Starr-elastische Robotersysteme: Theorie und Anwendungen

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Author: Hubert Gattringer

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Starr-elastische Robotersysteme

Hubert Gattringer

Starr-elastische Robotersysteme Theorie und Anwendungen

123

DI Dr. techn. Hubert Gattringer Johannes Kepler Universität Linz Institut für Robotik Altenbergerstraße 69 4040 Linz Österreich [email protected]

ISBN 978-3-642-22827-8 e-ISBN 978-3-642-22828-5 DOI 10.1007/978-3-642-22828-5 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

F¨ur Astrid, Jana, Martin und Jonathan

Geleitwort

Dieses Lehrbuch gibt eine Einf¨uhrung in die Modellbildung und Regelung von starren und elastischen Robotersystemen. Hauptaugenmerk wird auf eine effiziente mathematische Beschreibung dieser Roboter gelegt. Diese Methodik wird im Theorieteil behandelt. Der zweite Teil widmet sich einigen Anwendungsbeispielen: elastische Knickarmroboter, elastische Linearroboter, Industrieroboter, redundante Roboter, fahrende Roboter und Bewegungsplattformen. Dabei wird detailliert auf die Modellbildung, aber auch auf die Regelung dieser Systeme eingegangen. Regelungstheorie im eigentlichen Sinn wird allerdings nicht betrieben. Alle angef¨uhrten Anwendungsbeispiele sind sowohl in der Simulation als auch als Versuch realisiert. Die Messergebnisse belegen die Effektivit¨at der Methoden. Abgerundet wird dieser Teil mit einem Kapitel u¨ ber Rotordynamik, da sich auch dieses Thema mit den vorgestellten Methoden effektiv behandeln l¨asst. Diese Arbeit ist das Ergebnis meiner Forschungsaktivit¨aten im Bereich der Robotik am Institut f¨ur Robotik der Johannes Kepler Universit¨at Linz. Sie stellt auch die Basis f¨ur meine Habilitation im Fach Robotik dar. Viele Kollegen, Industriepartner, Studienfreunde und Studenten haben mehr oder weniger zu ihrem Gelingen beigetragen. Mein tiefster Dank gilt Professor Hartmut Bremer. Seit dem Beginn meiner wissenschaftlichen Karriere als junger Doktoratsstudent st¨arkte er meine wissenschaftlichen Bem¨uhungen, ließ mir aber auch die Freiheiten meinen eigenen Weg zu gehen. Sein nahezu unendlicher mechanischer Fundus, aber auch seine menschliche Art die Dinge zu sehen, beeindrucken mich sehr. Es waren gute, lehrreiche Jahre am Institut, aber es waren auch sehr anstrengende Jahre. Hervorheben m¨ochte ich auch den Zusammenhalt am Institut. Es ist sch¨on zu sehen, dass jeder f¨ur jeden einspringt und das Team perfekt funktioniert. Insbesonders danke ich meinen Forschungsassistenten Roland Riepl, Peter Staufer, Johannes Kilian, Klemens Springer, Michael Kastner, Bernhard Oberhuber, Stefan Hubinger und Johannes Mayr f¨ur die geleistete Arbeit am Institut und das Engagement in ihren Projekten. Sie sorgen auch daf¨ur, dass der Spaß an der Arbeit nicht zu kurz kommt. Von meinen Kollegen, liegt es mir besonders am Herzen, Dr. Wolfgang H¨obarth und Dr. Ralph Mitterhuber zu danken. Die Diskussion von heiklen technischen Problemvii

viii

Geleitwort

stellungen ist absolut notwendig, um wissenschaftlich voranzukommen. Dem Geschick unseres Technikers Kurt Stenzel ist es zu verdanken, dass wir so viele tolle Experimente umsetzen konnten. Dorothea R¨uger unterst¨utzt mich bei allen administrativen Aufgaben, wof¨ur ich ihr u¨ beraus dankbar bin. Ein besonderer Dank geb¨uhrt meiner Frau Astrid, sowie meinen Kindern Jana, Martin und Jonathan, f¨ur die sch¨one Zeit, die wir miteinander verbringen d¨urfen und das Verst¨andnis, das sie mir beim Erstellen dieser Arbeit entgegenbrachten. Sie schaffen es meist in kurzer Zeit mich aus der Formelwelt loszureißen. Diese Arbeit wurde im Rahmen des ACCM(Austrian Center of Competence in Mechatronics) nach dem Kompetenzzentren-Programm K2 durchgef¨uhrt und mit Mit¨ teln des Bundes Osterreich und des Landes Ober¨osterreich gef¨ordert. Dieses Zentrum erm¨oglicht nicht nur die instituts¨ubergreifende Forschung, sondern gibt auch vielen jungen Kollegen die Chance in interessanten Forschungsprojekten zu promovieren. Fragen und Verbesserungsvorschl¨age k¨onnen sie gerne an meine E-Mail-Adresse [email protected] senden. Linz, Juni 2011

Hubert Gattringer

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.1 Ubersicht ................................................. 1.1.1 Klassische Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Parallelkinematiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Serviceroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Elastische Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Gelenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Konfigurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Operationsraum - Task Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Redundanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Singularit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Robotercharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Stand der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Modellbildung f¨ur starre Robotersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Modellbildung f¨ur elastische Robotersysteme . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Elastische Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Redundante Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Fahrende Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Bewegungsplattformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 3 5 6 6 6 6 6 7 7 9 9 11 11 12 13 14 14 15

Teil I Theorie 2

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen . . . 2.1.1 Position und Drehmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 R¨aumliche Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Translationsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22 29 29

ix

x

Inhaltsverzeichnis

2.2.2 Rotationsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Translationsbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Winkelbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Lineare Kinematik Bernoulli-Euler Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lineare Kinematik Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Mehrk¨orperkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Topologie baumstrukturierter Mehrk¨orpersysteme . . . . . . . . . 2.6.2 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 32 32 33 33 35 36 37 38

3

Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Zentralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hamel-Boltzmann Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lagrange Gleichungen 2-ter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Projektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 42 43 44

4

Projektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Darstellung mittels Zwischenvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Zusammenf¨ugen des Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Allgemeine Modellierung eines Roboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 48 50 50 56 56 57

5

Elastische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Elastizit¨atstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Cauchyscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Elastisches Potential - Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Trefftzscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Green-Lagrangescher Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Elastisches Potential - Bernoulli-Euler Balken . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Elastisches Potential Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Beispiel Bernoulli-Euler Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Beispiel Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.4.3 Ubergang auf neue Koordinaten - Vernachl¨assigung des Schubeinflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Elimination des Biegewinkels B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 65 66 67 68 70 71 72 74 75 75 76 77 78 78 79

Inhaltsverzeichnis

xi

5.5 Dynamische Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.6 L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.7 Ausblick Mehrk¨orpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6

Ritz Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Galerkin Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Erweitertes Galerkin Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ritz Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mehrk¨orpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Dynamische Steifigkeitsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 87 88 88 90 91 92

7

Bindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.1 Projektion in neue Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2 Kontaktkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.2.1 Explizite Berechnung der Kontaktkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2.2 Rekursive Formulierung - Algebraischer Ansatz . . . . . . . . . . 96 7.2.3 Rekursive Formulierung - Ansatz u¨ ber Bindungsgleichung . 97 7.2.4 Geschlossene kinematische Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2.5 Mehrfache Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.3 Bindungsstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4 Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4.1 Rekursives Verfahren - Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5 Numerisches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Teil II Anwendungen 8

Elastische Knickarmroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.2.1 Elastischer Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.2.2 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.3.1 Bahnkorrektur - Minimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.3.2 Bahnkorrektur - Rekursive Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.3.3 Schwingungsd¨ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9

Elastische Linearroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2.1 Teleskopachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2.2 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.3 Schwingungsunterdr¨uckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

xii

Inhaltsverzeichnis

9.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.5 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10

Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Grundanforderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.2.1 Dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.2.2 Parameteridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.2.3 Modellverifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3 Geometrische Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3.1 Unterscheidung der geometrischen Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.3.2 Berechnung der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.4 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.4.1 PD- Regelung mit Momentenvorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.4.2 Computed Torque Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4.3 Dezentrale Regelung mit Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.5 Optimale Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.5.1 Definierte Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.5.2 Punkt-zu-Punkt Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11

Redundante modulare Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2.1 Vorw¨artskinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2.2 Inverse Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.2.3 Bahnplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.3.1 Subsystem Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.3.2 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.3.3 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.4 Aktive Impedanzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11.5 Passive Impedanz Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.5.1 Endeffektor Impedanzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.5.2 Nullraum Impedanzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.5.3 Implementierung - Gesamtregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12

Fahrende Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.1 Segway Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.1.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.1.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.1.3 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.1.4 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Inhaltsverzeichnis

xiii

12.2 Vierrad Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.2.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.2.3 Flachheit des nichtholonomen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 12.2.4 Quasistatische Zustandsr¨uckf¨uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.2.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 12.2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 13

Bewegungsplattformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 13.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 13.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2.1 Inverse Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2.2 Vorw¨artskinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.4 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 13.5 Bewegungssimulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 13.6 Washout Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 13.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

14

Rotordynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.1 Mechanisches Rotormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.1.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 14.2 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.2.1 Hochlauf ohne Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.2.2 Hochlauf mit Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.3 Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A

Kinematische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.1 Transformationen Achse/Winkel - Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.2 Eigenschaften der Kreuzprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.3 Drehgeschwindigkeit f¨ur Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 A.4 Relative Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

B

Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 B.1 Drei Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 B.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

C

Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung . . . . . . . . . . . . . 245 C.1 Drei Subsysteme - Endpunktkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 C.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

D

Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D.1 Drei Subsysteme - Endpunktstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

xiv

E

Inhaltsverzeichnis

Hamilton Prinzip Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Kapitel 1

Einleitung

¨ Die Robotik ist ein sehr weitl¨aufiges Forschungsgebiet. Um darin die Ubersicht nicht zu verlieren, wird vorab eine Unterteilung der verschiedenen Bereiche durchgef¨uhrt. Diese reicht von den klassischen Industrierobotern, u¨ ber Parallelroboter und Service-Roboter bis hin zu den elastischen Robotern. Die hier vorgestellten Methoden sind prinzipiell f¨ur alle Bereiche einsetzbar. Verschiedene Definitionen aus dem Bereich erm¨oglichen eine entsprechende Diskussionsgrundlage f¨ur die folgenden Kapitel.

¨ 1.1 Ubersicht 1.1.1 Klassische Industrieroboter F¨ur eine Definition bez¨uglich Industrieroboter kann auf die VDI Norm [VDI90] zur¨uckgegriffen werden: Industrieroboter sind universell einsetzbare Bewegungsautomaten mit mehreren Achsen, ” deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge und Wegen bzw. Winkeln frei (d.h. ohne mechanischen Eingriff) programmierbar und gegebenenfalls sensorgef¨uhrt sind. Sie sind mit Greifern, Werkzeugen oder anderen Fertigungsmitteln ausr¨ustbar und k¨onnen Handhabungs- und/oder Fertigungsaufgaben ausf¨uhren.“

Abb. 1.1 zeigt einen klassischen Industrieroboter der Firma KUKA Roboter GmbH. Er ist der st¨arkste und gr¨oßte 6-Achsen Roboter, der aktuell am Markt erh¨altlich ist. Mit einer Traglast von bis zu 1000 kg wird der Titan vor allem in der Glas-, Gießerei-, Baustoff-, oder Automobilindustrie eingesetzt. Weitere technische Daten werden in Tabelle 1.1 pr¨asentiert. Der Aufbau ist bei diesen Robotertypen immer a¨ hnlich. Die ersten drei Achsen entsprechen einem anthropomorphen Aufbau. Die Anordnung der letzten drei Gelenke wird als Zentralhand (engl. Spherical Wrist) bezeichnet. Dabei schneiden sich die drei Achsen in einem Punkt, was Vorteile bei der Berechnung der inversen Kinematik bringt. H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

1

2

1 Einleitung

Abb. 1.1 KR 1000 Titan Roboter von K UKA

KR 1000 Titan Roboter Traglast:

1000 kg

Gesamtgewicht:

4700 kg

Arbeitsraumvolumen: Max. Reichweite: Anzahl der Achsen:

78 m3 3m 6

Geschwindigkeit/Achse: 60 ◦ /s Tabelle 1.1 Technische Spezifikation K UKA KR 1000 Titan Roboter

Der SCARA-Roboter (Selective Compliance Assembly Robot Arm), Abb. 1.2, hat einen eingeschr¨ankten Arbeitsraum und wird vorwiegend f¨ur hochdynamische Positionieraufgaben eingesetzt.

Abb. 1.2 SCARA Roboter KR 10 von K UKA

¨ 1.1 Ubersicht

3

1.1.2 Parallelkinematiken Im Gegensatz zu klassischen Industrierobotern wirken die Antriebsachsen parallel auf den Endeffektor. Eine spezielle Form der Parallelkinematikmaschine ist der Hexapod. Wie der Name schon sagt, wird eine bewegliche Plattform u¨ ber sechs Beine ver¨anderlicher L¨ange angetrieben. Man erreicht dadurch eine Beweglichkeit in allen sechs Freiheitsgraden (drei translatorische sowie drei rotatorische). Durch diese Bauform besitzen Hexapode im Gegensatz zu seriellen Robotern einen kleineren Arbeitsbereich, sowie ein besseres Nutzlast zu Eigengewicht Verh¨altnis. Da sich die Fehler der einzelnen Achsen nicht aufsummieren, ist die Gesamtgenauigkeit normalerweise besser als bei den seriellen Robotern. Sie finden daher f¨ur hoch genaue Anwendungen beispielsweise in der Medizintechnik als Operationsroboter ihre Anwendung. Durch die hohe Nutzlast eignen sie sich auch als Bewegungssimulatoren f¨ur Flugzeuge, siehe Abb. 1.3.

Abb. 1.3 Flugsimulator mit Stewart Plattform der Firma AMST Systemtechnik GmbH

Die ersten Hexapoden wurden von D. Stewart und E. Gough in den 1950er Jahren gebaut. Sie werden in dieser Anordnung daher auch Stewart/Gough Plattformen genannt. Prinzipiell werden allerdings auch sechsbeinige Gehmaschinen als Hexapoden bezeichnet.

1.1.3 Serviceroboter Auch f¨ur die Service-Roboter soll eine Definition des F RAUENHOFER Institut f¨ur Produktionstechnik und Automatisierung (IPA) in Deutschland aus dem Jahre 1994 als Einleitung dienen: Ein Serviceroboter ist eine frei programmierbare Bewegungseinrichtung, die teil- oder ” vollautomatisch Dienstleistungen verrichtet. Dienstleistungen sind dabei T¨atigkeiten, die

4

1 Einleitung nicht der direkten industriellen Erzeugung von Sachg¨utern, sondern der Verrichtung von Leistungen f¨ur Menschen und Einrichtungen dienen.“

Dieses F RAUENHOFER I NSTITUT forscht intensiv im Bereich Servicerobotik. Unter dem Titel Care-O-bot“ entstanden eine Reihe von mobilen Servicerobotern, ” die zur Unterst¨utzung im Haushalt eingesetzt werden sollen. Es handelt sich dabei um eine bewegliche Plattform, die u¨ ber omnidirektionale Antriebe bewegt werden kann. Durch einen Manipulator mit sieben Freiheitsgraden in Kombination mit einer Drei-Finger Hand k¨onnen verschiedenste T¨atigkeiten durchgef¨uhrt werden. Zur Navigation werden Laserscanner, Farbkameras und eine 3D-Kamera eingesetzt. C ARE -O- BOT 3 kann typische Haushaltsgegenst¨ande selbstst¨andig erkennen und an Menschen u¨ bergeben.

Abb. 1.4 Serviceroboter C ARE -O- BOT 3

Der humanoide Roboter A SIMO von Honda ist wahrscheinlich der zur Zeit am weitesten entwickelte Roboter. Als Forschungsmodell wurde er im Jahr 2004 erst¨ mals der Offentlichkeit pr¨asentiert. Die Gehmaschinen geh¨oren klarerweise auch zur Gruppe der Service-Roboter. In Tabelle 1.2 sind einige technische Daten des Roboters zusammengestellt. A SIMO Gewicht:

54 kg

Gr¨oße:

1.20 m

Anzahl der Freiheitsgrade: Maximale Laufgeschwindigkeit:

34 6 km/h

Maximale Laufgeschwindigkeit im Kreis (2.5 m Radius): 5 km/h Maximale Akkulaufzeit: Tabelle 1.2 Technische Daten A SIMO

40 min.

¨ 1.1 Ubersicht

5

Abb. 1.5 Humanoider Roboter A SIMO der Firma Honda

1.1.4 Elastische Roboter Elastische Roboter werden immer dann eingesetzt, wenn besonders hohe Dynamik notwendig wird. Die Forderung nach großer Geschwindigkeit und Beschleunigung verlangt nach m¨oglichst leichten Roboterarmen, was zwangsl¨aufig zu Strukturelastizit¨aten f¨uhrt.

Abb. 1.6 Elastische Roboter am Institut f¨ur Robotik der JK Universit¨at Linz

6

1 Einleitung

1.2 Definitionen 1.2.1 Gelenke Gelenke verbinden zwei aufeinanderfolgende Strukturelemente und schr¨anken damit die Bewegungsm¨oglichkeit zwischen beiden ein. Man unterscheidet zwischen Drehgelenken (ein Rotationsfreiheitsgrad) und Schubgelenken (ein Translationsfreiheitsgrad) .

1.2.2 Konfigurationsraum Der Raum in dem die Gelenke des Roboters repr¨asentiert werden ist der Gelenkraum oder Konfigurationsraum. Die Gelenkvariablen q ∈ IRn werden als Koordinaten verwendet. Die Dimension n ist gleich der Nummer der unabh¨angigen Gelenke und entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade des mechanischen Systems. Bei baumstrukturierten Robotern sind die Gelenkkoordinaten unabh¨angig, w¨ahrend es bei geschlossenen Strukturen Bindungen zwischen den Variablen gibt.

1.2.3 Operationsraum - Task Space Die Position und Orientierung des Endeffektors (Tool Center Point, kurz TCP) wird im Operationsraum angegeben. Normalerweise werden kartesische Koordinaten f¨ur die Position und Drehwinkel f¨ur die Orientierung verwendet. Als Index wird in weiterer Folge der Buchstabe E f¨ur Endeffektor verwendet. Position und Orientierung werden damit als zE zusammengefasst rE ∈ R6 . zE = (1.1) E Des o¨ fteren wird auch die Bezeichnung zTCP oder nur z verwendet.

1.2.4 Redundanz Ein Roboter wird als redundant bezeichnet, wenn die Anzahl der Freiheitsgrade im Operationsraum geringer als die Anzahl der Freiheitsgrade im Konfigurationsraum ist. Das erweitert im Allgemeinen den Arbeitsraum und erh¨oht die Leistungsf¨ahigkeit, wegen der F¨ahigkeit, auf Hindernisse zu reagieren. Der einfachste Fall liegt f¨ur ein ebenes Dreifachpendel vor. Es gibt dabei 3 Gelenkkoordinaten,

1.3 Robotercharakteristik

7

im Operationsraum aber nur 2 (x, y-Position des Endeffektors). Redundanz tritt auf jeden Fall auf, wenn der Roboter mehr als 6 Freiheitsgrade hat.

Abb. 1.7 Redundante Roboter beim Bau des Science Parks der Johannes Kepler Universit¨at Linz

1.2.5 Singularit¨at F¨ur alle Roboter, redundant oder nicht, gibt es einige Konfigurationen, bei denen die Anzahl der Endeffektorkoordinaten geringer als die Dimension des Operationsraum ist. Das passiert zum Beispiel, wenn 2 Drehgelenke kolinear werden.

1.3 Robotercharakteristik • Arbeitsraum: definiert den Raum, den der Roboter-Endeffektor erreichen kann. Der Bereich h¨angt von der Anzahl der Freiheitsgrade, den Gelenksbegrenzungen und der L¨ange der Verbindungselemente ab. • Positionsgenauigkeit: kennzeichnet die Differenz zwischen einer Sollposition und dem Mittelwert von Istpositionen, wenn die Sollposition mehrere Male von verschiedenen Startpositionen aus angefahren wird. Die Positionsgenauigkeit ist ca. ±0.3 mm(Roboter mit einem Arbeitsbereich von ca. 2 m, Traglast 10 kg). Dazu ist eine genaue geometrische Kalibrierung notwendig. • Last: Maximale Last, die der Roboter tragen kann. • maximale Geschwindigkeit / Beschleunigung • Wiederholgenauigkeit: ist die Genauigkeit, welche der Roboter bei mehrmaligem Anfahren immer wieder erreicht. Sie ist die Distanz zwischen der mittleren

8

1 Einleitung

erreichten Position und der am weitesten entfernten Position. Die Wiederholgenauigkeit liegt bei Standardrobotern bei ca. ±0.05 mm (Roboter mit einem Arbeitsbereich von ca. 2 m, Traglast 10 kg). • Bahngenauigkeit: Die Bahngenauigkeit gibt an, wie genau ein Roboter eine vorgegebene Ablaufbewegung bei festgelegter Geschwindigkeit einh¨alt. Sie wird von den Roboterherstellern f¨ur jeden Ger¨atetyp in genormten Testl¨aufen ermittelt. Das Ergebnis findet sich im Datenblatt des Roboters. Die Bahngenauigkeit ist bei Robotern mit Bahnsteuerung, die z.B. zum Schweißen oder Laserschneiden eingesetzt werden, ein wichtiges Leistungsmerkmal. Je nach Einsatzzweck sind die Anforderungen an die Bahngenauigkeit eines Roboters sehr unterschiedlich: W¨ahrend sie z.B. beim Messen, bei der Montage und in der Medizin in der Regel hoch bis sehr hoch sind, reicht beim Bahnschweißen meist eine geringe Bahngenauigkeit aus. Nach VDI 2861 [VDI01] wird die Bahngenauigkeit durch folgende Kenngr¨oßen beschrieben: – – – – – – –

Mittlerer Bahnabstand Mittlerer Bahnstreubereich Mittlere Bahn-Orientierungsabweichung Mittlerer Bahn-Orientierungsstreubereich Mittlere Bahnradiusdifferenz Mittlerer Eckenfehler ¨ Mittlerer Uberschwingfehler

• Aufl¨osung: gibt das kleinste Inkrement einer Bewegung an, das gemessen werden kann.

Positionswiederholgenauigkeit

Positionsgenauigkeit

Sollposition

Abb. 1.8 Positionsgenauigkeit und Positionswiederholgenauigkeit

1.4 Stand der Technik

9

1.4 Stand der Technik 1.4.1 Modellbildung fur ¨ starre Robotersysteme Schon in fr¨uhen Jahren begann man mit der mathematischen Beschreibung von dynamischen Systemen. Man denke zum Beispiel an den Impuls-/Drallsatz (1736/ 1750/ 1775). Prinzipiell kann die dynamische Modellbildung in analytische und synthetische Methoden unterschieden werden. Bei den analytischen Methoden werden die Bewegungsgleichungen aus den Gesamtenergien hergeleitet. Zu ihnen z¨ahlen beispielsweise die L AGRANGE-Gleichungen [Lag87], M AGGI-Gleichungen, H A MILTON -Prinzip, usw. F¨ ur Mehrk¨orpersysteme ist der Aufwand zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen aufgrund des Differentiationsformalismus sehr hoch. F¨ur Stabilit¨atsaussagen zum Beispiel nach der LYAPUNOV Theorie [Sch01] oder energiebasierte Regelungsmethoden [Kug01] haben sie allerdings Vorteile. Systeme mit nichtholonomen Bindungen k¨onnen mit den analytischen Methoden ebenfalls behandelt werden. Um keinen Informationsverlust zu erleiden, m¨ussen aber die Bindungen bei den Energien vorerst offen gelassen werden. Sie werden durch entsprechende Nachtransformationen eingebracht. Viele Arbeiten im Bereich der Mehrk¨orperdynamik benutzen die L AGRANGEschen- und H AMILTONschen- Gleichungen in Kombination mit Bindungen an den Koppelpunkten. Dies f¨uhrt auf ein differential-algebraisches System, siehe zum Beispiel [BS02, ESE98, GA08]. Besondere Beachtung wird dabei auf effiziente Gleichungsl¨oser gelegt. Bei den synthetischen Methoden werden Impuls- und Drallbilanz u¨ ber eine Projektion in den Minimalraum zur Bewegungsgleichung kombiniert, was auf die Projektionsgleichung f¨uhrt [Bre88, BP92, Bre03b, Bre08, Gat06]. F¨ur viele Freiheitsgrade sinkt dabei der Aufwand gegen¨uber den analytischen Verfahren. Ein entscheidender Vorteil ist auch, dass nichtholonome Bindungen vorab ber¨ucksichtigt werden k¨onnen. Diese treten beispielsweise bei fahrenden Robotern, bei denen die R¨ader nicht quergleiten k¨onnen, auf, siehe [Bla01]. S¨amtliche K¨orper k¨onnen in beliebigen Referenzsystemen eingebunden werden. Das, und die Wahl von nichtholonomen Geschwindigkeiten erlaubt eine Strukturierung des Problems. Es k¨onnen einzelne Baugruppen - zum Beispiel Motor, Getriebe und Arm - zu Subsystemen zusammengefasst werden. Diesen sind dann beschreibende Geschwindigkeiten zugeordnet. Eine nachfolgende Projektion in den Minimalraum f¨uhrt auf die Bewegungsgleichung. Eine Herleitung verschiedenster Subsysteme ist in [Bla01, Mit05, Gat06, H¨ob10, Rie11] zu finden. Einen gewissen Bekanntheitsgrad haben auch Kanes Dynamical Equations“ [KL85] ” erreicht. Sie stellen, in Kombination mit eingef¨uhrten Abk¨urzungen, im Wesentlichen die Projektionsgleichung mit der Einschr¨ankung auf das Inertialsystem dar. Diese Einschr¨ankung ist aber einen gravierenden Nachteil. Sie werden daher in dieser Arbeit nicht mehr weiter betrachtet. F¨ur Simulations- und Beobachtungsaufgaben m¨ussen die Beschleunigungen explizit berechnet werden. Das Invertieren der Massenmatrix ist von der Ordnung O(n3 ) und damit f¨ur Systeme mit vielen Freiheitsgraden sehr rechenintensiv. F¨ur baumstruk-

10

1 Einleitung

turierte Mehrk¨orpersysteme, k¨onnen diese Beschleunigungen auch rekursiv berechnet werden. Im Wesentlichen wird f¨ur den letzten K¨orper durch Verwendung des Schnittprinzips die Zwangskraft am Koppelpunkt berechnet und - Gegenwirkungsprinzip - am vorletzten K¨orper eingesetzt. Dieser wird am vorletzten Koppelpunkt aufgeschnitten, die Zwangskraft berechnet, etc. Die Rechenkomplexit¨at ist in die¨ sem Fall nur von der Ordnung O(n). Einen Uberblick, und eine detaillierte Analyse bez¨uglich der notwendigen Operationen, u¨ ber verf¨ugbare Algorithmen zeigt [KD04]. Die ersten Algorithmen wurden in [LWP80, Fea87] und [BJO86] publiziert. Diese sind eigentlich doch relativ komplex. Neuere Arbeiten zu diesem Thema sind in [Att04, MS07] und [Kha10] zu finden. Es werden dabei unterschiedliche Algorithmen f¨ur verschiedene K¨orper ben¨otigt. Ein strukturiertes Vorgehen erh¨alt man wieder durch die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung, siehe [Bre07a, Gat06]. Da dieser Algorithmus nur auf die Projektion der Subsysteme in den Minimalraum angewendet wird, ist er f¨ur alle beliebigen Subsysteme g¨ultig. Treten zus¨atzliche Kontakte auf, so kann der O(n)-Algorithmus durch Hinzunahme der entsprechenden Zwangskr¨afte adaptiert werden. In diesem Kontext k¨onnen auch geschlossene kinematische Schleifen behandelt werden. Ein anderer Fall sind Laufmaschinen, wo immer wieder ein anderer Fuß Bodenkontakt hat, siehe [GB05b]. Prinzipiell werden die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskr¨aften und der zweifachen zeitlichen Ableitung der Bindungsgleichung in der JACOBI Gleichung [Jac42] kombiniert. Als L¨osung erh¨alt man die Beschleunigungen und die Zwangskr¨afte. Auch hier kann der Aufwand durch den Einsatz von rekursiven Methoden bedeutend vermindert werden. In [BJO87] wird ein O(n) Verfahren f¨ur kinematische Schleifen vorgestellt. Ein strukturierteres Vorgehen ergibt sich wieder durch den Einsatz der Projektionsgleichung. In die JACOBI Gleichung gehen nur die Bindungsbeschleunigungen explizit ein. F¨ur die Bindung kommt es daher zu einer numerischen Drift. Diese kann durch eine BAUMGARTE Stabilisierung [Bau72] vermieden werden. Dieses Verfahren findet bei der Modellierung einer zweibeinigen Laufmaschine Anwendung [GB04, GB05a, GBH06]. ¨ Beim Ubergang vom freien System zum gebundenen System tritt zwangsl¨aufig ein Stoß auf. Bei der Modellierung als N EWTON Stoß [Bre07b] k¨onnen die Minimalgeschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden. Dazu muss aber wieder die Gesamtmassenmatrix invertiert werden. Die Integration u¨ ber die Stoßzeit f¨uhrt auf eine Formulierung, die der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung a¨ hnlich ist, allerdings auf Geschwindigkeitsebene. Aus Analogie¨uberlegungen k¨onnen daher die Geschwindigkeiten nach dem Stoß wieder rekursiv berechnet werden. Die Details sind in [Gat06] erarbeitet. Nach dem Wissen des Autors ist das der einzige Algorithmus, der diese Stoßprobleme rekursiv l¨ost. F¨ur nicht rekursive L¨osungen sollten die Arbeiten von [Pfe08, Glo01] erw¨ahnt werden. Dort kommen spezielle Kraftgesetze zum Einsatz. Das resultierende lineare Komplementarit¨atsproblem (LCP) kann beispielsweise mit dem L EMKE Algorithmus gel¨ost werden.

1.4 Stand der Technik

11

1.4.2 Modellbildung fur ¨ elastische Robotersysteme F¨ur die dynamische Modellbildung von elastischen Systemen k¨onnen prinzipiell die gleichen Methoden wie f¨ur die starren hergenommen werden. Da es sich um verteilt parametrische Systeme handelt, wo eine Verschiebung beispielsweise vom Ort und von der Zeit abh¨angt, sind partielle Differentialgleichungen (PDE) das Ergebnis, siehe [Bre08, Wau08, SW99]. Eine N¨aherungsl¨osung gelingt, indem die elastischen Deformationen durch einen R ITZ Ansatz [Rit09] angen¨ahert werden und die Bewegungsgleichung u¨ ber das R ITZ Verfahren angegeben wird. Oftmals kommt auch die Finite Elemente Methode [ZY04] zum Einsatz. In der Literatur wird die Dynamik auch durch vereinfachte Masse-Feder-Modelle ( lumped-mass-method“) [YKKU04] hergeleitet. Detailliertere Modelle finden sich ” in [Low87], wo das H AMILTON- Prinzip verwendet wird. In [WSB96, SSH08] werden beispielsweise die L AGRANGE Gleichungen verwendet. Aufgrund des Aufwandes der dabei zu treiben ist, handelt es sich bei diesen Arbeiten um Systeme mit wenigen Freiheitsgraden. F¨ur Mehrk¨orpersysteme mit vielen Freiheitsgraden bietet sich wieder die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung an. F¨ur ein Subsystem, das aus starren und elastischen Teilen besteht erh¨alt man durch Einsetzen des R ITZansatzes eine gew¨ohnliche Differentialgleichung f¨ur das Subsystem [Bre03a]. Die Projektion in den Minimalraum erfolgt wieder analog den starren Systemen. Auch hier empfiehlt sich der Einsatz des O(n) Verfahrens zur Berechnung der Minimalbeschleunigungen. Ein Teilgebiet der elastischen Mehrk¨orpersysteme stellt die Rotordynamik dar. Sie geh¨ort klarerweise nicht zu den Robotersystemen. Die dynamische Modellbildung kann allerdings analog erfolgen. Als Standardwerk in diesem Bereich kann sicher das Buch Rotordynamik“ von Gasch et. al. [GNP05] genannt wer” den. Darin finden sich generelle Herleitungen f¨ur verschiedenste Rotoren. In vielen Ver¨offentlichungen wird der J EFFCOTT-L AVAL Rotor untersucht. Durch Einsatz der Projektionsgleichung in Kombination mit dem R ITZ Verfahren kann die Bewegungsgleichung auch f¨ur diese drehenden K¨orper effektiv bestimmt werden, ¨ siehe [Bre87, Bre88]. Die Ansatzfunktionen k¨onnen dabei u¨ ber das Ubertragungsmatrizenverfahren [Wau08] bestimmt werden. In [Hub08, HGBM10] werden rotordynamische Simulationen von Walzwerken untersucht. Aufgrund der Abmessungen der Walzen m¨ussen T IMOSHENKO Balken modelliert werden.

1.4.3 Elastische Roboter F¨ur die Regelung elastischer Roboter gibt es viele verschiedene Ans¨atze. Eine detaillierte Zusammenfassung der Methoden wurde in [DE06] erarbeitet. Es existieren viele Ver¨offentlichungen, z.B. [WV92], die sich mit drehenden elastischen Balken besch¨aftigen. Ebene Roboter findet man auch in [AS00, WSB96]. In [Geb87] wird ein mehrstufiges Konzept zur Bahnregelung f¨ur einen elastischen 5- Ach-

12

1 Einleitung

sen Roboter vorgestellt. Es wird dabei eine modellbasierte Vorsteuerung in Kombination mit einer PD Gelenkregelung angewendet. Kleemann [Kle89] verwendet außerdem Dehnmessstreifenmessungen zur Verbesserung der Bahntreue und zur Schwingungsd¨ampfung. Dieses Konzept wird in [Bre07b] verallgemeinert. In H¨obarth [HGB08] wird diese Regelung mit einem modellbasierten Ansatz nach dem Sliding Mode Prinzip verglichen. Linearroboter werden beispielsweise in [DDB+ 06, Boe10, GKHB10] behandelt. F¨ur die Modellierung und Regelung von Hochregallagerfahrzeugen kann auf [SSH08] und [BRU08] verwiesen werden. Beide behandeln das infinit dimensionale System, siehe auch [Rud03a]. F¨ur dieses kann eine flachheitsbasierte Vorsteuerung berechnet werden. In [SSH08] und [SGHB10] wird das Fehlersystem u¨ ber passivit¨atsbasierte Backstepping Methoden stabilisiert. Die Stetigkeit der Sollbahnen f¨ur elastische Roboter wird von Barre et. al. [BBBD05] untersucht.

1.4.4 Industrieroboter Unter Industrierobotern versteht man vor allem seriell aufgebaute, starre Arme, die durch Motor- Getriebeeinheiten angetrieben werden. Sie bestehen normalerweise aus sechs Achsen. F¨ur eine hochdynamische, genaue Bewegung des Roboters m¨ussen folgende Teilprobleme beachtet werden: geometrische Roboterkalibrierung, hochgenaue Bahnregelung und optimale Bahnplanung. Grundlage f¨ur diese Methoden ist oftmals das dynamische Modell des Roboters. Die dynamische Modellbildung kann mit den in Kap. 1.4.1 vorgestellten Methoden vollst¨andig durchgef¨uhrt werden. Aufgrund der immer wiederkehrenden Baugruppen, bietet sich die Methode der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung an [Bre08]. Diese setzt aber die Kenntnis der dynamischen Parameter, wie Tr¨agheiten, Massen, usw. voraus. Identifikationsmethoden werden in [KD04, Bre07b] beschrieben. Unter der geometrischen Kalibrierung versteht man die Korrektur statischer Fehler aufgrund von Fertigungsungenauigkeiten. Diese Fehler lassen sich in Nulllagenfehler, L¨angenfehler und Achsenschiefstellungen unterscheiden [Bey04]. Prinzipiell werden Punkte im Raum extern vermessen und mit der Vorw¨artskinematik des Roboters und den modellierten Fehlern in Verbindung gebracht. Durch L¨osen eines nichtlinearen Gleichungssystems werden die Parameter identifiziert. Neuere Arbeiten verwenden keine externen Messsysteme, sondern benutzen Ebenen im Raum, oder Beschleunigungssensoren, siehe [IH97, Bra10], bzw. [CHB94]. Hollerbach [HW96] definiert einen Kalibrierungsindex zum Finden von optimalen Punkten f¨ur die Kalibrierung. Es wird ebenfalls auf das Messrauschen eingegangen. F¨ur die Regelung stehen eine Vielzahl an Methoden zur Verf¨ugung. Es haben sich verschiedene modellbasierte Linearisierungsmethoden durchgesetzt, siehe zum Beispiel [Isi85, SL90, FLMR95, KD04, SS04]. Diese Methoden linearisieren und entkoppeln die Bewegungsgleichung durch das inverse dynamische Modell. In der Literatur finden sich weiters passivit¨atsbasierte Regelungskonzepte. Diese k¨onnen ebenfalls mit einer adaptiven Parameteridentifikation gekoppelt werden [LH88]. Bei

1.4 Stand der Technik

13

diesen Regelungen handelt es sich um zentrale Konzepte. Die Stellgr¨oßen werden also auf einem Zentralcomputer berechnet und an die Achsen weitergegeben. Um diesen Rechenaufwand zu vermindern, und die Totzeiten zu verringern, kann auf dezentrale Methoden u¨ bergegangen werden. M¨uller et. al. [M¨ul95a, HM96, HM97, M¨ul00] stellen ein Verfahren vor, bei dem die auf eine einzelne Achse wirkenden Nichtlinearit¨aten gesch¨atzt und kompensiert werden, w¨ahrend die Zustandsgr¨oßen auf der Bahn geregelt werden. Detaillierte Auswertungen f¨ur einen 6 Achsen Industrieroboter werden in [Rie11] pr¨asentiert. F¨ur schnelle Roboterbewegungen sind optimierte Bahnen unumg¨anglich. Man unterscheidet prinzipiell zwischen Punkt-zu-Punkt Bahnen, bei denen der Weg dazwischen nicht vorgegeben ist, oder geometrisch definierte Bahnen. Dabei sind die physikalischen Grenzen des Roboters (max. Gelenkgeschwindigkeit, max. Gelenkbe¨ schleunigung, max. Motormoment) einzuhalten. Durch Ubergang der Bewegungsgleichung auf einen Bahnparameter k¨onnen zeit/energieoptimale L¨osungen durch Anwenden einer B ELLMAN Optimierung gefunden werden [Joh88, Pfe08, Gru09]. Erste L¨osungsvorschl¨age gehen auf Bobrow et. al [BDG85] zur¨uck. Prinzipiell k¨onnen die optimalen Bahnen mit numerischen L¨osern bestimmt werden. Diese benutzten die mehrfachen Schießverfahren zur Bestimmung der L¨osung [LBS+ 03, Rie11]. In [SH86] wird eine zeitoptimale L¨osung f¨ur Punkt zu Punkt Trajektorien mit Hilfe der Graphentheorie hergeleitet. Als prinzipielles Standardwerk der Robotik sollte auf jeden Fall das Handbook of ” Robotics“[SK08] erw¨ahnt werden. Darin werden eine Vielzahl von Themen detailliert durchdiskutiert.

1.4.5 Redundante Roboter Redundante Roboter haben die Eigenschaft, dass sie mehr Gelenksfreiheitsgrade als Freiheitsgrade im Operationsraum besitzen. Sie sind daher kinematisch u¨ berbestimmt, was sich durch das Vorhandensein eines Nullraumes auszeichnet. Dieser Nullraum kann gezielt genutzt werden. Man denke beispielsweise an das Ausweichen bei Hindernissen. Zur L¨osung der inversen Kinematik k¨onnen daher verschiedene Optimierungskriterien (Energieoptimalit¨at, Geschwindigkeitsgrenzen, Gelenkbegrenzungen) herangezogen werden, siehe [PS05, HS95]. F¨ur die Herleitung der Bewegungsgleichungen wird wieder auf Kap. 1.4.1 verwiesen. In [Obe08] wird diese beispielsweise f¨ur einen 7- Achsen Roboter bestehend aus modularen Einheiten aufgebaut. Durch die Verwendung der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung kann die Bewegungsgleichung auch f¨ur einen modularen Aufbau mit verschiedensten Anordnungen der Gelenke effektiv bestimmt werden. Diese Roboter werden vor allem im Bereich der Service-Robotik eingesetzt. Eine wesentliche Forderung in der Umgebung von Menschen ist die Nachgiebigkeit der Roboter. Diese Nachgiebigkeit kann u¨ ber Impedanzregelgesetze erreicht werden [KD04]. Die Nachgiebigkeit kann in einen Endeffektoranteil und den Nullraumanteil entkoppelt werden [PS05]. Die Basis f¨ur diese Entkopplung ist die Transformation des

14

1 Einleitung

Roboters vom Konfigurationsraum in den Operationsraum. Diese wird in [Kha87] erstmals vorgeschlagen. Durch Linearisierung der Systemdynamik kann ein entsprechendes nachgiebiges Verhalten u¨ ber die Fehlerdynamik vorgegeben werden. Khatib [Kha87] und Kommainda [Kom03] schlagen eine vollst¨andige Entkopplung f¨ur das ungest¨orte System vor, w¨ahrend Ott [Ott05, Ott08] eine partielle Entkopplung bevorzugt. Diese hat beim Auftreten der externen Kr¨afte bestimmte Vorteile. In diesen Arbeiten wird die Linearisierung im Operationsraum durchgef¨uhrt. Effizienter ist die Methode allerdings, wenn bereits im Konfigurationsraum entkoppelt wird, worauf Siciliano [SV99] hinweist. Die Nullraumimpedanz kann analog vorgegeben werden, siehe [Hof10]. In [Sch11] wird das Ausweichen gegen¨uber Hindernissen mit einem redundanten SCARA-Roboter experimentell gezeigt.

1.4.6 Fahrende Roboter Die fahrenden Roboter werden hier in die Gruppe der instabilen und stabilen Plattformen unterteilt. Das Modell eines Segways ist aufgrund des Aufbaues klarerweise instabil. Eine detaillierte mechanische Modellbildung f¨ur dieses nichtholonome Fahrzeug findet sich in [H¨ob05, Fra05]. Die Stabilisierung der oberen Ruhelage erfolgt mit einem LQR-Regler. Die Bahnregelung wird in [H¨ob05] durch eine Eingangs/Ausgangslinearisierung des kinematischen Modells erreicht. Eine deutliche Verbesserung erreicht man durch die flachheitsbasierten Konzepte in [Roh08, Kil09]. Fahrende Roboter mit vier R¨adern sind ebenfalls durch nichtholonome Geschwindigkeitsbindungen gekennzeichnet, da die R¨ader nicht quergleiten k¨onnen. In [Bla01] werden alle m¨oglichen unterschiedlichen vierr¨adrigen Konfigurationen miteinander verglichen. Mit der Projektionsgleichung k¨onnen die Bewegungsgleichungen effektiv hergeleitet werden. Die Bahnregelung kann beispielsweise durch eine Eingangs/Ausgangslinearisierung erreicht werden, siehe [Bla01, Fri05]. Es zeigt sich dabei, dass nur ein Punkt vor dem Roboter stabil geregelt werden kann. Durch Einsatz der flachheitsbasierten Trajektorienfolgeregelung k¨onnen auch Punkte auf der Hinterachse geregelt werden. Entsprechende Arbeiten sind [Woe98, Rud03b, Fiz08].

1.4.7 Bewegungsplattformen Bewegungsplattformen werden meist als Parallelkinematiken aufgebaut. Die Steifigkeit ist gegen¨uber seriellen Robotern bedeutend h¨oher, was zu Lasten des Arbeitsraumes geht. In [RU03] und [Rie05] wird eine elektrische angetriebene, hochgenaue Stewart Plattform vorgestellt. Es werden auch Methoden zur Schwingungskompensation behandelt. Grundlagen zu den Parallelkinematiken findet man in [KD04, Mer00]. Die dynamische Modellierung erfolgt analog zu den seriellen Robotern. Ein Unterschied ergibt sich bei der Kinematik. Eine L¨osung der inversen

1.5 Gliederung der Arbeit

15

Kinematik kann direkt u¨ ber Vektorketten angegeben werden. Schwieriger ist die L¨osung f¨ur die Vorw¨artskinematik. In [Hus96] werden dazu analytische Methoden vorgestellt, die allerdings relativ aufwendig sind. In [Rie05, Sch07, GNB09] wird daher eine L¨osung u¨ ber das N EWTON Iterationsverfahren verwendet. ¨ Ublicherweise werden die Aufbauten elektrisch angetrieben. In [GNB09] wird auf eine durch Luftmuskel aktuierte Stewart Plattform eingegangen. Die Muskeln werden mit einem Druck beaufschlagt und ziehen so an der oberen Plattform. Die zugeh¨origen Druckkr¨afte und -momente werden u¨ ber eine steife Feder im Zentrum aufgebracht [Sch07]. Von der Anwendung her eignet sie sich als Bewegungssimulator f¨ur Flugger¨ate, Automobile, aber auch im low cost“- Bereich f¨ur die Computer” Spielindustrie. Die entsprechenden Washout Filter werden in [Spr10] erarbeitet. Die Regelung erfolgt durch eine modellbasierte Vorsteuerung und einer kaskadierten Regelung, bestehend aus Druckregelung, Linearisierung der Muskelkennlinien und PD-Regelung, siehe [F¨ol96]. Einige grundlegende Regelungskonzepte f¨ur die Luftmuskeln sind in [NBV04] erarbeitet. Singh et al. [SLKN05] beschreiben das Design und die Regelung eines einzelnen pneumatischen Luftmuskels, der von einer Feder umgeben ist. Eine Erweiterung des Ventilverhaltes wird in [SLNK06] gezeigt. Aschemann et al. [AH03] liefern einen Beitrag zur flachheitsbasierten Trajektorienfolgeregelung eines Schlittens. Eine Backstepping Methode und eine Sliding Mode Regelung wird in [AS08b, AS08a] pr¨asentiert. Dabei werden die Muskelkennlinien als statische Kennlinien verwendet. In [KAZD06] wird ein dynamisches Modell der Muskel vorgestellt.

1.5 Gliederung der Arbeit In Kapitel 2 werden die kinematischen Grundlagen zur Beschreibung der starren und elastischen Mehrk¨orpersysteme erarbeitet. F¨ur baumstrukturierte Systeme bietet sich eine Berechnung der Geschwindigkeiten u¨ ber die kinematische Kette an. Den prinzipiellen Methoden der Dynamik widmet sich das Kapitel 3. Diese k¨onnen in analytische und synthetische Methoden unterteilt werden. F¨ur die dynamische Modellbildung bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden stellt die Projektionsgleichung ein effektives Verfahren zur Bestimmung der Bewegungsgleichung dar. Kapitel 4 besch¨aftigt sich daher mit einer detaillierten Analyse des Verfahrens. So k¨onnen verschiedene Baugruppen zu Subsystemen zusammengefasst werden. Diese Subsysteme werden in einem letzten Schritt in den Minimalraum projiziert. F¨ur die explizite Bestimmung kann unter Ausnutzung der Struktur der Gleichungen ein O(n) Verfahren hergeleitet werden. Ein Beispiel zur Modellierung eines Roboters mit elastischen Getrieben rundet das Kapitel ab. Die Erweiterung der Methoden auf elastische Mehrk¨orpersysteme erfolgt in Kapitel 5. Es werden vorerst einige Begriffe der Elastizit¨atstheorie erarbeitet (Spannungstensoren, Verzerrungstensoren, usw.). F¨ur eine korrekte Linearisierung der elastischen Deformationen m¨ussen die Verschiebungsfelder 2-ter Ordnung ber¨ucksichtigt werden. Dies resultiert in einer dynamischen Steifigkeitsmatrix. Die Herleitung der

16

1 Einleitung

Bewegungsgleichung mit der Projektionsgleichung f¨ur B ERNOULLI -E ULER und T IMOSHENKO Balken wird an Beispielen gezeigt. Die Bewegungsgleichungen sind allerdings immer noch partielle Differentialgleichungen. Zu deren L¨osung kommen N¨aherungsverfahren zum Einsatz. Dem R ITZ Verfahren ist daher das Kapitel 6 gewidmet. Als Ergebnis erh¨alt man nichtlineare gew¨ohnliche Differentialgleichungen die numerisch integriert werden k¨onnen. Treten bei den Mehrk¨orpersystemen zus¨atzliche Bindungen in Erscheinung, so kann dies durch die entsprechenden Zwangskr¨afte ber¨ucksichtigt werden. Dieses Thema ¨ wird in Kapitel 7 bearbeitet. Uber die JACOBI Gleichung k¨onnen diese Zwangskr¨afte in der Minimalform direkt bestimmt werden. Das Kernst¨uck ist allerdings eine Erweiterung auf die rekursiven Methoden aus Kapitel 4. In diesem Sinne, kann ¨ auch der Stoß, der beim Ubergang vom freien auf das gebundene System auftritt, behandelt werden. Nachdem die theoretischen Herleitungen dieser Arbeit damit soweit abgeschlossen sind, widmen sich die restlichen Kapitel speziellen Anwendungsbeispielen. In Kapitel 8 werden die Methoden also auf einen elastischen Knickarmroboter mit sechs Motorfreiheitsgraden angewendet. F¨ur die dynamische Modellierung wird ein Subsystem bestehend aus Motor, Getriebe, elastischem Arm und Endmasse hergeleitet. Die Regelung besteht aus einer modellbasierten Vorsteuerung, einer Kompensation der quasistatischen Deformationen, einer PD- Gelenkregelung und einer Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung zur Schwingungsd¨ampfung. ¨ Ahnliche Verfahren werden f¨ur die Schwingungsd¨ampfung eines elastischen Linearroboters in Kapitel 9 angewendet. Das Hauptaugenmerk zur hochdynamischen, genauen Industrieroboterregelung wird in Kapitel 10 gelegt. Dieses Ziel wird erreicht indem die Punkte geometrische Roboterkalibrierung, Parameteridentifikation, modellbasierte Regelung und zeitoptimale Bahnplanung, umgesetzt werden. Die Erweiterung dieser Methoden f¨ur den redundanten Fall erfolgt in Kapitel 11. Da die verwendeten Roboter vor allem in der Service-Robotik eingesetzt werden, wird im Speziellen auf die Impedanzregelung eingegangen. In der Service-Robotik werden h¨aufig mobile Plattformen, also fahrende Roboter, eingesetzt. In Kapitel 12 werden zwei Typen solcher Roboter behandelt. Zum einen handelt es sich um ein Segway Modell. Dabei muss neben der Bahnregelung im Raum auch die Stabilisierungsregelung der oberen Ruhelage beachtet werden. F¨ur die Bahnregelung werden flachheitsbasierte Folgeregelungen betrachtet. Diese Regelung eignet sich auch f¨ur den zweiten Typen bei den mobilen Robotern, n¨amlich einer vierr¨adrigen Plattform. F¨ur das kinematische Modell wird also ein flachheitsbasierter Trajektorienfolgeregler entwickelt. Das Kapitel 13 widmet sich den Parallelkinematiken, wobei im Speziellen auf eine pneumatisch aktuierte Stewart Plattform eingegangen wird. Neben der modellbasierten Regelung werden auch Filtermethoden f¨ur Bewegungssimulatoren gezeigt. Das letzte Kapitel 14 behandelt das Thema Rotordynamik. Es ist als Erweiterung zu den elastischen Robotersystemen zu sehen. Da sich die Projektionsgleichung (nat¨urlich) f¨ur alle elastischen Mehrk¨orpersysteme eignet, k¨onnen die Bewegungs-

1.5 Gliederung der Arbeit

17

gleichungen auch hier effektiv berechnet werden. Verschiedene experimentelle und Simulationsergebnisse runden das Kapitel ab.

Teil I

Theorie

Kapitel 2

Kinematik

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen 2.1.1 Position und Drehmatrizen Um die Lage eines K¨orpers genau beschreiben zu k¨onnen, ist es notwendig, die Position eines gew¨ahlten Punktes P, beschrieben durch den Ortsvektor rP und seine Raumorientierung  gegen¨uber der raumfesten Lage, zu kennen. Schneidet man gedanklich ein Massenelement dm aus dem starren K¨orper frei, so ergibt sich f¨ur den Ortsvektor 3 3,3 (2.1) I rP = I ro + AIK K roP ∈ R , AIK ∈ R , siehe Abb. 2.1. O

(R)

(K) ro

roP P

Abb. 2.1 Starrk¨orper im Raum

(I)

rP

dm

Der Vektor K roP kennzeichnet die Verbindung eines Bezugspunktes O zum Massenelement P und ist im k¨orperfesten Koordinatensystem (K) konstant. Nat¨urlich k¨onnen s¨amtliche Vektoren auch in beliebigen Referenzsystemen (R) dargestellt ¨ werden. Uber die Drehmatrix AIK erfolgt die Transformation vom Koordinatensystem (K) in das Inertialsystem (I). Sinngem¨aß werden dabei die Einheitsvektoren eines Ausgangssystems (K) in ein Zielsystem (I) transformiert (2.2) AIK = I eK1 I eK2 I eK3 . H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

21

22

2 Kinematik

Es gilt also ATIK AIK = E ∈ R3,3 T =⇒ A−1 IK = AIK det AIK = ±1 (+1 bei rechtsh¨andigen Koordinatensystemen).

(2.3) (2.4) (2.5)

Ihre Berechnung ist einfach, wenn man das Problem auf Elementardrehungen reduziert. So ergibt sich beispielsweise f¨ur eine einzelne Drehung um die x-Achse mit dem Winkel  (2.6) A = AKI = K eI1 K eI2 K eI3 ⎤ ⎡ 1 0 0 (2.7) = ⎣ 0 cos  sin  ⎦ , 0 − sin  cos  bzw. analog f¨ur die Elementardrehung um y (Winkel  ) und dem Winkel  um die z-Achse ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ cos  0 − sin  cos  sin  0 A = ⎣ 0 1 0 ⎦ , A = ⎣ − sin  cos  0 ⎦ . (2.8) sin  0 cos  0 0 1 Zu bemerken ist, dass dabei immer von einem System in ein Zielsystem mit positivem Winkel transformiert wird.

2.1.2 R¨aumliche Drehungen R¨aumliche Drehungen kann man als Hintereinanderschaltung von Elementardrehungen definieren. z

1y

1z

z

2y

1y

2z

1x

y x

2x

y

2y

z

1z

y Abb. 2.2 Verschiedene Drehungen um Folgeachsen

x

1y 1z

1x

2x 2z

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen

23

Die Gesamtorientierung h¨angt dabei wesentlich von der Drehreihenfolge ab. Abb. 2.2 zeigt einen K¨orper der um die z− und y− Drehachsen in unterschiedlicher Reihenfolge gedreht wird. Die Endorientierung ist klarerweise eine andere. 2.1.2.1 Kardanwinkel Bei der Darstellung mithilfe von Kardanwinkeln handelt es sich um eine Hintereinanderausf¨uhrung von Drehungen um die Folgeachsen x − y − z. Iz Kz





Ky

Ix

Iy

 

Kx

Abb. 2.3 Darstellung Kardanwinkel

Die zugeh¨orige Drehmatrix lautet damit ⎡

AKI = AKardan = A A A =

⎤

c c s c + c s s s s − c s c ⎥ ⎢ ⎢ −s c c c − s s s c s + s s c ⎥ , ⎦ ⎣ s −c s c c

(2.9) (2.10)

wobei die Abk¨urzungen sin  = s , cos  = c verwendet werden. Die Drehmatrix ist eine Funktion der Orientierung

T =   .

(2.11)

Im englischen Sprachraum werden sie auch als TAIT-B RYAN Winkel bezeichnet. In der Literatur findet auch die ROLL -P ITCH -YAW (Rollen-Nicken-Gieren) Transformation eine h¨aufige Anwendung. Inverses Problem: Vielfach m¨ussen aus der Drehmatrix die Winkel  ,  ,  berechnet werden. Am einfachsten funktioniert das indem man AT AKardan = A A

(2.12)

24

2 Kinematik

⎡

⎤

⎡

⎤ c a11 − s a21 c a12 − s a22 c a13 − s a23 c s s −s c ⎣ s a11 + c a21 s a12 + c a22 s a13 + c a23 ⎦ = ⎣ 0 c s ⎦ (2.13) a31 a32 a33 s −c s c c bildet. Eine Auswertung von Element (2,1) aus Gl.(2.13) liefert s a11 + c a21 = 0, was auf

 = atan2

−a21 a11

(2.14)

(2.15)

f¨uhrt. Die Auswertung der Elemente (1,1) und (3,1) bzw. (2,2) und (2,3) ergibt a31 (2.16)  = atan2 c a11 − s a21 s a13 + c a23 . (2.17)  = atan2 s a12 + c a22 Eine Singularit¨at tritt f¨ur  = ± /2 auf. Die Drehmatrix degeneriert zu ⎡ ⎤ 0 s ( +  ) −c ( +  ) AKardan = ⎣ 0 c ( +  ) s ( +  ) ⎦ . 1 0 0

(2.18)

Es ist daher nicht mehr m¨oglich, zwischen den beiden Winkeln  und  zu unterscheiden, da die Drehachsen zusammenfallen. In den Gleichungen f¨ur  - wurde die Funktion atan2 eingef¨uhrt. Dies erm¨oglicht die Auswertung der atan Funktion im richtigen Quadranten. 2.1.2.2 Eulerwinkel ¨ Ahnlich liegen die Dinge bei der Verwendung von Eulerwinkeln. Die Drehreihenfolge sei beispielsweise z − x − z (Winkel  −  −  ) und damit ⎡

AKI = AEuler = A A A =

⎤

c c − s s c c s + s c c s s ⎣ −s c − c s c −s s + c c c c s ⎦ . s s −c s c

(2.19) (2.20)

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen

25 Iz

Abb. 2.4 Darstellung Eulerwinkel

Kz

 Ky

Ix

Iy



 Kx

Inverses Problem: Die Berechnung der Winkel aus der Drehmatrix erfolgt zweckm¨aßigerweise wieder aus ⎡

c a11 − s a21 c a12 − s a22 ⎣ s a11 + c a21 s a12 + c a22 a31 a32 Element (1,3) ergibt

bzw.

(2.21) AT AEuler = A A ⎤ ⎡ ⎤ c a13 − s a23 s 0 c s a13 + c a23 ⎦ = ⎣ −c s c c s ⎦ . a33 s s −s c c (2.22)

a13  = atan2 a23

,

s a13 + c a23  = atan2 a33 c a12 − s a22  = atan2 c a11 − s a21

(2.23)

(2.24) (2.25)

aus den Elementen (2,3), (3,3) und (1,1),(1,2). Die Singularit¨at tritt bei  = 0 auf. Dies ist hier besonders einleuchtend, da bei  = 0 die Drehachsen direkt zusammenfallen: Drehreihenfolge z − z (fehlende x Drehung). 2.1.2.3 Winkel/Achse Darstellung Eine weitere Darstellungsform ist die Drehung eines Winkels um eine bestimmte Achse. Es handelt sich dabei um eine nichtminimale Darstellung, da 4 Parameter (1 Winkel, 3 Komponenten der Drehachse) verwendet werden. Die Herleitung

26

2 Kinematik

¨ kann u¨ ber analytische, siehe [Hil97] bzw. geometrische Uberlegungen erfolgen, siehe Abb. 2.5. u N

N

P

r0

Abb. 2.5 Winkel/Achse Darstellung

u Tr

0u

Q r1

r0 P

V

u×

r0

r1



Q

0

Gegeben sind also der Einheitsvektor u = (ux uy uz )T (gew¨unschte Drehachse) und der Drehwinkel  . Der Vektor r0 soll um diese Achse und diesen Winkel auf die Position r1 gedreht werden (2.26) r1 = Rr0 . F¨ur die Herleitung ist es zweckm¨aßig r1 als Funktion von r0 darzustellen − → −→ −→ r1 = 0N + NV + V Q = uuT r0 + (r0 − uuT r0 ) cos  + (u × r0 ) sin  ˜ 0 sin  = r0 cos  + uuT r0 (1 − cos  ) + ur = cos  E + (1 − cos  )uuT + u˜ sin  r0 .

(2.27) (2.28) (2.29) (2.30)

R

Elementares Ausrechnen der Drehmatrix durch Einsetzen der Komponenten liefert ⎡ 2 ⎤ ux (1 − c ) + c ux uy (1 − c ) − uz s ux uz (1 − c ) + uy s R = ⎣ ux uy (1 − c ) + uz s u2y (1 − c ) + c uy uz (1 − c ) − ux s ⎦ . (2.31) ux uz (1 − c ) − uy s uy uz (1 − c ) + ux s u2z (1 − c ) + c Deutung: Zu Beginn der Bewegung ist r( = 0) = r0 . Befestigt man gedanklich ein k¨orperfestes Koordinatensystem K an r, so fallen zu Beginn I und K zusammen. Nach Durchlaufen eines Winkels  hat sich die Position von r relativ zum k¨orperfesten System nicht ge¨andert, w¨ahrend der Beobachter die zeitliche Entwicklung von I aus sieht. Demnach ist Ir

= R K r ⇒ R = AIK .

(2.32)

Vielfach wird die Drehmatrix f¨ur die Winkel/Achse Darstellung aus Gl.(2.30) als AIK = [E + (1 − cos  )u˜ u˜ + u˜ sin  ]

(2.33)

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen

27

angegeben. Die Identit¨at ist durch einfaches Einsetzen nachweisbar. Dabei muss von der Definition von u als Einheitsvektor Gebrauch gemacht werden uT u = 1 u2x + u2y + u2z = 1.

(2.34) (2.35)

Inverses Problem: Auch hier sollen wieder die Drehachse und der Drehwinkel aus der Rotationsmatrix berechnet werden. Die Spur von Gl.(2.31) liefert 2 cos  = a11 + a22 + a33 − 1.

(2.36)

Aus den entsprechenden Nichtdiagonalelementen von Gl.(2.31) erh¨alt man 2ux sin  = a32 − a23 2uy sin  = a13 − a31 2uz sin  = a21 − a12 und damit

⎞ a32 − a23 1 ⎝ a13 − a31 ⎠. u= 2 sin  a21 − a12

(2.37) (2.38) (2.39)

⎛

(2.40)

Die Singularit¨at liegt hier bei  = 0. Diese ist auch einleuchtend, da bei Winkel 0 keine Drehung vollzogen wird und die Drehachse somit willk¨urlich ist. Die Vorteile dieser Darstellung liegen sicher nicht in der nachfolgenden Beschreibung der Dynamik, sondern in der Bahnplanung der Endeffektor Orientierung. 2.1.2.4 Quaternionen - Euler Parameter - Rodrigues Parameter Die Quaternionen (von lat. quaternio Vierheit“) sind eine Erweiterung der reellen ” Zahlen, a¨ hnlich den komplexen Zahlen. Sie wurden 1843 von Sir W ILLIAM ROWAN H AMILTON eingef¨uhrt und werden daher auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. O LINDE RODRIGUES entdeckte sie 1840 unabh¨angig von H AMILTON. Rein formal sind Quaternionen sogenannte viergliedrige hyperkomplexe Zahlen, die u¨ ber die reelle Einheit e1 = 1 und die drei imagin¨aren Einheiten e2 , e3 , e4 wie folgt definiert sind: (2.41) Q = q1 e1 + q2 e2 + q3 e3 + q4 e4 = {q1 , q}. Die Nachteile der Winkel/Achse Darstellung kann durch die Beschreibung u¨ ber die Einheitsquaternion umgangen werden. Definiert man das Quaternion als

 2  q = sin u, 2

q1 = cos

(2.42) (2.43)

28

2 Kinematik

so spricht man in dieser Darstellung auch von E ULER Parametern, wobei q1 als skalarer Teil der Quaternion und q = (q2 q3 q4 )T als Vektorteil bezeichnet wird. F¨ur den Betrag erh¨alt man damit q21 + q22 + q23 + q24 = 1.

(2.44)

Die Drehmatrix ergibt sich direkt aus der Auswertung von Gl.(2.31) und Umschreibung der Elemente als Funktion der qi . Mit den Eigenschaften aus Anhang A.1 ist die Drehmatrix festgelegt

⎤ ⎡ 2 2 q1 + q22 − 1 2 (q 22q3 −2q 1 q4 ) 2 (q2 q4 + q1 q3 ) ⎦ (2.45) AIK = ⎣ 2 (q2 q3 + q1 q4 ) 2 q1 + q3 − 1 2 (q 3 q4 − q 1 q2 ) . 2 (q2 q4 − q1 q3 ) 2 (q3 q4 + q1 q2 ) 2 q21 + q24 − 1 Eine alternative Herleitung ist, wenn man in Gl.(2.33)    , sin  = 2 sin cos , 1 − cos  = 2 sin2 2 2 2

(2.46)

einsetzt. Damit ist

   cos + 2u˜ u˜ sin2 . AIK = E + 2u˜ sin 2 2 2

(2.47)

Verwendet man in dieser Darstellung die Definition der Quaternionen Gl.(2.42) und Gl.(2.43) so ergibt die Drehmatrix direkt ˜ . AIK = [E + 2(q1 q˜ + q˜ q)]

(2.48)

Inverses Problem: Darunter versteht man in diesem Fall die Berechnung der Quaternionen aus der Drehmatrix. Die Auswertung der Spur der Drehmatrix ergibt q1 =

1 a11 + a22 + a33 + 1, 2

(2.49)

die nat¨urlich aufgrund der Wurzel immer positiv ist. Subtrahiert man Element (2,2) und (3,3) von (1,1) l¨asst sich nach einer Vereinfachung 4q22 = a11 − a22 − a33 + 1

(2.50)

anschreiben, was auf den Betrag von q2 f¨uhrt. Zur Auswertung des Vorzeichens betrachtet man die Differenz zwischen den Elementen (3,2) und (2,3) 4q1 q2 = a32 − a23 .

(2.51)

Da q1 immer positiv ist, muss das Vorzeichen von q2 jenem von (a32 − a23 ) entsprechen, und damit 1 q2 = sign(a32 − a23 ) a11 − a22 − a33 + 1. 2

(2.52)

2.2 Geschwindigkeiten

29

¨ Analoge Uberlegungen f¨ur q3 und q4 liefern das Gesamtergebnis 1 a11 + a22 + a33 + 1 2 1 q2 = sign(a32 − a23 ) a11 − a22 − a33 + 1 2 1 q3 = sign(a13 − a31 ) −a11 + a22 − a33 + 1 2 1 q4 = sign(a21 − a12 ) −a11 − a22 + a33 + 1. 2 q1 =

(2.53) (2.54) (2.55) (2.56)

Dabei wurde q1 ≥ 0 implizit definiert, was einem Winkel von  ∈ [− ,  ] entspricht. Damit ist jede Rotation beschreibbar. Es gibt auch keine Singularit¨at f¨ur diese Darstellung. Das Quaternion entsprechend A−1 = AT wird als Q −1 bezeichnet und ist Q −1 = {q1 , −q}.

(2.57)

Seien Q1 = {q11 , q1 } und Q2 = {q12 , q2 } zwei Quaternionen zu entsprechenden Drehmatrizen A1 und A2 , dann ergibt das Produkt (Hintereinanderausf¨uhrung von Drehungen) A1 A2 Q1 ∗ Q2 = {q11 q12 − qT1 q2 , q11 q2 + q12 q1 + q˜ 1 q2 },

(2.58)

wobei der Quaternionen-Produkt-Operator ∗ formal eingef¨uhrt wurde. Weitere Rechenoperationen f¨ur Quaternionen finden sich zum Beispiel in [Kui02]. Eine andere Darstellungsform, die den E ULER Parametern sehr a¨ hnlich ist, sind die RODRIGUES Parameter p. Diese erh¨alt man aus den E ULER Parametern durch p = q/q1 .

(2.59)

In dieser Darstellung k¨onnen wieder Singularit¨aten auftreten, siehe [Hil97].

2.2 Geschwindigkeiten 2.2.1 Translationsgeschwindigkeiten Um die absolute Geschwindigkeit eines Punktes P zu erhalten, muss der Ortsvektor im Inertialsystem abgeleitet werden I vP

= I r˙ P .

(2.60)

Eine zweckm¨aßigere Darstellung erh¨alt man bei einer Auswertung in einem beliebigen Referenzsystem

30

2 Kinematik R vP

= ARI I r˙ P d = ARI (AIR R rP ) dt ˙ IR R rP . r = R r˙ P + R  = ARI AIR R r˙ P + ARI A IR R P E R  IR

(2.61)

Der schiefsymmetrische Spintensor (er u¨ bernimmt die mathematische Operation des Kreuzproduktes) der Winkelgeschwindigkeit im Referenzsystem ⎞ ⎛ R IR,x (2.62) R  IR = ⎝ R IR,y ⎠ R IR,z hat die Gestalt

⎤ 0 − R IR,z R IR,y IR = ⎣ R IR,z 0 − R IR,x ⎦ . R − R IR,y R IR,x 0 ⎡

(2.63)

Speziell bei Robotersystemen ist es sinnvoll, den Ortsvektor bzw. die Geschwindigkeit eines Punktes mithilfe eines beliebigen Referenzpunktes O darzustellen. Analog zu Gl.(2.1) lautet der Ortsvektor im Referenzsystem (R) R rP

= R ro + R roP .

(2.64)

Setzt man diesen in Gl.(2.61) ein, so ergibt sich R vP

= =

IR ( R ro + R roP ) ˙ o + R r˙ oP + R  Rr IR R ro + R r˙ oP + R  IR R roP . r˙ + R  R o

(2.65) (2.66)

R vo

Diese Beziehung wird sp¨ater bei der Formulierung der Vorw¨artskinematik des o¨ fteren n¨utzlich sein.

2.2.2 Rotationsgeschwindigkeiten 2.2.2.1 Kardanwinkel Da die Drehreihenfolge mit der Festlegung auf Kardanwinkel bereits eindeutig festgelegt ist, w¨are es extrem aufw¨andig den Winkelgeschwindigkeitstensor mit IK K

˙ IK = AKI A

zu berechnen. Einfacher ist es die Drehgeschwindigkeit direkt anzugeben

(2.67)

2.2 Geschwindigkeiten

31

⎛

K  IK

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ˙ 0 = A A ⎝ 0 ⎠ + A ⎝ ˙ ⎠ + ⎝ 0 ⎠ . ˙ 0 0 ⎞

(2.68)

Der K¨orper dreht zuerst um die inertiale x-Achse mit ˙ . Dann mit ˙ um die neu entstandene y-Achse. Die Geschwindigkeit ˙ muss daher mit A transformiert werden, usw. Die letzte Relativdrehgeschwindigkeit ist ˙. Sie dreht bereits im Referenzsystem (K) und muss daher nicht mehr transformiert werden. Damit ist die Darstellung im System (K) ⎛ ⎞ ˙ ˙ (2.69) K  IK = A A e1 A e2 e3 ⎝  ⎠, ˙ ˙ bzw. im Inertialsystem I  IK

⎛ ⎞ ˙ = AT AT AT A A e1 A e2 e3 ⎝ ˙ ⎠ ˙ = e1 AT e2 AT AT e3 ˙

(2.70) (2.71)

gefunden. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die Winkelgeschwindigkeit I  IK nicht elementar zur Orientierung integrierbar ist. Inverses Problem: F¨ur die Berechnung von ˙ kann aus Gl.(2.69) A ausgeklammert werden ˙ = {A A e1 | e2 | e3 }−1 K  IK (2.72) −1 T A K  IK (2.73) = A e1 | e2 | e3 ⎤ ⎡ 1/ cos  0 0 0 1 0 ⎦ AT K  IK . (2.74) =⎣ − tan  0 1 Hier wird wieder die Singularit¨at bei der Verwendung von Kardanwinkeln sichtbar (Division durch cos  /2). 2.2.2.2 Eulerwinkel ¨ Ahnlich sind Herleitungen bei Eulerwinkeln. Die Drehgeschwindigkeit kann direkt aus der Drehreihenfolge angeschrieben werden. Da die Eulerwinkel, definiert durch  ,  ,  , f¨ur eine Sequenz e3 , e1 , e3 angegeben sind, erh¨alt man K  IK

= A A e3 ˙ + A e1 ˙ + e3 ˙ = A A e3 | A e1 | e3 ˙ ,

(2.75) (2.76)

32

2 Kinematik

mit ˙ = (˙ ˙ ˙ )T . Nat¨urlich kann auch hier wieder eine Darstellung im Inertialsystem durch einfache Transformation erreicht werden. F¨ur das inverse Problem ist es wieder hilfreich A auszuklammern

˙ = {A [A e3 | e1 | e3 ]}−1 K  IK −1

= [A e3 | e1 | e3 ] AT K  IK ⎤ ⎡ 0 1/ sin  0 0 0 ⎦ AT K  IK . = ⎣1 0 −cot  1

(2.77) (2.78) (2.79)

Auch hier wird die Singularit¨at bei  = 0 offensichtlich (Division durch sin  ). 2.2.2.3 Quaternionen IK = Die Berechnung der Drehgeschwindigkeit erfolgt durch die Auswertung von K  ˙ IK und ergibt nach l¨angerer Rechnung AKI A K  IK

= 2 [q1 q˙ − q˜ q˙ − qq˙1 ] .

(2.80)

Die detaillierte Herleitung wird in Anhang A.3 gezeigt. 2.2.2.4 Winkel/Achse Darstellung Mit den elementaren Operationen aus Anhang A.1 erh¨alt man die Rotationsgeschwindigkeit direkt aus der Quaternionendarstellung Gl.(2.42), Gl.(2.43) und Gl.(2.80) zu K  IK

˜ u. ˙ = ˙ u + [sin  E − (1 − cos  )u]

(2.81)

2.3 Beschleunigungen 2.3.1 Translationsbeschleunigungen Analog zur Berechnung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit im Inertialsystem I aP

= I v˙ P .

(2.82)

Geht man wieder auf eine Darstellung im Referenzsystem (R) u¨ ber, so ergibt sich

2.4 Lineare Kinematik Bernoulli-Euler Balken R aP

d (AIR R vP ) dt = R v˙ P + R ˜ IR R vP = R r¨ P + 2R ˜ IR R r˙ P + R ˙˜ IR R rP + R ˜ IR R ˜ IR R rP . = ARI

33

(2.83) (2.84) (2.85)

Bei der letzten Darstellung sind nacheinander die Anteile “Relativ” - “Coriolis” “Euler” und “Zentripetal”- Beschleunigung angegeben. Ein Beschleunigungssensor der an einen bewegten Punkt des Roboters montiert ist, misst genau diese Komponenten der Beschleunigungen in seinem Referenzsystem.

2.3.2 Winkelbeschleunigungen ¨ Ahnlich liegen die Dinge bei den Winkelbeschleunigungen I

= I ˙ IR .

(2.86)

F¨ur die Formulierung in einem Referenzsystem gilt aber R

d (AIR R  IR ) dt ˙  +A A ˙ = ARI A IR R IR RI IR R IR ˜ E R  IR = R ˙ IR , = ARI

(2.87) (2.88) (2.89)

da das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst immer null ergibt.

2.4 Lineare Kinematik Bernoulli-Euler Balken Bei der Modellierung von elastischen Bauteilen wird von bestimmten Hypothesen ausgegangen. F¨ur Balken mit einem L¨angen zu Dicken Verh¨altnis L/D > 10 (lange, schlanke Balken) hat sich die B ERNOULLI Hypothese als technische N¨aherung etabliert. Dabei wird von einem Ebenbleiben des Querschnittes in der verformten Lage ausgegangen. Abb. 2.6 zeigt einen eingespannten B ERNOUILLI -E ULER Balken in der unverformten Referenzlage, sowie in der verformten Konfiguration. Die Verschiebung der neutralen Phaser an einer beliebigen Stelle x des Balkens kann durch den Ortsvektor ⎛ ⎞ x+u (2.90) R ros = ⎝ v ⎠ w angegeben werden. Wobei u die elastische Verschiebung in x-Richtung und entsprechend v, w die Verschiebungen in y- und z- Richtung beschreiben. Der Biege-

34

2 Kinematik

 (x,t)

Rz

ros (R) O

verformte Konfiguration

(E)

Ry

S

Rx

w(x,t)

v(x,t) u(x,t)

unverformte Referenzlage

Abb. 2.6 B ERNOULLI -E ULER Balken

˜ os angeschrieben werden. Der Nabla Operator ist als T = winkel kann u¨ ber r ( / x  / y  / z) definiert. In Kombination mit der Torsion  um die x-Achse ergibt sich f¨ur den Gesamtwinkel des Elements dm ⎡ ⎤ 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎢  ⎥   ⎢0 0 − ⎥ u ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ . (2.91) R = ⎢  x ⎥ v + 0 = −w ⎣  ⎦ w v 0 0 0 x Mit dem Massenelement dm ist ein elementfestes Koordinatensystem (E) verbunden. Geht man wieder von linearisierbar kleinen Verformungen aus so folgt die Rotationsmatrix beispielsweise u¨ ber eine Kardandarstellung zu ⎤ ⎡ 1 v w (2.92) AER = A | =v <<1 A | =−w <<1 A | = <<1 = ⎣ −v 1  ⎦ −w − 1 was gleichbedeutend ist mit

AER = E − R ˜ .

(2.93)

In weiterer Folge sind nat¨urlich auch die Geschwindigkeiten des Massenelements von Interesse. Diese k¨onnen analog zu den Starrk¨orpern Gl.(2.66) angeschrieben werden. Der allgemeine Fall ist gegeben, wenn sich auch der Punkt O translatorisch bewegt, und das Referenzsystem (R) eine Rotation mit Geschwindigkeit  IR ausf¨uhrt ˜ IR R ros + R r˙ os . (2.94) R vs = R vo +  Die Drehgeschwindigkeit  s setzt sich aus den Anteilen des Referenzsystems  IR und den linearisierbar kleinen elastischen Geschwindigkeiten  r zusammen R s

mit

= R  IR + R  r

(2.95)

2.5 Lineare Kinematik Timoshenko Balken

35

⎞

⎛

˙ ⎝  = − w˙ ⎠ . R r v˙

(2.96)

2.5 Lineare Kinematik Timoshenko Balken Bei dicker werdenden Querschnitten ist die B ERNOULLI Hypothese nicht mehr gerechtfertigt. In Realit¨at kommt es dabei zu einer S-f¨ormigen Verschiebung des Querschnittes, weil der Schubeinfluss (Querkrafteinfluss) nicht vernachl¨assigt werden kann. F¨ur eine technische N¨aherung wird aber das Ebenbleiben des Querschnittes nicht aufgegeben. Dazu werden Korrekturfaktoren eingef¨uhrt, welche diesen Effekt abbilden. Abb. 2.7 zeigt die beschreibenden Gr¨oßen eines T IMOSHENKO Balkens in der x − z Ebene. Ez

Rz

 (x,t) Ex

w (x,t) −B (x,t)

Ry

Rx

x

w(x,t)

Abb. 2.7 T IMOSHENKO Balken

Die Position der Mittelachse ist analog zum B ERNOULLI -E ULER Balken mit Gl.(2.90) gegeben. Die Winkel m¨ussen aber jetzt in zwei Anteile aufgespaltet werden. Einerseits f¨uhren Biegemomente zu einem Winkel B , andererseits bewirken Querkr¨afte den Differenzwinkel zur Tangente der Verschiebungslinie w . Der Schubanteil welcher in Kap. 5.1.7 in das elastische Potential einfließt, ist also durch den Winkel w − B gegeben. Bei genauer Betrachtung von Abb. 2.7 erkennt man, dass sich das Massenelement dm allerdings nur um den Winkel B verdreht. F¨ur den Drehwinkel bzw. die Drehmatrix erfolgt damit analog zu Gl.(2.92) ⎛ ⎞  (2.97) R  = ⎝ B ⎠ , B

36

2 Kinematik

⎤

⎡

1 B −  B AER = E − R ˜ = ⎣ −B 1  ⎦ . B −  1

(2.98)

Da auch in diesem Fall von linearisierbar kleinen Winkeln ausgegangen wird, kann die relative Winkelgeschwindigkeit ebenfalls durch zeitliche Differentiation des Winkels gewonnen werden ⎛ ⎞ ˙ (2.99)  r = R ˙ = ⎝ ˙B ⎠ . ˙B Elastische Bauteile geh¨oren zur Klasse der verteilt parametrischen Systeme. Alle Verschiebungs- Winkelgr¨oßen k¨onnen nur als Funktion von Ort x und Zeit t angegeben werden. Die dynamische Modellierung wird f¨ur diese Klasse von Systemen auf partielle Differentialgleichungen f¨uhren, welche mit geeigneten N¨aherungsverfahren in gew¨ohnliche Differentialgleichungen transformiert und dann gel¨ost werden k¨onnen.

2.6 Mehrk¨orperkinematik Die Bewegung eines einzelnen K¨orpers ist durch den Punkt ro und seine Orientierung  definiert. F¨ur Mehrk¨orpersysteme bestehend aus N K¨orpern k¨onnen diese zum Vektor z kombiniert werden

T ∈ R6N . (2.100) z = rTo1 ... rToN  T1 ...  TN Diese einzelnen K¨orper sind u¨ ber nichtlineare Bindungen

 (z) = 0

∈ Rm

(2.101)

miteinander verbunden. Dadurch wird klarerweise die Bewegungsfreiheit der einzelnen K¨orpers eingeschr¨ankt. Offensichtlich ist es sinnvoll, diese Bindungen vorab zu eliminieren und das System durch Minimalkoordinaten q ∈ R f , wobei f die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade ist, zu beschreiben. Zur Handhabung von Geschwindigkeitsbindungen werden die nichtholonomen Geschwindigkeiten s˙ eingef¨uhrt. F¨ur diese gilt s = s (q) , s ˙ q. s˙ = q H(q)

(2.102) (2.103)

2.6 Mehrk¨orperkinematik

37

Die entsprechenden Koordinaten s k¨onnen f¨ur nichtholonome Systeme nicht analytisch berechnet werden. Sie werden daher als Quasikoordinaten bezeichnet. Mit der ˙ sind H ELMHOLTZschen Hilfsgleichung (partielle Ableitung von Gl.(2.103) nach q) aber die partiellen Ableitungen definiert

 s˙ s , =  q˙ q

(2.104)

d.h. s selbst wird nicht ben¨otigt. Im Falle von holonomen Systemen vereinfacht sich H(q) zur Einheitsmatrix s˙ = Eq˙ = q˙ (Sonderfall). In [Bre07a] wird ein systematischer Weg zum Auffinden der Minimalgeschwindigkeiten aufgezeigt.

2.6.1 Topologie baumstrukturierter Mehrk¨orpersysteme Zur kinematischen und dynamischen Modellierung von baumstrukturierten Mehrk¨orpersystemen bietet sich eine Beschreibung u¨ ber Relativkoordinaten an. Die Geschwindigkeit eines K¨orpers wird also u¨ ber den Koppelpunkt zum Vorg¨angerk¨orper und die aktuellen relativen Bewegungsfreiheitsgrade dargestellt. Daher ist die Zusammensetzung des Systems erforderlich. In der Literatur existieren verschiedene Darstellungsvarianten. Genannt soll hier vor allem das lower body array“ werden, ” das in [Hus85] beschrieben wird. Dieses ist die Basis f¨ur die Topologie-Matrix. In dieser Arbeit ist allerdings eine Liste mit Vorg¨anger- und Nachfolgek¨orpern ausreichend. 4 2

Iy

1 3

Abb. 2.8 Topologie eines Mehrk¨orpersystems

5 6

Ix

Abb. 2.8 zeigt ein Beispiel eines baumstrukturierten Mehrk¨orpersystems. Die Liste der Vorg¨anger- (s) und Nachfolgek¨orper (p) jedes K¨orpers (Systemvektor) ist in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Systemvektor 1 2 3 4 5 6 Vorg¨anger (p) 0 1 1 2 2 3 Nachfolger (s) 2,3 4,5 6 0 0 0 Tabelle 2.1 Liste mit Vorg¨anger- und Nachfolgek¨orpern

38

2 Kinematik

2.6.2 Kinematische Kette Ist die kinematische Topologie des Systems bekannt, so k¨onnen auch die Positionen und Orientierungen einfach formuliert werden. Der i-te Koppelpunkt lautet i roi

=

i

 [Aip p r p j ] p=p( j)

(2.105)

j=1

und die Orientierung ist

i Aoi =  A p j p=p( j) .

(2.106)

j=1

Der Vektor p r p j kennzeichnet die Verbindung des Koppelpunktes p mit dem Punkt j, siehe Abb. 2.9. Er ist im Koordinatensystem des Vorg¨angerk¨orpers p gegeben. F¨ur baumstrukturierte Systeme k¨onnen die Positionen und Orientierungen rekursiv berechnet werden. F¨ur den k-ten K¨orper erh¨alt man

und Aok = Aop A pk . (2.107) k rok = Akp p rop + p r pk Analog dazu k¨onnen auch die Translations- und Rotationsgeschwindigkeiten jedes K¨orpers angeschrieben werden i voi

=

i

 [Aip ( p r˙ p j +

j=1 i  oi

=

i

˜ op p r p j )] p=p( j) p

(2.108)

 [Ai j j  p j ] p=p( j) ,

(2.109)

j=1

siehe Abb. 2.9 f¨ur Details. Diese Geschwindigkeiten k¨onnen nat¨urlich auch rekursiv berechnet werden. Eine direkte Konsequenz aus Gl.(2.108) ist ˜ op p r pi + p r˙ pi )] p=p(i) (2.110) i voi = [Aip ( p vop + p  (2.111) i  oi = [Aip p  op + i  pi ] p=p(i) , siehe auch Anhang A.4 f¨ur den Beweis. (2) (0) Abb. 2.9 Kinematik eines baumstrukturierten Mehrk¨orpersystems

(1) ro1

r12

 o1

 o2

(3) r23

 o3

2.6 Mehrk¨orperkinematik

39

Die Geschwindigkeiten des Vorg¨angersystems werden also als F¨uhrungsgeschwindigkeiten f¨ur das aktuelle System verwendet. Mit der Eigenschaft des Kreuzproduktes ˜ = b˜ T a, erh¨alt man die strukturierte Form f¨ur Gl.(2.110) und f¨ur Vektoren a˜ b = −ba Gl.(2.111) ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎛ ⎤ E p r˜ Tpi E Aip 0 0 0 i voi p vop i  pi ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ i  oi ⎠ = ⎣ 0 Aip ⎦ , (2.112) + E0 0 E 0 p  op ˙i ir ˙i ˙p 0E 0 0 0 ir pr Tip

mit p r˙ pi := p r˙ p und i r˙ is := i r˙ i (s...Nachfolger). Gl.(2.112) erlaubt eine einfache Interpretation. Die beschreibenden Geschwindigkeiten eines Systems i (hier y˙ T = (vTo  To r˙ T )) k¨onnen durch Transformation der Vorg¨angergeschwindigkeiten p zum aktuellen System mit der Transformationsmatrix Tip , berechnet werden. Zus¨atzlich m¨ussen noch die relativen Geschwindigkeiten des i-ten Systems addiert werden. F¨uhrt man die beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ ein, so kann Gl.(2.112) in der folgenden Form abgek¨urzt werden y˙ i = Tip y˙ p + y˙ rel,i .

(2.113)

Diese Auftrennung der Geschwindigkeiten in einen F¨uhrungsanteil Tip y˙ p und einen relativen Anteil y˙ rel,i wird als kinematische Kette bezeichnet. Eine geeignete Wahl der beschreibenden Geschwindigkeiten wird in den folgenden Kapiteln beschrieben.

Kapitel 3

Dynamik

Im Folgenden sollen die Methoden der Dynamik in aller K¨urze zusammengefasst werden. Die Herleitung der Methoden kann beispielsweise in [Bre88] gefunden werden. Hier sollen lediglich die wichtigsten Methoden wiederholt werden. Im Zentrum steht dabei die Zentralgleichung. Aus ihr k¨onnen alle Methoden der Dynamik abgeleitet werden. Die L AGRANGEschen Gleichungen 2-ter Art eignen sich f¨ur Systeme mit einer geringen Anzahl an Freiheitsgraden. F¨ur Mehrk¨orpersysteme ist die Methodik aufgrund des hohen Aufwandes beim Aufstellen der Energien und des Differenzierens nicht geeignet. Daf¨ur sollte die P ROJEKTIONSGLEICHUNG herangezogen werden. Ein Auftrennen des Gleichungssystems in Subsysteme macht das Vorgehen effizient.

3.1 Zentralgleichung Ausgangspunkt f¨ur die Methoden der Dynamik ist die Zentralgleichung der Dynamik d T  s −  T −  W = 0. (3.1) dt  s˙ Aus ihr k¨onnen s¨amtliche Methoden der Dynamik hergeleitet werden. F¨ur die kinetische Energie T in differentieller Form gilt dabei T=

(S)

dmI r˙ T I r˙ =

(S)

dmI vT I v.

(3.2)

¨ Durch den Ubergang auf i Starrk¨orper mit dem Schwerpunkt als Bezugspunkt und einer Darstellung in einem k¨orperfesten Koordinatensystem (K) kann das Integral ausgewertet werden. Die kinetische Energie ergibt f¨ur diesen Fall T=

1 N T T s K vs mK vs + K  s K J K  s i .  2 i=1

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

(3.3)

41

42

3 Dynamik

Das Zeichen  in Gl.(3.1) steht f¨ur virtuell - m¨oglich“. Dieses muss nun in weiterer ” Folge n¨aher spezifiziert werden. Aus der Variationsrechnung mit Taylorreihenentwicklung bis zu Termen erster Ordnung folgt f¨ur ri = ri (q,t) (i-te Komponente, rheonomer Fall)

 ri = 

 ri qj qj

(3.4)

dri = 

 ri  ri dt. dqk +  qk t

(3.5)

j

k

Interessant wird in weiterer Folge die Differenz d  −  d. Mit einem Variationsansatz (eine M¨oglichkeit) erh¨alt man durch explizites Ausrechnen d  q −  dq = 0

 2 ri  2 ri d  ri −  dri =  −  q j dqk = 0  qk  q j j,k  q j  qk 2  si  2 si −  q j dqk = 0! d  si −  dsi =   qk  q j j,k  q j  qk

(3.6) (3.7) (3.8)

F¨ur q und I r gilt aufgrund der Integrierbarkeit die S CHWARZsche Vertauschungsregel. Die eckigen Klammern sind daher identisch null. F¨ur die Koordinaten s gilt diese Regel nicht, da s˙ nicht integrierbare Geschwindigkeiten sind.

3.2 Hamel-Boltzmann Gleichung Wertet man die Zentralgleichung formal f¨ur T = T (s, s˙) und  W = QT  s aus, erh¨alt man direkt die Variationsform der H AMEL -B OLTZMANN Gleichung d T T  T d  s −  ds − QT  s + = 0. (3.9) − dt  s˙ s  s˙ dt In dieser Form k¨onnen die Bewegungsgleichungen f¨ur nichtholonome Systeme berechnet werden. Die Evaluierung des unterstrichenen Terms erweist sich allerdings als sehr aufw¨andig.

3.3 Lagrange Gleichungen 2-ter Art Eine direkte Auswertung der H AMEL -B OLTZMANN Gleichung f¨ur den holonomen ˙ ergibt die L AGRANGEsche Gleichung 2-ter Art Fall (˙s = q)

3.4 Projektionsgleichung

d dt

43

T  q˙

T T T V T − + = Q. q q

(3.10)

Aufgrund der Integrierbarkeit von q˙ verschwindet der unterstrichene Ausdruck aus Gl.(3.9). Gl.(3.10) wurde um die Ableitung einer Potentialfunktion V erweitert. Kr¨afte, die nur vom Ort abh¨angen, k¨onnen u¨ ber Potentiale ber¨ucksichtigt werden. Zu dieser Gruppe geh¨oren Gravitationskr¨afte und Federkr¨afte.

3.4 Projektionsgleichung Verwendet man in Gl.(3.9) f¨ur den i-ten K¨orper die Minimalgeschwindigkeiten

(3.11) s˙Ti = K vTs K  Ts i und berechnet die Bewegungsgleichungen jenes i-ten K¨orpers ohne Zwangsbedingungen, so bleibt noch der unterstrichene Term in Gl.(3.9) zu bestimmen. Eine elementare Ausrechnung ergibt T T d  s −  ds ˜ s v˜ s = s . (3.12) 0 ˜ Ts i i dt i Jetzt m¨ussen noch die Einzelk¨orper zum Gesamtsystem kombiniert werden. Jedes  si muss die Bindungen des Gesamtsystems erf¨ullen, also eine Funktion der nichtholonomen Koordinate si = si (s) des betrachteten Mehrk¨orpersystems sein. Die Variation von Gl.(3.11) ergibt ⎛ ⎞  vsi  si ⎜ ⎟  si =  s = ⎝  s˙ ⎠  s. (3.13)   si s  s˙ Gleichungen 3.3, 3.12, 3.13 eingesetzt in die H AMEL -B OLTZMANN Gleichung Gl.(3.9) liefert die Projektionsgleichung # $ N e) ˜ ˙ (  p − f p +  K vs T  K  s T K K IK K K

=0 (3.14)  ˙ ˜ IK K L − K Me i KL + K  s˙  s˙ i=1 i mit mvs = p (Impulsvektor) und Js  s = L (Drallvektor). Bei fe und Me handelt es sich um die eingepr¨agten Kr¨afte und Momente. Alle Vektoren sind dabei im k¨orperfesten Koordinatensystem gegeben. Durch geeignetes Einsetzen von ARK AKR = E, bzw. durch Transformationen von Impuls- und Drallanteilen, gilt f¨ur beliebige Referenzsysteme (R)

44

3 Dynamik N



i=1

#

 R vs  s˙

T

 R s  s˙

T i

e (R p˙ + R ˜ IR R p − R f )e ˙ ˜ IR R L − R M RL + R

$ i

= 0.

(3.15)

Klarerweise muss der Tr¨agheitstensor, der ja normalerweise in einem k¨orperfesten Koordinatensystem (K Js = const.) gegeben ist, in das Referenzsystem transformiert werden s s (3.16) R J = ARK K J AKR . Er ist im Allgemeinen nicht mehr konstant. Die Verwendung beliebiger Referenzsysteme macht das Verfahren besonders flexibel. So k¨onnen zum Beispiel Impuls- und Drallsatz ein und des selben K¨orpers in verschiedenen Referenzsystemen angegeben werden. Bei den Drehgeschwindigkeiten R  s handelt es sich um die absolute Drehgeschwindigkeit des K¨orperschwerpunktes dargestellt im Referenzsystem, w¨ahrend R  IR die Geschwindigkeit des Referenzsystems ist.

3.5 Zusammenfassung In diesem Kapitel wurden einige Methoden der Dynamik zur Erstellung der Bewegungsgleichung in allgemeiner Form M(q)¨s + g(q, s˙) = Q

(3.17)

gezeigt. Matrix M ist die Massenmatrix des Gesamtsystems, w¨ahrend g alle nichtlinearen Terme (Coriolis, Gravitation, Reibung,..) enth¨alt. Die Stelleingriffe werden im Vektor Q zusammengefasst. In Tabelle 3.1 werden die Methoden der Dynamik nochmals zusammengefasst dargestellt. Die Verfahren u¨ ber der Zentralgleichung werden als analytische Methoden bezeichnet. Es werden dabei kinetische Energien, Potentiale, usw. in die Bewegungsgleichung zerlegt (Analyse). Die Projektionsgleichung unter der Zentralgleichung geh¨ort zur Gruppe der synthetischen Methoden. Dabei werden Impulsund Drallanteile zum Minimalmodell zusammengef¨ugt (Synthese). Das Ergebnis ist selbstverst¨andlich f¨ur alle Methoden gleich. Der Aufwand zur Bestimmung der Bewegungsgleichung ist unterschiedlich. Die analytischen Methoden eignen sich eher f¨ur kleine Systeme, oder bei Stabilit¨atsbetrachtungen wo oftmals die Gesamtenergien als LYAPUNOV Kandidaten ben¨otigt werden. Bei Mehrk¨orpersystemen mit vielen Freiheitsgraden ist die Erstellung der Gesamtenergie und das folgende Ableiten in die freien Richtungen aufw¨andig. Hier haben die synthetischen Methoden einen klaren Vorteil. Es wird daher mit der Projektionsgleichung weitergearbeitet, siehe Kap. 4.

3.5 Zusammenfassung

45 T +V = H

(Huygens 1673) Helmholtz 1847

(Gibbs 1879) Appell 1899

t0

p˙ T = −

d T dt  q˙

Lagrange 1780 Nielsen 1935

 T˙  q˙

Tzenoff 1953

1  T¨ 2  q¨ 1 Tm m  qm

Mangeron/Deleanu 1962

Maggi 1903

Projektionsgleichung

=Q

%t1

Hamilton 1834

Zentralgleichung

T

 (T −V ) dt = 0

(Hamilton 1834) Lagrange 1788

Hamel 1904

G  s¨

d T dt  q˙

d T dt  q˙

H q

; q˙ T =

H p

−  Tq − QT = 0

− 2  Tq − QT = 0 − 32  Tq − QT = 0 T T − m+1 m q − Q = 0

−  Tq − QT

 q˙  s˙

=0

 ds −  Tq − QT  s + Ts˙ d  s− =0 dt

d dt

T  s˙

 s −  T − W = 0

⎧⎡ ⎫ ⎤T  R vs ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ e N ⎢ ˙ + R ˜ IR R p − R f  s˙ ⎥ Rp ⎥ ⎢ =0  ⎣   ⎦ e ˙ ˜ IR R L − R M i ⎪ R s RL + R i=1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ˙ s i

Tabelle 3.1 B REMERsches Methodendreieck der Dynamik

Kapitel 4

Projektionsgleichung

Mit der Projektionsgleichung gelingt es in weiterer Folge, verschiedene Komponenten eines Mehrk¨orpersystems zu Subsystemen zusammenzufassen. Man erh¨alt daher strukturierte Gleichungen, mit gut interpretierbaren Zwischenergebnissen, zur Bestimmung der Bewegungsgleichung. Die Aufl¨osung nach den Minimalbeschleunigungen kann einerseits u¨ ber die Invertierung der Gesamtmassenmatrix, oder andererseits u¨ ber rekursive Methoden erfolgen. Die rekursiven Methoden gl¨anzen durch ihre lineare Ordnung O(n) mit einer kurzen Rechenzeit. Als Beispiel wird das Subsystem eines Roboters mit elastischen Getrieben gezeigt.

4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme Beim Aufbau von Robotersystemen kann beobachtet werden, dass bestimmte Baugruppen immer wieder vorkommen. So besteht zum Beispiel ein starrer Industrieroboter immer aus einem Motor und einem Arm. Daher ist es zweckm¨aßig solche Baugruppen vorab als Einheit (Subsystem) zu definieren. Die Projektionsgleichung f¨ur ein System bestehend aus N K¨orpern # $ N e) ˜ ˙ (  p − f p +  R vs T  R  s T R R IR R R

= 0, (4.1)  ˙ ˜ IR R L − R Me i RL + R  s˙  s˙ i=1 i kann in Nsub Subsysteme mit jeweils Nn K¨orpern aufgespaltet werden. Den einzelnen Subsystemen werden dann aber eigene (beschreibende) Geschwindigkeitsparameter zugeordnet. Mit einer entsprechenden Nachdifferentiation erh¨alt man die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung $ # Nsub  y˙ n T Nn p˙ + ˜ R p − fe  vs T   s T = 0. (4.2)   s˙   y˙ n L˙ + ˜ R L − Me i  y˙ n n=1 i=1 i Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

47

48

4 Projektionsgleichung

Wird ein Subsystem separat, also von seiner Umgebung losgel¨ost betrachtet, so sind noch die Zwangskr¨afte einzuf¨ugen Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn = Qzn .

(4.3)

Anmerkungen: • Die beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ n werden in weiterer Folge nichtholonome Geschwindigkeiten beinhalten. Von den Verfahren aus Tabelle 3.1 kommen daher nur nichtholonome Methoden in Frage. • Es kann auch f¨ur ein Subsystem mit mehreren Referenzsystemen gearbeitet werden. Dies kann f¨ur ein Subsystem mit mehreren gekoppelten Starrk¨orperfreiheitsgraden (z.B. Endeffektor eines Industrieroboters) von Vorteil sein, siehe [Rie11]. • Neben den Dynamikmatrizen erh¨alt man aus Gl.(4.3) auch die Schnittgr¨oßen Qzn zur Ankopplung des Subsystems.

4.1.1 Darstellung mittels Zwischenvariablen Bei der Formulierung des Subsystems erscheint es zweckm¨aßig, zun¨achst einen einzelnen Starrk¨orper innerhalb des Subsystems zu betrachten.

r vo

rs

O Abb. 4.1 Einzelk¨orper mit Zwischenvariablen

o

Der allgemeine starre K¨orper nach Abb. 4.1 wird dabei mit einem Vektor bestehend aus seinen m¨oglichen Geschwindigkeiten (Zwischenvariablen)

T y˙ i = vTo  To r˙ Ts  Tr i

(4.4)

beschrieben. Das Referenzkoordinatensystem hat seinen Ursprung im Gelenkpunkt O. Es bewegt sich mit den translatorischen und rotatorischen Absolutgeschwindigkeiten vo ,  o . Der K¨orper kann mit  r relativ zum Referenzsystem rotieren, bzw. sich mit r˙ s translatorisch bewegen. Die Subsystemgleichung Gl.(4.2) kann durch

4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme

49

nochmalige Anwendung der Kettenregel in den Zwischenvariablen dargestellt werden .T # $ Nn  y˙ i p˙ + ˜ o p − fe  vs T   s T . (4.5)  L˙ + ˜ o L − Me i  y˙ i  y˙ i ˙n i=1  y i T

:=Fi

Dabei werden Impuls- und Drallbilanz der Einzelk¨orper u¨ ber die Zwischenvariablen in die beschreibenden Variablen projiziert. Die Schwerpunktgeschwindigkeiten, bzw. deren Ableitungen in Abh¨angigkeit von den Zwischenvariablen, k¨onnen allgemein angegeben werden ⎛ ⎞ vo vo + ˜ o rs + r˙ s o ⎟ vs E r˜ Ts E 0 ⎜ ⎜ ⎟ = = (4.6) ⎝ r˙ s ⎠ , s i o + r 0 E 0 E i  r i Fi

v˙ s ˙ s

i

y˙ i

˙ = Fi y¨ i + Fi y˙ i .

(4.7)

Setzt man die Impuls- und Drallvektoren vs p mE 0 = = Mi Fi y˙ i L i s i 0 Js

(4.8)

Mi

in Gl.(4.5) ein, erh¨alt man # $ p˙ + ˜ o p − fe  vs T   s T ˙ + ˜ o L − Me L  y˙ i  y˙ i i i e T ˙ ˙ f . = Fi M Fy¨ i + M Fy˙ i + M Fy˙ i + ˜ M Fy˙ i − Me i Mit

e T f ˜ o 0 e , und Qi = Fi ˜ i = Me i 0 ˜ o

(4.9) (4.10)

(4.11)

ergibt sich f¨ur den starren Einzelk¨orper die Form1 e z Mi y¨ i + Gi y˙ i − Qi = Qi .

1

(4.12)

Anmerkung zur Nomenklatur: F¨ur die doppelt u¨ berstrichenen Terme sind noch zwei, f¨ur die einfach u¨ berstrichenen Terme ist nur ein Schritt bis zur Subsystemgleichung durchzuf¨uhren. Vektor y˙ beinhaltet die allgemeine (maximal m¨ogliche) Bewegungsm¨oglichkeit, y˙ ist (subsystem-) spezifisch.

50

4 Projektionsgleichung

4.1.2 Zusammenfugen des Subsystems ¨ Mit Gl.(4.5) ist die Vorschrift zur Bestimmung der Subsystemgleichungen bereits gegeben. Dazu m¨ussen die Zwischenvariablen in Abh¨angigkeit der beschreibenden Subsystemgeschwindigkeiten angegeben werden

 y˙ i y˙ n = Fi y˙ n . y˙ i =  y˙ n

(4.13)

Das n-te Subsystem ist dann mit / 0 0 / Nn Nn Nn Nn T T T e T z ˙ ˙ ¨ y y F M F + F G F + M F − F Q − i i n i i i i n  i  i  i i  Fi Qi = 0, (4.14) i=1

i=1

bzw.

i=1

i=1

Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qen − Qzn = 0

(4.15)

vollst¨andig definiert.

4.1.3 Synthese Unter Synthese versteht man den Zusammenbau der N Subsysteme zur Bewegungsgleichung. Mit der Projektionsgleichung Gl.(4.2) N



n=1

 y˙ n  s˙

T (Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn ) = 0,

bzw. in Matrixform

 y˙ 1  s˙

T

 y˙ 2 T  y˙ N ...  s˙  s˙ FT

⎞ M1 y¨ 1 + G1 y˙ 1 − Q1 ⎜ M2 y¨ 2 + G2 y˙ 2 − Q2 ⎟ ⎜ ⎟ = 0, ⎝ ⎠ : MN y¨ N + GN y˙ N − QN

T

(4.16)

⎛

(4.17)

werden die Subsysteme u¨ ber die globale Funktionalmatrix F in die freien Bewegungsrichtungen projiziert. Die globale Funktionalmatrix kann u¨ ber die kinematische Kette (4.18) y˙ i = Tip y˙ p + Fi s˙i angegeben werden. Sie verbindet das aktuelle Subsystem i (beschreibende Geschwindigkeiten y˙ i , relative Minimalgeschwindigkeiten s˙i ) mit seinem Vorg¨angersystem (Pr¨azessor) p (i). Fi wird dabei als lokale Funktionalmatrix bezeichnet. Das folgende Beispiel zeigt eine detaillierte Herleitung der kinematischen Kette.

4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme

51

Beispiel 4.1 Kinematische Kette Abb. 4.2 stellt eine ebene Pendelkette dar. Als beschreibende Geschwindigkeit wird ˙ verwendet. Die Drehachse wird allgemein mit eD defider Vektor y˙ T = (vTo  TF q) niert.  F,p

vo,p

vo,n

qn

 F,n

r pn Abb. 4.2 Kinematische Kette eines Armes

Gegeben sind also die Geschwindigkeiten des K¨orpers p, p vo,p , p  F,p in ihrem jeweiligen Koordinatensystem. Die Geschwindigkeiten des Koppelpunktes n lauten p vo,n p  F,n

= p vo,p + p r˜ Tpn

p  o,p

(4.19)

= p  o,p .

(4.20)

Die beschreibenden Geschwindigkeiten des K¨orpers n m¨ussen nat¨urlich im Koordinatensystem n angegeben werden n vo,n n  F,n

= Anp = Anp

˜ Tpn p  o,p p vo,p + Anp p r

(4.21) (4.22)

p  o,p .

¨ Der Ubergang auf F¨uhrungs- und Relativdrehung p  o,p = p  F,p + eD q˙ p liefert n vo,n n  F,n

= Anp = Anp

˜ Tpn p  F,p + Anp p r˜ Tpn p vo,p + Anp p r p  F,p + Anp

eD q˙ p

eD q˙ p .

F¨ur die kinematische Kette ergibt sich somit ⎤ ⎞ ⎡ ⎛ ⎛ ⎞ Anp Anp p r˜ Tpn Anp p r˜ Tpn eD 0 n vo,n y˙ n = ⎝ n  F,n ⎠ = ⎣ 0 Anp Anp eD ⎦ y˙ p + ⎝ 0 ⎠ q˙n . q˙n 1 0 0 0

(4.23) (4.24)

(4.25)

Pflanzt man die kinematische Kette fort, ergibt sich y˙ 1 = F1 s˙1 y˙ 2 = T21 y˙ 1 + F2 s˙2 = T21 F1 s˙1 + F2 s˙2 y˙ 3 = T32 y˙ 2 + F3 s˙3 = T32 T21 F1 s˙1 + T32 F2 s˙2 + F3 s˙3 : oder in Matrixformulierung

(4.26) (4.27) (4.28)

52

4 Projektionsgleichung

⎛

⎞

⎡

⎤⎛

⎞

y˙ 1 F1 s˙1 ⎜ y˙ 2 ⎟ ⎢ T21 F1 F2 ⎥ ⎜ s˙2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ y˙ 3 ⎟ = ⎢ T31 F1 T32 F2 F3 ⎥ ⎜ s˙3 ⎟ := F s˙. ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ : ⎠ ⎣ : ⎦⎝ : ⎠ : : :. y˙ N TN1 F1 ... ... TN,N−1 FN−1 FN s˙N

(4.29)

Zu beachten ist dabei, dass die globale Funktionalmatrix F eine linke untere Blockdreiecksstruktur aufweist (nichtbesetzte Matrixelemente sind null). 4.1.3.1 Minimaldarstellung Die Bewegungsgleichung (Auswertung der Projektionsgleichung) in Minimalform kann mit M (q) s¨ + G (q, s˙) s˙ − Q = 0, (4.30) M = FT blockdiag (M1 , ..., MN ) F G = FT blockdiag (G1 , ..., GN ) F + FT blockdiag (M1 , ..., MN ) F˙

T Q = FT QT1 , ..., QTN ,

(4.31) (4.32) (4.33)

angegeben werden. F¨ur Simulations- oder Beobachtungsaufgaben muss eine Transformation in die Zustandsraumdarstellung vollzogen werden. Mit dem Zustandsvektor xT = (qT s˙T ) lautet sie . q ˙ s s . (4.34) x˙ = −M (q)−1 (G (q, s˙) s˙ − Q) F¨ur die Berechnung der Zustandsraumdarstellung (Beschleunigungen s¨) muss in jedem Zeitschritt die Massenmatrix invertiert werden. Der Rechenaufwand zur In vertierung der Massenmatrix steigt mit kubischer Anzahl (O n3 ) der Freiheitsgrade und f¨uhrt daher zu Laufzeitproblemen. Dieses Problem kann mit einem O(n) Algorithmus zur Bestimmung der Minimalbeschleunigungen behoben werden. Im n¨achsten Abschnitt wird das Verfahren hergeleitet. Besondere Bedeutung kommt dem Verfahren bei der Modellierung von elastischen Mehrk¨orpersystemen zu. Dort werden neben den Motor- und Armkoordinaten auch die R ITZ-Koeffizienten als Freiheitsgrade auftreten, wodurch sich auch f¨ur einen 6- Achsen Roboter viele Freiheitsgrade ergeben. Eine effiziente Methode zur Simulation erscheint also unumg¨anglich. 4.1.3.2 Rekursive Darstellung F¨ur kettenf¨ormige Mehrk¨orpersysteme hat die Transponierte der globalen Funktionalmatrix Gl.(4.29) eine rechte obere Dreiecksstruktur. F¨ur Gl.(4.17) ergibt sich da-

4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme

53

her explizit ⎡ T T T ⎤⎛ ⎞ FT1 TTN,1 F1 F1 T21 .... M1 y¨ 1 + G1 y˙ 1 − Q1 ⎢ ⎥⎜ ⎟ FT2 M2 y¨ 2 + G2 y˙ 2 − Q2 ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ = 0. .... : : ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎣ FTN−1 FTN−1 TTN,N−1 ⎦ ⎝ MN−1 y¨ N−1 + GN−1 y˙ N−1 − QN−1 ⎠ MN y¨ N + GN y˙ N − QN FTN (4.35) Im Sinne eines G AUSSschen Eliminationsprozesses kann dies zur Berechnung der Minimalbeschleunigungen genutzt werden. Mit der Abk¨urzung hi = Gi y˙ i −Qi lautet die letzte Blockgleichung aus Gl.(4.35) FTN (MN y¨ N + hN ) = 0.

(4.36)

Mit der kinematischen Kette auf Beschleunigungsebene y¨ N k¨onnen aus dieser Gleichung die Minimalbeschleunigungen s¨N des letzten K¨orpers bestimmt werden. Diese h¨angen aber von den beschreibenden Geschwindigkeiten des Vorg¨angersystems y¨ p und damit den Minimalbeschleunigungen s¨ p ab. Betrachtet man die vorletzte Blockgleichung aus Gl.(4.35), also das Pr¨azessorsystem, so werden beide Terme mit FTp vormultipliziert. Mit den Auswertungen des letzten Subsystems erh¨alt man mit einigen Umformungen die gleiche Struktur wie f¨ur das letzte Subsystem. Wiederum k¨onnen mithilfe der kinematischen Kette die Minimalbeschleunigungen s¨ p berechnet werden. Diese h¨angen erneut von den beschreibenden Beschleunigungen des aktuellen Vorg¨angersubsystems ab. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis die Wurzel des Mehrk¨orpersystems erreicht ist, und bei diesem die Minimalbeschleunigungen s¨1 nun explizit berechnet werden k¨onnen. In einem weiteren Vorw¨artsschritt k¨onnen daher alle Minimalbeschleunigungen und u¨ ber die kinematische Kette alle beschreibenden Beschleunigungen berechnet werden. Zusammenfassend erh¨alt man f¨ur das i-te Subsystem

und

FTi (M∗i y¨ i + h∗i ) = 0 ˙ ip y˙ i + F˙ i s˙i + Fi s¨i y¨ i = Tip y¨ i + T

(4.37) (4.38)

1 ∗ 2 T ˙ ip y˙ p ) + h∗i ¨p +T s¨i = −M−1 Ri Fi Mi (Tip y

(4.39)

mit den Abk¨urzungen T∗ip = NTi Tip ,

Ni = [E − M∗i Ji ] T ∗ T Ji := Fi M−1 Ri Fi , MRi := Fi Mi Fi .

Eine detaillierte Herleitung des Verfahrens findet man in Anhang B. Dort wird das Vorgehen f¨ur ein System bestehend aus drei Subsystemen Schritt f¨ur Schritt demonstriert. In Gl.(4.39) wurden die lokalen Funktionalmatrizen bereits als konstant angenommen, F˙ i = 0, da ein zeitabh¨angiges Fi nur f¨ur variable Getriebe¨ubersetzungen

54

4 Projektionsgleichung

in Frage kommt. Zusammenfassend kann das Problem also in 3 Schritten gel¨ost werden: Algorithmus 1. Schritt: Bestimme

˙ ip , y˙ i Tip , T

(4.40)

∗ M∗p = M p + T∗T ip Mi Tip

∗˙ ˙ p + h∗i h∗p = h p + T∗T ip Mi Tip y

(4.41)

f¨ur i = 1..Nsub aufw¨arts. 2. Schritt: Berechne

(4.42)

T∗ip = NTi Tip ,

Ni = [E − M∗i Ji ] T ∗ T Ji := Fi M−1 Ri Fi , MRi := Fi Mi Fi

f¨ur p = Nsub ..1 abw¨arts. 3. Schritt: L¨ose 1 ∗

2 T ˙ ip y˙ p + h∗i ¨p +T s¨i = −M−1 Ri Fi Mi Tip y

(4.43)

f¨ur i = 1..Nsub aufw¨arts. In diesem Fall muss lediglich die reduzierte Massenmatrix MRi invertiert werden. Ihre Dimension entspricht der Anzahl der Relativfreiheitsgrade pro Subsystem. Abb. 4.3 zeigt einen Rechenzeitvergleich zwischen der Standardmethode (Invertierung der globalen Massenmatrix u¨ ber den G AUSS J ORDAN Algorithmus) und dem rekursiven Verfahren. F¨ur diesen Vergleich wurden ebene Pendelsimulationen mit jeweils einem Relativfreiheitsgrad verwendet. 3000 70

Rechenzeit in s

Rechenzeit in s

2500

Standardmethode

2000 1500 1000 500

0

10

20

30

40

50

60

50 40 30 20

O(n) Methode

10

O(n) Methode

0

Standardmethode

60

70

Freiheitsgrade Abb. 4.3 Rechenzeitvergleich (rechts: detaillierte Anzeige)

10

20

30

40

50

Freiheitsgrade

60

70

4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme

55

Der vorgestellte Algorithmus ist in dieser Form nur f¨ur kettenf¨ormige Mehrk¨orpersysteme g¨ultig. F¨ur baumstrukturierte Systeme muss im 2-ten Schritt lediglich eine Summation u¨ ber alle direkten nachfolgenden Subsysteme s j (p) durchgef¨uhrt werden M∗p = M p +



∗ T∗T ip Mi Tip i∈{s j (p)} ∗

∗ ˙ ˙ p + h∗i . h p = h p +  T∗T ip Mi Tip y i∈{s j (p)}

(4.44) (4.45)

Die Schritte 1 und 3 bleiben unver¨andert. Mehrk¨orpersysteme mit geschlossenen kinematischen Schleifen werden durch vir¨ tuelles Auftrennen der Schleife zu baumstrukturierten Systemen. Uber die entsprechenden Zwangsbedingungen und Zwangskr¨afte kann ebenso ein rekursiver Algorithmus gefunden werden. Dieses Thema wird eingehend in Kap. 7.2.3 behandelt. Allgemeine Anmerkung Die Wahl der beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ liegt normalerweise bei jedem Roboter auf der Hand. Es sind dies immer die F¨uhrungstranslationsgeschwindigkeit vo , F¨uhrungsrotationsgeschwindigkeit  F , und in irgendeiner Form die Relativgeschwindigkeiten, welche dann ja den relativen Minimalgeschwindigkeiten entsprechen. Die F¨uhrungsgeschwindigkeiten k¨onnen immer direkt aus der Kinematik angegeben werden. Die entsprechenden Funktionalmatrizen zur Projektion in den Minimalraum k¨onnen durch Ableiten bestimmt werden y˙ i = Fabs,i s˙.

(4.46)

Mit den Funktionalmatrizen aus Gl.(4.46) kann direkt in die Subsystemgleichung Gl.(4.16) eingesetzt werden. Die Matrizen des Gesamtsystems sind somit M= G= Q=

N

 FTabs,i Mi Fabs,i

(4.47)

 (FTabs,i Mi F˙ abs,i + FTabs,i Gi Fabs,i )

(4.48)

 FTabs,i Qi .

(4.49)

i=1 N i=1 N i=1

Das Ergebnis ist mit obigen Gleichungen identisch, aber durch die Summenauswertung ist die Dimension der Berechnungsmatrizen kleiner (z.B. diag(Mi )...). Bei der Herleitung der Subsystemgleichungen werden ja die Schwerpunktsgeschwindigkeiten (translatorisch und rotatorisch) in Abh¨angigkeit von den beschreibenden Geschwindigkeiten ben¨otigt. Diese k¨onnen im Allgemeinen auch gleich direkt angegeben werden

56

4 Projektionsgleichung

vs s

= F F y˙ .

(4.50)

Der Unterschied: y˙ enth¨alt alle Bewegungsm¨oglichkeiten; M → M entspricht einem Streichen von Zeilen und Spalten, sowie dem Einf¨ugen von Platzhaltern. Die Matrixstrukturen sind hier vorab ein f¨ur allemal festgelegt (problemunabh¨angige Formulierung). Unter Verzicht auf allgemeine Strukturen kann die Berechnung nat¨urlich auch direkt in den problemspezifischen Variablen erfolgen. Ein solches Vorgehen ist eher f¨ur einfache Systeme geeignet.

4.2 Allgemeine Modellierung eines Roboters 4.2.1 Kinematische Kette Zur Einbindung des Subsystems in das Gesamtsystem muss gekl¨art werden, wie sich die Geschwindigkeiten von einem Pr¨azessorsystem fortpflanzen. Dies erfolgt mit der kinematischen Kette. Abb. 4.4 zeigt den kinematischen Aufbau eines Roboterarmes mit elastischen Getrieben und starren Verbindungselementen. q˙A,n q˙M,n

 F,n vo,n (N)

 F,p

rnp

vo,p (P)

Abb. 4.4 Kinematische Kette eines Armes

(I)

Zur vollst¨andigen kinematischen Beschreibung eignen sich also die beschreibenden Geschwindigkeiten T (4.51) y˙ n = vTo  TF M A n ∈ R8 . Dabei sind vo ,  F die F¨uhrungsgeschwindigkeiten und M , A die relativen Motor¨ und Armgeschwindigkeiten. Die Motordrehgeschwindigkeit ist u¨ ber das Ubersetz-

4.2 Allgemeine Modellierung eines Roboters

57

ungsverh¨altnis des Getriebes (h¨aufig kommen H ARMONIC D RIVE zum Einsatz) mit dem Freiheitsgrad qM gekoppelt

M = iG q˙M

(4.52)

(iG : Getrieb¨ubersetzung). F¨ur ein spezifisches Subsystem des baumstrukturierten Mehrk¨orpersystems ergibt sich (4.53) y˙ n = Tnp y˙ p + Fn s˙n mit

⎡

Anp Anp p r˜ Tnp ⎢ 0 Anp Tnp = ⎢ ⎣ 0 0 0 0

und

⎡

0 ⎢0 Fn s˙n = ⎢ ⎣ iG 0

⎤ 0 Anp p r˜ Tnp eD,p 0 Anp eD,p ⎥ ⎥ ∈ R8,8 ⎦ 0 0 0 0

⎤ 0 0⎥ ⎥ q˙M ; Fn ∈ R8, fn . 0⎦ q˙A n 1 n

(4.54)

(4.55)

Anp ist die entsprechende Drehmatrix, rnp der Verbindungsvektor vom Koppelpunkt des Pr¨azessors p zum aktuellen K¨orper und eD,p ist die Drehachse des Pr¨azessors. Eine andere M¨oglichkeit w¨are es, vorab alle Drehungen um die z-Achsen zu definieren (eD = e3 ) und dann die Drehmatrizen Anp entsprechend anzupassen. Dieses Vorgehen erinnert an die D ENAVIT-H ARTENBERG Darstellung als standardisierte Beschreibung von Robotern. Die Anzahl der Relativfreiheitsgrade betr¨agt mit fn = 2 (zwei relative Minimalgeschwindigkeiten q˙M , q˙A ).

4.2.2 Subsysteme F¨ur einen Standardroboter bietet es sich an, jeweils einen Arm und einen Motor als Baugruppe-Subsystem zu definieren. Das entsprechende Modell zeigt Abb. 4.5 als zwei- bzw. Abb. 4.6 als dreidimensionale Darstellung. Zwischen dem Motorwinkel qM und dem Armwinkel qA ist ein elastisches Getrie¨ be mit dem Ubersetzungsverh¨ altnis iG , welches als lineares Federelement mit der Steifigkeit c modelliert wird. Die Tr¨agheitsparameter f¨ur den Motor lauten mM , JM bzw. mA , JA f¨ur den Arm. Die Tr¨agheitsmomente JM und JA sowie der Schwerpunktsvektor rs sind in einem lokalen k¨orperfesten Koordinatensystem gegeben. Um m¨oglichst große Flexibilit¨at beim Einsatz des Subsystems zu haben, kann die Drehachse eD (f¨ur die relativen Drehwinkel qA und qM ) f¨ur jede Baugruppe separat vorgegeben werden.

58

4 Projektionsgleichung

A qA qM

vo

mA , JA

F

rs

eD vo

qM

F M

qA

mM , JM

Abb. 4.5 Subsystem 2D Darstellung

Abb. 4.6 Subsystem 3D Darstellung

Die Subsystemgleichung Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn = Qzn ∈ R8

(4.56)

wird mit den Matrizen Mi , Gi aus Gl.(4.12) f¨ur i ∈ {A, M} ausgewertet und entsprechend Gl.(4.14) zusammengesetzt. Die Jacobimatrizen erh¨alt man aus ⎡ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤⎛ E00 0 vo vo ⎢ ⎟ ⎜ o ⎟ ⎥⎜ ⎜ ⎟ = ⎢ 0 E 0 eD ⎥ ⎜  F ⎟ , (4.57) ⎣ 0 0 0 0 ⎦ ⎝ M ⎠ ⎝ r˙ s ⎠ r A 0 00 0 ⎛ ⎞ An ⎡ ⎤ ⎛ n⎞ E0 0 0 vo vo ⎢ 0 E 0 eD ⎥ ⎜  F ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜ ⎟ =⎢ ⎥⎜ ⎟ (4.58) ⎣ 0 0 0 0 ⎦ ⎝ M ⎠ . ⎝ r˙ s ⎠  r Mn A n 0 0 eD −eD Die Massenmatrix f¨ur das Subsystem lautet Mn =

T T F F M F F  M

i=A

⎡

(4.59) i

⎤ 0 m˜rTs eD mE m˜rTs ⎢ m˜rs Jo + JM JM eD Jo eD ⎥ A A ⎥ . Mn = ⎢ ⎣ 0 eTD JM eTD JM eD 0 ⎦ meTD r˜ s eTD JoA 0 eTD JoA eD n

(4.60)

Dabei ist m = mM + mA die Gesamtmasse des Subsystems, und im Drallanteil wurde Jo = Js + m˜rs r˜ Ts zusammengefasst (Tr¨agheitstensor Jo bei Wechsel des Bezugs-

4.2 Allgemeine Modellierung eines Roboters

59

punkts vom Schwerpunkt nach o, H UYGENS -S TEINERscher Verschiebungssatz). Weiters ist mA rsA + mM rsM = mrs (der Schwerpunkt des Motors liegt auf der Achse rsM = 0) mit rs als Gesamtschwerpunkt (Schwerpunktsdefinition). Aufgrund der zeitlichen Konstanz von F, M und F vereinfacht sich die G-Matrix zu ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ M T T ˙ ˙ T T Gn =  ⎣F F ⎝ M F + M F + ˜ M F⎠ F + F F M F F˙ ⎦ = (4.61) i=A

=

M



0

T

T F F ˜ M F F

0

i

(4.62) i

i=A

⎡

⎤

m˜ o m˜ o r˜ Ts 0 m˜ o r˜ Ts eD ⎢ m˜rs ˜ o ˜ o (Jo + JM ) ˜ o JM eD ˜ o Jo eD ⎥ A A ⎥. =⎢ ⎣ ⎦ 0 eTD ˜ o JM 0 0 meTD r˜ s ˜ o eTD ˜ o JoA 0 eTD ˜ o JoA eD In Gl.(4.63) wurde ferner von den Eigenschaften

mA r˜ s ˜ o r˜ Ts  o = ˜ o mA r˜ s r˜ Ts  o , eTD ˜ o JM eD

=

JM eTD ˜ o eD

(4.63)

(4.64)

= JM eTD e˜ TD  o

(4.65)

0

Gebrauch gemacht. Bedingung 4.64 folgt durch elementares Einsetzen, w¨ahrend ˜ = b˜ T a bedient, sich Gl.(4.65) der Eigenschaften des Kreuzproduktes a˜ b = −ba bzw. dass der Tr¨agheitstensor des Motors Hauptachsenlage JM = diag (AM , BM ,CM ) (keine Deviationsmomente) aufweist und damit f¨ur JM ∈ {AM , BM ,CM } je nach Rotationsachse gilt. 4.2.2.1 Eingepr¨agte Kr¨afte - Gewichtskr¨afte Die verallgemeinerten eingepr¨agten Gewichtskr¨afte lauten gn gn , QA,n = mA . QM,n = mM 0 0

(4.66)

Sie werden mit Kapitel 4.1.1 in die Subsystemdarstellung gebracht QGn = QM,n + QA,n =

T T T T FM,n FM,n QM,n + FA,n FA,n QA,n

⎛

⎞

g ⎜ r˜ s g ⎟ ⎟ = m⎜ ⎝ 0 ⎠ . eTD r˜ s g n

(4.67) (4.68) (4.69)

60

4 Projektionsgleichung

Der Gravitationsvektor g wird dabei im Referenzsystem des n-ten Subsystems dargestellt. 4.2.2.2 Eingepr¨agte Kr¨afte - Getriebemoment, Motormoment F¨ur jede Motor-Getriebe-Armeinheit gilt ⎡ ⎤ 0 0 ⎢ 0 0 ⎥ q˙M ⎥ , mit Mn = iGn q˙Mn . Fn s˙n = ⎢ ⎣ iG 0 ⎦ q˙A n 0 1 n

(4.70)

s˙n

Die virtuelle Arbeit der Getriebefeder (lineare Drehfeder) lautet − sTn ( VG / s)Tn 2 mit dem Potential VGn = cn (qAn −

f¨ur Motor mit eingepr¨agtem Rei qMn ) /2,ebzw. bungsmoment  WM =  (iG qM ) MMot − MReib . Ein Koeffizientenvergleich ergibt

c (qA − qM ) + iG MMot − M e T Reib  WGM,n =  sn Qn =  qM  qA n (4.71) −c (qA − qM ) n (Index GM f¨ur Getriebe und Motor). Die zugeh¨origen  sn ergeben sich aus der kinematischen Kette y˙ n = Tnp y˙ p + Fn s˙n yn − Tnp y˙ p ) → s˙n = F+ n (˙ + →  sn = Fn ( yn − Tnp  y p ) ,

(4.72) (4.73) (4.74)

mit der verallgemeinerten Inversen F+ n =

0 0 i1G 0 00 0 1

.

(4.75)

n

Aus den Gln. 4.71, 4.74 erh¨alt man direkt die generalisierten Subsystemkr¨afte

− (F+ Tnp )T T T T n  y  y Qn  sn Qn = (4.76) p n F+T n

QGM p =  yTp  yTn . (4.77) QGMn Im vorliegenden Fall sind die Matrizen F+ n und Tnp orthogonal. Daher wirkt die aktuelle verallgemeinerte Motor-Getriebe-Kraft nicht auf das vorhergehende Subsystem zur¨uck, also

4.2 Allgemeine Modellierung eines Roboters

61

QGM p ≡ 0 ⎛ QGMn

0 ⎜ 0 =⎜ ⎝ c(qA −qM ) + MMot − M e iG

−c (qA − qM )

Reib

(4.78)

⎞ ⎟

⎟ . ⎠

(4.79)

n

F¨ur das Reibmoment kann in erster N¨aherung eine viskose (rv ) und coulombsche (rc ) Reibung e = rv q˙M,n + rc sign(q˙M,n ) (4.80) MReib,n angenommen werden. Elastische Getriebe (insbesonders H ARMONIC D RIVE) Getriebe weisen ein a¨ ußerst kompliziertes Reibungsverhalten auf. F¨ur Standardmodelle bzw. Regelungsmodelle reicht das einfache Modell in Gl.(4.80) aus. Die Hinzunahme des Haftreibungseffektes ist von Vorteil. 4.2.2.3 Eingepr¨agte Kr¨afte Auf das Subsystem wirken als eingepr¨agte Kr¨afte die Summe aus Gewichtskr¨aften und Motormomenten (4.81) Qn = QGn + QGMn .

Kapitel 5

Elastische Systeme

Bei elastischen Systemen handelt es sich um verteilt parametrische Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Ihre Beschreibung gelingt durch partielle Differentialgleichungen. Ausgehend von der Elastizit¨atstheorie werden elastische Potentiale f¨ur B ERNOULLI -E ULER und T IMOSHENKO Balken erarbeitet. Treten große Kr¨afte bzw. schnelle Starrk¨orperbeschleunigungen auf, so m¨ussen f¨ur eine korrekte Linearisierung die Verschiebungsfelder zweiter Ordnung ber¨ucksichtigt werden, um auf eine korrekte Bewegungsgleichung zu kommen.

5.1 Elastizit¨atstheorie 5.1.1 Cauchyscher Spannungstensor Bei Verformung eines elastischen K¨orpers wird ein Massenelement um den Weg u verschoben. Schneidet man das Element gedanklich frei, bringt die Schnittkr¨afte an und bezieht die Komponenten der Schnittkr¨afte auf die entsprechenden Fl¨achen, so gelingt die Deutung als mechanische Spannungen. Abb. 5.2 zeigt ein aus der aktuellen Position freigeschnittenes Volumenelement dV = dxdydz in kartesischen Koordinaten x, y, z. In Referenzkonfiguration sind die Kantenvektoren des zugeh¨origen Elements dVo daher in einem schiefwinkeligen Koordinatensystem definiert. Der C AUCHYsche Spannungstensor zur Beschreibung des Spannungszustandes ergibt sich durch Angabe der Gleichgewichtsbedingungen f¨ur die am rechtwinkeligen Volumenelement dV angreifenden Kr¨afte in der aktuellen Position. Die mechanischen Spannungen erh¨alt man indem man die Kraftkomponenten auf die jeweilige Angriffsfl¨ache (gekennzeichnet durch die Fl¨achennormale) bezieht

i j =

d fi , i, j ∈ x, y, z. dA j

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

(5.1)

63

64

5 Elastische Systeme z d fz dm dAz

x dz

u xo

x dy

ro Abb. 5.1 Zur Deformation

dx

y

Abb. 5.2 Komponentenzerlegung

Abb. 5.3 zeigt die Spannungen am Element in z-Richtung. Bei bekannten Spannungen im Schwerpunkt erh¨alt man den Zuwachs u¨ ber eine TAYLOR Entwicklung mit Abbruch nach dem linearen Term

i j (x + dx/2, y, z) = i j (x, y, z) +

 i j dx . x 2

(5.2)

z

zz + zzz

dz 2

zy + zy −

y

 zy dy y 2

Abb. 5.3 Spannungen am Element in z-Richtung

 zy dy y 2

zz − zzz

dz 2

Eine Summation u¨ ber die Kraftverh¨altnisse (Kraft=Spannung mal Fl¨ache) in z− Richtung f¨uhrt auf  zz  zy  zx + + dxdydz, (5.3) d fz = z y x bzw. f¨ur alle 3 Richtungen

df T = T  T , dV

(5.4)

5.1 Elastizit¨atstheorie

65

mit dem Nablaoperator T = ( x .

   y  z ) und dem

C AUCHYschen Spannungstensor

5.1.2 Elastisches Potential - Verzerrungstensor Bei den elastischen K¨orpern leisten die Oberfl¨achenkr¨afte am Element dm Arbeit. Die virtuelle Arbeit ist mit T  i j df  Wel =  udV = T  T  udV =   ui dV, i, j ∈ {x, y, z} dV V V V i, j  j (5.5) (Kraft mal virtueller Verschiebung) gegeben. Eine partielle Integration von Gl.(5.5) f¨uhrt auf die Variationsform des elastischen Potentials

 ui

 Wel = −

 i j   j dV + WRand .

V i, j

:= Vel

(5.6)

Eine Aufl¨osung der Summen in Matrixschreibweise dieser Beziehung lautet

 Vel =

V

 T   dV,

(5.7)

mit den sechs unabh¨angigen Komponenten des Spannungstensors

 T = (xx yy zz xy yz xz )

(5.8)

und dem zugeh¨origen Verzerrungsvektor

 T = (xx yy zz 2xy 2yz 2xz ) = (xx yy zz xy yz xz ) (5.9)  uy  uz  ux  uy  uz  ux  uy  ux  uz + + + , = x y z y x z y z x (5.10) der aus dem Verzerrungstensor mit den Komponenten /. 0 uj 1  ui i j = + 2 j i

(5.11)

gebildet wird. Im Verzerrungsvektor treten die Gleitungen  in Erscheinung. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Doppelsumme in Gl.(5.5) durch das Vektorprodukt ersetzt wurde. F¨ur eine geometrische Interpretation des Verzerrungstensors kann Abb. 5.4 herangezogen werden.

66

5 Elastische Systeme  ux  y dy

uy (x, y + dy)

 uy  y dy

 uy  x dx

dy

uy (x, y)

y

 /2 − xy

dx ux (x, y)

 ux  x dx

ux (x + dx, y)

x Abb. 5.4 Interpretation der Verzerrungen

Mit linearisierbar kleinen Gr¨oßen folgt f¨ur den Gleitwinkel xy = 2xy , usw. In einem weiteren Schritt muss nun ein Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung hergestellt werden.

5.1.3 Hookesches Gesetz Das H OOKEsche Gesetz

 = H

(5.12)

kann f¨ur kleine Verzerrungen verwendet werden. Man erh¨alt damit ein lineares Verhalten zwischen den Spannungen und den Verzerrungen. Die H OOKE Matrix f¨ur ein transversal isotropes Material ist durch ⎤ ⎡  0 0 0 1−  ⎥ ⎢  1−  0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢  E  1 −  0 0 0 ⎥, ⎢ H= ⎥ ⎢  )/2 0 0 0 0 0 (1 − (1 +  )(1 − 2 ) ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ 0 0 0 0 0 (1 −  )/2 0 0 0 0 0 (1 −  )/2 (5.13) mit den Konstanten E (Elastizit¨atsmodul) und  (Querdehnzahl), gegeben. F¨ur das virtuelle, elastische Potential  Vel aus Gl.(5.7) folgt 1  Vel =  T H  dV =   T H dV (5.14) 2 V V und damit ein expliziter Ausdruck f¨ur das elastische Potential

5.1 Elastizit¨atstheorie

67

Vel =

1 2

V

 T H dV.

(5.15)

5.1.4 Trefftzscher Spannungstensor Bei kleinen Verzerrungen k¨onnen die Gleichgewichtsbeziehungen n¨aherungsweise am unverformten Element betrachtet werden. Kommen gr¨oßere Verformungen/Belastungen ins Spiel, so kann das Volumenintegral in Gl.(5.5) nicht direkt gel¨ost werden, da das Volumen w¨ahrend der Bewegung laufend seine Kontur a¨ ndert. Hier geht das aktuelle Volumenelement als Transformation des (unverformten) Ausgangsvolumens ein (L AGRANGEsche Darstellung). In der verformten Lage ergibt sich ein Parallelepiped, siehe Abb. 5.5 Die Position des Elements ist x = xo + u.

(5.16)

Ein unverformtes Linienelement dxo geht dabei u¨ ber in dx = Fdxo , mit dem Deformationsgradienten . / .0 x u = E+ . (5.17) F=  xo  xo undeformiert deformiert

u z

dxo

xo

x

y

dx

x Abb. 5.5 L AGRANGEsche Beschreibung

Das Volumen ist in der Ausgangslage durch die kartesischen Vektoren festgelegt dVo = (˜e1 e2 )T e3 dxo dyo dzo = dxo dyo dzo .

(5.18)

In der verformten Lage werden die rechtwinkeligen Einheitsvektoren mithilfe des Deformationsgradienten in das schiefwinkelige Koordinatensystem transformiert ei dxoi → Fei dxoi .

(5.19)

68

5 Elastische Systeme

Mit diesen Beziehungen k¨onnen eine Reihe von Eigenschaften gezeigt werden. So gilt beispielsweise f¨ur das Volumen in der verformten Lage 31 Fe2 )T Fe3 dxo dyo dzo = det(F)dVo . dV = (Fe

(5.20)

Da die Masse des Elements konstant ist (o dVo =  dV ) gilt

o = det(F). 

(5.21)

¨ Analoge Uberlegungen k¨onnen f¨ur die Fl¨achen gemacht werden. Eine Auswertung f¨ur das Fl¨achenverh¨altnis ergibt  dAo = FT . (5.22) dA o ¨ Uber die Kettenregel der Differentiation kann der C AUCHYsche Spannungstensor in die unverformte Lage transformiert werden df dfo dAo df = . (5.23) = dA dfo dAo dA Die Kr¨afte der Referenzlage, bezogen auf die zugeh¨orige Fl¨ache, bezeichnet den T REFFTZschen oder 2. P IOLA K IRCHHOFF Spannungstensor dfo = P. (5.24) dAo Da auch die Kr¨afte von der Referenzlage u¨ ber den Deformationsgradienten in die verformte Lage transformiert werden, df = Fdfo gilt

 = FPFT

 , o

(5.25)

was bei symmetrischen Spannungstensor  auch auf einen symmetrischen T REFFTZschen Spannungstensor P f¨uhrt.

5.1.5 Green-Lagrangescher Verzerrungstensor F¨ur das elastische Potential Gl.(5.7) und der Transformation der Spannungstensoren Gl.(5.25) folgt

5.1 Elastizit¨atstheorie

69

 Vel =

 mn  mn dV

4

=

(5.26)

V m,n

V

5  T FPF   dV. o

(5.27)

Durch Einsetzen des Deformationsgradienten Gl.(5.17) und des Verzerrungsvektors  Gl.(5.11) kann auch das Volumsintegral in Gl.(5.27) auf die Referenzlage bezogen werden PT  dVo . (5.28) dVel = Vo

Der zugeh¨orige Verzerrungsvektor  - .⎞  uy 2  ux 2  uz 2 1 + + ⎟ ⎜  ux ⎟ ⎜ 2  x  x x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎟ ⎜ x .2 .2 .2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜  uy  uy  uz ⎠ ⎟ ⎟ ⎜ 1 ⎝  ux ⎟ ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 ⎟  y  y  y  y ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xx ⎟ ⎜ ⎛⎟ ⎜ ⎞ . . .  u ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 2 2 z ⎜ yy ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟  u  u  u ⎟ ⎜ ⎜ y x z ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ zz ⎟ ⎜ + + z ⎟ ⎜2 ⎟ ⎟ ⎜ +  =⎜ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜  z  z  z ⎟ ⎟ ⎜ ⎟  u  u ⎜ 2xy ⎟ ⎜ y x ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ + ⎝ 2yz ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  u  u  u  u  u  u y y x x z z ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y  x + + 2zx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ u  x  y  x  y  x  y ⎟ ⎜ y +  uz ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜  ux  ux  uy  uy  uz  uz ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ z y ⎟ ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y z y z y z ⎟ ⎝  uz  ux ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ +  uy  uy  uz  uz  u  u ⎠ ⎝ x x  x  z + + x z  x z x z  (1) (2)  (5.29) besteht aus den Komponenten des G REEN -L AGRANGEschen Verzerrungstensors G. Dieser ist u¨ ber die L¨ange eines Linienelements dx definiert ⎛

⎞

⎛

/ T

dx dx =

dxTo FT Fdxo

= dxTo

E+

u  xo

.0T /

E+

u  xo

.0 dxo (5.30)

:= dxTo [E + 2G] dxo . Eine Auswertung von Gl.(5.30) ergibt f¨ur den Verzerrungstensor ⎡. .T .T .⎤ 1 ⎣ u 1 T u u u ⎦ + . + G = (F F − E) = 2 2  xo  xo  xo  xo

(5.31)

(5.32)

70

5 Elastische Systeme

Anmerkungen: • Geometrische Linearisierung: Die Linearisierung ist dann sinnvoll, wenn kleine Verzerrungsgr¨oßen auftreten. Sind zus¨atzlich auch die Deformationen und Ableitungen davon klein, so spricht man von einer geometrischen Linearisierung. • Physikalische Linearisierung: Sind die Verzerrungen klein, aber die Verschiebungen und Verschiebungsableitungen nicht klein, so spricht man von physikalischer Linearisierung. Diese wird auch notwendig, wenn die Verschiebungen und Verzerrungen klein bleiben, aber große Kr¨afte auftreten.

5.1.6 Elastisches Potential - Bernoulli-Euler Balken Mit Gl.(5.15) ist die Berechnungsvorschrift f¨ur das elastische Potential bereits gegeben. Abb. 5.6 zeigt eine zweidimensionalen Ansicht von Abb. 2.6. Ez

Rz

dx rP

dm

 (x,t)

Ex

Ez

Ey

w (x,t)

rP w(x,t)

 (x,t)

Rx

Ry

x Abb. 5.6 Elastischer Balken - B ERNOULLI -E ULER

Mit einem beliebigen Vektor rTP = (0 y z) in der Elementebene und den kinematischen Beziehungen, vgl. Kap. 2.4, ergibt der Verschiebungsvektor ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ u u 0 0 −v −w u − v y − w z (5.33) u = ⎝ v ⎠ = ⎝ v ⎠ + ⎣ v 0 − ⎦ ⎝ y ⎠ = ⎝ v −  z ⎠ . w w  0 w+y w z Die Auswertung der Verzerrungen nach Gl.(5.11) f¨uhrt auf 0 − z 0  T = (u − v y − w z) 0

 y

.

(5.34)

Da die Nulleintr¨age in den Verzerrungen nicht von Interesse sind, kann in weiterer Folge mit einem reduzierten Verzerrungstensor weitergearbeitet werden

5.1 Elastizit¨atstheorie

71

⎞ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ u 1 1 0 −y −z ⎜ ⎟ u − v y − w z ⎠ = ⎣ 0 −z 0 0 ⎦ ⎜  ⎟, − z = ⎝ 4 ⎠ = ⎝ ⎝v ⎠ 6  y 0 y 0 0 w  (x,t) ⎛

⇒  red

⎞

⎛

(5.35)

der sich als Funktion der Kr¨ummungen  anschreiben l¨asst. Gl.(5.35) in Kombination mit der reduzierten H OOKE Matrix, Hred = diag[E, G, G] in das elastische Potential Gl.(5.15) eingesetzt, ergibt Vel =

1 2

% T  red Hred  red dV

V

⎡

⎤⎡ 1 0 0 E 0 0 %% T⎢ 0 −z y ⎥⎣ 0 G 0 = 12  ⎣ −y ⎦ 0 0 LA 0 0 G −z 0 0 ⎡ % EA 0 −E ydA % ⎢ ⎢ 0 G (z2 + y2 )dA 0 1 % T ⎢  ⎢ =2 % % 2 0 E y dA L ⎣ −E ydA % % −E zdA 0 −E yzdA

⎤⎡

⎤ 1 0 −y −z ⎦ ⎣ 0 −z 0 0 ⎦  dAdx 0 y 0 0 %

−E zdA

⎤

⎥ ⎥ ⎥  dx. % −E yzdA ⎥ ⎦ % 2 E z dA 0

(5.36) Legt man dem Element ein Hauptachsensystem, mit dem Schwerpunkt als Bezugspunkt zu Grunde, so verschwinden die Deviationsmomente Vel =

1 2

 T dK  ,

dK = diag [EA GID EIz EIy ] dx,

(5.37)

L

und das elastische Potential f¨ur den B ERNOULLI -E ULER Balken ist vollst¨andig definiert. Die Matrix dK enth¨alt die L¨angs-, Drill und die Biegesteifigkeiten.

5.1.7 Elastisches Potential Timoshenko Balken Wird das L/D Verh¨altnis kleiner (dicke, kurze Balken) so kann der Querschubeinfluss nicht mehr vernachl¨assigt werden. In Realit¨at werden sich die Querschnitte S-f¨ormig Verformen. Um die Hypothese von ebenen Querschnitten aufrecht erhalten zu k¨onnen, wird ein Korrekturfaktor eingef¨uhrt. Die Schubsteifigkeit, die mit dem tats¨achlichen Schubwinkel in das elastische Potential einfließt, ist dann  GA, vgl. Kap. 2.5.

72

5 Elastische Systeme

Das gesamte elastische Potential f¨ur den T IMOSHENKO Balken lautet schlussendlich 7 1 6 2 2 GID  2 + EAu2 + EIy  B + EIz  B +  GA[(v − B )2 + (w + B )2 ] dx. Vel = 2 L

(5.38)

5.2 Bewegungsgleichung In Kap. 3 wurden einige Verfahren zum Herleiten der Bewegungsgleichungen vorgestellt. F¨ur elastische Systeme hat in der Literatur das H AMILTON Prinzip große Bedeutung erlangt. Speziell bei Teillinearisierungen (große Referenzbewegungen und kleine elastische Verformungen) kann es bei den analytischen Verfahren zu Problemen kommen, siehe [Bre08]. F¨ur Mehrk¨orpersysteme steigt der Aufwand beim H AMILTON Prinzip u¨ berdimensional, sodass auch hier auf die Projektionsgleichung ¨ u¨ bergegangen werden soll. Der Ubergang von den Starrk¨orpern auf die elastischen K¨orper geschieht indem bei der Projektionsgleichung ⎫ .T ⎧⎡.T .T ⎤ ⎬ ⎨ N e  y˙ n T  y˙  v   ˜ ˙  p − f p + s s o ⎦ ⎣ =0  L˙ + ˜ o L − Me ⎭ ⎩  s˙  y˙ n  y˙  y˙ n=1 Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn − Qzn (5.39) der Grenz¨ubergang der einzelnen K¨orper aus Kap. 4.1 zu infinitesimal kleinen K¨orpern, vollzogen wird. Die Summe u¨ ber die einzelnen K¨orper geht daher in das K¨orperintegral K u¨ ber. Analog gilt f¨ur die Massen m → dm und Jn → dJ. Aus Gl.(5.39) wird daher K

 y˙

T (dM¨y + dG˙y − dQ) = 0.

 s˙

(5.40)

dQz

Die Systemmatrizen dM, dG, dQ werden analog zum Starrk¨orperfall gebildet. F¨ur die infinitesimale Massenmatrix gilt beispielsweise T T dmE 0 F F, (5.41) dM = F F 0 dJs wobei F und F

vs s

= Fy˙ = F F˙y

(5.42)

die Transformationen der Geschwindigkeiten des Massenelements dm in die Zwischenvariablen y˙ und analog auf die beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ , definiert.

5.2 Bewegungsgleichung

73

Der Tr¨agheitstensor dJs wird einem Koordinatensystem zugeordnet. F¨ur die Berechnungen wird das unverformte Referenzsystem R verwendet (alle Gr¨oßen sind in diesem Referenzsystem definiert: R vs ,R  s , usw.). Definiert ist der Tr¨agheitstensor aber nur in einem elementfesten Koordinatensystem E. Geht man von einer konstanten Dichte  aus, so gilt außerdem E dJs =  Idx, mit dem Fl¨achentr¨agheitsmoment I. Eine entsprechende Tensortransformation liefert s R dJ

= ATER E dJs AER ,

(5.43)

mit der Drehmatrix nach Gl.(2.92) f¨ur den B ERNOULLI -E ULER Balken, bzw. Gl.(2.98) f¨ur den T IMOSHENKO Balken. Die Bestimmung von dG erfolgt in Gl.(5.40) analog zu Gl.(4.14) und wird hier nicht mehr angegeben. Einzig das Gesamtpotential muss um die Anteile des elastischen Potential erweitert werden ⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ e ⎜ ⎟ T 0 df T T⎜ ⎟. + F dQ = F F (5.44) e ⎜ ⎟ 0 dM ⎜ T ⎟ ⎝ ⎠  dVel −  Die Zwischenvariablen y˙ werden f¨ur den elastischen Fall um die Kr¨ummungsgeT schwindigkeit erweitert (y˙ = (vTo  To r˙ Ts ˙ T ˙ T )). Im Gegensatz zu den Starrk¨orpersystemen enthalten die beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ bei den elastischen Systemen Ortsableitungen. Die entsprechende JACOBI-Matrix  y˙ / s˙ kann ¨ daher nicht gebildet werden. Der Ubergang auf die virtuelle Arbeit (Vormultiplikation von Gl.(5.40) mit  sT ) ergibt K

 yT (dM¨y + dG˙y − dQ) = 0,

(5.45)

dQz

womit das Problem auf die Bestimmung von  y in Abh¨angigkeit von  s transformiert wurde. Der Zusammenhang u¨ ber die partiellen Ableitungen kann aber mit Hilfe eines Differentialoperators angeschrieben werden y˙ = D ◦ s˙.

(5.46)

Da sich der Differentialoperator nur auf die partiellen Ableitungen der Deformationsgr¨oßen bezieht, und diese holonom sind, kann die Zeitableitung durch die Variation vertauscht werden  y =  [D ◦ s] = [D ◦  s]. (5.47) F¨ur Gl.(5.45) folgt damit K

 yT dQz =

K

[D ◦  s]T dQz = 0.

(5.48)

74

5 Elastische Systeme

In dieser Form kann aber jetzt eine partielle Integration bez¨uglich des Ortes durchgef¨uhrt werden K

[D ◦  s]T dQz =  sT

K

[D T ◦ dQz ] +  WRand = 0.

(5.49)

Der Operator D ist der selbe wie der Operator D mit dem Unterschied, dass alle ungeraden Ableitungen ihr Vorzeichen wechseln. Auch die dynamischen Randbedingungen k¨onnen auf a¨ hnliche Weise gewonnen werden. Die entsprechenden Operatoren R entstehen (aufgrund fortlaufender partieller Integration) wieder durch Erniedrigung des Ableitungsgrades und Vorzeichenwechsel. Die folgenden beiden Beispiele sollen die Vorgehensweise an einem B ERNOULLI -E ULER Balken und an einem T IMOSHENKO Balken zeigen.

5.3 Beispiel Bernoulli-Euler Balken Betrachtet wird ein hochkantiger Balken der dementsprechend nur der Biegung in eine Richtung (z-Richtung, Variable w) und Torsion (Variable  ) unterworfen ist. Der Zusammenhang der Zwischenvariablen und den beschreibenden Geschwindigkeiten ist daher ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ˙ 0 0 0 0 0 vo ⎜  o ⎟ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎜ ˙ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ r˙ s ⎟ = ⎢ 0 0 e3 0 0 ⎥ ⎜ w˙ ⎟ . (5.50) ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ˙ ⎠ ⎣ e1 0 0 −e2 0 ⎦ ⎝ w˙ ⎠ ˙ 0 0 0 0 e3 w˙ y˙

F

y˙

Die beschreibenden Geschwindigkeiten sind mit dem Differentialoperator D mit ˙ verkn¨upft den Minimalgeschwindigkeiten s˙T = (˙ w) ⎛ ⎞ ⎡ 1 0 ⎤ ˙  ⎥ ⎜ ˙ ⎟ ⎢ x 0 ⎥ ˙ ⎜ ⎟ ⎢  ⎥ 0 1 ⎜ w˙ ⎟ = ⎢ . (5.51) ⎥◦ ⎜ ⎟ ⎢ w˙  ⎥ ⎝ w˙ ⎠ ⎢ ⎣ 0 x ⎦ 2 w˙ 0 x2 D

Die Auswertung der Gl.(5.41) und Gl.(5.45) ergibt die Systemmatrizen

5.3 Beispiel Bernoulli-Euler Balken

75

⎡

⎤

 Ix 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ dM = ⎢ ⎢ 0 0  A 0 0 ⎥ dx, ⎣ 0 0 0  Iy 0 ⎦ 0 0 0 0 0 dG = 0, ⎛ ⎞ 0 ⎜ −GID  ⎟ ⎜ ⎟ e ⎟ dx 0 dQ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 −EIy w

(5.52)

(5.53)

(5.54)

was auf einen Vektor der Zwangskr¨afte von ⎛

⎞  Ix ¨ ⎜ GID  ⎟ ⎜ ⎟ z e ⎟ dQ = dM y¨ + dG˙y − dQ = ⎜ ⎜  Aw¨ ⎟ dx ⎝  Iy w¨ ⎠ EIy w

(5.55)

f¨uhrt.

5.3.1 Partielle Differentialgleichung Die partielle Differentialgleichung (PDE) erh¨alt man mit obigen Herleitungen aus der Anwendung des Differentialoperators D auf den Vektor der Zwangskr¨afte dQz =0 DT ◦ / 0 dx 1 − x 0 0 0 dQz =0 ◦  2 dx 0 0 0 −  x  x2  Ix ¨ − GID  = 0.  Aw¨ −  Iy w¨ + EIy w

(5.56) (5.57) (5.58)

5.3.2 Randbedingungen Die Randbedingungen sind geometrische oder dynamische Bedingungen an den Stellen x = 0, L. Dabei k¨onnen entweder die Durchbiegung (Drehwinkel) vorgegeben sein oder die entsprechenden Kr¨afte (Momente). Die Randbedingungen R1/2 lauten

76

5 Elastische Systeme

L  =0 w o

(5.59)

oder dQz =0 R1T ◦ dx dQz 0100 0 GID  = ◦ = 0.  Iy w¨ − EIy w 0 0 0 1 − x dx

(5.60) (5.61)

Gl.(5.61) kennzeichnet die dynamischen Randbedingungen. Entsprechend den Koordinaten entspricht GID  dem Torsionsmoment und  Iy w¨ − EIy w der Querkraft. Da der R1 Operator bei einer weiteren Erniedrigung des Ableitungsgrades nicht verschwindet, existiert ein weiterer Satz von Randbedingungen R3/4. Bei der partiellen Integration von zwei Gr¨oßen erh¨oht sich der Ableitungsgrad f¨ur eine Gr¨oße und verringert sich bei der zweiten. F¨ur die Randbedingungen erh¨alt man damit

L  =0 w o

(5.62)

oder dQz =0 R2T ◦ dxz dQ 00000 0 ◦ = = 0. 00001 EIy w dx

(5.63) (5.64)

Die dynamische Randbedingung EIy w entspricht dem Biegemoment am Rand.

5.4 Beispiel Timoshenko Balken Im Gegensatz zum vorigen Beispiel wird im Folgenden ein Balken mit nicht vernachl¨assigbarem Schubeinfluss untersucht. Der Einfachheit halber wird nur von einer Biegung in einer Richtung ausgegangen. Der Schubeinfluss wird durch Korrekturfaktoren im elastischen Potential

2 1 2 EIy B +  GA w + B dx (5.65) dVel = 2 abgebildet. Die beschreibenden Geschwindigkeiten sind damit ⎛ ⎞ w˙ ⎜ w˙ ⎟ ⎟ y˙ = ⎜ ⎝ ˙B ⎠ ˙B

(5.66)

5.4 Beispiel Timoshenko Balken

77

(w..Durchbiegung in z-Richtung, B ..Biegewinkel aufgrund eines Momentes). Die Zwischengeschwindigkeiten k¨onnen wieder u¨ ber eine Funktionalmatrix F mithilfe der beschreibenden Geschwindigkeiten ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ vo 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜  o ⎟ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ w˙ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ r˙ s ⎟ = ⎢ e3 0 0 0 ⎥ ⎜ w˙ ⎟ := F˙y (5.67) ⎥⎝ ˙ ⎠ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ˙ ⎠ ⎣ 0 0 e2 0 ⎦ B ˙B ˙ 0 0 0 e3 und diese u¨ ber den Differentialoperator D durch die Minimalgeschwindigkeiten s˙TT = (w˙ ˙B ) ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ 1 0 w˙ ⎜ w˙ ⎟ ⎢  0 ⎥ ⎜ ⎟ = ⎢ x ⎥ ◦ w˙ (5.68) ⎝ ˙B ⎠ ⎣ 0 1 ⎦ ˙B  ˙B 0 s˙T  x D dargestellt werden. Die Systemmatrizen k¨onnen analog zum vorigen Kapitel hergeleitet werden ⎡ ⎤ A 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0⎥ ⎥ dM = ⎢ (5.69) ⎣ 0 0  I 0 ⎦ dx, dG = 0, 0 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 .T ⎜  GA(w + B ) ⎟  dVel ⎟ = −⎜ (5.70) dQe = − ⎝  GA(w + B ) ⎠ dx. y EIy B F¨ur den Vektor der Zwangskr¨afte ergibt sich ⎛

⎞  Aw¨ ⎜ ⎟  GA(w + B ) ⎟ dQz = dM y¨ + dG˙y − dQe = ⎜ ⎝  I ¨B +  GA(w + B ) ⎠ dx. EIy B

(5.71)

5.4.1 Partielle Differentialgleichung Der Differentialoperator D zur Bestimmung der partiellen Differentialgleichung ist wieder durch Vorzeichenwechsel bei den ungeraden Ableitungen von D aus Gl.(5.68) definiert. Die Anwendung auf die Zwangskr¨afte

78

5 Elastische Systeme

⎛

⎞

 Aw¨ ⎜ ⎟  GA (w + B ) 1 − x 0 0 ⎜ ⎟ ◦ + )⎠ = 0  ¨ ⎝  I  +  GA (w 0 0 1 − x B B EIy 

DT

B

 Aw¨ −  GA (w + B ) ¨  I B +  GA (w + B ) − EIy B

(5.72)

=0

(5.73)

ergibt die PDE.

5.4.2 Randbedingungen Eine Erniedrigung des Ableitungsgrades und Vorzeichenwechsel f¨uhrt auf den Operator R1 zur Berechnung der dynamischen Randbedingungen ⎛ ⎞  Aw¨  ) ⎟  GA (w + B ) 0100 ⎜ B ⎟ =  GA (w + = 0. (5.74) ◦⎜ 0 0 0 1 ⎝  I ¨B +  GA (w + B ) ⎠ EIy B EI  y B

R1T

Dabei ist  GA (w + B ) der Querkraft (Schub) zugeordnet, w¨ahrend EIy B die dynamische Randbedingung f¨ur das Biegemoment ist. Die zugeh¨origen geometrischen Randbedingungen lauten

L w = 0. B o

(5.75)

¨ 5.4.3 Ubergang auf neue Koordinaten - Vernachl¨assigung des Schubeinflusses Ausgehend von der PDE Gl.(5.73) soll durch Vernachl¨assigung des Schubeinflusses auf die PDE des B ERNOULLI -E ULER Balkens gerechnet werden. F¨ur die Biegewinkel gilt daher B = −w . Die Minimalgeschwindigkeiten des T IMOSHENKObalkens s˙T k¨onnen dabei wieder nur u¨ ber einen Differentialoperator D T mit den Minimalgeschwindigkeiten des B ERNOULLI -E ULER Balkens s˙ in Verbindung gebracht werden s˙T =

w˙ ˙B

-

. 1 = w˙ .  ◦ −  x s˙ DT

(5.76)

5.4 Beispiel Timoshenko Balken

79

¨ Der Ubergang auf die neuen Koordinaten kann mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit vollzogen werden. Die virtuellen Verschiebungen k¨onnen aus Gl.(5.76) angegeben werden  sT = D T ◦  s (5.77) (Vertauschung von d und  ). Die PDE erh¨alt man daher wieder durch eine partielle Integration bez¨uglich des Ortes, was eine Vorzeichen¨anderung der ungeraden Ableitungen beim Differentialoperator zur Folge hat

 Aw¨ −  GA (w + (−w )) =  Aw¨ −  I w¨ + EIy w . 1 x ◦ − I w¨ +  GA (w + (−w )) − EIy (−w ) DTT

(5.78)

Diese ist nat¨urlich mit dem Biegeanteil in Gl.(5.58) identisch.

5.4.4 Elimination des Biegewinkels B Beim T IMOSHENKO Balken verdoppelt sich gegen¨uber dem B ERNOULLI -E ULER Balken die Anzahl der Freiheitsgrade. Durch eine N¨aherungsl¨osung gelingt es den Schubeffekt zu ber¨ucksichtigen, und trotzdem die Anzahl der Freiheitsgrade nicht zu erh¨ohen. Die PDE ist mit Gl.(5.73) bekannt

(5.79)  Aw¨ −  GA w + B = 0

 I ¨B +  GA w + B − EIy  = 0. (5.80) B

Differentiert man Gl.(5.80) nach dem Ort und addiert diese zu Gl.(5.79) erh¨alt man

 Aw¨ +  I ¨B − EIy B = 0.

(5.81)

Aus Gl.(5.79) folgt f¨ur die Ableitung des Biegewinkels außerdem

B =

 Aw¨ −  GAw .  GA

(5.82)

Durch Einsetzen von Gl.(5.82) in Gl.(5.81) (inkl. Differentiation) folgt schlussendlich

 Aw(4) −  GAw¨  Aw¨ −  GAw − EIy =0  GA  GA  EIy  2 I (4) w¨ + EIy w + w = 0.  Aw¨ + − I − G G

 Aw¨ +  I

(5.83) (5.84)

Da das Fl¨achentr¨agheitsmoment I im Verh¨altnis zum Gleitmodul G sehr klein ist, kann der letzte Term in Gl.(5.84) vernachl¨assigt werden. F¨ur die gen¨aherte PDE ergibt sich damit

80

5 Elastische Systeme

 EIy w¨ + EIy w = 0.  Aw¨ + − I − G

(5.85)

5.5 Dynamische Steifigkeit Bei der Berechnung der Potentiale wurde von geometrisch linearisierbar kleinen Verzerrungen, Verschiebungen und Verschiebungsableitungen ausgegangen. Die Gleichgewichtsbedingungen wurden am unverformten, statt am verformten K¨orper ausgewertet (L AGRANGESCHE Betrachtung), was in den meisten technischen Systemen zul¨assig ist. Eine physikalische (korrekte) Linearisierung muss immer dann behandelt werden, wenn die Verschiebungen und deren Ableitung nicht klein sind, oder große Kr¨afte nullter Ordnung vorkommen. Die Idee der linearisierbaren Grundzust¨ande wird dabei nicht aufgegeben. Die Ber¨ucksichtigung der nichtlinearen Terme erfolgt durch eine Erweiterung des Systems um die dynamische Steifigkeitsmatrix. Die Verschiebungsfelder zweiter Ordnung ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (v w − w v )/2 −(v2 + w2 )/2 x x ⎝ (x −  ) w −  w ⎠ d  ,  (2) = ⎝ ⎠ d  v r(2) = o o  w −(x −  ) v −  v (5.86) k¨onnen aus einer Herleitung der entsprechenden virtuellen Arbeit / 0 3 3 1  uk  uk (o) (5.87) Wn = −  Pi j   xoi  xo j dx1o dx2o dx3o 2 i, j=1 k=1 gewonnen werden, siehe [Bre04]. Ein Blick auf die Projektionsgleichung /.T .T 0 d p˙ + ˜ o dp − dfe  vs  s ˙ + ˜ o dL − dMe , dL  y˙  y˙

(5.88)

zeigt, dass f¨ur eine korrekte Linearisierung die Projektionsmatrizen beim Auftreten von Kr¨aften / Momenten nullter Ordnung bis zur ersten Ordnung und damit die Schwerpunktsgeschwindigkeiten bis zur zweiten Ordnung ⎛ ⎞ vo . (2) o ⎟ vs E [˜r(0) + r˜ (1) + r˜ (2) ]T E 0 ⎜ r˙ s ⎜ ⎟ = (5.89) + s 0 E 0 E ⎝ r˙ (1) ⎠ ˙ (2) ˙ (1) benutzt werden m¨ussen. Die entsprechenden Funktionalmatrizen haben daher erste Ordnung

5.5 Dynamische Steifigkeit

vs s

81

E [˜r(0) + r˜ (1) ]T E 0 ˙ = y+ 0 E 0E

-

(2)

 rs / y   (2) / y

. ˙ y.

(5.90)

F

Die virtuelle Arbeit unter Ber¨ucksichtigung der Verschiebungsfelder zweiter Ordnung lautet

 yTi dKni yi .T (o) (2) d p˙ + ˜ o dp − dfe  rs / y T =  yi ˙ + ˜ o dL − dMe dL   (2) / y K i ⎞ ⎛ (o) df ⎠ −⎝ dM(o)

−Wn :=

K

mit und

(5.91) (5.92)

T T y˙ = (vTo  To y˙ el )

(5.93)

yTel = (x v w  − w v  v w ).

(5.94)

Die Matrix dKni wird als dynamische Steifigkeitsmatrix bezeichnet. Die Kr¨afte/Momente nullter Ordnung in Gl.(5.92) entsprechen den Starrk¨orperbewegungen (yel = 0) (o) e vo df df v˙ o Edm e˜ T1 xdm ˜ o Edm ˜ o e˜ T1 xdm = − − . dMe ˙ o o ˜ o dJ 0 dJ 0 dM(o) (5.95) Die Variation der Terme zweiter Ordnung h¨angt linear von  yel ab . . (2) (2) x rs  rs / y   y = [F1 + F2 (x −  )] yel d  , (5.96) = (2) (2)    / y o mit

⎡

000 0 ⎢ 0 0 0 −w ⎢ ⎢ 0 0 0 v F1 = ⎢ ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎣0 0 0 0 000 0

w  0 v /2 0 −

−v 0 0 0 0 0  0 0 w /2 0 −w /2  v 0 0 w 0

⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥, v /2 ⎥ ⎥ 0 ⎦ 0

(5.97)

82

5 Elastische Systeme

⎡

0000 ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 0 0 F2 = ⎢ ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎣0 0 0 0 0000

0 − 0 0 0 0

0 0 − 0 0 0

0 w −v 0 0 0

⎤

00 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥. 0 0⎥ ⎥ 0 0⎦ 00

(5.98)

Setzt man Gl.(5.96) in die virtuelle Arbeit Gl.(5.92) ein, so gelingt unter Zuhilfenahme der Integrationsregel L L x L (5.99) g(x) h( )d  dx = h(x) g( )d  dx o

o

o

x

das Ausklammern von  yel (o) L L df /d  T T d  + FT2  Wn =  yel F1 dM(o) /d  o x

L x

df(o) /d  dM(o) /d 

( − x)d  dx.

dK

n,el − dx yel

(5.100) Damit kann die dynamische Steifigkeitsmatrix explizit angeschrieben werden dKn,el = dx ⎡ 0000 0 0 0 0 0 ⎢ 000 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ 00 0 0 0 0 0 ⎢ (o) (o) ⎢ d fy d fz 0 0 0 0 − d − d L⎢ ⎢ (o) (o) (o) (o) ⎢ df dMz d fx x ⎢ 0 + dy ( − x) − 12 dM 0 d d d ⎢ (o) (o) (o) (o) x ⎢ dM d fx x ⎢ − d y + ddfz ( − x) 0 − 12 dM ⎢ d d ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎣ 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d . ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (5.101)

In dieser Form ist sie allerdings den Koordinaten yel Gl.(5.94) zugeordnet. F¨ur ein vollst¨andiges System muss sie noch um die Starrk¨orperbewegungen erweitert werden T (5.102) dKn = blockdiag{0, Fel dKn,el Fel }. Anmerkung: Die Matrizen F1 , F2 wurden hier allgemein aus den Verschiebungsfeldern zweiter Ordnung angeschrieben. Durch partielle Integration k¨onnen diese Terme insbesonders bei eingespannten Balken vereinfacht werden. Die dynamische Steifigkeitsmatrix vereinfacht sich dadurch auch, siehe [Bre08].

5.7 Ausblick Mehrk¨orpersysteme

83

5.6 L¨osung L¨osungen f¨ur die PDE gelingen in Spezialf¨allen durch einen Separationsansatz (Aufspalten der L¨osung in einen ortsabh¨angigen und einen zeitabh¨angigen Teil) nach B ERNOULLI. Dieser soll kurz f¨ur einen B ERNOULLI -E ULER Balken diskutiert werden. F¨ur die Biegung in eine Richtung lautet der Ansatz w(x,t) =  wi (x)qi (t).

(5.103)

i

Da eine Auftrennung in Ortsfunktionen wi (x) und Zeitfunktionen qi (t) erfolgt, kann in die partielle Differentialgleichung eingesetzt und eine L¨osung erzielt werden. Man erh¨alt zwei gew¨ohnliche Differntialgleichungen, eine f¨ur den Ort (4-ter Ordnung) und eine f¨ur die Zeit (2-ter Ordnung). F¨ur die Zeitfunktion der i-ten L¨osung ergibt sich eine Schwingung mit der Eigenfrequenz i qi (t) = a1 sin(it) + a2 cos(it).

(5.104)

F¨ur die Ortsfunktionen ergeben sich je nach Randbedingungen unterschiedliche L¨osungen. Allgemein handelt es sich um Linearkombinationen der Eigenfunktionen von (5.105) wi (x) = (cosh(kx) sinh(kx) cos(kx) sin(kx))i ci , mit konstanten Parametern ki und ci , die sich je nach Randbedingung ergeben. F¨ur den T IMOSHENKO Balken empfiehlt sich ein a¨ hnliches Vorgehen, siehe [Wau08]. ¨ Auch das Ubertragungsmatrizenverfahren liefert f¨ur beide Balkentypen eine entsprechende L¨osung. Dabei wird die PDE in den L APLACE Bereich transformiert, wo sie gel¨ost werden kann. Eine inverse L APLACE Transformation ergibt die L¨osung im Zeitbereich.

5.7 Ausblick Mehrk¨orpersysteme Nichtsdestotrotz gelingt die exakte L¨osung nur f¨ur einzelne Balken mit einfachen Randbedingungen. F¨ur Mehrk¨orpersysteme, wie sie in der Robotik zweifelsohne vorkommen, sind solche L¨osungen, wenn u¨ berhaupt, nur sehr schwer zu finden. ¨ Der Ausweg aus dieser Problematik ist der Ubergang auf N¨aherungsverfahren, siehe Kap. 6.

Kapitel 6

Ritz Verfahren

F¨ur Mehrk¨orpersysteme erscheint es unm¨oglich, eine L¨osung f¨ur die partiellen Differentialgleichungen zu finden. Daher soll im Folgenden auf N¨aherungsl¨osungen u¨ bergegangen werden. Das in der Literatur weit verbreitete G ALERKIN-Verfahren, erweist sich aber f¨ur elastische Mehrk¨orpersysteme ebenso schwierig anwendbar, da f¨ur das Verfahren alle dynamischen Randbedingungen erf¨ullt werden m¨ussen. ¨ Durch den Ubergang auf das direkte R ITZ-Verfahren wird dieser Umstand behoben, sodass damit ein effizientes N¨aherungsverfahren f¨ur elastische Mehrk¨orpersysteme zur Verf¨ugung steht.

6.1 Galerkin Verfahren In Kap. 5.2 wurde detailliert auf die Herleitung der partiellen Differentialgleichung inklusive Randbedingungen eingegangen. Dabei kamen je nach Problemstellung die Differentialoperatoren D, D, R1 und R2 zum Einsatz. F¨ur einen R AYLEIGH Balken erh¨alt man beispielsweise partielle DGL

 Aw¨ −  I w¨ + EIw = 0

Randbedingungen:

w = 0 oder ( I w¨ − EIw ) = 0 w = 0 oder EIw = 0

5 je nach Lagerungsart.

F¨ur diesen einfachen Fall kann eine exakte analytische L¨osung auf Basis eines Separationsansatzes gefunden werden, siehe z.B. [MP97]. Im Allgemeinen ist das nicht ¨ der Fall. Der Ubergang auf eine Separationsl¨osung der Form s˙ ∼ =  (x)T y˙ R (t), wobei der Index R f¨ur Ritz“ steht, soll aber beibehalten werden. Die Geschwindigkeiten ” y˙ lauten mit diesem Ansatz y˙ = D ◦ s˙ ∼ = [D ◦  (x)T ]˙yR (t) :=  T y˙ R ,

(6.1)

und f¨ur D ◦ dQz ergibt sich

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

85

86

6 Ritz Verfahren

D T ◦ dM T y¨ R + dG T y˙ R − dQe = rn = 0. Mit der G ALERKINschen Forderung

K

%

K  rn

(6.2)

= 0 wird aus Gl.(6.2)

 (x)D T ◦ dM T y¨ R + dG T y˙ R − dQe = 0.

(6.3)

Im Mittel sollen also die Ansatzfunktionen orthogonal auf das Residuum stehen (Fehlerorthogonalit¨at im Mittel). Da die Randterme bei dieser Formulierung nicht vorkommen, m¨ussen diese klarerweise von den Ansatzfunktionen erf¨ullt werden. F¨ur diese ergeben sich damit folgende Forderungen: • linear unabh¨angig, • Erf¨ullung der geometrischen und dynamischen Randbedingungen, • Bildung eines vollst¨andigen Funktionensystems.

6.1.1 Erweitertes Galerkin Verfahren Die Erf¨ullung der dynamischen Randbedingungen stellt sich f¨ur Mehrk¨orpersysteme als extreme Einschr¨ankung dar. Erweitert man Gl.(6.3) um die mit  yTR vormultiplizierten Randterme zur Interpretation als virtuelle Arbeit, so werden die Randterme direkt durch das Verfahren selbst ber¨ucksichtigt. F¨ur balkenf¨ormige Strukturen erh¨alt man / L dG T dQe dM T T T dx  yR D ◦  y¨ R +  y˙ R − dx dx dx o 6 dG T dQe 7L dM T  y¨ R +  y˙ R − +  R1T ◦ dx dx dx o 7 0 6 e dM T dG T dQ L +  R2T ◦  y¨ R +  y˙ R − (6.4) = 0. dx dx dx o Die Ansatzfunktionen m¨ussen daher nur mehr die geometrischen Randbedingungen erf¨ullen, wobei die restlichen Bedingungen beibehalten werden. F¨ur das einf¨uhrende Beispiel des R AYLEIGH Balkens bedeutet dies mit w = wT q L T

q

L

w  AwT −  IwT dxq¨ +  qT

o

wEIwT dxq + o

L L  q w EIw qo +  qT w  IwT q¨ − EIwT q o = 0. T

T

(6.5)

Ein Ausklammern von  qT ergibt direkt die Bewegungsgleichung. Ein genauer Blick auf Gl.(6.5) zeigt aber, dass sich bei einmal festgelegten Ansatzfunktionen die Terme der Randkr¨afte durch zweimalige partielle Integration unter das Integral-

6.2 Ritz Verfahren

87

zeichen ziehen lassen. Mit den Ausdr¨ucken L

L

−w IwT dx = o

L w  IwT dx − w IwT o

(6.6)

o

bzw. L

L

wEIwT dx = o

L w EIwT dx − wEIwT o

(6.7)

L L w EIwT dx − w EIwT o − wEIwT o ,

(6.8)

o L

= o

ergibt Gl.(6.5) L

L

 AwwT +  Iw wT dxq¨ +

o

w EIwT dxq = 0.

(6.9)

o

Auf diese Weise erh¨alt man das R ITZsche Verfahren.

6.2 Ritz Verfahren Wie das vorige Beispiel zeigt, k¨onnen die Randterme durch partielle Integration in den Integranden gezogen werden. Allgemein erh¨alt man also L dM T dG T dQe dx = 0. (6.10)  (x)  y¨ R +  y˙ R − dx dx dx o Das Ergebnis liegt eigentlich auf der Hand, da ja die Randterme durch partielle Integration extrahiert und jetzt zur¨uckintegriert wurden. F¨ur die Bestimmung der Matrix  wird nur der Differentialoperator D ben¨otigt. Die Operatoren D, R kommen bei diesem Verfahren nicht zum Einsatz (wenn die explizite Kenntnis der Randterme nicht ben¨otigt wird). F¨ur die Dynamikmatrizen erh¨alt man daher L

dM F T dx dx L T dG  (x)F F T dx G= dx o L T dQ dx.  (x)F Q= dx o

M=

o

T

 (x)F

(6.11) (6.12) (6.13)

88

6 Ritz Verfahren

F¨ur den oben angesprochenen R AYLEIGH Balken ohne Starrk¨orperbewegung gilt dM = diag{dm, e dJy , 0}, dG = 0, dQ = (0 0 − EIy qT w )T und ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ T ⎞ 1 1 w   ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ D = ⎝  x ⎠ ⇒ D ◦  = ⎝  x ⎠ wT = ⎝ wT ⎠ =  . (6.14) T 2 2 w 2 2 x

x

Man erh¨alt also direkt M=

L o

Kq = −

 T dM dx = L o

L o

L

e

 T dQ dx =

( AwwT +  Iy w wT )dx

o

EIy w wT dxq.

(6.15) (6.16)

Die Ansatzfunktionen w m¨ussen geometrische Randbedingungen erf¨ullen, linear unabh¨angig sein und ein vollst¨andiges Funktionensystem bilden.

6.3 Mehrk¨orpersysteme 6.3.1 Dynamische Steifigkeitsanteile Kapitel 5.5 zeigt die Herleitung der dynamischen Steifigkeitsmatrix f¨ur die PDE. Analog zu Gl.(5.93) erfolgt wieder eine Separierung der Variablen in Starrk¨orperund elastische Anteile T T y˙ = (vTo  To y˙ el ), (6.17) mit

⎡ ⎞ 0 0 0 ⎢ 1 0 ⎜ v˙ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ 0 1 ⎜ w˙ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ 0 0 ⎜ ˙ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟  ˙yel = ⎜ −w˙ ⎟ := ⎢ ⎢ 0 −  x ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ v˙ ⎟ ⎢ x 0 ⎜ ⎟ ⎢ 0 0 ⎜ ˙ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ 2 ⎝ v˙ ⎠ ⎣  x2 0 2 w˙ 0  ⎛

 x2

0 0 0 1 0 0

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎛ ⎞ ⎥ v˙ ⎥ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥ ◦ w˙ = D ◦ s˙el . ⎥ ˙ ⎥  ⎥ x ⎥ ⎥ 0 ⎦

(6.18)

0

Mit dem R ITZansatz ⎛ ⎞ ⎡ T ⎤⎛ ⎞ v 0 0 v qv ⎝ w ⎠ = ⎣ 0 wT 0 ⎦ ⎝ qw ⎠ :=  (x)T yR,el  q 0 0 T

(6.19)

6.3 Mehrk¨orpersysteme

89

lauten die Zwischengeschwindigkeiten ⎤T ⎛ ⎞ q˙ v 0 v 0 0 0 v 0 v 0 ⎦ ⎝ ⎣ q˙ w ⎠ :=  Tel y˙ R,el . = 0 0 w 0 −w 0 0 0 w 00 0  0 0  0 0 q˙  ⎡

T y˙ el

(6.20)

Bei der Anwendung des R ITZ Verfahrens wird die dynamische Steifigkeitsmatrix Gl.(5.101) wieder mit den  el Matrizen transformiert

 el dKn Tel = ⎡ %L (o) ⎢x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

d fx d

d  v vT

(o) %L 1 dMx(o) %L d fz(o) dM T T ( − x) − d y d  v  T − 2 d  d  (v w − v w ) d

x

⎥ ⎥ ⎥ d ⎥ x ⎥ ⎥, (o) %L d fy(o) dMz T ⎥ d − (  − x) +  w  ⎥ d d x ⎥ (o) L ⎥ % df ⎦ + dy d  w  T x

%L d fx(o) x

d

d  w wT

⎤

%L d fz(o)

x

symmetrisch

d  v  T

0

(6.21) wobei die Matrix den R ITZ Koeffizienten qT = (qTv qTw qT ) zugeordnet ist. Die darin vorkommenden Kr¨afte und Momente nullter Ordnung bed¨urfen jetzt aber einer genaueren Betrachtung. F¨ur ihre Berechnung wird Gl.(5.95) nochmals angeschrieben (o) e vo df v˙ o df Edm e˜ T1 xdm ˜ o Edm ˜ o e˜ T1 xdm = − − . dMe ˙ o o ˜ o dJ 0 dJ 0 dM(o) (6.22) Beim Auftreten von schnellen Starrk¨orperbeschleunigungen (˙vTo ˙ To ) m¨ussen die entstehenden Terme durch die dynamische Steifigkeit aber der Massenmatrix zugeordnet werden. Mit den Herleitungen von Kap. 5.5 erh¨alt man f¨ur diesen Anteil / 0 / 0 T dm  T dm  L E dm e L E dm e ˜ ˜ 1 1 d d d d d  + FT2 ( − x)d  (6.23) dMNL = FT1 dJ dJ 0 0 x x d d (Index NL f¨ur geometrisch nichtlinear). Die virtuelle Arbeit f¨ur diesen Anteil ist mit L

 yTel dMNL

W = − o

v˙ o ˙ o

dx

(6.24)

bekannt, vlg. Gl.(5.100). Entsprechned dieser virtuellen Arbeit muss die Massenmatrix dM um den Anteil dMNL erweitert werden dM := dM + dMzus

(6.25)

90

6 Ritz Verfahren

mit

T 0 dMNL dMzus = . dMNL 0

(6.26)

Dies entspricht dem Eintrag (2,1) in dMzus . Der zus¨atzliche Eintrag in Element (1,2) bringt die Symmetrie der Massenmatrix zur¨uck. Dieser Term ist von zweiter Ordnung und hat daher wenig Einfluss (f¨ur z.B. Stabilit¨atsuntersuchungen ist eine symmetrische Massenmatrix wichtig). Ein analoges Vorgehen gilt f¨ur die dG / 0 / 0 L  L  ˜ o dm ˜ o dm ˜ o e˜ T1 dm  ˜ o e˜ T1 dm  d d d d T T dGNL = F1 d  + F2 ( − x)d  0 ˜ o ddJ 0 ˜ o ddJ x x (6.27) 0 0 dG := dG + dGzus und dGzus = (6.28) dGNL 0 und dQ Anteile dQNL = FT1

L x

dfe /d  dMe /d 

d  + FT2

L x

dfe /d  dMe /d 

dQ := dQ + dQzus und dQzus =

0 dQNL

( − x)d 

(6.29)

.

(6.30)

6.3.2 Subsysteme Mit den bekannten Dynamikmatrizen dM, dG und dQ, die auf die Zwischenvariablen bezogen sind, kann mit Gln. (6.11)-(6.13) die Projektion zum Subsystem ¨ durchgef¨uhrt werden. Den Ubergang von den Zwischengeschwindigkeiten auf die Subsystemgeschwindigkeiten erh¨alt man durch ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ vo vo E 0 ⎝ o ⎠ . (6.31) y˙ = ⎝  o ⎠ = 0  Tel ˙ y y˙ el R,el F T Es erfolgt also eine Aufteilung in Starrk¨orperanteile und elastische Anteile. F¨ur ein Drehgelenk mit elastischem Getriebe und Arm eignet sich beispielsweise y˙ TR = (vTo  TF M A y˙ TR,el ). F¨ur die Projektionsmatrix gilt dann

(6.32)

6.3 Mehrk¨orpersysteme

91

⎛

⎞

vo ⎞ ⎡ ⎤ ⎟ E00 0 0 ⎜ vo  ⎜ F ⎟ ⎟  y˙ = ⎝  o ⎠ = ⎣ 0 E 0 eD 0 ⎦ ⎜ ⎜ M ⎟. y˙ el 0 0 0 0  Tel ⎝ A ⎠ y˙ R,el T F ⎛

(6.33)

y˙ R

Damit steht der Bildung der Subsystemgleichungen nichts mehr im Wege. F¨ur ein allgemeines Subsystem bestehend aus Starrk¨orpern (Motor, Getriebe, Endmasse) und elastischen K¨orpern (Verbindungselemente) erh¨alt man N,st

Mn =

L T

 (F

M F)i +

i=1

N,st

Gn =

T

 (F

N,st

dM F T )dx dx

(6.34)

((F T )T

dG F T )dx dx

(6.35)

o L

G F)i +

i=1

Qn =

((F T )T

o L T

 (F Q)i +

i=1

((F T )T o

dQ )dx. dx

(6.36)

6.3.3 Kinematische Kette F¨ur eine korrekte Linearisierung m¨ussen die Transformationsmatrizen Tip bis zur ersten Ordnung ber¨ucksichtigt werden, um Terme nullter Ordnung in den Subsystemen exakt abzubilden. F¨ur die kinematische Kette ⎛ ⎞ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ E p r˜ Tpi ( r pi / q) Aip 0 vo vrel vo ⎝  o ⎠ = ⎣ 0 Aip 0 E (  pi / q) ⎦ ⎝  o ⎠ + ⎝  rel ⎠ (6.37) q˙ i q˙ q˙ 0 0 0 p i Tip

gilt also f¨ur die Vektoren r pi und  pi , dass sie in der partiellen Ableitung vollst¨andig bis zur zweiten Ordnung verwendet werden m¨ussen. Die entsprechenden Terme wurden in Gl.(5.86) angegeben und k¨onnen f¨ur das Ende des Balkens ausgewertet werden ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ L x −(v2 + w2 )/2 + ⎝ (L −  ) w −  w ⎠ d  , (6.38) r(0−2) = ⎝ v ⎠ w x=L o −(L −  ) v +  v ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ L  (v w − w v )/2 ⎠ d ,  v  (0−2) = ⎝ −w ⎠ + ⎝ (6.39) w v  o x=L

92

6 Ritz Verfahren

wobei wieder der R ITZansatz eingesetzt wird ⎞ ⎛ L (6.40) r(0−2) = ⎝ vT (L)qv ⎠ wT (L)qw ⎛ ⎞ L −(qTv v ( )vT ( )qv + qTw w ( )wT ( )qw )/2 + ⎝ (L −  )qT  ( )wT ( )qw − qT  ( )wT ( )qw ⎠ d  , −(L −  )qT  ( )vT ( )qv + qT  ( )vT ( )qv o ⎞ ⎛ T  (L)q (6.41)  (0−2) = ⎝ −wT (L)qw ⎠ vT (L)qv ⎛ T ⎞ L (qv v ( )wT ( )qw − qTw w ( )vT ( )qv )/2 ⎠ d . qT  ( )vT ( )qv + ⎝ qT  ( )wT ( )qw o

6.3.4 Gesamtsystem Mit bekannten Subsystemmatrizen und der kinematischen Kette kann die Projektion in den Minimalraum Nsub  y˙ n T [M¨y + G˙y − Q]n = 0 (6.42)   s˙ n=1 umgesetzt werden. Zur Simulation sollte, insbesonders bei vielen Freiheitsgraden, wieder das rekursive Verfahren, vgl. Kap. 4.1.3.2, zur Bestimmung der Minimalbeschleunigungen s¨ angewendet werden.

Kapitel 7

Bindungen

In den vorherigen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen f¨ur starre und elastische Mehrk¨orpersysteme in Baumstruktur hergeleitet. Nicht behandelt wurden Systeme mit geschlossener kinematischer Struktur, oder Systeme, die wechselnden Bindungen unterworfen sind. Zu denken ist dabei beispielsweise an Laufmaschinen, bei denen die F¨uße unterschiedlichen Kontaktverh¨altnissen unterliegen. Zwangskr¨afte m¨ussen hier explizit ermittelt werden, da die Reibungsverh¨altnisse in den F¨ußen direkt von den Normalkr¨aften abh¨angen. Ein anderes Beispiel stellen Kupplungen dar, da auch hier die Bindungen wechseln (Kupplung offen- 2 Freiheitsgrade, Kupplung geschlossen - 1 Freiheitsgrad).

7.1 Projektion in neue Koordinaten Durch das Auftreten von zus¨atzlichen Bindungen  = 0 ∈ Rm wird die Bewegungsfreiheit eingeschr¨ankt. Dies hat zur Folge, dass das System im Kontaktfall mit neuen Minimalgeschwindigkeiten s˙K beschrieben werden muss. Diese sind aber nicht ¨ a priori bekannt. Der Ubergang auf andere Koordinaten erfolgt mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Dieses lautet f¨ur den Fall ohne Bindungen

 W =  sT (M¨s + g − Q) = 0.

(7.1)

Die Quasikoordinaten f¨ur den Kontaktfall k¨onnen als Funktion der freien Koordinaten dargestellt werden s = s(sK ) . . s  s˙ s =  sK =  sK .  sK  s˙K

(7.2) (7.3)

FK

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

93

94

7 Bindungen

Die Bewegungsgleichung f¨ur den Kontaktfall erh¨alt man durch Einsetzen von Gl.(7.3) in Gl.(7.1), wobei die virtuellen Gr¨oßen  sK , da willk¨urlich, nicht angeschrieben werden (7.4) MK s¨K + gK − QK = 0, mit

MK = FTK MFK , gK = FTK g, QK = FTK Q.

(7.5)

Es verbleibt also noch, die Funktionalmatrix FK zu bestimmen. Die implizite Form der Bindungsgleichung  (s) = 0 lautet auf Geschwindigkeitsebene ˙ ˙ (s) =   s˙ = 0. (7.6)  s˙ Differenziert man diese partiell nach den neuen Geschwindigkeiten s˙K

 ˙ (s)  s˙K

=

 ˙

 s˙

 s˙

 s˙K

= 0,

(7.7)

bekannt FK ..gesucht

so erh¨alt man ein Gleichungssystem zum Bestimmen der Matrix FK . Dieses ist aber keineswegs einfach zu l¨osen. Im allgemeinen Fall ist außerdem die Bestimmung der neuen Koordinaten sK n¨otig, was mit großem Aufwand verbunden ist. Die Simulation muss daher f¨ur den Kontaktfall auf diese neue Bewegungsgleichung umgeschaltet werden. Außerdem konnte noch keine rekursive Darstellung f¨ur dieses Vorgehen gefunden werden, sodass in weiterer Folge auf die Ermittlung der Kontaktkr¨afte u¨ bergegangen wird.

7.2 Kontaktkr¨afte Da das Auffinden der neuen Koordinaten mit der L¨osung eines Gleichungssystems verbunden ist, wird der Weg u¨ ber Kontaktkr¨afte bevorzugt. Die Bewegungsgleichung lautet f¨ur diesen Fall M(q)¨s + g(q, s˙) − Q −

 ˙  s˙

T

 = 0 ∈ Rn .

(7.8)

Dabei stellt  (s) ∈ Rm die Bindungsgleichung dar. Die Bindung differenziert nach den Minimalgeschwindigkeiten ergibt die Richtung der Zwangskraft. Bei normierter Richtung stellt der L AGRANGE Parameter den Betrag der Zwangskraft dar. Aufgrund der vorherrschenden Bindungen sind die Gr¨oßen s˙ im eigentlichen Sinn keine Minimalgeschwindigkeiten mehr. Die Notation wird aber hier nicht ge¨andert. F¨ur die Berechnung der Zwangskraft muss auf die zweifache Bindungsableitung u¨ bergegangen werden

7.2 Kontaktkr¨afte

95

˙ = ¨ =

 ˙

 s˙  ˙  s˙

s˙ = 0, s¨ +

d dt

(7.9)

 ˙

 s˙

s˙ = 0,

(7.10)

wobei abermals von der H ELMHOLTZschen Hilfsgleichung Gebrauch gemacht wurde. H¨angt die Bindung auch explizit von der Zeit ab (rheonome Bindung)  (s,t) so ergeben die Geschwindigkeiten ˙ ˙ =   s˙ +   = 0, (7.11)  s˙ t  ˙ d  ˙ d  ¨ = = 0. (7.12) s¨ + s˙ + dt  s˙ dt  t  s˙ Dieser Fall a¨ ndert aber nichts an der hier vorgestellten Methodik, sodass mit Gl.(7.10) weitergearbeitet wird. Die Kombination von Gl.(7.8) und Gl.(7.10) f¨uhrt auf die JACOBI Gleichung ⎡ T ⎤ ⎛ ⎞  ˙ Q − g M − ⎢ ⎥ ¨ s ⎢ ⎥ ⎠.  s˙ = ⎝ d  ˙ (7.13) ⎢ ˙ ⎥ s˙ ⎣ ⎦   dt − 0  s˙  s˙ Das resultierende DAE (differential algebraic equations) System hat die Dimension Rn+m,n+m . Die Integration zum Zustand und zur Zwangskraft ist daher f¨ur Mehrk¨orpersysteme sehr rechenintensiv.

7.2.1 Explizite Berechnung der Kontaktkr¨afte Eine Reduktion des zu l¨osenden Gleichungssystem gelingt, wenn die Kontaktkr¨afte berechnet, und dann in Gl.(7.8) eingesetzt werden. Dieser Schritt ist insbesonders auch dann notwendig, wenn beispielsweise Reibungskr¨afte von den Normalkr¨aften (Zwangskr¨aften) abh¨angen. Eine Multiplikation von Gl.(7.8) von links mit ( ˙ / s˙)M−1 ergibt

 ˙  s˙

s¨ +

 ˙  s˙

−1

M (g − Q) =

 ˙  s˙

M

−1

 ˙  s˙

T

.

(7.14)

Die Beschleunigungen s¨, die klarerweise nicht in den Zwangskr¨aften vorkommen d¨urfen, k¨onnen mit Gl.(7.12) eliminiert werden. Damit kann  explizit berechnet werden

96

7 Bindungen

/

=

 ˙  s˙

M

−1

 ˙  s˙

T 0−1 4

 ˙

 s˙

M−1 (g − Q) −

d dt

 ˙  s˙

5 s˙ . (7.15)

Mit der Kenntnis des L AGRANGEschen Parameters k¨onnen die Beschleunigungen s¨ direkt aus Gl.(7.8) bestimmt werden. Sowohl bei diesem Vorgehen, als auch bei der Berechnung von  muss die gesamte Massenmatrix invertiert werden. In Kap. 4.1.3.2 wird eine rekursive Methode zur Berechnung der Minimalbeschleunigungen vorgestellt, die ohne Invertierung der Gesamtmassenmatrix auskommt. Dies soll in weiterer Folge auch f¨ur den Fall mit Bindungen untersucht werden. Dabei k¨onnen zwei unterschiedliche M¨oglichkeiten betrachtet werden.

7.2.2 Rekursive Formulierung - Algebraischer Ansatz Betrachtet man Gl.(7.15) genauer, so f¨allt auf, dass der Term M−1 (g − Q) genau der Minimalbeschleunigung des freien Systems, also ohne Bindung entspricht. Sie werden mit (7.16) s¨0 = M−1 (g − Q) bezeichnet. Diese k¨onnen durch einen Durchlauf des O(n) Verfahrens ohne Invertierung der Massenmatrix bestimmt werden. Ein a¨ hnlicher Trick kann zur Berechnung von M−1 ( ˙ / s˙)T angewendet werden. Da die Bindungen und damit die JACO BI matrizen bekannt sind, k¨ onnen diese spaltenweise zu den Kr¨aften addiert werden Qi = Q +

 ˙i

T

 s˙

.

(7.17)

Bei einem neuerlichen Durchlauf des G AUSS Eliminationsprozesses erh¨alt man damit Rechengr¨oßen T . ˙   i . (7.18) s¨i = M−1 g − Q −  s˙ Eine Subtraktion der Gl.(7.18) von Gl.(7.16) ergibt M−1 ( ˙i / s˙)T = s¨0 − s¨i

(7.19)

und damit die i-te Spalte von M−1 ( ˙ / s˙)T . Eine Auswertung dieser Beziehung f¨ur alle Bindungen i = 1..m liefert in Kombination mit Gl.(7.15) die L AGRANGEschen Parameter. Sind diese bekannt, so kann in einem letzen Schritt der Vektor Q um die Kontaktanteile erweitert werden T  ˙ . (7.20) Q = Q+  s˙

7.2 Kontaktkr¨afte

97

Ein neuerlicher Durchlauf des O(n) Schemas ergibt somit die gesuchten Beschleunigungen T .  ˙ −1 g−Q− (7.21)  . s¨ = M  s˙ Der Aufwand zur Berechnugn von s¨ ist nat¨urlich immer noch linear. Das rekursive Schema wird dabei 2 + m mal aufgerufen. Anmerkung: In Gl.(7.18) wird zum Vektor Q eine Spalte der Richtung der Zwangskraft addiert. Vektor Q stellt aber die generalisierten Kr¨afte in Minimalform dar (ungebundenes System). Im rekursiven Schema wird aber die Projektion in den Minimalraum nicht explizit ausgef¨uhrt und Q damit nicht berechnet. Die Richtungen werden daher bereits im entsprechenden Subsystem K addiert .T  ˙i . (7.22) QK,i = QK +  y˙ K Auch der letzte Schritt erfolgt bereits auf Subsystemebene. Die beschreibenden Geschwindigkeiten des K-ten Subsystem lauten y˙ K = FK s˙. Die Projektion der Subsystemkraft in den Minimalraum erfolgt mit FTK

 ˙  y˙ K

.T

-



= FTK

 ˙  FK s˙

.T



= FTK F−T K

 ˙  s˙

T

=

 ˙  s˙

T

,

(7.23)

womit die Identit¨at gezeigt ist.

7.2.3 Rekursive Formulierung - Ansatz uber Bindungsgleichung ¨ Im vorigen Fall konnten die Zwangskr¨afte u¨ ber rekursive Methoden ermittelt werden. Der Ansatz der dabei verwendet wurde beruht auf algebraischen Umformungen. Ein systematischeres Vorgehen erreicht man, wenn man die mechanische Struktur miteinbezieht. Geht man davon aus, dass der letzte K¨orper in Kontakt geht, so lautet die Bindungsbeschleunigung auf Subsystemebene . . ˙ ˙     d ¨ = (7.24) y¨ N + y˙ N = 0. dt  y˙ N  y˙ N Die Zwangskr¨afte kommen durch Elimination der Beschleunigungen ins Spiel. Die zeitliche Ableitung der kinematischen Kette ergibt ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ 0 E y¨ 1 y˙ 1 F1 s¨1 ⎥ ⎜ y˙ 2 ⎟ ⎜ y¨ 2 ⎟ ⎢ T21 E ⎥ ⎜ F2 s¨2 ⎟ ⎢ T ˙ 21 0 ⎟+⎢ ⎥⎜ ⎟. ⎜ ⎟=⎢ ⎥⎜ ⎦⎝ : ⎠ ⎝ : ⎠ ⎣ : ⎦⎝ : ⎠ ⎣ : : : ˙ ˙ y¨ N y˙ N FN s¨N TN1 TN2 .. E TN2 T21 TN3 T32 .. 0 (7.25)

98

7 Bindungen

Die Beschleunigung y¨ N kann daraus extrahiert werden ⎛

⎞ ⎛ T T ⎞T ⎛ ⎞ ⎞T ⎛ ˙ T TTN1 F1 s¨1 y˙ 1 T 21 N2 ⎜ TT ⎟ ⎜ F2 s¨2 ⎟ ⎜ T ˙ T TT ⎟ ⎜ y˙ 2 ⎟ N2 32 N3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ y¨ N = ⎝ + ⎠ ⎝ : ⎠. : ⎠ ⎝ : ⎠ ⎝ : y˙ N FN s¨N E 0

(7.26)

Ersetzt man y¨ N aus Gl.(7.24) durch Gl.(7.26) dann bleiben als Unbekannte nur noch die Minimalbeschleunigungen u¨ brig. Diese sind aber u¨ ber das Rekursionsschema T ∗ ˙ ip y˙ p ) + h∗i } ¨p +T s¨i = −M−1 Ri Fi {Mi (Tip y

(7.27)

bereits bekannt. Es m¨ussen allerdings die Zwangskr¨afte aufgrund der Bindung ber¨ucksichtigt werden. Formal gehen diese analog zu den generalisierten Kr¨aften in das Rekursionsschema ein. Der Vektor hi = Gi y˙ i − Qi des i-ten Subsystems muss daher um die Zwangskraft erweitert werden. Die Transformation des Vektors hi und damit der generalisierten Kr¨afte erfolgt mit der Matrix T∗ip ∗ Q∗p = T∗T ip Qi .

(7.28)

Die Anteile f¨ur das Gesamtsystem lauten daher ⎞ 0 .. E ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ 0 E .. ⎟ : ⎜ ⎟=⎢ ⎟. . ⎝ : ⎠ ⎣ T ⎟ : ⎦⎜  ˙ ⎠ ⎝ ∗ QN  E   y˙ N ⎛

Q∗1 Q∗2

⎞

⎡

T∗T 21

⎤

⎛

T∗T N1 ⎜ ⎥⎜ T∗T N2 ⎥ ⎜ ⎜

(7.29)

Damit erh¨alt man eine Vorschrift zur Berechnung der  . Erweitert man die Minimalbeschleunigungen s¨i formal um die Anteile des L AGRANGEschen Parameters T ∗ ˙ ip y˙ p ) + h∗i − Q∗ }, ¨p +T s¨i = −M−1 Ri Fi {Mi (Tip y i

(7.30)

welche aus Gl.(7.29) bekannt sind und setzt diese in Gl.(7.26) und in weiterer Folge in die Bindungsbeschleunigung Gl.(7.24) ein, so erh¨alt man . . ˙ ˙     d y¨ N + y˙ N = 0 ¨ = (7.31) dt  y˙ N  y˙ N (7.32) := A + b = 0 mit

7.2 Kontaktkr¨afte

99

A= b=

 ˙

.

N

 

T∗N,i

 y˙ N i=1 . N  ˙  y˙ N

und

T∗N,i Ji T∗T N,i

i=1

.T

 ˙

(7.33)

 y˙ N

˙ i+1,i y˙ i + Ji h∗i NTi+1 T

d + dt

-

 ˙  y˙ N

˙ N+1,N := 0. T∗N,N = E, T

. y˙ N

(7.34)

(7.35)

Der L AGRANGEsche Multiplikator lautet damit

 = −A−1 b.

(7.36)

Eine detaillierte Herleitung des Verfahrens befindet sich im Anhang C. Dort werden die Gleichungen mit Zwischenschritten f¨ur ein Mehrk¨orpersystem bestehend aus drei Subsystemen mit Endpunktkontakt angeschrieben. S¨amtliche vorkommende Matrizen sind bereits aus dem O(n)-Verfahren bekannt. F¨ur die Bestimmung von  muss die Matrix A ∈ Rm,m invertiert werden. Die Berechnungsvorschrift f¨ur A, b erlaubt in Computerprogrammen eine effiziente Auswertung der Summen u¨ ber Schleifen, sodass die Ausdr¨ucke T∗i j = T∗i,p( j) × .. × T∗s( j), j nicht als geschlossene Ausdr¨ucke ausgewertet werden m¨ussen. Mit bekanntem  kann das G AUSSsche Eliminationsverfahren gestartet werden, wobei der Vektor hi des Kontaktsubsystems um den Anteil der Zwangskr¨afte erweitert werden muss .T  ˙ ∗T . (7.37) hi := Gi y˙ i − Qi − TN,i  y˙ N Zusammenfassend ergibt sich folgende Berechnungsvorschrift. Algorithmus 1. Schritt: Bestimme

˙ ip , y˙ i Tip , T

(7.38)

∗ M∗p = M p + T∗T ip Mi Tip

∗˙ ˙ p + h∗i h∗p = h p + T∗T ip Mi Tip y

(7.39)

f¨ur i = 1..N aufw¨arts. 2. Schritt: Bestimme

MRi := FTi M∗i Fi T Ji := Fi M−1 Ri Fi

f¨ur p = N..1 abw¨arts.

Ni = [E − M∗i Ji ] T∗ip = NTi Tip

(7.40)

100

7 Bindungen

3. Bestimme 

 = A−1 b

(7.41)

mit A= b=

 ˙

.

 T∗N,i Ji T∗T N,i

 y˙ N i=1 . N  ˙



 y˙ N

4. L¨ose T s¨i = −M−1 Ri Fi

-

N

⎧ ⎨

i=1

T∗N,i

∗

 ˙

.T (7.42)

 y˙ N

˙ i+1,i y˙ i + Ji h∗i NTi+1 T

d + dt

˙ ip y˙ p + h∗i − T∗T Mi Tip y¨ p + T N1

⎩

-

-

 ˙  y˙ N

. y˙ N .

.T ⎫ ⎬  ⎭  y˙ N

 ˙

(7.43)

(7.44)

f¨ur i = 1..N aufw¨arts.

7.2.4 Geschlossene kinematische Schleifen Geschlossene kinematischen Schleifen k¨onnen prinzipiell mit dem Verfahren des vorigen Kapitels behandelt werden. Die Schleife wird virtuell an einem Koppelpunkt aufgetrennt. Durch eine allgemeine Formulierung der Bindungsgleichungen der beiden Kontaktsubsysteme, k¨onnen die Subsystembeschleunigungen f¨ur jeden der B¨aume als Funktion der Zwangkr¨afte angeschrieben und explizit berechnet werden. Mit den bekannten Kr¨aften  k¨onnen mit Gl.(7.44) auch die Beschleunigungen s¨ angegeben werden.

7.2.5 Mehrfache Kontakte Mit den in den Kap. 7.2.2 und 7.2.3 vorgestellten Methoden k¨onnen auch mehrfache Kontakte behandelt werden. Man denke beispielsweise an die Modellierung einer sechsbeinigen Laufmaschine, wo je nach Gangzyklus unterschiedliche Beine in Kontakt sind, siehe [Kas06]. Kommt es bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden zu wechselnden Kontakten in vielen Elementen so wird auf die Spezialliteratur verwiesen [Glo01, PG00, ZU07].

7.3 Bindungsstabilisierung

101

7.3 Bindungsstabilisierung Ein bekanntes Problem bei der Auswertung der JACOBI Gleichung ist, dass darin von der Forderung ¨ = 0 Gebrauch gemacht wird, die Bindung  = 0 aber nicht mehr vorkommt. Aufgrund von numerischen Drifts ist eine Verletzung dieser Bindungsgleichung unumg¨anglich. BAUMGARTE pr¨asentiert in [Bau72] ein Konzept zur L¨osung dieses Problems. Anstatt der Forderung ¨ = 0 wird auf

¨ + D˙ + K = 0

(7.45)

u¨ bergegangen. Mit der Wahl der Matrizen zu D = diag(2 ), K = diag( 2 ),  > 0

(7.46)

wird die Stabilit¨at gesichert und ein aperiodischer Grenzfall f¨ur die L¨osung von Gl.(7.45) erreicht. Ein Vergleich von Gl.(7.45) mit Gl.(7.10) $ # ˙ ˙ ˙       d ¨ + D˙ + K = s¨ + s˙ + D s˙ + K = 0, (7.47)  s˙ dt  s˙  s˙ oder mit Gl.(7.24),

¨ + D˙ + K =

 ˙  y˙ N

#

y¨ N +

d dt

 ˙  y˙ N

 ˙ y˙ N + D  y˙ N

$

y˙ N + K

= 0,

(7.48) zeigt, dass diese Stabilisierungstechnik eingef¨ugt werden kann, wenn man die unterstrichenen Terme in Glgn. (7.47) und (7.48) ersetzt. Als Beispiel soll hier ein 10-fach Pendel dienen. Die 10 Pendel werden aus einer Ausgangsposition losgelassen, wobei 0.3s der Simulation gezeigt werden. Abb. 7.1 zeigt die Ergebnisse sowohl mit, als auch ohne Bindungsstabilisierung. 0

t =0s

y- Auslenkung in m

y- Auslenkung in m

0

−0.2

t = 0.3 s −0.4

−0.6

−0.8

t =0s

−0.2

t = 0.3 s

−0.4

−0.6

−0.8 −0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

x- Auslenkung in m

0.2

0.3

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

x- Auslenkung in m

Abb. 7.1 10 Pendel mit Endpunktkontakt, links: keine Stabilisierung, rechts: Stabilisierung,  = 1

102

7 Bindungen

Auch eine detaillierte Analyse der Ergebnisse zeigt, dass die Dynamik durch die Stabilisierung nur sehr gering verf¨alscht wird. Abb. 7.2 zeigt den Verlauf der Bindung in x-Richtung  x ohne Stabilisierung bzw. mit Bindungsstabilisierung. Der absolute Fehler in der Bindung ist auch im unstabilisierten Fall gering, wobei die numerische Drift eindeutig erkennbar ist. Diese wird mit der Stabilisierung eliminiert. ×10−6

×10−6

8

8

4

x in m

x in m

4

0

−4

0

−4

0

10

20

30

40

−8

50

0

10

Zeit in s

20

30

40

50

Zeit in s

Abb. 7.2 Bindung x , links: keine Stabilisierung, rechts: Stabilisierung,  = 1

7.4 Stoß ¨ Beim Ubergang vom freien System, gekennzeichnet durch den Zustand (qT s˙T ), zu einem System in dem Bindungen vorherrschen, l¨asst sich ein Stoß nur selten vermeiden. Vorerst wird von einem Kontakt in Normalenrichtung (Index n) ausgegangen. Die Bewegungsgleichung, analog zu Gl.(7.8) lautet f¨ur diesen Fall M(q)¨s + g(q, s˙) − Q −

 ˙n  s˙

T

 n = 0.

(7.49)

Eine zeitliche Integration u¨ ber ein Stoßintervall, gekennzeichnet durch den Startzeitpunkt tA und dem Stoßende tE von Gl.(7.49) f¨uhrt auf 0 / T T tE  ˙n  ˙n  n = 0 dt = M(˙sE − s˙A )−  n = 0, M(q)¨s + g(q, s˙) − Q − tA  s˙  s˙ (7.50) mit dem Stoßimpuls

n =

tE

tA

 n dt

(7.51)

7.4 Stoß

103

und den Geschwindigkeiten vor dem Stoß s˙A und danach s˙E . Die Integration kann selbstverst¨andlich durchgef¨uhrt werden, wenn man von folgenden Annahmen ausgeht: • Die w¨ahrend des Stoßes wirksamen verallgemeinerten Kr¨afte sind vernachl¨assigbar klein gegen¨uber der Stoßwirkung tE tA

(g − Q)dt = 0.

(7.52)

• Der Stoß erfolgt in einem unendlich kurzen Zeitintervall (tE − tA ) → 0. ¨ • Die Lagekoordinaten q bleiben unver¨andert. Es kommt nur zu einer Anderung der Geschwindigkeit. Zur Berechnung des Stoßimpulses muss noch eine zus¨atzliche Bedingung f¨ur Bindungsgeschwindigkeit eingef¨uhrt werden. N EWTON schl¨agt f¨ur die Geschwindigkeitsverh¨altnisse vor und nach dem Stoß folgende Zwangsbedingung vor

˙n (tE ) = − ˙n (tA ).

(7.53)

Die Geschwindigkeit in Normalenrichtung nach dem Stoß entspricht der negativen Geschwindigkeit vor dem Stoß verringert um den Faktor  (N EWTONsches Stoßgesetz). Mit ˙ = ( ˙ / s˙)˙s folgt aus Gl.(7.53)  ˙n  ˙n ˙n (tE ) − ˙n (tA ) = (7.54) (˙sE − s˙A ) = −(1 +  ) s˙A .  s˙  s˙ Eine Vormultiplikation von Gl.(7.50) mit ( ˙ / s˙)M−1 erm¨oglicht in Kombination mit Gl.(7.54) die explizite Angabe des Stoßimpulses /

n = −

 ˙n

 s˙

M

−1

 ˙n

T 0−1

(1 +  )

 s˙

 ˙n

 s˙

s˙A .

(7.55)

Mit bekanntem Stoßimpuls k¨onnen die Geschwindigkeiten s˙E durch eine neuerliche Umformung von Gl.(7.50) als −1

s˙E = s˙A − M

 ˙n  s˙

T /

 ˙n  s˙

M

−1

 ˙n  s˙

T 0−1

(1 +  )

 ˙n  s˙

s˙A

(7.56)

angegeben werden. Dem numerischen Integrationsalgorithmus m¨ussen daher im Stoßzeitpunkt diese neuen Geschwindigkeiten vorgegeben werden. F¨ur die Berechnung des Stoßimpulses muss wieder die globale Massenmatrix invertiert werden. Soll das System auch f¨ur einen Stoß in Tangentialrichtung berechnet werden, so kann auf das P OISSONsche Stoßgesetz u¨ bergegangen werden. Dabei muss auch eine detaillierte Reibungsbetrachtung miteingebunden werden. F¨ur diese Themen sei auf Spezialliteratur verwiesen, siehe [Glo95, Bre07b].

104

7 Bindungen

7.4.1 Rekursives Verfahren - Stoß In der Minimalformulierung nach dem vorigen Abschnitt konnte das Stoßproblem gel¨ost werden. Allerdings ist f¨ur diese Berechnung die Inverse der Massenmatrix notwendig. Werden rekursive Methoden zur Bestimmung der Beschleunigungen angewendet, so steht diese nicht als geschlossene Form zur Verf¨ugung. Auch sollte die Invertierung aufgrund des hohen Aufwandes vermieden werden. Die Herleitung da¨ zu erfolgt jetzt nicht aus mechanischen Uberlegungen, sondern aus Analogien zu den rekursiven Verfahren in Kap. 4.1.3.2. Dazu kann Gl.(7.50) M(˙sE − s˙A ) −

 ˙n

T

 s˙

n = 0

(7.57)

als die in Geschwindigkeitsdifferenzen projizierte Form von ⎞ ⎛ M1 (˙yE − y˙ A )1 ⎡ T T T ⎤ T T F1 TN,1 F1 F1 T21 .... ⎟ ⎜ M2 (˙yE − y˙ A )2 ⎟ T ⎢ ⎥⎜ F ⎟ ⎜ : 2 ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ .... : ⎟ ⎜ ˙ MN−1 (˙yE − yA )N−1 ⎢ ⎥⎜ ⎟ . T T T ⎣ T FN−1 FN−1 TN,N−1 ⎦ ⎜ ⎟  ˙n ⎠ ⎝ T FN MN (˙yE − y˙ A )N − n  y˙ N

(7.58)

aufgefasst werden. Dabei entsprechen die Geschwindigkeitsdifferenzen (˙yE − y˙ A )i den Beschleunigungen y¨ i . Der Stoßimpuls  n ist analog zu den Kontaktkr¨aften  , wobei hi nicht auftritt. Gl.(7.58) kann jetzt wieder u¨ ber einen G AUSS Eliminationsprozess aufgel¨ost werden. Durch sukzessives Einsetzen der kinematischen Kette (sie gilt nat¨urlich auch f¨ur die beschreibenden Geschwindigkeitsdifferenzen) (˙yE − y˙ A )i = Tip (˙yE − y˙ A ) p + Fi (˙sE − s˙A )i

(7.59)

k¨onnen nach l¨angerer Rechnung, siehe Anhang D f¨ur Details, die beschreibenden Geschwindigkeitsdifferenzen des letzten Subsystems als Funktion des Stoßimpulses angegeben werden (˙yE − y˙ A )N =

N



i=1

.T∗Ni Ji T∗T Ni

 ˙n  y˙ N

.T

 n.

(7.60)

Als Zwischenergebnisse fallen die Geschwindigkeiten (˙sE − s˙A )i des i-ten Subsystems an ⎛ .T ⎞ ˙   n T⎝ ∗ Mi Tip  y˙ p − T∗T (7.61)  n⎠ . (˙sE − s˙A )i = −M−1 N,i Ri Fi  y˙ N

7.5 Numerisches Beispiel

105

Die N EWTONsche Zwangsbedingung Gl.(7.53) muss analog zu Gl.(7.54) auf Subsystemebene des letzten Subsystems formuliert werden . . ˙n ˙n     ˙n (tE ) − ˙n (tA ) = (7.62) (˙yE − y˙ A )N = −(1 +  ) y˙ AN .  y˙ N  y˙ N Gl.(7.60) mit der Richtung ( ˙n / y˙ N ) vormultipliziert und in Gl.(7.62) eingesetzt ⎡...T ⎤−1 . N ˙ ˙ ˙n       n n ∗ ∗T ⎦ (1 +  ) n = −⎣ y˙ AN  TNi Ji TNi  y˙ N  y˙ N  y˙ N i=1

(7.63)

ergibt den Stoßimpuls in Abh¨angigkeit der bekannten beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ AN . Verwendet man den Stoßimpuls  n in Gl.(7.61), so erh¨alt man die Minimalgeschwindigkeiten nach dem Stoß ⎛ .T ⎞ ˙   n T⎝ ∗ Mi Tip (˙yE − y˙ A ) p − T∗T  n ⎠ (7.64) s˙Ei = s˙Ai − M−1 N,i Ri Fi  y˙ N (˙yE − y˙ A )i = Tip (˙yE − y˙ A ) p + Fi (˙sE − s˙A )i .

(7.65)

F¨ur die gesamte Berechnung muss daher vorab der Stoßimpuls ausgewertet und danach die Minimalgeschwindigkeiten nach dem Stoß s˙Ei f¨ur alle Subsysteme i = 1..N berechnet werden. Damit kann auch f¨ur das Stoßproblem die Invertierung der gesamten Massenmatrix vermieden werden. Die Terme in Gl.(7.64) stammen wieder aus der Anwendung des G AUSSschen Eliminationsverfahrens und sind daher bereits bekannt. Eine detaillierte Herleitung des Verfahrens wird anhand eines Mehrk¨orpersystem bestehend aus drei Subsystemen in Anhang D gezeigt.

7.5 Numerisches Beispiel Die vorgestellten Methoden werden anhand eines Simulationsbeispiels diskutiert. Abb. 7.3 zeigt den Aufbau des betrachteten Beispiels. Eine Kette, bestehend aus 40 Gliedern, ist an einem Rahmen montiert. Die inertiale x-Achse zeigt nach rechts und die y-Achse nach oben. Die Gravitation wirkt also in Richtung der negativen y-Achse. Ein Schema des verwendeten Subsystems ist in Abb. 7.4 zu sehen. Die beschreibenden Geschwindigkeiten sind y˙ Ti = [vTo  TF q˙i ]. Das System hat nur einen relativen Freiheitsgrad pro Subsystem (MRi ∈ R1 ). Die rekursiven Algorithmen kommen daher mit einer skalaren Division aus. Die Simulation startet mit den Anfangsbedingungen von q1,0 = 1.4 rad , q2,0 ..q40,0 = 0 rad und q˙ 0 = 0 rad/s. F¨ur die Simulationen in M ATLAB /S IMULINK wird ein Integrationsverfahren (ode5) mit fixer Schrittweite von 1 ms gew¨ahlt. Die Ergebnisse werden in den Bildern 7.5, 7.6 und 7.7 gezeigt. Unter dem Einfluss der Gravitation bewegt sich die Pendelket-

106

7 Bindungen

Abb. 7.3 Simulationsbeispiel

te nach unten. Bei ca. 1.9 s geht der Endpunkt (Vektor I rE , Abb. 7.5) in Kontakt mit dem Rahmen in x- und y-Richtung. Die Kontaktkr¨afte x und y , siehe Abb. 7.6, halten den Endpunkt in dieser Position, w¨ahrend sich die Kette bewegt, siehe Abb. 7.7 f¨ur die Minimalkoordinaten q. Zum Zeitpunkt t = 4 s wird die Bindung in x-Richtung durch Setzen von x = 0 aufgegeben. Dies f¨uhrt zu einer Bewegung des Endpunktes in x-Richtung. Nach 8 s verl¨asst der Endpunkt den Rahmen und schwingt frei nach unten. 40

rEy rEx

30

vo

I rE

ix

in m

20 10 0 −10

iy

qi

−20 −30

F Abb. 7.4 Schema von Subsystem i

0

2

4

6

Zeit in s Abb. 7.5 Endpunkt Vektor

8

10

12

7.5 Numerisches Beispiel

107 5

y x

10000

4 3

q in rad

 in N

8000 6000 4000 2000

q1 q20 q40

2 1 0

−1

0 0

2

4

6

Zeit in s

Abb. 7.6 Kontaktkraft 

8

10

12

0

2

4

6

Zeit in s

8

Abb. 7.7 Ausgew¨ahlte Koordinaten q

10

12

Teil II

Anwendungen

Kapitel 8

Elastische Knickarmroboter

Um eine roboterunterst¨utzte Produktion schneller zu machen und Energie zu sparen, kommen Leichtbauroboter zum Einsatz. Aufgrund des geringeren Gewichtes der bewegten Teile kann die Dynamik entscheidend erh¨oht werden. Diese Gewichtsreduktion f¨uhrt aber auch auf einen Steifigkeitsverlust und damit zu einem schwingungsanf¨alligen System. Dieses Schwingungsproblem kann mit verschiedenen modellbasierten Regelungskonzepten gel¨ost werden. In einem ersten Schritt wird also das dynamischen Modell mit allen Details hergeleitet. Um ein strukturiertes Vorgehen zu erm¨oglichen, wird die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung in Kombination mit dem R ITZ Verfahren verwendet. Die Regelung besteht aus modellbasierter Vorsteuerung, Kompensation der quasistatischen Verschiebungen und einer PD-Gelenkregelung. Außerdem sorgt eine Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung f¨ur das Ausd¨ampfen der Schwingungen. Experimentelle Ergebnisse zeigen die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Verfahren.

8.1 Aufbau Abb. 8.1 zeigt den Aufbau des untersuchten Roboters. Von der Konstruktion her entspricht er einem Standard Knickarmroboter. Der Antrieb erfolgt u¨ ber Gleichstrommotoren, die das Moment mit H ARMONIC D RIVE Getrieben auf die elastischen Balken u¨ bertragen. Die Verbindungen bestehen aus elastischen Aluminiumbalken. An diesen sind an diskreten Stellen Dehnmessstreifen zur Messung der Kr¨ummungen angebracht. Diese werden in weiterer Folge f¨ur die aktive Schwingungsd¨ampfung verwendet. Alternativ k¨onnen die elastischen Schwingungen auch mit Beschleunigungs- und Gyrosensoren am Ellbogen und Endpunkt gemessen werden.

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

111

112 Abb. 8.1 Elastischer Knickarmroboter der JKU Linz

8 Elastische Knickarmroboter q3

DMS

3FG: q4 , q5 , q6 q2 elastische Balken

q1

8.2 Modellbildung Der Roboter besteht aus der Basis, Oberarm und Unterarm und dem Endeffektorsystem. Die Basis (Freiheitsgrad q1 ) wird durch einen Motor mit H ARMONIC D RIVE Getriebe bewegt. Es folgen zwei identische Subsysteme, welche aus Motor, H AR MONIC D RIVE Getriebe, elastischer Balken und Endmasse bestehen. F¨ ur diese soll in weiterer Folge das Subsystem exemplarisch hergeleitet werden. Die letzte Baugruppe kann ebenfalls wieder zusammengefasst werden. F¨ur die Herleitung des dynamischen Modells dieses Subsystems wird auf [Mit05] verwiesen.

8.2.1 Elastischer Balken mit Motor, Getriebe und Endmasse Zur vollst¨andigen Beschreibung des Subsystems bieten sich die Geschwindigkeiten y˙ Tn = (vTo  TF M A q˙ R )n

(8.1)

mit vo ,  F als F¨uhrungstranslations- und F¨uhrungsrotationsgeschwindigkeiten an. Die relativen Motor- respektive Armgeschwindigkeiten werden mit M und A bezeichnet. Zur Beschreibung der elastischen Deformationen werden die R ITZkoeffizienten q˙ TR = (q˙ T q˙ Tv q˙ Tw ) herangezogen. Als Drehachse wird die y-Achse definiert eD = e2 . In Abb. 8.2 sind die Verh¨altnisse graphisch dargestellt.

8.2 Modellbildung

Rz

113

vo

 (x,t) 

(E)

rs

Ry

P w(x,t)

v(x,t)

o mM , JM qM

F

mE , JE

Rx

qA

 R

s

L

Abb. 8.2 Subsystem Motor, Getriebe, elastischer Arm mit Endmasse

8.2.1.1 Kinematische Kette Die kinematische Verbindung zwischen dem n-ten Subsystem und seinem Vorg¨anger p(n) lautet y˙ n = Tnp y˙ p + Fn q˙ n , (8.2) mit

⎡ T ⎢ Anp Anp p r˜ np

⎢ ⎢ ⎢ 0 Tnp y˙ p = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 0 und

0

Anp

0

0 0 0

0 0 0

 rnp e3 Anp q   np Anp e3 Anp q 0 0 0 0 0 0

Anp p r˜ Tnp

⎡

0 ⎢0 ⎢ Fn q˙ n = ⎢ ⎢ iG ⎣0 0

0 0 0 1 0

⎤ 0 ⎛ ⎞ q˙M 0⎥ ⎥ ⎝ q˙A ⎠ . 0⎥ ⎥ 0⎦ q˙ R n E n

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎛

⎞ vo ⎜ F ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A ⎠ q˙ R p

(8.3)

e

(8.4)

Die Matrix Tnp muss klarerweise am Ende des Armes ausgewertet werden (Index (e)). F¨ur eine korrekte Erfassung der dynamischen Anteile der nachfolgenden Subsysteme muss diese Matrix vollst¨andig bis zur ersten Ordnung der elastischen Verschiebungen angegeben werden. Wie in Abb. 8.2 ersichtlich, setzt sich das System aus einem starren (L¨ange R), einem elastischen (L¨ange L) und wieder einem starren Anteil (Endmasse, L¨ange s) zusammen. F¨ur den Verbindungsvektor ergibt das

114

8 Elastische Knickarmroboter

rnp = rs (L) + ˜ (L)e1 s ⎞ ⎛ R+ rs ( ) = ⎝ v( ,t) ⎠ . w( ,t)

(8.5) (8.6)

F¨ur r und  in ( r/ q) und   / q m¨ussen daher die Verschiebungsfelder zweiter Ordnung ber¨ucksichtig werden, siehe auch Gl.(6.39). 8.2.1.2 Elastischer Balken mit Endmasse Die allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung der Subsystemgleichung der elastischen K¨orper wird detailliert in Kap. 6.2 hergeleitet. F¨ur den Vektor der Zwischengeschwindigkeiten y˙ erh¨alt man mit eingesetztem R ITZansatz ⎛ ⎞ vo ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ F ⎟ ⎜ ⎟ E00 0 0 0 0 vo ⎜ M ⎟ ⎜  o ⎟ ⎢ 0 E 0 e2 0 ⎥ ⎜ ⎟ 0 0 ⎥⎜ ⎜ ⎟=⎢ ⎟ (8.7) ⎝ r˙ s ⎠ ⎣ 0 0 0 0 0 e2 vT e3 wT ⎦ ⎜ A ⎟ . ⎜ ⎟ ˙ q  ⎟ ˙ 0 0 0 0 e1  T e3 vT −e2 wT ⎜ ⎝ q˙ v ⎠ q˙ w F T Mit der Massenmatrix des Grundelements dmE 0 , dM = 0 R dJ

(8.8)

und der allgemeinen Form vom F, die die Schwerpunktgeschwindigkeiten auf die Zwischengeschwindigkeiten abbildet, siehe Gl.(4.6), erh¨alt man die Dynamikmatrizen des Zwischensystems T

dM = F dM F T T ˙ T ˙ dG = F dM F + F d M F + F ˜ dM F e T df . dQ = F dMe

(8.9) (8.10) (8.11)

In der Matrix dM musste der Tr¨agheitstensor, der ja in jedem elementfesten dm konstant (Koordinatensystem (E)) ist mit Gl.(5.43) auf das Referenzsystem (R) transformiert werden. Mit F T aus Gl.(8.7) k¨onnen die Subsystemmatrizen u¨ ber

8.2 Modellbildung

115 R+L+s

((F T )T dM F T )dx

Mel =

(8.12)

o R+L+s

((F T )T dG F T )dx

Gel =

o R+L+s

˙ el  dV dx, ((F ) dQ) +  y˙

T T

Qel = o

(8.13)

(8.14)

mit dem elastischen Potential aus Gl.(5.37), berechnet werden. Die elastischen R¨uckstellungskr¨afte werden formal u¨ ber die Zeitableitung in die Subsystemgleichungen gebracht. Dieser Schritt ist aufgrund der nichholonomen vo und  F notwendig. Diese Kr¨afte betreffen aber lediglich die R ITZkoordinaten qR die aber holonom sind. Durch einfaches Einsetzen u¨ berzeugt man sich schnell von der Identit¨at ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ˙ ⎜ ⎟ ⎜  dVel 0 ⎟. =⎜ (8.15) ⎟ ⎜  y˙ ⎜ 0 ⎟ ⎝  dVel ⎠  qR

Die Integrationsgrenzen in den Gleichungen 8.12 bis 8.13 deuten bereits an, dass die Starrk¨orperanteile u¨ ber das Integral ber¨ucksichtigt werden. Die Massen- und Tr¨agheitsverteilungen (dm = mx dx, dJ =  Jx dx) lautet damit

m = mR−  (x) +  A[ (x − R) −  (x − R − L)] + mE−  (x − R − L − s) (8.16) x J = JR−  (x) +  I[ (x − R) −  (x − R − L)] + JE−  (x − R − L − s), (8.17) x  . Die Ansatzfunktionen in die mit der Sprungfunktion  und der Diracfunktion − drei Richtungen m¨ussen also diesen Abschnitten angepasst werden. Exemplarisch lauten sie f¨ur die y-Richtung ⎧ ⎧ : x≤R ⎨0 ⎨0 : R < x ≤ R+L , v (x) = v (x) . v(x) = v(x) ⎩ ⎩ : R+L < x < R+L+s v (L) v(L) + v (L)x (8.18) 8.2.1.3 Dynamische Steifigkeitsmatrix Die theoretischen Hintergr¨unde der dynamischen Steifigkeit wurden in Kap. 5.5 hergeleitet. Aufgrund ihrer geringen Wirkung werden in den Kr¨aften und Momenten

116

8 Elastische Knickarmroboter

nullter Ordnung die Anteile der Starrk¨orperdynamik vernachl¨assigt. Es bleiben also nur die eingepr¨agten Kr¨afte und Momente u¨ brig (o) e df df ARI I g mx dx , (8.19) = = dMe 0 dM(o) siehe Gl.(6.22). Damit kann direkt in die dynamische Steifigkeitsmatrix Gl.(6.21) eingesetzt werden. Es fallen also keine Anteile in der Massenmatrix und der G− Matrix an. Die dynamische Steifigkeitsmatrix lautet Kn,el = ⎡ %Lg d fz(o) %Lg d fy(o) T d d   wT (  − x)d    v − (  − x)d  0 ⎢ d d x x ⎢ ⎢ %Lg (o) %Lg d f (o) Lg ⎢ − ddfz d   vT + dy d   wT ⎢ ⎢ x x ⎢ ⎢ %Lg d fx(o) T o ⎢ d v v 0 d ⎢ x ⎢ ⎣ %Lg d fx(o) symm. d  w wT d

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dx, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

x

(8.20) wobei die Reihenfolge der elastischen Freiheitsgrade qTR = (qT qTv qTw ) entspricht und damit gegen¨uber Gl.(6.21) vertauscht wurde. Auch die Anteile der Endmasse werden direkt durch die Integrale erfasst, indem in Gl.(8.20) wieder die Massenverteilung aus Gl.(8.16) eingesetzt und u¨ ber den gesamten Balken Lg = R + L + s integriert wird. Eine explizite Auswertung der auftretenden Integrale findet man in [Bre08]. Schlussendlich kann die dynamische Steifigkeitsmatrix an der entsprechenden Stelle direkt in das Subsystem eingebunden werden 0 0 . (8.21) Kn = 0 Kn,el 8.2.1.4 Motor- Getriebe Die Motor-Getriebeeinheit wird als Starrk¨orper mit elastischer Feder modelliert und so ins Subsystem aufgenommen. Die Zwischengeschwindigkeiten werden wieder durch die Subsystemgeschwindigkeiten dargestellt

8.2 Modellbildung

117

⎛

⎛

⎞

⎡

vo E ⎜ o ⎟ ⎢ 0 ⎜ ⎟=⎢ ⎝ r˙ s ⎠ ⎣ 0  0

0 0 E 0 0 0 0 e2

⎞

vo ⎤ ⎜ F ⎟ ⎟ 0 000 ⎜ ⎜ M ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ e2 0 0 0 ⎥ ⎜ A ⎟ ⎜ ⎟. ⎦ 0 000 ⎜ ⎟ ˙ q  ⎟ −e2 0 0 0 ⎜ ⎝ ˙ q v ⎠ q˙ w F

(8.22)

Ein direktes Einsetzen in Gl.(4.14) liefert die Dynamikmatrizen des Motors MMot , GMot und Qg,Mot . In der generalisierten Kraft sind vorerst nur die Gravitationsanteile des Motorl¨aufers enthalten. Der Motor (Antriebsmoment) und das Getriebe (Elastizit¨at) werden wieder analog zu Kap. 4.2 u¨ ber die virtuelle Arbeit eingef¨ugt. Die virtuellen Arbeit der Getriebefeder ist

 WGn = − qTn ( VG / q)Tn , mit VGn = cn (qAn − qMn )2 /2

(8.23)

bzw. f¨ur das Motormoment gilt

 WM =  (iG qM )(MMot ).

(8.24)

Die gesamte virtuelle Arbeit, in die entsprechenden Anteile aufgespaltet, lautet ⎛ ⎞ c(qA − qM ) + iG MMot

⎠ . −c(qA − qM )  WGM,n =  qTn Qn =  qM  qA  qe n ⎝ (8.25) 0 n Mit der verallgemeinerten Inversen von F+ n aus Gl.(8.4) ⎡ ⎤ 0 0 i1G 0 0 ⎣ ⎦ F+ n = 0 0 0 1 0 00 0 0E n

(8.26)

folgt f¨ur die generalisierten Subsystemkr¨afte analog zu Gl.(4.76) QGM = F+ n Qn ⎛

⎞

0 ⎜ ⎟ 0 ⎜ c(q −q ) ⎟ M A ⎜ =⎜ + MMot ⎟ ⎟ . iG ⎝ −c(q − q ) ⎠ A

0

(8.27)

(8.28)

M

n

Die generalisierte Subsystemkraft setzt sich also aus den Gravitationsanteilen und den Getriebe- Antriebsmomentenanteilen zusammen QMot = Qg,Mot + QGM .

(8.29)

118

8 Elastische Knickarmroboter

8.2.1.5 Subsystem elastischer Balken mit Motor, Getriebe und Endmasse Die Bewegungsgleichung dieses Subsystems Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn − Qzn = 0

(8.30)

Mn = Mel + MMot Gn = Gel + GMot Qn = Qel + QMot − Kn y.

(8.31)

besteht aus den Anteilen

(8.32) (8.33)

8.2.2 Gesamtsystem Durch Aufstellen der kinematischen Kette f¨ur den gesamten Roboter und der Berechnung aller Subsysteme kann die Bewegungsgleichung als ˙ = Bu M(q)q¨ + g(q, q) angeschrieben werden. Die Minimalkoordinaten sind ⎞ ⎛ qM ∈ R6 q = ⎝ qA ∈ R6 ⎠ . qe ∈ R10

(8.34)

(8.35)

Jedem der 6 Gelenke wird also eine Motor- und Armkoordinate zugeordnet. Die beiden elastischen Balken werden jeweils durch einen Torsions- und zwei Biegeansatzfunktionen in y− und z− Richtung beschrieben (Koordinaten qe = qR ). Die Stelleingriffsmatrix lautet ⎛ ⎞ E B = ⎝ 0 ⎠. (8.36) 0 Es werden also nur die Motorkoordinaten direkt aktuiert. Die Qualit¨at des Simulationsmodells kann mit Abb. 8.3 gezeigt werden. Der Roboter bewegt sich auf einer Geraden im Raum. Dabei werden die Fehler in x−, y− und z− Richtung der Simulation mit einer Messung am Roboter verglichen. Es zeigt ¨ sich eine sehr gute Ubereinstimmung.

8.3 Regelung

119

10

10

−5 5

Zeit in s

0 −5

−10 0

10

ez in mm

0

−10 0

30

5

ey in mm

ex in mm

5

35

Messung Simulation

25 20 15 10 5

5

Zeit in s

10

0 0

5

10

Zeit in s

Abb. 8.3 Vergleich der Endpunktfehler bei Simulation und Messung

8.3 Regelung 8.3.1 Quasistatische Korrektur der elastischen Deformationen Minimalform Eine TAYLORreihenentwicklung von Gl.(8.34) um eine Referenzbahn qR , ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ yM qR q = qo + y = ⎝ qR ⎠ + ⎝ yA ⎠ 0 qe

(8.37)

in Kombination mit einer Aufteilung des Stelleingriffs u in eine Vorsteuerung uo und einen R¨uckf¨uhrungsanteil uc ergibt ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ MMM MMA MMe go,M q¨ R uo ⎣ MTMA MAA MAe ⎦ ⎝ q¨ R ⎠ + ⎝ go,A ⎠ − ⎝ 0 ⎠ + 0 go,e 0 MTMe MTAe Mee −ho

⎛ ⎞ . . uc  g  (Mq¨ + g) Mo y¨ + y˙ + y = ⎝ 0 ⎠.  q˙  q˙ 0 o o -

Po

(8.38)

Qo

Aufgrund der Linearisierung um die Referenzbahn sind die Dynamikmatrizen klarerweise zeitvariant Mo (qo ), Po (qo , q˙ o ) und Qo (qo , q˙ o , q¨ o ). Die Linearisierungsterme ho k¨onnen aufgrund nur eines Stelleingriffes uo nicht verschwinden. F¨ur die Steuerung wird das System daher auf den ideal starren Fall reduziert. Mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit erh¨alt man f¨ur uo uo = (MMM + MMA + MTMA + MAA )q¨ R + (go,M + go,A ).

(8.39)

Da ho mit dieser Vorsteuerung nicht eliminiert werden kann, wirkt es als St¨orung f¨ur die elastischen Gleichungen (Terme erster Ordnung bei der Taylor Entwicklung),

120

8 Elastische Knickarmroboter

siehe Gl.(8.38). Man erh¨alt f¨ur diesen Anteil ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ T −( MMA + MAA q¨ R + go,A ) −fR −ho = ⎝ MTMA + MAA q¨ R + go,A ⎠ = ⎝ fR ⎠ . feR MTMe + MTAe q¨ R + go,e

(8.40)

Um den Berechnungsaufwand f¨ur y zu reduzieren, wird der Einfluss von Mo und Po vernachl¨assigt, was auf die quasistatische L¨osung (Index Q) f¨ur die Abweichungen erster Ordnung f¨uhrt. Die Gelenkregelung eliminiert in weiterer Folge die Abweichung yMQ = 0. Mit diesen Annahmen reduziert sich Gl.(8.38) zu ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −fR QMM QMA QMe 0 ucQ ⎝ fR ⎠ + ⎣ QAM QAA QAe ⎦ ⎝ yAQ ⎠ = ⎝ 0 ⎠ . (8.41) feR QeM QeA Qee qeQ 0 Aus der zweiten und dritten Zeile erh¨alt man also die quasistatischen Verschiebungen −1 QAA QAe fR yAQ =− (8.42) qeQ QeA Qee feR die klarerweise von der Referenzbahn abh¨angen. Der Endpunkt des elastischen Roboters weicht von der Sollposition und Sollorientierung um den Vektor  zE ab. Diese Abweichung des Ortsvektors h¨angt von den Arm- und den elastischen Koordinaten ab ⎡ v v E E ⎢  q˙ A  q˙ e  zE = ⎣     E E  q˙ A  q˙ e FE

⎤

⎥ yA ⎦ q . e

(8.43)

Sie soll u¨ ber die Referenzbahn korrigiert werden ⎡ v E ⎢  q˙ R  zE,R = ⎣   E  q˙ R FE,R

⎤ ⎥ ⎦  qR .

(8.44)

Ziel ist es nun, den Fehler zu kompensieren. Die Forderung  zE +  zE,R = 0 ergibt die Bahnkorrektur der Referenzbahn yAQ + (8.45)  qR = −FE,R FE qeQ (( )+ : verallgemeinerte Inverse), siehe auch [Kle89]. Abb. 8.4 zeigt die Korrektur der elastischen Deformationen. Werden die Gelenke auf die Referenzbahn geregelt,

8.3 Regelung

121

so ergibt sich die gepunktete Position des Roboters, mit dem Endpunktfehler  zE . Durch die Korrektur der einzelnen Gelenke um die Winkel  qi steht der Roboterendpunkt auf der Sollposition. qR,3 +  q3

qR,2 + q2

qR,1 + q1

 zE rG

Abb. 8.4 Zur Bahnkorrektur beim elastischen Roboter

8.3.2 Quasistatische Korrektur der elastischen Deformationen Rekursive Form Die Berechnungen des vorigen Abschnittes sind insbesonders f¨ur große elastische Mehrk¨orpersysteme relativ aufwendig. Man denke beispielsweise an eine Betonpumpe wo bis zu 7 elastische Subsysteme in Serie verbunden sind. Eine Vereinfachung gelingt, wenn man abermals die Struktur des Systems betrachtet, und auf die handhabbaren Subsysteme u¨ bergeht. Bei der Projektionsmethode werden die Zwangskr¨afte zwischen den Subsystemen, die nichts zur Bewegung beitragen, u¨ ber die Funktionalmatrizen Fi ausgeblendet. Vermeidet man vorerst diese Projektion in den Minimalraum so k¨onnen die Zwangskr¨afte explizit berechnet werden ⎞ ⎤⎛ ⎛ z ⎞ ⎡ E TT21 .... TTN,1 Q1 M1 y¨ 1 + G1 y˙ 1 − Q1 ⎟ ⎥⎜ ⎜ Qz ⎟ ⎢ E M2 y¨ 2 + G2 y˙ 2 − Q2 ⎟ ⎥⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎢ ⎟. ⎥ ⎜ : ⎟=⎢ ⎜ : .... : ⎥⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ⎢ T ⎠ ⎣ ⎦ ⎝Q ⎝ MN−1 y¨ N−1 + GN−1 y˙ N−1 − QN−1 ⎠ E TN,N−1 N−1 MN y¨ N + GN y˙ N − QN QzN E (8.46) F¨ur die Zwangskr¨afte der einzelnen Subsysteme kann diese Gleichung effektiv beginnend beim letzten Subsystem bis zum ersten ausgewertet werden Qzp = M p y¨ p + G p y˙ p − Q p + TTip Qzi ,

p = N − 1 .. 1.

(8.47)

122

8 Elastische Knickarmroboter

Diese Zwangskr¨afte sind in den Subsystemkoordinaten dargestellt und sind daher analog zu den beschreibenden Subsystemgeschwindigkeiten y˙ Tn = (vTo  TF M zT z z zT A q˙ Te )n aufgebaut. Vektor Qzn = (FzT alt daher die o MF MM MA Me )n enth¨ z Zwangskr¨afte am Koppelpunkt des Subsystems, wobei Fo , MzF die Kr¨afte und Momente, die u¨ ber die Lagerung aufgefangen werden m¨ussen, darstellen. Diese sind f¨ur Auslegungsaufgaben wichtig. Die Projektion in den Minimalraum zum Aufstellen der Bewegungsgleichung lautet mit den Zwangskr¨aften ⎤⎛ z ⎞ ⎞ ⎡ T ⎛ FT1 Qz1 Q1 F1 0 .... 0 ⎥ ⎜ Qz ⎟ ⎢ ⎜ FT Qz ⎟ FT2 2 2 ⎥⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎢ ⎜ ⎥ ⎟ ⎟ = 0. ⎢ ⎜ : .... : ⎥ ⎜ : ⎟ = 0, bzw. ⎜ (8.48) ⎟ ⎢ ⎜ z z T T ⎦ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ QN−1 FN−1 QN−1 ⎠ FN−1 0 FTN QzN FTN QzN Durch die Form der lokalen Funktionalmatrizen ⎡ ⎤ 0 00 ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ Fi = ⎢ ⎢ iG 0 0 ⎥ ⎣ 0 1 0⎦ 0 0E

(8.49)

(q˙ Ti = (q˙M q˙A q˙ e )) ergibt sich durch Auswertung von Gl.(8.48) die Bewegungsgleichung mit folgender Reihenfolge der Minimalkoordinaten qT = (qT1 qT2 .. qTN−1 qTN ).

(8.50)

Die Auswertung der i-ten Blockzeilen in Gl.(8.48) ergibt daher die i-ten Blockzeilen in der gesamten Bewegungsgleichung in Minimalform. Die Linearisierung um die Referenzbahn wird jetzt f¨ur diese einzelnen Blockzeilen aus Gl.(8.48) durchgef¨uhrt. Es folgt also FTi Qzi ≈

(FTi Qzi )|R +

. . .  FTi Qzi  FTi Qzi  FTi Qzi y¨ l,i + y˙ l,i + yl,i = 0, ˙  q¨ i   q q i i R R R -

Mo,i

Po,i

Qo,i

(8.51) mit

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ qR yl,M qM ⎝ qA ⎠ = ⎝ qR ⎠ + ⎝ yl,A ⎠ . qe i 0 i qe i ⎛

yl,i

(8.52)

8.3 Regelung

123

Der Index l kennzeichnet hier die linearisierten Koordinaten, im Gegensatz zu den beschreibenden Subsystemkoordinaten. Die Berechnung von Qo,i erweist sich bei genauerer Betrachtung als sehr einfach. Die i-te Zwangskraft Qzi enth¨alt die Anteile des i-ten Subsystems und aller nachfolgender, u¨ ber Gl.(8.47). Die nachfolgenden Subsysteme h¨angen aber nicht von den aktuellen Relativkoordinaten qi ab, und verschwinden bei der Differentiation. Die Berechnung von Qo,i vereinfacht sich daher entscheidend: . .  FTi Qzi  FTi Qi = . (8.53) Qo,i =  qi  qi Der unterstrichene Term in Gl.(8.51) hat eine a¨ hnliche Form wie Gl.(8.38) ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ MMM MMA MMe q¨R go,M uo T ⎣ MMA MAA MAe ⎦ ⎝ q¨R ⎠ + ⎝ go,A ⎠ − ⎝ 0 ⎠ go,e i 0 i MTMe MTAe Mee i 0 i

(8.54)

−ho,i

und wird wieder mit ho,i abgek¨urzt. Nat¨urlich kommen in dieser Gleichung auch die Referenzgr¨oßen der anderen Subsysteme vor. Diese Kopplungen stehen vor allem im gi Vektor. Die Referenzsteuerung uo,i dringt auf alle Koordinaten durch und ho,i kann nicht verschwinden. Er stellt einen Fehlervektor dar, ist aber vollst¨andig bekannt. F¨ur die Steuerungsauslegung (Referenzbahn qR ) geht man auf den ideal starren Fall u¨ ber, welcher durch die Koordinaten qR gegeben ist. Durch Sperren der elastischen Freiheitsgrade (neue Koordinaten qR ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 qR ⎝ qR ⎠ = ⎝ 1 ⎠ qR (8.55) 0 0 in Gl.(8.54) erh¨alt man T + MAA q¨R + (go,M + go,A ). uo,i = MMM + MMA + MMA Setzt man diese Vorsteuerung in Gl.(8.54) ein, ergibt sich f¨ur ho,i ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ T + MAA q¨R + go,A − fR MMA T +M −ho,i = ⎝ MMA AA q¨R + go,A ⎠ = ⎝ f R ⎠ . T feR i MMe + MTAe q¨R + go,e i

(8.56)

(8.57)

Diese sind identisch mit den Eintr¨agen in Gl.(8.40). Ihre Reihenfolge ist aber aufgrund der Anordnung der Freiheitsgrade eine andere. Mit Gl.(8.57) erh¨alt man f¨ur Gl.(8.51) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ uc − fR (8.58) Mo y¨ l,i + Po y˙ l,i + Qo yl,i + ⎝ fR ⎠ = ⎝ 0 ⎠ feR 0 und durch Vernachl¨assigung von Mo und Po (quasistatische L¨osung)

124

8 Elastische Knickarmroboter

⎛

⎞

⎡

⎤⎛

⎞

⎛ ⎞ − fR QMM QMA QMe 0 ucQ ⎝ fR ⎠ + ⎣ QAM QAA QAe ⎦ ⎝ yAQ ⎠ = ⎝ 0 ⎠ . feR QeM QeA Qee i qeQ i 0 i

(8.59)

Die quasistatischen Verschiebungen der i-ten Blockzeilen lassen sich wieder aus der zweiten und dritten Gleichung berechnen

yAQ qeQ

i

=−

QAA QAe QeA Qee

−1 i

fR feR

i

.

(8.60)

F¨uhrt man diese Berechnungen f¨ur alle Subsysteme durch, so erh¨alt man einen Vektor der gesamten quasistatischen Verschiebungen. W¨ahrend die Vorsteuermomente Gl.(8.56) und die Fehlervektoren Gl.(8.57) u¨ ber die Subsystemberechnung exakt jenen aus der Minimalberechnung Gl.(8.39) und Gl.(8.40) entsprechen, gibt es einen kleinen Unterschied bei den quasistatischen Verformungen. In der Minimaldarstellung wird bei der Linearisierung um die Referenzbahn die Matrix Qo nach allen kleinen Abweichungen in einem Schritt nach q abgeleitet. In Gl.(8.51) geht das aber nur f¨ur das i-te Subsystem qi . Die elastischen Deformationen aller anderer Subsysteme werden also in dieser Darstellung nicht ber¨ucksichtigt (Einsetzen der Referenzbahn). Die so entstehende Abweichung ist aber sehr klein. Mit bekannten quasistatischen Verschiebungen yl erfolgt die Berechnung der Bahnkorrektur  qR analog zum vorigen Abschnitt, und kann f¨ur die Regelung eingesetzt werden.

8.3.3 Schwingungsd¨ampfung Mit den Herleitungen der vorigen Abschnitte wurde eine Vorsteuerung f¨ur den auf die Starrk¨orperfreiheitsgrade reduzierten Roboter systematisch bestimmt. Ebenso wurden die quasistatischen Deformationen des Roboters vorab (also nur mit Sollwerten der gew¨unschten Bahn) berechnet. Diese k¨onnen im PD-Regelgesetz direkt zur Kompensation dieser Verschiebungen eingesetzt werden, sodass sich der Endeffektor auf der vorgegebenen Bahn bewegt. F¨ur die Sollgr¨oßen der Motorfreiheitsgrade erh¨alt man also (8.61) qM,d = qR +  qR . Als gesamtes Regelungskonzept bietet sich u = uo + P(qM,d − qM ) + D(q˙ M,d − q˙ M ) − K( d −  )

(8.62)

an. Es handelt sich also um eine PD-Gelenkregelung mit Momentenvorsteuerung und Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung. Die Kr¨ummungen ⎞ ⎡ T ⎤⎛ ⎞ ⎛  (x) 0 0  (x,t) q 0 ⎦ ⎝ qv ⎠ (8.63)  = ⎝ v(x,t) ⎠ = ⎣ 0 v (x)T w(x,t) qw 0 0 w (x)T

8.4 Zusammenfassung

125

ergeben sich aus

=

    qe ,  d = qeQ ,  qe LDMS  qe LDMS

(8.64)

wobei diese an den diskreten Stellen LDMS an denen die Dehnmessstreifen appliziert sind, ausgewertet werden. Bei der Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung werden Sollkr¨ummungen minus Istkr¨ummungen mit negativem Vorzeichen, also destabilisierend, r¨uckgef¨uhrt. Es wird also nicht auf Sollkr¨ummung  d = 0 geregelt. Dies w¨urde bei durch Gewichtskr¨afte belastete elastische Arme, oder beschleunigte Arme, keinen Sinn machen. Zum anderen verliert das System durch Auftreten von Haftreibung die Steuerbarkeit, und die elastischen Deformationen k¨onnen nicht mehr aktiv ged¨ampft werden. Aufgrund der destabilisierenden Wirkung der Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung, wird die Haftreibung aufgebrochen und die Schwingungen werden ausged¨ampft. Das entsprechende Regelungsschema wird in Abb. 8.5 pr¨asentiert. 

qeQ zR

qR Inverse q˙ R Kinematik q¨ R

d

VorSteuerung qeQ uo uo , yQ ,  qR  qR

K

D

P

+ + +

 u Elastischer q˙ Roboter q

Direkte zE Kinematik

Abb. 8.5 Regelungsschema elastischer Roboter

Eine Auswertung des Regelungskonzeptes zeigt Abb. 8.6. Dabei entspricht • PD: PD-Gelenkregelung ohne Bahnkorrektur • PDB: PD-Gelenkregelung mit Bahnkorrektur • PDBK: PD-Gelenkregelung mit Bahnkorrektur und Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung Bei alleiniger PD-Gelenkregelung kommt es zu großen Schwingungen und statischen Abweichungen. Mit der Bahnkorrektur sind diese statischen Abweichungen weitgehend eliminiert und die Schwingungen werden wenig angeregt. Mit der Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung werden die Schwingungen aktiv ged¨ampft. Die Anfangsamplituden beim Fahren sind geringf¨ugig gr¨oßer als bei alleiniger Bahnkorrektur.

8.4 Zusammenfassung Es wird eine detaillierte dynamische Modellierung und Regelung f¨ur einen 6 Achsen Knickarmroboter gezeigt. Ein strukturiertes Vorgehen erreicht man durch die

126

8 Elastische Knickarmroboter 10

ex in mm

5 0

−5 0

PD

10

ey in mm

10

5

PDB

PDBK

5 0

−5 0

5

10

ez in mm

40 30 20 10 0 0

5

Zeit in s

10

Abb. 8.6 Endpunktfehler bei unterschiedlichen Regelungsverfahren

Verwendung der Projektionsgleichung. Das elastische Subsystem besteht beispielsweise aus den Anteilen von Motor, Getriebe, elastischer Balken und Endmasse. Die Bewegungsfreiheitsgrade sind also neben Motor und Armwinkel die elastischen R ITZkoordinaten f¨ur Biegung und Torsion. Diese Subsysteme werden u¨ ber die Projektion in den Minimalraum zum Gesamtmodell zusammengef¨ugt. Man erh¨alt ein System nichtlinearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welches die Grundlage f¨ur den Reglerentwurf darstellt. Dieser besteht im Wesentlichen aus drei Teilen. F¨ur die modellbasierte Vorsteuerung wird der elastische Roboter auf einen a¨ quivalenten starren Roboter transformiert. Aus diesem k¨onnen durch Einsetzen ¨ der Solltrajektorie die Vorsteuermomente berechnet werden. Uber eine TAYLORreihenentwicklung um die Sollbahn und detaillierter Analyse k¨onnen die elastischen Verschiebungen der einzelnen Arme berechnet werden. Um den Rechenaufwand zu minimieren, muss bereits auf eine quasistatische L¨osung u¨ bergegangen werden. Da aber das Gesamtmodell betrachtet wird, ist dieser trotzdem relativ hoch. Verwendet man abermals die Struktur des kettenf¨ormigen Mehrk¨orpersystems, so gelingt es, diese Verschiebungen und die Vorsteuermomente u¨ ber rekursive Betrachtungen auszuwerten. Der Rechenaufwand sinkt dadurch erheblich. Die quasistatischen Verschiebungen der einzelnen K¨orper werden in korrigierte Sollwerte f¨ur die

8.4 Zusammenfassung

127

Trajektorien umgerechnet. Diese korrigierten Sollwerte werden im unterlagerten PD-Regelkreis verwendet. Die Schwingungsd¨ampfung wird als Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung realisiert. Die Versuchsergebnisse zeigen ein gutes dynamisches Verhalten des Roboters.

Kapitel 9

Elastische Linearroboter

Eine schwingungsfreie Bewegung von schnellen Robotern erh¨oht die Produktivit¨at. Der betrachtete Roboter besteht aus elastischen Balken, F¨uhrungen mit Lagern und Motor- Getriebe Einheiten. Durch die Verwendung der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung kann eine strukturierte Modellbildung vollzogen werden. Das Subsystem Teleskopachse wird detailliert hergeleitet. Die Regelung besteht aus einer Vorsteuerung f¨ur den ideal starren Roboter, einer Sollbahnkorrektur und einem PD-Gelenkregler. Die Bahnkorrektur wird u¨ ber eine TAYLORreihenentwicklung der Bewegungsgleichung um eine Referenzbahn bestimmt. Diese Sollbahnkorrektur erm¨oglicht eine gute Schwingungsunterdr¨uckung.

9.1 Einleitung Der Zeitdruck in der Produktion steigt mehr und mehr. Eine L¨osung ist die Verwendung von Leichtbaurobotern. Mit diesen kann die Beschleunigung/Geschwindigkeit erh¨oht und die verbrauchte Energie verringert werden. Nichtsdestotrotz tendieren diese Roboter zu Schwingungen. Mit einer entsprechenden Regelung und Sollbahnvorgabe soll dieses Problem vermieden werden. Das betrachtete System wird in Abb. 9.1 dargestellt. Drei Lineareinheiten sind durch elastische Balken verbunden. Die Achsen werden mit Synchronmotoren u¨ ber RitzelZahnstangenkombinationen angetrieben. Die Motorpositionen werden mit Resolvern gemessen. Die elastischen Balken werden durch Biegung in zwei Richtungen und Torsion in eine Richtung beschrieben. In Abb. 9.1 sind nur ausgew¨ahlte Freiheitsgrade eingetragen. Auf der Endmasse mE befindet sich außerdem ein Beschleunigungssensor, um gezielte Vergleiche zwischen den Verfahren anstellen zu k¨onnen.

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

129

130

9 Elastische Linearroboter qA3

qA1

qA2

Achse 2 3y

3z 3x

Achse 1

w2 (x,t)

Iz

Achse 3 Ix

Iy

2 (x,t) rE Beschleunigungssensor

mE

−w3 (x,t) v3 (x,t) Abb. 9.1 Schematische Darstellung des Linearroboters mit einigen Freiheitsgraden

9.2 Modellbildung Das System in Abb. 9.1 besteht aus drei Subsystemen. Exemplarisch wird die Subsystemherleitung der Teleskopachse gezeigt.

9.2.1 Teleskopachse Bei der Teleskopachse handelt es sich um einen elastischen Balken, der translatorisch eine Bewegung ausf¨uhren kann, siehe Abb. 9.2. Der Balken ist u¨ ber F¨uhrungen gelagert und wird u¨ ber eine Motor-Getriebe-Zahnstangenkombination angetrieben. 9.2.1.1 Elastischer Balken Die theoretischen Hintergr¨unde f¨ur die elastischen Systeme sind bereits mit Kap. 6.3 bekannt. Als beschreibende Subsystemgeschwindigkeiten bieten sich y˙ Tn = (vTo  To q˙M q˙A q˙ T q˙ Tv q˙ Tw )n

(9.1)

an. Die elastischen Verschiebungen und Orientierungen des beweglichen Balkens werden in diesem Fall im Koordinatensystem  ,  ,  definiert (Ritzansatz bereits eingesetzt)

9.2 Modellbildung

131

Abb. 9.2 Subsystem Teleskopachse

qA

o



vo

kT

qM RA

qA,0

O

Rz

L

Motor rs w( ,t)

dm s mE

R x, 

⎞ ⎞ ⎛ T ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛     ( )q rdm = ⎝ v ⎠ = ⎝ vT ( )qv ⎠ , und  = ⎝ −w ⎠ = ⎝ −wT ( )qw ⎠ . v w wT ( )qw vT ( )qv

(9.2)

F¨ur die Ansatzfunktionen eignen sich beispielsweise die exakten L¨osungen der Biegemoden des B ERNOULLI -E ULER Balkens f¨ur frei-frei gelagerte Balken (Randbedingungen). Diese enthalten auch die Starrk¨orpermoden 1,  /L, siehe Abb. 9.3.

Ansatzfunktionen

2 1 0

−1

Abb. 9.3 Ansatzfunktionen Teleskoparm

−2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L¨ange normiert

Vektor rs beschreibt per Definition die relative Verschiebung des Massenelementes dm vom Subsystemursprung O rs = rdm + (qA − qAo )e1 . Mit der Zeitableitung

(9.3)

132

9 Elastische Linearroboter

r˙ s =

 rdm  (qT qTv qTw )T

.⎛

⎞

q˙  ⎝ q˙ v ⎠ + q˙A e1 q˙ w

(9.4)

k¨onnen die Zwischenvariablen in Abh¨angigkeit der Subsystemkoordinaten (mit eingesetzten R ITZans¨atzen) angegeben werden ⎛ ⎞ vo ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ o ⎟ ⎜ ⎟ E00 0 0 0 0 vo ⎜ ⎟ ⎜ o ⎟ ⎢ 0 E 0 0 0 ⎥ ⎜ q˙M ⎟ 0 0 ⎜ ⎟=⎢ ⎥ ⎜ ⎟ (9.5) ⎝ r˙ s ⎠ ⎣ 0 0 0 e1 0 e2 vT e3 wT ⎦ ⎜ q˙A ⎟ . ⎜ ⎟ ˙ q  T ⎟ ˙ 0 0 0 0 e1  e3 vT −e2 wT ⎜ ⎝ q˙ v ⎠ q˙ w F T Mit der allgemeinen Transformation F aus Gl.(4.6) und F T aus Gl.(9.5) sind alle Komponeten f¨ur die Bestimmung der Subsystemmatrizen Mel , Gel , Qel nach Gl.(6.11)-Gl.(6.13) bestimmt. 9.2.1.2 Lagerung Besonderes Augenmerk muss auf die Lagermodellierung gelegt werden. Die zwei in Abb. 9.2 eingezeichneten Federn werden durch eine lineare und eine Drehfeder ersetzt. Die zugeh¨origen Lagerstellen im balkenfesten Koordinatensystem sind ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ T L  (L )q (9.6) rL = ⎝ vT (L )qv ⎠ ,  L = ⎝ −wT (L )qw ⎠ , wT (L )qw vT (L )qv wobei die Lagerstelle an der Position (L = qAo −qA ) liegt. Das zugeh¨orige Potential ist (qTel = (qT qTv qTw ))

1 2 2 2 2 2 kT rLy + kT rLz (9.7) + k Lx + kR Ly + kR Lz 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 0 0 k 0 0  rL T ⎣  rL  L T ⎣   L ⎦ 1 0 kR 0 ⎦ 0 kT 0 ⎦ + qel , = qTel ⎣ 2  qel  qel  qel  qel 0 0 kT 0 0 kR ⎡ ⎤ T k   0 0 ⎢  ⎥ ⎥ KL,el =⎢ 0 kT vvT + kR v vT 0 ⎣ ⎦ T T 0 0 kT ww + kR w w

VL =

(9.8) mit der anteiligen Steifigkeitsmatrix KL,el . Die entsprechende Einbindung ins Subsystem liefert

9.2 Modellbildung

133

KL =

0 0 . 0 KL,el

(9.9)

Parallel zu den Federn wirken auch D¨ampfer in translatorische und rotatorische Richtung (in Abb. 9.2 nicht eingezeichnet). Diese d¨ampfen das System beim Auftreten einer relativen Geschwindigkeit ⎞ ⎞ ⎛ T ˙L  (L )q˙  + ˙L  T (L )q r˙ L = ⎝ vT (L )q˙ v + ˙L vT (L )qv ⎠ , ˙ L = ⎝ −wT (L )q˙ w − ˙L wT (L )qw ⎠ . wT (L )q˙ w + ˙L wT (L )qw vT (L )q˙ v + ˙L vT (L )qv (9.10) Analog zum Potential f¨ur die Federn kann f¨ur die D¨ampfung eine R AYLEIGH Funktion definiert werden ⎛

RL =

1 2 2 2 2 2 dT r˙Ly + dT r˙Lz . + d ˙ Lx + dR ˙ Ly + dR ˙ Lz 2

(9.11)

Die Eintr¨age in den Subsystemgleichungen erh¨alt man durch die entsprechende Projektion in die Subsystemgeschwindigkeiten ( R/ y˙ )T . Neben der D¨ampfungsmatrix ⎡ ⎤ 0⎡ 0 ⎤ T ⎢ ⎥   0 0 d  ⎢ ⎥ DL = ⎣ ⎣ (9.12) ⎦ ⎦ 0 0 dT vvT + dR v vT 0 T T 0 0 dT ww + dR w w L

ergeben sich auch Anteile linear in den elastischen Verschiebungen (˙L = −q˙A ) ⎡ ⎤ 0⎡ 0 ⎤ T ⎢ ⎥   0 0 d  ⎢ ⎥ (K + N)dL = −q˙A ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ . 0 0 dT vvT + dR v vT 0 0 0 dT wwT + dR w wT L

(9.13) 9.2.1.3 Motor- Getriebe Der Motor wird als Starrk¨orper ins Subsystem aufgenommen. Die Zwischenvariablen lauten also ⎛ ⎞ vo ⎤ ⎜ o ⎟ ⎛ ⎞ ⎡ ⎟ E0 0 0000 ⎜ vo ⎜ ⎟ ⎜  o ⎟ ⎢ 0 E 0 0 0 0 0 ⎥ ⎜ q˙M ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎢ (9.14) ⎝ r˙ s ⎠ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎜ q˙A ⎟ . ⎜ ⎟ ˙ q  ⎟ 0 0 RiGA e2 0 0 0 0 ⎜  ⎝ q˙ v ⎠ q˙ w F

134

9 Elastische Linearroboter

Die Auswertung der Gl.(4.14) liefert die Dynamikmatrizen des Motors im System MMot , GMot , QMot . Das elastische Getriebe wird wieder u¨ ber ein Potential eingebunden. Da der Motorwinkel u¨ ber Getriebe und Ritzel auf einen Linearfreiheitsgrad transformiert ist, lautet das Potential 1 kG (qA − qM )2 2 1 qM kG −kG . = (qM qA ) −kG k G qA 2

VG =

(9.15) (9.16)

KG,el

Das Einbinden in die Subsystemgleichung erfolgt durch entsprechende Erweiterung ⎡ ⎤ 0 0 0 KG = ⎣ 0 KG,el 0 ⎦ . (9.17) 0 0 0 9.2.1.4 Endmasse In Kap. 8.2.1 wurde die Endmasse direkt u¨ ber die elastischen Teile eingef¨ugt indem die Massen- und Tr¨agheitsparameter und die Ansatzfunktionen entsprechend angepasst wurden. Hier soll die Endmasse als eigenst¨andiger K¨orper ins Subsystem aufgenommen werden. Beim Einf¨ugen der Endmasse muss noch auf den Verschiebungsvektor zwischen dem Ende des elastischen Balkens und dem Schwerpunkt der Endmasse R¨ucksicht genommen werden. Mit dem Relativvektor der Position ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ s L −qAo + qA ⎠ + ⎝ vT (L)qv ⎠ + ⎝ svT (L)qv ⎠ 0 (9.18) R rs = ⎝ 0 wT (L)qw swT (L)qw bzw. der Relativgeschwindigkeit ⎛ ⎞ q˙   R rs  R rs ⎝ q˙ v ⎠ ˙s = q˙A + Rr  qA  (qT qTv qTw )T q˙ w

(9.19)

k¨onnen die Schwerpunktgeschwindigkeiten direkt als Funktion der beschreibenden Subsystemgeschwindigkeiten angeschrieben werden

9.2 Modellbildung

135

⎛

⎞

vo ⎤ ⎜ o ⎟ ⎜ ⎟  R rs ⎜ q˙M ⎟ E r˜ Ts 0 e1 T T T T ⎢ ⎥ ⎟ vs  (q qv qw ) ⎥ ⎜ ⎜ q˙A ⎟ . =⎢ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦   s R s ⎜ q˙  ⎟ 0 E 0 0 T ⎜ ⎟ T T T  (q qv qw ) ⎝ q˙ v ⎠ q˙ w FF ⎡

(9.20)

Mit der Matrix F F wird wieder in den Subsystemraum projiziert. Um Kr¨afte und Momente nullter Ordnung wieder exakt abbilden zu k¨onnen, muss diese Matrix von erster Ordnung sein. Vektor rs ist bereits erster Ordnung. Allerdings muss dieser Vektor in der partiellen Ableitung  (qT qRTrs qT )T bis zur zweiten verwendet werden, 

v

w

um wieder lineare Terme zu erhalten. F¨ur den Ortsvektor gilt also ⎛ ⎞ L −(qTv v ( )vT ( )qv + qTw w ( )wT ( )qw )/2 (0−2) = R rs + ⎝ (L −  )qT  ( )wT ( )qw − qT  ( )wT ( )qw ⎠ d  , (9.21) R rs −(L −  )qT  ( )vT ( )qv + qT  ( )vT ( )qv o

siehe auch Gl.(6.38). Die Orientierungen m¨ussen analog eingebunden werden. Mit diesen Erweiterungen bis zu Termen zweiter Ordnung im Ortsvektor wird vermieden, dass die Endmasse in der dynamischen Steifigkeitsmatrix ber¨ucksichtigt werden muss. Mit der Bestimmung der korrekten Projektionsmatrizen F F k¨onnen die Subsystemmatrizen MEM , GEM , QEM mit Gl.(4.14) berechnet werden. 9.2.1.5 Dynamische Steifigkeit Zur Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix m¨ussen zuerst die Terme nullter Ordnung bestimmt werden. Mit Gl.(6.22) lauten sie (o) e df ARI I g Adx df = = , (9.22) dMe 0 dM(o) wobei wieder nur die Terme aufgrund der Kr¨afte, nicht aber aufgrund der Starrk¨orperbewegung ( Reaktionskr¨afte“) ber¨ucksichtigt werden sollen. In die dynami” sche Steifigkeitsmatrix Gl.(6.21) werden daher die Momente nullter Ordnung gleich eingesetzt ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

L⎢

Kn,el = o

symm.

⎤ %L d fy(o) ( − x)d  d   vT − ( − x)d  d   wT d ⎥ x ⎥ ⎥ %L d fz(o) %L d fy(o) T T ⎥ − d d   v + d d   w ⎥ x x ⎥ dx, ⎥ %L d fx(o) T ⎥ d  v v 0 ⎥ d x ⎥ ⎦ %L d fx(o) T d w w d

%L d fz(o) x

d

x

(9.23)

136

9 Elastische Linearroboter

wobei die Reihenfolge der elastischen Freiheitsgrade gegen¨uber Gl.(6.21) vertauscht werden musste. Mit einer Einbindung in das Subsystem 0 0 (9.24) Kn = 0 Kn,el sind die dynamischen Steifigkeitsanteile f¨ur das Subsystem bestimmt. 9.2.1.6 Subsystem Teleskopachse Die Bewegungsgleichung des Subsystems Teleskopachse Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn − Qzn = 0

(9.25)

ergibt sich aus der Summe der einzelnen Teile, wobei die Abk¨urzungen (9.26) Mn = Mel + MEM + MMot Gn = Gel + GEM + GMot (9.27) Qn = Qel + QEM + QMot − (KG + KL )y − DL y˙ − (K + N)dL y − Kn y (9.28) verwendet werden.

9.2.2 Gesamtsystem Mit den vollst¨andig definierten Subsystemen und der kinematischen Kette kann die letzte Projektion in den Minimalraum (gekennzeichnet durch die Geschwindigkei˙ durchgef¨uhrt werden, siehe Kap. 6.3. Nach einer Umsortierung der Freiheitsten q) grade erh¨alt man die Bewegungsgleichung ˙ = Bu, M(q)q¨ + g(q, q) mit den Minimalkoordinaten qT

= (qTM

qTA

(9.29)

qTe )1 , der symmetrischen Massenmatrix

M, den nichtlinearen Termen g und den Stellmomenten u die nur in den Motorkoordinaten wirken. Abb. 9.4 zeigt einen Vergleich zwischen einer Messung und Simulation der Endeffektorbeschleunigungen f¨ur eine Bewegung in x-Richtung, bzw. Abb. 9.5 analog in z-Richtung.

1

Motor Koordinaten qM ∈ R3 , Arm Koordinaten qA ∈ R3 , elastische Koordinaten qe ∈ R14 . Alle Ritzkoordinaten sind in qe inkludiert

9.3 Schwingungsunterdr¨uckung

137

Abb. 9.4 Vergleich Simulation-Messung, xRichtung aE,x in % von aE,x,max

100

Simulation Messung

50

0

50

100

0

1

2

3

4

5

6

7

Zeit in s Simulation Messung

aE,z in % von aE,z,max

100

Abb. 9.5 Vergleich Simulation-Messung, zRichtung

50

0

50

7

8

9

10

11

Zeit in s

12

13

¨ 9.3 Schwingungsunterdruckung Um Schwingungen m¨oglichst gut vorab zu unterdr¨ucken, kann das Verfahren der Sollbahnkorrektur, das detailliert in Kap. 8.3 hergeleitet wurde, verwendet werden. Dabei f¨uhrt eine Taylorreihenentwicklung von Gl.(9.29) um eine Referenzbahn qR direkt auf die modellbasierte Vorsteuerung uo aus den Termen nullter Ordnung. Aus den Termen erster Ordnung k¨onnen die quasistatischen Verformungen bestimmt werden −1 QAA QAe fR yAQ =− , (9.30) qeQ QeA Qee feR siehe Gl.(8.42). Im Unterschied zu Kap. 8.3 werden wegen der drei Antriebe hier nur die Positionen rE , nicht aber die Orientierungen  E ausgeglichen. Die Abweichungen des Endeffektors aufgrund der elastischen Deformationen f¨ur den Roboter bzw. die Referenzbewegung sind

138

9 Elastische Linearroboter

 rE =

 vE  vE yA qe ˙ ˙  qA  qe

(9.31)

FE

 vE =  qR .  q˙ R

 rE,R

(9.32)

FE,R

Um den Fehler zu kompensieren, muss die Forderung  rE +  rE,R = 0 erf¨ullt werden. F¨ur die Bahnkorrektur ergibt sich damit yAQ + . (9.33)  qR = −FE,R FE qeQ Die Sollbahnen f¨ur den Motorfreiheitsgrade lauten also qM,d = qR +  qR

(9.34)

und das PD-Regelungsgesetz u = P(qM,d − qM ) + D(q˙ M,d − q˙ M ) bleibt unver¨andert. Diese Bahnkorrektur beeinflusst die Stabilit¨at des Systems nicht, da nur Sollgr¨oßen in das Regelgesetz eingehen. F¨ur eine aktive Schwingungsd¨ampfung, z.B. Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung liefern die elastischen Verformungen qeQ in Gl.(9.30) die Sollgr¨oßen der Kr¨ummungen. In [HGB08], bzw. Kap. 8.3, wird das Vorgehen anhand eines elastischen Knickarmroboters gezeigt. Ein Vorteil der gezeigten Methode ist, dass sie auch f¨ur komplexe Robotertypen anwendbar ist. Eine weitere Regelungsm¨oglichkeit sind flachheitsbasierte Ans¨atze. Dazu muss das System aber bedeutend reduziert werden, damit die flachheitsbasierte Regelung angewendet werden kann.

9.4 Ergebnisse Die quasistatische Bahnkorrektur (QBK) der Sollbahnen wird mit dem Roboter Abb. 9.1 implementiert. F¨ur die Sollbahnen werden trapezf¨ormige Beschleunigungsverl¨aufe verwendet. Diese erf¨ullen zwar nicht die Forderung nach 4-fach stetiger Sollbahn (bei elastischen Systemen gefordert), sind aber klarerweise bei gleichen Ruck,- Beschleunigungs,- und Geschwindigkeitsgrenzwerten schneller. Abb. 9.6 zeigt die gemessenen Beschleunigungen aE am Endeffektor f¨ur eine langsame Bewegung in Prozent der maximalen Beschleunigung. Dies stellt eine typische Bewegung (I y) im Arbeitszyklus der Maschine dar. Die Amplitude der Bewegung ist 0.2 m. Durch die QBK werden die Beschleunigungen am Endeffektor um den Faktor 7 verkleinert. Die rechte Seite von Abb. 9.6 zeigt den gleichen Versuch mit wesentlich h¨oherer Geschwindigkeit. Auch hier ist die deutliche Verbesserung ersichtlich.

139 100

100

ohne QBK mit QBK

50

aE,y in % von aE,y,max

aE,y in % von aE,y,max

9.5 Zusammenfassung und Ausblick

0 −50

−100

ohne QBK mit QBK

50 0 −50

−100

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Zeit in s

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeit in s

Abb. 9.6 Vergleich der Schwingungen, links: langsame Bewegung, rechts: schnelle Bewegung

9.5 Zusammenfassung und Ausblick In diesem Abschnitt wird ein Verfahren zur Schwingungsunterdr¨uckung von elastischen Robotern pr¨asentiert. Basierend auf einem genauen dynamischen Modell wird eine Vorsteuerung f¨ur den starren Roboter, eine quasistatische Bahnkorrektur und eine PD-Regelung f¨ur die Bahnregelung des Roboters verwendet. Die Messergebnisse in Abb. 9.6 zeigen die guten Ergebnisse der Schwingungsunterdr¨uckung. Um den Arbeitsraum des Roboters zu vergr¨oßern, w¨are beispielsweise denkbar, eine oder mehrere Tandemachsen f¨ur die letzte Achse zu applizieren, siehe Abb. 9.7. Da das Subsystem Teleskopachse bereits hergeleitet ist, stellt dies kein Problem f¨ur die Modellbildung dar.

Abb. 9.7 Ausblick - elastischer Linearroboter mit Tandemachse

Kapitel 10

Industrieroboter

Dieser Teil der Arbeit umfasst die genaue Regelung und Bahnoptimierung von Industrierobotern. Alle vorgestellten Methoden verwenden die Bewegungsgleichung des Roboters als Grundlage. F¨ur die verschiedenen Regelungsverfahren stehen PD-Regelung mit Vorsteuerung, flachheitsbasierte Regelung und dezentrale Nichtlinearit¨atensch¨atzung mit Kompensation zur Auswahl. Eine zeit/energieoptimale Bahnplanung garantiert ein schnelles Arbeiten des Roboters.

10.1 Einleitung Oberstes Ziel bei der Entwicklung von Industrierobotern ist ein schnelles, hochgenaues Ausf¨uhren von T¨atigkeiten. Dabei steht nicht nur mehr die Manipulation von Teilen im Vordergrund, sondern auch das Ausf¨uhren von Bearbeitungsprozessen. Man denke dabei zum Beispiel an die vollst¨andige Fertigung von Bauteilen durch Fr¨asen. Auch in diesem Bereich sollen Industrieroboter die Werkzeugmaschinen ersetzen, da sie vom Arbeitsraum her viel flexibler sind. Der Nachteil des weicheren Aufbaues soll mithilfe von Regelungen ausgeglichen werden. Als Testobjekt steht ¨ RX130L Industrieroboter nach Abb. 10.1 und den Spezifikationen der S T AUBLI nach Tabelle 10.1 zur Verf¨ugung. ¨ S T AUBLI RX130L Industrieroboter Freiheitsgrade Maximale Last

6 10 kg

Reichweite

1660 mm

Gewicht

≈ 200 kg

Tabelle 10.1 Technische Spezifikation

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

141

142

10 Industrieroboter

Um auch aufwendige Regelungskonzepte implementieren zu k¨onnen, wurde der Roboter mit einer Elektronik nach derzeitigem Stand der Technik f¨ur Industrieanlagen umger¨ustet. Ein Industrie PC ist u¨ ber eine Ethernet P OWERLINK Verbindung mit den sechs ACOPOS Servoantriebsreglern (f¨ur die sechs Motoren) verbunden, siehe auch Abb. 10.3. Die Zykluszeit betr¨agt 400  s.

q3 q4 q5

q2

q6 rE ,  E q1

¨ Abb. 10.1 S T AUBLI RX130L

10.2 Grundanforderung Bevor detailliert auf die Regelungskonzepte eingegangen werden kann, m¨ussen einige Grundanforderungen erarbeitet werden. Dazu geh¨oren das Berechnen des dynamischen Modells sowie die Modellidentifikation.

10.2.1 Dynamisches Modell Die Herleitung der Bewegungsgleichung erfolgt mit der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung, siehe Kap. 4. F¨ur die ersten 4 Subsysteme kann auch jenes ¨ Roboter sind aus Kap. 4.2 verwendet werden. Bei dem hier verwendeten S T AUBLI die letzten beiden Achsen kinematisch gekoppelt. In [Rie11] wird daher ein eigenes Subsystem f¨ur diese beiden Achsen hergeleitet. Schlussendlich erh¨alt man die nichtlinearen Bewegungsgleichungen in der Form ˙ = QM . M(q)q¨ + g(q, q)

(10.1)

10.2 Grundanforderung

143

Der Vektor g beinhaltet alle nichtlinearen Terme wie Coriolis-, Zentrifugal-, Gravitations,- und Reibungseffekte. Die generalisierten Kr¨afte QM entsprechen den Motormomenten. Als Minimalkoordinaten q werden die Gelenkwinkel verwendet.

10.2.2 Parameteridentifikation Jeder Roboter enth¨alt eine Vielzahl von kinematischen und dynamischen Parametern. Dazu z¨ahlen die Schwerpunktabst¨ande, Massen, Tr¨agheiten, Reibungsparameter, etc. Daten, die nicht vom Hersteller bekannt gegeben werden, m¨ussen daher identifiziert werden. Geht man von bekannten geometrischen Abmessungen, wie Arml¨angen aus, so kann die Bewegungsgleichung immer in die Form ˙ q) ¨ p = QM  (q, q,

(10.2)

gebracht werden. Die Umrechnung ist allgemein g¨ultig formulierbar [Bre07b]. Der Parametervektor p ∈ Rm setzt sich dabei aus den unbekannten Gr¨oßen pi der einzelnen K¨orper i zusammen pTi = [m mrx mry mrz Ao Bo Co Do E o F o rc rv ]i ∈ R12 .

(10.3)

Die Eintr¨age sind die Masse m, Massen mal Schwerpunktsabst¨ande mrx , mry , mrz , die Elemente des auf den Gelenkpunkt bezogenen Massentr¨agheitstensors Ao , .., F o und die Reibungsparameter rc (coulombsch), rv (viskos). F¨ur die explizite Berechnung der Parameter aus Gl.(10.1) muss der Rang des Gleichungssystem mindestens m sein. Durch Einsetzen von k m Messungen in Gl.(10.2) erh¨alt man das u¨ berbestimmte Gleichungssystem ⎛ ⎞ ⎤ ⎡  (q1 , q˙ 1 , q¨ 1 ) QM,1 ⎜ . ⎟ ⎥ ⎢ .. (10.4) ⎦ p = ⎝ .. ⎠, ⎣ .

 (qk , q˙ k , q¨ k ) :=

QM,k Q

welches mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Fehler e =  p − Q) 4

5T  eT e = Tp −T Q = 0 p 2 −1 T  Q ⇒ p = T

(10.5) (10.6)

nach den unbekannten Parametern aufgel¨ost werden kann. Die L¨osung kann f¨ur Rang( ) = m direkt berechnet werden. Diese Bedingung muss einerseits durch entsprechende Roboterbahnen gew¨ahrleistet werden, wobei im Regelfall die Konditionszahl der Matrix [ T  ] ein Maß f¨ur die Identifizierbarkeit der Parameter ist. In [SGT+ 97] werden Methoden zur Bahnoptimierung vorgestellt. Andererseits m¨ussen

144

10 Industrieroboter

die Parameter p linear unabh¨angig sein. Diese werden in der Literatur als Basisparameter (Baseparameters) pB bezeichnet, siehe [KD04]. Lineare Abh¨angigkeiten k¨onnen effektiv mithilfe des QR Algorithmus eliminiert werden. 10.2.2.1 Elimination der linearen Abh¨angigkeiten Enth¨alt die Informationsmatrix  linear abh¨angige Spalten, so gilt Rang( ) < p und die Komponenten von p sind nicht unabh¨angig voneinander. Um die spaltenabh¨angigen Komponenten zu finden, wird eine QR-Zerlegung ˆR ˆ  =Q

∈ Rn,p

(10.7)

ˆ ∈ Rn,p spaltenorˆ ∈ R p,p eine obere Dreiecksmatrix und Q durchgef¨uhrt, wobei R thonormal ist. ˆ T = R ˆ wird die Spaltenregularit¨at von  u¨ ber das Eigenwertproblem Mit Q ˆ T  ) = det( E − R) ˆ =   − R(i, ˆ i) festgestellt. Sind ein oder mehdet( E − Q ˆ Null, so zeigen die zugeh¨origen Zeilenindizes von rere Diagonalelemente von R T ˆ Q genau die abh¨angigen Spalten in  (bzw. die abh¨angigen Komponenten von p) an. ˆ spaltenorthonormal ist, kann sie durch Transponieren auf die linke Seite geDa Q bracht werden ˆ T  = R, ˆ Q (10.8) mit qˆ Ti ˆ j = 0, f¨ur alle i > j (obere Dreiecksform) und ˆ T = [qˆ 1 . . . qˆ p ]T Q  = ˆ 1 . . . ˆ p ˆ j) = R(i,

qˆ Ti ˆ j .

(10.9) (10.10) (10.11)

Falls,  s abh¨angige Spalten enth¨alt, dann sind durch die entsprechenden Nulleigenwerte qˆ Tk ˆ k = k = 0 die zugeh¨origen Spaltenindizes k bekannt. Nun wird  durch Spaltenvertauschung in die Reihenfolge gebracht, dass erst die unabh¨angigen und dann die abh¨angigen Spalten eingetragen werden

 un ∈ Rn,p−s ,  ab ∈ Rn,s

 = [ un  ab ] mit

 ab =  un 

 ∈ R p−s,s .

(10.12) (10.13)

ˆ ˆ und liefert die Matrix Q, Dieselbe Vertauschung erfolgt mit den Spalten von Q welche orthonormal bleibt. Man erh¨alt dadurch die Gleichung ˆ T  = R, ˆ Q

(10.14)

10.2 Grundanforderung

145

welche mit Gl.(10.12) zu ˆ T [ ˆ Q un  ab ] = Run

ˆ ab R

/

ˆ R = ˆ 11 R21

ˆ R 12 ˆ R 22

0 (10.15)

ˆ ergeben sich dabei zu R ˆ ∈ R p−s,p−s , R ˆ ∈ wird. Die Eintr¨age der Matrix R 11 12 ˆ ˆ ˆ p−s,s s,p−s s,p p−s,p−s R , R21 ∈ R und R22 ∈ R . R11 ∈ R ist eine obere Dreiecksmatrix ˆ ∈ Rs,p ist eine obere Dreimit den von Null verschiedenen Eigenwerten und R 22 ecksmatrix mit den Nulleigenwerten. Durch Einsetzen von Gl.(10.13) in Gl.(10.15) erh¨alt man nun / 0 /.. 0 ˆ R ˆ ˆ ˆ T R R R 11 12 11 11 ˆ ˆ ˆ = Q [ un  un  ] = Run Run  = ˆ ˆ  . ˆ ˆ R21 R22 R R 21 21 (10.16) Daraus folgt die Bestimmungsgleichung f¨ur  ˆ −1 R ˆ  =R 11 12

∈ R p−s,s .

(10.17)

ˆ immer reAufgrund der QR-Zerlegung und der Partitionierung ist die Matrix R 11 ˆ nicht gul¨ar (rechte obere Dreieckstruktur) und  kann berechnet werden. Da R 21 regul¨ar ist, kann ˆ ˆ  =R R (10.18) 21 22 lediglich als Kontrolle dienen. Das Identifikationsproblem Gl.(10.2) wird zu pun =  un (pun +  pab )  p = [ un  un  ] (10.19) pab und der minimale Parametervektor, der den Basisparametern entspricht, lautet pB = pun +  pab

∈ R p−s .

(10.20)

10.2.2.2 Elimination der Beschleunigungen ˙ q) ¨ h¨angt explizit von den BeschleunigunDie Informationsmatrix  =  (q, q, gen ab. Diese werden in Realit¨at durch zeitliches Differenzieren und Filtern der Geschwindigkeiten gewonnen. Die dadurch unumg¨angliche Phasenverschiebung wirkt sich negativ auf das Identifikationsergebnis aus. In [KD04] wird ein Verfahren beschrieben, das ohne Beschleunigungen auskommt. Die Bewegungsgleichung Gl.(10.1) kann auf die Form ¨ ¨ p +  2 (q, q)p ˙ =Q [A1 (q)q...A m (q)q] gebracht werden. Benutzt man die Rechenregel der Differentiation

(10.21)

146

10 Industrieroboter

Ai q¨ =

d ˙ i q˙ ˙ −A (Ai q) dt

(10.22)

so folgt f¨ur Gl.(10.21)

d ˙ + B2 (q, q) ˙ p=Q B1 (q, q) dt

(10.23)

mit ˙ = [(A1 q) ˙ (A2 q) ˙ ... (Am q)] ˙ B1 (q, q) ˙ ˙ ˙ ˙ = [−A1 q˙ − A2 q˙ ... − Am q] ˙ ˙ +  2 (q, q). B2 (q, q)

(10.24) (10.25)

Wendet man ein Filter F(s) auf die Laplacetransformierte von Gl.(10.23) an, so erh¨alt man ˙ + F(s)B2 (q, q)]p ˙ = F(s)Q. (10.26) [sF(s)B1 (q, q) F¨ur die Filterfunktion bietet sich ein Tiefpass der Form F(s) =

1 , ( so + 1)2

(10.27)

mit einer Grenzfrequenz von 10 < o < 40 an. Durch Auswerten von Gl.(10.26) ist das Identifikationsproblem ohne explizite Kenntnis der Gelenkbeschleunigungen m¨oglich.

10.2.3 Modellverifikation Die identifizierten Parameter m¨ussen vor dem Einsatz im Regelgesetz ausreichend verifiziert werden. Dazu werden beim realen Roboter die Motormomente beim Fahren einer Bahn gemessen und diese Momente mit der L¨osung von  pB verglichen. Als Testbahn wird die standardisierte Bahn aus der Norm EN ISO 9238, siehe [ISO98] verwendet. Bei dieser Testbahn werden verschiedene Rechtecke, Kreise und Geraden im Raum abgefahren. Abb. 10.2 zeigt den Vergleich der Momente f¨ur die Achsen 1 bis 3. Achsen 4 bis 6 sind von a¨ hnlicher Qualit¨at.

10.3 Geometrische Kalibrierung Positioniergenauigkeit ist eine grundlegende Forderung an moderne Industrieroboter. Durch Produktions- und Fertigungstoleranzen des Roboters entstehen Abweichungen zum idealen Modell, welches f¨ur die Steuerung und Regelung benutzt wird, wodurch Positionierungsfehler des Endeffektors entstehen. Neben diesen geometrischen Fehlern werden weitere Ungenauigkeiten durch Getriebenachgiebigkei-

MM1 in Nm

10.3 Geometrische Kalibrierung Simulation Messung

5 0 −5

MM2 in Nm

147

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

5 0 −5 −10

MM3 in Nm

6 4 2 0

Zeit in s

Abb. 10.2 Gemessene und simulierte Motormomente

ten, Balkenelastizit¨aten, Reibung, Umkehrspiel und thermische Effekte verursacht. Diese nichtgeometrischen Fehler werden hier nicht betrachtet. Ziel der geometrischen Kalibrierung ist die Erh¨ohung der station¨aren Positioniergenauigkeit des Roboters durch Kompensation der geometrischen Abweichungen. Die meisten Abweichungen lassen sich mit einem globalen Optimierungsverfahren in einem einzigen Identifikationsprozess bestimmen. Dazu wird der Roboter-Endeffektor in einer Reihe von verschiedenen Positionen (und Orientierungen) von einem externen Messsystem vermessen und die Abweichung von nomineller und tats¨achlicher Position (und Orientierung) einem Identifikationsverfahren zugef¨uhrt. Das Ergebnis der Identifikation ist ein verbessertes Robotermodell, das die Kinematik des identifizierten Roboters genauer wiedergibt. Durch Messung von TCP-Position und TCPOrientierung wird eine gr¨oßere Anzahl identifizierbarer Parameter erreicht, als wenn nur die TCP-Position gemessen wird. Eine prinzipielle Unterscheidung der Fehler kann in geometrische Fehler“ und ” nicht geometrische Fehler“ erfolgen. Tabelle 10.2 zeigt die Anteile der Fehlerein” fl¨usse auf die Positionsgenauigkeit aus [Bey04].

10.3.1 Unterscheidung der geometrischen Fehler Die wichtigsten geometrischen Fehler sind Nulllagenfehler, L¨angenabweichungen und Achsenschiefstellungen. Die Rotationsmatrizen A , A und A sind bereits definiert.

148

10 Industrieroboter Geometrische Fehlereinfl¨usse Nulllagenfehler: 80 bis 90%

Nicht geometrische Fehlereinfl¨usse Gelenkelastizit¨aten ohne Last: 3 bis 4% Gelenkelastizit¨aten mit Last: 5 bis 8% Arml¨angen- und Winkelfehler: 5 bis 10% Getriebefehler ¨ (Ubersetzung, Spiel, Reibung): 1 bis 2% Temperatureinfl¨usse: 0 bis 10% Stochastische Fehler (Exzentrizit¨at, Aufl¨osung): 1 bis 2% Tabelle 10.2 Fehlereinfl¨usse

• Nulllagenfehler der Gelenksachsen Darunter versteht man die Abweichungen von den nominellen mechanischen Achsnullstellungen. Sie k¨onnen aus Encoder-Offsets resultieren, aber auch durch statische Verformungen der Gelenke entstehen, die durch hohe Belastungen hervorgerufen werden. Diese Fehler werden meist sehr gut durch die Kalibrierung beseitigt. F¨ur eine Drehachse mit dem Freiheitsgrad qx um die x−Achse liefert A = A | =qx +pqx ,

pqx ≈ 0

(10.28)

die Modellierung des Nulllagenfehlers pqx . • L¨angenabweichungen Durch die Produktionstoleranzen der Einzelteile kann die Verbindung zweier aufeinanderfolgender Roboterachsen in allen drei Koordinatenrichtungen vom Sollwert abweichen. F¨ur einen Achsabstand der L¨ange l in Richtung der x−Achse liefert ⎞ ⎛ l + px (10.29) r = ⎝ py ⎠ , px , py , pz ≈ 0 pz die Modellierung der L¨angenabweichungen. • Achsenschiefstellungen Diese Fehler beschreiben die Abweichungen von der Parallelit¨at oder Orthogonalit¨at zweier aufeinanderfolgender Achsen. Bei der Drehung eines Roboterarmes mit seinem Freiheitsgrad um die Gelenkachse k¨onnen dadurch minimale Drehungen um die anderen beiden Achsen auftreten. F¨ur eine Drehachse, welche parallel zur vorherigen Achse ist und mit dem Freiheitsgrad qx um die x−Achse dreht, bedeutet dies (10.30) A = A | =qx A  =p A  =p , p , p ≈ 0. 

Die Abweichungen der Parameter p und p von Null beschreiben den Parallelit¨atsfehler um die x−Achse. Um die Berechnung zu vereinfachen, und weil die Achsenschiefstellungen sicher klein sein werden, macht es Sinn, hier nur die linearisierten Drehmatrizen zu verwenden

10.3 Geometrische Kalibrierung

⎡

⎤

149

⎤

⎡

⎡

⎤

1 0 0 1 0 − 1 0 A = ⎣ 0 1  ⎦ , A = ⎣ 0 1 0 ⎦ , A = ⎣ − 1 0 ⎦ . 0 − 1  0 1 0 01

(10.31)

10.3.2 Berechnung der Parameter Nach der prinzipiellen Modellierung der geometrischen Parameter m¨ussen diese nun berechnet werden. Mit dem externen Messsystem werden die Endeffektorposition und die Endeffektororientierung gemessen I r0E (z),

AIE (z).

(10.32)

¨ Uber die Vorw¨artskinematik k¨onnen diese Gr¨oßen ebenso in Abh¨angigkeit der Gelenkwinkel q und der unbekannten Parameter pgc I r0E (q, pgc ),

AIE (q, pgc )

(10.33)

angegeben werden. Subtrahiert man beide Gleichungen, so erh¨alt man 12 Gleichungen bei nur 6 unabh¨angigen Freiheitsgraden. Um die 6 unabh¨angigen Elemente zu erhalten, bildet man  rE (z, q, pgc ) := 0, (10.34)  zE =   E (z, q, pgc ) mit •  rE ∈ R3 : Vektor des Positionsfehlers:

 rE (z, q, pgc ) = I r0E (z) − I r0E (q, pgc )

(10.35)

•   E ∈ R3 : Vektor der Orientierung (stellt die Differenz zwischen der gemessenen und berechneten Orientierung dar):

  E = u sin  ,

(10.36)

wobei u (Drehachse) und  (Drehwinkel) aus der Gleichung AIE (z) = rot(u,  ) AIE (q, pgc )

(10.37)

berechnet werden k¨onnen, siehe Kap. 2.1.2.3. Wenn der Orientierungsfehler klein ist (sin  =  ), kann f¨ur die Berechnung auch ⎛

⎞ a32 − a23 1   E = u = ⎝ a13 − a31 ⎠ 2 a21 − a12 verwendet werden, wobei die Elemente ai j aus der Drehmatrix

(10.38)

150

10 Industrieroboter

⎡

⎤

a11 a12 a13 ⎣ a21 a22 a23 ⎦ = AIE (z) A−1 IE (q, pgc ) a31 a32 a33

(10.39)

berechnet werden, siehe Gl.(2.40) f¨ur eine genaue Herleitung. Damit ist der Fehler soweit definiert. Die Berechnung der Fehlerparameter pgc entspricht einem nichtlinearen Optimierungsproblem (Nullstellensuche). Um die Problematik zu vereinfachen, wird vorerst eine TAYLORreihenentwicklung von (0) Gl.(10.34) um den Startparametersatz pgc durchgef¨uhrt   zE (0)  pgc + O 2 + ... = 0, (10.40)  zE =  zE (z, q, pgc ) =  zE (z, q, pgc ) +  pgc p(0) gc  bzw. nach Auff¨ullen mit den Werten f¨ur m Messungen (0) ⎞ ⎛ (0) ⎞  zE (z1 , q1 , pgc )  (q1 , pgc ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ : : ⎟+⎜ ⎟  pgc = 0. ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ : : (0) (0)  zE (zm , qm , pgc )  (qm , pgc ) Q 

⎛

(10.41)

Wie bei der dynamischen Identifikation, siehe Kap. 10.2.2 wird auch hier die Matrix  als Informationsmatrix bezeichnet. Ebenso wird aus Analogiegr¨unden der Vektor der Fehler als Q bezeichnet. Die Ermittlung des Parameters  pgc erfolgt beispielsweise u¨ ber die Methode des kleinsten Fehlerquadrates, die voraussetzt, dass der Fehler e = Q +   pgc unkorreliert ist. Mit T T e e  =  T   pgc +  T Q = 0   pgc 2

(10.42)

erh¨alt man als L¨osung die verallgemeinerte Inverse von  −1 T  pgc = −  T   Q,

(10.43)

wenn ausreichend viele Messungen vorhanden sind, die den vollen Rang garantieren. Die aktuelle L¨osung ist (1)

(0)

pgc = pgc +  pgc .

(10.44)

Zur N¨aherungsl¨osung des nichtlinearen Modells sind weitere Iterationen erforderlich −1 T (n+1) (n)  Q. (10.45) pgc = pgc −  T  (0)

Als Startparametersatz kann pgc = 0 verwendet werden.

10.4 Regelung

151

Nach ca. 5 Iterationen ist die L¨osung konvergiert, und man erh¨alt die absoluten Positionsgenauigkeiten nach Tabelle 10.3. Die inverse Kinematik wird dann mit den nominellen Parametern und den Fehlerparametern pgc ausgewertet. unkalibriert kalibriert ex in m

6.5 · 10−3

0.27 · 10−3

ey in m

19.6 · 10−3

0.31 · 10−3

unkalibriert kalibriert e in

◦

0.4

0.12

e in

◦

2.4

0.19

ez in m 11.6 · 10−3 0.41 · 10−3 e in ◦

1.6

0.13

Tabelle 10.3 statische Endeffektor Fehler

10.4 Regelung Wie in der Einleitung beschrieben, besteht die Hardware des Aufbaues aus einem Industrie-PC, der u¨ ber P OWERLINK mit 6 ACOPOS Servoreglern kommuniziert. ¨ RoDiese stellen die Leistungselektronik f¨ur die 6 Synchronmotoren des S T AUBLI boters dar. In Abb. 10.3 ist der schematische Aufbau des Regelungskonzeptes dargestellt. In dieser Grafik wurde bereits das Regelungskonzept Kaskadenregelung ” mit Momentenvorsteuerung“ eingezeichnet. F¨ur die alternativen Regelungskonzepte, die hier pr¨asentiert werden, m¨ussen dann einzelnen Bl¨ocke ausgetauscht werden. Industrie PC

BP-iK

PL

qd Vorq˙ d q¨ d steuerung

Servoregler

Roboter

QM,vor

qd q˙ d

Kaskadenregelung

QM

Stromregelung & Kommutierung

q q˙

Abb. 10.3 Regelungsschema (PL..P OWERLINK, BP-iK..Bahnplanung, inverse Kinematik )

Der Automation-PC arbeitet mit einer Zykluszeit von 400  s und ist f¨ur die Bahnplanung, inverse Kinematik und evt. Regelungsauswertungen zust¨andig. Die Sollbahnen werden u¨ ber den P OWERLINK Bus auf die Servoantriebe u¨ bertragen. Dies

152

10 Industrieroboter

geschieht ebenfalls im 400  s Takt. Die sich dadurch ergebenden Totzeiten werden f¨ur eine detaillierte Regelungsanalyse sehr wichtig sein. Die Positionsregler des Servoreglers arbeiten ebenfalls im 400  s Takt. Entsprechend schneller sind dann der folgende Geschwindigkeitsregler und der Stromregler.

10.4.1 PD- Regelung mit Momentenvorsteuerung Als erstes nichtlineares Regelungskonzept soll die PD-Regelung mit Momentenvorsteuerung n¨aher beleuchtet werden. In der Literatur wird dieses Verfahren auch als Exakte Feedforward Linearisierung“ bezeichnet, siehe [HD03]. Aus der Bewe” gungsgleichung Gl.(10.1) erh¨alt man durch Einsetzen der Sollwerte die Stellgr¨oße QM,vor = M(qd )q¨ d + g(qd , q˙ d ).

(10.46)

Das entspricht bei exakter Modellierung einer Systeminvertierung. Das vollst¨andige Regelungsgesetz lautet ˙ + QM,vor . QM = KP (qd − q) + KD (q˙ d − q)

(10.47)

Der PD-Regler ist dabei f¨ur die Kompensation von Modellungenauigkeiten, Parametervariationen und externe St¨orungen verantwortlich. Der vollst¨andige Stabilit¨atsbeweis stellt eine große Herausforderung dar. Setzt man die Vorsteuerung in die Bewegungsgleichung ein, so erh¨alt man ein nichtlineares zeitvariantes System. N¨ahere Informationen k¨onnen [Kug08, HD03] entnommen werden. Bei großen Mehrk¨orpersystemen kann die Auswertung von Gl.(10.46) sehr aufw¨andig werden. In [Gat06] wird ein Konzept angegeben, das die Vorsteuermomente wieder auf Basis der Subsysteme berechnet. Außerdem k¨onnen mit diesem Verfahren direkt die Zwangskr¨afte in den Gelenken bestimmt werden, was f¨ur die Dimensionierung des Roboters ausschlaggebend ist. Das Regelungskonzept wird wieder mit der EN ISO NORM 9283 Bahn getestet. Die Geschwindigkeit des Endeffektors ist 1 m/s bei einer max. Beschleunigung von 5 m/s2 . Die Ergebnisse des Endeffektorfehlers in kartesischen Koordinaten sind in Abb. 10.4 dargestellt. Beim Verfahren ohne Vorsteuerung kommt nur der PDRegler, siehe Gl.(10.47) zum Einsatz. Durch die Vorsteuerung wird der Regelfehler drastisch reduziert. Tabelle 10.4 gibt einen Vergleich der Spitze zu Spitze Fehler bzw. der absoluten Endeffektorfehler an.

10.4 Regelung

153 ohne Vorsteuerung Spitze-Spitze

absolut

mit Vorsteuerung Spitze-Spitze

absolut

ex in m 6.21 · 10−3 3.43 · 10−3

9.89 · 10−4 5.81 · 10−4

ey in m 4.81 · 10−3 2.52 · 10−3

9.27 · 10−4 6.09 · 10−4

ez in m

5.09 · 10−3

6.27 · 10−3

1.54 · 10−3 8.09 · 10−4

Tabelle 10.4 Maximale Endpunktfehler

Endpunktfehler in m

5

0

−5 0

10

Endpunktfehler in m

ohne Vorsteuerung

×10−3

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

mit Vorsteuerung

×10−3

20

22

ex ey ez

5

0

−5 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Zeit in s Abb. 10.4 Endpunktfehler mit und ohne Vorsteuerung

10.4.2 Computed Torque Regelung W¨ahlt man als Regelgesetz ˙ QM = M(q)v + g(q, q),

(10.48)

q¨ = v,

(10.49)

so erh¨alt man als Ergebnis

154

10 Industrieroboter

also ein System vom n linearen Doppelintegratoren (q ∈ Rn ). Es ergibt sich somit ein vollkommen lineares Verhalten zwischen dem neuen Systemeingang v und dem Ausgang q. Setzt man ˙ + KP (qd − q) v = q¨ d + KD (q˙ d − q)

(10.50)

mit KD , KP > 0 in Gl.(10.50) ein, so erh¨alt man das Fehlersystem des geschlossenen Kreises ˙ + KP (qd − q) = 0 q¨ d − q¨ + KD (q˙ d − q) e¨ q + KD e˙ q + KP eq = 0.

(10.51) (10.52)

Da die Fehlerdynamik nun festliegt, ist die globale asymptotische Stabilit¨at des Gesamtsystems gezeigt. Die Reglerfaktoren KD , KP k¨onnen beispielsweise u¨ ber Polvorgabe festgelegt werden (s2 + KD s + KP )eˆ = 0. 2 

(10.53)

2

Die Regelbandbreite kann nun u¨ ber die Frequenz  und den D¨ampfungskoeffizient ¨  eingestellt werden. Kritische D¨ampfung (= schnellste Systemantwort ohne Uberschwingen) erh¨alt man f¨ur  = 1. Die Computed Torque Methode (CT) entspricht in der Literatur der inversen Dynamik, (f¨ur diesen Fall) Eingangs/Zustandslinearisierung oder flachheitsbasierten Trajektorienfolgeregelung, siehe z.B. [Isi85, SL90, FLMR95]. Ein Vergleich der Regelfehler bei den verschiedenen Regelungsverfahren der ersten drei Achsen wird in Abb. 10.5 dargestellt. Darin kennzeichnet eLin den Schleppfehler bei PD-Regelung, eCT den Fehler mit der CT Methode und evor den Fehlerehler bei modellbasierter Vorsteuerung und PD-Regelung. Obwohl die CT Methode ebenfalls ein modellbasiertes Regelungsverfahren ist, ist der Schleppfehler doch bedeutend schlechter als bei PD-Regelung mit Vorsteuerung. Dies ist auf die Totzeiten des Bussystems zur¨uckzuf¨uhren, das nur bei der CT Methode ver¨ wendet werden muss (zentrales Regelungsgesetz). Ahnliche Ergebnisse erh¨alt man auch mit der passivit¨atsbasierten Regelungsmethode nach [KD04]. Die Auswertung f¨ur den hier verwendeten Roboter findet sich in [Mab11].

10.4.3 Dezentrale Regelung mit Nichtlinearit¨atensch¨atzung und Kompensation Bei den bisher vorgestellten Verfahren (linearisierende Regelungsverfahren) wird oft bem¨angelt, dass die vollst¨andige Dynamik in Echtzeit kompensiert wird, was (besonders, wenn elastische Getriebe mitmodelliert werden) relativ rechenintensiv ist. Ebenso werden stabilisierende Einfl¨usse, wie z.B. die Fliehkr¨afte, ebenfalls kompensiert und sp¨ater durch den Regler wieder eingebracht. Aufgrund von Tot-

e3 in rad

e2 in rad

e1 in rad

10.4 Regelung ×10−3 2 1 0 −1 0 5

155 eLin eCT evor

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

×10−3

0 −5

0.01 0

−0.01

Zeit in s

Abb. 10.5 Regelfehler bei verschiedenen Verfahren

¨ zeiten im System (Messung der Sensorwerte - Ubertragung auf die CPU - Berech¨ nung des Regelgesetzes - Ubertragung auf Stellelement) k¨onnen die Verst¨arkungsfaktoren nicht beliebig erh¨oht werden. Ziel ist es, wieder ein dezentrales Regelgesetz f¨ur die Regelung von Mehrk¨orpersystemen herzuleiten. Dabei wird von dem nichtlinearen dynamischen Modell 0 MA (qA ) q¨ A + g(qA , q˙ A ) + D q˙ A + K(qA − qM ) = − K(qA − qM ) = iG MMot , MM q¨ M

(10.54)

eines Mehrachsroboters ausgegangen, welches mithilfe von St¨orgr¨oßenbeobachtern in ein erweitertes lineares Modell u¨ bergef¨uhrt wird, um anschließend ein dezentrales Regelungskonzept zu entwerfen1 . Im Gegensatz zu Gl.(10.1) beschreibt Gl.(10.54) einen Roboter mit elastischen Getrieben. Vektor qM sind die Motorwinkel, qA die Armwinkel, die u¨ ber die Steifigkeitsmatrix K verbunden sind. Viskose Reibung wird in diesem Fall nur auf der Getriebeabtriebsseite u¨ ber die D¨ampfungsmatrix D angenommen. F¨ur die Herleitung der Bewegungsgleichung eignet sich wieder die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung. Ein entsprechendes Subsystem ist in Kap. 4.2 angegeben. Ausgehend von den Bewegungsgleichungen Gl.(10.54) kann die Massenmatrix MA (qA ) als Diagonalmatrix mit konstanten Eintr¨agen M0 = diag(Mi0 ) und einen zus¨atzlichen konfigurationsabh¨angigen Teil  M(qA ) betrachtet werden M(qA ) = M0 +  M(qA ).

(10.55)

Die Massenmatrix der Motoren MM enth¨alt nur die Motortr¨agheiten (mit dem Quadrat der Getriebe¨ubersetzungen) MM = diag[JM,i ] = diag[i2G,iCM,i ] und ist nicht kon¨ Die grunds¨atzlichen Uberlegungen gehen auf P.C. M¨uller (Prof. em. Wuppertal) zur¨uck; der entsprechende Regler wird im folgenden PCM-Regler genannt.

1

156

10 Industrieroboter

figurationsabh¨angig. Gleichung (10.54), angeschrieben f¨ur die Einzelachsen, f¨uhrt zu folgender Darstellung M0,i q¨A,i + di q˙A,i + ci (qA,i − qM,i ) + ni = 0 − ci (qA,i − qM,i ) = iG,i MMot,i , JM,i q¨M,i

(10.56)

wobei alle Nichtlinearit¨aten in dem Ausdruck ni zusammengefasst werden. Die einzelnen Komponenten errechnen sich wie folgt: ni (qA , q˙ A ) =

N

  Mi j (qA ) q¨A, j + gi (qA , q˙ A ).

(10.57)

j=1

Da Gl.(10.56) f¨ur alle Gelenke die selbe Darstellung besitzt und wir an einem dezentralen, unabh¨angigen Regelgesetz der Einzelachsen interessiert sind, wird der Index i im folgenden unterdr¨uckt, um die vereinfachte Darstellung 0 M0 q¨A + d q˙A + c(qA − qM ) + n = − c(qA − qM ) = iG MMot JM q¨M

(10.58)

zu erhalten. F¨ur diese Regelung wird also die Bewegungsgleichung f¨ur ein Gelenk betrachtet. Die Kopplung zu anderen Gelenken und nichtlineare Einfl¨usse werden als St¨orung n(t) modelliert. In Zustandsraumdarstellung (Zustand x = [qA q˙A qM q˙M ]) erh¨alt man damit ⎡

0 1 0 ⎢ − Mc − Md Mc 0 0 0 x˙ = ⎢ ⎣ 0 0 0 c 0 − JcM J M

y=

A

⎤ ⎡ 0 0 ⎢− 1 0⎥ ⎥ x + ⎢ M0 ⎣ 0 1⎦ 0 0

N

⎡

⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ n + ⎢ 0 ⎥ MMot ⎣ 0 ⎦ ⎦ ⎤

(10.59)

iG J

M

0010 x

B

(10.60)

C

e = −1 0 0 0 x + qd ,

(10.61)

F

wobei y der messbare Ausgang (Motorwinkel qM ), qd die Sollbahn und e den Regelfehler darstellen. Setzt man f¨ur die Nichtlinearit¨aten st¨uckweise konstante Funktionen voraus, so kann daf¨ur ein Beobachter vˆ1 ≈ n mit linearer Systemtheorie entworfen werden. Zus¨atzlich werden noch die Sollbahn qd und die entsprechenden Zeitableitungen im Vektor vˆ 2 zusammengefasst. Da nur die Sollposition qd auf den Servoregler u¨ bertragen wird, m¨ussen die Zeitableitungen ebenfalls beobachtet werden. Mit diesen Gr¨oßen kann folgender dezentraler Regler verwendet werden MMot = −Kx xˆ − Kv1 vˆ1 − Kv2 vˆ 2 .

(10.62)

10.5 Optimale Bahnen

157

Wie in [M¨ul95b] vorgeschlagen, wird Kx f¨ur die Stabilisierung des linearen Systems verwendet, w¨ahrend vˆ1 und vˆ 2 f¨ur Eliminierung des Schleppfehlers e → 0 f¨ur t →  sorgen. Das Regelungskonzept wird auf jedem der sechs Servoregler implementiert. Abb. 10.6 zeigt einen Vergleich des Endpunktfehlers f¨ur die ersten drei Achsen. Dabei wird der dezentrale Regler (PCM) mit der PD-Regelung mit (PD mit Vorst.) und ohne Vorsteuerung (PD) verglichen. Der Regelfehler des dezentralen Ansatzes weist ein a¨ hnliches Verhalten wie die PD-Regelung mit Vorsteuerung auf. Der Vorteil ist also, dass dieser Regler mit sehr wenig Systemwissen auskommt. PCM Regler PD-Regler mit Vorst. PD-Regler

×10−3

ex in m

5 0 −5

5

10

15

20

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

0 ×10−3

ey in m

5 0

ez in m

−5

0 −0.01 −0.02

Zeit in s Abb. 10.6 Vergleich: Endpunktfehler

10.5 Optimale Bahnen Roboterbahnen werden prinzipiell in kartesischen Koordinaten vorgegeben. Aufgrund der nichtlinearen kinematischen Beziehungen zwischen Welt- und Gelenkkoordinaten k¨onnen hohe Gelenkgeschwindigkeiten und -beschleunigungen entstehen, z.B. in der N¨ahe von Singularit¨aten. Aufgrund von physikalischen Grenzen der Antriebe k¨onnen nicht beliebige Bahnen gefahren werden. Diese Grenzen sind Motorgeschwindigkeiten und Motormomente. Um m¨oglichst wenige Schwingungen anzuregen, sollte auch der Ruck begrenzt werden. In diesem Abschnitt sollen

158

10 Industrieroboter

daher optimale Trajektorien entlang von definierten geometrischen Bahnen wie Geraden, Kreisen, usw., unter Einhaltung physikalischer Beschr¨ankungen, bestimmt werden.

10.5.1 Definierte Bahnen Der Roboter soll dabei auf genau definierten Bahnen bewegt werden. Durch das Einf¨uhren des Bahnparameters  , siehe auch [Joh88], kann eine Trajektorie in Weltkoordinaten durch rE ( ) = zE ( ) ∈ R6 (10.63) zE =  E ( ) beschrieben werden. Der Bahnparameter  =  (t) h¨angt dabei explizit von der Zeit ab, und die entsprechenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind

˙ =

d d ˙ , ¨ = . dt dt

(10.64)

Abb. 10.7 zeigt ein Beispiel f¨ur eine gerade Linie, beginnend bei 0 bis end . F¨ur ¨ Roboter kann die inverse Kinematik analytisch berechnet werden den S T AUBLI q = f(zE ( )),

(10.65)

und die Zeitableitungen lauten d f(zE ( )) = f( , ˙ ) dt d2 q¨ = 2 f(zE ( )) = f( , ˙ , ¨ ). dt q˙ =

(10.66) (10.67)

end

E rE

 0 Abb. 10.7 Beispielbahn Gerade im Raum

10.5 Optimale Bahnen

159

Setzt man diese kinematischen Beziehungen in die Bewegungsgleichung Gl.(10.1) ein, erh¨alt man den Stelleingriff als Funktion des Bahnparameters ¨  , ˙ , ¨ ) + g( , ˙ ). QM = M( )q(

(10.68)

Diese Darstellung erlaubt die Berechnung der Motormomente als Funktion des Bahnparameters und der Zeitableitungen, siehe auch [Rie08]. Es sei noch anzumerken, dass die inverse Kinematik nicht unbedingt analytisch vorliegen muss. Es k¨onnen auch numerische L¨osungen unter Verwendung der JACOBImatrix implementiert werden, siehe [KD04]. Um eine optimale L¨osung f¨ur den Bahnparameter zu finden, kann beispielsweise folgendes G¨utefunktional verwendet werden te -

. k1 + k2 

J = min 0

i

Q2M,i

dt.

(10.69)

Die skalaren Funktionen QM,i sind die Elemente des Vektors QM aus Gl.(10.68). Mit den Entwurfsparametern k1 und k2 kann die Gewichtung zwischen Zeitoptimalit¨at und Energieoptimalit¨at gelegt werden. Nichtsdestotrotz ist die obere Grenze des Integrals in Gl.(10.69) die Endzeit, welche vorab nicht bekannt ist, da sie die L¨osung des Optimierungsproblems darstellt. Eine Transformation von ˙ = ddt ⇒ dt = 1˙ d  f¨uhrt auf ein G¨utefunktional mit konstanten Integrationsgrenzen und  als Integrationsvariable. Tabelle 10.5 fasst das Optimierungsproblem nochmals zusammen. F¨ur die L¨osung kann beispielsweise das Programmpaket MUSCOD-II verwendet werden, das am Zentrum f¨ur wissenschaftliches Rechnen der Universit¨at Heidelberg entstanden ist, siehe auch [DLS01, LBS+ 03]. Dabei wird die Methode des Mehrfach-Schießens [Bet01, NW06] verwendet. Das Optimierungsproblem ben¨otigt neben den physikalischen Beschr¨ankungen noch zus¨atzliche Nebenbedingungen der Form ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ t d ⎝ ⎠ ⎝ ˙ ⎠ ˙ = ˙ , (10.70) d ˙  u die den Zusammenhang zwischen Bahnparameter, -geschwindigkeit, - beschleunigung und dem Eingang u beschreiben. In MUSCOD-II wird dieser Eingang u berechnet. Die Beschleunigung in Gl.(10.68) zur Berechnung der Beschr¨ankung wird beispielsweise u¨ ber d ˙ d ˙ = ¨ = ˙ = ˙ ˙ (10.71) dt d bestimmt. Als Anwendungsbeispiel wird eine Gerade im Raum mit konstanter Orientierung mit der Definition

160

10 Industrieroboter Minimiere end

J = min 

unter

0

1 ˙

-

. k1 + k2  Q2M,i i

⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ t d ⎝ ⎠ ⎝ ˙ ⎠ ˙ = ˙ d ˙ u QM,i,min ≤ QM,i = QM,i ( , ˙ , ¨ ) ≤ QM,i,max ≤ q˙i = q˙i ( , ˙ ) ≤ q˙i,max q¨i,min ≤ q¨i = q¨i ( , ˙ , ¨ ) ≤ q¨i,max q˙i,min

Tabelle 10.5 Problemformulierung in MUSCOD-II.

⎛

⎞ xo + (xend − xo ) ⎜ yo + (yend − yo ) ⎟ ⎟ zE = ⎜ ⎝ zo + (zend − zo ) ⎠ und  ∈ [0, 1] 0

(10.72)

vorgestellt. Die Motormomente sind auf 4 Nm begrenzt. Mit einer Diskretisierung von 200 Schießintervallen wird eine zeitoptimale L¨osung k1 = 1, k2 = 0 mit MUSCOD-II berechnet. Als L¨osung werden Zust¨ande des Optimierungsproblems in Abb. 10.8 pr¨asentiert.

t in s

2 1 0

˙ in 1/s

3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 1 0 20

˙

0

0 −20 −40

 Abb. 10.8 MUSCOD-II Ergebnisse

10.5 Optimale Bahnen

161

Die berechneten Zust¨ande t( ), ˙ und ˙ m¨ussen dann r¨ucktransformiert werden (t( ) →  (t)), um die entsprechenden Gelenkwinkel qd (t) und die Momentenvorsteuerung QM,vor (t) zu erhalten. Dieses Experiment wird wieder am realen Roboter getestet. Abb. 10.9 zeigt einen Vergleich der Vorsteuermomente und der gemessenen Momente f¨ur die Achsen eins und zwei. Es kann eine ausgezeichnete ¨ Ubereinstimmung beobachtet werden. Die markierten Bereiche entsprechen den Momentengrenzen f¨ur die Gelenke.

Q1 in Nm

5

0

Messung Vorsteuerung

−5

0

0.2

0.4

0.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.8

1

1.2

1.4

Q2 in Nm

5

0

−5

Zeit in s Abb. 10.9 Vergleich: Motormomente und Vorsteuermomente

Eine alternative L¨osung f¨ur die zeitoptimale Bahnplanung bei vollst¨andig definierten Bahnen kann u¨ ber die B ELLMAN Optimierung erreicht werden, siehe [Joh88, Bre07b] f¨ur Details. Durch Einf¨uhren der Transformation z = ˙ 2 dz z = d

(10.73) (10.74)

erh¨alt man f¨ur das k-te Motormoment aus der Bewegungsgleichung ak z + bk z + ck = iG,k MMot,k .

(10.75)

Im Phasenraum [z, z ] entspricht das einer Geradengleichung, wobei Geschwindigkeits- und Drehmomentenbeschr¨ankungen direkt eingetragen werden k¨onnen. Da es sich bei Gl.(10.75) um ein eindimensionales Problem handelt (˙ 2 ( )) eignet sich das B ELLMAN Verfahren zur optimalen L¨osung. Detaillierte Anwendungsbeispiele werden in [Gru09] pr¨asentiert. Im Gegensatz zur vorigen Optimierungsmethode ist es hier nicht m¨oglich, zus¨atzliche Ruckbegrenzungen einzuf¨ugen. Einen Vergleich

162

10 Industrieroboter

der beiden L¨osungen zeigt Abb. 10.10. Die L¨osungen sind beinahe identisch. Da beim B ELLMAN Verfahren keine Ruckbegrenzung verwendet wird, wird der Endpunkt minimal schneller erreicht. Zu bemerken ist außerdem, dass die L¨osung u¨ ber das B ELLMAN Verfahren direkt auf dem Industrie-PC implementiert und praktisch online bestimmt werden kann. F¨ur einen expliziten Vergleich der Rechenzeiten kann auf [Rie11] verwiesen werden.

1

Zeit in s

0.8 0.6 0.4

L¨osung B ELLMAN L¨osung M USCOD

0.2 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bahnparameter  Abb. 10.10 Zeitoptimale Bahnplanung, Vergleich: MUSCOD, B ELLMAN

10.5.2 Punkt-zu-Punkt Bahnen Einen interessanten Anwendungsfall stellen auch Punkt-zu-Punkt Bahnen dar. Es kommt also nur auf den Start- und Endpunkt an, w¨ahrend der Bahnverlauf das Ergebnis der Optimierung darstellt. Dabei m¨ussen klarerweise wieder die physikalischen Beschr¨ankungen des vorigen Kapitels eingehalten werden. In [Rie11] werden zwei M¨oglichkeiten zur L¨osung dieses Problems diskutiert. Durch entsprechende Formulierung als Zweipunkt-Randwertproblem kann einerseits eine L¨osung durch das mehrfach Schießverfahren mit dem Programmpaket MUSCOD-II berechnet werden. Andererseits kann das Problem zeitdiskretisiert und allgemein u¨ ber Spline Funktionen parametriert werden. Zur Optimierung kann der Solver f mincon der Optimierungstoolbox unter M ATLAB verwendet werden. Da beide Berechnungsverfahren relativ rechenintensiv sind, steht eine online L¨osung (noch) nicht zur Verf¨ugung.

10.6 Zusammenfassung

163

10.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel wird eine generelle Richtlinie f¨ur schnelle, hochgenaue Roboterbewegungen angegeben. Die Basis f¨ur die Methoden ist das kinematische und dynamische Modell des Roboters. Vorerst gilt es geometrische Fehler, die aufgrund von Fertigungsungenauigkeiten zustande kommen, zu eliminieren. Durch die geometrische Kalibrierung k¨onnen diese Fehler berechnet und korrigiert werden. Das dynamische Verhalten ist Aufgabe der Regelung. Dabei werden drei Verfahren miteinander verglichen. Schlussendlich m¨ussen noch die Sollbahnen f¨ur schnelle Applikationen gefunden werden. Mithilfe des Optimierungsprogramms MUSCOD-II werden zeit/energieoptimale Roboterbahnen generiert. Ein Vergleich mit Messungen zeigt die Effizienz der Methoden.

Kapitel 11

Redundante modulare Roboter

In diesem Abschnitt wird auf die nichtlineare Regelung redundanter Roboter einge¨ gangen. Redundanz f¨uhrt auf eine u¨ berbestimmte Kinematik. Uber Optimierungsmethoden mit geometrischen Nebenbedingungen kann die inverse Kinematik berechnet werden. Die Regelung basiert auf dem detaillierten dynamischen Modell des Roboters, welches u¨ ber die Projektionsgleichung hergeleitet wird. Besonders im Bereich der Service-Robotik ist die Nachgiebigkeit eine wichtige Anforderung. Diese kann u¨ ber verschiedene Impedanzregelungskonzepte, auch ohne Kraft/Momentensensorik, erreicht werden. Auch die Nachgiebigkeit im Nullraum kann gezielt eingestellt werden. Es werden verschiedene Regelungsverfahren verglichen.

11.1 Aufbau Der betrachtete Roboter hat 7 Freiheitsgrade, gekennzeichnet durch die Koordinaten q1 bis q7 . Abb. 11.1 zeigt eine Skizze und ein Photo des realen Roboters. Der Roboter ist aus modularen Antriebseinheiten mit Verbindungselementen aufgebaut. Diese k¨onnen je nach Anwendungsfall vertauscht werden. F¨ur die Antriebseinheiten werden P OWER C UBES der Firma Schunk verwendet. Es handelt sich dabei um Leichtbaurotationseinheiten. B¨urstenlose Gleichstrommotoren in Verbindung mit H ARMONIC D RIVE Getrieben (Getriebe¨ubersetzung iG = 161) liefern ein maximales Drehmoment von 145 Nm. Sowohl Leistungs- als auch Signalelektronik sind bereits in diesem Modul kombiniert. Alle Regelungskonzepte werden in M ATLAB /S IMULINK entworfen und getestet. Mithilfe des Realtime Workshops“ (RTW), wird das lauff¨ahige Regelungspro” gramm f¨ur einen Industrie-PC (Firma Bernecker und Rainer) mit 1.6 GHz automatisch erzeugt. Die Verbindung zu den P OWER C UBES ist durch ein CAN Bussystem ¨ gew¨ahrleistet, welches mit einer Ubertragungsrate von 1 MBaud arbeitet. Aufgrund dieser geringen Datenrate werden 4 CAN Bussysteme verwendet, um eine globale Abtastzeit von 1 ms zu erreichen. Als Messgr¨oßen dienen die Motorwinkel der H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

165

166

11 Redundante modulare Roboter

E q7 FE

q6 q5 q4

rE

q3 q2 Iz

FN q1

Iy

Ix

Abb. 11.1 Redundanter Roboter

P OWER C UBES. W¨ahrend die Motorstr¨ome, stellvertretend f¨ur die Motormomente, als Stellgr¨oßen verwendet werden. Der Endeffektor ist mit einem 6− Achsen Kraft/Momentensensor (ATI FT9033 Delta) ausgestattet, welcher die entsprechenden Signale an das Regelungssystem u¨ bergibt. Abb. 11.2 zeigt das elektrische Schema des Aufbaues. Das Gesamtgewicht des Roboters betr¨agt ca. 20 kg, bei einem Arbeitsraum von 1.5 m. Damit eignet er sich im Speziellen f¨ur die Service-Robotik. Durch die Montage auf eine mobile Plattform k¨onnen damit autonome Transportaufgaben erledigt werden. Visualisierung Matlab Simulink RTW

TCP

4x CAN Echtzeit System

Redundanter Roboter 3 analoge Kraftsignale 3 analoge Momentensignale

Abb. 11.2 Signale

11.2 Kinematik

167

11.2 Kinematik 11.2.1 Vorw¨artskinematik Bei der Vorw¨artskinematik werden aus gegebenen Minimalkoordinaten q die Endeffektor Koordinaten (Endpunktvektor rE , Endpunktorientierung z.B. Kardanwinkel  E ) berechnet (11.1) zTE = (rTE  TE ) = f (q). Jedem K¨orper ist ein Koordinatensystem (i) zugeordnet. Die Verbindung zum Vorg¨angerk¨orper (p) wird durch die Drehmatrix Aip und den Verbindungsvektor p r pi beschrieben. Die Drehmatrizen werden allgemein auch als Kardandrehmatrizen mit Aip = A ,i A ,i A ,i definiert, siehe Tabelle 11.1. Als Rotationsachsen eD = e3 = (0 0 1)T werden die lokalen z-Achsen verwendet. 



A1I

0

0 q1 e3

A21

0

A32

0

A43 A54

 2 − 2

A65

0

AE6

0

 2 − 2

 eD q2 e3 q3 e3

0 q4 e3 0 q5 e3  2 − 2

q6 e3 q7 e3

Tabelle 11.1 Transformationen: Winkel/Drehmatrizen

Mit diesen Definitionen ergibt sich die Drehmatrix zwischen dem Intertialsystem (I) und den Endeffektorsystem (E) als sequentielle Multiplikation der relativen Drehmatrizen E−1

AEI =

 Ai+1,i . i=I

(11.2)

Die Position kann f¨ur den seriellen Roboter als Summe der Vektoren zwischen den Gelenken, jeweils ins richtige Koordinatensystem transformiert, angeschrieben werden E rE

E

=  AE,i−1 i−1 ri−1,i .

(11.3)

i=1

Obwohl der hier betrachtete Roboter aus 7 Gelenken besteht, sind die angegebenen Methoden auch f¨ur allgemeine Robotersysteme mit N Freiheitsgraden g¨ultig. Dies ist eine wichtige Anforderung bei der Behandlung von modularen Robotern. Die Geschwindigkeiten k¨onnen analog zu Gl.(2.110) und Gl.(2.111) angegeben werden

168

11 Redundante modulare Roboter

˜ I p p r pi + p r˙ pi ) i vi = Aip ( p v p + p   = A  + e i i ip p I p D q˙i .

(11.4) (11.5)

Eine Auswertung der Geschwindigkeiten f¨ur den Endeffektor (i = E) ergibt ⎛ ⎞ q˙1 ⎟  z˙ E ⎜ vE ⎜ q˙2 ⎟ = J(q)q, ˙ z˙ E = = (11.6) E  q˙ ⎝ : ⎠ q˙7 mit der JACOBImatrix J(q) ∈ Rm,n . In Gl.(11.6) wird f¨ur die Drehgeschwindigkeit auf  E u¨ bergegangen. Man spricht in diesem Zusammenhang von der geometri” schen“ JACOBImatrix. Ein Manipulator wird als kinematisch redundant bezeichnet, wenn die Anzahl der elementaren Gelenke n gr¨oßer ist als die Anzahl der Variablen zur Beschreibung des Arbeitsraums m, d.h. m < n. Sie stellt die lineare Abbildung der Gelenkgeschwindigkeiten in die Endeffektorgeschwindigkeiten dar, siehe Abb. 11.3 f¨ur eine graphische Interpretation. z˙ E ∈ Rm

q˙ ∈ Rn J

N (J)

R(J) z˙ E = 0

Abb. 11.3 Abbildung der JACOBI-Matrix

Hier kann zwischen Nullraum und Wertebereich unterschieden werden: • Der Nullraum von J ist ein Unterraum N (J) im Rn der Gelenkgeschwindigkeiten q˙ N , die keine Endeffektorgeschwindigkeit erzeugen z˙ E = Jq˙ N = 0.

(11.7)

• Der Wertebereich von J ist ein Unterraum R(J) im Rm der Endeffektorgeschwindigkeiten, die durch die Gelenkgeschwindigkeiten q˙ E ermittelt werden z˙ E = Jq˙ E .

(11.8)

Die Existenz von Unterr¨aumen N (J) = 0 f¨ur einen redundanten Manipulator erm¨oglicht die systematische Handhabung der redundanten Freiheitsgrade. Sei q˙ ∗ eine L¨osung von Gl.(11.6) dann existiert ein Q derart, dass auch q˙ = q˙ ∗ + Qq˙ a

(11.9)

11.2 Kinematik

169

eine L¨osung mit willk¨urlichem Vektor q˙ a ist. Eine Multiplikation dieser Gleichung mit J liefert (11.10) Jq˙ = Jq˙ ∗ + JQq˙ a = z˙ E , weil JQq˙ a = 0 f¨ur beliebige q˙ a gilt. Der Beweis erfolgt durch explizites Ausrechnen JQq˙ a = 0 J (E − J+ J) q˙ a = 0

(11.11) mit J+ = JT (JJT )−1

(11.12)

Q

(JE − JJ+ J)q˙ a = 0 (J − J)q˙ a = 0.

(11.13) (11.14)

Die Matrix Q = (E − J+ J) mit J+ = JT (JJT )−1 ist die rechte Moore Penrose Pseudoinverse von J. Sie projiziert also einen willk¨urlichen Geschwindigkeitsvektor q˙ a in den Nullraum des Systems. Diese Projektion wird auch bei der Nullraum Impedanzregelung in Kap. 11.5.2 wichtig sein. Die Existenz des Nullraums kann in weiterer Folge gezielt ausgenutzt werden. So lassen sich beispielsweise Hindernisund Singularit¨atsvermeidung und eine Erweiterung des Arbeitsraumes realisieren.

11.2.2 Inverse Kinematik Es gibt verschiedene Verfahren zur Behandlung der inversen Kinematik redundanter Systeme. Hier soll vorerst ein Verfahren auf Geschwindigkeitsebene vorgestellt werden. Die L¨osung der inversen Kinematik auf Geschwindigkeitsebene kann aus Sicht der Optimierung als ein System mit quadratischer Zielfunktion und linearer Nebenbedingungen aufgefasst werden. Die quadratische Zielfunktion ergibt sich aus einem energetischen Ansatz 1 ˙ ˙ = q˙ T Wq˙ − pT q. Z (q) 2

(11.15)

Darin ist W eine Gewichtungsmatrix und p ein Gewichtungsvektor, die noch spezifiziert werden m¨ussen. Die Nebenbedingung ist die Vorw¨artskinematik auf Geschwindigkeitsebene ˙ = J(q)q˙ − z˙ E = 0. (11.16) N (q) Durch Einf¨uhren von L AGRANGEschen Multiplikatoren  k¨onnen die Nebenbedingungen mit der Zielfunktion kombiniert werden. Die sich ergebende Funktion wird als L AGRANGE Funktion bezeichnet ˙ +  T N (q). ˙ ˙  ) = Z (q) L (q,

(11.17)

Die notwendigen Bedingungen f¨ur ein lokales Extremum erh¨alt man aus den partiellen Ableitungen

170

11 Redundante modulare Roboter

L = Wq˙ − p + JT  = 0  q˙ T L ˙ = 0. = N (q) T

(11.18) (11.19)

Fasst man diese Gleichungen zusammen, so erh¨alt man ein lineares Gleichungssystem in den Geschwindigkeiten q˙ p q˙ W JT = . (11.20) z˙ E  J 0 Das Gleichungssystem besitzt eine quadratische Form, so dass eine klassische Inversion bei Regularit¨at der Matrix erfolgen kann. Das ist bei einer positiv definiten Matrix W und der Bedingung Rang J = m der Fall. Die Matrix W wird in der Regel als Diagonalmatrix beschrieben, wobei die Gewichtung der Diagonalelemente vorgenommen werden muss. Je gr¨oßer die Beweglichkeit eines Gelenks sein soll, desto kleiner muss sein zugeh¨origer Eintrag in der Diagonalen sein, a¨ hnlich dem LQR-Entwurf f¨ur lineare Systeme. F¨ur eine energieoptimale Bewegung des Roboters kann die Massenmatrix M eingesetzt werden, da in der Zielfunktion dann direkt die kinetische Energie steht. Der Berechnungsaufwand steigt dadurch aber entscheidend. Der Gewichtungsvektor p kann als k¨unstliche verallgemeinerte Kraft bezeichnet werden. Im Folgenden werden einige n¨utzliche Bedingungen vorgestellt. Zur Vermeidung singul¨arer Stellungen werden in die Gelenke k¨unstliche Federn eingesetzt, die m¨ogliche Strecklagen in den Gelenken verhindern (Index att...Attraktor) patt,i = ci (q0,i − qi ),

(11.21)

wobei q0 die bevorzugte Konfiguration der Gelenke bezeichnet. Die Elemente ci > 0 stellen die Federkonstanten der Gelenke dar. Eine wichtige Begrenzung bei Robotern sind die Gelenksr¨aume. Die P OWER C U BES haben einen maximalen Arbeitsbereich von ±180◦ . Hier k¨ onnen lineare oder nichtlineare Federn in den Randzonen der gew¨unschten Begrenzungen eingebaut werden, siehe Abb. 11.4.

k qmax

q qmin Abb. 11.4 Gelenkbegrenzungen

11.2 Kinematik

171

prep kann f¨ur das i-te Gelenk beispielsweise als (Index rep...Repeller) prep,i = ki  qi ,

(11.22)

mit  qi = qi − qmax,i f¨ur die maximale Auslenkung und analog  qi = qi − qmin,i f¨ur den minimalen Begrenzungswinkel angegeben werden. F¨ur die virtuellen Federn ki k¨onnen auch verschiedene nichtlineare Funktionen verwendet werden, siehe [Hof10] f¨ur einen Vergleich von verschiedenen Funktionen. Parallel geschaltete D¨ampfer erh¨ohen die Stabilit¨at. Die Kollisionsvermeidung im Arbeitsraum ist durch die geeignete Wahl eines Vektors pkoll m¨oglich. Beispielsweise k¨onnen um Hindernisse abstoßende Federn a¨ hnlich der Gelenkbegrenzungen eingef¨ugt werden. Ein Beispiel zur Kollisionsvermeidung wird in [Sch11] gezeigt. Außerdem erweist sich die Begrenzung der Gelenkgeschwindigkeiten als sinnvoll. Die maximale Geschwindigkeit der verwendeten Antriebseinheiten ist 150◦ /s. Diese lassen sich u¨ ber ein lineares D¨ampfungsgesetz pdiss = Ddiss q˙

(11.23)

in den Vektor p einbringen. Auch hier stehen die den Gelenken zugeordneten D¨ampfungen in der Hauptdiagonalen der Matrix Ddiss . Als resultierendes Gleichungssystem erh¨alt man patt + prep + pkoll q˙ WD JT = , (11.24) z˙ E  J −kE mit WD = W − Ddiss . Dieses kann nun einfach nach den Geschwindigkeiten q˙ und dem Parameter  aufgel¨ost werden. Der Berechnungsaufwand ist groß, da die Matrix auf der linken Seite von Gl.(11.24) die Dimension Rm+n,m+n hat. Diese muss in Echtzeit invertiert werden. Durch Vormultiplikation der ersten Gleichung von Gl.(11.24) mit JW−1 D und Subtraktion der zweiten Gleichung kann der L AGRANGE Parameter explizit berechnet werden T −1 −1 ˙ E ).  = (JW−1 D J + kE) (JWD (patt + prep ) − z

(11.25)

Setzt man Gl.(11.25) in Gl.(11.24) ein, so erh¨alt man f¨ur die Minimalgeschwindigkeiten J+ z˙ E (11.26) q˙ = (E − J+ J)W−1 D (patt + prep ) + Nullraum

Endeffektor

mit der gewichteten Pseudoinversen T −1 T −1 J+ = W−1 D J (JWD J + kE) .

(11.27)

Die zeitliche Integration von Gl.(11.26) liefert die gesuchten Sollwinkel q. Aufgrund von numerischen Drifts muss eine Stabilisierung der Integration durchgef¨uhrt werden. Gl.(11.24) wurde außerdem um den Faktor −kE erweitert, welcher in

172

11 Redundante modulare Roboter

der N¨ahe von singul¨aren Stellungen eine L¨osung garantiert (robuste Invertierung). Formal wird dieser durch Erweiterung der Nebenbedingungen N mit −kE eingef¨uhrt. Als Maß f¨ur die N¨ahe zu Singularit¨aten wird der Manipulierbarkeitsindex 8 (11.28) w(q) = det(JJT ) verwendet. Die robuste Invertierung soll nur in der N¨ahe von Singularit¨aten durchgef¨uhrt werden. Eine m¨ogliche Wahl von k lautet daher w 2 falls w < w0 k = k0 1 − w0 k=0 falls w ≥ w0 .

(11.29) (11.30)

Eine sinnvolle Gr¨oßenordung von k0 und w0 liegt bei 10−3 , muss aber je nach Anwendungsfall gesondert betrachtet werden. k k0

Abb. 11.5 Wahl des D¨ampfungsfaktors k

w0

w

11.2.3 Bahnplanung Die Bahnplanung kann in einen geometrischen Teil, bestehend aus Standardabschnitten wie Geraden, Kreisen, Klothoiden und Splines, und einen zeitabh¨angigen Teil unterteilt werden. Das Zeitverhalten wird durch den Bahnparameter  (t) und der Geschwindigkeit ˙ (t) vorgegeben. Um keine physikalischen Geschwindigkeitsgrenzen auf Gelenksebene zu verletzen, wird das Verfahren der dynamischen Bahnskalierung angewendet, siehe [SS04]. Sobald ein Gelenk an die Geschwindigkeitsgrenze kommt, wird die Bahngeschwindigkeit  um den Skalierungsfaktor  verringert. Damit ist auch das Verhalten in der N¨ahe von Singularit¨aten vorgegeben, da ja in diesen Bereichen die Gelenksgeschwindigkeit stark ansteigt. In Abb. 11.6

11.3 Dynamik

173

Skalierungsfaktor 

wird der Skalierungsfaktor schematisch f¨ur die Bahn aus der Norm EN ISO 9238, dargestellt. 1 0.8 0.6 0.4 0

10

5

15

20

25

Zeit in s Abb. 11.6 Profil Bahngeschwindigkeit

11.3 Dynamik Die Bewegungsgleichungen werden wieder mit der Projektionsgleichung in Subsystem Darstellung Nsub



n=1

 y˙ n  q˙

T

⎛

⎞  vs T Nn ⎜ ˙ + R ˜ IR R p − R fe  y˙ n ⎟ Rp ⎜ ⎟  ⎝   s ⎠ R L˙ + R ˜ IR R L − R Me = 0 i i=1  y˙ n Mn y¨ n + Gn y˙ n − Qn

(11.31)

berechnet. Durch die Auswertung der Summe u¨ ber die einzelnen Subsysteme in Gl.(11.31) eignet sich dieses Verfahren wieder ideal zur Beschreibung modularer Roboter.

11.3.1 Subsystem Formulierung Das hier verwendete Subsystem besteht aus einer Motor (Index M) - Arm (Index A) Kombination. Im Gegensatz zum Subsystem aus Kap. 4.2 wird also hier von einem starren Getriebe ausgegangen. Als beschreibende Geschwindigkeiten werden ˙ Tn verwendet, wobei vo ,  F die F¨uhrungsgeschwindigkeiten und q˙ die y˙ n = (vo  F q) relative Gelenkgeschwindigkeit darstellt, siehe Abb. 11.7.

174

11 Redundante modulare Roboter mA JA

Abb. 11.7 Skizze des verwendeten Subsystems

F

rs eD

vo

q

mM JM

Die Schwerpunktgeschwindigkeiten f¨ur die einzelnen K¨orper sind ⎞ ⎛ vo T T ˜ ˜ vs E rs rs eD ⎝ F ⎠ = s A 0 E eD q˙

(11.32)

FA

und

vs s

⎞ vo E0 0 ⎝ F ⎠ , = 0 E iG eD q˙

M

⎛

(11.33)

FM

wobei die Drehgeschwindigkeit des Motors der Gelenkgeschwindigkeit q˙ mal Getriebe¨ubersetzung iG entspricht. Die Massenmatrix kann direkt aus Gl.(11.31) berechnet werden T mA E 0 T mM E 0 F + FM F (11.34) M = FA 0 JsA A 0 JsM M und lautet explizit f¨ur das n-te Teilsystem ⎤ ⎡ m˜rTs eD mE m˜rTs JoA + JM (J M iG + JoA ) e D ⎦ , Mn = ⎣ m˜rs T T o T meD r˜ s eD (JM iG + JA ) eD JM i2G + JoA eD n

(11.35)

mit m = mA + mM , JoA = JsA + mA r˜ s r˜ Ts . F¨ur die G-Matrix gilt analog G=

M

 (FTi

i=A

˜ IR mi 0 mi E 0 ˙ T  F Fi ) + F i i 0 Jsi 0 ˜ IR Jsi

⎤ m˜ IR r˜ Ts m˜ IR r˜ Ts eD m˜ IR ˜ IR (JoA + JM ) ˜ IR (JM iG + JoA ) eD ⎦ Gn = ⎣ m˜rs ˜ IR T T meD r˜ s ˜ IR eD ˜ IR (JM iG + JoA ) eTD ˜ IR JoA eD n ⎡

und die generalisierten Kr¨afte sind

(11.36) (11.37)

11.3 Dynamik

175

Qn =

M

 FTi

i=A

⎛

fe Me ⎞ ⎛

(11.38)

⎞ 0 g ⎠ . 0 = m ⎝ r˜ s g ⎠ + ⎝

e eTD r˜ s g n iG MMot − MReib n

(11.39)

Vektor g = ARI (0 0 g)T ist der Gravitationsvektor im Referenzsystem und MMot ist das Motormoment. Eine Identifikation der Gelenkreibung MReib (H ARMONIC D RIVE Getriebe) f¨uhrt auf die Charakteristik 2 . q˙n − aq˙n MReib,n = a1 q˙n + tanh a2 + (a3 − a2 )e 4 , (11.40)  mit den Reibungsparametern a1 ..a4 , siehe [Hof10] f¨ur Details. Die tanh Funktion eignet sich aufgrund des glatten Verlaufes zur Beschreibung der C OULOMBschen Reibung.

11.3.2 Kinematische Kette Auf die kinematische Kette wurde im Detail in Kap. 4.2 eingegangen. F¨ur den hier vorgestellten Roboter lautet sie ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ Anp Anp p r˜ Tnp Anp p r˜ Tnp eD,p 0 y˙ n = ⎣ 0 (11.41) Anp Anp eD,p ⎦ y˙ p + ⎝ 0 ⎠ q˙n , 1 0 0 0 Tnp

Fn

siehe Abb. 11.8. Mit Gl.(4.29) ist damit die gesamte kinematische Kette f¨ur den Roboter und die globale Funktionalmatrix F zur Projektion der Subsysteme definiert.

11.3.3 Bewegungsgleichung Die Projektion der Subsysteme in den Minimalraum liefert die Bewegungsgleichung in Standardform ˙ = Q + Qext , (11.42) M(q)q¨ + g(q, q) mit der Massenmatrix M, dem Vektor der nichtlinearen Terme, wie Coriolis-, Zentrifugal-, Reibungs- und Gravitationskr¨aften g und den generalisierten Motormomenten Q. Gl.(11.42) wurde noch um die generalisierten Kr¨afte Qext erweitert, welche von externen Kr¨aften, die am Roboter angreifen, kommen. Diese werden

176

11 Redundante modulare Roboter qn

Abb. 11.8 Kinematische Kette

 F,n vo,n (n) vo,p

 F,p

rnp

(p)

einfach u¨ ber das Prinzip der virtuellen Arbeit in die Bewegungsgleichung eingef¨ugt . T  r I i  W =  qT Qext = I rTi I Fext,i =  qT (11.43) I Fext,i . q

11.4 Aktive Impedanzregelung Ein einfaches Verfahren zur kraftbasierten Regelung eines Roboters ist die aktive ¨ Impedanzregelung im Konfigurationsraum. Uber einen 6- Achsen Kraft/Momentensensor werden die entsprechenden Gr¨oßen am Endpunkt gemessen. Mit der JACOBI Matrix k¨onnen diese in den Gelenkraum transformiert werden E FE T . (11.44) Qext = J (q) E ME Die Impedanz ist dabei f¨ur jedes Gelenk als mi  q¨i + di  q˙i + ki  qi = Qext,i

(11.45)

definiert. Mit den Parametern mi , di , ki , kann aus Gl.(11.45) die Impedanzposition  qi ermittelt werden. Diese wird als Sollposition f¨ur die unterlagerte Positionsregelung verwendet: qd,i = qre f ,i +  qi . qre f ,i ist die Refererenzbahn, welche sich aus der Bahnplanung in Weltkoordinaten und inversen Kinematik ergibt. Da die Impedanz im Konfigurationsraum definiert ist, muss auch nicht auf Singularit¨aten eingegangen werden. Das Konzept stellt ein sehr einfaches Verfahren zur Nachgiebigkeitsregelung dar. Diese erfolgt aber nur aufgrund von externen Kr¨aften/Momenten, die am Sensor gemessen werden k¨onnen. In allen anderen F¨allen verh¨alt sich der Roboter starr.

11.5 Passive Impedanz Regelung

177

11.5 Passive Impedanz Regelung Bei dieser Regelungsmethode wird die Nachgiebigkeit ohne externe Kraft/Momentenmessung erreicht.

11.5.1 Endeffektor Impedanzregelung F¨ur die Impedanzregelung des Endeffektors, muss die Bewegungsgleichung Gl.(11.42) in den Operationsraum transformiert werden. Dazu werden vorerst die Minimalbeschleunigungen f¨ur den redundanten Roboter berechnet, um eine Transformationsregel zu finden. In Analogie zu den Geschwindigkeitsbetrachtungen in ¨ = 12 q¨ T Mq¨ − pT q¨ gew¨ahlt. Kap. 11.2.2 wird in diesem Fall die Zielfunktion Z (q) Das dynamische Verhalten ist durch die Massenmatrix M im G¨utefunktional ent¨ = J(q)q¨ + halten. Mit den Nebenbedingungen auf Beschleunigungsebene N (q) ˙ q˙ − z¨ E = 0 lauten die Minimalbeschleunigungen J(q) ˙ + (E − J+ J)M−1 p q¨ = J+ (¨zE − J˙ q) Endeffektor

(11.46)

Nullraum

= q¨ E + q¨ N ,

(11.47)

mit der gewichteten Pseudoinversen J+ = M−1 JT (JM−1 JT )−1 ,

(11.48)

die mit dem dynamischen System vertr¨aglich ist, siehe auch [HS95]. Eine Vormultiplikation der Bewegungsgleichung Gl.(11.42) mit der Transponierten der gewichteten JACOBImatrix (JM−1 JT )−1 Jq¨ = J+T (Q + Qext − g)

(11.49)

und Substitution der Minimalbeschleunigungen von Gl.(11.47) ergibt ˙ + J+T g = J+T Q + J+T Qext , (JM−1 JT )−1 (¨zE − J˙ q)

(11.50)

da die Nullraum-Bewegungen in diesen Koordinaten verschwinden. Ein Zusammenfassen der Terme in Gl.(11.50) f¨uhrt auf die Bewegungsgleichung im Operationsraum  z¨ E +  = F + Fext (11.51) mit

178

11 Redundante modulare Roboter

 = (JM−1 JT )−1  = J+T g − (JM−1 JT )−1 J˙ q˙ F = J+T Q Fext = J+T Qext .

(11.52) (11.53) (11.54) (11.55)

Im Falle von Rang(J) < m versagt die Berechnung von  . Das kann aber wieder durch eine robuste Invertierung in der N¨ahe von singul¨aren Stellungen  = (JM−1 JT + kE)−1 umgangen werden. 11.5.1.1 Entkopplung Substituiert man einen kompensierenden Regler der Form F =  w + ,

(11.56)

mit dem neuen Regeleingang w in die Bewegungsgleichung Gl.(11.51), so ergibt sich z¨ E = w +  −1 Fext . (11.57) Eine m¨ogliche Wahl f¨ur den neuen Regeleingang w = z¨ E,d − D(˙zE − z˙ E,d ) − K(zE − zE,d ),

(11.58)

welcher die Sollwerte des Endeffektors (Index d) miteinbezieht, f¨uhrt auf die Dynamik  (¨zE − z¨ E,d ) +  D(˙zE − z˙ E,d ) +  K(zE − zE,d ) = Fext . (11.59) Nichtsdestotrotz scheitert die Entkopplung der Fehlerdynamik Gl.(11.59) beim Vorhandensein von externen Kr¨aften. Die effektive Steifigkeit  K und D¨ampfung  D h¨angt von der aktuellen Position des Roboters ab. Aufgrund der nicht Integrierbarkeit der Drehgeschwindigkeiten ist außerdem eine Systemaufteilung in Translations- und Rotationsrichtung ratsam Kt 0 Dt 0 wt ,K = ,D = . (11.60) w= wr 0 Kr 0 Dr F¨ur den translatorischen Anteil, f¨uhrt eine Definition des Positionsfehlers et = I rE − und die Wahl

I rE,d

wt = I r¨ E,d − Dt (I r˙ E − I r˙ E,d ) − Kt (I rE − I rE,d )

(11.61)

auf die Fehlerdynamik von e¨ t + Dt e˙ t + Kt et =  −1 Fext ,

(11.62)

11.5 Passive Impedanz Regelung

179

welche f¨ur Dt , Kt > 0 stabil ist. Eine m¨ogliche Wahl von Kt = diag(kx , ky , kz ) erlaubt die gezielte Einstellung der Nachgiebigkeit in spezielle Richtungen durch einen niedrigen Eintrag ki . Die Fehlerdynamik Gl.(11.62) ist im Inertialsystem definiert. Soll die Nachgiebigkeit in willk¨urliche Richtungen, gekennzeichnet durch eine Drehmatrix ACI , wirken, so ist eine Fehlerdynamik der Form ¨t Ce

+ C Dt C e˙ t + C Kt C et = 0

(11.63)

(externe Kr¨afte vernachl¨assigt) gesucht, wobei C Kt = diag(kx , ky , kz ) gilt. Das Regelgesetz, welches im Inertialsystem definiert wurde, muss also transformiert werden. Ein analoges Vorgehen f¨ur die D¨ampfungsmatrix f¨uhrt auf ¨t Ie

+ AICC Dt ACI I e˙ t + AICC Kt ACI I et = 0. Dt

(11.64)

Kt

F¨ur den rotatorischen Teil muss ein entsprechendes Maß f¨ur den Regelfehler gefunden werden. Es soll eine analoge Fehlerdynamik wie im Translationsanteil Gl.(11.62) angesetzt werden. Eine Definition des Fehlers u¨ ber die Kardanwinkel ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d  (11.65) e = ⎝ d ⎠ − ⎝  ⎠ d  f¨uhrt im Bereich von  =  /2 zu Problemen aufgrund der Singularit¨aten der Kardan Darstellung, siehe [SV99]. Es kommt in diesem Fall zu einem Rangverlust in der Transformationsmatrix T ⎛ ⎞ ˙ T T T ˙ (11.66) I  E = [e1 A e2 A A e3 ] ⎝  ⎠ . ˙ T( ) ¨ Der Ubergang zum alternativen Kardanwinkelfehler   l¨ost dieses Problem. Diese Methode benutzt die Differenz zwischen der Soll- und der aktuellen Drehmatrix  A(  ,   ,   ) = AEI,d AIE , aus welcher der Kardanwinkelfehler   berechnet wird. Analog zu Gl.(11.66) ergibt sich f¨ur die Differenz der Drehgeschwindigkeiten I  E,d

bzw.

˙E I

−I  E = T(  ) ˙

(11.67)

˙  ˙ = I ˙ E,d − T ¨ − T

(11.68)

nach einer zeitlichen Differentiation. Die Wahl ˙  ˙ wr = I ˙ E,d + T(Dr  ˙ + Kr   ) − T f¨uhrt auf eine Fehlerdynamik von

(11.69)

180

11 Redundante modulare Roboter

 ¨ + Dr  ˙ + Kr   =  −1 Fext .

(11.70)

Die Stabilit¨at ist wieder durch positiv definite Matrizen Dr , Kr > 0 gesichert.

F in N

50

Fx

0

Fy Fz

−50 0

5

10

5

10

15

20

25

15

20

25

0.1 0

et,x

−0.2

et,x

−0.3

et,z

e in m

−0.1

−0.4

0

Zeit in s

Abb. 11.9 Messungen - entkoppelte Impedanzregelung

Abb. 11.9 zeigt Messergebnisse dieser Regelung. Eine externe Kraft FE wird am Endeffektor des Roboters angebracht, siehe Abb. 11.1. Sie wird u¨ ber den Kraft/Momentensensor gemessen, aber nicht im Regelungskonzept verwendet. Mit der Wahl von Kt = diag(1000, 20, 1000) und Dt = diag(50, 50, 50) wird die I yRichtung als nachgiebig ausgew¨ahlt. Man erkennt in Abb. 11.9, dass eine Kraft in y-Richtung zu einem Ausweichen in y-Richtung f¨uhrt, w¨ahrend Kr¨afte in die anderen Richtungen keinen Einfluss auf den Endeffektor haben. 11.5.1.2 Teilweise Entkopplung Gl.(11.59) zeigt, dass die totale Entkopplung der Fehlerdynamik aufgrund der externen Kr¨afte versagt. In [Ott08] wird eine alternative M¨oglichkeit f¨ur den kompensierenden Regleranteil angegeben, F =  z¨ E,d + D(˙zE − z˙ E,d ) + K(zE − zE,d ) +  ,

(11.71)

was auf die Dynamik von

 (¨zE − z¨ E,d ) − D(˙zE − z˙ E,d ) − K(zE − zE,d ) = Fext ,

(11.72)

11.5 Passive Impedanz Regelung

181

f¨uhrt. In diesem Fall ist das System nur bei einer Beschleunigungsdifferenz gekoppelt. Die zugeh¨origen Ergebnisse sind in Abb. 11.10 zu sehen. Das Experiment ist identisch mit dem vorigen Fall in Abb. 11.9.

F in N

50

0 −50

Fx Fy Fz

0

5

10

5

10

15

20

25

15

20

25

0.2

e in m

0 −0.2

et,x et,y et,z

−0.4 0

Zeit in s

Abb. 11.10 Messungen - teilweise Entkopplungsregelung

Auch in diesem Fall wird die y Richtung durch die Matrizen Kt = diag(5000, 100 , 5000) und Dt = diag(20, 20, 20) nachgiebig gemacht. Um a¨ hnliche Ergebnisse zu erhalten, mussten die Steifigkeiten leicht erh¨oht werden, vgl. Abb. 11.9. Ebenso muss wieder die Auftrennung in den Translations- und Rotationsteil durchgef¨uhrt werden. 11.5.1.3 Implementierung F¨ur die Implementierung des Regelungskonzeptes wird der linearisierende Regler Gl.(11.56) mit der Wahl f¨ur die virtuellen Eing¨ange Gl.(11.61) und Gl.(11.69) in den Konfigurationsraum (Motormomente) transformiert QE = JT F.

(11.73)

Bei genauer Betrachtung der Linearisierungsprozedur wird eine Vereinfachung offensichtlich. Die Bewegungsgleichungen Gl.(11.42) werden in den Operationsraum transformiert, wobei die nichtlinearen Terme g zu  werden. Diese Nichtlinearit¨aten werden dann u¨ ber den Regler Gl.(11.56) kompensiert, und anschließend erfolgt die R¨ucktransformation in den Konfigurationsraum mit Gl.(11.73). Um Re-

182

11 Redundante modulare Roboter

chenzeit zu sparen, sollte der nichtlineare Term g direkt im Konfigurationsraum kompensiert werden.

11.5.2 Nullraum Impedanzregelung Im vorigen Kapitel wurde gezielt auf die Nachgiebigkeit des Endeffektors eingegangen. F¨ur redundante Roboter kann das Verfahren auch auf den Nullraum erweitert werden. Eine m¨ogliche Wahl f¨ur das Nullraummoment ist QN = Mq¨ N = M(E − J+ J)M−1 p = (E − JT J+T )p,

(11.74)

mit der Nullraumbeschleunigung aus Gl.(11.47), die ja den Endeffektor nicht beeinflusst. Der Vektor p dient wiederum als Eingangsgr¨oße zum Beeinflussen des Nullraums. Eine Wahl (analog zur inversen Kinematik) von p = KN (qd − q) − DN q˙ + prep

(11.75)

f¨uhrt auf eine einstellbare Nullraumsteifigkeit KN und D¨ampfung DN . Ein vollkommen freier Nullraum kann durch KN = 0 erreicht werden. Die D¨ampfungsmatrix ist auf DN = diag(20, .., 20) ∈ Rn gesetzt. Um die Achsengrenzen zu ber¨ucksichtigen, werden r¨uckstellende Kr¨afte prep von Gl.(11.22) eingef¨ugt. Die experimentellen Ergebnisse dieser Regelung werden in Abb. 11.11 gezeigt. Eine externe Kraft FN wirkt am zweiten Arm des Roboters, siehe Abb. 11.1. Diese kann aber nicht gemessen werden, da in den Gelenken keine Momentensensorik vorhanden ist. Der Roboter antwortet vor allem mit einer Bewegung der Winkel q1 and q3 . Die anderen Achsen bewegen sich kaum und sind in Abb. 11.11 daher nicht gezeichnet. Am Endeffektor ist nur ein kleiner Fehler (e < 1mm) beobachtbar.

11.5.3 Implementierung - Gesamtregelung Das gesamte Regelungsschema zeigt Abb. 11.12. Der Roboter wird durch die Momente aufgrund der Endeffektorimpedanz Gl.(11.73) und der Nullraumimpedanz Gl.(11.74) mit (11.76) Q = QE + QN , angetrieben. Diese beeinflussen sich gegenseitig nicht. Es ist also m¨oglich, eine niedrige Nullraumsteifigkeit KN einzustellen, um eine Besch¨adigung des Systems im Falle einer Kollision mit der Umgebung zu vermeiden, w¨ahrend eine hohe Endeffektorsteifigkeit K zu einer guten Positioniergenauigkeit am Endeffektor f¨uhrt. In Abb. 11.9 und 11.10 werden Ergebnisse der passiven Impedanzregelung ¨ auf Kraftebene gezeigt. Ahnliche Ergebnisse erh¨alt man auch f¨ur die Momenten/Orientierungsregelung. Diese k¨onnen in [Hof10] nachgelesen werden.

11.6 Zusammenfassung 2

q1 q3

1

q in rad

183

0

−1

0

5

10

5

10

15

20

25

15

20

25

×10−3

et,x

e in m

1

et,y 0

et,z

−1 0

Zeit in s

Abb. 11.11 Messung - Nullraumbewegung Regelung zE,d z˙ E,d z¨ E,d

Endeffektorimpedanz

QE Q

Nullraumimpedanz

Redundanter Roboter

q, q˙

QN

Abb. 11.12 Regelungsschema - passive Impedanzregelung

11.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel wurden verschiedene Nachgiebigkeitsregelungen f¨ur redundante Roboter diskutiert. Die Methoden werden an einem 7-Achsen Roboter angewendet. Die inverse Kinematik kann mit Hilfe von Optimierungsverfahren mit ¨ Nebenbedingungen gel¨ost werden. Uber spezielle Projektionsmatrizen erfolgt der Zugriff auf den Nullraum. Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung wurde die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung verwendet. Die verwendeten Subsysteme bestehen aus Motor und Verbindungselement. Die Nachgiebigkeit wird durch Impedanzregelungsmethoden erreicht. Dabei werden aktive Verfahren, bei denen Kr¨afte/Momente am Endeffektor gemessen werden, mit passiven Verfahren vergli-

184

11 Redundante modulare Roboter

chen. Bei den passiven Verfahren erfolgt eine modellbasierte Entkopplung des Systems. Endeffektor- und Nullraumimpedanz k¨onnen unabh¨angig voneinander vorgegeben werden. Einige experimentelle Ergebnisse zeigen die Umsetzbarkeit der vorgeschlagenen Regelungskonzepte.

Kapitel 12

Fahrende Roboter

Gerade im Bereich der Service-Robotik kommen verst¨arkt fahrende Roboter zum Einsatz. Diese werden meist mit Manipulatoren ausgestattet, um geforderte Aufgaben durchf¨uhren zu k¨onnen. In diesem Teil der Arbeit werden zwei interessante Vertreter vorgestellt. Zum Einen wird auf ein zweir¨adriges Segway Modell eingegangen, bei dem auch das Stabilisierungsproblem gel¨ost werden muss. Zum Anderen wird eine vierr¨adrige mobile Plattform mit einem 7 achsigen Roboter betrachtet. In beiden F¨allen wird im Besonderen auf die Positionsregelung im Raum eingegangen.

12.1 Segway Modell Unter einem handels¨ublichen Segway versteht man ein zweir¨adriges, selbst balanciertes Vehikel, das im Jahre 2001 von Dean Kamen erfunden wurde. Das Einsatzgebiet sind vorwiegend Personentransporte, zum Beispiel Touristenrundfahrten in St¨adten. Da bei einem Segway ein Quergleiten der R¨ader nicht m¨oglich ist, muss die dynamische Modellbildung mit Methoden durchgef¨uhrt werden, die nichtholonome Bindungen ber¨ucksichtigen. Verschiedene Methoden aus Tabelle 3.1 werden miteinander verglichen. F¨ur die Stabilisierungsregelung kommt eine partielle Eingangs/Ausgangslinearisierung in Kombination mit einer LQR Regelung zum Einsatz. Die Bahnregelung wird f¨ur das kinematische Modell entworfen. Dabei werden zwei flachheitsbasierte Ans¨atze miteinander verglichen. Abb. 12.1 zeigt das kleine Segway Modell, welches in weiterer Folge betrachtet wird. Es ist ca. 40 cm hoch und 15 cm breit.

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_12, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

185

186

12 Fahrende Roboter

Abb. 12.1 Segway Modell

12.1.1 Aufbau Das Segway Modell besteht aus drei K¨orpern, dem Batteriepack, dem Verbindungsbalken und dem Grundk¨orper. Es wird von zwei 20 Watt Motoren in Kombination mit Planetengetrieben (iG = 27) angetrieben. Die Motoren sind am Grundk¨orper angebracht, welcher die Elektronik, den Computer und die Sensoren enth¨alt. Die gesamte Energie liefern Batteriepakete am oberen Ende des Verbindungsbalkens, siehe Abb. 12.1. PC

Scilab/Scicos Code Generierung Visualisierung WLAN

Embedded Board

nichtlineare Regelung Visualisierung

Embedded System

C167

LPT1 komplement¨ares Filter AD-DA Konverter Stromregelung

Abb. 12.2 Elektrischer Aufbau

analoge Signale

Segway

2 Motoren 2 Enkoder 2 Beschleunigungssensoren Gyrosensor

12.1 Segway Modell

187

Der elektrische Aufbau des Modells ist in Abb. 12.2 dargestellt. Die Regelungskonzepte werden in Scilab/Scicos entworfen und simuliert. Dieses Programm verf¨ugt u¨ ber die M¨oglichkeit, echtzeitf¨ahigen Regelungscode direkt zu erzeugen. Die nichtlinearen Regelungskonzepte, beschrieben in Kap. 12.1.3, laufen auf einem RTAI erweiterten Linux Kern des embedded Computers (400MHz) mit einer Abtastzeit von 2 ms. Die Verbindung zwischen dem embedded Board und dem C167 Mikrocontroller (Infineon Technologies) erfolgt u¨ ber die parallele Schnittstelle LPT1. Diese wurde in [Wei08] f¨ur Echtzeitanwendungen entwickelt. Der Mikrocontroller ist unter anderem f¨ur die Sensorauswertung verantwortlich. Der Neigungswinkel (Winkel  in Abb. 12.5) des Segways wird durch ein Komplement¨arfilter ([BK97]) bestimmt. Eine Messung der Beschleunigungen in zwei Richtungen ergibt gute statische Werte f¨ur den Winkel (Messung des Gravitationsvektors), ist aber bei beschleunigten Bewegungen unbrauchbar. Die dynamischen Effekte k¨onnen aber u¨ ber Gyrosensoren gut abgebildet werden. Diese haben keine guten statischen Eigenschaften (Integration der Winkelgeschwindigkeit zum Winkel). Bei den Komplement¨arfiltern werden die Vorteile beider Messverfahren verwendet, siehe [Fra05] f¨ur eine genaue Beschreibung der verwendeten Hardware. Um das ganze Frequenzspektrum abzudecken, muss die Forderung Ga (s) + sGg (s) = 1

(12.1)

¨ der Beschleunigungs- und Gg erf¨ullt werden, wobei Ga die Ubertragungsfunktion der Gyromessung darstellt. Mit der Wahl von Ga (s) =

1 2

( s + 1)

and Gg (s) =

2 +  2 s

(12.2)

( s + 1)2

sind die entsprechenden Bode Diagramme f¨ur  = 1 in Abb. 12.3 dargestellt.

Abb. 12.3 Bode Diagramm Komplement¨arfilter

Amplitude in dB

20 0 −20 −40 −60 −80

sGg

Ga 0.1

1

Omega in rad/s

10

100

Die Motorenkoder werten die Drehwinkel der R¨ader aus. In [Dir07] wird unter anderem ein reduzierter Beobachter zur Berechnung der Drehgeschwindigkeiten ausgearbeitet. Die Daten werden mit einer Abtastzeit von 0.2 ms verarbeitet. Im Mikrocontroller erfolgt außerdem die Stromregelung der Motoren. Falls das embedded Board nicht aktiv ist (nichtlineare Positionsregelungen), dann stabilisiert ein LQR Regler die aufrechte Position des Segways auf dem Mikrocontroller.

188

12 Fahrende Roboter

12.1.2 Modellbildung Es liegt in der Natur der Sache, dass diese mobilen Roboter nur eine Geschwindigkeit in L¨angsrichtung, nicht aber quer zu den R¨adern

˙ = vQ = y˙ cos  − x˙ sin  = 0,

(12.3)

aufbauen k¨onnen, siehe Abb. 12.4. Wegen dieser kinematischen Bedingungen d¨urfen f¨ur die dynamische Modellbildung nur solche Methoden verwendet werden, die die Behandlung von nichtholonomen Systemen zulassen. In Tabelle 3.1 sind die Methoden der Dynamik zusammengefasst. 12.1.2.1 Lagrange II - Maggi Ein m¨ogliches Verfahren sind die L AGRANGEschen Gleichungen 2-ter Art mit einem nachfolgendem Einbinden der nichtholonomen Bindung. F¨ur die kinetische Energie muss dabei die Geschwindigkeitsbindung vorerst offen bleiben. Ansonsten kommt es zu einem Informationsverlust in der kinetischen Energie und damit zu falschen Bewegungsgleichungen. Als Minimalgeschwindigkeiten werden die Ableitungen der Minimalkoordinaten gew¨ahlt q˙ T = (x˙ y˙ ˙ ˙ ). Mit der Geschwindigkeitsbindung Gl.(12.3) kann auf einen Satz nichtholonomer Minimalgeschwindigkeiten ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ vL cos  sin  0 0 0 1 0 ⎦ q˙ (12.4) s˙ = ⎝ ˙ ⎠ = ⎣ 0 ˙ 0 0 01  H(q)

u¨ bergegangen werden. Mit der M OORE -P ENROSE Inversen erh¨alt man f¨ur die Umkehrung ⎡ ⎤ cos  0 0 ⎢ sin  0 0 ⎥ ⎥ q˙ = H(q)+ s˙ = ⎢ (12.5) ⎣ 0 1 0 ⎦ s˙. 0 01 Damit ist die Transformationsvorschrift f¨ur das M AGGIsche Vorgehen bereits gefunden. Eine Vormultiplikation der Gleichungen aus dem L AGRANGE Verfahren ˙ s)T = H(q)+T liefert die Bewegungsgleichung. mit (q/˙ 12.1.2.2 Hamel-Boltzmann Gleichung Auch f¨ur die H AMEL -B OLTZMANN Gleichung m¨ussen die Bindungen vorerst offen gelassen werden. Da die Nichtholonomie nur f¨ur die R¨ader gilt, wird auf das Anschreiben des Winkels  hier verzichtet. Die Minimalgeschwindigkeiten sind daher

12.1 Segway Modell

189

⎛

⎞

⎡

⎤

cos  sin  0 vL ˙ s˙ = ⎝ vQ ⎠ = ⎣ − sin  cos  0 ⎦ q. ˙ 0 0 1

(12.6)

H(q)

Die Matrix H(q) entspricht in diesem Fall der Drehmatrix A = A . Ziel ist es jetzt also, den Term (d  s −  ds)/dt explizit zu berechnen. Aus Gl.(12.6) folgt

und

ds = Adq,  s = A q

(12.7)

dq = AT ds,  q = AT  s.

(12.8)

Die explizite Auswertung von (d  s −  ds)/dt ergibt damit ds d ˙  q +A q˙ −  A q˙ −A q. ˙ =A s− dt dt AT  s

(12.9)

AT s˙

˙ T = −˙e˜ 3 bzw.  AAT = −  e˜ 3 erh¨alt man mit einer Umsortierung Mit AA ⎡ ⎤⎛ ⎞  sL 0 ˙ −vQ d  s −  ds = ⎣ −˙ 0 vL ⎦ ⎝  sQ ⎠ . (12.10) dt 0 0 0  Mit diesem Ausdruck kann die H AMEL -B OLTZMANN Gleichung ausgewertet werden. Da vQ = 0 und damit  sQ = 0 gilt, wird die zugeh¨orige Zeile der Bewegungsgleichung gestrichen. 12.1.2.3 Zwangskr¨afte Analog zu Kap. 7.2 kann die nichtholonome Bindung auch u¨ ber entsprechende Zwangskr¨afte eingebunden werden ˙ −Q− M(q)q¨ + g(q, q)

 ˙  q˙

.T

 =0

(12.11)

(Zwangskr¨afte  , Koordinaten qT = (x y   )), wobei die Richtung der Zwangskraft aus Gl.(12.3) .  ˙ (12.12) = (− sin  cos  0 0)  q˙ bestimmt wird. Mit der JACOBI-Gleichung (7.13) kann das System simuliert werden.

190

12 Fahrende Roboter

12.1.2.4 Projektionsgleichung Bei den analytischen Verfahren durfte die Geschwindigkeitsbindung nicht a priori eingesetzt werden, um keinen Informationsverlust zu erhalten. Anders liegen die Verh¨altnisse bei der Projektionsgleichung (3.15). Hier d¨urfen die Geschwindigkeitsbindungen vorab eingesetzt werden, da keine Richtungsableitungen von beispielsweise kinetischer Energie nach den nichtholonomen Geschwindigkeiten vorkommen. Die Modellbildung kann daher direkt mit den Gr¨oßen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x vL ⎜y⎟ ⎟ , s˙ = ⎝ ˙ ⎠ (12.13) q=⎜ ⎝ ⎠ ˙  vollzogen werden. Die Dimension des Differentialgleichungssystems nach einer Transformation auf ein System erster Ordnung (Zustandsraum) ist 7. Alternativ dazu kann mit einem reduzierten Satz an Minimalkoordinaten gerechnet werden. Durch die Wahl von ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ˙  (12.14) s = ⎝  ⎠ , s˙ = ⎝ ˙ ⎠ ,  ˙ wird das Segway Modell auch vollst¨andig beschrieben, siehe Abb. 12.4 und Abb. 12.5. In Gl.(12.14) werden die Positionskoordinaten mit s bezeichnet. Dies soll andeuten, dass es sich dabei um Positionkoordinaten handelt, die implizit bereits die Bindungsgleichung erfassen. Durch diese Beschreibung ist es nicht m¨oglich, eine Quergeschwindigkeit aufzubauen. Bei der Wahl dieser Minimalkoordinaten versagen s¨amtliche analytische Verfahren, da dort das System zuerst ungebunden betrachtet werden muss. Mit der Projektionsgleichung ist das nat¨urlich kein Problem. In weiterer Folge wird mit diesem Modell Gl.(12.14) gearbeitet. Die Dimension der Bewegungsgleichung im Zustandsraum ist 6. Die Rotationsgeschwindigkeiten der R¨ader im K-ten Koordinatensystem sind ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ˙ ⎟ ⎜ ⎟ ˙ ⎠=⎜ ⎠ , K  2 = ⎝ ˙ ⎠ = ⎝  ⎝ ˙ ⎠ , (12.15) K1 = ⎝  DR D ˙ ˙ R ˙ ˙ ˙ − ˙ 2lR  −  2l R

wobei lR den Abstand zwischen den R¨adern und DR den Durchmesser der R¨ader definieren. F¨ur die Beschreibung des K¨orpers 3 (Batterien, Balken und Elektronikbox) eignet sich Koordinatensystem B, was auf die Geschwindigkeit ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ DR (˙ −˙ ) sin  − 0 0 2lR ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ˙ (12.16) ˙ B  3 = ⎝  ⎠ + ABK ⎝ 0 ⎠ = ⎝ ⎠ DR (˙ −˙ ) ˙ 0 cos  2lR f¨uhrt.

12.1 Segway Modell

191 Kz

Iz

Bz

Batterien

 S3 Ky

Iy

Balken

 Kx

vQ

vL

 Elektronikbox

P

R¨ader

y

Kx

x

 Ix

Ix

Abb. 12.4 Grundriss des Segway

Bx

Abb. 12.5 3D Ansicht des Segway

Die Translationsgeschwindigkeit wird u¨ ber den Referenzpunkt P ⎛ ⎞ ⎛ (˙ +˙ ) ⎞ DR vL 2 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ vQ = ⎝ ⎠ K vP = 0 0 0

(12.17)

beschrieben. F¨ur den K¨orper 3 erh¨alt man beispielsweise K vs,3

= K vP + AKI

d AIBB rPS3 , dt

(12.18)

wobei B rPS3 der Verbindungsvektor zwischen Punkt P und dem Schwerpunkt S3 des K¨orpers 3 ist. Die eingepr¨agten Kr¨afte fe sind die Gewichtskr¨afte, die im Schwerpunkt angreifen. F¨ur die eingepr¨agten Momente gilt ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 0 0 0 e e e (12.19) K M1 = ⎝ M1 ⎠ , K M2 = ⎝ M2 ⎠ und B M3 = ⎝ −M1 − M2 ⎠ , 0 0 0 mit den Motormomenten M1 und M2 . Die Anwendung der Projektionsgleichung f¨uhrt auf die Bewegungsgleichung der Form

192

12 Fahrende Roboter

M(q)¨s + g(q, s˙) = B(q)u.

(12.20)

Vektor uT = (M1 M2 ) stellt den Regelungseingang dar, der u¨ ber die Stelleingriffsmatrix T 1 0 −1 (12.21) B= 0 1 −1 in das System eingreift.

12.1.3 Regelung Die Regelung des Segways besitzt eine kaskadierte Struktur. F¨ur die Stabilisierung der oberen Ruhelage wird eine partielle Eingangs-/ Ausgangslinearisierung und LQR Regelung verwendet. Die Bahnregelung des kinematischen Modells wird durch flachheitsbasierte Ans¨atze bewerkstelligt. 12.1.3.1 Partielle Eingangs- Ausgangslinearisierung F¨ur diesen Regelungsansatz muss Gl.(12.20) auf die Form M11 (q)¨s1 + M12 (q)s¨2 + h1 (q, s˙) = B1 u M21 (q)¨s1 + M22 (q)s¨2 + h2 (q, s˙) = 0 gebracht werden, was mit den Minimalgeschwindigkeiten ⎛ ⎞ ⎛ ⎞  ˙ ˙ − ˙ s˙ s˙ = 1 = ⎝  ˙ ⎠ = ⎝ ˙ − ˙ ⎠ s˙2 ˙ ˙

(12.22) (12.23)

(12.24)

erreicht wird. In dieser Form sind die Minimalgeschwindigkeiten s˙1 zum Eingang u kollokiert, w¨ahrend s˙2 nicht kollokiert ist. Aus Gl.(12.23) k¨onnen die Beschleunigungen f¨ur das nicht aktuierte Teilsystem berechnet werden −1 (q) (M21 (q)¨s1 + h2 (q, s˙)) . s¨2 = −M22

(12.25)

Setzt man diese Beschleunigung in Gl.(12.22) ein, erh¨alt man M11 (q)¨s1 + h1 (q, s˙) = B1 u,

(12.26)

−1 M11 (q) = M11 (q) − M12 (q)M22 (q)M21 (q)

(12.27)

mit den Abk¨urzungen

h1 (q, s˙) =

−1 h1 (q, s˙) − M12 (q)M22 (q)h2 (q, s˙).

(12.28)

12.1 Segway Modell

193

Es ist unmittelbar einsichtig, dass eine Stellgr¨oßentransformation der Form u = B−1 1 (M11 (q)v + h1 (q, s˙ ))

(12.29)

das partiell linearisierte System s¨1 = v −1 (q)(M21 (q)v + h2 (q, s˙)) s¨2 = −M22

(12.30) (12.31)

ergibt. Das resultierende System ist in den Koordinaten s˙1 kollokiert. F¨ur die Stabilisierungsregelung der aufrechten Position wird Gl.(12.31) in den Zustandsraum transformiert, um den Punkt  = 0 linearisiert und zeitlich diskretisiert. Dies f¨uhrt auf das diskrete Modell (12.32) xk+1 = Axk + Buk . Durch Minimierung des G¨utefunktionals J=





k=1

xTk Qxk + uTk Ruk ,

(12.33)

mit Q ≥ 0 und R > 0 erh¨alt man einen optimalen Regler der Form uk = −Kxk

(12.34)

(Linear Quadratic Regulator). 12.1.3.2 Bahnregelung - Dynamischer Regler F¨ur die Bahnregelung wird nur das kinematische Modell (zur Vereinfachung) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ vL cos  x˙ ⎝ y˙ ⎠ = ⎝ vL sin  ⎠ (12.35) ˙ ˙ des Segways verwendet, siehe Abb. 12.4. In [Rud03b] wird gezeigt, dass der Vektor y = (x y)T ein flacher Ausgang des kinematischen Modells ist. Die Fehlerdynamik e¨ + a1 e˙ + a0 e = 0 mit dem Bahnfehler

e=

ex ey

=

xd − x yd − y

(12.36) (12.37)

f¨uhrt auf das asymptotisch stabile Fehlersystem lim e(t) = 0

t→

(12.38)

194

12 Fahrende Roboter

das mit den Matrizen a1 and a0 vorgegeben werden kann. Differenziert man die ersten beiden Eintr¨age in Gl.(12.35) nach der Zeit x¨ v˙L cos  − vL ˙ sin  (12.39) = v˙L sin  + vL ˙ cos  y¨ cos  − sin  v˙L = , (12.40) sin  cos  vL ˙ AIK

so ergibt Gl.(12.40) gemeinsam mit Gl.(12.36) v˙L x¨d v cos  − x˙d x − xd = ATIK − a1 L − a0 , vL ˙ y¨d vL sin  − y˙d y − yd 

(12.41)

siehe [Rud03b] f¨ur eine genaue Herleitung. Der vollst¨andige Regler lautet v˙L = (cos  sin  ) vL (0) = x˙d (0) + y˙d (0) 1 ˙ = (− sin  cos  ) . vL

(12.42) (12.43) (12.44)

Es handelt sich also um ein dynamisches System. Offensichtlich tritt ein Problem bei kleinen Geschwindigkeiten vL ≈ 0 auf. In diesem Fall wird die Bahnregelung deaktiviert und es ist nur die Stabilisierungsregelung aktiv. Dieser Umstand wird im folgenden Abschnitt gel¨ost. 12.1.3.3 Bahnregelung - Quasistatischer Regler Ausgangspunkt ist wieder das kinematische Modell des Roboters ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ cos  0 x˙ ⎝ y˙ ⎠ = ⎣ sin  0 ⎦ ˙ 1 , ˙ 2 ˙ 0 1

(12.45)

wobei f¨ur die Regelungseing¨ange 1 = vL und 2 = ˙ verwendet werden. Zur Vermeidung der Singularit¨at bei vL = 0 wird das System nach der Bogenl¨ange (Bahnparameter) der Referenzbahn parametriert. Eine Zeitableitung ergibt daher z˙ = F¨ur Gl.(12.45) erh¨alt man dann

dz ds = z s. ˙ ds dt

(12.46)

12.1 Segway Modell

195

⎛

⎞

⎡

⎤

x cos  0 ⎝ y ⎠ = ⎣ sin  0 ⎦ 1 2  0 1

(12.47)

Das Ziel ist es nun, den Roboter (Punkt P siehe Abb. 12.4), auf der vorgegebenen Bahn rd (s(t)) zu f¨uhren. Die genauen Verh¨altnisse sind in Abb. 12.6 dargestellt.  Kx Iy dx

P y

Ky

y2

r

r

d

y1

dy

yd rd s x

xd

Ix

Abb. 12.6 Quasistatische Regelung (Segway) - Variablen

F¨ur den Tangentialvektor der Sollbahn gilt et = rd , w¨ahrend sich der Normalenvektor u¨ ber das Kreuzprodukt ergibt: en = ez × et , mit eTz = (0 0 1). Der Regelungsfehler im Koordinatensystem der Sollbahn ergibt sich aus der Projektion des Fehlervektors  r(q, s) = r(q) − rd (s) T y1 et (s) r(q, s) . (12.48) = y2 eTn (s) r(q, s) Um die Flachheit des Systems zu zeigen, m¨ussen der Zustand q und die Eing¨ange 1 , 2 durch den Ausgang yT = (y1 y2 ) dargestellt werden. F¨ur die aktuelle Position des Roboters gilt cos d − sin d y1 x(y, s) xd + . (12.49) = yd sin d cos d y2 y(y, s) Die Ableitung von Gl.(12.48) nach dem Bahnparameter s lautet cos  y1 c1 (q, s) = 1 + y2 sin  c2 (q, s)

(12.50)

196

12 Fahrende Roboter

mit cos  (q, s) = etT e2 , sin  (q, s) = eTn e2 und den Abk¨urzungen c1 (q, s), c2 (q, s). Die dritte Zustandsvariable  kann als

 (y, y , s) = d +  mit  = atan

y2 − c2 y1 − c1

(12.51)

und damit als Funktion des Ausganges y und dessen Ableitungen dargestellt werden. Damit ist der ganze Zustand als Funktion des Ausganges (inkl. Ableitungen) definiert: q = q(y, y , s). Verbleibt also noch zu zeigen, dass der Eingang ebenfalls durch den flachen Ausgang dargestellt werden kann. Aus Gl.(12.50) folgt beispielsweise y − c1 1 = 1 . (12.52) cos  Um auch 2 zu parametrieren, muss Gl.(12.50) nochmals differenziert, cos  − sin  1 y1 1 c1 (q, 1 , s) (12.53) = + y2 sin  cos  1 2 c2 (q, 1 , s) und umgeformt werden 1 cos  1 sin  1 y1 − c1 1 = , 2 y2 − c2 1 − sin  cos 

(12.54)

siehe [Woe98] f¨ur eine detaillierte Herleitung. Damit ist die Flachheit des Systems gezeigt, und die Linearisierung kann durchgef¨uhrt werden. Die Ausgangsvariablen y1 und y2 werden durch die neuen Systemeing¨ange w1 , w2 ersetzt y1 → w1 , y1 → w1 , y2 → w2 .

(12.55)

Durch Einsetzen von Gl.(12.52) in Gl.(12.50) und Gl.(12.54) in Gl.(12.53) erh¨alt man die linearisierte Form (12.56) y1 = w1 , y2 = w2 . F¨ur die Wahl von w1 = yd,1 + a00 (yd,1 − y1 ) → w1 = yd,1 + a00 (yd,1 − y1 ) w2 =

yd,2 + a11 (yd,2 − y2 ) + a01 (yd,2 − y2 )

(12.57) (12.58)

ergibt sich durch a00 , a01 , a11 > 0 eine asymptotisch stabile Fehlerdynamik. Da die Gr¨oßen y1 , y2 die Fehler darstellen, f¨uhrt eine Sollwertvorgabe von yd,1 ≡ 0, yd,2 ≡ 0 auf eine Ausl¨oschung des Bahnfehlers.

12.1 Segway Modell

197

12.1.4 Experimentelle Ergebnisse Die beiden flachheitsbasierten Regler werden an dem Segway Modell aus Abb. 12.1 getestet. 12.1.4.1 Dynamischer Regler Abb. 12.7 zeigt einen Vergleich zwischen Soll- und Istbahn in einer Draufsicht. Der Startpunkt liegt bei (x, y) = (0, 0). 1.2 1 0.8

y in m

0.6 0.4 0.2 0

Sollbahn Istbahn

− 0.2 − 0.4 − 0.6 − 0.4 − 0.2

Abb. 12.7 Vergleich SollIstbahn, dynamischer Regler

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x in m

0.2 0.15

Fehler in m

0.1 0.05 0

− 0.05 − 0.1 K ex K ey

− 0.15

Abb. 12.8 Fehler in x− und y− Richtung, dynamischer Regler

− 0.2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Zeit in s

Die Trajektorie f¨uhrt die gezeigte Bewegung gegen den Uhrzeigersinn aus. Die Geschwindigkeit betr¨agt vL = 0.1 m/s. Das Zeitverhalten des Fehlers in x- und y- Richtung ist in Abb. 12.8 gezeichnet. Da das System nicht phasenminimal ist, kommt es am Anfang zu einer Auslenkung in die Gegenrichtung. Dies ist auch am Winkel  ,

198

12 Fahrende Roboter

in Abb. 12.9 gut zu erkennen. Der Fehler klingt nach einer bestimmten Zeit ab. Die Bahn wird aber relativ langsam durchfahren. 4

 in ◦

2

Abb. 12.9 Winkel  w¨ahrend Bahnfahrt, dynamischer Regler

0

−2 −4

0

10

5

15

20

25

30

35

40

Zeit in s

12.1.4.2 Quasistatischer Regler Im Vergleich dazu werden die Ergebnisse f¨ur den quasistatischen Regler pr¨asentiert. Abb. 12.10 zeigt den Vergleich zwischen Soll- und Istbahn bei einer Anfangsauslenkung in der Draufsicht. 0.2 0

y in m

−0.2

Sollbahn Istbahn

−0.4 −0.6 −0.8 −1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x in m Abb. 12.10 Vergleich Soll-Istbahn, quasistatischer Regler

Die zugeh¨origen Fehler im Zeitverhalten werden in Abb. 12.11 und Abb. 12.11 dargestellt. Ein Vergleich zwischen beiden Regelverfahren zeigt, dass beim quasistatischen Regler die Bahn mit 4-facher Bahngeschwindigkeit durchfahren werden kann und der Bahnfehler verkleinert wird.

12.1 Segway Modell 0

y1 in m

Abb. 12.11 Normalfehler y1 , quasistatischer Regler

199

−0.2

−0.4

0

6

4

2

8

10

12

14

16

18

12

14

16

18

y2 in m

Zeit in s 0.2 0.1 0 −0.1

Abb. 12.12 Tangentialfehler y2 , quasistatischer Regler

0

2

4

6

8

10

Zeit in s

12.1.5 Zusammenfassung Der Segway ist ein mobiler Roboter bestehend aus zwei R¨adern und einem instabilen Aufbau. Da kein Quergleiten der R¨ader m¨oglich ist, handelt es sich um ein nichtholonomes System. F¨ur die dynamische Modellbildung werden Verfahren verglichen, die diese Systeme behandeln k¨onnen. Die Projektionsgleichung ist dabei das einzige Verfahren, das mit den reduzierten Koordinaten eine korrekte Bewegungsgleichung liefert. Die Stabilisierungsregelung wird u¨ ber eine partielle Eingangs/Ausgangslinearisierung mit LQR Regelung vollzogen. Bei der Bahnregelung werden zwei flachheitsbasierte Verfahren verglichen, wobei mit dem quasistatischen Regler die besten Ergebnisse erzielt werden.

200

12 Fahrende Roboter

12.2 Vierrad Modell 12.2.1 Einleitung Dem Bereich der Service-Robotik wird nach wie vor das gr¨oßte Wachstum in der Robotik Branche prognostiziert. Einen m¨oglichen Aufbau zur Erf¨ullung dieser Aufgaben zeigt Abb. 12.13. Es handelt sich dabei um eine bewegliche, vierr¨adrige Plattform mit zwei gelenkten und angetriebenen R¨adern in Kombination mit einem redundanten Roboter mit 7 Freiheitsgraden zur Manipulierung von Gegenst¨anden. Der redundante Roboterarm wird detailliert in Kap. 11 behandelt. Hier soll also nur auf die fahrbare Plattform eingegangen werden. Durch die Vorgabe der R¨ader ist es also m¨oglich den Momentanpol im Raum beliebig vorgeben zu k¨onnen. Als Sensoren stehen ein Laserabstandssensor und ein K INECT 3D Sensor (M ICROSOFT X BOX 360 Zubeh¨or) zur Verf¨ugung. Die Erfassung der Umgebung, globale Bahnplanung, usw. wird von der freien Software ROS (Robot Operating System) durchgef¨uhrt. In diesem Kapitel wird daher ausschließlich auf die Regelung des kinematischen Modells eingegangen.

Abb. 12.13 Photo des vierr¨adrigen Roboters

12.2 Vierrad Modell

201

12.2.2 Kinematik F¨ur die kinematischen Betrachtungen wird Abb. 12.14 herangezogen. Iy

Ch y

b

lF Hy

y

1x Hx

vH

H H

2x 2y

v2

1y

1

2 

2

Ch x

v1 1

Vy

b Vx

vV

V V

lF

x

Ix

Abb. 12.14 Vierr¨adriger Roboter - Freiheitsgrade

Jede beliebige Anordnung der Dreh/Antriebsr¨ader kann auf die Konfiguration 1 und 2 zur¨uckgef¨uhrt werden. Daher werden alle Berechnungen f¨ur die R¨ader 1 und 2 durchgef¨uhrt. Die Transformation auf den realen Roboter (R¨ader V und H) erfolgt im Anschluss. Die Nachlaufr¨ader sind nicht eingezeichnet. Mit dem Vektor qT = (x y  1 2 ) ist die Lage der Plattform eindeutig bestimmt. F¨ur die Minimalgeschwindigkeiten m¨ussen die Geschwindigkeitsbindungen ber¨ucksichtigt werden. F¨ur die Geschwindigkeiten der beiden R¨ader gilt x˙ cos( + 1 ) + y˙ sin( + 1 ) + lF ˙ sin(1 ) , (12.59) 1 v1 = −x˙ sin( + 1 ) + y˙ cos( + 1 ) + lF ˙ cos(1 ) x˙ cos( + 2 ) + y˙ sin( + 2 ) . (12.60) 2 v2 = −x˙ sin( + 2 ) + y˙ cos( + 2 ) Da f¨ur beide R¨ader kein Quergleiten m¨oglich ist, lautet die Geschwindigkeitsbindung −x˙ sin( + 1 ) + y˙ cos( + 1 ) + lF ˙ cos(1 ) ˙ = = 0. (12.61) ˙ (q, q) −x˙ sin( + 2 ) + y˙ cos( + 2 ) Um geeignete Minimalgeschwindigkeiten zu finden, kann von der Kettenregel

202

12 Fahrende Roboter

˙ = ˙ (q, q)

˙ ˙   (q)   (q)  q˙ q˙ = s˙ = 0  q˙  q˙  s˙

(12.62)

˙  s˙ Gebrauch gemacht werden. Da der unterstrichene Term bekannt ist, kann  q/ durch L¨osen eines Gleichungssystems bestimmt werden, und m¨ogliche Minimalgeschwindigkeiten k¨onnen aus q˙ =

/ 0−1  q˙  q˙ T  q˙  q˙ T q˙ s˙ → s˙ =  s˙  s˙  s˙  s˙

(12.63)

berechnet werden. F¨ur die Geschwindigkeitsbindung gilt ⎛

⎞ x˙ ⎜ y˙ ⎟ ˙ ⎟ ˙   (q, q) − sin( + 1 ) cos( + 1 ) lF cos(1 ) 0 0 ⎜ ⎜ ˙ ⎟ . = ⎜ 0 00 ⎝ ⎟ − sin( + 2 ) cos( + 2 )  q˙ ˙ 1 ⎠ ˙ 2

(12.64)

Dabei ist direkt zu sehen, dass 1 und 2 aufgrund der entsprechenden Nulleintr¨age in die Minimalgeschwindigkeiten aufgenommen werden m¨ussen. Um nicht das obige Gleichungssystem l¨osen zu m¨ussen, wird die Geschwindigkeit v2 als Minimalgeschwindigkeit getestet. Da v2 = x˙ cos( + 2 ) + y˙ sin( + 2 ) die Bindungsgleichung erf¨ullt, ist sie Minimalgeschwindigkeit. Das kinematische Modell lautet also ⎛ ⎞ ⎤ x˙ ⎛ ⎞ ⎡ ⎟ cos( + 2 ) sin( + 2 ) 0 0 0 ⎜ v2 ⎜ y˙ ⎟ ⎟ ⎝ ˙ 1 ⎠ = ⎣ ˙  0 0 0 1 0 ⎦⎜ (12.65) ⎜ ⎟ ˙ 2 0 0 0 0 1 ⎝ ˙ 1 ⎠ ˙ 2 H(q)

bzw.

⎞ ⎡ cos( + 2 ) x˙ ⎜ y˙ ⎟ ⎢ sin( + 2 ) ⎜ ⎟ ⎢ sin( − ) 1 2 ⎜ ˙ ⎟ = ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ lF cos 2 ⎝ ˙ 1 ⎠ ⎣ 0 ˙ 2 0 ⎛

H(q)+

⎤ 00 ⎛ ⎞ 0 0 ⎥ v2 ⎥ ⎝ ⎠ 0 0⎥ ⎥ ˙ 1 . ⎦ ˙ 2 10 01

(12.66)

F¨ur die Regelung im n¨achsten Abschnitt wird sich herausstellen, dass f¨ur den Lenkwinkel 1 anstatt der Geschwindigkeit ˙ 1 als Systemeingang verwendet werden kann. Das endg¨ultige kinematische Modell lautet daher

12.2 Vierrad Modell

203

⎤ ⎞ ⎡ cos( + 2 ) 0 x˙ ⎜ y˙ ⎟ ⎢ sin( + 2 ) 0 ⎥ v2 ⎜ ⎟ = ⎢ sin( − ) ⎥ . 1 2 ⎝ ˙ ⎠ ⎣ 0 ⎦ ˙ 2 lF cos 2 ˙ 2 0 1 ⎛

(12.67)

H(q)+

12.2.3 Flachheit des nichtholonomen Systems Um Probleme bei singul¨aren Stellungen zu vermeiden, wird das Modell Gl.(12.67) wieder u¨ ber den Bahnparameter s parametriert x = 1 cos( + 2 ) y = 1 sin( + 2 ) sin(1 − 2 )  = 1 lF cos 1 2 = 2 ,

(12.68) (12.69) (12.70) (12.71)

wobei f¨ur v2 = 1 s˙ und f¨ur ˙ 2 = 2 s˙ geschrieben wurde. Es muss also gezeigt werden, dass das System vollst¨andig durch den flachen Ausgang parametriert werden kann. Ein Kandidat f¨ur den flachen Ausgang ist ⎛ ⎞ y1 (12.72) y = ⎝ y2 ⎠ , y3 siehe Abb. 12.15. Die ersten beiden Eintr¨age entsprechen wieder den Fehlern im Sollkoordinatensystem des Wagens, w¨ahrend y3 =  direkt der Orientierung des Fahrzeugs entspricht. F¨ur die Drehmatrix zwischen Inertialsystem und Koordinatensystem entlang der Sollbahn (t, d) gilt cos t,d sin t,d . (12.73) Atd,I = A = − sin t,d cos t,d Im Folgenden wird der Zustand als Funktion des Ausganges dargestellt: • F¨ur die Position des Roboters gilt x xd y1 T = + A . y yd y2

(12.74)

Der Fehler y1 , y2 wird also im Koordinatensystem senkrecht auf die Sollbahn (Drehwinkel t,d ) definiert. Er k¨onnte nat¨urlich auch auf die Sollorientierung des Wagens (Drehwinkel d ) angewendet werden. • Der Winkel  ist direkt ein flacher Ausgang:  = y3 .

204

12 Fahrende Roboter

Kx



Iy

td x

P y

Ky

y2

r

r

t,d

y1

td y

d

yd rd s x

xd

Ix

Abb. 12.15 Quasistatische Regelung (vierr¨adriger Roboter) - Variablen

• Aus Gl.(12.68) und Gl.(12.69) folgt f¨ur den Winkel 2 y 2 = atan −  . x x und y ergeben sich direkt aus der Ableitung von Gl.(12.74) xd y1 y1 x T T = + A + A . y yd y2 y2

(12.75)

(12.76)

F¨ur den Winkel 2 gilt daher 2 = f (q, y1 , y2 , y1 , y2 , s). Da sich alle Zustandsgr¨oßen mit dem gew¨ahlten Ausgang Gl.(12.72) darstellen lassen, muss in weiterer Folge auch der Eingang durch diesen Ausgang parametrierbar sein. • Aus Gl.(12.74) folgt f¨ur die Ausgangsgr¨oßen x xd y1 = A − A y y2 yd bzw. f¨ur deren Ableitung x x xd xd y1 = A + A − A − A . y y2 y yd yd

(12.77)

(12.78)

Jetzt kann x durch Gl.(12.68) und y durch Gl.(12.69) ersetzt werden, wodurch der Eingang 1 explizit vorkommt

12.2 Vierrad Modell

205

y1 y2

= A

cos( + 2 ) 1 + sin( + 2 )

c1 (q, s) , c2 (q, s)

mit den Abk¨urzungen x xd xd c1 (q, s) − A − A . = A y yd yd c2 (q, s)

(12.79)

(12.80)

Setzt man die Drehmatrix A aus Gl.(12.73) in Gl.(12.79) ein y1 cos(t,d −  − 2 ) c1 (q, s) 1 (q, 1 , s) := , =  + 1 y2 2 (q, 1 , s) − sin(t,d −  − 2 ) c2 (q, s) (12.81) so kann 1 beispielsweise zu

1 =

y1 − c1 cos(t,d −  − 2 )

(12.82)

berechnet werden. • Mit bekanntem 1 kann der Winkel 1 direkt aus Gl.(12.70) ausgedr¨uckt werden  lF cos 2 + 2 . 1 = asin (12.83) 1 • Es fehlt also noch, den Eingang 2 durch den flachen Ausgang bzw. dessen Ableitungen darzustellen. Leitet man Gl.(12.81) nochmals nach dem Bahnparameter ab, so ergibt sich

y1 y2

−  −  ) − sin(t,d −  − 2 )(t,d 2 −  −  ) 1 + − cos(t,d −  − 2 )(t,d 2 c cos(t,d −  − 2 ) (q, s) 1 , (12.84) 1 + − sin(t,d −  − 2 ) c2 (q, s) 1 cos(t,d −  − 2 ) sin(t,d −  − 2 )1 + = − sin(t,d −  − 2 ) cos(t,d −  − 2 )1 2 −  ) − sin(t,d −  − 2 )(t,d c (q, s) 1 + 1 . (12.85) − cos(t,d −  − 2 )(t,d −  ) c2 (q, s) - . c1 (q, 1 , s) c2 (q, 1 , s)

=

Die L¨osung f¨ur 1 und 2 , wobei 2 = 2 gilt, lautet

206

12 Fahrende Roboter

1 2

1 cos(t,d −  − 2 )1 − sin(t,d −  − 2 )1 = sin(t,d −  − 2 ) cos(t,d −  − 2 ) 1 :=

 1 (q, y1 , y1 , y2 , s) .  2 (q, y1 , y1 , y2 , s)

y1 − c1 y2 − c2 (12.86) (12.87)

Da auch alle Eingangsgr¨oßen durch den flachen Ausgang parametrierbar sind, ist das System flach.

12.2.4 Quasistatische Zustandsruckf ¨ uhrung ¨ Die quasistatische Entkopplung des Systems kann aus Gl.(12.82), Gl.(12.83) und Gl.(12.86) erfolgen. Ersetzt man in Gl.(12.82) y1 durch den neuen Eingang w1

1 =

w1 − c1 := 1 (q, w1 , s), cos(t,d −  − 2 )

(12.88)

so ergibt dies in Kombination mit der ersten Zeile von Gl.(12.81) y1 = w1 .

(12.89)

Mit Gl.(12.83) ist der Winkel 1 definiert. Mit bekanntem 1 folgt mit der Linearisierung (Ersetzen von  durch w3 )

1 = asin

w3 lF cos 2 + 2 := 3 (q, 1 , w3 ). 1

(12.90)

In Kombination mit der dritten Systemgleichung Gl.(12.83) folgt

 = w3 .

(12.91)

Somit verbleibt noch die Linearisierung f¨ur 2 anzugeben. Mit y1 = w1 und y2 = w2 lautet der linearisierende Eingang direkt aus Gl.(12.86) 1 cos(t,d −  − 2 )1 − sin(t,d −  − 2 )1 w1 − c1 1 = . (12.92) 2 sin(t,d −  − 2 ) cos(t,d −  − 2 ) w2 − c2 1 Eingesetzt in Gl.(12.86) ergibt das klarerweise y1 = w1 . y2 = w2

(12.93)

F¨ur das vollst¨andig linearisierte System k¨onnen asymptotisch stabile Folgeregler angegeben werden

12.2 Vierrad Modell

207

w1 = yd,1 + a00 (yd,1 − y1 ) → w1 = yd,1 + a00 (yd,1 − y1 ) w2 = w3 =

(12.94)

yd,2 + a11 (yd,2 − y2 ) + a01 (yd,2 − y2 ) d + a02 (d −  ),

(12.95) (12.96)

was durch die Wahl von a00 , a01 , a11 , a02 > 0 gew¨ahrleistet ist. F¨ur eine Bahnregelung m¨ussen yd,1 ≡ 0, yd,2 ≡ 0 vorgegeben werden, da diese dem Fehler entsprechen. Der Winkel d ist direkt die Vorgabeorientierung. Abb. 12.16 zeigt eine schematische Darstellung der gesamten Regelung. asymptotische Stabilisierung yd,1 yd,2 a00 d yd,1 yd,2 a01 a a11 a00 02 d

quasistatische Linearisierung y1 y2 y1 y2 w3 w1

yd,1 yd,2

w1 w2

1 (q, s) 2 (q, s)

kinematisches Modell q



%

1 (q, 1 , s) 2 (q, 1 , s) 3 (q, 1 , s) 1 (q, w1 , s)  2 (q, w1 , w1 , w2 , s)

(.)dt q˙

1 1 2

s˙ s˙

vL ˙ 2

H(q, u)u

s(t) Abb. 12.16 Quasistatische Regelung (vierr¨adriger Roboter) - Regelungsschema

12.2.5 Ergebnisse Die Regelung des Roboters wird in der Simulation mit der Trajektorie aus Abb. 12.17 getestet. Die Sollbahn setzt sich aus verschiedenen Abschnitten bestehend aus Kreisen und Geraden zusammen. ¨ Um die geforderte Stetigkeit der Sollbahn zu garantieren, m¨ussen die Uberg¨ ange zwischen Geraden und Kreisen u¨ ber Klothoiden (Kurve mit linearem Anstieg der Kr¨ummung) durchgef¨uhrt werden, siehe [Fiz08, Kil09]. Abb. 12.17 zeigt die Sollbzw. Isttrajektorie des Roboters. Bei den Stellen mit Abweichungen zwischen der Soll- und Isttrajektorie wurden von außen sprungf¨ormige St¨orungen im Zustand auf den Roboter aufgeschaltet. In Abb. 12.18 sind die zugeh¨origen Fehler im Zeitbereich aufgetragen. Die St¨orungen klingen nach der vorgegebenen Fehlerdynamik ab.

208

12 Fahrende Roboter 10

y in m

5

0

Solltrajektorie Isttrajektorie −5 −15

−5

−10

0

10

5

x in m Abb. 12.17 Vierr¨adriger Roboter - Soll/Isttrajektroie

Fehler in m bzw. rad

0.15

d −  y1 y2

0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Zeit in s Abb. 12.18 Vierr¨adriger Roboter - Regelfehler

12.2.6 Zusammenfassung Vierr¨adrige Roboter sind aufgrund ihres Aufbaues besonders man¨ovrierf¨ahig. Es kann nicht nur die Position, sondern auch die Orientierung frei vorgegeben werden. F¨ur die Bahnregelung eignet sich wieder ein flachheitsbasierter Ansatz. Durch die quasistatische Linearisierung kann das verbleibende lineare Systeme durch asymptotische Folgeregler stabilisiert werden. Der Positionsfehler kann in verschiedene Koordinatensysteme projiziert werden.

Kapitel 13

Bewegungsplattformen

Elektrisch angetriebene Stewart Plattformen werden in der Robotik f¨ur sehr genaue Positionieraufgaben und schwere Lasten verwendet. In diesem Kapitel wird auf eine dieser Stewart Plattformen eingegangen. Der Antrieb erfolgt in diesem speziellen Fall u¨ ber Luftmuskeln, die nur in der Lage sind, Zugkr¨afte auf die bewegliche Platte aufzubringen. Die Druckkr¨afte und Momente liefert eine steife Feder im Zentrum des Hexapods. Nach dem L¨osen der kinematischen Beziehungen wird auf die Modellbildung und Regelung eingegangen. Dabei stellt sich eine Kombination aus Druckregelung, Kompensation der nichtlinearen Muskelkennlinien, modellbasierter Vorsteuerung und PID-Positionsregelung als vorteilhaft heraus. Aufgrund der Nachgiebigkeit kann der Roboter in direkter Umgebung von Menschen eingesetzt werden. Als Anwendungsbeispiele sind exemplarisch der Fitness/Rehabilitationsbereich, oder der Simulatorbereich f¨ur Flugger¨ate, zu nennen.

13.1 Aufbau Der Hexapod besteht aus einer beweglichen und einer fixen Basisplattform, die u¨ ber 6 Luftmuskeln verbunden sind. Die Muskeln werden mit einem Maximaldruck von 6 bar versorgt und liefern Kr¨afte bis zu 6000 N bei einem Gewicht von 0.2 kg. Die maximale Kontraktion der Muskeln betr¨agt allerdings nur 25 %. Die Plattform hat eine H¨ohe von 0.5 m bei einem Durchmesser von 0.4 m, siehe Abb. 13.1. Sie wiegt in dieser Form ca. 20 kg. Aufgrund des Aufbaues gibt es nur sehr wenig Reibung. Die Muskeln selbst haben nat¨urlich keine Reibung, weisen allerdings ein Hystereseverhalten auf. Da die Muskeln nur in der Lage sind, Zugkr¨afte auf die bewegte Platte einzupr¨agen, liefert eine Radfeder von einem PKW die Druckkr¨afte/momente. Sie hat in L¨angsrichtung eine Steifigkeit von ca. 105 N/m. Die Sollbahnen k¨onnen entweder offline vorgegeben werden, oder sie werden direkt von einem Force Feedback Joystick mit 6 Freiheitsgraden u¨ bernommen. Dieser ist ebenfalls als Stewart Plattform realisiert, siehe [Oll06] f¨ur detaillierte Informationen u¨ ber den Joystick. Der elektrische Aufbau ist H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

209

210

13 Bewegungsplattformen (K) E l4

l5

l6

l3

rE l2

l1 (I)

Abb. 13.1 links: Photo des Aufbaues - pneumatischer Hexapod mit Joystick, rechts: schematische Darstellung

in Abb. 13.2 dargestellt. Alle Regelungsschemen werden in M ATLAB /S IMULINK entworfen. Mithilfe des Real Time Workshops wird das Regelungsprogramm f¨ur einen RTAI (Real Time Application Interface) erweiterten Linux Kern erzeugt. Dieser l¨auft auf einem eingebetteten Computer mit einer Taktrate von 1 GHz bei einer Abtastzeit von 2 ms. Phytec eNET-CAN Karten stellen die Verbindung zu extra entworfenen Analog Digital Wandlerkarten her. Diese CAN Verbindung arbeitet mit einer Taktrate von 1 MBaud. Als Messgr¨oßen dienen die L¨angen der Muskeln (Linearpotentiometer) und die Dr¨ucke in den Muskeln. Die Stellgr¨oßen sind die Spannungen f¨ur die Druckregelventile. Matlab Simulink RTW

Flugsimulator Rennsimulator RS232

TCP/IP

Nano Luke Embedded Board

eNet-CAN

CAN 1MB CAN - AD

PC104 eNet-CAN

CAN 1MB

CAN -

AD DA

Joystick Hexapod

Abb. 13.2 Signale und Elektronikschema

Der Hexapod wurde in Zusammenarbeit mit der Firma FerRobotics Compliant Robot Technology GmbH. realisiert.

13.2 Kinematik

211

13.2 Kinematik Bei parallelen Robotern ist im Gegensatz zu den seriellen Robotern die inverse Kinematik einfach zu l¨osen, w¨ahrend die Vorw¨artskinematik aufw¨andiger zu berechnen ist, siehe [Mer00]. F¨ur die kinematische und dynamische Modellierung des Roboters wird der Vektor qT = (x y z    )T (Endeffektorkoordinaten) als Vektor der Minimalkoordinaten verwendet. Vektor rTE = (x y z) kennzeichnet die Position des Endeffektors, w¨ahrend die Komponenten von  TE = (   ) die Kardanwinkel f¨ur die Orientierung darstellen, siehe Gl.(2.9).

13.2.1 Inverse Kinematik Bei der inversen Kinematik m¨ussen, ausgehend von bekanntem Vektor rE und der Orientierung AIK , die L¨angen der Antriebe berechnet werden. Betrachtet man Abb. 13.3, so kann die i−te L¨ange u¨ ber die Vektorkette angeschrieben werden = I rE + AIK K b − I ai , 8 li = I lTi I li .

I li

(13.1) (13.2)

Die Vektoren K b und I a sind in den jeweiligen Koordinatensystemen u¨ ber die Konstruktion gegeben. Die Transformation erfolgt u¨ ber die Kardantransformation AIK = ATKardan , siehe Gl.(2.9). Damit ist die inverse Kinematik gel¨ost. (K) bi E rE li ai Abb. 13.3 Topologie eines Beines des Hexapods

(I)

212

13 Bewegungsplattformen

13.2.2 Vorw¨artskinematik Im Gegensatz zur inversen Kinematik werden bei der Vorw¨artskinematik bei gegebenen L¨angen der Antriebe die Position und Orientierung des Endeffektors berechnet. Eine analytische L¨osung der Vorw¨artskinematik stellt eine sehr anspruchsvolle Aufgabe dar. In [Hus96] werden verschiedene Ans¨atze gezeigt, aber eine effiziente Methode zur Implementierung am Echtzeitregelsystem steht nicht zur Verf¨ugung. Eine Alternative bietet die numerische Berechnung u¨ ber die Newton-Iteration. Ein Satz von Bindungsgleichungen  = 0

T  = 1 .. 6 , i = li |q(n) − li,d = 0, i = 1..6,

(13.3)

f¨uhrt auf das Iterationsschema [HMV05] −1 q(n+1) = q(n) −  q(n)  |q(n) (n) 

(13.4)

mit der L¨osung der n-ten Iteration q(n) und der entsprechenden Jacobimatrix  =   / q. L¨ange li,d ist die Solll¨ange des i-ten Antriebs, w¨ahrend li |q(n) die L¨osung der inversen Kinematik darstellt. Aufgrund von perfekten Startwerten durch die letzten Abtastzeitpunkte reichen 1 − 2 Iterationen pro Zeitschritt f¨ur eine ausreichende Genauigkeit. Um die Rechenzeit weiter zu verringern, ist es effizienter, die Gr¨oße  aus  q(n)  (n) =  |q(n) (13.5) u¨ ber iterative Verfahren zu l¨osen, siehe [HMV05]. Auch bei Parallelkinematiken k¨onnen Singularit¨aten auftreten, die einer genaueren Analyse bed¨urfen. Sichtbar werden sie ebenfalls wieder durch den Rangverlust der Jacobimatrix. Eine offensichtliche Singularit¨at liegt vor, wenn die bewegliche Platte parallel und auf gleiche H¨ohe zur unteren Platte kommt. Viele Singularit¨aten sind allerdings durch die begrenzte L¨ange der Antriebe konstruktiv gar nicht m¨oglich.

13.3 Dynamik Die Bewegungsgleichung wird mit der Projektionsgleichung Gl.(3.15) hergeleitet. Als Minimalkoordinaten wird der Vektor q = (x y z    )T verwendet. Das Gewicht der Muskeln ist um Gr¨oßenordnungen kleiner als die bewegte Platte mit der Last und wird daher vernachl¨assigt. Die Schwerpunkttranslationsgeschwindigkeiten vs sind direkt in den Minimalkoordinaten enthalten, w¨ahrend die Drehgeschwindigkeiten  s durch die Definition der Orientierung u¨ ber Kardanwinkel bestimmt sind, siehe Gl.(2.69). Die Modellierung der Muskeln und der Zentralfeder muss gesondert betrachtet werden. Erstere erh¨alt man aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit

13.3 Dynamik

213

 W =  qT Q =   I rTi I Fi =   qT mit I Fi

= Fi

I ri q

I li . I li

T I Fi

(13.6)

(13.7)

Fi ist die Kraft des i-ten Muskel, w¨ahrend I li / I li den Einheitsvektor angibt, siehe Gl.(13.1). Die Federkr¨afte werden mithilfe eines Potentials 1 V = qT Kq 2

(13.8)

mit der Steifigkeitsmatrix K in die Bewegungsgleichung eingef¨ugt. Man erh¨alt diesen Anteil als generalisierte Kraft Q=−

V q

.T = −Kq.

(13.9)

Die Werte f¨ur die Steifigkeitsmatrix werden u¨ ber einen Identifikationsprozess ermittelt. Es werden m verschiedene Positionen angefahren, die das System m¨oglichst gut anregen. Bei stillstehendem Roboter m¨ussen also die Federkr¨afte und die Mukelkr¨afte im Gleichgewicht stehen. Diese sind u¨ ber die Druckmessung (Muskelkennlinie) bekannt. Damit gelingt es ein Gleichungssystem der Form ⎤ ⎡ K11 . . . K16 ⎢ .. . . .. ⎥ (13.10) ⎣ . 1 | q2 | ...|qm ] = [Q1 | Q2 | ...|Qm ] . . ⎦ [q K61 · · · K66 6,m 6,m ˆ ˆ q∈R Q∈R K

anzuschreiben. Die identifizierte Steifigkeitsmatrix wird mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu ˆ qˆ T (qˆ qˆ T )−1 (13.11) K=Q berechnet. Schlussendlich ergeben sich die Bewegungsgleichungen in der Form ˙ + Kq = B (q) u, M (q) q¨ + g (q, q)

(13.12)

T als Regelungseingang. Zur Berechnung der inmit den 6 Kr¨aften u = F1 .. F6 versen Dynamik wird die Bewegungsgleichung Gl.(13.12) durch Vormultiplikation von B(q)−1 auf die Stellgr¨oße u umgeformt. Aufgrund des mechanischen Aufbaues ist keine singul¨are Stellung m¨oglich, und diese Transformation kann immer durchgef¨uhrt werden.

214

13 Bewegungsplattformen

13.4 Regelung F¨ur die Regelung der pneumatischen Stewart Plattform wurden in [Tro09] verschiedene Regelungsans¨atze getestet. Am geeignetsten stellte sich eine modellbasierte Vorsteuerung mit u¨ berlagerter PID- Positionsregelung und einer Kompensation des nichtlinearen Luftmuskelverhaltens heraus. Abb. 13.4 zeigt das Regelungskonzept schematisch. Joystick

Bahngenerator

qd , q˙ d , q¨ d

inverse Kinematik

ld,i

Flugsimulator

inverse Dynamik

PID

Ff f ,i Fi

F pd,i

p

li

Druckregelung

hd,i

Muskel i pi

h

Vorw¨artsKinematik

˙ q¨ q, q,

Abb. 13.4 Regelungskonzept

Die Sollwerte f¨ur den Endeffektor k¨onnen einerseits durch einen Trajektoriengenerator (offline), mithilfe eines Joysticks (online) oder von einem externen Computersystem (Flugsimulator), bereitgestellt werden. Die fix definierten Bahnen werden dabei f¨ur Manipulationsaufgaben verwendet. Wird der Roboter als Rehabilitationsger¨at verwendet, so ist es sinnvoll, dass der Therapeut die Bahnen u¨ ber den Joystick vorgibt. Die generierten Sollwerte werden u¨ ber die inverse Kinematik zu Solll¨angen der Muskeln und zur relativen L¨angen¨anderung h in % f¨ur jeden Muskel umgerechnet ld,i 100% (13.13) hd,i = l0 (l0 ... entspannte L¨ange der Muskeln). Ein PID-Regler liefert in Kombination mit der modellbasierten Vorsteuerung F f f = B (qd )−1 (M (qd ) q¨ d + g (qd , q˙ d ) + Kqd )

(13.14)

die geforderten Muskelkr¨afte. Das Verhalten der Muskeln (Kraft - Druck - Kontraktion) wird durch statische Versuche ermittelt. Die sich ergebenden Kennlinien, siehe Abb. 13.5, werden f¨ur die Regelungskonzepte durch Polynome approximiert

13.5 Bewegungssimulatoren

215 3

7

i=0

i=0

F(h, p) =  ai hi p +  bi hi ,

(13.15)

wobei die Koeffizienten a und b durch eine Identifikation bestimmt wurden. Es muss allerdings betont werden, dass dabei nur das statische Verhalten der Muskeln abgebildet wird. Verschiedene Ans¨atze f¨ur das dynamische Verhalten sind in [KAZD06] angegeben. Dabei wird versucht, ein dynamisches Modell u¨ ber den physikalischen Aufbau der Muskeln herzuleiten. Die Luftmuskeln weisen außerdem ein ausgepr¨agtes Hystereseverhalten auf. In [Sta08] wird ein Modellierungskonzept f¨ur die Antriebe erarbeitet und zur Verbesserung der Positionsregelung verwendet. 10

×103

p = 6 bar p = 5 bar p = 4 bar p = 3 bar p = 2 bar p = 1 bar

9 8

F in N

7 6 5 4 3 2 1 0

5

10

15

20

25

30

h in % Abb. 13.5 Kennlinien des Festo Luftmuskels DMSP40

Aus der geforderten Muskelkraft Fi und der L¨angen¨anderung hd,i wird u¨ ber die Kennlinie ein Solldruck berechnet. Mit einem unterlagerten PID Regelkreis wird der Druck f¨ur jeden Muskel geregelt. Das System wird mit den Solltrajektorien aus Abb. 13.6 getestet. Das Man¨over besteht aus einer schnellen Bewegung in zRichtung, gefolgt von x- und y- Bewegungen des Endeffektors. Aufgrund der begrenzten Dynamik der Pneumatikventile ergibt sich ein kleiner Regelfehler. Abb. 13.7 zeigt exemplarisch die Soll(ld,1 )- und Istl¨ange(l1 ) von Muskel 1. Die Messergebnisse sind f¨ur die geforderte Genauigkeit absolut ausreichend. Das Druckregelverhalten f¨ur Muskel 1 wird in Abb. 13.8 pr¨asentiert.

13.5 Bewegungssimulatoren Anhand von Bewegungssimulatoren soll das Empfinden von bestimmten Ereignissen (Auto, Flugzeug, Schiff) auf Bewegungsplattformen abgebildet werden. Aufgrund des eingeschr¨ankten Arbeitsraumes m¨ussen die realen Beschleunigungen und Winkelgeschwindigkeiten an die Plattform angepasst werden. Dieses Konzept nennt

216

13 Bewegungsplattformen

0.06 0.47

0.02

z in m

x, y in m

0.04

0

x xd y yd

−0.02 −0.04 −0.06

0

5

zd z

0.45 0.43 0.41

10

15

20

25

Zeit in s

30

0.39

35

0

5

10

15

20

25

Zeit in s

30

35

Abb. 13.6 Soll- und Istkoordinaten des Endeffektors 4

ld,1 l1

p1 pd,1

3.5

p1 in bar

l1 in m

0.53

0.51

0.49

3 2.5 2

1.5 1

0.47

0.5 0

5

10

15

20

Zeit in s

25

30

35

Abb. 13.7 Soll- und Istl¨ange von Muskel 1

0

0

5

10

15

20

Zeit in s

25

30

35

Abb. 13.8 Soll- und Istdruck f¨ur Muskel 1

man Washout Filtering“. Abb. 13.9 zeigt den f¨ur einen Flugsimulator erweiter” ten pneumatischen Hexapod. Als Flugsimulator wird die freie Software Flight” gear“ verwendet. Diese stellt die auf das Flugzeug wirkenden Beschleunigungen, Geschwindigkeiten und Orientierungen bereit.

Abb. 13.9 Flugsimulator

13.6 Washout Filter

217

13.6 Washout Filter Die verbreitetsten Filterkonzepte sind Washout Filter“. Die Signalanpassung wird ” dabei in den translatorischen und rotatorischen Teil unterschieden, siehe Abb. 13.10. Dabei werden niederfrequente Beschleunigungen und Winkelgeschwindigkeiten, die den Hexapod in die physikalischen Begrenzungen bewegen w¨urden, unterdr¨uckt, und hochfrequente Anteile direkt auf die Plattform aufgeschaltet. Die Beschleunigungen 4 aA (Koordinatensystem 4 entspricht dem k¨orperfesten Flugzeugkoordinatensystem), die auf den Piloten wirken, werden nach dem Ausfiltern der langsamen Bewegungen und Skalierung mit der Gravitation 4 g kombiniert. Durch weitere Hochpassfilter und Transformation ins Inertialkoordinatensystem erh¨alt man die Beschleunigungen f¨ur den Simulator I aS . Aufgrund des kleinen Arbeitsraumes st¨oßt man schnell an dessen Grenzen. Eine L¨osung bildet das Konzept des Dead Zone Washout“ Filter, in Abb. 13.10 im Block DZWF gekenn” zeichnet. Wenn die geforderte Beschleunigung einen minimalen Wert (0.28 m/s2 ), welcher vom Menschen nicht mehr wahrgenommen wird, unterschreitet, so wird die Plattform in den Ausgangspunkt zur¨uckgef¨uhrt. Eine zweifache zeitliche Integration der so erhaltenen Beschleunigung I aSDZ f¨uhrt auf die Positionssollwerte der Stewart Plattform I rE,d . Ein a¨ hnliches Vorgehen gilt f¨ur die hochfrequenten Anteile der rotatorischen Bewegungen. Vektor 4  A wird u¨ ber Filter, der Transformation Gl.(2.74) und Zeitintegration auf die hochfrequenten Kardanwinkel I  SH umgerechnet. Da die niederfrequenten Beschleunigungen f¨ur eine realistische Simulation eines Flugzeuges sehr wichtig sind, werden diese u¨ ber eine Tilt-Koordination eingebunden. Diese Anteile werden u¨ ber I  SL zur Kardanorientierung u¨ berlagert. Die Summe aus hochfrequenter Orientierung und transformierter niederfrequenter Beschleunigung wird dem Hexapod als Sollorientierung I  E,d vorgegeben. Es wird also die Gravitation ausgenutzt, um dieses Empfinden nachzubilden. Da dieser jedoch nur in der Richtung, nicht aber im Betrag ver¨andert werden kann, kommt es unweigerlich zu Empfindungsfehlern. 4g 4 aA

HP Scale #1

4 a1

4 aH HP Filter #1

AI4

I a2

4 aL 4 a2 LP LP Scale #1 Filter #1

4 A

4 H 4 1 HP HP Filter #3 Scale #2

TI4

˙H I

I aS HP Filter #2

Tilt Koord.

˙ SH HP I  Filter #4

DZWF

I aSDZ

1 s2

I rE,d

I  SL

1 s

I  SH

I  E,d

Abb. 13.10 Schema Deadzone Washout Filter“ ”

F¨ur die Einstellung der Filter wird auf [Spr10] verwiesen. Bei den optimierten Filterentwurfsverfahren wird versucht, den Empfindungsfehler zwischen realen Man¨overn

218

13 Bewegungsplattformen

Wahrnehmung  in rad/sec

und der menschlichen Wahrnehmung zu minimieren. Es kommen dabei verschiedene Modelle f¨ur die menschliche Wahrnehmung zum Einsatz. In [Spr10] werden einige optimierte Entwurfsverfahren hergeleitet. Abb. 13.11 zeigt den Vergleich der Winkelgeschwindigkeit (reale A,y und wahrgenommene S,y ) bei einem Rollman¨over eines Flugzeuges.

Abb. 13.11 Wahrnehmungvergleich

S,y A,y

0.02

0

−0.02 −0.04 −0.06 0

2

4

6

8

10

Zeit in s

13.7 Zusammenfassung F¨ur diesen Parallelroboter werden Luftmuskeln als innovative Antriebe verwendet. Ein wesentlicher Vorteil ist der einfache Aufbau der Stewart Plattform. Die 6 Bewegungsfreiheitsgrade (x, y, z,  ,  ,  ) werden u¨ ber kinematische Betrachtungen in die Muskell¨angen (l1 , .., l6 ) transformiert. Die inverse Kinematik kann u¨ ber Vektorketten einfach gel¨ost werden. F¨ur die Vorw¨artskinematik kommt ein numerisches Verfahren zum Einsatz. Ein detailliertes mathematisches Modell bildet die Grundlage f¨ur die Regelungsverfahren. Das gezeigte Schema besteht aus einer modellbasierten Vorsteuerung der Starrk¨orper, u¨ berlagert mit einem PID-Regler. Eine Kompensation des nichtlinearen Muskelverhaltens f¨uhrt in Kombination mit einem unterlagerten Druckregelkreis zu einem befriedigenden Regelverhalten. Als Einsatzgebiet wird der Hexapod als Simulationsplattform f¨ur einen Flugsimulator gezeigt.

Kapitel 14

Rotordynamik

Obwohl sich der Titel dieser Arbeit auf die Robotersysteme beschr¨ankt, soll als Modellausblick auch die Rotordynamik vorkommen. Die allgemeine Modellierung der starr/elastischen Mehrk¨orpersysteme eignet sich auch f¨ur Rotoren. Als allgemeines Beispiel wird eine elastische Welle mit zwei vergleichsweise schweren unsymmetrischen Endmassen gew¨ahlt, welche symmetrisch gelagert sind. Man denke dabei zum Beispiel an einen Turbolader, oder einen Antriebsstrang f¨ur diverse Maschinen. Die Modellbildung erfolgt mit der Projektionsgleichung, wobei auf eine vollst¨andige Beschreibung geachtet wird. Als Freiheitsgrade gibt es daher die Starrk¨orperdrehung, Torsion und Biegung in zwei Richtungen. Die Konvergenz des R ITZverfahrens wird anhand von verschiedenen Ansatzfunktionen untersucht. F¨ur die Lagerung kommen radialsymmetrische Federmodelle zum Einsatz. Diese theoretischen Herleitungen werden durch experimentelle Ergebnisse untermauert. Ein weiteres Beispiel behandelt den Antriebsstrang f¨ur einen Walzprozess, welcher aus zwei der oben beschriebenen Rotoren besteht, die u¨ ber ein Getriebe gekoppelt sind. Es werden Simulationsergebnisse f¨ur den Hochlauf pr¨asentiert.

14.1 Mechanisches Rotormodell Als grundlegendes Rotorbeispiel wird das System nach Abb. 14.1 angesehen. Rz

Iz Ry

 (x,t) Iy

rs

Rz

Iz

 (x,t)

(E) dm

w(x,t) v(x,t)

rs Rx

w(x, t v(x,t)

)

Ry

 (t)

Iy

 (t) Abb. 14.1 Mechanisches Rotormodell

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_14, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

219

220

14 Rotordynamik

Es handelt sich also um ein System aus 2 starren K¨orpern die u¨ ber eine elastische Welle miteinander verbunden sind. Die elastische Welle ist an diskreten Stellen gelagert, welche aber aus Platzgr¨unden nicht eingezeichnet sind. Dieser Aufbau entspricht beispielsweise einem Turbolader f¨ur Kraftfahrzeuge. Es sind auch viele Antriebsstr¨ange, siehe Kap. 14.3, auf diese Weise konstruiert.

14.1.1 Modellbildung 14.1.1.1 Modellierung elastischer Rotor Als Minimalgeschwindigkeiten zur Beschreibung des Systems eignen sich ⎤⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎡ ˙ 1 0 0 0 ˙ ⎜ ˙ (x,t) ⎟ ⎢ 0  (x)T 0 ⎟ ⎜ 0 ⎥ ⎥ ⎜ q˙  (t) ⎟ =  T y˙ R , ⎟=⎢ s˙ = ⎜ T ⎦ ⎝ v(x,t) ⎠ ⎣ ⎝ q˙ v (t) ⎠ 0 0 v(x) 0 ˙ T q˙ w (t) 0 0 0 w(x) w(x,t) ˙

(14.1)

siehe Abb. 14.1. Die Verschiebungen werden also in dem mit  rotierenden Koordinatensystem R beschrieben. Dieses rotiert mit

 To = (˙ 0 0).

(14.2)

Mit den Zwischenvariablen nach Gl.(4.4) T y˙ = (vTo  To r˙ Ts ˙ T ˙ T )

(14.3)

und den beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ T = (˙ ˙ ˙ v˙ v˙ v˙ w˙ w˙ w˙ )

(14.4)

folgt f¨ur den Differentialoperator (˙y = D ◦ s˙) ⎡

1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 D =⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣

0 1

 x

0 0

0 0 0

0 0 und die Matrix  T nach Gl.(6.1) ergibt

0 0 0 1

 x 2  x2

0 0

0

0 0 0 0 0

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥  ⎥ x ⎦

2  x2

(14.5)

14.1 Mechanisches Rotormodell

221

⎡

1 0 ⎢ 0 T ⎢ ⎢ 0  T ⎢ ⎢0 0 ⎢  T = D ◦ T = ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0 0 0

⎤

0 0 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ vT 0 ⎥ ⎥ vT 0 ⎥ ⎥. vT 0 ⎥ ⎥ 0 wT ⎥ ⎥ 0 wT ⎦ 0 wT

(14.6)

Mit der allgemeinen Form f¨ur F, siehe Gl.(4.6), F aus Gl.(14.3) und Gl.(14.4) (partielle Ableitung) und  aus Gl.(14.6) erh¨alt man f¨ur die Dynamikmatrizen mit den Gleichungen 6.11 bis 6.13 dM = ⎡

 Ix

 Ix  T

− AwvT  (Ix − Iz )w vT

⎤

 AvwT − (Ix − Iy )v wT ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎢  Ix   Ix   T  (Ix − Iz )w  vT − (Ix − Iy )v  w ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − Avw  (Ix − Iz )w v  T  AvvT +  Iz v vT  (−Iy + Iz ) v wT ⎥dx, ⎢ ⎥ ⎢ + (Ix − Iz )v w ⎥ ⎢ ⎣ T T T T ⎦  Awv − (Ix − Iy )v w  − (Ix − Iy )w v

 (−Iy + Iz ) w v

 Aww +  Iy w w

(14.7) dG = ⎡

0

⎤ 2 Av˙ vT 2 Aw˙ wT T T  (Ix − Iz )w˙ v − (Ix − Iy )v˙ w ⎥

0

⎢ ⎥ ⎢ 0 0  (Ix − Iy )w˙  vT  (Ix − Iy )v˙  wT ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ˙ AwT ⎥ − Av˙ v v w˙  (Ix − Iy ) T 0 −2v ⎥ ⎢ ⎢ + (Ix − Iz )v w˙ +v ˙ v  (Ix − Iy ) T ˙ Iy wT ⎥dx −v  ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + (Ix − Iy )v v ˙ ⎥ ⎢ v˙  (I − I ) T T ⎥ ⎢ − Aww˙ ˙ w 2w  Av 0 y x ⎦ ⎣ T T − (Ix − Iy )w v˙ +w ˙ w  (Ix − Iy ) + (Ix − Iz )w w ˙

˙ Iz v +w 

(14.8) und

⎞ dMx /dx ⎜ −GID   ⎟ ⎟ dQ = ⎜ ⎝ −EIz v v ⎠ dx. −EIy w w ⎛

(14.9)

Die elastischen R¨uckstellkr¨afte werden u¨ ber dQ = −( dVel / q)T mit dem elastischen Potential

222

14 Rotordynamik

dVel =

1 1 1 GID  (x,t)2 + EIy w (x,t)2 + EIz v (x,t)2 dx 2 2 2

(14.10)

ber¨ucksichtigt. Betrachtet man in Gl.(14.7) den Eintrag (1,3) genauer, so erkennt man, dass dieser nach Multiplikation mit den Minimalbeschleunigungen q¨ v von zweiter Ordnung ist, und somit vernachl¨assigt werden kann. Der Ausdruck (3,1) ist aufgrund der symmetrischen Massenmatrix identisch. Dieser Term wird allerdings mit der Starrk¨orperbeschleunigung ¨ multipliziert und ist daher von linearer ¨ Ordnung. Er darf somit nicht gestrichen werden. Ahnliches gilt f¨ur weitere Terme in der Massen- bzw. dG- Matrix. Vernachl¨assigt man alle Terme zweiter Ordnung, so erh¨alt man ⎤ ⎡  Ix  Ix  T 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢  Ix   Ix   T 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − Avw 0  AvvT +  Iz v vT 0 ⎥ dx, dM = ⎢ ⎥ ⎢ + (I − I )v w ⎥ ⎢ x z ⎥ ⎢ T T ⎣  Awv 0 0  Aww +  Iy w w ⎦ − (Ix − Iy )w v (14.11) ⎤ ⎡ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ T ˙ Aw ⎥ − Avv˙ 0 −2v ⎢ ⎥ ⎢ T ˙ Iy w ⎥ −v  ⎢ + (Ix − Iy )v w˙ 0 dG = ⎢ (14.12) ⎥ dx. ⎥ ⎢ + (Ix − Iz )v v ˙ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ˙ AvT − Aww˙ 2w 0 ⎥ ⎢ T ⎦ ⎣ − (Ix − Iy )w v˙ 0 +w  ˙ Iz v 0 + (Ix − Iz )w w ˙ Die Torsionsfreiheitsgrade sind also von den Biegefreiheitsgraden entkoppelt. Setzt man den R ITZansatz auch f¨ur die verbleibenden Gr¨oßen ein, so kann auch die Integration durchgef¨uhrt werden. Die Bewegungsgleichung f¨ur den Rotationsanteil lautet 0 0 MMot  Ix  Ix  T ¨  dx + dx = q MMot  (0) q¨  0 GID   T  Ix   Ix   T Mt

Kt

(14.13) (Motormoment wirkt an der Position x = 0). Diese Gleichung kann nach ¨ aufgel¨ost werden, und das Ergebnis geht als Parameter f¨ur die Biegeanteile ein. Geht man von rotationssymmetrischen K¨orpern aus bedeutet dies f¨ur die Tr¨agheitseigenschaften

 Iz =  Iy :=

 Jy . x

(14.14)

14.1 Mechanisches Rotormodell

223

Analog wird auch  A durch  m/ x ersetzt, um eine allgemeine Massenverteilung zu ber¨ucksichtigen. F¨ur die Biegeanteile erh¨alt man

m T  x vv

m T  x wv

/ +˙

+

0  Jy x

− mx vwT −

− Jxx w vT

q¨ v q¨ w

 Jy x

0 − Jxx v wT

0

dx

G1

− mx vvT −

 Jy x

− Jxx v vT

qv qw

EIy v vT 0 dx 0 EIy w wT

Kb

G2

− mx wwT −

0

+

0 J 0 −2 mx vwT − 2  xy − Jxx v wT q˙ v dx  Jy  Jx m T T ˙w q 2  x wv + 2  x −  x w v 0

/ +˙ 2

0 dx m T +  Jy w wT ww x x

Mb

/ +¨

J

+  xy v vT 0

G3

qv qw

=

0 . 0

0  Jy x

0

− Jxx w wT

qv dx qw

(14.15)

Gl.(14.13) und Gl.(14.15) k¨onnen effektiv mit einem entsprechenden numerischen Integrator simuliert werden. Diese Form hat aber einen entscheidenden Nachteil. Es ist dabei die x-Richtung (Starrk¨orperdrehung, Torsion) vollst¨andig von y, z-Richtung (Biegungen) entkoppelt. Die aus der Praxis bekannten Ph¨anomene, wie beispielsweise das H¨angenbleiben der Drehzahl bei bestimmten Biegefrequenzen, werden mit diesem Modell nicht abgebildet. In diesem Fall wird beim Hochlauf die gesamte Antriebsenergie in die Biegerichtungen umgeleitet, was nat¨urlich a¨ ußerst unerw¨unscht ist. F¨ur die Modellierung dieses Effektes muss eine Unwuchtmasse eingef¨uhrt werden. Aufgrund von Fertigungstoleranzen wird es bei realen Systemen immer zu kleinen Unsymmetrien kommen. 14.1.1.2 Unwuchterregung Eine Unwuchtmasse m (Tr¨agheitsmoment vernachl¨assigt), die auf der elementfesten E y-Achse am Ort x = 0 angebracht ist, wird im Referenzsystem mit dem Ortsvektor T ˜ beschrieben, wobei  T = ( (0,t) − R r = R ro + ARE (0 s 0) mit ARE = E +  w (0,t) v (0,t)) die Verformungswinkel beinhaltet. Der Impuls der Masse m, lautet bei Verwendung des R ITZansatzes

224

14 Rotordynamik R pUW

= m(R r˙ + ˜ o R r) ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ˙ T 0 0 −v s 0 ⎜ ⎟  Rv ˙ q ⎟ vT 0 ⎦ ⎜ ˙ = m ⎣ w+s 0 =m q. ⎝ ⎠ ˙ qv  q˙ v + s  T s 0 wT x=0 q˙ w

(14.16) (14.17)

Gl.(14.17) liefert die Massenmatrix MUW = m

 Rv

.T -

 Rv

.

(14.18)  q˙  q˙ ⎡ ⎤ (w +  s)2 + (v + s)2 (v + s) T s −(w +  s)vT (v + s)wT ⎢   T s2 0  wT s ⎥ ⎥ = m⎢ T T 2 ⎣ ⎦ vv + v v s 0 T symm ww x=0 (14.19)

bzw. nach einer Linearisierung ⎡ ⎤  T1 s2 0 swT1 2vT1 qv s + s2 ⎢ (vT1 qv + s) 1 s  1  T1 s2 0  1 wT1 s ⎥ ⎥, MUW = m ⎢ T 2 T ⎣ −(wT qw +  T1 q s)v1 0 v1 v1 s + v1 v1 0 ⎦ 1 (vT1 qv + s)w1 w1  T1 s 0 w1 wT1

(14.20)

mit v(x = 0) := v1 etc. Prinzipiell wird die Symmetrie der Massenmatrix nicht zerst¨ort; hier wird lediglich ausgewertet, dass einige Terme der zweiten bis dritten Spalte vernachl¨assigbar klein sind, was f¨ur die erste Spalte wegen ˙ 1 nicht gilt. Ein analoges Vorgehen f¨uhrt auf die G-Matrix: GUW = m ⎡

 Rv  q˙

.T

d  Rv  Rv + ˜ o dt  q˙  q˙

(14.21)

⎤ 0 0 0 2svT1 ⎢ −(w1 qw +  T1 q s) 1 s ⎥ 0 2s 1 vT1 0 ⎥ ˙ .(14.22) = m⎢ T T T ⎣ −(v1 qv + s)v1 −2sv1  1 0 −2w1 v1 ⎦ −(wT1 qw +  1 q s)w1 0 2w1 vT1 0 14.1.1.3 Einbinden der Starrk¨orper Das Einbinden der beiden Randmassen kann formal durch entsprechende Anpassung der Integrale in Gl.(14.13) und Gl.(14.15) erfolgen. Ein Blick auf Abb. 14.2 zeigt, dass f¨ur den Rotor folgende Massen- und Tr¨agheitsverteilung zutrifft

14.1 Mechanisches Rotormodell

225

m =  A[ (0) −  (x − Lel )] + m1−  (x + Ls,r1 ) + m2−  (x − Ls,r2 ) (14.23) x J =  I[ (0) −  (x − Lel )] + J1−  (x + Ls,r1 ) + J2−  (x − Ls,r2 ), (14.24) x . mit der Sprungfunktion  und der Diracfunktion − Rz

Lel

Lr1

Lr2

m2 , J2

m1 , J1 Sr1

 , A, I, E, G Ls,r1

Sr2

Rx

Ls,r2

Abb. 14.2 Zur Massenverteilung des Rotors

Auch die Ansatzfunktionen m¨ussen entsprechend den Abschnitten angepasst werden. F¨ur die y-Richtung lauten diese ⎧ : −Lr1 < x ≤ 0 ⎨ v(0) + v (0)x : 0 < x ≤ Lel (14.25) v(x) = v(x) ⎩ v(Lel ) + v (Lel )(x − Lel ) : Lel < x < Lel + Lr2 Analoges gilt f¨ur die Torsion und die Biegung in z-Richtung. 14.1.1.4 Ansatzfunktionen Von wichtiger Bedeutung ist auch die Wahl der Ansatzfunktionen. Bei der Verwendung des R ITZ Verfahrens werden an diese ja die Forderungen • Erf¨ullung der geometrischen Randbedingungen • lineare Unabh¨angigkeit • vollst¨andiges Funktionensystem gestellt. Es soll also ein Vergleich zwischen verschieden gew¨ahlten Ansatzfunktionen bez¨uglich der Konvergenz der Eigenfrequenz untersucht werden. F¨ur ein beliebiges lineares System der Form Mq¨ + Kq = 0

(14.26)

erh¨alt man die Eigenfrequenzen  durch Einsetzen des L¨osungsansatzes q = qe t in Gl.(14.26) aus

226

14 Rotordynamik

 2 M + K q = 0 → Det  2 M + K = 0,

(14.27)

siehe [MP97]. Diese werden f¨ur den stillstehenden Rotor berechnet. F¨ur diese Auswertung werden die physikalischen Parameter von Tabelle 14.1 verwendet. L¨ange in m Durchmesser in m elast. Welle

0.8

0.05

Masse 1

0.02

0.08

Masse 2

0.025

0.05

Tabelle 14.1 Abmessungen f¨ur die Simulation

Betrachtet man vorerst die Torsionsschwingungen aus Gl.(14.13) so bieten sich als Ansatzfunktionen die exakten eingespannt-frei Torsionseigenmoden des einfachen B ERNOULLI -E ULER Balkens an. Aus [BP92] ergeben sich diese als √ i (x) = 2 sin ki x, ki L = i . (14.28) Eine Auswertung der ersten 4 Eigenfrequenzen wird in Tabelle 14.2 pr¨asentiert, wobei die beiden Starrk¨orperfrequenzen ( f = 0) nicht angeschrieben sind. Die exakte ¨ L¨osung wurde mit dem Ubertragungsmatrizenverfahren berechnet, siehe [Hub08]. In den Spalten 3 (e-f TM (4 Ans)) und 4 (e-f TM (100 Ans)) sind die L¨osungen f¨ur 4 bzw. 100 Ansatzfunktionen dargestellt. Bei Verwendung von 4 Ansatzfunktionen ist der Fehler nicht zu vernachl¨assigen. Durch 100 Ansatzfunktionen wird die erste Eigenfrequenz gut abgebildet, allerdings gibt es Fehler in den restlichen. Das Verfahren konvergiert also, aber die Rate ist doch eher schlecht. Dies kann durch Hinzunahme einer Hilfsfunktion verbessert werden, siehe auch [Bre08]. Durch die schweren Endmassen verh¨alt sich ein Torsionsmode f¨ur große Eigenfrequenzen a¨ hnlich einer festen Einspannung. Die Hilfsfunktion ist ebenfalls in Abb. 14.3 dargestellt. Die Ergebnisse f¨ur die Eigenfrequenzen sind wieder in Tabelle 14.2 (e-f TM mit HF) angegeben. Es zeigt sich ein sehr gutes Konvergenzverhalten. F¨ur die Simulation werden daher f¨unf dieser Torsionsansatzfunktionen verwendet. ex. L¨os. e-f TM

e-f TM

(4 Ans.) (100 Ans.) 1.te Ef. 156.6

e-f TM mit Hf e-f TM mit Hf (4 Ans.)

(100 Ans.)

160.8

156.8

156.6

156.6

2.te Ef. 2017.1 2125.1

2021.2

2017.1

2017.1

3.te Ef. 4015.6 4242.1

4023.9

4020.4

4015.8

4.te Ef. 6018.4 6399.4

6030.7

6273.6

6018.5

Tabelle 14.2 Eigenfrequenzen Torsion

F¨ur die Biegeansatzfunktionen bietet sich ein a¨ hnliches Vorgehen an. Die exakte ¨ L¨osung wurde mit dem Ubertragungsmatrizenverfahren berechnet. Als Ansatzfunk-

14.1 Mechanisches Rotormodell

227

tionen werden die exakten frei-frei Biegeeigenmoden des B ERNOULLI -E ULER Balkens verwendet vi (x) = wi (x) = (cosh ki x sinh ki x cos ki x sin ki x)ci

(14.29)

ci = (1 − i 1 − i )T cosh ki L − cos ki L und ki aus 1 − (cosh ki L)(cos ki L) = 0. i = sinh ki L − sin ki L

(14.30)

mit

(14.31)

Dabei m¨ussen nat¨urlich auch die Starrk¨orpermoden ber¨ucksichtigt werden. Abb. 14.4 bildet die Funktionen graphisch ab. In Tabelle 14.3 wird auch f¨ur diesen Fall das Konvergenzverhalten untersucht. Mit 10 Ansatzfunktionen f¨ur jede Biegerichtung werden die unteren Eigenfrequenzen gut abgebildet. Da die Ansatzfunktionen f¨ur beide Biegerichtungen gleich gew¨ahlt werden, kommt es in Gl.(14.15) zu einigen Rechenvereinfachungen. ex. L¨os. f-f BM

f-f BM

f-f BM

(4 Ans.) (20 Ans.) (100 Ans.) 1.te Ef.

21.6

22.9

21.6

21.6

2.te Ef.

36.1

38.9

36.1

36.1

3.te Ef. 130.6

256.2

130.9

130.8

4.te Ef. 335.5

410.1

336.7

336.5

Tabelle 14.3 Eigenfrequenzen Biegung

Bemerkung: Die guten Konvergenzergebnisse aus Tabelle 14.2 und Tabelle 14.3 rechtfertigen den hohen Aufwand zur Berechnung der exakten Eigenmoden u¨ ber das ¨ Ubertragungsmatrizenverfahren eigentlich nicht. Diese L¨osung wird auch nur f¨ur den stillstehenden Rotor berechnet, und a¨ ndert sich am realen System mit der Drehzahl. Andererseits ist die Berechnung mit zu vielen Ansatzfunktionen keineswegs empfehlenswert. Eine Abhilfe schafft hier die modale Entkopplung. Die Eigenfrequenzen und Eigenformen q in Gl.(14.27) k¨onnen auch f¨ur viele Ansatzfunktionen berechnet werden. F¨uhrt man eine Modaltransformation mit q = Y , Y = [q1 · · · qn ] durch, so erh¨alt man f¨ur Gl.(14.15) bei ˙ = 0 (eine Biegerichtung, Y geeignet normiert) T T MY ¨ + Y KY  = 0. (14.32) Y E

Wegen Y = const. folgt

diag(i2 )

228

14 Rotordynamik

m J wwT + w wT dxY YT MY = YT x x m T J T T T T T (Y w)(Y w) + (Y w )(Y w ) dx = x x m J T T weigen weigen + weigen weigen dx = E. ≈ x x

(14.33) (14.34) (14.35)

Eine N¨aherung der Eigenfunktionen ist also weigen = YT w, weigen,i = qTi w,

(14.36)

mit qi ∈ Rn , w ∈ Rn , i = 1..n. F¨ur die weitere Rechnung mit ˙ = 0 k¨onnen die Eigenfunktionen des stillstehenden Rotors als Ansatzfunktionen verwendet und auf eine geringe Anzahl weigen,i , i = 1..m, m < n reduziert werden. Die Orthogonalit¨at bez¨uglich M (und K) bleibt erhalten und kann nutzbringend verwendet werden. 2

1.5

1.5

1

0

vi in m

i in rad

1 0.5

Hilfsfunktion

−0.5

−1.5 0

0.2

0

−0.5

1. Af. 2. Af. 3. Af. 4. Af.

−1

0.5

1. Af. 2. Af. 3. Af. 4. Af.

−1 −1.5 0.4

x in m

0.6

Abb. 14.3 Ansatzfunktionen Torsion

0.8

−2

0

0.2

0.4

x in m

0.6

0.8

Abb. 14.4 Ansatzfunktionen Biegung

14.1.1.5 Lagerung Die Lagerung befindet sich an diskreten Positionen LLi , i = 1..2. Neben der radialen Richtung (Steifigkeit cLr ) muss auch ein Anteil f¨ur den Biegewinkel (Steifigkeit cLt ) eingef¨ugt werden. Aufgrund der Rotationssymmetrie der Lager kann das Potential direkt f¨ur die Verschiebungen (Winkel) angegeben werden 1 1 1 1 2 2 2 2 cLr w(LLi ,t) + cLr v(LLi ,t) + cLt w (LLi ,t) + cLt v (LLi ,t) , VL =  2 2 2 i=1 2 (14.37) siehe auch Abb. 14.5. 2

14.1 Mechanisches Rotormodell

229

Rz

cLt

cLt

Ry

Rx

cLr LL1

cLr

LL2

Abb. 14.5 Lagerung des Rotors

F¨ur die Steifigkeitsmatrizen aufgrund der Lager ergibt das c [vvT |LL1 + vvT |LL2 ] 0 KLr = Lr 0 cLr [wwT |LL1 + wwT |LL2 ] c [v vT |LL1 + v vT |LL2 ] 0 KLt = Lt 0 cLt [w wT |LL1 + w wT |LL2 ] KL = KLr + KLt .

(14.38) (14.39) (14.40)

14.1.1.6 Gesamtsystem Mit den Herleitungen der vorigen Abschnitte und der Summation der Steifigkeitsmatrizen (K1 = Kb + KL ) erh¨alt man die Bewegungsgleichung des Rotorsystems als Mt q¨ t + Kt qt = QMot1 Mb q¨ b + ¨ G1 qb + ˙ G2 q˙ b + ˙ 2 G3 qb + K1 qb = 0 mit

qt =

 q

und qb =

qv qw

(14.41) (14.42)

,

(14.43)

siehe Gl.(14.13) und Gl.(14.15). Dabei wurde von einem rotationssymmetrischen System ohne Unwuchtmasse ausgegangen. Bei unwuchtigen Systemen werden qt und qb entsprechend Gl.(14.20) etc. gekoppelt.

230

14 Rotordynamik

14.2 Experiment 14.2.1 Hochlauf ohne Unwucht Die theoretischen Ergebnisse des vorigen Kapitels sollen mit experimentellen Ergebnissen untermauert werden. Dazu steht der Versuch nach Abb. 14.6 zur Verf¨ugung.

Abb. 14.6 Rotordynamik Versuchsstand

F¨ur das reale Modell werden die Parameter aus Tabelle 14.4 verwendet. Das Material f¨ur alle Teile ist Stahl. Die Lagersteifigkeiten betragen cLr = 5 · 106 N/m und cLt = 6 · 102 Nm/rad. Diese befinden sich an den Positionen LL1 = 0.165 m und LL2 = 0.645 m, siehe Abb. 14.5. L¨ange in m Durchmesser in m elast. Welle

0.81

0.012

Masse 1

0.02

0.08

Masse 2

0.025

0.05

Tabelle 14.4 Parameter des Rotorversuchs

Die sich aus dem Simulationsmodell ergebenden ersten drei Eigenfrequenzen liegen bei 34.4 Hz, 51.7 Hz und 180.8 Hz. Diese stimmen gut mit den experimentellen Analysen mittels FFT-Analyse in Abb. 14.7 u¨ berein.

14.2.2 Hochlauf mit Unwucht Als weiteres experimentelles Ergebnis werden Hochl¨aufe mit Unwucht pr¨asentiert. Dem Rotor wird ein konstantes Moment von MMot = 0.33 Nm eingepr¨agt. Die Unwuchtmasse betr¨agt ca. 0.5 g und ist im Abstand von 3 cm vom Mittelpunkt der

14.2 Experiment

231

8

70

Eigenfrequenz in 1/s

34, 5 Hz

7

Betrag

6

51, 5 Hz

5 4 3

176 Hz

2

50

f1

40 30 20 10

1 0

f2

60

0 0

100

200

Frequenz in Hz

400

300

0

100

200

300

400

 in rad/s

Abb. 14.7 FFT Analyse des Rotors (Messung) Abb. 14.8 Drehzahlabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen (gepunktet: Hochlaufgerade)

60

−47

50

−48

40

−49

z in mm

 in 1/s

Masse 1 entfernt. Als Messgr¨oßen werden die Drehzahl und die Position von Masse 1 aufgezeichnet. Die Ergebnisse werden in den Bildern 14.9 bis 14.12 gezeigt. Der Rotor bleibt in der N¨ahe der ersten biegekritischen Drehzahl h¨angen, siehe Abb. 14.8 f¨ur die Drehzahlabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen. Die Drehzahl wird also in diesem Bereich nur geringf¨ugig erh¨oht, weil die Energie in die Biegeschwingungen geht. Bei ca. 110 s verl¨asst der Rotor diesen Bereich und beschleunigt schnell bis zur zweiten biegekritischen Drehzahl.

30 20 10 0

−50 −51 −52

0

20

40

60

80

Zeit in s

100

120

140

Abb. 14.9 Drehzahlverlauf MMot = 0.33 Nm

−53 262

264

266

y in mm

268

270

Abb. 14.10 Orbit MMot = 0.33 Nm

In einem zweiten Versuch wird ein Drehmoment von MMot = 0.7 Nm eingepr¨agt. Die Bilder 14.13 bis 14.16 zeigen wieder die entsprechenden Auswertungen. Aufgrund des großen Moments wird durch die erste biegekritische Frequenz schnell durchgefahren. In der N¨ahe der zweiten Biegefrequenz (55 Hz) wird die Drehzahl nur langsam erh¨oht. Das Moment reicht aber aus, um auch diesen Bereich zu durchfahren, und n¨ahert sich schließlich der maximalen Motordrehzahl an.

232

14 Rotordynamik

270

−47

269

−48 −49

267

z in mm

y in mm

268

266 265

−50

−51

264 −52

263 262

0

20

40

80

60

100

120

−53

140

0

20

40

Zeit in s Abb. 14.11 y-Verschiebung MMot = 0.33 Nm

70

−48

60

−49

z in mm

 in 1/s

120

140

−47

80

50 40 30 20

−50 −51 −52

10 0

2

4

Zeit in s

6

−53 263

8

Abb. 14.13 Drehzahlverlauf MMot = 0.7 Nm 269

−47

268

−48

267

−49

266 265

265

266

y in mm

267

268

269

−50 −51 −52

264 263

264

Abb. 14.14 Orbit MMot = 0.7 Nm

z in mm

y in mm

100

Abb. 14.12 z-Verschiebung MMot = 0.33 Nm

90

0

80

60

Zeit in s

0

2

4

Zeit in s

6

Abb. 14.15 y-Verschiebung MMot = 0.7 Nm

8

−53

0

2

4

Zeit in s

6

8

Abb. 14.16 z-Verschiebung MMot = 0.7 Nm

14.3 Antriebsstrang Das hier betrachtete System besteht aus zwei drehenden Wellen, die in Abb. 14.17 dargestellt sind. Es stellt den Antriebsstrang f¨ur ein Kaltwalzwerk dar. Daraus resultieren die relativ großen Dimensionen nach Tabelle 14.5. Die Rotoren bestehen

14.3 Antriebsstrang

233

jeweils aus zwei Starrk¨orpern auf der linken und rechten Seite, die u¨ ber elastische ¨ Wellen verbunden sind. Durch das Getriebe erfolgt eine Ubersetzung um den Faktor iG = 2. Als Verbindungselemente werden Federn in Torsions- und Biegerichtung verwendet. Die Lager werden als rotationssymmetrische Federn modelliert. Flexible Balken

Iz

Abtrieb Ix

Iy

Sys

tem

1

1

2

Mx

Syst

em

2 I Fz

Lager

Getriebe

Motor Abb. 14.17 Schematische Darstellung eines Antriebsstrangs

Die prinzipiellen Abmessungen der aus Stahl bestehenden Teile sind in Tabelle 14.5 angegeben. Die Lagersteifigkeit betr¨agt cLr = 1 · 108 N/m. Die Lager befinden sich jeweils 0.2 m von den Starrk¨orpern entfernt. Die Steifigkeiten f¨ur die Getriebe¨ubersetzung sind ct = 3 · 108 N/m, cy = 2 · 107 N/m und cz = 6 · 107 N/m, siehe Gl.(14.44) und Gl.(14.45) f¨ur die Modellierung. L¨ange in m Durchmesser in m Masse in t Motor

1

1

6

elast. Welle

2

0.2

2

Getriebe Antrieb

0.3

1.2

2.7

Getriebe Abtrieb

0.3

0.6

0.7

Abtrieb

0.2

1.2

1.8

Tabelle 14.5 Parameter des Antriebsstrangs

F¨ur das dynamische Modell k¨onnen zweimal die Gleichungen des vorigen Abschnitts hergenommen werden, welche u¨ ber die Getriebeterme gekoppelt sind. F¨ur die R ITZans¨atze werden die Funktionen nach Gl.(14.28) und Gl.(14.29) des vorigen Abschnittes eingesetzt. In [HGBM10] werden exakte Ansatzfunktionen u¨ ber

234

14 Rotordynamik

¨ das Ubertragungsmatrizenverfahren vorgestellt. F¨ur die Modellierung des Getriebes wird das vereinfachte Modell nach Abb. 14.18 verwendet. ¨ Uber die entsprechenden Potentiale in Torsions- und Biegerichtung 1 VGetr,t = ct (r2 2 (q) + r3 3 (q))2 , 2

(14.44)

1 1 VGetr,b = cy I ry (q)2 + cz I rz (q)2 2 2 folgt f¨ur die verallgemeinerten Kr¨afte (VGetr = VGetr,t +VGetr,b ) ⎛ ⎞ QGetr,t,1 .T ⎜ QGetr,b,1 ⎟  V Getr ⎟ . QGetr = ⎜ ⎝ QGetr,t,2 ⎠ = − q QGetr,b,2

(14.45)

(14.46)

r2

ct r3

3

2

cz

cy

Abb. 14.18 Getriebemodellierung

Die Winkel im Torsionspotential Gl.(14.44) ergeben sich aus dem Gesamtwinkel an der entsprechenden Stelle

2 = 1 +  |L q1 3 = 2 +  |0 q2 .

(14.47) (14.48)

F¨ur die gesamte Bewegungsgleichung erh¨alt man also Mt,1 q¨ t,1 + Kt,1 qt,1 = QMot1 + QGetr,t,1

(14.49)

Mb,1 q¨ b,1 + ¨ 1 G1 qb,1 + ˙ 1 G2 q˙ b,1 + ˙ 12 G3 qb,1 + K1 qb,1 = QGetr,b,1 Mt,2 q¨ t,2 + Kt,2 qt,2 = QFt + QGetr,t,2

(14.50)

Mb,2 q¨ b,2 + ¨ 2 G1 qb,2 + ˙ 2 G2 q˙ b,2 + ˙ 22 G3 qb,2 + K2 qb,2

(14.51)

= QFb + QGetr,b,2 , (14.52)

bzw. ˙ = Q, M(q)q¨ + g(q, q)

(14.53)

14.4 Zusammenfassung

235

wobei T T qTb,1 2 qt,2 qTb,2 ) qT = (1 qt,1

=

(1 qT1

qTv1

qTw1

2 qT2

qTv2

(14.54) qTw2 )

(14.55)

gilt. Als Testfall wird auf das System ein konstantes Motormoment von Mx = 100 kNm aufgeschaltet. Aufgrund des konstanten Momentes sind die Starrk¨orpergeschwindigkeiten n¨aherungsweise linear, siehe Abb. 14.19. System 2 dreht sich in die um die Getriebe¨ubersetzung erh¨ohte Gegenrichtung von System 1. Abb. 14.20 zeigt die Torsionsschwingungen jeweils am Ende der elastischen Wellen. F¨ur dieses Ergebnis wurden 5 Ansatzfunktionen verwendet. Zum Zeitpunkt 0.5 s wird eine konstante Kraft von Fz = 10 kN am Endpunkt des zweiten Systems angebracht, siehe Abb. 14.17. Die resultierenden Biegeschwingungen f¨ur die Punkte 1 und 2 sind in Abb. 14.21 und Abb. 14.22 dargestellt. Die Kraft f¨uhrt zu einer permanenten Auslenkung in z-Richtung. Durch die rotordynamischen Kopplungen entstehen auch Schwingungen in y-Richtung. F¨ur diese Simulation wurden 10 Ansatzfunktionen f¨ur jedes Subsystem und jede Biegerichtung verwendet. 150

1

˙ 1 ˙ 2

100

0

 in rad

˙ in rad/s

2 1

0.5

50

−50

0

−0.5

−100 −150

−1

−200 −250

×10−3

0

0.5

1

1.5

2

Zeit in s Abb. 14.19 Drehgeschwindigkeiten

2.5

3

−1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit in s

Abb. 14.20 Torsionsschwingungen Pkte. 1, 2

Die Zeitintegration wird unter M ATLAB /S IMULINK mit einem ode45 L¨oser mit variabler Schrittweite durchgef¨uhrt.

14.4 Zusammenfassung Elastische Rotorsysteme geh¨oren klarerweise zur Gruppe der elastischen Mehrk¨orpersysteme. F¨ur die Modellbildung wird auch hier die Projektionsgleichung verwendet. Sie wird exemplarisch an einem System aus 2 starren unsymmetrischen Massen, die u¨ ber eine elastische Welle verbunden sind, ermittelt. Geht man von einem rotationssymmetrischen Rotor aus (keine Unwuchtmassen), so gelingt eine Entkopplung der Torsion in x-Richtung von den Biegerichtungen y, z. Die x-

236

14 Rotordynamik 1.5

×10−4

×10−4 3

y z

1

2

y, z in m

y, z in m

0.5 0 −0.5

1.5 1 0.5

−1 −1.5

y z

2.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit in s Abb. 14.21 Elastische Verschiebungen Pkt. 1

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeit in s Abb. 14.22 Elastische Verschiebungen Pkt. 2

Richtung kann vorab auf ¨ aufgel¨ost werden. Diese ist dann eine Eingangsgr¨oße f¨ur den Biegeanteil. Eine detaillierte Analyse der Ansatzfunktionen f¨uhrt auf ein gutes Konvergenzverhalten des R ITZ Verfahrens. Experimentelle Ergebnisse zeigen ¨ die Ubereinstimmung mit der Simulation. In einem zweiten Beispiel werden die Hochlaufergebnisse f¨ur einen Walzwerksantriebsstrang pr¨asentiert. Dieser besteht aus zwei einzelnen Rotoren mit Endmassen, die u¨ ber ein elastisches Getriebemodell gekoppelt sind.

Anhang A

Kinematische Eigenschaften

A.1 Transformationen Achse/Winkel - Quaternionen Elementare Umformungen zur Transformation von der Achse/Winkel Darstellung auf die Quaternionen Darstellung: cos  = cos2 ( /2) − sin2 ( /2) = 2q21 − 1 1 q22 = u2x sin2 ( /2) = u2x (1 − cos  ) 2 1 q23 = u2y (1 − cos  ) 2 1 q24 = u2z (1 − cos  ) 2 1 q2 q3 = ux uy (1 − cos  ) 2 1 q2 q4 = ux uz (1 − cos  ) 2 1 q3 q4 = uy uz (1 − cos  ) 2 ux sin  = 2ux sin( /2) cos ( /2) = 2q1 q2 uy sin  = 2q1 q3 uz sin  = 2q1 q4

(A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5) (A.6) (A.7) (A.8) (A.9) (A.10)

A.2 Eigenschaften der Kreuzprodukte Folgende Eigenschaften des Kreuzproduktes werden ben¨otigt ˜ =0 • uu ˜ v = uvT − uT vE • u˜

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

237

238

A Kinematische Eigenschaften

˜ = vuT − uvT = u˜ ˜ v − v˜ u. ˜ • (3 uv) Gilt außerdem uT u = 1, so ergeben sich noch Vereinfachungen • u˜ u˜ = uuT − E ˜ • u˜ u˜ u˜ = −u.

¨ Quaternionen A.3 Drehgeschwindigkeit fur Im Folgenden soll die Drehgeschwindigkeit bei einer Darstellung der Orientierung durch Quaternionen hergeleitet werden. Dabei wird von der grunds¨atzlichen Be˙ T ausgegangen. Es werden die Abk¨urzungen A = ARI und ziehung R ˜ IR = ARI A RI  = R  IR verwendet. Die zeitliche Ableitung der Drehmatrix ˜ , A = [E + 2(q˜ q˜ − q1 q)]

(A.11)

definiert in Gl.(2.48), wird in ihrer transponierten Form ben¨otigt ˜ AT = [E + 2(q˜ q˜ + q1 q)] T ˙ ˙˜ . ˙ ˙ A = 2 (q˜ q˜ + q˜ q˜ + q˙1 q˜ + q1 q)

(A.12) (A.13)

Die Drehgeschwindigkeit ist u¨ ber ˙T ˜ = AA ˜ /2 = q˙˜ q˜ + q˜ q˙˜ + q˙1 q˜ + q1 q˙˜ + 2q˜ q˜ q˙˜ q˜ + 2q˜ q˜ q˜ q˙˜ + 2q1 q˜ q˜ q˙˜ + 2q˙1 q˜ q˜ q˜ + −2q1 q˜ q˙˜ q˜ − 2q1 q˜ q˜ q˙˜ − 2q21 q˜ q˙˜ − 2q1 q˙1 q˜ q˜

(A.14) (A.15) (A.16) (A.17)

gegeben, wobei die unterstrichenen Terme sofort wegfallen. Mit den Eigenschaften des Kreuzproduktes k¨onnen folgende Vereinfachungen durchgef¨uhrt werden: ˜ • 2q˙1 q˜ q˜ q˜ = 2q˙1 (q21 − 1)q˜ = 2q˙1 q21 q˜ − 2q˙1 q: Herleitung: T ˜ − q21 ) ˜ q˜ q) ˜ = q(qq ˜ − qT qE) = −q(1 q( q21 + qT q = 1 Quaternionen sind normiert → qT q = 1 − q21 ˜ =0 qq • 2q˜ q˜ q˜ q˙˜ = 2(q21 − 1)q˜ q˙˜ = 2q21 q˜ q˙˜ − 2q˜ q˙˜ Herleitung: ˜ q˜ q) ˜ = −q(1 ˜ − q21 ) q( • 2q˜ q˜ q˙˜ q˜ = 2q1 q˙1 q˜ q˜ Herleitung:

(A.18) (A.19) (A.20)

(A.21)

A.4 Relative Winkelgeschwindigkeit

239

˙ ˜ q˙ T − qT qE) q˜ q˜ q˙˜ = q(q T q q = 1 − q21 → q˙ T q + qT q˙ = −2q1 q˙1 = 2qT q˙ • −2q1 q˜ q˙˜ q˜ = −2q21 q˙1 q˜ Herleitung:

q˜ q˙˜ q˜ = 2q1 q˙1 q˜

(A.22) (A.23)

(A.24)

Mit diesen Vereinfachungen folgt f¨ur ˜ ˙˜ ˜ /2 = q˙˜ q˜ − q˜ q˙˜ + q1 q˙˜ − q˙1 q.

(A.25)

Die ersten beiden Terme in Gl.(A.25) k¨onnen mit der Eigenschaft f¨ur das Kreuzprodukt kombiniert werden ˙ q˙˜ q˜ − q˜ q˙˜ = −(3 q˜ q). (A.26) Damit gelingt es schlussendlich, den Tilde Operator in Gl.(A.25) zu eliminieren, und  kann explizit angeschrieben werden ˜ q˙ − q˙1 q.  /2 = (q1 E − q)

(A.27)

A.4 Relative Winkelgeschwindigkeit F¨ur die Drehmatrix von zwei hintereinander durchgef¨uhrten Drehungen gilt AI2 = AI1 A12 .

(A.28)

Damit folgt f¨ur die absolute Drehgeschwindigkeit ˜ I2 2

˙ I2 = A2I A

(A.29)

˙ 12 + A ˙ I1 A12 ) = A21 A1I (AI1 A ˙ ˙ = A21 A12 + A21 A1I AI1 A12 , ˜ ˜  2 12 1  I1 ˜ 2  I1

(A.30) (A.31)

wobei wieder der Tilde Operator eliminiert werden kann 2  I2

= 2  I1 + 2  12 .

(A.32)

Die absolute Geschwindigkeit setzt sich also als Summe der ins jeweilige Koordinatensystem transformierten Teilgeschwindigkeiten zusammen.

Anhang B

Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren

Das rekursive Verfahren wird detailliert (mit allen Zwischenschritten) f¨ur ein Mehrk¨orpersystem mit drei Subsystemen hergeleitet.

B.1 Drei Subsysteme Den Ausgangspunkt bildet die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung ⎡ T T T T T ⎤⎛ ⎞ F1 F1 T21 F1 T31 M1 y¨ 1 + h1 ⎣ FT2 FT2 TT32 ⎦ ⎝ M2 y¨ 2 + h2 ⎠ = 0. (B.1) M3 y¨ 3 + h3 FT3 Mithilfe der kinematischen Kette y˙ 3 = T32 y˙ 2 + F3 s˙3 ˙ 32 y˙ 2 + F3 s¨3 y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T kann in die letzte Blockzeile von Gl.(B.1) eingesetzt werden

˙ 32 y˙ 2 + F3 s¨3 ) + h3 = 0. FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T Die Beschleunigung s¨3 ergibt sich daraus

˙ 32 y˙ 2 ) + FT3 h3 s¨3 = −(FT3 M3 F3 )−1 FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T

(B.2) (B.3)

(B.4)

(B.5)

MR3

(Index R f¨ur reduziert“) und mit Gl.(B.3) k¨onnen auch die Beschleunigungen y¨ 3 ” berechnet werden

241

242

B Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren

˙ 32 y˙ 2 − F3 M−1 FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T R3

(B.6)

J3

˙ 32 y˙ 2 − J3 h3 . = [E − J3 M3 ]T32 y¨ 2 + [E − J3 M3 ]T

(B.7)

Im n¨achsten Schritt werden die letzten beiden Blockgleichungen aus Gl.(B.1) betrachtet, die bereits bekannten Beschleunigungen eingesetzt und entsprechend sortiert 0 = FT2 (M2 y¨ 2 + h2 ) + FT2 TT32 (M3 y¨ 3 + h3 ) ⎛

⎞

(B.8)

⎜ ⎟ = FT2 ⎝M2 + TT32 [E − M3 J3 ] M3 T32 ⎠ y¨ 2 N3

˙ 32 y˙ 2 +FT2 TT32 [E − M3 J3 ]M3 T

T T +F2 h2 + T32 [E − M3 J3 ]h3 . Mit den Abk¨urzungen N3 = [E − M3 J3 ] T T∗T 32 = T32 N3 M∗2 = M2 + T∗T 32 M3 T32

∗ ∗T ˙ 32 y˙ 2 + h3 h2 = h2 + T32 M3 T

(B.11) (B.12)

FT2 (M∗2 y¨ 2 + h∗2 ) .

(B.13)

folgt f¨ur Gl.(B.8)

(B.9) (B.10)

In den Beschleunigungen y¨ 2 kommen noch die Minimalbeschleunigungen s¨1 und s¨2 vor. Um diese zu eliminieren, wird jetzt nochmals das Gesamtsystem Gl.(B.1) angeschrieben 0 = FT1 (M1 y¨ 1 + h1 ) + FT1 TT21 (M2 y¨ 2 + h2 ) + FT1 TT21 TT32 (M3 y¨ 3 + h3 ).

(B.14)

Mit Gl.(B.13) entspricht das aber genau (Ausklammern von FT1 TT21 in den letzten beiden Zeilen) 0 = FT1 (M1 y¨ 1 + h1 ) + FT1 TT21 (M∗2 y¨ 2 + h∗2 ), bzw.

FT1 FT1 TT21 0= FT2

M1 y¨ 1 + h1 M∗2 y¨ 2 + h∗2

(B.15) .

(B.16)

B.1 Drei Subsysteme

243

Auch hier wird f¨ur y¨ 2 die kinematische Kette ˙ 21 y˙ 1 + F2 s¨2 y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T

(B.17)

in die letzte Blockgleichung von Gl.(B.16) eingesetzt und daraus die Beschleunigungen s¨2 , y¨ 2 , berechnet 0 = FT2 (M∗2 y¨ 2 + h∗2 ) ˙ 21 y˙ 1 + F2 s¨2 ) + h∗2 ) 0 = FT2 (M∗2 (T21 y¨ 1 + T

˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 → s¨2 = −(FT2 M∗2 F2 )−1 FT2 M∗2 (T21 y¨ 1 + T

(B.18) (B.19) (B.20)

MR2

˙ 21 y˙ 1 − F2 M−1 FT2 M∗2 (T21 y¨ 1 + T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 . (B.21) → y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T R2 J2

Dieses Ergebnis in Gl.(B.16) eingesetzt liefert ⎛

⎞

⎜ ⎟ 0 = FT1 ⎝M1 + TT21 [E − M∗2 J2 ] M∗2 T21 ⎠ y¨ 1 N2

˙ 21 y˙ 1 . +FT1 TT21 [E − M∗2 J2 ]M∗2 T

T T ∗ +F1 h1 + T21 [E − M2 J2 ]h∗2 , bzw. zusammengefasst

0 = FT1 (M∗1 y¨ 1 + h∗1 ) ,

(B.22) (B.23)

mit den angepassten Abk¨urzungen analog zu Gl.(B.9) - Gl.(B.12) N2 = [E − M∗2 J2 ] T T∗T 21 = T21 N2

∗ M∗1 = M1 + T∗T 21 M2 T21

∗˙ ˙ 1 + h∗2 . h∗1 = h1 + T∗T 21 M2 T21 y

(B.24) (B.25) (B.26) (B.27)

Damit ist man an der Wurzel des Mehrk¨orpersystems angelangt. Subsystem 1 hat keinen Vorg¨anger mehr, was auf die Beschleunigungen y¨ 1 = F1 s¨1

(B.28)

f¨uhrt. Mit Gl.(B.23) k¨onnen damit die Minimalbeschleunigungen des ersten Subsystems s¨1 explizit angegeben werden s¨1 = −(FT1 M∗1 F1 )−1 FT1 h∗1 . MR1

(B.29)

244

B Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren

Mit diesem Ergebnis und der kinematischen Kette k¨onnen alle Beschleunigungen berechnet werden y¨ 1 = F1 s¨1 (Gl.(B.23)) ∗

T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 (Gl.(B.20)) ¨1 + T s¨2 = −M−1 R2 F2 M2 (T21 y

˙ 21 y˙ 1 − J2 M∗2 (T21 y¨ 1 + T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 (Gl.(B.21)) y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T

T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 (Gl.(B.5)). ¨2 + T s¨3 = −M−1 R3 F3 M3 (T32 y

(B.30) (B.31) (B.32) (B.33)

B.2 Verallgemeinerung Die Minimalbeschleunigungen k¨onnen also in drei Schritten berechnet werden: 1. Schritt: Berechne die kinematischen Gr¨oßen: Tip , T˙ ip , y˙ i , beginnend beim ersten Subsystem bis zum letzten Subsystem. 2. Schritt: Berechne die modifizierten Dynamikmatrizen M∗i , h∗i , ..., beginnend beim letzten bis zum ersten Subsystem. 3. Schritt: Berechne die Minimalbeschleunigungen s¨i , vom ersten bis zum letzten Subsystem.

Anhang C

Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung

Es erfolgt eine detaillierte Herleitung der Berechnung der Zwangskr¨afte u¨ ber rekursive Methoden f¨ur ein System mit Endpunktkontakt.

C.1 Drei Subsysteme - Endpunktkontakt Ausgangspunkt f¨ur das Verfahren ist die implizite Bindungsgleichung auf Geschwindigkeits- und Beschleunigungsebene . ˙   y˙ 3 = 0 ˙ = (C.1)  y˙ 3 . . ˙ ˙ ¨ =   y¨ 3 + d   y˙ 3 = 0. (C.2) dt  y˙ 3  y˙ 3 Die Beschleunigung y¨ 3 ist u¨ ber die kinematische Kette gegeben ˙ 32 y˙ 2 + F3 s¨3 . y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T

(C.3)

Die darin vorkommenden Minimalbeschleunigungen s¨3 sind aus dem Rekursionsschema Anhang B bekannt T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 − Q 3 , ¨2 + T (C.4) s¨3 = −M−1 R3 F3 M3 (T32 y und damit gilt ˙ 32 y˙ 2 − F3 M−1 FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 − Q 3 y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T R3

(C.5)

J3

˙ 32 y˙ 2 − J3 h3 + J3 Q 3 . = [E − J3 M3 ]T32 y¨ 2 + [E − J3 M3 ]T

(C.6)

245

246

C Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung

Hier wurden die generalisierten Subsystemkr¨afte Q3 , die in h3 enthalten sind, um den Anteil der Zwangskr¨afte Q 3 =

 ˙

.T

 y˙ 3



(C.7)

erweitert. Gl.(C.6) in Gl.(C.2) eingesetzt und nach Termen sortiert liefert .  ˙ 6 [E − J3 M3 ]T32 y¨ 2 =  y˙ 3 ˙ 32 y˙ 2 +[E − J3 M3 ]T −J3 h3

7 +J3 Q 3 . d  ˙ y˙ 3 . + dt  y˙ 3

(C.8)

¨ mit der Matrix N3 = (E − M3 J3 ), Die Matrix [E − J3 M3 ] weist eine Ahnlichkeit bzw. allgemein mit Ni = (E − M∗i Ji ) auf. Mit der Struktur der lokalen JACOBImatrizen 0 , Rg[Fi ] = gi , Ci ∈ Rgi ,gi (C.9) Fi = Ci und der Aufspaltung der Matrix M∗ in a¨ quivalente Submatrizen ∗ M11 M∗12 ∗ , M∗22 ∈ Rgi ,gi Mi = ∗ M∗T 12 M22 i

(C.10)

liest sich die relative Massenmatrix als −1 ∗−1 −T MRi = CTi M∗22,i Ci ⇒ M−1 Ri = Ci M22,i Ci .

Die Auswertung von Matrix Ni ergibt damit E −M∗12 M∗−1 ∗ 22 . Ni = (E − Mi Ji ) = 0 0 i Analoges Vorgehen f¨ur den Ausdruck (E − Ji M∗i ) liefert E 0 ∗ = NTi , (E − Ji Mi ) = ∗ −M∗−1 22 M12 0 i

(C.11)

(C.12)

(C.13)

wobei die Eigenschaft der Symmetrie der Massenmatrix verwendet wird. In Gl.(C.8) tritt NT3 in Kombination T32 auf. Auch dieser Ausdruck wurde bereits eingef¨uhrt NT3 T32 = T∗32 und entspricht allgemein

C.1 Drei Subsysteme - Endpunktkontakt

247

NTi Tip = T∗ip .

(C.14)

Die Beschleunigungen des zweiten Subsystems k¨onnen mit dem rekursiven Verfahren bereits allgemein angeschrieben werden ∗ T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 − Q∗ , ¨1 + T (C.15) s¨2 = −M−1 2 R2 F2 M2 (T21 y T ∗ ∗T afte Q transwobei wieder J2 = F2 M−1 R2 F2 und Q 2 = T32 Q 3 gilt. Die Zwangskr¨ formieren sich klarerweise mit der selben Vorschrift wie der Vektor h. Die damit bekannten Beschleunigungen

˙ 21 y˙ 1 + F2 s¨2 y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T = [E − J2 M∗2 ]T21 y¨ 1 + [E − J2 M∗2 ] T˙ 21 y˙ 1 − J2 h∗2 + J2 Q∗ 2 T∗21

(C.16) (C.17)

NT2

eingesetzt in Gl.(C.8) ergeben -

¨ =

 ˙

.

6

T∗32 T∗21 y¨ 1

 y˙ 3 ˙ 21 y˙ 1 T∗32 NT2 T T ˙ +N3 T32 y˙ 2

−T∗32 J2 h∗2 − J3 h3 7 J3 + T∗32 J2 T∗T 32 Q 3 . d  ˙ y˙ 3 . + dt  y˙ 3

(C.18)

Jetzt m¨ussen noch die Terme des ersten Subsystems eingesetzt werden. Folgende Gr¨oßen sind aus dem Rekursionsschema Anhang B bereits bekannt ∗ Q∗ 1 = T∗T 21 Q 2

= s¨1 =

∗T T∗T 21 T32 Q 3 ∗

T ∗ −M−1 R1 F1 h1 − Q 1 , T ∗ −1 T ∗T ∗T −M−1 R1 F1 h1 + MR1 F1 T21 T32 Q 3

= y¨ 1 = F1 s¨1 ∗T = −J1 h∗1 + J1 T∗T 21 T32 Q 3 .

(C.19) (C.20) (C.21) (C.22) (C.23) (C.24)

In einem letzten Schritt werden jetzt in Gl.(C.18) die Beschleunigungen y¨ 1 aus Gl.(C.24) ersetzt

248

C Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung

-

¨ =

 ˙

.

6

− T∗32 T∗21 J1 h∗1  y˙ 3 ∗T T∗32 T∗21 J1 T∗T 21 T32 Q 3 ˙ 21 y˙ 1 T∗32 NT2 T T ˙ +N3 T32 y˙ 2 −T∗32 J2 h∗2 − J3 h3 7 J3 + T∗32 J2 T∗T 32 Q 3 . d  ˙ y˙ 3 , + dt  y˙ 3

(C.25)

bzw. nach dem Zusammenfassen . ˙ 6 T   ˙ 32 y˙ 2 + T∗32 NT2 T˙ 21 y˙ 1 ¨ = N3 T  y˙ 3 −J3 h3 − T∗32 J2 h∗2 − T∗32 T∗21 J1 h∗1 7 ∗ ∗ ∗T ∗T J3 + T∗32 J2 T∗T 32 + T32 T21 J1 T21 T32 Q 3 . d  ˙ y˙ 3 . + dt  y˙ 3

(C.26)

Mit Gl.(C.26) kommt jetzt durch Q 3 , die Zwangskraft  explizit in den Bindungsbeschleunigungen zum Vorschein und diese kann als

¨ = A + b = 0,

(C.27)

mit A= b=

 ˙

-

. J3 + T∗32 J2 T∗T 32

[  y˙ 3 .  ˙ 6

∗T + T∗32 T∗21 J1 T∗T 21 T32

]

 ˙  y˙ 3

.T (C.28)

˙ 32 y˙ 2 + T∗32 NT2 T ˙ 21 y˙ 1 − J3 h3 − T∗32 J2 h∗2 − T∗32 T∗21 J1 h∗1 NT3 T

 y˙ 3 . d  ˙ y˙ 3 + dt  y˙ 3

angeschrieben werden.

7

(C.29)

C.2 Verallgemeinerung

249

C.2 Verallgemeinerung Das Beispiel eines Systems bestehend aus drei Subsystemen zeigt eine klare Vorgehensweise f¨ur ein allgemeines System mit N K¨orpern. Die Matrix A bzw. Vektor b lauten . .T N  ˙  ˙ ∗ ∗T (C.30) A=  TN,i Ji TN,i  y˙ N i=1  y˙ N . . N ˙  ˙   d b= (C.31) y˙ N  T∗N,i NTi+1 T˙ i+1,i y˙ i + Ji h∗i + dt  y˙ N i=1  y˙ N mit den Definitionen

˙ N+1,N := 0. T∗N,N = E, T

(C.32)

Die Zwangskr¨afte  k¨onnen mit  = −A−1 b berechnet werden. Matrix A und Vektor b werden am Rechner effektiv u¨ ber Schleifendurchl¨aufe ausgewertet. S¨amtliche darin vorkommenden Gr¨oßen werden f¨ur das rekursive Verfahren sowieso berechnet. Die Laufzeit erh¨oht sich daher nur minimal.

Anhang D

Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung

Die integrierte Form der Bewegungsgleichung lautet M(˙sE − s˙A ) −

 ˙n

T

 s˙

 n = 0.

(D.1)

Diese kann im Sinne der Subsystemdarstellung als die projizierte Form von ⎞ ⎛ M1 (˙yE − y˙ A )1 ⎡ T T T ⎤ T T F1 TN,1 F1 F1 T21 .... ⎟ ⎜ M2 (˙yE − y˙ A )2 ⎟ T ⎢ ⎥⎜ F ⎟ ⎜ : 2 ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ .... : ⎟ = 0 (D.2) MN−1 (˙yE − y˙ A )N−1 ⎢ ⎥⎜ ⎟ . T T T ⎣ T FN−1 FN−1 TN,N−1 ⎦ ⎜ ⎟  ˙n ⎠ ⎝ T FN MN (˙yE − y˙ A )N − n  y˙ N aufgefasst werden.

D.1 Drei Subsysteme - Endpunktstoß Zur detaillierten Herleitung wird vorerst wieder von einem Mehrk¨orpersystem bestehend aus drei Subsystemen mit Endpunktkontakt ausgegangen. Gl.(D.2) geht damit u¨ ber in ⎞ ⎛ M1 (˙yE − y˙ A )1 ⎡ T T T T T ⎤ F1 F1 T21 F1 T31 ⎜ ⎟ M2 (˙yE − y˙ A )2 ⎟ ⎜ .T ⎣ FT2 FT2 TT32 ⎦ ⎜ (D.3) ⎟ = 0.  ˙n ⎠ ⎝ T F3 ˙ M3 (˙yE − yA )3 − n  y˙ 3 Mit der Bedingung f¨ur den N EWTON Stoß ˙n (tE ) = − ˙n (tA ) gilt f¨ur die Differenz

251

252

D Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung

-

˙n (tE ) − ˙n (tA ) =

 ˙n  y˙ 3

.

(˙yE − y˙ A )3 = −(1 +  )

 ˙n  y˙ 3

. y˙ A3 .

(D.4)

Die kinematische Kette gilt selbstverst¨andlich auch f¨ur die Geschwindigkeitsdifferenzen (˙yE − y˙ A )3 = T32 (˙yE − y˙ A )2 + F3 (˙sE − s˙ A )3 ,  y˙ 3 = T32  y˙ 2 + F3  s˙3

(D.5) (D.6)

mit  y˙ i = (˙yE − y˙ A )i und  s˙i = (˙sE − s˙A )i . Setzt man diese rekursiv in Gl.(D.3) ein, so kann die Berechnung des Stoßimpulses durchgef¨uhrt werden. Die letzte Blockgleichung aus Gl.(D.3) lautet ⎛ .T ⎞ ˙   n (D.7)  n⎠ = 0 FT3 ⎝M3  y˙ 3 −  y˙ 3 bzw. mit Gl.(D.6) FT3 M3 T32  y˙ 2 + FT3 M3 F3  s˙3 − FT3 MR3

 ˙n

und

 ˙n

-

⎝FT3 M2 T32  y˙ 2 − FT3  y˙ 3 = T32  y˙ 2 − F3 M−1 R3 -

 ˙n

.T

 y˙ 3

 n⎠

 ˙n

.T

 y˙ 3

 n.

Die letzten beiden Blockzeilen aus Gl.(D.3) sind durch ⎛ .T ⎞ ˙   n  n⎠ 0 = FT2 M2  y˙ 2 + FT2 TT32 ⎝M3  y˙ 3 −  y˙ 3 gegeben, wobei Gl.(D.11) eingesetzt werden kann

(D.8)

⎞

.T

 y˙ 3

⎛

= [E − J3 M3 ]T32  y˙ 2 − J3

 n = 0.

 y˙ 3

Daraus erh¨alt man die Geschwindigkeitsdifferenzen ⎛ ⎝FT3 M2 T32  y˙ 2 − FT3  s˙3 = −M−1 R3

.T

(D.9)

⎞

 n⎠

(D.10)

(D.11)

(D.12)

D.1 Drei Subsysteme - Endpunktstoß

253

0 = FT2 [M2 + T32 [E − M3 J3 ]M3 T32 ] y˙ 2 .T  ˙n T T −F2 T32 [E − M3 J3 ] n  y˙ 3 .T  ˙n T ∗ ∗T  n ). = F2 (M2  y˙ 2 − T32  y˙ 3

(D.13) (D.14)

Die Struktur dieser Gleichung entspricht der von Gl.(D.7). Durch neuerliches Einsetzen der kinematischen Kette  y˙ 2 = T21  y˙ 1 + F2  s˙2 kann jetzt nach -

 s˙2 = −(FT2 M∗2 F2 )−1 FT2 (M∗2 T21  y˙ 1 − T∗T 32 MR2

 ˙n

.T

 y˙ 3

 n)

(D.15)

aufgel¨ost werden. Die beschreibenden Differenzen sind dann -

 y˙ 2 =

[E − J2 M∗2 ]T21  y˙ 1 + J2 T∗T 32

 ˙n

.T

 y˙ 3

 n.

Das System Gl.(D.3) konnte mit dem ersten R¨uckw¨artseinsetzen auf ⎛ ⎞ M1  y˙ 1 T T T . T F1 F1 T21 ⎜ ⎟  ˙n ⎝ ∗ ⎠=0 ∗T FT2 M2  y˙ 2 − T32 n  y˙ 3

(D.16)

(D.17)

reduziert werden. Im letzten Schritt wird f¨ur diese Form (Gl.(D.17)) u¨ ber  s˙2 (Gl.(D.15)) und  y˙ 2 (Gl.(D.16)) eine weitere Reduktion durchgef¨uhrt 0 = FT1 M1  y˙ 1 +FT1 TT21 M∗2  y˙ 2 − T∗T 32

-

 ˙n

.T

n  y˙ 3 = FT1 [M1 + T21 [E − M∗2 J2 ]M∗2 T21 ] y˙ 1 .T  ˙n T T ∗ ∗T +F1 T21 [E − M2 J2 ]T32 n  y˙ 3 .T  ˙n T ∗ ∗T ∗T  n ). = F1 (M1  y˙ 1 − T21 T32  y˙ 3

(D.18)

(D.19) (D.20)

Da man jetzt bei der Wurzel des Mehrk¨orpersystems angelangt ist, dieses praktisch keinen Vorg¨anger hat, kann u¨ ber  y˙ 1 = F1  s˙1 die Geschwindigkeitsdifferenz f¨ur das erste Subsystem explizit bestimmt werden

254

D Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung

-

 s˙1 =

∗T (FT1 M∗1 F1 )−1 FT1 T∗T 21 T32

MR1

 ˙n  y˙ 3

.T

 n.

(D.21)

Mit den bereits erarbeiteten Ergebnissen wird jetzt in Vorw¨artsschritten auf die Differenz der beschreibenden Geschwindigkeiten des letzten Subsystems gerechnet

 y˙ 1 = F1  s˙1

-

∗T = J1 T∗T 21 T32

 ˙n

 y˙ 3  y˙ 2 = T21  y˙ 1 + F2  s˙2

(D.22)

.T

n -

= T∗21  y˙ 1 + J2 T∗T 32

 ˙n

(D.23) (D.24)

.T

 n ( aus Gl.(D.16))  y˙ 3 .T  ˙n ∗ ∗T ∗T n = [T21 J1 T31 + J2 T32 ]  y˙ 3  y˙ 3 = T32  y˙ 2 + F3  s˙3 .T  ˙n ∗  n ( aus Gl.(D.11)) = T32  y˙ 2 + J3  y˙ 3 .T  ˙n ∗ ∗ ∗T ∗T n = T32 [T21 J1 T21 + J2 ]T32 + J3  y˙ 3 ..T 3  ˙n ∗ ∗T  n. =  T3i Ji T3i  y˙ 3 i=1

(D.25) (D.26) (D.27) (D.28) (D.29) (D.30)

Mit Gl.(D.30) kann also die Differenz der beschreibenden Geschwindigkeiten als Funktion des Stoßimpulses angegeben werden. Multipilziert man Gl.(D.30) von links mit  ˙n / y˙ 3 erh¨alt man u¨ ber Gl.(D.4) -

 ˙n

.

 y˙ 3

(˙yE − y˙ A )3 =

 ˙n

.-

3



 y˙ 3

i=1

-

= −(1 +  )

.T∗3i Ji T∗T 3i

 ˙n  y˙ 3

.

 ˙n

.T

 y˙ 3

n

y˙ A3 .

(D.31) (D.32)

Eine Umformung dieser Gleichung f¨uhrt direkt auf den Stoßimpuls ⎡-

 ˙n n = −⎣  y˙ 3

.-

3

 T∗3i Ji T∗T 3i

i=1

.-

.T ⎤−1 . ˙ ⎦ (1 +  )  n y˙ A3 .  y˙ 3  y˙ 3

 ˙n

(D.33)

D.2 Verallgemeinerung

255

Mit bekanntem Stoßimpuls k¨onnen mit Gl.(D.21), Gl.(D.15) und Gl.(D.9) die Differenzen der Minimalgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß, bzw. mit s˙Ei = s˙Ai +  s˙i die Geschwindigkeiten nach dem Stoß angegeben werden s˙E1 =

T ∗T ∗T s˙A1 + M−1 R1 F1 T21 T32

 y˙ 1 = Fi  s˙1

 ˙n

.T

n

 y˙ 3

⎛

-

T⎝ ∗ M2 T21  y˙ 1 − T∗T s˙E2 = s˙A2 − M−1 32 R2 F2

 y˙ 2 = T21  y˙ 1 + F2  s˙2 ⎛ T⎝ M3 T32  y˙ 2 − s˙E3 = s˙A3 − M−1 R3 F3

-

 ˙n  y˙ 3

(D.34)

 ˙n  y˙ 3 .T

⎞

.T

 n⎠ ⎞

 n⎠ .

(D.35) (D.36) (D.37) (D.38)

D.2 Verallgemeinerung F¨ur ein Mehrk¨orpersystem aus N Subsystemen, das am letzten K¨orper einen Stoß erf¨ahrt, lassen sich folgende Schritte zusammenfassen: • Berechnung des Stoßimpulses u¨ ber ⎡...T ⎤−1 . N ˙ ˙ ˙n       n n ∗ ∗T ⎦ (1+  ) n = −⎣ y˙ AN . (D.39)  TNi Ji TNi  y˙ N  y˙ N  y˙ N i=1 • Berechnung der Minimalgeschwindigkeiten nach dem Stoß f¨ur alle K¨orper i = 1..N durch ⎛ .T ⎞ ˙   n T⎝ ∗ Mi Tip  y˙ p − T∗T (D.40)  n⎠ s˙Ei = s˙Ai − M−1 Ni Ri Fi  y˙ N

 y˙ i = Tip  y˙ p + Fi  s˙i .

(D.41)

Damit k¨onnen die Minimalgeschwindigkeiten unter der Annahme eines N EWTON Stoßes berechnet werden. Alle angegebenen Matrizen sind aus dem Rekursionsschema bereits bekannt.

Anhang E

Hamilton Prinzip Timoshenko Balken

Im Folgenden soll die Herleitung der partiellen Differentialgleichung f¨ur den T IMOSHENKO Balken u¨ ber das H AMILTON Prinzip gezeigt werden. Die potentielle und kinetische Energie, bzw. deren Variationen sind durch Vel =

1 2

2 2 EI  B +  GA w + B dx

(E.1)

EI B  B +  GA w + B  w +  GA w + B  B dx 1 T =  Aw˙ 2 +  I ˙B2 dx 2 T =  Aw˙  w˙ +  I ˙B  ˙B dx

 Vel =

(E.2) (E.3) (E.4)

gegeben. In das Hamilton Prinzip t1

( T −  Vel ) dt = 0

(E.5)

t0

eingesetzt, erh¨alt man ⎡ t1 L ⎣  Aw˙  w˙ +  I ˙B  ˙B − EIy B  B −  GA(w + B ) w t0

o

0

−  GA(w + B ) B dx dt = 0.

(E.6)

Eine partielle Zeitintegration liefert (unter der Voraussetzung von verschwindenden Randtermen)

257

258

E Hamilton Prinzip Timoshenko Balken

 T − V = L  w(− Aw) ¨ +  B (− I ¨B ) − EI B  B −  GA(w + B ) w o

−  GA(w + B ) B dx = 0.

(E.7)

Damit die variierten Gr¨oßen ausgeklammert werden k¨onnen, muss eine weitere partielle Ortsintegration der unterstrichenen Terme durchgef¨uhrt werden

 T − V = L  w(− Aw) ¨ +  B (− I ¨B ) +  B EI B +  w GA(w + B ) o

−  GA w + B  B dx

−[ B (EI B )]|Lo − [ w  GA(w + B ) ]|Lo = 0.

Damit ist das System durch die partiellen Differentialgleichungen − Aw¨ +  GA(w + B ) =0 − I ¨B + EI B −  GA(w + B )

(E.8)

(E.9)

und die Randbedingungen

L L w  GA(w + B ) = 0 oder =0 B o EI B o

(E.10)

beschrieben. Das Ergebnis ist (wie erwartet) identisch mit Kapitel 5.4. Der Aufwand zur Bestimmung der Bewegungsgleichung u¨ ber das H AMILTON Prinzip ist f¨ur so ein einfaches Beispiel schon verh¨altnism¨aßig hoch. Mit den Herleitungen in Kap. 5.2 kann dieser Aufwand deutlich reduziert werden.

Symbolverzeichnis

Die benutzten Formelzeichen orientieren sich an den ISO-Normen. Soweit m¨oglich repr¨asentieren sie u¨ bliche Abk¨urzungen mit lateinischem (respektive englischem, franz¨osischem, spanischem, italienischem · · · ) Ursprung, wie v: velocitas (velocity · · · ), a: acceleratio (acceleration · · · ), T: transformatio (transformation · · · ), oder deutschem Ursprung wie A: Abbildung, Z: (G AUSSscher) Zwang, F: F¨uhrung. Vektoren und Matrizen werden durch halbfette Symbole gekennzeichnet (i.a. Großbuchstaben: Matrizen, Kleinbuchstaben: Vektoren). Um die Notation nicht zu u¨ berladen, wird auf eine spezielle Kennzeichnung des Nullelements (Skalar, Vektor, Matrix) verzichtet und auf den jeweiligen Textzusammenhang verwiesen. 0

Nullelement (∈ Rm,n , m, n ∈ Z)

a b c d e f g h i j k l

Beschleunigung (∈ R3 ) Stelleingriffsvektor, St¨orvektor (∈ Rn , n = 2 f ) Koeffizientenvektor, Messvektor (SISO), Federkonstante (∈ R1 ) (¨außeres) Differential, D¨ampfungskonstante Einheitsvektor (beliebige Dimension), Regelfehler Kraft (∈ R3 ), Freiheitsgrad (∈ R1 ), Funktion, R¨uckf¨uhrfunktion (∈ R1 ) Gravitationsvektor (∈ R3 ), | g | = 9.81 f¨ur Mitteleuropa H¨ohe √ imagin¨are Einheit ( −1), Z¨ahlindex Z¨ahlindex Z¨ahlindex, Federkonstante, R¨uckf¨uhrkoeffizient, (kn L : Balken-Eigenwert) L¨ange 259

260

Symbolverzeichnis

m n

Masse, Z¨ahlindex Z¨ahlindex, Zahl der Ansatzfunktionen, Zustandsdimension (n = 2 f )

p

Impuls (∈ R3 ), Generalisierter Impuls (H AMILTON, ∈ Rg ), RODRIGUES Parameter (∈ R3 ), Vorg¨anger Index (∈ R1 ), Druck (∈ R1 ), dynamische Parameter dynamische Basisparameter Vektor der Minimalkoordinaten (∈ R f ), E ULER Parameter (∈ R4 ) Eigenvektor (∈ R f ) Ortsvektor ∈ R3 Vektor der Minimalgeschwindigkeiten (∈ Rg ) entspr. s˙i (∈ Rgi ) Quasi-Koordinaten (∈ Rg , von s˙), Schwerpunktvektor einer Endmasse (∈ R3 ), Nachfolger-Index (∈ R1 ) Zeit Drehachse (∈ R3 ), Verschiebung der neutralen Achse: (ux , uy , uz )T oder (u, v, w)T , Vektor der Balken-Ansatzfunktionen (L¨angsverschiebung) (∈ Rn ) Verschiebung eines willk¨urlichen Punktes: (ux , uy , uz )T oder (u, v, w)T (absolute) Geschwindigkeit (∈ R3 ), Vektor der Balken-Ansatzfunktionen (Biegung, y- Richtung) ∈ Rn Vektor der Balken-Ansatzfunktionen (Biegung, z- Richtung) ∈ Rn Ortsvariablen Vektor der unabh¨angigen Ortsvariablen Gesch¨atzter Zustand Vektor der Zwischen-Geschwindigkeiten Beschreibende Geschwindigkeiten (Subsystem n) Endpunktkoordinaten (Position und Orientierung) Endpunktgeschwindigkeit (Translations- und Drehgeschwindigkeit)

pB q q r s˙ s

t u u v w x, y, z x xˆ y˙ i y˙ n zE z˙ E A

A B B B C C

Drehmatrix (∈ R3,3 ), Fl¨ache (∈ R1 ), Fl¨achen-Normalenvektor (∈ R3 ), Systemmatrix (∈ Rn,n , n = f + g) oder Jx : Massentr¨agheitsmoment, x-Achse Stelleingriffsmatrix (Zustandsraum) Stelleingriffsmatrix (Konfigurationsraum) oder Jy : Massentr¨agheitsmoment, y-Achse Messmatrix oder Jz : Massentr¨agheitsmoment, z-Achse

Symbolverzeichnis

D D D E F F F Gi Gn G

H

I ID J

Ji K dKNL L Mi Mn MRi M N N P Pi j Ri Q Qn Q

261

D¨ampfungsmatrix Operator, zur Definition der Variablen Operator, ergibt die partiellen Differentialgleichungen Einheitsmatrix, Elastizit¨atsmodul (∈ R1 ) (zwischen) Funktionalmatrix (Einzelk¨orper) (zwischen) Funktionalmatrix (Subsystem) (allgemeine) Funktionalmatrix, Deformationsgradient Gyroskopische Matrix (Einzelk¨orper) Gyroskopische Matrix (Subsystem) Gyroskopische Matrix (∈ Rg,g ), Schubmodul (∈ R1 ), G REEN -L AGRANGE Verzerrungstensor (∈ R6,6 ) ˙ H ∈ Rg, f ), Koeffizientenmatrix der Minimalgeschwindigkeiten (˙s = H(q)q, 6,6 H OOKE’s Matrix (∈ R ), H AMILTON Funktion (∈ R1 ) Tensor der Fl¨achentr¨agheitsmomente (∈ R3,3 ) Drillwiderstand (GID : Drillsteifigkeit) Tensor der Massentr¨agheitsmomente (∈ R3,3 ), JACOBI Matrix (e.g. ∈ R6N,g ), G¨utefunktional ∈ R1 = FTi M∗i Fi (Rekursionsverfahren) Steifigkeitsmatrix (∈ Rg,g ) Zustands-R¨uckf¨uhrungsmatrix (∈ Rn,n , n = f + g) Dynamische Steifigkeitsmatrix Impuls (∈ R3 ) Massenmatrix (Einzelk¨orper) Massenmatrix (Subsystem) Reduzierte Massenmatrix Moment (∈ R3 ), Massenmatrix (∈ Rg,g ) Anzahl der Freiheitsgrade des Mehrk¨orpersystems Matrix der nichtkonservativen Lagekr¨afte (∈ Rg,g ), Rekursionsmatrix Linearisierung: geschwindigkeitsabh¨angige Matrix (∈ Rg,g ), T REFFTZ (or 2nd P IOLA -K IRCHOFF) Spannungstensor(∈ R6,6 ) T REFFTZ (oder 2-te P IOLA -K IRCHOFF) Spannungen Operator, ergibt Randbedingungen Generalisierte Kraft (Einzelk¨orper) Generalisierte Kraft (Subsystem) Linearisierung: positionsabh¨angige Matrix (∈ Rg,g ), Generalisierte Kraft (∈ Rg ), Gewichtungsmatrix (∈ Rn,n , n = f + g)

262

R

T

Tip T∗ip V W Y

Symbolverzeichnis

Drehmatrix (∈ R3,3 ), Gewichtungsmatrix (∈ Rn,n , n = f + g), Radius (∈ R1 ), R AYLEIGHsche Dissipationsfunktion (∈ R1 ) Transformationsmatrix (allgemein, z.B. ∈ R6,6 ), Kinetische Energie (∈ R1 ), Man¨over-Zeit (∈ R1 ) Kinematische Kette: y˙ i = Tip y˙ p + Fi s˙i = NTi Tip Potential, Volumen (auch Vol ) Gewichtungsmatrix, Arbeit (∈ R1 ) Modalmatrix (Konfigurationsraum)

,  ,  ˙  

(absolute) Drehbeschleunigung (∈ R3 ) K ARDAN Winkel Biegewinkel beim T IMOSHENKO-Balken Variationssymbol, D¨ampfung ( = d/(2m)) D IRAC-Distribution C AUCHY Verzerrungen C AUCHY Verzerrungsvektor (∈ R6 ), G REEN -L AGRANGE Verzerrungen G REEN -L AGRANGE Verzerrungsvektor (∈ R6 ) Torsions-Ansatzfunktionen ( (x) ∈ Rn ), Torsion ( (x,t) ∈ R1 ) (Vektor der ) Kr¨ummungen, Schubkorrektur-Faktor (∈ R1 ), Vektor der L AGRANGE Multiplikatoren, Eigenwert (∈ R1 ) Massenmatrix im Operationsraum Nichtlineare Terme im Operationsraum P OISSON Zahl, Frequenz Dichte C AUCHY Spannungsvektor (∈ R6 ), C AUCHY Spannungen Vektor der Biegewinkel (∈ R3 ), Drehwinkel (∈ R1 ) E ULER Winkel Drehvektor (∈ R3 ) Schub- (oder Scher-) Spannung Winkelgeschwindigkeit (∈ R3 ), Frequenz (∈ R1 )

L

L AGRANGE Funktion

 ,  ,   B , B  −  i j  i j         i j 

Symbolverzeichnis

263

N R Z

Nebenbedingungen, Nullraum Unterraum von J Zielfunktion

     ˙ 

Differenz NABLA-Operator Diagonalmatrix der Eigenwerte =0 (holonome) Bindungen (∈ Rm ), (Matrix der) Ansatzfunktionen :=D ◦  (x) : (Matrix der) Ableitungen der Ansatzfunktionen =0 (nichtholonome) Bindung (∈ Rm ) Winkelgeschwindigkeit, Frequenz

Indizes: oben (˙) ()

Zeitableitung Spintensor (∈ R3,3 )

unten links Basis, z.B. R Referenz (allgemein) K k¨orperfest I inertial

oben rechts ( ) Ortsableitung e “eingepr¨agt” z “Zwang” T transponiert unten rechts freier Index, z.B. p “Punkt”, xy “zwischen x und y”

Differentiationsnotation: F¨ur die Gr¨oßen a ∈ R1 , b ∈ Rm ,c ∈ Rn gilt die Differentiationsnotation: a a a = .. c  c1  cn ⎡

⎤  b1  b1 ..  cn ⎥ b ⎢ ⎢  c1 ⎥ = ⎢ : .. : ⎥ c ⎣ b  bm ⎦ m ..  c1  cn

Literaturverzeichnis

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265

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Sachverzeichnis

A Achsenschiefstellungen 12, 147, 148 Acopos 142, 151 Algorithmus 54, 55, 99, 144 analytisch 37, 158, 159 analytische Methode 9, 15, 44, 190 Ansatzfunktion 86, 88, 115, 118, 131, 134, 219, 225–228, 233, 235, 236 Antriebsstrang 219, 232 Arbeitsbereich 3, 170 Arbeitsraum 2, 6, 7, 14, 139, 141, 166, 171 Asimo 4

136, 141–143, 145, 152, 155, 156, 159, 161, 175–178, 183, 188–191, 199, 212, 213, 222, 229, 234 Bewegungsplattform 14, 209 Bewegungssimulator 3, 15, 16 Biegung 74, 76, 83, 126, 129, 219, 225 Bindung 6, 16, 94–96, 98, 101, 102, 106, 188 Bindungsgleichung 94, 97, 101, 190, 202 C Cauchy Coriolis

63, 65, 68 33, 44, 143, 175

B

D

Bahnkorrektur 120, 121, 124, 125, 129, 138, 139 Bahnparameter 13, 158, 159, 172, 194, 195, 203, 205 Bahnplanung 27, 141, 151, 161, 172, 176, 200 Bahnregelung 14, 16, 139, 185, 192–194, 199, 207, 208 Basisparameter 144, 145 baumstrukturiert 6, 15, 37, 55, 57 Bellman Optimierung 13, 161, 162 Beobachter 26, 156, 187 Bernoulli 33, 35, 83 Bernoulli-Euler 16, 33–35, 63, 71, 73, 74, 78, 79, 83, 131, 226, 227 Beschleunigung 5, 7, 9, 32, 33, 98, 129, 138, 152, 159, 192, 217 beschreibende Geschwindigkeit 9, 51, 55, 72, 105, 112, 116, 130, 173 Bewegungsgleichung 9–11, 13–17, 44, 47, 50, 52, 63, 86, 94, 102, 118, 122, 129,

D¨ampfung 133, 154, 178, 182 DAE-System 9 Deformation 64 Dehnmessstreifen 12, 111, 125 Differentialgleichung 126 Drehmatrix 21, 23–26, 28, 35, 57, 73, 149, 167, 179, 189, 203, 205 Dynamik 15, 27, 41, 44, 45, 102, 111, 154, 173, 178, 180, 188, 213–215 dynamische Steifigkeitsmatrix 15, 80–82, 88, 89, 115, 116, 135 E Eigenfrequenz 83, 225–227, 230, 231 Eingangs/Ausgangslinearisierung 14, 185, 192, 199 elastische Roboter 5, 11 elastischer Knickarmroboter 16, 111 elastischer Linearroboter 12, 16, 129, 139 Elastizit¨atstheorie 15, 63 273

274

Sachverzeichnis

Endeffektor 3, 6, 7, 13, 27, 48, 124, 138, 146, 147, 149, 151, 166, 168, 171, 177, 180, 182–184, 214 Endmasse 91, 112, 113, 116, 118, 126, 129, 134, 135 Energie 9, 41, 44, 111, 129, 170, 186, 188, 190, 231 Entkopplung 14, 178, 180, 184, 206, 227, 235 Eulerwinkel 31

Impedanzregelung 13, 16, 169, 176, 177 Impuls 43, 44, 49, 223 Industrieroboter 1, 3, 12, 13, 141, 146 Inertialsystem 9, 21, 29, 31, 32, 179, 203 Integrator 223 inverse Kinematik 1, 13, 151, 158, 159, 165, 169, 183, 211, 214, 218 Iteration 15, 150, 212

F

Jacobi 10, 16, 73, 95, 96, 101, 159, 168, 176, 177, 189

Fehlerdynamik 14, 154, 178–180, 193, 196, 207 Fehlerparameter 150, 151 Fehlersystem 12, 154, 193 flacher Ausgang 193, 203, 205, 206 flachheitsbasierte Regelung 12, 14–16, 138, 141 Freiheitsgrad 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 57, 93, 105, 112, 148 Funktionalmatrix 50, 52, 53, 77, 80, 94, 175 G G¨utefunktional 159, 193 Galerkin 85, 86 Gauss 53, 54, 96, 99, 104, 105 Gelenkkoordinaten 6 Gelenkregelung 111, 120, 124, 125 Genauigkeit 7, 8, 212, 215 geometrisch 75, 80, 86, 88, 89, 149 geometrische Kalibrierung 12, 16, 146 Geschwindigkeit 5, 7–9, 15, 103 Geschwindigkeitsbindung 188, 190, 201, 202 Getriebe 57, 60, 61, 90, 91, 112, 113, 116–118, 126, 129, 130, 133, 134, 154, 165, 173, 175, 219, 233 gew¨ohnliche Differentialgleichung 11, 16 Green 68, 69

J

K Kalibrierung 147, 148, 163 Kardanwinkel 30, 179, 211, 212, 217 Kinematik 33, 35, 38, 55, 125, 147, 165, 169, 176, 182, 201, 211, 212, 214, 218 kinematische Kette 15, 38, 39, 50, 51, 53, 56, 91, 113, 175 kinematische Schleife 10, 55, 100 kinematisches Modell 14, 185, 192–194, 200, 202 Knickarmroboter 111, 112, 125 Kompensation 111, 124, 141, 147, 152, 154, 209, 214, 218 Komplement¨arfilter 187 Konditionszahl 143 Konfigurationsraum 6, 14, 176, 181, 182 Koordinatensystem 21, 26, 34, 38, 41, 43, 44, 51, 57, 63, 67, 73, 114, 130, 132, 167, 190, 195, 203, 217, 220 Kr¨ummung 71, 73, 111, 124, 125, 207 Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung 16, 111, 124, 125, 127, 138 Kuka 1 L

Hamel-Boltzmann 42, 43, 188, 189 Hamilton 9, 11, 27, 45, 72 Harmonic Drive 57, 61, 111, 112, 165, 175 Hexapod 3, 209, 210, 216–218 holonom 73, 115 Hooke 66, 71

L¨angenfehler 12, 148 Lagrange 9, 11, 41, 42, 45, 67, 69, 94, 96, 98, 99, 169, 171, 188 Linearisierung 14, 15, 63, 70, 80, 91, 119, 122, 124, 152, 196, 206, 208, 224 Linux 187, 210 LQR 14, 170, 185, 187, 192, 199 Luftmuskel 15 Lyapunov 9, 44

I

M

H

Identifikation

12, 16, 147, 150, 175, 215

Maggi

9, 45, 188

Sachverzeichnis

275

Massenmatrix 9, 44, 52, 54, 58, 72, 89, 90, 96, 103–105, 114, 116, 136, 155, 170, 174, 175, 177, 222, 224 Mehrk¨orpersystem 10, 11, 15, 16, 36, 37, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 55, 57, 72, 83, 85, 86, 95, 99, 105, 121, 126, 219 Messung 111, 118, 119, 136, 147, 155, 161, 177, 187 Minimalbeschleunigung 11, 47, 52, 53, 92, 96, 98, 177, 222 Minimalform 52, 97, 104, 122 Minimalgeschwindigkeit 10, 37, 43, 50, 55, 57, 74, 77, 78, 93, 94, 105, 171, 188, 192, 201, 202, 220 Minimalraum 9, 11, 55, 92, 97, 121, 122, 126, 136, 175 Modellbildung 9, 11, 12, 14, 15, 112, 129, 139, 185, 188, 190, 199, 209, 219, 235 Modellierung 16, 33, 36, 37, 52, 100, 125, 148, 149, 152, 211, 212, 219, 223, 233, 234 Muscod 159, 160, 162, 163 Muskelkennlinie 15, 209, 213

partiell 94, 193 partielle Differentialgleichung 11, 16, 75, 77, 83, 85 PD-Regelung 15, 16, 111, 124, 125, 127, 129, 138, 139, 141, 152, 154, 157 PD-Regler 152, 157 PID-Regler 209, 214, 215, 218 Plattform 3, 4, 14, 16, 166, 185, 200, 201, 209, 215, 217 Position 6–8, 21, 26, 35, 63, 67, 106, 121, 132, 134, 147, 149, 167, 178, 187, 193, 195, 203, 208, 211, 212, 222, 231 Positionsfehler 146, 149, 208 Positionsregelung 176, 185, 209, 214, 215 Potential 35, 60, 65, 66, 68, 70–73, 76, 115, 132–134, 221, 228 Powerlink 142, 151 Projektionsgleichung 9, 10, 13–16, 41, 43–45, 47, 50, 52, 72, 80, 111, 126, 129, 142, 155, 165, 173, 190, 191, 199, 212, 219, 235

N

quasistatisch 119–121, 123, 124, 126, 137–139, 194, 198, 199, 206, 208 Quaternionen 27–29, 32

N¨aherungsverfahren 16, 36, 83, 85 Nachgiebigkeit 13, 165, 177, 179, 182, 183, 209 Nebenbedingungen 165, 169, 172, 177, 183 Newton 10, 15, 103, 105, 212 nichtholonome Bindung 9, 14, 188, 189 Nichtlinearit¨aten 156, 181 Nulllagenfehler 12, 147, 148 Nullraum 13, 165, 168, 169, 171, 177, 182, 183 Nullraumimpedanz 14, 182, 184 O O(n)-Algorithmus 10, 11, 15, 47, 52, 96, 97, 99 Operationsraum 6, 7, 13, 14, 177, 181 optimale Bahnen 12, 13, 16, 157 Optimierung 13, 161, 162, 169 Orientierung 6, 23, 27, 31, 36, 38, 147, 149, 159, 203, 208, 211, 212, 217 P Parallelkinematik 3, 14, 16, 212 Parallelroboter 1, 218 Parameter 134, 143–152, 159, 171, 175, 176, 222, 226, 230

Q

R Randbedingung 74–76, 78, 83, 85, 86, 88, 131, 225 redundant 6, 7, 16, 168 redundante Roboter 13, 165, 169, 177, 182, 183 Referenzbahn 119, 120, 122–124, 129, 137, 194 Referenzsystem 9, 29–34, 44, 48, 60, 73, 114, 175, 223 Regelkreis 127, 215 Regelung 9, 16, 111, 124, 125, 129, 141, 146, 151, 153–156, 163, 165, 176, 180, 182, 185, 192, 199, 200, 202, 207, 209, 214 rekursiv 16, 38, 47, 52, 54, 55, 94, 96, 97, 104, 105, 121, 126 Ritz 11, 16, 52, 85, 87–89, 92, 111, 112, 114, 115, 126, 132, 219, 222, 223, 225, 233, 236 Roboter 1, 3, 4, 6, 7, 11–16, 52, 55, 112, 118, 121, 124–126, 129, 137–139, 142, 143, 146, 147, 151, 154, 155, 158, 161, 165, 167, 173, 175, 176, 182, 183, 185, 188, 195, 199–201, 207–209, 213, 214

276

Sachverzeichnis

Rotor 224, 226–228, 230–232, 235 Rotordynamik 11, 16, 219, 230 RTAI 187, 210 Ruhelage 16, 192 S SCARA-Roboter 2, 14 Schwingungen 111, 125, 129, 137, 139, 157, 235 Schwingungsd¨ampfung 12, 16, 111, 124, 127, 138 Segway 14, 16, 185, 186, 190, 197, 199 Service-Roboter 1, 3, 4, 13 Service-Robotik 16, 165, 166, 185, 200 Simulation 52, 92, 94, 101, 105, 118, 119, 136, 207, 217, 226, 235, 236 Singularit¨at 7, 169, 172, 176, 179, 212 Spannungstensor 15, 63, 65, 68 Spintensor 30 Stabilisierung 14, 16, 101, 102, 157, 171, 192 Stabilit¨at 9, 101, 138, 154, 171, 180 starre Roboter 9 Steifigkeit 14, 57, 89, 178, 209, 228 Steifigkeitsmatrix 132, 135, 155, 213 Stelleingriff 118, 119, 159, 192 Stellgr¨oße 13, 152, 213 Stewart Plattform 3, 14, 16, 209, 214, 217, 218 Stoß 10, 16, 102–105 Subsystem 9–11, 13, 15, 16, 47–50, 53, 54, 57, 58, 60, 61, 90, 91, 97, 105, 112, 113, 116, 118, 121, 124, 126, 129, 131–134, 136, 139, 142, 155, 173, 235 Synthese 44, 50 synthetische Methode 9, 44 T Taylor

64, 119, 126, 129, 150

Timoshenko 11, 16, 35, 63, 72–74, 76, 78, 79, 83 Torsion 34, 74, 126, 129, 219, 223, 225, 235 Totzeit 13, 154 Tr¨agheitstensor 44, 58, 59, 73, 114, 143 Trajektorienfolgeregelung 15, 154 Transformation 21, 23, 32, 39, 52, 67, 68, 83, 98, 132, 159, 161, 190, 201, 211, 213, 217 U Unwucht

223, 229, 230, 235

V Variation 43, 73, 81 Vektor 21, 26, 36, 38, 44, 48, 49, 51, 70, 75, 77, 96–99, 106, 114, 120, 122–124, 131, 135, 143, 149, 150, 155, 156, 169, 171, 175, 182, 192, 193, 201, 211, 212, 217 Verschiebungsfelder 2-ter Ordnung 15, 63, 80–82, 114 Verzerrungstensor 15, 65, 68–70 virtuelle Arbeit 60, 65, 73, 79–82, 86, 89, 93, 117, 119, 176, 212 Vorsteuerung 111, 119, 123, 124, 126, 129, 137, 139, 141, 152, 154, 157, 161, 209, 214, 218 Vorw¨artskinematik 12, 15, 30, 149, 167, 169, 211, 212 W Washout Filter 15, 217 Winkelgeschwindigkeit 30, 31, 36, 187, 218 Z Zentralgleichung 41, 42, 44, 45 Zustandsr¨uckf¨uhrung 206 Zwangskraft 10, 16, 94, 95, 97, 98, 123, 189