Kategorien und Funktoren

Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, ZUrich

18

m

H.-B. Brinkmann nach einer Vorlesung von

D. Puppe Universit~.t des Saarlandes, Saarbr0cken

Kategorien und Funktoren 1966

Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. New York

All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce th/sbook, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. O by Springer-Verlag Berlin- Heidelberg 1966. Library of Congress Catalog Card Numbe~ 66--25193. Printed in Germany. Title No. 7338.

VORWORT

Im Sommersemester 1963 habe ich an der Universit~t des Saar%andes eine zweistUndige Vor%esung ~ber "Kategorien und Funktoren" geha%ten. In An%ehnung an diese Vor%eeung hat Herr Dr. Brin~mann die vor%iegende Ausarbeitung verfa~t. Er ist dabei an mehreren 8te%%en erheb%ich Gber den von mir vorgetragenen Stoff hinausgegangen. So stammt z.B. der ganze Abschnitt I Gber Logik und Mengen%ehre von ihm. In der Vor%esung wurden dlese Dinge nut kurz erw~hnt. Auch das Dua%it~tsprinzip (2.1 - 2.4) wurde nicht so streng forma%isiert wie bier. Der Inha%t der ~brigen Tei%e stimmt in groben ZGgen mit der Vor%esung Uberein, im einze%nen hat Herr Dr. Brinkmann die Theorie abet noch systematischer aufgebaut und vie%e Erg~nzungen elngefGgt.

Herr Reiter hat das Manuskript nochma%s genau durchgesehen und in einigen Einze%heiten verbessert. Unter seiner Aufsicht wurde es von Fr~u%ein Kurtzemann mit der Maschlne geschrieben. Je einen Tel% der endg~%tigen Fassung haben die Herren Dip%.-Math. End, ~ritsch und Dipl.-Math. Kamps auf Schreibfehler und Versehen geprUft. Ich danke a%%en Betei%igten fur ihre Arbeit.

Unter dem Tite% "Abe%sche Kategorien" ist eine Fortsetzung dieser Ausarbeitung gep~ant.

Saarbr~cken, im M~rz 1966

D. Puppe

Elnleltung und 0berbllck

Elnleltun~:

Dle Theorle der Kategorlen hat slch aus dem Bestreben entwlckelt,

den Begrlff der nat~rllchen Transformation pr~zlse zu formulleren. Wlr erl~utern das an einem Beisplel (Freyd [14]). FUr elne eingehendere Motivation und vlele weltere Belspiele sei besonders auf die ursprdngllche Arbeit von EllenbergMac Lane

[12] verwlesen, die auch zur Elnftthrung besonders gut geelgnet ist.

FUr jeden V e k t o r r a u m V

~ber einem K~rper K hat man den ,,dualen" Vektorraum LV

Gber K, der aus allen K-linearen Abblldungen V

> K yon V in K besteht.

Ist

V endllch-dimenslonal Gber K, so hat bek-nntllch LV dleselbe Dimension wle V, und V und LV slnd isomorph. Man k ~

elne Isomorphle herstellen,

indem man zu V

eine Basis (al,...,an) w~hlt und in LV die dutch ula j = 6ijEK mit

ij

=

{

o,i+j I, i =

ausgezelchneten Elemente Ul,...,u n betrachtet. Basis von LV. Die Zuordnung (a i ! V

~LV,

j

(Ul,...,u n) ist bekanntllch elne

> u i I i = 1,...,n) definlert elne Isomorphie

dle wlr mlt s(V;al,...,an) bezelchnen. Man best~tigt leicht, dab s

wesentllch yon der Wahl der Basis (al,...,an) abh~ngt. Ist V nicht endllch-dlmensional, so k - ~

man glelcherma~en vorgehen und zu jeder Basis B yon V elne K-11ne-

are Abbildung s(V;B):V

> LV deflnleren. Der Kern von s(V;B) ist 0 c V, jedoch

erh~lt man nicht alle Elemente von LV als Blld unter s. Betrachten wlr au~erdem K-1ineare Abbildungen f:V

> W yon K-Vektorr~umen,

pr~ft man lelcht nach, dab man durch dle Definition (Lf)v := vf (W elne K-lineare Abblldung Lf:LV

~LW

f> V

so

v > K)

erh~lt. Da hierbel LI V = ILV (Identische

Abbildung von V bzw. LV) und L(gf)=(Lf)(Lg) gilt, nennt man L einen Fn~ktor yon K-Vektorr~umen und K-1inearen Abbildungen in K-Vektorr~ume und K-lineare Abblldungen. Dle K-Vektorr~ume und ihre K-linearen Abbildungen fa~t man dabel als ein mathematisches Objekt, elne Kategorle,

auf. Man beachte, dab die Definition

yon L nichts miteiner Basiswahl in V zu tun hat, sondern nur die Definition der s(V;al,...,an):V ~ L V .

Die Beschr~mkung von L auf endlich-dimensionale

r~ume liefert elnen Funktor in endllch-dlmensionale (NacheinanderausfU/qren),

K-Vektorr~ume.

K-Vektor-

Blldet man LL

so gilt wieder LLI v = ILLV, jedoch LL(gf) = L((Lf)(Lg)) =

(LLg)(LLf). Man spricht von einem kovarianten ~ m k t o r L einen kontravarianten F-nktor.

und nennt im Gegensatz hlerzu

F~

endllch-dlmenslonale

V ist offenbar V mlt LLV isomorph, und wir zelgen,

dab hler elne baslsunabh'~nglge

Isomorphle exietlert:

K-Vektorraum V elne K-lineare Abbildung tV :V ~ yon (tV)vELLV(bei vEV) auf wELV, n~mllch

Wir deflnieren fur jeden

LLV dutch Angabe tier Wirkung

((tV)v)w

:= wv. Man best~tlgt

lelcht,

dab tV fur jedes V K-llnear ist und den Kern 0 hat. Ist V endlich-dimenslonal, so let tV demuach isomorph. uns interessanteste f:V

Die fur

alas ,Diagr-mm"

I)

kommutatlv

deflnlert.

Eigenschaft von t ist, dab fttr jede K-llneare Abbildung

~ W von K-Vektorr~umen

(Diagr~mm

0ffenbar ist tV basisunabh~nglg

tV~

itW

LLV

LLf > LLW

let, was (LLf)(tV)v = (tW)fv fur jedes vEV bedeuten soll. Die Nach-

prUfung let einfach: Man rechnet fur wELW aus, dab (((LLf)t)v)w = ((tv)(Lf))w = (tv)(wf) = (wf)v = w(fv) = ((tv)f)w ist. Die Zuordnung V : > V, f ~ man den identischen ~ m k t o r wegen der Kommutativit~t t:1 ~

,,I" von K-Vektorr~umen

des oblgen Diagr-mme

eine Isomorphle

( =: ~quivalenz),

Iund

t hei~t

Transformation V ist tV BeschrSnkung

> LL der auf endlich-dimenslonale

beschr~n~ten

LL.

Sucht man bei endlich-dimensionalen Diagr~mm

eine natUrllche

daher nenut man die entsprechende

von t eine natttwliche Aqui.valenz I Funktoren

in K-Vektorr~ume;

in LL; fGr endllch-dlmensionales

LL des identischen ~ m ~ t o r s

f nennt

I entsprlcht,

V, W fGr L nach elnem Diagr,mm,

alas den

so wird man auf

f V ---->W

r,u ~

"r.f - -

-

r,W

geftthrt, wo wit -nnehmen wollen, da~ sV, sW irgendwelche Fdr V+O, W=O kann das Diagrsmm

0+V------~O

LV*~----

0

Isomorphismen

sind.

nlcht kommutativ sein. Die Isomorphie V ~ LV ist also nicht ,,nat~rlich". Selbst wenn man fur f nur Automorphismen yon V = W z u l ~ t ,

ist es nicht

mGglich, einen Isemorphismus sV = sW zu finden, der das Diagr~mm kommutatlv macht (vorausgesetzt, da~ (a) dim V ~ 2 oder (b) dim V = I u n d

K nicht

PrimkSrper der Charakteristik 2 oder 3 ist).

Sberblick: Im Abschnitt O. bringen wir elnleitend die Definitionen yon Kategorien und Funktoren in elner den Anwendungen angepa~ten Form sowie eine Reihe von Beispielen. Im Gegensatz zu den meisten anderen Teilgebieten der Mathematik zwingt die Kategorlentheorie sehr bald dazu, die verwendete Mengenlehre zu pr~zisieren. Daher wird in I. elne axlomatische Mengenlehre entwickelt, die fur die Kategorientheorie heute als gGnstigste erscheint. Wir stGtzen uns auf die formale Mathematlk und Mengenlehre yon Bourbakl ~2~, ~3~ und erweltern sie nach einem Vorschlag yon Grothendleck (s. Gabriel E15~) umd Sonner E34~ durch ein Axiom, das die Existenz von hinreichend vlelen ,,Unlversen" sichert. Zu Beginn yon 2. wlederholen wir die Definition der Kategorien in einer den Anwendungen weniger angepa~ten ~oer fGr die Theorie einfacheren Form (Weglassung der Objekte). Die Betonung der Kompositionsstruktur und sp~tere Einfthhrung der Objekte entspricht d e m u r s p r G n g l i c h yon Eilenberg-Mac Lane C12~ eingenommenen Standpunkt. Welter in 2. formulieren und bewelsen wir das in der Theorie der Kategorien st~ndig benutzte und wesentlich zur Arbeitsersparnis beitragende Dualit~tsprinzip als pr~zisen Metasatz. HierfGr wird die Formalisierung von I. gebraucht. Der Anf~nger und der an dlesen formalen Er~rterungen nicht interesslerte Leser setze die LektiL~e nach O. mit 2.4 fort und begnGge sich mit der vorl~ufigen Formulierung des Dualit~tsprinzips in 2.2.1. Am Ende yon 2. definieren wir DiagrAmme (Grothendieck ~17~), die in der Theorie auch als einfachere Strukturen vor Kategorlen gesetzt werden k~nnen; dabei ginge aber ein wesentlicher Teil der Motivierung verloren. 3. behandelt darstellbare Fumktoren in der fur 5. und 7. ben~tigten Form. Die Kenntnls von darstellbaren Funktoren ist au~erdem yon allgemeinem Interesse. Der wesentliche Teil von 4. wird abgesehen von allgemeinem Interesse erst in t39~ benutzt und behandelt monomorphe, epimorphe Morphlsmen, Einbettungen, Identiflzierungen, Schnitte und Retraktionen.

Im Hinblick auf diese Begriffe hat sich in der Literatur noch keine

einheitliche Terminologie durchgesetzt, so da~ dem unerfahrenen Leser b e i d e r dung yon Literatur das Nachschlagen der jeweiligen Definition empfohlen sei.

Verwen-

FUr die H~rer der ursprttuglichen Vorlesung sei angemerkt, dab die Terminologle von 4. v o n d e r

Vorlesung abweicht. Die Relation c von 4. erscheint auch bei

Kowalski [23]. Produkte und Coprodukte in 5. dienen der Vorbereitung von 7. und 8., die Nullmorphismen vom 6. werden in 8. tmd vor allem in [39] benStigt. 7. dient der Vorbereitung yon 8. und folgt im wesentlichen Eckmann-Hilton

[!0], so dab

Einzelhinweise auf [10] im Text unterbleiben. DaB wir uns bei neutralen Morphismen fttr Addition und Coaddition nicht auf Nullmorphismen beschr~n~en, hat den Grund, daB, wenn eine Kategorie ~ Nullmorphismen hat, die Kategorie Nat(~,~) der ~,nktoren yon ~ und ~ und ihrer natttrlichen Transformationen keine Nullmorphismen zu haben braucht. Wir spezialisieren vorz~glich 9 als Kategorie der Mengen, und gerade bier kSnnen Schwierigkeiten auftreten, die man am einfachsten dutch Zulassung kollabierender Morphismen als Neutrale beseitigt. Kollabierende Morphismen erscheinen bei Kowalski [23] unter dem Namen punktal. In 8. beweisen wit, dab jede Kategorie,

in der Produkte oder Coprodukte fttr Je zwei Objekte

existieren, h~chstens eine ,Addition" z u l ~ t ,

die sie zu elner addltiven Kategorie

(im Simme von Grothendieck [17]) macht umd da~ bei einer additlven Kategorie die Kommutativit~t und Assoziatlvit~t der Addition aus den G b r i g e n A x l o m e n

folgt.

Auch diese Ergebnisse finden sich in [10], abgesehen yon der Formulierung und der Aussage Uber die Assoziativit~t. Fttr neuere Literatur Uber Kategorien verweisen wlr auf die ausftLhrlichen Verzeichnisse in Mac Lane [26] und [27].

Kategorien

Einleitung

und ~berblick

O. K a t e ~ o r i e n O.

I

und Funktoren

Definition

..................................

1

..............................................

1

von Kategorien

O. 2

Bezeichnungen

1

und Funktoren

...........................

2

....................................

2

O. 3

Andere Definition

O. 4

Definition

O. 5

Beisplele

..................................................

2

O. 6

Funktoren

..................................................

4

O. 7

Kategorlen

Yon Kategorien

ohne O b J e k t e

yon Funktoren

...................................

6

i. L o ~ i k u n d M e n ~ e n l e h r e I. 1

Zeichen,

I. 2

Axiome

I. 3

Bewelse

I. 4

Aussagenlogik

I. 5

Einsetzen,

I. 6

Der Hilbertsche

Terme,

Formeln

....................................

7

....................................................

7 8

..............................................

Quantoren

.......................................

Termoperatur

EndgGltlge

1.

8

Mengenlehre

1.

9

Axiome tier Mengenlehre

Definition

...............................

der f o r m a l e n

Theorie

.................

................................................

1.1 o

SAmmelnde F o r m e l n

1.1 1

Schemata

1.1 2

Paare

1.1 3

Unendlictdceits-

der

Mengenlehre

14 14

...........................

1.14

Produkte,

Abbildungen,

Universen

..................................................

I. 16

Starke

1.17

U ~ U u n d U = UU u n d

I. 18

Mengenlehre

9 11

13

...................................

Korrespondenzen,

9

12

...................................................... und Auewahlaziom

8

11

.....................................

..........................................

I. 15

I

6

.....................................................

I. 7

2.

5

Familien

...........

.........................................

15 15 16

(U ~ r = N E U) e t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Vereinbsrungen

.............................................

17

2. K a t e ~ o r i e n ,

Dualit~t T Funktoren,

18

~eue

Definition

von Kategorien

Nat~rlichkeit

.............................

18

...........................................

2O

..................................................

22

2. 2

Dualit&tsprinzip

2. 3

Beispiele

2. 4

Dualit~t

2. 5

Teilkategorien

....................................

23

.............................................

24

bel K a t e g o r i e n

2. 6

~,nktoren

..................................................

25

2. 7

Kategorie

der ~ z n ~ t o r e n

27

2. 8

Nat~trliche T r a n s f o r m a t l o n e n ,

2. 9

Diagr-mme

.................................... die K a t e g o r i e

Nat

.............

..................................................

27 29

3. D a r s t e t % b a r e

Fumktoren

33

3. I 3. 2

~qulva%enz

................................................

33

Aquiva%enz

yon Punktoren ..................................

34

3. 3 3. 4 3. 5

Hom-Funktoren

...................... . ......................

Repr~sentierbarkeit Darste%%bare

der Transformation

Punktoren

4. E i n b e t t u n g e n u n d 4. I

Monomorph,

yon Hom-Funktoren

..

....................................

35 36 38

Identifizierungen

epimorph,

34

..............................

38

CQ ......... ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

bimorph

4. 2

c Z (Ordnung dutch Bi%der),

4. 5


4. 4


..............................................

43

4. 5

~quiva%enzen

..............................................

44

4. 6

Dua%it~ten

(Ordnung dutch Zer%egung),

................

42

................................................

45

von cmit

< ....................................

46

..............................................

47

.....................................................

48

4. 7

Definition

4. 8 4. 9 4.10

Einbettungen

4.11 4.12

Beispie%e

Tei%e

Retraktionen

Identifizierungen,

Quotienten

.............................

.................................................

Einbettungen 5. P r o d u k t e

a%s r e p r ~ s e n t i e r b a r e

Funktoren

...............

und Coprodukte

5. I

Produkte

yon Objekten

5. 2

Produkte

yon Abbi%dungen

5. 3

Produkt

5. 4

Obertragung

5O 51 52 54

.....................................

54

..................................

55

.......................................

57

y o n <, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

a%s F u n k t o r

5. 5

Kommutativit~t

............................................

59

5. 6

AssoziativitEt

............................................

60

5. 7

Beispie%e

.................................................

60

................................................

61

..................................................

62

5. 8

Coprodukte

5. 9

Ma%rizen

5.10

Diagonale

5.11

Produkte

und Codiagona%e in N a t v ( E , ~ )

.................................

64

.....................................

64 66

6. N u t % m o r p h i s m e n 6. 1

Nul%fami%ien

..............................................

66

6. 2

Nu%%objekte

...............................................

66

6. 3

p : A . A

) A x A .......................................

68

7- A d d i t i o n

und Coaddition

71

7.

I

Additive

Objekte

.......................

71

.........................

72

.......................................

73

und Homomorphismen

7. 2

Kommutativit~t

und AssoziativitMt

7. 3

Neutra%e,

H-0bjekte

7. 4

H-0bjekte

und

p : A . A

)A

x A .........................

75

7. 5 7. 6

Gruppenobjekte

7. 7 7. 8

Obergang 9 ) Nat ftir Homomorphismen ...................... Darstellbarkeit ............................................

7. 9 7.10

Coadditionen Beispiele

7.11

r

8. I 8. 2 8~ 3

. ............................................

~J'bergang (A,a)

~ (~(?,A), +a) ............................

...............................................

.................................................. H-0bjekt)

.........................................

76 78 82 85 85 87 90

8. Additive K a t ~ o r i e n

92

Eindeutlgkei% natiirlicher Additionen ....................... Halbadditive Kategorien .................................... MatrlzeDmultiplikation, Erweiterung zu additiver Kategorie .

92

.....................................

94 96 98

.........................................

99

8. 4

Pr~additlve Kategorlen

8. 5

Additive ~,nktoren

-

O.

I

-

Kategorlen und Funktoren

Wenn man zwel Abbildungen yon Mengen, Homomorphlsmen dungen von topologischen R~umen nacheinander eine Abbildung,

einen Homomorphlsmus,

zu jedem Homomorphismus, topologlsche

R~ume,

tire Struktur Abbildungen,

elne stetige Abbildung.

Zu jeder Abbildung,

zu jeder stetigen Abbildung geh~ren zwei Mengen,

ihre (seine) Quelle und ihr (sein) Ziel. Abbildung

Gruppen,

Zu Jeder Menge, Gruppe, (Homomorphismus,

und diese Identit~ten wirken als Einheiten f~r die multiplika-

(Nachelnanderausfthhren)

der Abbildungen

Gruppen und Homomorphlsmen,

,,bilden" Kategorlen.

stetlge Abbil-

ausftLhren kann, erh~lt man wieder

zu jedem topologischen Raum gehGrt eine identlsche stetlge Abbildung),

yon Gruppen,

topologische

(etc.). Man sagt, Mengen und R~ume und stetige Abbildungen

NatGrlich ist die mit der ,,Menge aller Mengen" verbundene

Vor-

sicht geboten. 0.1

Eine Ka~egorie besteht aus elner Menge ~ von ,Objekten", elner Menge M von ,Morphismen",

(K:O3)

zwel Abbildungen

(~4)

elmer Abbildung M x M o T

Q : M

~ G (Quelle) und Z : M K~M

e (Ziel),

(Nacheinanderausf~hren,

f~r die, wenn wlr ~(f,g) =: g.f =: gf abk~rzen

Kompositlon), I) ), (zu lesen: g nach f

folgende Axiome gelten: (KAI)

=

I zf = Qg},

z(g+)

= zg.

(KA2)

h(gf) = (hg)f+falls

(KA3)

Zu jedem A E ~ gibt es (mindestens)

Zg = Qh und Zf = Qg. ein e m i t

a.

ef = f fttr jedes f mit Zf = A und

b.

ge = g fttr jedes g mit Qg = A ist.

Ein Qulntupel

Qe = Ze = A, so da~

(~, M, Q, Z, x) =: ~ yon Dingen wle in KDI - KD4 mlt KAI - KA3 ist

elne Kategorle. 0.2

Allgemeln wlrd in jeder Kategorle

die Eomposltlon

g.f =: gf abgekitrzt, solange kelne Unterscheldung Q und Z fGr alle Kategorien. f E ~ fGr f E M,

~ dutch ~(f,g) =:

nGtig Ist. Ebenso verwenden wlr

Ist ~ = (~, M, Q, Z, ~) elne Kategorle,

I~I fur ~, Mor~ ft[r M. FUr A, B E i~I bezelchnet

so steht

~(A,B)

~f I f E ~ mlt Qf = A und Zf = B~ 2) die Menge der Morphlsmen yon A in B.

:=

-

Suggestiv steht f : A ~berflGssig,

~ B oder A

so steht oft 9

f) B, A

2

-

f~ B fur f E ~(A,B). Sind Namen fur A, B, f f).,

A

) B etc.. Morphismen e mlt Qe = Ze

und ef = f falls Zf -- Qe, ge = g falls Qg = Ze hei~en Einhelten.

Sind e, e' Ein-

heiten mit Ze' = Qe' -- Ze = Qe, so ist e' = e'e = e; zu Jedem A existiert also (KA3) genau eine Einhelt A

) A, die mit IA bezeichnet wird. Die Formel e = I

steht kurz fur ,,e ist eine Einheit". 0.3

H~uflg werden Kategorlen definlert dutch eine Menge ~ yon ,Objekten",

Mengen Mor(A,B) zu jedem (A,B) E ~ • ~ und Abbildungen aA,B,C

: Mor(A,B)

• Mor(B,C)

) Mor(A,C) zu jedem (A,B,C) E ~ • ~ • ~. Man verlangt

(KAI')

Die Mor(A,B) slnd paarweise dlsjunkt,

(KA2')

h(gf) = (hg)f falls f E Mor(A,B),

g E Mor(B,C), h E Mor(C,D) f~r irgemd-

welche A, B, C, D, (KA3')

Zu jedem A E ~ existiert e E Mor(A,A) mit a.

ef = f fur jedes f E Mor(B,A) und jedes B und

b.

ge = g f~r jedes g E Mor(A,C) und jedes C,

wobei in KA2' die elnzelnen ~A,B,C(f,g) Setzt man M :=

A.~EG~ Mor(A,B),

: A,B~,CE~ Mor(A,B)

=: gf etc. abgekiirzt sind.

so deflnieren die ~A,B,C eine Abbildung

• Mor(B,C) =: T

) M, thud Q, Z erh~It man dutch ,Qf = A und

Zf = B :, f E Mor(A,B)", wobei die Definitionen sinnvoll sind, da die Mor(A,B) paarweise disjunkt slnd. 0.4

(G, M, Q, Z, ~) ist eine Kategorie im Sinne yon 0.1.

Die Einhelten einer Kategorie ~ entsprechen elneindeutig den Objekten.

Man kann daher auf die Objekte verzichten oder sle mit den Einheiten identifizieren. Kategorlen erscheinen damn als verallgemeinerte Gruppen (oder besser: Monoide mit Einheit).

Die Objekte sind wttuschenswert ftLr die Anwendungen. Die Einftthrung yon

Kategorien zun~chst ohne Objekte findet man in E i l e n b e r g - Mac Lane t12~, E i l e n b e r g Steenrod [131, Freyd ~14~, weltergehende Untersuchungen bei Hilton-Ledermann

~20].

Wir kommen in w 2 darauf zurGck. 0.5 werden. 0.5.1

Wir geben einlge Standardbelspiele

an, die immer wleder herangezogen

Zun~chst Verelnbarungen zu Mengen und Abbildungen: X, Y selen Mengen. Ein F c X x Y heist ein Graph in X • Y.

F $ := C(y,x)

I (x,y) E FS hei~t tier zu F konverse Graph in Y • X. Ist G c Y • Z,

so wlrd G-F := [(x,z)

I es gibt y mlt (x,y) E F, (y,z) E GS definlert.

-

3

(X, Y, F) =: f mit F c X • Y heist Korrespondenz zu f konverse Korrespondenz

yon X in Y. f @ : =

(Y, X, ~) heist die

yon Y in X. Ist g := (Y, Z, G) eine weitere Korrespondenz,

so ist g'f =: gf := (X, Z, G'F) Korrespondenz assoziativ,

-

von X in Z. Die Zusammensetzung

die IX := (X, X, DX) mit der Diagonate D X := [(x,x)

.." ist

I x E X] wirken ale Ein-

heiten. 0.5.2 f = (X, Y, F) heist AbbiLdung, Man schreibt f : x l

wenn Jedes x E X in genau einem (x,y) E F vorkommt.

fx fur .dasjenige y mit (x,y) ~ F" und gibt f oft in der Form x i

) y an. Bei A c X steht oft fA fur ~fx I x s A~; die Abk~rzung

zu handhaben,

faLLs auch A s X sein kann (BeispieL:

A = ~, X = ~ 3 ;

) fx oder

fA ist mit Vorsicht

es ist nicht kLar,

was mit f~ gemeint ist). F heist Graph der AbbiLdung f u n d (z.B. m

) ~ ) gezeichnete

eine AbbiLdung

FF@c

TeiLmenge

des Produktes X • Y. Man Gberzeugt

ist, genau wenn D X c F@F und F P ~ c

(0.5.2.1) D x c F @ F * (0.5.2.2) P F # c

ist die in der graphischen DarsteLLung von AbbiLdungen sich, dab (X, Y, F)

Dy ist, wobei

,Jedes x ~ X kommt in mindestens

einem (x,y) ~ F vor",

Dy ~ ,Kein x ~ X kommt in mehr aLs einem (x,y) E F vor" gilt.

Dy Ist anders ausgedr~ckt

Sind f, g AbbiLdungen,

.(x,y),

(x,y') ~ F

so ist gf AbbiLdung;

~y

= y' ".

gf beschreibt

das GbLiche AusfGhren von g nach f.

Einheiten sind AbbiLdungen. Wir nennen eine Abbi~dung f : X ---~Y injektiv ,fx = fx' = x = x' " gi~t, surjektiv y = fx existiert und biJektiv, 0.5.3 L~utert

Beispie~e: (besonders

(eineindeutig),

wenn fGr x, x' s X s~ets

(auf), wenn zu jedem y s Y mindestens

wenn sie inJektiv und surJektiv

ist 17).

U sei eine feste Menge. Der Sinn dieser Einschr~mkung

wird in w I er-

1.18). Wir benutzen 0.3:

KBI: Me Korr (Mengenkorrespondenzen;

genauer MeKorru):

yon U sind. FGr X, Y ist MeKorr(X,Y)

die Menge der Korrespondenzen

wie in 0.5.1. Die Definition der Korrespondenzen Qf = X, Zf = Y definieren ~teren

ein x E X mit

Objekte sind die Mengen,

die ELemente

yon X in Y. ~(f,g)

a~s TripeL f = (X, Y, F) geschieht,

zu kennen. Die Unterscheidung

zwischen f u n d

Fist

:= gf um

besonders

in der

Literatur oft nicht durchgef~hrt.

KBIa: Me (MengenabbiLdungen;

genauer Meu): Objekte wie in MeKorr, Me(X,Y)

:= Menge der Ab-

biLdungen von X in Y, ~ wie in MeKorr. KBIb: MePa (AbbiLdungen yon Mengenpaaren; Mengen X, A mit A c X ~ U. MePa((X,A),

genauer MePau):

Objekte sind die Paare

(X,A) von

(Y,B)) ist die Menge der (X, A, Y, B, F) mit

f := (X, Y, P) C Me(X,Y) und fA c B. ~ wird natGrLich durch (Y, B, Z, C, G) 9 (X, A, Y, B, F) := (X, A, Z, C, G'F) deflniert. f : X

Man beachte, Morphismen

(X,A)

) (Y,B) sind nicht AbbiLdungen

~ Y mit fA c B, da eine soLche Festsetzung keine Definition von Qs und Zf gestattete.

-

KBIc:

4

-

PuMe (Abbildungen punktierter Mengen; genauer PuMeu): Objekte sind Paare

(X,x o) mit x o E X E U, Morphismen die (X,x o, Y'Yo' F) mit (X, Y, F) =: f E Me und fXo = Yo" Das ist glelchbedeutend mit (X, {Xo], Y, {yo ~, F) E MePa. Die Komposition ist klar. KB2:

Mo (Monoidhomomorphismen;

genauer MOu): Objekte sind die Monoide (X,p) mit

X E U. p ist die Monoidstruktur: eine Abbildung X • X p(x,y) =: x p y, die dem Assoziativgesetz Mo((X,p),

) X mit Bezeichnung

(x p y) p z = x p (y p z) gen~gt.

(Y,o)) ist die Menge aller Monoidhomomorphismen yon (X,p) in (Y,o),

das ist die Menge aller (X, p, Y, o, F) fttr die (X, Y, F) =: f Abbildung und f (x p x') = (fx) a (fx') ist. Statt F kann man f in das Quintupel schrelben, statt p, o ihre Graphen verwenden. Die Kompositlon ist klar. KB2a:

Gr (Gruppenhomomorphismen;

genauer Gr U) : ObJekte sind die Monoide, die

Gruppen sind; ein Momoldhomomorphismus

zwischen Gruppen ist Gruppenhomomorphismus.

KB2b:

AbMo (Homomorphismen abelscher Monoide; genauer AbMo U)

KB2c:

AbGr (Homomorphismen abelscher Gruppen; AbGr U)

KB3:

RMod (R - lineare Homomorphismen yon Moduln Gber einem Ring R; RMOdu):

Ein R-Modul ist z.B. ein Tripel (A, p, o) aus einer Memge A und zwei Abbildungen p : A • A

) A, o : R x A

) A etc..

KB4:

Top (stetige Abbildungen topologischer R~ume (besser Stet!); ToPu),

KB4a:

TopPa (stetige Abbildungen yon Raumpaaren; TopPau): Objekte simd die Paare

(V,W) yon topologischen R~umen, wobel die Menge X, die dem Raum V = (X,T) (T Topologle) zugrundeliegt, ein Element yon U und W eln Teilraum yon V Ist. Morphismen sind die (V, W, V', W', F), die (ungenau) stetig V

) V' sind und W in W' ab-

bilden. KB4b:

PuTop (Punktierte Abbildungen yon punktierten topologischen R~umen (R~umen

mit Grundp~m~t); PuToPu ) : Geht aus TopPa hervor wie PuMe aus MePa. 0.6

Kategorien slnd Im wesentlichen verallgemeinerte Gruppen (Monoide mlt

Einheit), Funktoren entsprechen Homomorphlsmen: ~, ~ seien Kategorien, F I : I~I

) I~I, F 2 : Mor~

> Mor~ Abbildungen. Wit vereinbaren FIA =: FA,

F2f =: Ff. Gil% (FA1)

F ~(A,B) c ~(FA, FB),

(FA2)

F I = I,

(FA3)

F(gZ)

= (Fg)(Ff), Zalls

Qg = ZZ,

so heist (~, ~, F I, F2) =: F ein Funktor F : ~

) ~ von ~ in ~.

-

5

-

FA2 ist als ,ist f Einhelt, so ist Ff Einhelt" zu lesen. PAl let mlt .QF2f = FIQf und ZF2f = FIZf" ~qulvalent.

P1 ist entbehrlich, da man F 1 aus P2 ,Lit dleeer Rela-

tion deflnieren kann. WiT geben daher h~uflg ~ m W t o r e n nut durch ihre Werte auf Mor E an. O. 6. I Belspiele : FBI :

F: MePa

FB2 :

F: Mo

FB5:

F: Top

FB4:

P: RMoa

) Me mit F(X, A, Y, B, G) = (X, Y, G). ) Me mlt F(X, p, Y, o, G) = (X, ~, a). ) Me mlt P((X, T), (Y, T'), G) = (X, Y, G).

) Ab HLJ.I; F ( ( X , p , o ) ,

(Y,p',o'),

G) = (X,p, Y , p ' , G ) .

Die Funktoren in dlesen Beispielen verelnfachen die Struktur der 0bJekte. Solche Punktoren hei~en verge~lich (Mac Lane). FB5:

F: Me

) Mo. ~X ist das yon X erzeugte freie Monold, Ff der eindeutig be-

stlmmte Monoldhomomorphismus,

der das (ungenau) Mengendiagr-mm X

f )Y

N

n

PX -y~-~ FY kommut at iv macht. FB6:

F: Top

) Ab mit PX := HqX (q-re (singul~Lwe) Homologiegruppe)

Ff := Hqf = f. : HqX .FB7:

F: PuTop

> HqY.

> Gr mit F(X,Xo) = ~1(X,Xo)

Ff := ~i f = f. : ~1(X,Xo) 0.7

und

(Fundamentalgruppe)

und

) ~1(Y,yo).

Es ist naheliegend,

dab die l~,n~toren yon Kategorlen wieder eine Kate-

gorie bilden. Man k--~ nat%trlich nicht die Kategorie ,aller Funktoren" bilden. U sei elne feste Menge. Fun U sei deflniert dutch (I) IFUnUl = [~ J ~ ist Kategorie mit I~I c U und Mor T c U], (2) Funu(~,~ ) := [Punktoren ~ ---> ~] (5) Nacheinanderausf~[hren tier l~m~toren. Einheiten slnd die I~ = (~, ~, I i~i, IMor~ ). 0.7.1 Um U in 0.7 und 0.5.3 gro~ genug wKhlen zu k~nnen, geben wit in w I eine passende Mengenlehre an. D,~n folgen weltere grundlegende Begriffe wie duale Kategorien, kontravariante Punktoren, natGrliche Transformationen etc. in w 2.

-

6

-

Logik und Mengenlehre

I.

Wit erl~utern Logik mud Mengenlehre interesslerte

~eser konsultiere

Gber die verwandte

nach Godement

[16] und Bourbakl

Logik nlcht interessierte

an Kategorien !nteressierte

~16~. Der an Einzelhelten C2]. Der an den Einzelheiten

Zeser Gberschlage

Ieser Gberschlage

1.1 - 1.8; der nut

den gesamten Abschuitt.

heiten Gber Zogik werden zur genauen Formulierungund

~umBeweis

Die Einzel-

des Dusllt~ts-

prinzips in w 2 ben~tigt. 1.1

Wit benutzen

a.

Buchstaben,

b.

v (oder), ~ (non),

c.

V (es gibt),

d.

= (gleich),

(zun~chst) die Zeichen

E (aus, Element yon).

Unter Buchstaben verstehen wir die lateinischen Buchstaben

(Maschinentypen),

die

auch mit Akzenten versehen werden k~nnen (a, a', a'', ...). Es soll jederzeit m~glich sein, in den Text neue und noch nicht benutzte Buchstaben einzuftLhren. Dutch Hinterelnanderschrelben

von endlich vlelen Zeichen bildet man Zelchen~elhen.

Sind ~, T Zeichen oder Zelchenreihen, wennman ~?Xetc..

Y hinter ~ schreibt.

so sel @Y die Zelchenreihe,

die man erh~lt,

Da die Bildung offenbsr assoziativ ist, hat man

3).

AusdrGcke der Mengenlehre (Relationen,

sind Terme (Mathematische

Pr~dlkate, Aussagen Gber Mengen),

Objekte, Mengen) und Formeln

die nach folgenden Regeln gebildet

werden: (TI)

Jeder Buchstabe

ist ein Term,

(TF') Sind ~, ~ Terme 4), so sind = ~

und E ~

Formeln,

(FI)

Ist * eine Formel, so ist ~ * eine Formel,

(F2)

Sind ~, ~ Formeln, so ist v*T eine Formel.

= ~$ (lies: ~ glelch t) schreibt man meist ~ = t, E~t (lies: ~ aus ~; ~ let Element yon ~) schrelb% man ~E$, v,? (lies:

(entweder)

i oder Y (oder beide)) schreibt man

v ?, ~ ~ liest man non *. Dabei sind wenn nStig Kl-mmern zu setzen.

-

7

-

Die in den Regeln eingefQhrte Schreibweise ist un~bersichtlich bei komplizier%eren Ausdr~cken, dient aber der prinsipiellen Vermeidung yon KIAmmern. Als Abkltrzungen dienen:

^ ~ (~ u.~d Y) ~

( ( ~ t) v ~ ) ,

~ Y (non ~ oder ?; i folgt u

f~Ir (~ ~) v u

* ? (~ genau wen- Y; ~ ~quivalent ?) f~r (~ - T) A (? ~ ~). 1.2

Die S~tze der Mengenlehre erh~it man dutch Beweise aus vereinbarten

Axiomen und Axiomenschemata: Man gibt einige Formeln an und vereinbart, diese selen die (expliziten) Axlome der Mengenlehre. Man gibt einige Regeln an, so da~ die Anwendung einer Regel eine Formel e ~ b t so da~ gilt: K - ~

man m it einer Regel eine Formel * konstruleren,

stabe und ~ ein Term, so l ~ t

und

ist ~ ein Buch-

sich dutch Anwendung derselben Regel die Formel

konstruieren, die man aus i erh~It, wenn ~berall ~ fur ~ eingesetzt wird. Die vereinbarten Regeln hei~en (Axiomen-)Schemata,

die Formeln, die man dutch An-

wendung eines Schemas erh~it, hei~en implizite Axiome. Wit formulieren die Schemata meist so: Sind ~,... Formeln, 1.3

~,... Buchstaben, so ist ... ein Axiom.

Ein Beweis ist eine Folge von Formeln, so da~ fttr jede Formel ~ der Folge

eine der folgenden Bedingungen erf~llt ist: (BA)

iist

ein Axiom,

(BS)

t erh~It man dutch Anwendung eines Schemas,

(MP)

Vor ~ erscheint eine Pormel ? und die Formel ? = *.

MP ist der Modus ponens. Eine in einem Beweis vorkommende Formel ist ein Satz. S~tze werden, wenn ihre Wichtigkeit oder Unwichtigkeit besonders hervorgehoben werden soll, auch als Theoreme, Lemmata, Hilfss~tze bezeichnet. Als Lemmata bezeichnet man vielfach wichtlge S~tze, die nicht attraktlv formuliert sind. Eine Formel ~ heist richtig (w,h~, ableitbar), wenn sle eln Satz ist, und falsch, wenn~

* ein Satz ist. Die Nichtableitbarkeit yon ~ bedeutet keinesfall8, da~

~ ableitbar ist. Den Modus ponens formuliert man h~uflg so: Aus ? und T = ~ folgt ~. Dabei wird .folgt" im Sinne yon ,ableitbar" gebraucht, wie h~ufig in mathematischen Texten, nich% Im Sinne yon ,=".

-

1.4 ($1)

8

-

Die ersten vier Axiomenschemata der Mengenlehre slnd die der Aussagenlogik: Iet ~ eine Formel, so ist (~ v t) = ~ ein Axiom, Sind ~ und T Formeln, so ist ~ = (% v T) ein Axiom, Sind ~ und T Formeln, so ist (I v ~) = (~ v t) ein Axiom,

(s4) 1.5

Sind I, ~ und X Formeln, so ist (I : ~) ~ ((I v X) :

(I

v X)) eln Axiom.

t eel eine Formel, ~ ein Buchstabe und ~ ein Term.

(~ [ ~)i sei Abkllrzung fur die Formel, die man aus t erh~it, wenn man Jedee in i vorkommende [ dutch ~ ersetzt. [ braucht in I nicht vorzukommen; in dlesem Falle let (~ I ~)I eine andere Bezeichnung fur Q. Oft echreibt man, um anzuzeigen, da~ ~ in i vorkommt, *(~) oder I|[|. Dann schreibt man ~(~) oder t ~ } f U r

(~ I [)i. Entsprechen-

des gilt f~r *([,~). Wit f~Lhren eine weitere Regel zur Bildung yon Formeln ein: (F3)

Ist i elne Formel und ~ ein Buchstabe, so ist

V~t

eine Yormel.

V~t let zu lesen ,Es gibt (mindestens) ein ~ mit i". F3 hat vorl~ufigen Charakter. Als f~nCtes Schema der Mengenlehre vereinbsren wit: ($5)

Ist i eine Formel, ~ ein Buchstabe und ~ ein Term, so let (~

I

V~t

~)I ~

ein Axiom. Ee scheint v e r D ~ t i g

-~unehmen,

da~, wenn ~ auf ~ ZutTifft, ein ~ (n~mlich ~)

existiert, auf das i zutrifft. Die Formulierung (~

I

~)i ist nach EinftLhrung yon

V~ mlt etwas Vorsicht zu verwenden, falls n~mllch ~ in % in der Form V~ vorkommt. Wit umgehen die mlt der Einft~hrung yon gebundenen und freien Variablen verbundenen Unerfreullchkelten in 1.7 dutch einen Kunstgrlff (Bourbaki). Vorher verelnbaren wit das sechste Schema der Mengenlehre ($6)

Ist t eine Formel, ~ eln Buchstabe und sind ~, , Terme, so ist (~ = *) " ((~ I ~)l - (, [ ~)I) ein Axiom.

Das ist eine vernttnftige Forderung an das Gleichheitszelchen. Dann erw~hnen wit, da~ man ~

(fttr alle ~ gilt ~) ale Abkltrzung f~r -~ V~ ~

wie es der Sprachgebrauch nahelegt.

t

benutzt,

-

1.6

Bewelst man einen Satz V ~ ,

.Es gibt einen nicht korrumpierten

9

-

so hat man noch kein ~ fttr das ~ 'gilt:

Politlker"

ist eine Aussage, mit der man

wenig anfangen kann, solange man einen solchen nicht auffinden kann. Man hilft sich oft, indem man S~tze wle ,Sei I ~ ein nicht korrumpierter

Politiker,

d,-~ ..."

I

bildet. Gibt es genau eln ~ mit *, so wird man z w e c k ~ i g e r w e i s e man ~ aufflnden kaun. Die A/m~bme, ein ~ a u s w ~ l e n die Ableitbarkeit

annehmen,

da~

da~ man auch bei nicht eindeutig bestlmmtem

kann, ist etwas starker.

Formal z w e c k m ~ i g

ist es, sich Gber

von V~* gar keine Gedanken zu machen und anzunehmen

(zun~chst

nut Informell): 1. Zu Jeder Formel @ kann man elnen Term ~ *

bilden,

2. Ist V~i ein Satz, so ist ( ~ * I ~ ) *

ein Satz,

3. Sind ~ und Y ~quivalente Formeln,

so ist ~

9 ~% hei~t.das privilegierte

= ~Y.

~ mlt ~". 2. besagt, da~ ~ *

die durch ~ beschriebene

Eigenschaft hat, wenn es ein ~ mit * gibt. Ist V~@ kein Satz, so wei~ man im allgemeinen nicht vlel ~ber ~ *

(auger vielleicht,

sicher nicht die Eigenschaft

wenn ~ / ~ *

~ hat). Man kann dann mit v~* herzlich wenig anfangen,

abet das let nicht welter schlimm und bequemer, vonder

Ableltbarkeit

vomit*

als wenn man sich vor Bildung yon

Gberzeugen mu~.

Naoh $5 und der 2ten Ann~bme Gber v sind ( ~ * I ~ ) ~ alsoVmit

ein Satz ist, da~

undV~@

~quivalent.

wit k~nnen

9 definleren und werden das auch tun.

heist das Hilbertsymbol

und wurde yon Hilbert mlt r bezeichnet.

Verwechslungen mit dem heute in der Mengenlehre ,Element yon" auftreten,

Damit keine

allgemeln benutzten Zeichen ~ fur

hat man es dutch ~ ersetzt.

Wit f~hren 9 genauer ein: J.7

Die Zeichen einer formalen Theorie 9 sind

a.

Die Buchstaben,

b.

V, 9,

d.

spezifische

Zeichen (wie = und E in der Mengenlehre).

Aue den Zelchen bildet man Zelchenreihen wle in 1.1 mlt der zus~tzlichen Erlaubnls, da~ Zelchen dutch Linien verbunden werden dttrfen. Wit vereinbsren die Abkt~zungen ~T fttr des Hintereinanderschrelben

yon Zelchenreihen wie in 1.1 und: Ist t Zelchen-

-

10

relhe und ~ elm Buchstabe, so bezeichnet ~ wenn man ~ vor t schreibt,

jedes ~, dos in ~

verbindet und danach Jedes ~ dutch ~ ersetzt.

-

die Zeichenreihe, die man erh~lt, vorkommt, mit 9 dutch eine Linie (Beiepiel:

~xXY E Q = zx bezelchnet

~ y E Q = z ~ ). Die Form der Linien soil dabei keine Rolle spielen. f,--~ w ~ y E [] = z ~ u n d ~ ~ y E D = z [] k~nnen wir nicht unterscheiden. I'~ I Die spezifischen Zeichen zerfallen in formelbildende und termbildende Zeichen, kurz Formelbilder bzw. Termbilder. Jedes spezifische Zeichen hat ein Gewicht (eine positive gauze Zahl, die angibt, auf wieviel Terme es anzuwenden ist). Die Verwendung der ganzen Zahlen l ~ t

sich vermeiden.

= und E sind Formelbilder

vom Gewicht 2. AusdrGcke der formalen Theorie X sind Terme und Formeln, die nach folgenden Regeln gebildet werden: (TI)

Jeder Buchstabe ist eln Term,

(TF)

Ist u ein Formelbilder bzw. Termbilder vom Gewicht n und sind ~1,...,~n Terme, so ist o ~I "'" ~n eine Formel bzw. ein Term,

(FI)

Ist@

eine Formel, so ist ~ ~ eine Pormel,

(F2)

Sind *, Y Formeln, so ist v*Y elne Formel,

(T2)

Ist*

eine Formel und ~ elm Buchstabe,

so ist v~* ein Term.

Wir haben also TF' zu TF verallgemeinert und F3 dutch T2 ersetzt. Die spezifischen Zeichen der Mengenlehre sind = und E.

= und E sind Formelbilder

vom Gewicht 2. Wir Ubernehmen die B e z e i c h n u n g e n u n d

Abkltrzungen yon 1.1.

Axiome, Schemata und Beweise definiert man wie in 1.2, 1.3 fur die Mengenlehre (Man substituiert ,,formale Theorie" fur ,,Mengenlehre"). Ferner ~bernimmt man die Bezeichnung yon 1.5, d e f i n i e r t V ~ *

als Abkitrzung der mit ( ~ * I ~ ) * bezeichneten For-

mel und nennt eine ~ormale Theorie X, die mindestens das spezifische Zeichen = sowie die Axiomenschemata $I - $6 und ($7) ($7)

Sind ~, T Formeln, und ist ~ ein Buchstabe,

so ist ( ~ ( * * ~)) ~ ( ~ *

= ~Y)

ein Axiom hat, eine formale logische Theorie mit Gleichheitszeichen. Hat 9 weitere explizite Axiome, so hei~en die in diesen Axiomen vorkommenden Buohstaben die Konstanten der Theorie. Die Konstanten sind fixierte Objekte, f~r die gewisse Eigenschaften durch die Axiome vereinbart werden. Man beachte dabei, da~ nach Definition ~ in ~ @

und V ~

nicht vorkommt.

-

11

-

Hat man formale Theorlen 9 und ~', so heist ~' .mindeetene so stark" wie ~, 9 < ~', wenn alle Zeichen, Axiome und Schemata yon 9 auch Zeichen, Axiome und Schemata yon ~' sind. Jeder Satz yon 9 let dann ein Satz yon ~'. Ist au~erdem ~' ~ ~, so hei~en 9 und ~' gleichstark, 9 ~ ~'. 1.8

Die Mengenlehre let eine formale logieche Theorle mit Gleichheitezeichen

und dem weiteren Formelbilder E vom Gewicht 2. E~, wird ,~ aue $" oder ,~ let Element yon $" geleeen und ~ E $ geechrieben.

~ ~ t bezeichnet -~ (~ E t)

(~ nicht aue $, etc.). Entsprechend steht ~ ~ t (ungleich) ftlr ~ (m = t). Wlr definieren ~ c $ (~ let Teilmenge yon t; $ ist Obermenge yon ~): Sind ~, ~ Buchstaben, die in den ~ermen ~, $ nicht vorkommen, so slnd A~(~ E q) = ~ E t) und ~ ( ~

~ ~ = ~ ~ t) Abk~rzungen fllr dleselbe Yormel. Diese Pormel

kttrzen wlr auch ~ c t ab. Informeller: ~ c t i s t definiert.

:=, ~:,

dutch ~ c t :. ~ ( ~

E ~ = ~ E $)

:=, =: verwenden wit in folgendem Sinne:

Die auf der Seite yon .:" stehende .Zeichenreihe" ist Abkltrzun~ fBr die auf der anderen Selte etehende Formel bzw. den auf der anderen Selte etehenden Term. Dabei darf

dort auch bereits

eine

AbkUrzung e t e h e n .

n e u e Z e i c h e n vorkommen, d i e n i c h t W~r s e t z e n @ ~ t 1.~

: . w (@ c

In der neu eingef~h~ten Zeichenreihe diirfen

Z e i c h e n d e r f o r m a l e n T h e o r i e im S i n n e y o n 1 . 7 s i n d .

$).

Wit g e b e n d i e Axiome d e r M e n g e n l e h r e m i t k u r z e r D i s k u e e l o n a n :

Mengen, d i e d i e e e l b e n E l e m e n t e h a b e n , s i n d g l e i c h : (MAI)

A,X A T

(X c y ^ y c X - Z = Y) ist eln Axiom.

Da~ Mengen, die gleich sind, dieselben Elememte haben, ist eln Satz, den man ohne MAI beweisem kaun. Die drei folgenden Axiome und zwei Schemata dienen zur Konstruktion yon Mengen: Zu Je zwei ObJekten gibt es die Menge, die gerade diese enth~It: (MA2) Mist

A a A b V M A x (x E M ~ x = a v x = b) let eln Axlom. nach MAt eindeutig beetimmt und wird mit (a,b] bezeichnet. Um die Abkilrzung

weniger suggestiv abet korrekt einzufRhren, m~Issen wir sagen: Sind a, ~ Terme und ~, ~ verschiedene Buchstaben, die in ~, ~ nicht vorkommen, so wird der dutch ~

~(~

E ~*

(~ = a v ~ = ~)) bezeichnete Term, der unabh~ngig yon der Wahl yon

und ~ ist 5), mit [~,~3 abgek~rzt.

~ und ~ kommen in dem dutch [~,~3 abgekUrzten

Term nicht vor, was men sich wegen der Erstreckung yon v, V, A Liber {a,~} merke.

-

12

-

Zu jeder Menge gibt es die Potenzmenge (Menge aller Teilmengen): (MA3)

AM Vp A A (A E P = A = M) ist ein Axiom.

Die Elemente yon P sind die Teilmengen yon M. FUr P schreiben wit ~M (Pctemzme~ge von M). Genauer: Ist ~ ein Term und sind ~, n verschiedene Buchstaben, die in nicht vorkommem, so ist aer aurch ~

^~(~ r ~ = ~ = ~) bezeichnete Term unabhRuglg

vo~ der Wahl yon ~ und ~ 5). Wir kt~rzen ~

A~(~ E ~ = ~ ~ ~) =: ~ ~ ab.

Mengen kann man vereinigem. Da man vermuten wird, da~ man nicht die .Vereinlgung aller Mengen" bilden kann ( I. 1 1, I. 17), verlangem wit die Existenz tier Vereimigung nut, wenm eine Menge existiert, deren Elemente die zu vereinlgenden Mengen sind: (MA4)

~M VN Ax (x E N * Vy (x E y ^ y E M)) ist ein Axiom. Start ~ genGgt ~,

wenn man das unten folgende Schema $8 benutzt. N wlrd mit U M, oft mit

U y bezeichnet. Gemauer: ,Ist ~ ein Term und sind yEM ~, O, X paarweise verschiedene Buchstaben, die in ~ nicht vorkommen, so ist der mit ~X ~ ( ~

E X * ~/~ (~ E ~ ^ n E ~)) bezeichnete Term unabhRugig von ~, ~, X 5) umd wlrd

mit U ~ abgekltrzt." 1.10

VM ~X (x E M ~ ~) ist nicht ftLr jedes * ein Satz: x ~ x fur * liefert die

bekannte Russelsche Antinomie (1.1 1, 1.17. I ). Wir hoffen (') Jedoch, dab die hier beschriebene Mengenlehre widerspruchsfrei Ist. sei eine Formel, ~, ~, 0' seien Buchstaben, wobei O, ~' in ~ nicht vorkommen und yon ~ verschieden sind. ~/~ ~ ( ~

E ~ * ~) und ~/ , ~ ( ~

E ~' - ~) sind Abk~rzungen f~r dieselbe Pormel, in der

und ~ bzw. 0' nicht vorkonnnen. ~/~ ~ ( ~

E ~ ~ ~) ist zu lesen .~ sammelt (die) ~"

und wird Coll~ * abge~Irzt (relation collectivlsante). Ist Coll~ * ein Satz, so kilrzen wit ~

/~(~ E ~ ~ ~) =: [~I~] ab (s.c. 0, ~' etc.).

[~I*} heiSt,die Menge der ~ mit *"; ~ kommt in dem mit [~I*] bezeichneten Term nicht vor. Sind ~ 1 " ' ' ' ~ n

Terme, in denen ~ nicht vorkommt, und ist ~ die Yormel

= ~I v ~ = ~2 v ... v ~ = ~n' so schrelbt man, da aus den Axiomen folgt, dab die ~ s~mmelt,

[~I " ' " '~n ] fttr [~I ~} in ~bereinstimmung mit der nach MA2 eingefi~hr-

ten Bezeichnung. H~ufiger Sprachmi~brauch (abus de langage) ist ,[~I*} existiert" fur ,~olI~*".

-

13

-

Die Axiome MA2 - MA4 kann man als

~A~:

Aa~

COllx(X = a v x

=~),

MA3:

AM C~

~A4:

/~ C o n x ( X r ~ ^ ~ ~ M))

c M) und

formulieren. 1.11

Wie eingangs

1.10 bemerkt,

k,nn in einer widerspruchsfreien

nlcht Jede Formel s,mmeln. Man erwartet benen Mengen aussondern. ($8)

Mengenlehre

jedoch, da~ Eigenschaften Elemente aus gege-

Wit vereinbaren das Schema:

Ist ~ eine Formel, und sind ~, ~ verschiedene

Buchstaben,

so ist

Coll~(~ E M ^ t) ein Axiom. Zu jeder Formel der Form ~ E ~ ^ * existiert also ,die Menge der ~ aus ~, auf die zutrifft":

[~I~ E ~ ^ ~].

Die AnnRhme der Existenz der .Menge aller Mengen" ftthrt mit $8 z.B. zu der Russelschen Antlnomie. verzichtet man auf die ,Menge aller Mengen"

oder der ,Vereinigung aller Mengen"

Da man auf $8 nicht verzichten will,

(vgl. auch 1.17.1).

Ist A elne Menge, so erwartet man, elne Menge zu erhalten,

wenn man Jedes Element

yon A dutch ,etwas anderes" ersetzt. Die Ersetzungsvorschrlft eine Formel beschrieben: mit der Eigenschaft V~

A~(i

t sei eine Formel,

Existiert genau ein

~, so heist Q f!2nktionell in ~. Genau kttrzen wlr also die dutch

~ ~ = ~)

definierte Formel mit Fun~Q

Unter einer Ersetzungsvorschrift stehen,

~ ein Buchstabe.

wird natttrllch dutch

in der vielleicht

(~ ist f - ~ t i o n e l l

in ~) ab.

f~r die Elemente von ~ wlrd man eine Formel ver-

~ und ~ (~ als Variable f~r die Elemente von ~) vorkommen

und die fur jedes feste ~ funktionell

in ~ ist.

Wir vereinbaren das Schema ($9)

Ist i eine Formel und sind ~, ~, ~ paarweise verschiedene

Man beaohte,

da B k dutch das Einsetzen des ~

nMmlich verschiedenen mit ~ ( ~ k

~ dasselbe

Buchstaben,

so ist

fttr die ~ ,klelner 9 werden k - ~ ,

wenn

~ zugeordnet wird.

E A = Fun~%) erscheint zun~chst ale Verallgemeinerung

.) ?. $9 besagt, da~ eine Menge existiert,

einer Abbildung

die man an Stelle yon ? setzen kann

(Natttrlich mu~ man noch einen Graphen konstruieren

(1.15.1, Nachweis von $9)).

-

1.12

14

-

Bourbaki verwendet zur Mengenlehre einen welteren Termbilder yon Gewicht 2,

tier aus zwel Termen ~, $ den ilbllcherwelse (~,$) abgekiirzten Term ,geordmetes Paar" bildet. Da man yon geordneten Paaren =

(x,,y,)

-

(x

= =,

^ y

= y,))

erwartet, ist 1.12.1 eln Axiom (= genGgt). Die Einfthhrung yon geordneten Paaren k~nn mlt Hilfe der anderen Zeichen und Abkllrzungen z.B. durch

(1.12.2)

(~,$)

:= { { m } , { ~ , $ } }

erfolgen.

1.12.1 i s t dann beweisbar (Halmos [18; 6 p. 23]). Die Pasmbildung mit

einem Zelchen gibt kelne Vorstellung yon den Elementen yon (~,$). Andererseits interessleren die Elemente nicht und bei I. 12.2 wird der Akzent auf eine Form yon (~,~) gesetzt, die vSllig uninteressant ist. Einziges Interesse besteht fur die Formel 1.12.1. Wit nehmen also geordnete Paare (~,$) als - wie auch inner - gegeben an, so da~ 1.12.1 ein Satz ist.

1.13

~ b e z e i c h n e t die , l e e r e Menge", d eren E x i s t e n z bewelsbar i s t

(Bourbakf

[3; 1 . 7 ] , Godement [16, 1 . 4 ] ) . Ax(X ~ ~) t e t e i n Satz und ~ d er d u t c h d fes e Formel (elndeutig: MAt) charakterlslerte Term (~ bezelchnet '~ -I -I -~ s 9 -~ -I E r 1~ ~ ). !

Es gilt

i

y).

Naoh MA2 kann man mit ~ der Relhe naeh bilden {~] = [~, r {{{~]}], .....

Jede Menge, die bel dieser Iteration y

allen vorhergehenden und ~ verschieden: ment hat.

[{~)] ~ ~ entsprechend,

{[r

= [{r

{~}},

) [y] auftritt, iet yon

{~] ~ ~, da ~ kein, abet [~] genau ein Ele-

[{~]] ~ {~}, da belde genau ein Element haben,

die Elemente abet verschleden sind ({~] ~ ~ wie oben gezelgt). Die ~, [~],

{[~]], ... repr~sentieren (sind) die Zahlen 0, I, 2, .. .. . Oft beginnt man nit ~ und iterlert ~

~ ~ U [~}, wobei man ~, {~3, {~,[~]],

[@, [@], {@, [@} ] ], ... erh~lt. In dlesem Falle ist die Anzahl der Elemente yen die dutch ~ repr~sentlerte Zahl (im ersten Falle die Z-hi der Klsmmern). Als Unendllchkeltsaxiom vereinbaren wit

(MAS)

VM(~ E M ^ / ~

(y E M = [y} E M)) Ist ein Axiom.

Die Menge [~, {~}, {{~]], ...} = {0, I, 2, .... ] = : ~ ,

deren Existenz man Jetzt

beweisen kann (Sprachmi~brauch), heist .Menge der natt~rllchen Zahlen". D~m~t sind die Gbllchen Axiome der Mengenlehre abgeschlossen. Das oft verlangte Auswahlaxiom (Zermelo) ist bel Anwesenheit yon T entbehrlich (Bourbaki [5, 5.4]).

-

1.14

Da wir Grundtagen nut referleren,

bekannt hatten,

-

soweit wir sle brauchen und fttr wenlger

gehen wir nur mit Bemerkungen

Zu Mengen X, Y existiert Abbitdungen

15

(Graphen,

[(x,y)

auf die weitere Mengentehre

ein:

I x E X und y E Y) =: X • Y, das kartesische

Korrespondenzen)

Produkt.

definiert man wie in 0.5.1, 0.5.2, wobei

Tripet benutzt werden, die man z. B. ats ((a,b),c) Iteration ergibt n - Tupel. Die Korrespondenzen

=: (a,b,c) definieren kann.

(Abbitdungen)

einer Menge X in eine

Menge Y bilden wieder eine Menge. Die Menge der Abbltdungen yon X in Y bezeichnet man h~ufig mit yX. Graphen kann man scheinbar verattgemeinern, vertangt,

~1.14.1)

indem man nicht yon vornherein

F c X • Y

sondern nut

~(Z

E F = Y x Vy Z = ( x , y ) ) .

Man kaun dA~n a b e r d i e E x i s t e n z Y := {Y I Vx((X,y)

yon X := Ix I V y ( ( X , y )

E F)] beweisen,

E F ) ] und

und es ist F c X x Y.

X bzw. Y hei~en erste bzw. zweite Projektion yon F, X =: PriF, Y =: Pr2F. Eine Abbitdung f = (X, Y, F) bezeichnet X indizierte

man h~ufig ats eine ,mit den Etementen von

Famitie yon Etementen aus Y".

Legt man keinen Wert auf Y, so nennt man einfach F eine ,,(Mengen-)Familie mit Indexmenge X", da man X = PriF aus F besti~nen kann, nicht

jedoch Y. Ist X = (1,...,n),

verelnbart man fGr 1,...,n die nat~rtiche Reihenfotge

(ats Zahten:

so

I E 2 E 3 E .... E n

(1.13)) und kttrzt die Famitie F durch Angabe der Birder der 1,...,n in der entsprechenden Reihenfotge

ats (Xl,...,x n) ab. Entsprechend

steht oft (Yx I x E X) for nicht

endtiches X, wobei Yx = fx mit f = (X, Y, F) ist. Ist (Yx I x E X) Abk~rzung fur f = (X, Y, F), so girt

[Yx I x E X) = [fx I x E X) = [y I Vx(X,Y)

E F)~ = Pr2F. Statt

U(Y x I x E X3 schreibt man oft

U Yx" Man vermeide U(y x I x E X), da diese BezeichxEX hung mit unserer Einf~hhrung yon U nach HA4 nicht vertr~gtich ist. Fttr die Indexmenge w~hlt man oft die Bezeichnung 1.15

I odor J.

Die Einftthrung der Menge U in den Beispieten

wegen der mlt der ,Menge after Mengen" verbundenen so ist es nUtztlch,

0.5.3 und in 0.7 erfotgte

Schwlerigkeiten.

Hat man Meu,

wenn man bei Konstruktion neuer Mengen aus den Objekten yon Meu,

atso den Etementen yon U, wieder Objekte von Me U erh~tt. Schemata $8 - 9 beschreiben (Terme vEQ mit ( ~ I ~ ) Q ) .

Die Axiome MA2 - 5 und

die zut~ssigen Konstruktionen von Mengen aus Mengen

Etwas sch~rfer und anschautlcher

Axiome und Schemata der Mengentehre

vertangen wir, dap die

fttr die Etemente von U gotten soften.

-

16

-

Das f~krt zu Forderungen an U und zu einer starken Mengenlehre,

in der Mengen

(wie U) existieren, die diesen Forderungen gen~gen. WiT vertrauen auf die Plausibilit~t der Forderungen an U und pr~zisieren oder bewelsen die Aussage ,Die Axiome und Schemata der Mengenlehre gelten fur die Elemente yon U" nicht, da wit nut yon einzelnen Eigenschaften yon U Gebrauch machen werden 6). 1.15.1

Mengen A, B sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben.

FUr A, B E U will man sich auf den Vergleich der Elemente aus U b e s c h r ~ e n .

Das

ist mSglich, wenn man (Unlv I)

AA(A E U = A c U)

f~r U verlangt. MA2 - 5 und $8 - 9 sind Existenzaussagen Gber Mengen. Die Mengen, deren Existenz behauptet wird, sollen Elemente yon U sein, sofern die zur Konstruktion benutzten Mengen aus U sind: (Univ 2)

A A ~B(A E U ^ B E U = {A,B] E U)

(~niv ~)

~(M

(Univ 4)

h T Ai(f E U I A I E U = U {fi I i E I] E U)

(Univ

5)

m

MA2

3 vergleiche man mlt Univ 2 - 3. MA4: Man setze I E U voraus. Ist i E I,

-

E

~ U ~ M

~ U)

U

so i E U (Univ 1), daher 11 E U I u n d MAS:~

U I = U [Iii I i E I ]

hat die in MA5 geforderte Eigenschaft ~ E IN und ~ ( y

E U (Univ 4). E~

= [y] E ~ ) .

$8: Stets ist [~ I ~ E M ^ ~] c M. Da ~ c ~ mit ~ E ~ M ~quivalent ist, gilt

4

AM(M E U ^ ~ c M = ~ E U) mit Univ 3 und Univ I.

$9: S e i i

E U. Ersetzt man die Elemente yon A dutch irgendwelche Elemente von U,

so erh~lt man elne Menge ($9). Diese Menge soll in U liegen: * sei fur jedes E ~ funktionell in ~, und es gelte ~ E U ^ ~ ( ~

auch {~] = {~,~] ~ U ist, ist (~, U, {(~,{~])

{(~,{~])

I n ~ ~ ^ ~] c ~

U [[~] I V

•

(~ s k ^ *)] E U (Umiv 4). {~

E A ~ m~i E U). Da mit ~ E U

J ~ E ~ ^ ~}) ~ U ~. D.~- ist

[~ I v n (~ ~ ~ ^ ~)] =

j~

(~ s k ^ ~)] ist die Menge yon $9.

Die Bemerkumgen zu MA4 und $9 geben einen Hi~weis auf eine m~gllche Zus-mmenfassung yon MA4 und $9. Man vergleiche mlt $8 yon Bourbaki [3, 1.6], wo unser MA4, $8 und $9 zus-mmengefa~t slnd. 1.16

U mit Univ 1 - 5 heist Universum (Sonnet [34], Chevalley-Gabriel

[9],

Gabriel [15], m,n vergleiche auch Tarski [55, w 2]). An den zitierten Stellen wird nut Univ I - 4 verlangt. Ohne Univ 5 k-nn man zeigen, da~ fur Jedes Universum U gilt

-

U # ~ =~

17

-

c U, da~ also U unendlich ist: Ist U # ~, so existiert x E U. Da

c x ist, ist ~ E U (~ E ~x E U (Univ 3) (Univ I)) und ~ ]

= ~,~

E U

(Univ 2). Iteration. Da wit erwarten, da~ U ein Modell der vollen Mengenlehre ist im Sinne der umpr~zisen Bemerkungen vor 1.15.1, haben wir die Definition versc~rft. Zur Existenz yon Universen vereinbaren wir (MA6) A A V U (A E U ^ U ist Universum)

ist ein Axiom.

Die starke Mengenlehre ist die formale logische Theorie mit Gleichheitsszeichen, dem weiteren Formelbilder E yon Gewicht 2, den Axiomen MAt - 6 und Schemata SB - 9. 1.17

l~r Jedes Universum U ist U ~ U, jedoch U die Vereinigung seiner Elemente.

Jedes Universum enth~lt ~,~N, ~

(gauze Zahlen), ~ (rationale Zahlen), ~

(reelle

Zahlen), ~ (komplexe Zahlen) als Elemente. Satz 1.17.1.

U Universum ~ U ~ U.

Beweis: Sei W := ~x J x E U ^ x ~ x] (SB). Die Formeln x E W und x E U ^ x ~ x sind ~quivalent.

Ist U E U, so W E U wegen W c U. Damit gelangt man mit ,,Ist

W E W oder ist W ~ W?" zur Russelschen Antinomie W E W * W E U ^ W ~ W. Satz 1.17.2.

U Universum = U = UU.

Beweis: UU = ~x ] V y

(x E y ^ y E U)~.

x E ~x,x~ E U (Univ 2) ist x E UU. Man z e i g e ~ , 1.1B

~,~,

I. U c U U: Sei x E U. Wegen

2. UU c U: Aus x E y E U folgt x E U (Univ I).

~ E U (Sonner C34, 3 Prop. 6]).

Wir verstehen die Definition der Beispielkategorien Me = Meu,

Mo = Mo U etc. in 0.5.3 in Zukunft so, da~ U ein Universum ist, das wir ein fur alle Mal fest w~hlen. Wir sprechen damn v o n d e r Me U. Z.B. in 4.1.1

Kategorie der Mengen Me und meinen

(und an anderen Stellen) wlrd ben~tigt, da~ U ein Universum ist.

U k~n- nach MA6 ,beliebig gro~" gew~hlt werden. Eine Kategorie heist vom Typ U, wemn (U ein Umiversum ist und)

Mor~ c U und

l~I c U sind. Man Gberlege, da~ Me U etc. in 0.5.3 s~mtllch vom Typ U sind. Die in 0.7 eingefGhrte Kategorie ~ m U =: Fun hat als ObJekte alle Kategorien vom Typ U und als Morphismen alle Fum~toren zwischen Kategorien vom Typ U mit Nacheinanderausftthren als Komposition. An Hand von Sonner [34, 5 . 2 1 G b e r l e g e

man, da~

,~ ist Kategorie vom Typ U" eine in 9 s~mmelnde Formel ist (abkttrzt) etc.. Fun U wird im allgemeinen nicht vom Typ U sein. Da U fest gew~hlt wird und weiterhin nicht mehr explizit vorkommt, behalten wit uns vor, den Buchstaben U weiterhin als Variable f~r F1m~toren etc. zu verwenden.

-

2.

18

-

Katefioriem, Dualit~t, Fun~toren, Nat~rlichkeit

(M, A) sei eine Gruppe,

also

M eine Menge und A eine Abbildumg M

M

x

)

M,

die den Gruppenaxiomen (z.B. Godement [16, 7.1]) gen~gt. Man beweist z. B. Satz I: .FUr (a,b) E M • M existiert genau elm x E M mit xa = b" umd Satz 2: ,,FUr (a,b) E M x M existiert genau ein x E M mit ax = b" mit der ~blichen Abkttrzung A(a,x) =: a A x =: ax etc.. Ist Satz I bewiesen, so bemerkt man, Satz 2 gehe analog, symmetrisch oder .genauso". Das bier benutzte ,Dualit~tsprinzip" f~hrt in seiner Obertragung auf Kategorien zu wesentlicher Arbeitsersparnis.

Bei komplizierten Aussagen ~ber mehrere Kategoriem umd

Funktoren verliert man jedoch leicht die 8bersicht, wenn m a m n i c h t

das zugrumde-

liegende Dualit~tsprinzip genau verstanden hat. Da die Theorie im ihrer Entwicklung immer weitere Abkt~rzungen einftLhrt, mu~ man yon vornherein au~erdem eime Liste der zueimamder dualen Abkltrzungen anlegen. Wit beschreiben den Obergaug yon Satz I zu Satz 2 genauer: Man bezeichmet pr~ziser ax mit a A x und bewelst Satz I. Daun definiert man v : M • M

) M dutch

a v b := b A a und zeigt ,,(M, v) ist eine Gruppe". Damn gilt Satz I fur (M, v) statt (M, A). Nach Definitiom yon v ist das gerade Satz 2 fur (M, A). 2.1

Wir definieren elne Kategorie zun~chst im Simme von 0.4 als Paar (M,K)

mit Morphismenmenge M und Komposition K (Graph der Abbilaung ~ mit M x M ~ T von 0.1). Es ist wie in 0.1 (umd z.B. bei Gruppen) u m z w e c k m ~ I g ,

x~ M

mit K zu arbeiten.

Wir verwenden

(2.1.1) -

gAf := T h ( ( f , g , h ) E K)

wie frtther .g nach f" - und vermeiden K soweit ale m~glich in der Formullerung

der Axiome. Nach Angabe der Axiome wird sich

(2.1.2)

gbf E M-

(f,g)

e PriK

ergeben (PrIK = T yon 0.1). Wit sehen daher gAf E M als Ersatz ft~r ,(f,g) s T" von 0.1 oder den Sprachmi~brauch ,gf ist definiert" an. Im Gegensatz zu g-f, gf yon 0.1 ist gAf immer ein Term. Wit vereinbarem f~r sparer den Gebrauch der Abkllrzung gof oder gf ftir gAf, wenn gAf E M i s t .

Start ,gAf"

sollten wir ,,Sind e, $ Terme ..." sagen. Wir verzichtem auf diese Genauigkeit. Ist e ein Term, so steht .e ist Einheit (yen (M,K))" f~r die Formel

(A.f (fAe e M = fAe = f ) )

^Af

(eAr e M = ear = f ) .

-

42.1.3)

19

-

Die ,Theorie der Kategorien (M,K)" ist die formale Theorie ~, die nicht

schw~cher ist als die (starke) Mengenlehre 7) und 2.1.4 - 2.1.7 als zus~tzliche Axiome hat : (2.1.4. Assoz.)

Af Ag A h hA(gAf) = (hAg)Af ist ein Axiom,

wonach wir hA(gAf) = (hAg)Af =: hAgAf schreiben. 42.1.5. Kompos.)

~T ~

Ah (hAg E M ^ gAf E M ~ hAgAf E M) ist sin Axiom.

(2.1.6. Einheit)

Af ~f E M = ((Ve(fAs ~ M ^ e ist Einheit))

^ Ve(eAf E M und e ist

Einheit))~ ist ein Axiom. Die Elemente yon M hei~en Morphismen von (M,K). Voraussetzungen (f,g,h) E K oder f, g, h, e E M etc. slnd auger den gemachten %iberfliissig: Sei z. B. gAf E M. Dann existier% eine Einheit e m i t

(gAf)Ae s M. Damn ist fAe E M (2.1.5)

und fAe = f, da e Einheit ist, also ist f E M. Ferner existiert eine Einheit e' mit e'A(gaf) E M, also e'Ag E M, e'Ag = g, also g E M. Der letzte Satz ist ein Beispiel ftLr die unten einzuf~h~ende Dualit~t. Um K als Graph einer Abbildung M x M o T = PriK

) M auffassen zu kSnnen, verein-

baren wit (2.1.7) K = [((f,g),gAf)

I gAf E M) ist ein Axiom, wobei die rechts stehende

Menge wegen gAf s M = ((f,g),gAf) E (M • M) x M existiert. (f,g,h)

(Wir schreiben weiterhin

:= ((f,g),h)). Mit 2.1.7 ist (PriK , M, K) =: ~ eime Abbildung und

(f,g) E PriK ~ gAf E M ( 2 . 1 ~ .

K erscheint als Hilfskonstante ftir die Dualisierung

(2.2, 2.4), und 2.1.7 spielt keine Rolle in der Theorie. Statt mit (M,K) kann man auch mit M und einem spezifischen Termbilder A arbeiten. (2.1.8) WLtuscht man Objekte, so f~hrt man mit (2.1. 9 . Objekte) ,,~ ist eine biJektive Abbildung yon E := [eie E M umd e ist Einheit] auf ~" ist elm Axiom zwei neue Konstanten ~ und ~ ein. ~ ist die Menge der Objekte. Quelle und Ziel eines Morphismus f E M erh~lt man als (2.1.10) Qf := ~ ~e(fAe E M und e E E) und (2.1.11) Zf := ~ ~e(eAf E M und e E E), wobei z.B. ,eAf und e E E " fnn~tionell in e ist: Zu jedem f E M existiert (2.1.6) eine Einheit 9 mit eaf E M, woraus e E M, also 9 E E folgt. Sei eAf E M, 9 Einheit, e'Af E M und e' Einheit. Es ist ear = f, so dab e'A(eAf) = e'Af E M, also e'Ae E M und daher e' = e'Ae = 9 ist. Ebensogut k--n man ~ und E miteinander identifizieren und die Einheiten suggestiv mlt A,

B,

C

... oder X, Y, Z ... bezeichnen.

-

20

-

Die Formel e E E wird meist e = I abgekILrzt. Mit dieeem Mi~brauch mu~ man wegen $6 vorslchtlg seln, da z.B. ,,e = I ^ e' = I = e = e' " keineswegs richtlg ist. Schlle~llch k ~

man Q, Z, ~ direkt zus~mmen dutch ein A x i o m elnftthren oder die

Theorle wie in 0.1 aufbauen. Die Axlome von 0.1 sind mit 2.1.4 - 2.1.7, 2.1.9 2.1.11 und ~ = (PrlK , M, K), T = PriK beweisbar. M a n beachte, da~ KD3 und KD4 zu den Axlomen geh~ren. Umgekehrt lassen sich 2.1.4 - 2.1.7, 2.1.9 - 2.1.11 aus den Axlomen von 0.1 bewelsen, wenn man K ale Graph von ~ definlert und die Abbildung ~ yon 2.1.9 dadurch erkl~rt, dab Jeder Einhelt e das Objekt Qe = Ze zugeordnet wird. Eine zus~tzllche Voraussetzung mu~ allerdlngs noch gemacht werden, zu deren Erkl~rung wlr etwas ausholen m~ssen: Selen ~, $ Formeln und ~, ~ Buchstaben. so folgt aus 1.7 ($7), dab T ~ keln Ding ~ mit der Eigenschaft vonder uneere

Sind A~ ~

und ~

~$

= ~ ~ ist. Intuitiv betrachtet, hei~t alas: Gibt es ~(~), so bezelchnet

~@

eln Ding, alas unabh~nglg

Wahl von ~ und ~ ist. Die zus~tzllche Voraussetzung, jetzlgen Axieme aus denen yon 0.1 herzulelten,

Formel iet, fur die # E ~

S~tze tier Mengenlehre,

ist ~

die wlr brauchen, um ~ M, wobel ~ irgendeine

ein Satz let (z. B. k~n~ man ~ ~ ~ ~ttr @ nehmen). Diese

Voraussetzung ist fttr die Anwendungen offenbar unsch~dlich. 2.2

~ sel welter die formale Thecrle der Kategorien

(M,K). Das Duallt~tsprlnzip

in selner einfachsten Form ist das Ableltbarkeltskriterlum. Metasatz 2.2.1.

Ist ~ ein Satz von a und *~ die Formel, die man aus ~ erh~lt, wenn

b ~ jedem A in ~ die beiden Terme,

,auf die A wirkt", vertauscht werden, so ist *~

eln Satz von ~. Dabel wlrd angenommen,

da~ K in ~ nlcht erschelnt.

*~ heist die zu ~ duale Formel.

Sonst ersetzt man es mlt 2.1.7.

Offenbar ist **~ wleder ~.

Der Satz ist plausibel, gehen doch die Axiome 2.1.4 - 2.1.7 bei ~A~

) ~A~ in zu den

Axiomen ~quivalente S~tze ~ber. Das ist aber keln Beweis. M a n mu~ die Vertr~glichkeit der Dualisierung mit allen Axiomen und Schemata yon ~, auch denen der Mengenlehre, nachweisen. Wit gehen allgemeiner vor: ~, X' seien formale Theorien, sei 9 9 X' und habe X' nicht mehr Zeichen als ~. ~1,...,~n seien verschiedene Buchstaben,

die nicht Konstante

yon ~, mSglicherweise aber von ~', sind. ~1,...,~n seien Terme von ~' dieselben Terme).

Ist ~ eine Zeichenreihe,

so bezeichne

diesem Zusammenhang kurz ** - die Zeichenreihe, zeitig die ~i dutch die ~i ersetzt. Das l ~ t

(~1,...,~n

(~ und ~' haben

J ~1,...,~n)

~ - in

die man erh~lt, wenn man in ~ gleich-

slch auf 1.5 zurGckf~hren,

buchstaben einfLthrt: ~1,...,~n seien paarweise verschiedene Buchstaben,

indemman Hilfsdie weder in

-

21

-

i noch in den @i vorkommen thud yon den ~j und den Konstanten yon ~ verschleden sind. *@ bezeichnet die frtther mit (@I J O1) "'" (@n I ~n ) (01 I ~1 ) --- (~n I ~n )@ abgekltrzte Zeichenreihe. Das Ergebnis h~ngt yon der Wahl der ~I' .... '~n innerhalb der gemachten Einschr~ikungen nicht ab. ~I' .... '@m seien die expliziten Axiome yon ~', die nicht Axiome yon 9 sind. *~' sei die Theorie, die mit ~' in Zeichen, Axiome v o n 9 statt der expliziten Axiome @i,...,~ Metasatz 2.2.2.

und Schemata Ubereinstimmt, abet

die *~1 ''''' *~ m hat.

Ist @ ein Satz von ~', so ist *@ ein Satz von *~'.

Wir beweisen den Satz zusammen mit Metasat~ 2.2.3.

(Dualit~tsprinzip): Sind *@I ''''' *~ m' ~ S~t~e yon ~', so ist *~ ein

Satz von ~'. Beweis:

(Bourbaki: [2, 2.3]): Ist die Folge ?1,...,Yk yon Formeln yon ~' ein Beweis

fur * in ~', so betrachte man die Folge *Y1,...,*u

yon Formeln yon ~' bzw. *~'.

Unter diesen Formeln kommt ** vor, und filr die einzelnen *Yi gilt: Ist T i ein explizites Axiom yon ~, so ist *?i mit ?i identisch, da die ~1,...,~n yon den Konstanten von 9

verschieden sind. Ist u

eines der @j (explizites Axiom yon ~' und nicht yon ~),

so ist *?i ein Axiom yon *~' und kann daher im Fall 2.2.2 stehenbleiben. Im Fall 2.2.3 ist *T i ein Satz yon ~', und man ersetze es dutch einen Beweis. Erh~lt man ?i dutch Anwendung eines Schemas yon ~', so *?i dutch Anwendung desselben Schemas, das auch Schema von *~' ist, wie man mit der Definition yon *?i' 1.2 und Zerlegung von (~1,.-.,~n I ~1,..-,~n) in eine endliche Folge yon Einzeleinsetzungen schlie~t. Ist Ti Nachfolger yon Yj und Tj - Yi' so *u

Nachfolger yon *Tj und *Tj = *Ti' da die letzte

Formel mit *(Yj ~ Ti ) identisch ist. Damit sind die MSglichkeiten fur *Ti erschSpft. 2.2.4.

(@1,...,~n I ~1,.-.,~n) heist Dualit~t yon ~' Gber ~, wenu

(~l,...,~n I ~1,-..,~n)~j = ~j 8) fGr jedes j = 1,...,n ein Satz v o n 9

ist. ~

jede

Formel @ yon ~' ist dann **~ * * und fur jeden Term ~ ist **~ = ~ ein Satz von ~. **

(*~) heist die (der) zu * (@) duale Formel (Term). * (~) heist selbstdual, wenn

*@ ~ *

(*~ = ~) ein Satz v o n 9

ist (In ~' ist *@ * @ nach 2.2.3 bei selbstdualen

Axiomen immer ein Satz). Als zu ~ dual (im weiteren Sinne) bezeichnen wit jedes mit ? * *~ (in ~). 2.2. 5.

Im*Standardfall der Anwendung sind die Axiome %1,...,~m zussmmen (vielleicht

nicht einzeln) selbstdual: Corollar 2.2.6.

~I ^'''^ *m * *'I ^'''^**m" In diesem Falle gilt

* ist ein Satz von ~', genau wenn *@.

-

Im Standardfall unserer Anwendung I s t 9 elmer Kategorie,

22

-

die (starke) Mengenlehre

und ~' (Theorie

mehrerer Kategorien umd Funktoren) hat keine weiteren Schemata

auger denen von ~, der Axiome ~I '""" '~m" Da die Mengenlehre keine Konstamten hat, unterliegen die ~!."'" '~n keinen Einschr~hukungen auger ihrer paarweieen Verschiedenheit. Man benmtzt daum h~ufig den Satz: / /

Metasatz 2.2.7.,' * ist ein Satz yon ~', genau wenn 'I ^''" ^ Jm ~ * elm Satz yon 9 ist. Beweis: Bourbaki

t2; 3.3 C.14~, die andere Richtumg ist trivial.

In dlesem Sinne fassen wlr S~tze Gber Kategorien auch als S~tze ,Ist ~ eine Kategorie, so .... " der Mengenlehre Das Duallt~tsprinzip Metasatz

2.2.8.

auf.

lautet d~nn:

(Dualit~tsprinzip):

Sind ~ ~ ? und * ~ ** S~tze der Mengenlehre

(yon ~), so ist * = V* ein Satz der Mengenlehre

(von ~).

Hier steht ~ fur die Axiome 'I ^'''^ tm" 2.3

Beispiele :

2.3.1 Die Theorie einer teilwelse geordmeten formale Theorie,

die mindestens

(t-geordueten)

Menge

(M,O) ist eine

so stark ist wie die Mengenlehre umd nit der Be-

zeickuung ,f 9 g :. (f,g) E ~ " die Axiome

(oi)

~,g

f 9 ~=

f ~Mund

(o2)

~,g

~ = {(f,g)

(to1)

/~f 9

(to2)

/~,g

(to3)

/~,g,h

g ~ M,

I f 9 g:},

(f 9 g 9 f =f

J

i.e.

c

M

X

M

=r

( f 9 g 9 h = f 9 h) hat.

Die ~bllche und b e k ~ t e

Duallt~t ist ({(f,g)

Die Axiome simd selbstdual.

I (g,f) E

(~} I

~), also f 9 g l

) g 9 f.

Wit machen yon diesem Beispiel in ~39] Gebrauch.

2.3.2 Definition yon topologischen R~umen mit offenen bzw. abgeschlossenen Mengen. Vertauschung operators)

der Rolle der offenen umd abgeschlossenen Mengen (des HGllen- und Kern-

bei gleichzeitlger

des betrachteten

Tr~gers.

0rdnungsdualisierung

nach 2.3.1 in der Potenzmenge

(Lehrb~cher der Topologie,

z.B. Bourbaki

~5]).

2.3.3 Inzidenzstrukturen

(ProJektive Ebenen).

2.3.4. Invarianzaussagen

tier theoretischen Physik bei geeigneter Formalisierung

der Theorie.

-

2.4

23

-

Beispiele Fortsetzung (Kategorien): ,(M,K) ist eine Kategorie" steht

fGr die Formel ,2.1.4 A 2.1.5 ^ 2.1.6 A 2.1.7" der Mengenlehre.

Im Sinne von 0.1

sprechen wir auch yon der Kategorie (g, M, Q, Z, ~) und kitrzen (M,K) oder (if, M, Q, Z, ~) mit ~, ~, etc. ab. ({(g,f,h)

I (f,g,h) E K~ [ K) ist eine Duall-

t~t der Mengenlehre iiber sich selbst oder der Theorie mit zusatzlichem Axiom ,(M,K) ist elne Kategorie" ~ber der Mengenlehre. Wit bezeichnen wieder ({(g,f,h)

I (f,g,h) E K] I K) ~ als *~. Naoh Definition ist *K = ~(g,f,h) I

(f,g,h) E KS und (f,g,h) E K ~quivalent zu (g,f,h) E *K, also (f,g,h) E K (g,f,h) E *K ein Satz. $7 (1.7) liefert (*(gAf)) -- ~h((f,g,h) E *K) = 9h((g,f,h) E K) = fAg, offensichtlich die 2.2.1 zugrundegelegte Umformumg. Man stellt lest, da~ (*(e ist eine Einheit)) die Formel (~T(eAf E M = e A f

= f) ^ Af(fAe E M ~ fAe = f)) ist. Damit prtLft man

(*(2.1.4 A 2.1.5 A 2.1.6 A 2.1.7)) * (2.1.4 A 2.1.5 A 2.1.6 A 2.1.7) nach =

f g h, ).

9 (2.1.4 ^ 2.1.5 ^ 2.1.6 ^ 2.1.7) kann nach dem oben Verelnbarten mlt ,(M,*K) ist eine Kategorle" abge~irzt werden. Man be~.elchnet (M,*K) als die zu (M,K) duale Kategorie. ,(M,K) ist eine Kategorle" und .(M,*K) ist eine Kategorie" sind (bezelchnen) zuelnander ~qulvalente Formeln. Die Angabe der dualen Kategorie ist glelchwertlg mlt der Angabe der Dualit~t (*K I K). Manche Autoren ftihren (M,*K) ein als: Die Morphismen yon (M,*K) mind die Symbole *f, wo f e i n phlsmus yon (M,K) ist, und es ist (*f).(*g) Vorsicht ist geboten b e i d e r

Mor-

:= *(g-f). FUr uns ist *M = M, *f = f.

Dualisierung yon (kon~eten)

Kategorien, die weitere

nicht selbstduale Eigenschaften haben. Ist z.B. Ab die Kategorie der Homomorphismen von abelschen Gruppen, so ist *(Ab) mit der Kategorie der stetigen Homomorphismen yon kompakten topologischen abelschen Gruppen 9 ~quivalent (PontrJagin [29, w 33]| die Kategorlen sind ~quivalent in dem Sinne, da~ es kovariante ~,n~toren F : *Ab

~ ~, G : ~

) *Ab glbt, so da~ GF und FG zu den identischen

Funktoren nattirlioh ~quivalent sind, vgl. Einleitung und 2.8). 2.4.1 Wir Gbernehmen im wesentlichen die Bezeichnungen yon 0.2 und beginnen die Liste der zueinander dualen Abkltrzungen 9): (M,K) =: ~ sei elne Kategorie, e, e' seien Einheiten yon ~. Wir setzen g(e,e')

:= If I e'AfAe E M]. Dann ist (*(~(e,e'))) = ~(e',e). e

f E g(e,e'), dual ist e (f, e' 10).

f~ e' steht fttr

- 24 -

Arbeiten wir mit Objekten, (2.1.10, (*(A

2.1.11),

so ergibt sich aus der Definition

dab (*Q) = Z, (*Z) = Q, (*(~(A,B)))

f> B)) * (A ~f

: ~(B,A) und

B) let.

FtLr M schreiben wir oft Mor~,

I~I bezeichnet

von ~, es ist (*I~I) = I~I. Schlie~lich

die Finheiten

(oder ObJekte)

bemerkt man (*(gf)) = (*(g-f)) =

f-g = fg, da (*(gAf E M)) ~ fag E M ein Satz ist, und ferner Oft steht f E ~ Definiert

von Q und Z

(*(h.g.f))

= f.g.h.

sehr ungenau ftLr f E M.

man Kategorien

nach O.1 ate (~, M, Q, Z, ~), so wird man ats Duatit~t

(Z, Q, *~ I Q, Z, ~) w~hten und (~, M, Z, Q, *~) ale zu (~, M, Q, Z, ~) duale Kategorie

bezeichnen.

2.5

Hier bezeiohnet

I~I die ObJekte.

= (~, M, Q, Z, ~ (.)) sei eine Kategorie.

( KI)

~, c ~ ^

( K2)

f E M'~ Qf, Zf E ~',

( K3)

A E ~' = IA E M' u~d

(TK4)

f,g E M' ^ Zf = Qg ~ g.f E M',

let

M, c M ,

so let (~J, M', Q', Z', ~' (-')) =: ~' eine Kategorie,

wenn man Q', Z' : M'

) ~'

und ~' dutch (TK5)

Q'f := Qf ^ Z'f := Zf,

(TK6)

g-'f

:= gf f~tr f,g E M' mit Zg = Qf definiert.

Sind ~ = (~, M, Q, Z, -), g' = (~', M', Q', Z', .') Kategorien, gorie yon ~ oder ~ Oberkategorie teilweise

yon g', wenn TKI - 6 gelten.

Ordmung auf der Menge alter Kategorien

zu ,Teilkategorie"

duale Ordnung

so heist ~' Teilkate,Teilkategorie"

(vom Typ U), ,Oberkategorie"

von g, wenn ~ber TKI - 6 hinaus

(Volt)

B E

= ~(A,B)

fur

Auch ,,voile Teilkategorie"

A,

I '1

iBt.

ist eine t-Ordmung,

In TKI - 6, Volt haben wit die offensichtlichen So v e r f A ~ e n

ist die

(2.3.1).

g' hei~t eine voile Teitkategorie ~'(A,B)

ist eine

also insbesondere

traneitiv.

QuantifizierumgenAf

etc. fortgelassen.

wir auch in Zukunft.

2.5.1 In den Beispieten wenn man die (X[Xo))

0.5.3 ist Me Teitkategorie

statt

(X,Xo) ale ObJekte yon PuMe nimmt,

Mo, AbMo von Gr und Mo, PuTop yon TopPa. in diesen Beispieten

volt.

yon MeKorr,

PuMe yon MePa, Gr Teitkategorie

yon

Bis auf Me in MeKorr sind alle Teilkategorien

r

-

2.~.2

25

-

Dualisiert man ~ in 2.5, so gehen TKI - 4 (his auf Bezeichnungs~nderung)

sich G bet. Um TK5 - 6 zu erhalten, mu~ man auch (Z', Q', *.' sieren.

I ~, ~')) in sich Gber.

Man vergleiche

Funktoren". (2.6.1)

[ Q', Z', .') duali-

,~' ist Teilkategorie yon ~ " geht also bei der Dualisierung von ~ und ~'

(d.i. (*~, *~' 2.6

in

0.6. Fun~toren yon 0.6 hei~en in Zukunft ,,kovariante

Pr~ziser:

,(~, ~, FI, F 2) let eln kovarlanter ~In~tor yon ~ in 9 " steht f~r

,,~ ist elne Kategorle und ~ let eine Kategorie und F I ist elne Abbildung I~I ---@ J ~ j ,

und F 2 ist eine Abbildung Mor~ 9

(FAI)

FQf = QFf undFZf = ZFf,

(FA2)

F1 = 1,

(FA3)

Z(gf) = (Fg)(Ff)

) Mor~ und PAl ^ FA2 ^ FA3 " mit

(und den notwendigen

Quantlfizlerungen)

bei Abkttrzung F1A =: FA, F2f =: Ff 11). Wie echon bemerkt,

-

genGgt wegen FAI die

Angabe yon F 2 zur Bestimmung yon P. 2.6.2

Dann betrachte man Abbildungen PI : I~I

) I~I' F2: Morn

> Mor~

wie oben mlt - bei Abkltrzung FIA =: PA, F2f =: Ff 11) _ (*FAI)

FQf = ZFf und FZf = QFf,

(*FA2)

F1 = I,

(*FA3)

F(gf)

= (Ff)(Fg)

und k~rzen ,~ Ist eine Kategorle und ~ let eine Kategorie und F 1 let eine Abbildung [~I

) J~[ und F 2 let eine Abbildung Mor~

(2.6.3) ,,(~, ~, Yl, F 2) =: F i s t Man bemerkt,

eln kontravarianter

l~inktor yon ~ in ~ " ab.

da~ die aus 2.6.1 dutch Dualisierung von ~ bzw. 9 (einzeln) hervor-

gehenden Aussagen unterelnander (kovariante)

) Mor~ und *FA1 ^ *FA2 ^ *FA3" als

Punktortheorle

und zu 2.6.3 ~quivalent

sind. Interpretiert

ale formale Theorle X mlt Konstanten M, K fur ~,

M', K' f~tr ~ und F (fUr P2) , so drUokt sioh dies aus als: ,Die Theorien (*K'

man

I K')~ und die Theorie ~', die mit 9 Gbereinstimmt

(*K I K)~,

bis auf die expliziten

Axiome FAt - 3, die dutch *PAl - 3 ersetzt sind, sind gleichstark". 2.6.4 Beispiel: auoh 2.6.9.

~ = Top, ~ = Ab, F = E n (n-te (singul~re)

Cohomologiegruppe).

Siehe

-

2.6.~ Sind ~, ~' Kategorien, :=

x

I

'I,

(g,g').(f,f')

:=

26

-

so erhRlt man dutch

x

:= (g.f, g'.f') elne Zategorie

Produktka~egorle

Z(f,f')

:=

:= (Zf,Zf'),

(~, M, Q, Z, .) =: ~ x ~', die

von ~ und ~'.

~oenso komponentemweise

k--- man Produkte

x ~: yon beliebigen Familien yon Katei~l

gorien (~i I i ~ I) definieren. Sei ~ eine weitere Kategorie und (2.6.6) F ein kovarianter Punk%or yon ~ • ~' in ~. Man duallslere

in 2.6.6

I. 2.

~' u n d ~

4.

9 und~

Mit I. und 2. erh~It man ~qulvalente

Formeln, yon denen man eine als

(2.6.7) ,,(~ x ~,, ~, F I , ~2) ist ein 1-kontra-,

2-kovarianter

1~mWtor yon

x ~' in 9 " abklfrzt. Mit 5. und 4. erh~it man ~qulvalente

Formeln, yon denen man eine als

(2.6.8) ,(~ x ~', ~, Pl' F2 ) Ist ein 1-ko-, 2-kontravarianter

Fun~tor yon

x ~' in ~ " abkilrzt. 1-kontra-,

2-kovariante

und 1-ko-, 2-kontravariante

l~mktoren sind zueinander

(*~, *~', *~ I ~, ~', ~) - dual, wie man formal aus

~ts~eohemd

definiert

sohiedener V~ianz diesen Fall ~d

a~

a~

man IhzaJ~oren m~t i n den ein~.einen V ~ i a b l e n ~ o d u J ~ e n yon m e ~ e l s zwei ~ t e g o r i e n ;

den zweier

Ko,,,-,~tativit~t

Kategorien z~Lc~_f~em,

( h i s auf ( k o v e z i a n t e )

g o r i e n ~ o d a J ~ e s bemerk-~ ~ d die ~i die

zu

d~

duallslerenden

~od~

~q~valen~. als

(x ~ i )

ver-

man k~n~

indem man A s s o ~ . i a t i v i t ~ t (5.1, x (x ~ )

5 . 5 , 5 . 6 ) ) des K a t e sc~eib~,

wo ~-.B.

Kategorlen slnd.

Es Ist d~n~ klar, was mi% ,(~, ~, F1, F2) =: F is% ein l~m~tor yon ~ in 9 " gemelnt is%, wenn wit auch keine pr~zise Definition geben.

In unseren Anwendungen

kommen nut einfache F~lle wie 2.6.1, 2.6.6, 2.6.7, 2.6.8 vor. 2.6.9 Wichtlgstes Kategorie

Beispiel eines 1-kontra-,

zugrundeliegende

Hom-Funktor:

2-kovarianten Funktors ist der einer

~ sei elne Kategorle.

-

Hom~ B

: ~ x ~

) Me ist dutch Hom~(A,B)

~" B' dutch Hom~(f,g)

deflnlert

(A'

f~A

Ein Funktor

(Inj.)

: ~(A,B)

h~B

Hom~ 1st eln 1.kontra-, 2.6.10.

27

-

:= ~(A,B) und fur A'

) ~(A',B')

mlt

~; B'!). FUr Hom~(f,g) 2.kovarlanter

f) A,

(Hom~(f,g))h schreibt

:= ghf

man ~(f,g).

Funktor von ~ • ~ in Me.

(~, ~, FI, F2) =: F hei~t injektlv

17)

Ff -- Fg = f = g fur f, g E ~ gi~t. Man folgert

FA = FB ~ A = B fur A, B E I~I. 2.6.11

Ist (~, ~, FI, F2) =: F eln Funktor,

so prtLft man

TKI - 4 (2.5) fur ~ := [FA I A E I~I] c I~I, M := [Ff I f E ~] c Mor~ nach, so da~ man elne Teilkategorie

(g, M, ...) =: Bild F yon ~ erh~lt,

Bild yon (~ in 9 bel) F hei~t. (Voll)

Bild F i s t

die das

F heist roll, wenn

volle Teilkategorle

yon

gilt. 2. 7

Ein Funktor

(~, ~, F I, F2) =: F heine vom Typ U (U : Universum),

wenn ~ und ~ vom Typ U slnd (1.18). Die Funktoren vom Typ U bilden in nahellegender Welse eine Kategorie Typ U, Morphlsmen Kategorie

Fun U =: Pun: Objekte

slnd die Kategorien

die l~n~toren vom Typ U. Man Gberzeugt

vom Typ U " etc. eine ~ s,mmelnde

Formel

Vorwegnahme

der nach Einf~hrung

werden als G.F gesetzt;

G-F ist wieder eln Funktor.

wo I I~I ' IMor~ Einhelten 2.7.1 Die Zus~mmensetzung

Einhelten

F

~

von Fun legitimlerten

:= (~, ~, GI~FI, G2oF2) mlttels

slch, da~ .~ ist eine

(1.10) beschreibt.

Ziel yon (~, ~, F I, F2) sind ~ bzw. ~. F u ~ t o r e n

bzw.

vom

_

)

Schrelbwelse

der Komposltion

Quelle

) -

in Me zusammen-

slnd die I~ = (~, ~, I i~ I , IMor ),

in Me slnd. yon kovarlanten

Funktoren

ist kovarlant,

und die Ein-

helten sind kovariant: Satz 2.7.2. Die kovarlanten yon Fun. Es ist 2.8

IFunKoI

: IGI

bemerkt,

der Nat~rllchkeit

fachsten kovarianten

F~n~o

= IFun I .

Wie in der Elnleltung

um den Begrlff

t'

Funktoren yore Typ U bilden eine Teilkategorie

Fall: F,G

deflnierte

formulleren : ~

man Kategorien

zu k~nnen.

und Funktoren,

Wir beglnnen mit dem eln-

) ~ seien kovariante

Funktoren,

) Mor~ eine Abbildung.

t := (F, G, t') heist natttrliche Transformation (NAI)

tA E ~(FA,GA),

(NA2)

FUr f : A

) B (E ~) ist (tB)(Ff)

yon F in G, wenn - mlt t'A =: tA -

= (Gf)(tA)

gilt.

-

28

-

NA2 illustriert man dutch tA

FA

~ GA

FB ~

GB.

Dutch Duallslerung yon ~ deflnlert man matllrliche Transformatlonen F in das kontravarlante

des kontravarianten

G. Dutch Dualislerung yon 9 erh~lt man sine zu ,t ist natllr-

liche Transformation yon G (kontravarlant)

in ~ (kontravariant)"

~quivalente Aussage.

Es ist also hler wlchtlg, welche Kategorie duallslert wlrd. Em Ist d-n~ klar, wie matllrliche Transformationen

f~r allgemeinere

l~,n~toren definiert werdem. Die Existenz elner

n a t ~ i r l i c h e n T r a n s f o r m a t i o n e i n e s Funk-tore F i n e i n e n ~ m ~ t o r und G g l e i c h e

Q u e l l e und g l e i c h e s

da~ d i e Q u e l l e e i n P r o d u k t 1 s t , 2.8.1

Eine nattirliche

Typ U s i n d .

G beinhaltet

Z i e l h a b e n und da~ s i e g l e i c h e

a u f den e i n z e l n e n

dab F

V a r i a n z h a b e n (Ira F a l l e ,

,Yaktoren").

T r a n s f o r m a t i o n t = ( F , G, t ' )

In wieder naheliegender

stets,

h e i n e vom Typ U, wenn F u n d

Weiss d e f l n i e r e n

G vom

w i t e i n e K a t e g o r i e Nat U =: N a t :

0 b j e k t e y o n Nat s l n d d i e F u n k t o r e n vom Typ U, Morphismen d i e n a t ~ l r l i c h e n T r a n s f o r m a t i onen yore ~ p werden a l e

U. Quelle bzw. Zlel yon (~,G,t') Ist F bzw. G. (~, G, t 1) und (G, H, s') (F, H, s ' t ' ) m l t

QH (in Fun) zus~-~engesetzt.

(s't')A := (s'A).(t'A)

(in Me) fllr A E I

l, 9 =

Zus,mmensetzung yon natttrllchen Transformatlonen

elne natt~rliche Transformation,

Einheiten sind die (F, F, A

=

QF = QQ

llefert

) lyA) in suggest~ver

Informeller Bezelchnung. 2.8.2 ~, 9 selen Eategorien, (v: kovariant

=: ko, kontravarlant

Teilkategorie

yon Nat, deren ObJekte die Yunktoren 9

Nat(F,G)

=: kontra, etc.). Natv(~,~) bezeichne die rolls ) 9 mit Varlanz v sind. Da

= ~ ist, falls die Quellen yon F und G oder die Ziele yon F und G o d e r

Varlanzen yon F u n d

)

v stehe f~r die mSglichen Varlanzen yon l~mktoren 9

die

G verschleden slnd, zerf~llt Nat in die Natv(~, ~), d.h. : Die Mor-

phismenmenge yon Nat ist die Vereinlgung der paarweise disJunkten Morphismenmengen Natv(~, 9) und s, t E Nat sind in Nat zus-mmensetzbar, Natv(~, 9) slnd und dort zus-mmensetzbar Natv(~, ~). Nat(~, ~) ist dementsprechend Funktoren ~ 2.8.3 N.BI.

der

genau wenn sle Elements desselben

slnd; st in Nat let damn dasselbe wie st in die rolls Teilkategorie yon Nat mit allen

) ~.

Belspiele: VektK sei die Kategorie tier K-llnearen Abbildungen der Vektorr~ume

Gber einem KSrper

-

Die Zuordnung tur), f i

,,dualer Vektorraum"

~ Lf ~ u

29

-

(Einleltung)

V :

~ LV = (VektK(V,K),

ist eln kontravarlanter

Funktor L : VektK

Die ,,Einbettungen"

tV : V c L L V (Einleitung)deflnieren

tion t : IVekt K

) L Z. Bei endlich dlmenslonalem

NB2.

Vektorraumstruk~ VektK.

elne nattLrllche Transforma-

V ist tV eine Isomorphle.

Fttr jedes q sei Hq(?; G) : Top

) Ab der q-te Cohomologlef-nktor

zienten in G. ,,Cohomologieoperatlonen

vom Typ (p,q)" slnd aus Nat(HP(?;

Der Randoperator Transformation (X,A) i NB3.

6 : HP(A,G)

des Cohomologiefunktors

) HP+I(x,A;

(X,A) I

(Teilkategorle

=: In] fttr ganzzahllges

simpllzlalen

Gber elmer Kategorle Natkontra(~,

Transformation

2.9

Gruppen,

) HP(A; G) in den Cohomologiefunktor

yon Me), deren Objekte

In]

abelschen

~ sind die Kategorlen

die fGr die natGrllche der slmpllzlalen

Gruppen bzw. slmplizlalen

Natkontra(~,

Me), Natkontra(~,

~). Eine slmpllzlale

) Me, eln Morphismus

die Mengen

) [mS slnd. Die Kategorie

simpllzlalen

Ab) bzw. Natkontra(~,

auter Funktor ~

ist eine natUrllche

n ~ 0 und deren Morphlsmen

Ordnung schwach monotonen Abbildungen Mengen,

G) der Cohomologle

G), Hq(?; G)).

G).

~ sel die Kategorie

[0,1,...,n]

) HP+I(x,A;

mlt Koeffl-

yon slmpllzlalen

Objekte

Gr),

Menge ist also eln kontravarlMengen ist elne natttrliche

der ~ m ~ t o r e n .

Um die Uberslchtllchkeit

von Bewelsen

zu erh~hen,

verwendet

man Diagr~,me,

wie z.B.

9

~ 9 , 9

~.

) 9 ,

-- --

9

wo die Punkte Namen yon Objekten, Man sprlcht davon,

,.

Abbildungen

llchst genau an die der Kategorlen

hei~en Pfeile Buchst~oen

tragen k~nnen.

das bls auf die

Wit folgen Grothendleck

um die Definition

Q, Z : M

Die A E ff =: IDI hei~en Ecken

(Morphlsmen),

) 9

yon Diagrammen

m~g-

anzulehnen:

2.9.1 Hat man Mengen if, M und Abbildungen eln Diagr~mmschema.

in eln anderes,

gleich aussieht.

Anderungen,

) 9 \Z",,/'

oder das gauze Diagr~mm kommutatlv

elnes Diagr~mms

Namen fttr die Objekte und Morphismen [17; 1.7] mit unwesentllchen

9

die Pfeile Namen yon Morphismen

dab Teile elnes Diagrsmms

selen und betrachtet

oder komolizierter

~ ~, so hei~t (Objekte),

Qf bzw. Zf hei~t Quelle bzw.

Q und Z wle bei Kategorien

f~r alle Diagramme

(if, M, Q, Z) =: D

die f E M =: Mot D

Zlel yon f, wobel wlr die verwendem.

-

Diagr~mmschemata Man vereinbart,

30

-

mlt endlichen ~ und M glbt mau dutch Zelchnungen wie oben an. da~ an der Spitze des mlt f bezelchnetem

Pfeiles Zf steht und an

der anderem Selte Qf, in 8bereimstimmung mlt der Verelnbarung (A

f ~ B)

:@ (Qf = A und Zf = B) bel Kategorien.

und Pfeile gegeben,

sondern

9 f~r Ecken und

Das kann man so interpretieren,

Oft werden kelne Nsmen fGr Ecken

) fur die Pfeile wie oben geschrleben.

da~ die Zeichnung ein Diagr~mmschema repr~sentlert,

bei dem es auf Namen fur Objekte und Mcrphlsmen nlcht ankommt. Einfache Beisplele

zeigen,

der Zeichmung auskommt.

da~ man im allgemelnen nlcht ohne Uberschneidumgen

Ohne 8-oerschneldungen k~me man in ~ 3

tungssatz fur (1-dimensionale)

slmplizlale

Diskusslon stehenden eindimenslonalen in 2.6 F 1 ~ t e r e n deflnieren,

Komplexe

in

aus, wie der Einbet-

(m i n ~ 2n+I ) zeigt.

F~r den zur

Fall kan~ man dies auch lelcht Gberlegen~

kann mau Morphismen yon Diagr~mmschemata

dutch Abbildungen

Wie

F I, F2

f~r die hler natttrllch nut FAI zu fordern ist. Solche Morphlsmen kaun

man zus~mmensetzem

(2.7). Man erh~lt die Kategorle

2.9.2 Ein Diagr~mm~chema

der Morphismem

der Diagr~mmAchemata.

(~', M', Q' , Z') hei~t Teilschema des Schemas

wenn TKI - 2 und TK5 von 2.5 geltem.

(~, M, Q, Z),

~' c ~, M' c M (TKI!) kann man bei TK2 stets

dutch Definition yon Q', Z' mittels TK5 zu einem Teilschema von (~, M, Q, Z) erg~nzen.

Im Sinne vom 2.9.1

((~', M', Q', Z')

(Schlu~)

ist

, (~, M, Q, Z), ~, c ~, M' c M) sin Morphismus von Diagrammsche-

mata (,,Einbettung"). 2.9.3 ~ sei eine Kategorle

umd D ein DiagrA,,~schema.

ist ein (D, ~, FI, F2) =: F mit Abbildumgen (FAt)

Ein DiagrAmm mit Schema D in

F I : IDI ~

I~l und F 2 : Mor D

FQs = QFf und FZf = ZFf fGr s E Mor D

wobei FIA =: FA, F2f =: Ff wie bei Funktorem. Wie in 2.9.1 bemerkt,

Wir schreiben F : D

~ g.

kommt es oft nut auf die ,Struktur" yon D an. Man gibt dann

F I, F 2 an, imdem man in der Zeichnung fGr D fttr Jedes A bzw. schreibt und nennt auch diese Zelchnung ein Diagr~mm.

f einfach FA bzw. Ff

Im Gegensatz

zu 2.9. I k~nnem

bier verschiedene

Pfeile denselben Namen tragen.

2.9.4

F, G : D

~ ~ seien Diagr~mme mit Schema D in ~. Ein Morphlsmus

t : F

~ Gist

mit

) Mor~ mit

( t'A =- tA

(NAI)

ein t = (F, G, t'), wo t' elne Abbildung t' )

tA E g(FA,GA)

fttr A E iDI

: IDI

) Mor~ ist

-

(NA2)

51

-

FUr f E Mor D mlt Qf = A und Zf = B ist (tB)(Ff) = (Gf)(tA), wie dutch

das Diagr~mm FA

tA ) GA

FB - ~

GB

illustriert. Zus~mmensetzung yon Morphismen yon Diagr~mmen wird wie in Nat definiert. F~r festes D umd ~ erh~lt man elne Kategorie Diag(D,~), deren Objekte die Diagramme mit Schema D in ~ und deren Morphismen die Morphismen der Diagramme im obigen Sinne sind. 2.9.5

Gleichheit zus~mmengesetzter Morphismen wird oft Gberslchtlich

dutch ein DiagrpJ, m dargestellt

(Belspiel: 2.8 NA2): D sei ein Diagr~mmschema.

Ein Weg (der L~nge n) in D ist ein n-Tupel (fn,...,fl) yon Morphismen yon D mit Zfi = Qfi+1" Quelle und Ziel von (fn,...,fl) werden dutch Q(fn,...,fl) und Z(fn,...,f I) := Zf n definiert. Eime Kommutativit~tsrelation Menge R c ~(v,w) Ist F : D (Ffn) ......

:= Qfl

in D ist eine

I v,w sind Wege in D mit Qv = Qw und Zv = Zw].

~ ~ ein Diagrsmm, so l ~ t

sich F dutch F(fn,...,f I) :=

(Ffl) auf die Wege vn D erweitern.

Ist R eine Kommutativit~tsrela-

tion in D, so heist F R-kommutativ, wenn ,(v,w) E R ~ Fv = Fw " gilt und kommutativ, wenn F R-kommutativ ist fGr das maximal m8gliche R. Ist D' Teilschema yon D, so erh~lt man dutch Einschr~nkung von F auf D' elm Diagr~mm F' : D' F heist kommutativ auf D'

9

~ ~.

wenn F' kommutativ ist. Oft wlrd Kommutativit~t f~r

ein oder mehrere Teilschemata von D verlangt. Beispiel: w

,

wo fttr jedes der beiden schraffierten Teile das Randdiagr~mm kommutativ ist. Obwohl die Verelnigung der kommutativen Teile das gauze Diagr~mm ist, braucht das Mittelquadrat nicht kommutativ zu sein.

-

2.9.6

Jedes Diagr~mmschema l ~ t

32

-

sich zu einer Kategorie erweltern: Von D

geht man Gber zu elnem Schema, das an jeder Ecke einen zus~tzlichen MorphismusOhat,

der bei IDI n Mot D = ~ den Namen der Ecke erh~lt und als Eimheit

fungieren soll. Als Morphismen der zu konstruierenden Kategorie nimmt man alle Wege des erweiterten Schemas m it Zusammensetzung (gm,...,gl).(fn,...,fl)

:=

(gm,...,gl, fn,...,fl), falls Qgl = Zfn ist, und Vereinbarung, da~ Eimheiten gestrlchen werden dGrfen, solange der Streichungsproze~ den Weg nicht ganz auslSscht. Man erh~lt eine Kategorie ~D. Jede Kommutativit~tsrelation R in D oder dem erwelterten Schema kamm man als Relation in WD einftLhren; man erh~lt eine Kategorie 'dD~R. Jedes Diagramm F : D

) ~ l~t

sich dutch die oben erw~d~nte Fortsetzung yon F

auf die Wege in D zu einem Funktor ~ : WD so l ~ t

~ ~ erweitern. Ist F R-kommutativ,

sich ~ ~ber WD/R zerlegen: Es gibt ein kommutatives Diagr~mm

WD

~

\ ! in Fun, wo ~D

> WD/R die kmlonlsche Projektion auf Restklassen (Funktor') ist.

In sp~terer Formulierung kann man sagen: Die Kategorien Diag(D,~) und Natko(WD,~) sind kovariant ~qulvalent (kovariante ~quivalenz: ~quivalenz (3.1) in FunKo fttr ein hinrelchend gro~es Universum, das Diag(D,~) und Natko(WD,~) enth~it ). 2.9.7 Mittels (Z, Q, I Q, Z) k-nn man Diagr,mmAchemata dualisieren: Umkehrung aller Pfeile.

-

.

Darstettbare

3.1

Funktoren

Wir b e t r a c h t e n

heiBt

~quivatenz,

eine feste K a t e g o r i e

w e n n es ein g : B

D a aus gf = IA, fg' = IB b e r e i t s deutig bestimmt Zwei ObJekte

33

und wird

~ A gibt,

g = gfg'

f : A

~ B

so dab gf = IA und fg = IB.

= g' fotgt,

ist g d u t c h f e i n ~

oft mit f-1 bezeichnet.

A, B E I~ I h e i B e n

w e n n es eine ~ q u i v a t e n z

~, Ein ~ o r p h i s m u s

f : A

~quivatent

in ~ (~: A ~ B oder kltrzer A ~ B),

~ B gibt. ~ ist eine ~ q u i v a t e n z r e t a t l o n ,

d.h.

es gibt (~I)

A ~ A

(~2)

A ~ B ~ B ~ A

(~3)

A ~ B ~ C ~ A ~ C

Beweis:

I) f = IA, 2) f-1

vererbt Objekte

sich n i c h t

~qulvatent

wenn ktar 3.1.1

F

f, 3) f'f.

auf U n t e r k a t e g o r i e n .

sind,

ist, w e t c h @ : ~

statt

ist daher w e s e n t t i c h ,

Kategorie

gemeint

3.1.1.1.

Ist f E ~ elne ~quivatenz,

Satz

3.1.1.2.

Ist F v o l t und injektiv,

I. k o v a r i a n t e s

3.1.1.2:

Ist h(Ff)

so e x i s t i e r t ist,

wegen

F: 3.1.1.1:

,fist

in der zwei

aber meist u n t e r d r G c k t ,

ist.

= I und

so ist Ff E ~ eine ~ q u i v a l e n z . so ist f ~ q u i v a ~ e n z

Aus gf = I fotgt

(Ff)h ~ I fttr g e e i g n e t e s

g e n a u w e n n Ff.

(Fg)(Ff)

= F(gf)

= FI = I etc..

h E ~ und F v o t t

(2.6.11),

Qh = ZFf = FZf und Zh ~ QFf = FQf ein g mit Fg = h. Da F i n j e k t i v

ist Qg -- Zf und Zg = Qf, sowie

Varlanzen

wird

der Kategorie,

) ~ sei ein Funktor.

Satz

Beweis:

Die A n g a b e

duatisiere

man.

eine A q u i v a t e n z "

gf = I und fg = I.

Dabei b e m e r k t

bei f = (fi

man,

2. FGr die a n d e r e n

daB, w e n n ~ ein P r o d u k t

I i E I) ~ q u i v a t e n t

ist mit

~ = • ~. ist~ is l ,,Jedes fi ist elne

~quivatenz". Satz

3.1.2.

f E Me ist eine ~quivatenz,

genau wenn

f eine b i j e k t i v e

Abbi~dung

yon Qf auf Zf ist. Beweis: @: elnes {x I s

Ist f surjektiv,

so fGr jedes y E Y

x mlt fx = y zu y tiefert h = y~ ~ ~, dab n i c h t

so gibt es zu y E fX = {fx

: Y

{x I fx = y} ~ ~. A u s w a h t

) X mit fh = Iy. G t e l c h z e i t i g

gteichzeitig

Y ~ ~ und X = ~ sein kann.

I x E X~ genau

ein x mit fx = y; g : Y

den y E fX a~s das x mlt fx = y festgesetzt.

irgend-

fotgt

aus

Ist f injektiv, ~ X w i r d auf

-

34

-

Den Rest von Y bildet man auf irgendein Element von X ab; das ist immer m~glich, da nicht Y / @ und X = @ gilt. Dann ist gf = IX. Aus den Bemerkungen eingangs 3.1 folgt g = h. Unter Benutzung von 0.5.2.1, eine Abbildung und f # = g = h i s t .

0.5.2.2 kann man zeigen, da~ f @

=: Man beweise, da~ aus gf = IX und

fg = Iy folgt, da~ f (und g) bijektiv ist (sind). 5.2

~, ~ seien Kategorien und S, T: w

)~

Funktoren.

Satz 3.2.1. Eine natGrliche Transformation a : S

) T ist eine ~quivalenz

in

Nat(~, ~), genau wenn aX fdr jedes X s I~I eine ~qulvalenz in ~ ist. Beweis: S, T seien kovariant.

=: Sei ea = IS, a6 = IT. Damn ist

(es)X = (eX)(aX) = IsX = ISX etc.. ~: Gelte

(eX)(aX) = 1SX, (ax)(ex) = ITX

f~r jedes X und (Tf)(aX) = (aY)(Sf) fttw jedes f : X Morphismen eX : TX

) SX yon ~ bezeichnet.

) Y, w o e

eine Familie von

Wir zelgen (eY)(Tf) = (sf)(ex) fur

jedes f : Aus (Tf)(aX) = (aY)(Sf) folgt (SY)(Tf)(aX)(SX)

= (eY)(oz)(sf)(ex)

und (SY)(Tf) = (Sf)(eX) mit (eY)(aY) = Isy , (aX)(eX) = ITX. Ft%r die anderen Varianzen duallsiere man. 3.3

Von besonderer Bedeutung ist der mit Hom, Mor oder 9 bezelchnete,

einer Kategorle ~ zugrundeliegende

1-kontra-,

2-kovarlante Hom-Funktor ~ •

(2.6.9). Wir betrachten den kovarlanten und kontravarlanten Tell einzeln: 5.3.1 ~(A,

?) : ~

) Me ist der kovarlante ~,n~tor mit

~(A, ?) X := ~(A, X) und ~(A, ?) f := ~(IA,f ) =: ~(A,f) =: f.A; nach Definition wie durch A

(2.6.9) ist ~(A,f)g = fg fttr g : A

~" X

) Qf,

f) Y illustrlert

f,g 3.3.2 Dual ist g(?,A) w(?,A)X

: ~

) Me der kontravarlante Funktor mit

:= ~(X,A) und ~(?,A)f

nach Definition A ".~- X ( f

:= ~(f,IA) =: ~(f,A) =: f'A;

(2.6.9) ist ~(f,A)g = gf f~r g : Zf

Y illustriert.

a.._/ f*g 3.3.30ffenbar

ist ~(A,?)B = ~(A,B) = ~(?,B)A.

) A, wie durch

) Me

-

Ist f : A' g : A

>A,

h : B

35

-

) B', so ist (hg)f = h(gf) =: hgf fGr jedes

) B und das ist g~eichbedeutend

9 (A,B)

mit der Kommutativitgt

von

h.A". G(A,B' )

(Diagramm 3.3.4)

,B) Die Kommutativitgt

(A' ,B')

von 3.3.4 wird dutch jede der fo~genden drei Aussagen

beschrieben: (3.3.4.1)

h. ist eine nat~rliche

Transformation ~(?,B)

) ~(?,B'),

(3.3.4.2)

f* ist eine natfir~iche Transformation ~(A,?)

~ ~(A',?),

(3.3.4.3)

h.Z* =

3.3.5 9 (??,?)A

~(??,?)

deflnieren wit dutch ~(??,?)f

:= ~(A,?) a~s kontravarianten

g~eich in NatKo(~,Me)

gehen). ~(??,?)

:= f*,

Funktor 9

-~Nat (Man kann auch

ordnet a~so jedem A E I~] den kovarian-

ten Punktor ~(A,?) von 3.3.1 und jedem s : A' tion f* : ~(A,?)

~.3.6

>~(A',?)

Dua% definiert man ~(?,??)

Coder NatKontra(~,Me))

3" 4

mit ~(?,??)f

Transforma-

zu.

a%s den kovarianten

:= f., ~(?,??)A

) Nat

Pun~tor

:= ~(?,A).

Es gi~t :

Satz 3.4.1 ~(?,??) Beweis:

von 3.3.4~

) A die natGr~iche

: ~

) Nat ist injektiv.

Zu zeigen ist f. = g. ~ f = g. l~r f : A

f. : ~(?,A)

~(?,A'),

9 (X,A) = ~(X,B), ~(X,A')

g.: ~(?,B) = ~(X,B')

)A',

)~(?,B').

g : B

~B'

ist

Aus f. = g. fo~gt

fGr Jedes X E ]~], und daher A = B, A' = B'.

Dann ist f = fl A = f.1A = g.1A = gl A = g. Coro~ar Beweis:

3.4.2

: ~

) Nat ist inJektiv.

dual.

Satz 3.4.3 Beweis:

6(??,?)

~(?,??)

: 9

) N a t ist v o ~ .

Sei A, B s ]E l und ~: ~(?,A)

)~(?,B)

eine natGrLiche

Transformation.

-

Es ist ( ~ A ) I A =: f E ~ ( A , B ) .

36

-

Wir zeigen 9 = f,.

Sei h E ~(X,A). Daun is% (Diagr~mm 3.4.3.1!) oh = o(h*1 A) = oh*1A = h*O1A = h*f = fh = f.h; die Vertauschung oh* = h*~

~(A,A)

~A ) ~(A,B)

~h'~B

h*A~

(Diagr-mm 3.4.3.1)

~(X,A)

~X > ~(X,B)

Ist genauer oh* = (oX)(h*A) = (ox)C~Ch,A))

= (~(h,B))(~A) = (h*B)(oA) = h*~,

well 9 eine nat~trliche Transformation ~(?,A) Corollar ~.4.4.

G(??,?)

Corollar 3.4. ~.

Folgende Aussagen sind ~quivalent :

f : A

2.

f. : ~(?,A)

3.

f.X : ~(X,A)

4.

f* : ~(B,?)

5.

f*X : ~(B,X)

da f:

) Nat is% roll.

) B is% eine ~quivalenz

1.

Beweis:

: 9

; ~(?,B) ist.

(in ~)

> ~(?,B) ist eime ~quivalenz

(in Nat)

> ~(X,B) ist fur jedes X E J~l bljektlv > ~(A,?) ist eine ~quivalemz

) ~(A,X) Ist fur Jedes X E

I ~ 2: 3.1.1.1, da f!

(lquivalemz in Me)

(in Nat)

I~[

blJektlv

(~qulvalenz in Me).

> f. elm Fumktor ist (3.3.6).

> f. imJektiv (3.4.1) umd roll ist (3.4.3).

2 m 1: 3.1.1.2,

2 * 3:3.2.1

umd 3.1.2.

I ~ 4: Man dualisiere ~ in I o 2 und ~ndere die Bezeichnung A ." ~ B. 4 * 5:3.2.1 3.~

und 3.1.2.

~ sei eine Kategorie und P : 9

Eine Darstellung

(Repr~sentatlon)

yon F i s t

) Me ein kovarianter ~ m ~ t o r . elne ~qulvalenz

m yon F m i t

9 (A,?) fur ein A E J~J (~quivalenz in Nat!). F heist derstellbsr bar), wenn eine X q u i v ~ e n z m darsteL%ende

(relE~sentier-

mlt einem ~(A,?) existiert. A heist das ,F (mittels

Obiekt (yon ~)"

Satz 3-5.1. Sind S, T : ~

) Me dsrstellbar und ~quivalent,

so sind die S bzw.

T darstellenden Objekte ~quivalent. Genauer: Satz 3.5.2. Sind 9 : ~(A,?) so ist ~XOI A : B

) S, X : S

) T, $ : T

) r

) A eine ~quivalenz umd ($XOIA)* = ~XO.

Kquivalenzen,

-

Bewels:

SX~ ist ~quivalenz ~(A,?)

~ r

37

-

Der Rest ist 3.1.1.2 nach

3.4.2, 3.4.4. Corollar 7-5.3. Je zwei Objekte, die denselben Fanktor repr~sentleren, sind (kanonisch) 3.~.4.

~quivalent.

Darstellungen kontravarlanter

~qulvalenzen

Punktoren definiert man dual als

~ yon F mit ~(?,A).

Satz 3.5.5. Sind S, T : ~ bzw. T darstellenden

~ Me darstellbar und ~quivalent,

so sind die S

Objekte ~quivalent.

Genauer: Satz 3.5.6. Sind ~ : ~(?,A) so ist $X~I A : A

> S, X : S

~ T, ~ : T

> ~(?,B) ~quivalenzen,

> B elne Xqulvalenz und ( $ ~ I A ) . = ~X~.

Beweis : 3.5.2. Corollar 3-5.7. Je zwel Objekte, (kanonis ch) ~quivalent.

die denselben l~unktor repr~sentieren,

sind

-

.

Einbettungen

38

-

und Identifizlerungen

In einer Gruppe gelten die K~rzungsregeln

ab = ac = b = c und ba = ca = b = c.

In Monolden gelten die Regeln im allgemelnen nut f~r einzelne a. In einer Gruppe exlstiert

zu a,c stets b mit ab = c, und b' mit b'a = c, nicht

jedoch in einem

Monold. Die Paare mit L~sungen b oder b' werden uns interessieren und besonders der Fall c = I. sei eine feste Kategorie. 4.1

f E E heist

(Mort)

monomorph

(Epi)

epimorph

(Bim)

bimorph

(hinten kiLrzbar):. Au, v (fu = fv = u = v), (vorn kttrzbar):~ Au, v (uf = vf = u = v),

(k~rzbar):.

f monomorph und epimorph

12).

Monomorph und epimorph sind zueinander dual, blmorph ist selbstdual. Man bezeichnet 4.1.1

oft. ~ f

Beispiele:

9 (monomorph),

I. Monomorph:

(die) f (zugrundeliegende

fx I = fx 2. Gleichheit bleibt, : [~

f E Me, Gr, Top, Ab ist monomorph,

Mengenabbildung)

Ist f E Me(X,Y) nicht injektiv,

x i dutch x i'

. f ~ 9 (epimorph), .~ f ~.t .(bimorph) 9 genau wenn

injektiv ist. Wir beweisen =:

so existieren Xl, x 2 E X mit x I ~ x 2 und

im Widerspruch

) X, x i' : ~ - - ~ x

zu monomorph,

i ersetzen.

bestehen,

wenn wir

Genauso schlie~t man in Top,

wo die x i' stetig sind.

In Gr, Ab benutzt man eine freie

einem Erzeugenden

[~]. Wir benutzten die Existenz der x i' in Me = Meu,

statt

die fur jedes Universum U gesichert kann ,,monomorph*

injektiv"

Elemente hat, mit Mor~

ist. In .kleinen"

falsch sein:

(abelsche)

Gruppe mit

Teilkategorien yon Me

I~I := [X,Y], wo Y ein und X zwei

:= [Ix, Iy] U Me(X,Y).

Das einzige f : X

) Y ist

monomorph in ~, da fu = fv = u = v = IX, aber nicht injektiv. 2. Epimorph:

f E Me, Gr 19), Ab, Top ist epimorph,

kleinen Mengenkategorien

I@I := IX,Y], Mor@~=

zeigt. Wenlger trivial ist Q c ~

tlv (Kuro~ u,v

-

ist. In

kann eplmorph ~ surjektiv gelten, wie Y mit zwei,

X mit einem Element und @ mit

der Hausdorffr~ume

genau wenn f surjektiv

(rationale

[Ix, Iy, f ] m i t

in reelle Zahlen)

und ihrer stetigen Abbildungen epimorph,

Liv~ic - Sul'ge~fer v

: ~ ----~X verschieden,

f E Me(X,Y)

in der Kategorie

aber nicht surjek-

[23; 6.9]): Sei X hausdorffsch und

jedoch uq = vq fur jedes rationale

q.

-

G i b t e s r E ~t m i t u r ~ v r , Urbilder

i n ]t o f f e n s i n d ,

enthalten.

-

so h a b e n u r und v r i n X f r e m d e U ~ e b u n g e n , b e t d e r und d a h e r a u c h gemeinsame r a t i o n a l e

Dann k S n n e n d i e Umgebungen y o n u r und v r n i c h t

3. B i m o r p h . f E Me, Gr, Ab, Top i s t betrachtete

deren Punkte

fremd gewesen s e i n .

b i m o r p h , g e n a u wenn b i j e k t i v .

Des e b e n

Q c ~ t s o w i e f y o n 1. 9 und 2. 9 s i n d s ~ m t l i c h b i m o r p h , i n d e n

betrachteten

Kategorien,

Satz 4.1.2.1.

Beweis:

39

abet nicht

bijektiv.

~ . i n h e i t e n s i n d b t m o r p h (= monomorph, e p i m o r p h ) ,

2.

Mit f u n d

3.1

Ist

gist

g f monomorph ( e p t m o r p h , b i m o r p h ) ,

g f monomorph, so f monomorph,

2

Ist gf epimorph,

so g epimorph,

3

(m) Ist gf bimorph,

so f monomorph und g epimorph.

I. u = lu = lv = v, u = ul = vl = v.

morph) = u = v (f monomorph). Ergebnisse.

3. (monomorph)

ist dual nach Umbenennung

Epimorph

2. gfu = gfv m fu = fv (g mono-

ist dual, bimorph die KonJunktion

fu = fv ~ gfu = gfv ~ u = v (gf monomorph),

f (

) g, der dritte Tell ein Corollar

beider epimorph

zu diesen beiden

Aussagen. Satz 4.1.3.1.

f : A

Mengenabbildung

) B ist monomorph,

f. = E(Ix,f)

: e(X,A)

Ir

genau wenn fttr jedes X E ) ~(X,B)

inJektiv

(~ monomorph

die in Me)

ist, 2. f* = ~(f,1 x) 3. f. : ~(X,A) Beweis:

f : B : ~(A,X)

) ~(B,X)

f : A

) ~(X,B) und f* 9 ~(B,X)

3. Konjunktion

in Me, dualisiert

wird,

(Man vergleiche

Lemma 4 . 1 . 4 .

Ist

genau wenn fi~l~ Jedes X E I~I

inJektiv

) B ist bimorph,

1. Nach Definition

2. dual,

bleibt

) A ist epimorph,

(* monomorph

genau wenn f ~ ~ ~(A,X)

(,) in Me) ist, Jedes X E I~I

injektiv

(* monomorph

in Me) sind.

ist f.u = fu, f.v = fv fur u, v E ~(X,A).

bei Umbenennung

in 2. Man beachte,

da~ nut in ~, nicht

so da~ in Me in allen F~llen inJek-tiv (monomorph)

erhalten

4.6).

f monomorph, e p i m o r p h , bimorph i n ~, so i n J e d e r U n t e r k a t e g o r i e

y o n ~, d i e f e n t h ~ l t . Der Beweis ist trivial. (~, e, ~ c A ) 4.2.8.1.

zeigen.

Die Umkehrung

gilt nicht, wie die Beispiele

Das Lemma ist Spezialfall

der allgemeineren

in 4.1.1

Aussage yon

-

40

4.2

Dutch

(OZl)

g c z f :- Au, v (uf = vf ~ ug = vg)

-

definieren wit eine schwache Ordnung (s-Ordnung) c z auf ~, wo ,g c z f" als ,gist

am Ziel in f enthalten" zu lesen ist.

c Z ist eine schwaohe Ordnung, da (sol)

f c f (reflexiv, 2.3.1 to I) und

(so2)

f c g c h ~ f c h (transitiv, 2.3.1 to3) gelten.

Im allgemeinen ist c Z nicht antlsymmetrisch (2.3.1 to2), wie wit unten zeigen. Le .mma 4.2.1.

g c Z f ~ Zg = Zf.

Beweis: g c z f ~ (Izff = lzff ~ Izfg = Izfg). Izfg beinhaltet naoh Vereinbarung, da~ Q1zf = Zg ist. c Z zerf~llt demnach in eine Familie von Orduungsrelatlonen in den Mengen ~(',B)

:=

U

~(A,B) = If I Zf = B].

A Trivial sind Lemma 4.2.2.

f c z Izf fur jedes f u n d

Lemma 4.2.3.

Izf c Z f ~ f epimorph.

Da~ c z im allgemeinen nicht antisymmetrisch ist, folgt d ~ n

aus f c z 1 c z f fur

epimorphes f (~ I). 4.2.4

In Me, Ab, Top und einer Reihe weiterer Beispielkategoriem best~tigt

man, da~ g c Z f gilt, genau wenn das Bild von g im Bild yon f enthalten ist. In allgemeinen Ka%egorien brauchen Morphismen kein ,Bild" zu haben, und g c Z f Ist Ersatz fur ,Das Bild yon g i s t q : ~ c R

im Bild yon f enthalten". Man beachte, da~

epimorph in der Kategorie der Hausdorffr~ume

I c Z q, o b w o h l R

ist (4.1.1.2), also

~ Q ist. Hier stlmmt also g c Z f nicht mit Bild g c Bild f

~bereln, falls Bild (h : X

) Y) := [hx J x E X]

wie ~blich definiert wird.

Die ~bereinstlmmung wird erzielt, wenn man Bild h als abgeschlossene H~lle yon [h x I x E X] definiert. Wir kommen auf dlesen Punkt sp~ter (4.8.3) und in [393 zur~ck.

4.2.5

Dual definiert man g CQ f, ,,gist an der Quelle in f enthalten", dutch

(OQ1)

g CQ f :~ / ~ , v

(fu = fv - gu = gv).

Man erh~it eine s-Ordmung in ~, die in s-Ordnungen in den ~(B,.) = [f J Qf = B] zerf~llt und hat

-

Lemma 4.2.~.1.

41

g CQ f ~ Qg = Qf,

2.

f CQ IQf f~hr Jedes f,

3.

IQf CQ f ~ f monomorph und

Corollar 4.2.6

-

IQf cQ f u n d

Izf c Z f ~ f bimorph.

In Me, Ab, Top ist g CQ f, wenn das Bild (besser Cobild) yon g dutch Quotientenbildung (Restklassen) aus dem von f gewonnen wird, so da~ die Quotlentenbildung in dem durch das Diagr~mm g ,, 9

~

t

J

angedeuteten Sinne mit f u n d 4.2.7

g vertr~glich ist (Quotientenbildung

[x]fl

8her das Verhalten yon c bel Funktoren hat man

Lemma 4.2.8.

Ist F : ~ I.

) 9 injektlv, so gilt

Fg c Z Ff = g c z f, Fg CQ Ff = g CQ f bei kovariantem F u n d

2.

Fg c Z Ff = g CQ f, Fg CQ Ff = g c Z f bei kontravariantem F.

Beweis: Cz, F kovariant: Sei uf = vf, dann (Fu)(Ff) = ( ~ ) ( F f ) ,

also

F(ug) = (Fu)(Fg) = (Fv)(Fg) = F(vg), da Fg c Z Ff und F Funktor ist. ug = vg gilt, da F injektiv ist. Die anderen Aussagen erh~lt man dutch Dualisieren. Au~erdem sind CZ, cQ in gewissem Sinne nat~rlich, Lemma 4.2. 9 .

d.h.

g c Z f ~ hg c Z hf fthr jedes h mit Qh = Zf = Zg, g CQ f ~ gh CQ fh f~r jedes h mit Zh = Qf = Qg.

Bewels: uhf = vhf ~ uhg = vhg. Trivial ist Lemma 4.2.10. g c Z f = gh c Z f fGr jedes h mit Zh = Qg, g CQ f = hg CQ f fttr jedes h mit Qh = Zg. Z.B.

g c Z f ~ g c Z fh kann man nicht allgemeln folgern;

sch~rfer h epimorph,

so ist auch diese Formel rlchtig.

ist f c Z fh oder

[X]g).

-

4.3

(oz2)

42

-

Wit definieren

g ~z z :~ V h g-- Zh

und lesen ,,fist hinterer Faktor yon g" oder , g i s t hlnten kleiner als f". 0ffenbar ist ~Z eine schwache Ordaumg auf ~, die wegen Lemma 4.~.I.

g ~Z f = Zg = Zf

~(. ,B)

in eine Familie yon s-Ordmungen im den

zerf~llt.

Man illustriere g
)

9

g

und bemerke, da~ aus dem kanonisch in Me zu interpretierenden Diagramm f

[0, I]

) [0]

(Diagramm 4.3.2)

=

I

[ol folgt, da~ weder ~Z antisymmetrisch, noch h in g = fh eindeutig bestimmt ist. 4..3.3 Sind f,g in Me, Ab, Top Einbettungen yon Umtermengen (injektiv), Untergruppen (injektiv, momomorph), Unterr~ume (bier genGgt injektiv micht: Qf, Qg m~ssen die induzierte Topologle tragen:), so ist g ~Z f gerade Qg = Bi~d g c Bild f = Qf, ~Z u n d c Z stimmen also ~bereim. 4.3.____~4 Trivial ist Lemma 4.3.~. (4.3.6)

f ~Z IZf fur Jedes f, da f = Izff ist. Wit definieren

f hei~t Retraktlon :~ Izf ~Z f"

,,Retraktion" ist der Topologie entlehnt und wird dutch

1

s

/ 9

)

9

I illustriert. Hat man fh = I, so heist f eine Retraktion zu h.

-

Lemma 4.3.7. Beweis:

43

-

g ~Z f = g CZ f"

uf = vf und g = fh = ug = ufh = vfh = vg.

Corollar 4.3.8.

Retraktionen

sind epimorph

(4.2.3).

Die Umkehrung yon 4.3.7 gilt im allgemeinen nlcht: 4.3.8.1.

FUr n ~ 0,1 ist die kanonische

ProJektlon

) ~ n keine Retraktion

in Ab, abet epimorph. 4.3.8.2.

Die Tangentialfaserung

ohne Nullstellen

der S 2 (2-Sphere

zu (z.B. Hirzebruch

Igel hat mlndestens

[21; 17.3.2,

einen Glatzp-n~t").

tialen B~udel erh~lt man elne eplmorphe

i n ~ 3) l ~ t

17.3.3] ,Ein stetig gek~mmter

Nach Entfernung Faserung,

keine Schnitte

der Nullen aus dem tangen-

die kelne Retraktlon

(in Top)

ist. 4.3.8. 7 . f : X

Man hat aber: f E Me ist epimorph, ) Y ist eplmorph,

genau wenn f elne Retraktion

genau wemn surJektlv.

Ist:

Zu y E Y ist [x I fx = y] { @.

Man w~hle zu jedem y elm solches x umd erh~lt h : Y

) X mlt fh = 1 (3.1.2;

9x(fX = y) zu y). 4.3.9.

In fh = I ksnn man fh = f.h setzen. Damit erhalten wlr:

Satz 4.3.10.

f : A

f. : ~(X,A)

)~(X,B)

Beweis: hg : X

) B ist Retraktion, surjektiv

(epimorph in Me) ist.

I. , =: " Sei fh = IB. FUr g : X ) A.

2..

@: " S e i f .

genau wemn fur jedes X

surjektiv.

~) B ist g = IBg, also g = f.(hg) mit Man setzt X = B. D~nn exlstlert

h E ~(B,A) mlt fh = f.h = IB. 4.4

Wir dualisieren

(oQ2)

g

Qz

und lesen . f i s t

4.3 und definieren

h g =hZ vorderer Faktor yon g" oder . g i s t

vorn kleiner als f".

~Q ist s-Ord~ung auf ~, die wegen Lemma 4.4.1.

g ~Q f ~ Qg = Qf

in elne Familie yon s-Ordnungen

in den ~(B,.)

Im allgemelnen ist ~Q kelne t-Ordnung Lemma 4.4.2.

f ~Q IQf f~r Jedes f.

Wir definleren (4.4.3~

f hei~t Schnitt

:~ IQf ~Qf.

zerf~llt.

(nicht antlsymmetrisch).

-

44

-

,,Schmitt" ist der Theorie der Faserungen entlehmt und wird dutch

Jl 1

illustrlert.

Hat man hf = I, so heist f auch Schnitt zu (in) h.

Lemma 4.4.4. g -Q f = g CQ f Corollar 4.4.5.

Schnitte sind monomorph.

DaB die Umkehrung vom 4.4.4 im allgemeimen nicht gilt, folgt aus dem Bemerkungen nach 4.3.8. Wir geben weitere Beispiele: 4.4.5.1.

FUr n ~ 0,1 i s t ~

m)~

(z t

> nz) monomorph,

n > ~ w~re Gbrigems elm Schnitt, genau w e n m ~ tlon w~re (Split exact sequence 4.4.5.2.

S I c E 2 (Kreislinie

einem kommutativem

aber keim Schmitt in Ab,

) ~n" yen 4.3.8.1 elne Retrak-

[39]).

in Kreisscheibe)

in Top ist keln Schnitt, da aus

Diagr~mm

SI

c

E2

~ --------~ 0

\ ein kom~utatives

I ~

i

SI

E

in Gr oder Ab folgt (Pundamentalgruppe,

l-re

(singul~re)

4.4.5.3. Dagegen gilt: f E Me ist ein Schnitt, Qf / ~ oder Zf = ~ ist. FUr f : X 9

Homologle).

genau wenn f monomorph und

> Y definiert man h : Y

die y = fx in x und dem Rest irgendwohin abbildet

~. X, indem man

(3.1.2).

Dual zu 4.3.10 ist Satz 4.4.6.

f : B

f* : ~(A,X)

) ~(B,X) surjektiv

4. 5

) A ist Schnitt,

genau wenn fttr jedes X

(epimorph im Me) ist.

Wir erinnern daran, dab f eine ~quivalenz

wenn h mit hf = I und fh = 1 existiert. Satz 4.5.1.

(logisch)

~quivalent

Man hat

sind:

I.

f ist eine ~quivalenz,

2.

fist

3.

f ist Retraktion und monomorph,

4.

fist

Schnltt und epimorph,

Schnitt und Retraktion.

Weitere ~quivalente

Formulierungen:

3.4.5.

(oder nm~ehrbar) heist,

-

Beweis:

45

-

I = 2: Wegen hf = I ist f Schnltt, wegen 4.1.2.1, 4.1.2.3.2 eplmorph.

2 = 1, 4: Aus If = f = fl = f(hf) = (fh)f folgt I = fh, da f eplmorph Ist. 4 = 2" 4.3.8.

I ~ 3: Duallsierung von I ~ 2, da 3 dual zu 2 und I selbst-

dual ist. Trivial ist : Satz 4.5.2.1.

Einhelten sind ~qulvalenzen

2.

Mit f und g i s t

3. I Ist gf Schnltt,

gf Schnitt

(= Retraktlonen,

Schnitte),

(Retraktlon, ~quivalenz),

so ist f Schnitt,

3.2 Ist gf Retraktlon,

so ist g Retraktlon,

3.3 (=) Ist gf ~qulvalenz,

so f Schnltt und g Retraktion,

wozu man 4.1.2 verglelche. Corollar 4.5.3.

Aquivalenzen sind bimorph.

Die Umkehrumg, gilt im allgemeinen nicht genau wenn bimorph (4.3.8.3, 4.4.5.3,

(~ c ~ ! ) ,

jedoch ist f s Me ~qulvalenz,

3.1.2).

Wir formulieren noch einmal ausdrUcklich (4.5.4)

Ist gf = I und fh = I, so g = h,

was wir schon in 3. I bemerkt haben umd erlmnern an die Bezelchnung f-1 fur die Umkehrung von f. Satz 4.5.5.

Ist f Schnltt, Retraktion,

Aquivalenz in ~, so in jeder 0berkate-

gorie yon ~, ist Corollar zu der allgemeineren Feststellung Satz 4.5.6.

Kovariante Funktoren Gbertragen ~Z und
~berfthhren
Ist F kovariant und g
und dual. Man hat die 4.2.9, 4.2.10 entsprechenden NatGrllchkeiten.

F~r g ~Z f = g
benStigt man hier f ~Z fh oder sch~rfer, da~ h eine Retraktion ist. 4.6

Die Formulierung von insbesondere 4. I. 3. I - 4.3.10, 4. I. 3.2 - 4.4.6

legt elne gewisse ,,Duallt~t" zwischen m o n o m o r p h - Retraktion, nahe. Wir stellen zuerst fest:

epimorph - Schnltt

-

(4.6.1) A

-

f~ B ist monomorph ~ f..~ ~(?,A) ---* ~(?,B) monomorph

(4.6.2) A (f (4.6.3) A

B ist epimorph ~ f* : G(A,?)

Beweis:

f ~

4.5.6,

4.3.8

; au~erdem sind f .~ ~ f., f !

und 2. Wir zeigen: F~r ~ : S Ist jedes ~X injektiv

~4.6.6)

Ist ~ Retraktion I. Sei ~

= ~

> ~(B,?) Retraktion

(monomorph),

) f* injektiv,

in Nat ist.

daher gilt

@

in I.

) Me gilt

so ist ~ monomorph

in Nat, so ist jedes ~X surjektiv fttr U ~ S

in Nat ist,

daher gilt = in 3. und 4. nach

) T bel S,T : ~

~4.6.5)

in Nat ist,

) ~(?,B) Retraktion

B ist Schnltt ~ f* : ~(A,?) ) f., f .~ ~ f* sind Funktoren,

in Nat ist,

) ~(B,?) monomorph

f) B ist Retraktion ~ f. : G(?,A)

(4.6.4) A (f

Beweis:

46

~ ) T, also U : ~

(in Nat),

(epimorph).

~Me.

F~r X E I~],

x E UX ist (~X)(~X)x = (~X)(~X)x und da ~X injektiv ist,

(~X)x = (~X)x,

also ~ = ~.

= ITX und ~X epi-

morph

2. Existiert

$ mit @~ = ST, so ist (~X)(,X)

(4.3.8).

FtLr kovariantes

F : ~

Dutch Dualisierung

) ~ heist f E ~ F-monomorph,

wenn Ff monomorph

und Wahl spezieller ~, F erh~lt man:

(4.6.7) keine Dualisierung,

~ = Nat, F = (f I

) f.), monomorph,

(4.6.B~ Dualisierung von ~, ~ = Nat, F = (f ~

) f*), epimorph,

(4.6.9) Dualisierung von ~, ~ = Nat, F = (f !

) f.), Retraktion,

(4.6.10) Dualisierung yon G und ~, ~ = Nat, F = (f ! Man beachte,

ist.

) f*), Schnitt.

da~ erst dualisiert wird und danach F u n d

Statt Nat kann man die einzelnen Natv(~,Me)

nehmen,

Zus~mmenhang mit der Dualisierung yon 9 in Natv(G,~)

~ spezialisiert

werden.

in die Nat zerf~llt und den untersuchen,

bei anschlie-

~ender Wahl yon ~ = Me. 4.7

Als technische

Spielerel bemerken wit, dab man CZ, cQ, monomorph, epif morph, bimorph s~mtlich mit Hilfe von ~ definieren kann: Zuerst c z : 9 ~ B definiert eine Aquivalenzrelation die Restklassenmenge

Ffu

so hu ~f hv, h definiert varianter Funktor ~

:= ~(B,Y)/~f.

Ist Y

Transformation

de~inlert.

FtLr Y E J@J bilde man

h ) y,, und u, v E G(B,Y) und u ~f v,

also eine Abbildung Ffh

) Me und die kanonlschen

liefern eine natGrliche ~Q ~ in Nat(~,Me)

u ~f v :~ uf = vf in ~(B,.).

: FfY

) FfY'. Ff ist ein ko-

Projektionen

~ : G(B,?)

~(B,Y) ~ u

) Ff. g c z f wird durch

= FfY

-

47

-

Dual erh~it man CQ ebenfalls aus ~ ~Q ~, wo jetzt z.B. ~ : ~(Y,B)

FfY

mit FfY = ~(Y,B)/~f mit u ~ v * fu = fv ist. D~-n deflniert man ,,f monomorph

4.s

:~ I CQ f. etc..

Ist in Me, Ab, Top X Untermenge,

Jedes 9

~

Untergruppe,

Unterraum,

so kann

Y, dessen Bild im Bild yon X (=X) liegt, als g 9

mit (homomorphem,

)y

stetigem) h zerlegt werden und h Ist eindeutlg bestimmt.

Betrachten wir statt X c Y irgendein f : X---@ Y, so genGgt fttr die Faktorisierbarkeit in Me, Ab, dab f monomorph ist, in Top mu~ au~erdem X die von f induzierte Topologie

tragen (A c X ist offen * fA = fX 0 B mit einem in Y offenen B).

Die Bedingung monomorph ist ~quivalent mit der Eindeutigkeit mengen, -gruppen,

-r~ume sind dutch die duale Eigenschaft

4.8.1 f E 9 heist Einbettung,

yon h. Quotienten-

charakterlsiert.

went

(E) f~r Jedes g ,Lit g c z f genau ein h mit g = fh existiert, was f ~\ \

Jlg @

illustriert. Setzt man (El)

f Ist monomorph,

(E2)

~(g

Cz f ~ g ~Z f)' so gilt

Lemma 4.8.2. E - (El und E2) Be.wels: E = El: S e i fu = fv. Man hat fu = fv c Z f (4.2.10),

also genau ein

h ~klt fu = fv = fh, also u = v = h. 4.8.3 Nach den elnleitenden Bemerkungen beschreiben Einbettungen w~nschte. Man Gberzeuge sich, dab in der Kategorle bildungen Einbettungen bettung).

die abgeschlossenen

Bei topologischen

der Hausdorffr~ume

Unterr~ume beschreiben

Gruppen und stetigen Homomorphlsmen

Untergruppen.

Wit sind der Ansicht,

die richtigen

,Unterobjekte"

sind.

in Me, Ab, Top das Ge-

dab abgeschlossene

und stetigen Ab-

(Q c R

ist kelne Ein-

erh~lt man abgeschlossene

Untergruppen

in diesen Kategorlen

-

48

-

Lemma 4.8.4. Schnltte siud Einbettungen. Bewels: monomorph nach 4.4.5. Ist f Schnltt,

also hf = I fur geeignetes h und

g c Z f, so folgt aus (fh)f = f(hf) = fl = f = lf, da~ f(hg) = (fh)g = lg = g Ist, also g
Ist f : 9

) B eplmorph,

IB
slnd ~qulvalenzen 4.9

slnd ~qulvalenzen

f ~Z g

ist, folgt

ist (4.3.6). Monomorphe Retraktionen

(4.5. I).


(~Z)

(~ Schnltte).

so IB c z f (4.2.3); da f Einbettung

der Retraktlon

jedoch gilt

~Z in 9 mlt

f
TM

Aus dem Diagramm 4.3.2 entnimmt man, da~ man so zun~chst keine sehr sinnvolle Relation erh~lt

(z. B. sind in Me alle Morphlsmen mit dem gleichen einp,,n~tigen

Ziel und nioht leerer Quelle ~quivalent). Wlr beweisen Satz 4.~.1.

Ist f = gh und g = fh' und slnd f u n d

g monomorph,

so ist

hh' = 1 und h'h = 1. Corollar 4.9.2. Iet f ~Z g und sind f u n d valent. h -I

Eine ~quivalenz h : Qf

: Qg

g monomorph,

so sind Qf und Qg ~qui-

) Qg kann mlt gh = f gew~hlt werden.

~ Qf genUgt d-~- fh -1 = g.

Beweis: Es ist gl = g = fh' = ghh', also hh' = 1, da g monomorph ist und fl = f = gh = fh'h, also h'h = 1, da f monomorph ist. Bei Beschr~-~ung

auf monomorphe Morphismen

sinnvollere

~quivalenzrelation.

4.9. 3 Mort B

eel die Menge aller monomorphen

~Z auf Mon B

elne lquivalenzrelation

lquivalenzklassen mlt
erhalten wir offenbar eine wesentlich

9

und
[f]z := [g I g ~Z f}' f E M o n B Wlr haben also zu S01,2

If3 < [g] ~d

) B.
[g] < If3 ~ If3 -

[g3.

- elne t-Ordnung,

die wlr auch

-

Satz 4.~.4. Element

49

-

(Mon B/~Z, 9 ) ist eine t-geordnete Menge und hat eln gr~Btes

[IB] z-

Beweis: f 9

1Zf fGr jedes f (4.3.5). Aus 4.9.1 folgt, dab [IB] Z genau aus

allen ~quivalenzen

9

) B besteht.

Lemma 4.9.~. Eine ~quivalenzklasse Einbettungen

yon Monomorphismen

enth~lt entweder nur

oder keine Einbettung.

Beweis: Sei If] = [g] mit monomorphen f,g. f sel Einbettung und u c g. Da f ~ g i s t ,

ist g ~ f also g c f (4.3.7), also u ~ g c f oder u ~ f.

Da f Einbettung ist, ist u 9 f. Da f 9 g (f ~ g) ist, ist u 9 f ~ g, also u 9 g und g Einbettung. Eine Aquivalenzklasse

yon Einbettl,mgen 9

) B heist ein Teil 13) yon B.

Die Menge aller Teile yon B sei Tel B. f E E Tel B heist [f]z E Tel B, also dab f eine Einbettung ist. Nach 4.9.5 ist Tel B c Mort B/~ z und auch mittels 9 Einbettungen

t-geordnet.

Da Identit~ten

sind, gilt

Satz 4.9.6.

(Tei B, 9 ) ist eine t-geordnete Menge mit g r ~ t e m

Auf Tel B stlmmen 9

und die yon c Z induzierte

Element

Ordnung Gberein,

lIB] Z.

da bereits

g CZ f * g ~Z f gilt, wenn nut f eine Einbettung ist. Statt durch ~quivalenzklassen Repr~sentanten

h~tte man Tei B ebensogut durch Ausw~hl yon

definieren kSnnen, und das geschieht auch h~ufig.

weise repr~sentiert

man dann [IB] dutch IB.

4.9.7

g.~B wird man erwarten,

Bei 9

f) A

dab aus f E E Tel A, g E E Tel B

folgt, dab gf E E Tel B ist. Das ist nicht richtig, (T. tom Dieck) zeigt: 9 sel di~ Kategorie,

gl f

hlgl f = hlg2f = h2g2f = h2glf

Sinnvoller-

wie folgendes Beispiel

die dutch das DiagrAmm

h2g 2 = hlg 2 illustriert wird mit

-

50

-

den dutch h2g 2 = hlg 2 und gl f = g2 f erzeugten angegebenen Gleichheitsbeziehungen,

fund

g2 sind Einbettungen,

g2 f i s t

keine Einbettung

: fist

und es existiert kein f' c f (f, ~ f), daher ist f Einbettung.

monomorph,

(Man beachte,

dab nicht etwa Izf c f i s t ! ) . g2 ist monomorph und g' c g2 ist ~quivalent mit hlg' = h2g'

, und dae gilt fur

g2' g2 f' gl f start g'. Klar ist g2' g2 f' gl f 9 g2 (g2 f = gl f!)' so dab g2 Einbettung iet. ~ r e Einbettung,

so mG~te wegen g2 c g2 f auch g2 9 g2 f s e i ~ u n d

g2 f

dieee Relation gilt

nicht. 4.10.

Wit dualisieren 4.8, 4.9: f E ~ heiBt Identifizlerung,

(I)

f~tr jedes g mit g CQ f genau ein h mit g = hf exletiert.

Iist

~quivalent mit der Eonjunktion yon

(11)

fist

wenn

epimorph und

(12) A g g c Q ~ g 9 Man Gberzeuge

sich, dab Identifizierungen

mengen, -gruppen, Lemma 4.10.1.

in Me, Ab, Top die ~blichen Quotlenten-

-r~ume beschreiben.

Retraktionen

sind Identlfizierungen

(4.8.4), wozu man fur die Um-

kehrung 4.11 vergleiche. Lemma 4.10.2. 4.10.3 (AQ)

Monomorphe

Identifizlerungen

sind ~quivalenzen

(4.8.5).

~Q ist durch f ~Q g :~ f ~Q g und g 9

Satz 4.10.4.

f definiert.

Ist f = hg und g = h'f und sind s und g epimorph,

so ist h'h = I

und hh' = 1 (4.9.1). Corollar 4.10.5.

Ist f ~Q g und sind f und g epimorph,

valent. Die ~quivalenz h : Zg h -I : Zf

so sind Zf und Zg ~qui-

) Zf kan~ mit hg = f gew~hlt werden.

~ Zg genGgt dAn~ h-lf = g.

Die Menge EpiB

aller epimorphen B

wird eine t-Ordnung,

die wir auch 9

Element yon (Epi ~/~Q, 9

) 9

mit ~Q s-geordnet.

bezeichnen,

induziert.

Auf EpiB/~Q

~IB] Q ist gr~Btes

und enth~lt genau alle ~quivalenzen B

~ 9 .

-

51

-

Lemma 4.10.6. Eine ~quivalenzklasse yon Epimorphismen enth~lt entweder nut Identifizierungen oder keine Identifizierung. Die ~quivalenzklassen yon Identifizierungen B

) 9 hei~en die Quotienten yon B.

Die Menge aller Quotienten von B sei QuotB . f E E Quot B bedeutet, da~ f Identifizierung ist. Wegen 4.10.6 ist Quot B c Epi B/~Q.

( Qu ot ~

~Q) ist t-geordnet

mlt gr6~tem Element CIB] Q. Dieselbe 0rdmumg auf Quot B erh~lt man mit CQ. Man hat das zu 4.9.7 duale Beispiel. Die yon Eckmanm-Hilton in Epi B verwendete 0rdnung ~EH ist g ~EH f * f ~Q g" Betrachtet man F~lle, in denen E p i ~

ein Verband ist [393, so beachte man eine

entsprechende Vertauschung der Bezeichnungen bei den Verbandsoperationen.

Unsere

0rduung wurde im Hinbllck auf die Behandlung der I-Kategorien in [39] gew~hlt. 4.11

Wit erinnern an

Schnltt ~ Einbettung ~ monomorph (4.8.4, 4.8.2), Retraktion ~ Identifizierung ~ epimorph (dual), ~quivalenz - Einbettung und Identifizlerumg = bimorph ( ~ :

4.8.5).

In speziellen Kategorien sind einzelne der Fo~gebeziehungen umkehrbar. Wit stellen einige Beispiele fur Umkehrbarkeit und Nicht,m~ehrbarkeit zus~mmen: 4.11.1

Me: Epimorph = Identifizierung ~ Retraktlon (4.3.8.3).

4.11.2

Gr, Ab, RMod: Epimorph ~ Identifizierung # Retraktion.

Man zeige, da~ aus g CQ f die entsprechende Relation ~ CQ Y fur die f,g zugrundeliegende Mengenabbildung folgt (Benutzung freier Gruppen etc. wie in 4. I. I ). ist epimorph und nach 4.11.1 Identifizierung,

also ~ CQ ~ ~ ~ ~Q ~. Es existiert

also eine Mengenabbildung H mit ~ = 3r. Damn zeige man, da~ bel epimorphem f (f surj.) nit Y und ~ Y = ~ auch H die algebraische Struktur respektiert. )Z~n (n ~ 0,1) ist keine Retraktion in Gr o Ab =2ZMod, abet Identifizierung. 4.11.3 MePa: Eplmorph ~ Identifizierung ~ Retraktion. F~r ((X,A), (Y,B), F) setzen wit f := (X, Y, P), f' := (A, B, (A • B)0F). ((X,A), (Y,B), F) ist epimorph, genau wenn f epimorph in Me ist und Identifizlerung, genau wenn f u n d

f' epimorph sind.

-

52

-

In diesem Falle sind f, f' einzeln Retraktionen, und der Schnitt zu f kann so gew~hlt werden, da~ er auf B mit elnem beliebigen vorher zu f' gew~hlten Schnitt Gbereinstimmt. 4.11.4.

Top: Epimorph # Identifizierung ~ Retraktion.

f in Top ist monomorph (epimorph), genau wenn die zugrundeliegende Mengenabbildung monomorph (epimorph) in Me ist. FUr ein mindestens zweielementiges X ist die dutch IX definierte stetige Abbildung (X,D) diskreten in X mit der Klumpentopologie

) (X,K) yon X mit der

(nut X und ~ sind offen) bimorph, abet

keine Identifizierung, da sie andernfalls eine lquivalenz (homSomorph) w~re (4.10.2). Oder man stellt lest, da~ f : A

) B Identifizierung Ist, genau

wenn die Topologie yon B die Eigenschaf% .C c B offen ~ f - 1 C f epimorph ist. (X,D) I

offen" hat und

) (X,K) let damn offenbar keine Identifizierung.

f) S 1 mit fx = (1,2~x) in Polarkoordinaten (r,~) ist eine Identifizierung,

abet keine Retraktion, da die Fundamentalgruppe oder erste (singul~re) Homologlegruppe aus I f S1

~f 1

>

0 ein kommutatives Diagr~mm

SI

f ~ f . ~"

1

)~'

ableitet. Man Gberlege Beispiele fILr die dualen F~lle. F~r monomorph = Einbettung m Schnitt gehe man in PuMe (wegen ~ in 4.4.5.3). 4.12 Sei f : A Gf : ~ fttr h : X

Wit geben eine andere Charakterisierung yon Einbettungen (Dold): ~ B. Wit definieren einen kontravarianten Funktor ) Me :

GfX := {g J Qg = X und g c z f I;

> X' gilt g c Z f ~ gh c Z f (4.2.10), so da~ Gfh : GfX'

> G~

dutch (Gfh)g := gh definiert werden k~nn. Man hat eine natttrliche Transformation ~, die

f. )

Gf kommut at iv macht.

-

Ist ~ eine ~quivatenz, ~X epimorph,

53

-

so ist jedes f.X monomorph,

was gerade g ~Z f bedeutet~

den Funktor Gf repr~sentiert.

fist

atso f monomorph und jedes

atso Einbettung,

genau wenn A

-

.

Produkte

: Z

~ X, f2 : Z

) Y Abbildungen,

fz := (flz,f2 z) E X x Y eine Abbildung

Sind Pl : X x Z Pl(X,y)

-

umd Coprodukte

Sind X, Y, Z Mengen und fl die Festsetzung

54

) X, P2 : X x Y

= x, P2(x,y)

f : Z

) Y die kanonlschen

so definlert ) X x Z.

Projektionem

mit

= y, so erh~lt man fl = Plf' f2 = P2 f"

sel eine Kategorle. 5.1

Ein Diagr~mm A I

Pl

D - - ~ A 2 hei#t ein Preduktdiagr~mm,

wemm slch

jedes Diagrsmm

jY

X

AI

dutch genau elnem Morphlsmus

A2

f : X

~ D zu elnem kommutatlven

DiagrAmm

X

s

A2

D

erg~uzen

l~t,

alas hei~t,

wenn fttr jedes X die dutch f l

Abbildung .g(X,D) 9 ~ ~(X,A I) x ~(X,A2) A I, A2, D wle oben exlstlert ~(?,AI) x ~(?,A2) ~(?,AI)

: ~

x ~(?,A2)

ist trivial;

: ~

@:

man f~r jedes f : X (f* x f*)(pl,P2)

(4.1.1,

) W(?,AI)

als ~I D (wle 3.4.3).

~(?,D),

sind, das hei~t, wenn D den ?unktor

re~r~sentlert

Ist ~ : ~(?,D)

erh~lt man (pl,P2)

ist. Ein Produktdlagr~ mm mlt

also, genau wenn die Funktoren

~ Me ~qulvalent )Me

bijektlv

) (pl f, p2 f) deflnlerte

4.2.4,

x ~(?,A2)

3.1.2,

3.2.1).

eine ~qulvalen~.,

~ ist Funktor~qulvalenz,

so

daher reckuet

~ D aus, da~ (~X)f = ~(IDf) = ~(f*1 D) = (f* x f*)(~D)1D

= (f'P1' f'P2 ) = (Pl f' P2 f) ist, wle mlt dem Diagr~mm

--

-

r

55

-

) r

x r

~(f,D) = f*I

2)

Ir

~(D,D)

)r

x r

= f*

x

f*

x ~(D,A2)

illustriert. Man beachte den Sonderfall, dap eines der ~(X,.) leer ist (Belspiel: ~ = Me, A I ~ ~, A 2 = ~, X ~ ~). Wie bei der Definition yon Teilen und Quotienten sind PI' P2 hier wesentlich. Bei der letzten Charakterisierung mup man g mit angeben, wenn man das ProduktdiagrAmm auffinden will. Die Umkehrung von ~ bezeichnen wlr der Einfachheit halber als [?,73~ =: t?,?3 oder mit [?,?3p =: [?,?3, wo P das Diagr~mm Pl P2 AI ( D ) A 2 bezeichnet. D ~ ist f = [pl f, p2 f] : X > D und pv[fl,f2] = fv' v = 1,2. Satz 5.1.1.

E(AI'A2) ~ ~ ~ Pl ist Retraktion.

Beweis: r

F) ~(AI,A I) x E(AI,A2) ist bijektiv und fttr beliebiges

g : A I ---@A 2 ist P111A1, g] = IAI. Ist Pl Retraktion, so W(AI,D) # ~ und da Abbildumg (bijektiv), ist auch g(AI,A 2) ~ ~. Corollar 5.1.2.

E(AI'A2) ~ ~ = Pl ist epimorph.

Vertauschung der Zahlen I u n d

2 (DualitEt der Hilfskonstanten) liefert die ent-

sprechenden Ergebnlsse fttr P2" In dem oben erwHhnten Sonderfall ist Me(AI, A 2) = ~ bei A I # ~, A 2 = ~. Pl ist nicht epimorph. 5.2

Betrachtet man Pl AI ~ fx[

B1 ~" Pl '

P2 D

) A2

~f2 D' -P2-"~ B2

wo die Zeilen Produktdiagr~mme slnd, so gibt es genau einen Morphismus f : D

~ D',

der das Diagrnmm kommutativ macht, n~mlich f = [flPl , f2P23p, , wenn wir die untere Zeile mit P' bezeichnen.

-

56

-

Man bezeichnet f = [flPl, f2P2 ] =: (fl x f2)p,p , wo P die obere Zetle des ~lagr~mm8 ist. Bei Mengen mit D = A I x A2, D' = B I x B 2 s

(fl x f2)(x,y ) = (flx,f2y). Rechenregeln: Satz ~.2.1. 2. 3. 4.

Beweis:

[g1' g2]P h = [gl h' g2h]p (fl x f2)p,p[gl,g2]p = [flgl, f2g2]p, (gl x g2)p,p,(f I x f2)p,p = (glfl x g2f2)p,p (1

x 1)pp = 1

I. Nach Definition erg~Luzt [g1' g2]P das Diagr~mm X !

h

1

h

kommutativ zu

&2

gl

kI ~

X

g2

)A 2

1 ['gl 'g2 "i'~w

Man lasse g1' g2 fort. Wegen der Kommutatlvit~t

ist [g1' g2 ]h = [gl h' g2 hI'

da es nut eine Erg~mzumg gibt. Zu 2 betrachte mau

s

und argumentiere &hnllch.

AI

I

A2

I

D

1

B1 (

D'

'

~'2

I

I

)

B2

-

57

-

Zu 3 betrachte man A 1 ("

D

.> A 2

BI <

D'

) B2

CI ~ - -

D"

> C2

und 4 erh~lt man aus der Kommutativit~t

Coro%%ar

5.2.4.

diagramme,

it (

D

$ A2

A1 .

D

-), ,! 2 .

Sind P = (A 1 6

Man kann natttr%ich auch bemerken,

5.3

D

) A2) und P' = (A I (

so is% (IAI • IA2)P, P : D

daher ~quivalent

von

D'

> A2) T~odukt-

) D' eine Aquivalenz.

dab D, D' dense%ben Funktor repr~sentieren

und

sind.

Eine Kategorie ~ mit der Eigenschaf%

(P) ,Zu Jedem Paar (A I,A2) yon Objekten yon 9 existlert

(mlndestens)

ein Produkt-

diagramm" hei~t ,Kategorie mlt Produkten". P = (A I ( Coro%%ar

D

) A2) und bezeichne D --: A S x A2,

5.3.1.

x ist ein kovarianter

andere Auswah% hergeste%%t, Beweis:

Zu jedem Paar (A I ,A2) wKh%e man ein Produktdiagramm (fl x f2)p :: fs x f2"

Funktor ~ • ~

) ~. Wird x' wle x, aber dutch

so sind x umd x' ~quiva%ent.

l~mktor fo%gt aus 5.2.3.4, kovariant

ist klar.

Zur Aqulvalenz yon x und x'

ste%%e man mit 5.2.3.4 fes%, da~ die (IA1 x IA2)P,p eine natUr%iche x

~quiva%enz

) x' liefern.

8brigens

ist ~ ~ f ~

~ • ~ : (f,g) ,

~ ~ g ein Produktdiagramm

Kategorien und der kovarianten ~b~nktoren.

in der Ka%egorie

,a%%er"

-

5.4

58

-

(gl'g2)
gl "Z fl und g2
gl ~ fl und g2 ~ f2 ~ gl x g2 " fl x s

Corollar 5.4.2.

(
Sind f1' f2 Retraktlonen, Schnitte, ~quivalenzen, so ist

fl x f2 Retraktion, Sch~itt, Aqulvalenz. Wit zeigen Sat z 5.4.3.

gl CQ fl und g2 CQ f2 = gl x g2 cQ fl x f2"

Corollar 5.4.4. Sind fl' f2 monomorph, so ist fl x f2 monomorph. Beweis: gl = I, g2 = I, 4.2.5.3. Beweis des Satzes: Sei (Diagr~mm) gl CQ f1' g2 ~Q f2 und

Cv

gv

Av

v

)B v I

v

9 ,

hrk ) D

flxf2

(v = I ,2)

)I?' D"

(fl x f2)h = (fl x f2)k. DAnn ist fvPvh = P~(fl x f2)h = P~(fl x f2)k = fvPvk, ~aher gvpvh = gvpv k und (gl x g2)h = [glPl h, g2P2 hI = [glPl k, g2P2k] -- (gl x g2)k. c Z Gbertr~gt slch nlcht, wie aus dem Beispiet Eck~1~nn-Hilton [10; 8 7] hervorgeht, wo eine Kategorie konstrulert wird, die eln epimorphes h enth~lt, fur dash

x I nlcht

epimorph ist.

Das Produkt von Identiflzlerungen ist im allgemeinen kelne Identifizierung. Beispiel in Top: p : ~

) X identlfizlere ~Z zu elnem l~mkt. FUr die ratlonalen

Zahlen Q ist p x I : m x Q ~

X x ~ kelne Identlflzierung. Dutch zusatzliche For-

derungen an die Abbildungen oder die auftretenden R~ume lg~t slch elne Identifizierung erreichen: ~ghitehead [37; Lemma 4 p. 1131], Bourbakl [5; w 9 No.8 Prop. 9] (als Berichtlgung yon Bourbakl [4; Prop. 9.3]).

-

59

-

Wir beweisen jedoch: Satz ~.4.~.

Sind f1' f2 Einbettungen, so ist fl • f2 elne Ei~oettung.

Beweis: fl • f2 ist monomorph nach 5.4.4. Wir folgern g ~Z fl x f2 aus g c Z fl x f2 : Sei g CZ fl • f2" Wir zeigem zun~chst Pi g CZ fv (Diagramm!).

~

"-\

AI

) BI ~

gl

9

fl x f~ D

D' ~

~

X J

P2

""

P2"

Lgl,g2J /

f2 A2

) B2

/ /

Ist hf I = kfl, so hp~(f I x f2 )

g2

hflP I = kflP I = kp~(f I x f2) und daher

hp~g = kp~g. Genauso folgt p~g c z f2" Da f1' f2 Einbettungen sind, Ist p~g ~Zfl und p~g ~Z f2" Man hat Abbildungen (Diagr~mm) g1' g2 mit fvg v = pig. Fttr [g1' g2 ] : X fvg v 5.5

) D rechnet man nach pv(fl • f2)[gl, g2 ] = fvpv[gl, g2] = ,

pv g. Daher ist (fl x f2)[gl, g2 ] = g, also g ~Z fl • f2" Man kmnn darGber streiten, ob Produkte kommutativ sind odor sein

sollten. Nach unserer EinfUhrung slnd s i e e s nicht. Es ist jedoch plausibel, dab A I x A 2 und A 2 • A I (hat,filch) ~quivalent sind. Bei Mengen deflnlert man AI • A2

t ~ A2 • AI ' dutch t(a,b):= (b,a) und erh~lt eine natUrliche Trans-

formation des Funktors (AI,A2) I ) A I x A 2 in den Funktor (AI,A2) I ) A 2 x At, die eine Aquivalenz ist. Betrachtet man das Diagr~mm ~(?,A I x A2)

9 (?,A 2 • A I)

) ~(?,A I) • •(?,A 2)

~t

~'> e(?,A 2) x

~(?,A1),

so folgt aus der Bemerkung Gber Me, dab t eine ~quivalenz ist.

-

60

-

A I x A 2 und A 2 x A I repr~sentleren beide g(?,A I) x ~(?,A 2) (oder belde ~(?,A2) x ~(?,AI)) und sind daher natUrllch ~qulvalent. Elne Xquivalenz findet man als ,,~'-lt~ IAI x A 2'' = "~'-It(PI'P2)" = [P2'Pl ] =: eAI,A 2 (3.5.6), e hei~t Vertauschung und ist Transformation des Funktors (AI,A 2) !

) A 1 x A2

in (AI,A 2) ! ) A 2 x A I. Selbst f~Lr A I = A 2 =: A wird ~A,A im allgemelnen yon IA • A verschieden sein, wle man in Me sleht. ~.6

• ist

x ~ x ~

assoziativ,

d.h.

d i e ~ m W t o r e n ? • (? • ?) und (? • ?) • ? y o n

) Me sLud ~qulvalent. Allgemelner: Ist (Aj J j E J) eine Famille yon

Objekten yon ~, so heist sine Pamille (D

PJ> Aj I J E J)

l>rodulctdlagr~ mm

oder

,Darstellung yon D als Produkt der Aj", wenn fttr Jedes X die dutch f~--@ (pjf I J) deflnlerte Abbildung ~(X,D)

) X(~(X,Aj) I J) biJektiv ist, also wenn D mit

Hilfe der pj den Funktor X(~(?,Aj) I J) : ~

) Me repr~sentlert.

Zur Assozlativlt~t gilt Satz 5.6.1.

Ist J = J1 u J2 mit J1 0 J2 = ~ und sind (D I

PJ~ Aj I ~),

D.

(D 2 -L~Aj

I J2 ) und D I ~

q~2_~ D2 Prod uktdiagrannl~ so Ist

(D P~qv> Aj I (~,J) E I • Jl U 2 x J2) Produktdiagr,mm. Beweis: Man betrachte ~(X,D)

) G(X,DI) x ~(X,D2)

f P--~ (qlf,q2 f) :

~ ~ ~(X,Aj) x ~2~(X,Aj) J1

) ~ ~(X,Aj) J

~ ((PjqlflJ1),(Pjq2flJ2)) ~ ~ (pjqvZl(v,j)El•215

Allgemeiner kann m ~

genauso vorgehen ftLr jede Zerlegung

J = kEUKJk mit Jk n Jk' = ~ ftlr k ~ k'. ~.7

Beispiele:

1. Top:

x ist

das kartesische

Top f~tr J e d e F a m i l i e y o n t o p o l o g i s c h e n Element des Univers-ma ist, Man b i l d e t

komponentenweise. yon 5.7.1).

Bei Beschr~Jamg

Gruppen e x i s t i e r t

auf z.B.

das Produkt i.a.

ist.

( i n Me) und d e f i n i e r t

Des P r o d u k t e x i s t i e r t

in

R~umen, wenn d i e I n d e r m e n g e d e r F a m i l i e

fiber dem Top g e b i l d e t

das Produkt der Tr~ger

P r o d u k t und e x i s t i e r t

f~r

jede Familie

die Kategorie

nut fur endliche

2. Mo, Gr, Ab, RMod: die algebraische

Struktur

(m4t d e r E l n s c h r ~ m m g

der endlichen Fsmilien.

abelschen

-

5.8

Man dualislere: A I

9

Pl ~ D (

1

P2

61

-

A 2 hel~t Coproduktdlagr~mm,

I1"

werm suggestlv

A2

mit eindeutigem f gilt. Statt pl,P2,D schrelben wir melst 11,12,F (D von dlrekt, F yon frel (slehe Belsplel 5.8.7.6)). F repr~sentiert den Funktor ~(AI,?) x ~(A2,?) ~qulvalenz

(?11,?12) , wenm wir i fur p schreiben.

: ~

) Me mlttels der

Zur Umkehrumg bezelchnen wlr

< fl,f2 >p =: < fl,f2 >, wemm P das in Rede stehende Coproduktdlagr~mm

ist. < fl,f2 >

ist dual zu [fl,f2] (siehe Dlagr~mm). Satz 5.8.1.

~(A2,AI) { @ ~ i I I s t

Corollar 5.8.2.

Schnltt.

~(A2,A I) ~ @ = 11 ist monomorph.

DaB 11 im allgemelnen nlcht monomorph zu seln braucht, Gberlege man an der durch das Diagr~mm

1A

) 1 F ("

1B

1x

lllustrlcten trivlalem Kategorle. Dual zu (fl x f2)p, P sel (fl * f2)PP ' mlt (fl * f2)PP ' = < 11fi' 12~2 >P' " Man hat die Rechenregeln 5.8.3. I.

5.8.4 (COP)

h < gl'g2 >P = < hgi 'hg2 >P

2.

< g1'g2 >P (fl * f2)PP ' = < glf1' g2f2 >P'

3.

(fl * f2)PP ' (gl * g2)P~

4.

(I * 1)p = I

= (flgl * f2g2)PP "

Eine Kategorie G mlt Zu jedem Paar (A I,A 2) yon ObJekten von ~ glbt es (mlndestens) eln Coproduktdiagr ~mm.

heipt Kategorle mlt Coprodukten.

-

62

-

In einer Kategorie E mit Coprodukten ist * nach Auswahl eln ~ n k t o r 9 let kovarlant Satz 5.8.5. 6.

G x $

)

~.

(!), da Duallslerung yon $ auch ~ x ~ duallslert.

gl ~ fl und g2 < f2 = gl * g2 ~ fl * f2 (q oder Z) gl CZ fl und g2 CZ f2 = gl * g2 CZ fl * f2"

Das entsprechende f~r CQ gilt nlcht. Paare yon Schnltten, Retraktlonen,

~quivalenzen, Eplmorphlsmen,

Identlflzlerungen

gehen in Schnltte etc. Gber (~NIr Identlflzierungen folgt das nlcht aus 5.8.5~6 sondern aus 5.4.5). Sind f1' f2 monomorph (Einbettungen),

so gilt im allgemelnen nlcht dasselbe fur

fl * f2" Kommutatlvlt~t,

Assoziativit~t und Verallgemelnerung auf belleblge Familien slnd

nach 5.5, 5.6 klar. 5.8.7.

Beisplele:

I. In Me ist X * Y ~quivalent zu X x 0 U Y x I; f~r die

X, Y mlt X 0 Y = ~ k A ~

man X * Y als X U Y w~hlen.

2. In PuMe ist X . Y Verelnl-

gung mlt identiflziertem Grundpunkt, ~qulvalent zu X x py U PX x Y (Teilmenge yon X x Y), wenn PX' PY die Grundpunkte von X, Y bezeichnen. topologlsche S~mme.

3. In Top ist X . Y die

4. In PuTop wlrd der Tr~ger yon X * Y wie in PuMe gebildet. Die

Topologle wlrd z.B. dadurch beschrieben,

da~

X * Y = X x py U PX x Y c X x Y elne Einbettung seln soll. 9 in PuTop hei~t ,wedge" und wlrd oft mlt ,,v" bezeichnet. 5. In Ab, AbMo, RMod stimmt * mlt x Gbereln. 6. In Gr ist . das freie Produkt. A . B besteht aus den AusdrGcken der Form alb I ..... anbn, die durch Hinterelnauderschrelben multlpllziert werden, mlt der Vereinbarung,

da~ Einhelten weggelassen und aufelnaudertreffende Elemente

von A bzw. B mlt der Multlpllkatlon von A bzw. B zusAmmengefa~t werden sollen 14). 5.9

Ist (D

Pv) By I N) Produktdlagr~mm und ( A

i ) F I M) Coproduktdlagramm,

so ist

x ~(A, D)

~(F,D) H•

x ~('~",B v)

N

i /

~(A ,B ) p v

-

63

-

mit

kommutativ und alle Abbildungen sind bljektiv, (pvfi~ (f~.~ I N • M) mit fv~ : = Pvfi~ : A~ ~

I x N

M) oder

B v ist die zu den gegebenen Produkt-

bzw. Coproduktdarstellungen yon D bzw. F gehSrige Matrix von f. Die Zuordnung f ~

(fv# I --) ist wie bemerkt bijektlv. Ist M = [1,...,m}, N = [1,...,n},

so schreibt man meist

(piiiiip1,1 (i!i iiiiiiii ii! 1 Pn fil

" ""

Pnfim

Die Zeilen entsprechen < ....>, die Spalten entsprechen [ ... ]. Man ~berlege, dad bei endlich dimensionalen Vektorr~umen jede Basiswahl in F, D Anla~ zu einer Coprodukt- bzw. Produktzerlegung gibt und dab die bekannten Matrizen der linearen Algebra Beispiel~ fGr den bier eingeftthrten allgemeinen Fall slnd. Die Matrizenmultiplikation ist hier sinnlos. Wir behandeln sie in 8.3. Man rechne jetzt nut nach, da~

(5.9.~) (g1* "'" * ~ ) fn I ........ fnm -~d dual mit Bezeichnungs~Luderung (g

('5.9.2) (h I • ... ~ )

/\/fil

.

.

.

.

.

.

.

flm1

" fn

ist.

.

1

'

fnm

\ - n Ig I

~nmgm

) h, m (-911)

.j

l hl 11 ........ hlflm

hnf~ 1 ........ hnfnm

-

(Dual zu ( p v f i

I N x M) ist (iMfpv

fltr f Transponieren

64

-

J M x N) (!), was bel dem endlichen Schema

(Vertauschen der Indizes,

Spiegeln an der ,Hauptdiagonalen")

bedeutet.) 5.10.

[IA, IA] =

(1A) IA

=: d A : A

~ A x A heist Diagonale yon A,

< IA,I A > = (I A IA) =: d A : A * A 5.11

Ist M eine Menge und V e i n

dungen f,g : M

> A heist Codiagonale yon A.

Vektorraum,

so definiert man fi~ Abbil-

~ V (in den Tr~ger yon V) die S-mme f + g dutch (f + g)m :=

(fm) + (gm). Die Menge aller Abbildungen M

) V zusammenmit

,+" ist ein Vektor-

raum: ~, ~ seien Kategorlen, Lemma ~.11.1.

Hat ~ Produkte,

so hat Natv(~,~)

Produkte

fi~ jede m~gliche

Varianz v. Lemma 5.11.2.

Hat ~ Coprodukte,

so hat Natv(~,~)

Coprodukte

ft~r jede m6gllche

Variamz v. Beweis: ~ habe Produkte und S, T : ~

~ ~ seien kontravariant

(5.11.1).

Fiir f E ~ sei (S x T)f := Sf x Tf. S x T ist ein kontravarianter ES s

(S x T)I = $I x TI = 1 und (S x T)(gf) = S(gf)

((sf)(sg)) x : ~ x ~ PS : S x T

x ((~)(~g))

= (sf x ~ ) ( s g

x ~g) = ((s x ~)~)((s

~ S wird dutch pS X := PSX : SX x TX

fiir jedee f : X

[(sX)(Uf), ist.

x ~)g),

aa

> SX definiert,

SY ( PSY

SY x TY

SX <

SX • TX

PTY

PT entsprechend.

yon

> TY

> TX PTX

~ Y.

) S, t : U

so wird [s, t3 : U >Y

) ~:

) ~ ein Funktor ist. S x T ist Produkt yon S und T in Natkentra(~,~);

PSX

.f : X

9

x T(gf) =

Die Natitrlichkeit yon PS' PT folgt aus der Kommutativit~t

Sind s : U

~m~tor

) T Funktortransformatlonen

) S • T dutch Is, t3X := [sX, tX] definiert,

((S • T)f)([s, (tX)(Uf)]

(Morphlsmen yon Natkontra(~,~)),

t]Y) = (Sf • Tf)[sY,tY]

= ([s,t]X)(Uf)

= [(Sf)(sY),

wobei fur (Tf)(tY)]

=

ist, a~so [s, t] elne Funktortransformation

-

65

-

Au~erdem let ps[8, %] = s, pT[s, t] = t. Gilt f ~ psv = s, pTv - t, sO Ist 9 = [s, t], ~

9 : U

~ S x T

fUz Sedes X E j~J 9

= [sX, tX]

selu mu~. Die anderen

FKlle und 5.11.2

erhllt

man d u t c h

Dualisieruu~n.

man &uch d a s l ~ o d u k % y o n F u n d G i n F u n b e z e i c h n e n . ~[ x 9

) ~) x ~ .

Man b e a c h t e

die abhm~sigkett

Dann ist

des l~oduktes

M I t F x G wttrde F x G etn

l~oktor

yon der Kategorie.

-

6.

66

-

Nullmorphlsmen

In Ab bezeichnet man als 0 : A

) B den Morphismus, der ,ganz A auf die Eimheit

von B (0 bei additiver Schreibweise) abbildet". Jedes Ab(A,B) enth~lt einen solchen Morphismus OBA. Die Familie (OBA I A, B E IAbj) zieht bei Komposition yon links oder rechts Jeden Morphismus an sich. sel eine ~ategorie. 6.__!I

Eine Familie ( ~ A

I A, B E I~I) mit ~ A

E ~(A,B) heist Nullfamilie,

wenn fur alle A, B, C gilt (NI)

OCBf = OCA fur jedes f E ~(A,B) und

(N2)

fOBc = OAC fiir jedes f E G(B,A).

Man last die Indizes der O.. fort und schreibt suggestiver (NI ~ d

N2)

Az fO = 0 = Of.

Die ~ A

=: 0 elner Nullfamllle hel~en Nullmorphismen. Die Aussagen .(OBA I A, B E J~l)

ist Nullfamilie" und ,,fist Nullmorphismus" sind selbstdual. Existiert eine Nullfamilie in ~., so heist ~ 6.1.1

eine ,Kategorie mit Nullmorphismen".

Beispiele: Mo hat keine Nu]lfamilie (wohl MoE, Monoide mit Einheit);

Gr, Ab, RMod ha'oen Nullfamilien. Me hat keine Nullfamilie, da fur A { @ stets Me(A,@) = @ ist. Auch die volle Teilkategorie der nichtleeren Mengen hat keine Nullfamilie: [~]

) {~] ~

beiden Morphismen [@]

[@, {~]], der einzige Morphismus [~]

) {~] m ~ t e die

) [@, [@] ] egalisieren. In PuMe bilden die Uber einelementigs

Mengen zerlegbaren Morphismen eine Nullfamilie, ebenso in PuTop, die Uber einpunktige R~ume zerlegbaren (kolla'oierende Abbildungen). Sat~ 6.1.2.

Sind (OBA I A, B E J~l) u~d (O~A I A, B E l~l) NuZlf=ilien, in ~,

so sind sie gleich. Bewels: 0~A -- O~AOAA = OBJ.. 6.2

N E I~I heist Nullobjekt, wenn ~(N,A) und ~(A,N) f0_r jedes A E I~I

aus genau einem Element bestehen. Nullobjekte sind selbstdual.

-

67

-

Man bezeichne OAN E ~CN,A) und ONA E ~(A,N). O~A ist dual zu OAN. Satz 6.2.1.

Ist N Nullobjekt,

Bewels: S e i f

so ist (OBNONA =: OBA I A, B E I~I) Nullfamilie.

: A---, B. Dann ist in f ~B

0cB~. C

0CB f = OcNONB f = OcNONA = OOA, da ~ B f E g(A,N) ist und ~(A,N) nut eln Element ONA enth~lt. Der Rest ist dual. Satz 6.2.2.

Ist (OBA I A, B E IgI) Nullfamille,

so ist N Nullobjekt,

genau wenn

1N = ONN ist. = ist trivial, ~: Ft~ f : N

) A ist f -- fl N = fONN = OAN,

~(N,A) hat also nut eln Element und dual. Eine Kategorle mit Nullmorphlsmen elementige Mengen). Satz 6.2.3.

braucht kein Nullobjekt

zu haben (PuMe ohne ein-

Andererseits kaun eine Kategorie mehreme Nullobjekte haben.

Sind N, N' Nullobjekte von $, so slnd sie ~quivalent.

Beweis: g(N,N'), ~(N',N), g(N,N), ~(N',N') haben Je genau ein Element. Hat ~ Nullmorphismen,

aber kein Nullobjekt,

so kaun man g dutch Hinzunahme

Objektes N ~ I~l und yon je einem Morphismus A A E l~I zu einer Kategorie mit Nullobjekt terten Kategorie 6.2.4.

~ N, N

erweitern.

~ A, N

Die selbstduale

Definition des Nullobjekts

) N fur die

Die Nullfamilie

ist die yon ~, erg~nzt um die hinzugenommenen l~t

eines

der erwei-

Morphismen.

sich auseinauderne~.men:

E heist Ende von ~, wenn jedes g(B,E) genau ein Element hat und Anfang von g, wenn jedes ~(E,B) genau ein Element hat. In Me ist ~ Anfang und jede einelementige einander dual und N ist Nullobjekt, genau eines Morphismus

(Die Termlnologie

stammt yon J.A.Zilber).

Menge ein Ende. Anfang und Ende sind zu-

genau wenn es Anfang und Ende ist. Die Existenz

in ~(B,E) bzw. ~(E,B) fttr jedes B ist eine sogenannte uni-

verselle bzw. couniverselle Eigenschaft.

Viele Konstruktionen beruhen auf solchen

Eigenschaften und werden dadurch ebensogut wie dutch repr~sentierbare beschrieben.

Funktoren

-

6B

-

Wit geben nut ein Beispiel (Mac Lane [27; w 6 p 50]): sei eine Kategorie. Zu festem A, B E Ir Objekten A ~

9

betrachte man die Kategorie 9 mit

) B und als Morphismen den kommutativen Diagr~mmen

mit der kanonlschen Komposltlon. A (

9

) B ist ein Produktdiagr~mm in g,

genau wenn es ein Ende in ~ ist. FUr den allgemeinen Zus~mmenhang zwischen darstellbaren F~nktoren und Anfang bzw. Ende vergleiche man Mac Zane [27; ~h. 7.1 p. 53]. habe Nullmorphismen, Produkte und Coprodukte. FUr A I , A 2 E IGJ hat

6.3 man

I

IA I

P(AI,A2)

: =

0AIA21 :

VA2AI

Satz 6.~.I.

A I *

A2

) A I

x

A 2.

IA2 /

p ist eine natttrliche ~ransformation *

) X.

Beweis: 5.9.1,2 in

A I * A2

P ~ A I x A2

fl * f21

Ill x f2

B I * B2 ~

B I x B2

ergibt in beiden F~llen

I

ll

0 1

0

f2

0hne Nullmorphismen kann man p im allgemelnen nlcht definieren, wie A I = ~, A 2 ~ ~ in Me zelgt.

-

6.3~2

Beisplele:

69

I. Mo~o (~oelsche Monolde), Ab, RMod:

Dieser Punkt wird in w 8 besonders beleuchtet. monomorph,

-

Einbettung und Schnitt.

3. In G r i s t

2. Im PuMe ist ~ : A v B - - - * A p: A * B

Es ist P(alb I ..... anb n) = (a I ..... a n , b I ..... bn). Homologieklasse)

~ ist elne ~quivalenz.

ist p(SI,s I) ~zeder m o n o m o r p h n o c h

x B

~ A x B epimorph: 4. In PuToph (Punktierte

9plmorph:

S I x S I ist ein

Torus, den man aus einem Quadrat

durch Identifizleren

gegenGberliegender

die Pfeile angedeuteten Richtung). ist Produkt in PuTop und Pu-~oph. Identifizieren

der Grundpunkte.

Seiten erh~lt

(Zus~mmenkleben

in der durch

Die Ecken fallen in einen Punkt 0. (S I x S I, 0) SIv

S I entsteht aus zwei 1-Sph~Lren dutch

Zweckm~ig

ist es hier, S l y

S I aus dem Quadrat-

rand

f

durch Identlfizieren wie bei S

x S I herzustellen.

(S I v

S I, 0) ist Coprodukt

in

PuTop und Pu~oph. Man betrachte

SI

~

SIv

wo PI' P2 die beschriebenen Quadratrandes

SI

~

Identiflzierungen

SI x SI

g )

und P3 Identifizierung

S2'

des gauzen

in elnem Punkt ist. Man Gberzeugt sich, da~ dutch die Forderung,

das Diagr~mm kommutativ

sei, eindeutig Abbildungen f,g,p' definiert sind.

da~

-

70

-

If], ~g3, P seien die zugehSrlgen punktlerten Homotopieklassen. von 6.3. p ist nicht monomorph, da ~g3 ~ 0 abet [g3P = 0 let.

p ist das p

da ~f3 ~ 0 abet p~f] = 0 und nicht epimorph,

-

71

-

Addition und Coadditlon

.

(A,+) sei ein Monoid, A x A

also A eine Menge und + e i n e

) A. Wit schreiben

zweck~m~iger

a + b oder +(a,b)

(assoziative)

Abbildung

je nachdem, welche Bezeichnung

let. Bekan~tlich erh~it man fur jede Menge X in Me(X,A)

sine

(assoziative)

Addition +', wenn man (f +' g)x := fx + gx definiert.

Hat +

eine Einheit,

so auch +', ist (A,+) eine (abelsche) Gruppe, so auch

(Me(X,A),+'). FUr jedes h : X

) Y ist das Diagr-mm +I

f Me(Y,A)

x MeCY,A)

=

MeCY,A • A) ~

Me(X,A)

x

Me(X,A)

=

Me(X,A

x

MeCY,A)

A) ~ M e ( X , A )

+l

kommutativ. Es interessleren 1.

+'

:

Me(?,A)

~m~toren.

zwei Aspekte des Diagr-mma: x Me(?,A)

) Me(?,A)

Das Produkt der ~ , ~ t o r e n

2. Jedes (Me(?,A),+')

ist eine natUrliche

Transformation yon

ist dabei in Natkontra

ist ein Monoid und h* respektiert

(~,Me) zu nehmen (5~I),

die Addition

(.ist" ein

Homomorphismus). Hat eine Kategorie ~ keine Produkte, durch natUrliche

Transformationen

so wird man versuchen,

~(?,A)

• ~(?,A)

Additionen A x A

)A

) ~(?,A) zu ersetzen.

sei sine Kategorie mit Produkten: 7.1

Ftir A E I~I heist ein Morphismus

a : A • A

> A eine Addition in A, (A,a)

heist additives Objekt Uber ~, A heist Tr~ger yon (A,a). Ist A elne Menge, so schreibt man oft + fur a und x + y fttr +(x,y).

-

72

-

(A,a) und (B,b) seien additive ObJekte ~ber ~. f : A

) B heist (a,b)-primitlv,

weDa~ A xA

a

)A

B xB

b

)B

(Diagr~mm 7.1.1)

kommutativ ist. Ein Homomorphismus mitivem f : A ~bliche

(A,a)

) (B,b) ist ein Tripel ((A,a), (B,b), f) mit (a,b)-pri-

) B. Sind A, B Mengen, so findet man in dieser Definition die

f(x + y) = fx + fy wieder.

Trivial ist: Lemma 7.1.2. 5.

Einheiten sind (a,a)-l~rlmltiv, Ist f (a,b)-primltiv tu~d g (b,c)-primitiv, so ist gf (a,c)-prlmitiv.

Mit den additiven Objekten Gber 9 als 0bjekten, ihren Homomorphismen als Morphismen und der kauonischen Kompositlon ((B,B), (C,c), g)-((A,a),

(B,b), f) : ) ((A,a), (C,c), gf) erh~lt man eime Kate-

gorle ~+. ((A,a), (B,b), f) I Hat 9 Nullmorphismen,

) f definiert einen verge~lichen ~ m k t o r

~+

so sind diese offensichtlich primitiv und definieren elue

Nullfamilie im ~+. Hat ~ ein Nullobjekt N, so ist (N,~NxN) Nullobjekt im ~+. 7.2

a : A x A

) ~.

~ A oder (A,a) heist kommutativ, wenm

AxA (Diagrsmm 7.2.1)

eA'

/ ~ a

A XA

kommutativ ist mlt der Vertauschumg CA, A (5.5). Ist A Menge, so flndet man x + y = y + x wle Gblich.

-

a : A

x

A

73

-

~ A oder (A,a) heist assozlatlv, wenn

(A x A) x A a x 1pA x A A

(Diagr--,, 7.2.2)

A • (A x A )

kommutativ ist, w o o (~(?,A)

x

~(?,A))

x

1 • ~A

x A

mit Hilfe der kanonischen Transformation r

)

~(?,A)

(r

X

x

~(?,A)) definiert wird (5.6).

Assoziativit~t bei Mengen ist (x + y) + z = x + (y + z). 7-3

Ist (G,+) elne Gruppe, so ist die eindeutig bestimmte Gruppeneinhelt e

dutch 9 + x = x + e = x flit Jedes x charakterisiert. Statt e verwenden wit die dutch x z n : A

~ e definierte kollabierende A b b i l d u n g G

) G:

) A heist kollabierend, wenn

(KOLL) nf = n g

ist f~tr alle .

f)

Ist (A,a) additives ObJekt Eber r

A. so helpt eln kollabierendes n : A

)A

neutral fur a oder (A,a), wenn

A

[I .nj /.

A

x

A

(Diagramm 7 9 3.1 ) A x

A

~a

A

kommutativ ist. Ist nut das rechte obere bzw, linke untere Dreieck in N kommutativ, so heist n rechts- bzw. linksneutral. Lemma 7.~.2.

Ist n linksneutral und n' rechtsneutral fi~r a, so Ist n = n'.

Corollar 7.3.3. Morphlsmus.

FUr Jedes a : A x A

) A existiert hUchstens eln neutraler

-

Bewels: mn' = n und n'n = n'

dan

74

-

und n' kollabierend sind. Damn ist

n' = a[n,1]n' = a[nn',n'] = a[n,n'] = a[n,n'n] = atl,n']n = n. Ein anderer Beweis erglbt sich aus der Eindeutigkeit des Neutralen bei Gruppen mit 7.8. Lemma 7.3.4.

Hat 9 Nullmorphlsmen,

eimzige koll~olerende Abbildung A Lemma 7.3.5. a : A • A

so ist OAA : A ~ A.

Hat 9 N u l l m o r p h i s m e n u n d ~A,

~ A kollabierend und die

ist n : A

~ A neutral fur

so ist n = OAA.

Wit beschr~uken ums nicht auf 9 mit Nullmorphlsmen,

da wit a und n yen A nach

~(?,A) und in die einzelnen ~(X,A) tramsportieren w o ~ e n . Natkontra(~,Me)

(2 ~(?,A)) braucht aber keine Nullmorphismen zu haben, selbst wenm

Nullmorphismen hat. Au~erdemoslnd wir an Me (d.h. den ~(X,A)) interessiert. 7.3.6 Additive Objekte (A,a), die neutrale Morphismen zulassen, hei~en H-Objekte Gber ~,und a heist H-Struktur in A. n : A

~ A braucht wegen 7.3.3

nicht in die Daten der H-Struktur aufgenommen zu werden. Assoziative H-0bjekte in Me oder PuMe hei~en Monoide mit Neutralem 15). H := Hopf; H. Hopf untersuchte zuerst die Homelogie ttud Cohomologie von topolegischen Gruppen. Die Methoden wurden sp~ter auf PuToph (Homotopieklassen)

Ubertragen.

Die (A,a) in"

PuToph mit Neutralem (n = 0!) hei~en zu Ehren von Hopf H-R~ume. Ein Homomerphismus

((A,a), (B,b), f) von H-ObJekten hei~t H-Homomorphismus,

wenn fn = n'f ist f~r die neutralen n,n'. Man erwartet scheinbar schw~cher Kommutativit~t von

A

In,l]., A x A <[1,n]

A

B

[n''1~B

B

(Diagramm 7.3.7)

aber daraus folgt bereits fn = n'f.

x B .[1.n']

-

75

-

Die Kategorle (H der H-0bjekte ~ber r und der H-Hemome~phlsmen ist Teilkategorie yon r (r :=

Im allgemelnen ist ]r

~ Ir

und (H nlcht yell in r

Beisplele

Me):

1. Die nat~rllchen Zahlen I, 2, 3, ... ohne 0 bilden mlt + eln Monoid ~N' ,+) ohne Neutrales. 2. [~] mlt der kanonlschen Addition ist Monold mlt Neutralen, ~'2 mit der .Addition" = Multipllkatlon 0.0 = 0-1 = I-0 = 0 und 1"I -- 1 ebenfalls. ist Neutrales yon [~], I yon

7.2. [~]

) E 2 mlt ~ :

; 0 ist Homomorphlsmus,

abet nicht H-Homomorphismus. Dagegen gilt : Satz 7.~.8. Bewels : 7.3.5

7.4

Hat r Nullmorphlsmen, so ist CH roll in (+. und Z0AA

=

= 0B Z.

Die Exlstenz yon H-Strukturen h~ngt mlt dem Verhalten yon

p : A * A

) A x A zus~-,,en:

( habe Produkte und Coprodukte. Satz 7.4.1.

FUr a : A x A

> A und n : A

) A gilt

a[n,1A] = IA und aliA,n] = IA, genau wenn p A * A---~--~A x A (Diagramm 7.4.2)

dA~

/ A

mlt =

I [ 1A

n

Pn n

IA

kommutativ ist. dA ist die Codiagonale dA = < 1,1>

yon 5.10.

Beweis: A ii ) A * A ~2 -A sei Coproduktdiagr~mm. Es ist ap n = dA, genau wenn aPni I = dAil und aPni 2 = dAi2 ist, also wegen P n i l = und dAil = IA, dAi2 = IA, genau wenn a[1,n] = I u n d

[I,n3, Pni2 = [n,1] (5.9.1) a[n,1] = I.

-

Corollar 7.4.3.

Ist n : A

76

-

~ A kollabierend,

so ist ein additives ObJekt (A,a)

H-ObJekt mit n e u t r a l e m n, genau wenn 7.4.2 kommutativ ist. Andererseits kann man fragen, ob n : A

~ A als neutraler Morphismus einer

H-Struktur auftreten k-n~. 0ffenbar l ~ t

sich

Pn

A*A

~AxA

A

auf genau eime Weise zu kommutativen

A*A

Pn

~A

xA

A

erg~uzen, wenm Pn eine ~quivalenz ist (a := dAPn-1). Mit 7.4.1 hat man: Satz 7.4.4.

Ist n : A

>A

ein Morphismus umd Pn : A * A

valenz, so existiert genau ein a : A x A

H A x A eine ~qui-

) A mit atn,1A] = 1A umd aliA,n] = IA.

Ist p keine Xquivalenz, abet epimorph, so existiert hSchstens ein a. Corollar 7.4.~.

Ist n : A

> A kollabierend umd Pn ~quivalenz, so existiert

genau eine H-Struktur a : A x A Corollar 7.4.6.

~ A mit n e u t r a l e m n.

Hat ~ Nullmorphismen umd ist p eine ~quivalenz, so existiert

genau eine H-Struktur auf A. 0 ist neutral fur diese H-Struktur.

p steht fur

p

=

(IA 0AA

7-5 x + y

von 6.3.

IA

Ist (G,+) eine Gruppe, so existiert zu x E G genau ein y( =: - x) mit =

y + x

:

O. x !

) -x definiert eine A b b i l d u n g G

) G (Inversenbildung).

-

77

(A,a) sei H-Objekt mit neutralem n. i : A

A

(I) das Dlagr-mm

-

> A heist eine Inversion zu a, wenn

[i,I]. A x A "[I'i]

A

(Diagramm 7.5.1)

A

kommutativ ist. i hel~t Linksinversion bzw. Rechtsinversion,

wenn das linke bzw. rechte Dreieck

von 7.5.1 kommutativ ist. Daoei sei zugelassen, dab n einseitig neutral ist. Wir folgern sp~ter: Ist n llnksneutral und i Llnksinversion, i Inversion; ist n rechtsneutral und i Rechtsinversion,

so n neutral und

so n neutral und i Inver-

sion (7.8.7). Zu jedem assoziativen a : A x A

) A glbt

h~chstens eine Inversion, wie man

aus 7.3.3 und dem filr elne Linksinversion i und R e c h t s i n v e ~ i o n i' kommutativen Diagr-mm

(A x A) x A a x 1) A x A r" 7-'i ' "l ] ' i ' ] f A

A "

A

x (A

x A) ~

A

• A

schlie~t, da der Weg oben herum a(a x I) [ [ 1 , I ~ ' ]

= aCn,l'] = a[ni',i'] =

aCn,1]i' = i' und unten a(1 • a) [i,[1,1']] = aCi,n] = aCi,ni] = aC1,n]i = i ist. Die Behauptung folgt auch aus 7.8.2, 7.8.3. Wir zeigen sp~ter i 2 = IA (7.8.7), so da~ der Name Inversion gerechtfertigt erscheint. Ein assoziatives H-0bJekt, zu dem elne Inversion existiert, heist ein Gruppenobjekt (G-Objekt) Gber ~. Die Inversion wird wegen ihrer Eindeutigkeit nicht in die Daten aufgenommen. Ein H-Homomorphismus sionen i : A

((A,a),

) A, i'

: B

(B,b), f) yon G-ObJekten mit fi = i'f f~r die Inver) B heist G-Homomorphismus.

-

Wir bewelsen phlsmus

dab jeder Homomorphismus

ist (7.8.5).

Kategorie Gruppe

sp~ter,

Die G-Objekte

~G" Die G-Objekte

als G-Objekt

-

von G-Objekten

ein G-Homomor-

Gber 9 und ihre Homomorphismen

von Me oder PuMe sind die Gruppen,

bilden eine

wobei eine

Gber Me leer sein kann, was man meist ausschlie~t.

a : A x A----)A sei Addition.

7.6

78

Dutch

a~

~(?,A)

x ~(?,A)

) ~(?,A

+

mlt

(f,g) ~

definieren

) a.~f,g]

) ~(?,A)

a

=: f +a g =: f + g (genauer + X )

wir eine Addition

~Jnktortramsformationen h : X

x A)

+a in ~(?,A).

fur f,g : X

Die Zus~mmensetzung

ist elne ~Jnktortrausformation,

) A

+a der beiden

also ist f~r jedes

~ Y das Diagr~mm +

~(Y,A)

(Diagr.

x G(Y,A)

~ ~(Y,A x A)

) ~(Y,A)

~(X,A) x ~(X,A)

) ~(X,A x A)

) ~(X,A)

7.6.1 )

+

kommutativ,

was fur f,g : Y

) A gerade

a

(f + g)h = fh + gh bedeutet.

Das heist aber, da~ jedes h* ein Homomorphlsmus yon additiven Objekten ~ber Me ist. Eine Famille +X : ~(X,A) f,g : X

x ~(X,A)

) (~(X,A),+ a)

(+X I X E I~I) von Additionen

) ~(X,A) nit (f + g)h = fh + gh fttr jedes h : Y

~ Y (7.6.1) bezeichnen

natttrliche Famille von Additlonen den Transformationen

(~(Y,A),+ a)

~(?,A)

wlr als elne an der kontravarlanten in den ~(X,A).

x ~(?,A)

) ~(?,A).

) X,

Stelle

Diese Famillen entsprechen

genau

-

7.6.2

Ist a : A

x

A

)

79

-

kommutativ, so ist mit 7.2.1 auch

+& ~(?,A) (Diagr~mm 7.6.3)

x

~(?,A) ~ ~ ( ? , A

9~... I

~(?,A)

x

~A,A*

~(~,A)~

~ ~(?,A

~'~ ~(?,A)

• +a

kommutativ (der linke Tell nach Definition yon eA, A in 5.5), also ist +a kommutativ. Das heist f + g = g + f in den ~(X,A). Ist a : A x A

7.6.4

) A assoziativ, so ist mit 7.2.2 auch +aXl

(Diagr~

(~(?,A)

x

.

~(?,A))

x

~(?,A)

~ ) ~(?,(A

x

Io ~(?,A)

x

(~(?,A)

A)

x

~(?,A)

x

A)

x

A)

a.•

)~(?,A) ~(?,A) x

(.xm;. (:,A

~o. •

~(?,A))

~ )

~(?,A

x

(A

x

~(?,A) A))

) ~(?,A

x

A)

---T • G(?,A • A) ~

~(?,A)

I x+ a kommutativ

(5.5 und Definition der Produkte), also +a assoziativ.

• :(?,A)

-

Das heist

80

-

(f + g) + h = f + (g + h) in den ~(X,A), was man auch dutch Rechuumg

(f + g) + h = a[f + g, h] = a[a[f,g],h]

= a(a • 1)[[f,g],h]

= a(1 • a)[f,[g,h]]

=

f + (g + h) best~tigen k~nn. 7.6.6 Hat a : A • A

) A, so ist nit

A einen neutralen Morphismus n : A

7.3.1 auch [ I ,n.]

[1,n]. ~(?,A)

, ~(?,A

I].

(Diagr~mm 7.6.7)

Ir

x

A) C

-~

~C?,A)

• ~(?,A)

a.

[n.,1]

x

kommutativ.

A u ~ e r d e m ist n. kollabierend:

Lemma 7.6.8. n : A kollabierend

> A ist kollabierend,

genau wemm n. : ~(?,A)

ist. n und n. sind kollabierend,

eine konstante

) ~(?,A)

genau wenn Jedes n.X

: ~(X,A)

> ~(X,A)

Abbildumg ist.

Beweis: Die Behauptung ~ber n und n.X ist trivial Sei jetzt n.X konstant

fGr jedes X. Sind ~, , : S

(Definition yon kollabierend). ) ~(?,A) Fumktortrausformationen,

so ist fur X E l~I und x E SX (( IMel ') (n.X)(~X)x = (n.X)(,X)x, Ist andererseits

n.X nicht konstant,

des konstauten Fuaktors

S : ~

dutch n. nicht egalisiert werden,

daher n.~ = n**.

so existieren Tramsformationen

~,,

: S

~ ~(?,A)

) Me mit SX = {~3, Sf = I{~] fur Jedes X,f, die so dab n. nicht kollabierend

ist.

n. ist also neutral fur +a' was in den ~(X,A) heist f + m = n + f = f ftLr Jedes f, won

das Element ~ := n.f = n.g ist, auf alas jedes Element yon ~(X,A) hei n.

abgebildet wird, sofern ~(X,A) ~ ~ ist.

-

81

-

Wie in 7.6 sprechen wlr yon elner an tier kontravariamten Stelle nattLrllchen Familie (vX I X E [~[) von Neutralen zu (+X I X E I~I), wemm vX neutral fur +x in ~(X,A) ist und h*~ = ~h* f~r h : X

) Y ist. ~quivalent ist die Angabe

der nat~rlichen Transformation (~(?,A), ~(?,A), (vX I X E I~I)) eder, wenn die ~(X,A) nicht leer sind, die Amgabe von (~X I X E I~l) der Gblichen Neutralen ~X E ~(X,A) mit vX : f l ~ ~X. 7.6.9-

Hat a : A x A

= > A elne Inversion, so hat man mlt 7.5.1 das kommu-

tative Dlagramm ~(?,A) x ~(?,A)

~ I 9 (?,A) [i,I]. §

(Diagr,mm 7.6.10)

(

[I ,i]. ~• A) ~ ~ ( ? , A )

~(?,A) also elne Inversion I. : ~(?,A)

.~ ~(?,A) f~r +a" FUr die ~(X,A) heist das

f + l.f = i.f + f = n. Wir bezeichnen wie ~blich i.f =: -f. Allgemein heist eine Famille (iX I X E I~1) von Inversionen zu (+X I X E I~1) elne an met k o n t r a varianten

Stelle

nat~trliche

Familie

yon Inverstonen,

~(Y,A)

~

~ ~CY,A)

e(X,A)

~

) ~(X,A)

wenn f t t r h : X

~ Y stets

(Diagr~mm 7.6.11 )

kommutativ ist, (SX [ X E

[~I )

also elne Transformation ~(?,A) ---@ ~(?,A) definiert.

-

Satz 7.6.12

82

Ist a : A • A 9 ~ A assoziativ,

-

(~X } X E I~I) elne Familie yon

Nsutralen und (GX I X E I~I) eine Familis yon Inversionen zu den +a : ) ~(X,A), so sind (~X ] X E I~I) and (UX I X E I ~ ] )

~(X,A) • ~(X,A)

am. der

kontravarianten Stelle natGrlich. Beweis: Sel h : X h* : ~(Y,A)

) Y. Jedes (~(X,A),+a) ist elne Gruppe und

) ~(X,A) respektiert die Addition (ist (+a Y, +aX)-primitiv).

Damn respektlert h* Neutrals and Imversenbildang.

ZumBeweis

bei Gruppen

(Neutrals) ben~tigt man mlt fx = f(x+~) = f x + f~ and ~ = (-fx) + fx = (-fx) + (fx + f~) = ((-fx) + fx) + f~ = f~ die Assoziativit~t.

Kommt ~(X,A) =

vor, so bleibt der Satz rlchtig. Wir sprechem wegem 7,6.10 vom einer am der kontravariauten Stelle natGrlichen Gruppemstruktur

(+X ] X E I~l) auf ~, wemm

(+X I X E I~]) eine an der kontravarlanten Stelle matttrllche Famille yon Additionen in den ~(X,A) ist and die (~(X,A), +X) Gruppen sind (Uber Me!). 7.~

Ist ((A,a), (B,b), f) sin Homomorphlsmus,

morphismus,

H-Homomorphismus,

so ist mit 7.1.1 auch +a

~(?,A) x ~(?,A)

m ) ~(?,A • A} ~

~(?,A)

(Diagramm 7.7.1) f. x ~*I if*

~(?,~)

i f*

x ~(?,B)

+b kommutativ oder f(g+h) = fg + fh ftt~ g,h : X - - - ~ A , ((~(?,A), +a ), (~(?,B), +b ), f.) ein Homomorphismus,

mit

(7,.7.2)

fn

(7.7.3)

f.n. = n'.f. oder f.~ = fH = H' in den ~(X,A)

und mit

= n'f

also

gilt

G-Homo-

-

83

-

~7.7.4)

fi = i'f gilt

(7.7.5)

f.i. = i~.f,, oder f.(-g) = -f.g fttr g E ~(X,A).

Wir werden sehen (7.8.5), dap 7.7.2, 7.7.4 bei G-ObJekten bereits aus 7.1.1 (7.7.1) folgen, also jeder Homomorphismus vom G-Objekten elm G-Homomorphismus ist (wie bei Gruppen). ~.8

(CA,a), (B,b), f) i ) ((~(?,A), +a ), (r

+b), f.) deflniert

Funktoren F+, FH, FG, die wir in einem kommutativen Funktordiagrammmit den .Einbettumgsfumktoren" CG c EH c r

etc. und dem vergeplichen E+

r

T

Natkontra(r

T

F+

9+ (Diagramm 7.8. I )

) r amgeben.

) (Natkontra(~,Me))+

U

u FH ) (Natkontra (r

~H

U

u FG ) (Natkontra(~,Me))G

~G Satz 7.8.2 Ist a : r a : A x A

• r

~

) A mit +a = ~" Ist v : r

fttr a, ist t : r

)r

Satz 7.8.3 (A,a) ,Lit a : A x A.

~(?,A) gegeben, so existiert ~enau ein) ) ~(?,A) neutral fur a, so viA =: n

Inversion ftLr ~, sobl A =: i f~tr a. ) A ist assoziativ, kommutativ, H-ObJekt,

G-Objekt, genau wenn (~(?,A), +a ) assoziativ, kommutativ, H-Objekt, G-Objekt ist. (~(?,A), +a ) ist assoziativ, kommutativ, H-ObJekt, G-Objekt, genau wemn die (~(X,A), +~) sEmtlich assoziativ, kommutatlv, H-Mengen, Gruppen sind. Satz 7.8.4 ((A,a), (B,b), f) ist Homomorphismus, H-Homomorphismus, G-Homomorphismus, genau wenn (~(?,A), +a ), r ((~(X,A), +a ), (r

+b ), f.) und genau wenn jedes

+b ), f.) Homomorphismus, H-Homomorphismus, G-Homomorphismus ist.

-

84

-

Corollar 7.8.5 ~G ist roll in ~H" Jeder Homomorphismus

yon G-0bjekten ist also G-Homomorphismus.

Satz 7.8.6 F+, F H, F G sind injektiv und roll. Beweis: WiT ftLhren Namen ~(?,A) yon

~(?,A)

7.8.2:

• ~(?,A) (

" ~(?,A • A) ftt~ die Darstellung

x ~'(?,A) e i n .

I. a l

~(?,A x A)

~ a: Wit setzen a := ~ I A x A : A x A

3 ) ~(?,A)

x ~(?,A)

) A, bei

~. ~(?,A) und haben a - =~X = a.x = +a wegen

~X = I~(?, A x A)' 3.4.3 und der Definition yon +a : ~(?,A)

~(?,A)

x

Man beachte besonders,

X > ~(?,A

x

A)

) ~(?,A)

in 7.6.

da~ man a. bekommt, wenn man bei der Definition yon +a in

7.6 den mit -~ bezeichneten Pfeil (~quivalenz yon A und a folgt aus 7.8.6 (F+) injektiv)

X) ,~m~ehrt (~). Die Eindeutigkelt

oder direkt mit 3.4.1 n a c h der Fest-

stellung a.x = +a = m = +a' = a~x = a. = a~ , da ~ eine lquivalenz und daher epimorph ist (oder = a. = a.x~ = a'x~ = a~). 2. v J

) n : n := vl A (3.4.3), also n. = v. n ist kollabierend mit v (7.6.8),

a.[IA,n] . = a.[n,IA] . = I~(?,A) = (IA) . schlie~t man dutch Umkehr der -~ bezeichneten Pfeile in 7.6.7, da alle anderen Teile des Diagr,mm- kommutatlv

sind. M a n be-

achte, da~ man a.[1,n3. = I bzw. a.[n,1]. = I bekommt, wenn n. - v rechts- bzw. lln~sneutral 3.

~!

ist. aliA,n] = a[n,1A] = 1A folgt aus 3.4.1.

~ i: i :=~1A (3.4.3), also i. = ~. Dutch Umkehr des -~ bezeichneten Pfeiles

in 7.6.10 schli@~t man a.ti,1]. = a.[1,i] = n. und den Rest mit 3.4.1. Man bekommt ein einseitiges

Inverses, wenn

b einseitiges

Inverses ist. FUr die

Folgerung n = a[i,1] bzw. n = all,i] braucht man keine Voraussetzung Uber n :A

~A.

7.8.3: Die Behauptungen Gber den Zus-mmenhang

zwischen ~(?,A) und den ~(X,A)

im zweiten Tell ist trivial. Erster Teil des Satzes

: - wurde schon bewiesen

(7.6.4, 7.6.2, 7.6.6, 7.6.9).

~:

I. Assoziativ:

Umkehr d e r m i t

-~ bezeichneten Pfeile in 7.6.6, 4ann 3.4.1.

2. Kommutativ:

Umkehr der mit -~ bezeichneten

3. H-ObJekt:

7.8.2 v l

4. G-0bJekt:

assoziativ,

Pfeile in 7.6.3, dann 3.4.1.

) n. 7.8.2 v !

) n und

~t

~ i.

-

7.8.4.

85

-

Die Behauptung ~ber ~(?,A), ~(X,A) ist wleder trivial.

Erster Tell des Satzes :~ (7.7); O : I. Homomorphlsmus: Umkehr der mlt ~-bezelchneten Pfeile in 7.7.1, dann 3.4.1. 2. H-Homomorphlsmus, G-Homomorphismus: Nach 3.4.1 sind 7.7.2 und 7.7.3 ~quivalent und 7 97 94 und 7 97 95 ~quivalent. 7.8.5.

Wie bereits bemerkt,

(7.6.12 Beweis), respektieren Abbildungen yon Gruppen

mit der Addition auch Neutrale und Inverse. Dann wende man 7.8.4 an. 7.8.6.

I. inJektiv: FG, F H mind injektiv, wenn P+ injektiv ist. ~+ ist injektiv:

Ist ((~(?,A), +a ), (~(?,B), +b ), f.) =((~(?,A'), +a,), (~(?,B'), +b,), f'), so f. = f~ und f = f' (3.4.1), daher A = A', B = B'. a = a' folgt aus +a = +a' (7.8.2): Aus a.x = +a = +a' = a~x folgt a. = a~, da ~ ~qulvalenz Ist, a = a' folgt aus 3.4.1. b' = b' schlle~t man genauso. 2. voll: I. Ist ((~(?,A), +a) , (~(?,B), +b), ~)Homomorphlsmus,

H-Homomorphismus,

G-Homomorphismus in (Natkontra(~,Me))+, so ~ = f. (3.4.3) und ((A,a), (B,b), f) Ist Homomorphlsmus, H-Homomorphismus, G-Homomorphlsmus 7.8.7.

(7.8.4).

Als Gruppenaxlome gen~gen bekanntllch Assozlatlvlt~t und Linksneutrales,

Linksinverse odor Rechtsneutrales, Rechtsinverse. Nach den Bemerkungen zum Bowels yon 7.8.2 v I

~ n, ~ !

) i gilt dasselbe f~r G-Objekte Gber elner Kategorle ~.

In Gruppen ist -(-x) = x. Aus (i.i.)X = I~(X,A) fGr jedes X folgt i.i, = I~(?,A) und ii = IA (3.4.1) fur die Inversion i. 7.9

Man dualisiere 9 : a : A

af = (f . f)b hei~t (b,a)-coprimltlv,

; A * A hei~t Coaddltlon, f : B

~ A mit

((B,b), (A,a), f) eln Cohomomorphlsmus. Man

erh~lt eine Kategorle ~+. Cokommutatlv (=: kommutatlv) definiert man dual zu 7.2 (Diagrsmm 7.2.1), coassoziativ (=: assoziativ) (7.3, Diagr-mm 7.3.1, Cokollablerend

(7.2, Diagr-mm 7.2.2), Coneutrale

: fu = gu fur alle f,g: A ~

slonen (7.5, Diagr-mm 7.5. I ), Co-H-Objekte, Co-H-Homomorphlsmen

.), Colnver(7.3.6),

Co-G-ObJekte, Co-G-Homomorphismen (7.5). ~-dual (!) zu ~H' ~G ist ~ H

~G, und ~G

Ist Teilkategorie von ~H, ~H von ~+ und ~G ist voll in ~+ (7.8.5) und ~H ist voll in ~+, falls 9 Nullmorphlsmen hat. Die Illustratlonen der Begriffe bei Mengen, wie z.B. a =: + ist kommutativ im Sinne yon Diagrams 7.2.1, genau wenn x + y = y + x ist, sind bier natGrlich sinnlos.

-

Beim 0bergang

((B,b),

(A,a), f) t

86

-

) ((~(A,?),

+a),

(G(B,?), +b), f.) yon ~ zu

Nat bemerke man, da~ man statt 7.8.1 ein Funktordlagramm

~(??.?) ~ Natko(~,Me)

~+

F+

(Natko (~,Me))+

u

(Diagramm 7.9.1)

U ) (NatkoC~,Me))H

U

U ~G

erh~lt, wobel Coaddltlonen ~(A,?)

x ~(A,?)

Famillen

FG

a : H

) (Natko(G,Me))G ) A * A in Addltlonen +a :

) ~(A,?) Hbergehen und in an der kovarlanten Stelle nat~rllche

(+~ I X E l~J) yon Addltlonen +~ : G(A,X)

Damlt let klar, wle 7.8.2 - 7.8.6 zu dualisleren Satz 7.9.2.

(7.8.2) Ist ~ : ~(A,?)

(genau eln) a : A

x ~(A,?)

x ~(A,X)

) ~(A,Z).

slnd; Beisplel:

~ ~(A,?) gegeben,

so ezlstlert

) A * A mlt +a = m. Ist v : ~(A,?) ---@ ~(A,?) neutral fur ~,

so let vl A =: u coneutral fur a, let G: ~(A,?)

) ~(A,?) Inversion fur a, so let

GIA =: i Coinverslon fur a. Zu sp~terem Gebrauch dualisieren wlr 7.4.6 und bemerken, dabel In elch Gbergeht

(St~rzen an der Hauptdlagonale

Satz 7.9.3. Hat ~ Nullmorphlsmen

und let r : A * A

exlstlert genau elne Co-H-Struktur

da~ r : A * A

~ A x A

: Bemerkung nach 5.9.2): ) A x A elne ~qulvalenz,

so

auf A. 0 let Coneutral fttw dlese Co-H-Struktur.

Komblnatlon mlt 7.4.6 llefert: Satz 7.9.4. Hat ~ Nullmorphlsmen

und let r : A * A

) A x A elne ~qulvalenz,

exlstiert genau elne H-Struktur und genau elne Co-H-Struktur bzw. coneutral.

so

auf A. 0 let neutral

-

7.10

Belspiele:

mit Einheit

7.10.1.

(= Grundpm~t),

Co-H-Objekte:

Ist a : A

PuMe:

87

-

I. Assoziative H-Objekte

G-Objekte die Gruppen.

slnd die Monoide

2. Es existieren nut triviale

) A * A = A v A (5.8.7.2) mlt Coneutralem OAA (andere

Coneutralen kGnnen wegen 7.3.5) nlcht existieren),

A x A~

P

Av

so Ist

A

A

kommutativ

(7.4.2).

Aus dAX = (x,x) und px = (x,O) oder (O,x) mit Grundpunkt

O, Je nachdem ob x aus

dem ersten oder zweiten A in A v A ist, folgt, dab der Durchschnitt

der Bilder yon

d A und p in A x A (0,0) ist. Die Bilder von d A und pa in A x A m~ssen gleich sein bei d A = pa. Das ist, d a d A monomorph

(injektiv)

ist, nut m~gllch, wenn A nut

aus dem Grundp-n~t besteht. 7.10.2.

PuTop-

1. G-ObJekte sind die topologischen @ruppen.

dab a, i stetig a : A

x

A

> A, i : A

Verlangt wird,

) A sind (das kollabierende

und daher

konstante n ist automatisch stetig). Nicht jeder Raum iH~t eine G- oder auch nut H-Struktu~ zu : Ist a : A x A

)A

H-Struk~ur

erhHlt man dutch Ubergang zu Homotopieklassen PuToph.

S I ist TrHger einer Co-H-Struktur

lhmdamentalgruppe

Oo-H-Objekte

7.10.3. (7.3.6).

~ : A x A ----> A eine H-Struktur

in

in PuToph (7.10.3). Nach 7.11 ist die

~I(A,~) = PuToph(S I , (A,n)) abelsch.

[19; 5.33, Hu [22; II Ex A], ~ 2.

(neutral ist der Grundp--~t ~), so

~I(S~$I)

=2Z "2~ (Hilton

* ~. ist das Co-l>roduk~ in Gr (5.8.7.6)).

sind wie in PuMe (7.10.1.2) trivial.

PuToph:

I. H-ObJekte sind als H-RHume oder Hopf'sche RHume bekannt

2. a : S 1

) s l y S I in PuTop sei das Identifizieren

irgendeines yore

Grundp--~t yon S 1 verschiedenen l>unktes yon S I mit dem Grundpunkt, gefolgt yon einer HomSomorphie

dieses Quotienten nach sly S I , z. B.

-

,

as

"--

[O,1] =: I u n d I x I

~ I

O ~ s

von S I als 1/0= I mit dem reellen Einheitsintervall

Beschreibung

der x E S 1 v S I dutch Repr~sentamten

~ S I x S 1 9 S I v S I , wo I x I

der gegenGberliegender

Quadratselten

S I v S I c S I x S I (5.8.7.3), ist gleichzeitlg repr~sentierte

-

, ~1 s ~ 1

(0,28-1)

bel Parametrisierung

88

) S I x S I die Identlfizierung (6.3.2.4)

ist. Die kanonische Eimbettung

ist immer der dutch 0 E I bzw. 0 x 0 E I • I

der in dem Symbol S 1 mitenthalten

sind Produkt bzw. Coprodukt und ~S I der Diagonale dS1

einau-

die (z.B.) die Topologie von S I v S I defi~iert,

p. Grundpunkt

Punkt,

in

sei. S I • S 1, S I v S I

in PuTop und PuToph, die Homotopieklassen

: SI

S yon p

) S I x S I in PuTop sind p bzw. ds1 in PuToph.

Aus dem Bild

(2)

2)

~

(I)

r

(i)

a/ r r

f

das a, p, ds1 auf Repr~sentauten

beschreibt,

zu d A ist. Das Diagramm der Homotopleklassen Co-E-Objekt Gber PuToph.

ist also kommutativ und ($I,~)

~ ist eine Co-G-Struktur

~1(X,x) die Fundamentalgruppe.

Ist A E PuTop,

Einh~ngung S I A A := S I x A/SIvA ^ ist ein Funktor PuTop x PuTop

) PuTop,

und (PuToph (SI,(x,x)),

von SIvA zu einem Punkt).

der mit Homotopie vertr~glich

[10; 5.3]; bel Puppe

schreibung yon ~ A I in 4.2).

ist,

~ PuToph deflniert.

~^I) (S I V S I) ^ A ~ (S I ^ A) v (S I A A) ist eine Co-G-Struktur

(Eckmann-Hilton

+~) =

so deflniert man die reduzierte

(Identifizieren

also einen Funktor ^ : PuToph x PuToph SI A A

entnimmt man sofort, dab pa homotop

[30] Einzelheiten

~ber Einh~ngungen,

in S I ^ A Be-

-

89

-

Wir bemerken, da~ S I mit der Addition yon Bogenl~ugen (mod I) eine topologische Gruppe ist, G-0bjekt in PuTop, also auch in PuToph ist. ~.I0.4

Gr.:

1. Addition ist ein Gruppemhomomorphismus

a : A x A

9 ) A.

(A,a) sei H-Objekt. Bezeichnen wit die Gruppenoperation mit (x,y)~--~ x + y (auch bei nichtkommutativer Gruppe A), die Einheit mit o, so ist a(x,y) = a(x + o, o + x) = a((x,o) + (o,y)) a(x,o) + a(o,y)

(a ist (+,+)-primitiv)

(Addition in A x A) =

= x + y (o ist Einheit fttr a : Nullmor-

phismen, 7.3.5), die Gruppenoperation also die einzige H-Struktur auf A. Au~erdem ist a(x,y) = a(o + x, y + o) = a((o,y) + (x,o)) = a(o,y) + a(x,o) = y + x. H-Objekte sand also hSchstens die kommutativen Gruppen mit der Gruppenoperation als Addition a. Andererseits definiert bei kommutativem A = (A',+) (x,y) i

) x + y einen Homomorphismus a : A x A

(A' x A') x (A' x A')

) A, der

+ > A' x A' a

A' x A'

+

~

A'

kommutativ ist : a(x,y) + a(x',y') = (x + y) + (x' + y') = (x + x') + (y + y') = a((x,y) + (x',y')). a ist offenbar eine kommutative G-Struktur. Die Homomorphismen in Gr G entsprechen genau den Gruppenhomomorphismen

(= Morphismen yon Gr).

2. (Eckmann-Hilton [10; 5.4.3] ohne umd [113 mit Beweisen:) Homomorphismus a : A

(= G-Homomorphismen)

Coaddition ist ein

) A * A in das freie Produkt A * A. Man bezeichme die Gruppen-

operation mit x + y, um sie von xy in den formalen Worten von A . A zu umterscheiden. Im Gbrigen benutzen wir die Gruppenoperation nicht. existieren,

Co-H-Strukturen A

> A , A

genau wenn A frei ist [11; 1.4]. Man erh~lt eine (assoziative)

Co-H-Struktur a dutch x i

~ xx fL~r die x einer freien Familie von Erzeugenden von

A, und jede assoziative Co-H-Struktur ist von dieser Form (loc.cit.p.211).

-

Au~erdem hat man bei nichttrivialem Co-H-Strukturen kommutativ

90

-

freiem A viele nichtassoziative

(1. c.p. 212). Bel nichttrivialem A ist keine Co-H-Struktur

(1.c.

1.7).

(b,a)-coprimitiv

Definition von b herangezogenen yon a herangezogenen

B

~ A sind die f, die die zur

Erzeugendsn von B auf die zur Definition

Erzeugenden von A oder die Einhelt yon A abbilden.

7.10.5

Ab: p : A . A

Gruppe l ~ t

genau eine H- und genau eine Co-H-Struktur

ursprGngliche x ~

> A x A ist eine ~quivalenz;

Gruppenaddition

jede Abelsche

zu. H-Struktur

ist die

(7. I0.4. I ), Co-H-Struktur

die Diagonalabbildung

(x,x), was mit 7.10.4.2 und 6.3.2.3 zusammenh~ugt

oder sofort aus 7.4.2

folgt, wean man die Auswahl fttr A . A, A • A so vereinbart, 7.11

Die Fundamentalgruppe

Satz 7.11.1. Hat G Nullmorphismen so ist

I. (~(A,B),

eines Schlelfenraumes

da~ p = 1 ist.

(H-Raumes)

und ist (A,a) Co-H-G~jekt,

ist abelsch:

(B,b) H-0bjekt,

+A) = (~(A,B), +~),

a

2. +~ = +B kommutativ umd assoziativ Beweis: A

Fttr f, g, h, k : A

) B berechnen wir die Komposition

a ~ A . A ~hf kg ~.' B • B

b ~ B : Mit

b ( v ) = b Iv,w] = v +b w fur v,w: (v w) a =

v,w

9

~B

a = v +a w fttr v,w : A

b ~ f g ~ a = ~ b ~

f'g h,k

~

a = (f,g

und 9 ist

+b

h,k )a = (f +a g) +b (h +a k) (7.6.1)

andererseits

(7.6. I dual),

also

(f +a g) +b (h +a k) = (f +b h) +a (g +b k). Daraus folgt I. +~

=

+A

nit g : = h : = O,

a 2. kommutativ mit +B

=+A

kommutativ und k : = O.

b

und f : = k : = 0 und assoziativ nit +

~

= + ,

-

E r g e t m t s und V e r f - h ~ e n s t n d n a t U r l t c h stru~ur

auch nut die Exlstenz

k - - ~ man v e r m e l d e n , yon B fordert,

91

-

die yon 7.10.4.1,

yon Neutralem benutzt

wenn man f t t r d e n C o n e u t r a l e n

da~ n s

= nBA : ~ ( A , B )

wo y o n d e r G r u p p e n -

wurde. Nullmorphismen

n A y o n a und N e u t r a l e n

) ~(A,B) 1 s t .

nB

-

.

92

-

Additive Kategorien

Ein Ring (R,+,.) mit Einheit ist dutch ,(R,+) ist eine abelsche Gruppe", (R,-) ist ein Monoid mit Einheit und 0 (- Kategorie mit Nullmorphismen und nur einem ObJekt) und alas Distributivgesetz terisiert.

r(s + t)n = rsn + rtn charak-

Pr~additive Kategorien sind verallgemeinerte

sei eine Kategorie mit Nullmorphismen, den ~(A,B),

so da~ die (~(A,B), ~ )

butivgesetz

f(g + h)k = fgk + ~

+ eine Familie yon Additienen in

abelsche Gruppen gilt bei 9

Kategorle.

zur selben Multipllkatien

8ind und das

f) . ~ .

Stellen natttrliche Familie von Additionen e d e r + (~, +) heist pr~additive

Ringe:

k) . (An beiden

: Hom~ • Hom~

) Hom~!).

Wie bei Ringen k~nmen mehrere

(Kompesltion)

exlstieren

8.5.2). Hat ~ Jedoch Produkte oder Coprodukte,

Dietrl-

,,Additionen"

(Beispiel am Schlu~ yon

so ist das nicht m6glich.

sel eine Kategorie mit Nullmorphismen. 8.1

Wit fassen ein Familie + yon Abbildungen +A : ~(A,B)

mit f(g + h)k = fgh + fhk bei 9 ungenau)

f) . ~ .

als H-Struktur + : Hom~ x Hom~

sind die OBA neutral fLLr die +~

9 +B

: @ (?,B)

k) . mlt Neutralen auch (etwas

(7.3.5). so existiert h~chetens eine H-Struktur

> Hom~, und diese H-Struktur

Beweis: Sind +, +' H-Strukturen • ~(?,B)

) ~(?,B)

ist assoziativ und kommutativ.

in Hom~, so fur Jedes A, B E I~I 'A ) g C A , ? ) H-Strukturen und + ? : @CA,t) x ~(A,?)

~(?,B) bzw. G(A,?). Nach 7.8.2 (7.8.3) existiert eine H-Struktur b : B • B mit +b = +B und dual eine Co-H-Struktur Nach 7.11.1 ist

+'~

= +2' = +~

a' : A --~ A * A mit +a' = +,A.

= +~

(umd) kommutativ und assoziatlv. Zusatz 8.1.2.

Es genGgt die Existenz yon Produkten oder Coprodukten.

Der Beweis ergibt sich aus Satz 8.1.3.

~ ~(A,B)

> Hom~ auf. Da ~ Nullmorphismen hat,

Satz 8. I. 1. Hat ~ Produkte umd Coprodukte, + : Hom~ x Hom~

• ~(A,B)

Existiert eine H-Struktur

in Hom~, so sind fur jedes Diagr,mm

) B

in

-

93

Pl

-

P2

AI (

A iI

)

) A2 ( i2

in g ~qulvalent: Pl

A1 (

2.

AI--~A ( i 2

.

Plil

A

P2

I.

) A 2 ist Produktdiagr-mm

und i I = [1,0] und i 2 = [0,I],

A 2 ist CoproduktdiagrAmm

und Pl = ~ I , 0 ) u n d

= IA I und P2i2 = IA 2 und Pli2 = 0AIA 2 und P2il

P2 = <0, I),

= IA2A I u n d

ilP I + i2P 2 = IA, kurz

pvi

= 6vp und ilP I + i2P 2 = 1A mit

8

=

{

v~

Corollar hat.

8.1.4.

~ (mit H-Struktur

Jedes Produkt

ist Coprodukt,

I Av 0Av A

,

v

=

~ ,

,

v

~

~.

in Hom) hat Produkte, jedes Coprodukt

genau wenn ~ Coprodukte

ist Produkt.

A I • A 2 ist, falls A I * A 2 (und A I • A2) existiert,

p : A1 . A2

eine Aquivalenz.

Man nimmt meist Beweis:

an, da~ die Auswahl A I . A 2 = A I x A 2 (p = 1) getroffen ist. P2 I ~ 3: A I Pl A ) A 2 sei Produktdiagr-mm, + H-Struktur in Hom~.

Wir definieren

i I : = [I,0]

: AI

~ AI

i 2 : = [0,1]

: A2

) A.

Damn ist pvip = 6v~ nach Definition. +A : ~(A,?)

• G(A,?)

9 f) 9 g'h>A. PI(IIPl

+ 12P2)

und P2(ilPl

Damit

) ~(A,?)

also f(g + h) = fg + fh fur

ist

= PlilPl

+ i2P2)

ist natttrlich,

+ P112P2

= 1A1P1

+ 0AIA2P2

= Pl + 0 = Pl = P11A

= P21A , also ilP 1 + i2P 2 = IA, da A I ~I

Pr oduktdiagr,mm

ist.

3 ~ 1: Sei p v l

= 5v~ und ilP 1 + i2P 2 = 1A.

A P2)A2

)

-

In der Situation

(ausgezogene

94

-

Pfeile) Pl

A I ( il

P2 ~9 A~ ~

A2

I

I :f-'?

I /

f

f2

B

definieren

wit f : = ilf I + i2f 2.

Dan- ist pl f = Plilfl Ist fur f'

: B

+ Pli2f2 = fl und p2 f = f2"

) A pl f' = pl f u n d

p2f' = p2 f, so f' = ( i l P 1 + i2P2)f'

=

P2 ilPl f' + i2P2f'

= ilPlf + i2P2f = ( i l P I + i2P2)f = f~ also A I ~1

Produktdiagr=mm.

Da 2 dual ist zu I u n d

2 = 3 (~ I); man beachte

dabei, da~ die Voraussetzung

selbstdual

ist.

8.1.5.

In einer Kategorie

kSnnen mehrere H-Strukturen und Addition

sition und H-Struktur. a(bc)d = (abd)

ist, gilt

(Existenz yon +)

ohne Produkte und Coprodukte

in Horn existieren: 2Z2 mit der Multiplikation

als H-Struktur,

sowie mit Multiplikation

Beispiel,

Forderung,

da~ + eine G-Struktur

8.2.

~ sei Kategorie

als Kompo-

I sind bei a = b = c = d = I und 0 sonst.

der Addition yon ~ auf 2Z[x] oder 1~mgekehrt

das gleichzeitig

zeigt,

da~ die versch~rfte

sei, auch keine Eindeutigkeit

mit Nullmorphismen

und H-Struktur

erzwingt. + in Horn.

Ein Diagramm iI (Diagr~mm 8.2. I )

als

Im zweiten Falle gilt das Distributivgesetz

(acd), da beide Seiten

triviales

3 selbstdual

mit Nullmorphismen

In 8.5.2 hat man dutch 8bertragung ein weniger

) A2

Daraus folgt i I = [1,0] und i 2 = [0,1] wegen pvi~ = Gv~.

Damit ist I * 3 gezeigt.

Komposition

A

AI (

i2 > A2

)A ( Pl

P2

mit pvi~ = 6vH und ilP I + i2P 2 = IA heist S11mmendiagr~mm

in ~.

-

A hei~t Summe von A I u n d dingungen

existiert

16). Exietlert

in Hom existiert,

tlven Kategorle

-

A2, wemm elm Diagr~mm

so heist ~ eine halbadditive Addition

95

8.2.1 mlt den gemachten Be-

zu je A 1 , A 2 eln Sttmmendiagr~mm

Kategorie.

Da nach 8.1.3,

nehmem wir + nicht

8.1.1 mur eime

im die Daten der halbaddi-

auf.

Nach 8.1.3 ist in 8.2. I ein Produkt und elm Coproduktdiagr~mm Wir nehmen fGr

8.2.1,

emthalten.

je A I, A 2 die Auswahl A I . A 2 = A I x A 2 = A =: A 1 9 A 2 an

und b e z e i c h n e n A 1 9 A 2 als die Summe von A I und A 2. Nach 5.3. I ist 9 elm kovarianter

~J~tor

~ x ~

mit f 9 g = f . g = f x g = ~ fo g0 ~

)~

und jede andere Auswahl Satz 8.2.2.

der A I 9 A 2 liefert

In einer Kategorie

: Am 9 A2

) BI ~ B 2 ,

einen ~quivalenten

~ mlt N u l l m o r p h l s m e m

slnd ~quivalent:

I.

~ ist halbadditiv,

2.

Je zwel Objekte A I, A 2 E I~l habem Produkt und Coprodukt, p : AI * A2

3.

Fun~tor.

und

) A 1 x A 2 ist eine Aqulvalenz,

~ hat Produkte

oder Coprodukte,

und

jedes Objekt hat elne H- und Co-H-

Struktur, 3'.

9 hat Produkte und Coprodukte,

umd jedes Objekt hat genau elme H- und

Ce-H-Struktur. Beweis:

I ~ 2 : 8.1.3

3 ~ I: Man definiert mlt irgendwelchem gegen +

A

(3 = I, 3 ~ 2), 8.1.4. +

A

a : A

: ~(A,B)

x ~(A,B)

) A . A, b

= +B gilt eine umd wegen +

gesetzes.

Der Rest folgt aus 8.1.3

A

) ~(A,B)

: B x B = +

A

2 = 3'

: 7.4.6 und dual. ale +

A

a A : = +B = + (7.11.1)

~ B.

die audere Seite des Distributlv-

(I ~ 3 bel P r o d u k t e n und 2 = 3 bel Copro-

duktem). Aus der Existenz

der H- und Co-H-Struktur

stenz yon Produkten ~n~ahme 8.2.3.

und Coprodukten

f~r jedes Objekt

mlt gleichen

folgt nur die Exi-

,Faktoren".

Die zus~tzliche

in 3 ist daher notwendlg. a Wir hatten + A = +B festgestellt.

Addition mlt 9

: Bei der getroffenen Auswahl

tivit~t von 7.4.2

Das llefert

eine B e s c h r e l b u n g

der

ftir ~, *, x folgt aus der Kommuta-

-

A.A

=

a~

96

A xA

/d

=

A e A

A

A

da~ a = dA, also f +

-

,

a

g = f +B g = < f'g > dA ist.

Aus dB(feg) = < 1,1 > (f.g) = < f,g > (5.8.3.2) folgt dB(f 9 g) d A = < f,g > d A = f + g oder A 9 A (Diagr~mm 8.2.4)

f e K; B 9 B

dA I

I dB

A

f+K>

B

kommutativ. Dualisierung

liefert dieselbe Beschrelbung f + g = dB(f 9 g) dA' well 8.2.4 selbst-

dual ist. Die Zwlschenschnitte dB(f 9 g) d A

=

dB(f x g) [1,1]

In Verallgemeinerung

8. 3.

Satz 8.3.1.

slnd natttrlich =

dB[f,g]

=

f +~ g

=

f +~ g.

von 8.1.3 und genauso beweist man:

Existiert eine H-Struktur

in Hom~, so ist f~r jede Famille

Pv A I v = I, ..., n) ~qulvalent:

(A v 9 iv 1.

(A v ~Pv

A I v = I, ..., n) ist Produktdlagr,mm und i v = [61v, ..., 6nv],

i . 3.

(A v

v >A

I v = I, ..., n) ist Coproduktdiagr~mm

und Pv = [6vi' "''' 6vn]'

pvip = 6vp und ilP 1 + ... + inP n = IA.

A =: A I e ... 9 A n (nach Auswahl) hei~t Summe der AI, ..., An und existlert in jeder halbadditlven Kategorie. Untersuchen wlr A

f

)B

h

g

;C

-

97

gf = h bei A = A I 9 ... 9 A 2 = A I . . . . .

-

A 2 mit A l

B = B I 9 ... 9 B m = B I x ... • B m = B I * . . . . C = C I 9 ... 9 C n = C I x ... x C n mit C v ( s~ ist h = gf = gIBf = g < ~

hv~ = qvhil der zu A1

jpPg)

> A, C ~

qv

B

J Cp~

C ,

f = ~(gj~Pgf)

und fGr die Elememte

C v geh~rigen Matrixdarstellung

was m a n wie G b l i c h dutch M u l t i p l i k a t i o n

gnl

Bmmit

) A,

grim

fml

von h (5.9)

Zeilen x S p a l t e n in

.... fml

\<]

.... hnl

erh~it. 8.3.2.

Die A d d i t i o n der als M a t r i x g e s c h r i e b e n e m M o r p h i s m e n g e s c h i e h t t r i v i a l e r -

weise k o m p o n e n t e n w e i s e : Pvfi~ + Pvgi~ Ap

i#

=

(f + g)vp = Pv (f + g) i

f v p + gv#

) A I 9 "'" ~ A m

gf

bei ) BI ~ .

.e B .n

Pv .

8.3.3~

Ist ~ Kategorie mit N u l l m o r p h i s m e n

H-Struktur

in Hom,

nicht),

aber nicht h a l b a d d i t i v

so regt die M a t r i z e m m u l t i p l i k a t i o n

an ( B u r m i s t r o w i t s c h (A I, ..., A n )

[7])

) Bv

und k o m m u t a t i v e r

(d.h.

sowie a s s o z i a t i v e r

im a l l g e m e i n e n existiert A I * A 2

und A d d i t i o n zttr E i n f G h r u n g y o n S,~mmen

: C~ babe Objekte

=: A I @ ... * A n mit AI,

M o r p h i s m e n A 1 * ... 9 A m

=

..., A n E I~I und n z I.

) B I 9 ... * B n defimiert m a n als M a t r i z e n

fn I

......

fnm

-

mit fvp : A

98

-

> By, so da~ also ~e (AI 9 ... 9 Am,

X ~(A ,By) ist ~,v Als Komposition hat man die Matrlzenmultiplikation

B I ~ ... 9 Ba) =

(8.3), wobei z u m N a c h w e l s

der Assoziativit~t benutzt wird, da~ + kommutativ und assoziatlv ist. + in ~

definiert man komponenterwelse

(8.3.2). Man prUft nach, da~ ~e

eine halbadditive Kategorie ist und ~

) ~

mlt A I > (A), f l > (f)

kovariant injektiv und roll ist. Man identlfizlert G mit seimem Bild unter diesen ~ n ~ t o r ,

dann ist ~

eine halbadditive Erweiterung vom ~. Mau vermelde

den Fehlschlu~, da~ in 9 nut eine Addition mSglich ist, da 9 c ~e ist; die Komgosition in ~e ist yon der Addition in ~ abh~nglg. 8.4.

~ sei eine halbadditive Kategorle, + die (eindeutig bestimmte und

kommutative und assoziative) H-Struktur in Hom. Ist + elme G-Struktur, so hel~t additive Kategorie. ~ber halbaddltiv himaus braucht man also nut die Existenz Negativer in den Hom (A,B) oder elner Inversion Hom Satz 8.4.1.

Ist E halbadditiv umd exlstlert zu jedem IA E Hom (A,A)

(jedes A s I~I) ein negatives Beweis: Zu f : A f OAA =

) Hom zu + machzu~rUfen. Dazu genGgt:

(-IA) mit IA + (-I A) = 0AA, so ist 9 additiv.

> B ist f(-1 A) negativ

: f + (f(-IA)) = f(1A + (-IA)) =

0BA. Da + kommutatlv ist, ist f(-1 A) auch linksnegativ zu f u n d

einziges

negatives. Wir schreiben -f etc.. f l (NatUrllchkeit: 8.4.1.

) -f definiert eime Imversiom Hom

) Hom zu +

7.6.12).

Verzichtet man auf Summen in ~, so verliert man gleichzeitig die

Eindeutigkeit mit aufnehmen:

(Kommutatlvit~t und Assoziativit~t) yon + und mu~ + in die Daten Ist ~ Kategorie mit Nullmorphismen umd + elne kommutative

G-Struktur in Hom, also jedes (Hom (A,B),+) abelsche Gruppe und f(g + h)k = fgk + fhk, so heist (~,+) eine pr~addltive Kategorie. 8.4.2.

Belspiele: AbMo ist halbadditiv, Ab ist addltiv. Schwlerigere Bei-

spiele, wie die Stabile Homotopiekategorie

(Puppe [31], [32]) zeigen den Wert

der allgemeinen 0berlegungen, die im Einzelfall Elndeutlgkeit, Assoziativlt~t, Kommutatlvit~t ohne NachprGfen llefern.

-

8.5.

F-n~toren

entsprechen. F : ~

(halb)addltlver

Sind g, 9 halbadditive

99

-

Kategorlen

sollen Ringhomomorphismen

Kategorien,

so heist ein Fsn~tor

) ~ additiv, wenn

(Add FI) TO = O, (Add F2) T(f + g) = Tf + Tg ist. Ist ~ additiv, Satz 8.5.1~

so k-~n man TO = 0 aus T(f + g) = Tf + Tg folgern.

Sind g, 9 halbaddltlv und ist F : g

) ~ addltiv,

so gilt:

T(A 9 B) = TA @ TB, T(f @ g) = Tf @ Tg. Hat g ein Nullobjekt N, so ist TN ein Nullobjekt Beweis:

in ~.

Fttr • AI

i2 >A

e---~-

Pl

mlt p v i

~

A2 P2

= 6v~ und ilp I + 12p 2 = IA ist (Tpv)

(Ti)

(Ti I) (Tp I) + (Ti 2) (Tp 2) = ITA, falls T kovarlant

= 6v~ und ist. Somst dualislere man.

Daraus schlie~t man T(f 9 g) = Tf @ Tg. Ist N Nullobjekt

von ~, so IN = ONN ,

also ITN -- T1N = TONN = OTNTN und TN Nullobjekt

in ~.

8.5.2.

Funktor Ab

A :

Ein Belspiel f~r elnen mlchtaddltlvem

) A @ A, f i

) Ab ist

) f @ f mlt dem Tensorprodukt @; man hat bekanntllch

(A @ B) @ CA 9 B) = CA @ A) 9 CA @ B) 9 CB @ A) @ (B @ B). Im Gegensatz

dazu gilt :

Satz 8.5.3.

Sind ~, 9 halbadditlv

Fun(~,~),

und ist F : ~

) 9 eine ~quivalenz

in

so ist F additiv.

Zum Beweis Hberlegt man, dab man durch f + 'g := F-l(Ff + Fg) eine H-Struktur auf ~ bekommt,

die nach 8.1.1 mit der ursprttuglichen

(+) Hbereinstimmen

mu~.

Dan~ ist F(f + g) = F(f + 'g) = Ff + Fg. FUr 8.5.3 ist die Existenz von Summen I : ~2

~2Z 2 definiert

(Produkten,

eine Aquivalenz

Additlomen yon 8.1.5 nlcht respektiert.

(~Z2,-)

Coprodukten) ) ~2,-),

notwendig:

die die verschiedenen

-

100

-

Als weniger triviales Belspiel'betrachte man die beiden Ringe E und E[x] (Polyno~ring), derenmultiplik&tive

Monoide ( K a t e g o r i e n ) ~ q u i v a l e n t s i n d ,

da i n b e i d e n Ringen d i e e i n d e u t i g e P r i m e l e m e n t z e r l e g u n g g i l t ,

beide,&bzMhl-

b a r v~e~e P r i m e l e m e n t e h a b e n u n d b e i d e n u t d i e E i n h e i t e n + 1 haben. Es e x i o

stiert kein Ringisomorphismus~ ---~[x], d a E Hauptidealring let, nicht Jedoch ~ [ x ] .

-

101

-

Yu~noten

I)

T, der Llteratur h~ufig auch ~(f,g) =: fg fur g nach f. Es ist noch nicht klsr, welche Bezeichnumg sich durchsetzen wird.

2)

Andere ~bliche Bezeichmumgen

: M(A,B), Mor~(A,B), Mor(A,B), Hom~(A,B),

Hom(A,B), hom(A,B) und (A,B) (neuerdings bei Freyd t14]).

3)

Man beachte: Gegenst~ude der Theorie simd d i e unter a - d genanmten Zeichen (daru~ter dle lateinlschen Buchstaben), und die daraus gebildeten Zeichemreihen.

Zur Bezelckuung solcher Gegenst~ude, die nicht

expllzlt hingeschrieben werden, verwenden wlr vorzugsweise grlechische Buchstaben in demselben Sinne wie sonst in der Mathematlk Buchstaben fttr Zahlen, Funktlonen usw. verwendet werden.

4)

Wit ftthren sparer Terme elm, dle keine Buchstaben zu seLu brauchen. Man umterscheide daher schon bier zwischen Termen und Buchstaben.

5)

[a,~] : Sind ~, ~, ~', ~' Buchstaben, die in ~, ~ nicht vorkommen, und Ist ~ verschieden yon ~, ~' verschleden yon ~', so bezelchmen ~p ^~(~ E ~ *

~ = ~ oder ~ = ~) umd ~,^~,(~'

E ~' ~ ~' = a oder ~' = ~)

denselben Term. Dieser Term wird mit {u,~] abgekltrzt. Analog fttr ~ ,

6)

U~.

Hinweis: Bourbaki [I; p6], [2; 4.4], Zermelo [38], Somner [34; pp. 174-1751, Shephardson [33~, Tarski [36~, Montague-Vaught

7)

[28~.

die Theorie einer Kategorie braucht man die starke Mengenlehre nicht, sondern erst, wemn man kon~-~ete Kategorlen kenstruleren will (Me U etc.).

8)

Um dies ~berhaupt formulieren zu kSnnen, nehmen wlr an, 9 sei eine formale loglsche Theorie mit Gleichheitszeichen.

-

9)

102

-

Diese Bezeichnungen sind wie viele sparer eingef~thrte AbktLrzungen streng genommen nicht konsistent mit den Bezeichnungen der Mengemlehre. Wegen ihrer Suggestivkraft werden sie trotzdem verwandt, da im allgemeinen kelne Mi~verstRmdnisse auftreten.

I0)

e (

e' soil nat~irlich dasselbe wie e'

11)

Bei stillschweigender

12)

monomorph auch injektiv, monic; epimorph auch surjektiv, epic;

Annahme

) e bedeuten.

I~I 0 Mor~ = ~.

bimorph auch bijektiv, was man nlcht mlt isomorph = 1]m~ehrBar (~quivalenz) verwechsle.

Links kGrzbar fur hinten kUrzbar ist nicht z w e c k m ~ i g ,

da sich

noch keine einheitliche Schreibweise fur die Komposition durchgesetzt hat: In ~ l e n

(vor allem russischen Arbeiten) flndet man fg fur unser gf (Zf = Qg).

Unterobjekt. Wir ziehen die Bezeichnung Teil vor, da die Teile keine 0bjekte sondern Morphismen (bei Auswahl) oder ~quivalenzklassen yon Morphismen sind. In den k o ~ e t e n

Beispielkategorien vernachl~ssigt mau oft

die einbettende Abbildumg; das filhrt allerdings manchmal zu Schwierigkeiten.

14)

Vorsicht bel A = B (Mau vergleiche 7.10.4.2).

15)

Will mam ,,leere Monoide" ausschlie~en,

so geht man in PuMe. Bei multiplika-

tiver Schreibweise sagt man melst Eimheit statt Neutrales. 16)

Statt ,,S,,mme" oft ,direkte S-mme". Diese Bezelch~ung wlrd auch fur Coprodukte benutzt als Gegensatz zu Produkt = direktes Produkt. E c k m ~ n - H i l t o n

[103

benutzen direktes und inverses Produkt f~r Produkt umd Coprodukt. Der Sprachgebrauch ist nicht einheitlich.

~7)

Injektive Fun~toren sind nicht treue ~ m ~ t o r e n :

elm ~ m ~ t o r

F : ~ --0~

heist treu, wenn fGr je zwei A, B E l~I gilt ,f, g E ~(A,B) und Ff = Fg ~ f = g". Daraus folgt nicht ,Fe = Fe' = e = e' " fur Einheiten, was in injektiv enthalten ist.

-

103

-

Die sp~ter elnzufUhrenden Begriffe monomorph, eplmorph, bimorph werden h~ufig mit injektiv, surjektiv, bijektiv bezeichnet. Ein elnheitlicher Sprachgebrauch hat sich noch nicht durchgesetzt. 4.1.1Beispiel I(2) besagt, da~ f : X

) Y (zwischen Mengen) injektiv (surjektiv) ist, genau

wenu monomorph (epimorph) in jeder Kategorle yon Mengen, die alle Abbildungen zwischen allen Mengen eines Universums enth~lt, dessen Elemente X und Y sind. Satz 3.1.2 besagt, da~ elm bijektives f in jeder solchen Kategorie elne ~quivalenz ist.

Diese Behauptung kann man unter Benutzung der sogenannten ,,freien Produkte mit vereinigter Untergruppe" beweisen. - vg%. W. Specht. Gruppentheorie. Grund~ehren der Mathematischen Wissenschaften Bd. 82, Springer Ber%in.

-

1 0 4

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41

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