Abelsche und exakte Kategorien, Korrespondenzen

Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann...

Author: Hans-Berndt Brinkmann | Dieter Puppe

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Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, ZUrich

96

!

m

Hans-Berndt Brinkmann Universit~t Konstanz

Dieter Puppe Universit~t Heidelberg

Abelsche und exakte Kategorier Korrespondenzen 1969

Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York

All rights reserved. N o part of this b o o k may be translated or reproduced in any form without written p e r m i s s i o n from Springer Verlag. 9 by Springer-Verlag Berlin 9 Heidelberg 1969 Library of C o n g r e s s Catalog Card N u m b e r 70-i00696 Printed in Germany. Title No. 3702

Vorwort

DieSe Ausarbeitung hat ihren Ursprung in einer Vorlesung, die D.Puppe im Wintersemester 1963/64 an der Universit~t des Saarlandes gehalten hat, und ist eine Portsetzung yon Band 18 dieser Lecture Notes. Der Inhalt der vorliegenden Ausarbeitung hat sich jedoch gegenGber der Vorlesung erheblich ge~ndert. Auf den ersten Tell (Band 18) wird in der ~orm I.m.n.p verwiesen. Die Abschnitte

I - 5 wurden yon D.Puppe verfaBt. Sie entwickeln die

elementare Theorie der exakten und abelschen Kategorien, wobei bescnderer Wert gelegt wurde auf: I. Die Behandlung nicht nur abelscher, sondern auch exakter Kategorien *). 2~ Die Untersuchung der Abhgngigkeiten zwischen den verschiedenen Axiomen, die zur Charakterisierung von abelschen Kategorien dienen. Insbesondere wird ein Beweis fGr die Ergebnisse von [27] gegeben, der "self-contained" ist. 3. Die ausftLhrliche Diskussion exakter Quadrate ([12], "smooth" in [31]). In den Abschnitten 6 - 10 von H.-B.Bri~kmann wird ein Beweis des Satzes gegeben, dab jede exakte Kategorie sich als Kategorie der eigentlichen Morphismen in eine Kategorie von Korrespondenzen einbetten l~Bt. Der Satz wurde in [24] vermutet. Mehrere Autoren haben ihn inzwischen mit verschiedenen Methoden bewiesen [15], [4], [28], [29]. Der hier durchgeftthrte Beweis wird im (sp~ter entstandenen) Anhang von H.-B.Brink~ann noch so mcdifiziert, dab er nicht nur f~r exakte Kategorien gilt, scndern die Konstruktion der Gruppenkorrespondenzen mit umfaBt. Bei der Entwicklung der Theorie der Korrespondenzen wird besonderer Wert auf die Klgrung der verschiedenen Dualisierungen gelegt. Als Anwendung werden die Gblichen Diagrammlemmata und der Homologiebegriff in exakten Kategorien behandelt. Gewisse Wiederholungen gegenGber den vorhergehenden Abschnitten sind beabsichtigt, damit die Konstruktion der Korrespondenzen auch unabh~ngig von ihnen verst~ndlich ist. Aus techni~chen Grttuden hat sich leider die Ver8ffentlichung des bis auf unwesentliche Teile bereits im August 1967 fertiggestellten Manuskriptes

*) Eine Kategorie heiBt exakt, wenn jeder Morphismus zerlegbar ist in einen Kern nach einem Cokern; ~ltere Bezeichnung: quasiexakto

-

IV

-

bis heute verz~gert. Daraus erkl~rt sich, dab einige m~gliche Vereinfachungen nicht in das Manuskript aufgenommenwurden, sind.

obwohl sie uns inzwischen bekannt

Den Herren W.End und H.Eiehhorn in Heidelberg danken wit f~r die kritische Durchsieht yon Teilen des Manuskripts. ZGrich und Heidelberg,

im Juli 1969 H. -B.

Brinkmann

D. Pupp e

Inhalt

I.

Kerne und Cokerne

2.

Zerlegung von Morphismen.

3.

A d d i t i o n v o n Morphismen.

4.

K a r t e s i s c h e und c o k a r t e s i s c h e Quadrate

5.

Exakte P o l g e n und exakte Quadrate

6.

K a t e g o r i e n yon K o r r e s p o n d e n z e n

7.

V o l l k o m m u t a t i v e Quadrate.

8.

K o r r e s p o n d e n z e n ~ b e r exakten K a t e g o r i e n

9.

Homologie

10.

Anhang

Exakte K a t e g o r i e n

1

.......................

12

......................

21

............................

27

.................................

36

....................................

52

Abelsche Kategorien

Zerlegung yon K o r r e s p o n d e n z e n

...........

71

...........................

84

........................................................

Diagrammlemmata Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

in exakten K a t e g o r i e n

102

............................

118

........................................................

123

--

I

--

Kerne und Cokerne

I .

1.1. Sei ~ eine Kategorie.

Wenn keine Verwechslungen zu befGrchten sind, so be-

zeichnen wit die Menge ihrer Morphismen ebenfalls mit 9 .

F~w zwei Morphismen f,g E ~ schreiben wlr f
gibt,

so

da~ f = gh (vgl. 1.4.3). Wit schrelben f ~Z g' wenn h sogar als Isomorphlsmus (= Equlvalenz)

gew~hlt werden kann. Aus f ~Z g folgt (f
abet die Umkehrung ist i.a. falsch.

(Unser Gebrauch yon ~Z weicht also von

1.4.9 ab.) Die Umkehrung gilt jedoch 3 wenn f u n d

g monomorph sind (I.4.9.1).

Die Relation
Dual schreiben wlr f
- und f ~Q g, wenn

h sogar als Isomorphlsmus gew~hlt werden kann.

1.2. E~alisator: Wit betrachten eine feste Kategorie ~ und darin zwei Morphismen f,g : A

> B.

1.2.1. Definition: fund

k: 9

(vgl. 1.4.1) von

g, wenn gilt

(a)

fk = g k

(b)

fu = gu

(c)

> A heiBt E~alisator oder D i f f e r e n z k e r n

> u
k ist monomorph.

Zur Veranschaulichung diene das Diagram~ f

k

>

T'..

A

-. ll I

>

B

g "" ,~.

l.l. %.

Die Menge aller Egalisatoren von f u n d

1.2.2. Bemerkung: Die Bedingungen (d)

g bezeichnen wit mit Egal(f,g).

(b) und (c) zus~mmen sind ~quivalent mlt

zu Jedem u mit fu = gu glbt es genau ein u' mit u = ku'.

-

Beweis:

2 -

Zu zeigen ist nut, dab (c) aus (d) folgt.

Sei also kv I = kv 2. Dann

nennen wi~ diesen Morphismus u. Offenbar ist fu = gu, also v I = v 2 wegen der Eindeutigkeitsaussage

1.2.3. Beispiele:

In

9=

in (d).

Me (Kategorie aller Mengen und Abbildungen)

sion ~xlf(x) = g(x)~ c A ein Egalisator yon f u n d = Gr (Gruppen und Homomorphlsmen), Abbildungen)

ist die Inklu-

g. Entsprechendes gilt in

~ = Top (topologieche R~ume und etetige

und in vielen ~hnlichen Kategorien.

(In Top ist ~xlf(x) = g(x))

mit der von A induzierten Topologle zu versehen.)

In jeder Kategorie ist IQf ~ Egal(f,f).

1.2.4. Satz:

Jeder Egalisator ist eine Einbettun~

Beweis:

Sei k ~ Egal(f,g).

(zur Def. s. 1.4.8.1).

Zu zeigen ist: u c z k ~---~ u (Z k far alle u. Sei

also u c Z k. Nach Definition dieser Bezeichnung

(I.4.2) gilt fu = gu (derm

fk = gk). Die Behauptung folgt nun aus (b) in 1.2.1.

1.2.5.

Satz:

FGr f,g : A

~ B ist Egal(f,g) entweder leer oder ein Tell yon A (zur

Definition s. 1.4.9).

Beweis:

Sei k ~ Egal(f,g) und zun~chst k'~ Z k. Dann ist k' = ki mit einem

Isomorphismus i, und die E i g e n s c h a f t e n

(a)-(c) aus der Definition 1.2.1 Gber-

tragen sich unmittelbar yon k auf ki.

Ist tumgekehrt k,k' ~ Egal(f,g),

so gilt

k (Z k'

wegen (a) fGr k, (b) far k'

k' (Z k

aus SymmetriegrGnden.

Da beides Monomorphismen sind, folgt k ~Z k' (1.1).

Egal(f,g) ist also entweder leer oder eine volle Z-Equivalenzklasse. Satz 1.2.4 mug diese ein Tell yon A sein.

Wegen

-3-

1.2.6.

Bemerkung:

Ist J : B

C monomorph,

so folgt unmlttelbar

aus der D e f i n i t i o n

Egal(Jf, jg) = Egal(f,g).

1.3. Kern:

In dlesem Abschnitt

1.3.1. Definition:

sel 9

Eln Egalisator

eine Kategorle

yon f : A

~ B und dem Nullmorphismus

helBt Kern yon f. Die Menge Egal(f,0)

Zur V e r a n s c h a u l i c h u n g

f~

mit Nullmorphlsmen

(I.6.1).

0 : A

~ B

bezelchnen wit auch mit Ker f.

die c h a r a k t e r i s t i s o h e n

Eigenschaften

yon k ~ Ker f

dlene

Es gilt fk = 0 und fu ~ 0 ~ elne Einbettung.

1.3.2.

u (Z k. k ist monomorph

Ker f ist entweder

Beis~iele:. In ~ = PuMe

(punktierte

f-1(b o) c A ein Kern von f : A Entsprechendes (abelsche

Gruppen,

Satz:

1.2.4 sogar

leer eder eln Tell von A (1.2.5).

Mengen,

vgl.

1.0.5.3)

ist die Inklusion

h B, wenn b o den Grundpunkt

von B bezeichnet.

gilt fur ~ = Top, ~ = Gr (mit b o = Einselement),

In Jeder Kategorie

1.3.3.

und w e g e n

~ = AbGr

mit b o = 0). ist IA G Ker(O

: A-@

B).

Ist 0 ~ Ker f, so ~llt

(1.3.4)

fu = 0 ~-~ u = 0

Hat umgekehrt

f : A

fur alle u.

~ B diese Eigenschaft,

ein Kern yon f, wenn K eln Nullob~ekt

ist

so ist k : K

~ A ~enau dann

(woraus k = 0 folgt~.

Beweis:

Sel 0 ~ Ker f. Aus fu = 0 folgt dann u = Ou' = 0 fGr ein geeignetes

Sei nun

(1.3.4)

erfGllt

und k ~ K e r f .

Wegen fk = 0 ist dann k = O, und weil

u'.

-4-

k monomorph ist, IK = O. Diese Glelchung charakterisiert abet Nullobjekte (I.6.2.2. I).

Ist schlie~llch (1.3.4) erfGllt und K eln NullobJekt, mittelbar,

so best~tigt man un-

da~ k die definle~enden Eigenschaften elnes Kernes hat.

1.3.5. Definition: Wit sagen: ~ hat Kerne oder ~ ist eine Kate~orle mit Kernen, wenn Nullmorphismen und jedes f G ~

1.3.6. Korollar:

einen Kern hat.

Sei ~ eine Kate~orle mit Kernen. Ist ~ nlcht leer, so ~ibt es ein

Nullobjekt. Die B e d i n ~ n ~

(.I.3.4~ ist mit 0 ~ K e r f

~quivalent.

Bewels: Sei A a I~I und k G Ker IA. Dann ist Qk ein Nullobjekt nach 1.3.3. Das Gbrige folgt unmittelbar aus 1.3.3.

1.3.7. Bemerkun~: Aus der Definition des Kerns entnimmt man unmittelbar: ErfUllt f die Bedingung (1.3.4) und ist Zg = Qf, so gilt Ker(fg) = Ker g.

1.3.8. B e m e r k ~ :

Ist f monomorph,

so gilt offenbar (1.3.4). Die Umkehr~ug ist i.a.

falseh wle das Beisplel ~ = PuMe zelgt; vgl. abet 1.4.2 und 2.5.

1.4. Pr~addltlve Kate~orien: Wit erinnern: Eine pr~additlve Kategorie ist eine Kategorie ~ zusammen mit einer "Addition" von Morphismen,

die jedes

~(A,B)

zu einer abelschen Gruppe macht und ~ber der die Zusammensetzung von Morphismen distributlv ist (I.8). Es folgt, da~ die neutralen Elemente von ~(A,B) ein System yon Nullmorphismen bilden.

1.4.1. Satz: In einer pr~additiven Kate~orie ist Egal(f,g) = Ker(f-g).

Der Beweis ergibt sich leicht aus

-5-

fu = gu

1.4.2.

Satz:

In einer prgadditiven fu = 0

<--~>

(f-g)u = 0.

Kate~orie

-->

ist f genau dann monomorph,

u = 0

fGr alle u

(d.h. wenn 0 ~ Ker f, falls ein Nullob~ekt

Der Beweis ergibt

und Cokern:

ist eine Identlfizierung von f u n d

In einer Kategorie

v~l.

1.3.31 .

<

>

f(ul-u 2) = O.

Dual zu 1.2 definiert man den Begriff

tots oder Differenzcoke~ns

egalisatoren

existiert,

sich aus fu I = fu 2

1.5. Coegalisator

wenn

zweier M o r p h i s m e n (zur Def.

f,g

s. 1.4.10).

g ist entweder

mit N u l l m e r p h i s m e n

: A

des Coe~alisa-

~ B. Jeder Coegalisato~

Die Menge Coeg(f,g)

aller Ce-

leer oder ein Quotient yon B.

setzen wit

(dual zu 1.3)

Cok f = Coeg(f,0) und nennen

jedes Element von Cok f einen Cokern von f. Wir geben die D e f i n i t i o n

noch einmal explizlt,

1.5.1. Definition:

s : B

da wit sie oft brauchen werden:

~ 9 ist ein Cokern yon f : A ---~ B, w e n n gilt

(a)

sf

= o

(b)

uf = 0

(c)

s ist epimorph.

~-~

u
Zur V e r a n s c h a u l i c h u n g

Beispiele:

1.1)

diene A

1.5.2.

(vgl.

0

In AbGr ist die natGrliche

>

9

Projektion

B

> B/fA ein Cokern yon

-6-

f : A

> B. In Gr gilt Entsprechendes,

erzeugten Normaltieler

ersetzt.

In PuMe erh~lt men einen Cokern von f, indem

man die Elemente yon fA miteinander In PuTop (punktiierte den entsprechenden

1.5.3. Dualisierung

wenn man fA dutch den von fA in B

topologische

identiflziert

und B sonst unge~ndert

R~ume) verf~hrt man ebenso und versieht

Ra~m mit der Identifizierungstopologie.

der S~tze yon I.~; Es ist immer IB ~ Cok(0

: A - @ B). s : B - @ C

ist genau dann ein 0okern Yon IB : B ---~ B, wenn C ein NullobJekt nicht leere Kategorie mit Cokernen hat daher ein Nullobjekt. obJekt,

l~Bt.

so ist 0 E Cok f gleichbedeutend uf = 0

~

u = 0

ist. Jede

Hat ~ ein Null-

mit fGr alle u.

ErfUllt f diese Bedingung und ist Qg = Zf, so gilt Ook(gf)

= Cok g.

1.6. Die Abbildungen Ker und Cok:

1.6.1.

Satz: In elner Kate~orie mit Nullmorphismen (a)

fl
~

Ker fl >Z Ker f2

(b)

fl
~

Cok fl >Q Cok f2'

gilt

voraus~esetzt t da~ fl,f2 Kerne bzw, Cokerne haben. (Hier wurden die Relationen

>Z und >Q auf Z- bzw. Q-Equivalenzklassen

wandt. Der Sinn und die MSgllchkeit

dieses Gebrauches

Beweis:

da (b) dazu dual ist. Wit betrachten also

Es genUgt,

(a) zu beweisen,

mit k~ ~ Ker f~. Nach Voraussetzung

dGrftenklar

ange-

sein.)

gibt es ein u mit fl = uf2" Dann ist

flk2 = uf2k 2 = O, also gibt es ein v mit k 2 = klV.

-7-

Als Korollar erh~lt man fl ~Q f2

Ker s

= Ker f2

fl ~Z f2

Cok fl = Cok f2 '

was abet auch schon aus 1.3.7 bzw. Q-Kquivalenzklassen

1.6.2.

1.5.3 folgt.

Es ist daher sinnvoll Ker auf

und Cok auf Z-Equivalenzklassen

anzuwenden.

Satz: In einer Kate~orie mit Kernen und Cokernen ~ilt (a)

Ker Cok f >Z f

(b)

Cok K e r f

>Q f

fGr jeden Morphismus

f.

Beweis: Wieder kSnnen wit uns auf den Nachweis von (a) beschr~6uken.

In dem

DiagrAmm

o

sei s ~ Cok f u n d

k G Ker s. Wegen sf -- 0 gibt es ein u mit f = ku.

1.6.3. Korollar: (a)

Ker Cok Ker = Ker

(b)

Cok Ker Cok = Cok.

Beweis: Wendet man 1.6.2(a) auf f ~ Ker g an, so folgt Ker Cok Ker g ~Z Ker g. Nach 1.6.2(b)

ist andererseits

Cok Ker g )Q g, und nach 1.6.1(a) ~olgt

da~aus Ker Cok Ker g (Z Ker g. Well auf beiden Selten Xquivalenzklassen ergibt sich die Behauptung

Bemerkung:

(a).

yon Monomorphismen

stehen (vgl.

(b) ist dual.

Es bestehen fo~male Analogien

zur Galoisschen

Theorie,

wennman

1.1),

-8-

Ker und Cok mit der Bildung der G a l o i s ~ p p e

bzw. des FixkSrpers vergleicht.

1.7. Normale und ~onormale Morphismen: 1.7.1. Definition:

In einer Kategorie mlt Nullmorphismen heiBt f normal, wenn es ein

g gibt, so da~ f ~ Ker g. Dual dazu heist f conormal, wenn f G Cok g fGr ein geeignetes g. Jeder normale Morphismus ist eine Einbettung (1.2.4), Identlfizierung

1.7.2. Beispiele:

(dual).

In G r i s t

~eiler von G i s t .

Jeder conormale eine

eine Inklusion N c G genau dann normal, wenn N Normal-

Das motivlert die Bezelchnung.

Jeder Epimorphismus in Gr

ist conormal. InflAMe ist Jeder Monomorphismus normal. Ein Epimorphismus f : A

> B ist

genau dann conormal, wenn f-1(b) fGr jedes vom Grundpunkt verschiedene b ~ B aus genau einem Element besteht. In PuTop (punktierte topologische R~ume) ist jede Einbettung normal, abet nicht jeder Monomorphismus. In AbGr ist jeder Monomorphismus normal und jeder Epimorphismus conormal. AbGrPa bezeichne die Kategorie der Paare yon abelschen Gruppen. Ein 0bjekt (A,A') besteht also aus einer abelschen Gruppe A und einer Untergruppe A' c A. Morphismen sind Paare von Homomorphismen

(f,f') : (A,A')

~ (B,B'),

so da~ A' c A

B' c B kommutiert. In AbGrPa ist jede Einbettung normal (abet nicht jeder Monomorphismus) und Jede Identifizierung conormal (abet nicht jeder Epimorphismus).

-9-

1.7.3.

Satz.

Ist in einer Kate~orie mlt N u l l m o r p h i s m e n

so ist

s E Cok k

und

k

normal,

k ~ Ker s .

Beweis: Die B e h a u p t u n g folgt leicht aus 1.6.3, wo a l l e r d i n g s die E x i s t e n z von Kernen und C o k e r n e n v o r a u s g e s e t z t war. direkt schlle~t man so: Es gibt eln gibt es ein ein

x'

u

mit

mit

f = us . Ist

x = kx'

, d.h.

f

0hne diese V o r a u s s e t z u n g und

mit

k E Kerf

sx = 0 , so auch

. Wegen

fk = 0

fx = 0 . Also gibt es

k w Ker s . Zur V e r a n s c h ~ u l i c h u n g verwende man

das D i a g r a m m

1.7.4.

Satz.

Sei

~

eine Kate~orie mit K e r n e n und C o k e r n e n I in der jede E i n b e t t u n ~

normal und ~ede I d e n t i f i z i e r u n g conormal %st. i n d u z i e r e n dann

Ker

und

Cok

schen den ~ e o r d n e t e n M e n g e n Beweis: DaB k ~ Tei A

Ker

und

Cok

A

von

zueinander inverse A n t i - I s o m o r p h i s m e n zwi-

Tel A

und

Quot A

(v~l.

die 0 r d n u n g umkehren,

hat nach V o r a u s s e t z u n g die Form

Ker Cok k = k

FGr Sedes 0bjekt

1.4.9 und 1.4.10~.

folgt aus 1.6.1. Jedes

k = Ker f . Also ist

nach 1.6.3 oder 1.7.3. D u a l gilt

Cok Ker o = D

fur jedes

p ~ Quot A .

1.8. D u ~ c h s e h n l t t y o n Monomorphismen. 1.8.1. Definition: Ziel (a)

A .

Seien j

J ~Z J~

Jl,j 2

J

Monomorphlsmen yon

heiBt D u r c h s c h n i t t von f~

= 1,3 u : 9. ~ A

und

mit dem g l e i c h e n

J2 ' w e n n gilt

J '

ein b e l i e b i g e r M o r p h i s m u s von

Die Menge aller D u r c h s c h n i t t e

von

Jl

genau eine volle

Z-Xquivalenzklasse,

k l a s s e n yon

und

Jl

Jl

~

~ = 1,2,

(b) (U z wobei

und

J2

ab.

und

J2

~

ist.

ist entweder leer oder

und sie h~ngt nut yon den Z - E q u i v a l e n z -

-

1.8.2.

Satz.

Sei

J2 : "

eine

> A

Beweis:

Darin

~

Sei

eei

Wegen

monomorph, Jl ~ K e r

fj = fJ2k2 fGr

Sei nun tumgekehrt geeignete

Tel

A

. Daraus

und

Quot

Es e r s c h e i n t

1.9.1.

auch in

Hilfssatz. auch

j

Beweis:

Ist

J2

: 9

~ A

normal

und

einen Durchschnitt.

das D i a g r a m m

. mit

j = Jlkl

. Also

fGr

~ = 1,2

fJ2u2

man

. Dann

= fJlUl

ist

ist

u = JlUl

= J2u2

= 0 , also gibt es ein

u = J2u2 = J2k2v

f~

v

mit

= jv ~Z j "

als V e r b ~ n d ~ . den Begrlff

des D u r c h s c h n i t t s

vor a l l e m auf E i n b e t -

D a n n hat er n i c h t nut in E a t e g o r i e n Top

j

kI

Jl

.

erh~lt

A

und

j = J2k2

gibt es ein

u ~Z J~

ad~quat,

t u n g e n anzuwenden. sondern

und

Ul,U 2 . Es folgt

u 2 = k2v

Jl

Ist

f . Wit b e t r a c h t e n

= 0

~ = 1,2

mit Kernen.

so h a b e n

k 2 ~ Ker(fJ2)

J ~Z J~

1.9.

Kate6orie

10-

seine

~bliche

wie

Me

und

Gr

Bedeutung.

eln D u r c h s c n i t t

der E i n b e t t u n g e n

Jl

und

J2 ' so ist

eine E i n b e t t u n g . Zu z e i g e n

u c z j . Wegen 1.4.3.7).

ist

u c z j ~ u ~Z j

J ~Z J~

folgt

Nach V o r a u s s e t z u n g

dann

f~tr alle

u (I.4.8.1).

u c z j~ , v = 1,2

ist d a n n aber auch

(vgl.

u
Sei also

1.4.2

und

und n a c h D e f i n i t i o n

u ~Z j "

Sei n u n

Jv ~ k

repr~sentiert

~ Tel A j

und

die untere

j

ein D u r c h s c h n i t t

Grenze

von

k~

und

von k2

Jl

und

J2 " D a n n

in der g e o r d n e t e n

-11

Menge

Tel A . (Die Tatsache, dab

-

j

Durchschnitt ist, sagt aber noch

etwas mehr aus, weil die ~edingung (b) in 1.8.1 fGr alle

u : 9

~ A

gefordert wird.)

1.9.2. Satz. Sei

~

eine Kate~orie m~t Kernen und Cokernen, in der jede Einbettun~

normal und ~ede Identifizierung conormal ist. FGr jedes dann

Tel A

und

Quot A

A ~

I~I

sind

Verb~nde.

Beweis: Nach 1.8.2 haben je zwei Einbettungen in

A

einen Durchschnitt,

der nach 1.9.1 wieder eine Einbettung ist. Also haben Je zwei Elemente yon

Tei A

eine unte~e Grenze. Aus Dualit~tsgr~nden gilt dasselbe f ~

Quot A . (Dual zu

~Z

ist

~Q , nicht etwa

,Q !) D ~ c h

den Anti-Isomor-

phismus Cok Tel A ~ - - - - ~ Q u o t A Ker yon 1.7.4 geht die untere Grenze in die obere Gber.

1.9.3. Bemerkun~: Tei IA

A

und

Quot A

repr~sentiert wird, Hat

0 : N Quot A .

~ A

und

0 : A

h N

~

haben immer ein grS~tes Element, das dutch ein Nullobjekt

N , so repr~sentieren

die kleinsten Elemente yon

Tel A

bzw.

-12-

2. Zerlegung von Morphismen.

2.1. Bild und Cobild:

Seif

Exakte Kategorien.

: A

> B ein Morphismus in irgendeiner Kategorie.

2.1.1. Definition: Das kleinste Element yon [klk ~ Tei B, f
Sonst setzen wit Bil f = @. Jedes Element

yon Bil f heist ein Bild von f. Ein ~ild von f i s t i : 9

>

also eine Einbettung

B, so dab

(a~

f
(b)

f i
fGr Jede Einbettung j : 9

>

B.

Dual dazu ist Cob f das kleinste Element von [PlP ~ Quot A, f
jede Identifizierung ihr eige-

nes Cobild.

2.1.2. Beispiele:

In den Kategorien Me, PuMe, Gr und AbGr ist die Inklusion

fA c B ein Bila von f. Ebenso in Top, wenn man fA mlt der von B induzierten Topologie versieht.

Entsteht C aus A, indem man Je zwei Elemente identifiziert, selbe Bild haben,

so ist die kanonische Projektion p : A

die bei f das> C in den f~tuf

genannten Kategorien ein Cobild von f. Man hat eine kanonische Abbilaung f'

: C

> fA, die auBer im Fall yon Top ein Isomorphismus ist. In Top ist J

f' bijektiv und stetig, aber i.a. nicht topologisch.

2.1.3.

Satz: Ist in o

s epimorph~

,

s

so Kilt B i l f s

>

o

= Bil f.

Beweis: Es genGgt zu zeigen, da~

f

>

B

-13-

f
<

)

fs
> B. Aus f = ju folgt fs = jus, also gilt " ~ >

Sei umgekehrt fs
ufs = vfs

"

d.h.

fGr alle u,v.

Weil s epimorph ist, gilt dann abet auch uj = vj ~

uf = vf,

d.h. f c Z j. Nach Definition des Begriffs "Einbettung"

2.1.4. Korollar:

Ist f epimorph,

(I.4.8.1) folgt f
so ~ilt IB E Bil f.

Beweis: Bil f = Bil IB.

2.1.5. Bemerkun~: Manchmal wird in der obigen Definition des Bildes "Einbettung" durch "Monomorphismus"

ersetzt,

z.B. in [23]. Das liefert einen anderen Be-

griff, und fGr ihn gelten 2.1.3 und 2.1.4 nicht. wenn man fGr f : A

2.1.4 wird z.B. in Top falsch,

> B eine stetige Abbildung nimmt, die bijektiv,

abet

nicht topologisch ist.

2.2. Kanonische

Zerle~un~: Wir bezeichnen yon jetzt an mit ker f, cok f, bil f,

cob f "ausgew~hlte" Elemente von Ker f, Cok f, Bil f, Cob f, falls diese Mengen nicht leer sind. Genauer setzen wit im Sinne des Formalismus von I.I ker f = T x (x ~ Ker f) usw. Damit ist sichergestellt,

dab aus zwei gleichen

(abet verschieden be-

zeichneten) Mengen das gleiche Element ausgew~hlt wird.

Seif

: A

> B ein Morphismus,

der ein Bild hat. Dann gibt es ein fl mit

f = (bil f)f1" fl ist eindeutig bestimmt, weil bil f monomorph ist.

Nach dem Dualen von Satz 2.1.3 ist Cob f = Cob f1" Mat f auch ein Cobild, so gilt fl = f'(cob f) fur ein geeignetes f', das hierdurch eindeutig bestimmt ist. Zur Veranschaulichung dient folgendes Diagramm

-14-

f

A

.",

cob fl = cob f

B bilf

f'

>

.

Wit haben also gezeigt:

2.2.1.

Satz: Hat f ein Bild und ein Cobild T so gibt es genau ein f', so dab f = (bil f)f'(oob

2.2.2.

Definition:

f = (bil f)f'(cob

Als Beispiel

betrachte

f).

f) heist kanonische

man die Kategorien

Me, PuMe,

ersten vier F~llen ist f' immer ein Isomorphismus,

Zerlegun~ von f.

Gr, AbGr und Top. in Top abet nicht

In den (vgl.

2.1.2),

2.3. Beziehun~en 2.3.1.

Satz:

zwischen Bilv

Ker und Cok:

Sei ~ eine Kategorie

(a) Hat f ~ ~

ein Bild~

(b) Bil = Ker C o k

Beweis:

D a n n gilt:

so ist Bil f
gilt in ~ genau da_r~u~ wenn jede E i n b e t t u n g

Zu (a): S e i f

Z-grSBer

mit Kernen und Cokernen.

als f i s t .

: A

> B. Ker Cok f i s t

Bil f i s t

Zu (b): Ist f eine Einbettung,

der kleinste

normal

ist.

ein Tell von B, der nach

1.6.2

Tell von B mit dieser Eigenschaft.

so ist f ~ Bil f. Gilt auBerdem Bil f =

Ker Cok f, so ist also f normal.

Sei nun umgekehrt

jede Einbettung

normal.

Nach D e f i n i t i o n yon Bil mGssen wir

zeigen: (I)

f
(2)

f Ker Cok f
(I) folgt aus 1.6.2 ergibt

sich so:

(und wurde

f~r jede Einbettung oben bereits

j : 9

> B

im Beweis yon (a) verwendet).

(2)

-15--

Aus f Q Cok j nach 1.6.1

(b) und Ker Cok f
(a).

Da abet j normal ist, gilt j g Ker Cok j (1.7.3).

Zur Illustration betrachte man wieder als Beispiele

die Kategorien PuMe, Gr

und AbGr.

2.3.2.

Satz:

Sei g eine Katq~orie mit Kernen und Cokernen,

mus normal ist. Dann kann jedes f g ~ zerlegt werden,

Beweis:

in der jeder Monomorphis-

eindeutig in der Form f = (bil f)fl

und es ist cok fl = 0.

Nach dem vorhergehenden

Satz 2.3.1

ist Bil = Ker Cok; insbesondere

existiert bil f. Die Existenz und Eindeutigkeit

der Zerlegung f = (bil f)fl

ist demnach klar (vgl. 2.2).

Wit zerlegen entsprechend

fl = (bil fl)f2. Dann ist

f = (bil f)(bil Als Zusammensetzung

fl)f2

von Monomorphismen

normal nach Voraussetzung

f l ).

ist (bil f)(bil fl ) monomorph,

und daher eine Einbettung.

also

Nach Definition des

Bildes folgt

b i l f
= (bil f)(bil fl)u

u. Well bil f monomorph I

=

ist, folgt

(bil fl)u.

Daher ist ker cok fl = bil fl epimorph. nut dann epimorph

fl )

Der Kern eines Morphismus kann abet

sein, wenn es sich um den Nullmorphismus

handelt,

also

cok fl = 0.

2.4. Exakte Kate~orien: 2.4.1. Definition: *)

Eine Kategorie

~ heiBt exakt*

, wenn gilt

Statt dessen wurde in [24] ,quasi-exakt" gesagt, well Buchsbaum in [26~ , Appendix den Begriff einer ,,exakten Kategorie" anders definiert hatte. Wir schlieBen uns abet nun dem Gebrauch yon Mitchell K23] an.

-16-

(a) ~ hat Kerne und Cokerne. (b) Jeder Monomorphismus ist normal und jeder Epimorphismus conormalo (c) FGr jedes f E ~ ist der mittlere Faktor f' in der kanonischen Zerlegung f = (bil f)f'(cob f) ein Isomorphismus. Der Begriff"exakt"ist offenbar selbstdual.

Aus (a) und (b) allein kann man folgern, dab in der kanonischen Zerlegung cok f' = 0 und ker f' = 0 ist. Wir haben n~mlich cok f' = cokEf'(cob f)S, well = 0

(cob f) epimorph ist

nach 2.3.2.

Die Aussage ker f' = 0 ist dual. Ferner folgt aus (a) und (b) allein, da2 jeder Bimorphismus f (d.h. f i s t

monomorph und epimorph,I.4.1)

ein Isomorphis-

mus ist. Es ist n~mlich f ~Z ker cok f =

nach 1.7.3

ker 0 ~Z I.

Trotzdem ist die Eigenschaft

(c) yon (a) und (b) unabh~ngig,

wie folgendes

Beispiel zeigt (vgl. andererseits 2.5).

2.4.2. Beispiel:

babe ein Nullobjekt N und ein weiteres Objekt A. AuBer den Null-

morphismen und Identit~ten gebe es genau einen weiteren Morphismus f : A - - ~ A , und es sei ff = f. Dann hat ~ die Eigenschaften

(a) und (b) aus der Definition

2.4.1. Es ist ker f = O, cok f = 0, bil f = cob f = IA, und f i s t kanonische Zerlegung.

fist

seine eigene

aber weder monomorph noch epimorph.

2.4.3. Satz: FGr eine Kategorie 9 mit N u l l m o r p h i s m e n sind fol~ende Aussa~en ~quivalent: (I)

~ ist exakt.

(2) Jedes f ~ ~ hat eine Zerlegung f = js mit normalem j und conormalem s (3)

~ hat K erne und Cokerne.

Ist k e r f

= 0, so ist f normal.

Jeder Epimor-

phismus ist conormal. (3*) ~ hat Kerne und Cokerne~ so ist f conormal.

Jeder Monomorphismus ist n~rmal.

Ist cok f = O,

-17-

Beweis: (I) ~ >

(2): Ist f = (bil f)f'(cob

s = f'(cob f) (2) ~ >

(oder j = (bil f)f',

(3) und

so brauchen wit nut j = bil f,

s = cob f) zu setzen.

(3*): Wit zeigen zun~chst

und f = js eine Zerlegung ein geeignetes

f),

gem~B

die Existenz von Kernen.

(2). Da s conormal

g. Sel g = kt eine Zerlegung gem~B

ist,

Seif

~

gilt s ~ Cok g fur

(2). Man orientiere

sich an

dem Diagramm 9

0

Well t epimorph Normalit~t

g

~ o / f

\.Z

ist,

> o

gilt Cok g = Cok k (1.5.3),

von k folgt k ~ Ker s (1.7.3).

Well

also

s ~ 0ok k. Wegen der

j monomorph

ist,

gilt Ker s =

Ker f, also auch k ~ Ker f.

Die Existenz von Cokernen ist dual. Sei nun ker f = O. Wit wollen zeigen,

dab f normal ist.

f = js ist dann auch ker s = O. Da s conormal Also ist s e i n e

Equlvalenz,

(I): Die Bedingungen

in (3) enthalten.

(a) und

Hinsichtlich

s ~Q I (dual zu 1.7.3).

=

2.4.1

(c) wissen wit dann bereits,

ker cok f'

~Z

ist,

ker 0 ~Z

ist es auch f.

von f.

(b) der D e f i n i t i o n

und cok f' = 0 ist. Nach V o r a u s s e t z u n g f'

ist, folgt

und daher f ~Z j" Da j normal

Dual folgt aus cok f = 0 die Conormalit~t (3) ~ >

In der Zerlegung

sind offenbar

da~ ker f' = 0

ist dann aber f' normal,

also

(nach 1.7.3)

I.

(3*) ~---> (I): dual.

2.4.4.

Korollar:

In einer exakten Kate~orie

(a)

ker f = 0j

(b)

fist

monomorph

(c)

fist

eine Einbettung 3

sind fol~ende A u s s a ~ e n

~quivalent:

-

(d)

fist

18-

normal.

Dual dazu sind untereinander ~quivalent: (a*)

cok f = 0,

(b*)

f ist epimorphj

(c*)

fist

eine Identifizierun~

~d*)

fist

conormal.

Bowels: Die implikationen (d) ~-~-> (c) ~ > mit Nullobjekt.

(a) ~ >

(b) ~ >

(a) golden in jeder Ka~egorie

(d) ergibt sich aus der Charakterisierung

(3) der

exakten Kategorien in 2.4.3.

2.4.5. Korollar: Ein Morphismus einer exakten Kategorie ist ~enau dann ein Isomerphismus, w e n n e r

monomorph und epimorph ist.

Beweis: In einer beliebigen Kategorie ist jede epimorphe Einbettung ein Isomorphismus

(I.4.8.5).

2.5. Wann folgt aus ker f = 0, dab f monomorph t oder aus cok f = 0, da~ f epimorph ist ?

Diese Frage ist interessant, wenn man die Definition der exakten Kate-

gorie mit den Charakterisierungen

(3) und (3*) in 2.4.3 vergleicht sowie das

Beispiel 2.4.2 beachtet.

In einer pr~additiven Kategorie gilt ker f = 0 ~-~ f monomorph

(nach 1.4.2)

cok f = 0

(dual).

) f epimorph

Eine pr~additive Kategorie ist also schon dann exakt, wenn die Bedingungen

(a)

und (b) in der Definition 2.4.1 erfGllt sind. Die Bedingung (c) folgt daraus.

Die beiden folgenden Hilfss~tze zeigen, dab sich die ~ i s t e n z

yon Egalisatoren

und die Existenz yon Produkten in ~hnlicher Weise auswirken. Wit brauchen dies im n~chsten Abschnitt, zu charakterisieren.

um abelsche Kategorien dutch m~glichst wenige Axiome

-19-

2.5.1. Hilfssatz: Kernen),

Sei ~ eine Kate~orie mit Nullmorphismus und E~alisatoren

in der jeder Monomorphismus normal ist. Dann ~ilt in cok f = 0 ~

Beweis:

(also auch

f

epimorph.

Sei cok f = 0 und uf = vf. Wit mGssen u = v nachweisen.

Sei

J ~ Egal(u,v). Dann ist f = jw fGr ein geeignetes w. Es folgt cok j = 0 (denn x~ = 0 ~-~ xf = xjw = 0

~ x = 0). Nun ist abet j ein Monomorphismus,

also normal ~nd daher J ~Z ker cok j = ker 0 ~Z I. Insbesondere ist j epimorph, also u = v.

2.5.2. Hilfssatz:

Sei ~ eine Kate~orie mit (endlichen) Produkten (I.5.3), in der je I

zwei Einbettun~en mit gleiehem Ziel einen Durchschnitt

(1.8.1) haben. Dann hat

E~alisatoren.

Beweis:

Seien fl,f2

: A

> B gegeben.

[IA,f ] : A

dann ein Schnitt (mit dem Linksinversen Pl eine Einbettung

(I.4.8.4).

: AxB

~ AxB, ~ = 1,2 (I.5) ist > A), also insbesondere

Sei j ein Durchschnitt yon [1,f I] und [I,f2]. Dann

haben wit ein kommutatives Diagramm A

kI / o /.,

,I

"

A•

A'

mit geeigneten Monomorphismen ks,k 2. Dutch Zusammensetzen von j mit der Projektion Pl

Behauptung:

: AxB

~ A folgt k I = k2, wofGr wir auch k schreiben.

k ~ Egal(f I,f2).

Beweis: fl k = f2 k folgt durch Zus~mmensetzen yon j mit P2 : AxB

) B. Sei

andererseits fl u = f2 u = g f~r irgendein u. Dann ist [u,g] = [1,fv]u
[u,g]
also u = PlJV = kv
[u,g] = jv,

-

20

-

2.5.3. Satz: Sel 9 eine Kate~orie mit (endlichen) Produkten oder mit ~endlichen) Coprodukten (I.~.8.4~. ErfGllt @ die Bedingungen ( a ) u n d

(b) yon 2.4.1~ so ist

exakt.

Beweis: Wit nehmen zun~chst an, da~ 9 Produkte hat. Nach Voraussetzung ist jede Einbett~ng (sogar Jeder Monomorphlsmus) von E normal. Also haben je zwei Einbettungen mit gleichem Ziel einen Du~chschnitt (1.8.2). Nach 2.5.2 hat Egalisatoren. Dann gilt abet nach 2.5.1 cok f = 0

) f

epimorph,

und die Charakterisierung (3*) in 2.4.3 liefert die Behaupt~ug. Der Fall, da~ 9 Coprodukte hat, ist dual.

-

3. Addition von Morphismen.

3.1. Wir erinnern: Coprodukte Kategorie

-

Abelsche Kategorien

In einer pr~additiven

Kategorie

Gberein (I.8.1). Exlstieren additiv *). Ist G additiv,

Morphismenmenge bestimmt

21

stimmen (endliche)

Produkte und

sie fur je zwel Objekte t so heiBt die

so ist die Gruppenstruktur

in jeder

G(A,B) durch die Ubrige Struktur der Kategorie eindeutig

(I.8.1.1).

3.2. Definition:

Eine Kategorie heiBt abelsch, wenn sie exakt (2.4) und additiv

ist*). Das ist die Gbliche Definition. scheinbar wesentlich

Man kann jedoch abelsche Kategorien dutch

schw~chere Bedingungen charakterisieren,

wie folgender

Sats zeigt (vgl. dazu auch [27]).

5.3. Satz: Eine Kate6orle ~ mit Nullmorphismen (endliche~

ist schon dann abelsch, wenn sle

l>rodukte oder Coprodukte hat und eine der beiden folgenden Bedin-

gungen erf~llt. (I)

Jedes f ~ G hat eine Zerlegun~ f = js mit normalem

(2)

9 hat Kerne und Cokerne. morphismus

Jeder Monqmorphismus

j und conormalem s.

ist normal,

jeder E~i-

conormal.

Beweis: Aus (I) folgt die Exaktheit yon G nach 2.4.3. Unter der Voraussetzung, dab l>rodukte oder Ooprodukte 2.5.3. Es bleibt zu zeigen,

existieren,

folgt sie aber auch aus (2) nach

dab G mit einer pr~additiven

Struktur versehen

werden kann. Das werden wlr tun, indem wit die Subtraktion in

~(A,B) direkt

*)Manchmal verlangt man von einer additiven Kategorle noch, dab sie eln Nullobjekt enth~lt. Wit tun das nicht. Der Unterschied ist abet unwesentlich. Erstens kann m~n zu Jeder Kategorie mit Nullmorphismen, also sicher zu Jeder pr~additiven Kategorie, ein Nullobjekt adjungieren (I.6.2). Zweitens enth~lt jede nicht-leere Kategorie mit Kernen (oder Cokernen), also sicher jede nichtleere exakte Kategorie, automatisch ein Nullobjekt (1.3.6). FGr den Begrlff der abelschen Kategorie besteht also der Unterschled nut darin,daB wlr auch die leere Kategorle als abelsch bezelchnen.

-

22

-

konstruieren. Wit setzen voraus, da~ ~ Produkte hat; der andere Fall ist dual. Zur Erl~uterung fl,f2 ~

der Beweisidee betrachten wit zun~chst

~ = AbGr. FUr

~(A,B) gilt dann fl-f2 = sB[fl,f2] , wobei sB : B x B

h

(bl,b 2)

B

~ bl-b 2

die Subtraktion ist. sB ist abet ein Cokern der "Diagonale" d B = [ I B , IB~: B > BxB und kann dadurch charakterisiert werden, ohne dab man auf die Gruppenstruktur in B oder

F~

~(A,B) Bezug nehmen mu~.

die Durchf~hrung des Beweises brauchen wit eine Vorbereitung.

3.4. Das Kreuz-Lemma: FGz die Aussage j ~ Ker s schreiben wit zur AbEGrzung

3.4.1. Hilfssatz:

gelte

und

s ~ Cok j

j[Is .

Sei ~ eine Kate~orie mit Nullmorphismen, und fur das Diagramm *

o

@

o

$111s2 una S211s 1 .

(a)

0 E Ker(slJl) ~

(b)

0 ~ Cok(slJl)

gilt O ~ Ker(s2J2) ,

~'~ .~ 0 ~ C o k ( s 2 J 2 )

.

3.4.2. Korollar: Ist au~erdem ~ exakt~ so ist slJ I genau dann ein Isomorphismus, wenn s2J 2 es ist.

Beweis: Das Korollar folgt nach 2.4.4. Im Hilfssatz genUgt es aus GrUnden der Duallt~t und Symmetrie, die Teilaussage

"~"

yon (a) nachzuweisen.

-

23

-

Sei also 0 ~ Ker(slJ I) und s2J2 u = 0. Wegen Jl ~ Ker s 2 gibt es ein u' mit Jlu' = j2 u. Es folgt slJlu' = slJ2u = O, also u' = 0. Dann ist abet J2 u = jlu' = 0 und daher u = 0, well J2 monomorph ist.

3.5. Fortsetzung des Beweises von 3.3. Konstruktion der pr~additiven St ruktur: Fs

ein B ~

IGI betrachten wit B B

dB

B ;~ B •

B

/

B

s'

>

B'

B

D~bei sind pl,P2 die beiden Projektlonen des Produktdiagramms, i I = [1B,O] ,

i 2 = [0,1B]

d B = [1B, IB] s' ~ Cok d B.

3.5.1. Behauptung:

i111p2 und i211p I .

Beweis: Nach Definition von i I ist P2il = O. Aus p2 u = 0 folgt andererseits u = ilplu
IB ist i I monomorph.

P2i2 = IB ist P2 epimorph. Da

Das zeigt i I ~ Ker P2" Wegen

G exakt ist, folgt P2 ~ Cok i I.

Analog beweist man i211p I .

3.5.2. Behauptung:

dBllS'.

Beweis: Nach V o r a u s s e t z u n g ist s' ~ Cok d B. Wegen p~d B = IB ist aber d B monomorph,

3.5.3. Behauptung:

also gilt auch d B ~ Ker s'.

s'i v ist ein Isomorphismus fGz ~=1,2.

Das folgt unmittelbar durch Anwendung des Korollars 3.4.2, denn PvdB = I ist ein Isomorphismus.

- 24

-

Wlr deflnieren nun s B = (s'il)-Is ' : BxB

=

nB = SBi 2

(s'i I

a B = SB(1BXnB -I)

)-I

> B

(s'i 2) : B

: BxB

> B.

Dann ist s B ~ Cok d B und n B ein Isomorphismus. im Fall

> B

(s B entspricht der Subtraktion

~ = AbGr, n B dem Ubergang zum Negativen und a B der Addition.)

a B ist elne Addition in B im Sinne yon 1.7.1.

(B,a B) ist ein H-0bjekt

(1.7.3.6), denn

aB[1,0]

=

SB(lXnB1)[1,0]

= .B[1,n 10] =

B[o,I]

S B [ 1 , 0 ] = sB i 1 = 1

= sB[O,nB 1] (1.5.2.1.~)

=

S B [ O , I ]n~ I

=

sBi2nB I = I.

a B induziert eine A d d i t i o n in

fl

(i.5.2.~.2)

~(A,B),

die dutch

+ f2 = a B [ f l ' f 2 ]

definlert ist and f~tr die gilt f+O

-- f

-- 0 + f

(3.5.4) (fl + f2 )g = fl g + f2 g

fGr

g : 9 ---@ A

(vgl. 1.7.6).

3.5.5. Behauptung:

F~r ~ede9 h : B

> C gilt

h(f I + f2 ) = hf I + hf 2 9

Beweis: Wit betrachten dB B

sB >

h

L C

BxB

>

hXh

do "

1

B

lh' ! so

OxC

Das linke Quadrat ist kommutativ.

>

'

C

Es gibt genau ein h', das das rechte

-

Quadrat kommutativ macht

25

-

( d e n n s B E Ook d B und so(hxh)d B = scd0h = 0). Es

folgt h' = h'SB[IB,0]

= sc(hxh)[IB,0 ] = sc[h,0 ] = sc[IC,0]h = h

hn B = h'n B = h'SB[0,1B]

= sc(hXh)[0,1B]

= sc[O,h] = sc[O, Ic]h = noh,

daraus

h% = hsB(1Bxn 1) = sc(hxh)(l xn = sc(hXhnB 1)

1)

(I.5.2.1.5)

= sc(hxn~lh) = sc(loxn~l)(hxh) = aC(hXh) und schlieBlich h(f1+f 2) = haB[f I,f2 ] = ac(hxh)[f I,f2 ] = ac[hf 1,hf 2] = hf1+hf 2 .

Die Ergebnisse

5.5.4 und 5.5.5 zusammen besagen,

"+" zu einer halbadditiven

Kategorie

da8 ~ dutch die Addition

gemacht wird (I.8.1 und 1.8.2). Die

Addition ist automatiseh kommutatlv und assoziativ

Es blelbt zu zelgen,

da~ zu jedem f E

gen~gt es f = IB zu betrachten

(I.8.1.1).

~(A,B) ein Negatives existiert.

(I.8.4.1).

Dazu

Nun ist abet

IB + n B = aB[1B,nB~_ = SB(IBXnBI)[IB,nB ~J = SB~IB, IB ~ = SBd B = 0 also n B = -I B.

3.6. Beispiel einer Kate6orie ~ die exakt abet night abelsch is~. Sei ~ die folgende Unterkategorie

von P~4e: 0bjekte von ~ sind alle punktierten Mengen

einem bestimmten Universum).

Eine punktierte Abbildung f : A

(aus

> B ist genau

dann ein Morphismus von ~, wenn f-1(b) fffr jedes vom Grundpu~kt verschiedene b ~ B hSchstens

ein Element enth~lt.

Da~ ~ wirklich eine Unte~kategorie 3.6.1. Behauptun6:

~ ist exakt~

ist, d~rfte klar sein.

-

Beweis:

Seif

26

-

~ 9 und j : fA c B. Es gibt genau eine Abbildung

s : A

> fA

mit f = is. j und s sind Morphismen von ~. Sie sind monomo~ph bzw. epimorph in PuMe, also erst recht in ~. j ist in PuMe ein Kern dee kanonischen

Pro-

jektion p : B h B/fA, wobei B/fA aus B entsteht, indem man fA mit dem J Grundpunkt identifiziert, p liegt in ~. Also ist j normal in ~. YLhnlich folgt,

da2 s conormal ist, w e i l e s

ein Kern yon f-1(b o) c A ist (b o G~und-

pu~kt yon B). D~!t

haben wit die Charakterisierung

(2) in Satz 2.4.3 f[Lr exakte Kategorien

best~tigt.

3.6.2. Behauptung: Beweis:

~ hat weder Produkte noch Coprodukte

Seien A I u n d

bestehen.

A 2 punktierte

Mengen,

und ist daher nicht abelsch.

die nicht nut aus dem Grundpunkt

Angenommen iI AI

i2 ~ C < ~ A

ist ein Coproduktdiagramm. Da man leicht

(f~ : A v

2

Sei a v ~ A~ vom Grundpunkt verschieden

(v = 1,2).

h X) ~ ~ mit f1(al) ~ f2(a2) angeben kann, mu~ auch

i1(a I) ~ i2(a 2) sein. W~Lhlt man andererseits g1(al) = g2(a2) ~ Grundpunkt,

(gv : Av

h Y) E ~ mit

so glbt es keinen Morphlsmus

g : C

h Y in

mlt gi~ = g~, v = 1,2; denn fGr ihn mGBte gelten gi1(al) = g1(al) = g2(a2) = gi2(a2),

was im Widerspruch

hat also kelne 0oprodukte, auch keine Produkte haben.

zu g a ~ steht. ist daher nicht abelsch.

Wegen Satz 3.3 kann

-

4. Kartesische

und ~okartesische

4.1. Karteslsche

quadrate.

4.1.1. Definition:

27

-

quadrate.

Wit betrachten zun~chst eine beliebige Kategorie ~.

Ein Diagr~mm der Form

heist kartesisches

Quadrat, wenn gilt:

(a)

Es ist kommutativo

(b)

Zu jedem kommutativen

Quadrat

gibt es genau ein u : X Diese Terminologie

> A mit u v = fvu,

v = 1,2.

schlie~t sich an [12] an. Andere Bezeichnungen

f~r den-

selben Begriff sind: couniverselles

Quadrat

pullback-Diagramm

4.1.2.

Satz:

Faserprodukt

[11 ],

Durchschnitt

[5].

Ist C eln Nullobjekt~ fl BI <

ein Produktdia~ramm

4.1.3.

Satz:

[10],

[19], [23]j

so ist (I) ~enau dann karteslsch,

wenn

f2 A

> B2

ist.

Ist B 2 eln Nullob~ekt~

so ist (I) ~enau dann kartesisch I wenn

fl E Ker gl"

Die BeweSse d~rften klar sein. Einen weiteren Spezialfall von "kartesisch" stellt der Durchschnittsbegriff

dar (4.4).

-

4.1.4.

Satz:

Ist auBer dem ~uadrat

(2)

28

(1) auch das Quadrat

A'

kartesisch,

-

2~~g2C

so ~ibt es ~enau einen Isozorphismus

(3)

A

a

~

a, der das Dia&Tamm

A

kommutatlv macht.

Beweis:

Existenz und Eindeutigkeit

macht, folgen unmittelbar konstruiert man a' : A'

eines Morphismue'

a, der (3) kommutativ

aus der Definition von "kartesisch". >

A und schlieBt,

Entsprechend

dab a'a = IA und aa' = IA, sein

muB.

4.2. Cokartesische

quadrate:

Dual zu 4.1 heist ein Diagramm der Form (I) cokar-

tesi.sches ~uad~at, wenm ea kommutativ ist uuad wem~ f.

BI~

ul

in der angedeuteten Welse eindeutig erg~nzbaz ist. Andere Bezeichnungen

sind:

universelles

Quadrat,

pushout-Diagramm~ Fasersumme~ Vereinigung.

In einem cokartesischen

4.1.4).

Quad~at ist C bis auf Isomorphie bestimmt

(dual zu

-

4.3. Satz:

-

Ist das quadrat

kartesisch and gl monomorph,

Bewels:

29

so auch f2"

Sei f2u = f2 u'. Damn ist glfl u = g2f2 u = g2f2 u' = glflu', also

flu = flu'. Aus der Eindeutlgkeltsbedingung

In elnem cokarteslschen

in 4.1.1.(b) folgt u = u'.

Quadrat der Form (I) gilt dual

fl eplmorph ~

g2 epimorph.

Dagegen braucht g2 nicht monomorph zu sein, w e n n f I e s

ist, wie folgendes

Belsplel zeigt: Sei E = Gr, B elne einfache Gruppe, A eine Untergruppe

von B and N ein nicht-

trlvlaler echter Normalteiler von A (z.B. B = alternierende 9, A zyklisch yon der 0rdnung 9, N zyklisch v o n d e r

Gruppe vom Grade

0rdnung 3). Damn ist

B

J

A/N "

cokartesisch.

Dual: In einem karteslschen

Quadrat braucht f2 nicht epimorph zu sein, wenn

gl es ist (obwohl das in vielen kon~reten Beispielkategorien

der Fall ist,

vgl. auch 4.8).

4.4. Satz:

Seien gl und g2 Monomorphismen.

Form (I) ~enau dann kartesisch,

wenn glfl = g2f2 ein Durchschnitt

g2 ist.

Beweis:

Dann ist ein kommutatives

Wit benutzen das Diagramm

Quadrat der yon gl and

-

Sei zun~chst das aus fl,f2,gl,g2 f1'f2 und daher h = g f t v
50

-

bestehende

monomorph.

v = 1,2)--> v
Sei nun umgekeh~t h ein Durchschnltt (b) von 4.1.1 nachweisen.

= f u. Hierdurch

= f u. Also is% v--~hu
von gl und g2" ~ir m~ssen die Bedingung

Seien also Ul,U 2 mit glUl = g2u2 gegeben.

F~r den

schrelben wit auch v. Dann ist v
v
Nach 4.3 sind

Zu zeigen bleibt

Sei also v = gvu . Dann gibt es ein u mi% u

letzteren Morphismus

Quadrat kartesisch.

u. Well g~ monomorph

ist u auch eindeutig bestimmt

s

folgt

(h und daher fv sind mono-

morph).

4.5. Existenz kartesischer

quadrate

(vgl. auch 4.7). Wit betrachten

das Diagrsmm

B I

A

~ >

B I • B2

~C

~2 wobei pl,P2 die beiden ProJektlonen beiden Dreiecke

slnd also kommutativ,

nicht vorausgesetzt

4.5.1. Hilfssatz:

des Produkts

sind und f = [fl,f2] ist. Die

w~hrend das fGr das rechte Viereck

wird.

fl,f2,gl,g2

bilden genau dann ein ka~tesisches

~uadraty

wenn

f ~ Egal(glPl,g2P2).

Beweis:

Seif

ein Egalisator yon glPl und g2P2. Dann ist glfl = glPl f =

g2P2 f = g2f2 , also das ~u@ere Quadrat kommutativ. gegeben,

Sind Ul,U 2 mit glUl = g2u2

so setzen wlr u = [Ul,U2]. Es folgt glPl u = g2P2 u, also u
d.h. u = fv fGr ein geeignetes v. v ist eindeutig,

well f monomorph ist. Die

-

31

-

Gleichung u = fv ist abet mit u v = f v ~quivalent. Der Nachweis der Umkehrung,

4.5.2.

Satz: (a)

der ganz ~hnlich ist, wird dem Leser Uberlassen.

FGr eine Kate~orie ~ mlt Produkten sind fol~ende Aussagen ~quivalent: ~ hat kartesische

~uadrate I d.h.

~e zwei Morphismen gl,g 2 mit ~leichem

Zlel lassen sich zu einem kartesischen ~uadrat

erg~nzen.

(b)

Je zwei Monemorphismen v o n 9

(o)

Je zwei Einbettun~en von ~ mlt ~leichem Ziel haben einen Durchschnltt.

mlt gleichem Ziel haben einen Durchschnitt.

G hat E~alisatoren.

Beweis:

(a) ~

(b) nach 4.4

(b) ~

(c) trivialerweise

(c) ~

(d) nach 2.5.2

(d) ~

(a) nach 4.5.1.

Bemerkun~:

Es sei noch einmal daran erinnert,

objekt aus der obigen Eigenschaft

4.5.3. Korellar:

Beweis:

(a) die Existenz yon Produkten folgt (4.1.2).

Jede abelsche Kate~orie hat kartesische

= Ker(f-g)),also

coka~tesischen

4.6. Kartesische

kartesische

Quadrate

quadrate.

(denn

(4.5.2). Die Existenz von

Quadraten ist dual.

quadrate in abelschen Kate~orlen.

wit durchweg eine abelsche Kategorie ~.

Satz:

und cokartesische

Eine abelsche Kategorie hat Produkte und Egalisatoren

Egal(f,g)

4.6.1.

da~ in einer Kategorie mit Null-

FGr ein ~uadrat

In diesem Abschnitt betrachten

-

52

-

/

(1)

c

i_~n= sind fol~ende Aussa~en ~quivalent: (a)

Das ~uadrat (I) ist kartesiech.

(b)

[fl,f2] : A

(c)

[fl,-f2] ist ein Kern yon (gl,g2).

Bewels:

> B I 9 B2

let ein Kern yon (gl,-g2) : B I 9 B 2

(a) ~~--. (b) folgt aus 4.5.1, wenn man beachtet,

~

C.

da~

(g1'-g2 > = glPl - g2P2 und daher Ker (gl,-g2) = Egal(glPl,g2p 2) . (Zur Verwendung des Zeichens "@" vgl. 1.8.2). (b) <--> (c) ergibt eich aus dem kommuta%iven Diagrsmm [ f ~ A

[

4.6.2. Korollar: Baweis:

BI @ B 2 ~

~

IBIr

g

-2 >

~

BI ~ B 2 /

C
let das ~uadrat (I) i_~n~ kartesisch und gl epimorph, Wit betrachten das kommutatlve Diagramm f2

A

J

>

B2

>

C

/ BI

und wenden 3.4.1 an. Es let 1111 P2 (nach 3.5.1). Nach 4.6.1 ist

so

auch f2"

-

[fl,f2] ~ KeZ [fl,f2]li

. Abet

33

-

. Nach 3.4.1(b)

folgt,

ist epimorph,

well

dab auch

epimorph

f2

gl

es ist, also ist.

Dual gilt 4.6.3.

Satz: In S

ist eln quadrat der Porm (I) ~enau dann.cokartesisch,

~ Cok[fl,f 2] . Ist das der Fall und ist

4.7. Spezlelle

kartesische

quadrate.

monomo=ph I so auch

g2"

Bei Quadraten,

(I)

6

in denen

gl

oder

g2

normal ist, k a n n m a n

noch anders charakterisieren,

4.7.1.

fl

wenn

Satz.

die Eigenschaft

und zwar in jeder Kategorie

"ksmtesisch"

mit Nullmorphismen.

Sei

BI

(2)

A

B2

eln kommutatives

Dia~ramm

~

e~ner Kate~orle

gl E Ker h . Dann ist das dari~ enthaltene wenn

f2 ~ Ker(hg2)

Beweis:

Sei

glul = g2u2

mit Nullmorphismen

Qu~drat

und

(I) karteslsch,

genau

9

f2 ~ Ker(hg2) . Dann ist

und selen

u

: X

.~ B

, ~ = 1,2

gegeben mit

hg2u 2 = hglu I = 0 , also glbt es genau ein

uIX-~ A

mlt gl

u 2 = f2 u . folgt

Aus

glUl = g2u2 = g2f2 u = glflu

u I = flu .

Sei umgekehrt das Quadrat kartesisch und sei hg2u 2 = 0 . Dann gibt es ein

uI : X

gl ~ Ker h ) und folglich ein

~ A

mit

> B2

gegeben mit

glul = g2u2

mit

uv

=

f

vu

(well

f~

v

~ = 2 . Da wit schon wissen, da~

morph ist (4.3), zeigt es die Behauptung

gl,g2

u2 : X

h BI

u : X

Wir brauchen letzteres nut ftt~

4.7.3. Korollar.

und der Monomorphie von

f2 ~ Ker(hg2)

=

1,2

f2

mono-

"

In einer Kategorie mit Kernen lassen sich je zwei M o r p h l s m e n

mit gleichem Ziel I v o n

denen mlndestens einer normal ist, zu einem

kartesischen ~uadrat e r ~ n z e n .

Beweis: Wit k~nnen elgnetes mit

gl

als normal annehmen, d.h.

h . Wlr w~hlen

f2 ~ Ker(hg2)

" Wegen

gl ~ Ker h hg2f 2 = 0

fGr ein ge-

gibt es ein

fl

glfl = g2f2 . Nach dem Satz ist das entstehende Quadrat kartesisch.

Bemerkun~:

4.7.3 ist eine V e r a l l g e m e i n e r u n g von 1.8.2.

4.8. Batz. In einer exakten Kate~orie sei das Quadrat monomorph und

g2

epimorph,

Beweis: Wit w~hlen

so ist

fl

hg 2 E Cok f2 ' well

9

f2

hg 2

~

9

ersleht man, da~ daraus

(2)) gilt

g2

~

.

h

~

ist

gl ~ Ker h. Nach 4.7.1 f2 ~ Ker(hg2) und daher

9

h ~ Cok(g2f2)

D a n n gibt es abet einen Epimorphismus gl

gl

beide epimorph sind. Aus dem Dlagramm

folgt. Wit haben also

gl ~ Ker h = Bil(g2f2) = Bil(glfl)

morphie von

Ist

epimorph.

h ~ Cok gl . Dann ist auch

(man betrachte das dortige Diagramm

(I) karteslsch,

fl = s , also

s fl

. mit

glfl = gl s . W e g e n der Mono-

eplmorph.

-

35

-

Bemerkung: Ob der eblge Satz in exakten Kategorien auch ohne die Veraussetzung

"gl

monemerph" gilt, ist uns nicht bekannt.

-

7.

36

-

Exakte Fol~en und exakte Quadrate

FGr den ganzen Abschnltt

5 legen wit elne exakte Kategorie

~

zugr~ude,

die manchmal, abet nlcht immer, als abelsch vorausgesetzt wlrd.

5.1. Exakte Fol~en. 5.1.1 9 Definition:

Eine Folge

9

f>

.

~

von M o r p h i s m e n in

~

heiBt exakt, wenn

"11"

.

ker gllcok f

(zur D e f i n i t i o n yon

8. 3.4).

Der Begriff ist offenbar selbstdual. 5.1.2. Satz. Eine Fol~e

9

f> 9 - ~

9

ist Menau dann exakt I w e n n elne der fol~en-

den Bedingungen erfQllt ist: (a)

Ker g = Bil f .

(b)

Cob g = Cok f .

Beweis: Zu (a): Da

cok f

conormal ist, ist

ker glleok f

gleichbedeutend

mit ker g ~ Ker cok f = Bil f (vgl. 1.7.3 und 2.3.1). Der Fall (b) ist dual. 5.1.3. Definition: ...

fn- 3

Eine Folge ~ An_ 2

fn-23

heist exakt an der Stelle

An_ 1

fn-l~ 9A n

An_1 An

fn-l~

- An

oder bei

.~ An

An+1

fn+l

t wenn

~.@ An+1

im obigen Sinn exakt ist. Sie heist exakt (schlechthin), wenn sie an jeder

-

37

-

Stelle exakt ist. 5.1.4.

Satz. FGr die Fol~e 0 --~ A 0

f~ B

~ilt

(wobei

(a)

Sie ist exakt bel

g> C - - ~ 0

ein Nullobjekt A

bezeichnet):

~

f

monomorph.

~

g

epimorph.

(a*) Exakt bei

C

(b)

Exakt bei

A

und

B

~

f ~ Ker go

(b*) Exakt bei

B

und

C

~

g ~ Cok f~

(c)

A,B

Exakt~ei

Beweis:

und C)~

Zu (a): Exaktheit bei

fllg 9

A

bedeutet

ker f ~Z bll 0 = 0 ,

(a*) ist dual, (b) ergibt sich lelcht aus der Tatsache,

da~

f ~ Bil f

f~tr monomorphes

f,

(b*) ist dual, (c) ist ein Korollar yon

5.2. WSatz: i t

(b)

und

(b*) .

betrachten das Diagramm s h 9 j,

Fol~ende Aussagen (a) Die Fol~e (b) gf = 0

sind ~quivalent:

f,g

und

ist exakt.

zu ~edem Monomorphismus

~onomorphlsmus

j

mit

J' und elnen EpSmor~hismus

gj = 0

~ibt es einen

s , die das ~uadrat kommuta-

tiv machen. (c) Wie (b), n ~ Ist die Kate~orie (d) Wie

yon ~

(b), nu~ yon

j'

wird nicht verlan~t,

so~a~ abelsch, J

dab es monomorph

ist~

so ist au~erdem ~ u i v a l e n t :

wlrd nicht vorausgesetzt

lanai, dab es sich um Monomor~hismen

handelt.

und yon

j'

nicht vet-

-

Beweis:

(a)

=

38

-

(b) : Wit b e t r a o h t e n

'

~

~. b;L ~

D a r l n eel

f = (bild f)fl

Voraussetzung

ist

Jl muB monomorph

und

J

ein Monomorphismus

bll f E Ker g , also glbt es ein sein.

Quadrat karteslsoh fl

s

es ist (4.8);

s

wird.

und

konstruleren

Jl

ist monomorph,

well

gj = 0 . Nach mlt

j = (bll f)J1"

wlr so, dab das linke

Nach 4.7.3 ist das mGglich,

J'

und

J'

mit

Jl

s

ist eplmorph,

es ist

well

(4.3).

(b) = (c) ist trivial. J ~ Ker g und bestimmen

(c) = (a): Wit w ~ h l e n gf = 0

gibt es ein

f'

mit

und daher

f'

eplmorph.

f'J' = s also

Ker g = Bil

f = if'

dazu

. D a n n ist

Es folgt

j'

Jf'j'

und

s . Wegen

= fj' = js , also

j E Bil J = Bil f (2.1.3),

f .

(d) = (c) ist trivial. Ist

~

abelsch,

so bewelst man

mlt dem einzigen Unterschied, zu sein brauchen. aus

4.5.3

Kategorie

Die Exlstenz

die Epimorphle

5.3. DiagrammJa~d.

dab

handelt.

s

A

4.6.2

nlcht mehr monomorph Quadrats

entnimmt man jetzt

.

es, D i a g r a m m J a g d e n

neuer M o r p h i s m e n

9

in einer abelschen Gruppen,

sofern es

sondern um E i g e n s c h a f t e n

~ A .

ge-

Gruppe

Ist

f~ B - ~ C

elne exakte Folge yon abelschen a ~ A

aus

(a) = (b)

An die Stelle der E l e m e n t e einer abelschen

treten hier die M o r p h i s m e n

eln

j'

genauso durchzufffhren wie fGr abelsche

gebener M o r p h l s m e n

gb = 0

und

ebenso wie oben

des kartesischen

yon

sioh nioht um die Konstruktion

A

J,Jl

Der Satz 5.2 erlaubt

belnahe

(a) = (d)

mit

Gruppem,

so gibt es zu jedem

fa = b . In einer b e l i e b i g e n

wird dies dutch die Aussage Bel m a n c h e n D i ~ g r a m m J a g d e n

(d)

b ~ B

mit

abelschen Kategorle

yon 5.2 ersetzt.

kommt man auch mit der Aussage

(b)

yon 5.2 aus.

-

39

-

Kann man au~erdem die Addition von M o r p h i s m e n vermelden, Diagrammjagd

so l ~ t

sogar in jeder exakten Kategorie veranstalten.

sich die

Als Belspiel

fGr die A n w e n d u n g dieser Methode beweisen wit das schwache Viererlemma *) 5.3.1.

Satz. In einer beliebi~en exakten Kategorie sei das Dia~ramm

kommutatlv. Die Zeilen seien exakt, a sei epimorph und

d

monomorph. Dann

gilt: (a) b

monomorph = c

monomorphj

(b) c

epimor~h

epimoroh.

= b

Bewels: Zum Beweis von (a) betrachten wir das Diagr~mm

% <

/

,i /

/

,Yi,: ',:if

l~ b

B'

-

b

9

Y<, '

>

,

Hier und in Zukunft bezeichnen wit M o n o m o r p h i s m e n dutch phismen dutch gestrichelte

~

. Durchgezogene

C

dhj = h'cj = 0 , also

glbt es

und Epimor-

Pfeile stellen gegebene M o r p h i s m e n da~,

Pfeile solche, die im Verlauf des Beweises konst~uiert werden.

Sei j eln Monomorphismus mlt Es ist

~

Jl

und

cj = 0 . Wit mGssen

j = 0

nachweisen.

hj = 0 . W e g e n der Exakthelt der Zeile bel

s I , wie angedeutet

( gJl = Jsl

' sl

epimorph).

Sei

*) Wit werden alle g~ngigen D i a g r a m m l e m m a t a f~r exakte Kategorien sp~ter unabh~ngig von den Ergebnissen und Methoden dieses Abschnitts als A n w e n d u n g der Theorie der Korrespondenzen erhalten (Abschnitte 7,8 und 10), darunter auch das schwache V i e r e r l e m m a (10.1.2). Es geht uns daher hie~ nicht so sehr um die E~gebnisse sondern um die F~age, wie elementar sie sich beweisen lassen.

-

j~ = bJl

. Dann ist

bei

gibt es

Well s3

B' a

40

-

g'jl = g'bJl = cgJl = cjs I = 0 . Wegen der Exaktheit

j~

und

s2

wle angedeutet

epimorph ist, gibt es schlie~lich

(f,j~ = jls 2 , s 2

J3

und

s3

eplmorph). Damit ist das gan~e Diagramm konstrulert.

mit

epimorph).

aJ3 = s3J ~ ,

Zum Nachweis der

Kommutativit~t braucht man nut noch das "Trapez" oben links zu untersuchen. Setzt man

b

Morphismen

(aufgrund der schon festgestellten Kommutativit~ten),

tats~chlich

mit

fJ3

und mlt

fJ3 = JlS2S3 ' well

gJlS2S3 = gfJ3 = 0 , also

Damit ist

JlS2S3

b

zusammen,

so erh~lt man gleiche

monomorph ist. Es folgt

J = 0 , well

(a) bewiesen. Die Behauptung

SlS2S 3

(b)

also is~

JSlS2S 3 =

epimorph ist.

ist dual dazu und braucht

daher nicht mehr bewiesen zu werden. Versucht man sie mit der obigen Methode von 5.2 direkt nachzuprUfen,

so kommt man zwar in einer abelschen Kategorie,

abet nicht ohne weiteres in einer exakten Kategorie zam Ziel. Man wird n~mlich auf die Notwendigkeit gefUhrt,

5.2(d) statt 5.2(b) anzuwenden und

M o r p h i s m e n zu addieren bzw. zu substrahleren. Andererseits k a n n m a n

nat~lich

5.2 und den ganzen Beweis yon (a) duallsieren.

Aus 5.3.1 folgt bekanntlich das FUnferlemma

(10.1.3). Mit der obigen Methode

der Diagrammjagd kann man auch leicht das 3 x 3 - Lemma (10.3.2) beweisen (~hnlich wie in [19], S.364). Einen entsprechenden Beweis fur das Produktlemma geben wit in 5.5.2.

Das starke Viererlemma l~Bt slch zwar in abelschen abet anscheinend nicht allgemein in exakten Katego~ien direkt dutch Diagrammjagd beweisen.

Trotz-

dem ist es allgemein richtig. Wir werden es auf zweierlei Art beweisen: 5.5.1 mit dem Produktlemma nach einem Vorschlag yon Leicht

in

[14] und in 7.1.7

mlt Korrespondenzen.

Es gibt abet auch Aussagen,

die man als D i a g r A m m l e m m a t a bezeichnen kGnnte

und die zwar in jeder abelschen,

abet nicht in jeder exakten Kategerie richtig

sind. Ein Beispiel finder man in 5.6.1 und 5.6.2.

-

5.4. Exakte quadrate. Kategorie

Wit betrachten

41

-

nach wie vor grunds~tzlich

eine exakte

~ .

5.4.1. Definition:

Ein Quadrat

f2 (1)

fl

g2 gl

heiBt exakt, wenn es kommutativ

ist und wenn in dem kommutativ

erg~nzten

Diagramm ker f2

(2) . ker g1~

fl

f2

.

> 9

cok f2~ . 9

b b

b

.

gl > . cok gl

g2

monomorph

ist. Der Beg~iff

"exaktes

F~L~ eln kommutatives

Quadrat der Form

(I) sind fol~ende

epimorph und

9

Quadrat"

ist selbst-

dual.

5.4.2. Hilfssatz.

Aussa~en

~quivalent: (a) Das ~uadrat

ist exakt ~ud

f2

(b) Das quadrat

ist karteslsch

und

Beweis:

Wit benutzen das Diagramm

(a) = (b): abet

ist monomorph i.

ker f2 = 0 . Da

gl ~ Ker(cok gl)

letzteres Nach 4.7.1

well

g2

31

gl

(2).

epimorph

. Ferner ist

monomorph

ist monomorph.

ist, folgt

f2 ~ Ker(cok f2) = Ker(~2 cok f2) -

ist - und schlieB~ich

ist dann das gegebene

ker gl = 0 . Dann ist

f2 ~ Ke~(cok gl)g 2) .

Quadrat kartesisch.

(b) = (a): Nach 4.3 ist

f2

monomorph.

31 ist epimorph,

als Quelle und Ziel hat.

Sei

g2 = Js

elne Zerlegung yon

Epimorphismus f2 ~ Ker((cok

s

und einen Monomorphismus

gl)g2)

= Ker(~2(cok

s(cok f2 ) ~ Cok f2 " Dann ist abet

g2

j . Nach 4.7.1

f2 )) = Ker(s(cok s

well es NullobJekte

f2)),

eln Isom0rphismus

in einen

ist

also und daher

g2

-

42

-

monomorph.

F~hr ein kommutatives ~uadrat

5.4.3. Satz.

%2 A

(1)

,

~

~2

fl

~ g2 gl B1

>

C

folgende Aussagen ~quivalent: (a) Das ~uadrat ist exakt R (b) Zerlegt man

f2

und

gl

in je einen Epimorphismus und einen Monomor-

phlsmus, so ist in dem entstehenden kommutativen Diagramm

(3)

fl t 1

>>

~

k

9

das linke ~uadrat cokartesisch und das rechte kartesisch. Ist

~

sogar

abelsch t so ist au2erdem ~quivalent:

(c) Die Folge A [f1'f2] > BI~ B 2 -- > C ist exakt.

Bewels: (a) ~ (b): Aus dem Diagramm 0 ker J2>

" J2~

ker k1~ 0

.

cok J2 = cok f2 > .

kI 9

>

cok k I = cok gl 9

>

9

-

liest man ab, dab

g2

monomorph

43

-

ist genau dann, wenn das rechte Quadrat

in (3) exakt ist, also nach 5.4.2, wenn es kartesisch Epimorphie

yon

cokartesisch Sel nun

~

51

in (2) ~quivalent

damit, dab das linke Quadrat in (3)

ist. abelsch.

(a) = (c): Aus der Kommutativit~t

yon (I) folgt

= 0 . Sei nun

BI~ B 2

d.h.

b = [bl,b2]:

,

__._.,~

,

\

_

x,s

__~_~.>

,.

t

r /

well

9

~

glbl = g2b2 . Wit veranstalten

Es ist

.

. . s ~

t~,,

,,"

~1~'/\ ~ ,/

(gl,-g2>[fl,f2 ] = glfl-g2f2

ein Morphismus mit

eine DiagrammJagd

mit Hilfe von 5.2(d):

,

Iz ', b=

'r'

IL_

monomorph ist. W e g e n der Exakthelt

wie angedeutet

(gl,-g2>b = 0,

. /j\~

~2(cok f2)b2 = (cok gl)g2b 2 = (cok gl)glbl g2

ist. Dual dazu ist die

(f2 x = b2s , s

= 0 , also

der Zeile bei

epimorph).

Sei

B2

(cok f2)b2 = ~ gibt es

y' = blS - flx . Dann

ist gl y' = glbl s - glflx = glbl s - g2f2x = glbl s - g2b2s = 0 . Wegen der Exaktheit der Zeile bei ((ker gl)z' = y't, t z,u

mit

eplmorph).

flz = z'u , u

BI Well

epimorph.

gibt es 51

mit

a = xtu + (ker f2)z

Exaktheit

wie angedeutet

epimorph ist, gibt es schlie~lloh

Wit erhalten in

l:fl,f2? A

z',t

-', " ~l e ~2

eln kommutatlves

der unteren Zeile best~tigt.

;~ C

Quadrat.

Nach 5.2 ist damit die

-

44

-

(c) ~ (a): Wlr benutzen wleder 5.2(d) fttr eine Diagrammjagd: - --""--) "> /'",

"\

___._~ ~I. ~ r cSlc

gl

x

s

f2

ok gl "

gegeben mlt

(cok f2)y = xs,

C

~ 9

~2 x = 0 . Well epimorph.

Sei

Sei

b 2 = yt . Dann ist

cok f2

epimorph ist, glbt es

c = g2 y . D a n n ist

Wegen der Exaktheit der Zeile bei morph.

.

/ ',b ~tt ~z~,/l IO i B1

sei

_2_~

In

C

gibt es

bl,t

y,s

mit

(cok gl)c = ~2xs = 0. mit

glbl = ct , t epi-

glbl = g2b2 . W e l l dle untere Zeile in

a

v A

Ill,f2]

> B 1@ B 2

exakt ist, gibt es

a

kommutativ ist, also = 0 , also

und einen Epimorphismus fi a = biu

fGr

u , so da2 das Quadrat

i = 1,2. Es folgt

xstu = (cok f2)f2a

x = 0 .

Damlt ist gezeigt, dab

g2

monomorph ist. Die Epimorphie yon

fl

ist dual

dazu.

5.4.4. Bemerkun~en:

In Abschnitt 8 wird gezeigt, dab sich jede exakte Kategorie

zu einer pseudoexakten Kategorie yon Korrespondenzen deren eigentliche Morphlsmen gerade nehmen, dab ein Quadrat in

~

~

R

erweitern l~Bt,

bllden. Aus 7.1.5 kann man dann ent-

genau dann exakt ist, wenn es in

R

voll-

kommutativ ist. In Abschnitt 7 werden noch weitere ~quivalente Eigenschaften angegeben.

Insbesondere findet sich dort ein weiterer Bewels daf~r, dab man

in einer abelschen Kategorie die E i g e n s c h a f t (c) yon 5.4.3 zur Charakterisierung benutzen kann (7.1.12).

-

45

-

5.5. Das starke Viererlemma. Dieses Lemma wird in 7.1.7 und 10.1.1 formuliert und unter Verwendung yon Korrespondenzen bewiesen. Seinen wesentlichen Inhalt kann man auch so formulieren: 5.5.1. Satz. Ist das quadrat

fl B I -~-~C exakt I so auch das dutch Spiegelung an der Diagonalen

AC

entstehende

Quadrat.

In einer abelschen Kategorie ergibt sich das unmittelbar aus der Charakterisierung der Exaktheit durch 5.4.3(c). Wenn man wei2, da2 "exakt" mit "vollkommutativ" ~quivalent ist (5.4.4), so ist der Satz auch fGr beliebige exakte Kategorien trivial. Wit geben hier noch einen davon unabh~ngigen Beweis, der von Leicht [14] stammt. Dazu brauchen wit 5.5.2. Hilfssatz (Produktlemma t [141 Satz 9)- Sei die Morphismen

f.,g.,h',g*,f*

g.

0 Kf<

0

i ker f 0

(4)

Cf

g*

6e~eben. Dann lassen sich

auf genau eine Weise s9 w ~ l e n ,

Dia6Tamm

Kh<

h = gf

.

.

.

.

da2 das

-

46

-

kommutativ wird. Ferner ist die Fol~e g.

o

>~

f.

>K h

h'

~Kg

g*

f*

>c~

Ch

h Cg

h 0

e xakt.

Beweis:

g.

existiert und ist elndeutig., well

f.

existlert u~d ist elndeutig, well

f*

und

g*

Da~

g)

.

ist monomorph, well g.

gf(ker h) = h(ker h) = 0 .

slnd dual dazu.

h' = ( c o k f ) ( k e r g.

h(ker f) = gf(ker f) = 0 .

ein Kern yon

ker f f.

es ist.

ist, llest man leicht an folgendem Diagr~mm ab

/D

/

9"

~Kh

Das beweist die Exaktheit bei

Um sie bei

Kg

f ~~ " ~ K

Kf

und

Kh .

nachzuweleen betrachten wit das Diag~amm

S

[

.~_....~, g

h

~K ~ ko~ ~ , ~

i

und benutzen 5.2. Offenbar iet J

.

eln Menomorphismus mlt

9

,)~ ~

f

h'f. = (cok f)f(ker h) = 0 . Sel andererselts

h'J = 0 . Wegen der Exakthelt von

f, cok f

-

gibt es dann eln folgt

j'

47

-

und einen Epimorphismus

hi' = gfj' = 0 , also gibt es eln

j",

s

so dab

Dann is~ auch das linke Quadrat kommutativ (weil und damit dle Bedingung (c) von 5.2 fGr die Folge

Die Exaktheit bel

Cf,C h

und

Cg

mit

(ker g)js = fj' . Es j' = (ker h)j" .

ker g f.,h'

monomorph s best~tigt.

folgt aus Dualit~tsg~Gnden.

I Beweis von 5.5.1 : Das geg~bene Quadrat erg~nzen wit zu dem kommutativen Diagramm

i

~2 ker fl

keJ"f~., (5)

f2

ker g2 5

fl ker

h

[g2 gl

9~ >

*9

h 9

~k

9~

/

cok f1

I c o k g2 >

Nach Voraussetzung ist da~

f2

epimorph und

f--1 epim~rph und gl

g2

monomo~ph. Wit mGssen zeigen,

monom~rph ist. Dazu setzen wlr

und wenden auf belde Zerlegungenlvon

h

h = glfl = g2f2

das Produktlemma 5.5.2 an. Erg&uzt

man das Diagramm (5) so, da~ das Diagramm (4) fEr jede der beiden Zerlegungen hinzugenommen wird, so entsteht

-

11"

....

~-~,.

48

K\

|~.

f2

..

-

~ 9

~

(6} ,o

" \

r

f~/

ist in allen Teilen kommutativ. Die exakte Folge, die

gem~B 5.5.2 zur Zerlegung h = g2f2

,~2.

h ,1

Auch diesea D i a ~ a m m

zu

"

h = glfl

gehSrt, wurde darin gestrichelt; die

gehSrige strichpunktiert.

Well

fl

epimorph ist, gilt das auch f ~

Well

g2

monomorph ist, gilt das auch fur

fl.

, und daher ist

g~ ; daher

hi = 0 .

h~ = 0 . Polglich

sind in

O

~0 "

~.2.

~I ~ /-

die beiden Diagonalen exakt. Well

~I

epimorph let, gilt das nach dem

Ereuzlemma (3.4.1 unter Beachtung von 2.4.4) auch fffr f"2 9 Analog (und dual) zeigt man, dab

gl

Damit ist 5.5.1 bewiesen.

monomorph ist.

-

49

-

Zur Abrundung des Bildes vermerken wit noch 5.5.3. Satz. FE~ das D i a ~ a m m (a)

T1

monomor~h,

(b)

~2

monomorph,

(c)

ker fl

und

(5) sind fol6ende Aussagen ~quivalent:

ker f2

haben als Du~chschnitt

0 .

Bewels: Wit bilden ein kartesisches Quadrat J2

K

>

i

Jl

ker fl

s

ke~

(nach 4.7.3 ist das m~glich). Aus 4.7.1 entnimmt man leicht, da~ J~ ~ K e r f

gilt. Jede der drei Aussagen (a)-(c) ist offenbar mit

K=O

~quivalent. Ein dualer Satz gilt fGr

~

, cok g~ .

5.6. Ver61eich der Be6riffe "exakt" und "kartesisch" bzw. "cokartesisch". Sei ein Quadrat

A ~- ) i2 fl~ g2 gl :B1 -', C gegeben. In einer abelschen Kategorie kann man an den Exaktheitseigenschaften der Folge

(7)

0

~ A [fl'f2])

BI@ B2

)

C

~ 0

ablesen, ob das Quadrat exakt, kartesisch oder cokartesisch ist (5.4.3, 4.6.1). 5.6.1. Satz.

Insbesondere entnimzt man In einer abelschen Kate6orie sind ~quivalent:

(a) Das ~uadrat ist kartesisch (b) Im Diagramm

ker f2 9

ker gl

f]

isomorph und

Beweis: Nach 4.6.1

f2

~

-

cok f2.~

9"

.~

i g2

gl

~ cok gl

g2

monomorph.

A

und

B15 B 2

exakt ist. Exakthelt bei

dab das Quadrat exakt ist (5.4.3),

morph. Exaktheit bei schnitt

0

ig2

,

ist das Quadrat karSesisch genau dann, wenn die Folge

(7) an den Stellen deutet,

50

i

(8)

ist

-

A

bedeutet,

haben, d.h.

fl

d.h.

da2

ker fl

monomorph

(5.5.3)

In einer beliebigen exakten Kategorie

fl

BI$ B 2

epimorph,

und

ker f2

be-

g--2 mono-

den Durch-

.

liefern 5.4.2 und 5.4.3 gewisse

Beziehungen zwischen den Begrlffen exakt, kartesisch und cokartesisch.

Der

Satz 5.6.1 bleibt jedoch nicht rlchtig.

5.6.2. Beispiel:

Sei

~

die in 3.6

Mengen. Den Grundpunkt X

ii

eingefffhrte exakte Kategorie von punktierten

bezeichnen wir immer mit ~ P2

>XvY

IX

0

>Y

0

X

,~

ein Diagramm in

x

~

-

Dann ist

~0

0 >0

-

>0

yon der Form (8)

(X v Y = X x [~} U [~] x Y c X x Y ,

ilx = (x,~), p1(x,y) = x, P2(x,y) = y)o Die Aussage

(b) ist erfffllt, abet

das mittlere Quadrat ist i.a. nicht kartesisch. Uns ist nicht bekannt,

ob in jeder exakten Kategorie

(b) aus (a) folgt.

W~re das der Fall, so kGnnte man in 4.8 die Voraussetzung weglassen und damit auch die dort aufgeworfene man n~mlich an, daS (b) gilt, cok gl = 0

folgt

Indizes I u n d

"gl

monomorph"

Frage beantworten.

so ist insbesondere

g2

(Eimmt

monomorph und aus.

cok f2 = 0 . Zum Verglelch mit 4.8 vertausche man die

2.)

Dagegen k~nnen wlr folgende etwas schw~cheren Aussagen in jeder exakten

-

51

-

Kategorie beweisen: 5.6.3. Satz. let das mittle=e ~uad~at in (8~ ka~tesisch,

so ist

fl

ein Isomor-

phismus.

5.6.4. Korollar. g2

Ist das mittlere ~uadrat in (8) bika~tesisch,

so sind

f'l

und

Isomorphismen.

Das Korollar erglbt sich aus dem Satz und selnem Dualen.

Bewels

des

Satzes:

In

ker f2

~I

/~

f2

fl

g2

/

/~ker

gl

gibt es genau ein

x

genau eln

(ker f2)y = x . Nun folgt

y

mit

mit

gl

flx -- ker gl

(ker gl)~ly = f1(ker f2)y -- fl x -- ker gl (ker f2)yf I = xr I = ker f2

und

und

f2 x = 0 . Daraus erh~It man ~ly = I Y~I = I

aus aus

(das letzte Glelchheitszeichen

tier Tatsache, dab beide Seiten nach Anwendung yon

f

ergibt sich aus

gleich we~den).

-

.

52

-

Kategorien yon Korrespondenzen

6.1. Viele S~tze, die man in der Kategorie der abelschen Gruppen dutch "DiagrammJagd (diagram chasing)" beweisen kann, Gbertragen sich auf abelsche und manche auch auf exakte Kategorien. Die dlrekten Beweise sind oft sehr unUbersichtlich und wenig einleuchtend, da sie sich wegen des Fehlens yon Elementen yon den Beweisen bei abelschen Gruppen stark unterscheiden. Da Jede abelsche Kategorie eine voile, exakte Einbettung in die Kategorie der Moduln Gber einem geelgneten Ring zul~Bt *) (Mitchell [22], [23; VI.7.2~, Freyd [I0~, Lubkin [18~), w~e

bei abelschen Kategorien das Rechnen mlt Elementen mSglich. Das gilt

Jedoch nicht fur exakte Kategorien.

Wit entwickeln elne Methode, die f~Lr exakte Kategorlen anwendbar ist und die dem Rechnen mit Elementen sehr nahe kommt. Dutch die MSgllchkeit der Berufung auf Duallt~t und somit vielfach auf Verzicht yon einzelnen Beweisteilen ist sie dem Rechnen mit Elementen Gberlegen.

6.2. Wit erirmern zun~chst an Menger~korrespondenzen (1.0.5.1, 0.5.3. KB~): Sind X,Y

Mengen, so heiBt ein T~ipel

Korrespondenz yon

X

in

F c X x Y

mit

F c X X Y

eine~engen)-

Y . Die Korrespondenzen bilden elne Kategorie

MeKorr. Geht man yon der Kategorle man

(X,Y,F)

Me

der Mengenabbildungen aus, so kann

dutch eln Paar yon Abbildungen

X - F ~ Y

des P~odukts ! 1.5.1), so dab die zugehUrige Abbildung (monomorph) let. Die Monomorphle k a n n m a n

ersetzen (Definition

F - X x Y

injektlv

fallenlassen bei Einf~hrung einer

*') Die Voraussetzung, dab die Kategorie klein (d.h. eine Menge) Sei, k a n n n a t ~ l i c h dutch die Einbettung in "grS~ere" Moduln umgangen werden. Dem entspricht in der bier benutzten Theorie mlt Universen, da~ die einzubettende abelsohe Kategorie ~ als Element eines Unlversums U angenommen wird. E s g l b t damn einen Ring R E U , so da~ 9 in die Kategorie der R-Moduln,die Elemente yon U slnd, yell und exakt elngebettet werden kann. Diese Kategorie yon

-

g e e i g n e t e n Equivalenzrelation, Die Zusammensetzung karteslschen

53

-

die yon E p l m o r p h i s m e n

yon K o r r e s p o n d e n z e n

Quadraten,

geschieht

F' ~ F

erzeugt wird.

in dieser D a r s t e l l u n g

mlt

wie in dem folgenden D i a g r a m m

G o F (6.2.1)

Jkartesisch

F X

G-F ~ X x Z und

wird im allgemelnen

G - Y • Z

t~lich

inJektiv

wieder

eine

alle endlichen

Kompositlon

Me

Z

nicht inJektiv

sein,

"Normaldarstellung"

"Fadendiagramme"

von

Y

wie z.B.

betrachten

, karteslscher

9~ X • Y ,

Entsprechend nleren.

Man wird

Homomorphlsmen

6.2.2.

kannman

zu

stellung in der Form zur U m f o r m u n g

, die mit

slnd, w~hrend abelschen

x

x'

mlt A n e i n a n d e r -

zu sehen, f~

in R e l a t i o n

mlttels

einf~Lhren. D a m n

M o d u l n etc. deflin

X - F ~ Y

(eln Untermodul)

X ~ F ~ Y

slch cokarteslsche

je zwei stehen,

x,x' ~ X

entweder

die Mengen der

gleich oder fremd

gilt

Gruppen ist diese D a r s t e l l b a r k e i t

dutch

1.7.4 gesichert:

Mor~ c U

Quadrate

dad das bei Mengen nicht der

nicht

(1.I.18:

ist.

elne Dar-

das f~r die erste D a r s t e l l u n g

M o d u l n Ist elne U-Eategorle

der

eindeutlg bls auf Equlvalenz.

elne Untergruppe

wobe•

kann man

Verlangt m a n Mono-

die beiden A b b i l d u n g e n

zul~t,

Es ist lelcht

bzw.

9~ Y

reduzieren.

ob Jede Korrespondenz

Fall let, da in der zweit~n D a r s t e l l u n g y ~ Y

...

zwischen Gruppen,

F c X • Y

fragen,

~.) ~X • Z na-

Allgemeiner

und E p l m o r p h l s m e n

X ~ 9~ Y

Korrespondenzen

X ~ F' ~ Y

anbSten.

X ....

Quadrate

Jeweils v e r l a n g e n , d a 2

Es ist nahellegend

erzlelen.

so ist diese D a r s t e l l u n g

slnd oder dad

G.F

und eine X q u i v a l e n z r e l a t l o n

l~Bt slch jeder Faden auf die Form morphle yon

selbst w e n n F ~ X • Y

sind. Man kann dutch Zerlegung

solche

k n U p f e n als Komposltion

G

(vgl. auch 6.7.4).

l~I c U),

Bel

In der

jedoch nlcht Element

yon U. Aus allgemeinen U b e r l e g u n g e n folgt, dab bei voller, exakter E i n b e t t u n g alle fGr die D i a g r a m m j a g d w e s e n t l i c h e n E i g e n s c h a f t e n von 9 ~bertragen und reflektiert w~rden. Wit v e r w e i s e n dazu auf 2~tchell [23S.

-

kurzen exakten Folge

F~-~X @ Y

54

~F'

-

bestimmt jede der beiden Abbildungen die

andere elndeutig. Dadurch gelingt es hier, eine selbstduale Konstruktlon yon Korrespondenzen durchzufUhren. Wit werden im 8. Abschnltt eine selbstduale Konstruktlon yon Eorrespondenzen fGr exakte Kategorien angeben und untersuchen zun~chst die formalen Eigenschaften im Anschlu~ an ~24~. Wit weisen den Leser darauf hin, dab in ~24~ die Komposition

"g nach f" dutch

fg

bezelehnet ist.

6.3. Die Kategorie der Mengenko~respondenzen hat folgende zus~tzliche Stzuktu~en:

6.3.1. Zu Jeder Korrespondenz

(X,Y,F)

(X,Y,F)#: = (Y,X,F @)

mit

maliges Anwenden von

#

gibt es eine konverse K o ~ e s p o n d e n z

F@: = ~(y,x) l(x,y) ~ F~ . Offenbar erglbt zweiwieder

(X,Y,F) . Ferner erh~lt

#

Einheiten und

die Komposition (kontravariant).

6.3.2. Jedes MeKorr (X,Y)

ist (teilweise) geordnet dutch

,,(x,Y,P) ( ( x , Y , Q ) Komposition,

@

:

F c G

"

.

und Ordnung sind untereinander im kanonisch zu erwartenden

Sinne vertr~glich. Damit ist genau gemeint, dab MeKorr mit

#

und (

den in

Definition 6.6.1 weiter unten gestellten Forderungen genGgt.

6.4. Involutlve Kate~orien 6.4.1. Definition:

einem kontravarianten Funktor

T

T : ~

KIa~

TA = A

fttr jedes

A ,

KIb.

TTf = f

far Jedes

f .

heiBt Involution. Meist setzen wit

als fest gegeben gedachten Involution konvers zu

und

Eine involutive Kategorie besteht aus einer Kategorie ~

~ , so da~ gilt

Tf = : f~ ~

und bezeichnen

als involutive Kategorie.

mit der f#

f .

Der ~bersicht halber wiederholen wit 6.4.1 in der sp~ter benStigten Form:

heist

-

f ~

6.4.2. KII.

~(A,B)

KI2.

(gf)~

KI3.

1~

KI4.

f#@ = f .

= f# E ~(B,A)

= f~g~

55

-

,

,

l

=

IA

Bemerkun~: = i~

,

I ~ = 1.1 ~ = (1.1~) #

KI3 folgt aus den ~brlgen Regeln:

(naoh KI2)

= i .

Belsplel:

MeKorr zusammen mit d e m U b e r g a n g

zum Konversen ist elne involutive

Kategorie. Mit

~

ist die duale Kategorie involutlv;

Abbildung)

dieselbe wie die yon

kovarlanter

Isomorphismus

~ - *~

~

T!

~

ist (als ~

als

aufgefaBt werden, wobel die triviale Kommu-

kovariante~

.!T

*~

. AuBerdem kann die Invo~ution yon

tativit~t des nebenstehenden Diagramms T )

die Involution yon

zeigt, dab

T (senkrecht)

Isomorphlsmus

sogar ein

von involutiven Kategorien

ist. Daher folgt:

T)

6.4.3. Metasatz:

Jede Aussage fiber elne involutlve

Kategorie *)

ist mit lhrer dualen

Aussage ~quivalent.

6.5. Geordnete Kate~orien 6.5.1. Definition:

Eine geordnete Kategorle besteht aus einer Kategorie

0rdnungsrelation

" < "

auf den Morphismen yon

K~S.

fl < f2 = fl

und

f2

K~2.

fl < f2 = gfl < gf2 '

*K~2.

gl < g2 = gs f ( g2 f "

~

~

und einer

, so dab gilt

haben glelche Quelle und glelches

Ziel,

wird wieder als geordnete Kategorie bezeichnet und mit elner festen Ordnung <

versehen gedacht. Eine Ordnungsrelation

natffrliche Ordnun~ auf

~

<

wie in 6.5.1 wird man als eine

bezeichnen.

*) Gemeint ist: Jede Formel der formalen Theorie "Involutive Formel braucht dabel nlcht beweisbar (ein Satz) zu sein.

Kategorie".

Die

-

56

-

Geordnete Kategorien kSnnen offentsichtlich

bezGglich der Komposition und der

0rdnung dualisiert werden. Es bezeichnet 6.5.1.1. *~ *

6.5.1.2.

<~

die zu -

~

duale Kategorie,

die dleselbe 0rdnung wie

~

tr~gt (K- oder

Dualisierung), dieselbe Kategorie wie

~

mit der dualen 0rdnung versehen

(~ - oder < -

Dualisierung), 6.5.1.3.

<*~ = "4~ (~) die Eategorie, die man erh~lt, w e ~ dualisiert werden (K-~ - oder .-<- Dualisierung).

Komposition und 0rdnung Diese Dualisierung wird

eine besondere Rolle spielen (6.7.6).

Alle Kategorien

~ , *~ ,

, *<~

=

sind geordnete Kategorien,

elne von lhnen es ist, d.h. die Axiome fGr eine geordnete Kategorie

wenn

sind inva-

riant gegen die angegebenen Dualisierungen.

6.5.2. Bemerkun6:

Da jede geordnete Menge eine Kategorie

Kategorie (Benabou

ein besonders einfacher [I ], [2], Ehresmann

Dualislerung

Spezialfall

ersten glelchberechtigt

zweidimensionaler

[6], [7], Maranda

der zweiten Kategoriestruktur,

ist, ist eine geordnete

[21]).

6 - Dualisierung

ist die

die im allgemeinen Fall mit der

ist. Auch hier kSnnte man yon einer geordneten Menge

ausgehen und dieser eine mlt der 0rdnung vertr~gliche pr~gen. Andere gleichwertige

Auffassungen

sind:

Kategorie der geordneten Mengen angerelcherte elnfacher Pall einer Hyperkategorie 0bJekt

Kategorien

(vgl. Gruppenobjekte

~

Kategorienstruktur

auf-

ist eine mit der autonomen

Kategorie

(Eilenberg-Kelly

(Linton

[17]), eln

[8]) oder ein Eategorien-

in 1.7.5) in der Kategorie

der Kategorie~(L~wvere

[13]). 6.6. Kategorlen yon Korrespondenzen 6.6.1. Definition: geordnete

Eine Kategorie von Korrespondenzen

involutive Kl~:

(I-Kategorie

in [24]) ist eine

Kategorle mlt

fl ( f2 ~ fl ~ ( f2 ~

Diese Forderung ist kanonlsch,

da Funktoren

beide gegebenen Strukturen respektieren

(in diesem Falle

T = 8 ) natGrli~

sollten. Wit nennen die Morphismen

-

57

-

einer Kategorie yon Korrespondenzen auch einfach Eorrespondenzen.

Belspiele: MeKorr ist elne Kategorie yon Korrespondenzen, PuMeKorr, den Korrespondenzen yon punktierten Mengen,

das gleiche gilt von

(Ab)GrKorr, den Korrespon-

denzen yon (abelschen) Gruppen und RNodKorr, den Kcrrespondenzen von R-Moduln ~ber einem festen Ring Bemerkun~: "("

Ist

(~,T)

R . eine involutive Kategorie mit einer Ordnungsrelatlon

auf der Morphismenmenge,

so da2

brauchen nlcht zu gelten), so ist phlsmus zwlschen den Strukturen

6.6.2. Metasatz: Jede Aussage ~ber

KI ~

T

gilt

(K~S, K~2, *K~2

von 6.5

ein kovarianter ordnungstreuer Isomor-

(~,T,()

(~,T,()

und

(*~,T,()

ist mit ihrer

. Daher gilt

* - dualen Aussage

~quivalent *) Das gilt nat~rlich Jeweils in der Theorie der involutiven Kategorien mit also unter Benutzung der anderen Axlome ~ber KI

~

KI~,

als Kategorie und der Axiome

yon 6.4.

Korollar: *K~2

folgt aus

K~2 . In

K~I

folgt die Aussage ~ber die Ziele aus

der Uber die Quellen. F~

Kategorien yon Kcrrespondenzen werden die Duallslerungen wie in 6.5.1.1-3

bezelchnet, wobel sich die Hinzunahme von der

*~ ,

,

T (~)

versteht. Mit

~

ist jedes

eine Eategorie yon Korrespondenzen.

6.6.3. Wir ordnen Formeln oder Terme in geordneten Kategorien im Folgenden oft in einem Schema (*)

(()

A

*JJede ~ Formel der formalen Theorie ......... 6.4.3.

B

N~

vergleiche die Fu~note zu

-

58

-

an. Spiegelung an der Sen~-,echten bedeutet der Waagerechten sierung.

~

SpiegelungamMittelpunkt

Spiegelung an ~-

Im involutiven Fall behalten wit uns vor, i~gendwelche

dutch mittels

z~

< - Dualisierung,

* - Duallsierung,

@

gewonnene ~quivalente

zu ersetzen

(z.B.

< - Dualider Formeln

f = h

dutch

).

6.7. Abbildun~en: Eine Mengenkorrespondenz ff@ I

ff# I

und

Gberall definiert ist (I.0.5.2.1)

elnwertig ist (I.0.5.2.2).

sei eine Kategorie yon Korrespondenzen.

6.7.1. Definition:

f ~ R

heiBt Abbildun~,

wenn die beiden Relationen

ff~ 1 gelten. Die beiden Formeln sind entsprechend

ihrer Anordmung zuelnander

Einheiten sind offenbar Abbildungen.

Sind

(gf)~(gf) = f#g~gf > f~f > I und von

R

~ - < - Dualisierung

An<

6.7.1.1.

R

=

Die Involution von im ~llgemeinen

6.7.2. Lemma: Sind und

AR

Beweis:

K - 6-dual

bilden also eine Teilkategorie

und die bel

f

f~

und

*<

AR

R

f,g

AR

Abbildungen,

f#

so gilt

(gf)(gf)~ < 1. Die Abbildungen

, die alle Ob~ekte yon

R

enth~It

in sich Ubergeht:

9

definiert keine Involution auf

~AR

K-Q-dual.

A R , da f~r f G A R

ist. Es gilt vielmehr

Abbildungen,

so sind sie zueinander

invers in

. Sind

f,f~

Abbildungen,

so

f@f > I

und

f#f = f@f~@ < I

(6.7.1)

-

f~

f~), also

Anscheinend 6.7.3. Frame:

f~f = I . ~ -

59

-

< - dual ist

ff# = I .

kann man die Umkehrung yon 6.7.2

Ist

f ~ ~

ein Isomorphismus,

nicht ohne zus~tzliche

so ist

Annahmen bewelsen *)

6.7.4. Annahme (Riguet): ff@f = f f ~ jedes da Isomorphismen dimorph **) sind. Diese Annahme

ist in

da6

f ,

f

obwohl 6.7.3 gilt.

in der Form

ausgedr~ckt werden kann. Da~ dies nicht f ~ in 6.2.2 die Nichtdarstellbarkeit [25;7,Prop.9].

Lemma:

Sind

Beweis:

f,g ~

g < gf~f

folgern.

A ~ und ist

f < g

"<"

f

ff#f = f

9 @-~. -@> gilt,

9 <<-- .~-~ 9

schlie2t man wie

. Man vergleiche

Riguet

gilt 6.7.4. Wit werden 6.7.4 aus

Von besonderer

(I < f#f) < gg#f

da2 in jeder Aussage Gber A ~

alle

.--~ 9 ~--.

In (Ab)GrKorr und RModKorr

unseren w e i t e r e n A x i o m e n

6.7.5.

als

eine Abbildung,

Hin~eichend w~re die

MeKorr nicht erfGllt,

besagt f~r Mengenkorrespondenzen,

f

, so ist

Konsequenz

f = g .

(f~ < g~) < f dutch

"="

ist

(gg# < I) . Daraus folgt,

ersetzt werden kann oder zu-

sammen mit 6.7.1.1: 6.7.5.1.

A*<~

=

*
also 6.7.6. Metasatz:

*-

l!

A~

~

I!

Dieser

in

< - Dualisierung kann dutch

"="

in

6.8.1. Definition:

*-

Dualisierung

in

A~

.

ersetzt werden.

Satz erkl~rt das besondere

6.8. Nullob~ekte

bedeutet

Interesse

an der

*-

< - Dualisierung.

(Axiom [24]KI) ~

eel eine geordnete Kategorie.

N G ~

heist

~-Nullob~ekt,

wenn gilt

*) Ist f isomorph, so auch f~ AUs 6.7.3 w~rde fo~gen, da~ f und f# Abbildungen slnd. Dann folgt aus 6.7.2, da~ f und f zueinander invers sind. **)monomorph und epimorph. Das wird eft mit blmorph bezeichnet. sohelnt spraohlich kor~ekter.

Dimorph

- 60

~!1.

R(N,N)

~N2.

Jedes

= [1N]

denzen,

,

~(N,A) enth~It ein kleinstes Element WAN

~A,N) enth~It ein kleinstes Element WNA

R(N,A) enth~it ein g~GBtes Element nAN

R(A,N) enth~It ein g~8~tes Element nNA

Die Definition von morphle.

-

Ist

~

N

ist

*-

< - selbstdual und bestlmmt

geordnet und involutiv mit

so kann in

~N2

dab dann

Im involutlven Pall k~rzen wit daher < - dual zu

@A ~

und

allgemeinen nieht Nullobjekt yon R wA = 0A

Menge ist

~

ist

(e.o.~

anderen F~llen so ist

(A,O,

0

O c A

~A = GA = (~,A,~)

und

~A ~ = DA~ = (A,~,~)

das

~- NullobJekt

x 0 = A)

sind

R

N

ist im

, genau wenn

, Q~=

(A,O,

Indeterminiertheit,

~ - NullobJekte

fur die Kategorien PuMe,

entsprechend.

definieren wit

Bezeichnet

in den

Menge bzw. Gruppe bzw.

QA = (O,A, A c A = 0 x A), x 0 = A).

Kern, Bild

sei eine Kategorie yon Korreepondenzen mit ~- NullobJekt ~(A,B)

in

der einzige Morphismus

einelementlge

A c A

Jede elnelementige

in den anderen F~llen ist

eln NullobJekt

wA = (O,A, 0 c 0 x A = A) ,

6.9. Definitionsbereich,

f ~

ist.

in PuMeKorr. Die Gruppe bzw.

Me hat kein NullobJekt;

(Ab)Gr, RMod. In MeKorr Ist

R

in MeKorr.

~- NullobJekt nicht jedoch NullobJekt

das ~- NullobJekt der Korrespondenzen

=

NA #

. N ist NullobJekt yon

~ - NullobJekt und NullobJekt

(Ab)GrKorr bzw. RModKorr.

~

ist.

WAN = : =A ab.. Man bemerke,

< - dual zu

der Modul, die nut aus einem Element bestehen,

Modul,

mNA = "#AN

(involutiver Pall) ist (I.6.2).

6.8.1.1. Belspiele:

~--@A

oben und unten ver-

GNA = O~AN '

~AN = : QA '

~A ~ -

bis auf Iso-

also Kategorie yon Korrespom-

Jeweils auf elne der Forderungen

ziehtet werden (6.6.2). Man bemerkt,

dab nA ~ -

KI~

N

N . F~

-

Ef

61

-

i~f

: = f~wB~ ~(N,A)

K..~-Kern

yon

K~Z

: = (Kf) ~

D~z

: = (Dr) ~

: = (if) ~

f : = fw A ~ ~(N,B) determiniertheit yon

f

(6.9.1.) Bf:

= fO A ~ ~(N,B) ild von f

B~f

: = (B~) ~

S Deflnltionsbereich

Man bemerkt

If = Kf ~ ,

6.6.3 auf Spiegelungen dutch

~

m~ssen.

f

Kf = If ~

etc.. Die D u a l i t ~ t e n

an den entsprechenden

hergestellten

h~tten wlr bel

von

deflnlerenden

~-Dualisierung

K @, D ~, I s, B @

yon

Achsen,

Relationen

f ~ ~(A,B)

sind offenbar

entbehrlich

Erschelnt

K~f

dutch D u a l i s i e r u n g

K~f = (Kf) ~ . A u ~ e r d e m

.

Bemerkung:

Ist

lassen slch nut Bf

: = fOAN

I,B,K~,D @

ergeben;

geordnet mit I,B,K~,D ~

z.B.

definleren.

sollten daher elgentllch

Genauer

Ubergehen

und erscheinen nur zur ist z.B.

@-dual

zu

K~f

an den

ist

fO

O,w

meist fort, wenn

offenbaz

fO A , w e n n

N , jedoch nlcht

Man setzt

If : = f~AN

: = ~NB f ,

D~f

als die primitiven

involutiv, '

: = ONB f dual.

Operatoren

angesehen

werden. Der U b e r s l c h t l i o h k e l t Deflnltionen

I .

If , so ersetzen wit meist

~-NullobJekt

wle oben und deflniert

haben.

f ~ ~(B,A)

K

lassen wlr die Indizes

sle slch aus dem Zusammenhang f : A--@B

yon

sich wie in

~obe• wit hier noch die

aufgenommen zu

Kl~rung der ein~elnen Dualit~tsbezis~mngen.

beziehen

halber w i e d e r h o l e n wlr die in Zukunft

gebrauchten

so

-

62

-

Kf

: = f~w

If

: = fw

Df

: =f

Bf

: = fO

(6.9.2.)

Die

4 -Duallt~t

verstehen: ~-dual

6.9.3.

0

zu

ist i m Sinne

If = f ~ Kf = f#~

ist ~ q u i v a l e n t . So v e r f a h r e n

Belsplele:

In

Untermenge,

ILntergruppe,

die m i t b ~ B

PuMeKorr,

0 ~ B

bestehen Element

If = w ~ 0 MeKorr

stehen

und

RModKorr yon

(Kern)

zu

und d l e s e F o r m e l

"Ist"

die y o n

0

0 • A = A

ist

bzw.

(Homomorphlsmen)

slnd

die

mit irgendelnem

aus

0 x B = B

oder y o n ~ b e r h a u p t

Bedeutung

s~mtllch

Df

aus d e n E l e m e n t e n ,

If, Bf

herkommen

Kf,Df,Bf,If

Kf

bzw. die U b e r h a u p t

h a b e n die ~ b l i c h e

6.8.1.1

yon 6.6.3

wit auch weiterhln.

(Deflnltionsberelch).

Abbildungen

Kf, B f

slnd n a c h

stehen

Bemerkung

(If) 8 = ~ @ f #

der U n t e r m o d u l

aus d e n E l e m e n t e n , von A . F~

zu

(Ab)GrKorr,

in R e l a t i o n

in Relation

der a b s c h l l e B e n d e n

Df = O ~A

einem

,

als K e r n und Bild.

trivial

(~)

F~Lw

und ohne p r a k -

tische Bedeutung.

6.10.

Ei~entllche R

6.10.1.

Morphlsmen

sel elne K a t e g o r l e

Definition:

f g ~

yon Korrespondenzen

heIBt

ei~entllch,

~-Nullobjekt

N .

w e n n die b e l d e n R e l a t l o n e n

If

Df

mit

: = f~ = w

: = f~O = O

gelten. Alle Einheiten

slnd e l g e n t l i c h

(gfw = g~ = m

und

~-

< -dual).

demnach

elne T e i l k a t e g o r l e

Ist

nlcht

~

und mit

Involutlv,

E~

f

und

g

Die e l g e n t l l c h e n von

~ , die alle

so e r s e t z t m a n

Df

ist

gf

eig~ntlich

Morphismen Objekte

: = f#O = O

yon

yon R

~

bilden

enth~lt.

yon 6.10 dutch

-

Wegen

0 > fO

ist

- < -dual ist

63

f~O > f"fO ~

f~ = ~ ,

-

f~O = 0 ,falls

und daher

falls

f f > I

ist.

ist. Abbildungen sind demnach

ff~ I

nlcht Jedoch in PuMeKorr,

folgt

aus

fO = 0 .

ff@ < 1

aus

f~ = ~ . Das liegt daran, da~ ein Homomorphismus inJektiv ist, schon wenn sein Kern

0

ist, w~hrend elne A b b i l d u n g in PuMe nicht injektiv zu sein

braucht, wenn der Grundpunkt des Ziels nut ein Urbild hat, Axiom 6.11.1 wird

A~ = E~

6.10.3. Lemma: Ist

erzwingen.

~

objekt yon

geordnete Kategorie mit

E~ . Die Familie der

A

~-Nullobjekt

O~ N

m~ B

Bewels: Nach 1.6.2 ist zu zeigen, dab Jedes aus genau einem Element besteht. f = ~A ' da

~N = IN

yon

. ~ - < - dual ist

~(N,A)

Element yon

6.11. Axiom

E ~(A,N)

Ist

$~(A,N)

wA

und jedes

, so

Null-

E~(N,A)

f~N = ~A

und

ist also das einzige Element

ONA ( = O~

im involutiven Fall') einzlges

.

[24] K 2

F~r M e n g e n k o r r e s p o n d e n z e n ist das Bild yon

g

genau wenn

Bg < Bf

g < ff~g

ist. Allgemein folgt

Bg = gO < ff#gO < fO = Bf f~r MeKorr, folgt

N

ist Nullfamilie.

f ~ E~(N,A)

ist (6.8.1. ~N 1).

N, so ist

da stets

g < ff@g

g > ff~g

aus

ist wegen

Bg = Bf ~ ~

im Bild yon

enthalten,

g < ff~g , da

f@gO < 0 . Die U m k e h r u n g gilt nicht

ist. F~r PuMeKorr,

Bg < Bf . ~ie zu

aus

f

g < ff@g

(Ab)GrKorr, RModKorr

<-duale Formel

l~St keine einfache Interpretation in MeKorr und PuMeKorr zu.

Allgemein folgt natGrlich

<-dual zur obigen Rechnung

Ig > If

aus

g > ff~g . In (Ab)GrKorr und RModKorr, nicht jedoch in PuMeKorr und schon gar nicht in MeKorr gilt auch die Umkehrung

Ig > If = g > ff~g ; wit

erinnern hierzu an die Bemerkung in 6.10.2. A n w e n d u n g der Involution zeigt,

-

dab die U b e r l e g u n g e n

slnngemg~

sei eine Kategorle 6.11.1.

64

fur

-

D

statt

yon K o r z e s p o n d e n z e n

B

und

K

statt

mit ~-Nullobjekt

I

gelten.

N. Wlr v e r l a n g e n

Axiom: Ig > If ~ g > ff~g

Dg < Df = g < gf~f

6.11.2.

Lemma: Kg > Kf ~ g > gf~f

Ig > If ~ g > ff@g

D g < Df ~ g < gf~f

Bg < Bf w g < ff~g

Beweis: @ fur ist

W-

I :

Ig = gw > ff~g~ > f~ = If , fa

< -dual hierzu.

~

ist in beiden F~llen

m

6.11.1.

minimal. @

fur

Der Rest folgt

D aus

dem B e w i e s e n e n mit 6.~.2. F~r

g = I

geht das Schema Uber in

Kf : m r f'~f I

Bf = 0 ~ ff@ > I

(6.11.3.)

6.11.4.

Korollar: Beweis:

6.11.5.

6.11.6.

Lemma:

=

ER

Definition

Lemma (Vgl. Hieraus

AR

6.7.4):

ergibt F~s

;

N

von

ist NullobJekt AS,ER

und 6.11.3;

ff~f = f

f~r Jedes

slch mit 6.11.3

f E R

I.

f

2.

Df = 0

sind gqulvalent

ist mcnomcrph und

yon

in

Kf = w~

~ ,

AR

9

6.10.3.

f E ~

g = f

in 6.11.2 erglbt

-

6.11.7

5.

f~f

4.

f

Ko~ollar:

FUr

I.

f

65

-

= I , let ein Sch~itt

f ~ R

(links- bzw. hinten invertlerbar).

sind ~qulvalent

ist dimorph,

Df = 01 If = w

6.11.8

2.

Kf=w

5.

f~f = I

4.

f

ist isomorph

5.

f

und

Bemerkun~:

I Bf=~ und

f~

1.4.11

9 ff# = I , ,

sind Abbildungen.

zelgt, dab in einer Kategorle yon Kozrespondenzen mit

~-Null und 6.11.1 die Begriffe fallen. Da Jede Abbildung, let, folgt aus

Kf = ~

Schnltt,

die in

(f ~ AR~),

R

Einbettung,

monomorph

dab

f

Von technlschem 6.11.9

Lemma:

Interesse

ff~O = fO ,

Beweis:

monomorph

Lemma:

Ist

Beweis:

6.11.11.

Lemma:

da f~f in ff~f = f keine ~b-

ff~w = fw .

die erste ist

w

minimal ist.

<-dual.

yon 6.7.5 ist

f < g ,

Jedes R(A,B)

Ig < If

und

D g < Df , so ist

f = g .

< gg~f (f~ < g~) < f (6.11.2.1)

hat ein maximales

Element

0BA

.

und ein miD/males

WBA .

Bewels: Man definiere f < fOA0: (6.11.3.B) minimal.

ist. Die Um-

ist

g < gf~f (6.11.2.D)

Element

As

AR

Die Umkehrung folgt sp~ter aus Axiom 6.12.1.

Das beweist die zweite Aussage,

6.11.10.

in

fw < f f a w < ffafw = f~ , ~egen 6.11.5 und da

Eine Verfeinerung

zus-mmen-

ist, auch monomorph in

kehrung kan~ nicht wle in 6.11.6 gefolgert werden, bildung zu sein braucht.

Monomorphismus

OBA : = OBO ~ : A < OBO: (fOA < OB ) = ~

> B . FUr

> N "

<-dual ist

f : A

> B

~B,.,~ : A - N

let B

-

6.11.12.

Lemma:

Seien

f,g

eine A b b i l a u n g

66

Abbilaungen,

und

Kf = w

fh = g . Ist

h G

h'-.

Bg < Bf

Ist

folgt

2. Sei

dab

9 f ) 9~

Lemma:

Ist

so ist

f

Beweis:

Ist

f)

.

h = f~g

.

f

und

ist

monomorph

ist;

also ist

eln D i a g r A m m

in

> g~gO

fh = ff@g 6.7.5 h

(Bg < Bf) Abbildung.

folgt

eindeutig

dutch

A~

, so ist

gf = 0 , genau

A~

K e r n in

9 von

(g ~ A ~

gf

und

< w (g g A ~ ~

0

Abbildungen

eln D i a g r ~ m m

in

A~

Kf -- go

, ist

gg# < I)

sind,ist

gf = 0 (6.11.13).

Ist

h

f~h

elne A b b i l d u n g

mit

pseudoexakte

Kategorie

Bf = Kg

Abbildung

Bh ( Kg (6.11.13)

9

und

g .

gh = 0 , also

[24] K .3., E x a k t h e l t

sei eine

(Voraussetzung)

und

9 f ) 9~

Bf = Kg

Bf = fO < g & g f 0

= Kg .

= ~0 ~ = 0 . D a

Bf = Kg , so .

D a n n ist

.

9 f ~ 9~

_E~

Diagramme

Axiom

h~O = g~fO

und aus

gfO < g g ~

(6.11.12)

6.12.

.

= fh

= g~1N

gf < g f O 0 ~ (6.11.11)

mit

h = f~g

gf = 0 = goO~ (6.10.3).

Bf < Kg . D a n n ist

"'.

6.11.15.

f~g = : h

die ~ituation.

(6.11.2.B)

f

9

= g~O0 = g~O~O

gf = 0 (6.7.5)

.

fh = g , so ist

= ~ (Kf = ~)

. Mit

g < ff&g

zeigt,

I. Sel

1 < g#g)

6.11.14.

ist

Bf < Kg ist.

Beweis:

und

. Dann

bestimmt.

Lemma: wenn

mlt

illustrlert

~ A~)

= O(g ~ A~)

. 6.11.6

fh = g

6.11.13.

T

h~ = f ~ g w = f ~ ( g

= g~O (6.11.9)

g = fh

B g < Bf

g

~

Aus

und

f

Das Diagramm

Beweis:

-

f(f~h)

= h

= Bf

, so ist

und die e i n z i g e

.

in

~

Folgen.

yon

mit

Bf < Kg

Beide

Begriffe

heiBen sind

Nullfol~en ~-

und

< -selbstdual.

A.~

von Korrespondenzen

mit 6.11.1

(Die F o r m u l i e r b a r k e i t

,

- 67-

y o n 6.11.1

schlieSt die Existenz

Verabredun~: AR

eines Y-Nullobjektes

f

monomorph,

epimorph,

monomorphe,

epimorphe,

dimorphe A b b i l d u n g

6.12.1. A x i o m

[241K

~: FUr

e : A

> Y

mit

ka~

epimorph

und

e

A = R

und

N

ein).

dimorph heist in 6.12,

u E R(N,A)

f

da~

eine in

ist.

existieren A b b i l d u n g e n

Ke = u

gew~hlt werden,

m

: X

und

> A m

mit

Bm = u

kann monomorph

gew~hlt werden.

Eine Kategorie

von K o r r e s p o n d e n z e n

Fffr eine andere F o r m u l i e r u n g

6.12.2.

Beispiele:

6.12.1

ist

genau w e n n

y o n 6.12.1

gilt fffr RModKorr,

fffr MeKorr und PuMeKorr. gilt,

mit 6.11.1

und 6.12.1

vergleiche

m a n 9.2.10.

also insbesondere

FUr GrKorr gilt nut 6.12.1.B;

u = (0,A,X)

heist pseudoexakt.

mit einem Normalteiler

fff~ AbGrKorr, die Aussage

ferner

6.12.1.K

X c 0 x A = A

(siehe 6.12.4).

Wit benutzen zun~chst his zu 6.12.8 nut 6.12.1.B. 6.12.3.

Lemma:

Eine A b b i l d u n g

Beweis: @ mit

6.12.4.

6.11.8;

m

=: Sei

Bf = Km (6.12.1.B)

monomerph

ist. Es folgt

Lemma:

m>

9

genau w e n n

. m

f> 9

ist m o n o m o r p h m

. D a m n ist

Kern yon

Abbildung

f , so g

mit

AR

, genau w e n n . M a n w~hle

mf = 0 (6.11.13)

sei ein Diagr~mm

monomorph

in

AR

und

Kf = ~

und

Bm = Kf Km = w

fm = 0 , also

in

AR

.

m

ist.

eine A b b i l d u n g f = 0 , da

Km = Bf = fO = 00 = wO~0 = w(O~O = I N)

Beweis: % : Aus 6.12.3 folgt m

monomorph

in

f

m

.

ist Kern in

AR

von

f ,

ist. und aus 6.11.14 die Behauptung.

Bm < Kf (6.11.13).

Bg = Kf (6.12.1.B),

also

Man w~hle

fg = 0 (6.11.13).

Da

~: Ist

eine m

Kern

-

yon

f

B(mh)

ist, = mhO

Definition

6.12.5.

6.12.6.

ist

g = mh

< mO = Bm des Kerns

Beweis:

Sei

f

B f = Ke

Lemma: ( ~ m

ist

Bewels:

e

A~ . Nach

e

und

mit

und

f

Be

Tell

hat

K f = K(me)

= e~m#w

und

folgt,

6.12.3

da~

e = m~f

= m~fO

= m~mO

= 0 ( m ~ m > I)

morphes

m

Bm = Bf

Abbildung

Ein Diagramm A~)

heist

9

exakt,

9~ ~

wenn

und

e

. Erster

.

.

und exakt heit dutch

6.12.7.

Lemma:

Exaktheit

dasselbe

wie

Bf = Kg

in

coexakt.

. Dieser

Ein Diagramm

es p s e u d o e x a k t

zeigt.

9 ~

in der

f~ ist

Begriff

9 -~

9

(6.12.1.~

f = me

Be = 0 , g e n a u w e n n m

monomorph.

Bf = B(me)

ist

6.11.12

Dual dab

ist, ist,

brauchen

~-

A ~

(6.11.12). ist

ist

zweiten

nicht

Kategorlen

(z.B.

mit

Morgeeig-

, genau wenn

, so e x i s t i e r t

ffbereinzustimmen, ist

bil f = ker

deflniert

Tell.

Coexaktheit.

f = mf'

f = ~'

6.11.1

ein monoe = m~f

man

m = bilf

Sei

Be = e O

f der kleinste

so d a ~ d.h.

E s ist

Nullmorphismen

bil

B m = Bf.

< mO = Bm

Man w~hle

deflniert

ist

=meO

, dann

Lemmas:

m

mit monomorphem

ist.

mlt

in

mit monomorphem

f = me

und

u n d fails

~

.

mit

f'

eine Abbildung

aus d e m b e w i e s e n e n

In exakten In

f

Kategorie

m

und Coexakthelt

Gruppen

von

6.12.3,

erinnern,

f = mf'

der

ist

(conorma])~

existiert

Bf = Bm

folgt

g

in A~

elne Abbildung

Nach

Be = 0

Wit

Coke~n

. Sei

in einer

.

Cokern

Tell des

netem

das Beispiel

m

. Aus

phlsmus

m = ~h.

yon

f = me

= Ke

bil f = ker

%

mit

Monomorphie

und ferner

(6.12.1.B).

f = me

f~

Kf = Bg =

Zerlegung

Bf = me0 = mO = Bm

mit

ist

6.12.1.B

e

Sol

(6.12.3)

. Dann

eine

. Dann

Zerlegung

Ke = K f

Be = 0

mlt

eine

Lemmas:

= e@~

ist

ist

= 0 . Fffr jede

des

ist

Be = 0 . N a c h

eine Abbildung,

Zweiter

. Die

Be = 0

(.6.11.14

Jede Abbildung

Km = ~ )

Bm = Kf

h EA~

enthalten.

Jede Abbildung

mit

-

geelgnetes

, also

Lemma:

e ~

f~r

68

man

h wie cok f

Pseudoexakt-

< -selbstdual.

ist e x a k t

ist v o r a u s g e s e t z t ) .

(in

A~

), g e n a u w e ~ m

-

Beweis:

Sei

9

f~

9 ~

dann

m = ker

g . Aus

Nach

6.12.1.B

existiert

ist

f = m'e

(mit

9

69

exakt

6.12.4

-

in

AR

folgt

, also

Bm = Kg

m

minimal

. Zu z e i g e n

ein Monomorphismus

e = f m '@ ). D a

m

m'

mit

Bm'

minimal

ist,

ist

geeignetem mf'O

h

Bm = Bf

Man w~hle

m = ker

elne 6.12.8.

Abbildung

Bemerkun~: brauchen

und

6.12.7

nicht

6.12.9.

Satz:

wit

Ist

~

in

A~

Wit

sprechen

Zlel

beide

, also

also

fur

Teile

ist w i c h t i g ,

ist es n~tig,

. Nach

m = m'h ist

. Jetzt

. Nach

bleibt

f = ~f

Dann

ist

Nach

6.12.3,

6.12.6

mit

Bf = f O =

= fO = Bf sel

,

Bf = K g m

6.12.4

6.12.6

.

mit ist

ist

f = me

die M i n i m a l i t ~ t

> ~fO

6.11.12

9 .

= Bf = Bm

ist

Gruppen.

Coexakte

zu s e i n

Diagramme

yon

(wenn das Bild

von

Gruppen nicht

von

6.12.1,

so ist

in Zukunft da wlr

so g i l t

AR

:),

genau wenn

einfach

sp~ter

die E x a k t h e i t

exakt.

9

es p s e u d o e x a k t

in

von Exaktheit.

Beweise von

Ein Diagr~mm

A~

Uber

A2

bequem

Der in

in

2

zweite ~

f~

. L.~

~

ist.

Teil

f~hren

des

wollen.

formulieren

zu

k~nnen.

Beweis: phem

m

(6.12.3)

Jede A b b i l d u n g und

(2.4.3.2).

f ~ Aa

Be = 0 (6.12.6).

folgt,

da~

Der Rest

.

h:= ~@m

f

m

normal

folgt

wegen

hat e

elne ist

ist

Zerlegung

conormal

( (~6.12.5).

< ~6.12.3

aus

f = me

(6.12.5). Dann 6.12.7.

ist

mit monomorAus A2

K~

= w

exakt

.

yon

mit monomorphem

B~ = gO

.

minimal.

in GrKorr

( = coexakt

daher

m

= Bf

und

ist).

pseudoexakt,

ist e x a k t

Satzes Dazu

gilt

pseudoexakt

NormalteilerJm

Benutzen

m = ~h

Sei

B m = Bf

< m'O

g . Nach

Zu z e i g e n m.

bleibt

ein monomorphes

B m = Bf = K g f

f = mf'

. Dann

< mO = m'hO

also

mit

.

-

70

-

6.12.10. Die Bildung yon ker, cok, bil, cob f~r der Analyse yon

# A

CBm' = Kf)

>

B

..'~~/~

6 ~

e' = cok f > CKe' = Bf)

FUr sp~teren Gebrauch bemerken wit: FGr 9

> A

von

AS

(I.4.3).

m2

ist zusammengefa~t in

f :

m' = k e r f

phismen

B

f : A

A ~ R

mit der 0rdnung m

betrachte man die Monomor-

m I < m 2 * m I = m2m

wie in

ist notwendigerwelse eine Abbildung. Aus jeder

A

Tml

Equivalenzklasse

sei ein Monomorphismus gew~hlt. Die geord-

nete Menge dieser Repr~sentanten sei operator

B

die wegen

6.12.11. Lemma:

definiert elne Abbildung

B :Mon A

Mon A . Der

> R(N,A)

~- Bild-

yon Mengen,

Bm I = B(m2m ) = m2mO < m20 = Bm 2 ordnungshomomorph ist.

Mon A

B> R(N,A)

ist ein Ordnungslsomorphismus.

Beweis: Aus 6.12.3 und 6.11.12 folgt, dab Ist, aus 6.12.1.B, dab

B

B :Mon A

> R(N,A)

injektiv

surjektlv ist. BiJektive ordnungstreue Abbildun-

gen zwischen geordneten Mengen sind ordnungsisomorph

(d.h. die Umkehrung der

Mengenabbildung ist ordnungshomomorph). Dual zu

Mon A

(~6.12.11.Lemma: Epi A

sei K~

Epl A deflniert. ~(N,A)

ist eln Ordnungsantiisomorphlsmus

Bemerkung: Aus 1.9.2 folgt, dab auch

S(N,A)

eln Verband und

ist eln Verbandslsomorphlsmus

Mon A B

und

Epi A

von 6.12.11. bzw.

.

Verb~ude sind. Dann ist K

von

bzw. Verbandsantllsemorphismus.

<~6.12.1

-71

.

-

Vollkommutative ~uadrate t Zerle~ung yon Korrespendenzen

Eine Pseudoexakte Kategorie yon Korrespondenzen lichen dutch die (exakte) Teilkategorie

A~

~

(6.12) ist im wesent-

der Abbildungen bestimmt

([24;4.15],7.3.8). Die zu diesem Bewels benutzten Methoden sowie der erste Teil dieses Abschnittes dienen uns zur Motivierung der Konstruktion einer pseudoexakten Erweiterung

M~

mlt A K G = ~

fur eine exakte Kategorie

G .

Das Ergebnis ist nat~rlich fur sich interessant, wir machen jedoch auBer v o m Beginn von 7.1 im Folgenden keinen direkten Gebrauch vom 7. Abschnitt.

sei eine Kategorie von Korrespondenzen mit 6.11.1. Sp~ter werden wit noch 6.12.1 hinzuziehen. 7.1. Wit betrachten ein kommutatives Diagramm

f

(7.1.1.)

f, in

~

und suchen Bedingungen fur

(7.1.2.)

gf~ = f,~g |

.

Kommutativit~t von 7.1.1 impliziert natGrlich impliziert

fg~ = g'~f'

f~g'~ = g@f'~

und 7.1.2

, so dab fGr ein kommutatives Diagramm mit 7.1.2

jeweils die beiden Wege von einer der vier Ecken zur gegenGberliegenden gleieh sind. Kommutative Quadrate 7.1.1 mit 7.1.2 heiBen daher vollkommutativ oder auch exakt. Die Bezeichnung exakt e r k l ~ t

7.1.3. Viererlemma in

gelten

~ :

Von den Relationen

Kf' ~ g Kf

If ( g'~If'

Dr' ~ g Df

Bf ~ g'~Bf'

sich in

7.1.12.

-

(7.1.3.1.)

D, I

-

gf~ < f'~g'

(7.1.3.2.)

K, B

*

gf~ > f' g, .

7.1.4.

Korollar:

Sind

gf~ = f'~g' Ubrigens

Beweis:

gilt dann

g Kf = Kf'

gf~ < f'~g'

. ~

. Aus

: Ist

< - dual hierzu.

ist. * -

If < g'~If'

g Df < Df'

gf~ < f'~g'

und

, so

, wie man leicht sieht.

Dr' = Bf '~

gilt

< - dual ist

ist.

~: W e g e n

If < g'~If'

.

f'g = g'f

ist

folgt also

gf@ < f'~f'f'~g'

g Df < Dr'

und es gilt

gelten.

g Df = gf~0 = B(gf ~) ,

f'Af'f'~ = f'# (6.11.5). Daher folgt ~-

gf~ < f'Ag'

Bf > g'~Bf'

Bf = g'~Bf'

g Df < Dr'

, genau wenn

f'~f'gf~ = f'~g'ff~

und

und

und

, genau wenn

< f,~g,

, so ist stets

g Kf > Kf'

I. Wegen 6.11.2.B

f,~g,ff~

-

,

f,g,f',g' ~ A R

, genau w e n n

gf~ < f'~f'gf~

72

wegen

If < g'~If'

ist

2. <-dual erh~lt man 7.1.3.2.

Wit bringen die Vollkommutativit~t

mit dem Viererlemma

in exakten Katego-

rien in Verbindung und untersuchen die Form der vollkommutativen in exakten Kategorien

zur Motivierung der Konstruktion

Quadrate

im 8. Abschnitt

genauer.

7.1.5.

Lemma:

Das Diagramm

e> 9

>

9

~

k' in

A~ I.

9

f'

>

9

~'

sei kommutativ und die Zeilen seien pseudoexakt Is%

Ba = 0

und

Ka' = ~ , so ist dasmittlere

Kk' = ~

und

Be' = 0

in

R . D-~n gilt:

Quadrat vollkommu-

tativ, 2. Ist tativ,

so ist

Ba = 0

und

Man ffberlege einen Beweis f ~

und ist das mittlere

Quadrat vollkommu-

Ka' = w.

A~

= AbGr mit Wahl yon

k,k' als Kerne,

-

73

-

~, ~' als Cokerne.

Beweis:

I. Sei

Ba = 0 . Dann ist

Kf' = Bk'

(Ba = O) = gkO = gBk = gKf (Exaktheit). ~ aus

(Exaktheit) = k'O = k'a0

( - dual felgt

g'~Bf' = Bf

Ka' = w . Der Rest der ersten Behaup~ung felgt aus 7.1.4.

2. Sei

Kk' = w

und das mittlere Quadrat vollkommutativ.

Dann ist

Ba = aO ~ k'@k'a0 (Kk' = ~) = k'~gk~ = k'~gBk = k'SgKf (Exaktheit) k'~Kf ' (7.1.4) = k'~Bk ' (Exakthelt) = k'~k'O = 0(Dk' = O) . Aus und der Vollkommutativit~t folgt

7.1.6. Bemerkung: 6.12.1,

Ka' = w ~ -

Gilt zus~tzlich zu den Gber

~

B~ = 0

( - dual.

gemachten V o r a u s s e t z u n g e n noch

so erfaBt man mit 7.1.5 alle vollkommutatlven Quadrate von

da jedes kommutatlve Quadrat 7. I. I in

A ~

A~,

dutch Erg~nzung von Kernen und

Cokernen in ein D i a g r a m m wie in 7. I. 5 elngebettet werden kann. GleichermaBen kann man in

~ = GrKorr vorgehen, wenn

f,f' normale Bilder haben.

Wegen der Normalit~t sind die Zeilen dann exakt in in

GrKorr, da die Einbettung

f,f'

nicht normal,

heit, die bei 7.1.7.

6.12.1 gelte f~Ir

i

~ i

~ i

~-

~

~ 9 9

~ i a' ~ 9

~

7.1.5 llefert

und das nebenstehende Diagramm

Zeilen und Spalten in

A ~ . Ist

a'

b

monomorph,

monomorph

I ~

Sind

Sei ein kommutatives DiagrAmm mit exakten

lJ

I

Gr c GrKorr die Exakthelt erh~lt.

Gr c GrKorr nicht in Pseudoexakthelt Ubergeht.

b~ .

a

und pseudoexakt

so fGhrt die Erg~nzung der Cokerne rechts zu Coexakt-

(starke$ Viererlemma:

i

Gr

so ist

a

epimorph und

epimorph und

b'

(und das mittlere Quadrat ist voll-

kommutativ in

~ ).

9

b' Beweis: Exaktheit i n A ~ ist Pseudoexaktheit men

m, Epimorphismen

e

in

aus A ~ sind monomorph,

Km = ~ , Be = ~ charakterisiert.

(6.12.9), Monomorphisepimorph in ~ und dutch

Aus 7.1.5.1 folgt, da~ das mittlere

Quadrat vollkommutativ ist. Spiegelung an der Hauptdiagonalen des Diagramms beweist die Behauptung mit 7.1.5.2, da die Vollkommutativit~t bei dieser Spiegelung invariant bleibt.

-

74

-

7.1.7.1. Bemerkung: Wie schon in 7.1.6 bemerkt kSnnen die V o r a u s s e t z u n g e n Uber abgeschw~cht werden. Man benStlgt, da~ 7.12.1.B in E p i m o r p h l s m e n von

A~

epimorph in

R

R

Will man dualisleren,

gilt und da~

sind (Gruppea!). D ~ u

genauso ausgesprochen werden mit Exaktheit, monomorph,

R

k~

7.1.7

eplmorph in

A ~ .

so benStigt m a n Coexaktheit.

Wit interessieren uns w e i t e r h i n fGr die Zerlegung von v o l l k o m m u t a t i v e n Quadraten.

Zun~chst wird wieder nut 6.11.1 angenommen.

7.1.8. Lemma: Ist

9

f ~

9

~

m b

9

9

5

f'

9

m'

eln kommutatlves D i a g r a m m in

A~ , so ist

I. das ~uBere Rechteck (Fomtlassen von

g' ) vollkommutativ,

wenn die

belden Quadrate vollkommutativ sind, 2. das linke Quadrat vollkommutatlv,

wenn

Km = w ,

Km' = m

und das

~uBere R e c h t e c k vollkommutativ ist. Beweis:

1.trivial. 2. gf# > gf~m~m (m~m > I, 6.7.1) = g(mf)~m = (m'f')@g"m

(Vollkommutativit~t) gf~ < f'~g'

= f'~m'&g"m = f'~m'@m'g ' = f'@g'

gilt nach 7.1.4.

7.1.9. Lemma: Ist alas Diagramm (7.1.9.1.)

e> 9

vollkommutativ,

Bewels:

(m'Am ' = 1, 6.11.3)

Sel

) e'

9

so ist es cokartesisch in

ve = ug . Daun ist

in

AR mit

Be = 0 ,

A ~ .

Ke' < gKe (7.1.4) = ge~w < ge ~ ~

gg~u~w (ve = ug) < u~w (gg~ < I) = Ku

j

Be' = 0

ist eine A b b l l d u n g mit

he' = u

(<~6.11.12).

ergibt sich aus

hg' = v

uge ~ = vee @ = v (ee ~ = I) .

und

h: = ue '#

und dle einzige hg' = ue'~g ' =

,

-

7.1.9.2.

Nicht alle cokartesischen zu sein, wie

zeigt,

7.1.10.

Lemma:

7.1.9.1

in Gr mit

in

Jedoch

brauchen vollkommutativ

des n~chsten

und nicht normalem

ist. DaB

sind alle k a r t e s i s c h e n

wie D u a l i s i e r u n g

Gilt 6.12.1.K f~r

A~

e' = cokm

D ( e m ~) = Bm ~ Ke' = D(m'~e ')

folgt aus 6.11.14. kommutativ,

-

Quadrate

eh> 0 mi ~m' 9 e~> 9

da dann

75

Lemmas

Bm ~ Ke'

Quadrate

in

m

ist

Gr

,

voll-

zeigt:

~ , so ist jedes cokartesische

Quadrat

e

(+7.1.10.1)

gi

h> i g'

9

~> 9

von

A~

vollkommutativ.

in

A~

e t

Beweis: e

.

7.1.10.1

sei ookartesisch w~hlt,

)>

._..>

/ /

dab

.

e"

sei mit 6.12.1.K

Ke" = ge w = gKe

ist. D a n n ist

so geKe =

e m < g ~ ge ~ m (g@g > I) = g~e"~m = K(e"g)

, also

v: = e"ge ~

(*<6.11.12).

eine A b b i l d u n g mit

ve = e"g

+

Dann existiert

h

mit

sisch ist. Also ist g'~Be'

he' = e"

und

Ke' = e '~ m < e 'mh~w = e"@m = Ke" = gKe

= g'SO = 0 = Be , so dab 7.1.10.1

Fassen wir die letzten Lemmata in 7.1.11.

hg' = v , da das Quadrat coka~te-

Satz:

sei eine pseudoexakte

vollkommutativ

mit 6.12.1

. Trivial ist

ist

zusammen,

(7.1.4).

so ergibt

Kategorie

von Korrespondenzen.

in

ist v o l l k o m m u t a t i v

sich:

Ein

Diagramm f~ (7.I.11.1.) A~

in

~ ,

f, genau w e n n in der kanonischen 9

(7.1.11.2.)

~>.

--@> +bik+r ~> das linke obere Quadrat

>

Zerlegung ~

in der exakten Kategorie

A

9

> > 9 kar ~

+ 9

cokartesisch,

das untere rechte kartesisch

und

-

die beiden Ubrlgen blkartesisch Bewels:

76

-

(: ~ ka~tesisch und cokartesisch)

=: Man zerlegt zun~chst

i ~

i .~ > ~

9 vollkommutatlv in

A~ ~ ~

9

~

9 ~

" ~

~.~ 9 ~

(eplmorph)

in

~

wie nebenstehend,

~ ~ @ ;

sind; dann zerlegt man weiter

sind. S~mtliche Quadrate

zweimaliges Anwenden von

Ein Quadrat

: Hat

so folgt aus 7. I. 10, *<7. I. 10,

slnd. Die Behauptung folgt dutch

Kategorie von Korrespondenzen

sondern darGber hinaus abelsch, A~

~

7.1.8.1.

eine pseudoexakte

tiven Quadrate von

sind vollkommutativ

and der Rest folgt aus 7.1.9, @<7.1.9..

dab alle vier Quadrate vollkommutativ

nut exakt,

(Epimorphismen)

wobei trivial ist, dab die waage-

7. I. 11.2 die angedeuteten Eigenschaften,

R

wobei beide Quadrate

rechten mittleren Morphismen monomorph bzw. epimorph

(7.1.8.2, ~<7.1.8.2)

7.1.129 Ist

> 9 ,

sind (7. I. 8.2, ~ <7. I. 8.2), da Monomorphlsmen

auch monomorph

sind *)

und ist

so sind die in

~

genau die exakten Quadrate von Hilton

A~

nicht

vollkommuta[12]:

f 9

>

A

B

) f,

lg' 9

in

A~

ist exakt im Sinne yon Hilton

[12],

genau wenn [f,g~ (7.1.12.2.)

9

~

A e B

> .

eine exakte Folge ist. Dutch Zerlegung erh~It man

(7.1.12.3.)

9~

9 -

[~'~]

mit kurz exaktem Mittelteil. 9

) AmB

<~"-~'>'~

~m>

Das ist gleichbedeutend

damit, dab

f.~ A

(7.1o12.4.) B

)

9

*) Zusatz nach Fertlgstellung des Manuskripts: Die Voraussetzungen abgeschw~cht werden. Man vergleiche den Anhang.

k~nnen

-

77

-

bikartesisch ist. Also ist 7.1.12.1 exakt, genau wenn

e,m

existieren,

so dab f 9

,

~A

(7.1.12.5o)

f' kommutativ und der Tell 7.1.12.4

bikartesisch ist (Hilton [12; 3.3]).

0ffenbar erh~lt man bei abelschem

A~

dieselbe Charakterisierung aus

7.1.11: Das cokartesische Quadrat 9

>>

B'

>> 9

A'

(7.1.12.6,) oben links in 7.1.11.2 ist gleichbe-

deutend mit einer exakten Folge (7.1.12.7.)

9

~

A'

~

B'

~>.

,

die dutch Zerlegung ein Diagramm (7.1.12.8.)

.

erglbt, das bei

e>>

.

A' ~ B'

~

~

A'

9

B'

~>

9

exakt ist. Der rechte kurz

exakte Tell liefert

ein blkartesisches Quadrat 9

~

A'

(7.1.12.9.) B'

~

.

Wendet man die dualen Uberlegungen auf

das kartesische Quadrat unten rechts in 7.1.11.2 an, so erh~lt man insgesamt eine Zerlegung von 7.1.11.2 wie folgt

bikor

bikar

(7.1.12.10.) ~ @ >

9

.

~>

~

r~

>

9

. Zusammenfassen der vier

blkartesischen Quadrate liefert ein bikartesisches Quadrat wie in 7.1.12.5. F~tr die Umkehrung braucht

A~

nicht abelsch zu sein. Man zerlegt ein ge-

-

gebenes

exaktes

Quadrat

78

-

7. I. 12. I, das wie in 7.1.12.5

dargestellt

ist, wel-

ter in

(7.1.12.11.)

Bei den berandenden D r e i e c k e n hat man, Isomorphismen

h

wle In

Man sieht leieht, (vgl.8.1.8) kartesisch

da6 das aus 2 und 4 gebildete

Zusammensetzung

mit dem Epimorphismus

den Beweis unter Benutzung

in

bzw.

a. Dazu braucht

A~

sind. Aus

und Dualisierung

bizei-

I bzw. 2 erh~lt man durch

oben links bzw. dem Monomorphismus

exakter Folgen

Ist

A~

(Hilton

Quadrat.

Damit

abelsch,

so kann man

E12;3,

p.257S)

Quadrat

entspricht

ist

auch ohne

A~

ist also vollkommutativ

zu sein.

der eingangs

F'

in

>> F ,

6.2 erw~hnten E q u i v a l e n z r e l a -

m

der dualen.

Die vollkommu~ati-

yen Quadrate w e r d e n im abelschen Fall zu der U m f o r m u n g yon

7.2.

cokartesisch

dab das Rechteck

ein kartesisches

nicht abelsch

tien mittels E p i m o r p h i s m e n

X ~ 9~ Y

ist,

fKihr~n.

I. Jedes bikartesische

2. e in 7.1.12.3,4

ergibt sich,

erzielt und alles gezeigt.

Vorgriff auf 8.1.1

"Rechteck"

desselben Arguments

I-4 bikartesisch

ein cokartesisches

die Form 7.1.11.2

Bemerkun~:

aus "8.1.1

ist. Weiterverwendung

gen, dab alle ~uadrate

funktorlell

~

ist. Hit Vorgriff

unten rechts

da die Zerlegung

und umgekehrt

verwandt

(man vergleiche

X ~ 9~ Y

in

8.3).

Zerlegung yon Kerrespondenzen Eine Korrespondenz

zwischen abelschen

wie ein Homomorphismus bereichs yen dividiert phismus

Gruppen

einer Untergruppe

yen

A

f~ B

A , n~mlich

f , Def f , in eine Quetientengruppe

dutch die Indeterminlertheit Def f . ~ B/Ind f

von

ist "dasselbe" des D e f i n i t i o n s -

ven B , n~mlich

B

f,

B/Ind f . Der Homomor-

kann weiterzerlegt

w e r d e n in einen Epimor-

-

phismus

79

-

und e i n e n M o n o m o r p h i s m u s . f

A

(7.2.o.)

9

>

B

>

9

Insgesamt

hat m a n also

, mit einer Abbildung kann man dabei a b e t auch, anwendet. exaktes

f

und e i n e r E q u i v a l e n z

in A b G r als e x a k t e r

w e n n m a n das auf

Korrespondenz,

Lemma:

angewandte

Zu

exakt

Kategorie

so e x i s t i e r t

und e i n

: = efm

A~

die K a t e g o r i e

sei eine p s e u d o e x a k t e

7.2.1.

Kategorle

So w a r e n w i t a u c h v o r g e g a n g e n , ~

Bm = Df

f

f G ~

Zerlegung von

herstellen.

Verfahren

u m zu zeigen,

f

Man erh~It

nocheinmal

sie

auf

da~ fur p s e u d o -

ist.

yon Korrespondenzen.

(6.12.1)

A R-Epimorphismus

. Damlt

~ . Die

ein e

Ist

A~-Monomorphismus

mit

f

eine m

mit

Ke = If . W i t d e f i n i e r e n

gilt: existlert

ein DiagrAmm

f

(7.29149

m I

~e

9

einem

Lemma:

hinaus

Ist f G ~

9

I. f

e , Bm = Df

= Df

, Ke = If

und

f = efm

m ,

.

is >

9

eln Diagramm

mlt

A~ - monomorphem

m

und

e , ~o sind ~ q u i v a l e n t :

ist eine A b b i l d u n g

2. B m

A~-Monomorphismus

und

(7.2.2.1.)

A~-epimorphem

mlt einem

gilt:

f

Bewels:

9

A~-Epimorphlsmus

DarGber 7.2.2 9

5

,

I = 2: Sei

If = e # f m ~ w = e ~ f ~

Ke = If f

und und

f = e~fm ~ , f = efm

elne A b b i l d u n g

(m~w = ~) = e ~

und

. e ~ f m ~ = f . D a n n ist

(fw = ~)= Ke

. ~-

< - d u a l ist

D f = Bm.

-

= elm

folgt aus

80

-

efm = ee#fm@m = f(ee ~ = 1, m~m = I) . 2 ~ I : Sei

Bm = Df t Ke = If ~

f = efm .

f

ist eine Abbildung,

ef~(m~ = ~) = ee@w (Ke = If) = ~(ee ~ = 1) f = e@~m @

folgt,

f > e~ef

da

ist, aus

verschiedenen

Das folgende

7.2.4.

f > fmm ~ (I > mm ~) > e#efmm#(f

zeigt die letzte Rechnung,

Kompositionen

"kanonische

Xquivalenz" :

Lemma: F~r

f1'f2

: A

mit

epimorph

ist. Ist

Beweis: ~ e~2m~

:

= f2 "

(6.12.11).

fi

= e2flm I < e2f2ml

e ~if

imi

Abbildungen

fl < f2 " ist

f

wie in 7.2.1

bis auf

ist

fl < f2 '

existiert.

sein mGssen und dab

fl = e@~11m@1 = e1~Im~m~

Die Kommutativitgt

=

fl = f2 ' so sind offenbar

~-<-dual

s.o.) =

dab alle darin vorkommenden

der Zerlegung yon

ei~B ~ ~

~: Sei

> e#ef,

~-<-dual

Diagramm

C~[m ~!

m,e

und

ist.

gleich sind.

.~ B

genau wenn ein kommutatives

Trivial ist, dab

Df = ~

> fmm ~ (e#e > 1) > f (s.o.). Uber die Formulierung

Lemma ergibt Eindeutigkeit

(7.2.4.1.)

und,-<-dual

I~ = efmw =

fmm # > f (Df = Dm # = Bm , 6.11.2.D)

e~fm @ (Voraussetzung) des Satzes hinaus

da

m,e

m

monomorph,

Isomorphismen.

< e#e#fl 2 m@2 (fl m# < e@f2,

Bml = Dfl < Df2 = Bm2

7.1.4)

ergibt

e 2 = ee I . Damit hat man ein Diagr~mm

des mittleren

Quadrats

folgt aus

= e2f2m2 m = f2 TM (7.2.2) und da

e

m I = m2m 7.2.4.1.

ef I = eelflml

efI

und

f2 m

=

(7.2.2)

Abbildun-

gen sind.

7.2.5.

FGr Gebrauch Sind

f,g

in 7.3 beschreiben

wie in

. -~f . - ~ f ~ .

wir die Komposition .

gegeben, >

g

(7.2.5.1.) .

yon

so betrachte

~

in

AR

:

man das Diagramm

-

Man zerlege

zun~chst

danach efmg = m'e'

f =

ef~mf ~

-

,

g = eg~gmg ~

dutch einen Monomorphismus

Dann bilde man das kartesische ~,e'

81

Quadrat

zu

Be merkung:

Hiernach ist plausibel,

legungen im 8. Abschnitt

da~

=

~

dutch

A~

bestimmt ist, was

dienen die vorstehenden Uber-

zur Konstruktion

von

Funktorerweiterun ~

Kategorie F : s

~

eingefUhrt:

> ~'

Ordnung,

zwischen Kategorien,

mente eingefHhrt

7.3.1.

~I A = IFA ,

7.3.2.

f < g

~

W-Null,

Involution.

Von Funktoren

in denen die gleichen Strukturele-

F(gf) = (Fg)(Ff)

der jeweils eingef~hrten

Ff < Fg

,

,

N,N'

von

rOAN : O'(FA)N,

FONA : O~,FA

F~AN = ~'(FA)N'

F~NA = ~ ' F A

0ffenslchtlich

Strukturen in elne

also soweit es Sinn hat:

F ( f ~) = ( F f ) ~ J I. FN = N' f~Lr die ~-Nullobjekte 2.

verschiedene

sind, wird man Respektierung

Strukturen verlangen,

7.3.4.

sind vollkommutativ

gf = eg ~-gmg ~ ef ~: xmf

Nat~llch

Im 6. Abschnitt wurden nacheinander

7.3.3.

zu

= eg~e,,~g,f,m,,~mf ~ = (e"eg)~(g'f')(mfm '')~ .

wit in 7.3 genauer formulieren.

7.3.

und das cokartesische

(4.7, *4.7). Diese beiden letzteren Quadrate

e g ~ e , # m ,~fmf ~-

7.2.2,

und einen Epimorphismus.

f,m'

(7.1.1 0,~< 7 .1.10 bzw. 7.1.11). Daher ist

wie in 7.2.1,

wird bei Anwesenheit

~ , ~'

J

yon 7.3.3 nur jeweils eine der

beiden oberen und elne der beiden unteren Gleichungen in 7.3.4.2 ben~tigt. Gilt 6.11.1

fttr

~

, so ist 7.3.4.2 Gberhanpt

einzige Element von ~

< I (6.11.3);

~(N,A)

mit

da=aus folgt

I~ = ~

entbehrlieh,

da

benStigt

zwischen pseudoexakten

das

ist, also das elnzige mlt

(F~)(F~) ~ = F ( ~ ~) < I

und daraus

IF~ = ~' , wie die erste Zeile des Beweises yon 6.11.2 zeigt, 6.11.1 nleht

~

wurde. Dann ist offenbar

in der

Fw = ~' . Funktoren

Kategorien von Korrespondenzen

sind also dutch

-

7.3.5.

7.3.1.

- 7.3.4.1

Lemma:

Ist

~ ~'

von Korrespondenzen,

oder

A~

und

F

, A~'

Der Bowels

so ist

ist trivial.

Einzelne

den von

F,G

Korrespondenzen

7.3.7.

Lemma:

f ~ ~ Sind

F : ~

: ~

~ ~'

und ist ist

AF

e~fm ~

~ , ~'

(genau

(7.3.6))

Daraus

folgt

Korollar:

phem Ff

Seien

~ , ~'

mit

e,f,m ~

ist. Da

A n w e n d e n von

F

in die Kategorie Offenbar

F : ~

~ (7.2.1~2).

~ ~' mit

G

AF

Katego-

der exakten

K a t e g o r i e n von

Andererseits

die Kategorie

relativ

9

f = e~fm ~

mit

e,f,m ~ A~

Wir d e f i n i e r e n

ist

Fe

der A b b i l d u n g e n ~

die bis

solche Kategorie.

von 7.3.7 gegeben. ~nd monomor-

F : ~

> ~'

dutch

ob diese D e f i n i t i o n

eplmorph

und

Fm

Daher geht ein D i a g r a m m

in ein kommutatives

und ist

so existiert

~ , so ist

einzige

ist nicht klar,

gilt:

=

wie in den V o r a u s s e t z u n g e n

exakt ist,

A~'

F = G .

von K o ~ r e s p o n d e n z e n

e (7.2.1).

)

gilt:

Funktor yon exakten Kategorien,

~ coke = 0 , etc.). F

A~

K a t e g o r i e n von K o r r e s p o n d e n z e n

Isomorphle

, F

Funktor

der p s e u d o e x a k t e n

werden.

, so ist

: = (Fe)~(Ff)(Fm) ~ . Zun~chst

epimorph

~ , ~'

lassen sich nat~trlich unter

induzierten

aufgefa~t

= AG

Eatego~ie

, epimorphem

eindeutig ( e

) ~'

Ist eine exakte Kategorie

hat eine Zerlegung ~

im Sinne yon

F u n k t o r e n von p s e u d o e x a k t e n

eln Funktor

auf eindeutlg bestimmte

f ~ ~

der A u s s a g e n

pseudoexakte

einer p s e u d o e x a k t e n

Beweis:

vertauschbar,

und Exaktheit

und ihrer Funktoren

: A ~ ---@ A ~' ein (exakter)

7.3.8.

Kategorien

beweisen.

und ihrer Funktoren

Sind

Beweis:

K, I,B,D

A kann als Funktor yon der Kategorie

Kategorien Lemma:

mit

erh~lt N u l l f o l g e n

rien von K o r r e s p o n d e n z e n

7.3.6.

F

zwischen p s e u d o e x a k t e n

.

Wir b e z e i c h n e n AF.

Es folgt:

eln Funktor

schw~cheren V o r a u s s e t z ~ n g e n

mit

-

charakterisiert.

F : ~

FAR c A~'

82

monomorph 7.2.4.1

bei

Diagramm mit den gleichen Charakte-

-

ristika

(Epimorphie, Monomorphle)

83

-

~ber. Das zeigt, dab das deflnierte

F

bei irgendwelcher Auswahl 7.3.2 erfGllt und eindeutig ist. Wit zeigen 7.3.1:

FI A = IFA

7.2.5.1 an.

F

ist klar. FUr den zweiten Tell wendet man

F

auf

erh~lt wleder E p i m o r p h i s m e n und M o n o m o r p h i s m e n ~ud ferner

kartesische und eokarteslsche Quadrate.

Letzteres folgt aus der Konstruk-

tion in 4.7, *4.7, die eine Charakterisierung dutch Exaktheit liefert. Daher ist

F(gf) = (Fg)(Ff)

und gilt f ~ wurde und

alle

f , da

. 7.3.3 ist trivial f ~

f = e, e , m, m

bereits als Funktor

(7.3.1) nachgewiesen

F

f = e~fm ~ = e~m'e'm @

ist. 7.3.4.1 folgt daraus, dab also Nullobjekt von ~'

ein

A ~'

bel welterer Zerlegung yon N

NullobJekt yon

N'

in

A~'

ist,

in

und in

~' .

A ~'

A~

FN = FN = : N'

ist. N' ist notwendigerweise ~-Null von

~ - N u l l o b j e k t hat, dleses Nullobjekt von

~quivalent zu

A~

f

~' , da

ist und somlt

-

.

Korrespondenzen

84

-

Gber exakten Kategorien

Im letzten Abschnitt wurde gezeigt,

dab eine exakte Kategorie

Kategorie der Abbildungen einer pseudoexakten denzen ist, die Kategorie morphie bestimmt.

~

bis auf

~

~

von Korrespon-

lest lassende eindeutige

Wit zeigen Jetzt, dab Jede exakte Kategorie

solche Kategorie von Abbildungen vorkommt, doexakten Erweiterung Funktorerweiterung statt

Kategorie

G , die

K~

ftLr

K

toren in pseudoexakte

als

dutch Konstruktion einer pseu-

~ , Benutzen wit die MSglichkelt

yon 7.3.7 mit der Bezeichnu~g F statt

F , dann ist

~

Iso-

F

der

und

MF

ein Funktor yon exakten Kategorien und ihren Fun~Kategorien yon Korrespondenzen

Trivial ist Ak = I . 7.3.7 zeigt Gber eine exakte Kategorie

in

und ihre

Funktoren.

M A ~ I . Die Anwendung ist dann, Beweise

~~

zu f~thren, was die eingangs des 6.

Abschnitts erwgLhnten Vorteile hat. Der 7. Abschnitt wird dafUr meist nicht benStigt,

da die MSglichkeit

fur die Anwendung irrelevant Randoperatoren

der Erweiterung genUgt und die Eindeutigkeit ist, solange nicht neue Morphismen - wie z.B.

- konstruiert werden.

In diesem Abschnitt werden nu~ einfachste Folgerungen aus 2., ~ u n d

6.

verwandt. Die Betrachtungen von 7.2 suggerieren die Konstruktion

[24; 4.18]: Mor-

phismen yon

~ , Ordnung wird

kG

sind DiagrAmme

.,--<.

h .~--.

dutch 7.2.4 und Komposition dutch 7.2.5 definiert. schwierig,

die Assoziativit~t

dab das Aneinandersetzen

yon kartesischen und cokartesischen

die im folgenden angedeuteten Eigenschaften f f ~ kar

~cokar I

f'

I

Es schien jedoch

der Komposition zu zeigeno Das wesentliche

Hilfsmittel hierf~r ist die Feststell~ng, Wiederauseinandernehmen

Yon

)

Icokar ~

hat:

kar I

f'

und

Quadraten

-

85

-

Dem Nachweis dieser Behauptung ist 8.1 gewidmet. 8.1. ~

sei eine Kategorie.

9

~

Wit erinnern daran, dab ein kommutatives Diagr~mm

ein co kaztesisches

9

g, zu je

f", g"

existiert. i ~>

mit

g"f = f"g

genau ein

Man benutze das nebenstehende

if~

mit

hf' = f"

.~

genau wenn

und

hg' = g"

Diagr~mm zur Illustration.

Kartesische ~uad:~ate sind dual definiert, die kartesisch

~

h

~uadrat heiBt,

und cokartesisch

Quadrate,

sind, heiBen bikarte-

sisch.

Wir untersuchen kartesische

und cokartesische

Quadrate und ihre Zussmmen-

setzungen. 8.1.0.

Lemma:

G

sei eine Kategorie mit Nullmorphismen.

Diagramm

e r

/! und

Ist in dem kommus

~* iS 9 '

e = cok ~ und existiert

e'

mit

el'

=

e'~' = 0 , so ist das Quadrat cokartesisch.

8.1.0.1.

Bemerkun~:

Ist

8.1.0.2.

Bemerkun~:

Ist das Quadrat kartesisch,

und

f'

monomorph,

so folgt

e'~' = 0

z~,

aus

so existiert

~'

= I

mit

.

f ~' =

e'e' = 0 .

Beweis:

8.1.0:

~i~ 9

~

Sei

e = cok e, f~' = e , e'~' = 0

~ ! f ~ ~ ~ 9

e

~)

~___~J' mit Kommutativit~t

u e = ufl'

e = cok~

ist, exlstiert genau ein

he

hf' = v

=

u

.

e'

=

ve'~'

von

~'

=

folgt aus

v0

=

0

.

h

Da mit

hf'e' = hef = uf

epimorph ist. 8.1.0.1

e~ = 0 . 8.1.0.2 folgt aus

sich ergebende Eindeutigkeit ben~tigt.

uf = ve' .

Dann ist

= ve' , da und

und

ist trivial

ee = 0 = f'0 . Die

wird f~r 8.1.0 nat~Lrlich nicht

-

8.1.1.

Korollar:

~

86

-

sei eine Kategorie mit Nullmorphismen.

9

~>

k a r t e s i s c h und

9

e

Ist das Quadrat

conormal,

so ist das

e Quadrat cokartesisch.

Beweis: M a n w~hle

~

so, dab

e = coke

ist. D a n n wende m a n 8.0.1,

8 . 0 . 1 . 2 an. 8.1.2.

Korollar:

Ist die Kategorie

i >>i 9

Beweis:

>>

9

Jeder E p i m o r p h i s m u s

exakt,

kartesisch,

so ist ein D i a g r a m m

genau w e n n es c o k a r t e s i s c h ist.

ist conormal.

Daher folgt die eine R i c h t u n g

aus 8.!.1. Die andere R i c h t u n g ist dual hierzu. 8.1.3.

Korollar:

In der Kategorie der Gruppen ist jedes k a r t e s i s c h e

i >>i 9

>>

9

Quadrat

auch cokartesisch.

Die zu 8.1.3 duale Aussage gilt nicht in der Kategorie der Gruppen, wie

i

>> 0

9

3>

9

zeigt.

Kartesisch ist g l e i c h b e d e u t e n d mit

e

m =

ker e , c o k a r t e s i s c h mit

e = cok m

. Ist

e = cok m , so ist das Quadrat cokartesisch,

m

nicht normal und

nicht

jedoch karteslsch.

Das Beispiel ist das v o n 7.1.9.2. Zum Beweis y o n 8.1.6 b e n S t i g e n wit zwei einfache Lemmata: m 8.1.4.

Lemma:

G

m'm = kerf Beweis:

Sei

sei eine Kategorie mit Nullmorphismen. , so ist

m = ker(fm')

m ' m = ker f .fm,~ = 0

Ist in

.

>-~

m' .

>-~

. ist trivial.

Sei

fm'g = 0 . D a

f .

-@

.

-

m

m' ~ 9

h 9

87

-

f m'm = kerf

~.

mit

ist,

m'mh = m'g

existiert

. Da

m'

genau ein

monomorph

h

ist, ist

mh=g. 8.1.5.

sei eine Kategorle

Lemma:

.

mlt N u l l m o r p h i s m e n

e'~

sei kommutativ.

e

1. Ist das Quadrat so ist

Quadrat Ist also

e'

cokartesisch

e = cok(fe')

2. Existiert

e'

mit

(4.7):

so setze m a n

und

e' = cok ~'

conormal

und

(und das Quadrat

e = cok(f~')

2. Die B e h a u p t u n g e = cok(fe')

. D a n n exlstiert

zu

l' ,

, so ist das

beschreibt

f'

Quadrat.

auch

e

epimorph

conormal.

I 9 Ist

e' = cok ~

u_nd n a c h

dem s c h o n

p

Be-

Je zwei cokartesische

das vorstehende

mit elnem Parallelpaar

~mfa~t es eine K o n s t r u k t i o n s a n l e i t u n g

(*4.7),

e

so muB

slnd ~qulvalent.

In einer exakten Kategorie Quadrate

iet

folgt aus 8.1.0.

Quadrate

e',f

cokartesisch),

StOker

erh~lt man eln cokartesisches

9

fGr irgendeln

cokartesiech.

wiesenen

tesischen

e' = c o k e '

.

sein, was bereits aus *4.3 folgt. Beweis

und

Lemma alle cokar-

von Epimorphismen.

fur cokartesische

da in einer exakten Kategorie

Gleichzeitig

Quadrate

zu

alle E p i m o r p h i s m e n

conor-

mal slnd.

8.1.6.

Lemma:

~

normal und

iei

sei eine Kategorle Jeder Morphismus phem

i

mit Nullmorphismen, ~

habe elne Zerlegung

und e p i m o r p h e m

mit menomor-

(Fortlassen von

Quadrat und sind

das obere Quadrat

~= ~

seien

~ . Ist in dem n e b e n s t e h e n d e n

D i a g r a m m das ~u2ere R e c h t e c k kartesisches

Monomorphismen

cokarteslsch.

e'

und

e

e ) ein co-

conormal,

so ist

-

Beweis:

Sei

e' = cok ~'

Man zerlege 9

fl' = ~

>

9

88

-

(conormal).

Aus 8.1.5.1

mit m o n o m o r p h e m e"

e

if'

~

~

ist

e" = cok(mft')

und e p i m o r p h e m

= cok(mfe')

da

-" y

folgt

~. D,nn ist

= cok(m13~)

epimorph

.

ist. Da

= cok(m~)

m~

m~ = ker e" (1.7.3).

,

normal ist,

Nach 8.1.4 ist

m p

>>

~ = ker(e"m) m'

ist

e = cok 9 =

obere Quadrat

8.1.7.

Korollar:

cok(~)

= ook(f~')

ist ookarteslsch

Ist

G

eine exakte

= ker(m'e)

monomorph

ist. Da

, da wieder

= ker e , da e

epimorph

conormal ist. Das

nach 8.1.5.2.

Kategorle

und ist in dem DiagrAmm

das ~uBere R e c h t e c k

cokartesisch,

so auch das

obere Quadrat.

8.1.7.1.

Bemerkun~:

9

>>

Unschwer

Damit

ist ein anderer Beweis

t

f3 .

9

>>.

>---~>

9

kartesisch.

g

dab

m

zeigt,

dab

Lemma:

Ist

~

eine Kategorie

Sei n~mlich

Zerlegt man

isomorph

Wit bemerken der Vollst~udigkelt 8.1.8.

fur 4.8 gegeben:

, so ist das rechte Quadrat kartesisch

sieht man,

ist,

m

sein muB, da

epimorph

ist.

halber:

und ist in dem D i a g r a m m

('8.1.7).

-

9

> 9

89

-

das ~u~ere Rechteck cokartesisch,

so ist das untere

Quadrat cokartesisch.

Der Beweis ist trivial. Man benutzt, da~

8.1.9. Satz:

~

sei elne exakte Kategorie,

e

epimorph ist.

In 8.1.9.1 sel das obere Quadrat

kartesisch u n d das untere Quadrat cokartesisch. und

em = &6 , e'm' = ~'~' . Dann ist in 8.1.99

8.1.9.2 sei kommutativ das obere Quadrat co-

kartesisch und das untere kartesisch.

(8.1.9.1.)

9 -~

9

(8.1.9.2.)

9 --~

4, In etwas anderer Form kann man 8.1.9 formulieren als: Sind in dem neben-

y I

stehenden WUrfel alle Fl~chen kommutativ und

~

I. die obere Fl~che kartesisch, 2. die vordere Fl~che cokartesisch,

I J I

so sind I. die untere Fl~che kartesisch, 2. die hintere Fl~che cokartesisch.

Beweis: Man zerlegt

g',g,g"

und erh~lt ein Diagramm wie nebenstehend.

Das Quadrat links oben ist kartesisch also cokartesisch ---@>

-

~

(-8.1.8),

(8.1.2). Das Quadrat links unten

>

ist cokartesisch (8.1.6). Damit ist das Rechteck aus den belden llnken Quadra~en cokartesisch (*4.9). Dual ist das Rechteck aus den beiden rechten Quadraten kartesisch. 9

>>

.

~

Jetzt zerlegt man die senkrechten Kompositionen wie

>

I E i n} d~ e> uv i t i nebenstehend' g k e l t s w~ g r ~manu aus d e n - - ~ > 8.1.9.2 erh~It. Das Quadrat links oben ist cokar-~>

~ > 9 tesisch

(8.1.6),

das rechts oben karteslsch

(-8.1 9

-

also cokartesisch

90

-

(8.1.2). Das obere Rechteck von 8.1.9.2 ist die Zusammen-

setzung der beiden oberen Quadrate und cokartesisch (*4.9). Dual ist das untere Rechteck von 8.1.9.2 kartesisch. 8.1.109 Bemerkung:

I. Wit erinnern daran, da2 in einer exakten Kategorie zu jedem

Paar

! m 9

ein kartesisches Quadrat

r

i ~f' ! m'

m

9 -~ "8 9

in

dem

m'

existiert

(4.7 oder

monomorph ist (4.3 oder -8.1.5) und in dem ferner

epimorph ist, falls

f

epimorph ist (4.8 oder 8 9

daS ohne Voraussetzung Gber

f'

2. Trivial ist,

if

bikarteslsch ist fGr Jedes t

f

kartesisch ist, genau wenn

f

monomorph ist.

8.1.11. Ohne davon sparer Gebrauoh zu machen beweisen wit die Noetherschen S~tze fGr Gruppen und fGr exakte Kategorien. Satz yon Noether I (Gruppen): Ist gruppe yon

G , so ist

N

N

Normalteiler yon

normal in

HUN, H0N

G

normal in

und H

H

Unter-

und es ist

HUN/N ----H/HnN . Beweis: Sei

~ HnN

Y

> G

N

n> G

kartesisch

H

HRN > H >

H

h> G monomorph.

(Das let die Definition yon

Sei

H0N !) und in

.-',----~ .N

sei die

normal und

u~d

>

N

HUN = sup(H,N)~

enth~lt. Da

hv n

hu,

>G

die kleinste Untergruppe,

monomorph ist, ist a~ch

N

> HUN

Nach 8.1.4 ist

kartesiseh (trivial)

n'

normal, naeh

.

"8.1.5 ist daher

H0N

3 N

nor-

-

mal und Kern yon s

epimorph

H u N/~=H/B

H

~

H U N

ist. D a n n ist o ~

. Sel

91

-

.~' = cok n'>>

H U N/N

9 Wit zeigen,

~

und

~'h' = cok(H 0 N

~'h'

= ~'t'h'

. Da

> H)

f'n' = 0

~e,n'

ist,

= ~,e,n,

dab

ist auch

und

n',h'

zer-

legen sich Uber den D i f f e r e n z k e r n

k

/

H

>

>

HU

N

"~

In exakten Kategorien bezSglichen

dab

Q'h'

gew~hlt

epimorph

hler Differenzkerne ~' = 0 nicht

nicht

ist)

so ist das Bild

H

yon H ) und

Beweis:

H

ist

~' e' . Die Minimalit~t

zeigt

k = I , also

normal,

h O n

so dab die dies-

wird als eln minimaler

~' = 0 , also brauchen.

liefern,

~l' =

~'h' epimorph.

bis auf Isomorphie.

Um zu zeigen,

k = ker(~')

Andererseits

, da

wiirde

da ein Gruppenhomomorphismus

w e n n sein Cokern

I. Sind

in

N,H

G : = G/N

0

normal normal

G / ~ = G/H . 2. Ist

G : = G/N , so ist das Urbild

G/H = G/H . Ubrigens

und

ist

(wenn n~mllch

.

II (Gruppen):

in

. Also ist

zu e x i s t i e r e n

Satz yon Noether

normal

~'#'

und ist eindeutig

zu sein braucht,

in

H U N

ist, benutzt man

das Bild nicht normal

(N ist normal

von

entfallen kSnnen,

f~r Gruppen keinen Beweis epimorph

~ ~'

sind alle M o n o m o r p h i s m e n

Bemerkungen

Monomorphismus

yon

N c H ,

N

H

in

N

G

und

G *)

H H

in und

N c H ,

H

normal in

yon

normal in

in

G

G

H/N und

normal und

H = H/N .

I.

H

e >>

N~-~ G

>>

H

Nach D e f i n i t i o n Da

E-: = Q/~T

n

von

normal ist,

hn' = ker e'

,

G ist

ist

e' = cok ~

n = ker e', also

n' = ker(e'h)

und insbesondere

N

ist

= ker e , da

*) Dazu benutzen wit ein einfaches

n' = ker(he)

in

direktes Argument

.

H

nach 8.1.4

normal. h

Welter monomorph

bei Gruppen.

-

ist, dann abet

92

e = cok n' , also

homomorphismen Zerlegungen

9

-

H = H/N . Benutzt wurde, dab Gruppen-

>> 9 ~

> 9

zulassen und dab Epimorphismen

conormal sind. Nach 8.1.5.2 ist das Quadrat cokartesisch. Da normal ist, ist das Quadrat kartesisch

H

in

G

(-8.1.1). Benutzen wit, dab bei

Gruppen das Bild eines Normalteilers unter einem Epimorphiemus wieder normal ist (hier

h ), so ist

h = ker(ge')

f[tz jedes

(-8.1.5.1). FEz g = cok h (Existenz bel Gruppen) folgt ge' = cok h (Epimorphismen sind conormal),

g ~/

h

n

>

mit

h = ker(ge'),

H

ist das Quadrat

kartesisch, nach -8.1.5.1 ist

G

>> G: = e/g

G

>> G/N

h = ker g

G/H = G/H .

Nach Definition yon /

g

h

>> G/H , normal und

Kern von G/H =

G/H (Epimorphismen sind oonormal). Offensichtlich let

N c H

(wie in 8.1.0.2) und Kern yon

dab bei Gruppen offensichlich

H

>> H

gilt, so ist

H---~H

. Benutzt man,

H = H/N (Epi., co-

normal). Will man dab vermeiden, so sei ~ das Bild yon H in G/N . = ~/~ = H = H/N folgt dann aus dem ersten Teil, da G / H = G/H = und H,H

beide normal in

G

sind.

FUr exakte Kategorien entfallen wieder die Bemerkungen fiber Normalit~t etc. Tell I lautet etwas ungenau und suggestiv: Fffr G/H = G / N / H / N 8.1.7.1

. DaB

H

> H

N

;

~ H ~ > G

ist

in Tell Z bier epimorph ist, folgt aus

(oder 4.8).

8.2. Korrespondenzen sei eine exakte Kategorie. Ein Diagramm

A

von

B

A

nach

(8,2.1.)

B Uber

A~!

kommutativ,

r

in

G

heiBt eine Pr~korrespondenz

Ist

>

ii~B

so heiBt die obere Pr~korrespondenz klelner als die untere.

-

Wir v e r w e n d e n und transitiv

" < "

93

-

zur Bezeiehnung.

(f ( g < h = f < h)

Offenbar

, nicht

, also elne schwache

Pr~korrespondenzen

A

A

nach

B

h e i ~ e n ~qulvalent,

Korrespondenz

A

~ B yon

yon P r ~ k o r r e s p o n d e n z e n mittels

<

geordnet,

nach K o n s t r u k t i o n

nach

~ B

C

nach

transitiv : A

als ein Repr~sentant von

B

f

f < g

~ber

G

und

<

von

ist. Eine

ist eine Xquivalenzklasse

induzierte

g , so ist

klelner

f,g

g < f

ist

Ordnung der Xquiva-

und antisymmetrisch.

Insbesondere

f < g ; ist

von

gilt

f

f < g , so ist

als jeder R e p r ~ s e n t a n t

seien repr~sentiert

A

Ordnung auf der Menge der

~ B : Ist ein Repr~sentant

von

(f ( f )

B. Die Menge der K o r r e s p o n d e n z e n

die durch

f,g

reflexiv

B . Zwei P r ~ k o r r e s p o n d e n z e n genau wenn

A

d.h.

fur

jeder R e p ~ s e n t a n t A

A

yon

lenzklasse~ ist reflexiv,

klelner

nach

<

Jedoch antisymmetrisch

(f < g ^ g < f # f = g) von

ist

von

g.

wie in

B

(8.2.2.1.)

Die Komposition

gf

Weg bei Kompositlon A (8.2.2.2.)

repr~sentlert,

von

f

und

wird nach D e f i n i t i o n

aufeinanderfolgender

,.Z

B

w e n n das mittlere

und das rechte

zu 8.2.2.2

ist stets mSglich.

Quadrat kommutativ,

Trapez cokartesisch

legung und der k a r t e s i s e h e n Komposition wohldefinlert

sind dttrch

und c o k a r t e s i s c h e n

in

das linke Trapez

Eigenschaften Quadrate

der Zer-

zeigen,

dab die

ist und dab

A = A = A = A

Assoziatlvit~t

der Komposition

nete Kategorie

(6.5.1)

~G

~

ist. Der Ubergang von 8.2.2.1

Die f u n k t o r i e l l e n

fl ( f2 ^ gl ( g2 = glfl Einheiten

M o r p h i s m e n von

dutch den unteren

C

%.

kartesisch

(8.2.3.}

g

aus

gilt.

repr~sentierbar.

beweisen, ~

( g2f2

KSnnen wit die

so haben wit offenbar

definiert.

eine geord-

-

94

-

8.2.4. Bereits hier l~Bt sich bemerken, da~ die Konstruktion angewandt auf statt

~

zu einer zu der Struktur

K~

*~

bezGglich Ordnung und Komposition

antiisomorphen Struktu~ fGhrt.

8.2.5. Lemma: Die Komposition der Korrespondenzen ist assoziativ.

Beweis: Man betrachte das Diagramm

(8.2.5.1.)

das aus Repr~sentanten fGr D~rch Zerlegen bildet man zu

g,m'

g,e

erh~lt man

erh~lt man

f,g,h

folgendermaBen konstruiert werde:

e,m' . Dutch Bildung eines kartesischen Quadrats

m . Durch Bildung eines cokartesischen Quadrats zu

e' . Dann zerlegt man

e'm'

und

em , wobei man

g

er-

h~lt, da die Zerlegung funktoriell ist. Die beiden Trapeze links im Diagramm erh~lt man dutch Bildung von kartesischen, die beiden rechts dutch Bildung von cokartesischen Quadraten. Nach 8.1.9 ist in dem in das Diagramm eingebetteten W ~ f e l und die vordere

g

die hintere

g

enthaltende Seite cokartesisch

enthaltende Seite kartesisch. Da die Zusammensetzung

von kartesischen bzw. cokartesischen Quadraten kartesisch bzw. cokartesisch ist (4.9, *4.9), zeigt die Vorderseite des Diagr~mms, dab der Weg auBen herum

h(gf)

repr~sentiert, und die Hinterseite, dab derselbe Weg

(hg)f

repr~sentiert.

8.2.6. Korollar: Die obige Definition von Korrespondenzen, Ordnung und Komposition zu

G

ergibt eine geordnete Kategorie

als Teilkategorie in ~ lisierung yon ~ ~ f| c

~

~(.~. .

~.

~

ist in kanonischer Weise

enthalten. Dualisierung von

~

ergibt

~-<-Dua-

. f~ . ~ . ) ~

definiert offenba~ eine Einbettung

-

95

-

Der dritte Tell des Korollars folgt aus 8.2.4.

Man vergleiche

6.5 f~r die

Definition der Dualisierung.

89

Es soll noch eine Involution A

h> 9

9~

h

(8.2.7.1.)

~

K~

definiert werden: Man betrachte

B 9

Repr~sentiert

~

,

wo die beiden Rhomben bikartesisch

der untere Weg von links nach rechts

rechts nach links nach Definition

f~

Zu

f

sind.

f, so der obere von

l~Bt sich stets ein solches

Diagramm bilden. Die funktorlellen Eigenschaften der Zerlegung und der kartesischen und cokartesischen Quadrate

zeigen die Eindeutigkeit

der

Definition und

(8.2.7.2.)

f < g

(8.2.7.3.)

f~

f~<

g

.

= f

ist trivial 9 invariant.

(8.2.7.4.)

=

Offenbar l~Bt Dualisierung von

G

die Definition von

Wir zeigen

i @9

=

1

,

(6f)

~

f~g~

Die erste Relation ist trivial,

die zweite erfordert etwas mehr Aufwand:

Man betrachte

wobei man sich das Diagramm wie folgt

zun~chst 8.2.7 9

konstruiert vorstellt: Zun~chst

zeichnet man Repr~sentanten

Morphismus

jeweils zerlegt werde:

liegt ein Teil von w~rfel, Quadrate,

f~ ,g~

f

f~r

f,g

~>

~ ~.

vorn und ein Tell von

ein, wobei der mittlere 9~ g

obere Seite des linken WGrfels des rechten WGrfels

Tell des Doppelw~rfels

entsteht durch Zerlegen,

Konstruktion,

8.1.2 und 8 9

Dabel

sind. Die vier Monomorphismen die vier Epi-

sei cokartesisch.

Der untere

wobel man die waagerechten

da die Zerlegung funktoriell ist.

unten links bzw. rechts ein kartesisches

9 .

und cokartesischer

sei kartesisch,

morphismen enthaltende

Morphlsmen erh~lt,

.~

hinten auf dem Doppel-

entstehen dutch Bildung kartesischer

die nach 8.1.2 s~mtlich bikartesisch

enthaltende

>

SchlieBlich f~gt man

bzw. cokartesisches

Quadrat ein.

auf die beiden Teile des DoppelwGrfel8

-

96

-

)).

,)

/o

(l=,

angewandt zeigen, da2 in 8.2.7.5

(8.2.7.6.)

Jedes elnen waagerechten Pfeil enthaltende Quadrat kartesisch iet, wenn es einen Monomorphismus enth~lt, und cokartesisch, wenn es einen Epimorphismus enth~lt, und da~ die drei Ubrigen Quadrate kommutativ slnd.

Offenbar wird daher

gf

dutch den Weg au~en unten um das Diagramm (yon

links nach rechts) repr~sentiert.

Damn betrachte man 8.2.7.7, das aus 8.2.7.5 dadurch entsteht, da~ die Komposltionen der waagerechten Morphismen im Doppelw~rfel anders zerlegt werden und noch zwei bikartesische Quadrate angeh~hngt werden. Anwendung

(8.2.7.7.)

yon 8.1.9 auf die vier Doppelselten des Doppelw[trfels und 8.1.2 zeigen, da~ 8.2.7.6 auch fttr 8.2.7.7 gilt. Die vier Quadrate vorn links sind also s~mtlich bikartesisch und bilden zusammen ein bikartesisches Quadrat. Duale Verh~ltnisse gelten im dualen Tell des Diagramms, 8.2.7.7

also enth~It

(gf)@ wie in ~.

~

.~

(8.2.7.8)

5

~ .~

~9

-

angedeutet

97

-

(yon rechts nach links). DaB dieser Weg auch

tiert, ist leicht zu sehen: Man vergegenw~rtige 8.2.7.5

. Nach D e f i n i t i o n wlrd

f~g~

sich

f~g~

f~

repr~sen-

und

g

in

dutch den in o

(8.2.7.9.)

angedeuteten Weg in 8.2.7.7 repr~sentiert

(von rechts nach links). Offen-

bar r e p r ~ s e n t i e r e n 8.2.7.8 und 8.2.7.9 dieselbe Korrespondenz

(Kommutati-

vit~t).

Damit haben wit: 8.2.8.

Satz:

M~

ist eine Kategorie yon Korrespondenzen.

Wit zeigen weiterhin,

dab in

8.2.9. Lemma: Jedes Nullobjekt Beweis: dab

~G(N,N)

A = N

und

N

die Axlome 6.11.1 und 6.12.1 gelte~.

~G von

G

ist

= [IN)

(6.8.1. ~ N 1 ) :

m = 1N

ist, da

m

~-NullobJekt von Aus

N ~A

das dann offenbar

ein kleinstes Element Korrespondenz

N

~ A

SN

fh B ~ r N

monomorph ist. Dual ist

e = I . Dann ist auch f = 1N . Also besteht Element,

K~ .

sein muB.

~(N,N)

folgt, B = N ,

aus genau einem

#N2: Jedes

~(N,A)

besitzt

WAN. Aus denselben GrGnden wie oben hat jede die Form

N = N

h 9~

A .

Betrachtet man das

nebenstehende D i a g r a m m und verlangt, dab

N

die senkrechten Pfeile f~r jede Wahl der unteren

"Zeile" existieren,

e = ?A " Die dutch repr~sentierte Korrespondenz ~N2

N

A

I. folgt dutch Dualisierung yon

~AN

ausgew~hlt, well

If

~ A = A

ist offensichtlich minimal. G (8.2.6). Der Rest folgt durch

-Dualisierung dieser beiden A u s s a g e n

Wit haben

N = N

so folgt

(8.2.4, 6.6.2).

am einfachsten zu berechnen ist;

-

FGr

f , das dutch

A(m~.

98

-

f~ .~ e B

repr~sentiert

werde,

bildet man

If,

wle aus N

A

:B

erslchtlich.

Bestandteil

yon

If

ist also

e . Genauer wird

If

Der wesentliche

dutch

N = N

O)

. (~_~ B

repr~sentiert.

8.2.10.

Lemma:

KG

erfGllt

Bewels:

Wit zelgen 6.11.1.I.

(8.2.6).

6.11.1

(Axiom K2). 6.11.1.D folgt dann dutch D u a l i s l e r u n g

Zu beweisen ist also

Ig > If = g > ff~g

. Man betrachte

von das

Diagramm

A

\\.,,.\

i.,7

/

<:// -

0ben rechts ist die B i l d u n g yon im oberen Tell die B~ldung yon existlert

nach V o r a u s s e t z u n g

eefmf~_ = em~e'~ f" exlstlert

8.2.11. Lemma: Bewels: .~ m

angegeben.

(ff~g

Das D i a g r a m m beschreibt

. Unten ist

(Ig > If). FUr

e,m

g

enthalten,

gilt

Quadrat)

und

g > ~@~

e

mg = egmf@ = entnlmmt.

Dann

ist gezeigt.

AKII .

Nach 6.11.4

dann w e n n

7 "

, wie man aus dem oberen r e c h t e n Rhombus

h (cokarteslsches

G =

~.

f~

"

~ .~-~-. e

ist

A~

=

EKG

repr~sentiere

isomorph

ist ~nd

~-

. Wit zeigen ein

f ~

< - dual

G = EkG

~ E . Es ist

: If = ~ , genau

Df = 0 , genau w e n n

m

-

isomorph 8.2.12.

ist. A l s o

Lemma:

M~

Beweis:

Wir ben~tigen

kann man

erfGllt

Bm

N

b A = A

wird

N

also

Bm

x\
9

t

.~cok m

Oh

B

.K_~ A

ist

~

die n a c h

7.3.8

mlt

D a B fGr m ~ G

m ~

Also wird

Jedes mlt

u ~

K G(N,A),

cok m = e

Cokern eines Monomorphlsmus

Wird

elndeutlg

G = A~G

f

~>

#

ist.

herangezogen

ist h i e r z u

zwelte und v i e r t e

nut d u t c h D u a l i t ~ t .

pseudoexakte

f~ . ~

e

der Q u a d r a t e

.

beider

Bildung

m'

k/

9

bestimmte

.

d u r c h . ~ m....

e'

m'~'~m'~e ' = m'~'~m

Die

repr~sentiert.

so z e i g t die V o l l k o m m u t a t i v i t ~ t

\

die d r l t t e

FStr m o n o m o r p h e s

gebildet.

jeder E p i m o r p h i s m u s

Konstruktionen:

K~

zu WAN ~ N =

gilt.

in

tlon yon

<-dual

Viellelcht

B

dab

yon Korrespondenzen

f~

ergibt.

m ~ G , da~n

herstellen.

dab

, ein Monomorphismus

Kategorle

von

Im

b 9

Damit

repr~sentlezt,

aus

G : Sei

)B

N

Ergebnls:

8.3. A l t e r n a t i v e

von

M a n s i e h t leicht,

A

--

bedeutet,

ist, was i n

und

//

N = N---~

exlstlert,

f~r M o n o m o r p h l s m e n

A

u ~ N = N

f ~ ~ .

K 3).

\\

---

--

mit

in

A

dutch

(Axiom

D f = O" ~ q u i v a l e n t

OAN w N = N = N ~ A

wie

\x

xxN Bm

6.12.1

und

Weg elnfacher:

sich

Bm = mO

N

~'If = ~

-

durch Duallslerungen

ist der d i r e k t e

8.2.13.

ist

99

9~

Jeder werden.

-

Bei V e r w e n d u n g

, dab

.__.

f = e mem

der v l e r A u s d r G c k e Wit verwandten

d u a l und b i e t e t Darstellung

i,

daher kelne

unterscheiden

= e~mm'~e'=--

k a n n zur K o n s t r u k -

die e r s t e D a r s t e l l u n g , wesentllchen

Xnderungen.

sich v o n e i n a n d e r

der v i e r t e n D a r s t e l l u n g

ebenfalls

-

9(

(- .

>> .~

,>----~ 9

100

-

erglbt sich die Komposition aus

%,,Y , wo die mit

z

bezelchneten Quadrate

durch Zerlegung entstehen. Die Nachrechnung der Assoziatlvit~t ist ein wenig unUberslchtlicher als in 8.2.5 und kann unter etwas sohw~cheren V o r a u s s e t z u n g e n als 8.2.5 gezeigt werden, die auch bei Gruppen gelten. f~

wird gebildet,

indem man

rechts nach links liest.

9~

~.

~> .~

(gf)~ = f~g~

9)

>

9

einfach y o n

ist wegen der Symmetrle der Kom-

position trivial. Der Nachteil dieser Konstruktion liegt darin, dab m a n nicht schlieBen kann, dab D u a l i s i e r u n g von k ~

< - D u a l i s i e r u n g von

nach sich zieht. Man muB also bei Naohweis der Existenz des

objektes und yon 6.11.1, 6.12.1 woes

~ W-

~-Null-

jeweils zwei der vier A u s s a g e n beweisen,

bei uns gen~gte, eine Aussage zu beweisen.

Insgesamt d[twfte sich

derselbe Azbeitsaufwand ergeben.

Eine weitere M~gllchkeit besteht darin, wle in 6.2 fur M e n g e n k o r r e s p o n denzen erw~hnt,

"Fadendiagramme" X e - .

~ 9 ...

*--Y

einzufUhren mlt

A n e i n a n d e r s c h r e i b e n als Kompositlon und anschlieBend zu einer Quotientenkategorle Uberzugehen mittels einer dutch die Kompositlon yon

~

und

der kartesischen und cokarteslschen Quadrate erzeugten Equlvalenzrelation. Die Assozlativit~t der Komposition ist in diesem Falle trivial, ebenso

~ .

Man kann lelcht zelgen, dab Jedes Element der Quotientenkategorle dutch einen Faden

.~

~.

~> 9 ~

~

.~

9

repr~sentierbar ist. Diese ReprK-

sentierbarkeit ist bls auf Kquivalenz modulo der Enden eindeutlg und der Bewels dieser Tatsache vflrde dieselben Hilfsmittel wie oben verwandt benutzen.

In dlesem Gewand erschelnt das Problem als K o h ~ r e n z p r o b l e m ~hnlioh

dem von Epstein

[9], MacLane

[20] betrachteten ([28~

Wit weisen noch darauf hln, daB, wenn

~

nicht nut exakt,

sondern auch

- 101 -

abelsch auch

ist,

dutch

Jede 9

Korrespondenz

> 9 <

9

dutch

repr~sentiert

etn

Diagramm werden

kann.

9< Das

9

> 9

entnimmt

oder man

dem Diagramm

/

/ 9

\ \

in dem alle Quadrate vollkommutativ sind. Im exakten Fall ist nicht bekannt, ob die beiden vier Monomorphlsmen bzw. vier Epimorphlsmen enthaltenden Quadrate existieren. F~r KorTespondenzen Uber abelschen Kategorlen in dieser Form sei auf Hilton [123 verwiesen.

-

102

-

9. Homoloqie 9.1. Definition

der Homoloqie:

9 sei eine exakte Kategorie.

Ausgehend

von einem

Diagr~m (9.1.1)

9f

C ~

-

bilden wir ein kommutatives e'~

(9.1,2)

Diagramm

H

mI f

In'

~g

//

e

"

mit exakter Zeile und Spalte. Das ist m6glich mit m:=kerg, Zerlegung m'e' von em in einen M0nomorphismus Konstruktion

e:=cokf und der kanonischen

nach einem Epimorphismus.

selbstdual und nach Auswahl ein Funktor von der Kategorie

9.1.1 in die Kategorie

der Diagramme

9.1.2. Je zwei Auswahlen

Offenbar

ist die

der D i a g r a ~ e

liefern ~quivalente

Funk-

toren. Wir betrachten besonders e

das Teildiagramm

l

@

von 9.1.2. qie

Ist

von 9.1.1.

Ueblicherweise

gf=O,

so h e i s s t

dieses

Homologie~adrat

Quadrat

und Homologie

ein

~moloqiequadrat

sind

n a e h dem o b e n g e s a g t e n

bemerkt man, dass gf=O die Relation bilf
niert H als Cokern des k a n o n ~ c h e n

Mor~ismus

Bilf;

und H heisst

Homolo-

Funktoren

etc..

naeh sich zieht und defi-

>Kerg. Wir zeigen die U e b e r e i n s t ~ -

mung : 9.1.4 L e n a :

Das Diagramm

9.1.2 in der exakten Kategorie

ter Zeile und Spalte. Dann sind ~quivalent1.

gf=O,

2.

f--ml f~r geeignetes

i,

*2. g=ke fur geeignetes k, 3.

f=ml f~r geeignetes

1 und e'=cokl,

*3. g=ke f~r geeignetes k und m'=kerk,

9 sei k o ~ u t a t i v

mit exak-

-

4.

103

-

Das T e i l q u a d r a t

9.1.3

ist c o k a r t e s i s c h ,

*4. D a s T e i l q u a d r a t

9.1.3

ist k a r t e s i s c h .

Bemerkung:

1,2,'2,4,'4

das D ~ r a m m

sind ~ q u i v a l e n t

vorausgesetzt

exakt).

Es g i l t d e r s e l b e

Beweis:

Man b e t r a c h t e

wird, Beweis

9.1.5.

dass

in e i n e r

Kategorie

es k o m m u t a t i v

unter

Weglassung

1~--->2 ist trivial.

mit Nullmorphismen,

sei u n d m = k e r g

des Tells

~ber

wenn

(exakt) , e = c o k f

~ber (co-

3,*3.

2 ~ 3: Sei

e t

(9.1.5)

"

m

~. f---ml. 1 w e r d e

zerlegt

m'

~

in l--me m i t m o n o m o r p h e m

e=cokf=cok(mme)=cok(mm)

und m m = k e r e .

=ker(m'e')=kere',

monomorph

et=cok(me)=cokl. gezogenen folgen

dam'

ist.

3 ~ 2 ist trivial.

Implikationen

Nach

da die

8.1.4

Daraus

ist m = k e r ( e m ) .

folgt

2 ~ 4: 8.1.0.

in d e m Schema

durch Dualisierung,

m und epimorphem

9.1.5.1

erste

e'=cokm

e

Dann

Dann

und,

Behauptung

ist aber m=ker(em)

da e e p i m o r p h

*4 ~ 2: 8.1.O.2.

bewiesen.

ist

Damit

Die g e s t r i c h e l t e n

selbstdual

ist.

ist,

sind die ausImplikationen

Das b e w e i s t

das Lemma.

3

(9.1.5.1)

"3

1r ~ \.~ ~ v -/ ~ y

- 4

"4"/ 9.1.6 Beweis:

Aus

Korollar:

Cok(Bilf)-~Kerg)=H=Ker(Cokf

f--ml--mme e r g i b t

sich,

m u s Bilf)-gKerg.

Es w u r d e

tleren,

Homologiediagramm

dass das

eines E p i m o r p h i s m u s statt

fund 9.1.7

struktionen

cobg

dass m m = b i l f

gezeigt,

vor f u n d

dass yon

~>Cobg). ist,

also

e'=cokl=cokm - ~ C ~

ist m der k a n o n i s c h e

ist.

Man kann

9 sich n i c h t

Nachschaltung eines M o n o m o r p h i s m u s

Korollar: zu bis

Ecke C als

argumen-

bei V o r s c h a l t u n g

nach g u n d dies aufbilf

statt g anwenden. Ist

auf

- ~ C ~

Isomorphie

- mit gf=O gegeben, gleichen

Diagrammen

so f~hren -

Identit~t

gew~hlt

werden

und

die

folgenden

drei Kon-

e')> H

mI9' C e an der

andert,

auch d a m i t

Morphis-

ist n a c h Wahl

Im' . Die

Isomorphie

kann

von zwei D i a g r a m m e n

ein-

104

-

deutig

bestimmt.

I. m'e'

als

2. e':

= cok

Konstruktionen:

kan~onische

Zerlegung

1 ffir d a s e i n d e u t i g

m m i t m m = bilf) der ersten

Man bilde

u n d m'

aus

Konstruktion

-

ms

= k e r g,

e:

= cok

fund

dann weiter

y o n em, bestimmte

e' = c o k

ergibt,

1 mit ml

1 und

= f (oder a u c h

(em)1 = ef = O.

d a s s m' m o n o m o r p h

Die

e' = c o k m fur das Uebereinstimmung

mit

ist.

*2 . . . . . . . . 9.1.8. mittelbar

Zusatz

(20.3.69) .- D i e

selbstduale

Ein exaktes

Paar

Definition

aller

i ~ D

i = ker

Bemerkungen

Terme

der

, E

k

ergeben

Spektralfolge

eine

zu e i n e m

einfache exakten

und unPaar.

ist ein D i a g r a m m

(9.1.8.1)

mit bil

vorstehenden

j, b i l

j

j = k e r k, b i l

k = ker

,D~i

i.

Man betrachte

das Diagramm

E

/\ i~>D

(9.1.8.2)

ker

Dabei

sei

bildet em

in

zun~chst

ker

J

,

E"

)

cok

i n-l,

cok

in - 1 g e b i l d e t

und mit

man m = ker kn_ 1 = ker((cok

in-l)k) , e = c o k

einen

yon

Epimorphismus

gefolgt

i~

:

gleiche

Die

E

(einschliesslich

Jn-I man

9.2.11. Diagramms 9.2.

in u n d

i

j bzw. k zusammengesetzt.

Jn-I

= cok(j

I~nomorphismus.

cok

i~

:

=

D~mit

~ cok n

E ) erscheinen

ker

also

in - l ) u n d

ergibt

in e r h N l t sehr

sich

man

als

zerlegt E

E auf co

einfach

Dann

n

.

Nit

die

Homologie

k n-I rE

von

=

rJ k e r n

einem

ker

Weise.

o i

9

den AbkUrzungen

wendet

k

~ ..

dann weiter

Ch.

Ausfeld

mit

man

zweckm~ssig

in Z U r i c h

verschiedene Homoloqie

Will

die

E

in

den

fiblichen

Korrespondenzen

bemerkte,

Endomorphismen

dass

Wir

( [ 1 4 ~ 3 . 1 5 ] ,[3].

in 9 . 1 . 8 . 1

D ~ D benutzt

Korrespondenzen:

Zus~enhang

Man

auf den beiden

werden

erweitern

stellen,

so

ver-

vergleiche Seiten

auch

des

k6nnen.

die Definition

der

Homologie

auf

-

die pseudoexakte gang

9.1.I~

Kategorie

9.1.2

nicht

darauf

an,

dass f

(6.12.1.K)

man m mpnomorph und

zerlegt

-

K~ d e r K o r r e s p o n d e n z e n

(9.2.1) in K ~ w ~ h l t

109

in 9 m i t

em = m'e'

~ber

~: O f f e n b a r

f,g A b b i l d u n g e n > C

g

Bm = Kg

waren.

es b e i

Ausgehend

dem Ueber-

von

~ .

(6.12.1.B) , e e p i m o r p h

mit monomorphem

kann

m'

und

epimorphem

mit e'

Ke = Bf

in ~.

Wir

erhalten

wieder .

~

e !H I m~

f

(9.2.2)

>C

e

und bezeichnen

d~

Teilquadrat )) H

(9.2.3)

m C

-~. e

als

Homoloqiequadrat

halten

H als Homoloqie

von

9.1.1,

falls

Bf

< Kg ist.

9.1.4

ist e n t -

in

9.2.4 und

und

Zeile

Lemma: und

Spalte

i. Bf

< Kg,

2. Bf

( Bin,

<*2.

seien

exakt

9.2.2

seien m,m t monomorph

in K~.

Dann

in ~, e,e'

epimorph

in

sind ~quivalent:

K e t < Kg,

3. Bf <'3.

In d e m D i a g r a m m

Ke'

u n d Ke t = B(m~f) ,

< Kg u n d

Bin' = K(ge$) ,

4. D a s

Quadrat

9.2.3

ist v o l l k o m m u t a t i v .

Nach

7.1.11

ist d a s Q u a d r a t

ist,

und

es ist b i k a r t e s i s c h ,

Beweis:

I<-->2

vollkommutativ wenn

ist t r i v i a l ,

in K~, w e n n

es v o l l k o m m u t a t i v

da Kg = Bm ist.

es k a r t e s i s c h

oder

cokartesisch

ist.

2 , 3 : Ke'

= e'~

= e'%'~(Km'

= w)

=

-

= m e e w(m'e' Rest da

= em)

stimmt

Bf

mit

ist Ke

= mKe t . 7.1.4. Damit

Da 4 ~

ist

aus

= Bf Be

2:

Ke'

= ~ ist, Ist das

FGr

= mm@Ke

@ i s t m Be

Quadrat

vierte)

betrachten

triviale

ein

2 ~ 4: A u s

= mm@e~ < Be'

Der

gilt

< Bm

Das

durch

folgt

Quadrat

ist

von man

2.. D e r

diesen

Rest,

f (mm#f(6.ll.2.B). = me'@w(Km

' = w)

vollkommutativ

< mKe'(7.1.4)

,-<-Dualisierung,

,-<-selbstdual

vollkommutatives

2 ben6tigt

(em = m ' e ' )

so B f = ~ e

folgt

Behauptung

Bf

Voraussetzung

3 ~

= me'@m'@~

trivial.

Rest

ohne

Umkehrung

vollkommutativ,

gezeigt.

4

die

-

= B(m@f)

= mef~

= B(m#f) folgt.

< mm@Bf

I~4=~3

Wir

= m@Bf

2. G b e r e i n .

< Bm nicht

Daher

= meKe

106

nach

= me'@~ da die

=

< m~2 = Bm.

erste

(und

ist.

Quadrat ~T ~H

C

~. e

und

setzen

h:

i s t B h = ~,

= e

Offenbar

da bei

(9.2.6)

,-<-Dualisierung

Ih = w u n d

Bh

von

C

Exaktheit

an der

eine

exakte

in 9 w ~ h l e n

Folge

mit

Ke

tun dies 9.2.7

= Kh.

= em w = ew(Km

9.2.5

H

Mittelstelle

w~ e = 0 zusammenfassen, Ist

Ih = h w

= 9i / ~ s t ~ q u i v a l e n t

(9.2.7)

Die

ist

ist

Setzenwir

und

hat

wir so

= hewn

= hE(De

(9.2.8.2)

Im'

= eh#~

= ee @ w ( E x a k t h e i t )

= ~ ( e e @ = I),

(9.2.8.3)

Km'

= he@w

= hh@w(Exaktheit)

= hw(6.11.9)

(9.2.8.4) Da

die

lichen

eine

m'@e

Zerlegung e,m'

Abbildung

= he@e yon

und

= h(6.11.2. h eindeutig

zurGckerhalten.

= Kn~(Exaktheit)

monomorph, Ke

ist bis

,-<-dual

keine

Dh

9.2.5

man

Folge

Wir

k6nnten

sp~ter.

zur~ck,

indem

wire

epimorph

= ~,

= w(Exaktheit). sich

aus

< Q = De).

auf Aequivalenz

kann

der

Bedeutung.

auf

h = m '~ e e r g i b t

< Kh,

,-<-dual

ist

Dm'

i s t m'

= w).

h# >C.

im H i n b l i c k

so e r h a l t e n = e h #,

Exaktheit

~H

w

(9.2.8.1)

Also

= ~)

nicht

m':

der

N

trivial

= w(Ie

in h # G b e r g e h t .

mit

Q~

jedoch

gegeben,

h

= w)

m,e'

aus

(7.2.4) , h a b e n h @ herstellen.

wir Dann

die ist

ursprGngzu

-

zeigen,

dass m a n ein k o m m u t a t i v e s

kommutativ

ist.

vollkommutativ 9.2.9

Einfaeher

Quadrat

bildet

-

erh~it,

das d a n n n a c h K o n s t r u k t i o n

m a n das k a r t e s i s c h e

Quadrat

zu e,m',

auch voll-

das n a c h

7.1.11

ist e t

Lemma :

C

(.9.2.9.2)

C

geh6rige

107

vollkommutative

_ _ ~

Q@

h> H

w

) N

Dann

Quadrat.

.

sei das

h# 2

) H

ist 9 . 2 . 9 . 1

zu der e x a k t e n

Folge

C

Homologiequadrat

f

zu

> C

g ~ ,

genau wenn f

(9.2.9.3) exakt

>

h

C

@

>H

w>

n-> N

H

h#

> C

g>.

ist.

Beweis(trivial)

: Ke = Kh,

Bh # = Dh = Bm zeigen,

dass

Bf = Ke,

Kg = Bm ist,

genau w e n n

Kg=Bh @ i s t .

Bf=Kh,

Bemerkunq:

Die E x a k t h e i t

notwendige

Bedingung

ein vollkommutatives 9.2.9.3

ergibt

ankommt:

Die

(9.2.9.4) ~.2.10

N

von

9.2.9.3

f~r die Existenz. Quadrat

Exaktheit C h H

Bemerkunq:

von

Die

konstruieren

sich nat~rlich,

Bf

impliziert

dass

9.2.9.3

ne > N ~ H

Die Existenz

nat~rlich

Bedingung kann.

Aus der K o n s t r u k t i o n

ist o f f e n b a r C

fr~her

ist h i n r e i c h e n d ,

es bei der Bildung

h@)

wie

der H o m o l o g i e

~quivalent

mit der

Bf=Kh
als

da m a n w i e o b e n oder

Exaktheit

yon

nur auf Bf und Kg

Exaktheit

von

Kg@> N.

von H o m o l o g i e

im Sinne

der e x a k t e n

Folge

9.2.9.3

f~r je-

@ des D i a g r a m m einer

- ~ C ~

Kategorie

zu zeigen,

dass

- m i t Bf
oder

yon K o r r e s p o n d e n z e n 6.12.1

folgt:

Wit

auch

mit zeigen

jedes

Diagramm

6.11.1

~quivalent

Tell

K. Der Rest

N 5 C ~ N mit u
ist in

6.12.1.

ist *-<-dual.

Es g e n ~ g t

Sei

also ~ Ka@

tegorie eine

yon K o r r e s p o n d e n z e n

exakte

n@ h# >N ~ H ) C X N. 6 . ~ . I . K

N ~ C h H

Ih=m,

(also h e p i m o r p h

~.2.11

Zu jedem

Diagramm

N ~ C ~ N m i t u
existiere

Folge

(9.2.10.1) Bh=~

m i t 6.11.1.

Bemerkunq:

in A R ( < ' 6 . 1 1 . 6 ~ ,

Die V e r a l l g e m e i n e r u n g

ergibt

Kh=Bu=u

der H o m o l o g i e

sich aus v = n # , d a

D h = B h ~ = K v = n @,

ist. auf D i a g r a m m e

" ~

" ~

" yon K~

-

ist n~tzlich z.B.

-

f~r die Behandlung von Spektralfolgen, bei denen Randoperatoren aufge-

fasst als Korrespondenzen des ~ - T e r m s brauchen

108

in sich im allgemeinen keine Abbildungen zu sein

[24~3.15],[3].

9.3. Funktorielle Eiqenschaften: Wir betrachten die funktoriellen Eigenschaften der Homologie im Sinne der exakten Folge 9.2.9.3. Dazu wird eine Kategorie R von Korrespondenzen mit 6.11.I angenommen und jeweils die Existenz der Homologie for bestimmte gegebene Diagramme

" ~ - ~ -. Ist R pseudoexakt,

also z.B. R=K~ f~r eine exakte Kategorie ~,

so ist Bf
Df >DB

qA ~

InB

EA f~r die f des Schemas.

E f > EB

Ist die Zielkategorie 9 der Diagramme geordnet,

so liegt es nahe

z.B. nur (9.3.2) kurz

nBDf

~r ~

~ (Ef)n A

,

, zu verlangen. Wir sprechen in diesem Falle von einem

<-Morphismus D ~ E und

nennen ein Diagramm f

mit g'f
>-

f,>"

<-kommutativ.

In zweidimensionalen Kategorien

(6.5.2) betrachtet man

entsprechende Diagramme. R sei Kategorie von Korrespondenzen mit 6.11.1. Die Funktoreigenschaften der Homologie erfasst das folgende 9.3.3 Lemma:

- f C ~ -

.~. sei ein

(-Morphismus der oberen in die untere Zeile. Sind dann in -

~c h H ~--9 N 0.

h~ ~ .

-~ H --~C

i

-

die Zeilen exakt, Ist 9.3.3.2 ein

so definiert

<-Morphismus,

l=hkh # einen

vonder

(nach Auswahl)

Auswahl ergeben

<-Morphismus

der oberen in die untere Zeile.

da kl,k 2 offenbar keinen Einfluss

und die Unabh~ngigkeit

sich wie Hblich.

- ~ C ~ - sit Bf < Kg. Man beachte, setzen kann,ohne

-

so ist l=hkh ~.

Wir setzen H=:H(f,g) ,H=:H(f,g),l=:Hk, Funktoreigenschaften

I09

Gilt 6.12.1,

auf 1 haben. Die

von H (bis auf

so ist H definiert

~Somorphie) f~r die

dass man f,f durch Bf,Bf und g,g durch K~,K#g er-

die Exaktheit von 9.3.3.2 zu ~ndern.

Daher genHgt als Voraussetzung

fHr

9.3.3, dass #

N

Bf~ C

K g>N I

(9.3.3.3) N ein

B?

>C

K

g~N

<-Mx)rphismus ist, also

(9.3.3.4)

kBf
9.3.4 Versch~rfunq: 9.3.5 Bemerkunq: Beweis:

FGr l=hkh ~ genGgt lh
Die Definition von 1 ist ,-<-selbstdual

Man dualisiere das Diagramm

9.3.3.2.

9.3.6 Korollar:

1 ist eine Abbildung,

9.3.7 Korollar:

Gilt 6.12.1

auch wenn k keine Abbildung

ist.

fGr R, und ist

9~ c ~

kllk;k2 ~ C ~ gf=O,gf=O,

so ist Hk:H(f,g)

-, H(f,g)

ein kommutatives die ~bliche

Diagramm von Abbildungen

in der Homologie

von 9.1. Uebrigens gen~gt auch hier wieder ~bil~
und

induzierte Abbildung

und ~ e r ~ < k e r g

f~r Existenz und

Gleichheit. Das letzte Korollar ergibt sich aus den kommutativen nition von 1 im Sinne von 9.1 enth~it, sind kl,k 2 ' ' notwendig,

k Iund

Diagrammen

9.3.7.1,

das die Defi-

k 2 brauchen nicht zu existieren,

km=~z zeigt zm <m~k (7.1.3.1) , daher

jedoch

-

110

.

-

:_e'>> H

|

....

~k'~

9.

.__~.~c

ist lh=le'm~=e'zm~<e'mek=hk,

kh@
,.

.,

>>.

*-<-dual.

l=hkh e folgt aus 9.3.4.

Beweis yon 9.3.3 bis 9.3.6: Sei also zun~chst 9.3.3.1 ein <-Morphismus, 9.3.3.2 seien exakt und es sei hl
(6.11.3.I).

die Zeilen von

(9.3.4). Wir zeigen l=hkh#: Aus

l
Also ist l=hkh @. Damit ist 9.3.4 und die zweite Behauptung von 9.3.3 bewiesen. Jetzt sei l=hkh e. Wir zeigen, dass lh
(Tats~chlich wird also nur ~g
(6.11.2,B),

also Bf
(kBf
(Voraussetzung)
(9.3.3.3)

folgt aus kf
kh@
folgt ,-<-dual.

Man betrachte die beiden mittleren Quadrate yon 9.3.3.2. ~#<~@l heisst Dl=O, I~<~ heisst Il=~. Das erkl~rt 9.3.6. Wit zeigen Il=~ fGr l=hkhe:ll=hkh#~=hkKh=hkBf
(wie

(6.11.3.I). Dl-~q ist ,-<-dual hierzu,

Damit ist alles bewiesen. 9.4. Kettenkomp!_exe, Verbindunqsmorphismus: sei eine Kategorie von Korrespondenzen mit 6.11.i und 6.12.1. Eine Folge d d (9.4.1) dn+2 dn+l _~n n-i ... ---r Cn+ i > Cn Cn_ I > ... von Korrespondenzen mit Bdn+l
FGr jede der Folgen dn+l Cn+ 1 -----~C n Cn_ I

existiert eine exakte Folge (9.4.3)

dn>

@ dn+ ~ h n@ h d Cn+ I , C n - - ~ Hn--e N ~ H n n2 C n % Cn_ I.

111

-

Aneinandersetzen

-

dieser F o l g e n e r g i b t eine u n e n d l i c h e

exakte Folge

h~

he d hn_ I n+l dn+ I h ~@ > C n + 1 -----9 C n _~n Hn__ % N ~ H n _ ~ Cn _~n Cn_l ~ Hn_l

Q w (9.4.4)...~ Hn+ 1 ----9 N "-* Hn+ I

~e

> N ~ Hn- 1 Hn=H(dn+l,d,)

h e i s s t die n-te H o m o l o q i e

des K e t t e n k o m p l e x e s

9.4.1.

B e t r a c h t e n wir dn+ 1 9 ..

(9.4.5)

~

Cn+ I

d

- -> C 11 . ~

kn+i

C

n

n-I

"'"

:

a Cn+i w o b e i die Zeilen K e t t e n k o m p l e x e

n ----~n-I -~ ''" sind und das D i a g r a m m

untere

Zeile

9.4.4,

in dem die K o r r e s p o n d e n z e n

ein

<-Morphismus

ist, so e r h a l t e n wir einen e i n d e u t i g b e s t i m m t e n

Wir b e z e i c h n e n

Hki:H(di+l,di)

9.4.5 als K e t t e n m o r p h i s m u s

strenqen Kettenmorphismus. Gebrauch.

'

Wir m a c h e n

FUr strenge K e t t e n m o r p h i s m e n

~ H(di+i,di)

der o b e r e n

<-Morphismus Abbildungen

von D i a g r a m m e n sind.

und falls die Q u a d r a t e k o m m u t a t i v

im F o l g e n d e n

in die

sind als

nur von s t r e n g e n K e t t e n m o r p h i s m e n

hat man die exakte H o m o l o g i e f o l g e

einer kurz

e x a k t e n Folge von K e t t e n k o m p l e x e n : 9.4.6

Lemma:

In dem D i a g r a m m N

N

dI 9 -- ~ C I n~l

n+1 ~

in+ I (9.4.6.1)

d'

n ' ---~C' Cn n-i xn

... ~ Cn+ 1

N

i

D

D

in_ i

dn+ i r d n > Cn~ Cn_ I ~ ...

n1 7nI C" n+l

n ) C'~ ~ --~ C~-i

N

N

seien die Zeilen K e t t e n k o m p l e x e , man Homologiediagramme

1'

m i t l,=h i h 'e n n n n

die S p a l t e n e x a k t und die Q u a d r a t e k o m m u t a t i v .

f~r die drei K e t t e n k o m p l e x e

H' ~

(9.4.6.2)

n

Hn

n

n

~

,

n

und z u n ~ c h s t

Dann hat

ffir jedes ~ eine Folge

i" n>H" n

l"=h"p ht in k a n o n i s c h e r '

N

Bezeichnung.

Diese Folgen

sind exakt

DarHber

112

-

-

hinaus definiere man En:H n ~ H' durch n-I (9.4.6.3)

E :=h' ~i $ ~d p~h ''$. n n-i n-i n n n

Dann ist jedes E n e i n e (9.4.6.4)

A b b i l d u n g und die u n e n d l i c h e Folge

... ~ H' n

11 n>H

i" E it i" n>H,, n H' n-i n-I H" n " n-i > Hn-I ~ n-i

n

ist exakt an jeder Stelle. Das Lemma ist Korollar von 9.4.7 und 9.4.8: 9.4.7 Lemma: R sei Kategorie von K o r r e s p o n d e n z e n mit 6.ii.i.

In dem D i a g r a m m

N Ct

C'

n+i

n

dn+l

(9.4.7.1)

-~- I

n

Cn+i

n

I

C"n$1

n~c~

" CD-I

d,,

~ Cn"

n>Cn_ i,,

N sei ii dn+l~n+ I,

(9.417.2)

in_id ~ = dni n, Pndn+l =

(9.4.7.3)

Kin_ i = ~, Bi n = KPn ) BPn+ i =

(Exaktheit der Spalten an den unterstrichenen

Stellen)

Sind dann in dem Diagramm

C' n+l

d' n+1> C' n

h' n

> H' n

Q@ -->

N(

w

~

],

>H t n

h t# n >

dt _____q__n >CV n n-I

Ct

in+ I I (9 .~ .v .~)

?n+i

dn+ 1 C n+l - - >

inl

i'~ n

hn Cn --~

,, 'nj dn+ i > C~ ,, C'n+l n

l'In

h~ in I

Q Hn

inI

[

h"

n ~ H" - -0~~ "

> Nr

n

die Zeilen exakt und ist jedes Quadrat

N

n

> Hn in I

n

> Cn

n

h "~

n

> Cn-I

!n-i[

rnI

> H"

<-kommutativ,

din-l~

> C" n

d

n > C"

n-I

so ist BI~ = Kl".n

Bemerkung : Nach 9.3.3 ist l'n = hn n ni h 'e ' nl" = h"~nh~nl ~n " N a t ~ r l i c h m ~ s s e n die Zeilen yon

113 -

-

9.4.7.1 Nullfolgen

sein, damit 9.4.7.4 existiert

Ausserdem beinhaltet

9.4.7.4 natGrlich die <-Kommutativit~t

darGber hinaus die strenge Kommutativit~t Beweis: Vorausgesetzt

ist Bi n = KPn.

,-<-dual , was dann die Behauptung hnind~i:

I ~=

hn n ni i @ d =@ n~

9.4.8 Lemma

alle Quadrate

En:

eine Abbildung

Wir zeigen BI~ = hnBi n. KI~ = ~ K P n

beweist.

BI~ = B(hninh~@)

hn ni i#d@~n n = hnin~(6"9"il)

n-i i ~n-i d n p n h "n@

in dem Diagramm

: H"

t n ~ H n-I

und die Folge I" n Hn

E

it n-I

n

) H"n

> Htn-I

> Hn-1

N

ist exakt.

C ! m n

d' n

in-i I dn+i in (9.4.8.i)

C n+i ~n+l

I

~C n

dn

~ N

ne

I N

>C I n-2 in-2

dn- 1 ~ > Cn_ i

Pn-I I d" Pn~ d |! n+l C" C" C" n- I n+i > n ~ - > n~

N

d' "> C' n-i n-i

= hni n h tn# ~

ist dazu = h n i n d 'n# ~

9.4.8.1 sei kommutativ

so ist

= hl

Es wird jedoch

=

= hnBin.

Das Diagramm

Sind dann ausserdem

<-kommutativ,

von 9.4.7.1.

von zweien der Quadrate benutzt.

(Verbindungsmorphismus):

Spalten seien exakt.

und bei 6.12.1 ist das auch hinreichend.

>Cn_ 2

und die

9.4.8.2 die Zeilen exakt und

114

-

-

# d' h' -I C n, n > C nt - l ~ >n

(9.4.8:.2)

Zn C

dn+ ~

hn

C

;§

Beweis: IEn

I.

w h ~n ~ >N --~ H ~ C

rl

$

n-1

~

>H

n

h"

n

E

n

~ ~# ~ w ~/

ist

eine

h 'n i n~ - i.d n -pne h " %

=

hnln_IdnPndn+

=

h 'ni ~**-•4d **p ~nd "np _**T~ ~4~,

#

9e

I

i ~ Jd p % p d ~ n n-l n n n n

= h t i ~ _d p ~ n **-l n n

,

= h ' i e .d i ~ n n-i n n

'

~'

p

n+l Bd

'

d" ~

hn_.~ Q~ ) ~n_~--~ N

< 1

I

= -

n+l

n+l

= Pndn+1

< Kd

n

6.9.11 Bi n

= KPn

= h ~ i n _ lw

6.9.11

= in-ldn

n-I ,

= ~ ist

2. W i r KEn

BPn+I

dnin

,

~

.

lh t = n

*-<-dual.

zeigen

BI" = K E . n n

BE

n

= KI' n-I

ist

= h"p-d-~i-n ** ** **-•

,

Definition

= h"p d~i ~d~ n n n n-• n

,

Kh w n-I

= h"p

i n

,

in_Id n = dni n

= h"p d#d p#~ n n n n n

,

Bi n = KPn

= hnPndn~W

,

6.9.11

d~d

= Bd t n

*-<-dual

hierzu.

C v

d'n - i

n-I

>C

n,- 2

n~l

,, Kh'n = B d n + I

= h'ien n-l'in-z'd'~n '

= w

n

,

d"

n

DE

~

~

= hnln-ldnPnPndn+l < h'

h"

n-I

n-

"

Definition

'

,,

* ~C

hn~ 1

~'~]n-i

Abbildung:

=

w 9~

dn

u,

Hn_~-~> N

In-i

n

n>H

n

Es

ist

i ~n

i dn-

l>Cn_ 2

-

Kd

= l"~n

'

Dh

=

n

119

-

n

l"n = h"Pnhn

= BI" n FUr die N a t ~ r l i c h k e i t

von E

verweisen

n

wir

auf 9.5.4

nach Vereinfachung

der B e z e i c h n u n -

gen. 9.4.6 u n d 9.4.7 Lemmata

sind

9.5.

objekts

besagt

u n d das 3 x 3 - L e m m a

der E i n f a c h h e i t

C[ zu e i n e m

d: =

(dnln

.graduierten

~ Z) als einen

Diagramme

Stelle

9.4.2

Objekt"

Durch

u n d yon ~,w ist B d , K d

lassen

halber

.Morphismus

d a n n B d n + I < ~ d n f0r jedes n.

m i t N an jeder

sMmtlichen

Wir n e h m e n

sMmtlichen

k a n n m a n die F o l g e < ~

das K e r - C o k - L e m m a

als K o r o l l a r e .

Diese

in 10.3 angegeben.

Graduieru/15en:

in 9.4.1 die

Bd

enthalten

sich m i t h: =

~ mit 6.12.1 C: =

(Cili

~ Z)

auch

eines streng

Fasst man

zusammen,

d:C ~ C v o m G r a d e

Einf~hrung etc.

an.

so

-I" auffassen.

graduierten definiert.

~-NullDie

(hnln ~ Z) u n d der k a n o n i s c h e n

Defini-

t i o n y o n h @ zu C d ) C h ) H _~@ _ > N ~ _ ~ H _ _ _h~@c _ ~ d

(9.5.1) zusanuaenfassen.

Hier

ist es v i e l l e i c h t

zweckmAssiger,anders

N ~ > H - -h-@~ C

(9.5.2) Exaktheit

v o n 9.5.1 o d e r

Kettenmorphismen

9.5.2

entsprechen

C zusa~enzusetzen:

d ~ C h ~ H - -~-$~ N

ist das O f f e n s i c h t l i c h e .

Kettenmorphismen

und

strenge

Diagran~nen

(9.5.3)

C

d

>C

k CI und kd

(9.5.4)

< d ' k bzw.

k d = d'k.

Besser

d,

schreibt

~ CI man

c•d C t

~d

t und,

da C , C t d u r c h

d,d t bestimmt

sind,

-

k~rzen

wir k

Abschw~chung

indexfreie

der V o r a u s s e t z u n g

ist, dass Kin_ I = w, aber n i c h t n o t w e n d i g e r w e i s e

Entsprechend

b e k o m m t m a n ein u n w e s e n t l i c h

In den B e w e i s e n zur D e f i n i t i o n mehr.

-

: d ~ d' ab. 9.4.5 e r h ~ i t dann eine einfache

bei 9.4.6 geht eine g e r i n g f H g i g e mulierbar

116

L e m m a 9.4.5 w ~ r d e

9.5.5 Lemma:

verloren,

abet

da n i c h t for-

auch K i n , K i n + I = w sein soll.

Ker-Cok-Lemma

etc. des V e r b i n d u n g s m o r p h i s m u s

und 3 x 3-Lemma.

erscheinen keine

Indizes

!auten:

Ist N -- d' ! d ~ d" ~ N eine exakte Folge von K e t t e n k o m p l e x e n

strengen Kettenmorphismen,und E eine A b b i l d u n g

abgeschw~chtes

Formulierung,

ist E : H" ~ H t d u r c h E: = h ' i ~ d p # h "# d e f i n i e r t ,

und so ist

und Hd t <

E

Hd"

(9.5.5..i) exakt.

Hd

Damit

f o r m u l i e r e n wir die N a t H r l i c h k e i t

9.5.6 Lemma:

yon E:

Das D i a g r a m m N - - > d'-~1 d p >d"

>N

(9.5.6.1)

N --> d' --gd yon K e t t e n k o m p l e x e n i,p,i,p

d,a ....

und K e t t e n m o r p h i s m e n

seien strenge K e t t e n m o r p h i s m e n . Hd ' ~

(9.5.6.2)

>d"-->N

Hf' I

sei k o ~ u t a t i v

mit exakten

Zeilen.

D a n n ist E

Hd" ~ Hf'l kommutativ

fGr E wie in 9.5.5 und

entsprechend. 9.5.7 Korollar-

Die oben d e f i n i e r t e

Zuordnung E

Hd ,i

Hd

ist ein F u n k t o r

von k u r z e n e x a k t e n F o l g e n von K e t t e n k o m p l e x e n

und s t r e n g e n K e t t e n m o r -

-

117-

phismen und ihren Morphismen in exakte Folgen ~ber A ~ oder in exakte Dreiecke ~ber der zu A ~ geh6rigen Z-graduierten Kategorie. Beweis:

(Hf')E = (Hf')h'i#dp~h"~

,

Definition

<~, f, iedp#h ,,~

9 (Hf')h'#
<~, i~if, i~dp~W ~

,

_

_

_

~

-~-~ -~ i ~=i d ~
- ~ - ~

6.11.2.D:Dh'=kd'=d' ~(d

9 if=fi , 6. II. 2. I : Ii=i~ (id' ~=di~=dp~w=I (dp#) . *-<-dual ist h'i~dfpeh"~<E(Hf"). Da fd=df ist, ist hi#fdp#h"#=h'i#dfp#h ''~, also (Hf')E(W(Hf"). Da Hf',E,~,Hf" Abbildungen sind, folgt die Behauptung

(6.7.5).

Offenbar wurde die Konstruktion des Randoperators im Falle abelscher Gruppen imitiert. Man kann fragen, ob die [ibliche Konstruktion in abelschen oder exakten Kategorien ohne Benutzung yon Elementen oder Korrespondenzen dasselbe liefert. Dazu vergleiche man z.B. Leicht [141Satz 12,p.246], Wyler [30].

-

10.

118

-

D i a ~ r a m m l e m m a t a in exakten Kate~orlen sei eine exakte Kategorie. Wit f~hren die Beweise in der pseudoexakten Erwelterung

K~

yon

~ . Alle S~tze sind fffr

~

ausgesprochen.

10.1. Das 4-Lemma und ~-Lemma: Das 4-Lemma wurde bereits bewiesen (7.1) und diente als Grundlage fttr die Konstruktion von Korrespondenzen.

Wit wieder-

holen die F o r m u l i e r u n g von 7.1.7: 10.1.1. Starkes 4-Lemma:

b>

Q

(10.1.1.1.) > 9

b' sei kommutativ mit exakten Zeilen und Spalten. monomorph,

so ist

b

epimorph und

b'

Ist

a

epimorph und

a'

monomorph.

Man erh~It als Korollar: 10.1.2.

Schwaches 4-Lemma: > 9

(I0. I.2.1.) mit exakten Zeilen. Ist epimorph,

so ist

b

b

monomorph,

> 9

so ist

sei kommutativ c

monomorph.

Ist

r

epimorph.

Hieraus erh~It man als Korollar das wichtige 10.1.3.

5-Lemma: a

(10.1.3.1.) Zeilen.

Sind

c

9

a,b,d,e, isomorph,

d > 9

e > 9

so ist

Eine Standardanwendung des 5-Lemmas ist

c

sel kommutativ mlt exakten isomorph.

-

10.1.4. Lemma:

Ist

N--~ N

-

d'

> d

> d"

> N

> d'

> d

> d"

> N

~

(10.1.4.1.)

119

~

~

eln kommutatives Diagramm yon Kettenkomplexen und strengen Kettenmorphismen mit exakten Zeilen und sind zwel der drel Morphismen

H~'

(

~ (" "-.

(10.1.4.2.)

He'

Isomorph• Bewels:

Hf',Hf,Hf"

in

H~"

~ t

,

HZ" /

so auch der d r i t t e . Hd' ~

Hd"

Hd

ist eine AbkUrzung few eine unendllche exakte

Folge.

10.2. Produktlemma: 10.2.1. Produktlemma: kommutativ, so hat man ein kommutatives

g Diagramm. 9, ~

, (

N

(10.2.1.2.)

g"

(10.2.1.3.)

N exakt.

> Ker f - ~

Ker h

f> Eer g

. Darin ist die Folge

e> Cok f

- Cok h

Cok g

> N

-

Bewels: auch

I. Die Exakthelt

g'

monomorph

folgt

Kf' = (ker h)~f~(ker bei

bei

Ker f

g)~ =(ker h)~f~w

Ker g :

= (ker g)~fK(gf)

(ker g)~Bf

.

Bemerkung:

Leicht

3 x 3-

f)~ = (ker h)~Kf

ist

,

Ke = (ker g ) ~ ( c o k f f ~

Bf' = (ker g)~f l ~ ) ~ l

g)0 = (ker g)~fO

an den anderen

angegebenen

.

= (ker g)~ff~Kg = (6.9.11)

Stellen ist

[14~ benutzt das Produktlemma

Algebra"

10.3. I. Ker-Cok-Lemma:

Ker h : Aus g' = (ker h)~ker f ,

. Andererseits

g) = (ker g)~ff~(ker

ker f = (ker h)g'

(I(ker g) = w ) = (ker h)~Kf

= (ker g ) ~ f f ~ g ~

leitung der in diesem Abschnitt

10.3. Ker-Cok-Lemma,

bel

da mit

e = (cok f)ker g , also ist

4. Die Exaktheit

homologischen

ist trivial,

Bg' = (ker h)~(ker

= (ker g)~K(cok f) = (ker ~)~Bf

(ker g)~ff~B(ker

-

ist. 2. Exakthelt

f' = (ker g)~f ker h

3. Exakthelt

120

W-

als Grundlage

"elementaren

=

< - dual.

zur Her-

Lemmata der

.

Lemma:

Das DiagrAmm

N

(I0.3.1.1.)

N sei kommutativ 10.3.1.1

mit exakten Spalten.

in eln kommutatlves

Fffr die kanonische

Einbettung

von

Diagramm mit exakten Zeilen

N

(10.3.1.2.)

N

h 9

~ .

b~

N

gilt: Die Korrespondenz elne Abbildung

(cok a) ~ b

und die Folge

p~ker c = :E: Ker c

~ Cok a

ist

-

(IO.3.1.3.)

Ker a---@ Ker b

121

~ Ker c

-

~ Cok a

ist exakt und funktoriell von 10.3.1.1 morph,

so ist

i'

monomorph;

~ Cok b

~

Cok c

abh~Lugig. Ist in 10.3.1.1

ist in 10.3.1.1

~

epimorph,

so ist

i

mono~'

epimorph.

Beweis: Der Beweis

entspricht mit leichten V e r e i n f a c h g n g e n dem yon

9.4.7, 9.4.8. Das Lemma ist aber auch ein direktes Korollar dieser beiden Lemmata mit

d~ = a , d n

b , dn

c ; dn+1, dn+1, dn+ I, dn_ I, dn_ I,

dn_ I"

s~mtlich

0 ; i n = i, Pn = P' in-1 = ~ ' Pn-1 = ~ ; in+1' Pn+1'

in_ 2

s~mtlich

0 . FUr die Exaktheit in

den. DaB wenn

~

i'

monomorph ist, wenn

i

Cok h kann 9.4.7 dualisiert wer-

monomorph ist und

~'

epimorph,

e~imorph ist, ist trivial.

Als Korollar folgt 10.3.2.

3 x 3-Lemma:

(10.3.2.1)

In dem kommutativen Diagr~mm N

N

N

N

N

N N

seien die Zeilen und die letzten beiden Spalten exakt. Dann ist die erste Spalte exakt. Beweis: Anwendung yon 10.3.1 mit Bemerkung:

cok a = 0 .

Jedes kommutative D i a g r a m m m i t

e x a k t e n Zeilen und Spalten.

-

N

122

-

N

N

i (10.3.2.2.) >

N

9

l~Bt

sich kanonisch

in 10.3.2.1

einbetten.

-

12 3

-

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I.m.n.p. bezieht sich auf item m.n.p, von BRINKMANN, H.-B. und PUPPE, D., Kategorien und Funktoren, Springer Lecture Notes 18 (1966) AbkUrzungen und Umschreibungen des Russlschen nach Math. Reviews.

A-I

- 125

-

Anhang Hans-Berndt Es w u r d e

bewiesen,

dass

eine

ihre U n t e r k a t e g o r i e

von Abbildungen

Die Voraussetzungen

dieses

Gruppen gorie

und homomorphen

der

Satzes

pseudoexakte eindeutig

lassen

Korrespondenzen

Korrespondenzen

Brinkmann

ffir G r u p p e n

eine mit

oder

*)

Kategorie

yon Korrespondenzen

bestimmt

is~(7.3.7,

Puppe

leichte

Abschw~chung

zu,

einschliesst. eine

exakte

Ausserdem

Kategorie

[3s4.15,p.17]). die d e n F a l l

l~sst

durch

durch

der

s i c h die K a t e -

dieselbe

Konstruk-

tion gewinnen.

A.I.

In e i n e r

A.1.1. m,e

Axiom

Kategorie

K3':

~ Aa mit m m

F~r

von Korrespondenzen

f ~ ~ mit

< 1,ee

2 m

e ~)

bezeichnet

(e ~ AR)

Werden

hier

und m m

die

 i durch

Beispielkategorien

kanonische nach

Einfachheit

(epimorph)

([35K2,p.6])

halber,

in R u n d A R

vorausgesetzt,

Be = ~ e r s e t z t

,,x~x'

:~,,(x,x')

exakte

Kategorie

Inklusion

dass folgt.

so k a n n

werden.

Nur

an d i e s e m

definiert

yon Korrespondenzen

wir

PuMeKorr,

(Ab)

des D e f i n i t i o n s b e r e i c h s darin,

die

GrKorr, = Bild,

RModKorr ffir e die

durch

aa

~ m fm

stellen

MeKorr,

der A e q u i v a l e n z r e l a t i o n

11

Dazu

und

~.

interessiert.

gilt

(Ffir m n e h m e

existieren

@

m m

K3'

das

~ymmetricidempotent)

r .

ist, w o r a u s

~-Null

@

nat~rlich

.~

[m F o l g e n d e n > I)

wir

f = me em.

f

m ~ ( e AR

f = f~ = f2

> I und

(A.1.2)

R betrachten

den

wird).

Wir

zeigen,

dass

K3'

auch

f~r jede

pseudo-

gilt.

Zusammenhang

noch

etwas

genauer

her.

Neben

K3'

betrachten

wit

*)

Ich d a n k e institut

dem Mathematischen f~r M a t h e m a t i k

f~r G a s t f r e u n d s c h a f t

der

Institut ETH

der UniversitMt

in Z H r i c h

und Unterst~tzung.

und der

des

Saarlandes,

Deutschen

dem

Forschungs-

Forschungsgemeinschaft

A.1.3. und

Axiom

K3'':

FUr

f

~ R mit

ee

gelten

Lemma:

Beweis

(trivial)-

Da

1

A.1.6 ist

K3'

Lemma:

=

(

A.1.5.

~ AR

f

< mmefmm e

em

die

f# =

f2

existiert

e

mit

ee #

> 1

K3''

aus

K3'

~ AR

so

< fe#e

folgt

< f Also

([31K2])

A.2.

Vor

(m,e

= w

f~,

wegen

Korrespondenzen,

f2.

Nach

ist,

ist

~ ~ und

mit Be und

K3' =

uu

~)

, so

m#ff#m

m

und

~ R(N,A). #

dass

< f(m > m#m

> Bf,

km

und

fur

=

< 1 und

6.11.1

f fur

= w,

Be

6.12.1.3

f2.

= Df

und

ff#f

ist

f~ =

= Bf

~ A~)

(~n

mit

Damit

Bm

~-Null

Aus

em

f =

m #m

([3~K2])

Mit

ist. g

6.12.2)

~.

f

Dann

gezeigt.

6.12.1.B Dann

9 = m~fm > 1

=

jedes

(m

(6.11.5) ist

K 3 tt

folgt

w~hle

man

< g

= g~

ist gilt

1

~ AR)).

Daher

= g

ist

f = mm~fmm # = mgm # = me # em # . R eine

6.12.1.K

< f =

(Ke

< Kf,6.11.2)

ist

f = e e. Ist

Kategorie

f# =

Man f =

R pseudoexakte

A.1.6,

speziell

K3 t folgt,

Diskussion

Korrespondenzen

mit

~-Null

= ~,

Ke

und

6.11.1

([31K3b]).

f2. und

von

wMhle ff~

e

~ AR

mit

< ff~e~e

Kategorie

yon

(e

Be

~ A~)

< e~e

= Kf. (If

Korrespondenzen,

Dann

= Kf

ist

< Ie #

so g i l t

= Ke,

K 3 t.

A.1.5.

Teil zeigt

weiterer

6.12.1.K die

([3;K3b]),

Kategorie

Folgerungen

der aumK3'

,

".

#

Sei

folgt

f = me # em # mit

ist

mit

u

= me

so

isomorph.

K3 tt

= Bm.

K 3 't

6.12.2)

K3'

Korrespondenzen

([3~K3a])

(6.12.3))

1

aus

von

EAR,

Sei

Lemmas

~ AR)

A

, also

K 3 tt a u s

([3~K3]),

nicht

)

6.12.1.B

Ist

Satz:

Beweis:

6.12.1

und

(e

Sei

2

von

f# =

< f =

<mm

D-

e

Kategorie

,,6.12.1.B

< Bin, f =

Lemma:

A.1.8.

Dass

< f =

A-2

-

Lemmata:

R Kategorie

(

gelte

K3''

Beweis:

6.11.2).

=

1

K3'

Ungleichung

([31K2]),

em

uu #

(7 K m

(Bf

A.1.7

Sei

~ = m~

monomorph

= e e nach

e~e

)

folgende

R eine

mit

gelte #

Jetzt

m

g

Es uu ~

~ = me

(dabei

Ist

~quivalent

uu

= uu

Ist

< f = me

Beweis: folgt

dann

A.I.5.

> 1.

aus

1

fO"

Offensichtlich

u

126

f = e e.

(A.I.4)

so

-

auch

unter

Annahme

von

Gruppen. erg~nzen

wir

7.1

zu

6.11.1

A-3

-

A.2:i.

Lemma:

Ist R Kategorie

127

-

von K o r r e s p o n d e n z e n

und

(A.2.2)

ein Diagramm

in AS,

so sind ~quivalent

a) g'f = f'g, b) gfe

Beweis: b

~

a ~

< f'~g'.

b : Aus f'g = g'f folgt gf#

a : Aus gf~

< f'@g'

folgt

f'g

< f'@f'gf#

< f'gf~f

(f' { AR)

(f r AS)

= ft@gtff @ ~ f,#gt

< f,f,@g,f

~ gtf(ft

E AS),

(f E A R ) . also

f'g = g'f(6~ A.2.3.

Bemerkunq: Aus gf# = ff#g'

fHr A.2.2

FOr den Rest von A2 sei nun R eine Kategorie 6.11.1

([31K2])

und K3'

A.2.4. Satz:

folgt also die Kommutativit~t

yon K o r r e s p o n d e n z e n

mit

~-Null

in AR.

([3~K2]) ,

Dann gilt:

Zu f ~ S existieren

~

ILl

~

m,e,e',m'

~

~AR

mit

=

und

s

Be -- D f = m ' e ' ~ e m ~ und diese D a r s t e l l u n g

ist his auf Isomorphie

Be t = eindeutig.

f 7-

(A. 2.5)

(Man v e r g l e i c h e

A.2.6.

Lambek

[21Prop.l,p.47

und Prop.2,p.48]).

_- ~ - - # Satz: F~r f = m ' e ' ~ m ~, f = me' em

wenn ein k o m m u t a t i v e s

entsprechend

Diagramm e'

(A. 2..7) 9

h I

h 2

9

A.2.4

ist f < f' ,genau

-

in A R e x i s t i e r t ,

A.2.8.

kd,~2,~3

Satz:

Ist

sind dabei

~28

-

eindeutig

f = m'e'@em ~ mit

A - @

bestimmt.

m,e,e',m'

wie

in A . 2 . 4 ,

Kf = raKe

so ist

If = m ~ K e '

und Df Insbesondere

=Bm

Bf =Bm

~

ist If = ~ , g e n a u

Kf = ~, g e n a u wenn e

wenn

e~

J

Df = ~,genau wenn m isomorph

ist.

Beweise:

A.2.4:

potent

ist,

f m ~

Also Sei

also

>

f~

e ~

9

f ~ AS,

genau

f e R gegeben.

f~f = me

em

Aus

Sei

Die

f = m ' e ,e em ~

= m'~e'.

D f = Bm,

trivial.

Kf = mKe

(Vor.) A.2.6:

= Ke. Sei

trivial

aus

f < f. D a n n

= K ( ~ h 1)

auf e',h3,~'

: Nach

Im z w e i t e n =

: h 2 e AS

ist u n d d a n n

Voraussetzung

ist u n d

da Ke = m @ m K e

auch h2e

eine Abbildung

i s t h3:

h~

= ~h I

Teil

mKe

=

Be-

aus

ergibt

= ~)

sind die mw

=

~(m

sich

aus A.2.6.

= ~) = = m'e'@~(Ie

Behauptungen ~ AS).

~ =

= ~)= Gber

Andererseits

(Km = ~)

=

*-dual. (A.2.8,

= m'@m'

Vor.)

Abbildung

das Diagramm = m@Kf

< m@Kf

(4-*-6.11.12).

= ~'h3 e ' ~ m i t

folgt

= m' e , ~ e ~ ( D m

schliesslich

< Df = Bm

zweimaliger

= em@f@fme ~ = em@me#em~me ~ =

= m'e'#e~(Km

fiber If f o l g t

*-dual

so ist h 2 ~ AS,

ergibt

If = m ' e t @ e m @ ~

ist Bm = D f

ist,

der Darstellung

so Ke = ~, a l s o K f

(6.11.12).

i isomorph

ist Bf = m , e , # e m ~

*-dual.

Behauptung

= ff#f = funter

# = em#f#ff@me#

= ~ ist; m m = 1 z e i g t

ehl e$ = -e ' h 3 e '~ =

man h 2 : = ehle@,

h 2 = h~

Die

mit mh I = m

zeigen , dass

folgen

Ist e i s o m o r p h ,

aus K f = ~, d a s s m K e

Abbildung

dann

Eindeutigkeit

Dann

idem-

f = m'e'#iem # folgt

f f ~ f = f (6.11.5).

I).

f symmetrisch

dass

Dass

=

dass

zeigen,

nutzung

(mem = I) = l ( e e ~

folgt,

Wir

~e'

von

isomorph!).

ff# = m ' e ' # e t m '~.

ff@ff#f

i@i = e m @ f @ m , e , # e , m , ~ f m e

= m mKe

(m,e'

(6.11.5)

ist

ist.

ist

m ' e ' @ i e m @ = m 'e '~e 'm ' $ f m e @ e m ~=

= ~) = m ' ~ ( D e I = ~) = Bm',

h~Ke

f = ff#f

: i isomorph

m'e'~(Be

folgt

f = m'e

~ m'

A.2.8:

m,m'

wenn

Entsprechend

=

etm'~fme ~

i ee ee

ist

Bf = ~ , g e n a u w e n n m'

h~e'

u n d hl:

m i t m ' h 3 = m'.

kommutativ = h @1 ~ @ K f

Dasselbe

-@ = m m eine

erg~nzt:

oder

Setzt

= h @-@-Im m Ke =

Argument

= e' h 3. Zu z e i g e n

ist m ' e ' # e m # = f < f = m ' e ' # e m #

Wir

angewandt bleibt

A-5

- 129 -

m e e e ' m 'e < me$e'm'~. = e ' m ' ~ m ' m '~ = h~ morph

Daraus

und h 2 = h~

sind und z.B.

ist.

= m'e' #ehl #-~ m

sind A.2.4,

A.2.9.

(6.7.5).

e epimorph

Dann ist f = m ' e ' ~ e m = f. Damit

--~ @ --@ folgt h 2 = em me = em m e ~ e ' ~ m ' ~ m ' e '@ < e m ~ m e ~ e ' m ' ~ m ' m '~

A.2.6,

Bemerkunq:

und zwar durch dieselben:

Die E i n d e u t i g k e i t

Jetzt

sei ein k o m m u t a t i v e s

< m'e' #h2 # em#

(A.2.1)

Diagramm

= m'h3 @ e ' ~

da m,m' monoA.2.7

gegeben.

< m ' e ' @ ~ ~(A. 2.1)=

A.2.8 bewiesen.

Offensichtlich

ist mit f auch f# durch A b b i l d u n g e n

ausgedr0ckt

Man liest das D i a g r a m m

(A. 2.10)

D o

e'

e f~r f von rechts

A.3. wir

der h i folgt,

=

nach links.

Es b l e i b t noch die Beschreibung

der K o m p o s i t i o n

von R in AR.

Dazu

stellen

fest, wann ein Diagramm

\

(A.3.1)

in A~ v o l l k o m m u t a t i v Gleichung

in R ist, g'f = f'g und gf~ = f'#g'

aus der zweiten und ist ~quivalent

her auf k o m m u t a t i v e

Diagramme

A.3.1

Da 6.12.1.B([31K3a])

aus K3'

folgt,

wir repetieren

die Ergebnisse

Diagramm

in A~ vollkomrnutativ

A.3.1

von w

mit g'f@

wurde

ein Teil dieser

hier kurz mit.

6.11.1 und K3'

folgt die erste

Wir b e s c h r ~ n k e n f~r g'f@

Frage bereits

in w

Ziel ist es zu zeigen,

in ~ ist*) , genau wenn es eine

< f'#g'.

in A ~ und fragen nach B e d i n g u n g e n

(A.3.2)

*) ~ mit

N a c h A.2.1

uns da< f' @gt.

erledigt. dass ein

(kanonische)

Zerlegung

-

zul~sst,

sodass

Einfachheit

(1) k a r t e s i s c h ,

130

-

(4) c o k a r t e s i s c h

A-6

und

(2),(3)

bikartesisch

h a l b e r v e r e i n b a r e n wir, dass alle folgenden D i a g r a m m e

sind und dass

.>

m >.,

e .___>>. stets

Be = fl, falls 6.11.1 v o r a u s g e s e t z t

A.3.3.

Lena:

sind.

Der

in AR zu v e r s t e h e n

~ # f~r A b b i l d u n g e n m,e mit m m = 1, ee = I (resp. Km = w, wird)

R sei K a t e g o r i e

stehen.

von K o r r e s p o n d e n z e n .

Sind dann in

o

(A.3.4)

beide Quadrate vollkommutativ, Beweis:

A.3.5.

f''~g'g'

Lemma:

so ist das ~ u s s e r e Q u a d r a t v o l l k o m m u t a t i v .

= gf'#g'

= ggf#.

R sei K a t e g o r i e

von K o r r e s p o n d e n z e n .

Ist dann

(A. 3.6)

kommutativ

und das ~ u s s e r e Q u a d r a t v o l l k o m m u t a t i v ,

so ist das o b e r e Q u a d r a t v o l l k o m m u -

tativ. Beweis:

~f~ = m ~ m g f # = m # f ' ' ~ g ' g ' = f'~g'~g'g'

aus der K o m m u t a t i v i t ~ t

A.3.7.

Lemma:

~ AR). gf~

< f'~g'

folgt

(A.2.1).

R sei K a t e g o r i e

yon K o r r e s p o n d e n z e n

Ist

(A.3,8)

vollkommutativ,

> f'~g'(g

so ist das Q u a d r a t k a r t e s i s c h .

mit

~ - N u l l und 6.11.1

([3~K2]).

A-7

151 -

-

Beweis

(*- <-7 .1.9) : A . 3 . 8 w

sei v o l l k o m m u t a t i v

- = m v eine

fw = u folgt

Abbildung

dann,

BV = V~ = v u ~ ( u = mf#Q(Vor.)

mit mw

dam'

= f'v.

= v und

die

monomorph

~ AR)

< m~

und m'u

ist.

einzige

Bv

< f'#m'n(A.2.1,

m'u

Korrespondenzen

mit

Ist Bv

< Bm,

solche

< Bm e r g i b t = f'v)

so

(6.11.12).

sich

aus

=

= Bm.

m' " ~ . / f '

A.3. 9. K o r o l l a r ~ R ([31K2]).

sei K a t e g o r i e

von

~-Null

und

6.11.1

Ist

(A.3.10)

\/ kommutativ sisch

u n d das

und

(2) u n d

Beweis:

~ussere (3)

Mehrfache

Anwendung

sind.

Nehmen

6.12.1.B

Zerlegung

weiter wie

in A . 3 . 9

A.3. Ii. und

6,12,1.B

vollkommutativ,

so ist

(I) k a r t e s i s c h ,

(4) c o k a r t e -

sind bikartesisch.

te v o l l k o m m u t a t i v wir

Quadrat

Der

Rest

von A.3.5 folgt

([31K3a])

an,

und

-<-A.3.5

aus A . 3 . 8 so i M s s t

und

zeigt,

dass

alle

vier

Quadra-

-<-A.3.8.

jedes

vollkommutative

Quadrat

eine

zu:

L e m m a : Ist R K a t e g o r i e

( [ 3 1 K 3 a ] ) , so

l~sst

von Korrespondenzen

sich

jede

Abbildung

mit ~-Null,

f bis

6.11.1

auf Aequivalenz

([3sK2])

eindeutig

in f

(A.3.12)

zerlegen

und

Beweis me

= f

diese

Zerlegung

(6.12.6):

(6.11.12)

und

ist

Man w~hlt

(nach A u s w a h l ) m mit

Be = en = m ~ f n

funktoriell.

Bm = Bf.

= m~mn

= n(m@m

Dann

ist m ~ f =:

= 1).

Ist

e Abbildung

mit

wie

-

132

-

A-8

f

(A.3.13)

g

g'

9 h

f,

(ohne h) kommutativ, Abbildung

so B(g'm)

= gOm~ = g ' m e ~ = f'g~ = m ' e ' g ~

mit mOh = g'm(6.11.12).

m ~ monomorph

Ferner

ist

~ m~

a l s o h : = mV@gtm

,~t~e = g'me = m'e'g,

also he = e'g, da

ist~

A.3.14.

Korollar:

und 6.12.I.B([3;K3a]),

Ist ~ Kategorie

so zerf~llt

yon K o r r e s p o n d e n z e n

mit

~-Nu11,

6.11.1([3;K2])

jedes kon~autative D i a g r a m m

/ \ \/

(A. 3.15)

o

bis auf Isomorphie

eindeutig

in ein k o m m u t a t i v e s

Diagramm

.z ih.. (A. 3.16)

\,.H,h./ \/

und ist A.3.15 (2) und

vollko~utativ,

(1) kartesisch,

(4) cokartesisch

und

(3) sind bikartesisch.

A.4.

Es fehlt noch die U m k e h r u n g

A.4.1 .. L emma: und 6.12.1.B

(A.4.2)

so ist in A . 3 . 1 6

Ist R K a t e g o r i e

von A.3.14.

Dazu

yon K o r r e s p o n d e n z e n

([3;K3a]) , so ist jedes k a r t e s i s c h e

Quadrat

mit

0~-Null,

6.11.1([3;K2])

A-9

- 135 -

vollkommutativ.

Ferner

l~sst

sich

(A.4.3)

o

stets

in ein k a r t e s i s c h e s Beweis:

Dann

Wir b e w e i s e n

ist B(f'm)

~.

Dann

zunMchst

D e r erste T e i l

einbetten.

den z w e i t e n

< m'Q

Ist dabei

Tell:

(f ~ AR),

kartesisch.

folgt hieraus,

Ist Bf'

Bf'

Man w~hle

also

= Q, so a u c h Bf = ~. m mit

f : = m'$f'm

ist m f ~ = m m $ f ' ~ m ' > f ' ~ m ' ( 6 . 1 1 . 2 ) ,

und n a c h A.3.7

Aequivalenz

A.4.2

= f'm~ = f ' f ' ~ m ' ~

m ' f = f'm(6.11.12). kommutativ

Quadrat

Bm = B~'@m').

eine A b b i l d u n g

mit

a l s o das Q u a d r a t

voll-

= Q, so Bf = fQ = fm#~ = m ' $ f ' ~

= m'~

da je zwei k a r t e s i s c h e

Quadrate

zu m',f'

=

his a u f

~bereinstimmen.

A.4.4.

Lemma:

Ist R K a t e g o r i e

u n d K3' , so ist jedes

von K o r r e s p o n d e n z e n

mit

~-NulI,

6.11.1

([31K2])

cokartesische Quadras

(A.4.5)

vollkommutativ.

stets

Ferner

l~sst

in ein c o k a r t e s i s c h e s Beweis:

Zweiter

sich

Quadrat

Teil:

Man zerlegt

morphismen

~

(A.2.8)

g r a m m A.4.5

mI

!m

erste his

A.4.7. 6.11.1 in A

([3;K2])

Tell

ee

in ee

u n d das aus

folgt wieder,

auf A e q u i v a l e n z

und K3 t, so l~sst Man zerlege

einbetten. = m ' e ' ~ e ' m #. D a b e i ihrer W e g l a s s u n g

ist v o l l k o m m u t a t i v ,

Ist n u n s c h l i e s s l i c h

beschreiben:

A.4.5

cokartesische

Dia-

(*-<-A.3.7). Quadrate

Der

zu e,e

dbereinstimmen.

R eine K a t e g o r i e

von K o r r e s p o n d e n z e n

sich die K o m p o s i t i o n

f,g wie

resultierende

also c o k a r t e s i s c h

da je zwei

sind m # ,m I Iso-

in A.2.4.

Dann

gf yon f,g

mit

~-Null,

~ R folgendermassen

13~-

-

-

A -

,,f ,,

,~g"

\

(A.4.8)

./i,% " ~-------~>~'.

b i l d e m a n das k a r t e s i s c h e

Quadrat

das c o k a r t e s i s c h e

(4),

entlang die

Quadrat

kanonisehe

Zerlegung

Zur v o l l s t ~ n d i g e n nehmen dazu

Diese Annahme

wenn

Be = ~ ist.

Damit

vollst~ndig

in A~. D a m i t

Isomorphie

nach A.2.4

oder A.3.11

Quadrate

(in A~) , s o w e i t

noch

~in

(5),(6).

als m 6 g l i c h ,

und bilde

Setzt man

so e r h ~ I t m a n

AR c h a r a k t e r i s i e r t

A.4.7

von m

werden.

Wir

ist ~ m i t

Hier b e d e u t e t

-

;(

([31K2,p.6])

(Ordnung)

6.11.1

Wir konstruieren

~)) n a t O r l i c h

Diagramm

auch im

pseudoexakten

e ~ A~ epimorph

und A.2.9

ist

Fall

in A~,

(A.i.6,

genau

6.12.3) ,

(@) die D a t e n v o n

([3~K2,p.6]) , K3' u n d A . 4 . 9

eindeuti,

A~ festgelegt.

hat

A.5.2. Jedes Diagramm %

Jedes

~-Null,

([31K2]) , K3'(A.I.I)

Jeder Morphismus

und

in A ~ ist.

~ A ~ mit>----) g l e i c h b e d e u t e n d

(Komposition) , A . 2 . 6

modulo

6.11.1

e epimorph

f{ir G r u p p e n k o r r e s p o n d e n z e n

9 sei eine K a t e g o r i e .

~-Null,

*A.5.2.

yon ~ muss

Da M o n o m o r p h i e

A.4.9,

A.5.1.

zusammen

ist auf Basis y o n 6 . 1 1 . 1

beschreiben

K~ m i t

(2),(3)

FUr e ~ A R ist Be = ~, w e n n

ist e r f O l l t

6.12.3).

A.5.

(I) , z e r l e g e

"

n a c h A . 2 . 4 v o n gf.

Beschreibung

Axiom:

(

auf

~. ~ - - - ~

(4)

an

A.4.9.

bis

~

/

sowie die b i k a r t e s i s c h e n

der unteren Aussenkanten

eine

/

/

wieder

und 9 =

eine K a t e g o r i e AK~ unter

nur m o n o m o r p h

Zerlegung

~>. >

).

von Korrespondenzen

folgenden

(epimorph)

Annahmen

in ~.

).

~sst sich in ein kartesisches Quadrat / ~

%.

l~sst

sich

~ber

in ein c o k a r t e s i s c h e s

Quadrat

einbetten.

-/

%.

ein-

betten. * Zusammen mit den ~brigen deutig

und

10

funktoriell

Annahmen

ist.

folgt,

dass

die Z e r l e g u n g

his

auf

Isomorphie

ein-

A-11

- 155 -

A.5.3.

Jedes

Diagramm

% / .

l~sst

sich

in ein b i k a r t e s i s c h e s

Quadrat

%/

einbetten. A.5.4.

Ist

kommutativ sisch,

(2) b i k a r t e s i s c h ,

*A.5.4.

so ist

(3) k a r t e s i s c h

und

siseh,

(2) b i k a r t e s i s c h ,

A.5.5.

9 hat

Ist 9 =

und

(1) c o k a r t e -

(4) b i k a r t e s i s c h .

r

so ist

(3) c o k a r t e s i s c h

A R fir R m i t d e n g e w ~ n s c h t e n

A.5.3

das b e r e i t s

9A.5.2

: A.4.4~

folgt,

d a s s die Q u a d r a t e

sammensetzung

- A.4.1,

Kategorien.

bildet man

*(A.3.8~

Kategorie Das

Quadrate

(z.B.

ein k a r t e s i s c h e s

8.1.5,

und A.5.4

A.5.6 von A nach wird wie

folgen

der Gruppen

erf~llt

Konstruktion

B in K~ sind die

in A.2.6,

wie

yon K~s

(A.4.1)~

der Q u a d r a t e

solches

R

auch einfach

A.5.2

Damit

wobei man

8.1.2.

ist

ist ihre ZuDaraus

(jedoch n i c h t dual

direkt:

ist

von A.5.4

(3) , (4) n a c h A.3.5.

, gelten A.5.1-5 A.5.1

sind A . 5 . 2 , * A . 5 . 2

zeigen

Bis a u f

9 A.4.1~

daher

(w

zwei p a r a l l e l e

Wir

gelten.

A u s der V o r a u s s e t z u n g

in R sind

auch cokartesisch

aus 8 . 1 . 9 m i t

: A.3.11~

s i c h an d i e K o n s t r u k t i o n

8.1.8).

Quadrat,

A.5.1-5

zeigt man ~hnlich

A R fir ein

erinnert

so m i s s e n

: 6.11.4).

jedes

*A.5.4

s[eht m a n aber

o d e r 8 . 1 . 7 . 1 } ~, so d a s s das Q u a d r a t

der Kategorie

(4) b i k a r t e s i s c h .

(z.B.A.5.1

A.5.5

(A.3.3) , d a n n

W i r n e h m e n an, d e r L e s e r

kartesischer

gezeigt

(A.3.7, (* A.3.7).

Da jede e x a k t e

fir e x a k t e

und

Eigenschaften,

(1), (2) v o l l k o m m u t a t i v

vollkommutativ

folgt die B e h a u p t u n g (K3t!)).

kommutativ

ein N u l l o b j e k t .

A.5.4 und *A.5.4 wurde

A.5.3

(I) k a r t e -

Ist

"~'~.~" ~',~' ;~

klar.

und

und A . 5 . 5

kartesischer erledigt.

Epimorphismen

sind u n d co-

Fir A.5.3 erhiit

(4.8

(8.1.2). in A.7,

dass A . 5 . 1 - 5

auch

in

sind.

Objekte

v o n K~ sind die O b j e k t e

Isomorphieklasse~von

Diagrammen

in A . 2 . 9 u n d die K o m p o s i t i o n

wie

von

r

Morphismen

A e-<. -->7-6-- .>-~B in ~,

in A . 4 . 7

definiert.

<

Dass man

-

eine

156

(zun~chst vielleicht nicht assoziative)

A.5.1-3, dass die Komposition ell sind.

-

A-

12

Komposition so definieren kann folgt aus

< erh~it folgt, da alle ben~tzten Konstruktionen funktori-

ist offensichtlich ein Funktor.

Die Komposition ist assoziativ wegen

A.5.4 und *A.5.4: Um dies zu zeigen betrachtet man das Diagramm .~

,, f "

.

. g"

.

,,h "

(A.5.7)

\

\

%/A-/%

,,-r

J /

\

9

~> ~_.'~.

/%,;..'><,7 J . <+.:_~. <<.__.__ .

%.l dessen Bildung aus f,g,h wir dem Leser ~berlassen. und ,,unten" eine symmetrische Bildung aus f,g,h.

Das Diagramm enth~it ,,oben" h(gf) Durch Spiegelung an der Mittelachse

des Diagramms erh~it man den Vergleich dieser symmetrischen Konstruktion mit schliessend betMtigt man die restlichen Axiome Leser s

werden.

6.12.1.K, also [31K3].

fur ~.

Das kann in Anlehnung an w

Im Falle, dass 9 exakt ist, gilt ~ber K3'(A.l.1) Ws

man sichergehen,

(hg) f. Andem

hinaus auch

dass die ~-Morphismen von A nach B eine

Menge bilden(oder in einem bestimmten Universum liegenl

so nimmt man an, dass 9 lokal

und colokal klein ist*). A.6. Wir gehen eine kurze Beschreibung der am Ende von w tion

angedeuteten Konstrukt-

von K~=

sei eine Kategorie.

Man bette 9 in eine couniverselle

involutive Kategorie

~

ein

(Als Kategorie kann ~# z.B. als cokartesische Erg~nzung zu

9)

d.h~ Teile und Quotienten eines jeden Objekts bilden eine Menge oder liegen in dem gew~nschten Universum.

A - 15

- 157 -

erhalten.

Die M o r p h i s m e n

von

sind e n d l i c h e A

die m i t der K o m p o s i t i o n sition,

e besteht

definieren

von 9

im L e s e n

-_9. (

w i r eine R e l a t i o n

zwischen

lutiv

invariante!)

w i r K~ als die so zeigt man, grammen

involutive

in ~

eindeutigen

Repr~sentanten

(A.6.3) Will m a n dann die ist

(als i n v o l u t i v e

niert werden

kann.

Andererseits

Aussagen leicht

leicht b e s t ~ t i g e n .

zu sehenl

verweisen

Bemerkunq: kommutativ

*) D o r t nur

fur e x a k t e

Man ~berlegt

leicht

>)-C~

~@

~ R.

von@

entstehende

Relation

nat~rliche

(invo-

g ~ g' ~ fgh ~ fg'h) , so d e f i n i e r e n ~ @ / ~ von ~@

einen his

-~

auf

. Gelten A.5.1-5 Isomorphie

fur ~,

von ~-Dia-

;-

von K~ b e n u t z e n

Kategorien) lassen

sich a u c h o h n e eines

auf

Repr~sentanten benutzt

Quadrate

der M e n g e n k o r r e s p o n d e n z e n .

die n o t w e n d i g e n

Benutzung

klar,

< in K~ defi-

y o n K ~ die r e s t l i c h e n

der F o r m A . 6 . 3

man A.5.4

und

ist

*A.5.4.

Wir

[i]*.

sind c o k a r t e s i s c h e

unter

(A.5) , so ist u n m i t t e l b a r

u n d dass d e m e n t s p r e c h e n d

Eindeutigkeit

der M e t h o d e

Kategorien

In

~ R,

R u *R u @R u * @ R e r z e u g t e

Die E x i s t e n z

FUr M e n g e n

in der K a t e g o r i e

(me@,e'@m ~

(natGrlich:

<-

fur die b e h a u p t e t e

fur E i n z e l h e i t e n

so ist

links.).

durch

(m2ml, m I m 2)

von K~ in ~

Existenz

dass K~ = K~

nach

Kompo-

der F o r m

-<

besitzt.

von r e c h t s

(!) Q u o t i e n t e n k a t e g o r i e

jeder M o r p h i s m u s

der o f f e n s i c h t l i c h e n

,@R die d u r c h A n w e n d e n

u n d ~ die d u r c h

Aequivalenz

dass

~, so ist

von 9

z.B )B

sind m i t

Diagramms

in 9 ,

wie

~

den Morphismen

in

bikartesisch

Ist *R aus R d u r c h D u a l i s i e r u n g

reduziert

solchen

kartesisch

(~*R = * ~ R entsprechend)

) ....

(und *~)

eines

Diagramme

Benutzung Aenderungen.

./\.. \/

von Repr~sentanten

nicht

voll-

-~-<--9-<~-- -

--158

KMe ist d e m n a c h

A.7.

nicht

die K a t e g o r i e

Die K a t e g o r i e

sammengestellten

Korrespondenzenkategorie u n d zeigt

die

morphismen A.5.i

und A.5.5

sind klar.

*A.5.2

existiert

(wie A.5.2). epimorph

folgende

ist,

Beweis

dass

eingangs

A.5

zu-

eine e n t s p r e c h e n d e

benutzt

diese

Tatsache

w e n n m a n auf die N o r m a l i t ~ t

ist

(z.B.

nach

nicht

der M o n o -

k

da jeder

Epimorphismus Quadrat

von Z oder

an

(z.B.

Produkte

conormal

(ein Cokern)

zu dem g e g e b e n e n Epimorphismus

projektiver

und Diffe, ist.

In

Morphismenpaar

parallele

Gruppen*)).

Morphismus

Das Q u a d r a t

ist

8.i.3. w i r A.5.4:

Quadrat.

(3) b e t r a c h t e t K

w i r als b e k a n n t

dass der zu dem g e g e b e n e n

Verwendung

beweisen

ein k a r t e s i s c h e s

sich,

nehmen

ein k a r t e s i s c h e s

M a n zeigt,

Als n ~ c h s t e s

Zu

Der

die auftreten,

A.5.2

ergibt

zun~chst

dann bikartesisch

ist.

existiert.

da ja b e k a n n t

h a t die

verzichtet.

renzkerne). A.5.3

und H o m o m o r p h i s m e n

A.5.i-5,

Schwierigkeiten,

A - 14

der M e n g e n k o r r e s p o n d e n z e n .

der G r u p p e n

Eigenschaften

--

Daraus

Die b e i d e n folgt,

m a n den u n t e r e n

>P - - ~ > G

oberen

dass Teil

Quadrate

ergeben

(4) k a r t e s i s c h

zusammengesetzt

und bikartesisch

(8.i.3)

des W ~ r f e l s

- -

(A.7.i) e"

(4)

'

(3)

m'

in dem das u,v, K

k

e'v'

zusammengesetzte

so dass P

dann

existiert

existiert,

*) P h e i s s t seits

ist.

Gist

~ ~ G m i t ~ = cok k.

= v%,

w % = ew'

~u = m ' v

Quadrat

Cokern

w' m i t mew'

genau

A-~f B epimorph,

einer

Da P p r o j e k t i v

da ew'k = 0 ist

projektiv,

kartesisch

wenn

projektiven

ist,

l~sst

= up u n d e'~''w'

(~'ew'k

f~r A

genau w e n n

ist und eine G r u p p e

~B

G mit Morphismen

(freien)

Gruppe

sich v % ~ b e r = v' = v ~

P,

e' heben,

(kartesisch!).

w mit

= v ~ k = O, da ~k = O u n d ~' m o n o m o r p h

stets

(P,A f*) (P,B)

(P,A)

~(P,B)

epimorph

ist

ist.

Dann

f~r alle

is~

ist a n d e r e r -

Projektiv~mP.

.

A - 15

- 139 -

m w = u, ~ ' w = v ist dann trivial. Schliesslich

zu *A.5.4:

Zur U n t e r s u c h u n g

von

(3) b e t r a c h t e n wir das D i a g r a m m

/ (A.7.2) ".

/

e

b

,

/

/

d e s s e n u n t e r e r Teil g e g e b e n und

~ = cok(e2P2).

also ~ = cok ~.

D a n n ist

Da

(3) c o k a r t e s i s c h

Quadrat

nach 8 . 1 . 0

ist, ist ~I = cok(e~)

(I') , also ~2 = ker(~ml)

W~rfels

schon b e w i e s e n wurde, Da e e p i m o r p h

ist

auf, der den V o r a u s s e t z u n g e n (3') k a r t e s i s c h .

ist, ist ~1 normal,

p = ker(~Im)

= ker(m2~

(z.B.). (8.1.5).

Sei ~: = k e r ~

(1'),(2)

mono-

als o b e r e n Teil

von A . 5 . 4 gen~gt.

Da A . 5 . 4

= cok(~le 3) = cokp 1.

(3') ist k a r t e s i s c h

~ = cok ~ = cok(pe)

,

Zu ml,~ bilde

= ker ~2' d a m

Wir h a b e n ~I = cok(e~)

also ist Pl = ker ~I" = ker ~,

eines P2 m i t ~2 = cok P2

= ker(m~2)

Wir z e r l e g e n ep und e2P 2 k a n o n i s c h u n d fassen

eines k o m m u t a t i v e n

('8.1.5)

Wir z e i g e n die E x i s t e n z

(I) c o k a r t e s i s c h

m a n ein k a r t e s i s c h e m o r p h ist.

ist.

~

u n d daher

= cok(e2P 2) und des war

zu beweisen. Schliesslich

fehlt noch,

A.7.3.

dass

(4) b i k a r t e s i s c h

ist. Dazu z u n ~ c h s t

Lemma: Das D i a g r a m m

P

von G r u p p e ~ u n d morphismen Erg~nzung

~o~omorphism~

gebildete

Quadrat

sei k o m m u t a t i v , sei c o k a r t e s i s c h .

P sei p r o j e k t i v und das von den EpiD a n n hat das D i a g r a m m eine k o m m u t a t i v e

-

140

-

A - 1 6

__//9/\ Beweis: emplaren

Es g e n ~ g t

nat~rlich,

Z zu b e n u t z e n .

(VollkommutativitMt). bezeichnen Bildung

der

wit mit

Dann

ist die

In d e n B e w e i s

~X o d e r e i n f a c h

I n v e r s e n X ~ X.

die ~ u n d e r h a l t e n

P durch Z

~.

zu e r s e t z e n

Interpretation

II

Dann betrachten

e = cok(me'') gramm

"~i

e'v'

w i r das g e g e b e n e

mh

v o n Ex-

cokartesische

klar

ein.

F~r X

ix o d e r

t die

sind Homomorphismen

Z e r l e g t m a n em'

ist k o m m u t a t i v . = v ist.

Quadrat

f~r und

= m e i', so ist m normal,

h'

lich

lAxt

bestimmt.

h.

l i f t e t v,

= 0 ist, ist,

der n e b e n s t e h e n -

also ~(Axt)[u,ev']=

ist h = e''h'

= v

d u r c h das D i a g r a m m

Dia-

so dass

m i t ge-

ist ~ [ m ' h ' , v t] d e r g e w ~ n s c h t e

= u und ei~[mihi,v']

Morphismus

Damit

ist,

Das gegebene

das d r i t t e

Da P p r o j e k t i v

Schliesslich

ist d i e s e r

Mit Hilfe

weiter

in d e m e ~ ( A x t ) [ u , e v ' ]

mus mit e~[m'h',v'] A~A

u n d m = k e r e.

Da P projektiv

Wir betrachten

f~r g e e i g n e t e s

eignetem

~

wesentlich

X x X ~ X, m i t

der Kategorie

= cok m ( 8 . 1 . 5 )

den Diagramme,

P

Coprodukt

f~r G r u p p e n k o r r e s p o n d e n z e n

~ die M u l t i p l i k a t i o n

Alle M o r p h i s m e n

ein

" ,, m

--, m!

sp~ter

g e h t die G r u p p e n s t r u k t u r

b i l d e n m ' : = ker e' e!

und

(elm' = 0!).

MorphisNat~r-

nicht eindeutig

ist das L e m m a b e w i e s e n .

des L e m m a s

z e i g e n wit,

dass

(4) k a r t e s i s c h

ist.

Es

\ ist d a n n b i k a r t e s i s c h

/

/

nach

,,,/~

8.1.3.

Wir betrachten

r

'I

/ // /

E/07 ~ ~

#

))

'

also A.7.4

q

)

A - 1 7

mit

~ u = m2v.

Daraus ~u'

1LI-1

-

ergibt

= u~ u n d

e2u''

sich ~w,

~4mv'

= mv'.

ist.

ist.

Da

Da

~ = cok

= m2v~

ist m ~ 2 u ' ' k

= u, u n d

w mit

= e~2 u'' dieser

ist,

= ~mlu''k

v o n k ist,

ew,

k.

= elue.

(2) k a r t e s i s c h

~ Cokern

Jedes

und

= m2~v'

Schliesslich

= m ~ 2 u''

surjektiv deutig

sich eu'

= v'.

monomorph

P sei p r o j e k t i v

-

Zun~chst Nach

existiert

A.7.1

existiert = ~u'k

existiert = ~e2u''

Eigenschaft

existiert u''

= u~k

= ~v'.

e i n u' m i t

= O, a l s o = w~.

= v~ u n d ~ w

ist w e g e n

v~

m i t m d u t' = u t u n d

w m i t ~ 2 u'' = ~v'

v' m i t

~2u''k Daraus

= u,

= O, da ergibt

ew = v,

der Monomorphie

de

von ~ ein-

bestimmt.

Literatur [1] H.-B.

Brinkmann,

[2] J. L a m b e k , [3] D.

Puppe,

Relations

Goursats

for e x a c t

theorem

Korrespondenzen

and

the

categories. Zassenhaus

in a b e l s c h e n

Erscheint lemma.

Kategorien.

Offsetdruck: Julius Beltz, Weinheim/Bergstr

Can.

Math.

demn~chst J. Math.

Ann.

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Algebra 45-56(1958). (1962).

Lecture Notes in Mathematics Bisher erschienen/Already published Vol. 1 : J. Wermer, Seminar (Jber Funktionen-Algebren. IV, 30 Seiten. 1964. DM 3,80/0.95 Vol. 2: A. Borel, Cohomelogie des espaces Iocalement compacts d'apres J. Leray. IV, 93 pages. 1964. DM 9,- / $ 2:25 Vol. 3: J. F. Adams, Stable Homotopy Theory. Third edition. IV, 78 pages. 1969. DM 8 , - / $ 2.00 Vol. 4: M. Arkowitz and C. R. Curjel, Groups of Homotopy Classes. 2nd. revised edition. IV, 36 pages. 1967. DM 4 , 8 0 / $ 1 . 2 0 Vol. 5: J.-P. Serre, Cohomologie Galoisienne. Troisieme edition. VIII, 214 pages. 1965. DM 18,- / $ 4.50 Vol. 6: H. Hermes, Eine Termlogik mit Auswahloperator. IV, 42 Seiten. 1965. DM 5 , 8 0 / $ 1 . 4 5 Vol. 7: Ph. Tondeur, Introduction to Lie Groups and Transformation Groups. Second edition. VIII, 176 pages. 1969. DM 14,- / $ 3.50 Vol. 8: G. Fichera, Linear Elliptic Differential Systems and Eigenvalue Problems. IV, 176 pages. 1965. DM 13,50/$ 3.40 Vol. 9: P. L. Iv~nescu, Pseudo-Boolean Programming and Applications. IV, 50 pages. 1965. DM 4,80 / $1.20 Vol. 10: H. LLJneburg, Die Suzukigruppen und ihre Geometrien. Vl, 111 Seiten. 1965. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 11: J.-P. Serre, Algebre Locale. Multiplicites. Redige par P. Gabriel. Seconde edition. Villi 192 pages. 1965. DM 12,- / $ 3.00 Vol. 12:A. Dold, Halbexakte Homotopiefunktoren. II, 157 Seiten. 1966. DM 1 2 , - / $ 3.00 Vol. 13: E. Thomas, Seminar on Fiber Spaces. IV, 45 pages. 1966. DM 4 , 8 0 / $ 1 . 2 0 Vol. 14: H. Werner, Vorlesung ~iber Approximationstheorie. IV, 184 Seiten und 12 Seiten Anhang. 1966. DM 1 4 , - / $ 3.50 Vol. 15: F. Oort, Commutative Group Schemes. Vl, 133 pages. 1966. DM 9 , 8 0 / $ 2.45 Vol. 16: J. Pfanzagl and W. Pierlo, Compact Systems of Sets. IV, 48 pages. 1966. DM 5,80 / $1.45 Vol. 17: C. MUller, Spherical Harmonics. IV, 46 pages. 1966. DM 5,- / $ 1 . 2 5 Vo118: H.-B. Brinkmann und D. Puppe, Kategorien und Funktoren. Xll, 107 Seiten, 1966. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 19: G. Stolzenberg, Volumes, Limits and Extensions of Analytic Varieties. IV, 45 pages. 1966. DM 5 , 4 0 / $ 1 . 3 5 Vol. 20: R. Hartshorne, Residues and Duality. VIII, 423 pages. 1966. DM 20,- / $ 5.00 Vol. 21 : Seminar on Complex Multiplication. By A. Borel, S. Chowla, C. S. Herz, K. Iwasawa, J.-P. Serre. IV, 102 pages. 1966. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 22: H. Bauer, Harmonische R~.ume und ihre Potentialtheorie. IV, 175 Seiten. 1966. DM 1 4 , - / $ 3.50 Vol. 23: P. L. Iv&nescu and S. Rudeanu, Pseudo-Boolean Methods for Bivalent Programming. 120 pages. 1966. DM 10,- / $ 2.50 Vol. 24: J. Lambek, Completions of Categories. IV, 69 pages. 1966. DM 6 , 8 0 / $ 1 . 7 0 Vol. 25: R. Narasimhan, Introduction to the Theory of Analytic Spaces. IV, 143 pages. 1966. DM 1 0 , - / $ 2.50 Vol. 26: P.-A. Meyer, Processus de Markov. IV, 190 pages. 1967. DM 15,- / $ 3.75 Vol. 27: H. P. K(Jnzi und S. T. Tan, Lineare Optimierung gro6er Systeme. Vl, 121 Seiten. 1966. DM 1 2 , - / $ 3.00 Vol. 28: P. E. Conner and E. E. Floyd, The Relation of Cobordism to K-Theories. VIII, 112 pages. 1966. DM 9 , 8 0 / $ 2.45

Vol. 29: K. Chandrasekharan, Einf~ihrung in die Analytische Zahlentheorie. Vl, 199 Seiten. 1966. DM 16,80 / $ 4.20 Vol. 30: A. Fr61icher and W. Bucher, Calculus in Vector Spaces without Norm. X, 146 pages. 1966. DM 1 2 , - / $ 3.00 Vol. 31 : Symposium on Probability Methods in Analysis. Chairman. D. A. Kappos. IV, 329 page s. 1967. DM 20,- / $ 5.00 Vol. 32: M. Andre, Methode Simpliciale en Algebre Homologique et Algebre Commutative. IV, 122 pages. 1967. DM 12,- / $ 3.00 Vol. 33: G. I. Targonski, Seminar on Functional Operators and Equations. IV, 110 pages. 1967. DM 1 0 , - / $ 2.50 Vol. 34: G. E. Bredon, Equivariant Cohomology Theories. Vl, 64 pages. 1967. DM 6 , 8 0 / $ 1.70 Vol. 35: N. P. Bhatia and G. P. Szeg6 Dynamical Systems. Stability Theory and Applications. Vl, 416 pages. 1967. DM 24,- / $ 6.00 Vol. 36: A. Borel, Topics in the Homology Theory of Fibre Bundles. Vl, 95 pages. 1967. DM 9,- / $ 2.25 Vol. 37: R. B. Jensen, Modelte der Mengenlehre. X, 176 Seiten. 1967. DM 1 4 , - / $ 3.50 Vol. 38." R. Berger, R. Kiehl, E. Kunz und H.-J. Nastold, Differentialrechnung in der analytischen Geometrie IV, 134 Seiten. 1967. DM 1 2 , - / $ 3.00 Vol. 39: Seminaire de Probabilites I. II 189 pages. 1967. DM 14,- / $ 3.50 Vol. 40: J. Tits, Tabellen zu den einfachen Lie Gruppen und ihren Darstellungen. Vl, 53 Seiten. 1967. DM 6 . 8 0 / $ 1 . 7 0 Vol. 41 : A. Grothendieck, Local Cohomology. Vl, 106 pages. 1967. DM 1 0 . - / $ 2.50 Vol. 42: J. F. Berglund and K. H. Hofmann, Compact Semitopological Semigroups and Weakly Almost Periodic Functions. Vl, 160 pages. 1967. DM 12,- / $ 3.00 Vol. 43: D. G. Quillen, Homotopical Algebra Vl, 157 pages. 1967. DM 1 4 , - / $ 3.50 Vol. 44: K. Urbanik, Lectures on Prediction Theory IV, 50 pages. 1967. DM 5~80/$1.45 Vol. 45: A. Wilansky, Topics in Functional Analysis V1,102 pages. 1967. DM 9 , 6 0 / $ 2.40 Vot. 46: P. E. Conner, Seminar on Periodic Maps IV, 116 pages. 1967. DM 10,60/$ 2.65 Vol. 47: Reports of the Midwest Category Seminar I. IV, 181 pages. 1967. DM 14,80/$ 3.70 Vol. 48: G. de Rham, S. Maumary et M. A. Kervaire, Torsion et Type Simple d'Homotopie. IV, 101 pages. 1967. DM 9,60 / $ 2.40 Vol. 49: C. Faith, Lectures on Injective Modules and Quotient Rings. XVl, 140 pages. 1967. DM 12,80/$ 3.20 Vol. 50: L. Zalcman, Analytic Capacity and Rational Approximation, Vl, 155 pages. 1968. DM 13.20/$ 3.40 Vol. 51 : Seminaire de Probabilites II. IV, 199 pages. 1968. DM 14,- / $ 3.50 Vol. 52: D. J. Simms, Lie Groups and Quantum Mechanics. IV, 90 pages. 1968. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 53: J. Cerf, Sur les diffeomorphismes de la sphere de dimension trois (I-4 = O). XlI, 133 pages. 1968. DM 1 2 , - / $ 3.00 Vol. 54: G. Shimura, Automorphic Functions and Number Theory Vl, 69 pages. 1968. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 55: D. Gromoll, W. Klingenberg und W. Meyer Riemannsche Geometrie im Gro6en Vl, 287 Seiten. 1968. DM 2 0 , - / $ 5,00 Bitte wenden / Continued

Vol. 56: K. Floret und J. Wloka, EinfiJhrung in die Theorie der Iokalkonvexen R~ume VIII, 194 Seiten. 1968. DM 1 6 , - / $ 4.00 Vol. 57: F. Hirzebruch und K. H. Mayer, O(n)-Mannigfaltigkeiten, exotische Sph~.ren und Singularit~ten. IV, 132 Seiten. 1968. DM 10,80/$ 2.70 Vol. 58: Kuramochi Boundaries of Riemann Surfaces. IV, 102 pages. 1968. DM 9 , 6 0 / $ 2.40 Vol. 59: K. J~nich, Differenzierbare G-Mannigfaltigkeiten. Vl 89 Seiten. 1968. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 60: Seminar on Differential Equations and Dynamical Systems. Edited by G. S. Jones Vl, 106 pages. 1968. DM 9,60 / $ 2.40 Vol. 61 : Reports of the Midwest Category Seminar II. IV, 91 pages. 1968. DM 9 , 6 0 / $ 2.40 Vet. 62: Harish-Chandra, Autemorphie Forms on Semisimple Lie Groups X,138 pages: 1968. DM 1 4 , - / $ 3.50 Vol. 63: F. Albrecht, Topics in Control Theory. IV, 65 pages. 1968. DM 6 , 8 0 / $ 1 . 7 0 Vol. 64: H. Berens, ~nterpolationsmethoden zur Behand~ung yon Approximationsprozessen auf Banachr~umen. VI, 90 Seiten. 1968. DM 8 , - / $ 2.00 Vol. 65: D. K61zow, Differentiation von Ma6en. XII, 102 Seiten. 1968. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 66: D. Ferus, Totale Absolutkrfimmung in Differentialgeometrie und -topologie. VI, 85 Seiten. 1968. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 67: F. Kamber and P. Tondeur, Flat Manifolds. IV, 53 pages. 1968. DM 5 , 8 0 / $ 1 . 4 5 Vol. 68: N. Boboc et P. Mustat&, Espaces harmoniques associes aux operateurs differentiels lineaires du second ordre de type elliptique. VI, 95 pages. 1968. DM 8 , 6 0 / $ 2.15 Vol. 69: Seminar Liber Potentialtheorie. Herausgegeben von H. Bauer. Vl, 180 Seiten. 1968. DM 14,80/$-3.70 VoI. 70: Proceedings of the Summer School in Logic Edited by M. H. L6b. IV, 331 pages. 1968. DM 20,- / $ 5.00 Vol. 71 : Seminaire Pierre Lelong (Analyse), Annee 1967-1968. V1,19 pages. 1968. DM14,- / $ 3 . 5 0 Vol. 72: The Syntax and Semantics of Infinitary Languages. Edited by J. Barwise. IV, 268 pages. 1968. DM 1 8 , - / $ 4.50 Vol. 73: P. E. Conner, Lectures on the Action of a Finite Group. IV, 123 pages. 1968. DM 1 0 , - / $ 2.50 Vol. 74: A. Fr6hlich, Formal Groups. IV, 140 pages. 1968, DM 12,- / $ 3.00 Vol. 75: G. Lumer, Atgebres de fonctions et espaces de Hardy. Vl, 80 pages. 1968. DM 8 - / $ 2.00 Vol. 76: R. G. Swan, Algebraic K-Theory. IV, 262 pages. 1968. DM 18,- / $ 4.50 Vol. 77: P.-A. Meyer, Processus de Markov: la frontiere de Martin. IV, 123 pages. 1968. DM 10,- / $ 2.50 Vol. 78 : H. Herrlich, Topologische Reflexionen und Coreflexionen. XVI, 166 Seiten. 1968. DM 12,-/$ 3.00 Vol. 79 : A. Grothendieck, Categories Cofibrees Additives et Complexe Cotangent Relatif. IV, 167 pages. 1968. DM 1 2 , - / $ 3.00 VoL 80.: Seminar on Triples and Categorical Homology Theory. Edited by B. Eckmann IV, 398 pages. 1969. DM 2 0 , - / $ 5.00 Vol. 81 : J.-P. Eckmann et M. Guenin, Methodes AIg6briques en M~canique Statistique. Vl, 131 pages, f96g. DM 1 2 , - / $ 3.00 Vol. 82 : J. Wloka, Grundr~.ume und verallgemeinerte Funktionen VIII, 131 Seiten. 1969. DM 1 2 , - / $ 3.00

Vol. 83 : O. Zariski, An Introduction to the Theory of Algebraic Surfaces. IV, 100 pages. 1969. DM 8,- / $ 2.00 Vol. 84 : H. L0neburg, Transitive Erweiterungen endlicher Permutationsgruppen. IV, 119 Seiten. 1969. DM 10,- / $ 2.50 Vol. 85 : P. Cartier et D. Foata, Problemes combinatoires de commutation et rearrangements IV, 88 pages. 1969. DM 8,-/$ 2.00 Vol 86: Category Theory, Homology Theory and their Applications I. Edited by P. Hilton. Vl, 216 pages. 1969. DM 16,-/$ 4.00 Vol. 87 : M. Tierney, Categorical Constructions in Stable Homotopy Theory. IV, 65 pages. 1969 DM 6,-/$ 150 Vol. 88: Seminaire de Probabilites III. IV. 229 pages. 1969. DM 18,-/$ 4.50 Vol. 89: Probability and Information Theory. Edited by M. Behara, K. Krickeberg and J. Wolfowitz. IV, 256 pages. 1969. DM 18,-/$ 4.50 Vol. 90: N. P. Bhatia and O. Hajek, Local Semi-Dynamical Systems. II, 157 pages. 1969. DM 14,-/$ 3.50 Vol. 91: N. N. Janenke, Die Zwischenschrittmethode zur L6sung mehrdimensionaler Probleme der mathematischen Physik. VIII, 194 Seiten. 1969. DM 16,80 / $ 4.20 Vol. 92: Category Theory, Homology Theory and their Applications II. Edited by P. Hilton V, 308 pages. 1969. DM 20,- / $ 5.00 Vol. 93:K. R. Parthasarathy, Multipliers on Locally Compact Groups. III, 54 pages. 1969. DM 5,60 / $1.40 Vol. 94: M. Machover and J. Hirschfeld, Lectures on Non-Standard Analysis. Vl, 79 pages. 1969. DM 6 , - / $1.50 Vol. 95: A. S. Troelstra, Principles of Intuitionism. II, 111 pages. 1969. DM 10,- / $ 2.50 Vol. 96: H.-B. Brinkmann und D. Puppe, Abelsche und exakte Kategorien, Korrespondenzen. V, 141 Seiten. 1969. DM 10,- / $ 2.50

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