Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

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Author: Robert Fricke

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Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen

Robert Fricke

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Dritter Teil Anwendungen Aus dem Nachlass herausgegeben von Clemens Adelmann, Jürgen Elstrodt und Elena Klimenko

Autor Geheimer Hofrat Prof. Dr. Robert Fricke (1861–1930) Technische Hochschule Braunschweig Braunschweig Deutschland Herausgeber Dr. Clemens Adelmann Institut für Analysis und Algebra Technische Universität Braunschweig Pockelsstraße 14 38106 Braunschweig Deutschland [email protected]

Prof. Dr. Elena Klimenko Mathematisches Institut Universität Düsseldorf Universitätsstraße 1 40225 Düsseldorf Deutschland [email protected]

Prof. Dr. Jürgen Elstrodt Mathematisches Institut Universität Münster Einsteinstraße 62 48149 Münster Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-20953-6 e-ISBN 978-3-642-20954-3 DOI 10.1007/978-3-642-20954-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classiﬁcation (2010): Primary 33E05, Secondary 11E25, 11F03, 11F06, 11F12, 11F27, 11G15, 14H50, 30F35, 51M10, 65D20. © Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf : WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

FRITZ GRUNEWALD (1949–2010) zum Ged¨achtnis

Robert Fricke

Vorwort der Herausgeber

Im Vorwort der zweiten Auﬂage des ersten Teils seines Buchs u¨ ber Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen (Leipzig und Berlin: Teubner 1930) schrieb Robert Fricke im Juni 1930 u¨ ber den geplanten dritten Teil: Der dritte, noch in ” der Bearbeitung beﬁndliche Band soll einige Anwendungen der elliptischen Funktionen behandeln. In einer Einleitung werden die Methoden und Hilfsmittel zur numerischen Berechnung der elliptischen Integrale und Funktionen gegeben. . . . In einem ersten von drei Abschnitten werden geometrische Anwendungen besprochen, im zweiten arithmetische. Endlich soll der dritte Abschnitt einige mechanische und physikalische Anwendungen behandeln. Die lange Zwischenzeit seit Erscheinen des zweiten Bandes ist dem dritten jedenfalls insofern zugute gekommen, als es inzwischen gelang, die arithmetischen Anwendungen an einer gewissen, auch die allgemeine Transformationstheorie betreffenden Stelle neuerdings wesentlich zu vertiefen. Der Text der Einleitung und der beiden ersten Abschnitte ist fertig bearbeitet. Wenn mir die Kraft bleibt, hoffe ich, im Laufe des n¨achsten Jahres den dritten Band herausgeben zu k¨onnen“. Diese Hoffnung des Autors erf¨ullte sich nicht, denn Robert Fricke starb am 18. Juli 1930. Das Manuskript des dritten Bandes fand sich in seinem Nachlass im oben beschriebenen Zustand vor: Der mathematische Teil existiert als fertiges Schreibmaschinenmanuskript, in das Fricke die Formeln handschriftlich eingetragen hat. Dieser Teil endet mit der (sog. ersten) Kroneckerschen Grenzformel. Von diesem mathematischen Teil des Werks gibt es u¨ berdies ein Manuskript von der Hand des Verfassers. Vom geplanten dritten Abschnitt, der mechanische und physikalische Anwendungen behandeln sollte, gibt es nur einen handgeschriebenen Entwurf eines Kapitels u¨ ber die analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks. Aus einem ebenfalls handgeschriebenen fr¨uheren Entwurf des Inhaltsverzeichnisses des dritten Bandes geht hervor, welche weiteren physikalischen Anwendungen Fricke im Sinn hatte: Ebenes und sph¨arisches Pendel, Bewegung starrer K¨orper, Kreiselbewegung, W¨armeleitung, elastische Linien und Bewegungsmechanismen. Insgesamt deckt sich das Spektrum der mathematischen und physikalischen Anwendungsgebiete weitgehend mit denjenigen, die Fricke in seinem profunden Beitrag u¨ ber Elliptische Funktionen in Heft II B 3 der Encyklop¨adie der mathematischen

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Vorwort der Herausgeber

¨ Wissenschaften behandelt hat. Dieser Artikel gibt einen ausgezeichneten Uberblick u¨ ber den behandelten Gegenstand bis zum Jahr 1913 und ist dank seiner umfassenden Auswertung der bis zum Erscheinungsjahr publizierten Literatur nach wie vor von gr¨oßtem Wert. Nach eigenem Bekunden verdankte Fricke die Anregung zu seinem Werk u¨ ber elliptische Funktionen der Arbeit an diesem Enzyklop¨adiebeitrag. Die mathematischen Abschnitte des Frickeschen Manuskripts zu Bd. III sind als abgeschlossen anzusehen. Sie enthalten in Abschnitt I einen bunten Strauß geometrischer Anwendungen, z. B. die Bogenl¨angen von Lemniskate, Ellipse und Hyperbel, den Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung, den Zusammenhang ebener Kurven dritten Grades mit elliptischen Funktionen und die Wirkung der zugeh¨origen Transformationsgruppen, die Ponceletschen Polygone, die geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid und den Zusammenhang zwischen sph¨arischer Trigonometrie und dem Additionstheorem elliptischer Funktionen. Unter den arithmetischen Anwendungen widmet Fricke der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen und den Klassengleichungen seine besondere Aufmerksamkeit. Ein erstes Ziel ist hier zun¨achst ein Beweis des Satzes von Abel, demzufolge bei Vorliegen komplexer Multiplikation der singul¨are Modul“ j(ω) durch Wurzelziehen ” im Bereich der rationalen Zahlen bestimmt werden kann. Zweites Ziel ist anschließend die explizite Berechnung dieser Klasseninvarianten“. Als entscheiden” des Hilfsmittel dient Fricke dabei das sog. Klassenpolygon“. Im Vorwort zu Bd. II ” des vorliegenden Werks bezeichnet er das Klassenpolygon als ein beziehungs” reiches Gebilde, das die fr¨uh bemerkte Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der ganzzahligen bin¨aren quadratischen Formen in klarster Weise darlegt und sich als ein wertvolles Hilfsmittel zur Behandlung der Transformationstheorie erwies“. W¨ahrend zuvor bei zahlentheoretischen Anwendungen nur Modulformen eingesetzt wurden, zeigt Fricke hier erstmals den Nutzen der Theorie der automorphen Formen f¨ur arithmetische Untersuchungen. Weitere zahlentheoretische Anwendungen betreffen den Zusammenhang zwischen Darstellungsanzahlen gewisser quatern¨arer quadratischer Formen und Teilersummen sowie die Bestimmung von Klassenzahlrelationen. Das Manuskript endet ziemlich abrupt mit der Herleitung der Kroneckerschen Grenzformel. Ob der Verfasser noch Anwendungen dieser Formel geplant hat, ist nicht bekannt. Schon wenige Monate nach Frickes Tod wandte sich seine Familie an das Verlagshaus Teubner mit der Bitte um eine Herausgabe des dritten Bandes. Der Gang ¨ der damaligen Uberlegungen l¨asst sich an Hand von Briefen aus dem Nachlass von Helmut Hasse nachvollziehen, die Clemens Adelmann in der Nieders¨achsischen Staats- und Universit¨atsbibliothek G¨ottingen aufgefunden hat, und an Hand zweier weiterer Briefe, die Emmy Noether an Frickes Tochter Gertrud Landauer schrieb. Wir beschr¨anken uns hier auf eine Zusammenfassung der wesentlichen Punkte: Auf Vorschlag des Funktionentheoretikers und Geometers Ludwig Bieberbach wandte sich der Teubner-Verlag wegen der Edition und Vervollst¨andigung des Frickeschen Manuskripts zun¨achst an Lothar Koschmieder und informierte Frickes Familie u¨ ber diesen Schritt. Daraufhin schrieb Frickes Tochter Gertrud Landauer an Emmy Noether mit der Bitte um Rat. Diese nannte in ihrem Antwortschreiben vom 29. September 1930 Lothar Koschmieder als Herausgeber ganz geeignet“ und ”

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bezeichnete ihn als einen guten Kenner der elliptischen Funktionen“. Weiter disku” tierte sie die Option, an Hand des handschriftlichen Inhaltsverzeichnisses noch ” einige physikalische Anwendungen zuf¨ugen“ zu lassen; alternativ w¨are ja noch die ” M¨oglichkeit, von der wir auch in Harzburg zuerst sprachen, nur die beiden fertigen ersten Teile als 3. Band zu bringen“. Dem gesamten Tenor nach schien es eine ausgemachte Sache zu sein, dass das Manuskript gedruckt werden w¨urde – schließlich hatte Robert Fricke in 40 Jahren fruchtbarer Zusammenarbeit (anfangs gemeinsam mit Felix Klein) etliche gewichtige Werke bei Teubner publiziert. Inzwischen hatte Koschmieder in seiner Antwort an den Verlag Helmut Hasse als Herausgeber vorgeschlagen, da ein wesentlicher Teil des Buchmanuskripts arithmetischen Anwendungen gewidmet sei. Zweifellos war Hasse f¨ur die Herausgabe des zahlentheoretischen Teils geradezu pr¨adestiniert, hatte er doch damals gerade seine Neue Begr¨undung der komplexen Multiplikation (J. reine angew. Math. 158 (1927), 228–259; II. ibid. 165 (1931), 64–88) vollendet. Koschmieder erkl¨arte sich u¨ berdies grunds¨atzlich bereit, bei Bedarf den Abschnitt u¨ ber geometrische Anwendungen herauszugeben und den fehlenden Abschnitt u¨ ber physikalische Anwendungen neu zu schreiben. In den folgenden Briefen von 9. und 23. Dezember 1930 an Hasse machte der Teubner-Verlag jedoch nachdr¨ucklich auf die wirtschaftlichen Risiken des Projekts aufmerksam und f¨uhrte aus, dass ein wenigstens die Kosten deckender Absatz des Buchs von entscheidender Bedeutung“ sei. Hier wird der Ernst der wirtschaftlichen ” Lage in der Zeit der Weltwirtschaftskrise nach 1929 deutlich. Bereits in den Jahren nach dem Ersten Weltkrieg war der Verlag B. G. Teubner in erhebliche ﬁnanzielle Bedr¨angnis geraten und konnte sich nicht mehr im bisherigen Umfang f¨ur das Fach Mathematik engagieren. Das Hassesche Gutachten an den Verlag existiert wahrscheinlich nicht mehr, doch geht aus der folgenden Korrespondenz hervor, dass es mit Bezug auf den zahlentheoretischen Teil das Wort u¨ berholt“ enthielt. Der Ver” lag erhob daraufhin gr¨oßte Bedenken gegen die Ver¨offentlichung“. Koschmieder ” widersprach und legte dar, dass der weit umf¨anglichere“ nicht zahlentheoretische ” Teil von Dingen handelt, die schon ihre klassische Gestalt haben und daher nicht ” veralten k¨onnen“. Auch Hasse widersprach dem Verlag in einem Brief vom 2. Mai 1931 und erkl¨arte, dass auch der zahlentheoretische Teil gegen¨uber den bisher vor” liegenden Darstellungen dieses Gebiets stofﬂich so viel Neues“ enthalte, daß eine ” Drucklegung ganz gewiß lohnend erscheint.“ Seine Kritik habe sich haupts¨achlich auf die Frickesche Darstellungsmethode“ bezogen; in dieser Hinsicht“ seien ” ” in der letzten Zeit . . . Fortschritte“ gemacht worden, die Fricke aber gar nicht ” habe ber¨ucksichtigen k¨onnen, um nicht die Einheitlichkeit des Gesamtwerks zu gef¨ahrden. Zus¨atzlich begr¨undete Hasse ausf¨uhrlich seine Meinung, dass durchaus ein ausreichender Absatz des Werks zu erwarten sei. Nach weiteren brieﬂichen Diskussionen kam am Ende jedoch eine Publikation des Frickeschen dritten Bandes durch den Teubner-Verlag nicht zustande. In ihrem zweiten Brief an Gertrud Landauer vom 12. August 1931 bem¨uht sich Emmy Noether, die Absage des Teubner-Verlags zu erkl¨aren: Ich glaube Sie ” haben ganz richtig erkannt, daß in der Mathematik augenblicklich eine starke Ver¨ schiebung der Interessen sich vollzogen hat – ein Ubergang von der durch Klein

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inaugurierten Richtung, der auch das Lebenswerk Ihres Vaters angeh¨ort, zu einer Richtung, die vielleicht am st¨arksten durch den Namen Dedekind zu bezeichnen ist, mit der aber in anderer Hinsicht auch wieder Ihr Vater verkn¨upft ist. Solche Wandlungen der Wissenschaft treten immer wieder auf!“ Wie man sieht, war sich Emmy Noether der damaligen strukturellen Neuorientierung der Mathematik, die mit der maßgeblich auch von ihr selbst ausgehenden und von ihren Sch¨ulern rasch weiter entwickelten und verbreiteten abstrakten Algebraisierung verbunden war, vollauf bewusst. Mit Bezug auf den zahlentheoretischen Abschnitt des dritten Bandes berichtet sie u¨ ber ein Gespr¨ach, das sie mit einem der f¨ur den Verlag in dieser Sache t¨atigen Gutachter gef¨uhrt habe. Dieser Gutachter war offenbar Helmut Hasse, aber sein Name wird im Brief nicht genannt. Sie schreibt: Er sagte mir, daß es ihm ” sehr arg war, daß Teubner auf sein rein fachliches Urteil hin den Druck aufgeben wollte. . .“, und sie beendet ihren Brief mit der Feststellung, daß Teubner bei der ” augenblicklichen wirtschaftlichen Lage keine starke Initiative hat!“ Um das Frickesche Werk u¨ ber elliptische Funktionen zu einem sinnvollen Abschluss zu bringen, ver¨offentlichen wir das vorhandene Manuskript zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden B¨ande, auf die im Text h¨auﬁg zur¨uckgegriffen wird. Der zweite Abschnitt des hier vorliegenden dritten Bandes steht auch in enger Beziehung zu den letzten drei Kapiteln des dritten Bandes von Frickes Lehrbuch der Algebra (Braunschweig: Vieweg 1928), auf die ebenfalls mehrfach verwiesen wird. In diesem Zusammenhang erscheint der Hinweis angebracht, dass in den drei B¨anden von Frickes Lehrbuch der Algebra noch etliche Perlen klassischer Mathematik ihrer Wiederentdeckung harren, die dem Bewusstsein der Gegenwart entr¨uckt zu sein scheinen (vgl. hierzu J.-P. Serre, Œuvres, vol. III (Berlin etc.: SpringerVerlag 1986), S. 550–554). Bei der Herausgabe des 80 Jahre alten Texts mussten wir im Großen wie im Kleinen zahlreiche Entscheidungen treffen. Grunds¨atzlich kam nur eine sorgf¨altige Edition des vorhandenen Dokuments in Betracht. Eine dar¨uber hinausgehende Modernisierung der Diktion, darstellerische Umgestaltung oder Anbindung an die neuere mathematische Entwicklung haben wir von vornherein ausgeschlossen. Das betrifft besonders die numerischen Methoden. Aus heutiger Sicht hatte die numerische Mathematik zur Zeit der Entstehung des Frickeschen Manuskripts gegenu¨ ber der reinen Mathematik einen gewaltigen Nachholbedarf. Der bequeme Zugang zu leistungsf¨ahigen Computern hat hier heute die M¨oglichkeiten in fr¨uher buchst¨ablich unvorstellbarer Weise erweitert. Dennoch ist es durchaus reizvoll zu sehen, wie Fricke durch geschickten Einsatz des reichen Formelmaterials mit wenig Rechnung zu erstaunlich genauen Ergebnissen kommt. Gegen Ende des Kapitels 5 hat Fricke einige Rechnungen wegen zu großen Rechenaufwands nicht zu Ende gef¨uhrt. Clemens Adelmann hat das Fehlende in Abschnitt 5.12 erg¨anzt; dabei verweisen Zahlen in eckigen Klammern auf das Verzeichnis erg¨anzender Literatur auf S. 315–318. Ferner hat er den Text des 7. Kapitels u¨ ber die analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks nach dem handschriftlichen Frickeschen Manuskript und den von Fricke benutzten Literaturvorlagen f¨ur den Druck vorbereitet. Dabei hat er den Frickeschen Text weitestgehend beibehalten und Erg¨anzungen durch eckige Klammern [. . . ] kenntlich gemacht. Zus¨atzlich hat er die Lesbarkeit des 7. Kapitels

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durch Einf¨ugen von Zwischen¨uberschriften, die im Frickeschen Originaltext fehlen, erleichtert. Die individuellen Eigenheiten der Frickeschen Rechtschreibung und Zeichensetzung haben wir weitgehend beibehalten, um die stilistische Einheit der Darstellung mit den vorangehenden B¨anden I, II zu wahren. Nur ganz vereinzelt erfolgten behutsame Eingriffe in die Rechtschreibung und Zeichensetzung des Originals, wenn das geeignet erschien, die Lekt¨ure des Texts zu erleichtern. Offensichtliche kleinere Errata haben wir stillschweigend korrigiert, gr¨oßere Korrekturen und Anmerkungen der Herausgeber als solche kenntlich gemacht. Die Herstellung der Druckvorlage wurde durch die Verwendung der Software des Verlagshauses Springer wesentlich erleichtert. Dadurch ergab sich im System der Gliederung des Texts eine kleine Abweichung vom a¨ ußeren Erscheinungsbild der B¨ande I, II. Zur Erl¨auterung der Bezeichnungen erw¨ahnen wir: Fricke benutzt die alten Abk¨urzungen tg, cotg f¨ur den Tangens (tan) bzw. Kotangens (cot) und Cos, Sin, Tg f¨ur den Kosinus hyperbolicus (cosh) bzw. Sinus hyperbolicus (sinh) bzw. Tangens hyperbolicus (tanh). Bez¨uglich der Schreibweise der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn ist zu beachten: In Bd. I werden die Potenzen dieser Funktionen mit sn2 w, cn2 w, dn2 w etc. bezeichnet. In Bd. II und im vorliegenden Bd. III schreibt der Autor hingegen des o¨ fteren z. B. sn u2 (statt sn2 u = (sn u)2 ), sn gw2 (statt sn2 gw = (sn gw)2 ), sn w4 (statt sn4 w = (sn w)4 ) oder cn w2 2 (anstelle von cn2 w2 ). Mit R bezeichnet Fricke den K¨orper Q der rationalen Zahlen, und die Adjunktion eines oder mehrerer Elemente bringt er z. B. folgendermaßen zum Aus2 2 ) := druck: (R, i) := Q(i), (R, k√ √ Q(k ), (R, θ) √ :=√Q(θ), K = (R, ε) := Q(ε) mit ε = exp(2πi/n), (R, 2, 3, i) := Q( 2, 3, i). Der Periodenquotient wird gew¨ahlt in der Form ω = ω1 /ω2 (mit positivem Imagin¨arteil), und es ist q = eπiω . Statt Nebenklasse“ verwendet Fricke den Namen Nebengruppe“, ” ” eine ausgezeichnete Untergruppe“ ist ein Normalteiler, und eine gleichberechtigte ” ” Untergruppe“ ist in heutiger Terminologie eine konjugierte Untergruppe. – Das erg¨anzende Literaturverzeichnis und das Register wurden von den Herausgebern hinzugef¨ugt. Braunschweig, M¨unster und D¨usseldorf, den 15. Mai 2011

Clemens Adelmann, J¨urgen Elstrodt und Elena Klimenko

Danksagungen

Zahlreiche Personen haben sich um das Zustandekommen dieses Bandes verdient gemacht: An erster Stelle nennen wir Ellinor Wohlfeil und Dr. Ing. Gerd Landauer, die Enkel von Robert Fricke, die das Buchmanuskript f¨ur die Publikation zur Verf¨ugung stellten und ihre Zustimmung zum Nachdruck der ersten beiden B¨ande gaben. Durch Vermittlung von Heiko Harborth (TU Braunschweig) wurden das Buchmanuskript und der u¨ brige Nachlass von Robert Fricke der Technischen Universit¨at Braunschweig u¨ bereignet. Nach ausf¨uhrlichen Diskussionen mit Hans Opolka (TU Braunschweig) und Fritz Grunewald (Universit¨at D¨usseldorf) entschlossen wir uns zur Herausgabe des Werks, und im Einvernehmen mit Clemens Heine vom Springer-Verlag (Heidelberg) entstand der Plan, den vorliegenden dritten Band zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden B¨ande herauszubringen. Reinhard Schertz (Universit¨at Augsburg) u¨ berpr¨ufte etliche Werte der Klasseninvarianten und half Zweifel aufzukl¨aren und Diskrepanzen zu beheben. Natalia Kopteva (Nowosibirsk) hat Frickes Skizzen der Figuren zu suggestiven Illustrationen ausgestaltet, die dem oft bewunderten hohen Standard, den Fricke selbst in dieser Hinsicht in seinen B¨uchern gesetzt hat, hervorragend gerecht werden. Allen oben genannten Personen gilt unser herzlicher Dank f¨ur ihre mannigfache selbstlose Hilfe. Den Mitarbeiter(inne)n des Springer-Verlags danken wir f¨ur ihre tatkr¨aftige Unterst¨utzung. Wie bereits erw¨ahnt, wurde der Plan zur Herausgabe dieses Bandes zusammen mit unserem langj¨ahrigen Freund, Koautor und Kollegen Fritz Grunewald entworfen. Gemeinsam wollten wir auch dieses Projekt zu Ende f¨uhren, doch sein v¨ollig u¨ berraschender, viel zu fr¨uher Tod am 21. M¨arz 2010 vereitelte unsere Pl¨ane. Seinem Andenken widmen wir diesen Band. Braunschweig, M¨unster und D¨usseldorf, den 15. Mai 2011

Clemens Adelmann, J¨urgen Elstrodt und Elena Klimenko

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung. Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen. . . 0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten. . . . . . . . . . . . . . 0.2 Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden. . . . . . . . . . . . . . 0.3 Berechnung der elliptischen Funktionen bei gegebenem Argumente und gegebenen Perioden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Berechnung der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung bei gegebenen Grenzen und Invarianten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 Tafeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 10 13 15 21

Abschnitt I Geometrische Anwendungen der elliptischen Funktionen. 1

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Bogen- und Fl¨achenberechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die Bogenl¨ange der Lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen bei der Lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die Bogenl¨angen der Ellipse und Hyperbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Die Oberﬂ¨ache des Ellipsoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 48 56 65 67

Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . 79 2.1 Kurve dritten Grades und Periodenparallelogramm. . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2 System der Wendepunkte der Kurve K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3 . . . . . . . . . . . . . 83 2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich. . . . . . . . . . . . . . . 86 2.5 Die singul¨aren Koordinatensysteme der Kurven K3 . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.6 Die Hessesche Kollineationsgruppe G216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich. . . 97 2.8 Realit¨atsbetrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . 104

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Inhaltsverzeichnis

Vermischte geometrische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1 Ponceletsche Polygone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2 Darstellung der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3 Verlauf der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid. . . . . 122 3.4 Sph¨arische Dreiecke und Additionstheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Abschnitt II Arithmetische Anwendungen der elliptischen Funktionen. 4

Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1 Die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen. . . . . . . . . . 133 4.2 Einf¨uhrung der Klasseninvarianten und der Klassengleichung. . . . . . 136 4.3 Angaben u¨ ber spezielle Transformationsgleichungen erster Stufe. . . 138 4.4 Herstellung der Klassengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.5 Gruppe der Formenkomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen√im Klassenk¨orper. . . . . 172 4.9 Irreduzibilit¨at der Klassengleichung in (R, D). . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.10 Angaben u¨ ber ambige Klassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.11 Galoissche Gruppe der Klassengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

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Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe. . . . . . . . . 185 5.2 Methoden zur Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . . 193 5.4 Bericht u¨ ber fr¨uhere Untersuchungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.5 Hauptpolygon, Zwischengruppen und Formklassen beim Grade 110. 207 5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.7 Funktionssysteme der Zwischengruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.8 Hauptgruppe und Hauptfunktion des 55sten Transformationsgrades. . 221 (55) 5.9 Zwischengruppen G1,t und Eckenwerte der Hauptfunktion u(ω). . 226 ¨ 5.10 Ubergang zum Transformationsgrade 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.11 Klasseninvarianten und Klassenk¨orper der Diskriminanten −55, −220, −440. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . 237

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Vermischte arithmetische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen. . . . . 245 6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 6.3 Angaben u¨ ber Klassenzahlrelationen h¨oherer Stufen. . . . . . . . . . . . . . 261 6.4 Die Kroneckersche Grenzformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Inhaltsverzeichnis

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Abschnitt III Mechanische und physikalische Anwendungen. 7

Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.1 Das Gelenkviereck und Kurven dritten Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.2.1 Eine Formel von Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.2.2 Ansatz zur Darstellung der Koordinaten durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.2.3 Der Integralmodul k, die Modulfunktion (ω) und Ausartungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.2.4 Gleichungen f¨ur die Parameter u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.2.5 Der Grenzfall d = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.2.6 Gleichungen f¨ur die Parameterhalbierung u/2. . . . . . . . . . . . . 292 7.2.7 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 7.2.8 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. . . 298 7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 7.3.1 Ansatz f¨ur die Parameter μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.3.2 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.3.3 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. . . 305 7.3.4 Gleichungen f¨ur die Parameter μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.3.5 Darstellung der Winkel mit einem Parameter θ. . . . . . . . . . . . 307 7.4 Geometrische Deutung der Winkel ϕ, ψ, χ und der Parameter μ. . . 311

Erg¨anzende Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Register. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Einleitung. Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen.

F¨ur die L¨osung von Aufgaben mittels elliptischer Funktionen, die bis zur Gewinnung von numerischen Endergebnissen getrieben werden m¨ussen, werden hier zun¨achst einleitend Regeln und Methoden zur numerischen Berechnung der in der Theorie der elliptischen Funktionen auftretenden Gr¨ossen zusammengestellt.

0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten. Es sei eine besondere zweibl¨attrige Riemannsche Fl¨ache mit vier Verzweigungspunkten u¨ ber der Ebene einer komplexen Ver¨anderlichen z gegeben. Die Verzweigungspunkte m¨ogen an den Stellen z = e(1) , e(2) , e(3) , e(4) gelegen sein, die die L¨osungen der biquadratischen Gleichung: (1)

c0 z 4 + 4c1 z 3 + 6c2 z 2 + 4c3 z + c4 = 0

sein m¨ogen. Nach I, 121 ff.1 berechnet man aus den Koeffizienten c0 , c1 , . . . die zugeh¨origen Werte der rationalen Invarianten g2 , g3 , J. 000 111 −ρ 2 000 111 Die einfachste irrationale absolute Invariante ist nach 000 111 000 111 000 111 (8) in I, 345 das Doppelverh¨altnis“ λ der vier Verzwei000 111 ” 000 111 gungspunkte, gegeben durch: 000 111 000 0 111 1/2 2 000 111 000 111 (1) (2) (4) (2) 000 111 e −e e −e 000 111 (2) λ = (1) : . 000 111 000 111 e − e(3) e(4) − e(3) −ρ Nach den in I, 345 ff. gegebenen Entwicklungen lassen Fig. 1 sich die Bezeichnungen e(1) , e(2) , e(3) , e(4) in vier Arten so auf die Verzweigungspunkte verteilen, daß der numerische Wert λ einen Punkt des in Fig. 1 schraffierten Bereiches der λ-Ebene liefert. Unter ρ ist die komplexe √ −1+i 3 dritte Wurzel der Einheit verstanden, so daß die beiden Ecken des Be2 1

I, 121 heißt Bd. 1, S. 121.

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

1

2

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen √ 1±i 3 2

reiches bei liegen. Der Kreis durch die beiden Ecken und den Nullpunkt λ = 0 begrenzt links den Bereich, w¨ahrend der rechte Rand die Verbindungsgerade der Ecken ist; vom Rande gilt nur der st¨arker ausgezogene Teil als dem Bereiche angeh¨orig. Um die transzendente Theorie zug¨anglich zu machen, bedarf man zun¨achst der Kenntnis der etwa reduziert“ (vergl. I, 178) gew¨ahlten Perioden ω1 , ω2 des zur ” Riemannschen Fl¨ache geh¨orenden Weierstraßschen Normalintegrals erster Gattung oder auch der entsprechenden Jacobischen Gr¨ossen iK und K (vergl. (6) in I, 370). Als erstes Ziel hat man die Berechnung des Periodenquotienten: ω=

ω1 iK = ω2 K

oder auch der Jacobischen Entwicklungsgr¨osse: K

q = eπiω = e−π K

aus den gegebenen Invarianten anzusehen. Bei der L¨osung dieser Aufgabe sind die Funktionen 00000000 11111111 zweiter Stufe, und damit das Doppelverh¨altnis λ, denen 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 der ersten Stufe, den rationalen Invarianten, u¨ berlegen. 00000000 11111111 00000000 11111111 Der reduzierte“ Periodenquotient ω liefert bekanntlich 00000000 11111111 ” 00000000 11111111 00000000 11111111 einen Zahlwert, dessen Bildpunkt in der positiven ω00000000 11111111 00000000 11111111 Halbebene dem in Fig. 2 schraffierten Bereiche angeh¨ort; i 00000000 11111111 2 00000000 ρ 11111111 −ρ dieser Bereich zieht l¨angs der imagin¨aren ω-Achse ins Unendliche, wir sagen nach der Spitze ω = i∞“, und vom ” Rande geh¨ort nur der stark ausgezogene Teil dem Bereiche e an. Der Ausdruck von ω in λ = k 2 ist nun aus den Formeln (11) in I, 465 unmittelbar zu entnehmen. Man erh¨alt: ω=0

Fig. 2

(3) πiω = −π

F1 ( 12 , 12 ; k 2 ) K = log k 2 − 4 log 2 + , K F ( 12 , 12 , 1; k2 )

wo F1 und F die a. a. O. angegebenen Potenzreihen sind. Der Quotient dieser beiden Reihen werde in eine in der Umgebung von k 2 = 0 konvergente Reihe entwickelt: (4)

1 13 23 2701 πiω = log k 2 − 4 log 2 + k 2 + 6 k 4 + 6 k 6 + 15 k 8 + · · · . 2 2 2 ·3 2

Man kann dieser Gleichung auch die Gestalt geben: √ √ 4 √ 12 √ 8 πiω 368 k k k k = log +2 (5) + 13 + 4 2 2 2 3 2 √ 16 k 2701 + ··· . + 2 2

0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten

3

Durch Vermittlung der Exponentialreihe folgt weiter: √ 5 √ √ 9 √ 13 1 k k k k +2 (6) + 15 + 150 q4 = 2 2 2 2 √ 17 k + 1707 + ··· , 2 sowie hieraus endlich durch Erheben zur vierten Potenz: (7)

q=

1 2 1 21 31 6257 k + 5 k 4 + 10 k 6 + 11 k 8 + 19 k 10 + · · · . 24 2 2 2 2

Aus dem Vergleich der diedrisch geteilten Ebene von λ = k 2 (vergl. Fig. 83 in I, 445) mit der Dreiecksteilung der ω-Halbebene geht hervor, daß die vorliegenden Reihen f¨ur |k| < 1 konvergent sind, w¨ahrend der Punkt λ = k 2 = 1, dem Werte ω = 0 entsprechend, der am Nullpunkte der λ-Ebene n¨achst gelegene irregul¨are Punkt ist. Alle f¨ur uns in Betracht kommenden Werte von λ = k 2 (vergl. Fig. 1) liegen im Innern des Konvergenzkreises, abgesehen von den beiden Ecken λ = −ρ2 und −ρ, bei denen man aber von vornherein die zugeh¨origen Werte ω = ρ und −ρ2 kennt. F¨ur den Gebrauch der aufgestellten Reihen ist es n¨otig zu wissen, ob alle Koeffizienten der Potenzen von k 2 positiv sind oder nicht. Hier¨uber ist bei der vorhin vollzogenen Herstellung der Reihen nicht ohne weiteres zu entscheiden. Es soll demnach noch eine zweite Art, die vorstehenden Formeln zu entwickeln, angegeben werden, bei der zugleich die aufgeworfene Frage im bejahenden Sinne beantwortet wird. Man gehe von dem Ansatze aus: (8)

πiω = 2 log k − 4 log 2 + a1 k 2 + a2 k 4 + a3 k 6 + a4 k8 + · · ·

und setze entsprechend der Landenschen Transformation2 2ω an Stelle von ω, wobei k nach (2) in II, 492 in: √ 1 − k 1 − 1 − k2 k2 √ √ k1 = k(2ω) = = = 1 + k 1 + 1 − k2 (1 + 1 − k 2 )2 u¨ bergeht. Aus (8) folgt somit: 2πiω = 4 log k − 4 log(1 +

1 − k 2 ) − 4 log 2 + a1 k12 + a2 k14 + a3 k16 + · · · ,

so daß der Vergleich mit (8) ergiebt: (9) 2(a1 k 2 +a2 k 4 +a3 k 6 +· · · ) = −4 log(1+ 1 − k 2 )+4 log 2+a1 k12 +a2 k14 +· · · .

Die Transformation ersten Grades ω = ω + 1 ergiebt zwar Relationen zwischen den a1 , a2 , a3 , . . . , aus denen diese Koeffizienten aber noch nicht berechenbar sind. 2

4

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

F¨ur |k| < 1 kann man die Quadratwurzel nach der binomischen Reihe entwickeln und gewinnt: 1 2 1 4 1 6 5 8 2 log 1 + 1 − k = log 2 + log 1 − k − k − k − k − ··· , 4 16 32 256 wo in der letzten Klammer alle Koeffizienten abgesehen vom Absolutgliede negativ sind. Mit Benutzung der Logarithmusreihe folgt weiter: − log(1 +

1 − k 2 ) + log 2 =

1 2 3 5 35 8 k + k4 + k6 + k + ··· 4 32 96 1024

mit durchweg positiven Entwicklungskoeffizienten. Die Gleichung (9) ergiebt als identisch bestehend: (10) 3 5 35 8 2a1 k 2 +2a2 k 4 +2a3 k 6 +· · · = k 2 + k4 + k 6 + k +· · ·+a1 k12 +a2 k14 +· · · , 8 24 256 wo (um es zu wiederholen) die Koeffizienten der ersten rechts stehenden Reihe durchweg positiv sind. Nun findet man weiter f¨ur k1 folgende in der Umgebung von k 2 = 0 konvergente Entwicklung: √ (1 − 1 − k 2 )2 5 4 7 6 1 1 2 2 + k k k = k + + + · · · , k1 = k2 4 8 64 128 wo wieder alle Koeffizienten positiv sind. Demnach treten endlich auch bei der Gleichung: 4n 1 n 2 2n 4n k1 = k + 4n k + · · · 2 2 in der Klammer ausnahmslos positive Entwicklungskoeffizienten auf. Tr¨agt man in (10) rechter Hand f¨ur k12 , k14 , k16 , . . . die hiermit sich ergebenden Potenzreihen in k 2 ein und ordnet die rechte Seite von (10) nach ansteigenden Potenzen von k 2 an, so ergiebt der Vergleich gleich hoher Potenzen von k 2 rechts und links zur Bestimmung der Koeffizienten a1 , a2 , a3 , . . . die Gleichungen: 2a1 = 1 ,

2a2 = 2a4 =

35 256

3 8

+

+

1 16 a1

7 128 a1

,

+

2a3 = 1 256 a2

5 25

+

1 16 a1

,

, ... .

Auch weiterhin findet man f¨ur 2an stets einen linearen Ausdruck mit durchweg positiven rationalen Koeffizienten in a1 , a2 , . . . , a n oder in a1 , a2 , . . . , a n−1 , 2

2

je nachdem n gerade oder ungerade ist. Damit berechnen sich die a1 , a2 , a3 , . . . durchweg als positive rationale Zahlen. Insbesondere f¨uhren die wirklich ausgerechneten Rekursionsformeln zu einer Best¨atigung der schon in (4) angegebenen Anfangskoeffizienten. Daß auch in den weiteren Reihen (5), (6) und (7) die Koeffizienten durchweg positiv sind, ist nun selbstverst¨andlich.

5

0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten

Bei der Berechnung von ω oder q aus k 2 mittels der angegebenen Formeln wendet man zweckm¨assig vorerst einmal die Landensche Transformation an. Schreibt man λ statt k 2 und setzt k12 = λ1 , so gilt nach (2) in II, 492:3 λ1 =

λ2 √ . (1 + 1 − λ)4

Mittels dieser Gleichung hat man den in Fig. 1 dargestellten Bereich von λ auf die λ1 -Ebene abzubilden. Das Bild bedeckt einfach den in Fig. 3 schraffierten ganz nahe am Nullpunkte liegenden Bereich. Von den Randpunkten ist der mit a bezeichnete bei: √ λ1 = (−1 + 2)4 = 0, 02944 . . . 000 111 000 111 000 111 000 111 a b 1 dem Nullpunkte am n¨achsten und der 000 111 mit b bezeichnete bei: √ λ1 = −(2 − 3)2 = −0, 07180 . . .

λ1=

2

Fig. 3

dem Nullpunkte am fernsten . Hiernach kommen nur noch Zahlen λ1 = k12 in Betracht, deren Betr¨age der Ungleichung: 4

|λ1 | < 0, 072

(11)

gen¨ugen. Die Reihen konvergieren f¨ur solche Werte λ1 sehr schnell. Um in dieser Hinsicht genauere Angaben zu machen, entnehmen wir aus (6) durch Aus¨ubung der Landenschen Transformation: √ 2 3 4 1 k1 λ1 λ1 λ1 λ1 (12) q 2 = 1 + 2 + 15 +R, + 150 + 1707 2 16 16 16 16 unter R den Reihenrest verstanden: √

k1 a5 λ51 + a6 λ61 + a7 λ71 + · · · . (13) R= 2 Da alle Koeffizienten a5 , a6 , . . . positiv sind und die Bedingung (11) erf¨ullt ist, so gilt f¨ur den Absolutwert des Reihenrestes die Ungleichung: (14)

|R| <

1 4 0, 072 a5 (0, 072)5 + a6 (0, 072)6 + · · · . 2

Man weiß nun aus Entwicklungen des zweiten unten folgenden Abschnitts, daß f¨ur:

3

Vgl. die Umformung nach Gl. (8), S.3. [Anm. d. Hrsg.] Man beweist leicht, daß |λ1 | als Funktion von λ auf der Geraden zwischen λ = keinen Extremwert annimmt. 4

1 2

und λ = −ρ2

6

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

k = −1 + die Werte:

√

2 < 0, 4142136

√ ω=i 2,

1

π − √ 2 2

q4 = e

zutreffen. Aus (14) folgt die um so mehr bestehende Ungleichung: √ √ √ 5 4 0,072·(0,072)5 1 4 · −1 + 2 a (−1 + 2) |R| < √ √ √ 5 4 2 −1+ 2(−1+ 2)5 √

+ a6 (−1 + 2)6 + · · · . Der erste Bruch rechts ist < 0, 000126; der u¨ brige Bestandteil der rechten Seite hat zufolge der eben gemachten Angaben nach Formel (6) den Wert: √ √ π √ √ 2 √ 3 − √ 2 3−2 2 3−2 2 3−2 2 e 2 2 − −1+ 1 + + 15 + 150 2 8 16 16 √ 4 2 . + 1707 3−2 16 Man stellt fest, daß diese Zahl < 0, 0000015 ist. Hieraus geht hervor, daß der absolute Betrag des Restgliedes R in (12) sicher < 2 · 10−10 ist. Vornehmlich wichtig ist der Fall reeller Koeffizienten c in der Gleichung (1). Das gew¨ahlte λ ist dann entweder reell und dem Intervall 0 < λ 12 angeh¨orig, oder es liefert einen Punkt auf dem stark ausgezogenen Rande des schraffierten Bereiches der Fig. 1. Sollte der Punkt dem von λ = 12 nach λ = −ρ ziehenden geraden Teile des Randes angeh¨oren, so u¨ be man die Substitution: λ =

−1 λ−1

aus und gewinnt dadurch einen Punkt auf dem durch λ = −ρ und λ = 2 begrenzten Kreisbogen des Radius 1 um λ = 1 (vergl. Fig. 1). Es l¨auft dies darauf hinaus, daß wir jetzt nicht mit dem reduzierten ω, sondern mit einem ω auf der Verbindungsgeraden des Punktes ω = ρ mit der Ecke e in Fig.2 arbeiten. Hat man nun ein λ auf dem unteren Halbkreise des Radius 1 um λ = 1 (vergl. Fig.1) und also ein ω auf der Geraden zwischen e und ω = i∞ (vergl. Fig.2), so ist dieser Fall leicht reduzierbar auf den Fall eines reellen λ des Intervalles 0 < λ < 12 . Man u¨ be n¨amlich einmal die Landensche Transformation aus und gelangt zu: λ =

λ2 √ , (1 + 1 − λ)4

ω = 2ω ,

wo λ reell im Intervalle −1 < λ < 0 und ω = −1 + iη mit η > 1 ist. Schreibt man endlich: λ , ω = ω + 1 , λ = λ −1

7

0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten

so hat man ein reelles λ des Intervalles 0 < λ < 12 und ein ω = iη mit η > 1, womit der genannte einfache Fall erreicht ist. F¨ur diesen Fall hatte bereits J a c o b i5 eine Tafel berechnet, die sich sogar auf das Intervall 0 < λ < 1 bezieht. Mit Jacobi nehmen wir als Argument nicht λ = k 2 , sondern α = arcsin k; dabei wird α in Graden gemessen, so daß wir das Intervall von α = 0◦ bis α = 90◦ haben. Die Jacobische Tafel schreitet nach Zehnteln eines Grades fort und giebt die Werte (10 log q+10) mit f¨unf Dezimalstellen. Am Schlusse der Einleitung ist unter I. eine f¨unfstellige Tafel f¨ur (10 log q + 10) abgedruckt, die nach Zw¨olfteln eines Grades fortschreitet6 . Nach Berechnung von q und damit von ω gilt es weiter, die reduzierten Perioden selbst zu berechnen. Da man (vergl. die Formeln (6) in I, 370): ω2 = √

2K , e2 − e1

ω1 = √

2iK , e2 − e1

K = −iKω

hat, so d¨urfen wir unsere Aufgabe auf die Berechnung von K beschr¨anken. Unmittelbar ist K als Funktion von λ = k 2 nach I, 465 durch: 2 2 2 3 5 1 π 1 3 1 1+ · · · (15) K= λ+ λ2 + λ3 + · · · 2 2 2 4 2 4 6 dargestellt. Aber wenn auch diese Reihe f¨ur ein λ im Innern des Bereiches der Fig.1 konvergent ist, so ist sie doch gleichwohl nur sehr schlecht konvergent, wenn der absolute Betrag von λ = k 2 nicht hinreichend klein ist. Man h¨atte also n¨otigenfalls erst ein oder zwei Male die Landensche Transformation auszu¨uben, wof¨ur in II, 492 die n¨otigen Formeln entwickelt sind. Nat¨urlich ist es auch m¨oglich, ganz von der Darstellung (15) abzusehen und die Berechnung von K allein auf die wiederholte Landensche Transformation und damit auf das arithmetisch-geometrische Mittel von G a u ß zu gr¨unden. In dieser Hinsicht sei zun¨achst an die von J a c o b i aufgestellten unendlichen Produkte f¨ur K erinnert, die durch die Gleichungen (12) und (14) in II, 494 gegeben sind. Noch geeigneter ist die ebenda unter (20) gewonnene Formel: (16)

K=

π , 2M (1, k )

√ wo k = 1 − λ ist und M (1, k ) das arithmetisch-geometrische Mittel zwischen 1 und k ist. F¨ur reelle Werte von λ im Intervalle 0 < λ < 12 ist diese Formel zur numerischen Berechnung von K sogar ausserordentlich geeignet, da der Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels sehr schnell konvergiert. Als Beispiel werde λ = 12 , k = √12 gew¨ahlt und der Wert:

5

Vergl. J a c o b i’s Werke, Bd. 1, S. 363 ff. Vergl. die im Trait´e de calcul int´egral“ von B e rt ra nd (Paris, 1870) mitgeteilte Tafel, die ” gegen¨uber Jacobi die Zw¨olfteilung des Grades bevorzugt.

6

8

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

K=

π π √ =√ 1 √ 2M (1, 2 ) 2M ( 2, 1)

bestimmt. Man hat also in die Formelkette (17) in II, 495 f¨ur a0 und b0 die Werte √ 2 und 1 einzutragen. Man findet nach der von G a u ß durchgef¨uhrten Rechnung7 : a1 = 1, 20710.67811.86547.52440 . . . , b1 = 1, 18920.71150.02721.06671 . . . , a2 = 1, 19815.69480.94634.29555 . . . , b2 = 1, 19812.35214.93120.12260 . . . , a3 = 1, 19814.02347.93877.20908 . . . , b3 = 1, 19814.02346.77307.20579 . . . , a4 = 1, 19814.02347.35592.20744 . . . , b4 = 1, 19814.02347.35592.20743 . . . . Bei der zweiten Anwendung des Algorithmus findet man also das Mittel bereits auf vier Stellen genau, bei der dritten auf neun Stellen und bei der vierten sogar auf 19 Dezimalstellen genau. Als Wert f¨ur K selbst ergiebt sich: K = 1, 8540746 . . . 8 . Nicht minder geeignet f¨ur die numerische Berechnung von K ist die aus (21) in I, 419 folgende Entwicklung: 2K (17) = 1 + 2q + 2q 4 + 2q 9 + 2q 16 + · · · , π wo rechts die Reihe f¨ur den Nullwert der ϑ3 -Funktion steht. Man hat sich dabei auf den aus den Invarianten bereits berechneten Wert von q zu st¨utzen. Die f¨ur einen reduzierten Periodenquotienten in Betracht kommenden Werte von q entsprechen (vergl. Fig.2, S. 2) der Ungleichung: |q|

√ π 3 − 2 e

< 0, 066 .

Unter dieser Voraussetzung ist die Reihe (17) ausserordentlich schnell konvergent. Nimmt man nur die beiden ersten Reihenglieder, so ist der Reihenrest absolut bereits < 0, 00004, so daß man f¨ur den in (17) links stehenden Ausdruck einen N¨aherungswert erh¨alt, dessen Differenz gegen den genauen Wert absolut kleiner als eine halbe Einheit der vierten Dezimalstelle ist. Nimmt man das n¨achste Glied 2q 4 noch hinzu, so sinkt der Absolutbetrag des Reihenrestes in (17) rechts sogar unter 6 · 10−9 herab. W¨ahlt man wieder als Beispiel λ = 12 , also: q = e−π = 0, 04321.39182.6 . . . ,

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Vergl. G a u ß’ Werke, Bd. 3, S. 364. G a u ß hat eine nach halben Graden fortschreitende Tafel mit siebenstelliger Genauigkeit f¨ur die arithmetisch-geometrischen Mittel zwischen 1 und den Sinus der Winkel von 0◦ bis 90◦ berechnet (mitgeteilt in Bd. 3 von Gauß’ Werken, S. 403), die man zur Berechnung von K auf Grund von (16) benutzen kann. 8

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0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten

so findet man:

2K = 1, 08643.48112.1 . . . , π K = 1, 85407.46804 . . .

In L e g e n d r e’s Trait´e des fonctions elliptiques etc.“ (Paris, 1825 bis 1828), ” Bd. 2, ist f¨ur die reellen λ = k 2 des Intervalles 0 < λ < 1 eine Tafel der numerischen Werte von K mitgeteilt. Als Argument ist wieder α = arcsin k benutzt, so daß das Intervall von α = 0◦ bis 90◦ in Betracht kommt. Die Tafel schreitet nach Graden fort und giebt die Werte von K auf zw¨olf Dezimalstellen. Die Legendresche Tafel f¨ur K ist auf 10 Stellen gek¨urzt am Schlusse der Einleitung unter II wiedergegeben. Ist die letzte Ziffer oder sind die letzten Ziffern u¨ berstrichen, so bedeutet das hier und weiterhin, daß der angegebene Wert um weniger als die H¨alfte einer Einheit der letzten Stelle zu gross ist. Weiter ist am Schlusse der Einleitung unter III eine nach halben Graden fortschreitende Tafel der Werte 10 log K auf sieben Dezimalstellen mitgeteilt. Die Tafeln geben f¨ur das einzelne α immer auch K als das zum Komplementwinkel von α geh¨orende K. Die letzte Tafel ist f¨ur Interpolationsrechnungen brauchbar, da sich bereits die zweiten Differenzen langsam a¨ ndern. Die Perioden E und E des Legendreschen Normalintegrals zweiter Gattung sind durch die Gleichungen (14) in I, 373 gegeben. Hat man K und K bereits berechnet, so kann man sich auf die Berechnung von E beschr¨anken und hernach E vermittels der Legendreschen Relation: KE + K E − KK =

π 2

bestimmen. Es liegt dann am n¨achsten, f¨ur E aus der Erkl¨arung dieser Periode die Potenzreihe: 12 2 12 12 · 32 π 4 6 1 − 2 · k − 2 2 · 3k − 2 2 2 · 5k − · · · (18) E= 2 2 2 ·4 2 ·4 ·6 herzustellen, die f¨ur |k| < 1 konvergent ist. Indessen konvergiert diese Reihe, wenn nicht |k| bereits sehr klein ist, keineswegs sehr schnell. Es empfiehlt sich demnach, an Stelle von E zun¨achst die Periode η2 des Weierstraßschen Normalintegrals zweiter Gattung zu berechnen, die nach I, 372 zu E in der Beziehung steht: √ 2e2 K η2 = 2 e2 − e1 E − √ . e2 − e1 Dann kann man sich, nachdem q und ω2 bereits berechnet sind, zur Bestimmung von η2 der aus (15) in I, 271 folgenden Reihe: (19)

1 η2 ω2 q2 2q 4 3q 6 4q 8 − = + + + + ··· 24 8π 2 1 − q2 1 − q4 1 − q6 1 − q8

10

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

bedienen. Da |q| < 0, 066 gilt, so konvergiert diese Reihe gut. Nimmt man z. B. nur die beiden ersten Reihenglieder, so ist der Reihenrest absolut genommen, wie die Absch¨atzung zeigt, bereits kleiner als eine Einheit der vierten Dezimalstelle. F¨ur die reellen Werte von λ = k2 zwischen 0 und 1 hat L e g e n d r e im zweiten Bande seines oben genannten Werkes eine nach Graden fortschreitende zw¨olfstellige Tafel mitgeteilt. Am Schlusse der Einleitung sind unter II und III nach Graden bezw. halben Graden fortschreitende Tafeln f¨ur E und 10 log E mit zehn bezw. sieben Dezimalstellen gegeben, die mit den Tafeln f¨ur K vereint sind. Die Tafeln liefern wieder zugleich E als das zum Komplementwinkel von α geh¨orende E.

0.2 Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden. Weit einfacher erledigt sich die Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden ω1 , ω2 , da man hier an die Reihen f¨ur die Nullwerte der drei geraden ϑ-Funktionen ankn¨upfen kann, die f¨ur ein ω des Bereiches der Fig. 2 (S. 2) sehr schnell konvergieren. Nach Bestimmung von q hat man zur Berechnung jener Nullwerte nach I, 419 die Reihen: ϑ0 = 1 − 2q + 2q 4 − 2q 9 + 2q 16 − 2q 25 + . . . , (1)

1

ϑ2 = 2q 4 (1 + q 2 + q 6 + q 12 + q 20 + . . . ) , ϑ3 = 1 + 2q + 2q 4 + 2q 9 + 2q 16 + 2q 25 + . . . .

Da |q| < 0, 066 gilt, so ist, falls man sich nur der beiden ersten Reihenglieder bedient, der Fehler bei ϑ0 und ϑ3 absolut bereits < 4 · 10−5 und bei ϑ2 sogar < 2 · 10−7 . Benutzt man die N¨aherungsformeln: (2) ϑ0 = 1 − 2q + 2q 4 ,

1

ϑ2 = 2q 4 (1 + q 2 + q 6 ) ,

ϑ3 = 1 + 2q + 2q 4 ,

so ist der Fehler bei ϑ0 und ϑ3 absolut < 6 · 10−9 und bei ϑ2 absolut < 4 · 10−10 . Ist insbesondere das Periodenverh¨altnis ω rein imagin¨ar, so gilt f¨ur die in diesem Falle reelle positive Zahl q die Ungleichung q < 0, 0433. Der in (2) gegebene Wert ϑ0 ist dann zwar etwas zu groß und der Wert ϑ3 etwas zu klein; aber der Fehler ist in beiden F¨allen < 3·10−10 . Auch ϑ2 ist etwas zu klein, aber der Fehler ist < 2·10−12 . Liegt ω auf dem stark ausgezogenen Rande des Bereiches der Fig. 2 (S. 2), so −1 wird man, falls |ω| = 1 ist, statt ω lieber den Periodenquotienten ω = ω+1 ge1 1 brauchen. Man hat dann nur noch Werte ω = − 2 + iη mit η 2 . Die zugeh¨origen Werte ϑ0 und ϑ3 sind konjugiert imagin¨ar: ϑ0 = ϕ + iψ ,

ϑ3 = ϕ − iψ ,

wo ϕ und ψ als reelle positive Gr¨ossen gegeben sind durch: ϕ = 1 + 2q 4 + 2q 16 + . . . ,

ψ = 2|q|(1 + q 8 + q 24 + . . . ) .

11

0.2 Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden

Man u¨ be dann einmal die Landensche Transformation aus, wof¨ur die Formeln in II, 494 ff. gegeben sind. Setzt man: q = −q 2 = e−2πη , so ist wegen η 12 jetzt wieder q reell, positiv und < 0, 0433. Man berechne wie oben ϑ0 (q ) und ϑ3 (q ) und findet durch Umkehrung des Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels: ⎧ ⎪ ⎨ ϑ0 = + ϑ0 (q )2 + i ϑ3 (q )2 − ϑ0 (q )2 , (3) ⎪ ⎩ ϑ3 = + ϑ0 (q )2 − i ϑ3 (q )2 − ϑ0 (q )2 . F¨ur die Berechnung von ϑ2 benutze man nach (23) in I, 419 die Beziehung: ϑ2 = 4 ϑ43 − ϑ40 . Aus den drei ϑ-Nullwerten werden nun die Invarianten auf Grund bekannter Formeln gewonnen. Man findet zun¨achst die achte Wurzel der Diskriminante nach I, 433: √ π 2π 8 (4) Δ= ϑ0 ϑ2 ϑ3 . ω2 ω2 Weiter folgert man aus (21) in I, 419:

(5)

⎧ 2 1 π ⎪ ⎪ e = − (ϑ42 + ϑ43 ) , ⎪ 1 ⎪ ⎪ 3 ω 2 ⎪ ⎪ 2 ⎨ 1 π e2 = + (ϑ40 + ϑ43 ) , ⎪ 3 ω 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 π ⎪ ⎩ e3 = − (ϑ40 − ϑ42 ) , 3 ω2

woraus dann weiter die rationalen Invarianten g2 und g3 in der Gestalt: (6)

g2 = −4(e2 e3 + e3 e1 + e1 e2 ) ,

g3 = 4e1 e2 e3

gewonnen werden. Der Wert der absoluten rationalen Invariante J berechnet sich aus: (7)

J : (J − 1) : 1 = g23 : 27g32 : Δ .

Die Quotienten der ϑ-Nullwerte liefern nach I, 419: (8)

√

k=

ϑ2 , ϑ3

√

k =

ϑ0 ϑ3

12

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

und damit in der vierten Potenz des ersten Quotienten die absolute irrationale Invariante λ = k 2 . Ein numerisches Beispiel wird die ausserordentliche Genauigkeit der Formeln (2) mit den drei ersten Reihengliedern noch besser veranschaulichen. Wir√setzen etwa ω = 2i und berechnen aus (2) und (8) einen N¨aherungswert von k(2i). Zun¨achst hat man folgende Werte9 : π

e− 2

= 0, 207.879.576.350.761 . . . ,

e

−π

= 0, 043.213.918.263.772 . . . ,

e

−2π

= 0, 001.867.442.731.707.988 . . . ,

e−4π = 0, 000.003.487.342.356.208.995 . . . , e−8π = 0, 000.000.000.012.161.556.709 . . . , e−12π = 0, 000.000.000.000.000.042.411.511 . . . . Hieraus findet man mit 15-stelliger Genauigkeit10 f¨ur ϑ2 und ϑ3 : ϑ2 = 0, 415.760.602.596.025 . . . , ϑ3 = 1, 003.734.885.487.739 . . . . Beim Quotienten von ϑ2 und ϑ3 wird bei Benutzung dieser Werte die 15te Stelle unsicher. Man findet: √ (9) k(2i) = 0, 414.213.562.373.093 . . . . Das Ergebnis kann man pr¨ufen. Da n¨amlich k2 (i) = 12 ist, so ergiebt die Landensche Transformation nach (2) in II, 492: √ √ k(2i) = −1 + 2 . Nun ist der auf 15 Stellen genaue Wert (vergl. G a u ß’ Werke, Bd. 3, S. 364): √ −1 + 2 = 0, 414.213.562.373.095 . . . . Der N¨aherungswert (9) weicht also in der Tat erst in der 15ten Stelle vom genauen Werte ab, n¨amlich um zwei Einheiten dieser Stelle. Begn¨ugt man sich mit zweigliedrigen Ann¨aherungen: (10)

ϑ0 = 1 − 2q ,

1

ϑ2 = 2q 4 (1 + q 2 ) ,

ϑ3 = 1 + 2q ,

so sind die Reihenreste im vorliegenden Beispiele < 3 · 10−11 . Man findet: 9

Vergl. G a u ß’ Werke, Bd. 3, S. 426 ff. F¨ur den vorliegenden Wert q ist bei Benutzung der drei ersten Reihenglieder der Reihenrest absolut kleiner als 2 · 10−19 . 10

0.3 Berechnung der elliptischen Funktionen

13

ϑ2 = 0, 415.760.602.594 . . . , ϑ3 = 1, 003.734.885.463 . . . . Bei Berechnung des Quotienten wird die zehnte Stelle unsicher. Man erh¨alt: √ k(2i) = 0, 414.213.562.38 . . . , so daß sogar die zehnte Stelle noch richtig und erst die elfte Stelle um eine Einheit zu groß ist. Man vergleiche hiermit die Genauigkeit, die eine auf die Tafel I (S. 22–25) gegr¨undete Interpolationsrechnung bei Gebrauch einer siebenstelligen Logarithmentafel hat. Man findet f¨ur ω = 2i: 10

log q + 10 = 7, 271.247.5 ,

wof¨ur die Tafel I beim Interpolieren: α = 9◦ 52 46 liefert. Daraus erh¨alt man: (11)

k(2i) = 0, 171.575.63 . . . ,

w¨ahrend der auf 13 Stellen genaue Wert: √ k(2i) = 3 − 2 2 = 0, 171.572.875.253.8 . . . ist. Der N¨aherungswert (11) ist also bereits in der sechsten Dezimalstelle um zwei ¨ Einheiten zu groß. Die Uberlegenheit der auf die Reihen gegr¨undeten Rechnungen ist damit evident.

0.3 Berechnung der elliptischen Funktionen bei gegebenem Argumente und gegebenen Perioden. An dritter Stelle behandeln wir die Aufgabe, bei gegebenem Argumente u und gegebenen Perioden ω1 , ω2 die elliptischen Funktionen zu berechnen. Das Periodenpaar sei reduziert gew¨ahlt. Die zugeh¨origen Werte der algebraischen Invarianten, sowie n¨otigenfalls die Perioden des Integrals zweiter Gattung denken wir nach 0.2 und 0.1 berechnet. An Stelle von u wird man demnach auch: √ u (1) v= oder w = u e2 − e1 ω2 als gegebenes Argument benutzen k¨onnen. Das Argument ist auf ein Periodenparallelogramm zu beschr¨anken. Arbeitet man z. B. mit v, so wird der gegebene Wert v

14

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

in der v-Ebene zweckm¨assig dem in Fig. 4 schraffierten Parallelogramm der Ecken ω+1 ω−1 −ω+1 −ω−1 angeh¨orig anzunehmen sein, wobei der Gitterpunkt ω der 2 , 2 , 2 , 2 Parallelogrammteilung im Bereiche der reduzierten Periodenquotienten liegt. Nach den eben gemachten Erfahrungen wird man die Berechnung der elliptischen Funktionen auf die vier ϑ-Reihen gr¨unden: ⎧ ϑ0 (v) = 1 − 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv − 2q 9 cos 6πv + · · · , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 9 25 ⎪ ⎪ ⎨ ϑ1 (v) = 2q 4 sin πv − 2q 4 sin 3πv + 2q 4 sin 5πv − · · · , (2) 1 9 25 ⎪ ⎪ ϑ2 (v) = 2q 4 cos πv + 2q 4 cos 3πv + 2q 4 cos 5πv + · · · , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϑ3 (v) = 1 + 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv + 2q 9 cos 6πv + · · · . Dabei sind zufolge Fig.4 nur Argumente der Gestalt: (3)

v=

λω + μ 2

zuzulassen, wo λ und μ reelle Zahlen des Intervalles −1 λ, μ +1 sind. Wir haben nun die Fehler abzusch¨atzen, die den Ergebnissen anhaften, wenn man in (2) etwa die drei ersten Reihenglieder zul¨aßt. Eine Fehlergrenze ist in jedem besonderen Falle leicht angebbar. Allgemein v=ω v = ω +1 gilt folgende Absch¨atzung: Man hat erstlich f¨ur ϑ0 die Darstellung: 0000000 1111111 0000000 1111111 ω ϑ0 (v) = 1 − ε−1 q 1−λ + ε−2 q 4−2λ − ε−3 q 9−3λ + 0000000 1111111 2 0000000 1111111 0000000 1111111 · · · − εq 1+λ + ε2 q 4+2λ − ε3 q 9+3λ + · · · , 0000000 1111111 0000000 1111111 1 0000000 −1111111 0000000 1111111 v=0 2 v=1 12 0000000 1111111 wo ε die Zahl eπiμ des absoluten Betrages 1 ist. Da 0000000 1111111 0000000 1111111 |λ| 1 gilt, so ist, wenn man die drei ersten Rei0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 henglieder zul¨aßt, der Reihenrest, absolut genom0000000 1111111 −ω men: 2 Fig. 4

|R| < 2 |q|6 + |q|12 + |q|20 + · · · <

2|q|6 . 1 − |q|6

Da |q| < 0, 066 gilt, so findet man leicht |R| < 17 · 10−8 . Handelt es sich um ein Periodenrechteck, so ist |q| < 0, 044. Dann findet man sogar |R| < 15 · 10−9 . Dieselbe Absch¨atzung gilt f¨ur ϑ3 (v), so daß man bei Benutzung von drei Reihengliedern bereits sehr genaue Werte dieser Funktionen erh¨alt. Bei der zweiten und dritten Reihe (2) ist, wenn man auch hier drei Glieder benutzt, der Reihenrest, absolut genommen, noch kleiner als bei der ersten und vierten, so daß bei Benutzung der N¨aherungsformeln:

15

0.4 Berechnung der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung

⎧ ϑ0 (v) = 1 − 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 9 25 ⎪ ⎪ ⎨ ϑ1 (v) = 2q 4 sin πv − 2q 4 sin 3πv + 2q 4 sin 5πv , (4)

1 9 25 ⎪ ⎪ ⎪ ϑ2 (v) = 2q 4 cos πv + 2q 4 cos 3πv + 2q 4 cos 5πv , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϑ (v) = 1 + 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv 3

f¨ur alle in Betracht kommenden Werte v und ω ziemlich genaue Werte der ϑ-Funktionen gewonnen werden11 . Die weiteren Berechnungen sind nach bekannten Regeln zu vollziehen. Die Jacobischen doppeltperiodischen Funktionen sn w, cn w und dn w findet man nach I, 420 auf Grund der Formeln: √ 1 ϑ1 (v) ϑ3 (v) k ϑ2 (v) (5) sn w = √ · , cn w = · , dn w = k · . k ϑ0 (v) ϑ0 (v) k ϑ0 (v) Hieraus berechnen sich endlich die Weierstraßschen Funktionen nach I, 389 in der Gestalt: √ e2 − e1 cn w · dn w (6) ℘(u) = e1 + , ℘ (u) = −2( e2 − e1 )3 · . (sn w)2 (sn w)3

0.4 Berechnung der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung bei gegebenen Grenzen und Invarianten.

8

Bei der Berechnung des elliptischen Integrals erster Gattung f¨ur vorgeschriebene obere Grenze und bei gegebenen algebraischen Invarianten wird angenommen, daß die Perioden nach 0.1 bereits berechnet sind. 1 ( iK ) k Es ist dann wegen der Beziehungen (1), S. 13 − 1 k gleichg¨ultig, ob man auf die Berechnung von 1 i −1 k u, v oder w ausgeht. Bevorzugt man w, so hat k k man aus der Gleichung: 1( K ) −1 0 (0) z dz 1 −i (1) w= −1 k 2 k (1 − z )(1 − k 2 z 2 ) 0 k 1

1

− k bei gegebenen k 2 und z den Wert w zu berechk nen. Fig. 5 Der Wert λ = k 2 kann als dem schraffierten Bereiche der Fig. 1, S. 1, angeh¨orig angenommen werden, was einem reduzierten Periodenpaare ω1 , ω2 entspricht. Nach I, 394 kann ein erstes Abbild der

Die Absch¨atzung des Fehlers ist sehr wenig genau. Liegt insbesondere ω nicht sehr nahe am Rande seines Bereiches (Fig.2, S.2), so bleiben die Fehler weit unterhalb der berechneten Grenze. 11

16

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

vollen z-Ebene auf die Ebene w in der Gestalt des in Fig.5 gezeichneten Rechtecks gew¨ahlt werden. Der Zusammenschluß der Randst¨ucke zur Vollebene z ist durch die Pfeile angedeutet. Die eingetragenen Werte sind die von z; nur die in Klammern stehenden drei Werte geben w. Die beiden Seitenmitten w = ±K liefern die festen Verzweigungspunkte bei z = ±1. Die beiden mit k2 ver¨anderlichen Verzweigungspunkte bei z = ± k1 werden von den Parallelogrammecken w = K + iK , w = −K + iK geliefert. Den Bereich f¨ur den Verzweigungspunkt k1 in der z-Ebene findet man, indem man den in der λ-Ebene gedachten schraffierten Bereich der Fig. 1, S. 1 durch die Gleichung: 1 z=√ λ

(2)

auf die z-Ebene abbildet. Man gewinnt den in Fig.6 schraffierten Bereich, der durch Segmente einer gleichseitigen Hyperbel und einer Lemniskate begrenzt ist. Setzt man z = x + iy, so sind die Gleichungen dieser Kurven: 2(x2 − y 2 ) = 1 ,

(x2 + y 2 )2 = 2(x2 − y 2 ) . √

8

gelegen. Der zur Die in Fig.6 mit e1 und e2 bezeichneten Ecken sind bei z = 3±i 2 rechten Hand der einen Mittellinie in Fig. 5 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 stark ausgezogene Rand liefert den in Fig. 6 11111111111 00000000000 11111111111 gleichfalls stark ausgezogenen Schnitt, der 00000000000 11111111111 1 00000000000 11111111111 1 00000000000 11111111111 k 00000000000 wie auch der Bereich f¨ur k in das Un11111111111 00000000000 11111111111 endliche zieht. Der Verlauf dieses Schnittes 00000000000 11111111111 1 00000000000 e1 11111111111 00000000000 11111111111 ist nur schematisch zu verstehen, d. h. es 00000000000 11111111111 k 00000000000 11111111111 wird nicht behauptet, daß er ein genaues Ab00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 bild des Randes vom Parallelogramm der 0 1 2 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Fig. 5 sei; der von z = 1 bis z = k1 e2 11111111111 00000000000 00000000000 laufende Teil des Schnittes kann als Ver11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 zweigungsschnitt der zweibl¨attrigen Rie00000000000 11111111111 00000000000 mannschen Fl¨ache u¨ ber der z-Ebene dienen. 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Die Fig. 6 muß man dadurch erg¨anzen, daß 00000000000 11111111111 00000000000 man sie um den Nullpunkt z = 0 durch 180◦ 11111111111 00000000000 11111111111 herumdreht; dann hat man das volle Abbild Fig. 6 des Parallelogramms der Fig.5. Man wird nun die obere Grenze z des Integrals (1) auf die so zerschnittene z-Ebene eingrenzen. Der hierbei zu gewinnende Wert w der unendlich-vieldeutigen Funktion (1) m¨oge als Hauptwert“ bezeichnet werden. Alle u¨ brigen Werte gehen ” dann aus dem Hauptwerte bekanntlich in den Gestalten hervor: w + 4mK + 2niK ,

−w + (4m + 2)K + 2niK ,

wo m und n alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen.

0.4 Berechnung der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung

17

Der n¨achstliegende Ansatz zur numerischen Berechnung von w kn¨upft an die

− 1 Entwicklung von 1 − k 2 z 2 2 in die binomische Reihe an. Man hat: z 1 1 3 1 3 5 1 + k2 z2 + · k4 z 4 + · · k6 z 6 (3) w= 2 2 4 2 4 6 0 1 3 5 7 dz + · · · k8 z 8 + · · · √ , 2 4 6 8 1 − z2 wo die Reihe unter der beschr¨ankenden Voraussetzung |z| < | k1 | gleichm¨assig konvergiert und also gliedweise integriert werden kann. F¨ur das Integral zweiter Gattung: z 1 − k2 z 2 (4) Z= dz 1 − z2 0 findet man unter der gleichen Konvergenzbedingung entsprechend: z 1 1 1 1 1 3 1 − k2 z 2 − · k4 z 4 − · · k6 z 6 Z= (5) 2 2 4 2 4 6 0 1 1 3 5 dz − · · · k8 z8 − · · · √ . 2 4 6 8 1 − z2 F¨ur den besonders wichtigen Fall eines Periodenrechtecks und damit reeller positiver K, K ist wenigstens f¨ur reelle Argumente z des Intervalles von 0 bis 1 von L e g e n d r e ein grosses Tafelwerk f¨ur w und Z geschaffen und im zweiten Bande seines Trait´e“ mitgeteilt. Legendre setzt: ” (6)

z = sin ϕ ,

k = sin α

und erstreckt α sogar auf das Intervall von 0◦ bis 90◦ . Man hat hier zun¨achst folgende weitere Entwicklung der Formeln (3) und (5): Man setzt z = sin ϕ in (3) ein und benutze ϕ als Argument. Es ist alsdann gliedweise zu integrieren und die Formel: sin ϕ cos ϕ 2n−4 sin2n ϕ dϕ = 12 · 34 · 56 · · · 2n−1 sin2n−2 ϕ + 2n−1 ϕ 2n ϕ − 2n 2n−2 sin 2n−6 + (2n−1)(2n−3) ϕ + · · · + (2n−1)(2n−3)···5·3 (2n−2)(2n−4) sin (2n−2)(2n−4)···4·2 zu benutzen. Man gelangt so f¨ur das Integral erster Gattung w zu der Entwicklung: 2 2 4 w = Aϕ − sin ϕ cos ϕ B0 + B1 sin2 ϕ + · B2 sin4 ϕ (7) 3 3 5 2 4 6 + · · B3 sin6 ϕ + · · · . 3 5 7

18

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Dabei hat der Koeffizient A die folgende Bedeutung: (8) 2

2

2 A = 1 + 12 k 2 + 12 · 34 k 4 + 12 · 34 · 56 k 6 + 12 ·

3 4

·

5 6

·

7 2 8

k8 + · · · ,

w¨ahrend die Koeffizienten B0 , B1 , B2 , . . . durch: B0 = A − 1 , (9) B2 = A − 1 −

B1 = A − 1 − 1 2 2

k2 −

1 2

·

3 2 4

1 2 2

k2 ,

k4 ,

...

gegeben sind; sie stellen also die Reste der Reihe (8) bei Fortnahme von einem, zwei, drei usw. Anfangsgliedern dar. Die entsprechende Darstellung des Integrals zweiter Gattung ist: 2 2 4 Z = Cϕ + sin ϕ cos ϕ D0 + D1 sin2 ϕ + · D2 sin4 ϕ (10) 3 3 5 2 4 6 + · · D3 sin6 ϕ + · · · . 3 5 7 Der erste Koeffizient C ist gegeben durch: (11) 1 C = 1 − 12 · 12 k 2 − 18 · 12 · 34 k 4 − 16 · 12 ·

3 4

·

5 6

k6 −

5 128

·

1 2

·

3 4

·

5 6

·

7 8

k8 − · · · ,

w¨ahrend sich die u¨ brigen Koeffizienten wieder aus Reihenresten berechnen: D0 = −C + 1 , (12)

D2 = −C + 1 −

D1 = −C + 1 − 1 2

·

1 2

k2 −

1 8

·

1 2

·

3 4

1 2

k4 ,

·

1 2

k2 , ... .

In (7) und (10) ist ϕ im ersten Gliede in Bogenmaß gemessen. Die schon genannten Tafeln L e g e n d r e’s f¨ur die Integrale w und Z schreiten sowohl in bezug auf w als auf α nach Graden fort und beziehen sich f¨ur α auch auf das Intervall von 45◦ bis 90◦ ; sie haben deshalb einen erheblichen Umfang. Die Werte w und Z sind f¨ur das Intervall von α = 0◦ bis 45◦ zehnstellig, dann weiter bis 90◦ neunstellig angegeben. Am Schlusse der Einleitung ist unter IV eine siebenstellige Tafel des Integrals erster Gattung w mitgeteilt, die f¨ur ϕ nach Graden und f¨ur α nach f¨unf Graden fortschreitet. Tafel V giebt entsprechend die Werte des ¨ Integrals zweiter Gattung Z. Eine Uberstreichung der letzten Ziffer oder der letzten Ziffern bedeutet wieder, daß der angegebene Wert um weniger als eine halbe Einheit der siebenten Dezimalstelle zu groß ist. Die Reihen (3) und (5) bleiben nat¨urlich so lange brauchbar, als es sich um ein z im Innern ihres Konvergenzkreises handelt, der den Nullpunkt der z-Ebene (vergl. Fig. 6, S. 16) zum Mittelpunkte hat, und dessen Peripherie durch den Punkt z = k1 hindurchl¨auft. Handelt es sich um ein z ausserhalb dieses Kreises, so hat man zun¨achst eine Transformation vorzunehmen, die darauf hinausl¨auft, die ganze z-Ebene auf das Innere eines Kreises abzubilden. Regeln hierf¨ur sind im Anschluß

0.4 Berechnung der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung

19

an Weierstraß von H. A. Schwarz entwickelt12 und auch von H. Burkhardt ausf¨uhrlich dargestellt13 . Die eben genannten Regeln d¨urften indessen wohl kaum eine ausgedehntere Verwendung bei numerischen Rechnungen gefunden haben, da sie recht umst¨andlich sind. Es ist demnach ein anderer Weg vorzuziehen, der auch hier die schnelle Konvergenz der Thetareihen verwertet. Nach der dritten Formel (27) in I, 420 hat man, wenn dn w in z = sn w ausgedr¨uckt wird und f¨ur ϑ3 (v) und ϑ0 (v) ihre Reihen eingesetzt werden, den Ansatz: √ 1 + 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv + 2q 9 cos 6πv + · · · 1 − k2 z 2 √ . (13) = 1 − 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv − 2q 9 cos 6πv + · · · k Nach den Angaben von S. 14 d¨urfen wir bei allen f¨ur uns in Betracht kommenden Werten v (vergl. das schraffierte Parallelogramm der Fig.4, S. 14) die hier im Z¨ahler und Nenner stehenden Reihen auf die drei ersten Glieder k¨urzen. Setzt man weiter cos 4πv = 2 cos2 2πv − 1, so folgt f¨ur die Berechnung von cos 2πv bei gegebenen z und k die quadratische Gleichung: √ 1 − 2q 4 + 2q cos 2πv + 4q 4 cos2 2πv 1 − k2 z 2 √ . (14) = 1 − 2q 4 − 2q cos 2πv + 4q 4 cos2 2πv k Es bleibt dann noch die Bestimmung von v und damit von w = 2Kv aus dem berechneten Werte von cos 2πv. In vielen F¨allen ist es aber auch schon ausreichend, die Reihen in (13) auf ihre zwei ersten Glieder zu beschr¨anken. Man findet dann die fertige Formel: √ √ K 1 − k2 z 2 − k 1 √ (15) w= arccos ·√ . π 2q 1 − k2 z 2 + k Um diese Formel an einem Beispiele zu pr¨ufen, das mittels der Legendreschen Tafel der Werte w nachgepr¨uft werden kann, w¨ahlen wir zwei reelle Werte z und k, etwa die zu den Winkeln ϕ = 30◦ , α = 40◦ geh¨orenden. Bei Benutzung einer siebenstelligen Tafel f¨ur die Logarithmen der Zahlen und der trigonometrischen Funktionen findet man zun¨achst: 10

log z + 10 =

10

log sin 30◦ + 10 = 9, 698 9700 ,

log k + 10 = √ 10 log k + 10 =

10

log sin 40◦ + 10 = 9, 808 0675 ,

10

1 10 log cos 40◦ 2

+ 10 = 9, 942 1270 .

Hieraus ergiebt sich nach kurzer Zwischenrechnung:

12 Man vergl. H. A. Schwarz Formeln und Lehrs¨atze zum Gebrauche der elliptischen Funktio” nen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Hrn. Prof. K. Weierstraß“, G¨ottingen, 1881 ff., S. 53 u. 67 ff. 13 Man vergl. H. Burkhardt Elliptische Funktionen“, Leipzig, 1906, § 120 ff. ”

20

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

1 − k 2 z 2 = 0, 946 9457 , F¨ur den Kosinus von

πw K

√ k = 0, 875 2396 .

findet man: 1 717061 πw = · . K 2q 18221853

cos

Da die Jacobische Tafel f¨ur 10 log q nur f¨unfstellig ist, so schreiben wir: (16)

10

log cos

πK πw = K K

10

log e + 10 log 717061 − 10 log 2 − 10 log 18221853 .

Aus der unten folgenden Tafel III und der Logarithmentafel entnehmen wir die Werte: 10 log K = 0, 286 8114 , 10

log K

10 10

log π

= 0, 252 0684 , = 0, 497 1499 ,

10

log( log e) + 10 = 9, 637 7843 ,

woraus man leicht berechnet: πK K

10

log e = 1, 478 0103 .14

Damit findet sich der Wert der rechten Seite der Gleichung (16) sowie das Argument πw in Gradmaß ausgedr¨uckt: K 10

log cos

πw + 10 = 9, 771 9439 , K

53◦ 44 15 .

Da w in Bogenmaß auszudr¨ucken ist, so findet man bei Entnahme des Wertes von K aus der Tafel II: 1 4425 w = 1, 786 7691 · 53 + = 0, 533 4250 . 180 6000 Nach der Tafel IV ist der auf sieben Stellen genaue Wert 0, 5334275. Der berechnete Wert ist also um weniger als drei Einheiten der sechsten Dezimalstelle zu klein, so daß die K¨urzung der in (13) rechts stehenden Reihe und damit die Benutzung der N¨aherungsformel (15) zur Berechnung des Integrals erster Gattung zu einem sehr g¨unstigen Ergebnis f¨uhrt.

14 Hier scheint Fricke eine Ungenauigkeit im Rechnen unterlaufen zu sein. Die letzten drei Dezimalen sollten lauten: 094. – Ungenauigkeiten in den Rechnungen wurden von den Herausgebern nicht u¨ berall korrigiert. [Anm. d. Hrsg.]

21

0.5 Tafeln

0.5 Tafeln. Dieser Abschnitt enth¨alt folgende Tafeln15 : Tafel I.

Werte von (10 log q + 10) bei gegebenem α = arcsin k . . . . . . . . . . . . 22

Tafel II. Werte von K und E bei gegebenem α = arcsin k . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Tafel III. Werte von

10

log K und

10

log E bei gegebenem α = arcsin k . . . . . 28

Tafel IV. Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tafel V. Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

15

Bei Bedarf stehen weitere Tafeln zur Verf¨ugung z. B. im Handbook of mathematical functions ” with formulas, graphs and mathematical tables“, edited by M . A b r a m o w i t z and I. A. Stegun, National Bureau of Standards, Washington (D. C.) 1964 (reprinted by Dover Publications, New York (N. Y.) 1965). [Anm. d. Hrsg.]

22

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel I: Werte von (10 log q + 10) bei gegebenem α = arcsin k. α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

0 −∞ 5, 27966 5, 88178 6, 23408 6, 48411 6, 67813 6, 83673 6, 97071 7, 08723 7, 18991 7, 28185 7, 36510 7, 44119 7, 51128 7, 57625 7, 63683 7, 69359 7, 74699 7, 79743 7, 84524 7, 89068 7, 93400 7, 97540 8, 01505 8, 05311 8, 08971 8, 12498 8, 15901 8, 19190 8, 22374 8, 25461 8, 28456 8, 31367 8, 34199 8, 36957 8, 39646 8, 42271 8, 44835 8, 47342 8, 49796 8, 52199 8, 54555 8, 56867 8, 59138 8, 61368

5 3, 12127 5, 34918 5, 91725 6, 25789 6, 50203 6, 69250 6, 84874 6, 98122 7, 09626 7, 19795 7, 28910 7, 37170 7, 44725 7, 51688 7, 58146 7, 64170 7, 69816 7, 75130 7, 80151 7, 84911 7, 89437 7, 93752 7, 97877 8, 01828 8, 05621 8, 09270 8, 12786 8, 16179 8, 19459 8, 22635 8, 25714 8, 28702 8, 31606 8, 34431 8, 37184 8, 39867 8, 42487 8, 45046 8, 47548 8, 49998 8, 52397 8, 54750 8, 57058 8, 59325 8, 61553

10 3, 72333 5, 41356 5, 95132 6, 28106 6, 51960 6, 70664 6, 86058 6, 99140 7, 10520 7, 20592 7, 29628 7, 37825 7, 45326 7, 52244 7, 58664 7, 64654 7, 70271 7, 75560 7, 80558 7, 85297 7, 89804 7, 94103 7, 98213 8, 02150 8, 05931 8, 09568 8, 13073 8, 16457 8, 19728 8, 22895 8, 25966 8, 28947 8, 31844 8, 34664 8, 37410 8, 40088 8, 42702 8, 45256 8, 47754 8, 50200 8, 52595 8, 54944 8, 57249 8, 59512 8, 61737

15 4, 07552 5, 47349 5, 98411 6, 30363 6, 53681 6, 72056 6, 87226 7, 00147 7, 11405 7, 21381 7, 30341 7, 38475 7, 45924 7, 52797 7, 59178 7, 65136 7, 70724 7, 75987 7, 80962 7, 85681 7, 90170 7, 94452 7, 98547 8, 02471 8, 06239 8, 09865 8, 13360 8, 16734 8, 19996 8, 23155 8, 26218 8, 29191 8, 32082 8, 34895 8, 37636 8, 40308 8, 42917 8, 45467 8, 47960 8, 50401 8, 52792 8, 55137 8, 57439 8, 59699 8, 61920

20 4, 32539 5, 52955 6, 01571 6, 32564 6, 55369 6, 73426 6, 88379 7, 01143 7, 12281 7, 22164 7, 31048 7, 39120 7, 46517 7, 53346 7, 59690 7, 65615 7, 71174 7, 76402 7, 81365 7, 86064 7, 90535 7, 94801 7, 98880 8, 02791 8, 06547 8, 10161 8, 13645 8, 17010 8, 20263 8, 23414 8, 26469 8, 29435 8, 32319 8, 35126 8, 37861 8, 40528 8, 43132 8, 45677 8, 48166 8, 50602 8, 52990 8, 55331 8, 57629 8, 59885 8, 62104

25 4, 51922 5, 58221 6, 04620 6, 34710 6, 57025 6, 74775 6, 89516 7, 02127 7, 13148 7, 22939 7, 31750 7, 39760 7, 47107 7, 53893 7, 60199 7, 66091 7, 71622 7, 76835 7, 81766 7, 86445 7, 90898 7, 95147 7, 99212 8, 03109 8, 06853 8, 10456 8, 13930 8, 17285 8, 20529 8, 23672 8, 26719 8, 29679 8, 32556 8, 35357 8, 38086 8, 40747 8, 43346 8, 45886 8, 48371 8, 50803 8, 53186 8, 55824 8, 57818 8, 60072 8, 62287

23

0.5 Tafeln Tafel I: Werte von (10 log q + 10) bei gegebenem α = arcsin k. α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

30 4, 67758 5, 63187 6, 07565 6, 36804 6, 58651 6, 76103 6, 90639 7, 03100 7, 14007 7, 23707 7, 32446 7, 40396 7, 47693 7, 54436 7, 60705 7, 66566 7, 72068 7, 77256 7, 82165 7, 86824 7, 91259 7, 95493 7, 99543 8, 03427 8, 07159 8, 10751 8, 14214 8, 17559 8, 20795 8, 23929 8, 26969 8, 29922 8, 32792 8, 35587 8, 38310 8, 40966 8, 43560 8, 46095 8, 48575 8, 51003 8, 53383 8, 55717 8, 58007 8, 60258 8, 62470

35 4, 81148 5, 67883 6, 10414 6, 38849 6, 60246 6, 77411 6, 91748 7, 04063 7, 14858 7, 24470 7, 33136 7, 41028 7, 48274 7, 54975 7, 61208 7, 67037 7, 72512 7, 77675 7, 82562 7, 87202 7, 91620 7, 95837 7, 99873 8, 03744 8, 07463 8, 11044 8, 14497 8, 17833 8, 21060 8, 24186 8, 27219 8, 30164 8, 33028 8, 35816 8, 38534 8, 41185 8, 43774 8, 46304 8, 48779 8, 51204 8, 53579 8, 55909 8, 58197 8, 60443 8, 62653

40 4, 92746 5, 72339 6, 13173 6, 40847 6, 61813 6, 78700 6, 92843 7, 05015 7, 15700 7, 25226 7, 33821 7, 41655 7, 48852 7, 55511 7, 61709 7, 67506 7, 72954 7, 78093 7, 82958 7, 87578 7, 91979 7, 96180 8, 00202 8, 04059 8, 07767 8, 11336 8, 14780 8, 18106 8, 21324 8, 24442 8, 27467 8, 30406 8, 33263 8, 36046 8, 38757 8, 41403 8, 43987 8, 46512 8, 48983 8, 51403 8, 53775 8, 56101 8, 58385 8, 60629 8, 62835

45 5, 02977 5, 76578 6, 15847 6, 42801 6, 63352 6, 79970 6, 93925 7, 05957 7, 16534 7, 25975 7, 34501 7, 42277 7, 49427 7, 56045 7, 62206 7, 67973 7, 73393 7, 78508 7, 83352 7, 87953 7, 92336 7, 96522 8, 00529 8, 04374 8, 08069 8, 11628 8, 15061 8, 18378 8, 21588 8, 24698 8, 27715 8, 30647 8, 33498 8, 36274 8, 38980 8, 41620 8, 44199 8, 46720 8, 49187 8, 51603 8, 53971 8, 56293 8, 58574 8, 60814 8, 63017

50 5, 12129 5, 80619 6, 18441 6, 44711 6, 64864 6, 81222 6, 94993 7, 06888 7, 17361 7, 26718 7, 35176 7, 42896 7, 49997 7, 56575 7, 62701 7, 68437 7, 73831 7, 78922 7, 83744 7, 88326 7, 92692 7, 96863 8, 00856 8, 04687 8, 08371 8, 11919 8, 15342 8, 18650 8, 21851 8, 24953 8, 27963 8, 30887 8, 33732 8, 36502 8, 39203 8, 41838 8, 44411 8, 46928 8, 49390 8, 51802 8, 54166 8, 56485 8, 58762 8, 60999 8, 63199

55 5, 20408 5, 84481 6, 20960 6, 46581 6, 66351 6, 82456 6, 96049 7, 07811 7, 18180 7, 27454 7, 35846 7, 43510 7, 50564 7, 57101 7, 63194 7, 68899 7, 74266 7, 79333 7, 84135 7, 88698 7, 93047 7, 97202 8, 01181 8, 05000 8, 08672 8, 12209 8, 15622 8, 18920 8, 22113 8, 25207 8, 28210 8, 31127 8, 33966 8, 36730 8, 39425 8, 42054 8, 44623 8, 47135 8, 49593 8, 52001 8, 54361 8, 56676 8, 58950 8, 61184 8, 63381

24

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel I: Werte von (10 log q + 10) bei gegebenem α = arcsin k. α 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

0 8, 63562 8, 65722 8, 67848 8, 69944 8, 72012 8, 74052 8, 76067 8, 78059 8, 80030 8, 81980 8, 83911 8, 85826 8, 87726 8, 89611 8, 91484 8, 93347 8, 95200 8, 97045 8, 98885 9, 00720 9, 02553 9, 04385 9, 06218 9, 08055 9, 09897 9, 11748 9, 13609 9, 15484 9, 17376 9, 19289 9, 21228 9, 23197 9, 25202 9, 27250 9, 29351 9, 31515 9, 33756 9, 36091 9, 38545 9, 41152 9, 43962 9, 47054 9, 50569 9, 54798 9, 60564

5 8, 63744 8, 65900 8, 68024 8, 70118 8, 72183 8, 74221 8, 76234 8, 78224 8, 80193 8, 82142 8, 84072 8, 85985 8, 87883 8, 89768 8, 91640 8, 93501 8, 95354 8, 97199 8, 99038 9, 00873 9, 02704 9, 04537 9, 06371 9, 08208 9, 10051 9, 11902 9, 13765 9, 15641 9, 17535 9, 19450 9, 21391 9, 23362 9, 25371 9, 27423 9, 29529 9, 31699 9, 33946 9, 36291 9, 38756 9, 41377 9, 44207 9, 47328 9, 50889 9, 55200 9, 61185

10 8, 63925 8, 66078 8, 68200 8, 70291 8, 72353 8, 74390 8, 76401 8, 78389 8, 80356 8, 82303 8, 84232 8, 86144 8, 88041 8, 89924 8, 91795 8, 93656 8, 95508 8, 97352 8, 99191 9, 01026 9, 02856 9, 04690 9, 06524 9, 08361 9, 10205 9, 12057 9, 13920 9, 15798 9, 17693 9, 19610 9, 21554 9, 23528 9, 25540 9, 27597 9, 29707 9, 31883 9, 34138 9, 36491 9, 38968 9, 41604 9, 44455 9, 47605 9, 51213 9, 55613 9, 61844

15 8, 64105 8, 66256 8, 68375 8, 70464 8, 72524 8, 74558 8, 76567 8, 78554 8, 80519 8, 82464 8, 84392 8, 86302 8, 88198 8, 90080 8, 91951 8, 93811 8, 95662 8, 97506 8, 99344 9, 01178 9, 03011 9, 04883 9, 06677 9, 08515 9, 10359 9, 12212 9, 14076 9, 15955 9, 17852 9, 19771 9, 21717 9, 23694 9, 25709 9, 27770 9, 29886 9, 32067 9, 34330 9, 36692 9, 39181 9, 41833 9, 44704 9, 47886 9, 51542 9, 56036 9, 62547

20 8, 64286 8, 66434 8, 68550 8, 70636 8, 72695 8, 74726 8, 76733 8, 78718 8, 80682 8, 82626 8, 84552 8, 86461 8, 88356 8, 90237 8, 92106 8, 93965 8, 95816 8, 97659 8, 99497 9, 01331 9, 03163 9, 04996 9, 06830 9, 08668 9, 10513 9, 12367 9, 14232 9, 16113 9, 18011 9, 19932 9, 21880 9, 23861 9, 25879 9, 27944 9, 30065 9, 32253 9, 34523 9, 36894 9, 39395 9, 42063 9, 44956 9, 48169 9, 51877 9, 56472 9, 63302

25 8, 64466 8, 66611 8, 68725 8, 70809 8, 72865 8, 74895 8, 76900 8, 78883 8, 80845 8, 82787 8, 84711 8, 86619 8, 88513 8, 90393 8, 92261 8, 94120 8, 95970 8, 97812 8, 99650 9, 01484 9, 03316 9, 05148 9, 06983 9, 08822 9, 10667 9, 12522 9, 14388 9, 16270 9, 18170 9, 20094 9, 22044 9, 24027 9, 26050 9, 28119 9, 30244 9, 32438 9, 34716 9, 37097 9, 39610 9, 42294 9, 45210 9, 48456 9, 52218 9, 56921 9, 64122

25

0.5 Tafeln Tafel I: Werte von (10 log q + 10) bei gegebenem α = arcsin k. α 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

30 8, 64646 8, 66789 8, 68900 8, 70981 8, 73035 8, 75063 8, 77066 8, 79047 8, 81007 8, 82948 8, 84871 8, 86778 8, 88670 8, 90549 8, 92417 8, 94274 8, 96123 8, 97966 8, 99803 9, 01637 9, 03469 9, 05301 9, 07136 9, 08975 9, 10821 9, 12677 9, 14544 9, 16428 9, 18330 9, 20255 9, 22208 9, 24194 9, 26220 9, 28294 9, 30424 9, 32625 9, 34910 9, 37301 9, 39827 9, 42527 9, 45466 9, 48746 9, 52565 9, 57384 9, 65025

35 8, 64826 8, 66966 8, 69074 8, 71154 8, 73205 8, 75231 8, 77232 8, 79211 8, 81170 8, 83109 8, 85030 8, 86936 8, 88827 8, 90705 8, 92572 8, 94429 8, 96277 8, 98119 8, 99956 9, 01789 9, 03621 9, 05454 9, 07289 9, 09129 9, 10975 9, 12832 9, 14701 9, 16585 9, 18489 9, 20417 9, 22372 9, 24361 9, 26391 9, 28469 9, 30605 9, 32812 9, 35105 9, 37506 9, 40044 9, 42762 9, 45724 9, 49040 9, 52918 9, 57863 9, 66035

40 8, 65006 8, 67143 8, 69249 8, 71326 8, 73375 8, 75398 8, 77398 8, 79375 8, 81332 8, 83270 8, 85190 8, 87094 8, 88984 8, 90861 8, 92727 8, 94583 8, 96431 8, 98272 9, 00109 9, 01942 9, 03774 9, 05607 9, 07442 9, 09282 9, 11130 9, 12987 9, 14857 9, 16743 9, 18649 9, 20578 9, 22537 9, 24529 9, 26562 9, 28645 9, 30786 9, 32999 9, 35301 9, 37712 9, 40263 9, 42998 9, 45985 9, 49338 9, 53278 9, 58359 9, 67196

45 8, 65185 8, 67320 8, 69423 8, 71497 8, 73544 8, 75566 8, 77563 8, 79539 8, 81494 8, 83430 8, 85349 8, 87252 8, 89141 8, 91017 8, 92882 8, 94737 8, 96584 8, 98425 9, 00261 9, 02095 9, 03927 9, 05760 9, 07595 9, 09436 9, 11284 9, 13142 9, 15014 9, 16901 9, 18809 9, 20740 9, 22701 9, 24697 9, 26734 9, 28821 9, 30968 9, 33187 9, 35497 9, 37919 9, 40483 9, 43237 9, 46248 9, 49639 9, 53646 9, 58875 9, 68579

50 8, 65364 8, 67496 8, 69597 8, 71669 8, 73714 8, 75733 8, 77729 8, 79703 8, 81656 8, 83591 8, 85508 8, 87410 8, 89298 8, 91173 8, 93037 8, 94891 8, 96738 8, 98579 9, 00414 9, 02247 9, 04079 9, 05912 9, 07748 9, 09590 9, 11439 9, 13298 9, 15170 9, 17059 9, 18969 9, 20903 9, 22866 9, 24865 9, 26906 9, 28997 9, 31150 9, 33376 9, 35694 9, 38127 9, 40705 9, 43476 9, 46514 9, 49945 9, 54021 9, 59412 9, 70342

55 8, 65543 8, 67672 8, 69771 8, 71840 8, 73883 8, 75900 8, 77894 8, 79866 8, 81818 8, 83751 8, 85667 8, 87568 8, 89454 8, 91329 8, 93192 8, 95046 8, 96892 8, 98732 9, 00567 9, 02400 9, 04232 9, 06065 9, 07902 9, 09743 9, 11593 9, 13453 9, 15327 9, 17218 9, 19129 9, 21065 9, 23031 9, 25033 9, 27078 9, 29174 9, 31332 9, 33566 9, 35892 9, 38335 9, 40928 9, 43718 9, 46783 9, 50255 9, 54405 9, 59974 9, 72938

26

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel II: Werte von K und E bei gegebenem α = arcsin k. α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

K 1, 57079 63268 1, 57091 59581 1, 57127 49524 1, 57187 36105 1, 57271 24350 1, 57379 21309 1, 57511 36078 1, 57667 79816 1, 57848 65777 1, 58054 09339 1, 58284 28043 1, 58539 41638 1, 58819 72125 1, 59125 43820 1, 59456 83409 1, 59814 20021 1, 60197 85301 1, 60608 13494 1, 61045 41538 1, 61510 09161 1, 62002 58991 1, 62523 36678 1, 63072 91016 1, 63651 74093 1, 64260 41437 1, 64899 52185 1, 65569 69263 1, 66271 59585 1, 67005 94263 1, 67773 48841 1, 68575 03548 1, 69411 43573 1, 70283 52364 1, 71192 46952 1, 72139 08314 1, 73124 51757 1, 74149 92344 1, 75216 52365 1, 76325 61841 1, 77478 59091 1, 78676 91349 1, 79922 15441 1, 81215 98537 1, 82560 18981 1, 83956 67211 1, 85407 46773

E 1, 57079 63268 1, 57067 67091 1, 57031 79199 1, 56972 01504 1, 56888 37196 1, 56780 90740 1, 56649 67878 1, 56494 75630 1, 56316 22295 1, 56114 17454 1, 55888 71966 1, 55639 97978 1, 55368 08919 1, 55073 19510 1, 54755 45759 1, 54415 04969 1, 54052 15741 1, 53666 97976 1, 53259 72877 1, 52830 62961 1, 52379 92053 1, 51907 85300 1, 51414 69175 1, 50900 71479 1, 50366 21354 1, 49811 49284 1, 49236 87111 1, 48642 68037 1, 48029 26638 1, 47396 98872 1, 46746 22093 1, 46077 35062 1, 45390 77961 1, 44686 92407 1, 43966 21471 1, 43229 09693 1, 42476 03101 1, 41707 49234 1, 40923 97160 1, 40125 97508 1, 39314 02485 1, 38488 65914 1, 37650 43258 1, 36799 91659 1, 35937 69973 1, 35064 38810

27

0.5 Tafeln Tafel II: Werte von K und E bei gegebenem α = arcsin k. α 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

K 1, 85407 46773 1, 86914 75460 1, 88480 86574 1, 90108 30365 1, 91799 75464 1, 93558 10960 1, 95386 48093 1, 97288 22663 1, 99266 97557 2, 01326 65652 2, 03471 53122 2, 05706 23228 2, 08035 80667 2, 10465 76585 2, 13002 14384 2, 15651 56475 2, 18421 32169 2, 21319 46950 2, 24354 93417 2, 27537 64296 2, 30878 67982 2, 34390 47244 2, 38087 01906 2, 41984 16537 2, 46099 94583 2, 50455 00790 2, 55073 14496 2, 59981 97301 2, 65213 80046 2, 70806 76146 2, 76806 31454 2, 83267 25829 2, 90256 49407 2, 97856 89512 3, 06172 86120 3, 15338 52519 3, 25530 29421 3, 36986 80267 3, 50042 24992 3, 65185 59695 3, 83174 19998 4, 05275 81665 4, 33865 39760 4, 74271 72653 5, 43490 98296 ∞

E 1, 35064 38810 1, 34180 60581 1, 33286 99541 1, 32384 21845 1, 31472 95603 1, 30553 90943 1, 29627 80080 1, 28695 37388 1, 27757 39483 1, 26814 65311 1, 25867 96248 1, 24918 16206 1, 23966 11753 1, 23012 72242 1, 22058 89958 1, 21105 60276 1, 20153 81841 1, 19204 56766 1, 18258 90849 1, 17317 93827 1, 16382 79645 1, 15454 66775 1, 14534 48567 1, 13624 43647 1, 12724 96378 1, 11837 77380 1, 10964 34135 1, 10106 21688 1, 09265 03455 1, 08442 52194 1, 07640 51131 1, 06860 95330 1, 06105 93338 1, 05377 69204 1, 04678 64993 1, 04011 43957 1, 03378 94624 1, 02784 36197 1, 02231 25882 1, 01723 69183 1, 01266 35062 1, 00864 79569 1, 00525 85872 1, 00258 40855 1, 00075 15777 1, 00000 00000

28

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel III: Werte von α 0, 0 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0 4, 5 5, 0 5, 5 6, 0 6, 5 7, 0 7, 5 8, 0 8, 5 9, 0 9, 5 10, 0 10, 5 11, 0 11, 5 12, 0 12, 5 13, 0 13, 5 14, 0 14, 5 15, 0 15, 5 16, 0 16, 5 17, 0 17, 5 18, 0 18, 5 19, 0 19, 5 20, 0 20, 5 21, 0 21, 5 22, 0

10

10

log K 0, 196 1199 0, 196 1281 0, 196 1530 0, 196 1943 0, 196 2522 0, 196 3266 0, 196 4176 0, 196 5252 0, 196 6493 0, 196 7900 0, 196 9474 0, 197 1213 0, 197 3119 0, 197 5191 0, 197 7430 0, 197 9836 0, 198 2409 0, 198 5149 0, 198 8057 0, 199 1134 0, 199 4378 0, 199 7791 0, 200 1373 0, 200 5124 0, 200 9044 0, 201 3135 0, 201 7396 0, 202 1828 0, 202 6431 0, 203 1206 0, 203 6154 0, 204 1274 0, 204 6567 0, 205 2034 0, 205 7675 0, 206 3492 0, 206 9484 0, 207 5652 0, 208 1997 0, 208 8519 0, 209 5220 0, 210 2099 0, 210 9158 0, 211 6398 0, 212 3818

log K und 10

10

log E bei gegebenem α = arcsin k.

log E 0, 196 1199 0, 196 1116 0, 196 0868 0, 196 0455 0, 195 9876 0, 195 9132 0, 195 8222 0, 195 7148 0, 195 5908 0, 195 4502 0, 195 2932 0, 195 1196 0, 194 9295 0, 194 7229 0, 194 4998 0, 194 2602 0, 194 0041 0, 193 7314 0, 193 4423 0, 193 1367 0, 192 8147 0, 192 4762 0, 192 1212 0, 191 7497 0, 191 3618 0, 190 9575 0, 190 5367 0, 190 0996 0, 189 6460 0, 189 1760 0, 188 6896 0, 188 1869 0, 187 6678 0, 187 1323 0, 186 5806 0, 186 0125 0, 185 4281 0, 184 8274 0, 184 2104 0, 183 5772 0, 182 9277 0, 182 2621 0, 181 5802 0, 180 8822 0, 180 1680

α 22, 5 23, 0 23, 5 24, 0 24, 5 25, 0 25, 5 26, 0 26, 5 27, 0 27, 5 28, 0 28, 5 29, 0 29, 5 30, 0 30, 5 31, 0 31, 5 32, 0 32, 5 33, 0 33, 5 34, 0 34, 5 35, 0 35, 5 36, 0 36, 5 37, 0 37, 5 38, 0 38, 5 39, 0 39, 5 40, 0 40, 5 41, 0 41, 5 42, 0 42, 5 43, 0 43, 5 44, 0 44, 5

10

log K 0, 213 1421 0, 213 9206 0, 214 7175 0, 215 5329 0, 216 3668 0, 217 2194 0, 218 0907 0, 218 9808 0, 219 8899 0, 220 8181 0, 221 7654 0, 222 7319 0, 223 7179 0, 224 7233 0, 225 7484 0, 226 7933 0, 227 8580 0, 228 9427 0, 230 0476 0, 231 1728 0, 232 3184 0, 233 4847 0, 234 6716 0, 235 8795 0, 237 1084 0, 238 3586 0, 239 6301 0, 240 9233 0, 242 2382 0, 243 5751 0, 244 9341 0, 246 3154 0, 247 7193 0, 249 1460 0, 250 5956 0, 252 0684 0, 253 5647 0, 255 0846 0, 256 6285 0, 258 1965 0, 259 7889 0, 261 4061 0, 263 0482 0, 264 7155 0, 266 4085

10

log E 0, 179 4377 0, 178 6913 0, 177 9288 0, 177 1503 0, 176 3557 0, 175 5451 0, 174 7186 0, 173 8761 0, 173 0178 0, 172 1435 0, 171 2535 0, 170 3476 0, 169 4260 0, 168 4886 0, 167 5356 0, 166 5669 0, 165 5827 0, 164 5829 0, 163 5676 0, 162 5369 0, 161 4907 0, 160 4293 0, 159 3525 0, 158 2606 0, 157 1535 0, 156 0313 0, 154 8940 0, 153 7418 0, 152 5747 0, 151 3928 0, 150 1962 0, 148 9849 0, 147 7590 0, 146 5186 0, 145 2639 0, 143 9948 0, 142 7116 0, 141 4142 0, 140 1028 0, 138 7776 0, 137 4385 0, 136 0858 0, 134 7196 0, 133 3399 0, 131 9470

29

0.5 Tafeln Tafel III: Werte von α 45, 0 45, 5 46, 0 46, 5 47, 0 47, 5 48, 0 48, 5 49, 0 49, 5 50, 0 50, 5 51, 0 51, 5 52, 0 52, 5 53, 0 53, 5 54, 0 54, 5 55, 0 55, 5 56, 0 56, 5 57, 0 57, 5 58, 0 58, 5 59, 0 59, 5 60, 0 60, 5 61, 0 61, 5 62, 0 62, 5 63, 0 63, 5 64, 0 64, 5 65, 0 65, 5 66, 0 66, 5 67, 0

10

10

log K 0, 268 1272 0, 269 8722 0, 271 6436 0, 273 4418 0, 275 2673 0, 277 1202 0, 279 0011 0, 280 9102 0, 282 8480 0, 284 8150 0, 286 8114 0, 288 8377 0, 290 8945 0, 292 9822 0, 295 1012 0, 297 2520 0, 299 4353 0, 301 6515 0, 303 9013 0, 306 1851 0, 308 5037 0, 310 8575 0, 313 2474 0, 315 6741 0, 318 1381 0, 320 6403 0, 323 1815 0, 325 7624 0, 328 3840 0, 331 0471 0, 333 7526 0, 336 5016 0, 339 2950 0, 342 1340 0, 345 0196 0, 347 9531 0, 350 9356 0, 353 9686 0, 357 0533 0, 360 1912 0, 363 3838 0, 366 6329 0, 369 9400 0, 373 3069 0, 376 7357

log K und 10

10

log E bei gegebenem α = arcsin k.

log E 0, 130 5409 0, 129 1217 0, 127 6897 0, 126 2450 0, 124 7878 0, 123 3181 0, 121 8362 0, 120 3423 0, 118 8364 0, 117 3189 0, 115 7899 0, 114 2496 0, 112 6982 0, 111 1359 0, 109 5629 0, 107 9796 0, 106 3860 0, 104 7826 0, 103 1694 0, 101 5469 0, 099 9152 0, 098 2747 0, 096 6256 0, 094 9683 0, 093 3030 0, 091 6301 0, 089 9500 0, 088 2630 0, 086 5694 0, 084 8697 0, 083 1642 0, 081 4534 0, 079 7376 0, 078 0173 0, 076 2929 0, 074 5649 0, 072 8339 0, 071 1002 0, 069 3644 0, 067 6271 0, 065 8888 0, 064 1501 0, 062 4115 0, 060 6737 0, 058 9374

α 67, 5 68, 0 68, 5 69, 0 69, 5 70, 0 70, 5 71, 0 71, 5 72, 0 72, 5 73, 0 73, 5 74, 0 74, 5 75, 0 75, 5 76, 0 76, 5 77, 0 77, 5 78, 0 78, 5 79, 0 79, 5 80, 0 80, 5 81, 0 81, 5 82, 0 82, 5 83, 0 83, 5 84, 0 84, 5 85, 0 85, 5 86, 0 86, 5 87, 0 87, 5 88, 0 88, 5 89, 0 89, 5

10

log K 0, 380 2283 0, 383 7869 0, 387 4139 0, 391 1115 0, 394 8825 0, 398 7297 0, 402 6560 0, 406 6647 0, 410 7592 0, 414 9432 0, 419 2208 0, 423 5961 0, 428 0740 0, 432 6595 0, 437 3581 0, 442 1760 0, 447 1196 0, 452 1964 0, 457 4142 0, 462 7819 0, 468 3095 0, 474 0077 0, 479 8888 0, 485 9667 0, 492 2569 0, 498 7770 0, 505 5474 0, 512 5914 0, 519 9360 0, 527 6129 0, 535 6595 0, 544 1205 0, 553 0498 0, 562 5136 0, 572 5943 0, 583 3963 0, 595 0549 0, 607 7507 0, 621 7319 0, 637 3550 0, 655 1599 0, 676 0272 0, 701 5560 0, 735 1923 0, 787 3031

10

log E 0, 057 2032 0, 055 4717 0, 053 7438 0, 052 0201 0, 050 3014 0, 048 5885 0, 046 8822 0, 045 1834 0, 043 4930 0, 041 8118 0, 040 1409 0, 038 4812 0, 036 8337 0, 035 1996 0, 033 5799 0, 031 9758 0, 030 3884 0, 028 8190 0, 027 2690 0, 025 7397 0, 024 2324 0, 022 7487 0, 021 2901 0, 019 8581 0, 018 4545 0, 017 0811 0, 015 7396 0, 014 4321 0, 013 1605 0, 011 9270 0, 010 7340 0, 009 5837 0, 008 4788 0, 007 4221 0, 006 4165 0, 005 4652 0, 004 5716 0, 003 7396 0, 002 9734 0, 002 2778 0, 001 6581 0, 001 1208 0, 000 6736 0, 000 3263 0, 000 0931

30

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel IV: Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

α = 5◦ 0, 017 4533 0, 034 9066 0, 052 3601 0, 069 8136 0, 087 2673 0, 104 7212 0, 122 1753 0, 139 6298 0, 157 0845 0, 174 5396 0, 191 9951 0, 209 4510 0, 226 9074 0, 244 3643 0, 261 8218 0, 279 2798 0, 296 7385 0, 314 1978 0, 331 6577 0, 349 1184 0, 366 5799 0, 384 0421 0, 401 5051 0, 418 9689 0, 436 4336 0, 453 8992 0, 471 3567 0, 488 8332 0, 506 3016 0, 523 7710 0, 541 2413 0, 558 7128 0, 576 1852 0, 593 6587 0, 611 1333 0, 628 6090 0, 646 0858 0, 663 5637 0, 681 0428 0, 698 5230 0, 716 0043 0, 733 4867 0, 750 9704 0, 768 4552 0, 785 9411

α = 10◦ 0, 017 4533 0, 034 9068 0, 052 3606 0, 069 8149 0, 087 2698 0, 104 7255 0, 122 1822 0, 139 6400 0, 157 0990 0, 174 5595 0, 192 0215 0, 209 4853 0, 226 9509 0, 244 4186 0, 261 8884 0, 279 3605 0, 296 8351 0, 314 3122 0, 331 7921 0, 349 2748 0, 366 7604 0, 384 2492 0, 401 7412 0, 419 2364 0, 436 7352 0, 454 2374 0, 471 7434 0, 489 2530 0, 506 7666 0, 524 2840 0, 541 8055 0, 559 3311 0, 576 8608 0, 594 3949 0, 611 9332 0, 629 4759 0, 647 0230 0, 664 5747 0, 682 1309 0, 699 6916 0, 717 2569 0, 734 8269 0, 752 4016 0, 769 9809 0, 787 5649

α = 15◦ 0, 017 4534 0, 034 9071 0, 052 3615 0, 069 8170 0, 087 2739 0, 104 7326 0, 122 1934 0, 139 6566 0, 157 1227 0, 174 5920 0, 192 0647 0, 209 5413 0, 227 0221 0, 244 5073 0, 261 9974 0, 279 4926 0, 296 9932 0, 314 4997 0, 332 0121 0, 349 5309 0, 367 0564 0, 384 5887 0, 402 1283 0, 419 6753 0, 437 2300 0, 454 7927 0, 472 3635 0, 489 9428 0, 507 5307 0, 525 1275 0, 542 7334 0, 560 3485 0, 577 9731 0, 595 6072 0, 613 2511 0, 630 9050 0, 648 5688 0, 666 2429 0, 683 9272 0, 701 6220 0, 719 3272 0, 737 0430 0, 754 7693 0, 772 5064 0, 790 2542

α = 20◦ 0, 017 4534 0, 034 9074 0, 052 3627 0, 069 8198 0, 087 2794 0, 104 7421 0, 122 2085 0, 139 6793 0, 157 1549 0, 174 6361 0, 192 1234 0, 209 6175 0, 227 1188 0, 244 6280 0, 262 1457 0, 279 6724 0, 297 2086 0, 314 7550 0, 332 3120 0, 349 8802 0, 367 4600 0, 385 0521 0, 402 6569 0, 420 2748 0, 437 9063 0, 455 5520 0, 473 2122 0, 490 8873 0, 508 5778 0, 526 2840 0, 544 0064 0, 561 7472 0, 579 5009 0, 597 2737 0, 615 0641 0, 632 8721 0, 650 6982 0, 668 5426 0, 686 4055 0, 704 2871 0, 722 1875 0, 740 1071 0, 758 0458 0, 776 0039 0, 793 9814

α = 25◦ 0, 017 4535 0, 034 9079 0, 052 3641 0, 069 8233 0, 087 2862 0, 104 7539 0, 122 2272 0, 139 7072 0, 157 1947 0, 174 6906 0, 192 1959 0, 209 7115 0, 227 2384 0, 244 7772 0, 262 3291 0, 279 8948 0, 297 4753 0, 315 0713 0, 332 6837 0, 350 3133 0, 367 9610 0, 385 6275 0, 403 3137 0, 421 0202 0, 438 7479 0, 456 4975 0, 474 2697 0, 492 0651 0, 509 8845 0, 527 7285 0, 545 5977 0, 563 4928 0, 581 4142 0, 599 3627 0, 617 3386 0, 635 3425 0, 653 3749 0, 671 4361 0, 689 5267 0, 707 6470 0, 725 7974 0, 743 9781 0, 762 1895 0, 780 4317 0, 798 7051

α = 30◦ 0, 017 4535 0, 034 9084 0, 052 3659 0, 069 8273 0, 087 2941 0, 104 7676 0, 122 2489 0, 139 7396 0, 157 2408 0, 174 7539 0, 192 2801 0, 209 8208 0, 227 3773 0, 244 9507 0, 262 5425 0, 280 1538 0, 297 7858 0, 315 4398 0, 333 1170 0, 350 8187 0, 368 5459 0, 386 2999 0, 404 0818 0, 421 8927 0, 439 7338 0, 457 6061 0, 475 5107 0, 493 4486 0, 511 4209 0, 529 4286 0, 547 4726 0, 565 5539 0, 583 6733 0, 601 8318 0, 622 0302 0, 638 2692 0, 656 5498 0, 674 8725 0, 693 2381 0, 711 6473 0, 730 1006 0, 748 5086 0, 767 1419 0, 785 7309 0, 804 3661

31

0.5 Tafeln Tafel IV: Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

α = 35◦ 0, 017 4536 0, 034 9089 0, 052 3677 0, 069 8318 0, 087 3029 0, 104 7827 0, 122 2730 0, 139 7754 0, 157 2919 0, 174 8240 0, 192 3735 0, 209 9421 0, 227 5315 0, 245 1435 0, 262 7796 0, 280 4417 0, 298 1314 0, 315 8503 0, 333 6001 0, 351 3824 0, 369 1989 0, 387 0512 0, 404 9408 0, 422 8694 0, 440 8385 0, 458 8496 0, 476 9042 0, 495 0039 0, 513 1501 0, 531 3443 0, 549 5877 0, 567 8820 0, 586 2283 0, 604 6280 0, 623 0824 0, 641 5927 0, 660 1600 0, 678 7857 0, 697 4707 0, 716 2162 0, 735 0230 0, 753 8923 0, 772 8249 0, 791 8215 0, 810 8831

α = 40◦ 0, 017 4537 0, 034 9095 0, 052 3698 0, 069 8366 0, 087 3122 0, 104 7988 0, 122 2986 0, 139 8137 0, 157 3464 0, 174 8989 0, 192 4732 0, 210 0717 0, 227 6965 0, 245 3498 0, 263 0337 0, 280 7504 0, 298 5021 0, 316 2910 0, 334 1191 0, 351 9887 0, 369 9018 0, 387 8607 0, 405 8673 0, 423 9239 0, 442 0325 0, 460 1951 0, 478 4139 0, 496 6909 0, 515 0281 0, 533 4275 0, 551 8910 0, 570 4207 0, 589 0185 0, 607 6861 0, 626 4256 0, 645 2387 0, 664 1273 0, 683 0929 0, 702 1374 0, 721 2624 0, 740 4694 0, 759 7600 0, 779 1356 0, 798 5977 0, 818 1477

α = 45◦ 0, 017 4537 0, 034 9102 0, 052 3718 0, 069 8415 0, 087 3219 0, 104 8155 0, 122 3251 0, 139 8533 0, 157 4028 0, 174 9763 0, 192 5764 0, 210 2059 0, 227 8674 0, 245 5635 0, 263 2971 0, 281 0707 0, 298 8871 0, 316 7490 0, 334 6590 0, 352 6199 0, 370 6344 0, 388 7052 0, 406 8349 0, 425 0264 0, 443 2823 0, 461 6055 0, 479 9982 0, 498 4636 0, 517 0042 0, 535 6227 0, 554 3218 0, 573 1041 0, 591 9724 0, 610 9291 0, 629 9769 0, 649 1184 0, 668 3562 0, 687 6928 0, 707 1307 0, 726 6722 0, 746 3199 0, 766 0760 0, 785 9429 0, 805 9228 0, 826 0179

α = 50◦ 0, 017 4538 0, 034 9107 0, 052 3739 0, 069 8465 0, 087 3315 0, 104 8322 0, 122 3516 0, 139 8929 0, 157 4593 0, 175 0539 0, 192 6799 0, 210 3405 0, 228 0389 0, 245 7783 0, 263 5619 0, 281 3930 0, 299 2748 0, 317 2105 0, 335 2036 0, 353 2572 0, 371 3748 0, 389 5597 0, 407 8151 0, 426 1446 0, 444 5515 0, 463 0392 0, 481 6113 0, 500 2710 0, 519 0220 0, 537 8677 0, 556 8115 0, 575 8571 0, 595 0079 0, 614 2675 0, 633 6395 0, 653 1273 0, 672 7345 0, 692 4646 0, 712 3213 0, 732 3079 0, 752 4280 0, 772 6851 0, 793 0826 0, 813 6240 0, 834 3125

α = 55◦ 0, 017 4539 0, 034 9113 0, 052 3759 0, 069 8512 0, 087 3408 0, 104 8483 0, 122 3773 0, 139 9314 0, 157 5142 0, 175 1294 0, 192 7806 0, 210 4715 0, 228 2059 0, 245 9875 0, 263 8201 0, 281 7074 0, 299 6533 0, 317 6616 0, 335 7363 0, 353 8812 0, 372 1005 0, 390 3980 0, 408 7779 0, 427 2442 0, 445 8011 0, 464 4529 0, 483 2037 0, 502 0579 0, 521 0199 0, 540 0939 0, 559 2845 0, 578 5962 0, 598 0336 0, 617 6012 0, 637 3037 0, 657 1459 0, 677 1324 0, 697 2681 0, 717 5578 0, 738 0063 0, 758 6187 0, 779 3999 0, 800 3547 0, 821 4883 0, 842 8055

α = 60◦ 0, 017 4540 0, 034 9119 0, 052 3778 0, 069 8557 0, 087 3496 0, 104 8635 0, 122 4015 0, 139 9675 0, 157 5658 0, 175 2003 0, 192 8753 0, 210 5948 0, 228 3632 0, 246 1847 0, 264 0635 0, 282 0041 0, 300 0108 0, 318 0880 0, 336 2403 0, 354 4722 0, 372 7884 0, 391 1935 0, 409 6925 0, 428 2900 0, 446 9912 0, 465 8009 0, 484 7243 0, 503 7666 0, 522 9330 0, 542 2291 0, 561 6603 0, 581 2321 0, 600 9504 0, 620 8208 0, 640 8494 0, 661 0423 0, 681 4055 0, 701 9453 0, 722 6682 0, 743 5807 0, 764 6894 0, 786 0012 0, 807 5228 0, 829 2613 0, 851 2237

32

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel IV: Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

α = 65◦ 0, 017 4540 0, 034 9124 0, 052 3795 0, 069 8598 0, 087 3576 0, 104 8773 0, 122 4233 0, 140 0002 0, 157 6125 0, 175 2645 0, 192 9611 0, 210 7066 0, 228 5059 0, 246 3637 0, 264 2847 0, 282 2738 0, 300 3359 0, 318 4760 0, 336 6993 0, 355 0109 0, 373 4161 0, 391 9202 0, 410 5288 0, 429 2474 0, 448 0818 0, 467 0378 0, 486 1213 0, 505 3385 0, 524 6957 0, 544 1993 0, 563 8558 0, 583 6720 0, 603 6549 0, 623 8116 0, 644 1493 0, 664 6756 0, 685 3983 0, 706 3252 0, 727 4645 0, 748 8246 0, 770 4143 0, 792 2423 0, 814 3178 0, 836 6503 0, 859 2494

α = 70◦ 0, 017 4541 0, 034 9128 0, 052 3810 0, 069 8633 0, 087 3644 0, 104 8891 0, 122 4422 0, 140 0285 0, 157 6528 0, 175 3201 0, 193 0353 0, 210 8034 0, 228 6295 0, 246 5187 0, 264 4763 0, 282 5077 0, 300 6181 0, 318 8131 0, 337 0984 0, 355 4796 0, 373 9626 0, 392 5534 0, 411 2583 0, 430 0833 0, 449 0350 0, 468 1200 0, 487 3451 0, 506 7173 0, 526 2438 0, 545 9319 0, 565 7894 0, 585 8242 0, 606 0443 0, 626 4582 0, 647 0746 0, 667 9025 0, 688 9512 0, 710 2304 0, 731 7502 0, 753 5208 0, 775 5531 0, 797 8583 0, 820 4480 0, 843 3344 0, 866 5300

α = 75◦ 0, 017 4541 0, 034 9132 0, 052 3822 0, 069 8661 0, 087 3700 0, 104 8988 0, 122 4576 0, 140 0515 0, 157 6856 0, 175 3652 0, 193 0956 0, 210 8820 0, 228 7300 0, 246 6449 0, 264 6324 0, 282 6982 0, 300 8480 0, 319 0879 0, 337 4239 0, 355 8622 0, 374 4092 0, 393 0713 0, 411 8552 0, 430 7679 0, 449 8164 0, 469 0081 0, 488 3503 0, 507 8510 0, 527 5181 0, 547 3599 0, 567 3851 0, 587 6024 0, 608 0213 0, 628 6513 0, 649 5024 0, 670 5849 0, 691 3098 0, 713 4882 0, 735 3321 0, 757 4536 0, 779 8658 0, 802 5819 0, 825 6163 0, 848 9835 0, 872 6992

α = 80◦ 0, 017 4542 0, 034 9135 0, 052 3831 0, 069 8682 0, 087 3741 0, 104 9059 0, 122 4689 0, 140 0684 0, 157 7098 0, 175 3985 0, 193 1401 0, 210 9401 0, 228 8042 0, 246 7381 0, 264 7477 0, 282 8390 0, 301 0181 0, 319 2913 0, 337 6649 0, 356 1456 0, 374 7400 0, 393 4552 0, 412 2981 0, 431 2762 0, 450 3970 0, 469 6683 0, 489 0983 0, 508 6953 0, 528 4680 0, 548 4253 0, 568 5768 0, 588 9320 0, 609 5011 0, 630 2948 0, 651 3239 0, 672 6002 0, 694 1356 0, 715 9429 0, 738 0351 0, 760 4264 0, 783 1313 0, 806 1652 0, 829 5445 0, 853 2861 0, 877 4083

α = 85◦ 0, 017 4542 0, 034 9136 0, 052 3836 0, 069 8695 0, 087 3766 0, 104 9102 0, 122 4758 0, 140 0788 0, 157 7246 0, 175 4190 0, 193 1674 0, 210 9757 0, 228 8497 0, 246 7952 0, 264 8184 0, 282 9254 0, 301 1225 0, 319 4161 0, 337 8130 0, 356 3198 0, 374 9435 0, 393 6913 0, 412 5706 0, 431 5891 0, 450 7546 0, 470 0752 0, 489 5595 0, 509 2162 0, 529 0544 0, 549 0835 0, 569 3135 0, 589 7545 0, 610 4173 0, 631 3131 0, 652 4537 0, 673 8513 0, 695 5188 0, 717 4697 0, 739 7184 0, 762 2798 0, 785 1697 0, 808 4050 0, 832 0033 0, 855 9833 0, 880 3650

α = 90◦ 0, 017 4542 0, 034 9137 0, 052 3838 0, 069 8699 0, 087 3774 0, 104 9117 0, 122 4781 0, 140 0822 0, 157 7296 0, 175 4258 0, 193 1766 0, 210 9877 0, 228 8650 0, 246 8145 0, 264 8422 0, 282 9545 0, 301 1577 0, 319 4583 0, 337 8629 0, 356 3785 0, 375 0121 0, 393 7710 0, 412 6626 0, 431 6947 0, 450 8753 0, 470 2127 0, 489 7154 0, 509 3923 0, 529 2527 0, 549 3061 0, 569 5627 0, 590 0329 0, 610 7275 0, 631 6581 0, 652 8366 0, 674 2755 0, 695 9880 0, 717 9880 0, 740 2901 0, 762 9097 0, 785 8630 0, 809 1672 0, 832 8407 0, 856 9026 0, 881 3736

33

0.5 Tafeln Tafel IV: Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

α = 5◦ 0, 803 4282 0, 820 9165 0, 838 4059 0, 855 8965 0, 873 3883 0, 890 8812 0, 908 3752 0, 925 8704 0, 943 3667 0, 960 8641 0, 978 8363 0, 995 8621 1, 013 3627 1, 030 8644 1, 048 3671 1, 065 8709 1, 083 3756 1, 100 8813 1, 118 3879 1, 135 8954 1, 153 4039 1, 170 9132 1, 188 4233 1, 205 9343 1, 223 4460 1, 240 9585 1, 258 4717 1, 275 9856 1, 293 5002 1, 311 0154 1, 328 5311 1, 346 0474 1, 363 5643 1, 381 0816 1, 398 5993 1, 416 1174 1, 433 6359 1, 451 1547 1, 468 6738 1, 486 1932 1, 503 7127 1, 521 2324 1, 538 7523 1, 556 2722 1, 573 7921

α = 10◦ 0, 805 1537 0, 822 7471 0, 840 3452 0, 857 9480 0, 875 5554 0, 893 1676 0, 910 7843 0, 928 4056 0, 946 0314 0, 963 6618 0, 981 2966 0, 998 9358 1, 016 5793 1, 034 2271 1, 051 9791 1, 069 5352 1, 087 1954 1, 104 8594 1, 122 5274 1, 140 1991 1, 157 8744 1, 175 5533 1, 193 2356 1, 210 9213 1, 228 6101 1, 246 3020 1, 263 9969 1, 281 6945 1, 299 3949 1, 317 0978 1, 334 8031 1, 352 5106 1, 370 2202 1, 387 9318 1, 405 6452 1, 423 3360 1, 441 1077 1, 458 7946 1, 476 5136 1, 494 2336 1, 511 9544 1, 529 6759 1, 547 3980 1, 565 1203 1, 592 8428

α = 15◦ 0, 808 0127 0, 825 7819 0, 843 5619 0, 861 3527 0, 879 1541 0, 896 9662 0, 914 7890 0, 932 6223 0, 950 4660 0, 968 3201 0, 986 1845 1, 004 0591 1, 021 9437 1, 039 8381 1, 057 7423 1, 075 6560 1, 093 5791 1, 111 5113 1, 129 4525 1, 147 4024 1, 165 3609 1, 183 3276 1, 201 3023 1, 219 2848 1, 237 2747 1, 255 2718 1, 273 2758 1, 291 2864 1, 303 3033 1, 327 3261 1, 345 3546 1, 363 3883 1, 381 4269 1, 399 4702 1, 417 5176 1, 435 5689 1, 453 6237 1, 471 6817 1, 489 7423 1, 507 8053 1, 525 8703 1, 543 9368 1, 562 0046 1, 580 0731 1, 598 1420

α = 20◦ 0, 811 9784 0, 829 9950 0, 848 0311 0, 866 0869 0, 884 1621 0, 902 2569 0, 920 3712 0, 938 5048 0, 956 6577 0, 974 8296 0, 993 0205 1, 011 2301 1, 029 4582 1, 047 7045 1, 065 9689 1, 084 2510 1, 102 5505 1, 120 8670 1, 139 2002 1, 157 5497 1, 175 9150 1, 194 2958 1, 212 6916 1, 231 1020 1, 249 5263 1, 267 9641 1, 286 4148 1, 304 8779 1, 323 3529 1, 341 8390 1, 360 3357 1, 378 8424 1, 397 3585 1, 415 8831 1, 434 4158 1, 452 9557 1, 471 5023 1, 490 0547 1, 508 6124 1, 527 1745 1, 545 7403 1, 564 3091 1, 582 8801 1, 601 4526 1, 620 0259

α = 25◦ 0, 817 0098 0, 835 3460 0, 853 7137 0, 872 1129 0, 890 5439 0, 909 0064 0, 927 5006 0, 946 0262 0, 964 5831 0, 983 1713 1, 001 7904 1, 020 4401 1, 039 1203 1, 057 8305 1, 076 5704 1, 095 3395 1, 114 1374 1, 132 9635 1, 151 8173 1, 170 6981 1, 180 6054 1, 208 5384 1, 227 4965 1, 246 4788 1, 265 4846 1, 284 5130 1, 303 5631 1, 322 6341 1, 341 7249 1, 360 8347 1, 379 9623 1, 399 1067 1, 418 2669 1, 437 4418 1, 456 6301 1, 475 8309 1, 495 0428 1, 514 2648 1, 533 4955 1, 552 7338 1, 571 9785 1, 591 2282 1, 610 4818 1, 629 7379 1, 648 9952

α = 30◦ 0, 823 0478 0, 841 7763 0, 860 5519 0, 879 3748 0, 898 2452 0, 917 1632 0, 936 1288 0, 955 1419 0, 974 2026 0, 993 3106 1, 012 4657 1, 031 6677 1, 050 9161 1, 070 2156 1, 089 5507 1, 108 9358 1, 128 3653 1, 147 8384 1, 167 3546 1, 186 9127 1, 206 5121 1, 226 1517 1, 245 8303 1, 265 5470 1, 285 3006 1, 305 0897 1, 324 9130 1, 344 7693 1, 364 6570 1, 384 5746 1, 404 5205 1, 424 4932 1, 444 4909 1, 464 5119 1, 484 5546 1, 504 6169 1, 524 6972 1, 544 7934 1, 564 9038 1, 585 0262 1, 605 1588 1, 625 2996 1, 645 4464 1, 665 5974 1, 685 7504

34

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel IV: Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

α = 35◦ 0, 830 0103 0, 849 2037 0, 868 4640 0, 887 7915 0, 907 1868 0, 926 6502 0, 946 1818 0, 965 7820 0, 985 4507 1, 005 1880 1, 024 9938 1, 044 8677 1, 064 8096 1, 084 8190 1, 104 8954 1, 125 0382 1, 145 2466 1, 165 5198 1, 185 8568 1, 206 2566 1, 226 7179 1, 247 2395 1, 267 8199 1, 288 4577 1, 309 1510 1, 329 8983 1, 350 6976 1, 371 5469 1, 392 4441 1, 413 3870 1, 434 3734 1, 455 4007 1, 476 4666 1, 497 5684 1, 518 7035 1, 539 8690 1, 561 0622 1, 582 2802 1, 603 5200 1, 624 7786 1, 646 0529 1, 667 3399 1, 688 6363 1, 709 9392 1, 731 2452

α = 40◦ 0, 837 7866 0, 857 5175 0, 877 3362 0, 897 2489 0, 917 2549 0, 937 3548 0, 957 5494 0, 977 8392 0, 998 2248 1, 018 7063 1, 039 2841 1, 059 9582 1, 080 7285 1, 101 5948 1, 122 5567 1, 143 6136 1, 164 7648 1, 186 0096 1, 207 3467 1, 228 7750 1, 250 2931 1, 271 8993 1, 293 5919 1, 315 3690 1, 337 2282 1, 359 1674 1, 381 1840 1, 403 2751 1, 425 4379 1, 447 6694 1, 469 9661 1, 492 3247 1, 514 7415 1, 537 2127 1, 559 7344 1, 582 3025 1, 604 9127 1, 627 5608 1, 650 2421 1, 672 9523 1, 695 6865 1, 718 4401 1, 741 2083 1, 763 9863 1, 786 7691

α = 45◦ 0, 846 2302 0, 866 5617 0, 887 0144 0, 907 5900 0, 928 2904 0, 949 1169 0, 970 0712 0, 991 1546 1, 012 3682 1, 033 7130 1, 055 1899 1, 076 7996 1, 098 5425 1, 120 4190 1, 142 4291 1, 164 5726 1, 186 8492 1, 209 2583 1, 231 7988 1, 254 4698 1, 277 2697 1, 300 1968 1, 323 2490 1, 346 4242 1, 369 7195 1, 393 1321 1, 416 6586 1, 440 2956 1, 464 0390 1, 487 8847 1, 511 8281 1, 535 8643 1, 559 9882 1, 584 1942 1, 608 4767 1, 632 8297 1, 657 2468 1, 681 7216 1, 706 2473 1, 730 8171 1, 755 4239 1, 780 0604 1, 804 7193 1, 829 3932 1, 854 0747

α = 50◦ 0, 855 1515 0, 876 1442 0, 897 2937 0, 918 6032 0, 940 0757 0, 961 7139 0, 983 5207 1, 005 4986 1, 027 6500 1, 049 9774 1, 072 4826 1, 095 1676 1, 118 0340 1, 141 0832 1, 164 3164 1, 187 7342 1, 211 3374 1, 235 1259 1, 259 0996 1, 283 2580 1, 307 6000 1, 332 1241 1, 356 8286 1, 381 7110 1, 406 7685 1, 431 9978 1, 457 3949 1, 482 9554 1, 508 6744 1, 534 5462 1, 560 5648 1, 586 7235 1, 613 0151 1, 639 4318 1, 665 9654 1, 692 6070 1, 719 3474 1, 746 1768 1, 773 0851 1, 800 0618 1, 827 0959 1, 854 1763 1, 881 2917 1, 908 4306 1, 935 5811

α = 55◦ 0, 864 3114 0, 886 0109 0, 907 9091 0, 930 0108 0, 952 3209 0, 974 8443 0, 997 5856 1, 020 5494 1, 043 7403 1, 067 1627 1, 090 8206 1, 114 7181 1, 138 8589 1, 163 2465 1, 187 8841 1, 212 7744 1, 237 9200 1, 263 3227 1, 288 9843 1, 314 9057 1, 341 0874 1, 367 5293 1, 394 2305 1, 421 1896 1, 448 4043 1, 475 8715 1, 503 5872 1, 531 5466 1, 559 7439 1, 588 1723 1, 616 8242 1, 645 6906 1, 674 7618 1, 704 0271 1, 733 4744 1, 763 0911 1, 792 8633 1, 822 7762 1, 852 8144 1, 882 9614 1, 913 2003 1, 943 5135 1, 973 8827 2, 004 2896 2, 034 7153

α = 60◦ 0, 873 4174 0, 895 8496 0, 918 5277 0, 941 4592 0, 964 6516 0, 988 1125 1, 011 8496 1, 035 8705 1, 060 1829 1, 084 7943 1, 109 7124 1, 134 9444 1, 160 4978 1, 186 3796 1, 212 5366 1, 239 1555 1, 266 0624 1, 293 3231 1, 320 9429 1, 348 9264 1, 377 2777 1, 405 9999 1, 435 0955 1, 464 5657 1, 494 4109 1, 524 6300 1, 555 2209 1, 586 1798 1, 617 5013 1, 649 1787 1, 681 2030 1, 713 5638 1, 746 2485 1, 779 2426 1, 812 5295 1, 846 0908 1, 879 9058 1, 913 9522 1, 948 2054 1, 982 6396 2, 017 2270 2, 051 9388 2, 086 7449 2, 121 6144 2, 156 5156

35

0.5 Tafeln Tafel IV: Werte von w = F (k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

α = 65◦ 0, 882 1250 0, 905 2875 0, 928 7472 0, 952 5151 0, 976 6021 1, 001 0196 1, 025 7793 1, 050 8929 1, 076 3726 1, 102 2308 1, 128 4799 1, 155 1327 1, 182 2020 1, 209 7009 1, 237 6421 1, 266 0387 1, 294 9036 1, 324 2493 1, 354 0882 1, 384 4322 1, 415 2927 1, 446 6803 1, 478 6046 1, 511 0743 1, 544 0968 1, 577 6776 1, 611 8208 1, 646 5280 1, 681 7986 1, 717 6294 1, 754 0137 1, 790 9420 1, 828 4008 1, 866 3728 1, 904 8367 1, 943 7668 1, 983 1330 2, 022 9007 2, 063 0313 2, 103 4817 2, 144 2052 2, 185 1515 2, 226 2677 2, 267 4984 2, 308 7868

α = 70◦ 0, 890 0478 0, 913 9015 0, 938 1053 0, 962 6739 0, 987 6225 1, 012 9673 1, 038 7247 1, 064 9121 1, 091 5474 1, 118 6492 1, 146 2370 1, 174 3307 1, 202 9514 1, 232 1203 1, 261 8599 1, 292 1929 1, 323 1429 1, 354 7340 1, 386 9907 1, 419 9380 1, 453 6008 1, 488 0044 1, 523 1737 1, 559 1331 1, 595 9062 1, 633 5155 1, 671 9814 1, 711 3224 1, 751 5538 1, 792 6874 1, 834 7302 1, 877 6841 1, 921 5444 1, 966 2991 2, 011 9280 2, 058 4012 2, 105 6792 2, 153 7112 2, 202 4358 2, 251 7800 2, 301 6602 2, 351 9829 2, 402 6458 2, 453 5396 2, 504 5501

α = 75◦ 0, 896 7797 0, 921 2421 0, 946 1043 0, 971 3854 0, 997 1054 1, 023 2852 1, 049 9470 1, 077 1145 1, 104 8123 1, 133 0665 1, 161 9048 1, 191 3564 1, 221 4524 1, 252 2253 1, 283 7099 1, 315 9428 1, 348 9625 1, 382 8101 1, 417 5287 1, 453 1636 1, 489 7627 1, 527 3761 1, 566 0564 1, 605 8578 1, 646 8371 1, 689 0522 1, 732 5623 1, 777 4270 1, 823 7051 1, 871 4540 1, 920 7272 1, 971 5733 2, 024 0327 2, 078 1349 2, 133 8951 2, 191 3102 2, 250 3543 2, 310 9748 2, 373 0880 2, 436 5761 2, 501 2851 2, 567 0253 2, 633 5730 2, 700 6764 2, 768 0631

α = 80◦ 0, 901 9302 0, 926 8721 0, 952 2554 0, 978 1031 1, 004 4394 1, 031 2902 1, 058 6831 1, 086 6475 1, 115 2149 1, 144 4189 1, 174 2958 1, 204 8843 1, 236 2262 1, 268 3663 1, 301 3532 1, 335 2392 1, 370 0809 1, 405 9396 1, 442 8820 1, 480 9801 1, 520 3125 1, 560 9649 1, 603 0302 1, 646 6100 1, 691 8149 1, 738 7655 1, 787 5930 1, 838 4401 1, 891 4610 1, 946 8223 2, 004 7021 2, 065 2889 2, 128 7797 2, 195 3752 2, 265 2733 2, 338 6591 2, 415 6900 2, 496 4757 2, 581 0521 2, 669 3504 2, 761 1640 2, 856 1187 2, 953 6563 3, 053 0391 3, 153 3853

α = 85◦ 0, 905 1695 0, 930 4194 0, 956 1385 0, 982 3526 1, 009 0890 1, 036 3771 1, 064 2485 1, 092 7370 1, 121 8792 1, 151 7146 1, 182 2858 1, 213 6391 1, 245 8250 1, 278 8982 1, 312 9187 1, 347 9522 1, 384 0707 1, 421 3537 1, 459 8891 1, 499 7741 1, 541 1172 1, 584 0393 1, 628 6760 1, 675 1800 1, 723 7240 1, 774 5037 1, 827 7431 1, 883 6985 1, 942 6658 2, 004 9878 2, 071 0641 2, 141 3634 2, 216 4375 2, 296 9400 2, 383 6471 2, 477 4815 2, 579 5368 2, 691 0944 2, 813 6178 2, 948 6888 3, 097 8203 3, 261 9792 3, 441 1604 3, 632 7929 3, 831 7420

α = 90◦ 0, 906 2755 0, 931 6316 0, 957 4669 0, 983 8079 1, 010 6832 1, 038 1235 1, 066 1617 1, 094 8335 1, 124 1772 1, 154 2346 1, 185 0507 1, 216 6748 1, 249 1606 1, 282 5668 1, 316 9579 1, 352 4048 1, 388 9860 1, 426 7882 1, 465 9083 1, 506 4542 1, 548 5472 1, 592 3237 1, 637 9387 1, 685 5685 1, 735 4152 1, 787 7120 1, 842 7300 1, 900 7867 1, 962 2572 2, 027 5894 2, 097 3240 2, 172 1218 2, 252 8027 2, 340 4007 2, 436 2461 2, 542 0904 2, 660 3061 2, 794 2191 2, 948 7002 3, 131 3013 3, 354 6735 3, 642 5334 4, 048 1254 4, 741 3488 ∞

36

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel V: Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

α = 5◦ 0, 017 4533 0, 034 9065 0, 052 3597 0, 069 8127 0, 087 2656 0, 104 7183 0, 122 1707 0, 139 6229 0, 157 0747 0, 174 5262 0, 191 9773 0, 209 4080 0, 226 8782 0, 244 3278 0, 261 7770 0, 279 2255 0, 296 6735 0, 314 1208 0, 331 5674 0, 349 0133 0, 366 4585 0, 383 9028 0, 401 3464 0, 418 7892 0, 436 2311 0, 453 6721 0, 471 1121 0, 488 5513 0, 505 9895 0, 523 4267 0, 540 8629 0, 558 2981 0, 575 7322 0, 593 1653 0, 610 5973 0, 628 0283 0, 645 4581 0, 662 8868 0, 680 3144 0, 697 7408 0, 715 1661 0, 732 5903 0, 750 0133 0, 767 4352 0, 784 8559

α = 10◦ 0, 017 4533 0, 034 9064 0, 052 3592 0, 069 8115 0, 087 2631 0, 104 7140 0, 122 1639 0, 139 6127 0, 157 0602 0, 174 5064 0, 191 9509 0, 209 3937 0, 226 8347 0, 244 2736 0, 261 7104 0, 279 1449 0, 296 5769 0, 314 0064 0, 331 4332 0, 348 8571 0, 366 2781 0, 383 6960 0, 401 1107 0, 418 5221 0, 435 9301 0, 453 3346 0, 470 7354 0, 488 1325 0, 505 5257 0, 522 9151 0, 540 3005 0, 557 6818 0, 575 0589 0, 592 4319 0, 609 8006 0, 627 1649 0, 644 5248 0, 661 8803 0, 679 2313 0, 696 5778 0, 713 9199 0, 731 2572 0, 748 5899 0, 765 9181 0, 783 2416

α = 15◦ 0, 017 4532 0, 034 9061 0, 052 3583 0, 069 8094 0, 087 2591 0, 104 7070 0, 122 1527 0, 139 5961 0, 157 0366 0, 174 4739 0, 191 9078 0, 209 3378 0, 226 7637 0, 244 1851 0, 261 6017 0, 279 0131 0, 296 4192 0, 313 8195 0, 331 2139 0, 348 6019 0, 365 9833 0, 383 3579 0, 400 7254 0, 418 0854 0, 435 4379 0, 452 2725 0, 470 1190 0, 487 4472 0, 504 7669 0, 522 0778 0, 539 3799 0, 556 6729 0, 573 9566 0, 591 2308 0, 608 4956 0, 625 7506 0, 642 9958 0, 660 2311 0, 677 4564 0, 694 6715 0, 711 8765 0, 729 0712 0, 746 2556 0, 763 4297 0, 780 5934

α = 20◦ 0, 017 4532 0, 034 9058 0, 052 3571 0, 069 8065 0, 087 2535 0, 104 6974 0, 122 1376 0, 139 5735 0, 157 0044 0, 174 4298 0, 191 8492 0, 209 2618 0, 226 6672 0, 244 0648 0, 261 4539 0, 278 8341 0, 296 2049 0, 313 5656 0, 330 9158 0, 348 2549 0, 365 5825 0, 382 8981 0, 400 2013 0, 417 4915 0, 434 7683 0, 452 0314 0, 469 2802 0, 486 5144 0, 503 7337 0, 520 9377 0, 538 1260 0, 555 2983 0, 572 4544 0, 589 5939 0, 606 7165 0, 623 8221 0, 640 9104 0, 657 9812 0, 675 0343 0, 692 0695 0, 709 0868 0, 726 0860 0, 743 0670 0, 760 0297 0, 776 9740

α = 25◦ 0, 017 4531 0, 034 9053 0, 052 3556 0, 069 8030 0, 087 2467 0, 104 6856 0, 122 1189 0, 139 5456 0, 156 9648 0, 174 3755 0, 191 7769 0, 209 1681 0, 226 5482 0, 243 9163 0, 261 2716 0, 278 6132 0, 295 9402 0, 313 2520 0, 330 5476 0, 347 8263 0, 365 0874 0, 382 3300 0, 399 5535 0, 416 7571 0, 433 9403 0, 451 1022 0, 468 2424 0, 485 3601 0, 502 4548 0, 519 5260 0, 536 5730 0, 553 5955 0, 570 5928 0, 587 5646 0, 604 5105 0, 621 4300 0, 638 3228 0, 655 1886 0, 672 0271 0, 688 8379 0, 705 6209 0, 722 3759 0, 739 1027 0, 755 8011 0, 772 4711

α = 30◦ 0, 017 4531 0, 034 9048 0, 052 3539 0, 069 7990 0, 087 2388 0, 104 6720 0, 122 0972 0, 139 5133 0, 156 9188 0, 174 3125 0, 191 6931 0, 209 0594 0, 226 4102 0, 243 7441 0, 261 0601 0, 278 3568 0, 295 6332 0, 312 8880 0, 330 1202 0, 347 3286 0, 364 5122 0, 381 6699 0, 398 8007 0, 415 9035 0, 432 9775 0, 450 0216 0, 467 0350 0, 484 0167 0, 500 9660 0, 517 8819 0, 534 7639 0, 551 6110 0, 568 4226 0, 585 1981 0, 601 9369 0, 618 6383 0, 635 3018 0, 651 9269 0, 668 5132 0, 685 0602 0, 701 5677 0, 718 0352 0, 734 4626 0, 750 8496 0, 767 1960

37

0.5 Tafeln Tafel V: Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

α = 35◦ 0, 017 4530 0, 034 9043 0, 052 3520 0, 069 7945 0, 087 2301 0, 104 6569 0, 122 0733 0, 139 4775 0, 156 8659 0, 174 2427 0, 191 6004 0, 208 9391 0, 226 2573 0, 243 5534 0, 260 8257 0, 278 0726 0, 295 2927 0, 312 4844 0, 329 6461 0, 346 7765 0, 363 8740 0, 380 9372 0, 397 9648 0, 414 9554 0, 431 9078 0, 448 8205 0, 465 6925 0, 482 5225 0, 499 3093 0, 516 0520 0, 532 7493 0, 549 4003 0, 566 0041 0, 582 5597 0, 599 0662 0, 615 5228 0, 631 9289 0, 648 2836 0, 664 5864 0, 680 8366 0, 697 0338 0, 713 1774 0, 729 2670 0, 745 3023 0, 761 2830

α = 40◦ 0, 017 4529 0, 034 9037 0, 052 3500 0, 069 7898 0, 087 2207 0, 104 6408 0, 122 0477 0, 139 4394 0, 156 8136 0, 174 1684 0, 191 5014 0, 208 8107 0, 226 0942 0, 243 3498 0, 260 5755 0, 277 7692 0, 294 9291 0, 312 0532 0, 329 1395 0, 346 1863 0, 363 1915 0, 380 1535 0, 397 0704 0, 413 9406 0, 430 7624 0, 447 5340 0, 464 2540 0, 480 9207 0, 497 5328 0, 514 0886 0, 530 5869 0, 547 0264 0, 563 4057 0, 579 7236 0, 595 9790 0, 612 1708 0, 628 2979 0, 644 3595 0, 660 3545 0, 676 2823 0, 692 1420 0, 707 9330 0, 723 6547 0, 739 3065 0, 754 8881

α = 45◦ 0, 017 4528 0, 034 9030 0, 052 3479 0, 069 7848 0, 087 2111 0, 104 6242 0, 122 0214 0, 139 4001 0, 156 7576 0, 174 0916 0, 191 3992 0, 208 6781 0, 225 9257 0, 243 1395 0, 260 3169 0, 277 4557 0, 294 5533 0, 311 6074 0, 328 6156 0, 345 5756 0, 362 4852 0, 379 3421 0, 396 1442 0, 412 8893 0, 429 5752 0, 446 2001 0, 462 7618 0, 479 2585 0, 495 6883 0, 512 0493 0, 528 3398 0, 544 5582 0, 560 7027 0, 576 7718 0, 592 7641 0, 608 6781 0, 624 5124 0, 640 2659 0, 655 9373 0, 671 5255 0, 687 0295 0, 702 4484 0, 717 7814 0, 733 0276 0, 748 1865

α = 50◦ 0, 017 4528 0, 034 9024 0, 052 3458 0, 069 7799 0, 087 2015 0, 104 6076 0, 121 9950 0, 139 3607 0, 156 7016 0, 174 0147 0, 191 2970 0, 208 5454 0, 225 7570 0, 242 9288 0, 260 0580 0, 277 1415 0, 294 1766 0, 311 1604 0, 328 0901 0, 344 9630 0, 361 7764 0, 378 5276 0, 395 2140 0, 411 8330 0, 428 3821 0, 444 8589 0, 461 2609 0, 477 5857 0, 493 8312 0, 509 9950 0, 526 0750 0, 542 0692 0, 557 9755 0, 573 7919 0, 589 5166 0, 605 1479 0, 620 6839 0, 636 1231 0, 651 4640 0, 666 7051 0, 681 8451 0, 696 8828 0, 711 8169 0, 726 6464 0, 741 3705

α = 55◦ 0, 017 4527 0, 034 9018 0, 052 3438 0, 069 7751 0, 087 1922 0, 104 5915 0, 121 9694 0, 139 3225 0, 156 6472 0, 173 9401 0, 191 1977 0, 208 4166 0, 225 5932 0, 242 7243 0, 259 8064 0, 276 8362 0, 293 8105 0, 310 7258 0, 327 5791 0, 344 3671 0, 361 0867 0, 377 7348 0, 394 3082 0, 410 8041 0, 427 2194 0, 443 5512 0, 459 7968 0, 475 9533 0, 492 0181 0, 507 9884 0, 523 8617 0, 539 6354 0, 555 3072 0, 570 8747 0, 586 3356 0, 601 6877 0, 616 9290 0, 632 0573 0, 647 0708 0, 661 9676 0, 676 7460 0, 691 4045 0, 705 9414 0, 720 3554 0, 734 6452

α = 60◦ 0, 017 4526 0, 034 9013 0, 052 3419 0, 069 7707 0, 087 1834 0, 104 5763 0, 121 9454 0, 139 2867 0, 156 5962 0, 173 8701 0, 191 1045 0, 208 2955 0, 225 4393 0, 242 5321 0, 259 5700 0, 276 5492 0, 293 4662 0, 310 3171 0, 327 0984 0, 343 8063 0, 360 4374 0, 376 9881 0, 393 4548 0, 409 8343 0, 426 1231 0, 442 3178 0, 458 4153 0, 474 4122 0, 490 3055 0, 506 0921 0, 521 7689 0, 537 3320 0, 552 7816 0, 568 1118 0, 583 3210 0, 598 4066 0, 613 3659 0, 628 1965 0, 642 8962 0, 657 4625 0, 671 8935 0, 686 1870 0, 700 3411 0, 714 3541 0, 728 2241

38

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel V: Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

α = 65◦ 0, 017 4526 0, 034 9008 0, 052 3402 0, 069 7666 0, 087 1755 0, 104 5627 0, 121 9237 0, 139 2542 0, 156 5500 0, 173 8068 0, 191 0202 0, 208 1861 0, 225 3001 0, 242 3581 0, 259 3559 0, 276 2894 0, 293 1544 0, 309 9469 0, 326 6627 0, 343 2980 0, 359 8486 0, 376 3108 0, 392 6806 0, 408 9541 0, 425 1277 0, 441 1975 0, 457 1599 0, 473 0112 0, 488 7479 0, 504 3666 0, 519 8637 0, 535 2359 0, 550 4799 0, 565 5925 0, 580 5705 0, 595 4110 0, 610 1108 0, 624 6672 0, 639 0773 0, 653 3384 0, 667 4480 0, 681 4035 0, 695 2025 0, 708 8428 0, 722 3222

α = 70◦ 0, 017 4525 0, 034 9003 0, 052 3388 0, 069 7631 0, 087 1687 0, 104 5509 0, 121 9049 0, 139 2263 0, 156 5102 0, 173 7521 0, 190 9474 0, 208 0915 0, 225 1798 0, 242 2078 0, 259 1709 0, 276 0647 0, 292 8848 0, 309 6266 0, 326 2858 0, 342 8580 0, 359 3390 0, 375 7244 0, 392 0100 0, 408 1915 0, 424 2649 0, 440 2261 0, 456 0710 0, 471 7955 0, 487 3958 0, 502 8680 0, 518 2083 0, 533 4129 0, 548 4781 0, 563 4002 0, 578 1758 0, 592 8014 0, 607 2736 0, 621 5890 0, 635 7444 0, 649 7367 0, 663 5628 0, 677 2197 0, 690 7047 0, 704 0149 0, 717 1477

α = 75◦ 0, 017 4525 0, 034 9000 0, 052 3376 0, 069 7603 0, 087 1631 0, 104 5413 0, 121 8897 0, 139 2035 0, 156 4778 0, 173 7077 0, 190 8883 0, 208 0147 0, 225 0821 0, 242 0857 0, 259 0206 0, 275 8822 0, 292 6657 0, 309 3663 0, 325 9795 0, 342 5004 0, 358 9246 0, 375 2475 0, 391 4644 0, 407 5710 0, 423 5627 0, 439 4352 0, 455 1841 0, 470 8050 0, 486 2938 0, 501 6462 0, 516 8581 0, 531 9253 0, 546 8439 0, 561 6098 0, 576 2191 0, 590 6680 0, 604 9528 0, 619 0697 0, 633 0151 0, 646 7855 0, 660 3773 0, 673 7872 0, 687 0120 0, 700 0483 0, 712 8930

α = 80◦ 0, 017 4524 0, 034 8997 0, 052 3367 0, 069 7582 0, 087 1591 0, 104 5342 0, 121 8785 0, 139 1868 0, 156 4540 0, 173 6750 0, 190 8447 0, 207 9581 0, 225 0101 0, 241 9956 0, 258 9098 0, 275 7476 0, 292 5041 0, 309 1743 0, 325 7534 0, 342 2365 0, 358 6187 0, 374 8953 0, 391 0615 0, 407 1126 0, 423 0439 0, 438 8507 0, 454 5285 0, 470 0727 0, 485 4788 0, 500 7423 0, 515 8589 0, 530 8241 0, 545 6337 0, 560 2834 0, 574 7690 0, 589 0864 0, 603 2315 0, 617 2004 0, 630 9890 0, 644 5935 0, 658 0101 0, 671 2350 0, 684 2647 0, 697 0954 0, 709 7238

α = 85◦ 0, 017 4524 0, 034 8996 0, 052 3361 0, 069 7569 0, 087 1566 0, 104 5299 0, 121 8717 0, 139 1766 0, 156 4394 0, 173 6549 0, 190 8180 0, 207 9234 0, 224 9660 0, 241 9405 0, 258 8419 0, 275 6651 0, 292 4051 0, 309 0566 0, 325 6148 0, 342 0747 0, 358 4312 0, 374 6794 0, 390 8144 0, 406 8314 0, 422 7256 0, 438 4921 0, 454 1261 0, 469 6231 0, 484 9784 0, 500 1872 0, 515 2451 0, 530 1475 0, 544 8899 0, 559 4680 0, 573 8773 0, 588 1136 0, 602 1725 0, 616 0499 0, 629 7416 0, 643 2435 0, 656 5517 0, 669 6620 0, 682 5708 0, 695 2740 0, 707 7680

α = 90◦ 0, 017 4524 0, 034 8995 0, 052 3360 0, 069 7565 0, 087 1557 0, 104 5285 0, 121 8693 0, 139 1731 0, 156 4345 0, 173 6482 0, 190 8090 0, 207 9117 0, 224 9511 0, 241 9219 0, 258 8190 0, 275 6374 0, 292 3717 0, 309 0170 0, 325 5682 0, 342 0201 0, 358 3680 0, 374 6066 0, 390 7311 0, 406 7366 0, 422 6183 0, 438 3711 0, 453 9905 0, 469 4716 0, 484 8096 0, 500 0000 0, 515 0381 0, 529 9193 0, 544 6390 0, 559 1929 0, 573 5764 0, 587 7853 0, 601 8150 0, 615 6615 0, 629 3204 0, 642 7876 0, 656 0590 0, 669 1306 0, 681 9984 0, 694 6584 0, 707 1068

39

0.5 Tafeln Tafel V: Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

α = 5◦ 0, 802 2754 0, 819 6938 0, 837 1110 0, 854 5271 0, 871 9420 0, 889 3558 0, 906 7684 0, 924 1799 0, 941 5903 0, 958 9996 0, 976 4079 0, 993 8150 1, 011 2211 1, 028 6261 1, 046 0301 1, 063 4331 1, 080 8351 1, 098 2362 1, 115 6363 1, 133 0355 1, 150 4339 1, 167 8313 1, 185 2279 1, 202 6237 1, 220 0188 1, 237 4131 1, 254 8066 1, 272 1995 1, 289 5918 1, 306 9834 1, 324 3745 1, 341 7650 1, 359 1550 1, 376 5445 1, 393 9337 1, 411 3223 1, 428 7106 1, 446 0986 1, 463 4864 1, 480 8738 1, 498 2611 1, 515 6483 1, 533 0353 1, 550 4222 1, 567 8091

α = 10◦ 0, 800 5605 0, 817 8748 0, 835 1845 0, 852 4895 0, 869 7900 0, 887 0859 0, 904 3773 0, 921 6642 0, 938 9466 0, 956 2246 0, 973 4983 0, 990 7676 1, 008 0327 1, 025 2936 1, 042 5505 1, 059 8033 1, 077 0522 1, 094 2972 1, 111 5384 1, 128 7760 1, 146 0101 1, 163 2406 1, 180 4679 1, 197 6919 1, 214 9127 1, 232 1306 1, 249 3457 1, 266 5579 1, 283 7676 1, 300 9748 1, 318 1797 1, 335 3824 1, 352 5831 1, 369 7818 1, 386 9789 1, 404 1743 1, 421 3683 1, 438 5610 1, 455 7525 1, 472 9431 1, 490 1329 1, 507 3221 1, 524 5107 1, 541 6990 1, 558 8872

α = 15◦ 0, 797 7467 0, 814 8896 0, 832 0222 0, 849 1445 0, 866 2564 0, 883 3581 0, 900 4496 0, 917 5310 0, 934 5024 0, 951 6638 0, 968 7155 0, 985 7574 1, 002 7899 1, 019 8129 1, 036 8266 1, 053 8314 1, 070 8272 1, 087 8143 1, 104 7930 1, 121 7634 1, 138 7257 1, 155 6803 1, 172 6273 1, 189 5670 1, 206 4996 1, 223 4255 1, 240 3449 1, 257 2582 1, 274 1655 1, 291 0673 1, 307 9638 1, 324 8553 1, 341 7423 1, 358 6249 1, 375 5036 1, 392 3787 1, 409 2505 1, 426 1194 1, 442 9858 1, 459 8499 1, 476 7122 1, 493 5731 1, 510 4328 1, 527 2918 1, 544 1505

α = 20◦ 0, 793 9000 0, 810 8077 0, 827 6969 0, 844 5679 0, 861 4206 0, 878 2551 0, 895 0716 0, 911 8701 0, 928 6508 0, 945 4139 0, 962 1595 0, 978 8879 0, 995 5993 1, 012 2940 1, 028 9722 1, 045 6343 1, 062 2805 1, 078 9113 1, 095 5269 1, 112 1278 1, 128 7143 1, 145 2869 1, 161 8459 1, 178 3920 1, 194 9254 1, 211 4468 1, 227 9565 1, 244 4552 1, 260 9434 1, 277 4215 1, 293 8902 1, 310 3501 1, 326 8017 1, 343 2455 1, 359 6823 1, 376 1127 1, 392 5371 1, 408 9564 1, 425 3711 1, 441 7818 1, 458 1892 1, 474 5940 1, 490 9969 1, 507 3984 1, 523 7992

α = 25◦ 0, 789 1126 0, 805 7255 0, 822 3100 0, 838 8659 0, 855 3934 0, 871 8926 0, 888 3637 0, 904 8067 0, 921 2220 0, 937 6097 0, 953 9702 0, 970 3038 0, 986 6108 1, 002 8916 1, 019 1466 1, 035 3763 1, 051 5812 1, 067 7618 1, 083 9187 1, 100 0524 1, 116 1635 1, 132 2527 1, 148 3206 1, 164 3681 1, 180 3957 1, 196 4043 1, 212 3946 1, 228 3674 1, 244 3236 1, 260 2640 1, 276 1896 1, 292 1011 1, 307 9996 1, 323 8859 1, 339 7610 1, 355 6259 1, 371 4815 1, 387 3289 1, 403 1690 1, 419 0029 1, 434 8315 1, 450 6561 1, 466 4774 1, 482 2967 1, 498 1149

α = 30◦ 0, 783 5017 0, 799 7666 0, 815 9907 0, 832 1740 0, 848 3166 0, 864 4186 0, 880 4802 0, 896 5017 0, 912 4831 0, 928 4250 0, 944 3277 0, 960 1916 0, 976 0172 0, 991 8050 1, 007 5556 1, 023 2696 1, 038 9477 1, 054 5906 1, 070 1991 1, 085 7740 1, 101 3163 1, 116 8267 1, 132 3062 1, 147 7560 1, 163 1769 1, 178 5700 1, 193 9366 1, 209 2778 1, 224 5947 1, 239 8886 1, 255 1607 1, 270 4125 1, 285 6451 1, 300 8599 1, 316 0584 1, 331 2419 1, 346 4119 1, 361 5698 1, 371 7171 1, 391 8553 1, 406 9859 1, 422 1103 1, 437 2302 1, 452 3470 1, 467 4622

40

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Tafel V: Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

α = 35◦ 0, 777 2090 0, 793 0799 0, 808 8958 0, 824 6566 0, 840 3623 0, 856 0132 0, 871 6093 0, 887 1508 0, 902 6382 0, 918 0719 0, 933 4521 0, 948 7796 0, 964 0549 0, 979 2786 0, 994 4515 1, 009 5744 1, 024 6483 1, 039 6739 1, 054 6524 1, 069 5848 1, 084 4723 1, 099 3160 1, 114 1174 1, 128 8776 1, 143 5981 1, 158 2804 1, 172 9260 1, 187 5365 1, 202 1134 1, 216 6585 1, 231 1736 1, 245 6603 1, 260 1205 1, 274 5561 1, 288 9690 1, 303 3612 1, 317 7345 1, 332 0911 1, 346 4329 1, 360 7621 1, 375 0806 1, 389 3907 1, 403 6943 1, 417 9937 1, 432 2910

α = 40◦ 0, 770 3990 0, 785 8390 0, 801 2079 0, 816 5055 0, 831 7319 0, 846 8871 0, 861 9712 0, 876 9845 0, 891 9274 0, 906 8002 0, 921 6034 0, 936 3377 0, 951 0037 0, 965 6023 0, 980 1343 0, 994 6007 1, 009 0026 1, 023 3411 1, 037 6175 1, 051 8332 1, 065 9896 1, 080 0882 1, 094 1307 1, 108 1187 1, 122 0541 1, 135 9387 1, 149 7746 1, 163 5637 1, 177 3082 1, 191 0104 1, 204 6723 1, 218 2965 1, 231 8853 1, 245 4412 1, 258 9668 1, 272 4645 1, 285 9370 1, 299 3871 1, 312 8174 1, 326 2307 1, 339 6297 1, 353 0174 1, 366 3964 1, 379 7698 1, 393 1402

α = 45◦ 0, 763 2575 0, 778 2400 0, 793 1338 0, 807 9386 0, 822 6542 0, 837 2807 0, 851 8179 0, 866 2662 0, 880 6258 0, 894 8971 0, 909 0807 0, 923 1771 0, 937 1870 0, 951 1115 0, 964 9515 0, 978 7080 0, 992 3823 1, 005 9759 1, 019 4901 1, 032 9266 1, 046 2871 1, 059 5735 1, 072 7877 1, 085 9319 1, 099 0083 1, 112 0192 1, 124 9670 1, 137 8583 1, 150 6839 1, 163 4585 1, 176 1809 1, 188 8542 1, 201 4814 1, 214 0658 1, 226 6105 1, 239 1189 1, 251 5945 1, 264 0407 1, 276 4610 1, 288 8591 1, 301 2385 1, 313 6030 1, 325 9562 1, 338 3019 1, 350 6439

α = 50◦ 0, 755 9882 0, 770 4989 0, 784 9020 0, 799 1970 0, 813 3835 0, 827 4613 0, 841 4303 0, 855 2905 0, 869 0422 0, 882 6855 0, 896 2210 0, 909 6492 0, 922 9709 0, 936 1869 0, 949 2983 0, 962 3063 0, 975 2121 0, 988 0174 1, 000 7238 1, 013 3330 1, 025 8472 1, 038 2684 1, 050 5989 1, 062 8412 1, 074 9980 1, 087 0720 1, 099 0662 1, 110 9837 1, 122 8279 1, 134 6020 1, 146 3097 1, 157 9547 1, 169 5408 1, 181 0721 1, 192 5526 1, 203 9865 1, 215 3781 1, 226 7320 1, 238 0526 1, 249 3445 1, 260 6124 1, 271 8610 1, 283 0951 1, 294 3195 1, 305 5391

α = 55◦ 0, 748 8097 0, 762 8478 0, 776 7585 0, 790 5411 0, 804 1950 0, 817 7196 0, 831 1146 0, 844 3798 0, 857 5151 0, 870 5207 0, 883 3967 0, 896 1436 0, 908 7621 0, 921 2529 0, 933 6169 0, 945 8554 0, 957 9697 0, 969 9613 0, 981 8320 0, 993 5836 1, 005 2185 1, 016 7388 1, 028 1473 1, 039 4466 1, 050 6398 1, 061 7301 1, 072 7210 1, 083 6160 1, 094 4192 1, 105 1345 1, 115 7662 1, 126 3189 1, 136 7973 1, 147 2061 1, 157 5507 1, 167 8360 1, 178 0677 1, 188 2511 1, 198 3922 1, 208 4966 1, 218 5702 1, 228 6193 1, 238 6497 1, 248 6678 1, 258 6796

α = 60◦ 0, 741 9497 0, 755 5293 0, 768 9617 0, 782 2456 0, 795 3801 0, 808 3643 0, 821 1974 0, 833 8789 0, 846 4084 0, 858 7856 0, 871 0106 0, 883 0833 0, 895 0043 0, 906 7741 0, 918 3933 0, 929 8630 0, 941 1843 0, 952 3587 0, 963 3878 0, 974 2735 0, 985 0180 0, 995 6239 1, 006 0936 1, 016 4302 1, 026 6369 1, 036 7173 1, 046 6752 1, 056 5147 1, 066 2403 1, 075 8567 1, 085 3688 1, 094 7821 1, 104 1020 1, 113 3346 1, 122 4859 1, 131 5624 1, 140 5708 1, 149 5180 1, 158 4111 1, 167 2575 1, 176 0646 1, 184 8403 1, 193 5921 1, 202 3281 1, 211 0560

41

0.5 Tafeln Tafel V: Werte von Z = E(k, ϕ) bei gegebenen ϕ = arcsin z und α = arcsin k. ϕ 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

α = 65◦ 0, 735 6385 0, 748 7901 0, 761 7749 0, 774 5915 0, 787 2382 0, 799 7138 0, 812 0169 0, 824 1467 0, 836 1022 0, 847 8828 0, 859 4878 0, 870 9172 0, 882 1706 0, 893 2483 0, 904 1506 0, 914 8781 0, 925 4316 0, 935 8121 0, 946 0211 0, 956 0601 0, 965 9311 0, 975 6364 0, 985 1785 0, 994 5603 1, 003 7851 1, 012 8565 1, 021 7784 1, 030 5554 1, 039 1921 1, 047 6939 1, 056 0663 1, 064 3153 1, 072 4475 1, 080 4698 1, 088 3894 1, 096 2143 1, 103 9524 1, 111 6123 1, 119 2031 1, 126 7337 1, 134 2139 1, 141 6533 1, 149 0620 1, 156 4502 1, 163 8280

α = 70◦ 0, 730 1005 0, 742 8709 0, 755 4567 0, 767 8556 0, 780 0656 0, 792 0848 0, 803 9115 0, 815 5440 0, 826 9809 0, 838 2209 0, 849 2630 0, 860 1061 0, 870 7497 0, 881 1932 0, 891 4364 0, 901 4792 0, 911 3218 0, 920 9646 0, 930 4085 0, 939 6545 0, 948 7039 0, 957 5585 0, 966 2203 0, 974 6918 0, 982 9758 0, 991 0757 0, 998 9952 1, 006 7385 1, 014 3105 1, 021 7163 1, 028 9620 1, 036 0540 1, 042 9994 1, 049 8060 1, 056 4822 1, 063 0371 1, 069 4803 1, 075 8224 1, 082 0743 1, 088 2477 1, 094 3548 1, 100 4081 1, 106 4207 1, 112 4061 1, 118 3777

α = 75◦ 0, 725 5433 0, 737 9960 0, 750 2485 0, 762 2980 0, 774 1420 0, 785 7778 0, 797 2033 0, 808 4163 0, 819 4146 0, 830 1962 0, 840 7596 0, 851 1029 0, 861 2249 0, 871 1242 0, 880 7997 0, 890 2507 0, 899 4765 0, 908 4766 0, 917 2510 0, 925 7998 0, 934 1234 0, 942 2225 0, 950 0983 0, 957 7522 0, 965 1863 0, 972 4026 0, 979 4043 0, 986 1945 0, 992 7773 0, 999 1574 1, 005 3402 1, 011 3316 1, 017 1388 1, 022 7697 1, 028 2331 1, 033 5389 1, 038 6984 1, 043 7237 1, 048 6281 1, 053 4263 1, 058 1339 1, 062 7677 1, 067 3451 1, 071 8847 1, 076 4051

α = 80◦ 0, 722 1464 0, 734 3598 0, 746 3608 0, 758 1462 0, 769 7130 0, 781 0582 0, 792 1789 0, 803 0723 0, 813 7358 0, 824 1669 0, 834 3632 0, 844 3222 0, 854 0419 0, 863 5202 0, 872 7552 0, 881 7452 0, 890 4887 0, 898 9843 0, 907 2306 0, 915 2269 0, 922 9723 0, 930 4662 0, 937 7085 0, 944 6991 0, 951 4385 0, 957 9273 0, 964 1668 0, 970 1585 0, 975 9046 0, 981 4078 0, 986 6716 0, 991 7003 0, 996 4990 1, 001 0741 1, 005 4329 1, 009 5847 1, 013 5399 1, 017 3113 1, 020 9136 1, 024 3639 1, 027 6821 1, 030 8904 1, 034 0136 1, 037 0787 1, 040 1144

α = 85◦ 0, 720 0490 0, 732 1135 0, 743 9579 0, 755 5786 0, 766 9723 0, 778 1357 0, 789 0655 0, 799 7586 0, 810 2119 0, 820 4223 0, 830 3870 0, 840 1032 0, 849 5681 0, 858 7791 0, 867 7336 0, 876 4293 0, 884 8638 0, 893 0349 0, 900 9406 0, 908 5787 0, 915 9476 0, 923 0454 0, 929 8707 0, 936 4220 0, 942 6981 0, 948 6980 0, 954 4208 0, 959 8659 0, 965 0330 0, 969 9221 0, 974 5336 0, 978 8682 0, 982 9273 0, 986 7129 0, 990 2278 0, 993 4759 0, 996 4626 0, 999 1951 1, 001 6832 1, 003 9403 1, 005 9845 1, 007 8408 1, 009 5423 1, 011 1323 1, 012 6635

α = 90◦ 0, 719 3398 0, 731 3537 0, 743 1448 0, 754 7096 0, 766 0444 0, 777 1460 0, 788 0108 0, 798 6355 0, 809 0170 0, 819 1520 0, 829 0376 0, 838 6706 0, 848 0481 0, 857 1673 0, 866 0254 0, 874 6197 0, 882 9476 0, 891 0065 0, 898 7940 0, 906 3078 0, 913 5455 0, 920 5049 0, 927 1839 0, 933 5804 0, 939 6926 0, 945 5186 0, 951 0565 0, 956 3048 0, 961 2617 0, 965 9258 0, 970 2957 0, 974 3701 0, 978 1476 0, 981 6272 0, 984 8078 0, 987 6883 0, 990 2681 0, 992 5462 0, 994 5219 0, 996 1947 0, 997 5641 0, 998 6295 0, 999 3908 0, 999 8477 1, 000 0000

Abschnitt I

Geometrische Anwendungen der elliptischen Funktionen.

Kapitel 1

Bogen- und Fl¨achenberechnungen.

1.1 Die Bogenl¨ange der Lemniskate. Die Aufgaben der Bogenberechnungen ebener Kurven gaben bald nach der Erfindung der Differentialrechnung den Anlaß zur Aufstellung und Untersuchung von Integralen, die heute als elliptische“ bezeichnet werden. Sehr erfolgreich ist in ” dieser Hinsicht der italienische Gelehrte F a g n a n o1 gewesen, der sich seit 1714 mit der Rektifikation verschiedener ebener Kurven, besonders ausf¨uhrlich mit derjenigen der Lemniskate besch¨aftigt hat und als Vorl¨aufer von G a u ß die M¨oglichkeit erkannte, die Lemniskate mit Zirkel und Lineal in gewisse Anzahlen gleich langer Bogenst¨ucke zu zerlegen2 . Dieser Gegenstand wird hier zuerst behandelt, weil er zu dem elliptischen Integrale erster Gattung im harmonischen Falle (vergl. I, 135) f¨uhrt, der deshalb auch als der lemniskatische bezeichnet wird. Als Lemniskate“ wird bekanntlich die in rechtwinkligen Koordinaten durch die ” Gleichung: 2 2 x + y 2 − a2 x2 − y 2 = 0 gegebene ebene Kurve vierten Grades bezeichnet. Wir w¨ahlen a = 1 und bedienen uns an Stelle von x und y der Polarkoordinaten: y ϑ = arctg , r = x2 + y 2 , x so daß wir als Gleichung der Lemniskate: √ (1) r = cos 2ϑ

1

Die Sch¨opfungen Fagnano’s sind sp¨ater gesammelt unter dem Titel Produzioni matematiche del ” Marchese Giulio Carlo de’ Toschi di Fagnano“, Pesaro (1750) erschienen. 2 Die historische Entwicklung der Theorie der elliptischen Funktionen ist in profunder Weise dargestellt in Frickes Beitrag Elliptische Funktionen“ in der Encyklop¨adie der mathematischen ” Wissenschaften, Heft II B3 (Leipzig 1914). [Anm. d. Hrsg.]

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

45

46

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

zugrunde legen. Die Gestalt der Kurve ist in Fig. 7 gegeben; sie hat im Nullpunkte einen Doppelpunkt und ber¨uhrt daselbst die Winkelhalbierenden des Achsenkreuzes. Die beiden Scheitelpunkte liegen auf der x-Achse bei x = ±1. Die Bogenl¨ange s der Kurve wird vom Nullpunkte an in der l¨angs der Kurve angedeuteten Pfeilrichtung wachsend gerechnet. Durch ϕ die x-Achse wird die Lemniskate in vier Quadranten zerschnitten, die ϕ wir in der Richtung wachsender Bor genl¨ange s als ersten, zweiten, dritϑ ten und vierten Quadranten unterx = 1 ϕ scheiden. Wir f¨uhren als Parameter f¨ur die Darstellung der Koordinaten der Kurvenpunkte einen Winkel ϕ ein, dessen Konstruktion mittels ϕ des Kreises vom Radius 1 um den Nullpunkt und eines im Endpunkte vom Radiusvektor errichteten Lotes Fig. 7 f¨ur die vier verschiedenen Quadranten in Fig.7 skizziert ist. Um die ganze Lemniskate zu beschreiben, muß man ϕ das ganze Intervall von 0 bis 2π durchlaufen lassen, wobei den vier Quadranten ϕ die vier Quadranten der Kurve entsprechen. Stellt man den Radiusvektor im dritten und vierten Quadranten mit negativem Vorzeichen in Rechnung, so gilt f¨ur die Darstellung der Polarkoordinaten r, ϑ im Winkel ϕ: (2)

r = sin ϕ ,

cos 2ϑ = sin2 ϕ ,

wobei der Quadrant, in dem ϑ gelegen ist, immer unmittelbar aus der Figur abzulesen ist. F¨ur die rechtwinkligen Koordinaten der Lemniskatenpunkte berechnen sich die Darstellungen: 1 1 (3) x = √ sin ϕ 1 + sin2 ϕ , y = √ sin ϕ cos ϕ 2 2 mit positiv genommenen Quadratwurzeln. Aus (1) ergiebt sich: r dϑ = − cotg 2ϑ dr , so daß man f¨ur das Quadrat des Bogendifferentials findet: ds2 = dr 2 + r 2 dϑ2 = Da weiter aus (2):

dr2 dr2 = . 2 1 − r4 sin 2ϑ

dr 2 = cos2 ϕ dϕ2 = (1 − r 2 ) dϕ2

47

1.1 Die Bogenl¨ange der Lemniskate

folgt, so ergiebt sich beim Ausziehen der Quadratwurzel mit R¨ucksicht darauf, daß s mit ϕ best¨andig zunimmt: ds =

dϕ 1 + sin2 ϕ

mit positiv genommener Wurzel. Da s mit ϕ verschwindet, so folgt die grundlegende Gleichung: ϕ dϕ (4) s= , 0 1 + sin2 ϕ wo rechts das Legendresche Normalintegral erster Gattung mit dem Modul k 2 = −1, also im harmonischen Falle gewonnen ist (vergl. I, 369). Benutzen wir demnach fortan f¨ur die Bogenl¨ange die Bezeichnung w statt s, so folgt umgekehrt: ϕ = am w ,

(5)

und es stellen sich r und die rechtwinkligen Koordinaten x, y der Kurvenpunkte als elliptische Funktionen von w so dar: (6)

r = sn w ,

1 x = √ sn w dn w , 2

1 y = √ sn w cn w . 2

Um die ganze Lemniskate zu beschreiben, hat w die reellen Werte von 0 bis 4K zu beschreiben, unter K das den Lemniskatenquadranten liefernde vollst¨andige Inte” gral“: (7)

π 2

K= 0

dϕ 1 + sin2 ϕ

verstanden. Will man den numerischen Wert von K aus den Tafeln ablesen, so muß man das Integral zun¨achst auf ein solches mit dem reduzierten“ Werte k 2 = 12 des Inte” gralmoduls umformen. Dies geschieht einfach dadurch, daß man den Lemniskatenbogen vom Scheitelpunkte x = 1 an rechnet und gegen die obige Vorschrift im entgegengesetzten Sinne wachsend annimmt. F¨uhrt man entsprechend in (7) als neue Variable ψ = π2 − ϕ ein, so ergiebt sich f¨ur K die Darstellung: 1 K=√ 2

0

π 2

dψ . 1 − 12 sin2 ψ

Den Logarithmus des rechts stehenden Integrals entnimmt man aus der Tafel III (S. 29) f¨ur α = 45◦ . Man berechnet daraus: (8)

K = 1, 3110287 .

48

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Da k 2 = −1 ist, so ist der bez¨uglich der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe (vergl. I, 436 ff.) reduzierte Periodenquotient ω = −1 + i. Demgem¨aß findet man f¨ur das zu K komplement¨are vollst¨andige Integral: (9)

K = K + iK ,

was man auch durch direkte Berechnung von K unter Zuhilfenahme der Formeln der linearen Transformation der Jacobischen Funktionen (vergl. I, 475) best¨atigen kann.

1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen bei der Lemniskate. Die von F a g n a n o entdeckten S¨atze, die sich insbesondere auf Halbierung eines beliebigen Lemniskatenbogens, sowie auf Drei- und F¨unfteilung der ganzen Lemniskate beziehen, lassen sich als einfache Folgen des Additionstheorems der Jacobischen Funktionen im vorliegenden harmonischen Falle darstellen. Nach II, 180 lauten die Additionsformeln f¨ur die Funktionen sn, cn und dn im Falle k2 = −1: ⎧ sn w cn w dn w + sn w cn w dn w ⎪ ⎪ sn(w + w ) = , ⎪ ⎪ ⎪ 1 + sn w2 sn w2 ⎪ ⎪ ⎨ cn w cn w − sn w dn w sn w dn w (1) cn(w + w ) = , ⎪ 1 + sn w2 sn w2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dn w dn w + sn w cn w sn w cn w ⎪ ⎩ dn(w + w ) = . 1 + sn w2 sn w2 Hieraus ergiebt sich unmittelbar die M¨oglichkeit, elementar-geometrisch einen Bogen der Lemniskate zu konstruieren, der der Summe zweier gegebenen Bogen w, w gleich ist. Die Koordinaten der Endpunkte der gegebenen stets vom Nullpunkte aus gemessenen Bogen w und w seien r, ϑ und r , ϑ , wo die r, r immer mit dem oben festgesetzten Vorzeichen zu nehmen sind; entsprechend seien die Koordinaten des Endpunktes vom Bogen (w + w ) durch R, Θ bezeichnet. Aus den Formeln (6) in 1.1 folgert man leicht: √ √ (2) cn w = 2 sgn(r) sin ϑ , dn w = 2 sgn(r) cos ϑ , unter sgn(r) das Vorzeichen von r verstanden. Aus der ersten Additionsformel (1) folgt dann sofort: r sin 2ϑ + r sin 2ϑ R= , 1 + r 2 r 2 woraus in der Tat die M¨oglichkeit hervorgeht, R elementar zu konstruieren. Durch R sind aber immer noch zwei Punkte der Kurve bestimmt. Um den gesuchten Bogenendpunkt zu finden, nehme man etwa noch die leicht beweisbare Formel hinzu:

1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen

sin Θ =

√

2 sgn(Rrr )

49

sin ϑ sin ϑ − rr cos ϑ cos ϑ . 1 + r2 r 2

F¨ur die Verdoppelung eines Lemniskatenbogens ergiebt sich aus der letzten Gleichung: √ sin2 ϑ − r 2 cos2 ϑ sin Θ = 2 sgn(R) . 1 + r4 Dieser Gleichung kann man mit Hilfe der aus der Gleichung der Lemniskate leicht entspringenden Beziehungen: sin2 ϑ =

1 − r2 , 2

cos2 ϑ =

1 + r2 2

auch die nachfolgende Gestalt geben: (3)

√ 1 − 2r 2 − r 4 2 sgn(R) sin Θ = . 1 + r4

Hier liegt f¨ur r eine durch zwei Quadratwurzeln l¨osbare Gleichung vor. Es folgt: Jeder Bogen der Lemniskate ist elementar-geometrisch zu halbieren, mithin (durch Wiederholung) auch in 2ν gleiche Teile zerlegbar. Dabei ist die elementar-geometrisch durchf¨uhrbare Vervielf¨altigung mit zu benutzen. Der Winkel ϑ braucht bei der Halbierung nicht mehr besonders bestimmt zu werden, da man f¨ur jeden gegebenen Bogen von vornherein weiß, in welchem Quadranten der Halbierungspunkt liegt. Setzt man insbesondere R = 1, Θ = 0, so ergiebt sich, daß die Mittelpunkte der √ vier Quadranten durch den Kreis des Radius −1 + 2 um den Mittelpunkt der Lemniskate ausgeschnitten werden. Bei der Drei- und F¨unfteilung der Lemniskate benutzt man zweckm¨assig die Funktion: (4)

τ (w) = tg ϑ =

cn w . dn w

Hat man die zu den einzelnen Teilpunkten geh¨orenden Werte τ gefunden, so berechnen sich die zugeh¨origen r einfach aus: 1 − τ2 (5) r= . 1 + τ2 Im Falle der Dreiteilung handelt es sich um die Bestimmung des einen reellen negativen Teilwertes:

8K 4K =τ , τ 3 3 im Falle der F¨unfteilung um die beiden reellen Teilwerte:

16K 8K 12K 4K =τ , τ =τ , τ 5 5 5 5

50

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

von denen der erste positiv und der zweite negativ ist. Je die beiden zu den einzelnen τ geh¨orenden ϑ = arctg τ gestatten, die Teilpunkte auszuschneiden. Es ist nun eine einfache Folge der Eigenschaften von cn w und dn w, daß die Gleichung: τ (4w) = τ (w) nicht nur f¨ur w = 0, sondern weiter f¨ur alle Periodendrittel und alle Periodenf¨unftel: 4(λiK + μK) , 3

4(λiK + μK) 5

erf¨ullt ist. Man hat z. B., da cn gerade ist und die Perioden 4iK , 4K hat:

4(λiK + μK) 16(λiK + μK) = cn 4(λiK + μK) − cn 4 · 5 5 4(λiK + μK) = cn 5 und entsprechend f¨ur dn, also auch f¨ur τ (w). Aus (1) folgt als Additionstheorem f¨ur die Funktion τ (w): τ (w + w ) =

τ (w) τ (w ) − sn w sn w , 1 + sn w sn w τ (w) τ (w )

wobei zufolge (5) allgemein: sn w2 =

(6)

1 − τ (w)2 1 + τ (w)2

gilt. Setzt man w = w und benutzt die letzte Gleichung, so folgt: τ (2w) =

τ (w)4 + 2τ (w)2 − 1 . 1 + 2τ (w)2 − τ (w)4

Schreibt man zur Abk¨urzung τ (ω) = τ und τ (2ω) = τ , so muß zufolge der eben vorausgeschickten Betrachtung die durch Elimination von τ aus: τ =

τ 4 + 2τ 2 − 1 , 1 + 2τ 2 − τ 4

τ=

τ 4 + 2τ 2 − 1 1 + 2τ 2 − τ 4

entstehende Gleichung f¨ur τ , die vom siebzehnten Grade ist, zu Wurzeln neben τ = 1 die vier verschiedenen τ -Teilwerte des Grades 3 und die zw¨olf verschiedenen des Grades 5 haben. Die spezielle τ -Teilungsgleichung f¨ur den Grad 5 isoliert man sehr leicht. Man zeigt n¨amlich wie oben sofort, daß die Gleichung: τ (2w) = τ (w)

1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen

51

f¨ur w = 0 und f¨ur die Periodendrittel besteht. Dieser Ansatz liefert aber die Gleichung f¨unften Grades: τ 5 + τ 4 − 2τ 3 + 2τ 2 − τ − 1 = 0 ,

(7)

die nach Fortnahme des Linearfaktors (τ − 1) als spezielle Teilungsgleichung“ der ” τ -Funktion f¨ur den dritten Grad: τ 4 + 2τ 3 + 2τ + 1 = 0

(8)

ergiebt. Die Rechnung zeigt dann auch, daß in der Tat die Gleichung (7) ein Bestandteil der genannten Gleichung siebzehnten Grades ist. Der u¨ brigbleibende Bestandteil: (9) τ 12 −2τ 11 −4τ 10 −10τ 9 −5τ 8 +4τ 7 −8τ 6 +4τ 5 −5τ 4 −10τ 3 −4τ 2 −2τ +1 = 0 ist die spezielle Teilungsgleichung“ der τ -Funktion f¨ur den f¨unften Grad (vergl. ” II, 244 ff.). Es ist zun¨achst zu erl¨autern, warum wir hier notwendig zu reziproken“ Glei” chungen gef¨uhrt werden mußten. Dies hat seinen Grund in dem Bestehen der Gleichungen: (10)

sn iw = i · sn w ,

cn iw = dn w ,

dn iw = cn w ,

welche zum Ausdruck bringen, daß f¨ur die elliptischen Funktionen des harmonischen Falles die komplexe Multiplikation“ mit dem Multiplikator i besteht. Man ” beruft sich zum Beweise am einfachsten darauf, daß f¨ur die Koeffizienten aν , bν , cν der Potenzreihen (10) in I, 399 zufolge der daselbst unter (11) angegebenen Regeln im Falle k 2 = −1 die Beziehungen gelten: aν = (−1)ν aν ,

cν = (−1)ν bν .

F¨ur unsere Funktion τ (w) folgt aus (10): τ (iw) =

1 . τ (w)

Setzt man nun:

4(λiK + μK) , n = 3, 5, n so folgt mit Benutzung der Gleichung (9), 1.1: 4 (μ − λ)iK + (μ − 2λ)K , iw = n w=

wo die beiden ganzen Zahlen (μ − λ) und (μ − 2λ) stets und nur dann zugleich durch n teilbar sind, wenn dies auch von λ und μ gilt. Also ist in der Tat auch der reziproke Wert eines unserer Teilwerte stets unter den Teilwerten des gleichen

52

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

¨ Grades zu finden. Ubrigens notieren wir noch den aus (8) und (9) hervorgehenden Satz: Die τ -Teilwerte des dritten und f¨unften Teilungsgrades sind ganze algebraische Zahlen und insbesondere Einheiten ihrer Zahlk¨orper. Es erledigt sich nun sofort die Dreiteilung der Lemniskate, da die biquadratische Gleichung (8) als reziprok durch zwei Quadratwurzeln l¨osbar ist. F¨ur uns in Betracht kommt die eindeutig bestimmte Wurzel τ , die reell und absolut < 1 ist; sie hat den √ √ Wert: −1 − 3 + 2 3 (11) τ = tg ϑ = , 2 der, wie es sein muß, < 0 ist. Damit ist offenbar, daß die Dreiteilung der Lemniskate elementar-geometrisch durchf¨uhrbar ist. F¨ur die F¨unfteilung ist die Tatsache grundlegend, daß die Gleichung (9) im rationalen K¨orper reduzibel ist3 ; sie zerf¨allt in die beiden irreduzibelen Gleichungen: 4 τ + 2τ 3 + 4τ 2 + 2τ + 1 = 0 , (12) τ 8 − 4τ 7 + 4τ 5 − 6τ 4 + 4τ 3 − 4τ + 1 = 0 , die wieder beide reziprok sind. Die erste ist demnach unmittelbar wieder durch zwei Quadratwurzeln l¨osbar und hat die komplexen Wurzeln: τ=

√ 1+i −1 ± 1 + 2i , 2

τ=

√ 1−i −1 ± 1 − 2i , 2

auf deren Bedeutung wir sogleich zur¨uckkommen. Die zweite Gleichung (12) √ zerf¨allt nach Adjunktion von 5 in die beiden reziproken biquadratischen Gleichungen: √ 4 τ − 2τ 3 − 2(1 + 5)τ 2 − 2τ + 1 = 0 , (13) √ τ 4 − 2τ 3 − 2(1 − 5)τ 2 − 2τ + 1 = 0 , von denen jede wieder durch zwei Quadratwurzeln l¨osbar ist. Unter den acht konjugierten Einheiten, die der zweiten Gleichung (12) gen¨ugen, sind vier reell und zu Paaren reziprok. Sie gen¨ugen der ersten Gleichung (13); und von ihnen kommen f¨ur unsere Lemniskatenteilung die beiden L¨osungen τ in Betracht, die absolut < 1 sind. 8K Die positive L¨osung liefert τ ( 4K 5 ) und die negative τ ( 5 ):

⎧ √ √ √ √ ⎪ 1 ⎪ τ ( 4K 1 + ) = 5 + 2 5 − 2 1 + 5 + 5 + 2 5 , ⎨ 5 2

(14) √ √ √ √ ⎪ 1 ⎪ ⎩ τ ( 8K 5+2 5+ 2 1+ 5− 5+2 5 . 5 )= 2 1− Die elementar-geometrische Konstruktion der vier zur F¨unfteilung der Lemniskate f¨uhrenden Winkel ϑ findet hiernach keine Schwierigkeit. 3 Das widerspricht keineswegs der bekannten Tatsache, daß bei variablem k2 die zum f¨unften Teilungsgrade geh¨orende spezielle Teilungsgleichung zw¨olften Grades im Funktionenk¨orper“ ” (R, k 2 ) irreduzibel ist.

1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen

53

Die vorstehende Entwicklung hat uns die Kenntnis vermittelt, daß die zw¨olf τ -Teilwerte des Grades 5 in zwei Systeme zerfallen, einmal die acht soeben betrachteten konjugierten Einheiten, sodann die vier oben schon berechneten, der ersten Gleichung (12) gen¨ugenden konjugierten Einheiten. Diese Gleichung zerf¨allt nach Adjunktion von i in die beiden im imagin¨aren quadratischen K¨orper (R, i) irreduzibelen quadratischen Gleichungen: (15)

τ 2 + (1 + i)τ + 1 = 0 ,

τ 2 + (1 − i)τ + 1 = 0 .

Es handelt sich hier um diejenigen vier τ -Teilwerte, die bei Zugrundelegung des K¨orpers (R, i) nur erst uneigentlich zum f¨unften Teilungsgrade geh¨oren, dagegen im eigentlichen Sinne einen der beiden Primfaktoren (1 ± 2i) von 5 zum Teilungsgrade haben. Diese Teilwerte sind allgemein durch:

4(λiK + μK) τ 1 ± 2i gegeben; bei Benutzung des Teilungsgrades 5 findet man unter wiederholter Anwendung der Relation (9), S. 48 z. B.:

4(3λ − 2μ)iK + (4λ − μ)K) 4(λiK + μK) τ =τ 1 + 2i 5 und entsprechend beim Grade (1 − 2i). Als vier verschiedene Teilwerte dieser Art notieren wir:

8K 4K 8K 4K , τ , τ , τ . (16) τ 1 + 2i 1 + 2i 1 − 2i 1 − 2i Die beiden ersten gen¨ugen einer der beiden Gleichungen (15), die beiden letzten der anderen. Um genauer festzustellen, welches von diesen Teilwertpaaren etwa der ersten Gleichung (15) gen¨ugt, ziehen wir die L¨osungen dieser Gleichung heran: (17)

τ=

√ 1+i −1 ± 1 + 2i 2

und berechnen auf Grund von (6) die zugeh¨origen sn-Teilwerte. Da man wegen (15): τ 2 = −1 − (1 + i)τ setzen kann, so vereinfacht sich die Gleichung (6) zu: sn2 = −1 −

1−i , τ

und man findet den Teilwerten (17) entsprechend als Quadrate der sn-Teilwerte: √ (18) sn2 = ± 1 + 2i .

54

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Da die sn-Funktion ungerade ist, so haben wir als zum einzelnen der Primzahlgrade (1 ± 2i) geh¨orig nicht zwei, sondern vier verschiedene sn-Teilwerte. Es ist nun unsere Frage, ob die gefundenen vier assoziierten Zahlen: √ √ √ √ 4 1 + 2i , i 4 1 + 2i , − 4 1 + 2i , −i 4 1 + 2i (19) zum Grade (1 + 2i) oder (1 − 2i) geh¨oren. Um hier¨uber zu entscheiden, folgern wir aus dem Additionstheorem (1) mit Benutzung der Gleichungen (10): sn w cn 2w dn 2w + i sn 2w cn w dn w sn (1 + 2i)w = . 1 − sn w2 sn 2w2 Dr¨ucken wir noch die Funktionen von 2w durch diejenigen von w aus, so zieht sich diese Gleichung nach kurzer Zwischenrechnung auf die einfache Gestalt zusammen: (1 + 2i) − sn w4 sn (1 + 2i)w = sn w . 1 − (1 + 2i) sn w4

(20)

Nun verschwindet die hier links stehende Funktion f¨ur die Argumente: w=

4(λiK + μK) . 1 + 2i

Also sind die in (19) berechneten, der ersten Gleichung (15) entsprechenden snTeilwerte diejenigen, welche den beiden ersten τ -Teilwerten (16) zugeh¨oren. Das erste Paar (16) gen¨ugt also der ersten Gleichung (15) und das zweite Paar der zweiten Gleichung. Ist w0 dasjenige unter den vier Argumenten: 4K , 1 + 2i das sn w0 =

8K , 1 + 2i

12K , 1 + 2i

16K , 1 + 2i

√ 4

1 + 2i liefert, so folgern wir aus dem Additionstheorem: 2 sn w0 1 + sn w02 · τ (w0 ) sn 2w0 = 1 + sn w0 4 √ und also nach Eintragung des Wertes 4 1 + 2i f¨ur sn w0 : sn 2w0 =

√ 1−i √ 4 1 + 2i 1 + 1 + 2i τ (w0 ) . 2

Unter den beiden Werten (17) f¨ur τ (w0 ) ist also nur der mit dem oberen√Zeichen brauchbar; er liefert f¨ur die rechte Seite der letzten Gleichung den Wert i 4 1 + 2i. Da 2 eine primitive Wurzel der Primzahl 5 ist, k¨onnen wir schreiben:

1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen

(21)

sn w0 =

√ 4

1 + 2i , √ sn 22 w0 = − 4 1 + 2i ,

55

√ 4

sn 2w0 = i 1 + 2i , √ sn 23 w0 = −i 4 1 + 2i .

Bei der besonderen Einfachheit der sn-Teilungsgleichung f¨ur den Teilungsgrad (1 + 2i) h¨atte man diese Gleichung geradezu an die Spitze stellen k¨onnen, um von ihr aus die F¨unfteilung der Lemniskate zu entwickeln. Um diese Gleichung inde pendent aufzustellen, kn¨upft man an die Tatsache an, daß sn (1 + 2i)w ausser in den Gitterpunkten des Parallelogrammnetzes gerade genau an den Stellen: w=

4(λiK + μK) 1 + 2i

verschwindet. Nun findet man aber sehr leicht aus dem Additionstheorem und den Gleichungen (10), S. 51: (22)

sn (1 + 2i)w = sn w

1 + 2i − sn w4 . 1 − (1 + 2i) sn w4

Hieraus werden die sn-Teilungsgleichung und die vier Teilwerte (19) sofort wieder gewonnen. Zu den τ -Teilwerten gelangt man mittels der Gleichung: 1 − sn w2 τ (w) = ± . 1 + sn w2 √ Setzen wir aber sn w0 = 4 1 + 2i, so folgt: τ (w0 ) = ±

√ 1+i −1 + 1 + 2i . 2

F¨ur den Zweck der Lemniskatenteilung kann man die Bestimmung des hier noch zweifelhaften Zeichens umgehen. Ist n¨amlich w0 der zu w0 konjugiert komplexe Wert, so gilt: sn w0 =

√ 4

1 − 2i ,

τ (w0 ) = ±

√ 1−i −1 + 1 − 2i , 2

und wir finden nach dem Additionstheorem: τ (w0 + w0 ) =

τ (w0 ) τ (w0 ) − sn w0 sn w0 . 1 + sn w0 sn w0 τ (w0 ) τ (w0 )

Setzt man rechts die berechneten Werte ein und benutzt f¨ur die linke Seite die Gleichung: 2ν · 4K 2ν · 4K 2ν · 8K + = , w0 + w0 = 1 + 2i 1 − 2i 5 so ergiebt sich nach kurzer Rechnung:

56

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

τ

(23)

2ν · 8K 5

=−

√ −1+ 5 2

+

1+

√ 4

√ 1+ 5 2

5

.

Da dieser Wert negativ ist, so ist er mit dem zweiten Werte (14) gleich4 ; es ist also ν = 0 oder = 2. Die Gestalt (23) unseres τ -Teilwertes ist einfacher als die Gestalt (14) und zeigt, daß die zur L¨osung der zweiten Gleichung (12) zu adjungierenden drei Wurzeln die folgenden sind: √ √ √ 1+ 5 . 5, 5, 2 Auch kann man auf die Gleichung (23) eine ziemlich einfache elementar-geometrische Durchf¨uhrung der F¨unfteilung der Lemniskate gr¨unden.

1.3 Satz von Gauß uber ¨ die Lemniskatenteilung. Die Fagnanosche Entdeckung u¨ ber F¨unfteilung der Lemniskate ist der niederste Fall eines allgemeinen von G a u ß ausgesprochenen Satzes. In Art. 335 der Disquisi” tiones arithmeticae“ sagt Gauß, daß die Prinzipien seiner Theorie der Kreisteilung mit dem gleichen Erfolge anwendbar seien auch auf diejenigen Funktionen, welche vom Integrale: dx √ 1 − x4 abh¨angen. Wir beziehen diese Aussage hier nur auf Primzahlen p der Gestalt p = 4n + 1 und kleiden die Gaußsche Behauptung in den folgenden Satz: Die speziellen Teilungsgleichungen der elliptischen Funktionen des harmonischen Falles mit dem primzahligen Teilungsgrade p = 4n + 1 sind durch eine Kette von Wurzelziehungen l¨osbar, und zwar sind die Grade der auszuziehenden Wurzeln im Einzelfalle alle Primfaktoren von (p − 1). Die Zerlegung der Lemniskate in p gleich lange Bogen ist also insbesondere in allen den F¨allen elementar-geometrisch durchf¨uhrbar, in denen dies auch beim Kreise m¨oglich ist, n¨amlich wenn (p − 1) eine Potenz von 2 ist. ¨ Uber diesen Gegenstand hat bereits A b e l in § VIII seiner Recherches sur les ” fonctions elliptiques“ 5 sehr ersch¨opfende Untersuchungen angestellt, denen man im Hauptgedankengang sp¨aterhin stets gefolgt ist. Weiter hat G. Eisenstein zwei 4 Die Umrechnung des Wertes (14) in die Gestalt (23) liegt etwas versteckt; man benutze die Gleichungen: q √ q √ √ 5 + 2 5 = 1+2 5 5+2 5 ,

√ 5

r

2

1+

√

5+

q

√ √ 5+2 5= 45+

√ q √ 1+ 5 1+ 5 2 2

S. 221 ff. in Bd. I der ersten Ausgabe der Oeuvres compl`etes“. ”

.

1.3 Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung

57

wertvolle einschl¨agige Abhandlungen geliefert. In der ersten unter ihnen6 stellt Eisenstein die Verallgemeinerung auf den pten Teilungsgrad der oben f¨ur p = 5 gewonnenen speziellen Teilungsgleichung: sn4 − (1 + 2i) = 0 auf und beweist die Ganzzahligkeit dieser Gleichungen im quadratischen K¨orper (R, i). In der zweiten Abhandlung7 gelingt es Eisenstein, allgemein die Irreduzibilit¨at der eben genannten Gleichungen im imagin¨aren quadratischen K¨orper (R, i) zu beweisen. Eine weiter folgende Abhandlung8 ist wenigstens, was die Aufl¨osung der speziellen Teilungsgleichung angeht, nicht von der gleichen Bedeutung und hat wohl nur deshalb eine sehr ausgedehnte Gestalt angenommen, weil Eisenstein noch nicht u¨ ber die Galoissche Gleichungstheorie verf¨ugte. Sp¨aterhin hat sich Weierstraß sehr ausf¨uhrlich mit unserem Gegenstande besch¨aftigt und demselben drei Kapitel seiner Vorlesung u¨ ber Anwendung der elliptischen Funktionen“ 9 ” gewidmet. Vermutlich liegt dieser Darstellung eine sehr fr¨uhe Untersuchung von Weierstraß zugrunde, da sie in algebraischer Hinsicht noch nicht voll entwickelt ist. Weierstraß behandelt zwar die obigen speziellen Teilungsgleichungen nach dem Schema der L¨osung der zyklischen Gleichungen10 und beweist insoweit den Gaußschen Satz. Aber er beweist weder die Ganzzahligkeit noch (was wichtiger ist) die Irreduzibilit¨at der speziellen Teilungsgleichung, so daß unentschieden bleibt, ob die bei Weierstraß auftretenden Wurzelziehungen tats¨achlich alle n¨otig sind. Weierstraß geht also nicht wesentlich u¨ ber Abel hinaus, w¨ahrend bei Eisenstein die Irreduzibilit¨at hinzukommt. Es sei nun p = 4n + 1 eine beliebige mod 4 mit 1 kongruente rationale Primzahl, die demnach im imagin¨aren quadratischen K¨orper (R, i) in das Produkt zweier komplexer Primzahlen: (1)

p = (g + hi)(g − hi)

zerlegbar ist. Zwecks eindeutiger Bestimmung der letzteren schreiben wir vor, daß g und h positiv unddaß h gerade sein soll; g ist dann ungerade. Die Funktion sn (g + hi)w erf¨ahrt gegen¨uber der Vermehrung von w um 2K Zeichenwechsel, w¨ahrend sie bei Vermehrung von w um 2iK unver¨andert bleibt. 6

Ableitung des biquadratischen Fundamentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunktio” nen, nebst Bemerkungen zu den Multiplikations- und Transformationsformeln“, Journ. f. Math., Bd. 30, S. 185. 7 ¨ Uber die Irreduzibilit¨at und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Teilung ” der ganzen Lemniskate abh¨angt“, Journ. f. Math., Bd. 39, S. 160. 8 ¨ Uber einige allgemeine Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Teilung der ganzen Lem” niskate abh¨angt, nebst Anwendungen derselben auf die Zahlentheorie“, Journ. f. Math., Bd. 39, S. 224. 9 bearbeitet von Rudolf Rothe, Berlin 1915, S. 183. 10 Man ziehe weiterhin neben II, 23 ff. zur Hilfe auch mein Lehrbuch der Algebra“ (Braun” schweig, 1924 bis 28) heran, das mit A“ unter Angabe von Band- und Seitenzahl zitiert wird. ” Wegen der zyklischen Gleichungen vergl. man A“ I, 412 ff. ”

58

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Da n¨amlich iK = K + iK gilt, so findet man bei Vermehrung von w um 2K: sn (g + hi)(w + 2K) = sn (g + hi)w + 2(g + h)K + 2hiK . Also folgt die Behauptung aus den Gleichungen (13) in I, 390 bei Benutzung der Kongruenz g+ h ≡ 1 (mod 2). Ebenso beweist man die Unver¨anderlichkeit von sn (g+hi)w bei Vermehrung von w um 2iK . Diese Funktion zeigt also gegen¨uber den genannten Vermehrungen von w dasselbe Verhalten wie sn w selbst. Der Quotient beider Funktionen, der u¨ berdies bei Zeichenwechsel von w unver¨andert bleibt, geh¨ort demnach zur Gruppe aller Substitutionen: w = ±w + 2m1 iK + 2m2 K , die vom Geschlechte 0 ist und sn w2 als eine einwertige Funktion besitzt11 . Also ist jener Quotient eine rationale Funktion von sn w2 . Da aber weiter der Quotient gegen¨uber der Substitution w = iw unver¨andert bleibt, w¨ahrend sn w2 Zeichenwechsel erf¨ahrt (vergl. (10), S. 51), so handelt es sich hier um eine rationale Funktion von sn w4 : (2) sn (g + hi)w = sn w R(sn w4 ) . Um den Grad der rationalen Funktion zu bestimmen, beachte man, daß sn (g + hi)w stets und nur dann einen einfachen Nullpunkt hat, wenn (g+hi)w gleich einer ganzzahligen Kombination der Perioden 2iK , 2K ist. Mit Hilfe der Beziehung (9), S. 48 stellt man also als einfache Nullpunkte der Funktion (2) die Stellen: w=

(3)

2K(λ + iμ) g + hi

fest, unter (λ + iμ) die ganzen Zahlen des imagin¨aren quadratischen K¨orpers (R, i) verstanden. Zwei bez¨uglich des Moduls (g + hi) kongruente ganze Zahlen (λ + iμ) liefern Werte w, die um ganzzahlige Multipla von 2iK , 2K differieren, also dieselben sn w2 liefern. Ausserdem erhalten wir, wenn λ + iμ ≡ 0 (mod g + hi) gilt, einen Gitterpunkt der Parallelogrammteilung und damit einen Nullpunkt von sn w. Demnach gewinnt man bereits alle Nullpunkte der rationalen Funktion R(sn w4 ), falls man die Zahl (λ + iμ) in (3) ein System mod(g + hi) inkongruenter und durch (g + hi) nicht teilbarer ganzer Zahlen von (R, i) durchlaufen l¨aßt. Als ein solches System kann man die Zahlen 1, 2, 3, . . . , p − 1 gebrauchen oder auch, was f¨ur uns zweckm¨assiger ist, die Zahlen θ 0 = 1, θ, θ 2 , . . . , θp−2 , unter θ eine primitive Wurzel der Primzahl p im Sinne der rationalen Zahlentheorie verstanden. Wir haben also nur folgende 4n = p − 1 Werte w zuzulassen: (4)

w=

2Kθν , g + hi

ν = 0, 1, 2, . . . , p − 2.

11 Es handelt sich hier um die zur Weierstraßschen ℘-Funktion geh¨orende Gruppe; diese Funktion ist im vorliegenden harmonischen Falle e1 = 0, e2 = 1, e3 = −1 nach (10) in I, 389 reziprok zu sn w2 .

59

1.3 Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung

Da u¨ brigens die Kongruenzen: (5)

θ

p−1 2

≡ −1 ,

θ

p−1 4

≡ ±i ,

θ3

p−1 2

≡ ∓i (mod g + hi)

gelten, so liefern immer vier unter den zu den p − 1 = 4n Argumenten (4) geh¨orenden sn-Werten eine und dieselbe vierte Potenz. Wir gelangen also nur zu n Werten f¨ur sn w4 , die dann aber auch tats¨achlich alle von einander verschieden sind. Nehmen wir noch hinzu, daß das Anfangsglied der Reihenentwicklung der sn-Funktion w lautet, so sind wir an Stelle der Gleichung (2) zu dem entwickelteren Ansatze gelangt: (g + hi) + a1 sn w4 + a2 sn w8 + · · · + an sn w4n (6) sn (g + hi)w = sn w , 1 + b1 sn w4 + b2 sn w8 + · · · + bn sn w4n unter den a und b noch unbekannte Koeffizienten verstanden. Nun hat f¨ur den bei uns vorliegenden Periodenquotienten: iK = −1 + i K √ die Modulfunktion vierter Stufe k = λ den Wert −i (vergl. I, 449 ff.). Aus I, 395 folgt somit: i . sn(w + iK ) = sn w Mit Benutzung der Relation (9), S. 48 folgert man weiter: sn (g + hi)(w + iK ) = sn (g + hi)w + (g − h)iK − 2hK , ω=

woraus sich, da h gerade und g ungerade ist: sn (g + hi)(w + iK ) =

i sn (g + hi)w

ergiebt. Unsere rationale Funktion R(sn w4 ) erf¨ullt demnach die Funktionalgleichung:

1 1 , = R 4 sn w R (sn w4 ) so daß der Ansatz (6) genauer geschrieben werden kann: (7) (g + hi) + a1 sn w4 + · · · + an−1 sn w4n−4 + sn w 4n sn (g + hi)w = sn w . 1 + an−1 sn w4 + · · · + a1 sn w4n−4 + (g + hi) sn w4n Von den (n − 1) Koeffizienten a1 , a2 , . . . , an−1 l¨aßt sich zeigen, daß sie ganze Zahlen des imagin¨aren quadratischen K¨orpers (R, i) sind. Man folgert zun¨achst aus dem Additionstheorem mit Zuhilfenahme der Gleichungen (10), S. 51: sn gw cn hw dn hw + i sn hw cn gw dn gw . sn (g + hi)w = 1 − sn gw2 sn hw2

60

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Nun kann man auf induktivem Wege alle rechts stehenden Funktionen der vielfachen Argumente gw und hw durch wiederholte Anwendung der Additionsformeln (1) aus 1.2 in den Funktionen des einfachen Argumentes w ausdr¨ucken. Es ergiebt sich dabei f¨ur die rechte Seite der letzten Gleichung eine rationale Funktion von sn w mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten, und das erste Glied des Nenners ist gleich 1. Der sich hier zun¨achst ergebende Ausdruck kann allerdings, wie auch im Falle p = 5, durch Fortheben eines gemeinsamen Faktors von Z¨ahler und Nenner noch gek¨urzt werden. Nach den S¨atzen von II, 80 haben aber die restierenden Bestandteile in Z¨ahler und Nenner notwendig wieder ganze komplexe Koeffizienten, womit die Ganzzahligkeit von a1 , a2 , . . . , an−1 erkannt ist. Endlich beweist Eisenstein, daß die (n − 1) ganzen Zahlen a1 , a2 , . . . , an−1 s¨amtlich durch die komplexePrimzahl (g + hi) teilbar sind. Zur Abk¨urzung setzen wir sn w = x, sn (g + hi)w = y, sowie: (g + hi) x + a1 x5 + · · · + an−1 x4n−3 + x4n+1 = F (x) , 1 + an−1 x4 + an−2 x8 + · · · + (g + hi) x4n = G(x) . Dann kann man die rationale Funktion: y=

F (x) G(x)

als eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung erster Ordnung:

dy 1 − y4

= (g + hi) √

dx 1 − x4

auffassen. Demgem¨aß besteht in x identisch die Gleichung: G(x)4 − F (x)4 dG(x) dF (x) − F (x) = (g + hi) G(x) dx dx 1 − x4 Hier steht rechts unter dem Wurzelzeichen im Z¨ahler eine ganze ganzzahlige12 Funktion von x4 mit dem Absolutgliede 1, die f¨ur x4 = 1 verschwindet (es ist n¨amlich F (1) = G(1)) und deshalb durch (1 − x4 ) teilbar ist. Der Radikand in der letzten Gleichung ist also eine ganze ganzzahlige Funktion von x4 mit dem Absolutgliede 1. Diese Funktion ist nun zufolge der letzten Gleichung im K¨orper (R, i) reduzibel, indem sie das Quadrat einer rationalen ganzen Funktion H(x) von x4 darstellt. Da sich der in II, 83 am Schlusse von § 3 aufgestellte Satz sofort auch auf Funktionen mit ganzen Zahlen des K¨orpers (R, i) als Koeffizienten u¨ bertr¨agt, so folgern wir, daß auch H(x) ganzzahlige Koeffizienten hat: G(x) 12

dF (x) dG(x) − F (x) = (g + hi) H(x) . dx dx

Die Koeffizienten sind komplexe“ ganze Zahlen. ”

61

1.3 Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung

Wir nennen nun weiterhin zwei ganze ganzzahlige Funktionen von x mod(g+hi) kongruent“, falls in ihnen je die beiden Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x ” mod(g + hi) kongruent sind. Dann folgt aus der letzten Gleichung mit R¨ucksicht auf die Ganzzahligkeit von H(x): G(x)

(8)

dF (x) dG(x) ≡ F (x) dx dx

(mod g + hi) .

In einer solchen Kongruenz kann man nat¨urlich jede Funktion durch eine kongruente ersetzen. Es sei nun bereits erkannt, daß die Koeffizienten a1 , a2 , . . . , ak−1 durch (g + hi) teilbar seien. Wir haben dann: F (x) ≡ ak x4k+1 + ak+1 x4k+5 + · · · , G(x) ≡ 1 + an−1 x4 + · · · (mod g + hi) einzutragen und finden die Kongruenz: (4k + 1) ak x4k + (4k + 1) ak an−1 + (4k + 5)ak+1 x4k+4 + · · · ≡ 4 ak an−1 x4k+4 + · · · . Es folgt also: (4k + 1) ak ≡ 0 (mod g + hi) . Da nun, so lange k < n ist, (4k + 1) nicht durch die Primzahl (g + hi) teilbar ist, so folgern wir durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens auch die Teilbarkeit von ak , ak+1 , . . . , an−1 durch (g + hi), womit die letzte Behauptung bewiesen ist. Durch Nullsetzen der ganzen Funktion F (x) gewinnen wir die spezielle Teilungsgleichung der sn-Funktion f¨ur den Teilungsgrad (g + hi). Bei Benutzung der Abk¨urzung x4 = z gelangen wir zu einer Gleichung nten Grades: (9)

z n + (g + hi)(α1 z n−1 + α2 z n−2 + · · · + αn−1 z + 1) = 0

mit ganzen Zahlen α1 , α2 , . . . , αn−1 des K¨orpers (R, i). Von dieser Gleichung hat Eisenstein13 bewiesen, daß sie im K¨orper (R, i) irreduzibel ist. Soll n¨amlich die linke Seite der Gleichung (9) in das Produkt der beiden Faktoren: ϕ(z) = z l + β1 z l−1 + β2 z l−2 + · · · + iν (g + hi) , ψ(z) = z m + γ1 z m−1 + γ2 z m−2 + · · · + i3ν mit Koeffizienten β, γ von (R, i) zerfallen, so w¨aren diese β, γ notwendig ganze Zahlen von (R, i). Es sei nun bereits erkannt, daß alle auf βk folgenden Koeffizienten βk+1 , . . . durch (g + hi) teilbar sind. Dann besteht die Kongruenz: l z + β1 z l−1 + · · · + βk z l−k z m + γ1 z m−1 + · · · + i3ν ≡ z n (mod g + hi) , wo n = l + m ist. Hieraus folgt leicht βk ≡ 0 (mod g + hi), und man findet durch Wiederholung dieses Schlusses, daß alle β1 , β2 , . . . durch (g + hi) teilbar sind. Es 13

Hier beweist Fricke im Spezialfall das Eisensteinsche Irreduzibilit¨atskriterium. [Anm. d. Hrsg.]

62

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

besteht demnach die Kongruenz: z n + γ1 z n−1 + · · · + i3ν z l ≡ z n

(mod g + hi) .

Dies ist aber wegen des letzten Gliedes links nur m¨oglich, wenn l = n, m = 0 ist, womit die Irreduzibilit¨at bewiesen ist. Nach diesen Feststellungen f¨uhren uns die S¨atze der Galoisschen Gleichungstheorie leicht zum Ziele. Ist:

4 2aK z0 = sn g + hi eine beliebige L¨osung der Teilungsgleichung (9), so gewinnt man alle n L¨osungen dieser Gleichung in der Gestalt:

4 ν 2aK zν = sn θ , g + hi

ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Nach dem Additionstheorem ist somit jede L¨osung eine rationale Funktion mit rationalen ganzen Koeffizienten einer beliebigen unter ihnen. Wird insbesondere f¨ur ν = 1 diese rationale Funktion durch: z1 = S(z0 ) bezeichnet, und wird die wiederholte Aus¨ubung dieser Funktion S wie u¨ blich durch S 2 , S 3 , . . . angedeutet, so gelangt man zur Darstellung aller Wurzeln der Teilungsgleichung in der Gestalt: (10)

zν = S ν (z0 ) ,

ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Nach A“ I, 368 ist nun eine in einem Zahlk¨orper K irreduzibele Gleichung nten ” Grades dadurch als eine Normalgleichung“ charakterisiert, daß alle ihre L¨osungen ” rational mit Koeffizienten aus K in einer beliebigen unter ihnen darstellbar sind. Eine solche Gleichung ist ihre eigene Galoissche Resolvente“, und sie hat eine ” Galoissche Gruppe Gn der Ordnung n, f¨ur welche man eine Darstellungsform in den n Funktionen hat, mittels deren sich alle Wurzeln in einer unter ihnen ausdr¨ucken. In unserem Falle lassen sich zufolge (10) diese n Funktionen als die Wiederholungen der Funktion S darstellen. Also gelangen wir zu dem Schlußergebnis: Die spezielle Teilungsgleichung (9) ist eine zyklische“ Gleichung mit einer Gruppe ” ; sie ist demnach durch eine Kette von Wurzelziehungen der Ordnung n = p−1 4 sind, und von diesen Wurzeln ist l¨osbar, deren Grade die Primfaktoren von n = p−1 4 auch keine entbehrlich. Zu den sn-Teilwerten selbst gelangt man durch zwei weitere Quadratwurzeln, und die Berechnung der τ -Teilwerte erfordert nach (6), S. 50 noch eine weitere Quadratwurzelziehung. Endlich findet man aus den damit berechneten Teilwerten und den zu ihnen konjugiert komplexen Zahlen entsprechend der Gleichung:

63

1.3 Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung

τ

2aK 2aK + g + hi g − hi

=τ

4agK p

auf Grund des Additionstheorems: τ (w + w ) =

τ (w) τ (w ) − sn w sn w 1 + sn w sn w τ (w) τ (w )

die f¨ur die Einteilung der Lemniskate in p gleiche Teile in Betracht kommenden Teilwerte. Hiermit sind die Angaben von G a u ß u¨ ber die Lemniskatenteilung bewiesen. Als Beispiel diene die Siebzehnteilung, deren Formeln zuerst von L. Kiepert entwickelt sind14 . Man kn¨upfe hier an die von der F¨unfteilung her bekannten Formeln: (1 + 2i) sn w − sn w5 sn (1 + 2i)w = , 1 − (1 + 2i) sn w4 1 + 2(1 − i) sn w2 + sn w4 , cn (1 + 2i)w = cn w 1 − (1 + 2i) sn w4 1 − 2(1 − i) sn w2 + sn w4 dn (1 + 2i)w = dn w 1 − (1 + 2i) sn w4 und benutze das Additionstheorem sowie die Gleichungen (10), S. 51: sn (1 + 4i)w sn (1 + 2i)w dn 2w cn 2w + i sn 2w cn (1 + 2i)w dn (1 + 2i)w . = 2 1 − sn (1 + 2i)w sn 2w2 Tr¨agt man die drei vorstehenden Ausdr¨ucke f¨ur sn (1 + 2i)w , . . . ein, sowie die Darstellungen von sn 2w, cn 2w, dn 2w in den Funktionen von w, so ergiebt sich: sn (1 + 4i)w =

(1 + 4i) sn − 4(5 + 3i) sn5 − 2(5 − 14i) sn9 + 4(3 − 5i) sn13 + sn17 , 1 + 4(3 − 5i) sn4 − 2(5 − 14i) sn8 − 4(5 + 3i) sn12 + (1 + 4i) sn16

wo rechter Hand zur Abk¨urzung sn statt sn w geschrieben ist. Da man die Gleichungen hat: 5 + 3i = (1 − i)(1 + 4i) , 5 − 14i = −(3 + 2i)(1 + 4i) , 3 − 5i = −(1 + i)(1 + 4i) , 14

Siebzehnteilung des Lemniskatenumfangs durch alleinige Anwendung von Zirkel und Lineal“, ” Journ. f. Math., Bd. 75, S. 255.

64

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

so best¨atigen sich alle allgemeinen Angaben u¨ ber die Bauart der Gleichung (7) in unserem Falle p = 17. Man schreibe nun wieder sn w4 = z und hat dann die im K¨orper (R, i) irreduzibele biquadratische Gleichung: (11)

z 4 + 4(3 − 5i)z 3 − 2(5 − 14i)z 2 − 4(5 + 3i)z + (1 + 4i) = 0

zu l¨osen. Sie muß nach Adjunktion einer Quadratwurzel reduzibel √ werden und in zwei quadratische Gleichungen zerfallen. Diese Quadratwurzel ist 1 + 4i; die beiden quadratischen Teilgleichungen aber sind: √ √ (12) z 2 + 2(3 − 5i ∓ 3i 1 + 4i)z + (9 + 2i ± (4 − 2i) 1 + 4i) = 0 . Die zur vollst¨andigen L¨osung der Teilungsgleichung (11) noch zu adjungierende zweite Quadratwurzel ist: √ √ 1 + 4i = 4 1 + 4i . Die Gleichung (12) hat n¨amlich f¨ur das obere Zeichen die beiden Wurzeln: √ √ √ z = −3 + 5i + 3i 1 + 4i ± (−1 + 4i + (1 + 2i) 1 + 4i) 4 1 + 4i , w¨ahrend sich f¨ur das untere Zeichen die L¨osungen einfinden: √ √ √ z = −3 + 5i − 3i 1 + 4i ± (−1 + 4i − (1 + 2i) 1 + 4i) i 4 1 + 4i . Hiermit best¨atigt sich der zyklische Charakter der Gleichung (11). Nennt man die vier L¨osungen z in der angegebenen Reihenfolge kurz z0 , z2 , z1 , z3 , so finden sich f¨ur die Lagrangeschen Solventen“ (vergl. A“ I, 413): ” ” (iν , z) = z0 + i−ν z1 + i−2ν z2 + i−3ν z3 die Werte: (1, z) = 4(−3 + 5i) , √ (i, z) = 4(−1 + 4i) 4 1 + 4i , √ (i2 , z) = 12i( 4 1 + 4i)2 , √ (i3 , z) = 4(1 + 2i)( 4 1 + 4i)3 . W¨ahrend nat¨urlich (1, z) bereits dem K¨orper (R, i) angeh¨ort, ist jede der drei anderen Solventen die L¨osung einer reinen“ biquadratischen Gleichung im K¨orper ” (R, i), die z. B. f¨ur (i, z) die Gestalt hat: (i, z)4 + 28 · 17(47 − 52i) = 0 . Nach Aufl¨osung dieser Gleichung sind nat¨urlich auch (i2 , z) und (i3 , z) rational ” bekannt“, wie dies der L¨osungsweise zyklischer Gleichungen entspricht.

65

1.4 Die Bogenl¨angen der Ellipse und Hyperbel

1.4 Die Bogenl¨angen der Ellipse und Hyperbel. Elliptische Integrale der ersten und zweiten Gattung stellen sich bei der Berechnung der Bogenl¨angen einer Reihe weiterer ebener Kurven ein. Voran stehen Ellipse und Hyperbel, die als Beispiele f¨ur Entwicklungen dieser Art n¨aher betrachtet werden m¨ogen. √ Man beziehe die Ellipse der Halbachsen a, b, und also der Exzentrizit¨at e = a2 − b2 auf ihre Hauptachsen als Koordinatenachsen. Die Bogenl¨ange soll von dem auf der positiven y-Achse gelegenen Scheitelpunkte B an gemessen werden, und zwar wachsend in der Richtung der zun¨achst wachsenden Abszissen x. Es soll der bis zum Punkte P der Abszisse x reichende Bogen s des ersten sich hier anschliessenden Ellipsenquadranten berechnet werden. Als BogeninteB P gral f¨ur s findet man: ϕ a 1 x a4 − e2 x2 (1) s = dx . a 0 a2 − x2 O

x

Man setze: (2)

e = k, a

x = sin ϕ , a Fig. 8

so daß k die numerische Exzentri” zit¨at“ der Ellipse bedeutet und ϕ ein Winkel ist, dessen Konstruktion mittels des Kreises vom Radius a um den Mittelpunkt der Ellipse in Fig. 8 angedeutet ist. F¨ur die Bogen des ersten Quadranten hat man ϕ von 0 bis π2 wachsen zu lassen; setzt man die Bogenberechnung in die u¨ brigen Quadranten fort, so hat ϕ weiter bis 2π zu wachsen. Die Gleichung (1) rechnet sich sofort um in: ϕ (3) s=a 1 − k 2 sin2 ϕ dϕ = aE(k, ϕ) , 0

so daß die Bogenl¨ange unmittelbar durch das mit a multiplizierte Legendresche Normalintegral zweiter Gattung gegeben ist, dessen Werte f¨ur die hier in Betracht kommenden positiven echten Br¨uche k in Tafel V, S. 36 ff., gegeben sind. Die Hyperbel mit der halben Hauptachse a und der halben Nebenachse b sei wie u¨ blich auf ihre Achsen √bezogen, und zwar die Hauptachse als Abszissenachse; ihre Exzentrizit¨at ist e = a2 + b2 . Die Bogenl¨ange werde vom Scheitelpunkte A (vergl. Fig. 9) ab gemessen und in der Richtung wachsender Ordinaten wachsend genommen. Die Bogenl¨ange s bis zum Punkte P der Abszisse x ist hier, wie man leicht feststellt, durch das folgende Integral gegeben: 1 x e2 x2 − a4 dx . (4) s= a a x2 − a 2

66

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Um die numerische Bestimmung dieses Integrals mittels der Tafeln zu erm¨oglichen, haben wir: a =k, e

(5)

x 1 = a sin ϕ

zu setzen. Es ist also k der reziproke Wert der numerischen Exzentrizit¨at“ und ” demnach wieder im Intervall 0 < k < 1 gelegen. Um die geometrische Bedeutung des Winkels ϕ aufzuweisen, zeichne man die Hyperbeltangente im Punkte P vom Ber¨uhrungspunkte P bis zum SchnittpunkP te R mit der Abszissenachse und projiziere diese Strecke auf die x-Achse. Es ergiebt a ϕ sich die zum Punkte P geh¨orende Subtan” gente“ (vergl. Fig.9): O

R

A

Q

QR =

y dy dx

=x−

a2 . x

Demnach gilt: OR = x − QR =

a2 = a sin ϕ , x

Fig. 9

so daß man den Winkel ϕ mittels des Kreises vom Radius a um den Nullpunkt O in der in Fig.9 angedeuteten Art konstruiert. Der Winkel ϕ hat von π2 bis 0 abzunehmen, wenn man vom Scheitelpunkte A aus die obere H¨alfte unseres Hyperbelzweiges beschreiben will. Rechnet man nun das Integral in (4) auf k und ϕ um, so ergiebt sich als Bogenl¨ange s bis zum Punkte P mit dem Winkel ϕ: (6)

a s= k

π 2 ϕ

1 − k 2 sin2 ϕ dϕ . sin2 ϕ

Um dies Integral durch die Normalintegrale darzustellen, beweise man zun¨achst durch einfache Differentiation die folgende Gleichung: d cotg ϕ 1 − k 2 sin2 ϕ k 2 cos2 ϕ 1 − k 2 sin2 ϕ =− − . dϕ sin2 ϕ 1 − k2 sin2 ϕ F¨ur den Ausdruck unter dem Integral (6) hat man demnach die Darstellung15 : √ 1−k 2 sin2 ϕ dϕ sin2 ϕ − 1 − k 2 sin2 ϕ dϕ . = −d cotg ϕ 1 − k 2 sin2 ϕ + k 2 √ dϕ 2 2 1−k sin ϕ

15

Hier ist k2 = 1 − k2 der komplement¨are Integralmodul.

67

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids

Durch Integration zwischen den Grenzen ϕ und

π 2

ϕ

π 2

folgt hieraus:

π 2 1 − k 2 sin2 ϕ dϕ 2 2 2 dϕ = cotg ϕ 1 − k sin ϕ + k 2 sin ϕ 1 − k 2 sin2 ϕ ϕ π 2 1 − k 2 sin2 ϕ dϕ . − ϕ

F¨ur die beiden letzten Glieder hat man bei Heranziehung der vollst¨andigen Inte” grale“ K und E die Darstellungen:

π 2

ϕ

ϕ

π 2

dϕ 1−

k2

2

sin ϕ

=K−

1 − k 2 sin2 ϕ dϕ = E −

ϕ

0

0

ϕ

dϕ 1 − k2 sin2 ϕ

= K − F (k, ϕ) ,

1 − k 2 sin2 ϕ dϕ = E − E(k, ϕ) ,

wo F (k, ϕ) und E(k, ϕ) die Legendreschen Normalintegrale erster und zweiter Gattung sind. F¨ur den Hyperbelbogen s vom Scheitelpunkte A bis zum Punkte P des Winkels ϕ ergiebt sich der Ausdruck:

a (7) s= cotg ϕ 1 − k 2 sin2 ϕ − k 2 F (k, ϕ) + E(k, ϕ) + k2 K − E k in den Legendreschen Normalintegralen. Die numerische Bestimmung von s mittels der Tafeln IV und V (S. 30 ff.) und einer trigonometrischen Tafel ist damit erm¨oglicht.

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids. Als Beispiel einer Komplanation mittels elliptischer Integrale behandeln wir die bekannte Aufgabe, die Oberfl¨ache des in rechtwinkligen Koordinaten x, y, z durch die Gleichung: x2 y2 z2 (1) + + =1 a2 b2 c2 gegebenen Ellipsoids auszumessen; dabei setzen wir zun¨achst: (2)

a>b>c

voraus. Beim Ansatz des Doppelintegrals f¨ur die Oberfl¨ache S des Ellipsoids (1) bedient man sich elliptischer Koordinaten ξ, η auf dieser Oberfl¨ache. Wir bilden zun¨achst mit einem reellen Parameter λ die Schar der konfokalen Fl¨achen zweiten Grades:

68

(3)

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

y2 z2 x2 + + =1. a2 − λ b2 − λ c2 − λ

F¨ur die Werte des Parameters λ im Intervalle von a2 bis b2 schreibe man ξ statt λ und f¨ur diejenigen im Intervalle von b2 bis c2 entsprechend η: a2 ξ b2 η c2 .

(4)

Dann hat man in der Gesamtschar (3) insbesondere die zweischaligen Hyperboloide: (5)

y2 z2 x2 − − =1 a2 − ξ ξ − b2 ξ − c2

und die einschaligen Hyperboloide: (6)

y2 z2 x2 + 2 − =1. −η b −η η − c2

a2

Diese beiden Hyperboloidscharen schneiden auf dem Ellipsoid (1) bekanntlich die beiden Scharen der Kr¨ummungslinien aus, von denen die eine die orthogonalen Trajektorien der anderen liefert. Die zu zwei speziellen Werten ξ, η der Intervalle (4) geh¨orenden Kr¨ummungslinien schneiden sich in acht bez¨uglich der Koordinatenebenen symmetrisch gelegenen Punkten, und die fraglichen Werte ξ, η heissen die elliptischen Koordinaten“ dieser Punkte. ” Um die Beziehungen zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z eines Punktes der Fl¨ache (1) und den elliptischen Koordinaten ξ, η dieses Punktes zu gewinnen, benutze man, daß f¨ur jene x, y, z die aus (3) folgende kubische Gleichung f¨ur λ die L¨osungen λ = 0, λ = ξ, λ = η hat. Es besteht also in λ identisch die Gleichung: λ(λ − ξ)(λ − η) = (λ − a2 )(λ − b2 )(λ − c2 ) +x2 (λ − b2 )(λ − c2 ) + y 2 (λ − c2 )(λ − a2 ) + z 2 (λ − a2 )(λ − b2 ) . Indem man der Reihe nach λ = a2 , b2 und c2 eintr¨agt, finden sich die folgenden Ausdr¨ucke der rechtwinkligen Koordinaten x, y, z in den elliptischen Koordinaten ξ, η: ⎧ ⎪ (a2 − ξ)(a2 − η) ⎪ ⎪ x = ±a , ⎪ ⎪ ⎪ (a2 − b2 )(a2 − c2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (ξ − b2 )(b2 − η) (7) , y = ±b ⎪ (b2 − c2 )(a2 − b2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (ξ − c2 )(η − c2 ) ⎪ ⎪ . ⎩ z = ±c (a2 − c2 )(b2 − c2 )

69

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids

Deutet man ξ und η als rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene, so wird durch die Gleichungen (7) der einzelne Oktant des El- z y lipsoids umkehrbar eindeutig auf das durch (4) e charakterisierte Rechteck der ξ, η-Ebene abgebildet. 2 e3 Nehmen wir z. B. in (7) u¨ berall die oberen Zeichen, e1 so handelt es sich um den im Oktanten der positiven Koordinaten x, y, z gelegenen in Fig. 10 dargestellten Teil des Ellipsoids. Die drei Ecken e1 , e2 , e4 e4 x O dieses Oktanten und der Nabelpunkt e3 mit den KoFig. 10 ordinaten: a 2 − b2 b2 − c2 , y=0, z=c x=a 2 2 a −c a2 − c2 liefern dabei an dem in Fig. 11 schraffierten Rechtecke der ξ, η-Ebene die ebenso bezeichneten Ecken. Bei Gebrauch der elliptischen Koordinaten ξ, η stellt sich nun die Gesamtoberfl¨ache S des Ellipsoids als achtfacher Fl¨acheninhalt des einzelnen Oktanten durch das folgende Doppelintegral dar: a2 (8)

S=8 b2

b2

D(y, z)2 + D(z, x)2 + D(x, y)2 dξ dη ,

c2

unter den D die Funktionaldeterminanten: D(y, z) =

∂y ∂z ∂y ∂z − , ... ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ

η= b2

η = c2

e3

e4

e2

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000e1 11111111

verstanden16 . Die Ausdr¨ucke der 0 ξ = b2 ξ= a2 Funktionaldeterminanten in ξ und η hat man aus (7) zu berechnen. Eine Fig. 11 elementare, wenn auch nicht ganz kurze Zwischenrechnung f¨uhrt von (8) aus zu der neuen Darstellung der Oberfl¨ache S: √ a2 b2 (ξ − η) ξη dξ dη (9) S = 2 . (a2 − ξ)(ξ − b2 )(ξ − c2 )(a2 − η)(b2 − η)(η − c2 ) b2 c2 Durch Weiterentwicklung der rechten Seite gelangt man f¨ur S zu dem Ausdrucke: (10)

S = 2(J1 J4 − J2 J3 ) ,

wo die J die folgenden vier einfachen elliptischen Integrale sind:

16

Wegen der Aufstellung der Formel (8) vergl. man etwa mein Lehrbuch der Differential- und ” Integralrechnung und ihrer Anwendungen“ (Leipzig, 1921), Bd. 2, S. 111.

70

(11)

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

⎧ √ a2 ξ ξ dξ ⎪ ⎨ J1 = b2 √(a2 −ξ)(ξ−b2 )(ξ−c2 ) , √ 2 η η dη ⎪ ⎩ J3 = cb2 √ , 2 2 2

J2 = J4 =

(a −η)(b −η)(η−c )

a2 b2

b2 c2

√

√ ξ dξ

(a2 −ξ)(ξ−b2 )(ξ−c2 )

√

√

η dη

(a2 −η)(b2 −η)(η−c2 )

, .

Es ist nun m¨oglich, den f¨ur S gewonnenen Ausdruck durch eine von H. W e b e r17 ¨ herr¨uhrende Uberlegung in ein einfaches elliptisches Integral umzuwandeln. Da z in der bisherigen Bedeutung nicht mehr benutzt wird, so soll fortan unter z eine komplexe Variable verstanden werden. Ferner sei f (z) die folgende ganze Funktion vierten Grades von z: f (z) = z(z − a2 )(z − b2 )(z − c2 )

(12)

und u das elliptische Integral erster Gattung: z dz (13) u= . 2 f (z) c Der Quadratwurzel f (z) entsprechend u¨ berlagern wir die zEbene doppelt mit vier Verzweic2 a2 0 b gungspunkten bei z = 0, c2 , Fig. 12 b2 , a2 und denken die Verzweigungsschnitte geradlinig von 0 nach c2 und von b2 nach a2 gef¨uhrt (vergl. Fig. 12). Im oberen Blatte werde f (z) f¨ur die reellen z des Intervalles c2 < z < b2 positiv genommen, womit f (z) als eindeutige Funktion auf der Riemannschen Fl¨ache erkl¨art ist. Es m¨oge festgestellt werden, wie sich das in Fig. 12 schraffierte obere Halbblatt der Riemannschen Fl¨ache auf die u-Ebene abbildet. Die am unteren Rande dieses Halbblattes erstreckten Integrale:

11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 2

b2

(14) c2

dz 1 = ω2 , 2 f (z)

a2

b2

dz 1 = ω1 2 f (z)

liefern eine positiv-reelle Zahl ω2 und eine positiv-imagin¨are ω1 . Das Abbild des oberen schraffierten z-Halbblattes auf die u-Ebene ist dann das in Fig.13 schraffierte Rechteck, dessen bei: u=0,

ω2 , 2

ω 1 + ω2 , 2

ω1 2

gelegene Ecken den Verzweigungspunkten z = c2 , b2 , a2 und 0 entsprechen, w¨ahrend ein gewisser durch u = α zu bezeichnender Punkt der oberen Rechteckseite dem Punkte z = ∞ korrespondiert. Die Abbilder der u¨ brigen drei Halb17

Man vergl. dessen Werk Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen“ (Braunschweig, ” 1891), S. 156 ff.

71

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids

bl¨atter unserer zweibl¨attrigen Riemannschen Fl¨ache ergeben sich nun einfach nach dem Gesetze der Symmetrie. Gehen wir z. B. um den Verzweigungspunkt z = 0 herum zu den u¨ brigen Halbbl¨attern, so gewinnen wir als Abbild der gesamten Riemannschen Fl¨ache das in Fig. 13 skizzierte Periodenparallelogramm der Ecken u = ± 12 ω2 und u = ω1 ± 12 ω2 f¨ur das in (13) gegebene Integral erster Gattung u. Die Stelle z = ∞ des unteren Blattes liefert dabei den Punkt: u = β = ω1 − α . In Abh¨angigkeit von u sind nun z und f (z) eindeutige Funktionen mit den beiden Perioden ω1 , ω2 , die wir durch: (16) z(u) , f (z) = Z(u) (15)

bezeichnen wollen, und zwar ist z(u) eine gerade Funktion und Z(u) eine ungerade: (17)

z(−u) = z(u) ,

Z(−u) = −Z(u) .

Z(ω1 − u) = −Z(u) und der doppelten Periodizit¨at von Z(u).

8

8

Bei einem einmaligen Umlauf um den Verzweigungspunkt z = c2 der Riemann schen Fl¨ache wird n¨amlich z reproduziert, w¨ahrend f (z) und u Zeichenwechsel erfahren. Die Funktion z(u) ist im Periodenparallelogramm zweiwertig mit ω1 ( c 2) ( b2) ( b2) zwei Polen erster Ordnung in den Punkten u = α und u = β, die Funktion Z(u) ist vierwertig mit Polen zweiter Ordnung an eben jenen Stellen. Die ( ) ( ) (0) (a 2) (a 2) Verteilung der reellen Werte z(u) l¨angs 000000 111111 000000 ω1 + ω2 ω1 111111 ω 1 −ω2 α β des Randes und der Mittellinien des Pe000000 111111 000000 2 2 111111 2 000000 111111 riodenparallelogramms ist aus Fig. 13 000000 111111 000000 111111 (vergl. die in Klammern angegebe000000 111111 000000 111111 000000 111111 nen Werte von z) leicht ersichtlich. 000000 111111 000000 111111 L¨angs dieser Linien ist Z(u) teils reell, 000000 111111 000000 111111 000000 teils rein imagin¨ar, wobei insbesonω2 ( 2 ) 2 0 111111 ( b ) −ω2 ( c2) b 2 2 dere die Vorzeichen durch Bezugnahme auf die Riemannsche Fl¨ache und die Fig. 13 f¨ur f (z) gegebene Zeichenvorschrift festzustellen sind. Es ist Z(u) l¨angs der unteren und oberen Seite des in Fig. 13 schraffierten Rechtecks positiv- bezw. negativ-reell, w¨ahrend l¨angs der linken und rechten Seite dieses Rechtecks positive bezw. negative imagin¨are Werte von Z(u) vorliegen. Die l¨angs der u¨ brigen Teile des Randes und der Mittellinien zutreffenden Werte Z(u) folgert man dann aus der Gleichung:

72

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Da Z = f (z) auf der durch α laufenden Mittellinie in der Umgebung von u = α reell und negativ ist, so hat man daselbst den Ansatz:

z z dz 1 2a0 3a1 u−α= + 3 + 4 + · · · dz , =− z2 z z f (z) ∞ ∞ wo insbesondere a0 durch: a0 =

(18)

1 2 a + b2 + c2 4

gegeben ist. Man findet durch Ausf¨uhrung der Integration: u−α=

a1 1 a0 + 2 + 3 + ··· , z z z

sowie weiter durch Reiheninversion: z=

(19)

1 + a0 + a1 (u − α) + · · · u−α

als Potenzreihe von z in der Umgebung von u = α. Ferner ist Z = f (z) auf der fraglichen Mittellinie in der Umgebung von u = β positiv. Man gewinnt wie eben als Reihe f¨ur z in der Umgebung des Poles u = β: z=

(20)

−1 + a0 − a1 (u − β) + · · · u−β

mit den gleichen Koeffizienten a0 , a1 , . . . wie in (19). Man hat nun in (z 2 − 2a0 z) eine vierwertige doppeltperiodische Funktion mit zwei Polen zweiter Ordnung an den Stellen u = α und u = β; und zwar fehlen zufolge (19) und (20) in den Reihenentwicklungen dieser Funktionen nach Potenzen von (u−α) und (u−β) beide Male die Potenzen mit den Exponenten −1. Demnach ist: u 2 (21) Φ(u) = z − 2a0 z du 0

ein elliptisches Integral mit zwei Polen erster Ordnung bei u = α und β im Periodenparallelogramm, aber ohne logarithmische Unstetigkeitspunkte. Die den ω1 , ω2 entsprechenden Perioden P1 und P2 dieses Integrals Φ kann man durch: P1 =

1 ω1 + 2 ω2 1 ω 2 2

2

z − 2a0 z du ,

P2 =

1 2 ω2 1 − ω2 2

z 2 − 2a0 z du

erkl¨aren. Die Formeln (11) aber schreiben wir mittels unserer neuen Bezeichnungen um in:

73

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids

⎧ 1 1 (ω1 +ω2 ) ⎪ ⎪ 2 1 ω1 + 2 ω2 2 ⎪ 2 ⎪ iJ1 = z du = z du , ⎪ ⎪ 1 2 1 ω2 ⎪ ⎪ 2 ω2 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 (ω1 +ω2 ) ⎪ ⎪ 2 ⎪ 1 ω1 + 2 ω2 ⎪ ⎪ iJ2 = z du = z du , ⎪ ⎨ 1 2 1 ω2 ω2 2

(22)

2

1 1 ω2 ⎪ ⎪ 2 1 2 ω2 2 ⎪ 2 ⎪ ⎪ z du = z du , J3 = ⎪ ⎪ 2 − 1 ω2 ⎪ 0 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ω2 ⎪ ⎪ 2 1 2 ω2 ⎪ ⎪ J = z du = z du . ⎪ ⎩ 4 1 2 0

− 2 ω2

Man wolle bei der Umrechnung nur beachten, daß alle Differentiale unter den Integralen (11) reell und positiv sind, sowie daß z doppeltperiodisch und gerade ist. Die den ω1 , ω2 entsprechenden Perioden P1 , P2 des Integrales (21) sind demgem¨aß: P1 = 2i (J1 − 2a0 J2 ) ,

(23)

P2 = 2 (J3 − 2a0 J4 ) .

Die letzten Entwicklungen gestatten an Stelle von (10) einen neuen Ausdruck f¨ur die Ellipsoidoberfl¨ache S treten zu lassen. Man wolle das Differential zΦ(u)du u¨ ber den Rand R des in Fig. 13 gegebenen Periodenparallelogramms im positiven Umlaufssinne integrieren. Indem man dies Randintegral den vier Seiten des Parallelogramms entsprechend zerlegt, hat man mit R¨ucksicht auf die Periodizit¨at von z:

zΦ(u)du =

(R)

1 ω1 + 2 ω2 1 2 ω2

z Φ(u) − Φ(u − ω2 ) du −

1 ω 2 2

1 − 2 ω2

z Φ(u + ω1 ) − Φ(u) du .

Da die in den Klammern unter den Integralen rechter Hand stehenden Differenzen konstant gleich P2 und P1 sind, so folgt: (R)

zΦ(u)du = P2

1 ω1 + 2 ω2 1 ω 2 2

z du − P1

1 2 ω2

1 − ω2 2

z du = P2 · 2iJ2 − P1 · 2J4

sowie nach Eintragung der Ausdr¨ucke (23) f¨ur P1 und P2 : zΦ(u)du = −4i(J1 J4 − J2 J3 ) . (R)

Der Vergleich mit (10) ergiebt die Darstellung der Ellipsoidoberfl¨ache S durch unser Randintegral: i zΦ(u)du . (24) S= 2 (R)

74

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

Man kann diese Gleichung in die Gestalt kleiden: 1 1 zΦ(u)du (25) − S= π 2iπ (R) und auf die rechte Seite den Residuensatz von I, 38 in Anwendung bringen. Nach diesem Satze ist der in (25) rechts stehende Ausdruck gleich der Summe der Residuen der Funktion zΦ(u) f¨ur die beiden im Periodenparallelogramm bei u = α und u = β gelegenen Pole, d. h. gleich der Summe der beiden Koeffizienten von (u−α)−1 und (u−β)−1 in den Reihenentwicklungen von zΦ(u) nach ansteigenden Potenzen von (u − α) und (u − β). Zur Berechnung dieser Residuen kn¨upfe man an die Gleichung:

Z Z dZ dz dz 1 d · − du , = · · z − c2 z − c2 dz du (z − c2 )2 du der man auch, da d

dz du

= Z ist, die Gestalt geben kann:

Z z − c2

1 = 2

2Z 2 1 d(Z 2 ) − · z − c2 dz (z − c2 )2

du .

Tr¨agt man f¨ur Z 2 seinen Ausdruck z(z − a2 )(z − b2 )(z − c2 ) ein, so folgt:

Z 1 (z − a2 )(z − b2 ) + z(z − b2 ) d = z − c2 2

z(z − a2 )(z − b2 ) du + z(z − a2 ) − z − c2 oder nach Potenzen von z geordnet:

Z 1 2 2 c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) 2 2 2 d du , = z − 2a0 z + c (a + b − c ) − z − c2 2 2(z − c2 ) wo a0 durch (18) erkl¨art ist. F¨ur das Differential unserer in (21) gegebenen eindeutigen Funktion Φ(u) findet sich hieraus:

1 1 du Z dΦ(u) = d − c2 (a2 + b2 − c2 )du + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) . z − c2 2 2 z − c2 Es bewege sich nun u auf der Verbindungsgeraden der beiden bei u = α und u = β gelegenen Pole von z und Φ(u) (vergl. Fig. 13), und es werde vom Mittelpunkte 1 ω dieser Strecke bis zu einem beliebigen Punkte u derselben integriert. F¨ur das 2 1 zugeh¨orige Φ(u) gewinnt man die Darstellung:

75

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids

Z 1 2 2 ω1 2 2 c − (a + b − c ) u − 2 z − c2 2 2 u 1 du + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) . 1 2 z − c2 ω1

Φ(u) = Φ

(26)

ω 1

+

2

Es ist nun Z = z(z − a2 )(z − b2 )(z − c2 ) f¨ur die Argumente u zwischen 12 ω1 und α reell und negativ und l¨angs der linken H¨alfte unserer Strecke reell und positiv. Man hat also folgende Reihenentwicklung nach Potenzen von z:

Z 1 2 2 2 (a = ∓ z − + b − c ) + · · · , z − c2 2 wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem u auf der rechten oder linken Seite von 12 ω1 liegt. Bei derselben Bedeutung des Doppelzeichens haben wir also f¨ur zΦ(u) die Darstellung:

ω 1 1 z Φ(u) = z Φ ∓ z 2 − (a2 + b2 − c2 )z + · · · 2 2 1 ω1 1 2 2 − c (a + b2 − c2 )z(u − α) − c2 (a2 + b2 − c2 )z α − 2 2 u 2 1 2 2 du + c (a − c2 )(b2 − c2 )z . 2 1 2 ω1 z − c 2

F¨ur ein u in der Umgebung von α gilt nun nach (19): z=

1 + a0 + · · · , u−α

z2 =

1 2a0 + ··· . + 2 (u − α) u−α

Also ist das Residuum von zΦ(u) f¨ur den Pol α: Φ

ω 1

2

1 1 ω1 − 2a0 + (a2 + b2 − c2 ) − c2 (a2 + b2 − c2 ) α − 2 2 2 α du 1 + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) 1 2 z − c2 ω1 2

oder, wenn man 2a0 nach (18) ausdr¨uckt: Φ

ω 1

2

1 ω1 1 2 2 2 2 2 −c − c2 (a2 +b2 −c2 ) α − + c (a −c )(b −c ) 2 2 2 2

α 1 2 ω1

Entsprechend gilt bei u = β z=

−1 + a0 + · · · , u−β

z2 =

1 2a0 + ··· , − 2 (u − β) u−β

du . z − c2

76

1 Bogen- und Fl¨achenberechnungen

und man findet als Residuum von zΦ(u) f¨ur den Pol β: −Φ

ω 1

2

1 ω1 1 2 2 2 2 2 −c2 + c2 (a2 +b2 −c2 ) β − − c (a −c )(b −c ) 2 2 2

β 1 2 ω1

du . z − c2

Da u¨ brigens:

ω1 ω1 − α− =β− 2 2 ist und aus den Eigenschaften von z leicht:

α

du =− z − c2

1 ω 2 1

β 1 ω 2 1

du z − c2

folgt, so finden wir als Summe der beiden Residuen: 1 ω1 2 du ω1 + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) −2c2 + c2 (a2 + b2 − c2 ) β − . 2 z − c2 β Aus (25) erhalten wir also als Ausdruck f¨ur S: S = 2πc2 + πc2 (a2 + b2 − c2 )

1 2 ω1

2

2

2

2

2

du − πc (a − c )(b − c )

β

β

1 2 ω1

du . z − c2

Nun bildet sich das Integrationsintervall auf die negative reelle z-Achse ab, und zwar ist daselbst f (z) reell und positiv zu nehmen. Bei Einf¨uhrung von z als Integrationsvariable und Zusammenfassung der beiden Integrale gelangen wir zu dem Ergebnis: Die Gesamtoberfl¨ache S des Ellipsoids l¨aßt sich in folgender Gestalt durch ein einziges elliptisches Integral darstellen: (27)

2

S = 2πc + πc

2

0

−∞

(a2 + b2 − c2 )z − a2 b2 dz , (z − c2 ) f (z)

wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Im Falle eines Umdrehungsellipsoids ist dies Integral elementar. Hat man z. B. ein verl¨angertes Umdrehungsellipsoid, so ist c = b zu setzen, und man findet, wenn man noch x = −z als neue Variable einf¨uhrt: ∞ dx (28) S = 2πb2 + πa2 b2 , 2 ) x(x + a2 ) (x + b 0 wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. So lange b < a ist, hat man nun:

2 1 dx (a − 2b2 )x − a2 b2 arcsin = √ a2 (x + b2 ) b a2 − b2 (x + b2 ) x(x + a2 )

77

1.5 Die Oberfl¨ache des Ellipsoids

√ a2 − b2 . W¨achst x von

so durchl¨auft 0 bis 2+∞, 2b das Argument von arcsin die reellen Werte von −1 bis 1 − 2 . Die Gleichung a (28) ergiebt also folgenden Inhalt S des verl¨angerten Umdrehungsellipsoids:

2b2 a2 b π (29) S = 2πb2 + π √ + arcsin 1 − 2 a a2 − b2 2 mit positiv genommener Wurzel

oder auch: (30)

a2 b arccos S = 2πb + π √ a 2 − b2 2

2b2 −1 , a2

wo die Hauptwerte der zyklometrischen Funktionen gemeint sind. F¨ur lim b = a, d. h. f¨ur den Fall der Kugel erscheinen die zweiten Glieder in (29) und (30) rechts in der Gestalt 00 . Bestimmt man ihre Werte durch Differentiation, so ergiebt sich die Kugeloberfl¨ache richtig zu S = 4πa2 . Man kann auch aus (28) f¨ur die Kugeloberfl¨ache S die Darstellung: ∞ dx S = 2πa2 + πa4 2 ) x(x + a2 ) (x + a 0 entnehmen und sich zur Weiterentwicklung des unbestimmten Integrals: x dx 2 = 2 2 2 a x + a2 (x + a ) x(x + a ) mit im Integrationsintervall positiv zu nehmenden Quadratwurzeln bedienen.

Kapitel 2

Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen.

2.1 Kurve dritten Grades und Periodenparallelogramm. Die Beziehung zwischen den singularit¨atenfreien ebenen Kurven dritten Grades und den elliptischen Funktionen ist begr¨undet durch eine Untersuchung von S . A r o n¨ h o l d1 und ausgef¨uhrt in der Abhandlung von A. Clebsch Uber einen Satz ” von Steiner und einige Punkte der Theorie der Kurven dritter Ordnung“ 2 . Diese Beziehung erm¨oglicht es, mit Leichtigkeit eine grosse Reihe von S¨atzen u¨ ber die genannten Kurven zu gewinnen. Es sollen hier¨uber einige Ausf¨uhrungen folgen. In rechtwinkligen Koordinaten x, y sei durch die Gleichung: (1)

F (x, y) = 0

mit reellen oder komplexen Koeffizienten eine nicht zerfallende ebene Kurve3 dritten Grades gegeben. Die Koordinaten seien so gew¨ahlt, daß der Nullpunkt auf der kurz durch K3 zu bezeichnenden Kurve gelegen ist. Man bilde das durch: (2)

y = λx

gegebene B¨uschel aller Geraden durch den Nullpunkt, wo λ alle komplexen Werte durchl¨auft. Die einzelne Gerade schneidet die K3 ausser in dem festen Nullpunkte in zwei beweglichen Punkten, deren Abszissen aus der in x quadratischen Gleichung: x−1 · F (x, λx) = 0 1

Vergl. die Berliner Monatsberichte vom 15ten April 1861. Journ. f. Mathem. Bd. 63, S. 94 (1864). 3 Unter einer nicht zerfallenden“ ebenen Kurve versteht der Verf. eine irreduzible ebene ” Kurve. Die eingangs ausgesprochene Voraussetzung der Singularit¨atenfreiheit wird im Folgenden stillschweigend beibehalten; sie impliziert die Irreduzibilit¨at der Kurve, aber umgekehrt folgt aus der Irreduzibilit¨at nicht die Singularit¨atenfreiheit. – Die in Kapitel 2 benutzten Sachverhalte aus der Theorie der ebenen algebraischen Kurven findet man z. B. im B¨uchlein von W. B u r a u Al” gebraische Kurven und Fl¨achen. Band I: Algebraische Kurven der Ebene“, W. de Gruyter & Co., Berlin 1962. [Anm. d. Hrsg.] 2

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

79

80

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

zu berechnen sind. In geordneter Form laute diese Gleichung: g3 (λ)x2 + g2 (λ)x + g1 (λ) = 0 ,

(3)

wo gν (λ) eine ganze rationale Funktion ν ten Grades von λ ist. Erkl¨art man die ganze rationale Funktion vierten Grades f (λ) durch: f (λ) = g2 (λ)2 − 4g1 (λ)g3 (λ) ,

(4)

so berechnet man f¨ur die Koordinaten x, y der beiden beweglichen Schnittpunkte: −g2 (λ) ± f (λ) −g2 (λ) ± f (λ) , y =λ· . (5) x= 2g3 (λ) 2g3 (λ) Wir nehmen nun zun¨achst an, die biquadratische Gleichung f (λ) = 0 habe eine mindestens zweifache Wurzel λ0 . Dann ist auch f (λ0 ) = 0, und also bestehen die beiden Gleichungen: (6) g2 (λ0 )2 = 4g1 (λ0 )g3 (λ0 ) , g2 (λ0 )g2 (λ0 ) = 2g1 (λ0 )g3 (λ0 ) + 2g1 (λ0 )g3 (λ0 ) . Nun kann man die Gleichung (1) in die Gestalt setzen: F (x, y) = x3 g3 (λ) + x2 g2 (λ) + xg1 (λ) ,

λ=

y , x

unter λ den in der zweiten Gleichung gegebenen Quotienten verstanden. Hieraus ergiebt sich f¨ur die partiellen Ableitungen von F : ∂F y 2 = 3x2 g3 (λ) + 2xg2 (λ) + g1 (λ) − x g3 (λ) + xg2 (λ) + g1 (λ) , ∂x x ∂F = x2 g3 (λ) + xg2 (λ) + g1 (λ) . ∂y Tr¨agt man hier: λ = λ0

und also x = x0 = −

g2 (λ0 ) , 2g3 (λ0 )

y = y0 = −

λ0 g2 (λ0 ) 2g3 (λ0 )

ein, so folgt, daß im Punkte x0 , y0 der K3 die beiden partiellen Ableitungen von F zugleich verschwinden. Dieser Punkt w¨urde also ein singul¨arer sein. Da nun die K3 singularit¨atenfrei sein sollte, so folgt umgekehrt, daß in unserem Falle die biquadratische Gleichung f (λ) = 0 vier verschiedene Wurzeln hat. Wir f¨uhren nun die zweibl¨attrige Riemannsche Fl¨ache F2 mit vier Verzweigungspunkten u¨ ber der Ebene der komplexen Variablen λ ein, die zur Quadratwurzel f (λ) geh¨ort. Das zugeh¨orige Integral erster Gattung u ist: (7)

u= c

λ

dλ f (λ)

81

2.1 Kurve dritten Grades und Periodenparallelogramm

mit einer auf der F2 beliebig aber fest gew¨ahlten unteren Grenze c und einer auf dieser Fl¨ache variablen oberen Grenze λ. Dann sind λ und f (λ) eindeutige doppeltperiodische Funktionen von u; und zwar beschreiben wir gerade einfach und vollst¨andig die gesamte Riemannsche Fl¨ache F2 , wenn u ein einzelnes Periodenparallelogramm durchl¨auft. Nun ist aber durch (5) die K3 umkehrbar eindeutig auf die Fl¨ache F2 bezogen. Indem wir in (5) f¨ur λ und f (λ) ihre Ausdr¨ucke in u eingesetzt denken, werden x und y eindeutige doppeltperiodische Funktionen: x = ϕ(u) ,

(8)

y = ψ(u)

von u; und zwar beschreiben wir die K3 gerade einfach und vollst¨andig, falls u ein einzelnes Periodenparallelogramm beschreibt. Man merke noch an, daß die vier Verzweigungspunkte der F2 auf der K3 die Ber¨uhrungspunkte der vier vom Nullpunkte x = 0, y = 0 an die K3 laufenden Tangenten liefern. Wir verallgemeinern jetzt die Gleichung (8) sogleich zu: Φ(u) =

(9)

b1 x + b2 y + b3 , a1 x + a2 y + a3

wo die a1 , a2 , a3 drei endliche, nicht zugleich verschwindende reelle oder komplexe Konstante sind4 . Φ(u) ist eine dreiwertige doppeltperiodische Funktion, deren Pole den Schnittpunkten der Geraden a1 x + a2 y + a3 = 0 mit der K3 entsprechen, w¨ahrend die Nullpunkte von den Schnittpunkten der Geraden b1 x+b2 y+b3 = 0 mit der K3 geliefert werden. Liegen die Pole im Periodenparallelogramm bei u = w1 , w2 und w3 und die Nullpunkte bei u = v1 , v2 und v3 , so gilt nach I, 222: (10)

v1 + v2 + v3 ≡ w1 + w2 + w3

(mod ω1 , ω2 ) ,

wo ω1 , ω2 das zum Parallelogramm geh¨orende primitive Periodenpaar ist, d. h. es besteht eine Gleichung: (11)

v1 + v2 + v3 − w1 − w2 − w3 = m1 ω1 + m2 ω2

mit zwei ganzen rationalen Zahlen m1 , m2 . Die Funktion Φ(u) gestattet dann nach (15) in I, 222 die Darstellung durch die Sigmafunktion: (12)

Φ(u) = C · em1 η1 +m2 η2

σ(u − v1 )σ(u − v2 )σ(u − v3 ) . σ(u − w1 )σ(u − w2 )σ(u − w3 )

Die gesamten Systeme zu drei Punkten unserer K3 , die durch die Geraden ausgeschnitten werden, bilden eine zweifach unendliche Schar von Punkttripeln5 . Diese Schar ist dadurch charakterisiert, daß die zu den Punkten des einzelnen Tripels geh¨orenden Werte u1 , u2 , u3 des Integrals u eine mod ω1 , ω2 eindeutig bestimmte, zun¨achst noch unbekannte Summe s liefern: 4 5

`

´

Hier braucht man wohl Rang ab11 ab22 ab33 = 2. [Anm. d. Hrsg.] Hierbei gilt als einfach unendlich die Wertmannigfaltigkeit einer komplexen Variablen.

82

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

u1 + u2 + u3 ≡ s (mod ω1 , ω2 ) .

(13)

Zu irgend zwei Tripeln geh¨ort alsdann eine bis auf eine multiplikative Konstante eindeutige bestimmte dreiwertige Funktion Φ(u), die durch u in der Gestalt (12) und auf der K3 in der Gestalt (9) darstellbar ist. Greifen wir aus der Schar der dreiwertigen Funktionen Φ(u) das System aller Funktionen mit gleichen Polen heraus, so ist, wenn wir f¨ur die einzelne dieser Funktionen zwei Nullpunkte fixieren, der dritte damit eindeutig bestimmt. Dieser schon von I, 214 her bekannte Satz l¨auft jetzt darauf hinaus, daß irgend zwei Punkte der K3 eindeutig den dritten Schnittpunkt ihrer Verbindungsgeraden mit der K3 festlegen.

2.2 System der Wendepunkte der Kurve K3 . Als ein erstes Ergebnis der Beziehung der singularit¨atenfreien Kurven K3 zu den elliptischen Funktionen gewinnt man eine sehr einfache Theorie der neun Wendepunkte der K3 . Wir benutzen fortan homogene Koordinaten x, y, z statt der bisherigen rechtwinkligen und haben also: x : y : z = ϕ(u) : ψ(u) : 1 .

(1)

Irgend eine Wendetangente, dargestellt durch: c1 x + c2 y + c3 z = 0

(2)

schneidet die K3 in drei zusammenfallenden Punkten. Ein Wendepunkt liefert also einen Wert u, f¨ur den: 3u ≡ s (mod ω1 , ω2 ) gilt. Umgekehrt liefert auch jedes u, das diese Bedingung erf¨ullt, einen Wendepunkt; denn ihm entspricht eine Funktion Φ(u) mit drei zusammenfallenden Nullpunkten, die auf der K3 durch eine Gerade, also eine Wendetangente, ausgeschnitten werden. Es sind genau neun Punkte des Periodenparallelogramms, die der letzten Kongruenz gen¨ugen, n¨amlich die Punkte: u=

1 λω1 + μω2 s+ , 3 3

λ, μ = 0, 1, 2,

wo also λ, μ alle neun mod 3 inkongruenten Restpaare durchlaufen sollen6 . Infolge der unbestimmt gelassenen unteren Grenze c im Integral (7) aus 2.1 ist u nur erst bis auf eine additive Konstante bestimmt. Benutzen wir demnach fortan u = u− 13 s als Integral erster Gattung, so l¨auft dies darauf hinaus, daß u = 0 einen Wendepunkt der K3 liefert, daß also das Integral erster Gattung als untere Grenze einen Wendepunkt hat. L¨aßt man den oberen Index bei u sogleich wieder fort, so folgt: Die 6

Die Bezeichnung λ im Sinne von 2.1 kommt nicht mehr zur Verwendung.

2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3

83

singularit¨atenfreie Kurve dritten Grades K3 hat neun Wendepunkte entsprechend den Punkten: (3)

u=

λω1 + μω2 , 3

λ, μ = 0, 1, 2

des Periodenparallelogramms. Bei der jetzt gew¨ahlten unteren Grenze des Integrals u ist f¨ur drei auf einer Geraden gelegene Punkte der K3 charakteristisch, daß die entsprechenden Punkte u1 , u2 , u3 des Periodenparallelogramms die Kongruenz: (4)

u1 + u2 + u3 ≡ 0

(mod ω1 , ω2 )

erf¨ullen. Wir schreiben nun f¨ur den Wert (3) abgek¨urzt das Symbol (λ, μ) und bezeichnen durch dieses zugleich den zugeh¨origen Wendepunkt. Sind dann (λ1 , μ1 ) und (λ2 , μ2 ) zwei verschiedene Wendepunkte, so schneidet zufolge (4) ihre Verbindungsgerade stets einen dritten Wendepunkt (λ3 , μ3 ) auf der K3 aus, wobei: λ3 ≡ −λ1 − λ2 ,

μ3 ≡ −μ1 − μ2

(mod 3)

gilt. Eine solche Verbindungsgerade dreier Wendepunkte heißt eine Wendegerade“. ” Aus der Anzahl neun der Wendepunkte folgert man durch eine einfache Abz¨ahlung den Satz: Durch jeden Wendepunkt laufen vier Wendegerade, so daß es f¨ur unsere K3 im ganzen zw¨olf Wendegerade giebt. Ordnet man die Symbole (λ, μ) der Wendepunkte in dem quadratischen Schema an: (0, 0), (0, 1), (0, 2) (1, 0), (1, 1), (1, 2) (2, 0), (2, 1), (2, 2), so wird ein erstes System von drei Wendegeraden durch die drei Horizontalreihen geliefert und ein zweites solches System durch die drei Vertikalreihen. Ein drittes System von drei Wendegeraden erhalten wir, wenn wir das Schema als Matrix einer Determinante fassen und die Wendepunkte entsprechend den drei positiven Gliedern der zugeh¨origen Determinante in drei Systeme zu je drei zusammenfassen, und endlich entspricht ein letztes System genau so den drei negativen Gliedern der Determinante. Jedes dieser Tripel von Wendegeraden, von denen man sagt, daß sie ein Wendedreiseit“ bilden, schneidet alle neun Wendepunkte auf der K3 aus. Die zw¨olf ” Wendegeraden lassen sich also auf vier Wendedreiseite verteilen, wobei die Seiten des einzelnen Dreiseits stets alle neun Wendepunkte auf der K3 ausschneiden.

2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3 . Nach 2.1 und der inzwischen getroffenen Auswahl der unteren Grenze des Integrals u kann man beliebige homogene Koordinaten x, y, z dadurch w¨ahlen, daß man

84

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

insbesondere f¨ur die Punkte der K3 selbst: ⎧ x = a σ(u − u1 ) σ(u − u2 ) σ(u + u1 + u2 ) , ⎪ ⎪ ⎨ y = b σ(u − v1 ) σ(u − v2 ) σ(u + v1 + v2 ) , (1) ⎪ ⎪ ⎩ z = c σ(u − w1 ) σ(u − w2 ) σ(u + w1 + w2 ) mit drei von 0 verschiedenen Konstanten a, b, c vorschreibt. Man hat nur die Werte u1 , u2 , v1 , . . . so zu w¨ahlen, daß die drei σ-Produkte linear-unabh¨angig sind. Eine erste besondere Auswahl f¨uhrt zu einem Koordinatensystem, das nach K l e i n7 als ein kanonisches“ bezeichnet wird. Wir schreiben x1 , x2 , x3 statt x, ” y, z und setzen: ⎧ x1 = c1 σ(u) σ(u − u0 ) σ(u + u0 ) , ⎪ ⎪ ⎪

⎨

ω2 ω1 + ω2 ω1

(2) σ u− σ u+ , x2 = c2 σ u − ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ x3 = c3 σ(u)3 . Hier sollen u0 und −u0 die beiden Nullpunkte der ℘-Funktion sein8 , und die Faktoren c sollen folgende Bedeutung haben: c1 =

−1 , σ(u0 )2

c2 = σ

ω 1

2

−2

ω ω + ω , 2 1 2 σ σ 2 2

c3 = 1 .

Man zeigt sofort, daß diese drei Sigmaprodukte linear-unabh¨angig sind. Zufolge I, 216 hat man hier einfach: (3)

x1 : x2 : x3 = ℘(u) : ℘ (u) : 1 ,

und also folgt aus der zwischen ℘(u) und ℘ (u) bestehenden Relation der Satz: In den kanonischen Koordinaten x1 , x2 , x3 erh¨alt man als Gleichung der Kurve K3 : (4)

4x31 − x22 x3 − g2 x1 x23 − g3 x33 = 0 ,

wo g2 und g3 die rationalen Invarianten sind. In den beiden von A r o n h o l d9 aufgefundenen Invarianten S und T der tern¨aren kubischen Form stellen sie sich so dar:

¨ Man vergl. die Abhandlung Uber die elliptischen Normalkurven der nten Ordnung und die ” zugeh¨origen Modulfunktionen der nten Stufe“, Abh. der s¨achsischen Gesellschaft der Wiss., Bd. 13 (1885). 8 Die Nullstellen ±u0 werden in M. Eichler, D. Zagier On the zeros of the Weierstraß ℘” function“, Math. Ann. 258 (1982), 399-407 bestimmt. [Anm. d. Hrsg.] 9 Man vergl. dessen Abhandlung Zur Theorie der homogenen Funktionen dritten Grades von drei ” Variablen“ in den Bdn. 39 und 55 des Journ. f. Math. 7

2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3

g2 = −

27 S, 4

g3 =

85

27 T .10 64

Die geometrische Bedeutung des kanonischen Koordinatensystems ist wenigstens teilweise unmittelbar aus der Erkl¨arung (2) dieses Systems abzulesen. Zun¨achst ist der Wendepunkt (0, 0) zur Ecke x1 = 0, x3 = 0 des Koordinatendreiecks gew¨ahlt, wobei die Wendetangente die Seite x3 = 0 des Dreiecks liefert. Von einem Punkte P der K3 , der zur Stelle u des Periodenparallelogramms geh¨ore, lassen sich vier Tangenten an die Kurve ziehen, deren Ber¨uhrungspunkte nach 2.1 durch − 12 u, − 12 u + 12 ω1 , − 12 u + 12 ω2 , − 12 u − 12 (ω1 + ω2 ) geliefert werden. Die Ber¨uhrungspunkte werden durch den Polarkegelschnitt des Punktes P ausgeschnitten, der u¨ berdies die K3 im Punkte P ber¨uhrt. Ist P unser Wendepunkt (0, 0), so werden jene vier Ber¨uhrungspunkte von: u=0,

1 ω1 , 2

1 ω2 , 2

1 − (ω1 + ω2 ) 2

geliefert. Eine Tangente ist also die Wendetangente, w¨ahrend die Ber¨uhrungspunkte der drei anderen Tangenten von der Seite x2 = 0 des Koordinatendreiecks ausgeschnitten werden. Der Polarkegelschnitt eines Wendepunktes zerf¨allt in die Wendetangente und eine Gerade, die als die harmonische Polare“ des Wendepunktes ” bezeichnet wird. Die Bedeutung der Seite x2 = 0 des Koordinatendreiecks ist also die, daß sie die harmonische Polare des in der gegen¨uberliegenden Ecke des Dreiecks gelegenen Wendepunktes ist11 . Um die invariante Bedeutung auch der dritten Seite x1 = 0 zu gewinnen, f¨uhren wir das Geradenb¨uschel durch den Wendepunkt x1 = 0, x3 = 0 ein, gegeben durch: κ3 x1 − κ1 x3 = 0 ,

(5)

wo κ1 und κ3 zwei endliche und nicht zugleich verschwindende Verh¨altnisgr¨ossen sind. Der einzelne Strahl des B¨uschels ist dann durch ein Wertepaar κ1 , κ3 fest10

Man vergl. auch G . S a l m o n Analytische Geometrie der h¨oheren ebenen Kurven“, bearb. von ” W. Fiedler, S. 228 ff. (Leipzig, 1873). 11 Die neun Wendepunkte liefern im ganzen neun harmonische Polaren, deren 27 Schnittpunkte mit der K3 die 27 sextaktischen Punkte“ dieser Kurve sind, d. h. diejenigen Punkte, in denen je ein ” Kegelschnitt sechs zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein hat. F¨ur jeden beliebigen zu einem Werte u0 geh¨orenden Kurvenpunkt kann man einen Kegelschnitt konstruieren, der daselbst f¨unf zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein hat. Dieser schneidet dann die K3 noch in einem sechsten Punkte, der zu u = −5u0 geh¨ort. Soll auch noch dieser sechste Punkt mit jenen f¨unf zusammenfallen, so muß u0 gleich einem der Werte: u0 =

λω1 + μω2 , 6

λ, μ = 0, 1, . . . , 5

sein. Hier stellen sich zun¨achst die neun Wendepunkte wieder ein, die insofern unserer Forderung entsprechen, als die doppelt gez¨ahlte Wendetangente einen zerfallenden Kegelschnitt liefert, der im Wendepunkte sechs zusammenfallende Schnittpunkte mit der K3 gemein hat. Die den 27 u¨ brigen Werten u0 entsprechenden Punkte aber liefern in der Tat die Schnittpunkte mit den harmonichen Polaren der Wendepunkte.

86

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

gelegt. So geh¨oren z. B. die drei dem B¨uschel angeh¨orenden Tangenten vom Wendepunkte zu den drei Werten κ1 : κ3 , f¨ur die die bin¨are kubische Form: (6)

χ(κ1 , κ3 ) = 4κ13 − g2 κ1 κ32 − g3 κ33

verschwindet. Nicht mitgez¨ahlt ist hierbei die Wendetangente selbst, die durch x3 = 0 gegeben ist, also zu κ3 = 0 geh¨ort. Als lineare Polare“ eines beliebigen ” Strahles (5) in bezug auf das Tangententripel (6) bezeichnet man nun den durch: x1

∂χ ∂χ + x3 =0 ∂κ1 ∂κ3

gegebenen Strahl. Da in der Form (6) das Glied mit κ12 κ3 fehlt, so zieht man die Folgerung, welche die invariante Bedeutung von x1 = 0 klarstellt: Die Seite x1 = 0 des Koordinatendreiecks ist die lineare Polare der Wendetangente x3 = 0 in bezug auf die drei anderen von ihm an die Kurve laufenden Tangenten.

2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich. Die Benennung harmonische“ Polare f¨ur die Seite x2 = 0 des kanonischen Ko” ordinatendreiecks findet ihre Begr¨undung in folgendem Satze: Auf dem einzelnen Strahle (5) in 2.3 bilden der Schnittpunkt mit der Seite x2 = 0, der Wendepunkt x1 = 0, x3 = 0 und die beiden weiteren Schnittpunkte mit der K3 ein harmonisches Quadrupel, und zwar sind die beiden letzten Punkte durch die beiden ersten harmonisch getrennt. Die Kurve dritten Grades wird demnach durch die harmoni” sche Perspektivit¨at“, welche den Wendepunkt zum Pole und die Seite x1 = 0 zur Achse hat, in sich selbst transformiert. Diese Angaben sind rechnerisch unmittelbar einleuchtend; denn die fragliche Transformation ist einfach durch: (1)

x1 = x1 ,

x2 = −x2 ,

x3 = x3

gegeben, die die Gleichung (4) aus 2.3 in der Tat in sich u¨ berf¨uhrt. In u stellt sich diese Transformation einfach durch u = −u dar. Der zur Stelle x1 = 0, x3 = 0 des Koordinatendreiecks gew¨ahlte Punkt ist irgend einer unter den neun Wendepunkten der K3 . Man hat also im ganzen neun kanonische Koordinatendreiecke f¨ur eine singularit¨atenfreie ebene Kurve dritten Grades zur Verf¨ugung. Die Folge ist, daß die Kurve dritten Grades K3 durch neun verschiedene harmonische Perspektivit¨aten in sich transformierbar wird, die sich, wie man leicht feststellt, im Integral u durch die Substitutionen: (2)

u = −u +

λω1 + μω2 , 3

λ, μ = 0, 1, 2

darstellen. Kombiniert man diese neun Perspektivit¨aten mit einer unter ihnen, etwa der von u = −u gelieferten, so gewinnt man weitere neun Kollineationen der

2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich

87

K3 in sich, die identische Kollineation“ mitgez¨ahlt. Alle 18 damit gewonnenen ” Kollineationen bilden eine Gruppe, bei deren transzendenter Darstellung durch u die beiden ganzen Zahlen λ, μ beliebig mod 3 ab¨anderungsf¨ahig sind. Man wird demnach an Stelle der Gleichungen (2) lieber Kongruenzen bez¨uglich der Moduln ω1 , ω2 treten lassen und das Ergebnis so anmerken: Die singularit¨atenfreie ebene Kurve dritten Grades K3 gestattet achtzehn eine Gruppe G18 bildende Kollineationen in sich, welche mittels des Integrals u durch die Substitutionen: (3)

u ≡ ±u +

λω1 + μω2 3

(mod ω1 , ω2 )

darstellbar sind. Die G18 enth¨alt als ausgezeichnete Untergruppe12 eine G9 von neun Kollineationen, die von den Substitutionen (3) mit den oberen Zeichen geliefert werden; und in dieser G9 finden sich vier zyklische Untergruppen G3 . Die Koeffizienten der Gleichung (4) aus 2.3 sind rationale Invarianten, so daß man f¨ur unsere K3 nur eine einzige kanonische Darstellung (4) in 2.3 hat. Andrerseits hat man neun kanonische Koordinatendreiecke und achtzehn kanonische Koordinatensysteme. Demgegen¨uber kl¨art die Existenz der Kollineationsgruppe G18 die Eindeutigkeit der kanonischen Gleichung (4) in 2.3 auf. Bei diesen achtzehn Kollineationen der K3 in sich geht ein erstes kanonisches Koordinatensystem in alle achtzehn Systeme dieser Art u¨ ber. Die Substitution: u ≡ u −

λω1 + μω2 3

(mod ω1 , ω2 )

m¨oge nun die Kollineation: ⎧ κx = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 , ⎪ ⎪ ⎨ 1 κx2 = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 , (4) ⎪ ⎪ ⎩ κx3 = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 liefern, unter κ ein Proportionalit¨atsfaktor verstanden. Zur Bestimmung der Koeffizienten a, b, c beachte man, daß f¨ur u = 13 (λω1 + μω2 ) der Wert u = 0 gewonnen wird. Die Ecke x1 = 0, x3 = 0 des neuen Koordinatendreiecks ist also der Wendepunkt (λ, μ) der K3 und die zugeh¨orige Wendetangente ist durch x3 = 0 dargestellt. Im alten Koordinatensystem handelt es sich um die Tangente der K3 im Punkte: (5)

x1 : x2 : x3 = ℘λμ : ℘λμ : 1 ,

wo rechts die zum dritten Teilungsgrade geh¨orenden Teilwerte gemeint sind (vergl. II, 244 ff.). Aus der kanonischen Gleichung (4) in 2.3 entnehmen wir demnach zun¨achst die Koeffizienten c: 12

Statt Normalteiler“ verwendet Fricke die Bezeichnung ausgezeichnete Untergruppe“. [Anm. ” ” d. Hrsg.]

88

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = 12℘2λμ − g2 x1 − 2℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 . Den Ansatz (4) k¨onnen wir auch in Gestalt der Proportion schreiben: (6)

λω1 + μω2 λω1 + μω2 ℘ u− : ℘ u − :1= 3 3 a1 ℘(u) + a2 ℘ (u) + a3 : b1 ℘(u) + b2 ℘ (u) + b3 : c1 ℘(u) + c2 ℘ (u) + c3 . Hieraus folgt f¨ur u = 0: ℘λμ : −℘λμ : 1 = a2 : b2 : c2 , so daß wir, da c2 bereits bekannt ist, weiter finden: a2 = −2℘λμ ℘λμ ,

b2 = 2℘2 λμ ,

c2 = −2℘λμ .

Nun berechnen wir aus der kanonischen Gleichung der K3 f¨ur den Polarkegelschnitt des Wendepunktes (5) die Gleichung: (7) 12 ℘λμ x21 − x22 − g2 ℘λμ + 3g3 x23 − 2 ℘λμ x2 x3 − 2 g2 x1 x3 = 0 . Dieser Kegelschnitt zerf¨allt in die neue Wendetangente x3 = 0 und die harmonische Polare des Wendepunktes (5), die die Seite x2 = 0 des neuen Koordinatendreiecks liefert. Setzen wir aber die Diskriminante der Gleichung (7) gleich null: 12 ℘λμ , 0, −g2 =0, 0, −1, −℘λμ −g , −℘ , − (g ℘ + 3g ) 2 2 λμ 3 λμ 3 so folgt nach Entwicklung dieser Determinante und Ersatz von ℘2 λμ durch (4℘λμ − g2 ℘λμ − g3 ) f¨ur ℘λμ die biquadratische Gleichung:

(8)

48 ℘4λμ − 24 g2 ℘2λμ − 48 g3 ℘λμ − g22 = 0 .

Dies ist in der Tat die spezielle Teilungsgleichung der ℘-Funktion f¨ur den dritten Teilungsgrad, die aus der zweiten Formel (6) in II, 185 bereits bekannt ist. Zur Bestimmung der beiden noch nicht bekannten Koeffizienten b1 und b3 benutze man, daß das Produkt: (b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 )(c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 ) identisch sein muß mit der mit b2 c2 = −4℘3 λμ multiplizierten linken Seite der Gleichung (7). Durch Vergleichung der Koeffizienten findet man f¨unf Gleichungen, aus denen u¨ bereinstimmend: b1 = ℘λμ 12 ℘2λμ − g2 , b3 = ℘λμ 3 ℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3

2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich

89

hervorgeht13 . Die beiden letzten noch unbekannten Koeffizienten a1 und a3 bestimmt man zweckm¨assig auf Grund der Tatsache, daß die Gleichung:

λω1 + μω2

c1 ℘(u) + c2 ℘ (u) + c3 = a1 ℘(u) + a2 ℘ (u) + a3 ℘ u− 3 in u identisch besteht. Entwickelt man rechts und links nach Potenzen von u und multipliziert mit u3 , so folgt:

3 ℘λμ − ℘λμ u + 12 ℘λμ u2 − 16 ℘ − 2c2 + c1 u + c3 u3 + · · · λμ u + · · · = −2a2 + a1 u + a3 u3 + · · · . Entwickelt man auch links nach ansteigenden Potenzen von u und benutzt die schon bekannten Werte von a2 , c1 , c2 , c3 sowie die Relationen: 2 ℘λμ = 12 ℘2λμ − g2 ,

℘ λμ = 12 ℘λμ ℘λμ ,

so ergiebt die Koeffizientenvergleichung folgende Werte von a1 und a3 : a1 = −℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 ,

1 a3 = g2 ℘2λμ + 6g3 ℘λμ + g22 . 4

Eine Best¨atigung des letzten Ergebnisses kann man daraus entnehmen, daß der Wendepunkt (λ, μ) auf der Geraden x1 = 0 liegen muß. Es muss also die Gleichung:

1 2 2 ℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x1 + 2 ℘λμ ℘λμ x2 − g2 ℘λμ + 6g3 ℘λμ + g2 x3 = 0 4

durch die Koordinaten (5) des Verzweigungspunktes (λ, μ) erf¨ullt sein. Die Eintragung dieser Koordinaten f¨uhrt in der Tat zur speziellen Teilungsgleichung (8) ¨ zur¨uck. Zur besseren Ubersicht stellen wir die Kollineation (4) in fertiger Gestalt hier nochmals dar: (9)⎧ κx1 = − ℘2 ℘λμ x2 ⎪ λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x1 − ⎪ 2 ℘λμ ⎪ 2 ⎪ + g2 ℘λμ + 6g3 ℘λμ + 14 g22 x3 , ⎨ 2 κx2 = ℘λμ 12℘2λμ − g2 x1 + 2 ℘2 ⎪ λμ x2 + ℘λμ 3℘λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x3 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ κx3 = 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 . 13

¨ In Ubereinstimmung mit (9) wurde hier der im Frickeschen Manuskript angegebene Wert `

b3 = −℘λμ 5℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3

´

korrigiert. Mit dieser Korrektur erh¨alt man die Werte c1 = 12℘2λμ − g2 , die auch in (9) auftreten. [Anm. d. Hrsg.]

`

´

c3 = − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 ,

90

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

F¨ur die zur Kongruenz: (10)

u ≡ −u +

λω1 + μω2 3

(mod ω1 , ω2 )

geh¨orende harmonische Perspektivit¨at der K3 in sich ergiebt sich jetzt sofort die Gestalt: (11) ⎧ κx1 = − ℘2 ℘λμ x2 ⎪ λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x1 − ⎪ 2 ℘λμ ⎪ 2 ⎪ + g2 ℘λμ + 6g3 ℘λμ + 14 g22 x3 , ⎨ 2 κx2 = −℘λμ 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘2 ⎪ λμ x2 − ℘λμ 3℘λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x3 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ κx3 = 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 . Diese Perspektivit¨at muß den Wendepunkt (−λ, −μ) der Koordinaten: x1 : x2 : x3 = ℘λμ : −℘λμ : 1 zum Pole und die zugeh¨orige harmonische Polare der Gleichung: (12) 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘λμ x2 + 3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x3 = 0 zur Achse haben. Dies best¨atigt sich in der Tat. W¨ahlt man den Proportionalit¨ats faktor κ = 4℘2 unglichen λμ und setzt die transformierten x1 , x2 , x3 gleich den urspr¨ Koordinaten x1 , x2 , x3 , so folgen aus (11) drei Gleichungen mit dem gemeinsamen L¨osungssystem: x1 = ℘λμ ,

x2 = −℘λμ ,

x3 = 1 .

Setzt man andrerseits κ = −4℘2 λμ und dann weiter x1 = x1 , x2 = x2 , x3 = x3 , so reduzieren sich die drei Gleichungen (11) u¨ bereinstimmend auf die Gleichung (12). Man muß bei diesen Rechnungen nur wiederholt von der speziellen Teilungsgleichung (8) und der Beziehung: 3 ℘2 λμ = 4℘λμ − g2 ℘λμ − g3

Gebrauch machen. ¨ Ubrigens erkennen wir eine Dualit¨at zwischen der Figur der neun harmonischen Polaren (12) und den neun Wendepunkten. Zu drei auf einer Wendegeraden liegenden Wendepunkten geh¨oren drei harmonische Polaren, die sich in einem Punkte schneiden. Dieser Punkt entspricht also dualistisch der Wendegeraden, ebenso wie die drei harmonischen Polaren dem Wendepunkte entsprechen. So laufen z. B. die drei zu den Wendepunkten (0, 0), (λ, μ), (−λ, −μ) geh¨orenden Polaren durch den gemeinsamen Punkt: 2 x1 : x2 : x3 = − 3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 : 0 : 12℘λμ − g2 .

2.5 Die singul¨aren Koordinatensysteme der Kurven K3

91

Wie man sieht, liegen auf jeder harmonischen Polare vier solche Zentren, wie umgekehrt durch jeden Wendepunkt vier Wendetangenten laufen. Diese Verh¨altnisse sind schon von P l u¨ c k e r14 und H e s s e15 n¨aher untersucht.

2.5 Die singul¨aren Koordinatensysteme der Kurven K3 . W¨ahlt man eines der vier Wendedreiseite zum Koordinatendreieck, so gelangt man zu einem Koordinatensystem zur Darstellung der K3 , das K l e i n als ein singul¨ares“ ” bezeichnet16 . Die einzelne Wendegerade wird durch sechs Kollineationen der G18 in sich tranformiert, z. B. die durch die Wendepunkte (0, 0), (0, 1), (0, 2) laufende Linie durch die sechs den Substitutionen: u ≡ ±u −

μω2 , 3

μ = 0, 1, 2

entsprechenden Kollineationen. Die einzelne Wendegerade wird demnach durch alle Kollineationen der G18 in nur drei Wendegeraden u¨ bergef¨uhrt, die alsdann eines der vier Wendedreiseite bilden. Das einzelne der vier singul¨aren Koordinatendreiecke wird also durch die Kollineationen der G18 mit der K3 in sich transformiert. Unter den vier Wendedreiseiten w¨ahlen wir zun¨achst dasjenige aus, dessen Seiten die drei Wendepunkttripel: (λ, 0) ,

(λ, 1) ,

(λ, 2) ,

λ = 0, 1, 2

ausschneiden. Die zu λ = 0 geh¨orende Wendegerade ist in den kanonischen Koordinaten durch: x1 − ℘01 x3 = 0 gegeben. Aus ihr kann man die beiden anderen Wendegeraden durch Aus¨ubung der zu: ω1 2ω1 , u ≡ u − u ≡ u − 3 3 geh¨orenden Kollineationen herstellen. Die Koordinaten nennen wir y0 , y1 , y2 und erkl¨aren sie n¨aher dadurch, daß wir ihre Ausdr¨ucke auf der K3 durch: ⎧ ⎪ ⎪ y0 (u) = x1 (u) − ℘01 x3 (u) , ⎪ ⎪ ⎪

⎪

ω ⎨ ω1 ω1 η1 (u− 1 ) 6 − ℘ , y x u − u − (u) = −e x 1 1 01 3 (1) 3 3 ⎪ ⎪

⎪

⎪ ω1 2ω 2ω ⎪ ⎪ ⎩ y2 (u) = e2η1 (u− 3 ) x1 u − 1 − ℘01 x3 u − 1 3 3 14

Vergl. dessen System der analytischen Geometrie“, Berlin (1835). ” in der Abhandlung Eigenschaften der Wendepunkte der Kurven dritter Ordnung usw.“, Journ. ” f. Mathem., Bd. 38 (1849). 16 Vergl. die in der Fußnote 7, S. 84 genannte Abhandlung. 15

92

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

geben. Die letzte Gleichung kann man auch in die Gestalt setzen:

ω ω1 ω1 −η1 (u+ 61 ) − ℘01 x3 u + , x1 u + (2) y2 (u) = −e 3 3 wie aus der Erkl¨arung (2), S. 84 von x1 (u), x3 (u) und dem Verhalten der Sigma¨ funktion bei Anderung von u um Perioden (vergl. I, 209) hervorgeht. Die Exponentialfaktoren in der zweiten und dritten Gleichung (1) mußten, soweit sie von u abh¨angig sind, hinzugef¨ugt werden, damit die Quotienten der y nach I, 214 doppeltperiodisch werden. Die weitere Ausgestaltung der Exponentialfaktoren dient aber zur Vereinfachung der weiterhin auftretenden Formeln. In letzterer Hinsicht beachte man zun¨achst das sehr einfache Verhalten der y bei Aus¨ubung der Substitution u = u − ω31 . Wir lesen aus (1) und (2) sofort ab: Die Substitution u = u − ω31 stellt sich als Kollineation in den y in der Gestalt dar: (3)

κ y0 = y1 ,

κ y1 = y2 ,

κ y2 = y0 ,

wo der Proportionalit¨atsfaktor durch: κ = −eη1 (u−

(4)

ω1 6 )

gegeben ist. Weiter nimmt die durch u = −u gegebene harmonische Perspektivit¨at in den y die Gestalt an: (5)

y0 = −y0 ,

y1 = −y2 ,

y2 = −y1 .

Eine zweite nicht minder wichtige Darstellung der y k¨onnen wir auf die in I, 450 unter (1) erkl¨arten und daselbst n¨aher untersuchten Funktionen: (6)

σλμ (u) = e

λη1 +μη2 3

„ « λω1 +μω2 u− 6

λω1 + μω2 σ u− 3

gr¨unden. In ihnen stellen sich die y in der Gestalt: ⎧ ⎪ ⎪ y0 = c0 σ00 (u) σ01 (u) σ02 (u) , ⎨ y1 = c1 σ10 (u) σ11 (u) σ12 (u) , (7) ⎪ ⎪ ⎩ y2 = c2 σ20 (u) σ21 (u) σ22 (u) mit drei von u unabh¨angigen Faktoren c dar. Diese y haben n¨amlich im Periodenparallelogramm die richtigen Nullpunkte, und ihre Quotienten sind nach I, 451 tats¨achlich doppeltperiodisch. Andrerseits folgt aus der zweiten Gleichung in I, 451, daß der Quotient: x1 (u) − ℘01 x3 (u) x3 (u) σ(u)3 = · σ00 (u) σ01 (u) σ02 (u) σ00 (u) σ01 (u) σ02 (u) x1 (u) − ℘01 x3 (u)

2.5 Die singul¨aren Koordinatensysteme der Kurven K3

93

doppeltperiodisch ist. Dasselbe gilt also auch vom ersten Quotienten rechts, der demnach, da er im Periodenparallelogramm weder Nullpunkte noch Pole hat, mit einer von u unabh¨angigen Gr¨osse identisch ist. Daß dann auch c1 und c2 von u unabh¨angig sind, folgt leicht. Will man lieber mit der urspr¨unglichen Sigmafunktion allein arbeiten, so kann man an Stelle von (7) auch:

λω1 ω2

λω1 2ω2 λω1

(8) yλ = cλ e(λη1 +η2 )u σ u − σ u− − σ u− − 3 3 3 3 3 schreiben, wo auch die cλ von u unabh¨angig sind. Mit dieser Formel stellt man sehr leicht das Verhalten der yλ gegen¨uber der Substitution u = u − ω32 fest. Man hat nur das Verhalten der Sigmafunktion bei Vermehrung von u um ω2 sowie die Legendresche Relation (6) in I, 160 zu benutzen. Man findet der Substitution u = u − ω32 entsprechend die Kollineation: (9)

κ y0 = y0 ,

κ y1 = e

2iπ 3 y1

κ y2 = e−

,

2iπ 3 y2

,

wo der Proportionalit¨atsfaktor gegeben ist durch: κ = −eη2 (u−

(10)

ω2 6 ).

Sieht man von den Proportionalit¨atsfaktoren ab, so kann man unter Zusammenfassung folgenden Satz aussprechen: In den singul¨aren Koordinaten gelangt man zur Kollineationsgruppe G18 , wenn man die sechs Permutationen der y mit der aus: (11)

y0 = y0 ,

y1 = e

2iπ 3 y1

,

y2 = e−

2iπ 3 y2

zu erzeugenden zyklischen G3 zusammensetzt. Von den drei kubischen symmetrischen Funktionen der y0 , y1 , y2 bleiben nur die beiden: (12)

y03 + y13 + y23 ,

y0 y1 y2

gegen¨uber der Substitution (11) invariant. Es folgt der Satz: In den singul¨aren Koordinaten stellt sich die Kurve K3 wie folgt dar: (13)

y03 + y13 + y23 + 6τ y0 y1 y2 = 0 ,

wo τ eine noch n¨aher zu untersuchende irrationale Invariante ist. Man wolle nur beachten, daß die erste symmetrische Funktion (12) sicher auf der linken Seite der Kurvengleichung mit einem nicht-verschwindenden Koeffizienten auftreten muß, da die Kurve andrenfalls in die drei Wendegeraden zerfallen w¨urde. Sieht man τ in (13) als einen (komplexen) Parameter an, so hat man hier die Gleichung des sogenannten syzygetischen B¨uschels“. Alle Kurven dieses B¨uschels ” haben das System der neun Wendepunkte gemeinsam. Zu jeder Kurve (13) des B¨uschels ist dann auch ihre Hessesche Kurve, gegeben durch:

94

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

y03 + y13 + y23 −

(14)

2τ 3 + 1 y0 y1 y2 = 0 τ2

im B¨uschel enthalten.

2.6 Die Hessesche Kollineationsgruppe G216 . Es ist jetzt genauer die Vieldeutigkeit zu er¨ortern, die bei der Auswahl des singul¨aren Koordinatensystems vorliegt. Man kann hierbei wie stets bei Betrachtung von Kollineationen einen zweifachen Standpunkt einnehmen. H¨alt man an der Kurve K3 fest, wie es bisher geschah, so wird es sich um die Kollineationen handeln, welche von dem zun¨achst ausgew¨ahlten System y0 , y1 , y2 zu den u¨ brigen m¨oglichen singul¨aren Koordinatensystemen der K3 f¨uhren. Dabei wird insbesondere die Frage auftreten, wie sich bei diesen Kollineationen die irrationale Invariante τ unserer Kurve K3 verh¨alt. Andrerseits k¨onnen wir die Rechnungen aber auch so deuten, daß wir am Koordinatensystem festhalten und die Kollineationen als solche des syzygetischen B¨uschels (13) in 2.5 in sich auffassen. Die Kollineationen sollen der K¨urze wegen stets ohne Proportionalit¨atsfaktor geschrieben werden, wobei dann nat¨urlich die neun Koeffizienten der einzelnen Kollineation nur in ihren Quotienten 2iπ

zur Geltung kommen. Unter ε wird die komplexe dritte Wurzel der Einheit e 3 verstanden. F¨ur lim τ = ∞ stellt sich das durch y0 y1 y2 = 0 gegebene Wendedreiseit als eine spezielle Kurve des syzygetischen B¨uschels (13) in 2.5 dar. Diese Kurve ist dadurch ausgezeichnet, daß ihre Hessesche Kurve (14) in 2.5 mit ihr zusammenf¨allt. Auch die drei anderen Wendedreiseite werden demnach Kurven des B¨uschels sein, deren einzelne mit ihrer Hesseschen Kurve zusammenf¨allt. Die Gleichung: 6τ = −

2τ 3 + 1 τ2

hat aber die drei L¨osungen: τ =−

ε ε2 1 , − , − . 2 2 2

Die vier Wendedreiseite bezeichnen wir symbolisch durch Δ∞ , Δ0 , Δ1 , Δ2 und haben also f¨ur sie die Gleichungen: (Δ∞ ) ,

y0 y1 y2 = 0 ,

(Δ0 ) ,

y03 + y13 + y23 − 3y0 y1 y2 = 0 ,

(Δ1 ) ,

y03 + y13 + y23 − 3εy0 y1 y2 = 0 ,

(Δ2 ) ,

y03 + y13 + y23 − 3ε2 y0 y1 y2 = 0 .

2.6 Die Hessesche Kollineationsgruppe G216

95

Unter Zerlegung in die linearen Faktoren kann man auch f¨ur die letzten drei Wendedreiseite schreiben: (Δ0 ) ,

(y0 + y1 + y2 )(y0 + εy1 + ε2 y2 )(y0 + ε2 y1 + εy2 ) = 0 ,

(Δ1 ) ,

(εy0 + y1 + y2 )(y0 + εy1 + y2 )(y0 + y1 + εy2 ) = 0 ,

(Δ2 ) ,

(ε2 y0 + y1 + y2 )(y0 + ε2 y1 + y2 )(y0 + y1 + ε2 y2 ) = 0 .

Daß die neun hier auftretenden linearen Faktoren, einzeln gleich 0 gesetzt, die von den Koordinatenachsen verschiedenen Wendegeraden liefern, ist auch leicht direkt zu zeigen. Die Gruppe G aller Kollineationen des syzygetischen B¨uschels in sich enth¨alt nun zun¨achst als eine ausgezeichnete Untergruppe die in 2.4 betrachtete G18 der Kollineationen jeder Kurve des B¨uschels in sich, also insbesondere auch jedes der vier Dreiecke Δ in sich. Dar¨uber hinaus gewinnt man alle Kollineationen von G, bei denen das einzelne Koordinatendreieck Δ∞ in sich transformiert wird, wenn man zur G18 die beiden Nebengruppen“ S · G18 und S 2 · G18 hinzuf¨ugt, unter S die ” Kollineation: (1)

(S)

y0 = εy0 ,

y1 = y1 ,

y2 = y2

verstanden. Wir gelangen zu einer Kollineationsgruppe: (2)

G54 = G18 + S · G18 + S 2 · G18 ,

gegen¨uber der, wie man sieht, die drei Dreiseite Δ0 , Δ1 , Δ2 zyklisch permutiert werden. Wir notieren den Satz: In der Kollineationsgruppe G sind vier gleichberechtigte17 Untergruppen G54 der Ordnung 54 enthalten, deren Kollineationen je eines der vier Wendedreiseite in sich transformieren und die drei anderen zyklisch permutieren. Da es ausser der in (2) dargestellten G54 keine Kollineationen in der Gruppe G giebt, die Δ∞ in sich transformieren, so findet sich in der Gruppe G keine Kollineation, die zwei Wendedreiseite je in sich transformiert und die beiden anderen permutiert. Es folgt der weitere Satz: Gegen¨uber allen Kollineationen der Gruppe G erfahren die vier Wendedreiseite Δ nur die zw¨olf geraden Permutationen, die eine mit der Gruppe der Tetraederdrehungen (vergl. I, 133) isomorphe Gruppe bilden; die zur ausgezeichneten Untergruppe G18 geh¨orende Quotientengruppe“ ” G/G18 (vergl. II, 9 ff.) ist also eine Gruppe vom Typus der Tetraedergruppe, so daß die Gesamtgruppe G aller Kollineationen des syzygetischen B¨uschels in sich eine G216 der Ordnung 216 ist. Die G216 bezeichnen wir nach C. Jordan18 hinfort als die Hessesche Gruppe“. ” 17

Fricke bezeichnet konjugierte Untergruppen als gleichberechtigt“. [Anm. d. Hrsg.] ” Vergl. dessen Untersuchung u¨ ber endliche tern¨are Gruppen im Kap. III der Abhandlung M´emoire sur les e´ quations diff´erentielles lin´eaires a` int´egrale alg´ebrique“ im Journ. f. Mathem., ” Bd. 84, S. 125 ff. 18

96

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

Es ist nun das Verhalten von τ gegen¨uber den verschiedenen Kollineationen der Hesseschen Gruppe festzustellen. Die beiden aus (1) entspringenden Kollineationen S und S 2 liefern f¨ur τ die Substitutionen: (3)

τ = ετ ,

τ = ε2 τ .

Wir verstehen ferner unter T0 , T1 und T2 die drei folgenden Kollineationen: (4) ⎧ ⎧ y = y0 + y1 + y2 , y = ε2ν y0 + εν y1 + εν y2 , ⎪ ⎪ ⎨ 0 ⎨ 0 (T0 ) y1 = y0 + εy1 + ε2 y2 , (Tν ) y1 = y0 + εν y1 + y2 , ν = 1, 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2 ν y2 = y0 + ε y1 + εy2 , y 2 = y0 + y1 + ε y2 , Man findet dann, wenn man ν auch mit auf den Index 0 bezieht, f¨ur Tν : y03 + y13 + y23 = 3 y03 + y13 + y23 + 6εν y0 y1 y2 , y0 y1 y2 = ε2ν y03 + y13 + y23 − 3y0 y1 y2 , woraus sich f¨ur die linke Seite der Gleichung der K3 berechnet: y03 + y13 + y23 + 6τ y0 y1 y2 3 εν − τ 2ν 3 3 y0 + y1 + y2 + 6 = 3 + 6ε τ y0 y1 y2 . 1 + 2ε2ν τ Hiermit ist folgendes Ergebnis festgestellt: Gegen¨uber den drei Kollineationen Tν erf¨ahrt die irrationale Invariante die drei linearen Substitutionen der Periode zwei: (5)

τ =

−τ + εν , 2εν τ + 1

ν = 0, 1, 2.

Diese drei Substitutionen bilden mit der identischen Substitution die in der Tetraedergruppe ausgezeichnete Vierergruppe“ G4 (vergl. I, 130), aus der die ganze ” Tetraedergruppe durch Zusatz der Substitution (3) erzeugbar ist19 . Die irrationale Invariante τ ist hiernach als Funktion der rationalen Invariante J die L¨osung der Tetraedergleichung“ zw¨olften Grades. Von der in (2) hergestellten G54 gelangt ” man hiernach zu der gesamten Hesseschen Gruppe G216 durch Zusatz der drei Kollineationen Tν : (6)

G216 = G54 + T0 · G54 + T1 · G54 + T2 · G54 .

Zufolge des Homomorphismus der G216 zur Quotientengruppe G216 /G18 = G12 , also zur Tetraedergruppe, ergeben sich aus der Struktur der letzteren noch einige Folgerungen u¨ ber die Hessesche Gruppe. Vorab erinnern wir daran, daß den vier Werten ∞, − 12 , − 12 ε, − 12 ε2 , die den vier Ecken des Tetraeders entsprechen, die vier zerfallenden Kurven Δ∞ , Δ0 , Δ1 , Δ2 des B¨uschels zugeh¨oren. F¨ur jede dieser 19

Die Gestalt der Tetraedersubstitutionen findet man auch in A“ II, S. 338 behandelt. ”

2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich

97

Kurven“ erh¨oht sich die Anzahl der Kollineationen der Kurve in sich von 18 auf 54. ” Wir gelangen wieder zu den vier gleichberechtigten Untergruppen G54 der G216 , die den vier zyklischen Untergruppen G3 der Tetraedergruppe entsprechen. Als zweites System von Fixpunkten geh¨oren zu diesen vier G3 die vier Fl¨achenmitten des Tetraeders τ = 0, 1, ε, ε2 , dem a¨ quianharmonischen Falle“ des elliptischen Gebildes ” entsprechend (vergl. I, 136). Wir finden im B¨uschel vier a¨ quianharmonische“ Kur” ven K3 , deren einzelne durch 54 Kollineationen in sich u¨ bergeht, und deren Gleichungen durch: 3 y0 + y13 + y23 = 0 , (7) ν = 0, 1, 2 y03 + y13 + y23 + 6εν y0 y1 y2 = 0 , gegeben sind. So geh¨ort z. B. die erste dieser Kurven zu der in (2) dargestellten Kollineationsgruppe G54 . Weiter sind in der Tetraedergruppe drei aus den Substitutionen (5) zu erzeugende gleichberechtigte zyklische G2 der Ordnung zwei enthalten, die zum harmonischen ” Falle“ des elliptischen Gebildes hinf¨uhren (vergl. I, 135). Die einzelne hat zwei diametrale Kantenmitten des Tetraeders zu Fixpunkten; wir gelangen zu den drei Wertepaaren: √ 1± 3 ν ε , ν = 0, 1, 2. τ =− 2 Diesen zyklischen Untergruppen G2 der Tetraedergruppe geh¨oren drei gleichberechtigte Untergruppen G36 der Hesseschen Gruppe zu. Wir finden im B¨uschel sechs harmonische Kurven“ K3 , deren einzelne durch 36 eine G36 bildende Kollineatio” nen in sich u¨ bergeht, und deren Gleichungen: √ ν = 0, 1, 2 (8) y03 + y13 + y23 − 3εν (1 ± 3)y0 y1 y2 = 0 , sind. So erzeugt man z. B. die zu den beiden Kurven mit ν = 0 geh¨orenden G36 , indem man zur ausgezeichneten Kollineationsgruppe G18 die unter (4) an erster Stelle genannte Kollineation T0 hinzusetzt. Da die Vierergruppe G4 eine ausgezeichnete Untergruppe der Tetraedergruppe ist, so entspricht ihr eine in der Hesseschen Gruppe G216 ausgezeichnete Untergruppe G72 der Ordnung 72, in der die drei eben betrachteten G36 enthalten sind.

2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich. Jede der unendlich vielen Substitutionen: (1)

u = ±u + c

98

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

mit dem Parameter“ c hat f¨ur die Kurve K3 eine umkehrbar-eindeutige rationale ” Transformation in sich zur Folge. Um alle diese Transformationen und jede nur einmal zu erhalten, gen¨ugt es, den Parameter c auf ein System mod ω1 , ω2 inkongruenter Werte zu beschr¨anken, also etwa: c = λω1 + μω2 ,

0 λ, μ < 1

zu setzen, wo λ, μ alle Paare reeller, nicht negativer Werte, die < 1 sind, durchlaufen. Die Gruppe dieser birationalen“ Transformationen der K3 in sich m¨oge mit ” G bezeichnet werden. Sie enth¨alt als ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 die kontinuierliche Gruppe aller birationalen Transformationen der K3 in sich, die den Substitutionen (1) mit dem oberen Zeichen entsprechen. Wird diese Untergruppe mit G bezeichnet, und ist S die der Substitution u = −u zugeh¨orige Kollineation, so hat man einfach: (2)

G = G + S · G .

Die gesamten in der Nebengruppe S · G enthaltenen Transformationen sind von der Periode 2. Diese Angaben sind einfache Folgen des Additionstheorems. Man hat, falls man etwa die kanonischen Koordinaten benutzt, zufolge dieses Theorems f¨ur ℘(u ), ℘ (u ) rationale Darstellungen in ℘(u), ℘ (u) und auch umgekehrt f¨ur ℘(u), ℘ (u) ebensolche in ℘(u ), ℘ (u ). Um zun¨achst die Transformationen der Untergruppe G etwa wieder in kanonischen Koordinaten ausf¨uhrlich darzustellen, schreiben wir w = u + v an Stelle von (1) und bezeichnen die homogenen Koordinaten der den Werten u, v und w entsprechenden Kurvenpunkte bezw. durch (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) und (z1 , z2 , z3 ). Aus der Gestalt (16) in II, 16120 des Additionstheorems ergiebt sich als zugeh¨orige Transformation: ⎧ κz1 = x22 y1 y3 − x1 x3 y22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2x2 y2 + g2 (x1 y3 + x3 y1 ) + 3g3 x3 y3 x1 y3 − x3 y1 , ⎪ ⎪ ⎨ (3) κz2 = −(x2 y2 + 3g3 x3 y3 )(x2 y3 − x3 y2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2(6x1 y1 − g2 x3 y3 )(x1 y2 − x2 y1 ) + g2 (x1 x2 y32 − x23 y1 y2 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ κz3 = x22 y32 − x23 y22 − (12x1 y1 − g2 x3 y3 )(x1 y3 − x3 y1 ) , wo κ der Proportionalit¨atsfaktor ist und der Punkt (y1 , y2 , y3 ) als Parameter“ zur ” Gewinnung der ganzen Gruppe G die Kurve K3 zu durchlaufen hat. Man hat also mit einer kontinuierlichen Gruppe eindeutig-umkehrbarer quadratischer“ Trans” formationen der Kurve K3 in sich zu tun. Bereits in II, 164 sind die Formeln (3) des Additionstheorems in eine ganz besonders einfache invariante Form gesetzt. Unter Fx wird die tern¨are kubische Form verstanden: 20

bzw. (12) in II, 164. [Anm. d. Hrsg.]

2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich

(4)

99

Fx = 4x31 − x22 x3 − g2 x1 x23 − g3 x33 ,

durch deren Nullsetzen die K3 dargestellt wird. Man bilde von Fx die Polare: (5)

Px,y =

∂Fx ∂Fx ∂Fx y1 + y2 + y3 ∂x1 ∂x2 ∂x3

oder ausf¨uhrlich geschrieben: (6)

Px,y = 12x21 y1 − g2 x23 y1 − 2x2 x3 y2 − 2g2 x1 x3 y3 − x22 y3 − 3g3 x23 y3 .

Diese Polare giebt, gleich 0 gesetzt, f¨ur einen stehenden Punkt (x1 , x2 , x3 ) der K3 , in den y gedeutet, die Tangente der K3 im Punkte (x1 , x2 , x3 ); ist aber (y1 , y2 , y3 ) ein stehender Punkt der K3 , so giebt Px,y = 0 in variablen x gedeutet den Polarkegelschnitt des Punktes (y1 , y2 , y3 ), der die K3 in diesem Punkte ber¨uhrt und weiter die vier Ber¨uhrungspunkte der Tangenten ausschneidet, die u¨ brigens noch vom Punkte (y1 , y2 , y3 ) an die K3 laufen. Der Ausdruck des Additionstheorems und damit der Gruppe G eindeutig-umkehrbarer quadratischer“ Transformationen der ” Kurve K3 in sich nimmt nun die a¨ usserst einfache Gestalt an: (7)

κzν = xν Py,x − yν Px,y ,

ν = 1, 2, 3.

Die Eigenart solcher quadratischer Transformationen ist seit langer Zeit bekannt21 . Die zweifach unendlich vielen Geraden der Ebene werden durch eine solche Transformation in die zweifach unendlich vielen Kegelschnitte u¨ bergef¨uhrt, die durch drei feste der Transformation eigent¨umliche Grundpunkte“ hindurch” laufen. Dem einzelnen Punkte der Ebene, als Schnittpunkt zweier Geraden, entspricht dann der vierte Schnittpunkt der beiden zugeh¨origen Kegelschnitte. Wir wollen f¨ur die zu (7) inverse Substitution diese Verh¨altnisse genauer klarstellen. Schreiben wir abgek¨urzt a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 = az , so entspricht der Geraden az = 0 der Kegelschnitt: (8)

ax Py,x − ay Px,y = 0 ,

gedeutet in x als variablen Koordinaten, w¨ahrend (y1 , y2 , y3 ) ein stehender Punkt der K3 ist. Nun giebt Py,x = 0 die Tangente der K3 im Punkte (y1 , y2 , y3 ), und der Polarkegelschnitt Px,y = 0 ber¨uhrt die K3 ebendort. Also fallen mindestens zwei Grundpunkte der Transformation an der Stelle (y1 , y2 , y3 ) zusammen, wo alle Kegelschnitte (8) die K3 ber¨uhren. Man w¨ahle nun den besonderen zu den Werten a1 = 0, a2 = y3 , a3 = −y2 geh¨orenden Kegelschnitt (8): (x2 y3 − x3 y2 )Py,x = 0 , der in die Kurventangente im Punkte (y1 , y2 , y3 ) und die Verbindungsgerade dieses Punktes mit der Ecke x2 = 0, x3 = 0 des Koordinatendreiecks zerf¨allt. Auf der Tan21

Man vergl. z. B. S a l m o n–Fiedler Analytische Geometrie der h¨oheren ebenen Kurven“ ” (Leipzig, 1873), S. 359 ff.

100

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

gente kann der dritte Fundamentalpunkt wenigstens nicht an einer von (y1 , y2 , y3 ) verschiedenen Stelle liegen. Es m¨ußte sonst die Tangente ein Bestandteil jedes Kegelschnitts (8) sein, was, wie man leicht zeigt, nicht zutrifft. Also liegt der dritte Fundamentalpunkt auf der Geraden x2 y3 − x3 y2 = 0. In analoger Weise zeigt man, daß er auch auf beiden Geraden x3 y1 − x1 y3 = 0 und x1 y2 − x2 y1 = 0 liegt. Also auch der dritte Fundamentalpunkt f¨allt mit den beiden ersten zusammen, so daß sich alle Kegelschnitte (8) im Punkte (y1 , y2 , y3 ) oskulieren. Endlich zeigt man noch durch eine kurze Rechnung, daß der Kegelschnitt x3 Py,x − y3 Px,y = 0 mit der K3 im Punkte (y1 , y2 , y3 ) den Kr¨ummungsmittelpunkt gemein hat. Also gelangt man zu dem Ergebnis: Die drei Grundpunkte der zur quadratischen Transformation (7) inversen Transformation der K3 in sich fallen an der Stelle (y1 , y2 , y3 ) zusammen; je zwei Kegelschnitte des B¨uschels (8) haben hier mit einander und auch mit der Kurve dritten Grades K3 drei“ zusammenfallende Punkte gemein. ” Daß in den neun F¨allen, wo (y1 , y2 , y3 ) ein Wendepunkt ist, die quadratischen Transformationen zu Kollineationen werden m¨ussen, ist hier unmittelbar einleuchtend. Es zerf¨allt n¨amlich die quadratische Polare eines Wendepunktes in die Wendetangente und die zugeh¨orige harmonische Polare. Das zweite Glied in (7) rechts gewinnt also den in x linearen Faktor Py,x , der nach links dividiert werden kann und in den Proportionalit¨atsfaktor aufgenommen wird; es verbleibt so eine lineare Substitution. Im einzelnen gestalten sich die Rechnungen f¨ur den Wendepunkt (−λ, −μ) so: Man hat zun¨achst: 2 2 2 2 4℘2 λμ Px,y = 4℘λμ 12℘λμ x1 − x2 − (g2 ℘λμ + 3g3 )x3 − 2℘λμ x2 x3 − 2g2 x3 x1 = (12℘2λμ − g2 )x1 − 2 ℘λμ x2 + (3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 ) x3 · Py,x , Py,x = 12℘2λμ − g2 x1 + 2 ℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 , wie man durch die n¨otigen Zwischenrechnungen mit Hilfe der zwischen ℘ und ℘ bestehenden Beziehung und der speziellen Teilungsgleichung (8), S. 88 zeigt. Der erste Faktor auf der rechten Seite der vorletzten Gleichung liefert die harmonische Polare, der zweite Faktor die Wendetangente. Man hat nun in die Gleichungen (7) den Faktor: 4℘2 λμ − Py,x aufzunehmen und links mit dem Proportionalit¨atsfaktor zu verschmelzen, w¨ahrend rechts im zweiten Gliede der Faktor: 4℘2 λμ

Px,y Py,x

durch

(12℘2λμ − g2 )x1 − 2 ℘λμ x2 + (3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 ) x3

zu ersetzen ist. Nach den n¨otigen Zwischenrechnungen, bei denen wieder von der zwischen ℘ und ℘ bestehenden Relation und der speziellen Teilungsgleichung (8), S. 88 Gebrauch zu machen ist, erscheinen die Formeln (9), S. 89 unserer Kollineation.

101

2.8 Realit¨atsbetrachtungen

2.8 Realit¨atsbetrachtungen. W¨ahrend der bisherigen Entwicklungen wurde auf Realit¨atsverh¨altnisse keine besondere R¨ucksicht genommen. Es sei jetzt eine singularit¨atenfreie ebene Kurve dritten Grades durch eine Gleichung mit ausschließlich reellen Koeffizienten gegeben. Dann sind die beiden Aronholdschen Invarianten S und T und damit auch die Invarianten g2 , g3 , sowie die absolute Invariante J reell. Das reduzierte Periodenverh¨altnis ω liefert also einen Punkt auf dem Rande der schraffierten H¨alfte des in I, 179 durch Fig. 43 dargestellten Diskontinuit¨atsbereichs der Modulgruppe. Zweckm¨assig ist es allerdings an Stelle des linken von ω = nach ω = i∞ ziehenden geraden Randes dieses Bereiches den zwischen ω = und ω = −1 verlaufenden Teil des Einheitskreises der ω-Halbebene zu benutzen, der mit jenem geraden Rande a¨ quivalent ist. Bei einer reellen Kurve dritten Grades kann man also das Periodenparallelogramm entweder als Rechteck oder als Rhombus w¨ahlen. Beide M¨oglichkeiten h¨angen beim Periodenverh¨altnis ω = i zusammen, dem ein Quadrat als Periodenparallelogramm zugeh¨ort. Dieses Ergebnis kann man auch auf folgendem Wege erzielen: Hat unsere Kurve dritten Grades einen oder mehrere reelle Z¨uge, so liefert sie ein algebraisches Gebilde, das durch eine symmetrische Umformung in sich u¨ bergeht. Die ¨ Symmetrie- oder Ubergangslinien dieser Umformung entsprechen den reellen Kurvenz¨ugen. Die zugeh¨orige in I, 229 eingef¨uhrte Gruppe Γ (u) aller Substitutionen: (1)

u = u + m1 ω1 + m2 ω2

ist dann durch eine Spiegelung erweiterungsf¨ahig; und da diese Spiegelung notwendig den Punkt u = ∞ in sich transformiert, so handelt es sich einfach um eine Spiegelung an einer Geraden. Man gehe nun auf den in I, 235 ff. entwickelten Diskontinuit¨atsbereich der Gruppe Γ (u) als zentriertes Sechseck im Kreise“ ” zur¨uck, das insbesondere beim Verschwinden zweier Gegenseiten des Sechsecks zu einem Rechteck werden kann. Dieser Diskontinuit¨atsbereich ist f¨ur die einzelne Gruppe Γ (u) nach Auswahl des Mittelpunktes eindeutig bestimmt. W¨ahlt man den Mittelpunkt des Sechsecks (Rechtecks) auf der Symmetriegeraden der Spiegelung, so muß demnach das Sechseck (Rechteck) bez¨uglich dieser Geraden sich selbst symmetrisch sein. Die Symmetriegerade ist also im Falle eines nicht-quadratischen Rechtecks eine der beiden Mittellinien, im Falle eines Quadrates eine Mittellinie oder eine Diagonale, und im Falle eines Sechsecks eine Mittellinie oder eine Diagonale, in bezug auf die das Sechseck sich selbst symmetrisch sein muß. Ein solches Sechseck wandelt man aber nach der in I, 241 beschriebenen Maßregel (vergl. Fig. 50 daselbst) in ein rhombisches Periodenparallelogramm um. Man gelangt also ¨ zum obigen Ergebnis zur¨uck. Dabei liefert das Quadrat (ω = i) den Ubergangsfall zwischen den Rechtecken und den Rhomben. Es liege nun zun¨achst ein nicht-quadratisches Rechteck als Periodenparallelogramm vor. Hier ist die Gruppe Γ (u) erweiterungsf¨ahig durch die Spiegelung an jeder zu einer Rechteckseite parallelen Geraden. Man hat also im Falle eines nicht-quadratischen Rechtecks insgesamt zwei kontinuierliche Scharen m¨oglicher

102

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

8

Erweiterungen von Γ (u) durch Spiegelungen. Um ein Periodenverh¨altnis zu erhalten, das rein imagin¨ar und absolut > 1 ist, w¨ahle man die kleinere Mittellinie des Rechtecks als Symmetrielinie und benutze die in Fig.14 (e1) (e3) dargelegte Anordnung. Durch die Spiegelung werden ω1 ω1+ ω2 2 dann die beiden stark markierten Rechteckseiten aus2 getauscht. Da diese aber bez¨uglich der Γ (u) a¨ quivalent sind, so liefern sie f¨ur das algebraische Gebilde (die Riemannsche Fl¨ache) zwei geschlossene Symmetrieli(e2) ( ) ω2 nien der vorliegenden symmetrischen Umformung. Die ω2 0 2 Folge ist, daß bei richtiger Auswahl des Koordinatensystems die Kurve dritten Grades zwei getrennte reelle Z¨uge erh¨alt, also eine sogenannte zweiteilige“ Kurve ” ist. Wir gebrauchen im Anschluß an Fig. 14 kanonische Koordinaten und insbesondere rechtwinklige, inFig. 14 dem wir: (2)

x = ℘(u) ,

setzen. Man hat drei reelle Werte:

ω

ω 1 2 , e2 = ℘ , (3) e1 = ℘ 2 2

y = ℘ (u) e3 = ℘

ω1 + ω2 2

,

die die Ungleichung: e1 < e3 < e2

(4)

erf¨ullen (vergl. die in Fig. 14 in Klammern beigef¨ugten Werte x). Die Kurvengleichung wird: (5)

y 2 = 4(x − e1 )(x − e3 )(x − e2 ) ,

und die Gestalt der Kurve ist schematisch in Fig.15 angegeben. Die Mittellinie des Rechtecks liefert den ins Unendliche ziehenden reellen Kurvenzug; dieser tr¨agt die einzigen drei reellen Wendepunkte, von denen einer, dem Werte ω2 3 u = 0 entsprechend, im Unendlichen liegt. Die zweite Symmetrielinie ergiebt das Oval der Kurve. e3 e2 e1 Diese reelle Kurve besitzt noch zwei eine Gruppe bildende kontinuierliche Scharen von 2 ω2 reellen quadratischen Transformationen in sich. 3 Alle den Substitutionen:

( )

( )

Fig. 15

u = u + μω2

103

2.8 Realit¨atsbetrachtungen

mit reellem Parameter μ des Intervalls 0 μ < 1 entsprechenden Transformationen bilden in jener Gruppe eine kontinuierliche Untergruppe. Aus ihr geht dann ω1 die Gesamtgruppe durch Zusatz der der Substitution u = u + zugeh¨origen 2 quadratischen Transformation: x : y : 1 = e1 y 2 − g2 x2 + e21 g2 + 3g3 (6) : (g2 − 12e21 )xy + (2e1 g2 + 3g3 )y : y 2 − 12e1 x2 + (12e21 + g2 )x − e1 g2 hervor. Die Transformationen der Untergruppe verschieben sowohl das Oval in sich, wie den ins Unendliche ziehenden Kurvenzug. Die Transformation (6) aber tauscht beide Zweige aus. Sechs reelle auf dem Oval liegende sextaktische Punkte tauschen sich dabei mit den drei reellen Wendepunkten und weiteren drei reellen sextaktischen Punkten des anderen Zweiges aus. Im ganzen sind neun unter den 27 sextaktischen Punkten reell. ω1 Es liege zweitens als Periodenparallelogramm ein von einem Quadrate verschiedener Rhombus ω + ω2 vor, der auch nicht gerade durch die k¨urzere Dia(e3) 1 2 gonale in zwei gleichseitige Dreiecke zerfallen soll (Fall ω = ). Die Gruppe Γ (u) ist er(e2 ) ω2 0 weiterungsf¨ahig durch die Spiegelung an jeder zur ω2 2 einen oder anderen Rhombusdiagonale parallelen ω1 Geraden. Man hat also wieder insgesamt zwei kon− e ( 1) 2 tinuierliche Scharen m¨oglicher Erweiterungen der (u) Γ durch Spiegelungen. Wir w¨ahlen insbesondere die kleinere Rhombusdiagonale als Symmetrielinie, benutzen jedoch die Bezeichnungen ω1 , ω2 in der in Fig. 16 Fig.16 angegebenen Art. Dies l¨auft darauf hinaus, einen Periodenquotienten: ω=

−1 + iη 2

mit

η>1,

η =

√

3

zu erzielen; der Rhombus hat aber die Ecken u = 0, −ω1 , ω2 , ω1 + ω2 . Bei Spiegelung an der stark ausgezogenen Diagonale gehen allein die Punkte dieser Diagonale in sich u¨ ber 22 . Man hat also nur eine einzige Symmetrielinie und gelangt bei richtiger Einf¨uhrung der Koordinaten zu einer einteiligen“, d. h. nur einen ” reellen Zug aufweisenden Kurve dritten Grades. Es ist dies bei Gebrauch der kanonischen Koordinaten auch algebraisch ohne weiteres einleuchtend. Es ist n¨amlich jetzt allein e2 reell, w¨ahrend e1 und e3 zwei konjugiert komplexe Zahlen sind; die Gleichung (5) liefert als schematisches Bild der Kurve das in Fig. 17 dargestellte. Nat¨urlich gestattet dieser Kurvenzug nur noch eine einzige eine Gruppe bildende kontinuierliche Schar reeller quadratischer Transformationen in sich. Wieder sind 22

Die obere und untere Rhombusecke sind mit den Ecken u = 0 und ω2 a¨ quivalent.

104

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

nur drei Wendepunkte reell, und von den 27 sextaktischen Punkten sind auch nur drei reell. Besonderheiten liegen vor, wenn das reduzierte Periodenverh¨ altnis ω = i oder = ist. Im ersten Falle hat man ω2 ein Quadrat als Periodenparallelogramm, und es liegen vier 3 kontinuierliche Scharen von m¨oglichen Erweiterungen durch Spiegelungen vor. Zwei von ihnen liefern einteilige, die beie2 den anderen zweiteilige Kurven. Ist aber der als zentriertes Sechseck im Kreise gedachte Diskontinuit¨atsbereich von Γ (u) 2 ω2 ein regul¨ares Sechseck (Fall ω = ), so hat man sogar sechs 3 kontinuierliche Scharen von m¨oglichen Erweiterungen durch Spiegelungen, die indessen alle zu einteiligen Kurven f¨uhren. ¨ Ubrigens sind alle reellen singularit¨atenfreien ebenen Kurven Fig. 17 dritten Grades kollineare Abbilder der beschriebenen Kurven. ¨ Uber die verschiedenen hierbei gewinnbaren Gestalten vergl. man das S. 85 genannte Werk von S a l m o n S. 199 ff.

( )

( )

2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen. Die vorstehenden Entwicklungen u¨ ber die singularit¨atenfreien ebenen Kurven dritten Grades stellen das niederste Beispiel einer allgemeinen Theorie der elliptischen ” Normalkurven“ dar. F¨ur den n¨achst h¨oheren Fall, die singularit¨atenfreien Raumkurven vierten Grades erster Spezies betreffend, hat C l e b s c h in § 17 der Abhand¨ lung Uber die Anwendung der Abelschen Funktionen in der Geometrie“ 23 zum ” ersten Male die grundlegenden Angaben u¨ ber die Verwendbarkeit der elliptischen Funktionen gemacht. Eine solche Kurve K4 ist darstellbar als vollst¨andiger Schnitt zweier Fl¨achen zweiten Grades, und sie liefert (nat¨urlich bei Zulassung komplexer Werte der Koordinaten) ein algebraisches Gebilde vom Geschlechte p = 1. Dies soll zun¨achst etwas n¨aher ausgef¨uhrt werden. Nach bekannten S¨atzen u¨ ber Fl¨achenb¨uschel zweiten Grades und Raumkurven vierten Grades24 ist eine singularit¨atenfreie Raumkurve vierten Grades erster Spezies K4 die Grundkurve eines Fl¨achenb¨uschels zweiten Grades, in dem vier Kegel zweiten Grades mit vier nicht in einer Ebene gelegenen Spitzen enthalten sind. Man w¨ahle diese vier Spitzen zu Eckpunkten eines Koordinatentetraeders im Raume. Die Koordinaten, die y1 , y2 , y3 , y4 heissen m¨ogen, sind dann bis auf multiplikative (komplexe) Konstanten bestimmt. Man verf¨uge u¨ ber diese Konstanten wenigstens bei y1 , y2 , y3 in der Art, daß zwei unter den vier Kegeln die Gleichungen: y22 − y32 + a1 y42 = 0 , y32 − y12 + a2 y42 = 0 23

Journ. f. Mathem., Bd. 63 (1863). Man vergl. z. B. Heffter Lehrbuch der analytischen Geometrie“, Bd. 2 (Leipzig, 1923) ” Art. 389 ff. sowie 412 ff. 24

105

2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen

gewinnen. Wegen der noch nicht endg¨ultig festgelegten vierten Koordinate y4 ist dann bei der einzelnen Raumkurve nur erst der Quotient a1 : a2 eindeutig bestimmt. Der dritte Kegel mit der Spitze im Eckpunkte y1 = 0, y2 = 0, y4 = 0 des Koordinatentetraeders hat dann, da er dem aus den beiden ersten Kegeln entstehenden B¨uschel angeh¨ort, die Gleichung: y12 − y22 − (a1 + a2 )y42 = 0 . F¨uhrt man drei neue Gr¨ossen e1 , e2 , e3 durch die Gleichungen: 3e1 = −a1 − 2a2 ,

3e2 = 2a1 + a2 ,

3e3 = a2 − a1

ein, so gilt f¨ur diese drei Zahlen die Gleichung: (1)

e1 + e2 + e3 = 0 ,

und auch sie sind bei der einzelnen Raumkurve K4 durch die bisherigen Festsetzungen nur erst bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt. Die drei Kegel, deren Spitzen in der Koordinatenebene y4 = 0 liegen, haben dann die Gleichungen: ⎧ 2 y − y32 + (e2 − e3 )y42 = 0 , ⎪ ⎪ ⎨ 2 y32 − y12 + (e3 − e1 )y42 = 0 , (2) ⎪ ⎪ ⎩ 2 y1 − y22 + (e1 − e2 )y42 = 0 , und der vierte Kegel mit der Spitze im Eckpunkte y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0 des Koordinatentetraeders ist dargestellt durch: (3)

(e2 − e3 )y12 + (e3 − e1 )y22 + (e1 − e2 )y32 = 0 .

Die vorstehenden Gleichungen zwischen den y1 , y2 , y3 , y4 gehen, falls man sie in solche f¨ur die Quotienten yy14 , yy24 , yy34 umschreibt, genau in die in I, 382 aufgestellten Relationen u¨ ber, die zwischen den daselbst erkl¨arten eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen: (4) ψk (u) = ℘(u) − ek , k = 1, 2, 3 bestehen. Diese Funktionen geh¨oren der in I, 377 ff. erkl¨arten Hauptkongruenz(u) gruppe Γ4 zweiter Stufe an, und sie sind in einem Diskontinuit¨atsbereiche dieser Gruppe, den man als Periodenparallelogramm der Ecken u = 0, 2ω2 , 2(ω1 + ω2 ), 2ω1 w¨ahlen kann, vierwertig. Erkl¨art man im Anschluß an jene drei Funktionen ψk (u) vier Verh¨altnisgr¨ossen y1 , y2 , y3 , y4 durch: (5)

y1 : y2 : y3 : y4 = ψ1 (u) : ψ2 (u) : ψ3 (u) : 1 ,

so bestehen die Beziehungen (1), (2) und (3). Deutet man also die Verh¨altnisgr¨ossen y1 , y2 , y3 , y4 als homogene Raumkoordinaten, so erscheint das Periodenparallelo-

106

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

gramm der Ecken u = 0, 2ω2 , 2(ω1 + ω2 ), 2ω1 eindeutig abgebildet auf unsere Raumkurve vierten Grades K4 ; und umgekehrt sind demnach die (nicht-homogenen) Koordinaten der Punkte unserer Raumkurve K4 darstellbar als eindeutige doppeltperiodische Funktionen der Perioden 2ω1 , 2ω2 . Bei Gebrauch der Sigmafunktion σ(u) und der drei zur zweiten Stufe geh¨orenden Funktionen σ1 (u), σ2 (u), σ3 (u) kann man an Stelle von (5) auch die Proportion benutzen: (6)

y1 : y2 : y3 : y4 = σ1 (u) : σ2 (u) : σ3 (u) : σ(u) ,

wie aus (4) in I, 384 folgt. Auch kann man mit den Jacobischen Funktionen arbeiten und hat dann zu setzen: (7)

y1 : y2 : y3 : y4 = 1 : cn w : dn w : √

1 sn w , e2 − e1

und das Periodenparallelogramm in der w-Ebene hat die Ecken w = 0, 4K, 4(K + iK ), 4iK . Um die vorstehenden Entwicklungen besser an diejenigen u¨ ber ebene Kurven dritten Grades anzupassen, wird man lieber mit dem Periodenparallelogramm der Ecken u = 0, ω2 , ω1 + ω2 , ω1 arbeiten. Man schreibe also ω1 und ω2 f¨ur die soeben benutzten Perioden 2ω1 und 2ω2 und lasse hernach den oberen Index bei ω1 , ω2 wieder fort. Die ψk (u) werden dann vierwertige doppeltperiodische Funktionen mit den neuen Perioden ω1 , ω2 , die ihre vier gemeinsamen Pole im Periodenparalleloω 1 ω 2 ω 1 + ω2 , , und ihre Nullpunkte in den Periodenvierteln gramm bei u = 0, 2 2 2 haben. Stellen wir sie auf Grund von (6) in I, 214 als Quotienten von Produkten zu je vier Sigmafunktionen dar, so gelangen wir mit R¨ucksicht darauf, daß: lim u ψk (u) = 1 , k = 1, 2, 3 u=0

gilt, zu folgender Darstellung der y als Funktionen von u:

⎧ ⎪ σ u − (2λ+1)ω41 +2μω2 ⎪ ⎪ ⎪ ,

y1 = eη1 u ⎪ ⎪ (2λ+1)ω1 +2μω2 ⎪ ⎪ σ λ,μ ⎪ 4 ⎪

⎪ ⎪ ⎪ 2λω1 +(2μ+1)ω2 ⎪ σ u − ⎪ 4 ⎪ ⎪ ,

⎪ y2 = eη2 u ⎪ 2λω +(2μ+1)ω ⎪ 1 2 ⎨ σ λ,μ 4

(8) (2λ+1)ω1 +(2μ+1)ω2 ⎪ ⎪ σ u − ⎪ 4 ⎪ (η1 +η2 )u ⎪ ,

⎪ ⎪ y3 = e (2λ+1)ω1 +(2μ+1)ω2 ⎪ ⎪ σ λ,μ ⎪ 4 ⎪

⎪ ⎪ ⎪ λω +μω 1 2 ⎪ σ u − ⎪ 2 ⎪ ⎪ .

⎪ y = −σ(u) ⎪ ⎩ 4 λω1 +μω2 σ λ,μ 2

2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen

107

Die Produkte beziehen sich auf die vier Kombinationen (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) des Zahlenpaars (λ, μ), unter Auslassung der Kombination (0, 0) bei y4 , worauf durch den oberen Index am Produktzeichen hingewiesen wird. Der Zusatz der Exponentialfunktion bewirkt, daß die Quotienten dieser y doppeltperiodisch werden. Wir haben die y als singul¨are Koordinaten“ f¨ur die Darstellung der Raumkurve ” K4 zu bezeichnen; denn sie entsprechen den singul¨aren Koordinaten bei der ebenen Kurve dritten Grades. Allgemein ist die hinreichende und notwendige Bedingung daf¨ur, daß vier Punkte der K4 in einer Ebene liegen, diejenige, daß ihre vier zugeh¨origen Argumente u1 , u2 , u3 , u4 die Kongruenz erf¨ullen: (9)

u1 + u2 + u3 + u4 ≡ 0

(mod ω1 , ω2 ) .

λω1 + μω2 , wo λ, μ = 0, 1, 2, 3 gilt, liefern alDie 16 Periodenviertel u = 4 so solche Stellen, an denen die K4 mit einer Ebene vier zusammenfallende Punkte gemein hat. Es handelt sich um die 16 Wendeber¨uhrungspunkte“ der K4 , die ” zu einer entsprechenden Konfiguration f¨uhren, wie die neun Wendepunkte der ebenen Kurve dritten Grades25 . Eine durch drei Wendeber¨uhrungspunkte gelegte Ebene schneidet die Kurve dann noch in einem vierten Wendeber¨uhrungspunkt und mag eine Wendeebene“ heissen. Ein System von vier Wendeebenen, die alle sechzehn ” Wendeber¨uhrungspunkte ausschneiden, bildet ein Wendevierflach“, wenn wir die ” Bezeichnungen bei den ebenen Kurven dritten Grades hier u¨ bertragen. Eines dieser Wendevierflache ist unser singul¨ares Koordinatentetraeder. ¨ Zur Ubertragung der bei der K3 benutzten kanonischen Koordinaten, die mit elliptischen Funktionen erster Stufe und also rationalen Invarianten arbeiten, hat man zu setzen: (10)

x1 : x2 : x3 : x4 = ℘(u) : ℘ (u) : ℘ (u) : 1 .

Die Kurve stellt sich dann zun¨achst als Schnitt eines Kegels dritten Grades mit einem solchen zweiten Grades dar, Fl¨achen, deren Gleichungen aus den beiden Relationen: ℘ (u)2 = 4℘(u)3 − g2 ℘(u) − g3 ,

2℘ (u) = 12℘(u)2 − g2

entstehen. Indem man aber in der mit 3 multiplizierten ersten Gleichung rechter Hand im ersten Gliede 12℘(u)2 durch 2℘ (u) + g2 ersetzt, erh¨alt man die weitere Relation: 3℘ (u)2 = 2℘(u)℘ (u) − 2g2 ℘(u) − 3g3 . Die beiden letzten Gleichungen liefern unsere K4 in kanonischen Koordinaten x1 , x2 , x3 , x4 als Schnitt der beiden durch: (11) 25

12x21 − g2 x24 − 2x3 x4 = 0 ,

3x22 + 3g3 x24 − 2x1 x3 + 2g2 x1 x4 = 0

Diese Verh¨altnisse findet man in dem hier in Betracht kommenden Sinne behandelt bei E . L a n g e Die sechzehn Wendeber¨uhrungspunkte einer Raumkurve vierter Ordnung erster ” Spezies“, Zeitschr. f. Mathem. u. Phys., Bd. 28, S. 1 (1883).

108

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

gegebenen Fl¨achen zweiten Grades, von denen die erste einen der vier Kegel des zugrunde liegenden Fl¨achenb¨uschels zweiten Grades darstellt. Einer der sechzehn Wendeber¨uhrungspunkte liefert die Ecke x1 = 0, x2 = 0, x4 = 0 des kanonischen Koordinatentetraeders, und die Kurve wird von dieser Ecke aus auf die gegen¨uberliegende Ebene x3 = 0 durch den oben genannten Kegel dritten Grades in die Kurve dritten Grades der Gleichung: (12)

x22 x4 − 4x31 + g2 x1 x24 + g3 x34 = 0

projiziert, womit wir zu unserer Kurve dritten Grades in kanonischen Koordinaten zur¨uckgelangen. An das Additionstheorem kann man wieder ausgedehnte Entwicklungen u¨ ber eindeutige Transformationen der K4 in sich anschliessen. Insbesondere liefern die Substitutionen: u = ±u +

λω1 + μω2 , 4

λ, μ = 0, 1, 2, 3

¨ 32 eine G32 bildende Kollineationen der K4 in sich, welche den Ubergang zwischen den verschiedenen kanonischen Koordinatensystemen vermitteln26 .

¨ Uber die Verallgemeinerung der Entwicklungen dieses Kapitels auf elliptische Normalkurven ” nten Grades im Raume von (n − 1) Dimensionen“ vergl. man die S. 84 genannte Abhandlung von K l e i n sowie die Darstellung in den Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Modulfunk” tionen“, II, 236 ff. 26

Kapitel 3

Vermischte geometrische Anwendungen.

3.1 Ponceletsche Polygone. In einer Ebene seien zwei Ellipsen gegeben, von denen die eine ganz innerhalb der anderen liegt. Von einem Punkte P0 der a¨ usseren Ellipse ziehe man in der Richtung, die den positiven Umlauf um die innere ElP4 lipse (im u¨ blichen Sinne gedacht) einleitet, P0 P3 die Tangente an die innere Ellipse bis zum Punkte P1 der a¨ usseren Ellipse. Von P1 aus ziehe man die weitere die innere Ellipse P 1 ber¨uhrende Sehne P1 P2 der a¨ usseren Ellipse und fahre in gleicher Weise fort (vergl. Fig.18). Poncelet1 hat nun folgenden Satz P2 P5 erkannt: Trifft es sich, daß bei unserer Konstruktion der Punkt Pn mit dem AusFig. 18 gangspunkte P0 zusammenf¨allt, daß sich also die Konstruktion schließt und ein etwa m Male die innere Ellipse umlaufendes Polygon von n Seiten liefert, so wird die gleiche Tatsache mit denselben Zahlen m und n auch zutreffen, wenn man einen beliebigen anderen Ausgangspunkt P0 auf der a¨ usseren Ellipse w¨ahlt. Ein solches m Male um den inneren Kegelschnitt gewundenes geschlossenes Polygon von n Seiten wird als ein Ponceletsches Polygon“ ” bezeichnet. J a c o b i hat diesen Ponceletschen Satz f¨ur den Spezialfall zweier Kreise mittels elliptischer Funktionen sehr einfach beweisen k¨onnen2 . Er fragt dabei insbesondere, welche Beziehung zwischen den beiden Kreisradien R und r und ihrer Zentrale l bestehen m¨usse, damit f¨ur zwei gegebene Zahlen m und n Ponceletsche Polygone ¨ existieren. Ubrigens bemerkt Jacobi, daß der von ihm behandelte Fall gegen¨uber

1

Vergl. dessen Trait´e des propri´et´es projectives des figures“ (Paris, 1822) S. 361. ” in der Abhandlung Anwendung der elliptischen Transzendenten auf ein Problem der Elemen” targeometrie“, Journ. f. Mathem., Bd. 3, S. 376 (1828) oder Jacobi’s Werke, Bd. 1, S. 279–293. 2

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

109

110

3 Vermischte geometrische Anwendungen

Poncelet kein Spezialfall sei, da zwei wie oben gedachte Ellipsen stets kollinear in ein Kreispaar transformierbar seien3 . Diese letztere Behauptung ist leicht durch bekannte S¨atze aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte zu beweisen4 . Die beiden Ellipsen geben zur Bildung eines Kegelschnittb¨uschels Anlaß, in dem drei zerfallende Kegelschnitte enthalten sind. Hierbei handelt es sich (von einem gleich zu nennenden Spezialfall abgesehen) um zwei reelle Gerade und zwei Paare konjugiert imagin¨arer Geraden mit je einem reellen Schnittpunkte. Die drei reellen Schnittpunkte je der beiden Geraden des einzelnen Paares liefern die Ecken des gemeinsamen Polardreiecks beider Ellipsen, das somit reell ist. Der besondere Fall aber ist der, daß die beiden Ellipsen in doppelter Ber¨uhrung mit konjugiert imagin¨aren Ber¨uhrungspunkten sind. Die Verbindungsgerade derselben ist als reelle Doppelgerade im B¨uschel enthalten, und deren Pole in bezug auf beide Ellipsen koinzidieren in einem Punkt. Man hat dann eine kontinuierliche Schar von Kollineationen, die den eben genannten Pol zum Fixpunkte haben und jeden Kegelschnitt des B¨uschels in sich verschieben5 . Der Ponceletsche Satz wird dann selbstverst¨andlich, insbesondere wenn wir noch das Ellipsenpaar kollinear in ein Paar konzentrischer Kreise u¨ berf¨uhren. Liegt dieser besondere Fall nicht vor, so w¨ahle man das reelle gemeinsame Polardreieck der beiden Ellipsen zum Koordinatendreieck und gehe von ihm insbesondere zu kartesischen Koordinaten x, y in der Weise u¨ ber, daß die a¨ ussere Ellipse der Kreis des Radius 1 um den Nullpunkt der x, y-Ebene wird. Beide Kurven haben dann die Gleichungen: (1)

x2 + y 2 = 1 ,

x2 y2 + 2 =1, 2 a b

b
Wir f¨uhren nun die kontinuierliche Gruppe aller Kollineationen des Kreises (1) in sich ein, die die beiden Punkte x = 1, y = 0 und x = −1, y = 0 zu Fixpunkten haben. Diese Kollineationen sind durch: (2)

x : y : 1 = (x Cos θ − Sin θ) : y : (−x Sin θ + Cos θ)

gegeben, wo θ ein reeller Parameter ist. Eine Kollineation insbesondere mit positivem θ verschiebt das Kreisinnere vom Fixpunkte x = 1, y = 0 in der Richtung auf den anderen Fixpunkt x = −1, y = 0. Speziell aber f¨uhrt die Kollineation, deren θ wir aus: a 1 − b2 1 a2 − b2 Cos θ = , Sin θ = b 1 − a2 b 1 − a2 3 Man k¨onnte den Ansatz sogar noch allgemeiner in folgender Art aussprechen: Es seien zwei Kegelschnitte in solcher Lage gegeben, daß von jedem Punkte eines ersten zwei reelle Tangenten an den zweiten laufen, aber von keinem Punkte des zweiten solche Tangenten an den ersten m¨oglich sind. 4 Man vergl. etwa Heffter und Koe hl e r Lehrbuch der analytischen Geometrie“ (Leipzig, 1905), ” Bd. 1, S. 312 ff. 5 Man vergl. die fig¨urlichen Er¨orterungen in den Vorlesungen u¨ ber die Theorie der automorphen ” Funktionen“, Bd. 1, S. 34, wo insbesondere f¨ur die Verh¨altnisse des Textes die Fig. 4 in Betracht kommt.

111

3.1 Ponceletsche Polygone

berechnen, auch die Ellipse (1) in einen Kreis u¨ ber, womit wir den Jacobischen Ansatz in der Tat gewonnen haben. Die Jacobische Behandlung der Ponceletschen Polygone versteht man nun am einfachsten bei Ankn¨upfung an den folgenden transzendenten Ansatz: Der Integralmodul k2 habe irgend einen reellen zwischen 0 und 1 gelegenen Wert: (3)

0 < k2 < 1 .

Die Umkehrung des Legendreschen Normalintegrals: ϕ dϕ w= 0 1 − k 2 sin2 ϕ f¨uhrt zu der von Jacobi durch ϕ = am w bezeichneten Funktion, der Amplitude“ ” von w (vergl. I, 388). F¨ur reelle Werte von w ist ϕ ein reeller Winkel, dessen doppelt genommener Wert durch ψ bezeichnet werde: (4)

ψ = 2ϕ = 2 am w .

Wir messen ψ als Bogen auf dem Kreise des Radius 1 um den Nullpunkt O in unserer obigen x, y-Ebene, wobei ψ = 0 dem Punkte x = 1, y = 0 entspreche und wachsende Werte ψ den u¨ blichen positiven Umlaufsinn auf der Peripherie dieses Kreises liefern m¨ogen. Einem reellen Werte w soll dann immer der Endpunkt des zugeh¨origen Bogens ψ entsprechen. Die ganze reelle w-Achse ist so auf die unendlichfach u¨ berdeckte Kreisperipherie abgebildet. Denkt man den Kreis nur einfach bedeckt, so werden beim einzelnen w die unendlich vielen Punkte w, w ± 2K, w ± 4K, w ± 6K, . . . eine und dieselbe Stelle des Kreises liefern. Dem Werte w = K entspricht insbesondere der Punkt ψ = π der Kreisperipherie. Es sei nun der reelle positive Wert s dem Intervall 0 < s < K willk¨urlich entnommen, und es sei w0 ein beliebiger Wert von w. Wir tragen vom Punkte w0 der reellen w-Achse aus die Strecke s wiederholt nach rechts und links ab und markieren in dieser Art auf der genannten Achse die Stellen w0 , w0 ±s, w0 ±2s, w0 ± 3s, . . . . Die entsprechenden Punkte der Kreisperipherie nennen wir P0 , P±1 , P±2 , P±3 , . . . , so daß Pn dem Endpunkte des Bogens: (5)

ψn = 2ϕn = 2 am(w0 + ns)

zugeh¨ort. Man verbinde nun je zwei aufeinander folgende Punkte Pn−1 und Pn geradlinig und untersuche diese Kette der Sehnen unseres Kreises n¨aher. Zu diesem Zwecke entnehme man zun¨achst aus den beiden letzten Gleichungen (9) in II, 166, die die Additionsformeln f¨ur die beiden Jacobischen Funktionen cn und dn darstellen, die Relation: (6)

cn(u + v) = cn u cn v − sn u sn v dn(u + v) .

Man trage ein: u = w0 + ns ,

v = −w0 − (n − 1)s

112

3 Vermischte geometrische Anwendungen

und erh¨alt bei Benutzung der durch (5) zu erkl¨arenden Winkel ϕn und ϕn−1 die Gleichung: cn s = cos ϕn cos ϕn−1 + sin ϕn sin ϕn−1 dn s , die man nach Multiplikation mit 2 auch so schreiben kann: 2 cn s = cos(ϕn − ϕn−1 )(1 + dn s) + cos(ϕn + ϕn−1 )(1 − dn s) .

(7)

Nun hat der Punkt Pν allgemein die Koordinaten: xν = cos ψν = cos 2ϕν ,

yν = sin ψν = sin 2ϕν .

Man best¨atigt daraufhin sofort, daß die Sehne Pn−1 Pn die Gleichung hat: (8)

x cos(ϕn + ϕn−1 ) + y sin(ϕn + ϕn−1 ) − cos(ϕn − ϕn−1 ) = 0 .

Man verstehe nun unter r die L¨ange des Lotes, das man von dem auf der negativen x-Achse gelegenen Punkte M der Koordinaten: (9)

x=−

1 − dn s , 1 + dn s

y=0

(M ) 6

auf die Sehne Pn−1 Pn f¨allen wolle. Eine bekannte elementare Regel ergiebt: r=±

1 cos(ϕn − ϕn−1 )(1 + dn s) + cos(ϕn + ϕn−1 )(1 − dn s) , 1 + dn s

also zufolge der Relation (7): r=

(10)

2 cn s , 1 + dn s

wobei man beachten wolle, daß auch der Wert cn s im vorliegenden Falle reell, positiv und im Intervall 0 < cn s < 1 gelegen ist. Das Bemerkenswerte an diesem Ergebnis ist, daß der gewonnene Wert r allein von s abh¨angt, also unabh¨angig ist von n und auch von dem gew¨ahlten Anfangswerte w0 , also von der Wahl des Anfangspunktes P0 unserer Sehnenkette. Bezeichnet man den Absolutwert der Abszisse (9) durch l, so gilt: (11)

l=

1 − dn s , 1 + dn s

l+r =

1 − dn s + 2 cn s . 1 + dn s

Da man wegen 0 < k2 < 1 die Ungleichung hat: 0 < cn s = 1 − (sn s)2 < 1 − k 2 (sn s)2 = dn s < 1 , so gilt auch noch r + l < 1. Der Kreis des Radius r um den auf der negativen x-Achse in der Entfernung l von O gelegenen Punkt M liegt also ganz innerhalb des Da k2 reell, positiv und < 1 ist und 0 < s < K gilt, so ist dn s reell, positiv und im Intervall 0 < dn s < 1 gelegen.

6

113

3.1 Ponceletsche Polygone

Kreises vom Radius 1 um O (vergl. Fig. 19). Es besteht der Satz: Unabh¨angig von der Auswahl des Anfangswertes w0 und damit des Punktes P0 sind die s¨amtlichen Sehnen der konstruierten Sehnenkette Tangenten des Kreises vom Radius r um den Punkt M . P4 Ehe die sich hieraus ergebenden FolP 1 gerungen f¨ur die Theorie der Ponceletschen Polygone gezogen werden, wolle man P −2 P0 sich u¨ berzeugen, daß durch zweckm¨assige r 2 Auswahl des Integralmoduls k und des BeM l O trages s jedes Paar positiver Werte l, r, das P3 die Ungleichung l + r < 1 befriedigt, getroffen werden kann. Man findet zun¨achst aus P2 (10) und (11): (12)

cn s =

r , 1+l

dn s =

1−l , 1+l

P−1

Fig. 19

sowie daraus weiter mit Hilfe der Relation 1 − (dn s)2 = k 2 1 − (cn s)2 f¨ur den Integralmodul: (13)

k2 =

4l . (1 + l)2 − r 2

Der letztere Wert liegt wegen l + r < 1 im Intervall 0 < k2 < 1. F¨ur den damit bestimmten Wert des Integralmoduls k 2 findet man alsdann einen und nur einen Wert s des Intervalles 0 < s < K, der die Gleichungen (12) befriedigt7 . Die Frage nach dem Auftreten Ponceletscher Polygone ist nun vom transzendenten Ansatze aus sofort zu beantworten: Gilt s : 2K = m : n, wo m und n zwei teilerfremde ganze Zahlen sind, so schließt sich unsere Sehnen-Tangenten-Kette, indem der Punkt Pn mit P0 zusammenf¨allt, und liefert ein m Male um den inneren Kreis herumlaufendes Ponceletsches Polygon von n Seiten, wo auch der Anfangspunkt P0 der Konstruktion auf dem a¨ usseren Kreise gew¨ahlt sein mag; ist aber der Quotient s : 2K irrational, so tritt kein Schluß ein. In der Tat hat man ja im ersten Falle: 2 2 xn = cn(w0 + 2mK) − sn(w0 + 2mK) = x0 , yn = 2 sn(w0 + 2mK) · cn(w0 + 2mK) = y0 , w¨ahrend im zweiten Falle die Argumente w0 , w0 + s, w0 + 2s, w0 + 3s, . . . zu immer neuen Funktionswerten cn und sn f¨uhren. 2mK Damit ein Ponceletsches Polygon von n Seiten entsteht, hat man also s = n zu setzen, womit: 2mK r = cn s = cn 1+l n Man beachte noch, daß f¨ur l = 0 auch k2 = 0, cn s = cos s = r zutrifft; es liegt dann der elementare Fall zweier konzentrischen Kreise vor.

7

114

3 Vermischte geometrische Anwendungen

einer der cn-Teilwerte des nten Teilungsgrades wird. Dieser Teilwert befriedigt die spezielle Teilungsgleichung“ der cn-Funktion des Teilungsgrades n (vergl. II, 265 ” ff.), also eine algebraische Gleichung f¨ur cn s, deren Koeffizienten rationale Funktionen von k2 sind. Tr¨agt man in diese Gleichung f¨ur cn s und k 2 ihre Ausdr¨ucke (12) und (13) in l und r ein, so entsteht eine algebraische Beziehung zwischen l und r, deren Bestehen charakteristisch f¨ur das Auftreten Ponceletscher Polygone von n Seiten ist. Mit der genaueren Untersuchung dieser Relationen hat sich A. R. Forsyth in der Abhandlung Porism of the in- and circumscribed polygon“ 8 ” besch¨aftigt, wo man die Relationen f¨ur n = 3, 4, 5, . . . , 9 wirklich entwickelt findet.

3.2 Darstellung der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid durch elliptische Funktionen. Ein abgeplattetes Umdrehungsellipsoid sei durch die Gleichung: (1)

f (x, y, z) =

1 1 1 2 2 b (x + y 2 ) + a2 z 2 − a2 b2 = 0 2 2 2

gegeben, wo a > b > 0 gelten soll. Eine auf dieser Fl¨ache verlaufende Kurve heißt eine geod¨atische Linie“, wenn in jedem ihrer Punkte ihre Hauptnormale mit der ” Fl¨achennormale zusammenf¨allt. F¨ur zwei auf einer solchen Kurve einander hinreichend nahe gew¨ahlte Punkte ist dann das zwischen ihnen verlaufende Kurvenst¨uck die k¨urzeste zwischen ihnen auf der Fl¨ache m¨ogliche Verbindung9 . Stellt man die Koordinaten x, y, z der Kurvenpunkte als Funktionen der Bogenl¨ange s der Kurve dar, so sind bekanntlich die Richtungskosinus der Hauptnormalen proportional den d2 x d2 y d2 z zweiten Ableitungen 2 , 2 , 2 , w¨ahrend andrerseits die Richtungskosinus der ds ds ds ∂f ∂f ∂f , , proportional sind. Als Differentialgleichungen f¨ur Fl¨achennormale zu ∂x ∂y ∂z eine geod¨atische Linie hat man demnach allgemein: d2 x ∂f , =τ ds2 ∂x

d2 y ∂f , =τ ds2 ∂y

d2 z ∂f , =τ ds2 ∂z

mithin im Falle unseres abgeplatteten Umdrehungsellipsoids (1): (2)

d2 x = τ b2 x , ds2

d2 y = τ b2 y , ds2

d2 z = τ a2 z , ds2

wo τ ein (von x, y, z abh¨angig zu denkender) Proportionalit¨atsfaktor ist.

8

Messenger of mathem., Reihe 2, Bd. 12, S. 100 (1882). ¨ Man vergl. z. B. L. Bianchi Vorlesungen u¨ ber Differentialgeometrie“, deutsche Ubersetzung ” von M . L u k a t (Leipzig, 1899), S. 152 ff. 9

3.2 Darstellung der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

115

Zur Orientierung auf der Fl¨ache bedienen wir uns der vom ErdP sph¨aroid hergenommenen BezeichN nungen. Es soll also der SchnittP kreis des Ellipsoids mit der x, y¨ Ebene als Aquator“ bezeichnet wer” den, der Schnittpunkt der positiven z-Achse mit der Fl¨ache als Nordβ β ” pol“ und derjenige mit der negativen O Q z-Achse als S¨udpol“. Die z-Achse ” Fig. 20 selbst heisse kurz die Achse“ der ” Umdrehungsfl¨ache. Die Meridiane“ nummerieren wir durch ihre o¨ stliche L¨ange“ ” ” λ, wobei durch die positive x-Achse der zu λ = 0 geh¨orende Anfangsmeridian“ ” gegeben ist. Die Breite“ β eines Fl¨achenpunktes P ist der spitze Neigungswinkel ” der zugeh¨origen Fl¨achennormale gegen die x, y-Ebene; β werde f¨ur das obere Halbellipsoid (dasjenige mit z > 0) positiv genommen, f¨ur das untere aber negativ. Die reduzierte Breite“ β ist nach Angabe der Fig. 20, die sich auf die Meridian” halbebene von P bezieht, zu erkl¨aren. Die z-Koordinate P Q des Punktes P ist bis zu dem mit dem Meridian konzentrischen Kreise des Radius a verl¨angert. Dann ist β der Neigungswinkel des Radius OP gegen die x, y-Ebene, wobei das Vorzeichen von β mit dem von β u¨ bereinstimme. Man hat einfach: az , tg β = b x2 + y 2 wenn x, y, z die Koordinaten von P sind und die Quadratwurzel positiv genommen wird. Andrerseits wird als Beziehung zwischen der Breite β und der reduzierten Breite β aus Fig.20 leicht die folgende abgelesen: tg β =

b tg β . a

Die Differentialgleichungen (2) der geod¨atischen Linie kann man durch elliptische Funktionen integrieren, wobei man zu Darstellungen der Koordinaten x, y, z und ebenso der Bogenl¨ange s als eindeutiger elliptischer Funktionen eines geeignet variabel zu denkenden Argumentes u hingelangt. Zun¨achst ergiebt sich aus den beiden ersten Differentialgleichungen (2):

d2 y dy dx d2 x d x 2 −y 2 = x −y =0, ds ds ds ds ds mithin durch Integration: (3)

x dy − y dx = c · ds ,

wo c eine f¨ur die einzelne geod¨atische Linie charakteristische Konstante ist. F¨ur c = 0 gelangen wir zu einer Meridiankurve des Ellipsoids (1). Sehen wir zun¨achst

116

3 Vermischte geometrische Anwendungen

von diesem einfachen Falle ab, so k¨onnen wir statt (3) auch: r dλ = c ds

schreiben, wo r = x2 + y 2 der Abstand von der Achse“ und λ die L¨ange“ ist. ” ” Jetzt ist also dλ von 0 verschieden. Rechnen wir die Bogenl¨ange so, daß s mit λ w¨achst, so ist c > 0. Ist γ der spitze (positive oder negative) Neigungswinkel von ds gegen die x, y-Ebene10 und ds die Projektion von ds auf diese Ebene, so folgt: c ds = p ds , r dλ = c ds = c = p cos γ , cos γ wenn man unter p die Lotl¨ange vom Nullpunkte auf die Tangente im Punkte (x, y) der auf die x, y-Ebene projizierten geod¨atischen Linie versteht. Nat¨urlich ist stets p a. Es folgt: Die erste f¨ur die geod¨atische Linie charakteristische Konstante c geh¨ort dem Intervall: 0ca

(4)

an, wenn wir f¨ur die von Meridiankurven verschiedenen geod¨atischen Linien s mit λ wachsend annehmen. Es l¨aßt sich nun eine Differentialgleichung zwischen z und s auf folgende Art gewinnen. In der identischen Gleichung: (x2 + y 2 )(dx2 + dy 2 ) = (x dx + y dy)2 + (x dy − y dx)2 k¨onnen wir f¨ur die beiden ersten Faktoren links und rechts nach (1) setzen: x2 + y 2 = a2 −

a2 2 z , b2

x dx + y dy = −

a2 z dz , b2

w¨ahrend man f¨ur die beiden letzten Faktoren (ds2 − dz 2 ) bezw. c2 ds2 schreiben kann. Man erh¨alt nach kurzer Zwischenrechnung die fragliche Differentialgleichung in der Gestalt: 2 b2 (a2 − c2 )b2 − a2 z 2 dz (5) . = 2 2 ds a (a − b2 )z 2 + b4 Die Bogenl¨ange s erscheint hier in z als ein elliptisches Integral darstellbar. Um aber die elliptischen Funktionen sogleich in besonders zweckm¨assiger Weise einzuf¨uhren, gehen wir den folgenden Weg: Wir berechnen die drei reellen Gr¨ossen e1 , e2 , e3 aus den Gleichungen: (6) e2 − e3 = b2 ,

10

e3 − e1 =

(a2 − b2 )(a2 − c2 ) , a2

e1 + e2 + e3 = 0 .

Das Vorzeichen von γ werde nach derselben Regel bestimmt, wie bei β und β .

117

3.2 Darstellung der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

Aus a > b, a > c folgen dann die Ungleichungen: e1 < e3 < e2 .

(7)

¨ Den Fall a = c denken wir hierbei ausgeschlossen. Uber diesen Fall gilt folgende Betrachtung: F¨ur den Achsenabstand r gilt r p c, also: r 2 = x2 + y 2 =

a2 2 b − z 2 c2 , b2

woraus sich f¨ur z berechnet: z2

(8)

b2 2 a − c2 . 2 a

¨ Im ausgeschlossenen Falle c = a ist also die geod¨atische Linie einfach der Aqua” 2 tor“, da in diesem Falle z konstant gleich 0 ist. F¨ur z folgen aus (6) und (8) die Ungleichungen: 0

(9)

a 2 − b2 2 z e3 − e1 . b2

Die drei reellen Gr¨ossen e verschwindender Summe haben zufolge (7) die in I, 173 vereinbarte Anordnung. Wir f¨uhren das zugeh¨orige Integral erster Gattung u ein, dem das primitive Periodenpaar ω1 , ω2 zugeh¨ore; ω2 ist positiv reell und ω1 positiv imagin¨ar. Das Periodenrechteck und die Ebene von Z = ℘(u) sind schematisch in Fig. 21 dargestellt, wobei die beiden schraffierten Teilrechtecke der positiven Z-Halbebene in bekannter Weise entsprechen. Schreiben wir: (10)

a2 − b2 2 z = e3 − ℘(u) , b2

ω1

1111 0000 0000 1111 0000 1111 u Ebene 0000 1111 0000 1111 0000 u 0 1111 0000 1111 0000( e ) 1111 0000 1111 3 00000 11111 0000 1111 00000 11111 ( e1 ) 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000ω2 11111 0 Z Ebene

1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 e e e 1

3

2

2

so wird sich z in dem f¨ur uns vorgeschriebenen Intervalle (9) bewegen, falls u die in Fig.21 stark Fig. 21 ausgezogene Mittellinie des Parallelogramms und ihre Verl¨angerung beschreibt; wir haben n¨amlich ein reelles und zufolge (9) dem Intervalle: (11)

e1 ℘(u) e3

angeh¨orendes ℘(u). Die weiterhin zu l¨osende Aufgabe soll nun sein, indem wir u zur unabh¨angigen Variablen machen, die Koordinaten x, y, z der Punkte der geod¨atischen Linie und ihre Bogenl¨ange als Funktionen von u darzustellen, wobei die geod¨atische Linie als Abbild der in Fig. 21 stark ausgezogenen Geraden erscheint.

118

3 Vermischte geometrische Anwendungen

F¨uhrt man in (5) rechts f¨ur z 2 seinen aus (10) folgenden Ausdruck in u ein, so nimmt die Differentialgleichung (5) die Gestalt an: dz 2 ds

=

℘(u) − e1 b2 . a2 − b2 e2 − ℘(u)

Andrerseits folgt aus (10), wenn man nach s differenziert, sodann quadriert und z 2 nach (10) durch u ausdr¨uckt:

so daß man:

dz ds

2 =

b2 ℘ (u)2 a2 − b2 4 e3 − ℘(u)

℘ (u)2 ℘(u) − e1 = e2 − ℘(u) 4 e3 − ℘(u)

du ds

du ds

2 ,

2

findet. Wegen der zwischen ℘(u) und ℘ (u) bestehenden Relation folgt f¨ur das Bogendifferential ds: (12) ds = e2 − ℘(u) du , wenn wir den Bogen s mit wachsendem reellen Bestandteil von u selbst als wachsend annehmen. Rechnet man die Bogenl¨ange s von dem u = ω21 entsprechenden Punkte der geod¨atischen Linie an, so folgt aus der letzten Gleichung: Die Bogenl¨ange s der geod¨atischen Linie stellt sich in u verm¨oge des Weierstraßschen Integrals zweiter Gattung ζ(u) so dar: (13)

1 1 s = ζ(u) + e2 u − η1 − e2 ω1 . 2 2

Zur Berechnung von z als Funktion von u hat man an die Gleichung (2) in I, 383 anzukn¨upfen; man findet:

⎞2 ⎛ ω1 + ω2 σ u + ⎜ ⎟ b2 b2 2 −(η1 +η2 )u ⎜ ⎟ .

z2 = 2 − ℘(u) = − e e 3 ⎝ ω 1 + ω2 ⎠ a − b2 a 2 − b2 σ(u) σ 2 Hieraus folgt: Die Darstellung der Koordinate z f¨ur die Punkte der geod¨atischen Linie als eindeutige Funktion von u ist geleistet durch:

ω1 + ω2 σ u+ 1 ib 2

. (14) z= √ e− 2 (η1 +η2 )u 2 2 ω 1 + ω2 a −b σ(u) σ 2 Es ist hier u¨ ber das Vorzeichen beim Quadratwurzelziehen verf¨ugt. Wie sich bald zeigen wird, entspricht dem Anfangswerte ω21 des Argumentes u ein positiver Anfangswert z.

3.2 Darstellung der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

119

Zur Berechnung von x und y f¨uhren wir einen gewissen auf der imagin¨aren u-Achse zwischen ω21 und ω1 gelegenen Hilfspunkt u0 ein. L¨asst man in (10) das Argument u von ω21 an diesen Teil der imagin¨aren Achse durchlaufen, so w¨achst z 2 2 von dem unter b2 liegenden Anfangswerte ab 2 (a2 − c2 ) bis +∞. Es giebt hier also ein bestimmtes Argument u0 , f¨ur welches z 2 = b2 wird und damit die Gleichung: a2 − b2 = e3 − ℘(u0 )

(15)

zutrifft. Wir notieren unter Gebrauch dieses Hilfspunktes u0 folgende Darstellung von a2 , b2 und c2 : e1 − ℘(u0 ) e2 − ℘(u0 ) 2 2 2 . (16) a = e2 − ℘(u0 ) , b = e2 − e3 , c = e3 − ℘(u0 ) Die letzte Gleichung kann man nach Erweiterung der rechten Seite mit e3 −℘(u0 ) und Multiplikation mit −4 unter Einf¨uhrung der ℘ -Funktion auch so schreiben: (2ic)2 =

℘ (u0 ) ℘(u0 ) − e3

2 .

Da c > 0 gilt, gelangt man durch Ausziehen der Quadratwurzel zu folgender Gleichung zwischen c und u0 : 2ic =

(17)

℘ (u0 ) ; ℘(u0 ) − e3

denn bei der Lage des Hilfspunktes u0 ist ℘ (u0 ) negativ imagin¨ar und ℘(u0 ) reell und < e3 . An Stelle von c kann man demnach auch u0 als erste Integrationskonstante benutzen. Zur Berechnung von x und y entnehmen wir zun¨achst aus (10), (15) und (16): (18)

x2 + y 2 =

e2 − ℘(u0 ) a2 2 2 ℘(u) − ℘(u b = − z ) . 0 b2 e3 − ℘(u0 )

Andrerseits finden wir mit Benutzung von (3): d log

2i(x dy − y dx) x + iy 2ic = = 2 ds , x − iy x2 + y 2 x + y2

also wegen (17), (18) und (12): (19)

x + iy ℘ (u0 ) ℘(u) − e2 d log = · . du x − iy e2 − ℘(u0 ) ℘(u) − ℘(u0 )

Man hat hier rechts bei beliebig variablem u eine zweiwertige doppeltperiodische Funktion mit zwei einfachen Polen bei u0 und −u0 , die sich nach (6) in I, 206 mittels des Normalintegrals zweiter Gattung in der Gestalt:

120

3 Vermischte geometrische Anwendungen

d x + iy log = A0 + A1 ζ(u − u0 ) − A1 ζ(u + u0 ) du x − iy mit von u unabh¨angigen Koeffizienten darstellen l¨aßt. F¨ur lim u = u0 gilt ℘(u) − ℘(u0 ) = ℘ (u0 )(u − u0 ); also findet man wegen des Anfangsgliedes der Entwicklung von ζ(u − u0 ) nach Potenzen von (u − u0 ) f¨ur A1 den Wert −1. Da unω2 verschwindet, ist ihre fertige sere doppeltperiodische Funktion weiter f¨ur u = 2 Darstellung durch das Normalintegral zweiter Gattung: d x + iy ω2 log = ζ(u + u0 ) − ζ(u − u0 ) − 2ζ u0 − − η2 , du x − iy 2 wie man mit R¨ucksicht auf das Periodenverhalten (4) in I, 196 des Normalintegrals ζ erkennt. Nun folgt andrerseits aus (18) und den Formeln (1) und (2) in I, 202: ℘ (u) d log (x + iy)(x − iy) = = ζ(u + u0 ) + ζ(u − u0 ) − 2ζ(u) . du ℘(u) − ℘(u0 ) Durch Addition und Subtraktion der beiden letzten Gleichungen gelangen wir f¨ur die Berechnung von x und y als Funktionen von u zu den Differentialgleichungen: d log(x + iy) = ζ(u + u0 ) − ζ(u) − ζ u0 − du d log(x − iy) = ζ(u − u0 ) − ζ(u) + ζ u0 − du

ω2 − 2 ω2 + 2

η2 , 2 η2 . 2

Durch Integration und Berechnung von (x ± iy) aus log(x ± iy) gelangt man f¨ur (x ± iy) zu Ausdr¨ucken, die man in die Gestalten kleiden kann:

(20)

⎧ σ(u + u0 ) −u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ 2 2 ⎪ x + iy = c e , 1 ⎨ σ(u)σ(u0 ) ⎪ σ(u − u0 ) +u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ ⎩ x − iy = c2 2 2 , e σ(u)σ(u0 )

wo c1 und c2 zwei von u unabh¨angige Gr¨ossen sind. Das Produkt der beiden noch zu bestimmenden Gr¨ossen c1 , c2 ist sofort angebbar. Man folgert aus (20) mit Benutzung von (14) in I, 217: x2 + y 2 = c1 c2

σ(u + u0 ) σ(u − u0 ) = −c1 c2 ℘(u) − ℘(u0 ) σ(u)2 σ(u0 )2

und also wegen (18), (16) und (15): (21)

c1 c2 = −

a2 e2 − ℘(u0 ) =− 2 . e3 − ℘(u0 ) a − b2

3.2 Darstellung der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

121

Weiter beachte man, daß f¨ur unsere geod¨atische Linie nur die Argumente u = u + ω21 mit reellen Werten u zur Benutzung kommen. Diese Argumente u m¨ussen gleiche Absolutbetr¨age |x ± iy| liefern, woraus wir f¨ur den Absolutbetrag des Quotienten der c folgern: c1 σ(u − u0 ) 2uζ (u0 − ω2 )+ η2 . 2 2 (22) c2 = σ(u + u0 ) · e Der erste Faktor rechts l¨aßt sich so umgestalten: Aus der ersten Formel (7) in I, 209 folgt bei Benutzung des eben erkl¨arten reellen Argumentes u : ω1 ω1 − u0 = −eη1 (u −u0 ) σ u − − u0 . σ u + 2 2 ω Nun ist 21 + u0 rein imagin¨ar und u reell. Bei dem vorliegenden rechteckigen Periodenparallelogramm sind also die beiden Werte: ω1 ω1 σ u − − u0 , + u0 σ u + 2 2 konjugiert komplex, mithin von gleichem absoluten Betrage. Da u¨ berdies η1 rein imagin¨ar ist11 , so finden wir wegen des reellen u aus der letzten Gleichung nach Wiedereinf¨uhrung von u: σ(u − u0 ) = e−η1 u0 · σ(u + u0 ) , woraus sich der erste Faktor in (22) rechts bestimmt: σ(u − u0 ) −η1 u0 . σ(u + u0 ) = e Wegen des zweiten Faktors in (22) rechts folgere man aus (4) in I, 196 f¨ur das Integral zweiter Gattung: ω2 1 ω2 1 + η2 = −ζ −u0 − − η2 ζ u0 − 2 2 2 2 oder, da f¨ur unser rein imagin¨ares u0 an Stelle von −u0 auch der zu u0 konjugierte Wert u0 geschrieben werden kann:

ω2 1 ω2 1 + η2 = − ζ u0 − + η2 . ζ u0 − 2 2 2 2 Die Koeffizienten der Potenzreihe (2) in I, 201 des Integrals zweiter Gattung sind in unserem Falle reell. In der letzten Gleichung steht also links ein Ausdruck, der als einzigen nicht reellen Bestandteil u0 enth¨alt, und der in seinen entgegengesetzten Wert u¨ bergeht, falls man u0 durch u0 ersetzt. Also hat dieser Ausdruck rein Wir haben rein imagin¨ares ω1 und reelles ω2 , mithin nach (15) in I, 271 ein reelles η2 und also nach (6) in I, 160 ein rein imagin¨ares η1 . 11

122

3 Vermischte geometrische Anwendungen

imagin¨aren Wert. Da u = u + ω21 mit reellem u gilt, so folgt f¨ur den zweiten Faktor in (22) rechts: η ω 2u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ω ζ u − 2 + 2 e 2 2 =e 1 ( 0 2 ) 2 . Unter Zusammenfassung beider Ergebnisse finden wir somit: η2 ω2 c1 = e−η1 u0 +ω1 ζ (u0 − 2 )+ 2 . c2 Aus dieser Gleichung und der Gleichung (21) berechnet man f¨ur die c1 , c2 die Ausdr¨ucke: η1 u0 ω1 η2 ω2 aeθi c1 = + √ e− 2 + 2 ζ (u0 − 2 )+ 2 , a 2 − b2 η1 u0 ω1 η2 ω2 ae−θi c2 = − √ e+ 2 − 2 ζ (u0 − 2 )+ 2 , a 2 − b2 wo die Quadratwurzel positiv genommen werden mag und θ als reeller Winkel willk¨urlich w¨ahlbar ist. Durch Eintragen dieser Ausdr¨ucke von c1 und c2 in die Gleichungen (20) gelangen wir zum Ziele: Die Koordinaten x, y der Punkte unserer geod¨atischen Linie berechnen sich als Funktionen von u aus: ⎧ θi σ(u + u0 ) − η1 u0 − u− ω1 ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ ⎪ x + iy = + √ ae 2 2 2 2 , e ⎪ ⎨ a2 − b2 σ(u)σ(u0 ) (23) ⎪ ae−θi σ(u − u0 ) + η1 u0 + u− ω1 ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ ⎪ 2 2 2 , ⎩ x − iy = − √ e 2 a2 − b2 σ(u)σ(u0 ) wo θ neben u0 als Integrationskonstante auftritt. Statt u0 kann, wie schon bemerkt, auch c als erste Integrationskonstante benutzt werden. In (23), (14) und (13) ist die Darstellung der Koordinaten der Punkte unserer geod¨atischen Linie, sowie ihrer Bogenl¨ange s als eindeutiger elliptischer Funktionen des Argumentes u, d. h. des reellen Argumentes u = u − ω21 gewonnen.

3.3 Verlauf der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid. Von den beiden Integrationskonstanten c und θ ist die zweite ohne wesentliche Bedeutung. Von θ h¨angen nur x und y, aber nicht z ab. Man erkennt aus (23) in 3.2, ¨ daß eine Anderung von θ nur eine Drehung der geod¨atischen Linie um die Achse“ ” zur Folge hat, ohne daß sich ihre Gestalt a¨ ndert. Die Gestalt der geod¨atischen Linie h¨angt demnach allein von c ab, und wir d¨urfen zur n¨aheren Diskussion θ speziell π w¨ahlen, z. B. gleich setzen, was geschehen soll. Wir f¨uhren ausserdem die reelle 2

123

3.3 Verlauf der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

Variable u = u − ω21 wieder ein und ziehen neben der Funktion σ(u) auch die drei geraden σ-Funktionen zweiter Stufe σk (u) heran, die mit der urspr¨unglichen σ-Funktion durch die Gleichungen: 1 ωk σk (u) = −e+ 2 ηk u σ u − , 2 2 ω 1 ωk k σk (u) = +e− 2 ηk u σ u + σ 2 2 σ

ω k

k = 1, 2, 3

zusammenh¨angen (vergl. I, 384); hierbei gilt: ω3 = −ω1 − ω2 ,

η3 = −η1 − η2 .

Es rechnen sich nun zun¨achst die beiden Ausdr¨ucke (23) aus 3.2 f¨ur (x ± iy) π nach Eintragung von θ = und Gebrauch der σ1 -Funktion um in: 2 ⎧ σ1 (u + u0 ) −u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ai ⎪ ⎪ 2 2 , √ e x + iy = ⎪ ⎨ a2 − b2 σ1 (u )σ(u0 ) (1) ⎪ σ1 (u − u0 ) +u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ai ⎪ ⎪ 2 2 √ e , ⎩ x − iy = a2 − b2 σ1 (u )σ(u0 ) w¨ahrend sich der Ausdruck (14) aus 3.2 f¨ur z unter Beibehaltung des Argumentes u vermittels der Funktionen σ(u) und σ3 (u) einfach so darstellt: z=√

(2)

σ3 (u) bi . a2 − b2 σ(u)

ω1 werden die beiden Ausdr¨ucke in (1) rechts einander gleich, F¨ur u = 0, u = 2 so daß y = 0 gilt und also der zugeh¨orige Punkt der geod¨atischen Linie in der x, zEbene und damit auf dem Anfangsmeridian liegt. Andrerseits nimmt z 2 zufolge (10) in 3.2 hier seinen Maximalwert: z2 =

a2

b2 b2 (e3 − e1 ) = 2 (a2 − c2 ) 2 −b a

an. Dabei wird z positiv:

b 2 a − c2 , a wie aus (2) folgt; denn aus den Formeln von I, 405 liest man leicht ω ab, daß bei dem 1 vorliegenden Werte des Periodenverh¨ a ltnisses ω der Wert σ positiv reell und 3 2 ω 1 der Wert σ 2 positiv imagin¨ar ist. Der Verlauf der geod¨atischen Linie von ihrem auf dem Anfangsmeridian gelegeb√ 2 nen h¨ochsten Punkte der Koordinaten x = c, y = 0, z = a − c2 aus wird nun a durch folgende Angaben festgestellt. Bei dem Zeichenwechsel von u werden die beiden rechten Seiten der Gleichungen (1) ausgetauscht, so daß x erhalten bleibt, z=+

124

3 Vermischte geometrische Anwendungen

w¨ahrend y das Zeichen wechselt. Auch z bleibt unver¨andert, wie aus der leicht gewinnbaren Darstellung12 : 1 1 1 σ ω22 σ (u ) bi ω1 η1 − ω1 η2 + ω2 η1 4 2 ω ω 2 e4 (3) z=√ σ 21 σ 23 σ1 (u ) a 2 − b2 hervorgeht. Die ausgew¨ahlte geod¨atische Linie verl¨auft somit symmetrisch zur Anfangsmeridianebene. L¨aßt man weiter u und damit u um ω2 wachsen, so ergiebt sich aus den Regeln (5) und (6) in I, 384, daß z einfach einen Zeichenwechsel erf¨ahrt. Die Koordinaten x, y aber gehen in x , y u¨ ber, wobei: (4)

x + iy = eiψ (x + iy)

ist, unter ψ den folgenden reellen Winkel verstanden:

ω2 η 2 + . (5) ψ = −iu0 · η2 + ω2 · i ζ u0 − 2 2 Der Vermehrung von u um ω2 entspricht also eine Transformation der geod¨atischen Linie in sich, bei der diese Linie um die Achse“ durch den Winkel ψ gedreht und ” ω2 zugleich an der x, y-Ebene gespiegelt wird. Bei u = erreicht die geod¨atische 2 Linie zum ersten Male die x, y-Ebene. Die geod¨atische Linie zeigt hiernach auf dem Umdrehungsellipsoid einen periodischen Verlauf a¨ hnlich wie eine Sinuslinie, oder besser wie die Kosinuslinie, wobei der Periode 2π der letzteren die L¨ange“ λ = 2ψ als Periode der geod¨atischen ” Linie entspricht. H¨ochste Punkte der geod¨atischen Linie liegen auf den Meridianen der L¨angen λ = 0, ±2ψ, ±4ψ, ±6ψ, . . . , tiefste Punkte bei denen der ¨ L¨angen λ = ±ψ, ±3ψ, ±5ψ, . . . , w¨ahrend die Schnittstellen mit dem Aquator 1 3 5 die L¨angen ± 2 ψ, ± 2 ψ, ± 2 ψ, . . . haben. Die geod¨atische Linie schließt sich nach endlich vielen Wellenz¨ugen stets und nur dann, wenn ψ zu π in einem rationalen Verh¨altnis steht. Aber auch in dem letzteren Falle eines gegen π rationalen ψ ist die geod¨atische Linie keine algebraische Kurve, wenn man nur von den beiden ele¨ mentaren F¨allen des Aquators und eines Meridians absieht, die den Werten c = a und c = 0 der Integrationskonstanten entsprechen. Die in (23) aus 3.2 gegebene eindeutige Funktion (x+iy) von u hat jetzt zwar die Periode m2 ω2 mit einer gewissen ganzen Zahl m2 . Sie muß aber auch, wenn sie mit z also mit ℘(u) algebraisch zusammenh¨angen soll, eine Periode m1 ω1 mit ganzer Zahl m1 haben. Daraus folgt bei der Bauart der rechten Seite der ersten Gleichung (23) aus 3.2, daß: η2 ω2 em1 η1 u0 −m1 ω1 ζ (u0 − 2 )+ 2 = 1 sein muß, und da der Exponent reell ist, auch:

12

Zufolge der Legendreschen Relation ` ´ (s. I, 160) kann der Exponentialfaktor in (3) vereinfacht werden zu (−1) exp 14 (η1 + η2 ) ω1 . [Anm. d. Hrsg.]

125

3.3 Verlauf der geod¨atischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

ω2 η2 + η1 u0 = ω1 ζ u0 − 2 2 gelten muß. Nun ist diese Gleichung zwar f¨ur u0 = ω21 erf¨ullt, was wieder zum Meridian zur¨uckf¨uhrt; sie besteht aber nicht f¨ur irgend ein weiteres rein imagin¨ares u0 zwischen ω21 und ω1 ,13 womit die Behauptung bewiesen ist. Unter dem Azimut“ α der geod¨atischen Linie in einem ihrer Punkte (x, y, z) ” versteht man den konkaven Winkel, den die in Richtung wachsender Bogenl¨ange genommene Tangente gegen den nach dem Nordpole gerichteten Meridian bildet. Dieser Winkel ist stumpf bei abnehmendem z und spitz bei zunehmendem. Der Sinus des Azimuts α ist gleich dem Kosinus des Winkels δ zwischen der wie bezeichnet gerichteten Tangente und dem in Richtung wachsender L¨ange λ genommenen dx dy dz Parallelkreise. Die Richtungskosinus der Tangente sind , , , diejenigen des ds ds ds y x Parallelkreises aber − , , 0. Man findet demnach: x2 + y 2 x2 + y 2 dx dy x y + sin α = − 2 2 2 2 ds x +y x + y ds und gelangt mit Benutzung von (3) aus 3.2 zu dem Satze: F¨ur das Azimut α der geod¨atischen Linie im Punkte (x, y, z) gilt die Gleichung: c bc sin α = = √ . 2 2 a b2 − z 2 x +y

(6)

¨ Insbesondere wird der Aquator von der geod¨atischen Linie unter dem Winkel δ = arccos ac geschnitten. F¨ur das Erdsph¨aroid hat man angen¨ahert a : b = 293 : 292. Etwas genauer gilt, ¨ falls man den Radius a des Aquators als L¨angeneinheit w¨ahlt, f¨ur die halbe Erdachse b und das Quadrat der Exzentrizit¨at ε eines Meridians: b = 0, 996639 . . . ,

ε2 = 0, 006710 . . . .

Die Beziehung zwischen der Breite β und der reduzierten Breite β des einzelnen Punktes der Erdoberfl¨ache ist nach S. 115 angen¨ahert: tg β = 0, 996639 · tg β , ¨ so daß zwischen Aquator und Pol die reduzierte Breite β absolut immer etwas kleiner ausf¨allt als die Breite β . 13

Es besteht n¨amlich die Gleichung: d du

„

„

η2 ω2 η1 u− −ζ u− ω1 2 2

««

deren rechte Seite f¨ur die rein imagin¨aren u zwischen

„

=

η1 ω2 +℘ u− ω1 2

«

,

ω1 und ω1 reell und positiv ist. 2

126

3 Vermischte geometrische Anwendungen

Die einzelne geod¨atische Linie ist durch einen ihrer h¨ochsten Punkte eindeutig gegeben. Die reduzierte Breite dieses h¨ochsten Punktes sei β0 ; vom Meridian dieses h¨ochsten Punktes ab messen wir wieder die o¨ stliche L¨ange λ. Die Konstante c und die Differenzen der e1 , e2 , e3 f¨ur die geod¨atische Linie berechnen sich aus β0 und der Exzentrizit¨at ε so: c = cos β0 ,

e2 −e3 = 1−ε2 ,

e3 −e1 = ε2 sin2 β0 ,

e2 −e1 = 1−ε2 cos2 β0 ,

woraus sich f¨ur die e selbst die Ausdr¨ucke finden: e1 = − 13 − 13 ε2 1 − 2 cos2 β0 , e2 = + 23 − 13 ε2 1 + cos2 β0 , e3 = − 13 + 13 ε2 2 − cos2 β0 . F¨ur den Integralmodul k 2 finden wir: k2 =

e3 − e1 ε2 sin2 β0 = e2 − e1 1 − ε2 cos2 β0

und ziehen die Folgerungen: k 2 < ε2 ,

k 2 < 0, 006710 . . . .

Man hat also hier stets Werte von k2 und der Entwicklungsgr¨osse q, f¨ur die die Reihenentwicklungen der elliptischen Funktionen sehr gut konvergieren. Zur Berechnung der Hilfsgr¨osse u0 dienen die Gleichungen: e1 ω1 dt 2 2 +i ℘(u0 ) = e1 − ε cos β0 , u0 = , 2 ℘(u0 ) 2 (e1 − t)(e2 − t)(e3 − t) wo t eine reelle Integrationsvariable ist und die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Die L¨ange λ kann man in der Gestalt:

1 x + iy y log λ = arctg = x 2i x − iy darstellen. Aus den Gleichungen (1), (3) und (6) findet man f¨ur die L¨ange λ, die reduzierte Breite β und das Azimut α des einzelnen Punktes der geod¨atischen Linie in Abh¨angigkeit von der reellen Variablen u : 1 σ1 (u + u0 ) ω2 η2 + + log , λ = iu ζ u0 − 2 2 2i σ1 (u − u0 ) cos β0 σ2 (u ) sin β = sin β0 , sin α = . σ1 (u ) cos β

127

3.4 Sph¨arische Dreiecke und Additionstheorem

3.4 Sph¨arische Dreiecke und Additionstheorem. Eine beachtenswerte Beziehung zwischen der sph¨arischen Trigonometrie und den elliptischen Funktionen wurde von L a g r a n g e14 bemerkt. Diese Beziehung nimmt eine besonders einfache Gestalt an, wenn man sie an die sp¨ater von J a c o b i aufgestellten Formeln der Additionstheoreme ankn¨upft. Der Begriff des sph¨arischen Dreiecks“ wird ” hier in seiner elementaren von E u l e r begr¨undeten Gestalt vorausgesetzt15 . Irgend drei nicht in einer Ebene gelegene Kugeldurchmesser seien gegeben. Je zwei unter ihnen liefern eine Diametralebene, und die drei so entspringenden Diametralebenen der Kugel liefern drei gr¨oßte Kugelkreise, die die ganze Kugeloberfl¨ache in acht sph¨arische Dreiecke zerlegen (vergl. Fig.22). Aus den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ eines ersten dieser Dreiecke gehen diejenigen der u¨ brigen sieben Dreiecke in Fig. 22 bekannter Weise hervor. Betrachten wir z. B. die vier in Fig. 22 schraffierten Dreiecke, die ein in den sechs Ecken zusammenh¨angendes Gebilde liefern, und beziehen die Bezeichnungen a, b, c der Seiten und α, β, γ der ihnen gegen¨uberliegenden Winkel auf das vordere Dreieck, so haben die u¨ brigen drei Dreiecke dieses Gebildes bezw. die folgenden Seiten und Winkel: (1)

a, π − b, π − c; π −a, b, π −c; π − a, π − b, c;

α, π−β, π−γ, π − α, β, π−γ, π − α, π −β , γ .

Die vier in der Figur freigelassenen Dreiecke gehen aus den eben betrachteten Dreiecken durch Diametralsymmetrie“ hervor, wobei je zwei einander ” entsprechende Dreiecke dieselben Seiten und dieselben Winkel haben. Aus den Formeln und Regeln, die sich auf ein erstes unter diesen Dreiecken beziehen, sind hiernach die Formeln und Regeln f¨ur die u¨ brigen sieben Dreiecke sofort herleitbar; und es ist demgem¨aß gleichg¨ultig, mit welchem unter den acht Dreiecken wir arbeiten. Errichtet man zu den drei Diametralebenen der soeben besprochenen Figur die drei senkrechten Kugeldurchmesser, so liegen auch diese nicht in einer und derselben Ebene. Mithin kann man an sie dieselbe Konstruktion anschliessen, wie an die drei zuerst vorgelegten Durchmesser. Es entsteht die Polarfigur“ der soeben be” sprochenen Figur, wobei f¨ur ein erstes unter den acht neuen Dreiecken die Seiten 14

Im Kapitel XI der Th´eorie des fonctions analytiques“, neue Ausgabe (Paris, 1813), S. 110 ff. ” ¨ Uber die weitere Entwicklung des Begriffs sph¨arisches Dreieck“ vergl. man die f¨ur die moderne ” sph¨arische Trigonometrie grundlegende Abhandlung von E. Study Sph¨arische Trigonometrie, ” orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen“, Abhandl. der S¨achsischen Gesellschaft der Wiss., Bd. 20, S. 90 ff. (Leipzig, 1893), sowie die Darstellung bei H. W e b e r und J. Wellstein Enzyklop¨adie der Elementarmathematik“, Bd. 2, S. 340 ff. (Leipzig, 1905). ” 15

128

3 Vermischte geometrische Anwendungen

a , . . . und die Winkel α , . . . aus den obigen a, . . . und α, . . . nach der Regel16 : a = π − α , b = π − β , c = π − γ ;

α = π − a , β = π − b , γ = π − c

gewonnen werden. Hiernach u¨ bertragen sich die Formeln und Regeln der bisherigen Dreiecke auch auf solche der Dreiecke der Polarfigur a¨ usserst leicht, und wir d¨urfen sogar unter den 16 Dreiecken beider Figuren ein beliebig gew¨ahltes der n¨aheren Betrachtung zugrunde legen. Man beachte noch, daß bei dem hier benutzten Begriffe sph¨arisches Dreieck“ alle Seiten und Winkel im Innern des Intervalles von 0 bis π ” gelegen sind. Nach dem Sinussatze der sph¨arischen Trigonometrie ist nun: sin α sin β sin γ = = . sin a sin b sin c Der Fall, daß der mit k zu bezeichnende gemeinsame Wert dieser drei Quotienten gleich 1 ist, sei ausgeschlossen, weil in diesem Falle die sogleich einzuf¨uhrenden elliptischen Funktionen in trigonometrische ausarten. Wir d¨urfen dann voraussetzen, daß die Zahl k dem Intervalle 0 < k < 1 angeh¨ort, was n¨otigenfalls durch Bevorzugung der Polarfigur stets erreichbar ist. Wir notieren hiernach: (2)

sin α = k sin a ,

sin β = k sin b ,

sin γ = k sin c ,

0
Hat das ausgew¨ahlte Dreieck mindestens zwei spitze Winkel, so kommt unter den Dreiecken (1), die wir ja gerade so gut zugrunde legen k¨onnen, sicher eines vor, das mindestens zwei stumpfe Winkel hat. Es ist demnach keine Beschr¨ankung der ¨ Allgemeinheit unserer Uberlegung, wenn wir hinfort annehmen, daß weder α noch 16 An dieser Stelle gibt es eine Abweichung zwischen dem hand- und dem maschinengeschriebe¨ nen Manuskript, die einen Ubertragungsfehler nahelegt. Die oben angegebene Formelzeile aus der ¨ Handschrift ist korrekt, denn beim Ubergang zur Polarfigur sind die Rollen der Seiten und Winkel der sph¨arischen Dreiecke zu vertauschen: Zur Begr¨undung betrachten wir zwei der drei Diametralebenen, die zur oben definierten Unterteilung der Sph¨are geh¨oren. Diese Ebenen legen zwei der Winkel der sph¨arischen Dreiecke fest, etwa α und π − α. Die gleichen Winkel werden von den Normalen der Diametralebenen eingeschlossen. Verl¨angern wir diese Normalen zu Durchmessern der Kugel und betrachten den Großkreis durch die Endpunkte der Durchmesser, so sind die entsprechenden Großkreisb¨ogen gleich vier Seiten der Dreiecke der Polarfigur, und diese Seiten haben die L¨angen α bzw. π − α. Nun kann man die urspr¨ungliche Dreiecksunterteilung als die ¨ Polarfigur der Polarfigur auffassen. Daher lehrt eine Anwendung der vorangehenden Uberlegung auf die Polarfigur: Die Winkel der Polarfigur entsprechen den Seiten der urspr¨unglichen Figur. Bei passender Benennung der Daten a , b , c , α , β , γ der Polarfigur stellt sich daher der im Text angegebene Zusammenhang ein. – Diese Dualit¨at zwischen der urspr¨unglichen Figur und der Polarfigur macht Fricke sich weiter unten wie folgt zu Nutze: Die Quotienten im Sinussatz der sph¨arischen Trigonometrie sin β sin γ sin α = = sin a sin b sin c haben f¨ur alle Dreiecke der urspr¨unglichen Zerlegung den gleichen Wert k, da sin(π −α) = sin α etc. F¨ur alle Dreiecke der Polarfigur haben diese Quotienten den Wert 1/k. L¨asst man also den ¨ Sonderfall k = 1 beiseite, so kann man ggf. nach Ubergang zur Polarfigur stets erreichen, dass 0 < k < 1 ist. [Anm. d. Hrsg.]

129

3.4 Sph¨arische Dreiecke und Additionstheorem

β spitz ist. Wir notieren endlich noch die beiden vom Kosinussatze der sph¨arischen Trigonometrie gelieferten Formeln: cos c − cos γ sin a sin b = cos a cos b , (3) cos c sin α sin β − cos γ = cos α cos β . Um nun die Beziehung zu den elliptischen Funktionen herzustellen, berechnen wir f¨ur das eben erkl¨arte k und die Seiten a, b, c unseres Dreiecks die drei Integrale: (4) a b c dϕ dϕ dϕ u= , v= , w= , 2 2 2 2 0 0 0 1 − k sin ϕ 1 − k sin ϕ 1 − k 2 sin2 ϕ wo l¨angs der reellen ϕ-Achse integriert werden soll. Es sind dann u, v, w drei reelle positive Zahlen im Innern des Intervalles zwischen 0 und 2K, wo K das erste der beiden Jacobischen vollst¨andigen Integrale“ ist. Nach I, 388 findet man durch In” version von (4): (5)

a = am u ,

b = am v ,

c = am w ,

wobei k2 den Integralmodul liefert. In den zugeh¨origen Jacobischen Funktionen stellen sich hiernach die Sinus und Kosinus der Seiten unseres sph¨arischen Dreiecks so dar: sin a = sn u , sin b = sn v , sin c = sn w , (6) cos a = cn u , cos b = cn v , cos c = cn w , w¨ahrend wir f¨ur die Sinus und Kosinus der Winkel zufolge (2) die Darstellung finden: sin α = k sn u , sin β = k sn v , sin γ = k sn w , (7) cos α = − dn u , cos β = − dn v , cos γ = ∓ dn w , wo in der letzten Gleichung das untere Zeichen nur dann gilt, wenn γ ein spitzer Winkel ist. Man wolle nur beachten, daß die Funktion dn im vorliegenden Falle f¨ur reelle Argumente selbst reell und positiv ist (vergl. I, 393), und daß weder α noch β spitz ist. Man gehe nun auf die Additionstheoreme (9) in II, 166 der Jacobischen Funktionen zur¨uck, aus denen man leicht folgert: cn(u + v) + dn(u + v) sn u sn v = cn u cn v , cn(u + v) · k2 sn u sn v + dn(u + v) = dn u dn v . Mit Hilfe der Gleichungen (6) und (7) l¨aßt sich dieses Formelpaar umschreiben in:

130

3 Vermischte geometrische Anwendungen

(8)

cn(u + v) + dn(u + v) sin a sin b = cos a cos b , cn(u + v) sin α sin β + dn(u + v) = cos α cos β .

Die Analogie dieser Gleichungen zu den Gleichungen (3) ist handgreiflich. Beachtet man aber noch, daß diese Gleichungen (3), wenn sie als solche f¨ur die beiden Unbekannten cos c und − cos γ aufgefaßt werden, in unserem Falle sicher eine positive Determinante: 1 − sin a sin b sin α sin β haben17 , so ergeben sich eindeutige Werte dieser Unbekannten in den u¨ brigen Bestandteilen der Gleichungen. Daraufhin aber liefert der Vergleich von (3) und (8) sofort: (9)

cos c = cn(u + v) ,

cos γ = − dn(u + v) .

Wegen der positiven Werte von dn f¨ur reelle Argumente folgt der Satz: Das von uns ausgew¨ahlte sph¨arische Dreieck mit k < 1 hat stets drei stumpfe Winkel α, β, γ. Hiernach gilt auch in der letzten Gleichung (7) das obere Vorzeichen, und die Gleichungen (9) lassen sich auf Grund der letzten Gleichungen (6) und (7) umschreiben in: (10)

cn w = cn(u + v) ,

dn w = dn(u + v) .

Da die u, v, w reelle dem Intervalle 0 < u, v, w < 2K angeh¨orende Werte sind, so ergiebt sich aus (10), daß eine der beiden Gleichungen: u+v =w ,

u + v = 4K − w

zutreffen muß. Diese Gleichungen schliessen sich aus; denn w¨aren sie zugleich g¨ultig, so w¨urde w = 2K folgen, was nicht zutrifft. W¨urde die letzte Gleichung nicht gelten, so w¨urde eine der vorstehenden entsprechende Betrachtung, bei der an Stelle der dritten Seite c die zweite b bevorzugt wird, zum Ergebnis u + w = v f¨uhren, da doch die zweite M¨oglichkeit u + w = 4K − v ausgeschlossen ist. Aus den beiden Gleichungen u + v = w und u + w = v w¨urde dann u = 0 folgen, was gleichfalls ausgeschlossen ist. Es ergiebt sich der Satz: F¨ur unser ausgew¨ahltes sph¨arisches Dreieck mit k < 1 gilt f¨ur die transzendenten Argumente u, v, w, also f¨ur die drei Integrale (4) stets die Relation: (11)

u + v + w = 4K .

Die Formeln der sph¨arischen Trigonometrie k¨onnen damit als Ausdrucksformen der Additionstheoreme der elliptischen Funktionen gelten.

17

Das Verschwinden der Determinante h¨atte den ausgeschlossenen Fall k = 1 zur Folge.

Abschnitt II

Arithmetische Anwendungen der elliptischen Funktionen.

Kapitel 4

Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen.

4.1 Die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen. Das in II, 184 behandelte Problem der Multiplikation“ der elliptischen Funktionen ” l¨aßt sich in folgender Art noch allgemeiner fassen, als es dort geschehen ist: F¨ur welche reellen oder komplexen Multiplikatoren μ ist ℘(μu) eine rationale Funktion von ℘(u)? Da ℘(u) eine gerade Funktion ihres Argumentes ist, so ist hierf¨ur die notwendige und hinreichende Bedingung, daß ℘(μu) als Funktion von u die Perioden ω1 und ω2 hat: ℘(u + μω1 ) = ℘(u ) , ℘(u + μω2 ) = ℘(u ) , wo zur Abk¨urzung μu = u gesetzt ist. Diese beiden Gleichungen bestehen stets und nur dann, wenn die beiden Bedingungen: (1)

μω1 = aω1 + bω2 ,

μω2 = cω1 + dω2

mit irgend vier ganzen Zahlen a, b, c, d erf¨ullt sind. Dividiert man durch ω2 , so folgt: (2)

μω = aω + b ,

μ = cω + d ,

sowie bei Elimination von μ: (3)

cω 2 + (d − a)ω − b = 0 .

Gilt der Periodenquotient ω als variabel, so ist diese Gleichung in rationalen ganzen Zahlen a, b, c, d nur durch die Annahme: a=d,

b=0,

c=0

erf¨ullbar. Aus (2) folgt μ = a = d, so daß auch μ eine rationale ganze Zahl ist. Wir kommen damit zur¨uck auf die in II, 184 ff. behandelte Multiplikation der elliptischen Funktionen. R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

133

134

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Eine neue L¨osung unseres Problems besteht nur noch f¨ur solche besondere oder wie man sagt singul¨are“ ω, die ganzzahligen quadratischen Gleichungen (3) ” von negativer Diskriminante gen¨ugen. Um diese M¨oglichkeit allgemein zu entwickeln, gehen wir auf die in II, 137 ff. behandelte Theorie der ganzzahligen bin¨aren quadratischen Formen zur¨uck und verstehen unter (A, B, C) irgend eine urspr¨ungliche1 positive Form der negativen Diskriminante: D = B 2 − 4AC .

(4)

Wir versuchen eine L¨osung unseres Problems f¨ur das vom Nullpunkte“: ” √ −B + D (5) ω= 2A √ unserer Form gelieferte singul¨are ω zu finden. Dieser Wert ω geh¨ort, wenn wir D positiv imagin¨ar nehmen, der positiven ω-Halbebene an und gen¨ugt der quadratischen Gleichung: Aω 2 + Bω + C = 0 .

(6)

Durch Vergleich mit (3) finden wir f¨ur a, b, c, d den Ansatz: d − a = τB ,

c = τA ,

(7)

b = −τ C ,

wo τ (da A, B, C ohne gemeinsamen Teiler sind) irgend eine ganze rationale Zahl ist. Verstehen wir unter σ die ganze Zahl (a + d), so stellen sich die a, b, c, d mit Hilfe zweier ganzer Zahlen σ und τ in den Koeffizienten der zugrunde gelegten quadratischen Form so dar: (8)

a=

σ − τB , 2

d=

σ + τB , 2

b = −τ C ,

c = τA .

Die beiden ganzen Zahlen σ und τ haben nur der einen Bedingung zu gen¨ugen, daß σ ≡ τ B (mod 2) sein muß, wof¨ur wir, da B ≡ D (mod 2) gilt, auch schreiben k¨onnen: (9)

σ ≡ Dτ (mod 2) .

F¨ur die Determinante n der vier ganzen Zahlen a, b, c, d findet sich aus (8) und (4) die Darstellung: (10)

n = ad − bc =

σ 2 − Dτ 2 . 4

Da D negativ und entweder ≡ 1 oder ≡ 0 (mod 4) ist, so ist n eine ganze positive Zahl. 1

Im Anschluß an Dirichlet–D e d e k i n d, Vorlesungen u¨ ber Zahlentheorie“, 4. Aufl., S. 148 ” nennt Fricke eine ganzzahlige bin¨are quadratische Form mit teilerfremden Koeffizienten ur” spr¨unglich“. In neuerer Terminologie heißen diese Formen primitiv“. [Anm. d. Hrsg.] ”

135

4.1 Die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen

F¨ur den Multiplikator μ selbst ergiebt sich nun aus (2) die Darstellung: √ σ+τ D , μ2 − σμ + n = 0 , (11) μ= 2 √ so daß μ eine ganze komplexe Zahl des zu D geh¨orenden imagin¨aren quadratischen K¨orpers ist. F¨ur das so bestimmte μ sind dann auch tats¨achlich die Gleichungen (1) stets erf¨ullt. Insofern μ komplex ist, spricht man von einer komplexen ” Multiplikation“ der elliptischen Funktionen. Man giebt dem Resultat die Gestalt: F¨ur jedes Periodenpaar mit singul¨arem wie oben von einer urspr¨unglichen positiven quadratischen Form (A, B, C) negativer Diskriminante D gelieferten Quotienten ω findet die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen √ statt, wobei als Multiplikator μ jede ganze Zahl (11) des durch Adjunktion von D zum rationalen K¨orper entstehenden imagin¨aren quadratischen K¨orpers brauchbar ist2 . ¨ Uber die Berechnung von ℘(μu) als rationale Funktion von ℘(u) gelten folgende Bemerkungen: Ist μ die zu μ konjugierte ganze Zahl, so ist zufolge (10) die Norm N (μ) von μ: σ 2 − Dτ 2 (12) N (μ) = μμ = =n. 4 Da nun die ℘-Funktion in ihren drei Argumenten u, ω1 , ω2 homogen von der Dimension (−2) ist, so gilt: ℘ μu | ω1 , ω2 = μ2 ℘ nu | μω1 , μω2 = μ2 ℘ nu | (σ − μ)ω1 , (σ − μ)ω2 . Ersetzt man μω1 und μω2 nach (1) und ber¨ucksichtigt, daß σ = a + d ist, so folgt weiter: (13) ℘ μu | ω1 , ω2 = μ2 ℘ nu | dω1 − bω2 , −cω1 + aω2 . Hieraus geht hervor, daß man bei der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen gar nicht mit einem neuen Problem zu tun hat, sondern nur mit der reellen Multiplikation“ des Multiplikators n im Verein mit einer Transformation ” ten n Grades im Sinne von II, 274 ff.3 2

Die M¨oglichkeit der komplexen Multiplikation wurde von A b e l 1828 entdeckt. Man vergl. dar¨uber die Abhandlungen Recherches sur les fonctions elliptiques“, Journ. f. Math., Bd. 3, ” § X und Solution d’un probl`eme g´en´eral concernant la transformation des fonctions elliptiques“, ” Astronom. Nachrichten, Bd. 6, Nr. 138, am Schlusse. 3 Ist μ eine von ±1 verschiedene, also komplexe Einheit des quadratischen Zahlk¨orpers, so ist D entweder gleich −3 oder gleich −4, da in den u¨ brigen imagin¨aren quadratischen K¨orpern stets nur die Einheiten ±1 auftreten. F¨ur√ D = −3 hat man die vier komplexen Einheiten: ±ρ, ±ρ2 , wo ρ −1+i 3 die dritte Einheitswurzel ist; f¨ur D = −4 sind ±i die komplexen Einheiten. In einem 2 solchen Falle gen¨ugen die vier ganzen Zahlen a, b, c, d der Gleichung ad − bc = 1, und man hat statt der Formel (13) des Textes einfacher: `

´

`

´

℘ μu | ω1 , ω2 = μ2 ℘ u | ω1 , ω2 . Diese Gleichung ist aber bereits aus der Reihenentwicklung (1) in I, 200 der ℘-Funktion unmittelbar einleuchtend; denn im Falle D = −3 verschwindet g2 , im Falle D = −4 aber g3 .

136

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Dieses Sachverh¨altnis ist geeignet, den Wert der Abelschen Entdeckung, insofern sie sich auf die komplexe Multiplikation als solche bezieht, herabzudr¨ucken. In der Tat liegt aber auch gar nicht hierin die Bedeutung der Abelschen Erkenntnis. Sie ist vielmehr enthalten in einer Bemerkung, die Abel u¨ ber die Werte des Integralmoduls f¨ur solche Periodenverh¨altnisse ω macht, bei denen komplexe Multiplikation stattfindet. A b e l spricht den Satz aus: Toutes ces valeurs sont exprimables par des ra” dicaux“. Diese Behauptung ist v¨ollig allgemein, aber ohne Beweis aufgestellt. Eine u¨ ber viele Jahrzehnte sich erstreckende Entwicklung, die zu den interessantesten Teilen der Algebra geh¨ort, hat die Abelsche Behauptung best¨atigt. Man darf als sicher annehmen, daß es sich hier bei Abel um einen Hellblick des Genies gehandelt hat, aber nicht um eine einwandfrei bewiesene Erkenntnis.

4.2 Einfuhrung ¨ der Klasseninvarianten und der Klassengleichung. An Stelle des Integralmoduls k 2 (ω) lassen wir die Modulfunktion erster Stufe J(ω), also die absolute rationale Invariante“ der biquadratischen Verzweigungsform des ” elliptischen Gebildes treten. Haben wir jetzt irgend eines unserer singul¨aren ω, so liefere dasselbe den in der positiven ω-Halbebene gelegenen Nullpunkt einer urspr¨unglichen positiven quadratischen Form, deren Koeffizienten wir zun¨achst wieder wie in II, 137 ff. durch a, b, c bezeichnen. Die Form selbst deuten wir wie damals durch das Symbol (a, b, c) an und haben in D = b2 − 4ac ihre Diskrimi” nante“, die eine negative ganze, mod 4 mit 0 oder 1 kongruente Zahl ist. Die Formen der durch (a, b, c) repr¨asentierten Formklasse F (vergl. II, 138) liefern die gesamten mit dem singul¨aren“: √ ” −b + i |D| −b + D (1) ω= = 2a 2a a¨ quivalenten Werte des Periodenquotienten. F¨ur alle diese ω hat J einen und denselben Wert: √ −b + D , (2) JF = J 2a der als die Invariante der Klasse F“ oder kurz als Klasseninvariante“ bezeichnet ” ” wird. Es ist u¨ brigens zweckm¨assig, daß wir nach dem Vorgang von H. W e b e r der Funktion J(ω) noch den Faktor 123 = 1728 hinzuf¨ugen und also mit: (3)

j(ω) = 123 J(ω)

arbeiten, wie auch schon in II, 344 geschehen ist. In dieser Gestalt ist die Invariante ” der Klasse F“ gegeben durch: √ √ −b + D −b + D 3 = 12 J . (4) jF = j 2a 2a

4.2 Einf¨uhrung der Klasseninvarianten und der Klassengleichung

137

Der Inhalt der Abelschen Weissagung w¨urde nun der sein, daß die s¨amtlichen Klasseninvarianten jF Zahlen seien, die sich aus rationalen Zahlen durch Wurzelziehungen berechnen lassen. Dabei ist es der Vorteil der Weberschen Klasseninvarianten jF , daß sie sich zugleich als ganze“ algebraische Zahlen erweisen werden. ” Die einzelne Webersche Klasseninvariante jF m¨usste somit nach II, 78 ff. einer eindeutig bestimmten, im rationalen K¨orper irreduzibelen algebraischen Gleichung: (5)

j ν + a1 j ν−1 + a2 j ν−2 + · · · + aν = 0

mit rationalen ganzen Koeffizienten a1 , a2 , . . . , aν gen¨ugen, von der man zur Einl¨osung der Abelschen Behauptung zu beweisen h¨atte, daß sie algebraisch ” l¨osbar“ ist (vergl. II, 62 ff.). Die einzelne solche Gleichung (5) bezeichnen wir als eine Klassengleichung“. ” Die Aufstellung und n¨ahere Untersuchung dieser Klassengleichungen ist der Hauptgegenstand des vorliegenden Kapitels. Die Quelle, aus der wir die Klassengleichungen gewinnen werden, sind die speziellen Transformationsgleichungen ” erster Stufe“ (17) in II, 345 f¨ur die Funktion j(ω). Ist h(D) die Anzahl der Klassen urspr¨unglicher positiver Formen der negativen Diskriminante D, so werden wir aus geeigneten speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe eine Gleichung (5) des Grades ν = h(D) herleiten k¨onnen, deren Wurzeln die h(D) Klasseninvarianten der Diskriminante D sind. Es wird bewiesen werden k¨onnen, daß diese Gleichung im rationalen √ K¨orper, sowie auch noch nach Adjunktion der Quadratwurzel der Diskriminante D irreduzibel ist. Die wichtigste Frage ist alsdann die nach der Galoisschen Gruppe“ der Klassengleichung. Es wird sich herausstellen, daß nach √ ” Adjunktion von D diese Gruppe eine Gh der Ordnung h = h(D) ist, die mit der in II, 148 ff. betrachteten Gruppe der Komposition“ der h(D) Formklassen ” isomorph ist. Da diese Gruppe eine kommutative“ oder Abelsche“ ist, so ist die ” ” Klassengleichung nach II, 61 ff. durch eine Kette von Wurzelziehungen l¨osbar und also damit die Abelsche Behauptung bewiesen. Die Theorie der Klassengleichung, die hier nur in ihren wichtigsten Grundlagen dargestellt werden kann, ist eine Sch¨opfung H. W e b e r’s4 . Eine neue Darstellung der Weberschen Theorie hat der Verf. im Bande III seines Lehrbuches der ” Algebra“, S. 292 ff. (Braunschweig, 1928) bearbeitet; auf diese Darstellung5 wird wiederholt zu verweisen sein.

4

Man vergl. dessen Abhandlungen Zur Theorie der elliptischen Funktionen“ I und II, Acta ma” them., Bd. 6, S. 329 (1885) und Bd. 11, S. 333 (1888), sowie die zusammenfassende Darstellung im Bd. 3 von Weber’s Lehrbuch der Algebra“ (Braunschweig, 1908). ” 5 zitiert als Algebra“ unter Angabe von Band- und Seitenzahl. ”

138

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

4.3 Angaben uber ¨ spezielle Transformationsgleichungen erster Stufe. Die spezielle Transformationsgleichung f¨ur die Modulfunktion erster Stufe j(ω) konnten wir beim Transformationsgrade n nach II, 348 in die Gestalt setzen: (1) j ψ + j ψ + ckl j k j l = 0 , 0 k, l ψ − 1 , k,l

wo sich die Summe, wie angedeutet, auf alle Kombinationen ganzer Zahlen k, l der Reihe 0, 1, 2, . . . , ψ − 1 bezieht. Der Grad ψ(n) ist nach II, 220 gegeben durch: 1 1 1 (2) ψ(n) = n 1 + 1+ 1+ ... , p1 p2 p3 unter p1 , p2 , p3 , . . . die verschiedenen in n aufgehenden Primzahlen verstanden. Ist also n selbst eine Primzahl p, so ist ψ = p + 1 der Grad der Transformationsgleichung. Die Koeffizienten ckl sind ganze Zahlen, und es gilt wegen der Symmetrie der Gleichung in j und j allgemein clk = ckl ; speziell im Primzahlfalle n = p hat man cpp = −1. Indem man unter j die urspr¨ungliche Funktion j(ω) versteht, liefern die ψ(n) Wurzeln j von (1) f¨ur die ψ(n) Repr¨asentanten“ der Transformation nten ” Grades (vergl. II, 276) die transformierten Funktionen: (3)

j = j

Aω + B D

,

A·D =n,

0B
wo die A, B, D der eigentlichen“ Transformation nten Grades entsprechend keinen ” gemeinsamen Teiler haben d¨urfen. Ist der Transformationsgrad insbesondere eine Primzahl p, so k¨onnen wir mit R¨ucksicht auf ψ = p + 1 und cpp = −1 der Gleichung (1) die Gestalt verleihen: (4) (j p − j)(j p − j ) = bkl j k j l , 0 k, l p , k,l

wobei bpp = 0 gilt. Es l¨aßt sich zeigen, daß in diesem Falle alle Zahlen bkl ≡ 0 (mod p) sind. Es ist n¨amlich die Gleichung (4) z. B. dann in ω identisch erf¨ullt, wenn man j = j(ω), j = j(pω) setzt. Nun haben nach (15) in II, 345 diese beiden Funktionen die Reihenentwicklungen nach Potenzen von q: j = q −2 1 + α1 q 2 + α2 q 4 + α3 q 6 + · · · , j = q −2p 1 + α1 q 2p + α2 q 4p + α3 q 6p + · · · , wo die Koeffizienten α1 , α2 , α3 , . . . durchweg ganze Zahlen sind. Zufolge des Fermatschen Lehrsatzes der rationalen Zahlentheorie folgt aus der ersten dieser Gleichungen die Kongruenz:

139

4.3 Angaben u¨ ber spezielle Transformationsgleichungen erster Stufe

j p ≡ q −2p 1 + α1 q 2p + α2 q 4p + α3 q 6p + · · ·

(mod p) ;

dies soll bedeuten, daß die Potenzreihe von j p abgesehen von Gliedern, deren Koeffizienten durch p teilbar sind, die rechte angegebene ist. Es ergiebt sich, daß alle Koeffizienten der Reihenentwicklung von (j p − j ) durch p teilbar sind. F¨ur die linke Seite von (4) folgt nach Absonderung des Faktors p eine Reihenentwicklung: (5)

2

(j p − j)(j p − j ) = p · q −2p

−2p+2

β0 + β1 q 2 + β2 q 4 + · · ·

mit lauter ganzen Zahlen β0 , β1 , β2 , . . . . Auf der rechten Seite von (4) hat das einzelne Produkt j k j l die Reihenentwicklung: (6) j k j l = q −2(kp+l) 1 + γ1 q 2 + γ2 q 4 + γ3 q 6 + · · · mit dem Anfangskoeffizienten 1 und ganzzahligen Koeffizienten γ1 , γ2 , γ3 , . . . . Wir tragen diese Entwicklungen in (4) rechts ein und ordnen nach ansteigenden Potenzen von q an, worauf die bkl durch Koeffizientenvergleichung rechts und links zu bestimmen sind. Die (p − 1) ersten Exponenten: −2p2 − 2p + 2 + 2m ,

m = 0, 1, 2, . . . , p − 2

werden je nur von einem Gliede in (4) rechts geliefert. Soll n¨amlich: kp + l = p2 + p − m − 1 sein, so folgt wegen 0 l p eindeutig: l =p−m−1 ,

k=p,

m = 0, 1, 2, . . . , p − 2 .

Die Koeffizientenvergleichung liefert demnach zun¨achst der Reihe nach bp,p−1 , bp,p−2 , . . . , bp2 , bp1 als durch p teilbare ganze Zahlen. Der nun folgende Exponent von q ist −2p2 ; dieser wird von genau zwei Gliedern in (4) rechts als Anfangsexponent geliefert, n¨amlich von den Gliedern mit bp0 und bp−1,p . Also ist die Summe (bp0 + bp−1,p ) eine durch p teilbare ganze Zahl, und da dasselbe von bp−1,p = bp,p−1 gilt, so ist auch bp0 eine durch p teilbare ganze Zahl. Wegen der Symmetrie der Gleichung (4) in j und j erkennen wir auch in den ganzen Zahlen b0p , b1p , b2p , . . . , bp−1,p Vielfache von p. Es bleiben in (4) rechts jetzt nur noch Glieder mit l < p u¨ brig. Auch ihre bkl werden bei weiterer Koeffizientenvergleichung durchweg als Vielfache von p festgestellt, falls wir zeigen k¨onnen, daß keine zwei dieser Glieder Reihen mit demselben Anfangsexponenten liefern. Dies ist aber einleuchtend, da aus: k p + l = kp + l ,

0 l, l < p

sich sofort l = l, k = k ergiebt. Wir merken demnach den Satz an: Die spezielle Transformationsgleichung erster Stufe f¨ur j(ω) l¨aßt sich f¨ur einen primzahligen

140

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Transformationsgrad p in die Gestalt kleiden: akl j k j l , (7) (j p − j)(j p − j ) = p

0 k, l p ,

k,l

wo die akl ganze, den Bedingungen alk = akl , app = 0 gen¨ugende Zahlen sind. Ausser der eben benutzten L¨osung j(pω) diese ω+1 Gleichung ω+p−1als solche f¨ur j ω hat zu L¨osungen. zufolge (3) noch die p Funktionen j p , j p , . . . , j p Abgek¨urzt bezeichnet man diese (p + 1) L¨osungen der speziellen Transformationsgleichung (7) durch: (8) ω ω + 1 ω + p − 1 j∞ = j(pω) , j0 = j , j1 = j , . . . , jp−1 = j . p p p An sonstigen speziellen Transformationsgleichungen betrachten wir nur noch kurz diejenigen f¨ur die Modulform erster Stufe Δ(ω1 , ω2 ), und auch diese nur im Falle eines primzahligen Transformationsgrades p. Man hat die (p + 1) transformierten Modulformen: (9) ω ω + ω ω + (p − 1)ω ω2 1 1 2 1 2 Δ ω1 , , Δ , ω2 , Δ , ω2 , . . . , Δ , ω2 , p p p p die aus einer unter ihnen durch die Substitutionen der Modulgruppe hervorgehen. Ihre symmetrischen Funktionen sind ganze Modulformen erster Stufe, und insbesondere ist ihr Produkt, das im Innern der ω-Halbebene nicht verschwindet, gleich p12 Δ(ω1 , ω2 )p+1 , wo man den Zahlenfaktor p12 sofort aus der Produktentwicklung (6) in I, 313 von Δ feststellt. Die (p + 1) Gr¨ossen (9) gen¨ugen demnach einer Transformationsgleichung (p + 1)ten Grades, deren Koeffizienten ganze Modulformen erster Stufe sind. Wir wollen diese Gleichung sogleich nicht-homogen schreiben, indem wir die (p + 1) Modulfunktionen pter Stufe: 2 , ω2 Δ ω1 , ωp2 Δ ω1 +νω p , Mν = , ν = 0, 1, 2, . . . , p − 1 (10) M∞ = Δ(ω1 , ω2 ) Δ(ω1 , ω2 ) einf¨uhren. Diese sind dann die Wurzeln einer speziellen Transformationsgleichung: (11)

M p+1 + G0 (j)M p + G1 (j)M p−1 + · · · + Gp−1 (j)M + p12 = 0

mit konstantem letzten Gliede und u¨ brigens Koeffizienten, die ganze Funktionen von j sind. Die Funktion M∞ geh¨ort zu der durch γ ≡ 0 (mod p) erkl¨arten Kongruenzgruppe pter Stufe und ist deshalb rational in dem Funktionssystem j = j(ω), j∞ = j(pω) dieser Gruppe darstellbar: (12)

M∞ = R(j, j∞ ) .

141

4.3 Angaben u¨ ber spezielle Transformationsgleichungen erster Stufe

Hieraus gehen durch Aus¨ubung geeigneter Substitutionen der Modulgruppe die weiteren Darstellungen hervor: (13)

Mν = R(j, jν ) ,

ν = 0, 1, 2, . . . , p − 1 ,

wo R dieselbe Bedeutung wie in (12) hat. Diese Formeln sollen noch ein wenig weiter durchgebildet werden. Erstlich merken wir f¨ur die M die Entwicklungen nach Potenzen von q an:

M∞ = p12 · q 2(p−1) (1 + 24 q 2 + · · · ) , (14) 2 2 Mν = ε−(p−1) q − p (p−1) (1 − 24 εν q p + · · · ) , 2iπ

wo ε die primitive pte Einheitswurzel e p ist. Die Koeffizienten der in den Klammern stehenden Potenzreihen sind abgesehen von multiplikativen pten Einheitswurzeln durchweg ganze Zahlen. In den geordneten Reihenentwicklungen der symmetrischen Funktionen der M treten gebrochene Exponenten von q und pte Einheitswurzeln nat¨urlich nicht mehr auf; hier sind also alle Koeffizienten wieder ganze (rationale) Zahlen. Aus der Reihenentwicklung von j mit dem Anfangskoeffizienten 1 folgt dann wieder durch die Methode der Koeffizientenvergleichung, daß s¨amtliche G(j) in (11) ganzzahlige“ ganze Funktionen von j sind. ” Um nun die Darstellungen (12) und (13) zu gewinnen, bilden wir uns die (p + 1) Gleichungen: k k (15) M∞ j∞ +M0 j0k +M1 j1k +· · ·+Mp−1 jp−1 = fk (j) ,

k = 0, 1, 2, . . . , p .

Hier stehen links wegen der Symmetrie ganze“ Modulfunktionen6 erster Stufe. ” Also sind die fk (j) ganze Funktionen von j; und zwar zeigt die Methode der Koeffizientenvergleichung, daß die fk (j) wieder ganzzahlige“ ganze Funktionen ” von j sind. In (15) haben wir (p + 1) lineare Gleichungen zur Bestimmung der (p + 1) Gr¨ossen M . Das Quadrat der Determinante dieses Gleichungssystems ist die durch Dp (j) zu bezeichnende Diskriminante der Transformationsgleichung (7). F¨ur Dp (j) · M∞ ergiebt sich ein Ausdruck, der ganz und ganzzahlig in j, j0 , j1 , . . . , jp−1 und insbesondere symmetrisch in j0 , j1 , . . . , jp−1 ist. Mit R¨ucksicht auf den letzten Umstand ist dieser Ausdruck ganz und ganzzahlig in j und j∞ darstellbar7 . Wir gelangen zu einer Darstellung: (16)

2 p Dp (j) · M∞ = g0 (j) + g1 (j)j∞ + g2 (j)j∞ + · · · + gp (j)j∞ ,

wo die g0 (j), g1 (j), . . . , gp (j) wieder ganze ganzzahlige Funktionen von j sind 8 . p Man beachte nur noch, daß h¨ohere Potenzen von j∞ als j∞ wegen (7) nicht zuzuSie sind im Innern“ der ω-Halbebene polfrei (vergl. I, 305). ” Man hat zu beachten, daß die Gleichung f¨ur die p Gr¨ossen j0 , j1 , . . . , jp−1 aus der Transformationsgleichung f¨ur j durch Division mit (j − j∞ ) hervorgeht, und hat u¨ brigens die S¨atze der Theorie der symmetrischen Funktionen zu benutzen (vergl. Algebra“ I, 99). ” 8 Durch (16) ist die Gleichung (11) nach II, 26 als Tschirnhausresolvente von (7) charakterisiert. 6 7

142

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

lassen sind. Hieran schliessen sich f¨ur die u¨ brigen p Funktionen M die Darstellungen: (17) Dp (j)·Mν = g0 (j)+g1 (j)jν +g2 (j)jν2 +· · ·+gp (j)jνp , ν = 0, 1, 2, . . . , p−1 .

4.4 Herstellung der Klassengleichung. Das in II, 349 ff. ausf¨uhrlich untersuchte Transformationspolygon Tn wurde durch die daselbst mit W bezeichnete Substitution der Periode 2 in sich transformiert. Die dieser Substitution entsprechende Transformation der Gleichung (7), 4.3 in sich besteht einfach in dem Austausch von j und j . Die Transformation liefert in Tn eine gewisse Anzahl sich selbst entsprechender Punkte, die am Klassenpolygon Kn (vergl. II, 357 ff.) Fixpunkte elliptischer Substitutionen der Periode 2 werden. Nach dem Theorem von II, 363 ist die Anzahl dieser Punkte gleich der Anzahl der Klassen urspr¨unglicher positiver bin¨arer quadratischer Formen der Diskriminante D = −4n, falls n ≡ 0, 1 oder 2 (mod 4) gilt, und gleich der Summe der Klassenanzahlen solcher Formen der Diskriminanten D = −4n und D = −n, falls n ≡ 3 (mod 4) ist. Auch liefern die Fixpunkte ω unmittelbar die Nullpunkte f¨ur repr¨asentierende Formen ihrer Klassen. Hieraus ergiebt sich die grundlegende Folgerung: Setzt man in der kurz durch Fn (j , j) = 0 zu bezeichnenden Transformationsgleichung (17) in II, 345 das erste Argument j = j, so ergiebt sich eine algebraische Gleichung: (1)

Fn (j, j) = 0

mit ganzzahligen Koeffizienten und einer“ Unbekannten j, zu deren Wurzeln ins” besondere die gesamten Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n bezw. (im Falle n ≡ 3 (mod 4)) der beiden Diskriminanten D = −4n und D = −n geh¨oren. Unsere weitere Aufgabe ist nun die, aus diesem Ansatze f¨ur die Klasseninvarianten jeder einzelnen Diskriminante D eine zugeh¨orige Klassengleichung“ herzustellen. ” Wir beginnen damit, den Grad der etwa nach fallenden Potenzen von j geordneten Gleichung (1) in j zu bestimmen. Wird dieser Grad m genannt, so muß Fn j(ω), j(ω) als Modulfunktion erster Stufe eine Entwicklung nach Potenzen von q 2 besitzen, die mit der Potenz q −2m beginnt. Benutzt man aber die Linearfak torenzerlegung der Transformationsgleichung, so hat man f¨ur Fn j(ω), j(ω) die Darstellung: aω + b (2) Fn j(ω), j(ω) = , j(ω) − j d wo sich das Produkt auf die ψ(n) Repr¨asentanten (3), 4.3 f¨ur eigentliche Transformation nten Grades bezieht9 . Um den Anfangsexponenten in der ReihenentwickUm die Bezeichnung D f¨ur die Diskriminante vorzubehalten, sind hier die Koeffizienten der einzelnen Transformation mit a, b, d an Stelle der damaligen A, B, D bezeichnet.

9

143

4.4 Herstellung der Klassengleichung

lung des einzelnen Faktors in (2) rechts zu bestimmen, hat man zu unterscheiden, ob a < d oder a > d oder endlich a = d ist. In diesen drei F¨allen ist bezw. das Anfangsglied der Reihenentwicklung des Faktors: 2iπb 2a √ − 2iπb (3) q −2 , −e− d q − d , 1 − e n q −2 . Nun gewinnen wir die ψ(n) Repr¨asentanten aus allen Tripeln nicht-negativer ganzer Zahlen a, b, d, die keinen gemeinsamen Faktor haben und den Bedingungen gen¨ugen: (4)

ad = n ,

0b
Bei der einzelnen Zerlegung n = a · d sei τ der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a und d, gegen den dann also b teilerfremd sein muß. Bei dieser Zerlegung n = a · d hat also b die τd ϕ(τ ) gegen τ teilerfremden Reste mod d zu durchlaufen, wo ϕ(τ ) wie bekannt die Anzahl √ mod τ inkongruenter und gegen τ teilerfremder Zahlen ist. Ist nun erstlich a < n und also a < d, so liefert jeder der τd ϕ(τ ) Repr¨ √asentanten zufolge der ersten Potenz (3) eine Einheit f¨ur den Grad m. Ist a > n und also a > d, so hat man das zweite Anfangsglied (3). Da man aber wieder τd ϕ(τ ) Repr¨asentanten hat, so liefern diese τa ϕ(τ ) Einheiten f¨ur m. In Summe liefern also alle Repr¨asentanten mit a = d: (5)

a d ϕ(τ ) + ϕ(τ ) τ τ √ √

a< n

a> n

Einheiten f¨ur den Grad m. Nur im Falle eines rein quadratischen n kommt auch noch √ das dritte√Anfangsglied (3) zur Benutzung. √ Hier durchl¨auft b ein System von ϕ( n) gegen n teilerfremden Resten mod n, und jeder√Repr¨asentant liefert eine Einheit f¨ur den Grad m. Verabreden wir, daß wir unter ϕ( n) die√Zahl 0 verstehen wollen, falls n kein Quadrat ist, so haben wir allgemein noch ϕ( n) Einheiten f¨ur den Grad m. Offenbar sind die beiden Summen (5) einander gleich. Wir notieren also den Satz: Der Grad der nach abfallenden Potenzen von j geordneten Gleichung (1) ist: a √ (6) 2 ϕ(τ ) + ϕ( n) , τ √ a> n

√ wo sich die Summe auf alle Teiler a > √ n von n bezieht, τ der gr¨oßte gemeinsame −1 Teiler von a und d = n · a ist und ϕ( n) = 0 f¨ur alle nicht-quadratischen Grade n ist. Es soll gleich auch noch der Anfangskoeffizient dieser Gleichung bestimmt werden. Der Anfangskoeffizient des einzelnen Faktors in (2) rechts ist gleich 1 oder gleich einer Einheitswurzel, wenn der erste oder der zweite Fall (3) vorliegt. F¨ur die rein quadratischen Grade n kommt auch noch der dritte Fall (3) in Betracht. Man hat hier f¨ur den einzelnen Faktor die Entwicklung:

144

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

√ j(ω) − j

nω + b √ n

= − ε−b (1 − εb )q −2 + 196884(1 − εb )q 2 2iπ √

+ 21493760(1 − ε2b )q 4 + · · · , ε=e n , √ wo ε die √ angegebene primitive Einheitswurzel bdes Grades n ist und b teilerfremd gegen n ist. Man kann hier den Faktor (1 − ε ) aus der rechten Seite herausheben und beh¨alt in der Klammer eine Potenzreihe, die die Einheitswurzel −ε−b als Anfangskoeffizient hat und u¨ brigens ganze“ Zahlen des Kreisk¨orpers“ K = (R, ε)10 ” ” als Koeffizienten aufweist. Aus der Theorie der Kreisteilungsgleichungen folgert man nun leicht, daß die ganze Zahl (1 − εb ) des K¨orpers K eine Einheit dieses K¨orpers ist, wenn n mindestens zwei verschiedene Primfaktoren hat, daß indessen die Norm N (1 − εb ) gleich p ist, falls n eine (gerade) Potenz einer Primzahl p ist11 . Geht man zur Reihenentwicklung des Produktes (2) u¨ ber, so ergiebt sich, daß diese Entwicklung durchweg ganzzahlige Koeffizienten hat. Dabei ist der Anfangskoeffizient im allgemeinen als Einheit des rationalen K¨orpers gleich ±1 und nur in dem Falle gleich ±p, wenn n (gerade) Potenz einer Primzahl p ist, wo dann aber im letzteren Falle p als gemeinsamer Faktor aller Koeffizienten abgesondert werden kann. Wir teilen je nachdem die linke Seite der Gleichung (1) durch ±1 oder ±p, bezeichnen sie in der neuen Gestalt durch: (7)

Gn (j) = 0

und nennen sie die zum Transformationsgrade n geh¨orende Klassengleichung“. ” Mittels der Methode der Koeffizientenvergleichung erkennt man, daß sie durchweg ganzzahlige, also rationale ganzzahlige Koeffizienten hat; der Anfangskoeffizient aber ist gleich 1. Auf Grund der Erkl¨arung von II, 78 folgt der Satz: Alle Klasseninvarianten sind ganze“ algebraische Zahlen. ” Es ist nun festzustellen, welche Klasseninvarianten der Gleichung (7) gen¨ugen. Wir d¨urfen dabei von den beiden Graden n = 1 und n = 3 absehen. Im ersten dieser F¨alle kommt nur die Invariante j(i) = 123 der einzigen reduzierten Form (1, 0, 1) der Diskriminante D = −4 in Betracht. F¨ur n = 3 haben wir die beiden Diskriminanten D = −12 und D = −3 mit den einzigen reduzierten Formen (1, 0, 3) √ 3 und (1, 1, 1). Die Invariante der letzteren Form ist einfach j −1+i = 0, 2 w¨ahrend man f¨ u r die erstere Form mit sp¨ a ter zu entwickelnden Methoden leicht √ j(i 3) = 24 · 33 · 53 findet. Sollte sich in einem der u¨ brigen F¨alle n = 2, 4, 5, 6, . . . insbesondere eine der Invarianten j = 0 oder j = 123 wieder als Wurzel von (7) in gewisser Vielfachheit einstellen, so kann man die linke Seite dieser Gleichung (7) durch eine entsprechende Potenz von j bezw. (j − 123 ) teilen, wobei die Gleichung ganzzahlig bleibt und den h¨ochsten Koeffizienten 1 beh¨alt. Wir gewinnen so den Vorteil, daß wir weiterhin nur noch die von 0 und 123 verschiedenen Wurzeln von (7) aufzusuchen brauchen. Nun ist aber der durch Fig. 43 in I, 179 gegebene 10 11

Wegen dieser Bezeichnung vergl. man II, 83. Vergl. hierzu Algebra“ I, 402 (Schlußsatz). ”

4.4 Herstellung der Klassengleichung

145

DB“ 12 der Modulgruppe abgesehen von den Ecken (die zu den ausgeschlossenen ” F¨allen D = −3 und D = −4 zur¨uckf¨uhren) u¨ berall winkeltreu auf die j-Ebene bezogen. Wir verlegen deshalb die Untersuchung in diesen DB“ und haben eine ” ν-fache von 0 und 123 verschiedene Wurzel der Gleichung (7) stets und nur noch an einer solchen von den Ecken verschiedenen Stelle ω0 des ”DB“, wo die Modulfunktion erster Stufe Gn j(ω) , also die Funktion (2) einen ν-fachen Nullpunkt besitzt. Die Aufsuchung dieser Nullpunkte d¨urfen wir an die einzelnen Faktoren in (2) rechts ankn¨upfen. Soll aber f¨ur die Stelle ω0 des DB“ die Gleichung: ” a ω0 + b =0 (8) j(ω0 ) − j d zutreffen, so ist hierf¨ur notwendig und hinreichend, daß es eine Substitution V in der Modulgruppe Γ giebt, f¨ur die die Gleichung: a ω0 + b a ω0 + b (9) ω0 = V = , a d − b c = n d c ω0 + d zutrifft. Hier sind a , b , c , d ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler, so daß wir in ac ,, db eine eigentliche Transformation nten Grades vor uns haben. Umgekehrt geh¨ a, obrt jeder solchen Transformation nach II, 276 teneindeutig ein ”Repr¨asentant“ Grades, die einen von einer 0, d zu, so daß jede eigentliche Transformation n Ecke verschiedenen Fixpunkt ω0 im DB“ von Γ besitzt, einen Nullpunkt f¨ur den ” betreffenden Faktor von (2) rechts ergiebt. Um die selbstverst¨andlich ganzzahlige Ordnung dieses Nullpunktes f¨ur den einzelnen Faktor in (2) festzustellen, lassen wir bei der eigentlichen Transformation nten Grades b die oberen Indizes der Koeffizienten der K¨urze halber fort, schreiben also a, ur die Transformation. Die beiden einander konjugierten Fixpunkte ω0 c, d f¨ und ω 0 der Transformation sind: a − d ± i 4n − (a + d)2 , (10) ω0 , ω 0 = 2c w¨ahrend der Multiplikator“ μ (vergl. I, 70) der in die Gestalt: ” ω − ω0 ω − ω0 =μ ω − ω0 ω − ω0 gesetzten Substitution sich als die von 1 verschiedene Zahl: (11)

12

μ=

2 a + d − i 4n − (a + d)2 √ = 1 2 n

DB“ ist Abk¨urzung f¨ur Diskontinuit¨atsbereich“. ” ”

146

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

mit positiv genommenen Quadratwurzeln berechnet. F¨ur ein in der Umgebung von ω0 variables ω gilt demgem¨aß die Entwicklung: ω =

aω + b = ω0 + μ(ω − ω0 ) + · · · , cω +d

μ = 1 .

Ebenda hat man f¨ur j(ω) eine Entwicklung: j(ω) = j(ω0 ) + a1 (ω − ω0 ) + a2 (ω − ω0 )2 + · · · ,

a1 = 0 ,

wobei die Ungleichung a1 = 0 aus der Winkeltreue der Abbildung des DB“ auf ” die j-Ebene im Punkte ω0 folgt. Hieraus ergiebt sich weiter: aω +b = a1 (1 − μ)(ω − ω0 ) + · · · , j(ω) − j cω + d so daß der fragliche Nullpunkt f¨ur den einzelnen Faktor in (2) von der ersten“ ” Ordnung ist. Wir gehen nun auf die ψ(n) Faktoren in (2) und damit auf die ψ(n) Klassen“ ” eigentlicher Transformationen nten Grades zur¨uck und nennen zwei solche Transformationen a¨ quivalent“ oder in¨aquivalent“, je nachdem sie der gleichen Klasse ” ” angeh¨oren oder nicht. Das eben gewonnene liefert dann den Satz: Jede bErgebnis mit einem Fixpunkte ω0 im DB“ eigentliche Transformation nten Grades a, c, d ” der Modulgruppe Γ liefert eine Wurzel j(ω0 ) der Gleichung (7), und zwar ist diese Wurzel eine ν-fache dieser Gleichung, wenn ω0 Fixpunkt von im ganzen ν in¨aquivalenten“ Transformationen dieser Art ist. Auf diese Weise gelangt man ” genau zu allen von 0 und 123 verschiedenen Wurzeln der Gleichung (7). Der in (10) berechnete Fixpunkt ω0 ist die im DB“ von Γ gelegene Wurzel der ” quadratischen Gleichung: (12)

c ω 2 + (d − a)ω − b = 0 .

¨ Da c = 0 gilt und ein gleichzeitiger Zeichenwechsel von a, b, c, d ohne Anderung der Transformation erlaubt ist, m¨oge c > 0 angenommen werden. Dann ist (c, d−a, − b) eine positive quadratische Form, die reduziert“ ist, da ihr Nullpunkt ω0 dem ” DB“ von Γ angeh¨ort (vergl. II, 140). Der Teiler“ der Form (vergl. II, 137) m¨oge ” ” durch τ bezeichnet werden. Wir schreiben dann: (13)

c = τA ,

d − a = τB ,

−b = τ C

und erkl¨aren weiter die ganze Zahl σ durch: (14)

σ =a+d.

Man hat dann in (A, B, C) eine urspr¨ungliche“ positive quadratische Form, die ” reduziert“ ist. In dieser Form und in ihrer Diskriminante D = B 2 − 4AC stellen ” sich die vier Transformationskoeffizienten a, b, c, d und der Grad n mittels der

147

4.4 Herstellung der Klassengleichung

beiden ganzen Zahlen σ und τ , von denen die zweite positiv ist, so dar: (15) (16)

a=

σ − τB , 2

d=

σ + τB , 2

n=

σ 2 − Dτ 2 . 4

b = −τ C ,

c = τA ,

F¨ur die beiden ganzen Zahlen σ und τ merken wir noch die Bedingungen: √ √ (17) −2 n < σ < 2 n , τ >0 an, deren erste mit R¨ucksicht auf D < 0 aus (16) folgt. Da a, b, c, d keinen gemeinsamen Teiler haben, so sind zufolge (15) die beiden ganzen Zahlen σ und τ entweder teilerfremd oder sie haben den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2. W¨urde man u¨ brigens umgekehrt von einer urspr¨unglichen positiven Form (A, B, C) ausgehen und mit zwei ganzen Zahlen σ, τ , die die Gleichung (16) befriedigen, die vier ganzen Zahlen a, b, c, d durch (15) erkl¨aren, so w¨urden umgekehrt die Gleichungen (13) und (14) wieder folgen. Der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a, b, c, d w¨urde dann zufolge (13) in τ und zufolge (14) auch in σ aufgehen. Wir suchen nun die gesamten Formen (A, B, C) unserer Art auf, die von 0 und 123 verschiedene Wurzeln der Gleichung (7) liefern. Wir gehen aus von irgend einer Darstellung von 4n in der Gestalt: (18)

4n = σ 2 + |D|τ 2

mittels ganzer Zahlen σ, τ , D, die den vorstehenden Bedingungen entsprechen. Es soll also τ > 0 sein, und σ und τ sollen entweder teilerfremd sein oder den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2 haben; ferner soll D < 0 und von −3 und −4 verschieden sein, sowie einer der Kongruenzen D ≡ 0 oder D ≡ 1 (mod 4) gen¨ugen. Die erste Bedingung (17) wird dann von σ stets auch erf¨ullt. F¨ur die Diskriminante D sei ferner (A, B, C) eine beliebige der reduzierten urspr¨unglichen positiven Formen. Aus der Erkl¨arung von D folgt B ≡ D (mod 2), so daß aus (18) die Kongruenzen: σ ∓ τ B ≡ 0 (mod 2) hervorgehen. Die Formeln (15) liefern jetzt vier ganze Zahlen a, b, c, d der Determinante ad − bc = n. Sind nun σ und τ teilerfremd, so haben, wie wir wissen, auch a, b, c, d keinen gemeinsamen Teiler. Wir haben also eine eigentliche Transformation nten Grades a, b c, d mit dem im ”DB“ von Γ gelegenen Nullpunkte ω0 der Form (A, B, C) als Fixpunkt gewonnen. Haben indessen σ und τ den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2, so sind die a, b, c, d entweder teilerfremd, oder sie haben gleichfalls den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2. Man folgert jetzt wegen B ≡ D (mod 2) die Kongruenzen: a≡d≡n,

b≡c≡0

(mod 2) .

148

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Die Transformation ist jetzt eigentlich oder uneigentlich vom Grade n, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Bei geradem Transformationsgrade n haben wir also nur diejenigen Darstellungen (18) von 4n zuzulassen, bei denen σ und τ nicht zugleich durch 2 teilbar sind. F¨ur eine einzelne Wurzel j(ω0 ) der Gleichung (7) ist durch den Punkt ω0 des DB“ von Γ die zugeh¨orige urspr¨ungliche Form (A, B, C) sowie ihre Diskriminante ” D eindeutig bestimmt. Dabei m¨ogen wir eine erste Darstellung von 4n in der Gestalt (18) mit diesem D mittels der Zahlen σ, τ haben. Es reiht sich aber dann hieran, falls σ = 0 ist, stets eine zweite Darstellung mit dem gleichen D und den Zahlen −σ, τ . Die beiden zugeh¨origen, aus (15) zu berechnenden Transformationen geh¨oren aber stets und nur dann der gleichen Klasse an, wenn es eine Substitution V in Γ giebt, die f¨ur unsere beiden Transformationen die Gleichung erm¨oglicht: σ−τ B −σ−τ B , −τ C , −τ C 2 2 (19) =V · . B B τ A, σ+τ τ A, −σ+τ 2 2 Die beiden Transformationen sind, wie man sieht, einander inverse ω-Substitutionen der Determinante n. Die zweite Potenz der links stehenden Substitution muß also die Forthebung des gemeinsamen Faktors n aus allen vier Koeffizienten gestatten und alsdann die Substitution V von Γ liefern. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn die Kongruenzen:

2 σ + Dτ 2 ± 2στ B ≡ 0 (mod 4n) , (20) στ A ≡ 0, στ C ≡ 0 (mod n) bestehen. Da man durch Subtraktion der beiden ersten von einander auch: στ B ≡ 0 (mod n) findet und (A, B, C) eine urspr¨ungliche Form ist, so folgt: στ ≡ 0 (mod n) .

(21)

Da ferner zufolge (16) die Kongruenz Dτ 2 = σ 2 (mod 4n) gilt, so folgt aus der ersten Kongruenz (20) mit R¨ucksicht auf (21) leicht: 2σ 2 ≡ 0

(mod 2n) ,

σ 2 ≡ 0 (mod n) .

Ist n gerade, so sind σ und τ teilerfremd. Da σ 2 und στ durch n teilbar sind, so folgt in diesem Falle, daß auch σ ≡ 0 (mod n) gilt. Ist n ungerade, so k¨onnen σ und τ den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2 haben. Man kann demnach jetzt zun¨achst nur auf die Kongruenz 2σ ≡ 0 (mod n) schliessen. Daraus folgt dann aber sofort auch σ ≡ 0 (mod n), da n ungerade ist. Die von 0 verschiedene Zahl σ 2 ist hiernach ein Vielfaches qn2 von n2 , und man findet aus der ersten Ungleichung (17): qn2 < 4n ,

qn < 4 ,

n<4.

149

4.4 Herstellung der Klassengleichung

Da n = 1 und n = 3 gilt, so bleibt nur n = 2. Doch ist dieser Fall leicht einer direkten Behandlung zug¨anglich und darf deshalb gleichfalls ausgeschlossen werden. Es ergiebt sich der Satz: Die beiden im Falle σ = 0 eintretenden Darstellungen (18) mit σ, τ und −σ, τ liefern in¨aquivalente Transformationen und damit eine Doppelwurzel j(ω0 ) der Gleichung (7). Sollte f¨ur das gleiche D noch eine dritte Darstellung (18) von 4n durch zwei Zahlen σ = 0 und τ m¨oglich sein, so haben wir damit zugleich auch noch eine vierte Darstellung durch −σ und τ . Man bilde dann die beiden zugeh¨origen wieder einander inversen Transformationen. Dann ist entweder eine der beiden neuen Transformationen mit der einen unter (19) auftretenden Transformationen a¨ quivalent und die zweite dann mit der anderen, oder dies ist nicht der Fall. Im letzteren Falle erhalten wir zwei“ weitere Wurzeln j(ω0 ), im ersteren keine. Unsere ” Methode zur Auffindung aller Wurzeln der Gleichung (7) liefert hiernach von allen Darstellungen mit σ = 0 aus stets nur Wurzeln j(ω0 ) in gerader“ Vielfachheit. ” Es sind jetzt noch die Darstellungen (18) von 4n mit σ = 0, also die Darstellungen: (22)

4n = −D · τ 2

zu untersuchen. Hier haben wir zun¨achst f¨ur jedes n > 3 die L¨osung τ = 1, D = −4n. Der Extremwert D = −4n der Diskriminante tritt auch nur bei σ = 0, τ = 1 auf. Es liefert also jede Klasse ursp¨unglicher positiver Formen der Diskriminante D = −4n eine einfache L¨osung j(ω0 ) der Gleichung (7). Da σ(= 0) und τ h¨ochstens den gemeinsamen Teiler 2 haben d¨urfen, so kommt weiter nur noch die L¨osung τ = 2, D = −n von (22) in Betracht. In diesem Falle muß aber n ungerade sein, und da jetzt: D = −n ≡ 1 (mod 4) sein muß, so handelt es sich nur noch um die ungeraden, der Kongruenz n ≡ 3 (mod 4) gen¨ugenden Transformationsgrade. Von dieser L¨osung aus liefert nun wieder jede Klasse urspr¨unglicher positiver Formen der Diskriminante D = −n eine einfache Wurzel j(ω0 ) der Gleichung (7). Hier aber darf man nicht u¨ bersehen, daß D = −n in dem besonderen Falle, daß n das dreifache Quadrat einer ungeraden Zahl ist, auch schon unter den oben erledigten L¨osungen von (18) auftritt, und zwar zweimal, n¨amlich f¨ur: √ σ = ± 3n , τ = 1 , D = −n . In diesem Falle liefert also jede Formklasse der Diskriminante D = −n eine dreifache Wurzel j(ω0 ) von (7). Bezeichnen wir wieder mit h(D) die Anzahl der Klassen urspr¨unglicher positiver Formen der Diskriminante D, so haben wir als zusammenfassenden Satz: Ist n ≡ 3 (mod 4), so hat die (von etwaigen Wurzeln 0 und 123 befreite) Gleichung (7) zu einfachen Wurzeln genau alle h(−4n) Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n, und alle u¨ brigen Wurzeln treten in gerader Vielfachheit auf; gilt n ≡ 3 (mod 4), ohne daß n ein dreifaches Quadrat ist, so hat unsere Gleichung zu einfachen Wurzeln genau alle h(−4n) + h(−n) Klasseninvarianten der beiden Diskriminanten D = −4n und D = −n, w¨ahrend ihre

150

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

s¨amtlichen u¨ brigen Wurzeln wieder in gerader Vielfachheit auftreten; ist endlich n ein ungerades dreifaches Quadrat, so hat die Gleichung (7) zu einfachen Wurzeln genau die h(−4n) Klasseninvarianten von D = −4n, zu dreifachen Wurzeln genau alle h(−n) Klasseninvarianten f¨ur D = −n, w¨ahrend auch jetzt wieder die s¨amtlichen u¨ brigen Wurzeln in gerader Vielfachheit auftreten. Nach bekannten S¨atzen der Algebra l¨aßt sich aus der Gleichung (7), die wir wieder von ihren etwaigen Wurzeln 0 und 123 befreit denken, allein durch rationale Rechnungen eine Gleichung f¨ur das System ihrer Wurzeln von vorgeschriebener Vielfachheit herstellen. Wir gelangen also, falls n ≡ 3 (mod 4) ist, zu einer Gleichung des Grades h(−4n) mit rationalen Koeffizienten f¨ur die h(−4n) Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n. Ebenso gelangen wir zu zwei solchen Gleichungen der Grade h(−4n) und h(−n) f¨ur die Klasseninvarianten bei D = −4n und D = −n, falls n ein dreifaches ungerades Quadrat ist. Ist aber n ≡ 3 (mod 4), ohne daß ist, so finden wir erst eine solche Gleichung des n ein dreifaches Quadrat Grades h(−4n) + h(−n) , deren Wurzeln die Klasseninvarianten f¨ur D = −4n und D = −n zusammengenommen sind. Doch ist diese Gleichung entsprechend den beiden Diskriminanten D = −4n und D = −n rational spaltbar. Setzt man n¨amlich n = 14 (n + 1), so stellt man leicht fest, daß die f¨ur n gebildete Gleichung (7) die Klasseninvarianten f¨ur D = −n zu Wurzeln hat, nicht aber diejenigen f¨ur D = −4n. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Gleichungen ist aber aus ihnen rational berechenbar. Durch unsere Betrachtungen sind alle negativen Diskriminanten D gedeckt bis auf die drei F¨alle D = −3, D = −4 und D = −8. Den letzten Fall betreffend hatten wir ja oben (S. 149) den Transformationsgrad n = 2 ausgeschlossen. F¨ur die beiden ersten F¨alle hatten wir die Klassengleichungen“ j −123 = 0 und j = 0, und ” auch der leicht direkt zu erledigende Fall D = −8 ordnet sich dem aufzustellenden Schlußsatze unter. Man beachte endlich noch, daß wir bereits oben (S. 144) in den gesamten Klasseninvarianten ganze“ algebraische Zahlen erkannten. Unter Zusam” menfassung gelangen wir zu dem Ergebnis: F¨ur jede negative Diskriminante D sind die h(D) Klasseninvarianten die Wurzeln einer Gleichung des Grades h(D): (23)

HD (j) = 0

mit rationalen ganzen Zahlen als Koeffizienten und dem h¨ochsten Koeffizienten 1, die hinfort als Klassengleichung der Diskriminante D“ bezeichnet werden soll. ” Diese Gleichung (23) ist es, die H. Weber seinen S. 137 genannten Untersuchungen zugrunde gelegt hat. Gleichzeitig mit Weber hat G. Pick zwei grundlegende Untersuchungen u¨ ber Klassengleichungen ver¨offentlicht13 . Weit fr¨uher hatte bereits L. Kronecker unter Benutzung der Jacobischen Funktionen zwei Abhandlungen u¨ ber Klasseninvarianten ver¨offentlicht14 , die jedoch nur Resultate ohne Beweise bekannt gaben. 13 ¨ Uber komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen“, I und II, Mathemat. Annalen, ” Bd. 25 und 26. 14 ¨ ¨ Uber elliptische Funktionen, f¨ur welche komplexe Multiplikation stattfindet“ und Uber die ” ” komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen“, Berliner Berichte von 1857 und 1862.

151

4.5 Gruppe der Formenkomposition

4.5 Gruppe der Formenkomposition. Zur genauen Untersuchung der Klassengleichung m¨ussen wir auf die in √ II, 137 ff. entwickelte Theorie der quadratischen Formen zur¨uckgehen. Der durch D erkl¨arte imagin¨are quadratische K¨orper K habe die Grundzahl D, und es sei D = m2 D.15 Nach II, 148 ff. kommt die Multiplikation der Idealklassen im mten Zweige16 von K f¨ur die urspr¨unglichen positiven quadratischen Formen der Diskriminante D gerade genau auf die Komposition der h(D) Formklassen F0 , F1 , . . . , Fh−1 dieser Diskriminante D hinaus, wo h = h(D) die Anzahl der Formklassen ist. Die h Formklassen bilden gegen¨uber der Komposition eine Abelsche Gruppe Gh der Ordnung h, in der das Einheitselement von der Hauptklasse“ F0 geliefert wird. ” Die bei der Komposition der Formen auftretenden Rechnungen sind hier noch etwas weiter zu f¨uhren. Es sei (a, b, c) irgend eine urspr¨ungliche positive Form der Diskriminante D mit einem ersten Koeffizienten a > 1, der teilerfremd gegen D und also gegen m ist. Ein beliebiger Primteiler von a sei p. Wir setzen: (1)

a = pa0 ,

b2 − 4pa0 c = D

und bilden die beiden Formen: (2)

(p, b, a0 c) ,

(a0 , b, pc) ,

die wieder urspr¨unglich, positiv und von der Diskriminante D sind; man hat nur zu beachten, daß a und also p und a0 teilerfremd gegen b sind, da a gegen D teilerfremd vorausgesetzt wurde. Wie in II, 150 benutzen wir als zu den Formen (2) geh¨orende Zweigideale bezw. diejenigen der Zahlen: b − i |D| b − i |D| (3) px + y, a0 x + y 2 2 mit rationalen ganzen x, y, x , y . Das Produkt dieser Zweigideale besteht aus den Zahlen: b − i |D| (4) (xx − cyy ) a + (pxy + a0 x y + byy ) 2 und nat¨urlich den Summen solcher Zahlen. Im Produkte weist man insbesodere leicht die Zahlen: b − i |D| , a , −cy a + (a0 x + by ) 2 also auch die Zahlen: 15 Statt der in II, 145 ff. mit n bezeichneten ganzen Zahl schreiben wir hier m, um Verwechslungen mit dem bisher durch n bezeichneten Transformationsgrade zu vermeiden. 16 Dieser Begriff ist erkl¨art in II, 122. Allgemein hat sich Dedekinds Bezeichnung in der Ordnung ” mit dem F¨uhrer m“ durchgesetzt. [Anm. d. Hrsg.]

152

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

b − i |D| (a0 x + by ) 2 nach. Da a0 und b teilerfremd sind, kann man x√und y so w¨ahlen, daß a0 x +

b−i

|D|

by = 1 gilt. Es kommt im Produkte auch 2 vor, und damit sind in ihm also √ b−i |D| enthalten. Da aber umgekehrt alle u¨ berhaupt alle Zahlen des Ideals a, 2

Zahlen (4) diesem Ideale angeh¨oren, so ist es einfach das Produkt unserer beiden Zweigideale. Zu diesem Ideale aber geh¨ort wieder die anf¨anglich gew¨ahlte Form (a, b, c). Wir notieren also den Satz: Ist der erste Koeffizient a der Form (a, b, c) teilerfremd gegen D und gilt a = p · a0 , wo p irgend ein Primteiler von a ist, so entsteht (a, b, c) durch Komposition der beiden Formen (2), was wir ausdr¨ucken durch: (5)

(a, b, c) = (p, b, a0 c) · (a0 , b, pc) .

Ist a0 nicht selbst Primzahl, so m¨oge p ein Primteiler von a0 sein. Wir k¨onnen dann (a0 , b, pc) genau so wieder durch Komposition zweier Formen herstellen, deren erste p zum ersten und b zum zweiten Koeffizienten hat. Auch kann man in der gleichen Art fortfahren und gelangt offenbar zu dem folgenden Satze: Die urspr¨ungliche positive Form (a, b, c) der Diskriminante D mit einem gegen D teilerfremden Koeffizienten a, dessen Zerlegung in gleiche oder ungleiche Primfaktoren a = p1 · p2 · p3 · · · ist, kann entsprechend der Gleichung: ac ac ac · p2 , b, · p3 , b, ··· (6) (a, b, c) = p1 , b, p1 p2 p3 durch Komposition von Formen mit den ersten Koeffizienten p1 , p2 , p3 , . . . und dem gemeinsamen zweiten Koeffizienten b hergestellt werden. Kompositionsformeln der vorstehenden Art sollen fortan sogleich auf die Komposition der Klassen bezogen werden, die jeweils durch die Formen repr¨asentiert werden. Dann ist es statthaft, in solchen Kompositionsformeln jede Form auch durch eine mit ihr a¨ quivalente zu ersetzen. Wir wollen diese Erlaubnis zun¨achst f¨ur die in (6) rechts stehenden Formen verwerten. Die einzelne dieser Formen schreiben wir (p, b, c0 pν−1 ), wo ν 1 eine ganze Zahl ist und b sowie c0 nicht durch p teilbar sind. Von dieser Form gelangen wir auf Grund der Formeln (2), (3) und (4) in II, 138 mittels einer Substitution der Koeffizienten: α=δ =1,

β = −β0 pν−1 ,

γ=0

zur a¨ quivalenten Form: p, b + 2β0 pν , pν−1 (c0 + bβ0 + pν β02 ) . Da b teilerfremd gegen p ist, so kann man die noch frei w¨ahlbare ganze Zahl β0 so bestimmen, daß c0 + bβ0 ≡ 0 (mod p) gilt. In der neuen quadratischen Form ist der zweite Koeffizient wieder teilerfremd zu p, w¨ahrend der dritte Koeffizient

153

4.5 Gruppe der Formenkomposition

die Primzahl p in h¨oherer als (ν − 1)ter Potenz als Faktor enth¨alt. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens kann man zu einer a¨ quivalenten Form gelangen mit dem ersten Koeffizienten p, einem gegen p teilerfremden zweiten Koeffizienten und einem durch eine beliebig hoch vorgeschriebene Potenz von p teilbaren dritten Koeffizienten. Auf der anderen Seite beachte man, daß man jeder Formklasse eine Form (a, b, c) mit einem gegen D teilerfremden a > 1 entnehmen kann. F¨ur die Hauptklasse mit der reduzierten Form (1, 0, − 14 D) bezw. 1, 1, 14 (1 − D) ist dies aus den Transformationsformeln von II, 138 leicht direkt ersichtlich. F¨ur eine der u¨ brigen Klassen folgt es aus dem Theorem von II, 141, wobei a > 1 gilt, weil die Hauptklasse nicht vorliegt. Wir gelangen zu dem Satze: Jede Formklasse ist durch eine Form (a, b, c) repr¨asentierbar, die durch Komposition aus einer Anzahl von Formen der Gestalt (p, b, c0 pλ ) herstellbar ist; dabei sind die ersten Koeffizienten aller Komponenten in D nicht aufgehende Primzahlen p, die zweiten Koeffizienten sind teilerfremd gegen die zugeh¨origen ersten Koeffizienten p, und die Exponenten λ k¨onnen in allen Komponenten beliebig hoch vorgeschrieben werden17 . Man gehe jetzt zun¨achst von irgend einer unserer Formen (p, b, c0 pκ−1 ) mit hinreichend hoch gew¨ahltem Exponenten (κ − 1) aus, die wiederholt mit sich selbst komponiert werden soll. Fasst man die symbolischen Produkte (6) mit gleichen Faktoren in Potenzen zusammen, so hat man f¨ur jeden positiven Exponenten ν κ: ν (7) p, b, c0 pκ−1 = pν , b, c0 pκ−ν . Ist die durch (p, b, c0 pκ−1 ) repr¨asentierte Formklasse F in der Kompositionsgruppe Gh ein Element der Periode ν, so ist dies gleichbedeutend damit, daß dieses ν den niedersten Exponentendarstellt, f¨ur den die Form (7) der Hauptklasse angeh¨ort, also mit (1, 0, − 14 D) oder 1, 1, 14 (1 − D) a¨ quivalent ist, je nachdem D ≡ 0 oder ≡ 1 (mod 4) gilt. Nach (5) in II, 138 giebt es somit zwei teilerfremde ganze Zahlen α, γ, die die Gleichung: (8)

1 pν = α2 − Dγ 2 4

1 bezw. pν = α2 + αγ + (1 − D)γ 2 4

befriedigen. Die Gleichung (8) schreibe man um in: 4pν = (2α)2 − Dγ 2

bezw.

4pν = (2α + γ)2 − Dγ 2

und f¨uhre zwei ganze Zahlen x, y durch: (9)

x = 2α ,

y=γ

bezw. x = 2α + γ ,

y=γ

ein, die dann entweder teilerfremd sind oder, falls n¨amlich γ gerade ist und also α und damit p ungerade sind, den gr¨oßten gemeinschaftlichen Teiler 2 haben. Diese beiden Zahlen x, y gen¨ugen dann in beiden F¨allen der Gleichung:

17

Jeder Komponente kommen nat¨urlich besondere Werte p, b, λ zu.

154

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

4pν = x2 − Dy2 .

(10)

¨ Diese Uberlegung ist nun umzukehren. Es sei ν 1 der niederste Exponent, f¨ur den die Gleichung (10) in ganzen, etwa positiv genommenen Zahlen x, y, die teilerfremd sind oder, falls p ungerade ist, den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2 haben d¨urfen, l¨osbar ist. Wir sagen dann, p geh¨ore bez¨uglich der Diskriminante D zum ” Exponenten ν “. Dann berechnen sich umgekehrt aus (9) in beiden F¨allen D ≡ 0 und D ≡ 1 (mod 4) ganzzahlige α, γ, f¨ur die man aus (10) auch auf die zugeh¨orige Gleichung (8) schließt. Ein ungerader gemeinschaftlicher Teiler von α und γ w¨urde auch in x und y aufgehen und tritt also nicht auf. Ist aber γ gerade, sind mithin x und y zugleich gerade, so gilt voraussetzungsgem¨aß p ≡ 1 (mod 2), so daß aus (8) ein ungerades α folgt. Die aus der L¨osung (10) berechneten α, γ sind hiernach sicher teilerfremd. ¨ Die vorstehende Uberlegung gilt f¨ur eine beliebige Primzahl p, die als erster Koeffizient bei einer Form der Diskriminante D aufzutreten vermag und nicht in D aufgeht. Der Exponent ν, zu dem p bez¨uglich D geh¨ort, ist dann ein Teiler der Klassenanzahl h(D). Wir denken die vorstehende Rechnung bis zur Bestimmung der beiden positiven teilerfremden Zahlen α, γ durchgef¨uhrt und bilden durch Auswahl passender β, δ eine Substitution: x = αx + βy ,

y = γx + δy ,

αδ − βγ = 1 ,

durch die wir die Hauptform transformieren wollen. Es ergiebt sich eine der Hauptklasse angeh¨orende Form (pν , b , c0 ), die mit der Form (7) identisch sein mag oder nicht, deren mittlerer Koeffizient b aber jedenfalls teilerfremd gegen p ist und der Kongruenz: (11)

b2 ≡ D

(mod 4pν )

gen¨ugt. Die erhaltene Form mag man dann noch mittels einer Substitution x = x + βy, y = y transformieren. Man gelangt zu einer der Hauptklasse gleichfalls angeh¨orenden Form mit dem gleichen ersten Koeffizienten pν , einem mod 2pν beliebig ge¨anderten mittleren Koeffizienten und einem entsprechend ge¨anderten dritten Koeffizienten. Jede in dieser Art gewinnbare Form (pν , b, c0 ) ist aus der entsprechenden Form (p, b, c0 pν−1 ) durch ν-malige Komposition dieser Form mit sich selbst gewinnbar, und die letztere Form (p, b, c0 pν−1 ) repr¨asentiert eine Formklasse F, die als Element der Kompositionsgruppe Gh die Periode ν besitzt. Zufolge dieses Satzes erzeugt die durch (p, b, c0 pν−1 ) repr¨asentierte Klasse F in der Gruppe Gh eine zyklische Untergruppe Gν der Ordnung ν, die die Elemente F, F2 , . . . , Fν = F0 enth¨alt. Diese Klassen werden repr¨asentiert durch die Formen: (p, b, c0 pν−1 ) , (p2 , b, c0 pν−2 ) , . . . , (pν , b, c0 ) . Die Hauptklasse Fν = F0 kann in dieser Reihe auch an die erste Stelle gesetzt werden und symbolisch durch F0 oder als Einheitselement der Gh durch 1 bezeichnet werden. Man kann die Hauptklasse auch durch (1, b, c0 pν ) repr¨asentieren; denn

155

4.5 Gruppe der Formenkomposition

jede Form mit dem ersten Koeffizienten 1 geh¨ort der Hauptklasse 1 an. Die Elemente F0 = 1, F, F2 , . . . , Fν−1 der Untergruppe Gν werden dann durch: (12)

(1, b, c0 pν ) , (p, b, c0 pν−1 ) , . . . , (pν−1 , b, c0 p)

repr¨asentiert. Hieran schliessen sich auch noch entsprechende Darstellungen der zu Gν geh¨orenden Nebengruppen“ (vergl. II, 4). Irgend eine Klasse F repr¨asentieren wir ” durch eine Form (a, b , c ) mit einem gegen D teilerfremden und durch p nicht teilbaren a. Die Hauptklasse repr¨asentieren wir zun¨achst nochmals durch die oben f¨ur dieselbe erhaltene Form (pν , b , c0 ), wo wir den mittleren Koeffizienten noch beliebig mod 2pν ab¨andern durften. Entsprechend k¨onnen wir (a, b , c ) durch eine a¨ quivalente Form mit dem gleichen a, aber einem mod 2a beliebig ge¨anderten zweiten Koeffizienten ersetzen. Insbesondere ist es nun m¨oglich, eine Zahl b zu bestimmen, die den beiden Kongruenzen: (13)

b ≡ b

(mod 2pν ) ,

b ≡ b

(mod 2a)

gen¨ugt. Ist p ungerade, so l¨ose man zun¨achst b ≡ b (mod pν ) und die zweite Kongruenz (13). Hier giebt es eine L¨osung b, da die Moduli pν und 2a teilerfremd sind. Es ist dann aber auch b ≡ b (mod 2), so daß auch die erste Kongruenz (13) erf¨ullt ist; denn alle Formen der Diskriminante D haben mod 2 kongruente mittlere Koeffizienten. Ist p = 2, so ist a ungerade. Man verfahre dann gerade so, indem man zun¨achst b ≡ b (mod a) und die erste Kongruenz (13) l¨ost. Das gewonnene b denken wir nun bei der Darstellung (12) der zyklischen Untergruppe Gν verwertet, w¨ahrend wir andrerseits die Klasse F durch die mit dem gleichen b gebildete Form (a, b, c) repr¨asentieren. Da u¨ brigens ac wegen der Gleichheit der Diskriminanten unserer Form gleich c0 pν ist und a durch p nicht teilbar ist, so ist c ein Vielfaches c1 pν von pν . Die beiden Klassen Fκ und F werden daraufhin bezw. durch die Formen: (pκ , b, c0 pν−κ ) ,

(a, b, c1 pν )

repr¨asentiert. Nach den Kompositionsbetrachtungen am Anfang des vorliegenden Paragraphen oder auch schon nach II, 150 ergiebt sich durch Komposition dieser beiden Formen als Repr¨asentant der Klasse Fκ · F die Form: (pκ a, b, c1 pν−κ ) . Wir notieren als Ergebnis: Die Elemente F , F·F , F2 ·F , . . . , Fν−1 ·F der einzelnen Nebengruppe Gν ·F unserer zyklischen Untergruppe Gν sind repr¨asentierbar durch die Formen: (14)

(a, b, c1 pν ) , (pa, b, c1 pν−1 ) , . . . , (pν−1 a, b, c1 p) .

F¨ur a = 1, c1 = c0 gelangt man zur Darstellung (12) der Untergruppe Gν selbst zur¨uck. Verstehen wir unter ω den Wert:

156

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

−b + i |D| , ω= 2a

(15)

so sind die zu den Elementen der Nebengruppe Gν · F geh¨orenden Klasseninvarianten, wie gleich noch hinzugesetzt werden mag, die folgenden: ω ω ω (16) j(ω) , j , j 2 , . . . , j ν−1 . p p p Hier ist die Untergruppe Gν selbst mit eingeschlossen.

4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade. Die S. 141 mit Dp (j) bezeichnete Diskriminante der Transformationsgleichung f¨ur den Fall eines Primzahlgrades p ist das Quadrat des Differenzenproduktes der (p+1) Wurzeln: ω ω + 1 ω + 2 ω + p − 1 (1) j(p ω) , j , j , j , ... , j p p p p derTransformationsgleichung. Dp (j) ist eine ganze Funktion von j, und also ist Dp j(ω) eine Modulform erster Stufe, die im ”Innern“ der ω-Halbebene polfrei ist. Die Nullpunkte von Dp j(ω) , bei deren Betrachtung man sich auf den DB“ der ” Modulgruppe Γ beschr¨anken kann, sind diejenigen Stellen ω, in denen mindestens zwei unter den Wurzeln (1) einander gleich, also die zugeh¨origen Argumente dieser Wurzeln bez¨uglich Γ a¨ quivalent werden. Das f¨uhrt, wie man leicht feststellt, f¨ur ω allemal zu einer ganzzahligen quadratischen Gleichung, f¨ur deren L¨osung also j(ω) eine Klasseninvariante“ ist. Die Wurzeln der Gleichung Dp (j) = 0 sind also lauter ” Klasseninvarianten, und es soll festgestellt werden, welche Klasseninvarianten hier beim Transformationsgrade p vorliegen. Zun¨achst treten stets die zu D = −3 und D = −4 geh¨orenden Klasseninvarianten 0 und 123 auf. F¨ur ω = i (also D = −4) werden n¨amlich z. B. die beiden ersten Wurzeln (1) gleich: j

i

p =j − = j(pi) ; p i √

3 und ebenso findet man f¨ur ω = ρ = −1+i (also D = −3) z. B. die Gleichheit der 2 dritten und ersten Wurzel: −ρ2 −1 ρ + 1 =j =j = j(pρ) . j p p pρ

Soll weiter f¨ur ein singul¨ares“ ω mit D < −4 zun¨achst eine Gleichung: ”

157

4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade

j

ω + κ p

=j

ω + λ p

0κ <λp−1

,

gelten, so wird f¨ur das mit diesem ω a¨ quivalente: ω =

−1 ω+κ

die Gleichung bestehen: j(p ω ) = j

(λ − κ)ω − 1 pω

=j

ω − (λ − κ)−1 p

,

wo (λ − κ)−1 die der Zahlenreihe 1, 2, 3, . . . , p − 1 angeh¨orende L¨osung der Kongruenz: (λ − κ)x ≡ 1 (mod p) bedeutet18 . Gehen wir erneut von ω zum a¨ quivalenten Werte: ω = ω − (λ − κ)−1 , so folgt: j(p ω ) = j

(2)

ω p

.

Da nun a¨ quivalente ω stets dieselbe Klasseninvariante liefern, so brauchen wir zur Feststellung aller gesuchten Klasseninvarianten nur noch die ersten beiden Wurzeln (1) mit einander gleich zu setzen. Nun sind die beiden ersten Wurzeln (1) f¨ ur ein singul¨ares ω stets und nur dann β einander gleich, wenn es eine Substitution α, γ, δ in Γ giebt, deren Koeffizienten f¨ur dieses ω die Gleichung: (3)

αp ω + β ω = , p γp ω + δ

γp ω 2 + (δ − αp2 ) ω − βp = 0

erf¨ullen. Da γ hier von 0 verschieden sein muß, so darf man γ > 0 annehmen. Die ganzzahlige quadratische Form, deren Nullpunkt hiernach ω ist, bezeichnen wir wie u¨ blich durch (a, b, c), setzen sie urspr¨unglich und positiv voraus und nennen ihre Diskriminante D. Wir haben dann den Ansatz: (4)

γp = τ a ,

δ − αp2 = τ b ,

−βp = τ c ,

D = b2 − 4ac ,

wo τ eine positive ganze Zahl ist. Die aus den ersten drei Gleichungen (4) folgenden Ausdr¨ucke f¨ur β, γ und δ trage man in die Gleichung αδ − βγ = 1 ein und gewinnt so f¨ur α die quadratische Gleichung:

18

Man vergl. die Rechnungen in II, 276.

158

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

p2 α2 + τ bα +

(5)

acτ 2 − p2 =0. p2

Die Diskriminante dieser Gleichung f¨ur α ist die ganze Zahl: τ 2 b2 − 4(acτ 2 − p2 ) = 4p2 + Dτ 2 ; sie muß eine Quadratzahl σ 2 sein, da sich α als rationale“ ganze Zahl berechnen ” soll. Man gelangt zu zwei ganzen Zahlen σ und τ > 0, die die Gleichung befriedigen: 4p2 = σ 2 − Dτ 2 .

(6)

¨ Diese Gleichung bildet wieder den Mittelpunkt unserer Uberlegung a¨ hnlich wie die Gleichung (10), S. 154 f¨ur die damalige Entwicklung. Wir stellen zun¨achst fest, daß τ ≡ 0 (mod p) gilt. W¨are n¨amlich τ durch p teilbar, so w¨urde zufolge (6) dasselbe von σ gelten, und wir w¨urden wegen (6) zu den schon erledigten F¨allen D = −3, D = −4 zur¨uckgef¨uhrt. Wegen des zu p teilerfremden τ folgt aus (4): a≡0,

(7)

c≡0

(mod p) ;

mithin folgt f¨ur den mittleren Koeffizienten b unserer urspr¨unglichen“ Form und ” f¨ur ihre Diskriminante: b ≡ 0 ,

(8)

D ≡ 0

(mod p) .

Es ist demnach auch σ nicht durch p teilbar, so daß wir zusammenfassend noch: σ ≡ 0 ,

(9)

τ ≡ 0 (mod p)

notieren. Entsprechend den Kongruenzen (7) setzen wir a = pa0 , c = pc0 mit zwei ganzen Zahlen a0 und c0 , so daß sich die Gleichungen (4) umschreiben in: (10)

β = −τ c0 ,

γ = τ a0 ,

δ = αp2 + τ b ,

D = b2 − 4p2 a0 c0 .

Die quadratische Gleichung f¨ur α nimmt die Gestalt an: (11)

p2 α2 + τ bα + (a0 c0 τ 2 − 1) = 0 ;

ihre beiden L¨osungen sind: (12)

α=

−τ b ± σ . 2p2

Wir versuchen nun wieder diese Entwicklung umzukehren, um alle gesuchten Klasseninvarianten festzustellen. Da σ = 0 nicht zul¨assig ist, so kommen wegen (6) nur Diskriminanten D des Intervalls:

4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade

(13)

159

−4 > D > −4p2

in Frage, die nicht durch p teilbar sind, und f¨ur die 4p2 in der Gestalt (6) darstellbar ist mittels ganzer durch p nicht teilbarer Zahlen σ, τ . Ist p ungerade, so ist D auf die quadratischen Reste von p beschr¨ankt, w¨ahrend f¨ur p = 2 wegen der dann notwendig ungeraden σ, τ die Kongruenz D ≡ 1 (mod 8) zutreffen muß. Die Zahlen σ und τ sind teilerfremd, oder sie k¨onnen den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2 haben, letzteres jedoch nur, wenn p ungerade ist. Es sei jetzt ein zul¨assiges D mit einem Zahlenpaar σ, τ vorgelegt, wobei vorschriftsgem¨aß τ > 0 gew¨ahlt sein m¨oge. Man kann dann in jeder der zugeh¨origen h(D) Klassen F einen Repr¨asentanten der Gestalt (pa0 , b, pc0 ) ausw¨ahlen. Ist n¨amlich erstlich p = 2, so ist D ≡ 1 (mod 8) und b ungerade, mithin auch b2 ≡ 1 (mod 8). Es ist also 4ac ≡ 0 (mod 8), so daß mindestens eine der Zahlen a, c gerade ist. Ist c ungerade, also a gerade, so gehe man zur a¨ quivalenten Form (a, 2a + b, a + b + c), in der in der Tat der erste und der dritte Koeffizient gerade sind. Ist p ungerade, so entnehme man einer vorgelegten Klasse F zun¨achst eine Form (a, b, c) mit einem nicht durch p teilbaren a. Nach (4) in II, 138 gehe man von ihr zur a¨ quivalenten Form: (a, b , c ) = (a, −2βa + b, β 2 a − βb + c) , wobei man β, da D quadratischer Rest von p ist, entsprechend der Kongruenz: β 2 a − βb + c ≡ 0 (mod p) w¨ahlen kann. Man hat also bereits c ≡ 0 (mod p), so daß aus D ≡ 0 (mod p) auch b ≡ 0 (mod p) folgt. Mit der neuen Form ist a¨ quivalent: (a , b , c ) = (a − γb + γ 2 c , b − 2γc , c ) . Man bestimme γ aus der l¨osbaren Kongruenz a − γb ≡ 0 (mod p) und erh¨alt, da c schon durch p teilbar ist, auch noch a ≡ 0 (mod p), wie zu zeigen war. F¨ur die einer beliebigen Klasse F der Diskriminante D entnommene Form (pa0 , b, pc0 ) gilt nun D ≡ b2 (mod 4p2 ), so daß wir aus (6): (14)

(σ + bτ )(σ − bτ ) ≡ 0 (mod 4p2 )

folgern. Ist nun erstlich p ungerade, so k¨onnen nicht beide Faktoren in (14) links ¨ durch p teilbar sein, da sonst σ ≡ 0 (mod p) zutr¨afe. Uber das noch freie Vorzeichen von σ verf¨ugen wir so, daß (σ − bτ ) nicht durch p teilbar ist. Dann folgt aus (14) die Kongruenz σ + bτ ≡ 0 (mod p2 ). Weiter aber gilt σ + bτ ≡ 0 (mod 2), da die beiden mod 2 kongruenten Faktoren in (14) links ein durch 4 teilbares Produkt liefern, also nicht ungerade sein k¨onnen. Hiernach ist: (15)

α=−

τb + σ 2p2

160

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

eine ganze“ Zahl. Ist zweitens p = 2, so gelten bei unserer Form (2a0 , b, 2c0 ) die ” Kongruenzen: D ≡ 1 (mod 8) ,

b≡σ≡1

(mod 2) ,

D ≡ b2

(mod 16) ,

so daß aus (6) folgt: (σ + bτ )(σ − bτ ) ≡ 0

(mod 16) .

Hier k¨onnen aber wegen σ ≡ 0 (mod 2) nicht beide Faktoren links durch 4 teilbar sein; also ist ein Faktor durch 8 teilbar, und wir w¨ahlen das Vorzeichen von σ so, daß dies der erste Faktor ist. Auch f¨ur p = 2 ist das durch (15) gegebene α eine ganze“ Zahl. ” Aus (10) berechnet man jetzt drei weitere ganze Zahlen β, γ, δ, die mit α die Gleichung αδ − βγ = 1 befriedigen, und gelangt damit zum Ausgangspunkte (3) ¨ unserer Uberlegung zur¨uck. Es ergiebt sich der Satz: Die Gleichung Dp (j) = 0 hat neben den stets auftretenden L¨osungen j = 0 und j = 123 alle Klasseninvarianten derjenigen dem Intervalle (13) angeh¨orenden Diskriminanten D zu Wurzeln, f¨ur die L¨osungen der Gleichung (6) in ganzen, durch p nicht teilbaren Zahlen σ, τ existieren, womit zugleich alle Wurzeln jener Gleichung ersch¨opft sind. Nach der S. 154 vereinbarten Sprechweise sagten wir, die Primzahl p geh¨ore bez¨uglich D zum Exponenten ν, falls ν der kleinste positive Exponent ist, f¨ur welchen die Gleichung: (16)

4pν = σ 2 − Dτ 2

in ganzen Zahlen σ, τ l¨osbar ist, die entweder teilerfremd sind oder (jedoch nur bei ungeradem p) den gr¨oßten gemeinsamen Teiler 2 haben. Hat man bereits bei ν = 1 eine L¨osung σ, τ , so hat man auch f¨ur ν = 2 die brauchbare L¨osung: σ = σ 2 − 2p ,

τ = στ .

Im eben gewonnenen Satze handelt es sich demnach (nat¨urlich wieder ausser j = 0 und j = 123 ) um die Klasseninvarianten aller dem Intervalle (13) angeh¨orenden Diskriminanten D, bez¨uglich deren die Primzahl p einem der Exponenten 1 oder 2 angeh¨ort. Eine ganze Zahl m heißt durch eine quadratische Form (a, b, c) darstellbar“, ” wenn es zwei ganze Zahlen x, y giebt, die die Gleichung: (17)

m = ax2 + bxy + cy 2

befriedigen. Nat¨urlich ist m dann auch durch jede mit (a, b, c) a¨ quivalente Form darstellbar, so daß man sagt, m sei durch die Formklasse darstellbar. Einleuchtend ist, daß jede als erster Koeffizient in irgend einer Form von F auftretende Zahl durch die Klasse darstellbar ist. Mit der eben benutzten Form (pa0 , b, pc0 ) geh¨ort auch (p, b, pa0 c0 ) als urspr¨ungliche positive Form zur Diskriminante D. Da p zum Exponenten 1 oder 2 geh¨ort, so ist nach S. 154 die Klasse F von (p, b, pa0 c0 ) entweder

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

161

die Hauptklasse oder sie giebt, mit sich selbst komponiert, die Hauptklasse, ist also eine ambige“ Klasse (vergl. II, 140 und 151). Als erster Koeffizient p der Form ” (p, b, pa0 c0 ) ist also die Primzahl p entweder durch die Hauptklasse oder durch eine ambige Klasse darstellbar. Ist andrerseits p in der Gestalt: p = ax2 + bxy + cy 2 durch eine Form (a, b, c) der Hauptklasse oder einer ambigen Klasse darstellbar, so sind x und y teilerfremd. Man setze γ = y, δ = −x und w¨ ahleβ α und β entsprechend der Gleichung αδ − βγ = 1. Durch die Substitution α, γ, δ gelangt man zu einer a¨ quivalenten Form (p, b , c ), die also wieder der Hauptklasse oder der ambigen Klasse angeh¨ort. Dann aber folgt auch wieder aus den Rechnungen von S. 152 ff. die L¨osbarkeit der Gleichung (10), S. 154 in passenden ganzen Zahlen σ, τ f¨ur ν = 1 oder ν = 2, stets also f¨ur ν = 2. Dem gewonnenen Satze k¨onnen wir also auch die Fassung geben: Die Wurzeln der Gleichung Dp (j) = 0 (ausser j = 0 und j = 123 ) sind die gesamten Klasseninvarianten derjenigen Diskriminanten D des Intervalles (13), bei denen p durch die Hauptklasse oder eine ambige Klasse darstellbar ist; zugleich sind damit alle Wurzeln jener Gleichung ersch¨opft.

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0. Die unter (16), S. 156 gegebene Klasseninvariante j(ω) der beliebig gew¨ahlten Formklasse F magauch durch jF bezeichnet werden. Entsprechend bezeichnen wir die Invariante j ωp der Klasse F · F durch jF·F . Hierbei bedeutet ω den sin gul¨aren Wert (15), S. 156. Die beiden Gr¨oßen j = j ωp und j = j(ω) h¨angen bei beliebig ver¨anderlichem ω durch die zum Grade p geh¨orende Transformationsgleichung Fp (j , j) = 0 zusammen. Insbesondere gilt also f¨ur unser singul¨ares ω die Gleichung: Fp (jF·F , jF ) = 0 . Hieraus geht hervor, daß die beiden algebraischen Gleichungen f¨ur j: (1)

Fp (j, jF ) = 0 ,

HD (j) = 0

von den Graden (p+1) und h die L¨osung j = jF·F gemein haben. Es soll untersucht werden, ob dies die einzige gemeinsame Wurzel beider Gleichungen ist oder nicht. Die gesamten Wurzeln der ersten Gleichung (1) sind: ω + l −b + i |D| (2) j(p ω) , j , ω= , l = 0, 1, 2, . . . , p − 1 . p 2a Es fragt sich also, ob unter diesen (p + 1) Wurzeln ausser derjenigen f¨ur l = 0 noch eine oder mehrere Klasseninvarianten der Diskriminante D vorkommen.

162

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Nun ist erstlich ω = pω Wurzel der quadratischen Gleichung: aω 2 + bpω + c1 pν+2 = 0 , wie aus der Gestalt (14), S. 155 der zu ω geh¨orenden quadratischen Form hervorgeht. Es ist also ω der Nullpunkt der Form (a, bp, c1 pν+2 ), die wegen a ≡ 0 (mod p) urspr¨unglich ist und die Diskriminante p2 · D hat. Die erste Wurzel (2) gen¨ugt also nicht der zweiten Gleichung (1). Zweitens ist ω = ω+l mit l > 0 p Wurzel der Gleichung: ap2 ω 2 + p(b − 2al)ω + l(al − b) + c1 pν = 0 und also Nullpunkt der Form: 2 ap , p(b − 2al), l(al − b) + c1 pν , die gleichfalls die Diskriminante p2 · D hat. Diese Form kann nur p als Teiler > 1 haben. Dieser Teiler p tritt aber (ausser f¨ur l = 0) in der Tat noch einmal auf, n¨amlich f¨ur die aus: (3)

al − b ≡ 0 ,

l ≡ a−1 · b

(mod p)

sich ergebende Zahl l. Wir gelangen also nur noch zu der einen urspr¨unglichen Form: (ap, b , c ) ,

(4)

b = b − 2al

der Diskriminante D, deren Invariante den beiden Gleichungen (1) zugleich gen¨ugt. Es ist nun zu untersuchen, ob die Invariante dieser Form vielleicht wieder jF·F selbst ist, oder ob wir wirklich zu einer neuen Wurzel der zweiten Gleichung (1) gef¨uhrt sind. Um hier¨uber zu entscheiden, stellen wir f¨ur b zun¨achst die beiden Kongruenzen fest: (5)

b ≡ −b

(mod 2p) ,

b ≡ b (mod 2a) .

W¨ahrend die zweite Kongruenz unmittelbar aus der Erkl¨arung (4) von b folgt, m¨ussen wir beim Beweise der ersten unterscheiden, ob p ungerade oder gerade ist. Im ersten Falle folgt b ≡ −b (mod p) aus (4) und (3); und da stets b ≡ b (mod 2) gilt, so ist die erste Kongruenz (5) f¨ur ungerades p richtig. Ist aber p = 2, so sind D, a und b ungerade, und man hat l = 1. Also gilt zufolge (4) die Kongruenz b ≡ b (mod 4), so daß nur noch b ≡ −b (mod 4) u¨ brig bleibt. Nun hat man nach (5), S. 152: (ap, b , c ) = (p, b , ac ) · (a, b , c p) . Nach den Kongruenzen (5) sind die rechts stehenden Formen bezw. mit: (p, −b, c0 pν−1 ) ,

(a, b, c1 pν )

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

163

a¨ quivalent, von denen die erste (als mit (p, b, c0 pν−1 ) entgegengesetzt) die Klasse F−1 repr¨asentiert, w¨ahrend die zweite unsere Form der Klasse F ist. Die Form (4) liefert demnach die Klasse F−1 · F , die mit der Klasse F · F stets und nur dann identisch ist, wenn F ambig ist. Damit steht folgender Satz fest: Ist F ambig, so haben die beiden Gleichungen (1) nur eine einzige gemeinsame L¨osung, n¨amlich die Invariante jF·F der Klasse F · F ; ist dagegen F nicht ambig, so haben jene Gleichungen genau zwei gemeinsame L¨osungen, n¨amlich die Invarianten jF·F und jF−1 ·F der nun verschiedenen Klassen F · F und F−1 · F . Die beiden Funktionen Fp (j, jF ) und HD (j) von j, von denen die erste ganze ganzzahlige Funktionen von jF , die zweite aber ganze Zahlen zu Koeffizienten hat, haben somit den gr¨oßten gemeinsamen Faktor: 2 (6) (j − jF·F ) oder j − (jF·F + jF−1 ·F )j + jF·F · jF−1 ·F , je nachdem F ambig ist oder nicht. Nun wird der gr¨oßte gemeinschaftliche Faktor zweier ganzer Funktionen durch einen bekannten Divisionsprozeß gewonnen, wobei dieser Faktor der letzte Divisionsrest vor dem Aufgehen der Division ist. Man muß also in unserem Falle den Prozeß so lange fortsetzen, bis man einen Rest vom ersten bezw. vom zweiten Grade gewinnt. Dieser Rest liefert dann unmittelbar den in Betracht kommenden Faktor (6). Da man hierbei allein rationale Rechnungen durchzuf¨uhren hat, so folgt aus der Bauart der Koeffizienten von Fp (j, jF ) und HD (j) und aus dem Umstande, daß F frei w¨ahlbar war, der Satz: Ist F ambig, so ist die Klasseninvariante jF·F f¨ur jede Auswahl von F rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten in der Gestalt: (7)

jF·F = RF (jF )

darstellbar, wo die Bauart der rationalen Funktion RF von der Klasse F unabh¨angig ist; ist F nicht ambig, so hat man f¨ur (jF·F + jF−1 ·F ) eine Darstellung: (8)

jF·F + jF−1 ·F = RF (jF ) ,

wobei von der Funktion RF die gleichen Aussagen gelten wie bei (7). Beim Ersatze von F durch Fκ · F bleiben die Gleichungen (7) und (8) richtig. Man findet: (9)

jFκ+1 ·F = RF (jFκ ·F ) ,

wenn F ambig ist, und: (10)

jFκ+1 ·F + jFκ−1 ·F = RF (jFκ ·F ) ,

wenn F nicht ambig ist. Im ersten Falle folgt f¨ur κ = 1, da F2 die Hauptklasse ist: (11)

jF = RF (jF·F ) .

164

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Ist F ambig, so ist jede der beiden Klasseninvarianten jF und jF·F in der anderen durch ein und dieselbe rationale Funktion darstellbar. Ist hingegen F nicht ambig, so geh¨ort die Primzahl p bez¨uglich D zu einem Exponenten ν > 2. Demnach sind in der Reihe der Klassen: . . . , F−2 · F ,

F−1 · F ,

F ,

F · F ,

F 2 · F , . . .

irgend ν auf einander folgende verschieden, w¨ahrend die Klassen sich u¨ brigens periodisch wiederholen. Aus (10) ergiebt sich die Gleichungenkette: jF2 ·F = −jF + RF (jF·F ) , jF3 ·F = −jF·F + RF (jF2 ·F ) , jF4 ·F = −jF2 ·F + RF (jF3 ·F ) , .............................. , aus der man leicht den folgenden Satz entnimmt: F¨ur jeden Exponenten κ ist die Klasseninvariante jFκ ·F rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten in jF und jF·F darstellbar: (12)

(κ)

jFκ ·F = RF

jF , jF·F ,

(κ)

wobei die Bauart der Funktion RF allein durch F und κ bedingt ist, aber von F unabh¨angig ist. ¨ Das Ziel der nachfolgenden Uberlegung ist nun, festzustellen, welche quadratische Irrationalit¨at zu adjungieren ist, um auch im Falle einer nicht ambigen Klasse F eine der Gleichung (7) genau entsprechende Darstellung von jF·F in jF zu erm¨oglichen. In der Tat gen¨ugt ja zufolge des zweiten Ausdrucks (6) die Klasseninvariante jF·F erst einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten rationale Funktionen von jF mit rationalen Zahlenkoeffizienten sind. Setzt man in die Gleichung (11), S. 140 f¨ur j eine Klasseninvariante, also eine ganze algebraische Zahl ein, so sind alle Wurzeln M dieser Gleichung nach einem Satze von II, 79 wieder ganze algebraische Zahlen. In (13), S. 141 nehme man insbesondere ν = 0 und hat zun¨achst f¨ur variables ω (bei Fortlassung des Index bei M0 ): ω Δ ωp1 , ω2 = R j(ω), j , M (ω) = Δ(ω1 , ω2 ) p wo R die S. 140 ff. n¨aher untersuchte rationale Funktion ist. Wegen des frei w¨ahlbaren ω schliessen wir auf ν Gleichungen: ω ω ω M κ−1 = R j κ−1 , j κ , κ = 1, 2, . . . , ν . p p p Bedeutet hinfort ω wieder den singul¨aren Wert (15), S. 156, so folgen, wenn man f¨ur die rechts stehenden Klasseninvarianten die neuen Bezeichnungen benutzt, die

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

165

Gleichungen: (13)

M

ω = R jFκ−1 ·F , jFκ ·F , κ−1 p

κ = 1, 2, . . . , ν .

Die s¨amtlichen rechts auftretenden Klasseninvarianten sind nach (12) durch jF , jF·F rational darstellbar. F¨uhrt man dies aus und multipliziert die ν Gleichungen (13) mit einander, so gelangt man zu einer Gleichung: (14)

ν κ=1

M

ω = ΦF jF , jF·F , κ−1 p

wo Φ eine rationale Funktion mit rationalen Zahlenkoeffizienten ist, deren Bauart allein von F, aber nicht von F abh¨angt. Nun gilt: ω Δ pωκ1 , ω2 , M κ−1 = ω1 p Δ pκ−1 , ω2 so daß man die Gleichung (14) k¨urzer so schreiben kann: Δ ωpν1 , ω2 = ΦF jF , jF·F . (15) Δ(ω1 , ω2 ) F¨ur das vorliegende singul¨are ω ist ν der kleinste positive Exponent, f¨ur den pων bez¨uglich der Modulgruppe Γ mit ω a¨ quivalent ist. Es besteht also eine Gleichung: ω αω + β = ν p γω + δ mit vier ganzen Zahlen α, β, γ, δ der Determinante 1: αδ − βγ = 1 ,

(16)

wobei γ von 0 verschieden ist und als positiv vorausgesetzt werden darf. F¨ur ω folgt die quadratische Gleichung: γω2 + (δ − αpν )ω − βpν = 0 . Da andrerseits ω der Nullpunkt der ersten Form (14), S. 155 ist, so giebt es eine ganze positive Zahl y, f¨ur die die drei Gleichungen: (17)

γ = ay ,

δ − αpν = by ,

gelten. Versteht man unter x die weitere ganze Zahl: (18)

x = δ + αpν ,

so stellen sich die α, β, γ, δ so dar:

β = −c1 y

166

(19)

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

α=

x − by , 2pν

β = −c1 y ,

γ = ay ,

δ=

x + by , 2

und die Gleichung (16) liefert: x2 − Dy 2 = 4pν ,

(20)

f¨uhrt also zur Gleichung (10), S. 154 zur¨uck. Unter Spaltung von ω in den Quotienten von ω1 und ω2 haben wir mit einem Proportionalit¨atsfaktor μ: (21)

μ

ω1 = αω1 + βω2 , pν

μ ω2 = γω1 + δω2 .

Da Δ(ω1 , ω2 ) eine Modulform erster Stufe (−12)ter Dimension ist, so folgt aus diesen Gleichungen: ω1 Δ ν , ω2 = μ12 Δ αω1 + βω2 , γω1 + δω2 = μ12 Δ(ω1 , ω2 ) . p Der in (15) links stehende Quotient ist demnach die zw¨olfte Potenz des Proportionalit¨atsfaktors μ, und wir gelangen zu der Gleichung: (22) ΦF jF , jF·F = μ12 . Aus der zweiten Gleichung (21) folgt bei Benutzung von (19) f¨ur unser durch (15), S. 156 gegebenes ω: √ −b + i |D| x + by x+y D + = μ = γω + δ = ay 2a 2 2 √ mit positiv imagin¨ar genommener Wurzel D. Bei dieser Festsetzung hat man also: √ 12 x+y D . (23) ΦF jF , jF·F = 2 ¨ Bei der n¨achsten Uberlegung soll nun an der Klasse F entweder festgehalten werden, oder sie soll h¨ochstens durch ihre inverse Klasse F−1 ersetzt werden. Da die linke Seite von (8) beim Austausch von F und F−1 unver¨andert bleibt, so wird die in (8) rechts stehende Funktion RF ihre Bauart nicht a¨ ndern, wenn F durch F−1 ersetzt wird. Bei der eben getroffenen Verabredung k¨onnen wir demnach den Index F am Funktionszeichen RF sparen. Der Index F kann dann auch in (12) und (15) fortbleiben, und auch f¨ur (23) k¨onnen wir schreiben: √ 12 x+y D (24) Φ jF , jF·F = . 2

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

167

Es ist jetzt zun¨achst eine Zwischenbetrachtung u¨ ber die Anzahl der L¨osungen x, y der Gleichung (20) auszuf¨uhren. Da ν der kleinste Exponent ist, f¨ur den die Gleichung (20) in ganzen Zahlen x, y l¨osbar ist, so k¨onnen x und y h¨ochstens den Faktor 2 gemeinsam haben, und auch dies nur dann, wenn p ungerade ist. Da D ≡ 0 (mod p) gilt, so ist keine der Zahlen x und y durch p teilbar. √ Da nun D quadratischer Rest von p ist, so zerf¨allt im quadratischen K¨orper (R, D) das Hauptideal [p] in das Produkt zweier verschiedener Primideale ersten Grades p1 und p2 :19 [p] = p1 · p2 . Aus (20) folgt nun, falls D ≡ 0 (mod 4), mithin x ≡ 0 (mod 2) gilt: D D −x x ν ν (25) p1 · p 2 = +y · +y , 2 4 2 4 sowie, falls D ≡ 1 (mod 4), also x ≡ y (mod 2) zutrifft: √ √ −x + y D x+y D ν ν (26) p1 · p 2 = · . 2 2 In beiden Formeln stehen rechts teilerfremde“ Hauptideale, da sonst x durch p ” teilbar w¨are. Wie bisher sei y > 0; dann gilt bei richtig ausgew¨ahltem Vorzeichen von x: √ D x x+y D ν ν (27) p1 = +y bezw. p1 = . 2 4 2 Haben wir nun ein zweites L¨osungspaar x , y von (20), so gelangen wir genau so zur Gleichung (27) mit x und y . Wir schliessen auf das Bestehen der Gleichung: ⎧ x D ⎪ ⎨ x2 + y D = f¨ur D ≡ 0 (mod 4) , + y 4 2 4 (28) √ √ ⎪ x +y D ⎩ = x+y2 D f¨ur D ≡ 1 (mod 4) . 2 Die hier rechts und links eingeklammerten Zahlen sind also assoziiert“ (vergl. ” II, 86). Ist nun erstlich die zu D geh¨orende Stammdiskriminante (vergl. II, 122) oder, wie wir kurz sagen wollen, der Stamm“ von D von −3 und −4 verschieden, so giebt ” √ es im quadratischen K¨orper (R, D) nur die beiden Einheiten ±1 (vergl. II, 121). Da wir y und y > 0 w¨ahlen wollen, so folgt y = y und damit x = x. Ist der Stamm der Diskriminante D von −3 und −4 verschieden, so giebt es nur ein Paar die Gleichung (20) befriedigende Zahlen x, y, abgesehen davon, daß jede dieser Zahlen im Vorzeichen ge¨andert werden mag. 19

Vergl. II, 114 oder Algebra“ III, 235. ”

168

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Ist auch weiter der Stamm zun¨achst von −3 und −4 verschieden, so bemerke man unter Wiederankn¨upfung an (24), daß das Vorzeichen der in dieser Gleichung auftretenden Zahl x so zu bestimmen ist, daß α in (19) ganzzahlig ausf¨allt. Es gilt also die Kongruenz: x ≡ by (mod 2pν ) . Nun gen¨ugt die Zahl b nach dem Modul 2pν der ersten Kongruenz (13), S. 155, wobei b nur von F, aber nicht von der Auswahl der Klasse F abh¨angt. Da auch die Bauart der rationalen Funktion Φ unabh¨angig von F ist, so d¨urfen wir in (24), ohne daß sich x und y a¨ ndern, F durch irgend eine andere Klasse, z. B. auch durch F−1 ersetzen: √ 12 x+y D . Φ jF−1 , jF·F−1 = 2 Da nun zwei entgegengesetzte Formen Nullpunkte haben, die bez¨uglich der imagin¨aren ω-Achse symmetrisch liegen, so sind die Invarianten zweier entgegengesetzten Klassen konjugiert komplexe Zahlen. Die Funktion Φ hat rationale, also reelle Koeffizienten. Indem man alle in der letzten Gleichung auftretenden Zahlen durch ihre konjugiert komplexen Zahlen ersetzt, ergiebt sich: √ 12 x−y D (29) Φ jF , jF−1 ·F = . 2 Die rechten Seiten der Gleichungen (24) und (29) sind sicher von einander verschieden. Es w¨are n¨amlich sonst: √ √ x+y D (x + y D)2 √ = 4pν x−y D eine zw¨olfte Einheitswurzel. Dies trifft aber nicht zu, da wir den Stamm der Diskriminante D von −3 und −4 verschieden annahmen (vergl. II, 123). Bis zu dieser Stelle m¨ogen nun zun¨achst auch die F¨alle eines mit −3 und −4 gleichen Stammes gef¨ordert werden. Ausser D = −3 und D = −4 selbst m¨oge dabei auch D = −12 ausgeschlossen sein. Hier ist h = 1 und die Klassengleichung lautet (zufolge sp¨aterer Entwicklungen) j −54000 = 0, so daß man mit elementaren Verh¨altnissen zu tun hat. Wir setzen erstlich D = −4m2 mit m > 1; p ist ungerade und geht in m nicht auf. Aus der jetzt in Betracht kommenden ersten Gleichung (28) folgt: 1 1 x + my i = iκ x + myi . 2 2 Der Faktor iκ kann nicht gleich −1 sein, da y > 0, y > 0 gilt. W¨are er gleich ±i, so w¨urde: x = ∓2my , x = ±2my folgen. Dann w¨urde aber aus x ≡ 0 (mod 2m) und der Gleichung (20) ein durch p teilbares m folgen. Also ist iκ = 1, und daraus folgt x = x, y = y, worauf wir genau wie oben auf das Bestehen der Gleichung (29) schliessen. Die rechten Seiten

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

169

der Gleichungen (24) und (29) sind auch jetzt von einander verschieden. Es m¨ußte n¨amlich sonst eine Gleichung: πiκ 1 1 6 x + myi = e x − myi 2 2 bestehen, in der aber die rechts auftretende multiplikative Einheitswurzel eine solche vierten Grades sein m¨ußte, da sie dem K¨orper (R, i) angeh¨ort. Diese Einheitswurzel kann nicht gleich ±1 sein, da weder x noch y veschwindet. Sie kann aber auch nicht gleich ±i sein; dann w¨are n¨amlich x = ±2my, also x ≡ 0 (mod 2m), was wir schon als unzul¨assig erkannten. Es bleibt jetzt nur noch der Fall D = −3m2 , wo m > 2 ist und p in 3m nicht aufgeht. Die beiden F¨alle (28) k¨onnen zusammen behandelt werden; man hat den Ansatz: √ √ √ −1 + i 3 x + my −3 κ x + my −3 = ±ρ , ρ= , 2 2 2 dem man auch die Gestalt geben kann: x + my + 2my ρ = ±ρκ (x + my + 2myρ) . Die Einheitswurzel rechts kann nicht gleich −1 sein, da y und y positiv sind. In den vier F¨allen κ = ±1 schließt man jedesmal leicht auf das Bestehen der Kongruenz x ≡ 0 (mod m), so daß 4pν wegen (20) durch m2 teilbar w¨are. Dies ist aber nicht m¨oglich, da m > 2 gilt und p in m nicht aufgeht. Also bleibt nur ±ρκ = 1; damit ist wieder x = x, y = y, und wir schliessen wie oben erneut auf die G¨ultigkeit der Gleichung (29). Auch in diesem Falle sind die rechten Seiten der Gleichungen (24) und (29) von einander verschieden. Es m¨ußte n¨amlich sonst eine Gleichung: √ √ πiκ x + myi 3 = e 6 x − myi 3 gelten, in der die Einheitswurzel rechter√Hand aber nur dem sechsten Grade angeh¨oren k¨onnte, da sie im K¨orper (R, i 3) enthalten ist. Gleich ±1 kann diese Einheitswurzel nicht sein, da x und y von 0 verschieden sind. In den vier u¨ brigen F¨allen w¨urde man aber stets zu einem durch m teilbaren x gef¨uhrt, was unzul¨assig ist. Wir k¨onnen jetzt die oben (S. 164) aufgeworfene Frage beanworten, welche quadratische Irrationalit¨at zu adjungieren ist, um auch im Falle einer nicht-ambigen Klasse F eine der Gleichung (7) genau entsprechende Darstellung von jF·F durch jF zu erm¨oglichen. Es gilt demnach auch weiterhin die Voraussetzung, daß F nicht ambig ist. Bei denjenigen Diskriminanten D, bei denen alle“ Klassen ambig sind20 , ” 20

G a u ß hat die Vermutung ausgesprochen, daß es nur endlich viele Diskriminanten dieser Art giebt; man vergl. Art. 303 der Disquisitiones arithmeticae“. Gauß schreibt die Form mit doppeltem ” mittleren Koeffizienten (ax2 + 2bxy + cy 2 ) und bezeichnet D = b2 − ac als Determinante“ ” der Form. Bei den folgenden 65 Werten von −D:

170

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

reicht die Gleichung (7) bereits zum weiteren Ausbau der Theorie der Klassengleichung aus. Rechnen wir in (24) und (29) die rechts stehenden zw¨olften Potenzen nach dem binomischen Lehrsatze aus, so kleiden sich diese Gleichungen in die Gestalten: √ √ σ+τ D σ−τ D (30) Φ jF , jF·F = , Φ jF , jF−1 ·F = , 2 2 wo σ und τ ganze Zahlen sind und, wie eben bewiesen wurde, τ = 0 gilt. Hieraus folgt: (31)

√

D=

1 Φ jF , jF·F − Φ jF , jF−1 ·F . τ

Da die Funktion Φ rationale Zahlenkoeffizienten hat, findet man den Satz: Sind nicht alle Klassen ambig, so ist die Quadratwurzel der Diskriminante D eine nat¨urliche ” Irrationalit¨at“ (vergl. II, 51) der Klassengleichung; im Falle von lauter ambigen Klassen kann dieser Satz schon deshalb nicht gelten, weil dann der Galoissche K¨orper der Klassengleichung reell ist. Die Antwort auf unsere Hauptfrage ist aber jetzt einleuchtend. Durch Nullsetzen des zweiten Ausdrucks (6) erhalten wir eine quadratische Gleichung f¨ur j, deren Koeffizienten rationale Funktionen von jF mit rationalen Zahlenkoeffizienten sind, und die die L¨osungen jF·F und jF−1 ·F hat. Sie hat mit der Gleichung: √ σ±τ D (32) Φ jF , j = 2 bei G¨ultigkeit des oberen Zeichens die einzige“ Wurzel jF·F gemein, bei G¨ultigkeit ” des unteren Zeichens allein die Wurzel jF−1 ·F . Die gemeinsame Wurzel berechnet sich jeweils rational. Es folgt der Satz: Ist F eine beliebige Klasse und F die bisher so bezeichnete √ nicht-ambige Klasse, so ist nach Adjunktion der Quadratwurzel der Diskriminante D zum rationalen K¨orper die Klasseninvariante jF·F rational in der Gestalt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 giebt es nur ambige Klassen; nach Gauß gilt es als wahrscheinlich, daß dies alle Determinanten mit nur ambigen Klassen sind. (In Frickes Manuskript dieser Liste befinden sich drei Abweichungen von den Angaben in Gauß’ Disquisitiones arithmeticae“, Art. 303. Diese Abweichungen wurden oben gem¨aß der ” Gaußschen Tabelle korrigiert. Die Zahlen der obigen Liste stimmen mit Eulers Tafel der numeri idonei u¨ berein, s. z. B. Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Number Theory“ (Academic Press, ” London 1966), S. 427 oder D. A. Cox: Primes of the Form x2 + ny 2 “ (J. Wiley & Sons, ” New York 1989), S. 59 ff. Es ist bekannt, dass die Gaußsche Liste vollst¨andig ist, falls die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung zutrifft. Ohne die Annahme unbewiesener Hypothesen bewies P. Weinberger: Exponents of the class group of complex quadratic fields“, Acta Arith. 22 ” (1973), S. 117–124, dass die obige Tafel nach Einf¨ugung h¨ochstens einer weiteren Zahl vollst¨andig ist. [Anm. d. Hrsg.])

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

(33)

jF·F

171

√ = RF jF , D

darstellbar, wobei die Bauart der Funktion RF allein von F, aber nicht von F ¨ abh¨angt. Der Ubergang zu jF−1 ·F geschieht einfach durch Zeichenwechsel von √ ¨ D, ohne daß die Bauart von RF eine Anderung erf¨ahrt: √ (34) jF−1 ·F = RF jF , − D . Damit ist die Erweiterung der Gleichung (7) f¨ur den Fall einer nicht-ambigen Klasse gewonnen. Wir fassen weiterhin die Gleichungen (7) und (33) gew¨ohnlich in der Gestalt: (35) jF·F = RF jF zusammen. Es des √ ist dann allgemein RF eine rationale Funktion mit Koeffizienten √ K¨orpers (R, D) und insbesondere mit Koeffizienten des ja in (R, D) enthaltenen rationalen K¨opers R, wenn F ambig ist. Es ist nun m¨oglich, unser Ergebnis noch dahin zu verallgemeinern, daß F sogar eine beliebige der h(D) Klassen sein darf. Wir setzen speziell p1 und F1 f¨ur die bisherigen Bezeichnungen p und F und verstehen unter p2 und F2 gleichfalls eine Primzahl und eine zugeh¨orige Formklasse. Man hat dann die Gleichungen: (36)

jF1 ·F = RF1 (jF ) ,

jF2 ·F = RF2 (jF ) .

Da F frei w¨ahlbar ist, darf man in der ersten dieser Gleichungen F2 · F an Stelle von F eintragen und gelangt zu einer neuen Gleichung: jF1 ·F2 ·F = RF1 RF2 (jF ) ,

(37)

jF1 ·F2 ·F

√

D die Gestalt geben: √ = RF1 ·F2 jF , D .

der wir unter Hervorhebung der Irrationalit¨at

Der Aufbau der rechts stehenden Funktion h¨angt allein von der Klasse F1 · F2 ab. Ersetzen wir in (36) links F1 und F2 durch die entgegengesetzten Klassen F−1 1 und F−1 dies nur zur Folge, daß in den rechts stehenden Funktionen die dem 2 , so hat √ K¨orper (R, D) angeh¨orenden Koeffizienten durch ihre konjugierten Zahlen ersetzt werden. Wir gelangen zur Gleichung: √ j(F1 ·F2 )−1 ·F = RF1 ·F2 jF , − D . Ist auch p3 eine Primzahl und F3 eine zugeh¨orige Formklasse, so findet man entsprechend:

172

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

√ jF1 ·F2 ·F3 ·F = RF1 ·F2 ·F3 jF , D , √ j(F1 ·F2 ·F3 )−1 ·F = RF1 ·F2 ·F3 jF , − D und kann in der gleichen Weise die Betrachtung fortsetzen. Es ist nun bereits S. 152 bewiesen, daß man jede“ Formklasse F der Diskri” minante D als ein symbolisches Produkt F1 · F2 · F3 · · · von Formklassen unserer Art darstellen kann. Damit ist der grundlegende Satz gewonnen: F¨ur zwei beliebige Formklassen F und F der Diskriminante D gelten die Gleichungen: ⎧ √ ⎪ ⎨ jF·F = RF jF , + D , (38) √ ⎪ ⎩ jF−1 ·F = RF jF , − D , wo die Bauart der Funktion RF nur durch F bedingt ist und RF−1 dieselbe Bauart hat wie RF . Setzen wir u¨ brigens in der zweiten dieser Gleichungen statt F die Klasse F · F ein, so ergiebt sich: √ (39) jF = RF jF·F , − D als Umkehrung der ersten Gleichung (38). Man bilde jetzt die erste Gleichung (38) f¨ur alle h(D) Klassen F0 , F1 , F2 , . . . , Fh−1 , die man nach einander f¨ur F einsetzen wolle. Es entstehen die h(D) Gleichungen: k = 0, 1, 2, . . . , h − 1 , √ wo rechts rationale Funktionen mit Koeffizienten des K¨orpers (R, D) stehen und zwei zu entgegengesetzten√Klassen Fk und F−1 geh¨orende Funktionen einfach k ¨ D in einander u bergehen. Wir notieren als Schlußsatz: durch Zeichenwechsel von √ Ist bereits D zum rationalen K¨orper adjungiert, so sind mit der weiteren Bekanntgabe einer einzelnen“ beliebig gew¨ahlten Klasseninvariante jF bereits alle h(D) ” Klasseninvarianten rational bekannt“ (vergl. II, 43). Man hat nur zu beachten, daß ” die F0 · F , F1 · F , F2 · F , . . . , Fh−1 · F genau wieder alle h(D) verschiedenen Formklassen der Diskriminante D sind. (40)

jFk ·F = RFk (jF ) ,

4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen im Klassenk¨orper. Als Klassenk¨orper“ der Diskriminante D bezeichnen wir den K¨orper: ” √ (1) K = (R, D, jF ) ,

4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen im Klassenk¨orper

173

wo jF eine der zugeh¨origen Klasseninvarianten ist. Nach 4.7 sind in K alle h(D) Klasseninvarianten der Diskrimante D enthalten. Sind nicht alle Klassen ambig, so √ ist D eine nat¨urliche Irrationalit¨at der Klassengleichung, so daß in diesem Falle K zugleich der Galoissche K¨orper der Klassengleichung ist (vergl. II, 41). Sind hingegen alle Klassen ambig, so ist der Galoissche K¨orper der √ Klassengleichung reell, und aus ihm entsteht erst durch weitere Adjunktion von D der Klassenk¨ √orper K. Der Klassenk¨orper ist sowohl in bezug auf den quadratischen K¨orper (R, D), als auch in bezug auf den rationalen K¨orper im Sinne von II, √ 41 ein ”Normalk¨orper“. Sein Grad n in bezug auf den quadratischen K¨orper (R, D) ist gleich h(D), falls die Klassengleichung im quadratischen K¨orper irreduzibel ist. Ist sie indessen reduzibel, so ist n < h(D). Um u¨ ber die Frage der Reduzibilit¨at der Klassengleichung zu entscheiden (was u¨ brigens zum Beweise der Abelschen Behauptung nicht mehr unbedingt n¨otig sein w¨urde), sind noch einige arithmetische Betrachtungen vorauszuschicken. Es sei p eine Primzahl, die weder in 2D noch in der durch DK zu bezeichnenden Diskriminante der Klassengleichung aufgeht (vergl. II, 86 ff.)21 . Nach II, 108 zerf¨allt dann das Hauptideal [p] im K¨orper K in das Produkt von lauter verschiedenen Primidealen. Diese Zerf¨allung soll nun n¨aher untersucht werden. In einer einzelnen Klasseninvariante j ist jede andere ganze Zahl ζ des Klassenk¨orpers K auf eine und nur eine Art in der Gestalt: ζ = β0 + β1 j + β2 j 2 + · · · + βn−1 j n−1 √ mit Zahlen β aus (R, D) darstellbar. Da ζ ganz sein soll, so geht der Generalnenner der β in der Diskriminante DK der Klassengleichung auf. Schreiben wir also: (2)

(3)

DK · ζ = γ0 + γ1 j + γ2 j 2 + · · · + γn−1 j n−1 ,

so sind eindeutig bestimmte ganze“ Zahlen von √ f¨ur jede ganze Zahl ζ von K die γ √ ” (R, D). Hat ζ die ganze Zahl α aus (R, D) zum Teiler, so sind auch bereits alle Zahlen γ durch α teilbar. In diesem Falle besteht n¨amlich schon f¨ur αζ eine eindeutig bestimmte Darstellung der Gestalt (3). Die Grundzahl D des quadratischen K¨orpers h¨angt mit D durch eine Gleichung D = m2 D mit rationalem ganzen m zusammen; andrerseits berechnen wir aus D eine Basis“ 1, θ des quadratischen K¨orpers √ nach ” (1) in II, 121. Um die Koeffizienten in (3) rechts als ganze Zahlen von (R, D) zu charakterisieren, schreiben wir die Gleichung (3) abgek¨urzt: (4)

DK · ζ = g(j, θ) ,

wo also eine ganze ganzzahlige Funktion von j und θ steht. rechts Ist D das Legendresche Zeichen, so gilt bekanntlich: p 21 Durch diese Festsetzungen erleiden die S¨atze des vorigen Paragraphen keine Einbusse ihrer Allgemeing¨ultigkeit. Man kann n¨amlich die in den Formeln (38) ff. in 4.7 gemeinte Form (a, b, c) der Klasse F stets so entnehmen, daß a teilerfremd gegen 2D · DK ist.

174

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

D p

≡D

√ p D √ D ≡ D p

p−1 2 ,

(mod p) .

Mit Benutzung des Fermatschen Lehrsatzes der rationalen Zahlentheorie folgert man hieraus f¨ur die Grundzahl D des quadratischen K¨orpers entsprechend: √ p D √ D ≡ D p

(mod p) .

Ber¨ucksichtigt man, daß die Binomialkoeffizienten, sowie auch die Polynomialkoeffizienten der pten Potenz, soweit sie nicht gleich 1 sind, s¨amtlich den Teiler p haben, so findet man√f¨ur θ sowie u¨ berhaupt f¨ur alle ganzen Zahlen γ des quadratischen K¨orpers (R, D) die Kongruenzen: ⎧ D ⎨ γ p ≡ γ (mod p) f¨ur = +1 , p (5) D ⎩ γ p ≡ γ (mod p) f¨ur p = −1 , unter γ die zu γ konjugierte Zahl verstanden. Entsprechend folgt f¨ur unsere Funktionen (4): ⎧ D ⎨ g(j, θ)p ≡ g(j p , θ) (mod p) f¨ur = +1 , p (6) D ⎩ g(j, θ)p ≡ g(j p , θ) (mod p) f¨ur p = −1 . Es sei jetzt p ein in p aufgehendes Primideal des Grades λ. Die Norm“ von p ist ” dann nach (1) in II, 108 durch: N (p) = pλ

(7)

gegeben. Man hat N (p) mod p inkongruente Zahlklassen in K (vergl. II, 101), von denen eine die durch p teilbaren ganzen Zahlen von K enth¨alt. Genau wie in der rationalen Zahlentheorie folgert man das Bestehen des auf K u¨ bertragenen Fer” matschen Lehrsatzes“: ζ N (p) ≡ ζ (mod p) f¨ur jede ganze Zahl ζ aus K. Diese Kongruenz lautet wegen (7) so: (8)

λ

ζp ≡ ζ

(mod p) ,

wo λ der Grad des Primideals p ist. Eine Zahl ζ, f¨ur die diese Kongruenz nicht bereits bei einem kleineren positiven Exponenten λ besteht, w¨urde man nach Analogie der rationalen Zahlentheorie als eine primitive Wurzel“ des Primideals bezeichnen. ” Die Existenz solcher primitiver Wurzeln von p zeigt man wieder genau wie in der rationalen Zahlentheorie22 . Man kann demnach auch den Satz aussprechen: Ist λ

22

Diese Verh¨altnisse sind ausf¨uhrlich dargelegt in Algebra“ III, 35 ff. ”

175

4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen im Klassenk¨orper

die kleinste rationale ganze positive Zahl, f¨ur welche die Kongruenz (8) bei allen“ ” ganzen Zahlen ζ von K gilt, so ist λ der Grad des Primideals p. Die Linearfaktorenzerlegung der linken Seite der Klassengleichung ist: (9)

HD (j) = (j − jF0 )(j − jF1 )(j − jF2 ) · · · .

Da HD (j) rationale ganze Koeffizienten hat, so gilt die Kongruenz: HD (j)p ≡ HD (j p )

(mod p) .

Tr¨agt man f¨ur j eine beliebige der h(D) Klasseninvarianten jFk ein, so verschwindet die linke Seite dieser Kongruenz. Wegen (9) folgt: HD (jFpk ) = (jFpk − jF0 )(jFp k − jF1 )(jFp k − jF2 ) · · · ≡ 0

(mod p) .

Es muß also mindestens ein Faktor (jFpk − jFl ) durch p teilbar sein. W¨are auch noch ein weiterer vom ersten verschiedener Faktor (jFp k − jFm ) durch p teilbar, so w¨urde dasselbe von (jFl − jFm ) gelten, und dann w¨are die Diskriminante DK durch p teilbar, was aber nicht der Fall ist. Wir notieren den Satz: Die pte Potenz jeder Klasseninvariante jFk ist mod p mit einer und nur einer Klasseninvariante jFl kongruent: (10)

jFpk ≡ jFl

(mod p) .

Ist nun erstlich D quadratischer Nichtrest von p, so gen¨ugt die in K enthaltene Zahl θ nach (5) der Kongruenz: θp ≡ θ

(mod p) ,

so daß der Grad von p jedenfalls > 1 ist. F¨ur die beiden durch die Kongruenz (10) verbundenen Klasseninvarianten jFk und jFl haben wir nach (38), S. 172 eine Beziehung: DK · jFl = g(jFk , θ) , die sich zufolge (39), S. 172 invertiert in: DK · jFk = g(jFl , θ) , wo g beide Male dieselbe Funktion ist. Erheben wir die erste dieser Gleichungen zur pten Potenz, so folgt mit Benutzung des Fermatschen Satzes, der zweiten Kongruenz (6) sowie der Kongruenz (10): DK · jFp l ≡ g(jFpk , θ) ≡ g(jFl , θ) ≡ DK · jFk Da DK nicht durch p teilbar ist, folgt weiter: jFpl ≡ jFk

(mod p) ,

(mod p) .

176

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

so daß man durch erneutes Erheben zur pten Potenz mit Benutzung von (10) den Schluß zieht: 2

jFpl ≡ jFl

(11)

(mod p) .

Nun ist jede ganze Zahl ζ von K durch die Klasseninvariante j = jFl in der Gestalt √ (3) darstellbar, und f¨ur jede ganze Zahl γ von (R, D) gilt wegen (5) sicher die Kongruenz: 2 γ p ≡ γ (mod p) . Wir schliessen auf das Bestehen der Kongruenz: 2

ζp ≡ ζ

(mod p)

f¨ur jede ganze Zahl ζ aus K und haben damit den Lehrsatz gewonnen: Jede in D und DK nicht aufgehende ungerade rationale Primzahl p, von der D quadratischer Nichtrest ist, zerf¨allt im Klassenk¨orper K in das Produkt von lauter verschiedenen Primidealen zweiten“ Grades. ” Es sei jetzt D quadratischer Rest von p. Es giebt dann nach S. 160 ff. eine Klasse F, durch die die Primzahl p darstellbar“ ist; und mit F stellt nat¨urlich auch F−1 ” die rationale Primzahl p dar, wobei im Falle eines ambigen F die Klasse F−1 mit F identisch ist. Nach S. 161 (4.7, Anfang) gen¨ugen f¨ur eine beliebige Klasse F die beiden Klasseninvarianten jF·F und jF der Gleichung: Fp (jF·F , jF ) = 0 , so daß wir bei Benutzung der Gestalt (7), S. 140 dieser Transformationsgleichung zur Kongruenz gelangen: (12)

p (jFp − jF·F )(jF·F − jF ) ≡ 0

(mod p) .

Ist jetzt wieder p irgend ein in p aufgehendes Primideal, so ist sicher einer der Faktoren in (12) links durch p teilbar. Trifft dies nicht vom ersten Faktor zu, so ist: p jF·F − jF ≡ 0

(mod p) .

Wenn man hier F−1 · F f¨ur F eintr¨agt, so folgt: jFp − jF−1 ·F ≡ 0 (mod p) . Indem man die Bezeichnungen F und F−1 auf die beiden p darstellenden Klassen richtig verteilt, darf man die Kongruenz: (13) als bewiesen ansehen.

jFp ≡ jF·F

(mod p)

177

4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen im Klassenk¨orper

L¨aßt man an Stelle von F eine andere Klasse F treten, so w¨are m¨oglich, daß man dann in (13) statt F die Form F−1 brauchen m¨ußte. Demgegen¨uber wollen wir zeigen, daß die Kongruenz (13) mit dem gleichen F f¨ur alle Klassen F gilt. Ist n¨amlich F irgend eine Klasse, so hat man, wie aus der Formel (40), S. 172 mit dem frei bleibenden F leicht entnommen wird, zwei Gleichungen: DK · jF = g(jF , θ) ,

DK · jF·F = g(jF·F , θ)

mit einer und derselben Funktion g. Man erhebe die erste Gleichung zur pten Potenz, benutze die erste Kongruenz (6), die Kongruenz (13) und endlich die zweite der vorstehenden Gleichungen und findet: DK · jFp ≡ g(jFp , θ) ≡ g(jF·F , θ) = DK · jF·F

(mod p) .

Da DK nicht durch p teilbar ist, so folgt in der Tat das Bestehen der Kongruenz (13) mit dem gleichen F f¨ur jede andere Klasse F : jFp ≡ jF·F

(mod p) .

Setzt man demnach z. B. an Stelle von F die Klasse Fμ · F in (13) ein, wo μ ein beliebiger Exponent ist, so ergiebt sich: (14)

jFp μ ·F ≡ jFμ+1 ·F

(mod p) ,

μ = 0, 1, 2, . . . .

Man erhebe jetzt die Kongruenz (13) in die pte Potenz und gewinnt mit Benutzung von (14): 2 jFp ≡ jF2 ·F (mod p) . Indem man nochmals und wiederholt zur pten Potenz erhebt, gelangt man allgemein zu der Kongruenz: λ

jFp ≡ jFλ ·F

(mod p) ,

λ = 1, 2, 3, . . . .

Nun geh¨ort p bez¨uglich D zum Exponenten ν. Dann ist Fν die Hauptklasse F0 , w¨ahrend die niederen Potenzen Fν−1 , Fν−2 , . . . alle von F0 verschieden sind. Man hat also die Kongruenz: ν

jFp ≡ jF

(15)

(mod p) ,

w¨ahrend f¨ur alle λ < ν: λ

jFp ≡ jFλ ·F ≡ jF

(mod p)

zutrifft, da Fλ · F = F ist und also mod p kongruente jFλ ·F , jF ein durch p teilbares DK nach sich ziehen w¨urden. Benutzen wir jF als Klasseninvariante j zur Darstellung aller ganzer Zahlen ζ von K, so findet man genau wie oben, daß die Kongruenz:

178

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen ν

ζp ≡ ζ

(mod p)

f¨ur alle ganzen Zahlen des Klassenk¨orpers gilt. Damit steht folgender Satz fest: Jede in D und DK nicht aufgehende ungerade rationale Primzahl p, von der D quadratischer Rest ist, zerf¨allt im Klassenk¨orper K in ein Produkt von lauter verschiedenen Primidealen des Grades ν, wo ν der Exponent ist, zu dem p bez¨uglich D geh¨ort.

4.9 Irreduzibilit¨at der Klassengleichung in (R,

√ D).

Es soll √ jetzt entschieden werden, ob die Klassengleichung im quadratischen K¨orper (R, D) irreduzibel ist oder nicht. Wir gehen von der Annahme einer m¨oglichen Zerlegung: (1)

HD (j) = H(j) · H (j)

in das Produkt zweier Faktoren H(j) und H (j) mit Graden < h(D) aus, die beide √ Zahlen des K¨orpers (R, D) zu Koeffizienten haben. Diese Koeffizienten sind dann √ nach II, 80 ff. notwendig gleichfalls ganze“ Zahlen von (R, D)23 . ” Es m¨oge nun jF eine L¨osung von H(j) = 0 sein und jF eine solche von H (j) = 0. Dann befriedigt nat¨urlich weder jF die Gleichung H (j) = 0 noch jF die Gleichung H(j) = 0. Man wende auf eine geeignete Form der Klasse F · F−1 die Zerlegung (6), S. 152 an. Die Formklasse F · F−1 erscheint dann als Produkt: F · F−1 = F1 · F2 · F3 · · · Fm von m Klassen F1 , F2 , F3 , . . . , Fm , die m in D und DK nicht aufgehende ungerade Primzahlen p1 , p2 , p3 , . . . , pm darstellen. F¨ur F aber ergiebt sich die Darstellung: (2)

F = F1 · F2 · F3 · · · Fm · F .

Es seien nun p1 , p2 , p3 , . . . , pm Primideale, die bezw. in den Primzahlen p1 , p2 , p3 , . . . , pm aufgehen. Nach (13), S. 176 gelten die Kongruenzen: jFp1 ≡ jF1 ·F

(mod p1 ) ,

jFp21 ·F ≡ jF1 ·F2 ·F

(mod p2 ) ,

jFp31 ·F2 ·F ≡ jF1 ·F2 ·F3 ·F

(mod p3 ) ,

......... ... ............

.........

jFpm 1 ·F2 ···Fm−1 ·F

≡ jF

(mod pm ) .

Man vergl. insbesondere den Schlußsatz in § 3, II, 83. Die Betrachtungen gelten uneingeschr¨ankt auch f¨ur Funktionen mit ganzen algebraischen“ Koeffizienten; siehe hierzu auch Algebra“ III, ” ” 6 ff.

23

179

4.10 Angaben u¨ ber ambige Klassen

In der ersten Kongruenz steht links die zu H geh¨orende Klasse F, und in der letzten steht rechts die zu H geh¨orende Klasse F . Es findet also mindestens bei einer ¨ dieser Kongruenzen von links nach rechts ein Ubergang von H zu H statt. Diese Kongruenz m¨oge kurz geschrieben werden: (3)

jFp ≡ jF

(mod p) ,

wobei dann also die Gleichungen gelten: (4)

H(jF ) = 0 ,

H (jF ) = 0 .

Man erhebe die erste Kongruenz zur pten Potenz und findet, da D quadratischer Rest von p ist, nach der ersten Kongruenz (6), S. 174 sowie auf Grund der Kongruenz (3): p H jF ≡ H jFp ≡ H jF ≡ 0 (mod p) . Unter den Linearfaktoren von H(j) kommt (j − jF ) nicht vor. Zufolge der letzten Kongruenz ist dann mindestens eine Differenz von jF und einer von jF verschiedenen Klasseninvariante durch p teilbar. Dies ist aber eine unhaltbare Folgerung; denn es w¨urde sich die Teilbarkeit der Diskriminante DK der Klassengleichung durch p ergeben. Die Annahme der Zerlegung (1) ist also unzul¨assig, und damit ist der folgende Satz als richtig erkannt: Die Klassengleichung HD (j) = 0 √ ist im quadratischen K¨orper (R, D) und √damit nicht nur im rationalen K¨orper R, sondern auch noch nach Adjunktion von D zu demselben irreduzibel.

¨ 4.10 Angaben uber ambige Klassen. Die besondere Stellung, die die ambigen Klassen in 0000 1111 0000 1111 der Theorie der Klassengleichung einnehmen, macht es 0000 1111 0000 1111 n¨otig, noch einige weitere Angaben u¨ ber diese Klassen 0000 1111 0000 1111 0000 1111 hinzuzuf¨ugen. Es soll zun¨achst die Anzahl dieser Klas0000 1111 0000 1111 sen bei der Diskriminante D festgestellt werden. Die A 0000 1111 0000 00001111 1111 0000 00001111 Nullpunkte ihrer reduzierten Formen liegen auf dem in B 1111 0000 1111 00001111 1111 0000 00000 11111 0000 1111 00000 Fig. 23 stark ausgezogenen Rande der linken H¨alfte des 11111 0000 000001111 11111 0000 000001111 DB“ der Modulgruppe. Wir haben also nachzusehen, wie 11111 0000 1111 00000 11111 ” 0000 1111 00000 11111 C 0000 1111 00000 viele urspr¨ungliche positive Formen der Diskriminante 11111 0000 000001111 11111 0000 000001111 D hierbei in Betracht kommen. An Stelle des Kreisseg- 11111 0000 1111 00000 11111 0000 1111 00000 11111 0000 1111 mentes AB k¨onnen wir hierbei auch das Geradenst¨uck 11111 00000 0000 1111 00000 11111 0000 000001111 BC benutzen, das ja jenem Kreissegmente a¨ quivalent 11111 D E ist. Legen wir sogar die vollen Halbgeraden EA∞ und Fig. 23 DCB∞ zugrunde und bestimmen, wie viele Nullpunkte 24 urspr¨unglicher positiver Formen der Diskriminante D auf diesen Geraden liegen, Die Benennung des Punktes D und der Diskriminante D mit dem gleichen Buchstaben wird zu keinen Verwechslungen Anlass geben. [Anm. d. Hrsg.] 24

180

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

so haben wir die Anzahl dann noch durch 2 zu teilen, um die gesuchte Klassenanzahl zu gewinnen25 . Entsprechend jenen beiden Halbgeraden haben wir zwei Typen von Formen zu unterscheiden: I. II.

Gerade EA∞ ,

(a, 0, c) ,

D = −4ac ,

Gerade DCB∞ ,

(a, a, c) ,

D = −a(4c − a) ,

wo beide Male a und c positiv und teilerfremd sein m¨ussen. Die Faktorenzerlegung der Diskriminante D sei gegeben durch: (1)

κ2 1 D = −2κ0 · pκ 1 · p2 · · · ,

wo κ0 0 gilt und die u¨ brigen Exponenten κ 1 sind. Die Anzahl der verschiedenen Primteiler von D sei durch λ bezeichnet. Ist erstlich D ungerade, also κ0 = 0, so hat man den Ansatz: (2)

κ2 1 a(4c − a) = pκ 1 · p2 · · · .

Die Zahlen a und c sind stets und nur dann positiv und teilerfremd, wenn man die volle Potenz pκ des einzelnen Primteilers entweder dem ersten Faktor a oder dem zweiten (4c − a) zuweist. Das giebt f¨ur jeden Primteiler p zwei, also im ganzen 2λ M¨oglichkeiten, so daß wir 2λ −1 ambige Klassen gewinnen. Bei geradem D kommen beide Typen I und II in Betracht. Beim Typus I haben wir den Ansatz: (3)

κ2 1 ac = 2κ0 −2 · pκ 1 · p2 · · · .

Im niedersten Falle κ0 = 2, also f¨ur D ≡ 4 (mod 8) hat man die (λ − 1) Primzahlpotenzen in obiger Weise auf a und c zu verteilen, f¨ur κ0 > 2, also D ≡ 0 (mod 8), nimmt aber auch noch die Potenz 2κ0 −2 an der Verteilung teil. Man hat also 2λ −1 bezw. 2λ Verteilungsm¨oglichkeiten, je nachdem D ≡ 4 oder D ≡ 0 (mod 8) gilt, mithin je nachdem 2λ −2 oder 2λ −1 ambige Formklassen. Der Typus II liefert f¨ur gerades D, also f¨ur κ0 2, den Ansatz: (4)

κ2 1 a(4c − a) = 2κ0 · pκ 1 · p2 · · · .

Die Zahl a ist notwendig gerade, also c ungerade. Im niedersten Falle κ0 = 2 ist a das Doppelte einer ungeraden Zahl a , so daß man die Gleichung (4) in: (5)

1 κ2 1 a (2c − a ) = pκ 1 · p2 · · · = − D 4

umwandelt. Da man: Die beiden Mittelpunkte A und C d¨urfen, als zur Diskriminante D = −4 geh¨orig, ausser Betracht bleiben.

25

181

4.10 Angaben u¨ ber ambige Klassen

2a ≡ 2 ,

a2 ≡ 1 ,

2c ≡ 2

(mod 4)

hat, so geht aus (5) die Kongruenz: 1 1≡− D 4

(mod 4) ,

D ≡ 12

(mod 16)

hervor. F¨ur D ≡ 4 (mod 8) hat man also zu unterscheiden, ob D ≡ 4 oder D ≡ 12 (mod 16) gilt. Ist D ≡ 4 (mod 16), so hat man nur den Typus I mit 2λ −2 ambigen Klassen. Ist aber D ≡ 12 (mod 16), so findet man ausser jenen 2λ −2 Klassen aus dem Ansatze (5) noch weitere 2λ −2 ambige Klassen, jetzt also im ganzen 2λ −1 Klassen. Die Exponenten κ0 = 3 und κ0 = 4 kommen beim Typus II nicht in Betracht. Es m¨ußte n¨amlich beide Male a ≡ 4 (mod 8) sein, wo dann aber wegen des ungeraden c bereits die Kongruenz D ≡ 0 (mod 32), also κ0 5 gelten w¨urde. F¨ur D ≡ 8 (mod 16) und D ≡ 16 (mod 32) hat man also nur die 2λ −1 vom Typus I gelieferten ambigen Klassen. Es bleibt nur noch κ0 5, also eine durch 32 teilbare Diskriminante D. Da jetzt a durch 4 teilbar, also a = 4a ist, so gilt zufolge (4) der Ansatz: (6)

κ2 1 a (c − a ) = 2κ0 −4 · pκ 1 · p2 · · · .

Wegen κ0 > 4 nehmen an der Verteilung jetzt λ Primzahlpotenzen teil, so daß der Typus II jetzt noch 2λ −1 ambige Klassen liefert. Unter Hinzunahme des Typus I findet man f¨ur D ≡ 0 (mod 32) im ganzen 2λ ambige Klassen. Die Ergebnisse k¨onnen wir in einem einzigen Satz zusammenfassen: Man hat 2λ−1 ambige Klassen der Diskriminante D, wo λ im allgemeinen gleich der Anzahl verschiedener Primteiler von D ist (also gleich der bisher mit λ bezeichneten Anzahl); nur f¨ur D ≡ 4 (mod 16) ist λ um eine Einheit kleiner und f¨ur D ≡ 0 (mod 32) um eine Einheit gr¨osser als die Anzahl verschiedener Primfaktoren von D. Der Vergleich mit den Entwicklungen von II, 151 ff. u¨ ber die Charaktere“ χ1 , ” χ2 , . . . , χν der Formklassen und die sich auf die Totalcharaktere“ gr¨undende Ein” teilung aller h(D) Klassen in Geschlechter“ zeigt, daß die damals mit ν bezeich” nete Anzahl der Charaktere (vergl. insbesondere II, 154, Mitte) genau gleich der hier λ genannten Anzahl ist. Es ist nun ein bekannter Satz aus der Theorie der quadratischen Formen, daß von den 2λ kombinatorisch m¨oglichen Totalcharakteren nur genau die H¨alfte, also 2λ−1 bei den Formklassen wirklich auftreten. In der Tat ordnen sich die h(D) Klassen in 2λ−1 Geschlechter an, wobei in jedem Geschlechte gleich viel, also 2−(λ−1) · h(D) Klassen enthalten sind26 . Es besteht also der Satz: Bei der einzelnen Diskriminante D ist die Anzahl der ambigen Klassen genau gleich der Anzahl der Geschlechter. Sind insbesondere alle Klassen ambig (vergl. die Angaben von S. 169), so bildet demnach jede Klasse f¨ur sich ein Geschlecht. Bezeichnen wir kurz mit h0 die Anzahl der Klassen im einzelnen Geschlechte, so ist: (7) 26

h = 2λ−1 · h0 ,

Vergl. II, 155 und Algebra“ III, 291. ”

h0 = h · 2−(λ−1) .

182

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Komponiert man eine Klasse F mit sich selbst, so sagt man von der entstehenden Klasse F2 , sie sei durch Duplikation“ hergestellt. Soll dieselbe Klasse F2 auch aus ” F durch Duplikation entstehen, so gilt: 2 F2 · F−2 = F · F−1 = F0 ,

F2 = F2 ,

wo F0 die Hauptklasse ist. Nach II, 151 ist somit F · F−1 eine etwa durch A zu bezeichnende ambige Klasse, so daß F = A · F gilt. Umgekehrt liefert jede Klasse A · F, die durch Komposition einer der 2λ−1 ambigen Klassen mit F entsteht, auch wieder (A · F)2 = F2 . Es liefern demnach immer genau 2λ−1 verschiedene Klassen F durch Duplikation eine und dieselbe Klasse F2 , so daß es im ganzen h0 durch Duplikation entstehende Klassen giebt. Da sich die Charaktere χ bei Komposition multiplizieren, so hat eine Klasse F2 lauter Charaktere +1; sie geh¨ort demnach dem Hauptgeschlecht“ an. Im Hauptgeschlecht giebt es aber im ganzen nur h0 Klassen. ” Es folgt der Satz: Die h0 durch Duplikation entstehenden Klassen sind gerade genau die h0 Klassen des Hauptgeschlechtes“. ”

4.11 Galoissche Gruppe der Klassengleichung. Die bisherigen Ergebnisse sind ausreichend, um die Grunds¨atze der Galoisschen Gleichungstheorie mit Erfolg auf die Klassengleichung anzuwenden. Jede Wurzel jFi der Klassengleichung HD (j) = 0 ist in jeder anderen jFk in der Gestalt: (k)

(k)

(k)

(k)

jFi = βi0 + βi1 jFk + βi2 jF2 k + · · · + βi,h−1 jFh−1 k

(1)

√ darstellbar, wo die β Zahlen des quadratischen K¨orpers (R, D) bezw. im Falle h0 = 1, d. h. wenn alle h Klassen ambig sind, des rationalen K¨orpers R sind. Es ist also das erste Theorem von II, 43 unmittelbar anwendbar: Die Klassenglei√ chung HD (j) = 0 ist als irreduzibele Gleichung hten Grades in (R, D) bezw. R, f¨ur deren L¨osungen die Relationen (1) bestehen, eine Normalgleichung“, und ” als solche ist sie ihre eigene Galoissche Resolvente“; ihre Galoissche Gruppe ist ” einfach transitiv und hat die Ordnung h. Die Gleichung (1) hat nach 4.7 die Gestalt: jFk ·Fl = RFk (jFl ) ,

(2)

√ wo RFk eine allein durch Fk bedingte Funktion im K¨orper (R, D)“ oder (f¨ur ” h0 = 1) im K¨orper R“ ist. Zur Herstellung der Galoisschen Gruppe der Klassen” gleichung bringen wir die h Wurzeln in die Anordnung: (3)

jF0 ,

jF1 = RF1 (jF0 ) ,

jF2 = RF2 (jF0 ) , . . . , jFh−1 = RFh−1 (jF0 ) .

Nach II, 43 ff. stellen wir nun die h Permutationen der gesuchten Gruppe dadurch her, daß wir in (3) der Reihe nach jF0 durch jF0 , jF1 , jF2 , . . . , jFh−1 ersetzen. L¨aßt

4.11 Galoissche Gruppe der Klassengleichung

183

man aber jFk an die Stelle von jF0 treten, so geht die Anordnung (3) u¨ ber in: jFk , jF1 ·Fk = RF1 (jFk ) , jF2 ·Fk = RF2 (jFk ) , . . . , jFh−1 ·Fk = RFh−1 (jFk ) , wie aus (2) sofort hervorgeht. Die h Permutationen der Galoisschen Gruppe Gh der Klassengleichung sind also: jF0 , jF1 , jF2 , . . . , jFh−1 (4) , k = 0, 1, 2, . . . , h − 1 . jFk , jF1 ·Fk , jF2 ·Fk , . . . , jFh−1 ·Fk Diese h kurz durch P0 , P1 , P2 , . . . , Ph−1 zu bezeichnenden Permutationen sind den h Formklassen F0 , F1 , F2 , . . . , Fh−1 umkehrbar eindeutig zugeordnet. Dabei ist zugleich, falls Fk und Fl irgend zwei Klassen und Pk , Pl die ihnen entsprechenden Permutationen sind, die aus ihnen zusammengesetzte Permutation Pl · Pk auch wieder der Klasse Fl · Fk zugeordnet. Wir gelangen zu dem Satze: Die Galoissche Gruppe Gh der √ Klassengleichung HD (j) = 0 als einer Gleichung im quadratischen K¨orper (R, D) bezw. im rationalen K¨orper R ist isomorph mit der Kompositionsgruppe der h Klassen der Diskriminante D; demnach ist unsere Galoissche Gruppe Gh wie die Kompositionsgruppe eine kommutative“ oder Abelsche Gruppe“. Nun ” ” folgt nach II, 61 sofort weiter: Die Klassengleichung HD (j) = 0 der√Diskriminante D ist als eine irreduzibele Gleichung im quadratischen K¨orper (R, D) bezw. (f¨ur h0 = 1) im rationalen K¨orper R eine Abelsche Gleichung“, und sie ist als solche ” algebraisch“, d. h. durch eine Kette von Wurzelziehungen l¨osbar. Hiermit ist die ” Abelsche Behauptung (vergl. S. 136) best¨atigt. Nach dem letzten Satze in II, 17 besteht nun jede Indexreihe einer Abelschen Gruppe Gh der Ordnung h aus den gesamten Primfaktoren von h, wobei jeder Primfaktor so oft als Reihenglied auftritt, wie er als Faktor in h enthalten ist. Nun ist h = 2λ−1 · h0 , wo h0 die S. 181 angegebene Bedeutung hat. Nach den allgemeinen S¨atzen u¨ ber Aufl¨osung einer algebraischen Gleichung in II, 54 ff. kann man also zun¨achst die (λ − 1) Faktoren 2 betreffend den Satz aufstellen: Die Klassengleichung ist nach L¨osung von (λ − 1) quadratischen Gleichungen zerf¨allbar in 2λ−1 Gleichungen des Grades h0 . Dieser Gegenstand ist im zweiten, nicht minder wichtigen Teile der Weberschen Theorie der Klassengleichung behandelt. Es handelt sich um die Zerf¨allung der Klassengleichung entsprechend den Geschlechtern“. In der ” Tat liefert die einzelne der 2λ−1 Teilgleichungen hten 0 Grades die Klasseninvarianten des einzelnen Geschlechtes. Man findet eine ausf¨uhrliche Behandlung dieses Teiles der Weberschen Theorie in Algebra“ III, 371 ff. Es m¨oge hier gen¨ugen, die Ergeb” nisse zusammen zu fassen: In allen F¨allen sind es (λ − 1) Quadratwurzeln ganzer positiver Zahlen, welche adjungiert werden m¨ussen, um die Zerf¨allung der Klassengleichung entsprechend den Geschlechtern zu erm¨oglichen; und zwar setzen sich die Radikanden dieser Quadratwurzeln in h¨ochst einfacher Weise aus Primteilern der Diskriminante D zusammen. Um dies n¨aher anzugeben, verstehen wir unter p1 , p2 , . . . , pρ die verschiedenen mod 4 mit 1 kongruenten Primteiler von D und ebenso unter q1 , q2 , . . . , qσ die verschiedenen Primteiler, die mod 4 mit 3 kongruent sind. Wir haben dann im ganzen sieben F¨alle zu unterscheiden und stellen in jedem dieser F¨alle die (λ − 1) Quadratwurzeln tabellarisch zusammen, die die Zerf¨allung

184

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

der Klassengleichung leisten: I. D ≡ 1 (mod 4), II. D ≡ 4 (mod 16), III. D ≡ 12 (mod 16), IV. D ≡ 0 (mod 32), V. D ≡ 8 (mod 32), VI. D ≡ 16 (mod 32), VII. D ≡ 24 (mod 32),

√ p2 , . . . , √ √ p1 , p2 , . . . , √ √ p1 , p2 , . . . , √ √ √ 2, p1 , p2 , √ √ √ 2, p1 , p2 , √ √ p1 , p2 , . . . , √ √ p1 , p2 , . . . , √

p1 ,

√ √ q1 q3 , . . . , q1 qσ , √ √ √ √ pρ , q1 q2 , q1 q3 , . . . , q1 qσ , √ √ √ √ pρ , q1 , q2 , . . . , qσ , √ √ √ √ . . . , pρ , q1 , q2 , . . . , qσ , √ √ √ √ . . . , pρ , q1 q2 , q1 q3 , . . . , q1 qσ , √ √ √ √ pρ , q1 , q2 , . . . , qσ , √ √ √ √ pρ , 2q1 , 2q2 , . . . , 2qσ . √

pρ ,

√

q1 q2 ,

Man u¨ berzeuge sich, daß in jedem Falle wirklich (λ−1) Quadratwurzeln angegeben sind.

Kapitel 5

Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten.

5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe. Der Transformation nten Grades der elliptischen Funktionen legt man zweckm¨assig die in der Modulgruppe enthaltene durch β ≡ 0 (mod n) erkl¨arte Kongruenzgruppe nter Stufe zu Grunde, die fortan als die Transformationsgruppe“ bezeichnet werden ” soll (vergl. II, 349). Der DB“ dieser Gruppe wurde a. a. O. Transformationspoly” ” gon“ genannt und durch Tn bezeichnet. Durch Zusatz der Substitution: ω =

(1)

−n ω

gelangt man zu einer umfassenderen Gruppe, in der die Transformationsgruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 ist. Ihr DB“ ist das in II, 357 ff. bereits ” vielf¨altig untersuchte Klassenpolygon“ Kn ; die Gruppe selbst heisse entsprechend ” Klassengruppe“. Die Beziehung zu den ganzzahligen bin¨aren quadratischen For” men negativer Diskriminante ist durch das Theorem von II, 363 dargelegt. Die Klassengruppe besteht, abgesehen von den Substitutionen der Transformationsgruppe gerade genau aus allen Substitutionen der Gestalt: (2)

ω =

α n ω + βn , γω + δn

αδn − βγ = 1

mit ganzen, die zweite Gleichung (2) befriedigenden Zahlen α, β, γ, δ. Beide Gruppen sind durch die Spiegelung ω = −ω an der imagin¨aren ω-Achse erweiterungsf¨ahig. Unter Kn verstehen wir in der Regel sogleich den DB“ der so ” erweiterten Klassengruppe. Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch die Klassengruppe nochmals durch Zusatz von Substitutionen erster Art erweiterungsf¨ahig. Dies tritt an den in II, 437 ff. untersuchten Polygonen Kn bei zusammengesetzten Graden n unmittelbar zu Tage. So ist z. B. in Fig. 24 das in II, 437 behandelte Klassenpolygon K15 reproduziert, dessen vier mit s1 , s2 , s3 , s4 bezeichnete Seiten nebst zugeh¨origen Spiegelungen durch: R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

185

186

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

(s1 )

2(ξ 2 + η 2 ) + 2 · 15ξ + 7 · 15 = 0 ,

ω =

15ω+7·15 −2ω−15

,

(s2 )

ξ 2 + η 2 + 11ξ + 2 · 15 = 0 ,

ω =

11ω+4·15 −2ω−11

,

(s3 )

ξ 2 + η 2 + 2 · 4ξ + 15 = 0 ,

ω =

4ω+15 −ω−4

(s4 )

ξ 2 + η 2 − 15 = 0 ,

ω =

15 ω

e4 σ e1

s4

,

gegeben sind1 . Es wird nun das Kreisbogensechseck K15 durch die elliptische Substitution der Periode 2: (3)

ω =

5ω + 2 · 15 −ω − 5

e

mit dem in der Figur durch e √ bezeichneten bei ω = −5 + i 5 s2 s3 e 3 gelegenen Fixpunkte in sich transe2 formiert. Bei Zusatz dieser Substi−5 ω=0 − 15 tution zur Klassengruppe erhalten 2 wir also eine umfassendere GrupFig. 24 pe, in der die Klassengruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 ist. Der in der Figur mit σ bezeichnete Kreis der Gleichung: s1

ξ 2 + η 2 + 9ξ + 15 = 0 ,

(4)

auf dem der Fixpunkt e gelegen ist, l¨auft orthogonal zu s1 und s4 . Die beiden durch den Fixpunkt e abgetrennten Segmente dieses Kreises sind durch die Substitution (3) auf einander bezogen. Man w¨ahlt zweckm¨assig den durch den Kreis (4) abgetrennten, ins Unendliche ziehenden Teil des Polygons K15 zum DB“ der erweiter” ten Gruppe. Die Ecken e1 , e2 , e3 , e4 des Klassenpolygons K15 sind bezw. bei: √ √ √ √ −3 · 15 + i 15 −15 + i 15 −15 + i 15 , , , i 15 ω= 2 8 4 gelegen. Nach dem Theorem von II, 363 liefern sie repr¨asentierende Formen f¨ur die beiden Formklassen der Diskriminante D = −15 und die beiden mit D = −60. Diese repr¨asentierenden Formen sind bezw.: (1, 15, 60) ,

(8, 90, 255) ,

(2, 15, 30) ,

(1, 0, 15) ,

¨ Wie in II ist hier ω = ξ + iη gesetzt. Ubrigens ist in II meist (auch im Falle n = 15) die durch γ ≡ 0 (mod n) erkl¨arte Gruppe als Transformationsgruppe benutzt. Es ist f¨ur die Zeichnung der Polygone etwas bequemer, die Kongruenz β ≡ 0 (mod n) zur Erk¨arung der Transformations” gruppe“ zu benutzen. 1

5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe

187

von denen die erste und dritte zur Diskriminante D = −15, die zweite und vierte zu D = −60 geh¨oren. Diese Formen m¨ogen bez¨uglich der Transformationsgruppe ” reduziert“ oder kurz relativ reduziert“ genannt werden. Im gew¨ohnlichen Sinne ” reduziert ist nur die letzte Form, die die Hauptklasse“ der Diskriminante −60 ” repr¨asentiert. Zu den drei ersten Formen sind bezw. die im gew¨ohnlichen Sinne reduzierten Formen: (1, 1, 4) , (3, 0, 5) , (2, 1, 2) a¨ quivalent. Nach dem bekannten Theorem u¨ ber die Anzahl der Geschlechter, in die sich die Formklassen zusammenordnen2 , bildet bei den beiden vorliegenden Diskriminanten jede Formklasse f¨ur sich ein Geschlecht; insbesondere werden die Haupt” geschlechter“ f¨ur D = −15 und D = −60 von den Formen (1, 15, 60) und (1, 0, 15) geliefert. Von hieraus wird die arithmetische Bedeutung unserer letzten Gruppenerweiterung verst¨andlich. Die Substitution (3) ist, homogen und unimodular geschrieben: 5ω1 + 30ω2 −ω1 − 5ω2 √ √ , ω2 = . ω1 = 5 5 Durch diese, nicht mehr der Modulgruppe angeh¨orende Substitution werden die beiden die Hauptgeschlechter repr¨asentierenden Formen (1, 15, 60) und (1, 0, 15) jeweils in die die anderen Geschlechter repr¨asentierenden Formen (2, 15, 30) und (8, 90, 255) transformiert. Die beiden am ausgew¨ahlten DB“ der erweiterten Grup” pe verbleibenden Ecken e1 und e4 ergeben nur noch die Formen f¨ur die Hauptgeschlechter (1, 15, 60) und (1, 0, 15). Entsprechend dieser Sachlage soll die fragliche erweiterte Gruppe die zum Grade 15 geh¨orende Hauptgruppe“ genannt wer” den; ihr DB“ heisse Hauptpolygon“ und werde durch H15 bezeichnet. ” ” Die Hauptgruppe ist nicht mehr erweiterungsf¨ahig zu einer noch umfassenderen Gruppe, in der sie als ausgezeichnete Untergruppe enthalten w¨are. Es ist n¨amlich aus der Gestalt des Hauptpolygons H15 ohne weiteres einleuchtend, daß es keine von der identischen Substitution verschiedene Substitution erster oder zweiter Art geben kann, die H15 in sich transformiert. Die Verallgemeinerung auf einen beliebigen Grad n ist leicht vollzogen. Es sei n = t · s irgend eine Zerlegung der Gradzahl n in zwei teilerfremde Faktoren t und s. Man bilde dann alle Substitutionen der Gestalt: (5)

ω =

α t ω + βn , γω + δt

αδt − βγs = 1

mit ganzen, die zweite Gleichung (5) befriedigenden Zahlen α, β, γ, δ. Da t und s teilerfremd sind, so giebt es f¨ur jede Zerlegung n = t · s Substitutionen dieser Art. Die Substitutionen (5) m¨ogen symbolisch durch Vt bezeichnet werden. Hat man dann zwei Substitutionen Vt und Vt , die zu irgend zwei unserer Zerlegungen n = t · s und n = t · s geh¨oren, so gilt f¨ur die aus Vt und Vt zusammengesetzte Substitution die Regel: 2

Vergl. dar¨uber II, 151 sowie Algebra“ III, 291. ”

188

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

(6)

Vt · Vt = Vt ,

t · τ 2 = t · t ,

wo τ der gr¨oßte gemeinschaftliche Teiler von t und t ist. Hebt man n¨amlich aus den vier Koeffizienten der zusammengesetzten Substitution Vt · Vt den gemeinsamen Faktor τ fort, so folgt: ⎛ ⎞ n t t α , (α + β )n α t τ + β γ β δ ⎜ τ τ τ ⎟ ⎟. Vt · Vt = ⎜ ⎝ ⎠ t t n γ α + δ γ , γ β + δ δ t τ τ τ τ Nun ist die ganze Zahl: (7)

t t n = · s = s τ τ τ

und tτ , also durch ihr Produkt t teilbar; man α t , β n Vt · Vt = γ , δ t

durch jede der teilerfremden Zahlen kann also:

t τ

mit ganzen Zahlen α , β , γ , δ schreiben. Dabei findet man f¨ur die Determinante dieser Substitution: (8)

α δ t2 − β γ n = t .

Zufolge (7) ist die ganze Zahl s durch die gegen τt teilerfremde Zahl tτ teilbar, so daß man s = tτ s0 mit ganzer Zahl s0 schreiben kann. Setzt man s0 τ = s so folgt n = t s , und die Gleichung (8) ergiebt, durch t geteilt: α δ t − β γ s = 1 woraus hervorgeht, daß die Zahlen t und s wieder teilerfremd sind. Damit ist die Regel (6) bewiesen. Die Regel (6) soll nun gruppentheoretisch ausgewertet werden. Ist λ die Anzahl verschiedener Primteiler von n, so hat man genau 2λ verschiedene Zerlegungen n = t · s und damit auch 2λ verschiedene Systeme von Substitutionen Vt , deren einzelnes zur einzelnen Zerlegung n = t · s geh¨ort. Das System der Substitutionen Vt m¨oge kurz durch St bezeichnet werden. Aus der Regel (6) geht dann unmittelbar folgender Satz hervor: Die Substitutionen aller 2λ Systeme St bilden eine als Hauptgruppe“ des Grades n zu bezeichnende Gruppe, in der die aus dem Systeme ” S1 allein bestehende Transformationsgruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2λ ist. Als Bezeichnung der Hauptgruppe benutzen wir H (n) oder, wenn n nicht mitgenannt zu werden braucht, kurz H. Bilden wir nach II, 10 die zur Transformationsgruppe als einer ausgezeichneten Untergruppe der Hauptgruppe geh¨orende Quotientengruppe“ von der Ordnung 2λ , ” so haben wir als Elemente derselben die 2λ Systeme St anzusehen, die sich wieder nach der Regel:

5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe

(9)

St · St = St ,

189

t · τ 2 = t · t ,

zusammensetzen. Es folgt der Satz: Die Quotientengruppe ist eine kommutative oder Abelsche Gruppe der Ordnung 2λ , die ausser dem Einheitselemente S1 lauter Elemente der Periode 2 enth¨alt. Eine zugeh¨orige Indexreihe 2, 2, . . . , 2 ist λ-gliedrig und besteht aus lauter Indizes 2; entsprechend besteht eine Kompositionsreihe aus lauter Gruppen, deren jede ausgezeichnet vom Index 2 in der voraufgehenden enthalten ist. Indem man alle m¨oglichen Kompositionsreihen aufstellt und bei jeder Reihe von den einzelnen Gruppen zu den entsprechenden Untergruppen der Hauptgruppe u¨ bergeht, gelangt man zur Kenntnis aller Gruppen, die in der Hauptgruppe enthalten sind und ihrerseits die Transformationsgruppe enthalten. Diese Gruppen sollen als Zwischengruppen“ bezeichnet werden. Um eine zweckm¨assige Schreibweise ” einzuf¨uhren, bezeichnen wir mit G1 oder, wenn die Hervorhebung des Grades n (n) erw¨unscht ist, mit G1 die dem Einheitselement S1 entsprechende Transformationsgruppe. Hieran reihen sich demn¨achst die (2λ − 1) zyklischen Untergruppen der Ordnung 2 in der Quotientengruppe, deren einzelne neben S1 ein Element St mit t > 1 enth¨alt; wir gelangen zu (2λ − 1) Zwischengruppen, die durch G1,t1 , G1,t2 , (n) (n) (n) . . . , G1,n oder genauer durch G1,t1 , G1,t2 , . . . , G1,n zu bezeichnen sind, und deren letzte die Klassengruppe“ ist. Es reihen sich weiter 16 (2λ − 1)(2λ − 2) Zwischen” (n) gruppen G1,t1 ,t2 ,t3 oder G1,t1 ,t2 ,t3 an, wo t3 nach der Regel (9) aus den beiden verschiedenen Teilern t1 und t2 zu berechnen ist, usw.; nach λ Schritten gelangt (n) man zur Hauptgruppe H (n) selbst, die auch durch G1,t1 ,t2 ,...,n oder G1,t1 ,t2 ,...,n bezeichnet werden kann. Ist n ≡ 1 (mod 4), so stimmt die Ordnung 2λ der Quotientengruppe mit der Anzahl der Geschlechter der quadratischen Formen der Diskriminante D = −4n genau u¨ berein. Ebenso ist f¨ur n ≡ 3 (mod 4) die Ordnung 2λ gleich der Summe der Geschlechteranzahlen bei D = −n und D = −4n. Desgleichen ist f¨ur n ≡ 0 (mod 8) die Geschlechteranzahl f¨ur D = −4n wieder gleich der Ordnung 2λ . Indessen findet man f¨ur n ≡ 2, 4 und 6 (mod 8), daß die Geschlechteranzahl f¨ur ¨ D = −4n allemal nur halb so groß wie die Ordnung 2λ ist. Ubrigens hat sich gezeigt, daß man bei den Graden, die durch 4 oder durch 9 teilbar sind, auch die Hauptgruppe einer nochmaligen Erweiterung, sogar unter Umst¨anden wiederholten Erweiterungen unterziehen kann, ohne aus dem Gebiete eigentlich diskontinuier” licher Gruppen“ (Gruppen mit nicht-verschwindendem DB“) hinauszutreten. ” Die erste Aufgabe bei der algebraischen Theorie des einzelnen Transformationsgrades n ist stets die Feststellung und n¨ahere Untersuchung des DB“ der Haupt” gruppe3 . Besonders aussichtsreich erscheinen die F¨alle, bei denen dieser DB“ das ” Geschlecht p = 0 hat. Es existiert dann eine einzige Hauptfunktion des Grades n, ten nach deren Adjunktion zu j(ω) die beim n Grade eintretende Transformationsgleichung durch eine Kette von λ Quadratwurzeln l¨osbar wird. Von den untersuchten Graden liegt das Geschlecht p = 0 des DB“ vor zun¨achst bei allen Graden bis ” 3

Diese Aufgabe ist vom Verf. neuerdings f¨ur eine gr¨ossere Anzahl von Graden durchgef¨uhrt; n¨ahere Angaben folgen.

190

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

n = 36, eingeschlossen, ausserdem bei den Graden: n = 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 63, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 76, 78, 84, 90, 105, 110. Festgestellt sind ausserdem die nicht mehr zu p = 0 geh¨orenden DB“ der Haupt” gruppen der Grade: n = 37, 43, 53, 57, 58, 65, 73, 74, 75, 77, 91, 102, 130. Man gewinnt hier den Ausblick auf eine wesentlich vertiefte Behandlung der Transformation der elliptischen Funktionen. Dabei ist bemerkenswert, daß die Entwicklung u¨ ber das engere Gebiet der Modulfunktionen hinausf¨uhrt in dasjenige der automorphen Funktionen. Es handelt sich also hier um eine erste, nicht unwichtige Anwendung dieser Funktionen. Dabei kommen Grenzkreisgruppen“ zur Verwen” dung, die mit der Modulgruppe kommensurabel“ sind, insofern die Hauptgruppe ” des Grades n mit der Modulgruppe die Transformationsgruppe dieses Grades zur gemeinsamen Untergruppe hat.

5.2 Methoden zur Berechnung der Klasseninvarianten. Will man die allgemeinen S¨atze des vorigen Kapitels u¨ ber die algebraische Aufl¨osbarkeit der Klassengleichung HD (j) = 0 der Diskriminante D durch Einzelausf¨uhrungen erl¨autern, so ist es nicht m¨oglich, an die Gleichung HD (j) = 0 selbst anzukn¨upfen. Man h¨atte n¨amlich zur Gewinnung der Klassengleichung nach den Darlegungen von S. 142 ff. die Transformationsgleichungen erster Stufe Fn (j , j) = 0 herzustellen, in ihnen j = j zu setzen usw. Aber die fertige Ausrechnung dieser Transformationsgleichungen ist nur in den beiden niedersten F¨allen n = 2 und n = 3 gelungen, wor¨uber man die Gleichungen (8) in II, 372 und die bereits sehr komplizierte Gleichung in II, 385 (unter dem Texte) vergleiche. Diese beiden F¨alle aber bieten f¨ur die allgemeine Theorie der Klassengleichung noch kein Interesse dar. H. W e b e r ist bei seinen ausgedehnten Untersuchungen u¨ ber numerische Berechnung der Klasseninvarianten dieser Schwierigkeit dadurch begegnet, daß er statt der Transformationsgleichungen erster Stufe solche h¨oherer Stufen zugrunde legte. Es boten sich ihm, aus der a¨ lteren Theorie stammend, die Modulargleichungen von Jacobi–Sohnke (vergl. II, 495)4 und Schl¨afli (vergl. II, 502) dar; auch benutzte er irrationale Modulargleichungen (vergl. II, 524), sowie die bekannten besonderen Resolventen 5ten und 7ten Grades (vergl. II, 482). Durch Verwertung so vielf¨altiger ¨ Ans¨atze verliert nat¨urlich die Entwicklung an Einheit und Ubersichtlichkeit. Auch 4

Das in II, 502 angegebene Zitat der Arbeit von Sohnke ist wie folgt zu berichtigen: L . A . S o h n k e Aequationes modulares pro transformatione functionum ellipticarum“, J. reine angew. Math. 16 ” (1837), 97–130. [Anm. d. Hrsg.]

5.2 Methoden zur Berechnung der Klasseninvarianten

191

ist zu beachten, daß man beim Abgehen von den Transformationsgleichungen erster Stufe die gleichm¨assige Einfachheit, die dieser Stufe gegen¨uber allen Transformationsgraden zukommt, aufgiebt. Die oben erw¨ahnte Schwierigkeit liegt auch keineswegs an der ersten Stufe, sondern ist durch den Umstand begr¨undet, daß man im Transformationspolygon Tn sogleich mit den beiden Funktionen j(ω), j (ω) sehr hoher Wertigkeit zu arbeiten versucht, w¨ahrend es in diesem Polygon Funktionen mit weit kleinerer Wertigkeit giebt, die sich bei numerischen Einzeldurchf¨uhrungen als sehr geeignet erweisen. Dieser Umstand ist bereits in II, 367 ff. grundlegend geworden bei der Behandlung der Transformationsgleichungen erster Stufe. Insbesondere sind in dem daselbst folgenden vierten Kapitel zahlreiche Transformationsgrade n, bei denen entweder schon das Transformationspolygon selbst oder doch das Klassenpolygon zum Geschlechte p = 0 geh¨orte, fertig behandelt. Diese Entwicklungen k¨onnen nat¨urlich jetzt nach Gewinnung der Hauptgruppe und der Zwischengruppen sehr wesentlich gef¨ordert werden. Bei jedem Transformationsgrade n hat man zur Berechnung zugeh¨origer Klasseninvarianten zwei Ans¨atze, die hier zun¨achst kurz skizziert werden sollen. Ist das Geschlecht des Transformationspolygons Tn gleich 0, so kann man eine einwertige Funktion dieses Polygons ausw¨ahlen, die mit τ (ω) bezeichnet werden soll. In τ (ω) ist j(ω) rational darstellbar:

(1) j(ω) = R τ (ω) . Der Zusatz der Substitution: (2)

ω = −

n ω

f¨uhrt zur Klassengruppe. Da Tn durch diese Substitution in sich transformiert wird, so ist: −n τ (ω) = τ ω wieder eine einwertige Funktion von Tn , also eine lineare Funktion von τ (ω). Wir gelangen zu einer elliptischen Substitution der Periode 2“: ” aτ + b , (3) τ = cτ + d deren beide durch L¨osung einer quadratischen Gleichung zu bestimmende Fixpunkte τ die Werte der Hauptfunktion τ (ω) in jenen Ecken des Klassenpolygons Kn liefern, die u¨ ber das Polygon Tn hinaus neu hinzukommen. Wir haben hier also allemal zwei Klassen, die sich f¨ur n ≡ 3 (mod 4) auf die beiden Diskriminanten D = −n und D = −4n verteilen und f¨ur n ≡ 3 (mod 4) beide zur Diskriminante D = −4n geh¨oren. Die Eintragung der beiden berechneten Werte in die Gleichung (1) liefert die Klasseninvarianten selbst. Hat das Transformationspolygon ein Geschlecht p > 0, ist indessen das Geschlecht des Klassenpolygons gleich 0, so w¨ahle man eine einwertige Funktion τ (ω)

192

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

von Kn . Das Polygon Tn ist dann elliptisch oder hyperelliptisch. Man hat in τ (ω) eine zweiwertige Funktion von Tn und muß noch eine Quadratwurzel: (4) σ(ω) = g(τ ) aus einer ganzen Funktion (2p + 2)ten Grades von τ adjungieren, um in τ (ω) und σ(ω) ein Funktionssystem des Polygons Tn zu besitzen. In τ und σ existiert dann eine rationale Darstellung:

(5) j(ω) = R τ, σ von j(ω) selbst. Jetzt liefern die (2p + 2) Wurzeln der Gleichung g(τ ) = 0 die Werte von τ in den neuen“ Ecken des Polygons Kn . Diese Werte geh¨oren f¨ur n ≡ 3 ” (mod 4) alle zur Diskriminante D = −4n. Dagegen verteilen sie sich je zur H¨alfte auf die Diskriminanten D = −n und D = −4n, wenn n ≡ 7 (mod 8) gilt; und endlich geh¨ort ein Viertel der Werte τ zu D = −n und der Rest zu D = −4n, falls n ≡ 3 (mod 8) zutrifft5 . Die Klasseninvarianten selbst findet man nat¨urlich, indem man der Reihe nach die fraglichen Werte τ und σ = 0 in (5) eintr¨agt. Hat auch Kn nicht mehr das Geschlecht 0, so wird man an eine geeignete Zwischengruppe oder die Hauptgruppe ankn¨upfen, um von hier aus zun¨achst die algebraische Theorie des Transformationsgrades n zu entwickeln. Es ist zu erwarten, ¨ daß sich hier bei dem Ubergange von der Hauptgruppe zur Transformationsgruppe, also bei den λ Quadratwurzeln, f¨ur die neuen“ Ecken des Klassenpolygons Kn die ” Radikale einfinden, die nach der Weberschen Theorie die Zerlegung der Klassengleichung entsprechend den Geschlechtern leisten. Eine zweite Methode zur Berechnung der Klasseninvarianten gr¨undet sich auf die in 4.4 (S. 142 ff.) dargestellte Entwicklung der Klassengleichung aus der Transformationsgleichung Fn (j , j) = 0. Indem j = j gesetzt wurde, ergab sich eine reduzibele algebraische Gleichung Fn (j, j) = 0, die multiplikativ aus einer Anzahl von Klassengleichungen zusammengesetzt war. Unter den Wurzeln der Gleichung Fn (j, j) = 0 treten stets die Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n bezw. der beiden Diskriminanten D = −n und D = −4n auf. Ausserdem treten aber noch nach S. 147 die Klasseninvarianten derjenigen Diskriminanten D auf, die Darstellungen von 4n in der Gestalt: 4n = σ 2 − Dτ 2 mittels ganzer, die Bedingungen: √ √ −2 n < σ < +2 n ,

τ >0

befriedigender Zahlen σ und τ gestatten. Nimmt man τ in die Koeffizienten der zun¨achst urspr¨unglichen quadratischen Formen als Teiler“ auf und schreibt, falls ” τ > 1 ist, f¨ur Dτ 2 gleich selbst D, so kann man die Sachlage auch so aussprechen: Zu den Wurzeln der Gleichung Fn (j, j) = 0 geh¨oren auch, und zwar in gerader 5

Vergl. das Theorem u¨ ber die Klassenanzahlen in II, 148.

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten

193

Vielfachheit (vergl. S. 149), die Invarianten aller urspr¨unglichen und abgeleiteten Klassen der Diskriminanten: (6)

D = −(4n − σ 2 ) ,

σ = 1, 2, 3, . . . ,

√ wo σ alle positiven ganzen Zahlen unter 2 n durchl¨auft. Bei der Durchf¨uhrung dieses Ansatzes hat man, falls Tn das Geschlecht 0 hat, an die Gleichungen (1), (2) und (3) anzukn¨upfen. Neben (1) reiht sich die Gleichung: aτ + b j (ω) = R , cτ + d so daß die Gleichsetzung von j und j f¨ur τ die algebraische Gleichung: aτ + b − R(τ ) = 0 (7) R cτ + d ergiebt. Die L¨osungen dieser Gleichung hat man dann zur Berechnung der Klasseninvarianten selbst in j = R(τ ) einzutragen. Die Verteilung der entspringenden Werte auf die in Betracht kommenden Diskriminanten D findet keine Schwierigkeit. Hat zwar nicht mehr Tn , aber doch Kn das Geschlecht 0, so gr¨undet sich der zweite Ansatz auf die Gleichung (5), die man mit Hilfe von (4) in die Gestalt: (8)

j(ω) = R1 (τ ) + σR2 (τ )

weiter entwickelt. Hier gilt: j (ω) = R1 (τ ) − σR2 (τ ) , und da σ = 0 zu D = −4n bezw. zu den beiden Diskriminanten D = −n und D = −4n f¨uhrt, so gelangen wir zu den Diskriminanten (6) von der Gleichung: R2 (τ ) = 0 aus. Die L¨osungen τ dieser Gleichung sind f¨ur die Berechnung der Klasseninvari¨ anten j selbst in j = R1 (τ ) einzutragen. Ubrigens wird man die zweite Methode, da sie nicht weiter reicht als die erste, nur zu Kontrollrechnungen benutzen.

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten. Die in 5.2 beschriebenen Methoden zur Berechnung von Klasseninvarianten sollen zun¨achst bei einigen niederen Transformationsgraden durchgef¨uhrt werden, bei denen die algebraische Theorie der Transformation in II, 389 ff. bereits fertig entwickelt ist. Man wolle in den damaligen Formeln statt J nur allemal die Invariante ¨ von der Transformationsj = 123 J eintragen und erinnere sich, daß der Ubergang gruppe zur Klassengruppe hier (im Gegensatz zu II) durch Zusatz der Substitution

194

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

ω = −n vollzogen wird. Wie oben bemerkt, entspricht dies dem Umstande, daß ω die Transformationsgruppe hier durch β ≡ 0 (mod n) erkl¨art wurde. I . K l a s s e n i n v a r i a n t e n b e i m T r a n s f o r m a t i o n s g r a d e n = 5. Die algebraische Behandlung dieses Grades findet man in II, 389 ff. In der einwertigen Funktion τ (ω) des Polygons T5 ist j(ω) folgende rationale Funktion sechsten Grades: (τ 2 + 10τ + 5)3 . (1) j= τ Die Substitution (3), S. 191 ist hier: −5 125 = τ ω τ (ω) und liefert f¨ur die zu den beiden Formklassen der Diskriminante D = −20 f¨uhrenden Ecken von K5 die Werte: −5 + i√5 √ √ √ = −5 5 . τ (i 5) = +5 5 , τ 2 Diese Klassen sind durch die reduzierten quadratischen Formen (1,0,5) und (2,2,3) repr¨asentierbar. Die Eintragung dieser Werte τ in (1) ergiebt die Klasseninvarianten der Diskriminante D = −20:6 √ √ √ 3 √ 1 ± 5 3

√ −1 + i 5 6 = ±2 · 5 5 3±2 5 . (2) j i 5 , j 2 2 Hier bildet jede Klasse f¨ur sich ein Geschlecht. Nach der Weberschen Theorie √ (vergl. S. 184, Fall III) ist in der Tat zur Aufl¨osung der Klassengleichung 5 zu adjungieren. Die Klassengleichung selbst: j 2 − 26 · 53 · 79 j − 212 · 53 · 113 = 0 hat bereits sehr hohe Koeffizienten. Dagegen f¨allt die f¨ur die Unbekannte τ geltende Resolvente der Klassengleichung“: ” τ 2 − 125 = 0 sehr einfach aus. 6 Das Ergebnis (2) findet man bei F. Klein Gesammelte mathematische Abhandlungen“, Bd. III ” (Berlin: Verlag von Julius Springer 1923), S. 306 in der Form: √ « „ √ ´3 `√ ´ ` −1 + i 5 j i 5 , j = 50 ± 26 5 . 2

Diese und einige weitere der im Folgenden bestimmten Klasseninvarianten lassen sich auch ¨ u¨ berpr¨ufen mit Hilfe der Angaben bei L. Kiepert Uber die complexe Multiplication der ellipti” schen Functionen“, Math. Ann. 39 (1891), S. 145–178 und der Tafeln bei H. W e b e r Lehrbuch ” der Algebra“, Bd. III, 2. Aufl. (Braunschweig: Vieweg 1908), S. 721 ff. [Anm. d. Hrsg.]

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten

195

Die zweite in 5.2 beschriebene Methode zur Berechnung der vom Transformationsgrade n = 5 aus zug¨anglichen Klasseninvarianten kn¨upft man an Stelle von (1) zweckm¨assig an die Gleichung: j − 123 =

(3) an7 . Der Ansatz:

(τ 2 + 22τ + 125)(τ 2 + 4τ − 1)2 τ

−5 3 − 12 − j ω − 123 = 0 j ω

liefert f¨ur τ die Gleichung zehnten Grades:

2

2

τ 4 τ 2 + 4τ − 1 τ 2 + 22τ + 125 − τ 2 − 500τ − 15625 τ 2 + 22τ + 125 = 0 , die nach (6), S. 193 zu den Klasseninvarianten der Diskriminanten D = −20, −19, −16, −11, −4 hinf¨uhrt. In der Tat ist die Gleichung reduzibel und liefert folgende Ergebnisse: √ D = −20 , τ 2 − 125 = 0 , τ = ±5 5 , √ τ = 7 ± 2i 19 , D = −19 , τ 2 − 14τ + 125 = 0 , τ 2 + 4τ + 125 = 0 ,

D = −11 ,

τ + 18τ + 125 = 0 ,

τ = −2 ± 11i , √ τ = −9 ± 2i 11 ,

D = −4 ,

τ 2 + 22τ + 125 = 0 ,

τ = −11 ± 2i .

D = −16 ,

2

√ F¨ur D = −20 kommen wir zu den schon benutzten Werten τ = ±5 5, und bei D = −4 stellt sich j = 123 ein. In den drei anderen F¨allen berechnet man durch Eintragung der Werte τ in (1) die Klasseninvarianten der Diskriminanten D = −19, −16 und −11: ⎧ √ −1+i 19 ⎪ j = −215 · 33 , ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ j(2i) = 23 · 33 · 113 , (4) ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎩ j −1+i 11 = −215 . 2 In allen drei F¨allen ist die Klassenanzahl gleich 1, so daß die Klasseninvarianten rationale ganze Zahlen sind. Die Verteilung der erhaltenen Werte j auf die Diskriminanten ist die richtige; denn es m¨ussen die Ungleichungen gelten: −1 + i√11 −1 + i√19 j(2i) > 0 > j >j . 2 2 7

Die Gleichung (13) in II, 393, in der sich ein Vorzeichenfehler findet, ist nach der Gleichung (3) des Textes richtig zu stellen.

196

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

I I . K l a s s e n i n v a r i a n t e n b e i m T r a n s f o r m a t i o n s g r a d e n = 7. Da auch T7 das Geschlecht 0 hat, gestalten sich hier die Verh¨altnisse ebenso einfach wie bei n = 5. Die algebraische Behandlung des Transformationsgrades 7 findet man in II, 395 ff. In der dort erkl¨arten einwertigen Funktion τ (ω) von T7 stellt sich j(ω) so dar: (τ 2 + 13τ + 49)(τ 2 + 5τ + 1)3 (5) j= , τ und die Wirkung der Transformation von T7 in sich auf τ (ω) ist: −7

49 . ω τ (ω) Wenden wir sogleich die zweite Methode aus 5.2 an, so liefert der Ansatz: τ

j(ω) − j

=

−7 ω

=0

f¨ur τ die Gleichung 14ten Grades:

3

3

τ 6 τ 2 + 5τ + 1 τ 2 + 13τ + 49 − τ 2 + 245τ + 2401 τ 2 + 13τ + 49 = 0 , die im rationalen K¨orper entsprechend den Diskriminanten D = −28, −27, −24, −19, −12, −3 reduzibel ist. Diese Angabe bezieht sich auf urspr¨ungliche und abgeleitete Formen der genannten Diskriminanten. Sollen nur urspr¨ungliche Formen zugelassen werden, so ist auch noch D = −7 hinzuzuf¨ugen. Die Rechnung liefert folgende Zerlegung unserer Gleichung 14ten Grades: D = −28 , −7 ,

τ 2 − 49 = 0 ,

τ = ±7 ,

√ 11±5i 3 2

D = −27 ,

τ 2 − 11τ + 49 = 0 ,

D = −24 ,

τ 4 + 10τ 3 + 51τ 2 + 490τ + 2401 = 0 ,

D = −19 ,

τ 2 + 5τ + 49 = 0 ,

τ=

D = −12 ,

τ 2 + 11τ + 49 = 0 ,

τ

D = −3 ,

τ 2 + 13τ + 49 = 0 ,

τ

τ=

,

√ −5±3i 19 , 2 √ 3 = −11±5i 2 √ 3 = −13±3i 2

, .

Die f¨ur D√= −24 angegebene Gleichung muß nach S. 184 (Fall V) nach Adjunktion von 2 reduzibel werden. Sie zerf¨allt in der Tat in die beiden quadratischen √ Gleichungen: τ 2 + (5 ± 6 2)τ + 49 = 0 , √ deren weitere L¨osung die Adjunktion von i 3 n¨otig macht. Eine erste Wurzel ist: √ √ 5+6 2 5−2 2 √ + i 3, τ =− 2 2 √ aus √ der alle Wurzeln entsprechend den vier Vorzeichenkombinationen bei 2 und i 3 hervorgehen.

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten

197

Die Eintragung von τ = ±7 in (5) ergiebt als Klasseninvarianten f¨ur D = −28 und D = −7: √ √ −1 + i 7 (6) j(i 7) = 33 · 53 · 173 , = −33 · 53 . j 2 F¨ur D = −3 √ folgt nat¨urlich j = 0. Die zur Berechnung der Werte τ n¨otige Irrationalit¨at i 3 f¨allt bei Berechnung der zugeh¨origen Werte j aus (5) regelm¨assig wieder fort. Man findet als Klasseninvarianten f¨ur D = −27, −24, −19 und −12: √ 3 D = −27 , j −1+3i = −215 · 3 · 53 , 2 √ 2

√ 3

√ √ D = −24 , j i 6 , j i 2 6 = 26 · 33 1 ± 2 5 ± 2 2 , √ D = −19 , j −1+i2 19 = −215 · 33 ,

√ D = −12 , j i 3 = 24 · 33 · 53 . Daß die berechneten Werte j richtig auf die Diskriminanten verteilt sind, ergiebt sich aus den hier notwendig bestehenden Ungleichungen: −1 + i√19 i√6 −1 + 3i√3 √ √ <j <0<j < j(i 3) < j(i 6) . j 2 2 2 I I I . K l a s s e n i n v a r i a n t e n b e i m T r a n s f o r m a t i o n s g r a d e n = 11. Die algebraische Theorie dieses Grades findet man in II, 403 ff. entwickelt. Das Polygon T11 hat das Geschlecht p = 1, w¨ahrend K11 zum Geschlechte p = 0 geh¨ort. Eine einwertige Funktion τ (ω) von K11 ist mittels der in II, 403 unter (1) und (2) gegebenen Modulformen als Quotient: τ (ω) =

y(ω1 , ω2 ) z(ω1 , ω2 )

2

erkl¨art8 . F¨ur die Transformationsgruppe hat man dann noch die Quadratwurzel: (7) σ(ω) = τ (τ 3 − 20τ 2 + 56τ − 44) zu adjungieren. Die Darstellung von j(ω) im Funktionssystem σ, τ ist nach (14) in II, 407:

3 (8) j : (j − 123 ) : 123 = τ 61 τ 2 − 24 · 23 τ + 25 · 11 − 22 · 3 · 5 σ

: τ 5 · 7 · 19 τ 3 − 24 · 3 · 7 · 23 τ 2 + 26 · 3 · 7 · 11 τ 2 − 23 · 7 · 112 − 2 · 32 σ(37τ − 23 · 11) 2

: 24 · 33 τ (τ 2 − 3 · 7 τ + 23 · 11) + σ(τ − 11) . 8

Siehe II, S. 406, (12). [Anm. d. Hrsg.]

198

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

F¨ur σ = 0 gelangen wir, der ersten Methode von 5.2 folgend, zu den Klasseninvarianten der Diskriminanten D = −11 und D = −44. Bei D = −11 hat man nur eine Formklasse mit der reduzierten Form (1, 1, 3), w¨ahrend bei D = −44 drei Klassen mit den reduzierten Formen (1, 0, 11), (3, ±2, 4) vorliegen, die nur ein Geschlecht bilden. Entsprechend liefert der Fall II, S. 184 f¨ur D = −44 keine Quadratwurzel. Zu D = −11 gelangen wir f¨ur: lim σ 2 = −44τ = 0 . Man findet f¨ur diesen Grenz¨ubergang: 215 · 113 215 · 113 τ lim j = lim 4 · = −215 , = −4 112 σ 2 112 · 44 womit die letzte Formel (4) best¨atigt wird. Zur Berechnung der drei Klasseninvarianten f¨ur D = −44 hat man die Wurzeln der kubischen Gleichung: τ 3 − 20τ 2 + 56τ − 44 = 0 entsprechend (8) in: j=

4 (61 τ 2 − 24 · 23 τ + 25 · 11)3 τ (τ 2 − 3 · 7 τ + 23 · 11)2

einzutragen. Diese drei Wurzeln sind: √ √ √ √ 20 εν ε−ν 3 3 − (2 + 33) 2(13 − 3 33) − (2 − 33) 2(13 + 3 33) , τ= 3 3 3 ν = 0, 1, 2, √

3 wo ε die dritte Einheitswurzel −1+i ist. Die wirkliche Berechnung der Werte j ist 2 ohne Interesse, da man bereits hier erkennt, daß √ zur L¨osung der Klassengleichung √ ausser der Quadratwurzel der Diskriminante i 11 noch die Irrationalit¨aten i 3 und √ 3 2(13 + 3 33) zu adjungieren sind. Die zweite Methode aus 5.2 kn¨upfen wir an den Ansatz:

−11 −1 =0. (9) j(ω) − 1 − j ω

Setzen wir zur Abk¨urzung: ϕ(τ ) = 5 · 19 τ 3 − 24 · 3 · 23 τ 2 + 26 · 3 · 11 τ − 23 · 112 , ψ(τ ) = τ 2 − 3 · 7 τ + 23 · 11 ,

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten

199

so ergiebt der Ansatz (9) nach Fortlassung u¨ berfl¨ussiger Faktoren die beiden Gleichungen: 7ϕ(τ ) − 18σ(37τ − 88) 7ϕ(τ ) + 18σ(37τ − 88) =± . τ ψ(τ ) + σ(τ − 11) τ ψ(τ ) − σ(τ − 11) Wenn wir von der L¨osung σ = 0, die zu D = −11 und D = −44 zur¨uckf¨uhrt, absehen, so bleiben die beiden Gleichungen: 18τ ψ(τ )(37τ − 88) + 7ϕ(τ )(τ − 11) = 0 , 7τ ϕ(τ )ψ(τ ) + 18σ 2 (τ − 11)(37τ − 88) = 0 . Ersetzt man σ 2 durch seinen Ausdruck in τ und ordnet die Gleichungen, so f¨allt beide Male der Faktor 113 heraus. Man gelangt zu den beiden Gleichungen: τ 4 − 23τ 3 + 144τ 2 − 232τ + 56 = 0 , τ 5 − 33τ 4 + 352τ 3 − 1408τ 2 + 2112τ − 1024 = 0 . Wir m¨ussen hier zu den Diskriminanten D = −43, −40, −35, −28, −19, −8 gef¨uhrt werden, zu denen, falls wir uns nur auf urspr¨ungliche Formen beschr¨anken wollen, noch D = −7 hinzutritt. Entsprechend sind die vorstehenden beiden Gleichungen stark reduzibel: (τ − 2)(τ − 7)(τ 2 − 14τ + 4) = 0 , (τ − 1)(τ − 4)(τ − 16)(τ 2 − 12τ + 16) = 0 . Die L¨osungen verteilen sich in folgender Art auf die sieben genannten Diskriminanten: √ D = −43 , τ = 16 , σ = 8i 43 , √ √ √ √ σ = i 2 (2 ± 5)(11 ± 5) , D = −40 , τ = 7± 3 5, √ √ √ σ = i 7 (3 ± 5) , D = −35 , τ = 6±2 5, √ D = −28 , τ = 7, σ = 17i 7 , √ D = −19 , τ = 4, σ = 4i 19 , √ D = −8 , τ = 2, σ = 2i 2 , √ D = −7 , τ = 1, σ = i 7. Die bei den Werten σ auftretenden Irrationalit¨aten geben einen Fingerzeig u¨ ber die Verteilung der berechneten Wertepaare τ , σ auf die Diskriminanten D. Die Klasseninvarianten selbst berechnet man durch Eintragung der Wertepaare τ , σ in (8). Dabei muß wegen der Relation (9), die f¨ur alle diese Paare gilt, die

200

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

bei σ neu auftretende Irrationalit¨at wieder fortfallen. Bei D = −28, −19 und −7 best¨atigen die Ergebnisse die schon fr¨uher berechneten Werte j. Als neu kommen hinzu die Klasseninvarianten f¨ur D = −43, −40, −35, −8:9 √ D = −43 , j −1+i2 43 = −218 · 33 · 53 , √

√ 2

√ 3

√ √ D = −40 , j i 10 , j i 210 = ± 26 · 33 · 5 5 2 ± 5 4 ± 3 5 , √ √ √ √ 12 D = −35 , j −1+i2 35 , j −1+i6 35 = ∓ 215 · 5 5 1±2 5 ,

√ 6 3 D = −8 , j i 2 =2 ·5 . Die Richtigkeit der Verteilung der berechneten Werte j auf die Diskriminanten D geht aus dem Zutreffen der Ungleichungen: −1 + i√35 −1 + i√43 <j <0 j 2 2√ −1 + i 35 i√10 √ √ 3 < 12 < j(i 2) < j < j(i 10) <j 6 2 ¨ f¨ur diese Werte hervor. Uberall findet man Best¨atigungen der Regeln von S. 184; es liegen bezw. die F¨alle I, VII, I und VII vor.

5.4 Bericht uber ¨ fruhere ¨ Untersuchungen. Die Berechnung von Klasseninvarianten nach den in 5.3 befolgten Methoden ist in Algebra“ III, 392 ff. weiter gef¨uhrt. Es soll hier zun¨achst u¨ ber die dort gewonnenen ” Ergebnisse berichtet werden; alle Einzelheiten der Entwicklung insbesondere betreffs der algebraischen Behandlung des einzelnen Transformationsgrades findet man a. a. O. Unter den behandelten Diskriminanten war nur noch eine mit nur einer Formklasse und also rationaler Klasseninvariante enthalten, n¨amlich D = −67. Sie war zug¨anglich von der Transformation 19ten Grades nach der zweiten Methode aus 5.2. Es ergab sich: 9

R. Schertz u¨ berpr¨ufte die Werte der Klasseninvarianten f¨ur D = −40 und fand: √ √ „ √ « √ „ 1 ± 5 «12 „ 3 ∓ 5 5 «3 `√ ´ i 10 j i 10 , j = ∓ 26 · 3 3 · 5 5 . 2 2 2

Dies stimmt mit Frickes Resultat u¨ berein und auch mit dem Wert in Frickes Algebra“ III, S. 408, ” (29), aber nicht mit Algebra“ III, S. 443, Mitte. Ferner erzielte R. Schertz f¨ur D = −35 das ” ¨ oben angegebene Resultat in Ubereinstimmung mit den Angaben bei W. E. H. B e r w i c k Modu” lar Invariants Expressible in Terms of Quadratic and Cubic Irrationalities“, Proc. London Math. Soc. (2) 28 (1928), 53–69 und R. Fueter Vorlesungen u¨ ber die singul¨aren Moduln und die kom” plexe Multiplikation der elliptischen Funktionen“ (Leipzig: Teubner 1924), S.354. Im Frickeschen 15 Manuskript steht statt des Faktors 2 irrt¨umlich 212 . [Anm. d. Hrsg.]

5.4 Bericht u¨ ber fr¨uhere Untersuchungen

201

−1 + i√67 = −215 · 33 · 53 · 113 . j 2 Ausser den in 5.2 besprochenen sind a. a. O. noch folgende Diskriminanten mit zwei Formklassen untersucht: D = −15, −32, −36, −48, −51, −52, −60, −64, −72, −91, −100. In jedem dieser F¨alle hat man zwei Geschlechter, so daß die quadratische Klassengleichung nach Adjunktion der durch die Tabelle von S. 184 gelieferten Quadratwurzel reduzibel wird. Es gen¨uge, wenn hier die Endwerte der Klasseninvarianten zusammengestellt werden10 : D = −15 , D = −32 , D = −36 ,

√ 3 √ √ 2

∓ 33 · 5 5 1±2 5 4± 5 , √ 6

√ 3

√ j 2i 2 , 53 1 ± 2 5 ± 2 ,

√

√ 4

√ 3

√ 3

j 3i , j −1+3i = ± 24 · 3 3 1 ± 3 1 ± 2 3 2 ± 3 3 , 2

j

√ −1+i 15 , 2

√ −1+i 15 = 4 √ 2 = 23 · j −1+2i 3

j

D = −48 , √ 3

√ 4 √

√ 5

√ √ j 2i 3 , j 2i3 3 = ± 34 · 53 · 3 2 ± 3 4 ± 3 3 1 ∓ 3 , √ √ √ 5 3∓√17 3

D = −51 , j −1+i2 51 , j −3+i6 51 = 215 · 33 4 ± 17 , 2

√ √ 3

√ 3

√ 6 ± 13 , D = −52 , j i 13 , j −1+i2 13 = 26 · 33 · 53 3±2 13 D = −60 , √ 3

√ 3 √ √ 10

√ √ j i 15 , j i 315 = ± 33 · 5 5 1±2 5 2±3 5 7±2 5 ,

√ √ 9

√ 3

√ 3

D = −64 , j 4i , j −1+2i = ± 2 2 · 33 1 ± 2 7 ± 2 3 ± 4 2 , 2 D = −72 , √ 4 √ √ 3 √ √ 3

√

√ √ j 3i 2 , j 3i2 2 = 26 · 53 2 ± 3 4 2 ∓ 3 8 2 ± 5 3 , 10

¨ Eine Uberpr¨ ufung der folgenden Daten durch R. Schertz ergab folgende Resultate: ” √ ` √ ´ ` √ ´ ` √ ´ ` ´ “ D = −36 , j 3i , j −1+3i = ∓ 26 · 3 3 2 ± 3 5 4 ∓ 3 3 3 2 ± 3 3 3 , 2 √ ` √ ´ ` √ ´ ` √ ´ “ √ ” D = −48 , j 2i 3 , j 2i3 3 = ± 22 · 34 · 53 · 3 2 ± 3 3 4 ± 3 3 3 .

Diese Werte stimmen mit Frickes Ergebnissen u¨ berein. F¨ur D = −51 erhielt R. Schertz dagegen ¨ das obige Resultat in Ubereinstimmung mit den Angaben bei B e r w i c k und F u e t e r, loc. cit. Fricke gibt im Manuskript irrt¨umlich folgenden Wert an: „

j

√ « „ √ « √ !2 √ “ √ ” 1 ± 17 3 ± 17 −1 + i 51 −3 + i 51 , j = −214 · 33 4 ± 17 . 2 6 2 2

[Anm. d. Hrsg.]

202

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

D = −91 ,

j

√ −1+i 91 , 2

j

√ −3+i 91 10

= −215 · 33

√ 6

3± 13 10 2

√ ± 3 13)3 ,

D = −100 ,

√ 12

√ 3

√ 3

√ 3

= 26 · 33 1±2 5 j 5i , j −1+5i 4± 5 8∓ 5 3±4 5 . 2 Untersuchte F¨alle mit drei Formklassen, bei denen dann stets nur ein Geschlecht vorliegt, sind: D = −23, −31, −76, −92, −108, −124. Es galt hier, jedesmal zun¨achst eine m¨oglichst einfache Resolvente der Klassengleichung zu gewinnen. Hierzu wurden die einwertigen Funktionen τ (ω) der Polygone Kn benutzt; und zwar kommt in Betracht f¨ur D = −23 und −92 der Grad 23, f¨ur D = −31 und −124 der Grad 31, f¨ur D = −76 der Grad 19 und f¨ur D = −108 der Grad 27. Es ergaben sich folgende Resolventen der Klassengleichungen: D = −23 ,

τ 3 − 3τ 2 + 2τ + 1 = 0 ,

D = −31 ,

τ 3 − 5τ 2 + 6τ + 1 = 0 ,

D = −76 ,

τ 3 − 16τ 2 + 64τ − 76 = 0 ,

D = −92 ,

τ 3 − 11τ 2 + 22τ − 19 = 0 ,

D = −108 ,

τ 3 + 3τ 2 + 3τ − 3 = 0 ,

D = −124 ,

τ 3 − 9τ 2 + 10τ − 3 = 0 .

Von den beiden f¨ur D = −23 und D = −92 angegebenen kubischen Gleichungen muß jede eine Tschirnhausresolvente der anderen sein (vergl. Algebra“ ” III, 370). Nun kann zun¨achst die erste dieser Gleichungen, falls man v = τ − 1 an Stelle von τ als Unbekannte einf¨uhrt, in die Gleichung: (1)

v3 − v + 1 = 0

transformiert werden, die demnach die einfachste Resolvente der Klassengleichungen f¨ur D = −23 und D = −92 ist. Die bei D = −92 angegebene Gleichung f¨ur τ erweist sich nun leicht als Tschirnhausresolvente von (1). F¨uhrt man n¨amlich an Stelle von v in (1): τ = 3 − 3v + v 2 als Unbekannte ein, so hat man unter Gebrauch von (1): τ 2 = 15 − 25v + 16v 2 ,

τ 3 = 118 − 209v + 154v 2 .

Die Elimination von v liefert: 3 − τ, −3, 1 15 − τ 2 , −25, 16 = 0, 118 − τ 3 , −209, 154

203

5.4 Bericht u¨ ber fr¨uhere Untersuchungen

woraus man in der Tat die mit 23 multiplizierte bei D = −92 angegebene Gleichung wiedergewinnt. Die L¨osungen der Gleichung (1) sind: ⎞ ⎛ √ √ √ √ 3 3i 3 − i 23 1 ⎝ ν 3 3i 3 + i 23 ⎠, + ε−ν v= √ ν = 0 , 1 , 2 .11 ε 2 2 i 3 Hier hat man also die Radikale vor sich, die zur L¨osung der Klassengleichungen bei D = −23 und D = −92 erforderlich sind. Entsprechend liegen die Verh¨altnisse bei D = −31 und D = −124. Man trage in die beiden f¨ur diese Diskriminanten oben angegebenen kubischen Gleichungen als neue Unbekannten bezw.: v=−

1 −2 , τ

v =τ −3

ein und gelangt beide Male zu einer und derselben Gleichung: v 3 − 17v − 27 = 0 ,

(2)

die also die einfachste Resolvente der Klassengleichungen bei D = −31 und D = −124 ist. Die L¨osungen der Gleichung (2) sind: ⎞ ⎛ √ √ √ √ −1 ⎝ ν 3 81i 3 + i 31 3 81i 3 − i 31 ⎠, + ε−ν v= √ ν = 0, 1, 2. ε 2 2 i 3 Die L¨osungen der kubischen Gleichung bei D = −76 sind: √ √ 1 3 3 16 + εν 514 + 6 57 + ε−ν 514 − 6 57 , τ= 3

ν = 0, 1, 2,

sowie endlich diejenigen der sehr einfachen Gleichung bei D = −108: √ 3 τ = −1 + εν 4, ν = 0, 1, 2. Bei den in Algebra“ III untersuchten Diskriminanten mit vier Formklassen ist ” zu unterscheiden, ob zwei oder vier Geschlechter vorliegen. F¨ur den ersten Fall sind die folgenden Diskriminanten behandelt: D = −39, −56, −68, −80, −128, −144, −196. Es haben sich hier folgende Resolventen der Klassengleichungen ergeben:

11

D = −39 ,

v 4 + 19v 3 + 29v 2 − 1175v − 5633 = 0 ,

D = −56 ,

τ 4 − 14τ 3 + 19τ 2 − 14τ + 1 = 0 ,

Unter ε ist wieder die komplexe dritte Einheitswurzel

√ −1+i 3 2

verstanden.

204

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

D = −68 ,

τ 4 − 6τ 3 − 27τ 2 − 28τ − 16 = 0 ,

D = −80 ,

τ 4 − 12τ 3 + 28τ 2 − 32τ + 16 = 0 ,

D = −128 ,

τ 4 − 8τ 3 + 12τ 2 − 16τ + 4 = 0 ,

D = −144 ,

τ 4 − 8τ 3 + 12τ 2 − 8τ + 4 = 0 ,

D = −196 ,

τ 4 − 14τ 3 + 63τ 2 − 98τ + 21 = 0 .

Die letzten sechs Gleichungen sind durch Vermittlung der einwertigen Funktionen τ (ω) der Klassengruppen f¨ur n = 14, 17, 20, 32, 36, 49 gewonnen. Nur die erste Gleichung, die aus dem Rahmen der u¨ brigen ein wenig herausf¨allt, ist mittels der zweiten Methode aus 5.2 durch die Funktion: 5 v(ω) = 2 τ (ω) + τ (ω) hergestellt, wo τ (ω) die einwertige Funktion der Transformationsgruppe des 10ten Grades ist12 . Da man in allen F¨allen zwei Geschlechter hat, so ist jede der vorstehenden biquadratischen Gleichungen nach Adjunktion einer aus der Tabelle von S. 184 zu bestimmenden Quadratwurzel in zwei quadratische Gleichungen zerf¨allbar. Diese Gleichungen sind: D = −39 , D = −56 , D = −68 , D = −80 , D = −128 , D = −144 , D = −196 ,

v2 +

√ 19±5 13 v 2

√ + (10 ± 21 13) = 0 ,

√ τ 2 − (7 ± 4 2)τ √ τ 2 − (3 ± 17)τ √ τ 2 − 2(3 ± 5)τ √ τ 2 − 2(2 ± 2)τ √ τ 2 − 2(2 ± 3)τ

+ 1 = 0, −

√ 19±5 17 2

= 0, √ + 2(3 ± 5) = 0 ,

+ 2 = 0, √ + 2(2 ± 3) = 0 , √ τ 2 − 7τ + (7 ± 2 7) = 0 .

Es sind jedesmal zwei von den vier Wurzeln der einzelnen Resolvente reell und zwei konjugiert komplex; jene liefern zwei ambige Formklassen, diese zwei einander entgegengesetzte nicht-ambige Klassen. Der Galoissche K¨orper der einzelnen Resolvente ist vom achten Grade und enth¨alt stets die Quadratwurzel der Diskriminante D als nat¨urliche Irrationalit¨at“; er heißt der Klassenk¨orper“ der Diskriminante D ” ” und m¨oge durch KD bezeichnet werden. Will man den Klassenk¨ orper schrittweise √ herstellen, so wird man zum rationalen K¨orper R zun¨achst D adjungieren, wobei man D von seinen quadratischen Teilern befreien mag. Hierzu tritt dann die reelle Quadratwurzel, welche die Trennung entsprechend den Geschlechtern leistet, und endlich noch etwa die Quadratwurzel der Diskriminante der quadratischen GleiEine einfachere Resolvente w¨urde vom Klassenpolygon K39 geliefert, das zum Geschlechte p = 0 geh¨ort; doch ist der Grad 39 noch nicht untersucht. 12

5.4 Bericht u¨ ber fr¨uhere Untersuchungen

205

chung mit den reellen L¨osungen. Man gelangt zu folgenden sieben Klassenk¨orpern: √ √ √ −1+ 13 K39 = R, i 39, 13, , 2 √ √ √ K56 = R, i 14, 2, −1 + 2 2 , √ √ √ K68 = R, i 17, 17, 4 + 17 , √ √ √ K80 = R, i 5, 5, 2 + 5 , √ √ √ K128 = R, i 2, 2, 1 + 2 , √ √ K144 = R, i, 3, 3 + 2 2 , √ √ √ 7(8 + 3 7) . K196 = R, i, 7, Anders liegen die Verh¨altnisse in den drei untersuchten F¨allen D = −84, −96, −120. Man hat hier jedesmal vier durchweg ambige Klassen, deren einzelne je ein Geschlecht f¨ur sich bildet. F¨ur die beiden ersten Diskriminanten erwiesen sich die Klassenpolygone der Grade 21 und 24 als vom Geschlechte p = 0, so daß hier wie bisher verfahren werden konnte. Es ergaben sich die Resolventen der Klassengleichungen: D = −84 , τ 4 − 6τ 3 − 17τ 2 − 6τ + 1 = 0 , D = −96 ,

τ 4 − 12τ 3 + 32τ 2 − 24τ + 4 = 0 .

Entsprechend den vier Geschlechtern ist jede dieser biquadratischen Gleichungen auf zwei Arten durch Adjunktion von Quadratwurzeln in quadratische Gleichungen zerf¨allbar: √ √ √ D = −84 , τ 2 − (3 ± 2 3)τ − (7 ± 4 3) = 0 , τ 2 − (3 ± 2 7)τ + 1 = 0 , √ √ √ D = −96 , τ 2 − 2(3 ± 2)τ + 2 = 0 , τ 2 − 2(3 ± 3)τ + 2(2 ± 3) = 0 . Der Galoissche K¨orper der Klassengleichung ist hier, wo alle Klassen ambig sind, ein reeller K¨orper vierten Grades. Er entsteht beide Male aus dem rationalen K¨orper R durch Adjunktion der beiden reellen Quadratwurzeln. Definiert man den Klassenk¨orper auch im Falle von lauter ambigen Klassen so, daß er nicht √ nur den Galoisschen K¨orper der Klassengleichung sondern auch die Quadratwurzel D der Diskriminante enthalten soll, so haben wir in unseren beiden F¨allen wieder mit K¨orpern achten Grades zu tun:

√ √ √ √ K84 = R, 3, 7, i , K96 = R, 2, 3, i . Die Diskriminante D = −120 war vom Hauptpolygon H30 zug¨anglich, das p = 0 hat. Es gelang bis zur fertigen Berechnung der Klasseninvarianten vorzudringen; und zwar fand sich:

206

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

√ √ 6 √ 2 √ √

√ 3

√ j i 30 = 23 ·33 ·5 5 1+ 2 3+ 10 15 3 5+4 2 +7 13+4 10 , woraus die drei anderen √Klasseninvarianten durch Zeichenwechsel von und entsprechend von 10 hervorgehen. Der Klassenk¨orper ist hier: √ √ √ K120 = R, 2, 5, i 3 .

√ √ 2 und 5

¨ Ahnliche Verh¨altnisse liegen vor bei den Diskriminanten D = −168, −280 und −420. In den beiden ersten F¨allen hat man je vier und im dritten Falle acht Klassen, die jedesmal alle ambig sind. Die drei Hauptpolygone H42 , H70 , H105 erwiesen sich als zum Geschlechte p = 0 geh¨orig, so daß die algebraischen Theorien der drei Transformationsgrade 42, 70 und 105 jedesmal auf eine einwertige Hauptfunktion gegr¨undet werden konnten. Es gelang in allen drei F¨allen bis zur wirklichen Berechnung der Klasseninvarianten vorzudringen13 . An Resolventen von Klassengleichungen bei Diskriminanten mit f¨unf Formklassen sind zwei berechnet, n¨amlich f¨ur D = −47 und D = −188: D = −47,

τ 5 − τ 4 + τ 3 + τ 2 − 2τ + 1 = 0 ,

D = −188 ,

τ 5 − 5τ 4 + 5τ 3 − 15τ 2 + 6τ − 11 = 0 .

Die Unbekannte τ wurde beide Male vom Klassenpolygon K47 geliefert. Jede dieser ¨ Gleichungen ist eine Tschirnhausresolvente der anderen. Uber die L¨osung der ersten √ Gleichung als einer zyklischen Gleichung im quadratischen K¨orper (R, i 47) findet man weitere Angaben in Algebra“ III, 492. ” Bei Diskriminanten mit sechs Formklassen sind folgende drei Resolventen von Klassengleichungen bekannt geworden: D = −104 ,

τ 6 − 8τ 5 + 8τ 4 − 18τ 3 + 8τ 2 − 8τ + 1 = 0 ,

D = −116 ,

τ 6 − 4τ 5 − 12τ 4 + 2τ 3 + 8τ 2 + 8τ − 7 = 0 ,

D = −140 ,

τ 6 − 5τ 5 − 9τ 3 − 5τ − 1 = 0 .

Sie wurden von einwertigen Funktionen der Klassenpolygone K26 , K29 und K35 geliefert. Man hat hier jedesmal zwei Geschlechter, so daß eine Spaltung jeder Gleichung nach Adjunktion der durch die Tabelle von S. 184 angezeigten Quadratwurzel in zwei kubische Gleichungen m¨oglich sein muß. Diese Spaltungen sind:

13

√

√ √ 5± 13 τ − 11±32 13 = 0 , 2 √ √ √ (2 ± 29)τ 2 + 13±2 29 τ − 1±2 29 = 0 , √ √ √ 5±3 5 2 τ + 5±2 5 τ − (2 ± 5) = 0 . 2

D = −104 ,

τ 3 − (4 ±

D = −116 ,

τ3 −

D = −140 ,

τ3 −

13)τ 2 +

Vergl. Acta mathematica, Bd. 52, S. 257 ff. und Mathem. Annalen, Bd. 101, S. 316 ff.

5.5 Hauptpolygon, Zwischengruppen und Formklassen beim Grade 110

207

Die zyklischen Resolventen dieser kubischen Gleichungen in Sinne von (7) in Al” gebra“ I, 397 sind: D = −104 ,

Z3 −

D = −116 ,

Z3 −

D = −140 ,

√ √ √ 43±13 13 Z − 8i 2 11±32 13 2 √ 27±5 29 Z − 4i = 0 , 2

= 0,

√ √ √ Z 3 − 2(5 ± 3 5)Z − 4(2 ± 5) i 7 = 0 .

Sie sind nat¨urlich √ erst in denjenigen biquadratischen K¨orpern zyklisch, die durch Adjunktion von D und der zu vorstehender Spaltung erforderlichen reellen Quadratwurzeln zum rationalen K¨orper entstehen.

5.5 Hauptpolygon, Zwischengruppen und Formklassen beim Grade 110. Der h¨ochste Transformationsgrad, bei dem bisher das Geschlecht 0 am Hauptpolygon festgestellt werden konnte, ist n = 110. Es wird demnach interessant sein, die Brauchbarkeit der neuen auf die Hauptgruppe gegr¨undeten Methoden zur Behandlung des Transformationsproblems am Grade 110 zu pr¨ufen.14

e1

ε1

e8

s5

σ1

s1

σ2 ε2 e2

σ3 ε3 e3 ε4

σ4 e4

σ5 ε5

s2 ε6

s4

s3 e5

e6

e7 ω= 0

−55

Fig. 25

Das Hauptpolygon H110 ist in Fig.25 dargestellt. Es ist ein Kreisbogenzw¨olfeck mit neun rechten Winkeln, zwei an den Ecken ε4 , ε5 gelegenen nicht-rechten Winkeln, die indessen in Summa zwei rechte Winkel geben, und dem Winkel 0 an der Spitze bei ω = i∞. Abgesehen von den beiden geraden Seiten, die nat¨urlich Symmetrielinien sind, stellen auch die stark ausgezogenen mit s1 , s2 , . . . , s5 bezeichneten Seiten Symmetriekreise der Hauptgruppe dar. Die Gleichungen dieser Kreise und die zugeh¨origen Spiegelungen sind gegeben durch: s1 ,

ξ 2 + η 2 + 2 · 55 ξ + 27 · 110 = 0 ,

ω =

55ω+27·110 −ω−55

,

14 Der Inhalt von 5.5–5.11 deckt sich weitgehend mit den Ausf¨uhrungen in der Arbeit von ¨ R. Fricke Uber die Transformation 110ten Grades der elliptischen Funktionen“, Acta Math. 55 ” (1930), 395–435. [Anm. d. Hrsg.]

208

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

s2 ,

3(ξ 2 + η 2 ) + 2 · 55 ξ + 9 · 110 = 0 ,

ω =

55ω+9·110 −3ω−55

s3 ,

ξ 2 + η 2 + 2 · 15 ξ + 2 · 110 = 0 ,

ω =

3·5ω+2·110 −ω−3·5

s4 ,

ξ 2 + η 2 + 2 · 11ξ + 110 = 0 ,

ω =

11ω+110 −ω−11

s5 ,

ξ 2 + η 2 − 110 = 0 ,

ω =

110 ω

, ,

,

.

Die noch u¨ brigen f¨unf Seiten σ1 , σ2 , . . . , σ5 haben die Gleichungen: σ1 ,

ξ 2 + η 2 + 2 · 45 ξ + 18 · 110 = 0 ,

σ2 ,

5(ξ 2 + η 2 ) + 17 · 22 ξ + 63 · 110 = 0 ,

σ3 ,

ξ 2 + η 2 + 65 ξ + 19 · 55 = 0 ,

σ4 ,

5(ξ 2 + η 2 ) + 2 · 142 ξ + 36 · 110 = 0 ,

σ5 ,

ξ 2 + η 2 + 45 ξ + 9 · 55 = 0 .

Von diesen Seiten sind die erste und letzte auf einander bezogen; es geht n¨amlich σ1 in σ5 durch die folgende hyperbolische Substitution u¨ ber: ω =

σ 1 → σ5 ,

22ω + 9 · 110 . −ω − 2 · 22

Die drei anderen Seiten tragen die Fixpunkte e2 , e3 , e4 elliptischer Substitutionen der Hauptgruppe, deren einzelne ihre Seite σ in sich transformiert. Die Lagen dieser Punkte und die Substitutionen sind: √ −110+i 110 3

ω =

e3 ,

√ ω = −33 + i 11 ,

110ω+37·110 −3ω−110

ω =

e4 ,

√ −55+i 55 2

3·11ω+10·110 −ω−3·11

ω =

55ω+14·110 −2ω−55

e2 ,

ω=

ω=

,

,

, ,

.

Die Schnittpunkte je zweier Symmetriekreise liefern die weiteren Ecken und elliptischen Substitutionen: √ e1 , ω = −55 + i 55 , ω = 55ω+28·110 , −ω−55 e5 ,

ω=

e6 ,

ω=

e7 , e8 ,

√ −33+i 11 2 √ −55+i 55 4

,

ω =

3·11ω+5·110 −2ω−3·11

,

ω =

55ω+7·110 −4ω−55

ω =

10ω+110 −ω−10

ω =

110 −ω

√ ω = −10 + i 10 , √ ω = i 110 ,

,

,

,

.

Endlich sind die sechs mit ε1 , ε2 , . . . , ε6 bezeichneten Ecken des Hauptpolygons gelegen bei:

5.5 Hauptpolygon, Zwischengruppen und Formklassen beim Grade 110

ε1 ,

ω=

ε3 ,

ω=

ε5 ,

ω=

√ −9·11+3i 11 ; 2 √ −31·55+3i 29·55 49 √ −27·55+3i 29·55 59

ε2 ,

ω=

;

ε4 ,

ω=

;

ε6 ,

ω=

√ −27·55+3i 29·55 38 √ −23·55+3i 29·55 41 √ −9·11+3i 11 . 5

209

; ;

√ Hier tritt als akzessorische Irrationalit¨at 29 auf. Entsprechend den allgemeinen Darlegungen von S. 188 ff. setzt sich die Hauptgruppe aus acht den Teilern des Grades 110 zugeordneten Systemen S1 , S2 , S5 , S10 , S11 , S22 , S55 , S110 von Substitutionen zusammen. Die Substitutionen des Systems S1 bilden die Transformationsgruppe. Diese ist in der Hauptgruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 8, und die zugeh¨orige Quotientengruppe ist eine Abelsche Gruppe der Ordnung 8, die ausser dem Einheitselement sieben Elemente der Periode 2 enth¨alt. Die Untergruppen dieser Abelschen Gruppe liefern die Zwischengruppen“, die in der Hauptgruppe enthalten sind, und die ihrerseits ” die Transformationsgruppe in sich enthalten. Man hat zun¨achst sieben Zwischengruppen G1,2 , G1,5 , G1,10 , G1,11 , G1,22 , G1,55 , G1,110 , wobei G1,t sich aus den beiden Systemen S1 und St zusammensetzt. Wichtiger noch sind die sieben Zwischengruppen G1,2,5,10 , G1,2,11,22 , G1,2,55,110 , G1,5,11,55 , G1,5,22,110 , G1,10,11,110 , G1,10,22,55 , deren einzelne sich aus den vier durch die unteren Indizes angezeigten Systemen St zusammensetzt. Die einzelne dieser Gruppen ist eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 in der Hauptgruppe. Um das Geschlecht p der einzelnen dieser Gruppen G1,t1 ,t2 ,t3 zu berechnen, hat man festzustellen, an welchen unter den elf Ecken e1 , e2 , e2 , e3 , e3 , e4 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 des Hauptpolygons H110 die Gruppe verzweigt ist15 . Eine solche Ecke soll eine Verzweigungsecke“ der Zwi” schengruppe heissen. Dabei ist e eine Verzweigungsecke, falls die zu e geh¨orige elliptische Erzeugende der Hauptgruppe nicht in der Zwischengruppe auftritt. Ist p das Geschlecht der Zwischengruppe, so m¨ussen genau (2p + 2) Verzweigungsecken auftreten. Die n¨aheren Feststellungen sind sehr einfach; wir geben sogleich die Geschlechtszahlen und Verzweigungsecken der Zwischengruppen des Index 2 tabellarisch an: G1,2,5,10 ,

p=4,

e1 , e2 , e2 , e3 , e3 , e4 , e4 , e5 , e6 , e8 ,

G1,2,11,22 ,

p=3,

e1 , e2 , e2 , e4 , e4 , e5 , e6 , e8 ,

G1,2,55,110 ,

p=1,

e3 , e3 , e5 , e7 ,

G1,5,11,55 ,

p=1,

e2 , e2 , e7 , e8 ,

G1,5,22,110 ,

p=3,

e1 , e3 , e3 , e4 , e4 , e5 , e6 , e7 ,

G1,10,11,110 ,

p=1,

e1 , e4 , e4 , e6 ,

G1,10,22,55 ,

p=2,

e2 , e2 , e3 , e3 , e5 , e8 .

Unter e2 , e3 , e4 sind die zu e2 , e3 , e4 symmetrischen Ecken an der anderen Polygonh¨alfte zu verstehen. 15

210

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Die Anzahl der Klassen urspr¨unglicher positiver quadratischer Formen der Diskriminante D = −440 ist zw¨olf. Nach II, 140 stellt man sich die im gew¨ohnlichen Sinne reduzierten Formen f¨ur D = −440 leicht zusammen. Man hat drei Charaktere, geliefert durch die Legendreschen Zeichen: m 5

,

m 11

,

2 m2 −1 = (−1) 8 , m

unter m eine ungerade durch die Form (a, b, c) darstellbare Zahl verstanden. Demnach hat man vier Totalcharaktere der Formklassen, die durch: m m 2 , , 5 11 m bezeichnet werden m¨ogen. Entsprechend giebt es bei D = −440 vier Geschlechter zu je drei Formklassen; das N¨ahere entnehme man aus der folgenden Zusammenstellung der reduzierten Formen und der Totalcharaktere: [+1, +1, +1] ,

(1, 0, 110) ,

(9, 8, 14) ,

(9, −8, 14) ,

[+1, −1, −1] ,

(10, 0, 11) ,

(6, 4, 19) ,

(6, −4, 19) ,

[−1, +1, −1] ,

(5, 0, 22) ,

(3, 2, 37) ,

(3, −2, 37) ,

[−1, −1, +1] ,

(2, 0, 55) ,

(7, 6, 17) ,

(7, −6, 17) .

Jedes Geschlecht hat eine ambige Klasse und zwei entgegengesetzte. Die zw¨olf Formklassen kann man nach dem Satze von II, 363 auch aus den elliptischen Ecken des Klassenpolygons ableiten. Nun geschieht der Aufstieg von der Klassengruppe G1,110 zur Hauptgruppe etwa mittels der beiden Substitutionen: V (ω) =

22ω + 9 · 110 , −ω − 2 · 22

V (ω) =

55ω + 28 · 110 −ω − 55

durch Bildung der Summe: H (110) = G1,110 + G1,110 · V + G1,110 · V + G1,110 · V V . ¨ Umgekehrt werden beim Ubergang von der zur G1,110 alle Ecken e, √ √ Hauptgruppe √ bei denen eine der Irrationalit¨aten i 10, i 11, i 55 auftritt, Verzweigungsecken, die also f¨ur das Klassenpolygon K110 keine Ecken mehr liefern. Als elliptische Ecken von K110 verbleiben nur noch die vier aus e8 hervorgehenden Punkte: √ √

√ √ ω = i 110 , V i 110 , V i 110 , V V i 110 , die vier aus e2 hervorgehenden Punkte:

√ √ √ √ 110 −110+i 110 −110+i 110 −110+i 110 ω = −110+i , V , V , , V V 3 3 3 3

5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110

211

sowie nat¨urlich die vier zu den letzteren Punkten bez¨uglich der imagin¨aren ω-Achse symmetrisch liegenden Punkte. Diese zw¨olf Ecken von K110 m¨ussen die zw¨olf Formklassen der Diskriminante D = −440 liefern, wobei das erste Quadrupel die ambigen Klassen ergeben wird. Die Rechnung best¨atigt dies. Wir benutzen als erstes Eckentripel:

√ √ √ √ 110 −12·110+i 110 12·110+i 110 Ω1 = i 110, Ω2 = V −1 −110+i = , Ω = . 2 3 31 31 ¨ Gebrauchen wir das Zeichen ∼ im Sinne der Aquivalenz bez¨uglich der Modulgruppe, so stellt man leicht fest: √ √ √ −4 + i 110 −1320 + i 110 4 + i 110 ∼ , . Ω2 ∼ Ω2 = 31 9 9 Man gelangt also zu den drei Formen des Hauptgeschlechtes. Die Aus¨ubung der Substitution V auf Ω1 und Ω2 ergiebt: V (Ω1 ) = V (Ω2 ) =

√ √ −2090+i 110 ∼ i 5110 , 93 √ √ −110+i 110 ∼ 1+i 3 110 3

,

so daß sich die drei Formen des oben an dritter Stelle genannten Geschlechtes (5, 0, 22), (3, ∓2, 37) einfinden. Entsprechend finden wir durch Aus¨ubung von V : V (Ω1 ) = V (Ω2 ) =

√ −29·110+i 110 57 √ −47·110+i 110 87

∼ ∼

√ i 110 , 2 √ −3+i 110 7

und damit die drei reduzierten Formen des letzten Geschlechtes. Schließlich f¨uhrt die Substitution V · V zu: V V (Ω1 ) = V V (Ω2 ) =

√ −28·110+i 110 51 √ −10·110+i 110 19

∼ ∼

√ i 110 , 10 √ −2+i 110 6

,

womit sich die drei reduzierten Formen (10, 0, 11), (6, ±4, 19) des zweiten Geschlechtes einstellen.

5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110. Bei den Graden 42, 70, 105 (vergl. die Nachweise von S. 206) konnte die Hauptfunktion deshalb verh¨altnism¨assig leicht konstruiert werden, weil nicht nur die Hauptgruppe sondern jedesmal auch noch eine der Zwischengruppen des Index 2 das Geschlecht 0 besaß. Dieser g¨unstige Umstand f¨allt, wie aus der tabellarischen

212

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Zusammenstellung der S. 209 zu ersehen ist, beim Grade 110 fort, so daß die Herstellung der Hauptfunktion dieses Grades schwieriger ist. Aus der Modulform erster Stufe (−12)ter Dimension Δ(ω1 , ω2 ) stellen wir uns zun¨achst, unter s eine positive ganze Zahl verstanden, die Form:

ω 1 Δs (ω1 , ω2 ) = Δ , ω2 s her, die gegen¨uber allen der Kongruenz β ≡ 0 (mod s) gen¨ugenden Substitutionen der Modulgruppe invariant ist. Wir haben demnach f¨ur die Transformationsgruppe G1 des Grades 110 die acht Modulformen: Δ1 , Δ2 , Δ5 , Δ10 , Δ11 , Δ22 , Δ55 , Δ110 zur Verf¨ugung. Als invariant gegen¨uber G1 zeigt die einzelne dieser Formen gegenu¨ ber allen Substitutionen des einzelnen Systems St das gleiche Verhalten. Um dieses Verhalten festzustellen, schreiben wir die erzeugenden Substitutionen der Hauptgruppe, die zu den Ecken e geh¨oren, homogen, unimodular und von der Periode 2. Wir benutzen also z. B. f¨ur die Systeme S10 , S55 , S110 bezw. die Substitutionen: ⎧ √ √ ⎪ i 10ω1 = 10ω1 + 110ω2 , i 10ω2 = −ω1 − 10ω2 , ⎪ ⎪ ⎨ √ √ (1) i 55ω2 = −ω1 − 55ω2 , i 55ω1 = 55ω1 + 28 · 110ω2 , ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎩ √ i 110ω2 = −ω1 . i 110ω1 = 110ω2 , Hat man die Transformationsformeln der Δs bei diesen Substitutionen festgestellt, so erledigen sich die u¨ brigen Systeme St einfach durch Kombination der erhaltenen Formeln. Die Ergebnisse der Rechnung stellen wir tabellarisch zusammen: S1 Δ1

S2 2

−6

Δ2

6

Δ2

2 Δ1

Δ5

2−6 Δ10

S5 5 5

−6

−6

Δ5

Δ10

56 Δ 1

6

S10 10

−6

6

S11

Δ10

−6

2 ·5

Δ5

2−6 ·56 Δ2

6

6

Δ10

2 Δ5

5 Δ2

10 Δ1

Δ11

2−6 Δ22

5−6 Δ55

10−6 Δ110

6

Δ22

2 Δ11

Δ55

2−6 Δ110

Δ110

6

2 Δ55

5

−6

6

5 Δ22

11

−6

Δ11 Δ22

11−6 Δ55 11

−6

S22 22 6

−6

S55

Δ11

22−6 Δ110 −6

Δ110 2 ·11

−6

55

S110

Δ55

110−6 Δ110

Δ110

26 ·55−6 Δ55

55

Δ22

−6

2 ·11

6

−6

56 ·11−6 Δ11 6

−6

Δ55 5 ·11

56 ·22−6 Δ22

Δ22 106 ·11−6 Δ11

116 Δ1

2−6 ·116 Δ2

Δ55

6

11 Δ2

6

22 Δ1

2−6 ·56 Δ22

116 Δ5

116 ·2−6 Δ10

556 Δ1

2−6 ·556 Δ2

6

6

1106 Δ1

6

−6

Δ110 2 ·5

56 Δ11

11

−6

6

10 Δ11

6

11 Δ10

22 Δ5

5−6 ·116 Δ5 5

−6

6

·11 Δ10

55 Δ2

10−6 ·116 Δ10 5−6 ·226 Δ5

Als Entwicklungsgr¨osse f¨ur Potenzreihen der Modulformen unserer Gruppe G1 haben wir: 2 πiω x = q 110 = e 55

5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110

213

zu benutzen, die in der Spitze des Hauptpolygons H110 bei ω = i∞ einen einfachen Nullpunkt hat. Aus der Reihenentwicklung (9) in I, 433 der 24sten Wurzel aus Δ ergiebt sich dann f¨ur die 24ste Wurzel aus Δs die Reihe: (2) √ 2π t

24 Δs = x 24 1 − xt − x2t + x5t + x7t − x12t − x15t + x22t + · · · , ω2 s · t = 110 , wo sich t aus s durch die beigef¨ugte Gleichung bestimmt. Es soll nun zun¨achst die Zwischengruppe G1,5,11,55 , die die Verzweigungsecken e2 , e2 , e7 , e8 und das Geschlecht p = 1 hat, verwertet werden. Wir bilden die beiden eindeutigen Modulformen der Dimension −2: ϕ1 (ω1 , ω2 ) = 24 Δ2 Δ10 Δ22 Δ110 , ϕ2 (ω1 , ω2 ) = 24 Δ1 Δ5 Δ11 Δ55 , deren Reihenentwicklungen die folgenden sind: ⎧ 2

2π ⎪ ⎪ ⎪ x3 1 − x − x2 + x6 + 2x7 − 2x10 + x13 + · · · , ⎨ ϕ1 (ω1 , ω2 ) = ω 2 (3) 2 ⎪

⎪ 2π ⎪ ⎩ ϕ2 (ω1 , ω2 ) = x6 1 − x2 − x4 + x12 + 2x14 + · · · . ω2 Im Innern der ω-Halbebene verschwinden diese Formen nirgends. Nimmt man ω2 auf der imagin¨aren ω-Achse reell, so sind beide √ Formen daselbst reell und positiv. Da nach (5) in II, 299 die zw¨olfte Wurzel 12 Δ1 Δ11 eine eindeutige Modulform der Transformationsgruppe des Grades 11 ist, so haben wir in den Quadraten von ϕ1 und ϕ2 eindeutige Formen unserer Transformationsgruppe G1 des Grades 110. Man stelle fest, wie sich die Formen ϕ1 und ϕ2 selbst gegen¨uber der zweiten Substitution (1) verhalten, die zum Eckpunkt e1 von H110 geh¨ort. Aus der vorletzten Spalte der 24 Tabelle S. 212 folgt, daß ϕ24 1 und ϕ2 bei dieser Substitution invariant sind. Die Formen ϕ1 und ϕ2 selbst werden sich demnach bis auf 24ste Wurzeln der Einheit reproduzieren. Diese Wurzeln k¨onnen aber nur gleich +1 oder −1 sein; denn die Substitution hat die Periode 2. Dabei ist −1 ausgeschlossen. W¨urde n¨amlich z. B. die Gleichung bestehen: 55ω1 + 28 · 110ω2 −ω1 − 55ω2 √ √ ϕ1 , = −ϕ(ω1 , ω2 ) , i 55 i 55 so w¨urde man nach Eintragung der dem Eckpunkte e1 entsprechenden Werte: √ ω1 = −55 + i 55 , ω2 = 1 mit R¨ucksicht auf die gerade Dimension der Form das Ergebnis: √ √ ϕ1 (−55 + i 55, 1) = −ϕ1 (−55 + i 55, 1)

214

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

finden, d. h. ϕ1 h¨atte in der Ecke e1 einen Nullpunkt, was jedoch nicht der Fall ist. Also sind ϕ1 und ϕ2 gegen¨uber der zweiten Substitution (1) invariant. Genau in derselben Weise stellt man fest, daß ϕ1 und ϕ2 gleichfalls unver¨anderlich sind bei Aus¨ubung der richtig geschriebenen zu den Polygonecken e3 , e4 , e5 und e6 geh¨orenden Substitutionen. Weiter ist das Verhalten unserer Formen bei Aus¨ubung der dritten Substitution (1) zu erforschen. Man hat die letzte Spalte der Tabelle zu benutzen und findet zun¨achst: ϕ1

110ω −ω1 √ 2, √ i 110 i 110

= 2εϕ2 (ω1 , ω2 ) ,

ϕ2

110ω −ω1 √ 2, √ i 110 i 110

= 2−1 ε ϕ1 (ω1 , ω2 ) ,

√ wo ε und ε Einheitswurzeln 24sten Grades sind. Tr¨agt man hier ω1 = i 110, ω2 = 1 ein, so folgt: √ √ √ √ ϕ1 (i 110, 1) = 2εϕ2 (i 110, 1) , ϕ2 (i 110, 1) = 2−1 ε ϕ1 (i 110, 1) . √ √ Da ϕ1 (i 110, 1) und ϕ2 (i 110, 1) von 0 verschiedene reelle positive Werte haben, so gilt ε = ε = +1, und wir finden: (4) 110ω2 −ω1 110ω2 −ω1 ϕ1 √ , √ = 2ϕ2 (ω1 , ω2 ), ϕ2 √ , √ = 2−1 ϕ1 (ω1 , ω2 ). i 110 i 110 i 110 i 110 Nun waren ϕ21 , ϕ22 eindeutige Formen der Gruppe G1 . Da ϕ21 , ϕ22 gegen¨uber den zu e1 und e3 geh¨orenden Substitutionen, also Substitutionen der Systeme S55 und S11 , invariant sind, so sind sie sogar Formen der Zwischengruppe G1,5,11,55 . Zufolge (4) zeigen diese Formen gegen¨uber allen nicht in der Zwischengruppe enthaltenen Substitutionen der Hauptgruppe das Verhalten: 2 ϕ2 1 = 4ϕ2 ,

−1 2 ϕ2 ϕ1 . 2 =4

Die Wirkung der richtig geschriebenen zu den Ecken e2 und e7 geh¨orenden homogenen Substitutionen sowie der zum Seitenpaar σ1 , σ5 von H110 geh¨orenden hyperbolischen Erzeugenden ist hiernach: (5)

ϕ1 = ±2ϕ2 ,

ϕ2 = ±2−1 ϕ1 .

Dabei gelten f¨ur die einzelne der beiden elliptischen Erzeugenden entweder nur die oberen oder nur die unteren Vorzeichen, da die Substitution von der Periode 2 ist. Dasselbe gilt dann aber auch von der homogen geschriebenen hyperbolischen Erzeugenden, da diese sich aus den drei zu e2 , e3 , e4 geh¨orenden elliptischen Substitutionen herstellen l¨aßt. Gegen¨uber der parabolischen Erzeugenden ω1 = ω1 + 110ω2 , ω2 = ω2 bleiben ϕ1 und ϕ2 zufolge (3) invariant. Ein DB“ f¨ur G1,5,11,55 wird aus H110 durch An” lagerung des Spiegelbildes l¨angs s5 hergestellt, wobei eine zweite parabolische Spitze bei ω = 0 auftritt. Da sich die ϕ1 , ϕ2 gegen¨uber der dritten Substitution (1) bis auf die Faktoren 2 und 2−1 permutieren, so u¨ bertragen sich die letzten Betrachtungen auf die von den Seiten des angef¨ugten Bereiches gelieferten Substitu-

5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110

215

tionen16 . Hiernach steht folgendes Ergebnis fest: Gegen¨uber den erzeugenden Substitutionen der Zwischengruppe G1,5,11,55 sind die Formen ϕ1 (ω1 , ω2 ), ϕ2 (ω1 , ω2 ) entweder invariant oder sie erfahren gleichzeitig Zeichenwechsel. Man bilde nun den Quotienten der beiden Formen ϕ1 (ω1 , ω2 ), ϕ2 (ω1 , ω2 ): ϕ1 (ω1 , ω2 ) 24 Δ2 Δ10 Δ22 Δ110 = , ϕ(ω) = ϕ2 (ω1 , ω2 ) Δ1 Δ5 Δ11 Δ55 f¨ur den man aus (2) die Reihenentwicklung gewinnt17 : (6) ϕ(ω) = x−3 1−x + ◦ − x3 + x4 − 2x5 + 2x6 − x7 + 3x8 −3x9 + 3x10 − 4x11 + 5x12 − 5x13 + 6x14

−8x15 + 10x16 − 10x17 + 10x18 − 13x19 + 16x20 + · · · .

Aus dem eben gewonnenen Ergebnis folgt der Satz: In ϕ(ω) hat man eine eindeutige Funktion der Zwischengruppe G1,5,11,55 gewonnen; diese Funktion hat im DB“ der ” Zwischengruppe einen einzigen Pol und zwar von der dritten Ordnung in der Spitze bei ω = i∞ und entsprechend einen Nullpunkt derselben Ordnung in der zweiten Spitze bei ω = 0. Gegen¨uber der Transformation des DB“ in sich zeigt ϕ(ω) das ” Verhalten: −110 4 (7) ϕ = . ω ϕ(ω) Man hat also hier eine dreiwertige Funktion der Zwischengruppe gewonnen. Nun folgt sofort weiter: Die Funktion: Φ(ω) = ϕ(ω) +

4 ϕ(ω)

mit der Reihenentwicklung: (8) Φ(ω) = x−3 1−x+◦−x3 +x4 −2x5 +6x6 +3x7 +7x8 +5x9 +11x10 +· · · ) ist eine eindeutige dreiwertige Funktion der Hauptgruppe des Grades 110 mit einem Pole dritter Ordnung in der Spitze bei ω = i∞. Man verwende zweitens die Zwischengruppe G1,10,11,110 des Geschlechtes p = 1 mit den Verzweigungsecken e1 , e4 , e4 , e6 . Wir bilden die beiden Formen: ψ2 (ω1 , ω2 ) = 24 Δ1 Δ10 Δ11 Δ110 ψ1 (ω1 , ω2 ) = 24 Δ2 Δ5 Δ22 Δ55 , 16 ¨ Auch die Ubertragung auf die bez¨uglich der imagin¨aren ω-Achse symmetrischen Polygonh¨alften macht keine Schwierigkeit, da bei der Spiegelung an der genannten Achse die Werte unserer Formen einfach in die konjugiert komplexen Werte u¨ bergehen. 17 Durch das Zeichen ◦ wird hervorgehoben, daß das Glied mit x2 ausf¨allt.

216

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

mit den Reihenentwicklungen: ⎧ 2 7

2π ⎪ ⎪ ⎪ ψ (ω , ω ) = x 2 1 − x2 − x4 − x5 + x7 + x9 + x12 + · · · , 1 1 2 ⎨ ω2 (9) 2 ⎪ 11

⎪ ⎪ ψ (ω , ω ) = 2π ⎩ x 2 1 − x − x2 + x5 + x7 − x10 + · · · . 2 1 2 ω2 Man stellt f¨ur diese Formen die Gleichungen fest: ⎧ 55ω1 + 28 · 110ω2 −ω1 − 55ω2 ⎪ √ √ ⎪ ψ , = ψ2 (ω1 , ω2 ) , ⎨ 1 i 55 i 55 (10) ⎪ 28 · 110ω2 −ω1 − 55ω2 ⎪ ⎩ ψ2 55ω1 +√ √ , = ψ1 (ω1 , ω2 ) . i 55 i 55 Beim Beweise nehme man ω2 auf der linken geraden Seite des Hauptpoygons reell und beachte, daß dann die ψ1 , ψ2 daselbst u¨ bereinstimmend negativ imagi√ n¨are Werte annehmen. Aus der obigen Bemerkung u¨ ber 12 Δ1 Δ11 folgt wieder, daß ψ12 , ψ22 Formen der Transformationsgruppe G1 des Grades 110 sind. Durch entsprechende Betrachtungen wie oben, die hier nicht wieder ausf¨uhrlich dargelegt werden sollen, findet man, daß die Formen ψ1 (ω1 , ω2 ), ψ2 (ω1 , ω2 ) gegen¨uber den Erzeugenden der Zwischengruppe entweder invariant sind oder gleichzeitig Zeichenwechsel erfahren. Letzteres findet z. B. bei der parabolischen Substitution ω1 = ω1 + 110ω2 , ω2 = ω2 statt. Man gelangt zu dem Ergebnis: Der Quotient: Δ2 Δ5 Δ22 Δ55 ψ1 (ω1 , ω2 ) 24 = ψ(ω) = ψ2 (ω1 , ω2 ) Δ1 Δ10 Δ11 Δ110 der beiden Formen ψ1 , ψ2 mit der Reihenentwicklung:

ψ(ω) = x−2 1 + x + x2 +2x3 + 2x4 + 2x5 (11) +3x6 + 4x7 + 4x8 + 6x9 + 7x10 + · · ·

ist eine eindeutige Funktion der Zwischengruppe G1,10,11,110 . Sie ist im DB“ dieser ” Gruppe zweiwertig mit einem Pole zweiter Ordnung in der Spitze bei ω = i∞ und einem Nullpunkte derselben Ordnung in der zweiten, bei ω = −55 gelegenen Spitze; gegen¨uber der Transformation des DB“ in sich zeigt ψ(ω) das Verhalten: ” 55ω + 28 · 110 1 (12) ψ = . −ω − 55 ψ(ω) Hieran reiht sich sofort der weitere Satz: Aus ψ(ω) stellt man in der Gestalt: Ψ (ω) = ψ(ω) +

1 ψ(ω)

eine zweite eindeutige Funktion der Hauptgruppe mit der Reihe:

5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110

(13)

Ψ (ω) = x−2 1 + x + x2 +2x3 + 3x4 + x5 +3x6 + 3x7 + 5x8 + 6x9 + 7x10 + · · ·

217

her, die im DB“ der Hauptgruppe zweiwertig ist und einen Pol zweiter Ordnung in ” der Spitze bei ω = i∞ hat. Als Funktionen der Hauptgruppe sind Φ(ω) und Ψ (ω) durch eine algebraische Relation verbunden, die (wegen der Wertigkeiten) in Ψ vom dritten und in Φ vom zweiten Grade ist. Da die beiderseitigen Pole zusammenfallen, also jede Funktion eine ganze algebraische Funktion der anderen ist, kommt nur ein Glied mit der h¨ochsten Potenz Ψ 3 und nur eines mit der h¨ochsten Potenz Φ2 vor. Die Relation hat also die Gestalt: Ψ 3 + (aΦ + b)Ψ 2 + (cΦ + d)Ψ + eΦ2 + f Φ + g = 0 , wo a, b, . . . , g numerische Koeffizienten sind. Da diese Gleichung in ω identisch besteht, so muß die Eintragung der Reihen (8) und (13) f¨ur Φ und Ψ und die Anordnung nach ansteigenden Potenzen von x eine identisch verschwindende Potenzreihe liefern. Da elf Reihenglieder zur Verf¨ugung stehen, so erh¨alt man f¨ur die sieben zu berechnenden Koeffizienten a, b, . . . , g elf lineare Gleichungen, deren erste sieben zur Berechnung der a, b, . . . , g dienen, w¨ahrend die letzten vier zur Kontrolle des Ergebnisses benutzt werden k¨onnen. Man findet und best¨atigt (durch die Kontrollrechnungen) den Satz: Zwischen den beiden automorphen Funktionen Φ(ω) und Ψ (ω) der Hauptgruppe des Grades 110 besteht die algebraische Beziehung: (14)

Ψ 3 − 5Ψ 2 − (5Φ + 13)Ψ − (Φ2 + 5Φ + 7) = 0 .

Deutet man Φ und Ψ als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so wird durch die Gleichung (14) eine Kurve dritten Grades dargestellt. Diese Kurve hat ¨ in Ubereinstimmung mit dem DB“ der Hauptgruppe das Geschlecht 0 und besitzt ” demnach einen Doppelpunkt. Setzt man die Gleichung (14) in die Gestalt: (15)

(Ψ + 1)3 − 8(Ψ + 1)2 − 5Φ(Ψ + 1) − Φ2 = 0 ,

so findet man Φ = 0, Ψ = −1 als Koordinaten des Doppelpunktes. Nun schneidet bekanntlich das Geradenb¨uschel mit dem Doppelpunkt als Zentrum auf der Kurve dritten Grades eine einwertige Funktion aus. Wir gelangen zu dem grundlegenden Ergebnis: Als Hauptfunktion“ des Transformationsgrades 110 kann man den Quo” tienten ΨΦ+1 oder, was noch etwas zweckm¨assiger ist: (16)

v(ω) =

Φ +2 Ψ +1

benutzen. Die Hauptfunktion v(ω) besitzt zufolge (8) und (13) die Potenzreihe: (17)

v(ω) = x−1 1 + ◦ + ◦ + x3 + x4 + ◦ + x6 + ◦ + 2x8 + x9 + 2x10 + · · · ; ihr Pol erster Ordnung liegt in der Spitze des Polygons H110 bei ω = i∞.

218

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

5.7 Funktionssysteme der Zwischengruppen. Die Bedeutung der Hauptfunktion v(ω) besteht nach S. 189 darin, daß nach ihrer Adjunktion zu j(ω) die Transformationsgleichung des Grades 110 algebraisch, n¨amlich durch Ausziehen von drei Quadratwurzeln l¨osbar wird. Diese Quadratwurzeln gewinnt man in einer ersten Gestalt dadurch, daß man die Funktionssysteme der einzelnen Zwischengruppen herstellt. Hierbei erh¨alt man zugleich die Kenntnis der numerischen Werte der Hauptfunktion v(ω) in den Ecken e des Hauptpolygons H110 . Zun¨achst sind die Ausdr¨ucke von Φ und Ψ als ganze Funktionen 3ten bezw. 2ten Grades von v festzustellen. Setzt man: Φ = (v − 2)(Ψ + 1)

(1)

in die Relation (15) von 5.6 ein, so folgt nach Fortheben des Faktors (Ψ + 1)2 : (Ψ + 1) − 8 − 5(v − 2) − (v − 2)2 = 0 . Hieraus folgt der Ausdruck zweiten Grades f¨ur Ψ in v, durch dessen Eintragung in (1) auch der Ausdruck dritten Grades f¨ur Φ gewonnen wird: Φ = v3 − v2 − 4 ,

(2)

Ψ = v2 + v + 1 .

Zu einem Funktionssystem der G1,5,11,55 f¨uhren die Gleichungen: Φ=ϕ+

4 = v3 − v2 − 4 , ϕ

ϕ2 − (v 3 − v 2 − 4)ϕ + 4 = 0 .

Bei Aufl¨osung nach ϕ stellt sich als Radikand zun¨achst ein Ausdruck sechsten Grades in v ein. Doch muß sich das Quadrat eines Linearfaktors absondern lassen, da G1,5,11,55 nur die vier Verzweigungsecken e2 , e2 , e7 , e8 hat. Die Rechnung best¨atigt dies; sie liefert: (3) 2ϕ = v 3 − v 2 − 4 + v (v − 1)(v 3 − v 2 − 8) , wo die Quadratwurzel auf dem H110 angeh¨orenden Teile der imagin¨aren ω-Achse positiv zu nehmen ist. Als Funktionssystem der Zwischengruppe hat man: (v − 1)(v 3 − v 2 − 8) , (4) v, womit die erste unter den drei Quadratwurzeln gewonnen ist. Da die reelle Wurzel der kubischen Gleichung v 3 − v 2 − 8 = 0 gr¨osser als 1 ist, √ so geh¨ort diese zur Ecke ω = i 110, und wir finden f¨ur die Ecke e7 : √ (5) v −10 + i 10 = 1 .

219

5.7 Funktionssysteme der Zwischengruppen

Die anderen drei Eckenwerte von v, d. h. die L¨osungen der kubischen Gleichung v 3 − v 2 − 8 = 0, wirklich zu berechnen, hat zun¨achst kein Interesse; √ doch beachte man, daß die Quadratwurzel der Diskriminante dieser Gleichung 4i 110 ist. Zur Behandlung der Zwischengruppe G1,10,11,110 mit den Verzweigungsecken e1 , e4 , e4 , e6 haben wir entsprechend den Ansatz: Ψ =ψ+

1 = v2 + v + 1 , ψ

ψ 2 − (v 2 + v + 1)ψ + 1 = 0 .

Die Aufl¨osung nach ψ liefert: (6)

2ψ = v 2 + v + 1 +

(v 2 + v + 3)(v 2 + v − 1) ,

wo die Quadratwurzel auf der imagin¨aren ω-Achse positiv zu nehmen ist. Als Funktionssystem der Zwischengruppe G1,10,11,110 ergiebt sich: (v 2 + v + 3)(v2 + v − 1) , (7) v, womit die zweite Quadratwurzel festgestellt ist. Als neue Eckenwerte von v lernen wir kennen: ⎧ √ −1−√5

⎪ ⎪ v −55 + i 55 = , ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ √ √ 55 (8) = −1+2 5 , v −55+i 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ √ √ ⎪ ⎪ ⎩ v ∓55+i 55 = −1±i 11 . 2 2 Zur Gewinnung der noch fehlenden Quadratwurzel betrachten wir endlich auch noch die dritte Zwischengruppe des Geschlechtes 1, n¨amlich G1,2,55,110 mit den Verzweigungsecken e3 , e3 , e5 , e7 . Man bilde die beiden Formen: ⎧ 2

⎪ √ 2π ⎪ 24 ⎪ (ω , ω ) = Δ Δ Δ Δ = x2 1 − x5 − 2x10 − · · · , χ ⎪ 1 1 2 5 10 11 22 ⎪ ω2 ⎪ ⎪ ⎨ √ (9) χ2 (ω1 , ω2 ) = 24 Δ1 Δ2 Δ55 Δ110 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪

⎪ 2π ⎪ ⎪ = x7 1 − x − 2x2 + x3 + 2x5 + x6 + · · · , ⎩ ω2 deren 24ste Potenzen zufolge der Tabelle von S. 212 gegen¨uber der Zwischengruppe G1,2,55,110 invariant sind. Das Verhalten der Formen χ1 , χ2 gegen¨uber den Erzeugenden der Zwischengruppe ist besonders leicht festzustellen. Erstlich ist nach II, 299 die achte Wurzel √ 8 Δ1 Δ55 eine eindeutige Modulform 55ster Stufe, woraus man folgert, daß die drit(110) ten Potenzen der χ1 , χ2 eindeutige Modulformen unserer Gruppe G1 sind. Die χ1 , χ2 a¨ ndern sich gegen¨uber den Erzeugenden der G1,2,55,110 h¨ochstens um mul-

220

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

tiplikative dritte Einheitswurzeln. Aber dabei k¨onnen keine komplexen dritten Einheitswurzeln auftreten, da jedesmal das Quadrat einer solchen gleich 1 sein muß. Die elliptischen Erzeugenden sind n¨amlich von der Periode 2. Man setzt die Betrachtung leicht wie bei den beiden schon behandelten Zwischengruppen fort und gelangt zu dem Ergebnis: Der Quotient der beiden Formen (9): 24 Δ5 Δ10 Δ11 Δ22 χ(ω) = (10) Δ1 Δ2 Δ55 Δ110

−5 =x 1 + x + 3x2 + 4x3 + 9x4 + 11x5 + 22x6 + · · · ist eine f¨unfwertige Funktion der Zwischengruppe G1,2,55,110 , die gegen¨uber der zur Ecke e7 geh¨orenden elliptischen Erzeugenden der Hauptgruppe das Verhalten zeigt: 1 10ω + 110 = . (11) χ −ω − 10 χ(ω) Man findet nun sofort weiter in: (12)

1 X(ω) = χ(ω) + = x−5 1 + x + 3x2 + 4x3 + 9x4 + 11x5 + 22x6 + · · · χ(ω) eine f¨unfwertige Funktion der Hauptgruppe, also (da der Pol f¨unfter Ordnung bei ω = i∞ liegt) eine ganze Funktion f¨unften Grades von v, f¨ur welche die Potenzreihen die Darstellung liefern und best¨atigen: (13)

X = v 5 + v 4 + 3v 3 − v 2 − 2 .

Zur Berechnung von χ aus v haben wir die quadratische Gleichung:

χ2 − v 5 + v 4 + 3v 3 − v 2 − 2 χ + 1 = 0 zu l¨osen, deren Diskriminante eine ganze Funktion zehnten Grades von v ist. Diese Funktion muß, da wir wieder nur vier Verzweigungsecken haben, die Abspaltung des Quadrates einer ganzen Funktion dritten Grades gestatten. In der Tat findet man folgenden Ausdruck von χ in v: (14) 2χ = v 5 + v 4 + 3v 3 − v 2 − 2 + v(v 2 + v + 2) (v − 1)(v 3 + v 2 + 3v − 1) . Wir haben damit die dritte Wurzel gewonnen und notieren den abschliessenden Satz: Um ein Funktionssystem der Transformationsgruppe G1 des Grades 110 zu erhalten, hat man zur Hauptfunktion v die drei Quadratwurzeln zu adjungieren: ⎧ ⎪ ⎪ (v − 1)(v 3 − v 2 − 8) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (15) (v 2 + v + 3)(v 2 + v − 1) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (v − 1)(v 3 + v 2 + 3v − 1) .

5.8 Hauptgruppe und Hauptfunktion des 55sten Transformationsgrades

221

Der schon unter (5) festgestellte Eckenwert v = 1 f¨ur den Punkt e7 findet hier seine Best¨atigung. Weiter aber lernen wir die Eckenwerte: √ √ −33 + i 11 v , v ∓33 + i 11 2 kennen. Der erste ist gleich der reellen Wurzel der kubischen Gleichung: v 3 + v 2 + 3v − 1 = 0 , √

die zwischen 0 und −1+2 5 gelegen ist; die beiden anderen werden von den komplexen Wurzeln jener Gleichung geliefert. Die Wurzel der Diskriminante der kubi√ schen Gleichung ist 2i 11.

5.8 Hauptgruppe und Hauptfunktion des 55sten Transformationsgrades. Um die gewonnenen Ergebnisse f¨ur die Transformation 110ten Grades nutzbar zu machen, ist nun die Modulfunktion j(ω) der ersten Stufe als Funktion der Trans(110) formationsgruppe G1 rational durch v und die drei Quadratwurzeln (15) aus 5.7 darzustellen, wobei an Stelle der letzteren auch drei mit ihnen gleichwertige Quadratwurzeln treten k¨onnen. Man hat sich bei L¨osung dieser Aufgabe der Vermittlung der Transformationsgrade 55 und 11 zu bedienen. Nun ist die algebraische Theorie des Grades 11 seit langem bekannt (vergl. II, 403 ff. und Algebra“ III, 428 ff.); ” dagegen muß diese Theorie f¨ur den Grad 55 hier erst noch entwickelt werden.

e7 s6

e1

σ

s1 ε1

− 55 2

s4

s2

e2 ε2

s3 e3

e4

s5 e5

e6 ω= 0

Fig. 26

Das Hauptpolygon des Grades 55 ist das in Fig.26 dargestellte Kreisbogenneuneck mit einem Winkel 0 (bei ω = i∞) und u¨ brigens nur rechten Winkeln. Acht unter den Seiten sind Symmetriekreise von Spiegelungen, und zwar haben die mit s1 , s2 , . . . , s6 bezeichneten Seiten folgende Gleichungen und Spiegelungen:

222

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

s1 ,

2(ξ 2 + η 2 ) + 2 · 55 ξ + 27 · 55 = 0 ,

ω =

55ω+27·55 −2ω−55

,

s2 ,

3(ξ 2 + η 2 ) + 2 · 55 ξ + 18 · 55 = 0 ,

ω =

55ω+18·55 −3ω−55

,

s3 ,

ξ 2 + η 2 + 30 ξ + 4 · 55 = 0 ,

ω =

15ω+4·55 −ω−15

,

s4 ,

ξ 2 + η 2 + 22ξ + 2 · 55 = 0 ,

ω =

11ω+2·55 −ω−11

,

s5 ,

ξ 2 + η 2 + 15ξ + 55 = 0 ,

ω =

15ω+2·55 −2ω−15

,

s6 ,

ξ 2 + η 2 − 55 = 0 ,

ω =

55 ω

.

Die mit σ bezeichnete Seite hat die Gleichung: σ,

ξ 2 + η 2 + 45 ξ + 9 · 55 = 0 ;

ihre Endpunkte ε1 , ε2 liegen bei: √ −99 + 3i 11 ; ε1 , ω = 4

ε2 ,

√ −99 + 3i 11 . ω= 5

F¨ur die Ecken e1 , e2 , . . . , e7 und die zugeh¨origen elliptischen Substitutionen der Periode 2 gelten die Angaben: √ −55+i 55 2

ω =

55ω+28·55 −2ω−55

ω =

2·11ω+9·55 −ω−2·11

ω =

3·11ω+10·55 −2ω−3·11

,

ω =

55ω+14·55 −4ω−55

,

ω =

55ω+8·55 −7ω−55

ω =

2·11ω+3·55 −3ω−2·11

ω =

55 −ω

e1 ,

ω=

e2 ,

√ ω = −22 + i 11 ,

e3 ,

ω=

√ −3·11+i 11 2

e4 ,

ω=

√ −55+i 55 4

e5 ,

ω=

√ −55+i 55 7

e6 ,

ω=

√ −2·11+i 11 3

e7 ,

√ ω = i 55 ,

,

,

,

, , ,

,

, ,

.

Entsprechend den vier Teilern von 55 setzt sich die Hauptgruppe aus den vier durch S1 , S5 , S11 , S55 zu bezeichnenden Systemen von Substitutionen zusammen, von denen das erste die Transformationsgruppe G1 des Grades 55 bildet. Hieran reihen sich nur noch drei Zwischengruppen G1,t , f¨ur die wir sogleich die Geschlechtszahlen p und die Verzweigungsecken tabellarisch zusammenstellen:

5.8 Hauptgruppe und Hauptfunktion des 55sten Transformationsgrades

223

G1,5 ,

p = 3,

e1 , e2 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ,

G1,11 ,

p = 1,

e1 , e4 , e5 , e7 ,

G1,55 ,

p = 1,

e2 , e2 , e3 , e6 .

Da der Grad 55 ≡ 3 (mod 4) ist, so hat man hier die urspr¨unglichen positiven quadratischen Formen der beiden Diskriminanten D = −220 und D = −55 heranzuziehen. Man hat beide Male vier Formklassen mit den reduzierten Formen: D = −220 ,

(1, 0, 55) ,

(5, 0, 11) ,

(7, ±2, 8) ,

D = −55 ,

(1, 1, 14) ,

(4, 3, 4) ,

(2, ±1, 7) .

Beide Male liegen zwei Geschlechter vor, und es bilden immer die beiden ambigen Formen das Hauptgeschlecht und die beiden entgegengesetzten Formen das zweite Geschlecht. Von der Klassengruppe werden diese acht Formklassen in folgender Art geliefert: Da die Spiegelung: 11ω + 2 · 55 V (ω) = −ω − 11 nicht zur G1,55 geh¨ort, so gewinnt man die zur Linken der imagin¨aren ω-Achse gelegene H¨alfte des Klassenpolygons, falls man an das Hauptpolygon sein Spiegelbild l¨angs der Seite s4 anf¨ugt. Dabei bleiben e4 und e5 elliptische Ecken, denen noch, da sie nicht mehr auf Symmetriekreisen der G1,55 gelegen sind, die symmetrischen Ecken e4 und e5 hinzuzugesellen sind. Auf Symmetriekreisen verbleiben e1 , e7 und die aus ihnen durch V hervorgehenden Ecken. Demgegen¨uber sind e2 , e2 , e3 , e6 Verzweigungsecken der G1,55 , die also f¨ur K55 keine Ecken mehr liefern. Nat¨urlich m¨ussen die vier ersten Ecken e4 , e4 , e5 , e5 die beiden Paare entgegengesetzter Klassen liefern, w¨ahrend die vier letzten Ecken die ambigen Klassen ergeben. Die Rechnung best¨atigt dies; wir stellen die Ergebnisse tabellarisch zusammen: e1 ,

ω=

√ −55+i 55 2

V (e7 ) ,

√ −1+i 55 2

,

(1, 1, 14) ,

√ ω = i 55 ,

e7 , V (e1 ) ,

∼

ω=

√ −11·55+i 55 52

ω=

∼

√ −3·55+i 55 16

(1, 0, 55) ,

√ −3+i 55 8

∼

√ i 55 5

,

,

(4, 3, 4) , (5, 0, 11) ,

e4 , e4 ,

ω=

√ ∓55+i 55 4

∼

√ ±1+i 55 4

,

(2, ∓1, 7) ,

e5 , e5 ,

ω=

√ ∓55+i 55 7

∼

√ ±1+i 55 7

,

(7, ∓2, 8) .

224

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Zur Konstruktion der Hauptfunktion des Grades 55 gelangt man am k¨urzesten auf (110) folgendem Wege: Die Zwischengruppe G1,5,11,55 enth¨alt lauter Substitutionen, die auch in der Hauptgruppe H (55) enthalten sind, und ist demnach eine Untergruppe der H (55) . Um den Index ν dieser Untergruppe festzustellen, beachte man, daß die (110) (110) G1 eine Untergruppe des Index 4 in der G1,5,11,55 , also eine solche des Index (55) 4ν in der H ist. Diesen Index 4ν kann man auch so berechnen, daß man von (55) der H (55) zun¨achst zur Untergruppe G1 des Index 4 geht, und dann beachtet, daß (110) (55) G1 eine Untergruppe des Index 3 in der G1 ist. Es ist demnach 4ν = 12 also ν = 3. Die beiden Substitutionen: V1 (ω) = ω + 55 ,

V2 (ω) =

−55 ω

von H (55) sind nicht in der Untergruppe enthalten, und auch V1−1 ·V2 geh¨ort ihr nicht an. Wir gewinnen demnach f¨ur die Hauptgruppe des 55sten Grades die Darstellung: (110)

(110)

(110)

H (55) = G1,5,11,55 + G1,5,11,55 · V1 + G1,5,11,55 · V2 . Man gehe nun auf die in (6), S. 215 gegebene Funktion ϕ(ω) der Zwischen(110) gruppe G1,5,11,55 zur¨uck und stelle die drei Funktionen:

ϕ V1 (ω) = ϕ(ω + 55) ,

ϕ(ω) ,

−55 ϕ V2 (ω) = ϕ ω

neben einander, die man mittels der Substitutionen von H (55) aus ϕ(ω) herstellen kann. Jede symmetrische Verbindung dieser drei Funktionen ist eine Funktion der Hauptgruppe H (55) . Man bilde die mit − 12 multiplizierte Summe, die mit u(ω) bezeichnet werden soll: −55 1 ϕ(ω) + ϕ(ω + 55) + ϕ . (1) u(ω) = − 2 ω Es ist dann leicht zu zeigen, daß man in u(ω) bereits die Hauptfunktion des Grades 55 gewonnen hat. Wir entnehmen n¨amlich zun¨achst aus (6), S. 215 als Reihe f¨ur die beiden ersten Glieder in (1) rechts: −

1

ϕ(ω) + ϕ(ω + 55) = x−2 1 + x2 + 2x4 + x6 + 3x8 + 4x10 2 + 5x12 + 8x14 + 10x16 + 13x18 + · · · .

Um die Reihe f¨ur das dritte Glied in (1) rechts zu erhalten, hat man ϕ wieder in den Quotienten der beiden Formen: ϕ1 = 24 Δ2 Δ10 Δ22 Δ110 , ϕ2 = 24 Δ1 Δ5 Δ11 Δ55 zu spalten und die Wirkung der Substitution:

5.8 Hauptgruppe und Hauptfunktion des 55sten Transformationsgrades

√ i 55ω1 = 55ω2 ,

225

√ i 55ω2 = −ω1

festzustellen, wobei in Betracht zu ziehen ist, daß die Formen auf der imagin¨aren ω-Achse reell und positiv sind18 . W¨ahrend ϕ2 invariant ist, geht ϕ1 u¨ ber in:

2ω

2ω

2ω1

1 1 24 , ω2 Δ , ω2 Δ , ω2 . ϕ1 = 4 Δ 2ω1 , ω2 Δ 5 11 55 Man gelangt leicht zu der Reihendarstellung:

−55 1 = x−2 − 2x8 − 2x10 − 2x12 − 4x14 − 4x16 − 8x18 − · · · . − ϕ 2 ω F¨ur die in (1) erkl¨arte Funktion u(ω) findet man daraufhin die Potenzreihe:

(2) u(ω) = x−2 1+x2 +2x4 +x6 +x8 +2x10 +3x12 +4x14 +6x16 +5x18 +· · · . Nun hat x2 in der Spitze ω = i∞ des DB“ von H (55) einen Nullpunkt erster ” Ordnung. Da im Innern dieses DB“ Pole von u(ω) nicht auftreten k¨onnen, so hat ” man in u(ω) in der Tat die Hauptfunktion des Grades 55. (110) Im DB“ der Zwischengruppe G1,5,11,55 ist u eine dreiwertige Funktion mit ” einem Pole zweiter Ordnung bei ω = i∞ und einem solchen erster Ordnung in der anderen, bei ω = 0 gelegenen Spitze. Andrerseits ist die Hauptfunktion v(ω) des Grades 110 ebenda eine zweiwertige Funktion mit je einem Pole erster Ordnung in den beiden genannten Spitzen. Mithin besteht eine algebraische Relation zwischen u und v, die in u vom zweiten und in v vom dritten Grade ist; und zwar muß diese Relation, da jede der beiden Gr¨ossen eine ganze algebraische Funktion der anderen ist, die Gestalt haben: u2 + (av2 + bv + c)u + (dv3 + ev 2 + f v + g) = 0 . Die sieben unbekannten Koeffizienten bestimmt man wieder mittels der Reihen. Da wir elf Reihenglieder zur Verf¨ugung haben (vergl. (17), S. 217 und die vorstehende Gleichung (2)), so kann man nach der Berechnung der a, b, . . . , g noch vier Proben auf die Richtigkeit des Ergebnisses anstellen. Die zwischen den Hauptfunktionen v und u der Grade 110 und 55 bestehende algebraische Relation lautet: (3)

u2 − (v 2 + v + 2)u + (v 3 + v 2 + 3v − 1) = 0 .

Bei Aufl¨osung dieser Gleichung nach u muß sich selbstverst¨andlich die f¨ur (110) die Zwischengruppe G1,5,11,55 charakteristische erste Quadratwurzel (15), S. 220 wieder einstellen. In der Tat berechnet man sofort als Darstellung der Hauptfunktion u des Grades 55 in derjenigen des Grades 110: (4) 2u = v 2 + v + 2 + (v − 1)(v 3 − v 2 − 8) , 18

Man nehme wieder ω2 daselbst reell.

226

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

√ wo die Quadratwurzel auf dem oberhalb des Punktes ω = i 110 gelegenen Teile der imagin¨aren ω-Achse positiv zu nehmen ist.

(55)

5.9 Zwischengruppen G1,t und Eckenwerte der Hauptfunktion u(ω). Um die Eckenwerte der Hauptfunktion u(ω) des Grades 55 zu bestimmen, m¨ussen (55) (55) wir wenigstens auf die beiden Zwischengruppen G1,11 und G1,55 eingehen, die beide p = 1 haben. Man wird dabei fortan besser mit der Entwicklungsgr¨osse: x=e

2πiω 55

des Grades 55 arbeiten, hat also das bisherige x2 jetzt durch x zu ersetzen. Die Potenzreihe der Hauptfunktion lautet demnach jetzt:

(1) u(ω) = x−1 1 + x + 2x2 + x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + 4x7 + 6x8 + 5x9 + · · · . Nun hat erstlich die Zwischengruppe G1,11 die Verzweigungsecken e1 , e4 , e5 , e7 . Wir bilden f¨ur diese Gruppe wieder zwei Formen ϕ1 und ϕ2 durch die Ans¨atze: √

ϕ1 =

24

ϕ2 =

24

√

2π 1

x 2 1 − x − x2 + x5 + x7 − · · · , ω2 2π 5

= x 2 1 − x5 − x10 + · · · , ω2

Δ5 Δ55 = Δ1 Δ11

(55)

deren Quadrate jedenfalls Formen der Transformationsgruppe G1 sind, da die √ (11) Wurzel 12 Δ1 Δ11 der Gruppe G1 angeh¨ort. Das Verhalten der ϕ1 , ϕ2 gegen¨uber ¨ den erzeugenden Substitutionen der Hauptgruppe H (55) wird durch eine Uberlegung festgestellt, die derjenigen bei den Formen ϕ des Grades 110 genau entspricht. Man findet, daß der Quotient der Formen ϕ1 , ϕ2 :

24 Δ5 Δ55 = x−2 1 − x − x2 + 2x5 − x6 + 3x10 + · · · (2) ϕ= Δ1 Δ11 eine im DB“ der G1,11 zweiwertige Funktion ist, die gegen¨uber der Transformation ” dieses DB“ in sich das Verhalten zeigt: ” 5 −55 (3) ϕ = . ω ϕ(ω) Wegen (3) wird nun: Φ(ω) = ϕ(ω) +

5 ϕ(ω)

(55)

5.9 Zwischengruppen G1,t und Eckenwerte der Hauptfunktion u(ω)

227

eine Funktion der H (55) , f¨ur die man die Reihendarstellung findet: Φ = x−2 1 − x − x2 + ◦ + 5x4 + 7x5 + 9x6 (4)

+ 15x7 + 25x8 + 30x9 + 53x10 + · · · .

Sie hat im DB“ der H (55) nur einen Pol, der in der Spitze ω = i∞ liegt und von ” der zweiten Ordnung ist. Danach ist Φ als ganze Funktion zweiten Grades von u darstellbar. Man gewinnt aus den Reihen und best¨atigt durch zahlreiche Proben die folgende Darstellung von Φ in u: Φ = u2 − 3u − 3 .

(5)

F¨ur ϕ gewinnt man somit die quadratische Gleichung: ϕ2 − (u2 − 3u − 3)ϕ + 5 = 0 . Die Aufl¨osung nach ϕ ergiebt als Darstellung von ϕ durch u: (6) 2ϕ = u2 − 3u − 3 + u4 − 6u3 + 3u2 + 18u − 11 , √ wo die Quadratwurzel auf der imagin¨aren ω-Achse oberhalb des Punktes ω = i 55 positiv zu nehmen ist. Die Werte der Hauptfunktion u in den vier Verzweigungsecken der G1,11 findet man durch L¨osung der biquadratischen Gleichung: u4 − 6u3 + 3u2 + 18u − 11 = (u2 − 7u + 11)(u2 + u − 1) = 0 . Diese Eckenwerte sind: ⎧ √

√ ⎪ ⎪ ⎨ u i 55 = 7+2 5 , (7) √ √ ⎪ ⎪ ⎩ u −55+i 55 = −1+ 5 , 4 2

u u

√ −55+i 55 7 √ −55+i 55 2

=

√ 7− 5 2

=

√ −1− 5 2

, .

(55)

Weiter hat die Zwischengruppe G1,55 (Klassengruppe des Grades 55) die Ver√ zweigungsecken e2 , e2 , e3 , e6 . Man benutze hier den Umstand, daß 8 Δ1 Δ55 nach (55) (4) in II, 299 eine Form der G1 ist, und bilde zun¨achst die beiden Formen: ψ1 = ψ2 =

√ 8 √ 8

Δ5 Δ11 = Δ1 Δ55 =

2π ω2 2π ω2

Der Quotient dieser Formen:

3

3 x2 1 − x5 − x10 + · · · ,

3

3 x7 1 − x − x2 + x5 + x7 − x12 − · · · .

228

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

(8)

ψ=

8

Δ5 Δ11 = x−5 1 + 3x + 9x2 + 22x3 + 51x4 + 105x5 Δ1 Δ55 + 212x6 + 402x7 + 744x8 + 1326x9 + · · ·

ist eine im DB“ der G1,55 f¨unfwertige Funktion, die gegen¨uber der Transformation ” dieses DB“ in sich das Verhalten zeigt: ” 1 2 · 11ω + 9 · 55 (9) ψ = . −ω − 2 · 11 ψ(ω) Hiernach hat man in: Ψ (ω) = ψ(ω) +

1 ψ(ω)

eine f¨unfwertige Funktion der Hauptgruppe H (55) mit der Reihenentwicklung:

Ψ = x−5 1 + 3x + 9x2 + 22x3 + 51x4 + 105x5 (10) + 212x6 + 402x7 + 744x8 + 1326x9 + · · · . Die Darstellung dieser Funktion als ganze Funktion 5ten Grades von u ist: (11)

Ψ = u5 − 2u4 − 3u3 + 4u2 + 4u − 2 .

Eine Pr¨ufung der Rechnung kann man hier dadurch ausf¨uhren, daß bei L¨osung der quadratischen Gleichung f¨ur ψ: ψ 2 − (u5 − 2u4 − 3u3 + 4u2 + 4u − 2)ψ + 1 = 0 sich unter dem Wurzelzeichen eine ganze Funktion zehnten Grades einfindet, die die Abspaltung des Quadrates einer ganzen Funktion dritten Grades gestatten muß. In der Tat findet man: (12) 2ψ = u5 −2u4 −3u3 +4u2 +4u−2+(u−1)(u2 −u−2) u(u3 − 4u − 4) , wo die Quadratwurzel auf der imagin¨aren ω-Achse wieder positiv zu nehmen ist. F¨ur die Ecke e3 ergiebt sich: √ −33 + i 11 =0, (13) u 2 w¨ahrend die drei letzten Eckenwerte: √ −2 · 11 + i 11 , u 3 von den Wurzeln der kubischen Gleichung:

√

u ∓ 22 + i 11

¨ 5.10 Ubergang zum Transformationsgrade 11

229

u3 − 4u − 4 = 0

(14)

√ geliefert werden, f¨ur die sich als Quadratwurzel der Diskriminante 4i 11 berech¨ net. Ubrigens stellt man auch leicht den auf der Polygonseite s4 eintretenden Wert: √

u − 10 + i 10 = 2

(15)

fest, da zufolge (4), S. 225 f¨ur v = 1 der Wert u = 2 eintritt. Als abschliessender Satz sei angemerkt: Durch Adjunktion der beiden Quadratwurzeln: (16) (u2 + u − 1)(u2 − 7u + 11) , u(u3 − 4u − 4) zur Hauptfunktion u gewinnt man ein Funktionssystem der Transformationsgruppe des Grades 55.

¨ 5.10 Ubergang zum Transformationsgrade 11. Um den Zusammenhang zwischen den Transformationsgraden 55 und 11 herzustellen, hat man denselben Gedankengang zu benutzen, der vom Grade 110 zu 55 f¨uhrte. (55) Alle Substitutionen der Zwischengruppe G1,11 sind in der Hauptgruppe H (11) ent(55)

halten. Die G1,11 ist demnach eine Untergruppe der H (11) ; und zwar handelt es sich (110)

um eine Untergruppe des Index 6, was man wie oben bei den Gruppen G1,5,11,55 und H (55) feststellt. Versteht man unter V1 und V2 die Substitutionen: V1 (ω) = ω + 11 ,

V2 (ω) =

−11 , ω

so gilt f¨ur die Hauptgruppe H (11) die Darstellung: (55)

(55)

(55)

H (11) = G1,11 + G1,11 · V1 + G1,11 · V12 (55)

(55)

(55)

+ G1,11 · V13 + G1,11 · V14 + G1,11 · V2 . Die Hauptfunktion des Grades 11 ist in II, 403 ff. durch τ bezeichnet. Sie ist das Quadrat des Quotienten der in II, 403 unter (1) und (2) angegebenen Formen y und z, und sie hat in der Entwicklungsgr¨osse x des Grades 55 die Reihendarstellung:

(1) τ (ω) = x−5 1 + 6x5 + 17x10 + 46x15 + 116x20 + 252x25 + · · · . Bei Herstellung der Reihe (1) muß man beachten, daß in II, 403 mit der durch γ ≡ 0 (mod 11) erkl¨arten Transformationsgruppe gearbeitet wurde, w¨ahrend jetzt die durch β ≡ 0 (mod 11) definierte Gruppe zugrunde gelegt ist. Man hat demnach

230

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten 1

in den Reihen f¨ur die beiden genannten Modulformen 11ter Stufe q 11 statt q als Entwicklungsgr¨osse einzutragen. (55) Im DB“ der Gruppe G1,11 ist nun u eine zweiwertige und τ eine sechswer” tige Funktion, und zwar ist wieder jede der beiden Gr¨ossen eine ganze algebraische Funktion der anderen. Die zwischen u und τ bestehende algebraische Relation ist also vom sechsten Grade in u und vom zweiten in τ , und wieder kommt nur ein Glied mit u6 und eines mit τ 2 vor. Die fragliche Relation muß also die Gestalt haben: u6 + (a0 τ + a1 )u5 + (b0 τ + b1 )u4 + (c0 τ + c1 )u3

(2)

+ (d0 τ + d1 )u2 + (e0 τ + e1 )u + (f0 τ 2 + f1 τ + f2 ) = 0 . Infolge der grossen Anzahl der unbekannten Koeffizienten ist deren Berechnung (55) hier etwas umst¨andlicher. Man ziehe zun¨achst den DB“ der G1,11 heran und stelle ” die beiden Nullpunkte erster Ordnung von u in den Ecken: √ √ −33 + i 11 −33 + i 11 , ω= ω= 2 10 fest. Beide Stellen sind zugleich Nullpunkte erster Ordnung von τ . Weiter f¨allt in der Spitze ω = i∞ der Pol erster Ordnung von u mit einem solchen f¨unfter Ordnung von τ zusammen, und in der anderen Spitze bei ω = 0 liegen u¨ bereinstimmend Pole erster Ordnung von u und τ . Also ist der Quotient: w(ω) =

τ u

(55)

eine vierwertige Funktion im DB“ der G1,11 mit einem Pole vierter Ordnung in der ” Spitze ω = i∞. Hieraus ergiebt sich, daß nach Eintragung von τ = uw in (2) der Faktor u2 aus allen Gliedern heraushebbar sein muß, woraus wir e1 = 0, f1 = 0, f2 = 0 folgern. Man bestimme demn¨achst die Koeffizienten von u5 , . . . , u2 im Ansatze (2) einzeln. Die Wurzeln der Gleichung sechsten Grades (2) f¨ur u sind: −11 (3) u(ω) , u(ω + 11) , u(ω + 2 · 11) , u(ω + 3 · 11) , u(ω + 4 · 11) , u . ω W¨ahrend sich die Reihen f¨ur die ersten f¨unf Gr¨ossen sofort aus (1), S. 226 ergeben, macht allerdings die letzte Gr¨osse (3) etwas mehr M¨uhe. Man hat sich zu erinnern, daß u(ω) der Quotient der Summe der drei Formen: √

24

Δ2 Δ10 Δ22 Δ110 ,

2 2 2 2 Δ ω1 +55ω , ω2 Δ ω1 +55ω , ω2 Δ ω1 +55ω , ω2 Δ ω1 +55ω , ω2 , 2 10 22 110

24

2ω1 1 Δ Δ 2ω1 , ω2 Δ 2ω5 1 , ω2 Δ 2ω , ω , ω 2 2 11 55

24

¨ 5.10 Ubergang zum Transformationsgrade 11

und der Form:

24

231

Δ1 Δ5 Δ11 Δ55

ist. Man stelle also die Wirkung der Substitution: √ √ i 11ω1 = 11ω2 , i 11ω2 = −ω1 fest und bilde f¨ur den transformierten Quotienten die Potenzreihe. Es ergiebt sich:

−11 = x−5 1 + x5 + 2x10 + x15 + x20 + 2x25 + · · · . u ω Nun kann man durch verh¨altnism¨assig bequeme Rechnungen die vier ersten Potenzsummen p1 , . . . , p4 der sechs Gr¨ossen (3) als Funktionen ersten bis vierten Grades von τ mittels der Reihen berechnen: p2 = τ 2 − 10τ + 20 ,

p1 = τ ,

p3 = τ 3 − 15τ 2 + 30τ ,

p4 = τ 4 − 20τ 3 + 90τ 2 − 140τ + 100 . Zur Probe dient, daß sich die vier ersten symmetrischen Grundfunktionen s1 , . . . , s4 der Gr¨ossen (3)19 als lineare Funktionen von τ ergeben m¨ussen: s1 = τ ,

s2 = 5τ − 10 ,

s3 = 0 ,

s4 = −15τ + 25 .

Die beiden letzten noch unbekannten Koeffizienten folgen jetzt sehr leicht vermittels der Potenzreihen. Damit finden wir das grundlegende Ergebnis: Die beiden Hauptfunktionen u(ω) und τ (ω) der Grade 55 und 11 h¨angen zusammen durch die algebraische Relation: (4)

u6 − τ u5 + 5(τ − 2)u4 − 5(3τ − 5)u2 − τ u + τ 2 = 0 .

Bei Aufl¨osung dieser f¨ur τ quadratischen Gleichung nach τ muß sich nat¨urlich (55) die f¨ur die Zwischengruppe G1,11 charakteristische erste Quadratwurzel (16), S. 229 einstellen. In der Tat findet man als Ausdruck der Hauptfunktion τ (ω) des Grades 11 in derjenigen des Grades 55: (5) 2τ = u(u4 −5u3 +15u+1)+u(u2 −2u−3) (u2 + u − 1)(u2 − 7u + 11) , wobei die Quadratwurzel auf der imagin¨aren Achse positiv zu nehmen ist. Der Fortgang zur Transformationsgruppe des elften Grades geschieht jetzt dadurch, daß man zur Hauptfunktion τ dieses Grades die Quadratwurzel: (6) σ = τ (τ 3 − 20τ 2 + 56τ − 44)

19

Vergl. Algebra“ I, 103. ”

232

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

adjungiert (vergl. II, 406). Endlich stellt sich nach (14) in II, 407 die Funktion j(ω) in σ und τ so dar:

3 4τ 61τ 2 − 24 · 23τ + 25 · 11 − 22 · 3 · 5σ (7) j(ω) =

2 . τ (τ 2 − 3 · 7τ + 23 · 11) + σ(τ − 11) Durch die drei letzten Gleichungen und die Gleichung (4), S. 225 ist j(ω) in der Hauptfunktion v des Grades 110 dargestellt. Zur transformierten Funktion j( −110 ω ) gelangt man durch dieselbe Formelkette, wenn man nur in (4), S. 225 vor der Quadratwurzel das negative Vorzeichen schreibt und u¨ brigens alle Vorzeichenvorschriften unver¨andert l¨aßt. Zur Berechnung von j( −110 ω ) aus j(ω) sind, wie es sein muß, nach Adjunktion der Hauptfunktion des Grades 110 zu j(ω) noch drei Quadratwurzeln auszuziehen20 . Hiermit ist die algebraische Theorie des Transformationsgrades 110 zum Abschluß gebracht.

5.11 Klasseninvarianten und Klassenk¨orper der Diskriminanten −55, −220, −440. Nach der Tabelle S. 223 hat man f¨ur die vier Formklassen der Diskriminante D = −55 die Klasseninvarianten: √ √ √ −1 + i 55 −3 + i 55 ∓1 + i 55 (1) j , j , j . 2 8 4 Die beiden ersten zu den ambigen Klassen geh¨orenden Invarianten sind reell und gen¨ugen den Ungleichungen: √ √ −3 + i 55 −1 + i 55 j <0<j < 123 ; 2 8 die beiden letzten Invarianten (1), die den entgegengesetzten Klassen angeh¨oren, sind konjugiert komplex.

20 Von den drei hier benutzten Wurzeln ist nur die erste unmittelbar mit der ersten Wurzel (15), S. 220 identisch. Jedoch sind σ und:

q

(u2 + u − 1)(u2 − 7u + 11) (11)

(55)

(110)

und G1 mithin auch der Gruppe G1 als Funktionen der Transformationsgruppen G1 durch die Hauptfunktion v des Grades 110 und die drei Wurzeln (15), S. 220 rational darstellbar. In diesen rationalen Darstellungen kommen auch keine numerischen Irrationalit¨aten vor; denn die Entwicklungskoeffizienten in den Potenzreihen aller hier in Betracht kommenden Quadratwurzeln sind rational, und die Koeffizienten der gedachten rationalen Darstellungen sind daraufhin durch L¨osung linearer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten berechenbar.

5.11 Klasseninvarianten und Klassenk¨orper der Diskriminanten −55, −220, −440

233

Die biquadratische Klassengleichung hat als Gleichung im rationalen K¨orper R eine √ Galoissche Gruppe der Ordnung 8; als Gleichung im quadratischen K¨orper (R, i 55) hat sie eine Gruppe der Ordnung 4, die (da nicht alle Klassen ambig sind) zyklischen Typus hat. Nach den Weberschen S¨atzen (vergl. S. 184) ist die √ Klassengleichung nach Adjunktion von 5 zum rationalen K¨orper entsprechend den beiden Geschlechtern der vier Formklassen in zwei quadratische Gleichungen zerf¨allbar. Die zum Hauptgeschlecht geh¨orende quadratische Gleichung hat die reellen Invarianten√(1) zu Wurzeln. Man gelangt zu einem reellen biquadratischen K¨orper, der neben 5 durch Adjunktion einer zweiten, noch festzustellenden reellen Quadratwurzel zu gewinnen ist. Aus diesem biquadratischen K¨orper entsteht der Klassenk¨orper achten Grades durch Adjunktion der L¨osung der zweiten Gleichung zweiten Grades, also der beiden letzten Invarianten (1). Die n¨ahere Untersuchung muß diese Angaben best¨atigen und Aufschluß √u¨ ber die noch festzustellenden Irrationalit¨aten geben. Die Klasseninvariante j( −1+i2 55 ) wird von der Ecke e1 des Polygons H55 (Fig.26, S. 221) geliefert. Als zugeh¨origen Wert der Hauptfunktion hat man nach (7), S. 227: √ √ 1+ 5 −1 + i 55 =− , (2) u 2 2 √ womit sich bereits die zur Trennung der Geschlechter n¨otige Irrationalit¨at 5 einfindet. Nun ist j(ω) allgemein eine rationale Funktion mit rationalen Zahlenkoeffizienten von u und den beiden Wurzeln (16), S. 229. F¨ur den Wert (2) von u verschwindet die erste Wurzel, w¨ahrend die zweite Wurzel die noch gesuchte Irrationalit¨at liefert: √ −1 + 3 5 . u(u3 − 4u − 4) = (3) 2 Hier steht unter der Quadratwurzel √ der eine der beiden Primfaktoren von −11 im reellen quadratischen K¨orper (R, 5). Wir gelangen zur Darstellung der vier Klasseninvarianten (1): √ ⎧ √ √ −1+i 55 1+ 5 −1+3 5 ⎪ ⎪ j , = R , ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎨ √ √ 5 , (4) j −3+i8 55 = R 1+2 5 , − −1+3 2 ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎪ √ √ ⎪ ⎪ ⎩ j ∓1+i4 55 = R 1−2 5 , ±i 1+32 5 , wo R in allen vier Formeln eine und dieselbe rationale Funktion mit rationalen Zahlenkoeffizienten ist und das Entsprechen der Doppelzeichen in der letzten Gleichung unentschieden bleibt. Der Klassenk¨orper achten Grades der Diskriminante D = −55 ist also:

234

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

⎛

(5)

K55

√ = ⎝R, 5,

√ −1 + 3 5 , i 2

√

⎞

1 + 3 5⎠ . 2

√ Das Produkt der beiden letzten Irrationalit¨aten ist i 11, so daß die Quadratwurzel √ der Diskriminante −55, wie es sein muß, sich als nat¨urliche Irrationalit¨at der Klassengleichung herausstellt. Zur wirklichen Herstellung der rechten Seite etwa der ersten Gleichung (4) hat man aus (5) und (6), S. 231 die beiden Werte: ⎧ √ √ ⎪ −55+i 55 1+3 5 ⎪ = − , ⎨τ 2 2 (6) √ √ √ ⎪ ⎪ ⎩ σ −55+i 55 = 11 3+ 5 −1+3 5 2

2

2

zu berechnen. Bei dieser Rechnung ist zu √beachten, daß σ(ω) im Punkte e1 positiv sein muß. Nat¨urlich mußte sich neben 5 die Irrationalit¨at (3) wieder einfinden. Man gewinnt die erste Gleichung (4), indem man in (7), S. 232 f¨ur τ und σ die eben angegebenen Werte eintr¨agt. Wie stets in a¨ hnlichen F¨allen ist die Ausrechnung des geordneten Ausdrucks: √ √ √ √ −1 + 3 5 −1 + i 55 j =a+b 5+ c+d 5 2 2 nicht mehr grunds¨atzlich schwierig, aber m¨uhsam und mag deshalb unterbleiben. Die Klasseninvarianten von D = −220 sind nach der Tabelle S. 223: √ √ √ ∓1 + i 55 i 55 , j , j (7) j i 55 , 5 7 von denen die beiden ersten, den ambigen Klassen entsprechend, reell sind und den Ungleichungen: √ √ i 55 j i 55 > j > 123 5 gen¨ugen. Nun ist von den beiden Klassengleichungen H−55 (j) = 0 und H−220 (j) = 0 jede eine Totalresolvente“ der anderen (vergl. Algebra“ III, 370). Es ist al” ” so der Klassenk¨orper der Diskriminante −220 identisch mit dem eben bestimmten K¨orper f¨ur D = −55; und das Interesse, das hier noch vorliegt, besteht darin, diese Identit¨at durch direkte Rechnung nachzuweisen. Nun ist aber nach (7), S. 227: √ 7 + √5 (8) u i 55 = . 2 F¨ur diesen Wert u verschwindet die erste Quadratwurzel (16), S. 229 wieder, w¨ahrend man f¨ur die zweite Wurzel findet:

5.11 Klasseninvarianten und Klassenk¨orper der Diskriminanten −55, −220, −440

u(u3 − 4u − 4) =

√ 5 1+ 5 2

235

√ −1 + 3 5 . 2

Hiermit ist der fragliche Nachweis Den gleichen Beweis kann man √ bereits erbracht. √ nat¨urlich mittels der Werte τ (i 55) und σ(i 55) f¨uhren. Man findet aus (5) und (6), S. 231 mit etwas mehr Rechenaufwand: ⎧ √ 4

√ ⎪ 1+ 5 ⎪ , ⎨ τ i 55 = 11 2 (9) √ 8 √ √ ⎪

√ ⎪ ⎩ σ i 55 = 11 1+ 5 9+ 5 −1+3 5 . 2

2

2

Die Eintragung dieser Werte in (7), S. 232 ergiebt die Klasseninvarianten (7) selbst. Die Klassengleichung der Diskriminante D = −440 ist vom 12ten Grade und muß nach den Weberschen√S¨atzen√(vergl. S. 184) entsprechend den vier Geschlech√ √ tern nach Adjunktion von 2 und 5 in vier im biquadratischen K¨orper (R, 2, 5) irreduzibele kubische Gleichungen zerf¨allbar sein. Es hat dann z. B. die zum Hauptgeschlechte geh¨orende Teilgleichung die Wurzeln: √

√ ∓4 + i 110 j i 110 , , j 9 von denen die erste reell und > 123 ist und zur Hauptklasse geh¨ort. Die Hauptfunktion v(ω) des Grades 110 liefert hier nun zun¨achst eine √ kubische Partialresolvente“ der Klassengleichung, der die drei zur Irrationalit¨at i 110 ” geh¨orenden Eckenwerte: √ √

∓110 + i 110 v i 110 , v 3 der Hauptfunktion gen¨ugen. Diese Resolvente gewinnt man durch Nullsetzen des kubischen Faktors unter der Quadratwurzel in (3), S. 218. Die kubische Partialresolvente der Klassengleichung ist also: (10)

v3 − v2 − 8 = 0 .

Diese Resolvente ist als Gleichung im rationalen K¨orper irreduzibel und hat eine Galoissche Gruppe der Ordnung 6. Ihre Diskriminante21 ist n¨amlich vom quadratischen Faktor 4 abgesehen gleich der √ vorliegenden Formendiskriminante D = −440, woraus zugleich hervorgeht, daß −440 eine nat¨urliche Irrationalit¨at der Gleichung √ 3 (10) ist. Ist ε = −1+i , so entnehme man die Wurzeln von (10) nach der Kardani2 schen Formel aus:

21

Vergl. Algebra“ I, 396. ”

236

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

√ √ √ √ √ 4 3 3 3 = εν 12 3 + 2 110 + ε−ν 12 3 − 2 110 , (11) v

ν = 0, 1, 2.

Sind v und v die beiden komplexen L¨osungen der Gleichung (10), so kann man den Galoisschen K¨orper sechsten Grades dieser Resolvente als K¨orper (R, v, v) erkl¨aren. Aus diesem K¨orper sechsten Grades muß nun der Klassenk¨orper K440 der Dis√ kriminante D = −440 durch Adjunktion der beiden reellen Quadratwurzeln 2 √ und 5 entstehen: √ √ (12) K440 = R, v, v, 2, 5 . Die Best¨atigung dieser Angabe muß sich aus den Quadratwurzeln (15), S. 220 ergeben. In v und diesen Wurzeln ist n¨amlich j(ω) rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten darstellbar. Berechnen wir also die Invariante f¨ur eine der Klassen des Hauptgeschlechtes, so ist f¨ur v die zugeh¨orige L¨osung der Gleichung (10) einzutragen. Es verschwindet alsdann die erste unter den drei Wurzeln (15), S. 220, w¨ahrend sich die beiden anderen Wurzeln: (13) (v2 + v + 3)(v 2 + v − 1) , (v − 1)(v 3 + v 2 + 3v − 1) √ √ nach Adjunktion von 2 und 5 in der gew¨ahlten Wurzel v von (10) rational darstellen lassen m¨ussen. Um dies zu best¨atigen, bemerken wir, daß die beiden folgenden Gleichungen in v identisch bestehen:

1 2 2 4 v2 + v + 3 v2 + v − 1 = v + 3v + 7 + (v + 2) v 3 − v 2 − 8 , 5 5

1 2 2 1

3 2 v + 3v + 4 + (7v + 1) v 3 − v 2 − 8 . (v − 1) v + v + 3v − 1 = 8 8 Bedeutet demnach v eine der drei Wurzeln der Gleichung (10), so gilt: 1

(v 2 + v + 3)(v 2 + v − 1) = √ v 2 + 3v + 7 , 5

1 (v − 1)(v 3 + v 2 + 3v − 1) = √ v 2 + 3v + 4 . 2 2 Die Adjunktion der Wurzeln (13) zum K¨orper sechsten Grades (R, also √ v, v) kommt √ in der Tat auf die Adjunktion der beiden reellen Quadratwurzeln 5 und 2 hinaus. An die Stelle der beiden Wurzeln (13) kann man auch die beiden Gr¨ossen τ und σ treten lassen. Zun¨achst stellt man, wenn v eine Wurzel der Gleichung (10) ist, die beiden Gleichungen fest: 2u = v 2 + v + 2 , √

(u2 + u − 1)(u2 − 7u + 11) = 12 5 v 2 − v + 2 .

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten

237

√ Zufolge (5), S. 231 wird somit nach Adjunktion von 5 der zugeh¨orige Wert τ in v rational darstellbar; man gewinnt den Ausdruck: √ √ √ τ = 17 + 7 5 v 2 + 25 + 9 5 v + 59 + 23 5 . √ Nach der weiteren Adjunktion von 2 muß auch σ rational in v darstellbar sein. Doch fangen hier die Rechnungen an, unbequem zu werden.

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten. Robert Fricke widmete sich in seinen sp¨aten Werken der Aufgabe, die Theorie der Klasseninvarianten zu vereinfachen und zu vereinheitlichen. In diesem Zusammenhang ermittelte er f¨ur eine Reihe singul¨arer ω der oberen Halbebene der komplexen Zahlenebene die algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die durch Adjunktion der zugeh¨origen Klasseninvarianten erzeugt werden. Zum Teil berechnete er sogar die Werte der Klasseninvarianten j(ω). Anf¨ange f¨ur derartige Rechnungen gehen bis in das 19te Jahrhundert zur¨uck. Kronecker pr¨agte f¨ur die Klasseninvarianten den Begriff singul¨are Moduln“, den ” jedoch Fricke im vorliegenden Werk nicht benutzte. Beide Begriffe wurden dann auch auf die Werte von Modulfunktionen erstreckt, die sich als rationale Funktionen der j-Funktion darstellen lassen. Als Gegenstand der Untersuchungen wurden dann Modulfunktionen gew¨ahlt, deren Werte an den singul¨aren Stellen ω dieselben Erweiterungen wie die Werte der j-Funktion erzeugen, die aber mit weniger Aufwand berechnet werden k¨onnen. H. Weber publizierte erstmals 1891 umfangreiche und systematische Berechnungen von Klasseninvarianten in Buchform in seinem Werk Elliptische Functionen ” und algebraische Zahlen“ [102], dessen zweite Auflage er 1908 als dritten Band seines Lehrbuch der Algebra“ [104] herausbrachte. Das dreib¨andige Webersche ” Lehrbuch diente Fricke sp¨ater als Grundlage f¨ur sein dreib¨andiges Werk Lehrbuch ” der Algebra“ [28, 29, 30]. Ende der 1920er Jahre, zeitgleich zu den Aktivit¨aten von Fricke, berechnete der englische Mathematiker W. E. H. Berwick in [5] die Werte aller Klasseninvarianten, die zu einer bin¨aren quadratischen Form mit Klassenzahl ≤ 3 korrespondieren, die also eine Erweiterung der rationalen Zahlen vom Grad ≤ 3 erzeugen. Zuvor hatte auch der indische Mathematiker S. Ramanujan bereits Klasseninvarianten berechnet, aber nur zum Teil 1914 in [76] ver¨offentlicht. Weitere Ergebnisse verblieben in seinem Nachlass. G. N. Watson vollzog die hinterlassenen fragmentarischen Notizen nach und arbeitete sie in [94, 95] aus. In einer Reihe von Arbeiten ([96]–[101]) trieb er die Rechnungen in erheblichem Umfang weiter voran. Die M¨oglichkeiten f¨ur konkrete Rechnungen waren in der damaligen Zeit sehr begrenzt, da die Verfahren aufgrund der Gr¨oße der auftretenden Zahlwerte zeitaufw¨andig und fehlertr¨achtig waren. Als Hilfsmittel f¨ur numerische Rechnungen wur-

238

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

den Logarithmentafeln benutzt, Berwick berichtete vom Einsatz einer Rechenmaschine ([5], p. 69). Watson beschrieb sein numerisches Rechenverfahren in [98], Abschnitt 3. Bei Fricke finden sich an verschiedenen Stellen Andeutungen darauf, dass begonnene Rechnungen aufgrund ihres Umfangs zu Komplikationen f¨uhrten. Als Folge davon sind die Berechnungen einiger Klasseninvarianten nicht abgeschlossen, sondern enden kurz vor dem endg¨ultigen Ergebnis. Vor diesem Hintergrund liegt es nahe und soll in diesem Abschnitt verfolgt werden, die damals stecken gebliebenen Berechnungen mit Hilfe von aktuell zur Verf¨ugung stehenden Computern und Algorithmen zu pr¨ufen und zu vollenden. Die zu berechnenden Klasseninvarianten sollen auf die in Frickes sp¨aten Werken betrachteten F¨alle beschr¨ankt sein. Da Berwick in [5] die Klasseninvarianten f¨ur Klassenzahlen ≤ 3 ersch¨opfend behandelte, werden nur Klassenzahlen ≥ 4 in die Berechnungen eingeschlossen. Nicht ber¨ucksichtigt werden die F¨alle, in denen Fricke nur eine Klassengleichung angab, ohne die Relation zwischen der Modulfunktion, die diese Gleichung erf¨ullt, und der j-Funktion explizit herzustellen. F¨ur die nach dieser Vorauswahl zu berechnenden Klasseninvarianten sind in Tafel VI einige wichtige Daten zusammengestellt: die Diskriminante, die Klassenzahl, die singul¨aren ω sowie ein Bezug zu der entsprechenden Textstelle bei Fricke, bei der die Berechnung abgebrochen oder erfolgreich beendet wurde. Um einen Eindruck u¨ ber das Ausmaß der Rechnungen zu gewinnen, seien exemplarisch zwei unvollst¨andige Resultate aus diesem Werk aufgef¨uhrt: Bei der Diskriminante D = −55 liefert die Fortsetzung der auf S. 234 abgebrochenen m¨uhsamen“ Rechnung das Ergebnis ” √ 13136684625 5874905295 √ −1 + i 55 =− − 5 j 2 4 4 √ −1 + 3 5 1738719675 √ . + 1944006075 + 5 2 2 Bei der Diskriminante D = −440 ergibt die Fortsetzung der unbequemen“ Rech” nung auf S. 237 f¨ur σ nach (6), S. 231 in der vorhergesagten Gestalt den Wert √ √ √ 11 σ = ± √ (833 + 371 5)v 2 + (1163 + 517 5)v + (2786 + 1238 5) , 2 wobei v die kubische Gleichung v 3 − v 2 − 8 = 0 erf¨ullt. Dieser Wert und √ √ √ τ = 17 + 7 5 v2 + 25 + 9 5 v + 59 + 23 5 sind dann einzusetzen in j(ω) =

2 4τ 61τ 2 − 24 · 23τ + 25 · 11 − 22 · 3 · 5σ

. 3 (τ (τ 2 − 3 · 7τ + 23 · 11) + σ(τ − 11)) √ √ Die verschiedenen Auswahlen f¨ur v und f¨ur die Vorzeichen von 2 und 5 liefern dann die 12 Werte der j-Funktion an den in Tafel VI genannten Stellen ω.

239

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten Tafel VI: Daten der betrachteten Klasseninvarianten

D hD −39

4

−55

4

−56

4

−68

4

−80

4

−84

4

−96

4

−104

6

−120

4

−128

4

−140

6

−144

4

−168

4

−171

4

−196

4

−220

4

−252

4

−280

4

−387

4

−420

8

−440 12 −603

4

singul¨are ω √ √ √ −1+ −39 −3+ −39 ±1+ −39 , , 2 6 4 √ √ √ −1+ −55 −3+ −55 ±1+ −55 , , 2 8 4 √ √ √ −14 ±1+ −14 −14, 2 , 3 √ √ √ −17, −1+2 −17 , ±1+3 −17 √ √ √ 2 −5, 2−5 , ±1+23 −5 √ √ √ √ −1+ −21 −2+ −21 −21, −21 , 3 , 2 5 √ √ √ √ 2 −6 −1+ −6 −1+2 −6 2 −6, 3 , , 2 5 √ √ √ √ ±1+ −26 ±2+ −26 −26, −26 , 2 , 3 5 √ √ √ √ −30 −30 −30, −30 2 , 3 , 5 √ √ √ ±1+4 −2 1 4 −2, − 2 + −2, 3 √ √ √ √ −35, −35 , ±1+3 −35 , ±1+4 −35 5 √ √ √ 6 −1, 3 2−1 , ±2+65 −1 √ √ √ √ −42 −42 −42, −42 2 , 3 , 6 √ √ √ −1+3 −19 −5+3 −19 ±3+3 −19 , , 2 14 10 √ √ √ −1+7 −1 ±1+7 −1 7 −1, , 2 5 √ √ √ −55 ±1+ −55 −55, 5 , 7 √ √ √ −63 ±3+ −63 −63, 7 , 8 √ √ √ √ −70 −70 −70, 2 , 5 , −70 7 √ √ √ −1+3 −43 −3+ −43 ±1+ −43 , , 2 6 6 √ √ √ √ −1+ −105 −105 −105, , 3 , −105 , 2 5 √ √ √ √ −105 −3+ −105 −5+ −105 −4+ −105 , , , 7 6 10 11 √ √ √ √ √ −110 −110 −110 ±1+ −110 −110, 2 , 5 , 10 , , 3 √ √ √ ±2+ −110 ±3+ −110 ±4+ −110 , , 6 7 9 √ √ √ −1+3 −67 −3+ −67 ±1+ −67 , , 2 6 6

Bezug Alg. III, S. 411 Ell. Fkt. III, S. 234 Alg. III, S. 447 Alg. III, S. 439 Alg. III, S. 457 Alg. III, S. 454 Alg. III, S. 460 Alg. III, S. 478 Alg. III, S. 501 Alg. III, S. 462 Alg. III, S. 488 Alg. III, S. 464 Acta Math. 52, S. 279 Alg. III, S. 502 Alg. III, S. 470 Ell. Fkt. III, S. 235 Alg. III, S. 502 Math. Ann. 101, S. 331 Alg. III, S. 502 Math. Ann. 101, S. 341

Ell. Fkt. III, S. 237 Alg. III, S. 502

240

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Die Darstellung der zu berechnenden Klasseninvarianten erlaubt eine Reihe von Freiheitsgraden, die den Vergleich der Ergebnisse verschiedener Autoren erschwert. Daher soll zun¨achst die in der Folge angegebene Gestalt der Werte erl¨autert werden. Zuerst ist eine Basis f¨ur die algebraische Erweiterung K u¨ ber den rationalen Zahlen zu w¨ahlen. Als Basiselemente geeignet sind die Potenzen eines primitiven Elements θ. F¨ur die zu betrachtenden Erweiterungen wurden die primitiven Elemente θ nach zwei Kriterien ausgew¨ahlt: erstens die Nenner klein zu halten, die bei der Darstellung ganzer Elemente des K¨orpers durch das primitive Element auftreten, zweitens in den Minimalpolynomen μ(θ) die rationalen Koeffizienten vom Betrag m¨oglichst klein zu bekommen. In den meisten F¨allen ist das primitive Element selbst eine Einheit des Rings der ganzen Zahlen des Erweiterungsk¨orpers. Ferner zerfallen die Klasseninvarianten in den durch sie erzeugten Erweiterungen K in irreduzible Faktoren mit kleinen absoluten Normen. Die Gestalt einer derartigen Zerlegung wird dann auch von der Einheitengruppe UK des Rings der ganzen Zahlen beeinflusst. Da die Klasseninvarianten zu ambigen Klassen reell sind, ist jede betrachtete Erweiterung K isomorph zu einer reellen Erweiterung der rationalen Zahlen. Daher enth¨alt K nur die Einheitswurzeln ±1, und UK ist als Gruppe isomorph zum direkten Produkt von ±1 mit einer freien abelschen Gruppe endlichen Ranges, erzeugt von Grundeinheiten 1 , 2 , . . .. Die Grundeinheiten wurden meist so gew¨ahlt, dass sie in einer Teilerweiterung m¨oglichst kleinen Grades u¨ ber den rationalen Zahlen liegen. Die oben beschriebenen Daten sind f¨ur Erweiterungen der Grade 4 und 8 in Tafel VII zusammengestellt. Das darin genannte primitive Element θ ist dann die

Tafel VII: Erweiterungsk¨orper der Grade 4 und 8 D

K „q

« √ −1+ 13 2

„q

«

−39 Q

−55 Q −220

„q

−56 Q

−68

−80

θ

Q

√ 5

√ −1 + 2 2

„q

Q

−1+3 2

4+

„q

√

2+

«

«

17

√

«

5

μ(θ)

UK = < 1 , 2 , . . . > 1 2

3+

+

q √ √ 13 −1+ 13 4 2

1 = θ, 1 2

+

2 =

3+

√ q √ 1+ 5 −1+3 5 4 2

√ 13 2

θ4 − 2θ3 + θ − 1 √ 5

2 = 1+2 √ q √ + 1+2 2 −1 + 2 2

1 = θ,

1 2

θ4 − 2θ3 − 2θ 2 + 3θ − 1

1 = θ, √ 1+ 17 4

+

θ 4 − 2θ 3 − θ2 + 2θ − 1

2 = 1 + q √ √ 17−3 4 + 17 4

1 = θ, √ 5−1 2

q

1 = θ,

2 = √ 2+ 5

q

4+

√

√

2 θ4 − θ3 − 2θ 2 − θ + 1

17

2 = θ2 − θ

θ4 − θ 2 − 1

241

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten Tafel VII: Erweiterungsk¨orper der Grade 4 und 8 D

K

−84

Q

“√

3,

θ

μ(θ)

UK = < 1 , 2 , . . . >

√ ”

√ √ 3+ 7 2

7

θ 4 − 5θ 2 + 1 √

3 = 2 + 3

2 = θ 3 − 2θ 2 − θ + 1, √ 1+√3 Q 2( 2 ) θ 4 − 4θ 2 + 1 √ √ √

1 = θ,

2 = 2 + 3,

3 = 1 + 2 “√ √ ” √ √ Q 2, 5 2 + 1+2 5 θ 4 −2θ 3 −5θ2 +6θ−1 √ √

1 = θ,

2 = 1 + 2,

3 = 1+2 5 „q « q √ √ Q 1+ 2 1+ 2 θ 4 − 2θ 2 − 1 “√

−96

−120 −280 −128

„q

−144

Q

√ 3+2 3

“√

−168

Q

„q

1 = θ, √ ” 2, 3

6,

√

14

2 = θ 2 − θ − 1 q √ √ 3−1 3+2 3 2

1 = θ,

«

√ 1+ 3 2

+

1 = θ,

”

1 2 θ , 2« √ −3+ 57 2

1 =

2 =

2 = √ √ 6+ 14 2

1 2 θ 2

q

2+

√

θ4 − 2θ 3 − 2θ + 1

3 θ4 − 10θ2 + 4

− θ − 1,

3 =

√ −3+ 57 2

1 2 θ 2

− 2θ + 1

θ4 + 3θ2 − 12 √

1 = 14 (θ + 2)(7θ 2 + 37),

2 = 151 + 20 57 „q « q √ √ √ √ √ √ −196 Q (8+3 7) 7 1+ 27 +( 27 −1) (8+3 7) 7 θ4 −4θ3 −θ 2 −4θ+1 −171

Q

„q

−252

Q

−387

Q

„q

« √ 9+ 129 2

1 = −420

Q

“√

3,

5,

„q

−603 Q

1 (θ3 3

+

1 2

1 = θ,

2 = √ 9+ 129 2

q

+ θ 2 + θ + 1)

3+

√ 21 2

θ4 − 9θ2 − 12 √

2 = 16855 + 1484 129 θ8 − 15θ6

√ √ √ 3+ 7 1+ 5 2 2

2 =

√ √ √ √ ( 3+ 5)( 5+ 7) , 2

«

√ 879+62 201

1 2

+ 32θ4 − 15θ2 + 1

6

θ +1 − θ3 − θ2 , 8 √ √

5 =

+

(1+

3)( 2

1 = θ 3 + 2θ2 − 3θ + 3,

2 =

3 =

√ 3+ 5)

q √ 201−14 879 2

θ 4 −θ 3 −3θ2 −θ+1

θ+1

+ 95θ2 − 33θ + 112),

√ ” 7

1 = θ,

4 =

=

q

1 (−28θ 3 2

√

2 √ 1+ 21 4

1 = θ,

« √ 3+ 21 2

, 6 = 2 +

√ + 62 201

1 (479θ 3 5

√ √ ( 3−1)(3+ 7) , 2

√

3, 7 =

√ 1+ 5 2

θ4 − 2θ 3 − 12θ2 + 13θ − 8

+ 1099θ 2 − 1296θ + 929)

242

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

gr¨oßte positive Nullstelle seines Minimalpolynoms und korrespondiert zur Hauptklasse der zugeh¨origen bin¨aren quadratischen Form. F¨ur die Erweiterungen der Grade 6 und 12 sind in Tafel VIII primitive Elemente v und deren Minimalpolynome f¨ur die Teilerweiterungen angegeben, die u¨ ber den rationalen Zahlen den Erweiterungsgrad 3 haben. Bei den ambigen Klassen nimmt dann v jeweils den eindeutigen reellen Wert an. Die berechneten Klasseninvarianten werden dann als ein Produkt von Faktoren ausgedr¨uckt, die mit Hilfe des primitiven Elements θ und der Grundeinheiten 1 , 2 , . . . dargestellt werden. Da die einzelnen Faktoren nur bis auf Einheiten eindeutig sind, werden die Faktoren so mit geeigneten Grundeinheiten multipliziert, dass nur Terme mit m¨oglichst wenig Basiselementen und betragsm¨aßig m¨oglichst kleinen Koeffizienten auftreten. Um die Klasseninvarianten knapp und kompakt darzustellen, werden diejenigen Faktoren, die im Grundk¨orper oder in echten Teilerweiterungen liegen, nicht vollst¨andig in irreduzible Faktoren zerlegt. Die nach den genannten Vorschriften und Festlegungen schließlich ermittelten Klasseninvarianten sind in Tafel IX enthalten. In den Faktorzerlegungen sind von links zuerst die Einheiten, dann die Zahlfaktoren aus Teilerweiterungen und zuletzt die irreduziblen Faktoren aus der durch die Klasseninvariante erzeugten Erweiterung aufgelistet. F¨ur die letztgenannten Faktoren ist in der Zeile darunter jeweils die zugeh¨orige absolute Norm angegeben. Die konkreten Rechnungen wurden mit den Computer-Algebra-Systemen KANT und Mathematica durchgef¨uhrt. Den Entwicklern dieser Systeme geb¨uhrt ein außerordentlicher Dank, denn insbesondere ohne die Algorithmen zum symbolischen Rechnen mit Polynomen und algebraischen Zahlen, zum L¨osen von Normgleichungen, sowie zum Berechnen von Einheitengruppen und von Basen der Ringe ganzer Zahlen w¨aren die vorangehenden Ergebnisse nicht zu erzielen gewesen.

Tafel VIII: Erweiterungsk¨orper der Grade 6 und 12 D

−104

K

Q

−140

“√

Q

μ(v)

13, v

“√

5, v

μ(θ) UK = < 1 , 2 , . . . >

”

v3 − v − 2

θ6 + θ 5 + 2θ 4 − θ3 − 2θ2 + θ − 1

1 = θ,

”

2 = θ + 1,

v 3 + 2v + 2

“√

2,

√

5, v

1 = θ,

”

√

2 = θ + 1,

4 = 2 + 3 2 2 −( 54 +

3 =

√ 1+ 5 2

θ12 − 6θ11 + 11θ10 − 2θ9 + 6θ8 + 2θ 7

v3 − v2 − 8

2 = θ + 1,

√ 3+ 13 2

θ 6 + θ5 − 2θ4 − 5θ 3 − 2θ 2 + θ + 1

1 = θ, −440 Q

3 =

−49 θ6 + 2θ 5 + 6θ 4 − 2θ3 + 11θ2 − 6θ + 1

3 = − 32 −

√ v2 2 )v+ , 2

4

5 =

√

√ 5 10

− ( 12 + √ 5

2+ 1+2

√ 2 5 )v 5

√ 5 )v 2 , 5 √

7 = 1+2 5

+ ( 12 +

√ , 6 = 1+ 2,

243

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten Tafel IX: Faktorzerlegungen von j(ω) D

Faktorzerlegung von j(ω) Normen der Faktoren in j(ω)

−39

j(ω) =

−55

j(ω) =

− −2 2 {3(θ

+ 1)(θ + 2)(3θ − 2)(θ 2 + 1)}3

3, 17, 23, 29 √ 2 · 3 5(2θ − 1)(θ − 3)(2θ + 1)}3

3 {− −8 1 2

11,

29,

41

2 3 2 3 j(ω) = { 21 −1 2 · 2 (θ − 2)(2θ − 1)(3θ − 1)}

−56

−68

j(ω) =

{− 31 22

112 ,

17,

2

3

2

41 2

· 2 · 5(θ − 2)(θ − 2θ − 2)}3 17,

47

√

−7 j(ω) = { 14 · 2 5(θ − 2)(θ2 + 3θ + 4)(11θ − 14)}3 1 2

−80

172 ,

11, −84

j(ω) =

−2 2 2

−1 1 2 3 {2

· 3(θ + 2)(θ2 + 3θ − 2)(θ3 − θ − 1)}3 3,

−96

j(ω) =

− 91 43 {2

59

47,

59

2

3

· 3(θ − 2θ − 2)(2θ + 3)(θ + θ2 + 3)}3 23,

47,

71

−6 11 2 3 3 2 4 3 3 −104 j(ω) = { 16 1 2 3 · 2 (θ + θ + 1)(2θ + θ − 2)(2θ − θ + 1)(θ + 2θ + 1)}

112 , −120

j(ω) =

1 72 83 {22

232 , √

29,

2

41,

−4 2 3 2 3 3 j(ω) = {− −2 1 2 · 5 2(θ + 6θ − 12)(θ + 2θ + 2)(2θ − 1)}

−140 j(ω) =

13 9

−2 1 2 3

47,

j(ω) =

· 24 { 5(2θ3 −2θ2 − θ−1)(θ2 − 2)(θ4 − θ + 1)(θ3 − θ + 1)}3

91 72 {2

√

41,

2

89,

3

101

3(θ − θ − 1)(3θ − 2)(θ + 2θ − 2)(θ − 3θ − 3)}3 11,

59,

3

83,

107

j(ω) = 71 −18

3 {22 · 3 · 5(θ − 3)(4θ 2 − 2θ − 3)(2θ 3 − 21θ − 13)}3 2 112 ,

5, −171

71

√

232 ,

−168

89

√

292 ,

−144

3

· 3 5(θ + 1)(θ − 2θ − 1)(θ + 1)} 32 ,

−128

53 2

j(ω) =

5

−45

22 2 {2 (29(θ 1

+ 1) + 2,

11 (θ3 2

+

θ2 ))2 (2θ

101 + 3,

3)2 (θ2

+ θ − 1)}3 29

244

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Tafel IX: Faktorzerlegungen von j(ω) D

Faktorzerlegung von j(ω) Normen der Faktoren in j(ω)

−196 j(ω) =

2 { −3 1 2

· 22 · 3(θ3 + θ2 + 2θ + 1)(θ − 3)(θ 2 − 3θ − 6)(3θ 3 + 3θ − 1)}3

112 , 47, 83, 131 √ −17 17 2 3 j(ω) = { 1 2 · 3 5(2θ − 3θ − 6)(3θ + 1)(2θ − 5)}

−220

232 , −252

149

22 2 2 3 3 j(ω) = −2 1 2 {5(θ − 1) (2θ − 1)(θ − 2)(2θ − 3)(2θ − 4θ + 1)}

3, −280

101,

j(ω) =

{ 63

√

2

5,

17,

3

89,

2

173 2

· 2 · 3 5(θ − 6θ + 2)(12θ − 17θ + 3)(θ − 2)(θ 2 + 3θ − 2)}3 112 , −17 ˘

−387 j(ω) = − 36 1 2

25 ·5

`1 4

232 ,

41,

´`

´2 `

(θ−2)(11θ 2 +13) θ 3 −13θ−9

89

2θ3 +6θ 2 +2θ+7

´¯3

2,

3, 71 “ θ6 + 1 ” √ −3 −1 4 10 27 − 3θ 4 + θ 3 − θ j(ω) = − −66

12 22 · 3 5 2 3 4 5 6 7 1 4 “ 5θ 6 + 5 ”“ θ6 + 1 ” −420 − 17θ4 + 14θ2 − 8θ − 2θ4 + 3θ 2 − θ · 4 8 “ ”“ 9θ6 − 15 ”o3 − 15θ4 + 11θ 2 − θ · 2θ − 1 8 172 , 232 , 59, 251, 311 √ ˘ 3 −17 −6 20 −9 j(ω) = − −24

11

5 6 7 · 22 5 2 3 4 1 n

· · −440

· · · ·

`1

´` 1

(θ5 −θ4 −θ 3 +3θ 2 +θ−1)

8

(3θ9 −19θ8 + 34θ 7 + 20θ6 − 59θ5 − 5θ 4 + 2θ 3 −14θ 2 + 7θ + 3)

8

(2θ9 − 9θ 8 + 6θ 7 − 6θ6 + 26θ5 + 29θ 4 + 14θ 2 − 12θ + 3)

8

(3θ8 − 20θ 7 + 42θ 6 − 6θ5 − 29θ4 − 10θ 3 − 28θ 2 + 34θ − 7)

8

(2θ9 −7θ8 −14θ 7 + 40θ6 + 8θ5 −13θ4 + 10θ 3 − 14θ2 + 6θ − 1)

8

(θ8 − 6θ 7 + 12θ 6 − 2θ5 − θ4 + 2θ 3 − 10θ 2 + 4θ − 1)

`1 `1 `1 `1 `1

112 , n

232 ,

j(ω) = − −10

−4 25 · 5 1 2 −603

· ·

472 ,

41,

“ 2(θ 3 + θ2 + θ + 1)

“ 4(θ 3 + θ 2 + θ + 1)

5

“ 3(θ 3 +θ 2 +θ+1)

5

8

(θ 9 −4θ8 +6θ6 −9θ 5 +6θ 3 +3θ−2)

´

2

5 − 2θ 2 −1 2

3,

−θ

1072 ,

5

”“ 6(θ3 +θ 2 +θ+1)

11,

5 53,

´ ´ ´

´¯3

281

”

”2 “ 27(θ 3 + θ 2 + θ + 1)

−3θ +2θ−2 2,

832 ,

´

113

−5θ 2 − 8θ −2

”

”o3

+10θ 2 +20θ−9

Kapitel 6

Vermischte arithmetische Anwendungen.

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen. J a c o b i teilte im Journal f¨ur Mathematik, Bd. 3, S. 191 (1828) das Theorem mit, daß das Vierfache einer beliebigen ungeraden Zahl n stets als Summe von vier ungeraden Quadraten: 4n = a2 + b2 + c2 + d2 darstellbar sei, und zwar sei die Anzahl solcher Darstellungen genau gleich der Teilersumme von n. Dabei sind zwei Darstellungen, die zwar die gleichen Zahlen a, b, c, d, jedoch in verschiedenen Anordnungen benutzen, als verschieden zu z¨ahlen. Jacobi sagt, daß er den Beweis dieses Satzes, der mit arithmetischen Mitteln ziemlich schwierig zu sein scheine, aus Formeln der Theorie der elliptischen Funktionen entnommen habe. Ausf¨uhrlicher unter Angabe des Nachweises kommt Jacobi auf diesen Gegenstand in einem Briefe an Legendre vom 9ten September 1828 zur¨uck1 . Einen allgemeinen Ansatz zur Gewinnung von Beziehungen zwischen Darstel” lungsanzahlen“ und Teilersummen“ gewinnt man auf folgende Art: F¨ur jede Stufe ” s > 1 besitzt man in den Teilwerten der ℘-Funktion (vergl. II, 244): λω1 + μω2 ℘λμ (ω1 , ω2 ) = ℘ ω1 , ω2 s eine bekannte Anzahl von ganzen Modulformen (−2)ter Dimension, z. B. f¨ur ungerades s im ganzen 12 (s2 − 1) ganze Formen. Eine erste analytische Darstellung dieser Teilwerte ℘λμ ist f¨ur λ > 0: ¨ Vergl. J a c o b i Gesammelte Werke“ (Berlin, 1881) Bd. 1, S. 247 und 423. Uber Darstellungsan” zahlen hat Jacobi mittels der elliptischen Funktionen noch weitere ausgedehnte Rechnungen ¨ angestellt in der Abhandlung Uber unendliche Reihen, deren Exponenten zugleich in zwei ver” schiedenen quadratischen Formen enthalten sind“, Journ. f. Math., Bd. 37, S. 61 und 221 (1848). (J a c o b i beweist das oben genannte Theorem im letzten Satz seiner Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829); s. Gesammelte Werke“, Bd. 1, S. 239. [Anm. d. Hrsg.]) ” 1

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

245

246

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

(1)

℘λμ =

2π ω2

2 −

∞ ∞ 2λ 2nλ nq 2n 1 − εμ q s (n + 1)εnμ q s + 2 12 1 − q 2n n=0 n=1 ∞ 2nλ 2nλ nq 2n nμ −nμ − s s − ε q +ε q 1 − q 2n n=1

und f¨ur λ = 0: 2 ∞ εμ 1 nq 2n 2π − − (2) + 2 ℘0μ = 2 μ ω2 12 (1 − ε ) 1 − q 2n n=1 −

∞ nq 2n nμ −nμ + ε ε , 1 − q 2n n=1

2iπ

wo ε = e s ist2 . Ordnet man z. B. die letzte Gleichung rechts nach ansteigenden Potenzen von q 2 um, so folgt: 2

∞ εμ 1 2π (s) 2m (3) ℘0μ = − − , + Φ (m) q ω2 12 (1 − εμ )2 m=1 μ wo der Koeffizient von q 2m die Bedeutung hat: (4)

Φ(s) μ (m) =

t

t sin2

tμπ , s

bezogen auf alle positiven Teiler t von m. Entsprechend kompliziertere mit Teilersummen verwandte Koeffizienten werden auch bei der Anordnung der rechten Seite von (1) nach ansteigenden Potenzen von q auftreten. Auf der anderen Seite kennt man f¨ur die Stufe s verschiedene Systeme ganzer Modulformen (−1)ter Dimension, die durch Reihen nach Potenzen von q erkl¨art sind, in deren Exponenten bin¨are quadratische Formen stehen. Es sei z. B. f¨ur die Stufen s, die der Kongruenz s ≡ 3 (mod 4) gen¨ugen, an die 12 (s + 1) in II, 325 erkl¨arten ganzen Modulformen ster Stufe: (5) 2π 2f (μ,ν) s−1 yk (ω1 , ω2 ) = q s , μ ≡ −k (mod s) , k = 0, 1, 2, . . . , ω2 μ,ν 2 erinnert. Hier ist f (μ, ν) eine vorschriftsm¨assig gew¨ahlte positive quadratische Form der Diskriminante −s, und die Summe bezieht sich auf alle der Kongruenz μ ≡ −k (mod s) gen¨ugenden Paare ganzer Zahlen μ, ν. Die Umordnung der Reihe in (5) rechts nach ansteigenden Potenzen von q liefert:

2

Ferner ist q = eπiω und ω = ω1 /ω2 in der oberen Halbebene gelegen. [Anm. d. Hrsg.]

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen

yk =

(6)

247

2m 2π (s) Ak (m) q s , ω2 m

(s)

wo Ak (m) die Anzahl der Darstellungen von m durch die quadratische Form f (μ, ν) mittels ganzer Zahlen μ, ν ist, die der Kongruenz μ ≡ −k (mod s) gen¨ugen. Um beim Beispiele s ≡ 3 (mod 4) zu verweilen, bilde man nun die Quadrate der yk und ihre Produkte zu zweien, welche ganze Modulformen ster Stufe (−2)ter Dimension sind. Alle ganzen Modulformen ster Stufe (−2)ter Dimension sind in einem zweckm¨assig gew¨ahlten vollen System linear-unabh¨angiger Formen dieser Art linear und homogen mit konstanten Koeffizienten darstellbar. Man greife ein solches System erstlich aus den ℘λμ heraus, sodann aber aus den eben hergestellten Formen y02 , y12 , . . . , y0 y1 , . . . . Dann ist jede unserer Modulformen sowohl in dem ersten wie auch in dem zweiten dieser Systeme linear-homogen darstellbar. Man w¨ahle eine einzelne dieser Darstellungen und denke die Potenzreihen nach q eingetragen. Die Reihen nach ansteigenden Potenzen von q f¨ur die Quadrate und Produkte der y haben Koeffizienten, die Darstellungsanzahlen der Exponenten m in gewissen quatern¨aren quadratischen Formen sind. Man erkennt z. B., daß jede Darstellung eines ℘λμ in den y02 , y12 , . . . , y0 y1 , . . . durch Koeffizientenvergleichung zu einer f¨ur jedes m g¨ultigen Regel f¨uhrt, durch die sich eine Teilersumme“ in Darstellungsan” ” zahlen“ ausdr¨uckt. Umgekehrt gelangt man zu Regeln f¨ur die einzelnen Darstel” lungsanzahlen“, ausgedr¨uckt in Teilersummen“. ” Von Interesse ist die Durchf¨uhrung dieser Ans¨atze nur in besonders einfachen F¨allen. Wir wollen demgem¨aß auf Seiten der ℘-Teilwerte, um komplizierteren, auf die Teiler der Zahlen m bezogenen Summen aus dem Wege zu gehen, von vornherein die Modulform ster Stufe (−2)ter Dimension: s−1

℘0μ

μ=1

herstellen, die nach Formel (2) in II, 304 durch 2G1 (ω1 , ω2 ) zu bezeichnen ist. Ihre Entwicklung nach ansteigenden Potenzen von q 2 findet man unter (18) in II, 341. Man sehe noch vom Faktor s ab und arbeite also mit der Modulform: 2

∞ s − 1 (s) 2π (s) 2m + , Φ (m) q (7) G (ω1 , ω2 ) = ω2 24 m=1 wo Φ(s) (m) die Summe aller Teiler von m ist, die nicht selbst durch s teilbar sind. Im Falle s = 2 ist nun jede ganze Modulform (−2)ter Dimension linear und homogen in zwei linear-unabh¨angigen unter ihnen darstellbar. Als solche kann man zwei unter den drei Formen: (8) 2 2 2 π π π 4 4 e2 − e3 = ϑ0 , e3 − e1 = ϑ2 , e1 − e2 = − ϑ43 ω2 ω2 ω2

248

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

ausw¨ahlen, deren Summe verschwindet (vergl. I, 419). Als linear-unabh¨angig kann man auch die beiden Modulformen: 2 2 4 1 2π 2π 4 (9) ϑ42 ϑ0 + ϑ3 , 2 ω2 ω2 w¨ahlen, von denen die erste eine Reihenentwicklung mit nur geraden Exponenten von q besitzt, die zweite eine solche mit ausschließlich ungeraden Exponenten. Man gewinnt aus den urspr¨unglichen Thetareihen: ϑ0 =

+∞

2

(−1)κ q κ ,

+∞

ϑ3 =

κ=−∞

qκ

2

κ=−∞

f¨ur die Summe der beiden vierten Potenzen von ϑ0 und ϑ3 : 2 2 2 2 1 + (−1)κ+λ+μ+ν q κ +λ +μ +ν ϑ40 + ϑ43 = κ,λ,μ,ν

oder bei Anordnung nach ansteigenden Potenzen von q:

∞ 4 4 (2) 2m ϑ0 + ϑ3 = 2 1 + , A (m) q m=1

wo A(2) (m) die Anzahl verschiedener Darstellungen von 2m: 2m = κ 2 + λ2 + μ2 + ν 2 als Summe von vier Quadraten irgend welcher ganzer Zahlen ist. Zwei Darstellungen, bei denen dieselben Zahlen κ, λ, μ, ν nur in verschiedenen Anordnungen verwendet werden, sind dabei wieder als verschieden zu z¨ahlen. Ein Quadrupel mit lauter verschiedenen Zahlen κ, λ, μ, ν z¨ahlt also 24-fach, ein solches mit zwei gleichen Zahlen 12-fach, ein solches mit zweimal zwei gleichen Zahlen 6-fach, ein solches mit drei gleichen Zahlen 4-fach und ein Quadrupel, in dem alle Zahlen gleich sind, nur einfach. Da es nach den vorstehenden Angaben abgesehen von einem konstanten Faktor nur eine ganze Modulform zweiter Stufe (−2)ter Dimension mit nur geraden Potenzexponenten der Reihe giebt, so ist G(2) (ω1 , ω2 ) bis auf einen konstanten Faktor mit der ersten Form (9) identisch. Der Vergleich der Absolutglieder der beiderseitigen Reihenentwicklungen liefert als in q identisch bestehend die Gleichung: 1+

∞ m=1

(2)

A

(m) q

2m

= 1 + 24

∞

Φ(2) (m) q 2m ,

m=1

woraus sich f¨ur jede positive ganze Zahl m das Gesetz ergiebt: A(2) (m) = 24 Φ(2) (m) .

249

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen

Jede positive gerade Zahl 2m ist als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν darstellbar; und zwar ist die Anzahl verschiedener Darstellungen dieser Art von 2m gleich der 24-fachen Summe aller ungeraden Teiler von m. So hat man z. B. f¨ur m = 35: 24 Φ(2) (35) = 1152 . Darstellungen der Zahl 70 in der Gestalt: 70 = κ 2 + λ2 + μ2 + ν 2 werden im ganzen von folgenden f¨unf Zahlquadrupeln geliefert: κ λ

8 2

7 4

6 5

6 4

5 5

μ ν

1 1

2 1

3 0

3 3

4 2

16 · 12 16 · 24 8 · 24 16 · 12 16 · 12 Unter jedem Quadrupel ist die Anzahl der von ihm gelieferten Darstellungen angegeben. Bei der Feststellung dieser Anzahl beachte man, daß beim einzelnen Quadrupel nicht nur die verschiedenen Anordnungen zu z¨ahlen sind, sondern daß jede der Zahlen κ, λ, μ, ν auch durch ihre entgegengesetzte ersetzt werden kann. In der Tat ist die Summe der Darstellungsanzahlen: 16 · 12 + 16 · 24 + 8 · 24 + 16 · 12 + 16 · 12 = 1152 . Bei der dritten Stufe liegen die Verh¨altnisse a¨ hnlich. Man hat zwei linearunabh¨angige ganze Modulformen (−1)ter Dimension, als welche man z. B. die aus II, 325 hervorgehenden Formen y0 (ω1 , ω2 ) und y1 (ω1 , ω2 ) w¨ahlen kann. Die erste dieser Formen y0 ist dadurch ausgezeichnet, daß sie eine Potenzreihe mit nur geraden Potenzexponenten der Entwicklungsgr¨osse q besitzt. Es reihen sich drei linearunabh¨angige ganze Modulformen dritter Stufe (−2)ter Dimension hieran; und man kann als solche y02 , y0 y1 , y12 benutzen. Die erste dieser Formen ist dadurch ausgezeichnet, daß sie wieder eine Reihe mit nur geraden Potenzexponenten von q besitzt; sie ist durch diese Eigenschaft bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Die Reihe f¨ur y0 (ω1 , ω2 ) wird aus dem Ansatze (9) in II, 326 gewonnen, wenn man f¨ur die dort im Exponenten stehende quadratische Form (a, b, c) insbesondere die Form (1, 1, 1) der Diskriminante −3 einsetzt. Man hat also: y0 =

2π 2(κ 2 +κμ+μ2 ) q , ω2 κ,μ

wo sich die Summe auf alle Paare ganzer Zahlen κ, μ bezieht. F¨ur das Quadrat der Modulform y0 ergiebt sich die Darstellung:

250

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

y02 =

2π ω2

2

q 2(κ

2

+κμ+μ2 +λ2 +λν+ν 2 )

,

κ,λ,μ,ν

wo κ, λ, μ, ν alle Quadrupel ganzer Zahlen durchlaufen sollen. Bei Anordnung nach ansteigenden Potenzen von q gelangt man zur Reihe: 2

∞ 2π 2 (3) 2m (10) y0 = 1+ , A (m) q ω2 m=1 wobei A(3) (m) die Anzahl der verschiedenen Darstellungen der positiven Zahl m durch die quatern¨are quadratische Form: (11)

m = κ 2 + κμ + μ2 + λ2 + λν + ν 2

bedeutet. Eine etwas andere Erkl¨arung von A(3) (m) erh¨alt man aus der Gleichung: 4m = (2κ + μ)2 + 3μ2 + (2λ + ν)2 + 3ν 2 . Schreibt man f¨ur (2κ + μ) und (2λ + ν) wieder kurz κ und λ, so folgt: (12)

4m = κ 2 + λ2 + 3μ2 + 3ν 2 ,

wobei jedoch nur alle diejenigen Quadrupel ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν zuzulassen sind, die den Kongruenzen: (13)

κ≡μ,

λ≡ν

(mod 2)

gen¨ugen. Man kann also A(3) (m) auch erkl¨aren als die Anzahl aller die Kongruenzen (13) erf¨ullenden Darstellungen von 4m durch die in (12) rechts stehende ¨ quatern¨are quadratische Form. Ubrigens folgt f¨ur ein beliebiges Quadrupel ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν, das eine Darstellung (12) liefert, aus dieser Gleichung: (14)

κ 2 − μ2 ≡ ν 2 − λ2

(mod 4) .

Gilt demnach eine der beiden Kongruenzen (13), so gilt auch die andere; und ebenso folgt aus dem Bestehen einer der Bedingungen: κ ≡ μ ,

λ ≡ ν

(mod 2)

immer auch das Bestehen der anderen. Im letzteren Falle folgt aber auch κ ≡ λ (mod 2). W¨aren n¨amlich κ und λ zugleich gerade, so w¨aren μ und ν ungerade, was der Kongruenz (14) widerspricht; und w¨aren κ und λ zugleich ungerade, so m¨ußten μ und ν gerade sein, was wieder mit (14) nicht vereinbar ist. Im fraglichen Falle f¨uhrt also der Austausch von κ und λ zu einem die Bedingung (13) befriedigenden Quadrupel. Welche Vertauschungen vorgenommen werden d¨urfen, um aus einem

251

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen

ersten Quadrupel wieder ein zul¨assiges zu gewinnen, ist hiernach einleuchtend. Gilt κ ≡ λ (mod 2), und damit auch μ ≡ ν (mod 2), so darf man einzeln sowohl κ mit λ, wie auch μ mit ν vertauschen. Ist aber κ ≡ λ (mod 2), und also auch μ ≡ ν (mod 2), so d¨urfen nur zugleich κ mit λ und μ mit ν vertauscht werden. Ausserdem ist nat¨urlich Zeichenwechsel jeder der Zahlen κ, λ, μ, ν statthaft. Aus den Werten der Absolutglieder der Reihen f¨ur G(3) und y02 folgt nun die Gleichung: y0 (ω1 , ω2 )2 = 12G(3) (ω1 , ω2 ) und damit das identische Bestehen der Gleichung: ∞

A(3) (m) q 2m = 12

m=1

Es gilt somit:

∞

Φ(3) (m) q 2m .

m=1

A(3) (m) = 12 Φ(3) (m) .

Ist m irgend eine positive ganze Zahl, so ist 4m stets mittels ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν durch die in (12) rechts stehende quatern¨are quadratische Form darstellbar; und zwar ist die Anzahl der die Bedingung (13) befriedigenden Darstellungen stets gleich der 12-fachen Summe aller durch 3 nicht teilbaren Teiler der Zahl m. So hat man z. B. f¨ur m = 42: 12 Φ(3) (42) = 288 . Der Gleichung:

168 = κ 2 + λ2 + 3μ2 + 3ν 2

gen¨ugen folgende Zahlquadrupel, denen wir jedesmal in der letzten Zeile die Anzahl der von ihnen gelieferten (13) befriedigenden Darstellungen hinzuf¨ugen: κ λ

12 3

12 0

9 9

9 6

9 3

9 0

6 6

6 3

3 3

3 3

3 0

μ ν

2 1

2 2

1 1

4 1

5 1

5 2

4 4

5 4

5 5

7 1

7 2

16 · 2 8 · 2 16 · 1 16 · 2 16 · 4 8 · 2 16 · 1 16 · 2 16 · 1 16 · 2 8 · 2 In der Tat ist die Gesamtanzahl der Darstellungen gleich 288. Auch die vierte Stufe liefert eine einfache Regel. Man hat zun¨achst: 2

∞ 2π (4) (4) 2m 8G (ω1 , ω2 ) = 1+8 Φ (m) q ω2 m=1 2 2π 1 + 8q 2 + 24q 4 + 32q 6 + 24q 8 + 48q 10 + · · · . = ω2 Andrerseits ist jede ganze Modulform vierter Stufe eine homogene ganze Funktion der drei linear-unabh¨angigen Formen (−1)ter Dimension:

252

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

2π 2 ϑ , ω2 0

2π 2 ϑ , ω2 2

2π 2 ϑ . ω2 3

Ganze Formen (−2)ter Dimension, die nach ganzen Potenzen von q 2 fortschreitende Reihen haben, giebt es zwei linear-unabh¨angige, als welche man:

2π ω2

2

ϑ20 + ϑ23 2

2

,

2π ω2

2

ϑ20 ϑ23

w¨ahlen kann. In ihnen ist also 8G(4) linear und homogen mit konstanten Koeffizienten darstellbar. Nun hat man aber die Reihen: 2 2 ϑ0 + ϑ23 = 1 + 8q 2 + 24q 4 + 32q 6 + 24q 8 + 48q 10 + · · · , 2 ϑ20 ϑ23 = 1 − 8q 2 + 24q 4 − 32q 6 + 24q 8 − 48q 10 + · · · . Es ist demnach einleuchtend, daß die Beziehung besteht: (15)

(4)

8G

(ω1 , ω2 ) =

2π ω2

2

Aus den Reihen f¨ur ϑ0 und ϑ3 folgert man: 2 2 (−1)κ+λ q κ +λ , ϑ20 = κ,λ

ϑ20 + ϑ23 2

ϑ23 =

2

.

qκ

2

+λ2

,

κ,λ

wo sich die Summe beide Male auf alle Paare ganzer Zahlen κ, λ bezieht. Hieraus ergiebt sich weiter: κ 2 +λ2 1 2 ϑ0 + ϑ23 = q , 2

κ ≡ λ (mod 2) ,

κ,λ

bezogen auf alle Paare ganzer Zahlen κ, λ, die der hinzugef¨ugten Kongruenz gen¨ugen. Durch Erheben zur zweiten Potenz findet man: 2 2 2 2 2 1 2 ϑ0 + ϑ23 = q κ +λ +μ +ν , 4 κ,λ,μ,ν

bezogen auf alle Quadrupel ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν, die der Forderung: (16)

κ≡λ,

μ≡ν

(mod 2)

gen¨ugen. Die Anordnung nach ansteigenden Potenzen von q 2 ergiebt: ∞ 2 1 2 ϑ0 + ϑ23 = 1 + A(4) (m) q 2m , 4 m=1

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen

253

wo A(4) (m) die Anzahl aller Darstellungen von 2m in der Gestalt: 2m = κ 2 + λ2 + μ2 + ν 2 mittels irgend welcher ganzer, die Bedingungen (16) erf¨ullender Zahlen κ, λ, μ, ν ist. Die Relation (15) f¨uhrt zur Regel: A(4) (m) = 8 Φ(4) (m) . L¨aßt man bei der Darstellung der beliebigen positiven geraden Zahl 2m als Summe von vier Quadraten nur die den Kongruenzen (16) gen¨ugenden Darstellungen zu, so ist die Anzahl der Darstellungen die 8-fache Summe aller durch 4 nicht teilbaren Teiler von m. Als Beispiel nehme man m = 60; man findet: 8 Φ(4) (60) = 576 . Es giebt abgesehen von Umstellungen und Zeichenwechseln der Zahlen κ, λ, μ, ν allein die beiden Darstellungen: 120 = 102 + 42 + 22 + 02 , 120 = 82 + 62 + 42 + 22 . Aber beide Male kann man alle 24 Permutationen der vier Zahlen κ, λ, μ, ν vornehmen; und im ersten Falle hat man 8 Vorzeichenkombinationen und im zweiten 16. In der Tat ist 8 · 24 + 16 · 24 = 576. Zu einem einfachen Gesetze f¨uhrt auch noch die siebente Stufe (vergl. die Rechnungen in II, 396). Hier ist die Form: 2

∞ 2π (7) (7) 2m 4G (ω1 , ω2 ) = 1+4 Φ (m) q ω2 m=1 identisch mit der zweiten Potenz der ganzen Modulform (−1)ter Dimension: y0 (ω1 , ω2 ) =

2π 2(κ 2 +κμ+2μ2 ) q . ω2 κ,μ

Man gelangt zu dem Satze: Das Vierfache jeder positiven ganzen Zahl m ist in der Gestalt: 4m = κ 2 + λ2 + 7μ2 + 7ν 2 mittels ganzer, die Kongruenzen: κ≡μ,

λ≡ν

(mod 2)

erf¨ullender Zahlen κ, λ, μ, ν darstellbar; und zwar ist die Anzahl verschiedener solcher Darstellungen f¨ur die einzelne Zahl m stets gleich der vierfachen Summe aller Teiler von m, die nicht durch 7 teilbar sind. Nimmt man z. B. m = 70, so hat

254

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

man, abgesehen von erlaubten Umstellungen der κ, λ, μ, ν und Vorzeichenwechseln dieser Zahlen, im ganzen die drei Darstellungen: 4 · 70 = 142 + 72 + 7 · 22 + 7 · 12 , 4 · 70 = 72 + 72 + 7 · 52 + 7 · 12 , 4 · 70 = 02 + 02 + 7 · 62 + 7 · 22 . Die Vorzeichenwechsel und die erlaubten Umstellungen ergeben in den beiden ersten F¨allen je 16 · 2 verschiedene Darstellungen, im letzten aber 4 · 2. In der Tat ist 4Φ(7) (70) = 72.

6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe. Die aus der Transformationsgleichung f¨ur den nten Transformationsgrad Fn (j , j) = 0 durch Gleichsetzung von j mit j hervorgehende algebraische Gleichung Fn (j, j) = 0 mit der Unbekannten j ist nach S. 142 ff. im rationalen K¨orper reduzibel und zerf¨allt in eine gewisse Anzahl von Klassengleichungen“. Zur Bestim” mung des Grades N dieser algebraischen Gleichung hat man zwei Ans¨atze. Erstlich kann man n¨amlich, wie dies schon S. 142 ff. geschah, die Ordnung des Poles der Modulfunktion erster Stufe“ Fn j(ω), j(ω) in der Spitze bei ω = i∞ des ” DB“ der Modulgruppe feststellen, indem man den Anfangsexponenten der Ent ” wicklung von Fn j(ω), j(ω) nach Potenzen von q2 bestimmt. Zweitens kann man N durch Abz¨ahlung der Nullpunkte von Fn j(ω), j(ω) im DB“ ausrechnen. Da ” Fn (j, j) = 0 in eine Anzahl von Klassengleichungen zerf¨allt, so stellt sich N bei der zweiten Methode als ein ganzzahliges Aggregat von Klassenanzahlen dar. Die Gleichsetzung beider Ausdr¨ucke von N f¨uhrt zu einer Klassenzahlrelation“. ” Besonders leicht wird dieser Ansatz durchf¨uhrbar, wenn man neben den eigent” lichen“ Transformationen nten Grades: (1)

ω =

aω + b , cω + d

ad − bc = n ,

bei denen a, b, c, d keinen Teiler t > 1 gemeinschaftlich haben, auch alle un” eigentlichen“ Transformationen dieses Grades zul¨aßt. Es geht dann t2 in n auf; wir n haben also mit allen eigentlichen Transformationen der Grade 2 zu arbeiten, wo t t2 die quadratischen Teiler von √ n durchl¨auft. Nur m¨ussen wir hierbei freilich, falls n selbst ein Quadrat ist, t = n ausschliessen. Hier w¨urde sich n¨amlich auch die Transformation ersten“ Grades, die als Transformationsgleichung j −j = 0 liefern ” w¨urde, einfinden, und die linke Seite dieser Gleichung w¨urde f¨ur j = j identisch verschwinden. Bei dieser Erweiterung kann man von einer reduzibelen“ Trans”

255

6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe

formationsgleichung Fn (j , j) = 0 f¨ur den nten Grad sprechen3 . Hier wird sich der Grad N f¨ur die entsprechende algebraische Gleichung Fn (j, j) = 0 nach der ersten Methode durch Teilersummen“ ausdr¨ucken lassen; und die zum nten Grade ” geh¨orende Klassenzahlrelation erster Stufe“ 4 ergiebt alsdann die Darstellung eines ” Aggregates von Klassenzahlen durch Teilersummen. Um diese Klassenzahlrelation erster Stufe zu gewinnen, schreiben wir abk¨urzend Gn (j) f¨ur die ganze Funktion N ten Grades Fn (j, j), die aus der reduzibelen Transformationsgleichung hervorgeht. Um den Grad N nach der ersten Methode zu bestimmen, stellen wir Gn j(ω) als Funktion von ω wie in (2), S. 142 durch das Produkt dar:

aω + b (2) Gn j(ω) = , ad = n , 0 b < d . j(ω) − j d Die Anzahl der Faktoren (Repr¨asentanten f¨ur eigentliche oder uneigentliche Transformationen nten Grades) ist jetzt gleich der Teilersumme Φ(n) von n; denn bei der einzelnen Zerlegung von n in das Produkt a · d durchl¨auft nun b ohne √ Ausnahme ein Restsystem mod d. Nur wenn n ein Quadrat ist, sollte f¨ur a = d = n der f¨ur b = 0 eintretende Repr¨asentant der eigentlichen Transformation ersten Grades ausgelassen werden, woran durch den oberen Index am Produktzeichen in (2) erinnert sein soll. In diesem Falle ist also die Anzahl der Faktoren in (2) rechts um eine Einheit kleiner als Φ(n). Setzen wir εn = 1, falls n ein Quadrat ist, und sonst εn = 0, so ist die Anzahl der Faktoren in (2) rechts ohne Ausnahme durch Φ(n) − εn gegeben. F¨ur den einzelnen Faktor in (2) haben wir nun die Reihe: 2iπb 2a aω + b (3) j(ω) − j = q −2 + · · · − e− d q − d − · · · . d Bei Anordnung nach ansteigenden Potenzen ist somit f¨ur a d√der Anfangsexponent gleich −2 (und zwar auch im besonderen Falle a = d = n, da hier b = 0 nicht zugelassen ist), und f¨ur a > d ist er gleich − 2a d . Bei der einzelnen Zerlegung n = a · d von n kommen nun jedesmal d Faktoren (3) in Betracht und nur im beson√ deren Falle a = d = n nur d − εn . Da q −2 einen Pol erster Ordnung in der Spitze ω = i∞ des DB“ hat, so ist die Ordnung des Poles von Gn j(ω) daselbst und ” also der Grad N gegeben durch: N= d − εn + a. √ d< n

√ d n

Da die zweite rechts stehende Summe auch hat man:

√ d> n d

geschrieben werden kann, so

Sie ist nat¨urlich nur dann im rationalen K¨orper reduzibel, wenn n wirklich quadratische Teiler t2 besitzt. 4 Die Relation wird als eine solche erster Stufe“ bezeichnet, weil sie aus der Transformationsglei” chung der Modulfunktion erster Stufe j(ω) abgeleitet wird. 3

256

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

N=

√ d< n

d+

√ d n

d

+

√ d> n

d−

√ d< n

d

− εn .

Hier steht in der ersten Klammer rechts die Summe Φ(n) aller Teiler d von n; in ¨ der√zweiten Klammer aber steht der Uberschuß √ der Summe aller Teiler von n, die > n sind, u¨ ber die Summe aller Teiler, die < n sind. Diese Anzahl soll mit Ψ (n) bezeichnet werden: (4) Ψ (n) = d− d. √ d> n

√ d< n

Die erste Abz¨ahlung liefert somit f¨ur den Grad N der Gleichung Gn (j) = 0 den Ausdruck: (5)

N = Φ(n) + Ψ (n) − εn .

Nun ist zweitens der Grad N durch Abz¨ahlung der Ordnungen aller Nullpunkte des Produktes (2) im DB“ der Modulgruppe zu bestimmen. Die Spitze ω = i∞ ” des DB“, in der jeder Faktor in (2) rechts einen Pol hat, kommt hierbei nicht mehr ” in Betracht. Verschwindet aber der Faktor: aω + b j(ω) − j d im Punkte ω0 des DB“, so sind die beiden Zahlen ω0 und aω0d+b bez¨uglich der ” Modulgruppe a¨ quivalent. Es giebt dann eine Substitution V dieser Gruppe, f¨ur die: aω0 + b ω0 = V d zutrifft. Diese Substitution V ist (bis auf einen gleichzeitigen Vorzeichenwechsel ihrer vier √ Koeffizienten) eindeutig bestimmt, wenn ω0 weder gleich i noch gleich −1+i 3 ρ= ist (vergl. Fig. 58 in I, 287). Ist aber ω0 = i, so hat man genau zwei 2 wesentlich verschiedene brauchbare Substitutionen V und V · T und ebenso f¨ur ω0 = ρ drei solche V , U · V , U 2 · V , wo T und U die bekannten erzeugenden Substitutionen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0, −1 0, −1 ⎠, ⎠ T =⎝ U =⎝ 1, 0 1, 1 der Modulgruppe mit den Fixpunkten i und ρ sind. b Wir wollen nun die durch Kombination von V und a, 0, d entstehende Transfor b asentanten ihrer mation nten Grades, die wir an Stelle von a, 0, d ebenso gut als Repr¨ Klasse von Transformationen benutzen k¨onnen, gleich selbst wieder durch: (6)

ω =

aω + b cω + d

257

6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe

bezeichnen. Demgem¨aß arbeiten wir fortan mit dem Faktor: aω + b . (7) j(ω) − j(ω ) = j(ω) − j cω + d Hier ist sicher c nicht gleich 0, da die Substitution (6) den im Innern der ωHalbebene (und im DB“) gelegenen Fixpunkt ω0 hat. Es wird demnach fortan stets ” c > 0 vorausgesetzt, was n¨otigenfalls durch einen Vorzeichenwechsel der Koeffizienten von V erreicht wird. Der Repr¨asentant (6) ist nun (nat¨urlich nach Auswahl des Faktors in (2) rechts) eindeutig bestimmt, falls ω0 weder gleich i noch gleich ρ ist. F¨ur ω0 = i aber haben wir die beiden brauchbaren Repr¨asentanten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a, −c εc, −|a| ⎝ ⎠, ⎝ ⎠, (8) ε = − sgn(a) c, a |a|, εc und f¨ur ω0 = ρ die drei: (9) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a, −c ε c, −|a + c| ε(a + c), −|a| ⎝ ⎠, ⎝ ⎠, ⎝ ⎠, c, a + c |a + c|, −ε a |a|, εc

ε = − sgn(a + c) .

Im Falle (8) haben wir a2 + c2 = n, und es ist a = 0 und c = 0, da ja keine eigentliche Transformation ersten Grades vorliegt; im Falle (9) gilt a2 +ac+c2 = n, und wir haben aus dem gleichen Grunde a = 0, c = 0, a + c = 0. Insbesondere sind also die beiden Vorzeichen ε und ε eindeutig bestimmt. Die Normalgestalt (8) in I, 70 einer unserer Transformationen (6) schreiben wir wie S. 145: (10)

ω − ω0 ω − ω0 =μ , ω − ω0 ω − ω0

wo ω 0 der zu ω0 konjugiert komplexe Wert ist. Der Multiplikator“ μ der Transfor” mation ist stets von 1 verschieden, im Falle ω0 = i aber auch von −1 und f¨ur ω0 = ρ 2 von ρ und ρ . Wir k¨amen n¨amlich sonst in den besonderen F¨allen mit der Transformation (6) auf unsere Substitutionen T bezw. U oder U 2 zur¨uck; die eigentlichen Transformationen ersten“ Grades sind aber ausgeschlossen. Man kann u¨ brigens die ” Angaben u¨ ber den Multiplikator μ auch direkt aus (8) und (9) best¨atigen. Es besteht nun die grundlegende Tatsache: Der bei ω0 gelegene Nullpunkt unseres Faktors (7) ist im DB“ gemessen“ unter allen Umst¨anden ein solcher von ” ” der ersten Ordnung. Dies geht, wenn ω0 weder gleich i noch gleich ρ ist, bereits aus der Rechnung von S. 145 hervor. In den besonderen F¨allen aber gestaltet sich die Rechnung so: Ist ω0 = i, so hat man zufolge (10) f¨ur ω die Reihe: ω = i + μ(ω − i) + · · · ,

μ2 = 1

258

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

nach ansteigenden Potenzen von (ω − i), w¨ahrend man f¨ur j(ω) eine Reihendarstellung: j(ω) = 123 + a1 (ω − i)2 + · · · , a1 = 0 nach ansteigenden Potenzen von (ω − i) hat. Hieraus berechnet sich: j(ω ) = 123 + a1 μ2 (ω − i)2 + · · · , mithin f¨ur unseren Faktor (7): j(ω) − j(ω ) = a1 (1 − μ2 )(ω − i)2 + · · · , wo auch a1 (1 − μ2 ) = 0 ist. Der Faktor hat also bei ω = i in der ω-Halbebene einen Nullpunkt zweiter Ordnung, mithin im DB“ gemessen“ einen solchen erster ” ” Ordnung. F¨ur ω = ρ, wo μ3 = 1 gilt, f¨uhrt man die Rechnung sofort mit dem gleichen Erfolge durch. Der Nullpunkt ω0 des Faktors (7) als Fixpunkt der Substitution (6) gen¨ugt der ganzzahligen quadratischen Gleichung: c ω02 + (d − a)ω0 − b = 0 . Schreiben wir: (11)

A=c,

B =d−a,

C = −b ,

κ =a+d,

so haben wir in (A, B, C), da ω0 im DB“ gelegen ist, eine reduzierte positive ” quadratische Form der negativen Diskriminante: (12)

D = B 2 − 4AC = −(4n − κ 2 ) .

Die ganze Zahl κ geh¨ort dem Intervalle: √ √ (13) −2 n < κ < +2 n an, und die Form (A, B, C) ist urspr¨unglich oder abgeleitet; jedenfalls ist der Tei” ler“ der Form durch den gr¨oßten gemeinschaftlichen Teiler der vier Zahlen a, b, c, d selbst teilbar. Durch den Faktor (7) und den Nullpunkt ω0 sind, falls ω0 von i und ρ ¨ verschieden ist, die Form (A, B, C) und die Zahl κ eindeutig bestimmt. Ubrigens ist der absolute Wert |κ| bereits durch die Form (A, B, C), n¨amlich durch ihre Diskriminante D, eindeutig festgelegt. Ist κ = 0, so brauchen wir nur die Form (A, B, C) allein beizubehalten; f¨ur κ = 0 wollen wir ihr nur noch das zutreffende Vorzeichen ±1 = sgn(κ) hinzuf¨ugen und sagen dann, es entspreche dem Nullpunkte ω0 des Faktors (7) eindeutig eine signierte Form“ ±(A, B, C). Im besonderen ” Falle ω0 = i haben wir nach S. 257 zwei Formen mit zugeh¨origen Zahlen κ: (c, 0, c) ,

κ = 2a ,

sgn(κ) = −ε ,

(|a|, 0, |a|) ,

κ = 2εc ,

sgn(κ) = +ε ,

259

6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe

also zwei signierte Formen: −ε (c, 0, c) ,

+ε (|a|, 0, |a|) ,

die stets verschieden sind (n¨amlich im besonderen Falle |a| = c wegen der entgegengesetzten Signa). F¨ur ω0 = ρ haben wir drei reduzierte Formen mit zugeh¨origen Zahlen κ: κ = 2a + c ,

(c, c, c) , (|a + c|, |a + c|, |a + c|) ,

κ = −ε (a − c) ,

(|a|, |a|, |a|) ,

κ = ε (a + 2c) ,

wobei a, c und a + c nicht-verschwindende Zahlen sind. Man stellt hier leicht folgende Tatsache fest: Es k¨onnen h¨ochstens zwei unter den drei Formen identisch werden; dann sind aber die Signa der beiden identischen Formen entgegengesetzt, und die dritte Zahl κ verschwindet. Als Ergebnis haben wir anzumerken: einzel Einem nen Nullpunkte ω0 eines vorgelegten Faktors (7) der Funktion Gn j(ω) entspricht eindeutig eine reduzierte positive quadratische Form der negativen Diskriminante D = −(4n − κ 2 ), die f¨ur κ = 0 mit dem Vorzeichen von κ signiert ist; f¨ur ω0 = i entsprechen dem Nullpunkte des Faktors (7) stets zwei verschiedene signierte Formen dieser Art und f¨ur ω0 = ρ sogar deren drei. Diese Zuordnung ist eindeutig umkehrbar. Ist κ eine ganze Zahl des Intervalles (13), und ist (A, B, C) irgend eine reduzierte positive Form der Diskriminante D = −(4n − κ 2 ), so ist stets B ≡ κ (mod 2), und wir haben in: (14)

ω =

κ−B 2 ω

Aω +

−C κ+B 2

eine eigentliche oder uneigentliche Transformation nten Grades, die, wenn sie nicht eine eigentliche Transformation ersten Grades ist, zu unseren Transformationen (6) geh¨ort und von sich aus zu der eben gew¨ahlten, n¨otigenfalls noch zu signierenden Form hinf¨uhrt. Hat die Form die Gestalt (A, 0, A), ist also ω0 = i, so f¨uhren immer zwei verschiedene signierte Formen dieser Art zu dem gleichen Faktor (7) mit dem Nullpunkte ω0 , desgleichen, wenn die Formgestalt (A, A, A), also ω0 = ρ vorliegt, immer drei signierte Formen. Die Anzahl der reduzierten Formen beim einzelnen D ist die Klassenanzahl dieser Diskriminante, die durch: H(−D) = H(4n − κ 2 ) bezeichnet sein m¨oge; zum Unterschiede gegen fr¨uher haben wir hier die urspr¨unglichen und die abgeleiteten Formen zuzulassen. Der besonderen Stellung der Nullpunkte i und ρ kann man zur Vereinfachung des Schlußresultates leicht dadurch Rechnung tragen, daß man bei Feststellung der Anzahl H eine Klasse mit der reduzierten Form (A, 0, A) nicht einfach, sondern nur mit dem Betrage 12 rechnet und eine Klasse mit der reduzierten Form (A, A, A) nur mit dem Betrage 13 . Die Anzahl

260

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

aller Nullpunkte der Funktion Gn j(ω) im DB“ ist dann gegeben durch: ” (15) H(4n − κ 2 ) , κ

bezogen auf alle κ des Intervalles (13), wobei wir nur noch diejenigen reduzierten Formen herauszunehmen haben, die etwa eine eigentliche Transformation ersten“ ” Grades (14) liefern sollten. Jede reduzierte Form mit κ = 0 kommt bei Bildung der Summe (15) zweimal, n¨amlich als Form +(A, B, C) und als Form −(A, B, C) zur Benutzung. Es ist also endlich nur noch festzustellen, wann in (14) eine Transformation ersten Grades vorliegt. Dann muß n ein reines Quadrat sein, und die √ vier Koeffizienten in (14), also auch die vier Zahlen A, B, C, κ m¨ussen durch n teilbar sein. Dementsprechend schreiben wir: √ √ √ A = A n , B = B n , C = C n , D = D · n √ und haben f¨ur κ die beiden M¨oglichkeiten κ = 0 und κ = ± n. F¨ur κ = 0 folgt D = −4, wo nur die eine reduzierte Form (1, 0, 1) mit i als Nullpunkt vorliegt; sie √ ist in (15) zun¨achst mit dem Betrage 12 gerechnet. F¨ur κ = ± n folgt D = −3, wo wir nur die eine reduzierte Form (1, 1, 1) mit dem Nullpunkte ρ, also die beiden signierten Formen ±(1, 1, 1) haben; die sind in (15) zun¨achst je mit dem Betrage 13 eingerechnet. Es ist somit von der Summe (17) im Falle eines quadratischen n noch der Betrag: 1 7 = εn + 2 · 6 12 abzuziehen. Auch diese Besonderheit k¨onnen wir im Schlußergebnis hinwegr¨aumen, wenn wir an Stelle von (13) f¨ur die Zahl κ das Intervall: √ √ (16) −2 n κ +2 n vorschreiben, was nat¨urlich nur im Falle eines quadratischen n eine Neuerung bringt. Dabei haben wir dann unter dem noch nicht erkl¨arten Symbol H(0) die Zahl 1 − 12 zu verstehen. F¨ur den Grad N der ganzen Funktion Gn (j) hat man nun ohne jede Ausnahme die zweite Darstellung: H(4n − κ 2 ) − εn . N= κ

Durch Gleichsetzung dieses Ausdrucks von N mit dem unter (5) gewonnenen erhalten wir endlich die Klassenzahlrelation erster Stufe“: ” (17) H(4n − κ 2 ) = Φ(n) + Ψ (n) , κ

6.3 Angaben u¨ ber Klassenzahlrelationen h¨oherer Stufen

261

wobei sich die Summe auf alle ganzen Zahlen κ des Intervalls (16) bezieht. Es muß also z. B. im Falle n = 30 die Gleichung gelten:

H(120) + 2 H(119) + H(116) + H(111) + H(104) + H(95) + H(84) + H(71) + H(56) + H(39) + H(20) = Φ(30) + Ψ (30) . Nun hat man aber folgende Klassenanzahlen: H(120) = 4 , H(119) = 10 , H(116) = 6 , H(111) = 8 , H(104) = 6 , H(95) = 8 , H(84) = 4 , H(71) = 7 , H(56) = 4 , H(39) = 4 , H(20) = 2 . F¨ur n = 30 hat also die linke Seite der Klassenzahlrelation den Wert 122. In der Tat gilt andrerseits: Φ(30) = 72 , Ψ (30) = 50 .

¨ 6.3 Angaben uber Klassenzahlrelationen h¨oherer Stufen. Die Betrachtung, welche von der Transformationsgleichung Fn (j , j) = 0 f¨ur die Modulfunktion erster Stufe j(ω) zur Klassenzahlrelation (17) in 6.2 hinf¨uhrte, ist bereits 1859 von K r o n e c k e r auf die Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen (vergl. II, 495 ff.)5 in Anwendung gebracht. Kronecker gelangte auf diese Weise zu acht verschiedenen Klassenzahlrelationen, in denen stets Summen von Klassenanzahlen a¨ hnlich der in (17) in 6.2 links stehenden durch Teilersummen und verwandte zahlentheoretische Funktionen dargestellt erscheinen6 . Verwandt mit den acht Kroneckerschen Relationen sind zahlreiche Beziehungen, welche Liouville auf rein arithmetischem Wege in einer gr¨osseren Reihe von Mitteilungen im Journ. de Math., s´er. 2 von Bd. 3 ab aufgestellt hat, und in denen linker Hand a¨ hnliche Klassenzahlaggregate wie bei Kronecker auftreten. Die aus den Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen gewinnbaren Klassenzahlrelationen sind durch die acht Kroneckerschen Gleichungen vollst¨andig ersch¨opft, wie Kronecker selbst hervorhebt. Demgegen¨uber erkannte K l e i n schon bei seinen ersten Untersuchungen u¨ ber Modulfunktionen, daß auch die u¨ brigen speziellen Transformationsgleichungen h¨oherer Stufen sowie auch die Modular” korrespondenzen“ (vergl. II, 527 ff.) zur Aufstellung von Klassenzahlrelationen herangezogen werden k¨onnen. Dabei f¨uhren jedenfalls zwei zu einander teilerfremde Stufenzahlen zu zwei Systemen von Klassenzahlrelationen, die nicht aus einander ableitbar sind. 5

Siehe Fußnote 4, S. 190. [Anm. d. Hrsg.] ¨ Vergl. die Abhandlung Uber die Anzahl der verschiedenen Klassen quadratischer Formen von ” negativer Determinante“, Journ. f. Math., Bd. 57 (1860), S. 248–255.

6

262

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

Im Anschluß an Klein hat sich J. Gierster sehr erfolgreich mit diesem Gegen¨ stande besch¨aftigt und seine Ergebnisse in zwei Arbeiten Uber Relationen zwi” schen Klassenzahlen bin¨arer quadratischer Formen von negativer Determinante“ 7 ver¨offentlicht. Es sind hierbei sowohl allgemeine Ans¨atze entwickelt, sowie namentlich Ausf¨uhrungen u¨ ber niedere Primzahlstufen gegeben. In der ersten Arbeit sind die Klassenzahlrelationen f¨unfter Stufe, aus den Ikosaedermodulargleichun” gen“ entwickelt, fertig mitgeteilt. Die zweite Arbeit ist insbesondere der Aufstellung der Klassenzahlrelationen siebenter Stufe gewidmet. In den von Gierster angegebenen Relationen der siebenten Stufe blieb auf der rechten Seite noch eine von ihm durch ξ(n) bezeichnete zahlentheoretische Funktion des Transformationsgrades n u¨ ber, deren allgemeine Bedeutung ungekl¨art erschien. Diese Aufkl¨arung in h¨ochst interessanter Weise gegeben zu haben, ist das Verdienst von A. Hurwitz. Die grundlegende Leistung von Hurwitz in diesem Gebiete besteht darin, daß er die Theorie der algebraischen Korrespondenzen“ ” durch Gebrauch der Integrale erster Gattung des zugrunde liegenden algebraischen Gebildes wesentlich erg¨anzte und die Eigenart der bis dahin unzug¨anglichen, von ihm als singul¨ar“ bezeichneten Korrespondenzen vollst¨andig aufkl¨arte8 . Um die ” Anwendung auf die Modularkorrespondenzen durchf¨uhren zu k¨onnen, untersuchte Hurwitz insbesondere bei Primzahlstufen die zugeh¨origen Integrale erster Gattung und ihre Entwicklungen nach Potenzen von q. Die ganzzahligen Entwicklungskoeffizienten ergeben sich dabei, wie allgemein bei ganzen Modulformen (−2)ter Dimension9 , als Darstellungsanzahlen“ und verwandte zahlentheoretische Funktio” nen. Sie waren dann insbesondere bei der siebenten Stufe die in den Giersterschen Formeln noch ungekl¨art gebliebenen Glieder10 . Eine ausf¨uhrliche Darstellung dieses ganzen Gebietes verlangt nat¨urlich mannigfache Zur¨ustungen. Die Lehre von den Repr¨asentantensystemen mter Stufe“ f¨ur ” die Transformation nten Grades ist weiter zu entwickeln, desgleichen die allgemeine Theorie der algebraischen Korrespondenzen, die Darstellung insbesondere der Modularkorrespondenzen durch Primformen“ usw. Es war ein Hauptziel des zwei” ten Bandes der Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen“, ” dieses gesamte Gebiet ausf¨uhrlich darzustellen, und auf dieses Werk sei demnach hier verwiesen. Die Berechnung der einzelnen Klassenzahl auf rekurrentem Wege aus den Klassenzahlrelationen ist mit den Relationen der ersten Stufe noch nicht zu leisten, wohl aber mit denjenigen einer h¨oheren Stufe. K r o n e c k e r bemerkt am Schlusse seiner Arbeit, daß zu einer solchen Einzelberechnung der Klassenanzahlen bereits die f¨unfte und sechste seiner Formeln ausreichend seien; er teilt mit, daß er auf 7

Mathem. Annalen, Bd. 17, S. 71 und 74 (1879). ¨ Man vergl. die Abhandlung Uber algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Kor” respondenzprinzip“, Mathem. Ann., Bd. 28 (1886), S. 561–585. 9 aus denen die Integrale einfach durch Integration hervorgehen. 10 ¨ Man vergl. namentlich die beiden Arbeiten Uber Relationen zwischen Klassenanzahlen bin¨arer ” quadratischer Formen von negativer Determinante“, Mathem. Ann., Bd. 25 (1885), S. 157–196 ¨ und Uber die Klassenzahlrelationen und Modularkorrespondenzen primzahliger Stufe“, Ber. der ” Leipz. Gesell. der Wiss. vom 4ten Mai 1885, Bd. 37 (1885), S. 222–240. 8

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

263

diesem Wege f¨ur alle ungeraden negativen Determinanten11 bis −10000 die Klas¨ senanzahlen habe berechnen lassen. Uber die rekurrente Berechnung der einzelnen Klassenanzahlen aus den Relationen der dritten Stufe finden sich Ausf¨uhrungen in den Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen“ II, 234.12 ”

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel. K r o n e c k e r hat sich von 1883 an erneut mit der Theorie der elliptischen Funktionen besch¨aftigt vornehmlich in der Absicht, seine fr¨uheren Untersuchungen u¨ ber die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen zu f¨ordern. Eine grosse Anzahl von Mitteilungen Zur Theorie der elliptischen Funktionen“ findet man in den ” Monatsberichten der Berliner Akademie von 1883 bis 1890. Im Mittelpunkte dieser Entwicklungen steht eine Grenzformel“, die man als eine Erweiterung der bekann” ten Grenzformel anzusehen hat, mittels derer Dirichlet die Berechnung der Klassenanzahl der bin¨aren quadratischen Formen negativer Determinante durchf¨uhrte. Ist: (a, b, c) = ax2 + bxy + cy 2 eine positive quadratische Form13 negativer Diskriminante D = b2 − 4ac, so konvergiert bekanntlich die Reihe: (1)

m,n

1 1+τ , 2 am + bmn + cn2

bezogen auf alle Paare ganzer Zahlen m, n, mit Ausnahme des Paares m = 0, n = 0,14 f¨ur alle positiven Werte von τ . Jedoch wird der Summenwert der Reihe f¨ur lim τ = 0 unendlich, und zwar so daß:

1 2π (2) lim − τ =0 2 2 1+τ τ |D| m,n am + bmn + cn endlich bleibt. Kronecker arbeitet, wie in a¨ lterer Zeit stets geschah, mit Formen (ax2 + 2bxy + cy 2 ) eines geraden mittleren Koeffizienten, wobei D = b2 − ac die Determinante“ war. ” 12 Ein ausf¨uhrliches Referat der einschl¨agigen Literatur zum vorliegenden Problemkreis gibt L. E. Dickson im Chapter VI seiner History of the Theory of Numbers“, Vol. III (Carnegie ” Institution of Washington, Washington 1923; Reprint: Chelsea Publishing Company, New York 1952). [Anm. d. Hrsg.] 13 Im Unterschied zur Version in der vorangehenden Fußnote 11 betrachtet Kronecker in seinen Arbeiten Zur Theorie der elliptischen Funktionen“ bin¨are quadratische Formen der Gestalt ” (a, b, c) = ax2 + bxy + cy2 mit der Diskriminante D = b2 − 4ac (s. Leopold Kroneckers Werke, Bd. 4, Leipzig und Berlin 1929, S. 371 ff.). Diese Fassung bietet gegen¨uber der a¨ lteren Gaußschen Schreibweise mit dem mittleren“ Koeffizienten 2b deutliche Vorteile und hat sich im ” Anschluß an Kronecker allgemein durchgesetzt. [Anm. d. Hrsg.] 14 Auf diesen Ausschluß wird durch den oberen Index am Summenzeichen hingewiesen. 11

264

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

Diese Tatsache liegt den Dirichletschen Rechnungen zugrunde. Hier¨uber ist nun Kronecker in der Weise hinausgegangen, daß er den Grenzwert (2) wirklich ausrechnet und im wesentlichen dargestellt findet als den reellen Bestandteil des Logarithmus einer Modulform erster Stufe. Das Ergebnis von K r o n e c k e r hat das Interesse von H. W e b e r erregt, der eine besonders leicht lesbare Ableitung der Kronecker” schen Grenzformel“ angegeben hat15 . Es handelt sich dabei um eine direkte analytische Umformung der Reihe (1), die sich auf die Integraldarstellung der Gammafunktion gr¨undet16 . Wir folgen weiterhin der Weberschen Darstellung. Dabei nehmen wir a, b, c sogleich als irgend drei reelle Gr¨ossen an, jedoch unter Einhaltung der Bedingung, daß die Diskriminante D = b2 − 4ac negativ und daß die Form (a, b, c) eine positive ist, so daß die beiden Zahlen a und c positiv sind. Wenn wir auch noch an den Bedingungen einer reduzierten Form: −a < b a < c

oder

0ba=c

festhalten, so liegt darin nat¨urlich keine Beschr¨ankung der Allgemeinheit17 . Der Summenwert der f¨ur τ > 0 konvergenten Reihe (1), die nur positive Glieder hat, ist von der Gliederanordnung unabh¨angig. Wir bezeichnen den Summenwert der Reihe durch S und bevorzugen die durch die nachfolgende Gleichung festgelegte Gliederanordnung: (3)

S=

2 a1+τ

∞ m=1

1 m2+2τ

+2

∞ n=1

+∞

1 . 2 2 1+τ m=−∞ am + bmn + cn

F¨ur diese Anordnung soll der bei lim τ = 0 eintretende Grenzwert von S bestimmt werden. Die im ersten Gliede rechts stehende Summe bleibt auch f¨ur τ = 0 konvergent; der Grenzwert f¨ur lim τ = 0 ist bekannt:

∞ 1 2 π2 (4) lim . = 1+τ 2+2τ τ =0 a m 3a m=1 Das zweite Glied in (3) rechts werde abgek¨urzt durch U bezeichnet; wir schreiben wie u¨ blich: −b + i |D| =ω, 2a verstehen unter ω den zu ω konjugiert komplexen Wert und haben dann:

15 in § 141 der zweiten Auflage seines Werkes Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen“, ” Braunschweig, 1908. 16 Man vergl. hierzu auch die Entwicklung von Kronecker in der 13ten seiner oben genannten Mitteilungen vom 21ten Februar 1889. 17 Die folgenden Entwicklungen gelten ohne diese zus¨atzliche Bedingung. [Anm. d. Hrsg.]

265

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

(5)

U=

∞

2 a1+τ

+∞

n=1 m=−∞

1

1+τ , (m + nω)(m + nω)

wobei gegen¨uber (3) nur die Gliederanordnung in der letzten auf m bezogenen Summe umgekehrt ist. Man leitet nun aus der bekannten Darstellung der Gammafunktion durch ein bestimmtes Integral leicht die etwas allgemeinere Formel ab: ∞ Γ (1 + τ ) (6) = e−(α+iβ)x xτ dx , (α + iβ)1+τ 0 in der x eine reelle positive Integrationsvariable ist und nur der reelle Bestandteil α der komplexen Zahl (α + iβ) der Bedingung α > 0 gen¨ugen muß. Schreibt man also die Polardarstellung dieser Zahl α + iβ = reiϑ , so muß die Amplitude ϑ dem Intervalle − π2 < ϑ < + π2 angeh¨oren. Dabei ist der Nenner der linken Seite von (6) durch: (α + iβ)1+τ = r 1+τ ei(1+τ )ϑ zu erkl¨aren. Ist Ω eine komplexe Zahl mit positivem imagin¨aren Bestandteil, so hat −2iπΩ positiven reellen Bestandteil, und wir k¨onnen deshalb schreiben: ∞ (2π)1+τ 1 = e2iπΩx xτ dx . (−iΩ)1+τ Γ (1 + τ ) 0 Bedeutet Ω den zu Ω konjugiert komplexen Wert, so hat auch −Ω einen positiven imagin¨aren Bestandteil, und wir haben deshalb, wenn auch y als reelle positive Integrationsvariable gebraucht wird: ∞ 1 (2π)1+τ = e−2iπΩy y τ dy . Γ (1 + τ ) 0 (iΩ)1+τ Mit R¨ucksicht auf die Erkl¨arung des Nenners in (6) links folgt bei Multiplikation der beiden letzten Gleichungen: ∞ ∞ (2π)2+2τ 1 = e2iπ(Ωx−Ωy) (xy)τ dx dy . 2 (Ω · Ω)1+τ 0 0 Γ (1 + τ ) Da in (5) der Summationsbuchstabe n nur noch die positiven ganzen Zahlen durchl¨auft, so haben alle Zahlen Ω = m + nω positive imagin¨are Bestandteile. Also gilt:

1 (m + nω)(m + nω)

1+τ

(2π)2+2τ = 2 Γ (1 + τ )

∞ 0

0

∞

e2iπ(m(x−y)+n(xω−yω)) (xy)τ dx dy ,

266

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

und wir gewinnen aus (5) als neue Darstellung von U : +∞

∞ (2π)2+2τ 2 a1+τ Γ (1 + τ ) n=1

U=

(7)

Jm,n ,

m=−∞

wo unter Jm,n folgendes Doppelintegral zu verstehen ist: ∞ ∞ (8) Jm,n = 2 e2iπ(m(x−y)+n(xω−yω)) (xy)τ dx dy . 0

0

Um dies Doppelintegral zug¨anglich zu machen, f¨uhren wir an Stelle von x, y neue Variable u, v in folgender Art ein: Deuten wir x und y als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so bezieht sich das Integral (8) auf den Quadranten der positiven Koordinaten x, y. Diesen Integrationsbereich zerlegen wir durch die Winkelhalbierende der positiven Koordinatenachsen in zwei Oktanten. Im ersten, der x-Achse anliegenden Oktanten ist x > y, im anderen x < y. Die neuen Variablen u, v f¨uhren wir ein, indem wir im ersten bezw. zweiten Oktanten setzen: I.

x>y,

x−y = u,

x+y =v ,

II.

x
y−x=u,

x+y =v .

Dann ist, wie man sich leicht klar macht, beide Male bei stehendem u f¨ur v zwischen den Grenzen u und +∞ und hernach f¨ur u zwischen den Grenzen 0 und +∞ zu integrieren. Nach bekannten Elementars¨atzen u¨ ber Einf¨uhrung neuer Variablen in Doppelintegrale ergiebt sich: 2 ∞

∞ 2 τ 2iπmu πin(u(ω+ω)+v(ω−ω)) v − u Jm,n = e du e dv 4 0 u 2 ∞ ∞

2 τ − u v e−2iπmu du eπin(−u(ω+ω)+v(ω−ω)) dv . + 4 0 u Zur Abk¨urzung schreiben wir hier18 : 2 ∞ 2 τ πin(v(ω−ω)±u(ω+ω)) v − u (9) Φ± (u) = e dv 4 u und haben dann also: (10) Jm,n =

0

∞

2iπmu

Φ+ (u)e

du + 0

∞

Φ− (u)e−2iπmu du .

Die Abh¨angigkeit der Funktionen Φ± , F± (s. u.), f (s. u.), Φ (s. u.) vom Index n ≥ 1 wird in den Bezeichnungen unterdr¨uckt. [Anm. d. Hrsg.]

18

267

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

F¨ur die Weiterentwicklung dieses Integrales ziehen wir Vorteil aus dem Umstande, daß m stets eine ganze Zahl bedeutet. F¨ur zwei Argumente u, die selbst um eine ganze Zahl differieren, wird also die Exponentialfunktion unter dem einzelnen Integrale (10) gleiche Werte haben. Wenn wir demnach das Integrationsintervall durch die ganzzahligen Werte u in unendlich viele Teilintervalle zerlegen, so k¨onnen wir unsere beiden Integrale (10) so entwickeln:

∞

0

Φ± (u)e±2iπmu du =

∞ ν=0

1

ν+1

Φ± (u)e±2iπmu du

ν

e±2iπmu

= 0

∞

Φ± (u + ν) du .

ν=0

Wir schreiben daf¨ur: ∞ ±2iπmu (11) Φ± (u)e du = 0

1

F± (u)e±2iπmu du ,

0

indem wir uns der Abk¨urzung: F± (u) =

(12)

∞

Φ± (u + ν)

ν=0

f¨ur die Summe der Funktionen Φ± (u + ν) bedienen. Damit ergiebt sich19 : +∞

+∞

Jm,n =

m=−∞

= 0

m=−∞ 1

1

0

2iπmu

F+ (u)e

+∞

du +

m=−∞

F+ (u) + F− (u) du + 2

∞ 1 m=1

0

0

1

F− (u)e−2iπmu du

F+ (u) + F− (u) cos 2mπu du .

Gebrauchen wir die weitere abk¨urzende Bezeichnung: F+ (u) + F− (u) = f (u) , ¨ Die folgende Uberlegung l¨asst sich straffen: Auf der rechten Seite der folgenden Formelzeile steht die Summe der Fourier-Koeffizienten von F+ und von F− in Bezug auf das vollst¨andige Orthonormalsystem der Funktionen e2πimu (m ganzzahlig) auf dem Intervall 0 ≤ u ≤ 1. Daher ist nach Dirichlet 19

+∞ X

Jm,n =

m=−∞

=

´ ´ 1` 1` F+ (0) + F+ (1) + F− (0) + F− (1) 2 2 ∞ X ´ ` ´ 1` Φ+ (0) + Φ− (0) + Φ+ (ν) + Φ− (ν) , 2 ν=1

und man kann gleich bei (14) fortfahren. [Anm. d. Hrsg.]

268

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

so k¨onnen wir der letzten Gleichung die Gestalt geben:

+∞

(13)

Jm,n =

m=−∞

∞

1

f (u) du + 2 0

m=1

1

f (u) cos 2mπu du .

0

Die hier vorliegende Funktion f (t) bezieht sich auf das Intervall 0 t 1. Entwickeln wir sie in eine Fouriersche Reihe der Periode 1, so ist diese Reihe bekanntlich gegeben durch:

∞

1

f (u) du + 2 0

1

cos 2mπt

f (u) cos 2mπu du 0

m=1

1

f (u) sin 2mπu du .

+ sin 2mπt 0

Dabei ist nach dem Dirichletschen Konvergenzsatze der Summenwert dieser Reihe f¨ur t = 0, d. h. die rechte Seite der Gleichung (13), gleich dem arithmetischen Mittel zwischen f (0) und f (1). Also finden wir: +∞ m=−∞

Jm,n =

∞ 1 1 f (0) + f (1) = Φ+ (0) + Φ− (0) + Φ+ (ν) + Φ− (ν) . 2 2 ν=1

Da u¨ brigens zufolge (9): (14)

Φ+ (0) = Φ− (0) =

∞

eπinv(ω−ω)

0

v 2τ 2

dv

ist, so k¨onnen wir bei Φ± (0) den Index fortlassen und haben: +∞

Jm,n

∞ Φ+ (ν) + Φ− (ν) . = Φ(0) +

m=−∞

ν=1

Wir f¨uhren nun auch noch die Summation nach n aus und notieren als n¨achstes Ergebnis: (15)

+∞ ∞ n=1 m=−∞

Jm,n =

∞ n=1

Φ(0) +

∞ ∞ Φ+ (ν) + Φ− (ν) . n=1 ν=1

Die im letzten Gliede stehende Doppelsumme macht keine Schwierigkeiten. Wir kommen hier selbst im Grenzfalle τ = 0 auf bekannte Reihenentwicklungen aus der Theorie der Modulfunktionen zur¨uck, die absolut konvergent sind und deshalb auch Umordnung der Summationsfolge gestatten. Indem wir f¨ur ν 1 sogleich τ = 0 setzen, entnehmen wir aus (9): ∞ eπinv(ω−ω) dv . Φ± (ν) = e±πinν(ω+ω) ν

269

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

Das Integral ist konvergent, da: i(ω − ω) = −

|D| a

reell und negativ ist; man findet: Φ± (ν) =

nπ

a

|D|

eπinν(ω−ω)±πinν(ω+ω) ,

also bei Benutzung der Entwicklungsgr¨osse q = eπiω f¨ur beide Indizes einzeln: Φ+ (ν) =

q 2nν a , π |D| n

Φ− (ν) =

q 2nν a , π |D| n

unter q den zu q konjugiert komplexen Wert verstanden. Summiert man zun¨achst nach n und dann nach ν, so folgt f¨ur den Index +: ∞

a Φ+ (ν) = − log 1 − q 2ν , π |D| n=1

∞ ∞ ν=1

∞

a Φ+ (ν) = − 1 − q 2ν , log π |D| n=1 ν=1

womit wir die Produktentwicklung (6) in I, 313 der 24sten Wurzel der Modulform erster Stufe Δ(ω1 , ω2 ) erhalten haben. Man entnimmt aus der eben zitierten Formel: log

∞ ν=1

πiω 1 1 + log ω212 Δ(ω1 , ω2 ) , 1 − q 2ν = − log 2π − 2 12 24

wobei die Spaltung von ω in Gleichung schreibt sich jetzt: ∞ ∞

Φ+ (ν) =

ν=1 n=1

ω1 in irgend einer Weise vollzogen sei. Die vorletzte ω2

a π |D|

πiω 1 1 log 2π + − log ω212 Δ , 2 12 24

wo Δ abk¨urzend f¨ur Δ(ω1 , ω2 ) geschrieben ist. Entsprechend findet sich: ∞ ∞ ν=1 n=1

Φ− (ν) =

a π |D|

πiω 1 1 log 2π − − log ω 12 Δ , 2 2 12 24

wo ω 2 zu ω2 und Δ zu Δ konjugiert komplex ist. Durch Addition der beiden letzten Gleichungen gewinnt man den endg¨ultigen Wert der letzten Doppelsumme in (15)

270

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

f¨ur τ = 0:20 (16)

∞ ∞ ν=1 n=1

a 1 + Φ+ (ν) + Φ− (ν) = − log 2π 12 π |D|

12 1 log ω2 ω 2 ΔΔ . − 24

Das erste Glied in (15) rechts kann f¨ur τ = 0 nicht mehr endlich sein; denn es divergiert ja in (2) rechts die zweite Reihe f¨ur τ = 0. Man best¨atigt dies auch sofort, wenn man nach der eben angewandten Methode das erste Glied in (15) rechts berechnet. Zur n¨aheren Bestimmung dieses Gliedes dient folgende Betrachtung. Wir setzen: π |D| −πiv(ω − ω) = v=z a als neue reelle positive Variable. Dann folgt zun¨achst aus (14) f¨ur τ > 0:21 ∞ 2a2τ +1 Φ(0) = 2τ +1 e−nz z 2τ dz . 0 2π |D| F¨ur das erste Glied in (15) rechts ergiebt sich damit: ∞

(17)

Φ(0) =

n=1

2a2τ +1 2τ +1 2π |D|

∞

0

z 2τ dz . ez − 1

Wir verstehen nun unter Ψ (τ ) f¨ur τ 0 das Integral: Unter Benutzung der Dedekindschen Funktion η(ω) = e Ergebnis in folgender Form:

20

∞ X

∞ X

`

´

Φ+ (ν) + Φ− (ν) = −

ν=1 n=1

πiω 12

∞ Y `

´

1 − q 2ν erscheint dieses

ν=1

a 1 − p log |η(ω)|2 . 12 π |D|

[Anm. d. Hrsg.] Das folgende Integral hat ersichtlich den Wert Γ (2τ + 1) n−1−2τ , so dass folgt

21

∞ X n=1

wobei ζ(s) =

∞ X

Φ(0) = `

2a2τ +1

2π

p

´2τ +1 Γ (2τ + 1) ζ(2τ + 1) ,

|D|

n−s die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet. Benutzt man die ersten Terme

n=1

der Laurent-Entwicklung der Zetafunktion zum Entwicklungszentrum 1: ζ(s) =

1 + γ + O(s − 1) s−1

(γ = 0.5772 . . . = Euler-Mascheronische Konstante; s. E. C. Titchmarsh The Theory of the ” Riemann Zeta-Function“, Oxford 1951, S. 16), so erh¨alt man einen alternativen Beweis von (20), denn Γ (1) = −γ. [Anm. d. Hrsg.]

271

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

∞

Ψ (τ ) =

z 2τ e−z

0

1 1 − −z 1−e z

dz .

Da der in der Klammer stehende Ausdruck f¨ur z = 0 endlich bleibt, so ist das Integral endlich. F¨ur lim τ = 0 geht dasselbe stetig u¨ ber in den Grenzwert: ∞ 1 1 (18) lim Ψ (τ ) = dz = −Γ (1) = 0, 5772 . . . .22 e−z − −z τ =0 1 − e z 0 Es gilt nun:

Ψ (τ ) = 0

∞

z 2τ dz − ez − 1

∞

z 2τ −1 e−z dz .

0

Zufolge der Integraldarstellung und der Grundeigenschaft der Gammafunktion ist aber: ∞ Γ (1 + 2τ ) . z 2τ −1 e−z dz = Γ (2τ ) = 2τ 0 Also hat man f¨ur das in (17) rechts stehende Integral die Darstellung: ∞ 2τ Γ (1 + 2τ ) z dz = Ψ (τ ) + . z e −1 2τ 0 Tr¨agt man die Entwicklung von Γ (1 + 2τ ) nach Potenzen von τ : Γ (1 + 2τ ) = Γ (1) + 2Γ (1)τ + · · · = 1 + 2Γ (1)τ + · · · ein, so folgt:

0

∞

z 2τ dz 1 = Ψ (τ ) + + Γ (1) + · · · , ez − 1 2τ

wo die ausgelassenen Glieder Potenzen von τ mit positiven Exponenten enthalten. Mit R¨ucksicht auf (18) folgt jetzt: ∞ 2τ z dz 1 − =0. (19) lim τ =0 ez − 1 2τ 0 Setzen wir zur Gleichung (17) gleich auch noch den Faktor vor dem Summenzeichen in (7) rechts hinzu, so k¨onnen wir schreiben:

22

Man vergl. wegen dieser Angabe etwa Dirichlet Vorlesungen u¨ ber die Lehre von den ein” fachen und mehrfachen bestimmten Integralen“, herausgegeben von G. Arendt (Braunschweig, 1904), S. 117 Formel (3). Die Substitution − log x = z f¨uhrt zur Formel (18) des Textes. (Man kann das Integral (18) auch den Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathema” tical Physics“ von W . M a g n u s, F. Oberhettinger, R. P. Soni (Berlin 1966), S. 16 entnehmen. [Anm. d. Hrsg.])

272

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

τ ∞ 2τ ∞ (2π)2+2τ 1 z dz 1 4π a − Φ(0) = 2 2 ez − 1 2τ |D| |D| 0 Γ (1 + τ ) a1+τ Γ (1 + τ ) n=1 τ 2π 1 a + 2 . τ |D| |D| Γ (1 + τ ) Das letzte Glied rechter Hand besitzt folgende Reihe nach ansteigenden Potenzen von τ : τ 2π 1 a 2π a 1 + log − 2Γ = (1) + · · · , 2 |D| τ |D| |D| |D| τ Γ (1 + τ ) wo die ausgelassenen Glieder durchweg Potenzen von τ mit positiven Exponenten enthalten. Mit R¨ucksicht auf (19) folgt: (20)

∞ (2π)2+2τ 2π 2π a lim − 2Γ Φ(0) − (1) . = log 2 τ =0 |D| τ |D| |D| a1+τ Γ (1 + τ ) n=1 Auch die Formel (16) ist noch mit dem Faktor vor dem Summenzeichen in (7), hier nat¨urlich sogleich f¨ur τ = 0, also mit dem Faktor 4π 2 /a zu versehen. Nehmen wir dann die Einzelergebnisse (4), (16) und (20) zusammen und kehren zur urspr¨unglichen Schreibweise (2) zur¨uck, so ergiebt sich die aufzustellende Kroneckersche Grenzformel in der Gestalt:23 (21) lim

τ =0

m,n

1

2π − τ |D|

1+τ am2 + bmn + cn2

12 2π 1 (2π)2 a − 2Γ (1) − log ω2 ω 2 = ΔΔ . log |D| 12 |D|

Wie man sieht, ist die Dirichletsche Grenzformel:

1 2π lim τ 1+τ = τ =0 2 2 |D| m,n am + bmn + cn in dem Kroneckerschen Ergebnis mitenthalten. Fasst man die Summe (1) als Funktion von τ und entwickelt sie nach ansteigenden Potenzen dieses Argumentes τ :

23

Fricke scheint in der Schlußformel ein Fehler unterlaufen zu sein, denn er gibt im Manuskript die rechte Seite von (21) wie folgt an: 2π |D|

p

[Anm. d. Hrsg.]

„

log

«

“` ” ´12 2πa 1 ΔΔ . − 2Γ (1) − log ω2 ω 2 |D| 24

273

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

m,n

1 am2

+ bmn +

1+τ cn2

=

A−1 + A0 + A1 τ + A2 τ 2 + · · · , τ

so ist der erste Koeffizient A−1 nach Dirichlet durch: 2π A−1 = |D| gegeben. Die Leistung Kroneckers besteht dann in der Bestimmung des Absolutgliedes A0 der Potenzreihe:24

12 2π 1 (2π)2 a − 2Γ (1) − log ω2 ω 2 A0 = ΔΔ . log |D| 12 |D|

24

Mit der Dedekindschen Funktion η(ω) = e

und man erh¨alt

2π A0 = p |D|

„

log

πiω 12

∞ Y ` ν=1

´

`

1 − q 2ν gilt Δ(ω) = (2π)12 η(ω)

´24

,

«

a − 2Γ (1) − 2 log |η(ω)|2 . |D|

In dieser Form findet man die Kroneckersche Grenzformel bei H. W e b e r Algebra III“ (2. Aufl. ” 1908), S. 531, Gl. (27) und bei C. L. Siegel Lectures on Advanced Analytic Number Theory“ ” (Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1961), S. 20. Bei Siegel findet man auch die zweite Kroneckersche Grenzformel und Anwendungen der beiden Formeln. [Anm. d. Hrsg.]

Abschnitt III

Mechanische und physikalische Anwendungen.

Kapitel 7

Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

F¨ur die Verwendung der elliptischen Funktionen zur Untersuchung ebener Bewegungen liefert das ebene Gelenkviereck ein besonders leicht zug¨angliches und mehrfach betrachtetes Beispiel. Die M¨oglichkeit eine analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks mit Hilfe von elliptischen Funktionen durchzuf¨uhren, erkannte G . D a r b o u x und stellte hierf¨ur die grundlegenden analytischen Entwicklungen unter Benutzung der Jacobischen Funktionen auf.1 Dass man an Stelle der Jacobischen Funktionen auch die Weierstrassschen Funktionen ℘(u), ℘ (u) benutzen kann, ist selbstverst¨andlich. Einige Ausf¨uhrungen hier¨uber hat Picciati gegeben2 ; doch dringen dieselben nicht ein, da sie sich bei der Einf¨uhrung eines gewissen kanonischen Koordinatensystems auf allgemeine, algebraisch nicht durchgef¨uhrte Ans¨atze beschr¨anken. Eine neue Behandlung der Darbouxschen Formeln hat M . K r a u s e3 geliefert, der auch eine Reihe wertvoller Dissertationen u¨ ber diese Gegenst¨ande angeregt hat.4 B y b

7.1 Das Gelenkviereck und Kurven dritten Grades.

a

C β

c F

γ

α D

d

A

x

Ein zun¨achst in keiner Weise n¨aher beschr¨anktes ebenes Gelenkviereck (vergl. Fig. 27) habe die Ecken A, B, C, D und die Seitenl¨angen a, b, c, d. Fig. 27 E 1

Man vergl. die Abhandlung De l’emploi des fonctions elliptiques dans la th´eorie du quadrilat`ere ” plan“, Bull. des scienc. math´em. et astron., s´er. II, Bd. 3 (1879). 2 in der Abhandlung La funzione di Weierstrass nella cinematica del quadrilatero articolato“, Atti ” del’Istit. Veneto, Ser. 8, Bd. 3 (1900). 3 Man vergl. die Abhandlung Zur Theorie der Gelenksysteme“, Ber. der Leipziger Gesellsch. der ” Wissensch. 1907 und 1908. 4 ¨ Zu nennen ist insbesondere die Rostocker Dissertation von M. Blauert Uber einige Anwen” dungen der elliptischen Funktionen auf die Theorie des ebenen Gelenkvierecks“ (1911).

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

277

278

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

AD sei die festliegende Seite oder der Steg“. Die gegen¨uberliegende Seite BC ist ” dann die Koppel“, und AB sowie CD sind die Arme“ des Vierecks. Wir denken ” ” a, b, c, d mit den in der Figur angegebenen Richtungen versehen, als Vektoren, die die Amplituden α, β, γ und 0 gegen die von D nach A genommene Richtung des Steges haben. Dann sind aeiα , beiβ , ceiγ , d vier komplexe Zahlen, deren Summe verschwindet. Da auch die Summe der vier zu ihnen konjugierten Zahlen verschwindet, so folgt: ⎧ ⎪ ⎨ aeiα + beiβ + ceiγ + d = 0 , (1) ⎪ ⎩ ae−iα + be−iβ + ce−iγ + d = 0 . Die kontinuierliche Schar aller einfach unendlich vielen Lagen, welche das Gelenkviereck bei festliegendem Stege d annehmen kann, k¨onnen wir nun dadurch herstellen, dass wir etwa den Winkel α als unabh¨angig ver¨anderlich annehmen, wobei sich dann die Winkel β und γ als Funktionen von α entsprechend den Gleichungen (1) mit a¨ ndern. An Stelle dieser sich zun¨achst darbietenden, elementaren Betrachtungsweise k¨onnen wir folgende andere treten lassen: Wir betrachten: (2)

eiα = x ,

eiβ = y ,

eiγ = z

als rechtwinklige Raumkoordinaten, zwischen denen dann die Gleichungen: ⎧ ⎪ ⎨ ax + by + cz + d = 0 , (3) ⎪ ⎩ a + b + c +d=0 x y z bestehen, denen wir auch die Gestalt: ⎧ ⎪ ⎨ ax + by + cz + d = 0 , (4) ⎪ ⎩ ayz + bzx + cxy + dxyz = 0 geben k¨onnen. Durch diese Gleichungen wird eine ebene Kurve dritten Grades dargestellt, von der f¨ur uns derjenige imagin¨are geschlossene Zug in Betracht kommt, dessen Punkte komplexe Koordinaten x, y, z des absoluten Betrages 1 haben. Dieser Kurvenzug werde mit K3 bezeichnet; die Punkte dieses Zuges K3 sind umkehrbar eindeutig den unendlich vielen Gestalten unseres Gelenkvierecks mit festem Steg zugeordnet. Bringt man die letzten Glieder in (4) nach rechts und multipliziert beide Gleichungen, so gewinnt man die Gleichung: (5) ax2 (bz + cy) + by 2 (cx + az) + cz 2 (ay + bx) + (a2 + b2 + c2 − d2 )xyz = 0

279

7.1 Das Gelenkviereck und Kurven dritten Grades

eines Kegels dritten Grades mit dem Scheitelpunkt im Nullpunkte, auf dem unsere Kurve dritten Grades durch die von der ersten Gleichung (4) gelieferten Ebene ausgeschnitten wird. Setzen wir: x 1 : x2 : x3 = x : y : z und deuten x1 , x2 , x3 als Dreieckskoordinaten in einer Ebene, so erscheint unsere Kurve dritten Grades perspektiv bezogen auf die in dieser Ebene durch: (6) ax21 (bx3 + cx2 ) + bx22 (cx1+ ax3 ) + cx23 (ax2 + bx1 ) + (a2+b2+ c2− d2 )x1 x2 x3 = 0 gegebene Kurve dritten Grades. Einem Punkte (x1 , x2 , x3 ) dieser Kurve entspricht dann auf der durch (4) gegebenen Kurve der Punkt der Koordinaten: x=

−dx1 , ax1 + bx2 + cx3

y=

−dx2 , ax1 + bx2 + cx3

z=

−dx3 . ax1 + bx2 + cx3

[Wenn man bei festgehaltenem d die drei Vektoren a, b, c den sechs m¨oglichen Permutationen unterwirft und jedesmal wieder ein Gelenkviereck aus ihnen zusammensetzt, so entstehen sechs Vierecke, die zu Paaren kongruent sind. Drei verschiedene unter ihnen erh¨alt man durch die drei zyklischen Permutationen von a, b, c. Von links nach rechts sind diese drei als ein konvexes, ein u¨ berschlagenes und ein konkaves Viereck in Fig. 28 dargestellt. Die Winkel α, β, γ, als Amplituden der Vektoren a, b, c gegen den Vektor d sind in allen F¨allen die gleichen. Es gelten also in allen drei F¨allen die Grundgleichungen (1). Die sechs Diagonalen der drei Vierecke der Fig. 28 sind zu Paaren einander gleich. Wir haben also nur drei verschiedene Diagonalen, die in Fig. 28 mit δ1 , δ2 , δ3 bezeichnet sind. d δ2

b δ1 c

δ3

δ2

b b a

a α

c

d

δ1 δ3

a c

d

Fig. 28

Die durch (3) gegebene Kurve dritten Grades besitzt einen Doppelpunkt in (x0 , y0 , z0 ), wenn die Tangentialebene in (x0 , y0 , z0 ) an die durch die zweite Gleichung (3) gegebene Fl¨ache mit der durch die erste Gleichung (3) gegebenen Fl¨ache u¨ bereinstimmt. Es gilt dann: −a −b −c (a : b : c) = . : : x20 y02 z02 Einsetzen in (3) liefert x20 = y02 = z02 = 1. Also besitzt die kubische Kurve genau dann einen Doppelpunkt, wenn eine Gleichung ±a ± b ± c + d = 0 f¨ur irgendeine

280

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Auswahl der Vorzeichen besteht. Da im Gelenkviereck alle Seitenl¨angen positiv sind und die L¨ange der l¨angsten Seite kleiner als die Summe der anderen Seitenl¨angen sein muss, ist die Anzahl der Doppelpunkte von (3) gleich der Vielfachheit der Nullstelle des folgenden, unter der zyklischen Permutation von a, b, c invarianten Ausdrucks: P = (a + b − c − d)(a + c − b − d)(a + d − b − c) . Genau wenn einer der Linearfaktoren in P gleich Null ist, dann ist das Gelenkviereck f¨ur alle Winkel α, β, γ ein Tangentenviereck, wobei der Tangentialkreis auch außerhalb des Vierecks liegen darf.5 Da die kubische Kurve (3) einen Doppelpunkt hat, lassen sich die trigonometrischen Funktionen der Winkel des Gelenkvierecks als rationale Funktionen eines reellen Parameters darstellen. Sind zwei Linearfaktoren gleich Null, so sind im Gelenkviereck je zwei Seiten in Paaren gleich lang. Es stellt dann ein Parallelogramm, ein Antiparallelogramm oder ein Deltoid dar. Die kubische Kurve (3) zerf¨allt dann in eine Gerade und einen Kegelschnitt mit den Gleichungen x+y =0,

z+1=0

bzw.

a(x + y) + c(z + 1) = 0 ,

xy = z .

Sind alle drei Linearfaktoren gleich Null, so sind alle Seiten des Gelenkvierecks gleich lang. Es ist dann ein Rhombus. Die kubische Kurve (3) erf¨ullt dann die Gleichungen x + y + z + 1 = 0 , (x + y)(x + z)(y + z) = 0 , zerf¨allt also in drei Geraden. Ist hingegen P ungleich Null, so hat die kubische Kurve (3) keinen Doppelpunkt, und es liegt der allgemeine Fall vor, der im folgenden behandelt werden soll. Dieser l¨asst sich je nach Vorzeichen von P in zwei Klassen unterteilen. Es gilt genau dann P < 0, wenn die Summe der kleinsten und der gr¨oßten Seitenl¨ange kleiner als die Summe der beiden mittleren Seitenl¨angen ist. Nur im Fall P < 0 k¨onnen die beiden Winkel, die die k¨urzeste Seite mit den beiden angrenzenden Seiten bildet, alle m¨oglichen Werte annehmen. Auch durch weitere geometrische Eigenschaften kann man die beiden Klassen unterscheiden: Durch geeignete Wahl der Winkel erh¨alt man stets ein konvexes Sehnenviereck. Aber nur bei P < 0 ist ein u¨ bergeschlagenes Sehnenviereck zu erzielen. Ferner kann man nur bei P < 0 ein u¨ bergeschlagenes Viereck mit parallelen Diagonalen erreichen.]6

5

Vergl. R. Baltzer: Elemente der Mathematik, Bd. 2, Leipzig: Teubner 1862, S. 32 f. Diese Erl¨auterungen fassen die Argumente im bereits genannten Artikel von D a r b o u x und dessen Ank¨undigung in den Comptes Rendus 88 (1879), 1183-1185, zusammen. [Anm. d. Hrsg.]

6

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

281

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen. Nach den Entwicklungen von S. 79 ff. sind nun die Koordinaten der Punkte einer ebenen Kurve dritten Grades, vorausgesetzt dass diese das Geschlecht 1 hat, als eindeutige elliptische Funktionen eines Argumentes w darstellbar. Unter Vorbehalt der Feststellung des Geschlechtes 1 erkennen wir die M¨oglichkeit, die drei Gr¨ossen (2) als eindeutige elliptische Funktionen von w darzustellen, wobei die verschiedenen Gestalten unseres Gelenkvierecks den Punkten einer im Periodenparallelogramm der w-Ebene verlaufenden Linie entsprechen. An sich w¨urde es am n¨achsten liegen, die Kurve dritten Grades (6) auf ein kanonisches Koordinatendreieck zu beziehen, um dann die Weierstrassschen Funktionen der ersten Stufe zur Darstellung der drei Gr¨ossen (2) zu benutzen. Dem gegen¨uber ist es die Leistung von D a r b o u x, unter Verwertung einer von J a c o b i aufgefundenen Formel die beiden Gleichungen (3) unmittelbar mit den elliptischen Funktionen in Verbindung gebracht zu haben. Dieser Weg soll auch weiterhin eingeschlagen werden, da bei den oben genannten Arbeiten u¨ ber das Gelenkviereck die Darbouxschen Formeln benutzt werden.

7.2.1 Eine Formel von Jacobi. D a r b o u x kn¨upft seine analytische Theorie des Gelenkvierecks an eine von J a c o b i in Bd. 15 von Crelles Journal S. 200 aufgestellte Relation zwischen gewissen elliptischen Funktionen, die Jacobi durch analytische Umformung gewinnt, die aber weit k¨urzer durch eine funktionentheoretische Betrachtung gewonnen werden kann.7 Es sei w ein komplexes Argument und v1 , v2 , v3 drei spezielle zun¨achst verschiedene Werte dieses Argumentes. Man bilde das Aggregat: (7)

sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) + + . sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 )

[Zufolge (13) in I, 390 ist dies Aggregat] periodisch um 2iK ; es erf¨ahrt Zeichenwechsel bei Vermehrung von w um 2K. Im Periodenparallelogramm der Seiten 2K, 2iK [liegen nach I, 393] drei Pole erster Ordnung bei v1 , v2 , v3 . Bei v1 wird das Aggregat (7) unendlich wie: sn(v2 − v3 ) , w − v1 entsprechend bei v2 und v3 . Genau dieselben Angaben gelten von: −

7

sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) . sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 )

Das Manuskript enth¨alt mehrere Beweise dieser Formel, von denen hier nur der k¨urzeste wiedergegeben ist. [Anm. d. Hrsg.]

282

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Demnach ist: (8) sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) + + + sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) doppeltperiodisch mit den Perioden 4K und 2iK und zugleich polfrei, also konstant. Zur Bestimmung dieses konstanten Wertes setze man w = v1 + iK und benutze die in I, 395 aufgestellte Relation: (9)

1 = k sn w . sn(w + iK )

Das erste und vierte Glied des Ausdrucks (8) verschwinden, die Mittelglieder liefern: k sn(v1 − v2 ) sn(v3 − v1 ) + k sn(v1 − v3 ) sn(v1 − v2 ) . Dieser Ausdruck ist aber gleich 0; mithin hat das Aggregat (8) den konstanten Wert 0, d. h. es besteht in w identisch die Beziehung: (10) sn(v2 −v3 ) sn(v3 −v1 ) sn(v1 −v2 ) sn(v2 −v3 ) sn(v3 −v1 ) sn(v1 −v2 ) + + + = 0. sn(w−v1 ) sn(w−v2 ) sn(w−v3 ) sn(w−v1 ) sn(w−v2 ) sn(w−v3 ) Sind zwei der Gr¨ossen v1 , v2 , v3 einander gleich, so ist die Richtigkeit der Beziehung (10) unmittelbar einleuchtend. Vermehren wir w um iK und benutzen (9), so folgt: (11) sn(w − v1 ) sn(v2 − v3 ) + sn(w − v2 ) sn(v3 − v1 ) + sn(w − v3 ) sn(v1 − v2 ) + k 2 sn(w− v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) = 0 . Dies ist die von Jacobi auf anderem Wege abgeleitete in w identisch bestehende Gleichung.

7.2.2 Ansatz zur Darstellung der Koordinaten durch elliptische Funktionen. Man schreibe jetzt abk¨urzend: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ k sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) = x , ⎪ ⎨ (12) k sn(w − v3 ) sn(w − v1 ) = y , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ k sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) = z

283

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

und deute x, y, z als rechtwinklige Raumkoordinaten. Dem einzelnen Werte w geh¨ort dann ein gewisser Raumpunkt zu, und das Parallelogramm der Perioden 2K und 2iK in der w-Ebene wird hierbei auf eine geschlossene Kurve des Geschlechtes p = 1 im Raume abgebildet. Erkl¨aren wir weiter vier von w unabh¨angige Zahlen a, b, c, d durch: ⎧ ⎪ ⎨ sn(v2 − v3 ) = μa , sn(v3 − v1 ) = μb , sn(v1 − v2 ) = μc , (13) ⎪ ⎩ k sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) = μd , unter μ eine noch verf¨ugbare Gr¨osse verstanden, so gehen die Gleichungen (10) und (11) in dieser Reihenfolge u¨ ber in: ⎧ ⎪ ⎨ ax + by + cz + d = 0 , (14) ⎪ ⎩ a + b + c +d = 0, x y z ¨ die formal mit den Gr¨ossen (3) in Ubereinstimmung sind. Sollte es demnach m¨oglich sein, u¨ ber die Differenzen: (15)

u1 = v2 − v3 ,

u2 = v3 − v1 ,

u3 = v1 − v2 ,

die durch die Beziehung: u1 + u2 + u3 = 0

(16)

verbunden sind, und u¨ ber die beiden Gr¨ossen μ und k so zu verf¨ugen, dass die aus (13) zu berechnenden a, b, c, d gleich den in Fig. 27 vorliegenden L¨angenzahlen a, b, c, d unseres Gelenkvierecks sind, so ist die durch (14) dargestellte, auf das Periodenparallelogramm eindeutig bezogene Kurve dritten Grades eben diejenige, zu der wir oben (S. 278) vom Gelenkviereck aus gef¨uhrt wurden, und also haben wir dann in (12) die gew¨unschte Darstellung der Koordinaten x, y, z der Punkte dieser K3 als elliptische Funktionen eines Argumentes w vor uns. Insbesondere haben wir f¨ur die in homogenen Koordinaten x1 , x2 , x3 durch (6) gegebene ebene Kurve dritten Grades die Darstellung: (17)

x 1 : x2 : x3 =

1 1 1 : : . sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 )

Es sind nun also die Gleichungen (13) n¨aher zu untersuchen, in denen wir a, b, c, d als Seiten unseres Gelenkvierecks gegeben denken. Unter Benutzung der Abk¨urzungen (15) schreiben sich diese Gleichungen so: ⎧ ⎪ ⎨ sn u1 = μa , sn u2 = μb , sn u3 = μc , (18) ⎪ ⎩ k sn u1 sn u2 sn u3 = μd .

284

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Durch Eintragen der Ausdr¨ucke f¨ur sn u1 , [sn u2 , sn u3 ] in die vierte Gleichung folgt: kμ2 abc = d . √ Unter Vorbehalt der n¨aheren Bestimmung von k ergiebt sich hieraus zun¨achst f¨ur μ der Wert: d 1 √ , (19) μ= abc k wo die zweite Quadratwurzel rechts positiv genommen werden m¨oge. Weiter folgen aus den ersten drei Gleichungen (18) f¨ur sn u1 , sn u2 , sn u3 die Ausdr¨ucke: ad bd cd 1 1 1 , sn u2 = √ , sn u3 = √ , (20) sn u1 = √ bc ac ab k k k wo jedesmal die an zweiter Stelle rechts stehenden Wurzeln positiv zu nehmen sind √ und k der noch n¨aher zu bestimmende Wert ist. Schreiben wir: sn ui = si ,

cn ui = ci ,

dn ui = di ,

so folgt aus dem Additionstheorem (7) in II, 166 wegen u1 + u2 = −u3 zun¨achst: s1 s3 c2 d2 − s2 s3 c1 d1 + s21 − s22 = 0 . Hier trage man ein [(vergl. (8) in II, 166)]: ci di = 1 − (1 + k 2 )s2i + k 2 s4i ,

i = 1, 2

und mache den Ausdruck in s1 , s2 , s3 rational. Dabei ergiebt sich zwischen s1 , s2 , s3 die Beziehung: s41 + s42 + s43 −2s22 s23 − 2s23 s21 − 2s21 s22 + 4s21 s22 s23 −2k 2 s21 s22 s23 (s21 + s22 + s23 − 2) + k 4 s41 s42 s43 = 0 . Man trage hier f¨ur s1 = sn u1 , s2 = sn u2 , s3 = sn u3 die Ausdr¨ucke (20) ein und findet f¨ur die Wurzel k des Integralmoduls die Gleichung: 1 (21) 4abcd k + =L, k wo L folgender homogene symmetrische Ausdruck vierten Grades in den Seiten a, b, c, d des Gelenkvierecks ist: (22)

L = 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 + 2a2 d2 + 2b2 d2 + 2c2 d2 − a4 − b4 − c4 − d4 ,

285

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

wof¨ur man auch schreiben kann:

2 L = a2 + b2 + c2 + d2 − 2 a4 + b4 + c4 + d4 .

7.2.3 Der Integralmodul k, die Modulfunktion (ω) und Ausartungen. Schreiben wir: k+

(23)

1 = 2 (ω) , k

so [ist (ω) nach I, 459 eine Modulfunktion vierter Stufe8 , die sich in den Seiten des Gelenkvierecks so darstellt]: (ω) =

(24)

L . 8abcd 8

8

8

Die Ebene der Modulfunk( ) (− ) (− ) tion (ω) bildet sich auf das in 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 111 11 000 111 000 Fig. 29 dargestellte Polygon der 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 11 000 111 000 111 ω-Halbebene ab. Die stark ausge000 111 00 11 000 111 000 111 00 11 000 111 000 111 00 11 000 111 000 (0) (0) 111 00 11 000 111 zogenen Linien liefern die reelle 00 11 000 111 00 11 000 111 -Achse, wobei die in Klammern 00 11 000 111 00 11 000 111 (−1) (−1) (1) 00 11 000 111 stehenden Werte diejenigen von 00 11 000 111 ω=0 ω = +2 ω = −2 sind. Da nicht gleich ∞ werden kann, so degeneriert das elliptische Gebilde nur wenn = +1 Fig. 29 oder gleich −1 wird. D a r b o u x bedient sich nun folgender Abk¨urzungen: ⎧ ⎪ ⎪ p0 = a + b + c + d , q1 = −a + b + c + d , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ p12 = −p34 = a + b − c − d , q2 = a − b + c + d , (25) ⎪ ⎪ q3 = a + b − c + d , p13 = −p24 = a − b + c − d , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ p = −p = a − b − c + d , q4 = a + b + c − d . 14 23 Schreibt man abk¨urzend: L + 8abcd = A ,

L − 8abcd = B ,

so hat man die beiden F¨alle der Ausartung: 2 2 Nach ` 4(22) in4 ´I, 419 ` 2ist 2k´= ϑ2 /ϑ3 , also l¨asst sich wie folgt durch Thetanullwerte ausdr¨ucken: = ϑ2 + ϑ3 / 2ϑ2 ϑ3 . [Anm. d. Hrsg.]

8

286

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

I. II.

ω =0,

=1,

B=0,

[k = 1] ,

ω = ±2 ,

= −1 ,

A=0,

[k = −1] .

Mit Benutzung der Darstellung: 2

L = 4a2 b2 + 4c2 d2 − a2 + b2 − c2 − d2 zeigt man leicht die beiden Gleichungen: ⎧ ⎪ ⎨ A = L + 8abcd = q1 q2 q3 q4 , (26) ⎪ ⎩ B = L − 8abcd = −p0 p12 p13 p14 . Da die Summe dreier Seiten des Gelenkvierecks gr¨osser als die vierte Seite ist, so sind alle vier Gr¨ossen q gr¨osser als 0. Also kann A nie verschwinden und mithin (ω) nie gleich −1 sein; der Fall der Ausartung ω = ±2 tritt also nicht ein. Dagegen haben wir mit einer Ausartung zu tun, falls eine der Gr¨ossen p12 , p13 , p14 verschwindet, wenn also zwei Seiten des Vierecks zusammen genommen gleich der Summe der beiden anderen sind. Wir haben dann = 1 und ω = 0, wobei nach (8) in I, 472 die elliptischen Funktionen in hyperbolische ausarten: ⎧ ⎪ ⎪ x = Tg(w − v2 ) Tg(w − v3 ) , ⎪ ⎪ ⎨ (27) y = Tg(w − v3 ) Tg(w − v1 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ z = Tg(w − v1 ) Tg(w − v2 ) . Da man: A = L + 8abcd > 0 hat, so gilt stets (ω) > −1. Wir haben demgem¨ass zwei Scharen von Kreisbogenvierecken mit nicht ausartendem elliptischen Gebilde, je nachdem 1 < oder −1 < < +1 gilt, also ω auf der imagin¨aren Achse oder auf einem der unteren Randkreise in Fig. 29 liegt; als Grenz¨ubergang hat man den eben genannten Fall der Ausartung des elliptischen Gebildes. Um den Integralmodul selbst zu berechnen, folgern wir aus [(23),] (24) und (26): ⎧ (1 + k)2 ⎪ ⎪ ⎨A = q1 q2 q3 q4 = 4abcd , k (28) 2 ⎪ (1 − k) ⎪ ⎩ B = −p0 p12 p13 p14 = 4abcd . k Hieraus ergiebt sich weiter:

287

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

(29)

√ √ A− B 16abcd √ = √ k= √ √ 2 , A+ B A+ B =

(30)

√ 4 AB 2 k = √ √ 2 , A+ B

A+B . A−B

√ √ Die Quadratwurzel A m¨oge hier positiv genommen werden, desgleichen B, √ falls B > 0 ist. Ist B < 0, so werde B positiv imagin¨ar genommen. Dann liegt ω f¨ur B > 0 auf der imagin¨aren ω-Achse, f¨ur B < 0 auf dem linken unteren Halbkreise der Fig. 29. Da lim A = 0 ist, gilt lim k = −1; also liegt k auf der unteren H¨alfte des Einheitskreises zwischen k = +1 und k = −1. Bei der getroffenen √ √ Auswahl von ω ist k im ersten Falle reell und positiv, im zweiten Falle die k vom absoluten Betrage 1, und zwar liegt die Amplitude zwischen 0 und − π2 , also √ der reelle Bestandteil ist positiv und der imagin¨are negativ. Nachdem k auf diese Art eindeutig bestimmt ist, soll die zweite Wurzel in (19) rechts positiv genommen werden; damit ist dann μ ω = ω 2= 2iK eindeutig bestimmt. Zugleich sind die drei Gr¨ossen (20) eindeutig bestimmt, und zwar sind sie im ersten Falle reell und positiv, im zweiten Falle haben sie positiven reellen und positiven rein imagin¨aren Bestandteil. Das Periodenparallelogramm w¨ahlen wir so, dass ω=0 ω=1 stets: ω1 = 2K = 1 Fig. 30 ist. Dann hat man im ersten Falle ein Periodenrechteck, so dass: ω2 = 2iK

ω = ω 2= 2 iK

rein imagin¨ar und zwar positiv imagin¨ar ist (cf. Fig. 30), im zweiten Fall ist ω2 = 2iK eine Zahl der Gestalt: ω2 = −1 + eiϑ ,

0 < ϑ < π,

1

ω = −1

ω=0

ω=1

Fig. 31 so dass das Periodenparallelogramm die in Fig. 31 skizzierte Gestalt besitzt. Man k¨onnte also durch lineare Transformation einen Rhombus erzielen.

7.2.4 Gleichungen fur ¨ die Parameter u. [F¨ur die Gr¨ossen u1 , u2 , u3 werden nun Gleichungen aufgestellt, aus deren L¨osung sich Aussagen u¨ ber Existenz und Eindeutigkeit bei gegebenen Werten f¨ur a, b, c, d und k wie in (29) ableiten lassen.] Aus den Gleichungen (21) ff. zieht man die Folgerungen:

288

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

1 , a −b −c +d = 4a d + 4b c − 4abcd k + k

2 1 a 2 d2 ad 2 2 2 2 2 2 k+ + 2 2 . a −b −c +d = 4b c 1 − bc k b c

2

2

2

2 2

2 2

2 2

Die letzte Gleichung kleidet sich mit Hilfe der ersten Gleichung (20) in die Gestalt:

2 a2 − b2 − c2 + d2 = 4b2 c2 (1 − k 2 sn u12 − sn u12 + k 2 sn u14 ) ,

2 2 a − b2 − c2 + d2 = 4b2 c2 (1 − sn u12 )(1 − k 2 sn u12 ) .

Schreiben wir f¨ur die beiden Klammern rechter Hand cn u12 und dn u12 [(cf. I, 389)], so gelangen wir durch Wurzelziehung zu: a2 + d2 − b2 − c2 = ±2bc cn u1 dn u1 . Hieran schliessen sich, auf demselben Wege zu gewinnen, die beiden Gleichungen: b2 + d2 − c2 − a2 = ±2ca cn u2 dn u2 , c2 + d2 − a2 − b2 = ±2ab cn u3 dn u3 . Die Vorzeichen sind hier leicht zu bestimmen. Da n¨amlich u1 + u2 + u3 = 0 ist, so muss [nach II, 166] f¨ur jede Anordnung i, j, l der drei Indizes 1, 2, 3 die Gleichung: − sn ui =

sn uj cn ul dn ul + sn ul cn uj dn uj 1 − k 2 sn uj2 sn ul2

zutreffen. Indem man f¨ur die verschiedenen Anordnungen f¨ur die sn die Werte (20) und f¨ur die Produkte cn dn die aus den letzten Gleichungen hervorgehenden Ausdr¨ucke eintr¨agt, m¨ussen sich identische Gleichungen in a, b, c, d ergeben. Dies ist der Fall, aber auch nur der Fall, falls in den drei vorstehenden Gleichungen die oberen Zeichen gelten. F¨ur die Produkte der Funktionen cn und dn der drei Differenzen u der Argumente v berechnen sich demnach in den a, b, c, d eindeutig die reellen Ausdr¨ucke: ⎧ d2 + a2 − b2 − c2 ⎪ ⎪ cn u1 dn u1 = , ⎪ ⎪ 2bc ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ d2 + b2 − c2 − a2 (31) cn u , dn u = 2 2 ⎪ 2ca ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ cn u dn u = d + c − a − b . 3 3 2ab Um zun¨achst mit einem bestimmten besonderen Falle zu tun zu haben, setzen wir folgende Ungleichungen voraus: (32)

a>b>c>d,

a+d
289

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

W¨ahrend p0 , q1 , q2 , q3 , q4 stets positiv sind, haben wir dann: p12 > 0 ,

p13 > 0 ,

8

8

8

p14 < 0 . √ √ Es gilt dann weiter A > 0, B > 0, und die Wurzeln A, B werden positiv genommen.√ Zufolge √der Gleichung (29) hat man demnach einen positiven Wert k; es ist also A > B und 0 < k < 1. Der Periodenquotient ist demgem¨ass rein imagin¨ar und mithin das Periodenparallelogramm ein Rechteck. Das (−1) (0) (0) (0) (1) Periodenparallelogramm f¨ur die Funk- 2iK 4K + 2iK tion sn hat die in Fig. 32 angegebene (1/k) (−1/ k) ( ) Gestalt. Die stark ausgezogenen Linien ( ) ( ) iK bilden die reelle sn-Achse ab, wobei die in Klammern zugesetzten Werte (1) (0) (0) (−1) (0) diejenigen von sn sind. Die Periode 2K 4K K 3K 0 2K wird reell und positiv gew¨ahlt; 2iK ist dann rein imagin¨ar und durch den Wert Fig. 32 k eindeutig festgelegt. Zur Bestimmung von u1 , u2 , u3 dient folgende Betrachtung: Aus der ersten Gleichung (20) folgt [mit (8) in II, 166]: 1 ad cn u12 + dn u12 = 2 − (1 + k 2 ) sn u12 = 2 − k + , k bc (33)

also wegen (23) und (24)

b2 c2 (cn u12 + dn u12 ) = 2(b2 c2 − abcd) = 2 b2 c2 − 18 L . Multipliziert man noch mit 4 und tr¨agt den Ausdruck von L in a, b, c, d ein, so folgt: 4b2 c2 (cn u12+dn u12 ) = a4+b4+c4+d4−2a2 b2+6b2 c2−2c2 a2−2a2 d2−2b2 d2−2c2 d2. Andrerseits entnehmen wir aus der ersten Gleichung (31): 8b2 c2 cn u1 dn u1 = 4bc(d2 + a2 − b2 − c2 ) . Indem man die letzte Gleichung zur vorletzten zun¨achst addiert, sodann subtrahiert, gelangt man zu zwei Gleichungen, deren rechte Seiten sich beide Male in Produkte linearer Ausdr¨ucke in a, b, c, d zerlegen lassen:

2bc(dn u1 + cn u1 )

2

= p12 p13 q2 q3 ,

2bc(dn u1 − cn u1 )

2

= −p0 p14 q1 q4 .

Aus diesen Gleichungen ergeben sich durch zyklische Permutation von a, b, c die beiden weiteren Gleichungspaare:

290

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

2 2ca(dn u2 + cn u2 ) = −p12 p14 q3 q1 ,

2 2ab(dn u3 + cn u3 ) = −p13 p14 q1 q2 ,

2 2ca(dn u2 − cn u2 ) = p0 p13 q4 q2 ,

2 2ab(dn u3 − cn u3 ) = p0 p12 q3 q4 .

Die rechten Seiten dieser sechs Gleichungen sind positiv. Ziehen wir u¨ berall die Quadratwurzeln und nehmen diese stets mit positiven Vorzeichen, so fallen die drei Werte dn u1 , dn u2 , dn u3 positiv und die Werte cn u1 , cn u2 , cn u3 reell aus. Wir setzen also mit positiv genommenen Quadratwurzeln: (34)⎧ √ ⎪ ⎪ 2bc(dn u1 +cn u1 ) = √ p12 p13 q2 q3 , 2bc(dn u1 −cn u1 ) = −p0 p14 q1 q4 , ⎪ ⎪ ⎨ √ √ p0 p13 q2 q4 , 2ca(dn u2 +cn u2 ) = −p14 p12 q3 q1 , 2ca(dn u2 −cn u2 ) = ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎪ √ ⎩ p0 p12 q3 q4 . 2ab(dn u3 +cn u3 ) = −p13 p14 q1 q2 , 2ab(dn u3 −cn u3 ) = Man kann sich zur Bestimmung von cn u1 , dn u1 , cn u2 , . . . auch folgender Rechnung bedienen: Dr¨uckt man dn u12 und cn u12 durch sn u1 aus, so folgt mit Benutzung von (20): ad ad 1 1 dn u12 +k 2 cn u12 = k k + − 2k sn u12 = k k + − 2 = 2k − . k k bc bc Tr¨agt man den Ausdruck (24) f¨ur ein, so folgt:

4abcd dn u12 + k 2 cn u12 = L − 8a2 d2 k = 2a2 b2 + 2a2 c2 − 6a2 d2 + 2b2 c2 + 2b2 d2 + 2c2 d2 − a4 − b4 − c4 − d4 . Andrerseits gilt nach (31) 8

abcd dn u1 · k cn u1 = 4ad(a2 + d2 − b2 − c2 ) . k

Bei Addition und ebenso bei Subtraktion dieser Gleichung zur voraufgehenden erh¨alt man rechts wieder zwei Ausdr¨ucke, die sich als Produkte von vier in a, b, c, d linearen Ausdr¨ucken erweisen. Beim Ausziehen der Quadratwurzeln gewinnt man die beiden Gleichungen ⎧ ⎪ abcd √ ⎪ ⎨2 (dn u1 + k cn u1 ) = p12 p13 q1 q4 , k (35) ⎪ √ abcd ⎪ ⎩2 (dn u1 − k cn u1 ) = −p0 p14 q2 q3 , k wo alle Quadratwurzeln positiv zu nehmen sind, da k im Intervall 0 < k < 1 liegt und dn u1 reell und positiv ist. Durch zyklische Permutation von a, b, c findet man weiter die Relationen:

291

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

(36)

⎧ abcd ⎪ ⎪ ⎪ 2 (dn u2 + k cn u2 ) = ⎪ ⎪ k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ abcd ⎪ ⎨2 (dn u2 − k cn u2 ) = k ⎪ abcd ⎪ ⎪ (dn u3 + k cn u3 ) = 2 ⎪ ⎪ k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 abcd (dn u3 − k cn u3 ) = k

√ −p12 p14 q2 q4 , √

p0 p13 q1 q3 ,

√ −p13 p14 q3 q4 , √

p0 p12 q1 q2 ,

wo wieder alle Quadratwurzeln positiv zu nehmen sind. Auch aus diesen sechs Formeln kann man die Werte von dn u1 , cn u1 , . . . , cn u3 in den Seiten des Gelenkvierecks ausdr¨ucken. Da dn u1 , dn u2 , dn u3 positiv und cn u1 , cn u2 , cn u3 reell sind, so d¨urfen wir u1 , u2 , u3 als reell annehmen. Nun wurde a > b > c > d vorausgesetzt. Also sind cn u2 und cn u3 jedenfalls negativ, w¨ahrend (d2 + a2 − b2 − c2 ) positiv, null oder negativ sein kann. Man kann demnach zun¨achst, da die Werte sn u2 und sn u3 [nach (20)] positiv sind, u2 und u3 im Intervall: K < u2 , u3 < 2K

(37)

annehmen9 , womit diese Werte dann eindeutig bestimmt sind. F¨ur u1 folgt dann einfach: u1 = −u2 − u3 ,

(38)

−4K < u1 < −2K .

7.2.5 Der Grenzfall d = 0. Beil¨aufig betrachten wir den Grenzfall lim d = 0, wo unser Gelenkviereck in ein Dreieck der Seiten a, b, c u¨ bergeht. Wir haben dann den Grenzfall k = 0, und also wird nach I, 472 sn u = sin u. Aus (23) und (24) folgt zun¨achst: kd +

d L = , k 4abc

woraus sich f¨ur lim d = 0 ergiebt: lim

d 2b2 c2 + 2c2 a2 + 2a2 b2 − a4 − b4 − c4 = k 4abc

und damit weiter, falls unter s wie u¨ blich der halbe Umfang des Dreiecks verstanden wird [(Satz von Heron)]: lim 9

d 4s(s − a)(s − b)(s − c) 4Δ2 = = , k abc abc

Vergl. die Fig. 75 und 76 in I, 393.

292

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

wenn Δ der Inhalt des Dreiecks ist. Man hat somit: d 2Δ =√ lim . k abc Aus (20) folgt aber im Grenzfall mit Benutzung der vorstehenden Gleichung: sin u1 = a

2Δ = sin α , abc

sin u2 = b

2Δ = sin β , abc

sin u3 = c

2Δ = sin γ , abc

unter α, β, γ die Winkel des Dreiecks verstanden. Da im Grenzfalle K = π2 wird, also u2 und u3 stumpfe Winkel sind, w¨ahrend β und γ spitze Winkel sind, so folgt: u2 = π − β ,

u3 = π − γ ,

u1 = −π − α .

7.2.6 Gleichungen fur ¨ die Parameterhalbierung u/2. [Als Verallgemeinerung der Argumenthalbierung bei trigonometrischen Funktionen kann man die folgenden Formeln f¨ur die Argumenthalbierung bei elliptischen Funktionen ansehen.] Aus den beiden Gleichungen in der vorletzten Zeile in II, 235 folgt: 2

cn u =

4

1 − 2 sn u2 + k 2 sn u2 , 4 1 − k 2 sn u 2

2

dn u =

4

1 − 2k 2 sn u2 + k 2 sn u2 . 4 1 − k 2 sn u 2

Durch Kombination dieser Gleichungen folgert man: (39)

2 2(1 + k) sn u2 dn u − cn u =

2 . 2 dn u − k cn u 1 + k sn u2

Andrerseits folgt durch Division aus der zweiten Gleichung (34) und der zweiten Gleichung (35): q1 q4 √ bc dn u1 − cn u1 · = k , q2 q3 ad dn u1 − k cn u1 √ q1 q2 q3 q4 dn u1 − cn u1 q1 q4 √ = k √ . · bc dn u1 − k cn u1 abcd Wendet man zur Umgestaltung der rechten Seite die erste Gleichung (28) und die Gleichung (39) an, so folgt:

293

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen 2 2(1 + k) sn u21 q1 q4 = 2(1 + k) ·

, 2 2 bc 1 + k sn u21

sowie nach Ausziehung der positiv zu nehmenden Quadratwurzel: 2(1 + k) sn u21 q1 q4 = 2 . bc 1 + k sn u21 Wir stellen diese Formel sogleich mit drei weiteren leicht aus ihr folgenden zusammen: ⎧ ⎪ 2(1 + k) sn u21 2 cn u21 dn u21 q1 q4 p12 p13 ⎪ ⎪ = = , ⎪ 2 2 , ⎪ bc bc ⎨ 1 + k sn u21 1 + k sn u21 (40) ⎪ ⎪ 2 cn u21 dn u21 2(1 − k) sn u21 q2 q3 −p0 p14 ⎪ ⎪ = = , ⎪ 2 2 . ⎩ bc bc 1 − k sn u21 1 − k sn u21 Zun¨achst folgt aus (20) sowie der ersten Gleichung (1) in II, 235: 2(1 + k) sn u21 cn u21 dn u21 1 + k ad √ = (1 + k) sn u1 = 2 · 2 . bc k 1 + k sn u1 1 − k sn u1 2

2

Benutzt man die erste Gleichung (28) und die erste Gleichung (40), so ergiebt sich: u u q1 q2 q3 q4 ad q1 q4 2 cn 21 dn 21 = · 2 , abcd bc bc 1 − k sn u1 2

woraus die dritte Gleichung (40) sofort folgt. Andrerseits folgt durch Subtraktion der dritten und zweiten Gleichung (1) in II, 235: 2(1 − k 2 ) sn u21 dn u1 − cn u1 = 4 1 − k 2 sn u1 2

2

=

u q1 q4 (1 − k) sn 21 · 2 . bc 1 − k sn u21

Mit Benutzung der zweiten Gleichung (34) folgt: √ u −p0 p14 q1 q4 q1 q4 (1 − k) sn 21 = · 2 , 2bc bc 1 − k sn u21 woraus die letzte Gleichung (40) sofort folgt. Ebenso folgt mit Hilfe der zweiten Gleichung (28) und der ersten Gleichung (1) in II, 235 aus der vierten Gleichung (40) sofort die zweite. In entsprechender Weise f¨uhrt man den Nachweis der folgenden acht Gleichungen:

294

(41)

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

⎧ ⎪ q2 q4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q1 q3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ⎨ ⎪ ⎪ q3 q4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ab ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q1 q2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ab

=

2(1 + k) sn u22 2 , 1 + k sn u2 2

2 cn u22 dn u22 = 2 , 1 − k sn u2 2

2(1 + k) sn u23 = 2 , 1 + k sn u3 2

2 cn u23 dn u23 = 2 , 1 − k sn u3 2

2 cn u22 dn u22 −p12 p14 = 2 , ca 1 + k sn u22 2(1 − k) sn u22 p0 p13 = 2 , ca 1 − k sn u22 2 cn u23 dn u23 −p13 p14 = 2 , ab 1 + k sn u23 2(1 − k) sn u23 p0 p12 = 2 . ab 1 − k sn u23

7.2.7 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. Wir kehren zu den Gleichungen (12) zur¨uck und haben zu entscheiden, welche Werte w anzunehmen hat, damit wir die gesamten reellen Bewegungen des Gelenkvierecks gewinnen. Von den drei Gr¨ossen v sind nur erst die Differenzen (15) als reelle Gr¨ossen eindeutig bestimmt. Jedenfalls nehmen wir auch die v selbst als reell an. Statt w f¨uhren wir eine neue Ver¨anderliche w durch die Gleichung: w = w −

K + iK 2

ein, lassen aber gleich wieder den oberen Index bei w fort; man erh¨alt dann: ⎧

⎪ K+iK K+iK iα ⎪ e sn w − v , = k sn w − v − − ⎪ 2 3 2 2 ⎪ ⎪ ⎨

(42) eiβ = k sn w − v3 − K+iK sn w − v1 − K+iK , 2 2 ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ iγ ⎩ e = k sn w − v1 − K+iK sn w − v2 − K+iK . 2 2 Da k und die v reell sind, so wird, w gleichfalls als reell vorausgesetzt, die Vermehrung von w um iK auf Ersetzung von i durch −i auf den rechten Seiten der Gleichung (42) hinauslaufen, und andrerseits wird nach der Tabelle in I, 395 diese Vermehrung die rechten Seiten von (42) in ihre reziproken Werte umwandeln. Dieses Verhalten h¨ort aber auf, wenn w aufh¨ort reell zu sein. Nun werden aber auch die linken Seiten von (42) bei Ersatz von i durch −i in ihre reziproken Werte umgesetzt. Es folgt hieraus der grundlegende Satz: Man hat w als reelle Variable etwa das Intervall von 0 bis 2K durchlaufen zu lassen, um bei Gebrauch der Gleichungen (42) alle Lagen des Gelenkvierecks zu durchlaufen. Aus (42) ergiebt sich weiter:

295

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

(43)

ei(β+γ−α) = k sn w − v1 −

K+iK 2

2

,

sowie weiter mit Benutzung der Tabelle in I, 395: (44)

sn w−v2 − K+iK i(γ−β) 2 = k sn w−v2 − K+iK

e sn w−v3 − K−iK . = 2 2 K+iK sn w−v3 − 2 Aus den Additionstheoremen (9) in II, 166 folgert man leicht: (45)

sn w1 sn w2 =

Zur Abk¨urzung setzen wir:

cn(w1 − w2 ) − cn(w1 + w2 ) . dn(w1 − w2 ) + dn(w1 + w2 )

⎧ ⎪ ⎪ 2w − v2 − v3 = t1 , ⎪ ⎪ ⎨ 2w − v3 − v1 = t2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2w − v − v = t 1 2 3

(46)

und haben dann: (47) t2 − t3 = v2 − v3 = u1 ,

t3 − t1 = v3 − v1 = u2 ,

t1 − t2 = v1 − v2 = u3 .

Unter Benutzung dieser Bezeichnungen folgt aus der ersten Gleichung (42), falls wir die rechte Seite auf Grund von (45) umwandeln: cos α + i sin α = k

cn u1 − cn(t1 − K − iK ) dn u1 + dn(t1 − K − iK )

oder, wenn wir auf die zweiten Glieder in Z¨ahler und Nenner die Regeln von I, 395 anwenden: k cn u1 cn t1 + ik . cos α + i sin α = dn u1 cn t1 − ik sn t1 Hieraus ergeben sich verm¨oge der Trennung der reellen von den imagin¨aren Bestandteilen die beiden Gleichungen: cos α =

k cn u1 dn u1 cn t12 − k 2 sn t1 , dn u12 cn t12 + k 2 sn t12

sin α =

k dn u1 cn t1 + kk cn u1 sn t1 cn t1 . dn u12 cn t12 + k 2 sn t12

Ersetzt man in der ersten Gleichung k 2 durch (1 − k 2 ) und ber¨ucksichtigt die zwischen den Quadraten der Funktionen sn, cn und dn bestehenden Beziehungen, so folgt:

296

cos α = cos α =

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

k cn u1 dn u1 − k cn u1 dn u1 sn t12 − dn u12 sn t1 + k 2 cn u12 sn t1 dn u12 − k 2 cn u12 sn t12

,

(k cn u1 − dn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 ) . (dn u1 − k cn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 )

Unter Forthebung der gemeinsamen Faktoren im Z¨ahler und Nenner folgt die erste der beiden folgenden Gleichungen: (48)

cos α =

k cn u1 − dn u1 sn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

sin α =

k cn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

deren zweite sich noch weit schneller aus der obigen Gleichung f¨ur sin α ergiebt. Genauso folgen aus der zweiten und dritten Gleichung (42) die beiden Gleichungenpaare: ⎧ k cn u2 − dn u2 sn t2 k cn t2 ⎪ ⎪ cos β = , sin β = , ⎪ ⎨ dn u2 − k cn u2 sn t2 dn u2 − k cn u2 sn t2 (49) ⎪ ⎪ k cn t3 ⎪ ⎩ cos γ = k cn u3 − dn u3 sn t3 , sin γ = . dn u3 − k cn u3 sn t3 dn u3 − k cn u3 sn t3 Aus (44) ergiebt sich mit Verwendung von (45) bei Benutzung der Abk¨urzungen (46) und (47): cn(u1 + iK ) − cn(−t1 + K) e−i(β−γ) = k dn(u1 + iK ) + dn(−t1 + K) sowie hieraus nach den Regeln von I, 395: e−i(β−γ) = −

kk sn u1 sn t1 + i dn u1 dn t1 . k sn u1 − i cn u1 dn t1

Unter Trennung der reellen und imagin¨aren Bestandteile findet sich: cos(β − γ) = − sin(β − γ) =

kk 2 sn u12 sn t1 − cn u1 dn u1 dn t12 k 2 sn u12 + cn u12 dn t12

,

k sn u1 dn t1 (k cn u1 sn t1 + dn u1 ) . k 2 sn u12 + cn u12 dn t12

Mit den zwischen den Quadraten der Funktionen sn, cn, dn bestehenden Beziehungen und der Gleichung k 2 = 1 − k 2 l¨asst sich derNenner wieder in den vorhin schon auftretenden Nenner dn u12 − k 2 cn u12 sn t12 umwandeln. Die letzte Gleichung liefert dann: (50)

sin(β − γ) =

k sn u1 dn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

297

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

die vorletzte Gleichung aber k¨onnen wir so umschreiben: cos(β − γ) =

cn u1 dn u1 dn t12 − k sn u12 sn t1 + k 3 sn u12 sn t1 , (dn u1 − k cn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 )

cos(β − γ) =

(cn u1 − k dn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 ) . (dn u1 − k cn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 )

F¨ur cos(β − γ) ergiebt sich demnach: cos(β − γ) =

(51)

cn u1 − k dn u1 sn t1 . dn u1 − k cn u1 sn t1

In derselben Art werden die beiden analogen Gleichungenpaare bewiesen: (52) ⎧ cn u2 − k dn u2 sn t2 k sn u2 dn t2 ⎪ ⎪ cos(γ − α) = , sin(γ − α) = , ⎪ ⎨ dn u2 − k cn u2 sn t2 dn u2 − k cn u2 sn t2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos(α − β) = cn u3 − k dn u3 sn t3 , dn u3 − k cn u3 sn t3 Aus (42) folgt:

sin(α − β) =

e(β+γ−α)i = k sn w − v1 −

K+iK 2

k sn u3 dn t3 . dn u3 − k cn u3 sn t3

2

sowie mit Hilfe von (45) und den Periodeneigenschaften von cn und dn:

1 − cn 2w − 2v1 − (K + iK ) (β+γ−α)i

e =k 1 + dn 2w − 2v1 − (K + iK ) =k

1 − cn(2w − 2v1 + K + iK ) . 1 − dn(2w − 2v1 + K + iK )

Nun gilt zufolge (46) und (47) die Gleichung 2w − 2v1 = t3 − u3 . Benutzt man andrerseits die Regeln von I, 395, so folgt leicht: e(β+γ−α)i =

k cn(t3 − u3 ) + ik . cn(t3 − u3 ) − ik sn(t3 − u3 )

Trennt man wieder die reellen und imagin¨aren Bestandteile, so ergiebt sich: cos(β + γ − α) =

k cn(t3 − u3 )2 − (1 − k 2 ) sn(t3 − u3 ) , cn(t3 − u3 )2 + (1 − k 2 ) sn(t3 − u3 )2

sin(β + γ − α) =

k cn(t3 − u3 )(1 + k sn(t3 − u3 )) . cn(t3 − u3 )2 + (1 − k 2 ) sn(t3 − u3 )2

Indem man cn2 durch sn2 ausdr¨uckt, gelingt es wieder beide Male einen Linearfaktor fortzuheben. Man gelangt zum Ergebnis:

298

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

(53) cos(β + γ − α) =

k − sn(t3 − u3 ) , 1 − k sn(t3 − u3 )

sin(β + γ − α) =

k cn(t3 − u3 ) . 1 − k sn(t3 − u3 )

In analoger Art folgen die beiden entsprechenden Gleichungenpaare: (54) ⎧ k − sn(t1 − u1 ) k cn(t1 − u1 ) ⎪ ⎪ cos(γ +α−β) = , sin(γ +α−β) = , ⎨ 1 − k sn(t1 − u1 ) 1 − k sn(t1 − u1 ) ⎪ k cn(t2 − u2 ) k − sn(t2 − u2 ) ⎪ ⎩ cos(α+β −γ) = , sin(α+β −γ) = . 1 − k sn(t2 − u2 ) 1 − k sn(t2 − u2 ) F¨ur die rechts auftretenden Argumente kann man auch schreiben: t3 − u3 = t1 + u2 − u3 ,

t1 − u1 = t2 + u3 − u1 ,

t2 − u2 = t3 + u1 − u2 .

7.2.8 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. Nun haben wir zun¨achst f¨ur δ12 aus dem Kosinussatz (vergl. Fig. 28) die Gleichung: 2 d d cos α . δ12 = a2 + d2 + 2ad cos α = a2 1 + +2 a a Nach (20) und (48) aber gilt: d = k sn u2 sn u3 , a

cos α =

k cn u1 − dn u1 sn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

so folgt, wenn man noch die Gleichung u1 = −(u2 + u3 ) benutzt: δ12 = a2 · − a2 ·

[(1 + k 2 sn u22 sn u32 ) dn(u2 + u3 ) + 2k 2 sn u2 sn u3 cn(u2 + u3 )] dn u1 − k cn u1 sn t1 k [(1 + k 2 sn u22 sn u32 ) cn(u2 + u3 ) + 2 sn u2 sn u3 dn(u2 + u3 )] sn t1 . dn u1 − k cn u1 sn t1

Nun zeigt man das identische Bestehen der beiden Gleichungen: (1 + k 2 sn u22 sn u32 ) dn(u2 + u3 ) + 2k 2 sn u2 sn u3 cn(u2 + u3 ) = (1 − k 2 sn u22 sn u32 ) dn(u2 − u3 ) , (1 + k 2 sn u22 sn u32 ) cn(u2 + u3 ) + 2 sn u2 sn u3 dn(u2 + u3 ) = (1 − k 2 sn u22 sn u32 ) cn(u2 − u3 ) , indem man die Ausdr¨ucke cn(u2 ± u3 ), dn(u2 ± u3 ) nach dem Additionstheorem entwickelt. Man gewinnt also f¨ur δ12 den Ausdruck in der ersten der drei Formeln:

299

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

(55)

⎧ dn(u2 − u3 ) − k cn(u2 − u3 ) sn t1 ⎪ ⎪ δ12 = a2 (1 − k 2 sn u22 sn u32 ) , ⎪ ⎪ dn u1 − k cn u1 sn t1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dn(u3 − u1 ) − k cn(u3 − u1 ) sn t2 , δ22 = b2 (1 − k 2 sn u32 sn u12 ) ⎪ dn u2 − k cn u2 sn t2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ δ32 = c2 (1 − k 2 sn u 2 sn u 2 ) dn(u1 − u2 ) − k cn(u1 − u2 ) sn t3 . 1 2 dn u3 − k cn u3 sn t3

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks. Die Behandlung des Gelenkvierecks durch elliptische Funktionen kann man auch in folgender Art begr¨unden: Man f¨uhre drei Winkel ϕ, ψ, χ ein, die sich in α, β und γ folgendermassen ausdr¨ucken: ⎧ ⎪ ⎪ ϕ = 12 (π + α − β − γ) , ⎪ ⎪ ⎨ (56) ψ = 12 (π − α + β − γ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ χ = 1 (π − α − β + γ) . 2 Es folgen aus (56) zun¨achst die Darstellungen: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪α = π − ψ − χ , ⎪ ⎨ (57) β = π−χ−ϕ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩γ = π − ϕ − ψ der Winkel α, β, γ und sodann die drei Relationen: (58)

α−β =ϕ−ψ ,

β−γ =ψ−χ,

γ−α =χ−ϕ.

Die Gleichungen (1), S. 278 k¨onnen dann ersetzt werden durch die beiden folgenden: ⎧ ⎪ ⎨ a cos(ψ + χ) + b cos(χ + ϕ) + c cos(ϕ + ψ) = d , (59) ⎪ ⎩ a sin(ψ + χ) + b sin(χ + ϕ) + c sin(ϕ + ψ) = 0 . Indem man der Reihe nach ϕ, ψ und χ aus diesen beiden Gleichungen eliminiert, gelangt man zu den drei Relationen:

300

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

⎧ ⎪ ⎪ a2 + d2 − b2 − c2 = 2(ad + bc) cos ψ cos χ + 2(bc − ad) sin ψ sin χ , ⎪ ⎪ ⎨ (60) b2 + d2 − c2 − a2 = 2(bd + ca) cos χ cos ϕ + 2(ca − bd) sin χ sin ϕ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ c2 + d2 − a2 − b2 = 2(cd + ab) cos ϕ cos ψ + 2(ab − cd) sin ϕ sin ψ . Aus (56) folgt:

(61)

⎧ ⎪ ⎪ ϕ = α + 12 (π − α − β − γ) , ⎪ ⎪ ⎨ ψ = β + 12 (π − α − β − γ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ χ = γ + 1 (π − α − β − γ) . 2

7.3.1 Ansatz fur ¨ die Parameter μ. Wir ziehen nun die in I, 475 gegebene lineare Transformation: (62)

(−ST S)

ω1 = ω1 ,

ω2 = ω1 + ω2

heran, deren Wirkung auf die drei Jacobischen Funktionen sn, cn, dn sowie auf den Legendre-Jacobischen Integralmodul daselbst angegeben ist. Mit Benutzung dieser Formeln bilden wir den Ansatz: √

2 abcd 1 2 , sn 2kμ1 , k2 = k sn 2μ1 , k = bc + ad

bc − ad , cn 2kμ1 , k12 = dn 2μ1 , k2 = bc + ad

a2 + d2 − b2 − c2 dn 2kμ1 , k12 = cn 2μ1 , k2 = . 2(bc + ad) Dann bestehen, wie es sein muss, die Relationen:

2 2 sn 2kμ1 , k12 +cn 2kμ1 , k12 = 1 ,

2 1 2 dn 2kμ1 , k12 + 2 sn 2kμ1 , k12 = 1 , k

wenn man nur den Modul k 2 aus der Gleichung: (63)

1 16abcd = L + 8abcd = A , k2

k2 =

16abcd 16abcd = A q1 q2 q3 q4

bestimmt, woraus sich f¨ur den komplement¨aren Modul ergiebt: (64)

k2 =

B . A

301

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

[Der Ansatz l¨asst sich auch f¨ur p14 > 0, also B < 0 durchf¨uhren. Dazu muss man vom Integralmodul k zu κ = k1 u¨ bergehen. Dann sind κ2 =

A 16abcd

und

κ2 =

−B 16abcd

¨ beide reell und positiv. Die entsprechenden Uberg¨ ange bei den elliptischen Funktionen sind im Anschluss an (62) gegeben. Sind k1 und k1 die durch (29) gegebenen Integralmoduln des ersten Ansatzes, so unterscheiden sie sich von den Integralmoduln (63) und (64). Sie gehen aber durch eine Landensche Transformation ineinander u¨ ber, es ist n¨amlich √ 1 − k 2 k k1 = und k1 = . 1 + k 1 + k Stellt man die Integralmoduln wie in II, 291 in Abh¨angigkeit von ω dar, so gilt k(ω) = k1 ( ω2 ) und k (ω) = k1 ( ω2 ).] Die Moduln k 2 und k 2 sind positiv (vergl. die √ Formeln (28) – (33)) und also < 1. In der Gleichung f¨ur k sn(2μ1 , k2 ) sollen k und abcd positiv genommen werden. Wir stellen nun folgende drei Systeme zu je drei Gleichungen neben einander: (65) ⎧ √ ⎪ 2 abcd a2+d2−b2−c2 bc−ad ⎪ 2 ⎪ k sn(2μ , cn(2μ1 , k2 ) = , dn(2μ1 , k 2 ) = , , k ) = 1 ⎪ ⎪ bc+ad 2(bc + ad) bc+ad ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎨ 2 abcd b2+d2−c2−a2 ac−bd 2 , cn(2μ2 , k2 ) = , dn(2μ2 , k 2 ) = , k sn(2μ2 , k ) = ⎪ ac+bd 2(ac + bd) ac+bd ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎪ 2 abcd c2+d2−a2−b2 ab−cd ⎪ ⎪ , cn(2μ3 , k2 ) = , dn(2μ3 , k 2 ) = , ⎩k sn(2μ3 , k 2 ) = ab+cd 2(ab + cd) ab+cd die durch zyklische Permutation von a, b, c und μ1 , μ2 , μ3 aus einander hervorgehen und nat¨urlich k 2 unver¨andert lassen. Auf Grund der Formeln (2) und (3) in II, 236 kann man aus (65) die Werte von sn μ1 , cn μ1 , . . . , dn μ3 berechnen. Man gelangt unter Vorbehalt der n¨aheren Bestimmung der Vorzeichen der Quadratwurzeln zu: q1 q4 p12 p13 p12 p13 1 1 sn μ1 = ± 2 , cn μ1 = ± 2 , dn μ1 = ± , bc bc q2 q3 q2 q4 −p14 p12 −p14 p12 , cn μ2 = ± 12 , dn μ2 = ± sn μ2 = ± 12 , ca ca q3 q1 q3 q4 −p14 p13 −p14 p13 , cn μ3 = ± 12 , dn μ3 = ± sn μ3 = ± 12 . ab ab q1 q2 Da k 2 reell ist und im Intervall 0 < k2 < 1 liegt, haben wir wieder ein rechteckiges Periodenparallelogramm. Die Vorzeichen in den Formeln f¨ur die drei Werte dn μ m¨ogen positiv genommen werden, damit wir zugeh¨orige reelle Werte μ1 , μ2 , μ3 erhalten. Da die Quadratwurzel unter (65) positiv genommen werden sollte, so

302

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

sind nach (1) in II, 235 die drei Produkte sn μ · cn μ positiv. Wir setzen nun genauer an: (66)⎧ q1 q4 p12 p13 p12 p13 ⎪ 1 1 ⎪ sn μ , cn μ , dn μ = = = , ⎪ 1 1 1 ⎪ 2 2 ⎪ bc bc q2 q3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ q2 q4 −p14 p12 −p14 p12 , cn μ2 = − 12 , dn μ2 = sn μ2 = − 12 , ⎪ ca ca q3 q1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q3 q4 −p14 p13 −p14 p13 ⎪ ⎪ , cn μ3 = 12 , dn μ3 = . ⎩ sn μ3 = 12 ab ab q1 q2 Nach I, 393 d¨urfen wir dann die μ1 , μ2 , μ3 in folgenden Intervallen gelegen annehmen: (67)

0 < μ1 < K ,

0 < μ3 < K ,

−2K < μ2 < −K .

Man berechne sich nun aus den Formeln (66) auf Grund von (7) in II, 166 die Proportion: sn(μ1 + μ2 ) : cn(μ1 + μ2 ) : dn(μ1 + μ2 ) : 1 = q3 q4 aq1 − bq2 −p14 p13 −p14 p13 · · (a − b) : : · (q2 − q1 ) : (p13 + p14 ). ab p12 ab q1 q2 Aus den Formeln (25) ergiebt sich aber: aq1 − bq2 1 =− , p12 (p13 + p14 ) 2

a−b 1 = , p13 + p14 2

q2 − q1 =1, p13 + p14

so dass wir mit Benutzung des dritten Gleichungstripels (66) das Ergebnis finden: sn(μ1 + μ2 ) = − sn μ3 ,

cn(μ1 + μ2 ) = cn μ3 ,

dn(μ1 + μ2 ) = dn μ3 .

Hieraus ergiebt sich auf Grund von (67) die Gleichung: (68)

μ1 + μ2 + μ3 = 0 .

Mittels der Additionstheoreme beweist man auch noch leicht die drei folgenden Formelsysteme: (69) ⎧ cn(μ1 − μ2 ) dn(μ1 − μ2 ) a−b a+b c+d sn(μ1 − μ2 ) ⎪ ⎪ , , , = =− = ⎪ ⎪ sn μ c − d cn μ c − d dn μ c−d ⎪ 3 3 3 ⎪ ⎪ ⎨ sn(μ − μ ) cn(μ2 − μ3 ) dn(μ2 − μ3 ) b−c b+c a+d 2 3 , , , = =− = ⎪ sn μ a − d cn μ a − d dn μ a−d 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cn(μ3 − μ1 ) dn(μ3 − μ1 ) c−a c+a b+d sn(μ3 − μ1 ) ⎪ ⎩ , , . = =− = sn μ2 b−d cn μ2 b−d dn μ2 b−d

303

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

7.3.2 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. Wir gehen nun auf die Gleichungen (60) und (65) zur¨uck und entnehmen aus ihnen: ⎧ ⎪ ⎪ cn 2μ1 = cos ψ cos χ + dn 2μ1 sin ψ sin χ , ⎪ ⎪ ⎨ (70) cn 2μ2 = cos χ cos ϕ + dn 2μ2 sin χ sin ϕ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cn 2μ3 = cos ϕ cos ψ + dn 2μ3 sin ϕ sin ψ . Man kann nun drei dem Intervall: 0 ≤ u, v, w < 4K

(71)

angeh¨orende reelle Argumente u, v, w eindeutig so bestimmen, dass: am u = ϕ ,

(72)

am v = ψ ,

am w = χ

gilt. Die Gleichungen (70) sind dann identisch erf¨ullt, wenn man: (73)

2μ1 = −v + w ,

2μ2 = −w + u ,

2μ3 = −u + v

setzt, wie man mit Hilfe der Additionstheoreme leicht zeigt. Aus α < β < γ und also ϕ < ψ < χ hat man die Ungleichungen (67) f¨ur die μ zu best¨atigen. F¨ur die Winkel α, β, γ des Vierecks findet man bis auf Vielfache von 2π [s. (57)]: ⎧ ⎪ ⎪ α = π − am v − am w , ⎪ ⎪ ⎨ (74) β = π − am w − am u , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ γ = π − am u − am v . Man setze nun: (75)

v + w = 2θ1 ,

w + u = 2θ2 ,

u + v = 2θ3

und findet: θ3 − θ1 = μ2 ,

θ1 − θ2 = μ3 .

Aus (73) und (75) entnimmt man: ⎧ ⎪ ⎨ θ1 − μ1 = v , θ2 − μ2 = w , (77) ⎪ ⎩ θ1 + μ1 = w , θ2 + μ2 = u ,

θ3 − μ3 = u ,

(76)

θ2 − θ3 = μ1 ,

θ3 + μ3 = v .

304

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Nun folgt aus der ersten Gleichung (74): cos α = − cos(am v + am w) = sn v sn w − cn v cn w , sin α = + sin(am v + am w) = sn v cn w + cn v sn w . Setzt man die in (77) gegebenen Werte von v und w ein, so ergeben sich zun¨achst die Gleichungen: cos α = sn(θ1 + μ1 ) sn(θ1 − μ1 ) − cn(θ1 + μ1 ) cn(θ1 − μ1 ) , sin α = sn(θ1 + μ1 ) cn(θ1 − μ1 ) + cn(θ1 + μ1 ) sn(θ1 − μ1 ) . Auf die erste Gleichung k¨onnen wir sofort die Regeln von II, 180 anwenden, w¨ahrend wir auf die zweite Gleichung die Additionstheoreme in ihrer Gestalt (9) in II, 166 aus¨uben. Wir gewinnen die beiden ersten Formeln des folgenden Gleichungssystems: ⎧ sn θ12 dn μ12 − cn θ12 2 sn θ1 cn θ1 dn μ1 ⎪ ⎪ cos α = sin α = , ⎪ 2 2 , ⎪ 2 ⎪ 1 − k sn θ1 sn μ1 1 − k 2 sn θ12 sn μ12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ sn θ22 dn μ22 − cn θ22 2 sn θ2 cn θ2 dn μ2 (78) cos β = , sin β = , 2 sn θ 2 sn μ 2 ⎪ 1 − k 1 − k 2 sn θ22 sn μ22 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ sn θ32 dn μ32 − cn θ32 2 sn θ3 cn θ3 dn μ3 ⎪ ⎪ sin γ = , ⎩ cos γ = 2 2 , 2 1 − k sn θ3 sn μ3 1 − k 2 sn θ32 sn μ32 w¨ahrend die weiteren Formeln entsprechend bewiesen werden. Da man weiter: β − γ = am v − am w hat, so folgt: cos(β − γ) = cn v cn w + sn v sn w ,

sin(β − γ) = sn v cn w − cn v sn w

und damit weiter: cos(β − γ) = cn(θ1 − μ1 ) cn(θ1 + μ1 ) + sn(θ1 − μ1 ) sn(θ1 + μ1 ) , sin(β − γ) = sn(θ1 − μ1 ) cn(θ1 + μ1 ) − cn(θ1 − μ1 ) sn(θ1 + μ1 ) . Genau wie soeben gelangen wir jetzt zu den Regeln:

305

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

(79) ⎧ ⎪ ⎪ cos(β − γ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ cos(γ − α) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos(α − β) =

cn μ12 − sn μ12 dn θ12 , 1 − k 2 sn θ12 sn μ12

sin(β − γ) = −

2 sn μ1 cn μ1 dn θ1 , 1 − k 2 sn θ12 sn μ12

,

sin(γ − α) = −

2 sn μ2 cn μ2 dn θ2

,

,

sin(α − β) = −

2 sn μ3 cn μ3 dn θ3

.

cn μ22 − sn μ22 dn θ22

1− sn μ22 cn μ32 − sn μ32 dn θ32 1 − k 2 sn θ32 sn μ32 k2

sn θ22

1 − k 2 sn θ22 sn μ22 1 − k 2 sn θ32 sn μ32

Aus (78) entnimmt man noch f¨ur die halben Winkel α, β, γ:10 (80) sn θ1 dn μ1 sn θ2 dn μ2 sn θ3 dn μ3 α β γ cotg = , cotg = , cotg = , 2 cn θ1 2 cn θ2 2 cn θ3 und in a¨ hnlicher Art folgt aus den Gleichungen (79): (81) sn μ1 dn θ1 sn μ2 dn θ2 sn μ3 dn θ3 γ−α α−β β−γ =− =− =− tg , tg , tg . 2 cn μ1 2 cn μ2 2 cn μ3

7.3.3 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. Die Quadrate der Diagonalen berechnen sich bei der neuen Darstellung auf folgende Art. Zun¨achst berechnet man aus der ersten S. 298 f¨ur δ12 gegebenen Formel, indem man cos α auf Grund von (78) ausdr¨uckt, die Gleichung:

δ12 1 − k 2 sn θ12 sn μ12

= a2 + d2 1 − k 2 sn θ12 sn μ12 + 2ad sn θ12 dn μ12 − cn θ12 . F¨ur den Ausdruck rechts besteht die Gleichung (vergl. die vierte Gleichung (69)): (a2 + d2 )(1 − k 2 sn θ12 sn μ12 ) + 2ad(sn θ12 dn μ12 − cn θ12 )

= (a − d)2 − (b − c)2 k 2 sn θ12 sn μ12 = (a − d)2 1 − k 2 sn θ12 sn(μ2 − μ3 )2 . Diese Gleichung kommt n¨amlich nach kurzer Entwicklung zur¨uck auf: 2ad(1 + sn θ12 dn μ12 − cn θ12 ) = (a2 + d2 − b2 − c2 + 2bc)k 2 sn θ12 sn μ12 oder nach Fortheben des Faktors sn θ12 auf:

10

nach den Formeln cotg

x 2

=

sin x 1−cos x

und tg

x 2

=

sin x 1+cos x

. [Anm. d. Hrsg.]

306

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

2ad 1 + dn μ12 = 2ad 2 − k 2 sn μ12 = a2 + d2 − (b − c)2 k 2 sn μ12 ,

4ad = (a + d)2 − (b − c)2 k 2 sn μ12 . Die Klammer rechts kann man gleich q2 q3 setzen. Schreibt man f¨ur sn μ12 den aus (66) hervorgehenden Ausdruck ein, so folgt: 16abcd = q1 q2 q3 q4 · k 2 , und diese Gleichung ist nach (63) in der Tat richtig. Man gewinnt also die erste unter den drei folgenden Gleichungen, deren beide andere entsprechend folgen: ⎧ 2 2 2 ⎪ ⎪ δ12 = (a − d)2 1 − k sn θ1 sn(μ2 − μ3 ) , ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ 1 − k 2 sn θ1 sn μ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − k2 sn θ22 sn(μ3 − μ1 )2 (82) δ22 = (b − d)2 , ⎪ 1 − k 2 sn θ22 sn μ22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − k 2 sn θ32 sn(μ1 − μ2 )2 ⎪ ⎪ . ⎩ δ32 = (c − d)2 1 − k 2 sn θ32 sn μ32

7.3.4 Gleichungen fur ¨ die Parameter μ. Wegen (63) kann man drei unter den Formeln (65) auch so schreiben: √ √ √ q1 q2 q3 q4 q1 q2 q3 q4 q1 q2 q3 q4 , sn 2μ2 = , sn 2μ3 = . (83) sn 2μ1 = 2(bc + ad) 2(ac + bd) 2(ab + cd) F¨ur sn 3μ1 hat man nach dem Additionstheorem: sn 3μ1 =

sn 2μ1 cn μ1 dn μ1 + sn μ1 cn 2μ1 dn 2μ1 1 − k2 sn 2μ12 sn μ12

.

Unter Benutzung der Gleichungen (65), (66) und (83) folgt: sn 3μ1 =

sn μ1 (ad + bc)p12 p13 − (ad − bc)(a2 − b2 − c2 + d2 ) · . 2 (ad + bc)2 − adq1 q4

Indem man p12 p13 sowie q1 q4 noch durch die Seiten a, b, c, d des Vierecks ausdr¨uckt, ergiebt sich die erste der drei folgenden Gleichungen:

307

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

(84)

⎧ bc(a2 − b2 − c2 + d2 ) − (a2 d2 − b2 c2 ) ⎪ ⎪ sn 3μ1 = · sn μ1 , ⎪ ⎪ ad(a2 − b2 − c2 + d2 ) − (a2 d2 − b2 c2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ bc(a2 − b2 − c2 + d2 ) + (a2 d2 − b2 c2 ) · cn μ1 , cn 3μ1 = ⎪ ad(a2 − b2 − c2 + d2 ) − (a2 d2 − b2 c2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (a2 d2 − b2 c2 ) + ad(a2 − b2 − c2 + d2 ) ⎪ ⎩ dn 3μ1 = · dn μ1 , (a2 d2 − b2 c2 ) − ad(a2 − b2 − c2 + d2 )

w¨ahrend die zweite und dritte Gleichung entsprechend bewiesen werden. Durch zyklische Vertauschung von a, b, c gewinnt man die entsprechenden Gleichungen f¨ur μ2 und μ3 . Aus [(63) und] (66) entnimmt man noch die Beziehungen mit positiv zu nehmenden Quadratwurzeln: (85) ⎧ ⎪ dn μ1 bc ca ab dn μ2 dn μ3 ⎪ ⎪ , , , =k =k =k ⎪ ⎪ ad sn μ2 cn μ2 bd sn μ3 cn μ3 cd ⎪ ⎪ sn μ1 cn μ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a : b : c = snμ1 cnμ1 dnμ2 dnμ3 : snμ2 cnμ2 dnμ3 dnμ1 : snμ3 cnμ3 dnμ1 dnμ2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ a dn μ2 dn μ3 k2 = , d sn μ sn μ3 cn μ2 cn μ3 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b dn μ3 dn μ1 ⎪ ⎪ , k2 = ⎪ ⎪ d sn μ ⎪ 3 sn μ1 cn μ3 cn μ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dn μ1 dn μ2 c ⎪ ⎪ ⎩ . k2 = d sn μ1 sn μ2 cn μ1 cn μ2

7.3.5 Darstellung der Winkel mit einem Parameter θ. Die Gr¨ossen μ1 , μ2 , μ3 sind bei gegebenem Viereck konstante Gr¨ossen, w¨ahrend die θ1 , θ2 , θ3 drei Variable (bei Bewegung des Vierecks) sind, die aber nat¨urlich so aneinander gebunden sind, dass nur eine unter ihnen, etwa θ1 als unabh¨angig variabel gelten kann. Setzt man kurz θ1 = θ, so ist nach (76) und (77): ⎧ ⎪ ⎨ θ1 = θ , θ2 = θ − μ3 , θ3 = θ + μ2 , (86) ⎪ ⎩ u = θ + μ2 − μ3 , v = θ − μ1 , w = θ + μ1 . Die letzten drei Gleichungen kann man bei Gebrauch der Abk¨urzungen: μ1 = μ ,

(87)

μ2 − μ3 = ν

auch so schreiben: (88)

u=θ+ν ,

v =θ−μ,

w =θ+μ.

308

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Es bestehen dann zufolge der drei mittleren Gleichungen (69) zwischen μ und ν die Beziehungen: (89)

sn μ a−d = , sn ν b−c

cn μ d−a = , cn ν b+c

dn μ a−d = . dn ν a+d

Bei der Umrechnung der Formeln (78) und (79) auf die Variable θ und die beiden Konstanten μ und ν ergeben die beiden ersten Formeln (78) und ebenso die beiden ersten Formeln (79) sofort: (90) ⎧ dn μ2 sn θ2 − cn θ 2 2 dn μ sn θ cn θ ⎪ ⎪ cos α = , sin α = , ⎨ M M 2 2 2 ⎪ ⎪ 2 sn μ cn μ dn θ ⎩ cos(β − γ) = cn μ − sn μ dn θ , sin(β − γ) = − , M M wo der Nenner M die Bedeutung hat: (91)

M = 1 − k 2 sn μ2 sn θ 2 .

F¨ur die u¨ brigen Formeln benutze man [vergl. S. 304 f.]: cos β = sn(θ2 + μ2 ) sn(θ2 − μ2 ) − cn(θ2 + μ2 ) cn(θ2 − μ2 ) , sin β = sn(θ2 + μ2 ) cn(θ2 − μ2 ) + cn(θ2 + μ2 ) sn(θ2 − μ2 ) , cos γ = sn(θ3 + μ3 ) sn(θ3 − μ3 ) − cn(θ3 + μ3 ) cn(θ3 − μ3 ) , sin γ = sn(θ3 + μ3 ) cn(θ3 − μ3 ) + cn(θ3 + μ3 ) sn(θ3 − μ3 ) , cos(γ − α) = cn(θ2 − μ2 ) cn(θ2 + μ2 ) + sn(θ2 − μ2 ) sn(θ2 + μ2 ) , sin(γ − α) = sn(θ2 − μ2 ) cn(θ2 + μ2 ) − cn(θ2 − μ2 ) sn(θ2 + μ2 ) , cos(α − β) = cn(θ3 − μ3 ) cn(θ3 + μ3 ) + sn(θ3 − μ3 ) sn(θ3 + μ3 ) , sin(α − β) = sn(θ3 − μ3 ) cn(θ3 + μ3 ) − cn(θ3 − μ3 ) sn(θ3 + μ3 ) , die sich in θ, μ, ν so umschreiben (wegen θ2 + μ2 = θ + ν, θ2 − μ2 = θ + μ): cos β = sn(θ + μ) sn(θ + ν) − cn(θ + μ) cn(θ + ν) , sin β = sn(θ + μ) cn(θ + ν) + cn(θ + μ) sn(θ + ν) , cos γ = sn(θ − μ) sn(θ + ν) − cn(θ − μ) cn(θ + ν) , sin γ = sn(θ − μ) cn(θ + ν) + cn(θ − μ) sn(θ + ν) ,

309

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

cos(γ − α) = sn(θ + μ) sn(θ + ν) + cn(θ + μ) cn(θ + ν) , sin(γ − α) = sn(θ + μ) cn(θ + ν) − cn(θ + μ) sn(θ + ν) , cos(α − β) = cn(θ − μ) cn(θ + ν) + sn(θ − μ) sn(θ + ν) , sin(α − β) = cn(θ − μ) sn(θ + ν) − sn(θ − μ) cn(θ + ν) . Entwickelt man in diesen Formeln und den entsprechenden f¨ur die Funktionen von γ und (α − β) rechts nach den Additionstheoremen, so folgt: (92) ⎧ L1 L6 + L2 L5 dn θ −L1 L5 + L2 L6 dn θ ⎪ ⎪ cos β = , sin β = , ⎪ ⎪ ⎪ MN MN ⎪ ⎪ ⎪ −L3 L5 + L4 L6 dn θ L3 L6 + L4 L5 dn θ ⎪ ⎪ ⎨ cos γ = , sin γ = , MN MN ⎪ L3 L7 + L4 L8 dn θ L3 L8 − L4 L7 dn θ ⎪ ⎪ cos(γ − α) = , sin(γ − α) = , ⎪ ⎪ M N MN ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −L1 L8 + L2 L7 dn θ ⎪ ⎩cos(α − β) = L1 L7 + L2 L8 dn θ , sin(α − β) = , MN MN wo der zweite Faktor N des Nenners die Bedeutung hat: N = 1 − k 2 sn ν 2 sn θ 2

(93)

und die acht Gr¨ossen L1 , L2 , . . . , L8 die nachfolgende Bedeutung haben: ⎧ ⎪ ⎪ L1 = cn μ cn ν − sn μ sn ν dn θ 2 , L2 = cn μ sn ν + sn μ cn ν , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ L3 = cn μ cn ν + sn μ sn ν dn θ 2 , L4 = cn μ sn ν − sn μ cn ν , (94) ⎪ ⎪ L6 = (dn μ + dn ν) sn θ cn θ , L5 = cn θ 2 − dn μ dn ν sn θ2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ L = cn θ 2 + dn μ dn ν sn θ2 , L8 = (dn μ − dn ν) sn θ cn θ . 7 Zwischen diesen Gr¨ossen bestehen, wie man leicht nachweist, die Beziehungen: (95) (96) (97)

L21 + L22 dn θ 2 = L23 + L24 dn θ2 = L25 + L26 = L27 + L28 = M · N , L1 + L3 =

b + c p12 p13 · , d−a 2bc c L2 =− , L4 b

L5 − 1 a (a2 − d2 ) − (b − c)2 = · 2 , L7 − 1 d (a − d2 ) + (b − c)2 L6 a =− . L8 d

Bedient man sich statt θ1 , θ2 , θ3 der drei Argumente ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 , die mit den θ1 , θ2 , θ3 durch die Gleichungen: θ1 = ϑ1 + iK ,

θ2 = ϑ2 + iK ,

θ3 = ϑ3 + iK

310

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

zusammenh¨angen, so findet man mittels der Regeln von I, 395 an Stelle der Formeln (78) und (79): cos α =

1 dn μ12 + dn ϑ12 , k 2 sn ϑ12 − sn μ12

···························

cos(β −γ) =

sin α = −

2i dn μ1 dn ϑ1 , k 2 sn ϑ12 − sn μ12

····························

sn μ1 cn μ1 sn ϑ1 cn ϑ1 cn μ12 sn ϑ12 + sn μ12 cn ϑ12 , sin(β −γ) = 2i , sn ϑ12 − sn μ12 sn ϑ12 − sn μ12

···································· · ···································· wo die u¨ brigen Formeln durch gleichzeitige zyklische Vertauschung von α, β, γ und der Indizes 1, 2, 3 folgen. Mit Benutzung der Gleichungen in II, 180 (Schluss von § 6) kann man die rechten Seiten dieser Gleichungen folgendermassen umgestalten: cos α =

1 1 + dn(ϑ1 + μ1 ) dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

sin α = −

i dn(ϑ1 + μ1 ) + dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

··········································· cos(β − γ) =

1 1 − dn(ϑ1 + μ1 ) dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

sin(β − γ) = −

i dn(ϑ1 + μ1 ) − dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

· · ·············································· Noch etwas k¨urzer schreiben sich diese Gleichungen bei Benutzung dreier Argumente U , V , W , die mit den bisher benutzten in dem Zusammenhang stehen: ⎧ ⎪ ⎪ ϑ2 + μ2 = ϑ3 − μ3 = U = u − iK = θ + ν − iK , ⎪ ⎪ ⎨ (98) ϑ3 + μ3 = ϑ1 − μ1 = V = v − iK = θ − μ − iK , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϑ + μ = ϑ − μ = W = w − iK = θ + μ − iK . 1 1 2 2 Wir haben f¨ur die trigonometrischen Funktionen der Winkel α, β, γ und ihrer Differenzen die Darstellungen:

7.4 Geometrische Deutung der Hilfswinkel und der elliptischen Parameter μ

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (99)

cos α = cos β = cos γ =

⎪ ⎪ ⎪ cos(β − γ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cos(γ − α) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos(α − β) =

1 + dn V dn W , k 2 sn V sn W 1 + dn W dn U , k 2 sn W sn U 1 + dn U dn V , k 2 sn U sn V 1 − dn V dn W , k 2 sn V sn W 1 − dn W dn U , k 2 sn W sn U 1 − dn U dn V , k 2 sn U sn V

311

i dn V + dn W , · k2 sn V sn W i dn W + dn U sin β = − 2 · , k sn W sn U i dn U + dn V sin γ = − 2 · , k sn U sn V i(dn V − dn W ) sin(β − γ) = , k 2 sn V sn W i(dn W − dn U) sin(γ − α) = , k 2 sn W sn U i(dn U − dn V ) sin(α − β) = . k 2 sn U sn V sin α = −

7.4 Geometrische Deutung der Winkel ϕ, ψ, χ und der Parameter μ. Zu einer geometrischen Deutung der Winkel ϕ, ψ, χ gelangt man auf folgende Art. Aus unserem vollst¨andigen Vierseit der Fig. 27, S. 277 gewinnt man durch Fortnahme je einer Seite vier Dreiecke: B

(100)

CDF ,

ADE ,

ABF ,

BCE .

Nach einem leicht beweisbaren Satze von Steiner laufen die C vier diesen Dreiecken H umschriebenen Kreise durch einen in Fig. 33 D A mit P bezeichne- F G E ten Punkt hindurch. Es ist n¨amlich der Punkt P in Fig. 33 P als Schnittpunkt der beiden Kreise um die A F ersten beiden Dreiecke B (100) konstruiert. Da G C D F DP = F CP als Peripheriewinkel u¨ ber Fig. 33 H E gleichen Bogen gilt, so ist auch P DA = P CB. Da [bei gegen¨uber liegenden Winkeln im Sehnenviereck] AEP + P DA = π gilt, so folgt auch AEP + P CB = π. Mithin ist BCP E ein Sehnenviereck, und ebenso findet man, dass ABF P ein Sehnenviereck ist, womit der Steinersche Satz bewiesen ist. Neben der schon genannten

312

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Gleichung ADP = BCP besteht auch die Beziehung AP D = BP C; denn man hat, da Peripheriewinkel u¨ ber gleichen Bogen gleich sind: AP D = AED = BEC = BP C . Also ist ADP ∼ BCP , und damit gilt: AP : DP = BP : CP . Weiter zeigt man in der bisherigen Weise leicht: CDP ∼ BAP ,

(101) so dass man findet:

AP : DP = BP : CP = AB : CD = a : c . Bei Bewegung des Gelenkvierecks l¨auft demnach P [nach dem Satz des Apollonius] auf einem zum Stege AD orthogonalen Kreise, der den Steg AD bezw. dessen Verl¨angerung in den beiden Punkten Q1 und Q2 schneidet, f¨ur die die Proportionen bestehen: AQ1 : DQ1 = AQ2 : DQ2 = a : c . Es sind nun die Linien AP, BP, CP, DP, EP, F P u¨ ber P hinaus mit ihren Verl¨angerungen P A , P B , P C , P D , P E , P F versehen (vergl. Fig. 33). Zufolge (101) gilt AP B = DP C. Zur Halbierungslinie HH von BP D und also auch zu der sie in P senkrecht kreuzenden mit GG bezeichneten Linie sind demgem¨ass symmetrisch gelegen erstens die Strahlen AA und CC , zweitens die Strahlen BB und DD . Ferner gilt: AP E = ADE = F DC = F P C . Also sind endlich auch die Strahlen EE und F F bez¨uglich GG symmetrisch. Die Bedeutung der Winkel α, β, γ sehe man in Fig. 27 nach und wird leicht die Gleichungen feststellen: α = DAE = D P E = F P B , β − π = DF C = DP C = D P C , γ − π = π − CDF = π − CP F = F P C . Nun folgt: (γ − π) − α = B P C = A P D , ((γ − π) − α) + (β − π) = A P C = 2 A P H , 1 2 (−α

+ β + γ) − π = A P H ,

−ϕ = + 12 (−π − α + β + γ) =

π 2

+ A P H = A P G .

7.4 Geometrische Deutung der Hilfswinkel und der elliptischen Parameter μ

313

B

B

a b b a C

c

am 2 μ 3

am 2 μ 1 d

F

A

D

am 2 μ 2

P

E

Fig. 34

In a¨ hnlicher Weise findet man auch Darstellungen von ψ und χ durch Winkel am Punkt P ; es gelten die Formeln: (102)

ϕ = − A P G ,

ψ = + EP G ,

χ = + B P G .

H¨alt man das Gelenkviereck in dem Augenblick in seiner Bewegung fest, wo es zum Sehnenviereck geworden ist (vergl. Fig. 34), so gilt: BAD + DCB = π ,

DAE + F CD = π

und also auch: EP D + DP F = π .

314

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

In diesem Falle liegt also der Punkt P auf der Verbindungsgeraden von E und F . Man hat jetzt: BAD = π − α , DCB = α und findet nach dem Kosinussatze: 2

BD = a2 + d2 + 2ad cos α = b2 + c2 − 2bc cos α . Entsprechend ergiebt die andere Diagonale des Vierecks: 2

AC = a2 + b2 − 2ab cos γ = c2 + d2 + 2cd cos γ . Man findet mit Benutzung der Formeln (65): cos BAD =

a2 + d2 − b2 − c2 = cn 2μ1 , 2(ad + bc)

cos ADC =

c2 + d2 − a2 − b2 = cn 2μ3 , 2(cd + ab)

so dass man mit R¨ucksicht auf die Ungleichungen (67) zu dem Ergebnis gelangt: (103)

am 2μ1 = BAD ,

am 2μ3 = ADC ,

bezogen auf die Lage unseres Gelenkvierecks als Sehnenviereck. Um auch am 2μ2 geometrisch zu deuten, gehe man zum Viereck AB CD u¨ ber, in dem AB gleich b und B C gleich a sein soll. Dieses Viereck ist dann in demselben Kreise gelegen wie ABCD. Durch die beiden Ausdr¨ucke des Quadrates der Diagonale B D ergiebt sich: b2 + d2 − c2 − a2 = cn 2μ2 . cos B AD = 2(bd + ac) Mit R¨ucksicht auf die dritte Ungleichung (67) folgt: (104)

am 2μ2 = −π − B AD .

[Bei gegebenen Konstanten μ1 , μ2 , μ3 hat θ das Intervall von 0 bis 2K zu durchlaufen, um alle Lagen des Gelenkvierecks zu gewinnen. Denn nach Festlegung der genannten Werte sind die Winkel α, β, γ nach (78) im Intervall von 0 bis 2π eindeutig bestimmt, und man u¨ berzeugt sich leicht, dass alle in (78) auf den rechten Seiten auftretenden elliptischen Funktionen Periodenparallelogramme mit Ecken in 0, 2K, 4iK , 2K + 4iK besitzen.]

Erg¨anzende Literatur.

1. Abel, N. H.: Œuvres compl`etes. Nouvelle e´ dition. Tome I, II. Christiania: Grøndahl & Søn 1881 2. Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 10th printing, with corr. Washington: National Bureau of Standards; New York: J. Wiley & Sons 1972 (Nachdruck: New York: Dover Publications 1992) ´ Principes de la th´eorie des fonctions elliptiques et applications. 2e e´ d. 3. Appell, P.; Lacour, E.: Paris: Gauthier-Villars 1922 4. Berndt, B. C.: Ramanujan’s Notebooks. Part III. New York etc.: Springer-Verlag 1991 5. Berwick, W. E. H.: Modular Invariants Expressible in Terms of Quadratic and Cubic Irrationalities. Proc. London Math. Soc. (2) 28 (1928), 53–69 6. Borel, A.; Chowla, S.; Herz, C. S.; Iwasawa, K.; Serre, J.-P.: Seminar on Complex Multiplication. Seminar held at the Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1957–58. (Lect. Notes Math. 21.) Berlin etc.: Springer-Verlag 1966 7. Borwein, J. M.; Borwein, P. B.: Pi and the AGM. New York etc.: J. Wiley & Sons 1987 (Nachdruck: New York etc.: J. Wiley & Sons 1998) 8. Buchmann, J.; Vollmer, U.: Binary Quadratic Forms. An Algorithmic Approach. Berlin etc.: Springer-Verlag 2007 9. Buell, D. A.: Binary Quadratic Forms. Berlin etc.: Springer-Verlag 1989 10. Burkhardt, H.: Elliptische Funktionen. Leipzig: Veit & Comp. 1899 (Nachdruck: Berlin: Ver. wiss. Verl. 1920) 11. Cassels, J. W. S.: Rational quadratic forms. London: Academic Press 1978 (Nachdruck: Mineola, NY: Dover Publications 2008) 12. Cassels, J. W. S.: Lectures on Elliptic Curves. Cambridge etc.: Cambridge University Press 1991 13. Cassou-Nogu`es, Ph.; Taylor, M. J.: Elliptic Functions and Rings of Integers. Boston etc.: Birkh¨auser 1987 14. Cayley, A.: A Memoir on the Transformation of Elliptic Functions. Phil. Trans. CLXIV (1875), 397–456 15. Cayley, A.: An Elementary Treatise on Elliptic Functions. 2nd ed. London: Bell and Sons 1895 (Nachdruck: New York: Dover Publications 1961) 16. Cayley, A.: The Collected Mathematical Papers. Vol. I–XIV. Cambridge: Cambridge University Press 1889–1897 (Nachdruck: Cambridge: Cambridge University Press 2009) 17. Chandrasekharan, K.: Elliptic Functions. Berlin etc.: Springer-Verlag 1985 18. Cox, D. A.: Primes of the form x2 + ny 2 . Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication. New York etc.: J. Wiley & Sons 1989 19. Cremona, J. E.: Algorithms for Modular Elliptic Curves. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press 1997

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

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316

Erg¨anzende Literatur

20. Dedekind, R.: Gesammelte mathematische Werke. Bd. I–III. Braunschweig: Vieweg 1930, 1931, 1932 21. de S´eguier, J.: Formes quadratiques et multiplication complexe. Deux formules fondamentales d’apr`es Kronecker. Berlin: Felix L. Dames 1894 22. Deuring, M.: Die Klassenk¨orper der komplexen Multiplikation. Enzyklop¨adie der Mathematischen Wissenschaften, Band I 2, Heft 10, Teil II. Stuttgart: Teubner 1958 23. Dickson, L. E.: H¨ohere Algebra. Herausgegeben von E. Bodewig. Leipzig, Berlin: Teubner 1929 24. Dur`ege, H.; Maurer, L.: Theorie der elliptischen Funktionen. F¨unfte Auﬂage. Leipzig: Teubner 1908 25. du Val, P.: Elliptic Functions and Elliptic Curves. London: Cambridge University Press 1973 26. Eisenstein, G.: Mathematische Werke. Bd. I, II. New York: Chelsea Publ. Comp. 1975 27. Erd´elyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F. G.: Higher Transcendental Functions. Vol. II. New York etc.: McGraw-Hill Book Co., Inc. 1953 (Nachdruck: Malabar, FL: R. E. Krieger Publ. Comp. 1981) 28. Fricke, R.: Lehrbuch der Algebra. Bd. 1. Braunschweig: Vieweg 1924 29. Fricke, R.: Lehrbuch der Algebra. Bd. 2. Braunschweig: Vieweg 1926 30. Fricke, R.: Lehrbuch der Algebra. Bd. 3. Braunschweig: Vieweg 1928 ¨ 31. Fricke, R.: Uber die Berechnung der Klasseninvarianten. Acta Math. 52 (1929), 257–279 32. Fricke, R.: Transformation der elliptischen Funktionen bei zusammengesetztem Transformationsgrade. Math. Ann. 101 (1929), 316–341 ¨ 33. Fricke, R.: Uber die Transformation 110ten Grades der elliptischen Funktionen. Acta Math. 55 (1930), 395–435 34. Fueter, R.: Vorlesungen u¨ ber die singul¨aren Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen. Teil I, II. Leipzig: Teubner 1924, 1927 35. Gauß, C. F.: Werke. Bd. I–III. Zweiter Abdruck. G¨ottingen: K¨onigliche Gesellschaft der Wissenschaften 1870–1876. Bd. VIII. Leipzig: Teubner 1900 36. Graeser, E.: Einf¨uhrung in die Theorie der elliptischen Funktionen und deren Anwendungen. M¨unchen: Oldenbourg 1950 37. Greenhill, A. G.: The Applications of Elliptic Functions. London: Macmillan and Co. 1892 (Nachdruck: New York: Dover Publications 1959) 38. Gross, B. H.: Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication. (Lect. Notes Math. 776.) Berlin etc.: Springer-Verlag 1980 39. Gross, B. H.; Zagier, D. B.: On Singular Moduli. J. reine angew. Math. 355 (1985), 191–220 40. Grosswald, E.: Representations of Integers as Sums of Squares. New York etc.: SpringerVerlag 1985 41. Halphen, G. H.: Trait´e des fonctions elliptiques et de leurs applications. Partie I–III. Paris: Gauthier-Villars 1886, 1888, 1891 42. Hancock, H.: Lectures on the Theory of Elliptic Functions. Vol. I–III. New York: J. Wiley & Sons 1910 (Nachdruck: New York: Dover Publications 1958) 43. Hancock, H.: Elliptic Integrals. New York: J. Wiley & Sons 1917 (Nachdruck: New York: Dover Publications 1958) 44. Hanna, M.: The Modular Equations. Proc. London Math. Soc. (2) 28 (1928), 46–52 45. Hasse, H.: Neue Begr¨undung der komplexen Multiplikation. Teil I, II. J. reine angew. Math. 157 (1926), 115–139 und 165 (1931), 64–88 46. Heegner, K.: Diophantische Analysis und Modulfunktionen. Math. Z. 56 (1952), 227–253 47. Herglotz, G.: Gesammelte Schriften. G¨ottingen: Vandenhoeck & Ruprecht 1979 48. Hermite, Ch.: Sur quelques applications des fonctions elliptiques. Paris: Gauthier-Villars 1885 49. Hermite, Ch.: Œuvres de Charles Hermite publi´ees sous les auspices de l’Acad´emie des Sci´ ences par Emile Picard. Tome I–IV. Paris: Gauthier-Villars 1905, 1908, 1912, 1917 50. Hurwitz, A.: Mathematische Werke. Bd. I, II. Basel: Birkh¨auser Verlag 1932, 1933 (Nachdruck: Basel-Stuttgart: Birkh¨auser Verlag 1962, 1963) 51. Husem¨oller, D.: Elliptic Curves. 2nd ed. New York etc.: Springer-Verlag 2004

Erg¨anzende Literatur

317

52. Jacobi, C. G. J.: Gesammelte Werke. Bd. I–VII. Berlin: Reimer 1881–1891 (Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Comp. 1969) ¨ 53. Kiepert, L.: Uber die complexe Multiplication der elliptischen Functionen. Math. Ann. 39 (1891), 145–178 54. Klein, F.: Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bd. I–III. Berlin: Verlag von Julius Springer 1921, 1922, 1923 (Nachdruck: Berlin etc.: Springer-Verlag 1973) ¨ 55. Klein, F.; Sommerfeld, A.: Uber die Theorie des Kreisels. Heft I–IV. Leipzig: Teubner 1897, 1898, 1903, 1910 (Nachdruck: New York: Johnson Reprint Corp. 1965) 56. Knapp, A. W.: Elliptic Curves. Princeton, NJ: Princeton University Press 1992 57. Koblitz, N.: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. 2nd ed. New York etc.: Springer-Verlag 1993 58. Koecher, M.; Krieg, A.: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auﬂ. Berlin etc.: Springer-Verlag 2007 59. Koenigsberger, L.: Die Transformation, die Multiplication und die Modulargleichungen der elliptischen Functionen. Leipzig: Teubner 1868 60. Koenigsberger, L.: Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Functionen. Leipzig: Teubner 1874 61. Krause, M.: Theorie der doppeltperiodischen Functionen einer ver¨anderlichen Gr¨oße. Bd. I, II. Leipzig: Teubner 1895, 1897 62. Kronecker, L.: Werke. Bd. I–V. Leipzig, Berlin: Teubner 1895–1931 (Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Comp. 1968) 63. Kuyk, W. (ed.): Modular Functions of One Variable, I. Proceedings International Summer School, University of Antwerp, RUCA, July 17–August 3, 1972. (Lect. Notes Math. 320.) Berlin etc.: Springer-Verlag 1973 64. Lang, S.: Elliptic Curves: Diophantine Analysis. Berlin etc.: Springer-Verlag 1978 65. Lang, S.: Elliptic Functions. 2nd ed. New York etc.: Springer-Verlag 1987 66. Lawden, D. F.: Elliptic Functions and Applications. New York etc.: Springer-Verlag 1989 67. Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Soni, R. P.: Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. 3rd ed. Berlin etc.: Springer-Verlag 1966 68. McKean, H.; Moll, V.: Elliptic Curves. Function Theory, Geometry, Arithmetic. Cambridge: Cambridge University Press 1997 (Paperback ed. with corrections: Cambridge University Press 1999) 69. Mollin, R. A.: Quadratics. Boca Raton, FL: CRC Press 1996 70. Mollin, R. A.: Advanced Number Theory with Applications. Boca Raton, FL: CRC Press 2010 71. Neville, E. H.: Jacobian Elliptic Functions. 2nd ed. Geoffrey Cumberlege, Oxford University Press 1951 72. Oberhettinger, F.; Magnus, W.: Anwendung der elliptischen Funktionen in Physik und Technik. Berlin etc.: Springer-Verlag 1949 73. Petersson, H.: Modulfunktionen und quadratische Formen. Berlin etc.: Springer-Verlag 1982 74. Prasolov, V.; Solovyev, Yu.: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. Providence, RI: American Mathematical Society 1997 75. Ramachandra, K.: Some Applications of Kronecker’s Limit Formulas. Ann. Math. (2) 80 (1964), 104–148 76. Ramanujan, S.: Modular Equations and Approximations to π. Quarterly Journal of Math. 45 (1914), 350–372 77. Robert, A.: Elliptic Curves. 2nd ed. (Lect. Notes Math. 326.) Berlin etc.: Springer-Verlag 1986 78. Schertz, R.: Complex Multiplication. Cambridge: Cambridge University Press 2010 79. Schoeneberg, B.: Elliptic Modular Functions. Berlin etc.: Springer-Verlag 1974 80. Shimura, G.: Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. 2nd ed. Princeton, NJ: Princeton University Press 1994 81. Siegel, C. L.: Lectures on Advanced Analytic Number Theory. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research 1961 (Reissued 1965) 82. Siegel, C. L.: Analytische Zahlentheorie II. Vorlesung, gehalten im Wintersemester 1963/64 an der Universit¨at G¨ottingen. G¨ottingen: Mathematisches Institut der Universit¨at 1964

318

Erg¨anzende Literatur

83. Silverman, J. H.: The Arithmetic of Elliptic Curves. 2nd ed. New York, etc.: Springer-Verlag 2009 84. Silverman, J. H.: Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. New York, etc.: Springer-Verlag 1994 85. Silverman, J. H.; Tate, J.: Rational Points on Elliptic Curves. New York, etc.: Springer-Verlag 1992 ´ ements de la th´eorie des fonctions elliptiques. Tomes I–IV. Paris: 86. Tannery, J.; Molk, J.: El´ Gauthier-Villars 1893-1902 (Nachdruck: Bronx, NY: Chelsea Publ. Comp. 1972) 87. Tate, J. T.: The Arithmetic of Elliptic Curves. Invent. Math. 23 (1974), 179–206 88. Tricomi, F.: Elliptische Funktionen. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft 1948 89. van der Waerden, B. L.: Einf¨uhrung in die algebraische Geometrie. Berlin: Verlag von Julius Springer 1939 (Nachdruck: Berlin etc.: Springer-Verlag 1973) 90. Vl˘adut¸, S. G.: Kronecker’s Jugendtraum and Modular Functions. New York etc.: Gordon and Breach 1991 91. Walker, P. L.: Elliptic Functions. A Constructive Approach. New York etc.: J. Wiley & Sons 1996 92. Walker, R. J.: Algebraic Curves. Princeton, NJ: Princeton University Press 1950 (Nachdruck: New York etc.: Springer-Verlag 1978) 93. Washington, L. C.: Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography. 2nd ed. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC 2008 94. Watson, G. N.: Theorems Stated by Ramanujan (XII): A Singular Modulus. J. London Math. Soc. 6 (1931), 65–70 95. Watson, G. N.: Theorems Stated by Ramanujan (XIV): A Singular Modulus. J. London Math. Soc. 6 (1931), 126–132 96. Watson, G. N.: Some Singular Moduli (I). Quarterly Journal of Math. (Oxford Series) 3 (1932), 81–98 97. Watson, G. N.: Some Singular Moduli (II). Quarterly Journal of Math. (Oxford Series) 3 (1932), 189–212 98. Watson, G. N.: Singular Moduli (3). Proc. London Math. Soc. (2) 40 (1936), 83–142 99. Watson, G. N.: Singular Moduli (4). Acta Arithmetica 1 (1936), 284–323 100. Watson, G. N.: Singular Moduli (5). Proc. London Math. Soc. (2) 42 (1937), 377–397 101. Watson, G. N.: Singular Moduli (6). Proc. London Math. Soc. (2) 42 (1937), 398–409 102. Weber, H.: Elliptische Functionen und algebraische Zahlen. Braunschweig: Vieweg 1891 103. Weber, H.: Komplexe Multiplikation. Encyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften, Heft I C 6. Leipzig: Teubner 1900–1904 104. Weber, H.: Lehrbuch der Algebra. Zweite Auflage. Bd. 3. Braunschweig: Vieweg 1908 105. Weierstrass, K.; Schwarz, H. A.: Formeln und Lehrs¨atze zum Gebrauch der elliptischen Funktionen. Berlin: Verlag von Julius Springer 1893 (Nachdruck: W¨urzburg: Physica-Verlag 1962) 106. Weil, A.: Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker. Berlin etc.: SpringerVerlag 1976 (Nachdruck: Berlin etc.: Springer-Verlag 1999) 107. Whittaker, E. T.; Watson, G. N.: A Course of Modern Analysis. 4th ed. London: Cambridge University Press 1927 (Nachdruck: Cambridge: Cambridge University Press 1996)

Register.

A Abel, N. H. 56, 135, 136, 315 Abramowitz, M. 21, 315 absolute Invariante 11 Additionstheorem der Jacobischen Funktionen 48 algebraische Korrespondenz 262 ambige Klasse 161, 179 Amplitude 111 Anwendungen, arithmetische 131, 245 geometrische 43 mechanische und physikalische 277 Appell, P. 315 a¨ quianharmonische Kurve 97 Arendt, G. 271 arithmetisch-geometrisches Mittel 7 arithmetische Anwendungen 131, 245 Arme 278 Aronhold, S. 79, 84 automorphe Funktion 190 B Baltzer, R. 280 Berechnung der elliptischen Funktionen 13 Integrale 15 der Invarianten 10 der Klasseninvarianten 185, 190, 193 der Perioden 1 Berechnungen, numerische 1 Berndt, B. C. 315 Bertrand, J. L. F. 7 Berwick, W. E. H. 315 Bianchi, L. 114 bin¨are quadratische Form 134, 246

Blauert, M. 277 Bodewig, E. 316 Bogenl¨ange der Lemniskate 45 Bogenl¨angen der Ellipse und Hyperbel 65 Borel, A. 315 Borevich, Z. I. 170 Borwein, J. M. 315 Borwein, P. B. 315 Buchmann, J. 315 Buell, D. A. 315 Burau, W. 79 Burkhardt, H. 19, 315 C Cassels, J. W. S. 315 Cassou-Nogu`es, Ph. 315 Cayley, A. 315 Chandrasekharan, K. 315 Chowla, S. 315 Clebsch, A. 79, 104 Cox, D. A. 170, 315 Cremona, J. E. 315 D Darboux, G. 277, 280, 281, 285 darstellbare ganze Zahl 160 Darstellungsanzahl 245 DB 145 Dedekind, R. 134, 316 Dedekindsche Funktion 270 de S´eguier, J. 316 Deuring, M. 316 Dickson, L. E. 263, 316 Differentialgleichung 116 Dirichlet, G. 134, 263, 267, 271, 273 Dirichletsche Grenzformel 272 Diskontinuit¨atsbereich 145

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

319

320 Diskriminante 11, 134 der Transformationsgleichung 156 doppeltperiodische Funktion, Jacobische 15 Weierstraßsche 15 Doppelverh¨altnis 1 Dreieck, sph¨arisches 127 Dreiteilung der Lemniskate 49, 52 Dualit¨at 90 Duplikation 182 Dur`ege, H. 316 du Val, P. 316 E ebenes Gelenkviereck 277 Eichler, M. 84 Eisenstein, G. 56, 57, 60, 61, 316 Ellipse 65, 109 Ellipsoid 67 Erd´elyi, A. 316 Erdsph¨aroid 125 eta-Funktion 270 η-Funktion 270 Euler, L. 127, 170 F Fagnano, G. C. 45, 48 Fermatscher Lehrsatz 174 Fiedler, W. 85, 99 Fl¨achenb¨uschel zweiten Grades 104 Formklasse 136, 207 Forsyth, A. R. 114 Fricke, R. 316 Fueter, R. 200, 201, 316 F¨unfteilung der Lemniskate 49, 52 Funktion, automorphe 190 Dedekindsche 270 doppeltperiodische, Jacobische 15 Weierstraßsche 15 G Galoissche Gruppe 62 der Klassengleichung 182 Resolvente 62, 182 Gammafunktion 265 Gauß, C. F. 7, 8, 12, 45, 56, 63, 169, 170, 316 Gelenkviereck, ebenes 277 geod¨atische Linie 114, 122 geometrische Anwendungen 43 Geschlecht 181 Gierster, J. 262

Register Gleichung, zyklische 62 Graeser, E. 316 Greenhill, A. G. 316 Grenzformel, Dirichletsche 272 Kroneckersche 263 Grenzkreisgruppe 190 Gross, B. H. 316 Grosswald, E. 316 H Halbierung des Lemniskatenbogens 49 Halphen, G. H. 316 Hancock, H. 316 Hanna, M. 316 harmonische Kurve 97 Polare 85 harmonisches Quadrupel 86 Hasse, H. 316 Hauptfunktion 211, 221 Hauptgruppe 185, 187, 188, 221 Hauptklasse 161 Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe 48 Hauptpolygon 187, 207 Heegner, K. 316 Heffter, L. 104, 110 Herglotz, G. 316 Hermite, Ch. 316 Herz, C. S. 315 Hesse, O. 91 Hessesche Gruppe 95 Kollineationsgruppe 94 Hurwitz, A. 262, 316 Husem¨oller, D. 316 Hyperbel 65 Hyperboloid, einschaliges 68 zweischaliges 68 I Integral, Weierstraßsches 118 Invariante, absolute 11 Invarianten, rationale 1, 11 Irreduzibilit¨at der Klassengleichung 178 irreduzible Kurve 79 Iwasawa, K. 315 J j(ω) = 123 J(ω) 136 Jacobi, C. G. J. 7, 109, 111, 127, 190, 245, 261, 281, 317 Jordan, C. 95

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Register K kanonisches Koordinatensystem 83 Kiepert, L. 63, 194, 317 Klasse, ambige 161, 179 Klassenanzahl 254 Klassengleichung 133, 136, 142 der Diskriminante D 150 Klassengruppe 185 Klasseninvariante 136, 149, 150, 232 Klassenk¨orper 232 der Diskriminante D 172 Klassenpolygon 142, 185 Klassenzahl h(D) 137 Klassenzahlrelation 254, 261 Klein, F. 84, 91, 108, 194, 261, 317 Knapp, A. W. 317 Koblitz, N. 317 Koecher, M. 317 Koehler, C. 110 Koenigsberger, L. 317 Kollineation 86 Kollineationsgruppe 86 komplexe Multiplikation 51, 133 Komposition der Formen 151 Kompositionsgruppe 183 Koordinatensystem, kanonisches 83 singul¨ares 91 Koppel 278 Korrespondenz, algebraische 262 Kosinussatz 129 Krause, M. 277, 317 Krieg, A. 317 Kronecker, L. 150, 261–264, 273, 317 Kroneckersche Grenzformel 263 kubische Form 98 Kurve dritten Grades 79, 277 Kurve dritten Grades, reelle 101 Kurve, irreduzible 79 singularit¨atenfreie 79 Kuyk, W. 317 L ´ 315 Lacour, E. Lagrange, J. L. 127 Lagrangesche Solvente 64 Landensche Transformation 3, 5 Lang, S. 317 Lange, E. 107 Lawden, D. F. 317 Legendre, A.-M. 9, 10, 17, 18 Legendresches Normalintegral 9, 47, 65, 67

Zeichen 173 Lemniskate 45 Lemniskatenteilung 56 Linie, geod¨atische 114, 122 Liouville, J. 261 L¨osung, singul¨are 134 Lukat, M. 114 M Magnus, W. 271, 316, 317 Maurer, L. 316 McKean, H. 317 mechanische und physikalische Anwendungen 277 Meridiankurve 115 Mittel, arithmetisch-geometrisches 7 Modulargleichungen 190 Modularkorrespondenzen 261 Modulform 212 Modulfunktion erster Stufe 136, 138 Modulgruppe 140, 179 Molk, J. 318 Moll, V. 317 Mollin, R. A. 317 Multiplikation der Idealklassen 151 Multiplikation, komplexe 51, 133 Multiplikator 133 N nat¨urliche Irrationalit¨at 170 Neville, E. H. 317 Norm von p 174 Normalgleichung 62, 182 Normalintegral, Legendresches 9, 47, 65, 67 Weierstraßsches 9 numerische Berechnungen 1 O Oberﬂ¨ache des Ellipsoids 67, 76 Oberhettinger, F. 271, 316, 317 P ℘-Funktion 84 Periode 2 Periodenquotient 2 Periodenrechteck 17 Perspektivit¨at 86 Petersson, H. 317 ´ 316 Picard, E. Picciati, G. 277 Pick, G. 150 Pl¨ucker, J. 91 Polare 99

322 Polarﬁgur 127 Polarkegelschnitt 85, 99 Poncelet, J. V. 109 Ponceletsche Polygone 109 Prasolov, V. 317 Primform 262 Primideal 174 Primidealzerlegung 172 primitive Wurzel 174 Q quadratische Form, bin¨are 134, 246 quatern¨are 250 reduzierte 146 Transformation 98 Quadrupel, harmonisches 86 quatern¨are quadratische Form 250 R Ramachandra, K. 317 Ramanujan, S. 317 rationale Invarianten 1, 11 Raumkurven vierter Ordnung 104 reduzierte quadratische Form 146 Riemannsche Fl¨ache 1 Zetafunktion 270 Robert, A. 317 Rothe, R. 57 S Salmon, G. 85, 99, 104 Satz von Gauß 56 Schertz, R. 200, 201, 317 Schl¨aﬂi, L. 190 Schoeneberg, B. 317 Schwarz, H. A. 19, 318 Serre, J.-P. 315 sextaktische Punkte 85 Shafarevich, I. R. 170 Shimura, G. 317 Siebzehnteilung der Lemniskate 63 Siegel, C. L. 273, 317 Sigmafunktion 81 Silverman, J. H. 318 singul¨are L¨osung 134 singul¨ares Koordinatensystem 91 singularit¨atenfreie Kurve 79 Sinussatz 128 Sohnke, L. A. 190, 261 Solovyev, Yu. 317 Sommerfeld, A. 317

Register Soni, R. P. 271, 317 spezielle Teilungsgleichung 51, 62 Transformationsgleichungen erster Stufe 138 sph¨arische Trigonometrie 127 sph¨arisches Dreieck 127 Stammdiskriminante 167 Steg 278 Stegun, I. A. 21, 315 Study, E. 127 Summe von vier Quadraten 245, 249 syzygetisches B¨uschel 93 T Tafeln 21 Tangente 81 Tannery, J. 318 Tate, J. T. 318 Taylor, M. J. 315 Teilersumme 245 Teilung des Lemniskatenbogens 49 Teilungsgleichung 88 Teilungsgleichung, spezielle 51, 62 Teilwert 87, 245 Tetraedergleichung 96 Tetraedergruppe 95 Thetafunktionen 10 ϑ-Funktionen 10 Titchmarsh, E. C. 270 Transformation nten Grades 135 der elliptischen Funktionen 185 quadratische 98 Transformationsgruppe 185 Transformationspolygon 142, 185 Tricomi, F. G. 316, 318 Trigonometrie, sph¨arische 127 Tschirnhausresolvente 202 U Umdrehungsellipsoid 76, 114, 122 V van der Waerden, B. L. 318 Verdoppelung eines Lemniskatenbogens 49 Verzweigungspunkt 1 Vierergruppe 96 Vl˘adut¸, S. G. 318 Vollmer, U. 315 W Walker, P. L. 318 Walker, R. J. 318

323

Register Washington, L. C. 318 Watson, G. N. 318 Weber, H. 70, 127, 136, 137, 150, 190, 194, 264, 273, 318 Weierstrass, K. 318 Weierstraß, K. 19, 57 Weierstraßsches Integral 118 Normalintegral 9 Weil, A. 318 Weinberger, P. 170 Wellstein, J. 127 Wendeber¨uhrungspunkt 107 Wendedreiseit 83 Wendegerade 83 Wendepunkt 82

Wendetangente 82 Werte von K und E 26 von w = F (k, ϕ) 30 von Z = E(k, ϕ) 36 Whittaker, E. T. 318 Wurzel, primitive 174 Wurzeln der Klassengleichung 161 Z Zagier, D. B. 84, 316 Zeichen, Legendresches 173 Zetafunktion, Riemannsche 270 Zwischengruppe 189, 207 zyklische Gleichung 62