schwierigkeuen. Man konnte etwa eine JOO %igeAuszahlung (d.h, Ko '" 100.000,-- €) vorgeben (vgl. die taue Zeile der TabefJe) und nacn dem dazugehOrigen KrediJzins i""", (» i"f/ !) fragen. Die entsprechendeAq uivalenzgleichung (-) taum donn - do Auszahlung '" Kreditsumme: (n)

q6 _ 1

IOO.OOO·q 6 - 25.000 · --J = 0 ,

(q

q-

* 1)

«nd mussse hzgl. q geMsl werden. Du dies " klassisch" nicht moglich in, verwendet man meist fin ttennives Naherungsvafahren, vgl. Kap. 5.1. Der Vollstiindigkeil halber sei der rrsultierende Kreaitzinssatz bereus hier genannt: j~U/1' = 12,98% p. a., so dass die iiquivalenten Kandnionen bei der VariantI'onne Disagio tauten: Auszahlung: 100% Krediuins: 12,98%p.a. [ » I",,,,, "" i'ff ) Tilgung: 12,02% p.a. (zuzuglich erspane Zmsen) 100.000,-- €. Kreditsumme:

Als wichtigstes Ergehnis (insbesondere fa r die ErfolgsheuneiJung von Kredugebem bzw. Kostenbeuneilung von Kreditnehmem } hleibt[esuunotten: (4.2.48)

Zu einem reaten Kredilz.a1l1ungsstrom Ibestehmd aus samtlicnen in Hohe una Faliigkenszeitpunlaen daerminienen Zahlungen) exisueren betiebig viele verschiedene aquivaiente Kreditkonduionen to (mil notwendigaweisc tdenuschem Effektivzins).

Aufgabc 4 .2.49:

I) E in A nnuitatcnk redit besitzc den folgen dcn (rca lcn) Z ah lungsst rahl:

I

I-.! .bh~1

{T€I

270

(ieistung)

I

I

I

I

I

80

80

80

80

80

'"

'"

Wei lere Zahlungen flicllen nicht.

'"

'"

'"

(Zeitl (Gegenleistungen)

Man crmitt lc jcwc ils zu de n bcide n vorgcgcbcnen (nom.) Krcduzfnssatzcn d ie passcndcn wciteren (iiquivalenten) Kon ditioncn (Auszahlung, anfangl. Tilgungssatz sowie Kreditsummei ,

a) Krcditzinssatz (nom.): 12% p.a .

b) Krcditzinssat z (nom): 18 % p.a.

und inrcrprcticrc das E rgcbn is.

ii) Gcgcbcn ist cin A nnuitatenkredn mil dcr Krcdit summe 100.QOO,·- € und den Kondilioncn (be-

zogen auf die Kreditsumme) : A usza hlung: Krcd itzinssatz (nom.):

Tilgung:

96%

12 % p.a. 1% (zuzaglich ersparte Zinsen).

b) inom = 10% p.a, aquivalente Konditionen [Kredusumme, Auszahlung, Tilgung) , die jeweils dc nselbcn Zahlungsstrom (uberdie Gesamllaufzeit) bcsl tzc n wie der ursprungllchc Kredit. Man crmittle filr

a) in"", ", 14% p.a .

10 Wclchc dicscr Ko nditioncn datU! schliefilicb vertragsmabig rcalisiert worden, kenntc ctwa durch Sleucrliehc Gcsicbtspunktc oder gcsctznc hc Vorgabcn bestimmt wcrdcn

20 1

4.2 Tugungsarten (A nnuitiilentilgung) Hemerkun g 4.2.50;

Hiiufig wird der vereinbane Kredunnssatz i nieht uber die Gesamtlaufzeit, sonaem lediglich uber eine geringere Zeilspo mre (z.B. 1 Jahr, 5 Jahre oder 10 Jahre = Zinsbindungsfr ist) /estgesehrieben. Eme entsprecnende Kreditko ndition kon nte dann etwa lauten: ~9411012 - Zinsf estschreibung 5 Jahre (oder: Konditionen fest f ur 5 Jahre). " Dabei betieht sich das vereinbane Disagio (hier: 6%) auf die Zim bindungsf rist (hier: 5 Jahre), ist also mil A blauf dieser Frist "ve rbraueht". Naeh A blauf der Zinsbindungsfrist ka nn der Kredn i.a. zu neuen Bedingungen (evIl. geiinderter Zinssatz, evtl. neuerliches Disagio (I) - bezogen auf die neue Kreausumm e = atte Restsehuldsumm e) [o ngesetzt werden. Da das A usma fJ deraniger spii terer Zins iindenmgen a priori nieht hekannt ist, beschriinkt man sieh zuncchst insbesondere bei der Effektivzinsmnittlung, siehe Beisp iel 5.2.10-, auf die vorgegebene Zinshindungsfrisl, wobei die sich am Ende der Ztnsbindungsfrist ergebende Restsehuld wie eine (lUSiitzlkhe) Tilgungszahlung behandelt wird. «

Fur die genannten Konditionen 94/1012 - 5 Jahre fest - lautet daher der Tilgungsplan fur die emen funf Jahre (bei einer Kreditsum m e KQ = 100.000,-- €, siehe auch Beispiel 4.2.29):

,

Restschutd Kt_1 (Beginn f)

Z insen Z, (Ende t)

1 2 3 4 5

100.000 98.000 95.800 93.380 90.718

10.000,-9.800,-9.580, -9.338,-9.071,80

6

0

Periode

t,

A""u;/l1t A, (Ende t)

2.000,-2.200,-2.420, -2.662,-2.928,20 +87.789,80

12.000,-12.000,-12.000,-12.000,-12.000,-· +87.789,80

Tilgung (Ende t)

(Restschuld)

Der filT die An wendung des A quivalenzprinzips (z.B. fur die Eff ektivzinsermittlung, siehe etwa Bsp.

5.2.10) rdevante Zalllungsstrom tasst sich darm wie folgt am Zeitstrahl darstcilen: 94.(XX)

(leisfUngJ

I

(ZeI'IJ

12. 000

12. 000 12. (XX)

12.000

fGegenleisfUngenJ

12. 000 + 87.789,80

(= Reslschufd J

99 .789,80

Wenn die Kreditbank nach A blauf der emen 5 Jahre einen Anschlusskredit gewahrt, Kanduionen (z.B.) ,,9718/1 - Ztnsiestschreibung 10 Jahre", so is/ [otgendes gemeim: Neue Kreditsumm e = alte Resu chutd = 87.789,80 € . Das durauf entfu/lende Disagio von 3% (=2.633,69€) muss vom Kreditnehmer ge/eidel werden, d.h. er erhalt eine Kredituuszahlung in Hohe von 85.156,11 €. Die A nnuitiuen in den nachnen 10 I ahren. betragm 8%+ 1% der m um Kredusum m e, d.h. 7.901,08 € pro Jahr. Aurga~

4.2.51:

Fu r cine T ilgungshypothek in H ohc von € 150.000,-- worden 7% p.a. Zinsen und 1% T ilgung (zuzuglich erspancr Zinsen) vereinba rt bei jahrlich glcich ho hen A nnuitaren. I) Nac h welchcr Zeit iSI die Hypot hck getilgt?

ii) Man e nnlttlc d ie Restschuld nach AbJauf vo n 10 J ahren. iii) Yom Beginn des 11. J ahres an erhoht sich dcr Zi nssa tz auf 8,5% p.a. Wic tauter bel g1eichct

A nnuuat die 11. Zcile des Tttgungsptans?

iy) Wie lang isl die Rcstlaufzcit zu neucn Bcdingungc n?

202

4

Tilgungsrcchnung

Anfgabe 4.2 .52:

Norbert Nashorn nimmt zwec ks Bclricbserwcitcrung bci dc r Bank em Darlchcn auf und verpflichtet sich, zur Vcrz insung und T ilgung dcr Darlehenssumme von 500 .000,-- € jahrlich 60.000,-- € zu zahlcn (i := 7,5 % p.a.). i) Nach welcher Zeit Isr die Schuld b'etilgt?

ii) Gebco Sic d ie beld en erst en und die belden lctzten Zeilcn des T ilgungsplans an. iii) Nach 10 Ja hren (d.h. 10 Anllu itiiren) soli durch cine vcraoderung dce Ann uitat die Rcstlaufzcit auf 20 Ja hre gestrcc kt werden bci 7,6% p.a. Zinscn. Wic hoch is! wiihrcnd diescr Rcstlaufzeit dc r (anfiingliche) prozcnt ualc Tilgungsanteil?

AUfgabe 4,2.53: Der Klcinstadt inspcktor Gcrn ot Glan tzcr hat sich do Fcrtighaus gckauft und dafiir cine H yp othek in Hohc von 150,000,-- € aufgcnommcn. Die H ypothckcnlmnk vcrlangt cine Vcrzinsungvon 9% und cine T ugung von 1% (zUZ{i.glich ersparferZinsen). I) Man errnill le den Bctrag, den Glantzcr jahrlich zu zahlen hat . il) Nac h wetcher Zeit ist die H ypoth ckenschuld getilgt? iii) Gebcn Sic die belden ersten und die beide n let zren Zeilen des Tilgungsplans an . iv) Ma n lose die A utgabentcilc i) - iii) fur den Fall, dass di e Bank cin Disagio in H e be vo n 6% der Krcditsumme fordert . v) Wie andcrt sich in ii) die T ilgungszcit, wcnn - bet gleicher Annu itat (statt 9% p.a.) bctragt ?

e

d ic Verzinsung 12% p.a.

Aufgabe 4.2.54:

Butz schlieJ3t mit seiner Kreditbank cincn Krcduvcrtrag zu foJgcnden Kondinoncn ab : Krcditsummc: 100.000,-- € ; AuszahJ ung: 94 %; Z insen: 6% p.a .; Tilgung: 0,5% p-e- zuziiglieh crspartc Z insen . i) Man gcbc die drci lctztcn Z eilen des Tilgungsplanes an. ii) Man errnittle die Gcsarntlaufzcit des Krcdit cs, wcnn Butz am Tag der 4 . Annuitat szahlung

cinen zusatznchcn Sonde rtilgungsbet rag in H ohc von 10.000 ,-- € test er. die urspriingliche Annultat abcr unverandcrt blcibt.

Aufgabe 4.2.55:

H uber be ootigt unbed ingt Barrnittel in H nhe von 120.000 ,- - € . Seine Bank offcricrt ihm cinen Annuitatcn kredit zu foJgenden Koedittonen: Auszahlung: 96% ; Zins en (nom.): 9,5% p.a.; TiJgung: 1.5% p.a. (zuzuglich ersparte Zinsen) . i) Wie hoc h ist die Krcdit summc?

ii) Man errnittle die Laufzeit his zur voltstandlgc n TiJgung. wcnn im crstcn J ahr von H uber weder Z ins- noc h Tilgungsleistungen erfolgen. iii) Wic laurct unt cr Bcriicks ichligung von ii) die letzt e Zeilc des Ttlgungsplans?

4.2 Tugungserten (Annuitiitentilgung)

203

Aufgabe 4.2.56: Huber will einc Villa kauten, Barkaufpreis 750 .000,-- €. Seine Hausbank will ihm diesc Summe tibe r cincn An nuitat cnkredlt zur Vc rfOgung stellen. Konditito nen: Auszahlung: 96%; Z insen: 7% p.a . (nom .); Laufzeit his zur vollstandigen Til gun g: gcnau 30 J ahre (bzw. Raten). (Z ah lung und Vemxhnung derAnnuitiit: jiihrlich (erste Rate ein Jahr nacn Vertragsa bsch/uss) ) i) KuTZ bevor H uber de n cnts prec hcnde n Krcditvertrag abschlicbcn kann, crhoht die Bank aus Rlsikoc rwagu ngcn hcraus de n Kreditzins fur Huber auf 12 % p.a. (nom.).

Auf wclchen Bctrag musstc Huber nun den Preis fur die Villa herunterhandcln, damit sich fur ihn ..veder Laufzeit noeh A nnuitatc nhohe des cnts prec he nden Kredits andc m (bezogen uu[ Luu[zeit und Annuitiit vor der ZinserhOhung)?

ii) Wic aodcrt sich lias E rgebnis vo n i), wenn die Kreditauszahlung 100% bctragt?

Aufgabe 4.2.57: Gcgcbcn sci cin Armuitatcnkrcdit mil folgcnden Kondition en: A uszahlung: 92%; Zins (nom.): 9% p.a.; Tilgung: 1% p.a , (zuziiglich enpa ne Zin sen], Die Krcditsummc bctrage 200.000,-- €. Wie lauten die bcidcn Ietzten Ze ilen des Tilgungsplans, wenn zu sat zlich zur 5 . reguHi. ren Annuit at ein Sonde rtilgu ngsbctrag in H ohe von 10% dcr ursp rOnglichen Krcditsurnmc gclc istc t wird? (Die iibrigenA nnuiuuen sollen unveranden bleiben!)

4.2.5.4 Exkurs Tilgungsst reckung, Zahlungsaufschu b, Tilgungsst reckungsdarlehen, Stu ckelung Dcr Gcstaltungsviclfalt bei Kreditcn sind in der Praxis kaum Grenzen gesctzt. Ne be n den erwahnte n hegrifflichen Bcsondcrh eitcn gibt es cine Reihc vo n weire ren inhailliehen v arianten bci der R Oek zahlung von [Annuitaren-] Kredit cn II wie etwa Ttlgungsstreckung

(siehe Beispiel 4.2,58),

Zahlun gsaufschub

(siehe Beisp iel 4.2.62),

Tilgungsstrcckungsdarlehen

(siehe Beisp iel 4.2.66),

Tilgung mit Snickclung

(siehe Beispiel 4.2.76) .

Wir wo llen im folgenden d iese Bcsondcrhcitcn 12 an cinigcn ausgcwa hltcn Beisprelen aufze igcn:

(Bei der Behund tung der E[[ektiweninsung in Kap. 5 werden wir deranige Kredit[[ormm emeut au[grei-

[en und naherheieuchten.]

11 Fur Kredite mit Ratcntilgung gibl cs entsprec hendc analogc Var ianlen, die wegc n dcr eiufacben Struktu r dcs Ratcnkrcdits hicr nichl geso ndcrt behandclt worden 12 Neben dcn eben aufgeflihrten Besonderhcit en gibt cs noch cine Reibc weiterer Spezialitaten bei der Typi sicrung undlodcr T ilgung von Krcdnc n, Anlcihen , Schuldvcrsc hreibungcn etc.• dcren Behandlung dcn Rahmen diescseinftihrend cn Bandes iibcrschr cilel. Naheres siebe ctwa in I Bod I l.IKru 3J,IRah].

4

204 Beisplel 4.2.58:

Tilgungsrcchnung

(Tilgung.,..~trt"t:kung)

Man spricht von Tilgungsstrcckung in solchcn Pcriod cn dc r Kredirla ufzeit, in denen der Kreditnehmer nur die anfallcnd cn Zlnsen, abc r keine Tilgung.sbelrlige lcister (T 1 =: 0) . Meist ens werden lilgungsfrcic J ahre zu Beginn dcr Kre<.litlaufzcit vcrembart , urn den Liquiditatsabflu ss bcim KreditDehmer zu vcrri ngcm.

Ein Kredit mit den Konditioncn 96/10/1, fur den in den beiden erste n J ahren Tilgungsstrcckung vcreinbart ist, kan n - be l ciner Kredits umme Ko =: 100 .000,-- € - wic folgt lm T ilgungsplan dargcstelltwerden:

,

Periodc

Zinscn

Rcstscbu ld K\_\ (Beginn I)

100.000

I

z,

100 .000

to .OOO

3

100.000 99 .000 97.900

10.000 9.900

5

Annuitat Al (£ nde t)

o

10.000

2 4

Tilgung T t (Ende t)

(Ende t )

10.000

o

10.000

1.000 1.100

usw.

11.000 11.000 Tab. 4.2.59

Man sieht , dass sich in den beiden crsten J ahren die Restseh uld nicht andcrt, da genau aile falligcn Z insen bczahlt worden. Yom drirten J ahr an haben wir es mit eine m Standard-Annuitatcnkredu mil 10% Z ins und 1% Anfangstilgung zu tu n, der (von diesem Zeupunkt an) noch cine Restlaufzeit n besitzt, die stch tibe r die Aquivalcnzgleichung 100 . lIn - 11 . ..1.f...:...!. ,

o

0, 1

(4.2.60)

Oller d urch die Laufz citformcl (4.2.38) ermittdn lasst: i + iT

[0' - . -

'T

"=

log q

""

log I I log 1, 10

"" 25,16 "" 26 J ahre .

Die Gcsamtlaufzcit crboht sich um die he iden tilgungsfrcien J ahre auf 27,16 "" 28 Jahre. Die Restschu ld K 26 zu Beginn des 27. Jahres errechnet slch aus (vgl. TifgungspJan 4.2.5 9) 24

K26 "" 100000 '1 , 124 -1 1000 ' 1,10, 1_ 1 "" . .

11.502 ,67 € ,

so dass die beiden Jetztcn Zcllen des Tilgungsp lans lauten: Periode t

... 27 28

29

Restschuld Kt . ] (8eg il1ll r)

...

11.502,67 r- K26) 1.652,94

0

Zinscn ~

Tilgung 'r,

(Eli de I)

(E nde I)

... 1.150,27 165,29

... 9 .849,73 1.652 ,94

Annuit.1t J\ (Ende /)

... 11.000,· · 1.818,23 Tab . 4.2.61

Zu unterscheidcn vo n der reinen T ilgungssl reckung sind das "T ilgungsstrcckungsdarlehen" (stene Beisp iel 4.2.66) und del ~ Zah l ungsa ufschub " (siehe Beispirl4.2. 62) .

4.2

205

Tilgungsarten (Annuiliitentilgung)

Beispiel 4.2.62:

(Zahl u ng.'>lI uf~ch ub

- eu jgesc bcbene Annuitiiten)

1m Unterschied zur Tilgungssucckung (Ilgl. Bsp. 4.2 .58) , bei der nur die anfa llende n Z insen gezahlt worden . spricht man vo n Zahluugsa ufsebub in solche n Perioden, in den iibcrhaupt keme Zahlungen vom Krcdimcbmer gcleistet werdcn (At == 0). Selbstverstand lich crhohen in derartigcn Freijahren die auflaufcnden Zinsen die Darlchcnsschuld, so dass der zu tilgcnde Restbetrag anwachst. Wir steuen den Sach vcrhalt fiir unseren Standard-Annuitarenkredit 96/ 10/ 1,

2 za hlungsfreien Jahren im Tilgungsplan dar: Pcriodc

Restschuld K!' j (Beginn I)

ZinSl;1I z, (Ende /)

I 2

100 .000 110.000

10.000 11.000

3

12 1.000

12.100

T ilgung r , (Ende t)

- 10.000 - 11.00 0 ?

Ko

== 100.000 € und

Ann uite t Al

(Ende I)

0 0 ? Tab. 4.2 .63

Wegcn Zt + T t = At muss - wie fruh er sc hon geschen - im Fall A t = 0 die Tilgung in den bciden erste n (Frei-] Jahrcn negati v scin, die Rcs tschuld crhoht sic h ents prcc hcnd . Es fragt sicb, mit welch er An nuita r im ers tcn

~reguH\ren "

T ilgungsjah r (im Beispiel: J. Jahr) der

Krcdit zu bedicncn Ist. 1m obigcn Beispiel - vgl. Tab . 4 .2.63 - crkennt man . dass die urspriingl iche Annuirat (/0 % + J% I'on Ko ( == /00.000,-- € ), also 11.000,-- €f Jahr) noc h nieht einm al ausrcic ht, urn die Zinsen (J 2.1 00 €) auf die durch d ie zahlungsfrcien Jahre angcwach scnc Restschuld zu zahlcn. E s kommt also nur cine Annuitat in Fregc, die hohcr als 12.100,-- € ist. Will man die Grundsuuktu r (i = /0%; ir == J%) des urspriinglichen Aonutrarcnkrcdlts crhaltcn, so betrachte t man die erste Zeile nach den Frcijahrcn (im Beisp iel also die drine Zeile) als Anfaogszeile cines Kredits mit der Kreditsummc 121.000,-- € und eincr Annuitat in H o hc von 13.310 € /J ahr ( == /0 % + 1%)

von J2J.OOO,--€).13 Damit lauren d ie crs tc n vier Zci lcn des Krcdits: Periodc

•

1

2 3

4

Rcstschuld K I - 1

Zinscn

z,

Trlgung T , (Ende I)

Annuitat ~ (Etlde I)

(Beginn I)

(Ende I)

100.000 110.000

10.000 11.000

121.000

12.100 (1O%"on K1)

1.210

13.3 10

( 1% von K 1)

11.979

( 11%,"o n K 1)

1.33 1

13.310

(== K 1)

119.790 usw.

- 10.000 - ] 1.000

o o Tab. 4. 2.64

13 Wcnn nicht ausdriicklich andcrs vercinbart, wollcn wit im Fall von lahlungsaufschub die Sununc am urspranglichcm Zins - und T ug ungssatz i + iT zur Errninlung dcr crstcn rcgulare n Annuitat verwcndcn.

206

4

T uguogsrcc hnung

Die Res tlaufzeit n des (oach den Freqahren einsetzenden} ~ regularcn" Annuitatcnkredits richtet sich jctzt ausschlieghch nach dcr Struktur i = 10 % ; iT = 1%, ....'ie man sofort crkcnnt, wenn ma n die Aq uivalcnzglcichu ng - ausgchcn d von der 3. Zcilc des Tilgu ngsplans 4 .2.64 :

121.000 '1 , ln -13.31O .1 '~: I- l

= 0

durch 1210 dividlert: Es folgt

also diesclbc Aq uivalcnzglcich ung (4.2.60) wic hei dcr urspriinglichcn Krcd itsummc 100 .000

€.

Dies zcigt noch einmal, dass die (Resl-)Laufzcit des Annuitatcnkredits nicht von dcr KrcditMhc, sondcrn nur von dcr H ohc i, iT von Zin s und Tilgung im erstcn (reguJaren) Kreditj ahr abhangt. A uch hier crgibt sich d urch A ufl6scn dcr obigcn GJcichung nac h n (bzw. Anwendung I'on (4.2.41 ») 26) Jahren. In Analogic zu Tab. 4.2 .61 ergibl sich jcrzt der cine Restlaufzcit von 25, 16 Schlussteil des Tilgungsplans

r-

= 13.918,24

(allerdings m il

,

Pcriu dc

Rcstschuld ~ - l (Beginn I)

... 27 28

29

Beispiel 4.2.66:

Zinscn

z,

(Ende I)

...

13.918,24 2.000, 06

1.391,82 200,01

Tilgung TI (Endet)

... 11.918 ,18 2.000,06

0

Annuitat At (Ende I)

... 13.310 ,-2.200,07 Tab . 4.2. 65

(Tilgu ng.~s l rec ku ngsdarleh en)

Z ur Finanzierung dc r Liquiditatslucke bci Einbchaltung cines Disagios (Damnum s) verwendct man hiiufig Imeist in Kombination mit TilgungmreckunglZahiungsaufschub fur den Huuptkredit] cin sog. T ilgungsst recknngsdarlehen. A us dcr Fiille dcr moghchcn Varian tcn bct racht cn wir - als StandarJbcispicl - wieder den An nuuatenk rcdil mil den Konditloncn 96/1 0/1 und eincr Krcd itsumme von 100 .000 € sowie eincszweijithrigcn Tilgungss treck ungsdarlchens zu cincm Zins von 12% p.a. D UTCh Einbchalt ung des Disagios (= 4.000,-- €) crhalt der Darlehensnehmer nUT 96.000,- - € ausgczahtt. Die Krcdit bank gt..--wll.hre nun ein sag . Tilgungsstreck ungsdarlc hcn gcna u in H obe des Disagios ( = 4.000, -- €), urn die cntstandcnc Finan aierungslucke auszugl eichen.

Dicscs tvoll ausgezahlte) Tilgungsstreckungsdadchen soil in 2 glcichen A rmuitat cn A · bci eincm Zins von 12% p.a. in den belden erste n Jahren zuriickgcza h lt werdcn . Aus (4.2.20) folgt durch A uflosung nach dcr A nnuita r: 2.366 ,79 €lJahr

4.2

207

Tilgungsartcn (Annuitillentilgung)

Gle ichzcitig raum t die Bank fur d iese bcidc n crsten J ahre eincn Zahlungsaufsehub fur den Hauptkrcdit ein , so dass nach Abzahlung des Ti lgungsstrcckungsdarlehcns die aufgelaufene crbohte Rest schuld (= 12 1.000, , · € ) wie in Tab . 4.2.64 mil jahrlich 13.310,-- € zu bedi enen iSI.

Die Darstcnung dicsc r zwci Kredite rnusstc eigentlieh in 2 T tlgungsplancn erfo lgcn (von denen aer Tilgungsplan f ur den Hauptkredit identisch mit Tab. 4.2.64 ist). Wir wollen abkurzen d einen kombinierten Tilgungspla n fur be ide Krcdirc verwendcn: Pcriodc

Rcslschuld K I_\ (Beginn t)

Zi nscn~

Tilgung T I

(Eli de I)

(Ende I)

I 2

~ , OOO, -

~80 , -

2. 113,21

253,5f\

3

12 1,000 ," 119.790,--

•

12.100 ," 11.979 ,--

AnnuiUi\ AI (Ende I)

1,886,79 2, 113,21

2.366 ,79 2.366 ,79

1.210,-1,33 1,--

13.310 ,-13.310,--

Ti/glUlgs-

urec kungsdarl.

Haupt-

dur/ehen (waluend

TilglUlgsstreckungs-

dUT/ehell zahilUlgsfTei)

Tab. 4.2.67

H alle ma n - zum Vcrglcieh - cincn erho htc n Krcditbetrag (104.166,67 = 100.000 : 0,96) zugrund cgclegt (der nach A bzug von 4% Disagio genau cine Auszahlung von 100.000,·· € bewitkt}, so tautcrc in den 2 crstcn Jahrcn dcr Tilgungsplan bc i gldche m Mittelabflu ss des Schuldnors wic in Tab. 4.2.67 wie folgt: Pcriodc

Rcslschul d K I_\ (Begillll f)

1

104.166 ,67 112.216,54 121.071,40

2

3

z,

Zinscn (Ell de I)

10.416,67 11.22],65

r,

T ilgun g (Ell de I)

- 8.0 49,8 7 - 8.85 4,86

Annuitat ~ (E ll de I)

2.366 ,79 2.366,79 T ab. 4.2.68

d.h. die zu Beginn des 3. Jahres aufgela ufene Rcstschuld iSI (etwas) ho hcr als bei Gcwahrung des Tilgungsslrcckungsdarlehens (Grund: Dos Tilgungsstreck ungsdoriehen besilzl zwa r einen hohcren Sottzinssotz als das Hauptdurt ehen, wurde dafuT aber ohne Damnum ausgezahlt), Z um Effcktlvz ins vo n Ti lgungsstrcckungsdarlehen vgl. Ssp. 5.2.13. In Kap. 5 .3.3 .2 werden wir auch untcrjah rige Zahlungen im Z usammen hang mil Tilgungsstreckungsdarlch en behandeln .

Aurgabe 4.2.69:

H ube r leiht sich von der Krcissparkasse Ente nhauscn 220.000 E . Die erste Ruckzahlungsratc erfolgt nach 4 Jah ren in H ohc von 40.000 € (vorher eifolgen keinerlei Z ahlungen von Huber!) . H ube r zahlt seinen Kredit weiterhm mil jahrlich g1ciehblcibcndc n A nnunaten m H oh c von an.Om € /Jahr (Z insen incl. Tilgung) zuruck. Die Bank forden cin e Verzinsung von 12% p.a. i) Nac h welcher Zeit - scit dem Tag der Krcditaufna hme - ist der Kredit vollstandig gClilgt? ii) Man stelle die crstcn 6 und die letzten 2 Zeilen des T ilgu ngsplans auf. iii) Wic andcrt sich die Abzahhmgszcit, wenn H uber in den erstc n drei Jahren (jeweils am Jahres-

awe) nur die angcfallencn Zin scn zahlt (3 tilgungsfTrieJahre) und erst dann (d.h. erstmatig am E nde des vierten Jahres) wie unt cr i) mit konstantcn Annuttaten von je 40 .000 E / J ahr den Kredil (in c/. Zinsen} zuruckzahlt?

208

4

Ti lgungsrcchnung

Aurgabe 4.2.70:

Die Keksfabrik Krumet KG erhalt von der H ubcr-Kredit-Bank cinco Krcdit tiber 200.000 € . Konduioncn: Disagio. 7% (d.h. die KJ11mef KG erhiill flur 186.000,-- € in bar); Zinscn: 9% p.a. (nom/nell) Tilgung: 3% p.a. (zuzug/irh durdi [onschreitende Tilgung erspane Zinsrn). In den ersten heiden J ahren is! die Kriimcl KG von jcglichcr Za hlungslcistung bcf rcil tselbstver-

slam/lich erhohen abe, die falljgen Zinsen jeweilsdie Res/schuld!) Am Ende des dritten J ahres sci! Krcd itaufnahmc wird d ie erste regulate A nnutt at (9% Zinsen plus

3% Tilgung auf die zu I uhresbegtnn vomandene Restschuld] geleistct. I) Nach welcher Ze it - seu Kredituufnahme - is! de l Kred il volls tandig !,'Ctilgt?

ii )

Manstelle die crstcn vier sowie die lctztcn belden Zcilcn des Tllgungsplans auf.

iii) Wie hoch mOsste d oc cinma lige Sonde nil gungslcistung sein, die d ie Krumel KG am Tag der crstcn rcgularcn A nnuitat zusatznc b zu lcisten hatt e, d arnit die unter i) enn ittcl te Gesamllaufzeit des Krcdttcs genau 18 J ahre bctragt? Aile iibrigen Kondirionen bfeiben unvenmaent

iv) wic musstc sich dcr T dgungsprozcntsatz andcrn, damit die Gcs amtlaufzeit gcnau 30 Jahre betrtigt? Aile iibrigen Konduionen bleiben unverandeni AUfgabe 4.2 .7 1: Fur cine Hypot hek ubcr 300. 000,-- € wcrdc cine A nnu iHitentilgung zu fo lgcnde n Bcdingu ngen vercinbart: Aus zablung: 98 %; Zinssatz: 7,5% p.a.; Tilgung: 2% Pe Wie ist die Laufzeit dcr H ypo thek, wenn fur das 2. Jahr aile Zahlungcn ausgcsctzr worden , die ursprungliche Annuitiit ahcr fur die fo lgenden J ahre unvcrandcrt blcibt ? Aufgabe 4.2.72: H ube r kann einen Krcdit (Kredirsumme 1.200.000,-- € ) erhalte n. Aus zahlung: 95%; Kreditzins: 10% p.a. (nomindl). i) Man enn itt le die beide n Ierzten Ze ilen des Tilgungsplans, wcnn im ersten J ahr Zahtungsaufschub vcreinbart ist (d.h. es eifolgl keinerlei Zahlung von Huber!) und da nach die ja hrlichcn Titgungsbetrage stets 40.000,-- € betragen. ii) Man crmittte d ie belden lctztcn Zeilen des Tilgungsplans, wenn in den erstc n 3 J ahren Tifgungs-

strec kung vcrcinbart Ist (d.h. nur die Zinsen gezahli werden) und danac h An nuitarcn ttlgung mit cincm T ilgungssatz von 3% p.a. (zuzuglich erspane Zim'en) etfo lgt . Aufgabe 4 .2.73: Das A utohaus H ube r & Co. KG bc notigt finanz ielle Mittel in Ho bo vo n 517 .000,44 € zur E rwcit erung des Tencla gcrs. Die H ausbank will die Milici zur Verfilgung stcllcn. Konditionen;

Disagio: 6% der Kreditsumme;

Zin scn: 8% p.a.; T ilgung: 2% p.a . (zuzuglich

ersparter Zinsen). i)

wtc hoch muss die Krcdit summe sein, dam it die H ube r KG uber die gewiinschtc Summe von 517 .000 ,-- € vcrtugcn kan n?

i1) Die Bank gt:wahrt 4 tilgungsfrcie J ahre, in dcncn die A n nuitat nut aus den Z insen best cht .

Naeh welcher Zeit - bezogc n auf die Krcdita ufnahme - ist de r Kred it vollstiindig gct ilgt'! iii) Man gebc die ersten scchs und die heide n lctzte n Zcilen des T llgungsplans an.

4.2

209

Tilgun gsa rten

Aufgabe 4,2.74: Ge gcben ist ein A nnu lratenkredit (Kredhsumme 800.000, -- € ) . Ats Disagio werden 5% cinbchalten , der (nominelJe) Kreditzins betragt 9% p.a. In H ohc des cinbehaltcncn Disagios wird dem Schuldncr ein T ilgungsstrcckungsdarlehen zu 11% p.a . fur die drci crstc n J ah re crngcraumt. In dlcscn drci J a hren blcibt der H auptkred it zahlungsfrci. nur da s Tilgungsstrcckungsdarlchen muss wahrcnd dieser Zeit vollstandig (in Form einererusprechenden Annuilillentilgung) zuriiekgefUhrt werd en. Danach crfotgt die normale T ilgung des Hauptkredits mit ciner Annuttat von 13% auf die Restschuld zu Beginn des vi erten Jahres.

Man cnnuttc den voustandigcn T ilgungsplan.

Aergebe 4.2.75: Zur Finanzierung ciner Produktionsan lage fUr Halbleiterp latinen ernau die H ubtel AG cinen An nuitatcnkredn (Kredusumme 1, 1 Mia. €) zu den Konditloncn 92 /812. Das von dcr Krcditsummc cin bchaltene Disagio wird ter d ie crstcn 4 Jahre ats Tilgun gsst rcckungsda rlehcn g..'Wiihrt [annuitatische Ruckzahlung in 4 Jahren bei einer Verzinsung von 9,5 % p .a.) . wahrcnd der Laufzcit des T ilgungsstrccku ngsda rlehens werden allc Ruckzahlungcn fur den H auptkrcdit ausgcsc rzt. Danaeh wird der (um die Krcditzinsen ang ewachsene) H auptkreJit annuu ansc h gctilgt , und zwar I) mit dem vercinbarten Ztnssatz (8 %) und ciner lO%igcn Annultat von dcr Anfangsseh uld;

ii) mil dcm verei nbart en Z inssal z (8%) und ciner lO% igcn An nunat von der zu Beginn des 5. Jabres aufgclaufenen Reslseh uld . In bcidcn Falten gebc man die erstcn 6 und die heiden lcrzten Zeilen des Ttlgungsplans an .

Ikispiel 4.2.76: (filgung gestiickeller Anleihen) In sbesondere groJ3cAnlcihcn ode r Schuldversehrcibungen werd en haufig in Stucke mil run den TeUbetriigen (z.B. 100 €, 500 €, 1.000 €, 5.000 € oder / 0.000 €) aufgcte ilt. Soil cine dera rtige An leihe in cincr ganzza hligen Laufzcit (z.B. in 6 J ahren) annuitatisch getilgt ..ve rden, gibt es A nwendungsproh leme, da La. die rcc hnerisehc Annuftat kcin " giattcr~ Wert ist. A n cinem Beispiel sollen die Problcme aufgczcigt werde n: Vorgegebcn sei cine Anlcihe mit cinem Darl ehens-Gcsamtbetrag (Em issionsbetrag) von 5 Mio. €, die in 5 .000 StOeken zu je 1.000 € aufgcteilt sind. Die Anl eihe soli in giciehen An nuitliten bei einer Verzinsung von 10 % p.a . in 6 J ahren vollstlindig zuriiekgczahlt werd en:

5Mio€ I

Abb. 4.2.11

fleislung}

I

A III

IZeifl

A

'"

A

A

'"

A

'"

A

'"

IGegenleislungenJ

Dic " nonna1e~ (d.h. ungerundesei A nnuttar A erhalt man aus der Aquivalcnzgicichung (4.2 .20)

I l L]

5.00 0 .000 . 1,16 = A·...:.>.:....... 0, 1 mit

A = 5.000.000. 1,1 6

1.148 .036, 90 € / J ahr.

4

2 10

Tilgungsrcch nung

Obne die Stiickclung sahc dah er dcr T ilgungsplan wtc folgt aus:

,

Rcstschuld K\_\ (Begum t)

I

5.000.000,-4.351 .963,10 3.639 .122,51 2.8 54.997,86 1.992 .460,74

Periode

2 3 4

5 6

1.043.669,91

Zinscn

z,

tEnde r)

Annuitat A, (Ende f)

6 48.036,90 7 12.840,59 784. 124,65 862.537, 12 948.790,83 1.0 43.669,91

1.148.036,90 1.148 .036,90 1.148.036,90 1.148.036,90 1.148.036,90 1.148 .036,90

Ti lgung T I

(Ende t)

500.000,--

435.196,31 363.912,25 285.499,79

199.246,07 104.366,99

0

7

T ah. 4.2.78

Bei dcr vorltcgcndcn Stilckclung in 1.000 €-Slilckc lass! sich dieser Tugungsplan allcrdings nicht realisieren, da etn Anlcihestiick (zu 1.000 € ) entwedcr nur ganz oder gar nicht getilgt werden kann. Von der ~ rcgularc n" T ilgung des crstcn J ahrcs ( = 648.036,90 E, vgl. Tab. 4.2 .78) tassr sich (umer der A nnahme, dass stas abgerund et wird) hochs tc ns ein Bet rag von 648.000,-- E tilgcn (d.h . allgemein: der grofJle umer 648.036,90 € liegende und durch 1.000 ohne Resl rei/bare Wen) . Damit ergibt sich im ersten J ahr gcgcnube r dem " Nonnalfal1~ (Tab. 4.2.78) cine vcrmindcrte Tilgung von 36,90 E . Um diescn Bctrag isl die Restschuld zu Beginn des fo lgcndcn zweiten Jahrcs he her als im Normalfall. Dies bedeutet, dass am Ende des 2. J ahrcs eine (grgenub!!rdem Norm a/fall) urn 36,90 E plus 10% Zm scn ( = 3,69 €) hohere Rcstsch uld ents tandc n ist, die - sofc m die StOckel ung cs crtaubt - zusarznch abzu tragcn tst, damit sich wicdc r " normale" Verhalmissc cinstcllen. Indcm ma n auf dicse w eisc in jcdcm Jahr die " nonn alc" An nutta t A ars MaBstab nimmt sowie evcnlucllc (aufgezimte) Tttgungsruckstandc zusatzttch tilgt , lasst sich auch mil SHickclung ein dem Normalfall (Tab. 4.2.78) ahnlichcr T ilgungspla n autstcllcn, vgl. die folgende T ab. 4.2.79:

A nnuitatischc Tilgung untcr Bcruck sichngu ng gcst uckcltcr Wertc

Beispiel: Krcdits ummec 5 Mia . E , i = 10% p.a, (q = 1,1) ; Laufzeit : 6 J ahre Ncrm-Annuitat: A norm = 1.148 .036,90 E, StOckclu ng: 1.000 E /Stiic k Per.

,

Rest s
", ", I 2

4 5 6

5.000.000 4.352.000 3.MO.O()O 2.855.000 1.993 .000 1.044.000

7

0

3

7jn .«:n

""rl;;ufige T ilgung

Tilgung

Annuitat

Tilgung s_ riick
z,

Anor m ' 71+ q·R, · ,

T,

"-

~

(>,

( 4) ,. 1\.0"" + (8)-(3)

")

(6) ,. (3 ) +(5)

(7) •• (4 ) _(5)

500.000 435.200 364.000 285 .500 199.300 104 .400

64 K,036,90 712 ,877, 49 785.002 , 15 862 .539,26 9-19 ,330,09 1.O44,()OO,OO

e-s.oco

1. 14K.000 1. 147.200 1. 149,000 1.147.500 I. I U.300 I. IU.4 00

7 12.000 785.000 862.000 949.000 1.044.000

dufg ezinst er T ilgungsriick s tand d. Vorpc r.

,.,

q . R,.,

36,90 877 ,49 9952 4 2, 15 .... 539,26 t---- .... 2'36 593' 19 330,09 ....363,10

~ 4~~~9 l-....

1'....

~~~

T ab. 4.2.79

Ocr U ntcrschicd zwischen dcr [unter Berncksichtigung der SlUcke/ung) rcsuurerenden A nnunat (Spatle (6)) und dcr Norrn-Annuitat (ohne Slucke!ung) bctragt wcniger als dcr Wert cines Stuc kcs (d.h. im Beispiel: weniger uls 1.000 €).

Tilgungsarten

4.2

211

Aufgabe 4.2.80:

a) E ine Anleihe von 100 Mio. € wird in 20.000 Stuckcn zu 5.000,· · € ausgcgcbcn und soli in g1cichen An nunat cn bci ciner Vcrz insung von 8 % p.a. in 10 J ahren zuruckgezahlt scin. i) Ma n gcbc den . ungcstuckctten" Tilgungsplan an. ii) Man stel le den T ilgungsplan unter Bcaehtung der Snlc kelung auf.

b) E ine A nlcihe von 50 Mio. € wird in 50.000 Stuckc n zu 1.000,-- € ausgegcbc n und soil in g1ciehen An nuitat cn bci cine r Verzi nsung von 7 % p.a. in 5 J ahren zuruckgczahlt setn. I) Man gebc den . uegest uckeltcnv Tugu ngsplan an. il ) Man stclle den Tilgungsplan unler Beaehtung der St ucketung auf.

B emerkung 4.2.81: In der Praxis k ann es vorkommen, dass Kreditkonditionen (auch: A u szahlungsptane. Versicherungsplane ...) verschiedener Kredilgeber " vergfichen ~ werden, indem die naminellen Sum men aer insgesamt zu zahienden l im en (oder Annuitiiten) miteinander verglichen werden und daraus em Vorteilhaf/igkeilskrilerium abgeieitet wird. Ein Beispiel soil den Sachve rhatt taa ren: E in Kred it von 100.000,-- € (i = 10% p. a.) soil in 2 Jahren eumckgezahlt werden. Folgende Kred itk ond ilionen sollen m iteinander verglichen werden: i) Ruck zahlung ind. angesammelter Zinsen in eincm Belrag am Ende des 2. I ahres. ii) Ruckzahlung dUTCh Ra lenlilgung.

Die Tilgungspliine kuuen: Pcriodc

•

1 2

ii)

,

Pcriodc

1 2

Rcs tschuld Kt~ 1 (Beginn I)

100.000 /10.000

Restsc buld Kt - 1 (Beginn f)

100.000 50.000

Zinsen z,

(Ende I)

Ti lgungTt (Ende f)

10.000 11.000

- 10.000 110.000

12 1.00 0

Zl .OOO

100.000

121 .000

Annuitat A, (Ende f)

0

Zinscn z, (Ende t)

Tflg ung T t

10.000 5.000

50.000 50.000

60.000 55.000

15.000

100.000

115.000

(Ende I)

Allnuililll\ (Ende I)

Die llOminelle S umme der insgesamt gezahlten Zinsen (Allnuitiilen) be/ragt tm Fall i) 21.000,- - € (121.000,-. €), im Fall ii) 15.000,·· € (115.000,-- € ). Daraus wird hiiufig der " Sch/uss" gezogen, die Ratentilgung il) sei voruaiehen (wegen 6.000,-- € " Einsp arung "). Man mache sicn jedoch kl ar, doss eine derartige Sch/ussfo lgerung auf einem Trugschluss beruht, da die A ddilion von Belragen, die zu uruerschiedlichen Z enp unkten f allig sind, nach dem .4quivalenzprinzip unmlossig ist: Ersl nach A uf -/A bzinsen der Annuha ten auf denseiben Stichtag sind die Leistungen vergteichhar (im vorliegenden Fall sind sie identischl], Am ohigen Beispiel erkennt m an dies sofort: Die im Fall ii) vorzeiug geleisteten 60.000,*- € tiefem in einem weueren Jah r die "f eh/enden" 6.0 00,- - € an limen (wegen i = 10 % p .a.). Etwas anderes konnte sich lediglich don n ergeben, wenn d ie im Fall i) gegeniiber ii) "emgesp arte" erste A nn uutu zu einem von 10% p.a. ven cnieaenen Zinssarz f inanziert werden masse (oder ongelegt werden konn/e) .

212

4 Tilgungsrechnung

4.3 T ilgungsrechnung bel unterja hrlgen Zah lungen Die Art und Weise der verreehneng von unteljlitllig geleisteten ,.Ann ui tiiten ~ (d.h. Gegenleistungen in Form von Zahlungen) auf fallige Zi nsen und/ode r Tilgung bcreitet immer dan n Schwierigkcitcn, wenn a priori nich t klar tst, nach welcher KontoHihrungsrnelhodc (siehe etwa Kap. 3.8) der T ilgungsplan abzurechnc n ist (z.B. uflleljiihrig linear, konform, Mischformen ... ?).

In dcr Praxis gibt es mchrere Konrofuhrungsmodelle, die - insbesondere im Zusarnmenhang mit dcr Effekt ivainsermittlung von Investirioncn/Kr editen (siehe Kap. 5.3) - von Bede utu ng sind. Wir wollen am Beispiel einer Kredittilgung mit unterjahrlichen Ruckzahlungsratcn vier der wichtigsten Konlofuhrungsrnethoden'" kennzeichnen: -

Kontofii hrung nach der 360 -Tage- Mct hod e Kontofiihrung nach der Methode von Braess (oder: Braess/Sangmeyer} Kontofiihrung nach der US-Methode Kontofii hrung naeh d er l e MA -Methode IS.

- Kap. 4.3,1

- Kap. 4.3.2

- Kap.4. 3.3 - Kap. 4.3.4

Als gemeinsames Demonst fation sbcispiel wahlcnwir Beispiel 4.3.1: E in Kredit in H e be von 100 .000 € (Auszahlung: 100%) son mit 8 % p.a. verzinst werdcn . A ls Gegenleistung werden vereinbart : Vierteljahrfiche " A nnuitiUen" zu jc 3.0 00 € / Quartal, crstc Zahl ung ein Quartal nach Kreditauszahlung, lnsgesamt 10 Quartalsraten. Ges ucht ist die Restsehuld Kn (oder der " Kontostand" des Kredu-Komos] am Ende der 2,5-jahrigen Laufzeit.

(Dieser Kontostand kann als dann fiillige Abschlusszahlung aufgefasst werden.)

Dcr zugeborigc Zahlungsstrahl hat somit fclgendes Aussehen (Abb. 4.3.2);

100

---1

---1

IT€J

3

If)

3

(21

3

(31

3

141

3

(51

I•

f O"""'"

3

161

(Zell)

3

f7J

3

(81

3

191

f------

3

(101

Kn - ·? 2,5 Johre

-1

Abb. 4.3.2

Die vier genannten Kontofiihrungsmethod en unt erscheiden sich im wesen tlichen darin , i) oil und mit welch em unt crjthrig anzuw endenden Z inssatz innerhalb cines J ahres cine Z insverrechnung (Unterjiihrige Zinseszinsen? Unterjiihrig lineare Zinsen ? Mischformen?) stattfindet und /oder ii ) wie em .angebrccbenes'' JOOr zu bc handcln tst.

Auf die Darstellu ng der sog. Moosmiiller-Mclhode wird bier verzichtct, da diose wcgcn der Pramissc fester lahl ungsstrukturen filr die allgeme ine Eron erung lU wenig Ilexibel ist. Nabcres vgl. [Kru21IS ICMA-Methode: International Capital Market Association, identischmit der btsberigcn ISI'JA-Methode (ISMA: International Securities Market Association), scit 09/2000 in Deutschland verbindlich vorgeschrieben flir die Ermlttlung des Effcktivzinssatzes von Verbraucherkrediten, siche Preisangabenverordnung (PAngV 2000). 14

4.3

2 13

Tilgungsrechnu ng bel untcrjahngcn Zahlungc n

4.3 . 1

Kontofhhrungsmefhede I (360-Tage- Melhode)

Die 360-Tagc-Mefhodc zeic hnet stcb d urch folgcndc Bcsonderhcitcn aus:

I) Unt erjahrig e ntste hende ttineore I) Z msen worden nicht soglcich zum nac hstcn Zahlu ngstermin vcrrccbnct, sondc rn auf eincm scparatc n [Zins-] Konto gcsammelt und erst am Endc des Z insjahres auf dem Krcditkonto (in einem einzigen kum ulienen Betrag) gebucht (Sparbuch-ModeU). i1) Ein eventuclt vorhandc ncr J ahre sbruchteil (im ohigen Beispiel:

1Jahr) liegt stcts am Ende de r

Laufzeit, d.h . das crste Z insjahr beginnt mit dcr Kred itausza hlung.

Dc r hmsichtlich dcr 360-Tagc· Mcthodc strukturiertc Za hlungsst rahl in unscrem Bsp. 4.3.1 hat somn d ie folgcndc Form (Ahb. 4.3.3) :

100

{T€J

-I

- -1

1 Quortal

f--

(Zeill

1-+--+--+---+---+------1 1 f---

L: zm,~"oo.~:

3

3

3

333

Kn = ?

f-bhresbruch-.

1.bh,

1

leil am Ende

Abb.4.3.3

Daraus ergibt sich der untcnstchende T ilgungsplan (Tab. 4.3.4) . Dabei werde n die untcrjah rig cms tchenden Z inscn von de r jcwciligen Rcstsch uld zu Q uartalsbeginn linear aus 8% p.a., d.h . mit 2% p.Q. ermittclt und in eincr clgcncn Spaltc scparar gcsammclt. Da dicsc Z msen erst am J ahrescndc auf dcm Kreditkonto gcb ueht wcrdcn, wirken die Quartalslei.~lungen (3.000", €/Qua rtaJ) in den crstc n O uartalcn cines jcden J ahrcs in vollcr Hoh e als Til gung.~leist ungen ; Kontofiihrung naeh der 360 -Tage-Mct hod e: Krcditsumme: 100.000,- - € ; Z inssatz: 8% p.a.; 10 Ra ten zu 3.000, -- € /Q uartal Periodenzinsen (2% p.Q.) Periode: J ahr Qu.

1

1

(separal gesammell)

(2.000,00) (1.940,00) (1.880,00) (1.820,00)

4

95.6 40,00 92.640,00 89.640,00 86.6 40,00

1 2

90.93 1,20 87.93 1,20

3

88,508 ,45

3 4

3

(Beg/WI Per.)

100,000,00 97.000,00 94.000 ,00 91.000 ,00

2

2

Restschuld

1 2 3

kumulien und sum Jahresenae verrechnet

T ilgung

ZohI~ ,

(Ende Per.}

(Ende Per. )

7.640,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 - 4.640,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

(1.912,80) (1.852,80) (1.792,80) (1.732,80)

7.29 1,20

3.000,00 3.000,00 3.000,0 0 - 4.291,2 0

3.000,00 3.000 ,00 3.000,00 3,000,00

(1.818,62 ) (1.7 58,62)

3.577,25

3.000,00 - 577,25

3.000,00 3,000,00 Tab. 4.3.4

214

4

Til gungsrcchnun g

Die Rest schu kl ( = 88.508,45 €) am Endc dcr Lau fzeit ergibt sich auch mit dem finanzmathcmatische n Instrumentariwn (vgl. Beispiel 3.8.J8, Sou 3.8.21 sowie Bemerkung 3.8.24) aus Abb. 4 .3.3; FUr die beld en ersten J ahre ernnt man die jewcils aquivalente E rsatz rate R * zu

R* = 4 · 3.000 (1 + 0,08 '

f)

= 12.360,--

e,

so dass sich Kn (= Leistung minus Gegenleistung) crgibt zu ("gemischte" Ve17insung) 1082- I ' 1,04 - 3.000 ' 1,02 - 3 .000 = 88.508,45 0,08

Kn = 100.000 ' 1,08 2 . 1,04 - 12.360 · '

€,

also idcnti sch ist mit dem absc hlieBcndc n Restschuldwert in der Kon tostaffcl.

4 .3.2

Konloftihmngsmethode 2 (Braess)

Die Kont ofilhrungsmcthodc nach Bracss zcichnct sich durch folgcndc Besonderheit en aus:

I) Untcrjahrig Ansatz von lincarcn Zmscn, Zinsverrechnung am Jahresende (Sparbuch-Modell, in dieserBezlehungidentiscn mit der 360-Tage-Methode). ii ) Ein cv cn rucn vorhandcncr Jahresbrucbteil (im ohigen Beispiel: Jahr) licgt zu Beginn der Lauf-

1

zeit, d.h . die danach fotgendc Restlaufzeit best eht aus einer ganzen Zahl von J ahrcn .

Bemerkung 4.3.5: Besteht die Laufzeit von vomeherein aus einer ganzen Zahl von Iahren, so [uhren 360-Tage-Methode-Komo und Braess-Komo stets zu identa cnen Ergebnissen.

Ocr Braess-struktuncrte Zcitstrahl fur unser Beispiel 4.3.1 hat demzufolge die Form Abb. 4.3. 6:

- -I 3

3

3

, 0"",,",

f-- I

33

3

3

f-- - Zinspenode ---I 1 bh,

Abb .4.3.6

Daraus crgibt sich (mil 2 % p.Q. linear) folgender Ti lgungsplan (Tab. 4.3.7), wobe i dieselben v orbemc rkungc n wic zu Tab. 4.3.4 (360-Tage-Melhode) giiltig sind:

4.3

T ilgungsrechnung bei unterjahrige n Zahlungen

215

Kontofiihrung nach Braess-Methodc: Kreditsumme: 100.000,-- € ; Zinssatz: 8 % p.a.; 10 Ra ten zu 3.000 ,-- € /Quartal

Periodenzinsen (2% p,Q.) Periode: J ahr Q,.

1

3

97 .940 ,00 94.940 ,00 91.940,00 88.940,00

(1.958,80) (1.898,80) (1.838,80) (1.778 ,80)

4

93 .415,20 90 .415,20 87.4 15,20 84.415,20

(1.868 ,30) (1.808,30) (1.748,30) (1.688,30)

1

88.528,42

1 3 4

4

(sepurUI gesammell)

(2 .000,0 0) (1.940 ,00)

2

3

(Begilll1Per. )

100.000,00 97 .000 ,00

4

2

Restschuld

1 2 3

kWl1uliert WId zurn Jahres ellde verrechnel

Tilgung (Emu Per.]

(Elide Per.)

3 .940 ,00

3.000,00 - 940 ,00

3.000,00 3.000,00

7.475.20

3.000,00 3 .00 0,00 3.000.00 - 4.475,20

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

7.113,22

3 .000 ,00 3.000,00 3.000,00 - 4.113,22

3.000 ,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

z.hJoog

Tab. 4.3.7

Der rcsuhierendc Kont ocndsta nd (= 88 .528,42 €) errec hnet sich fina nzmat hematisch wie folgt: (uquivalrnte Enaurate am Ende der beiden voUen Zinsjahre wie beider 360~ Tage-Metnode: R * = 12.360 €l Jahr) = 88.528,42

€,

also Obereins timmung mit Tab. 4.3.7. Ocr im Vcrglcich zum 360- Tage-Methode-Kon to etwas hohere Wert crklart sich mit der urn ein halbes J ahr vorgczogcnen Z ins belast ung des Braess- Komos .

4.3.3

/ Kontofti hrung.'imelhode 3 (US - Melhode)

I

Die US-Kontofiihrungsmethod e zeichnel sich dUTCh folgendc Bcsondcrheitcn aus: i) Abweichen d von der 360-Tage-Mct hode bzw. Braess wird jetzt zu jedern Zah lungslenn in gleichz eitig ein Zin ~",'errechn ungstenni n (im Extremfall - d .h, bei laglichen Zahlungen - som it laglicher Zi nszuschl ag) eingefOhrl. Ein Jahr nach eincr Zahlung crfolgt (falls zwischenzritlich kdne weueren Zahlungen geflossen sind) eine Zi nsverrec hnung zum vorgcgcbcnen J ahreszinssatz. ii) Dc r anzuwendende untcrjahnge Zi nssatz fOr die Aufzinsung von einem Zi nsverrechnu ngstennin zum nachs tcn ist der dazu zeilproportionale (relative) Jahresbruchteilszinssatz (ill unserem Beispiel wird also mit 2% p. Q. ( = 8% p.a. : 4) Z inseszinsen gerechnen. Bci fehlenden unterjahrigc n Zahfun gcn wird mit dem vorgegebcnen Periodenzinssatz (z.B. l ahreszinssaa ] ~ nonnal~ auf- /abgczinsl.

216

4

Tilgungsrcchnung

Abb. 4.3 .8 zcigt (fiir unser Beispiel) die Z ahlungs struktu r dec US-Methode:

100

-I

oo

I

3

3

3

m

m

- -I

,

tn

3 '"

--I

3

3

{Z eit)

3

'" '" '"

ZinspfNiode =

zu i/4

I

3 '"

3

'"

I--

3

/10/

Kn -- ·7

, Ouarlal

{=Io'

Abb. 4.3.8

Daraus ergibt sich (m it i Q '" 2 % p.Q. Zinseszinsen) unrenstehendcr T ilgungsplan (Tab . 4.3. 9) . Dutch den sororttgen Vcrrcchnungsvorgang bei Zahlung einer Rate haben wir cs jctzt mit cincm Tilgungsplan nac h klasslschem, annuitarischen Muster, vgl. etwa Tab. 4.2 .13, zu tu n mit dcm cinzigcn Unt crschicd, das s die Zin speriod e jctz t d o Qu anal (stall: ein Jahr) ist:

Kontofiihrung nach dc r US-Methode:

Krcditsumrnc: 100.000,-- €; Zinssarz: 2% p.Q.; 10 Raten zu 3.000,-- € /Quartal

Restschuld

Zinsen

(Begillll Per.)

(E li de Per.]

(EMe Per.)

(Ende Per.]

100.000 ,00 99.000,00 97 .980,00 96.9 39,60

2.000,00 1.980 ,00 1.959 ,60 1.938,79

1.000,00 1.020,00 1.040,40 1.06 1,21

3.000,00 3.000,00 3.000, 00 3.000,00

7 8

95.878,39 94.7 95,96 93.691 ,88 92 .56 5,72

1.917, 57 1.895 ,92 1.873,84 1.851, 3 1

1.082,43 1.104,08 1.126,16 1.148,69

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

9 10

91.417,03 90.24 5,3 7

1.828,34 1.804 ,91

1.171 ,66 1.195, 09

3.000,00 3.000,00

11

89.050,28

Period e: Jahr Q " .

1

1 2

3 4

2

5 6

3

Tilgung

"""'~ g

Tab. 4.3.9

Auch hicr lasst sich dcr Kont ocndstand nach to Rat cn sotort finanzmat hematisch ubc rprufcn. Wcgcn iQ '" 2% p-O. Zinscsz inscn folgt aus Abb. 4.3 .8 unm ittcl bar: 1 100 .000 ' 1 0210 _ 3.000' 1.02 0- 1 '" 89.0 50,2 8 , 0.02

€

in Ubereinstimmu ng mit dcm cntsprcchcndcn Tabcllc nwert. Man erkennt, das s dcr Rcstschuldbctrag bc i A nwendung dcr US-M elhode deutlich hoher licgt als be i de r 360 -Ta /"oc- bzw. Bracss-Met bodc. Ursache: Dersclbe J ahrcsb ruchtcilz ins (2 % p.Q.) wird bci dcr US- Methode sofort vcrrechnct, bc i den bc ide n andercn Methoden aber erst gcsa mmelt und spatcr vcrrcchnet .

4.3

217

Tilgungsrcchnung be l untcrjahrigen Zahlungen

4.3.4

Konloftihnmgsmethode 4 (IC l\tA - Methode)

I

D ie ICMA-Met hode (auch: ..imemationate Methode", fruher ..ISMA-Methode .... seu 0912000 auch in Deutschland zur Erminlung des Effeklivzinssam s von Verbraucherkrediten verbindlich) zeichnet sieh durch folgcnde Besondcrheit en aus:

i)

Wie bci der US-Methode erfolgt dcr Zin szusehlag zu jedem Za hlungstermin, notfa1Js taglich .

ii) Abw eichcnd von dcr US-Methode wird fur den Zinszeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden

Zah lungc n nicht der relative, sondern der zum J ahreszinssatz keercrme unterjabrige Zins (siehe

Definition 2.3.11) angewendet. Der im Beispiel 4.3 .1 vorgcgcbc ne J ahreszins i '" 8% p.a. fUhrt zum konform en (d.h. tiquivalenten) Quartalszlns io ubcr die A quivalenzgleiehung

( I + iot", I + i '" 1,08 ,

(d.h. i Q

'"

I +i o '" 1 ,08 °' ~s '" 1,01942655

d.h, es gilt;

1,942655% p.Q. im Umerschied zu to '" 2% p .Q. bei aer US-Methode).

Abb. 4.3 .10 zcigt am Beispiel 4 .3.1 die ICMA-Zahlung-;struktur, d ie mit der Ug-Zahlungsstru ktu r (A bb . 4 .3.8) identisch ist (es wirdlediglichder konforme slat/ des rekuiven Zinssatzes angewendel) :

100

-I

I

I

IT€ I I

I

3

3

m

'"

I

3

I

I

3

3

I

3

'" "' '" '" 1-- to = 1olla:d l

Zinsperiode =

ZlI

I

3

m

I

3

'"

25 (1 +11- - 1

I

3

'"

(Zeill

f----

3

110/

K,n -? ·

Abb .4.3. 10

Daraus folgt (mit 1 + 'o = I,OSO.25) folgender (Tab. 4.3.11) Tilgungsplan, der dicselbe Struktur wie der Tilgungsplan naeh US-Methode autweist, dur ch den gcringeren Ouartalszins aber cine schnellere T ilgung und somit cine verringerte Restschukl aufweist: KontofU hrung nach der ICl\tA -Melhode; Krcdit : 100 .000,- - € ; io = 1,9426552% p.O .;

Periode:

Restschuld

10 Rat en zu 3.000,-- € / Ou arta l

Zobhm.

(Begi1lll Per .)

Zinsen

Tilgung

(E nde Per .)

(Ende Per.)

(E nde Per.]

3 4

100.000,00 98 .942,65 97 .864 ,77 96 .765 ,94

1.942,65 1.92 2,11 1.901,17 1.879,83

1.057,35 1.077,89 1.098 ,83 1.120,17

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

2

5 6 7 8

95. 645,77 94.5 03 ,84 93 .339, 72 92 .152,99

1.858,07 1.835,88 1.813,27 1.790,21

1.141 ,93 1.164 ,12 1.186,73 1.209,79

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

3

9 10

90.9 43,20 89 .709,92

1.766,71 1.742,75

1.233 ,29 1.257 ,25

3.000,00 3.000,00

11

88.452,67

Job' Qu. 1

I 2

Tab. 4.3. 11

218

4

Tilgungsrechnung

E inc Uberprufung dcr Rcstschuld mit Iinanzrna thcmatische n Meth oden \iefert (mit 1 + ' c = 1,08°,25 bzw . i Q = 1,08(},2L 1) : K n = IOO.OOO·(1+ iQ)10-3.000·

(I+i )10- I

?

'o

1 08 2,5 _ 1 = 100 .000' 1,08 2.5 - 3.000 - ' 1,08°,25_ 1

88.452,67,

wiederum in Obcreinstimmung mit dem entsprechendcn Tabcl1enwert.

Bet rachtct man die vier hicr vorgestc lltc n Kon tofUhrungsmethod en zus ammenfassend, so stellt man fest, dass bei idc nlischcn Zahlungsstromc n und idcntischcm J ahreszms jcdcsmal cine unterschiedlic he Rest schul d zusta nde komml. Umgckchrt muss sich - bei glcichcn Zahlungsstr6men und idem ischer Rest schuld - jcweils ein untersc hicd lichcr Effck tivzin ssatz crgcbcn, je nachdcm, welches KontofUhrungsmod ell zugrundcgelcgt wird. Diescn - logisch eigcnt lich unhalt baren - Elick! werden wir im Z usamm enhang mil der Effekt ivzinscrmill lung in den Kap. 5.3. 1/5.3 .2 naher beleuchten ' ". Sc i allen Krcdit formen mit untcqahngcn Lcistu ngen kann nur da nn cin zut reffender T ilgungsplan a ufgcstellt werden (bzw. ein »korrekter" Effeklivzins angegeben werden), wenn zuvor Emigkeit ubcr die anzuwc ndcnde KontofUhrungsmelhode erzlelt wurdc.

Aufgabe 4.3.12: I) E in Kredlt, Krcditsummc 99 .634,08 € , soil mit Q uartalsrat en zu je 8.000,-- € / Q. (1. Rat e 1 Quarta! nach Kredilaufnahm e) bc i i = 18 % p.a. zuruckgezahlt werden. Nac h 4,5 J ahren wird das Kont o abgercch nct.

Man ermittle die noch bcs tehen dc Rest sch uld nach folgenden Kontofiihrungsmodellen: a) 360-Tage-Met hode

b) Bracss

ii) Man bca ntwort e i) a) bls d) fur cine Kreditsummc € / Q uartal bci i = 16% p.a.

e) US

Ko

d} l eMA,

= 100 .000,-- €, Quartalsrat en zu 4.0oo,--

Aufgabe 4.3.13: E in Kredit, Kred itsurnmc 100.000, - - € , soli mit Quartalsraten zu je 10 .000.-- € / Quartal (1. Rate Ende 9. Quartal nach Kreditauf nahme) bei i = 12 % p.a. zuruckgezahjt werden. In de n erste n 2 Jahr en ist T ilgungsstrecku og vcrcmbart, d .h. in den erstcn 8 Q uartalen werden nur die cntstehe ndcn Ztnsen gczahlt. Nach 4,5 J ahren wird das Kont o abgerec boet. Man ermitt le die noc h bes tehcndc Restschul d nach folgende n KontofOhrungsmcx..lcllen: a) 360 -Tagc-Met hode

b) Braess

c) US

d) l eMA .

Aufgabe 4.3. 14: Ein Kredit, Kred itsumm e 100 .000 ,-- € . soli mit Quartalsrat en zu je 12.000,-- € /Quartal (1. R ate End e des 9. Quartals nach Kredilaufnahme) bc i i = 10% p.a. zunlc kgezahlt werde n. In den crsrcn 2 Ja hren tst cin Zahlungsaufschub verci nbart, d.h, cs erfolgt in den erstcn 8 Q uartalen keinerlci Zahl ung. Nach 4,5 J ahren wird das Konto abgcrce hnct. Ma n crmittle die noc h bcst ehende Restschu ld nach folgende n Kont ofuhrungs modolk-n: a) 360-T age-Me lhode

16 siehc auch [Tie l ] 57lT.

b) Braess

c) US

d) l e MA .

4 .3

219

Tdgungsrechnung bci unrcrjahrigcn Zahlungen

Aufgabe 4.3.1 5: Ein Krcdit mit der Krcd itswnm e 100 .000,-- € soli mit folgcnden Gegen leistungcn (ZahIWl gen) zuruckgczahlt werdcn ( Ven insung: 16% p. a.): Ende 3. Quartal: En de 12. QuartaJ: Ende 18. Quartal:

10.000,-- € Ende 6 . Q uartal : 50 .000 ,-- € E nde 13. Quartal: Restt ilgung, so dass das Konto ausgegJichen lst.

20.000 ,- - € 30.000 ,-- €

Man enn ittle diese R esttilgung fur die KonlofUhrungsmethoden a) 360 -Tagc-Me thode

b) Braess

c) US

d) ICMA

Aufgabe4.3.16: Ein Krcdit mit der Kreditsumrnc ~ = 100.000 € , soli mit Monatsraten zu 2.000 € /Monat bci i = 12 % p.a . zu riickgezahlt werden (die 1. Rate ist einen Mona s nach Kreditaufnahm e f allig). i) Man ennittle die Rcstschuld nach 18 Monat sraten fur die Ko ntofUhtu ngsmethod en a) 360-Ta ge- Met hode

b) Braess

c) US

d) l e MA

ii) Man enn itt le fur die in i) aufgcfiihrten Kontofuhrungsmct hod en a), c) und d) die Gcsam tlaufzcit b is zur vollstandigcn T ilgung. Aufgabe 4.3.17: Ein Kredit , Krcditsumme 100.000,-- € , soli mil monatlichen Raten bei i = 12 % p.a. zuriiekgczahlt werden (erste Rate 1 Monat nach Kredltauf nahme], Welche Monatsrate is! zu wahlen, dam it das Konto nach 18 Monaten ausgegJichen Ist? Ma n bea ntworte dicse Frage fur folgcnde Kontot uhrun gsmodcllc: a) 360- Ta gc-Met hodc

b) Bracss

c) US

d) l e MA .

Aufgabe 4.3.18: Ein Krcdir soli mit 18 Monatsratcn zu 6 .000,-- €/Mo nat bei i = 12% p.a. zuriickgezahlt worden (erste Rat e einen Monat nach Kreditaufna hm e) . Bel welcher Kred ttsumm c rcich cn die 18 Monatsratcn gcradc eus, urn den Kred it vollsta ndig (incl. Z insen) zuruckzufuhren? Man bcantwort e diose Fragc fur folgende Kont ofiihtungsmod c11c: a) 360-T age-Methcxle

b) Bracss

c) US

d) ICMA .

Aufgabe 4.3.19: Ein Annuitat enkrcdit (no m. l ahreszms: in"", ; A nfangstilgung: iT (p.a.)) werdc mit gleichen Monatsratcn zuruckgezahlt. Die Monatsrate bctragc ein Zwolftel der J ahresleist ung. Die Zins- und Tugungsverrecbnung erfolge ebe nfalls monat lich, Monatszins relativ zu ino",' d.h . US-Methode .

i) Zeige n Sic: Sc i gcgcbc ncr Gcs amtlaufzc it n (in Monaten) ist die daz u passcndc Anfango;tilgung i iT (p.a .) gegebcn durch nom ( Tipp : Aquiva/enzg/eichungfilr die iT = ,. n Gesamtlaufzeit n aufsrellen ~;m) und nach iT umf cement )

(I+

_I

ii ) H uber will seinen Krcdil (Konditionen wie oben angegeben, Zinssaiz 8% p.e . nominelJ) in 15

Jah ren vollstandig get ilgt haben. Wie hoc h muss die Anfango;tilgung (p.a.) sein? iii) E ntwickeln Sic cine Tabcllc, die fur inom vo n 6% bis 9% p.a. (in O,5%- Schritten) und Gcsamtlaufzeit en von 10 bis 30 Jahren (in 5·Jahres-Schritten) die jeweils dazu passend e Anfangstilgung aufweist . (Tipp : Teil i) verwendenl Wenn 's zu langweilig wird: Tabellenkalkulation benutzen!)

220

4

Tilgungsrcchn ung

4.4 Nachschusslge Tilgun gsvcrrechnu ng In a llen bisher behandclten Beispielen (insbesondere im Zusammenhang mit Krnlittilgung) , war es selhsrverstand lich, dass jede (innerperiodische) Za hlung A hn Zeitpunkt ihrer Letstung unmittelbar die jcwcilige Resl~huld (bzw. den jeweiligen Kontostand) veriinde rt und dam il ebenso die Bemessung..grun dlage fu r aile zukiinflig anfallenden zrn sen (in diesem Zusammenha ng spricht man von "s% rtigrr Tilgungsrerrechnung" einer Zahfung). Jc nachdcm, welches Kontofii hrungsmodell vorlicgt (linear (z.B. 360- Tage-Methode) oder exponenneil (z.B. l eMA), vgl. Kap . 4.3), bcdc utet d icse Sofortwi rkung von unterjahngc n Zahlungen: i) Bei lincar-unterjii.hriger Verzinsung (»Sparlwl1lo- Modell ") mindcrt cine untcrjahrig gctcrstcte Za hlung A sofort in voller Ho he die bcstehcndc Restschuld (denn die his dahin aufge/aufenen Zinsen werden ja separat gesammeu und ersl zum (sptileren) Ianres- bzw. Zinsp eriodenende der Restschuld zugebuchl) . Bei nneare r Verzinsung (nach dem Sparbuch -Modell) wird somit eine unt eJjatllige Zahlung A unmiltelbar in Hiller Hoh e als Tilgung ( = Restsehuldminderung) verwcndet und scnkt somit unmittelbar die Bemessungsgrundlage fur die nu nmehr zukunttig zu bcrcchncndcn zrnsen (vgl. auch die Votbemerkungen m Tab. 4.3.4). ii) Sci der I Cl\fA~Kontomhrun g erfolgt jedc unleJjatui ge Zal11ung prinzipiell zu einem (nolfulls noch einzufiih renden) Zinsz uschlagtetmin und w ird sofort unter Anrcchnung der brs dah in aufge-

laufenen (konformen) ztosen tiigung...w irksam (und damit fii r die Zukunft auch zillSwirksam) vcrrecbnet (vgl. etwa Tab. 4.3. 11) Nun ist cs in der Praxis haufig anzu trcffen, dass Kreditin stitute, Bausparkassen etc. von der gcschildcr-

ten (finanzmalhemalisch korrekseni " sofortigcn Titgungsverrechnung" abwciehcn. Dies kommt etwa dadurch zum Aus druek, dass bei unterjahn gcn Riiekzahlungen des Schu ldncrs die T ilgungsverrcchnung (d.h. die restschuidmindemde Buchung) nieht sofort bei Zahlung, sondem erst sparer vorgcnommcn wird (z.B. Zahlung monatlich, Tilgungsvetrechnung vierleljiihrfich oder jiihrlich usw.) . D icscn Vorgang bezeichnct man als nach~chii<;.~ige T ilgungs,'errechn ung: E ine Zahlung wird nieht sogtcich verrechnct, sondern erst zu eincm spate ren Zcitpunkt (d.h. " nach.vchUssig").

1m Text eincs Kreditvertrags konnt e es - bezoge n auf das bereits bckannte Beispiel 4.3.1 - ctwa hciBcn:

(*)

" ... Die jah rlichc Lcistungs ratc (Zinsen und Tilgung) bctragt 12.000,-- € . Sie ist in Tellbctregcn von 3.000,-- € zum E ndc cines jcden O uartals zu zahle n. Die Zinsen wcrdenjewclls naeh dem Sta nd des Kapitals am Schluss des vergangenen Jah rcs berechnct."

1m K1artext bcdeutet dtese n ochschussige Tilgungsvar echnung: umeJjiihrige R uckza hlu ngcn, die dcr Kreditnchm er lcistet, worden nicht sofort bei Zahlung, sondern erst sptuer (im obigen Beispiel am J ahr esende) tilgungswirksam a uf das Kreditkon ro gebue ht. De r Kred itneluner muss somit zcitwc ilig cine hohere Sunune verzinsen, als es seiner tatsachlichcn Rcst sch uld ents pricht.

Beispiel 4.4.1:

(nachschiissige Tilgungsl'l'rrechnung)

Krcditsurnme 100.000,-- €; i = 8% p.a. ; Ru ckzahlu ngcm 3.000,-- € JQuartal. Bctrachtungshorizont: I J ahr. Es werde jahr liche, d.h. naeh"Chiissige Tilgungsverrechn ung angl.'wen deC, d .h. der o.a. Text (*) des Kreditvertrages ist jetzi aueh hier \\Iirksam : " Die jahrlic hen Zi nscn werden jeweils nae h dcm Stand des Kapitals am Schluss des vergangcnen J ahres bc rcchnet. " Gcsucht ist die Rest sehu ld nach einem Jahr.

4.4

Naehschiissigc T ilgungw crrcchnung

22 1

Fur de n Krcditnchmer (und auch fur die Bank) gilt folgcnde r realer Zahl ungs.~trahl (Abb .4 ,4.2) 100.000

---1

tet 3.000

(l9islungl

3000

3000

Fur die E nni ttl ung clef Rcsrschuld tUI abcr die Bank rat en nieht bereits quata lswcisc zu de n vercinbarten 4.4.2), sonde rn ers t (in einem Betrag zu 12,000, · · (am Jahresende). Oil,' Bank rut also so, als hatte Zahl ungs.<;trahl gclcistet (Abb. 4.4.3) : 100,000

I€J

(Zeil)

I

(k1ts(khfirhe Gegenleislungl

3.000

Abb,4.4.2

so, als harte der Schuldner seine vier Q uartalsZeitpunkten im voraus ent riehtet (wie in Abb. €) zum spaterliegenden Vcrrechnu ngstermm dc r Schuldne r nac h de m fo lgenden (fildiwm)

(leislungl

(Zeitl

---11--+---+---+-- - - -

Ab b . 4.4.3

(/Iklive Gegenleislungl 12.000

fnochschtJssige Tilgungsverrechnung bel 3.ooo€/ Quortall Ocr Untcrschied wird aueh quantitativ sofcrt klar. So ergibt slch als Restsch uld naeh einem Jahr i) bci reaiem Zahlungsstrahl (nach A bb. 4.4.2 und 360- Tage-Methode-Komofuhrung; zur Ersatzrate, vgl. Kap . 3.8.2):

K, = 100.000 '1,08 - 4·3.000' (I + 0,08' (bci ICMA -Kontofilhrung:

~'; )

K, = 100.000 ' 1,08 - 3.000 '

= 95.640,--

1,0S - 1 l,OSO,2S - I

€ .

= 95,64 5,77 €)

ii) bci oacb scbnsstgcr T ilgungsverrechn ung Abb. 4.4 .3:

K, = 100.000 ' 1,08 - 12.000

= 96.000 ,--

€,

also dcutlich ho her als bci korrektem A nsatz. Es liegt auf de r H and, class das Vcrfahrcn der naehsehOssigcn Tilgungsverrcchn ung fUr de n Kreditnehmer cine Verte uerung des Kred its bcdcutet, dc r sich in der H ohe des Effektivzin l';.~tzes bcmerkbar mae hen muss. In Kap. 5.3.2 werde n wir naher auf dicsc n Effc kt cingchen. Bem erkun g 4.4.4: Die beschriebene Praxis nachschussiger Tilgungs varechnung wurde vom BG H in zwei nicht nur fur die Fachwett aufsehenerrrgenden Unei/en l7 im November 1988 gerngt.

Uberasdiendnwetse bezog sich aber d ie Unzuiass igkeit der nachscnussigen Tilgungsvetrechnungsklauseln nicm auf die Tatsache, dass der Kreditnehmer[ur bereus gerilgre Betrage Zlnsen zu zahlen hat, sondem atlein da rauf, dass diese Tatsache nicht hinreichend klar in den betreffenden Kreditvenrdgen zum Ausdruck kam: Die gerngten nachschUssigen Tllgungs verrechn ungsk lauseln verstiefien gegen das in § 9 AGB-Gesetz verankene " Transpa refll.Kebot". Berroff en von den BGH-Urteilen waren Darlehensvenriige, die nach dem 31.03.1977 (denn seither gill das AGB-Gesetz) und vor dem 01.09. 1985 tdenn seitdem musste stess aer Effektivzinssatz angegeben werden) abgeschlossen wurden. 17 vgl. BOHZ 106, 42ff. = NJW 1989, 222 ff.

222

4 Tilgungsrcchnung

Ein betroffener Kredunehmer konnte somit cinerUckwirkende Neuberechnung seines Kreaits vor altern hinsichtlich der korrekten Restschuid bei Venragsende verlangen.

Benpiel: Wir betrachten jolgenden Annuuatenkredu: Kreausumme: 100.000,-- €; Auszahlung: 100%; (nom.) Zins: 10% p.a .; Tilgung: 2% p. a. (zuzuglich erspatteZinsen)

Die sich rechnerlscn ergebende Annuiliit von 12.000,-- € /Jah r wirdin 4 nachschussigen Quartalsraten zu je 3.000,-- € /Q uartal ge/eistet. Gesucht sei die 110m Kredimehmer nocn zu ersuntende Resu chutd K 15 nach 15 Lau!zeitjahren.

Nacn der beanstandeten nackschUssigen TilgungslICrrechmmg ergibt sich 1 11 5 _ /

100.000 '1,1 15-12.000' ' 0 1

,

= 36.455,04 € .

Bei einer Neuberechnung dieser Restschuld muss berucksichngt werden, dass jede Rilckzahlungsrare (= 3.000,-- €/Qua nal) unmittelbar tilgungswirksam zu vemcnnen ist. Da der BG H aber offengelassen hane, welches Kontomode ll dabei zugrnndezulegen ist (360- TageMethode; US-Methode; I CMA -Methode), ureuen sich l8 die Beieiligten bis heute um "k orrek /e" Ruck ers/attungsansprn che fur die Kredim chm er. Legt ma n niimlich das US-Modell zugrunde (sofonige Tilgungs verrechnung, vim eljahrlicner Zins abschluss zum relatillen Qu analszins (: 2,5% p .Q.)), so ergiht sich nach 15 Jahren die Restschuld des Kreaimenmers zu K

rs

:

/00.000'102560 _3000.1 ,02560 _1: 32. 004,20 € , . 0,025

(d.h. ein Ersuutungsansprucn (gegenuber dem beanstondeten Wert) von rd. 4.451,-- €) . Verwendet man dagegen das 360-Tage-KoflUJ-Modell, so lau/et die erusprechende Restschuld: K 15 : 100.000'1, 1

rs

45

-12.000·(l+0,1 ·1~) ·

1 115_1

'01

,

:

22.157,42 € ,

mueinem deutlich haneren Ers/attungsanspruch von 14.298,-- € (: 36.455 - 22.157). Die I CMA -Metlwde schlieplich liefen (mit dem kanformen Quanaiszinsfa ktor I + i Q nach 15 Jahren ('" 60 Quanalen) als Restschuld: K 15 '" 100,000,1,1

15

-3.000'

1,1 t5 -1 025

1,1 '

1

'"

1,1° ,25)

'" 22.441,27 €

und f uhn zu einem iihnlich hohen Ruck erstauungsansp ruch (niimlich 14.014,-- € ( : 36.45522.441)) wiedas 360- Tage-Konta-Modell. Die teitweise arosuschen Un/erschiededer Ruck erstouungsansp rucne erkliiren, weshalb die Bank en die US-Methode, die betroffenen Kred itnehm erdagegen die 360- Tage-Methode bz w. ICMA -Methode als "korrekl " ansehen. 19

18 Fur die "K orrek theil" jedes dec drei Kontofhhrungsmodcllc gab cs gerichtliche Entscheidungen, vgl. [Tie l] 52ft". 19 Zu de n linanzmathcmatischcn Aspcktcn zur " richtigcn" Verzinsungsfi ktion bzw. Kontoflihrungsmetbodc sichc auch Kap. 5.4 oder IT ie l ] sz u;

4.4

223

Nachschusstgc Tilgungsverrechnung

Aufgabe 4.4.5: Ein Armuitat cnkrcdit (Kredirsumme 400.000, -- € ) wird zu den Konditionen abgesehlosscn: Auszahlung: 97%;

Zins cn: 11% p.a.;

Tilgung: 1% p.a. (zuzii.glich erspaner Zinsen)

Die jahrliche Gegenleistung bcuagt 48.000,-- E . Sie lst in Teilberragen von 4.000,-- E zurn jcweiligen Monatsende zu zahlen, erstmalig einen Mouat naeh Kreditaufnahme. Die Zinsen worden jahrlieh jeweils naeh dern Stand der Darlehenssehuld zurn Schluss des vcrgangcncn Zinsjahres ermittelt und vcrrcchnet, erstmalig ein Jah r naeh Kreditaufnahm c. Die sich naeh 10 Jahren ergcbende Rcslschu ld Ist in eincm Bctragc an den Krcditgeber zu zahlen. Man ermittlc diese Restschuld i) naeh den angegcbcncn Krcditbcdingungen; ii) nach eincr Kontofuhrungsmcthodc, die die sofortigc Tilgungsverrcc hnung dcr geleisteten Mo-

natsrat en bcrucksichtigt, und zwar a) nach der 360-Tage-Mcthodc: b) naeh dcr US-Method e; e) naeh dcr ICMA-Methode. iii) Man crmittle Gcsamtla ufzeit/Ralenanzahl dieses Krcdits nach den vier zuvor crwahntcn Kentofiihrungs-Mcthoden:

a) nach der 360-Tage-Methode ; b) nach der US-Methode; c) nach der l e MA-Methode; d) nach den o.a . Krcditbcdingungcn (nachschussige Tilgungsvem:chnung) .

225

5 Die Ermittlung de s ElTektivzinssa tzes in der Finanzmathematik 5.1 Gru ndlagen 5.1.1 Der Effekt ivzi nsbegrifr A nlage- und Krcdugcschaftc (z.B. Dariehen, Wenpap iergeschiiJlt, l n venitionen, Finanzierungen ...) sind da durc h gcken nzcichnct , dass die Le isl ungen bzw, Gegenleis lungen der bete iligtcn Part ner in Form eincr (biswei/en ouch flur prognnsnzienen} Zahlungsreihe gegcbcn sind. Urn cinco Vcrglcich unterschicdlichcr An lage-, l nvcstitions- odcr Krcditaltc ma tivcn durchfubren zu konncn, ist es uhlich, den sog. Effektlvzlnssarz I (bei tnves titionen: den " internen Zinssatz ", s. Def. 9.3.4; bid Wenpapieren: die " RemJile", s. DeI 6.1.5) einer Zahlungsrcihc als (allgemein akzeptienes ada auch vorgesdm ebm es] vergteichskrue n um heranzuzichcn . Definitio n 5. 1. 1:

( Effektivzins~tz

einer Zahl ung.sreihe)

Vo ter dcm Errektivzinssatz cincr Za hlungsrcihe versteht man dc njenigcn 2 (im Zeitahlauf «onstenten) nechschus..;igen J ahreszmssarz, bci dcss cn Anwcndung Leistungcn und Gcgenleis tungen finanzrnat hcrnatisch aq uivalenl 3 sind. Glcichhcdcut cnd zu Dei. 5.1.1 sind nach dem Aquivalenzprinzip (Satz 2.2.18) folgcn dc Int erp re tatlonen des Effektivzinshegriffes:

(5.l .2)

Legt man samt ttcbc l.eislungen (Einzahb.mgen) zu m Effek tlvzinssatz an, so crhalt man am Laufzeitcndc denseiben Konlosland, wie c r sich durch d ie (zum Effektivzins + satt gellilig/e) separate A nlage alter Gegenleislungen (Auszuhlungen) ergibt kllrz:

Bci dc r Verzinsung zum Effe ktivzlnssatz ist dcr Endwert (B ar wen, Zeitwert) 4 a ner Letstuogen (Einzahlungen) idcnt tsch mit dcm Endwert (B arwert, Zeitwert) aller Gegenleistungen tAuszahlungent.

Vgl. hierzu die schon frti her diskutierten Passagcn in Dcf 1.2.39 bzw. Satz 2.2.18 IV). Wir unterstellen fUr den Moment, dass ein Effcktivzinssatz exis ucn und eindeutig ist. Sparer werdcn wir auch solchc (in aer Praxis vergleichsweise selten vorkommenden) Fallc kcnncnlerncn, in dcnen cine Zahl ungstcihc keincnoder mehrereEffcktlvzinssetze beslt...., sicheetwa Kap, 9,3, 3 etwa im SiJUlC vo n Satz 2.2.18. Wi r werdcn weitcrhin sehen, dass ZIIr Angabe des Effcktivzinses auterdem die Angabc der angewendeten finanzmathcmatischen Methode gcbcn, vgl. (5.1.7), Ssp. 5.1.8sowic Kap. 5,3. 4 Dabci beachte man Bern. 2.1.16Ii) sowic - bei lincarcr vcrzmsung - die Sticbtags-Kcnvention 1.2.33.

226

5

Die Ennittlung des Effe ktivzinssatzcs in de r Flnanzma thcrnatik

Wegen der Gleichwcrtigkeit von fmanzrnathemanschcm Auf-j Abzinsungskalkiil und Kontodarstellung (siehe Kap. 4.1 und insbesondere Satz 4.1.12) kann man weiterhin sagen tsiehe ouch Bsp. 2.2.19): E in Vergleich~konto Oller Effeknvkonto (TilgungspJa n) mit den realen Ein-/ A uszahlungcn, vcrzinst mit dcm Effeklivzins~lz und abgerechnct mit de n eets prcchcnden Kontoruhrungsvorsehrtne n fuhrt am Laufzcitcndc srcts zu cincm Restschuldsaldo (Komoends tandi von Null kurz;

(5.1.3)

Ein mit dem Effektivainssatz bcwcrt etes Vergleichskonto ~ gehl auf".

Bemerfamg 5./. 4: Aus Def 5.1.1 erkenm man, doss sich die Effektivzinsberechnung von den hisherigen Prohlemstellungen der Finanzmathematik lediglich dorin unterscheidet, doss nunmehr der zur Herstdlung derAquivaltllZaforderliche Zinssatz i~ff (bxw. Zinsf aktor q ( = J + i.li) xu ermineln tn. Beispiel 5. 1.5: Gcsueht ist dcr Bffcktivzinssarz ieff cines Krcdits mit eincr Krcditsurnmc von 11.000 € und eincr Au szahlung von 10.368 € (d.h. Disagio = 632€) , der mit insgesamt zwei (jewrils im I ahresabstand folgenden) g1ciehcn Ar munatcn vollstandig zuruckgcfuhrt wird. Der nominclle Krcditzinssatz bctragt 20% p.a., somit ergc bcn sich nach (4.2.22) die bciden An nuitiiten zu je 7.200 € : {KredilsummeJ

f f .()()() I€ /

-1

L, I

'-~-I

- 1 _..mr -

I intnJ=201.pa ~tJ

rCjegen· ielslungenJ A

,.

2

(4. 2.22)

A

0,2

A = 11.000 ' 1,2 ' - ,-

1,2 - 1

= 7.200€ /J.

Dcr Effek tivzinssatz ierf macht d ie tatsachucnen Leistungen und Gegcnleistungcn aquivalent, d.h. jetzt kommt es auf die Auszahlung des Krcdit s [» JO.368€ ) an, wahr cnd die Ocgcnleistungcn unverandert blciben. Somtt muss ien aus folgcndem " rca lcn ~ Zahlungsstrahl crmittclt werden : 1O.368 1€ 1

{leisfungJ

(C!egenl(!IsfungenJ

7..owO~ l.'

- 1 - - - 1 - ----1[-- IZ,'" 7.2()()

Da kcinc untcrj ahrigen Zahlungcn vorliegen, spielt die Wah l der Kontofiihrungsmet hode (vgl. Kap. 4.3) kcin c Rolle, es wird ~ nonnal ~ mit jiihrlichen Zinseszinsen gerechnet.

t- 1 + ierf) aus der Aquivalenzgleichung 10368 ' q2 = n oo ·q + noo .

Somtr ergibt sich dcr Effcktivzinsfaktor q

Dicsc quad ratischc Glcichung hat die positive 5 Losuog q = 1,2500, d.h . dcr zugrundelicgende Krcdit bcsitzt cincn Effektivzinssatz von 25% p.a, Tab. 5.1.6 zcigt das mit 20% p.a, abgcrechnete Kredukonto (hier wird die Kreditsumme 11. 000 sowie i""", berucksichiigt] sowie das mit 25% p.a. ebgerec hnete verglelchskcnto (hier wird die Auszahlung J0.368 sowie i~ff berncksichligl) . Beide Konten geben erwartungsgcmau glatt auf: t

Rcstkapital (llom.)Zins T ilgung Annu itnt (Beginn t) (2 0% p.a.) (Ende I) (Ende t)

I 2

11.000

)

II

6.000

2.200 1.200

'.000 6.000

7.20U 7.200

(Kred ilko nto)

Restkapi tal

(Beginll l)

Tab. 5. 1.6

10.368 5.760 II

5 Die zweire LOsung is! ecgativ und somit bier chne ekcnonnsctc Bedeu tung ,

(eff) Zins T ilgUllg Annui t!it (2 5% p.a.) (Ende I) (Ende t) 2.592 1.440

4.608 5.760

7. 200 7. 200

(Vergleichs konto)

5.1

227

Grundlagen

Etwas verwickeltc r wird die In terpretation des Effekt ivzinssatzes, wenn unterjahrige Za hlungen auftreten (siehe Kap. 4.3) :

(5.1.7)

Enthiilt cine Iavcsnnon (oder ein Kredit) unlerjah rige Zahlungen, so Ist bci der Angabe cines cffektivcn Jahtcszinscs stcts zusarzttch anzugcbcn, mit welcher Konteftihrung.~methode (z.B. 3 60· Tage-Methode, Braess, US, l eMA ...) diescr - zur Aquivalcnz von Leisru ng und Gcgcnlcistung fuhrcndc - Effektivzin ,,-'illtz ermitt eU wurde .

Ein Beispiel soli die Notwendigkeu zur Angahe des KontofUhrungsm oddls be legcn: Beispiel 5. 1.8: Gcsueht ist dcr effekt ive J ahrcszins ieff cines Krcdits mit einer Kredita uszah lung von 100.00 0,-- € , der mil zwei Raten zu jc 70.000,-- € (zu zahlenjeweils im Abstand von 9 Mon aten) volls tand ig zunickgcf uhrt ist:

100

{T€{

(ie/slung!

I-

I

-I

70

' 0"""'"

I

(Zeill

(GegenleislUng!

70

Abb,5. f,9

(Dieses - vergleichsweise einf ache - Beispiel wurde gewiihlt, urn die rechn erische Ennittlung von iell noch ohne Na herungsverjahren bewerksteiligen zu kbn nen.)

Wir betrach tcn jetz t (unahhiingig voneinanden einige der vier in Kap. 4.3 erwahnten Kont ofuhrungsmet hoden zur Ennittlung des Effektivzinssatzes: (I) Kontoftihrung zur leU - Bestimmung nach der 360 -Tage -l\I elhode :

(siehe Kap. 4.3. 1)

(nach aseser Methode musste his 0812000 gerniifJ PAngV von 1985 der Eff ektivzins von Verbraucherkrediten ennirrelt werden) Prinzip:

Zinszuschla g jahrfich, crstmalig ern Jahr nach Krcditaufnahme. U nterjahrig lineare Zinsen (zum relativen Z inssatz) .

Strukt uricrtcr Za hlungsstrahl (nach 3 60- Tage-Methode):

fOO

IT€/

-----11----+--

+---+--

!----{

70

1 0"""'" - -

-

Z/fl sp en'ode ,"" 1 bhr -

i

(ie /slUng!

1

Sfichtag

I

(GegenleislUngJ

I

(Zed!

70 Abb. 5 1.10

Dic cntsprechcndc Aquivalenzgleichung (mil i ,: leff) laurct daher:

(5.UI)

100 '(1 +i) '(l + i ' 0,5) 100

· (1+ 1,51+0, 5i 2)

41,25i2 + 97,5 i - 40

"

70 '(1 + i '0,25) ' (1 + i '0,5) + 70

:: 70

"

' (1 +0,751+0, 12512)

+ 70

~ ~

0

mit dc r (dnzigen) positiven Losung

I :: ieff :: 35,649% p.a.

(naw 36 0 TM).

228

5

Die Erm ittlu ng des Effek tivzinssatzes in de r Finanzmathcma tik

Das mit dicscm Effcktivzins bewertcte 360-Tage-!\Iethode-Vergleich.d..onlo (relativer Qua rtals· zins: i Q '" 0,25 . jeff '" 8,91225% p. Q.) fiihrt nach 6 Q uartalcn gcnau zum Kontoc ndstand Null:

Quartal!o-z.i nsen (8,91225% p.Q.)

Periode : Jahr Qu.

1

1 2

(Begin" Per.)

(U paTOi gesammell)

kumu /iert und zum l ahresendeverrechnec

T ilgung (End. Per.)

ZahI~g

(End. Per.)

4

100.000 ,00 100.000,00 100.000,00 30.000,00

(8 .9 12,24) (8.912,24) (8.9 12,24) (2.673,68)

29.410,40

0,00 0,00 70.000,00 -29.410,4 0

1 2

59.410,40 59.410,40

(5.294,80) (5.294,80)

10.589,60

0,00 59.410,40

3

0,00

3 2

Restschuld

70.000,00

(360-Tage-Manoae- Verg{eichskonro)

70.000,00

Tab. 5.1.12

Man beach te, dass in der letztcn Zeile des Vergleichskonlos Rcstschuld (=59.410,40) plus vcrrcchncte Z insen ( =10.58 9,60) genau durch die Ratcnzahlung (=70.000,00) ausgegliche n werdcn - das Verglcichskon lo ~ geh l aut". Aufgabe 5.1. 13: Man enn itt le auf analoge Weise Effck tivverzinsung und vergleichskonto des Krcd its a us Abb. 5. 1.9 nach der Kontofuh rung nach Braess (siehe Kapitel4.3.2) .

(Komofunrungspnnzip nach Braess: Zinszu schlag jiihr/ich, wohri - im Gegensatz zur 360 -Tage-Methode - gebrochene Zinsjahre am Anfang fiegen. Unterjiihrig iineare Ztnsen (zum relativen Zinssatz). (Hinweis: Der gesuchte Eff ektivzins lautet: i,jf = 0,348111862

~

34,81 1% p.a.]

(Fortsetzung von Beispiel 5.1.8) (2) Konlortihnmg zur lerr · Bestimmung nach der I C\IA-Melhode: (siehe Kap. 4.3.4) (nach PA ng V von 2000 ab 0912000 verhindlich f ardie i'JfEnnilllung bei Verbraucherkredilen)

Prinzip:

Zi nszuschlag bei [cdcr Za hlung. wobci zur A ufzinsung der zu iefr konforme unterjahnge Z inssatz i p '" ikon vcrwcndct wird (im Beispiel:

ikon ist der zu i,jjkonforme Dreivieneljahreszins, d.h. 1 + ip = I + ikon = (l + i'I; 0,75) .

Struk tu riertcr Zahlungsstrahl (nach leMA): tleislUngl

fGegenleislUngl

f;-Q~ _

Zinsperiode I mil f+ lp = 11+ id/ )o.,s I

I

Dana ch lautct die ICMA· Aq uivalenzgleichung: bcsltzt dtc posftive Losung

Wegen

A bb. 5 .1.14

lOOq2 = 70q +70

q == l +i p = 1,256917857

' )"' " = l + Ikon ' ' (1 + leff = l + lp

(mil q = I +ipJ

(nDreivierteljahreszinsfaklor ~).

lautet der effektive ICMA -J ahreszins:

; iefr = (1 + i p) ] - 1 = 0,356 466882 :=:: 35,6467% p.a.

und (* )

5.1

Grundlagen

229

Urn cine optiscbe Vergleichbarkeit mit der 360-Tage- Melhode-Kontos laffel (Tab. 5.1.12) zu crmoglichcn, soli das jctzt folgende ICMA-Vergleichskonto ebcnfalls vienelj ahdich abgerechnet worden - und zwar mit dcm zum d fektivcn Jahreszins konfonnen Q uartalszinssatz (dies ist stets dann erlaubt; wenn mit aem konfonnen umai ahrigen Zinssatz gerechnel wird - dann niimlich ist Aouivalenz unahhangig von der Zinspaiodenlangegewahrleistet, sieheDef. 2.3.11) . Ocr zu ieff konfonne Quartalszlnssat z iO ergibt sich tiber i O = 1,356466882°,25 _ 1 = 7.92009 % p.Q.

(1+iO)4 = 1+ieff = 1,356466882 ZU

Dam it ergibl sich cas folgcnde ICMA-Vergieich\ konIO(Tab. 5.1.15) : (7,9 200 9% p _Q.)

Periode: Jahr Qu . 1

Restschuld (BegillJl Per.]

Zinsen (Ende Per.)

Tilgung (Ende Per.]

100.000,00 107.920,09 116.4 67,46 55.691, 79

7.920,09 8.547,37 9.224,33 4.410,84

- 7.920,09 - 8.547,37 60.775,67 - 4.410,84

2

60.102,63 64.862,81

4.760,18 5.137, 19

-4.760.18 64.862,8 1

3

0,00

1

2

3 4 2

1

(ICMA~ Vergleichskon lo

ur iQ

=79209% o p Q)

Zahlun g (Ende Per.]

70.000,00

70.000,00 Tab. 5. I.l 5

Auch jet zt stcllt man wieder fest, dass in dcr lctztcn Zcile des Vcrgleichskontos die noch bestehcnde Restsch uld (=64.862,81) plus vcrrechncte Z inscn (=5.137,19) gcnau durch d ie Ratenzahlung (= 70.000,00) kompensiert worden - das vcrglcichskoeto cgeht auf". Noch einfacher - und mit aquivalcntem Resultat - ist cine Vcrglcichs-Kontostaffel {siehe Tab. 5.1. I 6), d ie nur zwei 3/4-Ja hres-Zinspcrioden aufwcisl (zu 25,6917857% p. 3/ 4 a., siehe (.)): Periode: Restscbuld (je 9 Mon. ) (BegillJl Per.)

2

1

100.000 ,00 55.69 1,79

3

0

Zinse" (Ende Per.)

Tilgung (Ende Per.)

Zahlung (EndePer.}

25.69 1.79 14.308,21

44 .308,21 55.69 1,79

70.000,00 70.000,00

fur

(I CMA- Verg/eichskonto = 25,6917857% p. 1 4a.j

Tab . 5.I.l6

I kon

Aufgabe 5. 1.17: Man errnittle auf analoge Weise Effcktivverzinsung und Vergleichskonto des Kredits aus Abb. 5. 1.9 nach der US-Kontofiihrung (siehe Kapuel 4.3.3) .

(Prinzip der US-KonlofUhnmg: Wie lCMA~Melhode mit dem einzigen Uruerschied, dass anstdle des konformen der relative un/erjiihrige Zinssatz angewendet wird. {Hinweis: Der gesuchte Effektivzins faule/: ieff = 0,3425571472 =:: 34,2 557% p.a.) Jede der vier Kontofiihrungsmethoden (360- Tage-Methode, Braess, US. ICMA) fiihrt - bei identiscbcm Zahlungsstrom, d.h . bei einem und dernsclbcn Kredit - zu cincm andercn ~ korrek ten" Effcktivzinssatz. Ohne Angabe der zur E rmittlung von iefr angewcndctcn Kontofiihrungsmethode ist daher - bei umetjahrigen Zahlungen - d ie Angabe cines Effcktivzlnssarzes nur bcdingt aussagckratng. In den Kapiteln 5.3 und 5.4 werden wir uns nahcr mil den Prohlemcn bei untcrjahrigcn Lcistungcn beschaftigcn.

5

230

Die Erminlun g des Effek nvzinssatzes in der Finanzmathcmatik

Untcr Bcrucksich ugung dc r (in Def. 5.1.7 genannlen) Bcsondcrhcitc n bci untcrjahrigen Leistu ngen stc ht mit dem Effektlvzlnssarz 6 cine aussagckrartlgc MaBzahI zur Verfiigung, die es crmoglicht, unterschicdlichc Za hlungsstromc iiber eincn "Prcis u vergleichbar zu mechen. Allcrdings kann die rcc hcntcchnischc Enni tllung des Effcktivzinssat zcs (anfiinglich) schwicrig scire

5.1.2 Berechnungsvertahren fUr den Effektivzinssatz D ie bishcr aufget rctcncn (siehr Beispiele 5.1.5 und 5.1.8) E ffcktivzinsbcrcchnungcn fuhrtcn auf A quivalcnzglcichungcn hoch stcns zwcit cn Grades (quadratische Gleichungen) . Sebald mchr als zwci Z inspcrioden iibcrhriickt worden musscn, hat man cs mil Aquivalenzgleichungen hoheren Grad es (in derretevanten Variablen q ( ~ 1 +iejl) zu tun, dcrcn U isung(en) nieht o hne wcite res gt..'WOnnen wcrden konncn. Beispiel 5.1.2 2: Ein Krcdit mit dcr A uszahlu ngssum me 100 .000,-- € wird wie fa lgt zuruckgczahlt: 60 .000,· · € naeh zwci J ahren, 80.000,-- € nach wcitc ren 3 J ahren (vgl. Z ahlungsstrahl A bb. 5.1.23):

100

!TOM!

(leislung)

I

:---1 IbM

,

I 5h'chlag I

60

(Gegenleislungl

80

(Zeit)

Abb. 5 1. 23

D ie entsprcchende A quivalcnzgleichung (Zinsperiode = 1 Jahr) lautet:

(5.1.24) Diese Glcichung 5. Grades ist (wie f ast alle A quivalenzgleichungf!n de, Finanzm athem alik ) nlcht geschlos.wn (d.h. duTCh Vm ",endung einer direkien L6sungs,,!onnel ") liishar 7 , so dass sich d ie A nwendung etncs tteranven Nahe rung.'iVerfah rens zur Glcic hungslOs ung empfiehlt. Vo n den zahlreic hcn Nahcru ngsverfahrcn zur G teich ungstosun g wollen wir hicr nu r die sogcnannte Regula falsi bch andcln, die sich d urch cinfaehe H andhabun g und hohc Wirksamkeit auszc icbnet 8 . Z ur Darstellung crsctzc n wir d ie Variable q (z.B. in Gleichung (5.1.2 4)) fu r den Moment durch d ie gebrau chlichcre Variable "xu. Dann tassr sich jcdc A quivalcnzglcich ung prinzipicll in dc r Form f(q) = 0 bzw. jct zt

(5.1.25)

f(x) = 0

schreibc n. Ein e Zahl x (bzw. q) , die (5.1.25) z u einer wahren A ussagc mac ht, ist LO.sung der Aqu ivalcnzglcichu ng und licfert unmittclbar den 9 Effektivzinssatz i eff des zugrundcliegenden Geschaftes. 6 Aneh Ime rn er Zins."-'Itz (bci l rwcstitioncn) oder Renditt (bei w e rtpaptergcscbaitenj genann!. 7 Nabcrcs vgl. IT i( 3) Kap. 2. 4 8 Aueh das Ncwto n-Ve rlahre n wird gclcgemhc h vcrwcndct, erwcist sich allerdings flir die Zwecke der Finanzmathematik weniger geeignet, da dcr Forrnclapparat aufwendig ist und das Verfahrcn gclcgcrulichunstabil wird , vgl. [Tie31 Kap. 5.4.

9 Es ist durc haus denkbar. dass cine Aqui\,alentgleichung (5. 1.25) mehrere Ldsungcn uod somu mchrcre Effekuvzlnssatze besitzt. Man kann zeigen, dass (fast) alle praktisch vc rkommenden Kredite nod nonnalcn lnvcstincncn genau cincn Effcktivzinssatz bcsn zcn

5.1

G rund lagcn

231

Die Losungen ciner jcdcn Oleiehu ng f(x) == 0 lassen stch auffassen ats die Nuns rene n dcr Funktion: f: y = f(x). Wir bctrachten nu n eine Funktio n f, die im untersuchten Intervall stetig ist und don genau eine Nulls telle x besitzt, vgl. Abb. 5.1 .26 {siehe auch [Tiel ] Satz 4.6.7; Bem. 4.6. 8). Nun cnn itte-II man (rlwa du rch Probieren} zwei Stellen (Sta rtwert e) x\, Xl mit f(xl) 'f(x l) < 0 (d.h. solc hc Stellen xl , x2' in dcncn die cntsprechendc n Funk ncnswerte f(x l) und f(xl) unters chledllches Vorze ichen bcsitzcn). Dann muss (da f staig ist} zwischen xl und Xl dic gcsu chte N ullstcllc X liegen, vgl. A bb. 5.1.27;

"',

I If!

f g esuchte MJlls telle

o

o

\ Abb. 5. 1.26

Abb. 5. 1.27

Ats erste Nillierun g x3 fur die gesuchte Nullstelle

x

erhalt man den Schnillpunkl x3 der verbln-

dungsg craden P IPl (Sekante) dcr crmtr tc nen Ku rvenpunkte P 1(X l' f(x l » und Pl(Xl , [(Xl» mil der Abszisse x3 :== i ,vgl. Ah b. 5. 1.27.

ZUf Berechnung von x3 a us den gegcbcncn Werten Xl' X2' f(X I)' f(xl) kann man mil Hil fc der 2-

Punkte-Form einer Geradcn (siehe z.B . [Tiel ] (2.3.30)) die O leichung y = mx+b dcr Sekante ermit -

tel n und deren Nul1stelle x3 bc rechnen . Rechn erisch einfacher ist fotgcndc Oberlcgung: Die Steigung m der Sckantc P IPz kan n auf zwel Weisen ermitt elt worden, vgl. Abb. 5.1.27: f( x2)

i) im (kleinen) Steigungsdreicek (P 2 ' x 3' x2):

m = -- ; x2 - x3

ii ) im (groaen) Steigungsdrcicc k (P2' P I' A ):

m =

f(x2) f(x2) - f(x l ) Du rch Oleiehsetzcn falgt : - - = "'''--'''''' x2 - x3 x2 - XI

und daraus durch Aufloscn nach xl die Nillierung.~ fonnel (Ite ranonsvceschn tt) der Regula falsi: x2 - XI bzw. aq uivalcnt nae h Umformung (5 .1.28) Xl = x2 - f(x2) ' f(x2) - f(x l)

Entsprechend kuues die For-

(5.1.29)

mel bei einer finanzmathema-

tischen Aquivalenzgleichung:

Y3

=

q lf(q2) - Y2f(YI) f(g2) - f(g l)

Dicsc crste Naherung Xl lasst sich mit H ilfe derselben p roz edur ~liehig genau vemessem. Dazu crmittclt ma n zu x3 den Funktionswert f(x3) und fiihrt (5.1.29) statt mit XI' x 2 nunm chr mit XI' x3 odcr x2' x3 aus, jc nachdcm, welc he der belden Funktionswcrtcpaar e f(x l), f(x3) ode r f(x2)' f(x3) vcrschicdene Va rzeichen bestt zen . (1m Fall drr Ahbifdung 5.1.30 gill : [(x x) 1(xJ1 < 0.)

5

232

Die Emuttlung des Bffck trvztnssatzcs in tier Flnanzmathcmatik

Den so crhaltcncn zwcitcn Niihcrungswcrt x4 vcrbcs scrt man wicdcrum auf dicsclbe Weise usw. Das vo rgchcn wird dcutlich an A bbild ung 5. 1.30: Die Fotgc dcr Sekant cn-Nullstellcn wird durch den mit Pfcilcn markicrten Strcckcnzug crzeugt und niihcrt sich schliel3lich bclicbig gcnau der gcsuchtcn Nullstellc x. Da die Niihcrun gsvorschr ift (5.1.29) wlederholt mit den zuvor ermittcl tcn Nahcrungswcrlen x3' x4' ... durch laufen wird, spricht man von eincm Iteratlonwertah ren.

P,

Regula falsi

,

"

a Abb. 5.1.30

(xi

"

f P,

Bemerkung 5.1.31: i) In Ab b. 5.1.30 erkennt man, dass das Vafahren desio schneller zum 2 iel fuhrt (" konvergiert"), je niiher die beiden Stanwen e x 1> x2 an den getuciuen Nullstelle X liegen. ii) Ru ndungs- oder sogar Rrchenf ehler wahrend des l terationsprozesses beeintrachugen nkhl die

Konvergm z des Vafo hrens, solange f(xJ 1(xJ < 0 gill, lediglich die Kanvergenzgeschwmdigkea k onnte abnehmen. iii) l terations vaf ahren wie die Regula falsi eignen sich hervormgend [ur program mierbare ekktronische Rechner: Da stets dersdbe Rechenweg durchlaufen wird, ist ein nur geringer Programmierauf wand erjorderlich.

Beispiel 5. 1.32: Bs soli die Losung dcr Glcichung (5.1.24): l OOxs - 60x3 - 80 = 0 mit Hilfe der Regula falsi enn ittclt worden. Die Glciehung bcfindet sich berets in dcr crrordcrnc ben .Nuustcnc nform" f(x) = O. Da cs sich urn die Aq uivalcnzglciehung cines finanzrnat bematischcn Vorgangs handelt, erse tze n wir wieder x dureh die Variable 'I ( = I + ieff) und erhalten die zu loscnde Gleichung

Urn zwei gceignete Startwcrtc '11' '12 ausfindig zu mechen, legt man zweckmalligerweise cine w crtctabclle an. Wir scrzcn (in der Hoffnung, halb wegs nchug abgej'chti/21 zu haben) naehcinander fur q die Zah len 1,04 (dh, 4% p.a.), 1,08 (d.h. 8% p.a.) und 1,12 (d.h. 12% p.a.] cin und erhaltcn (auf 4 Dezima len genmdet): ('12)

'I

1,04

f(q)

-25,8265

1,12 -8,6499

11,9385

Zwischen '1\ = 1,08 und '12 = 1,12 m1L~S (wegen f(q\) J(qzJ < 0) cine Nullstellc Mit Hilfe der Irerarlonsvorschnft (5.1.29) dcr Regula falsi c rhalten wir:

q

licgcn.

5.1

233

Grund lagcn

q jf{q2) - q2f{q l)

1,01l ' 11,9385 - 1, 12 · (- 8,6499)

!iq2) - !iq \)

11,9385 - (-1l,6499)

1,0968 .

Den ersten Nahcrungswcrt (sowie atle wei/eren) tragt man zweekmiil3igcrweise in die bcrcits angclcgtc w crtcrabcttc cin, die dann folgcndcs Ausschcn crhalt: (gl)

(g 2)

(g3)

q

1,08

1,12

1,0968

f(q)

-8,6 499

11,9385

-{),4430

-0,0367

Da f(q3} < 0, wird fiir die zwcite Naherung q l durch q3 ersctzt: 1,09611 ' 1I,93115 - 1. 12' (- 0,4430) 11,9385 - (-0,4430)

'" 1,0976 .

Analog ergcbcn sich die wcitcrcn Naherungen: qs '" 1.0977 ; q6 '" 1.0977 ; q7 '" q6 = qs = q9 = ... '" 1.0977 . Naeh 5 Schritten ~steht" das Itcratio nsverfahrcn, wcitere Itcrationsschntte bringen in den erstcn vier Dezimalcn kcinc veranderung. so dass als Losung q der vorgcgcbcnen Gleichung 100qS - 60q3 - 80 '" 0 auf vier Dczimalcn gcnau der Wert q = 1,0977 bctrachtct werden kann. (Wert auf 9 Dezimalen genau: q '" 1,097672095.) Damit lautet der Effektivzins des Kredits aus BcispieI 5.1.22:

ieff '" 9,7672 % p.a.

Das entsprcchende verglelcbskcntc - bewcrtct mit diesem Effcktivzins - fiihrt (no/Wendigerweise) am Ende der Laufzeit zum Kontostand Null: Periode

Rcs tschuld K l _ j

t

I

2 3 4 5 6

Aufg'dbe 5.1.33:

100.000,00 109.767,21 60 .488,40 66.396 ,43 72.88 1,51

Zinsen ~

T ilgu ng T l

9.767,21 10.721,19 5.908,03 6.485,08 7.118,49

- 9.767, 21 49.278,81 - 5.908,03 - 6.485,08 72.88 1,51

9,7672% p.a

0,00

Annui\M AI

0,00 60.000,00 0,00 0,00 80.000,00

(Vergleichskon/o zu Bsp. 5.1.22/5.1.32)

Man cnnittle den Bffcktlvzins des Krcdits von Bcispie1 5.1.22, wenn

I) zucrst 80.000,-- € und spatcr 60.000,-- € zuruckgczahlt werden; Ii ) beide Riiekzahlungsraten 70.000,-·

€ bctragcn.

234

5

Die Ermiulung des Effektivzinssat zes in der Fina nzmathcmatik

5.2 Effektivzinsermittlung bel jah rllchen Letstungen Wic wir im cinfuhrcnd cn Kapncl 5.1 (insbesondere in Beispiel 5.1. 8) geschcn habcn, sind fur die Beslirnmungen cines Erreknvarnssenes fur d o durch seine Za hlu ngsstrome geken nzcichn ct cs A nlage-I

Finanzierungsgcschafl 'Lwei Aspekte wcsentlich, die den Vorgang der Effcktivzinsbestimmung in zwei Phascn auftc ilen: (5.2 .1)

Zu welchen Zeilpunkten worden welche Zahl ungen von welcher Serre geleistet ?

(Frage nach dem reoten Zahlungsstrom, d.h. Auflistung - nach Zeupunki und Hohe der latsiichlich gef lossenen Leisnmgen und Gegenleistungen, Ermiutung des realen Zahlungsstrahls) «

(zugehOriger Tilgungsplan: .Kreditkonto "] (5.2.2)

I PHASEZ I

- Phase I -

Wclchc Verzi nsungsmethode muss/darf man auf die in (5.2 .1) dcfinicrt cn Za hlungen anwcnd cn urn -uber die Uis ung dcr rcsu ltierc ndcn Aquh'aIenzgleichung- dcn Effektivzinssatz zu erhaltc n?

(Frage nach der Vertlnsungsmethode bzw. Verzinsungs"ideologie " sowie der nach dieser Zinsfiktion anzuwendenden Konwfiihrungsmetlwde.) (zugeh6riger Tilgungsplan: " Vergleichskonto "oder " Eff ektivkonlo ")

-

Pha~e 2 -

Bemerkung: In Beilpiel 5.1.8 haben wir lediglich die Kontofuhrungsbedingungen in Phase 2 (i./fErmittlung) varuen - Phase I war tereus abgeschtossen, da samuicne Zahlungen vorgegeben waren. In den zu nacbst beha ndelten StandardraJ len (hel jiihrlichen L ds tungen), die d urch die v ora ussetzuugen

Zinsperiodc '" 1 J ahr samtlichc Zahlungen crfolgcn ausschliealich zu Z inszuschlagterminen (d.h. zu Jahresbeginn oder -ende] gckennzeichnct sind, Fnhrcn (g/eiche Zahtungsreihen vorausgesetu] samtlic he Verzinsungsmcthodc n und KontofOhrungsmodcllc zu idcntischcn Aquivatenzgleichungcn und daher zu identischen, allein zahlungsstromin dividucllcn Effck tivzinssarzc nl''. Fur Standardk rcdite und -investuio nen Ist dahcr nur Phase 1 (5.2.1) bcdcutsam, die in Phase 2 nbnc bcn Vcrzinsungsmc tho
Nachfolgcnd sollcn die wichngstcn Standardtallc aus dcm Bereich des Kredit- und Anlagengeschaftes exemplansch vorgesteut werdcn.

5.2.1 EITektivzinsennitt lung bei Standardkrediten (jiihrliche Lelstungen} H icr bc handcln wir cxcmplarisch die in Kap. 4.2 diskuncrt en Kredit - und Tilgungsfonncn. Beispiel 5.2.3: (Allgemeine Tilgung.\.~chuld, vgl. Kap. 4.2.1, Beispiel 4.2.2)

I

Ein Krcdit von 100.000 € "verd e z u 90% ausgezahjt und (bei ina" = 10% p.a.) mit den aus Bsp. 4.2 .2 crmitteltc n Gcgcnlcistungcn vollstandig zuruckgezahlt. FUrde n Krcdit crgiht sich so folgender realer Zahtungsstrahl:

10 Einc ausrunrnctc Bchandlu ng der Effektivzi nsbeTcchnungsmCloo dc n im Fall umerjahrigcr Zahlungcn fol81 im nachstcn Kapitcl(Kap. 5.3 ).

5.2

235

Effcktivzinsennitt lung bei ja hrlichcn Leistungcn

fT€1

90

,

I Slichfag

(leislUng)

I

10

10

I

38

30

1--t bh,-1

I

5

(Zeit)

55

fGegenleislung)

90q 6 "" lOqs + lO q4 + 30 q3 + 38 q2 + 5q + 55 .

Aq uivalcnzgleichung (Slichlag hefiebig) :

(Man beachte, das s ZIU A /lwendung der Regula falsi die .-i'q uivalenzgleichung zuvor in Nullstelten -

fonn : f (q) "" 0 gehradn werden musst] Mit den Stanwcrtcn q l :: 1,12, q2 "" 1,14 bef ert die Re gula fals i bercits nach zwei Sch ritte n den auf 2 Nachkommas tellen exakten w ert: i-n '" 12,97 % p.a. (exata: 12,971 1308% p.a.). Z ur Kontroll e rcchnen wir mit ieff das Vergieic h.~ kon lo / Effekli\-'kon to durch:

...

(/ 29 711 % )

,

Restschuld Kt~ 1 (Beg/1m r)

Zinscn z, (Ende I)

Tilgung r, (Ende I)

Annuitat Al

1

6

90 .000,00 91.674,02 93 .565,1 7 75 .70 1,64 47 ,520,99 48.685,00

11.67 4,02 11.891 ,16 12.136,46 9 .819,36 6.164.0 1 6 .315.00

-1.674,02 - 1.891,16 17 .863,54 28 .180,6 4 -1.164,01 48 .685,00

10.000,00 10.000,00 30.000,00 38. 000,00 5.000,00 55.000,00

7

0,00

Jahr

2

3

4 5

(Ende I)

(Vergleichskofllo "Allgemeine Tilgungsschuld ")

Beispiel 5.2,4: (Gesam tf:illige Schuld ohne Zin.'ia1l.wnmlung, vgl. Kap. 4.2 .2, Bcispiel 4.2.5 /4.2.6) Zur Illustrati on verwcnde n wir Bcispiel 4.2.5:

Kreditsurnmc: Ko "" 100.000 € ; Krednztnssatz: i "" 8% p.a., La ufzcit 7 J ahre; In den crsten 6 J ahren werde n nur die Zi nsen t » 8.000 W ahr) geza hu, im lcrztcn J ahr dcr Laufzcit wird neben den Z inse n auc h der gcsam te Kredit fatlig, Schluss an nuitat also 108.0 00 € . Unterstcl1en wir wie im vorange gangencn Beispiel cin Disagio in H ohc yon 10% de r Kredits umme, d.h . Au szahlung 90.000 €, 50 lautet der zur Brmitt lung des E ffcktivzinssatzcs relcv ante reate Zahlungss uahl:

90

fT€1

,

I 5lichtag

(leistung)

I

8

8

8

8

o '"

qL

8

8 100

(Gegqnf@lslUngJ

1-, bh,-I d.h . die Aq uivalc nzgleic hung lautct:

8

(Zeil)

(

90 ' q7 _8 ' - - -100. q -I

Mil den Srartwcrtcn 1,0911,11 erreic ht man nach 2 Schrittcn den auf 2 Nach kom maste llen exak tcn Wert: i eff "" 10,06% p.a . texakt auf 6 Dezim a fen: 10,057977% p.a.]

5

236

Die Ermittl ung des Effcktivzinssatzes in der Finanzmathcmati k

A uch hier fo tgt das mit ieff abgcwickcltc Vergleich.~kon to, das stets auf den Kontocn dstand Nu ll von Rundefrhlem abgesehen ) : fuh rcn muss (Kontroffe f ur

'« :

Jahr

Rcstschuld K•. ,

(10,05 79 ...% )

zmscn z,

t

(Beginn I)

(Ende I)

1

4 5 6 7

90.000,00 9 1.052 ,18 92.2 10,19 93.484,67 94.88 7,33 96.43 1,08 98. 130,10

9.052,18 9.158,01 9.274,48 9.402,67 9.543,75 9.699,02 9.869,90

8

0,00

2 3

TilgUllg T, (Ende I)

- 1.052,18 - 1.158,01

- 1.274,48 -1 .402,67 - 1.543,75 -1.699,02 98. 130,10

Annuitat At (Ende r)

8.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00 108.000,00

.

(Vergkkhskonlo IEffeknvkonlo) . Gesamll'amge 5chuld ohne Zinsammlung )

Bemerkung 5.2 .40: i ) In den beiden letnen Beispieien ergaben sich deutliche A hweichungen des Effektivzinssatzes vom

Kreaiuinssatz (12,97% vs. lO% sowie lO,06% vs. 8%) . Dieser Effekt ist allein auf das vom KrediJgeher einbehaltene Disugio zUrUckzufuhren. Bei einer A uszahlung von /00% hal/en sich in heiden Fullen identische Nominal- und Effektivzinssutze ergeben. ii) 1m Fall von Beispi el 4.2.6 - Bundesschatzbrief vom T}p A - ergibt sich bei einerAuszahtung von 100 % die A"quivalenzgleichung

0= lOOO 'q 6 _25 ' q S-30 'q 4 -35 'q 3_37,5 ' q l_ 45 ' q -1047,5

muder L osung (Regula f alsi): Bei~piel

q = 1,036192819,

d.h.

ieff = 0,03619

:=::

3,62% p.a.

5.2.5: (Ratentilgung, vgl. Kap. 4.2.4)

E in Ratcnkrcdit, Kreditsummc 100.000,-- €, A uszahlung 90 %. soli bci cincr nomincllcn Vcrzinsung von 10% p.a. mit 5 glcichen Tilgungsrarcn (zu ie 20.000,- - €) zuruckgezahlt worden. Das Krednkonto ( Tifgungsp lan) zu r Enn ittlung dcr A nnuitar en lautet dann: Periodc t

ZinscnZ I

Restschufd K, " !

1 4 5

100.000 80 .000 60.000 40.000 20.000

6

0

2 3

(l O%p.a.)

10.000 8 .000 6.000 4.000 2.000

T ilgung T ,

Annuit!it Al

20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

30.000 28.000 26.000 24.000 22.000 (Kreditk onto)

,

d.h . der reale Za hlungsstra hl hat (wegen des Dam nums von 10 % der Kreditsumme) die Ges talt

90

IT€! I

30

I 5f1chtog

(l eislung l

I

28

26

24

I

22

(Gegenleislungl

5.2

237

Effcktivzinscrmittlu ng bci jahrlichcn Lcistunge n

o

90q5 - 30q4 - 2Rq~ - 26q 2 - 24q - 22

Die zugcho rigc Aquivalenzglcic hung fOhrl a uf die Losung. ieff = 14,5 102 % p.a.

Rce hnct man zur Konl rolle des Vergleich.<;koolo (mit den tatsach lichen Za hlungsstromen} durcb:

,

Periode

Rcstschuld Kl ' l

5

90.000,00 73.059,18 55.660,20 37.736,6 1 19.212,26

6

0

t 2

3 4

(eff) Zinscn z, 14,5 102% p.a.

13.059,18 10.601,03 8.076 ,40 5 .475,66 2.787,74

Ti lgung T l

Annuitat AI

16.940 ,82 17.398,97 17.92 3.60 18.524,34 19.2 12,26

30.000 28.000 26.000 24.000 22.000

( Vergleichskonlo / Effektivkonlo)

so erkennt man , dass die fur Ratcntitgu ngen typis che Eigense haft konstantcr Ttlgungsbetragc (T 1 = co nst.) im Vergleichskon to verlorengcgangcn ist.

Fu r die wichtigste Standard -Kreditform, die Annuitalen tilgung. worden wir mehrere Variante n behandeln. Grundlage der folgcndcn Bc ispiele ist dcr

(5.2.6)

Stan dard- Annaltstenkred tt (Beisp iel) Kredi t<;umme (nom.): 100.000 ,-- € ( = K,,) AIl<;zahlung: 94% 10% p.a. (= i odcr = inom) Zin s (nom.) : 2% p.a. (zuz iigl. dUTCh fo nschreitende Tilgung ersparte linsen) Til gun g: (d.h.: Annutuu '" 12.000,--€JJ ahr (= A))

(Z ahlungen, Z ins - und Tilgungsverrechnung erfo lgenjiihr/ich, erslma lig cin Jahr nach Krcduauszahlung.)

Bemerkun g 5.2.7: Bei jiihrlicher la hlung, Zins- und Tllgungsverrechnung (wie in (5.2.6» fuhn eine A uszahlung von 100 % f ur jede L auf zeit zum Eff ek tivzins i'ff = inom , siehe auch Bemerkung 5. 2.4a . 1m folgenden sollen fur unt crschicdlichc Varian/en des Sra naara-Annuiuuen taeaus (5.2.6) die entsprcehcnden Aquivalcnzbczi chu ngcn fur die Errn ittlung des Effektfvzinscs angegcben und gelos t werden . Die Va rianle n bezi ehen sich dabei auf •

untcrschicdlichc Laufzcit cn

(z.B. Zinsfestschrelbung: 5 Jahre oder Gesamllauf zeil Beispicie 5.2.8/5.2.10 - siehe auch Bern. 4.2.50)

• So nde rkonditio nen wie Ti lgu ngsslrcc kung (siehe Bsp. 4.2.58) , Za hlu ngsaufschub (siehe Bsp. 4.2 .62) , T ilgu ngsstreckungsda rlehen (siehe Bsp. 4.2.66)

(Beispine 5.2. 11/5.2.12/5.2.13)

•

vorzeitige Gesamlli lgung und Dis agiorOckcrst att ung

(Beispiel 5.2. J5)

•

Ko nstruktton untersc hiedlic her Kreditkondition cn tsieh e auch Bern. 4.2.47) be i g1cich blcibendcm Zahlungsstrorn und Effektivzinssatz

(Beispiel 5.2.16)

238

5

Die Enn ittlu ng des Effektivzinssatzcs in de r Flnanzrnathcmank

Beispiel 5.2.8 : [Standard-Annuitatenkredit (5.2.6), Effekti vzins tiber Gesamllaufzeil) Am den Krcdit konditlo ncn 94/ ] 0/2 vo n (5.2.6) ergibt sic h fur die Gesamttautzctt n Armuitatcn} die Aquivalenzglcichung [siehe aw a Brispiel4.2.29) :

r. i" - 1

n

0'"' 100 ·1 , 1 - 12 --0,1

(~

Zah l der

,

g

In " = - - = 18,7992. In 1,1

mit dcr Losung:

Es worden somit 18 volle Annuttarcn sowie cine vermindcrte 19. Annuitat gezahl l. Die belden IcIZten Zci len des T ilgungsplans lauren (siehe Bsp. 4.2.29 mit dem kompteu abgebildelen Kreditkonto): Per. t

Rcstschuld ~ -1

Zinsc n

IS 19

18.9 10,59 8.801 ,65

1.891,06 880 ,17

...

...

20

...

z,

Tilgung T,

Ann uitilt

...

10. 108,94

12.000,O()

8.801,65

9.681 ,82

0

~

(Kreditkonto)

Damit crgibt sich folgendcr realer Zahlungsstrom, veranschaulich t am Zahlungsstrahl: 94.000

1<:1

I

I Shchtag

fl e/stungJ

,

I

12.000 111

f~81

I

12.000 W

12.000 f18J

9.681,82

(Gegenleis/ungJ

Die fu r die Ennittlung des Effoktlvzinssatzcs ieff ma13gebliehe Aquivalenzglciehung lautet somtt (m it q,- J +i'I): ql 8 _1 0 = 94.00 0 ·q I9 _12.000 · -_ ·q - 9.681,82 , (q * I ). q- I

Mit den Start werten 10 %/ 12% crhalt man mit Hilfe der Regula falsi nachelnander fO r q: 1,1084; 1,1094; 1,1096 ; 1,1096; ... , so dass gilt: Ocr Effektivzinssatz des Staodard -A nnaitat cn krcdits tiber die Gesa mtlaufzeit betragt (au! 2 Nachk ommaslellen genau) : ieff = 10,96 % p.a. Das Effekt ivknnto / Vergleich.~konlo, abgercchn ct mit ieff = 10,9583062% p.a, (die tatsachlich geflossrnrn Zah/ungen sind fmgedrn ckt) , fuhrt (wie immer) zum Kontoc ndstand Null: Jabr I

1 2

3

4 5

6 7 8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

20

Restscbuld ~-l (Beginn I)

94.000 ,00 92.300,8 1 90.415,4 1 88.323,4 1 86 .002,16 83.426,54 80.568,68 77.397,64 73.879, 11 69 .975,01 65.643 ,08 60.836,45 55.503,10 49.585 ,30 43 .019,0 1 35 .733, 16 27.648,91 18.678,76 8.725 ,64 0,00

Zinscn

z,

(Ende t)

10.300 ,81 10.114,61 9.908,00 9.678,75 9.424,38 9.142 ,14 8.828 ,96 8.481,47 8.095 ,90 7.668,08 7.193,37 6.666,64 6.082,20 5.433 ,71 4.7 14,15 3.915,75 3.029,85 2.046,88 956,1 8

Ti lg ung T ,

Annuitilt ~

1.6 99 ,19 1.8 85,39 2.092,00 2.321,25 2.575 ,62 2.857,86 3.171 ,04 3.518,53 3.904 ,10 4.331 ,92 4.806,63 5.333 ,36 5.917 ,80 6.566,29 7.285 ,85 8 .084,25 8.970 ,15 9.953 ,12 8 .725 ,64

12.000 ,00 12.000 ,00 12.000,00 12.000 ,00 12.000 ,00 12,000 ,00 12.000 ,00 12.000,00 12.000 ,00 12,000,00 12.000,00 12.000,00 12.000 ,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12,000,00 12.000 ,00 9.681,82

(E nde I)

(Ende I)

(Ef!ektil'konlo Standard-Annuiliitenkredit (5.2.6)

5.2

239

Effcknvzlnserrrunlung bci jahrlichcn Lcistungcn

Bemerlamg 5.1.9: Halle man - ansteue des etwas umsuindlich zu ermutelnden TiJgungsp lans - f ormal mit der gebrochenen LaufzeitlAnnuitatenzahl n 18,7992 gerechnet, d.h. fo lgenden (formalen) Z ahlungsstrahl untemellt:

te)

94.000

I Slichlag

(leislUng!

I

, (z8/ I

I

12,000

12.000

12,000

(11

121

( 17}

o=

so lautae die A qu ivalenzgkichung:

94.000

12.000 12,000 (18/ (18J9921

(Gegen/eislUngl

s"?"?- 12.000

' --

m it derselben Losung j~JJ = 10,96% p.a. (exakt: 10,9584968 %, Ncchkommastelle !)

q/8,7992 -1

--,--'

q -l

a.n. A bweichungen erst in der vienen

Das zutetzs beschtiebene Vetfohren (form ale Venv endung gebrochmer Laufzeuen/Terminzahten} ist zwar vvrn ma thematischen S/andp unkt uus nicm votlko mmen exakt, liefert aber (insbesondere bei limgeren Laufzeiten) praktisch idenus che Effektivzinswerte. Aus diesem Grund werden wir zukiinftig ohne Kamm enta r bei ldngeren Lauf zeuen zur Eff ek tivzinsberechnung auch gebrochme Taminzahlcn/Kreditlaufzeiten verwenden.

Haufig werden Annultatcnkredite nicht Ober die volle Laufzeit, sondcm - aus Zinsandcrungsrisiko-

Gcsichtspunktcn heraus - ubcr kuru Zeitraurne mit fcstcm Zi ns (siehe Bern. 4.2.50) abgescblossen: Beispiel 5.2. 10: {Standa rd-Annuitatee kredit (5.2.6), ieff fur cine 5-jlihrige Zinsbindungsfrist)

Zu r Komplcttierung des Za hlungsstroms fehlt noch die am Ende dcr Zinsbindungsfrisl vorhandene (und wie eine Gegenleistung zu behandelnde) Rcstschuld JCs. Man erhalt sic entwcdcr aus dcm Tilgungsplan (vgl. Bern. 4.2.50) odcr direkt ubcr 5

1,15 - I

Ks = 100.000 ' 1,1 - 12.000 ' - 0 '-

87.789,80,

so dass dcr vollstand ige rcalc Zahlu ngsstrahlla utet: 94.000

tet

I Slichtag

fle/slungl

, (z81

I

(Zeitl

I

12.000

12.000

12.tXJO

12.000

12.000

rGegenfe/slungl

87789,80 ..

q5 _ I

Die Aquivalcnzgleichung (4 * 1): 0 = 94.000' qS -12.000 ' - -t - 87.789,80 fOhrt auf einen Effektivzinssatz von 11,72% p.a. qDa sich dieser Effcktivzins nicht auf die Gcsamtlaufzcit (his zur voltstiindigen Tilgung), sondcm nur auf die crsten f unf Jahre seiner Laufzeit bczicht, spricht man in diescm Fall vom anr:inglichen EffektiV'l.inssat z l l . Das Effeklivkonto - abgcrcchnct mit i eff = 11,7202168% p.a. - fiihrt von der Kreditauszahlung

( = 94.000, -- € ) zur schon bckannten Restsehuld

II

Ks (und nach deren Z ahlung auf Null):

Ausve remrachengsgrttndenwollen wirim folgcndcnnurvom£ffekti~zjnssalz sprccben.

5

240

"I" ,

Die Ermittiung des Effek tivzinssatzes in der Finanzmathcmat ik

(Ende I)

Tilgung T, (E nde I)

Ann uitat At (Ende I)

11.0 17,00 10.90 1,79 10.773 ,08 10.629,29 10.468,63

983,00 1.098 ,2 1 1.2 26,92 1.370,7 1 89 .32 1,17

12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 99.789,80

Rcstschuld K t - 1 (Beginn t)

2 3 4 5

94.000 ,00 93 .017,00 91.9 18,80 90.6 91,88 89.321,17

6

0,00

1

ZiJI5Cn~

.

12.00 0,00 .. 87.789,80

(Vergleichskonlo (5.2.6) bei Zinsbindung 5 Jahre)

Beispiel 5.2. 11: (ieff fur cinch Standard-Annuns tenkredn (5.2 .6) mit 2 Jah ren Tilgung.....trecku ng) A nalog zu Bcisp iel4 .2.58 lauten die crste n vier Zeilen des Kred itkontos:

"I" ,

z,

Zi nscn (Ende I)

Rcslschuld K\_I (Beginn I)

1

2 3 4

100.000 100.000

10.000 10.000

100.000 98.000

to.OOO 9.800

Ti lgung T t ( Ende t)

A nnuillit At (Ende t)

o o

10.000 to.OOO

2.000 2.200

12.000 12.000

tKredukonto) Von der dritt en Zeilc an is! lias Krcditkonto idcntisch mit dem Krcditkon ro ohne Tilgungsstrekkung tsiehe Beispie/4.2.29) und besitzt da her cine Gesam tlaufzeit wie in Bsp. 5.2.8, verrnchrt urn die heiden Tttgungsstrcckungsjahrc, d.h. 18,7992 + 2 J ahre (vgl. Bem . 5.2.9) . Daher habcn wir es mit folgcndem realen ZahJung.'>.\lrahI zu tun (m an beachte, dass in den beiden em en l ahren die Ztnsen (jt! I 0.000,-- €) talsiichlich gezahlt werdent]:

94 [T€/

Slir:htog

(leislungl

(z8)

I

I

10

10

12

12

(11

(21

(Zeitl

12

(GegenlelslVngl

( 18,7992)

Somit tauter (mil q = J + ieff ( * I» die Aquivalenzgleich ung (es ham/ell sicn hier um zwei Renten, die gelrennt auf gezinsl werden mussen, vgl. Kap. 3.5 !) : q 1S.1 992 _ 1

q- 1

o

mit der Losung- i eff : 10,8787383 %.

Bei 2 J ahren Tilgungsstrcckung (wiihrem/ dieser Zeit werden nur die (nom.) Zinsen gezahll) hat somtt de r Sta ndard-A nnuita tenkrcdit (5.2.6) ubcr die Gcsamtlaufzclt cine effektive Vcrzinsung von 10,88% p.a.

5.2

241

Effektivzinsennitl lung bei jahrlichen Leistungcn N achfolgend das Effekthkonto tabgerechnet mit i' ( = 10,878606% p.a.], vgl. Bern. 5.2.9): fJ

z,

,

Rcstschuld Kl - l (Begin" I)

Zinscn (Ende /)

Ttlgung T, (Ell de r)

Annuitat Al

1 2

94.000,00 94.225,89 94.476,35 92 .754,06

10.225,89 10.250,46 10.277,7 1 10.090,35

- 225,89 - 250,46 1.72 2,29 1.909.65 ... 9.965 ,94 8 .731,91

10.000,00 10.000,00 12.000 ,00 12.000 ,00 ... 12.000,00 9.681 ,82

hlrr

3

4 ... 20 21

... 18.697,8 4 8.731 ,91

22

... 2.034,06 949,9 1

(Ende I)

Vergieichskomo: Gesamtlaufzrit + 2 1. Tilgungsstreckung

0,00

Legt man - abwcichend von der Gesa mtlaufzcit - auch hicr (nach Ablaut des 2 jiihrigen Tilgungsnreckungszeuraums] cine nur 5-jahrigc Zinsbindungspflicht zugrunde, so lautet dcr Teale Zahlungsstrahl [Restschuld: Ks = 87,7898 wiein BeispieI 5.2.IO):

94 IT€ /

I f

(leislungl

I

10

10

mit der Aq uivalcnzgleieh ung

12

12

(21

111

5ti,Nag (r81

I

12

12

(31

fZeifJ

12

(5/

(41

fGegrmleislungJ

87,7898 q2 _1

q5 _ 1

.q5 - 12 ·- o = 94 ·q '-10·-q- J q- J

- 87, 7898

und dem daraus resullierende n anfanglichen effektiven Jehreszms: ieff '" 11,32% p.a. (7 Jahre). Es folgt 'Nieder cas VergJeid..~ kon to l Ertekuvkontc (abgerecnnet mit i'lf '" 11,3193267% p.a.]:

,

RcstschuJd KI - 1 (Begilln t)

1

7

94.000,00 94.640, 17 95.35 2,80 94.146,09 92.802,79 91.307,45 89.642,83

8

0,00

Jahr

2 J 4 5

6

z,

(Elide /)

Tilg ung 'r, (Ende t)

An nuitat AI

10.640,17 10.712,63 10.793,29 10.656,70 10.504,65 10.335,39 10.146,97

- 640,17 - 712,63 1.206,71 1.343,30 1.495,35 1.664 ,61 89.6 42,83

10.000,00 10.000 ,00 12,000 ,00 12,000,00 12,000,00 12.000,00 99.789,80

Zinsen

(Vergleichskonto:

(Ende t)

2 J . Tilgungsstreckung + 5 Jahre)

Bemerkung: Auch hier weist Jas Vergleichskonto (notwendigerweise) dieselben Annuhaten auf wie dos Kreditkonto. Allerdings ist - analog m Bsp. 5.2.5 - die typische Form des Kreaukomo s (hier: 2 Jahre Tilgungsstreckung, dh. T 1 = T 2 '" 0) im Verglekhskollw verloren gegangen, do sich sowont die erste Restschuld (Kredusumme ~·S. Auszahlung) uls auch die angewendeten Zinssiitze (iM"", vs. umerscheiden.

i./I

Beispiel 5.2.12: (ieff fOr cinen Standard-Annuitlitenkredit (5 .2.6) mit 2 Jahren Zahlung.'\aufschuh) Vcreinba rt man analog zu Bsp. 4.2 .62 zwei zahlungsfreic Jahre zu Beginn der Laufzcit, so ist zu beachten, dass d ie Rcstschu ld nach dicsc n 2 J ahrcn auf 121.000,- - € ( = 100.000 ' 1,12) anb'ewachsen isl und sich die Konditionen (10%/ 2 %) nunme hr a uf diese erhOhte Rcstschuld bczie hen:

242

5 Jahr

Die Ermittlu ng des Effcktivzinssatzcs in dcr Finanzmathemati k

Rcstschuld K t - \

Zinsc n

t)

z,

Tilgung T t

(Ende t)

t

(Beginn

I 2

100.000 110.000

11.000

3 4

12 1.000 118 .580

12.100 11.858

Annuitat At (E nde I)

(En de I)

0 0

·10.000 - 11.000

10.000

14.520 14.520

2.420

2.662

(Kredilkonto)

D ie nach den heiden crstc n za hlungsfreien J ahren noc h ve rblcibcndc Restlaufzcit m crrcc hnet sich nus de n Dat cn del 3. Zcile zu

1,l m- 1

ill

121.000 ' 1,1 - 14.520'-0-'- = O. I, l m _ j

ill

100 · 1, 1 - 12 -- 0,-1

Dividicrt man dicsc Glci chun g durch 12 10, so fo lgt: d.h . dicsclhc Glci chung wie im Normalfall (Beispk I5. 2.8) ,

= 0

mit del Losu ng. m = 18,7992 .

Darnit lautct dcr reate Zahlungsstrahl Iur die Gcsamtlaufzeit

I 5lit:htag

941T€J

, (z.8,1

I

14,52 (1/

ieff ""

t

1

2

3 4

... 20 21

Restschuld Kt - \ tBeginn t}

94.000,00 104.101,05 115.287,54 113.156,10 ... 22.662,96 10.578,28

22

0,00

(Gegenleislungl

(/8,79921

(21

q20,7992

- 14,52 '

10,75% p.a.

Vergleieh.~konto /EffekIMillnto tabgeredma

Jahr

(Zei l)

14,52

14,52

94

Die Aquivalcnzglcichung fur q (= I +i eff besitzt die Losung:

'

q I8.7992 _ 1

= 0

,-I

mil ieff = 10,745798% p .a.) :

zmscnz,

Tilgung T,

Annu itat ~

(Ende t)

(Ende t)

10.101,05 11.186,49 12.388,57 12.159,53 ... 2.435,32 1.136,72

- 10.101,05 - 11.186,49 2.131,43 2.360,47

0,00 0,00 14.520,00 14.520,00

12.084,68 10.578,28

14.520,00 11.715,00

(Ende I)

...

Verglrichskotlto: Grsamtlaufz.

of

...

2 f. Zahluflgsauf schuh)

Dahri ergeben sicn die tense Annuitat (= lJ . 715 €) - ehmso wie die ubrigen rrguliiren An nuuaten ab fahr 3 (= 14,520 €) - aus den entspredienden Wenen ohne Za htungsoujschub (= 9.68 l ,82€ bzw. regular 12.000€, siehe Beisp itl 5.2.8) durch Aufziflsefl mill ,l l (wrgen Zahlungsauf schub um 2 fah re zu je 10% p.u.],

Dei Zinsreslsc hreibung 7 Jahre (2 Jahre Zahlung sauf schuh plus 5 Jahre) erhaltc n wir (wcgcn K7 = 121.000 . 1,15 - 14.520 '

1.1 5 - 1

0.1

= 106.225,66) folgc nden rcalcn Zahlun gsstrahl:

5.2

243

Effckt ivzinscrmittlung bei jahrhchcn Lcistungcn

94IT€/

Slichtag , (z8/

I

fleislungl

I

I

I

I

I

I

14,52

14,52

14,52

14,52

14,52

III

121

131

Die daraus resulticrende Aq uivalcnzglciehung f ur q : fuhrt zum antanglirhen Effektlvzins: ieff '" 11,14% p.a .

141

151

(Zeill (GegenfeislungJ

106,22566

qL ) 94· q7- 14 , 52 ·- q - - I - 10622566 '" '

°

ve rgletcbsko nrc / Effeknvkonto tabgeredma mit ieff '" I J, I 415905% p.a.): Rcstschuld Kt - I

Tilgung T t

Annuit.1t AI

(Beginn t)

Zinsen z,

I

(Ende t)

(Ende t)

1

7

94.000,00 104.47 3,10 116.1 13,06 114.529 ,90 112.770,35 110.814,76 108 .641 ,29

10.473, 10 11.639 ,96 12.936 ,84 12 .760,4 5 12.564,41 12.346,53 12.104 ,37

- 10.473,10 - 1 1.639, 96 1.583.1 6 1.759,55 1.955,59 2.]73,47 10 8.641, 29

0,00 0,00 )4 .520,00 14.520,00 14.520,00 14.520,00 120.745,66

8

0,00

Jahr

2 3 4 5 6

(Ende t)

(Vrrgleichskonto: 2 J. Zahlungsoufschub + 5 Jahre)

BeispieJ 5.2.13 : (Effcktivzins fur einen Stan dard-Annuiliilen kre dil (5 .2.6) mit Z-jlihri gem Tilgungsstreckungsdade hen - siehe aueh Beispic14.2.66) In den he ide n erste n J ahren bleibt dcr Hauprkrcdir zahlun gsfrei, cs ergibt sich somit zu Beginn des dritt cn Jabres die aus Beispiel 5.2 .12 bckannte Rcstschuld von 121.000,· · €, die mil 18,7992 Annuttaren zu je 14 .520 ,-- € /J ahr (~ 12% von 121.000) ab dem dritt en Jahr zuruckgczahlt wird (vgl. Bsp. 5.2.12). In den beld en erste n J ahren wird dcm Krcdilnehmer in H ohe des D isagios t» 6.000,-- €) ein a nnuitatisch zu tilgcndcs T ilgungsstrcekungsdarlchen (m it: Auszahlung 100%, Veninsung 12% p.o.) eingcraumt. Die Annuttat A dafur crgibt sich aus 1 12L ) 2 6.000 · 1,12 - A · ' O l2 '"

°

z u 3 .550, 19 € lJahr, so dass die crstcn 4 Zeilen des Tilgungsplans lauten (analog zu Tab. 4.2.67): Jahr

1

Res tschuld K t- 1 (Beginn t]

Zinscn Z, (Ende f)

T ilgung TI

AnnuitJlt At

(Ende I)

(Ende I)

2

6.000,00 3 .169 ,81

720,00 380 ,38

2 .830,19 3 .169,8 1

3 .550 ,19 3.550 ,19

3 4

121.000,00 118 .580 ,00

12.100,00 11.858,00

2 .420 ,00 2 .662 ,00

14.520,00 14.520 ,00

-------- ------------------- _............ _---- ------------------- ---------------.... (Kreditkonto - ReS! des Tilgungspkm s wir in Beispiel 5.2.12)

Damtt lauret der Teale Zahlungsstrahl (unrer Beachumg der Tatsache; dass durch das Tilgungsstreckungsdarlrhen der Kreditnehmer insgesamt 100.000,· - € zu Laufzeubeginn erhalt) fur die Oesa mtlautzeit:

5

244

fOO /T€oJ

Die Erm ittiung des Effekti vzinssarzes in dcr Finanzmathcmatik

I

5fichlog , (z.B.!

(ie/stung!

I

I

3,55019

3,55019

14, 52

14,52

11/

(18.7992/

Die entsprechcnde Aquivalenzglcichung qL

100 · q20,7992- 3,55019 . _

-

q- l

I

q I8.7992 - 14,52 '

q I8.7992 _ 1

q- I

o

hat die Losung: id f = 10,76% p.a. ifiir drn Gesamtkredit] , Vergleich"konlo / Effekti vkonto {abgerechnet mit

Jahr t

Rcstschuld

Kt~ 1

(Begin" I)

i~fl =

10, 758704% p .a.):

Zioscn Z, (En de r)

Ti lgung T l (Ende r)

Annuitat At (Ende t)

3.550, 19 3.550, 19 14.520 ,00 14.520,00

2

100.000,00

JO.758,70

- 7.208,51

107.208,51

3

11 5.192,57

4

] 13.065,80

11.534,25 12.393,23 12.164,41

- 7.98406 2.126,77 2.355,59 ... 12.082,16 10.577,05

I

...

... 22.659,21

20 2]

10.577,05

22

0,00

... 2.437,84 1.137 ,95

...

14.520,00 11.715,00

(Vl'rgldc hsko nto: Gesamuauiz, 2 1. Tilg.streck.darlehm }

Dabei ergcben sich die letzte Annuua t ( = 11. 715 € ) - eoenso wie die ilbrigen regularen Annuitaten ab Jahr 3 (= 14.520 € ) - aus den ansprechenden Wenen ohne ZahJungsauf~chub ( = 9.681,82 € bzw. regular 12.000 € , siene Beispiel 5.2.8) durdJ A uf zinsen mit 1,J 2 (da 2 lahre zu je 10% p.a. Zahlungsauf schub f ur den Hauptk redit). A nalog erhalt man bci Fesbchreibung der Konditioncn auf 7 ( = 2 + 5) J ah re tiber die Aquivalcnz gleichu ng (Restschuld wie in Bsp. 5.2. 12) qL

100 ' q L 3,55019 ' -

I

qL I

q -l

q- l

- ' q5 _14,52 ' - - - 106,22566 den Effektivzins: lert = 11,15% p.a.

Vergieicho;konto/ Effekth'konto iabgerechna mit i'lf = 11,1548 983 % p.a.): Rcstscbuld t;' l (Beginn t)

Zinsen Z, (Ende t)

Tilgung r, (Ende I)

Annumt J\ (Ende r)

6 7

100.000,00 107.604,71 116.057,7 1 114.483,83 112.734,39 110.789,80 108.628,29

11.154,90 12.003,20 12.946 ,12 12.770,56 12.575,41 12.358,49 12.117 ,37

- 7.604,7 1 - 8.453,0 1 1.573,88 1.749,44 1.944,59 2. 161,51 108.628,29

3,550, 19 3,550, 19 14.520,00 14.520,00 14,520,00 14.520,00 120.745,66

8

0,00

Jahr t

I

2

3 4

5

Vergk ichskomo: 2 J. Tilg.nreck.darlehen + 5 Jahre)

5.2

245

Effek tivzinscnni ttlu ng bei jahrlichcn Lcistu ngcn

Bemerkung: Tilgungsstreckungsdariehen im Zusammenhang mit ull/erjahrigen Ruckzahlungen werden in Kap. 5.3.3.2 behandelt. Gdcgcntlich wird d iskut iert (so etwa in [Kbl] 184 ff) . das Hauptdarlchc n nach A blauf dcr Tilgungsst reckungszeit mit der ursprunglidun Annunat (im Beispiel: 12.000 Wahr) abtragcn zu lassen. Dies filhrt fast immer zu Problcmcn, insbesondere wen n - wie hier - die Restschuld des H auptkredits zwischenzeitlich so star k angcwachsen ist ( » 121.000). dass im Folgejahr noc h nicht einmal die falligcn Zinse n (l0%, d.h. J2.100 €) durch dicse (ursp rUngliche) A nnu tta t abgcdec kt werdcn. I n Kap. 5.3.3 .2 werde n wir T ilgungsstrec kungsdarlchcn be i unterjahngen L::istun gcn be handcln. Die nacnstchcndc Ubersicht (Tab. 5.2. 14) zeigt, dass ein und dcrsclbe A nnuita tenkrcdit je nach Lauf zeit und/oder Sonde rkonditioncn rech t unterschicdliche Bffeknvztnssatzc aufweisen kann (dieser Ef-

fekt veruara sich noch erhebtich, wenn wit - stene Kap. 5.3 - unterschiedlicheKOll/ofUhrungsmodelfe bei unterjahrigen Leistungen betrachten}: Effekth'Zills.oilitze (p.a.] bci Annuiltitenkred it 94/ 10/ 2

Standa rd {Za hlungc n, Z ins- u. T ilgungsverrcchnung jahrlich)

Gcsam tlaufzeit

5 (bzw. 7) Jahre Z insbindungsfrist

10,96%

11,72% 11,37%

(51.) (71.)

Standard + 2 1ah re T ilgungsstreck ung

10,88%

11,32%

(71.)

Standard + 2 J ahre Za hlungsaufsc hub

10,75%

11,14%

(71.)

10.76 %

11,15%

(71)

Sta ndard + 2 jahr. T ilgungsstreckungsdarlehen (12%)

5.2.2 Exkurs:

Tab. 5 .2.14

Disagioerstatt ung

Wird cin mit einem Disagio ausgcza httcs Da rlehcn , 'orzcitig bee nder (d.h. vor Ablauf der zuniichstvereinbanen LaufzeitlZinsbindungsfrist, etwa durch vorzeinge vollstandige Tilgung) , so kann - nach cinem BG H - Urt cil - der Darlehensnehrner cine anleili ge Erslauun g d es verejnbarten Disagios verlangcn. A uch wcnn nach cincm spaterc n Urleil des BG H (X I Z R 158/97) zur Disagiocrstattung die bci den Banken be lichte sog. ~ Zinssummcnmet hode~ fur zulassig er klart wurdc, wollen wir hier nur die finanzmathemat isch cinzig kor rekt e - sog. Effektivzinsmet hod e zur Disagioerstauung bctr achten. (Bei

der Zinssummenmetlwde werden die bis zur Krednabtosung (nominefl) gezahlten Zinsen durch die (nominelle} Summe samtllcher Zinsen geteilt, die wahrena des gesamlen Vesrechnungszeitraums des Disagios angefaUen waren. Nach diesem Verhallnis wird das Disagio anteifig fUr die Restlaufzeit des Danenens erstaua. Da bei den - in der Praxis te sonans hiiufig vorkommenden - Annuuatendattenen in der Anfangsphase besonders hohe Zinsenuile anfaUen, [uhn diese Methode zu vergteichsweise geringen Disagio-Ruckerstamm gen.]

246

5

D ie Ennittl ung des Effc knvzl nssa tzcs in de r Ftnan zmathematik

Gru ndidee der Effektl vzlnsmethode Ist folgcnde Ubcrlcgung: Bei vorzci tigcr Bccndigung des Darlchen s ist am T ag dc r Schlusstilgung d o solc hcr Bctrag E an den Kreditnehmer zu erstanen, dass dc r darnit rcsultierendc Zahlungsstrorn (drs tatsiichlich abgewickdtl?n Dar/t hens) denselben Effe k th"Zins aufwcist wie lias ursprtinglich verei ebarte Darle hen. Das Ve rfahren soli am Beispiel 5.2 .10 unseres Standard-Ann uitatenkredits erlautcrt werden:

Beispiel 5.2. 15: (Disagio-E rs tatt ung nach der Effektlvzmsme thode) Ocr zunachst vereinbarte Kredit hane cine Bindun gsdauer von 5 Jahren und fuh rte zu cincm Effektivzins von 11.72 % p.a., vgl. Bcispicl5 .2.1O. Es werde nun untcrstellt, dass dicser Kredit (K o = 100,000; ilIon, = 10%; Tilgung 2 %; Disagio: 6%) bcreits nach 2 A nnutta tcn du rch Za hlu ng dcr Rcstschu kl K2 = 100.000 ' 1,12 - 12.000 ' = 95.800 vollsUi.ndig ahgelost wird. Dan n 0, 1 besi tzt dcr Iat~iichlkh ahgcwickclte Krcd it zunachst folgcnden Zahtungsstroer

J.J::.!

94.(}()()

-I

I€/

(leislungl

£

1---1

12.(}()()

1M)

12.(}()() fGegenleislungl 95800 I 5tichtag fz81

D ie Gra phik entbalt bcrcits den Erstanungsbet rag E als noch unbckarmte Zahlung Iur das nieht verbrauc htc Disagio. E ist nun so zu ermitteln, class be l Bcwertu ng der Zahlungsreihe mit dem ursprunglich vereinbanen Effekt ivzins 11,72 % p.a. Aquivalcnz etnt nr t:

,

94.000·1 .1l72 2+E';' 12.000 '1.11 72 + 107.800

.

Darau s ergibt sich der von der Bank zu lciste nde Disagio- Erstatt ungsbetrag E zu E = 3.881,63 € , d.h. um diesen Betrag kan n die Restschuldleistung des Kredttn ehmcrs verminde rt worden. (Problem : Bei der Eff ek tivzinsm elhode wird umentellt, dass uber die restfiche Laufzeu eine Wieda anlage-Rm dise in Hohe des Effektivzinssalzes erzielt wird. Wir werden das Problem der Disagio-Ruckerstauung noch einm al im Zusammenhang mit umerjdhrigen L eistungen in Kap. 5.3.3.3 aufgreifen).

5.2.3 Exkurs: - Unterschiedliche Kredit-Konditlonen bei gleichem Zahlungsstrom Bcrcit s in Bcmcrkung 4.2.47 (bzw. 4.2 .48) hatten w it gcsehen, dass es zu jedem real gcgcbenen Kr cditZa hlungsstrom (der allein 12 f iir die Hohe des EffektivzinssalZes verantwon licn isl) bcliebig viele verschicde ne (nominellc) Krcditkonditioncn gibt. Wir sind jctzt in der Lage, zu jedem Kredu, dcr mit emcm Disagio vercinba rt wurde, die aquivalc ntc (d.h. effekt ivzinsgleiche) disagiofreie Kondit ion anz ugcbcn (und eoenso jede andere Kondition mit anderem Disagio). A ls Beispiel wahlen wir wieder den auf 5 J ahre fcst geschriebencn Standard-An nuitlltcnk rcdit (5 .2.6) aus Bcispicl5.2.10: 12 Bci untcrjahrigen Leis uogen spiel! wencrlu n die angcwc ndctc Kootofuhrungsmctnodc cine wcscntliehc Rolle fur

die Hebedes Effcktivzinssatzcs.

5 .2

Effektivzinsermi tt lung bet jahrlichen Leistungcn

247

Beispiel 5.2. 16: (aquivaJenle Kredl te bei wec hselndem Di ~o)

Der in Beispiel 5.2. 10 bctrachtc tc Standa rd- A nnunatenkrcdit hat te (bri einer Kreaitsumme von

J 00.000 € und einer Zinsbindung von 5 Jahren) die Kondit ioncn: • (nom.) Z inse n: 10% p.a.

• A uszahlung: 94 %

• Antangstilgung; 2% p.a .

und fuhrtc zu folgcndem Zahtungsstrom

I 5tichtog

fieislung!

, rz8)

I

12.OCXJ

12.000

12.000

12.000

12.OCXJ

rGegEmfeisfung)

87789.80 mit dem (anfiinglkhen) Ertektivzins 11,720 2% p.a.

i) Gcs ucht seren die Krcditkonditioncn und die Kreditsumme f ur cinco 3lltUvaiente n di~orrei en Kredit. Dieser Kredu muss sorrut denselbcn Zahlungsstro m wie oben abgebildet autwciscn, da hcr muss - bc i 100% A uszahlu ng die Kreditsurnme 94 .000,-- € bet ragcn . «

Da die A nnuuar ( = 12.0 00,- - €) sowic die Restschuld nach 5 Jahren ( = 87.789,80 €)vorgegeben sind, ist der nom inclle Zins inom ges ucht. so dass die Krcd itsumme 94 .000,-~ € gcnau du rch die vorgcgebencn A nn utta rcn in 5 J ahren auf die vorgcgcbcne Restsch uld abnimrnt, d.h. es muss gclte n (mi t q ,= 1 + inom) q5 _ I 94.ODO qS - 12 .000 , - - = 87.789,80 q -l Mit H ilfe de r Regula falsi crhalt man q = 1,117202, inom ( = ierr!)

=

d.h.

11,7202%p.a. 13

Die Ar muuat (12 .000) betragt 12,7660% von de r Krcdirsumme (94. 000), so dass nach Abzug des socbcn ermitteltcn nominellen Zinssatzcs fOr die Anfangstilgung ein Wert von 1,0457% vcrbleibt. Damit lauten die Konditionen der aquivalen ten disagiofreien Kredit-Vari an te: Krcditsumm e: A usza hlung: (nom.) Zi nse n: A nfangs lilgung: anfangl. E ffek tivzins:

94.000,-- € 100% 11,7202% p.a. 1,045 7% p.a. 11.7202% p-a

( = ieff)

(fur 5 Jahre)

ii ) Es sci nunmehr ein aquivalcntcr Krcdit mil ciner Au szahlung von 90% ges ucht (Damnum = 10%) . Die a usgeza hlten 94.000,· · € stelle n so mit 90 % de r Kredits umme Ko da r, d.h .

Ko

=

9~~:

= 104. 44 4,44

€.

Diesel Betra g muss, verzinst mil dcm noch nicht bc kannren inom ' be l A r munaten von 12 .000 € /Jahr in 5 J ahren auf cine Rcst schuld vo n 87 .789,80 € fUhren: 13 Sci 100% AUS7.ah1Ungis! der Effcktivzins im mer dann gleichdem Nominalzms,wcnn- wie bier - die tarsachlichc Kontofuhrung mil der fur die E rmiulung des Effektivzinssetzcs verwcrdctc n Komo filhru ng idcntisch ist.

248

5

Die Ennittlung des Effcknvzinssatzes in JeT Finanzmath cmatik

Mit 4 ,= 1 + i nom muss also gelten: _

q5 _ 1

104k qL 12 ·

--q:t"

= 87,7898.

Mit Hilfe der Regula falsi erbalt man schlieBlich:

i nom = 8,8151% p.a.

Da die An nunat ( = 12.000,-- €) insgcsamt 11,4894 % der Krcd itsumme ausmac ht, muss die Anfangstilgung de n Wert iT = 2,6743% p.a. bcsitze n. Som il erhalte n wir fU r die lOo/c-Disagio-

Variante die Konditionen: Kr edit summc:

Auszahlung: (nom.) Zin sen: A nfa ngstilgung: anffingl. Effcktivzins:

104.444,44 € 90% 8,8 15 1% p.a. 2,6743% p.a. 11,7202% p.a.

(5 Jahre)

Beispiel 5.2.16 vcrdeutficht noch einmal. dass es zu cincm vorgegebcncm Za hlungsstrom (drfinieft awo durch Kredilhedarf and Ruckzahlungswunscne eines Kredimehmers} bclicbig viele aquivalcnte Kred itkondit ion cn gibt, die sfch in dcr Hohe von Disagio und Nominalzins unrerscheiden.

Aufgabe 5.2.17:

H uber erwirbt fur 1.000,-- € Bundcssehatzbri cfe vom T yp A mit ciner Laufzcit von 6 Jahren, da nach Riickzahl ung zum Ncnnwcrt. Folgcndc Vcrzinsung wird gcwahrt: 1. Jahr: 5,50% 2. Jahr: 7,50 %

3. J ahr: 8,00 % 4. Jah r: 8,25%

5. Jahr: 8,50 % 6. J ahr: 9,00 %

Die falligc n Zinse n werden H ube r an jcdem Zi nszuschlagte rmin ausgczahlt (also nidu dem Kapital zugeschlagen). w clchc Rcndrre bcsltze n die Bundcsschatz briefe vom Typ A? Aufgabe 5.2. 18;

H ube r leih t sich 100.000,-- € . Das Disagio betragt 4% . Die Bank fordert 8% p.a. Z inscn, die Tilgung soil in 5 gleichen Tilgungsjah resraten, beginnend 1 J ahr nach Krcd itaufnahme crfolgen. i) Stellcn Sic einc n Ti lgungsplan auf. ii) Welche E ffektivverzinsung hat d icser Kredit? iii) Welchc Effckti vvcrzinsung hat dcr Krcdit, wenn in den bcidcn crstcn J ahren kcincrlci Ruck -

za hlungcn crfolgcn und die cnrstanden c Rcstschuld in den oachsren d rei J ahren durch gIeiehe Tilgungsmten (d.h. wiederum Ratemilgung) zuruckgefuhrt wird? Aufgabe 5.2. 19:

Hu be r nimmt cincn H ypothckarkredit auf. Konditionen: 93,5% Auszahlu ng, Zins satz 6,5 % p.a. (nom.), Tilgung 1,5% p.a. zuzOgI. erspe rte Zi nsen. I) wtc hoch ist die Effektivverzinsung tiber die gesamtc Laufzeit?

ii) Wie tauter der (anfii ngliche) cffcknve Jahrcszins, wenn d ie Konditlonen fu r 5 Jah re festgcsc hricbe n sind ? (Huber muss donn die nodi bestehende Restschuld in einem Betrag zuruckzahlen.] Bemerkungr Die Eff ektivven insung bezieht sich jelz/lediglich auf 5 Jahre!

5.2

249

Effek tivzinsennilllung bei jahrlic hcn Lcistungcn

Aufgabe 5.2.20: Dipl .vlng, H uber will sein patenticrtcs vollautomatischcs Knob lauchpressenreinigung; system am Markt durchsctzcn. Dazu will ihm seine Sparkasse cinen Krcdit in H ohc von 200.000 ,-- € zur

vcrfugungstollen. Konditloncn . Disagio 5%, Zinssatz 8 % p.a.,

T ilgung 1 % p.a. (zuzugl. erspane Zinsen).

Urn H ube rs Bclastung in den ersten J ahren zu mindem, verz ichtet die Sparkasse in den ersren drei J ahren auf Tllgungszahl ungcn und verlangt nur die jcweils (nachschiiSsig) falligen Z inszah lungen (" Tiigungsstreckung"}, Ab dem 4. Jahr sctzen die ptanrnaaigcn T ilgungc n ein . I) Nach welcher Zeit (bezogrn auf die Kreditauszahlung) iSI der Krcdit vollstandig gelilgt? ii ) Man gebe die erst en 5 und die letzten 2 Zeilcn des Tilgungsplans an. iii) Welch e Effektivverzinsung liegt vor?

Aufgabe 5.2.2 1: Hu be r will, ermutigt durch den allgemeinen Zinsruckgang, ein H aus baucn . Seine Bank biet et ihm zwci Kreditangcbo te i) und ii) mit unt erschiedlichen Ko nditio ncn :

nc-

i) Zinsen (nominell) 6,25% T ilgung: 1% p.a. (zuzuglich erspaner Zinsen)

Auszablung: Laufzcit:

98% 51ahre

ii) Z inscn (nominell) 4% p.a.

Auszablung: Laufzeir:

90 % 5 Jahre

Tilgung: 2% p.a. (ZUZiiglich erspaner Zinsrn)

Welcher Kredit hat den k1cineren Effeklivzinssat z, wcnn unlerstd lt wird, dass die am Endc der Laufzcit noch vorhandcnc Rcstschuld dan n in eincm Bctrag zur R iickzahlung fallig wird?

Aurgabe 5.2.22: H uber Iciht stcb von seiner Hausbank 100 .000 ,-- € ( '" Kredusummei zu folgenden Konduionen: Ztns (nom.) : 9% p.a.; Auszahlung: 94%; Konditionen fest fur 5 J ahre

T ilgu ng: 2% p.a. (zuzugl. erspane Zinsen)

Naeh A blauf der Zinsbindungsfrist ( = 5 Jahre) bietet ihm seine Bank einen Ansc hlusskredit zu folgende n Konditioncn: Die noch best chendc Restschuld bildet die neue nominelle Kredirsumm c. Darauf enttaltt ein Disagio von 4 %. Zinsen (nominell) 12% p.a., T ilgung 1% p.a. zuziigl. crspartc Z insen. Diesc Kondiuoncn bleiben giiltig bis zur vollstandigen Tilgung des Krcdites.

[Zins- und Titgungsvermnnung erfolgenstets jiihrlich.) i) Man crmittle die Ge sarntlaufz eit beider Krcditc.

Ii) Man crmittle die bciden Ictzt en Zcil cn des Tilgungsptan cs fur den zwciten Kredit. iii) wetc he Effckti vverzinsung ergibt sich bel gemeinsamc r Bctrachtung des aus den zwci Teilen besrebendcn Gcsamt krcditvorgangcs ?

Aufgabe 5.2.23: A ile Ocschaftc, die die Huber-Bank tangt . sollen cine Effektivverzinsung von 10% p.a. bringcn . Der Kunde Mose r soli cinen Armuitatcnkrcdit zu den folgenden Konditlonen erhaltcn: Zins

(nom.) 8 % p.a., Tilgung: 1% p.a. zuziigl. ersparte Zins cn, die Kondition cn sind fest Iur 7 Jahre (d.h. nach: 7 lahren ist die Restschuld in einem Be/ragef ii/lig.) Welches Disagio muss die H uber-Bank fordero?

250

5

Die Ennittlung des Effcktivzinssat zes in dcr Finanzmathcmati k

Aufgabe 5.2.24:

Gcgcbcn is! cin Annuitatcnkredit mit cincr Krcdilsumme von 150.000,-- €. Die Aus zahlung bc tragt 92%, die jahrlich zu zahlcndcn A nn utt aten (erstmulig einl uhr nach Kreditau!nuhme) bc tragc n 14.250,-- € /Jahr. Zins- und Tilgungsverrechnung erfolgen ebenfalls jahrlich.

Nach Zahlung dcr 28. Rate iSI der Kredit vollstandig getilgt. I) M il welchem nominellen Jahres zin s wu rde dieser Kredi t vc rzins t? ji) Man ermit t lc den cffckrlven Jahrcs zins dieses Krcdites.

Aufgabe 5.2.25: Die H abe rle A G nimmt ein Darlchcn in H nh c vo n nominc 1l220 .000,-- € au f. Krcditkondition cn; Auszahlung 92%; Zinsen (nom.): 6% p.a. (fest far die Ge~'amllaufuil) ; Tilgung: 1% p.a. (zuzuglich rrspane Zinsen). Die Annultaten sind jcweils am Ja hrcsende fallig, Zins- und Tilgungsvcrrechnung erfolgcn clx:nfalls am Jahrescnde.

Man crmillie die Effcknvvc rzinsung fur dtesen Krcdit, I) wenn die crstc Armuuat ein Jahr nach Krcditauszahlung fallig ist ; i1) wenn in den ersten 4 Jahren jcwcils am J ahres endc nur die Zinsen (aber keine Tilgung) gczahlt werden (Tilgungsstreckung, 4 li/gungsfreie Jahre) , die erste volle Annuita t mithin am Ende des

5. Jahres naeh Krcditauszahlung fallig ist; iii ) wenn in den crsten drei Jahren ubcrhaupt keinc Zahlungcn gelcistct werden (3 annui/iilenfreie

Jahre). Die erste Annuuat (nunmehr bezogen auf die um die Zinseszinsen der drei mien Jahre erhOhle Kreditanfangsschufd) ist somit am Ende des 4. J ahrcs fallig.

h·") Man lose die Aufgabenteile i) - iii) mr den Fall, class - abweichend von den o.a. Konditionen -' der Krcdit 10 Jahre nach Auszahlung ( = Ende der Zinsbindungsfrisl) gckundigt wird und die dann noch vo rha nde ne Rcst schuld in einem Bct ragc fallig wird.

Aufgabe 5.2.26: Huber nimmt bci seiner Bank cincn Krcdit (Kreditsumme: 150.000, -- €) zum 01.01.00 auf (Disagio: 7%; nom. Zinsen: 9% p.a.; An nuitiitenkredit]. Die Ruckzahlung soli in 20 gleichen Annuitaten erfolgcn, die erste A nnuitat ist cin Jahr nach Krcditaufnahme fallig. Unmittelbar nach Zahlung der 13. Annunat nimmt Huber einen Zusarzkredit von 120.000,-- € ( = Kreditsumme} auf, Disagio 5%. Die sich nunmehr ergebende Gesarn tsch ukl soll- in Abanderung dcr bisherigen Vercinbarungen - in 10 wcitercn g1eichcn Annuitat en (heginnend nach einem

Jahr) abgezahlt werden. Welcher Effektivzins licgt dem gesamten Kreditvorgang zugrunde?

Aufgabe 5,2,27: Gcgcbcn ist cin Annuitatcnkrcdu mit eincr Auszahlung von 93% und einem nominellen Jabrcszins von 9% p.a. (Annui/aten, Zins- und Tilgungsverrech nungjiihrlich) . Wie bocb muss der (anftingliche) Tilgungssatz (in% p.n.) scin, damit stch - bci Vereinbarung eincr 5-ja brigen Festschreibung dcr Konditionen - cin antanglichcr Effcktlvzins von 11% p.a. ergibt?

5.2

Effckti vzinsermittlu ng bei jahrhchcn Leistungen

251

Aufgabe 5.2.28 :

Huber braucht dringcnd Barm ittcl in Hohe von 120.000,-- € . Von zwei Banken holt er Krcditkomlitionen cin: Bank A:

bietct cinen A nnuitatenkredi t zu 96 % Auszahlung, 8% p.a. Ztnscn (nom.) und 2% Tilgung (zuzugl. erspaste Zinsen} an. Konditione n fest tiber die Gcsamtlautzcit .

Bank B:

bictet zu eincm (nom.) Zin s von 9% p.a. einen Ratenkredit tibe r 12 J ahre an (d.h. der Kredu iu nach 12 l ahren vollstandig gefUgl.). Hier erfolgt die A uszahlun g zu 100%.

(Bd heiden Ban k en erfolgrn Zo hlungen, Zins- und Tilgungsvarecnnuneen jiihrlich, erstmals ein Jahr nach Kreditauszanlung.] i) Man gcbe rur den Krcdit von Bank A die belden letztcn Zeilen des Tilgu ngsplans an. ii) Man ermittle den Effekti vzins des Krcdit cs de r Bank B.

Aufgabe 5.2. 29: H ube r lciht sieh 200.000,· · € ( = Kredifsumme) . Die Bank verlangt cin Disagio von 8 %. Folgcnde Gc genlcistungcn wcrdcn vcrcinbart: 2 Jahre T ilgungsstrcckung, danach (mil einer A usnahm e, s.u.) jaluliche Tilgungcn von 40.000,-- € / Jah r tnur im tetuen Jahr erfolgl eine eIlll. ab weicnende Resllilgung) . Die falligen Z insc n (8% p.a.) werden in jedern Jahr beza hlt. Einzigc Ausn ahmc: Am End e des 6. Jahres seit Kredit auf nahme werden ubcrb aupt keine Zahlungen gcie istet (also weder Zin sen noch TUgung) . i) Man gcbe den T ilgun gsplan an .

ii) wic lautet der cffcktive Jah reszins dieses Kred its?

Anfga be 5.2.30:

Krcditnehmer H uber bc notigt eincnStandard-(A nnuita te n- )Krcdit, bci dem er 350.000,-- € ausgcza hlt bc kornmt. Die Konduioncn sottc n fur 10 Jahre festgesehricbcn word en . J ahrlich kan n er erstmalig em J ah r nach Krcd ita ufnahme - fur Verzinsnng und Tilgung 40.000,-- € aufbringen. Er vcrcinbart mit der Bank cinen (anfiinglichcn) effcktivcn Jahreszins von 9,50% p.a. (Za hlungen, Zins- una Tilgungsvenechnung jahrlich) . i) Man ermittlc A nszahlung, Nominalzins, A nfangstilgun g und T ilgungsplan, wenn kein Disagio cinbehalten wird . Wie hoc h Ist d ie Rcstschukl am E ndc der Zi nsbin du ngsfrist? ii) Man bcantwortc i], wenn H uber aus steucrlichen Gru nden cin Disa gio von 8 % mit der Kredit-

bank vercinba rt. iii) Man crmitt lc mit dem untcr ii) wirksam cn Effekti vzins
Anfgabe 5.2.31:

H uber bcnotigt zorn Bau cines Ocschattshauscs Barmittel in Hohc von 1,5 Mia . € . Seine Ban k biet ct ihm folgcnd cn Standa rd-A nnuita tcnkrcd it (d.h. Z ahtungen, Z ins- u. Tilgungsvenechnung j ahrlich) ; Auszahlung: (nom.) Verzins un g:

Antangstilgu ng: Z insbindungsdaucr:

91% 8%p.a. 1% 10 Jahre.

5

252

Die Ermiulung des Effektivzinssatzes in dcr Finanzma thcmatik

I) M6glichkeit A: Die Bank legt die Kredusumme deran fest, class H ube r die 1,5 Mio. € als Au szahlung crbatt. Man ermitt le den antanglichcn cffektivcn J ahrcszins des Kredits sowic den T ilgungsplan.

Die Bank Iegt als Krcditsummc 1,5 Mia . € fest und gcwahrt zusatzlich in H ohc des D tsagiobctragcs ein Tilgungsstrcckungsdarlchcn (Ausz ahlung: 100%, Veninsung: 11% p.a) , lias zunachst in drei gleichhohen A nnuitat en vollstll.ndig zu rOckzufiihren tst. Wahrend dicscr erst en J Td J ahre blcibt dcr Hauptkredil za hlungsfrei. Auf die zu Beginn des 4. J ahres vorhandcnc (durch Zinsa nsammlung erh6hle) Restschuld werden sodann in den folgcndcn 7 Jahren die ursprunglich vercinbarten Konditioncn (d.h. nom. Verzinsung 8% p.a., A niangstilgung 1%) angcw endet.

ii) Moglichkeit B:

Man crmittle den Tilgungsptan und die anta ngliche Effektivvcrzinsung des (aus zwei Teilen besiehenden) Kredits. iii) Mit wclchcm Ztnss atz messtc die Bank das Tilgungsstrcck ungsdarlehen in ii) ausstattcn damit

sich dcrsclbc (anfiingli rhe) Effeknvzin ssatz ergibt wic in i)? Aufgahe 5.2.32: H uber hal mit seiner H ausbank einen Annuitatenkredit mit den Konditionen 90/7 / 1 (10 Jahre fe st) ebgescbtosscn. Krcditsumme: 100.000,-- € . ausgeza hlter Betrag: 90 .000, -- € (alle Zahlun gen so wie Zin s- und Titgungs verrechnung eifo/gen jiihrlich) . Nach 5 Ja hren titgt H uber die noch bcstehcndc Rcstschuld vorzcitig und vertangt von dcr Bank cine Riickcrstatt ung des nicht verhrauchte n Disagios. i) We1chen Bctrag muss d ie Bank zu diescm Zeitpunkt er starten, wenn sic mit der Effektivzins-

methode rec hnet ? i1) Man bcantworte Frage i), wcnn die Konditi oncn mit 93 /9 / 1 (5 Jahre fest) vercinbart worden

waren (Auszahlung also 93.000,- - €) und der Ktedit bere its nach I J ahr vorzeitiggetilgt werden sotL

B emerkung: Zur Eff eklivverzinsung hei Z ah/ungsreihen m il veriinderlichen Rentenraten siehe Aufgahen 3.9.64,

3.9.69,3.9. 71.

5.3

Effektivzinsermittlung bel unterjahrigen L::istun gen

253

5.3 Effek t ivz inserm iUl u n g bel unt erjahrigen Lerstungen " Berens in Beispiel 5. 1.8 batten wir sehen konncn , da ss dcr Effektivzinssatz eincs und des selben Kredit s (bestenend aus unterjtihrigen Leistungen, vorgegeben dUM seinen Zahlungssrrahl) unterschi edliche Werte annehmen kann , je nachdcrn, wclche Kont ofuhrungsmothod c (z.B. 360· Tage-Methode, Braess, ICMA, US) be i seiner E rmitt lung angewendet wurdc. Bei der tagllchcn Kreditabwicklungspraxis kommt noch hinzu , dass die individucllen Kredit bedingungen von Bank zu Bank (und Kunde zu Kunde) variieren. E.~ kann dahcr vorkommc n, dass sieh die Kont ofUhrung des Kredit kon tos wesentlich von der Kont ofiihrungsmeth ode unterschcidct , die zur E rmittl ung des Effekt ivzinssatz angewem.lct wird (oder aufgmnd geseteiicner Vorgaben angewendet

werden muss).

5.3.1 z-Phasen-P lan zur Effektivzinsermittlung Wie obcn angedcu lct , kann es bei Krcd itabwicklu ngen mit unterjahrigcnl- Leistungen leicht zu einer uniibc rsichtliehen Vermcngung unterschicdl icher KontofUhrungsmethod en komm en . Daher ist es dringcnd anauraten, bei Krcd iten mil unterjahrigen L::ist ungcn den Prozess dcr EffeklivzinseffiliU)ung - wie schon in (5.2.1)/(5.2.2) gcsehe n - in zwel (sauber voneinander zu trennende'] Pbesen des Vorgehens zu zerlcgcn:

Phase 1 dicnt zur E rmiUlung des tatsachlichen Za hlungsstro ms (Aufs /ellung des Kredhkontos}; Phase 2 umfasst die Ermi ttlung des Effektivzinssa tzes nach der vorgcsehricbcncn Kontofuhrungs-

meth ode (Aufsrellung des mil iejj bewerw en tverzinstmi Vergleichskontos/Effektivkontos) . Vo r vcraffgcmcincrten Irbertcgungen wollen wir anhand cines ausfiihrlich gchaltcncn Bcispiels die Sinnfalfigkeit des 2-Phasen-Plans dcrnonslricren: lkispieI 5.3.1: Ei n Krcd itnchmcr (KN) erM It von seiner Bank (=o Kredirgeber(KG)) cmcn A nnu itat cnkredit in Hohe von 100.000 € , nom. Z inssat z 10% p.a., anfanglicher T ilgungssat z 2% p.a., d.h . An nuna t 12 .000 € / J ahr, anta ngliche La ufzeit zwei J ahre (Baslskondiuonm wie in (5.2.6)). Der Kreditgcbc r fordcrt vicrte ljahrliche Riickzahlung der Annuitat in vier gJeichen Teilen zu je 3.000 € / Q uarta l, erstc Rate ein Q uartal nach Kreditaufnahmc. Ins gcsamt werden dahcr 8 Q uartalsraton fallig. Nach A blauf der 2jllhrib'Cn La ufzcit ist die noch bcste hcnde Rcst schutd in einem Bctrag vom KN an den KG zuriick zuza hlcn. Weiterhin ist vom KN be i Kreditaufn ahm e cin D isagio (oder eine " BearheitungsgebUhr ~) in Hohe von 6.000,-- € zusatzlirh zu zahlcn. Dicscs Disagio mindcrt allerdings nicm die zu verzinsendc und zu tilgcnde Kreditsurnmc von 100 .000.-- €. Z ins- und Tilgungsverrcchnung des Krcditkont os erfolgen vierteljahrlieh mit jcdcr Ruckzahlungsrateo Fiir die vierteljnhrliche Z insabrcchn ung nimmt die Kred itban k den zu 10% P'e- relanvcn Qua rtalszins, d.h . 2,5% p.O. (es handelt sich urnein Kredubeispiel, das in analoger Fonn bereits aus Kap.

4.3.3 bekannt ist - Kontof ilhmng nach der sog. US-Methode). Gcs ueht ist der (anfangliche) effektive J ahreszins oreses Kred ils a) naeh dcr 360· Tage-Methode b) naeh der I CMA-M cthooe. 14 AuBer dcr Kenntnis dcr formalcn Effcktivzinscrmtttlung (Kap. 5. 1/5.1. 1) wird der Inhalt " 011 Kap. 4,3 (Kontojflhnmgsmelhoden), Kap. 4.4 (nachschilssige TilgungsverrecJmung) scwic Kap. 3.8 (RerUen bei Wllerj41lrigen Ra ten] vc reusgesetzt. IS Wie friihcr schon bemerk t (Kap. 5.1), fUhren samutcbe Kontofuhrungsmodelle zu identischenEffcktivzinssatzcn , wcnn keine unterjahrigen Leistungen auftrctcn

254

5

Die Enni ttlung des Effcktivzinssat zes in dec Finanzmathcmatik

Ocr cffcktivc Jahrcszins ieff ist dcfinitionsgcmag {siehe De! 5.1.1) dcrjcnigc (nachschUssige) Jahrcszinssatz, be i dcsscn A nwcnd ung die Lcislungcn und Gcgc nlcistungcn unter Bcrucksichtigung der vorgcschricbcncn E ffektivzins-Kont ofiihrungsmct hodc (hier also entweaer nach oj 360- Tage-Methode oder nach b) leMA) aquivelent sind. Urn die Aquivalcnzgleichu ng .Leisrung == Gegcn1eistung" (bezogen auf einen gemeinsamen Stichlag) autstellen und die Effektivzinsbc rec hnung d urchfiihren zu kon nen, musscn zuvor samtlichc

Leistun gen (hier: Zahlungen der Kreditbank ) und Gegcntets tungen (hier: Zahlungen des KN) nac h Hohe und Falligkeitszcitpunkt bekannt sein (dit dazu erforderlichen Ermiulungen bezeidmen wir als Phase 1) :

Im Bcispiclsfall fchlt dazu noch dic nach zwci Jahrcn It. Kreditvcrtrag zuruckzuzahlcndc Restschuld K 2 (siehe den nachfolgenden Zahlungsstrahl analog zuAbb. 4.3.8) ;

100 /T€/

(ielslUng des KGI

----1--+----1--+----+--+---+--+---+- - - - -6

I

3

3

3

3

3

f----J

(GegenleislUngen des KNI

( = Disogio,

3

(Zeit)

3

kein Einfluss ouf

die Restschufdl )

1 Quortof (2.5'fJp,Q,)

Diese fehlende Restschuld K2 (acht Quan ale nach Kreditaufn ahme) wird unter Bcriicksichtigung der Krcditsumme 100.000 € enni ne lt (laut Kreduvenragi mit 2,5 % p.O. Krcditzinsen, Z tns- und Tilgungsvcrrcchnung nach jcdcm Quartal (die KreditkonrojUhrung entspridu also der US-MetJwde) . 1 0258 - 1 K2 = 100.000 ' 1,025 8 - 3.000 ' . 0,025 = 95.63 1,94(204) € .

Es folgt:

Ebe nsogut Witte man die Rcstschuld durch Abwicklung des Kreditk ontos nach den o.a. Kredirbc-

dingungen erhallcn (siehe ouch das analoge Beispiel 4.3.1, insb. Tab. 4.3.9): Pericde: Jahr Q , . I

Restsch uld

Zinsen (Elide Per.)

Tilgnng (Elide Per.)

ZohIoog (Elide Per.]

100.000 ,00 99.500,00 98 .987,50 98.462,19

2.500,00 2.487,50 2.474.69 2.461,55

500,00 512,50 525,31 538,45

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

8

97.923 ,74 97.371,84 96.806,13 96.2 26,28

2.448,09 2.434,30 2.420,15 2.405,66

551,91 565,70 579,85 594,34

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

9

95.63 1,94

1

2 3 4 2

3

5 6 7

(Beginn Per.)

= K2

(Kreditkonto

-

US-Methode)

E rst nach Ab schluss diescr Restschuldbcrechnung sind siimtliche Leistungen und Gegcnlcistungcn nach Hohe und Zcitpunkt liickcnlos bckannt und lassen sich (z.B.) am Zahlungsslrahl darstcllcn, Phase 1 lst abgcschlosscn (siehediefo/gendeAbbildung 5.3.2):

5.3

255

Effcktivzinsermittlung bci untcrjahrigcn Lerst ungcn

94 {T€ {

,~

f--- I

(wohre ieisll.mg des KG)

----j-+---+--+-- ---+----1-+--+--3

'"

3

3

3

3

3

121

131

1"1

lSI

Idl

(Gegenfeistungen des KNI

3

'"

(Zeit)

3

'"

95,63194

Abschlu ss Phase 1 : tafsdchlicher Zahlungsstrahf

Abb.5.3.2

Bemerkung: 1'», haben hier die Kredilsumme (100.0001 soton mit dem Oisagio (60001 vert"fKhnel. do beide Zohlungen zeilgfeich erfo/gen ' per soldo hot der Kredilnehmer nur 94.000 erhaften.

In der stcb an die Phase 1 anschlieftenden Pha...e 2 (aufbauend auf Phase 1) wird danach gcfragt: Wie un d mit welchem cffektivem Jahreszinssatz id r miissen die (zuliOr in Phase 1 ermitteuen} Lcistungen (L) / Gegen leistungen (G L) des Kreditvorgangs (siehe Abb. 5.3.2) auf- fode r abgeanst werdcn, dami t sich am gewahlten Stichtag Aqutvalenz einstellt?

KUTZ: In Phase 2 der Effek tivzinsermittlung geht es urn die Beantwortung der Frage Bci welchem effektivcmJahrcsztnssatz i = ieffgilt: l{i) = G l{i) ? In unserem Beisp iel sollcn dazu zwei l 6 untcrschicdliche Met hod en ( a) 360- Tage-Methode b) I CMA- Methode) zu r E nn itt lung von ieffangcwendet werden.!" Es kann somit - wie in unserem Beispiel - durchaus vorkomme n, dass das von de r Bank gefiihrte Krednkont o (in Phase 1) mil ciner ande ren Kontofuhrungs-Mcthod e abgcrccb oet wird ats das Vergleichsko nto (in Phase 2) zur Ennittl ung des E ffektivzinssatzcs (hier (Beispiel): Kreaitkomo: US- Methode; Eff ek tivzins-Konto (Vergleichsk ofllO): 360- Tage- oder I CMA -Methode) . Wir wollen nun (in Phase 2) die Effektlvzinssatzc des o.a. Kredits fur die heiden Rille a)

b)

360- Tage-M eth ode - Kon tof llhrung I CMA - Kontofii hrung

enn ittel n:

a) Effektivzinse rmitt lung nach de r

3 60 -Tage~l\Ie thode (Ph aSt'

2) fiir da.s Kre ditbeispicl (A bb. 5.3.1 )

Bel dc r 360-Tage-Met hode [siehe Kap . 4.3, Methode 1) werdcn samtlic he untesjah ngcn Za hlungen linear mit de m (noch zu ermiuelnden] Effcklivzinssalz i = ieff (= q -1) auf das J ahresendc aufgczinst, die ents tandcne Jahres-E rsa tzrate R- tsiehe Kap. 3.8.2, insbesondere Satz 3.8.2li) und Bemerk ung 3.8.24 i)) kann als Rate in der Sta ndard-Rententorm cl verwendet worden.

16 Danebe n gibt es (filrvo rgegebe nc Zahl ungsrciben mil urucrjahrigen Lcistungen, d.h. nach Abschluss von Phase 1) wcitcrc Effektiv zins-Ermittlu ngs-Verfahren, z.B. die Ug -Mcthodc odcr die Braess-Methode. 17 Welche der verschiedenen Kontoflihru ngsmcthodcn zur Ermittlung des Effcktivzinssa tzes in der Praxis schlielllich angewe ndet wird, stcht nicht unbcdingt im Belicben des Anwenders, sondem ricbtct sich i.a. nach den vcrscbnrtcu desjeweiligen Gesetzgcbcrs (z.B. in Deutschland: 360-Tage-Melhode bis 08/2000, ab 09/2000 l eMA -Methode fik die Effekl ivzinserm iUIWlg \-'O1l Verbruucher·Krediten).

256

5

Die Ennittlung des Effck tivzinssat zcs in dcr Finanzmathcmatik

Abb. 5.3.2a vcrdeutlicht den Zusammcnhang am Za hlenstrahl:

!-- - -

1 bh,

,

12

fT€1

1_

3

!

' ,SMa!

I

3 linear

+ -j 3

L:l

1 bh,

I [3

3 [ linear

®

Abb.53.2al

-I

)12

(Zeit)

I 3

3

L:l

®

Danach crhiilt man bc i jahrlich vier gelcistctc n Q uartals rat cn zu je 3.000 €/Q uartal jede JahresE rsatz rate R* cnrwcdcr du rch einzelncs, lineares Aufzlnsen m it dcm tnocn zu ermiuelnden il] Effcktivzins ieff (» q - 1) , d .h. iIl

R* =

3.000 ' (1 + (q -I ) · I~ )

+ 3.000· (1+(q- I)·

l~ )

+ 3.00Q' (1+(q - l )" \3 } + 3.000 2

oder (iiquivalent) d UTCh cirunaligcs Au fzinsen von 12.000 € , fiktiv gclcistct im "mittle ren Za hlungstcrmin" [siehe A bb. 5.3.2 a), d.h . gcnau in der zcit lichen Mille der 4 Qua rtalsratcn mit dcm tidemis chen, aber wesemticn ko mp ak ter dars lel/buren ) Rcsultar

W = 12.000 -(1 + (q - I) ' ~;) Damit erhalten .....i r (Slkhtag z.B. Tag der temen Ruck zahlung) aus A bb. 5.3.2 d ie 360 -TageMethode- A quivaicnzgleichung (q ,= 1 + j~JJ)

o~

45

q2 _ 1

94 ' q2 - 1 2 ' ( I +(q - l ) ' 12 ) ' ~ - 95 ,6319 4

mit der positiven Lcsung [quadratische Gleichung (!) od er Regula f alsi); q = 1,142588474

~

ieff = 14,25884 74 % p.a.

De r anfiingliche effe"-til'c Jahreszins nach der 360- Tage-Melhode des Krcdit s bctragt somit 14,26 % p.a,19(Ende von Phase 2) . Zur Kontrolle wird em Verglcidl~konto mit ucm tatsechlicnen Za hlungsstrom (Abb. 5.3.2), dcm socbcn enn itt clte n Effek livzinssatz und der dabci verwendet en Kont ofuhnmgsmcthod c (hier: 360- Tage- Melhode) durchgcrcchnct. Falls ieff rieht ig be rechnet wurde, muss dies Effektivkonto cinen Schluss-Saldo aufwciscn, der mit dcr Rcstschuld auf dem Krcd itkon to (~ 95.63 1,94 € ) l1bereins limmt (und som il nach Zahlu ng dieser Restscnu ta des Konto den Saldo " Null auf weist) . N

18 Es em plichh sich hier, in dc r lineare n Zinsform el K n = Ko{l + in) a nstelje von i den Term q - I ( : i) zu vern-enden, so dass in der Aqu ivalenzgleic hung nur fin Variablenname (n4mIich q) auftritt.

19 Die in T ext oder Tebclle n angegcbcnen w crtc sind haufig gerundct. Fur ihre Ermi ttl ung sowie w eitcrvcrarbcitung wurde meistens mit 9 Nachkommastcllcn gcrcchnct.

5.3

Effcktivzinsermilliung bci untcrjahrigcn Lcistungcn (360- Tags-Methode; lin. Quanolszins i Q == i eff l4 '" 3,564712% p.Q.):

Vergleietl.~konto

Periode: Jahr o».

Periodenzlnsen (3,5647..% p.Q. Restschuld (Begillll Per.)

1 2 3 4

94.000,00 91.000,00 88.000,00 85.000,00

(3.350,83) (3.243,89) (3.136,95)

2

1 2 3 4

94.76 1.67 91.761,67 88.761,67 85.76 1,67

(3.377,98) (3.271,04) (3.164,] 0) (3.057,16)

1

95.63 1,94

(3.030,01)

= K2

Tilgung

kumutiert WId zum Jahresende verrechnet

tsepanu

gesammell)

1

3

257

Zahhmg

(Ende Per.}

(Ende Per.)

12.761,67

3.000.00 3.000,00 3.000,00 - 9.761,67

3.000,00 3.000,00 3,000,00 3,000,00

12.870,27

3.000,00 3.000,00 3.000 ,00 - 9.870,27

3,000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

(360- Tage-Method e-Effektivk omo - geht genou aufl

b) Errektlvzinsermilliung nach der l CMA-Methode (Phase 2) rlir da,o; Kredltbelspiel (A M. 5.3.1) (seit 0912000 in der PAngVf iir Verbraucherkredite vorgeschrieben]

Basis ist wicdcr der naeh Abschluss von Phase 1 (Ko ntofiihmng dort.· US-Methode) rcsulnerende tarsachliche Zahlungsstrahl, slebe Abb. 5.3.2 ,~

f--- J

rwahre l eislung des KG)

94 IT€ /

3

'"

3

'"

3

'"

3

'"

3

m

fGegenleislungen des KNJ

3

'"

3

'"

3

'"

95,63194(2041

Fur die Effektivzinsennittlung nach dcr lCMA-Methode muss (siehe Kap . 4.3.4) mit vicrteljahrlichen Zmsperioden (= Ren lenperioden!) gcrcchnct werden, der anzuwendende Ouartalszmssatz 'c muss dabci konf orm zum gesuchten effcktivcn Jahrcszinssatz ieff sein, d.h. es muss gctren

Mit dcm Quartalszinsfaktor g ( =1 ';'i~ ergibt sich folgende ICMA-Aquivalenzgleiehung (Slichtag wieder am Tag der {erzren Za hlung)

o=

qL J

94· g8-3 · --

,-I

- 95,63 194(204)

Zur Losung dicser Gleiehung muss ern (iteratives) Naberungsverfehren, z.B. die Regula falsi, benutzt werden (siehe Kap. 5.1.2, insb. Beispiel 5./.32) . Mit den Startwcrtcn 1,03(1.04 licfert die Regula falsi den ersten Nahcrungswert q =:: 1.03376. Die iteriertcn Folgcwcrte fur q sind 1,033839, 1,033841 und sehlieJ3lich q = 1.033840808, so dass sich wegen (.) ergibt: i eff = gL 1 = 0.142390763 = 14,2390763% p.a,

Ocr anfangliehe effektive Jehreszfns naeh ICMA des Kredits bctragt sormt 14,24% p.a. (Elide von Phase 2)

5

258

Die Ennittlung des Effcktivzinssatzes in der Finanzmathcmatik

Bemerkung: Der Vergleich: m it j~JJ '" 14,26 % p.a. nach der 360-Tage-Methode zeigt, dass beide Kontofuhrungsm ethoden trolZ gmnds titzlich unterschiedlichen Ansatze:;nahezu dasse/be Resultat lief!'m. Debei besitzt die leMA-Methode allerdings systan atiscn bedingte Von-age hinsichl/ieh Einfachheit, Klarheit und logischer Konsistmz, stene ouch Kap. 5.4)

Auch fur des Effektivzins-Ergcbnis de r l e MA-Methode soli d ie Kontro lle
Restschuld

Zinsen

Tilg ung

Zahl oog

(Beg;nn Per. )

(Ende Per.)

(Ellde Per.)

(Ende Pcr.)

94.000,00 94.18 1,04

3. 181,04 3. 187,16

-1 81,04

94.368 ,20 94.561,69

3.193,50

-187,16 - 193,50

3.200,04

- 200.04

3.0 00,00 3.0 00,00 3.000,00 3.000,00

8

94.761,74 94.968,55 95.182,36 95.403,41

3.206,8 1 3.213,81 3.22 1,05 3.228,53

-

3.000,00 3.000,00 3.00 0,00 3.00 0,00

9

95.631,94

Periode: Jahr Q ,. 1

1

2

3 4

2

5

6

7

3

=

K2

206,8 1 213,81 221,05 228,53

(/ CMA- Effek tivk onto - geht genau auf)

Auch im Effektivkonto /Vergleiehskonto crgibt sich - wie zu erwarten - der Restsehuldsaldo K2 aus Phase 1. Das Effektivkonto "gcht auf", ieff wurde somit riehtig berechnet. A n diesem Beispiel wurde deutlich, dass die Vcrhiiltnisse bci dcr Ennittlung des Effektivzinssatzes rccht verwickclt sein konnen, sobald untcrjahrigc Lcistungcn und (gleichzeitig) verschtedene KontofUhrungsmethoden bei einem und demsc1bcn. Kredir auttrctcn. Um die Ilbcrstcht zu behalten, lohnt sich die saubere Trennung der vorgange in die bciden bcschric bcncn Phasen der Datenennittlung (Phase 1) und Effektivzins-Berechnung (Phase 2).

Bevor wir wcitcrc Bcispicle bchandcln, sollen die Vorgangc des z-Phasen-Ptans bet untcrjahrigen Lcistungcn. noch cinmal in allgemeiner Weise zuo;ammengera'i.'it werdcn :

Errektivzinsennitt lung bei uru erj ah rigen Letstungen - 2·Phasen·Plan (Zusam menfassung) Bei Kreditcn mit unterjahrigen Lcistungen vollzicht sieh die Effektivverzinsung in zwei (sauber voneinunder zu trennenden) Phasen des v orgehens:

(5.3.3a)

Phase I zur EfTektininsenn ittlung umfasst die Ennittlung samthc her Zahlungen (Leistungen und Gegen/eis/ungen des Finanzgeschiifts) nach Anzahl, Hohe und

I PHASE II

F3Iligkei~"Zeitpu nklen

(Ums etzung der Vertragsbedingungen) .

Am Ende von Phase 1 stcht somit der komplette (reale) Zahlungs.'itrahl. (zugeh6riger Tilgungsplan: " KTedilkonto")

5.3

Effcktivzi nsennittlung bet unterjahrigen Leist ungcn

259

Im Vcrlauf von Phase 1 rnusscn dahcr folgcnde Fragen quant itativ geklart werden: -

Mit weJchcm (nom inellen) Z inssatz bewerter die G laubigc rbank die (nomi nelle oder reale) Kreditswnme?

-

Wie hoch ist die (vom Kreditnehm er zu leistende} Annunat ? Wie wird die A nnuitiit auf untcrjahrige Zahlungstennine aufgcteilt?

-

Wie erm ittelt die Bank die H ohe und den Falligkeitst crmin von zusatzlichen (Sonder-)Lcistun gen (wie z.B. Disagio, Bearbeaungsgebuhren, Sondenilgungsleistungen, durch Tilgungsstreck ung undl oder Zah lungsa u[schub verandene Annuiuiten, ...)?

-

Wie wird die Ges amt laufzeit des Darlchens cnn ittel t? Wie erM lt man dieam E nde ctncr {vereinbarten) Fes tsehr eibungsfrist noch bcstehe ndc Restsehuld (die bei der E[[ek /ivzinsennittlung wie eine vom Kredimehmer zu leistende - Schlusszah/ung behandelt wird)?

Ocr Phantasie dcr v crtragspartcien sind bel der A usgestaltung der wechselseitigcn Leistun gcn/Gcgcn· leistungen im Prinzip keine G renze n gesetz t ("man kan n redmen wie m an will"), cs muss lediglieh K1arheit und Transparenz tiber die wcchsclscitigen Verptlieht ungcn herrsehen tslehe Bem. 4.4.4 ) .

Stchcn schlleblich tatsac hhche H ohe, A nzahl und F1i.lIigkcitstennine samt ttchcr mit dcm Kredit zusammenhange nder Zahlungcn ers t einmal gcnau fest, sctz t Phase 2 ein:

(S.3.3b)

Pha..e 2 z ur Effektivzinse nn ittlung dien t (au[ der Basis des in Phase] ermitte/ten Za hlungsstroms, wie immer er auch zustande geko mmen sein mag) der cigcntliehen Bereebmmg des eneku ven Jehreszi nssanesr U nter BcrOeksiehtigung de r fOr die Effe ktivzinsenni ttlung vorgcsehriebenen Kontoftihn mgsmethode (z.B. 360TM oder ]CMA) ist die Aquivalenz gleieh ung (L = GL ) aufzustellcn, dere n Losung den gcsuchtcn Effe ktivzinssatz ergibt. (zugehOriger Tilgungsplan : " E[[ek/ivkon/o oder ; Vergleichsk onto ") U

Werden aile Lcistu ngcn jahrlich erbraeht, so spielen unrerschicdlichc KontofOhrungsmod elie (vgl. Kap. 4.3, Memoden ] - 4) kcine R olle, es ergibt sieh fOrjede Methode dcrsclbc Bffcktlvzins. Wie wir abe r bereits in Beispiel 5 .1.8 (und insbesondere in Beispiel 5.3.1) gcsehen habcn, liegen die Dingc bei untetj iihrigen Leistu ngen grundlcgend ende rs. Bci eine m und dcmsclbcn Zahlungsst rom ergibt srch in Phase 2 fur jedc Kontofiihrungsmethod e (z.B. 360- Tage-Methode, Braess, US-Methode, ICMA) ein anderer Effektivzinssatz. Daher ist zu jcdem (in Phase 2 etmindtcn] E ffektivzinssatz anzugcben, nae h welchem Kontofiihrungsmodcll gercchne t wurde. Insbesondere ist zu beachten, da ss d ie zur Effe ktivzinsbcrcchnung (in Phase 2) verwendc re Kontofuhrungsmcrhodc in kelne rlel Beziehu ng stehen muss zu derjenigen Method e, die (in Phase l ] zur Ennitt lung des Zahlungsst roms angewendet wurde: So ist cs durchau s moglieh oder gar an dcr Tagesordn ung (wie in Beispiel 5.3.] aus[ahr/ich dargestellt), dass d ie Krcd itbedingungcn vierteljahrliche Raten und vicrtcljahrliche (Zin ses-)Z insen zum relativen Q uartalszins vorsehcn (dies entspricht der US- Methode in Phase I ], wahrcnd etwa fOr die da mit erhaltc ne Za hlungsreihc bci der Effektivzinsbcreehnung (Phase 2) die 360·Tagc- ode r ICMA-Meth cx.le ve rgesehrieben ist:

260

(5.3 .4)

5

Die Ermittlung des Effekt ivzinssatzes in dcr Finanzmathcmatik

Phase I und Phase 2 sind hmsichtl ich dc r angcwendcten Kont ofOhrungsmuddle unabhfulgig voncinandc r. Die tatsachttc h du rchgcfiihrtc Kreditabwicklung kan n dahcr nach einem anderen Kon lofilhrun gsmodcll ablaufcn als d ie Eff ektivzinsmnifllung.

Im fo lgenden Absc hnitt (Kap. 5.3 .2) wollen wir anh and urncrsclucdlichstcr Variantc n in den beiden Phas en cines und desselben Krcdites de n 2-Phase n- Plan ats uberslcht ftchcs und Ictzlich cinfach zu handhabcndc (auch in zunachs t verwickeli aussenesden Fallen) Methode zur Effcktivzinscrmittlu ng dcmonst ricrcn.

5..3 .2 Die Berechnung von ieff: Anwendungen des z- Phasen-Plans - Variationen elnes Basls-Kredlts Wie scho n angcdc utct, tragt de r folgcnde Abschnitt exemplarischen Charakter: WiT wollen unhand des schon mehrfach tinsbesondere im einfuhreruJen Beispiel 5.3.J) verwende ten

Basts-Annuitlitenkredites

e

Kreditswnm e 100.000 Zin s: 10 % p.a. R Ockzahlungen 3.000 £ / Q uartal d ie wichtigstcn Variationsmoglichkeltcn in Phase 1 (Kreditkonlo) und Phase 2 (ielr Ermittlung nach umerschiediicnen Karuofuhrungs- Vorschrift en) demonstrie ren. Bei folgenden Varian len des Basts-Krcdlts wird die Effekt ivzinserrnitt lung gcna uer bctrachte t: in Phase I: zwei unt crschicdliche Krcdit-A uszahl ungen - 100 % und 94% , zwei unt crschicdlichc Krcdit-Laufzeiten - 2 Jahre und Gesam tlauf zeit, ftinf untcrschicdliche Kreditk ontofubrungen, namhc h: A: 360- Tagt<-, B: ICMA- , C: US- Methode «sofonige Tiigungsverrechnung (bei Z ahlung)

D: ZVIIVj iihrlich, i = J0% p.a. E: ZVIIV halbjii hrUch, i = 5% p.H.

1 nachschussige Titgungsverrechnung; siene Kap. 4.4 f

in Phase 2: die Ennittiung von ieff crfotgt nach den d rei be kann tes ten Kon tofubruo gs-M cth odcn I: 360- Tage-Method e, II: I CMA-Methode, II I: US- Methode.

360- Tagt<- Methode (nach der alten Preisangaben-Verordnung von 1985) I CMA = imemationale Methode (nach der neuen Preisangaben-Verordnung von 2000) US = US-Methode ZV = Z insverrechnung; TV = Tilgungsverrechnung W ir bctrachten sormt insgesamt 20 vcrschicdc nc A usp ragun gen des Kreditkontos (Phase 1) und - da dcr Effektivzinssatz ciner jeden Kredirvarian re nach drei vcrschied cnen Kon tofuhrungsmothoden (Phase 2) cmu ttelt wird - insgesamt 60 Effekt ivzinssalze20 fur eine n und denselbe n Basiskrcdit . 20 Auch wenn nach Preisangabcnvero rdnung bzw. Vcrbrauchcrkrcdi tgesctz fiir Kred ue, die nicht tiber die komplette Laufz.cit abgcschlosscn worden, die Bezcic hnung ~ anfllnglichcr cffcktivcr Jahreszins " ill vcrwendcn ist, wolle n wir vereinfachcnd stcrsnur vom Effeklivzitlss u/z sprcchen.

5.3

261

Effcknvzinscrmittlun g bci untcrjahn gcn Lcistungcn

Urn einen gcwissen Obcrblick zu behalten, werden die untersuchte n 60 Faile des Basiskredits in Tabcllc 5.3.5 numm criert {Zeilen-Nummem von 0 bis 9, Spa lten-Nummem von 0 bis 5) und wie folgt gckennzeic hnct:

P HASE

2

Effektivzins-Fall Nr.

Tab. 53.5 P HASE Laufzeit 2 Jahre

+ Krcd itko nto-

fUhrung nach:

Gesamt-

tautzeit

+ Krcditko nto-

fUhrung nach:

1

falls Krcd itauszah lung 100%

falls Krcditauszahlung 94%

und id r KontofOhrung nach:

und iefCKontofUhrung nach:

I 360Th1

us

I 360TM

II

III

1CMA

l e MA

US

II

III

360lM

A

00

01

02

03

04

05

ICMA

B

10

11

12

13

14

15

US

C

20

21

22

23

24

25

nachschuss. TV: D

30

31

32

33

34

35

zvrrv halbj . E

40

41

42

43

44

45

360TM

A

50

51

52

53

54

55

1CMA

B

60

61

62

63

64

65

US

C

70

71

72

73

74

75

nachschiiss. TV: D

80

81

82

83

84

85

90

91

92

93

94

95

zvrrv j ahrl.

nachschiiss. TV:

zvrrv jMrrI.

nachschiiss.TV:

zvrrv halbj. E Lese-Beispiele: i)

Fall ,,73"

beaeum:

Der Kredit wtrd uber seine Gesam uauf eeit barachtet, A uszah tung 94% - d.h. Disagio 6% - , das Kreaukonso (Phase I) wird nach der US-Melhode abgerechnet (d.h . miI2,5%p.Q. Zi nseszinsen], Der Effek tivzinssa tz hingegen wird m il der " 3 60- Tage- Methode temspricht der allen PAngV 1985) U

ii)

Fall ,,41" bedeutet: Kredillaufzeu 2 Jahre, A uszahlung 100%, das Kreaukomo wird halbj iihrlkh (mit dem Zinssatz 5% p . R. ) abgerechna bei hafbjiihrlicher (nachschils siger) Tilgungsvenechnung: Obwohl der Schuldner vierteljiihrliche Raten zu je 3.000 €!Quartalleistet , werden zur Ennittlung der Restschuld K z am LaufzeitemJe Raten von 6.000 €/Hal bjahr zugrunde gelegl. Unabh iingig devon wird in Phase 2 der Effekuvzinssatz nach der inemationaten I CMA Methode erminelt (emspridu der neuen PA ng V 2000).

262

5

PHASE 1: Hille:

A:

Die Ermittiung des Bffcktivzinssat zcs in dec Finanzmathcmat ik

Enniltlung dec fchlcnd cn zahlun gsrelcvantcn Daten (hier: fehlende Restschuld K2 bzw. fehlende Gesam /laut zeit/ferminzah/) Laufzcit 2 Ja hre (Rrstschuld Kd ehll) Gesamtlaufzcil/T erminzah l (fehll)

(a) (b)

Das Kreditkonto wird nach dc r 360-Tagc-Mcthode abgcwickclt, d.h . unterjahrig lineare Zinscn (10% p.a.] (gill fur die Faile 00 bis 05 sowie 50 bis 55)

Der fur die Abwicklung des Kreditkontos ma13gcbliche Zahlungsstrahl lautct: ,m

(Kreditsumme l

H --+---+--+-----If-

100 {T£/

-j 3

3

3

3

'" '" '"

3 m

H'

I

flWcf
".

3

'"

3

3 .

'"

/61

If)

(a/

+---+--+--I~ 3

1-1

3

,_,

I

r (ZI

3

3

II

I_I I

(Zeitl

e:

Inl fbI

Kz

R · ,. Jahres-Ersatzrate = 12 · (1+0,1 . ~': ) = 12,45 T€

B:

,

1' 12 - 1

(a)

K2 = 100 ' 1,1 - 12,45 ' -0,1-

(b)

100 · 1• t

n

94,85500 T€

I, I n - 1 = 1245 - - 0,- 1 ,

In (12 ,45/2 ,45) In 1,1

= 17,05623 Jahre = 68 ,22493 Quarta1e.

Das Krcdit konto wird nach der leMA -M ethode abgcwickclt, d.h . Z insperiodc = Zahlperiode = 1 Qua rtal (yim eljahrlicheZinseszinseni , dcr Ouartafszmssatz i Q ist konform zu 10% p.a., d.h . q = l +iQ = I ,W o.lS = 1,024113689

(gill fUr' die Faile 10 his 15 sowie 60 his 65)

Ocr fur die Abwicklu ng des Kreditkontos maBgcblieh e Zabtungsstrabllautet: {Kreditsvmme)

t

-j 3

3

ill

ill

(ROckzohfvng en)

oo

H

f OO IT€/

3 m

3

3

3

'" '" '" 8

f3 m

f---

3 .

(01

3

'"

I_I

3

I_I

3 1,_1

(Zei/l

3

(nl (bl

Kz

s

1.024.. - 1

(,)

K2 = 100 · 1,02411.. - 3 ' 002411

(b)

1,024,.n - 1 n 100 · 1,02411.. = 3 ' -"'''''~ 0,02411..

~

...

= 94,873 76 T oE:

~

n =

In 5,09657... In 1,0241 t..

= 68,3 48 12 Quart. = 17,08703 J ahre.

5.3

Effcktivzinsermittlung bci unterjiihrigen Lctstungen

c:

263

Das Krcd itkonto wtrd nach der US-Met hode abgewickclt, d.h . Z insperiod e = Zahlperiode = 1 Quartal (vieneljahrliche Z inseszinsenr, dcr Quartalszinssatz iQ ist relariv zu 10% p.a., d.h . i Q = 2,5% p.Q . d.h. q = l +iQ = 1,025 (gilt[ur die Faile 20 his 25 sowie 70 bis 75) De r fur die A bwieklung des Krcditkontos maJ3gcbliehe Zah lungsstrahl ist identiseh mit dcm Zah lungsstrahl nac h B, es muss lcdiglieh mit i Q = 2,5% p.Q, abgerechnet werden:

D:

S

8

(a)

K z = 100 ' I ,025 -3'

(b)

100 ' 1,025 = 3 ·

n

1,025 - 1 = 95,63194 T€ 0 025

1,025n - 1 0,025

... =>

~

'0 6

0 =

= 72,56257 Q uartale = 18,14064 J ahre.

In 1,025

Krcd itkonto mit jahrhcher Zins- und T ilgungsverrcchnung (i = 10 % p.a.) . (gill f ur die Faile 10 bis 15 sowie 80 his 85) Der fur die Ab wieklung des Krcd it kontos maJ3gebliehc Zahlungsstrahl laut ct: (Kreditsumme l

,~

H

100 IT€J

---j

(ROckzahlungenl

1-

f-

12

12

12

III

IZI

101

(01

(Zeit)

Ibl

K,

95,80000 T€ '0 6 " =-In 1,1

(h)

E:

= 18,79925 J ahre = 75,19698 Q uartale.

Kredi tkonto mit halbjahrlichcr Zins- und T ilgungsverrech nung (iH = 5% p. H.) (gilt fur die Faile 40 bis 45 sowie 90 bis 95) Ocr fOr die Abwicklung des Krcditkontos meegc blichc Zah lungsstrahl lautet: (Kreditsumme'

t

---j

(Riickzahlungen'

oo

f-I

100 JT€J 6

6

6

6

6

6

II I

(21

131

(41

tn- f)

(01

(a!

4

K 2 =100 '1 ,05 -6 '

(h)

1-

f-

n

100 · 1.os = 6 '

1,054 - 1 0,05

1,05a - 1 0,05 ;:)

K,

{Zeit'

Ibl

95,689875 T€

=>

'a

n = -6- = 36,72378 H albjahre In 1,05 = 73,44757 Quartale = 18,36189 Jahre.

264

5

Die Ennittlung des Effcktivzinssat zcs in dcr Finanzm athcmatik

Nach Ab.~chhL"" von Pbase I ergcbcn sich somit (zusommengefasstt folgcnde Resl<;chuldbetriige K z und Cesemuaurzenen n (Tab. 5.3.6):

PHASE

2

Restsc huld bzw. La uCzeit (aus Phase 1) fUr

Effektivzins-Ennitt lungs-Met hode

falls Kreditauszahlung 100% und ieff-Kontofiihrung nach:

Tob. 5 3.6 PHASE (.)

Laufzeit 2 Jah re + Kredit-

kontofUhrung nach:
1

360 TM

360TM: K z: A: 94, 855 (

K z: B: 94,8737 (1£)

US

KZ:

Kredit-

kontofuhrung nae h:

c

95,6319

(1£)

nacbschuss. TV: zvrrv jahrlich D : 95,8000( (1£) nachschuss.TV:

zvrrv

halbjahrl E: 95,6 898

(1£)

360TM

n,

ICMA

n,

B: 17,08703 Jahre 68,34 812 Quartalc

US

n,

C: 18, 14064 Jahre 72,5625 7 Quartalc

rachschnss.TV; zvrrv j ahrlich

68,22493 Quartalc

D: 18,79925 Jahre

us

- - - - - - - - - - -

A: 17,05623 Jahre

zeit +

(1£)

l eMA

Gesa ml-

leur-

ICMA

75, 1969K Ouartatc

nachschiiss. TV: E: 18,36 189 Jahre zvrrv balbjahrl 7M 4757 Quartale

falls Krcditauszahlung 94% und icfrKontofiJhrung nach:

360 TM

-

-

-

-

-

-

ICMA

us

-

-

-

-

-

-

-

-

Die Ptcilc ,,- " sollen and curen, dass fur cine bcs timmte Kredit kontofuhrung die in Phase 1 enn ittcl te • •

Rcstschuld K2 bzw. Gesamtlaufzeit n

[ilr jede Effck tivzlnsmcthod c giiltig bleibt (identischeWerte fu r die gesamte jeweiJige Zeile): E s kan n daher zu einem und dcmsclbcn Zahtungsstrorn bci unterjahrigen Leistun gcn (ermittelt in Phase 1) rnchrere E ffckt ivzinssatze geben. je nachdcm , wclchc Effektivzins-Berechnungs-Methode (360- Tage-Methode, l eMA. ode, US) engcwendet wird (oder ongewenda werden muss). Nachdem nun samtnchc zahlungsrelevan ten Daten vorJiegen , lasst sich der komplctte reale Zahtungsstrahl fur jede in Phase 1 bctrae htete variante angcbcn. Es folgt (in Phase 2) die aufgrund der tatsachhcbcn Zahlungsstrome vorzunehm ende Berechnung der Effek tivzinssatze nach dcn drei erwahnt en Kontof iihrungsmethod cn I: 360 -Tage-, II : ICMA- und III: US-M ethode:

5.3

Effektivzinscnnittlung bci untcrjiihrigcn Leistungcn

PHASE I: II: III: I:

2:

265

Ennittlung de r E ffektivzinssatze naeh dcn Kontofuhru ngs-Verfahren

360 -Tage-Melhooe ICMA-M ethode US-M et hode Wie schon in Beispiel 5.3.1 a) crlautcrt, werden bci der 360-Tage-l\Iethode (siehe Kap. 4.3, Methode 1) samtliche un terjiihrigcn Za hlungen linear mit dem (noch zu ermiuelnden] Effektivzinssatz i = ierf (= q - I) auf das J ahresendc autgczlnst. d ie cn tsta nde ne jahres Ersa lzra le R* (siehe Beispiel 5.3.1 a) sowie Kap. 3.8.2, insbesondere Satz 3.8.21 i) und Bemerkung 3.8.2 4 i» kann als Rate in de r Standa rd- Rentenfonnel vcrwendet worden. Naeh Beispicl 5 .3.1 a) lautc t die Jahrcs- Er satzrate R* {sie emspndn dem linear mit i eff (= q - 1) aufgezinsten21 aufgezinslen W ert der vier Quanalsraten zum Jahresende):

R* = 12.000 ' (1 + (q -1 ) ·

~.~ )

Damit ergibt sich aufgru nd dc r in Phase 1 crmittelten zahlu ngsrclevanten Dat en der folgende, fur die Berechnung von ieff mit H ilfe dcr 360~ Tage-Meth ode gceignete rea le Za hlungsstrah l:

m

(2)

100

94 (AuszahlungJ

,~

(T€I

H

f--

-1~-+--+--+-- --+--+---+---1f3

3

3

3

R'

'"

3

3

3

3. R- ...

/2/

(a)

3

A. 94,85500

E.

3

_

K2

8,' 94,8 7376 Co 95,631 94 D: 95,80000

Abb. 5 3.7

3

95,68988

3 II'

(oJ

A.

B C

0

s.

(ZeitJ

Ibl

17,05623 bhre 17,08703 bhre 18, 14064 bhre 18.19925.bhre 18,36189 bhre

Man sicht sehr schon, dass die verschicdcncn Konditionen od er Kontofuhrungs-M eth odcn A - E in Phase I lediglich unrcrschicdlic hc Restschuldbct rage oder Gesamt- Laufzcitc n bcwirken (siehe auch Tab. 5.3.6) . An hand des Za hlungsst rahls (Abb. 5.3. 7) lassen sich nun rar die 20 Faile (00 bis 90 sowie 03 bis 93, siene Tab. 5.3.5) die 360-Tage-M ethod e-Xquivalenzgleichungen fUr dcn Effcktivzinsfak tor q (= 1 + i.f ) aufstellen:

(a)

Laufzeit 2 Jah re (funf Vananten fur K2 sieneZahlungsstrahl):

(I )

a

4 5 qL I = 100 .q2 _ 12·(I +(q-I) ·=) · - K,

(Falle 00 - 40)

(2)

a

94 q'- 12·(I+(q-I)·=)· - - K,

(Falle 03 - 43)

12 45

q- I q2 _1

12

q- I

D ie ents prechenden 360 -Tage-Melhode-Effek tivzinssacze - mil einem iterativcn Naherungsverfah ren (Regula f alsi) crhalten - sind weite r unten in Ta b. 5.3. 11 autgeliste t. 21 Es cmpfichlt sichhier, in der linearenZinsformei Kn '" Ko(l + in) anstelle von i den Term q - 1 (= i) :r.u vcrwenden. so dass in dcr Aquivalcnzgicichung llurein Variablennamc (nlimlich q) auftritl.

266

5

(b)

Die Ennitt lung des Effek tivzinssatzes in der Finanzmathematik

Gcsamtlaufzcit (jan! Varian/en fUr n siehe Z ahlun gsstruhl Abb. 5.3.7)

(1)

0 = 100 g" - 12 "(I +(q-l)

(2)

0 =

4S

q" -l

45

q" - l

12) "-q:-t

(Fiille 50 -90)

94· q" - 12·(I+ (q- l ) 12) · ~

(Falle 53 - 93)

Die entsprechcndcn 360TM-Effek livzinssiilzc - mit eincm iterativcn Naherungsvesfahren

(Regula jalsi) erhalten - sind weiter unten in Tab. 5.3.11 aufgelistct. Wie bereus erwahnt (Bem. 5.2.9),

II:

cnrten dabei fur " n~ auch gcbroch enc H ochzahlcn verwendct worden.

Basis fur die E ffekt ivzinsbc recbnung nach dcr ICl\lA -Methode iSI wicdcr dec nach A bschluss von Phase 1 rcsuntcrende Zahlungsstrahl. Da nunmehr die Zinspcriodc mil dcr Za hlpcriodc ( = 1 Quartol) uberemst immt, Ist cs notwendig, d ie Gesam tlaufzcir in Q uartalen ( "" A nzabt der Quartalsraten) anzugeben, sie he Abb. 5.3 .8 :

11/ t OO fAuszah lungJ (2/ 94

tte t

,~

H

- j l - -t--t--+-- -----i-----it--I----if3

3

3

3

IfI

12/

IS/

1' /

3 tsr

3

'"

3 tn (a)

A

8 C D

s.

Abb. 5 3,8

f---

3 .

3

'"

3 ' ",1

K2

3 I-I

A

IZeitl

3 Inl Ibl 68,224 93 Quartafe

94, 85500

8. 68,34812 Quartafe

94, 87376 95,63 194

C 12.56257 Quartafe D 75.19698 Quartafe

95,80000

,.

73,44757 Quarlale

95,68988

An hand des Zahlungsstrahls (Abb. 5.3.8) lassen sich nun fOr die 20 Falle (01 bis 91 sowie 04 his 94, stene Tab. 5.3.5) die I Cl\1A-Aquivalenzgleichu ngen fu r den Effe ktivzinsfaktor q (t== 1 + i"fY aufstellen:

(, )

Laufzeit 2 J ahre (funf Varian/en f ur K 2 siene Zahlungsstrahl Abb. 5,].8) , q t=l + iQ : qL J (1) 0"" lOO -q8 - 3 - - - - K, (mil i'ff == q4 - 1) (Fii lle 01 - 41) q- I (2)

(b)

O·

qL J 94·q8 - 3 - -q _-J - K2

(mit

i'/I ""q 4 _ 1)

(Faile 04 - 44)

Gesamtiaufzeit (funf Varian/en f ur n siene Zahlungsstrahl A bb. 5.3 .8) , q ,,,,, I +i o : . qn - I lOO 'qn -3 (1) 0 (mit i"ff "" q4 - 1) (Faile 51 - 91) q- l

(2)

0

•

94 - qn-3

qn _ I

q- I

[mit i"ff"" qL1)

(Faile 54 - 94)

Die rcsulticrenden ICMA- Effektivzinssal ze - mit dem iterativen Naherungsverfahren Regula f alsi e rhalten - sind naehfolgcnd in Tab. 5 .3. 11 aufgelistet Zl. Wie zuvor bcrcrrs erwahn t (Bern. 5.2.9), curfcn dabei fur nn" auc h gebrochcne Expon emen verwcndc r worden. Zl Die im Text angegebcnen numerischen Werte sind gcrundct. Fur ihre Enn iltlung und Weitcrverarbeitu ng wu rdc meistens mit 9 Nachkommastellcn gercchnet.

5.3

267

Effektivzinsennittlung bei unterjahrigen Leistungen

I II:

Basis fur die Effektivzinsberechnung nach der US-Methode lst wieder de rselbe Zablungsstrahl nach Abscbtu ss von Phase 1 (Abh. 5.3.8) , wie er sich auch bel Anwendu ng der ICMA -Methodc ergibt. Erneut stimmen Zinspcriode und Zahlperiode ( = 1 Quanal) uberein, so dass sich bzgl. des ~ cffekt iven~ Quartalszinsfaktors q ,= 1-tc dieselbcn Aquiva lenzgieichungen ergcben wie bci Anwendung dcr ICMA· Methode (II):

(a)

Laufzcit 2 Jahre (junf Varianten f ur K 1 siehe Zahlungsst rahl Abb. 5.3.8), q ,= 1 + io : qLJ (1) O =100' q8-3 ' q _ 1 -K2 (mit ieff = 4 ' i Q ) (Falle02 -42)

qLJ 0= 94 ·q8 - 3· q -J - K,

(2)

(b)

(mit

ieff = 4 ' iQ )

(Faile 05 - 45)

Gcsamtlaufzcit (jiinf Varianten fUr n siehe Zahlungsstrehl Abb. 5.3.8) , q ,= J + iQ :

(I)

o=

(2)

0

lOO' g O - 3

94 'qD _3

qO _J , - 1

. qO _ J , - 1

(mit

i'ff = 4 ' iQ )

(Falle 52 - 92)

(mit

i'ff= 4'iQ )

(Fa lie 55 - 95)

Einzigcr Unterschied bci Anwendung der US-Met hode im Verglcich zur ICMA·Methode in II : Der naeh Anwcndung des Iterationsverfahrens gewonnene aquivalente Q uartalszinssarz io wird jctzt linear auf den Jehrcszinssatz ierr hochgerechnet, d.h. ieff = 4 . io . Die entsprcchcnde n tn otwendigaweise geringer ets bel der I CMA -Methode ausf aIlenden) Effektivzinssatzc sind in Tab. 5.3 .11 (siehe WHen) aufgelistet . Bemerkung 5.3.9: Gan z aIlgemein ist festzustellen - und die unte-n in Tab. 5.3.11 aufgelisteten Daten best(itigen dies - , doss sich die Eff ektivzins satze nach der 360-Tage-Methode und nach der ICMA · Me/hade (in Phase 2) nichi wesentlich voneinander umerscheiden, obwohl ihre Ermiutu ng auf recht unterschiedlichen Verzinsungsfiktionen beruhen. In Kapitel 5.4 werden wir noch andere VergleichsmafJstab e fu r die unterschiedlichen KonrofiihrungsMethoden diskutieren. Bemerkung 5.3.10: Die aus der nuchstehenden Tabell e 5.3.11 ahlesbare Tat sache, doss es "f iir einm und densetben Kredn eine Vielzahi un/erschiedlicher Eff ek tivzinssatze gibt, musue Antass genug sein, sich ein f ur allemal auf eine imemcnonal einheitliche Methode f iir aile Krednanen zu versumdigen... U

wtr wollcn im folgenden fUr drci Falle (Fall 02, Fall 54 und Fall 43, siehe Tabeue 5.3. 11) zur Kontrolle der Rechnungen die jeweiligen Kredilkonte n (Phase 1) und Vergleichskonlen (Phase 2) angebcn. Wenn der Effe ktivzins richtig berechnet wurdc, mussen Krcditkonto und Verglcichskont o zum gleichcn Schluss-Saldo kornmen. Bemerkung: Fur die Rille 23 und 24 sind Kredukonten und Vergleichskonten bereits in Beispiel 5.3.1 hergeleitet.

268

5

Die Erm ittiung des Effcktivzinssat zcs in dec Finanzmathcmatik

Effekt ivainssatze (Ta belle 5.3.11) : Basiskrediu Kreditsumrnc 100.000 € ; Zins: 10% p.a.; ROckzahlungen: 3.000 € /Q uartal Variante n: Laufzeit: 2 J ahre oder Gcsa mtlaufzeil bis zur vollstandigen T ilgung Auszahlung: 100 % ode r 94% KontofUhrungsvarianten:

Phase! (Kreditkoruo}: A: 360m B: le MA

C: us

D: ZV/TV: jahrlich

[ : ZV(5%p.H) /1V: halbjahrlich

Phase 2 (Ko nlofUhmng fUr Effektivzinsrnnilllung): I: 360TM II: l e MA III: u s P HASE

2

Effekt ivzins

Tab. 53.9

jeff

(p.,.)

falls Krcd itausza hlung 100%

falls Kreditauszahlung 94%

und ierr KontofOhrung nach:

und iefc Kontofiihrung nach:

I

/I

360TM

ICMA

us

11/

I

/I

360 TM

ICMA

us

11/

P HASE

1

Laur-

360 TM

A

10,0000 %

9,9905%

9,6367%

13,8H5%

13,8 358%

13, 1709%

ICMA

B

10,0095 %

10,0000"10

9,6455%

13,8643%

13,8456%

13,1797%

(23)

( 24)

(02)

zeit 2 Jah~

+ Kred itkontofu hrung

nach:

US

C

10,39 15%

10,38 13%

10,0000 %

14,2588"

14,23 91'S 13,536 3%

D

10,4759%

10,4656%

10,0783%

14,346 1%

14,326 1%

13,6 15 1%

nachsc buss. TV: halbj. E

10,4206%

10,4104%

10,0270"10

14,2889%

14,2691%

13,5635%

necnschuss. TV:

zvrrv jahrl. zvrrv

Cesamtlau fzeil

(43)

(54)

360TM

A

10,0000 %

9,9877%

9,6 341%

11,0824%

11,0668%

10,635 1%

I CMA

B

10,0123%

10 ,0000 %

9,6455%

11,09 39%

11,0783%

10,6457%

US

C

10,3942%

10,3813%

10,0000 %

11,45 14%

11,4 352%

10,9752 %

10,5994%

10,5862%

10, 1902%

11,6429%

11,6264%

11, 15 13%

10,4658%

10,4528%

10,0664%

1l ,5 183%

11,5020%

11,0367%

+ Krcdi tkontofuhrung nac h:

nachschuss.TV:

zvrrv jahrl.

D

nachschuss.TV:

zvrrv halbj. £

Faile (23) und (24) (kurs;v): Kreditkontenl Vergleichsk onten ausfuhrlich, siene BeispieI 5.3. J alb) ; Faile (02), (54), (43) (reU~· KreditkonteniVergleichskonten im Folgetext exemp larisch aufgef iihn .

Beispiel 5.3. 12:

(Kredit- nnd Vergleich.~ kon lo - Fall 02)

Bci Fall 02 handclt es sich urn folgcndc Kred itvartanter Krcditsummc 100.000 €, A uszahlung 100 % (k ein Disagio), Laufzeit 2 J ahre, Riickza hlung in 8 Quartalsratcn zu jc 3.000 € /Quartal plus Restschuld K2 (nach 2 Jahren)

5.3

269

Effektivzinsermlttlu ng bci unrerjahrigen Lcistungcn Phase 1:

Abwicklung des Krcditk ontos nach der Me thode A, d.h. 360TM-Methode . Unterjahrig wird dahcr linear mit 10% p.a. (und sofortiger Tilgungsverredm ung} verztnsr. Wie obcn gezeigt, resumen cereus nach zwei Jahren d ie Res tschuld K 2 mit K2

= 100.000 '1,1 2

I 12 - I

-

12.450 ·~ = 94.855,00 €.

Auf dcr Datcnbasis von Phase 1 wird der Effektivzlns nach Met hode III , d.h. der US-Methode ennittelt. DIC Zinspcriodc tst somit cin Quartal (girich der Zahlperiode), der resultierende "cffektive" Quarta lszinssatz io wi rd ansch lleBcnd linear auf de n (effektivrn) Jahreszins hochgerechnet: i efr :: 4 · i o '

Phase 2:

360-Tage-Met hode-Kredilkonlo CUr Fall 02 (Phase 1): Imterjiihrig tinearer Abrechnungstinssotz: 10 = 2,5 % p.Q. (360- Tage-Methode} Period e: Jahr 0'·

1

(Beginn Per.) 100,000,00 97.000,00 94.000,00 91.000,00

(2.500,00)

(2.438,75) (2.363,75)

4

97.550,00 94.550,00 91.550 ,00 88.550,00

l

94.855,00

l

2 3 4

2

3

Periodenzinsen (2,5% p.Q.) kumutien IIl1d (sepa nu zum l ahresgesammelt) endevcrrechnet

Restschuld

1 2 3

(2.425,00) (2.350,00) (2.275,00)

(2.288,75) (2.213,75) = K2

Tilgung (Elide Per.]

Zahlung (Elide Per.]

9.550,00

3.000,00 3.000,00 3.000 ,00 -6.550,00

3.000 ,00 3.000 ,00 3.000 ,00 3,000,00

9.305 ,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 - 6.305,00

3,000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

(360-Tage-Methode-Kredilkonlo fUr Fall 02)

Damit ergibt sic h (da Auszahlung 100%) In Phase 2 die US-Aqu lvalcnzgleiehung fur q ( = 1 +IQ ) = q8 _ I 0= loo'q8 - 3 · - - - 94,855

q -l

mit der Losung (Regula fa&i): q = l+i o = 1,02409169, d.h. io

:: 2,409 169% p.Q.

und daher:

ieff = 4 ·

'c = 9,6 36 6 74'Jf~ p.a.

Damit wird in Phase 2 das US-Verglcichsko nto durchgcrech nct:

US-VergleiclLskOllto tur Fall 02 (Phase 2)

(End e Per.)

zrnsen

Tilgung (Ende Per.)

Zahlun g (Ende Per.)

100,000,00 99.409,17 98.804,10 98.184,46

2.409,17 2.394,93 2.380,36 2.365,43

590,83 605 ,07 619,64 634,57

3.000,00 3.000 ,00 3.000 ,00 3.000,00

7 8

97.549,89 96.900,03 96 .234,52 95.552,97

2.350 ,14 2.334 ,49 2.3 18,45 2.302 ,03

649,86 665,5 1 681,55 697,97

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

9

94.855,00

Period e: Jahr 0'· l

l

2 3 4 2

3

Abrechnungszmssan: 'a :: 2,409169 % p.Q. (US)

5 6

Restsch uld (Begilln Per.)

:: K2

(US-Vergk icliskonlo - geht genau auft)

270

5

Betsptet 5.3.12:

(Kredit- und

D ie E rmittlung des Effektivzinssatzes in der Finanzmathcmatik

Vergleich.~konto

- Fall 54)

Bci Fall 54 handelt es sich urn folge nde Kreditvarian te: Kreditsunune 100.000 € , A uszahlung 94 % (Disagio 6 %), Gesamtlaufzeil ( =n) his zur vollstandigen T ilgung, R Ockzahlung in n Quartalsraten zu je 3.000 € /Q uartal Abwic klung des Kred itkontos nach der Methode A, d.h . 360-Ta ge-Melhode. Unterja hrig wird da her linear mit 10% p.a. (und sojoniger Tilgungsverrechnung) verains t. Wie oben gezcigt, res ultiert da raus die noch fehlende Gesam tlaufzeit n:

Phase 1:

II 1, 111 _ 1 100 ' 1,1 = 12,45 ' - ,0 1

~

... ~

n=

In ( 12,4512,45) = 17,0 5623 Jahre In 1,1 = 68,22493 Quartale.

Auf dcr Datcnbasis von Phase 1 wird der Effcktivzins nach Methode II, d.h . der l eMA-M ethode ennittclt. Die Zin speriod e Ist somit ein Q uartal (glrich der Zahlperiode) , dcr rcsulticrcndc Meffektive" Quartals zinssat z 'o wird ansc hlie8c ndexponentiell auf den (effektiven) J ah rcszins hochgerech net: 1 + ieff = (1+iot .

Phase 2:

360 -Tage-l\fethode- Kred itkonto ftir Fall 54 (Phase 1): unteriahrig linearerAbrechnungszinssatz:

'o = 2,5% p.Q.

Periode: J ahr Q,. 1

1 2

Periodenzinsen (2.50 % p.Q.) Restsc huld (Beginn Per.]

(separal gesarnrneIt)

(Ende Per.)

9.550,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 - 6.550,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 - 6.305,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

...

.. .

4

97.550,00 94.55 0,00 91.550,00 88.550.00

3

I

94.855,00

(2.438.75) (2.363,75) (2.288,75) (2.213,75) ...

9.305,00 ...

...

...

...

.. .

2

1 2

3

...

3 4

16.157,42 13.157,42

(403,9 4) (328,94 )

17

1 2 3 4

11.923,16 8.92 3, 16 5 .923,16 2.923,16

18

1

66 5,48

2

0,00

Zahlnn g

(Ell de Per.)

(2.500,00 ) (2.425,00) (2,350, 00) (2.275,00)

4

T ilgnng

kumuliert Wld zum Jahres-

ende verrechnet

100.000,00 97.000,00 94.000,00 91.000,00

3

(360· Tag~Methode)

...

...

1.765,74

3.000,00 1.234,26

3.000,00 3.000,00

(298,08) (22 3,08) (148,08) (73.08)

742,32

3.000,00 3.000,00 3.000,00 2.257,68

3.000,00 3.000 ,00 3.000 ,00 3.000,00

(1 6.64)

16,64

665,48

682, I I

(360- Tage-Merhode-KrediJkonto f iir Fall 54 n = 68,22493 Quartale;Quartalsraten)

Somit ergibt sich (da Auszahlung 94 %) in Phase 2 die ICMA-AquivalcnzgleiehungfUr q ( =1 +i Q ) : q611,22.. - 1 mit dcr Losung (Regula falsi) : q '" l +iQ = 1,0265877 , d.h . 0 = 94 · q68.2249.. - 3· q- I

io = 2,65877 1% p.Q.

und dahcr:

ierf = (1+io)4 - 1 = 11,066 79% p.a.

5.3

271

Effcktivzinsermi ll iung bei untcrjahrigcn Lcist ungcn

Damit wird in Phase 2 das l e MA-Vergleichskonto durcbgercch net : I Cl\1A-Vergleich.~konto

Peri ode : Jahr Qu. I

Zinsen 2,658.. % p.Q.

Tilgung (Ende Per.)

Zahlung (Ende Per.)

94.000,00 93 .499,25 92 .985, 18 92.457,45

2.499,25 2.485,93 2.472,27 2.458,23

500 ,75 514,07 527,73 541,77

3.000,00 3.000,00 3,000,00 3.000,00

8

91.915,68 91.359,5 1 90.788,55 90.202,41

2.443,83 2.429,04 2.413, 86 2.398,28

556, 17 570,96 586, 14 601,72

3.000,00 3.000,00 3,000,00 3,000,00

9

89 .600,69

...

...

...

...

...

...

1 2

4

3

5 6 7

... ... 17

18

Beispiel 5.3. 12:

= 2,658 771% p .Q. (lCMA)

Restsehu ld (Beginn Per.)

3 2

fUr Fall 54 (Phase 2) A brechnungszms sau: 'c

...

64

14.456, 76

384,37

2.615,63

3.000,00

65

67 68

11.841, 13 9.155,96 6 .399,39 3.569,5 4

314,83 243 ,44 170, 15 94,9 1

2.685, 17 2.756,56 2 .829,85 2.905,09

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

69

664 ,44

17,67

664,4 4

682,1 1

70

0,00

66

(ICMA- Vergleichskon to - geht genau aufl)

(Kredit- und vergjelehskcn tc - Fall 43 )

Bei Fall 43 handclr cs sich run folgende Kredlrvanames Krcditsummc 100.000 €, A uszahlung 94% (Disagio 6%), Laufzeit 2 J ahre. Ru ckzahl ung: 8 Q uarta lsratcn zu je 3.000 € /Quarta[ plus ROekzahlung der Restschuld K2 (nach 2 Jahren) P hase 1:

Abwicklung des Krcdilkontos naeh der Methode E. d.h. bei halbjahrlicher Z insund Tilgungsverrechnung. Dabci wird mil halbjihrlichcn Zmseszinscn in H ohc von 5% p.H . gcrechnel. Z insund tilgungswirksam vcrrechn et wcrdcn Semes terbe trage von 6 .000 € lHalbjahr tobwohl 3.000 € pro Qual1aJgeleistet wurden - nachschussige Tilgungsverrechnungl r. Wie oben gezeigt wurde (Phase 1, Methode E) , ergibt sich somit die naeh 2 Jahren noc h bcstehendc Restschuld K2 zu: K2 = 100.000 ' 1,05

Phase 2;

4

- 6000·

1,054 - 1 0,05

= 95.689.88 €

A uf de r Datenbasis von Phase 1 wird der Effcknvzlns nach Method c I, d.h. de r 360 -Tagc-Mc thodc crmittelt. Un tcrjahng wird somtt linear bei 10% p.a. verzinst, samtnchc Quartalsraten worden sofo rt tilgu ngswirksam vcrrcchnct.

Die Errnit uung des Effektivzinssatzes in der Finanzmathcmatik

5

272

Kredilkonlo Ilir Fall 43 (Phose 1) - halbjiihrliche Zinseszinsen 5 % p.H,

" Rate" '" 6.000 € pro Halbjahr: Periode:

Jahr Scm.

I

1

Re..t<;chuld (Begil1l1 Fer.)

2

100.000,00 99 .000 ,00

2

1 2

97.950,00 96.847,56

3

1

95.689,88

5%p H

Zinsen

T ilgung

Zahlung (Ende Per.)

(Ende Per')

(En de Per')

5.000,00

1.000,00

6.000,00

4.950,00

1.050 ,00

6.000,00

4.897 ,50

1.102,50

4.842,38

1.157,62

'" K1

6.000,00

6.000,00

(Kredilkon/a[ur Fall 43)

Darnit crgibt sich (da A uszahlung 94%) fur den effektivcn Jahrcszmssatz iefl (q '" 1 +i.fJ) die folgcndc 360-Tagc-Methode-Aquivatenzgleichung:

o=

45

q2 _ 1

12

q- 1

12 · (1+(q- l ) ·....:.:.:..) ·-

-

- 95 689875 '

mit dcr Losung (Regula fa lsi) i efr '" 14,2889346 "" 14,29 % p.a.

Damn wird in Phase 2 das 360-Tage-Mcthodc-Vergleichskonto durchgerechnct, wobci zu beachten ist , dass vien cljahrhchc hncarc Zinscn in Ho hc von ieff/4 = 3,57223365% p.O. entstehcn, die kumulicrt und am J ahrescnde vcrrcchnct worden. v erglerchskonto Ilir Fall 43 [Abrechnungszinssotz 3,57223365% p.Q. linear) Penodenzlnsen (3,57...% p.Q.) Pe riode:

Restschuld (Beginn Per.]

gesammell)

1 2 3 4

94,000,00 91.000,00 88.000,00 85.000,00 94.788,60 91.788,60 88.788,60 85.788,60

(3.357,90) (3.250,73) (3.143,57) (3.036.40) (3.386,07) (3.278,90) (3.171,74) (3.064,57)

I

95.689,88

Jahr Q,. 1

1 2

3 4 2

3

(sepann

= K 1'

kumulienund zum

Jahres-

ende verrechnet

12.788,60

12.901,28

Tilgung

Zahlu ng

(Ende Per.)

(Ende Per.)

3.000,00 3.000,00 3.000,00 - 9.788,60 3.000,00 3.000,00 3.000,00 -9.901,28

3,000,00 3,000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3,000,00

(360-Tage-Merhode-Vergleichskonlo - gehl genau aufI)

Aufgabe 5.3.13:

Gcgcbcn Lsi cin Aenurtatcnkrcdtr mit cincr Kreditsumme von 100.000 € . Disagio 6%. Ruckzahlungen 3.000 € / Ouartal [erste Rate 3 Monate nach Kredilaufnahme) und einer Basisverainsung von 10% p.a. Die Laufzeit betragc 5 Jahre, die sich dann ergebendc Restscbuld tst in einem Bctragc zuriiekzuzahlen. Die Krcditbank bietct funf vcrschicdcnc Kredit- Variantcn fur den Krcditnchmcr an: Variantc A: Das Kreditkoruo wird nach dcr 360-Tage-Methodc abgcrcchnet (sofon ige Tiigungsverredm ung]

Effektivzinsennittlung bei unterjahrigcn Leistungcn

5.3

Variante B;

273

Das Krcditkon to wird naeh dc r ICMA +Method c abgcrcchnet (sofortige Tilgungsver-

rechnung} vartante C:

Das Kreditkonto wird nach der US-Me thode abgcrechnct (sofo rtige Tiigungsverrechnung)

Varia nte D:

Das Kreditkont o wird wic folgt abgcrech net: Z ins- und T ilgungsverrechn ung etfo lgcn jahrlich, i = 10% p.a, (nacnscnussige Tllgungsvenechnungi

Variante E :

Das Krcditkonto wird wie folgt abgcrcchnet: Z ins- und Tilgungsverrech nung etfo lgen halbjah rlich, der anzuwendende Semcsterzi nssatz be tragt 5% p.H. tnachschusslge Tilgungsvem chnung)

Man ennittle fur jedc dicscr Kontofuhrungsvarianten den (anf iing/ichen) Effcktivzinssatz nach der II: ICMA -Mcth ooe III: US-M eth ooe · I: 360 -Tagc~Mcl hode - Aurgebe 5.3. 14:

Gcgcbcn sci ein Annuitatenk rcdit (Kreditsum me 550.000 € ) mit den Konditioncn 94/10 /2. Die sieh rcchn cnsch ergcbcndc J ahresannuitat tst in 12 gleichen Teilen (zu je fl12 der l ahresk istung] mona tlieh fallig, erste Ra te cincn Monal nach Kred ita ufnalune. D ie T ilgungsverrechnung etfo lgt dagege n viertcljahrlich tna chschussige Tilgungs vm echnung). D ie Zi nsverrechnung erfolgt hafbjahrlich in zwci Variante n: a) Der H albjahreszinssalz ist relativ zu 10% p.a. b) Dcr H albjahreszinssatz ist k onf onn zu 10% p.a.

[innerhalb des Semesters: jeweiis uneare Verzinsung!)

Man ermtnle fur jedc der Variante n a) und b) de n E ffektivzinssatz nach der

- I) 360-Tage-Mcthode II) ICMA-M ethooe,

wenn

1) die Kond itionen fur 5 J ahre fest gcschricbcn sind; 2) die Konditionen fur die Gcsamtlaufzcit unverandcrt blciben.

tlnsgesan ugibt es also 8 Varianten und somicB tverschiedene} Ef f ektivzinssiitze!) (WeiJere Aufgaben zur Effekti~zjnserl1liltfung bet unterj iihrigen Leisrnngen am Schluss des KapiJels!)

5..3..3 Effekt ivverzinsung und un terjiihri ge Zahlungen -

a usgewiihlte Probleme

Den Absc hluss des Kapitels 5.3 ubcr untcrjah rige Lcistungen und Effek tivzinsennitll ungcn bilden cinigc A nschluss- und Sonderproblcm c: •

Kan n - bc i Vo rgabe von E ffcktivzins und Zahlungsstrom - cin belicbigcs Disagio vcreinbart (Kilp.5.3.3.I) werde n?

•

Wie sind dic Ges tatt ungscetafts bci untcrjahrigcn Zahlungen , wenn ein Tllgun gsst rcc kungsdar(Kap . 5.3.3. 2) Ichen vcreinbart wird?

•

Wie wird - bei unt erjah rigen Zahl ungen - die korrekte Dlsagio-R uckerstattung bei vorze itigcr T ilgung enni tt clt? (Kilp. 5.3.3.3)

•

Effeklivzinscnnitt lung be i Vcrbraucherkrcdite n (Ra lenkreditgcscMft)

•

Renditccnnittlu ng fur Spara ngcbote - Beispiel: Bonu s-Spa ren

(Kap.5.3.3.4)

(Kilp . 5.3.3.5)

274

5

Die Errnittlung des Effckl ivzinssatzes in dcr Finanzmat hcmank

5.3.3.1 Disagio-Vari anten bei identisch en Za hlu ngsst romen Wie schon in Bern. 4.2.47 gezeigt, kann cs zu vorgegebe nem ZahJun gs.strom und somit vorgegebe ner EffektivzinselWart ung des Kreditgebcrs mehrere aquivelente Kredit e geben, die sich nur in dcr Hoh e des Disagios (und dann oucn in Hone von nomoeuem Zins- und Tilgungssatz) unterscheiden.

Dies gill prinzipiell auch bei unterjahrigen Raten, wie das folgcnde Beispiel belcgt. Beispiel 5.3. 15: Ein Kreditneluner benotigt fOr ein Invesuuo nsprojekr cine Krcdilauszahlung von 100.000 € fur 2 Jahre. Er will dicscn Krcdit in 8 Quartalsraten zu je 15.000 € /Quartal vollstll.ndig zuriickzahlcn, wobci d ie lctztc Quartalsrate - wcgen ciner cvcntuelle n Restschuldlilgung - auch cine davon abwcichcnde

H6he aufweisen kann. Die Krcditbank will d icscs Vorhabcn cntsprechcnd finanzicrcn untcr der Voraussenung, dass das

Gcschan cinen Eff eklivzinssalz von 10% p .a. erbringt. Gcsucht sind Kredltkonditlonen mit untcrschicdlichcn nomi nellen Konditi onen (Auszahlung, nom.

Zins- und Tilgungssiitze) , die dem Kunden die Wahl etwa fur die steuerlich gunstigste A lternative offenlasscn . Da bci sollen zwci Faile unt crschicdcn werden: a) De r Effektivzinssatz wurd c naeh dc r 360· Tage-Methodc ermittek; b) De r Effcktivzins satz wurdc nach der ICMA -M et hcxlc emuttclt.

Die Krcd itbank verzinst das Krcd itkonto (wie im Kreditvertrag vereinban] vierteljahdic h zum relati yen Quartalszins tbezogen auf den jetzt noch nicht bekanmen - jeweils vereinban en - nominellen Jahreszinssatz) , die Tilgungsverrcchnung fimlet ebcnfa l s vierteljii hrlich sta tt (dies Abrechnun gsver[ ahren entsp richt der Kantofuhrung nach US-Methode, siehe Kap . 4.3, Methode 3) . I -&o>ung: A bweichend von den vorangcgangcncn Bcispic lcn m1L~S jetzt zunac bst das mit dcm Effektivzinssatz 10% p.a. bcwcrtct e v ergleichskonto hcrangczogen werden: Die noch feh lcnde Schlussrate R muss so temessen sein,
Sh'chlag (z8J

100

-I

It!ff = 10%p.o,

/T€/ 15

15

15

15

15

f (Zei//

15

15

R

Abb. 5.3. 16

Bei 10% p.a . muss somit genau Aquivalenz von Lcistung und Gcgenleistung best cben . Aus der cntsprcchcndc n Aquivalcnzgleichung lasst sich dann die gesucht e Schlussrate R best immen . A llerdings hangcn die Aquivalenzgleichung und somit dcr Wert von R davon ab, nach welcher Methode (36 0 TM oder I GMA ) der Effektivzinssatz zu ermitt d n ist . Daher mus sen wir cine entsprcchend c Fallunterseheid ung (Variame a) : 36 0- Tage-Metho de; Variante b) : IGMA) vornehme n.

5.3

275

Effektivzinscnn ittlung bci unterjahrigcn Lclstungcn

Variantii'a)

I (Der Effeklivzinssatz 10% p.a. wurdenach der 360-Tage-Metlwde ermilteJt)

Nach Abb . 5.3.16 muss daher folgende A quivatenzgleichung fOr ieff = 10% p.a. csfullt scin: 100.000 ' 1,12 = 60 .000 -(1 + 0, 1 ' -17 ) ' 1,1 + 45.000 ' (1 + 0,1 . \6 ) + R 2 woraus folgt: R = 5.275,-- € (letzte Quarralsrate) . Zur Konrrotle bildcn wir die v orgaogc im cntsprechcndcn 360TM- Verglcichskonto (Phase 2) ab: Vergleidl~konto: (360-Tage-Methode - Phase 2(!), mit i Q = 10%/4 = 2,50% p.Q. (linear)) Periode : Jahr Q , .

1

Restschetd

(Beginn Per.)

1 2 J

100.000,00 85 .000,00 70.000,00 55.000,00

(2.500,00) (2.125,00) (1.750,00) (1.375,00)

1 2 J

4

47.750,00 32.750,00 17.750,00 2.750,00

(1.l 93,75) (818,75) (443,75) (68,75)

1

0,00

4

2

J

Quartaiszinsen (2,50% p,Q.) kumuliert und (separOI zumranresgesammell) ende verrechnet

Tilgung (Ende Per.)

Zahltmg (Ende Per.)

7.750,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 7.250,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

2.525,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 2.750,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 5.275,00

(360TM-Vergleichskollfo fiir i"ff = J0% p.a.)

Tab. 53.17

Wic nicht andcrs zu erwarten, geht das Vcrglcichskont o gcnau auf. Damit steht der reale Za hlungsstrom fest: ~

(36o- Tog e-Methodel

'<>If = 10f;p.o.

IT€ )

~

-if---+---+-+--- ---+--+---+-_ f - -15

15

15

15

15

15

15

5,275

Abb. 5 3, 18 An genommen, der Kunde wunschc cin Disagio (etwa aus steuaiichen Griinden) von 4% dcr Krcditsummc ~. Dann muss fur diese Krcditsummc ~ gotten (die 100.000 € entsprechen der Au.szahlung und machen daher nur 96% der Kreditsumm e KQ aus!):

Ko

=

I ~~~

= 104.166,67 €.

Das Kreditkonto entsprieht somit Abb. 5.3.18 mit der einzigcn Ausnahmc, dass anstene dcr Auszahlung von 100.000 € nunmehr die Krcdirsummc 104.166,67€ tri tt . Jctzt lasst sich der noch fehlcnde nomincllc Krcditzinssatz i cnn ittcln: Dieser ilahres- )Zinssatz muss so bcmcsscn scin, dass das Krcditkonto bci Ab rechnung nach den Kontofiihrungsregcln der Krcditbank (US-Methode, siehe Prohlemf ormu/ienmg) cinen Schluss-Saldo von ~ O ~ aufweist. Auf dcm Krcditkonto erfolgen (US-Me/hode!) Zins- und Tilgungsvcrrechnung bei jcdcr Zahlung (hier also vierteJjahrlich) , der Abrechnungszinssatz i o ist rdativ zum nomincllen Jahrcszins i: Mit io = (5.3.19)

t

d.h . q = 1 -tc = 1

++

lautet die Aquivalenzglciehung bzgl. lj (.siehl' ob. Abh.): qLJ

104.166,67 ·lj 8 _1 5.00Q--

, --I · q - 5.275

=

a

276

5

Die Erminlu ng des Effek tivzinssatzes in de r Finanzmathematik

M it H ilfe cines itcrativen Nahcrungsvcrfahrcns (z.B. Regula f alsi) crhalt man: q = 1,01379165 . d.h . i Q '" 1,379165% p.Q. und somit : nomiaeller Kreditzlnsr i = 5,5 167% p.a. ( = 4 · jO) '

Da die Annuitiit (15.000 €lQual1al) 14,40% dcr Kreditsumme (104.166, 67 € ) ausmacht, betragt die A nfangstilgung: iT = 14,4000% - 1,3792% = 13,0208% p.O . Z ur Kontrollc folgt def Tilgungsplan fur den tatsachlich abgewickellen Kredit (Tab. 5.3.20) :

Kredilkonto (Phase 1): Disagio: 4%, i nom = 5,516658% p.a.; Periode: Ja hr Q". I

I 2

104. 166,67

3

76.852 ,87 62.912,79

6 7 8

3

9

z.hI~g

(E nde Fer.)

(Ende Per.)

1.436,63

13.563,37

15.000,00 15.000,00

15.000,00

867,67

13.750,43 13.940,07 14.132,33

672,76 475,17 274,85 71,76

14.327,2 4 14.524,83 14.725,15 5.203,24

15,000,00 15,000,00 15,000,00 5.275, 00

1.249,57 1.059,93

48.780,46 34.4 53,23 19.928 ,39 5 .203,2 4

5

Tilgnng

Zinsen

+ Zahlungen wie Tab. 5.3.17

J,J79.. %p.Q.

90.603,30

4

2

Restschuld

(Begiflll Per.]

ieff

Vorgabe: j"ll = 10% p.a. (360TM)

15,000,00

Tob.53.20

(Kreditkonto)

0,00

De r "offiz iellc" Krcdit (Kreditsumme: K o = 104.166,67£, Disagio: 4%, Veninsung: t = i"'Jm = 5,516658% p. a., Anfangstilgung /3,0208%) weist somit gcnau die rea l gcflossene n Zahlungen auf, die zu m vorgegebencn 360 -Tagc-Mcthode- Effektivzins von 10,00 % p.a, fuhren.

Variante b)

I

(Der vorgegebene Eff rkliyzins J0% p.a. ist nach der ICMA -Mrtlwde zu ermiueln i

,

Nac h A bb. 5 .3. 16 muss daher die folgendc ICMA-Aqu ivalcnzglcichung zu r E nn ittlung des "cffektiven" Q uartalszinssatzes iQ gcltcn: 100 .000 ·(I+i Q)

8

= 15.000'

Vergleich'l:konto (I CMA

- Pnose 2 (I), mit 'o

~

R = 5.368 ,8 1 € , (» leute Quart alsratr)

= 2,41/369%p.Q. =

1,1°,25_1,

i"ll = 1O%p.a.)

Tilgung (Ende Per.)

(Ende Per.}

100,000,00 87.411,37 74.51 9,18 61.3 16,1l

2.411,37 2.107,8 1 1.796,93 1.478,56

12.588,63 12.892,19 13.203 ,07 13.52 1,44

15,000,00 15.000,00 15.000 ,00 15.000,00

6 7 8

47.794,67 33.947,18 19.765,77 5.242,39

1.152,51 8 18,59 476 ,63 126,41

13.847,49 14.181,41 14.523,3 7 5.242,39

15,000,00 15,000,00 15.000,00 5.368,8 1

9

0,00

I 2 4

3

io

= 2,411369% p.Q.)

Zinsen

3 2

( l+iQ)7_ 1 (1 +i Q ) + R

VJ:l - J

1,41J.. %p.Q.

Pe riode : Jah r Q " .

I

(Quartalszins: i Q =

5

Rest~chuId

(Beginn Per.}

z.hI~g

(ICMA -Vergleichskonto fu r i"ll= 10 % p .a.)

Tab. 53.2 1

5.3

Effektivzinsennittlung bel untcrjahrigen Lcistungen

277

i

In Phase 1 {Abwicklung des Kredukontos bei der Bank - US-Methode) muss (mit q '" 1 + ";'J [ilr den (nom.) Quartalszinsfaktor q gelten (bei ebenfa/Is 4% Disagio una analog zu (5.3.19)): qLJ

(5.3.22)

104.166,67 ' q8_ 15.000 ' - - , ·q - 5.368,81 = q-

d.h. iQ = 1,3990% p.Q, und daher I =

° rmt

5,5 958'Jf~

dcr Losung q = 1,013990,

p.e. (nominell) (= 4 · id

.

Daraus ergibt sich (do 15.000 € = 14,4000 % von 104.166,67 € ) cin antang hchcr Tugungssatz von 13,0010% p.O. (bezogen auf die Kreditsumme 104.166,67 € ) . Zu r Kontrolle ist wieder dcr Tilgungsplan des Kreditkont os angegcbcn (Phase 1 - Tab. 5.3.23) : Kreditkonto (Phose 1): Disagio; 4%, inom= 5,595840% p.a.; ieff + Zahlungen wie Tab. 5.3.2 1 Pencde. Jah r Q,.

(Beginn Per.]

Ztnsen 1,399.. % p,Q.

2 3 4

104.166,67 90.623,92 76.891,71 62.967,39

1.457,25 1.267,79 1.075,68 880,89

2

5 6 7 8

48.848,28 34.531,65 20.014,73 5.294,73

683,37 483,08 280,00 74.07

3

9

1

1

Restschuld

0,00

Tilgung

Zahlung

(Ende Per.]

(Ende Per.)

13.542,75 13.732,21 13.924,32 14.119,11 14.316,63 14.5 16,92 14.720,00 5.294,73

15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

Vorgobe: i~ff = /0% p.a. (lOlA )

15.000,00 15.000,00 15.000,00 5.368,81 Tab. 5 3,23

(Kretlitk onto)

Auf analoge Weise ergeben sich die nomincllcn Kreditkonditionen (Auszah/ung, nom. Kredit~ i nom '" 3,0 2261 % p.a. (ICMA -IO%effJ bzw. i lWttt = 2,94254% p.o . (360- Toge-Methode-l 0%effJ usw.) .

zins...) fur jedcn andercn Disagiowunsch (z.B. Disagio: 6,50%

Intercssant ist, dass die Kreditbank ihr Geld - bei genugcnd hohem Disagio - "verschenken" (i norn = 0%) kann und dcnnoch cincn Effcktivzins von (in unserem Bsp .) 10% p.a. erreichen

kann. In unscrcm Beispiel gelingt dies bci einem Disagio von 9,3947 % (bzw. 9,3 176%), wie die nachstchcndcn Tilgungsptanc Tab. 5.3.24 (ICMA) bzw. Tab. 5.3.25 (360TM) bcweisen: Kreditkooto (Phase I): Disagio: 9,3947%, inom = 0% p.a.; i eU+ Zahlungcn wie Tab. 5.3.21 Periode: Res tschuld Jahr Q'. (Beginn Per.] 1

Zahlom,

(Ende Per.]

1l0.368,81 95.368,81 80.368,81 65.368,81

0.00 0.00 0,00 0,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

15.000,00 15.000,00 (5.000,00 15.000,00

8

50.368,81 35.368,81 20.368,81 5.368,81

0,00 0,00 0,00 0,00

15.000,00 15.000,00 15.000.00 5.368,81

15.000,00 15.000,00 15.000,00 5.368,81

9

0,00

1

3 4

5 6 7

3

Tilgung

(Ende Per.)

2

2

Zinsen O,OO%p.Q.

(Kred itkonto)

Vorgabe:

i'f! = /0% p.o. (leMA )

Tab,5.3.24

278

5

Die Errnittlung des Effektivzinssatzcs in der Finanz mathcmat ik

Kreditkonlo (Phase 1): Disagio: 9,3 176%, inom = 0% p.a.; ieff + Zahlungcn wic Tab . 5.3. 17 Periode: Jahr

1

Zah lung (En de Per.]

0,00 0,00 0 ,00

15.000,00 15.000 ,00 15.000,00 15.000 ,00

15.000 ,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

0,00 0,00 0,00 0,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 5.275,00

15.000,00 15.000,00 15.000,00 5.275,00

Zinsen 0,00 % p .Q.

1

110.275,00 95.275, 00 80 .275,00 65.275,00

3 4

3

Tilgung (Ende Per.)

(Beg;nn Per. ]

2

2

Reslduld

0 ".

5 6 7 8 9

0,00

50 .275,00 35.275,00

20.275,00 5 .275,0 0

(360TM)

Tob.53.25

(Kredi!konlo)

0,00

Vorgahe: 10% p.a.

i~1I '"

Bei noch hohcrem Disagio (z.B. 10%) kann die Kreditbanksogar nominetle Z insgutschrif ten leistcn, ohne (bei unveriindenem Zahlungstrom} ihre Rendite von 10% zu gcflihrdc n. Dicscr Effckt ist verstandlic h, cia du rch die (dUTch das Disagio} erhOhte Krcditsurnme a ueh cntsprcchcnd hoh c T ilgungcn anfal lcn, d ie die " negativen~ Zi nsen ubcrkompcnsicren . Der folgende Tilgungsplan (Tub. 5.3. 26) zcigt dies cxcmplarisch fu r den Zahl ungsstrom a us T abcllc 5 .3.21, der zu etnem Effektivzins von 10,00% p-e- (l eMA) fuh rt:

Kcedilkonlo (Phase l): Disag. lO% ; inom P eriode: J ahr 0"·

Restschuld {Beginn Per.]

1

III.IU,U

2

4

95.933,84 80 .780.79 65.65 1,91

2

5 6 7 8

50 .54 7,17 35 .466,53 20 .490 ,95 5 .377 ,38

3

9

1

3

0,00

'"

Zinsen inon/4 p.Q. -

-0,159540 % p.a.; i err + Zahlgn. wie Tab . 5.3 .21 Tilgung (Ende Per.)

Zah lung (Endc Per.)

177,27 153,05 128 ,88 104,74

15.177 ,27 15.153,05 15.128 ,88 15.104 ,74

15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

- 80,64 - 56,58 - 32,56 - 8,58

15.080.64 15.056.58 15.032.56 5.337,38

15.000,00 15.000 ,00 15.000 ,00 5.3 68,81

(KrediJkonto)

A us alledem ist erkcnnbar, dass au eh bci untcrjahngcn Z ahlungen zu jedcm Zahlungsstrom bclicb ig viele verschiedene aquivalente (d.h. mit identischem Effe kti vzinssatz behaft ete) Krcditkondition en meg lich sind (siehe auch (4.2.48)).

Vorgabe:

i'J1 '" 10% p.a. (IOtA )

Tab. 5.3.26

5.3

279

Effe ktivzinsennittlung bei unterjah rigen Leistungcn

5.3.3.2 Ttlgun gsstreckungsdart ehen bet unterjahrlgen Lelst ungen Bcreits in de n Beispielen 4.2.66 und 5.2.13 hatt en wir uns mit T ilgungsstr cckungsd arlehen iallerdings bet j ahrlichen L eistungen} betasst. Fur die folgcnden Obcrlcgungen {bei unterjiihrigen Leistungeni legen wir wiedcr cinen An nuitat cnkredit mit den Basis-Konditioncn 94/10/2 zugru nde: •

Ocr H auptkrcd it - Krcd itswnme Ko = 100.000 € - kommt zu 94% zur A uszahlung, die fehlenden 6.00 0 € ( = Disagio) wcrdcn als Tilgungsstreckungsdarlehen zu 12% p.a. gewahrt, das in 2 J ahren annuttansc h zuruckzufuhr cn Ist twahrend diet er Zeit bleibt der Hauptkredu zahlungsfrei - insgesamt emalt somit der Kreditnehmer zu Beginn 100.000 € ausgezahlt) .

•

Die Ruckza hlungcn an die Bank (Zinsen una Tilgung) etfolgcn gemaB Kreduvert rag vicnclja hrlich nach der US-Me thode . Z inspcriode ist somit das Quartal, nomtneue Z mssatz e: 2,5% p.Q. fur den H auptkredit, 3% p.O . fur das Tilgungsstreck ungsda rlchen. Der sich naeh zwei Jahren ergebcnde (dUTCh den Z ahlungsauf schub emohte) H auptkrcdit K2 wird da nn mit Q uartalsraren r2 = K2 '(2,5% + 0 ,5%) : K2 · 0 ,03 zuriickgefiihrt.

Gcs ucht ist der (anf angliche) cffcktivc J ah rcszins (nach 360 · Tage- sow ie l eMA-Methode, d.h. nach " alter (1985 ) " und " neuer (2000) " Preisangabenverordnung (PAng V)) dieser Kreditkombinanon fur cine Z insfcstsehrcibungsfrist von 7 Jah rcn ( : 2 Jahre Tilgungsstreckung plus 5 "regulare " Jahre); Zunachst muss der reate Zahlungsstrom It. Kreditvertrag ermttren werden (Phase I): Die 8 Q uartalsraten r l fur das T ilgungsstreckungsdarlehen messen die gewahrtcn 6.000 € voltsta ndig in 2 Jahrcn zu ruckfuhren, d.h. es muss gclte n (mit 3% p.Q. 11. Kredltvenragr: 6.000 ' 1,03 8 =

1 038 - 1 r l ' ':''' ''---'0,03

d.h . d ie Quartalsrat e in den belden crstcn Ja hren lau tct:

r l : 854,73(8334) € /Quartal.

wabrcnd der erste n 2 J ahre wachst der (zahl ungsfreie) H auptkrcd it an auf K2 mit K2 :

100.000 ' 1,025 8 = 121.840,29 €

und wird von da a n mit ciner Qu artalsrate (r2) von 2,5 % + 0,5%, d.h . mit r2 : 3.6 55,21 € /Qu. zuruckgcfuhrt. Die resulucrcndc Res tschuld naeh 5 weiteren Ja hren (= 20 weueren Q uartolen mit dem Qua rta/szins i Q = 2,5 % p.Q.) tauter: 20 K7 = 12 1.840 ,29 ' 1.025 20 - 3.65 5,2 1 . 1,025 - 1 : 106.278,45 €. 0,025 Damit crgibt sich zum Abscbluss \'00 Phase 1 dcr folgcndc (reale) Zahlun gsstrahl (Abb. 5.3.2 7 Z eh lenwene gerundet) :

2 hhro

fOO

---1

tre: I

r,

, (Zeit)

r,

r,

r,

r,

--+--+--+----j~

I 11/ ftI /31 I'll /5/ " m" " m" t"n '" '" I - - Tilgungsstreckungszeil --- - -I mit.-

I

5 hhro (2,5%P.Q.1

(3'Jp QJ

r, = 854,74€/ Qu.

"

// 91

Abb. 5 3.27

f" ,m, K,

K, = 106 278,45€

5

280

Die Ermittlun g des Effektivzinssatzes in der Finanzmathcmatik

Ta be tic 5.3.28 zcigt da s sich aufgrum.l der Krcditveruagsbed ingungen crgcbcndc Kre dltkonto:

Periode : Jahr Qu.

Restsch uld

zmsen

Tilgung

(Beginn Per.)

(Ende Per.]

(Ende Per.]

Zahlung (Ende Per.)

674,74 694,98 715,83 737,3 0

854,74 854,74 854,74 854,74

759 ,42 782,21 805,67 829,84

854,74 854,74 854,74 854,74

609, 20

1

1 2 3

6.000,00 5 .325,26 4.630,28 3.9 14,45

180,00 159,76 138,9 1

2

5

3.177, 15 2.417,72 1.635,52 829,84

95,31

121.840,29 121.231,09 120.606,66 119.966,61

3.046,01 3.030,78 3.015,17 2.999,17

640,0 4 656,04

3.655,2 1 3.655,21 3.655,21 3.655,21

119.310,57 118 .638,13 117.948,87 117.242,38

2.982,76 2.965,95 2.948,72 2.931,06

672, 44 689 ,26 706 ,49 724,15

3.655,2 1 3.655.2 1 3.655,2 1 3,655, 2 1

116 .518,24 115 .775,98 115 .015,17 114.235,34

2.9 12,96 2.894,40 2.875,38 2.855,88

742,25 760,8 1 77 9,83 799,33

3,655,2 1 3.655,2 1 3,655,2 1 3.655,2 1

113.4 36,02 112 .616,71 111.776,92 110.916 ,13

2.835,90 2.8 15,42 2.794,42 2.772,90

819,3 1 839,79 860,79 882,31

3.655 ,2 1 3,655,2 1 3,655,2 1 3.655,2 1

27 28

110.033,83 109 .129,47 108 .202,49 107 .252,35

2.750,85 2.728,24 2.705,06 2.68 1,31

904,36 926,97 950,15 973,90

3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,21 3.655,2 1

29

106,278,45

4

6

J

7 8 9 10 11

12 4

13 14

15 16

5

6

17 18

19 20 21 22 23 24

7

8

25

26

]]7,43 72,53 49 ,07

24,90

624,43

f3 'lJ p .Q./ Tilgungssfreckungs Oorfehen Hauptkredit

{2,5'lJ p ,O/

Kreditkonto mit Tilgungsstreckungs dar/ehen (Phase 11

(Kreditkonlo ) Tab. 5.3.28

Die Effek tivzinserm ittiung (Phose 2) erfolgt nun nach an em anv en KOlItoflihnmgsbedingungen

•IVarianle a) I

(Ennillb.mg von j~JJnuch der 360-Tage-Metlwde)

Die Aq uivalcnzgleichung fur q ( = 1 + i~fi crgibt sich aus A bb. 5.3.27 unte r Bcachtung dcr N otwcndigkcit, fur d ie heide n Zcitriiumc 2 Jahre/5 Jahre unt crschicdfiche E rsatzrat cn zu bilden (und beide getrennt aufzuzinsen): 4 5 q2 _ t 4 5 q5 _ 1 O= 100 .q7_ 4 ' 0,85474 '(1+ (q -l) ·-='2) - - q5- 4 .3,6552 1 .(1+ (q - 1).-=-). - -, -1 06,27845. q t 12 qe

Mit H ilfe der Regula falsi folgt: ieff = 11,5909% p.a.

(anf iinglicher Eff ektivz ins nach 360 - Tage-Methode) .

5.3

Effektivzinsennilt lung bei un terjahrigcn Leistu ngcn

281

Tabelle 5.3 .29 zcigt das entsprec bcnde 360 ·Tage-Me lhode-Vergleich~kon to, das - bewcrtct mit dcm Effektivzins - tatsachlich auf die schon zuvor rechnensch ermtttet te Restscbuld K 7 fuhrt:

Quartatszmsen (2,89 7..% p,Q.) Periode: Jahr Q,.

Restschutd (Beginn Per.]

(separat gesammelt)

zum Iahres-

Tilgung (Ende Per.)

11.442,26

854,74 854,74 854,74 - 10.587,52

854,74 854,74 854,74 854 ,74

12.372,23

854,74 854,74 854,74 - 11.5 17,49

854,74 854 ,74 854,74 854,74

12.923,10

3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,21 - 9.267,89

3.655,21 3.655,2 1 3.655 ,2 1 3,655,2 1

12.726,31

3.655,21 3.655.21 3.655.21 - 9.07 1,10

3,655,2 1 3.655.2 1 3.655,21 3.655,2 1

12.506, 72

3.655,21 3.655, 21 3.655,21 -8 .85 1,51

3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,21

12.26 1,68

3.655, 21 3.655,2 1 3.655 ,21 - 8.606,47

3.655,21 3.655,2 1 3.655,21 3.655,21

11.988,23

3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,21 - 8.333,02

3.655,21 3.655,2 1 3.655,21 3.655,21

kumulien und ende verredma

1 2 3 4

100.000 ,00 99 .145,26 98.290,52 97 .435,79

(2.897,72) (2.872,95) (2.848,18) (2.823,41)

2

1 2 3 4

108.023,3 1 107.168,57 106.3 13,83 105.459,09

(3.130,2 1) (3.105,44) (3.080,67) (3.05 5,91 )

3

1 2 3 4

116.97 6,58 113.32 1,38 109.666,17 106.0 10.96

(3.389,65) (3.283,73) (3.177,8 2) (3.071,90)

1 2 3 4

115.278,84 111.623,64 107 .968, 43 104.313, 22

(3.340,45) (3.23 4,54) (3.128,62 ) (3.022,70)

5

1 2 3 4

113.38 4,32 109.729,11 106 .073,9 1 102.418,70

(3.285,56) (3.179,64) (3.073,72 ) (2.967,80)

6

1 2 3 4

111.270,21 107.615,00 103.959,79 100.304,58

(3.224,30) (3. 118,38) (3.01 2,46) (2.906, 54 )

1 2 3 4

108.9 11,05 105.255,84 101.600 ,63 97.9 45,42

(3.155 ,93) (3.050,02) (2.944,10) (2.838, 18)

1

106.278,44

(Vergleichsk onto nach 360- Tage-Methode)

1

4

7

8 Das mit

ief f

Zahl ung (Ende Per.)

Tab. 5.3.29

bewertcte Vergleichsko nto fiihrt auf dicsclbc Rcstschuld wic da s Kreditkonto.

• IVarianle b) I (Ermill/ung von j~lInach der l e MA -Methode) Mil q ,= 1 + io (iQ k onf orm zu i,U) crgibt sich aus Abb. 5.3.27 die Aq uivalcnzglcichung

o= mit der Lcsung

qL l

q 2L l

q- 1

q- 1

100 . q 28 - 0,85474 ' _ _ ' q 20 _ 3,6552 1 . _ - - 106,27845

q '" 1,027774.

d.h.

ieff = q4- 1 = 1I ,58 10% p.a. (anfa nglicher Effektivzins nach l eMA) .

282

5

Die Ermittlung des Effek tivzinssatzes in dec Finanzmathematik

Das entsprcchcndc I CJ\.lA-Ve rgl eich.~kon to (Ruckf iihrung derAuszahlung (= 100.000 €) dUTch die tatsiichlichen Leislungen (Zahlungen) auf die tatsiichliche Restschuld unler An wendung des ICMA Effektivzinses) zcigt Tab. 5.3.30:

Periode:

h tu Q u. 1

1

2 3 4

2

5 6 7

8 3

4

2.777 ,40 2.830 ,80 2.88 5,68 2.942,09

-1 .922,66 - 1.976,06 - 2.030,94 - 2.087,35

854,74 854,74 854,74 854,74

108 .017,00 110.162,32 112.367,23 114.633,38

3.000,06 3.059,64

- 2.145,32

3.120,88

- 2.266,14

3.183,8 2

- 2.329 ,08

854,74 854,74 854,74 854,74

406, 70 417,99 429,6 0 441,53

3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,2 1

- 2.204,9 1

11

116. 137,77 115.708 ,16 115.266 ,63 114.812,83 114.3 46,43 113.867,07

3.201,4 1 3 .188,8 1 3 .175,85 3. 162,5 4

453,80 466,40 479,36 492,67

3.655,2 1 3,655.21 3,655,2 1 3.655,2 1

113.374,41 112.868,05 112.347,64 11 1.812,77

3.148,86 3. 134,79 3.120,3 4 3.105,48

506,35 520 ,42 534,8 7 549,73

3.655,21 3.655,2 1 3.655,2 1 3.655,21

111.263,04 110.698,05 110.11 7,36 109.520,55

3.090,22 3.074,5 2 3.058,40 3.041,8 2

564,99 580,69 596,81 613,39

3.655,21 3.655,2 1 3.655,2 1 3.655, 21

26 27

28

108.90 7,16 108.276,73 107.628 ,80 106.96 2,87

3.024,78 3.007,27 2.989,28 2.9 70,78

630,43 647,93 665,93 684,43

3.655,2 1 3.655,2 1 3.655 ,2 1 3.655,2 .

2.

106.278, 44

12 13

17

21

22 23 24

8

100.000,00 101.922,66 103.898,72 105 .92 9,66

Zahl ung (Emu Per.]

3.248,5 1 3.237,22 3.225,6 1 3.213,67

20

7

(E nde Per.)

116.962 ,46

18 19

6

Quartalszinsen (2,777...p. Q.)

9 10

14 15 16

5

Restschuld

TIlgung

(Beginn Per. )

25

116.555,76

(Vergk i£hskonto nach leMA)

Tob. 5.3.30

Bemerkung 5.3.31: Ein Tilgungsstreckungsdarlehen (wie eben beschneben] hoi fur den Kredimehmer insbesondere die beiden Funk uonen • Auszahlung der votten Krednsumme (d.h. ein Disagio wird ausgeglichen) • deutlich vermindener Liquidiunsabfluss zu Lauf zeubeginn. Den emen Effekl konme man auch dadurch etreichen, d ass die Kreditsumm e K o so hoch gl!Wiihlt wird, doss noch A bzug des Disagios thier: 6%) die gewunschte A uszahlung (hier: 100.000) ubrigbleibt, d.h. es mass te geiten: 100. 000 0,94

:=

106.382,98 €.

5.3

Effektivzinsennittlung bci untcrjahrigcn Leistungcn

283

Wendet man auf diese Kreditsumm e die Konditionen 94110/2 (mil einer Quartalslristung r: 3% von Ke , d.h. r = 3.191,49€JQu.) an, so emalt ma n wegen 28

K 7 = K e ' 1,025 28 - r ' 1,025 0,025 1=85.180, 957

in Phase 1 [olgenden Zahlungsstrahl (Abb. 5.3.3 2):

100 IT€!

---1

r

r

r

r

r

r

tn

m

'" '" '" '" '"

~

r

r

r

/21/

/26/

K, K7=85 180,96 €

r = 3. 191,49€/ Qu. ;

mit

(Zeit)

Abb.5 3.32

Daraus ergeben sich fofgende Aq uil'alcnzglrichungcn und Effektil'zins siitze in Phase 2: a) (360TM mit q ,= 1 + i~Jl' ~

0= 100' q 7 - 4 r(l + (q - 1) i~JJ = Jl ,8584"!~

b) (l CMAmit q ,=l +iQ= (1+ i~JJ) O, 2 S): ~

p ,a.

45 q7 _1 'rr) ' -;;-=1 - K 7

(anfiinglicher Effektil'zins nach 360 TM)

q28_ J 0= 100 q18- r ·----q=-;-- K7

i'ff = 1,028379 4 -1 = 11,8438% p.o. (anfiinglicher Effektivzins nach leMA)

also in beiden Fallen hOhere Effektil'zinssiitze afs brim Tilgungsstreckungsdadeh en.

5.3.3.3 Dlsagio - Riickersta tt ung bei unterja hrigen Leistungen (Effektil'zinsmethode) Auch bci unterjahrigc n Lcistungen greift - bci vo rzcitigcr Bccndigung cines mit Disagio vcrschc ncn Darlchcns - das (in den Vorbemerkungen zu Beisp iel 5.2.15 schon behandelte) Prinzip der anteiligcn Disagio-Ruckerstatt ung thier: nach der EffekJi~zinsmethode) ; Die tatsachhche Restschuld I
zu leisten hat. Damit ergibl sich der fur die Effeklivzinsbcrechnung maBgebliehe Zahlungsstrahl (Abb. 5.3.33) :

284

5

Die Ermittiung des E ffektivzinssatzes in de r Finanzmathemat ik

I

I

--+---+-

90 IT€.J

---iI---+---+

0.75 0.75 ...

H'

---if-----;0.75

(Zeit!

0,75 0.75

mn

lit!

Abb.53.33

/1201

84J541

Untcrsrcllc n wir die Effektivzinsbe rech nung nac h dcr 360-TM, so laut et d ie Aquivalenzgleichung

mit der Losu ng- q == 1,100 9889 56

d.h.

ieff '"

10,0988956% ::::: 10,10% p.a.

Wird dec Kredit nach A blauf von (z.B.) nur 5 J ahren vorzcitig zuruckgezahlt, so musste der Kredunehmer nach dcm cntsprcchcndc n Stand des Krcditkont os als Rcstschuld zahlcn:

Kj

'"

-

..

100,000 '1 ,006 - 750'

1,00'660 _ 1 0,006

= 93.876,93

€.

Nach del Effektivzinsmcthodc (360- Tage-Methode} ste ht der Kreditbank aber nur zu: Ks•

•

5

.

S5

'" 90.000' (1 + Jeff) -9.000·( 1+ 1.f'·":':':" ., ) '

(mil i eff = 10,0988956% p.a., 5.0.)

Somit bctragt die Di.<;agioerstattung:

E'"

d.h .

Ks -Ks· '"

(I

Ks·

+ id f)5_ 1 ,

'err

= 87.996, 19-€.

5.880,74€ .

Urn diesen Bctrag verrmndcrt sich die Im Krcdit kont o ausgcwicsene Restschuld K s' d.h del Kreditnehmcr brauch t nur die ~ effcklivc" Rcstschuld Ks * zu leistcn. D ie bcschriebene Method e gilt fur jedcn vorzeitigen Abwicklungszeitpunkr, d.h. E crgibt stch stcts aus der Res L~cludddifferenz vnn Krejnkonto und vergleichskornc.

5.3.3.4 Effektivverzinsung von Ratenkrediten Un ter dcm Begriff Ratenkredlt wollcn wir (annuiliitische) Kredite mit monatlichen Riickzahlungen verstehen, wie sic als verbreucherkredne zur Finanzicrung von Mobeln, H aushaltsgereteo, Aut omobilen etc. in der Praxis hiiufig vorkommcn. D ic Bcsonderheit dcrartrger Krcdite bcsteh t nicht in dcr Tatsache, uass g1eichhoh e Rat en monatlich zu zahlcn sind, sondern in der Art und Weise, wie - bci vorgewahlter Ratenanzahl bzw. Lautzen - die Hohe I der Monatsrat e cmut tc lt wird (d.h . Zahlungsnromermiulung in Phase l ). Sieh l die H oh c del Monatsrat cn r erst einmal fes t, so lauft die eigentlie he E ffck tivainserminlung (Phase 2) - je nach Kontofuhrungsmethode (360- Tage-Methode bzw. l eMA ) - im bishcrigcn R ahmen

5.3

285

Effektivzinscrmittlung bci unterjahngen Lcistungcn

abo Lcdiglieh im Fall dcr Kontofiihrung naeh 360-Tage-Methode ist (bei L auj zdten, die keine game Z ahl von Johren be/ragt, wie z.B. 18 Monate, 47 Monate usw.) der Bewertungsstiehtag zunacbst auf den Tag der letzten Monatsrate zu legcn, vgl. Kap. 3.8.2.2.

Ublichcrwcisc werden die Konditione n fur Rarcnkrcdite etwa in folgcnder Weise angegcben: Beispiel 5.3.34: ~Sparkassen- Kredi t! Bcquemc Ruckzahlungsraten, keinc Formalitaten, sofortigcAuszahlung fiir (fas/) jeden Zwcek! z.B.

30 Monate 0,65% p.M. 2% (der Kredusumme}"

Laufzeit: Zinsen: Bcarbcitungsgebiihr;

Ohnc nabcrc Erlautcrung lasst sich mit diesen Daten wenig anfangen {insbesondere fuhrt der Vrrsuch einer Hochredm ung des Monatszinses (0,6 5% p. M.) auf einen n (eff.) Jah reszins " von 12 .0,65 '" 7,8% p .o. vollig in die Irref) Viclmehr bcdeuten im Klartext die Daten von Beispiel 5.3.34 das folgendc (dabe i umemetkn wir eine Kredusumme K o '" lOO, die auch zur A uszahlung kom m t):

•

Ko '"

100 €

•

(Beispiel-Kreditsumme] Es sind - bcginnend cincn Monat naeh Kred iraufnahme - 30 gleiehe Monatsraten r zuriickzuzahlen

•

Jcde dieser 30 Monatsraten r cnthatt:

3~ dcr Krcditsumme ats Tilgung (nRa/emilgung ")

3~ der Bcarbeinmgsgebuhr 0,65% der Kredusumme tl) (als nZinsen") Somit errechnet sieh die Monatsrate r unscrcs Bcispicl-Krcdits wie folgt :

,.

1. · 100 + 1. . 2 + 100 0,0065 '" 4,05 € /Monal. 30 30

Bemerkung 5.3.34: Die Bezeicnnung nZinsen 0,65% p. M. " iss streng genommen urefuhrend, da sich Zinsen defini/io nsgemap auf des jeweils nom geschuldete Kapi/aJ bezienen und nicht - wie heim vorliegenden Ratenkredit - auf die urspriingliche Kreditsum m e. Besser geeignet ware z.B. der Begnff n Kreditkossen" anstelle von " Zinsen ".

Damit tauter dcr reate Za hlungsstrahl:

1-- -

1 bf>, -

100

-I

r

r m

.-1 '"1-,-

+-I

1 bf>,

- + ---

Abb.53.35

-1

IS Monote

~

... -If--+--+--+--+---+---1f----

r

r

r

1121

/l3i

/141

mit

r

""

r

r

r

r

,

r

1251

/261

1211

1281

/291

IJQI

r = 4,05 € /Mona l

(Zeit)

5

286

Die Ermittlung des Effektivz inssatzes in del Finanzmathcmatik

Die Aquhwenzgleichung nach der 360-Tage-J\lelhode ("alte " PAngV his 0812000) Iautel (siehl? Kop. 3.8.2.2) (5.3.36) 6 5S q2 _1 6 25 O= 100 q2 (1 + (q -1 ) - - ) -12 ' r (1 + (q- l) ' '=':'='') .- - -(1 +(q -t ) · - )- 6 ' r ' (1 + (q - 1) .=-=-) 12 ~ 12 q - I 12 ~ 12 = 24,30

.. 48,60

q-1

mit der Losung.

16,9848% p.a.

(Effl'ktivzm s nocn 360TM) .

Bemerkung 5.3.37: Die etwas m ons /rose Aquivalenzgleichung (5.3.36) j ur R atenkreaue nach der 360Tug e-Methode kant! - wit es in den entsprechenden off iziellrn Ausfuhrungsverordnungen zur nallen" PAngV, giillig his 0812000, gescnah - verattgememen woden: Bezeichnen wir die Kreausumme mil Ko und die Monauratenhohe mil r, so ergibt sich der Zahlungsstrahl Abh. 5.3.38:

f--

1 »h,

K,

---1

~

r

r

'"

m

,

---1 ---1

I

r

r

1121

/13/

1

r

r

r

r

//121

m

m

, -,--

J vo/le bhre

Die Gesamtlaufzeu barage J voile Jahre also M ,= 12 oj + m Monate (Raten)).

(~

-+-tr

r

~,

m ( <1 2/ 1?9S/monale

12 ·J Raten] plus m

{Zeit}

---1

«

Abb. 5.3.38

12) Restmonate (zusammen

Dann laUlel die mil dem (gesuduen) EffeklivzinssQlz bewer/ele lahresersatzrate R* f iir die emen J Jahre[eweils:

R' = 12 ·, -(1 + (q_1) . 5,5) 12

und entsprechend f iir die letzun m Monate m -I

R*' = m r ·(1 + (q -1 ) · -

- ). 24

Somit lautet die ouf den Tag der letuen Monatsm te bezogene A quivulenzgleichung nach der PAngV von 1985 (giillig bis 0812000) :

(5.3.39)

o

=

5,5

I-I

m

K o ·qI · (1 + (q - 1) · !!!.. ) - 12 ·, (1 +(q - 1) - -12 ) - -q -_ -I . (J + (q -1) "12 ) 12

- --R' -

- m·' (I + (q- I ) . m -I) .

=

24

(K o • J, m, r sind dabei durch die Kreditkondiuonen vorgegeben.)

5.3

287

Effc ktivzinscrmittlung bel unterjahrigen Lelstungcn

Fur die Monatsrate r ergibt sich mit den Bezeichnungen M:

Gesamtiaufzeit in Monaten (= 12 J + m)

b:

BearbeitungsgebUhrensatz (z.B. 0,02 = 2%) (bezagen auf Ko)

ik:

KreditgebUhrensatz (" Zinsen ") iz.B. 0,0065 = 0,65% p.M), bezogen auf die volie Kreditsum m e K o : r =

K,

KO' b M

- +

M

Tilgung p. M.

+

-

KO' ik

Bearb.geb. " Z insen " p .M. pro Monat

Setzt m an dies in (5.3.39) em, so ematt man nach Division durch die Kreditsumme Koschlieft/ich die bis 0812000 gilltigeA'quivalenzgleichung (nach der " a/ten " PAngV von 1985):

o

(5.3.40)

'1'-1

J m J +b + M' i k [
m + m ·(l + (q -l) .m -l . (l + (q-l)'-) _-) 12 24

I.

Dabei beaeuten:

q ( =l+i~f; : J m

b ;k M

Eff ektivzinsf aktor volle Laufzeitjahre Restlaufzeit- Monate « 12) Bearbeitungsgebilhrens atz monatl. Kreditgebiihrensatz (" Zimen "), bezogm auf Kreditsumme Geramt/aufzeit in Monaten (= 12 ·J + m) .

Zum Vergleich bctrachtcn wir fur unscr Beispiel (vgl. A bb. 5.3.35) die Effektivzinsberechnung nach dcr scit 09/2000 in Deutschland vcrbindlic hcn (PAngV von 2000) l eMA -Met hode. Mit monatlichen Zinseszinscn im (und q ,= 1 + im) ergibt sich nach Ab b. 5.3.35 (aile Zah lungen bieiben unverenden, da sich die Kreditkonditionen nicht geonden haben) die im Vcrglcich zu (5.3.36) geradczu musterhaft einfache und libersichtliche "offiziellc" Aq uivalenzglcichllng (nach der PAngVvon 2000): (5.3.41)

o=

woraus wcgcn

q3L J 100 ' q30- 4,05 ' - -

mitderLos ung: q = 1,01 3055

, -I

1 + i eff =

ql 2

i eff = 16,8408% p.a.

folgt :

(Effektivzins nach lCMA) .

Bemerkung 5.3,42: Die zu (5.3.40) korrespondiamde allgemeine Aquivalenzgleichung nach der lCMAMethode fautet (M = Gesamtzahl alter Ruten): (5.3.43)

1 +b +M M

"" r , bezogen uuf K o = 1 Em Vagleich mit (5.3.40) zeigt die Uberlegenheit der l CMA -Methode = (neue) PAngV-Methode.

288

5

Die E rrnitt lung des Effekti vzinssat zes in dcr Finanzm ath cmatik

Aufgabe 5.3.44: H ubers Traum ist dcr Maserati 007 GTX. Seine H ausbank will ihm einen Ratenkredit von 50.000, -- € gewahrcn.

Konditionen: Zinscn 0,9% pro Monat, bezogen auf die ursprungliche Kreditsumme. Einmalige Bcarbeitungsgebuhr: 5% der Kreditsumme; Rtickza hlung in 60 Monat sraten, beginnend einen Monat nach Kreditauszahlung. Bcarbcitungsgebilhr, Zinsen und TiIgungwerden nominell summiert und in 60 gleichc Monatsraten aufgeteilt. i) Man ermittle die Hohc der (stetrgleichen) Monatsrate. ii) Ma n ermittle den Effek tivzinssarz dtes es Ratenkredits nach der leMA-M ethode.

Aufgabe 5.3.45: Man ermittle die Effcktivverzinsung (a) leMA, b) US) folgender Rat enkrcdite: i) Laufzeit: 24 Monate ; Zinsen: 0,127% p.M. (vern Krcditbctrag !); ii) Laufzcit: 18 Monat e; (nom.) Summe aller Zfnscn:

Bcarbcilungsgcbiihr: 2%.

1,824 % der Krcditsummc (auf 18 Mona/e

linear zu veneilmt]: Bearbeltun gsgebuhc 2%. iii) Laufzeit: 47 Monate;

Zinsen: 0,43% p.M. (vom Kreditbetra gl], Bcarbeitungsgcblihr: 3%.

5.3.3.5 Anlagefonnen mit unterlahrigen Lelstungen

-

Beispiel Bonussparen

Die bisher bctrachteren Kredltformen lassen sich liquivalent als Anlagtlforrnen auffassen, indcm man den Krcditgcbcr als Investor auffaGt, dcr sctn Kapital beim Krcditn ehmer anlegt und ubcr die Annumten Invcstitionsruckflusse erhalt. Von dicscm Standpunkt aus gesehen ist ein separates Kapitcl ubcr Gcldanlagcn im Grundc gcnommen entbchrlich, da es sich dabci Icdiglich urn Kreditc mir "vertauschten Rollcn" handclt. Wir wollen daher Icdiglich zur Illustration dcr vlcjfaltlgen An gcbotc von Banken und Sparkassen fUr potennelle Gcldanlcgcr ein Iypischcs Angcbot cxcmptarisch bchandeln, das sag. "Bonus-Sparen" in einer standardisierten Fonn:

Konditionen beim Bonus-Sparen

• •

(Beispiel):

Ocr Sparer zahlt - beginnend im v ertragszenpunkt - 6 Jah re lang mo natlich (\iorschiissig) cine (vereinhane) Sparrate r ein (insgesam/ somit 72 Raten). Die Bank vergutet 5% p.a. Sparzinscn [etster Zinszuschlagtermin: 1 Jahr nach Einzahlung der

ernen Spomue, daz wischen tineare Zinsen, d.h. 360 *Tage-Methode-Kontof Uhnm g). •

Das angespa rte Kapital vcrblcibt (ind. Zinsen) noch ein weiteres Jahr auf dem Konto, der Sparer zahlt in diesem 7. Jahr keinerlci Sparratcn, Zins en (wie bisheri 5% p.a.

•

Am Ende des 7. Jahres erhalt der Sparer den Kont ocndstand zuruck und zusatztic h einen Bonus in Hohe von 14% auf die nominelle Summe seiner insgcsamt gczahlten Sparraten (d.h. 14 % von

72 ' r) . Ges ucht iSI die Effeklivverzinsung (nach 360-Tage- und nach l eMA-Methode) fur dic Gcldan lagc beim Bonussparen.

5 .3

289

Effekt ivzinscnnittlung bci untcrjahrigcn Lcistungcn

Zu r Vereinfac hung der Ube rlcgungen kann es ratsam scin, eine (fiktive) Spa rratcnho hc r vorz ugeben (z.B. r : 100 €/Manat ): Da aile mil dcm Bon ussparen vcrbundcncn Lcetun gcn (die Sp arrate, die Zinse n, der Bonus) proportional zu r sind, crgibt sich fur jcdc Rat enhoh e diesclbc Aq uivalenzglcichung und somit dcrselbc Effck tivzins. Mit r als Monats rate crhaltc n wir folgcndcn Za hlungsstrahl (Phase 1) , vgl. A bb. 5.3 .46:

i-- r bh, -+ 2)ah, -I

t-t--+

6. .bhr

-+-+ . .+-+-+..+-t ... r

tn

r

...

r

m .. 1' 21

£1""'0111.., _ _

r

r ... r

IIJI

l UI - lU I

R'

R'

'"

,

~ 7..bhr --{

+-jf-----I--

r

r ... r

WI

IMI ·· 1121

0. 1412., '8 I = 10,08 -r onus

R'

R'

'"

(Zei!J

'"

'"

leiswng des Sparers

+ K,

Abb.5 3.46

Gegenleiswng derBank

Bemerkungi Ohne die Bonuszahlung ist der Effektivzins (nach der 360-Tage~Melhode) identisch mit dem Sporzins (hier: 5% p.a .), da ouch in Phase 1 eine Kontofuhrung nach der 360TM eifolgt. Zu bcac hten ist noch die Summe K7 der aufgczinstcn Sparratcn. Die aquivalcnt e Jahrcsersatzrat e R· (vgt. Satz 3.8.21) tauter fur jcdes der ersten seehs J ahre:

R· = 12 ' r ' (1 +005 '~) = 12' 325 ·,• ' 12 so dass fUr den Koet oendstand K7 (ohm Bonus) am Ende des 7. Laufzeitjahrcs gilt: 1056- )

' 0,05 '1 ,05 '" 88,025254 ' r.

Dam it ist Phase 1 abgcse hlossen, Lcistun gcn und Gcgcnlcistungcn stc hcn fcst (in Abhangigkril von der H6he r der Spamue},

a) Effekl ivzins na eh der 360·Tage -l\Iethode Die Aquivalcn zbczi chung tauter nach A bb. 5 .3.46 unte r Ei nbczie hung de r ermincltcn rcalen Leistungcn:

o

65

q6- J

12

q- )

t

Kmlo-E1JdlImd

,

12 · r -(I + (q - 1) - .;;.0.;.) . - _ . q - (10,08 ' r + 88,025254 or) . Wert der eiegczahltcn Raton

Gcgcnleistungen der Bank

Man crkcnnt nach Division durch r (*0), dass cs nieht auf die Hohe der Sparra te ankommt:

o= Die Regula falsi Hefert:

65

q6- 1

12' (1 + (q- l) '12 ) ' -;rT ' q - 98,105254.

4 -1

7,7220% p.a.

(Effl'kfjvzins nacn der 360TM).

5

290

Die Ennittlung des Effcktivzinssat zcs in del Finanzmat hcmatik

b) Effektivzins nac h l eMA Aus A bb. 5.3.46 erhalt man mit dcm konfonncn Monatszmsfaktor q

.= 1 +

glcichung

o :;

iM die Aquivalenz-

q72- 1

r · _ _ ·q I3 - 98,105254"r. q- l

Auch bier fallt r wcg (nach Division), die Losung Iautet: ieff

=

1,006 227 12 -1 :; 7,7 3 35 o/~ p.a.

(Effektivrins na ch l eMA ) .

Ei ne «(Jus Anbietersidu hdiebte) Varian te des Bon us-Sparcns bes te bt darin, dass der Sparer (unabhiin-

gig von seinen mona/lichen Sparraten} zu Laufzcitbc ginn cine einmaligc Sondcrsparleis!ung R einzahlt, die - neben 5% p.a. Z inscn - zum E nde des 7. 1ah rcs cbcnfalls mit zusatzlich 14% Bonus versehen wir d.

Bever wir d ie Frage nach dcm Effektivzins cincr aus ciner Kombination von Monatsratcn und Sonderza hlung bcstchenden Bo nus-Spar-A nlage bcantworten, wollen wir nach dcm Effeklivzins dcr jsoliert angelegten Sonde n.ahl ung R fragen. Dcr Zahlungss trahl dafur lautcr (vgl. A bb. 5.3 .47):

I R

fleistung}

--1f----+--

,

-t---

fZeifJ

Abb.53.47

-t-------jf----O, 14·R R· t,OS'

Gegenlelstung:

I·

(= Bonus) (= aufgezinstes Kapital)

-I

Daraus c rgibt sich die (jar 360TM und l eMA identlsche} Aquivalcnzgleichung (q

o=

,= 1

+ i,jj)

R · q' - R · 1,05 7 - O.14 · R

d.h . (nach Division dUTCh R): q7 = 1,05' + 0,14

d.h .

mit der Losung ief f

=

6.43 2 5'7~

p.a.

, rc:-:-,---

q = V l .057 + 0,14 = 1,06 4325 ,

(Effektivzins der Sonderz ahlung) .

Da die Sonderzahlung - isoliert bct rachtet - einen wn mchr als cinen Prozcntpunkt geringcrcn Effektivzinssatz aufwcist als das Stan da rd- Bonussparcn (s.o.), mu ss jedc Kombinat ion aus Monatszah lungen und einmaligcr Sonde rzahlu ng cine me hr Oller weniger klcincre Rcndite fur den Anlegcr aufweisen als d ie reine Fonn des Bon ussparcns. Al s Beispiel wahlcn wir cine Mon atsrate r = 1.000 € / Mo nal kombinicrt mil einer einmaligcn SonderIcistung von R = 20.000 € zu Beginn der Lau fzcit.

291

Effektivzinsermittlung bci unterjahrfgc n Letst ungen

5.3

Dcr Zahlungsstrahl lautet allgemcin (additive Uberlagenmg von Ab b. 5.3.46 und 5.3.4 7):

r

R

/11

r

r

1tJ ·· 11tJ

r

r ... r

r

r ... r

1131

114/ - 114/

1611

162/ - /721

---t-+ -+-j--+- -+-j- .... -j-t- +--1-- -

L t.

10,081

o 14.f?

bhr +

2.

bhr -j

6, bhr

--1-,

7. bhr

--1

(Zeit)

-

(Bonus)

X, (aufgezinsles Kapi lall (= 88,025...· r + It

f,os7,

Damit crgcben sich folgcnde Aqui valcnz glcichungcn :

a) (360-Tage -Me thod e)

o

65 q6 _ 1 = 12T(1 + (q-l ) "l2) ' --q:I'q + R ' q7- 98, 105254 ' r - (0,14 + 1,05 7) R .

(jetzt tst die Hone von r bzw. R wesemlich f ur die Hohe des Effekti vzinssatusf) Flir r '" 1.000 € / Mo nal und R = 20.000 € etwa ergibl sich; ieff = q

v

l = 7,270 1% p.a.

(Effe ktivzins nach 360TM) .

(q ,= I + iM = konformer Monatszinsfa ktor}

b) (lCl\lA)

o

q7LJ

r' -I . q13 + R ' q84 - 98,105254 ' r - (0,14 + 1,05 7) · R .

q-

Fur r = 1.000 und R = 20.000 etwa crhalt man ieff = 1,005871 12 - 1 = 7,2766% p.a.

(Effeklivzins nach l e MA ),

also deutlich nied rigcr als bei rcincm Bonussparen (7,7220 % bzw. 7,7335%) .

Aufgabe 5.3.48: Bcim "Bonus-Sparen" zahlt ern Sparer 5 Jahre lang monatlich vorschusslg cine Sparrate von r € /Monat (z.B. 100,-- €/M onat) auf scin Sparkont o ein (6% p .a. Sparzinsen, erster Z inszuschtagsermin ein Jahr nacn aster Monatsrale) . Im 6. J ahr werden vom Sparer keine Za hlungen gelcistct . Am Ende des 6. J ahres erhalt der Sparer •

seine d UTC h Z ins- und Zinseszins angewaehsencn Sparbcuragc (zwischen zwei Zinszu schtagterminen weraen lineare Zinsen berechnet} und zusatzlich

•

emcn "Bonus" in H oh c von 17 % auf die Summe seiner nominell geleistet en Einzahlungcn (Beispiel: Bei r = 100,-- € / Monat hat er nominell 100 ·1 2 ·5 = 6.000,-- € gespan, der Bonus betriigt d onn 1.020,- - €),

292

5 Die Ennittlungdes Effektivzinssatzes in dec Finanzmarhematik

i) Man ennittle die Effektivverzinsung beim Bonussparen nach · 8) dcr 360·Tagc-Mcthode

b) dcr l eMA-M ethode.

ii) Za hlt dcr Sparer zu satzlich zu scincn Sparrat cn zu Beginn des crstcn J ahrcs cine Sondcrza hlung

R, so erhalt er am Endc des 6 . 1a hrcs ncbcn den auf die Sond crzahlung entfallencn Zin sesz inscn (6% p .a.) ebenfalls cinco 17% igcn Bonu s auf R. W ic tauter die Bffcktivvcrzinsun g

(*a)

360~ Tage·Methode

b) ICMA-Methode)

a) fur r : 500,-- € / Mo nal und ciner cinmaligcn SondcrzaWung von 1.000,-· €? b) Iur r "" 80,-- € /Monat und ciner einmaligcn Sondcrzahlung vo n 10.000,-- €? c) wen n nu r eine Sonderzahlung in Hon e von R E uro zu Beginn des 1. J ahrcs gclcistct wird (und kemeSpamuen eingezahlt werden)?

5..3.3 .6 Ubc ngseufgeben zur Effektivzinsenn itt lung bei unterjiihrigen Leistungen 5.3.49: Gegcbcn ist ein AnnuiHitenkrcdit (Krrditsumme: 100.00 0,· · €) mit den Kondttionen 94 / 10/2. Die Annuttatcn worden (zu je einem Viertel der Jahrrsannuitiit) vicrtcljahrhch gczahlt (mit sofo niger Tilgungsverrechnung) , die Zinsvcrrcchnung erfolgt jahrlich (d.h. innerhalb des l uhres lineare Veninsung) .

Aurga~

Die Konditionen sind fur funf Jahre festgeschricbcn. i) Man ermittle den (anfanglichrn) cf fcktivcn Jahrcszins dicscs Krcdits nach der

a) *b) e)

le MA-Methode 360-Tage- Methode US-Method e.

ii ) Man crmttne den (anfiingtichen) effektiven Jahreszins des Krcdits zu den obcn genanntcn

Konditioncn, jcdoch bei jahrucber Tilgungsvcrrechnung nach dcr a) *b) c)

leMA-Methode 360· Tage-Methode US-Methode.

5.3,50: Huber nimmt bci seiner Hausbank einen Kredit in Hohc von 400.000,-- € auf. Als aqu ivatcnrc Ruckzahlungcn worden vereinbart: 24 Monatsraten zu je 20 .000,-- € /Monat, wobci die erste Monatsrate genau eincn Monat naeh Kreditaufnalune Iallig ist. AuGerdcmworden von den 400.000,-- € zu Beginn 5% (als Disagio) von der Bank einbchalten, so dass sieh dcr Auszahtungsbctrag entsprcchend vcrmindert.

Aurga~

*i) Wie lauret dcr Effektivzinssatz drcscs Krcdits, wenn die Effektivzins- Periode 1 Jahr bctragt und untcrjahrig mit lmearen Zinscn gercchnet worden muss? (360- Tage-Methode)

ii) Wie tauter der Effektivzinssatz dieses Kredits, wenn die Effektivzins-Pcricxle 1 Monat (= I

Ratenperiodei bctragt und der Monatszinssatz a) konform zum (eff.) Jahrcszins ist? b) relanv zum (iff.) Jahreszrns ist?

(leMA- Methode) (US- Methode)

5 .3

Effektivzinsermi ttlung bet untcrjahrigen Lcis tungcn

293

Aufgahe 5.3.51 : Ge gcben sei ein A nnuita tenkredit mit den Kondit io nen 100/10/2 , d.h. 100 % Ausza hlung. Z insen (nom.): 10% p.a., A nfangstilgung: 2 % p.a. (zuzug/ich errpan.e Zinsen}, Die Zinsperiode be tragt 1 Monat (Mona/Szins '" relativer Jahreszins), die T ilgungsverrechn ung erfolgt sofort mit jeder Ruckza hlungs-Rate . Die A nnuitate n werden ebenfal1s monatl ich gczahlt, die Mon ats. a nnuitat" bc tragt ein Zwolfte l der J ahresann uitat . Man ermin le den (anfanglichen) effektiven J ahreszins d ieses Kredit s, wenn die Konditionen fur 5 J ahre fest vercinbart sind (·360-Tage-Melhode und I CMA-Me/hode) .

Aufgabe 5.3.52: Ban kha us H ube r & Co. offcriert semen Kunden Kredit c zu folgcnden Kond itioncn : Auszahlung 92 % ; (nom.) Zi ns 6 % p.a .; T ilgung 3% p.a. (zuzuglich ersp arte Zinsen) . Die sich dara us ergcbe nde Armuu at ist in 12 gleichcn nachschlis sigcn Monat srat cn zu zahlcn (d.h.

also: Monatsrate = l~ der An nuitat) , beginnend omen Monat nach Kredit auf nahrne . Die Tilgungsverrec hnung erfo lgt halbjahrlich (dA mil 1,5 % p.1 a. zuzuglich erspane Zinsen). E benfalls halbjahdich werden die Z inscn berec hnct (d.h. Zinsperiode = ! Jahr, angewendaer Zinssalz3%p.1 a.). 2 I) Man crmittlc den Effekt ivzinssat z tiber die Gcs amtlaufzcit (·360 -Toge-Memode und ICMA). ii ) Man e rmittle de n anfa nglichen effcktiven Z inssa lz ( ·360-Tage-Methode und ICMA) , wcnn d ie Kondit ion en fUr 5 J ahre fest bleibe n (die sich nach 5 Jahren ergebende Restschuld wird dabei als dann f a1lige Gegmlelstung des Schuldners belrachtet).

Aufgabe 5.3 .53: H uber Iciht sich 300.000 ,-- € . Die Rtiekza hlung erfolgt vereinberungsgemau in 37 Quartalsrat cn zu jc 18.000,-- € /Quartal. Die erste Rate ist genau 2 Jahr e nach Krcditaufnahme falllg. · i) Wie lautet der Effektivzin s dtescs Kredits, wenn die Z inspe riode 1 Jahr betragt und untcrjahrig mil fincarcn Zinscn gcrechnet worden muss? (360- Tage-Methode) ii ) Wie lautet de r Effekt ivzins dicses Kredit s, wenn d ie Z inspc riode ein Qu artal (= Ratenperiode) bet ragt und der Q uarlalszins konform zum Jahreszins ist ? (ICMA- Melhode)

Aufgabe 5.3.54: Gcgcbcn sci ein A nnuitatenkrcdit mil folgcnden Kondi tionen: Auszahlung 92%; Zi ns (nom.) 9% p.a.; T ilgung 3 % p.a. (zuziiglich erspane Zinsen) . i) Die ers ten he iden Jahre scicn gcgcnlcistungsfrci, d.h . cs erfolgcn keine Zahlungen. Man ermittle den effektiven J ah reszins (Gesamtlaufzeit - ·360-Tag~Meth ode una I CMA) dieses Kredites, wenn die Annultat cn jahrlich gcza hlt worden und d ie Zins- und Tilgungsverrechnung ebe nfalls jahrlich erfo lgt . ii) A bweichend von i) sollcn in den beide n ersten Jah ren nur die Zi nsen gezahlt worden. Au l3crdcm so llen aile sich ergcbcnde n Zahlungcn (d.h in den emen heiden Jahre" die Zins en bzw. dann die sich ab dem 3. Jahr ergebenden A nnuiliUen) in 12 gleiehe n Monat sraten (zu jeweils ein Zwolftel des Jahreswertes) erfolgcn, beginnend einen Monat nach Kred itauszahlung. D ie Verrechnung von Zi nse n und Tilgung erfolgt dagegcn - wie umer i) - jahrlich.

Man ermitt le filr cine lnsgcsamt 7-jahrigc Zinsbindu ngsfrist den anfanglichen cffektiven J ahreszins dieses Kredns (·360-Tage-Methode und I CMA).

294

5

Die Ennittlung des Effek tivzinssatzcs in dcr Finanzmathcmatik

Aufgabe 5.3.55: Gcgcben is! do Annuitatenkredit tKreausumme: JOO.OOO,· · € ) mil den Kenditioncn 94/ 10/2. Die Annunat en wcrdcn (zu jf einem Viertel der Iahresannuuat] viertcljahrlic h gczahlt (mil sofortiger Tilgungsverrechnung) , die Zinsverrechnung erfo lgt jahrlirh. Die Konditionen sind fur zwei J ahre fcstgesc hriebcn.

I) Man crm itt lc den (anftinglichen) cffe ktiven J ahreszin s dies cs Kredus, und zwar

·a) nach dcr 360-Tege-Methode

und

b) nach der ISMA-Melhooe.

· ii) Man gebe fUr die zwcijahrigc Laufzcit des Krcdits den Tilgungsplan des Vcrgleichskontos (nach

der 360-Tage-Methode) an. Dabci gehe man von einer. Kreonsumrne'' in H6he dcr Auszahlung ( = 94.000) aus, cnrwickle den T ilgungsplan mit dem unter i) errruttelten (anfiinglichen) effektiyen J abresztnssatz (= 13,85453 % p.a .) und beachte weitcrhm, dass zusammcn mit der lctzt cn Quartalsrate auch noeh die Restschuld Kl = 94 .85 5 , · ~ € fallig ist (wurde bereits in i) enn ittclt).

Aufgabe 5.3.5 6: Gcgebcn sci ein Annuitatcnkredit mit den Kondilionen 93/10 /2 , d.h. 93 % A uszahlu ng. Zins en 10% p.a. (nom.), Anfangstngong 2% p.a. (zuzuglich erspane Zinsen).

Die Krcditbcdingungcn schcn wcitcrhm vor: -

Zinsperiodc ist das Q uartal tder Quartalszins soil relativ zum nomineilen Jahreszins sein); T ugungsvcrrech nu ng: vicrteljahrlich [d.h: gleichzeitig mit der Zinsvesrechnung}: Die J ahresannuirat ist in 12 glciehen Teilen monatlich zu leisten, d.h . Monats.annuttat " glcieh ein Zwolftc l des Jahrcsannuuat; Kreditsummc: 100.000,-- € .

i) Man enni Ule fur cine 10jahrige Festschrcibung de r Kondinonen den (anfanglichen) cffektivcn

J ahrcszins (nach der ISMA-Methode). ii ) Man ermittlc dcn Effektivzins ubcr die Gesamtlaufzcit (nach der ISMA-Methode).

ii i) Man gebe fur den Fall elner l jahrigcn Festsehrcibung dcr Konditionen den Tilgungsplan des V crglcichs kont os (nach der ISMA-Melhode) an.

Dabci gehe man von einer " Krcdi ts umme~ in H ohe der Au szah lung ( = 93.000 € ) aus und rcchne den T ilgungsplan mit dem noe h zu ermittelnde n anfanghc hcn cf fektiven Jahrcszinssatz durch und beachtc wciterhin, dass zusarnmen mil der letzten Monatsrate aueh noch die Rest schuld K ] fallig ist. Anfgahe 5,3.57: Gcgc bcn sci ein Annuit atcnkredu mit den Kondition en 95/ 11/ 1, d.h. 95% Aus za hlung, Zms 11% (nom.), Anfangstilgung 1% p.a. (zuzuglich erspatte Zinsen).

Die Kred itbcdingungcn sehcn wciterhin vor: -

Zins- und Tilgungsverrechnung: jahrlich

-

D ie Jahresannuitat ist in 6 glciehen Teiten alle zwci Monate tbeginnend zwei Monote nach Kreditauszahlung) zu leisten, d.h. die 2-Monalszahlung tst gleieh einem Scchstel der sieh auf grund dcr o.a. Kondrtioncn ergcbcnde n Jahresa nnuitat .

i) Man crrninle fOr cine 3jahrige Pcstschrcibung der Kond itionen den (anfang hchen) effektiven

Jabrcsztns (nach *360- Tage-Methode und ISMA-Mrthodr).

ii) Man crmittle den anfanglichcn Effektivzins, wenn zunachst zwei Jahre Tilgu ngsstreckung ver-

einbart werden und danaeh die o.a . Kondtttoncn fur weitere 5 J ahre fcstgcschriebcn sind.

(*360- Tage- und ISMA-Methodr)

5 .3

295

Effcktivzins crmi lt lung bci untcrjah rigen Lcistu ngcn

Aufgahe 5.3.58: Gegcbc n ist ein Annuitat cnkredit (Kredusum me Ko Basis-Kon ditionen-

100.000 €) mit folgcndcn

- 100 % Auszahlung - 10% p.a. (nom.) Zinscn - 2 % p.a. Anfangsntgung,

Gcsucht sind die Effektivzinssatze naeh ·360 -Tagc-M ethode und l e MA Iur die folgcnd cn Krednvereinbarungcn und Kont ofUhrungsmodelle (in Phase 1) : i) Quartalsraten 3.00 0 € /Quartal, sofortigc Tilgungsverrcch nung, sofortigc Zinsverrcchnung a) zum relativen Quartalszins satz b) zum kontormcn Quartalszins Laufzcit. jcweils 10 J ahre.

ii) Monatsmt en 1.000 € /Mona l. Zin s- und Tilgungsverrechnung halbjahrhch (relativer Z inssalz). 1 Jahr Laufzeir a) b) Gc sarmlaufzeit.

Im Fall a) gcbc man das Vergleiehskonto naeh l eMA an . iii) H albjahrcs mten 6.000 € /Scmcst cr, Zins - und Ti lgungsverrechnung jahrtt ch, 2 Jahre Laufzeit: a) b) Gcsamtlautzett.

"Im Faile a) gebe ma n das Vergleichskom o nach der 360 -Ta ge-Me lhode an.

Aurgebe 5.3.59 : Man lose Aufgabc 5.3 .58 i) - iii), wenn die Basis-Kreditkonditioncn laut en : - 93% Auszahlung - 8% p.a. (nom .) Zinssat z - 4% p.a . An fangstilgung.

*Aurgabe 5.3.60: Ein Krcditnchmcr bcnottgt Barmitt cl in H ohc von 250.000 ,-- €. Er tst be rcu und in de r Lege, monattieh 3.000,·· € fur eine bc licbig lange Laufz eit zuruckzuzahlen , erstmalig einen Mo nal naeh Krcditaufnahme. Mit der Krcditbank wird folgcndcs vcreinbart. -

Ocr wahrcnd der vereinba rten Zinsbindun gsfrist von 10 Jahren gOltigc Effektivzins 50119% p.a. (in Phase 2 ennitlelt nach der l eMA-Methade) betragen.

-

Da s Krcditkonto (Phase If) wird monatlieh abgerechnet mit dem zum nomin ellen Jahreszinssatz relat iven Monatszins (die Z ins - und Tllgungsverrecnnun g erjOlgl monatllch) , Das Kreditkonto wird somit nach der US-Methode abgcrechnct , dcr ems prechende nom inelle KrcditJahrcszinssatz ist allerdings nicht vo rgcgcben (siehe Aufgabell/eit

ii».

i) Man ennittle die Restsehuld K IO• die der Krcdi tnehmcr nac h 10 Jahren (am Ende der Zi ns bindungsf rist) zunlckzuzahlen hat . ii) Man ennittle den nomin etlen J ahrcszins der d isagiofrcien Kreditvanan te . iii) Ocr Krcd itnchmcr wunscht (bei gleichem Za hlun gsstrom und somit gleichem Eff ektivzinssatz) cin Disagio in H ohc von 5 % der Kredit surnm e. Wie laut en jetzt Krcdit sunune und nomineller

J ahrcszinssat z?

296

5

Aufgabe 5.3.6 1:

Die Errnittlung des Effektivzinssat zes in der Finanzmathematik

Ein A nnu ltat enk redit besitzt die Basis-Ko ndition 96/8 / 1. De r Kreditnehmer bea n-

tragt cine Kreditsumme von 360.000 E, von denen 345.600

€ zur Auszahlung komm en.

Der d UTC h die Auszahlung von nur 96% der Kreditsumme fehlendc Disagio-Betrag in Hohe von 14.400,-- € wird dem Krcditnehmer als anfangliches Tilgungsstreckungsdarlehen gewahrt. dessen Laufzeit 3 Jahre betragen soll bei einer Verzinsung von 10% p.a. Das Tilgungsstreckungsdarlehen ist in diesen ersten drei Jahren mit 6 Halbjahresraten annuitarisch in voller Hohe zuruckzutuhren. Die Zins- und Tilgungsverrechnung des Tilgungssucckungsdarlehens crfolgt halbjahrlich unt er Anwcndung des H albjahrcszinssatzcs ill = 5% p.H.

w ahrcnd de r Tilgungsstreckungszcit ruht dcr Hauptkredit (die Restschuld erhOht sich zwischenzeitlich mit ill = 4 % p .H.) . D ie crhohtc Rcstschukl ist nach vollstandiger Ru ckfuhrung des T ilgungsstreckungsda rlchens mit Halbjahrcsannuitatcn von 4% + 0,5% = 4,5% p.H. (bezogen auf die Restschuld zu Beginn des 4. Jahres) zuruckzuzahlcn, Z inssatz wic zuvor 4% p.H.

i) Man cnn ittle fur cine Laufzcit (= Zinshindungsfrist) vo n 8 J ah ren (3 J. T 51.) die Effektivzinssatze (·3 60·Tage-Me/hode und l eMA) des Kreditgescbartes. ii) Ma n cnn ittle die Effektivz inssatze, wenn dcr Krcd itnehmcr anstelle des Tilgungsstreckungsdarlch cns cine crhohtc Krcditsurnme beantragt und erbatrcn hart e, die nach A bzug des Disagios auf die gcwunschtc Auszahlung (360.000,· - € ) gcfUhrt hatte.

Ein A nnuitat enkredu (Kreditsumm e: 400.000,· · €) wird zu folgcnden Kondino nen

Aufgabe 5.3.62: vercinbart:

Auszahlung: 91 %, (nom.) Zinssatz: 6% p.a ., Anfangstilgung: 1% p-eDie Abrcchnung des Kreditkontos crfolgt - bci Q uartalsraten zu 7.000 € /Quartal - mil sofortlg..c r Zins- und T tlgungsvcrrcchn ung (Zinssatz: 1,5% p.Q.) , die Z insbindungsfrist betragt 5 J ahre. Nach 2 J ahren und 9 Monaten wird der Krcdit vorzci tig dur ch Zahlung der da nn noc h vorhandc ncn Rest schuld vollig getilgt . Wic hoc h ist die D isagio-ROekerstatt ung zu diesem Zei tpunkt (nach der Effektivzinsmethode),

· i) falls der ursprungliche Effektivzins naeh der 360-Tage-Methode ii) falls dcr ursprungliche E ffcktivzins nach der l e MA-Methode

crmitt clt wurde?

Bemerkung: Zur Effek/iwerzinsung bei Zahlungsreihen mit verU nderlichen Rentenraten siehe Aufgahen 3.9.64,

3.9.69,3.9.7/.

297

5,4

Finanzrnathernatische Aspekte zur "richtigcn" Vcrzinsungsmet hode

5.4

Exkursr Flnanzmathematlsche Aspekte zur . rtchtlgen" Verzinsun gsmethode

An mchrercn Stolle n in de n vorangcgangcnen Kapitcl n23 fiel auf , dass die uneare (hzw. grmischrr) v eru nsu ng gewisse Widerspriichlich keiten od er Ungere imlheilen be i der U nrcrsuchung dcr Aquivalcnz von Zahlungsreihen mit sich bringt . Bcu acht en wir etwa in Beispiel 5.1.8 die Effektivzinsermittlung cincrscits nach der 360- Tage-Method e, and ererseits nach der Meth ode von Braess: D ie Tatsache, das s selbst diese nahezu Oberein st immend en Mcrhod cn be l identischen Zahlu ngsstromen un terschicdhche Effcktivzinssat ze ergcben , legt den Verdacht nahe, class es gerade die diesen Bcispiclen eigcne lineare zcitproportio nale v eratnsungs-Denkwetse" sein konnte, die fOr die Unt erschicdc vcra ntwortlich ist. Na ehfolgend werde n zur Unterstu tzun g d ieser Th ese 25 in loser Folgc einige drastische und aussagckraftigo Faile demonstricrt, die zeigen, dass der An satz linearer Verzin sung oder cines zcitproportionalen unt orjahri gen Zinssatzcs unweigcrlich zu WidersprOchen und Ungcreimtheitcn fiihrt 26. Gleichzcitig wird die E rkenntnis wachsen , oass der nichninca re cxpo nenticlle Ansatz , wic er etwa in der l e MA -Method e rcahslert wird, eincrscirs samtliche WidersprOche auf cinen Schlag bescitigt und auBcrdem chcr Icichte r zu handhabcn lst als die Verzinsung nach der tradition cllen Hnearen kaufrnannisehcn Dcnkwcise/".

Fa ll 1:

Gcgcben sci der folgcndc Zahlungsstrahl eines Krcditvorgangcs:

x,

(L )

( = Krcdit summc)

---JI--------+-- - - - - - - -I-- - --100

1/2 Jah r

300

--+--------1 --I

(Ze it)

(GL)

I Zin<jahr

Abb. 5 .4.1

Der Krcdit soll mit einem J ahresz ins von 12% p.a. abgerechn et werd en, wobci untcrjahrig linear zum relativen Zinssatz gcrech net wird (also z.B. 6% f Ur das Halbjahr). Gcsueh l ist die zu den beidcn Gc gcnlcistungcn (GL) 100 und 300 aquivalente Krcditsumme Ko (= L eistung (L» zu J ahresbcginn , vgl. Abb. 5 .4.1. Die Krcdit sunune Ko kann nu n auf zwci un tcrschiedliche, mit den angegebcnen Z insfiktion cn aber vertraglichc Art en crmittclt werd en:

23 So ctwa in den Bcmcrkungen 1.2.30/1.2. 32, den Beispielen 1.2.37 ii)12.2.5 sowic 2.3. 912.3. 37 und insbesond ere imBeispieI 5. 1.8. 24 Das lincare Denken - etwa in Form des Drcisatzdcnkcns - scheint allgemein auch bei nichtlineare n Vo rgangcn bclicbt zu scin, ctwa nach dem Muster: 1 kg Diinger pro m2 AckerlUclu: crgebcneinen Ertrag vo n 10 kglm 2. Wie groll ist der Ertrag bci einem Einsatz vcn 100 kg Dunger pru m 2 ... ? 2S Auf cine forma1e und stre ng mat hematischc Bcwcisfubrung kann hier verzic htet worden. Naheres in [Scd )45tT odcr [Sec2) 57ff: 26 Vgl. [Tiel ] 43tT.

"

Hier ergibt sicheine entschiedcnc Gcgcnposition zur AutTassung von Wimmer [Wim) 956.

298

5

Die Ennittlung des Effcknvzinssatzcs in der Finanzma thematik

~, indcm man 100 € cin halbes Jahr und 300 € cin ganzes Jahr abzinst und dann die Summe der heiden abgezinsten Bctragc bnder":

a) Man erbatt

K"

= -

100

300

1,06

+ -

1,12

= 362,20

€.

b) ~ ergibt sich ebcnsogu t aus fclgendcr Obcrlcgung: Rcchnct man das Kreditkonto zum Jahresende abo so muss die urn cin Jahr aufgezinste Kredi tsumme Ko (d.h. K o '1,12) uberetnstimmcn mit der Summc der urn d o halbcs Jahr aufgezinsten 100 € plus der am Jabresende fa.lligcn Zahlung von 300 € ;

Ko - 1,12

= 100 ' 1,06

+ 300

K,, =

100 -1,06 + 300 = 362,50

€.

1, 12

Obwohl bcidc Dcnkansatzc plausibcl bcgrundct und in sich stimmig sind, liefern sic unterschiedlic he Rcsulratc.

Etwas andercs Mite sich crgcbcn bei unt erjahrigc n Zinscszinscn , etwa An sarz von 6 % p.l ha. (oder auch Amalz des zu 12% p.a . konformen Halbjahreszinssatzes von 5,8301%) : a)

Binzcln abzinscn.

100 300 - + -2 = 361,34 € . 1,06 1,06

~ = -

b)

Seide Gcgenleislu ngen erst zum Ja hrcscndc aufzinsen, dann ihre Summe abzinscn: 100 300 100 ·1 ,06 +300 K" = + -= 361,3 4 € 2 1,06 1,06 1 06 2 also idcntische Ergebnisse (wie mit jedem anda en Halbjahreszinssatz auch).

Ergebnis 1:

Bci Iinearer verernsung ergcbcn sich jc naeh A uf- oder Abzinsung fu r dtesclbcn Gegenleistungen unterschiedliche "aq uivalcntc" Krcditsummen. Sc i Anwendung untcrjahrigcr Zrnscszinscn ist die Kreditsummc eindeutig bestirnmt und unabhang ig davon, ob auf- oder abgczin st wurdc.

Fall 2:

Eine Zahlung von 100,-- € heute ist bei 10% p.a. Zinsen aquivalcnt zu cincr in eincm Jahr falligcn Zahlung von 1 1O,·~ € : (L )

100

-----1-------+-- - - - -- - - 110

~-

1/ 2 J ahr

- +--------1 --I

( Z<")

(GL)

1/ 2 Jahr

1 :l.insiahr

Abb. 5.4.2

Dies crgibt sich entwedcr daraus, dass tOO € bci 10% p.a. auf 110 € anwachscn (S/ich/ag = Jahresende) oder dass der mit 10% ebgcatnstc Wert der spateren Za hlung 110 € gcradc 100 € ergibt (Snchtag = Jahresanf ang). 28 Diose vorgehcnsweise entspricht dcm Splitting des Krcdits in zwei Teilkrcdrte, dcren crstcr aquivalenr zu den 100 € und dcren zweitcr squivalcm za den 300 € ist.

5.4

299

Fina nzmathematis che As pekte z ur " richtigen ~ Verzinsu ngsmethode Wahlen wir nun ats Bcwertungsstichtag fu r beide Zahlungcn die Jahresmit tc, St;chtag

(L)

100

----jf-- - - --+-- - - - - - -

I--

1/ 2 Jahr

110

,

- -- , - -

- -1

1/ 2 Ja hr

(5%)

(5%)

- (,,(,) (GL ) Abb. 5.4 .3

und verwcndcn den zu 10 % p.a. zcitp roportionalen Halbjahreszinssatz 5% , so crgibt sich Iotgende Wertenni ttlung am Stich tag: 100 € cin halbcs J ah r zu 5% aufgezinst Iicfert :

100 ' 1,05 = 105, - - €. 110 = 104,76 € .

110 € cln halbe s J ahr mit 5% abgcz inst licfcrt:

1,05

m.a.W.: Z wei Zahlungcn, d ie bcz iiglich cines Stichtages aquivajcnt sind, vcrlicrcn dtcsc Aquiva!cO2, wcnn (bei linearer Venmsung Stichtag gcwii.hlt wird.

zum zeitproponio nalen unteljiihrigen Zinssatz) ein andercr

H arre man statt desscn den zu 10% p.a. konf ormen Halbjahrcszinssatz ill gcwahlt, d .h. ill 1,10,5 - 1 = 4,8809% p. H., so harte sich wegen 1,1 = ( 1+ ill )2 crgcben: 100 € ein halbcs J ah r aufgczinst: 110 € cin halbes J ahr abgczinst:

100 · (1 + ill) 110

I+ill

=

100 ( l+i u)2

I+il{

= 100

(1 + i ll)

also in bciden Fallen cxa kt dcrsctbc Wert (niimlich J04,8809 €) .

Ergebnis 2:

Bel nncarer Verzinsung zum relativen Zi nssatz hangt d ie Aquivalenz zwcicr Zahlungs· reihen vom gewahnen Bcw ertungssticht ag ab.

Bci Vcrwcndung des konrormen Zmssatzcs und A n.....c ndung der Z inseszinsmethod e bleibc n zwei zu irgcndd ncm St ichtag als aquivalent fesrges rellte Zahlungsrcihen auch fOr je den ande ren bc licbig wahlbarcn Stichtag aquivalent.

Fall 3 :

J emand leiht sic h 100 € zu 12% p.a. und bca bsieht igt, die Sch uld nach eincm J ahr du rch Zahlung von 112 € volls tandig zuruckzut uhren.

Nach A blauf cines ha lben J ahrcs will er den Krcdit vorzeitig abl6se n, der Kreditgcber bcrcchnc t den halbcn J ahrcszins (= 6%) und forde rt 106 € . Unmittclbar nach Ubergabe dieser Swnme leiht er stc h lias zurOekgcza hlte Kapital emeut aus, muss abe r nun - bci ebenfalls 6% im zweiten Halbjahr - am Jahrcsende einen Bctrag von 106 ' 1,06 = 112,38 € zurOckzahlen - und das bei gleichfalls cinjahri gcr Nutz ung des Kap itals von 100 €.

5

300

Die Ermittiung des Effekti vzinssatzes in dcr Finanzmathcma tik

H atte sich - be i 12% p.a. - dcr Kred it dagegen unterjahrig mil dc m kontorrnen H albjahrcsZinssatz ill (und unter Ansatz von Zinseszinsen] verzinst, d.h. mit l+ ill = 1,12°,5 = 1,0583,

ill = 5,83% p.H,

d.h .

so harte dcr Krcd itncluncr zur Jahrcsmitt e zunac hst 100 -1,12°,5= 105,83 € zurilckgezah ll

bzw. bei emeutcr Auslcihe dicscs Betragcs am Jahresende 105,83 - 1,0583 = 112,--

e,

d.h . unabhii ngig von cincm zwischcnzeit lichcn Z insz uschlag genau 12% p.a. (effektiv) am J ahrescnde.

Ergebnis3:

Bei Iincarer Vcrzinsung zum relativen unterjahrigen Zins hangt dcr aufgczinslc Endwert cines Betragcs davon ab. ob (und wie ofI) in der Zwischcnzcit die Zinscn wertgcstcllt wurdcn. Bei A nwendu ng unterjahrigcr Zinscszi nsen zum konformen Z inssatz hat - unabhangig von der Zahl und dcm zdtliehen Abstand zwischenzculicher Zi nsbuchungendas E ndkapital stets denselbe n Wert.

Fall 4: Gegcbe n sci - bci durchgchend linca rer Verzinsung, d.h . ohne zwischenzeit lichen Zinszuschlai9 - ein Krcdit mit folgcnde r Za hlungsst ruktur (Abb. 5.4.4): (L)

100

- jf--- - - - - - - - - - - - --

l- -

--+-

1 Jah r

121

1 Jahr

---I

(u '"

(GL) Abb.5.4.4

Gesue ht ist der Effektivzinssat z dicscs Kredirs be i Wahl unterschicdlicher Bewcrtungsstichtagc: a ) Durchgehender Ansatz linearer Verzinsung: a l ) Stiehtag am T ag dcr Gege nleistung, d.h. 2 J ahre nach Kreditaufnah me: A1L~

100 (1+ i '2) = 121

folgt:

ieff

=

10,50% p.a.

al) Stiehtag: 1 Jahr naeh Krcd itaufnahme:

Aus 100 ' (1+i) =

(2(

I+i

fclgt:

ieff

= 10,00% p.a.

a3) Stichtag: 10 J ahre nach Krcd itaufnahmc: Aus 100 ' (I +i ' 1O) = 12 1 ' (1+i ' 8) folgt:

ieff = 65,63 % p.a,

a4) Stichtag: 9,5 J ahre vor Krcdita ufnahme:

Au,

100

121

1+ i ' 9,S

1 + i · 11,5

folgt:

4200 % p.a.

(!)

29 In diesc m lind dcm folg crd cn Fall wird ausdruc klic h von den Zinsvorschrifte n des § 608 BG B abgewichcn, lim die ebsurden Folge rungen aus dem hncare n Vcrzinsu ngs-Dcnkansatz einmal auf recht drastischc Weise demon -

stricren zu kcnncn.

5.4

Finanzmathematische Aspekte

ZUT " rich t igen~

301

Verzinsungs methode

Durch Variation des Bewertungsstichtages kann fu r cincn vorgcgcbcnen Krcdit also nahczu jedcr bclicbige Effektivzi nssa tz w illkurlich crzeugt worden - der !incare A nsatz macht 's m oghch.

b ) Wahl, man dagegen die Zinseszlnsmetbode (i = erf Jahreszins) , so folgt in den ebe n bcsc hricbencn Fallen;

b l) Stichtag am T ag dcr Gegcnleisrueg: Aus 100· ( 1 +i )2 = 121

folgt:

1 +i = ~

b2) Stichtag: I Jahr nach Krcd itaufn ahme : 121 A us 100 · (1+i) = folgt bl), l +i

~

ierr = 10 ,00 % p.a.

d.h .

10,00 % p.a.

°

b3) Stichtag: J J ahre nach Kreditaufnahm c:

Aus 100- (1+ i)10 = 12 1 '(1+ i/

folgt 100 · (l +il = 121

, d.h . wic b I )

1>4) Stichtag: 9,5 J ahre vo r Kreditaufnahme : !OO (l +i) 9,S

121

(l + i) ll ,S

100 ·(1+ il = 121

Ergebn is 4:

folgt durch Mu ltiplikation mit (1 +i )l1,S :

, d.h. wieder b l ) mit ieff = 1O,OO%p.a.

Bei \inearcr Verzi nsung hangt die H o hc des Effe ktivzinssatzes cines Kredits ents cheidend davon ab, welcher St ichtag fur den Vergleich von Leistungcn und Gegcnlcistungen gL'Wiihlt wird. V crwendu ng de r Zinseszinsmet hode und des konformcn unt crj ahrigcn Z mssatzcs fUhrt fur jedc Wah l des Bcwenungsstichtages zum selben Effektivzinssatz.

Fa ilS:

Gcgcbe n scicn 100 €, die - bei 10% p.a. o hne Ztnscszinseffckte, d.h, bci durehgehend lincarer Verzinsung - urn 1 Jahr aufgezinst worden sollcn. Wie hangt der aufgczinste Wert K1 davon ab, ob " Umwege" bci dcr Verzi nsung gcmac ht werde n ?

a) Durc hgehende r Ansarz fineare r Verzi nsung: a ll ohnc Umweg:

K 1 = 100 · I ,lO = 11 0,-- € . a2) U mweg: Erst 3 J ahre aufz insen und da nn 2 J ahre abzmscn (per saldo also wieder 1 Jahr

aufgains,):

Kl = 100'(1+0,1' 3)'-'--1+ 0,1 ' 2

108,33 E.

302

5

Die Ennittlung des Effcktivzinssatzcs in dcr Finanzmathernatik

.13) Umwcg: Erst 99 Jahre abzinscn, dann 200 Jahre aufzinsen, dann 100 Jahre abzinscn (per saldo wieder 1 Jahraufgezinst) : I

I

K l = 100 ----'-- '(1+0.1 ' 200) ' 1+0,1 ' 99

-=---

= 17,51

1+0,1' 100

€.

(!!)

(durch Auftinsen mit /0 % veruen ein Kapltat ca. 82,5 % seines Wenes I?) .

b) Vcrwendung dcr ZinSe!>7.insmethode (10% p.a.) dagcgcn liefert bt) ohnc Umweg:

K] = 100 - 1,10 = 110,--£ , b2) Umwcg: Erst 3 Jahre auf-, dann 2 Jahre abzinsen: Kl = 100 -1,13 ' 1,1-2 = 100 - 1,13-2 = 100 - 1,1 = 110,-- €, b3) Umwcg: E rsl99 Jahre abo, dann 200 Jahre auf-, dann 100 Jahre abzinsen: K] = 100 '1 ,1-99' 1,1200' 1,1-100 = tAn wendung der Potenzgesetze} = 100 '1 ,1-99+200-100 = 100 -1, t] = 110 ,--

€ ,

also in allen Fa llen dc nselbcn - urn ei n Jahr aufgcz ins ten - Wert .

Ergebnis 5:

Bci Vcrwcndung dcr !inearcn Vcrzinsung hangt dcr Wert ciner zcitlich transfonn ierlen [d.h. auf- oder abgezinsten] Za hlung davon ab, aufwelchcn Verzinsungsumwegcn der vorgcgcbcnc Stichtag erreicht wird.

Sci Anwendung der Zinseszinsmelhode dart man bcliebigc und beliebig viele Verzinsuogsumwcgc cmschlagen, ohnc dass sich der schlicfslich errcichtc auf-/abgez inste Wert andert.

Fa ll 6:

Den Abschluss dieser Rcihe von Ungcrcimthcitcn bei linearer Verzinsung bildct die Bctrachtung cines Ratcnkredits und seiner staffclmagigen Ab rcchnung mit Hilfe des 360- Tagc-Mcthodc-E tfcktivzinssatzcs auf cincm Verglcichs-Kreditkonto . Krcditsumme: ].000 € , ROckzahlung mit 12 Monatsratcn zu jc 120 € , erste Rate cinen Monar naeh Krcditaufnahm c fallig. vgl. Abb. 5.4.5:

1.000

1 I-

miUlerer Zahlung st ermin

(L) I

120

120

(I I

('I

I

I

I

I

~t)

120

120

120

120

120

120

120 (OL)

("

1"

(' 1

('I

( 10)

(II )

(12)

I

I

I

120

120

120 ('I

("

I

I

I

ra

i

Stkh ta g

l 7jn sjahr

Abb. 5.4.5

-i

5.4

Finanzmathcmat isehe Aspe kte zur " riehtigcn~ Verzinsungsmcthodc

303

Die Aquivalenzgleiehung nach der 360-Tage-Meth ode berOcksichligt unterjahrig lincarc v crzfnsung und Z inszuschlagam Jahresende, vgl. Abb. 5.4.5: 1.000 · (1+i) = 1.440 · (1+i · ~': )

i = ieff = 129,412% p.a.

Rechnet man mit diesem Effektivzins das V erglcichskon to staffelmaBig durch (manallim werden j~fj1 2 = 10,7843% auf diejeweiJige Restschuld angl'selzl, separat gesammeit wtd am lahresende dem Kama hetastet; jede Ruckzahlunesrote verminden unmineibar die Restschuldt, so ergibt slch das folgende Vergleichskonto (Tab. 5.4.6):

Reslsehuld ZU Monatsb eg;nn

Mona t

12

1.000,-880,-760,-640,· · 520,-400,-280,· · 160,-40,-80,-- 200,-- 320, --

13

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

-

10 11

(10,7843% p.m.) ~ umu li er t e und Monalsszinsen zum Jahresend e se para t ges ammeh verrechnele Zinsen

(107,84) (94,90) (81,96) (69,02) (56,08) (43,14) (30.20) (17,25) (4,31) (- 8,63) (-21 ,57) (- 34,51)

440,--

(Kania ausgeglicheni

Tilgung (Monatssende)

120,-120,-120,-120,· 120,-120,-120,· · 120,-120,-· 120,-120,-- 320,--

Zahl"ng (Monatssende)

120,-120,·· 120,-120,· · 120,-120,-120,·· 120,-120,-120,-120,-120,-Tab. 5.4.6

Vcrbluffcnd ist die Tatsache, class ab Ende des 9. Mooers das Kanto des Kreditnchmcrs cinen posuiven Saldo (erkennhar am Minuszeichen vor derjeweiligen Rl'Slschuld) aufwcist, so dass dem Kreditnehmer mit Ende des 10. Monats Zinsgutschriften auf das separate Zinssammelkonto gebucht werdcn. "Es ist sehr zu bezwcifcln, dass ein Bankkundc das System der Bcrechnung des effektiven Ja hreszinscs vcrsteht und nachvollziehcn kann, wenn er fur die letztcn Monate Zinsgutschriftcn bckommt. ~30 Diese wesentlich auf dem linearcn Vcrzinsungsvorgang bcruhcndc Ungcreimtheit vcrschwindet vonsrandrg, wenn man die le MA-Methode verwendet, d.h. untcrjahrig den zum gcsuehten Effektivzins ierf konfonnen Monatszins iM verwcndet; Wegen

ergibt sieh a1L~ Abb . 5.4.5 die Aquivalcnzgleichu ng 120 .

( l +i )12 _ 1 M

iM

mit der (etwa durch die Regula falsi gewonneflefl) LOsung: ieff = 1,061104 u - 1 = 30 Vgl. [Alt l] 222.

iM = 6,1104% p.M..

103,7490% p.a, (eff. Zins flam ICMA. -Ml'lhadl') .

d.h .

304

5

Die Ermittjung des Effek tivzinssatzcs in dcr Finanzmathematik

Die entsprechende Vcrgleichskonto-Staffelrechnung (Tab. 5.4.7) zeigt, dass nicht nur die absurden Zi nsguts ch riften versc hwunden sind , so ndem - bel ide ntischen Liquiditatsabflussen - der Effektivzins (mit 103,75% V$ . 129,41 % bei der 360- Tage-Melhode) auc h noch erheb lich niedrigee ausgewiesen werdcn kann als bc i Vcrwcndung der 360-Tagc-Mclhode:

Monat

R ~ < I ""hu Jd
I 2

3 4 5 6 7 S 9 10 11 12

Ergebn is 6:

:unsen

(6, 1104%)

Mona lS_

Tilgung

.,.hlung

58,90

120,-120,-120,-120,-120,- 120,-120,-120,-120,-120,-J20,-120,--

1.000,- 941,10 878,6 1 812,30 741,93 667,27

61,10 57,51 53,69

588,04

35,93

84,07

503,97

30,79

89,21

414,76

25,34

320 ,11 219,67 113,09

19,56 13,42 6,9 1

94,66 100,44 106,58 113,09

0

13

Mo nnlS _

62,49

49,63

66,31 70,37

45,33 40,77

79,23

(Kon iOausgeglichen)

74,67

Tab. 5.4 .7

Bci A nwendung der - auf lincarer Verzins ung beruhende n - 360-Tage-Methodc z ur Effcktivzinsennittl ung kann in dcr Vergleichskont ostaffelrechnung der paradoxe Fall auftret en, dass das Kreditkonto in den letzt en Phasen der Laufze it rec hnerisch einen positivcn Kapitalbcstand zugunst en des Kredit nehmers aufweist und ihm Jaher Z insgutsehriftc n zugcbucht worden rnnssen. Die An wendu ngder ICMA -Mclhcxle vcrmcidct dicsc U ngcrcimtheit und kann auserJ em rechne risch den gcringcrcn Effcktivzinssatz aufwcisen.

Zusammenfassu ng Die angcfiihrten Beispicle zeigen die prinzipiellen Schwachen und unsinnigen Folgcc rseh einu ngcn der linearen Verzinsung rec ht d rastisch. Die Tat saeh e, cass trotz allem im Krcdirwcscn in vielen Hillen immcr noc h an der linca rcn Verzinsung festgeha lten wird, liegt - aueer an cincm gewissen Beharrungsvcrmogen im traditi onellen Ge IJgewerbe - vor atlem darin bcgrundct, dass der H ang zur Lmearitat wcit vcrbreitc t Ist. Das oft zitierte "linea re kautm an nischo Dcn ken

1

1

87,40

96,5

q3 _ 1

I

q- l

q3

7·--· -

87,4

+-q3

folgt :

ief f

4,24 01% p.a.

treatisiene Rendue des Verkiiuf ers) .

zu iii): Fur die Errn ittlung der Um laufrendite sind nur die Leistungen relev ant, die ab dem Kaufzcitpunkt flicl3en: 87,4

-I

I

I

I

A us

87 ,4

7·

qL J

102 -1+ q - 1 q' q'

1

1

I

I

1

1

I

(Zeitl

1

f02 folgt :

ieff

10,707 1% p.a.

(Umlaufrendite im Koufzei/punk /).

6 Festverzinshche w enpapcre (Einfii.hnmg)

316

6.3 Ku rs u nd Rendite zu beliebigen Zeitp unkten - Stiic kzinsen und Borsen kurs Etwas andcrs gestaltct sich die Kursenn ittlung, weno das Wertpapier zwischen lwe i Zins!enn ine" notiert und gchandcl t w ird: Fall 2)

Kauft d o A nlcgcr ein festverzlnsliches Wcrtpapicr zwischen zwei Zinsterminen , so erwirbt er dami! auch d ie noch ausstchc ndcn Zinskupons, d.h . cr crhalt d ie volle nachste Z insrate p" (vgl. den fettgedmckten Wert in Abb. 6.24), muss abcr fur den abgclaufenen Tcil des Zinsjahres dcm Vcrkliufer einen cntsprcchcnden (linear zu ermiltelnden) Z insbruchteil, die sog. SUickzinsen crs rattcn. Kaufzeitpun kt

C,

,t

---jf----+

p'

p'

'"

p'

'"

~,

v

-+---

(Zeil)

I

:_ -,-_ _

- ' -I

p' m

ResHaufze il - - --

p' tn

c,

·1

, )ah,

Abb. 63. f

Fur den Jahresbruchtcil t, stehcn dem v erkaufer antciligcStiickzinscn zu. Beispiel 6.3.2: Ein fcstvcrzinsllches Wertpapier mit einem 8%-Koupon (d.h. p . '" 8,-- € pro 100€ Nennwen} wird 3 Monate vor der lctztcn Zinsfalligkeit verkauft. Dann gilt nach Abb. 6.3.1: Iv :::: 9 Monate (d.h. 0,75 Jahre) . Somit bctragen die Stuckzinsen 8 0,75 :::: 6,-- €, die dem Verkaufer im Kaufzcitpunkt zu erstatrcn sind. Ocr sich im Kaufzcitpunkt einstellendc finanzmathematische Kurs Cr. (Bm uokurs, "dirty price") ist > wicdcr nach (6.2.2) - dUTCh den (mi/ dem Marktzins enniuel/en) Barwcrt allcr zukiinftigen Letstungen gegcbcn. DeT BOrsenkurs [Nenokurs, " clean price) hingegen ergibt sich aus dicsem Kurs Cr. durch Abzug dcr Stnckztnscr r (6.3.3)

Bcrsenkurs

(clean price)

::::

finanzmathematiseher Kurs minus Sruckzinscn (dirtyprice)

A nders ausgedrOckt: An der Borse Ist der cffektive Preis (:::: Bruuokurs, dirryprice, [inanzmathematischer Kurs) fUr ein fesrvcrzinslichcs Wertpapier gcgcbcn durch den Borsenkurs (Nettokurs, clean price) plus den zu zahlenden Stuckztssen. Dicse Praxis verschlcicrt zwar cincrseits den wahren Preis des Papiers im Kaufzcilpunkt, vcrmcidct aber andererseits die sieh sonst zu den Z instenninen crgebenden KurssprOnge (vgJ. Aufgabe 6.3.14). Wir wollen das Vorgchen an cinigen Bei~pielen verdcutlichen: Die unterjahnge Verzinsung erfolgt hier mit der I CMA~Methode, d.h. unterjahrige Zinscszinsen mit dem (zum effek/illen Jahreszinssatz) konfonn en unterjahngen Z inssatz (USA: Venvendung des relatiren unterjahrigen Zinssatzes). (Die Stuckzinsen hingegen werden - wiebisher- zeitpropomonat (linear) mniUelt!)

6 .3

317

Kurs und Rcndite zu bchc btgcn Zci lpunktcn - Snlckzin sen und Borsenku rs

Beispiel 6.3.4: Eine gesamtfatligc 8% igc An lcihe, J ahrcskupo n, wird nach eioer Gcsamtlaufzeit von 7 J ahrcn zum Nennwert zuruckgcnomm cn. Das Papier soli 2 J ahre und 9 Monate nach der Em ission verkauft worden , die Umlaufrcnditc fur vergleichba re Papiere betragt zu dicsem Zeitpunkt 10% p.a. Gcsuc ht sind im Verkaufszcitpunkt Bruttopreis:

c; -1/ --

+--

e'l

-+--

8

8

irrele vonle, do vergon_

i) Bruttoprcrs

ii) StOckzinscn

iii) Borscnkurs des Papiers.

Kaufz~lpunk.t

I

- --

-+----+-

8

8

m

m

8

genh~"sberogene

---1-

-

(Z~."

--

8

8

"'

100

leisfungen

i) Bruttoprcis c; =

= Barwcrt (10% p. u.) aller noch a usste hcnden Lcistungcn = t IS- I

(8 ·.,:..t..:,.....O 1 + 100) •

I

~

1,1 '

=

99, 27% .

ii) Stuc kztnscn musscn fur 9 Monatc gezahlt wcrdcn. Sic bctragcn daher pro 8 '0,75 = 6 € . iii) M it den Er geb nissen von i) und ii) lautet der bOrsennotierte Wert

c;.

100 € Nennwert

c;. im Kaufzeitpunkt:

= 99,27 - 6 = 93, 27% .

Ei n Wertpapierkaufcr hat somit pro 100 € Ncnnwert ci nen Bctrag von 93,27 € fur das wcrtpapier zu zahlen pius 6,--€ Stuckz inscn , insgcsamt also (mi/99, 27€) per saldo dcnsclbc n Preis, der ihm als E rtrag ubcr cas Papier in Form vo n Zin sen und Rucknahmewert (bei 10 % p.a. effekliv) wiedcr zuflient, vgl. i).

Beispiel 6. 3.5: Kaufmann H uber kauf t 4 Monatc nach cincm Zins termin cin gcsamtfalhgcs fcstvcrzinsliehcs Wertpapicr (deneitiger Borsenkurs 105,71%) , da s cine nominelle Vcrz insung von 7,5 % p.a . (jilhrlicher Kup on) aufwcist und nach 2 1a hrcn und 8 M onarcn mit eincm Aufgcld von 3% (auf den Nmnwen] zuruckgenommcn wird. Gcsucht ist H ubers Rendite. Da aulkr dcm Borsenwcrt noch Sruckzlnscn in H ohc von 7,50 1~ = 2,50 zu zahlen sind, muss H ube r insgesamt cinen Preis vo n 108,21 fur das Papie r zah lcn, d.h . Leistungen und Gc genlcist ungen stellen sich wic folgt da r:

108,21

I,

~

;$

; ;;;;;1

(Zeit)

~$

- - - 2.6bhre

7~

'f - --I

Dar~.us ergibt sich fur q ( = 1 + i~ff) die A quivalenzglcichung;

q3 - I

t

q- l

q2,6

108,21 = (7,5' - - + 103) ' - _ mit der Los ung: ieff = 6, 16 14% p.a.

6

318

Fcstverzinsfiche Wertpap iere (Einfii.hrung)

A bschlicJ3cnd wollen wir an zwei Bcispiclcn klarcn, wie Kurscnnittl ung und Rcnditcbcrcc hnung be l halbjlihrlicher Zinszahlung crfolgcn, wobci auch hier Vcrkaufszcitpunkt e zwischen zwei Z instcrminen ange nommen werden (untrrjiihrig: leMA-Methode). Beispiel 6.3.6: Kerz kauft 72 Tage vor dcm nacbsten Z instennin ein gesamtfalhges festvcrzinslichcs Wcrtpapicr, nom incllcr Z inssatz 6% p.a., wobc i halbjahrlic h 3,-· € fje I QO € Nennwert) we Auszahlung kommen. Insgesamt steh en noch 9 Halbjahres kupons aus . Z uglcich mit dcr Ictztcn Kuponzah lung wird das Papicr zum Ncnnwert zuruck gcnommen. Die Umlaufrcndite fur vcrglcichbarc Papicre bctragt im Kaufzcitpunkt 8,16% p.a. Gesucht sind Brut toprcis, Stuckzinscn und BOrscnnot icrung im Kaufzcitpunkt. Kauf.eifpunkt

C,

, I

i9 ff =8,16'1Jp.o,

;" ;" Jr:

_

I

( Q unfavfrendite)

(Zeit)

3

I

I

I

I

3

3

3

3

'"

'"

'"

'"

12 Tage

I

I

3

3

,or

'"

100

0.4 Halbiahre

A us ieff = 8,16% p.a. ergibt sieh der konforme H albjahrcszins ip tiber (1 + i p)2 = 1,0816,

I + ip =

V1,0816

=

d.h .

1,04.

Damit ergibt sich fur den dirty priee (d.h. incl. Stackzinsrn) des Papiers nach (6.19):

Ct=

9 3 . 1,04 - I. - ' 0.04 1,048,4

+ -1Q!L '" 94,77%. 1,048.4

Stuckzinscn sind fUr 0,6 Halbjahrc zu entnchten, bctragcn somit 3 0,6 '" 1,80, so class der Borsenkurs leutct :

c;.. '"

C't- l ,80 '" 92,97%.

6.3.7: Einc 9.4% igc Anleihe bcsitzt cine Rcstlaufzeit von 12,6 Jahren, die Rucknabme crfolgt zu 102%. pro Jahr existieren zwei Zinstcrmine. Im Kaufzeitpunkt wird die Anleihe zu eincm Kurs (clean p rice, d.h. onne Sliickzinsen) von 92,40% notiert.

Bei~pi el

Gcsucht ist die Rendite fur eincn A nlcgcr. Die erste (von insgesamt 26) Zinsratcn (zuje 4, 70) ist nach 0,1 Jah rcn = 0,2 Halbjahren fallig:

c1 -= 96,16

{sill

"L - , 10, ""bi

K~'zei~llnkj

4.70 m

12.6 J = 25,2 Holbiahre

- - ---C ·1

--1 4.70

4.70

4.70 'UT

102

(Zeil)

6.3

Kurs und Rendite zu bclicbigcn Zcitpunktcn - Stuckzlnsen und Borscnkur s

319

Die Stuckzinscn fUr 0 ,8 Halbjahrc ergebcn sich zu 0,8 . 4,7 = 3,76, so dass der Bruttopreis C; des Wertpa piers gcgcbcn ist dureh 92,40 + 3,76 = 96, 16% . Bezclchnct man mit q ,= 1 + ip den (zu 1 + Aquivalenzgleichung q26 _1

1

q- 1

q 2S.2

96, 16 = 4,70 ' -- - --

' -

102 -

q2S,2

i~JJ

konf ormen) H albjahrcszmsfaktor, so lautet die

mit der Lo sung

q = 1 + ip

1,052 912,

10,8623 "" 10,86% p.a.

d.h .

Aufgabe 6.3.8 : Speku lant Uwe B. kauft cin festvcrzinsl iches Wertpapi er, da s derzcil (nheUle") zu 110,8% (de an price) not iert wird. Folgend e Dat en sind be kannt:

-

Gcsarntluufzcit (von Emission bis Ruckn ahmen 13 Jahre

-

Restlaufzcit (Kilufzeilpunkt (nheute") bis Rucknahme]: 5 J ahre

-

Zinsausstattung (nom .) des Papers: 6,75% p.a, tense Kuponzahlung f ur Uwe B. em Jahr nach Ankauf szeitpunkt)

-

R ucknahmck urs: 101,3%.

Ma n crmittle Uwes Rcnditc

I) naeh der Nahcrungsformcl (6. 1.12)

ii) exakt .

Aufgabe 6.3.9: Ein festverzinshches Wertpapier mit Nennwert 100E: , Laufzeit 10 J ahre, Kupon 7% p.a. und Au sgabckurs 89 % bringt dem E rsterwerber eine Rendite von 9,5% p.a. i) Wie hoch ist dcr R ucknahmckurs? ii) Das Werlpa pier wird unmi ttelbar naeh dcr 3 . Zin szahlung zu einem Kurswcrt verkauft, der dcm

Kaufer cine Effektivverzinsung von 10 % p.a. garantiert (Rucknahrnek urs wie unter

i» .

Zu welcbcm Kurswert wird das Papier verkauft? iii) H uber hatte da s Papier zum Emissionszcitpunkt gckauft. Die 10 Zinszahlungen halt e er jcweils unmittelbar naeh Auszahlung in cincm Ratensparvertrag zu 6,5% p.a. angclegt .

a) Obcr welches Kapltalvermogcn vcrfugt cr am E nde der Laufz eit ? b) Wie hoc h ist jctzt seine Renditc aus der ~ kombi n ierten U An lage ? h ') Wie hoe h ware H ubers Renditc gcwescn, wcn n er die 10 Z inszahlungcn nicht angelegt , sond em unter scincm Kopfki ssen verstcc kt hatte? (Darnil ist eine potentidle oder reate Wiederanlage der Kupon -Zahlungen nicht moglich.)

Aufgabe 6.3. 10: Ocr Verlag Plattwunn AG benotigt frisches Kapital und will cine 7 %igc A nleihc (Zinsschu ld) ausgcbc n. Die Ru ckzahlung soli nach 12 J ahren zu 102% erfolgcn, den Glaubi gcm soli eine Effcknvv crzinsung von 7,5 % p.a. garantiert werden . i) Zu welchem Emi ssionskurs kommt die Anleihe auf den Mark r? ii ) Wie hoch ist dcr Borscnkur s zwei J ahre vor der Ruckzahlu ng (Marktzmmiveau 7,5 % p .a.)

a) unmutelbar vor Z inszah lung b) unm ittclba r naeh der Zinszahlung?

6

320

Festverzinslicbe Wcrt papicrc (Einfuhrung)

Aufgabe 6.3.1 1: Huber crwirbt em festvcrzinsliches Wcrtpapier zum finanzmathcmat ischcn Kurs ( = Borsenkun p lus Stucksinsen} von 9 1%. Die Restlaufzeit betragt im Kaufzcitp unkt noch gcnau 11 Jahre, die erste Zinszahlung (7,5 % p.o. nominell) fallt noch an H uber im Kaufzeitpunkt. Der

ROcknahmekurs betragt 102%. I) Man ermittle die Rendite fOrden Kaufer a) mil dec Nahcrungsformcl (6.1.12)

b) cxakt.

ii ) VOT Falligkeit der 5. Zinszahlung steigt das allgemeine Marktzinsnivcau (und damit de, Effektivuns f ur Kaufer aiaes Papiers} auf 15% p.a. Zu wclchcm Borscnkurs wi rd das Papicr unmillclbar VOl dcr 5. Z inszah lung not icrt ?

Anfgabe 6.3. 12: Einc 6%igc Anlcihc (jiihrliche Zinszahlung) wird 4,3 Jahre vor R ucknahmc (die zu 100% eifo/gen wird) an dcr B/.' TSCmil 110,25% not iert. i) Man enn ittle d ie Rendite des Papicrs zum angcgcbcnen Z citpunkt. ii) Wie tauter die Rcnditc bci halbjiihrlieher Z inszah lung?

Aurgabe 6.3.13 : E in gesam tfa lliges fcstvcrzmsuches (6,5% p.a. nominel/) Wertpa pier wird 7.2 J ahre vor Ru ckna hmc (Rucknahmekurs: 105%) ebc r die Borse verkauft. Das allgemeine Mark tzinsnivea u fu r verglciehba re Papiere liegt bci 9,75 % p.a. i) Man cnnittle Brutt okurs, Stu ckzin sen und Borscnkurs im Vcrkautszei tpunkt. ii) Man bca ntwortc i], wenn die (nom.) Z insen halbjahrlich geza hll worden .

Aurgabe 6.3.14: E in gcsamuafugcs. festve rzinslichcs Wertpapier (12% p.a.; lahreskupon} hat cine Rcstla ufzcit von 4 J ahren, crstc Z inszahlung nach eincm J ahr, Rucknahmc zum Nennwcrt. Man enn ittle [unter Berucksichtigung eines im Zeitablauf unveranaenen Marazinsnlveaus von effektil' 10% p.a.) die a) finanzmathematischcn Kursc b) Borscnkursc fOr den bc trachte ten Zcltpunkt sowie nae h jcdem weite ren Monal des ersten und zweiten Rcstlaufjabres und vergleiehe die heiden Kursfolgcn hinsichtlich ihrer Werte und der "Slet igkeit " der Werte. • Aurgabe 6.3.15 : Am Markt gcbc cs nur f -jahrige Anlcihen, Zahlungsrcihe. ( = einjahriger Zero-Bond) sowie 2-jahrib'C Kupon -A nlcihcn, Zahlungsrcihc:

(SiimlJiche Leu tungm /Gegenleistungen sind angegeben in % vom Nennwen. Der Nennwen set hetiebig wah/hur.) Es ist geplant. einen neuen zweijahngcn Zero-Bond zu emiuicren.

(L)

(GL) (L)

( GL) (L)

(GL)

100 I 100 I

1 lOS

I

I

8

108

100 I

I C2 - ?

Mit welch em i) Effekt ivzins ii ) Riieknahm ekurs ~ muss dicsc r 2-j ahrigc Zero-Bond ausgcstartet werdcn , dami t sfch Aquivalenz (d.h. "Arbitragefreiheil ", d.h. keine "Ge/dpumpe zwischen den drei Anl eihen ergibt? U

)

(Hinweis: Man zerlege diegegebene zweijiihrige Kupon-An/eihe in wei Zero-Bonds una beachte, dass die Rendite des dabei auflre/enden einjahrigen Zerohund bereits bekannt isl.)

321

7

Exkurs: Aspekte der Ri sikoanalyse - das Duration - Konzept '

Fcst verzinslichc w crtpapiere (Bonds, Anleihm, ... stene Kapilel6) gcboren zu den bcsonde rs wichtigen Finanzinstrum cnt en, und zwar insbesondere dann. wenn de r Sc hu ldne r/ E mitte nt ho he Bonita ! ge nic1~t.

In diesem Fall durftcn somn die zukOnftigcn Rucknasse aus etnem Bond nach Hohc und Zeitpunkt sicher seln (d.h. das "Bof!itiitsrisiko"dar[dunn vem achlassigt werden],

Dochauch jctzt blcibt ein gcwissesRisiko fur den Inhabcr des w ertpepiers: -

Der akt ucllc ( Wirder-) Verkau fsprcis (Kurs) des Pap iers unterlicgt stets SCh....ankungcn, die sic h

nach dem jewcils hcrrschcndcn Marktztnssatz fur vergleichbare Papiere richton:Steigtder Marktzinssatz, so sinkt der Kurs des Papiers (denn Invenoren e!Warten eine hohereRendue, geben sich also mit den [ixienen (res/lichen) Zahlungen aus dem Papier nur dann zufrieden, wenn der Preis nSlimml", d.h. entsprechend niednger liegl). Umgc kchrt bewi rken Marktzinssenkungcn , dass der Preis fur da s Wertpapicr stcigt, den n die fixicrten (restlichm) Riiekzah lungen aus dcm Papicr werden nunmchr nich t rnch r so stark abgcz inst, liefem also cincn ho hcrcn Barwcrt (= Kurs) als zuvor.

- Bctrachtct ma n dagegcn das Endvermogen cines Wert papierinhaber s aus den Zahlungen sei nes Papiers, so bcwirkcn zwischcnzcitfiche Zinsverandcrungcn bei dcr Wicd eranla ge der fixicrtcnjahrlich flicBcnden (restlichen ) Z inszah lungcn [Kupon-Zahlungen} eincn gcgcntauftgcn Effckt zur xu rsvcrandcruog, w ahrcnd cine Zin steigerung zwar den Wert (Kurs) des Paptcrs mindert, bewirkt sic doch andercrscits, dass d ie laufcnden Kupon -Z ahlun gen zu cincm hoheren Zin ssatz w icdcrangclcgt werden kcnncn und somit auch eincn hohcren Endwert erwarten lasse n. Um gekehrt bcwirkt eineZinssenkung einerscits cine Kursstcigeru ng, die laufcndc n Kuponzahlungcn hingcgen konn en nunmehr nur zu einem geringcren Zi nssatz rc-m vcsticrt worden, vermi ndc m also den Endwert aus dem

Paper. -

Ein c wiehtige Fragest ellung bct rifft daher das A l1~maB der Kursan derung (Zinsempfindlichkeit, Sensilivitiil) festverzinshchcr Wertpapiere bei Zinssatzschwankungen: Wenn ich etwa schon vorher weiB, dass cine Z inserhtihung run cinen Prozcntpunk t den aktuellen Kurs mcines Wert papiers run 4% fallen lasst , kann ich andcrs agie rcn (etwa am Optionsmara} , als wenn ieh mit einem Kursvcrtust von (z.B.) 7% rechne n muss.

-

w clchc E igensehaften cines festv erzinsliehen w ertpapiers (wie z.B. UIufzril, KuponhOhe) bzw. wclc he externen E influ ssfakt oren (wie z.B, das herrschende Marktzinsniveau) sind es, dic die.KursEmpfindliehkeit des Wert papiers beemflussen, und in welc he Richtun g bee influsse n dicse Parameter ggf. den Wert des Papiers?

-

SchlieBlich: Gibt es even tuell cine Zc itspa nne / Laufzeit fu r ein festverzinslichcs Wertpapier, die wen n sic als H altcdaucr fur das Papier interpr etiert wird - gcradc die gcnan nte n unterschiedlic hcn E ffekte aufwiegt/ iiber kompcnsicrt , zu dicscm Zcitpunkt dcm Wertpapierinhaber also mindcs tcns dasselbe Endvermogen garanticrt, als harte kcine Zinssehwa nkung stattgcfunden? Kurz: Kann man ein fcstverzinsfiches Wertpapier octer cin ents prechc ndes Wertpapier- Portefeuille gCb'Cn Zi ns· sehwank ungcn (egalin welcher Richtung) n im m u ni.~i eren'''!

Filr einige Uberlegungendieses Kapilels sind Grundkenntnis.se der Differcntialrechnung notwendig, s. z.B. [Tie3]

322

7

7.1

Exkurs: Aspekte d er R isikoanalyse - {)as Duration-Konzept

Die Duration a ls Mal1fi.i.rd ieZinsempfindlichkeit von Anleihen

Betrachten wir eine Anleihe, bcstehend aus den zukOnftigcn (Kupon-) Zahlungcn Zk zu den Zcitpunkim Zcitpunkt t n sc i dabci in der letzten Zahlung Zn bcrctts ten t k (k = 1,...,n). Ocr R ucknahmckurs

en

enthalte n (Abb. 7.1.1) :

Co =?? .. I

I

Zcitpu nktc : 0

I

I

I

I

Abb. 1.1. 1

I

Z,

Z,

Z,

Z,

Z,

Z"

I,

I,

I,

I,

I,

'"

(= Luu!zeit.en,

¥ messen In imF:,rioden selt =0)

Dann crgibt sich im Zeitpu nkt t = 0 der finanzrnathcmatische Wert (Preis, dirtyprice, Bruuop reis} Co de r A nlcihe d urch A bzinscn samtlichcr Zahlungcn ~ mit dcm im Zcitpunkt t =0 hcrrschcndcn Marktzinssatz i fiir vcrglcichbarcAnlagcn. i)

Ist i dcr sledge Pcnodcnzinssatz, so c rgibt sich nach (2.3.47)

. z,

I:

(7.1. 2)

'-I

.

·e- It•

ii) Ist i dcr diskrete cxpo nenticlle Pcriod cnzinssatz, so gilt- da untc rjahrig mit dcm konrormcn Zinssatz

gcrcchnct wird - nach (2.3.15)

Co=

(7.1.3)

Z I '(1+ir I1 +Zd1+ ir

IZ

+",+ Zn' (l+iftn =

f

k _l

Zk·(l+ ir t•

= f z, k- l

q_t.

Bemerkung 7.1.4: (7.1.2) und (7.1.3 ) [uhrm zum gleichen Barwen Co' wenn zwischen dem stetigen Zins satz (wir bezeichnen ihnjetzt m it i.J und dem diskraen Zinssetz i die Beziehung

el s = 1 +i

i. = In (l +i)

bzw.

besteht.

Beispiel 7. 1.5: A nleibe tNennwen 100£) mit ciner Restlaufzcit von 5 J ahren, Kupon 1O € , erstmals nach cincm J ahr, Rucknahmc am E nde der Restlau fzeit zu pari. Im Zei tpunkt t=O hcn schc cin Marktzinssatz von Ses p.a. (stetig): Co = '?'? I Zeitpunkte:

I

I

I

10

10

10

2

3

0

,

10

I

110

s

(Jahre seir t = 0)

Da nn crgibl sich als Preis (bzw. Kurs) des Papicrs in t=O {siehe auch (6.1.6 ) mit ei stau q = 1 +i) ; cOM ' S -1 i) Co = (10 ' eO.os I + 100) ·e -o.os S = l06,6 15575 ::= 106,62€ (i~ff = 8 %p.a. stetig) Bctragt der effektive Marktzinssalz 8 % p.a. (diskrete Zinsfonnei, s. Bem. 2.3.45 ii} , so folgt aus (6.1.6 ) 1085 - I 1 ii) C = (10 ' -· - - + 100) 0,011 1,085

°

= 107,98542::= 107,99 €

(i.n: 8 % p.a. diskret)

(Bei 1,08 = el, d.h. stetiger Zinssatz i = 7,696 1% p .a., bzw. i = e O,08, d.h. diskreter Zinssatz i = 8,3287% p. a.[uh ren beide Methoden zum glcichen Preis Co .)

7.1

323

D uration als Mall fOr die Z inscmpfindlichkcit

Bci de r Fragc naeh der Empfindlichkeit de s Kurses Cu bci Zins satz schwank ungen 2 bcsc hrankcn wir uns auf den Fall, da ss urunittdbar nach Kauf de r A nleiheder Markt zinssatz i ( =8%) urn den (kleinen) Bctrag di (z.B. 0,1%-Punkle) zunehmcn moge, d.h. auf 8,1%. Gcsu cht ist also jctzt die rcsulne rcnde And crung des A n1cihe kurses Cu. Bckanntlich 3 wird die And erung eincr Variablen (hier: Co) bci Anderu ng dcr unabhangigen Variablen Ihier: i) urn eine (kleine) Binheit di durch die erste Ahlcitung CQ(i) (denDifferenlialquolienten) bzw. das Differential dCu = CO(i) di gcmcsscn .

In unserem Fall bcdcu tet dies (wirbenutzen zunach.\,tdie Baiehung (7.1.2) mil sietiger Ven insung, Kellen-

regel beachtenl}; (7.1.6)

.

Daraus folgt fur die relative {prozemuale} vcran dcrung d; des Anlcihcp reiscs in Ahhangigkcit von der 0 Z inssatzanderung di:

'.

:[tk·4· e-Il,

_ :[t~ ·~ 'e- itk · di

,. ,

(7.1.7)

c' - ~'7'---- · di

•

=, - D ' di .

,.,

~z,

=, "Durat ion" D Wir konncn somit zweicrlei Iestbalten: Definition 7.1.8:

(Duration - bei Verwendung derstetigen ZinsfonnelJ

U nter der Durati on D ciner gegebencn Za hlungsrcihc Z ,. Z 2' ..., Z n ([tWig - bezogen auf 1= 0 - zu den Zeupunkten It, t 2> •••, In ) bcim Marktzinsniveau i (stetiger Zinssatz) versteht man die Zahl D mit

•

,., • ,.,

I: l~ ·4 · e -n.

(7.1.9)

:[~ · e -it l<

Salz 7. 1.10:

(Sensitiviuit vonAnleinen bzgl. Zinssatzschwankungen)

Ge gcbcn sei cine Zah lungsreihe (z.B. Anleihe) Z " Z 2' ..., Zn zu de n Zcitpunkte n t l , ta- ..., t n {siehe Abh. 7.1.1) und - bel flacbcr Zinskurve - em stetige r Marktz inssatz i. Die Durati on (7.1.9) dcr Zah lungsreihe sci D. Unmittelbar nach Bcwenun g der Zahlun gsrcihc durch ihrcn Barwen Co (d.h. im Zeupunkt = 0+) andere slch der stet ige Ma rktzinssatz i urn di, Dann ist die resultiercnde relative (prozenluale) A nderung gegcben durch

(7.1.11)

de

CrJ° des Barwcrtcs Cu (niiherungsweise4)

= - Dv dt

2 Wir untcrstcllcn wcstcrhin cine Ilachc Zinsstrukturkutve, d.h. der Markt zinssatz sei flir jcdc Laufzcit dc rsclbe. 3 siebc z.B. [Ti e3] , Satx 6.1.22 unci Satz 6.1.7 4 nahcrungsweise deshalb , wei! die Ableitu ng cine hn ea re Approxiru atio nvon Codarstclll, C,j i)abere ine nichtlincare Puuktio n ist, siehe Kap. 7.4 (Convexity) .

324

7

Beispiel 7. 1.12:

Exku rs: Aspekt e deT Risikoanalyse - das Du ration -Konzept

Wir betraehtcn die bereits in Beispiel 7. 1.5 ve rwendete A nleihc, d.h.:

jCo

[€]

= 106,6 156

I

I

I

I

10

10

10

2

3

0

Zeitp unkte:

stetiger Mark tzm ssatz 8% p,a, I

I

,

,

110

10

[€] (- Loufteitjahre seic t .- 0)

Wir enn itte ln d ie Duration D nach Dcf. 7.1.8 tabcllarisch (mi t Hilfeder stetigenAbzinsung) : Zeitpunkt I

Zahlu ng

Barwert

Z,

Zt ·e -o,o~t

I 2 3

10

9,2312 8,521 4 7,11663 7,26 15 73,7352

, s

to 10 10 110

Zeitpunkt x Barwert

t ,Zt' c-O,08t

9,2312 17,0429 23,5988 29,0460 368,6760

106,6156 ( KC o)

Summe:

44 7,5949

447,5949

Daraus ergibt stch die Duratio n D zu:

106,6156

= 4,1982.

Damit kon nen wit jctzt naeh (7. 1.11) d ie relat ive An deru ng des An lciheprcises crmitteln, wcnn sich tun mtnelbar nach I = 0) der Mar ktzinssat z urn einen kleinen Berrag di (in %-Punklen) andc n. A1s Beispiel nehmen wir di = 0,001 , d.h . der ste tigc Marktz ins wachsc von 8% auf 8, 1%. Dann gilt wcgen (7. 1.11):

dC.

Co

= - D'di = -4, 1982 0,00 1 = -0,0041982,

d.h. der Preis Co des Papicrs musstc um 0,4 1982% von 106,6 156 auf 106,1680 "'" 106,17 € fallen. Rcchncn wir - zur Ko nt rolle - d ie Tabclle mit de m vcrandcrten sterigen Mark tzinssatz 8,1 % p.a. cmc ut d urch, so crhaltcn wir Co = 106,1690, also tatsacbttch ( ""')106,17 € .

Bem erfamg 7.1.13:

tattem au veDefin itWn der Duration]

o In Satz 7.1.10 bzw. Formel (7./ .11) komml zum A UJ'druck, dass die Senstnvitat dC eines Wertpap iers gegrniiber Zinsschwank ungen mit Hilf e der Duration D gemessrn werden ka nnCo (= - D · di). Haufig wird umgekehrt die Duration D uher dieseEigenschaft defin iert·Durch A uilosung von (7.1.1 1) nach D erhalt ma n dann:

(7.1.13)

Com

I dC o '.--Co di Co

D '= - -

(Definilion der Duration uher die Zinsonderungs-Sensiuvitat]

7.1

325

Dura tion als MaGfur d ie Zinscmptm dlichkeit

Bemerku ng 7.1.14:

(Herkunjt des Begriffes .Duration")

Der Grundbe deuiung des Wortes Duration (= Dauer oder Laufuit) k enn man enmehmen, doss der Du nuions-Begr iff einen anderen Ursprung hat:

.

Dazu form en wir die Def initionsgleichung (7.1.9) iiquivalent um :

( 7.1.15)

Duration = D

Lt ·4 ·e,., k

.lI

•

•

L 1k'4 e- • ,., il

Co

Der gek lammene Term laSSI sich imerpreuoen: 1m Zahler steht der Barwert der k -ten Zah lung, im Nenner d er Barwen (Kurs) dergesam ten Zahfungsreihe, d.h. der geklammerte Bruch enlhalt den Barwen -Ameil der k -ten Z ahlung am Gesamt-Barwen, aile A nteile zus am mengmommen ergeben naLUrgemiip den Wert ,,1 ". Man kann also die gek lammenen Terme als "Geli-'ichte " au[[assen, m it denen diejeweiligen L auf zeuen bz w. Z eupunkte tk der Zahlungen Z k muhiplizien woden. Jeder zukiinftige Z ahfungsz eilp unk t t k (emspricht der La u[zeit seit I = 0) wird m it dem Barwenameil gewichtet, den die zugehorige Z ahlung zum Gesa mtb arwert Co beitriigt. Die Duration D ergitn sich dann [ ormal ats dergewogene Du rchschnitt allerdieser L auf zeuen, stelll also so etwas dar wie die "durchschnittliche Bindungsdauer " des eingesetzten Kapitals bis zwn vollsliindigen RUckfluss oaer die "d urchschniltliche gewiduete Fiifligk eit " der Kapitalanlage. In diesem Sinne wurde die Duration bereits 1938 von F. Macaulay eingef iihrt s. In vielcn Fallen 6 w ird die D uration formal tiber die in der letz ten Bcrncrkung bcsc hriebe nc gcwichtcte durch schrut tlichc Bindungsdauer der Za hlungcn eingcftihrt, und zwar unter Verwe ndung dcr dlskreten 7 cxpo nenticllen Verzinsung,d.h . unter Verwendungde r klass ischc n Zi nscszinsformcl (2 .1.3) bzw. (2 .1.14). Wir wottcn hier zun achst dcnselben Weg besc hrcitcn, urn U ntcrschicde und Gcm cinsa mkeite n zurn stc ngcn Verzins ungskalkiil erkeenen zu konncn. Dazu benutzen wir die Def. 7.1.8 fur die Duration in vollig analogcr Form , mit dem einzigen U nterschicd ,

dass nurunchr die diskrete Zinsformel zum Ansatz kommt: Definition 7. 1, 16:

(DuratWn - hei VeIWendungder di skmen exponent/ellen Zins esrinsformel)

Unt er der Duration D einer gcgcbc nen Za hlungsreihe Z ]. Z z' ..., Z n (fallig - bezogen auf 1=0 - su den Z eupunk ten II' t ~ ..., tTl bcim Marktzinsnivcau i (dirkreter Zinssatz ) vcrsteh t man d ie Zahl D mit

• ·4 Lt k

(7.1.17)

D

,.,

L• Z-,;

,.,

· (l +i)- I.

(Macaulay-Duration ) (l+i) -t.

(Def. 7.1.8 und De]. 7.1.16 unterscheiden sich also fediglich darin, dass in der tetueren unstette der sletigen A bzinsungsf aktoren e-il jelzt die disk retenAbzinsungsfak toren (1 +i)-l verwenda werdm.] 5 Macaulay, F.R. : Some Theoret ical Probl ems Suggested by tbc Moveme nts oflntcrest Rates. New York 1938 (; sicbc 7, 8. [PerJ I96 , [StBI155 ff, lUSt] 82 7 .diskrete" Verzinsung, wcil der Zinszuschlag zu zeitlich getrennte n Te rminenerfolgt, sichc aueh Bent 2,3..~ 5 ii},

7

326

Exkurs: Aspekte der Risikoanalysc - das Duration-Konzept

Wir wo llen wicdc rum versuc hcn, die Duration D

ZU T Mcssung

dcr relanvcn Andcrung des Prciscs Coder

Anleihe bc i And erung des Zinssalzcs hcranzuziehcn. Dabei gchcn wir vollig analog vor wic oben in (7 .1.6) und (7.1 .7) bcschricbcn: Die Andcrung der Variablen Co bei A ndcrung dcr unabhiingigcn Varia blcn i urn cine (kleine) Ei nheit di wird wicdcr durch die erstc Ablc itung bzw. das Differential dCo = CO(i) · di gcmcsscn.

com

In unserem Fall bcdcut et dies (wir henun en jew die Beziehung (7.1.3) mil diskreter Vm:insung): dCod I

(7.1.18)

dCO

-

di

n

--:-1: Zl; "(l +ir dl k _\

-do '"

-I

t

• =

n

I: z,. .( -td ·(1+ir

t

k_ \

.-

n 1 = - L: tl; ,Zdl+ ir t. (l+ ir 1 d.h. k_ \

n

= · I:tl; Zk (l +if't l +i k_ \

Daraus folgt fur die relative (prozentuale) vcrandcrueg d; des Anlcihcpr eiscs in Abhangigkcit de r Ztnssatziinde rung di : 0

•

(7.1.19)

-I - . L lk·~ '(l +i) -t~ di 1+1 k.. \

dC.

c,

•

-I

I+ i

Co

,.,

L lk·~·(l +irt.

. di

•

L'" (1+i)-t. ,.,

D di l+i

'" Macaulay-Duration 0 nachOcr. 7.1.16 Unter Verwend ung der klassiscbcn Zinscszinsformcl ist somit dcr in Satz 7.1.10 fur die Absehatzungdcr Zinsempfi ndlichkeil des Anlcihck urscs Co zum A usdruck komm ende besondc rs cinfac he und e1egant c Zusanunenhang

de,

-

Co

(D '" Duro/ion nach Def. 7.1.8, ermirte/t mil slengerZill$[ormei, t '" stetiger Marktzins]

'" - D ' di

verlo ren gcgangcn ~ zugunsten" des crusprcchendcn Zusammenhangcs unter Verwendung diskrctcr exponentiellcrVcrzinsung und dcr daraus result ierend en Macaulay-Duration D: (7.1.20)

de, -

Co

D

(D '" Macauley-Dunnion nachDef. 7.1.16 mit diskreter Zinsformel, i '" diskreterMarknins]

= - · di l+i

Urn cin e cinhcithche Darstcllung des Sach vcrhalts zu encichcn, bcactchnct ma n dahcr den in (7. 1.20) auft retendcn komplctten Term 10 . cbenfalls als " Duration", und zwar gcnau cr als ~ modifizier1 e Du ra+1 tion" MD. 1m Fall der A nwcndung dcr " nonnalen" diskrct en Z insform cl kann man also statt (7.1.2 0) schreibc n:

(7. 1.21)

I ~=

- M O di

I

(mitMD '" J~i" D '" Macaulay-Duration nach De]. 7.1.16)

D ie mod fflzlcrtc D uration MD spielt also bci Vc rwcnd ung dcr diskret en Zinsforme1 diesel be Rolle wie d ie D urat ion D (nach De[. 7.1.8) bci Verwendung der stet igcn Z insformel (und /ie[el1 bei er usprechender Anpa ssung der ZinssiitzelZins[ormelnauch diese/benzah/enmtifligen Resu//ate).

Bemerkung 7.1.22: Ana/og zu Bem 7.J.Blasst sich auch ietzt aus derFolgenmg (7.1.21) umgekehn die (modifizierte) Duration MD definieren:

MD ,= _ _1_. dCo '" _ Co(i) Co

di

Co

(7.1.22)

7.1

Duration ats MaJ3 fur die Zin sempfindli ehk cit

Bei.~piel 7 ,1.23 :

327

(Fonsenung von Beispiel 7.1.12)

Unter Verwendungdes diskretcn Marktzmssatzcs i = 8% p.a. ergibt stch folgend e Situati on:

Co =

~ I

Zcitpunkte:

0

107,9854 (siehe S sp. 7. 1.5 ii] I

I

I

10

10

10

I

2

)

I

,

10

I

,

110 (=

Luufzeitjahre seil

t =

OJ

Wir ennittc1 n die Macaulay-D uration D nac h Dcf 7.1.16 t abel1arisch : Zcitpunkt I

Zablung Z,

Zt· I,08- t

10 10 10 10 110

9.2593 8,5734 7,9383 7,3503 74,8641

I 2

, )

s

Barwcrt

Zeitpu ekt ~ Barwen t · t; · 1,08- t

107,9854( =CoJ

Summc:

9.2593 17,1468 23,8150 29,4012 374,3207 453,9430

Tab . 7.1.24

Macaulay-Duration: D =

453,9430 107,9854

= 4,2037

Damit konncn wir nach (7. 1.19120) wiedcrum die relat ive A nde rung dCo/Co des A nleihcprcises Co enn itt eln, wen n sich (unmittelbarnach t = 0) der Marktzinssatz urn den (kleinen) Betrag di andcn . Al s Beispiel nehmen wir di = 0,001 , d.h . der diskrete Marktzms wachse urn 0, 1 %- Punkte von 8% auf 8,1% . dCo D 4,2037 = - MD 'di = - - ' di = - - · 0 001 = -00038923 Dann gilt wegen (7.1.20/21); Co l+i 1,08 ' , ,

d.h. der Preis Co des Papicrs m usstc wn 0 ,38923 % von 107,9854 auf 107,5651 ("'" 107 ,57 €) fallen. Rcehnen wir - zur Kontrolle - die T abcllc mit dem verandcrten diskret en Marktzinssat z 8,1% p.a. eme ut d urch, so crhaltc n wir Co = 107,5662, also ta tsacblich wieder (""') 107,57 € .

Bemerkung 7,1,25:

(Definition der Duration als Elastiz.itiil!;wert)

Frogt man bei der UntersuchungderAnderungd Co desAn leihewenes Co bei (kleinen) Marau nsanderungen d (1 +i) nach den relativen (prozentualen) Veriinderungen dCo/Co bzw. d(1 +i)/(1 +i) beider Variablen, so tiei en der Elasljziltilsbegrif f einepassendeAntwon: Unter der Elaslizitiil 8 £c.,q des Anleihepreises Co in Bezugaufden Marktzinsfakl or q t- 1 +i) versteht man den Quotiemen derrelatil'en (prozentualen) Veriinderungen der beiden Variablen Cound q . Mit Hilfe der Dlff erentialrechnung, der Formel (7.1.18) sowie derklassischen (diskreten) Verzinsungs[ormel ema lt man (unterBeachtungvon dq = d(1 +i) = di ): dC,

tcoA

=

Co dq q

'"

ac,

q

F "co

"

L Zk ·(l +ir ,.,

l•

Macaulay-DuratiOll D

nach Def. 7. 1. 16

8

ZUlU Elasnzuarsbcgru j'siche z.B.

[Tic3j6-67ff

328

7

Exkurs: Aspekte del Risikoanalyse - cas Duration-Konzept

m.a. W. die Macaulay-Duration D beschreibt dieprozm tualeAnderung des Anldhewertes Co beiAndeTUng des Zinsfa ktorsurntin Prozent -eine Modifikation von D tst nidu natwendig: (D = Macaulay-Duro/ion)

(7.1.25)

Als Beispieldienen dieDalen !Jam letuen Beispiel 7.1.23: dq = di = O, J%- Punktesld fen eine Zunah me des Zinsfaktors 1,08 urn 0,092592% (= 0,1/1,08) dar. Aus £c. ,q = -D = - 4,2037 folgt: dC o dq -C , = - 4,2037' -q = - 4,2037' 0,092592% = - 0,38923%,

mithin dasselbe Resultut, wit wires in Beispiel ?1.23 mil Hilfe der modi[izienen Duration MD enniuen hahen.

7.2

Die Dura tion von Stan dard-Anlelhen - Berechnu ngsverra bren und Elntl ussgron en

Wie im lctztcn Ab sch nitt gcsehcn, lass! sich mit Hilfe del Duration auf cinfache Weise ein MaBfO r das Zinsandcrungsrisiko eincs Zah lungsstroms crmitteln. Wie wir noch schcn worden [siehe Kap. 7.3) , tasst daliibcr hinaus mit H ilfe des Durations-Konzopts ftir den Anlcihcn-Invcstor cin Anleihcn- Portcfcuille angebcn, das - wenn Hahcdaucr und Durat ion iibcrcinslimmen - gcgcniibcr zwischenzcittiehen Marktzmsandcrungen abgcsichcrt (immunisif'l1) ist. Es lohnt sich also, noch etwas genaucr auf die Duration, vereinfae hte Berechn ungsvetfahren ftir dic Standardfalle und die Dct enn inanten fur den Wert dcr Duration bci Variation der Obrigcn Bcstimrnungsgro lkn wie Kuponhohc, Marktzinssatz (Rendueuberdie Restlaufzeit) und Restlaufzeit einzugchen. Darnit die Darstcttungen tibcrsiehtlieh blciben, gotten fotgcnde vo rausserzungen. -

Auf- und Abzinsungen etfotgen mit dem klassisehen Zinscszinskalktil (i: aiskreterl ahreszins]

-

Die untersuchten Anleih cn (Bonds) bcstchcn aus cndtalhgen Kupon-Anlcihen, der erste Kupon, Ho hc Z , ist ein Jah r nach dem Planun gszcitpunkt (= KiJ ufzeitpunkt) t '" 0 fallig, die Restlau fzcit der Anlei he bctragt n Jahre. am E nde dcr Rcstlaufzcit wird die Anlcihe zum Rucknahmekurs C n tmeist mil 100 %, d.h. zu pa ri angenommen) votlsta ndig getilgt. Die untersuchtcn Anleihen haben also folgendc zcitliehe Za hlungsstruktu r, bczogen auf cincn Nominalwcrt von 100 € : Planvngs -

zet/punkf I

Zeit

I

I

I

I

Z

z

Z

1= 0

1= 1

(=1

l =n -1

I

I

Abb. 7 2.1

Z [€] Cn (=IOO) t=n

(gemeSSCI1 ill Jahrell sell 1 = 0)

-

Wir bctrac hten aussehlieBlieh die Macaulay-Duration (Def. 7.1.16).

-

Wie schon in Kap. 7.1 vorausgcscrzr. untcrstcllcn wir weiterhm cine flache Zin skurve, die sich bci Zinsanderungen parallel versehiebt. Dabci worden nur solche Zmsanderungcn bet rachtet, die sich urunittclba r nach dcrn Ptanungszcitpunkt /Kaufzcitpunkt, d.h. in ~t = 0 + "ercigncn.

7.2

329

Duratio n bci Anleihen - Bcrcchnungsverfahren und Etnffu ssgrosen

Urn fur unscrc An lcihen nach A bb. 7.2.1 cine passend e und bcqucmc Bcrcchnungsvorschrift zu crhalten, bct rachte n wir zu nachst die urspriingliche Definition dcr Maca ulay-Durat ion D in Def. 7.1.16. Es gilt:

.-, •

~ lk ·4 · (l+i) - t •

D

(7.2.2)

(Macaulay-Duration)

•

,-,

~ Z1o· (l +i) -t.

Wegcn II = 1, I z = 2, ..., In wie folgt sehrcibcn:

= n sowic

Z I = Z 2 = ... = Z (wobei gilt: Z"

•

,.,r . z · +i)-t + c; (l +i) - n }::• z. (l +i) - t + e n ' (I +i)- n ,-, ~

(7.2.3)

= Z + C,J lasst sich (7.2 .2)

(I

1m Neuner stem ats Kurs-Funktion Cu(i) der iibliehe Anleihen- Barwert (siehe (6.1.6) mill +i =q ) : ( Kurs-Funa ion Co(q) t aw. CoW )

(7.2 .4)

Ocr Zillt!er von (7.2 .3) bcsteht - mit Au snahmc des lctzten Summanden - aus dcm Summen-Term

•

,-,L I· Z ·q-t, dcsscn kompaktc Bcrcchnung mit den Ergcbniss cn aus Kap. 3.9.1 gcllngt 9: Stdlt man namlich die dabci abzuzins end cn gcwichletcn Zah lungcn I Z auf dem Zahlcnslrahl dar, so ergibt sich tonneBerilcksichtigung des Rucmanmekunes Co) Zeil

,.

0

Z

2Z

3Z

1

2

J

(n-I)Z ~I

d.h. wir haben cs mil cincr aruh mensc h versnder nchen Rent e zu tu n, bci dcr die Differenz zweier autcinander folgender Zah lungcn Z bctragt. Naeh (3.9.11) bctragt dc r Endwert K" einer solchcn Rcihe (dahei mussen wirin (3.9.1 1) setzen: R = Z, d = Z): Kn =

Z ) ,' --I - -, ·Z (Z +q-- -I . _ q- l q I

= (Um!ontlfll .•.J

e

~ (qn+'-I q

- I

q

- I

- n- I ).

Addicrt man in (*) noch den gL'Wiehteten Rucknahmckurs n · C n und zinsr dann auf t = 0 ab, so erhalt man (nach Division dUTCh Co und unler Bemcksichugung der Ta tsacne, da ss sich derAhzinsungsfaktorq·n herauskurn} schlieBlich die Macaulay-Durat ion zu

Z (''''- I - n - I ) +n C

-q _ -1 - -q _1 -

(7.2.5)

D =

R

Z = lahres-Kupon q = 1 +i: Marktzin sfak lor n RestlaufzeitinJahren e" = Rucknahmekurs

9 AquivalcnI - allcrdin gs nur mil Hilfe der DifIcrentiaircehnung durchfu hrbar und dann etwas weniger aufwendig is! die Bcrcchnu ng ubcr (7.1.2 2): MD = - Co(i) I Co(il in Vcroindung mit D = MD · ( I+i). Dabci vcrwc ndct man filr die Ku rsfuokuo n Co(i) die ubliche Fonn (7.2.4).

7

330

Exku rs: Aspekte der Risikoanalysc - das Duration- Konze pt

bzw . nach cinigcr Umfonnung:

Z '" Iah res-Kupon q = J «i: Mark/zinsf aklor n Res/lau/zeitin I ahren e" = Rucknahmekurs

qll - 1 Z · q ·q-_ I + n (iCn - Z )

(7.2.6)

Z · (qll - I ) +

iell

D = Macaulay-Duration furendfiillige Kupon-Anteihen Bemerkung 7.2. 7: Kupon Z sowieRucknahmekurs en sind entweder aJ nurin Geldeinheiten oder b) nur dezimate inzusetzen. Mi l den Daten von Beispiel 7.1.23 etwaergibt sich: Z = JO € ;

aJ Bei Nominatwen JOO€::

en= IOO€:;

i = 8 % = 0,08; n = 5iahre

:::}

1,08 5 -1 10 1,08 0,08 + 5 (0,08' l OO- / 0)

D=

tsiehe Be:L~pjel 7.1. 23)

= 4,2037

10 ' (1,085 - 1) + 0,08 '100

b) Falls mil detimalen Wenen gearbehet wird: Z = 10% = 0,1,- C. = J 00% = J; i = 0,08; n = 5 J.: 0,1-/,08 -

D=

1,085 -1 0,08

+ 5 ' (0, 08 - 0,1) = 4,2037

0,1· (1,08 L l) + 0,08

wieeben.

Die Bcrechnungsvorschrift (7.2.6) fOr die Macaulay-Duration D lasst sich (mit etwasAuf wand. .) weitcr vcreinfachcn zu

D"

(7.2.8)

I+i

q.c"

+ n (Z- iCn)

Z ' {qn _ l)

D '" Macaulay-Duration jUr endfiillige Kupan-Anleihen

+ iCn

und nimmt im Faile dcr Rucknahme zu pari (d.h. e" = J) und dezimalerSchrcibweise von Kurs und Kupon die bcs onders cmfache

Form (7.2.9) an:

(7.2.9)

D =

l +i

C = Rilcknahmekurs

Z' = lahres-Kupon

i

II

= Marktzinssarz; q = / f = Res/lau/ zeit in Jaltren

Macaulay-Duration (endfiillige Kupon-An ieihen Rucknahmezu pari, aues dezimat angeben)

q + n · (Z - i) Z ·(qn _l) + i

Mit den Daten von Bsp. 7.1.2317.2.7 crhaltcn wir wiedcr die schon zuvorermittelteDuration zu

D"

1,08

1,08 + 5'(0, 1-0,08)

0,08

0, 1 ' (1,08 - 1) + 0,08

5

=

13,5-9,29626 = 4,2037 (wieeben!).

j

7.2

D uration bci Anlcihcn - Berechnungsvertah rcn und Binnussgrcacn

33 1

Aus (7.2.8) folgen die Ikrechnungsvorschrift en f ur d ie M acaulay-Duration D fO rweitcre Standardf:ille:

i)

zero-Bends: Z = O.

A m (7 .2.8) ergibt sich: D=

m.a.w .

q- q + n ·i

I+i

= ,

Die Duration von Zero-Bonds (Nullkupon-A nleihrn) Ist idcntisch mit ihrer (Resl-) Laufzcit.

(7.2.10) Die Zero-Band- Duration bangt also wooer von der Hohe

des Zinsnivea us noc h von dcr Hohe JeTRuckzahlung ab. (Dies teucmet auch unminetbar ein, wenn ma n die Duration «siehe Bem . 7./ .14 - als barwertgewichtael aujzeitder Sin zelzahlungrn auffa sst: Da es nu r eine einzige (Ruck -) Z ah · lung gitn. enifiillt auf sie auch d er gesam te Barwen, also ist die Duration gleich der L aufzeit dieser Za hlung und das ist gerade die gesam te (Rest-) Lauf zeit des Z ero-B ond .)

Bemerkung: DUTch Grenzub ergang e"- 00 in der Durations-Formel (7.2.5) erc enniman, dassein wacnsenaer Rucknahmek urs die Kuponanleihe einem Zerobo nd immer iihnlicher macht, denn es gill: (in (7.2.5)

lim D= n

c,,-· _ Beispiel:

e" im Ziihler wieim Nenner auskl am mem!)

Ru ckn ahm ek urs 1000, Kupon 5, Marktzinssatz 6 % p.a.; L auf zeit: 7 Jahre. A us (7.2.8)

~

D = 6,8698::::< 6,9 Jahre ::::< Gesamtla ufzeit (= 7 Ja hre)

ii) An n uitat i.~ r-he Bends: en = 0, A m (7.2.8}crgibt sich:

m.a.w. (7 .2.11)

D=

d.h . die Tilgung crfolgt - wie bcim Annuitatcnkrcdit (Kop. 4.2.5)tiber die Annuita tcn, dcr Rucknahmck urs ist Null. I+i

, ·Z

t+i

=-

Z .( qn-1)

,

- - -

(q = 1+i)

qft _1 '

Die Duration von annunat tscbc n Anlcihcn crgibt sich zu q

n

D ann = q- - J - -qn_1

I+i

n

Die D uration dcr annuitatisc hen Anleihe hangt also nieht von der Hohc dcs Kupons ab, so r dcrn nUTvon der (Rest-) Laufzelt dcr Anlcihe sowie vom Marktzin snivea u.

Bei~pi el :

Exkurs: Aspekte del Risikoana lysc - das Duration-Konzept

7

332

Eine annuitatische Anleihe, Kupon 9%, hal cine Rcstlaufzcit von 12 Jahrcn, erster Kupon

nach einem Jahr. Das Markt zinsniveau be tragt im Ptanungszeitpunkt 8% p.a. 1,08

12

- - - - = 13,5 - 7,9043 = 5,5957 D = 0,08 1,08 1L I

(alw deutlich weniger als 12 Jahre)

iii ) Verbal ten der Dura tion fUr lange Anleihe- La ufleiten (n __ <>oj

D =

La ssen wir in (7.2.8):

q .C n + n · (Z - iC n)

Hi

Z ·(qn _ l) +

tc,

die La ufzcit n fiber aile Gr cnzcn an-

wachscn, so strcbt dcr zweitc Bruch gcgcn Null [denn der Ziihlerwiichsl mit "n" nur linear, derHenner hingegen mil "qn "(q > J) exponentiell, d.h.der Nenner dominiert den Z ahler immer mehr, der Bruch

strebtgegen Null10).

m.a.w.

Fur lange Laufz eitcn (ewige An leihen) gilt unabhangig von Kuponhohc odcr Rucknahm ekur s:

Hi

0 _ ,= lim 0 =

(7.2. 12)

"--

=

,

,-I

, (q >l) .

Bemerkung: Da in (7.2.12) der R ucknanmeaes nicht auftritt, gilt (7.2.12) ebenso fUr QtlIl/Iitalische An/eihen. Dies kann man auchdirektan (7.2.11) durch Gremubergang n - _ verifizieren. Beispiel:

Nachfolgcnd sind die Durations vcrschicdcncr ewiger Anleihen (Kupon z.B. 8 €) autgchs-

tct (KuponhOhe Spiell keine Rolle, d.h . identische Ergebnisse hei 1O€ oder 30€) : Marktzinsnivea u i

q I +i Duratio n =i q-I

3 1. 6 1. 91. 11 1. 261.

50% 20% 12,5% 10% 4%

(i -

00: D- l)

(i- O: D- 00)

h ') vemahen der Duration Ilir slnke ndes Marklzi n.~nivea u (i -O)

Die Darstellung (7 .2.8) der Macaulay-Duration ist zur Bildung des Grcnzwertes von 0 fur i - 0 (bzw. q - 1) weniger gut geeignet. Am cinfaehste n gelingt die Grenzwertbildungmil (7.2 .6):

q" - I z · q· - -

D =

+ n ·(iC - Z) _--''''_-,:1--,_ .,-"_

z

(q" - I) + iC"

10 Der Beweis erfolgl am einfachstcn du rch Anwcndung der Regel vo n L'Hdspital, siebe ctwa [Tic3] 5-34.

7.2

Duration bei A nleihen - Bcrcchnungsvcrfahren und Emflussgroucn

333

Bcriieksichtigcn wir nitmlieh, dass dcr im Zahler stehcndc Bruch qn~ II dassclbc bcdcut ct wie die erhalte n wir: Summe I + q + q2 + ... + q n- I (sieheRenteme chnung (3.2.3)) , so q

D=

Z · q ·(l +q+q2+...+qn- l) +

z

(qn _ 1) +

1\

(ic,,-Z)

.c,

Z (q+qZ+ql+ ...+qn) + n ' (q -I)Cn - nZ

z· (qn _ l) + (q- I) c;,

FOr i - 0 bzw. q - 1 erhallen wirden unbestimmten Ausdruck tall I zur Anwendung komrnt :

~%~, so dass die Regcl von L'Hospi-

Differcnzieren wir Za hler und Ncnner gct ren nt nach q , so crhaltcn wir lim D q -~

I

lim

q ~- l

Z · ( 1+2 q + 3qZ +...+ n· qn) + n Cn Z ' I\' qn-l + Cn

FOrd ie im Ziihler stchcndc Sum mc gi ltl~

Z ·{1 + 2 + 3+...+ n) + n 'Cn

Z n + Cn

n · (n+l ) 1 +2 + . .+n = - -, - , so dass wirsc hlicJ3liehe rhaltc n:

Beibc lichig sinkendcrn Marktzinsnivcau {q -r l , i - OJ gilt schheuttch fOrdie Dura tion Doendfitlligcr Kuponanleihcn : (7 .2.13 )

Do '=limD= ;-0

O,5Z ·n (II+ I) + nCn

q- '

Z n + Cn

Bemerkung: FurannuuatischeAnteihen (e n= O) reauuen sich (7.2.13) auf: Do,,,,,,, = 0,5 ' (n + 1). Beispiel I : Resllauf zeit 5 J ahre. Kupon 12% , Rucknahme zu pari: FOr i - 0 erhaltc n wir im G rcnzfall folgcnd c Dur ation :

Do =

0,5 · 12· 5· 6+5 · 100 12, 5 +1 00

= 4,25 J ahre.

Beispiel 2: E ine annuitatischc Anlcihe, Kupo n 12% , habe ebc nfalls cine Rcstlaufzcit von 5 J ahren, erster Kupon nach cinem J ahr. Der Mark tzins tendiere 1,'C1, 'Cn Nu ll. Da nn tauter im Grcnzfall die D uration D o = 0.5 (n + 1) = 3 Jahre.

{Anschaulich runn aer Umerschied daher, doss im Fallderendf(j{figen Kuponanleihedie hone Scntusszahlung eine starke Laufzeitgewichtung una somit Vergrojkrungder Duration bewirkt.)

II siebe lctztc Fullnote 12 siebe ctwa die Funncre ZIIr Bemcrkung 3.9. 12

7

334

Bxkurs: Aspekte dc r Risikoa nalyse - das Duration-Konzept

v) Duration bei pa ri-n otierten Anleihen

Man spricht vo npari-nolienen An teihen, wenn Kuponh ohe Z und Markt zinssatz i im Planun gszcit -

punkt iibcreinstimmen (wir benunen jan die dezimale Darstellung alter Zins - una Kurswerte) . Sc i der E nnitt lung dcr Du ration end talligcr A nlcihen wollen wir uns weite rhin auf den Fall der R ucknahme zu pari (d.h. = I) bcschranken.

en

Wir bcnurzen die Duranonsform cl (7.2.9), bci dcr berets C n = 1 bcrucksichtigt wurde:

1+.

q +n-(Z-i)

l+i

Z · (qn- l) + i

,

q

, -1

(bi)

, " -' (I -q-") , -1

(q _ !) qn

Die Duration endfalliger Kupor antethen, die zu pari ow t iert werden [d.h. Z = i) , crgibt sich (fafls die Riickn ahme

ebenfalls zu parierfolgt) zu

Dp ,= D..-= -'-(I-q -") '" q -l

(7.2.14)

Z I

n l ~i I ( l - (l +ir )

Bemerkung: Einegesonderte Baraduung derzu parinotierten annuioitischenAnleihen ist wenigsinnvoll, da die Duration annuitctischerAnteinen unabhangig I'on der KuponhOhe ist und sicn daher stets wiein (7.2.11) erredmet. Beispiel: Endfallige Kuponanleihe, Kupon 8%, Rcstlaufzcit 5 Jahre, der erster Kupon wird fallig nach einem Jahr, Riicknalune zu pari, Marktzfnsniveau im Planungszeupunkt 8% p.a. Nach (7.2.14) crgibt sich fur die Macaulay-Duration Dp '= Dz _; = 1.08 ( 1-1 .08- 5) = 4,3 121 Jahre. 0,08 Sci sehr langen Rcsllaufzeiten (n - 00) ergi bt stch aus (7.2. 14) wieder der bckannte Grenzwert D",,: D

"'- = 1,08 = 13,5Jahre (siehe(7.2.12», der fUrjede positive KuponhOhe gliltig ist. q-I

0.08

\1 Duration bel zunehmender KuponhOhe (2 - 00)

Sci endtauigen Kuponanleihen ist - wie crwaaus (7.2.8) ersichtlieh - die Duration wcscntlich von der Kuponhohc abhangig. Es fragt sic h, ob ein Grenzwertfur ubcr aileGrcnzcn waehscndc Kuponhohcn (2 - 00) exlstlert. Wir vcrwcndcn (7.2.8) und bilden den Grenzwert, indem wir im Zahjcr wie im Nenner des zweiten Bruehs die Kuponhobc Z ausklammcrn; Hi

q.c;,

+

I+i

n (Z-iC n)

Z ·( qn_ l) + iCn

(7.2.15)

lim D =

z-_

l +i

Z·( n -

q Cn

Z · ( qn_ 1 +

n

-

Z

n i Cn

z) iCn

)

l +i

n

z- <><>

(Duration bel wachsendem Kupon

~

d.h.

(7.2.11»

Sci wachscndcn KuponhOhcn wcrden em.lfallige Kuponanlcihcn immcr ahnlicher zu annuitatlschcn Anlcihcn, im Orcnzfall uberwiegen die Kupons den (rekuiv immerkleiner werdenden} Rucknabmckurs so stark, dass sich die Duration (7.2.1I) cincr annuitatischen Anlcihc crgibt.

7.2 D urat ion bci Anlcihen - Bercchnuegsvcrtahren und Ein fl ussgrol3cn

335

Aus den Beziehun gen (7.2.6)/( 7.2.8) zwischen de n unt erschicdliehen Einflu ssgrouen (Kup on Z, Restlauf zeit n, Eff ektivzins i, Ruckna hm ekursC,J auf die Hohc D der Duration eincr cndtatttgcn KuponAnl cihe ka nn man auf da s Verhal ten von D bel Variat ion elne r emz elaen Ei nn ll~~griiBe - e.p. - sehliel3cn. D ie zugrunde liegcnd e Funktion D = D(Z, i,n,C n) hangt allerd ings von vier unabhangigen Variablen ab und crschcinr- siehe zugehongc Funktionsgleich ungen (7.2.6) bzw. (7.2.8) - nichtganz unkom pliziert: qn _ 1 Z· q·-q _ 1 + n '{iCn - 2)

(0)

D; Macaulay-Duration

q .C n + n· (Z -iCn)

l +i

Z· (qn_ l) + iCn

Z ' (qn- l) + iCn

Z; q; n: C"

Kupon

Markt::insfaktor, q- I +i Rest/au/::eit der A nleine Rlicknahmekurs

Daher wollen wir die Z usamme nhange im folgende n nicht formal -mathematisch analysiercn, sondc rn mit

Hilfe cnrsprechendcr Punkttonsschaubtldcr - siehe Abb. 7.2.1 6 bis7.2.21- erlautcrn. In allen Fallen werden wir cincn Rucknahmeku rs zu pari unters renen , d.h. C n = 100 € bzw. e n = 1. Die cinzcln en Graphiken enthalten stct s den z usammenteng zwischen D (der Duration) und einer ausgesuchten Variablen, z.B. n, also D = O(n), siehe Ab b. 7.2.16. Zusatzlichwird der Eintluss einer wciteren Variablen , z.B. KUJXlDhOhe Z , dargestcllt, indem - im Beispiel - zu vcrschied cnen Wertvo rgabcn Z k fur Z jewcils cine eigene KUlVCO(n ,Zk) im glcichen Koordinat ensystcm gezechnct wird. Lodiglich die vierte Va riab le (im Beispiel: Mark tzinssatz i) muss dan n noeh d urch e inen festen Wert vorgcwahlr worden . (OJ Duration

z=o

/Zorobond/

Marktzinsniveau: i = fO%p.a. ROcknahmezu pari

Q

o

'0

60

Aus A bb. 7.2.16 wird drcierlci deu llieh: i)

Zu nehmende Kupon h('1 he bewirkt c.p. abnehmende Durati on (und umgekehrt).

ii) Bei nieht zu grolkn Laufzeiten gilt: Die Durat ion wach.~t (sink /) , wenn die Laufzeh

wiich.~ l

(sink') .

< i) hat O(n ,Zd ein lokales Maximum und nimmt erst danach wicdcr ab, urn sieh dem G rcnzwert (1 +i)/ i (siehe (7.2.12» zu nahem (" L aufz eiteffeb "). Dies bedeulct : Fur Anl eihen mil eincm und demselbcn KUJXln, z.B. Z = 0,5, kann bei kurzerer Laufzeit (siehe Punk s P) cine h6here Dur atio n rcsulticrcn als bc i llingcrer Laufzcit [siehe Punks Q) - im Gegens atz zu ii).

iii) Fur unt cr-pari -Kupon s (Z

7

336

Exkurs: Aspekte dcr Risikoanalysc - das Duration-Konzept

Sci stark wachsendcm K upon (2 - 00) vcrbatt sich die Anleih e wic cin e annuitatische A nlcihc (siehe (7.2.15» , d.h. die in obigcr Abb. 7. 2.16 am weitcst en unt cnliegende Kurveli efert glcichzeitigdie (kuponunabhiingige) D uration c iner cnl sprcchcmlcn annuitatischen Anleihe . In dcr nachfolgcndcn Abb. 7.2.17 isl D "" D(n) ebenfaJls in Abhangigkeit dcr Laufzcit n dargcstcllt, ancrdmgs nun fer verschiedcne Werte i k des Marktzinssatzes: D = D(n ,ik) . Man crkcnnt aueh hier den " La ufzcilcffckt " fur ik > Z an den lokalen Bxt remstcllcn , die sie h fUrwac hscnd c Marktzinssat ze in Richtung kleinercr Laufzeiten vcrschieben (deruBuckel" wrschwindet fur i S Z und [ur onnuitotiscne Bonds) .

(OJ Durah'on Kupon: Z=3

RlJcknohme

zu pori

Abb. 7 2,17 10. 10

13$

2

In) 10

Restlaufzeiflll

20

Insbesondere crkennt man: Mit steigendem (jallendem) l\farkt zins nimmt die Duration c.p. ab (zu)! (D/ I Ouro fion

' OJ

Kupon: Z= 4 ROcknohmezupori

30J

" La u fz eif-Effelcl ". 1m Bereich I > Z {ieg en eim'ge O-KuflIM m il hoherer laufzeil

unterhalb von CN
ringerer l aufzeit. dh. trotz h<:J 4 herer loufzeil isl in glrl/g en fallen difl Durallongenngefals 1m f oil genngerer laufzeil

20J

Abb. 1.2. 18

o

2$

4 i1 (=Z/

10.

(i/ (Morktzinsj

7.2

Duratio n bei Anlcihen - Bcrcchnungsvcrfahren und EinflussgroBen

337

Abb. 7.2.19 zcigt sehr schon, dass -wcnn die Rcstlaufzcit n [hier:50Jahre) fest vorgegcbc» ist - stcigende Marktzinsen und zunchmcndc Kc ponhohcn e.p. stcts mit fallender Duration einhergehen (ailerdings nichtlinear mii Ausnahmedes Fattes z=o (Zerobond): D(Z:O) = n = 50Jahre):

(~~ t Duration

s-o.

D=50 =n

{ZerobondJI

Z=0,1 Z=O, 5 Z=1

Restlaufzeil- n = SOl. ROckn ahme zu p ari

Z=3

10

Abb. 72. 19

s (iJ

--I-~~~------::-:-:--,----:(Marktzinsniveau) 100

°

Abb. 7.2.20 zcigt cbcnfalls die Duration D in Abhangigkcit von Zinsnivcau i und Kuponh6he Z, allerdings jetzt mit Z ats unabhiingigcrVariabler und i als Parameter . FOr jede Kuponhohc gilt: Die DurationKurve mit hohcrem i liegt tiefcr als die mit gcringcrcm L FOr Z = 0 (Ztrobond) schneidcn sich aile Kurvcn auf der Ordinarenachse im Punkt 0(0) = 30 = n. (O) I Ouralion

110M

30

Res#aulzeif' n =30Jahre ROcknahme zu pari

10

2

rzr

+-~---------~-4 2 (Kupon)

Abb.72.20

7

338

Exkurs: Aspekte de r Risikoanalyse - lias Duration-Konzept

A bb. 7 .2.21 dcmonstricrt wied er de n schon bckanntcn ~Laufzeiteffe kt ~: Fur klcinc Kupons (2 < i) unt crschneidcn Langlaufcr-Duratio n-Kurven die Ku rzlauter-Duranon -

Kurven, m.a.W. die Du ration kann - im Oegensatz zum ~ Nonnalfall~ - bet lan gen Laufz citcn gcringer sein als bc i kurzercn Laufzeiten:

(OJ Duration 30

Mork tzinsniveau: i = 12 '1, p .o, ROcknahmezupari

16

_

'~ = 9] n",7.1

7 1~

Abb.72.21

n=1 )

o

2

3

4

5

(Kuponl

at

J cd c Dur ationskurvc D( Z ,nk) bcsit zt als Ordi natcn schnittwcrt (d.h . fu r Z = 0) ihre eigcne Laufzeit

Ok :

(dennfur Z =0 ha ben wir wiedereinen Zerobond, dessen Duration stets gleich seiner Rest-L auf zeit ist],

Z usarnmcnfasscnd konncn wi r festhalt cn:

Die Duration eincr cndfa lligen Kuponanlcihe terster Kupon nach einem Jahr) -

nimmt zu, wcnn die Restlauh eit c.p. zunimmt ; nimmt ab, wenn d ie Restlanfz eit c .p. ab nimmt;

-

nimmt ZU, wcnn die Kupee hohc c.p. ahnimmt ; nimmt ab, wenn d ie K upeehohc c.p. zunimmt;

-

nimmt ZU, wcnn das l\larktzi nsnivcau/der Effektivzins.satz tiber die Restl aufzcit c.p. abnimmt; nimmt ab, wenn das Marktzins nivcau/dcr Effektivzins.s atz tiber die Restl aufzcit c.p. zu nimmt.

(aber: LtlUfzritiffek/ beach/en, siehe Abh. 7.2.16-18, 7.2.21)

Tab . 7.2.22

7.3

7.3

339

Die immunisicrcnd e Eigc nsehaft de r Duration

Die immunisierende Eigenschart der-Duration

vcrauucrt der Bcsitzcr ciner Kuponanlcihe .....ahrend der Restlebensdauer (z.B. T Jahre (T < n) na ch aem Planungszenpunkt I '" 0) der Anlcih e das Papier, so ergibt stc h ats Preis im Zeitpunkt T dcr mit dem ak ruenen Marktzin ssatz gewiehtete Bar.....e rt allcr zukOnftigcn Lcis tungcn [Kupo nzahlungen, Ru ckn ahm ewen) aus dem Papier. Damit ist abe r das Gesamtvenn6gen des Investo rs aus scinem Engagem ent noeh nicht bcschriebcn , donn die zuvor erhaltencn Kuponzahlungen Z, zwisehenzcitlieh verzinslich angelegt, gchorcn zusatzfich zum Zeitwert w- scines Anlcihe-Gesamtvenn6gcns.

r-

l

Tbh ~

P/anungs zeilpunk/

I

j

I

I

I

I

Z

Z

Z

Ve,*oufs~

zeilpunk/

,

wen w,

Zeit

I

I

z

Z

Abb. 73. f

C, ( =100)

1= 0

t=l

t=2

I =T

---

t =n

Wir setzen hier voraus (wie bisher aucn bei der Barachtung des Duration-Konzepts}, dass eine Marktzinsanderueg unmitt elbar naeh dcm ursprunglichcn Kauf des Papiers (d.h. unmiuelbar nach dem Planungs eeitp unk t in t = 0") cingctrctcn ist. Die zwischenzcithch geza h lten Kupons wurden somit zum (geanderlen) Marktz ins i· angclegt, so dass zur Enni ll iung des Gcsamtwertes WT insgesamt nur ein einziger (wenn auch gegmuber derAusgangssituation geander/a) Z inssat z i· zur Anwendung konunt. FOr den Investor gibt cs also im v crglcich zu seiner ursprunghchcn Planu ng zwet dcnkbare Hille: i)

Hat sich dcr Ztnssatz in t = 0 + erhoht , so konnt en zwar die erstcn Kuponzahlu ngcn zu dicscm hohcren Zinssatz ange lcgt werde n. Andcrerscns bcwirkt diese r hchcrc Zms satz zuglcich, dass d ie im Zeitpunkt T noe h ausst chcndcn Zahlungen sta rker abgczinst und somit cinen geringeren Bcnragllcfcrn.

ii) Ist hingegcn der Zinssatz in t = 0 + gesunken. so konntcn zwar die erstc n Kupons nur zu einem

geringercn Zinss atz angclegt worden, dafu r crziclt dcr Inves tor in T fur die noch ausstchcndc n Zahlungen emen hoherc n Preis, da weniger stark abgezinst werde n muss ats ohne Ztnssatzanderu ng. Es stcllt sich daher die Frage, ob c.s fOr den Investor so erwas wie eine ol' timale lIaJtedauer T gibt, op timal in dem Sinnc, dass unabhang ig von Ausman und vor allcm Richtung einer Zins satzandc rung lias Gesamtergcbnis WT in T so ausfallt, als habe es iiberhaupt kcinc Zins satzanderung gegcben. Betraehtcn wir dazu cin Beispiel: Bei.~pie1 7 .3.2:

Eine Kupon-Anlcihc habefolgcnde Zahlungsstruktur:

1--

I I

Zeitpu nkte: t > 0

T= 2,75 bhre _~ Wr

I

I

10

10 2

I

I

110 T 3

Der gcsamte Zcitwert WT dcr Anlcih c im Zcitpunkt T ist je tzt cine Funktion Wr(q) des Zlnsfa kto rs q t- 1 +i) im bctracht ct cn Zcitraum, wobei gilt (am besten erst alles abzinsen und den erhakenen Wettdann T lahre auj zinsen - nach Umweg-Satz 2.2./4 erlaubt] :

7

340

Exkurs: Aspekte de r RisikoanaJyse - das Duration- Konzept

t w, (Anleihe-Gesamf!Nerl im Zenpunkf rt

Wy(q) = (l Oq- I+1 0q -2+I H)q-3) qT = 10 _(q-I + q-2+ 11q*3)_q1.7S .

W,lq)

Stellt man d ese Funk tion graftseh in cincm Koordinatensystcm dar . ergibt sich ncbenstchcodcs Bild:

Ocr Zeitwert WT hal beiVariation

des Zinsfa ktors q (= J +i)einMinimwn, im Beis piel an derStcl lc

'311

~

_ _

Abb. 1 3 3

~~

q = 1,0575.

m.a.W. f ur das Mark t-Z insnivcau 5,75 % p.a. ist dcr Ocsamtwcrt WT dcr An lcihe in I = T '"' 2,75 minimal.

(Morktzinsfak for) r

{q{

l si also umgekehrt dcr Zinssatz i mil 5.75% p.a. als ursprunglicb gcplantcr und noch nicht gclndcrtc r Marktzins vo rgegeben. so fO hn jcdcr andere ZiJK"3.tZ bci Vcrkauf in T .. 2,75 zu cincm noch Mhe ren Gcsamtwert als gcplant -dtcs is! die gcs uchtc" Imm unisicru ng"dcs A nlcihcwc rtes gcgc n (in t .. 0 +«folg/e) Z inssatzschwankungc n, sofem die Haltcdauer 2,75 Jahre belragt: Es kann bci Zinssa lzschwankungen ,.nicht schhmmcr" konunenals ursprOnglich gep!anl - vorausgesetzt d ie Halteda ucr T stimml. Wir k6nncn das Beispieln rallgt"ffiri nem:

Ange nommen. die Stru ktu r einer Zahlungsrcihe (z.. B. AlIlriJJ~, lnvestition, ...) sci wie (olgl vorgegeben:

, I

Zeitpu nkte : 0

w,

T_

i-

-1

I

I

Z,

Z,

"

"

Z,

'.

ZeiT

z,

.

Abb .7.3.4

Oc r Investo r sieht sich im Planungszcitp unkt (I = 0) dcm Marktzinssat z i gcgcoabc r und plant mit chen d icscm Zin ssatz die H altcdaucr T ftlr scin Engagement, wobci cr von sichcrcn ROekzah lungcn Z k ausgchcn kann (skheA bb. 7.3.4). A prio ri errechner dcr Investor scm Gcsa mtvcernogen WT a1L~ dieser Invcsnnon nach Ablauf seiner individucl l geplan ten H alteda ucr T , d.h . im Zeit pu nkt T, als (auf - bzw. abgezinsten) Zeitwcrt sarnuichcr Zahlungcn aus dem Paper. Nach Satz 2.2.14 ermittclt man W T am bcst cn dadurc h, class man zunac hst aile Zahlungcn z,. auf I = 0 abzinst und dann gcmeinsam a uf dcn Slieh tag t = T aufzinst ( . qT):

(US)

( Co - Barwffl a f/u Lristungell = PrriJ)

Diese Funktion WTtq) bcsilZt - wie im ktztcn Beispiel gczcigl - ein Minimum an cincr bcstimm tcn Sidle q. I~: Angenommen. dicscs Minimum von W T soil genaudann erreichl werdcn, ""'COn q mit dan l'~en Zinsfaktor q (- I +i) 1ibcreinstimmt -welcbc Bedingungen mnssen daz u erfillit scin'!

7.3

341

Die immuntstcrcndc E igcnsehaft der Duration

Urn das Minimum von W-r
" T· qT-l.L:Z k_ 1

k

" t, ~ ,., (7.3.7)

T =

D

Macaulay-Duration (7.1.17) !

Wir crhalten also das folgendc (ube" au hende?) Ergebnts :

Eine Anleihe bcstrzc im Planun gszcitp unkt t = 0 cine Za hlungsstruktur wie in Abb . 7.3.4. Ocr Marktzlnsfakt or in t = 0 set q (= 1 +i) . Der Investor plane fu r die An leihc cine H ahcda ucr von T J ahren. Dann ist der (mil dem urspriinglichen Marklzinsfaktor q ennitlelle) Zeitwert W-r(q) dcr An lcihe klcincr ats fOr jcden anderen Marktzins, wenn die Haltcdauer T mit der (ebenfa/Ismil dem Marklzinsfaktur q ermittellen) Macau lay-Duratio n 0 der Anlci he iibereinstimmt.

Anders ausgedriickt: Angenommen, der Investor plane eine H altcdauer gcnau in H o he der Duration: Dann fuhrt jede Zinssrhwankung (in t= 0") zu eincm hoh crcn Gcsam t-Zeitwert W(q*) des Papers in T = 0 , als battc kcme Zinsveranderung sta ttgcfunden - d ie ursprOnglich gcplantc Rcnditc i ist dabe r die Mindcst-Rendit e, die de r Inverstor im Zcitpunkt T rcalisieren kan n.

(7.3.8)

E ine H altedauer T in Hnhc dcr Macaulay-D uratio n 0 fuhrt also zur Immunisieru ng des An leihewert cs W-r
Diese immunisierende Eigenschaft der Dura tion lasst sich auch fur cin Portfolio tGesomtbmand anAn-

leiheweneni a nwcnden: Da die Maca ulcy-Duration jeder Anlc ihe nls Summe von ba rwcrt-gcwichteten Laufzcitcn von Zero lxmds (= Duratum von Zerobonds) aufgcfasst lSwerden kann, kann die Du ratio n etnes Portfolios enn ittcl t werden, indcm man die Durations der einzelnen Anlcihcn cnts prcchend tnres individucllen Barwcrtanteils am Gcsa rruwcrt des Portfolios gcwic htet und summiert, kurz:

13 ohnc Nachweis: Die hinrcichc nde Minirnalbcdingung W"(q) > 0 ist in diescm Fall erfhllt! 14 siche z.B. ITicJ ) Salz5 .2.JO IS siehc Bern. 7. 1.14 sowie For meln (7.1. 17)/(7 .2.10) in Verbind ung mit der Oberlegung, dass jcdc Einaclzahlung 4 cioer Anleihc a1s Zcrobond aufgcfasst werdcn kann,

7

342

Exkurs: Aspekte del Risikoanalyse - das Duration-Konzept

Die Duration Dr elnes Wert papier -Portfolios is! die Snmme der mit ihrem prozentualcn Marktwcrt-Anleil ak am Gcsamtwcrt des Portfolios gewtcbreren Durations Dk (k := 1,...,n) der einzelnen Papiere:

(7.3.9) WiT wollen diesen Sachverhalt fOr zwei beliebige Wertpapiere A I und A 2 allgemein bewetsen (fur mehr als zwei Papiere verliiuft der Bewd~ analog):

Anlcihc A j bcsitze in den Zcitpunktcn Ixdie Zahlungcn Zlk

, n) , n) (dabei umfa ssen dieZeupuskteIt samtlichevorkommenden Zahtungs-Zeitpunkue beiderAn ieihen, evil. konntezu einem oderzu mehreren Zeitpunktenlkgelten: Zik = 0, i = 1, 2) . Anl cihcA z bc sltze in den Zei tpunkten Ix die Za hlungen Z 2k

(k '" 1, (k '" J,

Nac h (7.1.17) gill fOr die Durations D ,. 0 2del heiden Anleihcn :

"

" ,.,

:L 1k "Zlk "q -lk ,.,

L lk '~k 'q - l"

•

L

,.,Zzk ' q- l" Nun kumuli crt man die bcidcn Anl eihen zu einem Wcrtpapier-Portfolio, desscn Zahlungcn jedcm Zcitpunkt Ik aus derSumme Zi t + Z:2k der Zahlungen beidcr Anlcihen bcs teht.

~

in

Dann ist nach (7 ,1.17) die Duration 0 dieses Portfolios gcgebc n durch

D

L" tk · (Zlk + Zzk) ' q-t" ,., " (Zlk + Zzk)· q-t" I: ,.,

" lk ,Zlk ' q-t. I: ,.,

Dureh wcltcrcs Umfonnen erhalten wir (der Nenner Cobezeichnetden Gesamt-Barwen Co ( :=Marktwen in 1=0)des Portf olios = Summe COl r C o2derEinzef-Barwrrte derbridenAnlrihen):

D =

" tk ·Zl k· q-l " L" tk'Zzk' q-t " I: ,., , ,., Col + Co2

COl+ Co2

•

=

I: Ik,Z lk q-t. ,.,

c"

Co>

COt + C02

"

=

I: tk · Zlk · q-t. k_1 Col

"

COl + C02

L tk·Zz k· q-t. , ,.,

C"

Co,

C" Col + CO2

•

:;[ lk·Zzk · q-t. , ,., COt + C02

c" c"

D I ' a t + D 2 ·a2·

Da die jeweils zwcitc n Bruche gcna u den Barwertameil aj jeder Teil-Anlcihc ~ am Ge samt -Barwcrt COl r C O2) dars telle n, ist der Bewets von (7 .3.9) fur zwei Anlcihen erb racht.

Co ( =

Fur beliehig vlele (2.8 . m) Anleihen nsst sich der Beweis auf analogc Weise durchfuhren, indcm man aus den m Einzcl-Anlcihcn cine kumulierte An teine bildct und dann deren Ges amt- Duratlo n mit der dcm onstricrten Um fotmungs-Srratcgic aus den Einzel-Durations crmittclt .

7.3

Die immu nisicrcndc Eigcnschaft der Du ration

34 3

Mit H ilfe von (7.3.9) lassen sich fOreinen Investor insbesondere zwei FragestelJungen beanrwcrtcr r i)

Mit ciner Investition in H o hc von Co [€] soli in t = 0 ein Wertpapier·Portfolio anfgeba nt worden. Der Investor habe cinen Planungshorizont von T Jahren . Al so wird er - urn gcgcn Zmssatzscbwankungen geschutzt zu sein - aus den am Markt vorhandenen Anlcihen im Rahmen seines Budgets cine Auswahl so treffen, dass d ie Oesarnt-Duration D p des Portfolio s gcna u seincm Planungshorizont T entspricht (siehe Beispiele 7.3.1017.3.11) .

ii ) Ocr Investor besitze berets in t = 0 ein aus verschiedenen Wcrtpapieren bcstehendcs Portfolio. Wic

lange soli cr an diescm Portfolio testhahen, urn gcgen Z inssa tzschwa nku ngen geschum zu scin? Da zu muss cr nach dem Vorhcrgcnd en led iglich d ie Gesamt-Duration D p scines Port folios enni tteln und scinc n A nlagehorizo nt T mit diescm Wert in Obereinstimmu ng bringcn (siehe Beisp ieI 7.3.12) . Beispiel 7.3. 10: Der Investor habc cinen Planungshorizont von 5 J ahrcn (= T) und .....i 1l 500.000 € fur diesen Zeitraum in w ertpapieren anlegen. Ocr heutige Markt zinssatz bctragc 7% p.a. Zur A uswahl stehen zwei cndtalllge Kuponanlcihen A I' A 2, crstc r Kupo n nach eincm Jahr, Ruck nahme zu pari, Nominalwert [Nennwen] proSt iiek 100 € : A I: A 2:

Kupon : 8% (baogenouf den Nennweru; Kupon: 6 % (baogen ouf den Nennweru;

Res tla ufzcit: 4 Jahre Restla ufzclt 10 Jahre .

Wie soli der Investor sein Budget auf dicse belden Wertpapiere aut teilen, urn gegen [unmittelbar nach Kauf evil. sla/tfindende) Zin ssatzsehwankun gcn gcschutzt zu scln? Ide e:

Die Gcs amt- D uration D r des Portfolios mu ss mit dem Planungshori zonr T ubcrclnsnmmen , d.h . d ie bciden Papiere ma ssen in solchcn Marktwertanteilen a i' a 2 gekauft worde n, class die Sunune dcr mit dicscn Anteilen gewiehtelen Ein zc1-Durations D I' D 2 gerade die !.>L......unsc hte Gcsamt-Duration Dp = T = 5 ergibt.

Die E inzcl-Duration s D j • D 2 bcrechnensich nac h (7 .2.9) zu:

D l = 3,5847; D 2 = 7,7093.

Dam it muss gclte n: a 1D I+a2D 2 = D p = 5, d.h . 3,58 47 'a l + 7,7093 'a2 = 5

tmu

0 /+a 2= 1)

Setz t man a z = I - a l in diose Glcichun g ein, so resulticrt: a t = 0,6569, d.h. 65,69% des Budgets ( fl. 328. 450€) entfallenauf Anlcihe A I; az = 0,3 43 1, d.h. 34,31 % des Budgets ( fl. 171.550 € ) entfa l1en a uf A nlcihc A 2. D ie Prcise je 100 € No minalwcrt (Kuru) COl' Co2 der heiden An lcihen ergeben sich a ls Barwcrtsurnme der noch auss tehende n Lcist ungen und bctragcn 1.074 - I 1 107 10 -1 1 COl = (8 ' ----007 + 100)--4 "'" 103,39 € ; Coz=(6 ·~ +100) -1 0 "",n,98€. • 1,07 , 1,07 Da her wird dc r I nvestor

328 .450 /C OI "'" 3177 Stucke (je 100€ Nenn wen} von Anleihe A j sowie 171.550/ C oz "'" 1845 Stucke (je 1OO€ Nennwen] von A nleihe A z kaufen.

Beispiel 7.3. 11: Wic Beisp iel 7.3.10 mit folgendem Umersc hicd: Marktz inssatz 5 % p.a.; Planungshorizont S J ahre. A ulkrdem:

E s ste hcn d icsmal S w ertpapiere A I' A 2, A 3 zur Auswahl mit folge nder Ausstattung:

AI: Kupon 10% , A 2: KUfXm 8 %, A 3: Kupon 7%,

Rest lanfzeil 2 J ahre Restlaufzcit 6 J ahre Restlaufzcil12Jah rc

'* '* '*

Durat ion D I = 1,9129 Durat ion D z = 5,0689 Du ration D ) = 8, 7968.

7

344

Exkurs: Aspekte dcr Risikoanalyse - das Duration-Konzept

FOr die dreiAnteilswerte ai' a 2, a3 (mil ak

alD\ + aZD1 + a3D1 =" 6 a l + a 2 +a 3 = 1 .

~

0) bei Immunisicrungmuss nun offenbar gelten:

(Voraussetzung:

Der Planungshorizont liegt zwischen

gr6jJteru nd kleinsterDuration)

Dicscs (fosbare) lineare G leichungssystem bes itzt - da bei 3 Variablen our 2 G leichungcn existicrcn -

bclicbigviele LOsungen, die man erhalt, indcm man fur cine Variable, z.B. ai' cinco gccigncten Prozcnrwcrt vorgibt und damit das entstehcnde System lost (dabri muss beaduet werden, dass negative Ameilswenenichtmoglich sind, d.h. es muss gelten: a*> 0). Gibt man z.B. vor: a l = 0,2 ( =20%), so folgt aus der zwciten G1cichung: al '" 0,8 - 3 3' Sctzt man diesc beiden Informationen in dic crstc Glcichungcin, so crt an man insgesamt: 31 = 0,2 (=20%, vorgewahlt}; ea = 0,3809 ( =38,09 %) ; a 3 = 0,4 191 (= 41,91%). Gibr man stat tdessc n etwa vor: al = 30%, so folgt auf demsclhcn w ege a 2 = 19,63%, a3 = 50,37 %.

Der Investor kann durch gecignete Lincarkombinatlon der cinzelnen An leihen jcdc Duration crzeugen, die zwischen der klcinstcn und groBten Einz el- Du ration Iicgt.

Beis pie l 7.3. 12:

Ein Investor sicht sich etncm dcrzeitfgen Markrzinsmveau von 6% p.a. gcgcniiber. Er ist im Bcsitz von cincr Nullkupon-An leihe A l sowie zwci endfii11igcn Kuponanleihen A 2l A 3 mit folgcnden Ausstattu ngen, siehe naehstehcnde Tabclle:

A,

A,

Zcrobond

Kupc n-Anlcihc

Kupo n-Anleibc

10 Jahre 100%

8% H ili", 100%

5% 9 Jahre

20.000€

50.000£

30.000£

A,

T,p K upon (Z) Rcstlaufzcit (n) Riicknahmc kur s vorhandcncr Nominalwert

100%

ioo.oooc

Der Investor will die Haltcdaucr des Portfolios so abstimmen, dass sich Immunisierung gegenOber Zinssatzschwankungcn ergibt. Er crreicht dies Zic1, indcm cr seinen Planungshorizont so wahlr, das dieser mit der Gcsamt- Duranon Dr seines gcgcbcnen Portfolios iibcreinstimml. Die Einzel-D uranons der drci Wertpap icre ergcben sich nach (7.2.9) bzw. (7.2.10) zu: D [ = 10 (=11);

D 2 = 3,5923 ;

D3 = 7,3993 .

Die Durations Dl rnusscn mit den entsprcchenden Markrwertanrcilen a l gewichtet und a ufsummiert werden, siehe (7.3.9 ). Z ur Errniltlung dcr a k bcn61igt man die Kurse Cok der einzclnen Papiere (mit Hilf e des akiueuen Markn inssatzes auf den Ptanungszeupunk i t = 0 abgainste zukiillftige Z ahlullgen aus den Papieren}: Col = 100 ' 1,06 - 10",,55 ,84%

Markrcert A ,

20.000 '0,5584 = 11.168 £

Co2 = (8 ._' - - + 100 ) -4 "" 106,93 £ ~ Markrwen A 2 0,06 1,06

50.000 ' 1,0693 = 53.465 £

1 064 - I

I

1 06 9 - I

I

0,06

1,06

Co3=(5 ' -'-

~

-+100) - "9 " 93,20 £ ~ Marktwert Aj = 30.000 '0,9320 = 27.960 £ Portfolio-Gcsamtwert = 92.593 £

7.4

345

D uration und Convexity

a l == 0,1206 ;

Daraus ergeben sich folgende Marktwertanteile:

a z == 0,5774;

a 3 == 0,3020

und dara us die Portfolio-Duration: 0 " = 0, 1206 ' 10+0,5774 ' 3,5923 +0,3020' 7,3993 == 5,5148. Oc r Inves tor solltc also fur scin Portfolio cine H altedaucr von ca. 5,5 1ahrcn vorsc hcn, urn sich vor Zinssatzschwankungcn (in t = 0+) zu schutzen.

7.4

Duration und Convexity

Die Duratio n D bzw. die rnodifizicrtc Duration MD (==D/(l +i), siene (7.1.22» kan n - wie etwa in Beispiel 7.1.12 oder Beispiel 7.1.23 gcschen - als Maa fur dte Zlnsscnsftfvnat des Anlcihckurses verwcndet werden. Nach (7.1 .2 1)/(7 .1.22) gilt (7.4.1)

dC

D

-O = - - dl= - MD di Co

1+ 1

bzw.

MD = - -

1

ac,

·-

Co di

CO Ol

= - -

-

Co

(D == Macaulay-Duration nach Def 7.1.16 mit diskreter Zinsfonnei, t »c dtskreter Mark n ins, MD ==D/(1+i) = modifizierteDuration)

Daraus w ird noc h einmal deut hch, dass mit H ilfc der Duration der Kurs C1J(i) linear approximicrt wird und da hcr auch nur fur klcinc Zinssatzsch.....ankungen di brauchba re Nahcrungswcrtc licfcrt. T arsachlich abe r ist die Funktion Co(i) nichllinear, wic die Funktionsgleichu ngcn (7.1.3)/( 7.2.4) zcigcn:

(7.4.2)

Co(i) '"

.-,f z, (1 +ir

t

•

bzw.

qn _ l

I

q _1

n qn

C,(q) =(Z · _ + C ) .-

(q = l +i) .

Ab b. 7.4.3 vcrdcutlicht d ie Z usarnmcnha ngo in dcr Umgcbung des Ausgangszinssarzcs io == 8% p.a.:

Lin eare Approximation des Werlpapierkurses Colil durch die (modifizierfel DuratiOnM D dCo = - MD ·di

C,

Abb. 7.43 100

20

fi)

Marktzins

346

7 A spek te der Risikoanalyse - das D urat ion-Konzept

Beispiel 7.4.4:

(sieheauchAbb.7.4.3)

Gcgcben sei eine endfallige Nu llkupo n-Anlcihc, Kupon 8%, Restlaufzeit 20 J ahre, pari-Rucknahme. Ocr Ma rkrzms io betrage im Planungszeitpun kt 8%

r-e-

Bet Schwankungcn di von ca. ± 1 %- Punkt stimmen die Punktton Co(i) und ihre Tangcnt e auf den ersten Blick noch rcc ht gut ubc rcin. A llerdings zeigcn sich bci nahcrcm Hinsehen aueh jetzt scho n deutlieh eAbweiehungcn, z.B. fur di = 0,01: Nliheru ng:

D = 10,6036 (ennittelt m il (7.2.9)) ~

Wcgcn Co(O,08) = 100 Exakt:

~

MD = 9,8181

de, = -9,818 1 ' 0,01 "'"- 0,0982 = - 9,82%. c; ~

Co(0,09) "'"100 - 9,82 = 90, 18%.

C o(0,09) = 90,81% . d.h . der absolu te Fehler der Niiherung bct ragt ca. 0,8%.

Je groller die Z inssatzsehwan kungcn wcrden, dcsto groller wird aueh der Fehler der lincare n Naherung Iur C(i) in der Umgebung des A usgangsalnssatzcs io' sichc Abb. 7.4.3 . So liegt es nahe, zur Verbesseru ng der Approximation auc h nlch tltneare Nah eru ngen , z.B. quadrati srh e Approximati onen zu verwendcn. Damit ist gemctnt: A n der Stelle io soli - als " Niiherungs- E rsat z~ fur die Originalfunktlon CoC!) - ein quadralisches Nlih eru ngs-Polynom ~(i) (Funk /ion zweiten Grades) crzcugt werdcn, das die Original-Funktion bcson dcrs gut a pproximiert. D ie Th eorie derarti ger Nahcrungs-Polynome ist scit langcm bekannt (Taylor'sdur Sa lz 16) - dahcr soli hier ein clcm cntarcr Ansatz skizziert werdcn: wahrcnd be i der Iincarcn Approximation (d ies teistet die " Tang enten ~- Funk lion) gcfordert wird, dass an der betreffend cn Stelle a) die Funktionswcrte und b) dieStcigungcn (= 1. Ableimngen) vo n Original und Nahcrungnbcrcmsrtmmcn (siehe Abb. 7.4.3) , geht man bci der qua dra tischen Approximat ion noch cinen Schritt welter: E in q uadrat isches Polynom C~(i) stcl lt - in der Umgebung einer au sgewahnen Stelle io -einc besonders gute Nliherung fur die Original-Fu nkt ion Co(i)dar, wcnn an derStelle io gilt:

~;,) = c,(i,) C~'(io) = C~(io)

e

N ' ) =C"(' 0 " ( 10 0 10)

(d .h. die Funk tionswene von Niihenmg und Original mussen ubereinstimmen] (d.h. die 1. Ableimngen von Naherung und Original mus sen ubereinstimm en] (d.h. die 2. Ableirungen von Niiherung und Original mussen iibereinstimmen) .

~(i ) - ars quadratisches Polynom in i hat die allgemeine Form. C~(i) = a+ bi+ei 2. Dafur uns die Stelle to bcdcutsam ist, verwendcn wir zwcckmauigerwetse anstelle von i die Differenz i- io, so dass e

(mil Hilfe der no ch zu bestimmenden Parameler« o. « i . a 2) das Na henmgspolynom C~i) lautet :

, , ,;, C~(io) ,

~(i) = a o+a l(i - io)+ a2(i-i o) 2

=

~'(i ) = a l + 2ali -io)

= al

ei':"o ( I,) = 2a2

= 2a2 ';' C~(io)

16 siehc ctwa [Wall 262lT

ao ,;, Co(io) ' r-1)" ( 10 ' ) ea = 2'

7.4

347

Du rat ion und Convexity Damit lautct das Nabcrungspolynom ~(i) 2. Grades fur C(i) in einer Umgebung von io :

C~(i)==

Co(io)+~(io) · (i-io)+{C ~'(io)·(i-io)2

Darau s folgt f ur die Abweiehung dCo der Nahcrung C~(i) vern Origina l Co(io) in einer Umgebung voni o: d.h . mit i - io = , di 00'( ) di + 1 __'_0 . di2 2 Co(io)

Ocr Term

~;::;

ist identiseh mit dcr negative n (modifizienen) Durat ion ( = - MD, siehe (7.1.22»,

CO' ( io)

den Term Co(i ) nennt man auch " Convexity"17 K:

o

Da mit schrelbr sieh die rela tive Vcrandcrung d; des An lcihe- Kurswcrtcs in zwciter Naherung:

o

(7.4.5)

ZIJ.'.ammenfa...send erhalten wir das E rgebnis:

Eine Anleihe habe die aus (7.4 .2) bekan nte zinssatzabhangigc Kursfunk tion Co mit Co(i) =

L" ~ . (l+irt• ,.,

.

Fur den geplantcn Marktzi nssatz io scicn (modifiziene) Durat ion M D und Convexity K wie ublich dcfinicrt :

(7.>.22)

MD =

(7.4.6 )

K

_ CO(io) Co(io) CO'(io)

Co(io)

(modifisiene Duration)

(Convexity)

Da nn ist be i einer Zinssatziindcrung di - in q uadratischer Naberung die relat ive (prozentuale) Kurssn dcrung dCo/C o gcgcbcn durch

(7.4.7)

17 Der Name "Convexity" odcr .Konvcxltat" rubrt dabcr, dass bci Einbczie hung der zv..etten Ableitung das Krum mungsvcrhaltcn (hier; konvexe Krilmmung ) dcr Funktion Co(i) bcrucksichtigtwird , siche z.B. [Tie3] 6 -20.

348

7

Aspekte dcr Risikoanalysc - cas Duration-Konzept

Die D uration 0 bzw. MD lasst sich ubcr Dcf. 7.1.16 sukzcssive (bzw. mit (7.2.8) kompakt) ermitteln, Zu r Ik~hnung der Convexity K (siehl? (7.4.6» gehcn wir entsprcehend vor: dC

"

di

k.. l

~ = - ~ II; -z , -(1 +ir

Nach(7.1.18) gilt fur die erstc Ableitu ng CUi):

'·-l

Darausergibt sich die zweite Ablcitung CO(i) zu: d2C

n

-:2: ' j;"L;. .(- tj;-t ) .(1+ir

_ ._ 0 =

(7.4 .8)

dl Z

\;- 1

Nach Divisionvon (7.4.8) dUTCh

.-

2

Co crhaltcn wir(7.4.6), d.h . eli gilt fur die Convexity K: "

z, ,.,

K =

(7.4 .9)

l

(1.+ lj·21: · (I+i)- I.

(ConI'eXUy) .

" l1: ( I+i)-t. O +i )2 ':L

,.,

Die konkrctc Berechnung der Convexity K soli fur die Daten vo n Beispicl7.4.4 erfolge n. (n ::: lOJa hre, Z k = Z = 8, Z" = 100 + Z = 108 , j = 8% d.h. q = 1,08)

(7.4.10)

K =

g.( \ . 2 .108 - 1 + 2 · 3 - t 08- 2 + ...+ 19 20 _1,08- 19 ) + 20 ' 21· 108 . 1,08- 20 '

,

1,08 2 (8 ' 1,08 - 1 + 8 · 1,08 - 2 + .. + 8 · 1,08 - 19 + 108 · I ,08 ~20)

146,1258

A nstelle der reichlich langwciligcn sukzcssiven Summcnhildung in (7.4.10) tasst sich im Fallvon endfalligen Kuponanleihen aueh cine - allcrdings komplizierl ausschcndc - kompakte Fonn el fur die Convexity angcbcnlS (2 = Kupon [as ter Kupon nach einem Jahr), n = Restlaufzeit, C" = Rucknahm ekurs, q =I +i = Marktzinsf ak tor) :

K = - - --

(7.4 .11)

-

--.,.- - - -qn _1 I

{Z -

q- f

' C ) n

--

q''

Beispiel 7.4, 12: (Fonseu uog von Beispiel 7.4.4, siehe auchAbb. 7.4.13) Dic gegebcne Kuponanlcihe (n = 20 Jahrr, 2 = 8, CII = 100 , i o = 8% d.h. q = I +i o = 1,08) bcsitzt fur den im Planungszeitpunkt gcltendcn Marktzinssalz io = 8% p.a. folgende Kcr mgrc uen (bezogen aufeinen Nominalwen von 100€):

-

qn _1

I

Kurs:

Co = (Z 'q:I + Cn) · qn = lOO €:

-

Duration:

D

10,6036

-

Co nvexity:

K

146,1258

Dann gilt fur die relative Kursandcrung dCu = _ MD -d i + Co

~2 K · (dii

MD = D/ l ,08 = 9,8 181 (ermitleltmi/ (7.4.11) bzw. (7.4.10)) (ermitleltmi/(7.2.9))

~

d~ bci Anderungdes Marktzinscs urn di

(siehe 7.4. 7) :

= -9,8 181 ·di + 73,0629 . (di)2

18 Die Hcrteitun g erfolgt am bestcn ubcr die Definition K = C~ I Co , indcm man Cu(q) - gegcbcn durch (7.2.4) zwe imal nach q ableitet lind anschliebend durch Co dividicrt.

7.4

Duration und Convexity

349

Wahlen wir wicdcr als Zm ssatzandcrung di = 1 %~ Pun kt = 0,Q1 , so folgt:

de

CoO= -0,098 181 + 0,00730629 = -0,G908 7 = -9,087%,

so dass sich tiber diose Nahcrung ein neuer Kurs von 100 ' (1 - 0,09087)

=::

90,9 1 € crgibt.

Dcr exakte KUTS Co(I,09 ) bei And crungdes Zinssat zcs von 8% auf 9% bc trag1 90,87 € . Sornit bcsitzt die zuletzt dur chgcfu hrtc Nahcru ng cinen Fchlcr von 0,04% (gegenuber 0,8 % beiausschliejJlicher Naherung durch die Duration, siehe Beispiel 7.4.4) . Dcr prozc ntuale Fehler bci zusatz hc her Beriick sichtigungder Co nvexity hat also (in unserem Beispiel) urn ctwa 95% abgcnommcn. Die entsprcchcndcn Werl e bei di = - 0,Q1 (d.h. Absinken des Maraz insniveaus von 8% auf 7%)

lauren:

retauverFehler

Neu er Kurs bci ausehliel3lieherVcrwcndung dcr Duration: Neu er Kurs bei Verwendungvon Du ration und Co nvexity:

109,82 lIO,55

-0 ,70% -0,04%

Neu er Kurs (ewkl)

110,59

(d.h. a"hnliche

C o(1,07 )

Verbesserungwie eben)

A bb. 7.4.13 zc tgt d ie Verbesserung der App roximat ion dur ch die z usatzliche Beriieksiehtigung des Kriimmungsverhaltens (iiber die Convexity) der Kurs-Funktion rcch t deutlich , und zwar insbesonde re dann, wenn sich der Z inssatz mcrk lieh vom A usgangs- Zinssa tzes il) = 8% unterschetdct:

Oooaranscne Approximahan des Wertpapierkurses Colil durch OurohanMO und Convexity K

dCo 1 2 - - = - M O· di + ; K' fdil

c,

f OO

20

Morktzins

Bemerlamg 7.4.14: Die Uberlegungen im Zusammenhung mit Duration und Convexity larsen sichauf den Fall ubenragen, in dem - wie es insbesonderein den USA ublich iu - die Kupons halbjiihrlichgezahlt werden. Dazu ist lediglichder passende Halbjahreszinssatz (koni orm (I CMA) oderrelativ (US) zum l ahreszinssatz] bei halbjiihrlichen Zinseszinsen zu ermiuein und die Laufzeuentsprechend in Halbjahren zu zehien - sanuliche Formeln und Berrchnungsvorschrift enlassen sich damit unveriindenutemenmes.

351

8 Exkurs: Derivative Finanzinstrumente - Futures und Optionen Charaktcristisch furdie ~ ktasstsche" finanzmathematische Behandlungzukunttigcr Zahlungsstriime (vgl, Kap . I his 6 sowie Kap. 9 dieser Einfuhnmg) ist, dass sowohl Anzahl, H ohe als auch Fristigkcit dcr vorkommcndcn Zahlungcn als sichc rc oder (wie im Fall von Zinssatzen} ars im Zeitablauf (oderzumindestin gewissen Zeitinlervallen) konstantc Daten vorausgesctzt werden. Schon im vorausgegangencn Kap. 7 (Duration) hatt en wir uns demgcgcniibcr mil der Fragc bcschaftigt, ob und auf welche Weise sich das Risiko zukiinftigcr Zins linderu ngen auswirkcn kann auf den Markt wcrt /Kurs /vcrm ogcnscndwcrt fcstverzinsfichcr Wertpapicre und wic diese Auswirkungcn zu bcurtcilcn,

zu analysicrcn und mogtichcrwese zu e1iminieren sind. A uch in dicscm Kapite1 wollen wir zc igen, dass sich die Bcwcrtung zukiinftigcr Zahlungcn/ Risiken und damit das finanzrnathcmatischc Instrumentarium kcineswegs auf die Behandlu ng sichcrcr Zahlungsstrome und im Zcitab lauf konstante Zinssatzc beschrankt, sondcm gcradc die Unsicherheit zukiinftiger Entwicklungen die entscheidendc Rolle splelen: So gibt es etwa Im Bereic h des Borscntc munhandels sou langerer Zeit cine groBcAnzahl von Varian ten von TermingeschaJ ten ("derivative" Finanzinstrumemewiez.B. Optionen; Futures...) , die zukunftige Erwartungen von Kurs- odor Prcisentwicklungcn bcrucksicbttgcn sollen, finanzielle Posltlonen im Zcitablauf absich cm sollcn odcr aue h nur schlicht zu Spckula tionszwccken rdcr zur Erz iclung ernes.Pree Lun ch" (d.h. eines risikolosenArbitrage-Gewinns I ) benutzt werden konnen. A llcrdings wird das mil der Einbezichung unsichcrcr ErwartungcnJZahiungsstr6m e verbundene ma lhematlsch e Instrumentaoum wcscntlich komplexer uls bishcr, so dass sich cine ticfgchende und snc ngc Bchandl ung im Rah men diescr E infiihrung verbietet . So so li J enn auch derfolgcnd e Exkurs iiber derivative Finanzinstrumente (TenningeschiiftelFutureslOptionen) hauptsachhch dazu diencn, e mGe fillJ.l dafur zu weck en, was auf dem Fcld rnodern er Ilnanzmath eme nscher Verfahren an 1\I000iehkeilen stcckt, urn auch unslcbcre zukunftigc Zahlungsstromc in den Griff zu bekommcn. Die - insbesonde re cnglisehspraehigc - Litcrat ur iiber Opticncn, Fut ures & Co . ist so wnfangrcieh, dass fur jcden Leser vtelfalngc M6gliehkcit en vorhandcn sind, stch vernerend mit modem cn H nanzinstrurnenten und dc ndazu erforde rhchen finanzmalhematischcn Mcthoden zu vertra ut zu mae hen 2.

Untcr Arbitrage versem man lias Ausnutzen von Prcisunterschieden dessclbcn Gules an vcrschicdcncnMarkten (z.8. Devisenm4rkte) zur ErzielungcinessofortigenrisikolosenGewinns. 2 Ais (weilcrfiihrcndc) Basishteratu r kommen 7_8. in Frage [Ave], [GOnJ, [Hull ), [HuI2), [Jar], (Ncl], [Pri], [5tH], [StU), [Usz], (Wil l j, [WiI2j.

8

352

8.1

Exku rs: Derivat ive Finanzinstrumcn te - Futures und O ptioncn

Tenningeschiifte: Futures und Option en - ein Uberblick

Unter den vau ven Fleanal nst rumenten [derivative securities) odcr Den veren verstcb t man (kunstliche) Hn anz-Instrumentc, die an ande re Finanzproduktc gcko ppclt sind, deren Wert somit vom Wert andcrcr sog. Bestswerte (underlayings) ab hangt.

Aus dcr Viclfalt denvativcr Flnanz-Instrumcntc wollen wir hicrci nige Aspektc dcrwichtigstcn oorscngiingigcn Fo rmcn, ndmhch Futures und Optionen betrachtc n. Sowohl bc i Futures 3 als auch bc i Optio nen handelt es sich urn sag. Tennin geschlifte, d.h. zwischen vertregsabsc htuss und Vcrtragserfiillung licgt cine (liingere) Zeitspa nne (im Gegmsatz zu Kossageschiif ten). G rundsatzlic h sind dcrartige Tcrmm ge schafte auf bcliebige standaTdma13i ~,'e "u nderlayings ~ dcn kbar (z.B. Warentrrmingeschaf te, Drvisentermingeschaf te, Edrlme talltenningrschafte, Wertpap iertermingeschaf te, ...) . Ebcnso dcnkbar sind allerd ings auch exotische Termfngcschaftc, d ie beretts in die Nahe von Wett geschaftcn zu rucken sind (wiez.B. Geschiifte aufzukunftigr Preise von Schlachtvirh oder die Schneemenge um Weihnachten in ausgesuchten Winterspongebieten) . Wir wollen uns in dies er Einfuhru ng aussc hhctqich m it Wertpapier-Tenningesc hiiften (Financial Futures, Interest Futures, Financial Optio ns, Op tions on Stocks) bcsehaftigcn. Futures: (Financial) Futures sind (ebenso wie allgemeine Forwards) unbedingte T ermin geschafte (Forwards) (Fixgrschafte): Bctdc Vcrtrags parreien (Kaufer bzw. Verkauf er eines Future) gchen die uobedingtc Verp flichtung ein, am (zukilnftigen) Falligkeitstag den zugrunde liegenden Ba\il>wert (etwa eine Aktir oder ein[estvenzinstiches Wertpapirr) zu kau fen (abwnehmen) bzw. zu vcrkaufen (zu liefem) und de n im vora us bci Vertragsabsch luss festgelegten Kaufprcis (Basispreis, exercise price) zu bczahlcn bzw. den Verkaufspreis anz unehme n. Die Pos ition des Kauters cines Futures wird als " lo ng position", die des v erkaurcrs cines Future als "short position" bezeiehnet. Op tione n:

Demgcgcnubcr erM lt der Kaufer cincr (financial) Option das Recht (nicht aber die Verpf/ich tung), den zugrunde liegemlcn Baslsw ert (etwa ein Rentenp apier oder eine Aktie] zum (oder bis zum ) Falligkeitsrcrmin zum vorhcr Iixierten Preis (Basispreis, strike price, Aus ubungspreis, exercise price) zu kaufen - "Long Call" (oder zu verkaufen - " Lo ng Pill") . FOr dieses Recht hat der Kaufer einen Preis, die sog. O plionsp rnmie (den OptWnspreis) an dcr verkautcr zu zahlcn. Entsprechend hat dcr Veriiliufer (Sti/lhalter) dcr Op tion die Verpfliehtung, im Fall dcr A usObung de r O ption (d.h. auf Verlangen des Ka uf as der Option). den zugrun de liegcnden Ba~i"wert (etwa die Aktie) zum vo rhcr fixicrt cn A usc bungspreis zu Iiefem - "short Call" (bzw. anzukaufen - " Shan PIIt") . Fur das E ingchen dtcsc r Verpfli chtun g crbalt cr vom Kaufer der O ption als Gcgenlci stung d ie gcna nntc O ptionspramie. w ahrend also der Kaufer ciner Option (er befiOOrl sich in der sag. " long-p osition" ) das Wahlrccht bcsitzt, die O ption auszuubc n odor vc rfallen zu lassen , lst der Ver kaufcr der Option (er brfin det sich in der sog. "shon -position ") nach Konrrekt-Abschluss oh ne eigenen Ges ta ltungss pielrawn, er ist vielmchr an die a usstchcndc Entscheidung des O ptionsKautcrs gcbunden.

3 Futures babcn slch aus dcm ursprunglich .klassiscbcn" Termmgcscban - Forward-Geschaft gellaJUlI - entwickelt. wanrcod Forward-Gcscbafte kau m belrsenmJillig rcglcmenticn sind und individuell rn' ischen den Vertragspa rtcicll ve reinbart sci n kI:Il1Ilc n, h(uulelt cs sich bei Futur esunl fungible Forw ards, d.h standa rdisierte Term ingescMfte, die an Spc;j al- Belrscn gehandelt werden, siehect wa [Usz) I 92ff, (Hul l J26ff.

8.2

Forwards/ Futures; Te rminkauf und -verkauf

353

Bemerkung 8.1.1: Optionen, die nur zu einem fixienrn zukUnftigen Datum ausgeuht werden konnen, bezeichnet man als "europiiische«Optionen. Konnen die Optionen hingegen zu hefiebigen Zeitpunkten innerhalb desFiillig~ keitszeuraums ausgeubt werdcn, sprichtman von " amerikanischen« Optionen. Wir wollen uns im Rahmen dieserEinfiihrungausschlieplich auf europiiische Optionen beschriinken, die in Durstellung und Bewenung einfacherzu handhabensind als amaikanische Oplionen. Ailerdings zeigt sich z.B. fiir einen amaikanischen Cail, dass (falls die UnderJaying-Aktie wdhrendder Optionslaufzeit dividendenlos bldbt) seine vorzeitige Ausiibung stets unvorteilhaft ist und sein Wen aaher mit dem Wert einereuropaischenCall-Option ubereinstimmt, siehe etwa[Hull} 302ffoder [GUn} 13[. Nac h dem Vorhergchenden gibr es Iur cincn Investor in Fut ures (oder Forwards] zwel und In Opuonen vier Grundgeschiift<;arten (wirbeschriinken uns hieraufAktien oderAnteinen als underJayings): Futures/Forwards:

Tcrmink auf von A ktien ("Aktie long ") Terminvcrkaut von Ak tien ("Aktie short ")

Optio nen:

Kauf ciner Kaufoptl on auf Akticn ("Long CaU ") Verka uf ciner Kaufopti on auf A ktien ("Short Call") Kauf ciner Vcrkautsoprion auf Akucn ("Long Put ") Verkauf einer V erkautsopt ton auf Ak tien ("Short Put ")

Bemerkung 8.1.2: Trolz Erlauurung k6nnendieseBegrif f eaufden ersten Blick verwarendwaken. Einen derartigen Verwirrungseffekt houe wohlauch Serge Demolicrc ea Sinn, als eraas[olgendeBonmot fo rmuliate: " Welcher L aiewild wohlje vastehen; dass derVerkiiuferdner Verkaufsoption bei Ausiibung der Verkaufsoption dUTCh den Kiiufer der Verkaufsoption der Kiiuferdervom Kiiuferder Verkaufsoplion verkauften Wenpapiereisl?" Dem Leser wird anheim gesteiit, sicn diesen Satz geniisslich auf aer Zunge zergehen zu lassen und sicn seibst die Frage zu beantwonen, inwieweit er diesbezuglidi noch ats Lair zu gelten hal oder nidu.

In allen betracbtetcn Fallen is! der E rfolg einer Termin-T ransaktion im wcsentli chcn abha ngig von der Kurs-Jj'rcls-Entwickt ung des zugrundcliegcnden Basiswert es, in un scrcm Fall dem zukunftigcn Kurs de r zugrundcl legcndcn Aktic. U rn die Gru nJclemente von meglichen - auch kombinlc rten - A nlagcstrategien verdeu thc hen zu ko nnen, bc n6tigc n wir zunachst einen crsten Obcrblick fiber die wescmlichen Eigenschaften dcr o.a. scchsGrundgeschafte (siehe die [olgenden KP.p. 8.2 und KP.p. 8.3). WiT worden dabei auf etwaige T ransaktionskostcn beim A bschluss JeT Kontrakt e nicht einge hcn, urn die Gru ndidcen der Termin- In slrumcnlc nicht unnotig zu verwassern .

8.2

Forwards/Fut ures: Tenninkauf und -verkauf

In einem Porward-Kontrakt (und eoenso in einem Futures-Kontrakt] wird vertraglich vereinba rt, cine gcna u spczifizicrte Menge cines dcfinierten Basiswertes (z.B. einerAktie odereiner Devisenpositioni zu cmcm dcfinierten Zeitpunkt und zu einem bc i Vertragsabsehlu ss festgelegten Preis zu kaufen (Long Posiuon] zu verkaufen (Short Position). 1m Gege nsa tz zu Opli onen iSI das E ingehen eines derartigcn Konlra ktes - abgcsehen von hier zu vcrnachHi.ssigc nden Transakti onskoslen - fUr die Parteien kost enfrei.

8

354

Bxkurs: Derivative Finanzi nst rumcn te - Futures und Opti oncn

Beispiel 8.2. 1: (Forward)

Forward-Konrraktc bcziehcn sich haufigaufDcvlscn(Devisentenningeschiifte) . Angcnommen, Kassakurs und Tcnni nkurse (FO/ward-Kurse) fiir den E uro (€) seien - in Relation zum amerikanischcn Dollar ($) - wie fo lgt vorgcgcbcn: Kassakurs

1,0971 £ 1$

e-Monats- T erm ink urs

1,0923 £ 1$ 1,0651 € /$ 1,0501 £ 1$.

t-Monats-Terminkurs 3-Monats-Terminkurs

Dann konntc ctwa cine dcutsche Untcmchmung. die in 3 Monatcn cinen Bcrrag von 4 Millionc n $ zahlcn muss, ihr Wec hselk ursrisiko dadurch e1iminieren, dass sie schon heutc cinen tk ostenloseni Forward-Kontrakt ebcr den Kauf (Long Forward) von 4 Mia $ in 3 Monaten eingeht, wo tur dan n ebcnfalls in 3 Monatcn cin Bet rag von 4.260.400£ ( := 1,0651 ' 4.000.000) zu bczahlcn sind .

Ebcnso ware cs etwa fur cine franzos tschc U ntc rnchm ung moglich, tiber cinen in 6 Monaten zu crwartc nden Eingang von 1.000 .000 $ scho n hem e eincn (kostenlosen) Short-Forward-Kontrakt tiber den Verkauf von I Mio $ in einem halbe n Jahr ftir dann 1.050 .100 £ abz usch liel3cn und so das w ecbscl k ursrtstko abzudcckcn. In heiden Fallen dicn te das Forward-Gcschaft dazu, ein du rch slchcre zukunftige Zahlungsstromc bcrctts vorhandenes (Wechselkurs- ) Risik o abzusichem - man sprieht in dicscm Zusammenhang aueh von einer ~ Hedgi ng"-St rategie der betroffcnen Unternehmungen. Allerdings: D urch dlese A rt dcr Sicherungsstrarcgic ist kcineswcgs garanticrt, dass das Endergcbnis fOr die betroffene Unte mehmu ng gilnstiger ausfal lt als ohnc H edging! Wenn sieh etwa im Fall dcr deutschen Untcmchmung naeh 3 Monaten ein ak tueller Wechselkurs von 1,0400 £ 1$ cingcst ellt harte, so belicfe sich - oh ne H edging - der zu zah1ende Betragauf 4.160.000 £ , tage also urn 100.400 £ gansnger als bei Hed ging. Aber cbcnso ist cin zukuntngcr Wcc hscl kurs in H ohe von 1,0900 £ /S dcn kbar, der zuAusgaben von 4.360.000 £ gefiihrt harte und somit gcgeniiber dcr H edging-Strategic cincn Verlust von 99 .600 £ bcd eutet hattc. Ma n sieht , wie ein auf Spcku lation bcda ehter Marktt cilnchmer durch E ingehcn cines (bei Anschluss kustenlosenl] Forward- Kontraktes je naeh zukiinftiger Entwi ck lung des Underlaying sehr groJ3e Ocwionc cintahren, aber aue h be liebig hohe Verlu stc rcahstcrc n konnte. Ebenso wie Forwards gchOren Futures zu den unbcdin gten Termingescltiiften (Fixgeschiiften) , bei denen im Voraus per Futurcs- Kontrakt vereinbart wird, welcher Basiswert (z.B. wekhe Wiihmng {Devisen-Futures), wdcne Aktie/Anleihe (Zins-Fututes), wekner Index (Akljenindex-Futures)) 4 zu wclchcm (zukUnftigen) Zeitpunkt und zu welehem Preis (Baslspreis, Ftuurepreis, L ieferpreis) gckauft oderv erkauft worden soll.

D ie wescntlichen Unterschiede von Futures gegeniiber Forwards lassen sich wic folgt charaktcrtstcrcn: a) Futures- Kont raktc sind standard isiert; (genau definiene Baslswen e, spezifuime Kantraktvotumina (z.B. 250.000£ pro Komrakt), defi -

menePreiserminlung usw.)

b) Futurcs- Kont rakte sind fungibel. wcrdenan organisicrtcn Borson (z.B. EUREX, LlFFE, CBOT 5 ) gchand clt ; 4 Ebenso mc glich sind Ware ntermi ngcschaftc (Commodity Futures), diesichaufdc nzukii nftigenKaufbzw. Verkauf rcalwinschaftlichcrObjekt e (wie etwa Weizen, Schladuvieh oder A ltpapier) zu bereits heotcverembartcn Prcisen bezichc n Handclsort in Deutschland is!die WarentenninbOrse (WTB) in Han nover.

5 EUREX = F.u ropean Exchange Organisation; LIFFE CBOT = Chicago Board of Trade

=

London Intem aticnal Financial Futures Exchange);

8 .2

Forwards/ Fut ures: Termink auf und -ve rkauf

355

c) Dcr Fut ures-H andel wird Ober eine zwischengcsehalte te Clcanngsteuc abgcsichcrt, Gcwi nne und vertustc der Kontraktparteicn, die aus den allfalligcn Vcrandcru ngcn der Baslswet-Kursc entstchcn, worden W.g1 ieh abgcrcchnct. von den Kontraktpart cien werden dazu (zur Absichenm g der Positionen) E insehuss-/Naeh sch uss-Betrage (notfalls taglich) gcford ert 6; d) A nde rs als be i Forward- Kontrakten fuhren Futures-Kon trak te in den meisten Fallen nicht zu Licferung oder Abnahme des zugru nde hegen den Basiswertes, sondern werden durch ein entsprechcndcs Gegengeschatr - tibe r d ie Clcaringstelle jederzeit moglich - vorzeitig "g1attgeslellt" ("ous der Well geschafft") . D ie M6g1 ichkeit de r problem losen Glattstcll ung von Positionen hat wcsentlieh zur A tt raktivitat von Futur es beigctragc n u nd fuhrte bereits kurzer Zeit nae h ihrer Einftihrung zu hohen H andclsvolumma,

Beispiel 8.2.2:

(FUIures-Spezifikationen)

Al s Beispiel sci der a n der EU REX gehandelte Euro-BUN D-Put ure bctrac htct. Dabci hand elt es sic h urn eine (fiktive) langfristige Schuldvcrsch reib ung des Bundcs mit 8,5- bis to,5-jahrigcr Laufzeit und ciner nominellen Verainsung von 6% p.a. (6- Prozent- Koupo n) . Weitere Kon traktstandards: Kont rakt grone nominell 100 .000 €; Lieferverpfllch tungen aus Short-Pos ltioncn konncn durch Bundcsanlcihcn mit ahnlichcn Merkmalcn erfOllt werden; Kurs-Notierung in Prozent vom Nom inalwert mit zwc i dczimalcn Nachkommas tellen, z.B. 92,64%; max imale La ufzeit 9 Monate sowie wcit crc Spczifi kat ioncn wic z.B. H andels- und Liefcrzei tpunktc, Sc hlussabrechnungs prelse, minimale Preisvcrandcrung (" Tick ") , Sicherheitsleistungcn (" Margins "), s iehe etwa [E ll] 84f. Futures eigne n stch - ebcnso wie Forwards, stchc Beispiel 8 .2.1 - zum Absichem (hedgen) vo n vorhandenen Positio nen, zurn Zwcc k dcr Spckulation oder zurn Ausnutzcn untersc bledlic her Preise uessenx n G utes an versch icdenen Marktcn (A rbitrage) 7. D ureh die Tatsache, dass die Clearingst elle cincrscits die ano nymcn H andelspartner zusamme nbringt (" Matching") und z um anderen d ie offcnen Posltioncn siand ig ubcrwacbt (und notfaiis eigenm iichtig gluunelh, siehe etwa [Usz] 204 ), cntfallt fUr die am Futuresmarkt teiln ehm endcn H andle r > andcrs ats bei Forward-Ko ntrakten - prak tiseh das Erfiillungsrisiko .

Das folgcnde Beispiel zeigt - auch graphisch - d ie Posiuoncn und moglichen Konseq uenzen beim fixen Termmgcschan: Beispiel 8.2,3:

[Kauf- und Verkau(~positionen in Aktien)

Wir betrachten cin idcalisi crtes Beispiel von Ak tien-Tenn inkau f (Long Position in A ktien) und Akncn-Tcrrnmverkauf (Short Position in A kt ien) zweier H a ndler, Mr. Long und Mr. Short. 1m Zeit punkt des Kont raktab schlusscs (to) nott crc die Aktie zum Kurs So :: 100 (€). Mr . Lo ng verpfliehtet sich im Zeitpunkt to. d ie Akti e im spateren Zeitpunkr t ) zum Basisprcis (Exercise Price) X :: I to zu kaufen (d.h. die Aktie ahz unehm en und den Kaufpreis 110 € zu bezahlen) , wahrend Mr. Short in to cinen Kon trakt eingc ht, in dem er sieh verpflichtc t, in I, die Ak nc zum Basisprcls X = 110 zu verka ufen (d.h. die A k tie zu lief em una den Va k auf spreis 110 € anzu nehmen). J e nachdem, welcher A ktienkur s S (stock price) sich im sparercn Zeitpunkt t l der A ustibung eins tellt, variicrt
6 siehe etwa [Hull] 33ff, [Usz] 200ff

7 Ein Prcis-Unglcichgcwicht flir dassctbe Gut an verschiedenenMarktcn fiihrt per Arbitrage 7:lI verserkterNachfragc am preiswerteren Markl und ZlI verstark tem Angcbolam tcurcrcn Markt mit dem Effekt, dass der nicdrigere Preis steig! ulld der hOhcrePreis sinkt- Albitrage ftihrt somit zu ihrcreigellCn ~Sclbstve micht u ngU unci ldig! dazu bci, dass csfurcin Gut i. a. nurei neneinzigen Preis gibt.

8

356

Bxkurs: Derivative Ftnanzinstrumentc - Futures und Optioncn

I IG/

IGI

Gewinn

Gewinn

G= G(5J= 5 - 110

G>O ~,!

at = 150-110",40

50

o +--t--V--f---C(X)

G
'50 f5zJ

151

Aktienkurs in 1, (Tog

G= Gf5J= 110- 5 ShorlAktie

G>O

l ong Aktie

0,=11

o

",.60

(52'

150

110 (XI

~,!

G
Gt

X{= 1fOl Termin- Verkaufspreis

Abb. 8 2.40 - AkOe/eng

Aktienkurs in f,

rTogder EriO/lung)

, ~ IS/

50

derEJ10IIungJ

X (= 110); Termin-Koufpreis

I50

= 110-150 = ~40

Abb.8.2.4b - Akfieshort

Wenn ctwa am Ausnbu ngstag II die Akt te zu 51 = 50 nonc rt , so fotgt:

Mr. Long muss laul Kontrakt die Aktic zum Preis von 110£ kaufcn, die am Kassamarkt zu 50£ zu haben isl, d.h . fur Mr. Long steut sich em Verlust in Hohe von 60£ ein (Abb. 8.2.4a). M r. Short dagegcn kann in I I die Ak tie zu 110£ verkaufcn, die ihn am Mark! nur 50£ gekostct hat, erverbucht somit einen Gcwinn in Hobe von 60£ (Abb . 8.2.4b) .

Wenn dagegcn am Ausubungstag t l die Aktie den Kurs 150 aufweist, ergibt sich folgendcs Bild: Mr. Long kann taut Kontra kt cine Aktie zum Preis von 110£ erwerbcn, die am Kassamarkt zu 150£ notlcrt. Mr. Long kann somit durch unmittelbar anschlieBcnden Verkauf der Aktie zu 150£ am Kassamarkl eincn Gewinn von 40£ erzielen (Abb. 8.2.4a) . Mr. Short dagcgcn muss in t l die Aktic zu 11O € Herem, die ihn am Markt 150€ gckostet hal, er muss somit einen Verlust in Hone von 40£ hinnehmen (Abb. 8.2.4b). Abbildung!U .5 zeigr den soebcn exemplariseh behandelten Fall etlgcmcm:

I IG/

IGI

Gewinn

G>O

o

Gew/nn

G::G{51=5-X

Akfielong 5,

G>O

o 5: Aktienkurs in t 1 (Tag der Erfol/ungJ K Termin-Kaufpreis

Abb. 8.2.5a - Aktie long

G
G= Gf51=X-5

AkfieShort 5, 5.' Aktienkurs int1

(Tag der M{jflungJ

K Termin- Verkaufspreis

Abb. 8,2.5b - Aklie shorl

Jeder Aktienkurs S in I" der groBcr tst (z.B. Sg als der vereinbarte Tenninkurs X, fuhrt in der Long Position zu einem Gewinn und in der Short Position zu eincm v ertust. Ist der Kurs in I, hingcgcn kleiner (z.B. S/) als der AusubungskursX, schlicfst die Long Position mit v erlust, die Short Position mit Gcwinn.

8.2

357

Forwards/Futures: Terminkauf und -vcrkauf

Bemerkung 8.2.6: Durch die vorangegangenen heiden ,,/inken" Abbildungen 8.2.4a und 8.2.5a (Long Position inAktien) wird zugleicn die Situation eines Marktteiinehmers bescnneben, der im Zei/punkt to =: 0 die Aktie zum abgezinsten Terminkurs (d.h. zu X' (l-f i)-T mit i als risikolosem diskreten Zinssatz bzw. zu X ' e-rT mit r als nsikolos em netigen Zinssatz, siehe (2.3.47) oderdie spatere Bemerkung 8.8.8) kauft und in t 1 =: T zum dann akmellen Kurs S verkauft.

Zur Veranscheulichung umemelien wirvereinfuchend, dass aerHandler in to =: 0 uberein Barvermogen von 100 £ verfiigt, das erentwederzum ErwerbderAktie (Kurs in to: 100£) oderouemauv (bei " Unterlassung " des Aktiengeschafts) zum n sikolosen Penoden-Zinssatz von 10%, bezogen auf die Periode zwischen Erwern (to =: 0) und Erfiillung ( t1 =: T) , Periodendauer also T, anlegt s . Es ergeben sich somit im Verkaufszeitpunkt t [ die [olgenden ahernativen Situationen: i) Hat a das A ktiengeschaft unter/assen, so resuttien durchAn/age des Barvermogens zum nsikotosen Zinssatz 10% ein sidures Endvermogen in Hohe von 110 £ ( QX). Das alternative Aktienge-

schuft muss sich also an diesem sicheren Endvermogenswen messentassen. ii) Erwirbt er dagegenf iir seine 100 £ die Aktie in to> so hangt sein Endvermogen de von ab, welchen Kurs 5 die Aktie im Verkaufszeitpunkt tt t esiiu: Falls S > I 10 ( '" X), so erzielt er im Vergleich zur

Umedassensauemanve einen Gewinn in Hohe von S - X(>O), falls dagegen S < no ( =: X), muss er beim Vakauf der Aktie einen Verlust (5 - X < 0) hinnehmen, in vo/ligerUbereinsummungmit Abb. 8.2.4a bzw.Abb. 8.2.5a.

Zum Vergleich folgt hier noch einmal Abb. 8.2.4a (Ge"llinn-lVerlust-Situationen einer Long Position in A ktien bei Terminkauf) sowie die eben diskwiene squ ivatenu Durssellungder Endvermogenswate bei Unterlassung bzw. ahemativ Kauf derAktie in tound Verkauf derAktie in t" sieheAhb 8.2. 7:

IGJ

Gewinn

Endverm6gen

G=Gf5J=5-110 Atfiel ong

G>O

EV2=EV;l5} = 5 Endvermogen bei Aklienkouf in ' 0

200

Verkaufln If

sso

~,I

/

SO

102= 150-1 10=40

o -j---t---Vw..:-f 10

(XI

151

f50

'"

EV, =X= 110

1

X(= 110}: sicheres Endverm6gen bei Unlerlassung

(S;

so 5: Akh'enkvrsin I f

5·Akfienkurs in "

(Tag der f rfDlfung)

X{=110J- Termin-Kaufpreis Abb.8.2.40

02= 150- f 10=40 {>Ol

o

SO 0 ,1

110 (XI

(Tag des Verkaufsl I I f50 200 (5} {S;

Abb.8.2.7

Heide Darstellungen eignensich gleichermapen zur Analyse der unlerschiedlichen Gewinnsuuanonen in Abhiingigkeit des zukiinftigen Akuenkurses S. Gelegentlich kann dieseAnalyse einfacherdurchgefiihn werden, wenn man - wieinAbb. 8.2.7 - ouem ativeEndvermogenssituationen vergleichi. S Man kann zeigen (siehe etwa ]Hul}n/), dassdcr Forwar d-PreisX del' Aktie korrekt, d.h. ohoe Arb itrage-Moglichkeiten, gewahl t ist, wcnn de r Ausubuogsp rcts X (hia : 110)dcmaufgczillSlcnWen dcsAktienkursesSo (hier: 100) imZcitpllnktlodc s Kontraktabschlllsses entspricht. Wcgcn 100 ' 1, 10= 110 ist diese voraussnamg hiererfti lil.

8

358

Exkurs: Derivative Finanzinstrumcnte - Futures und Opticnen

Anfgabe 8.2.8 :

Hu ber will hcute die Moscr-Aktic auf Terrnin (per Forward-Kontrakt) in 3 Mooatcn kaufen. Dcr Tcrmm-Kaufprcis bctragt 129€. der hcuuge Kurs der Moser-Akti e steht bei 120 € . Wahrend dcr niichstcn drei Monate fallen keine Divid erulen an. Der 3-M onats- Ma rktzins bet ragt 4,5%

r.a. (steti-

gerZinssatz, siene Bemerkung 8.8.8) . i) Wic konntc H ube r aus dieser Konstcllati on cin co risikoloscn Gewinn rea lisicrcn? wlchochmuss-

teder Termin-Kaufprcis angescm sein, damit keio " Free Lunch" moglich i5t'! ii) Man bcantworte die Fragen zu I), wenn del Terminkaufpreis 116 € bctragt.

Aufgahe 8.2.9: Kartoffclbaucr H uber hat sich heut e per Venrag verpflicht et , in 3 Monat en 100.000 kg Kartoffe1nzu verkaufen, als Preis wurdc dcr in 3 Monaten herrschende Kartoffclpreis verembart. Ocr hcutigc Kartoffelpreis betragt 0,380€ /kg. de r hcurige 3-Monats-Fut ures-Preis fUr Kartoffeln bettagt 0 ,375 € /kg. Bauer H uber mocht e sich gcgcn fallcnde Kartoffelpreise a bsichem und agiert nun wie folgt tshon -

hedging-Strategie): Er verkauft 3-Mo nats-Fut ures-Kontrakte im Gcsamtumfang von 100.0 00 kg Kartoffcln zum FuturesPreis von 0,375 € /kg. Nach drci Monaten will cr dann dicsc Futures- Positio n durch ein entsprcchendes Gc gcngcschMt glattstellcn, wobei unterstcllt worden kann , dass der Fut ures-P reis in dret Monalen (d.h. im Zeupunkt der Komrakteifii{/ung, somit Restlaufzeit gleich Null) idcntisch mit dem dan n herrschenden Kartoffel-Kassapreis ist. i) A ngcnommcn, nach drci Monatcn licgt dcr Kartoffclp reis bei 0,200 € /kg (also starker Preisver-

fall): welchcn rcsu tne rendcn Preis pro kg Kartoffeln rea lisicrt H ube r dureh die Kombination a us v crtragserfullung und Gtattstenungsgcschaft? ii) Angcnommen, dc r Kartoffclp rcis sci stark gestiegcn und bctrage nac h drei Monaten 0 ,500 € /kg: Welchen resulticrenden Preis pro kg Kartoffcln rcalisiert H uber jetzt? iii) Bcurtcucn Sie jcwcils die Vorteilhaftigkeit/ Unvorteilhaftigkeit von H ube rs Strat egic!

Optioncn: Basisformen

8.3

8.3

359

Optlonen. Basisfonnen

Ebenso wie Forwards und Futu res gchorcn aueh Optionen zu den Termingesch iiften , auerdmgsmit dcm enlsc hcide nde n Unterschied, dass Lci stungcn und Gegcnlcist ungc n bei Optioncnntcht zwangslauflg ausgetauscbt werde n, so nde m dcm KJiufer einer Option cin Wahlrecht zur Ausubungdcr Option eingcriiumt wird : N immt er die O ptio n wahr, so ist allerdings der Verkliufer (Stillhalter) dcr Option verpfllchtet, de n Basis wert (underlying, z.B. eineAktie} zum vercinbarte n Basisprcis X z u llcfcm oder ab zunehmen 9. Wic in de r E inlcitung (Kap. 8. 1) bercns ausgcfuhrt, gibt cs zwel Baslsformen von Optionen:

1) Die Ke ufop uon (CaU) -

gib t dcm lGiufer der Kaufoption [erbefinde/ sich in aer long.cal/.position) das Recht, den Basiswert (z.B. eineAktie} am (zukiinftigen) Fiilligkeitst ermin (z.B. in dreiMona/en) zum vorher vereinbartcn Preis X (exerciseprice, strike price, Basispreis. Ausiibungskurs, z.B. 100€) zu kauten. Fur dtcscs Rec ht, namlich die Ka ufoption ausubcn zu konncn oder nicht, muss de r Opnonskaufer bei Ve rtragsabsc hluss eine n Preis Pc (call price, Optionspreis, Opnonspramie, z.B.10£) bezahlen;

-

verptlichlet de n Verkliufer (Stillha lter) der Kaufoplion {erbefindet sich in der stiort-ce ll-posmon), auf Verlangen des Optionskauters den Basiswert am Fiilligkeitstag zwn Basispreis X zu liefem . FOr d iese Verpllichtung. eventucll auf Verlange n des Opt ion sinhabers den Basiswcrt Helem zu

rnusscn, erbatt dcrStilihalter als Gegen leistung die Opncnsprarme Pc2) Die Verkaufsoption (PuI) -

gibt dcm lGiufe r der Verkaufsoptlon (erbefindet sich in derlong 'pUl'po siJian) das Rech t,den Basiswert (z.B. eine Aktie} am (zukiinftigen) Fa1Jigkeitstenn in (z.B. in drei Mon aten) zwn vorhcrverembarren Pre is X (exerciseprice, strike price, Basispreis, Ausiibungskurs, z.B. 100 € ) zu verkaufen. Fur dieses Rech t , die Vc rkaufsoption ausiiben zu kormcn od er nicht, mus s der O ptio nskaufer bci

Vertragsabschluss eincn Preis J'Ip (put price, Op lionspreis, Oplionspriim ie, z.B. 10€) bezahlen; -

verp flichtet den Verkli ufe r (StUlhalter) der Vcrkautsoption (er befindel sim in der sog. shan-pusposition) , auf Verlangcndes O pt ionskiiufers den Basiswert (z.B. die Aktie] am Falligkeitstagabzunebmen und de n vereinbarten Basisprcis X zu zahl en . Fu r d icse Verpflichtung, cve ntucll auf Vc rlange n des Optionsinbabers de n Basiswert abnehmen zu musscn, crhalt dcr Snll hal ter als Gegcnteistung die Opuonspramie (put price) pp.

lnsgesamt gibt es so mit bci Optionsgcschaft en vier mogtiche Basfs-Posiuoncn (long call, short call, long put, short p ut) , siehe naehfo lgendc T abcll c 8.3. 1: Tab. 8.3. 1

Call (Kaufoption)

Put ( Verka ufsoption)

lGiufer (longposition)

- hat Recht, zu kaufen - zahl 1 Call-Pramie Pc (long call)

- hat Recht, zu verka ufe n - zahl t Put-Pramie Pr (long put)

Vel'kliufer (short position)

- hat Pflich t, zu lid em (wenn Kaufer es verlangt) - em ail Call-Pramie Pc (short call)

- hat Pfllcht, abzunchmen (wefUI KiJufer es verlangl)

- erhalt Put-Pramie

pP

(shartput)

9 Wir bctractacn - siebe Bern. 9.1.1 - zunjchst eurcpaiscbeOptio ncn, d.h. Optiorcn, die nur zurn Falligkeitstcrmin

ausgcubt werdcn kenncn. \Vie bisher wird von Transaktions- und sonstigcn Zusatzkcstcnsowie eincr Verzinsung der Opncnspramicn abgeschcn ZurnborslichcnOptionshandcl, z.B. an der EUREX, siehe etwa [StB] 498ff.

8

360 Ikoi.~pi eI 8.3 .2:

Exkurs: Derivative Finanzinstrumcnte - Futures und Op tlonen

(Long Call)

I nvestor C. Long rechnct mit stcigcndcn Kursen und kauft da hcr he ute cine Call-Option (d.h. rim KiJufoprion) , die ihn bcrcchtigt, in 3 Monatcn die AktielOdcr Huber AG zum Basisprcis X ('" 100) € zu kaufen. Der aktucl le (heulige) Kurs der H uber-Ak tic betragt 96 € . FOrlias Kaufrecht bezah lt C. Longeinc Optionspramiel ! in Hohe von p- (= 20) € . l c nac hdcm , wclchcr A kticnk urs S (stock price) sich in drei Monatcn (dem A usubungszeupunk t] ergibt , stelll sich die Situation fur de n Investor C. Long untcrsc ntomch dar: Fall 1) : Ange nommcn, C. Long hal Rec ht behaltcn, der Aktienkurs ist kraftig gcstiegcn und befindct sich bel 150 £ . Long wird also sein Kaufrecht ausubco, d.h . cr kauft d ie A ktie zum vcrc inbartcn Basispreis von 100 € , verkauft dann die Akttc unmittclbar danach am Kassamarkt zu 150 € , realtstcrt also per Saldo - d.h. nach Abzug dcr gczahlten Optionspramie - cinen Gcwin n G in H ohc von G = 150€ - 100€ - 20€ = 30€. Ma n sicht : Am Falligkcitstagfuhrt jeder A ktienkurs S mit S ;>: 120 (" Break-E ven. Point") dur ch Ausiibc n der Kaufoptio n und a nsehlieBcndem Verkauf der Aktieam Kassarnarkt zu cinem (nicht-negativrn) Ges amtgcwinn. Angenommen, dc r Kurs ist -cntgegcn Longs Erwartungcn - gcsunkcn, z.B . auf 50 € am Falligkcitstag. J etzt wird C. Long nicht ausubcn, sondcm die O ption vcrfallen lassen. Denn an demfalls - bci Ausubung dcr O ptio n - wurde er d ieAktiefii r 100 € kaufen, die ihn am dcrzeitigen Kassamarkt nur 50 € kostet. Somit lst seine Opticnspramie von 20 € als Verlust zu buchcn. DerselbeSachvcrhalt stellt sich fiir jedcn A ktienkurs S mil S s: 100 cin: EineAusiibung (d.h. Kauj zu 100 €) ist fur Long unmtcrcssant. Durch Verfall der Kaufoption bctragt dan n sein Gcwinn stets: G = -20 € , d.h . cr erlcid ct einen Verlust in H ohe dcr O puonspramic Pc -

Fall 2):

Fall 3) : Wenn sich ein Kurs 5 mit 100€ < 5 < 120€ ergibt, z.B. 5 = 115, so crlcidct Lo ng ebenfa lls cinen Vcrlusr.da dcr Gcwi nn (kauf rnzu 100, verkaufenzu S = 115 (> 100, aber <120)) nieht die von ihm bczahltc O ptions pramic ( =20) abd eckt. I n jcdcm Fall abcr Ist - bci Ausiibung sein Verlust gcringc r als 20€, da cr am Kassamarkt meh r als 100 € crzten . Wcnn cr dagcgcn die O pt ion vcrfallcn lasst, bcrragt sein v erlust gcnau 20 € . Daher wird C. Longauch jetzt ausObcn. Z usammcnfassend crgibt sich aus dem Vorstehendcn: C . Long wird de n Ca ll immer dann ausubcn, wen n am Fiilligkeitstag II dcr aktuelleAktienkurs S grofter als der vereinbarte Boslsprels X (resuhierender Oewinn = S - X-Pc ) ist undandernfalls die Option verfallc n lassen (Gewinn = - p c < 0) . Die folgcnde Gra phik (Abb . 8.3.3) veransehaul icht den Sachvcrhalt durc h die Darstellung des Gowinns G in Abhiingigkeit vom A ktienkurs 5 am Falligkeitstag;

{GI l Gewinn

G= G/51 =max(5-12Q·· 201

Long Call

G>O

G(50)=-20 =-pc 1= 0pI/alspt_1 (X)

J - 20 falls S ::: 100 ( = x) 0=0(5)= lS -120 falls S >IOO( =X) 1/ 1G(150)= 150-100-20 W = 30

0-t::=:::=:: /7, SIJ

-pc =-20r

= =

100 120

X

= Basispreis G
Gewi nn Gder Lon g- Call-Position in Abhiingigkcit vom A kucnkurs 5 in t l :

ISIJ

Break-

I

1(; /

max {-20 j 5 -120} max i-pc: 5-X- pc}

Even- PoW

5: Akfienkursin f 1 (Au subungs /agJ

Abb. 8.33

10 Auf die Bcruckstchug ung bOrslich standardisierter Mindcst-Komrakt grefen wird hier verzi chtct, um die Grundstrukturc n der Basisgcschaftc besser verdeutlichen ill konren. I I Wir wahlcn die Optionspramien in den Beispiclen hilufig fiktiv so, dass slch einfacbe lahlenwcrtc, leichte Rcchnungen sowie anschauliche Graphiken crgebcn Zur Ermittlung . Jairer" Optionsprcisc sichcKap. 8.8.

8.3

Opttonen: Basisformen

361

Verallgcmeincm wir das lctzte Beispiel, so ergibt sich fur die Long-Call-Position folgende Gewinnsituation am AusObungstag t 1 in AbMngigkeit vom Aktienkurs S in 11 (Abb. 8.3.4); Gcwinn G der Long-Call-Position in Abhangigkcil vom Aktienkurs S in 11: 0 = 0(3) =

I

- Pc ens s s x S-X -Pc fal lsS >X

{GI '

Gewinn

Lonq Col!

d.h.

G = G(S) = max {- Pc; S- X-pC>

(5/ I

I "

Aktienkurs in 11 (AusOwngslag)

Abb,8, 3.4 Man sicht:

Wahrend der Verlust der Long Call Position auf die Hohe der Optionspramie Pc bcscnrankt bleibt, kann - wenn der Akticnku rs S nur genOgend hoch gestiegen isl - ein bcliebig hoher Gewinn eingefahrcn werden. Dabci kann der Investor> andcrs als beim dirckten Akticnkauf- dieses Gcwinnpotential bei gcnugcnd stcigendcn Kurscn bcrcits mit cincm Bruchtcil des Akticnwcrtes (niimlich der OptionspramiePc - man sprichtvon Hebelwirkung oder Leverage-Effekt) rcalisicrcn, allerdings tsr - auch hier anders als beirn direk ten A kticnkauf - auch der komplctte Einsatz verloren, wcnn dcr Aktienkurs nicht odcr nurwenig ansteigt.

Beispiel 8.3.5:

(Soon Call)

Entgegengcsetzt zum Long Call stcllt sfch die Position des Verkiiuf ers ciner Kaufopuo n (Stiflhalter, Short Call Position) dar; Er hal darauf zu warten, ob dcr Kaufer des Call seine Kaufoption ausubt oder nicht. Wird sic ausgcubt (wenn niimlich aktueller Kurs 5 > X (Basiskurs), siehe Bsp. 8.3.3 taw. Abb. 8.3.4) , so muss der Stillhalter zum Basisprcis X cinen Titcllicfcm, fur den er am Markt soeben S (>X) bezahlt hat. Dafur crhalt cr als Gegcntelstung a) die Optionspramte'{sowlcb) den Basispreis X. Damil ist im Fall dcr Ausiibung dcr Call-Option dcr Gewinn desStillhaltersgegcbendurch X + Pc - S und kann dahcr -wcnn der Akttcnkurs S graB gcnug wird - praktisch beliebigcnegative wer te annehmen (unbegrenzses Verlustpotential dershortcallposition). Wird hingcgen die Kaufoplion (falls S S X) nicht ausgcubt, so verblcibt dcm Stillhalter die Opnons-

prarruc PC'

Mil den Daten von Beispiel 8.3.3 {Basiskurs X =1OOE, OptionsprcmiePc = 20E) ergibt sic h: Stcigt dcr Kurs S in t l auf z.B. 150 €, so wird die Kaufoption zu X = 100 € ausgcabt, derStillhalter licfcn cine Akne im Wert von 150 € , erhalt dafOr aber nur 120 € , sein Veriusl bctragt daber 30 € . Fallt dcr Kurs hingegen auf z.B. 50 € , so verfallt die Option, derStillhaltcr rcalisicrt einen Gcwinnin Hohc dcr Optionspramic pc- d.h. 20 € . Sci Kurscn S mit 100€ < S < 120€ wirddie Option ebenfallsausgeObt, der Stillbalter realisiert cinen rcduzicrten Gcwtnnin Hohe von X + Pc-S, d.h. bel z.B. S = 115 € : 0( 115) = 100+2G-115 = 5 €. Insgcsamt ergibt sichfur den Stillhaltereiner Kaufoption (Short-Call-Position) das genauc Spicgclbild der Long-Call-Position; Was der cine gewinnt, verliert der andere und umgckehrt. sichc Abb. 8.3.6: lZ Die Oplionsprfunie bcinhal tct ggf. schon die auf sic entfallenen Anlagczlnsc n

8

362

Bxkurs: Derivative Finanzinstrumcnte - Futures und Optionen

{GJi Gewinn Gewinn G der Short -Call- Position in A bhii ngigkcit vom Akticnku rs S in 11:

G=G(S) =

Pc

1X +P c - S

rans s r x

fal ls S > X

d.h.

I

~?'

Short Call

rc..._ ",.-;;-_ -" ,,20/,' Akhenkurs inf, /201 Pc ;' rAusObun,-,shnj

o

6>0

XtPc

If,/

.pc !/.onqCdI/

'

I

I

<' . _"

1-

{51

(;<0

0=0(5)= min (pc ;X + pc -S} Abb. 8 3.6

Man sieht: Wahrend- bci fallendcn od er stagnierenden Kursen- Jer GewinndcrShort-Ca Il-Position (am Fii lligkeustermin t,) auf die H eb e dc r Opuonsp ramie Pc beschrankt bleibt , tst - wenn dc r Aknenkurs S

gcniigcnd hoch steigt - ein beliebig hohcr v ertust" rer den Stillhalter des Call moglich. Daher sollte

ein Inves tor cine [ungedeckte] Short-Ca ll-Position nur cingehen, wenn er an (/eicht) fallcnde odor allcnfalls stagnicrcnde zukiinftigc Kurse glaubt l 4, mithi n nicht crwa rte t, dass dcr Ca ll ausgcubt wird . Bctra ehtcn wir nun die Situation bel Kauf (»Long") und Verka uf (»Shorl") cin er Verka ufsoption (PuI): Beispiel 8.3.7:

(Lo ng PuI)

Investor P. Long rcc hnct (anders als In vestor C. Long, siehe Beispiel 8.3. 2) mit fallcndcn Kurscn und kau ft dahcr heute cin e Put -Option (d.h. eine Verkauf soption) , die ihn bercchtigt, in 9 Monatcn dic Aktie der Moser AG zum Basispr cis X (= IOO)€ zu verkeuren. Der aktuelle (heutige) Kurs dcr Moser-Aktie bcrragt 95 € . Fur das Verkaufsrechr bezahlt P. Long eine Optionspramic' f in Hohc vo n pp( = 20) €. J e nachdcm, wclcher A ktienkurs S (stock price) sic h in drei Monaten (dem Ausubungszeitpunk i} ergib t, stellt sic h die Sit uation fur dcn Inves tor P. Long untersch icdlic h dar:

Fall 1): A ngcnonuncn, dcr Akticnkurs ist tatsachlich gcfallen und stcht am Ausubungstag bei 65 €. P. Long wird also scin Verkaufsrcch t ausubcn, d.h . er kauft am Kassamarkt die Aktie zum Spot -P reis von 65 € und verkauft sic soglcich zum vereinbarten Basi spr eis von 100 € , realisiert also per Saldo - d.h. nach Abzug der gezahltcn Optionspramic (= 20€) - cincn Gcwinn G in H one von G "" IOO€ - ZO€ - 65€ '" 15 € . Man sieht: Am Falligkeitstagfuhrt jeder Akticnkurs S mit S S 80 € (Break-El'en-Point) durch Ausuben dcr Vcrkaufsoption bc i vor herigem Kauf dcr Aktie am Kassa markt zu einem (nicht-negativen) Gesamtgcwinn. A ngcnomme n, der Kurs ist - entgcgc n Lo ngs Erwartungen - gcsncgcn, z.B . auf 125 € am Falligkeit stag: J etzt wird P. Long nichl ausuben, so ndcm die Option vcrfallc n lassen. Denn andemfalls - bci Au siibung der O ption - wurde cr cine Aktie fur nur 100 € vcrkaufe n, wahrend er am dcrzcitigen Kassamarkt 125 € dafUr erhalten wiirde (oder:die er em am Kassammkt fur 125 € erwemen musste}, Som it iSI ledi glich sein e Optionspramie von 20 € als Verlust zu buchen. Derselbe Sachvcrhal t stem sich fur jcd en Aktienku rs S mit S z 100 ein: E inc A usiibung (d.h. Verkauf zu JOO€) ist fur P. Long unintercssant . Durch Vc rfall dcr Verkaufsoptio n bctragt da nn sein Gc winn stcts: G "" - 20 € , d.h . cr erleidet eincn Vcrlust in H ohe dcr Put-O ptio nspramic ps.

Fall 2):

13 Wcgc n dic scs bobcn Ve rlustrisikos mu ss der Call-Stillhalte r - sofem er die evtl. zu liefernd en Akticn nicht im eigenc n Bestand hat - Sicbcrheiten bci der Clearing-Stelle hintcrlcgcn, sichc ctwa IVu l ISIf. 14

wcncrc MOgliehkeiten, von fallcnd en Ku rsen zu profl ticrcn, ist z.B. das Ei ngche n einer Long -Put -Positio n {siebe spatcr) odcr die verzeitigc Glallste llung dcr Shon -Call -Position dureh das Eingellen tincr idcnti scbell Lollg-Ca11Position unter Au snlltzung derOptioll5preis·Differell7~ siebe [Usz j 64,

IS Opti oll5ptiim iCIl wurden in den Beispicle n hiiufig fiktiv so gewiihll, dass sieh einfache Zahle nwerte, leichl e Rcchnungen sowie anse hauliehe Graphik en ergebe n. l llr Ermillillng ~fai rer~ Op lionsp rei se siehc Kap. 8.8 .

8.3

Optio nen: Basisformen

363

Fall 3):

Wenn sich am Aus ilbungstag t l cin Kurs 5 mit SO€ <5 < 100 € einst cllt, z.B. 5 = 85, so erleidet P. Long cbcnfalls cinen (gegeniiberFall 2 allerdingr reduzierten] Verlust, da sein Gewinn bci A usiibung des Put (kauf en am Kassamarkt zu 5 = 85, verkaufenzu X = 100) die von ihm bezahlte Options pramie (=20) nur zu eincm Teil abdec kt. Injcdcm Fall aber isl - bet Ausubung sctn Verlust gcringer als die Optionspramie 20 €, da cr am Kassama rkt weniger als 100 € fur cine Ak tic bezah lt, die er zu 100 € verkaufcn kann. erz ielt. Lasst er dagcge n die Option verfallen, bctragt sein Veriusl genau 20 € . Daher wird P. Long auc h jctz t aus ubcn.

Z usammenfassend ergibt sich aus dem Vorstehenden: P. Lo ng wird de n Put immer da nn ausuben, wenn am Rl.1I igkeitstag t l der akt uelleAktienkurs 5 kleiner als der vereinbarte Baslspreis X (re~'ultie renderGewinn = X - PP-5) ist und andernfalls die Option verfallen lassen (Gewinn = - pp < 0). D ie folgende G raphik (Abb. 8.3.8) vcranschaulic ht den allgemeinen Sachverhalt dureh die Da rstellung des Gcwin ns G in Abhangig keit vomAktienkurs S am F:illigkeitstag:

Gcwi nn G dcr Lo ng-Put- Position in Ab hangigkeit Yom A ktienku rs 5 in t l :

G = G(S) =

j

X - pp - S

- PP

ens s ex falls 5 e x

fGI ' Gewinn

long Put Akfienkurs in 11

d.h. G = G(S) = max {X - pP- S ; - pp)

(AusOwngslagJ I 1(51

Abb.8.3.8 Man sieht: Dcr Inhabe r einer Long- Put- Positio n (d.h. Kiiufer riner Verkaufsoption) hofft auf mogtichst stark fallende Kurse: Tritt dicse r Fall ein, kann er sich entsprechend billig am Kassamarkt mit den A kticn eindec ken, d ie er dan n zum hohcren Basisp reis X verkaufcn kann. Insbesondere kann ein Lo ng Pu t auch dazu dienen, ein bcstehendes A ktienportefeui1le gegen Kursverluste abzuslchem und/od er den Effe kt auszunutzen, dass der durch einen Long Put erst sparer rca lisierte A ktlengewinn auch erst spare r ode r ubcrhau pt nicht (Spekulatwnsfrist!) vcrsteuert werde n muss. w abrcnd der maximale vertust bcim Long-P ut auf die Opnonsprarmc Pe beschran kt ist (falls der Investor bei steigenden Kursen die Option verfallen lasst}, sind die Gew innmoglichkctte n hoh cr, allcrd ings nicht unbcgrenzt (derMaximalgewinn stellt sich ein bei Wertlosigkeit derAktie (5 = 0) mit X - Pp, im obigen Beispiel: 80€ , siene Abb. 8.3.8).

Beispiel 8.3.9:

(5OOrt P14)

Die Posit ion des ve rkaufcrs (Stillhallers) cinc r Verkaufsoption [Shon -Put-Posinon] ist wicdcrum entgcgcngcsetzt zu r Long- Put- Position. Der Stillhalter muss abwarten, ob der Kaufer des Put seine Verkaufsop tion ausubt oder nieht. Wird steausgcebt (wenn namlidi im Ausubungszeitpunkt gilt: aksuetlerKurs S <X (Basiskurs), siehe Bsp. 8.3.7 bzw. Abb. 8.3.8) , so muss der 5t illhalter zum Bastsprets X eincn T ite! kaufen, fur den er am Kassamark t nur S «XI zu zahlen bane bzw. die er am Kassarnarkt nur zu S. d.h. mil Verlust wicdcr verkaufen kann.

8

364

Exkurs: Derivative Finanzinstrumentc - Futures und Opt ionen

Ais Gcgcn lcistung fur die Hingabc des Ausubungsprels es X cr balt der Pu t-Stillhalter a)dic O ptionspramie l6 sowie b) cine Aktie im Wert S ( "" Spotpreis in t 1)' fu r die e r bci Ve rkauf am Kas samarkr den Bctrag S erban. Damit iSI im Fall der Ausiibung der Put-Option der Gewinndes Stillhalters gcgebcn

durc h S + Pr- X und kann dahcr - wennder Aktienkurs S klein gcnug wird (Minimum: S = 0) <stark

ncgativwerden (Minimum:p - X) . W ird hingc gcn die Vcrk aufsop tion (falls S ~ X) nicht ausgcubt, so vcrblcib t dcm Put-Stillhalter die

Opt ionspramic pp. Mit den Daten von Bcispicl 8 .3.7 (Basiskurs X = lOO €, Optionspriimie Pp = 20£) ergibt sich:

Fallt dcr KuTS S in I, auf z.B. 70 €, so wird die v cskaufsoption zu X = 100 € ausgeubt, dcrStillhaher muss d ie Ak tie zum Preis von X '" 100 € ab nehme n, erz ielt abcr am Kassamarkt nur den aktuelle n Ku rs, namlich 70 € defur. Zusatzltc h hat er die Optio nspramie (20€ ) erhaltcn, so das s sic h fur ihn per saldo ein " Gcwinn" in He be von 70 + 20- 100 '" - 10 € , d.h. also ein Verlust eins tellt. Steigt der Kurs hingegcn auf z.B. 130 E, so vcrfallt die Option , dcr St illhaltcr reattstcrt omen Gcwinn in H ohe der Option sprarruc pP, d.h . 20 € . Bei Kurscn S mit 80 € < S < 100 € wird die Opt ion ebcnfalls aus gcubt, der Stillhalter reahsicrt cinen rcd uzicrtcn Gcwin n in H ohc vc n S« Pe" X , d.h. bc i z.B. S '" 95 €: G(95) '" 95 +2 0 -100 '" 15 € . Das Gewinnprofil G(S) kann du rch die nebe nstchcndc Gewinntunktio n beschrieben worden . Graphisch ergibt sich fur die Gewinnsituanon des Sti1lhalters eincr Verkaufsopti on (Short - Pu: - Position) da s Spicgclbild der Long-Put-Positio n: Wa s dc r cine gewin nt, verliert der ande re und umgekebrt. siehe Abb. 8.3 .8 im Vergleich mi t Abb. 8. 3.10:

Gewinn Oder Short-Put -Position In Abhangtgkcn vom A kttcekurs S in t l :

G =G(S) =

S + pp -x Pp

1

fulls S< X fulls S ~ X

d.h . G = G(S) = min {S+ PP- X ; pp }

/GI l Gewinn

Short Put Pp 1201 I· O +--+-L;t-:-~fO--<--+c":;

G
Abb.8.3.10

(5! Aktienlcursin 11 fAusfJbung slag )

1_801 1

Man sieh t : Der Ve rkaufcr cines Pu t erwartct - bczogcn auf den Bastskurs - tctcbt stcigcnde /fallendeoders tagnieronde Kurse, damit er - bci Ve tfall dcr Option - in den Genuss der vottcn oder - be l Aus iibung der Option - in de n Gcnuss der nur leicht reduzicrt en Optionspramie PP kommt. Dies ist sters der Fall, wenn am Au siibu ngslagder aktuelle A kt ienkurs SOber dcm Bastsprcis X liegt odcr nieht weniger als PP unter dcm Basisprcis Hcgt.

16 Die Optionspramie beinhaltet ggf schon die auf sic entjallencn Anlagczinscn.

8.3

Optloncn: Basisformcn

365

Bemerkung8.3.11: Fur die Lage von Kassakurs Seines Wenpapiers im Verhiilmis zum Basiskun (Ausubungskurr) X haten sich Begnff e eingeburgen, diefur denjeweiligen Optionsinhaberden Nuizen andeuten, den siemil einer (sof orfigen) Ausuhungder Option ematen: i) "in the money" (im Geld) heipt eine Option, deren (sof onige)Ausubung f urden Optionskiiufer mit einem Gewinn (im Vergleich zum Verfallder Option) verbum/en ist. Nach dem Vorhergehem/en ist

also ein Call " in the money", wrnn derA klienkurr S tiberdemBa siskurrX liegt(sieheAbb. 8.3.4). Ein Put dagegen isl " in themoney", wenn (vgl. A M. 8.3.8) derA ktienkun S unter dem Basiskun X liegt. Ii) "at themoney" (am Geld) heipteineOption, wennsich beiAusubung weder Gewinn noch Verlust im

Vergleich zum Verfall derOption ergiht, d.h. wenn Aksienkun S und Basiskurs X iibereinstimmen. iii) "out of lllemoney"(aus dem Geld) heipleine Option, wennsich beiAusubungda Option ein Verlust

(im Vergleich zum Verfall der Option) ergibt. Dies bedeutet: Ein Call ist " out of the money", wenn der Ak tienkurs S kleiner isl als der Baslskurs X (Ahh. 8.3.4). Ein Put hingegen ist "out of the money", wenn derAknenkurs S groper alsder BaslskursX tst (Ahh. 8.3.8).

Aurgabe8.3. 12: H uber kauft einen (europiiischen) Put auf die Moscr-Aktic (derzeitiger Kurs 126£ ) , Basispreis 120 € . Put-Pramie 9 € . i) Skizzieren Siedie Gewinnfunktion G(S) am Falligkcitstag derOption inAbbangigkeirvom Aktlenkurs S. Bci welchen Kursen wird die Option ausgciibt? Break-Even- Point? Bei welchen Kursen macbt H uber GewinnIVe rlust? Maxirnalgcwmn (Huhe und Kurs)? Maximalverlust [Hohe und

Kurs)? ii) Bcamworten Sie Fragc i], wenn H uber cine Kaufoptlon verkauft (Optionspriimie 12€, Basispreis 150€, derzeirigerA klienkurs 141 €).

Aufgabe 8.3. 13: H uber bcschliejk, auf die Moser-Akti e (derzeiriger Kurs 210) aus Kcmpensatfonserwagungc n heraus sowohl einen Call als auch einen Put zu kaufen (beideOptionen mit identischerResllaufzeit). Ocr Call (Basispreis 225 €) koslet 15 €, dcr Put (Basispreis 200£) kostet 20 € . Ermittcln Sic rcchnerisch und graphisch die Gewinnfunknon H ubers am Verfalltag in Abhangigkcil vom dann aktuellcn Kurs 5 dcr Moser-Akne. Bcurtcilen Sic H ubers Strategic. Aurgabe 8.3.14: Gcgcben sind die folgendcn Euro- Kurse in US$: Kassa-Kurs: Tcrminkurs 90 Tagc: Terminkurs 180 Tage:

0.9 200 $/€ 0.9100 $/ €

0.9000$/€ .

Arbitrage ur H uber sieht sich am Opt ionsmarkt um und entdec kt folgcnde O ptions-Gclcgcnhciten: i) Kaufoption (Call) auf den E uro, Laufzcit 180Tage, Basisprcis 0,8750 $/€, Ptamie: 0,Q2S/ €; ii) Vcrkautsopt ion (Put) auf den E uro, Laufzeit 90 Tagc, Basisprcis O,9250 $ / € , Prfunic O,01 S/€.

Wicso kann Arbitrageu r H uber jet zt "frohlockcn"? Ze igen Sic, wie H uber zu sicheren (risikolQsen) Gcwinncn kommen kann (rechnerisch und graphisch) .

366

8

(G/ ' Gewinn

Exkurs: Derivative Finanzinstrumcnte - Futures uno Optionen

Zusa mmenfassung

Akfie long

Basisformen von Tenningeschiiflcn (Tennink auf-Iverkauf und Optionen}

(5)

Aktie Long {odenAktienposition]

'-----c5c. -A~ knen~ kv';;in I,

o +--/

Gcwinn: Verlust:

{Tag der ErflJlfvngJ

-x l X'

(GJ

Gewinn

AkfieShort

Aktie Short (LeerverkaufoderAktienposilion)

Gewinn:

5.. AkhenkursIn /,

(Tag derErfIJ/lung)

o

kann bclicbiggro6 werden maximal in Hche des Termmkaufpreiscs (bz w. beiAkuenposition: Einstandspreis)

(5)

v erlust:

(GI Gewinn

LongCall

max. in H6he des Einslandsprei-

scs X (bei Wenlosigk eil der A k lie) (" Leerverkau/,,: siehe Fn 18) kann beliebig groa werden (bei Leerverkauf und Glaustetlung bei hohen lum en )

{sieheBeispiel 8.3.2)

(ais Einzelinstrnmem geeignel, sofem mil slarken Kurssleigenmgengerechnel wird) Gcwi nn. verlust:

G
kann bclicbiggrol3 werden hochstens in Hohe der O ptio nspramie

Short Call isiehe Beispiel8.3.5) (aisEinzelinstrument geeignet, sofem mil Ieiduen Kursruckgdngengerechnel wird, allerdings hohes Verluslrisiko) 0<0

{Ol, Gewinn

(G) Gewinn P,

0

X- p

(AusObungslogJ

I

I

ShortPuf X-Pp

i

GtO

X /8a
Abb. 8.3.15 0 1- f)

max. in H ohc der Optio nspramie kann bcliebig grol3 werden

(siehl' Beispiel 8.3.7)

(ais Einzelinstrument geeignel, wenn mit stark f allenden Kursengeredmetwird)

Aklienkursin 1,

-~ X

0 ,0

-P,

Long Put

longPuf

X- Pp

0

Gcw inn; verlust:

1_

(5)

Gewinn:

max. Basisprcis minus Options-

v crfust:

max. in Hohc der O pno nspramic

Short Put

prarme

(siehe 8eiJpieI8.3.9)

(ais Einzetinsuum ent geeignet, wenn mit leichten Kurssteigerungen gerechnet wird) Gewinn: Verlust:

max. in Hohe dcr Optionspramie kann - bci Werttosigkeit der Aktic -ucn Bastspres (minus erhallene Optionspramiei crreichcn.

8.4

Einfaehc Kombinationcn aus Fixgeschaftcn und Optioncn

367

Aufgabe 8.3. 16: Investor Alois H uber hat vor ciniger Zeit 6000 Moscr-A kt icn gekauft. damaligcr Kaufprcis l 50 €. H cutc stcht der Kurs dcr Moscr-Aknc bei 190 € pro A kne .

Huber mochtc semen daraus resulticrcm.lenBuchgewinn (240.000€) nieht verltcren-ancerersens crwarret er in den nachsren 2-3 Monaten noch wcitere Kurssteigerungender Moscr-Akne (so dass ihm heieinem sofon igen Vakauf des Aktienpakets keinenei wei/ere Oewinnchancm verbiieben}. Am Markt worde n folgende Optionen auf dieMoser-Aklie gehandclt (Laufzeitjeweils 3 Monate): (a) Ca ll;

(b) Put:

Basispreis 190 €, Optionspramte7 € pro Aktie; Basispreis 190 €, Optionspramic 5 € pro A ktic,

Wie kc nnte H uber - gcgcn Zahlung einer cntsprecbcnden , Versichcrungspramie" - den groutcn Tcil seines bisbengcn Buchgewinns naeh Ablauf von 3 Monatcn sichem, ohne seine Gcwinnehaneen bei (erwane/) steigcndcn Kursen einzubOJ3cn? (BitlediesmaJmit den Gesamtsummen argumentieren!)

8.4

Einfache Kombination en aus Fixgescha ften und Optionen

Optioncn und (Tennin-) Fixgcschaftc (Forwards, Futures) sptclcn nicht nur fur spck ulativc Zwccke oder fu r A rhitrage ure cine Rolle, sondcm cigncn sich in bcson dcrcr Weise aueh zur Risikobegrenzung und

Abs ieherung von zukO nftigen Postnoncn oder Wertpapier-Portefeuilles gegen zukiinfligeSchwankungcn von Z mssatzcn oder Kursen (n Hedging ", siene etwa [SIB] 536ff) . Dabei ist viclcn Strategicn gcmeinsam, dass die dazu verwendcten Termin-Instrumcntc nieht aus clnzctnen Basisgeschafrcn, sondern aus cincr geetgnctcn Kombinalionmehrerer Ba'iisgeschafte17 bestehen. Da sieh cine aueh nur halbwcgs ersehOpfendc Bchandlungdc r nahezu unbcgrenztvtctfelngenKombinationsstratcgicn im Rahmen dieser Einfiihrung verbietct, beschranken wir uns auf eintge klassisch e Bcispiele fur dcrartlgc kombiniertc T crmingeschafte. Wahrcnd wir im laufendcn Kapitel einigc einfaehe Grundformen von komhinicrtcn Geschaftcn bctrachten, handcln die folgcnden Kapitcl von cinigcn bckann ten kombinicrtcn Opno nsstrat cgicn wie Spreads (Kap. 8.5), Straddles (Kap. 8.6),Strangles und Combinations (Kap. 8.7). Urn die Grundkonstellationen kombinicrtcr Geschaftc dcutlich werdcn zu lassen, gehen wirvon folgenden vereinfachenden Vorauo;.wtzungen aus: Fix-Termingeschaftc werden zum ErfOl1ungskurs X gctatlgt. Handelt es sieh um cine bestehendc Position in Aktien, so soli X der bereits aufgezinste frOhere Einstandskurs bcdcuren. -

Aile Gesch atre werden am gemeinsamenFal1igkeitstennin II betrach tet. Ocr sich im Bttigkeitstermin t l einste1lende Kursder zugrunde liegenden A ktic wird (wie bisher) mit S bezeic hnet . Oprionenworden zum Basisprels X in t l ausgcubt, Optionspramien: Pc (cull) bzw, Pr (put) .

Transaktionskosten, Verzinsungder Optionspramie, Sicbcrhuitslcistungen bleibcn unbcrucksichtigt. Fur die einzelnen Basisgcscbafte werden folgcnde Bezeichnungcn verwendet: 1) Aktie Long (Tenninkauf Aktie, Akuenpositiont: 2) AktieShort tTerminverkau] A k/ie, Leervrrkauf s): 3) Long Call (KilufeinerKilufop/ion): (8 .4.1) 4) Short Call (Verkauf einer Kilufoption): 5) Long PuI (KilufeinerVerkau fsop/ion): 6) Short Put (Verkauf einerVerkuufsoption): 17 siehe etwa [Usz) 146 ff, [Hu lt ) J 19 ff, [Biz) 282 IT 18

Unter Leerverk a uf (SIiOl"/selling ) vcrstcht man den Verkauf cines Gules (z.B. einer A k/ie) , das man (noch) nicht bcsna, sondem sich zuniichst (gegen GeM/v)auslcihl. ZumErnie desAusleittl.cilraums (Fiilligkeitstermin) muss danndas ml iefcrnde Gut

(d ie Ali/ie)

zuvor amKassanmrkl Zlilnaktu ellen Kurs S beschaffi werden .

8

368

Exkurs: Derivative Finanzinstnuncntc - Futures und Optiancn

D ie Gewinn-Funkt ionen G; = G;(S) dec scchs Basisgcschaftc (8.4 .1) in Abhangigkcit vom Kassakurs S der Akticam Palligkeitstag t l imlauten im Einzcl nen l9 tsieheAbb. 8,2.5 sowieAbb. 8.3.4 - 8.3.10): (8.4 .2)

Aktic Long:

GA. = S -X

(8.4.3)

AktieShort:

GA - =

(8.4.4)

Long Call:

G c • '"

1S-X --PPcc

falls 5 s X falls S > X

(8.4.5 )

Short Call:

Oc- =

!

falls S s X

(8.4. 6)

Long PuI:

Gp • =

{ X -S - Pr - P,

(8.4. 7)

Short Put:

Gp _ =

x-s

Pc falls S > X

X -S+Pc

{s-x - », P,

falls 5 < X

ens s ax falls S <X fal ls S :!:X

Von grundsatzlicher Bcdeutung crweist sich, dass sich jcdcs dcr scchs Basisgcschafte durch Kombination zwcicr andcrc r Basisgcsc bat te kOnstlich ("synthelisch ") crzcugen lasst: Belsplel 8.4.8:

(sj'flthetische Erzeugung einer LongAktieaus einemLong Cali und einem Short Put)

Bctrachten wir die Kombination aus etnem Long Call C+ (Basispreis X, Optionspriimie Pc) und ctnem Short Put P- mit demse lben Bastsprcts X (Optwnspriimiep p). Am (gemeinsamen) Falligkeitstag t , crgibt sich fur den Investor eine Posit ion, die durch A dditiondcr beidcn Gcwinnf unktionen bcschriebe n werde n kann, d.h. dc r resulticrende Gcwinn Gc- +1'- crgibt stch als Summ e Gc ' + 01'- der beide n E inzelgeschaft e (jeweils inAbhiingigkejtdes aktuellenAktienkurses S am Verfalltag) . Mit (8 .4.2) und (8.4 .7) folgt:

1 - Pc GC' +p- =Gc ,+G p- = lS -X -pc

eus

ss x

e ns s

>x

+ j S -X +pp fallsS <X 1 PI' nns s a x

falls S s X falls S > X

S-X+pp- pc = S-X· = GA' (mit X*= X - pp +pc) (siehe (8.4.2))

(8.4.9)

m.e.w. die Kombinat ion aus Long Call und Short Put ergibt (beigleichenBasispreisen Xi eine LongA ktie-Position (symhetischerLong Future) mit einem Tenninpreis X· in H ohe von X - pP + pc -

Anhand cines fiktivcn Zahlcnbeispicls (Basispreis:X = 400, Callpreis:pc = 40, Putpreis Pe = 20) soli die cntsprechc ndc graphische Bcgriindung folgen. Da - wie gesehcn - dcr resntnerende Cewinn der kombinicrtcn Position durch Addition der Einzelgewinne ents tcht, crgibl sich graphisch der kombin lerte Gcsamtgcwt nn du rch Addit ion der Ordinatenwerte der E inzclpositioncn , siehe Abb. 8. 4.10:

19 Man ubcrzcugt sieh durch Grenzwcnbildung an den Nabtstcllc n der ebschniusweisc dcflmerten Gewinnfunktio nell leicht devon, dass samtliche Gcwin nfunkticnen stctig sind. Dassctbc gill darm auch flir die additive Oberlagerung ve rschiedener Gewinnfunknoncnbei Kcmbination der Basisgeschaflc. Daher ist es unerbcblich, auf welche Seite der Nahtstcllc im Dcfinitiensbereich das ~<- oder >" -Zeichen bzw. das c s ode r ~ "-Zcitllen scm. man kann - da keine Irrtume r zu beflirchten sind - damit auch belieb ig wcchscln.

8.4 Einfache Komb inat ionen aus Fixgeschaft en und Op tionen

369

(GI l Gewinn

I

Gc• =

IMg

call C

G p _=

,/

J - 40 15- 440 J 5 -380

1

20

falls 5 s 400 falls 5 > 400 falls 5 < 400 falls 5 ~ 400

, 1;:

, ..

Gc •... P - = 5-420 = GA'

(Tcnninpreis: 420)

(Long Call + Shon Pia = Long Aklie) (= synthetischer Long Future) Abb. 8.4. fO

Synthe tische Pcslnceen konncnverscbiedene vcrteue autweiscn, z.B. i) Wenn es an dcr T erm tnborse fOr cine bcs timmt e Ak ric nur Oprioncn, abe r kcine Futures gchandclt wcrden , kann mit H ilfe zweier Opti on en (s.o.) dcr futurc cnachgebaut" werden.

ii) 1m Verglcich zum dirckten Eingchen riner Akti cnposition ist des Eingehen rin er synthetisc hen Long Futures Position mit crhcblich gcringcrcm Kapitalems atz verbund cn (auflerdem gleichl der Put-Eno s den. Call-Preis lei/weiseaus, siehe Beispiel:Auszahlungs-Saldo: 40 - 20 = 20) . Wir wollen nachfolgcm.ldie iibrigen Ba~isge<;charte ebenfalls syn theusch nachbild en , allcrdings - wcgcn der lcich t d urchschaubarcn Sachvcrhalte - in knappcr Form, aber mit H crleitung der Gcwinnfunktionen :

Synthet ische Erzeugung eines Baslsgescha tt s a us zwei a nderen Baslsgescha ften Voraussetzungen:

Diejeweus kombinienen Geschiiflehaben gleiche Restlaufzeiten. Es gehen die Bezeichnungen von (8.4.1), z.B. bedeulel "G c• ": Gewinn der Long Call Position am AusuhungstaglVerfalltag usw.

+

( I) Aktie Long (Long Future] = tong Call

Short Put

(Vorausselzung: OteicneBasispreise X)

Gc ' + Gp • = GA' (Long FuturemiIEifu llungspreis X*= X -pp+ Pc) [siehe BeispieI8.4.8 und Abb. 8.4.10) (Z)Aktie Short (ShortFuture) = Short Call

+

Long Put (Voraussetzung:Gleiche Basispreise X)

Beweis: Mit (8.4.5), (8.4.6) sowie (8.4.3) crhalten wir G c -+Gp • =

J Pc ens s s x 1x -s +Pc falls S > X + J X - 5 - Pr falls 5 < X 1 - pe falls S ~X

J X - S- Pp+ Pc

1X - S-P p+Pc

"

falls 5 <X falls S ~ X

= X-S -pP+Pc = X· - S = GK (ShorrFuturemit Eifullungspreis X* = X -pp + Pc)

X

long p uf p +'" .J..

1

_

C -+P ~= A -:

j

Abb. 8.4. 11

Akfie Short

Il

370

Exk urs: Derivative H nanzinstrum cntc - Futu res und Op tioncn

Bemerkung: Derebendarges/eWe symhetische ShortFuture!uhn zurgleichen Position wit ein"nannater" Aktien-Leoverkau] [siehe Fn. 18), aber ohne dass zuvor die zugrnndeliegende A ktie geliehen werden muss. Auperdem kann -ebeniatts im Grgensatz zum "realm" Leerw rkauf «di esynthetische Shon Futures Position jederzeit durehein entsprechendes Gegengeschdft glattgrs/elltwerdenzo. (3) Long Call = l ,OIIg Put

+

LongAktie

Beweis: Mit (8 .4.6), (8 .4.2) sowie (8.4.4)

IGJ Gewinn

crhaltcn wir: £1115 5 <x,

J X] - S - Pr

1

e ns s ax,

- PI'

f XI -XZ -PI'

falls S <x,

1

fa!ls S < X.

15 - XZ- PI' _ pOI

+S -X2

fongpul p + / ,/

falls S ?:X 1

l S - XI- POI falls 5 ex , (mil p . '" X l -Xl +Pp) Gc'

(mit: Basispreis:X j

///f

fong Aklie A #-/

- p,

•

Abb. 8,4.12

Optionspramle:p OI)

(4) Short Call = Short Put + Short Aktie

Bewns : Mil (8 .4.7), (8.4 .3) und (8.4.5) folgt: GI'"+ G A -

'"

j S - X\ + Pr e ns s ex, PI' nns s a x , - S + X 2

1

I X2 - X l + PI' fullsS <X\ l X2 - S + Pr ens s ex,

f

shorlpul P-

o

(51 C", P -+A ":

p. fal ls S <X\ lX1+ p· - S fall s S ~ X \ (mil p. '" X 2-X/ +pp)

5horl

Co((

Gc- (Basisp reisX/; Optionspromie p .)

Abb. 8.4,13 (5) long Put = tong Call + Short Aktie Beweis: Mit (8.4.4), (8.4 .3) und (8 .4.6) gilt: GC· +GK '"

I l

long calf c »

- ec rans s s x,

S - Xl - pc X2 - S

fall s 5 > X l + X2- S

- sc nars s s x.

Xr X\ - Pc

(51

(l11s S > X\

I X1- S -p·

fall s 5 ":: x, -p. e ms > x, (mit p · ",XJ -X2 +Pc )

1

Gp •

20 siche etwa

IStBl 508f

(mil: Basispreis X s, Optionspriimiep·)

p. ",

Abb . 8.4. 14

8 .4

371

Einfachc Kornbiranonen aus Bx gcschaftcn und Optionen

(6) Short Put = Short Call + Long Aktie

,

{GJ ' Gewinn

Beweis: Mil (8 .4.5), (8 .4.2) und (8. 4.7) gilt: Pc fal ls S 5 XI fallsS >X 1 +S- Xz

,/

p'

1XI -S + Pc

0 C-+ OA+ '"

J S - Xz + Pc eats s s x. lX1- Xz +pc t:1.l Is S >X 1

0 +---1-/

J S - XJ + p.o mn s s x , p.o falls S > X1 (mit p .o ", X/ - X l+Pc)

,/

""

x,

{51

1

0r-

~,/IOng Aklie A+

(mit: BasispreisX],

Optionspramiep"]

shorteall C-

Abb , 8 4. 15

Bemerkung 8.4.16: Forden m an zusatzlich die Gleichheu atler Basiskurse, d.h. X = X , '" X l ' 50 folgt aus (3) bis (6), doss die Optionspriimiep.oder resuhierenden Option mit derOptionspriimiepc taw. Pr der zur Kombin ation verwend eten Option ubereinstimmt. Dunn lassen sicn (wegen G c ' = G c - usw.) sdmtlune Posinonen 2) bis 6) p er "A rilhm elik" aus einem beiiebigensynthaischen Basisgeschiif l, z.B. (6): Gc ·+GA- =G~ herteiten. Bd fpiel: A us (6) j o/gt: - GC++ GA-=- Gp< ~ Gc +=Gp< +GA + f:l (3) USW. l 1 r

Aufgahe8.4.17: Unte r den Vorausse tzungcn der letztcn Bemerkung (Gldchheit alter Basisk urse, siene Bem . 8.4.16)

lcitc ma n aus de m synt hct isehcn Bastsgescbaft (6), d.h. Short Put = Short Ca ll + LongAkt ie

o..

und sctner Gcwinnfunktion

Gc- +

GA -

per " Ari t hmeti k~ samutcbe ande ren synt hetisehen Positio ncn (1) bis (5) her. Aufgabe 8.4.18: H ube r m6ch te geme einen Forward-Konlrakt zum Kauf dcr Moser-A rj-Aknc in 6 Mona ten zum T enni npreis (Bus6p reis) von 100 € abse hliel3en. A n der Borsc wcrdcn allerdings keine Forwards/Futu res , sonde m led igJich Optionen auf die Moser-A ktie gchandc1t, die A ktie steht de rzeit bet 100 € . Folgcnde 6- Mo nats- O ptionen auf d ie Moser-A kt ie sind handelbar: Ca lls:

Basispreis 95 e, Opnonsprarnic7 e, Basispreis 100 € . Optlonspramic 4 €. Basispreis 105 Optionspramie2

e.

Puts:

e.

Basispreis 95 € . Optlonspramie1 € . Basispreis 100 e, Opuonspramic3 e , Basispreis 105 € . Opuonspramic 6 € .

I) Wie kann H uber durch Kombinalion dieser Op ncncn cinen " symhetischen " Forward -Kont rakt konstruicrcn, der genau seinen o.a. Vorste llungen entsp richt? ii) Wclche unte rschiedlichen Porward-Kontrakt c (Gewinnfunklion?) lassen stch aus jeweils zwei del o.a. Opti o ncn synthetisieren? Wclchc komm cn H ubers Vorstellungcn am nach sten? E rmittlcn Ste fur jcdc Kombination d ie mil Kontraktabschluss einhergehenden A usza hlungen des Investo rs.

21

sichc auch [Biz] 283ff

8

372

Exkurs: Derivative Finanzlnstrumcnte - Futures und Opti oncn

Urn die Viclfal! kom binicrter Strat egicn anzudcutcn, die mit H ilfe von gccignetc n O ption en rcalisiert werden konnen, erwahnen wir im folgem.lcn einige (z. T. als Paket an de' EUREX hand elbare) Optionskombtn attoncn (Spreads, Straddles, Strangles/Combinations).

8.5

Spreads

Unt er eincm Sprea d vcrstet u man cine Strategic, be i dcr zwei Optionen gteichen Typs (d.h. z.B. zwei Calls oder zweiPUIS) auf denselben Bas lswert (z.B. diesdbe Ak tie}, aber mit unt erschied lichcn Laufzciten ( Time Sprrad)

oder untcrschiedlichen Basispreisen (Pnce Spread)t2 eingebundcn werdcn.

Beispiel 8.5. 1:

(Bull Price Spread mit Calls)

E in Bull Price Spread (mit Calls) bcstc ht aus dcm Kauf cincr Call -O pt ion C · (Basisp reisX l ' z.B. X l = JOO€, Optionsprcmie P 1 = 25 €) und dem gleichzeitigen Verka uf emer Call-Option C' mit cincm hoheren Ba~i~preis X 2 (z.B. X 2 = 150€ ( >X 1), Catipreis P 2 = 15€) und gleichcr Resllaufzeit bis zum Verfal1tag. Die mit diescr Kombination beab sich tigte Srrateg ie setzt auf (leicht) steigende Kurse des zugrundclicgcnden Basiswertes.

Bemerkung: Da aer Callpreis (Oplionspriimie) mitsinkendem Basiskurs ansteigt«dieA usubung wird immer wahrscheinlicher - (Wid mil steigendem Basiskurs sinkt - die Ausubung wird immer weniger wahrschrinlich), ist im vorliegenden Fail die Optionspramie P 2 ( ; 15) f iir den verkauften Call C+ (hiihmr Basispreis X 2=150) geringer als [ur den geka uflen CaJ/ (hiiherer Catlpreis PI ( ; 25), geringererBasispreis XI (= 100 < X 2)), d.h· fur Calls gi/u .p.: X I < X 2 ~ P I> P2'

c

A bb. 8.5.2 zeigt die Gcwinosituatton in A bhan gigkcit Yom aktuellen Aktienkurs S am Vcrfalltag. (Gj

Gewinn

bull coll

price spread ~-,"---'-ShortChI! c:

x, 12S

,~

l ong ChI! C'

I.f()

I

Abb.8.5.2 Die fur den Bull- Call-Price -Spread gultigcGcwtnntunktion G = G(S) am A usubungsragergibt slchwie bisher « durch Addition der Ein zelfunktionswert c Gc ' und G c · . Mit (8.4.4 ) und (8.4.5) crhalten wir mit PI = 25,X I = I OO,Pl = I5,Xl = 150:

1 - PI G c ' = l S - XI - PI 22 spread (el1g/.):

n n s

s

s

x

,

fallsS >X I

J

- 25

= l S - 125

e n s

s

s

ro c

falls S > I00

Spannwcite (hier; zwischel1 treisen ada Resllaufuiten)

sowie

8.5 Spreads

373 falls S :;: X z falls S >X z

_ 1 -

15 1 165 -S

falls S s 150 fallsS >I SO

d.h. es musscn jctzt drei Intervalle (SS 100 ,.100<S $ 150; S> 150) gerrcnnt betraehtet werden, so dass sich als rcsutttcrcndc Gcwinnfunktion G des BullCall PrieeSpread ergibt (siehe A bb 8.5.2): - 10

falls S s x, falls x , <S" X z falls S > x,

(8.5.3)

1 '" S - IIO

falls S " 100 falls 100 < 5 ., I~O falls S > 150

Ein Bull Price Spread begrenzt Q ......innchancen und Verlustrisiko fOr den Investor. Diescr hoff! auf einen Kursansticg, der ihm emcn Uelzl auch timnieneni Gcwinn cinbringt, hat sich andcrerscits ebenfalls vcrsichcrt gcgcn einen (unerwaneten) Kurssturz. Bem erlamg 8.5.4:

(Bull Put PriceSp read)

Ein Bull Price Spread ka nn - stall mit zwei Calls - ebensogut mil zwei Puis erreicht werden. Dazu ka uJt der Inv estor einen Put P+(L ong Put, Basispreis X l' Optionsp rdmie p t ) und verk auf t einen Put I' . mit hiiherem Busispreis X l und gleicher R estlauJzeit (Short Put, Basispreis X l >X l' Basispreis p 2)' Da c.p. die Wahrscheinlichkeil, doss ein Pia ausgeubt wird, m il steigendem Basispreis immer groper wird, ist ein hoh erer Boslsprels c.p. stets mil einer hoheren Optionsp ramie verbunden, dh. in unserem Fall (PUIS) gilt: X l > X , :=> P 2 >p 1 . Die Gewinnfunkiion G = G (S) Bull Put Price Spread lam sich m it (8.4.6) und (8.4. 7) analog zum teaun Beispiel herieiten, siehe (8.5.5) und Abb. 856: (8.5.5 )

G:

{G/ Gew/nn P,

l

X1- Xl - Pl + PZ S -Xl -Pl + PZ - Pl + PZ

falls s s x, falls X1 <S sX l S> X 2 falls shorfpuf P-

I

t

Abb , 8,5 6 1m Gegensatz zum Bull Call Price Spread ist beim Bul/Pul Price Sprtad die AnJangsauszah lung p z -p I Jar den Investor p ositiv, somit bnlehtJu r ihn die Moglichk ril, a iesen Sa/do zinsbringend anzulegen. Bemerlamg a.5 .7: Neben dem eben besrachtetcn Price Spread (mehrereCallslPuts m it unterschiedlichen Basispreisen, auch "venical spread" genannt) gibl es den Time Spread (" horizonlal spread "], bei denen die beteiligten Opt ionen unlerschiedliche Resttauf zeuen besiuen, oderden Diagonal Spread, bei dem die Option en sowohl umerscniedlune Basispreise als auch unterschiedliche RestlauJzeilen 23 besitzen. 23 sicheetwa [Usz] 174lf

374

8

Exk urs: Derivative Finanzinstrument c - Futu res und Opt ion cn

w ahrend die Erwartungcincs Bull-Sp read-Invest ors auf (Leicht) steigcnde Kurse ge nchtet ist (Investor ist " hullish "), hal man cs bcim Bear Price Spread mil cinem Invest or zu tun , de r auf (lrich!) sinkendc Kurse

setzt, allerdmgs auch hier den Maximalvcrlust bei tunerwartet} steigendcn Kurscn begrenzcn will. Ahnlich wie beim Bull Price Spread hat man es jetzt entweder nur mit Calls (Bear Call Price Spread) oder nur mit Puts (Bear Put Price Spread) zu t un, bci dcnen untcrschicdlichc Basisprcisc (beigleichen Restlauf zri/en) vorlicgcn. U nterschicd: Bcim Bull Price Sprcad iSI die Short- Position stets mit dem hoberen BaoJspreis gckoppelt.

Beim Bear Price Spread ist die Short -Position mit dem geringeren Basispreis gekoppelt.

Beispiel 8.5.8:

(Bear Call h ire Spread)

Ein Investor verkaun einen Call C- (Short Caf/, Bastsprels X I '" 200, Preis P I "" 20) und kauft einen Call C+ mil hoherem Basispreis, aber geringc rer Oprionspramie, siehe Bemerkung in Beispie1 8.5.1 (Lo ng Call, Basi sprels X 2 "" 240,

PreisP2 <: J2) .

Somit hat dcr Investor zu Beginncincn Zahlungsiiberschuss in Hohc von PI- P2 '" 8. Mit (8.4.4), (8.4.5) fotgt dureh Addition dcr Einzetgcwinnfunktioncn die resutttcrcndc Gewinnfunktion G '" G(S) des BearCall Pricc Sprcad in Abhangigkeit vom Kurs S am Ausubungstagzu falls falls falls

(8.5 .9)

5 s x, x, < 5:S X2 5 > X2

(

208 - :

- 32

falls S s 200 falls 200 < S :s 240 falls 5 > 240

Abb. 8.5.10 zcigt graphisch den Gcwinnverlauf des BearCat!Price Spread am Tagder Ausiihung:

(GIl Gewinn short call C-

---------- ..... 8

",

-.

fong callC+

-.-.

"

-32

Abb, 8.5

to

beor call

pricespread

J75

8.5 Spreads

Analog zum Bull Price Spread mit Puts UtSSI slch ein Bear Price Spread mit Puts erzeugen, wobci wiedcr die Short Positionan den geringcren Bastsprets gekoppelt Ist. Als Beispiel nehmen wir die Daten Short Pur: Basisprcis X j > 90,OptionspramieP I;o 16 Long Put: Basisprcis X2 150, OptionspramieP2 30 ;0

;0

[siehe Bern. 8.5.4) .

Damit lautet {unterBerucksicntigung von (8.4.7), (8.4.6)} die aggregierte Gewinnfunktion G(S) des Bear Put Pri ce Spread in A bhangigkeit vom aktuellcn A ktienkurs S im Ausubungszeitpunkt : (8.5.11)

G ;o

X2- X I +P t - P2 - $ + XZ+ PI- PZ Pt - pz

1

falls s '" XI ("Ills X l < $ S Xz

falls

S > Xz

1

46

136-$ - 14

falls s S 90 falls 90 <$ S I50 falls s > 150

Abb. 8.5.12 zeigtgraphisch den Gewinnvcrlauf des Bear Put Price Spread am Tagder Ausubung: (GI Gewinn

p , = 16

shortpul

r

(5/ Abb .8.5. 12

fong pul p+

1m Gcgcnsatz zum BearCall Price Spread bcginnt die Investition beim Bear Put Price Spread mit einem Netto-Mittelahfluss in Hchc von P2 - PI ( = 14) .

Bemerkung 8.5.13: Die oben aufgef iihrten Spreads bilden nur eine kleine Spread-Uniermenge:Zu weiteren Spread-Strategien. z.B. Butterflies, Condors, Ratio-Spreads, Back-Spreads u.a. siene ouch Bemerkung 8.7.5 sowie [StB] S/2 ff

Aufgabe 8.5.14: Huber erwartet fur die Moser-Aktie in den nachsten 2 Monaten einen moderaten Kursanstieg und entschlic131 sich, cine Bull-Call-Price-Spread-Position einzunehmcn. Der aktuclle Kurs der MoserAktie liegt bci 250 € . Dazu kauft cr cinen at-the-money 60-Tagc-CaIl (Baslsp rels250€ , Optionspriimie 9€ ) und verkauft zugleich cinen in-the-money-Call gleieher Laufzeit zum h6heren Basisprets 265 €, Optionspramie 4 € (Zinsen bleibenunberiicksichtigt).

376

8

Exkurs: Derivative Finanzinstrumente - Futures und Opuoncn

i) Ermittcln Sic (rechnerisch) die Gcwi nnfunkno n G(S) am AusObun gstag in A bhangigkeit vom dann ak tucllcn Akticnkur s S und skizzieren Sic den cntsprechendc n G raphcn der Gewin nt unktion . ii ) Bci wclchcn Kursen am Fiilligkcitstag opcnc rt H ube r mit Gew inn? Ermittcln Sic Kurse und H ohc

des Maxtmal-Gcwtnns. Ennitteln Sic Kursc und Hohc dcs maximalenv crlustcs. iii) wic .andcrt sich die Position Hubers ("pos itiv " oder" negativ"), wenn Zinsen beriicksichtigtwerden,

z.B. 6% p.a.?

Aufgabe 8.5.15: Die Hubcr-Aktie not ien zu lODE:. Moser erwartet mehr oder weniger starke Kursabnalunen und crwagt, cine Bea r-Ca ll-Price-Spread-Position einz unehmen, d.h . cinco Ca ll zu verkaufen und cinen zwcitcn Ca ll mit hohcrcm Bastsprcis zu kaufcn (aile Callsmitgleicher Restlau/zeit). Moser kann untcr d rei hier in Frage kommendcnStrategicn (A, B oder C) wahlen: Strategic A:

Beide Ca lls sind out- of- the- money, und zwar im vorliegenden Fall: Moser verkauft einen Call mil Basisp rcis 106 (Pram ie 7€ ) und kauft cinen Ca ll mit Baslspreis 11 4 (Priimie5€).

Strategic B:

Der verkaufte Ca ll is! (ieichl) in-th e-money (hier: Basispreis 96, Prdmie JO€) , der gekaufte Call is! out-of-the-money (hier: Basispreis 104, Pramie 6 €).

Strategie C:

Bcidc Ca lls sind in-th e-money, und zwar: Dcr vcrkauftc Call hal cinc n Basisprcis von 89, Pramie 17 €, der gekaufte Ca ll hat cincn Basisprcis von 97, Pramie 11 €.

E rmin cln Sic fur jcdc Stratcgie am Ausabuogstag I) die Gcwinnfunktion G(S) in Ahhiingigkeit vom Akti enk urs S; ii ) die Brea k-Even- Points, den intcrvallc;

maxunalen Gew in n I maximalen Verlust sowie die zugcho ngcn Kurs-

iii) Wclchc unterschicdhchen Erwan ungshaltungen (des Investors, hier:Mosers) spiegeln die einzelncn Stratcgicn wider?

8.6

377

Stradd les

8.6

St ra ddles

Z u den sog. VoIatiJital'i-Strategien gchoren kom binicrte Options-Strategicn, d ie auf KursschwankungsBcwegungcn im Markt abstellen (und nicht vorrangig eine bestimmte Richtung - bullish oder bearish eTWarten). A ls Bcispicle fur Volatilitats-St ratcgicn bctrachtcn wir die sog. Straddle-Strat egic (und im niichsten Kapi-

te/die Strangle-/CombinatWn-Strategien] In seiner cinfac hsten Fonn bcsteht cin Straddle aus dcm Kauf (n Long Straddle") bzw. altemativdcm v etkauf (nShort Straddle") jc cines Calls und eines Puts (auf dasselhe underlying) mit g1cichcm Basispreis X und g1cichcr Restlaufzcit bis zur Falligkd tl Ausubung. Beispiel 8.6. 1:

(Long Srraddle)

Dur ch g1eichzeitigen Kauf eines Call C +(Basispreis X = 100, Cal/preisp 1 = 19) und eines Put (gleicherBasispreis X = 100, Putpreisp z = 11) wird ein t on g Straddle erzcugt. Aus de n Gewinnfunktioncn (8.4 .4), (8.4 .6) der E inzcl -Optionen erhaltcn wir du rch Add ition die Gcwi nnfu nktion G = G(S) des Long-Straddle in A bhangigkeir vom aktuclle n Aktien kurs S am Ausubungstag {sieh e (8.6.2) sowieAbb. 8.6 .3) : (8 .6 .2)

(S S. X ) (S > X)

G =

{GI l

(S So X ) (5 > X) =

falls 5

15- 130

So

100

falls 5 > 100

Gewinn

tong call C+

,,:~gpul p+

( """ "

70

-P , = -11

1'0 - 5

" " '"

~ Vt/rfafllQf1

___ ______tI

_lSI

-P,

=- I P

long straddle Abb. 8.6.3

Der Long Straddle bietct sich offenbar fu r Investoren an, die cine starke Kursbcwcgung erwart cn und lcdiglich unsichcr sind, in welc hc R ichtung dcr Kurs aussch lagcn wird . Zu glcich bcgrenzcn sic - fur den Fall uncrwartcrcr Kursstabuttat - ihren maximalcn Verlust auf dieSunun e PI +P:2 ( = 30) dcr Op nons pra mien. Den hohen Inves titionskosten (p t +Pz ) steht die Aussicht auf prak tisch unbegrcnzt hoh e Gewinn c gcgcnubcr.

378

8

Ex kurs: De rivative Hnanzinstrumcnt c - Futures und O ptioncn

D ie Strategic des Short Straddle (gleichzeiuger Verkaufvon Call und Put mit gleichem strike priceAI is! entgegcngcse tz t: Der Investor antizipiert keine oder cine nUT schwache Kursbewcgung, riskiert allcrdings < bci Fehlemschataung- belicbig ho he v erluste.

Aufbau und Gcwinnprofil G = G{S) eincsShort Straddle [hestehendaus einershon -put-posiuo n mit PutOptionspriimie P1=10 sowie einer shon-call-pomion mil Catt-Preis P2 =20, Basispreis einhehllch: X = } OO) crgcbcn sich wieder durch Addition dcr Einzel-Gcwinnposition en gemafi (8 .4.5), (8.4.7), stebe (8 .6.4) sowic Ab b. 8.6.5 (am Fiilligkeitstag, in Abhiingigkeit 110m akiuellen Aktieakurs S) : f S - X + P, + P2 G = lX + p,+P2- S

(8.6.4)

nns s s x falls S >X

J S - 70 1 130 - S

falls S s 100 fall s S > 100

{Gj ' Gewinn

short straddle

---r ------------

-- ~' "

,"",~.----~,

0 +', --'-- - /

-.

short puf P-

Abb . 8 6.5 Solan gc dcr aktucll e Kurs S des Und erlying am Hi1ligkcitstag nur zwischen X - (PI +P2) und X + (PI+P2) schwankt (im Beispiel: 60 <S< 140) , macht dcr Investor cincn Gcwi nn, allcrdings limitiertauf den maxima len Wert PI+ P2' dan n namlich, wcnn Marktkurs und Basiskurs am Vertautag ubere instirnmen, sich c

Ahb. 8.6.5.

Dcm (erheblichen) Risiko, bci unerwarter starker Kursschwankung praktisch belicbig hohe Vcrlustc24 cinfahrcn zu konnen, stcht cin verglcichsweise hoher Ncttozutl uss (=Summe der Opuonspramien P i r p 2 ( =30» bc i Investitionsbcginn gcgcnuber. Aufgabe 8.6.6: D ie Aktic dcr Moser AG noti ere heute zu 600 €. H uber kauft cinen 2-Monat s-Ca ll auf die MoserAktie (Priimie 36 £ ) und cinen z -Monats- Put (Priimie 3 0E) . Beide 0ptionen sind gcnau in-t hemoney , haben also jcwcilscinen Basisprcis von 600 € . l)

Wclehc Kurserwartungcn hcgt H uber? Wie nennt man seine Option s-Strat egic?

il) Stellcn Sic die Gcwi nnfunklion G(S) am Ausubungstag auf (Skinef) . In welchen Kurstntcrvauen

ope riert H uber mit Gcwinn, max. Gewir m, max. Vcrlust? (Zinsen bleiben unbemcksichligt) iii) Bcantworten Sic i) und ii), wenn H uber die belden Optioncn verkauft hanc.

24 zu Absichcrungsmeghcbkcucn stcte (Usz) 183f

8.7

379

Strangl es / Combin ation s

8.7

St ra ngles/Combina t ions

Wie sc hon in dcr E inlcitung zum letztcn Kapitcl angcme rkt, gehoren neben den Stradd les aueh die Combinations und Strangle.~s zu den VolatiliHits-Kombinati onsstratcgicn .

Sci beide n Stratcgien worden cntwedc r ctn Ca ll und ein Put (mit unterschiedlichen Basispreisen, abergleichen Restlaufu iten) gekauft (Long Comoinanon hzw. Long Strangle) oder verkauft (Slum Combination taw. Short Strangle). Dabe i spricht man vo n Combination, wcnn bei Kont ra ktebschluss die Optioncn out-of-t he-money sind

(d.h. der aktudle Kurs der zugrunddiegenden A klie ist kleiner als der Basispreis des Call una grofJerals der Basi sprels des Put, siehe Bemerkung 8.3.11). Entsp rcch end spricht man vo n Strangle, wen n bet Kontraktabsehluss die beidc n Optionen in-the-moo ey sind, d.h . wen n de r aktuclle KUIS des U nderlying graLkr ist ars de r Basisprels des Call und kleiner als dcr Basis prcis des Pu t, sic hc Bcmerkung8 .3.11. E in Beispiel soli die Zusamrnenhangeverdeutlichen: Beispi el 8.7.1: Die A ktic der Gimmicks AG noncre. zu 120. In diese rSituation bcschnesen die belden l nvestorcn C. H ube r und S. Moser, mit Hilfe von Opnonen auf d iese A ktieeigcne A nlagcstra tegien zu verfolgen:

C. H uber vcrkauft einen out-of-t he-mo ney-Call (Basispreis 135) zum Preis von 20 und eincn out-o fthe-mo ney-Put tBasispreis 100) zum Preis von 10 (e. HubersStrategie ist somit eine .shon combinelion "). Dagcgc n vcrkauft S. Moser zwel in-tbe-moncy-Optioncn, und zwar cincn Call (Basispreis100) zum Preis vo n 40 und einen Put (Basispreis 135) zu m Preis von 25 (damit verfolgt S. Moser die Strategic

des"shan strangle"). Bemerkung: Hier wird emeut deutlicn, dass in-the-money-Optionen leurersind als out-of-the-moneyOptionen, da das Risiko derAusabang beiersteren erheblich hoherllegtals belletzteren. Seide Investoren bezichcn also aussc hlieBlieh short-Positloncn. A uf bcwahrte Wei se konstruieren wir mit (8.4.5 ) und (8.4 .7) d ie rcs untercndc Gcwinnf unktion G := G(S) in Abhii ngigkeit vom A knc nkurs am Fitlligkeitstag: 5 - 90 falls 5 < 100 C. Iluber (shortcombination): Short Pu t: G p _= 10 uns s eioc Short Ca ll:

Gc-

Da raus fa lgt G shan combin.

G(S) = G p - + G c-

S. l\Ioser (shan slrangle):

:=

{

S - 70 30 165 - 5

G(S)

:=

:=

20 1 155 - S

S s 100 loo <S ~ 135

f:111s

S > 1J5

Gr·

:=

I

Short Ca ll:

Gc-

:=

1 140 - 5

G r ' + Gc - = {

S -70 30 165 - S

falls S s 135 falls S > 1J5

full, falls

Short Pu t;

Daraus fo lgt G'hort strangle :=

J 1 J

S - IlO falls 5 < 135 25 falls S ~ 135

J

falls falls falls

40

falls 5 s 100 falls 5 > 100

S s 100 loo <S ~ 1J5

5 > 135

25 Zur gclcgentlichen Begriffsuberleppung vo n Combinations und Strangles sichc [Usz] 189

G Short combin_

8

380

Exku rs: Derivative Finanzinstrumcnt e - Futures und Optioncn

Obwahl die cinzelncn Komponcnten untcrschiedhch sind, fuhrcn (im vorliegenden Beispiel) Short Combination und Short Strangle zu idcnt ischcn Gcsamt-Gcwirmfunktionenl Anhand der entsprechcndcn G raphikcn wird dicscr Sach vcrhalt bcsonders deutlich. siehe Ab b. 8.7.2/8.7.3 :

(GI l Gewinn Investor: C Huber

short combination

1_ ~Iao"" _IJi!iKonl'd.1 _ WI-d~ ""

---------r -- - - -- - - - - 1- - - - r ," , "

shonPul P-

'.

,,

165

-."

short call C:"'"

Abb. 8.72 /G) l Gewinn In vestor: S. M oser

----'-"~:a1~::r"" " ,' fJJ.~!!/!./;flLt?:-..._, '" t

shorf puf P-

-, "

"

135 " ,

Abb.8.7.3

165

-. "

"

-.

Ahnlich wie beim Shan Straddle gilt: Die Investorcn setzcn auf relanv knappe Kursbewcgungcn, allcrdingsist dcr datOr gceignete Bereich breiter als beim Short Straddle. Uberraschcnd ist (wit eben schon bemerkt) , dass sich in unscrcm Beispiel Short Combination und Short Strangle im Gcwinn- Profil nicht unrcrscheiden. Allerdings tst die Short -Cornbin anon-Position insofom ctwas vorteilhafrcr, als bei Ei ntritt dcr crwartcren Kursstabttttat dcr Maximalgcwinn bcrcits iiber die Opnonspramtc n rcalisicrt wird und kcinerlci Op nonsau subung statrfindet. Dcr Short -Strangle- Invest or hingcgen sieht sich bci Kursstabtlitat beidcn Op lionsausiibungc n gcgenubcr . was zu weiteren Transaktionsautwend ungcn fuhrt. Als Vort eil derShort-Strangle-Strategic kon ntc man dic Moglichkeil nenn en, die - im Vcrglcich zur Short Combination - hobcrcn Anfangs einnahm cn aus den Optionspramien zinsb ringend his zum Verfal ltag anlegcn zu kon nen. Ei nc wcitcrc Volatilitats-Strategie mit Combinations/Strangles - ana log wie bcim Stradd le - ergibt sich, wenn ma n anstcllc vorrShort Posttionen ausschliel3lich Long Posltio ncn einnimmt, siche Aufgabc 8 .7.4:

381

Einfilhrung in die Opti onspreisbcwertung

8.8

Aufgahe 8.7.4:

(Long Combination - Long Strangle)

Die Aktie der Laetsch AG noticre bci Kontraktabschluss zu 120. Zwei Investoren - C. Lug und S. Mart - verfolgen leicht unterschicdliehe Anlage-Strategien mit Oplions-Kombinationen:

-

C. Lug kauft cinen nu t-of-the-money-Call C + (Basisprels 135; Opuonspramie 20) sowie eincn out- of-Ihe-money-Put P + (Basispreis 100; Optionspramie J0) - Long Combination.

-

S. Mart hingcgen kauft einen in-the -money-Call C + tBasispreis 100; Optionspriimie 40) sowie einen in-the-money-Put P +(Basispreis J35 ; Optionspriimie 25) - IAmg Strangle.

I) Man errrnttlc filr beide Invcstoren die Gewinnfunktion G(S) am Ausilbungstag in Abhangigkeit vom dann aktuellcn Aktienk urs S. Man skizzicre beide Gcwinnprofile. i1)

werct e Risikoilberlegungcn gelten filr die Invcstoren?

iii) Welche dcr beiden Strategien (Long Combination oderLong Strangle) ist vorteilhafter?

Bemerkung 8.7.5: Die beschriebenen Options-Strategien wie Spreads, Straddles, Combinations oder Strangles bi/den in ihren Gnmdfonnen einen widuigen, allerdings keineswegs vollstiindigen Oberblick uberdie Gesamtheit moglicher Kombinationen. Da gibt es zuniichst vielerlei Untergmppen von Spreads, da giht es weiterhin die Butterflies, Condors, Strips und Strapsund dievielenanderrn, dUTCh immerphantasievollereZusammensetzungen mehrererOptionen generie11en 26 Kombinations-Strategien - wirmussenes mildiesenHinweisen aufweiterfuhrende Literaturim Rahmen einerEinfuhrung bewenden lassen.

8.8

Einfubru ng in die Optlo nsprelsbewert u ng

w abrcnd die ~ kl assi sc he" Finanzmathematik und Investitionsrechnung von sicheren zukilnftigen Daten

ausgebt, ist es das Kennzeichen von Tenningesehaft en (wie Futures und Optionen), dass die filr cine Investitionsentscheidung re1evanten zukilnftigen Daten prinzipicll ungewis s sind und somit auchdie m6glichen Ergebnisse cines Tenningesehafts risikobchaftet sind. In den vorangegangenen Absehnitten wurdc (z.B. anhanddergraphischdargestelhen Gewinnprofile) deutlich, dass insbesondere die He be dcr jcweiligen Optfonspramic Pc bzw. Pr (Preis eines Call, Preis tines Put) wcsentlieh zum Erfolg odor Misserfolg einer (letztlichrisikobehaflelen) Op tions-Strategie beitragt. Es stellt sieh somit die Fragc, welcher angemessene Preis (Fair Value) denn filr eine Option zu zahlen bzw. zu fordem ist, damit beide Parteien (d.h. der Long-Posuion-Inhaber und der Snon-Posuion-lnhaher] sich in einem fairen Geschaft bcfindcn und das Gcfilhl (bessernoch:die Gewlssheit] haben, dass aile wesentllcbcn Prcisbcstandteile (wie awa alternative Festzinsanlage-MoglichkeiteneinschliefJlich derZinshOhe, erwanete Kursschwankungen (" Vo{atilitiit derzugrunde liegendenAktie, derBasiskurs, deraktuelle Kun, die Restlaufzeil) hinreichend korrekt im Optionspreis bcrucksichtigrwurden. U

)

Wir k6nnen weiterhin davon ausgchcn, dass es cinen solchen thco retisch fairen Optionsprcisgebco muss, den n: Wenn Optlonen zu unkorrektcn ("unfairrn ") Preis gehandclt wcrdcn, sind sofort Arbitrageure zur Stelle, urn durch risikolose Gewinnrealisierungen (~free lunch") dafur zu so rgcn, dass sich das Preisgefalle (d.h. Unterschied zwischen " Wen " und "Preis" riner Option) in Richtung des "fairen" O ptionsPrcises ausglciehl (dazu kauft man bekanntfich das GUI am untetbeweneruien Markt und vemufJel1 am uberbewertenden Markt - Ergebnis: Am (billigen) Kaufmarkt steigt der Preis wegen ernomer Nachfrage , am (teurrn) Verkaufsmarkt sinkt derPreis wegen erhohten Angebots, Billiges wird somit teurrr, Teures wird billiger, die Preisebewegen sich hin zu einemeinheillichen Gleichgewichtswen, dern ~fairen " Preis).

26

siehcetwa[StB] 511ffodcr[ Usz]159ff

8

382

Exku rs: Derivative Finanzinsttumcn te - Fu tures und Option en

Es zeigt sich nun , dass die in del Llrcratur'" bcschriebcnen und auch in del Praxisangewcndeten OptionsBewert ungsmoddle d o wnfangrcichcs und nicht immcr einfach zu verstchendes mathcmat ischcs Instrumentarium zu ihrer H crlcilu ng crfordem, jcdc nfalls wei! mehr , ats im Rahm en diesel Ein fUhrungdarstellbar ist. WiTwollen daher im folgendcn IClIiglich exemplarisch vorgehcn und versuchcn, einigeGedanken und Er gebnisse, die zur Ennitcl ungdes Optionsprcises w ichngsind, ansat zweisc pJausibcl zu machen.

Als Beispiel betrachrcn wir die Ermittlungder Optlonspramie Pc (Call- Preis) fOr cincn europiiischen28 Call (Ba sisprds X, Resllaufuil This zum Ausubungstcrmin ] auf cin e (wiihrend der L aufzeit " divid en ' dengeschume ", d.h. dividendenfosej29 Aknc zu verschicdc nen Zcitpunkten vor und bis hin zwn Tag dcr Ausnbung. Mit S werdeder jcweils akt ucllc A kticnkurs bczeichnet, de r risikofreie Marktzinssatz fiir Aufnahm c/ Anlage von (kurzfristigem) Kapital sci r (> 0). Vo n Transaktionsko sten werdewiedcrum abgesehen, um die G rundidcc der Opt ionspreisenni tUung nicht zu versehleiem .

Bczciehnungcn:

Pe t

X: (8.8 .1)

S: T: r: 0:

Option spramic fur den Ca ll, Callp rcis, fa.l lig bci Kontraktabschluss Basispreis, Ausubungspreis (exerciseprice) am T agder Falligkeit Kurs (Preis) der zugrunde liegcnden Aktle (stock price) Rcs tlaufzcit dcr O ption (vom Kontraktabschluss biszurAusubung) risikoloser Marktzinssat z Iur (kunfristiges) Kapital , r > 0 Vcl anlitat, Schwankungsbreite. ~ Flatt crhaftigkcit " der zugrundcliegend en Ak tie

Der Preis Pc fur einen Ca ll bcs teht nu n im Gru ndsat z aus zwel addi tiven Kompooenten: i) dem sag. Inneren Wert des Call, der im wesentl ichen ausdruckt, urn wievicl dcr aktu cllc Akti en ku rs S im betrachteten Ze itpunkt iiber dem (abgezinsten) Basisprcis X liegt (lirgt er darunter, is!

der innere WertNull, da - wenn es so bleibl -keineA usubung stattfindenwird). ii) dem sog. zenwert des Ca ll, der dem Stillhaiter als Gcgenleistung fur die Risiken dicnt, die er mit dieser Opt ion eingeht - der Kurs konntc im Zettablauf steigcn und er kon ntc Verluste mechen , ohnc das s ihm - be l gcgcnliiufigcr Kursentwic klung - entsprechende Gcwinne zuflieBcn.

Umge kchtt: De r Call-Kaufer mu ss cine Gegen1cistung en lricht en fiir seine Chance, bci gunsti ger Kursentwlck lung die Opt ion mit Gcwinn ausuben zu k6nnen. Ebcnso mus s cr einen Beitrag zahlen fur die mit de r Option grundsatzlich verbundc ne Vers icherung, bci im Zeitablauf ungunstiger Kursentwickiung aus dem Ocsc haft aussteigen zu konn en - durch crsat zlosen Verfa ll der Option. Sehen wir uns die bcide n Prcisbcstandtcile etwas gcnaucr an: Den inne ren Wert kann man sich wiefolgt cntstandcn denken : Der Stillhalter (Verkiiufrr drs Call) muss schon hcut e - bci Kontraktab schluss - dafur Sorge tragen, die zugrundeliegende Akti e am Palligkcitstag liefem zu k6nncn . Urn sicher zu gehcn, mus s er (zumindesl rheorerisch) scho n heutc d ie Aktie in sein Depot nehmen, dafUr muss cr dcn dcrzcit giiltigen Kassa-Kur s S zahlc n, Die Gege nleistung - den Basispreis X - erhalt cr jedoch erst am Falhgkcits tag dcr Option. Urn diose Gc gcnlcistung schon heut e bewe rten zu konnen , muss sic abgezi nst .....c rdcn, Bci eincr Rcstlaufzeit T und dcm Periodenzinssatz r ergibt sich so- mit H ilfe der in dicsem Zusammenhang merst verwendete n stetigen Zin.donnel, siehe (2 .3.47) - die abgezinste Gcgenl eistung zu X ' e - rT (zurAnwendung derstaigen Zinsformel siehe auch Bemerkung 8.8.8). Somit realisicrt cr bci Kont raktabschluss (sofem S > X ·eorT) rechnerisch eincn ~ Verlust " in H ohe von S- X ' e · rT (= innerer Wert) , dcn cr als Bestandteil der Optionspramie dcm Ca tl-Kaute r in Rech nungstcllt. 27 sicbcetwa IGUn]. [HuI2] 237ff, [Pri) 223lf. INc!] 296lf 28 Europlliscbe Optioncn kOllnen nllr am Flilligkcilstag 3l1sgciibt werden, amerikaniscbe OptiollCn jcderle it, siehe Bern. 8.1.1. Die m nachstentwickeltenBewertungsmodelle fur curoplliscbeOplionenkonnlen zwiscbcnzeitlieh so modifiziert werden, da.ss 3l1ch die Bcwen ung der - an der EUREX vorzugswcisc gchandcllen - anlcrikanischen Optionen mOglich is!. 29 Wird aufdie zugrundeliegende Aktie wamend der RCS11aufz.cit der OptioneineDividendege7.ahlI, sinktdcr Aktienkurs enlsprcchend. Auchdie Einbeziehung diescs ~externen~ Elfekles wurdc inzwischen durch die WeHerentwicklung der Optionsprcismodclle cnnOglichl.

8.8

383

Einfiihrung in die Opnonspretsbcwcrtung

Bemerkung: Auch aus der Sicht des Optionskaufers ergibt sich eine analoge Bewenung: Der Kiiufer des Call muss - um sicher zu gehen - schon heutefur dieienigen liquidenMillel sorgen, die ihn spater in die Lage w rsetzen, bei Falligkeit aer Option den Call zum Bosisprels X ausuoen zu konnen. Also muss er heute den Barwen von X; namlich X ' e-rT, fur die Restlaufzeit anlegen, muss also eineAuszahlung in dieser Hohe leisten.Anaereneus "spart" er heute einen Be/rag in Hohe von S ein, den erleistenmusste, wenn er die Ak /ie sofon ins Poneieuilie nehmen wurde- Gesamtwert des Kantrakies fur ihn also (fulls S> X'e- rT) ebenfalls 5- X ·e- r7', Somit gilt (falls5 > X ' e-rT) fU r den inneren Wert cines Call: lnncrcr Wert cines Call = Aktienkurs minus Barwcrt des Basispreiscs = S - X c- rT . Da andererscits (d.h. fa lls 5 s X' e·rT) cine Ausiibung nachteilig ist und dahcr untcrblcibt, bctragt in diesem Fall dcr innere Wert Null, so dass wir zusammenfassend (siehe (8.8.2) sowie Ahb. 8.8.3) erhalten:

falls falls

Inncrcr Wert cines Call =

(8.8.2)

ss s»

X

max {O ; S-X'c- rT }

X

fPc) , Innerer Wert

eines

Call

innerer weft

5:' Akfienkurs X 80sispreis

S_ Xe-lr (> 0)

Abb.8.8.3

Pc=O

5

15/

Bemerkung 8.8.4: Furden inneren Wert cines Put gilt (mit umgekehrten Vorzeichenumifalls 5 <X, e-rT) analoges: Der 5tillhalterdes Put muss bei Kantm ktabschluss einen Geldbetrag in Hohe des Barwertes von X bereithalten una anfegen, um spater dann damit -cbeiAusu bung -c die angedienteAk tie bezahlen zu konnen, d.h. er erhaltheuterechnerisch 5 undg ibt dafur X ' e-rT hin): Innerer Werteines Put = Barwertdes Basispreises minusAktienkurs 5 = X ' e-rT - S. Liegt der Aktienkurs dagegen oberhalb von X ' e-rT, wird- wenn es so bleibt - der Put nicht ausgeubt, sein (innerer) Wert ist somit Null. Zusammenfassend (siehe8.8.5 undAb b. 8.8.6) erhalten wir: (8.8.5)

lnnerer Wen einesPui =

J1X

e-rT _5 falls S < X , e-rT 0 falls 5 ~ X ' e-r T

max {X e-rL 5 ; OJ

Ip,J , X e- rr

I I

Innerer Wert

;""";;"~ _n Abb,8,8.6

o

5: Akfienkurs

eines P U f

5

X 80sispreis Pp=O

~'-:,-------rr

X- 'e-

15/

8

384

Exkurs: De rivat ive Finanzinstrumente - Futures und O ptioncn

Beispiel 8.8.7: E incAktic notiere heute zu 200 ( = 5) . Ein Call auf diese A k tie wird abgcschlossen mit einer Laufzeit

von 9 Monaten (T =O, 75 Jahr e) , Bastsprets 190 ( =X) . Ocr nsikolosc Gcldmarktzins berragc6% p.a. Abgczinster Wert des Basispreises, falls mil dcr stetigcn Z insfonncl (2.3.47) gcrcchnct w ird: X o = 190 · eO,06 ' - 0,75 = 190 · 0,955997482 = 181,64 ~ Ir mcrcr Wert des Call: 200 -1 81,64 = 18,36

{")

Auc h d ie nbrtcbe Abzi nsungs- Formcl (siehe 2.3.15) is! anwcndbar: Ko = K,. ' q-» = K" .(1 +jfn d .h, ahgczinstcr Basiswcrt, falls mil der diskr eten Z insesz insfo rmel (2.3 .15) gerechnet wird(u ) ~ = 190 ' 1,06- 0,75 = 190 -0 ,957239478 = 181,88

d.h.t nncrcr w en dcs Call: 200 -181 ,88 = 18,12

Seide Abzinsungsfonneln (e) und (.e) fiihren immerdannzumgleichen Barwert,wenndie Zinssatze (gemafJ (2.3.51» zuvor aquivalcnt umgeformtwurdcn: q ,= 1+ i = c r

( - - -)

im Bcispicl (r = 6 % p, a (sletig),

1+ i

= CO•06

bzw.

(r: sleliger Zin ssatz, i: diskreterZinssatz },

r = In ( I +i)

i = 6,183 6547% p .a. = 1'0,06- 1 (disk ret» :

= 1,061836547, d.h. (-) X o = 190 - eO•06 · -0,75 = 190 · 0,955997482 oder: (u) X o = 190 ' 1,061836547- 0.75 = 190 -0,9559974 82 = ( -)

Bemerkung 8.8.8: Falls nicht ausdrnckiich anders vereinhun, werden wit in diesem Kapuelfur Auf-/AbzinJungsvorgange die (besorulers einf ach gebaule) stnige Zin sformei (2.3.47) verwenden. Der verwendeielahreszinssatz r ist dann als stetigerIahreszinssatz aufzufassen.

Wird der lahreszmssatz als diskreter Zins satz t vorgegeben, so muss er vor dem A b-lAufzinsenzuniichst in r (= in (l +i)) umgerechnet werden, ehe die stetige Zinsformel K T = KG' e"T (Aufzinsung von KG) bzw: KG = K T ' e·,T (Ab zinsung von K T) angewendet werden kann [siehe taues Beispiel). Wie schon obcn bcmerkt, ist der - zusil.tzlieh zum inneren Wert anzusetzende- Zeitwert der Option die Gcgcnlcistungdes Kaufers ftlr seine Chalice, dass die zugrundc liegcnde Aktie eine fiirihnpositive Veranderung 1m Zeltablauf bis zur Fil.lligkeit durchmacht (ind. der; Versicherungspramie "far den Fall ungun stigerKursentwickl ung) .

Betrachtcn wir zunachst den Werl des Call am Tag der Alt\iibung: Da jctzt ane rclevanten Dalen bckannt sind und die Zuk unft (T = Of) keine Rolle mehr spielcn kann, muss sieh ein Zcitwcrt von Nullergeben, m.a.w. der Gcsamtwcrt Pc des Call besteht am FalligkeitslagausschlieJ31ich aus seincm ir meren Wert (nach (8.8.2) ergibl sich: Pc " max { O; S- X } , da T = 0) , siehe Abb . 8.8.9: (Pc) l

Gesomtwert eines

Call

bel AustJbung 1Z
5- Akfienkurs K Basispreis

s- » /=m.,,~ WcnJ

Pc= O

x

5

(5/

Bcfmdcn wir uns dagcgen vor dcm Verfalltag (T > O), so hat der Call neben dem inneren Wert noch zusil.tzlieh eincn tnidu-negativen} Zcitwcrt ( ~ Chance, Versichenmgspramie).

8.8

EinfOhrung in die Optionspreisbcwertung

385

Die wahren Werte von Pc musscn sornn (bezogen auf den inneren Wen in A bb. 8.8.3) oberhalb des

Kurvenzuges fO r den inncren Wert liegen, also z.B. so, wie in der folgcndcn Graphik angedcutet [siehe Abb. 8.8. 10, don Pc als Funktion Pe(S) des aktuellen Aktienkurses S dargestells (c.p.) ) : Gesamfwert eines vorderAuSllbung

5: {okluellerIAk#enkurs X Basispreis r- Markfzlnssafz To ResHaufzeif

Call

tt» OJ

Zei lwerf

pJ5/

innerer Wert

o ~

I /

Abb. 8.8, 10

5

lSI

BereichI-

Bereich II-

Bereich/ll

Option 1st ouf-of-/he-money

Opti'onisf at-lhe-money

Optionisf in-lhe-money

Dass die Callwert-Kurve in Abb. 8.8.10 nicht vollig aus dcr Luft gcgriffcn ist, zcigen z.B. die folgendcn Ubcrlcgungcn fur die drei markicrten Bereichen I, II, III :

-

Ist der Call (deep)o Ul-of-t hc-money (Barich f ). so ist - wie bcreits oben (Abb . 8.8.3) gesehen - ucr innere Wert Null, die Callpramie Pc bcsteht somit eusschueartch aus ihrern Zeitwert. In dicsem Bereich ut der Akt ienku rs S so nicdrig, dass in dcr Rest laufzeit T kaum noch mit aus rcichender Kurscrholung gcrcchnet worden kann, eine (fUr den Cat/-1nhaber gewinnbringende) AusObung somit kaum stattflndcn durftc und somit der Wert cines solchen Call praktisch Nullwird- siehe Kurvcnver[auf in Abb. 8.8.10.

-

Ist der Call hingcgen (deep) in-the-mont:y (Baekh III) , so ist dcr Akt icnkurs S so hoch, dass schon vorher so gut wie stchcr tsr, uass die Option bci Falligkelt ausgeubt wird - em Zcitwert ist sozusagcn uberflussig, die Optlonspramie bestcht im wesentlichen nur noch aus dcm mneren Wert - sichc Kurvenverlauf in Abb. 8.8.10.

-

1m at-t he- money -Bereich (II) ist zward cr inncre Wert des Call nahc bci Null (oda Null), dafOr ahcr ist sein Zcitwert besondcrs hoch, da bcrcits gcringc Kursandcrungcn in der verbleibenden Restlaufzeit gcnugcn, urnden Call ins Geld zu bringcn und mit Gcwinn ausubcn zu konnen.

Bem erkung 8.8. 11: Man zeigt m it Hilf e von Arbiirageuherlegungen leicht, doss unser Calipreis Pc [oigenden Uruer- und O bergrm zen genugen muss, siehe auch z.B. [Gun] 12ffada [Hull] 292ff : - Umergrenze: Pc a max { O; S_ X·e· rT } (d.h. Untergrenze ist der innere Wert, A bb. 8.8.3)

-

Obergrenze: Pc ::; S

(d.h. eineKaof -Option auf eine A k tie kan n memats m ehr wert sein als die A kt ie selbst -klar, aenn andemf alls k aufe ich die A k tie (kostet S) und va kauje die Op tion (bringl Pc ? S) ~ »free lunch "!)

5

Stellt man diese Grenzen graphisch dar, erhalt m an einm ", K1Jrridor" (A bb. 8.8. 12), innerhalb dessen die Callpreise Pe (S) angesiedelt sein m ussen tmoglicherweise so wie in Abb. 8.8.10): Abb. 8.8.12

Werte--Korridor

fOr d~n Cofl-WerlPc

o

X- e-rT

5- X- e-rT 151

386

8

Bemerkung 8.8./ J:

Bxkurs: Derivative Finanzinstrumenre - Futures und Optloncn

(Wirlamgen der EinflussgriijJen au/den Optionswen )

Aus den letuen OberlegWlgrn wurrle emeut deutlich, doss de, WrrtPc rinerKaufoption (Calf) aufeine A ktie - auper \10 m Aktienkun S -nocn von weiieren (ouch schon in (8.8.1) au/gelis/rlm) Gr6pen, etwa r, T, X abhiingl.

Insgesaml gibt es fUr den dividendengeschiitzreneuropcischen CaUfiinfwexentlicheEinflussgriiflen, die sich auf die entsprechende Optiansprdmie Pc auswirken: I) derbei Kontraktabschluss ataueueKUTSS derzugrundeliegerulenAktie; 2) der B asispreis X,

ZII

dem am Tag der Ausiibung die zugrunde Jiegende Aktie vom Call-lnha ber

gekauft werden kann; 3) der risikofreie kun frisligeMarktzinssatz r (in % p.a. beisteuger Veninsung); 4) die Resdaufz eiJ T (in l ahren bzw. l ahresbruchteilen] vom Zeitp unkt des Kan traktabschiusses bis

zum Falligkeitslennin der Option; 5) das Ausmap moglicher Kursschwank ungen aer Undatying-Aktie, die Volatililiit a - gemessen als

5tandardabweichung 0 derzukl1nftigenKursvaanderung oderAknenrendue, bezogen auf ein Jahr. Wir wollen - in atler Kiine, ausfl1hr/iche Analysen siehe z.B. [Hull] 286ff, [5tB] 336ff - den Einfluss dieser funf Faktoren auf die Richtung der Optionspramie Pc des Call (sowiep pdes Put) betmcmen. Dazu uberlegen wir, wie die Optionspreise reagieren werden, wenn wir - c.p. - die einzdnen Einflussgropengetrennt vemarken, d.h. im zahlenmapigen Niveou anheben: zu /) l e hoher cp. der aktuelle Aktienkurs S ausfallt, aesto wahrscheinlicher wirddie Call-Ausilbung, aeuo wenvotter also der Call, m.a. W. eine Erhohung des akuuellen A k uenk unes bewirkt eine ErhOhung des Call-Pnises (und - mil anatogerArgumentation - eine Absenkung der Put-Pre mie pp), siehe etwa auchAbb. 8.8.10. zu 2) Je hoher cp. der Basisprels X des Call, desto wenlger wahrscheinlich wirdes, dass derA kuenkurs S am Tag der Ausl1bung groper als X ausfallt, d.h, desto wahrscheinlicher verfallt spater die Option. Eme Anhebung des Basispreises bewirkt somn ein Absinken des Catt-Preises Pc (und umgekehn eine Emohung der Put-Pramie, da aer Put desto eher zurAusilbung kommt, je weitersich der Basisprels . redus " vom Kurs S befindet). zu 3) Eine Erhohung des Markizinses r bewirkt, doss der obgainste Wen X ' e-rT des Besiswenes sinkt und sich daher c.p. der innere Wert und somit auch aer Gesam twen Pc des Call emohr (beim Put dominien der entgegengeseute Effekl, d.h. eineZinserhohung vem ngen die Put-Premie, allerdings awas wenigerstark als beim Call, da der Put-StillhaltereinehOhere Ven insung der angdegten Optionspriimie realisieren kann). zu 4) Je groper c.p. die Restlaufzeit T einer (dividendengeschillzten) Option, desto grofter ist auch die Chance der zugrnnde liegenden Aktie, in fur den 1nhaber derOption voneilhafteBereiche vorzustopen (beim Call: zu steigen, beim Put: zu fa llen). Daher: Eine hohereRest/aufzeit bewirkt cp. ein Ansteigen sowohl des Cafl-Preises als auch des Pw -Preises. zu 5) Je groper c.p. die Vo/atiJitiit 0 der zugrnnde liegemJen A ktie, desto wahrscheinlicher eine (vortei/hafte) Bewegung der A klie, m.a. W. eine erhiJhte Volatilitat bedeutet sowoh/ einen erhOhlen Call-Preis als auch einen erhohten PUlpreis. hal folgende ( ... Q

EineZunahme .. ... des Aklienkurses S

Abb.8.8.14 Zusammenfassung

des 8asispreises X .., des Marfdzinsniveaus r ... der li'esl/avfZeil T ... der Volahli/l'il a

Wirkungen ...

Zunahme, ...Q AbnahmeJ

Call-Preis

P, +

•+ + +

• • + + +

8.8

387

Einfuhrung in die Optionspr cisbewe rtung

Ocr wieh tigste - und am schwicngsre n cinsc hatzba re - Einflussfaktor fur den Zeitwert [und damit fur den Preis) cincr Option ist die Volatilitiil der zugrund e liegenden A kttc. Verschicd cne Opuons-Bewertun gs-l\Iodelle30 versuchcn - auf unt crschi cdli chc Thcscn gcstutzt und unt er Anwendung stochastisch er Method en - aukunttfgc Chancen und Risiken zu trcffe nd cinzuschatzc n, urn so cincn fairen Optionspr eis gene rieren zu konnen.

Ei nes der bcdeut sam sten und derzcit in der Praxis bcsondcrs hiiufig angewe ndc te n Verfahr en ist da s Optionsp~is-Modell vo n Black & ScholCc\3 \ (" B&S-Modell") . Dtcses Modell wurd e zunachst fur die Be-

wcrt ung cines - auch hier als Beisp iel gcwahlte n - divkl cndengcsch urzten cutopaischcn Ca ll aufgcst ellt und setthcr auf fast aile ubri gen Optionsty pen wcitcren twickelt. Wi r wollcn nachfolgen d - ohne auf ma thcmatisc hc Details eingehen zu konncn - einige Ideen und E rgeb-

nissc des B&S~Modells darstcllen. E in cntschcidcndcs Momen t der B&S-M ooell-Bi ldun g besteht in der (bmd/s auch schon fruher venmenen) Annahme, dass es stch bci der Aktienkurs-Entwicklung urn einen kontinuierlichen Zufallsprozess handclt, der de m cincr geome t rischen Brown'scnen Bewrgung32 entspric ht. Da die Mat hemat ik demrti ger Prozesse schon zuvor entwickelt worden war (Wiener, Ito) bzw. aus der Physik bekannt war (Diffl'rl'ntialgltichung der Warmeleuung), gclang cs Black und Scholes zu zeigc n, dass der theo reti sch faire Call-Preis unrcr den gegcbcnen Vo rausse tzu ngcn im wesentlichen aus dem Tenn S - X · e - rT {innerer Wert des Call, siehe (8.8.2» hcrzuleiten ist, wobei " nur" noch jedcr dc r bciden Teilterm e S und X · e- rT mit einem

Gewichtun gsfaktor g\ bzw. g2zu mult iplizieren ist :

(!ULlS) D iose tweiter un/ergenauer definierten) Gewichtungsfak toren gl' g2 berucksfchtfgen die noch fchl ende statislische Schwankungs komponente - die Vola tilitiit 0 der Ak tlenku rsrendtten' ? - im Rahmen des stalistischen Modells dcr Brown'schen Bcwcgung. Se ben6tigcn zu ihrer Darstellung Wert e dcr Slan da rdNonn alverteilung:

ffJ l

Bezcichn et ma n mit N(dr den Wert der (kumulieneni Verteil ungsfunktio n der Standard Normalvertei lung, so lasst sich N(d) dars tellen als Flacheninhalt untcr dcr normierten " Ga uBschen Sta ndard~Gloc kenkurve " f f(z)

(Dich/rfunktion f derStandard-Normatveneilung) zwischen _ 0>0 und d , s. Abb. 8.8 .16 .

N(d) gibt die Wahrschei nlichkeit W datur a n, dass de r Wert z der Zufallsvariabl en Z kid ncr oder gleich d ausfallt: N(d) '=' W(z s d). Einigc Wertc von N(d) sind weiter unten in Tab. 8.8. 19 a ngcgcbcn.

o

d

Izi

Abb.8.8.16 Oichfefunklion f der 5fandard·/wmalvertel1ung

30 siebe7.B. [Per) 322lf z.B. die Modcllc von Cox & Rossodcr Block & Scholes 3\ Black, F. und M. Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liebilittes, Journal of Political Bconorny gl . 637 659, 1973. Merton, R.C.: TheoryofRalioll.11 Option Pricing, Bell Journal of'Economics and Managcmcnt Science 4. 141-183, 1973. Fiir Ihre Arbeiten auf dcm Gcbiet dcr Opuonspreisbcwertung erhieltcn Scholes und Merton im Jahr 1977 den Nobclpreis fur Winschafl. (F. Black (+ 1995) lrbtezu dieter Zeit nichl mehr). 32 Brownschc Molckularbewcgung: rcgcllosc Znterwegung von Gas-Mclckulcn, ..sicbtbare'' Wllrmebewegung B Wenn So dcr Kurs im Zeitpunkt to und S\ dcr Kurs nach cincr Zcitcinbeit ist, so ergibt sich die Aktienkurs-Rcndue R - bezcgen auf eine Zeitcinheit - eus der Gleichung Sl = So· eR zu: R = In (S\15o). Aus der Theorie der Brown' schen Molckularbewegung kann ebgelcuet werden, dass diese Renditen normalverteilt sind - wir haben es also mit ciner Log-Nonnalverteilung der Aktienkurs-Quotienten zu tun. 34 gclcgcntlich auch auch mil F(d) oder ¢>(d) bezeich ncr und ..kumuliertc Vcrtcilung" genannt, vgl. [Wei) 165f. -r

388

8

Exkur s: Derivative Finanzin strument e - Futures und Opnoncn

WiT sind jetzt in der Lage, die Black-Scholes-ronnel filr den (thromisch) farrenWert Pc cines dividendcngcschutzten europaischen Call zu formuueren. Gleichung (8.8.15) ist dabc i wie folgtzu modifizieren:

(8.8.17)

III (SIX) + (r + 0,50 2) T

mit

In ( SI X) + (r - 0,5( 2) . T

oyT

oyT

wobei die bctciligte n Varia blen folgcm.lcBcd cutunghabc n:

PC: S; X;

r: T: 0:

Optionspramicfur den Call, Callprcis,fallig bel Kontraktabschluss Kurs (Preis) der zugrundelicgcndcn Ak tie (slOck price) Baslsprcis, Ausiibungsprcis (exercise price) am Tag dcr Falligkcit risikoloscr Marktzinssatz fur (kurzfTistiges) Kapital, r :=: 0, p.a. (sleIig) Restlaufzeil der Op tion (vom Kontrak tabschluss his zurA usubung), in Jahren (l Jahr = 365 Tage) erwartc rc Volatilitat dcr zugrundchcgendcn A kne nrcndite n, in % p.a.

N(d l ) , N(d 2) : Werte der tkum ulienen] Standa rd-Nonnal-Verteilungsfunktion,

siehe Tab. 8.IU 9

Call-Wert PelS}

IPJ I

nacn Blark&5choles

pc <5

Pc> maxfO; 5- K 9-"1

Abb.8.8.18

°1

IS/

Derdurch die Black-Scholcs-Fonncl irnplizicrte Wertevedauf

Pc

=

PdS)

cnt spricht genau dern schon in Abb. 8.8.10 vcrmutc tcn Verlauf, siehe obc nstchcndc Abb . 8.8 .18.

8.8

389

Einfiihrung in die Optkmspreisbcwertung

Tab. 8.8.19.- Auszug ousder Ver1eilungsfunktions-Tobelle Nfd) der 5fondord-Normolverteilung: d

...

°

I

-3,8 -3,7 -3,6 · 3,5 - 1,3 - 1,2 . 0,'_0,0 0,0 0,1 0,2

0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0 968 0, 1151 0,H 46 0,5 000 0,5000 0,5398 0,5793

0,000 1 0,000 1 0 ,0002 0,0002 0 ,0951 0, 1131 0 ,3409 0 ,4960 0,5040 0,5438 0,5 832

2

J

,

s

6

7

s

,

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0934 0, 1112 0,3372 0,4920 0,5080 0,5478 0,587 1

0,000 1 0,0001 0,000 1 0,0002 0 ,0918 0,10 93 0 ,3336 0 ,4880 0,5120 0,5517 0,59 10

0,0001 0,000 1 0,0001 0,000 2 0,090 1 0, 1075 0,3300 0,4840 0,5 160 0,5 557 0,5948

0 ,0001 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0885 0, 1056 0,3264 0,480 1 0,5 199 0,5596 0,59 87

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,000 2 0,0869 0,1038 0,3 228 0,4761 0,5239 0,5636 0,6026

0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0853 0, 1020 0,3 192 0,4721 0,5279 0,5675 0,606 4

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0::138 0, 1003 0,3156 0,'-681 0,53 19 0,5714 0,6103

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0823 0,09 85 0,3 121 0,464 1 0,5359 0,5753 0,6141

...

Beispiel 8,8,20: (Enn ittlung des Fair Value eines divid endenlosen europaischen Call nach Black&S choles)

Bcrcchnct "ve rden soli dcr (theoreuscn f aire) Callpreis bci folgenden Daten (bei Kontraktabschluss): A ktuellcr A kticnkurs: Basisprcis: Marktzinssatz:

S = 157 € X = 160 € r = 5% p.a, (.uetig)

Rcstlautzcit des Call; Volatilitat:

T = 9 Mo nate ( = 0,75 Jahre) a = 20% p.a. (en<;artet)

Durch Einsetzcn crgibt sich aus (8.8.17): dl =

tn (SI X) + Ir + O,W,) , T

a

In (157/ 160) + (0,05 + 0,5 .0,22) 0,75

=

VT

0,2

V0,75

= 0,193828

d 2 = d l-avT = 0,193828 -0,2¥0 ,75 = 0,020623 ~

N(d l) = N(0,193828) = 0,5768

(lineare in terpolation mit den Daten aus Tab. 8.8. 19)

•

N(d 2) = N(0,020623) = 0,5082 ~

Pc = 157 ' 0,5768 - 160 e- O,05 ' 0,75 '0,5082

•

12,2383 "" 12,24 €

Call-Optionspramic .

Bemerfamg 8.8.21 : Die Bla ck-Scnoles-Formel (8.8.1 7) f ur den fa iren Wert der Oplionspriimie eines europiiischen Call genugt den bek annten Eigenschaflen (siehe Bern. 8.8.1 3) des Call-Preises, wie man sich anh and einiger Eckwene in (8.8.17) uherlegt: i) Wenn sichere zuk unftige Dalen vorausgesetzt werden, wird die Volatililiit a definilionsgem iifJ Null.

Betrachten wirdazu einm al den Callwert (8.8.17) [arden Fall S > X ' e·rT.. Wegen

lim d , =

"_0

Jim d 2 =

"_0

00

gilt:

N(d t ) = N (d 2) = 1

(denn der G esamt-Fliicheninhalt unterhalh der Dichtefun ktion Abh. 8.8.16 der Standard-Nonnalveneilung ist Eins), d.h. es gill nach (8.8.17) [ ur die Call- Pramie: ~ S- X'e- rT lim p =

"_0 c

ss -xcrr:

'

entspncm also - wle awattet-«genau dem inneren Wen [urden Fall S > X ' e-f T. Falls S
lim d } =

" _0

lim d 2 = -oo

Q_O

und daher:

N(d t) =N(dJJ =0.

Jim Pc = S · O-X ·e-rT. O = 0,

0-'

d.h. -wie zu erwarten - em eusaen inneren Wen, diesmatfur den Fall S < X- e-rT .

390

8

Exk urs: Derivative Finanzinstrumcn tc - Fut ures und O ptioncn

ii) Wenn der Akuenkurs S sehrgrojJwird (im theoreuscnen Grenz[a ff: S -- 00), so ist die A usubung des

Call sicher, d.h. die Op tion enrspricht einem gewohnlichen Tenninka uf zum (Basis- }PreisX, heutiger abgezinsler&u[preis X -t OrT, der Wen des Call be/rag/donn alsaS- X·t-rT. L assen wir nun in der Black -Scholes -Formel (8.8.17) S sehrgroftwerden, so folgt:

lim""d, $ __

= 5 _lim_ d 1 =

._-

N(d}) = N(d 2) = 1,

unddaraus:

00

so dasswir-wie beii)-erhaflen:

lim Pc = S ,] _X·e- rT . } = S _X 'e- rT (=innerer Wert) .

iii) Wenn die Aktie wenios wird, d.h. S -- 0, so maple ouch der Call wentos werden.

A IlS (B.8.J7)folgtfiirS -O twegen d.h.

s~o ln S = -

00): s~o d J = s'!!!:o d 1 = - 00

N(d,) = N(d1) = 0 und som it (wire/waner) Pc = O.

Wcnn del Preis Pc des dividcnd cngcschutzten curopaischcn Ca ll bckan nt ist , tasst sich der Opnoesprers

Pr cines entsprcchendcn Put lcicht bcrechnc n. Es gilt namhch fiir cu ropaisehe Optioncn eine bcmerkcn swerte Bcziehung zwischen den scchs Variablen Po pP, S, X, r, T, die sog. Pur-Calt-Parna t: (8.8 .22)

Pr + S = Pc + X 'e- rT

I (Put- Call-Parity, Bedeumng der Van ablen wiein (8.8.17),

d.h . wenn der Zahlenwert pc des Ca ll erst cinmal emuttelt ist tsiehe etwa Bd rpiel 8.8.20) , tassr sich leicht aus (8.8.22) ermitteln, da aile iibrigen Variablen bekan nte w erte baben:

Pr

BeispieI 8.8.23 (Fortsetzung von Beispiel 8.8.20) Mit den Ausgangsdatcn

Ak tueller Akttenkurs: Basispreis:

Marktzinssatz: Rcsrlaufzcit des Ca ll:

vota ufitat:

hatte sich folgendc Ca tl-O pnons pramic ergeben.

S = 157 £

x = 160 £

r = 5% p.a. (stetig) T = 9 Monate ( = 0, 75 Jahre) a == 20% p.a. (erwartet) Pc " 12,2383 €.

A us der Put- Call-Parirat (8.8.22 ) ergibt sich damit fur die Put-Optionspramie Pr:

Pr == Pc- s+ X ' c - rT = 12,2383 - 157 + 160 'e-o,OS 'O,7S = 9,349 4""9,35 £ (= Putpreis) Z um aew eis der P ut-Cal l- Pa ritlit (8 ,8.22) bct rachtc n wir zwci Invest orcn, genan nt L (wie "Jinks") und R (wie "rechts "), deren heutiges A nfangsvermogcn AV t, bzw, A VR ubcrcinsnmmt mit dcr linken bzw. rcchtcn Seite der (noch zu beweismdm} Pur-Call-Bezichung (8.8,22), Die heiden Invcsto rcn Lund R vcrfiigen da her iibe r folgendc Anf angsvermogen : Investor L:

AV t,

'"

Pe + S

d.h . im "linken " Portef euil/e befindet ein (long) Put auf eine Aktie, hewiger Wert PP (Basispreis X; Restlaufzeit T) sow ie eine Aktie dessetben Basiswenes, heutiger Wert S ( = aktu eller Kassak urs); Investor L hat also bereits heute die Aktie im Bestand, die er evtl. spa ter- bei einerAusubung des Put- verkauf en wird.

Investor R:

A VR =pC +X ' e -rT

d.h. im .reduen " Portef euiUe befindet sich ein (long) Call auf die Akrie, heutiger Wen Pc (B asisp reis X, Restlaufzeit T) sowie ein Geldberrag in Hohe von X ' e-rT, der- heute zum risikolosen Mark tzinssatz r ange/egt - im spiiteren Z eitp unkt T (= A usubungszeitpunkt ) auf einen Endberrag von genau X angewachsen sein wird; Inv estor R verfugt also berehs heute uber die Ge/dmittel, die spiiterevtl. nOtig sind, 14m den Call auszuuben:

8.8

Emfuhrung in die O ptionspreisbcwcrtung

39 1

J ctzt bet rachtc n wir den Zeitpunkt T der (moglichen) A usub ung dcr Op tionen und fragen nac h dcm E ndvermogcn E VL bzw. E VR der bcide n I nvcstoren, das sich aufgrund des obigcn Anfangsvermogens cinstellt (den aktuellen A knenkurs im Zeupunkt Twotten wirmil ST bezeichnen) . Dazu musscn wir wieder die Panes- > X undSy S X untersehciden:

Investc r L : (a) Angcnomme n.cs getre

Sy > X:

Dann vcrfallt der Put (da L besser am Markl verkauft), ubrig bleibt ilun die Aktie, die er nun am Kassamarkt zu Sr verauuert. Sem Bncvermogcnbetragt also EVL

'"

Sy

( >X) .

(b) A ngenonuncn, cs gclle: Sy S X: J etzt ubt L aus und kann die in seinem Bcsitz befindlich eAktie zum Preis vo n X verkaufen. Scin Endvermogen betragt da her E VL = X ( ?:Sr)' Invcstor R : (a) Angcnommen, esgene: Sf> X : Nun wird der Call ausgeubt ter kunn dieAktie per Call billigerkaufen ais am Kassamarkt), die Aktie wird also zu X gekaufl (dies entspridugenau dem aus dem Anfangs -Gddvermogen resuhierenden Betrag) und unm itteJba r am Kassamarkt zu Sy (> X) vcr kauft. Sein Endvermogcn bctragt dah er EV R = Sy (>X) . (b) A ngcnomm en, cs gelte:

s,. S X :

Jctzt vcrfallt der Ca ll (da die Aktie am Marla bi{{jgerzu hahen ist], dem Investor vcrblcibt dcr aufgczins te Gc ldbetrag in H ohe vo n X : EVR =X ( ?: Sr) Wir konnen fcs tstellen: Am Falligkcitstag del Optio nen verfugcn die beidc n Invcstoren L und R uber exakt dasselbc Bndvermogcn, egal, welcher A ktienk urs Sf sich schliclqic h eingeste llt haben mag. Daher musscn - naeh de m Aqu ivalenzp rinzip de r Finanzmathcmatik - aueh die Anfangsvermogcn AVL und A V R bcider Invcstoren ident iseh 3Ssein - und gcnau das wolltc n wir sc hlicglich bcwciscn: ~

Pr + S = Pc + X ' e- rT ( = Pul·Call· Paritiit (8.8.22».

Aufgabe 8.8.24: i) Man verifizieredic Black-Scholes-Formcl fur einen (dividendengeschOlZen) curopaischcn Put

(8 .8.24)

mit

dl =

In (SIX) + (r+O,50 2) T

oVT

d2 -

In (SI X) + (r - 0,5( 2) . T

OVT

(= d t - aVT)

durc h Kombination der Black-Scholcs-Formcl (8.8 .17) (fOreinen europaischen Call) mit de r PutCall- Paritat (8.8.22).

Hmweis:

Wenn N(d) der Funknonswen der Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteiiung N(- d) = l - N (d) bzw. N(d)=l-N(-d). ist,sogiftbekanntlich:

35 Da es sich urn cu ropaischc Opttoren handclt, kan n eine vorzcitig e Ausiibu ng nieht stattfindcn - die Gleiehheil der Vcrmcgcnswcrtc ist also nach dem Aquivalcnzsatz (Satz 2.2. 18 iii : .Einmal aquivalcra- Immcr aquivalent") ZlI

jcdem fruheren Zeilpunktgewahrfeistct.

8

392

Exkurs: De rivat ive Finanzinstrumen tc - Futu res und Opt ionen

ii ) Analog zu den lJbcrlegungcn in &mcrkung 8.8.21 vcrifiziereman den in der nachstchendcn Abb.

8.8.25 da rgcstelttc n typischcn Werteverlauf pr "" pp(5) emcs europiiischen Put in Abhangigkcit vomj eweiis aktucl1en Akticnkurs S: Putpreis

(p,J

WerNer/auf eines europ.

Put

wert-UJlergrenze. k e-" - 5

Abb. 8.8.25

o

racn

Black & SCholes

(5/ akt. Aklienkurs

Aufgabe8.8.26: H ube r hal am A ktienmarkt Pech gehabt - die von ihm zu 33 € gekaufte Ak tie der G immicks AG nottcn hcute nur noch zu 15 E. Daraufhin bcschlieJ3t er, cine Vcrkaufsoption (Put) zu crwerben, die ihm gcsrattct. in cincm Jahr seine Aktic zum Einkaufsprcis (33€) zu vcrkaufen (dam il haue er offenbar seine Verlusle kompensiert ...) . Nach langcm Suchen findet er in Moser einen passendc n und zum

Handel bereiten Opuonsverkaufcr. Daten: trisikoloser] Marktzinssatz: 5% p.a.; Volatilitiit dcr Gimmicks-Akt ie: 20% p.a. l) Ennitteln Sie die Put-Pramie, die Huber fur dicsc Option bezahlcn muss und gcbenSie daraufhin cine (kriJische) Wilrdigungvon H ubers Verlust- Kompcn sations-Stratcgic. ii) Angcnommen, die Gimmicks-Aktie werde als cxtrem.flattc rhaft" eingestuft - crwartc re VoJatilitat 85% p.a. Wie andert sich die Put-P ramieund damit H ubersSituation? Aurgabe8.8.27: H uber muss in drci Monaten cine grosere Rechnung in USS bczahlen. Urn das w cchsclk ursrisiko abzusichern, glcichzcitig aber vom moglicherweiscfallcndcn $- Kurs profitlcrcn zu konncn, analysiert er zwei unterschiedliche Straecgien St und52: S1: Terminkauf (3 Mona re) von US$zum Kurs von 1,21 £ /$ und zusatzlich Kauf cines$- Put (Resttaujzeir 3 Monate; Baslspreu 1,20 £ ; Optionspramie 2 europ. Cent) 52: Kaufeines $-Call (Rest/aujzeit3 Monate, Basisp reis 1,20€, Call-Pramie I europ. Cent). H uber crwartet, dass in 3 Monaten (3 Monate a 0,25 Jahre) dcr $- Kurs entweaer bei 1,10 £ /$ oaer bet 1,30 £ 1$ stcht, (andere Szmarien bleiben aufJer Be/rach/) . i) WelcheStrategie ist fur H uber >gemcssen an seincn effektiven Kosten fUr denS (ohne Berucksichtigung von Z insrn) - bci welchcmSzenario gtinstigcr? ii) Bcantworten Sic Frage I), wenn ftlr die Opnonspramicndcr jeweilige Fair Value nach Black-Scho-

les zugrunde getegt wird ($-}um bei Optionska uj 1,19€; Mark tzinsn iveau 6% p. a.; $-Volatilitiil 10% p.a.] und auuerdcm Zinsen auf die Optionspramicn zu bcracksjchngcn sind.

8 .8

E infiihrung in die Opt ion spreisbewertun g

393

Bemerku.ng 8.8.28: Da opuonen - wie nahezu jedes Hundelsgus - den Geseuen von Angebot und Nachfrage umerliegen, weichen die latsiichlichgeforderten/bezahlten Optionspriimien vom theoretischen Fair Valuemehroder wenigeraboEin wesentlidier Onmd dafurliegt in der Tatsache, dassdieim theoretischen Bewenungsmodell (Black-Scholes) zugrundegeiegten Volatililiiten auf Vergangenheitsdaten (bzw. auf Schiitzungen) bosieren. Deraktue/leMarla hingegen konme eineaavon abweichende Volati/itiilumemeuen. Daher geht man hiiufig auch so vor, aus riner vom Markt akzeptimen Opnonsprsm ie, z.B. Pc . mil Hilfe des Black-Scholes-Mode/Is sozusagen"mckwiirts«died abeivom Marl:t zugrundegelegte Votantiuns-Kennzaht o - man nennt 0 dann die"implizile Volatililiit" -zu ermiueln una auf Plausibililiit hin

otauschatzen.

Mathematisch hunaeu es sich dabei um die Bestimmung der Umkehrfunktion a = v(Pc , S, X; r, T) aus der Black-Scholes-Funktion Pc = Pc(S, X; r, T, 0), siehe (8.8 .17) . Da sich (8.8.17) nicht mit Hilfr der ktassischen Termumjormungen nach 0 auf16srn lasst, verwendet man dazu die bekannten nerativen Methoden der Gteicnungslosung wir z.B. die Regula f alsi (siehe etwa Kap. 5.1.2), den Solver eines Tabellrn-Kalkulations-Programms wir z.B. Excel oder mothematische Spaialsoftware wieetwa M ATHLAH, M ATJlEMATJC AoderMAPL£.

Km m man die implizue Volalililiil, so kann man sich ein Urteil daruber bilden, ob bzw. inwieweu die entsprechende Schwankungsiendenz hegrundet ist bzw. ob una inwieweit der Optionspreis ungerecmfertigt zu hoch oderzu niedrig angesem [fl. Aufgabe 8.8.29: De r Preis ciner 60-T agc- Kaufoption (europ. Call) auf die - zu r Z cit mit 100 GE noticrtcn - Aktie der H uber AG bc trage 8,45 64 G E, Basispreis cbeorans 100 GE. Der risikofrcic Markt szinssatz betragt z.Zt. 5% p.a . Die aufgrund von Fundament alanalysen und Vcrgangcnhcits date n emuttclte Volatilitat del A ktie bettagt 40% p.a, i) Zei gcn Sie, dass die o.a. Call-Pramie cine irnplizite Volatilita t von 50 % p.a. unt crstellt . ii) l si der o.a. Ca llpreis zu hoch Ollerzu nicdrig angesetzt ? iii) Ermittcln Sic.die Callpramie auf der Basis einer Volatihrat vo n 40% p.a.

Bemerku.ng 8.8.30: Handelt es sich bei den betradueten Optionen nichl um dividendenjreieeuropiiischeOptionen, sondem urn europaiscne Optionen, die zwischenzeitlich eine Divldende abwerfen, so mussen die BlackScnotes-Formetn modifiziert bzw. erwritert werden, siehe z.B. [HuI2] 252 ff oder [Gun] 79ff.An aloges gilt fur den Fall, dass das Underlying keine Ak lie, sondem ein Index, eine Wiihrung oder ein Future ist, siehez.B. [Hul2] 267 ff. Zu weiteren Abweichungen von den Standard-Voraussetzungen siehe [Gun] 79f[. Die Bewenung amenka nischerOptionen kann i.a. nicht explizit uberdie Black -Scholes-Gleichung eifolgen, die entsprecnende Bewertungs-Ungleichung erfordertzu ihrer Losung vielmehr relativaufwendigenumerische Iterationsprozesse, siehe[Gun] 198ff. Neben der rechnerischen Ermittlung der Optionspramien interessiert den analysierenden Investor insbesondere auch, wiesich die Optionswerte veriindem, wennsichdie beteiligten Variablen urneme Einheit iindem (Sensiti~itiitsa"alyse - Kenn-Variable Delta, Omega, Theta, Vega, Rho). Auf diese verfeinm e Analyse konnen wir im Rahmen dieserEinfuhrung nicht eingehen, die Lileratur bietethier umfangreiches Material, siehez.B. [Hu12] 299 ff.

395

9

Finanzmathematische Verfahren der Inves titionsrechnung

9.1

Vorbemerkungen

Kcnnzeichcn aller finan zmathcmatisch analysierbaren gescha ftlichc n Untem chmungcn (wie z.B. Kredill'; Anlage-lEmnahmeprozedumz; Vergleich VOrl Zahtungsmodeliuuen etc.] iSI die Moglichkeit dcr Darstellung dieser v organge in Fonn cines - aus Leistungcn (L) und Gegenleislungen (GL) bestchcnden -' Zahlllllgs.~troms

bzw. Zahlungsstrahls (vgl. A bb. 9.1.1):

i, I

i, I

G,

I

i, I

G,

I

G,

I

I

G,

(Zeit)

Abb. 9.1.1

E inc besondc rs wichtigc und hitufig anz utrcffcndc Spiclart von " Leislung vs. Gege nleis tung" licgt bci (be/rieblichen) Inves u uenen vo r, d.h . dcr (miuel- bis km gfns tigen} Anlage \ '011 Geldmitteln in

• reate Objckte, z.B. Produktionsanlagcn, Gcschaftshauscr usw, (Real- oder Produaionsinvesti{ionen); •

Finan zobjckt e, z.B. Akti en , fes tverzi nslichc Wertpapicre, Bankguthabcn usw. (Finanzinvestilionen);

•

Forschun gs-/ Entwieklungs prozesse, A us-, Fort- und Wcilerbildung, Service und Werb ung usw. (immarerielle l nvestuionen ) ,

Unler dcr Voraussctzung, dass sic h sarntliche mit einer Investitlon verbundc ncn Aus- und Einzahlungen angcbcn lassen, ist cs somit moglich, die Instru mente der Finanzmathematik (insbesondere das Aquivalenzp rinzip, vgl: Satz 2.2.18) zur Beurteilun g der Investition (aus f inanzieller Siehl) zu Obertragen und anz uwenden. Die hier bct racht ct cn finanzmathematischen Verfah ren der Investition sre chnung werden - da sic per

cxponenticllcr Verz insun g die zeitttcbe Komponente der Za hlungsflOsse bcrucksichrigen - als dynamtsche Verfahren der Invesnnonsrechnung bezeichnet. In der Praxis hauflg anzutrcffen sind dan chcn aueh einperiod ische bzw, auf D urchschnitt swerten basic rcrule sog. "sta tische Invcs titlons-Rcc herwerIahrcn" (Kostenvergleichsrechnung, Gewinnvergteichsrecnnung; Renditevergleichsrechnung, Amorus ationsvergleidurechnung), die hier - insbesondere \vegen ihrer Unzulanglichkelten - nich t nahcr bctrachtct werde n soncn I . Wir wollen daher in d iescm Kapitcl einige grundsatzliche Fragen kraren, die sicb bci de r Beurt eilung von Investitioncn unrcr Verwendung finanzma thcmatischer Methoden ergebcn, insbesondere uercr v crwendun g der grundlegenden Kenngrcnc "Kapitalwert" etner Investition sowie der daraus abgcleiteten

Kenngroac .Jnterner Zinssatz" (Rmdite, Eff ek tillzinssalz) einer Investition z, I Nahcres siebe etwa [Blo)1 56ff, [Kroll 28ff. 2 Vgl. u.a (Alii) , [Blo), IDau], [Gr02), [Hax], [Krul ).

396

9

Finanzmathematischc Vetfahren der Investitionsrcchnung

Dam it nicht zuviclc (unn6/ige) Det ails die zugrundelicgcndcn Prinzipicn vcrschlcicm, gehcn wir von den folgcndcn vcreinfachcndc n Priimissen aus:

•

Die bctrachtc tcn Invcsnt toncn lassen sich durch cine Zahlungsrcihc abbildcn, z.B.

(9.1.2)

-10.000; 5.000; 2.500; 5.000. Dabci bedeuten negative Werle: pos itive Wert e:

(T€ )

(Beispiel) b7W_

Mirrelabfluss betm Inves tor, A uszahlungen

Mittelzufluss beim Investor, Einzahlungen.

Aile Zahlungen emcr Period c {i.u.: 1 Periode = 1 Jahr) worden so bc handclt, als scicn sic am E nde der bctrcffcnden Periodc geflosscn. Die eben genannle Zahlungsreihc (9.1.2) musstc sornit ausfiihrlich wie fo lgt dargestcllt wcrden , vgI. A bb. 9.1.3 :

IT€ !

10.000

fleisfung des Inveslors}

I

I

If=1J

(1=0)

j

5.000

L_Poriod" -~ I

rZ9il/

I

ff=2/

((=3)

2.500

5.000

fGegenlelslungen der In veslilion)

I

I

fla. 1 bh"

Plonungszeilpunld f .heule "'

InvesM onsende

/nvesfrhonsbeglf'm

~--

loufzeil r de, InvesMion {von der erslen bis z ur letz/en ZahlungJ

----- - -1

Abb.

~

1.3

hier: T= 3 bhre

Bemerkung: Duren die Termimerung aller Zahlungrn auf das Jahresende entfallen f iir die klossische finanzm athematische Investuionsrechnung die - durch umerjiihrige Zah/ungen bzw. Vcrrechnungen verunaduen - Probleme unterschiedlicher Kamof uhrungsmah oden. •

Die im Zusamm enhang mit dcr ln vcstitlon anfallcm.lcn E in- und A uszahlungcn unt crlicgcn der Bcwcrtung dur ch de n sag . Kalkulanenszlnssatz I des Investors. D ieser Kalkulat ionszinssatz konn tc sich z.B. anlchnen an den zu zahlenden (oder zu vermeidenden} Fremd kapilalzins odcr an die Rcnd itc der czweitbcstcn Alternative ", die der Investor - im Faile dcr U nterlassung wahlcn wurde 3 . Wir wollen - in An alogre daz u - hier ganz allge mcin unt crstcllcn, das s Nicht Invcsticrcn, also . Unrcrtassen" bcde utet, dass der Investor sein Kapual zum Kalkulationszins anJcgt . Bbc nso wird unt erst ellt, dass zwischenzeitlichc Ruckflusse aus der l nvcstinon zum Kalkulationszins angelegt werden.

• (9.1. 4)

Wir bctrachtcn weite rhin zunachst nur solchc Invcstitioncn, deren Zahlungsreihc • mit ciner Au szahlung beginnen , • nur eincn Vorzcichcnwcchscl aufwcisen, • das Dcckungskntcnum ermnen (d.h. die nominelle Summe der Einzah-

Jungen sott grofkr sein ats die nominelle Summe derAuszahlungen) .

De rartigc Invcstino ncn hcil3cn Norma nevesnnonen.

3 FUr die Fcstlegung des Kalkulenonszinses gibt cs untcrschiedtiche Ansichtcn, vgl. ctwa [Dau].

397

9.2 Kapitalwcrt und aquivatcntc Annuitat ctner Invesntton Norm allnvesu tionen sind z.B. -10.000; 5 .000 ; 2.500; - 100 ; - 100 ; - 100;

i)

ii)

(siehe Abb.9.1.3)

5.000

400

Keine Nonnalinvestitioncn sind z.B. ii i)

- 200; 500; - 100 - 1.000; 400 ; 400 + 1.000; - 500; - 300 + 10.000;- 5.000; - 2.500; - 5.000

iv)

v) Vi)

(zwei Vorzeichenwechsel) (DeckWlgskriterium nicht r1iUlf) (Zahlungsrrihe beginm mit einer Einzahlung)

(Zah/ungsreihe beginnt mit einer Einzahlung;aufJerdrm Drckungskrilen'um nicht eifiilll.) 4 (Wir werden spaser auf Nichr-Normatinvestitionen suruckkom men.] Bemer/amg: Zu den Prsmissen in der Finonzmathemank vgl. auch Bem. 2.2.21

9.2

Ka p italwert und aqutvalente Annuitiit einer Investtn on

Bcvor wir uns mit der Effektivverzinsung von Investlttoncn beschaftigen, ist cs erforderlichoder zumindest sinrwoll, die wichtigst e Kennzahl der finanzrna thema tischc n ("dynamischen ") Inves tuionsrcc hnung, den Kapilalwert C ll ctncr Inves tition zu be handcln . A1s Beispiel bc trac htc n wir die in Abb. 9. 1.3 dargcstellte Inves titio n mit der Zahlungsrcihe - 10.000; 5 .000; 2.500 ; 5 .000

(T€ )

und fragen naeh der Vorteilhaftigkeit dieser Investitlon bei einem Kalkulationszins von 10% p.a. ("jal nein-Entscheidung oder "EinzelentscheidWlg N

N

) .

Unt crs tellcn wir zunachs t, dass der Investor die Anfangsauszahlung aus Eigenkapilal Ieisten kann, er also im Moment tiber cin , v ermogen- von 10.000 T € vertugt. Dann bedeutet der Kalkulanonszinsfutl 10% p.a., class der Investor im Fall del Unterla,,~un g dicse to.OOO T € zu 10 % p.a. (eff ektiv) anlcgcn kann (etwa in Wenpapieren oder zur (zusiitzlichen) Tilgung eines schon benehenden Kredns , der mit 10% p.a. Fremdkepua lsinsen belanet isl) s .

Bctraehten wir jct zt das End\'enn 5gen (EV), welches der Investor altcmativ errciche n kann (Stichtag: Tag des letzlen Riickflusses); i) Wird die Investition durchgeflihrt, so ergibt sich das Endvermogen EVI (bc i Investition) d urch

Kumulation del verzinslich angelcgten Ruckflussc: (9.2.1a)

E V I '" 5.000 . 1,1 2+2.500'1, 1+ 5 .000 '" 13 .800T€ .

4 Diose Investitic n Ist das Spicgelbild dcr lnvestition (9.1.2) ;

ldcntische Zahlu ngcn, abcr je wcils cntgcgc ngcsctztes v orzetctcn. Deutet man \1) aus Sicht der Investition, so erkennt man: Die Invesnticn erhalt cine Einzahiung von 10.000 (zu ihre r Vcrwirklic hung) und Illhrt in den nrchscn Jahren die drei folgenden Zahlungen an den Investor ab - wie die Abwicklu ng eines erhaltenen Kredils. Man sicht: lnvestition und Fmanzictu ug unrerschcidcn sich nur im Vorz.eichcn al jer Zahlungen, sre sind lwei Scitcn dcrsclben McdaiIIe. Daher hcillt vi) auch ~ Ncrmal-Finanzicnmg". 5 Anstcllc von " UntcrlassungU (im obigcn Sinnc) wird auch der Begriff "OpportunitntUoder ~ Verglcichsmvcsjnon" vcrwe ndc t, vg l. ctwa fGro212K,

398

9

Finanzma thema tischc Vcsfahrcn del Investitionsrcehnung

ii) Sc i Un rertass ung, d.h. Anlage dec 10.000 T€ zum KalkulationszinsfuB, Mite er dagegen als Endvermogen EVU erhalten:

(9.2.1b)

EVu = 10.000 ' 1.13 = 13.3lOT€.

E ntscheidcnd fu r die Vort cilhaftigkcit dicser Investition Ist nun die Frage, bci welcher dcr he iden Alt ernativc n [Investieren ode, Umerlassen} der Investor das hohcre Endvcrmogen rcalisieren kann, m.a.w. cs kommt Dieh l auf die absolute H ohe des Bndeermogcns. sondc m auf die Endnnniigensdifferenz .6.EV "" EV, - EV U an: (9.2.2)

AEV ", EVI -EVU '" 13.800 -13.310 '" 490T€ .

Das Endvcrrnogcn bei D urchfiihrung dcr Invcstition ist dahcr urn 490 T € hohcr als bei Untcrlassung (d.h. der Anlage der l nvestitionssumme zum Ka/kulationszinsfuft). Die Invest ition crwirtschaftct abc r die Standardverz insung 10% p.a. hinaus einen endwcrtigcn Ubersch uss von 490 T € , sornit isl die Invcsnnon - bei cincm Kalkulationszinssat z von 10% p.a. - absolut gcsehen lohncnd .

(Bei einem Katkulationszinssatz von 15% p.a. dagegrn naue sicn bei Durchfu hrung der Investuion ein um 721,25 T€ geringeres Endvermogen ergeben als heiAnlage zum Kalkulationszins - aer Investor haue besser umerlassen.} 1m Fa ll einer Fremdfinanzierung dcr Invcstitio n vcrtugt dcr Investor zunachst tiber keinc cigcnen Mittel (Anfangsvennogen: Null), ka nn die Invcstitio nsauszahlung ( = 10.000 T € ) abcr zum Kalkulationszinssatz ( = 10 % p.a.) fremdfinanzicren. Unt erst cncn wir zuna chst gesamtfal lige T ilgung am End c de r l nvestitio n, so mus s der Inves tor bei Durchmhrung der l nvestitio n am E nde des dnttcn J ah rcs den Bctrag 10.000'1 ,13 = 13.31O T € an den Krcd itgcber abfiihrcn. Die R ackn usse aus der ln vestitlon haben zum gleieh en Zcitpunkt den Wert: 5.000 ' 1,12 + 2.500 '1 ,1 + 5 .000 = J3 .800 T € , so Jass Jem Investor cin En dvcrmc gen bei Invcst ino n (EV,) von 490 T € vcrblcibt . Unt erla...st dcr Investo r hingcgcn die Investitio n, so bcsitzt sein En dvcrmogcn EV u (ebenso wie sein Anfangsvermogen} de n Wert Null. A lso gill aueh bei Fremdfinanzierung (und ebenso bei beliebiger Mischf inanzierung): Die EndvennOgen~differen z 6.EV lnvestitio n vs. Untcrlassung betragt ana log zu (9 .2.2): a EV ,= EV, - EVU = 490 - 0 = 490 T € .

(9.2.3)

Fiir die H ohe dcr E ndvcrmogen sdifferenz 6.EV ,= EV, - EVu bci Invcst ttion vs. Unterlassung spiclt - bci Voriiegen cines emheitlichen Kalkulat lonszinssatzes - die Form der Finanz ierung kctnc Rolle.

Urn den Nac htcil untcrschicdllcber Stiehtage bci untersehicdlieh en Invcs titionen zu vermeiden, zmsr man (bei jeder lnvestition} die E ndvcrmdgensdifferenz aEV auf den Planungszcitpunkt t e D ("heut e j ab und nennt den erhaltenen Wert Kapitalwert Co der betrcffenden Investition.

(In unserem Beispielergibt sich: Co = 490 '1 , ]"3 = 368,14 T€.)

9.2

Kapitalwert und aquivatente Annui tat einer Invesunon

399

Da (narn dem Umweg-Satz 2.2.2 bzw. dem Aquivalenzpnnzip: Satz 2.2.18 ii)) die abgczinste Endverrnogensdifferenz identisch iSI mit der Summe der einzeln abgezinstcn (und dem tidui gen Vorzeichen versehenen] Za hlungen der Investitio n, haben wit die folgende Definition 9.2.4:

(KapitalweJ1 elner Inveslition)

Gegeben sei eine Investition mit folgendcr Zah lungsreihe f

=

0

1

T·'

I

I

I

R,

R,

T

I

(Zelf)

R,

j

Abb.9,2.5

I c,

Dabci repraseruiert R t ( = ct - at) den RiickfluR im Zeitpunkt I, enn ittelt als Saldo der Einzahlungen ct und AlLqahlungen at dcr Periodc t. Weiterhin existiere fur den Investor ein einhcitlicher Kalkulationszinssatz I. Vnter dem KapitalweJ1 Co der Investilion verstehr man den auf den Planungszcitpunkl (t = 0) mit H iffe des Kalkularionszinssatzcs abgezinsten Wert samtltcher Ruckflusse {oder Z ahlungen) der I nvestitio n: (9.2.6) bzw. (mit q (9.2.7)

R R " + - '-+--'-+

Co

.= I + i

"'0

und R t

c, ..

l+i

(l +i)2

·=ct- at)

T

T

t=0

t=O

2 R,·q·'

T

2~

q-t - Iat .q-t t=O

(d.h. Kapitatwen = Barwen aller Einzahlungen m inus Barwen allerA uszahlungen)

Bemerkun g 9.1.8: Fur den (hiiufig vorkommenden - vgl. Eingangsbeispiet A bb. 9.1.3) Fall, dass der ~ Ruckfluss « im Z eitp unkt t 0 allein aus der In vestiuonsauszahlung (- a o) bestent, tasst sich (9.2.7) auch schreiben als

(9.2.9)

Co

.=

T

,.I ,Rr q-r

wo +

Bemerkung 9.1./0: N ach dem Vorangegangenen - insbesondere nach DeI 9.2.4 - ergeben sich die folgenden aquivaiemen Deulfm gen jiir den Kapilalw ert Coeiner tnvesuuon: i) Der Kapilalwert Co einer tnvesution entspricht der abgezinslen Endliermogem differenz E VI - E VU (EndWTm6gen bei l nvestition abzuglich Ena vermogen bei Unterlassung (Unterlassung ~ A nlage zum Kalk uuuio nszinssatzs]:

Der Kapilalwert Co eines l n vestiuonsproi ekies gibt somit den auf den Planungszeitpunkt t = 0 abgezimten Wert des Betrages an, um den das End vermogen bei Realisierung der In vesmion gr6f.ler (oder k lejner) sein wild als bei Wahl der Unterlassensalternative.

9

400

Finanzmathcrnatischc v erfahren dcr Invcsntlonsrcchnung

ii) Co must den barwertigen Vermogm suberschuss (jails Cq > 0) des Investors gegenuber der " ub-

lichen" Venlnsung (reprasennendurchden Kalkulationszins).

Ein positiver Kapita/wert miss! daher den Vorsprung der ln vesmlon gegenuher der nachstbesten Allemalivl? ( =Anlagezum&lkularionszinSSQIZ).Co (>0) iSI also diejrnige Summe, die dem Investor (uber die ubiiche Verzinsung alter Betrage hinaus) ols zusiitzliches Augenblicks-Vermogen zuwdchst. (Analog beJeutet ein negativer Kapita/wert cine "Qugenblickliche Venn6gensminderung, scfem sonsl alle Zah lungen der iiblichen Vetzinsungunteriiegcn.] U

iii)

Em Kapuatwen von Null deutet an, dass tnvestieren und Unterlassen[inanzmathematiscniiquivalent sind, d.h . der Investor erzielt mit aer Invesmio n dasselbe Endvermogen wie bei An lage zum

Kalkulationszins. Dieser Kalkulationsztns entspridu dem Effeklivzins der lnvestuion (imerner Zim, vgl. Def 9.3.4). iv) Aus iii) folgl insbesondere: Iede Ge/danlage zum Kalkulalionszinsfup hal definilionsgemapden Kapitalwen Null. Daher konnen mil Hilfe des Kapualwens auch lnvestitionen verglichen werden, die umerschiedJich hohe ln vestuionssummen und/oder umerschiedlidse Laufzeuen aufweisen. VOTaussetzung dafiir ist lediglich, dass iibersteigende Differenzbelriige in der Differenziaufzeit zum Kalkulationszinssatz versinst werden 6: Der Knpitalwert solcher nDifferenzinveslilionen" hal SIelS den Wert Null und Iragl somis nidtts zurAndemng der Vorteilhaftigkeitder tn vestition bei. )') Aus j) his iv) liest man das Vorteilhaftigkeilskriterium fur EinzelinvestitWnen unter Verwendung des Kapitalwenes Co ab (Kapitalwertmethode): • Eine Investition is/ tabsolut] voneilhaft, wenn ihr Kapltatwen posuiv ist; • Eine lnvestuion ist (abso/ur) unvorteilhaft, wenn ihr Kapltaiwen negativist; • tnveuition und Umerlassung sind iiquivalent, wenn der Kapilaiwert Null ist. vi) Beim Vergleich mehrerer Invesmionsprojekie richtet sich die Vorteilhafligkeilsreihenfolge nach der Hone der (positivent) Kapitalwene: tnvestition I ist besserots Investnion 2, sofem COl> CO2>

o.

Die Forden.mg posiuver Kapitalwene soU verhindem, dass ein Investor des nbeste" Projeta ohne Priif ung der absoluien Vorteilhafligkeit wanu. Beso ndcrs dureh siehtig wird cine Investitionsrechnung, wenn man fur die verzinsliche Ab wieklung cin cigcncs ~ I nvestitions kon to" eroffnet und die Invest ltion wic cin zu verzinscndcs und zu tilgcndcs Darlehnsgcschaft auffasst. In dicsc m T ilgungsplan ist dann tedtgtlch noc h zusatzlich zu beriicksichtigcn, dass cvcn tucll anfaJlcndc J ahrcsiiberschiisse zum Kalkulationszinssatz angclcgt (bzw. - bei negalivem Saldo - aufgenammen) werden. 1m Folgejah r flicJ3cn sic dann - vcrzlnst - wieder dem Investitionsko nto zu toder mussen von

ihm abgebuchl werden) . Am Beispiel unscrcr Investition (i '" 10%) vg!. A bb. 9.1.3:

- 10.000; 5.000; 2.500; 5.000

(T€ )

wollen wir cin igc Varianten von cntsprcc hendcn Tilgungsplanen diskuticrcn: 6 Diese Voraussc:tzung ist nichl unumstrinen, Erfolgversprechcndc rcalistischc rc (wcnnauch komplizicrtc re) Pro/.edurcn crrcichl man mit sog. ~vo llstllndigcn FinaJ17ilIIDlcn~, vgl. etwa (Gro ll .

9.2

401

Kapitalwert und aquivalcnte A nnuitat einer lnvesunon

Varianle I: Aile Ruckflusse aus dcr Invcstition werden unmittelbar in voller H ohe zur v crzlnsung und Ti lgung dcr Invcstinonsauszahh m g ( ~ " Kreditsu mme") verwendet, es ergebcn sich kcincrtei Z wischenanlagcn Oller -aufnatun en (a priorigegebene Zahlungensind fettgedrnckt): Ke ntostand des

Annuitat a

Invcsnucnskonrcs Jahr

(" Restschuld'')

1

3

10.000 6.000 4.100

4

- 490

Zinscn (Ellue J.)

(Begum J.)

2

lnvestinons ruck-

T ilgung

1.000

600 410

(Elide J.)

OWl (Ende J.)

4.000 1.900 4.590

5.000 2.500 5.000

(1nvestitionskonto)

Tab. 9.2. 11

Man sicht crncut , wie die Investition zu eincm endwertigen Uberhang von 490 T€ (noch Ver-

zinsung!) fuh rt sowic zurn Kapitalwert C1> = 490 ' 1,1- 3 = 368,1 4 T € .

Variante 2: Wir wollen gesamtfallige Tilgung der Investitio nsau szahlung unterstcllen. Dann fuhren die Invcsnttonsrucknussc zwischenzcitlich zu verzinslichen Anlagen, die nach jc einem Jahr wieder zurucktltcucn. Dazu erwcitcm wir den Tilgungsptan urn die cntsprechcndc n Zwisehcnanlagespalten, wahrcnd in den crstcn funf Spalten der Invest it ionskredit wic vorgcsehen abgcwickclt wird: RucknuD au s;

Jahr

1

2 3

RC!
unsell (E nde 1.)

10.000 11.000 12.100

1.000 1.100 1.210

Til gung (Ende 1.)

- 1.000 - 1.100 12.100

l.a hiung (E nde 1.)

0 0 13.310

lnvestition (E nde 1.)

Zw.anJ.laufn. d. vorpertnde (E nde S.)

p-u: Zw.anlage) «0: Zv.'. aufn.}

0 V 5.000 5.500 "- 1-- 8.000 490 8 .800 ..-

5.000 2.500 5.000

Aueh [etz t ents teht wieder der bekannre vermogcnszuwachs von 490 T€ nach Z insen fUr den Investor.

S aldo d. J ah

tlnvestmon skonto)

Tab. 9.2.12

Varianle 3: Wir unterstellen, dass dicsmal der Investor den barwertigcn v ermcgen szuwacns. d.h . den Kapitalwert C1> = 368, 14 T € dem Invest ttlc nskonto zu Beginn entnimmt. Die Investition muss nun eine urn 368, 14 T € hehcre Ausgabe vemn sen und tilgen. Unterstellen wi r - wie in V ari ante 1 - maxirnale T ilgung durch die Ru ckflusse, so erhalten wir den folgendcn T ilguogsplan (i = 10% p.a.]: hill

1

2

3 4

Restschuld (Beginn d . 1.)

10.368,14 6.404,96 4.545,45 0

Zinse n (Ende d. 1.)

1.036,81 640,50 454 ,55

T ilgung (Ended. 1.)

3.963,19 1.859 ,50 4.545,4 5 (Jnvestitionskanto]

Anrnntar ( ~ Riiekflu~

End ed. J.)

5.000,00 2.500,00 5.000,00 T ab. 9.2. 13

402

9

Finanzma thcmatischc Verfah ren dec Invcstitlon srechnung

Der T itgungsplan ~geht auf" (End kor uostand = Null), d.h. die Ruckflusse reichen gcrade aus, run sowohl die Invcsnnon ( = to.OOO T € ) als auch den Kapitalwert (= 368, 14 T € ) zu verzinscn und zu tilgcn. Der Investor konntc also zu Invcsnt ionsbcginn den Kepnalwert Co entnehm en (etwa indem er diesen Be/rag zusiitzlich bei seiner Kreditbank: aufnimmt), die Invcsnt ton ist dann in dec Lege. das I nvestiti onskonto incl. C o allcine vollsta ndig abzuwickeln. H tcr wird noch einmal dcutl ich, dass der Kapitalwcrt Co tarsachttch aufgcfasst werden kann als sofem die Investition dur chgcfuhrt wird.

.,A ugenbli ck~-VennOgen!>-zuwach~",

Varianle 4: Der folgend e Tilgungsplan zcigt, dass die Dauer des Invcstitionszcitraumes bzw. Tilgungszeitraum es kcinen Einfluss auf die H ohe des Kapitalwerts hat , sofern voraussetzungsgcmaa aile frcien Mittel auf dem Konto angctegt und aile ben otigtcn Mittel vom Kont o aufgcnomme n worde n konnen.

wtr unterstellcn, dass der Invcstiti o nskred il ( = to.OOO T € ) nur wie folgt getugt werden kann: T 1 = 2.000 ; Ta = 5.000 ; T 3 = T 4 = T s = 1.000 (T€), vgl. die 4 . Spalte des Tilgungsplans: Jahl'

I 2

3 4

5

R~1 M:h u ld

Zinsen

Til~ ng

(Bcginn 1.)

(Endc J.)

(Ende J.)

Zahlung (Ende 1.)

10.000 8 .000 3.00 0 2 .000 1.000

1.000

2.000 5.000 1,000 1,000 1,000

3 .000 5 .800 1.300 1.200 1.100

800 300 200 100

Riickn ull aus: Investition Zw.anI./aufn. Saldo d. J ah (Ende 1.) d. Vorpcriode (>{l; Zw.anlagc) (<0: z w aufn.) (E nde J.) 5.000 2.500 5.000

-

t-

2.000 2 .200 V - 1.100 - 1.210 ; l.- 2.4 90 2.739 ~ .> 1.539 1.692,90 592,90

(/nves/itionskonto)

"*.

Tab. 9 .2.14

Z insl man den Endkont ostand ( = 592,90 T€) urn 5 J ahre auf t = 0 ab, so crgibt sich

592.90· 1,1- s = 368, 14 T €

=

Co !

Unabha ngig von de n T ilgungsprozeJu ren fiihrt bei belieb igcr Ver11ingcru ng dur eh Zwischenanl agent Zwischcnaufnahmen (Z w.anlagelZ w.aufn. <siehe Tilgungsplan) die lrwestition stcts auf omen und dcn selbcn Kapitalwert (vorausgeselZt, der Kalk ula tionsunssatz hleibt unvcnmdert],

Bemerkung 9.2./5:

(A'quivalenteAnnuitdt einer lnvestition)

Verren/e/ man (mil Hi/fe des Kalkulationszinssau es] den Kapitalwen Co einer Inveuuio n auf die Investitionsdauer T (Jahre) , so erhalt man stall des barwertigen Einmalbetrages Co eine aquiva/ente T-f ache nachschussigeRente, deren Rare A ats iiquivaknte Annuitiit der Investuion bezeichnet wird. Bei Vemteidung unterschiedlicher Laufzeiten fuhn ein nohererKapualwen auch stets zur honeren An nuuat, so dass es zur Beuneilung der absoluten Voneilhaf/igkeit einer Einzelinvestition (jalneinEntscheidung) entbehrlich ist, allgemein auf diesesog. Annuuatenmemode einzugehen. Benutzt man hingegen die iiquivalente Annuilat ats Kriterium, 14m die relative Voneilhaftigkeit un/er mehreren lnvestitionsalternativen zu beuneilm , ist eine gewisse Von idu angebmdu, wie das folgende Beispiel zeigt:

9.2

403

Kapitalwcrt und aquivalenre A nnultat emcr Investition Beispiel zur AnnuiJiitenmethode: Gegeben seien zwei lnvestuionen I 1, 12 mil denfolgenden Zahlungsreihen (i = }o% p. a.): [T€ ] I I : - 10.000; 5.000; 2.5 00; 5.000 12 : - 20.000; 10.000; 6.000; 3. 000; 6.000 [T€]

Daraus ergeben sicn die folgenden Kapuatwene (i = ) 0 % p .a.) CO,I = 368,14 T€. bzw. CO,2 = 401,61 T€., d.h. nach dem Kapii atwenkmerium ist l nvestuion 12 voaunenen Die equivaleme Annuutn A wird du rch Varentung des Kapi talwens Co auf die Lauf zei/ T einer l n vesntion ermmelt:

I

C,

--jf--t-I A

'"

t-I

I

A

A

m

m

Nach dem Aq uivalenzprinzip muss gellen:

CO·qT

A·

qT I -

und daher

q _l

("t"quivaleme Annuitiit einer Itwestition) .

(9.2.16)

Leg/ m an in unserem Beispiel die (un/erschiedlichen) projekti ndividudlen La uf zei/en T =3 hzw. T =4 zugrunde, so em auen wir f ur investuion I I :

Investition 12 :

(T = 3) (T = 4) .

148,03 T€lJa hr 126,70 T€J Jahr

Eine En /scheidung aufgm nd der Annu uat fur I I ware - wie wit aufgmnd des Kopi/alwertkriteriums

wissen - eine Fehlentscheidung, hervorgerujen durch die Tatsache; doss A l nur dreima l fliefJl, A 2

dagegen viermal.

Der scheinbare Widerspm ch 16s1 sich daher auf, wenn wir den Kupitalwen CO l der en-len Investition

ebenfotts auf vier Jahre vemfllen mil dem Ergebnis: Investnion l , :

(T= 4) ,

A l = 116,1 4 T€J Jahr

also t estsu I I neben dem geringeren Kapiudwen ouch die geringere aquivalente A nnui/at, m.a. W; beide Kruerien liefem letzlich dieselbe lnvesmlonsempfehlung. Bemerlamg 9.2.1 7: Gelegemlich anzurreffen ist die dynom ische Amonisationsieu t · (pay-ofl-period) einer l nvestnion. Dammer versteht m an den Zeitraum bis zu dem Zeupunta, in dem erstmalig der Knpitalwert aller bis dahin geflossenen Z ahlungen Null (ad er positiv) wird, muhin das eingesetue Knpital incl. Katkula tionszinsen uber die Ru ckf lUsse gerade wiedergewonnen werden ka nn. Fiir I · gilt also emmalig:

~+ ~ +~+ l + i (I +i)2

. ..

+~ (l+ i)l"

Wie das nebenstehende Beisp iel einer InvestiliOll uigt (Z ahlungsreine: -/000; 500; 100; 700; -5 00; i =IO% ), ergibl sich ats Amorlifalionszeil knapp 3 Jahre (1* =3, der Bar. wertsuldo wird m il +63, JJ eram ats posiliv). Do ZohiUllgen , die sparer als I· fiegen, Ullberilcksichligt bleiben, ftlhrt hier eine Enucneidung naeh AmorlifoliQlt.5geskhlspUllklen in die lrre (Kupiustwert iiber die Gesamllouf::f!il isl negativ!).

I

0

1

2 J 4

2:

0

.

- 1000 500 100 700 - 500

(t· :s;T) . ~(l+ i)-t

},; ~(I +irt

- 1000,00 - 1000,00 454,55 -545,45 82,64 - 462,81 525,92 + 63,11 - 341,51 - 278.40

404

9

R nanzmathema tische Verfahren dcr Investilionsrcchnu ng

9.3

Intern er Zinssatz elner Inv estltlon - Vorteilhaft igkeitskriterien

In der Finanzmathcmatik versreht man (vgl. Satz 2,2.18 ivY oder De/. 5.1.1) unter dem E ffcktivzinssatz ieff cmcr Zah lungsrcihe denjenigen (J ahres-) Zi nssatz i-rr- bei desscn A nwend ung Lcist ungcn (L) und Gc gen lcistu ngcn (GL) aquivalenr sind. Bezogcn auf einen (bd reiner Zmseszinsrechnung bd iebig wahlburen - vgl. SalZ 2.2.18 Stie htag laut et daher d ie vom Kalkulationszins i abhangige Aquivalenzg1eichu ng {deren Losung i' ff Uefen):

iii»

l.{i) = Gl.{i)

(9.3.1)

l.{i) - Gl.{i) =

ode r

O.

D ies Konzept lasst sich analog auf die Investitionsrcch nung ubertragen, da jcdc Investttton sich d urch ihre (aus L eistungen (= Einzahlungen) und Gegenleistungen ( = A uszahtungen} bestehmdei Zahlungsreihe da rstellen ussr. Bcaehtet ma n nun, dass der Kapitalwert Co ciner Invcstition a us der (barwerti gcn) D ifferenz aller Elnzahlungcn (L) und A uszahlungen (GL) der Invesntion bestc ht (vgl. Def 9.2. 4), d.h .

Co(i) ,= l.{i) - Gl.{i),

(9.3.2)

so folgt unmittclbar, dass dcr Effektivzins r einer Invesunon ( Aquivalenzglciehung

c;,<;>

(9.3.3)

imemer Zinssatz) Losuog dcr

o

sein muss: Definition 9.3.4:

(inlern er Zinssalz r einer In vestition)

Gcgcbcn sci cine Investilion dur ch ihre Zahlungsreihe (vgl. Dcf 9.2 .4):

-,

e,

I

I

f=O

f= 1

-, I

f=l

R,_, I f= T-1

e, I

(Zeit,

f= T

Dcrjenigc Kalkulationszinssat z r, fur den dcr Kapilalwert Co(r) der Invcstition Null wird, heWt intern er Zin~'iatz r der Invcstition (auch: Effektivzillssatl, oder Rem/ireder Inv esmion}: Ocr interne Zinssatz r ist Losung der Aq uivalcnzgleichung Co(i) = 0, d.h.

(9.3.5)

,. ,

o.

Der inte rne Zlnssat z r ist sornit aueh dcf iniert als Nullstelle dcr Kapilalwertfunktion Co = Co(i).

Zur E nn ittl ung des internen Zinssat zcs von Investitioncn sind da her dicsclbcn Methoden (z.B. Regula f alsi als iterative Methode zu r GfeichungslOsung) anwcndbar, wie sie bcrcits in Kap. 5.1.2 beseh ricben wurd cn.

9.3

405

Intemer Zinssatz einer Investition - Vorteilhaftigkcitskritericn

Beispiel 9.3.6: Die Investition mit der Zahlungsreihe (vgl. Abb. 9.1.3) - 10.000; 5.000; 2.500; 5.000 (T€ )

hal die Kapitalwertfunktion (vgl. (9.3.5»: C (i) '" _ 10.000 + 5.000 + 2.500 + 5.000 c l +i (l + i)2 ( l +i)3

Die graphisehe Darstcllung der Funkrion

Co ==

Co(i) fOhrt zu folgendcm Funktionssehaubild:

Coli} I fKapilalwerf} 2.5 00

1

Kaplfalwertfunktion Co = Coil}

rr€/

/

368.14

/"

in/erner Zinssalz

,," 12"-

IKalk.zinsl

-j-- -----'-""":---_--a 10%

r

Iii

Abb. 9.3.1

Z ur Ennitt lungdes intcmcn Zinsful3cs r wird die Nullstcllc von Co(i) mit Hilfe eines ltcrationsverfahrens (z.8. mit der Regula f aisi) bes timm t. Mil den Startwcrtcn 10%/15% und Anwendung der Regula falsi (5.1.29) erhaltcn wir nachcinandcr die itericrtcn w crte 12,1851%; 12,0976%; 12,0949%; 12,0948%; ..., so dass - auf 4 Nachkommastcllcn genau - der interne Zinssatz r tauter r == 12,0948% p.a.

Wie geschen, wirdzur Definition des internen Zinssatzes r einer Investition deren Kapitalwert Co benetigt. Zur Interpretau on des fmem en Zins'illizes sowic zur Vorteilhaftigkeit'illlL'i,o;age mil H ilfe des intcmen Zinssatzes werdcn wir daher immcr wicder den Kapitalwert Co (d.h. den momrntanrn Vennogenszuwacns drs Investors] als Entschcidungskriterium hcranziehcn. Wir bctrachtcn aunachst den in der Praxis weilaus hliufigstcn Fall ciner Nonnalinveslilion (d.h. die Zahlungsreine begtnnt mit elner A uszahlung, wrist genau einen Zeichenwecnsel auf una genugt dem Deckungskmenum, vgl. (9.1.4)). Die Kapitalwertfunktlon Co(i) derartiger Norrnallnvestitionen wcist stcts folgendcn typischen Vertauf 7 (siehe ouch A bb. 9.3.7) auf:

7 Vgl. etwa [Hax] 16lJ.

406

9

I

Finanzm athcmati schc Verfahren dec Invcstilionsrcchnung

IKop lfolwert/

Kapllalwertfunkhon Cofil effler Normalinvestition

Co paS/#v

r

(Kolkulations-ZinssafZ/

IiI Abb .9.3.8 Die Kapitalwcrtfu nklio n Co(i) ciner Normalinve.~tilion bcs itzt somit dic folgcndcn typischen Merkmale:

(9 .3.9)

Kennzeich en der KapitaJwertfunklion \'011 Normalinvestilionen: i) FOr den Kalkulationszins 0% ist dec Kapitajwcrt positivi

Co(O) >

o.

ii) Co(i) bcsitzt gcnau cine Nullstcllc r, d.h . dcr interne Zinssatz r einer Nor-

malinvcsti lion ist cmdeung bcst immt. iii) Die Kapitalwcrtfun ktion Co(i) is! (beginnend bei i = 0 %) im rclcvantcn

Bereich urn die (eimige) Nullstcllc hcrum streng monolon ranend.

Bemerkung 9.3./0: Beginnt eine Normotinvesntlon mit einer Auszohlung [d.h: R o = - 110 < 0) una [olgen donn nur noch (positive) Einzahlungsuherschusse (d.h. R 1, R ],> ..., R T > 0), so lassen sich die genannlen Merkma le (9.3.9) von Normalinvestuion mit Hilfe der Diff erem ialrechmmg ohne weueres teweisen: Da sicn die Kapttatwenfunktion CoW nunmenr schreiben tasst als (vgJ. Bem. 9.2.8) R1

(.)

- a of - -

lf i

R2 RT +--2 f ... f - - (1+i) ( l+i) T

so f olgt f ur die erste Abteiumg Co'(i):

(U )

- R, JR , C '(i) = - - - - -' - _

o

( l + i) 2

(l +i)3

Da alle Rj > 0, muss Co'(i) stets negativ (fur i > -1) sein, mitnin muss die Kap uatwenf unk tion CoW streng monozon jallend 8 sein.

Anderersens gilt: Co(O) > 0

sowie

,- -

. lim CoW = - ao < 0

Also muss Co(i) genau eine 9 Nullstelle r (> 0) besitzen. 8 Vgl. ctwa [Tic3]. Satz 6.2.2. 9 Vg1. 1T ic3J. Satz 4.6.7.i ii) im Zosammcnhang mit dcr Monotonic von Co(i).

(vgl. ( t».

9 .3

407

Int erner Zinssat z cincr l nvestitio n - Vorteilhaftigkeitskriterien

Aus dcr Tat sachc, dass dcr interne Zinssatz r dcfinitionsgcmiH3 dcr N ullstelle r der Kapitalwcrtf unkti on ents pricht, ergebe n sich im Zusamm cnhang mit der Int erpret ation des Kap italwcrtes (vgl. Bem. 9.2.10) die folgenden

(9.3.11)

Int erpretationen des internen Zlnssat zes einer

In~'es!ition:

i) G ilt i = r, d.h . rst de! KalL::u1ation~:zin~~at:z i des Investors identi~ch mit de m int emen Zin~l>llot:z r der Invesnt ion, so sind Investition und Unterlass ung (im [inanzmathem atischen Sinne) aquivalent, d.h . bci Du tchfuhrung der Invcst ltion cneicht der Investor dasselbe (end- oder barwenige] Bndvermogcn wie bci Untcrtassung ( = An lage seiner Mittel zum Killkulationszinsfu fJ) . ii) Oct interne Zi nssatz r is! derjenige (fiktive) Fremdkapitalzinssatz, den lias Invcstitionsprojekt

gerade noch ~ verkraften" kann. Damit ist gemein t: Ein Fremdkapit algebe r, z.B. cine l nvcstltions-Krcditbank, ja soga r die investicrcede U nternehmung selbst konnte als Gcgcnlei stungfUr aile mit der Invcst ition vcrbundcncn Kredite cincn Soll-Zinssatz r in H nhc des intemcn Zinssarzcs verlangen. Die Invcst ition konnt c dann ubcr die zu crwartcndcn Ruckflussc sam thche crhaltc ncn Kreditc volls tandig mit r vcrzinscn urul tllge n. ein cntsprcc hc ndos Krcditkonro (bzw. der Tilgungsplan) gingc gcnau auf.

9,3. 12: Un sere Sta nda rd- Normahnvcs titio n (A bb. 9.1.3) mit de r Zahlungsreihe - to.OOO; 5.000; 2.500 ; 5 .000 hat nach Bsp. 9 .3.6 cinen inte rnen Zin ssatz von 12,094831 % p.a .. Vcrwcndcn wir die cingchcndcn Rncknussc unmittelbar zur Verzinsung und - soweit darubc r hinaus jcweils noch moglich - zur T ilgung des Invcstitionskrcd its (Kreditsum me: 10.000 T€) , so erbaue n wir folgend en Tilgungsplan (~ Vergleichskonto") :

Bei.~piel

lID< (I)

Restschuld (Beginn t)

2 3

10.000,00 6.209 ,48 4 .460,51

4

0

1

( 12,094831% I'.a.)

Zinscn (Ende t)

1.209 ,48 75 1,03 539,49

Tilgung

Riiekfll& lnvcstition = Annuitat

(Ende t)

(End e I)

3. 790,52 1.748,97 4.4 60 ,51

(Inveuitions-Vergleichskonto)

5.000 2.500 5.000 Tab. 9 .3.13

Man sieht erneu t, dass cin Frcrndk apit alzin s in H chc des intem cn Z tnssatzes r das Kreditkonto gcnau verzinst und tilgt . Ware dcr tat sachlichc Frcmdkapitalzin s i (bz w. die gefordene Eigenk apitalven imung) gcringer ais r, so blicbe - nach Zins und T ilgung - noc h crwas fur den Investo r Obrig, namtichder (positive) Kapit alwert (als barwen ige Endv emJogensdiff erenz) . D ie Kenntnis des intemen Z inssat zes r versctzt den Investor in die Lege, scincn eigenen Verbandlung.'i.\ pielraum fur Kreditverhandlungen mit den Gc ldgebcrn zu ken nen : S is zur H ohc r des internen Z inssatzes lasst sich notfalls mit dcr Krcd itbank ~ pokern ". Erst wenn die gefordert e Mindcstv erzin sung i den intemcn Zinssatz r ubersreigt, erlc idct dc r Investo r einen Vcrmoge nsverlust, der nieht me hr durch die Investtrion aufgefa ngcn werde n kann .

Bemerkung 9.3.14: Die in der LiterarurlOvie/fach stmp aziene »Wiederanlagepriimisse " (sie besagt, die Erminlung des intemen Zinss atzes sene voraus, dass der Investor sein Kap ital sowie aile lW ckf lUsse zum tntemen Zinssatz anlegen m ussel verlien umer aer ulgungspta noriemienen A bwicklung der l nvestuion einiges an der ihr zugeschriebenen Irrealitdt. Auf einem lauf enden Kanto (das mit r ven inst wild) wirkt eben jede Einzahlung wie eine Anlage zum intem en Zins und jede A bhebung wie eine Kreditaufn ahm e zum inemen Zinssatz. 10 Vgl. ctwa IGro21 109ff. oder IKrul ] 851I.

9

408

AlL~

Finanzmathematische v erfahrcn der Investitionsrechnung

dcm Gcsagtcn crgibt sich ats Entscheidungskme rium fur den Investor auf Basts des fntem en Zin.s ~

fuBes bci Normalinvestilionen die sog. " Intcrne-Z inssatz-Methcxlc":

(9.3.15)

Interne-zlnssata-Meibode fllr Emzeuevesnnonem

Gegeben sci cine Norrn alinvcstition dUTCh lhrc Zahlungsrci hc. Dan n ist d ie Inves tition (finanzmathematisch ) vorteilba tt, wen n dc r int erne Zin s.<;alz r grorle r is! Kalkulationszi ns...alz i Ist, vgl. A bb . 9.3.16:

ats dcr (ralsachli ch anzuwendende) Ie,;

I

IKoplta/wertJ ..

t « r - - --

, :, -

t s-r - - - - Invesh'lion un 'lorteilhof1 da CjIJ < O

In vesh'lion vorfeilhaft

daCtfiJ;> 0

e,ji}

r ,l

IKalk- zinsl

,, ,, ,, ,

Abb. 93. 16

E ine korrck tc Enlsc hcid ung aufgrund des inte rnen Ztnssatzes beruht also cigcnllich auf dcr H ohc dcr

fOr alternative Kalkulationszinssatze i l• i 2, ... crzielbarcn Kapitalwerte l Etwas vcrwickclter werden die Zusammenhiingc, wenn cine Investuionsentscheidung unter mehrercn (Normal-) Investitions-Projekten !,'Cfil.Jl t worden soil und die jcweiligen internen Zinssatze rl• f2' ... zur E ntscheidungsfindung herangczogcn werdcn sollcn (,. inlem~Zinssatz-Methode filT attem ative tnvestitionsprojekse"]. Beispiel 9.3.17: Zwei (Normal-} lnvcstitioncn I I' 12 scicn durch folgende Zahlungsreihen gcgcbcn: II: - 100; 80; 60; 10 12: - 100; 10; 70; 90

(T € ); (T € ).

Kalkulationszinssatz (z.B. Fremdkap ita12inssatz) : 10% r-eDie bciden Kapitalwenfunkrionen CO,I(i). Co,2{i) lauten: 80

60

10 ,-(I + i)3

10

70

90 ,-(l + i)3

fur I I:

CO,I

- 100+--'-I+i (1 + il2

fur 12:

CO.2

- 100 + - - ' - l +i (1+ i)2

i> -l.

9.3

Int erner Zinssatz cincr Investition - Vortcilhaft lgkcitskrit er icn

409

Die beidcn intemcn Zinssatze (emalten etwa mit der Regula falsi) lauren fur I I:

r,

31,44% p.a. ,

fur 12:

r

24,41% p.a.

Auf den erste n Blick schcin t Invesnnon I I (wegen der we/taus hOheren Rendile) vorteilhafter als Investition 12 zu sein . Andererseits stc l1 t man fest: folgcnden Kapitalwertc:

Beim gcgcbc nen Kalkulation szinssatz von 10% p.a. ergcben sich die

fUr I I:

Co,I (O,lO)

29 ,827 T € ,

fur 12:

Co.2 (0,1O)

34 ,560 T € ,

also cin dcutlichcr vorsprung fur Invcstit ion 12, Der (scheinhare) widerspruch zwischen den umers ch icdfichcn Vort eilhaft igkeilsrcihenfolgen der Renditen und der Kapitalwcrte 16s1 sich auf, wcnn wir die belden Kapitejwertfunkti onen graphisch darstellcn (Abb. 9.3. 18):

t IKapifalwert Col Abb . 9.3.18

34, 6 2 9,8

IKolkulotionszinssatz if 10i:

12 besser als I,

14.29i:

I

24.41

I, besser als 12

Da sich die bcidcn Kapitalwertkurvcn (im .kmischen Zin ssatz ikri t = 14,285 7% p.a .) schneiden, muss fu r aile Kalkulationszinssatzc i, die links von ikr il liegen , Investition 12 vorteilhafler sem, wohingcgcn rec hts von i kr it die Vort eilhaftigkeitsreihenfolge fur Invcsnnon 11 spricht: U

Entscheidcnd sind also auch hicr nicht die intcrncn erziclbaren Kapilalwerte dcr Invest tnoeco.

zrnssarze (oder Rendueni, sond em diejeweils

9

410

Finanzmathematischc Verfahrcn der Invesnncesrechnung

Was bci Nlch t-Normallnvestlrlonen al1es passieren kann, zeigen die folgcnden Beispicle(1) bis (3): ( 1) Es cxisticrt kein (posuiver} interner Zlnssatz, dcr Kapitalwert Co ist stcts positiv (Abb.9.3.19a-d):

11-_ I (Col

500

bl Zohlungsrelhe {1€J-

aJ Zahlungsreihe rr€J 1000; -2000; 1500

200-600.-· 700 (II

(i/

Abb. 9.3. 19 dJ Zahlungsrerhe rr€} 200; 300; 500

r J Zahlungsr~he

rr€r

1400,' -6~ .700

100

(il

iii

(2) Bs cxistiert kein (positiver) inlemer Zinssatz, dcr Kapitalwel1 Co ist stcts negativ (d.h die berreffende Inver/irian is, fu r jedmKillku larionszinssalz unvorteilhafl, sieneAbb. 9.3.20 a) - d»:

I (Co'

1 - - --

--

(c.

iii

tn -100

hI Zohlungsrelhe {T€l -400; -600.- '}()()

01 Zohlungsreihe {T€l -200. 600.- . 700

-300

i lCoI

Abb.93.20

(Co)

(i)

(il

-50

dJ Zohlungsrerhe n€l

-200; ..JOO; -500 -1000

9.3

Intcmcr Ztnssar z einer Invcstuio n - Vorteilhaftigkeitskn terien

411

(3) O le Kapitalwertfunktion CJi) besitzt mchrere positive Nu llstc1len, d.h . es gibt mehre re pos itive interne Zins...atze. In dicsem Fall ist die bctrcffcndc Investition nur inncrha lb solchcr Zin ssat z- Intervalle vorteilhaft, fu r die sich cin positivcr Kapitalwert ergibt (in sokhen lnt ervalien ver/auft die KiJpitafwenk urve oberhalb de, Abszisse, siene Ahb. 9.3.21 a) - d)) :

I

{CJ

(Co'

'00

hi Zahlungsrerhe rr€J - 1000; 2500; - 1540

Abb,9.3.21

'"

07- -

-

(II

al Zahlungsrelhe rr€J 1000; -2700; 1800

" r\

to

'00

- 40

I

ln vest ttion a) ist ab solut vort eilhaft fur Katkutartonszinssatze zwischen 0% und 20% p.a, sowie fur Zms satz c tiber 50 % p.a. Invcstition b) hlngcgcn ist nur fur Kalkutanonszlnssatzc zwischen 10% und 40 % 1'.a. absolut voneilhaft.

Bcim Altemanvenverglekh (a) ode, b)) bctracbtct man am bcstcn bcide Kapita jwcrtfunktioncn im g1cich cn Koordinatcn system (A bb. 9.3.21 e)) :

Abb. 9,3,21 cl

bJ Fu r den A1temativenvergldeh notwcndig Sind die Kalkulatlonszinssatze ir- i2 1n den Schnitt punkte n Sz der beiden Kapita jwcrtfunktionen. Ma n crha tt (etwa d urch Gleichsetzen von Co, a und Co. b):

Sl'

II

15,8579 "" 15,86% p.a.;

12

44,1421 "" 44,14% 1'.a.

412

9

Finanzmathcmat ische Verfahren der Investitionsrcchnung

Daraus ergibt sic h zusammen mit Abb. 9.3 .21 c) folgcnde Vorteilhaft igkei tsrcihenfolge in A bhangigkcit vom realisierbaren (nichtnegariven) Kalku lalionszinssatz j :

fur 0%

< 15,86 %

5

ist Investition a) vorzuzic hcn;

fOr 15,86 % < i < 40 % fOr 40 %

fur

< i < 50 %

i > 50%

Ist l nvcstition b) vorzuzic hen; sind beide Investtttoncn absolut unvorteilhaft, da die entsprechcnden Kapitalwerte ncgativ sind. Dabci ist Irwestition b) zunachst (d.h. fiir j < 44,14 % p .a.) weniger schlccht all' a), fur 44,14% < i < 50 % p.a. ist cs umgekehrt; is! wicderu m Investition a) allcin sowohl absolut vortcilhaft

ats auch rclanv bcsscr als b). SchlicBlich zcigt Abb. 9.3.21 d), daB bci Ntcht-Normalinvcstitloncn d ie Zahl moglichcr (positive,) intcrner Zmssatze praknsch bcliebig groB werdcn kann:

IKapilalwert coI l ff€ /

dJ Zahlungsrelhe aer 2.500; - 13000; 25225; - 2 1.645; 6.930

Crlil

Abb. 9.3.21 at

Crill 1

IKalkulations-

zinssatz II

o

10.

200

50.

Die Invest ition ist unvorteilhaft fur Kalkulationszmssatze zwische n 10% und 20% sowie zwischen 40% und 50%. FOraile ubrtgcn (posiliven) Kalkulationszinssll.tze ist d ie Invcstlno n absolu t vorteilhaft. A uch hicr wird deuthch, daa allein die Hohe dcr Kapiralwertc fur die Vorteilhaftigkcit der Invesnt toncn maBgeblic h ist, nicht etwa die H ohe der " Rcndite".

Aurgabe 9,3.22: Die H uber AG plant cine Anlagcinvcstition, wobci die folgenden belden Anemanven ma glich sind:

Alremanve A: Investitionsauszahlung: 90.000 € , in den nachstcn funf J ahren werden folgcndc Binzahiungsoberschussc erwartet: 24.000 ; 32.000; 39.000; 42.000; 50.000 (€). Die cntsprechende Zahlungsreihc bci Alterna tive B lautet: - 134.400; 56.000; 50.000; 36.000; 34.000; 33.000 (€ ) .

9 .3

413

Interner Z inssatz einc r Invcst ttion - Vorteilhaftigkeitskrite rien

l) Der Kalkulation szinssatz betrage 10% p.a. Welehe Alternative ist giinstige r, wcnn als Entscheidungskrite riwn die H ohe des Kapitalwcrtcs herangezogen wird?

il) Man errnitt le jeweils die intemcn Z inssatzc und gebe eine Investitionsempfehlung. iii) Man bean twotte i) und tl), wenn die Zahlungsreihen lautcn:

A: B;

- 100.000; 10.000; 20.000; 30.000; 40 .000; 50.000 (€) - 100 .000 ; 40 .000 ; 40.000 ; 30.000; 20 .000 ; 10.000 (€ )

und mit eincm Kalkulationszins von 5% p.a. opc riert wird?

Aufgahe 9.3.23: Student Pfiffig hat im Spiclkasino 120.000 € gcwonnen und Ist nun auf der Suehe nach eincr lukrativen Kapita lanlage. Naeh cingehender M arkterkundung bictcn sieh ihm nur d ie folgenden (einander ausschlief3enden) Investitlo nsaltemativcn. I) Bcteiligung als stiller Gesellschafter mit 90.000 € an einer U ntemc hmu ng, d ie in Alaska Bananen anh aut. Die Ruckzahlungsmodahtaten sehcn Ruckflussc an de n Investor in 6 Jahresratcn zu je 19 .000 € vo r (wobei die erne Rate nach einem Jahr[lillig wird.); ii) Darlchcnsgewahrung in H ohc von 75. 000 € an seine E x-Gclic bre Th ea , die damit cine Fritten-

bude crotfnen will. Th ea versprich t, in zwei J ahren 100.000 € zunic kzuzahlcn; iii) An lage auf scin Sparkonto zu cinem langfristig (»ewig~) gcsichcrtc n Z inssatz von 6% p.a.;

Iv) DurchfOhru ng cines lnvesnttoneprojcktes (lnvestitionsauszahlung in I = 0: 100.000 €) , das in den fo lgenden 7 J ahren die naehstehendcn Einzahlungsubcrsch usse erwarte n hillt:

1

2

3

4

5

6

7

20.0 00

25.000

30.000

30.000

25 .000

20.0 00

10.000

v) Darlchcn in H oh c von 60 .000 € an de n orthchen Skat elub zwecks Ausrichtung der Skatwcltmeisterschaftcn, vereinba rtc Ruckzahlung in vier gleic hen An nuit aten (i = 10% p.o.) in den ersten vier J ahren (eme Ruckzahlung nach einem Iahr], a) Man errnittle d ie interne Verzinsungjedcr der funf Altcrnativen a l)

nur umc r Bcrucksichtigung des jcweils eingcsctzten Kapitals;

al)

unter Bcruck sicbngu og des gesamte n Kapitals von 120 .000 €, wobei nieht emgcsctzrc Bcrrage zum langfristig gesicherten Zinssatz fOr 7 J ahre fest angelegt werdcn tvorzeitige Ruckzahlung nicht m6g1ich);

a3)

unter Beriick sich tigung des gesamten Kapitals vo n 120 .000 €, wobei Pfiffig die nicht eingcsetzte n Betrege an einem sieheren Ort vergrabt und erst naeh genau 7 J ahren wieder hervo rholt:

•

w clchc Vort cilhaftigkeitsrcihenfolge ergibt sieh jcweils?

•

WOrden Sie Pfiffig raten, jeweils d ie A lternative m it dem h6c hsten internen Z inssatz du tchzutuhrcn? (Brgri1ndung!)

b) Als Kalkula tkm szinssatz moge nun der fur Pfiffig langfristig gegebene Z inssatz gcwahlt wcrdcn . Wie diirfte I'fiffigs Entseheidung lau ren, wenn er semen Kapitalwert maximieren will?

9

414

Aurgabe 9.3.24:

Finanzmathema tische Verfahren dcr Invest uio nsrechnung

Infolge drastischer Roh61verkn appung beschlieBt d ie U ntcrnehmcn sleitu ng der

Schnapsbrennerci Kniille KG, die dringcnd benotlgten Rohstoffc in Form von (vorhandenen) Steinkohtcrcscrvcn auf eigcncm G rund und Bod en zu fordem .

Z ur Wahl stehen zwei unterschicdliche Forderanlagen mit folgcndcn Ncttozahlungsrcihen: Anlage I: Anlage II :

- 250;

50;

50;

50; 100; 100; 300

- 300; 200; 100; 100; lOD;

50;

50

(T€ ) (T€ ) .

Die Finanzierung soli ausschlieglich mit Fremdkapital erfolgcn. i) Ennittcln Sic fur d ie Verhandlung mil den Ge ldgebe m die jeweils maximalen Kreditzinssatze,

die die Projektc gcrade ooch , verkraften" kcnnen. il) Die U ntemchmen sleitung finde t schliclllich einen Ge ldgcbe r, der bercit ist, da s gcplante Projckt zu 8% p.a. zu finanzieren. FOr welche A nlage soHte sich die U ntemelunen sleitung entseheiden?

Aufgabe 9.3.25: Th eobald Tiger ist auf der Suehe naeh cine r lohnenden Kapilalanlagc, d ie mmdcs tcns cine Rcndite von 8% p.a. erbringt. Sci dcr Analyse von Maklcrangcbotcn fur Mictshauser stcllt er fest, da B bci siimtliehen Verkaufsoffe nen der Kaufpreis (ind. aller Nebenkosten i ftlr irgendein Mietshaus idcnt iseh ist mil der zwolffaehen Nctt o-Jahresmietc. i) Entschciden Sic dUTCh E nnittl ung der Rendite cincr de rartigcn Kapitalan lage, ob Sie den An spruchcn T.T.'s gcnugt. Gchc n Sic bci Ihren Obcrlcgungcn davon aus, daB bci eincm derartigcn Objekt stets nom inale Kapitalerhal lung gcgcbcn ist (d.h. T. T. ist iederzeit in der Loge, ein gekauftes Mietsnaus genau zum Ankauf spreis wieder zu verkaufen). iI) 1st cine Kapilalanlage der gcnan nten A rt fu r T oT. lobncnd, wenn er naeh 20 J ahren bcim

wicdcrvcrkaut cines Mictshauses eincn E rl6s in H6hc von 90 % des nominalcn ursprunglichcn Kaufpreises erzidt?

AUfgdbe 9.3.26: Oc r FuBballnationalspieler Kunibcrt Klotzf uB kon ntc scin Kapital zu 10% p.a, a nlegen. Da bictet sieh ihm eine einmalige Ge legenheit: Zu cincm Kaufpreis von 4,5 Mio. € kann cr Eigent umcr e iner herrliehcn Villa werde n, fur dc rcn Venni etung an den Verein zur Rett ung de s Hc scntragers er mit jahrlichcn E lnza blungsubcrschnssen von 630.000 € / J ahr rechnen kan n. Naeh 8 J ahren allerdings wird das Gebaude im Z uge des Baues eincr dUTCh das Grundstuck fuh rendcn Au tobahn abgcrisseo. die staatlic he E nteignungsentschitdigung wird dann 2,5 Mio. € bctragen. i) lsi das Projekt fur KK.lohncnd? ii) Kunibcrt \ViII nur dann auf das A ngebot eingehen, wenn ihm dadu reh cine Vcrzins ung von 15%

p.a. garanl iert wird. Welchen Kaufprcis wird er dahcr hoc hstens akzcpticren? iii) Ocr v crkautcr der Villa ist schlieBlich doch bcrcit, de n Preis auf 3 Mio. € zu senken. Wclehc

interne Verzinsung ergibt stcb nun fU r KK. bci Annalune des Angebotes, wenn die Obrigen Vcrhalrnlsse so wie eingangs bcschriebcn bleiben?

9.3

415

Interner Zinssatz ciner Investition - Vorteilhaftigkeitskriterien

Aurgabe 9.3.27: Die Grobbackcrci Paul Popel GmbH & Co. KG erwagt den Kauf einer vollautornanschen Rosinenbrfitchen-Backanlage. Zur Wahl stehen zwci Anlagen (Lebensda uer jeweils 4 Jahre) mil folgcnden Anschaffungsauszahlungen: Anlage I:

Anlage II: € 108.000.

€ 98.000 ;

Die zurechenbarcn E inzahlungen bclaufen sich bci bciden An lagen irn ersten Jah r auf 75 .000 € und stcigcrn sieh in jcdcm weiteren Jah r der Nutzung urn 10% des Vorjahreswertes. FOr die mit dem Bctrieb der An lage verbundcncn Auszahlungen ergebcn sich auJ3cr der Ansehaffungsauszahlungfolgende Werte (in €):

1, II:

1

2

3

4

68.000 15.000

42.000 25.000

28.000 70.000

45.000 75.000

FOr An lage I kann naeh vier Jahren cin Liquidationscrlos in Hohe von 12.000 € erzielt wcrden, wahrcnd An lage II vcrscbrone t werden muu, i) FUr welche Anlage sollte sich Paul Popel cntschcidcn, wenn der Kapitalwcrt als En tschcldungskriterium gilt und mit einem Kalkulationszinssatz von 15% p.a. gcrcchnet wird? ii) Wie lautet die Entsehcidung, wenn die aqutvalentc Annuuat als En tscheidungskritcrium ge-

wahlt wird? iii) Ermittcln Sic die internen Ztnssarzc bcider Invcstitionsaltemativcn.

a) Wie lautet die Entseheidung, wenn ausschhcnttch dcr interne Zinssatz als Bntschcidungskriterium gcwahlt wird? b) Sollie diose Entseheidung im Widerspruch zur Entseheidung naeh i) stehen: Wie ist dcr Widersprueh zu erklarcn?

Aurgabe 9.3.28: Die miteinander konkurrierenden Produzcnt en Hubert Halbnagc l und Hennann Hammer bcabsichtigcn borde, in den aussichtsrcichcn Ma rkt fur schmiedceisemc Ce rtcnzwerge einzusteigen. Halbnagel erstellt aufgrund wnfangreieher Analysen und Prognosen folgende Zahlungsreihe fiir seine geplante Invcstlnon (in T€) :

~

t' .

1- - -=,o ----- ---:''::-- ---,-=- - ---=:-- ----:-':--1.000

1

2

3

4

500

1.000

200

800

Halbnagc1 kann Geld zu 10% p.a. anlegen und aufnchmen. Scin Konkurrent Hammer bckommt Wind von diesem Plan. Er will auf gar keinen Fall Halbnagel ats Konkurrent auf diesem Markt. Daher ge ht er zu Halbnagel und bielet ihm vier (nachschiissige) Jabrcsraten zu je 300.000 € /Jahr fur den Fall, daBer (d.h. also Halbnagel) scincn Plan fallen tasse und Hammer den Markt fur schmtedceiscmc Gartenzwergc allcin ebcrlassc.

416

9

Finanzmathcmatischc Verfahrcn dec Investitionsrechnung

i) Wit: cntsc heidet sich Halbnagel unter dem Zicl "Kapitalwertmaximierung"? iI) Bei wclchcm Kalkulatlonszinssatz ist Halbnagcl indifferent gcgcniibcr den beiden Alt ernativen "Gartenzwergproduktion" auf dec einen und "Hammers Angebot" auf dec anderen Sette?

iii) Wic andert sich Halbnagcls E ntschcid ung (Kalkulationszinssatz wie oben: 10% p.a.) , wenn

Hammers An gebot lautet : 1 Mia . € in bar?

Aufgabe 9.3.29: Ignaz Wrobel crwagt, in seiner Garage die vollautomatische Produktion von doppelseitiggcs pitzten Rcigzwecken mit hydraulisch abgedrehtetn Teller aufzunehmcn (Well/lfu heil). Z ur Wahl stehen zwei Prod uktionsanlagen mit den deren Anschaffun gsauszahlungc n 120.000 €

( Typ l) bzw. 130.000 € (Typ 1/) .

Die Lebensdaucr bcider Anlagen wird mit 4 Jahren veranschlagt. Danaeh kann mit Liquidationserlcscn in Hohc von 15% der A nsehaffungsauszahlungcn gcrcchnct werdcn. A n laufenden Einzahlungen reehnet Ignaz bei beiden Anlagen mit 40.000 € im I. Jahr und ciner Stcigcrung in den Folgcjahren lin 20% des jewciligen Vorjahreswcrtcs. Die Hohe der sonstigen laufenden Auszahlungen ist in fclgcnder Tabclle wicdergegcbcn (in € ) :

I, II:

1

2

3

4

35.000 4.000

20.000 10.000

11.000 20.000

6.000 30.000

i) Ermitteln Sic fur cincn Kalkulationszinssatz i ;; 10% p.a. die Kapitalwerte der Investitions-

alternativen. Wie lautet die Ent scheidung? ii) Welche jahrlich glciehe Summe mente ihm ein Konkurrent 4 Jahre lang mindcstens zahlcn, damit Ignaz die Invcstition untcrlaat? (i '= 10% p. a.) iii) Errnittcln Sie die internen Zinssatzc bcider Invcstitionsaltemativen und geben Sic an, lnwiefern

die crhaltenen Werte zutrcffende Aussagcn ubcr die Vorteilhaftigkeit der Projekte crmoglkhen.

Aufgabe 9.3.30: H uber will in 20 Jahren nach Madagaskar auswandern. Fur den Zcitraum bis dahin sucht er nach etncr gOnstigen Kapitalanlage. Ein Immobilienmaklcr unterbreitet ihm folgendcs Angcbot fur den Kauf cines Mietshauses: Kaufpreis 1.2 Mio. €; jahrliche (nachschiissige) Nctto-Mict einnahmc 100.000 € .

Bel Kauf werden Mak1crcourtage von 3% des Kautprelses (zuzuglich 16% MwSt. auf die Counage) sowie Grunderwcrbstcucr in Hohc von 3,5% des Kaufpreises fallig. Sonstigc Kosten (Nolar usw.) entstchcn bci Kauf in Hohe von 1% des Kaufprciscs. Nach 20 Jahren kann mit einem v erkautscnos in Hohc von 95% des heutigen Kaufpreiscs gcrcchnet worden. wie hoch ist die Effektiw erzinsung diescr Kapitalanlage?

9.3

Interner Zinssatz ciner Investitio n - Vorteilhafligkeitskriterien

417

Aufgabe 9.3.31: Die Assckurantoru-Vcrsichcruegs AG unterbrcitct Caesar folgcndes Lebensverslchcrungsangcbot: Caesa r zahlt, bcginnend hcutc, jahrfich 3.000 € Pramic (25 mal). Nach 12 Jahren erfolgt eine Gewinnaussehiilt ung an Caesa r in Hohc von to.OOO €. nach weiteren 4 Jahren in Hohe von 20.00 0 €. naeh weitcrcn 4 Jahren in Ho he von 26.000 € und am Ende des 25. verstctcrungsjah res in Hohc von 50.000 € . i) Caesa r betrachtet dicsc Lebensvcrsicherung aussehlieBlieh als Kapitalanlage. Ware er mit dieser

Anlage gut beraten, wenn er altemalivscin Geldzu5%p.a.anlegen konntc ? ii ) Wie hoch iSI die Effektiwerzinsung dtescr Kapitalanlage?

Aufgabe 9.3.32: Munch schliegt eine Lebensversicherung (Versicherungssumme lOO.OOO€;) abo Laufzeit 30 Jahre. Er verpflichtct sich, zu Beginn cines jeden Vcrsicherungsjahres cine Vcrsichcrungspramie in Hohc von 3.500 € zu zahlen. Dafur crhalt cr (neben dem Vas icherungsschun] am E nde des 30. Jahres die Versichcrungssurmnc sowie zusarzttch die kumuliertcn "Gewinnan teilc" in Hohc von wcitcrcn 100.000 € ausbczahlt. I) w elchc cffcktive Kapitalverzinsung liegt zugrunde? ii ) Welche Kapitalverzinsung ergibt sich, wenn sich Munch - bcginnend am Ende des 3. Versicherungsjahres - Gewinnanteilc in Hobe von 1,6% p.a. der v erstcherungssumme ausbezahlen lal3t (im te Ausschiittung am Ende des 30. Jahres) und dadurch am Bnde der Laufzeit lediglich die

vcrstchcrungssummccrhalt? iii) Welche cffcktive Kapitalverzinsung ergibt sich (nach S/euem). wenn aile Pramien unmittclbar stcucrlich absctzbar sind (Miinch umaliegt einem Grenzsteuen atz von 40%) und die (wie in Fall i) anzusetzenden) Rackflusse steucrfrci sind?

Aufgabe 9.3.33: Joepcn schtteat mit seiner Ha usbank einen Rat ensparvertrag abo Er verpflichtet stch, 6 Jahresratcn (beginnend 01.0 1.00) zu je 5.000 € einzuzahlcn. Ais Gegenleistung verguter die Bank 5% p.a. Zinsen (des jeweiligen Kontostandes] und zahlt darilber hinaus am Ende cines jeden Sparjahres - d.h. beginnend 31.12.00 - eine zusatzlichc Sparpramie in Hohc von 400 € auf Jocpens Sparkonto (insgesam/ also ebmjalls 6 Sparpriimien). Erst am Tag der Jetzten Sparpramie kann Jocpcn uber das angcsammclte Kapital vert ugen. i) Ube r wclchcn Konlostand vcrfOgt Joepcn am 01.01.06?

ii ) Mit welchcm Effektivzinssatz hat sich Jocpens Kapitaleinsatz verzinst? iii) Man ennittle den Kapitalwert bci eincm Kalkulationszins von 8% p.a, und interpreticre das

E rgcbnis.

Aufgahe 9.3.34: Agathe erwirbr 10 Platinbarren (je 1 kglBa"en) zum Preis von 30.000 € /kg. Naeh drci Ja hren verkauft sic zwei Barren fur 32.000 € /kg. nach weiteren vier Ja hren vcrkauft stc scchs Barren fur 35.000 € /k g und den Rest naeh eincm weiteren Jah r zu 33.000 € / kg. Welche Effektivverzinsung erreiehte Agathe bei dicscm Gcsc haft?

9

418

Finanzmathcmatische verfahren dcr Invcstitionsrcchnung

Aufgabe 9.3.35: Weinsammler R. Schuler ersteigcrt auf einer Auktio n die letztc R asche des beruhmten Chateau d'Aix la Camclle, l er G rand em Classe, Jahrgang 1875, fur 50.000 € plus 15% Versteigcrungsgcbiihr. Er versichcrt die R asche zu ciner Jahresptamic von 1.000 € /Ja hr (die Pramie fu r des erste Versichaungsjahr ist fiillig am Tage des Erwerbs der Flasche). Nach 6 Jahren vcmul3ert er die Rasche an den Stcucrfahndcr H . Rick, del dafiir 100.000 € zu zahlcn bereit iSI. Davon soil Schuler cine Halfte am Tage des Erwerbs, die restlichen 50.000 €

zwei Jahre spater erhalten. i) Welche effckti ve Verzinsungerzielte Schuler mit seiner Vermogcnsantagc?

ii) Man untersuche, ob Schuler mil diesc m Gcsc haft gut beratc n war, wenn cr scin Gcld alte rnativ zu 5% p.a. harte an1egen konncn.

Aufgabe 9.3.36:

Dagobcrt Duck bcteiligt stch an eincr D iamantengrube in Kanada.

Am 01.01.06/ 09/ 11 invcsticrt er jeweils 90.000 E . Im Laufe des Jahres 12 werden die crsten Diamanten gcfunden, so daB D .O . - bcginnend 31.12.12 - jahrhch Ruckffussc in Hohc von 55.000 € / Ja hr erhalt. Nachdcm 10 Raten ausgcschut tet sind. wird das Projckt bcc ndet . Z ur Rcku ltivierung des Gctandcs mua D .O . am 31.12.24 cincn Bctrag von 50.000 E zahlen. i) Ist die Investttic n fur D. D . lohnend, wen n er fur sein Kapital8% p.a. Zinsen erziclen kann? ii ) Wclche E ffckt ivverzinsung erbringt diese Investltfon? iii) Man skizzierc die Kapital wcrtfunktion und unte rsuche, fu r welche Kalkulationszinssatze das

Projckt fur D.O. lohncnd ist.

Aufgabe 9.3.37: Schulte-Zu rhausen (S.-Z. ) beteiligt sieh an ciner Bienenfann auf Gronland. Infolge des erst langsam fortschrelteedcn T reibhauseffektes auf der E rde sind zur Klimat isieru ng der Blcncnstocke sowie zur Ze chtu ng spezieller, zur Na hrungsa ufnahme fUr die Bienen gecigneler E isblumen zunachst hohc Invesnt ioncn erfordcrlich, namttcb: am 01.01.08: 250.000 €

am 01.01.09: 350.000

sowic

c.

Die Gewinnausschuttungcn aus dcm H onigprojekt worden laut astrologisehc m Ou tachtcn wic folgt einrreten : E ndc des J ahres:

13

14

15

16

17

Gewinn , bczo gcn auf insgesamt eingcseta tcs No minalkapital

8%

0%

4%

6%

9%

Ende des Jahrcs 17 \Vi II S.-Z. aus dcm Projckt ausscheide n; er erhatt zu dan n zu diescm Zei tp unkt

scm va lles nomi nellcs Kapital (600.00 0 € ) ausgcaahlt.

D UTCh de n Schaden, der du rch die vcrschcntfichc E inschlepp ung einer Killerbiene vcrursacht wurde, mu g S.-Z. am 01.01.20 noch 50.000 € nachzahlcn. Welche Rend ite (Effektivverzinsung) erbrachteS.-Z.s Kapitalanlagc?

9.3

419

Internet Z inssat z eincr ln vestition - Voncilhaftigkeitskrit erien

Aufgabe 9.3.38: Reusch investic rt in ein O It"6rderungo;projekl. Am 01.0 1.00 zahtt er 120.000 € ein, die er nach gcnau 5 J ahren in nominell gIeicher H ch e zurec kerhau. Am End e des erste n Jah res crbalt er cine Gewinnauss chOttung von 4% auf sein cmgesetetes Kapital ausgezahlt. Die ent sprech end cn Gewinnauszahlungcn fur die Folgejahre lauren :

3

4

5

7%

0%

12%

2

End c von J am Gcwlnnausza hlung bezogc n auf urspriingIich cmgescratcs Kapital:

5%

Welc hc Bffeknwcratnsung emcn Rcuschs vcrmogensantagc? Aufgabe 9.3.39: Willi Wacker erwirbt am 0 1.01.05 ein Grunds tuck. Als Gcgentets tung verpflichte t er sich, j ahrlic h - bcginnend am 01.01.05 - 14.000 € (insgrsamt 10 m al) an den v erkaufer zu zahlen. DarObcrhinaus mull er cine Rcstzahlung in Hohc von 150.000 € am 01.01.15 tctsten. i) Man ennittle Willis ~ i nleme" Effcklivzinsbelastun g, wen n er den Grund stOckswert mil 200 .000 € zwn 01.01.05 veransc hlagt. ii) Willi moge bc rcits die erste n drei Raten bczahlt haben, Er vcreinba rt nun mit dem Verkaufer, samthche jetzt noch au sstehenden Zahlungen in eincm Betrag am 01.0 1.10 zu zahlen. (Es rrfolgrn also k eine weiteren Ratenze hiungen m ehr!)

wte hoch ist dicser Betrag? (i

= 6 % p .a.)

Aufga be 9.3.40: Buchkrcmer kauft 1.000 Ak ticn dcr Silbcrbac h AG , Gcsamt preis 200 .000 €.

Info lge gunstigcr wirtschaft lichcr E ntwick lung werdcn - bcginnend cin Jahr nach dem Aktienkauf a n Buchkrem er jahrlich 8 € pro Akl ie an Dividend e ausgeschunet tinsgesamt 5 ma l) .

Im 6. bis 8. Jahr sinkt die Dividend e auf 5,50 € pro Akl ie, im 9. his 12. Jahr wird infolge mangelhaft er Gesc hafts politik der Silberbach AG keine Dividende ausgeschatt et.

Am Ende des 12. J ahres nach seinem Ak tien kauf kann Buchkremer da s gesamle Aknenpeket zu einem Preis von 250.000 € verkaufen. Man crmittle Buchkremcrs Rendite.

Aufgabe 9.3.4 1: H oepner investiert in cine Telekomrnunikat ions-Gcscl lschafl. Seine Lcistungen und die zu erwarte nde n Gegc nieistungcn gchen aus folgende r Ta bclle hcrvor: Zeilpunkt 3 1.l2 .0~

31.12.05 31.12.06 31.12.07 31.12.08 31.12.09

Diese Bctragc mull Hoepner leisten 200.000

100.000

Diese Gcgcnlcistungcn kann Hoepner erwa rten

€

€

i) w etche Rcndit e erz iell H oepner mil diese r l nvestitlon?

50.000 70.000 100 .000 30.000

€

€

€

€

sowie (aste Z ahlung am 3 1.1 2.11 ) cine ewige Rente in HOne von 25.000 € /Jahr.

ii) H oepner rcchnet ste ts mit einem Kalkulationszinsfu/3 von 10% p.a. We1chem aq uivalenten Gewinn bzw. vcrtust zum Investitionsbeginn (31.12.04) enlsprieht diese Invcsunon?

iii) Man stcllc den Invesnt tonstugungsplan (i = 10% p .a.) fur die ersten 9 Jahre auf.

421

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425

Sachwortverzeichnis tsiehe auch Verzeichnis der A bkumm gen und Vanablennamen auf den Seiten X -XII)

Abgel d 198

Abnahmefaktor 3,5,8 Abnahmerate 3,8 Abzinsen 21,26,58f,62 Abzinsungsfakt or 58,62 A G B-Geselz 221

a.H. 2,9 AIBD 60, siehe l e MA - Met hode sichc Kontofu hrungsrncthodc, l eMA allgemei ne Tilgungsschuld siche T ngungsarten Am ortisalionszeit 403 An dcrung, relative 8 Andcrungsfaktor 8

Anfangskapita]2Qf,52,58 Anfangstilgung siehe Tilgungssatz antanglicher effektiver Jahreszins siehe Effcktivzins, anfanglicbcr Anleihen 307 -, Null-Kupon- 308 Annuitat 173ff Annuitatcn faktor 189 kredi! t- AnnuitiUcntilgung)

siehe Tilgungsarten

methode 40 3 schuld ( = Annuttatentngung)

siehe Tilgungsartcn tilgung siehe Tilgungsartcn Anteil 3,5,8 antizipa nve Vemns ung 17 aq uivalente Annunat ciner lnvcstition 403

Aquivaienz zwcicrZahlungen 26ff,64ff zwcier Zahlungsreihen 27ff gleiehung 68f,230 prinzip 26ff,29ff,62ff,67ff,173f,183 prinzip und Rentenrcchnung 109ff Arbitrage 351,355 anthmeusch verandcrliche Rente 149ff -, ewige 154f arithmetische Folge 149f at-the-money 365 auf Hundert 2,9

Aufzinsen 20,26,58f,62 -, getrenntes 23,32 Aufzinsungsfaktor 52,58,62,90 Augenblieksverzinsung siehe Verzinsung Ausnbongskurs 359 Auszahlung eines Kredits 198, uchc auch Disagio Barwcrt 21 - bci stetiger Verzinsung 90 - bci Zinseszinsen 58 - ciner ewigcn Rente 121f - von Renten siehe Rente Barzahlungsrabatt 33 Basisprcis 359 Basiswcrt 352f Bewertungsstichtag 27f,65,107f,129 siche aueh Stlchtag Bczugsgroac2,5 Bczugstermin 65,68 siehe auch Stichtag Blaek-Scholes-Mode1l 387ff Bonds 328 -, annuitattschc 331f -, Zero- 308,331 Bonussparen 288ff Bo rscn ku rs 313,316 Braess/Fangmeyer-Methode siehe KontofUhrungsmethodc, Braess Break -Even- Poin t 360,362 Brown'sche Bewegung 387 Bundcsschatzbrief Typ A 184 Bundcsschatzbrief Typ B 61,185,308 Butterflies 375 Call 352ff -, Long 352ff,359ff - price 359 -, Short 352ff,359,361f Clearing-Stelle355 Combination 379 -, Long 379ff -, Short 379ff Condors 375 Convexity 345ff

Sachwortverzeichnis

426

Damnum 198, siehe auch Disagio

- skurs 307

Dcckungskriterium 396

- srendite 310ft

dckursi ve Verzinsung 17 Derivate, derivative Fin anzin strumcntc 35 t ff Devis entcrmin geschafte 354

Endkapital 52f bci gcmischtcr Verzinsung 85 - bci lincarer Verzinsung 20,23f - bci Zinscszinsrcchnung 52f

Differenzinvestition 400 Disagio 175,198,206f,245f . , E rstattung 245£,283£ - , wechselnd cs 246ff - varianten bci untcrjahrigcn Lcislu ngcn 274ff

Diskontlcren 47,58 Diskorusatz 47

diskrete (unterjahrige] Vcrzinsung 75ff,89,325 360TM=360-Tage-Methode 60,136, 139ff,213

Endverrnogen

- bci Investition 397 - bci Unterlassung 397 - sdlffercnz 398f Endwert 20f,23f,58 - bci lincarer Verzinsung 20f,23f - bci stetigcr Verzinsung 89f - von Renten siehe Rente

30/3 60-Ziihlung 19

Ersarzrate

Duration 321ff,328ff

- bei lincarer Verzinsung 139ff -, konfonne 135 Enragswert 123 Eulcrsche Zahl88f ewige Rente siehe Rente, ewige exercise price 352,355 cxpo ncntielle Verzinsung 17,51ff

. , Laufzoiteffekt 335f,338 -, Macaulay- 325 -, modifizierte 326 f -, von annu ita tisch en Bond s 33 1f -, von endfalligcn Kuponanlcih en 330 -, von Ze robonds 331

Dynamik-Faktor 155,158 dynamischc Rente I60 ff effektiver Jahreszins siehe Effcktivzins Effcktivkont o siehe vcrglcichsko nto

Effcktlvzins 27ff,31,34,68,75ff,90,147,191ff -, antanglichcr 239,260 -, Bcrcchnungsverfahren 230ft, siehe auch Kontofuhrungsrnethodc - des Liefcrant cnkredits 34,82ff -, Ennittlung, 2- Phasen-Plan 234ff,253ff --, allgemeine Tilgungsschuld 234f -- , Annunatcn tngu ng 236ft

-- bci untcrjahrigen Lcistungen 253ff,260ff --, gesamtfallige Schuld ohne Zinsansammlung 235f --, Invcstilionen 395ff --. Phase 1, 234,253ff,262ff --. Phase 2, 234,253ff,265ff --. Ratenkrcdlt 284ff --, Ratcnlilgung 236f - kUrzfristiger Krcditc 82ff - methode zur Disagiocrslau ung 245f,283f - satz ciner lnvestition siche interner Zinssalz -, Standardfalle 234ff einfachc Verzinsung siehe lincarc Verzinsung Emission 307

"faire" Krcditvereinbarung 27,30f Fair Value 381ff Faustfonnc1 fur Wertpapierrenditen 311f festvcrzmsliche Wertpapiere 307ft Fixgcscheft e 352,354 Folge, arithmctisc he 149f Folge, geomelrisehe 149,155 Forward 352ff Free Lunch 351 Futures 35 Iff -, Financial 352 -, Interest 352 Gcgcnleistung 27f,67f,173,225 Gcldenteert ungsratc 93 gcmischte Verzinsung 17,60,85ff geometnsch verandcrlichc Rente 155ff -, ewige 158f geomernsche Folgc 149,155 gcometnsche Rcihc 103,156 geome tnsc hcr Mittclwert 6

gesamtfallige Schuld siehe Tilgungsarten Gcsamtwert - einer Rente 65f - ciner Zahlungsreihe 65f Glallsl cllung 355 Glcichgcwiehtspunkl42

427

Sachwortve rzcichnis

Grundwert 2£,5,9 -, vcrrnehrter 3£ . , vermindcrte r 3£ Habenzinssatz 27,70 Hedging 354,367 ICMA 60,136f,212,217f siehe aueh Kontofiihrungsmethode LH. 2,9 im H undert 2,9 Imm unisierung 321,339ft - cines Portfolios 341ff Inflation 93££ • sbcreinigter Wert 94,96,160 • sratc 93 -, d urchschmttliche 95 innerer Wert 382ff internationale Methode sichc IQ\.1Aodor Kontofiihrungsmethodc, lCMA intcrnc-Zi nssarz-Mcthodc 408ff interner Zinssatz 225,230,395,404ff -, Interpretation 407 in-the-money 365 Investitionen 395ft -. aquivalcnte A nnuitiit403 -, interner Zinssarz 230,395.404£f -, Kapitalwcrt 395,397ft Ircratlonsvcrfahren 230££ Iterationsvorsehrift 231 itcrativcs Niiherungsverfahren 230ft

Kalkulationszinssatz 29,67,396,407£ KapitaJ abbau 127ft ,18S - aufbau 126£ - dienst 173 - verzehrsfonncl l28, 189 - wiedergewinnungsfaktor 189 Kapitalwert 395,397ft -, Interpretation 399f - funktion 404ft - von Nonnalinvestitionen 406 - methode 400 Kautkraftparltat 96f Konditioncn cines Kredits 193,198ff, 246ff,274ff konfonner Zinssatz siche Zinssatz kontinuierJiehe Verzinsung siehe Verzinsung, stetige Kontocndstand 23,174,225£

Kontofiihrungsmethode 67,178,212ff,225, 227ff,234 -, Braess 214,228 -, leMA 136£,217£,228£,257£,260££ -, 360-Tage-Methode 139ff,213£,227£, 255££,260£f .,us 138,215£,229,260££ Konto£iihrungsmodell siche Kontofiihrungsmethode Kontostaffelmcthode 22£,28,52,66,69,177£ bci untcrjahrigen Zahlungen 137ff,213ff siehe auch Verglciehskonto Konrostand 23,28,40,126ff,129,174,225 Konvergenz der Regula falsi 232 Konvcxltat s. Convexity KrcditgebOhr 198 Kreditkonto 226,234ff,253ff,258£, 262££,268ff,274ff Kreditkostcn 285 Krcditsurnme 174,193f Kupon 307 Kupon-An leihe 184,307ff Kurs 307,310,321£ - empfindlichkcit 323 - funktion 329 Kursgewinn I-vcrlust 314 Laufzeiteffekt 335ff Leerverkauf 366,367,370 Leistung 27.29,69f,173,225 Leverage-Effekt 361 Licfcrantcnkredit 33f,82ff lineare Verzinsung 17ff -, Widerspnlehliehkeiten 28ft,77, 86f,139,297ff Logarithmengcsetze 57 Long

- Aktie 356f,366 Comhination 381 Call 360f,366 Position 352ff Put 362£,366 - Straddle 377 • Strangle 3S1 Macaulay-Duration s. Duration Margins 355 Marktzinsnivcau 310f,314,321 Marching 355 Mittelwcrt, gcometrischer 6

Sachwortvcrzeichnls

mittlercr Zahlungstermin 38ff,42,71f,142, siehe auch Zeitzentrum Moosmuner-Methode 212 nachschussigc Raten 43f,141f nachschussigc Rente 98ff -, Planu ngszcit puukt 98

Promille 2

Prozcnr zrt

- annuita t 193,198 - full 2 - kurs 307 - punkt 9 - satl2,8 - wert 2,8 Put 352ff - -Call-ParitaI390f -, Long 352ff,359ff - price 359 -, Short 352ff,359ff,363f,366

-, Rentenzeitraum 98 oacbscbusslgc Tilgungsverrcchnung 220ff,260ff nachschusstgc Vcrzinsung 17f,46f,225 N ahc rungsfo rmcl fur Wcrtpap icrrcnditcn 311f Nennwert cines Wertpapicrs 307 Newton-Verfahren 230 Nic ht-Normalinvestirionen 4 IOff Nominalwcrt cines Wenpapicrs 307

Ratenkredtt, Effektiw erzinsung 284ff

Normalinvcstition 396,405f

Ra ten schuld (= Ratentilgung)

Null-Kupon-Anlcihe 308

siehc Tilgungsarten Ratentennin 101 Ratentilgung sichc Tilgungsarten Rcalverzinsung 97f Rcalwcrt 94,160 Regula falsi 230ff Rcihe, gcometrtschc 103,156 relative Anderung 8 relative Zeitrcchnung 61

nomineller Zinssatz stehe Zinssatz N ullstellen 231

Obligationen 307 Oppon unitat 397 Option(s) 35 Iff,359ff -, amerikanische 353 -, europalschc 353,359 -, Financial 352 - on Stoc ks 352 - pramic 359 - preis 359 -r, Einflussgrorcn 386 -r, Scnsinvitatsanalysc 393 o ut-of-t he-mo ney 365 PAngV = Preisangabcnverordnung 60,136, 139ff,213,228,255 . , 360-Tagc-Methodc 60,136,139ff,212f,227 pari 308 pay-off-period 403 Pcriodenzinssatz 52 Planungszeitpunkt 106f Portfolio 341ff Post numcrandorc nte 106 Potcnzgcsctzc 56f Pramtsscn in dcr Finanzmalhematik 27,5 1,70,101,132,395ff,407 Pranumerandorente 106 Prcisangabcnverordnung (PAngY) siehe PAngV Prctsstcigcrungsrate 93

Rate 10 Iff Ratenperiode 101

rclativcr Zinssatz siche Zinssatz Rcndite 230 sichc auch Effcknvzins 67ff

- ciner Invcst itlo n sic hc interner Zinssatz - fcsrverzi nslic hcr Wertpapierc 307ff,313ff - von Invcstinonen 395ff, slche auch lntcmcr Zlnssarz

Rentc(n) lOIff -, arithme tisch vera nderlic hc 149ff

--, cwige 154f -, dynarnische 160ff -, ewige 12Iff --, BaTWCrt I2Iff -, geom etr isch verandcrliche 149,155ff --, ewige 158f -, Gesamtwert cincr 66,102ff -, nachschussigc 106ff --, BaTWCrt 107f -r, Endwert 107f -, verandcrliche 149ff - -, unterjahrig zahlbarc 165ff -, vorschnsstge 106ff -- , Barwert 107f -- , Endwert 107f

429

Sachwortvcrzeichnis

. , Zcitwert einer 68,102ff,107

- barwertfaktor 108 - cndwcrtfaktor 108 - formcl 103f,109 papicre 309 - pcriode 101,132ff - rechnun g 10 Iff

- werte 309

- wcrtgcsichcrt e 156 - zeitraum 106f

- zcnc ert siehe Rente, Zcitwert Restschuld 174 - kurve siche Restschuldverlauf - saldo 226 - verlauf bei Armuitatenkrediten 195ff Rucknahmckurs 308 Schuldentilgung siehe Tilgungsrcchnung - sformel [ilr Annuitatenttlgung 189 Schuldverschreibung 307 Short - Aktic 356f,366 Call 361f,366 Combination 379f Position 352ff Put 363ff,366 - Straddle 378 - Strangle 379f Skonto 3ff,33f,84 - bczugsspanne 33f,84 sofortigeTilgungsvcrrcchnung 181,220f,260ff sofortige Zinsvcrrcchnung 181 Sollzinssatz 27,70 Sparbuch-Modc1l 213 Sparkasscnformcln 126ff,188 Spread 372ff -, Back- 375 -, Bear Call Price 374 -, Bear Put Price 375 -, Bull Call Price 372f -, Bull Put Price 373 -, Diagonal 373 -, Ratio- 375 -, Time373 Startwerte 231 stctige Verzinsung siehc Verzinsung stctigc Zcrfallsratc 90 Stichtag bci lincarer Verzinsung 23,27ff,40 Stiehtag bci Zinseszinsrechnung 65f,68f,107f,129 Stillhalter 352,359

stock price 355 Straddle 377ff -, Long 377 -. Short 378 Strangle 379 -, long 381 -, Short 380 Straps 381 strike price 359 Strips 381 Stuckelung 203,209ff Stiiekkurs 307 Stiickzinsen 316ff synthetische Erzeugung 368ff Termingeschaftc 351ff Tcrminrechnung 38ff Tcrminzah1 93,190 Tick 355 Tilgung 173ff mit Stiickelung 203,209ff plus ersparte Zinscn 187 santeil 173 sarten 18 1ff --. allgem eine Tilgungsschuld 18 1ff -r, Annultatenkrcdit 187ff ---. Prozeruannuitat 193f ---. Restsehuldcntwicklung 195ff ---. Tllgungssatz 193 -r, Ann uttat cnttlgung 187ff --, gesamtfalligeSchuld mit vollstandigcr Z insansammlung 185 --, gesamrfantge Schuld ohne Zinsansammlung 184 --, Ratentilgung 186,236 - splan 174,177ff,191 --, bci unterjahngen Leistungen siehe v ergleichskonto bci unterjahrigen Leistungc n --, nicht-ganzzahlige Tenninzah1190f squote 173 - srate 173,176 - srechnung 173ff -- bci unterjahrigcn Zahlungcn 212ff - ssatz 193 - sstreckung 182,203f,240f -- sdarlehcn 203,206f,243ff,279ff sverrcchnungsklausel 220ff - sverrechnung, nachschiissige 220ff,260ff --. sofortige 181,220f,260ff

Sachwortverzetchms

430

T ransaktionskostcn 353,359

vorsc hussfge Zahl ung 43

Transparcnzgebo! 221,259

Voneilhaftigkeitskrirerien bei Investitionen 400

Umlaufrendite 314 Umweg beim Auf.!Abzinscn 62f,68 Umweg-Satz 62f,66f,104 Underlaying 352,359

unterjahnge Verzinsung75ff unterjahnge Zahlungen 227 Unterlassung einer Investition 396ft U5-McthOOc siche Kontofiihrungsmcthodc, US Verbrauehcrkrcdit 284 Vergleichsinvcslition 397 Vergleiehskonto 69,180,226,234ff,241, 253ff,268ff,274ff - bci unterjiihrigen Lcistungcn 228f,253ff, 268ff,275ff,28Iff Vcrgleiehsstiehtag 29 verme hrter Wert 3f,8 venninderter Wert 3f,8 Vcrzinsung -, antizipative 17 -, dckursive 17 -, diskreteunterjahngc 75ff,89 -, effcktive sichc Effcklivzins -, cinfaehc sichc Vcrzinsung, lincare -, exponcnucllc 17,51ff -, gcmischte 17,85ff -, lincare 17ff -, nac hsch ussigc 17,46f -, nominclle 75ff -, Real-, stetige 88ff -, untcrjahrige 75ff -, vorschussige 17,46f - sidcologie 234 - smethode 67,234 v.H.2,9 Volatilitiil(S) 386f ~, im plizite 393 - Strategie 377 vollstandigcr Finanzplan 400 vom Hundert 2,9 vorschiissige Ratcn 43f,141f vorschiissige Rente 106ff -, Planungszeilpunkt 106 -, Rente, Rentcnzcitraum 106 votschussige Vcrzinsung 17,21,46ff

W ach st wn sgeschwindi gkeit 54ff W cchselharwert 47 Wcchseldiskontlcrung 46f Wechscls umme 47

wertpaptere, festvcmnstlchc 307ff ., Aquivalcnzgleichung 310 ., Borsenkurs 313f,316ff ., Effektivzinssatz 309 -, Emtsstonskurs 307 - , Ernissionsrcndite 310ff

-, finanzmarhcmatischcr KUTS316 -. gesamtHilligc 307f -. Ncnnwert 307

-, nominelle Zinscn 307 -, Rendite 309f . , Riicknahme 307 -, Riicknahmekurs 308 -, Stiiekzinscn 316ff -, Umlaufrendite 314 -, Zinskupon 307 Wicdemnlagcpriimisse 407

Zahlungsaufsehub 182,203,205f,241ff Zahlungsreihe 27,225 -, Gesamtwert einer 66 -, Zeitwert ciner 62f,66,68 -izusammcngesetzte 118f Zahlungsstrahl, realer 198ff,234 Zeitwcrt cinc r Option 382f, 384 Zcirwcrt cincr Rente 66,68,1041 Zcitwert ciner Zahlungsreihc 62f,66,68 Zeitzentrurn 38ff,42,71f,112,142 Zcrfa llsrate 90 Zcrobonds 308 - Duration von 331 Zins 1,17f siehe aueh Verzinsung anleihen 307 antcil 173 bindungsfrisI 201,239,242,244 cszinsfonncl52 eszinsrechnung 51ff,60 -- , gcmisehte 5 1,85ft ~-, reine 5Iff - fcstsehreibung siehe Zinsbindungsfrist - fu131 8

Sacbwortverzeic hms

Z ins intc nstta t 89 kupon 307 kurvc s. Zinsstruktur- Kurve penodc 17.51,132ff - satz 18,52 - -, effektiver siche Effektivzins - -, intcmer 67f,225,230,395ff,404ff -- , konfonn er 78f, 136 --, nomineljer 75f -- . relat ivcr 76f -- . stc tigcr 89ff --. wechsclndcr 118ff -r, zcitpropo rtionalcr 77

431

- schcinbogc n 307 - sensitivitiit 321 - struktur-Kurve 309 - summe runcthode 245 - verrechnung siehc Zi nszuschlag -', sofort igc 181 - zuschlag 17f,51 -- tennin 17f,5 1,132ff ---, auBcrordcntlichcr 17 zusamrncngesetzte Zahlungsreihcn 118ff Z uwachsfaktor 5,8 Zuwachsrate 5ff,8 Z wei-Phasen- Plan 253 ff,258ff siehe a uch Effektivzins

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