Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen

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Author: Klaus Fritzsche

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Grundkurs Funktionentheorie

Klaus Fritzsche

Grundkurs Funktionentheorie Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen

Autor Prof. Dr. Klaus Fritzsche FB C – Mathematik und Naturwissenschaften Bergische Universität Wuppertal E-Mail: [email protected] Bonusmaterial unter http://www.springer.com/math/analysis/book/978-3-8274-1949-1

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Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer 09 10 11 12 13

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Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover¿lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Barbara Lühker Herstellung: Detlef Mädje Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm Satz: Autorensatz

ISBN 978-3-8274-1949-1

Vorwort Die Funktionentheorie besticht durch Eleganz und Kraft, sie zeigt sich als eine in sich abgeschlossene Theorie, die dennoch zahlreiche andere Gebiete der Mathematik befruchtet und sich durch ihre Anwendbarkeit einen wichtigen Platz in den Natur- und Ingenieurwissenschaften erobert hat. F¨ ur den Mathematiker steht die Funktionentheorie an der Schnittstelle zwischen den drei großen Gebieten Algebra, Geometrie und Analysis und liefert unverzichtbare Beitr¨age zu allen drei Disziplinen. Anwender, die neben einer Reihe anderer wichtiger Methoden immer wieder Integrale und Integraltransformationen mit all ihren Facetten benutzen m¨ ussen, sch¨atzen die Funktionentheorie, die jenseits der klassischen Methoden zur Bestimmung von Stammfunktionen ganz neue, starke und dennoch leicht zu handhabende Werkzeuge bereitstellt. Studienanf¨angern stellt sich die Funktionentheorie als eine erste Begegnung mit neuen, unbekannten Welten dar, die u ¨ber den Schulhorizont weit hinausgehen. Deshalb wird die Funktionentheorie am Anfang als besonders schwer empfunden, obwohl sie das u ¨berhaupt nicht ist. Hier muss man sich wirklich auf Neues einlassen und in Kauf nehmen, dass man mit Gegenst¨anden zu arbeiten hat, die sich der Anschauung entziehen. Dies ist zugleich die Chance, in der Welt der Mathematik erwachsen“ zu werden. Hat man die Funktionentheorie erfolgreich studiert und ” damit auch immer wieder Wechsel der Betrachtungsrichtung vollzogen, so hat man die mathematischen Denk- und Arbeitsweisen begriﬀen und ist bereit, sich auch noch weit anspruchsvolleren Zielen zuzuwenden. ¨ Uber derartige intrinsische Motivationen hinaus gibt es ganz profane Anl¨asse, sich in die komplexe Ebene zu begeben und komplexe Funktionen zu studieren. Historisch war die L¨osung von Gleichungen dritten Anlass, ande∞hier ist2 ein Grades der n 2n n (−1) x = (−x ) konverres, ganz einfaches Beispiel: Die Potenzreihe ∞ n=0 n=0 giert als geometrische Reihe f¨ ur |x| < 1 gegen f (x) := 1/(1 − (−x2 )) = 1/(1 + x2 ), eine auf ganz R deﬁnierte und beliebig oft diﬀerenzierbare Funktion. Trotzdem konvergiert die Reihe nur auf (−1, 1). Das ist klar, aber warum ist das so? L¨asst man in f komplexe Argumente zu, so erh¨alt man die Funktion f (z) := 1/(1+z 2 ), die f¨ ur √ z = ± −1 Polstellen aufweist. Die gr¨oßte oﬀene Kreisscheibe um den Nullpunkt, die diese Polstellen vermeidet, hat den Radius 1. Das ist die eigentliche Ursache. Die ersten drei Kapitel dieses Buches umfassen den eigentlichen Kern der Funktionentheorie, von der Einf¨ uhrung komplexer Zahlen und Funktionen und deren Diﬀerenzierbarkeit u uﬀend m¨achtige ¨ber die faszinierend einfache und doch verbl¨ Theorie der komplexen Kurvenintegrale mit allen Wundern der Cauchy-Theorie bis hin zum H¨ohepunkt, dem Residuensatz, der die Behandlung von Singularit¨aten (fast) zum Kinderspiel macht und dessen m¨ogliche Anwendungen ein eigenes Buch f¨ ullen k¨onnten. Sind komplexe Zahlen und Reihen schon bekannt, so kann man sich all dies – vielleicht da und dort noch ein wenig gestraﬀt – in einem halben Semester

vi

aneignen. Traditionell ist dies eher Stoﬀ f¨ ur ein ganzes Semester, dann w¨ urde man aber noch ein paar Themen aus den folgenden Kapiteln hinzunehmen, insbesondere die Verallgemeinerung der Cauchy-Theorie auf Ketten und Zyklen und den eleganten Beweis von Dixon f¨ ur den Cauchy’schen Integralsatz. Das vierte Kapitel baut vor allem auf dem Residuensatz auf und stellt Verfahren zur Konstruktion von komplex-diﬀerenzierbaren Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen und Singularit¨aten in den Mittelpunkt. Die Gamma-Funktion ist nur ein wichtiges Beispiel, die elliptischen Funktionen mit ihren vielf¨altigen Beziehungen zur Algebra und Geometrie ein anderes. Außerdem ergeben sich ganz unerwartet die Summen gewisser aus dem Reellen bekannter Reihen, die in den Anfangssemestern meist gar nicht (oder nur m¨ uhsam auf dem Umweg u ¨ber die Fourier-Theorie) berechnet werden. M¨obius-Transformationen werden schon im ersten Kapitel deﬁniert, danach immer wieder aufgegriﬀen und schließlich ausf¨ uhrlich im f¨ unften Kapitel benutzt, u.a. beim Beweis des Riemann’schen Abbildungssatzes, einer besonderen Perle der Funktionentheorie. Mit seiner Hilfe k¨onnen einfach zusammenh¨angende Gebiete topologisch charakterisiert und die Cauchy-Theorie zum Abschluss gebracht werden. Der Rest des letzten Kapitels widmet sich der holomorphen Fortsetzung und stellt daf¨ ur als besonders m¨achtiges Werkzeug das Spiegelungsprinzip zur Verf¨ ugung. Damit werden die Zusammenh¨ange zwischen elliptischen Integralen, elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven deutlich gemacht. Jedes Kapitel endet mit einem Abschnitt u ¨ber Anwendungen. Das beginnt mit dem Gebrauch von komplexen Zahlen und harmonischen Funktionen in der Geometrie, der Elektrotechnik, der ebenen Feldtheorie und z.B. auch bei der L¨osung von gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen. Der Residuensatz liefert viele L¨osungen f¨ ur kompliziertere Integrationsprobleme, auch solche, bei denen Polstellen auf dem Integrationsweg auftreten, und Methoden der Umkehrung von IntegralTransformationen. Nach Einf¨ uhrung des unendlich fernen Punktes kann auf fortgeschrittene Methoden wie asymptotische Entwicklungen und die Sattelpunktmethode zur asymptotischen Integralauswertung eingegangen werden. Die M¨obius-Transformationen ﬁnden Eingang in die fraktale Geometrie und liefern ein Modell f¨ ur die Bewegungen in der nichteuklidischen Geometrie. Anf¨ange der analytischen Zahlentheorie ergeben sich aus dem Studium der Zeta-Funktion. Deren Nullstellen sind Inhalt eines der gr¨oßten ungel¨osten Probleme der Mathematik, der Riemann’schen Vermutung“. ” Als Anwendung des Spiegelungsprinzips gewinnt man Formeln f¨ ur die konforme Abbildung von Polygongebieten auf den Einheitskreis oder die obere Halbebene, die Umkehrung wird durch Jacobi’sche elliptische Funktionen gegeben. Elliptische Kurven bieten einen Abstecher in die algebraische Geometrie. Da sie dort auch u ¨ber endlichen K¨orpern betrachtet werden k¨onnen, sind sie ein wichtiges Thema in der Kryptographie.

vii

Das didaktische Konzept aus den Grundkursen zur Analysis wird hier wieder aufgegriﬀen und sinngem¨aß umgesetzt. Insbesondere werden beim Layout die folgenden Gestaltungsmittel benutzt: Neue Abschnitte beginnen meist mit einer grau unterlegten Einf¨ uhrung. 1 Holomorphe Funktionen

34

1.3

Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit

Wir vergleichen in diesem Abschnitt die komplexe Diﬀerenzierbarkeit in C mit der reellen Diﬀerenzierbarkeit im R2 und gewinnen so neue Erkenntnisse u ¨ber die Eigenschaften komplex diﬀerenzierbarer Funktionen. Insbesondere wird der Begriﬀ der konformen Abbildung eingef¨ uhrt.

Im Text neu eingef¨ uhrte Begriﬀe sind blau hervorgehoben.

Zur Erinnerung: Sei G ⊂ C ein Gebiet und f eine komplexwertige Funktion auf G. Fasst man f als Abbildung von G nach R2 auf, so wird die totale Diﬀerenzierbarkeit von f u ¨blicherweise wie folgt deﬁniert: f heißt in z0 reell (total) diﬀerenzierbar, wenn es eine R-lineare Abbildung L : C → C und eine in der N¨ahe des Nullpunktes deﬁnierte Funktion r gibt, so dass gilt: ur z nahe z0 . 1. f (z) = f (z0 ) + L(z − z0 ) + r(z − z0 ) f¨ 2. lim h→0 h=0

r(h) = 0. |h|

Die eindeutig bestimmte lineare Abbildung L nennt man die totale Ableitung von f in z0 und bezeichnet sie mit Df (z0 ).

Deﬁnitionen erscheinen blau gerahmten in K¨asten, der zu deﬁnierende Begriﬀ wird in der Titelzeile angek¨ undigt und im Text blau hervorgehoben.

Bei der Identiﬁkation von C mit dem R2 entsprechen die komplexen Zahlen 1 und i den Einheitsvektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1). Deshalb nennt man die komplexen Zahlen 1 k(z) := z = · f (z) z 1 0 komplex diﬀerenzierbar. Es ist aber Jk (z) = . 0 −1 Die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen sind nicht erf¨ ullt! Wir kommen jetzt zum zentralen Begriﬀ des Buches.

Deﬁnition

(Holomorphie)

Eine Funktion f heißt in z0 ∈ C holomorph, wenn sie in einer oﬀenen Umgebung U = U (z0 ) ⊂ C deﬁniert und komplex diﬀerenzierbar ist. Komplexe Polynome sind auf ganz C holomorph. Eine durch eine Potenzreihe deﬁnierte Funktion ist auf dem Konvergenzkreis der Reihe holomorph. Die Funktion f (z) := zz ist zwar in z = 0 komplex diﬀerenzierbar, aber nirgends holomorph! Funktionen, die auf einem Gebiet G ⊂ C komplex diﬀerenzierbar sind, sind dort auch automatisch holomorph.

Lehrs¨ atze sind hellblau unterlegt und beginnen h¨auﬁg nicht mit Satz“, sondern mit ei” nem sprechenden Titel.

1.3.4. Satz Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. 1. Nimmt f nur reelle oder nur rein imagin¨are Werte an, so ist f konstant. 2. Ist |f | konstant, so ist auch f konstant.

A G

Wichtige Formeln sind

G\A

Auch die Konvergenz von Folgen komplexer Zahlen deﬁniert man wie u ¨blich: lim zn = z0 : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 , so dass gilt: zn ∈ Dε (z0 ) f¨ ur n ≥ n0 .

n→∞

hellblau

Die Folge (zn ) konvergiert genau dann (gegen z0 ), wenn die Folgen (Re zn) und (Im zn ) (gegen Re z0 bzw. Im z0 ) konvergieren.

1.1.8. Kriterium f¨ ur die relative Abgeschlossenheit

unterlegt.

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Teilmenge A ⊂ G ist genau dann (relativ) abgeschlossen in G, wenn gilt: Ist (zn ) eine Folge in A, die gegen einen Punkt z0 ∈ G konvergiert, so liegt z0 schon in A.

Das Buch wendet sich an Studierende im dritten oder vierten Semester Mathematik, aber durch die Darstellung und die umfangreichen Anwendungsbeispiele ist es

viii

auch f¨ ur Studierende der Physik und der Ingenieurwissenschaften bestens geeignet. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse aus der reellen Analysis von einer und mehreren Ver¨anderlichen und ein paar einfache Tatsachen aus der linearen Algebra. Vorkenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie w¨aren zwar hilfreich, aber alles, was n¨otig ist, wird im Text bereitgestellt. Es wird beim Verlag eine Internetseite zum Buch geben, die erg¨anzendes Bonusmaterial zur Verf¨ ugung stellt. Geplant ist zun¨achst eine etwas ausf¨ uhrlichere Beschreibung der Geschichte der komplexen Zahlen, und als Erg¨anzung zu Kapitel 4 ein Abschnitt u ¨ber den Approximationssatz von Runge, der zeigt, dass man holomorphe Funktionen beliebig gut durch rationale Funktionen approximieren kann. Weitere Zugaben sollen folgen. Zum Schluss m¨ochte ich mich bei Barbara L¨ uhker und Andreas R¨ udinger vom Spektrum-Verlag (jetzt Teil des Springer-Verlages) bedanken, die mich wie immer mit viel Geduld und Sachkenntnis unterst¨ utzt haben. Wuppertal, im Oktober 2008

Klaus Fritzsche

Inhaltsverzeichnis Vorwort

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

v

Inhaltsverzeichnis

ix

Holomorphe Funktionen Die komplexen Zahlen Komplex diﬀerenzierbare Funktionen Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit Der komplexe Logarithmus Anwendungen

1 1 18 34 43 50

Summenberechnungen • Diﬀerentialgleichungen • Komplexe Zahlen in der Geometrie • Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik • Harmonische Funktionen und ebene Str¨omungsfelder.

2 Integration im Komplexen 2.1 Komplexe Kurvenintegrale 2.2 Der Cauchy’sche Integralsatz 2.3 Der Entwicklungssatz 2.4 Anwendungen Das Dirichlet-Problem

•

Ebene Felder

69 69 77 87 99 •

Die Green’sche Funktion.

3 Isolierte Singularit¨ aten 3.1 Laurent-Reihen 3.2 Umlaufszahlen 3.3 Der Residuensatz 3.4 Anwendungen

113 113 126 135 149

Partialbruchzerlegung • Integralberechnungen • Cauchy’sche Hauptwerte und Dispersionsrelationen • Fourier-Transformationen • LaplaceTransformationen.

4 Meromorphe Funktionen 4.1 Holomorphie im Unendlichen 4.2 Normale Familien

182 182 197

x

4.3 Der Satz von Mittag-Leﬄer 4.4 Der Weierstraß’sche Produktsatz 4.5 Die Gamma-Funktion 4.6 Elliptische Funktionen 4.7 Anwendungen

207 215 225 235 245

Reihenberechnungen I • Reihenberechnungen II • Das Residuum im unendlich fernen Punkt • Asymptotische Entwicklungen • Die Sattelpunktmethode • Die Mandelbrot-Menge • Nichteuklidische Geometrie • Die Riemann’sche Zeta-Funktion.

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Geometrische Funktionentheorie Der Riemann’sche Abbildungssatz Holomorphe Fortsetzung Randverhalten Das Spiegelungsprinzip Anwendungen

278 278 291 295 303 309

Die Formel von Schwarz-Christoﬀel • Elliptische Integrale und Jacobi’sche elliptische Funktionen • Elliptische Kurven.

Literaturverzeichnis

325

Symbolverzeichnis

327

Stichwortverzeichnis

329

1 Holomorphe Funktionen 1.1

Die komplexen Zahlen

Zur Einfu ¨ hrung: Die komplexen Zahlen wurden – eigentlich aus Versehen – in der Renaissance entdeckt, bei dem Versuch, Gleichungen dritten Grades zu l¨osen. Es erwies sich als vorteilhaft, in – zun¨achst verheimlichten – Nebenrechnungen mit der Wurzel aus −1 zu rechnen, die dann im Endergebnis nicht mehr auftauchte. Nach und nach versuchte man dann aber doch, das Wesen solcher imagin¨arer ” Gr¨oßen“ zu ergr¨ unden. Es ist vor allem Euler, Gauß und Hamilton zu verdanken, dass wir heute ganz normal mit komplexen Zahlen rechnen k¨onnen und in ihnen nichts Geheimnisvolles mehr sehen. Die Gesetze der Anordnung der reellen Zahlen haben zwingend zur Folge, dass das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist. Demnach kann es in R keine √ Zahl geben, deren Quadrat die Zahl −1 ergibt. M¨ochte man also so etwas wie −1 zulassen, so muss man die reelle Zahlengerade verlassen und in der Ebene suchen. Dort steht schon die bekannte Vektoraddition zur Verf¨ ugung. Eine Anordnung wie in R ist allerdings in der Ebene nicht mehr m¨oglich: Sind ein Vektor x und sein Negatives −x gegeben, so kann keiner dieser beiden Vektoren auf nat¨ urliche Weise als positiv“ ausgezeichnet werden. Aber dieser Mangel ist gerade die Chance, zu ” etwas Neuem zu gelangen. Die Vektoren der Ebene besitzen zumindest eine L¨ange, und die L¨ange eines Produktes sollte dem Produkt der L¨angen entsprechen. Das √ hat zur Folge, dass die imagin¨are Einheit i = −1 die L¨ange 1 haben muss. Und weil die Multiplikation mit i 2 = −1 einer Drehung um 180◦ entspricht, liegt es nahe, die Multiplikation mit i selbst als eine Drehung um 90◦ aufzufassen. Wir beschreiben in diesem Abschnitt die algebraischen und topologischen Eigenschaften der komplexen Zahlenebene, ihrer Elemente und ihrer Teilmengen.

Deﬁnition

(Komplexe Zahlen)

Unter dem K¨orper C der komplexen Zahlen versteht man die Menge aller (geordneten) Paare (a, b) von reellen Zahlen mit folgenden Rechenoperationen: 1. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d). 2. (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc). Das Element (1, 0) wird mit 1 bezeichnet, das Element (0, 1) mit i . Bez¨ uglich der Addition ist C dann eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 0 = (0, 0) und dem Negativen −(x, y) = (−x, −y). Identiﬁziert man x ∈ R mit dem Paar (x, 0), so kann man R als Teilmenge von C auﬀassen. Weil (x, 0) · (a, b) =

1 Holomorphe Funktionen

2

(xa, xb) ist, induziert die Multiplikation komplexer Zahlen die bekannte skalare Multiplikation, die zur R-Vektorraum-Struktur auf dem R2 geh¨ort. Die Elemente 1 und i bilden eine Basis von C u ¨ber R. Jede komplexe Zahl besitzt deshalb eine eindeutige Darstellung z = a + i b , mit a, b ∈ R . Man nennt Re(z) := a den Realteil und Im(z) := b den Imagin¨arteil der komplexen Zahl z. z+w z w z

−z

Addition komplexer Zahlen

Das Negative einer komplexen Zahl

Ist z = x + i y ∈ C, so nennt man z := x − i y die zu z konjugierte (komplexe) Zahl. Man gewinnt sie durch Spiegelung an der x–Achse. Es gilt: 1. Ist z = x + i y, so ist z · z = x2 + y 2 eine nicht-negative reelle Zahl. 2. Realteil und Imagin¨arteil einer komplexen Zahl sind gegeben durch 1 1 Re(z) = (z + z) und Im(z) = (z − z). 2 2i

y = Im(z)

z = x + iy

z

z x = Re(z) Real- und Imagin¨arteil einer komplexen Zahl

Die konjugierte komplexe Zahl

Ist w = a + i b eine feste komplexe Zahl, so ist Lw : C → C mit Lw (z) := w · z eine C-lineare Abbildung, also erst recht R-linear. Weil Lw (1) = a + i b und Lw ( i ) = −b + i a ist, wird Lw bez¨ uglich der Basis {1, i } durch die Matrix a −b Mw := b a beschrieben. Eine einfache Rechnung zeigt, dass Mv • Mw = Mvw ist. Da man die Multiplikation komplexer Zahlen mit Hilfe der Matrizen-Multiplikation ausdr¨ ucken

1.1

Die komplexen Zahlen

3

kann, folgt sofort das Assoziativgesetz f¨ ur die Multiplikation in C. Das Kommutativgesetz werden wir weiter unten beweisen. √ Die reelle Zahl |z| := + zz nennt man den Betrag der komplexen Zahl z. Sie stimmt mit der euklidischen Norm des Vektors z u ¨berein. Ist z = 0, so ist zz = |z|2 > 0, und es gilt: z·

z , also zz

z −1 =

z . |z|2

Das Inverse der komplexen Zahl z gewinnt man demnach, indem man z zun¨achst an der x–Achse spiegelt, und dann am Einheitskreis. Denn 1/z zeigt in die gleiche Richtung wie z, hat aber die L¨ange 1/r, wenn z die L¨ange r hat. z i

1 1/z

Das Inverse einer komplexen Zahl

z Wir k¨onnen jetzt eine anschauliche Vorstellung von der Multiplikation in C gewinz z nen. Ist z = x + i y = 0, so ist z = |z| · und = α + i β, mit |z| |z| x α := 2 x + y2

und

β :=

y x2

+ y2

.

Oﬀensichtlich ist α2 + β 2 = 1, es gibt also einen (eindeutig bestimmten) Winkel θ ∈ [0, 2π) mit α = cos θ und β = sin θ. Damit folgt: z = |z| · (cos θ + i sin θ). Das ist die (eindeutig bestimmte) Polarkoordinaten–Darstellung der komplexen ur z = 0 Zahl z. Die Zahl arg(z) := θ ∈ [0, 2π) nennt man das Argument von z. F¨ ist u ¨berhaupt kein Winkel festgelegt.

1.1.1. Beispiele A. Es ist | i | = 1 und arg( i ) = π/2. B. Sei z = 1 + i . Dann ist√zz = (1 + i )(1 − i ) = 2, also |z| = cos(π/4) = sin(π/4) = 1/ 2 ist, folgt: arg(z) = π/4.

√ 2. Weil

1 Holomorphe Funktionen

4

Setzen wir U (t) := cos t + i sin t f¨ ur t ∈ R, so gilt: 1. |U (t)| = 1 f¨ ur alle t ∈ R. 2. U (s) · U (t) = U (s + t) f¨ ur alle s, t ∈ R. 3. U (0) = 1, U (t) = 0 f¨ ur alle t ∈ R und U (t)−1 = U (−t). 4. Zu jeder komplexen Zahl z = 0 gibt es genau ein r > 0 und genau ein t ∈ [0, 2π) mit z = r · U (t). 5. Es ist U (t + 2π) = U (t). Beweis:

(1) ist trivial.

(2) folgt aus den Additionstheoremen f¨ ur Sinus und Cosinus: U (s) · U (t) = (cos s + i sin s) · (cos t + i sin t) = (cos s cos t − sin s sin t) + i (cos s sin t + sin s cos t) = (cos(s + t) + i sin(s + t) = U (s + t). (3) U (0) = cos(0) + i sin(0) = 1. U (t) = 0 folgt aus (1). Schließlich ist 1 = U (0) = U (t + (−t)) = U (t) · U (−t),

also U (−t) = 1/U (t).

(4) ist klar nach den obigen Betrachtungen. (5) Die Aussage folgt aus der Periodizit¨at von Cosinus und Sinus. Ist nun z1 = r1 · U (t1 ) und z2 = r2 · U (t2 ), so ist z1 · z2 = r1 r2 · U (t1 + t2 ). Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren sich also die Betr¨age, und die Winkel addieren sich. Das zeigt insbesondere die Kommutativit¨at der Multiplikation. z · w = −5 − i 5

w = −1 + 2 i s+t Die Multiplikation komplexer Zahlen

t

z =3+ i s

1.1

Die komplexen Zahlen

5

1.1.2. Formel von Moivre (cos t + i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt),

f¨ ur alle n ∈ Z.

n Der Beweis ist trivial: Es ist U (t)n = U (nt) f¨ ur n ∈ N0 und U (t)−n = U (t)−1 = U (−t)n = U (−nt).

1.1.3. Beispiel Die Formel vom Moivre erleichtert manche Berechnungen. So ist z.B. cos(3t) + i sin(3t) = (cos t + i sin t)3 = cos3 t + 3 cos2 t( i sin t) + 3 cos t( i 2 sin2 t) + ( i sin t)3 = cos3 t − 3 cos t sin2 t + i 3 cos2 t sin t − sin3 t , also cos(3t) = cos3 t − 3 cos t sin2 t

und

sin(3t) = 3 cos2 t sin t − sin3 t.

F¨ ur n ∈ N setzen wir 2π 2π ζn := U (2π/n) = cos + i · sin . n n Ist m = k · n, so ist (ζn )m = cos(2kπ) + i · sin(2kπ) = 1.

1.1.4. Die Lo ¨sungen der Gleichung z n = 1 F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n hat die Gleichung z n = 1 in C genau n L¨osungen, n¨amlich (ζn )0 = 1, (ζn )1 = ζn , (ζn )2 , (ζn )3 , . . . , (ζn )n−1 . ur k = Beweis: Wir haben schon gesehen, dass ((ζn )k )n = (ζn )n·k = 1 ist, f¨ 0, . . . , n − 1. Oﬀensichtlich sind die n Zahlen (ζn )k paarweise verschieden. Ist umgekehrt w irgend eine L¨osung der Gleichung z n = 1, so ist auch |w|n = 1, also |w| = 1. Das bedeutet, dass es ein θ ∈ [0, 2π) mit U (θ) = w gibt. Und es ist U (nθ) = w n = 1, also cos(nθ) = 1 und sin(nθ) = 0. Dann gibt es ein k ∈ Z mit nθ = k · 2π. Wegen 0 ≤ θ < 2π ist 0 ≤ nθ < n · 2π. Also kommen f¨ ur k nur die Werte 0, 1, 2, . . . , n − 1 in Frage. Damit ist alles bewiesen.

Deﬁnition

(Einheitswurzeln)

Die Zahlen 1, ζn , (ζn )2 , . . . , (ζn )n−1 nennt man die n-ten Einheitswurzeln.

1 Holomorphe Funktionen

6

Zum Beispiel sind 1 und ζ2 = −1

die 2. Einheitswurzeln,

√ √ 1 1 die 3. Einheitswurzeln −1 + i 3 und ζ32 = −1 − i 3 2 2 und 1, ζ4 = i , ζ42 = −1 und ζ43 = − i die 4. Einheitswurzeln.

1, ζ3 =

1.1.5. Beispiel Wir wollen nun die f¨ unften Einheitswurzeln berechnen. √ Mit elementaren Mittel kann man herausbekommen, dass cos(π/5) = (1+ 5)/4 ist (eine ausf¨ uhrliche Rechnung ﬁndet sich in [Fri0], in Kapitel 7 als Anwendung der Additi √ onstheoreme). Dann ist sin(π/5) = 1 − cos2 (π/5) = 10 − 2 5/4, also 2π π π cos = cos2 − sin2 5 5 5 √ √ √ 1 1 1 = (6 + 2 5) − (10 − 2 5) = (−1 + 5) 16 16 4 und sin

2π 5

√ √ π π 1 = 2 cos sin = (1 + 5) · 10 − 2 5 8 5 √ 5 √ √ 1 1 (6 + 2 5)(10 − 2 5) = 10 + 2 5. = 8 4

Damit ist √ 2π 2π 1 i ζ5 = cos + i sin = (−1 + 5) + 5 5 4 4

√ 10 + 2 5.

Die anderen f¨ unften Einheitswurzeln kann man nun leicht durch Potenzieren errechnen. Alle Punkte liegen auf den Ecken eines regelm¨aßigen 5-Ecks. (ζ5 )2

s

ζ5

s sr s

(ζ5 )3

s

(ζ5 )4

1

1.1

Die komplexen Zahlen

7

1.1.6. Existenz n-ter komplexer Wurzeln In C besitzt jede Zahl z = 0 genau n verschiedene n–te Wurzeln. Beweis:

Sei z = r(cos θ + i sin θ), mit r = |z| und θ ∈ [0, 2π). Dann setzen wir zk :=

√ θ θ n r · (cos + i sin ) · ζnk , n n

k = 0, 1, . . . , n − 1.

Oﬀensichtlich sind dies n verschiedene komplexe Zahlen zk mit zkn = z. Ist andererseits w irgendeine L¨osung der Gleichung wn = z, so ist wn = z0n , also (wz0−1 )n = 1. Das bedeutet, dass es eine n–te Einheitswurzel ζ gibt, so dass w = z0 ·ζ ist. Der Satz zeigt, dass man in C nie von der n–ten Wurzel einer Zahl z sprechen √ kann, es gibt stets n verschiedene. Das gilt auch im Falle n = 2. Das Symbol z ist also zweideutig, und es f¨allt schwer, eine der beiden Wurzeln auszuzeichnen. Zum Beispiel sind 12 (1− i ) und 12 ( i −1) die beiden Wurzeln von − 2i . Welche davon sollte man bevorzugen? W¨are es m¨oglich, C anzuordnen, so w¨are jede komplexe Zahl z = 0 positiv oder negativ (d.h. −z positiv), und das Produkt positiver Zahlen w¨are wieder positiv. Insbesondere m¨ usste das Quadrat jeder komplexen Zahl = 0 positiv sein, also 1 = 1 · 1 > 0 und −1 = i · i > 0. Dann w¨are aber auch 0 = 1 + (−1) > 0, und das ist absurd. Deshalb kann man in C zwar aus jeder Zahl die Wurzel ziehen, eine Unterscheidung zwischen der positiven und der negativen Wurzel ist aber nicht m¨oglich. Nach den algebraischen Eigenschaften kommen wir nun zu den topologischen. Ist r > 0 und z0 ∈ C, so ist Dr (z0 ) := {z ∈ C : |z − z0 | < r} die (oﬀene) Kreisscheibe mit Radius r um z0 .

Deﬁnition

(oﬀene und abgeschlossene Mengen)

Eine Teilmenge U ⊂ C heißt oﬀen, falls es zu jedem z ∈ U ein ε > 0 gibt, so dass Dε (z) noch ganz in U enthalten ist. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement in C oﬀen ist. Oﬀene und abgeschlossene Mengen in C stimmen also mit denen in R2 u ¨berein, und sie haben die gleichen Eigenschaften: 1. Die leere Menge und C sind zugleich oﬀen und abgeschlossen. 2. Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von oﬀenen Mengen sind wieder oﬀen.

1 Holomorphe Funktionen

8

3. Endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte von abgeschlossenen Mengen sind wieder abgeschlossen.

Deﬁnition

(topologischer Raum)

Ein topologischer Raum ist eine Menge X, zusammen mit einem System ausgezeichneter Teilmengen, welche die oﬀenen Mengen von X genannt werden, so dass gilt: 1. Die leere Menge und der gesamte Raum X sind oﬀen. 2. Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von oﬀenen Mengen sind wieder oﬀen. Das System der oﬀenen Mengen von X nennt man auch die Topologie von X. Eine Teilmenge M ⊂ X heißt Umgebung eines Punktes x0 ∈ X, falls es eine oﬀene Menge U mit x0 ∈ U ⊂ M gibt. Man schreibt dann: M = M (x0 ). Der topologische Raum X heißt ein Hausdorﬀ-Raum, falls es zu je zwei Punkten x = y Umgebungen U = U (x) und V = V (y) mit U ∩ V = ∅ gibt.

1.1.7. Beispiele A. C ist oﬀensichtlich ein topologischer Raum und sogar ein Hausdorﬀ-Raum. B. Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Funktion d : X×X → R mit folgenden Eigenschaften: (a) d(x, y) ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ X, und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. (b) d(x, y) = d(y, x) f¨ ur alle x, y ∈ X. (c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) f¨ ur alle x, y, z ∈ X (Dreiecksungleichung). Eine Menge X mit einer Metrik d bezeichnet man als metrischen Raum. Jeder metrische Raum X ist automatisch ein topologischer Raum, wenn man die oﬀenen Mengen wie folgt deﬁniert: Eine Menge M ⊂ X soll oﬀen“ ge” nannt werden, wenn es zu jedem Punkt x0 ∈ M ein ε > 0 gibt, so dass die ε-Umgebung“ ” Uε (x0 ) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < ε} noch ganz in M liegt. Versieht man den Rn mit der Metrik d(x, y) := x − y , so erh¨alt man die aus der reellen Analysis bekannten ε-Umgebungen und den dort benutzten ur C. Oﬀenheitsbegriﬀ. Das gilt insbesondere f¨ ur den R2 und damit f¨

1.1

Die komplexen Zahlen

9

Es ist oﬀensichtlich, dass in einem metrischen Raum die Eigenschaften einer Topologie w¨ortlich wie im Rn hergeleitet werden k¨onnen, und genauso, dass jeder metrische Raum die Hausdorﬀ-Eigenschaft besitzt. Alle topologischen R¨aume, die uns in diesem Buch begegnen werden, sind in Wahrheit metrische R¨aume. Allerdings liegt nicht immer gleich auf der Hand, welche Metrik man w¨ahlen sollte. Deshalb erweist sich der (allgemeinere) Begriﬀ des topologischen Raumes manchmal als praktischer. Da die Topologie auf C oﬀensichtlich mit der u ¨bereinstimmt, die man in der reellen Analysis im R2 verwendet, u ¨bertragen sich viele topologische Begriﬀe aus dem Reellen ins Komplexe. Insbesondere ist ein stetiger Weg in C eine stetige Abbildung α von einem Intervall I nach C ∼ = R2 .

Deﬁnition

(Gebiet)

Ein Gebiet in C ist eine oﬀene Teilmenge G ⊂ C mit der Eigenschaft, dass je zwei Punkte von G durch einen stetigen Weg miteinander verbunden werden k¨onnen, der vollst¨andig in G verl¨auft. Ist G ⊂ C ein Gebiet, so bilden die oﬀenen Mengen, die in G enthalten sind, eine Topologie f¨ ur G. Also ist jedes Gebiet ein topologischer Raum (und nat¨ urlich auch ein Hausdorﬀ-Raum). Gew¨ohnen muss man sich allerdings an den Begriﬀ der abgeschlossenen Menge in einem Gebiet: Eine Teilmenge A in einem Gebiet G heißt (relativ) abgeschlossen in G, wenn G \ A oﬀen ist. Eine solche Menge braucht in C keineswegs abgeschlossen zu sein.

A G

G\A

Auch die Konvergenz von Folgen komplexer Zahlen deﬁniert man wie u ¨blich: lim zn = z0 : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 , so dass gilt: zn ∈ Dε (z0 ) f¨ ur n ≥ n0 .

n→∞

Die Folge (zn ) konvergiert genau dann (gegen z0 ), wenn die Folgen (Re zn ) und (Im zn ) (gegen Re z0 bzw. Im z0 ) konvergieren.

1.1.8. Kriterium fu ¨ r die relative Abgeschlossenheit Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Teilmenge A ⊂ G ist genau dann (relativ) abgeschlossen in G, wenn gilt: Ist (zn ) eine Folge in A, die gegen einen Punkt z0 ∈ G konvergiert, so liegt z0 schon in A.

1 Holomorphe Funktionen

10

Beweis: 1) Wir setzen zun¨achst voraus, dass A abgeschlossen in G ist. Sei (zn ) eine Folge in A, die gegen ein z0 ∈ G konvergiert. W¨are z0 Element der oﬀenen Menge G \ A, so g¨abe es ein ε > 0, so dass Dε (z0 ) ⊂ G \ A ist. Dann kann aber (zn ) nicht gegen z0 konvergieren. Widerspruch! 2) Nun sei das Kriterium erf¨ ullt. Zu zeigen ist, dass G \ A oﬀen ist. Sei z0 ∈ G \ A. Wir nehmen an, dass keine ε-Umgebung von z0 komplett in G \ A liegt. Dann kann man zu jedem n ∈ N einen Punkt zn ∈ A mit |zn − z0 | < 1/n ﬁnden. Das bedeutet, dass (zn ) gegen z0 konvergiert, und nach dem Kriterium m¨ usste dann z0 in A liegen. Also ist die Annahme falsch und alles bewiesen.

1.1.9. Eine typische Eigenschaft von Gebieten Ist G ⊂ C ein Gebiet und U ⊂ G eine nicht-leere Teilmenge, die zugleich oﬀen und (relativ) abgeschlossen in G ist, so ist U = G. Beweis: Sei z0 ∈ U und w0 ein beliebiger Punkt in G. Dann gibt es einen stetigen Weg α : [0, 1] → G mit α(0) = z0 und α(1) = w0 . Sei M := {t ∈ [0, 1] : α(s) ∈ U f¨ ur 0 ≤ s ≤ t} und t0 := sup(M ). Weil U in G abgeschlossen ist, liegt α(t0 ) in U und damit t0 in M . Weil U oﬀen ist, geht das nur, wenn t0 = 1 und w0 ∈ U ist.

1.1.10. Satz Ist G ⊂ C ein Gebiet, so k¨onnen je zwei Punkte von G durch einen Streckenzug in G verbunden werden. Beweis:

Sei z0 ∈ G beliebig und

U := {∈ G : z kann in G durch einen Streckenzug mit z0 verbunden werden }. U ist eine nicht-leere Teilmenge von G. Ist z1 ∈ U , so gibt es ein ε > 0, so dass Dε (z1 ) ⊂ G ist. Aber jeder Punkt von Dε (z1 ) kann innerhalb dieser Kreisscheibe durch eine Strecke mit z1 und damit durch einen Streckenzug in G mit z0 verbunden werden. Also liegt die Kreisscheibe in U , und U ist oﬀen. U ist auch abgeschlossen in G. Ist n¨amlich z2 ∈ G ein H¨aufungspunkt von U , so kann man wieder eine Kreisscheibe Dδ (z2 ) in G ﬁnden. Aber diese Kreisscheibe enth¨alt mindestens einen Punkt von U , und dann ist klar, dass auch z2 in G durch einen Streckenzug mit z0 verbunden werden kann. Also geh¨ort z2 zu U .

Deﬁnition

(zusammenh¨ angende Menge)

Eine beliebige Menge M ⊂ C heißt zusammenh¨angend,1 falls in M je zwei Punkte durch einen stetigen Weg miteinander verbunden werden k¨onnen. 1 Eigentlich m¨ usste man M wegzusammenh¨angend“ oder bogenzusammenh¨angend“ nennen. ” ” Da wir aber in diesem Buch keinen anderen Zusammenhangsbegriﬀ benutzen werden, k¨ urzen wir die Schreibweise etwas ab und sprechen von zusammenh¨angenden Mengen.

1.1

Die komplexen Zahlen

11

Ist M ⊂ C eine beliebige Menge, so nennen wir zwei Punkte z, w ∈ M ¨aquivalent, wenn sie innerhalb von M durch einen stetigen Weg miteinander verbunden werden k¨onnen. Jeder Punkt z ∈ M ist zu sich selbst ¨aquivalent, weil er mit Hilfe des konstanten Weges γz (t) ≡ z mit sich selbst (in M ) verbunden wird. Ist α : [0, 1] → M ein stetiger Weg mit α(0) = z und α(1) = w, so verbindet der umgekehrt durchlaufene Weg −α : [0, 1] → C mit (−α)(t) := α(1 − t) den Punkt w mit dem Punkt z. Wird schließlich z durch α : [0, 1] → M mit w und w durch β : [0, 1] → M mit v verbunden, so liefert der zusammengesetzte Weg α + β : [0, 1] → M mit

α(2t) f¨ ur 0 ≤ t ≤ 1/2, (α + β)(t) := ur 1/2 ≤ t ≤ 1 β(2t − 1) f¨ eine Verbindung von z mit v in M .

Deﬁnition

(Zusammenhangskomponente)

¨ Die Aquivalenzklasse eines Punktes z ∈ M nennt man die Zusammenhangskomponente von z in M und bezeichnet sie mit CM (z).

1.1.11. Eigenschaften von Zusammenhangskomponenten Sei M ⊂ C eine beliebige Teilmenge. 1. Ist z0 ∈ M , so ist C = CM (z0 ) := {z ∈ M : ∃ stetiger Weg von z0 nach z in M } die gr¨oßte zusammenh¨angende Teilmenge von M mit z0 ∈ C. 2. Die Zusammenhangskomponenten von M bilden eine Zerlegung von M in paarweise disjunkte zusammenh¨angende Mengen. Ist M oﬀen, so ist jede Zusammenhangskomponente ein Gebiet, und es gibt h¨ochstens abz¨ahlbar viele Komponenten. 3. Ist N ⊂ M eine zusammenh¨angende Menge, so liegt N in einer Zusammenhangskomponente von M . Beweis: 1) Oﬀensichtlich liegt z0 in C. Sind z1 , z2 ∈ C, so k¨onnen beide mit z0 und deshalb auch miteinander verbunden werden. Also ist C zusammenh¨angend. Dass C maximal ist, ist klar. 2) Dass die Zusammenhangskomponenten eine Zerlegung von M bilden, folgt direkt ¨ daraus, dass sie Aquivalenzklassen sind. Ist M oﬀen, C = CM (z0 ) und z1 ∈ C, so gibt es eine Kreisscheibe D mit z1 ∈ D ⊂ M , und jeder Punkt z ∈ D kann in D durch eine Strecke mit z1 verbunden werden. Daher liegt ganz D in C. Also ist C oﬀen und zusammenh¨angend und damit ein Gebiet. In diesem Fall kann in jeder Komponente ein Punkt mit rationalen

1 Holomorphe Funktionen

12

Koordinaten ausgew¨ahlt werden. Weil die Komponenten paarweise disjunkt sind, kann es nur h¨ochstens abz¨ahlbar viele Komponenten geben. 3) Ist N ⊂ M zusammenh¨angend, so ist N leer oder enth¨alt einen Punkt z0 . Im ersten Fall liegt N in jeder Zusammenhangskomponente, im zweiten oﬀensichtlich in CM (z0 ).

Deﬁnition

(H¨ aufungspunkte und isolierte Punkte)

Sei M ⊂ C eine Teilmenge und z0 ∈ C ein Punkt. 1. z0 heißt H¨aufungspunkt von M , falls jede Umgebung U = U (z0 ) einen Punkt z ∈ M mit z = z0 enth¨alt. 2. z0 heißt isolierter Punkt von M , falls es eine Umgebung U = U (z0 ) mit U ∩ M = {z0 } gibt. Ein isolierter Punkt einer Menge ist also immer ein Element dieser Menge. F¨ ur einen H¨aufungspunkt braucht das nicht zu gelten. Ein Punkt z0 ∈ C ist genau dann H¨aufungspunkt einer Menge M ⊂ C, wenn es eine Folge von Punkten zn ∈ M gibt, so dass gilt: 1. zn = z0 f¨ ur alle n ∈ N. 2. lim zn = z0 . n→∞

r

M

r r

H¨aufungspunkt von M

Deﬁnition

M isolierter Punkt von M

(diskrete Menge)

Eine Teilmenge M ⊂ C heißt diskret, wenn sie abgeschlossen ist und nur aus isolierten Punkten besteht. Die Menge der Zahlen 1/n, n ∈ N, besteht zwar aus lauter isolierten Punkten, sie ist aber nicht diskret, weil sie nicht abgeschlossen ist. Nimmt man den H¨aufungspunkt 0 hinzu, so erh¨alt man eine abgeschlossene Menge, die aber auch nicht diskret ist, weil der Nullpunkt nicht isoliert ist.

1.1

Die komplexen Zahlen

Deﬁnition

13

(kompakte Menge)

¨ Eine Menge K ⊂ C heißt kompakt, falls jede oﬀene Uberdeckung von K eine endliche Teil¨ uberdeckung enth¨alt. Eine Menge K ⊂ C heißt beschr¨ankt, falls es ein R > 0 gibt, so dass K in DR (0) liegt.

1.1.12. Satz von Heine-Borel K ⊂ C ist genau dann kompakt, wenn K abgeschlossen und beschr¨ankt ist. Da C als topologischer Raum mit dem R2 u ¨bereinstimmt, ist dies der bekannte Satz von Heine-Borel aus der Analysis. Ein Punkt z0 ∈ C heißt H¨aufungspunkt der Folge (zn ), falls in jeder Umgebung von z0 unendlich viele Folgeglieder liegen. Man beachte: Ist z0 H¨aufungspunkt der Menge {z1 , z2 , z3 , . . .}, so ist z0 auch H¨aufungspunkt der Folge (zn ), aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So hat die Folge zn := (−1)n zwei H¨aufungspunkte (n¨amlich +1 und −1), aber die Menge {−1, +1} der Folgeglieder besteht nur aus zwei isolierten Punkten und hat keinen H¨aufungspunkt.

1.1.13. Existenz von H¨ aufungspunkten Ist K ⊂ C kompakt, so besitzt jede unendliche Teilmenge von K wenigstens einen H¨aufungspunkt, der in K liegt. Beweis: Sei M ⊂ K eine unendliche Teilmenge. Dann enth¨alt M eine Folge von paarweise verschiedenen Punkten a1 , a2 , a3 . . .. Wir wollen zeigen, dass diese Folge (und damit auch die Menge der Folgeglieder) einen H¨aufungspunkt in K hat. Angenommen, das ist nicht der Fall. Dann gibt es zu jedem n eine oﬀene Umgebung Un = Un (an ), die keinen weiteren Punkt am enth¨alt (sonst w¨are an ein H¨aufungspunkt). Aber zu jedem b ∈ K \ {a1 , a2 , . . .} gibt es eine oﬀene Umgebung Vb = Vb (b) ⊂ C, in der keiner der Punkte an liegt (sonst w¨are b ein H¨aufungspunkt). Dann bilden ¨ die Mengen Un und Vb zusammen eine oﬀene Uberdeckung von K. Da K kompakt ist, kommt man mit endlich vielen aus. Aber das ist absurd, denn es gibt unendlich viele verschiedene an . Eine Folge (zn ) heißt beschr¨ankt, falls die Menge der Folgeglieder beschr¨ankt ist.

1.1.14. Folgerung (Satz von Bolzano-Weierstraß) Jede beschr¨ankte Punktfolge in C besitzt wenigstens einen H¨aufungspunkt.

1 Holomorphe Funktionen

14

Beweis: Sei A die Menge der Folgeglieder. Ist A endlich, so m¨ ussen unendlich viele Folgeglieder mit einem Punkt z0 ∈ A u ¨bereinstimmen. Dieser Punkt ist ein H¨aufungspunkt der Folge. Ist die Menge A unendlich, so stellt sie eine unendliche Teilmenge der kompakten Menge A dar und hat deshalb einen H¨aufungspunkt. Klar ist: Ist z0 ein H¨aufungspunkt der Folge (zn ), so gibt es eine Teilfolge (znλ ), die gegen z0 konvergiert. F¨ ur sp¨ater notieren wir noch:

1.1.15. Satz (u ¨ ber die Schachtelung kompakter Mengen) Sei K1 ⊃ K2 ⊃ . . . eine Folge von kompakten nicht-leeren Teilmengen von C. Dann ∞ Kn kompakt und nicht leer. ist auch K := n=1

Beweis: K ist oﬀensichtlich abgeschlossen und beschr¨ankt, also kompakt. Wir w¨ahlen nun aus jedem Kn einen Punkt zn . Da alle diese Punkte in der kompakten Menge K1 liegen, besitzt die Folge einen H¨aufungspunkt z0 in K1 . Wir behaupten, dass z0 sogar in K liegt. W¨are das n¨amlich nicht der Fall, so g¨abe es ein n0 mit z0 ∈ C \ Kn0 . Aber dann g¨abe es auch eine Umgebung U = U (z0 ) ⊂ C \ Kn0 . F¨ ur n ≥ n0 k¨onnte dann zn nicht mehr in U liegen, im Widerspruch dazu, dass z0 H¨aufungspunkt der Folge ist. Also ist K = ∅. Zur Erinnerung: Eine Folge (zn ) heißt Cauchy-Folge, falls gilt: ∀ ε > 0 ∃ n0 , s.d. gilt: |zn − zm | < ε f¨ ur n, m ≥ n0 .

1.1.16. Satz (Cauchy-Kriterium) (zn ) konvergiert genau dann, wenn (zn ) eine Cauchy-Folge ist. Beweis:

Klar ist: Wenn (zn ) konvergiert, dann ist (zn ) eine Cauchy-Folge.

Sei umgekehrt (zn ) eine Cauchy-Folge. Dann ist diese Folge beschr¨ankt, besitzt also einen H¨aufungspunkt. Eine Teilfolge konvergiert gegen z0 , und weil es sich um eine Cauchy-Folge handelt, konvergiert sogar die Folge selbst gegen z0 . Die Details dieses Beweises ﬁnden sich in der reellen Analysis (vgl. [Fri1], Satz 2.1.23). Unter einer unendlichen Reihe ∞ a von komplexen Zahlen aν versteht man ν=1 ν die Folge der Partialsummen SN := N ν=1 aν . Die Reihe heißt konvergent, falls die Folge ¨blich wird dann auch der Grenzwert mit dem Symbol ∞ (SN ) konvergiert. Wie u ν=1 aν bezeichnet.

1.1

Die komplexen Zahlen

15

Das Cauchy-Kriterium besagt: Die Reihe

∞

aν konvergiert genau dann, wenn gilt:

ν=1 n ∀ ε > 0 ∃ n0 , so dass f¨ ur n > n0 gilt: aν < ε. ν=n0 +1

∞ ∞ Die Reihe ν=1 aν heißt absolut konvergent, falls ν=1 |aν | konvergiert. Da es sich dabei um eine Reihe mit positiven reellen Gliedern handelt, kann man die bekannten Konvergenzkriterien (wie z.B. das Quotientenkriterium) anwenden. Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums (bei dem man nur endliche Summen zu betrachten hat) folgt ganz einfach aus der absoluten Konvergenz die gew¨ohnliche Konvergenz. Außerdem beweist man so auch das Majorantenkriterium : reellen Gliedern und |aν | ≤ αν Ist ∞ ν=1 αν eine konvergente Reihe mit positiven f¨ ur ν ≥ ν0 , so konvergiert auch die Reihe ∞ ν=1 aν .

1.1.17. Beispiel Ist komplexe Zahl mit |z| < 1, so konvergiert die (geometrische) Reihe ∞z eine ν z . Die Konvergenz folgt mit Hilfe des Majorantenkriteriums aus der ν=0 Konvergenz der reellen geometrischen Reihe. Den bekannten Grenzwert ∞

zν =

ν=0

1 1−z

erh¨alt man aus der Summenformel n

zν =

ν=0

z n+1 − 1 z−1

und der Grenzwertbeziehung lim z n = 0 n→∞

f¨ ur |z| < 1.

Zum Schluss wollen wir uns noch mit den R¨andern von Mengen besch¨aftigen.

Deﬁnition

(Rand einer Menge)

Sei M ⊂ C eine beliebige Menge. Ein Punkt z0 ∈ C heißt Randpunkt von M , falls jede Umgebung von z0 einen Punkt von M und einen Punkt von C \ M enth¨alt. Mit ∂M bezeichnet man die Menge aller Randpunkte von M . Ein Punkt z ∈ M heißt innerer Punkt von M , falls es ein ε > 0 mit Dε (z) ⊂ M gibt. Eine Menge ist genau dann oﬀen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht. Ist M beliebig, so ist ein Punkt z0 ∈ C genau dann ein Randpunkt von M , wenn er kein innerer Punkt von M ist, aber entweder ein Punkt von M oder zumindest ein H¨aufungspunkt von M .

1 Holomorphe Funktionen

16

Vereinigt man eine Menge M mit all ihren H¨aufungspunkten, so erh¨alt man ihre man als abgeschlossene H¨ ulle◦M . Die Menge der inneren Punkte von M bezeichnet ◦ ¨ ihren oﬀenen Kern M . Die obige Uberlegung zeigt, dass ∂M = M \ M ist.

1.1.18. Beispiele A. Ist M := D1 (0), so ist die Menge M oﬀen, stimmt also mit ihrem oﬀenen Kern u ulle von M ist die Menge ¨berein. Die abgeschlossene H¨ D1 (0) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, und der Rand ist die Menge ∂D1 (0) = {z ∈ C : |z| = 1}. In diesem Fall ist der Rand eine (glatte) Kurve, im Allgemeinen kann man das aber nicht erwarten. B. Ist D ⊂ C diskret, so besitzt D weder innere Punkte noch H¨aufungspunkte. ◦ Damit ist D = D = ∂D und D = ∅. C. Sei G ⊂ C ein Gebiet und M die Menge der Punkte z = x + i y ∈ G mit ◦ rationalen Koordinaten x und y. Dann ist M = ∅ und jeder Punkt von G ein H¨aufungspunkt von M . Also ist ∂M = M = G. D. Die komplexe Ebene und die leere Menge haben keinen Rand. Jede andere Menge besitzt mindestens einen Randpunkt (wie sich aus dem folgenden Satz ergibt). So besteht z.B. der Rand von C∗ := C \ {0} nur aus dem Nullpunkt.

1.1.19. R¨ ander haben keine Lu ¨ cken Sei M ⊂ C, z0 ∈ M und z1 ∈ C \ M . Dann triﬀt jeder stetige Weg von z0 nach z1 den Rand von M . Beweis: Sei α : [0, 1] → C ein stetiger Weg mit α(0) = z0 und α(1) = z1 . Wir setzen t0 := sup{t ∈ [0, 1] : α(t) ∈ M }. Oﬀensichtlich existiert t0 (da die betrachtete Menge nicht leer und nach oben beschr¨ankt ist). Sei w0 := α(t0 ). Ist w0 ∈ M , so ist t0 < 1, und zu jedem δ > 0 gibt es ein t mit t0 < t < t0 + δ und α(t) ∈ C \ M . Wird ein ε > 0 vorgegeben, so kann man wegen der Stetigkeit von α das δ so klein w¨ahlen, dass α(t) in Dε (w0 ) enthalten ist. Ist w0 ∈ M , so ist t0 > 0, und man kann in analoger Weise zu jedem ε > 0 ein δ > 0 und ein t mit t0 − δ < t < t0 ﬁnden, so dass α(t) ∈ M ∩ Dε (w0 ) ist. Damit geh¨ort w0 zum Rand von M .

1.1.20. Aufgaben A. Berechnen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + b i : √ (1 − i )2 ( 3 + i ) 1 1 2 2 √ + . und (2 + 3 i ) − (4 − i ) , (1 + i )4 (1 − i )4 1 − 3i

1.1

Die komplexen Zahlen

17

B. Berechnen Sie alle Potenzen i n f¨ ur n ∈ Z. C. Beweisen Sie die Ungleichung |z| − |w| ≤ |z − w|. D. Berechnen Sie cos(5t) und sin(5t) in Abh¨angigkeit von sin t und cos t. E. Berechnen Sie alle sechsten Einheitswurzeln. F. Sind die folgenden Mengen Gebiete in C ? G1 := {z = x + i y : 0 < x < 1, 0 < y < 1} \ K, mit K := {1/n + i t : 0 ≤ t ≤ 1/2}, n

G2 := {z ∈ C : |z| = 1}, G3 := G ∩ G , mit konvexen Gebieten G , G . Zeigen Sie, dass G3 unendlich viele Zusammenhangskomponenten haben kann, wenn G und G nicht konvex sind. Hinweis: M heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten z, w ∈ M auch deren Verbindungsstrecke zu M geh¨ort.

G. Sei K ⊂ C kompakt, A ⊂ C abgeschlossen, beide nicht leer. Ist K ∩ A = ∅, ur so gibt es Punkte z0 ∈ K und w0 ∈ A, so dass dist(z0 , w0 ) ≤ dist(z, w) f¨ alle z ∈ K und w ∈ A ist. H. Ist die Menge S := {z = x + i y : (x = 0 und |y| ≤ 1) oder (x > 0 und y = sin(1/x) )} wegzusammenh¨angend? I. Sei G ⊂ C ein Gebiet und K ⊂ G kompakt. Zeigen Sie, dass es eine kompakte Menge L mit K ⊂ L ⊂ G gibt, die nur endlich viele Zusammenhangskomponenten besitzt. Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine kompakte Menge mit unendlich vielen Zusammenhangskomponenten an. J. Zeigen Sie, dass jede Cauchy-Folge beschr¨ankt ist. Geben Sie eine divergente Folge (zn ) an, so dass die Folge der Betr¨age |zn | konvergiert. K. Bestimmen Sie alle H¨aufungspunkte der Folgen i n 1 − in zn := i n , wn := , und un := . n 1 + in L. Untersuchen Sie – abh¨angig von z – die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz: ∞ ∞

z − 1 n zn und . z+1 n2 n=0 n=1

1 Holomorphe Funktionen

18

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

Das Thema dieses Buches sind komplexwertige Funktionen von einer komplexen Ver¨anderlichen. Ihr Deﬁnitionsbereich ist normalerweise ein Gebiet G ⊂ C. Aber wie kann man sich eine Funktion f : G → C anschaulich vorstellen? Im Reellen versuchen wir, Funktionen von einer Ver¨anderlichen durch ihren Graphen darzustellen. Das l¨asst sich schlecht u ¨bertragen, denn obwohl der Graph einer komplexen Funktion von einer komplexen Ver¨anderlichen nur ein Gebilde mit zwei reellen Freiheitsgraden ist, ben¨otigt man zu seiner Darstellung den 4-dimensionalen Raum. Beschr¨ankt man sich andererseits auf die reellwertige Funktion z → |f (z)|, so verliert man zuviel Information. Wir werden in diesem Abschnitt versuchen, trotzdem eine gewisse Vorstellung von komplexen Funktionen zu bekommen, wir werden Beispiele betrachten und erkl¨aren, was man unter der Ableitung einer komplexen Funktion versteht. Beginnen wir mit einem ganz einfachen Beispiel, n¨amlich der Funktion f (z) = z2 . Eine bew¨ahrte Methode besteht darin, mit zwei Ebenen zu arbeiten. Ist w = z 2 , so ist |w| = |z|2 und arg(w) = 2 · arg(z). Es bietet sich daher an, mit Polarkoordinaten zu arbeiten. Die L¨ange r einer komplexen Zahl z = r · U (t) wird bei Anwendung von f quadriert, der Winkel t verdoppelt. Das Bild der rechten z-Halbebene {z = x + i y : x > 0} = {r · U (t) : r > 0 und − π/2 < t < +π/2} ist deshalb die komplette w-Ebene, aus der nur die negative x-Achse herausgenommen werden muss. Dabei werden die Strahlen t = const. auf ebensolche Strahlen abgebildet, nur ihr Winkel gegen die positive x-Achse verdoppelt sich. Die Kreise r = const. werden wieder auf Kreise abgebildet, allerdings mit quadriertem Radius. z-Ebene

w-Ebene

z → w = z 2

Man kann - wenn man will - auch mit kartesischen Koordinaten arbeiten. Weil (x + i y)2 = (x2 − y 2 ) + 2 i xy ist, werden die vertikalen Geraden x = a auf die durch

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

19

die Gleichungen u = a2 − y 2 und v = 2ay gegebenen und durch t 2 ,t αa (t) := a2 − 2a parametrisierten Parabeln abgebildet. Analog werden die horizontalen Geraden y = b auf die durch u = x2 − b2 und v = 2xb gegebenen und durch βb (t) :=

t 2 − b2 , t 2b

parametrisierten Parabeln abgebildet. Das Bild sieht etwa folgendermaßen aus: w-Ebene

z-Ebene x = const.

z = x + iy

→

w = (x2 − y 2 ) + i (2xy)

y = const.

Soweit funktioniert das ganz gut. Jetzt suchen wir nach der Umkehrabbildung. Dazu benutzen wir besser die Darstellung in Polarkoordinaten. Wenn wir f auf die rechte Halbebene beschr¨anken, dann erhalten wir als Wertemenge die ganze wEbene. Auf dem Rand gibt es allerdings ein Problem. Es ist f ( i t) = f (− i t) = −t2 . Damit f injektiv bleibt, d¨ urfen wir in der z-Ebene nur die Menge aller z mit Im(z) > 0 betrachten. Als Bildmenge erhalten wir dann die l¨angs der negativen reellen Achse (incl. Nullpunkt) aufgeschlitzte w-Ebene. Sei g1 : C \ R− → {z ∈ C : Im(z) > 0} deﬁniert durch √ g1 (r(cos ϕ + i sin ϕ)) := r (cos(ϕ/2) + i sin(ϕ/2)). Dann ist g1 eine Umkehrung von f |{z∈C : Im(z)>0} . Deﬁnieren wir g2 : C \ R− → {z ∈ C : Im(z) < 0} durch g2 (w) := −g1 (w), so ist g2 eine Umkehrung von f |{z∈C : Im(z)<0} .

√ Um also eine globale Umkehrfunktion g(w) = w von f (z) = z 2 zu deﬁnieren, brauchen wir als Deﬁnitionsbereich zwei Exemplare der geschlitzten Ebene. Dabei

1 Holomorphe Funktionen

20

ist Folgendes zu beachten: N¨ahert man sich in der w-Ebene von √ oben dem Schlitz Zahl z = i r. Bei Ann¨aherung bei w = −r, so n¨ahert sich der Wert von g1 der √ von unten√ergibt sich als Wert die Zahl z = − i r. Bei g2 ist es gerade umgekehrt. Um nun z stetig zu deﬁnieren, muss man die Oberkante der ersten Ebene mit der Unterkante der zweiten Ebene zusammenkleben, und die Unterkante der ersten Ebene mit der Oberkante der zweiten Ebene. Es entsteht eine Fl¨ache R, die in zwei Bl¨attern u ¨ber C∗ liegt. Der Nullpunkt fehlt dabei. 0

R

Die Fl¨ache R nennt man die Riemannsche Fl¨ache von folgendermaßen gewinnen:

√

w. Man kann sie auch

R = {(z, w) ∈ C∗ × C∗ : w = z 2 }. Die Projektion π := pr2 |R : R → C∗ mit π : (z, z 2 ) → z 2 hat die Eigenschaft, dass π −1 (w) = {g1 (w), g2 (w)} genau die beiden Wurzeln aus w enth¨alt. Andererseits ist R aber auch der Graph von f (z) = z 2 u ¨ber C∗ . Die Verklebung der beiden Bl¨atter ist im dreidimensionalen Raum nicht ohne Selbstdurchdringung m¨oglich. Im vierdimensionalen Raum funktioniert es aber, auch wenn wir uns das anschaulich nicht mehr vorstellen k¨onnen. Wir werden hier die Theorie der Riemannschen Fl¨achen nicht weiter verfolgen, dazu fehlen uns die n¨otigen Mittel. Die Problematik, eindeutige Umkehrfunktionen zu ﬁnden, wird uns aber immer wieder begegnen. Im Folgenden wollen wir weitere Beispiele von komplexwertigen Funktionen kennenlernen, die auf C oder auf Teilmengen von C deﬁniert sind. Besonders prominente Beispiele sind die (auf ganz C deﬁnierten) komplexen Polynome p(z) := an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 und die komplexen Potenzreihen P (z) :=

∞

cν (z − a)ν ,

ν=0

sofern sie konvergieren. Eine Potenzreihe ist eine Reihe komplexwertiger Funktionen. F¨ ur solche Reihen hat man die gleichen Konvergenzbegriﬀe wie im Reellen.

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

21

Sind komplexwertige Funktionen (fν ) auf einer Menge M ⊂ C gegeben, so sagt man: gegen eine Funktion f : M → C, falls f¨ ur jedes 1. ν fν konvergiert punktweise z ∈ M die Zahlenreihe ∞ f (z) gegen f (z) konvergiert. ν ν=0 ∞ 2. ν fν konvergiert normal auf M , falls die Reihe ν=0 supM |fν | konvergiert. 3. aßig gegen f , falls gilt: ν fν konvergiert auf M gleichm¨ n ∀ ε > 0 ∃ n0 , so dass f¨ ur alle n ≥ n0 gilt: sup fν (z) − f (z) < ε. M

ν=0

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums folgt aus der normalen Konvergenz sofort die punktweise Konvergenz gegen eine Grenzfunktion f . F¨ ur N ∈ N sei FN := N ν=1 fν die N -te Partialsumme. Wir setzen voraus, dass die Reihe normal konvergiert. Ist ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein n0 , so dass f¨ ur n ≥ n0 und jedes z ∈ M gilt: |Fn (z) − Fn0 (z)| = |

n

fν (z)| ≤

ν=n0 +1

n

|fν (z)| ≤

ν=n0 +1

n

ν=n0 +1

sup|fν | < M

ε . 3

Zu jedem speziellen z ∈ M gibt es ein m > n0 , so dass |Fm (z) − f (z)| < ε/3 ist. Dann folgt aber f¨ ur dieses z und n > n0 : |Fn (z) − f (z)| ≤ |Fn (z) − Fm (z)| + |Fm (z) − f (z)| ≤ ≤ |Fn (z) − Fn0 (z)| + |Fm (z) − Fn0 (z)| + |Fm (z) − f (z)| ε ε ε + + = ε. < 3 3 3 Weil das f¨ ur jedes z ∈ M gilt, konvergiert die Reihe gleichm¨aßig. Dass die punktweise Konvergenz auch direkt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz folgt, ist oﬀensichtlich. Bevor wir fortfahren, m¨ ussen wir auf den Begriﬀ der Stetigkeit eingehen.

Deﬁnition

(Grenzwert einer Funktion, Stetigkeit)

Sei G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ C \ G und f : G → C eine Funktion. Man sagt, f hat in z0 den Grenzwert c (in Zeichen: lim f (z) = c), falls gilt: z→z0

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, so dass gilt: Ist |z − z0 | < δ, so ist |f (z) − f (z0 )| < ε. Geh¨ort z0 zu G, so nennt man f stetig in z0 , falls gilt: lim f (z) = f (z0 ).

z→z0

1 Holomorphe Funktionen

22

Auch das Folgenkriterium“ f¨ ur die Stetigkeit kann w¨ortlich aus dem Reellen u ¨ber” tragen werden: ur jede Folge (zn ) mit lim zn = z0 gilt: f ist genau dann in z0 stetig, wenn f¨ n→∞

lim f (zn ) = f (z0 ).

n→∞

Da im Komplexen die gleichen Grenzwerts¨atze wie im Reellen gelten, sind Summen und Produkte stetiger Funktionen wieder stetig. Insbesondere ist jedes Polynom eine stetige Funktion auf ganz C. F¨ ur Reihen stetiger Funktionen gilt das

1.2.1. Weierstraß–Kriterium Es sei M ⊂ C, und es seien stetige Funktionen fν : M → C gegeben. Weiter gebe es eine konvergente Reihe ∞ ν=0 aν nicht-negativer reeller Zahlen und ein ν0 ∈ N, so dass gilt: |fν (z)| ≤ aν f¨ ur ν ≥ ν0 und alle z ∈ M. ∞ Dann konvergiert ν=0 fν auf M normal (und damit gleichm¨aßig) gegen eine stetige Funktion auf M . Beweis: Das Majorantenkriterium liefert sofort die normale Konvergenz und damit die gleichm¨aßige Konvergenz der Reihe auf M . Die Grenzfunktion sei mit f bezeichnet. Die Stetigkeit dieser Grenzfunktion zeigt man mit dem u ¨blichen ε/3Beweis. Wir leiten sie aus der gleichm¨aßigen Konvergenz her: Sei z0 ∈ M und ein ε > 0 vorgegeben. Wegen der gleichm¨aßigen Konvergenz gibt ur alle n ≥ n0 und alle z ∈ M gilt: es ein n0 , so dass f¨ |Fn (z) − f (z)| <

ε . 3

W¨ahlt man ein festes n ≥ n0 , so gibt es wegen der Stetigkeit von Fn in z0 ein δ > 0, so dass f¨ ur |z − z0 | < δ gilt: |Fn (z) − Fn (z0 )| <

ε . 3

F¨ ur solche z ist dann auch |f (z) − f (z0 )| ≤ |f (z) − Fn (z)| + |Fn (z) − Fn (z0 )| + |Fn (z0 ) − f (z0 )| ε ε ε + + = ε. < 3 3 3 Also ist f stetig in z0 . Typische Reihen stetiger Funktionen sind die Potenzreihen. Sie zeichnen sich durch ein aus. Es kann passieren, dass eine Potenzreihe ∞besonderes Konvergenzverhalten ν ν=0 aν (z − z0 ) nur im Entwicklungspunkt z0 (gegen den Wert a0 ) konvergiert.

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

23

Sobald aber nur in einem einzigen weiteren Punkt Konvergenz vorliegt, konvergiert die Reihe auf einer kompletten Kreisscheibe, und im Innern dieser Kreisscheibe sogar gleichm¨aßig.

¨ 1.2.2. Uber das Konvergenzverhalten von Potenzreihen Die Potenzreihe P (z) =

∞

n=0 cn (z

− a)n konvergiere f¨ ur ein z0 ∈ C, z0 = a.

Ist dann 0 < r < |z0 − a|, so konvergiert P (z) und auch die Reihe

P (z) :=

∞

n · cn (z − a)n−1

n=1

auf der Kreisscheibe Dr (a) absolut und gleichm¨aßig. y = Im(z) r s

s z0

a x = Re(z) n Beweis: 1) Da ∞ n=0 cn (z0 − a) nach Voraussetzung konvergiert, gibt es eine Konstante M > 0, so dass |cn (z0 − a)n | ≤ M f¨ ur alle n ist. Ist 0 < r < |z0 − a|, so ist q := r/|z0 − a| < 1. F¨ ur alle z mit |z − a| ≤ r gilt dann: z − a n ≤ M · qn . |cn (z − a)n | = |cn (z0 − a)n | · z0 − a ∞ n Die geometrische ∞ Reihe n n=0 M q konvergiert. Mit dem Majorantenkriterium folgt, dass n=0 cn (z − a) f¨ ur jedes z ∈ Dr (a) absolut konvergiert, und mit dem Weierstraß–Kriterium folgt sogar, dass die Reihe auf Dr (a) gleichm¨aßig konvergiert. · qn−1 und := M/r. Nach (1) ist |n · cn (z − a)n−1 | ≤ n · M 2) Sei M · qn (n + 1) · M n+1 = lim · q = q < 1. n→∞ n→∞ n−1 n n·M ·q lim

n−1 konvergiert, und wie Aus dem Quotientenkriterium folgt jetzt, dass ∞ n=1 n· M ·q ∞ oben kann man daraus schließen, dass n=1 n · cn (z − a)n−1 auf Dr (a) gleichm¨aßig konvergiert. Die Zahl R := sup{r ≥ 0 : ∃ z0 ∈ C mit r = |z0 − a|, so dass P (z0 ) konvergiert}

1 Holomorphe Funktionen

24

heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Die F¨alle R = 0 und R = +∞ sind dabei auch zugelassen. Der Kreis um a mit Radius R heißt der Konvergenzkreis der Reihe. Es gilt: 1. F¨ ur 0 < r < R konvergiert P (z) auf Dr (a) normal (und damit insbesondere absolut und gleichm¨aßig). 2. Ist |z0 − a| > R, so divergiert P (z0 ). 3. Die Grenzfunktion P (z) ist im Innern des Konvergenzkreises DR (a) stetig. F¨ ur den Konvergenzradius einer Potenzreihe gibt es verschiedene Berechnungsmethoden:

1.2.3. Lemma von Abel Sei R > 0 der Konvergenzradius der Potenzreihe f (z) =

∞

cn (z − a)n . Dann ist

n=0

R = sup{r ≥ 0 : |cn |r Beweis:

n

n∈N

beschr¨ankt }.

Sei r0 der Wert auf der rechten Seite der Gleichung.

Wenn eine Reihe nicht-negativer reeller Zahlen konvergiert, dann bilden ihre Glieder eine Nullfolge und sind ∞insbesonderen beschr¨ankt. Ist also r 0 vorausgesetzt wurde, muss auch r0 > 0 sein. ist Ist nun n0 < r < r0 , so kann man noch ein r mit r < r < r0 ﬁnden. Dann |cn |(r ) beschr¨ankt, etwa durch eine Konstante M . Wir setzen q := r/r und erhalten:

1. 0 < q < 1. 2. |cn |rn = |cn |(r q)n ≤ M · q n . Mit dem Majorantenkriterium folgt die Konvergenz der Reihe Weil das f¨ ur alle r < r0 gilt, ist auch r0 ≤ R.

∞

|cn |rn , also r ≤ R.

n=0

Um ein allgemeines Konvergenzkriterium formulieren zu k¨onnen, m¨ ussen wir an den Begriﬀ des Limes Superior erinnern. Ist (an ) eine nach oben beschr¨ankte Folge reeller Zahlen, so versteht man unter ihrem Limes superior (in Zeichen: lim an oder lim sup an ) den gr¨oßten H¨aufungspunkt der Folge. Besitzt die Folge keinen H¨aufungspunkt, so ist lim an := −∞.

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

25

F¨ ur eine nach oben beschr¨ankte Folge (an ) ist genau dann c = lim an , wenn f¨ ur alle ur alle n ≥ n0 gilt: ε > 0 ein n0 existiert, so dass f¨ an < c + ε, und es gibt ein k > n mit c − ε < ak . Ist die Folge (an ) nicht nach oben beschr¨ankt, so besitzt sie keinen Limes superior. Manchmal wird dann aber in der Literatur auch lim an = +∞ gesetzt. Ist eine Folge (an ) konvergent, so ist ihr Limes auch ihr einziger H¨aufungspunkt und damit ihr Limes superior.

1.2.4. Formel von Cauchy-Hadamard Sei f (z) =

∞

cn (z − a)n eine Potenzreihe und γ := lim sup

n

|cn |. Dann gilt f¨ ur

n=0

den Konvergenzradius R der Potenzreihe: 1. Wenn γ eine endliche Zahl > 0 ist, dann ist R = 1/γ. 2. Wenn γ = 0 ist, dann ist R = ∞. 3. Wenn die Folge n |cn | unbeschr¨ankt (also γ = ∞) ist, dann ist R = 0. Beweis: Sei z ∈ C, z = a. Setzt man α(z) := lim die Gleichung α(z) = |z − a| γ.

n

|cn (z − a)n |, so erh¨alt man

1) Sei 0 < γ < +∞. Ist |z − a| < 1/γ, so ist α(z) < 1 und es gibt ein q mit α(z) < q < 1 und ein n0 , so dass n |cn (z − a)n | < q und damit |cn (z − a)n | < q n f¨ ur n ≥ n0 ist. Dann folgt aus dem Majorantenkriterium, dass die Potenzreihe in z (absolut) konvergiert. Ist |z − a| > 1/γ, so ist α(z) > 1. Das bedeutet, dass unendlich viele Terme |cn (z − a)n | ebenfalls > 1 sind. Dann divergiert die Potenzreihe. 2) Sei γ = 0. Dann ist auch α(z) = 0 f¨ ur alle z = a, und die Folge n |cn (z − a)n | konvergiert gegen Null. Ist 0 < q < 1, so gibt es ein n0 , so dass |cn (z − a)n | < q n f¨ ur n ≥ n0 gilt. Die Reihe konvergiert. 3) Sei γ = +∞. Dann sind die Glieder der Potenzreihe in jedem Punkt z = a unbeschr¨ankt, und die Reihe divergiert dort. Ein zentraler Begriﬀ in der Analysis ist die Diﬀerenzierbarkeit“. Anschaulich ge” winnt man die Ableitung einer Funktion u ¨ber einen Grenzprozess als Richtung der Tangente an den Graphen der Funktion. Um allerdings Ableitungen zu berechnen, ben¨otigt man diese anschauliche Deutung nicht, der Diﬀerential-Kalk¨ ul liefert einen handlichen algebraischen Apparat daf¨ ur. Als Euler seinerzeit recht sorglos begann, mit komplexen Zahlen, Funktionen und Reihen zu rechnen, benutzte er die u ¨blichen Regeln:

1 Holomorphe Funktionen

26 (z n ) = n · z n−1 , (ez ) = ez

usw.

Diese Regeln gewinnt man ganz einfach, wenn man den Begriﬀ des Diﬀerentialquotienten rein formal ins Komplexe u ¨bertr¨agt.

Deﬁnition

(Komplexe Diﬀerenzierbarkeit)

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine Funktion und z0 ∈ G ein Punkt. f heißt in z0 komplex diﬀerenzierbar, falls der Grenzwert f (z0 ) := lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

existiert. Die komplexe Zahl f (z0 ) nennt man dann die Ableitung von f in z0 . f heißt auf G komplex diﬀerenzierbar, falls f in jedem Punkt von G komplex diﬀerenzierbar ist. Dass das so sch¨on geht, liegt daran, dass C eben mehr als der R2 ist. C ist nicht nur ein reeller Vektorraum, C ist ein K¨orper! Sehr handlich ist das folgende Diﬀerenzierbarkeitskriterium: f ist genau dann in z0 komplex diﬀerenzierbar, wenn es eine in z0 stetige Funktion Δ : G → C gibt, so dass f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) · Δ(z) in jedem Punkt z ∈ G gilt. Nat¨ urlich ist dann f (z) − f (z0 ) Δ(z) = z − z0

in jedem Punkt z = z0 ,

sowie Δ(z0 ) = f (z0 ).

1.2.5. Satz (Ableitungsregeln) f, g : G → C seien beide in z0 ∈ G komplex diﬀerenzierbar, c eine komplexe Zahl. 1. f + g, c f und f · g sind ebenfalls in z0 komplex diﬀerenzierbar, und es gilt:

und

(f + g) (z0 ) = f (z0 ) + g (z0 ) (c f ) (z0 ) = c f (z0 ) (f · g) (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g (z0 ).

2. Ist g(z0 ) = 0, so ist auch noch g(z) = 0 nahe z0 , f /g in z0 komplex diﬀerenzierbar und f f (z0 ) · g(z0 ) − f (z0 ) · g (z0 ) (z0 ) = . g g(z0 )2 3. Ist h in w0 := f (z0 ) komplex diﬀerenzierbar, so ist h ◦ f in z0 komplex diﬀerenzierbar, und es gilt: (h ◦ f ) (z0 ) = h (w0 ) · f (z0 ).

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

27

Der Beweis geht genauso wie im Reellen. Exemplarisch soll hier nur der Beweis f¨ ur die Kettenregel angegeben werden: Ist h(w) = h(w0 ) + Δ∗∗ (w) · (w − w0 ) und f (z) = f (z0 ) + Δ∗ (z) · (z − z0 ), mit einer in w0 stetigen Funktion Δ∗∗ und einer in z0 stetigen Funktion Δ∗ , so folgt: (h ◦ f )(z) = h(w0 ) + Δ∗∗ (f (z)) · (f (z) − w0 ) = (h ◦ f )(z0 ) + Δ∗∗ (f (z)) · Δ∗ (z) · (z − z0 ). Nun kann man Δ(z) := Δ∗∗ (f (z)) · Δ∗ (z) setzen. Da diese Funktion in z0 stetig ist, folgt die komplexe Diﬀerenzierbarkeit von h ◦ g und die Kettenregel. F¨ ur den Beweis des n¨achsten Satzes brauchen wir noch einen

1.2.6. Hilfssatz Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C lokal-konstant. Dann ist f auf G sogar konstant. Beweis: Dass f lokal-konstant ist, bedeutet, dass es zu jedem Punkt z ∈ G eine Umgebung U = U (z) ⊂ G gibt, auf der f konstant ist. Daraus folgt nat¨ urlich, dass f stetig ist. Sei nun z0 ∈ G, c := f (z0 ) und Z := {z ∈ G : f (z) = c}. Deﬁnitionsgem¨aß ist Z = ∅. Und weil f lokal-konstant ist, ist Z oﬀen. Ist z ∈ G\Z und f (z) = d = c, so gibt es eine oﬀene Umgebung V = V (z) ⊂ G, auf der f konstant = d ist. Die Vereinigung aller dieser Umgebungen ergibt G \ Z, und diese Menge muss demnach oﬀen sein. Nun folgt, dass Z = G ist, also f konstant auf G.

1.2.7. Satz Sei f : G → C komplex diﬀerenzierbar und f (z) ≡ 0. Dann ist f konstant. Beweis: Sei z0 ∈ G und U = U (z0 ) ⊂ G eine konvexe oﬀene Umgebung. Ist z ∈ U , so deﬁnieren wir g : [a, b] → C durch g(t) := f (z0 + t(z − z0 )). Sei t0 ∈ [a, b] und w0 := z0 + t0 (z − z0 ). Weil f komplex diﬀerenzierbar ist, gibt es eine in w0 stetige Funktion Δ, so dass f (w) − f (w0 ) = (w − w0 )Δ(w) und Δ(w0 ) = f (w0 ) ist. Mit w := z0 + t(z − z0 ) folgt dann: g(t) − g(t0 ) = f (w) − f (w0 ) = (t − t0 )(z − z0 )Δ(z0 + t(z − z0 )), also

g(t) − g(t0 ) = (z − z0 )Δ(z0 + t(z − z0 )), t − t0 wobei die rechte Seite f¨ ur t → t0 gegen gegen (z − z0 ) · f (w0 ) = 0 konvergiert. Also verschwindet die Ableitung von g auf dem ganzen Intervall [a, b], und g ist dort konstant. Daraus folgt, dass f (z) = g(1) = g(0) = f (z0 ) ist, also f konstant auf U .

1 Holomorphe Funktionen

28

Wir haben nachgewiesen, dass f lokal-konstant ist. Auf dem Gebiet G muss f dann auch global konstant sein.

1.2.8. Beispiele n

A. Weil z −

z0n

= (z − z0 ) ·

n−1

z i z0n−i−1 ist, ist

i=0

z n − z0n = lim z i z0n−i−1 = z0n−1 = n · z0n−1 . z→z0 z − z0 i=0 i=0 n−1

lim

z→z0

n−1

Also ist tats¨achlich u ¨berall (z n ) = n z n−1 . Auch hier zeigt sich der Vorteil, dass C ein K¨orper ist. B. Die komplexen Polynome p(z) = an z n +· · ·+a1 z +a0 sind auf ganz C komplex diﬀerenzierbar, die Ableitung gewinnt man in gewohnter Weise. C. Die Funktion f (z) = zz ist in z0 = 0 komplex diﬀerenzierbar, denn Δ(z) := z ist im Nullpunkt stetig, und es ist f (z) = f (0) + z · Δ(z). Die Punkte z = 0 werden wir sp¨ater untersuchen. D. Rationale Funktionen sind auf ihrem ganzen Deﬁnitionsbereich komplex differenzierbar. Das gilt insbesondere f¨ ur alle M¨obius-Transformationen“. Eine ” (gebrochen) lineare Transformation oder M¨obius-Transformation ist eine Abbildung der Gestalt T (z) :=

az + b , cz + d

ad − bc = 0.

Die Funktion T ist f¨ ur alle z = −d/c deﬁniert und stetig. Wir betrachten zwei Spezialf¨alle. 1. Fall: Ist c = 0, A := a/d und B := b/d, so ist T eine komplexe aﬃn-lineare Funktion: T (z) = A · z + B. Da A eine komplexe Zahl ist, stellt die Abbildung z → A·z eine Drehstreckung dar. Die Abbildung w → w + B ist eine Translation der Ebene. 2. Fall: Die Abbildung I(z) := 1/z nennt man die Inversion. Sie ist auf C∗ := C \ {0} deﬁniert und stetig. Bekanntlich ist 1 1 = · z¯. z z z¯

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

29

Schreibt man z in der Form z = r · (cos t + i sin t), mit reellem r > 0 und t ∈ [0, 2π), so ist z z¯ = r 2 und z¯ = r · (cos t − i sin t). Also gilt: |I(z)| =

1 |z|

und

arg(I(z)) = − arg(z) .

¨ F¨ ur z = r · (cos t + i sin t) bedeutet der Ubergang r → 1/r eine Spiegelung ¨ am Einheitskreis, der Ubergang t → −t eine Spiegelung an der x–Achse. sz

0

1 1 z

s

az + b eine beliebige M¨obius-Transformation mit c = 0 und A := cz + d (bc − ad)/c und B := a/c, so ist

Ist T (z) =

A·

(a(cz + d) + (bc − ad) 1 +B = cz + d c(cz + d) az + b acz + ad + bc − ad = = T (z). = c(cz + d) cz + d

Also setzt sich T aus aﬃn-linearen Funktionen und der Inversion zusammen. E. Sei f (z) =

∞

cn z n eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0

n=0

und Konvergenzradius R > 0. Behauptung: f ist in jedem Punkt z des Konvergenzkreises DR (0) komplex diﬀerenzierbar, und es gilt: f (z) =

∞

n · cn z n−1 .

n=1

Beweis: Wir wissen schon, dass die formal gliedweise diﬀerenzierte Reihe ∞

n=1

n · cn z n−1

1 Holomorphe Funktionen

30

ebenfalls in DR (0) konvergiert. Daraus kann man leicht folgern, dass f im Nullpunkt diﬀerenzierbar und f (0) = c1 ist: Es ist f (z) − f (0) = z ·

∞

cn z n−1 .

n=1

Schwieriger wird es aber, wenn man die komplexe Diﬀerenzierbarkeit von f in einem beliebigen Punkt z0 des Konvergenzkreises DR (z0 ) zeigen will. Sei z0 ein solcher Punkt . Ist FN (z) die N -te Partialsumme von f (z), so ist FN (z) − FN (z0 ) =

N

cn (z n − z0n ) = (z − z0 ) · ΔN (z),

n=1

mit ΔN (z) :=

N

cn

n=1

n−1

z i z0n−i−1 .

i=0

ur z ∈ Dr (0) gilt dann: Wir w¨ahlen ein r < R, so dass |z0 | < r ist. F¨ n−1 n−1

cn z i z0n−i−1 ≤ |cn | · |z|i |z0 |n−i−1 ≤ |cn | · n · rn−1 . i=0

i=0

∞

n · cn z n−1 in jedem Punkt z ∈ Dr (0) absolut konvergiert, ∞

ist insbesondere die reelle Reihe n|cn |rn−1 konvergent.

Da die Reihe

n=1

n=1

Nach dem Weierstraß-Kriterium konvergiert dann ΔN (z) gleichm¨aßig auf Dr (0) gegen die stetige Funktion Δ(z) := lim ΔN (z) = N →∞

∞

n=1

cn

n−1

z i z0n−i−1

(mit Δ(z0 ) =

∞

n · cn z0n−1 ).

n=1

i=0

ubergang Aus der Gleichung FN (z) = FN (z0 )+(z−z0 )·ΔN (z) wird beim Grenz¨ N → ∞ die Gleichung f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) · Δ(z). Also ist f in z0 komplex diﬀerenzierbar und f (z0 ) =

∞

n · cn · z0n−1 .

n=1

Potenzreihen mit beliebigem Entwicklungspunkt werden wir sp¨ater behandeln. Die Reihen

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

exp(z) := sin(z) :=

31

∞

zn n=0 ∞

n!

,

(−1)n

z 2n+1 (2n + 1)!

(−1)n

z 2n . (2n)!

n=0

und

cos(z) :=

∞

n=0

konvergieren auf ganz C und stellen dort komplex diﬀerenzierbare Funktionen (Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus) dar. Auf R stimmen sie nat¨ urlich mit den bekannten Funktionen u ¨berein. Die Reihen k¨onnen gliedweise diﬀerenziert werden. Deshalb gilt: exp (z) = exp(z),

sin (z) = cos(z)

und

cos (z) = − sin(z).

1.2.9. Satz (Euler’sche Formel) F¨ ur t ∈ R ist exp( i t) = cos t + i sin t = U (t). Beweis: exp( i t).

Man berechne Realteil und Imagin¨arteil der Reihenentwicklung von

Auch die komplexe Exponentialfunktion erf¨ ullt das

1.2.10. Additionstheorem Es ist exp(z + w) = exp(z) · exp(w) f¨ ur alle z, w ∈ C. Beweis: Sei z0 ∈ C fest und f (z) := exp(z) · exp(z0 − z). Dann ist f (z) ≡ 0, also f (z) ≡ f (0) = exp(z0 ) konstant. Setzt man w := z0 − z, so ist z0 = z + w und exp(z + w) = f (z) = exp(z) · exp(w).

1.2.11. Folgerung (exp(z) = 0 auf C) Es ist exp(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ C und exp(z)−1 = exp(−z). Beweis: Es ist 1 = exp(0) = exp z + (−z) = exp(z) · exp(−z). Daraus folgen beide Behauptungen.

1.2.12. Folgerung (Periodizit¨ at der Exponentialfunktion) Es ist exp(z + 2π i ) = exp(z), f¨ ur alle z ∈ C.

1 Holomorphe Funktionen

32

Beweis:

Es ist exp(2π i ) = cos(2π) + i sin(2π) = 1, also exp(z + 2π i ) = exp(z) · exp(2π i ) = exp(z).

Das ist alles! Die Exponentialfunktion ist also u ¨ber C periodisch. Außerdem gilt f¨ ur alle z ∈ C die Euler’sche Formel: exp( i z) = cos(z) + i sin(z) Beweis:

Ersetzt man jeweils −1 durch i 2 , so erh¨alt man cos z + i sin z =

∞

(−1)n

n=0

=

∞

z 2n z 2n+1 (−1)n +i (2n)! (2n + 1)! n=0

∞

( i z)2n n=0

(2n)!

+

∞

( i z)2n+1 = exp( i z). (2n + 1)! n=0

Daraus folgen auch neue Relationen, z.B.: 1 cos(z) = (e i z + e− i z ) 2

und

sin(z) =

1 iz (e − e− i z ). 2i

Bemerkung: An Stelle von exp(z) schreibt man auch ez . Eine endg¨ ultige Rechtfertigung daf¨ ur liefern wir in Abschnitt 1.4. Insbesondere ist U (t) = e i t . Eine beliebige komplexe Zahl z = 0 kann deshalb auf eindeutige Weise in der Form z = r · e i t geschrieben werden, mit r > 0 und 0 ≤ t < 2π. Das ist die Polarkoordinaten-Darstellung in ihrer endg¨ ultigen Form.

1.2.13. Aufgaben A. Berechnen Sie

√ √ 5 − 12 i und −24 + 10 i .

B. Sei K ⊂ C kompakt und f : K → C stetig. Zeigen Sie, dass dann auch f (K) kompakt ist. Schließen Sie daraus, dass |f | auf K sein Maximum annimmt. C. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen: (a) P1 (z) :=

∞

k

z2 .

k=0

(b) P2 (z) :=

∞

n3 n=1

3n

zn.

1.2

Komplex diﬀerenzierbare Funktionen

(c) P3 (z) :=

∞

33

(−1)n 3n+1 nz 2n+1 .

n=1 ∞

zn (d) P4 (z) := . nn n=1

D. Sei P (z) =

∞

an (z − z0 )n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Zeigen

n=0

∞

an Sie, dass Q(z) := (z − z0 )n+1 den gleichen Konvergenzradius wie P n + 1 n=0 hat.

E. Schreiben Sie f (z) := z 2 − 2z + 1 in der Form f (z) = f (z0 ) + (z − z0 )Δ(z), f¨ ur z0 = 1 bzw. z0 = i , und zeigen Sie, dass Δ(z) f¨ ur z → z0 gegen f (z0 ) konvergiert. F. Zeigen Sie, dass f (z) := zez und berechnen Sie f (0).

2 +1

+ |z|2 in z = 0 komplex diﬀerenzierbar ist,

ur alle G. Sei f in Dr (z0 ) komplex diﬀerenzierbar und f stetig. Zeigen Sie: F¨ Folgen (zn ) und (wn ) mit zn = wn und limn→∞ zn = limn→∞ wn = z0 ist lim

n→∞

f (zn ) − f (wn ) = f (z0 ). zn − wn

H. Zeigen Sie, dass f (z) := (z + 1)/(z − 1) die Menge C \ {1} holomorph und bijektiv auf sich abbildet, sowie D1 (0) auf {z ∈ C : Re(z) < 0}. I. Benutzen Sie die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, um zu zeigen: |exp z − 1| ≤ 2|z| f¨ ur |z| ≤

1 . 2

Folgern Sie daraus: Konvergiert eine Folge (fn ) von stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge K ⊂ C gleichm¨aßig gegen die Funktion f , so konvergiert die Folge (exp ◦fn ) auf K gleichm¨aßig gegen exp ◦f . J. Beweisen Sie die Gleichungen sin2 z + cos2 z = 1

und

sin(2z) = 2 sin z cos z.

K. Zeigen Sie, dass sin(x + i y) = sin x cosh y + i cos x sinh y ist. L. Die komplexen hyperbolischen Funktionen werden deﬁniert durch 1 sinh z := (ez − e−z ) 2

und

1 cosh z := (ez + e−z ). 2

Zeigen Sie, dass sinh z = − i sin( i z) und cosh z = cos( i z) ist.

1 Holomorphe Funktionen

34

1.3

Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit

Wir vergleichen in diesem Abschnitt die komplexe Diﬀerenzierbarkeit in C mit der reellen Diﬀerenzierbarkeit im R2 und gewinnen so neue Erkenntnisse u ¨ber die Eigenschaften komplex diﬀerenzierbarer Funktionen. Insbesondere wird der Begriﬀ der konformen Abbildung eingef¨ uhrt. Zur Erinnerung: Sei G ⊂ C ein Gebiet und f eine komplexwertige Funktion auf G. Fasst man f als Abbildung von G nach R2 auf, so wird die totale Diﬀerenzierbarkeit von f u ¨blicherweise wie folgt deﬁniert: f heißt in z0 reell (total) diﬀerenzierbar, wenn es eine R-lineare Abbildung L : C → C und eine in der N¨ahe des Nullpunktes deﬁnierte Funktion r gibt, so dass gilt: ur z nahe z0 . 1. f (z) = f (z0 ) + L(z − z0 ) + r(z − z0 ) f¨ 2. lim h→0 h=0

r(h) = 0. |h|

Die eindeutig bestimmte lineare Abbildung L nennt man die totale Ableitung von f in z0 und bezeichnet sie mit Df (z0 ). Bei der Identiﬁkation von C mit dem R2 entsprechen die komplexen Zahlen 1 und i den Einheitsvektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1). Deshalb nennt man die komplexen Zahlen fx (z0 ) =

∂f (z0 ) := Df (z0 )(1) ∂x

und

fy (z0 ) =

∂f (z0 ) := Df (z0 )( i ) ∂y

die partiellen Ableitungen von f nach x und y. Ist f = g + i h, so gilt: fx (z0 ) = gx (z0 ) + i hx (z0 )

und fy (z0 ) = gy (z0 ) + i hy (z0 ).

uglich der Basis Die R-lineare Abbildung Df (z0 ) wird deshalbbez¨ {1, i } durch die gx (z0 ) gy (z0 ) Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) Jf (z0 ) := beschrieben. hx (z0 ) hy (z0 )

1.3.1. Satz Ist f in z0 komplex diﬀerenzierbar, so ist f in z0 auch reell diﬀerenzierbar, und die totale Ableitung Df (z0 ) : C → C ist die Multiplikation mit f (z0 ), also C − linear. Auch die Umkehrung dieser Aussage ist richtig. Beweis: Sei f in z0 komplex diﬀerenzierbar. Dann gibt es eine in z0 stetige Funktion Δ, so dass gilt: f (z) = f (z0 ) + (z − z0 )Δ(z) = f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + Δ(z) − f (z0 ) (z − z0 ) = f (z0 ) + L(z − z0 ) + r(z − z0 ),

1.3

Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit

35

mit der durch L(v) := f (z0 ) · v deﬁnierten linearen Abbildung L und der Funktion r(h) := (Δ(z0 + h) − f (z0 )) · h. Dann gilt: r(h) ur h → 0) = Δ(z0 + h) − f (z0 ) → 0 (f¨ h Also ist f in z0 reell diﬀerenzierbar und Df (z0 ) = L sogar C-linear. Ist umgekehrt f in z0 reell diﬀerenzierbar und Df (z0 ) C-linear, so gibt es eine komplexe Zahl a, so dass Df (z0 )(v) = a · v ist, und es gibt eine Darstellung r(h) = 0. h→0 h

f (z) = f (z0 ) + a(z − z0 ) + r(z − z0 ), mit lim

r(z − z0 ) , f¨ ur z = z0 , so strebt Δ(z) → a f¨ ur z → z0 , z − z0 Δ ist also stetig nach z0 fortsetzbar. Außerdem ist Δ(z)(z − z0 ) = f (z) − f (z0 ). Setzt man dann Δ(z) := a +

Eine R-lineare Abbildung L : C → C ist genau dann zus¨atzlich C-linear, wenn es eine komplexe Zahl c0 gibt, so dass L(w) = c0 · w ist. Schreibt man c0 = a0 + i b0 , so ist c0 · 1 = a0 + i b0 und uglich {1, i } c0 · i = −b0+ i a0 . Das bedeutet, dass L bez¨ a0 −b0 durch die Matrix A = beschrieben wird. F¨ ur eine in z0 komplex b0 a0 diﬀerenzierbare Funktion muss also gelten: gx (z0 ) = hy (z0 )

und

gy (z0 ) = −hx (z0 ) .

Dieses kleine System von partiellen Diﬀerentialgleichungen ist der Schl¨ ussel zum Verst¨andnis der komplexen Diﬀerenzierbarkeit. Man spricht von den CauchyRiemann’schen Diﬀerentialgleichungen.

1.3.2. Charakterisierungen der (kompl.) Diﬀerenzierbarkeit Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: 1. f ist in z0 reell diﬀerenzierbar und Df (z0 ) : C → C ist C-linear. 2. Es gibt eine in z0 stetige Funktion Δ : G → C, so dass f¨ ur alle z ∈ G gilt: f (z) = f (z0 ) + Δ(z) · (z − z0 ). 3. f ist in z0 komplex diﬀerenzierbar. 4. f ist in z0 reell diﬀerenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen gx (z0 ) = hy (z0 )

und

gy (z0 ) = −hx (z0 ).

1 Holomorphe Funktionen

36

Beweis: ¨ Die Aquivalenz der Aussagen (1), (2) und (3) haben wir schon gezeigt. Außerdem ist klar, dass aus diesen Aussagen auch (4) folgt. Ist schließlich f in z0 reell diﬀerenzierbar, und gelten die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen, so beschreibt die totale Ableitung die Multiplikation mit der komplexen Zahl gx (z0 ) + i hx (z0 ) = fx (z0 ). Also ist Df (z0 ) C-linear. Bemerkung: Ist f in z0 komplex diﬀerenzierbar, so ist f (z0 ) = fx (z0 ) = gx (z0 ) + i hx (z0 ) = hy (z0 ) − i gy (z0 ) = − i (gy (z0 ) + i hy (z0 )) = − i fy (z0 ).

1.3.3. Beispiel Sei f (z) := zz. Dann ist f in z0 := 0 komplex diﬀerenzierbar und f (0) = 0. Aber f ist in keinem Punkt z0 = 0 komplex diﬀerenzierbar, denn sonst w¨are dort auch die Funktion 1 k(z) := z = · f (z) z 1 0 komplex diﬀerenzierbar. Es ist aber Jk (z) = . 0 −1 Die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen sind nicht erf¨ ullt! Wir kommen jetzt zum zentralen Begriﬀ des Buches.

Deﬁnition

(Holomorphie)

Eine Funktion f heißt in z0 ∈ C holomorph, wenn sie in einer oﬀenen Umgebung U = U (z0 ) ⊂ C deﬁniert und komplex diﬀerenzierbar ist. Komplexe Polynome sind auf ganz C holomorph. Eine durch eine Potenzreihe deﬁnierte Funktion ist auf dem Konvergenzkreis der Reihe holomorph. Die Funktion f (z) := zz ist zwar in z = 0 komplex diﬀerenzierbar, aber nirgends holomorph! Funktionen, die auf einem Gebiet G ⊂ C komplex diﬀerenzierbar sind, sind dort auch automatisch holomorph.

1.3.4. Satz (u ¨ ber die Konstanz holomorpher Funktionen) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. 1. Nimmt f nur reelle oder nur rein imagin¨are Werte an, so ist f konstant. 2. Ist |f | konstant, so ist auch f konstant.

1.3

Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit

37

Beweis: 1) Nimmt f = g + i h nur reelle Werte an, so ist h(z) ≡ 0. Da f holomorph ist, gelten die Cauchy-Riemann’schen DGLn, und es ist gx = gy = 0. Das ist nur m¨oglich, wenn g lokal-konstant und daher u ¨berhaupt konstant ist. Also ist auch f konstant. Im Falle rein imagin¨arer Werte geht es genauso. 2) Sei |f | konstant. Ist diese Konstante = 0, so ist f (z) ≡ 0. Ist aber |f | =: c = 0, so ist die Funktion f f = c2 konstant und damit holomorph, und f besitzt keine Nullstellen. Daraus folgt, dass f = c2 /f holomorph ist, und damit auch 1 Re(f ) = (f + f ) 2

und

Im(f ) =

1 (f − f ). 2i

Wegen (1) muss f dann konstant sein. Wir wollen jetzt partielle Ableitungen nach z und z einf¨ uhren. Dieser nach Wilhelm Wirtinger benannte ¨außerst n¨ utzliche Kalk¨ ul kann allerdings nur formal verstanden werden. Er beruht auf dem folgenen einfachen Ergebnis aus der linearen Algebra:

1.3.5. Lemma Sei L : C → C eine R-lineare Abbildung. Dann gibt es eindeutig bestimmte komplexe Zahlen c, c , so dass gilt: L(z) = c · z + c · z . L ist genau dann C-linear, wenn c = 0 ist. Und L ist genau dann reellwertig, wenn c = c ist. Beweis:

Zun¨achst die Existenz: Es gibt komplexe Zahlen α und β, so dass gilt: L(x + i y) = αx + βy.

1 1 (z − z) ein, so erh¨alt man Setzt man die Beziehungen x = (z + z) und y = 2 2i 1 1 L(z) = (α − i β) · z + (α + i β) · z. 2 2 Man kann also c := (α − i β)/2 und c := (α + i β)/2 setzen. Zur Eindeutigkeit: Ist c1 · z + c1 · z = c2 · z + c2 · z f¨ ur alle z ∈ C und setzt man z = 1 bzw. z = i ein, so erh¨alt man die Gleichungen c1 + c1 = c2 + c2

und

c1 − c1 = c2 − c2 ,

also c1 = c2 und damit c1 = c2 . Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung ist klar, dass L genau dann C-linear ist, wenn c = 0 ist. ur alle z ∈ C ist, also cz + c z = L ist genau dann reellwertig, wenn L(z) = L(z) f¨ c z + cz und wegen der Eindeutigkeit dann c = c.

1 Holomorphe Funktionen

38

1.3.6. Satz Sei G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ G und f : G → C reell diﬀerenzierbar. Dann gibt es eindeutig bestimmte komplexe Zahlen fz (z0 ) und fz (z0 ), so dass gilt: Df (z0 )(h) = fz (z0 ) · h + fz (z0 ) · h. Nach dem vorangegangenen Lemma ist der Beweis jetzt trivial.

Deﬁnition

(Wirtinger-Ableitungen)

Die Zahlen

∂f ∂f (z0 ) := fz (z0 ) und (z0 ) := fz (z0 ) ∂z ∂z nennt man die Wirtinger-Ableitungen von f nach z und z.

1.3.7. Satz (Wirtinger-Kalku ¨ l) Sei G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ G und f : G → C in z0 reell diﬀerenzierbar. Dann gilt: und fz (z0 ) = 12 fx (z0 ) + i fy (z0 ) . 1. fz (z0 ) = 12 fx (z0 ) − i fy (z0 ) 2. f ist genau dann in z0 komplex diﬀerenzierbar, wenn fz (z0 ) = 0 ist. In dem Falle ist fz (z0 ) = f (z0 ). ullen 3. Die Ableitungen f → fz (z0 ) und f → fz (z0 ) sind in f C-linear und erf¨ die Produktregel. 4. H¨ohere Wirtinger-Ableitungen werden wie u ¨blich induktiv deﬁniert. Insbesondere gilt f¨ ur zweimal stetig diﬀerenzierbares f die Gleichung 1 fzz = (fxx + fyy ). 4 5. Ist α : I → G ein diﬀerenzierbarer Weg mit α(t0 ) = z0 , so ist (f ◦ α) (t0 ) = fz (z0 ) · α (t0 ) + fz (z0 ) · α (t0 ). Beweis: 1) Es ist Df (z0 )(u+ i v) = fx (z0 )u+fy (z0 )v. Die Behauptung folgt aus dem Beweis von Lemma 3.5. 2) Es gilt: f ist in z0 komplex diﬀb.

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

gx (z0 ) = hy (z0 ) und gy (z0 ) = −hx (z0 ) fx (z0 ) = hy (z0 ) − i gy (z0 ) = − i fy (z0 ) fz (z0 ) = 0 und fz (z0 ) = fx (z0 ).

1.3

Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit

39

3) R-Linearit¨at und Produktregel folgen aus den entsprechenden Regeln f¨ ur Df (z0 ). Und oﬀensichtlich ist ( i f )x = (−h + i g)x = −hx + i gx = i · (gx + i hx ) = i · fx und analog ( i f )y = i · fy . Mit (1) ergibt sich daraus die C-Linearit¨at. 4) Es ist fzz = 14 [(fx − i fy )x + i (fx − i fy )y ] = 14 (fxx + fyy ). 5) Es ist (f ◦ α) (t) = Df (α(t))(α (t)) = fz (α(t)) · α (t) + fz (α(t)) · α (t). Man geht also mit z und z so um, als handle es sich um zwei unabh¨angige Variable (was nat¨ urlich in Wirklichkeit nicht der Fall ist). Mit dieser Eselsbr¨ ucke tut man sich leichter!

1.3.8. Folgerung 1 Es ist

fx = fz + fz

und

fy = i (fz − fz ).

Der Beweis ist eine simple Umformung von Aussage (1) in Satz 1.3.7.

1.3.9. Folgerung 2 Es ist

(fz ) = f z und (fz ) = f z .

Beweis:

Es ist 1 1 (fz ) = fx − i fy /2 = (fx ) + i (fy ) = f x + i f y = f z . 2 2

Nochmaliges Konjugieren ergibt die zweite Formel. Wir setzen jetzt voraus, dass G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und f (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ G ist. Wegen der Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen ist dann gx −hx det Df (z) = det = (gx )2 + (hx )2 = |f (z)|2 > 0. hx gx Das bedeutet, dass f – aufgefasst als Abbildung von R2 nach R2 – orientierungserhaltend ist! Ist f holomorph und nicht konstant, so ist f nat¨ urlich nicht holomorph. Man nennt eine solche Funktion antiholomorph. Es ist dann gx −hx = −|f (z)|2 < 0. det Df (z) = det −hx −gx Antiholomorphe Funktionen sind also orientierungsumkehrend. Holomorphe Funktionen lassen außerdem Winkel invariant. Allerdings m¨ ussen wir erst einmal erkl¨aren, was darunter zu verstehen ist.

1 Holomorphe Funktionen

40

Sind z = r1 · e i t1 und w = r2 · e i t2 zwei komplexe Zahlen = 0, so verstehen wir unter dem Winkel zwischen z und w die Zahl

w t2 − t1 falls t2 > t1 = ∠(z, w) = arg 2π + t2 − t1 sonst. z Der Winkel ∠(z, w) wird also von z aus immer in mathematisch positiver Drehrichtung gemessen. Sind α, β : [0, 1] → C zwei glatte diﬀerenzierbare Wege mit α(0) = β(0) = z0 , so setzt man ∠(α, β) := ∠(α (0), β (0)). Ist f eine holomorphe Funktion, so ist (f ◦ α) (0) = f (α(0)) · α (0).

Deﬁnition

(Konformit¨ at)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine stetig diﬀerenzierbare Abbildung f : G → C mit nicht verschwindender Ableitung heißt in z0 winkeltreu, falls f¨ ur beliebige glatte diﬀerenzierbare Wege α, β mit α(0) = β(0) = z0 gilt: ∠(f ◦ α, f ◦ β) = ∠(α, β). Ist f lokal umkehrbar, u ¨berall winkeltreu und orientierungserhaltend, so nennt man f lokal konform. Ist f sogar global injektiv, so nennt man f konform.

1.3.10. Kriterium fu at ¨ r lokale Konformit¨ Ist f : G → C holomorph, mit stetigen partiellen Ableitungen, und f (z) = 0 f¨ ur z ∈ G, so ist f lokal konform. Beweis: Ist f (z0 ) = 0, so ist auch det Df (z0 ) = |f (z0 )|2 = 0. Sind außerdem die partiellen Ableitungen von f stetig, so folgt aus dem Satz u ¨ber inverse Abbildungen, dass es oﬀene Umgebungen U = U (z0 ) und V = V (f (z0 )) gibt, so dass f : U → V ein Diﬀeomorphismus ist. Also ist f lokal umkehrbar. Wir m¨ ussen nur noch zeigen, dass f winkeltreu ist. Aber es ist ∠(f ◦ α, f ◦ β) = ∠((f ◦ α) (0), (f ◦ β) (0)) = ∠(f (z0 ) · α (0), f (z0 ) · β (0)) f (z ) · β (0) β (0) 0 = arg = arg = ∠(α, β). f (z0 ) · α (0) α (0)

Bemerkung: Die Begriﬀe Funktion“ und Abbildung“ bedeuten eigentlich das ” ” Gleiche, n¨amlich eine eindeutige Zuordnung zwischen zwei Mengen. Beim Gebrauch der Worte gibt es allerdings gewisse Traditionen. Eine Funktion hat u ¨blicherweise

1.3

Reelle und komplexe Diﬀerenzierbarkeit

41

einen Zahlenbereich wie etwa Z, R oder C als Wertebereich (nicht als Wertemenge!), w¨ahrend bei einer beliebigen Abbildung allgemeinere Mengen als Wertebereiche zugelassen sind. Bei Abbildungen interessiert man sich ganz besonders f¨ ur Eigenschaften wie Injektivit¨at, Surjektivit¨at und Bijektivit¨at.

Deﬁnition

(biholomorphe Abbildung)

Gegeben seien zwei Gebiete G1 , G2 ⊂ C und eine holomorphe Abbildung f : G1 → G2 . Die Abbildung heißt biholomorph, falls f zus¨atzlich bijektiv und f −1 holomorph ist. Man nennt die beiden Gebiete dann auch biholomorph ¨aquivalent. Eine Funktion f : G → C (auf einem Gebiet G) heißt in z0 ∈ G lokal biholomorph, falls es oﬀene Umgebungen U = U (z0 ) ⊂ G und V = V (f (z0 )) ⊂ C gibt, so dass f |U : U → V biholomorph ist.

1.3.11. Beispiele A. Die Funktion f (z) = z 2 ist außerhalb des Nullpunktes lokal biholomorph, nicht aber injektiv. Das Verhalten im Nullpunkt werden wir sp¨ater untersuchen. B. Eine M¨obius-Transformation T (z) := (az + b)/(cz + d) (mit ad − bc = 0) bildet C \ {−d/c} biholomorph auf C \ {a/c} ab. Die Umkehrung ist wieder eine M¨obius-Transformation.

1.3.12. Hilfssatz Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph, injektiv und lokal biholomorph. Dann ist f (G) ein Gebiet und f : G → f (G) biholomorph. Beweis: Ist w0 = f (z0 ) ∈ f (G), so gibt es oﬀene Umgebungen U = U (z0 ) ⊂ G und V = V (w0 ) ⊂ C, so dass f : U → V biholomorph ist. Also ist V = f (U ) ⊂ f (G). Das bedeutet, dass f (G) oﬀen ist. Sind w1 = f (z1 ) und w2 = f (z2 ) zwei Punkte von f (G), so gibt es einen stetigen Weg α : [0, 1] → G mit α(0) = z1 und α(1) = z2 . Dann verbindet f ◦ α die Punkte w1 und w2 in f (G). Also ist f (G) ein Gebiet. f : G → f (G) ist holomorph und bijektiv. Ist w0 = f (z0 ) ∈ f (G), so gibt es Umgebungen U = U (z0 ) und V = V (w0 ), so dass f : U → V biholomorph ist. Also ist f −1 |V = (f |U )−1 holomorph. Da w0 beliebig gew¨ahlt wurde, ist f −1 holomorph und damit f biholomorph.

1.3.13. Kriterium fu ¨ r lokale Biholomorphie Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, f stetig und z0 ∈ G. Unter diesen Voraussetzungen ist f genau dann in z0 biholomorph, wenn f (z0 ) = 0 ist.

1 Holomorphe Funktionen

42

Beweis: 1) Ist f (z0 ) = w0 und f in z0 lokal biholomorph, so gibt es oﬀene Umgebungen U = U (z0 ) und V = V (w0 ), sowie eine holomorphe Funktion g : V → U , so dass g ◦ f |U = idU und daher 1 = (g ◦ f ) (z0 ) = g (w0 ) · f (z0 ) ist, also f (z0 ) = 0. 2) Sei umgekehrt f (z0 ) = 0. Dann ist auch det Df (z0 ) = 0. Weil f stetig diﬀerenzierbar ist, besitzt f lokal eine reell diﬀerenzierbare Umkehrung. Sei U = U (z0 ) oﬀen und f : U → V umkehrbar (reell) diﬀerenzierbar. Da (f |U )−1 ◦ f = idU holomorph ist, gilt f¨ ur z ∈ U : 0 = (f |U )−1 ◦ f z (z) = (f |U )−1 w f (z) · fz (z) + (f |U )−1 w f (z) · (f )z (z) = (f |U )−1 w f (z) · f (z). Also erf¨ ullt (f |U )−1 die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen und ist damit holomorph. Bemerkungen: 1. Wir werden sp¨ater sehen, dass die Stetigkeit von f nicht extra vorausgesetzt werden muss. 2. Sei f (z) := z 2 . Dann verschwindet f (z) = 2z im Nullpunkt. Daher ist f im Nullpunkt nicht lokal biholomorph. 3. Da exp (z) = exp(z) = 0 auf ganz C gilt, folgt, dass exp : C → C∗ lo¨ kal biholomorph ist. Uber das globale Verhalten sprechen wir im n¨achsten Abschnitt.

1.3.14. Aufgaben A. Beweisen Sie die komplexe Diﬀerenzierbarkeit von ez auf C mit Hilfe der Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen. B. Sind die folgenden Funktionen holomorph? f (x + i y) := (x2 − y 2 ) − 2 i xy,

g(x + i y) := (x2 − y 2 ) + 2 i xy

und

h(x + i y) := x2 − i (y 2 + x). ⎧ ⎨ xy(x + i y) f¨ ur z = 0, C. Sei f (z) = f (x + i y) := x2 + y 2 ⎩ 0 f¨ ur z = 0. Zeigen Sie, dass f in z = 0 partiell diﬀerenzierbar ist und die CauchyRiemann’schen Diﬀerentialgleichungen erf¨ ullt, dass f im Nullpunkt aber nicht komplex diﬀerenzierbar ist.

1.4

Der komplexe Logarithmus

43

D. Sei f auf einer oﬀenen Menge B ⊂ C stetig reell diﬀerenzierbar. Zeigen Sie, dass det Jf (z) = |fz (z)|2 − |fz (z)|2 auf B gilt. E. Sei ϕ(r, t) := r(cos t + i sin t) und f = g + i h stetig diﬀerenzierbar. Zeigen Sie, dass die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen zu folgendem Gleichungssystem ¨aquivalent sind: r · (g ◦ ϕ)r = (h ◦ ϕ)t

und

r · (h ◦ ϕ)r = −(g ◦ ϕ)t .

F. Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und G∗ := {z : z ∈ G}. Zeigen Sie, dass f ∗ (z) := f (z) auf G∗ holomorph ist. G. Sei f (z) := z n , α(t) := (2 + t, 4 + 2t) und β(t) := (2 + t, 4 − t). Berechnen Sie die Winkel ∠(α, β) und ∠(f ◦ α, f ◦ β).

1.4

Der komplexe Logarithmus

In diesem Abschnitt lernen wir eine nicht ganz so einfache holomorphe Funktion kennen, den komplexen Logarithmus. Da die Exponentialfunktion nicht global umkehrbar ist, tritt bei ihrer Umkehrung das Ph¨anomen der Mehrdeutigkeit auf, das sich u ¨ber den Logarithmus auf viele andere Funktionen vererbt, wie etwa Wurzelfunktionen, allgemeine Potenzen oder die Umkehrungen der Winkelfunktionen. Um die Logarithmusfunktion zu deﬁnieren, liegt es nahe, nach einer Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zu suchen. Leider kann es eine solche nicht geben, denn es gilt: exp(z + 2kπ i ) = exp(z)

f¨ ur alle k ∈ Z.

Speziell ist {z ∈ C : exp(z) = 1} = 2π i Z. Die Exponentialfunktion ist also weit von der Injektivit¨at entfernt. Aber immerhin gilt:

1.4.1. Bijektivit¨ atsbereiche der Exponentialfunktion Sei a ∈ R beliebig. Dann ist exp : {z ∈ C : a ≤ Im(z) < a + 2π} → C∗ bijektiv (und damit biholomorph). Beweis: Sei a ∈ R. Dann wird durch Sa := {z ∈ C : a ≤ Im(z) < a + 2π} ein Streifen parallel zur x-Achse deﬁniert.

1 Holomorphe Funktionen

44

Im(z) R+ · e i a

a + 2π

exp Sa

a Re(z) 1) Injektivit¨at: Es ist exp(z) = 1 ⇐⇒ z = 2π i n, n ∈ Z. Also gilt: exp(z) = exp(w)

=⇒ exp(z − w) = 1 =⇒ z = w + 2π i n =⇒ z und w nicht beide im gleichen Streifen Sa .

2) Surjektivit¨at: Sei w = re i t ∈ C∗ , also r > 0, 0 ≤ t < 2π. Wir setzen z := ln(r) + i t. Dann ist exp(z) = eln(r)+ i t = r · e i t = w. Liegt z nicht im Streifen Sa , so kann man ein k ∈ Z ﬁnden, so dass z ∗ := z + 2π i k dann aber doch in Sa liegt, und es ist auch exp(z ∗ ) = exp(z) = w.

Deﬁnition

(Logarithmuszweig) ◦ log(a) := (exp )−1 : C∗ \ R+ e i a → S a Sa

heißt der durch a bestimmte Logarithmuszweig. Insbesondere heißt log = log(−π) : C \ R− → {z = x + i y : −π < y < π} der Hauptzweig des Logarithmus.

1.4.2. Berechnungsformel fu ¨ r den Logarithmus Ist z = r · e i t , mit a < t < a + 2π, so ist log(a) (z) deﬁniert, und es gilt log(a) (z) = ln(r) + i t. Der Beweis ist klar. Zur Bestimmung von Logarithmen ergibt sich demnach folgendes Kochrezept: Ist eine komplexe Zahl z = r · e i t gegeben, mit 0 ≤ t < 2π, so w¨ahle man ein a ∈ R, so dass a < t < a + 2π ist. Wenn z nicht gerade auf der negativen reellen Achse liegt, insbesondere also f¨ ur 0 ≤ t < π, kann a = −π gew¨ahlt werden, und es ist log(−π) (z) = log(z) = ln(r) + i t.

1.4

Der komplexe Logarithmus

45

Ist dagegen π ≤ t < 2π, so kann man a = 0 w¨ahlen und erh¨alt log(0) (z) = ln r + i t.

1.4.3. Beispiele A. Sei z = 2 i . Dann ist r = 2 und t = π/2. Also kann a = −π gew¨ahlt werden, und es ist log(2 i ) = log(−π) (z) = ln(2) + i π/2. B. Sei z = −2 i . Dann ist wieder r = 2, aber diesmal t = 3π/2. Weil π < 3π/2 < 2π gilt, w¨ahlen wir a = 0 und erhalten log(0) (−2 i ) = ln(2) + i (3π/2).

1.4.4. Ableitung des Logarithmus log(z) ist eine holomorphe Funktion mit log(1) = 0,

log (z) = 1/z.

und

exp(log(z)) = z

Beweis: Der Hauptzweig log ist auf der entlang der negativen reellen Achse aufgeschlitzten Ebene C = C \ {x ∈ R : x ≤ 0} deﬁniert. Die Zahl 1 liegt in dieser aufgeschlitzten Ebene, und es ist log(1) = ln(1) = 0. Nach Konstruktion ist exp(log(z)) = z auf ganz C . Als Umkehrabbildung zur komplexen Exponentialfunktion ist log außerdem holomorph. Wir k¨onnen noch eine weitere Beschreibung des Logarithmus geben. Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass Folgendes gilt: ln(1 + x) =

∞

(−1)n n=0

bzw.

n+1

ln(x) =

xn+1 =

∞

(−1)n−1 n=1

∞

(−1)n−1 n=1

n

n

xn ,

(x − 1)n .

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist = 1, also wird durch L(w) :=

∞

(−1)n−1 n=1

n

wn

− 1). auf D1 (0) eine holomorphe Funktion gegeben. Sei L(z) := L(z Behauptung: F¨ ur |z − 1| < 1 ist L(z) = log(z). Beweis: In D1 (0) ist

(z) = L

∞

n=1

(−1)n−1 n−1 1 = (−w)n−1 = w . n 1 + w n=1 ∞

n·

1 Holomorphe Funktionen

46

auf D1 (0) holomorph ist, ist L(z) = L(z − 1) holomorph auf D1 (1), und es Weil L ist (z − 1) = 1/z = log (z), L (z) = L also L(z) = log(z) + c, mit einer Konstanten c. Setzen wir z = 1 ein, so erhalten wir c = 0. Weil log (z) = 1/z ist, stellt der Nullpunkt nat¨ urlich ein un¨ uberwindliches Hindernis f¨ ur eine etwaige Fortsetzung des Logarithmus dar. Warum man log aber nicht ¨ wenigstens auf C∗ = C \ {0} deﬁnieren kann, zeigt die folgende Uberlegung: Es sei und

z1 (ε) := r e i t1 (ε) z2 (ε) := r e i t2 (ε) ,

mit t1 (ε) := −π + ε und t2 (ε) := π − ε. Dann streben beide Punkte zi (ε) f¨ ur ε → 0 gegen die reelle Zahl −r, aber log(z2 (ε)) − log(z1 (ε)) = i (π − ε) − i (−π + ε) = 2(π − ε) i strebt f¨ ur ε → 0 gegen 2π i .

z2 (ε) r z1 (ε)

r

r sr

Die Zweige log(−π+2kπ) , k ∈ Z, sind alle auf C deﬁniert. Verschaﬀt man sich f¨ ur jedes k ein Exemplar Gk von C und verheftet dann jeweils Gk mit Gk+1 entlang der negativen reellen Achse so, dass die Logarithmuswerte aneinander passen, so erh¨alt man eine wendeltreppenartige Fl¨ache aus unendlich vielen Bl¨attern, die Riemannsche Fl¨ache des Logarithmus, auf der eine globale Logarithmusfunktion deﬁniert werden kann. Jetzt k¨onnen wir auch beliebige Potenzen in C deﬁnieren.

Deﬁnition

(allgemeine Potenzfunktion)

F¨ ur komplexe Zahlen z und w mit z = 0 setzt man z w := exp(w · log(a) (z)). Dabei muss z im Deﬁnitionsbereich des verwendeten Logarithmuszweiges liegen. Wenn m¨oglich, benutzt man den Hauptzweig.

1.4

Der komplexe Logarithmus

47

Das ist eine seltsame Deﬁnition! Die Potenz z w wird im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sein, im schlimmsten Fall gibt es unendlich viele Werte. Betrachten wir einige Beispiele: 1. Was ist i i ? Benutzen wir die Beziehung i = e i π/2 und den Hauptzweig des Logarithmus, so folgt: i i = exp( i · log(−π) (e i π/2 )) = exp( i · i π/2) = e−π/2 = 0.207879 . . . Es kommen aber noch unendlich viele andere Werte in Frage, n¨amlich e−π/2 e−2πk , k ∈ Z. 2. Die Wurzel aus einer komplexen Zahl z = re i t ist die Potenz 1 z 1/2 = exp · [log(−π) (z) + 2π i k] 2 1 = exp · [ln(r) + i t + 2π i k] 2 1 t √ = exp ln(r) · exp i ( + πk) = ± r · e i t/2 , 2 2 je nachdem, ob k gerade oder ungerade ist. Das ist ein ganz vern¨ unftiges Ergebnis. Von den urspr¨ unglich unendlich vielen M¨oglichkeiten bleiben nur zwei u ¨brig. ¨ 3. Ahnlich ist es bei der n-ten Wurzel: √ √ z 1/n = n r · e i (t/n)+ i (2k/n)π = n r · e i (t/n) · (ζn )k , k = 0, . . . , n − 1. wobei ζn eine n-te Einheitswurzel bezeichnet. In den bekannten F¨allen kommt also auch Bekanntes heraus. 4. F¨ ur den Logarithmus einer positiven reellen Zahl benutzt man normalerweise den Hauptzweig. Ist also e die Euler’sche Zahl, so ist ez = exp(z · log(e)) = exp(z · ln(e)) = exp(z). Das rechtfertigt endlich die Exponentialschreibweise f¨ ur die komplexe Exponentialfunktion. Man sollte dabei aber nicht vergessen, dass exp(z) nur einer der m¨oglichen Werte von ez ist, auch wenn die anderen Werte meistens unber¨ ucksichtigt bleiben. Die Schwierigkeit, die Exponentialfunktion zu invertieren, vererbt sich auf andere elementare Funktionen. Exemplarisch soll hier die komplexe ArcustangensFunktion eingef¨ uhrt werden. Bekanntlich ist sin z = also

1 iz (e − e− i z ) 2i

und

1 cos z = (e i z + e− i z ), 2

1 Holomorphe Funktionen

48

tan z =

sin z e i z − e− i z i (e2 i z − 1) = = − . cos z i (e i z + e− i z ) e2 i z + 1

Diese Funktion ist u ur die e2 i z + 1 = 0 ¨berall holomorph, außer in den Punkten z, f¨ ist. Das sind alle Punkte der Gestalt z = π/2 + kπ, k ∈ Z. tan z setzt sich zusammen aus den Funktionen f (z) := w = exp(2 i z)

und

g(w) := u = i

1−w . 1+w

Auf G0 := {z ∈ C : −π/2 < Re z < π/2} ist der Tangens deﬁniert und holomorph. Durch z → 2 i z wird G0 auf den Parallelstreifen S−π/2 = {z : −π/2 < Im z < π/2} ab. Deshalb bildet f das Gebiet G0 bijektiv auf C \ R− ab. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch f −1 (w) =

1 log w 2i

(mit dem Hauptzweig des Logarithmus).

Wir m¨ ussen nun herausﬁnden, was das Bild von C \ R− unter g ist. 1−t Sie Funktion h(t) := ist auf R \ {−1} deﬁniert und diﬀerenzierbar, es ist 1+t h(0) = 1,

lim h(t) = −1,

t→−∞

lim h(t) = −∞

t→−1−

und

lim h(t) = +∞.

t→−1+

Außerdem ist h (t) = −2/(1 + t)2 < 0, also h auf seinem Deﬁnitionsbereich streng monoton fallend. Daraus folgt: g bildet C \ R− bijektiv auf G := C \ { i t : t ≤ −1 oder t ≥ 1} ab, mit Umkehrfunktion

1 + ui . 1 − ui = f −1 ◦ g −1 : G → G0 gegeben durch

g −1 (u) = Damit ist die Funktion arctan = tan−1 arctan(u) =

1 + ui 1 log . 2i 1 − ui

Andere Logarithmenzweige f¨ uhren zu anderen Zweigen des Arcustangens. Wie im Reellen erh¨alt man f¨ ur die Ableitung arctan (u) =

1 1 1 − ui i + u + i − u 1 · · = = . 2i 1 + ui (1 − u i )2 (1 + u i )(1 − u i ) 1 + u2

1.4.5. Aufgaben A. Berechnen Sie die Werte von log(−2 − 2 i ),

log( i ),

(− i ) i

und 2 i .

1.4

Der komplexe Logarithmus

49

B. F¨ ur w ∈ C∗ := C \ {0} sei Log(w) := exp−1 ({w}) = {z ∈ C exp z = w}. Zeigen Sie f¨ ur w, w1 , w2 ∈ C∗ : Log(w1 · w2 ) = {z1 + z2 : z1 ∈ Log(w1 ) und z2 ∈ Log(w2 )}, Log(w1 /w2 ) = {z1 − z2 : z1 ∈ Log(w1 ) und z2 ∈ Log(w2 )} ur m ∈ Z. und {mz : z ∈ Log(w)} ⊂ Log(wm ), f¨ C. Benutzen Sie die Reihendarstellung des Logarithmus, um zu zeigen: 1 Ist |z| ≤ , so ist |log(1 + z) − z| ≤ |z|2 . 2 D. Benutzen Sie das Ergebnis der vorigen Aufgabe, um die folgende Aussage zu beweisen: Ist K ⊂ C kompakt, so gibt es ein n0 ∈ N, so dass f¨ ur alle n ≥ n0 die z Funktion fn (z) := n · log 1 + auf K deﬁniert ist und außerdem gilt: n |fn (z) − z| ≤

|z|2 , f¨ ur z ∈ K und n ≥ n0 . n

Insbesondere konvergiert (fn ) auf K gleichm¨aßig gegen f (z) = z. Man schließe nun:

z n lim 1 + = ez . n→∞ n

E. Sei H+ := {z ∈ C : Im(z) > 0} die obere Halbebene“ und G := H+ \ √ ” { i t : t ≤ 1}. Zeigen Sie, dass durch w = f (z) := z 2 + 1 eine bijektive holomorphe Abbildung von G nach H+ deﬁniert wird. Bestimmen Sie die Umkehrabbildung. F. Bestimmen Sie auf geeignete Weise eine Umkehrfunktion des Sinus, den komplexen Arcussinus. G. Potenzfunktionen sind normalerweise mehrdeutig. Wie ist in diesem Zusammenhang die Gleichung exp z = ez zu verstehen?

1 Holomorphe Funktionen

50

1.5

Anwendungen

Summenberechnungen Die Euler’sche Formel erlaubt eine besonders bequeme Berechnung gewisser trigonometrischer Summen. Bekanntlich ist n−1

zk =

k=0

zn − 1 . z−1

Setzt man z = e i t ein, so erh¨alt man n−1

k=0

e

i kt

e i nt/2 e i nt/2 − e− i nt/2 e i nt − 1 . = = it e −1 e i t/2 e i t/2 − e− i t/2

Unter Verwendung der Gleichungen 1 cos t = (e i t + e− i t ) 2

und

sin t =

1 it (e − e− i t ) 2i

erh¨alt man n−1

e i kt = e i (n−1)t/2 ·

k=0

sin(nt/2) . sin(t/2)

Das ergibt: cos (n − 1)t/2 sin(nt/2) cos(kt) = sin(t/2) k=0 n−1

sin (n − 1)t/2 sin(nt/2) sin(kt) = . sin(t/2) k=0

n−1

und

Auch bei unendlichen Reihen kann die Euler’sche Formel helfen. Setzt man etwa ∞

zn it ein, so erh¨alt man z = e in die Exponentialreihe exp(z) = n! n=0 ecos t+ i sin t =

∞

e i nt n=0

n!

=

∞

cos(nt) n=0

n!

+i

sin(nt) , n!

also ∞

cos(nt) n=0

n!

= ecos t cos(sin t)

und

∞

sin(nt) n=0

n!

= ecos t sin(sin t).

1.5

Anwendungen

51

Diﬀerentialgleichungen Sei I ⊂ R ein Intervall, t0 ∈ I und f : I → C eine komplexwertige diﬀerenzierbare Funktion von einer reellen Variablen. Dann ist f (t) − f (t0 ) f (t0 + h) − f (t0 ) . f (t0 ) = lim = lim t→t0 h→0 t − t0 h Ist λ ∈ C und f (t) := eλt , so folgt: eλ(t0 +h) − eλt0 eλh − 1 = eλt0 lim = λeλt0 . h→0 h→0 h h Man kann dies z.B. auf die L¨osung der Diﬀerentialgleichung f (t0 ) = lim

y + 2ay + by = 0,

a, b ∈ R.

anwenden, etwa mit Hilfe des Ansatzes y(t) := eλt , mit λ = a + i b ∈ C. Ist ein solches y(t) L¨osung der Diﬀerentialgleichung, so muss gelten: 0 = (λ2 + 2aλ + b)eλt , f¨ ur alle t. Das kann nur sein, wenn λ2 + 2aλ + b = 0 ist, also λ = −a ±

√ a2 − b.

1. Fall: Ist a2 − b > 0, so sind die beiden Zahlen √ √ λ1 := −a + a2 − b und λ2 := −a − a2 − b reell und verschieden. Damit erh¨alt man die beiden (linear unabh¨angigen) L¨osungen y1 (t) = eλ1 t

und

y2 (t) = eλ2 t .

2. Fall: Ist a2 − b = 0, so erh¨alt man eine L¨osung y1 (t) = e−at . F¨ ur eine zweite L¨osung macht man den Ansatz y2 (t) := te−at . Diﬀerenzieren ergibt: y2 (t) = (1 − at)e−at

und

y2 (t) = (−2a + a2 t)e−at .

Einsetzen in die Diﬀerentialgleichung zeigt: Dies ist tats¨achlich eine weitere L¨osung. √ 3. Fall: Sei a2 −b > 0 und ω := b − a2 . Dann ist λ1/2 = −a± i ω. Da das Polynom p(x) := x2 + 2ax + b reelle Koeﬃzienten hat, sind λ := λ1 = −a + i ω

und

λ = λ2 = −a − i ω

die beiden (komplexen) Nullstellen. Ist f = g + i h eine komplexwertige L¨osung der Diﬀerentialgleichung, so ist (g + 2ag + bg) + i (h + 2ah + bh) = f + 2af + bf = 0. Der Vergleich von Real- und Imagin¨arteil zeigt, dass g und h reellwertige L¨osungen sind. Im vorliegenden Fall (also f (t) = eλt ) bedeutet das: y1 (t) := e−at cos(ωt)

und

y2 (t) := e−at sin(ωt)

sind zwei (linear unabh¨angige) L¨osungen. ¯

Real- und Imagin¨arteil der zweiten komplexen L¨osung t → eλt ergeben nichts Neues.

1 Holomorphe Funktionen

52

Komplexe Zahlen in der Geometrie Die komplexe Zahlenebene ist ein Modell f¨ ur die ebene euklidische Geometrie. Die Addition von Zahlen entspricht der Vektoraddition. Der Betrag einer komplexen Zahl stimmt mit der euklidischen Norm u ¨berein, das euklidische Skalarprodukt zweier komplexer Zahlen z = x + i y und w = u + i v ist gegeben durch ¯ z • w = xu + yv = Re (xu + yv) + i (yu − xv) = Re (x + i y)(u − i v) = Re(z w). Wir besch¨aftigen uns nun mit der Darstellung von Geraden und Kreisen. Eine Gerade in C ist eine Menge L = {x + i y : px + qy = r}, mit reellen Zahlen p, q, r mit (p, q) = (0, 0). H¨auﬁg benutzt man eine Parametrisierung ur t ∈ R. α(t) := z0 + vt, mit v = 0, f¨ Der Kreis um z0 = x0 + i y0 mit Radius r > 0 ist die Menge K = {x + i y : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 }. Hier benutzt man die Parametrisierung ur 0 ≤ t ≤ 2π. γ(t) := z0 + re i t , f¨ 2 2 Tats¨achlich folgt aus der Gleichung (x − x0 )/r + (y − y0 )/r = 1, dass ein t ∈ [0, 2π] mit (x − x0 )/r = cos t und (y − y0 )/r = sin t existiert.

1.5.1. Lemma Jede Gerade und jeder Kreis kann durch eine Menge der Gestalt M = {αz z¯ + cz + c¯z¯ + δ = 0} mit α, δ ∈ R, c ∈ C und c¯ c > αδ beschrieben werden. Ist α = 0, so liegt eine Gerade vor, andernfalls ein Kreis. Beweis: 1) Ist α = 0, so muss automatisch c = 0 sein, und die Menge M = {z ∈ C : cz + c¯z¯ + δ = 0} = {x + i y : (c + c¯)x + ( i c − i c¯)y = −δ} ist eine Gerade. Ist n¨amlich c + c¯ = 0, so ist i c − i c¯ = 2 i c = 0. Ist umgekehrt eine Gerade in der Form px + qy = r mit (p, q) = (0, 0) gegeben, so kann man c := (p − i q)/2 und δ := −r setzen. Damit erh¨alt man die Gerade in der komplexen Darstellung cz + c¯z¯ + δ = 0 mit c¯ c = (p2 + q 2 )/4 > 0.

1.5

Anwendungen

53

2) Ist α = 0, so kann √ man dadurch dividieren, also o.B.d.A. annehmen, dass α = 1 c − δ eine positive reelle Zahl, und der Kreis um u := −¯ c mit ist. Dann ist r := c¯ Radius r ist gegeben durch |z − u| = r

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

(z − u)(¯ z − u¯) = r2 z z¯ + cz + c¯z¯ + (u¯ u − r2 ) = 0 z z¯ + cz + c¯z¯ + δ = 0.

Axiomensysteme f¨ ur die ebene euklidische Geometrie enthalten in der Regel eine Gruppe von Kongruenz- oder Bewegungsaxiomen, mit deren Hilfe man festlegt, welche Figuren deckungsgleich sind. Die euklidischen Bewegungen setzen sich aus Translationen, Drehungen und Geradenspiegelungen zusammen. Mit Hilfe von M¨obius-Transformationen und der Konjugation kann man alle euklidischen Bewegungen beschreiben: Translationen sind gegeben durch z → z + b. Drehungen (um den Nullpunkt) sind gegeben durch z → az (mit |a| = 1). Die Spiegelung an der x-Achse ist gegeben durch z → z. Eine Drehung um einen beliebigen Punkt z0 erh¨alt man, indem man diesen Punkt zun¨achst in den Nullpunkt verschiebt (mittels T : z → z − z0 ), dann dreht und dann wieder alles zur¨ uckverschiebt. Das ergibt die Abbildung z → z0 + a(z − z0 ),

|a| = 1.

Die Spiegelung an einer beliebigen Geraden bekommt man, indem man diese Gerade zun¨achst so verschiebt, dass sie durch den Nullpunkt geht. Dann dreht man sie in Richtung der x-Achse, spiegelt an dieser Achse und macht dann die Drehung und die Verschiebung r¨ uckg¨angig. Wir suchen auch hierzu eine Formel. Die Gerade L, an der gespiegelt werden soll, sei durch die Parametrisierung γ(t) = z0 + vt (mit v = 0) gegeben. Jeder Punkt w ∈ C kann in der Gestalt w = z0 + vz geschrieben werden, mit einem geeigneten Punkt z ∈ C. Man braucht ja nur z = (w − z0 )/v zu setzen. Liegt w auf L, so ist z = t reell. Speziell dem Punkt z0 entspricht der Wert z = 0. Die Transformation w → z = (w − z0 )/v bildet L auf die reelle Achse ab. Spiegelt man an ihr, so erh¨alt man den Punkt z. Der Punkt w∗ := z0 +vz ist das Spiegelbild von w, und man kann ihn als Funktion von w schreiben: w ∗ = z0 + (w − z 0 ) ·

v . v¯

Das ist die gesuchte Formel f¨ ur die Spiegelung an der Geraden L.

1 Holomorphe Funktionen

54

1.5.2. Die Wirkung von M¨ obius-Transformationen Eine M¨obius-Transformation T (z) =

az + b cz + d

mit ac − bd = 0

bildet Kreise und Geraden wieder auf Kreise oder Geraden ab. Das Gleiche gilt f¨ ur die Konjugation. Zum Beweis betrachten wir eine Menge der Gestalt M = {z ∈ C | αz z¯ + cz + c¯z¯ + δ = 0} mit α, δ ∈ R, c ∈ C und c¯ c > αδ. Wir m¨ ussen zeigen, dass T (M ) wieder eine solche Gestalt hat: Es reicht, aﬃn-lineare Funktionen und die Inversion zu betrachten. 1) Sei w = Az + B. Dann gilt: z = Cw + D, mit C := 1/A und D := −B/A. Liegt z ∈ M , dann ist 0 = α(Cw + D)(Cw + D) + c(Cw + D) + c¯(Cw + D) + δ ¯ w ¯ + cC)w + (αCD ¯ + c¯C) ¯ w¯ = (αC D)w ¯ + (αC D ¯ + cD + c¯D ¯ + δ), + (αDD Also liegt w wieder auf einer Menge vom gew¨ unschten Typ. 1 1 ur z ∈ M : 2) Nun sei w = . Dann ist auch z = , und es gilt f¨ z w c c¯ α + + + δ = 0. ww¯ w w ¯ Da w = 0 sein muss, k¨onnen wir mit ww¯ multiplizieren und erhalten: α + cw ¯ + c¯w + δww ¯ = 0. Auch hier ist das Bild von M wieder eine Menge vom gew¨ unschten Typ. Die Aussage u ¨ber die Konjugation ist trivial.

1.5.3. Lemma Sei f : G1 → G2 eine biholomorphe Abbildung. Ist G ⊂ G1 ein Gebiet, so ist auch f (G) ein Gebiet und f (∂G ∩ G1 ) = ∂f (G) ∩ G2 .

1.5

Anwendungen

55

Beweis: Sei z0 ∈ ∂G ∩ G1 , w0 := f (z0 ) ∈ G2 und V = V (w0 ) ⊂ G2 eine oﬀene Umgebung. Dann ist auch U := f −1 (V ) ⊂ G1 eine oﬀene Umgebung von z0 , enth¨alt also einen Punkt z1 ∈ G und einen Punkt z2 ∈ G1 \ G. w1 := f (z1 ) liegt in f (G ∩ U ) = f (G) ∩ V , w2 := f (z2 ) liegt in f (G1 \ G) ∩ U = G2 \ f (G) ∩ V . Also ist w0 ein Randpunkt von f (G). Wir haben gezeigt, dass f (∂G ∩ G1 ) ⊂ ∂f (G) ∩ G2 ist. Vertauscht man die Rollen von f und f −1 , so erh¨alt man die umgekehrte Relation. Ist also ein Gebiet G ⊂ C durch eine Gerade oder einen Kreis K berandet und T eine M¨obius-Transformation, so wird T (G) durch T (K) berandet, also wieder eine Gerade oder einen Kreis. Diese Erkenntnis hilft bei der Bestimmung des Bildes von R oder von D1 (0) unter T .

1.5.4. Beispiel Sei T (z) :=

z− i . Dann ist T auf C \ {− i } deﬁniert, bildet also die z+ i obere Halbebene

H := {z = x + i y : y > 0}

biholomorph auf ein Gebiet G ab. Da T (0) = −1, T (1) = − i und T (−1) = i ist, wird die reelle Achse (also der Rand von H) auf den durch die drei Punkte −1, − i und i bestimmten d.h. auf ∂D1 (0). Damit Kreis abgebildet, muss G = D1 (0) oder = C \ D1 (0) ∪ {− i } sein. Weil T ( i ) = 0 ist, ist T (H) = D1 (0). Als letzte geometrische Anwendung behandeln wir die Berechnung von Einheitswurzeln. Ist ζ eine n-te Einheitswurzel, so ist 0 = ζ n − 1 = (ζ − 1)(1 + ζ + ζ 2 + · · · + ζ n−1 ), utzlich, also ζ = 1 oder 1 + ζ + ζ 2 + · · · + ζ n−1 = 0. Diese Gleichung ist sehr n¨ genauso wie die folgende Beziehung: Es ist ζ −1 = 1/ζ = ζ n /ζ = ζ n−1 . Andererseits ist ζ −1 = ζ. Im Falle ζ = cos(2π/n)+ i sin(2π/n) folgt dann: ζ + ζ −1 = 2 cos(2π/n).

1.5.5. Beispiele A. Im Falle n = 3 erf¨ ullt eine Einheitswurzel die Gleichung 1 + ζ + ζ 2 = 0. Also ist √ −1 ± i 3 , ζ= 2 √ und deshalb cos(120◦ ) = −1/2 und sin(120◦ ) = 3/2.

1 Holomorphe Funktionen

56

B. Im Falle n = 5 erf¨ ullt eine Einheitswurzel die Gleichung 1+ζ +ζ 2 +ζ 3 +ζ 4 = 0. Es sei ζ = cos(2π/5) + i sin(2π/5) und u := ζ + ζ −1 = ζ + ζ 4 = 2 cos(2π/5). √ Dann ist u2 = (ζ +ζ −1 )2 = ζ 2 +ζ 3 +2, also 0 = u+u2 −1 und u = (−1± 5)/2. Setzt man ζ + ζ −1 f¨ ur u ein, so erh¨alt man (durch Multiplikation mit ζ) die Gleichung √ 5−1 2 ζ − ζ + 1 = 0. 2 Die Auﬂ¨osung dieser quadratischen Gleichung ergibt √ √ i 5−1 ± ζ= 10 + 2 5 . 4 4 Real- und Imagin¨arteil liefern Cosinus und Sinus von 72◦ .

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik Wir betrachten nun einige Anwendungen der komplexen Rechnung in der Elektrotechnik. Bei den Ingenieuren ist manches anders als in der Mathematik. Da der Buchstabe i f¨ ur die Stromst¨arke reserviert ist, verwenden die Elektrotechniker das Symbol j f¨ ur die imagin¨are Einheit. In diesem Unterabschnitt schließen wir uns diesem Brauch an. Bei den komplexen Zahlen interessiert man sich in der Elektrotechnik besonders f¨ ur die vektoriellen Aspekte. Allerdings spricht man nicht von Vektoren, sondern von Zeigern (weil ein im Nullpunkt angehefteter Pfeil wie ein Uhrzeiger aussieht). Wechselstrom i und Wechselspannung u werden durch harmonische Schwingungen beschrieben:

und

u(t) = u · sin(ωt + ϕu ) i(t) = ı · sin(ωt + ϕi ).

Dabei bezeichnet man ω als Kreisfrequenz und die Konstanten ϕu und ϕi als Phasenkonstanten. Die komplexe Zeigerrechnung“ kommt ins Spiel, wenn man u und i als horizontale ” Projektion eines Punktes auﬀasst, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis um den Nullpunkt bewegt. Der Sinn dieser sogenannten symbo” lischen Methode“ besteht darin, dass man Rechenvorteile gewinnt. Die komplexen Zeiger U := u · e j ϕu und I := ı · e j ϕi bezeichnet man auch als komplexe Amplituden“, den Faktor e j ωt als Zeitfaktor“. So erh¨alt man Spannung ” ” und Stromst¨arke in der folgenden komplexen Schreibweise: u(t) := U · e j ωt

und

i(t) := I · e j ωt

Legt man eine Wechselspannung an einen Widerstand an, so ﬂießt Strom. Das Ohm’sche Gesetz liefert den (zeitunabh¨angigen) Widerstandsoperator

1.5

Anwendungen

57

Z :=

u U Ue j ωt = . = j ωt i Ie I

+ j X und Ist ϕ := ϕu − ϕi , so ist Z = |Z|e j ϕ . Man schreibt Z in der Form Z = R √ nennt R den Wirkwiderstand und X den Blindwiderstand. Es ist |Z| = R2 + X 2 und tan ϕ = X/R. Y := 1/Z heißt Leitwertoperator. Man schreibt Y = G + j B und nennt G den Wirkleitwert und B den Blindleitwert. Wir betrachten einige Widerstandsoperatoren im Wechselstromkreis. 1. Kapazitiver Widerstandsoperator (Kondensator): C

Die Ladung q und die Spannung u sind zeitabh¨angig, zwischen ihnen besteht die Beziehung q = C · u. Die Stromst¨arke i ist gegeben durch i = q = C · u . Bei der symbolischen Methode werden u und i durch die komplexen Gr¨oßen u und i ersetzt. Es ist u = Re(u) und i = Re(i), und es gilt die Beziehung ur die komplexen Gr¨oßen die Beziehung Re(u ) = (Re u) . Also bleibt f¨ i(t) = C · u (t),

also

I = C · jω · U

erhalten. F¨ ur den Widerstandsoperator folgt dann: Z=

1 1 U = = −j . I C jω ωC

Das ist eine rein imagin¨are Gr¨oße. Aus der Darstellung Z=

u U = ejϕ I ı

ergibt sich: e j ϕ = − j , also ϕ = −π/2. Das bedeutet, dass ϕu = ϕi − π/2 ist, der Spannungszeiger l¨auft dem Stromzeiger in der Phase um 90◦ hinterher. Der Leitwert ist in diesem Falle Y = j ωC. 2. Induktiver Widerstandsoperator (verlustfreie Spule): L

1 Holomorphe Funktionen

58

Hier gilt das Induktionsgesetz u = L · i , oder in komplexer Schreibweise: u(t) = L · i (t),

also

U = L · j ω · I.

So erh¨alt man den Widerstandsoperator Z = L · jω. Hier ist die Phasendiﬀerenz ϕ = π/2, der Spannungszeiger l¨auft dem Stromzeiger in der Phase um 90◦ voraus. Der Leitwert ist in diesem Falle Y = − j /(ωL). Abh¨angigkeiten wie t → u(t) oder t → i(t) f¨ uhren zu parametrisierten Kurven in der komplexen Ebene. In der Elektrotechnik bezeichnet man solche Kurven als Ortskurven. Dabei braucht der Parameter nicht unbedingt die Zeit zu sein! Manchmal bezeichnet man die Abh¨angigkeit einer komplexen elektrischen Gr¨oße von einem reellen Parameter auch als Netzwerkfunktion. Schaltet man etwa einen Ohm’schen und einen induktiven Widerstand in Reihe, so addieren sich nach den Kirchhoﬀ’schen Regeln die Widerstandsoperatoren: R

L

Man kann in diesem Fall den Gesamtwiderstand Z = Z(ω) = R + j ωL

Z = Z(ω)

y

als Funktion der Frequenz ω auﬀassen. s

x R Ist der Widerstandsoperator eines Wechselstromkreises als Ortskurve gegeben, so kann man auch die Ortskurve des Leitwertes bestimmen. Die Spur der Ortskurve sieht folgendermaßen aus:

1.5.6. Beispiele A. Wir betrachten die Reihenschaltung eines Ohm’schen und eines kapazitiven Widerstandes: R

C

1 = 5 konstant. Dann sieht die Ortskurve von ωC 1 = R − 5j folgendermaßen aus: Z = Z(R) = R − j ωC

Hier sei R ≥ 0 variabel und

1.5

Anwendungen

59 y x −5 s Z = Z(R)

Der Leitwert ist Y(R) =

1 1 = . Z(R) R − 5j

Wir wollen die Ortskurve des Leitwertes bestimmen. Das Bild der Geraden y = −5 unter der Inversion muss im Innern des Einheitskreises liegen, kann also nur ein Kreis sein. Zun¨achst rechnen wir die reelle Geradengleichung px+qy = r mit p = 0, q = 1 und r = −5 in die komplexe Form cz +cz +δ = 0 um. Dabei ist j 1 c = (p − j q) = − 2 2

und

δ = −r = 5.

Ersetzt man nun z durch 1/w und multipliziert man anschließend die Gleichung c/w + c/w + δ = 0 mit ww, so erh¨alt man die Kreisgleichung ww +

j j w − w = 0, 10 10

also ww + γw + γw + ε = 0 mit γ = j /10 und ε = 0. Aus dieser Gleichung kann man den Mittelpunkt u und den Radius ablesen: u = −γ =

j = 0.1 j 10

und

=

1 = 0.1 . γγ − ε = 10 y 0.2 j

Das ergibt folgende Ortskurve Y = Y(R):

s

s 0.1 j

Y = Y(R)

s

x

Da nur der Fall R ≥ 0 interessiert, ist die Ortskurve ein Halbkreis. B. Als weiteres Beispiel betrachten wir die Reihenschaltung eines Ohm’schen Widerstandes R, eines induktiven Widerstandes L und eines kapazitiven Widerstandes C : R

L

C

1 Holomorphe Funktionen

60

Sind R, L und C fest, so kann man Z als Funktion von ω auﬀassen: Z(ω) = R + j ωL − j

1 1 = R + j (ωL − ). ωC ωC

Ist k := 1/(ωC) konstant und X := ωL, so ist Z = Z(X) = R + j (X − k), und die Ortskurve von Z(X) ist die vertikale Gerade {R + j (X − k) : X ∈ R}, gegeben durch die Gleichung px + qy = r mit p = 1, q = 0 und r = R, bzw. cz + cz + δ = 0 mit c = (p − j q)/2 = 1/2 und δ = −r = −R. Wir wollen die Ortskurve von Y(X) =

1 1 = R + j (X − k) j X + (R − j k)

bestimmen. Wieder geschieht das mit Hilfe der Anwendung der Inversion. Dabei ist auch in diesem Fall klar, dass ein Kreis im Innern des Einheitskreises herauskommt. Und wie beim vorigen Beispiel hat die gesuchte Kreisgleichung die Form diesmal mit γ = −1/(2R) und ε = 0. √ Dann ist u = −γ = 1/(2R) der Mittelpunkt und = γγ − ε = 1/(2R) der Radius der Ortskurve. ww + γw + γw + ε = 0,

Man kann die Ortskurve Y = Y(X) nat¨ urlich auch geometrisch durch Spiegelung der Kurve Z = Z(X) am Einheitskreis und anschließende Konjugation konstruieren. y

Z(X) r r r q q

q

r r r

r

r q

r r 1

Y(X)

R

r

1

R

x

1.5

Anwendungen

61

Harmonische Funktionen und ebene Str¨ omungsfelder Deﬁnition

(harmonische Funktion)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine zweimal stetig diﬀerenzierbare Funktion f : G → R heißt harmonisch, wenn fxx + fyy = 0 ist. Der Diﬀerentialoperator Δ : f → fxx + fyy heißt Laplace-Operator. Sei nun f = g + i h : G → C eine holomorphe Funktion. Es gelten die CauchyRiemann’schen Diﬀerentialgleichungen: gx = hy und gy = −hx . Daraus folgt: und

gxx + gyy = hyx − hxy = 0 hxx + hyy = −gyx + gxy = 0.

Realteil und Imagin¨arteil einer holomorphen Funktion sind jeweils harmonisch! Aber es kommt noch besser!

1.5.7. Lokale Charakterisierung harmonischer Funktionen Sei g : G → R eine harmonische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt z0 ∈ G eine oﬀene Umgebung U = U (z0 ) ⊂ G und eine holomorphe Funktion f : U → C, so dass g|U = Re(f ) ist. Beweis: Wir suchen eine in der N¨ahe von z0 deﬁnierte und zweimal stetig diﬀerenzierbare reellwertige Funktion h mit gx = hy und gy = −hx . Wegen der ersten Gleichung wird man es mit einer Stammfunktion h(x + i y) = gx (x + i y) dy + C versuchen. Dabei ist aber zu beachten, dass die Integrationskonstante C noch von x abh¨angen kann. Wie sie zu w¨ahlen ist, sollte sich aus der zweiten zu erf¨ ullenden Gleichung ergeben. Hier sind nun die Details: Sei z0 = x0 + i y0 ∈ G fest gew¨ahlt, und U eine in G enthaltene rechteckige oﬀene Umgebung von z0 . F¨ ur z = x + i y ∈ U setzen wir y h(x + i y) := gx (x + i t) dt + ϕ(x), y0

mit einer noch n¨aher zu bestimmenden (zweimal diﬀerenzierbaren) Funktion ϕ. Dann ist oﬀensichtlich hy = gx , und y hx (x + i y) = gxx (x + i t) dt + ϕ (x) y0 y gyy (x + i t) dt + ϕ (x) = − y 0 = − gy (x + i y) − gy (x + i y0 ) + ϕ (x).

1 Holomorphe Funktionen

62

Damit hx = −gy ist, sollte ϕ (x) = −gy (x + i y0 ) sein. Also setzen wir x gy (s + i y0 ) ds. ϕ(x) := − x0

Die so bestimmte Funktion h ist zweimal stetig diﬀerenzierbar und hat die gew¨ unschten Eigenschaften. Bemerkung: Sind die harmonischen Funktionen g und h Realteil und Imagin¨arteil einer holomorphen Funktion f , so spricht man auch von konjugierten harmonischen Funktionen. Man beachte aber, dass h durch g nicht eindeutig bestimmt ist. Als Anwendung betrachten wir 2-dimensionale Str¨omungen (die man als Querschnitte 3-dimensionaler zylindrischer Str¨omungen auﬀassen kann). Die Str¨omung werde durch ein stetig diﬀerenzierbares Vektorfeld F := p + i q auf einer oﬀenen Menge U ⊂ C beschrieben. Wir nehmen an, dass F quellenfrei und wirbelfrei ist. Das wird durch die Bedingungen ∂q ∂p (z) + (z) = 0 ∂x ∂y

und

∂q ∂p (z) − (z) = 0 ∂x ∂y

f¨ ur z ∈ U

ausgedr¨ uckt. Die zweite Gleichung ist die Integrabilit¨atsbedingung, die zeigt, dass F zumindest lokal ein Gradientenfeld ist (vgl. [Fri2]). Es gibt eine zweimal stetig diﬀerenzierbare Funktion ϕ mit ∇ϕ := ϕx + i ϕy = F. Man nennt ϕ eine Potentialfunktion f¨ ur F. Wegen px − (−q)y = px + qy = 0 erf¨ ullt auch das Vektorfeld −q + i p die Integrabilit¨atsbedingung, und es gibt eine zweimal stetig diﬀerenzierbare Funktion ψ mit ∇ψ = −q + i p = i F. Diese Funktion ψ nennt man eine Stromfunktion f¨ ur F. Es ist Δϕ = px + qy = 0

und

Δψ = (−q)x + py = 0,

ϕ und ψ sind beide harmonisch! ¨ Die Linien ϕ = c heißen Aquipotentiallinien, die Linien ψ = c Stromlinien. Die Gradienten der Potentialfunktion und der Stromfunktion stehen aufeinander senkrecht: ∇ϕ • ∇ψ = (p + i q) • (−q + i p) = −pq + pq = 0. Die Funktion f := ϕ + i ψ bezeichnet man als komplexes Potential f¨ ur F. Mit ϕx = p = ψy und ϕy = q = −ψx erf¨ ullt f die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen, ist also holomorph. Es besteht die Beziehung f (z) = ϕx (z) − i ψx (z) = p(z) + i q(z) = F(z).

1.5

Anwendungen

63

1.5.8. Beispiele A. Der einfachste Fall ist eine gleichf¨ormige Str¨omung mit dem komplexen Potential f (z) := cz, mit c = re− i θ . Dann ist und

ϕ(x, y) = Re f (x + i y) = (r cos θ)x + (r sin θ)y ψ(x, y) = Im f (x + i y) = (−r sin θ)x + (r cos θ)y,

also F(z) = ϕx (z) + i ϕy (z) = r cos θ + r sin θ = re i θ = c. y F

θ

x

¨ Die Aquipotentiallinien ϕ = constant stehen auf c senkrecht, die Stromlinien verlaufen parallel zu c. B. Jetzt betrachten wir den Fall einer Quelle in z0 , mit dem komplexen Potential f (z) := k · log(z − z0 ),

k > 0.

Nat¨ urlich ist f nicht global auf C∗ deﬁniert, das Potential ist also immer nur lokal verwendbar, und der Logarithmus muss jeweils geeignet gew¨ahlt werden. Das Vektorfeld k k(z − z0 ) = F(z) = f (z) = z − z0 |z − z0 |2 ∗ existiert dagegen auf ganz C . y Die Potentialfunktion ϕ ist gegeben durch ϕ(z) = k ln|z − z0 |, und die ¨ Aquipotentiallinien ϕ(z) = const. sind die Linien |z − z0 | = const., also Kreise um z0 . Die Stromfunktion ψ ist gegeben durch ψ(z) = k arg(z − z0 ) (und deshalb nicht global eindeutig deﬁnierbar). Die Stromlinien ψ(z) = const. sind Strahlen, die von z0 ausgehen.

sr

x

1 Holomorphe Funktionen

64

C. Wir betrachten jetzt die Kombination einer Quelle und einer Senke: z+a . f (z) := k log(z + a) − log(z − a) = k · log z−a Der Einfachheit halber sei a reell und > 0. y

−a

rs

rs

a

x

z+a = t, so ist |z + a| = et/k |z − a|. Im Falle t = 0 z−a ergibt das die Mittelsenkrechte x = 0 zwischen −a und a. F¨ ur t → −∞ erh¨alt man den Punkt −a, f¨ ur t → +∞ den Punkt a. Werte dazwischen ergeben Kreise mit einem Mittelpunkt auf der reellen Achse. Das sind die ¨ Aquipotentiallinien. Die Stromlinien sind Kreise durch −a und a mit dem Mittelpunkt auf der imagin¨aren Achse. Ist ϕ(z) = k · log

Das zugeh¨orige Vektorfeld ist F(z) = f (z) =

k(z − a) 2ak −2a = 2 . · 2 z+a (z − a) a − z2

L¨asst man μ := 2ak fest, a gegen Null und k gegen Unendlich gehen, so erh¨alt man z + a k 2a k = log 1 + f (z) = log z−a z−a μ/(z − a) k μ . = log 1 + → k z Das Ergebnis ist das komplexe Potential eines Dipols. Nun ist f (z) = μ/z = ϕ(z) + i ψ(z) mit

1.5

Anwendungen

65

ϕ(x + i y) =

μx x2 + y 2

und

ψ(x + i y) =

−μy . x2 + y 2

¨ Wir setzen ab jetzt μ = 1. Dann sind die Aquipotentiallinien und Feldlinien (Stromlinien) gegeben durch 2 2 1 1 2 +y = x− 2c 2c 2 2 1 1 2 x + y+ = . 2c 2c

bzw.

ϕ(z) = c

⇐⇒

ψ(z) = c

⇐⇒

In beiden F¨allen erh¨alt man Kreise, die beiden Scharen stehen nat¨ urlich aufeinander senkrecht. Das Feld des Dipols ist gegeben durch F(z) = f (z) = −

1 −z 2 y 2 − x2 −2xy = = +i· 2 . 2 2 2 2 2 z |z| (x + y ) (x + y 2 )2

Das Str¨omungsbild sieht folgendermaßen aus: y

sr

x

1.5.9. Die Invarianz harmonischer Funktionen Sei T : G → D eine biholomorphe Transformation zwischen zwei Gebieten in C. Eine Funktion h : D → R ist genau dann harmonisch, wenn h ◦ T : G → R harmonisch ist.

1 Holomorphe Funktionen

66

Beweis: Wir benutzen den Wirtinger-Kalk¨ ul. Danach ist h = h(w) genau dann ur die holomorphe Transformation T ist harmonisch, wenn hww = 0 ist. Und f¨ Tz = T und Tz = 0. Die Kettenregel liefert nun (h ◦ T )zz = (hw ◦ T )Tz + (hw ◦ T )T z z (mit T z = 0) = (hw ◦ T )z T + (hw ◦ T )Tzz (mit Tzz = 0) = (hww ◦ T )Tz T + (hww ◦ T )T z T = (hww ◦ T )|T |2 . Da T (z) = 0 auf G gilt, verschwindet hww genau dann auf D, wenn (h ◦ T )zz auf G verschwindet. Daraus folgt die Behauptung. Die Konsequenz ist, dass man Str¨omungsbilder mit Hilfe von biholomorphen Abbildungen transportieren kann. Als erstes Beispiel betrachten wir die Transformation T (z) := z2 . Sie bildet den ersten Quadranten auf die obere Halbebene H ab. Das komplexe Potential f (z) = cz (mit einem konstanten reellen Faktor c > 0) beschreibt auf H eine horizontale gleichf¨ormige Str¨omung. Das Potential f ◦ T (z) = cz2 hat als Realteil die Potentialfunktion ϕ(x + i y) = c(x2 − y2 ) und als Imagin¨arteil die ¨ Stromfunktion ψ(x + i y) = 2cxy. Also sind die Aquipotentiallinien die Kurven (x − y)(x + y) = const., die Stromlinien die Kurven xy = const. Das sind zwei Scharen von Hyperbeln, die zueinander orthogonal sind. Das so beschriebene Vektorfeld liefert den Fluss um eine Ecke. y y

w = z2

x

x

Besonders interessante Anwendungen liefert die Joukowski-Funktion, die durch 1 1 z+ , f¨ ur z = 0, w = J(z) := 2 z deﬁniert wird. Sie ist holomorph auf C∗ , und es gilt: z1 − z2 1 J(z1 ) = J(z2 ) ⇐⇒ z1 − z2 = =0 ⇐⇒ (z1 − z2 ) · 1 − z1 z2 z1 z2 ⇐⇒ z1 = z2 oder z1 z2 = 1. Damit J injektiv ist, darf der Deﬁnitionsbereich keine zwei Punkte z1 , z2 mit z1 z2 = 1 enthalten. Das gilt z.B. f¨ ur die Gebiete |z| < 1 oder |z| > 1. Umkehrungen sind

1.5

Anwendungen

67

dann gegeben durch z=w+

√

w2 − 1

bzw.

z=w−

√

w2 − 1.

¨ Bei geeigneter Wahl des Wurzelzweiges bildet die erste Funktion auf das Außere des Einheitskreises und die zweite Funktion auf das Innere des Einheitskreises ab. Zum genaueren Studium der Joukowski-Funktion untersuchen wir das Bild eines Kreises Kr = {z : |z| = r}. Ist z = re i θ ∈ Kr und w = u + i v = J(z), so ist u= Setzen wir a :=

1 1 r+ cos θ 2 r

und

v=

1 1 r− sin θ. 2 r

1 1 1 u2 v 2 1 r+ und b := r − , so ist 2 + 2 = 1. 2 r 2 r a b

Das ist die Gleichung einer Ellipse Ihre Brennpunkte sind die Punkte (c, 0) und (−c, 0) mit √ 1 1 2 1 1 2 2 2 − r− = 1. r+ c= a −b = 4 r 4 r Ist Sθ := {z = re i θ : r > 1} der Teil eines Strahles vom Nullpunkt aus, der außerhalb des Einheitskreises liegt, z ∈ Sθ und w = u + i v = J(z), so ist 1 u2 v2 1 2 1 1 2 = r+ − r− = 1. − 2 2 cos θ sin θ 4 r 4 r Dadurch wird eine Hyperbel beschrieben, die ebenfalls die Brennpunkte (−1, 0) und (1, 0) besitzt, sowie die Asymptoten v = ± u · tan θ. y v w = f (z) = 12 z + 1z

−1

r

r

qr

1

x

qr

u

Oﬀensichtlich kann man die Joukowski-Funktion benutzen, um die Str¨omung um ein kreisf¨ormiges Hindernis zu beschreiben. Ist wieder f (w) = cw (mit c > 0) das komplexe Potential einer gleichf¨ormigen Str¨omung, so beschreibt g(z) := f (J(z)) die Str¨omung, die den Einheitskreis umﬂießt. Schreibt man g(z) = ϕ(z) + i ψ(z), so ist

1 Holomorphe Funktionen

68

ψ(re i t ) =

c 1 r− sin t. 2 r

Das ergibt folgendes Str¨omungsbild: w=z+

1 z

Eine Parametrisierung der Stromlinien ψ = k ist gegeben durch 2kr 2kr2 , . α(t) := r cos arcsin c(r2 − 1) c(r2 − 1) 1 c sin t = k nach t auf: Zum Beweis l¨ose man die Gleichung r − 2 r 2kr t = arcsin . c(r2 − 1) Dann ist α(t) = (r cos t, r sin t), f¨ ur 0 ≤ t ≤ 2π. Zum Schluss kommen wir noch auf eine besonders interessante Anwendung der Joukowski-Funktion zu sprechen. Bildet man einen Kreis K, der durch einen der Punkte 1 oder −1 geht, den anderen in seinem Inneren enth¨alt und seinen Mittelpunkt in der N¨ahe des Nullpunktes hat, mit Hilfe von J ab, so ist das Ergebnis J(K) eine geschlossene glatte Kurve von der Gestalt eines Tragﬂ¨achenproﬁls. Man spricht auch von einem Joukowski-Proﬁl.

w=z+

1 z

r

−1

r

r

r

1

rs

rs

J(−1)

Die Str¨omung um ein kreisf¨ormiges Hindernis wurde schon behandelt. Nun kann man diese Str¨omung mit Hilfe von J u ¨bertragen und erh¨alt die Str¨omung um das Tragﬂ¨achenproﬁl. Auf diese Weise kann man die aerodynamischen Eigenschaften eines solchen Proﬁls genauer studieren.

2 Integration im Komplexen 2.1

Komplexe Kurvenintegrale

Im ersten Kapitel haben wir die komplexe Diﬀerenzierbarkeit eingef¨ uhrt, indem wir den reellen Diﬀerentialquotienten einfach formal ins Komplexe u ¨bertragen haben: f (z0 ) =

f (z) − f (z0 ) df . (z0 ) = lim z→z dz 0 z − z0

Jetzt wollen wir versuchen, nach dem Muster der reellen Analysis auch komplexe Integrale q f (z) dz p

einzuf¨ uhren. Aber wie sollen wir das tun? Im Reellen muss der Integrand in allen Punkten zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt deﬁniert und in irgend einem Sinne integrierbar sein. Im Komplexen gibt es keine Intervalle, bestenfalls die Verbindungsstrecke. Ist aber etwa f auf einem Gebiet G deﬁniert, so braucht die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten aus G keineswegs komplett zu G zu geh¨oren. Dass G aber ein Gebiet ist, sichert immerhin die Existenz eines verbindenden Streckenzuges innerhalb von G. Wir k¨onnen die Funktion f entlang eines solchen Weges integrieren. Welche Konsequenzen aber die Abh¨angigkeit vom Integrationsweg nach sich zieht, werden wir noch untersuchen m¨ ussen. Wir f¨ uhren noch folgende Sprachregelung ein: Ein Integrationsweg in einem Gebiet uckweise stetig diﬀerenzierbarer Weg α : [a, b] → G. G ⊂ C ist ein st¨

Deﬁnition

(komplexes Kurvenintegral)

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine st¨ uckweise stetige komplexwertige Funktion und α : [a, b] → G ein Integrationsweg. Dann wird das komplexe Kurvenintegral von f u ¨ber α deﬁniert durch

b

f (z) dz := α

f α(t) · α (t) dt.

1

a

Man kann das komplexe Kurvenintegral einerFunktion f u urlich schon ¨ber α nat¨ dann bilden, wenn f nur auf der Spur |α| = α [a, b] deﬁniert ist. 1 Am Ende dieses Abschnittes ﬁndet sich eine kurze Erinnerung an die Integration komplexwertiger (st¨ uckweise stetiger) Funktionen von einer reellen Ver¨anderlichen.

2 Integration im Komplexen

70

2.1.1. Satz (Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale) Das komplexe Kurvenintegral hat folgende Eigenschaften: 1. Ist ϕ : [c, d] → [a, b] eine stetig diﬀerenzierbare, streng monoton wachsende Parametertransformation, so ist f (z) dz = f (z) dz. α◦ϕ

α

2. F¨ ur stetige Funktionen f1 , f2 und Konstanten c1 , c2 ∈ C ist (c1 f1 + c2 f2 )(z) dz = c1 · f1 (z) dz + c2 · f2 (z) dz. α

α

α

3. Es gilt die Standardabsch¨ atzung: f (z) dz ≤ L(α) · max|f (z)|, z∈|α|

α

b

wobei L(α) =

|α (t)| dt die L¨ ange von α ist.

a

4. Sind f und fν stetige Funktionen auf |α| und konvergiert (fν ) auf |α| gleichm¨aßig gegen f , so ist f (z) dz = lim fν (z) dz. α

Beweis: regel:

ν→∞

α

1) Ist ϕ eine Parametertransformation, so folgt mit der Substitutions-

b

α

f ◦ α(t)α (t) dt =

d

f ◦ α(ϕ(s))α (ϕ(s))ϕ (s) ds a c d f ◦ (α ◦ ϕ)(s)(α ◦ ϕ) (s) ds = f (z) dz. =

f (z) dz =

α◦ϕ

c

2) Die Linearit¨at ist trivial. b b f (α(t))α (t) dt ≤ |f (α(t))α (t)| dt. 3) Es ist f (z) dz = α

a

a

Setzt man M := max|f (z)|, so ist z∈|α|

a

b

|f (α(t))α (t)| dt ≤ M · a

b

|α (t)| dt = M · L(α).

2.1

Komplexe Kurvenintegrale

71

Zu (4): Da α st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbar ist, gibt es eine Konstante C > 0, so dass |α (t)| ≤ C auf [a, b] ist. Ist ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein ν0 mit |fν (z) − f (z)| <

ε f¨ ur ν ≥ ν0 und z ∈ |α|. C

Dann ist |fν (α(t))α (t) − f (α(t))α (t)| = |fν (α(t)) − f (α(t))| · |α (t)| < ε f¨ ur ν ≥ ν0 und t ∈ [a, b]. Das bedeutet, dass (fν ◦ α) · α gleichm¨aßig auf [a, b] gegen (f ◦ α) · α konvergiert, und daraus folgt die Behauptung.

2.1.2. Satz (Integrationsregel) Ist f : G → C komplex diﬀerenzierbar, f stetig und α : [a, b] → G ein stetig diﬀerenzierbarer Weg, so ist f (z) dz = f α(b) − f α(a) . α

Beweis: Auch f ◦ α : [a, b] → C ist stetig diﬀerenzierbar, mit (f ◦ α) (t) = f (α(t)) · α (t) und b b f α(t) · α (t) dt = (f ◦ α) (t) dt = f (α(b)) − f (α(a)). a

a

Man beachte, dass der Strich hier einmal die komplexe und einmal die reelle Ableitung bezeichnet!

Deﬁnition

(Stammfunktion)

Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C stetig. Eine Stammfunktion von f ist eine holomorphe Funktion F : G → C mit F = f . Bemerkung: Ist f : G → C stetig, so unterscheiden sich je zwei Stammfunktionen von f h¨ochstens um eine Konstante (denn eine holomorphe Funktion mit verschwindender Ableitung ist konstant). F¨ ur stetige Funktionen, die eine komplex diﬀerenzierbare Stammfunktion besitzen, funktioniert also das Integrieren fast wie im Reellen! Bis hierhin ist nicht so recht einzusehen, warum man sich mit komplexer Analysis abplagen soll. Den wesentlichen Unterschied zur reellen Analysis werden wir aber gleich kennenlernen. Will man n¨amlich eine Funktion f von p nach q integrieren, so kann es passieren, dass f zwei Stammfunktionen F1 , F2 besitzt, die in der N¨ahe von p u ¨bereinstimmen, aber auf verschiedenen – den Endpunkt q enthaltenden – Gebieten G1 , G2 deﬁniert sind und in q verschiedene Werte besitzen, auch wenn f selbst auf G1 ∪ G2 deﬁniert ist. Das bedeutet, dass die Unabh¨angigkeit vom

2 Integration im Komplexen

72

Integrationsweg, wie sie in Satz 2.1.2 f¨ ur Funktionen mit globaler Stammfunktion geliefert wird, im Allgemeinen nur unter strengen Voraussetzungen gegeben ist.

2.1.3. Beispiele A. Sei z0 = 0 und α(t) := t · z0 (f¨ ur 0 ≤ t ≤ 1) die Verbindungsstrecke von 0 und z0 . Weiter sei f (z) := z n . Dann ist

f (z) dz = 0

α

1

f (t · z0 ) · z0 dt = z0n+1 ·

1

tn dt =

0

1 n+1 z . n+1 0

Dieses Ergebnis kann man auch auf anderem Wege erhalten. Setzt man F (z) := z n+1 /(n + 1), so ist F (z) = f (z) und daher 1 n+1 f (z) dz = F (α(1)) − F (α(0)) = F (z0 ) − F (0) = z . n+1 0 α B. Die Kreislinie ∂Dr (z0 ) wird durch α(t) := z0 + r · e i t (mit 0 ≤ t ≤ 2π) parametrisiert. Wenn nicht ausdr¨ ucklich etwas anderes gesagt wird, benutzen wir immer diese Parametrisierung. Ein fundamentaler Baustein der Funktionentheorie ist die Formel

(z − z0 )n dz := ∂Dr (z0 )

(z − z0 )n dz =

2π i 0

f¨ ur n = −1 sonst.

α

Beweis: Es ist 2π 2π 1 1 −it it dz = · r i e dt = i · dt = 2π i , e r 0 0 α z − z0 und f¨ ur n = −1 ist (z − z0 )n dz = α

2π (re i t )n · r i e i t dt = rn+1 i · e i (n+1)t dt 0 0 1 2π n+1 i (n+1)t i· = r e = 0. i (n + 1) 0 2π

Die Funktionentheorie als eigenst¨andige Disziplin gibt es wahrscheinlich nur wegen der unscheinbaren Gleichung ∂D1 (0) dz/z = 2π i , die große Folgen nach sich ziehen wird. Ist α : [a, b] → C ein Integrationsweg, so bezeichne −α den in umgekehrter Richtung durchlaufenen Weg, parametrisiert z.B. durch −α(t) := α(a + b − t) (f¨ ur a ≤ t ≤ b). Mit ϕ(t) := a + b − t gilt dann:

2.1

Komplexe Kurvenintegrale

b

f α ◦ ϕ(t) (α ◦ ϕ) (t) dt

b

f ◦ α ϕ(t) α ϕ(t) ϕ (t) dt =

f (z) dz = −α

73

a

= a

b

= −

f ◦ α(s)α (s) ds = −

ϕ(b)

f ◦ α(s)α (s) ds

ϕ(a)

f (z) dz.

a

α

Sind α : [a, b] → C und β : [c, d] → C zwei Integrationswege (i.A. mit α(b) = β(c), aber das muss nicht zwingend so sein), so bezeichne α + β den Weg, der entsteht, indem man α und β hintereinander durchl¨auft. Dann setzt man f (z) dz := f (z) dz + f (z) dz. α+β

α

β

2.1.4. Beispiel Wir betrachten die Wege α, β, γ : [0, 1] → C mit α(t) := −1 + 2t,

β(t) := 1 + i t und γ(t) := (−1 + 2t) + i t. 1+ i

s

β

γ −1 Dann ist

s

s

α

1

z¯ dz = α+β

0

1

γ

(−1 + 2t) · 2 dt +

0

1

(1 − i t) · i dt

1 1 i = 2 · (−t + t2 ) + i · (t − t2 ) 2 0 0 i 1 = 2 · (−1 + 1) + i · (1 − ) = i + , 2 2 z dz =

und

1

0

(−1 + 2t − i t)(2 + i ) dt

2 − i 2 1 t ) 2 0 i 1 = (2 + i ) · (−1 + 1 − ) = − i + . 2 2

= (2 + i ) · (−t +

Das komplexe Kurvenintegral u ¨ber f (z) := z h¨angt vom Integrationsweg ab! Wir werden im folgenden Satz sehen, dass das daran liegt, dass f keine Stammfunktion besitzt.

2 Integration im Komplexen

74

2.1.5. Hauptsatz u ¨ ber Kurvenintegrale Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: 1. f besitzt auf G eine Stammfunktion. 2. Es ist f (z) dz = 0 f¨ ur jeden geschlossenen Integrationsweg α in G. α

Beweis: (1) =⇒ (2) : Ist F eine Stammfunktion von f und α : [a, b] → G ein Integrationsweg, so ist f (z) dz = F (α(b)) − F (α(a)). α

Ist α geschlossen, so verschwindet die rechte Seite und damit das Integral. ur jeden geschlossenen Integrationsweg, und (2) =⇒ (1) : Sei α f (ζ) dζ = 0 f¨ a ∈ G ein einmalig fest gew¨ahlter Punkt. Zu z ∈ G sei jeweils ein Integrationsweg αz : [0, 1] → G gew¨ahlt, der a mit z verbindet. Dann setze man F (z) := f (ζ) dζ. αz

Wegen der Voraussetzung ist die Deﬁnition von F unabh¨angig von der Wahl des Weges αz . Zu zeigen bleibt: F ist auf G komplex diﬀerenzierbar, und es ist F = f .

D z0 s

Dazu betrachten wir einen Punkt z0 ∈ G und w¨ahlen eine oﬀene Kreisscheibe D um z0 , die noch ganz in G enthalten ist. F¨ ur z ∈ D sei ωz (t) := z0 + t · (z − z0 ) die (in D enthaltene) Verbindungsstrecke zwischen z0 und z. Weiter sei α := αz0 .

f (ζ) dζ =

0 = γ

−αz

sa

f (ζ) dζ −

f (ζ) dζ + α

ωz

= F (z0 ) − F (z) +

1 0

f (ζ) dζ αz

f (z0 + t(z − z0 )) · (z − z0 ) dt

= F (z0 ) − F (z) + Δ(z) · (z − z0 ),

1

mit Δ(z) := 0

f (z0 + t(z − z0 )) dt.

sz

α

Dann ist γ := α + ωz − αz ein geschlossener Weg, und es gilt:

ωz

G

2.1

Komplexe Kurvenintegrale

75

Oﬀensichtlich ist Δ(z0 ) = f (z0 ), und f¨ ur z ∈ D ist 1 |Δ(z) − Δ(z0 )| = | [f (z0 + t(z − z0 )) − f (z0 )] dt| 0

≤ max |f (z0 + t(z − z0 )) − f (z0 )|. 0≤t≤1

Da f stetig ist, folgt hieraus auch die Stetigkeit von Δ in z0 .

Deﬁnition

(sternf¨ ormiges Gebiet)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. G heißt sternf¨ormig bez¨ uglich a ∈ G, falls mit jedem z ∈ G auch die Verbindungsstrecke von a und z ganz in G liegt. r

zr

a r

G

r

r

r r r

Jedes konvexe Gebiet ist sternf¨ormig, aber die Umkehrung ist i.A. falsch. Sind G1 und G2 konvex und ist a ∈ G1 ∩ G2 , so ist G1 ∪ G2 bez¨ uglich a sternf¨ormig. Das Innere eines Dreiecks“ (die exakte Formulierung sei dem Leser u ¨berlassen) ” nennen wir ein Dreiecksgebiet. Oﬀensichtlich ist jedes Dreiecksgebiet konvex, und der Rand ist st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbar. Nimmt man den Rand hinzu, so spricht man von einem abgeschlossenen Dreieck.

2.1.6. Der Hauptsatz fu ¨ r Sterngebiete Sei G ⊂ C ein bez¨ uglich a ∈ G sternf¨ormiges Gebiet, f : G → C stetig. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: 1. f besitzt auf G eine Stammfunktion. ur jedes abgeschlossene Dreieck Δ ⊂ G, das a als 2. Es ist ∂Δ f (z) dz = 0 f¨ Eckpunkt hat. Beweis: (1) =⇒ (2) : Klar! (2) =⇒ (1) : Das ist eine Versch¨arfung des Hauptsatzes u ¨ber Kurvenintegrale im Falle von sternf¨ormigen Gebieten. Der Beweis wird v¨ollig analog gef¨ uhrt, allerdings deﬁniert man diesmal F (z) als Integral u ¨ber die Verbindungsstrecke von a und z, was wegen der Sternf¨ormigkeit m¨oglich ist.

2 Integration im Komplexen

76

Erg¨ anzung Es soll hier kurz an die Integration komplexwertiger Funktionen von einer reellen Ver¨anderlichen erinnert werden Eine (komplexwertige) Funktion f auf einem Intervall [a, b] heißt st¨ uckweise stetig, wenn es eine Zerlegung a = t0 < t1 < . . . < tn = b gibt, so dass f auf jedem der oﬀenen Intervalle (ti−1 , ti ) stetig ist und in den Punkten ti einseitige Grenzwerte besitzt. f heißt st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbar, wenn f auf [a, b] stetig und auf den abgeschlossenen Teilintervallen einer geeigneten Zerlegung stetig diﬀerenzierbar ist.

Deﬁnition Sei f : [a, b] → C eine st¨ uckweise stetige komplexwertige Funktion. Dann erkl¨art man das Integral u ¨ber f durch

b

b

f (t) dt := a

Die Zuordnung f → Außerdem gilt:

b a

b

Re f (t) dt + i

Im f (t) dt.

a

a

f (t) dt ist C-linear, und das Integral einer reellwertigen Funktion ist reell.

1. Ist f stetig und F eine (komplexwertige) Stammfunktion von f auf [a, b], so ist

b

f (t) dt = F (b) − F (a).

a

2. Ist ϕ : [a, b] → R st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbar, so ist

ϕ(b)

b

f (t) dt = ϕ(a)

f (ϕ(s))ϕ (s) ds.

a

3. Ist (fν ) eine Folge von stetigen Funktionen auf [a, b], die gleichm¨aßig gegen eine Funktion f konvergiert, so ist b b f (t) dt = lim fν (t) dt. ν→∞

a

4. Es gilt die Absch¨atzung

b

f (t) dt ≤

a

a

b

|f (t)| dt.

a

2.1.7. Beispiel Sei n ∈ Z, n = 0, f (t) := e i nt und F (t) := a

b

e i nt dt =

1 i nt e . Dann ist F (t) = f (t) und daher in

1 i nt b 1 i nb e (e − e i na ). = in in a

2.1.8. Aufgaben A. Berechnen Sie α 1/z dz, wenn α eine Parametrisierung des Randes des Rechtecks mit den Ecken ±2 ± i ist.

2.2

Der Cauchy’sche Integralsatz

77

B. Sei α eine Parametrisierung des Viertelkreisbogens um 0, der 3 mit 3 i verbindet. Beweisen Sie die Absch¨atzung dz 3π , ≤ 2 16 α 1+z ohne das Integral explizit zu berechnen. C. Sei R ein beliebiges Rechtecksgebiet. Berechnen Sie

∂R

sin z dz.

D. Sei R− := {x ∈ R : x < 0}. Zeigen Sie, dass das Gebiet G := C∗ \ R− sternf¨ormig ist. z+2 E. Sei α(t) := 2e i t f¨ ur π ≤ t ≤ 2π. Berechnen Sie dz. z α F. Es sei G ⊂ C ein Gebiet und αn : [0, 1] → C eine Folge von Integrationswegen in G, so dass (αn ) auf [0, 1] gleichm¨aßig gegen einen Integrationsweg α : [0, 1] → G und (αn ) gleichm¨aßig gegen α konvergiert. Zeigen Sie, dass f¨ ur jede stetige Funktion f : G → C gilt: f (z) dz = f (z) dz. lim n→∞

αn

α

ur α einmal der Streckenzug von 0 u G. Berechnen Sie α |z|2 dz, wobei f¨ ¨ber 1 nach 1 + i und dann der Streckenzug von 0 u ¨ber i nach 1 + i eingesetzt werden soll.

2.2

Der Cauchy’sche Integralsatz

Welche Funktionen besitzen eine (komplex diﬀerenzierbare) Stammfunktion? Wichtigstes Hilfsmittel bei der Suche nach der verbl¨ uﬀenden Antwort auf diese Frage ist der Cauchy’sche Integralsatz, den wir in diesem Abschnitt beweisen werden. Ausgangspunkt ist der

2.2.1. Satz von Goursat Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine holomorphe Funktion und ⊂ G ein abgeschlossenes Dreiecksgebiet. Dann gilt: f (z) dz = 0. ∂

Beweis: Wir schreiben Δ = Δ(0) . Indem wir die Seiten von Δ halbieren, unter(1) (1) teilen wir Δ in 4 kongruente Teildreiecke Δ1 , . . . , Δ4 .

2 Integration im Komplexen

78

(1)

Δ2

(1)

Δ4

(1) Δ3

(1)

(1)

(1)

Δ1

(1)

(1)

Sei γ = ∂Δ1 + ∂Δ2 + ∂Δ3 + ∂Δ4 . Dann ist f (z) dz = γ

4

k=1

(1)

f (z) dz =

f (z) dz, ∂Δ(0)

∂Δk

denn die Integrale u ¨ber die Strecken im Innern des Dreiecks heben sich gegenseitig auf, da die Strecken jeweils doppelt mit entgegengesetztem Vorzeichen durchlaufen werden. Also ist f (z) dz = f (z) dz ≤ 4 · max f (z) dz . ∂Δ(0)

k

γ (1)

(1)

∂Δk

(1)

Nun w¨ahlt man unter den Dreiecken Δ1 , . . . , Δ4 dasjenige aus, bei dem der Betrag des Integrals am gr¨oßten ist, und nennt es Δ(1) . Dann ist f (z) dz ≤ 4 · f (z) dz . ∂Δ(0)

∂Δ(1)

Wiederholt man diese Prozedur, so erh¨alt man eine Folge von Dreiecken Δ = Δ(0) ⊃ Δ(1) ⊃ Δ(2) ⊃ . . . mit

∂Δ

f (z) dz ≤ 4n ·

∂Δ(n)

f (z) dz und L(∂Δ(n) ) = 2−n · L(∂Δ).

Da alle Δ(i) kompakt und nicht leer sind, enth¨alt n≥0 Δ(n) einen Punkt z0 , und da der Durchmesser der Dreiecke beliebig klein wird, kann es auch nur einen solchen Punkt geben. Jetzt kommt der entscheidende Trick dieses Beweises! Wir nutzen die komplexe Diﬀerenzierbarkeit von f in z0 aus: Es gibt eine in z0 stetige Funktion A, so dass gilt: 1. f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) · (f (z0 ) + A(z)).

2.2

Der Cauchy’sche Integralsatz

79

2. A(z0 ) = 0. Die aﬃn-lineare Funktion λ(z) := f (z0 ) + (z − z0 ) · f (z0 ) hat auf G eine Stammfunktion, n¨amlich Λ(z) := (f (z0 ) − z0 · f (z0 )) · z +

f (z0 ) 2 ·z . 2

λ(z) dz = 0 f¨ ur alle n. Daraus folgt:

Also ist ∂Δ(n)

f (z) dz =

∂Δ(n)

(z − z0 )A(z) dz

∂Δ(n) (n)

≤ L(∂Δ ≤ L(∂Δ

) · max (|z − z0 | · |A(z)|) ∂Δ(n)

(n) 2

) · max (|A(z)|. ∂Δ(n)

Setzt man alles zusammen, so erh¨alt man: f (z) dz ≤ 4n · ∂Δ

f (z) dz

∂Δ(n) (n) 2

≤ 4 · L(∂Δ n

) · max |A(z)| ∂Δ(n)

2

= L(∂Δ) · max |A(z)|. ∂Δ(n)

F¨ ur n → ∞ strebt die rechte Seite gegen 0. Der Satz von Goursat l¨asst sich noch ein wenig versch¨arfen.

2.2.2. Satz von Goursat in versch¨ arfter Form Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und bis auf endlich viele Punkte holomorph. Dann gilt f¨ ur jedes abgeschlossene Dreiecksgebiet ⊂ G : f (z) dz = 0. ∂

Beweis: Wir k¨onnen annehmen, dass f u ¨berall bis auf einen einzigen Ausnahmepunkt z0 holomorph ist. Nun unterscheiden wir mehrere F¨alle: 1. Fall: z0 ist Eckpunkt von . Dann zerlegen wir folgendermaßen in drei Teildreiecke:

z1 z0 s

Δ1

s

Δ2 s

z1 Aus dem gew¨ohnlichen Satz von Goursat folgt, dass

Δ3

2 Integration im Komplexen

80

f (z) dz = ∂ 2

ist, also

f (z) dz = 0 ∂ 3

f (z) dz = ∂

f (z) dz, ∂ 1

unabh¨angig davon, wie z1 und z1 gew¨ahlt werden. Dann ist f (z) dz| ≤ L(∂ 1 ) · sup|f (z)|, |

∂

und die rechte Seite strebt gegen Null, wenn z1 und z1 gegen z0 wandern. 2. Fall: z0 liegt auf einer Seite von , ist aber kein Eckpunkt. Dann zerlegt man in zwei Teildreiecke, auf die beide jeweils der erste Fall anwendbar ist: 3. Fall: z0 liegt im Innern von . Diesen Fall kann man auf den 2. Fall reduzieren:

s

z0 s z0

Liegt z0 außerhalb , so ist u ¨berhaupt nichts zu zeigen.

2.2.3. Satz (u ¨ ber die Existenz von Stammfunktionen) Sei G ⊂ C ein sternf¨ormiges Gebiet, f : G → C stetig und bis auf endlich viele Punkte holomorph. Dann besitzt f auf G eine Stammfunktion. Beweis: Sei uglich a ∈ G. Nach dem versch¨arften Satz von G sternf¨ormig bez¨ Goursat ist ∂Δ f (z) dz = 0 f¨ ur jedes abgeschlossene Dreieck Δ ⊂ G, insbesondere also f¨ ur jedes Dreieck, das a als Eckpunkt hat. Aber dann besitzt f eine Stammfunktion. Wir haben im Beweis nicht direkt die Holomorphie von f benutzt, sondern nur die Tatsache, dass das Integral u ¨ber f und den Rand eines abgeschlossenen Dreiecksgebietes in G verschwindet! Nun folgt:

2.2.4. Cauchy’scher Integralsatz (fu ¨ r Sterngebiete) Sei G ⊂ C ein sternf¨ormiges Gebiet, f : G → C stetig und bis auf endlich viele Punkte holomorph. Dann gilt f¨ ur jeden geschlossenen Integrationsweg α in G : f (z) dz = 0. α

2.2

Der Cauchy’sche Integralsatz

Beweis:

81

f besitzt eine Stammfunktion, und daraus folgt die Behauptung.

2.2.5. Lemma Sei R > 0 und f : DR (z0 ) → C holomorph außerhalb des Punktes z1 ∈ DR (z0 ), z1 = z0 .

z1 s ε

Wir w¨ahlen ein r mit 0 < r < R und ein ε > 0, so dass noch Dε (z1 ) ⊂ Dr (z0 ) ist. Dann ist

s

R

f (z) dz =

r

z0

f (z) dz.

∂Dr (z0 )

∂Dε (z1 )

Beweis: Wir zeigen, dass die Diﬀerenz der Integrale verschwindet. Dazu fassen wir die Diﬀerenz“ der Integrale als Summe zweier Integrale u ¨ber geschlossene Wege ” auf, auf die sich jeweils der Cauchy’sche Integralsatz anwenden l¨asst: σ s

α1 s

α2

s s

β1 β2

τ

Bezeichnen wir die beiden Verbindungsstrecken vom kleinen inneren Kreis zum großen ¨außeren Kreis (von oben nach unten orientiert) mit σ und τ und die positiv orientierten Teil-Kreislinien mit α1 , α2 und β1 , β2 , so gilt: (β1 + σ − α1 + τ ) + (β2 − τ − α2 − σ) = (β1 + β2 ) − (α1 + α2 ). Die beiden geschlossenen Wege auf der linken Seite der Gleichung verlaufen jeweils in einem sternf¨ormigen Gebiet, in dem f holomorph ist. Nach Cauchy ist das Integral u ¨ber diese Wege = 0, und daraus folgt auch schon die Behauptung.

Deﬁnition

(relativ kompakte Teilmenge)

Sei G ⊂ C ein Gebiet und B ⊂ G eine oﬀene Teilmenge. Wir sagen, B liegt relativ kompakt in G (in Zeichen: B ⊂⊂ G ), wenn B kompakt und in G enthalten ist.

2 Integration im Komplexen

82

2.2.6. Folgerung Ist D ⊂ C eine Kreisscheibe und z ∈ C \ ∂D, so ist dζ 2π i falls z ∈ D, = 0 sonst. ζ − z ∂D Beweis: 1) Sei ε > 0 so gew¨ahlt, dass Dε (z) ⊂⊂ D ist. F¨ ur ζ = z ist f (ζ) := 1/(ζ − z) holomorph. Also ist dζ dζ = = 2π i . ζ − z ζ −z ∂D ∂Dε (z) 2) Ist z ∈ C \ D, so gibt es eine Kreisscheibe D mit D ⊂⊂ D und z ∈ C \ D . Dann ist f (ζ) auf D holomorph, und das Integral verschwindet aufgrund des Cauchy’schen Integralsatzes f¨ ur Sterngebiete.

Deﬁnition

(einfach zusammenh¨ angendes Gebiet)

Ein Gebiet G ⊂ C heißt einfach zusammenh¨angend, falls jede holomorphe Funktion f : G → C eine Stammfunktion besitzt. ¨ Diese Deﬁnition ist nicht die Ubliche. Man kann einfach zusammenh¨angende Gebiete auch rein topologisch charakterisieren. Das wird den brisanten S¨atzen der folgenden Abschnitte erst ihren eigentlichen Sinn geben. Aber hier beginnen wir mit der obigen, rein analytischen Deﬁnition, weil wir so erst mal schneller zu interessanten Resultaten kommen. F¨ ur die vollst¨andige topologische Charakterisierung werden wir den Riemann’schen Abbildungssatz brauchen, der erst in Kapitel 5 zur Verf¨ ugung steht.

2.2.7. Hinreichende Bedingungen (fu angende Gebiete) ¨ r einfach zusammenh¨ 1. Jedes sternf¨ormige Gebiet ist einfach zusammenh¨angend. 2. Sind G1 und G2 einfach zusammenh¨angende Gebiete und ist G1 ∩ G2 = ∅ zusammenh¨angend, so ist auch G1 ∪ G2 einfach zusammenh¨angend. Beweis:

1) ist klar, aufgrund des Cauchy’schen Integralsatzes f¨ ur Sterngebiete.

2) G := G1 ∪ G2 ist wieder ein Gebiet. Sei f : G → C holomorph. Dann gibt es Stammfunktionen Fλ von f |Gλ , f¨ ur λ = 1, 2. Auf G1 ∩G2 ist dann (F1 −F2 ) (z) ≡ 0, also F1 (z) − F2 (z) ≡ c konstant. Sei auf G1 , F1 (z) F (z) := F2 (z) + c auf G2 .

2.2

Der Cauchy’sche Integralsatz

83

Oﬀensichtlich ist F holomorph auf G und F = f .

2.2.8. Cauchy’scher Integralsatz (fu angende Gebiete) ¨ r einfach zusammenh¨ Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet und f : G → C holomorph. Dann gilt f¨ ur jeden geschlossenen Integrationsweg α in G : f (z) dz = 0. α

Der Beweis ist trivial. Nat¨ urlich wirkt das Ganze wie Mogelei, weil wir eigentlich die Aussage des Satzes in Form unserer Deﬁnition von einfach zusammenh¨angenden Gebieten schon hineingesteckt haben. Wir haben uns den Cauchy’schen Integralsatz hier gewissermaßen auf Vorrat beschaﬀt. Die jetzt eingesparte Arbeit werden wir nachholen, wenn wir einfach zusammenh¨angende Gebiete zu einem sp¨ateren Zeitpunkt topologisch charakterisieren werden. Allerdings werden wir schon am Ende dieses Kapitels eine gr¨oßere Klasse von Beispielen angeben k¨onnen.

2.2.9. Satz Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, f : G → C holomorph, f (z) = 0 auf G und f holomorph. Dann gibt es eine holomorphe Funktion h auf G, so dass exp(h(z)) = f (z) f¨ ur alle z ∈ G gilt. Beweis: Weil f /f holomorph auf G ist, gibt es eine Stammfunktion F von f /f . Sei H := (exp ◦F )/f . Dann ist H (z) =

exp(F (z)) · F (z) · f (z) − exp(F (z)) · f (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ G, f (z)2

also H(z) ≡ c konstant. Deshalb ist exp(F (z)) = c · f (z) und c = 0. Man setze h(z) := F (z) − log(c), mit einem geeigneten Logarithmus. Dann ist exp ◦h = f .

Deﬁnition

(Logarithmusfunktion)

∗

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Logarithmusfunktion auf G ist eine stetige Funktion L : G → C, so dass exp(L(z)) ≡ z auf G gilt.

2.2.10. Eigenschaften von Logarithmusfunktionen Sei G ⊂ C∗ ein Gebiet. 1. Ist L : G → C eine Logarithmusfunktion, so ist L holomorph und L (z) = 1/z.

2 Integration im Komplexen

84

2. Je zwei Logarithmusfunktionen auf Gunterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π i . 3. Ist G ⊂ C∗ einfach-zusammenh¨angend, so gibt es auf G eine Logarithmusfunktion. Beweis: 1) Da exp lokal injektiv ist, folgt wie bei den schon behandelten Logarithmuszweigen, dass L komplex diﬀerenzierbar und L (z) = 1/z ist. 2) Ist exp(L1 (z)) = exp(L2 (z)) = z auf G, so ist L1 − L2 holomorph und (L1 − L2 ) (z) ≡ 0, also L1 (z) − L2 (z) ≡ c auf G. Andererseits nimmt L1 − L2 nur Werte in 2π i Z an. Daraus folgt die Behauptung. 3) Die Funktion f (z) := z ist holomorph und ohne Nullstellen auf G. Wir haben oben schon gezeigt, dass es dann eine holomorphe Funktion L mit exp(L(z)) = z gibt. Also ist L eine Logarithmusfunktion. Wir wollen jetzt zeigen, dass der Wert einer holomorphen Funktion f an einer Stelle z0 durch das Integral u ¨ber f und einen geschlossenen Weg um z0 herum berechnet werden kann.

2.2.11. Die Cauchy’sche Integralformel Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, z0 ∈ G und r > 0, so dass D := Dr (z0 ) ⊂⊂ G ist. f (ζ) 1 Dann gilt f¨ ur alle z ∈ D : f (z) = dζ. 2π i ζ −z ∂D

Beweis: Wir k¨onnen ein ε > 0 ﬁnden, so dass auch noch D := Dr+ε (z0 ) ⊂ G ist.

sz

s z0

D

G

D

Sei z ∈ D beliebig vorgegeben. Da f in G holomorph ist, gibt es eine in z stetige Funktion Δz auf G, so dass f¨ ur alle ζ ∈ G gilt:

2.2

Der Cauchy’sche Integralsatz

85

f (ζ) = f (z) + Δz (ζ) · (ζ − z).

Dann ist

f (ζ) − f (z) /(ζ − z) falls ζ = z f (z) falls ζ = z.

Δz (ζ) =

Nachdem Δz u ¨berall stetig und außerhalb z sogar holomorph ist, k¨onnen wir auf der sternf¨ormigen Menge D den Cauchy’schen Integralsatz auf Δz und den geschlossenen Weg ∂D ⊂ D anwenden: f (ζ) − f (z) Δz (ζ) dζ = dζ 0 = ζ −z ∂D ∂D f (ζ) dζ f (ζ) dζ − f (z) · = dζ − f (z) · 2π i . = ∂D ζ − z ∂D ζ − z ∂D ζ − z Beim Beweis der Cauchy’schen Integralformel ist nun ganz deutlich die komplexe Diﬀerenzierbarkeit eingegangen. Dementsprechend hat der Satz Konsequenzen, die weit u ¨ber das hinausgehen, was man von einer reell diﬀerenzierbaren Abbildung erwarten w¨ urde.

2.2.12. Beispiele

A. Es soll das Integral ∂D3 (0)

ez dz berechnet werden. z 2 + 2z

Indem man den Nenner in Linearfaktoren zerlegt und eine Partialbruchzerlegung durchf¨ uhrt, bringt man das Integral in die Form, die auf der rechten Seite der Cauchy’schen Integralformel steht:

1/2 ez 1/2 dz = − · ez dz 2 z z+2 ∂D3 (0) z + 2z ∂D3 (0) ez ez 1 1 = dz − dz 2 ∂D3 (0) z 2 ∂D3 (0) z − (−2) 1 = 2π i · · [e0 − e−2 ] = π i (1 − e−2 ). 2 B. Sei C = ∂D1 ( i /2). Dann liegt i im Innern von C, und − i nicht. Daher gilt: dz dz dz 1 1 1 = − = · [2π i − 0] = π. 2 2i C z − i 2i C z + i 2i C z +1

2.2.13. Aufgaben A. Berechnen Sie das Integral ∂δ

e−z dz , z 3 + 2z 2 − 3z − 10

wobei Δ das Dreieck mit den Ecken i , − i und 3 ist.

2 Integration im Komplexen

86

2π B. Um ein Integral der Form I = 0 F (sin x, cos x) dx (wobei F (u, v) ein Quotient zweier Polynome in u und v ist) zu berechnen, kann man folgendermaßen vorgehen: Beschreibt man die Winkelfunktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion, so kann man I als komplexes Kurvenintegral auﬀassen: 1 1 1 1 1 1 F z− , z+ dz. I= i ∂D1 (0) z 2i z 2 z (a) Beweisen Sie die Formel! (b) Manchmal kann man das gewonnene Kurvenintegral mit Hilfe der Cauchy’schen Integralformel berechnen. F¨ uhren Sie das im Falle des folgenden Integrals aus: 2π dx . I= 3 + 2 sin x 0 z sin z C. Berechnen Sie ur C = ∂D1 (−2). dz f¨ ur C = ∂D3/2 (1) und f¨ 3+8 z C ∞ D. Berechnen Sie 0 (sin x)/x dx mit Hilfe des Cauchy’schen Integralsatzes und der Integralformel. Benutzen Sie daf¨ ur folgenden Integrationsweg und lassen Sie dann r gegen Null und R gegen Unendlich gehen.

r E. Berechnen Sie √ von z.

∂D1 (0)

R

1 √ dz . Seien Sie dabei vorsichtig mit der Deﬁnition z

F. Sei G ⊂ C ein Gebiet, D = Dr (z0 ) ⊂⊂ G und z1 , z2 ∈ D. Ist f holomorph auf G, so ist f (z1 ) 1 f (z) f (z2 ) dz = + . 2π i ∂D (z − z1 )(z − z2 ) z1 − z2 z2 − z1 cos z 1 dz, wobei einmal C = {z : |z − 2 i | = 2} und 2π i C z 2 + 1 einmal C = {z : |z| = 2} zu setzen ist.

G. Berechnen Sie

H. Sei Q ⊂ C ein oﬀenes achsenparalleles Rechteck, f : Q → C stetig und f (z) dz = 0. holomorph in Q. Dann ist ∂Q

2.3

Der Entwicklungssatz

2.3

87

Der Entwicklungssatz

In diesem Abschnitt wird die wichtigste Folgerung aus der Cauchy’schen Integralformel bewiesen, der sogenannte Entwicklungssatz“, der zeigt, dass jede holomor” phe Funktion lokal in eine Potenzreihe entwickelt werden kann und damit beliebig oft komplex diﬀerenzierbar ist. Dieses h¨ochst u ¨berraschende Ergebnis, das die holomorphen Funktionen in ganz neuem Licht erscheinen l¨asst, wurde von Taylor und Cauchy beim Versuch entdeckt, die Taylor-Entwicklung von komplex diﬀerenzierbaren Funktionen zu berechnen. Die Motivation erwuchs also aus der Idee, bekannte Sachverhalte aus dem Reellen ins Komplexe zu u ¨bertragen. Cauchys Integralformel lieferte schließlich das passende Hilfsmittel, und die Folgerungen, die sich aus dem Entwicklungssatz ziehen lassen, u ¨bertreﬀen alle Erwartungen.

2.3.1. Entwicklungs-Lemma Sei α : [a, b] → C ein Integrationsweg, z0 ∈ C \ |α| und R := dist(z0 , |α|). Ist f eine stetige Funktion auf der Spur von α, so gibt es eine Potenzreihe p(z) =

∞

an (z − z0 )n ,

n=0

die im Innern von DR (z0 ) absolut und gleichm¨aßig gegen die auf C \ |α| deﬁnierte Funktion 1 f (ζ) dζ F (z) := 2π i ζ −z α

konvergiert. 1 Die Koeﬃzienten der Potenzreihe gen¨ ugen der Formel an = 2π i

α

f (ζ) dζ. (ζ − z0 )n+1

Insbesondere ist F holomorph auf C \ |α|. Beweis: Ist ζ ∈ |α| und z ∈ DR (z0 ), so ist |z − z0 | < R ≤ |ζ − z0 |. Wir k¨onnen den folgenden Trick mit der geometrischen Reihe“ anwenden: ” 1 1 1 1 · = = ζ −z (ζ − z0 ) − (z − z0 ) ζ − z0 1 − (z − z0 )/(ζ − z0 ) n ∞

z − z0 1 = · . ζ − z0 n=0 ζ − z0 Da f auf der kompakten Menge |α| beschr¨ankt ist, etwa durch eine Zahl C > 0, ist

C f (ζ) n · (z − z ) ≤ · 0 (ζ − z0 )n+1 R

|z − z0 | R

n , f¨ ur ζ ∈ |α| und z ∈ DR (z0 ).

2 Integration im Komplexen

88

Die Reihe u ur jedes feste z ∈ ¨ber die Terme auf der rechten Seite konvergiert f¨ ur festes z) die Reihe DR (z0 ). Nach dem Weierstraß-Kriterium konvergiert dann (f¨ n

∞ ∞ f (ζ) f (ζ) z − z0 f (ζ) · = (z − z0 )n = n+1 ζ −z ζ − z0 n=0 ζ − z0 (ζ − z ) 0 n=0 absolut und gleichm¨aßig in ζ auf |α|. Da die Partialsummen stetig in ζ sind, kann man Grenzwertbildung und Integration vertauschen und erh¨alt: ∞

1 1 f (ζ) f (ζ) dζ · (z − z0 )n . dζ = n+1 2π i α ζ − z 2π i (ζ − z ) 0 α n=0 Die Reihe konvergiert f¨ ur jedes z ∈ DR (z0 ). Nun setzen wir f (ζ) 1 an := dζ. 2π i α (ζ − z0 )n+1 n aßig im Innern Dann konvergiert die Reihe ∞ n=0 an (z − z0 ) absolut und gleichm¨ von DR (z0 ) gegen F (z). Da man diese Konstruktion in jedem Punkt z0 ∈ C \ |α| durchf¨ uhren kann, ist F dort u ¨berall holomorph. Jetzt sind wir auf den folgenden Satz vorbereitet:

2.3.2. Entwicklungssatz von Cauchy Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und z0 ∈ G. Ist R > 0 der Radius der gr¨oßten (oﬀenen) Kreisscheibe um z0 , die noch in G hineinpasst, so gibt es eine Potenzreihe ∞

p(z) = an (z − z0 )n , n=0

die f¨ ur jedes r mit 0 < r < R auf Dr (z0 )absolut und gleichm¨aßig gegen f (z) konvergiert. F¨ ur jedes solche r ist f (ζ) 1 an = dζ. 2π i (ζ − z0 )n+1 ∂Dr (z0 )

Die Funktion f ist auf G beliebig oft komplex diﬀerenzierbar. Beweis: Sei 0 < r < R und α(t) := z0 + re i t , 0 ≤ t ≤ 2π. Dann ist f auf |α| stetig und man kann das Entwicklungs-Lemma anwenden. Es gibt eine Potenzreihe p(z), die im Innern von Dr (z0 ) absolut und gleichm¨aßig gegen 1 f (ζ) F (z) := dζ 2π i α ζ − z konvergiert. Die Koeﬃzienten der Reihe sind durch die Formel

2.3

Der Entwicklungssatz

89

1 an = 2π i

∂Dr (z0 )

f (ζ) dζ (ζ − z0 )n+1

gegeben. Nach der Cauchy’schen Integralformel ist aber F (z) = f (z), und es ist klar, dass die Koeﬃzienten an nicht von r abh¨angen.

2.3.3. Folgerung (H¨ ohere Cauchy’sche Integralformeln) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann ist f auf G beliebig oft komplex diﬀerenzierbar, und f¨ ur z0 ∈ G, D := Dr (z0 ) ⊂⊂ G und z ∈ D ist f (ζ) n! f (n) (z) = dζ f¨ ur n ∈ N0 . 2π i (ζ − z)n+1 ∂Dr (z0 )

Beweis: Ist z ∈ D, nso gibt es nach dem Entwicklungslemma eine Potenzreihe p(w) = ∞ n=0 an (w − z) , die auf einer Umgebung U = Uδ (z) gegen die holomorphe Funktion 1 f (ζ) F (w) := dζ 2π i ∂D ζ − w konvergiert. Nach der Cauchy’schen Integralformel ist aber f (w) = F (w) = p(w) f¨ ur w ∈ U , und daher f (n) (z) = p(n) (z) = an · n! f¨ ur alle n. Daraus folgt: 1 f (n) (z) = n! 2π i

∂D

f (ζ) dζ (ζ − z)n+1

f¨ ur jedes z ∈ D und n ∈ N0 .

Deﬁnition

(analytische Funktion)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Funktion f : G → C heißt in z0 ∈ G in eine Potenzreihe entwickelbar, wenn es ein r > 0 gibt, so dass D := Dr (z0 ) ⊂⊂ G ist und f auf D mit einer konvergenten Potenzreihe u ¨bereinstimmt. f heißt auf G analytisch, wenn f in jedem Punkt von G in eine Potenzreihe entwickelbar ist. Analytische Funktionen sind beliebig oft komplex diﬀerenzierbar! Man beachte aber, dass man i.A. nicht mit einer einzigen Potenzreihe auskommt.

2.3.4. Satz von Morera

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und ∂Δ f (z) dz = 0 f¨ ur jedes abgeschlossene Dreieck Δ ⊂ G. Dann ist f holomorph auf G.

2 Integration im Komplexen

90

Beweis: f besitzt zumindest lokal (auf sternf¨ormigen Teilmengen) eine holomorphe Stammfunktion F . Aber F ist beliebig oft komplex diﬀerenzierbar, und dann ist auch f = F holomorph. Fassen wir nun zusammen:

2.3.5. Theorem Sei G ⊂ C ein Gebiet. Folgende Aussagen u ¨ber eine Funktion f : G → C sind ¨aquivalent: 1. f ist reell diﬀerenzierbar und erf¨ ullt die Cauchy-Riemann’schen Diﬀerentialgleichungen. 2. f ist komplex diﬀerenzierbar. 3. f ist holomorph. 4. f ist beliebig oft komplex diﬀerenzierbar. 5. f ist analytisch. 6. f ist stetig und besitzt lokal immer eine Stammfunktion. f (z) dz = 0 f¨ ur jedes abgeschlossene Dreieck Δ 7. f ist stetig, und es ist in G.

∂Δ

Das ist schon erstaunlich! Eine einmal komplex diﬀerenzierbare Funktion ist automatisch beliebig oft komplex diﬀerenzierbar. Ein großer Unterschied zur reellen Theorie! Wir k¨onnen tats¨achlich bei all den S¨atzen, bei denen f holomorph, f ” stetig“ vorausgesetzt wurde, auf die Forderung nach einer stetigen Ableitung verzichten. Und wir sind noch lange nicht am Ende. Die holomorphen Funktionen weisen noch viele andere bemerkenswerte Eigenschaften auf.

2.3.6. Satz Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und außerhalb von z0 ∈ G sogar holomorph. Dann ist f auf ganz G holomorph. Beweis:

Nach Voraussetzung besitzt f lokal immer eine Stammfunktion.

2.3.7. Riemann’scher Hebbarkeitssatz Sei G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ G und f auf G \ {z0 } holomorph. Bleibt f in der N¨ahe von z0 beschr¨ankt, so gibt es eine holomorphe Funktion f auf G, die auf G \ {z0 } mit f u ¨bereinstimmt. Beweis:

Wir benutzen einen netten kleinen Trick:

2.3

Der Entwicklungssatz

91

Sei

F (z) :=

f (z) · (z − z0 ) f¨ ur z = z0 , 0 f¨ ur z = z0 .

Wegen der Beschr¨anktheit von f ist F stetig in G. Außerdem ist F nat¨ urlich holomorph auf G \ {z0 }. Beides zusammen ergibt, dass F auf ganz G holomorph ist. Also gibt es eine Darstellung F (z) = F (z0 ) + Δ(z) · (z − z0 ), mit einer in z0 stetigen Funktion Δ. Da Δ(z) = f (z) außerhalb von z0 holomorph ist, muss Δ sogar auf ganz G holomorph sein. Wir k¨onnen f := Δ setzen. Jetzt untersuchen wir die Nullstellen einer holomorphen Funktion.

2.3.8. Lokaler Darstellungssatz Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, z0 ∈ G und f (z0 ) = 0. Dann ist entweder f (k) (z0 ) = 0 f¨ ur alle k ∈ N0 , oder es gibt ein k > 0, eine oﬀene Umgebung U = U (z0 ) ⊂ G und eine holomorphe Funktion g : U → C, so dass gilt: ur z ∈ U . 1. f (z) = (z − z0 )k · g(z) f¨ 2. g(z0 ) = 0 Die Zahl k ist eindeutig bestimmt durch f (z0 ) = f (z0 ) = . . . = f (k−1) (z0 ) = 0

und

f (k) (z0 ) = 0.

Beweis: W¨ahlt man f¨ ur U eine kleine Kreisscheibe um z0 , so hat man auf U eine Darstellung ∞

an (z − z0 )n . f (z) = n=0

Da f (z0 ) = 0 ist, muss a0 = 0 sein. Ist nicht ak = 0 f¨ ur alle k, so gibt es ein kleinstes k ≥ 1, so dass ak = 0 ist. Dann ist f (z) = (z − z0 ) · g(z), k

mit g(z) :=

∞

am+k (z − z0 )m .

m=0

Mit Hilfe des Lemmas von Abel sieht man sofort, dass die Reihe f¨ ur g(z) ebenfalls auf U konvergiert. Das ergibt die gew¨ unschte Darstellung, und außerdem ist g(z0 ) = ak = 0.

Weiter ist f

(n)

(z0 ) = n!an

Dadurch ist k eindeutig festgelegt.

= 0 f¨ ur n = 0, . . . , k − 1 = 0 f¨ ur n = k.

2 Integration im Komplexen

92

Die Zahl k nennt man die Ordnung der Nullstelle von f in z0 . Bei der lokalen Darstellung von f k¨onnen wir annehmen, dass g(z) = 0 f¨ ur z ∈ U gilt. Dann gibt es auf U eine holomorphe Funktion h mit exp(h(z)) = g(z) und daher auch eine k-te holomorphe Wurzel aus g, n¨amlich γ(z) := exp h(z)/k . Es sei dann ur z ∈ U. q(z) := (z − z0 ) · γ(z) f¨ Oﬀensichtlich ist q holomorph, q(z)k = f (z) und q (z0 ) = γ(z0 ) = 0, also q in z0 biholomorph. Ist q auf V = V (z0 ) ⊂ U injektiv, so hat die Gleichung f (z) = c f¨ ur jedes c ∈ f (V ) genau k L¨osungen, n¨amlich die k Zahlen q −1 (wν ), wobei w1 , . . . , wk die k verschiedenen Wurzeln aus c sind. Mit anderen Worten: In der N¨ahe einer Nullstelle der Ordnung k nimmt eine holomorphe Funktion jeden Wert genau k-mal an. Gibt es auch Nullstellen der Ordnung ∞ ? Diese Frage beantwortet der

2.3.9. Identit¨ atssatz Sei G ⊂ C ein Gebiet (diese Eigenschaft von G ist hier besonders wichtig!). F¨ ur zwei holomorphe Funktionen f, g : G → C ist ¨aquivalent: 1. f (z) = g(z) f¨ ur alle z ∈ G. 2. f (z) = g(z) f¨ ur alle z aus einer Teilmenge M ⊂ G, die wenigstens einen H¨aufungspunkt in G hat. ur alle k ∈ N0 ist. 3. Es gibt einen Punkt z0 ∈ G, so dass f (k) (z0 ) = g (k) (z0 ) f¨ Beweis:

(1) =⇒ (2) ist trivial.

(2) =⇒ (3): Ist z0 ∈ G H¨aufungspunkt der Menge M ⊂ G, so gibt es eine Folge (zν ) in M , die gegen z0 konvergiert. Wegen der Stetigkeit von f und g ist f (z0 ) = lim f (zν ) = lim g(zν ) = g(z0 ). ν→∞

ν→∞

Es reicht, zu zeigen: Ist h holomorph und h(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ M ∪ {z0 }, so ist h(k) (z0 ) = 0 f¨ ur alle k ∈ N0 . Wenn Letzteres nicht erf¨ ullt ist, gibt es ein k und eine holomorphe Funktion q, so dass h(z) = (z − z0 )k · q(z) und q(z0 ) = 0 ist. Aber andererseits w¨are dann q(zν ) = 0 f¨ ur alle ν, und das kann nicht sein! (3) =⇒ (1): Sei h := f − g und N := {z ∈ G | h(k) (z) = 0 f¨ ur alle k ∈ N0 }. Dann liegt z0 in N , also ist N = ∅. Außerdem ist N oﬀen: Ist n¨amlich w0 ∈ N , so sind in der Potenzreihenentwicklung von h in w0 alle Koeﬃzienten = 0, und das bedeutet, dass h auf einer ganzen Umgebung von w0 identisch verschwindet. Andererseits ist auch G \ N oﬀen, denn es gilt: G \ N = {z ∈ G | ∃ k ∈ N0 mit h(k) (z) = 0} {z ∈ G | h(k) (z) = 0}, = k

2.3

Der Entwicklungssatz

93

und das ist eine Vereinigung oﬀener Mengen. Weil G ein Gebiet ist, muss G = N sein. Die Menge M , die im Satz vorkommt, kann z.B. eine kleine Umgebung U eines Punktes z0 ∈ G sein. Der Identit¨atssatz sagt: eine holomorphe Funktion auf G ist schon durch ihre Werte auf U festgelegt. Das zeigt eine gewisse Starrheit der holomorphen Funktionen. Wackelt man lokal an ihnen, so wackelt stets die ganze Funktion mit!

2.3.10. Folgerung Ist G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph und nicht die Nullfunktion, so ist {z ∈ G | f (z) = 0} in G abgeschlossen und diskret (oder leer).

Die Cauchy’sche Integralformel zeigt, dass der Wert einer holomorphen Funktion in einem Punkt durch die Werte auf einer Kreislinie um den Punkt herum festgelegt sind. Noch deutlicher k¨onnen wir das durch die folgende Formel ausdr¨ ucken:

2.3.11. Mittelwerteigenschaft Ist f holomorph auf dem Gebiet G, z0 ∈ G und Dr (z0 ) ⊂⊂ G, dann ist 1 f (z0 ) = 2π

2π 0

f (z0 + re i t ) dt.

Zum Beweis braucht man nur die Parametrisierung der Kreislinie in die Cauchy’sche Integralformel einzusetzen.

2.3.12. Maximumprinzip Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Besitzt |f | in G ein lokales Maximum, so ist f konstant. Beweis: Wenn |f | in z0 ∈ G ein Maximum besitzt, dann gibt es ein r > 0, so dass |f (z)| ≤ |f (z0 )| f¨ ur |z − z0 | ≤ r ist. Aus der Mittelwerteigenschaft folgt f¨ ur 0 < < r : 2π 1 |f (z0 )| ≤ |f (z0 + e i t )| dt ≤ |f (z0 )|. 2π 0 Dann muss nat¨ urlich u ¨berall sogar das Gleichheitszeichen stehen, und es folgt: 2π |f (z0 + e i t )| − |f (z0 )| dt = 0. 0

Da der Integrand u ¨berall ≤ 0 und < r beliebig ist, folgt:

2 Integration im Komplexen

94

|f (z)| = |f (z0 )| f¨ ur |z − z0 | < r. urlich auch f selbst. Schließlich Also ist |f | auf Dr (z0 ) konstant, und dann nat¨ wenden wir den Identit¨atssatz an und erhalten, dass f auf ganz G konstant sein muss. Man kann das Maximumprinzip auch so formulieren: Eine nicht-konstante holomorphe Funktion nimmt nirgendwo in ihrem Deﬁnitionsbereich ein lokales Maximum an (worunter stets ein Maximum von |f | zu verstehen w¨are).

2.3.13. Folgerung Ist G ⊂ C ein beschr¨anktes Gebiet, f : G → C stetig und holomorph auf G, so nimmt |f | sein Maximum auf dem Rand von G an. Beweis: Als stetige Funktion auf einer kompakten Menge muss |f | irgendwo auf G sein Maximum annehmen. Wegen des Maximumprinzips kann das nicht in G liegen. Da bleibt nur der Rand.

2.3.14. Minimumprinzip Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph und ohne Nullstellen. Besitzt |f | in G ein lokales Minimum, so ist f konstant. ¨ Der Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen. Man u ¨berlege sich, warum die Nullstellenfreiheit gefordert wird.

2.3.15. Cauchy’sche Ungleichungen Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, z0 ∈ G und r > 0 mit Dr (z0 ) ⊂⊂ G. Dann gelten die folgenden Absch¨atzungen: 1. |f (z0 )| ≤ max |f |. ∂Dr (z0 )

2. |f (z)| ≤ Beweis:

4 ur z ∈ Dr/2 (z0 ). max |f | f¨ r ∂Dr (z0 )

1) folgt sofort aus dem Maximumprinzip.

2) F¨ ur z ∈ Dr/2 (z0 ) gilt die Cauchy’sche Integralformel f (z) =

1 2π i

∂Dr (z0 )

f (ζ) dζ. (ζ − z)2

F¨ ur ζ ∈ ∂Dr (z0 ) ist |ζ − z| ≥ r/2. Also ergibt die Standardabsch¨atzung:

2.3

Der Entwicklungssatz

|f (z)| ≤

95

f (ζ) 4 1 ≤ · max |f |. · 2πr · max ∂Dr (z0 ) (ζ − z)2 2π r ∂Dr (z0 )

Das ist die gew¨ unschte Ungleichung.

2.3.16. Satz von Liouville Ist f auf ganz C holomorph und beschr¨ankt, so ist f konstant. Beweis: Sei |f (z)| ≤ C f¨ ur alle z ∈ C. Aus der zweiten Cauchy’schen Ungleichung folgt: 4 4C |f (z)| ≤ max |f | ≤ , f¨ ur |z| ≤ r/2. r ∂Dr (z0 ) r Dann ist aber f (z) ≡ 0 auf jeder festen Kreisscheibe um Null, also sogar auf ganz C. Und f selbst ist konstant. Wer das Wundern noch nicht verlernt hat, sollte an dieser Stelle einmal innehalten und sich bewusst machen, wieviele erstaunliche Eigenschaften holomorpher Funktionen wir in kurzer Zeit hergeleitet haben!

Deﬁnition

(ganze Funktion)

Eine ganze Funktion ist eine auf ganz C deﬁnierte holomorphe Funktion. Beispiele sind die Exponentialfunktion, der Sinus und der Cosinus, vor allem aber die Polynome.

2.3.17. Fundamentalsatz der Algebra Jedes nicht konstante Polynom besitzt eine Nullstelle in C. Beweis: Wir machen die Annahme, es gebe ein Polynom p(z) vom Grad n ≥ 1 ohne Nullstellen. Es sei p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 mit an = 0. Dann ist 1 f (z) := p(z) eine ganze Funktion, und f¨ ur z = 0 ist f (z) =

1 1 · , z n q(1/z)

mit dem Polynom q(w) := an + an−1 w + · · · + a1 wn−1 + a0 wn . Wegen q(0) = an = 0 ist 1 1 lim f (z) = lim n · = 0. z→∞ z→∞ z q(0) Also ist f eine beschr¨ankte ganze Funktion und nach Liouville konstant, im Gegensatz zur Annahme.

2 Integration im Komplexen

96

Hieraus folgt per Induktion, dass jedes Polynom vom Grad n ≥ 1 genau n Nullstellen (mit Vielfachheit gez¨ahlt) besitzt und daher in n Linearfaktoren zerf¨allt.

2.3.18. Konvergenzsatz von Weierstraß Ist (fn ) eine Folge von holomorphen Funktionen auf einem Gebiet G, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert, so ist auch f holomorph und (fn ) konvergiert auf G lokal gleichm¨aßig gegen f . Beweis: Die Grenzfunktion f ist auf jeden Fall stetig. Sei Δ ein abgeschlossenes Dreieck in G. Dann konvergiert (fn ) auf ∂Δ gleichm¨aßig, und man kann den Satz u ¨ber die Vertauschbarkeit von Integration und Limesbildung anwenden: f (z) dz = lim fn (z) dz = 0. ∂Δ

n→∞

∂Δ

Also ist f nach dem Satz von Morera holomorph. Sei z0 ∈ G beliebig. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass es eine oﬀene Umgebung U = U (z0 ) ⊂ G gibt, so dass (fn ) auf U gleichm¨aßig gegen f konvergiert. Dazu sei r > 0 so gew¨ahlt, dass Dr (z0 ) ⊂⊂ G ist, und dann U := Dr/2 (z0 ) gesetzt. Sei ε > 0 vorgegeben. F¨ ur z ∈ U und beliebiges n ∈ N gilt: |fn (z) − f (z)| ≤

4 · max |fn − f |. r ∂Dr (z0 )

Man kann n0 so groß w¨ahlen, dass max |fn − f | < ∂Dr (z0 )

ur z ∈ U und n ≥ n0 . ist |fn (z) − f (z)| < ε f¨

r · ε f¨ ur n ≥ n0 ist. Aber dann 4

Das heißt, dass (fn ) lokal gleichm¨aßig gegen f konvergiert. Der Satz wird im Reellen falsch, da muss man die gleichm¨aßige Konvergenz der Folge (fn ) fordern. Das folgende Resultat haben wir (unter der sich als u ussig herausgestellten ¨berﬂ¨ Zusatzannahme, dass f stetig ist) schon in Abschnitt 1.3 gezeigt:

2.3.19. Satz Eine holomorphe Funktion f : G → C ist genau dann in z0 ∈ G lokal biholomorph, wenn f (z0 ) = 0 ist.

2.3.20. Satz von der Gebietstreue Ist G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine nicht konstante holomorphe Abbildung, so ist auch f (G) ein Gebiet.

2.3

Der Entwicklungssatz

97

Beweis: Da f stetige Wege auf stetige Wege abbildet, m¨ ussen wir nur zeigen, dass f (G) oﬀen ist. Sei z0 ∈ G und g(z) := f (z) − f (z0 ), also g(z0 ) = 0. Es reicht zu zeigen, dass 0 innerer Punkt von g(G) ist. Da f holomorph und nicht konstant ist, gibt es nach dem Identit¨atssatz eine Kreisscheibe D = Dr (z0 ) ⊂ G, so dass g(z) = 0 auf ∂D ist (denn sonst g¨abe es eine Folge mit H¨aufungspunkt z0 , auf der g verschwindet). Sei ε := min∂D |g|/2 > 0. Ist w ∈ Dε (0) und h(z) := g(z) − w, so ist |h(z0 )| = |w| < ε. F¨ ur z ∈ ∂D ist andererseits |h(z)| ≥ |g(z)| − |w| ≥ 2ε − ε = ε. Das bedeutet, dass |h| ein Minimum in D annimmt. Aus dem Minimumprinzip folgt nun, dass h eine Nullstelle in D besitzt. Also gibt es ein z ∈ D mit g(z) = w. Damit ist Dε (0) ⊂ g(D) ⊂ g(G). Bemerkenswert ist, dass f nicht injektiv zu sein braucht. Im Reellen bildet etwa die Funktion x → sin x das oﬀene Intervall (π/4, 7π/4) auf das abgeschlossene Intervall [−1, 1] ab, da gilt der Satz von der Gebietstreue nicht. Und jetzt kommt noch ein weiterer erstaunlicher Satz:

2.3.21. Hinreichende Bedingung fu ¨ r Biholomorphie Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und injektiv. ur alle z ∈ G. Dann ist f : G → f (G) biholomorph und f (z) = 0 f¨ Beweis: Da f holomorph und nicht identisch Null ist, ist die Menge A := {z ∈ G | f (z) = 0} diskret in G. Weiter wissen wir schon, dass f (G) ein Gebiet und f : G → f (G) stetig, oﬀen und bijektiv ist, also ein Hom¨oomorphismus. Daher ist auch M := f (A) diskret in f (G). Da f : G \ A → f (G) \ M bijektiv und lokal biholomorph, also sogar global biholomorph ist, gilt: f −1 : f (G) → G ist stetig und außerhalb M holomorph. Aber dann muss f −1 sogar auf ganz f (G) holomorph ur alle z ∈ G. sein, und f (z) = 0 f¨ Auch dieser Satz ist im Reellen falsch, wie schon das Beispiel der Funktion x → x3 zeigt.

2.3.22. Bilder einfach zusammenh¨ angender Gebiete Sei G einfach zusammenh¨angend, F : G → C holomorph und injektiv. Dann ist auch F (G) einfach zusammenh¨angend. Beweis: Wir wissen schon, dass G∗ := F (G) ein Gebiet ist. Sei f holomorph auf G∗ . Dann ist (f ◦ F ) · F holomorph auf G, und es gibt eine Stammfunktion g von (f ◦ F ) · F auf G. Die Funktion F −1 : G∗ → G ist ebenfalls holomorph, und damit auch h := g ◦ F −1 . Es ist h (w) = g (F −1 (w)) ·

1 = f (w) F (F −1 (w))

f¨ ur w ∈ G∗ .

2 Integration im Komplexen

98

Dieser Satz liefert uns viele neue Beispiele einfach zusammenh¨angender Gebiete.

2.3.23. Beispiel 23π/12

G∗ z → exp(z) G

π/12 ln 2 Das (sternf¨ormige) Rechteck G := {x + i y : 0 < x < ln 2 und π/12 < y < 23π/12} wird durch w = exp(z) biholomorph auf einen aufgeschlitzten Kreisring G∗ = {re i t : 1 < r < 2 und π/12 < t < 23π/12} abgebildet. Also ist G∗ einfach zusammenh¨angend. Der komplette Kreisring K := {re i t : 1 < r < 2 und 0 ≤ t < 2π} ist nicht einfach zusammenh¨angend, denn die auf K holomorphe Funktion f (z) := 1/z besitzt keine Stammfunktion auf K.

2.3.24. Aufgaben A. Sei G ⊂ C ein Gebiet, α : [a, b] → G ein Integrationsweg, p := α(a) und q := α(b). Sind f, g : G → C holomorph, so ist f (z)g(z) dz = f (q)g(q) − f (p)g(p) − f (z)g (z) dz. α

α

B. Sei f eine ganze Funktion. Zeigen Sie: Ist Re f auf C beschr¨ankt, so ist f konstant. C. Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und D = Dr (0) ⊂⊂ G. Zeigen Sie: Ist |f | auf ∂D konstant, so ist f auf G konstant, oder f besitzt eine Nullstelle in D.

2.4

Anwendungen

99

D. Sei G ⊂ C ein Gebiet, f und g holomorph auf G und a ∈ G. Außerdem sei ur k = 0, . . . , n − 1 und f (n) (a) = 0 und g (n) (a) = 0. f (k) (a) = g (k) (a) = 0 f¨ Zeigen Sie unter diesen Voraussetzungen: f (z) f (n) (a) = (n) . z→a g(z) g (a) lim

E. Sei G ⊂ C ein Gebiet. Sind f, g holomorphe Funktionen auf G mit f (z)·g(z) ≡ 0 auf G, so ist entweder f (z) ≡ 0 oder g(z) ≡ 0 auf G. F. Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, z0 ∈ G und r > 0 mit Dr (z0 ) ⊂⊂ G. Beweisen Sie die folgenden (Cauchy’schen) Ungleichungen: |f (n) (z0 )| ≤

n! max |f |. r n ∂Dr (z0 )

G. Sei G ⊂ C ein Gebiet und (fn ) eine Folge von (komplexwertigen) stetigen Funktionen auf G, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert. Besitzen alle fn auf G eine Stammfunktion, so besitzt auch f auf G eine Stammfunktion. H. Gibt es holomorphe Funktionen f, g, h auf C mit folgenden Eigenschaften? ur n ≥ 0, f (n) (0) = (n!)2 f¨ 1 1 1 g ur n ≥ 1, = g − = 2 f¨ n n n 1 1 1 = h = f¨ ur n ≥ 1. h 2n 2n − 1 n I. Ist f eine ganze Funktion, C > 0 und |f (z)| ≤ C · |z|n f¨ ur |z| ≥ R, so ist f ein Polynom vom Grad ≤ n. J. Beweisen Sie das Minimumprinzip (Satz 2.3.14).

2.4

Anwendungen

Das Dirichlet-Problem Harmonische Funktionen, die in 1.5 eingef¨ uhrt wurden, spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Naturwissenschaften. Da sie als Realteile holomorpher Funktionen auftreten, lassen sich einige der phantastischen Eigenschaften, die wir f¨ ur holomorphe Funktionen bewiesen haben, auf harmonische Funktionen u ¨bertragen. Es wird sich zeigen, dass harmonische Funktionen auf einem Gebiet G, die bis zum Rand stetig sind, bereits durch die Werte auf dem Rand festgelegt sind. Beim Dirichlet-Problem geht es darum, die Funktion im Innern aus ihren Randwerten zu bestimmen (oder zumindest die Existenz zu zeigen). F¨ ur Kreisscheiben werden wir das Programm durchf¨ uhren.

2 Integration im Komplexen

100

Deﬁnition

(Mittelwerteigenschaft)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine stetige Funktion f : G → C hat die Mittelwerteigenschaft (kurz MWE), falls gilt: ur alle r mit Zu jedem z ∈ G gibt es ein R > 0 mit DR (0) ⊂⊂ G, so dass f¨ 0 < r ≤ R gilt: 2π 1 f (z) = f (z + re i t ) dt. 2π 0

2.4.1. Satz 1. Holomorphe Funktionen haben die MWE. 2. Mit f und g haben auch alle Linearkombinationen c1 f + c2 g die MWE. 3. Mit f haben auch Re(f ), Im(f ) und f die MWE. 4. Harmonische Funktionen haben die MWE. Beweis: 1) haben wir schon gezeigt, 2) folgt trivial aus der C-Linearit¨at des Integrals. 4) gilt, weil jede harmonische Funktion Realteil einer holomorphen Funktion ist. b b f (t) dt = f (t) dt erf¨ ullt mit f auch f die MWE, und daher auch 3) Wegen a

a

Re(f ) = 12 (f + f ) und Im(f ) =

1 2i

(f − f ).

2.4.2. Satz Sei f : G → R stetig. Außerdem habe f auf G die MWE. Dann nimmt f sein globales Maximum und Minimum auf ∂G an. Beweis: Wir nehmen an, dass f sein globales Maximum in a ∈ G annimmt. Dann ist c := f (a) ≥ f (z) f¨ ur z ∈ G. Sei Dr (a) ⊂⊂ G und 0 < ≤ r. Dann ist 2π 2π 1 1 it f (a + e ) dt ≤ f (a) dt = f (a). f (a) = 2π 0 2π 0 Es muss also u ¨berall das Gleichheitszeichen stehen. Das bedeutet: 2π (f (a) − f (a + e i t )) dt. 0= 0

Da der Integrand ≥ 0 ist, ist f auf Dr (a) konstant. So folgt, dass M := {z ∈ G : f (z) = c} oﬀen (und nicht leer) ist. Außerdem ist M nat¨ urlich abgeschlossen, also M = G. Damit ist f konstant. Im Falle eines Minimums schließt man analog.

2.4

Anwendungen

Deﬁnition

101

(Poisson-Kern)

Sei z ∈ C, R > 0 und θ ∈ R, sowie z = Re i θ . Dann nennt man PR (z, θ) :=

R2 − |z|2 |Re i θ − z|2

den Poisson-Kern. Der Poisson-Kern wird gebraucht, um eine harmonische Funktion aus den Randwerten als Integral u ¨ber den Rand zu gewinnen. ζ +z (f¨ ur z = ζ), so ist Setzt man F (z, ζ) := ζ −z |ζ|2 − |z|2 (ζ + z)(ζ − z) = Re F (z, ζ) = Re , |ζ − z|2 |ζ − z|2 also PR (z, θ) = Re F (z, Re i θ ).

2.4.3. Satz Sei D = DR (0) und f holomorph auf einer oﬀenen Umgebung U von D. Dann ist 1 f (z) = 2π Beweis:

2π 0

f (Re i θ )PR (z, θ) dθ, f¨ ur alle z ∈ D.

Sei g eine beliebige holomorphe Funktion auf U . Dann ist g(ζ) g(ζ)ζζ dζ 1 1 g(z) = dζ = · 2π i ∂D ζ − z 2π i ∂D ζζ − zζ ζ 2π g(Re i θ )R2 1 = dθ . 2 2π 0 R − z · Re− i θ

Sei nun z ∈ D fest gew¨ahlt und speziell g(w) =

f (w) . Oﬀensichtlich ist g − wz

R2

holomorph auf einer Umgebung von D. Dann folgt: 2π g(Re i θ )R2 1 f (z) = g(z) = dθ , R2 − |z|2 2π 0 R2 − z · Re− i θ also

2π f (Re i θ )R2 (R2 − |z|2 ) 1 dθ 2 2π 0 (R − z · Re− i θ )(R2 − z · Re i θ ) 2π 2π f (Re i θ )(R2 − |z|2 ) 1 1 dθ = f (Re i θ )PR (z, θ) dθ. = 2π 0 |Re i θ − z|2 2π 0

f (z) =

2 Integration im Komplexen

102

2.4.4. Folgerung F¨ ur alle R > 0 und z ∈ C ist Beweis:

1 2π

2π 0

PR (z, θ) dθ = 1.

Setze f (z) ≡ 1 in die obige Formel ein.

2.4.5. L¨ osung des Dirichlet-Problems Sei R > 0, D = DR (0) und u : ∂D → R stetig. Dann gibt es eine stetige Funktion u auf D, so dass gilt: 1. u ist harmonisch in D. 2. u |∂D = u. Beweis:

F¨ ur z ∈ D sei v(z) :=

1 2π

u (z) :=

2π 0

u(Re i θ )PR (z, θ) dθ. Dann setzen wir

v(z) f¨ ur z ∈ D, u(z) f¨ ur z ∈ ∂D.

1) F¨ ur z ∈ D ist 1 u (z) = 2π

2π

u(Re i θ )PR (z, θ) dθ 2π 1 iθ iθ = Re u(Re )F (z, Re ) dθ 2π 0 1 dζ u(ζ)F (z, ζ) = Re 2π i ∂D ζ 0

Als Realteil einer (in z) holomorphen Funktion ist u harmonisch in D. 2) Es bleibt zu zeigen, dass u stetig ist. Sei also z0 ∈ ∂D und ε > 0. Zur Vereinfachung setzen wir R = 1 und nehmen an, dass z0 = e i θ0 mit θ0 = 0, 2π ist. Wir schreiben dann auch P an Stelle von PR . Wir k¨onnen nun ein δ0 > 0 ﬁnden, so dass gilt: 1. J := [θ0 − 2δ0 , θ0 + 2δ0 ] ⊂ [0, 2π]. ur ζ = e i θ und θ ∈ J. 2. |u(ζ) − u(z0 )| < ε/2 f¨ Nun sei S := {z ∈ D : z = re i t mit θ0 − δ0 ≤ t ≤ θ0 + δ0 }.

2.4

Anwendungen

103

θ∈J

r

zr S

r

z0 r

ζ

Es gibt ein c > 0, so dass |ζ − z| ≥ c f¨ ur z ∈ S und ζ = e i θ mit θ ∈ M := [0, 2π]\J. F¨ ur solche Punkte z und ζ gilt dann: 2π 1 (u(e i θ ) − u(z0 ))P (z, θ) dθ u (z) − u (z0 ) = 2π 0 1 1 (u(e i θ ) − u(z0 ))P (z, θ) dθ + (u(e i θ ) − u(z0 ))P (z, θ) dθ = 2π J 2π M = I1 (z) + I2 (z). Dabei ist 1 |I1 (z)| ≤ 2π

ε 1 |u(e ) − u(z0 )|P (z, θ) dθ ≤ · 2 2π J iθ

2π 0

ε P (z, θ) dθ = . 2

Ist k := max∂D |u|, so gilt:

1 1 − |z|2 (|u(e i θ )| + |u(z0 )|) · i θ dθ 2π M |e − z|2 2k ≤ · (1 − |z|2 ) dθ 2πc2 M 2k k (1 − |z|2 ) · 2π = 2 (1 − |z|2 ). ≤ πc2 c

|I2 (z)| ≤

Nun w¨ahle man δ > 0 so klein, dass f¨ ur z ∈ D mit |z − z0 | < δ gilt: z ∈ S und 1 − |z|2 < ε · c2 /(4k). Dann ist |I2 (z)| < ε/2 und | u(z) − u (z0 )| < ε. Bemerkung: Das Dirichlet’sche Problem f¨ ur ein beliebiges Gebiet G ⊂ C lautet: Gibt es zu einer stetigen Funktion u : ∂G → R eine auf G stetige und auf G harmonische Funktion u mit u |∂G = u ? In dieser allgemeinen Form ist das Dirichlet’sche Problem nur unter bestimmten Voraussetzungen an den Rand l¨osbar.

2.4.6. Folgerung Eine stetige Funktion f : G → R ist genau dann harmonisch, wenn sie die MWE besitzt. Beweis: Es ist nur noch eine Richtung zu zeigen. Die Funktion f : G → R sei stetig und besitze die MWE. Es sei z0 ∈ G und D = DR (z0 ) ⊂⊂ G. Dann gibt

104

2 Integration im Komplexen

es eine stetige Funktion u auf D, die harmonisch auf D ist, so dass u |∂D = f |∂D ist. Dann ist g := u − f stetig auf D und erf¨ ullt auf D die MWE. Außerdem ist g|∂D = 0. Da g sein Maximum und Minimum auf ∂D annehmen muss, ist g(z) ≡ 0 auf ganz D. Also ist f = u harmonisch auf D. Da z0 beliebig war, ist f u ¨berall harmonisch. Wir fassen noch einmal zusammen:

2.4.7. Eigenschaften harmonischer Funktionen Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → R harmonisch. Dann gilt: 1. f ist beliebig oft diﬀerenzierbar (und sogar reell-analytisch). 2. Gibt es eine nicht-leere oﬀene Teilmenge U ⊂ G mit f |U = 0, so ist f = 0. 3. Hat f in z0 ∈ G ein lokales Maximum oder Minimum, so ist f konstant. 4. Ist G beschr¨ankt und f auf G noch stetig, so nimmt f Maximum und Minimum auf ∂G an. Beweis: 1) ist trivial, da eine harmonische Funktion lokal Realteil einer holomorphen Funktion ist. 2) Sei N := {z ∈ G | ∃ V = V (z) ⊂ G mit f |V = 0}. Dann ist N sicherlich eine oﬀene Teilmenge von G, und nach Voraussetzung ist N = ∅. Aber N ist auch abgeschlossen in G : Ist n¨amlich z0 ∈ G ein H¨aufungspunkt von N , so gibt es eine Kreisscheibe D ⊂⊂ G um z0 und eine holomorphe Funktion F auf D, so dass f |D = Re(F ) ist. Auf der (nicht leeren) oﬀenen Menge N ∩ D verschwindet Re(F ) identisch. Aber dann ist F dort rein imagin¨ar, also konstant, und daher ist z0 ∈ N . (3) und (4) folgen aus der MWE. Warnung: Aus (2) folgt, dass die Nullstellenmenge einer nicht konstanten harmonischen Funktion f keine inneren Punkte besitzt. Sie braucht deshalb noch nicht diskret in G zu sein. So ist z.B. f (z) := Re(z) eine auf ganz C harmonische, nicht konstante Funktion, und {z ∈ C | f (z) = 0} ist gerade die y-Achse.

Ebene Felder In 1.5. haben wir schon den Zusammenhang zwischen harmonischen Funktionen und ebenen Str¨omungsfeldern hergestellt. Hier wollen wir uns mit dem Verhalten solcher Str¨omungen am Rande besch¨aftigen. Die Deﬁnition des komplexen Kurvenintegrals erinnert etwas an die Kurveninte¨ grale der reellen Analysis. Wir wollen sehen, wie weit die Ubereinstimmung geht.

2.4

Anwendungen

105

Ist G ⊂ R2 ein Gebiet, F = (F1 , F2 ) ein stetig diﬀerenzierbares Vektorfeld auf G und α = (α1 , α2 ) : [a, b] → G ein Integrationsweg, so nennt man b b F • dx := F α(t) • α (t) dt = F1 α(t) α1 (t) + F2 α(t) α2 (t) dt α

a

a

das Kurvenintegral (2. Art) von F u ¨ber α. Wie der Name vermuten l¨asst, gibt es auch ein Kurvenintegral 1. Art: Ist n¨amlich : G → R eine stetig diﬀerenzierbare Funktion, so setzt man b ds := α(t) · |α (t)| dt. α

a

Beide Integrale sind invariant unter orientierungstreuen Parametertransformationen. Bei Orientierungsumkehrung ¨andert das Kurvenintegral 2. Art sein Vorzeichen, das Integral 1. Art bleibt gleich. ur alle t ∈ [a, b]. Man nennt Ist α : [a, b] → G ein glatter Weg, so ist α (t) = 0 f¨ dann α (t), α (t) Tα (t) := 1 2 |α (t)| den Tangenteneinheitsvektor an der Stelle α(t). Es ist (F • Tα ) ds = F • dx. α

α

Man bezeichnet dieses Integral auch als die Zirkulation von F entlang α. Der Vektor i · α (t) steht senkrecht auf α (t), und die Vektoren {− i α (t), α (t)} bilden eine positiv orientierte Basis von C (¨ uber R). Dabei ist − i α (t) = − i α1 (t) + i α2 (t) = α2 (t) − i α1 (t). α2 (t), −α1 (t) den Normaleneinheitsvektor an der Deshalb nennt man Nα (t) := |α (t)| Stelle α(t). Es ist Nα = − i Tα . • Das Integral (F Nα ) ds = ( i F) • dx nennt man den Fluss des Vektorfeldes F α

α

durch das (durch α parametrisierte) Kurvenst¨ uck. Dabei ergibt sich die Gleichung aus der Formel u • ( i v) = −( i u) • v. Ist f = g + i h eine komplexwertige stetig diﬀerenzierbare Funktion auf G, so ist b g α(t) + i h α(t) · α1 (t) + i α2 (t) dt f (z) dz = α a b b = g α(t) α1 (t) − h α(t) α2 (t) dt + i · g α(t) α2 (t) + h α(t) α1 (t) dt a a • • • i f (z) • dx. f (z) dx + i f (z) Nα ds = f (z) dx + i = α

α

α

α

2 Integration im Komplexen

106

Das komplexe Kurvenintegral u ¨ber f setzt sich also aus der Zirkulation von f entlang der Kurve und dem Fluss von f durch die Kurve zusammen. Besitzt ein ebenes Vektorfeld F ein komplexes Potential f (so dass F = f ist) und ist f holomorph, so verschwinden nach dem Cauchy’schen Integralsatz die Zirkulation und der Fluss f¨ ur jede geschlossene Kurve. Das bedeutet, dass das Feld wirbel- und quellenfrei ist.

Deﬁnition

(Normalenableitung)

Sei f : G → R stetig diﬀerenzierbar, α : [a, b] → G ein glatter Weg, t0 ∈ [a, b] und z0 := α(t0 ). Dann heißt ∂f (α, z0 ) := ∇f (z0 ) • Nα (t0 ) ∂ν uglich α in z0 . die Normalenableitung von f bez¨ Bemerkung: Die Bedingung ∂f /∂ν(α, z0 ) = 0 ist unabh¨angig von der Parametrisierung α : Ist ϕ ein streng monoton wachsender Parameterwechsel mit ϕ(s0 ) = t0 und β := α ◦ ϕ, so ist |β (t)| = |α (ϕ(t)) · ϕ (t)| = |α (ϕ(t))| · ϕ (t) und − i β (t0 ) |β (t0 )| − i α (ϕ(t0 )) · ϕ (t0 ) = ∇f (z0 ) • |α (ϕ(t0 ))| · ϕ (t0 ) − i α (ϕ(t0 )) = ∇f (z0 ) • Nα (t0 ). = ∇f (z0 ) • |α (ϕ(t0 ))|

∇f (z0 ) • Nβ (t0 ) = ∇f (z0 ) •

Ist ϕ streng monoton fallend, so kommt ein Vorzeichenwechsel hinzu. Die Behauptung bleibt richtig.

2.4.8. Satz Sei F : U → V eine holomorphe Abbildung, α : [a, b] → U ein glatter Weg und ∂f ∂(f ◦ F ) β := F ◦ α. Ist (β, F (z0 )) = 0, so ist (α, z0 ) = 0. ∂ν ∂ν Beweis:

Sei w0 := F (z0 ). Ist 0=

∂f (β, w0 ) = ∇f (w0 ) • Nβ (t0 ), ∂ν

so gibt es eine reelle Zahl c, so dass ∇f (w0 ) = c · β (t0 ) ist. Dann ist ∇(f ◦ F )(z0 ) • u = ∇f (w0 ) • F (z0 ) · u = c · β (t0 ) • F (z0 ) · u = c · F (z0 ) · α (t0 ) • F (z0 ) · u = c · |F (z0 )|2 · α (t0 ) • u ,

2.4

Anwendungen

107

wegen der Beziehung (λz) • (λw) = (λλ) · (z • w). Setzt man f¨ ur u die Elemente der Standardbasis {1, i } ein, so erh¨alt man die Gleichung ∇(f ◦ F )(z0 ) = (c · |F (z0 )|2 ) · α (t0 ). Also ist ∇(f ◦ F )(z0 ) • Nα (t0 ) = 0. Damit ist der Satz bewiesen. Physikalisch erwartet man, dass bei einer Str¨omung am Ufer die Normalenableitung verschwindet. Der gerade bewiesene Satz zeigt, dass diese Eigenschaft unter biholomorphen Abbildungen erhalten bleibt. Das ist wichtig, wenn man an die ¨ Uberlegungen im Anhang des ersten Kapitels denkt.

2.4.9. Satz (Green’sche Formel) Sei G ⊂ C ein glatt berandetes Gebiet. Sind u, v zweimal stetig diﬀerenzierbare Funktionen auf einer Umgebung von G, so ist ∂v ∂u u (uΔv − vΔu) dx dy = −v ds. ∂ν ∂ν G ∂G Dabei bezieht sich die Normalenableitung auf eine beliebige positiv orientierte Parametrisierung des Randes (so dass das Gebiet links“ vom Weg liegt). ” Beweis: Wir verwenden den Green’schen Integralsatz (der f¨ ur den Spezialfall, dass G ein Rechtecksgebiet ist, am Schluss dieses Anhanges bewiesen wird). Dabei wenden wir ihn in der Form G (px + qy ) dx dy = ∂G (p dy − q dx) auf den Fall p = u · vx und q = u · vy an. Es ist (ux vx + uvxx + uy vy + uvyy ) dx dy = (uvx dy − uvy dx) G

∂G

und damit (uΔv + ux vx + uy vy ) dx dy = G

u(vx dy − vy dx) =

∂G

vx α2

vy α1

− denn es ist sierung von ∂G ist.

= ∇v

• (α , −α ) 2 1

u ∂G

= (∇v • Nα )|α |, wenn α eine Parametri-

Analog erh¨alt man, wenn man u und v vertauscht, die Formel (vΔu + ux vx + uy vy ) dx dy = v(ux dy − uy dx) = G

∂v ds, ∂ν

∂G

v ∂G

∂u ds. ∂ν

Subtrahiert man die Gleichungen voneinander, so gewinnt man die Green’sche Formel.

2.4.10. Folgerung

Ist f eine harmonische Funktion auf einer Umgebung von G, so ist ∂G

∂f ds = 0. ∂ν

2 Integration im Komplexen

108

Beweis:

Man setze in der Green’schen Formel u ≡ 1 und v := f .

Ist G = Dr (z0 ), parametrisiert durch α(t) := z0 +re i t = (x0 +r cos t)+ i (y0 +r sin t), so ist Nα (t) = e i t . Ist f stetig diﬀerenzierbar auf einer Umgebung von G, so ist in diesem Fall ∂f (z0 + re i t ) = ∇f (z0 + re i t ) • e i t = fx (z0 + re i t ) cos t + fy (z0 + re i t ) sin t. ∂ν

Die Green’sche Funktion Deﬁnition

(Green’sche Funktion)

Sei G ⊂ C ein Gebiet und z0 ∈ G. Eine Funktion g = g(z, z0 ) : G\{z0 } → R heißt Green’sche Funktion (zum Laplace-Operator und) zum Gebiet G mit Singularit¨at z0 , wenn gilt: 1. z → g(z, z0 ) ist stetig auf G \ {z0 } und harmonisch auf G \ {z0 }. ur z ∈ ∂G. 2. g(z, z0 ) = 0 f¨ 3. Es gibt eine harmonische Funktion ϕ auf G, so dass g(z, z0 ) = − ln|z − z0 | + ϕ(z) f¨ ur alle z ∈ G \ {z0 } gilt. Was ist der Sinn der Green’schen Funktion? Wir werden sehen: Ist die Green’sche Funktion zu einem Gebiet bekannt, so kann man eine etwaige L¨osung des DirichletProblems auf diesem Gebiet berechnen. Ist G ein glatt berandetes Gebiet, z0 ∈ G und ϕ eine auf G stetig diﬀerenzierbare und auf G harmonische Funktion, so ist auch h(z) := ϕ(z) − log|z − z0 | auf G\{z0 } stetig diﬀerenzierbar und auf G\{z0 } harmonisch. Sei ε > 0 so gew¨ahlt, dass Dε (z0 ) ⊂⊂ G ist, und Gε := G \ Dε (z0 ). Dann ist h auf Gε harmonisch und auf dem Rand stetig diﬀerenzierbar. Sind u und v zwei solche Funktionen, so folgt aus der Green’schen Formel: ∂v ∂u u −v ds = 0. ∂ν ∂ν ∂Gε Wir wenden diese Formel im Falle v = h an. F¨ uhren wir um z0 Polarkoordinaten it Φ(r, t) = z0 + re ein und ist f diﬀerenzierbar auf einer Umgebung von ∂Dε (z0 ), so erhalten wir die Gleichung

2.4

Anwendungen

109

∂(f ◦ Φ) ∂f (ε, t) = fx (z0 + εe i t ) cos t + fy (z0 + εe i t ) sin t = (z0 + εe i t ). ∂r ∂ν Der Kreisrand ∂Dε (z0 ) wird durch α(t) = Φ(ε, t) = z0 + εe i t parametrisiert, und es ist ∂h ∂h ∂u ∂u u u −h ds = −h ds ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν ∂G ∂Dε (z0 ) 2π ∂(h ◦ Φ) ∂(u ◦ Φ) u ◦ α(t) = (ε, t) − h ◦ α(t) (ε, t) ε dt ∂r ∂r 0 2π ∂(ϕ ◦ Φ) ∂(u ◦ Φ) 1 u ◦ α(t) · = (ε, t) − − ϕ ◦ α(t) − log ε · (ε, t) ε dt ∂r ε ∂r 0 2π 2π ∂(u ◦ Φ) u ◦ α(t) dt − ε log ε = − (ε, t) dt ∂r 0 0 2π ∂(u ◦ Φ) ∂(ϕ ◦ Φ) (ε, t) − ϕ ◦ α(t) (ε, t) dt. u ◦ α(t) +ε ∂r ∂r 0 Nach dem Mittelwertsatz f¨ ur harmonische Funktionen ist das erste Integral = −2πu(z0 ). Die beiden anderen verschwinden f¨ ur ε → 0. Dass limε→0 ε log ε = 0 ist, folgt aus den Regeln von de l’Hospital. Zusammenfassend haben wir folgende Formel bewiesen: ∂u ∂h 1 −h ds. u(z0 ) = − u 2π ∂G ∂ν ∂ν Ist h(z) = g(z, z0 ) die Green’sche Funktion von G mit Singularit¨at z0 , so verschwindet h auf dem Rand von G, und man erh¨alt: 1 ∂g(z, z0 ) u(z0 ) = − u(z) ds. 2π ∂G ∂ν Wenn u also die L¨osung des Dirichletproblems auf G ist, dann kann man den Wert von u in z0 aus den Randwerten von u und der Green’schen Funktion g(z, z0 ) von G berechnen. Die Formel sichert nicht die Existenz einer L¨osung des Dirichlet-Problems zu gegebenen Randwerten. Es gibt aber S¨atze, die dies unter recht allgemeinen Voraussetzungen zeigen. Dann braucht man nur noch die Green’sche Funktion, um die L¨osung explizit zu berechnen.2

2.4.11. Eindeutigkeit der Green’schen Funktion Die Green’sche Funktion zu einem Gebiet G mit Singularit¨at z0 ∈ G ist eindeutig bestimmt. 2

F¨ ur Leser, die Distributionen (also sogenannte verallgemeinerte Funktionen“) und speziell ” die Dirac’sche Delta-Distribution kennen, sei angemerkt: Die Green’sche Funktion g = g(z, z0 ) zum Gebiet G ist die L¨osung der Diﬀerentialgleichung Δg = δz−z0 unter der Randbedingung g|∂G = 0.

2 Integration im Komplexen

110

Beweis: Sind u, v auf G stetig und auf G harmonisch mit u|∂G = v|∂G , so ist u = v (denn die harmonische Funktion u − v verschwindet auf dem Rand und muss dort zugleich Maximum und Minimum annehmen, also = 0 in G sein. Sei nun z0 ∈ G. Sind g1 und g2 zwei Green’sche Funktionen auf G mit Singularit¨at z0 , so gibt es harmonische Funktionen ϕ1 und ϕ2 , so dass außerhalb von z0 gilt: g1 (z) = ϕ1 (z) − log|z − z0 |

und

g2 (z) = ϕ2 (z) − log|z − z0 |.

Da g1 − g2 = ϕ1 − ϕ2 harmonisch auf G und = 0 auf ∂G ist, m¨ ussen g1 und g2 auf Gu ¨bereinstimmen.

2.4.12. Beispiel g(z) = g(z, 0) := − log|z| ist oﬀensichtlich die Green’sche Funktion zum Einheitskreis mit Singularit¨at im Nullpunkt.

2.4.13. Der Fall biholomorpher Bilder des Einheitskreises Sei G ⊂ C ein beschr¨anktes Gebiet und f : G → D1 (0) eine biholomorphe Abbildung mit f (z0 ) = 0. Dann ist g(z, z0 ) := − log|f (z)| die Green’sche Funktion von G mit Singularit¨at z0 . Beweis: In der N¨ahe von z0 hat man wegen der Holomorphie von f eine Darstellung f (z) = (z − z0 )(c + g(z)), mit einer holomorphen Funktion g und c = 0. Dann ist dort − log|f (z)| = − log|z − z0 | − Re log c + g(z) . Die Funktion z − z0 u(z) := − log|f (z)| + log|z − z0 | = log f (z) ist auf G \ {z0 } harmonisch. Da sie aber nahe z0 mit − Re log(c + g(z)) u ¨bereinstimmt, ist sie sogar auf ganz G deﬁniert und harmonisch. Sei g(z, z0 ) := u(z)−log|z − z0 |. Konvergiert (zn ) in G gegen einen Randpunkt z ∗ ∈ ∂G, so kann man eine Teilfolge (znk ) ﬁnden, so dass |f (znk )| gegen 1 konvergiert, also g(znk , z0 ) = − log|f (znk )| gegen Null. Das bedeutet, dass g(z, z0 ) auf dem Rand von G verschwindet, also tats¨achlich die gesuchte Green’sche Funktion ist. Wir werden in Kapitel 5 sehen, dass man zu vielen beschr¨ankten einfach zusammenh¨angenden Gebieten G eine biholomorphe Abbildung f von G auf die Einheitskreisscheibe D1 (0) explizit angeben kann. F¨ ur solche Gebiete hat man nach 2.4.13 dann auch die Green’sche Funktion zur Hand. Ist f umkehrbar stetig auf den Rand fortsetzbar, so kann man Randwerte von ∂G nach ∂D1 (0) u ¨bertragen, dort das Dirichlet-Problem l¨osen und die L¨osung zur¨ ucktransportieren ( Verpﬂan” zungsprinzip“). Auch mit der stetigen Fortsetzbarkeit auf den Rand werden wir uns in Kapitel 5 besch¨aftigen.

2.4

Anwendungen

111

Erg¨ anzung 2.4.14. Der Green’sche Integralsatz Sei G ⊂ C ein Gebiet, F = (p, q) ein stetig diﬀerenzierbares Vektorfeld auf G und R ⊂⊂ G ein (achsenparalleles) Rechtecksgebiet. Dann ist ∂p ∂q − dx dy = p dx + q dy := F • dx. ∂y R ∂x ∂R ∂R Beweis:

Sei R := [a, b] × [c, d]. Dann wird ∂R durch folgende Wege parametrisiert: γ3

d γ4

γ1 (t) γ2 (t) γ3 (t) γ4 (t)

γ2

c

γ1 a

:= := := :=

t + i c, b + i t, t + i d, a + i t,

b Dann ist ∂R = γ1 + γ2 − γ3 − γ4 und b d ∂p ∂p − (x + i y) dx dy = − (x + i y) dy dx ∂y ∂y R a c b = − p(x + i d) − p(x + i c) dx

a ≤ t ≤ b, c ≤ t ≤ d, a ≤ t ≤ b, c ≤ t ≤ d.

a

b p γ3 (t) γ3 (t) dt + p γ1 (t) γ1 (t) dt a a • = − (p, 0) dx + (p, 0) • dx = (p, 0) • dx,

=

b

−

γ3

γ1

∂R

und analog R

∂q (x + i y) dx dy ∂x

d

q(b + i y) − q(a + i y) dy

= = =

c

d i q γ2 (t) • γ2 (t) dt − i q γ4 (t) • γ4 (t) dt c c (0, q) • dx − (0, q) • dx = (0, q) • dx.

d

γ2

γ4

∂R

Daraus folgt die Behauptung. Der Cauchy’sche Integralsatz l¨asst sich – unter etwas st¨arkeren Voraussetzungen – aus dem Green’schen Integralsatz herleiten. Ist n¨amlich f = g + i h holomorph und f stetig (diese Bedingung braucht man beim Satz von Goursat nicht), so folgt: f (z) dz = f • dx + i ( i f ) • dx ∂R ∂R ∂R = (g, −h) • dx + i (h, g) • dx ∂R ∂R ∂g ∂h ∂g ∂h − − dxdy + i − dxdy. = ∂x ∂y ∂y R R ∂x Da f holomorph ist, ist gx = hy und gy = −hx , und die beiden Integrale verschwinden.

2 Integration im Komplexen

112

Wer mit Diﬀerentialformen umgehen kann, erh¨alt f¨ ur eine stetig diﬀerenzierbare, aber nicht holomorphe Funktion f mit Hilfe der Formel dz ∧ dz = (dx − i dy) ∧ (dx + i dy) = 2 i dx ∧ dy die allgemeinere Beziehung ∂f (z) dz ∧ dz R ∂z

∂f (x + i y) dx dy 2i R ∂z ∂f ∂f = i +i dx dy ∂x ∂y R (gx − hy ) dx dy − (gy + hx ) dx dy = i R R = i (h, g) • dx − (−g, h) • dx ∂R ∂R ( i f ) • dx + f • dx = f (z) dz. = i =

∂R

∂R

∂R

Ist f holomorph, so verschwindet die Ableitung nach z und man bekommt auch hieraus den Cauchy’schen Integralsatz.

3 Isolierte Singularit¨ aten 3.1

Laurent-Reihen

Das besondere Verhalten der holomorphen Funktionen macht nicht vor Singularit¨aten halt. Man kann zumindest isolierte Singularit¨aten ziemlich einfach klassiﬁzieren und die Funktionen zudem in der N¨ahe einer solchen Singularit¨at in eine ¨ sogenannte Laurent-Reihe entwickeln, die große Ahnlichkeit mit einer Taylorreihe aufweist.

Deﬁnition

(isolierte Singularit¨ aten)

Sei U ⊂ C oﬀen, z0 ∈ U und f : U \ {z0 } → C holomorph. Dann nennt man z0 eine isolierte Singularit¨at von f . Zun¨achst einmal ist z0 nur eine Deﬁnitionsl¨ ucke f¨ ur f . Wie singul¨ar“ f tats¨achlich ” in z0 ist, das m¨ ussen wir erst von Fall zu Fall herausﬁnden. Entscheidend ist, dass z0 eine isolierte Deﬁnitionsl¨ ucke ist, dass es also keine Folge von singul¨aren Punkten von f gibt, die sich gegen z0 h¨auft. Der komplexe Logarithmus ist im Nullpunkt nicht deﬁniert, aber er hat dort auch keine isolierte Singularit¨at, denn man muss immer einen von Null nach ∞ f¨ uhrenden Weg aus C herausnehmen, um log auf dem Rest deﬁnieren zu k¨onnen. Wir wollen nun die isolierten Singularit¨aten klassiﬁzieren.

Deﬁnition

(Typen isolierter Singularit¨ aten)

Sei U ⊂ C oﬀen und f holomorph auf U , bis auf eine isolierte Singularit¨at in einem Punkt z0 ∈ U . 1. z0 heißt eine hebbare Singularit¨at von f , wenn es eine holomorphe Funktion g auf U gibt, so dass f (z) = g(z) f¨ ur z ∈ U \ {z0 } ist. 2. z0 heißt eine Polstelle von f , wenn es ein k ≥ 1, eine Umgebung W = W (z0 ) ⊂ U und eine auf W holomorphe Funktion g mit g(z0 ) = 0 gibt, so dass gilt: f (z) · (z − z0 )k = g(z) f¨ ur z ∈ W \ {z0 }. Die eindeutig bestimmte Zahl k mit dieser Eigenschaft heißt dann die Polstellenordnung von f in z0 . 3. z0 heißt eine wesentliche Singularit¨at von f , wenn z0 weder hebbar noch eine Polstelle ist. Oﬀensichtlich schließen sich die Hebbarkeit und die Polstelle gegenseitig aus, so dass die isolierten Singularit¨aten durch die obige Deﬁnition tats¨achlich klassiﬁziert

3 Isolierte Singularit¨aten

114

werden. Die Polstellenordnung ist dadurch eindeutig bestimmt, dass k die kleinste nat¨ urliche Zahl ist, f¨ ur die f (z) · (z − z0 )k holomorph und = 0 in z0 ist, w¨ahrend k+1 f (z) · (z − z0 ) holomorph mit einer Nullstelle in z0 ist. Man kann die drei Typen isolierter Singularit¨aten auch aufgrund des Werteverhaltens von f in der N¨ahe von z0 unterscheiden:

3.1.1. Werteverhalten bei nicht-wesentlichen Singularit¨ aten Sei z0 eine isolierte Singularit¨at von f . 1. z0 ist genau dann eine hebbare Singularit¨at, wenn f in der N¨ahe von z0 beschr¨ankt bleibt. 2. Eine Polstelle liegt genau dann in z0 vor, wenn lim |f (z)| = +∞ ist. z→z0

Beweis:

1) folgt sofort aus dem Riemann’schen Hebbarkeitssatz.

2) Ist f (z) · (z − z0 )k = g(z), mit einer holomorphen Funktion g mit g(z0 ) = 0, so gibt es eine Umgebung V = V (z0 ) und ein ε > 0 mit |g(z)| > ε f¨ ur z ∈ V . Ist z ∈ V und z = z0 , so gilt: |f (z)| =

ε 1 · |g(z)| > → +∞ (f¨ ur z → z0 ). |z − z0 |k |z − z0 |k

Setzen wir umgekehrt voraus, dass lim |f (z)| = +∞ ist, so l¨asst sich 1/f zu einer z→z0

holomorphen Funktion h mit h(z0 ) = 0 fortsetzen. Das bedeutet, dass es ein k ∈ N und eine holomorphe Funktion h in der N¨ahe von z0 gibt, so dass gilt: 1 = (z − z0 )k · h(z) und h(z) = 0 nahe z0 . f (z) Also ist f (z) = ist.

1 · g(z), wobei g(z) := 1/ h(z) holomorph und = 0 nahe z0 (z − z0 )k

In der N¨ahe einer wesentlichen Singularit¨at verh¨alt sich eine holomorphe Funktion nicht so brav, sie f¨angt dort vielmehr an, sehr wild zu oszillieren.

3.1.2. Satz von Casorati-Weierstraß f hat in z0 genau dann eine wesentliche (isolierte) Singularit¨at, wenn f (z) in jeder Umgebung von z0 jedem beliebigen Wert beliebig nahe kommt. Das Kriterium bedeutet: Ist w0 ∈ C ein beliebig vorgegebener Wert, so gibt es eine Folge von Punkten (zn ) mit lim zn = z0 und lim f (zn ) = w0 . n→∞

n→∞

Beweis: 1) Ist das Kriterium erf¨ ullt, so ist |f | nicht beschr¨ankt und strebt auch nicht gegen +∞. Also muss die Singularit¨at wesentlich sein.

3.1

Laurent-Reihen

115

2) Sei umgekehrt z0 eine wesentliche Singularit¨at von f . Wir wollen zeigen, dass f in jeder Umgebung von z0 jedem Wert w0 ∈ C beliebig nahe kommt. Nehmen wir also an, es gibt eine oﬀene Umgebung V = V (z0 ), ein w0 ∈ C und ein ε > 0, so dass gilt: f (V \ {z0 }) ∩ Dε (w0 ) = ∅. Dann ist g(z) := 1/ f (z)−w0 holomorph auf V \{z0 } und beschr¨ankt bei Ann¨aherung an z0 . Es gibt daher eine holomorphe Funktion g auf V mit g|V \{z0 } = g Ist g(z0 ) = 0, so hat f (z) = w0 + 1/g(z) in z0 eine Polstelle. Ist dagegen g(z0 ) = 0, so ist f nahe z0 beschr¨ankt, die Singularit¨at also hebbar. Beides kann nicht sein!

3.1.3. Beispiele A. Sei f (z) := z/ sin z f¨ ur |z| < π und z = 0. Es ist sin(0) = 0 und sin (0) = cos(0) = 1, also sin(z) = z ·h(z), mit einer nahe z0 = 0 holomorphen Funktion h mit h(0) = 1. unden gibt es dann ein kleines ε > 0, so Aus Stetigkeitsgr¨ dass sin(z)/z = |h(z)| > 1 − ε f¨ ur z nahe bei 0 und z = 0 ist. Also ist |f (z)| = z/ sin(z) < 1/(1 − ε) in der N¨ahe von 0 beschr¨ankt. (Die Absch¨atzung gilt nat¨ urlich nur f¨ ur z = 0 .) Damit liegt eine hebbare Singularit¨at vor. Der Wert, der in 0 erg¨anzt werden muss, ist gegeben durch f (0) := 1/h(0) = 1. B. f (z) := 1/z hat oﬀensichtlich in z = 0 eine Polstelle. C. Sei f (z) := exp(1/z). In z0 = 0 liegt eine isolierte Singularit¨at vor. Aber was f¨ ur eine? Setzen wir zn := 1/n ein, dann strebt f (zn ) = en gegen ∞. Also kann die Singularit¨at nicht hebbar sein. Setzen wir dagegen wn := − i /(2πn) ein, so erhalten wir f (wn ) = e2πn· i = 1. Also strebt f (wn ) in diesem Fall nicht gegen ∞. Damit kann auch keine Polstelle vorliegen, die Singularit¨at ist wesentlich! Die Methode, den Typ einer Singularit¨at u ¨ber das Werteverhalten der Funktion herauszubekommen, ist nicht immer so einfach anwendbar. Wir werden deshalb nach einer besseren Methode suchen. Zur Motivation betrachten wir eine Funktion f , so dass 1 f (z) = · h(z) (z − z0 )k ist, mit einer nahe z0 holomorphen Funktion h. Dann k¨onnen wir h in z0 in eine Taylorreihe entwickeln, h(z) =

∞ n=0

an (z − z0 )n , f¨ ur |z − z0 | < r,

3 Isolierte Singularit¨aten

116

und dann gilt f¨ ur z = z0 und |z − z0 | < r : f (z) =

∞

an (z − z0 )n−k =

n=0

a0 a1 + + · · · + ak + ak+1 (z − z0 ) + · · · (z − z0 )k (z − z0 )k−1

Im Falle einer wesentlichen Singularit¨at, etwa f (z) := exp(1/z), erhalten wir dagegen f¨ ur z = 0 : n ∞ 1 1 1 1 = 1 + z −1 + z −2 + z −3 + · · · f (z) = n! z 2 6 n=0 Die Reihe erstreckt sich u ¨ber unendlich viele negative Potenzen von z. Wir werden sehen, dass es immer m¨oglich ist, eine holomorphe Funktion um eine isolierte Singularit¨at z0 herum in eine Reihe zu entwickeln, die sowohl positive als auch negative Potenzen von z − z0 enthalten kann.

Deﬁnition

(Laurent-Reihen)

Eine Laurent-Reihe ist eine Reihe der Form L(z) =

∞

an (z − z0 )n .

n=−∞

Die Zahlen an heißen die Koeﬃzienten der Reihe, z0 der Entwicklungspunkt. H(z) :=

−1 n=−∞

=

an (z − z0 )n =

∞

a−n (z − z0 )−n

n=1

a−1 a−2 + + ··· z − z0 (z − z0 )2

heißt Hauptteil der Reihe, N (z) :=

∞

an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·

n=0

heißt Nebenteil der Reihe. Die Laurent-Reihe L(z) = H(z) + N (z) heißt konvergent (absolut konvergent, lokal gleichm¨aßig konvergent usw.), wenn Hauptteil und Nebenteil es jeweils f¨ ur sich sind. Ist 0 ≤ r < R, so nennt man Kr,R (z0 ) := {z ∈ C | r < |z − z0 | < R} den Kreisring um z0 mit innerem Radius r und ¨außerem Radius R. Dabei ist die M¨oglichkeit R = +∞ zugelassen.

3.1

Laurent-Reihen

117

3.1.4. Das Konvergenzverhalten von Laurent-Reihen Sei L(z) = H(z) + N (z) eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt z0 , R > 0 der Konvergenzradius des Nebenteils N (z) und r ∗ > 0 der Konvergenzradius“ des ” Hauptteils, d.h. der Konvergenzradius der Potenzreihe

1 + z0 = a−1 w + a−2 w2 + · · · . H(w) := H w 1. Ist r ∗ · R ≤ 1, so konvergiert L(z) auf keiner oﬀenen Teilmenge von C. 2. Ist r ∗ · R > 1und r := 1/r∗ , so konvergiert L(z) in dem Kreisring Kr,R (z0 ) absolut und lokal gleichm¨aßig gegen eine holomorphe Funktion. Die Reihe H(w) konvergiert nach Voraussetzung f¨ ur |w| < r∗ . Dann

1 1 f¨ ur |z − z0 | > ∗ = r. konvergiert H(z) = H z − z0 r Ist r ∗ ·R ≤ 1, so ist R ≤ r, und die Reihe kann nirgends konvergieren. Ist r∗ ·R > 1, so konvergieren Haupt- und Nebenteil beide f¨ ur r < |z − z0 | < R. Beweis:

Laurent-Reihen konvergieren also auf Ringgebieten. L¨asst man den inneren Radius gegen 0 und den ¨außeren gegen ∞ gehen, so erh¨alt man C∗ als Beispiel eines ausgearteten Ringgebietes. Wir wollen nun sehen, dass sich umgekehrt jede auf einem Ringgebiet deﬁnierte holomorphe Funktion dort in eine konvergente Laurent-Reihe entwickeln l¨asst. Auf dem Weg dahin brauchen wir ein paar Hilfss¨atze.

3.1.5. Hilfssatz 1 Sei 0 < r < R und f holomorph auf dem Kreisring Kr,R (z0 ) := {z ∈ C : r < |z − z0 | < R}. f (ζ) dζ = F¨ ur r < 1 < 2 < R ist dann stets ∂D1 (z0 )

f (ζ) dζ.

∂D2 (z0 )

Beweis: Man teile den Kreisring wie in der nebenstehenden Skizze in mehrere Sektoren und wende jeweils den Cauchy’schen Integralsatz f¨ ur einfach zusammenh¨angende Gebiete an. Die Integrale u ¨ber die vier Sektoren des Ringgebietes K1 ,2 (z0 ) verschwinden.

z0 r r R

3 Isolierte Singularit¨aten

118

Dann verschwindet auch die Summe u ¨ber alle vier Teil-Integrale. Da die Verbin” dungsstege“ doppelt durchlaufen werden, liefern sie keinen Beitrag. Es bleiben nur die Integrale u ¨brig, mit umgekehrten Vorzeichen. ¨ber ∂D1 (z0 ) und ∂D1 (z0 ) u

3.1.6. Hilfssatz 2 Sei f holomorph auf dem Kreisring Kr,R (z0 ) und r < < R. Dann ist f (ζ) 1 F (z) := dζ 2π i ∂D (z0 ) ζ − z eine holomorphe Funktion auf C \ ∂D (z0 ). Außerdem gilt: 1. Ist < σ < R, so ist Fσ = F auf D (z0 ). 2. Ist r < σ < , so ist Fσ = F auf C \ D (z0 ). Beweis:

Die Holomorphie von F folgt aus dem Entwicklungslemma.

Sei < σ < R und z ∈ D (z0 ). Dann gibt es ein δ mit max(|z − z0 |, r) < δ < . Also ist Fz (ζ) := f (ζ)/(ζ − z) holomorph auf Kδ,R (z0 ) und Fz (ζ) dζ = Fz (ζ) dζ, nach Hilfssatz 1. ∂Dσ (z0 )

∂D (z0 )

Ist r < σ < und z ∈ C \ D (z0 ), so gibt es ein ε mit < ε < min(|z − z0 |, R). Dann ist Fz holomorph auf Kr,ε (z0 ), und man kann wieder Hilfssatz 1 anwenden.

3.1.7. Hilfssatz 3 Sei f holomorph auf dem Kreisring Kr,R (z0 ) und r < 1 < |z − z0 | < 2 < R. Dann ist f (ζ) f (ζ) 1 1 dζ − dζ. f (z) = 2π i ∂D2 (z0 ) ζ − z 2π i ∂D1 (z0 ) ζ − z Beweis:

Sei z ∈ Kr,R (z0 ) und r < 1 < |z − z0 | < 2 < R. Dann wird durch

f (ζ) − f (z) /(ζ − z) f¨ ur ζ = z, g(ζ) := f¨ ur ζ = z f (z)

eine holomorphe Funktion auf Kr,R (z0 ) deﬁniert. Nach Hilfssatz 1 ist g(ζ) dζ = g(ζ) dζ, ∂D1 (z0 )

und daher

∂D2 (z0 )

3.1

Laurent-Reihen ∂D2 (z0 )

119 f (ζ) dζ − 2π i f (z) = ζ −z

= ∂D1 (z0 )

f (ζ) − f (z) dζ = ζ −z

∂D2 (z0 )

f (ζ) − f (z) dζ ζ −z

∂D1 (z0 )

f (ζ) dζ. ζ −z

Wir k¨onnen jetzt das entscheidende Resultat f¨ ur die Entwickelbarkeit in Kreisringen beweisen. Es benutzt noch gar keine Reihen:

3.1.8. Satz von der Laurent-Trennung“ ” Sei f holomorph auf dem Ringgebiet Kr,R (z0 ) := {z ∈ C | r < |z − z0 | < R}. Dann gibt es eindeutig bestimmte holomorphe Funktionen f + : DR (z0 ) → C mit

Beweis:

f + + f − = f auf Kr,R (z0 )

und

und

f − : C \ Dr (z0 ) → C |f − (z)| → 0 f¨ ur |z| → ∞.

Wir beginnen mit der einfacher zu beweisenden Eindeutigkeit:

Es gebe zwei Darstellungen der gew¨ unschten Art: f = f1+ + f1− = f2+ + f2− . Dann deﬁnieren wir eine neue Funktion h : C → C durch ur z ∈ DR (z0 ), f1+ (z) − f2+ (z) f¨ h(z) := − − f2 (z) − f1 (z) f¨ ur z ∈ C \ Dr (z0 ). Diese Funktion ist auf ganz C holomorph, und f¨ ur z → ∞ strebt sie gegen 0. Also handelt es sich um eine beschr¨ankte ganze Funktion, die nat¨ urlich konstant sein muss (Liouville). Es ist nur h(z) ≡ 0 m¨oglich. Nun kommen wir zur Existenz von f + und f − . F¨ ur mit r < < R und |z − z0 | = setzen wir f (ζ) 1 dζ. F (z) := 2π i ∂D (z0 ) ζ − z Dann ist F in C \ ∂D (z0 ) holomorph. Ist |z − z0 | < R, so gibt es ein mit |z − z0 | < < R, und wir setzen f + (z) := F (z). Nach Hilfssatz 2 kommt es dabei nicht darauf an, welches wir nehmen.

3 Isolierte Singularit¨aten

120

Entsprechend deﬁniert man f − : C \ Dr (z0 ) → C durch f − (z) := −F (z), woullen muss. Holomorphie und bei die Bedingung r < < min(R, |z − z0 |) erf¨ Unabh¨angigkeit von folgen wie bei f + . Ist nun r < 1 < |z − z0 | < 2 < R, so ergibt sich aus Hilfssatz 3: f (z) = F2 (z) − F1 (z) = f + (z) + f − (z). ur |z| → ∞ absch¨atzen: Wir halten mit Nun m¨ ussen wir nur noch |f − (z)| f¨ r < < R fest und betrachten ein z mit |z − z0 | > . Dann ist −

|f (z)| = ≤ ≤ =

f (ζ) 1 |F (z)| = · dζ 2π ∂D ζ − z f (ζ) 1 · 2π · sup 2π ∂D ζ − z 1 · sup|f (ζ)| · inf ∂D |ζ − z| ∂D 1 · sup|f (ζ)|, · |z − z0 | − ∂D

sz

s

s

hier wird inf|ζ − z| angenommen

z0

und dieser Ausdruck strebt gegen Null, f¨ ur |z| → ∞.

3.1.9. Folgerung (Existenz der Laurent-Entwicklung) Sei f holomorph auf dem Ringgebiet K = Kr,R (z0 ). Dann l¨asst sich f auf K in eindeutiger Weise in eine Laurent-Reihe entwickeln: f (z) =

∞

an (z − z0 )n .

n=−∞

Die Reihe konvergiert im Innern von K absolut und gleichm¨aßig gegen f . F¨ ur jedes mit r < < R und jedes n ∈ Z ist 1 f (ζ) dζ. an = 2π i (ζ − z0 )n+1 ∂D (z0 )

Beweis:

Wir f¨ uhren die Laurent-Zerlegung durch: f (z) = f + (z) + f − (z),

wobei f + holomorph auf DR (z0 ) ist, und f − holomorph auf C \ Dr (z0 ). Dann kann man f + in eine Taylorreihe entwickeln: f + (z) =

∞ n=0

an (z − z0 )n ,

3.1

mit

Laurent-Reihen

121

1 1 an = f (n) (z0 ) = n! 2π i

∂D (z0 )

f (ζ) dζ, (ζ − z0 )n+1

r < < R.

Der Hauptteil muss etwas anders behandelt werden: Die Abbildung ϕ(w) := z0 + 1/w bildet D1/r (0) \ {0} holomorph auf C \ Dr (z0 ) ab.

1 holomorph in D1/r (0) \ {0}, und Also ist g(w) := f − z0 + w lim g(w) = lim f − (z) = 0.

w→0

z→∞

Deshalb k¨onnen wir auf g den Riemann’schen Hebbarkeitssatz anwenden. Es gibt eine holomorphe Funktion g auf D1/r (0), die außerhalb 0 mit g u ¨bereinstimmt. Nun entwickeln wir g in eine Taylorreihe: g(w) =

∞

1 f¨ ur |w| < . r

bn w n ,

n=0

ur |z − z0 | > r : Da g(0) = 0 ist, ist b0 = 0. Also gilt f¨ n ∞ −1

1 1 = bn = an (z − z0 )n , f − (z) = g z − z0 z − z 0 n=1 n=−∞ mit a−n := bn f¨ ur n = 1, 2, 3, . . . Insgesamt ist f (z) =

∞

an (z − z0 )n

f¨ ur z ∈ Kr,R (z0 ).

n=−∞

Die Reihe konvergiert im Innern des Ringgebietes absolut und lokal gleichm¨aßig. Sie kann also f¨ ur r < < R u ¨ber ∂D (z0 ) gliedweise integriert werden. Das gleiche gilt dann f¨ ur ∞ f (z) = an (z − z0 )n−N −1 . (z − z0 )N +1 n=−∞ Benutzt man noch, dass

n

(z − z0 ) dz =

2π i falls n = −1 0 sonst.

∂D (z0 )

ist, so erh¨alt man: ∞ 1 f (z) 1 dz = an · 2π i (z − z0 )N +1 2π i n=−∞ ∂D (z0 )

∂D (z0 )

(z − z0 )n−N −1 dz = aN .

3 Isolierte Singularit¨aten

122

3.1.10. Beispiel Sei f (z) :=

1 . z(z − i )2

s

Diese Funktion ist holomorph f¨ ur z ∈ {0, i }. Es gibt nun eine ganze Reihe verschiedener Gebiete, in denen f in eine Laurent-Reihe entwickelt werden kann.

i

s

0

Im Kreisring K0,1 (0) : Wir wollen f nach Potenzen von 1/z entwickeln. Der erste Faktor hat schon die gew¨ unschte Gestalt, und f¨ ur den zweiten gibt es ein Kochrezept: Will man – allgemein – eine Funktion der Gestalt 1/(z − z0 ) in eine LaurentReihe um a = z0 entwickeln, so benutzt man den Trick mit der geometrischen Reihe. z−a < 1, also F¨ ur alle z mit |z − a| < |z0 − a| ist z0 − a 1 1 1 1 = − · = z − z0 z − a − (z0 − a) z0 − a 1 − (z − a)/(z0 − a) n ∞ 1 z−a = − . · z0 − a n=0 z0 − a Ist |z − a| > |z0 − a|, so geht man analog vor: n ∞ 1 1 1 z0 − a 1 = . · = · z − z0 z − a 1 − (z0 − a)/(z − a) z − a n=0 z − a Ist m ≥ 2, so ist

1 (−1)m−1 = · m (z − z0 ) (m − 1)!

1 z − z0

(m−1) .

Durch gliedweise Diﬀerentiation der Reihe f¨ ur 1/(z −z0 ) erh¨alt man die Reihe f¨ ur die m-ten Potenzen. Im vorliegenden Fall ist z0 = i , a = 0 und |z − 0| = |z| < 1 = | i − 0|, also ∞ z n 1 = i· z− i i n=0

und

3.1

Laurent-Reihen

1 =− (z − i )2

123

1 z− i

= −i ·

∞ ∞

z n−1 1

z n n · =− (n + 1) · . i i i n=1 n=0

Also ist 1 (n + 1) n−1 1 (n + 2) n f (z) = − − z = − z . − z n=1 i n z n=0 i n+1 ∞

∞

Im Kreisring K1,∞ (0) : Hier ist wieder z0 = i und a = 0, aber |z − 0| > | i − 0|, also ∞ n ∞ 1 1 i 1 = i n−1 n = · z− i z n=0 z z n=1 und 1 =− (z − i )2

1 z− i

=−

∞

i n−1 (−n)

n=1

1 z n+1

=

∞ n=1

i n−1 · n ·

1 . z n+1

Also ist f (z) =

∞ n=1

i n−1 · n ·

1 z n+2

=

∞

i n−3 (n − 2)

n=3

−3 1 = i −n−1 (n + 2)z n , z n n=−∞

wegen i −n−3 (−n − 2) = i −n−1 (n + 2). Im Kreisring K0,1 ( i ) : Hier soll 1/z nach Potenzen von (z − i ) entwickelt werden. Es ist z0 = 0, a = i und |z − i | > |0 − i |, also n ∞ ∞ 1 1 z− i = (− i n+1 )(z − i )n =− · z − i n=0 −i n=0 und damit f (z) =

∞ ∞ 1 1 n+1 n−2 = (− i )(z − i ) = (− i n+3 )(z − i )n · z (z − i )2 n=0 n=−2

−i 1 + i n+1 (z − i )n . + 2 (z − i ) z− i n=0 ∞

=

Wir k¨onnten f noch im Kreisring K1,∞ ( i ) betrachten, aber darauf verzichten wir an dieser Stelle.

3 Isolierte Singularit¨aten

124

3.1.11. Charakterisierung von isolierten Singularit¨ aten durch die Laurent-Reihe Sei U ⊂ C eine oﬀene Umgebung von z0 und z0 eine isolierte Singularit¨at der holomorphen Funktion f : U \ {z0 } → C. Auf einem Kreisring K0,ε (z0 ) besitze f die Laurent-Entwicklung ∞

f (z) =

an (z − z0 )n .

n=−∞

Dann gilt: z0 hebbar z0 Polstelle z0 wesentlich

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

an = 0 f¨ ur alle n < 0, ∃ n < 0 mit an = 0 und ak = 0 f¨ ur k < n, an = 0 f¨ ur unendlich viele n < 0.

Beweis: 1) z0 ist genau dann hebbar, wenn eine holomorphe Funktion f : Dε (z0 ) → C existiert, mit f = f . Aber f besitzt eine Taylorentwicklung: K0,ε (z0 )

f(z) =

∞

an (z − z0 )n .

n=0

2) z0 ist genau dann eine Polstelle, wenn es in der N¨ahe von z0 eine Darstellung f (z) = gibt, wobei gilt: h(z) =

∞

1 · h(z) (z − z0 )k

bn (z − z0 )n ,

mit b0 = 0.

n=0

Aber dann ist f (z) =

∞ n=0

n−k

bn (z − z0 )

=

∞

bn+k (z − z0 )n .

n=−k

3) z0 ist wesentlich, wenn es weder hebbar noch Polstelle ist. Das l¨asst nur die M¨oglichkeit, dass an = 0 f¨ ur unendlich viele n mit n < 0 ist.

3.1.12. Beispiele A. Die Funktion

1 z3 z2 sin z = · z− ± ... = 1 − ± ... z z 3! 3!

3.1

Laurent-Reihen

125

besitzt keinen Hauptteil, hat also in z = 0 eine hebbare Singularit¨at. Nat¨ urlich ist sin z = 1. lim z→0 z B. Die Funktion

1 z(z − i )2 hat eine Polstelle 1. Ordnung in 0 und eine Polstelle 2. Ordnung in i . Die n¨otigen Laurent-Reihen haben wir schon ausgerechnet. f (z) =

C. Die Funktion e1/z =

∞ 1 −n 1 1 z = 1 + + 2 + ··· n! z 2z n=0

hat in z = 0 eine wesentliche Singularit¨at. D. Die Funktion f (z) :=

1 sin z

ist holomorph f¨ ur z = nπ, n ∈ Z. Sei g(z) := sin z/z. Dann ist g holomorph und = 0 auf Dπ (0), mit g(0) = 1. Aber dann ist auch 1/g holomorph auf Dπ (0), und man kann schreiben: 1 an z n , = g(z) n=0 ∞

Also ist

mit a0 = 1.

1 1 1 · = + an+1 z n . z g(z) z n=0 ∞

f (z) =

Das bedeutet, dass f in z = 0 eine Polstelle 1. Ordnung besitzt.

3.1.13. Aufgaben A. Sei f : C → C eine nicht-konstante ganze Funktion. Zeigen Sie, dass f (C) dicht in C ist. B. Sei z0 ∈ C, (zn ) eine gegen z0 konvergente Folge, r > 0 und D := Dr (z0 ) \ {z0 } ∪ {zν : ν ∈ N}. Ist f holomorph in D , mit Polstellen in den zν , ν ≥ 1, so ist f (D ) dicht in C. C. Bestimmen Sie alle isolierten Singularit¨aten und deren Typ f¨ ur die Funktionen f (z) :=

ez

1 , +1

g(z) := cos

(f¨ ur cot z := cos(z)/ sin(z)).

1 z− i

und h(z) :=

1 + cot2 z z

3 Isolierte Singularit¨aten

126

D. Zeigen Sie: Ist a Pol oder wesentliche Singularit¨at der Funktion f , so ist a kein Pol von ef . sin z 1 bzw. von 3 um den E. Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von 2 4 z +z z Nullpunkt. F. Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von G. Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von H. Zeigen Sie f¨ ur x ∈ R: e(z−1/z)x/2 = Jn (x) :=

1 2π

+∞

z2

1 um z0 = 2. −4

1 f¨ ur 2 < |z| < 3. (z − 2)(z − 3)

Jn (x)z n , mit

n=−∞ π −π

cos(x sin t − nt) dt.

I. Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von

2z + 1 f¨ ur 1 < |z| < 3. z 2 + 4z + 3

J. Es gibt die (nicht-trivialen) Reihenentwicklungen ∞

zn =

n=0

Danach m¨ usste

+∞

1 1−z

und

∞ n=1

z −n =

−1 . 1−z

z n = 0 f¨ ur alle z sein. Stimmt das?

n=−∞

K. Entwickeln Sie 1/(z − a) um z = 0 so, dass die Reihe f¨ ur z → ∞ konvergiert. ur |z − 1| > 0 um L. Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von ez /(z − 1)2 f¨ z = 1.

3.2

Umlaufszahlen

Bisher haben wir weitgehend sehr einfache Integrationswege betrachtet, z.B. Kreisr¨ander, f¨ ur die wir die folgende wichtige Beziehung hergeleitet haben: r, so ist Ist z0 ∈ C, r > 0 und z ∈ C ein weiterer Punkt, |z − z0 | =

dζ 2π i f¨ ur |z − z0 | < r, = 0 f¨ u r |z − z0 | > r. ζ − z ∂Dr (z0 ) Jetzt wollen wir uns mit der Fragestellung besch¨aftigen, was passiert, wenn man den Kreisrand durch einen beliebigen – eventuell sehr verschlungenen – Weg ersetzt, und dar¨ uber hinaus auch mit der Frage, wie man eventuell u ¨ber Wege integrieren kann, die nur stetig und nicht st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbar sind.

3.2

Umlaufszahlen

127

3.2.1. Hilfssatz Ist G ⊂ C ein Gebiet und α : [a, b] → G ein stetiger Weg, so gibt es eine Zerlegung a = t0 < t1 < . . . < tn = b und Kreisscheiben D1 , . . . , Dn ⊂ G, so dass α([ti−1 , ti ]) in Di enthalten ist, f¨ ur i = 1, . . . , n.

r

r

α(a) r

r

D1

r

r

r r α(b)

r

Dn

D2

Man nennt (D1 , D2 , . . . , Dn ) eine Kreiskette l¨angs α. Beweis:

Sei t∗ := sup{t ∈ [a, b] : ∃ Kreiskette l¨angs α von a bis t }.

Oﬀensichtlich existiert t∗ mit a < t∗ ≤ b. Ist t∗ = b, so ist alles bewiesen. Andernfalls setzen wir z ∗ := α(t∗ ) und w¨ahlen ein r > 0, so dass D := Dr (z ∗ ) ⊂ G ist. Außerdem sei ε > 0 so gew¨ahlt, dass α([t∗ − ε, t∗ + ε]) ⊂ D ist. Dann gibt es eine Zerlegung a = t0 < t1 < . . . < tn = t∗ − ε und Kreisscheiben D1 , . . . , Dn ⊂ G mit α([ti−1 , ti ]) ⊂ Di . Dann ist (D1 , . . . , Dn , D) eine Kreiskette l¨angs α|[a,s] , f¨ ur s := t∗ + ε. Wegen s > t∗ ist das ein Widerspruch. Wir u ur holomorphe ¨bertragen jetzt das Konzept des komplexen Kurvenintegrals (f¨ Funktionen), das wir bisher nur f¨ ur Integrationswege zur Verf¨ ugung haben, auf beliebige stetige Wege. Ist G ⊂ C ein Gebiet und α : [a, b] → G ein stetiger Weg, so gibt es eine Kreiskette {D1 , . . . , Dn } l¨angs α mit a = t0 < t1 < · · · < tn = b und α([ti−1 , ti ]) ⊂ Di ⊂ G f¨ ur i = 1, . . . , n. Ist f : G → C holomorph, so existiert auf jeder Kreisscheibe Di eine Stammfunktion Fi von f . Wir k¨onnen deshalb deﬁnieren: n

f (z) dz := Fi α(ti ) − Fi α(ti−1 ) . α

i=1

Bemerkungen: 1. Die Deﬁnition ist unabh¨angig von der Wahl der Kreiskette bzw. von der Wahl der Stammfunktionen. Geht man n¨amlich von Fi zu einer anderen Stammfunktion Fi u ¨ber, so ist Fi = Fi + Ci , mit einer Konstanten Ci . Diese Konstanten fallen in der Summe wieder weg. Man kann sie also so w¨ahlen, dass Fi = Fi+1 auf Di ∩ Di+1 ist. Aber dann folgt aus dem Identit¨atssatz, dass die Werte der Fi l¨angs α durch F0 eindeutig bestimmt sind. Deshalb ist das Integral von der Kreiskette unabh¨angig.

3 Isolierte Singularit¨aten

128

2. Falls α st¨ uckweise stetig-diﬀerenzierbar ist, stimmt der neue Integralbegriﬀ mit dem schon vorhandenen u ¨berein. Man beachte aber, dass wir nur holomorphe Funktionen u ¨ber stetige Wege integrieren k¨onnen.

Deﬁnition

(Homotopie)

Es seien α, β : [0, 1] → C stetige Wege mit gleichem Anfangspunkt z0 = α(0) = β(0) und gleichem Endpunkt z1 = α(1) = β(1). Eine Homotopie (mit festem Anfangs- und Endpunkt) zwischen α und β ist eine stetige Abbildung Φ : [0, 1] × [0, 1] → C, f¨ ur die gilt: 1. Φ(t, 0) = α(t) und Φ(t, 1) = β(t). 2. Φ(0, s) = z0 und Φ(1, s) = z1 . Zur Abk¨ urzung wird Φs (t) f¨ ur Φ(t, s) geschrieben. Φs (t) ist dann ein gew¨ohnlicher stetiger Weg von z0 nach z1 , speziell ist Φ0 = α und Φ1 = β. Zwei Wege heißen homotop in G (in Zeichen: α β), falls es eine Homotopie zwischen α und β gibt. Ein geschlossener Weg α in G mit z0 = α(0) = α(1) heißt nullhomotop in G, falls α in G homotop zum konstanten Weg c(t) ≡ z0 ist. Der Weg α ist also in G homotop zum Weg β, wenn α stetig in β deformiert werden kann, ohne G zu verlassen. r z1 s 1 Φ

Φs0

s0 0

β

z0 r 1

α

t

3.2.2. Satz Ist G ⊂ C konvex oder hom¨oomorphes Bild einer konvexen Menge, so ist jeder geschlossene Weg in G nullhomotop in G. Beweis: Es sei G konvex, α : [0, 1] → G ein geschlossener Weg mit Anfangs- und Endpunkt z0 . Deﬁnieren wir Φ(t, s) := s · z0 + (1 − s) · α(t)

auf [0, 1] × [0, 1],

so ist Φ stetig, und wegen der Konvexit¨at liegt das Bild von Φ in G. Alle Wege Φs haben z0 als Anfangs- und Endpunkt. Außerdem ist Φ0 = α und Φ1 (t) ≡ z0 , also α nullhomotop in G.

3.2

Umlaufszahlen

129

Ist G hom¨oomorphes Bild eines konvexen Gebietes, so kann der Weg α mit Hilfe der Umkehrabbildung dorthin transportiert werden. Die Konstruktion der Homotopie l¨asst sich dann ganz einfach u ¨bertragen.

3.2.3. Homotopie-Invarianz des Kurvenintegrals Sind die Wege α, β in G homotop zueinander, so ist

f (z) dz =

α

f (z) dz f¨ ur jede

β

holomorphe Funktion f auf G. Beweis: Es sei z0 := α(0) = β(0) der Anfangspunkt, zn := α(1) = β(1) der Endpunkt. Weiter sei Φ die Homotopie, s0 ∈ [0, 1] und {D1 , . . . , Dn } eine Kreiskette l¨angs γ0 := Φs0 (zur Zerlegung 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1) in G. Dann ist Φ(t, s0 ) ∈ Di f¨ ur ti−1 ≤ t ≤ ti . Ist s nahe bei s0 , so verl¨auft auch noch γ := Φs im Innern der Kreiskette, und man kann eine Zerlegung 0 = u0 < u1 < . . . < un = 1 ﬁnden, so dass Φ(t, s) ∈ Di ist, f¨ ur ui−1 ≤ t ≤ ui . Nun sei Fi eine Stammfunktion von f in Di . Auf Di ∩ Di+1 ist ci := Fi+1 − Fi konstant. Daher ist Fi+1 (γ(ui )) − Fi+1 (γ0 (ti )) = Fi (γ(ui )) − Fi (γ0 (ti )) f¨ ur i = 1, . . . , n − 1, und es gilt: f (z) dz − f (z) dz = γ

=

γ0

n

n Fi (γ(ui )) − Fi (γ(ui−1 )) − Fi (γ0 (ti )) − Fi (γ0 (ti−1 ))

i=1

= =

i=1

n

n−1 Fi (γ(ui )) − Fi (γ0 (ti )) − Fi+1 (γ(ui )) − Fi+1 (γ0 (ti ))

i=0 i=1 Fn (zn ) − Fn (zn ) − F1 (z0 ) − F1 (z0 ) = 0.

Wir w¨ahlen nun so kleine Zerlegungen 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 und 0 = s0 < s1 < . . . < sm = 1, dass das Bild des Rechtecks Qij = [ti−1 , ti ] × [sj−1 , sj ] unter ur alle i und j. Φ jeweils in einer geeigneten Kreisscheibe Dij ⊂ G enthalten ist, f¨ F¨ ur festes j liegen dann die Wege Φsj−1 und Φsj jeweils so dicht beieinander, dass sie durch die gleiche Kreiskette u uber gleich ¨berdeckt werden und die Integrale dar¨ sind. Aber dann stimmen auch die Integrale u ¨ber α und β u ¨berein.

3.2.4. Folgerung Sei f holomorph auf G und α ein geschlossener Weg, der nullhomotop in G ist. f (z)dz = 0. Dann ist α

3 Isolierte Singularit¨aten

130

Beweis: α ist homotop zu einem konstanten Weg c(t) ≡ z0 , und das Integral l¨angs c verschwindet oﬀensichtlich.

3.2.5. Ein hinreichendes topologisches Kriterium Sei G ⊂ C ein Gebiet, in dem jeder geschlossene Weg nullhomotop ist. Dann ist G einfach zusammenh¨angend. Beweis: Wenn in G jeder geschlossene Weg nullhomotop ist, dann verschwindet das Integral u ¨ber jede Funktion f ∈ O(G) und jeden geschlossenen Weg α in G. Daraus folgt, dass G einfach zusammenh¨angend ist.

Deﬁnition

(stetige Argumentfunktion)

Sei α : [a, b] → C ein Integrationsweg. Eine stetige Argumentfunktion l¨angs α ist eine stetige Funktion ϕ : [a, b] → R mit α(t) = |α(t)|e i ϕ(t) f¨ ur t ∈ [a, b].

3.2.6. Satz Sei α : [a, b] → C∗ ein Integrationsweg. Dann gibt es eine stetige Argumentfunktion ϕ : [a, b] → R l¨angs α. Je zwei solche Funktionen unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π. Beweis: Es gibt eine Zerlegung a = t0 < t1 < . . . < tn = b und eine dazu passende Kreiskette (D1 , . . . , Dn ) l¨angs α in C∗ . Auf jeder der Kreisscheiben Dν gibt es eine Logarithmusfunktion Lν . Sei ψν : [tν−1 , tν ] → R deﬁniert durch ψν (t) := Im(Lν ◦ α(t)). Zu jedem ν ∈ {1, . . . , n} gibt es ein kν ∈ Z, so dass Lν+1 = Lν + 2π i kν auf Dν ∩ Dν+1 ist. Dann ist ψν+1 = ψν + 2πkν . Jetzt kann man deﬁnieren:

f¨ ur t0 ≤ t < t1 ψ1 (t) ϕ(t) := ψν (t) − 2π(k1 + · · · + kν−1 ) f¨ ur ν ≥ 2 und tν−1 ≤ t < tν . Oﬀensichtlich ist ϕ stetig. Auf [tν−1 , tν ) ist |α(t)|e i ϕ(t) = exp ln|α(t)| + i ψν (t) = exp Lν ◦ α(t) = α(t). Also ist ϕ eine stetige Argumentfunktion l¨angs α. Sind ϕ, ψ : [a, b] → R zwei stetige Argumentfunktionen l¨angs α, so ist e i ϕ(t) = e i ψ(t) , also e i (ϕ(t)−ψ(t)) ≡ 1. Dann ist ϕ − ψ eine stetige Funktion auf [a, b], die nur Werte in 2πZ annimmt. Weil [a, b] zusammenh¨angend ist, muss ϕ − ψ konstant (und ein Element von 2πZ) sein.

3.2

Umlaufszahlen

131

3.2.7. Satz Ist α geschlossen und ϕ eine stetige Argumentfunktion l¨angs α, so ist ϕ(b) − ϕ(a) ein ganzzahliges Vielfaches von 2π, das nicht von ϕ abh¨angt. Beweis: Ist α : [a, b] → C∗ ein geschlossener Weg und ϕ eine stetige Argumentfunktion l¨angs α, so ist e i ϕ(t) = α(t)/|α(t)|, also e i ϕ(b) = e i ϕ(a) und damit ϕ(b) − ϕ(a) = 2πk f¨ ur ein k ∈ Z. Ist ψ : [a, b] → R eine weitere stetige Argumentfunktion l¨angs α, so unterscheidet sich ψ von ϕ nur um eine additive Konstante. Deshalb h¨angt der Wert von ϕ(b) − ϕ(a) nicht von ϕ ab.

Deﬁnition

(Umlaufszahl)

Sei α : [a, b] → C ein Integrationsweg und z ∈ |α|. Dann heißt dζ 1 n(α, z) := 2π i α ζ − z die Umlaufszahl von α bez¨ uglich z.

3.2.8. Anschauliche Deutung der Umlaufszahl Sei α : [a, b] → C ein geschlossener Integrationsweg, z ∈ |α| und ϕ eine stetige Argumentfunktion l¨angs α. Dann ist n(α, z) = (ϕ(b) − ϕ(a))/2π. Beweis:

Sei αz (t) := α(t) − z. Dann ist 0 ∈ |α| und b b 1 1 dζ αz (t) α (t) 1 = dt = dt = n(α, z). n(αz , 0) = 2π i αz ζ 2π i a αz (t) 2π i a α(t) − z

Wir brauchen also nur Umlaufszahlen um den Nullpunkt zu untersuchen. Sei α : [a, b] → C∗ ein geschlossener Integrationsweg und ϕ eine stetige Argumentfunktion l¨angs α. Wir w¨ahlen eine Zerlegung a = t0 < t1 < . . . < tn = b und eine dazu passende Kreiskette (D1 , . . . , Dn ) l¨angs α in C∗ . Auf jeder der Kreisscheiben Dν gibt es eine Logarithmusfunktion Lν , so dass gilt: Lν (α(t)) = ln|α(t)| + i ϕ(t)

f¨ ur t ∈ [tν−1 , tν ].

Setzt man αν := α|[tν−1 ,tν ] , so ist (Lν ◦ α) (t) = αν (t)/αν (t) und n n tν n

dζ dζ αν (t) Lν (α(tν )) − Lν (α(tν−1 )) = = dt = ζ α (t) α ζ ν=1 αν ν=1 tν−1 ν ν=1 n

ln|α(tν )| − ln|α(tν−1 )| + i ϕ(tν ) − i ϕ(tν−1 ) = i (ϕ(b) − ϕ(a)), = ν=1

weil sich alle anderen Terme wegheben. Also ist n(α, z) = (ϕ(b) − ϕ(a))/2π.

3 Isolierte Singularit¨aten

132

Die Umlaufszahl eines geschlossenen Weges α um einen Punkt z ∈ |α| ist also immer eine ganze Zahl. Sie z¨ahlt, wie oft z von α umlaufen wird. Wir wollen jetzt Umlaufszahlen berechnen. Dazu sind weitere geometrische Betrachtungen erforderlich.

3.2.9. Satz Sei K ⊂ C kompakt und B = C \ K. 1. B besitzt genau eine unbeschr¨ankte Zusammenhangskomponente. 2. B ist endliche Vereinigung von Zusammenhangskomponenten. Beweis: 1) K ist kompakt und daher in einer abgeschlossenen Kreisscheibe DR (0) enthalten. Die zusammenh¨angende Menge U := C \ DR (0) liegt in einer (unbeschr¨ankten) Komponente von B, jede andere Komponente muss in DR (0) enthalten, also beschr¨ankt sein. 2) B besitzt h¨ochstens abz¨ahlbar viele Komponenten. W¨ahlt man in jeder Komponente einen Punkt, so erh¨alt man eine diskrete Menge D. Da das Komplement L der unbeschr¨ankten Komponente kompakt ist, ist L ∩ D endlich. Also kann es nur endlich viele beschr¨ankte Komponenten geben.

3.2.10. Die Werte der Umlaufszahl Sei α ein geschlossener Integrationsweg in C. Dann ist die Umlaufszahl n(α, z) auf jeder Zusammenhangskomponente von C \ |α| konstant und = 0 auf der unbeschr¨ankten Komponente. Beweis: Da n(α, z) stetig ist, aber nur ganzzahlige Werte annimmt, muss die Umlaufszahl auf jeder Zusammenhangskomponente konstant sein. Die Umlaufszahl auf der unbeschr¨ankten Komponente berechnen wir wie folgt: Sei |α| ⊂ DR (0). Ist |z0 | > R, so ist f (z) := 1/(z −z0 ) holomorph auf der sternf¨ormigen Menge DR (0), besitzt dort also auch eine Stammfunktion. Daher ist 1 f (z) dz = 0 n(α, z0 ) = 2π i α und dann sogar n(α, z) = 0 auf der gesamten unbeschr¨ankten Komponente. Es soll nun angedeutet werden, wie man zu einem geschlossenen Integrationsweg α ganz einfach per Hand“ s¨amtliche Umlaufszahlen n(α, z) bestimmen kann. ”

3.2.11. Satz u ¨ ber die Bestimmung von Umlaufszahlen Sei α : [a, b] → C ein geschlossener Integrationsweg, t0 ∈ (a, b), z0 := α(t0 ) und α in t0 sogar diﬀerenzierbar, mit α (t0 ) = 0. Es gebe ein ε > 0, so dass gilt:

3.2

Umlaufszahlen

133

1. α l¨auft in D := Dε (z0 ) von Rand zu Rand, und α(a) = α(b) liegt nicht in D. 2. Dε (z0 ) \ |α| besteht aus zwei Zusammenhangskomponenten C+ und C− . 3. Jeder Punkt aus Dε (z0 ) ∩ |α| ist Randpunkt von C+ und C− . 4. C+ liegt links von α und C− liegt rechts von α. Ist dann z1 ∈ C− und z2 ∈ C+ , so ist n(α, z2 ) = n(α, z1 ) + 1. Beweis:

Im Beweis werden die Beziehungen

n(−α, z0 ) = −n(α, z0 )

n(α + β, z0 ) = n(α, z0 ) + n(β, z0 )

und

¨ benutzt. Ihr Beweis ist eine einfache Ubungsaufgabe. Die Parameter t− und t+ κ1 seien so gew¨ahlt, dass gilt: s z2

1. t− < t0 < t+ .

α

2. w− := α(t− ) und w+ := α(t+ ) liegen auf ∂D.

s

w−

3. α(t) ∈ D f¨ ur t− < t < t+ .

C−

α

s

r s z1

α0 D

C+ w+ κ2

Da w− = w+ ist, wird der Kreis ∂D durch diese Punkte in zwei Kreisb¨ogen κ1 und κ2 (links und rechts von α) unterteilt, so dass ∂D = κ1 + κ2 ist. Schließlich sei noch α := α|[a,t− ] ,

α0 := α|[t− ,t+ ]

und

α := α|[t+ ,b] .

Dann ist α = α + α0 + α , ∂C+ = α0 + κ1 und ∂C− = κ2 − α0 . Sei γ := α − κ1 + α . Dann ist γ ein geschlossener Weg. Da |γ| ∩ D = ∅ ist, liegt D ganz in einer Zusammenhangskomponente von C\|γ|, und es ist n(γ, z1 ) = n(γ, z2 ). Weiter gilt: 1. n(κ1 + κ2 , z) = n(∂D, z) = 1 f¨ ur jedes z ∈ D. 2. n(α0 + κ1 , z1 ) = n(∂C+ , z1 ) = 0 und n(κ2 − α0 , z2 ) = n(∂C− , z2 ) = 0, also n(α0 + κ1 , z2 ) = n(α0 − κ2 , z2 ) + n(∂D, z2 ) = 1. Alles zusammen ergibt: n(α, z2 ) − n(α, z1 ) = n(α + α0 + α , z2 ) − n(α + α0 + α , z1 ) = n(γ, z2 ) + n(α0 + κ1 , z2 ) − n(γ, z1 ) − n(κ1 + α0 , z1 ) = n(γ, z2 ) + 1 − n(γ, z1 ) − 0 = 1. Damit ist alles gezeigt. Die Moral von der Geschichte ist nun:

3 Isolierte Singularit¨aten

134

1. Liegt z weit draußen“, so ist auf jeden Fall n(α, z) = 0. ” ¨ 2. Uberquert man α – von außen kommend – in einem glatten Punkt so, dass α dabei von links“ kommt, so erh¨oht sich die Umlaufszahl um 1. Kommt α ” von rechts, so erniedrigt sie sich um 1.

3.2.12. Beispiel 1

0 −1

1 2

0 1

Deﬁnition

¨ (Inneres und Außeres eines Weges)

Sei α : [a, b] → C ein geschlossener Integrationsweg. Dann nennt man Int(α) := {z ∈ C \ |α| : n(α, z) = 0} das Innere und ¨ Ext(α) := {z ∈ C \ |α| : n(α, z) = 0} das Außere des Weges α. Der folgende Satz wirft noch etwas mehr Licht auf die Deutung des einfachen Zusammenhangs.

3.2.13. Satz Ist G ⊂ C einfach zusammenh¨angend und α : [a, b] → G ein geschlossener Integrationsweg, so ist Int(α) ⊂ G. Beweis:

Ist z0 ∈ G, so ist 1/(z − z0 ) holomorph auf G und daher n(α, z0 ) = 0.

Anschaulich bedeutet das, dass G keine L¨ocher haben kann.

3.2.14. Aufgaben A. Beweisen Sie f¨ ur beliebige Wege α und β die Beziehungen n(−α, z0 ) = −n(α, z0 )

und

n(α + β, z0 ) = n(α, z0 ) + n(β, z0 )

3.3

Der Residuensatz

135

B. Seien a, b ∈ C, a = 0, sowie T (z) := az + b. Ist γ ein Integrationsweg und z0 ∈ |γ| , so gilt: (a) n(T ◦ γ, T (z0 )) = n(γ, z0 ). (b) Ist γ(t) := γ(t), so ist n(γ, z 0 ) = −n(γ, z0 ). C. Berechnen Sie die Umlaufszahlen von z1 und z2 :

s

z1

z2

s

D. Sei α : [0, 1] → C stetig diﬀerenzierbar und injektiv, z0 := α(0), α (0) reell und > 0. Dann gibt es ein ε > 0 und eine stetige Funktion ϕ : [0, ε] → R, so dass gilt: (a) Zu jedem r mit 0 ≤ r ≤ ε gibt es genau ein t ∈ [0, 1] mit |α(t) − z0 | = r. uck |α| ∩ Dε (z0 ) parame(b) Durch α (τ ) := z0 + τ · e i ϕ(τ ) wird das Kurvenst¨ trisiert. E. Sei α : (a, b) → C ein injektiver Integrationsweg, t0 ∈ (a, b) und z0 := α(t0 ). Dann gibt es ein ε > 0, so dass f¨ ur 0 < δ ≤ ε gilt: Dδ (z0 ) \ |α| besteht aus zwei Zusammenhangskomponenten. Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis der vorigen Aufgabe! F. Sei α0 : [a, b] → C ein geschlossener Integrationsweg, z0 ∈ C \ |α0 |. Dann gibt es ein δ > 0, so dass f¨ ur jeden geschlossenen Integrationsweg α : [a, b] → C mit |α(t) − α0 (t)| < δ auf [a, b] gilt: z0 ∈ C \ |α|

3.3

und

n(α, z0 ) = n(α0 , z0 ).

Der Residuensatz

Wir kommen zur m¨achtigsten Maschinerie der Funktionentheorie. In diesem Abschnitt werden Methoden entwickelt, reelle Integrale zu berechnen, die mit den klassischen Methoden schwer zu knacken sind. Der Trick besteht darin, ein Integral u ¨ber ein reelles Intervall zun¨achst als Teil eines komplexen Integrals u ¨ber u ¨ber eine geschlossene Kurve aufzufassen. Und komplexe Kurvenintegrale werden mit eher algebraischen Methoden berechnet, zum Teil sogar durch Diﬀerentiation. Was in der reellen Analysis kaum oder nur schwer l¨osbar erschien, wird so zu einer Routineaufgabe. So ist es auch nicht verwunderlich, dass das entscheidende Werkzeug,

3 Isolierte Singularit¨aten

136

der Residuensatz, sehr viele Anwendungen erlaubt. Eine Auswahl solcher Anwendungen ﬁndet sich im letzten Abschnitt dieses Kapitels, darunter vor allem die Fourier- und Laplace-Transformationen. Zun¨achst aber muss dargelegt werden, was man unter dem Residuum einer holomorphen Funktion in einer isolierten Singularit¨at versteht.

Deﬁnition

(meromorphe Funktion)

Sei B ⊂ C oﬀen und D in B diskret. Eine holomorphe Funktion f : B \ D → C heißt eine meromorphe Funktion auf B, falls f in den Punkten von D h¨ochstens Polstellen besitzt (also keine wesentlichen Singularit¨aten). Die Menge P (f ) := {z ∈ D : f hat in z eine Polstelle der Ordnung ≥ 1 } heißt Polstellenmege von f . Typische Beispiele meromorpher Funktionen sind rationale Funktionen, aber auch Funktionen der Gestalt 1/ sin(z). Es geht jetzt um folgendes Problem: Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, z0 ∈ G, γ ein geschlossener Integrationsweg in G := G \ {z0 } und f eine meromorphe Funktion auf G mit einziger Polstelle z0 . Wie berechnet man f (z) dz ? γ

Der Einfachheit halber betrachten wir zun¨achst eine einfach geschlossene Kurve.

∂Dε (z0 )

z0 γ

γ

Umgeht man z0 mit Hilfe eines kleinen Abstechers und eines in umgekehrter Richtung durchlaufenen Kreises ∂Dε (z0 ) (siehe Skizze), so erh¨alt man einen neuen geschlossenen Weg innerhalb eines einfach zusammenh¨angenden Gebietes. Beim Integrieren spielt der Abstecher keine Rolle, weil man den gleichen Weg zweimal, aber in entgegengesetzter Richtung durchl¨auft. Man integriert also eigentlich nur u ¨ber γ und −∂Dε (z0 ). Aus dem Cauchy’schen Integralsatz folgt: f (z) dz = f (z) dz. γ

∂Dε (z0 )

Die Berechnung des (eventuell komplizierten) Ausgangsintegrals wird zur¨ uckgef¨ uhrt auf die Berechnung eines Restintegrals“ u ¨ber den Kreisrand ∂Dε (z0 ). Die” ses bezeichnet man (nach Division durch 2π i ) als Residuum.

3.3

Der Residuensatz

Deﬁnition

137

(Residuum)

Sei B ⊂ C oﬀen, z0 ∈ B, f : B \ {z0 } → C holomorph und ε > 0, so dass Dε (z0 ) ⊂⊂ B ist. Dann heißt 1 resz0 (f ) := 2π i

f (ζ) dζ ∂Dε (z0 )

das Residuum von f in z0 . Bemerkungen: 1. Das Residuum h¨angt nicht von der Wahl des Radius ε ab. Das zeigt man wie u ¨blich mit Hilfe des Cauchy’schen Integralsatzes. 2. z0 braucht keine Singularit¨at zu sein! Ist f in z0 holomorph, so ist resz0 (f ) = 0. Auch das folgt aus dem Integralsatz. 3. In der Laurent-Entwicklung von f um z0 ist 1 a−1 = f (ζ) dζ = resz0 (f ), 2π i ∂Dε (z0 ) f¨ ur ein gen¨ ugend kleines ε. 4. Es ist

resz0 (a · f + b · g) = a · resz0 (f ) + b · resz0 (g).

5. Ist F holomorph auf B \ {z0 } und F = f , so ist resz0 (f ) = 0. Das ist klar, denn das Integral u ¨ber eine abgeleitete Funktion und einen geschlossenen Weg verschwindet immer. 1 1 6. resz0 = 1 und resz0 = 0 f¨ ur k ≥ 2. z − z0 (z − z0 )k 7. Allgemeiner gilt: Hat f in z0 eine einfache Polstelle, so ist resz0 (f ) = lim (z − z0 )f (z). z→z0

Beweis: Wir schreiben f (z) = Dann folgt:

a−1 + h(z), h holomorph in z0 . z − z0

ur z → z0 . (z − z0 )f (z) = a−1 + (z − z0 )h(z) → a−1 f¨

8. Und noch allgemeiner kann man zeigen: Hat f in z0 eine m-fache Polstelle, so ist resz0 (f ) =

1 lim [(z − z0 )m f (z)](m−1) . (m − 1)! z→z0

3 Isolierte Singularit¨aten

138

Beweis: Es ist f (z) =

a−1 a−m + ··· + + a0 + a1 (z − z0 ) + · · · , (z − z0 )m z − z0

also (z − z0 )m f (z) = a−m + · · · + a−1 (z − z0 )m−1 + a0 (z − z0 )m + · · · Damit ist [(z − z0 )m f (z)](m−1) = (m − 1)! a−1 + (z − z0 ) · (. . .), und es folgt die Behauptung. 9. Seien g und h holomorph nahe z0 , g(z0 ) = 0, h(z0 ) = 0 und h (z0 ) = 0. Dann ist resz0

g h

=

g(z0 ) . h (z0 )

Beweis: Wir k¨onnen schreiben:

und

g(z) = c0 + (z − z0 ) · g(z), mit c0 = 0 h(z) = (z − z0 ) · (b1 + h(z)), mit b1 = 0 und h(z0 ) = 0.

Dann ist c0 c0 + (z − z0 ) · g(z) g(z) 1 g(z) · = = + . h(z) z − z 0 (z − z0 ) · (b1 + h(z)) b1 + h(z) b1 + h(z) Also hat f := g/h in z0 eine einfache Polstelle, und es ist lim (z − z0 )f (z) =

z→z0

c0 c0 g(z0 ) = = . b1 h (z0 ) b1 + h(z0 )

3.3.1. Beispiele A. Die Funktion f (z) := und − i . Es ist

eiz eiz = hat einfache Polstellen bei i +1 (z − i )(z + i )

z2

res i (f ) = lim (z − i )f (z) = lim z→ i

z→ i

eiz 1 = − i, z+ i 2e

und analog res− i (f ) = lim (z + i )f (z) = lim z→− i

B. f (z) :=

z→− i

e eiz = i. z− i 2

z2 hat 4 einfache Polstellen, insbesondere im Punkt 1 + z4

3.3

Der Residuensatz

139

z0 := e(π/4) i = cos

π π 1 + i sin = √ (1 + i ). 4 4 2

Mit g(z) := z 2 und h(z) := 1 + z 4 ist resz0 (f ) =

z02 g(z0 ) 1 1 1 = = = e−(π/4) i = √ (1 − i ). h (z0 ) 4z03 4z0 4 4 2

3.3.2. Der Residuensatz Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, D ⊂ G diskret, γ ein geschlossener Integrationsweg in G mit |γ| ∩ D = ∅ und f : G \ D → C holomorph. Dann gilt: 1 f (ζ) dζ = n(γ, z) resz (f ). 2π i z∈G γ

Bemerkung: Außerhalb einer kompakten Menge K ⊂ G ist n(γ, z) = 0. Da K ∩ D endlich ist, gibt es h¨ochstens endlich viele Punkte z ∈ G, in denen das Produkt n(γ, z) · resz (f ) nicht verschwindet. Also ist die Summe auf der rechten Seite der Gleichung sinnvoll. Das Gebiet G braucht nicht einfach zusammenh¨angend zu sein. Man wird sehen, dass – bei festgehaltenem Weg γ – folgende Bedingung ausreicht: F¨ ur jede auf G holomorphe Funktion g verschwindet γ g(z) dz. Beweis: Die Menge D := D ∩ Int(γ) besteht nur aus endlich vielen Punkten z1 , . . . , zN . Sei hμ (z) der Hauptteil der Laurent-Entwicklung von f um zμ . Wie aus dem Satz von der Laurent-Trennung hervorgeht, ist hμ holomorph auf C \ {zμ }. Daraus folgt: f−

N

hμ ist holomorph auf G, und daher gilt:

μ=1

hμ (z) =

Nun schreiben wir ausf¨ uhrlich:

−1

f (z) dz = γ

N μ=1

γ

hμ (z) dz.

aμ,n (z − zμ )n .

n=−∞

Diese Reihe konvergiert gleichm¨aßig auf |γ|, kann dort also gliedweise integriert werden. Daher gilt: γ

hμ (z) dz =

−1 n=−∞

= aμ,−1

aμ,n γ

γ

(z − zμ )n dz

1 1 dz + aμ,−n dz n z − zμ γ (z − zμ ) n≥2

= aμ,−1 · 2π i · n(γ, zμ ),

3 Isolierte Singularit¨aten

140

denn f¨ ur n ≥ 2 besitzt 1/(z − zμ )n in der N¨ahe von |γ| eine Stammfunktion. Da aμ,−1 = reszμ (f ) ist, folgt der Satz. Angewandt wird der Residuensatz oft in einer spezielleren Form. Ein beschr¨anktes, einfach zusammenh¨angendes Gebiet mit glattem Rand heißt positiv berandet, falls n(∂G, z) = 1 f¨ ur jedes z ∈ G ist.

3.3.3. Die Residuenformel Sei B ⊂ C oﬀen und G ⊂⊂ B ein glatt und positiv berandetes, einfach zusammenh¨angendes Gebiet. Außerdem seien z1 , . . . , zN Punkte in G und f : B \ {z1 , . . . , zN } → C eine holomorphe Funktion. Dann ist 1 2π i

f (ζ) dζ = ∂G

N

reszk (f ).

k=1

Beweis: Man kann den Residuensatz auf f und γ := ∂G anwenden. Da n(∂G, z) = 1 f¨ ur jedes z ∈ G ist, folgt die Behauptung.

3.3.4. Beispiele A. Es soll

ez dz berechnet werden. z4

|z|=1

Das geht in diesem Falle auch sehr einfach mit einer der h¨oheren Cauchy’schen Integralformeln: ez 2π i d3 πi dz = . (ez ) = 4 3 z 3! dz 0 3 |z|=1

Mit dem Residuensatz macht man es so: Die Laurent-Reihe des Integranden um z = 0 hat die Gestalt ∞ 1 zn 1 1 1 ez 1 1 = · = 4+ 3+ 2+ + + ··· 4 4 z z n=0 n! z z 2z 6z 24

Also ist

res0

Daraus folgt:

|z|=1

ez z4

1 = Koeﬃzient bei z −1 = . 6

ez dz = 2π i · res0 z4

ez z4

=

πi . 3

3.3

Der Residuensatz

141

B. Sei G ⊂ C einfach zusammenh¨angend, f holomorph auf G und γ : [a, b] → G ein geschlossener Integrationsweg. Dann kann man den Residuensatz auf g(z) := f (z)/(z − z0 )k+1 anwenden. Es ist g(z) =

1 f (k) (z0 ) · (f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + · · · + (z − z0 )k + · · · ), k+1 (z − z0 ) k!

also resz0 (g) =

1 (k) f (z0 ). Damit folgt: k! f (ζ) k! dζ = n(γ, z0 ) · f (k) (z0 ). 2π i γ (ζ − z0 )k+1

Das ist eine Verallgemeinerung der h¨oheren Cauchy’schen Integralformeln. Der Cauchy’sche Integralsatz f¨ ur einfach zusammenh¨angende Gebiete folgt auch aus dem Residuensatz, da unter den Voraussetzungen des Integralsatzes alle Residuen (und damit die komplette rechte Seite) verschwinden. Wir kommen nun zu weiteren Anwendungen des Residuensatzes:

3.3.5. Das Argument-Prinzip Sei G ⊂ C einfach zusammenh¨angend und γ ein geschlossener Integrationsweg in G. Weiter sei f auf G meromorph und nicht konstant, N die Menge der Nullstellen und P die Menge der Polstellen von f . Es sei |γ| ∩ (N ∪ P ) = ∅. Dann gilt: f (ζ) 1 n(γ, a)o(f, a) − n(γ, b)o(f, b), dζ = 2π i f (ζ) a∈N b∈P γ

wenn man mit o(f, z) die Null- bzw. Polstellenordnung von f in z bezeichnet. Beweis: D := N ∪ P ist eine diskrete Menge in B, und es ist n(γ, z) = 0 f¨ ur h¨ochstens endlich viele Elemente von D. Die Funktion f /f ist holomorph auf G\D. Sei a ∈ D. Dann gilt in der N¨ahe von a : f (z) = (z − a)k · g(z), mit einer nahe a holomorphen Funktion g ohne Nullstellen, |k| ∈ N und k = ±o(f, a), je nachdem, ob eine Null- oder Polstelle vorliegt. Daraus folgt: k · (z − a)k−1 · g(z) + (z − a)k · g (z) k g (z) f (z) = = + . k f (z) (z − a) · g(z) z−a g(z) Da g /g nahe a holomorph ist, ist resa (f /f ) = k = ±o(f, a). Mit dem Residuensatz ergibt sich die gew¨ unschte Formel.

3 Isolierte Singularit¨aten

142

Die Bezeichnung Argument-Prinzip“ r¨ uhrt daher, dass Folgendes gilt: ” b b f (z) f (γ(t))γ (t) (f ◦ γ) (t) 1 1 1 dz = dt = dt 2π i f (z) 2π i a f (γ(t)) 2π i a f ◦ γ(t) γ 1 dζ = n(f ◦ γ, 0). = 2π i ζ f ◦γ

¨ Das Integral auf der linken Seite der Formel misst also die Anderung des Arguments beim Durchlaufen des Weges f ◦ γ.

3.3.6. Folgerung Sei B ⊂ C oﬀen, G ⊂⊂ B ein positiv berandetes, einfach zusammenh¨angendes Gebiet, f meromorph auf B und ohne Null- und Polstellen auf ∂G. Ist n die Anzahl der Nullstellen und p die Anzahl der Polstellen von f in G (jeweils mit Vielfachheit gez¨ahlt), so gilt: 1 f (ζ) dζ = n − p. 2π i f (ζ) ∂G

Der Beweis ist trivial, die Umlaufszahlen sind alle = 1.

3.3.7. Satz von Rouch´ e Sei B ⊂ C oﬀen, f : B → C holomorph und G ⊂⊂ B ein positiv berandetes, einfach zusammenh¨angendes Gebiet. Ist h eine weitere holomorphe Funktion auf B und |h(z)| < |f (z)| auf ∂G, so haben f und f + h gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit) in G. Beweis: F¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1 sei fλ (z) := f (z)+λ·h(z). Dann ist fλ auf B holomorph, und f¨ ur z ∈ ∂G gilt: |fλ (z)| ≥ |f (z)| − λ · |h(z)| > (1 − λ) · |h(z)| ≥ 0. Also hat fλ auf ∂G keine Nullstellen. Nun sei Nλ die Anzahl der Nullstellen von fλ in G. Der Wert des Integrals 1 fλ (z) Nλ = dz 2π i ∂G fλ (z) h¨angt stetig von λ ab, liegt aber in Z. Also ist N0 = N1 .

3.3.8. Beispiel Wieviele Nullstellen hat das Polynom p(z) := z 4 − 4z + 2 im Innern des Einheitskreises D1 (0) ?

3.3

Der Residuensatz

143

Setzen wir f (z) := −4z + 2 und h(z) := z 4 , so ist |f (z)| = |4z − 2| ≥ 4|z| − 2 = 2 auf ∂D1 (0) und |h(z)| = |z|4 = 1 < |f (z)| auf ∂D1 (0). Nach dem Satz von Rouch´e m¨ ussen nun f und p = f + h in D1 (0) gleich viele Nullstellen besitzen. Aber f hat dort genau eine Nullstelle (n¨amlich z = 1/2). Also kann auch p nur eine Nullstelle in D1 (0) besitzen. Der Residuensatz erlaubt es, gewisse analytisch schwer zu behandelnde reelle Integrale auf algebraischem Wege zu berechnen.

Typ 1: Trigonometrische Integrale Sei R(x, y) eine komplexwertige rationale Funktion. Wir wollen den Residuensatz anwenden, um Integrale vom Typ 2π R(cos t, sin t) dt I := 0

zu berechnen. Zu diesem Zweck suchen wir eine holomorphe oder meromorphe Funktion f , so dass wir das fragliche Integral als komplexes Kurvenintegral auﬀassen k¨onnen: I = f (z) dz, mit γ(t) := e i t , 0 ≤ t ≤ 2π. γ

Ist z = γ(t), so ist z = cos t + i sin t und 1/z = z = cos t − i sin t. 1 1 1 1 Damit ergibt sich: cos t = (z + ) und sin t = (z − ). Da γ (t) = i γ(t) ist, 2 z 2i z folgt:

1 1 1

1 1 ·R γ(t) + , γ(t) − · γ (t). R(cos t, sin t) = i γ(t) 2 γ(t) 2 i γ(t)

1 1 1

1 1 z+ , z− , so erhalten wir: Setzen wir also f (z) := · R z 2 z 2i z

2π 0

1 i

2π

1 f (γ(t)) · γ (t) dt = i 0 = 2π · resz (f ).

R(cos t, sin t) dt =

f (z) dz γ

z∈D1 (0)

3.3.9. Beispiel Sei I := 0

2π

dt , a + sin t

a > 1 reell. Hier ist R(x, y) =

1 , also a+y

3 Isolierte Singularit¨aten

144

1 1 2i 2i · = = , z a + (z − 1/z)/(2 i ) 2a i z + z 2 − 1 (z − z1 )(z − z2 ) √ = i (−a ± a2 − 1).

f (z) = mit z1,2

f hat zwei einfache Polstellen auf der imagin¨aren Achse. Da a > 1 ist, ist √ (a − 1)2 = a2 − 2a + 1 < a2 − 1, also a − 1 < a2 − 1 < a + 1. Also ist √ √ −1 < −a + a2 − 1 < 1, d.h. z1 = i (−a + a2 − 1) ∈ D1 (0). √ √ Andererseits ist −a − a2 − 1 = a + a2 − 1 ≥ |a| > 1, also z2 ∈ D1 (0). Daraus folgt: 2π dt 2i = 2π · resz1 (f ) = 2π · lim z→z a + sin t z − z2 1 0 4π i 4π i 2π √ = = = √ . z1 − z2 2 i a2 − 1 a2 − 1

Typ 2: Uneigentliche rationale Integrale Nun wollen wir Integrale der Form

∞

f (x) dx

I := −∞

betrachten, wobei f (x) = p(x)/q(x) sei, und p(x) und q(x) Polynome ohne reelle Nullstellen. Dabei m¨ ussen wir erst einmal kl¨aren, wann solche Integrale existieren.

3.3.10. Satz Sei p(z) ein komplexes Polynom n-ten Grades. Dann gibt es Konstanten c, C > 0 und ein R > 0, so dass gilt: c|z|n ≤ |p(z)| ≤ C|z|n

Beweis:

Sei p(z) =

n

aν z ν

und

r(z) :=

ν=0

Ungleichungen folgt f¨ ur alle z ∈ C :

f¨ ur |z| ≥ R. n−1

|aν |·|z|ν . Mit Hilfe der Dreiecks-

ν=0

|an | · |z|n − r(z) ≤ |p(z)| ≤ |an | · |z|n + r(z). F¨ ur |z| ≥ 1 und ν < n ist |z|ν ≤ |z|n−1 , also

3.3

Der Residuensatz

r(z) ≤

n−1

145

|aν | · |z|n−1 = k · |z|n−1 , mit k :=

ν=0

Daraus folgt:

n−1

|aν |.

ν=0

|an | · |z|n − k|z|n−1 ≤ |p(z)| ≤ |an | · |z|n + k|z|n−1 , also

|an | −

k n k n |z| ≤ |p(z)| ≤ |an | + |z| . |z| |z|

F¨ ur |z| ≥ R ist dann sogar

|an | −

W¨ahlt man außerdem R >

k n k n |z| ≤ |p(z)| ≤ |an | + |z| . R R k k k , so ist < |an | und daher |an | − > 0. |an | R R

Man kann also c := |an | − k/R und C := |an | + k/R setzen.

3.3.11. Folgerung Sind p(z) und q(z) Polynome mit deg(q) = deg(p) + k, k ≥ 0, so gibt es eine Konstante C > 0 und ein R > 0, so dass p(z) ≤C· 1 q(z) |z|k f¨ ur |z| ≥ R ist. Außerdem folgt: p(z) im Unendlichen beschr¨ankt. 1. Ist k = 1, so ist z · q(z) 2. Ist k ≥ 2 und q(z) ohne reelle Nullstellen, so existiert das uneigentliche Integral ∞ p(x) dx. −∞ q(x) Beweis:

Ist

c1 |z|m ≤ |p(z)| ≤ C1 |z|m

und

c2 |z|n ≤ |q(z)| ≤ C2 |z|n f¨ ur |z| ≥ R,

so ist p(z) C1 ≤ C · |z|m−n , f¨ ur |z| ≥ R, C := und m − n ≤ −k. q(z) c2 p(z) ≤ C. Ist k = 1, so ist z · q(z)

3 Isolierte Singularit¨aten

146

Ist k ≥ 2, sofolgt die Existenz des uneigentlichen Integrals aus der Konvergenz ∞ ur uneigentliche Integrale des Integrals a (1/|x|k ) dx, dem Majoranten-Kriterium f¨ und der Tatsache, dass q(x) keine reellen Nullstelle besitzt. Es seien nun die Voraussetzungen der Folgerung f¨ ur f (z) = p(z)/q(z) erf¨ ullt, mit k ≥ 2. Insbesondere ist dann limz→∞ f (z) = 0. Das bedeutet, dass es ein r > 0 gibt, so dass alle Polstellen von f (z) in Dr (0) liegen, und das k¨onnen auch nur h¨ochstens endlich viele sein. Wir betrachten den Weg γ, der sich aus der Strecke zwischen −r und r auf der ur 0 ≤ t ≤ π zusammensetzt. reellen Achse und dem Halbkreis γr (t) := re i t f¨ γr r

r

r r r

−r Dann ist

Polstellen von f r

r

r

r

r

f (z) dz + γr

r

f (x) dx = γ

−r

f (z) dz = 2π i ·

resz (f ).

Im(z)>0

Man beachte, dass das Residuum h¨ochstens in den Singularit¨aten = 0 ist, die Summe auf der rechten Seite ist also immer eine endliche Summe! Da |f (z)| ≤ C/|z|2 f¨ ur große z ist, folgt: C πC f (z) dz ≤ πr 2 = → 0 f¨ ur r → ∞. r r γr Also ist

∞ −∞

f (x) dx = 2π i ·

resz (f ),

bzw. = −2π i ·

Im(z)>0

resz (f ).

Im(z)<0

Man kann sich fragen, ob wir die Existenz des Integrals bei dem gerade durchgef¨ uhrten Grenz¨ ubergang nicht automatisch mitbewiesen haben. Leider ist das nicht der Fall. Zur Erinnerung: Der Grenzwert ∞ R g(t) dt := lim g(t) dt C.H. −∞

R→∞

−R

heißt Cauchy’scher Hauptwert des uneigentlichen Integrals.1 Er kann existieren, auch wenn das uneigentliche Integral divergiert. Wenn letzteres allerdings konvergiert, dann stimmt es mit dem Cauchy’schen Hauptwert u ¨berein. 1

In der Literatur wird h¨auﬁg auch die Bezeichnung PV (f¨ ur principal value“) benutzt. ”

3.3

Der Residuensatz

147

Aus der obigen Rechnung kann man nur entnehmen, dass der Cauchy’sche Hauptwert existiert, denn wir haben die Grenzen −r und +r gleichzeitig gegen ∞ gehen lassen. Deshalb waren die vorangegangenen Grad-Betrachtungen n¨otig, um die Existenz des uneigentlichen Integrals zu sichern.

3.3.12. Beispiel

∞

Wir wollen das Integral I := −∞

Die Funktion f (z) :=

x2 dx berechnen. 1 + x4

z2 hat Polstellen in den Punkten 1 + z4

zk = ζ4,k e i π/4 = e i (π+2πk)/4 = cos(

π + 2πk π + 2πk ) + i sin( ), 4 4

f¨ ur k = 0, 1, 2, 3. Dabei ist Im(zk ) > 0 f¨ ur k = 0 und k = 1. Da die 4 Polstellen paarweise verschieden sind, liegen in 1 z0 = e i π/4 = √ (1 + i ) 2

und

1 z1 = i e i π/4 = √ ( i − 1) 2

jeweils einfache Polstellen vor. Wie wir schon an fr¨ uherer Stelle gesehen haben, ist z02 1 1 = z¯0 = √ (1 − i ) 4z03 4 4 2 z12 1 1 = z¯1 = √ (−1 − i ), resz1 (f ) = 4z13 4 4 2

resz0 (f ) = und und demnach

I = 2π i

1 1 √ (1 − i ) + √ (−1 − i ) 4 2 4 2

πi π = √ (−2 i ) = √ . 2 2 2

Weitere Anwendungen des Residuensatzes werden wir in Abschnitt 3.4. behandeln.

3.3.13. Aufgaben A. Berechnen Sie das Residuum von f (z) := 1/(z2 + 2)3 in z0 := i B. Der Weg α : [0, 4π] → C sei deﬁniert durch

1 + e i (2t−π) f¨ ur 0 ≤ t ≤ 2π, α(t) := ur 2π < t ≤ 4π. −1 + e i (6π−3t) f¨ Berechnen Sie das Integral α

16z 3 + 6z dz. (z 2 + 1)(4z 2 − 1)

√

2.

3 Isolierte Singularit¨aten

148 C. (a) Berechnen Sie das Integral |z|=2

zes.

5z − 2 dz mit Hilfe des Residuensatz(z − 1)

(b) Bestimmen Sie das Residuum von z · cos(1/z) in z = 0. Benutzen Sie den Satz von Rouch´e, um zu zeigen: Alle Nullstellen von f (z) := z 7 − 5z 3 + 12 liegen im Kreisring K := {z ∈ C : 1 ≤ |z| < 2}. ∞ 2 x +1 dx. D. Berechnen Sie das Integral 4 −∞ x + 1 ∞ dx E. Berechnen Sie J := (f¨ ur a > 0). 2 (x + a2 )2 0 ∞ 7π x2 dx = . F. Beweisen Sie: 2 + 1)2 (x2 + 2x + 2) (x 50 −∞ G. Bestimmen Sie den Typ der Singularit¨at und das Residuum der folgenden Funktionen im Nullpunkt: ez , sin z H. F¨ ur n ≥ 2 ist

∞ 0

2z + 1 , z(z 3 − 5)

z −2 log(1 + z)

1 π/n . dx = 1 + xn sin(π/n)

und

sin z . z4 Re2π i /n γ r eπ i /n

Beweisen Sie dies mit Hilfe der nebenstehenden Figur:

β

R α I. Sei α eine positiv orientierte Parametrisierung der durch |z + 2| + |z − 2| = 6 gegebenen Kurve (f¨ ur welche Punkte ist die Summe der Abst¨ ande von5 zwei gez dz. gebenen Punkten konstant?). Berechnen Sie das Integral 2 − 1)(z + i )2 (z α ∞ x sin x J. Berechnen Sie das Integral dx. (x2 + 1)2 0 Hinweis: Berechnen Sie zuerst

∞

−∞

x e i x dx. (x2 + 1)2

K. Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine Laurent-Reihe und geben Sie das Residuum an: e2z um z0 := 1. (z − 1)3 1 um z0 := 3. b) 2 z (z − 3)2 a)

3.4

Anwendungen

149

2π

dt 5π = . 2 (5 − 3 sin t) 32 0 2π dx . M. Berechnen Sie das Integral 3 − 2 cos x + sin x 0 2π dθ N. Berechnen Sie das Integral . (3 cos θ + 5)2 0 √ O. Berechnen Sie f¨ ur C := {z ∈ C : |z + i + 1| = 2} das Integral z5 dz. 2 2 C (z − 1)(z + i ) L. Zeigen Sie:

3.4

Anwendungen

Partialbruchzerlegung Als erste, einfache Anwendung greifen wir das Problem der Partialbruchzerlegung auf, f¨ ur das der Residuensatz eine neue und elegante Methode liefert. Wir betrachten eine rationale Funktion f (z) = p(z)/q(z) (gek¨ urzt, mit grad(p) < grad(q)) und nehmen an, dass wir den Nenner in Linearfaktoren zerlegen k¨onnen: q(z) =

N

(z − ai )ri ,

ai = aj f¨ ur i = j.

i=1

Dann gibt es eine Darstellung i cij p(z) , = q(z) (z − ai )j i=1 j=1

N

r

und wir wollen versuchen, die Koeﬃzienten cij zu bestimmen. Dabei beschr¨anken wir uns auf den Fall, dass alle ri ≤ 2 sind. ri cij Oﬀensichtlich ist der Hauptteil der Laurent-Entwicklung von f in ai (z − ai )j j=1 (denn alle anderen Summanden sind in ai holomorph). Damit folgt sofort: ci1 = resai (f ). Ist ri = 1, so ist ci1 = lim (z − ai )f (z). z→ai

Ist ri = 2, so ist ci1 = lim (z − ai )2 f (z) . z→ai

Der Koeﬃzient ci2 kommt nur vor, wenn ri = 2 ist. Oﬀensichtlich ist dann ci2 = lim (z − ai )2 f (z). z→ai

3 Isolierte Singularit¨aten

150

Integralberechnungen Wir haben schon zwei Integraltypen behandelt, trigonometrische Integrale und uneigentliche rationale Integrale. Hier sollen weitere Typen untersucht werden.

Typ 3: Integranden mit Verzweigungssingularit¨ at Wir betrachten einen Integranden, der eine Funktion f (z) enth¨alt, die auf einer aufgeschlitzten Ebene deﬁniert ist. Wir k¨onnen dabei an den Logarithmus oder ¨ eine Potenzfunktion denken. Uberschreitet man den Schnitt, so zeigt die Funktion ein wohlbestimmtes Verhalten. Der Logarithmus macht z.B. einen Sprung um 2π i , und die normale Wurzelfunktion wechselt das Vorzeichen. Wir k¨onnen neue Typen von Integralen berechnen, indem wir einen geschlossenen Weg betrachten, der zum Teil auf beiden Seiten des Schnittes entlangl¨auft. ∞ 1 dx. Als Beispiel betrachten wir das Integral I := (x + 1)x1/2 0 In der N¨ahe von x = 0 kann der Integrand durch x−1/2 abgesch¨atzt werden, f¨ ur großes x durch x−3/2 . Damit ist klar, dass das Integral als uneigentliches Riemann’sches Integral (absolut) konvergiert (und damit auch als Lebesgue’sches Integral). Da der Integrand eine Polstelle bei z = −1 hat und wir f¨ ur die Anwendung des Residuensatzes einen Weg brauchen, der mindestens eine Polstelle uml¨auft, bietet es sich an, die Wurzelfunktion auf der l¨angs der positiven x-Achse aufgeschnittenen Ebene zu verwenden: √ √ √ z = re i t := re i t/2 , f¨ ur 0 < t < 2π. Strebt z von√oben gegen die positive reelle Zahl x (also t gegen Null), √ so strebt √ z gegen + x. Strebt z von unten gegen x (also t gegen 2π), so strebt z gegen √ − x. Wir betrachten nun den folgenden Integrationsweg: γ2

R γ1 −1 s r

γ4

Sei F (z) :=

ε

sr

γ3

1 √ und γ := γ1 + γ2 + γ3 + γ4 . Dann ist (z + 1) z

3.4

Anwendungen

151

1 F (z) dz = 2π i res−1 F (z) = 2π i · lim √ = 2π. z→−1 z γ R 1 F¨ ur ε → 0 strebt F (z) dz gegen dx und F (z) dz gegen 1/2 γ1 γ3 r (x + 1)x R r 1 1 dx, also den gleichen Wert. dx = 1/2 ) (x + 1)(−x (x + 1)x1/2 R r Ist |z| = R groß, so ist |z + 1| ≥ |z| − 1 = R − 1 ≥ R/2 und |F (z)| ≤ 2 · R−3/2 . Deshalb strebt 2 4π F (z) dz ≤ 2πR · 3/2 = 1/2 R R γ2 f¨ ur R → ∞ gegen Null. Ist |z| = r klein, so ist |z + 1| ≥ 1 − |z| > 1/2 und |F (z)| ≤ 2 · r−1/2 . Deshalb strebt auch 2 F (z) dz ≤ 2πr · 1/2 = 4π · r1/2 r γ4 f¨ ur r → 0 gegen Null. Alles zusammen ergibt die Beziehung R 1 dx, 2π = 2 lim 1/2 r→0 r (x + 1)x R→∞

also 0

∞

1 dx = π. (x + 1)x1/2

Das gerade betrachtete Beispiel ist ein Spezialfall der so genannten Mellin-Transformation: Ist f (z) eine meromorphe Funktion mit endlich vielen Polstellen, von denen keine auf der positiven reellen Achse liegt, so kann unter geeigneten Voraussetzungen folgendes Integral berechnet werden: ∞ ∞ dx f (x)xa f (x)xa−1 dx. = x 0 0 Um den Integranden als Einschr¨ankung oder Grenzwert einer holomorphen Funktion f (z) · z a−1 auﬀassen zu k¨onnen, muss man einen geeigneten LogarithmusZweig w¨ahlen. Auf der l¨angs der positiven reellen Achse aufgeschlitzten Ebene := C∗ \ R+ benutzen wir λ(z) := log(0) , so dass z a = eaλ(z) ist. Außerdem C benutzen wir den gleichen Weg wie im obigen Beispiel. F¨ ur 0 < t < 2π ist λ(re i t ) = ln r + i t. Daher gilt: lim λ(x + i ε) = ln(x) ε→0 ε>0

und

lim λ(x + i ε) = ln(x) + 2π i . ε→0 ε<0

Entsprechend ist (x + i ε)a−1 = xa−1 und lim (x + i ε)a−1 = xa−1 · e2π i (a−1) = xa−1 · e2π i a . lim ε→0 ε→0 ε>0

ε<0

3 Isolierte Singularit¨aten

152

Sind r und ε sehr klein, R sehr groß, so liegen alle etwaigen Polstellen von f in dem von γ := γ1 + γ2 + γ3 + γ4 berandeten Gebiet G.

3.4.1. Satz Ist lim f (z)z a = 0 und lim f (z)z a = 0, so existiert das Integral z→0

z→∞

∞

f (x)xa−1 dx =

0

w∈C

Beweis:

Sei Iν :=

f (z)z a−1 dz. Es ist γν

|I2 | ≤ 2πR · sup|f (z)z a−1 | = 2π · sup|f (z)z a | −→ 0

(f¨ ur R → ∞)

|I4 | ≤ 2πr · sup|f (z)z a−1 | = 2π · sup|f (z)z a | −→ 0

(f¨ ur r → 0).

|γ2 |

und

2π i · resw (f (z)z a−1 ). 2π i a 1−e

|γ2 |

|γ4 |

|γ4 |

Schließlich gilt:

ε→0

und

γ1

lim

ε→0

f (z)z γ3

f (z)z a−1 dz =

lim

R

f (x)xa−1 dx

r

a−1

dz = −

R

f (x)xa−1 e2π i a dx.

r

ur ε → 0 gegen Also strebt I1 + I3 bei festem r und R f¨ R f (x)xa−1 dx. (1 − e2π i a ) · r

Ist dabei r gen¨ ugend ugend groß, so nimmt I1 + I2 + I3 + I4 den klein und R gen¨ festen Wert 2π i · w∈C resw (f (z)z a−1 ) an. L¨asst ∞man jetzt r → 0 und R → ∞ streben, so erh¨alt man die Existenz des Integrals 0 f (x)xa−1 dx und die G¨ ultigkeit der gew¨ unschten Gleichung.

3.4.2. Zusatz Ist f (z) = p(z)/q(z), mit Polynomen p und q, grad(q) > grad(p) und 0 < Re(a) < 1, so sind die Voraussetzungen des obigen Satzes erf¨ ullt: Beweis:

und a = α + i β mit 0 < α < 1. Dann ist Sei z = re i t ∈ C z a = ea log z = eα ln r−βt · e i (β ln r+αt) ,

also |z a | = r α · e−βt ≤ rα · e|β|2π . Da f nach Voraussetzung im Nullpunkt keine Singularit¨at besitzt, folgt:

3.4

Anwendungen

153

|f (z)z a | ≤ |f (z)| · |z|Re(a) · e2π|Im(a)| −→ 0

(f¨ ur z → 0).

Andererseits folgt aus der speziellen Gestalt von f , dass es ein C > 0 gibt, so dass f¨ ur große z gilt: |f (z)| ≤ C/|z|. Da Re(a) − 1 < 0 ist, bedeutet das: |f (z)z a | ≤ C · |z|Re(a)−1 · e2π|Im(a)| −→ 0

(f¨ ur z → ∞).

Da e−π i a − eπ i a = −2 i sin(πa) ist, gilt: 2π i e−π i a πe−π i a 2π i = −π i a =− . 2π i a π i a 1−e e −e sin(πa)

3.4.3. Folgerung Sei f (z) = p(z)/q(z) eine rationale Funktion ohne Polstellen in R+ , grad(q) > grad(p) und a ∈ C mit 0 < Re(a) < 1. Dann ist ∞ πe−π i a · f (x)xa−1 dx = − resw (f (z)z a−1 ). sin(πa) 0 w∈C

3.4.4. Beispiel Berechnet werden soll das Integral I := 0

Hier ist f (z) =

∞

xa−1 dx, mit a ∈ R, 0 < a < 1. x+1

1 , mit z = −1 als einziger Polstelle. Es ist z+1

res−1 (f (z)z a−1 ) = lim z a−1 = (−1)a−1 = (eπ i )a−1 = −eπ i a , z→−1

also I=−

π πe−π i a · (−eπ i a ) = . sin(πa) sin(πa)

Typ 4: Pole auf dem Integrationsweg Bisher haben wir immer vermieden, dass Pole auf dem Integrationsweg liegen. Manchmal lohnt es sich aber, auch diesen Fall einzubeziehen. Dabei wird die folgende Aussage ben¨otigt: Behauptung: Ist f meromorph mit einem einfachen Pol bei a und α : [0, π] → C deﬁniert durch α (t) := a + e i t , so ist

3 Isolierte Singularit¨aten

154 lim

→0

Beweis:

Ist f (z) =

so ist f (z) dz = c α

f (z) dz = π i resa (f ).

c + g(z) (nahe a), mit einer holomorphen Funktion g, z−a

α

α

dz + z−a

g(z) dz = c α

0

π

i e i t dt = resa (f ) · π i . e i t

Sei nun wieder F meromorph, mit insgesamt nur endlich vielen Polstellen und genau einer Polstelle a auf der reellen Achse. Außerdem ur großes z bleibe z · F (z) f¨ +∞

beschr¨ankt. Man kann zwar nicht direkt das Integral

F (x)e i x dx berechnen,

−∞

aber es gilt:

+∞ F (x)e i x dx + F (x)eix dx →0 −∞ a+ resz (F (z)e i z ) + π i resa (F (z)e i z ). = 2π i a−

lim

Im(z)>0

Zum Beweis benutzen wir die folgenden Integrationswege:

γ2

s

is

α

γ3 s

− R1

γ1

s

0

a

R2

Sei f (z) := F (z)e i z . Sind R1 , R2 und s gen¨ ugend groß und ist gen¨ ugend klein, so ist a− R2 f (x) dx+ f (x) dx− f (z) dz + f (z) dz = 2π i resz (f (z)). −R1

a+

α

γ1 −γ2 −γ3

Im(z)>0

Wie beim vorigen Fall folgt auch hier, dass das Integral u ¨ber den Umweg γ1 −γ2 −γ3 verschwindet, wenn R1 , R2 und s gegen Unendlich gehen. Daraus ergibt sich die gew¨ unschte Formel.

3.4

Anwendungen

155

3.4.5. Beispiel ∞ Das uneigentliche Integral −∞ (sin x)/x dx existiert, wie man schon in Analysis 1 zeigen kann. Um es mit Hilfe des Residuenkalk¨ uls zu berechnen, muss man allerdings die Funktion f (z) := e i z /z betrachten, und die hat einen Pol im Nullpunkt. Die Funktion sin z nimmt f¨ ur wachsenden Imagin¨arteil von z immer gr¨oßere Werte an, so dass man nicht mit (sin z)/z arbeiten kann. Nun ist +∞ +∞

− sin x sin x sin x dx = lim dx + dx →0 x x x −∞ −∞ +∞ i x

− e i x e dx + dx = lim Im →0 x x −∞

eiz

e i z = Im 2π i resz + π i res0 z z Im(z)>0

e i z = π. = Im π i res0 z

Cauchy’sche Hauptwerte und Dispersionsrelationen Deﬁnition

(Cauchy’scher Hauptwert)

Sei a < x0 < b und f stetig auf [a, b]\{x0 }. Dann wird der Cauchy’sche Hauptwert des uneigentlichen Integrals von f u ¨ber [a, b] deﬁniert als der Grenzwert

b

f (x) dx = lim

C.H.

ε→0

a

x0 −ε

b

f (x) dx + a

f (x) dx ,

x0 +ε

sofern dieser existiert. Wir wenden das auf den Fall an, dass [a, b] in einem Gebiet G ⊂ C enthalten und f eine holomorphe Funktion auf G \ {0} ist (mit a < 0 < b). Es sei Dε (0) ⊂⊂ G, αε die Parametrisierung von ∂Dε (0), αε+ die Parametrisierung des oberen und αε− die des unteren Halbkreises. Dann deﬁniert man b −ε b R f (z) dz := f (z) dz − f (z) dz + f (z) dz (Rechtswert des Integrals) a

und b f (z) dz := L a

α+ ε

a

a

ε

−ε

f (z) dz +

α− ε

b

f (z) dz +

f (z) dz (Linkswert des Integrals). ε

3 Isolierte Singularit¨aten

156

G

G

−αε+ s

s

s R

b a

s

s

αε−

f (z) dz

s L

b a

f (z) dz

Beim Rechtswert liegt die Singularit¨at rechts vom Integrationsweg, beim Linkswert links davon. Beide Werte sind unabh¨angig von ε, was man wie u ¨blich mit dem Cauchy’schen Integralsatz beweist. Oﬀensichtlich ist b b f (z) dz − R f (z) dz = f (z) dz = 2π i res0 (f ). L a

∂Dε (0)

a

3.4.6. Satz Unter den obigen Bedingungen habe f zus¨atzlich im Nullpunkt einen Pol erster Ordnung. Dann ist b b b 1

f (x) dx = f (z) dz + R f (z) dz L C.H. 2 a a a b f (z) dz + π i res0 (f ) = R a b = L f (z) dz − π i res0 (f ). a

Beweis:

Zun¨achst ist (ohne besondere Voraussetzung an f ) b b −ε f (x) dx + f (x) dx = R f (z) dz + f (z) dz. a

ε

a

α+ ε

In der N¨ahe des Nullpunktes hat f die Darstellung f (z) =

a−1 + a0 + a1 z + · · · , 2

also ist g(z) := f (z) − a−1 /z dort holomorph und wird auf einer Umgebung von Dε (0) durcheine Konstante C > 0 nach oben beschr¨ankt. Insbesondere ist dann + g(z) dz ≤ ε · π · C. Außerdem gilt: αε π + π a−1 (αε ) (t) ε i eit dz = a−1 · dt = a · dt = i π · a−1 . −1 + z αε (t) εe i t α+ 0 0 ε

3.4

Anwendungen

157

Damit ist

b

C.H. a

b

−ε f (x) dx = lim f (x) dx + f (x) dx ε→0 a ε b f (z) dz + lim f (z) dz = R = R

b

und analog C.H. a

f (x) dx = L

2 · C.H.

b a

b

a

ε→0

a

b

α+ ε

f (z) dz + π i a−1

a

f (z) dz − π i a−1 , also

f (x) dx = R

a

b

f (z) dz + L

b

f (z) dz. a

Der Satz kann z.B. auch angewandt werden, wenn f eine meromorphe Funktion auf einer Umgebung der abgeschlossenen oberen Halbebene mit einem einfachen Pol auf der reellen Achse ist.

3.4.7. Beispiel

∞

dx berechnet werden. Es ist x3 − 1 = 3−1 x −∞ √ −1 + i 3 und (x − 1)(x2 + x + 1) = (x − 1)(x − α)(x − α2 ) mit α := 2 √ −1 − i 3 . f hat einfache Polstellen in x = 1 und in z = α (die α2 = α = 2 Polstelle in z = α interessiert uns in diesem Zusammenhang nicht). Es ist Es soll – wenn m¨oglich – C.H.

res1

z3

1 1 1 = = 2 −1 |1 − α| 3

und √ 1 i 3−1 1 2 √ √ = = = . resα 3 z −1 (α − 1)(α − α) 6 (−3 + i 3) i 3 Nun ist

∞

C.H. −∞

dx = R x3 − 1

∞

dx 1 + π i res1 3 3−1 x z −1 −∞ 1 1 = 2π i resα 3 + π i res1 3 z − 1√ √z − 1 1 π 3 i 3−1 +πi · = − . = 2π i · 6 3 3

3 Isolierte Singularit¨aten

158

Die Methode des Cauchy’schen Hauptwertes kann auch benutzt werden, um die Cauchy’sche Integralformel auf den Fall zu verallgemeinern, wo der auszuwertende Punkt auf dem Integrationsweg liegt. Sei G ⊂ C ein Gebiet, f holomorph auf G und γ ein glatter, einfach geschlossener Integrationsweg in G mit Int(γ) ⊂ G. f (z) 1 dz = f (z0 ). C.H. Behauptung: Ist z0 ∈ |γ|, so ist πi z − z0 γ Beweis: Sei γ auf [a, b] deﬁniert, a < t0 < b und γ(t0 ) = z0 . Der Cauchy’sche Hauptwert wird auf die naheliegende Weise eingef¨ uhrt:

f (z) f (z) f (z) C.H. dz = lim dz + dz , ε→0 γ z − z0 γε− z − z0 γε+ z − z0 wobei γε+ die Einschr¨ankung von γ auf [a, t0 − ε] und γε− die Einschr¨ankung auf [t0 + ε, b] ist. Auch Links- und Rechtswert werden sinngem¨aß erkl¨art.

γ

G

z0

s

L γ

Dann ist 1 L 2π i also

C.H. γ

γ

f (z) dz = f (z0 ) z − z0

f (z) 1

dz = L z − z0 2

γ

f (z) dz z − z0

und

f (z) dz + R z − z0

R γ

γ

f (z) dz = 0, z − z0

f (z) dz = π i f (z0 ). z − z0

Man kann die obige Methode auf den folgenden Fall anwenden: Der Weg γ bestehe + aus dem Intervall [−R, R] auf der reellen Achse und dem durch αR (t) := Re i t (mit 0 ≤ t ≤ π) parametrisierten Halbkreis vom Radius R.

R s

x0

3.4

Anwendungen

159

Es sei x0 ∈ R eine Polstelle der betrachteten Funktion f mit −R < x0 < R, und + ur z ∈ |αR | und R ≥ R0 ist. zu jedem ε > 0 gebe es ein R0 > 0, so dass |f (z)| < ε f¨ Weil 1 f (z) π · sup|f | = · sup|f | ≤ Rπ · + z − z0 2R + 2 |α+ | αR |α | R

R

dann f¨ ur R → ∞ gegen Null strebt, folgt: +∞ f (x) 1 dx · C.H. f (x0 ) = πi −∞ x − x0 ∞

1 ∞ Re f (x) 1 Im f (x) C.H. = −i dx + C.H. dx . π π −∞ x − x0 −∞ x − x0 Das ergibt die sogenannten Kramers-Kronig-Relationen: Ist f holomorph in der oberen Halbebene (incl. R \ {x0 }) und lim sup|f | = 0, so R→∞

ist

|α+ R|

∞ Im f (x) 1 C.H. dx, π −∞ x − x0 ∞ 1 Re f (x) dx . Im f (x0 ) = − C.H. π −∞ x − x0 Re f (x0 ) =

Es kann vorkommen, dass Re f und Im f zwei verschiedene physikalische Erscheinungen beschreiben, die man unabh¨angig voneinander messen kann. Durch die obige Abh¨angigkeit kann man dann von einer Eigenschaft auf eine andere schließen. Unter Dispersion versteht man die Abh¨angigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen (in einem Medium) von der Wellenl¨ange (die z.B. zur Entstehung eines Regenbogens f¨ uhrt). Kramers und Kronig entdeckten in diesem Zusammenhang Beziehungen zwischen Dispersion und Absorption, die man durch Gleichungen von der obigen Art beschreiben kann. Allgemein bezeichnet man solche Gleichungen wegen ihres Ursprungs auch als Dispersionsrelationen. Vor ihrer Anwendung muss man sich nat¨ urlich davon u ¨berzeugen, dass die betrachtete Gr¨oße durch eine analytische Funktion f beschrieben werden kann, die in der oberen Halbebene f¨ ur große Argumente vernachl¨assigt werden kann. ¨ Den Ubergang zwischen Re f und Im f mittels der obigen Integrale bezeichnet man auch als Hilbert-Transformation. Bei der Betrachtung der inhomogenen Wellengleichung spielt die Green-Funktion eine wichtige Rolle. Darunter versteht man hier die L¨osung im Falle eines einzelnen eingehenden Impulses. Mit Hilfe der Green-Funktion kann man (durch Superposition) andere L¨osungen gewinnen. Um sie allerdings mathematisch beschreiben zu k¨onnen, ben¨otigt man die Theorie der Distributionen, was u ¨ber die Ziele dieses Buches hinausgeht. Dennoch soll erw¨ahnt werden, dass als Green-Funktionen genau

3 Isolierte Singularit¨aten

160

solche Hauptwert-Integrale auftreten k¨onnen, wie wir sie oben beschrieben haben. Physikalisch ist dann zwischen dem Linkswert, der sogenannten retardierten (oder ” nacheilenden) Green-Funktion“, und dem Rechtswert, der sogenannten avancier” ten (oder vorauseilenden) Green-Funktion“ zu unterscheiden. Erstere gen¨ ugt dem Kausalit¨atsprinzip (d.h., das System antwortet nach dem Auftreten einer St¨orung), die zweite beschreibt eine Situation, in der die Ursache nach der Wirkung kommt. Das ist physikalisch auszuschließen.

Fourier-Transformationen Viele physikalische Probleme werden mit Hilfe linearer Transformationen oder Operatoren (also linearer Zuordnungen zwischen Funktionenr¨aumen) untersucht: T

Originalfunktion f (x) ◦−−• Bildfunktion T [f (x)] = F (y) . Der Grund f¨ ur dieses Vorgehen ist die Tatsache, dass sich oftmals komplizierte Zusammenh¨ange im Originalraum nach der Transformation im Bildbereich viel einfacher ausdr¨ ucken lassen. Ein typisches Beispiel sind Integraltransformationen der Gestalt f (x) ◦−−• F (y) := k(x, y)f (x) dx . Dabei nennt man k(x, y) die Kernfunktion oder den Integralkern der Transformation. Ein physikalisches System k¨onnte folgendermaßen aussehen:

Eingangssignal

Transformation

Ausgangssignal

(Erregung)

T

(Antwort)

Das Eingangssignal ist in vielen F¨allen eine komplexe Schwingung der Gestalt f (t) = e i ω(t+t0 ) . Ist T eine lineare Transformation, so gilt f¨ ur das Ausgangssignal: Fω (t + t0 ) = T e i ω(t+t0 ) = T e i ωt0 · e i ωt = e i ωt0 · T e i ωt = e i ωt0 Fω (t). Setzt man t = 0 ein, so erh¨alt man die Beziehung Fω (t0 ) = Fω (0) · e i ωt0 . Da t0 beliebig gew¨ahlt wurde, ergibt das die Gleichung Fω (t) = Fω (0) · e i ωt , d.h., das Ausgangssignal ist wieder eine Schwingung! Den Faktor Fω (0) nennt man den ¨ der Transformation. Frequenzgang“ oder die Ubertragungsfunktion“ ” ”

3.4

Anwendungen

161

Ein besonders wichtiges Beispiel einer Integraltransformation ist die Fourier-Transformation. Als Originalbereich nehmen wir den Raum L 1 der u ¨ber R Lebesgueintegrierbaren komplexwertigen Funktionen. Man k¨onnte auch mit im Riemann’schen Sinne absolut uneigentlich integrierbaren Funktionen arbeiten, und bei praktischen Anwendungen kommt man meist mit st¨ uckweise stetigen Funktionen aus.

Deﬁnition

(Fourier-Transformation)

1

Ist f ∈ L (R), so heißt

∞

F (ω) :=

f (t)e− i ωt dt

−∞

die Fourier-Transformierte von f . Man schreibt auch F (ω) = f(ω)

oder

F = F[f ].

f heißt Originalfunktion, F Spektralfunktion oder Bildfunktion. Den Zusammenhang zwischen Originalfunktion und Bildfunktion macht man wie u ¨blich mit folgender Symbolik deutlich: f (t) ◦−−• F (ω) Weil |f (t)e− i ωt | = |f (t)| u ¨ber R integrierbar ist, ist die Existenz des FourierIntegrals gesichert. Außerdem ist die Fourier-Transformierte f beschr¨ankt: ∞ ∞ |f(ω)| = f (t)e− i ωt dt ≤ |f (t)| dt. −∞

−∞

Unter den Originalfunktionen kann man sich irgendwelche eingehenden elektromagnetischen Signale vorstellen. Mit Hilfe der Fourier-Transformation wird das ¨ Signal wie beim Empfang durch eine Antenne als kontinuierliche Uberlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt. Die Fourier-Transformierte F = F (ω) beschreibt, welchen Beitrag die verschiedenen Frequenzen leisten.

3.4.8. Beispiele A. Wir beginnen mit dem Rechteck-Impuls“ ”

1 f¨ ur |t| ≤ 1 π(t) := 0 f¨ ur |t| > 1.

s

−1

1

s

1

Die Fourier-Transformierte F = F[π] ist gegeben durch 1 1 i i 2 e− i ωt dt = · e− i ωt = · (e− i ω − e i ω ) = · sin(ω). F (ω) = ω ω ω −1 −1

3 Isolierte Singularit¨aten

162

Mit der Schreibweise si(x) := sin x/x erhalten wir: π(t) ◦−−• π (ω) = 2 si(ω) . Man beachte, dass π nicht integrierbar ist! B. Als n¨achstes betrachten wir den symmetrisch abfallenden Impuls f (t) := e−a|t| . ∞ ∞ e−at ∞ f ist integrierbar und |f (t)| dt = 2 e−at dt = 2 · = 2/a. −a 0 −∞ 0 1

t Die Fourier-Transformierte ist gegeben durch ∞ 0 ∞ e−a|t| e− i ωt dt = e−(a+ i ω)t dt + e−(−a+ i ω)t dt F (ω) = −∞ 0 −∞ ∞ 0 1 1 = − e−(a+ i ω)t − e−(−a+ i ω)t a + iω −a + i ω 0 −∞ 1 2a 1 −2a = = 2 . − = a + i ω −a + i ω −ω2 − a2 ω + a2 Also haben wir: e−a|t| ◦−−•

a2

2/a

2a . + ω2

ω Zu vielen Standard-Funktionen (z.B. konstante Funktionen, Sinus, Cosinus usw.) kann man nicht die Fourier-Transformierte bilden!

3.4.9. Eigenschaften der Fourier-Transformation 1. F[f1 + f2 ] = F[f1 ] + F[f2 ].

3.4

Anwendungen

163

2. Ist α ∈ C, so ist F[α · f ] = α · F[f ]. 3. f (t − c) ◦−−• f(ω)e− i ωc . 1 ω 4. f (at) ◦−−• ·f . |a| a Beweis: Zu (3):

(1) und (2) sind trivial. ∞ f (t − c)e− i ωt dt = f (s)e− i ω(s+c) ds = e− i ωc

∞

−∞

−∞

∞

f (s)e− i ωs ds.

−∞

Zu (4): Sei ϕ(t) := at. Im Endlichen gilt : |a|β 1 β 1 aβ 1 g(at) dt = g(ϕ(t))ϕ (t) dt = g(s) ds = g(s) ds. · a α a aα |a| |a|α α ∞ ∞ 1 1 ω f . Also ist f (at)e− i ωt dt = f (s)e− i ωs/a ds = |a| −∞ |a| a −∞

β

3.4.10. Beispiele A. Wir betrachten einen etwas modiﬁzierten Rechteck-Impuls:

2 A f¨ ur |t| ≤ T /2 t = πA,T := A · π 0 f¨ ur |t| > T /2. T Dann ist πA,T ◦−−• A · T · si

T ω . 2

B. Als N¨achstes untersuchen wir einen modiﬁzierten und verschobenen RechteckImpuls:

t − a 1 f¨ ur |t − a| ≤ T = f (t) := π 0 f¨ ur |t − a| > T. T Wir gehen aus von der Beziehung

π(t) ◦−−• 2 si(ω).

Sei f1 (t) := π(t − a/T ). Dann ist f (t) = π(t/T − a/T ) = f1 (t/T ). Damit folgt: f1 (t) ◦−−• π (ω)e− i ωa/T = 2 si(ω)e− i ωa/T und f (t) ◦−−• T · f1 (T ω) = 2T · si(T ω)e− i ωa .

3.4.11. Satz (Translation im Bildbereich) Wenn f (t) ◦−−• F (ω), dann e i ω0 t f (t) ◦−−• F (ω − ω0 ). ∞ ∞ − i (ω−ω0 )t Beweis: Es ist F (ω − ω0 ) = f (t)e dt = f (t)e i ω0 t e− i ωt dt. −∞

−∞

3 Isolierte Singularit¨aten

164

3.4.12. Beispiel Wir berechnen die Fourier-Transformierte einer amplitudenmodulierten CosinusSchwingung: f (t) := e−a|t| · cos(Ωt), Ω, a ∈ R, a > 0. 1

π 2

t

−1

Wir erinnern uns an die Formeln e i z = cos z + i sin z

und

e− i z = cos z − i sin z.

1 1 Also ist cos z = (e i z + e− i z ) und f (t) = e−a|t| (e i Ωt + e− i Ωt ). 2 2 Nun haben wir: e−a|t| ◦−−• F (ω) =

a2

2a , + ω2

2a + (ω − Ω)2 2a und e−a|t| e− i Ωt ◦−−• F (ω + Ω) = 2 a + (ω + Ω)2 a a und damit e−a|t| cos(Ωt) ◦−−• 2 + 2 . 2 a + (ω − Ω) a + (ω + Ω)2 also

e−a|t| e i Ωt ◦−−• F (ω − Ω) =

a2

2a a2 +Ω2

−Ω

3.4.13. Riemann-Lebesgue-Lemma Sei f ∈ L 1 (R). 1. f ist stetig und beschr¨ankt. 2. lim |f(ω)| = 0. |ω|→∞

Ω

ω

3.4

Anwendungen

165

Beweis: 1) Die Beschr¨anktheit haben wir schon gezeigt. Die Stetigkeit folgt aus den S¨atzen u ¨ber Parameterintegrale, weil der Integrand f (t)e− i ωt eine stetige Funktion von ω ist. 2 2) Ist f = χ[a,b] , so ist f (t) = g(t − (a + b)/2) mit g(s) = π( s), also b−a

(b − a)ω · e− i (a+b)/2 . f(ω) = (b − a) · si 2 F¨ ur f – und damit f¨ ur jede Treppenfunktion – gilt die Behauptung. ∞ F¨ ur jedes ω und jede Funktion g ∈ L 1 (R) ist | g (ω)| ≤ g1 := |g(t)| dt. −∞

Konvergiert eine Folge (gn ) von Treppenfunktionen in der L 1 -Norm gegen f , so ist |f(ω) − gn (ω)| = |f − gn (ω)| ≤ f − gn 1 , und die rechte Seite strebt gegen Null. Weil |f(ω)| ≤ |f(ω) − gn (ω)| + |gn (ω)| ist und eine solche Folge von Treppenfunktionen immer existiert, strebt auch |f(ω)| f¨ ur |ω| → ∞ gegen Null.

3.4.14. Die Fourier-Transformierte der Ableitung Sei f : R → C stetig diﬀerenzierbar. Außerdem seien f und f u ¨ber R integrierbar. Dann gilt: f (t) ◦−−• i ω · f(ω). Beweis: Aufgrund der Voraussetzungen muss limx→∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = 0 sein. Außerdem kann man partielle Integration anwenden: M M M − i ωt − i ωt f (t)e dt = f (t)e − f (t)(− i ω)e− i ωt dt. −N

−N

−N

F¨ ur N, M → ∞ strebt der erste Summand auf der rechten Seite gegen 0 und der zweite gegen i ω · f(ω). Bemerkung: Bei h¨oherer Diﬀerenzierbarkeit erh¨alt man die Formel f (n) (t) ◦−−• ( i ω)n · f(ω). Auf die Einzelheiten gehen wir hier nicht ein.

3.4.15. Die Ableitung der Fourier-Transformierten Die Funktionen f und t → t · f (t) seien u ¨ber R integrierbar. Dann ist f diﬀerenzierbar, und es gilt: t · f (t) ◦−−• i · f (ω).

3 Isolierte Singularit¨aten

166

Beweis:

Sei h(t, ω) := f (t) · e− i ωt . Dann ist h nach ω diﬀerenzierbar und ∂h (t, ω) = |t · f (t)|, ∂ω

wobei die rechte Seite integrierbar ist. Aus dem Satz u ¨ber die Diﬀerenzierbarkeit von Parameterintegralen folgt, dass f diﬀerenzierbar ist. Außerdem gilt: ∞ ∞ − i ωt f (ω) = f (t)(− i t)e dt = − i t · f (t)e− i ωt dt = − i · F[t · f (t)]. −∞

−∞

Daraus folgt die Behauptung.

3.4.16. Beispiel 2

Sei f (t) := e−t . Die Funktion ist stetig, ≥ 0 und u ¨ber R integrierbar. Also existiert die Fourier-Transformierte ∞ f (t)e− i ωt dt. f (t) ◦−−• F (ω) = −∞

2

f ist sogar stetig diﬀerenzierbar, und f (t) = −2t · e−t = −2t · f (t) ist ebenfalls integrierbar. Wir haben deshalb zwei Darstellungsm¨oglichkeiten f¨ ur die Fourier-Transformierte von f (t) :

und

f (t) ◦−−• −2 i F (ω) (Ableitung der Fourier-Transformierten) f (t) ◦−−• i ωF (ω) (Fourier-Transformierte der Ableitung)

Also ist

√ ω F (ω) = − F (ω) und F (0) = π. 2 Das ist eine gew¨ohnliche DGL 1. Ordnung mit Anfangsbedingung. Die L¨osung ist in diesem Fall einfach: (ln F ) (ω) =

ω F (ω) =− , F (ω) 2

also

ω2 2 + const., d.h. F (ω) = C · e−(ω /4) , 4 √ und wegen der Anfangsbedingung ist C = π. Also haben wir: ln F (ω) = −

2

f (t) = e−t ◦−−• F (ω) =

√ −(ω2 /4) πe .

Benutzt man noch die Formel f (at) ◦−−•

1 ω ·f , |a| a

3.4

Anwendungen

167 √ −(ω2 /4) πe ): √ 2 √ √ √ 2 = e−(t/ 2) ◦−−• 2 · F ( 2ω) = 2πe−(ω /2) .

so ergibt sich (mit F (ω) := 2 /2)

e−(t

2

Die √ Funktion e−(t /2) ist also – abgesehen von dem rechts auftretenden Faktor 2π – ein Fixpunkt“ der Fourier-Transformation. Deshalb wird in der ” mathematischen Literatur die Fourier-Transformation gerne mit einem Vor√ faktor 1/ 2π versehen. Die Umkehrung der Fourier-Transformation liefert der folgende Satz:

3.4.17. Fourier-Integral-Theorem Sei f st¨ uckweise glatt und u ¨ber R integrierbar. Dann ist ∞ 1 1 f(ω)e i ωx dω. (Cauchy’scher Hauptwert) [f (x−) + f (x+)] = C.H. 2 2π −∞ Dabei bezeichnet f (x−) und f (x+) wie u ¨blich den Grenzwert von f von links bzw. von rechts. Ist f in x stetig, so erh¨alt man auf der linken Seite der Gleichung einfach den Wert f (x). Auf den Beweis des Fourier-Integral-Theorems m¨ ussen wir hier aus Platzgr¨ unden verzichten. In einem speziellen Fall k¨onnen wir aber die R¨ ucktransformation praktisch ausf¨ uhren.

3.4.18. Komplexe Umkehrformel Sei f die Einschr¨ankung einer auf C deﬁnierten meromorphen Funktion F . Außerdem habe F nur endlich viele Polstellen, und z · F (z) bleibe f¨ ur großes z beschr¨ankt. Dann ist f (t) = i · (f¨ ur t > 0). resz F (z)e i zt Im(z)>0

Ist t < 0, so wechselt das Vorzeichen, und man muss die Residuen in der unteren Halbebene heranziehen. Beweis:

Wir benutzen den folgenden Integrationsweg (mit γr (s) := re i s ): γr

−r

r

3 Isolierte Singularit¨aten

168

F¨ ur gen¨ ugend großes r gilt nach dem Residuensatz: r f(ω)e i ωt dω = 2π i · F (z)e i zt dz + resz (F (z)e i zt ). γr

−r

Im(z)>0

Ist |z · F (z)| ≤ M f¨ ur |z| ≥ R, so folgt f¨ ur r ≥ R : π i zt is is i γr (s)t F (z)e dz = F (re ) i re · e ds ≤ γr

0

≤ M·

π 0

e−rt sin s ds = 2M ·

π/2

π

r|F (re i s )|e−rt sin s ds

0

e−rt sin s ds.

0

Um das verbliebene Integral auszuwerten, m¨ ussen wir die Sinusfunktion n¨aher untersuchen: Ist 0 ≤ s ≤ π/2, so ist sin s ≥ 2s/π, also e−rt sin s ≤ e−rt·2s/π . Damit ist π/2 π/2 −π −rt·2s/π π/2 π e−rt sin s ds ≤ e−rt·2s/π ds = = e (1 − e−rt ), 2rt 2rt 0 0 0 und es folgt:

Mπ F (z)e i zt dz ≤ ur r → ∞. (1 − e−rt ) → 0 f¨ rt γr

Daraus folgt: f (t) =

1 lim 2π r→∞

r −r

f(ω)e i ωt dω = i ·

resz F (z)e i zt .

Im(z)>0

Die Formel gilt nur f¨ ur t > 0. Ist durch die untere Halbebene t < 0, so muss man i zt laufen und erh¨alt f (t) = − i · . resz F (z)e Im(z)<0

Wir wollen das Ergebnis auf rationale Funktionen F (z) anwenden: Ist F (z) = p(z)/q(z) mit deg(q) ≥ deg(p) + 1, so ist |z · F (z)| im Unendlichen beschr¨ankt. F¨ ur unsere Zwecke reicht diese Bedingung, denn wir brauchen nur den Cauchy’schen Hauptwert, die Existenz des uneigentlichen Integrals von −∞ bis +∞ braucht nicht bewiesen zu werden.

3.4.19. Beispiel 2a , mit einer Konstanten a > 0. Dann ω 2 + a2 ist f Einschr¨ankung einer meromorphen Funktion Gegeben sei die Funktion f(ω) :=

F (z) :=

2a , (z − i a)(z + i a)

3.4

Anwendungen

169

die zwei einfache Polstellen aufweist. Sie erf¨ ullt alle Bedingungen, die wir brauchen, um die R¨ ucktransformation vornehmen zu k¨onnen, und es ist 2a −at e = − i e−at res i a (F (z)e i zt ) = 2ia 2a at und res− i a (F (z)e i zt ) = e = i eat . −2 i a Daraus folgt: F¨ ur t > 0 ist und f¨ ur t < 0 ist

f (t) = i · res i a (F (z)e i zt ) = e−at , f (t) = − i · res− i a (F (z)e i zt ) = eat .

Zusammen ergibt das: f (t) = e−a|t| . Das ist genau das, was wir erwartet haben.

Laplace-Transformationen In der Wirklichkeit hat man es meist mit Signalen zu tun, die erst zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgel¨ost werden. Um solche Einschaltvorg¨ange zu ber¨ ucksichtigen, betrachten wir Funktionen f mit f (t) = 0 f¨ ur t < 0. Leider existiert die Fourier-Transformierte f¨ ur viele g¨angige Funktionen nicht, insbesondere nicht f¨ ur Schwingungen e i ωt . Deshalb erzwingen wir die Konvergenz des Fourier-Integrals, indem wir einen konvergenzerzeugenden Faktor“ einf¨ uhren, den stark d¨ampfenden ” Faktor e−αt (mit positivem α). Das ergibt die Transformation ∞ f (t)e−(α+ i ω)t dt. f (t) ◦−−• F[f (t)e−αt ] = 0

Dieses Integral existiert z.B., wenn f (t) st¨ uckweise stetig und f (t)e−αt (absolut) integrierbar ist.

Deﬁnition Unter einer L-Funktion verstehen wir eine Funktion f : R → C mit folgenden Eigenschaften: 1. f (t) = 0 f¨ ur t < 0. 2. f ist st¨ uckweise stetig f¨ ur t > 0. 3. f ist bei 0 (uneigentlich) integrierbar. ∞ f (t)e−zt dt existiert f¨ ur wenigstens ein z ∈ C mit 4. Das Laplace-Integral 0

Re(z) > 0.

∞

Man nennt dann F (z) := 0

f (t)e−zt dt (f¨ ur jedes z ∈ C, f¨ ur das F (z) konver-

giert) die Laplace-Transformierte von f .

3 Isolierte Singularit¨aten

170

3.4.20. Bereiche absoluter Konvergenz Wenn die Laplace-Transformierte F (z) von f (z) f¨ ur ein z0 ∈ C (absolut) konvergiert, dann tut sie das auch f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) ≥ Re(z0 ). z0 s

sz

α

0

Beweis: Beim Lebesgue-Integral folgt die absolute Konvergenz aus der gew¨ohnlichen Konvergenz, der Zusatz absolut“ interessiert also nur bei Verwendung des ” Riemann’schen Integralbegriﬀs. Sei z0 := u + i v und z = x + i y, mit x ≥ u. Dann ist |e−zt | = e−xt ≤ e−ut = |e−z0 t |. Daraus folgt die Behauptung.

∞ Das Inﬁmum α aller reeller Zahlen x ≥ 0, so dass 0 f (t)e−zt dt f¨ ur Re(z) > x absolut konvergiert, heißt die Abszisse absoluter Konvergenz f¨ ur das Laplace-Integral von f . Die Halbebene, die links von der vertikalen Geraden x = α begrenzt wird, ist das genaue Konvergenzgebiet des Laplace-Integrals. Der Rand geh¨ort entweder ganz dazu oder u ur t < 0 ist, kann auch die ganze ¨berhaupt nicht. Da f (t) = 0 f¨ Ebene als Konvergenzgebiet vorkommen.

Deﬁnition

(Abszisse absoluter Konvergenz)

Sei f : R → C eine L-Funktion und α die Abszisse absoluter Konvergenz der Laplace-Transformierten ∞ F (z) := f (t)e−zt dt. 0

Dann schreibt man auch F (z) = L[f (t)]

oder

f (t) ◦−−• F (z).

f (t) heißt Originalfunktion und F (z) die Bildfunktion.

Deﬁnition

(exponentielles Wachstum)

Eine (st¨ uckweise stetige) Funktion f : R+ achst 0 := {t ∈ R : t ≥ 0} → C w¨ h¨ochstens exponentiell von der Ordnung a, wenn es Konstanten M > 0 und T > 0 gibt, so dass f¨ ur t ≥ T gilt: |f (t)| ≤ M · eat .

3.4

Anwendungen

171

3.4.21. Existenz der Laplace-Transformierten W¨achst die (st¨ uckweise stetige) Funktion f : R+ ochstens exponentiell von 0 → C h¨ der Ordnung a, so konvergiert das Laplace-Integral ∞ f (t)e−zt dt F (z) = 0

f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) > a (absolut). Insbesondere ist f eine L-Funktion. Beweis: Wir schreiben z in der Form z = x + i y, mit x > a. Dann gibt es Konstanten T und M , so dass f¨ ur t ≥ T gilt: |f (t)e−zt | = |f (t)| · e−xt ≤ M · e(a−x)t = M · e−|a−x|t . Die Funktion auf der rechten Seite ist (absolut) integrierbar, denn es ist

T1

−|a−x|t

e

dt =

T

1 − · e−|a−x|t |a − x|

T 1 = T

1 · (e−|a−x|T − e−|a−x|T1 ), |a − x|

und dieser Ausdruck bleibt beschr¨ankt f¨ ur T1 → ∞.

3.4.22. Beispiele A. Sei f (t) ≡ 1. Da wir nur Funktionen betrachten, die = 0 f¨ ur t < 0 sind, lassen wir diese zus¨atzliche Bedingung meistens weg. Es ist

R 0

−zt

1·e

dt =

1 − e−zt z

R 1 = (1 − e−zR ), z 0

und dieser Ausdruck konvergiert f¨ ur Re(z) > 0 gegen 1/z. Also haben wir: 1 ◦−−•

1 z

(f¨ ur Re(z) > 0)

B. Die Funktion f (t) := eat w¨achst h¨ochstens exponentiell von der Ordnung a. Also k¨onnen wir die Laplace-Transformierte bilden: ∞ ∞ at at −zt e e dt = e(a−z)t dt L[e ] = 0 0 1 1 (a−z)t ∞ 1 = e (0 − 1) = , = a−z a−z z−a 0 falls Re(a − z) < 0 ist, also Re(z) > a. C. Sei f (t) := cos(ωt) = 12 (e i ωt + e− i ωt ). Dann folgt:

3 Isolierte Singularit¨aten

172

∞ ∞ 1 ( i ω−z)t −( i ω+z)t L[f (t)] = f (t)e dt = e dt + e dt 2 0 0 0 ∞ ∞ 1 1 1 = e( i ω−z)t + e−( i ω+z)t 2 iω − z −( i ω + z) 0 0 1 1 1 z = [− + ] = 2 2 iω − z iω + z z + ω2

∞

−zt

f¨ ur Re( i ω − z) < 0 und Re( i ω + z) > 0, also Re(z) > 0. So erh¨alt man: z z2 + ω2 ω und analog sin(ωt) ◦−−• 2 . z + ω2 Bemerkung: Die Laplace-Transformierte ∞ F (z) = f (t)e−zt dt cos(ωt) ◦−−•

0

ist als Parameterintegral in ihrem Konvergenzbereich eine holomorphe Funktion von z. Es kann allerdings – wie die vorangegangenen Beispiele zeigen – vorkommen, dass F (z) auf ein gr¨oßeres Gebiet holomorph fortgesetzt werden kann. Man wird dann auch die fortgesetzte Funktion als Laplace-Transformierte von f bezeichnen. Beschr¨ankt man sich auf reelle Parameter s, so endet der Existenzbereich von F (s) stets bei der Abszisse der absoluten Konvergenz.

3.4.23. Eigenschaften der Laplace-Transformation Sei f (t) ◦−−• F (z) und g(t) ◦−−• G(z). Dann gilt: a · f (t) + b · g(t) ◦−−• a · F (z) + b · G(z).

1. Linearit¨at: ¨ 2. Ahnlichkeitssatz:

f (at) ◦−−•

1 1 · F ( z). a a

(f¨ ur a ∈ R, a > 0 )

3. Verschiebungssatz (Verschiebung im Zeitbereich): f (t − T ) ◦−−• e−zT · F (z).

(f¨ ur T ∈ R )

(Man beachte, dass f (t − T ) links vom Nullpunkt abgeschnitten werden muss!) 4. D¨ampfungssatz (Verschiebung im Bildbereich): e−ct · f (t) ◦−−• F (z + c).

(f¨ ur c ∈ C )

3.4

Anwendungen

Beweis:

173

1) ist trivial.

2) Ist a ∈ R, a > 0, so gilt: L[f (at)] =

∞

f (at)e

0

=

1 a

−zt

∞

1 dt = a

0

f (τ )e−(z/a)τ dτ =

0

∞

f (at)e−(z/a)at · a dt

1 z F ( ). a a

3) F¨ ur T ∈ R ist ∞ f (t − T )e−zt dt = f (τ )e−z(τ +T ) dτ 0 0 ∞ −zT = e · f (τ )e−zτ dτ = e−zT · F (z).

L[f (t − T )] =

∞

4) Schließlich ist L[e−ct f (t)] =

0

∞

f (t)e−(z+c)t dt = F (z + c).

0

3.4.24. Beispiele A. Als erstes betrachten wir die Sprungfunktion

0 f¨ ur t ≤ T σT (t) := 1 f¨ ur t > T.

Die Funktion H(t) :=

1 s

T 0 f¨ ur t ≤ 0 bezeichnet man als Heaviside-Funktion. 1 f¨ ur t > 0

Mit ihrer Hilfe kann man schreiben: σT (t) = H(t − T ). F¨ ur die Laplace-Transformation besteht kein Unterschied zwischen H und der Funktion 1. Also gilt: L[σT (t)] = L[H(t − T )] = e−zT · L[1] = B. Als n¨achstes betrachten wir den Rechteck-Impuls

1 f¨ ur 0 < t ≤ T πT (t) := 0 sonst.

1 −zT ·e . z

s

1 s

0 1 Es ist πT (t) = σ0 (t) − σT (t), also L[πT (t)] = (1 − e−zT ). z

T

3 Isolierte Singularit¨aten

174

Wir untersuchen jetzt, wie sich Diﬀerentiation im Originalbereich auswirkt.

3.4.25. Die Laplace-Transformierte der Ableitung f (t) sei = 0 f¨ ur t < 0 und diﬀerenzierbar f¨ ur t > 0, und f sei eine L-Funktion. Dann ist f eine st¨ uckweise stetige Funktion von h¨ochstens exponentiellem Wachstum, und mit F (z) := L[f (t)] gilt: f (t) ◦−−• z · F (z) − f (0+). Beweis:

Da f eine L-Funktion ist, existiert das (uneigentliche) Integral t t f (τ ) dτ = lim f (τ ) dτ = lim(f (t) − f (ε)), ε→0

0

ε

ε→0

und damit existiert auch f (0+) = lim f (ε) , und es ist 0

ε→0

t

f (τ ) dτ = f (t) − f (0+).

Weiterhin existiert nach Voraussetzung f¨ ur ein z0 = x0 + i y0 mit x0 > 0 das Integral ∞ f (τ )e−z0 τ dτ. 0

t

Also ist M (t) := 0

|f (t)e

−x0 t

|f (τ )|e−x0 τ dτ durch eine Konstante M > 0 beschr¨ankt und

t | = f (τ ) dτ + f (0+) · e−x0 t t0 ≤ |f (τ )|e−x0 τ dτ + |f (0+)e−x0 t | 0

ur 0 ≤ τ ≤ t) (denn es ist e−x0 t ≤ e−x0 τ ≤ 1 f¨ −x0 t , | ≤ M + |f (0+)| =: M = M (t) + |f (0+)e · ex0 t . Damit w¨achst f h¨ochstens exponentiell von der Ordnung x0 . also |f (t)| ≤ M · e−(x−x0 )t , und Ist x := Re(z) > x0 , so ist |f (t)e−zt | = |f (t)|e−x0 t · e−(x−x0 )t ≤ M dieser Ausdruck strebt f¨ ur t → ∞ gegen Null. Mit partieller Integration folgt nun: ∞ ∞ ∞ f (t)e−zt dt = f (t)e−zt − f (t)(−ze−zt ) dt L[f (t)] = 0 0 0 ∞ −zt f (t)e dt = −f (0+) + z · F (z). = −f (0+) + z · 0

Mit vollst¨andiger Induktion zeigt man leicht:

3.4

Anwendungen

175

3.4.26. Folgerung Sei f (t) f¨ ur t > 0 n-mal diﬀerenzierbar, und f (n) eine L-Funktion. Dann ist auch f eine L-Funktion, und f¨ ur die Laplace-Transformierte F (z) von f gilt: f (n) (t) ◦−−• z n · F (z) − z n−1 · f (0+) − z n−2 · f (0+) − . . . − f (n−1) (0+).

3.4.27. Beispiel Die Funktion f (t) = tn erf¨ ullt alle n¨otigen Voraussetzungen. Also ist 1 1 z L[tn−1 ] = L[( tn ) ] = (z · L[tn ] − 0) = · L[tn ] n n n

bzw. L[tn ] =

n n−1 L[t ]. z

Außerdem ist ∞ 1 ∞ 1 te−zt dt = t · (− e−zt ) + e−zt dt z z 0 0 0 1 1 −zt ∞ ur Re(z) > 0. = − 2 e = 2 , f¨ z z 0

L[t] =

∞

Also folgt aus der obigen Reduktionsformel: tn ◦−−•

n! . z n+1

Wir wollen uns nun mit der R¨ ucktransformation befassen. Sei f st¨ uckweise glatt und von h¨ochstens exponentiellem Wachstum: ur große t. |f (t)| ≤ M · eγt , f¨ Außerdem sei nat¨ urlich f (t) = 0 f¨ ur t < 0. Ist x > γ fest, aber beliebig gew¨ahlt, uckweise glatt und = 0 f¨ ur t < 0. Außerdem ist fx so ist auch fx (t) := e−xt f (t) st¨ (absolut) integrierbar, und f¨ ur die Fourier-Transformierte gilt: ∞ ∞ − i ωt fx (t)e dt = f (t)e−(x+ i ω)t dt = F (x + i ω), fx (ω) = −∞

0

wenn wir mit F (z) die Laplace-Transformierte von f bezeichnen. Weil fx die Voraussetzungen des Fourier-Integral-Theorems erf¨ ullt, folgt 1 1 (fx (t−) + fx (t+)) = C.H. 2 2π

∞

1 lim fx (ω)e i ωt dω = A→∞ 2π −∞

A

F (x + i ω)e i ωt dω.

−A

Verwendet man den parametrisierten Weg ω → γ(ω) := x + i ω, so erh¨alt man

3 Isolierte Singularit¨aten

176 ext 1 (f (t−) + f (t+)) = lim 2 2π A→∞

A

F (x + i ω)e i ωt dω

−A A

1 F (x + i ω)e(x+ i ω)t dω lim 2π A→∞ −A A 1 = F γ(ω) eγ(ω)t γ (ω) dω lim 2π i A→∞ −A x+ i A 1 F (z)ezt dz, lim = 2π i A→∞ x− i A =

Damit haben wir bewiesen:

3.4.28. Komplexe Umkehrformel Sei f : [0, ∞) → R st¨ uckweise stetig und von h¨ochstens exponentiellem Wachstum, F (z) die Laplace-Transformierte von f (t), mit α als Abszisse der absoluten Konvergenz. Dann ist x+ i ∞ 1 1 f (t−) + f (t+) = C.H. F (z)ezt dz. 2 2π i x− i ∞ Die Integration ist u ¨ber die Gerade {z | Re(z) = x} zu erstrecken, wobei x > α beliebig gew¨ahlt werden kann. Ist f in t stetig, so steht auf der linken Seite der Gleichung einfach nur der Wert f (t). Die komplexe Umkehrformel kann nur auf solche holomorphen Funktionen angewandt werden, die Laplace-Transformierte sind. Man kann sich nun fragen, ob jede Funktion, die auf einer rechten Halbebene holomorph ist, schon automatisch die Laplace-Transformierte einer geeigneten Urbildfunktion ist. Leider gilt das nicht, es lassen sich leicht Gegenbeispiele angeben. Das Problem, ein vollst¨andiges Kriterium daf¨ ur anzugeben, wann eine holomorphe Funktion eine Laplace-Transformierte ist, ist schwierig. Ein hinreichendes Kriterium liefert der folgende Satz:

3.4.29. Darstellbarkeitskriterium Sei F (z) in der Halbebene {z | Re(z) > x1 ≥ 0} holomorph und von der Gestalt F (z) =

c g(z) + , z α z 1+ε

mit 0 < α ≤ 1, ε > 0 und einer f¨ ur Re(z) ≥ x1 + δ, δ > 0, beschr¨ankten Funktion g. Dann ist F (z) die Laplace-Transformierte einer Funktion f (t). Auf den Beweis m¨ ussen wir hier verzichten.

3.4

Anwendungen

177

In der Praxis wird die R¨ ucktransformation meist mit Hilfe von Tabellen durchgef¨ uhrt. Aber auch der Residuenkalk¨ ul liefert eine gut handhabbare Methode. Sei F (z) eine meromorphe Funktion auf C, so dass z · F (z) f¨ ur z → ∞ beschr¨ankt bleibt. Dann ist F außerhalb einer gen¨ ugend großen Kreisscheibe holomorph, und es gibt dort eine Laurent-Entwicklung z · F (z) =

∞

αn z −n .

n=0

Also ist F (z) =

∞ 1 α0 + 2· αn+1 z −n , z z n=0

und das bedeutet nach dem Darstellbarkeitskriterium, dass F (z) eine LaplaceTransformierte ist. Ist F (z) holomorph in der Halbebene {z | Re(z) > x1 ≥ 0}, so erh¨alt man die Urbildfunktion f (t) durch die komplexe Umkehrformel: x+ i A 1 1 F (z)ezt dz. f (t−) + f (t+) = · lim 2 2π i A→∞ x− i A Um die rechte Seite auszuwerten, betrachten wir die folgende Figur:

η

s

ϕ1

s

x + iA σ

α

s

s

ϕ2

x − iA

Dabei sei σ(τ ) ϕ1 (τ ) ϕ2 (τ ) und η(τ )

:= := := :=

x + i τ, (−A ≤ τ ≤ A) (x − τ ) + i A, (0 ≤ τ ≤ x) τ − i A, (0 ≤ τ ≤ x) (π/2 ≤ τ ≤ 3π/2). Ae i τ ,

ugend großem A alle C := σ + ϕ1 + η + ϕ2 ist ein geschlossener Weg, der bei gen¨ Singularit¨aten von F (z) in seinem Inneren enth¨alt. Nach dem Residuensatz ist also

3 Isolierte Singularit¨aten

178 1 2π i

C

F (z)ezt dz =

resz (F (z)ezt ).

Re(z)≤x1

Wir k¨onnen die Werte von f aus den Residuen von F (z)ezt berechnen, wenn wir zeigen k¨onnen, daß die Integrale u ur A → ∞ verschwinden. ¨ber ϕ1 , ϕ2 und η f¨ Wir halten t fest. Bei den Wegen ϕi kommt es nicht auf den Durchlaufungssinn an. Daher gilt – wenn |z · F (z)| ≤ C ist – : x C x τt zt (τ ± i A)t F (z)e dz = F (τ ± i A)e dτ ≤ e dτ A 0 ϕi 0 C 1 τ t x C xt ·( e ) = (e − 1) → 0 (f¨ = ur A → ∞) A t At 0 Es ist η(τ ) = A cos τ + i A sin τ . Wir benutzen, dass der Cosinus symmetrisch zur Achse τ = π ist und dass cos τ ≤ 1 − (2/π)τ f¨ ur π/2 ≤ τ ≤ π ist. Dann folgt n¨amlich: (3π)/2 (3π)/2 F (z)ezt dz ≤ C · A · |eη(τ )t | dτ = C · eAt cos τ dτ A η π/2 π/2 π π At cos τ At e dτ ≤ 2C · e · e−(2At/π)τ dτ = 2C · π/2 π/2 π

π At −(2At/π)τ = 2Ce · − e 2At π/2

π At −2At −At = 2Ce · − −e ) (e 2At Cπ −At (1 − e ) → 0 (f¨ = ur A → ∞) At Damit haben wir bewiesen:

3.4.30. Umkehrformel mit Residuen Ist F (z) meromorph auf C und holomorph f¨ ur Re(z) > α und z · F (z) beschr¨ankt f¨ ur z → ∞, so ist F (z) die Laplace-Transformierte einer Funktion f (t), und es gilt: 1 f (t−) + f (t+) = resz (F (z)ezt ). 2 Re(z)≤α

Die Voraussetzungen des Satzes sind z.B. erf¨ ullt, wenn F (z) = P (z)/Q(z) ist, mit Polynomen P und Q und deg(Q) ≥ deg(P ) + 1. Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Diﬀerentialgleichungen mit konstanten Koeﬃzienten zu l¨osen.2 2 Man kann zeigen, dass die L¨osungen einer solchen Diﬀerentialgleichung von h¨ochstens exponentiellem Wachstum sind (vorausgesetzt, das triﬀt auf die Inhomogenit¨at“, also die rechte Seite ” zu!). Auf einen Beweis wollen wir hier nicht eingehen.

3.4

Anwendungen

179

Wir beginnen mit einer Diﬀerentialgleichung 1. Ordnung: y + ay = g(t),

mit Anfangsbedingung y(0) = A.

Man kann schrittweise vorgehen: 1. Laplace-Transformation Sei y(t) eine L¨osung, Y (z) := L[y(t)] und G(z) := L[g(t)]. Wendet man auf beide Seiten der DGL die Laplace-Transformation an, so erh¨alt man: (z · Y (z) − y(0)) + a · Y (z) = G(z), also (z + a) · Y (z) − A = G(z). 2. L¨ osung im Bildbereich Die gewonnene Gleichung wird nach Y (z) aufgel¨ost: Y (z) =

G(z) + A . z+a

3. Ru ¨ cktransformation Schließlich wird die Urbildfunktion y(t) zu Y (z) gesucht: y(t) = L−1 [

G(z) + A ]. z+a

Dabei k¨onnen verschiedene Methoden der R¨ ucktransformation zum Einsatz kommen. In der Praxis wird man es meist mit Tabellen versuchen. Bemerkung: Die allgemeine L¨osung der DGL setzt sich aus der allgemeinen L¨osung der zugeh¨origen homogenen Gleichung und einer partikul¨aren L¨osung der inhomogenen Gleichung zusammen. Das Verfahren der Laplace-Transformation liefert gleich die allgemeine L¨osung, in Abh¨angigkeit von den Anfangsbedingungen.

3.4.31. Beispiel Wir betrachten die DGL y +2y = 2t−4, mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. 1. Schritt: Laplace-Transformation! z · Y (z) − 1 + 2 · Y (z) = L[2t − 4] = 2/z 2 − 4/z. 2. Schritt: L¨osung im Bildbereich! (z + 2) · Y (z) − 1 = 2/z 2 − 4/z, 4 1 2 − + . also Y (z) = 2 z (z + 2) z(z + 2) z + 2

3 Isolierte Singularit¨aten

180

3. Schritt: R¨ ucktransformation: Hierf¨ ur ben¨otigen wir die folgenden Partialbruchzerlegungen: 1/(a − b) 1/(a − b) 1 = − (z − a)(z − b) z−a z−b und

1 1/a2 −1/a2 −1/a + = + . z 2 (z − a) z z2 z−a

Daraus folgt: 1 •−−◦ e−2t , z+2 1/2 1/2 1 1 = − •−−◦ (1 − e−2t ) z(z + 2) z z+2 2 1/4 1 −1/4 1/2 1 t 1 = + 2 + •−−◦ − + + e−2t . z 2 (z + 2) z z z+2 4 2 4

und

So erhalten wir Y (z) •−−◦ t −

1 3 −2t 5 7 + e − 2(1 − e−2t ) = t − + e−2t . 2 2 2 2

Als n¨achstes betrachten wir eine DGL 2. Ordnung: y + ay + by = g(t),

mit Anfangswerten y(0) = A und y (0) = B.

Auch hier gibt es die drei Schritte: 1. Laplace-Transformation: (z 2 · Y (z) − z · A − B) + a · (z · Y (z) − A) + b · Y (z) = G(z), also (z 2 + az + b) · Y (z) − (z + a)A − B = G(z). 2. L¨ osung im Bildbereich: 3. Ru ¨ cktransformation:

Y (z) =

G(z) + (z + a)A + B . z 2 + az + b

Hier k¨onnen alle Methoden zum Einsatz kommen.

3.4.32. Beispiel Wir betrachten die Diﬀerentialgleichung y + 4y = sin(ωt), f¨ ur ω = ±2. 1. Schritt: z 2 Y (z) − zA − B + 4Y (z) = L[sin(ωt)] =

z2

ω , + ω2

3.4

Anwendungen

also

181

(z 2 + 4)Y (z) =

ω z 2 +ω 2

+ zA + B.

2. Schritt (L¨ osung im Bildbereich): Y (z) =

ω (z 2

+

ω 2 )(z 2

+ 4)

+A·

z2

z 1 +B· 2 , f¨ ur Re(z) > 0. +4 z +4

3. Schritt: Die gesuchte L¨osung ist y(t) = ω · L−1 [

1 B ] + A cos(2t) + sin(2t). (z 2 + ω 2 )(z 2 + 4) 2

Es bietet sich die Residuen-Methode an. Weil ω 2 = 4 ist, hat F (z) :=

1 (z 2

+

ω2 )(z 2

+ 4)

4 verschiedene einfache Polstellen, n¨amlich z = ± i ω und z = ±2 i . Daher ist f (t) := L−1 [F (z)] = res i ω (F (z)ezt ) + res− i ω (F (z)ezt ) + res2 i (F (z)ezt ) + res−2 i (F (z)ezt ) 1 1 = · (−e i ωt + e− i ωt ) + · (e2 i t − e−2 i t ) 2 2 i ω(ω − 4) 4 i (ω 2 − 4) 1 1 · sin(ωt) + sin(2t) = − 2 2 ω(ω − 4) 2(ω − 4) ω sin(2t) − 2 sin(ωt) = 2ω(ω 2 − 4) und damit y(t) =

B ω sin(2t) − 2 sin(ωt) + A cos(2t) + sin(2t). 2 2(ω − 4) 2

4 Meromorphe Funktionen Wir haben bisher nicht allzu viele Beispiele von holomorphen Funktionen kennengelernt. Allerdings erweitert sich der Kreis erheblich, wenn man die meromorphen Funktionen einbezieht, die ja auch nur holomorphe Funktionen sind, deren Deﬁnitionsbereich gewisse isolierte L¨ ucken aufweist. Und bei Ann¨aherung an diese L¨ ucken zeigen die meromorphen Funktionen ein so eindeutiges Verhalten, dass es sich lohnt, den Holomorphiebegriﬀ auf Polstellen zu erweitern. Zur Konstruktion neuer holomorpher oder meromorpher Funktionen benutzt man gerne Folgen oder Reihen von holomorphen Funktionen. Da solche Folgen ein ganz besonders angenehmes Konvergenzverhalten besitzen, wie die Theorie der norma” len Familien“ zeigt, gelangt man zu verbl¨ uﬀenden Existenzaussagen. Holomorphe Funktionen lassen sich zu vorgegebenen Nullstellen und meromorphe Funktionen zu vorgegebenen Polstellen konstruieren, und zwar erstaunlich explizit. Das besagen der Produktsatz von Weierstraß und der Satz von der Mittag-Leﬄer’schen Partialbruchzerlegung. Die so gewonnenen Methoden liefern neue, interessante Beispiele, darunter die Gamma-Funktion und die Klasse der elliptischen Funktionen.

4.1

Holomorphie im Unendlichen

F¨ ur einen reibungslosen Umgang mit Polstellen erweist es sich als ein h¨ochst n¨ utzlicher Kunstgriﬀ, die komplexe Ebene um einen unendlich fernen Punkt zu erweitern. Warum man – im Gegensatz zur Situation in R, wo man die Werte −∞ und +∞ braucht – im Komplexen mit einem einzigen Punkt auskommt und was diese Erweiterung bedeutet, zeigt die stereographische Projektion. Die schon mehrfach benutzten M¨obius-Transformationen erweisen sich dann als die nat¨ urlichen Automorphismen der durch Unendlich abgeschlossenen Ebene. Und sie liefern auch Automorphismen vieler anderer Gebiete. Im letzten Kapitel, in der geometrischen Funktionentheorie, werden wir ihnen erneut begegnen. Eine meromorphe Funktion zeigt in der N¨ahe einer Polstelle ein recht eindeutiges Werteverhalten. Um ihr in der Polstelle selbst einen Wert zuordnen zu k¨onnen, m¨ ussen wir aber noch zu C einen unendlich fernen Punkt hinzuf¨ ugen, und das geht folgendermaßen: Wir w¨ahlen ein festes Objekt, das wir mit ∞ bezeichnen und das nicht zu C geh¨ort. Dann setzen wir C := C ∪ {∞}. Um festzulegen, in welcher Beziehung ∞ zum Rest der komplexen Zahlenebene steht, wird der Begriﬀ der ε-Umgebung in C deﬁniert:

4.1

Holomorphie im Unendlichen

183

1. Ist z0 sogar ein Punkt von C, so versteht man unter einer ε-Umgebung von z0 wie u ¨blich eine Menge der Gestalt Uε (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < ε}. 2. Unter einer ε-Umgebung von ∞ versteht man eine Menge der Gestalt Uε (∞) = {z ∈ C : |z| > 1/ε} ∪ {∞}. Sei M ⊂ C eine beliebige Teilmenge. Ein Punkt z0 ∈ M heißt innerer Punkt von M , falls ein ε > 0 existiert, so dass Uε (z0 ) ganz in M enthalten ist. Die Menge M wird oﬀen (in C) genannt, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht. Jede in C oﬀene Menge ist dann auch oﬀen in C.

4.1.1. Satz C ist ein kompakter Hausdorﬀ ’scher topologischer Raum. Beweis:

Dass die leere Menge und ganz C oﬀen sind, ist oﬀensichtlich. Sei (Mι )ι∈I ein beliebiges System von oﬀenen Mengen und z0 ∈ ι Mι . Dann gibt es ein ι0 ∈ I, so dass z0 in Mι0 liegt. Aber dann ist z0 innerer Punkt von Mι0 und damit erst recht von ι Mι . Also sind Vereinigungen von oﬀenen Mengen wieder oﬀen. Schließlich seien M1 , . . . , Mn oﬀen und z0 ein Punkt von M1 ∩. . .∩Mn . Da z0 innerer Punkt von jeder der Mengen Mi ist, gibt es Zahlen εi > 0, so dass Uεi (z0 ) ⊂ Mi ist. Sei ε := min(ε1 , . . . , εn ). Ist z0 ∈ C und z ∈ Uε (z0 ), so ist |z − z0 | < ε ≤ εi f¨ ur i = 1, . . . , n und daher z ∈ Uε1 (z0 ) ∩ . . . ∩ Uεn (z0 ) ⊂ M1 ∩ . . . ∩ Mn . Ist z0 = ∞ und z ∈ Uε (∞), so ist z = ∞ oder z ∈ C und |z| > 1/ε ≥ 1/εi f¨ ur i = 1, . . . , n, also auch in diesem Falle z ∈ Uε1 (z0 ) ∩ . . . ∩ Uεn (z0 ) ⊂ M1 ∩ . . . ∩ Mn . Damit ist klar, dass M1 ∩ . . . ∩ Mn oﬀen ist. Als n¨achstes wollen wir zeigen, dass die Hausdorﬀ-Eigenschaft erf¨ ullt ist. Seien also z0 und w0 zwei Punkte in C mit z0 = w0 . a) Liegen beide Punkte in C, so gibt es oﬀensichtlich disjunkte Umgebungen dieser Punkte in C. b) Sei z0 = ∞ und w0 ∈ C. Wir w¨ahlen ein positives ε < 1 und setzen δ :=

1 . |w0 | + 1

Wir nehmen an, es gibt einen Punkt z ∈ Uε (w0 ) ∩ Uδ (∞). Dann ist z = ∞ und |z − w0 | < ε und |z| > 1/δ = |w0 | + 1, also |z| = |(z − w0 ) + w0 | ≤ |z − w0 | + |w0 | < ε + |w0 | < 1 + |w0 | = 1/δ < |z|. Das ist ein Widerspruch.

4 Meromorphe Funktionen

184

Wir m¨ ussen noch zeigen, dass C kompakt ist. Ein Hausdorﬀ-Raum heißt kompakt, ¨ falls jede oﬀene Uberdeckung des Raumes eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. ¨ von C. Dann gibt es ein ι0 ∈ I, so dass Sei also (Uι )ι∈I eine oﬀene Uberdeckung ∞ ∈ Uι0 ist, und es gibt ein ε > 0 mit {z ∈ C : |z| > 1/ε} ⊂ Uι0 . F¨ ur ι ∈ I sei Uι := Uι \ {∞}. Da in dem Hausdorﬀ-Raum C jede einpunktige Menge abgeschlossen ist, sind die Uι oﬀen. Insbesondere bildet (Uι )ι∈I eine oﬀene ¨ Uberdeckung der kompakten Menge K := {z ∈ C : |z| ≤ 1/ε} in C. Ist I0 ⊂ I ¨ endlich, so dass schon (Uι )ι∈I0 eine Uberdeckung von K ist, so stellt {Uι : ι ∈ I0 } ∪ {Uι0 } ¨ eine endliche oﬀene Uberdeckung von C dar. Das ist ein seltsames und u ¨berraschendes Ergebnis! C selbst ist weit davon entfernt, kompakt zu sein. F¨ ugt man aber noch einen einzigen Punkt hinzu, so entsteht ein kompakter Raum. Um das besser zu verstehen, geben wir eine anschauliche Deutung f¨ ur C. n

r

x

C

S

r

ϕ(x)

r

Sei S := S 2 = {(z, h) ∈ C × R : |z|2 + h2 = 1} die Sph¨are im R3 , n := (0, 1) ∈ S der Nordpol“. Dann wird die stereographische Projektion ϕ : S \ {n} → C ” folgendermaßen deﬁniert: Ist x0 = (z0 , h0 ) ∈ S \ {n}, so triﬀt der Strahl, der von n ausgeht und bei x0 die Sph¨are S durchst¨oßt, die komplexe Ebene in einem Punkt w0 = ϕ(x0 ). h sn s s

1

x0 = (z0 , h0 )

h0

z0

s

w0 = ϕ(x0 )

z

s

Die Punkte z0 und w0 = ϕ(z0 , h0 ) liegen auf dem gleichen (von 0 ausgehenden) Strahl in C. Also muss w0 = λz0 sein, mit einem reellen Faktor λ > 0.

4.1

Holomorphie im Unendlichen

185

Wir unterscheiden zwei F¨alle: Ist h0 > 0, so ist z0 = 0, λ > 1, und nach dem Strahlensatz besteht das Verh¨altnis h0 : 1 = |w0 − z0 | : |w0 |. Also ist h0 = (λ − 1)/λ, und daher λ = 1/(1 − h0 ). Ist −1 < h0 < 0, so ist ebenfalls z0 = 0 und 0 < λ < 1, und man kommt zum gleichen Ergebnis. Schließlich ist ϕ(0, −1) = 0. Somit ist die stereographische Projektion gegeben durch ϕ(z, h) =

1 · z. 1−h

Diese Abbildung ist sogar bijektiv! Ist n¨amlich w ∈ C, so ist der Strahl, der von n aus durch w geht, gegeben durch die Menge {t · (w, 0) + (1 − t) · (0, 1) : t ≥ 0} = {(tw, 1 − t) ∈ C × R : t ≥ 0}. Es gibt genau ein t > 0 mit |tw|2 + (1 − t)2 = 1, n¨amlich t = 2/(|w|2 + 1). Bei diesem Parameter triﬀt der Strahl die Sph¨are im Punkt 2w |w|2 − 1 ϕ−1 (w) = , . |w|2 + 1 |w|2 + 1 ϕ und ϕ−1 sind beides stetige Abbildungen. N¨ahert sich x = (z, h) ∈ S dem Nordpol (0, 1), so wandert ϕ(x) immer weiter ins Unendliche, denn es ist |ϕ(z, h)|2 =

|z|2 1 − h2 1+h = = . 2 2 (1 − h) (1 − h) 1−h

Wir wollen sehen, dass man ϕ zu einer stetigen Abbildung ϕ : S → C fortsetzen kann, mit ϕ(n) = ∞. Dazu m¨ ussen wir etwas weiter ausholen. Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Funktion f : G → C ist genau dann in z0 ∈ G stetig, falls gilt: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, so dass f¨ ur z ∈ G gilt: |z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε. Diese Bedingung l¨asst sich nicht w¨ortlich auf beliebige topologische R¨aume u ¨bertragen, kann aber leicht wie folgt umformuliert werden: Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen R¨aumen ist genau dann in x0 ∈ X stetig, wenn es zu jeder Umgebung V = V (f (x0 )) eine Umgebung U = U (x0 ) mit f (U ) ⊂ V gibt. Wir testen das anhand der Inversion I ⎧ ⎨ 1/z ∞ I(z) := ⎩ 0

: C → C mit falls z ∈ C, z = 0 falls z = 0, falls z = ∞.

4 Meromorphe Funktionen

186

Sei V eine Umgebung von ∞ in C. Dann gibt es ein ε > 0, so dass {z ∈ C : |z| > 1/ε} ⊂ V ist. Sei nun z ∈ U := Dε (0). Dann ist |I(z)| = 1/|z| > 1/ε, also ¨ I(U ) ⊂ V . Damit ist die Inversion stetig in ∞. Ahnlich kann man zeigen, dass sie auch im Nullpunkt stetig ist. Kehren wir zur stereographischen Projektion zur¨ uck. Wir wollen zeigen: Zu jedem δ > 0 gibt es ein ε > 0, so dass f¨ ur (z, h) ∈ S mit 1 − h < ε ist |ϕ(z, h)| > 1/δ. Ist δ vorgegeben, so setzen wir ε := damit δ 2 >

1−h , also 1+h

2δ 2 1 − δ2 . Ist 1 − h < ε, so ist h > und 1 + δ2 1 + δ2

1+h = |ϕ(z, h)|. 1−h

stetig in (0, 1). Das bedeutet, dass ϕ {(z, h) : h > 1 − ε} ⊂ Uδ (∞) ist, also ϕ 1 < δ

4.1.2. Satz Sei f : X → Y eine stetige und bijektive Abbildung zwischen kompakten R¨aumen. Dann ist auch f −1 : Y → X stetig, also f ein Hom¨oomorphismus. Beweis: Ist A ⊂ X abgeschlossen, so ist A (in der von X induzierten Relativto¨ pologie1 ) kompakt. Das sieht man so: Sei (Uι )ι∈I eine oﬀene Uberdeckung von A. ¨ Nimmt man noch X \ A hinzu, so erh¨alt man eine oﬀene Uberdeckung von X. Weil X kompakt ist, gibt es dazu eine endliche Teil¨ uberdeckung und damit oﬀensichtlich auch eine endliche Teil¨ uberdeckung von A. Das stetige Bild der kompakten Menge A ist wieder kompakt. Ist n¨amlich (Vι )ι∈I ¨ eine oﬀene Uberdeckung von f (A), so bilden die Mengen Uι := f −1 (Vι ) eine oﬀene ¨ Uberdeckung von A. Weil A kompakt ist, kommt man mit endlich vielen Uι aus, ¨ etwa U1 , . . . , UN . Dann ist V1 , . . . , VN die gesuchte endliche Uberdeckung von f (A). Als kompakte Menge ist f (A) in Y abgeschlossen. Dazu betrachten wir einen beliebigen Punkt x0 ∈ Y \ f (A). Weil Y ein Hausdorﬀraum ist, gibt es zu jedem x ∈ f (A) oﬀene Umgebungen Ux von x und Vx von x0 mit Ux ∩ Vx = ∅. Man kann endlich viele Punkte x1 , . . . , xk ∈ f (A) ﬁnden, so dass die Umgebungen Uxi schon f (A) u ¨berdecken, und dann ist V := Vx1 ∩ . . . ∩ Vxk eine oﬀene Umgebung von x0 in Y \ f (A). Da x0 beliebig war, folgt daraus, dass Y \ f (A) oﬀen ist. Wir haben gezeigt, dass f abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet, also auch oﬀene Mengen auf oﬀene. Das bedeutet, dass f −1 stetig ist. Nun folgt: Die stereographische Projektion ϕ : S 2 → C ist ein Hom¨oomorphismus. Man nennt C deshalb auch die Riemann’sche Zahlenkugel. Topologisch stimmt die Zahlenkugel mit der Oberﬂ¨ache einer Kugel im R3 u ¨berein, und C mit der Kugeloberﬂ¨ache ohne Nordpol. 1

⊂ X mit M ∩ A = M gibt. M ⊂ A heißt oﬀen, wenn es eine oﬀene Menge M

4.1

Holomorphie im Unendlichen

187

Und die Beziehung zwischen der Sph¨are S 2 und der Riemann’schen Zahlenkugel geht noch weiter:

4.1.3. Satz Die stereographische Projektion bildet Kreise auf S 2 auf Kreise oder Geraden in C ab. Beweis:

Ein Kreis auf S = S 2 ist der Durchschnitt von S mit einer Ebene E := {(z, h) ∈ C × R | cz + cz + h + σ = 0},

mit (c, ) = (0, 0). Der Abstand der Ebene E vom Ursprung ist die Zahl d :=

|σ| 4cc + 2

.

Damit E und S sich tats¨achlich in einem Kreis treﬀen, muss d < 1 sein, also σ 2 − 2 < 4cc. ur (z, h) ∈ S ∩ E Setzt man nun α := (σ + )/2 und δ := (σ − )/2, so ist αδ < cc. F¨ und w := ϕ(z, h) gilt dann: cz cz 1+h + + +δ 1−h 1−h 1−h 1 = · (α(1 + h) + cz + cz + δ(1 − h)) 1−h 1 · (cz + cz + (α − δ)h + (α + δ)) = 1−h 1 = · (cz + cz + h + σ) = 0. 1−h

αww + cw + cw + δ = α

Die Punkte w liegen nach Lemma 1.5.1 auf einem Kreis oder einer Geraden. Die Ebene E geht genau dann durch den Nordpol (0, 1), wenn + σ = 0 ist. Dann ist auch α = 0, die Bildmenge also eine Gerade (die man auch als Kreis“ durch den ” unendlich fernen Punkt auﬀassen kann). Umgekehrt folgt genauso, dass das Urbild eines Kreises oder einer Geraden wieder ein Kreis auf S 2 ist. Wir besch¨aftigen uns nun noch einmal mit den (gebrochen) linearen Transformationen oder M¨obius-Transformationen: T (z) :=

az + b , cz + d

ad − bc = 0.

Die Transformation T ist f¨ ur alle z = −d/c deﬁniert und stetig und bildet Kreise und Geraden wieder auf Kreise oder Geraden ab (Satz 1.5.2). Außerdem kann man T als stetige Abbildung T : C → C auﬀassen, mit

4 Meromorphe Funktionen

188

−d/c → ∞

und

∞ → a/c,

denn I ◦ T (−d/c) = 0 und T ◦ I(w) = (bw + a)/(dw + c), also T ◦ I(0) = a/c. Ein Punkt z0 ∈ C heißt Fixpunkt von T , falls T (z0 ) = z0 ist. Wir wollen jetzt die M¨obius-Transformationen nach der Anzahl ihrer Fixpunkte klassiﬁzieren. Sei also T (z) = (az + b)/(cz + d) eine nicht konstante M¨obius-Transformation. 1. Ist T aﬃn-linear, T (z) = az + b = idC , so ist der unendlich ferne Punkt ein Fixpunkt. Ist auch noch a = 1, so liegt eine Translation vor und die Abbildung hat keinen weiteren Fixpunkt. Ist a = 1, so stellt z = −b/(a − 1) einen weiteren Fixpunkt dar. Mehr gibt es nicht. 2. Ist c = 0, so ist T (∞) = a/c, also ∞ kein Fixpunkt! Es gilt T (z) = z genau ur eine quadratische Gleichung dann, wenn cz 2 +(d−a)z−b = 0 ist, und da es f¨ h¨ochstens zwei verschiedene L¨osungen gibt, hat T h¨ochstens zwei Fixpunkte in C.

4.1.4. Folgerung 1. Sei T eine lineare Transformation mit mehr als zwei Fixpunkten. Dann ist T = idC . 2. Seien z1 , z2 , z3 ∈ C paarweise verschieden. Dann ist T durch die Bilder T (zi ), i ∈ {1, 2, 3} eindeutig festgelegt. Beweis:

1) ist klar!

2) Sei S(zi ) = T (zi ) f¨ ur i = 1, 2, 3. Dann ist auch S −1 T eine lineare Transformation, hat aber mindestens drei Fixpunkte. Also muss S = T sein! Man kann sogar zu drei beliebigen Punkten und drei vorgegebenen Bildern die passende lineare Transformation konkret bestimmen. Dazu suchen wir zun¨achst zu beliebigen, paarweise verschiedenen Punkten z1 , z2 , z3 eine M¨obius-Transformation T mit T (z1 ) = 0, T (z2 ) = 1 und T (z3 ) = ∞. Eine ¨ leichte Uberlegung ist, dass z − z1 T (z) = z − z3 schon die Punkte z1 und z3 richtig abbildet. Allerdings ist T (z2 ) =

z2 − z1 . z2 − z3

Dividieren wir T (z) noch durch diesen Bruch, so erhalten wir die gew¨ unschte Transformation.

4.1

Holomorphie im Unendlichen

Deﬁnition

189

(Doppelverh¨ altnis)

Als Doppelverh¨altnis der Punkte z, z1 , z2 , z3 bezeichnen wir die Gr¨oße DV (z, z1 , z2 , z3 ) :=

z − z1 z2 − z1 : . z − z3 z2 − z3

Bemerkung: Ist einer der ausgew¨ahlten Punkte gleich Unendlich, so vereinfacht sich die Formel. Im Falle z1 = ∞ gilt z.B. DV (z, ∞, z2 , z3 ) = Der fehlende Bruch Unendlich geht.

z − z1 (z/z1 ) − 1 = z2 − z1 (z2 /z1 ) − 1

z2 − z3 . z − z3 geht gegen Eins, wenn z1 nach

4.1.5. Lineare Transformationen mit vorgegebenen Werten Sind z1 , z2 , z3 und w1 , w2 , w3 jeweils paarweise verschieden, so gibt es genau eine gebrochen lineare Transformation T mit T (zi ) = wi f¨ ur alle i ∈ {1, 2, 3}. Beweis: Sei T1 (z) := DV (z, z1 , z2 , z3 ) und T2 (z) := DV (z, w1 , w2 , w3 ). Dann erf¨ ullt die Verkettung T (z) := T2−1 ◦ T1 (z) die Forderung. Dass die Transformation T eindeutig bestimmt ist, haben wir schon gesehen.

4.1.6. Bestimmung von Kreisen und Geraden Seien z1 , z2 , z3 ∈ C. Ein Punkt z ∈ C liegt genau dann auf der durch z1 , z2 , z3 bestimmten Kreislinie (alle zi ∈ C) oder Geraden (ein zi = ∞), falls das Doppelverh¨altnis DV (z, z1 , z2 , z3 ) eine reelle Zahl oder der unendlich ferne Punkt ist. Beweis: Sei T (z) = DV (z, z1 , z2 , z3 ), K die Gerade oder Kreislinie durch die zi . Dann ist T (K) Kreis oder Gerade durch 0, 1 und Unendlich, also T (K) = R∪{∞}, und damit ist z ∈ K genau dann, wenn T (z) reell ist oder Unendlich.

4.1.7. Folgerung Das Gebiet G ⊂ C werde von einer Geraden oder einer Kreislinie berandet. Dann gibt es eine lineare Transformation T mit T (G) = H = {z ∈ C : Im z > 0}

(obere Halbebene, vgl. 1.5.4).

4 Meromorphe Funktionen

190

Beweis: Es gibt eine lineare Transformation T , die ∂G auf R ∪ {∞} abbildet. Weil ∂G und R ∪ {∞} die Zahlenkugel C jeweils in zwei disjunkte Gebiete zerlegen, ist T (G) entweder die obere Halbebene H oder die untere Halbebene −H. Im letzteren Falle schaltet man noch die Abbildung z → −z dahinter.

4.1.8. Beispiel 1+z ) bildet −1 auf 0, − i auf 1 und 1 auf ∞ ab, 1−z sowie 0 auf i . Daher ist C(z) = DV (z, −1, − i , 1), und weil −1, − i und 1 alle auf ∂D1 (0) liegen, bildet C die Einheitskreislinie ∂D1 (0) auf R ∪ {∞} ab. Weil C(0) = i ist, ist C(D1 (0)) = H. Man nennt C die Cayley-Abbildung. Die Abbildung C(z) := i (

Die Umkehrabbildung C −1 (w) = (w − i )/(w + i ) Abschnitt 1.5. kennengelernt.

haben wir schon in

4.1.9. M¨ obius-Transformationen der oberen Halbebene az + b bildet genau dann H bijektiv auf sich cz + d ab, wenn a, b, c, d reell sind und ad − bc > 0 ist. Eine lineare Transformation T (z) =

Beweis: T bildet genau dann H auf sich ab, wenn R ∪ {∞} auf sich und i nach H abgebildet wird. Nun ist a i + b ad − bc . = 2 Im T ( i ) = Im ci + d c + d2 Also liegt T ( i ) genau dann in H, wenn ad − bc > 0 ist. a) Sei T (H) = H. Werden die Punkte z1 , z2 , z3 auf 0, 1 und ∞ abgebildet, so liegen z1 , z2 , z3 in ∂H und m¨ ussen reell oder = ∞ sein. Weil T (z) = DV (z, z1 , z2 , z3 ) ist und a, b, c, d rationale Ausdr¨ ucke in z1 , z2 , z3 sind, m¨ ussen auch die Koeﬃzienten a, b, c, d reell sein. b) Sind umgekehrt a, b, c, d reell, so wird R ∪ {∞} nach R ∪ {∞} abgebildet.

Deﬁnition Die Gruppe aller biholomorphen Abbildungen eines Gebietes G auf sich nennt man die Automorphismengruppe von G. Wir bezeichnen sie kurz mit Aut(G). Ist ϕ : G1 → G2 biholomorph, so induziert ϕ durch f → ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 einen Isomorphismus von Aut(G1 ) auf Aut(G2 ). Wir wollen die Automorphismengruppen einiger Gebiete bestimmen. Um auch Geussen wir erst mal kl¨aren, was Holomorphie im biete in C behandeln zu k¨onnen, m¨ Unendlichen bedeutet. Wir benutzen dazu die Inversion I(z) = 1/z.

4.1

Holomorphie im Unendlichen

Deﬁnition

191

(Holomorphie im Unendlichen)

Sei U ⊂ C oﬀen, ∞ ∈ U . Eine Funktion f : U → C heißt holomorph (bzw. meromorph) im Unendlichen, falls f ◦I im Punkt z = 0 holomorph (bzw. meromorph) ist. Mit O(U ) sei die Menge der holomorphen Funktionen auf U bezeichnet. Bemerkung: Eine in ∞ holomorphe Funktion f : U → C ist dort stetig. ¨ Uber die Herkunft des Symbols O(U ) f¨ ur die Menge der holomorphen Funktionen darf ger¨atselt werden. Vom o“ im Wort holomorph“ (bei dem das h“ am An” ” ” fang in Frankreich nicht ausgesprochen wird), bis hin zum Anfangsbuchstaben des japanischen Funktionentheoretikers Oka gibt es die unterschiedlichsten Deutungen.

4.1.10. Satz Jede auf C holomorphe Funktion ist konstant. die stereographische Projektion. Dann ist |f ◦ ϕ| Beweis: Sei f ∈ O(C) und ϕ 2 stetig auf der kompakten Sph¨are und nimmt in einem Punkt x0 ∈ S ein globales Maximum an. Aber dann nimmt auch |f | auf C sein Maximum in z0 = ϕ(x 0 ) an. Ist z0 in C, so liefert das Maximumprinzip, dass f konstant auf ganz C ist. Ist z0 = ∞, so ist f auf C beschr¨ankt, und der Satz von Liouville liefert das gleiche Ergebnis. Also ist f in jedem Fall auf C konstant, und aus Stetigkeitsgr¨ unden dann auch auf C.

4.1.11. Satz Jede auf C meromorphe Funktion ist rational, d.h. Quotient zweier Polynome. Beweis: Sei f meromorph auf C, Pf die Polstellenmenge von f . Dann ist Pf diskret, wegen der Kompaktheit von C also endlich. Es seien z1 , . . . , zN alle Polstellen von f im Endlichen. F¨ ur jedes μ sei hμ (z) der Hauptteil der Laurent-Entwicklung von f um zμ . Dann ist hμ rational und holomorph auf C \ {zμ }. p(z) := f (z) −

N

hμ (z)

μ=1

ist holomorph auf C, hat aber eventuell noch einen Pol in Unendlich. In C kann p ∞ aber in eine Potenzreihe entwickelt werden: p(z) = an z n f¨ ur alle z aus C. Um p n=0

in der N¨ahe von Unendlich zu untersuchen, m¨ ussen wir p ◦ I bilden und nahe Null untersuchen. ∞ an z −n . p ◦ I(z) = a0 + n=1

Es liegt genau dann ein Pol oder eine hebbare Singularit¨at im Nullpunkt vor, wenn ab einem n0 alle an verschwinden, wenn also p ein Polynom ist. Damit folgt:

4 Meromorphe Funktionen

192

f (z) = p(z) +

N

hμ (z)

μ=1

ist eine rationale Funktion. Ist G ⊂ C ein Gebiet und f meromorph auf G, so kann man f zu einer Abbildung f : G → C fortsetzen, indem man f(z) = ∞ f¨ ur jedes z aus Pf setzt. Da f (z) bei Ann¨aherung an eine Polstelle gegen Unendlich strebt, ist f als Abbildung nach C stetig. Anders ausgedr¨ uckt: Die meromorphen Funktionen auf einem Gebiet G sind die stetigen Funktionen von G nach C, die außerhalb einer diskreten Menge holomorph sind.

4.1.12. Die Automorphismen der komplexen Ebene Aut(C) besteht genau aus den aﬃn-linearen Abbildungen T (z) = az + b mit a = 0. Beweis: Ist f ∈ Aut(C), so ist f eine nicht-konstante ganze Funktion, die in ∞ eine isolierte Singularit¨at besitzt. 1. W¨are die Singularit¨at hebbar, so w¨are f beschr¨ankt und nach Liouville konstant. Das kann nicht sein! 2. W¨are die Singularit¨at wesentlich, so w¨are das Bild der (gelochten) Umgebung U := C \ D1 (0) von ∞ nach Casorati-Weierstraß dicht in C. Andererseits folgt aus der Injektivit¨at von f , dass die Gebiete f (D1 (0)) und f (C \ D1 (0)) disjunkt sein m¨ ussen. Das ist ein Widerspruch! Also liegt in z = ∞ eine Polstelle vor. Die Laurent-Entwicklung von f (1/z) im Nullpunkt hat die Gestalt f

1 cn cn−1 c1 = n + n−1 + · · · + + g(z), z z z z

wobei cn = 0 und g eine holomorphe Funktion auf einer Umgebung U = U (0) ist. Man nennt das Polynom H(w) := cn wn + cn−1 wn−1 + · · · + c1 w den Hauptteil von f in ∞. Auf einer gelochten Umgebung V = V (∞) ist f (w) = H(w) + g(1/w), wobei die Funktion w → g(1/w) in w = ∞ eine hebbare Singularit¨at besitzt. Also ist f − H eine ganze Funktion mit einer hebbaren Singularit¨at im Unendlichen und damit eine Konstante c0 . Mit dem Identit¨atssatz folgt, dass f ein Polynom vom Grad n ist. Angenommen, es ist n > 1. Dann besitzt f entweder zwei verschiedene Nullstellen (was der Injektivit¨at widerspricht), oder es gibt ein z0 ∈ C, in dem f eine Nullstelle der Ordnung n > 1 besitzt. Dann gibt es in der N¨ahe von z0 eine Darstellung

4.1

Holomorphie im Unendlichen

193

f (z) = (z −z0 )n ·h(z), mit einer holomorphen Funktion h und h(z0 ) = 0. Lokal kann man aus h eine holomorphe n-te Wurzel η ziehen. Setzt man ϕ(z) := (z − z0 ) · η(z), so ist ϕ lokal injektiv (weil ϕ (z0 ) = η(z0 ) = 0 ist), ϕ(z0 ) = 0 und f (z) = ϕ(z)n . Da die Funktion w → w n in der N¨ahe des Nullpunktes jeden Wert n-mal annimmt, kann f nicht injektiv sein. Das zeigt, dass f ein Polynom vom Grad ≤ 1 ist, also eine aﬃn-lineare Funktion.

4.1.13. Satz Aut(C) ist genau die Gruppe der M¨obius-Transformationen. Beweis: Sei T ∈ Aut(C). Ist T (∞) = ∞, so liegt T sogar in Aut(C) und ist damit aﬃn-linear. Sei nun T (∞) = c ∈ C. Dann liegt S(z) := 1/(z − c) in Aut(C), genauso wie H := S ◦ T . Es ist aber H(∞) = ∞, also H aﬃn-linear. Damit ist klar, dass T = S −1 ◦ H eine M¨obius-Transformation ist. Bevor wir versuchen, die Automorphismengruppe des Einheitskreises D := D1 (0) zu berechnen, beweisen wir einen ¨außerst n¨ utzlichen Satz u ¨ber holomorphe Funktionen auf D.

4.1.14. Schwarz’sches Lemma Sei f : D → D holomorph und f (0) = 0. Dann ist |f (z)| ≤ |z| f¨ ur alle z ∈ D, und daher |f (0)| ≤ 1. ur ein z0 = 0, so ist f (z) = e i λ · z mit Ist sogar |f (0)| = 1 oder |f (z0 )| = |z0 | f¨ einem festen λ ∈ R. Beweis:

Die Funktion

g(z) :=

f (z)/z f¨ ur z = 0 f (0) f¨ ur z = 0

ist oﬀensichtlich holomorph auf D. Sei nun 0 < r < 1. Nach dem Maximumprinzip ist 1 ur |z| ≤ r. |g(z)| ≤ max |g(ζ)| ≤ f¨ ∂Dr (0) r L¨asst man r gegen 1 gehen, so erh¨alt man |g(z)| ≤ 1 auf D. Daraus ergeben sich die ersten beiden Behauptungen. ur ein z0 = 0, so ist |g(z)| = 1 f¨ ur ein z ∈ D. Ist |f (0)| = 1 oder |f (z0 )| = |z0 | f¨ Dann hat g in z ein lokales Maximum, und nach dem Maximumprinzip muss g auf D konstant (vom Betrag 1) sein. Daraus folgt die letzte Behauptung.

4 Meromorphe Funktionen

194

4.1.15. Die Automorphismen des Einheitskreises Sei f ∈ Aut(D), f (α) = 0. Dann gibt es ein θ mit f (z) = e i θ ·

Beweis:

F¨ ur α ∈ D sei Tα (z) :=

z−α . 1 − αz

z−α . 1 − αz

Dann ist Tα eine M¨obius-Transformation, die in z = 1/α nicht deﬁniert ist. Ist |z| = 1, so ist auch

1 z − α |Tα (z)| = · = 1. z z−α

ur z ∈ D, also Tα (D) ⊂ D. Nach Nach dem Maximumprinzip ist dann |Tα (z)| ≤ 1 f¨ dem Satz von der Gebietstreue folgt sogar, dass Tα (D) ⊂ D ist. Man rechnet nun leicht nach, dass Tα (−Tα (−z)) = z ist. Das bedeutet, dass Tα ein Automorphismus von D ist. Jetzt sei f ∈ Aut(D) beliebig, mit f (α) = 0. Dann ist auch g := f ◦ Tα−1 ∈ Aut(D), und es ist g(0) = 0. Aus dem Schwarz’schen Lemma folgt, dass |g(z)| ≤ |z| ist, und weil man das Lemma auch auf g −1 anwenden kann, gilt sogar die Gleichheit. Aber daraus folgt wiederum, dass g(z) = e i θ z ist, f¨ ur ein geeignetes θ. Damit ist f (z) = e i θ · Tα (z).

4.1.16. Folgerung (u ¨ ber die Automorphismen von H) az + b mit a, b, c, d ∈ R und ad − bc > 0 bilden die cz + d Automorphismengruppe von H. Die Transformationen T (z) =

Beweis: Ist ϕ ein Automorphismus von H und C : D → H die Cayley-Abbildung, so ist C −1 ◦ ϕ ◦ C : D → D ein Automorphismus des Einheitskreises, also eine M¨obius-Transformation. Damit m¨ ussen auch alle Automorphismen von H M¨obiusTransformationen sein. Mit 4.1.9 folgt die Behauptung.

4.1.17. Folgerung Die Abbildung z →

z2 − i bildet den ersten Quadranten biholomorph auf D ab. z2 + i

Das ist klar, denn z → z 2 bildet den ersten Quadranten biholomorph auf die obere Halbebene ab, und die Abbildung f (z) := (z − i )/(z + i ) bildet H biholomorph

4.1

Holomorphie im Unendlichen

195

auf D ab. Man erh¨alt auf diesem Wege auch die Automorphismengruppe des ersten Quadranten. Fassen wir noch einmal zusammen! Durch Hinzuf¨ ugen des unendlich fernen Punktes wurde aus der komplexen Zahlenebene C die Riemann’sche Zahlenkugel C, ein kompakter topologischer Raum, der u ¨ber die stereographische Projektion mit der Einheitssph¨are S 2 ⊂ R3 identiﬁziert werden kann. Dabei entspricht der Ebene eine Sph¨are, aus der man den Nordpol entfernt hat. Wer mit projektiver Geometrie vertraut ist, wundert sich vielleicht, weil er in jeder Richtung einen unendlich fernen Punkt erwartet h¨atte. Aber das ist die reelle Sicht! Die Riemann’sche Zahlenkugel ist zwar eine Fl¨ache, komplex gesehen aber ein 1-dimensionales Gebilde, n¨amlich der sogenannte 1-dimensionale komplex-projektive Raum. Das komplexe Pendant zur reellen projektiven Ebene, die komplex-projektive Ebene, werden wir erst am Ende des letzten Kapitels kennenlernen. Mit Hilfe der M¨obius-Transformationen z → (az + b)/(cz + d) haben wir uns auf die Suche nach Automorphismen, also biholomorphen Selbstabbildungen gewisser spezieller Gebiete gemacht. Am einfachsten ist das im Falle der komplexen Ebene, da gibt es nur die aﬃn-linearen Abbildungen, die sich aus Translationen z → z + w und Drehstreckungen z → az zusammensetzen, also durch vier freie Parameter bestimmt sind. Nimmt man den unendlich fernen Punkt hinzu, so erh¨alt man als Automorphismengruppe die Gruppe aller M¨obius-Transformationen. Hier gibt es zwar die vier komplexen Parameter a, b, c, d, durch K¨ urzen kann man aber einen einsparen und erh¨alt 6 reelle Freiheitsgrade. Wo kommen die zus¨atzlichen zwei Freiheitsgrade gegen¨ uber der Automorphismengruppe der Ebene her? Hinzu kommt ja eigentlich nur die Inversion I : z → 1/z. Eine anschauliche Erkl¨arung liefert ein ber¨ uhmtes Video aus dem Jahr 2007 von Douglas N. Arnold und Jonathan Rogness von der University of Minnesota in Minneapolis: http://www.ima.umn.edu/∼arnold/moebius/ Das Video, das auch u ¨ber YouTube verbreitet wird, zeigt, dass die stereographische Projektion das Geheimnis enth¨ ullt. Alle M¨obius-Transformationen lassen sich als Projektionen von Bewegungen der Sph¨are auf die Ebene erkl¨aren. • Horizontale Translationen der Sph¨are liefern Translationen in C, beschrieben durch 2 Parameter. • Vertikale Translationen, also Auf- und Abbewegungen der Sph¨are liefern Streckungen in C, beschrieben durch einen reellen Parameter. • Rotationen der Sph¨are um die z-Achse liefern Drehungen in der Ebene und damit noch einen Parameter. • Rotationen um eine horizontale Achse liefern weitere M¨obius-Transformationen (parametrisiert durch zwei Winkel). Speziell ergibt die Drehung, die Nord- und S¨ udpol vertauscht, die Inversion I.

4 Meromorphe Funktionen

196

Die Anschauung zeigt, dass eigentlich kein Punkt der Riemann’schen Zahlenkugel ausgezeichnet ist, so dass sich der Holomorphiebegriﬀ im Unendlichen ganz nat¨ urlich ergibt. Als Fl¨ache mit einer komplexen (d.h. holomorphen) Struktur“ ” ist C das einfachste Beispiel einer Riemann’schen Fl¨ache. Noch einmal zur¨ uck zu den Automorphismengruppen! Ein enger Zusammenhang besteht zwischen dem Einheitskreis und der oberen Halbebene, dank der CayleyAbbildung C : D → H mit C(z) = i (1 + z)/(1 − z) und ihrer Umkehrabbildung C −1 : w → (w − i )/(w + i ). v y 4 r i 3 2

1 1

r

D

0

1 x C

H 2

ri 3

4

r

0

u

Nachdem die Automorphismengruppe des Einheitskreises mit Hilfe des Schwarz’schen Lemmas bestimmt wurde, steht auch die der oberen Halbebene fest, denn durch ϕ → C −1 ◦ ϕ ◦ C wird ein Isomorphismus Aut(H) → Aut(D) gegeben.

4.1.18. Aufgaben A. Sei ϕ : S 2 → C die stereographische Projektion, xi ∈ S 2 \ {n} und zi = ϕ(xi ) f¨ ur i = 1, 2. Zeigen Sie: x1 und x2 sind genau dann Antipodenpunkte, wenn z1 z 2 = −1 ist. B. Beschreiben Sie, welche Abbildung von S 2 nach S 2 durch die Abbildung z → 1/z (von C nach C) induziert wird. C. Bestimmen Sie das Bild des Kreises {z : |z − 1 − i | = 1} unter der Transformation w = 1/z. D. Zeigen Sie: Das Doppelverh¨altnis ist invariant unter M¨obius-Transformationen. E. Bilden Sie die Menge {z : |z − 1| < 2 und |z + 1| < 2} biholomorph auf die obere Halbebene ab. F. Sei G := C \ {z1 , . . . , zN }, N ≥ 2. Zeigen Sie: Aut(G) = {T : T ist M¨obius-Transformation und permutiert die zi }.

4.2

Normale Familien

197

G. Sei G1 = {z : r1 < |z| < R1 } und G2 = {z : r2 < |z| < R2 }. Unter welchen Umst¨anden gibt es eine biholomorphe Abbildung F : G1 → G2 ? H. F¨ ur A ∈ GL2 (C) sei hA deﬁniert durch hA (z) := (az + b)/(cz + d). Zeigen Sie: Aut(H) = {hA : A ∈ SL2 (R)}. Ist A ∈ SL2 (R), A = ±E2 , so hat hA genau dann einen Fixpunkt, wenn |Spur A| < 2. ur 0 < r < 1. Zeigen Sie: Ist G I. Sei f : D → G biholomorph, Gr := f (Dr (0)) f¨ konvex, so sind alle Gebiete Gr konvex, f¨ ur 0 < r < 1.

4.2

Normale Familien

Dieser Abschnitt ist den Funktionenfolgen gewidmet. Ein wichtiges und folgenschweres Ergebnis in der reellen Analysis ist der Satz von Bolzano-Weierstraß, der besagt, dass jede beschr¨ankte Punktfolge einen H¨aufungspunkt besitzt. F¨ ur Folgen reeller Funktionen (f¨ ur die Konvergenz und Beschr¨anktheit mit Hilfe der Supremumsnorm eingef¨ uhrt werden k¨onnen) gilt ein solcher Satz nicht, aber f¨ ur Folgen von holomorphen Funktionen liefert der Satz von Montel ein entsprechendes Resultat. Familien“ (d.h. Mengen) von Funktionen, in denen jede Folge eine konvergente ” Teilfolge besitzt, nennt man normal, und es ist nicht u ¨berraschend, dass solche Familien eine bedeutende Rolle in der Funktionentheorie spielen. Anwendungen ﬁnden sich in den folgenden Abschnitten. Mit Hilfe des chordalen Abstandes in C wird der Begriﬀ der normalen Familie auf meromorphe Funktionen erweitert. Wir erinnern uns dazu an den Konvergenzsatz von Weierstraß: Ist (fn ) eine Folge von holomorphen Funktionen auf einem Gebiet G, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert, so ist auch f holomorph, und (fn ) konvergiert auf G lokal gleichm¨aßig gegen f . Eine Folge von holomorphen Funktionen (fn ) heißt auf G kompakt konvergent gegen eine holomorphe Grenzfunktion f , falls (fn ) auf jeder kompakten Teilmenge K ⊂ G gleichm¨aßig gegen f konvergiert. Ist ε > 0 vorgegeben, so kann eine kompakte Menge durch endlich viele ε-Umgebungen u ¨berdeckt werden. Deshalb ist die kompakte Konvergenz ¨aquivalent zur lokal gleichm¨aßigen Konvergenz. Von Fall zu Fall benutzt man mal die eine und mal die andere Charakterisierung.

4.2.1. Satz von Hurwitz Sei G ⊂ C ein Gebiet und (fn ) eine Folge von holomorphen Funktionen auf G, die kompakt gegen eine holomorphe Grenzfunktion f auf G konvergiert.

4 Meromorphe Funktionen

198

Haben die Funktionen fn alle in G keine Nullstellen, so ist entweder f (z) ≡ 0, oder f hat in G auch keine Nullstellen. Beweis: Es sei f (z) ≡ 0. Dann ist N := {z ∈ G | f (z) = 0} leer oder diskret in G. Ist z0 ∈ G, so gibt es auf jeden Fall ein r > 0, so dass D = Dr (z0 ) relativ kompakt in G liegt und f auf Dr (z0 ) \ {z0 } keine Nullstelle besitzt. Dann sind die Funktionen 1/f und 1/fn auf ∂D deﬁniert und stetig, und (1/fn ) konvergiert dort gleichm¨aßig gegen 1/f . Und wegen des Satzes von Weierstraß konvergiert auch (fn ) auf ∂D gleichm¨aßig gegen f . Also ist 1 1 fn (ζ) f (ζ) dζ = dζ. lim n→∞ 2π i fn (ζ) 2π i f (ζ) ∂D

∂D

Ein Spezialfall des Argumentprinzips besagt, dass die Integrale auf der linken Seite die Nullstellen der Funktionen fn in D z¨ahlen und das Integral auf der rechten Seite die Nullstellen von f in D. Da die linke Seite verschwindet, kann f in z0 keine Nullstelle haben.

4.2.2. Folgerung Sei G ⊂ C ein Gebiet und (fn ) eine Folge von holomorphen Funktionen auf G, die kompakt gegen eine holomorphe Grenzfunktion f auf G konvergiert. Sind alle Funktionen fn injektiv, so ist f konstant oder auch injektiv. Beweis: f sei nicht konstant. F¨ ur jedes z0 ∈ G ist fn − fn (z0 ) ohne Nullstellen auf dem Gebiet G := G \ {z0 }. Nach Hurwitz hat dann auch f − f (z0 ) keine Nullstellen auf G . ur z0 = w0 . Da z0 beliebig gew¨ahlt werden kann, folgt die Also ist f (z0 ) = f (w0 ) f¨ Behauptung. Wir wollen nun den Vektorraum O(G) := {f : G → C holomorph} mit einer Topologie versehen. Das geht aber nicht ganz so einfach, weil sich die kompakte Konvergenz nicht durch eine Norm beschreiben l¨asst. Ist f ∈ O(G) und K ∈ G kompakt, so deﬁnieren wir |f |K := sup|f (z)| < ∞. z∈K

F¨ ur ε > 0 sei UK,ε (f ) := {g ∈ O(G) : |f − g|K < ε}, also die Menge aller auf G holomorphen Funktionen, die sich auf K von f nur um ε unterscheiden.

Deﬁnition

(Umgebung im Funktionenraum)

M ⊂ O(G) heißt Umgebung von f0 , falls es eine kompakte Menge K und ein ε > 0 mit UK,ε (f0 ) ⊂ M gibt.

4.2

Normale Familien

199

Bemerkung: UK,ε wird kleiner, wenn K gr¨oßer oder ε kleiner wird.

Deﬁnition

(Oﬀene Menge im Funktionenraum)

U ⊂ O(G) heißt oﬀen, falls U f¨ ur jedes f ∈ U eine Umgebung ist. Insbesondere sind die UK,ε oﬀen.

4.2.3. Satz O(G) ist ein Hausdorﬀ ’scher topologischer Raum. Beweis: 1. Die leere Menge und O(G) sind oﬀen (bei der leeren Menge gibt es nichts zu zeigen; O(G) enth¨alt jede Menge UK,ε (f )). 2. Es seien M , N oﬀen, f ∈ M ∩ N . Wegen der Oﬀenheit von N bzw. M existieren Umgebungen UK1 ,ε1 (f ) in M und UK2 ,ε2 (f ) in N . Setzen wir nun ε := min{ε1 , ε2 } und K := K1 ∪ K2 , dann ist UK,ε (f ) ⊂ M ∩ N . urlich auch die Ver3. Ist {Mι , ι ∈ I} eine Familie oﬀener Mengen, dann ist nat¨ einigung aller Mι oﬀen, da jedes Element der Vereinigung schon Umgebung jedes seiner Elemente ist. 4. Jetzt pr¨ ufen wir die Hausdorﬀ-Eigenschaft: Dazu seien f, g ∈ O(G), f = g. Dann gibt es ein z0 ∈ G mit f (z0 ) = g(z0 ). Setzen wir K := {z0 } und ε := |f (z0 ) − g(z0 )|/2 > 0, so sind die Umgebungen UK,ε (f ) und UK,ε (g) disjunkt.

Man nennt die eingef¨ uhrte Topologie die K.O.-Topologie (f¨ ur kompakt-oﬀen“). ”

Deﬁnition

(Konvergenz im Funktionenraum)

Eine Folge (fn ) ⊂ O(G) heißt in O (bzgl. der K.O.-Topologie) konvergent gegen ein f ∈ O(G), falls in jeder Umgebung von f fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) fn liegen.

4.2.4. Satz Eine Folge (fn ) ⊂ O(G) konvergiert genau dann in der K.O.-Topologie gegen f , wenn die Funktionenfolge (fn ) auf G kompakt gegen f konvergiert. Beweis: Die Topologie auf O(G) ist gerade so gemacht worden, dass die Begriﬀe u ¨bereinstimmen.

4 Meromorphe Funktionen

200

Deﬁnition

(beschr¨ ankte Menge im Funktionenraum)

Eine Menge M ⊂ O(G) heißt beschr¨ankt, wenn gilt: F¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ G existiert ein r mit M ⊂ UK,r (0), d.h. f¨ ur jedes K ist {|f |K : f ∈ M } (durch r) beschr¨ankt.

Deﬁnition

(lokal beschr¨ ankte Folge)

Sei G ⊂ C ein Gebiet, (fn ) eine Folge stetiger Funktionen auf G. Die Folge (fn ) heißt auf G lokal beschr¨ankt, falls es zu jedem z0 ∈ G eine Umgebung U (z0 ) und eine von U abh¨angige Konstante C > 0 gibt, so dass gilt: |fn (z)| ≤ C

f¨ ur jedes n ∈ N, z ∈ U.

4.2.5. Satz (u anktheit von Funktionenfolgen) ¨ ber die Beschr¨ Eine Folge (fn ) ist genau dann auf G lokal beschr¨ankt, wenn die Menge der Funktionen {fn : n ∈ N} im Funktionenraum O(G) beschr¨ankt ist. Beweis: Sei (fn ) auf G lokal beschr¨ankt, K ⊂ G kompakt. Dann existiert eine Familie von oﬀenen Mengen {Uz : z ∈ G} mit zugeh¨origen Konstanten Cz , so dass (fn ) auf Uz durch Cz beschr¨ankt ist. Die Mengen Uz u ¨berdecken ganz G. Da K kompakt ist, wird K auch schon von endlich vielen der Uz u ¨berdeckt, die wir mit U1 , . . . , UN bezeichnen, C1 , . . . CN seien die zugeh¨origen Konstanten. Wir setzen C := max {Ci }. Dann gilt 1≤i≤N

ur alle z ∈ K, n ∈ N, d.h. {fn : n ∈ N} ⊂ UK,C (0). |fn (z)| ≤ C f¨ Sei umgekehrt die Menge M := {fn : n ∈ N} beschr¨ankt. Ist z0 ∈ G, dann w¨ahlen wir eine Umgebung U (z0 ) ⊂⊂ G. Dann ist K := U kompakt, und weil M beschr¨ankt ist, existiert ein r > 0 mit M ⊂ UK,r (0). Insbesondere ist |fn (z)| ≤ r f¨ ur jedes z ∈ U und n ∈ N.

4.2.6. Konvergenz auf dichten Teilmengen Es sei (fn ) ⊂ O(G) eine lokal beschr¨ankte Funktionenfolge, A ⊂ G eine dichte Teilmenge. Ist (fn (z)) f¨ ur jedes z ∈ A konvergent, so ist (fn ) auf G kompakt konvergent. Beweis: Es reicht zu zeigen, dass (fn ) lokal eine Cauchy-Folge im Sinne der gleichm¨aßigen Konvergenz ist, d.h. zu beliebigem z0 ∈ G ist ein r > 0 gesucht, so dass zu jedem ε > 0 ein n0 existiert, mit |fn (z) − fm (z)| ≤ ε

f¨ ur |z − z0 | ≤ r und m, n > n0 .

4.2

Normale Familien

201

Sei z0 ∈ G gegeben. Wegen der lokalen Beschr¨anktheit existieren r > 0, C > 0, so ur alle z ∈ Dr (zo ) ⊂ G und alle n gilt. dass |fn (z)| ≤ C f¨ Wir setzen r = r /2. Dann ist |z − ζ| ≥ r /2 und |z − ζ| ≥ r /2 f¨ ur z, z ∈ Dr (z0 ) ⊂ Dr (z0 ) und jedes ζ ∈ ∂Dr (z0 ). Mit Hilfe der Cauchy’schen Integralformel folgt daraus 1 fn (ζ) fn (ζ) − dζ |fn (z) − fn (z )| = 2π i ζ − z ζ − z ∂D (z0 )

r 1 · = 2π

∂Dr (z0 )

fn (ζ)(ζ − z − ζ + z) dζ (ζ − z)(ζ − z )

1 4 · |z − z | · 2πr · sup |fn (ζ)| · 2 ≤ 2π r ∂Dr (z0 ) =

4|z − z | · C, r

Sei jetzt ε > 0 beliebig vorgegeben und :=

mit C :=

sup ζ∈∂Dr (z0 )

|fn (ζ)|.

1 ε r · · > 0. 2 3 4C

Die Kreisscheiben D (a), a ∈ A ∩ Dr (z0 ), u ¨berdecken Dr (z0 ), denn A liegt dicht ugen auch endlich viele Scheiben. Deren Mitin G. Da Dr (z0 ) kompakt ist, gen¨ telpunkte seien a1 , . . . , aN . Nun w¨ahlen wir nat¨ urliche Zahlen ni so groß, dass |fn (ai ) − fm (ai )| ≤ ε/3 f¨ ur alle m, n > ni gilt. Wegen der punktweisen Konvergenz geht das f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , N }. Dann kann n0 als Maximum der endlich vielen ni genommen werden. Ist z ∈ Dr (z0 ), so gibt es ein i ∈ {1, . . . , N } mit |z − ai | ≤ , da die Scheiben ganz Dr (z0 ) u ¨berdecken. Seien jetzt n, m > n0 . Dann folgt: |fn (z) − fm (z)| ≤ |fn (z) − fn (ai )| + |fn (ai ) − fm (ai )| + |fm (ai ) − fm (z)| 4|z − ai | ε 4|ai − z| ≤ ·C + + ·C r 3 r 4C ε 4C ε ε ε ≤ + + < + + = ε. r 3 r 3 3 3 Also ist die Folge lokal gleichm¨aßig konvergent, was ja auch behauptet wurde.

4.2.7. Folgerung (Satz von Montel) Sei G ⊂ C ein Gebiet und (fn ) ⊂ O(G) eine lokal beschr¨ankte Folge holomorpher Funktionen. Dann besitzt (fn ) eine kompakt konvergente Teilfolge. Beweis: A := {a1 , a2 , a3 , . . .} sei eine abz¨ahlbare, dichte Teilmenge von G, z.B. die Menge aller Punkte mit rationalen Koordinaten.

4 Meromorphe Funktionen

202

Wir betrachten die Punktfolge (fn (a1 ))n∈N . Da sie beschr¨ankt ist, existiert eine Teilfolge (f1,n ) von (fn ), die in a1 punktweise konvergiert. Nun betrachten wir die Werte der Teilfolge in a2 , (f1,n (a2 ))n∈N . Auch die sind beschr¨ankt, d.h. es existiert eine Teilfolge (f2,n ) von (f1,n ), die in a1 und a2 punktweise konvergiert. Im k-ten Schritt wird eine Teilfolge (fk,n ) von (fk−1,n ) gebildet, so dass (fk,n ) in allen ai konvergent ist, f¨ ur i ∈ {1, . . . , k}, und so f¨ahrt man fort. Die Diagonalfolge (fn,n ) konvergiert punktweise auf A. Damit sind wir in der Situation des obigen Satzes und k¨onnen folgern, dass die Diagonalfolge auf G kompakt konvergiert. Eine Teilmenge eines Funktionenraumes wird oft auch als eine Familie von Funk” tionen“ bezeichnet.

Deﬁnition

(normale Familie)

Eine Familie F ⊂ O(G) heißt normal, wenn jede unendliche Teilmenge von F eine auf G kompakt konvergente Teilfolge enth¨alt. Da eine lokal beschr¨ankte Familie als Teilmenge von O beschr¨ankt ist, kann man den Satz von Montel auch folgendermaßen formulieren: Jede beschr¨ankte Familie ist normal. ¨ Ubrigens gilt auch:

4.2.8. Die Umkehrung des Satzes von Montel Jede normale Familie ist beschr¨ankt. Beweis: Sei F ⊂ O(G) eine normale Familie. Wir nehmen an, F sei nicht beschr¨ankt. Dann gibt es ein Kompaktum K ⊂ G und eine Folge (fn ) ⊂ F mit lim |fn |K = ∞. Aber dann kann (fn ) keine auf G kompakt konvergente Teilfolge n→∞ besitzen. Das ist ein Widerspruch!

4.2.9. Beispiele A. Sei F = {z n : n ∈ N}. Auf dem Einheitskreis D konvergiert die Folge der Funktionen z n kompakt gegen Null, also bildet F auf D eine normale Familie. Auf einer kompakten Teilmenge K ⊂ C \ D nimmt |z| einen minimalen Wert c > 1 an. Deshalb konvergiert (z n ) auf K gleichm¨aßig gegen ∞. Nach unserer Deﬁnition bildet F auf C \ D keine normale Familie. B. Sei G ⊂ C ein Gebiet und F die Familie der holomorphen Funktionen auf G mit positivem Imagin¨arteil. Ist (fn ) eine Folge in F und C : D → H die

4.2

Normale Familien

203

Cayley-Abbildung, so ist die Folge gn := C −1 ◦ fn : G → D beschr¨ankt, also normal. Ist K ⊂ G kompakt, so konvergiert eine Teilfolge (gnν ) gleichm¨aßig auf K. Das nachfolgende Lemma liefert, dass dann auch die Folge fnν := C ◦ gnν auf K gleichm¨aßig konvergiert. Also ist F normal.

4.2.10. Lemma Ist U ⊂ C oﬀen, K ⊂ U kompakt, (hn ) eine auf K gleichm¨aßig konvergente Folge stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion h und ϕ eine stetige Funktion auf einer oﬀenen Umgebung von K in C, so gilt: Die Folge der Funktionen ϕ ◦ hn konvergiert auf K gleichm¨aßig gegen ϕ ◦ h. Beweis: Die Menge K0 := h(K) ⊂ C ist kompakt und die Menge K1 := {w ∈ C : dist(w, K0 ) ≤ 1} ist ebenfalls kompakt. Sei ε > 0 vorgegeben. Die stetige Funktion ϕ ist auf K1 gleichm¨aßig stetig. Es gibt also ein δ > 0 (das man < 1 w¨ahlen kann), so dass |ϕ(w) − ϕ(w )| < ε ist, sofern nur w, w ∈ K1 und |w − w | < δ ist. Zu diesem δ gibt es ein n0 , so dass |hn (z) − h(z)| < δ f¨ ur n ≥ n0 und z ∈ K ist. Also liegt hn (K) ⊂ K1 f¨ ur n ≥ n0 . F¨ ur z ∈ K und n ≥ n0 ist dann |ϕ(hn (z)) − ϕ(h(z))| < ε. Bemerkung: Eine Teilmenge F ⊂ O(G) heißt folgenkompakt, falls jede unendliche Folge in F eine (kompakt) konvergente Teilfolge besitzt. Man kann zeigen, dass F genau dann folgenkompakt ist, wenn F kompakt im u ¨blichen Sinne ist.2 Damit ergibt sich: Eine Teilmenge F ⊂ O(G) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ankt ist. Diese Heine-Borel-Eigenschaft ist in den meisten unendlich-dimensionalen Vektorr¨aumen falsch. Wie weit man in unendlich-dimensionalen R¨aumen von der Anschauung entfernt ist, zeigt die folgende Aussage: Jede Nullumgebung in O(G) ist unbeschr¨ankt. Beweis: Sei M eine Nullumgebung. Dann gibt es eine kompakte Menge K und ein ε > 0, so dass UK,ε ⊂ M ist. Nehmen wir eine nicht-konstante, holomorphe Funktion f auf G (zum Beispiel die Funktion z → z), so gibt es nach dem Maximumprinzip

einen Punkt z0 ∈ G, in dem |f | gr¨oßer ist als auf K. Ist δ := 12 |f (z0 )| − |f |K , so deﬁnieren wir eine holomorphe Funktion g(z) :=

f (z) , |f |K + δ

die auf K vom Betrage echt kleiner als Eins ist, in z0 aber gr¨oßer. Deshalb wird f¨ ur großes n die Funktion g n (z) auf K beliebig klein, in z0 aber unbeschr¨ankt, d.h. es = K ∪ {z0 } ur n ≥ n0 in M liegt. Auf dem Kompaktum K gibt ein n0 , so dass g n f¨ n ur großes n aber beliebig groß. Deshalb ist M unbeschr¨ankt. wird g f¨ 2 Man kann auf O(G) eine Metrik einf¨ uhren, so dass die dadurch deﬁnierte Topologie die K.O.Topologie ist. Und f¨ ur metrische R¨aume folgt leicht, dass Kompaktheit und Folgenkompaktheit ¨aquivalente Eigenschaften sind.

4 Meromorphe Funktionen

204

Die Ergebnisse von oben k¨onnen noch weiter versch¨arft werden.

4.2.11. Satz von Vitali Sei G ⊂ C ein Gebiet, (fn ) eine lokal beschr¨ankte Folge in O(G) und A ⊂ G eine Teilmenge, auf der (fn ) punktweise konvergiert. Hat A einen H¨aufungspunkt in G, so ist (fn ) auf G kompakt konvergent. Beweis:

Sei f := lim fn auf A. Nach Montel ist (fn ) eine normale Familie, n→∞

besitzt also eine kompakt konvergente Teilfolge (fnν ). Deren Grenzfunktion sei mit f bezeichnet. Das ist dann eine holomorphe Funktion auf G, die auf A mit f u ¨bereinstimmt. Wir nehmen an, es gibt eine kompakte Teilmenge K ⊂ G, so dass die Folge der Normen |fn − f|K nicht gegen Null konvergiert. Dann gibt es ein ε > 0 und eine ur alle μ. Weil nat¨ urlich auch die Folge Teilfolge (fnμ ) von (fn ) mit |fnμ − f|K ≥ ε f¨ (fnμ ) lokal beschr¨ankt ist, besitzt sie eine Teilfolge, die auf G kompakt gegen eine holomorphe Funktion f konvergiert. Oﬀensichtlich ist f(z) = f(z) f¨ ur z ∈ K. Weil aber andererseits f (z) = f (z) = f (z) auf A ist, folgt aus dem Identit¨atssatz, dass f = f auf ganz G gelten muss. Das ist ein Widerspruch. Wir wollen eine Metrik auf C einf¨ uhren. Dazu benutzen wir die stereographische Projektion ϕ : S 2 → C mit ϕ(z, h) := z/(1−h) (f¨ ur (z, h) ∈ C×R mit zz+h2 = 1).

Deﬁnition

(chordaler Abstand)

F¨ ur z1 , z2 ∈ C wird der chordale Abstand deﬁniert durch dc (z1 , z2 ) := dist(ϕ−1 (z1 ), ϕ−1 (z2 )). Ist n = (0, 0, 1) der Nordpol“, so setzt man dc (z, ∞) := dist(, ϕ−1 (z), n). ” Mit dist ist stets der gew¨ohnliche euklidische Abstand im R3 gemeint. F¨ ur z ∈ C sei l = l(z) := dist(n, (z, 0)) und s = s(z) := dist(n, ϕ−1 (z)). Die Gr¨oßen s und l ﬁnden sich in den zwei (im Sinne der Elementargeometrie) ¨ahnlichen rechtwinkligen Dreiecken ABC und DAM in folgender Skizze (mit x = ϕ−1 (z)): n=A r s q

M

B

qr

x=C l

r

(z, 0) = D

4.2

Normale Familien

205

Dann ist 1 : l = s : 2, mit x1 := ϕ−1 (z1 ) und x2 := ϕ−1 (z2 ) also s(x1 ) · l(x1 ) = 2 = s(x2 ) · l(x2 ). Zur Abk¨ urzung setzen wir si = s(xi ) und li = l(xi ). Damit ist s1 /s2 = l2 /l1 . Es entstehen zwei ¨ahnliche Dreiecke C1 C2 A und D2 D1 A : n=A x 2 = C2 x1 = C1 (z2 , 0) = D2 (z1 , 0) = D1

dist (z1 , 0), (z2 , 0) dist(x1 , x2 ) 2 Also ist = , d.h. dist(x1 , x2 ) = · |z1 − z2 |. s1 l2 l1 l2

Weil li = dist n, (zi , 0) = (−zi , 1) = 1 + |zi |2 ist, folgt: 2|z1 − z2 | . dc (z1 , z2 ) = (1 + |z1 |2 )(1 + |z2 |2 ) Außerdem ist dc (z, ∞) = dist(ϕ−1 (z), n) = s(z) =

2 2 2

= . = l(z) dist (z, 0), n 1 + |z|2

4.2.12. Kompakte Konvergenz ist chordale Konvergenz Sei G ⊂ C ein Gebiet. Wenn eine Folge (fn ) von holomorphen Funktionen auf G kompakt gegen eine Funktion f auf G konvergiert, so konvergiert sie auch chordal (also bezogen auf die chordale Metrik) lokal gleichm¨aßig gegen f . Beweis:

Das ist klar, denn es ist dc (z1 , z2 ) ≤ 2|z1 − z2 |.

Fasst man eine holomorphe oder meromorphe Funktion als Abbildung nach C auf, so ist auch der Wert ∞ zugelassen. Wir sagen, dass eine Folge (fn ) auf G kompakt gegen Unendlich konvergiert, falls es zu jedem Kompaktum K ⊂ G und zu jeder kompakten Menge L ⊂ C ein n0 gibt, so dass fn (K) ∩ L = ∅ f¨ ur n ≥ n0 gilt. Das bedeutet, dass die Folge chordal lokal gleichm¨aßig gegen die Funktion f (z) ≡ ∞ konvergiert. Bei Folgen meromorpher Funktionen ist es besser, mit der chordalen Metrik zu arbeiten. Dann erweist sich der folgende Satz als n¨ utzlich:

4.2.13. Grenzwerte chordal konvergenter Funktionenfolgen Sei G ein Gebiet und (fn ) eine Folge von meromorphen Funktionen auf G. Wenn (fn ) chordal kompakt gegen eine Grenzfunktion f : G → C konvergiert, dann ist f meromorph oder ≡ ∞. Sind alle fn holomorph, so ist f holomorph oder ≡ ∞.

4 Meromorphe Funktionen

206

Beweis: Bez¨ uglich der chordalen Metrik sind alle meromorphen Funktionen stetig (als Abbildungen von G nach C), und aus der lokal gleichm¨aßigen Konvergenz folgt, dass auch die Grenzfunktion f stetig ist. Ist f (z) ≡ ∞, so ist nichts mehr zu zeigen. Sei also z0 ∈ G und f (z0 ) = ∞. Dann gibt es eine Umgebung U = U (z0 ) ⊂ G, so dass f (und daher auch alle fn f¨ ur gen¨ ugend großes n) beschr¨ankt ist. Die fn sind dann auf U holomorph, und aus dem Weierstraß’schen Konvergenzsatz folgt, dass f auf U holomorph ist. Gibt es einen Punkt z1 ∈ G mit f (z1 ) = ∞, so strebt fn (z1 ) gegen Unendlich, und die Funktionen gn := 1/fn sind in der N¨ahe von z1 holomorph und streben in z1 gegen Null. Also ist g := 1/f nahe z1 holomorph und hat in z1 eine Nullstelle. Im Gegenzug ist f nahe z1 meromorph, mit einer Polstelle in z1 . Die Grenzfunktion f ist also u ¨berall meromorph. Sind die fn sogar holomorph, so haben die Funktionen gn keine Nullstellen, und nach dem Satz von Hurwitz muss g nullstellenfrei oder ≡ 0 sein. Das bedeutet, dass f holomorph oder ≡ ∞ ist.

Deﬁnition

(normale Familien meromorpher Funktionen)

Eine Familie F von meromorphen Funktionen auf einem Gebiet G heißt normal, falls jede Folge (fn ) in F eine Teilfolge besitzt, die (chordal) kompakt gegen eine meromorphe Grenzfunktion oder gegen f (z) ≡ ∞ konvergiert.

4.2.14. Beispiel Die holomorphe Familie F = {zn : n ∈ N} ist nach unserer urspr¨ unglichen Deﬁnition auf C \ D nicht normal. Auf einer kompakten Teilmenge K ⊂ C \ D nimmt |z| einen minimalen Wert c > 1 an. Deshalb konvergiert (z n ) auf K gleichm¨aßig gegen ∞. Als meromorphe Familie ist F also auf C \ D doch normal. Um diesen Widerspruch zu vermeiden, m¨ usste man eigentlich einen neuen Begriﬀ verwenden, z.B. meromorph-normal“. Allerdings ist eine solche Bezeichnung nicht u ¨blich, ” man nennt meist auch solche Familien einfach nur normal. Das erkl¨art, warum man in der Literatur lesen kann, dass die Umkehrung des Satzes von Montel falsch sei. Es kommt auf die genaue Deﬁnition von normal“ an. ” Auf einem Gebiet G ⊂ C, das sowohl Punkte von D als auch Punkte von C \ D enth¨alt, bildet F auch im neuen Sinne keine normale Familie!

4.2.15. Aufgaben A. Sei G ein Gebiet, D ⊂ C ein weiteres Gebiet und (fn ) eine Folge von holomorphen Funktionen auf G, die kompakt gegen eine nicht-konstante Grenzur alle n, so ist auch f (G) ⊂ D. funktion f konvergiert. Ist fn (G) ⊂ D f¨

4.3

Der Satz von Mittag-Leﬄer

207

B. Sei G ein Gebiet und F eine normale Familie von holomorphen Funktionen ur festes k ∈ N) normal auf G. Dann ist auch jede Familie {f (k) : f ∈ F } (f¨ auf G. L¨asst man auch kompakte Konvergenz gegen Unendlich zu, so wird die Aussage falsch. Zeigen Sie das an Hand der Folge fn (z) := n(z 2 − n) auf C. C. Sei G ⊂ C ein Gebiet, F die Familie aller holomorphen Funktionen f : G → R+ := {z ∈ C : Re(f ) > 0}, g : R+ → D deﬁniert durch g(z) := (z − 1)/(z + 1). Zeigen Sie, dass {g ◦ f : f ∈ F } und damit auch F selbst normal ist. D. Sei G ⊂ C ein Gebiet und G0 := C \ [0, 1]. Zeigen Sie, dass die Familie F := {f ∈ O(G) : f (G) ⊂ G0 } normal ist. E. Sei F ⊂ O(G) eine normale Familie und (fn ) eine Folge in F , die nicht kompakt konvergiert. Zeigen Sie, dass es zwei Teilfolgen von (fn ) gibt, die kompakt gegen verschiedene Grenzfunktionen konvergieren. 2 F. Sei c > 0. Dann ist F := {f (z) = n an z n ∈ O(D) : n |an | ≤ c} eine normale Familie. G. Ist D = Dr (a)2 ⊂ C eine Kreisscheibe und f stetig auf D, so sei ND,2 (f ) := |f (x + i x)| dx dy. D a) Ist f (z) =

∞

an (z − a)n , so ist ND,2 (f ) = π

n=0

∞ |an |2 r 2n+2 n=0

n+1

.

1 b) |f (a)| ≤ √ · ND,2 (f ). r π c) Sei c > 0 und D := D = D1 (0). Dann ist die Familie der Funktionen f ∈ O(D) mit ND,2 (f ) < c normal.

4.3

Der Satz von Mittag-Leﬄer

Erstaunlicherweise ist es leichter, meromorphe Funktionen zu vorgegebenen Polstellen zu konstruieren, als holomorphe Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen. Deshalb beginnen wir mit den meromorphen Funktionen. Eine isolierte Polstelle im Punkte a ist im einfachsten Fall durch eine rationale Funktion der Gestalt c/(z − a)n gegeben, und endlich viele solcher Polstellen kann man addieren. Das ist die Umkehrung der Partialbruchzerlegung. Nicht-trivial wird die Situation nur im Fall von unendlich vielen Polstellen, und man spricht dann auch von der Partialbruchzerlegung meromorpher Funktionen. Wir werden das Problem auf C l¨osen und als Anwendung bekommen wir interessante Reihenentwicklungen und z.B. die Summe einer Zahlenreihe, die in der reellen Analysis nur recht m¨ uhsam – etwa mit Fourier-Theorie – zu gewinnen ist.

4 Meromorphe Funktionen

208

Wir erinnern uns: Sei f eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularit¨at in z0 ∈ C. Liegt eine Polstelle vor, so gibt es eine oﬀene Umgebung U = U (z0 ) ⊂ C und eine Laurentreihe mit einem endlichen Hauptteil, die f auf U \ {z0 } darstellt: f (z) =

−1

cn (z − z0 )n +

∞

cn (z − z0 )n

f¨ ur z ∈ U \ {z0 }.

n=0

n=−k

Wir k¨onnen annehmen, dass c−k = 0 ist. Dann nennt man k die Ordnung der Polstelle. Der Koeﬃzient c−1 ist das Residuum von f in z0 . Ist f eine meromorphe Funktion auf einem Gebiet G und P die in G diskrete Polstellenmenge, so besitzt f in jedem Punkt a ∈ P einen eindeutig bestimmten Hauptteil −1 cn (z − a)n mit Ordnung k = k(a). hf,a (z) = n=−k

Das System Hf = (hf,a )a∈P nennt man die Hauptteilverteilung von f . Mit M (G) sei die Menge aller meromorphen Funktionen auf dem Gebiet G bezeichnet. Wir wollen die Frage untersuchen, ob es zu jeder Hauptteilverteilung H auf C eine passende Funktion f ∈ M (G) mit Hf = H gibt. Man nennt dann f eine L¨osung von H. Bemerkung: Eine L¨osung der Hauptteilverteilung ist, falls existent, nur bis auf Addition holomorpher Funktionen eindeutig bestimmt. Ist eine Hauptteilverteilung (ha )a∈P gegeben, so unterscheiden wir zwei F¨alle: 1. Ist P endlich, dann lassen sich die Hauptteile summieren. Durch ha f := a∈P

ist eine rationale Funktion gegeben, und es gilt Hf = (ha )a∈P , d.h. das Problem ist gel¨ost. Die rechte Seite ist die Partialbruchzerlegung von f . 2. Ist P unendlich, dann l¨asst sich die diskrete Menge P als Folge schreiben, P = {an : n ∈ N}. Wir w¨ urden gerne deﬁnieren: f :=

∞

hn ,

n=0

wenn hn der Hauptteil in an ist. Doch wie ist die Summe zu verstehen? Uns fehlt bisher ein geeigneter Konvergenzbegriﬀ f¨ ur Reihen meromorpher Funktionen.

4.3

Der Satz von Mittag-Leﬄer

Deﬁnition

209

(Konvergenz meromorpher Funktionenreihen)

Sei (fν ) ⊂ M (G) eine Folge meromorpher Funktionen, jeweils mit Polstellen∞ menge P (fν ). Die Reihe fν heißt kompakt konvergent auf G, falls f¨ ur jedes ν=1

Kompaktum K ⊂ G ein ν0 existiert, so dass gilt: 1. P (fν ) ∩ K = ∅ f¨ ur ν ≥ ν0 . fν konvergiert gleichm¨aßig auf K. 2. Die Reihe ν≥ν0

In diesem Fall gibt es eine diskrete ∞ Menge P ⊂ G, so dass alle fν auf G \ P holomorph sind und die Reihe aßig gegen eine ν=0 fν auf G \ P lokal gleichm¨ meromorphe Funktion f konvergiert, die h¨ochstens in P Polstellen besitzt. Ist U ⊂ ur ν ≥ ν0 , so ist G oﬀen und U ∩ P (fν ) = ∅ f¨ fν auf U. f = f1 + f2 + · · · + fν0 −1 + ν≥ν0

4.3.1. Satz von Mittag-Leﬄer Jede Hauptteilverteilung auf C ist l¨osbar Es gibt also auf C sehr viele meromorphe Funktionen! Beweis: Wir schreiben die Polstellenmenge in der Form P = {aν : ν ∈ N}, so dass die aν dem Betrage nach geordnet sind. Außerdem sei a0 := 0. Es sei (hν )ν∈N die zugeh¨orige Hauptteilverteilung. Ist 0 ∈ P , so lassen wir ausnahmsweise h0 := 0 als Hauptteil in Null zu. Wir betrachten die Folge von Kreisscheiben Dν := {z ∈ C : |z| ≤ |aν |/2}. Dann ur alle ν ∈ N. Deshalb kann hν auf D ν gleichm¨aßig durch Taylorist hν ∈ O(Dν ) f¨ Polynome approximiert werden, d.h. es existieren Polynome Pν mit |hν − Pν |Dν < 2−ν . ur ν ≥ ν0 Zu jedem R > 0 gibt es ein ν0 , so dass die Funktionen hν − Pν auf DR (0) f¨ holomorph sind. Die Reihe f := h0 +

∞

(hν − Pν )

ν=1

konvergiert kompakt auf C gegen eine meromorphe Funktion f . Auf DR (0) ist f = h0 +

ν 0 −1 ν=1

(hν − Pν ) +

ν≥ν0

fν .

4 Meromorphe Funktionen

210

Deshalb hat f dort die Polstellen a0 , . . . , aν0 −1 mit den Hauptteilen hν . Bemerkung: Der Trick, mittels Taylor-Polynomen die Konvergenz der meromorphen Reihe zu erzwingen, wird als Methode der konvergenzerzeugenden Summan” den“ bezeichnet. Wir untersuchen jetzt einen Spezialfall: Gegeben sei eine diskrete Folge aν , die monoton geordnet ist (d.h. es sei 0 = a0 < |a1 | ≤ |a2 | ≤ · · · ), sowie eine Folge komplexer Zahlen cν = 0, die wir als Residuen vorgeben wollen, um eine meromorphe Funktion mit einfachen Polstellen und Residuen cν in den aν zu konstruieren. Der Hauptteil hν in aν kann – unter Ausnutzung der geometrischen Reihe – folgendermaßen umgeformt werden: λ ∞ cν c 1 cν z hν (z) = =− · =− · f¨ ur |z| < |aν |. z − aν aν 1 − z/aν aν aν λ=0

Mit Pν,μ (z) sei nun das Taylor-Polynom von hν (z) vom Grade μ auf der Kreisscheibe μ 1 − q μ+1 folgt mit vom Radius |aν | um Null bezeichnet. Aus der Formel qλ = 1−q λ=0 q := z/aν : μ+1 λ μ z cν z cν 1 − (z/aν )μ+1 cν Pν,μ (z) = − 1− . =− · = aν λ=0 aν aν 1 − z/aν z − aν aν Um der Linie des Beweises von Mittag-Leﬄer zu folgen, m¨ ussten wir eine Folge nat¨ urlicher Zahlen (kν ) ﬁnden, so dass gilt: 1 |hν (z) − Pν,kν (z)| < 2−ν auf Dν = {z : |z| ≤ |aν |}. 2 Damit kann die L¨osung f des Problems schon genauer angegeben werden: kν +1 ∞ ∞ c0 c0 cν z + + f (z) = (hν (z) − Pν,kν (z)) = · . z z z − a a ν ν ν=1 ν=1 Nun versuchen wir, die kν ganz konkret zu bestimmen. Dabei kommt es nicht darauf an, die Absch¨atzungen f¨ ur |hν (z) − Pν,kν (z)| ganz genau zu erf¨ ullen, wir m¨ ussen nur erreichen, dass die Reihe f¨ ur f kompakt konvergiert. Dabei helfen die ¨ folgenden Uberlegungen weiter: Sei R > 0 und ν0 so gew¨ahlt, dass |aν | > 2R f¨ ur alle ν ≥ ν0 ist. Dann ist |aν |/2 > R ur z aus DR (0) und ν ≥ ν0 folgt deshalb und |aν | − R > |aν |/2. F¨ 1 z 1 > . |aν − z| ≥ |aν | − |z| > |aν | − R > |aν |, also 1 − 2 aν 2

4.3

Der Satz von Mittag-Leﬄer

211

Damit k¨onnen wir die Reihenglieder f¨ ur ν ≥ ν0 auf DR (0) nach oben absch¨atzen:

cν · z − aν

z aν

kν +1

cν cν z kν +1 z kν +1 1 = · ≤2· · . · aν |z/aν − 1| aν aν aν

K¨onnen wir die kν so groß w¨ahlen, dass die Reihe kν +1 ∞ cν R · a aν ν=1 ν absolut konvergent ist, so konvergiert der (bei ν0 beginnende) Rest der meromorphen Reihe f¨ ur f gleichm¨aßig auf DR (0). Wenn wir es schaﬀen, dass dies bei geeigneter Wahl der kν f¨ ur alle R > 0 (und die zugeh¨origen ν0 ) gleichzeitig funktioniert, sind wir fertig. Der Trick, der nun alles einfacher macht, besteht darin, alle kν gleich zu w¨ahlen. Wir setzen kν = N − 1 f¨ ur ein festes N ∈ N und alle ν. Das ergibt:

4.3.2. Spezieller Satz von Mittag-Leﬄer

N +1 Ist die Reihe ∞ absolut konvergent, so ist eine L¨osung der Hauptteilν=1 cν /aν verteilung hν (z) := cν /(z − aν ) gegeben durch c0 cν + f (z) = z z − aν ν=1 ∞

z aν

N .

4.3.3. Beispiel Die Folge der (aν ) sei eine Aufz¨ahlung aller ganzen vorgegebenen Zahlen, die 2 2 Residuen cν seien alle gleich 1. Weil die Reihe ν=0 |cν |/|aν | = 2 · ∞ ν=1 1/ν konvergiert, gen¨ ugt es, N = 1 anzusetzen, und wir erhalten als L¨osung z 1 1 1 1 1 · = + + . f (z) = + z ν=0 z − ν ν z ν=0 z − ν ν Wir wollen untersuchen, ob wir die Funktion aus dem Beispiel schon in anderer Form kennen. Um etwa f (z) als Quotient zweier holomorpher Funktionen darzustellen, ben¨otigen wir einen Nenner, der einfache Nullstellen in allen ganzen Zahlen hat. Die Funktion z → sin(πz) erf¨ ullt diese Bedingung. Deshalb untersuchen wir cot(πz) := und bestimmen das Residuum in ν aus Z :

cos(πz) sin(πz)

4 Meromorphe Funktionen

212

resν (cot(πz)) =

cos(πν) 1 = . π · sin (πν) π

Also ist auch die Funktion g(z) := π cot(πz) eine L¨osung der im Beispiel betrachteten Hauptteilverteilung. Die Diﬀerenz der beiden L¨osungen 1 1 1 + h(z) := g(z) − f (z) = π cot(πz) − − z ν=0 z − ν ν ist also eine ganze Funktion. Bestimmen wir ihre Ableitung, so ergibt sich 2 1 1 π 1 h (z) = π 2 · cot (πz) + 2 + = − + , z (z − ν)2 sin(πz) (z − ν)2 ν∈Z ν=0 =:h0 (z)

weil cot (z) = 1/(sin2 z) ist. Die Funktion h0 ist meromorph und hat Polstellen in allen ganzen Zahlen. Außerdem ist sie periodisch mit Periode 1, da u ¨ber alle ganzen Zahlen summiert wird. Auf dem Streifen“ S := {z = x + i y : 0 ≤ x ≤ ” 1 und |y| ≥ 1} ist h0 eine holomorphe Funktion. Behauptung: h0 ist auf S beschr¨ankt und geht gegen Null, wenn der Imagin¨arteil y = Im(z) gegen Unendlich geht, sogar gleichm¨aßig in x = Re(z). sz

y

r

m

0

r

x

1

n

Weil die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks l¨anger ist als die l¨angere Kathete, die wiederum l¨anger als das arithmetische Mittel der beiden Katheten ist, gilt f¨ ur z = x + i y : |z − n| ≥ und

|y| + (n − 1) 1

|y| + (n − x) ≥ 2 2

f¨ ur n ∈ N

|y| + |m| 1

|y| + (|m| + x) ≥ f¨ ur m ∈ Z, m ≤ 0. 2 2 Das gen¨ ugt schon f¨ ur die Beschr¨anktheit von h0 auf S : |z − m| ≥

4.3

Der Satz von Mittag-Leﬄer

|h0 (z)| ≤ 4 ≤ 8

∞ ν=1 ∞ ν=0

213 1 1 + (|y| + (ν − 1))2 μ=0 (|y| + |μ|)2 ∞

∞ 1 1 ≤ 8 < ∞. 2 (|y| + ν) ν2 ν=1

Ist jetzt |y| > N , so ist |h0 (z)| ≤ 8

∞ ν=0

∞ 1 1 = 8 . 2 (N + ν)2 ν ν=N

Die rechte Seite geht f¨ ur N → ∞ gegen Null, und damit gilt die Behauptung. 2 π periodisch mit Periode 1. Selbstverst¨andlich ist auch sin(πz) Behauptung: |sin(πz)| geht gegen Unendlich, wenn der Imagin¨arteil von z gegen Unendlich geht, denn: sin z =

1 iz 1 i x −y (e − e− i z ) = (e e − e− i x ey ). 2i 2i

Daraus folgt

ey ey −x i − e i x e−2y )| ≥ (1 − e−2y ). (e 2 2 F¨ ur y → ∞ strebt der ganze Ausdruck gegen Unendlich. Das bedeutet aber, dass die Funktion 2 π h (z) = h0 (z) − sin(πz) |sin z| = |

ganz und periodisch ist und gegen Null geht, wenn der Imagin¨arteil von z gegen Unendlich geht. Nach dem Satz von Liouville ist h konstant und die Konstante muss gleich Null sein. Damit ist h konstant. Nebenbei haben wir die folgende Identit¨at gezeigt: 2 1 π = . (z − ν)2 sin(πz) ν∈Z Eine letzte Untersuchung an h ist noch n¨otig: 1 1 1 h(−z) = π · cot(−πz) + + − z ν=0 z + ν ν 1 1 1 + = −h(z), = − π cot(πz) − − z ν=0 z + ν ν weil bei der Summation u urlich ν durch −ν ersetzt werden kann. ¨ber ν = 0 nat¨ Also ist h ungerade, und weil h konstant ist, muss h = 0 gelten. Halten wir als Ergebnis fest :

4 Meromorphe Funktionen

214

4.3.4. Satz (von der Cotangens-Reihe) Folgende Identit¨aten zwischen meromorphen Funktionen gelten auf ganz C : 2 π 1 1 1 1 = . + und π cot(πz) = + z ν=0 z − ν ν sin(πz) (z − ν)2 ν∈Z

4.3.5. Folgerung Es ist

∞ ν=0

Beweis:

π2 1 = . 2 (2ν + 1) 8

Setzen wir in der letzten Identit¨at z := 1/2, so ergibt sich

π2 =

ν∈Z

= 4

1 1 = 4 1 2 (2ν − 1)2 ( 2 − ν) ν∈Z ∞ μ=1

∞ ∞ 1 1 1 + 1 + + 1 = 8 . 2 (2μ + 1)2 (2μ + 1) (2ν + 1)2 μ=1 ν=0

4.3.6. Aufgaben A. Sei (zk ) eine diskrete Folge in C (mit z0 = 0) und g eine ganze Funktion mit Nullstellen der Ordnung nk in zk . Dann gibt es eine ganze Funktion g0 und zu jedem k ein Nk , so dass gilt: Nk −1 ∞ g (z) z ν nk nk n0 + g0 (z). + = + g(z) z z − zk zk ν=0 zk k=1 Die Reihe konvergiert kompakt. B. Sei G ⊂ C ein Gebiet und ∞ ν=1 fν eine Reihe von meromorphen Funktionen auf G, die kompakt gegen eine meromorphe Funktion f konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch ∞ ν=1 fν kompakt auf G gegen die meromorphe Funktion f konvergiert. C. f und g seien zwei ganze Funktionen ohne gemeinsame Nullstellen. Zeigen Sie, dass es ganze Funktionen u und v mit uf + vg = 1 gibt. Hinweis: Sei N die Nullstellenmenge von g. Dann liefert das Mittag-LeﬄerVerfahren eine meromorphe Funktion, die genau in den Punkten z ∈ N die Hauptteile von 1/(f g) in z besitzt.

4.4

Der Weierstraß’sche Produktsatz

215

D. Sei (aν ) eine Folge von komplexen Zahlen mit lim aν = ∞

und

ν→∞

Zeigen Sie, dass f (z) :=

∞ ν=1

∞ 1 3 < ∞. aν ν=1

1 1 − (z − aν )2 a2ν

eine L¨osung der Hauptteilverteilung (hν ) mit hν (z) :=

1 ist. (z − aν )2

E. Beweisen Sie die Gleichungen tan(z/2) = cot(z/2) − 2 cot z und π tan(πz) = 8z

∞ ν=0

F. Sei f (z) :=

1 . (2ν + 1)2 − 4z 2

1 1 − . exp(z) − 1 z

Bestimmen Sie alle Singularit¨aten von f und beweisen Sie die G¨ ultigkeit der Partialbruchzerlegung ∞ 1 1 f (z) = − + 2z . 2 2 z + (2πn)2 n=1

G. Konstruieren Sie eine meromorphe Funktion auf D mit einfachen Polen und Residuum 1 in den Punkten zn := 1 − 1/n (f¨ ur n ∈ N).

4.4

Der Weierstraß’sche Produktsatz

In diesem Abschnitt suchen wir zu einer vorgegebenen echten Teilmenge D eines Gebietes G eine holomorphe Funktion, die genau in den Punkten von D Nullstellen besitzt. Der Identit¨atssatz zeigt, dass D in G diskret sein muss. Ist D = {a1 , . . . , ak } endlich, so wird das Problem ganz einfach durch das Polynom p(z) :=

k

(z − aν )

ν=1

gel¨ost. Wenn man m¨ochte, kann man auch noch Vielfachheiten vorschreiben. Ist D unendlich, so ergibt sich ein Konvergenzproblem. Deshalb m¨ ussen wir vorweg die Theorie der unendlichen Produkte entwickeln. Der Weierstraß’sche Produktsatz liefert schließlich die L¨osung des Problems auf C.

4 Meromorphe Funktionen

216

Eine diskrete Menge D k¨onnen wir als Folge (aν ) schreiben, und optimistisch schreiben wir auch noch Nullstellenordnungen (nν ) vor. Nun h¨atten wir gerne, dass ein unendliches Produkt“ ” ∞ (z − aν )nν ν=1

gebildet werden kann. Allerdings, was soll das sein? Der naive Ansatz ist das Bilden endlicher Produkte, mit anschließendem Grenz¨ ubergang. Wir werden aber sehen, dass noch ein paar Zusatzbedingungen n¨otig sind, um zum Beispiel sicherzustellen, dass ein unendliches Produkt nur dann Null wird, wenn einer der Faktoren verschwindet (denn sonst k¨onnte der obige Ansatz ja zuviele Nullstellen liefern).

Deﬁnition

(unendliche Produkte komplexer Zahlen)

Sei (aν ) ⊂ C. Das unendliche Produkt

∞ ν=1

aν konvergiert, falls gilt:

• Entweder sind alle aν = 0 und der Grenzwert a := lim

n→∞

ist = 0,

n

aν existiert und

ν=1

• oder es gibt ein ν0 , so dass aν = 0 f¨ ur alle ν ≥ ν0 ist, und es existiert n ν 0 −1 aν im obigen Sinne. Dann setzen wir a := a∗ · aν . a∗ := lim n→∞

ν=ν0

ν=1

In den beiden angegebenen F¨allen wird

∞

aν := a gesetzt, in allen anderen

ν=1

F¨allen sagen wir, dass das Produkt nicht existiert. Zun¨achst leiten wir einige elementare Eigenschaften unendlicher Produkte her:

4.4.1. Eigenschaften unendlicher Produkte ∞

Das unendliche Produkt ν=1

aν existiere. Dann gilt:

∞

1. ν=1

aν ist genau dann = 0, wenn mindestens ein aν verschwindet.

2. Die Folge (aν ) ist eine 1-Folge“, d.h. es ist lim aν = 1. ” ν→∞ Beweis:

(1) folgt direkt aus der Deﬁnition.

(2) Ohne Einschr¨ankung sind alle aν ungleich Null, da es ohnehin nur endlich viele Ausnahmen geben darf und die bei der Grenzwertbetrachtung unwichtig sind. n

Dann existiert der Grenzwert a := lim

n→∞ ν=1

aν = 0. Nun wird an als Quotient der

4.4

Der Weierstraß’sche Produktsatz

217

Partialprodukte dargestellt, an =

n ν=1

aν

! n−1

aν ,

ν=1

und es folgt lim an = a/a = 1. n→∞

F¨ ur unendliche Reihen steht ja schon ein perfekter Apparat zur Verf¨ ugung. Wir wollen nun die Theorie der unendlichen Produkte auf die der Reihen zur¨ uckf¨ uhren. Da liegt der Gedanke nahe, den Logarithmus zu verwenden, auch wenn die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus den Teufel im Detail bef¨ urchten l¨asst. Im ersten Schritt schreiben wir die Faktoren des Produktes in der Form aν = 1 + uν . F¨ ur die Existenz des Produktes der aν ist dann notwendig, dass die uν eine Nullfolge bilden.

4.4.2. Der Vergleich von unendlichen Produkten und Reihen ∞

Das unendliche Produkt dass f¨ ur alle ν ≥ ν0 gilt:

ν=1

(1 + uν ) existiert genau dann, wenn es ein ν0 gibt, so

1. uν ∈ {x ∈ R : x ≤ −1}, 2.

∞

log(1 + uν ) ist konvergent.

ν=ν0

Bemerkung: Mit log ist der Hauptzweig des nat¨ urlichen Logarithmus gemeint. Diese Bezeichnung behalten wir im ganzen Abschnitt bei. Mit dem Hauptzweig kommt man aus, weil die Faktoren gegen 1 konvergieren m¨ ussen und man deshalb annehmen kann, dass sie schon alle in einer kleinen Umgebung der Eins liegen. Beweis:

1) Angenommen, es gelten die beiden Bedingungen, dann ist n

n

(1 + uν ) =

ν=ν0

n exp ◦ log(1 + uν ) = exp log(1 + uν ) .

ν=ν0

ν=ν0

Weil die unendliche Summe existiert und die Exponentialfunktion stetig und daher mit dem Limes vertauschbar ist, gilt: ∞ ν=ν0

∞ (1 + uν ) = exp log(1 + uν ) . ν=ν0

Also existiert das Produkt im Sinne des zweiten Teils der Deﬁnition. ∞

2) Es existiere ν=1

(1 + uν ). Es sei ν1 so gew¨ahlt, dass 1 + uν = 0 f¨ ur alle ν ≥ ν1 ist,

und f¨ ur n ≥ ν1 sei

4 Meromorphe Funktionen

218

Pn :=

n

(1 + uν ).

ν=ν1

Dann existiert der Grenzwert P = limn→∞ Pn und ist ungleich Null. Weiterhin gibt es ein ν0 ≥ ν1 , so dass f¨ ur ν, μ ≥ ν0 gilt: 1 1. |Pν − Pμ | < |P |, da (Pn ) eine Cauchyfolge ist. 4 1 |P | < |Pμ |, weil die Pμ gegen P = 0 konvergieren. 2 1 1 ur alle ν > μ ≥ ν0 , d.h. Dann ist |Pν − Pμ | < |Pμ |, also Pν /Pμ − 1 < f¨ 2 2 2.

ν

(1 + uλ ) ∈ D1/2 (1)

f¨ ur ν > μ ≥ ν0 .

λ=μ+1

ur λ ≥ ν0 nicht in R− liegt, weil die Folge der Wir k¨onnen annehmen, dass 1 + uλ f¨ uλ gegen Null konvergiert. Der Grenzwert lim

n→∞

n

(1 + uλ )

λ=ν0 +1

liegt im abgeschlossenen Kreis D1/2 (1). Nun ist der Logarithmus auf alle Faktoren und den Grenzwert anwendbar, und aus seiner Stetigkeit ergibt sich ∞

log

(1 + uλ ) = log lim

n

n→∞

λ=ν0 +1

=

lim

n→∞

(1 + uλ ) = lim log

λ=ν0 +1 n

log(1 + uλ ) =

λ=ν0 +1

n→∞ ∞

n

(1 + uλ )

λ=ν0 +1

log(1 + uλ ).

λ=ν0 +1

Damit ist auch diese Richtung bewiesen.

Deﬁnition

(absolute Konvergenz unendlicher Produkte) ∞

Das unendliche Produkt ν=1

(1 + uν ) heißt genau dann absolut konvergent, wenn

ur alle ν ≥ ν0 gilt: es ein ν0 gibt, so dass f¨ 1. uν ∈ {x ∈ R : x ≤ −1}, 2.

∞ ν=ν0

log(1 + uν ) konvergiert absolut.

4.4

Der Weierstraß’sche Produktsatz

219

4.4.3. Kriterium fu ¨ r die absolute Konvergenz ∞

Das unendliche Produkt ∞ ν=1

ν=1

(1+uν ) konvergiert genau dann absolut, wenn die Reihe

uν absolut konvergiert.

Beweis:

Die Funktion

g(z) :=

log(1 + z)/z f¨ ur z = 0, ur z = 0 log (1) = 1 f¨

ist in z = 0 stetig. Daher gibt es eine oﬀene Umgebung U = Uε (0), so dass 1/2 < |g(z)| < 3/2 auf U gilt. Das liefert f¨ ur |z| < ε die Ungleichungskette 1 3 |z| ≤ |log(1 + z)| ≤ |z|, 2 2 und aus dieser folgt der Satz ganz leicht. Jetzt sollen unendliche Produkte von Funktionen betrachtet werden. Zur Erinnerung: Ist G ⊂ C ein Gebiet ∞ und (fν ) eine Folge stetiger Funktionen auf G, so heißt auf G normal konvergent, falls f¨ ur jede kompakte die Funktionenreihe ν=1 fν Teilmenge K ⊂ G die Reihe ∞ |f | konvergiert. ν=1 ν K

Deﬁnition

(normale Konvergenz unendlicher Produkte) ∞

Das Produkt konvergiert.

(1 + fν ) heißt auf G normal konvergent, falls

ν=1

∞ ν=1

fν normal

4.4.4. Grenzfunktionen normal konvergenter Produkte Sei (fν ) ⊂ O(G) eine Folge holomorpher Funktionen. Das Produkt

∞ ν=1

(1 + fν ) sei

auf G normal konvergent. Dann konvergiert die Folge der Partialprodukte Fn := n

ν=1

(1 + fν ) auf G kompakt gegen eine holomorphe Funktion.

Beweis:

Sei K ⊂ G kompakt. Dann ist

∞

|fν |K < ∞. Ist 0 < ε < 1/2, so gibt

ν=1

ur alle ν ≥ ν0 gilt. Wir w¨ahlen ε so klein, dass es ein ν0 , so dass |fν |K < ε f¨ 1 − log(1 + u) ≤ 1 f¨ ur |u| ≤ ε u 2 ist. Dann gilt die schon gezeigte Einschließung 3 1 fν (z) ≤ log(1 + fν (z) ≤ fν (z) f¨ ur ν ≥ ν0 und z ∈ K. 2 2

4 Meromorphe Funktionen

220

Mit dem Weierstraß-Kriterium folgt, dass vergiert. Deﬁnieren wir jetzt hn (z) :=

n

∞

ν=1

log(1 + fν ) auf K gleichm¨aßig kon-

log(1 + fν (z)),

ν=ν0

so konvergiert die Folge der hn auf G kompakt gegen eine holomorphe Funktion h, und dann konvergiert die Folge exp(hn ) nach Lemma 4.2.10 ebenfalls kompakt gegen exp(h). Außerdem gilt: ν −1 0 (1 + fν (z)) · exp(hn (z)). Fn (z) = ν=1

Damit konvergiert auch die Folge (Fn ) auf G kompakt gegen die holomorphe Funktion ν −1 0 F (z) := (1 + fν (z)) · exp(h(z)). ν=1

Das war zu zeigen.

Deﬁnition

(Nullstellenverteilungen)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Nullstellenverteilung (oder ein positiver Divisor) auf G besteht aus einer in G diskreten Menge D und einer Familie von nat¨ urlichen Zahlen (na )a∈D . Eine L¨osung der Nullstellenverteilung ist eine holomorphe Funktion f ∈ O(G), die genau in den Punkten a ∈ D Nullstellen der Ordnung na hat.

4.4.5. Weierstraß’scher Produktsatz Jede Nullstellenverteilung in C ist l¨osbar. Beweis: Sei D ⊂ C unendlich und diskret, (na )a∈D die Familie von Ordnungen. Wir schreiben D als Folge, D = {aν : ν ∈ N}, so dass die aν nach ihren Betr¨agen aufsteigend geordnet sind. Außerdem k¨onnen wir annehmen, dass jede Nullstellenordnung genau = 1 ist, indem wir jeden Punkt a ∈ D genau na -mal in der Folge auftreten lassen. Da D diskret in C ist, strebt die Folge der Betr¨age |aν | monoton gegen Unendlich. Betrachten wir nun f¨ ur n ∈ N0 die folgenden speziellen Funktionen: E0 (z) := 1 − z und

En (z) := (1 − z) · exp(z +

zn z2 + · · · + ) f¨ ur n ≥ 1. 2 n

Jedes En ist eine ganze Funktion mit genau einer Nullstelle bei z = 1.

4.4

Der Weierstraß’sche Produktsatz

221

Behauptung: F¨ ur |z| ≤ 1 ist |1 − En (z)| ≤ |z|n+1 . Beweis dazu: Wir bestimmen zun¨achst die erste Ableitung En (z) = − exp(z +

z2 zn + ··· + ) 2 n

+ (1 − z) · (1 + z + · · · + z n−1 ) · exp(z + = −z n · exp(z +

z2 zn + ··· + ) 2 n

∞ z2 zn aλ z λ , + · · · + ) = −z n · 2 n λ=0

mit reellen Koeﬃzienten aλ > 0, a0 = 1. Dann ist z 1 − En (z) = En (0) − En (z) = −

En (w)dw

0

=

∞ λ=0

z aλ

w

λ+n

dw =

∞

aλ

λ=0

0

∞ wλ+n+1 z n+1 · bλ z λ , =z λ+n+1 0 λ=0

aλ ≥ 0 sind. Sei wobei die bλ = λ+n+1 1 − En (z) = bλ z λ . z n+1 λ=0 ∞

ϕ(z) :=

F¨ ur |z| ≤ 1 folgt die Behauptung dann aus |ϕ(z)| ≤

∞ λ=0

bλ |z λ | ≤

∞

bλ = ϕ(1) = 1 − En (1) = 1.

λ=0

Mit Hilfe der En versuchen wir jetzt die Konstruktion einer L¨osung der Nullstellenverteilung. F¨ ur jedes ν ∈ N ist (bei Wahl einer zun¨achst v¨ollig beliebigen Zahl kν ∈ N) die Funktion Ekν (z/aν ) eine ganze Funktion, die genau in z = aν eine einfache Nullstelle hat. ∞ ∞ z

z Ek ν −1 Das Produkt ist holomorph auf C, falls die Summe Ekν aν aν ν=1 ν=1 normal auf C konvergiert. Wegen der gezeigten Absch¨atzung f¨ ur En folgt dies aus ∞ z kν +1 auf C. der kompakten Konvergenz von aν ν=1 Wir suchen also Zahlen kν , so dass gilt: kν +1 ∞ r < ∞ f¨ ur alle r > 0. |aν | ν=1

4 Meromorphe Funktionen

222

Versuchsweise setzen wir kν := ν − 1 f¨ ur alle ν. Ist r > 0 gegeben, dann existiert r 1 < f¨ ur alle ν ≥ ν0 . Dann ist ein ν0 , so dass |aν | 2 r kν +1 1 ν ≤ < ∞. |aν | 2 ν≥ν ν≥ν 0

Damit haben wir in f (z) = funden.

0

∞

Eν

ν=1

z eine L¨osung der Nullstellenverteilung geaν

Genauer haben wir sogar gezeigt:

4.4.6. Spezieller Weierstraß’scher Produktsatz Sei (aν ) eine Folge verschiedener komplexer Zahlen mit lim |aν | = ∞, a0 = 0. ν→∞ ∞ r kν +1 Außerdem sei eine Folge (nν ) von Vielfachheiten gegeben. Ist f¨ ur |aν | ν=1 jedes r > 0 konvergent, so ist k nν ∞ ν z 1 z μ n0 · exp 1− f (z) := z · aν μ aν ν=1 μ=1 eine ganze Funktion, die genau in den aν Nullstellen der Ordnung nν hat. Ist g eine weitere L¨osung der Nullstellenverteilung, so existiert eine ganze Funktion h, so dass g = f · exp(h) ist. Bemerkung: Die letzte Behauptung gilt, da der Quotient g/f eine ganze, nullstellenfreie Funktion ist, von der auf dem einfach zusammenh¨angenden Gebiet C ein Logarithmus existiert.

4.4.7. Beispiel Die Funktion f (z) := sin(πz) hat als Nullstellenverteilung lauter einfache Nullstellen, und zwar in allen ganzen Zahlen ν ∈ Z. Die Summe ∞ r 2 1 = 2r2 2 |ν| ν ν=1 ν=0 konvergiert f¨ ur jedes feste r. Deshalb setzen wir alle kν = 1 und machen den Ansatz

z z 1− · exp , sin(πz) = exp(h(z)) · z · ν ν ν=0 mit einer ganzen Funktion h. Wir versuchen, h zu bestimmen, indem wir auf beiden Seiten die logarithmische Ableitung (log f ) = f /f bilden:

4.4

Der Weierstraß’sche Produktsatz

223

π cot(πz) = = h (z) +

1 + z ν=0

h(z) + log z + 1 −1/ν + 1 − z/ν ν

ν=0

z z + log 1 − ν ν

= h (z) +

1 + z ν=0

1 1 + z−ν ν

Aus der Darstellung des Cotangens, die wir aus dem Satz von Mittag-Leﬄer gewonnen haben, ergibt sich, dass h (z) ≡ 0 sein muss, also h(z) ≡ c. Wir bestimmen nun noch die Konstante c. Aus

z π sin(πz) z = exp(c) exp 1− πz ν ν ν=0 folgt beim Grenz¨ ubergang f¨ ur z → 0 die Gleichung π = exp(c). Damit haben wir folgende Identit¨at bewiesen:

4.4.8. Produktdarstellung der Sinusfunktion sin(πz) = πz ·

∞

z z z2 1− 1− 2 . exp = πz · ν ν ν ν=1

ν=0

Bemerkung: Die konvergenzerzeugenden Faktoren heben sich weg, da u ¨ber alle ganzen Zahlen = 0 multipliziert wird.

4.4.9. Folgerung (Wallis’sche Formel) Eine Produktdarstellung f¨ ur π ist ∞ n π (2ν)2 (2ν)2 = = lim (2n + 1) · . 2 ν=1 (2ν − 1)(2ν + 1) n→∞ (2ν + 1)2 ν=1

Beweis: sich:

Setzt man z := 1/2 in der Produktdarstellung von sin(πz), so ergibt ∞ ∞

π π 1 π (2ν)2 − 1 1− = , = 1 = sin 2 2 ν=1 (2ν)2 2 ν=1 (2ν)2

(2ν)2 π = . 2 ν=1 (2ν − 1)(2ν + 1) ∞

also

Die zweite Darstellung folgt aus der ersten nach Betrachtung der Partialprodukte: n 42 62 (2n)2 22 (2ν)2 · · ··· = lim (2n + 1) · . lim n→∞ 1 · 3 3 · 5 5 · 7 (2n − 1)(2n + 1) n→∞ (2ν + 1)2 ν=1

4 Meromorphe Funktionen

224

4.4.10. Aufgaben A. Beweisen Sie die Gleichungen ∞

1−

k=2

1 1 = k2 2

∞

und

1+

k=2

(−1)k = 1. k

B. Beweisen Sie die Formeln N

1−

k=2

1 2 2 = 1+ k(k + 1) 3 N

N

1−

und

k=2

k3

2 2 1 = 1+ . +1 3 N (N + 1)

Was folgt daraus f¨ ur die entsprechenden unendlichen Produkte? C. Untersuchen Sie, ob die folgenden Produkte konvergieren, und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert: ∞

1+

k=1

D. Zeigen Sie, dass

∞

1 , k

∞

1 + z2

1−

k=2

n

1 k

und

∞

1+

k=1

i . k

in allen Punkten z mit |z| < 1 absolut konver-

n=0

giert.

E. Beweisen Sie die Gleichungen tan(z) =

∞ ν=1

8z (2ν − 1)2 π 2 − 4z 2

und

cos(πz) =

∞

1−

k=0

4z 2 . (2k + 1)2

1 eine holomorphe Funktion auf kz k=1 G := {z ∈ C : Re(z) > 1} gegeben wird.

F. Zeigen Sie, dass durch f (z) :=

∞

G. Zeigen Sie, dass durch das Produkt stellt wird.

1+

∞

1+

n=1

z2 eine ganze Funktion dargen2

ur alle f, g ∈ O(C) mit f (zn ) = g(zn ) f¨ ur alle H. Sei (zn ) eine Folge in C. F¨ n ∈ N folge stets f = g. Zeigen Sie, dass {zn : n ∈ N} einen H¨aufungspunkt besitzen muss. I. Sei f eine ganze Funktion, deren Nullstellen alle die Ordnung 2 haben. Dann gibt es eine ganze Funktion g mit g 2 = f .

4.5

4.5

Die Gamma-Funktion

225

Die Gamma-Funktion

Will man die Fakult¨aten von N auf reelle Argumente ausdehnen, so st¨oßt man auf nat¨ urliche Weise auf die reelle Gamma-Funktion. Diese l¨asst sich meromorph auf die komplexe Ebene fortsetzen. Im vorliegenden Abschnitt wird die komplexe Gamma-Funktion direkt als Kehrwert eines unendlichen Produktes von holomorphen Funktionen eingef¨ uhrt, wobei die etwas mysteri¨ose Euler’sche Konstante γ eine wichtige Rolle spielt. Die aus dem Reellen bekannte Integraldarstellung der Gamma-Funktion wird mit Hilfe von Grenzwerts¨atzen aus der Integrationstheorie hergeleitet. Unter Verwendung des Weierstraß’schen Produktsatzes wollen wir eine holomorphe oder meromorphe Funktion ﬁnden, die die Fakult¨aten interpoliert: f (n) = (n − 1)!

f¨ ur n ∈ N.

Das wird durch jede Funktion erreicht, die die folgende Funktionalgleichung erf¨ ullt: f (z + 1) = z · f (z)

und

f (1) = 1.

Bemerkungen: 1. f ist nicht eindeutig bestimmt! Ist f eine L¨osung des Problems, dann ist eine weitere L¨osung gegeben durch f1 (z) := f (z) · cos(2πz), denn es ist f1 (z + 1) = f (z + 1) · cos(2πz + 2π) = z · f1 (z). 2. Mehrfaches Anwenden der Funktionalgleichung ergibt:

und schließlich

f (z + 2) = (z + 1) · f (z + 1) = z · (z + 1) · f (z) .. . f (z + n) = z(z + 1) · · · (z + n − 1) · f (z) f (z + n + 1) = z(z + 1) · · · (z + n) · f (z),

also

1 1 1 · ··· · f (z + n + 1), z z+1 z+n−1 wobei die rechte Seite in der N¨ahe von z = −n holomorph ist (weil f (1) = 1 ist). Das bedeutet, dass f an der Stelle −n eine Polstelle 1. Ordnung besitzt. Außerdem ist (z + n) · f (z) =

1 f (z + n + 1) = (−1)n · . z→−n z(z + 1) · · · (z + n − 1) n!

lim (z + n) · f (z) = lim

z→−n

Also besitzt f an der Polstelle −n das Residuum

(−1)n . n!

4 Meromorphe Funktionen

226

Wir versuchen nun, f in der Form 1/g zu konstruieren, wobei g eine ganze Funktion sein soll, die einfache Nullstellen in z = −n hat, f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen inklusive Null. Dazu sei ∞ z z 1+ exp(− ). P (z) := n n n=1 ∞ r ( )2 f¨ ur jedes r > 0 konvergent n n=1 ist. Wir setzen jetzt g(z) := z · P (z). Dann ist g eine ganze Funktion, die genau die geforderten Nullstellen hat.

Das unendliche Produkt ist wohldeﬁniert, da

Als erstes versuchen wir, den Funktionswert f¨ ur z = 1 zu bestimmen: g(1) = P (1) =

∞

1+

n=1

1 1 exp − n n

ist eine positive, reelle Zahl, weil jeder Faktor es ist. Also ist der Logarithmus anwendbar, und es gilt − log P (1) =

lim

N 1

N →∞

n=1 N

n

− log(1 +

1 ) n

1 − log(n + 1) + log n = lim N →∞ n n=1 N 1 = lim − log(N + 1) . N →∞ n n=1

Bemerkung: Da log(N + 1) − log N = log (N + 1)/N f¨ ur große N gegen Null geht, ¨andert sich der Grenzwert nicht, wenn man in der Folge log(N + 1) durch log(N ) ersetzt.

Deﬁnition

(Euler’sche Konstante)

Die Zahl γ := lim

N →∞

N 1 n n=1

− log N

heißt Euler’sche Konstante (manchmal auch Euler-Mascheroni-Konstante). Sie wurde 1781 von Euler berechnet. Die ersten Dezimalstellen sind γ = 0.57721566490153286 . . .

Bisher ist ungekl¨art, ob γ eine rationale Zahl ist. Bekannt ist aber, dass der Nenner b – falls γ = a/b eine rationale Zahl ist – ziemlich groß sein muss, n¨amlich b > 1010000 .

4.5

Die Gamma-Funktion

227

Mit der obigen Deﬁnition ist g(1) = P (1) = exp(−γ). Wir arbeiten weiter am Aussehen von g: N

z z + n exp − g(z) = z · P (z) = lim z · N →∞ n n n=1 N z z(z + 1) · · · (z + N ) = lim · exp − N →∞ N! n n=1 Den Exponentialfaktor formen wir so um, dass beim Grenz¨ ubergang die Euler’sche Konstante auftritt: N N " # z 1 = exp −z − log N · exp(−z log N ) . exp − n n n=1 n=1 N −z →

exp(−γz) f¨ ur N →∞

Daraus ergibt sich z(z + 1) · · · (z + N ) . N! · Nz N +1 = 1. F¨ ur z = 1 erh¨alt man exp(γ) · g(1) = lim N →∞ N exp(γz) · g(z) = lim

N →∞

Deﬁnition

(Gamma-Funktion)

Die meromorphe Funktion Γ(z) :=

1 1 = z · exp(γz) · P (z) exp(γz)g(z)

heißt die Gamma-Funktion.

4.5.1. Eigenschaften der Gamma-Funktion 1. Die einzigen Singularit¨aten von Γ sind einfache Pole in z = −n, n ∈ N0 , mit Residuum (−1)n /n! 2. Γ(1) = 1 und Γ(z + 1) = z · Γ(z) außerhalb der Singularit¨aten. 3. Γ(n) = (n − 1)! f¨ ur n aus N. π f¨ ur z ∈ Z. 4. Es gilt die Erg¨anzungsformel“: Γ(z) · Γ(1 − z) = ” sin πz 5. Es gilt die Multiplikationsformel von Gauß/Euler: n! · nz . n→∞ z(z + 1) · · · (z + n)

Γ(z) = lim

Insbesondere ist Γ(x) ≥ 0 f¨ ur x ∈ R+ .

4 Meromorphe Funktionen

228

Beweis: 1) Ist z Polstelle von Γ, so ist z eine Nullstelle von g. Das bedeutet aber, dass z = 0 oder z eine Nullstelle von P ist, insgesamt also z = −n f¨ ur ein uberlegungen, sobald wir die n ∈ N0 . Die Residuen erhalten wir nach unseren Vor¨ Funktionalgleichung gepr¨ uft haben. 2) Die G¨ ultigkeit der Funktionalgleichung ergibt sich direkt aus den Eigenschaften der Funktion g:

Γ(1) = 1/ exp(γ) · g(1) = 1 ist klar, und es gilt N ! · N z+1 1 = lim N →∞ (z + 1)(z + 2) · · · (z + N + 1) exp γ(z + 1) g(z + 1) z·N N! · Nz = lim · lim = z · Γ(z). N →∞ z + N + 1 N →∞ z(z + 1) · · · (z + N )

Γ(z + 1) =

3) Folgt unmittelbar aus der Funktionalgleichung. 4) Zun¨achst untersuchen wir, wie sich g(z) · g(−z) verh¨alt. Es ist −g(z) · g(−z) = z 2 · P (−z) · P (z) = z 2 ·

∞

1−

n=1

z 2 z = · sin(πz), n π

wobei wir das unendliche Produkt schon als Folgerung des Weierstraß’schen Produktsatzes ausgerechnet hatten. Damit ergibt sich weiter Γ(z) · Γ(1 − z) = −zΓ(z)Γ(−z) =

−z π = . exp(γz) · g(z) · exp(−γz) · g(−z) sin πz

5) Die Multiplikationsformel ist klar.

4.5.2. Folgerung

1 √ = π. 2

Es gilt: Γ Beweis:

1 2

Γ

2

1

1 π =Γ ·Γ 1− = = π. 2 2 sin(π/2)

Weil Γ(1/2) ≥ 0 ist, ergibt sich die gew¨ unschte Formel.

4.5.3. Legendre’sche Verdopplungsformel Wenn z nicht in der Menge {0, − 12 , −1, − 32 , . . .} liegt, so gilt

1 1 Γ(2z) = √ · 22z−1 · Γ(z) · Γ z + . 2 π

4.5

Die Gamma-Funktion

229

Beweis: G := C \ {0, − 12 , −1, − 32 , . . .} ist ein Gebiet. Weil auf G beide Seiten der Gleichung holomorph sind, gen¨ ugt es, die Behauptung auf der einfach zusammenh¨angenden rechten Halbebene nachzurechnen und dann den Identit¨atssatz anzuwenden. In der rechten Halbebene hat Γ keine Nullstellen, also existiert dort log Γ. Wir betrachten die logarithmische Ableitung Ψ(z) :=

d Γ (z) = log Γ(z). Γ(z) dz

Dazu ben¨otigen wir zun¨achst eine Darstellung von log Γ: $ % log Γ(z) = − log(z) + γz + log P (z) . Dabei ist log P (z) =

∞ n=1

∞

z z z log 1 + log(z + n) − log n − − = , n n n n=1

und wir k¨onnen Ψ ausdr¨ ucken als 1 1 1 − − , z n=1 z + n n ∞

Ψ(z) = −γ − also Ψ als Ψ (z) =

1 1 1 + = . 2 2 z (z + n) (z + n)2 n=1 n=0 ∞

∞

Jetzt starten wir mit einer Abwandlung eines Teils der Verdopplungsformel: ∞ ∞ d2 1 1 1 1 ) = Ψ ) = log Γ(z) · Γ(z + (z) + Ψ (z + + 1 2 2 dz 2 2 (z + n) (z + 2 + n)2 n=0 n=0 =4

∞ n=0

1 d2 = 4Ψ (2z) = log (Γ(2z)) . (2z + n)2 dz 2

Zwei Funktionen, deren zweite Ableitungen gleich sind, unterscheiden sich h¨ochstens um eine aﬃn-lineare Funktion:

1 − log Γ(2z) = az + b, also log Γ(z) · Γ z + 2

Γ(z) · Γ z + 12 = eaz+b . Γ(2z) Zur Bestimmung der Konstanten a und b setzen wir z = 1 ein und erhalten √

π 1 1 1 = Γ = . ea+b = Γ 1 + 2 2 2 2

4 Meromorphe Funktionen

230

Setzen wir hingegen z = 1/2 ein, so ergibt sich als zweite Gleichung f¨ ur a und b:

1 √ = π. e(a/2)+b = Γ 2 Die Auﬂ¨osung der Bedingungen nach a und b ergibt ea =

1 4

und

√ eb = 2 π.

Daraus folgern wir e−(az+b) =

1 1 4z 22z−1 √ , √ √ = = = (ea )z eb (1/4)z · 2 π 2 π π

was die fehlenden Faktoren f¨ ur die Verdopplungsformel liefert.

4.5.4. Integraldarstellung der Γ-Funktion In der rechten Halbebene gilt ∞ Γ(z) =

e−t tz−1 dt.

0

Beweis: 1) F¨ ur Re(z) > 0 und t ∈ R+ sei f (z, t) := e−t tz−1 und F (z) := ∞ f (z, t) dt. Wir untersuchen zun¨achst F (x) f¨ ur reelles x ≥ 1. 0

Bekanntlich ist lim (1 + h)1/h = e, woraus sich leicht ableiten l¨asst, dass die Folge h→0

an := (1 − t/n)n gegen e−t konvergiert. Außerdem ist n − t n n − 1 n−1 an = · an−1 n n−t−1 (n − t)(n − 1) n n − t − 1 = · n(n − t − 1) n−1 n n−t−1 t = 1+ 2 · n − tn − n n−1 n−t−1 t > 1+ · (Bernoulli’sche Ungleichung) n−t−1 n−1 n−t−1 n−1 · = 1, = n−t−1 n−1 die Folge also monoton wachsend. n t n x−1 t dt. Dann ist F¨ ur reelles x ≥ 1 sei Γn (x) := 1− n 0

4.5

Die Gamma-Funktion

231

n 0

n x t t n x−1 t n tx t=n t n−1 −1 1− t dt = 1 − · − · ·n· 1− dt n n x t=0 x n n =

1 x

0

n

1−

0

t n−1 n

tx dt

.. . 1 1 n! 1 · ··· · = x x+1 x + n − 1 nn

n

tx+n−1 dt

0

n! · nx+n = x(x + 1) · · · (x + n − 1) · nn · (x + n) nx · n! , = x(x + 1) · · · (x + n) also lim Γn (x) = Γ(x), f¨ ur x ≥ 1. n→∞

Nun sei χn := χ[0,n] die charakteristische Funktion des Intervalls [0, n]. Dann konvergiert die monoton wachsende Folge der integrierbaren Funktionen t n x−1 t χn (t) 1 − n f¨ ur festes x ≥ 1 auf R+ gegen f (x, t) = e−t tx−1 . Aus dem Satz von Beppo Levi folgt, dass auch t → f (x, t) integrierbar ist, und ∞ ∞ t n x−1 lim Γn (x) = lim χn (t) 1 − t dt = e−t tx−1 dt. n→∞ n→∞ 0 n 0 Also ist F (x) = Γ(x) f¨ ur reelles x ≥ 1. 2) Die Behauptung des Satzes ergibt sich nun aus dem Identit¨atssatz, wenn wir gezeigt haben, dass F eine holomorphe Funktion auf der rechten Halbebene ist. Aus der Reellen Analysis ist bekannt, dass f (x, t) sogar f¨ ur jedes x > 0 u ¨ber R+ integrierbar ist. Weil dann auch

und

Re f (z, t) = e−t tx−1 · cos(y log t) Im f (z, t) = e−t tx−1 · sin(y log t).

integrierbar sind, folgt die Existenz des Integrals ∞ F (z) = 0

f¨ ur jedes z mit Re(z) > 0.

e−t tz−1 dt

4 Meromorphe Funktionen

232

Der Integrand f (z, t) = e−t tz−1 = e−t · exp (z − 1) ln t ist f¨ ur festes t > 0 auf C holomorph. Sei nun K eine kompakte Teilmenge der rechten Halbebene. Dann gibt es reelle Zahlen 0 < α < β, so dass α ≤ Re(z) ≤ β f¨ ur alle z ∈ K gilt. Ist z ∈ K und 0 < t ≤ 1, so ist |tz−1 | ≤ tα−1 . Ist 1 < t < ∞, so ist |tz−1 | ≤ tβ−1 .

α−1 −1 Weil ϕ(t) := e · max t , tβ−1 auf R+ integrierbar und |f (z, t)| ≤ ϕ(t) ist, folgt aus dem Lemma am Schluss dieses Abschnittes, dass F holomorph auf der rechten Halbebene ist.

4.5.5. Folgerung Es gilt:

∞

1√ π. 2

2

e−x dx =

0

Beweis: Als Folgerung aus der Multiplikationsformel f¨ ur die Γ-Funktion hatten

1 √ = π festgehalten. Mit der Integraldarstellung ergibt das wir Γ 2 √

1 π=Γ = 2

∞

−t −1/2

e t 0

∞ dt =

−s2

e 0

1 · · 2s ds = 2 s

∞

2

e−s ds,

0

wobei die Substitution t = s2 verwendet wurde.

4.5.6. Lemma (u ¨ ber holomorphe Parameterintegrale) Sei G ⊂ C ein Gebiet, I ⊂ R ein (endliches oder unendliches) Intervall und f : G × I → C eine Funktion, die f¨ ur fast alle t ∈ I holomorph auf G und f¨ ur alle z∈Gu ber I integrierbar. Außerdem gebe es zu jeder kompakten Teilmenge K ⊂G ¨ eine integrierbare Funktion ϕ : I → R, so dass |f (z, t)| ≤ ϕ(t) f¨ ur z ∈ K und t ∈ I gilt. Dann ist F (z) := I f (z, t) dt auf G holomorph und F (z) = fz (z, t) dt. I

Beweis: Sei z0 ∈ G ein beliebiger Punkt, 0 < r < R und DR (z0 ) ⊂⊂ G. Dann liefert die Cauchy’sche Integralformel f¨ ur z ∈ Dr (z0 ) und fast alle t ∈ I : 1 1 1 − f (ζ, t) f (z, t) − f (z0 , t) = dζ 2π i ∂DR (z0 ) ζ − z ζ − z0 z − z0 1 dζ. f (ζ, t) = 2π i ∂DR (z0 ) (ζ − z)(ζ − z0 )

4.5

Die Gamma-Funktion

233

Auf der kompakten Menge K := DR (z0 ) werde f durch die integrierbare Funktion ϕ majorisiert. Dann gilt f¨ ur fast alle t ∈ I : f (z, t) − f (z0 , t) f (ζ, t) = 1 dζ z − z0 2π ∂DR (z0 ) (ζ − z)(ζ − z0 ) f (ζ, t) 1 · 2πR · sup ≤ 2π (ζ − z)(ζ − z ) 0 ζ∈∂DR (z0 ) ≤

R · ϕ(t) . (R − r)2

Sei (zn ) eine Folge in Dr (z0 ) \ {z0 }, die gegen z0 konvergiert, sowie Fn (t) :=

f (zn , t) − f (z0 , t) f¨ ur t ∈ I. zn − z0

Dann sind alle Fn integrierbar und durch die integrierbare Funktion R·ϕ(t)/(R−r)2 Lebesgue-beschr¨ankt. Also ist auch ∂f (z0 , t) = lim Fn (t) n→∞ ∂z

t → integrierbar, und es existiert

f (zn , t) − f (z0 , t) lim dt n→∞ I zn − z0 ∂f = (z0 , t) dt. lim Fn (t) dt = n→∞ I I ∂z ur Also ist F in z0 komplex diﬀerenierbar und F (z0 ) = I fz (z0 , t) dt. Das gilt f¨ jeden Punkt z0 ∈ G. F (zn ) − F (z0 ) = n→∞ zn − z0 lim

Zum Schluss dieses Abschnittes soll noch ein Bild der Gamma-Funktion gezeigt werden. Dabei beschr¨anken wir uns auf den Absolutbetrag. Man sieht deutlich die Polstellen bei 0, −1, −2 usw., sowie das extrem steile Wachstum f¨ ur x → ∞.

z

2 1 0 -1

y

-2 -

3 2 1 0 4 2 0 -2

x

4 Meromorphe Funktionen

234

4.5.7. Aufgaben A. Zeigen Sie: Die Folge an :=

n 1 ν=1

ν

− ln n ist positiv und monoton fallend.

B. Zeigen Sie f¨ ur die Funktion Ψ folgende Eigenschaften: (a) Ψ(1) = −γ. (b) Ist HN := N ur alle N ∈ N. n=1 1/n, so ist Ψ(N ) = −γ + HN −1 f¨ 1 (c) Es ist Ψ(z + 1) = Ψ(z) + . z Folgern Sie die Gleichung Γ (1) = −γ. C. Sei QR := [0, R] × [0, R] und SR := {re i t : 0 ≤ r ≤ R und 0 ≤ t ≤ π/2}, 2 2 sowie f (x, y) := e−(x +y ) x2m−1 y 2n−1 (f¨ ur m, n ∈ N). Zeigen Sie (mit Hilfe von Polarkoordinaten): f (x, y) dx dy = lim f (x, y) dx dy. lim R→∞

R→∞

QR

SR

Folgern Sie daraus: Γ(m)Γ(n) = 4

∞

2

e−r r2(m+n)−1 dr

0

und

π/2

π/2

cos2m−1 t sin2n−1 t dt

0

cosm−1 t sinn−1 t dt =

0

1 Γ(m/2)Γ(n/2) · . 2 Γ(m/2 + n/2)

D. Beweisen Sie die Gleichung √ 1 Γ(z + 1)Γ(z + ) = π 4−z Γ(2z + 1). 2 E. Beweisen Sie die Integraldarstellungen Γ(z) = und

1 e2π i z − 1

1 1 = Γ(z) 2π i

e−ζ ζ z−1 dζ

η+

eζ ζ −z dζ,

η−

wobei folgende Integrationswege zu benutzen sind:

η+ δ

η− δ

4.6

4.6

Elliptische Funktionen

235

Elliptische Funktionen

Die reelle Analysis w¨are undenkbar ohne periodische Funktionen (mit Sinus und Cosinus als prominentesten Vertretern). Auch in der komplexen Analysis haben wir schon periodische Funktionen kennengelernt, allen voran die Exponentialfunktion mit der Periode 2π i . Allerdings stehen uns in der komplexen Ebene zwei Dimensionen zur Verf¨ ugung, was die M¨oglichkeit doppelt-periodischer“ Funktionen er¨oﬀnet. ” Solche Funktionen werden auch elliptisch“ genannt (aus Gr¨ unden, die wir erst am ” Ende des n¨achsten Kapitels darlegen k¨onnen), und sie stellen das Thema dieses Abschnittes dar. Es wird sich zeigen, dass die nicht-konstanten elliptischen Funktionen zwangsl¨auﬁg meromorph sind, und dass die Gesamtheit aller elliptischen Funktionen eine einfache algebraische Struktur besitzt. Tats¨achlich stellen die elliptischen Funktionen ein faszinierendes Bindeglied zwischen Analysis, Algebra und Geometrie dar. Eine Ahnung davon sollen die Anmerkungen am Ende des n¨achsten Kapitels geben.

Deﬁnition

(Perioden einer Funktion)

Ist f eine meromorphe Funktion auf C, so bezeichne Df den Deﬁnitionsbereich, also C ohne die Polstellen von f . Eine Zahl ω ∈ C heißt Periode von f , falls gilt: f (z) = f (z + ω) f¨ ur alle z ∈ Df . Mit Per(f ) bezeichnen wir die Menge aller Perioden von f . Bemerkungen: 1. In jedem Falle ist 0 ∈ Per(f ). Ist f konstant, so ist Per(f ) = C. 2. Sind ω1 und ω2 Perioden von f , so ist auch ω1 + ω2 eine Periode von f . 3. Ist ω eine Periode von f , so ist auch −ω eine Periode von f . Beweis: f (z − ω) = f ((z − ω) + ω) = f (z). 4. Ist z eine Polstelle von f und ω eine Periode von f , so ist auch z + ω eine Polstelle von f . Beweis: Konvergiert (zν ) ∈ Df gegen z + ω, so konvergiert (zν − ω) gegen z und |f (zν )| = |f (zν − ω)| gegen ∞. Ist also z ∈ Df , aber z + ω ∈ Df , so ist ω keine Periode.

4.6.1. Die Periodengruppe einer Funktion Sei f eine nicht-konstante meromorphe Funktion auf C. Dann ist Per(f ) eine diskrete Untergruppe von (C, +).

4 Meromorphe Funktionen

236

Beweis: Oﬀensichtlich ist Per(f ) eine additive Gruppe. Angenommen, Per(f ) ist nicht diskret. F¨ ur z0 ∈ Df ist dann die Menge Mz0 := {z0 + ω : ω ∈ Per(f )} ⊂ Df auch nicht diskret, aber die Einschr¨ankung f|Mz0 ist konstant. Nach dem Identit¨atssatz ist f dann sogar auf dem ganzen Gebiet Df konstant. Widerspruch! Eine meromorphe Funktion f auf C heißt periodisch, falls Per(f ) = {0} ist. Wir werden nun zeigen, dass bei periodischen Funktionen genau drei F¨alle auftreten k¨onnen: 1. Ist Per(f ) = C, so ist f konstant. 2. Ist Per(f ) zyklisch, also Per(f ) = Zω f¨ ur ein ω = 0, so heißt f einfachperiodisch. Ein Beispiel ist die Exponentialfunktion. Man kann zeigen: Ist f einfach-periodisch, so besitzt f eine Fourier-Entwicklung ∞ 2π i z cn · exp , f (z) = ω n=−∞ wobei sich die Koeﬃzienten angeben lassen durch 1 cn = ω

a+ω 2π i nz f (z) · exp − dz. ω a

3. Es bleibt nur der Fall u ¨brig, dass f nicht konstant und die Gruppe Per(f ) nicht zyklisch ist. Da Per(f ) diskret ist, kann man ein ω1 ∈ Per(f ) \ {0} mit minimalem Betrag ﬁnden. Und da Per(f ) nicht zyklisch ist, existiert ein ω2 ∈ Per(f ) \ Z · ω1 mit minimalem Betrag. Zun¨achst zeigen wir, dass ω1 und ω2 linear unabh¨angig u ¨ber R sind. Wenn urlich nicht, dann w¨are der Quotient ω2 /ω1 reell, aber nicht ganzzahlig. Nat¨ gibt es dann eine ganze Zahl n, so dass n < ω2 /ω1 < n + 1 gilt. Daraus folgt: 0 < ω2 /ω1 − n < 1

und

0 < |ω2 − nω1 | < |ω1 |.

Aber ω2 − nω1 ist eine Periode ungleich Null. Das ist ein Widerspruch zur Wahl von ω1 ! Das abgeschlossene Dreieck Δ mit den Ecken 0, ω1 und ω2 kann nur endlich viele Perioden enthalten. Ersetzt man ω2 durch ein anderes ω ∈ Δ∩Per(f ), so dass ω1 und ω ebenfalls linear unabh¨angig sind, so enth¨alt das Dreieck mit den Ecken 0, ω1 und ω mindestens eine Periode weniger. Man kann also gleich von Anfang an ω2 so w¨ahlen, dass Δ mit Ausnahme der Ecken u ¨berhaupt keine Periode mehr enth¨alt.

4.6

Elliptische Funktionen

237

Nun sei P = {z = x1 ω1 + x2 ω2 : 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1} das Parallelogramm mit den Ecken 0, ω1 , ω2 und ω1 + ω2 . ω2

ω1 + ω2

Δ ω 0

r

rω

Δ ω1

In Δ gibt es nach Konstruktion außer 0, ω1 und ω2 keine Perioden. Mit Δ sei das Dreieck mit den Ecken ω1 , ω1 +ω2 und ω2 bezeichnet, dann ist P = Δ∪Δ . Angenommen, es g¨abe neben ω1 , ω1 + ω2 und ω2 noch ein weiteres ω ∈ Δ ∩ Per(f ). Dann setze man ω := ω1 + ω2 − ω . Weil ω + ω = ω1 + ω2 ist, also ω −ω2 = ω1 −ω und ω2 −ω = ω −ω1 , sind ω und ω gegen¨ uberliegende Ecken eines Parallelogramms, das die Strecke von ω1 nach ω2 als Diagonale besitzt. Das geht nur, wenn ω ∈ Δ ∩ Per(f ) ist. Aber dann m¨ usste ω = 0 (und damit ω = ω1 + ω2 ) oder ω = ω1 (und damit ω = ω2 ) oder ω = ω2 (und damit ω = ω1 ) sein. Dies widerspricht der Wahl von ω . Wir haben damit gezeigt: Die einzigen Perioden in P sind die Punkte 0, ω1 , ω2 und ω1 + ω2 . Behauptung: Es ist Per(f ) = Z·ω1 +Z·ω2 , d.h. die Menge der Perioden bildet ein ganzzahliges Gitter, erzeugt von ω1 und ω2 . Beweis: Ist ω ∈ Per(f ) beliebig, so existieren reelle Zahlen λ1 , λ2 , so dass ω = λ1 ω1 + λ2 ω2 ist. Wir schreiben λ1 = m1 + ε1 und λ2 = m2 + ε2 , mit ganzen Zahlen m1 , m2 und 0 ≤ ε1 , ε2 < 1. Dann geh¨ort ω := ε1 ω1 + ε2 ω2 = (λ1 − m1 )ω1 + (λ2 − m2 )ω2 = ω − m1 ω1 − m2 ω2 zu P ∩ Per(f ), muss also = 0 sein. Damit folgt: ω ∈ Z · ω1 + Z · ω2 .

Deﬁnition

(Periodengitter und elliptische Funktionen)

Sind ω1 , ω2 ∈ C zwei u ¨ber R linear unabh¨angige Vektoren, so nennt man Γ := Z · ω1 + Z · ω2 ein Periodengitter. Eine meromorphe Funktion f ∈ M(C) heißt doppeltperiodisch oder elliptisch (bez¨ uglich Γ), falls Γ ⊂ Per(f ) ist. Bemerkungen: 1. Ist Γ ein Periodengitter, so ist eine meromorphe Funktion f genau dann elliptisch bez¨ uglich Γ, wenn f konstant ist oder wenn es ein Gitter Γ0 mit Γ ⊂ Γ0 = Per(f ) gibt.

4 Meromorphe Funktionen

238

Mit K(Γ) sei die Menge aller elliptischen Funktionen bez¨ uglich Γ bezeichnet. Oﬀensichtlich ist K(Γ) ein Unterk¨orper von M(C), der C in Gestalt der konstanten Funktionen enth¨alt. 2. Mit f ∈ K(Γ) geh¨ort immer auch die Ableitung f zu K(Γ). Zum Beweis deﬁnieren wir f¨ ur jedes ω ∈ Γ die Translation Tω (z) := z + ω. F¨ ur jede Funktion f ∈ K(Γ) gilt dann: f ◦ Tω = f . Mit der Kettenregel folgt die Behauptung aus f (z) = (f ◦ Tω ) (z) = f (Tω (z)) · Tω (z) = (f ◦ Tω )(z).

Deﬁnition

(Periodenparallelogramm)

Sei f ∈ M (C), Per(f ) = Zω1 + Zω2 und a ∈ C beliebig. Die Menge Pa := {a + z : z = x1 ω1 + x2 ω2 ; 0 ≤ xi < 1 f¨ ur i = 1, 2} heißt Periodenparallelogramm von f bei a. Bemerkung: Weil die Polstellen von f diskret in C liegen, ist es m¨oglich, ein Periodenparallelogramm so auszuw¨ahlen, dass f keine Polstellen auf dem Rand hat. Um Informationen u ¨ber f zu gewinnen, reicht die Untersuchung in einem Periodenparallelogramm.

4.6.2. Erster Liouville’scher Satz Ist Γ ein Periodengitter und f ∈ K(Γ) holomorph, so ist f konstant. Beweis: Ist Γ = Zω1 + Zω2 ⊂ Per(f ), so betrachten wir das abgeschlossene Periodenparallelogramm P := {x1 ω1 + x2 ω2 : 0 ≤ xi ≤ 1 f¨ ur i = 1, 2}. Da P kompakt ist, sind die Werte der holomorphen Funktion f auf P beschr¨ankt. Wegen der Elliptizit¨at ist f dann aber sogar auf ganz C beschr¨ankt und nach dem Satz von Liouville konstant.

4.6.3. Zweiter Liouville’scher Satz Ist f elliptisch und Pa ein Periodenparallelogramm, dessen Rand keine Polstelle von f enth¨alt, so gilt: resz (f ) = 0. z∈Pa

Beweis:

Der Residuensatz liefert die Gleichung

4.6

Elliptische Funktionen

239

z∈Pa

1 resz (f ) = 2π i

f (ζ)dζ, ∂Pa

und dabei ist

a+ω 1

f (ζ) dζ =

a+ω 1 +ω2

f (ζ) dζ −

f (ζ) dζ + a

∂Pa

a+ω 1 +ω2

a+ω1

a+ω 2

f (ζ) dζ − a+ω2

f (ζ) dζ = 0. a

Je zwei der Integrale heben sich gegenseitig auf, weil die gleichen Werte in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden.

4.6.4. Folgerung Ist Γ ein Periodengitter und f ∈ K(Γ) nicht konstant, so hat f in Pa mindestens zwei Polstellen (oder eine Polstelle der Ordnung 2). Beweis:

Klar, eine einfache Polstelle h¨atte ein Residuum = 0.

4.6.5. Dritter Liouville’scher Satz Ist Γ ein Periodengitter und f ∈ K(Γ) nicht konstant, so nimmt f im Periodenparallelogramm Pa jeden Wert aus C (mit Vielfachheiten gez¨ahlt) gleich oft an. Die logarithmische Ableitung f /f ist elliptisch. Daher ist f 0= resz = Anzahl der Nullstellen − Anzahl der Polstellen, f z∈P

Beweis:

a

wobei wir das Argumentprinzip benutzt haben. Wenden wir außerdem die Gleichung auf die (elliptische) Funktion f − c an, so folgt, dass f gleich viele c-Stellen wie Polstellen hat. Die einfachste nicht-konstante elliptische Funktion w¨are eine doppelt-periodische meromorphe Funktion, die in jedem Gitterpunkt eine Polstelle zweiter Ordnung aufweist. Wir versuchen, nach Mittag-Leﬄer eine solche Funktion zu konstruieren. ur hω (z) = 1/(z − ω)2 sei der Hauptteil der gesuchten Funktion im Punkt ω ∈ Γ. F¨ |z| < |ω| gilt dann: 1 1 1 1 hω (z) = · = · ω ω 2 (1 − z/ω)2 ω2 1 − z/ω ∞ ∞ ∞ z ν ν−1 z ν νz 1 1 = = = (ν + 1) . · ω ω ω ν+1 ω2 ν=0 ω ν=0 ν=1 Das nullte Taylor-Polynom ist pω (z) := 1/ω2 . Wir wollen es als konvergenzerzeu” genden Summanden“ benutzen und untersuchen die Diﬀerenz

4 Meromorphe Funktionen

240

1 ω 2 − (z 2 + ω 2 − 2zω) 1 |z| · |2ω − z| − . = = 2 2 2 2 (z − ω) ω (z − ω) ω |ω|2 · |z − ω|2

Das Majorantenkriterium wird liefern, dass die Reihe u ¨ber diese Diﬀerenzen konvergiert. Dazu m¨ ussen wir absch¨atzen. Ist |z| ≤ R und |ω| ≥ 2R (was f¨ ur fast alle ω gilt), so gilt: R · (2|ω| + R) R · 3|ω| 12R |z| |2ω − z| ≤ < = . 2 2 2 2 2 2 |ω| · |z − ω| |ω| · (|ω| − R) |ω| · (|ω|/2) |ω|3 ur betrachten wir Es gen¨ ugt zu zeigen, dass die Reihe ω=0 1/|ω|3 konvergiert. Daf¨ die R¨ander von Parallelogrammen ∂Qn := {z = xω1 + yω2 : max(|x|, |y|) = n}. Der n-te Rand enth¨alt genau 8n Gitterpunkte. Ist k := dist(0, ∂Q1 ), so ist dist(0, ∂Qn ) = n · k. Damit zeigen wir die Konvergenz: ω∈Γ\{0}

∞ ∞ 1 1 1 = ≤ 3 3 |ω| |ω| dist(0, ∂Qn )3 n=1 ω∈∂Q n=1 ω∈∂Q n

=

∞

8n ·

n=1

Deﬁnition

n

∞ 1 8 1 = < ∞. (kn)3 k 3 n=1 n2

(Weierstaß’sche ℘-Funktion)

Ist Γ ein Periodengitter, so heißt 1 1 1 − ℘(z) := 2 + z (z − ω)2 ω 2 ω∈Γ\{0}

die Weierstraß’sche ℘-Funktion. Wir werden sehen, dass die ℘-Funktion die wichtigste elliptische Funktion ist. Die Konvergenz der Reihe haben wir oben gezeigt. Es fehlt noch die Elliptizit¨at: ℘ hat Polstellen der Ordnung 2 in Γ, sonst ist die Funktion u ¨berall holomorph. Wegen der kompakten Konvergenz k¨onnen wir die Ableitung ℘ berechnen, indem wir die Reihe gliedweise diﬀerenzieren: ℘ (z) =

ω∈Γ

−2 . (z − ω)3

Da u uglich Γ. Ist ¨ber alle ω aus Γ summiert wird, ist die Ableitung periodisch bez¨ ω0 ∈ Γ, so gilt :

4.6

Elliptische Funktionen

241

d

℘(z + ω0 ) − ℘(z) = ℘ (z + ω0 ) − ℘ (z) = 0. dz Deshalb ist die Diﬀerenz ℘(z + ω0 ) − ℘(z) eine Konstante c(ω0 ), die noch von der Wahl von ω0 abh¨angen kann. Die ℘-Funktion ist aber gerade, d.h. ℘(z) = ℘(−z), was direkt aus der Summendarstellung folgt. Damit bestimmen wir nun die Konstanten, die zu den beiden Erzeugenden von Γ geh¨oren. Ist ω aus {ω1 , ω2 }, so gilt:

ω

ω

ω

ω =℘ − +ω =℘ − + c(ω) = ℘ + c(ω). ℘ 2 2 2 2 Also muss c(ω) gleich Null sein. Da das f¨ ur die beiden Erzeuger von Γ gilt, ist ℘ periodisch bez¨ uglich Γ. F¨ ur den n¨achsten Satz ben¨otigen wir die Laurent-Entwicklung der ℘-Funktion im Nullpunkt. Dabei hilft die geometrische Reihe: ' ' & & 1 1 1 1 1 1 − = − 1 = − 1 ω (z − ω)2 ω 2 ω 2 (1 − z/ω)2 ω2 1 − z/ω ∞ ∞ z νz ν−1 1 1 ν −1 ( ) −1 = 2 ω = 2 ω ω ω ω ων ν=0 ν=0 ∞ ∞ νz ν−1 1 νz ν−1 = . − = ων+1 ω2 ων+1 ν=1 ν=2 Eingesetzt in die Darstellung von ℘ ergibt das ⎛ ⎞ ∞ ∞ νz ν−1 1 1 1 ⎠ z ν−1 . ℘(z) = 2 + = 2+ ν⎝ ν+1 ν+1 z ω z ω ν=2 ν=2 ω∈Γ\{0}

ω∈Γ\{0}

Weil die innere Reihe bei geradem ν verschwindet, sieht die Laurent-Entwicklung der ℘-Funktion im Nullpunkt folgendermaßen aus: 1 + C2μ · z 2μ , 2 z μ=1 ∞

℘(z) =

mit C2μ = (2μ + 1)

ω∈Γ\{0}

1 . ω2μ+2

4.6.6. Diﬀerentialgleichung der ℘-Funktion Die ℘-Funktion erf¨ ullt die Diﬀerentialgleichung (℘ (z))2 = 4℘(z)3 − g2 · ℘(z) − g3 mit

g2 = 60

ω∈Γ\{0}

1 ω4

und

g3 = 140

ω∈Γ\{0}

1 . ω6

4 Meromorphe Funktionen

242

Beweis:

Es ist g2 = 20C2 und g3 = 28C4 .

Da auf beiden Seiten der zu beweisenden Gleichung meromorphe Funktionen stehen, gen¨ ugt es wegen des Identit¨atssatzes, die Gleichheit nahe Null zu zeigen. Zun¨achst berechnen wir die f¨ uhrenden Terme auf beiden Seiten der Gleichung in der ben¨otigten Genauigkeit: 1 1 + z 2 (C2 + C4 z 2 + . . .) = 2 + z 2 · g(z) z2 z (mit einer nahe 0 holomorphen Funktion g(z) = C2 + C4 z 2 + · · · ), 1 3 ℘(z)3 = 6 + 2 g(z) + 3z 2 g(z)2 + z 6 g(z)3 z z 1 3C2 = 6 + 2 + 3C4 + z 2 · h(z) z z (mit einer nahe 0 holomorphen Funktion h), 2 2 ℘ (z) = − 3 + 2C2 z + 4C4 z 3 + . . . = − 3 + z · (2C2 + 4C4 z 2 + . . .) z z und damit 4 4 (℘ (z))2 = 6 − 3 (2C2 z + 4C4 z 3 + . . .) + (2C2 z + 4C4 z 3 + . . .)2 z z 4 8C2 = 6 − 2 − 16C4 + z 2 · k(z) z z (mit einer nahe 0 holomorphen Funktion k). ℘(z) =

Jetzt deﬁnieren wir f als Diﬀerenz der beiden Seiten der Diﬀerentialgleichung: f (z) := (℘ (z))2 − 4℘(z)3 + 20C2 ℘(z) + 28C4 . In der N¨ahe des Nullpunktes ist dann f (z) =

4 8C2 4 12C2 − 2 − 16C4 + z 2 k(z) − 6 − 2 − 12C4 + 4z 2 h(z) 6 z z z z 20C2 2 2 + 2 + 20z g(z) + 28C4 = z · u(z), z

mit der nahe Null holomorphen Funktion u(z) = k(z) + 4h(z) + 20g(z). f ist eine elliptische Funktion, die im Periodenparallelogramm h¨ochstens im Nullpunkt eine Polstelle haben kann. Aber gerade haben wir gesehen, dass f dort holomorph ist. Also muss f konstant sein. Und weil f (0) = 0 ist, verschwindet f identisch. Damit ist die G¨ ultigkeit der Diﬀerentialgleichung gezeigt. Die Existenz der Diﬀerentialgleichung f¨ ur die ℘-Funktion ist erstaunlich, und sie zieht erstaunliche Konsequenzen nach sich. Um ihre Bedeutung klarzumachen, erlauben wir uns einen kleinen Abstecher in die reelle Analysis. Die Formel f¨ ur die Ableitung der Umkehrfunktion liefert z.B. die Beziehung 1 1 ds √ √ = , also arccos(s) = . arccos (s) = 2 cos (arccos(s)) 1−s 1 − s2

4.6

Elliptische Funktionen

243

Die trigonometrischen Funktionen kann man deuten als Umkehrfunktionen von unbestimmten Integralen der Form ds/ P (s) mit quadratischen Polynomen P (s). Setzen wir nun P (u) := 4u3 − g2 u − g ur 3 , so folgt aus der Diﬀerentialgleichung f¨ die ℘-Funktion die Beziehung ℘ (z) = P (℘(z)), also

−1 1 du 1 −1

(℘(z)) = ℘ und ℘ (u) = . = ℘ (z) P (℘(z)) P (u) Die Umkehrung der ℘-Funktion ist ein sogenanntes elliptisches Integral. Mehr dar¨ uber wird in den Anwendungen zu Kapitel 5 berichtet werden. Zum Abschluss wollen wir zeigen, dass jede elliptische Funktion durch ℘ und ℘ dargestellt werden kann.

4.6.7. Die Struktur des K¨ orpers der elliptischen Funktionen Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion in ℘ und ℘ . Beweis: Es sei eine elliptische Funktion f zum Periodengitter Γ gegeben. Zun¨achst zerlegen wir f in einen geraden Anteil f + und einen ungeraden Anteil f − : f + (z) =

f (z) + f (−z) 2

und

f − (z) =

f (z) − f (−z) . 2

Da sowohl f − als auch ℘ ungerade sind, ist der Quotient f − /℘ gerade. Weil sich f = f + + ℘ · (f − /℘ ) aus ℘ und geraden elliptischen Funktionen zusammensetzt, reicht es, die Behauptung f¨ ur gerade elliptische Funktionen zu zeigen. Sei also f gerade. 1. Fall: f habe im Periodenparallelogramm P = P0 nur in 0 eine Polstelle. Die Laurententwicklung von f im Nullpunkt hat die Gestalt f (z) = a−2n z −2n + · · · , also hat g := f − a−2n ℘n in Null eine Polstelle kleinerer Ordnung. Im Falle n = 1 muss g eine Konstante sein und allgemein erh¨alt man per Induktion, dass f ein Polynom in ℘ ist. 2. Fall: f habe (weitere) Polstellen a1 , . . . , aN in P . W¨ahlt man Exponenten k1 , . . . , kN groß genug, so hat h(z) := f (z) ·

N

(℘(z) − ℘(aj ))kj

j=1

in den aj h¨ochstens hebbare Singularit¨aten. Wendet man das Ergebnis vom 1. Fall an, so erh¨alt man die Behauptung. Ist C(z) der K¨orper der rationalen Funktion auf C, so k¨onnen wir einen Ringhomomorphismus ϕ : C(z)[x] −→ K(Γ) deﬁnieren durch

4 Meromorphe Funktionen

244 N

ϕ

i=0

i

Ri (z)x

:=

N

Ri (℘) · (℘ )i .

i=0

Die Surjektivit¨at von ϕ ist genau die Aussage des letzten Satzes, wobei zu beachten ist, dass ℘ im Nenner immer zu (℘ )2 erweitert und dieses durch ein Polynom dritten Grades in ℘ ersetzt werden kann. Der Kern von ϕ ist nat¨ urlich ein Ideal im Ring C(z)[x]. Die Funktion c(z) := 4z 3 − g2 z − g3 liegt in C(z). Deshalb ist x2 − c(z) ein Element aus C(z)[x]. Die Anwendung von ϕ ergibt ϕ(x2 − c(z)) = (℘ (z))2 − 4℘(z)3 + g2 ℘(z) + g3 = 0, also liegt x2 − c(z) im Kern von ϕ. W¨are x2 − c(z) ein zerlegbares Polynom, so g¨abe es rationale Funktionen a(z) und b(z), so dass gilt: x2 − c(z) = (x − a(z))(x − b(z)). Dann ist aber a(z) + b(z) ≡ 0, also b(z) = −a(z) und c(z) = a(z)2 . Weil der Grad von c(z) ungerade ist, ist das ein Widerspruch! Also wird der Kern von ϕ im Hauptidealring C(z)[x] von x2 − c(z) erzeugt. Damit haben wir den K¨orper der meromorphen Funktionen auf einem Gitter bestimmt, es gilt: K(Γ) ∼ = C(z)[x]/(x2 − 4z 3 + g2 z + g3 ).

4.6.8. Aufgaben A. Sei Γ = Zω1 + Zω2 ein Periodengitter und τ := ω2 /ω1 . Man kann ω1 , ω2 so w¨ahlen, dass gilt: (a) −1/2 < Re(τ ) ≤ 1/2 und Im(τ ) > 0. (b) |τ | ≥ 1, und f¨ ur |τ | = 1 ist Re(τ ) ≥ 0. Ist {ω1 , ω2 } eine weitere Basis von Γ mit ω2 = aω2 + bω1 und ω1 = cω2 + dω1 , a b in GL2 (Z) = {A ∈ M2 (Z) : det(A) = ±1}, und es c d ist τ = (aτ + b)/(cτ + d).

so liegt A =

B. Sei Γ ein Periodengitter. Dann konvergiert

|ω|−s f¨ ur jedes s > 2.

ω∈Γ\{0}

4.7

Anwendungen

245

C. Die Laurententwicklung der ℘-Funktion im Nullpunkt hat die Gestalt 1 + C2n · z 2n , 2 z n=1 ∞

℘(z) =

mit C2n = (2n + 1)

ω∈Γ\{0}

1 . ω 2n+2

Beweisen Sie die Beziehung C2r C2s . n(2n − 1) − 6 C2n = 3

r+s=n−1 r,s≥1

D. Sei ℘ die Weierstraß-Funktion mit den Perioden ω1 und ω2 ,

ω1

ω1 + ω2

ω2 , e2 := ℘ und e3 := ℘ . 2 2 2

e1 := ℘ Zeigen Sie:

(a) (℘ )2 (z) = 4(℘(z) − e1 )(℘(z) − e2 )(℘(z) − e3 ). (b) e1 + e2 + e3 = 0, e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 = −g2 /4 und e1 e2 e3 = g3 /4.

4.7

Anwendungen

Die meisten Anwendungen der Funktionentheorie ergeben sich aus dem Residuensatz. So beginnen wir auch in diesem Abschnitt mit solchen Anwendungen, k¨onnen dabei aber nun etwas lockerer mit dem Unendlichen umgehen. Weitere Anwendungen – wie etwa die Einf¨ uhrung eines Modells der nichteuklidischen Geometrie – benutzen die sch¨one Geometrie der M¨obiustransformationen oder – wie im Falle der Riemann’schen Zetafunktion – die Gamma-Funktion.

Reihenberechnungen I Der ∞ Residuensatz kann auch zur Berechnung von unendlichen Reihen der Form n=−∞ an verwendet werden. Die Idee sieht folgendermaßen aus: Man suche eine holomorphe Funktion auf C, die h¨ochstens isolierte Singularit¨aten besitzt und die ur alle n ∈ Z gilt. Außerdem verwende man an interpoliert, so dass f (n) = an f¨ eine summatorische Funktion“ σ mit einfachen Polen mit Residuum +1 in allen ” Zahlen n ∈ Z, die sonst u ¨berall holomorph ist. Schließlich sei γm der (positiv orientierte) Rand des Rechtecks Rm := {z ∈ C : max(|x|, |y|) < m + 1/2}. Dann ist |γm | ∩ Z = ∅.

4 Meromorphe Funktionen

246 y 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

x

-1

γm

-2

Ist γ = γm und S die Menge der Singularit¨aten von f , so gilt: f (z)σ(z) dz = 2π i f (n) + resz (f · σ) , γ

n∈Int(γ)

z∈S∩Int(γ)

denn in der N¨ahe von z = n ist σ(z) = 1/(z − n) + hn (z) mit einer in z = n holomorphen Funktion hn , und deshalb ist resn (f · σ) = f (n). Wenn γ f (z)σ(z) dz f¨ ur m → ∞ gegen Null strebt, erh¨alt man: ∞

an = −

n=−∞

resz (f · σ).

z∈S

Wenn die Residuen von f · σ leicht zu berechnen sind, dann erh¨alt man den gew¨ unschten Wert der Reihe. n ¨ Ahnlich kann man vorgehen, wenn man eine Reihe der Gestalt ∞ n=−∞ (−1) an berechnen will. Man muss dann eine summatorische Funktion σ mit resn ( σ) = (−1)n w¨ahlen. Die Funktionen σ(z) := π/ tan(πz) und σ (z) := π/ sin(πz) leisten das Gew¨ unschte. Am besten verwendet man die Darstellungen σ(z) = i π

1 + e−2π i z 1 − e−2π i z

und

σ (z) =

2π i . e i πz − e− i πz

Wir untersuchen das Verhalten von σ und σ auf γm . 1. Sei γm (t) = z = x + i y, mit y = ±(m + 1/2). Wir beschr¨anken uns auf den Fall y = m + 1/2, also y ≥ 1/2, πy > 3/2 und 2πy > 3. Dann ist eπy ≥ e3/2 =

∞ (3/2)n n=0

n!

5 1 + 1/4 1 + e−2π i y = <2 < 1 − e−2π i y 1 − 1/4 3

>1+

und

3 > 2 und e2πy > 4, also 2 1 2 1 = < 1. < eπy − e−πy 2 − 1/2 3

4.7

Anwendungen

247

Daraus folgt: −2πy 1 + e−2π i z ≤π· 1+e < 2π |σ(z)| = π · 1 − e−2π i z 1 − e−2πy

und | σ (z)| =

|eπ i z

2π 2π < 2π. ≤ πy −π i z −e | e − e−πy

2. Ist γm (t) = z = x+ i y, mit x = m+1/2, so ist cos(πx) = 0 und sin(πx) = ±1. Weil sin(πz) =

1 i πz e − e− i πz = cosh(πy) sin(πx) + i sinh(πy) cos(πx) 2i

tan(πz) =

sin(πx) cosh(πy) + i cos(πx) sinh(πy) 1 e i πz − e− i πz = · i e i πz + e− i πz cos(πx) cosh(πy) − i sin(πx) sinh(πy)

und

ist, folgt: π = π tanh(πy) ≤ π |tan(πz)| π π = ≤ π. | σ (z)| = |sin(πz)| cosh(πy)

|σ(z)| = und

Zusammengefasst ergibt sich:

4.7.1. Reihenberechnung mit Hilfe von Residuen Sei R(z) eine rationale Funktion mit Polstellenmenge P , deren Nenner einen um mindestens 2 gr¨oßeren Grad als der Z¨ahler hat. Ist P ∩ Z = ∅, so gilt: ∞

R(n) = −

n=−∞

und

∞

resz (R · σ)

z∈P

(−1)n R(n) = −

n=−∞

resz (R · σ ),

z∈P

wobei die summatorischen Funktionen σ und σ wie oben zu w¨ahlen sind. Beweis:

Umschließt γ = γm alle Polstellen von R, so gilt: 1 2π i

R(z)σ(z) dz = γ

m n=−m

R(n) +

z∈P

resz (R · σ).

4 Meromorphe Funktionen

248

L¨asst man m gegen Unendlich gehen, so verschwindet das Integral auf der linken Seite (weil σ beschr¨ankt bleibt und R von zweiter Ordnung gegen Null geht). Daraus folgt die erste Behauptung. Bei der zweiten geht es analog.

4.7.2. Beispiel 2 2 Sei ω eine positive reelle Zahl. Es soll der Wert der Reihe ∞ n=1 1/(n + ω ) bestimmt werden. Dazu verwenden wir die rationale Funktion R(z) := 1/(z 2 + ω2 ). Sie hat einfache Pole bei z = ± i ω. Außerdem ist π π res i ω (R · σ) = lim = z→ i ω (z + i ω) tan(πz) 2 i ω tan(π i ω) π 1 + e2πω = − coth(πω). = 2ω(1 − e2πω ) 2ω Im Punkt z = − i ω erh¨alt man das gleiche Residuum. Weil R(−x) = R(x) auf der reellen Achse gilt, ist ∞ π π 1 1 + 2 = − res (R · σ) = −2 − coth(πω) = coth(πω). z ω2 n2 + ω 2 2ω ω n=1 z∈P

Reihenberechnungen II Die Funktion b(z) =

z hat in z = 0 eine hebbare Singularit¨at. exp(z) − 1

Mit b(0) := 1 wird diese behoben. Weitere Singularit¨aten hat b in den Punkten ak = 2kπ i , wobei k die ganzen Zahlen ohne Null durchl¨auft. Wir bestimmen die Residuen in den ak : z z z 1 · = = , exp(z) − 1 exp(z − ak ) − 1 z − ak h(z − ak ) wobei h eine ganze Funktion ist, mit h(0) = 1. Deshalb ist das Residuum in ak gleich ak , das heißt, b ist meromorph mit Hauptteilverteilung a , P = {ak = 2kπ i : k ∈ Z \ {0}}. z − a a∈P Auf einer Kreisscheibe vom Radius 2π um Null kann b in eine Taylor-Reihe entwickelt werden : ∞ Bν ν z . b(z) = ν! ν=0 Die Taylor-Koeﬃzienten Bν heißen die Bernoulli’schen Zahlen“. ”

4.7

Anwendungen

249

4.7.3. Eigenschaften der Bernoulli-Zahlen 1. Die ersten Bernoulli’schen Zahlen sind B0 = 1 und B1 = − 12 . ur alle ν ≥ 1. 2. Es gilt B2ν+1 = 0 f¨ 3. Alle weiteren lassen sich mit folgender Rekursionsformel berechnen: λ−1 λ ν=0

ν

ur λ ≥ 2. Bν = 0 f¨

Beweis: Es gilt nat¨ urlich B0 = b(0) = 1. Wir beweisen nun zun¨achst die Rekursionsformel (3): ∞ ∞ Bν zμ ν z = b(z) · (exp(z) − 1) = z · ν! μ! ν=0 μ=1 ⎞ ⎛ λ−1 ∞ ∞ λ zλ ⎜ Bν ⎟ λ . Bν = ⎠z = ⎝ ν!μ! λ! ν ν+μ=λ, ν=0 λ=0 λ=0 μ≥1

Koeﬃzientenvergleich ergibt deshalb

λ−1 λ ν=0

ν

ur λ ≥ 2, insbesondere ist Bν = 0 f¨

2 2 0= B0 + B1 = 1 + 2B1 , 0 1

1 also B1 = − . 2

F¨ ur die weiteren ungeraden Bernoulli’schen Zahlen beachten wir b(z) − b(−z) =

z z z − z exp(z) + = = −z. exp(z) − 1 exp(−z) − 1 exp(z) − 1

Das bedeutet f¨ ur die Taylor-Entwicklungen: ∞ ∞ ∞ Bν Bν B2μ+1 2μ+1 ν ν ν =2 . z − (−1) z z −z = ν! ν! (2μ + 1)! ν=0 ν=0 μ=0 Deshalb sind alle Bernoulli’schen Zahlen B2μ+1 = 0 f¨ ur μ ≥ 1.

4.7.4. Folgerung 1 Die n¨achsten Bernoulli’schen Zahlen sind B2 = , 6 Beweis:

B4 = −

Das folgt unmittelbar aus der Rekursionsformel.

1 1 und B6 = . 30 42

4 Meromorphe Funktionen

250

4.7.5. Satz (Euler’sche Relation) Mit Hilfe der Bernoulli’schen Zahlen lassen sich Grenzwerte einer Serie von unendlichen Reihen bestimmen, es gilt: ∞ 2m−1 1 m+1 2 = (−1) · · B2m · π 2m . 2m ν (2m)! ν=1

Beweis: Wir starten mit der Reihendarstellung des Cotangens, die wir auf beiden Seiten mit z multiplizieren: 1 1 + . πz · cot(πz) = 1 + z · z−ν ν ν=0 Zun¨achst wird die linke Seite geeignet“ umgeformt. Eine Betrachtung des Cotan” gens ergibt e2 i z + 1 e i z + e− i z 2 cos z = i 2iz = i iz = i 1 + 2iz . cot z = sin z e − e− i z e −1 e −1 Nach Multiplikation mit z ergibt sich dann die Funktion b(z) = z/(exp z − 1): z · cot z = =

2iz = i z + b(2 i z) −1 ∞ ∞ B2ν 2ν 2 i z B2ν + (2 i z)2ν = 1 + 2 (−1)ν z 2ν . iz + 1 − 2 (2ν)! (2ν)! ν=1 ν=1 iz +

e2 i z

Ersetzen wir schließlich z durch πz, so folgt: ∞ B2ν 2ν 2 (−1)ν (πz)2ν (2ν)! ν=1 ∞ 22ν−1 = 1−2· B2ν π 2ν z 2ν . (−1)ν+1 (2ν)! ν=1

πz · cot(πz) = 1 +

Andererseits ist

1 1 + = z−ν ν ν=0 ∞ ∞ 1 1 1 1 + + − = 1+z· z−ν ν z+ν ν ν=1 ν=1 ∞ ∞ ∞ 1 2μ 1 z = 1 − 2z 2 · = 1 + 2z 2 2 − ν2 z ν 2 μ=0 ν ν=1 ν=1 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 2μ+2 = 1−2 = 1−2 z z 2μ . 2μ+2 2μ ν ν μ=0 ν=1 μ=1 ν=1

1+z·

4.7

Anwendungen

251

Ein Koeﬃzientenvergleich der beiden Entwicklungen ergibt die Behauptung. Nun k¨onnen die Summen von Reihen, die man meist schon aus der reellen Analysis kennt, endlich berechnet werden:

4.7.6. Folgerung Es ist

∞ 1 π2 = 2 ν 6 ν=1

und

∞ 1 π4 = . 4 ν 90 ν=1

Das Residuum im unendlich fernen Punkt Sei U ⊂ C eine oﬀene Umgebung des unendlich fernen Punktes und f eine holomorphe Funktion auf U \ {∞}. Dann gibt es ein r > 0, so dass das Komplement von Dr (0) in U enthalten ist. Dann heißt 1 res∞ (f ) := − f (z) dz (f¨ ur jedes R > r) 2π i ∂DR (0) das Residuum von f in ∞. Die Deﬁnition ist unabh¨angig von R, das beweist man ¨ wie u des Kreises DR (0) ¨blich. Das Minuszeichen ist notwendig, weil ∞ im Außeren liegt.

4.7.7. Satz Ist f holomorph auf C \ {c1 , . . . , cn }, so ist

n

resci (f ) + res∞ (f ) = 0.

i=1

Beweis: W¨ahlt man R > 0 so groß, dass alle ci in DR (0) liegen, so ist nach dem Residuensatz n f (z) dz = 2π i resci (f ). DR (0)

i=1

Aber die linke Seite der Gleichung stimmt auch mit −2π i res∞ (f ) u ¨berein. Ist f in U \ {∞} holomorph, so besitzt f eine Laurent-Entwicklung in {z ∈ C : |z| > R}. Sie entspricht der Laurent-Entwicklung von f0 (w) := f (1/w) im Kreisring n D1/R (0) \ {0}. Ist f0 (w) = ∞ n=−∞ cn w , so ist f (z) =

∞ n=1

cn z −n +

∞

c−n z n .

n=0

Außer z −1 haben alle Potenzen von z eine Stammfunktion. Deshalb ergibt die Integration: dz 1 c1 f (z) dz = − = −c1 . res∞ (f ) = − 2π i ∂DR (0) 2π i ∂DR (0) z

4 Meromorphe Funktionen

252

Man erh¨alt also nicht – wie man es vielleicht erwarten k¨onnte – den Koeﬃzienten c1 der Entwicklung von f0 . Vielmehr gilt: 1

1 res∞ (f ) = res0 − 2 · f . z z Beweis:

Es ist −

∞ ∞

1 1 1 n −n · f · c z + c z = − n −n z2 z z2 n=1 n=0

=

∞

(−cm+2 )z m +

m=0

∞

(−c−m+2 )z −m .

m=1

1

1 Daraus folgt: res0 − 2 · f = −c1 . z z

4.7.8. Beispiel Die Funktion f (z) := 1/(z 2 + 1) ist holomorph nahe ∞, mit f (∞) = 0. Ist γ(t) := re− i t die Parametrisierung der Kreislinie ∂Dr (0), f¨ ur die ∞ im Innern liegt, so ist 1 1 res∞ (f ) = dz. 2π i γ z 2 + 1 Da f genau in den Punkten ± i Singularit¨aten besitzt, ist 1 " 1 1 1 # 1 (f ) + res (f ) = dz = res lim + lim − i − i 2π i γ z 2 + 1 2π i z→ i z + i z→− i z − i " # 1 1 1 − = 0 = 2π i 2 i 2i und damit auch res∞ (f ) = 0.

Asymptotische Entwicklungen In Anwendungen interessiert man sich h¨auﬁg f¨ ur das Verhalten von Funktionen f¨ ur großes |z|. Bei der Untersuchung des asymptotischen Verhaltens vergleicht man eine gegebene Funktion mit einer einfacheren anderen Funktion, die z.B. numerisch leichter behandelt werden kann. Dabei sollten wesentliche Eigenschaften erhalten bleiben, nebens¨achlichere Eigenschaften k¨onnen vernachl¨assigt werden. Eine typische Methode sind die so genannten asymptotischen Entwicklungen“. ” Zwei Funktionen f und g heißen (bez¨ uglich Subtraktion) auf einem Gebiet G asymptotisch a¨quivalent, falls es zu jedem ε > 0 ein c > 0 gibt, so dass |f (z) − g(z)| < ε f¨ ur alle z ∈ G mit |z| > c gilt. Man nennt dann g(z) eine asymptotische Darstellung von f (z).

4.7

Anwendungen

253

Besonders einfach ist die Situation, wenn die Funktionen f und g holomorph sind und G eine Umgebung von ∞ ist. Da f − g in der N¨ahe von ∞ beschr¨ankt bleibt, kann man diese Funktion holomorph nach Unendlich fortsetzen (durch 0) und dort in eine Reihe entwickeln. Diese Reihe ist eine Laurent-Reihe, die nur negative Potenzen von z enth¨alt: ∞ aν . f (z) = g(z) + zν ν=1 Die Reihe konvergiert in diesem Fall f¨ ur großes z. Also ist die Folge n ∞ aν an+ν = z n f (z) − g(z) − zν zν ν=1 ν=1

ebenfalls f¨ ur großes z konvergent. Im Unendlichen nimmt die Reihe auf der rechten Seite den Wert Null an. Wir betrachten speziell den Fall g = a0 = limz→∞ f (z) eine Konstante ist. Dann bedeuten die obigen Aussagen: Zu jedem ε > 0 und jedem n ∈ N gibt es ein R > 0, so dass f¨ ur |z| > R gilt: n n aν z f (z) − < ε. zν ν=0

Ein solches Verhalten kann man auch untersuchen, wenn f nicht auf einer Umgebung von ∞ deﬁniert und die Reihe divergent ist. Man spricht auch dann von einer asymptotischen Entwicklung von f und schreibt: f (z) ∼

∞ aν ν=0

zν

.

4.7.9. Eindeutigkeit der asymptotischen Entwicklung Wenn f eine asymptotische Entwicklung besitzt, dann ist sie eindeutig bestimmt. ∞ bν , so gibt es zu jedem ε > 0 ν z zν ν=0 ν=0 und jedem n ∈ N ein c > 0, so dass f¨ ur |z| > c gilt:

Beweis:

Ist zugleich f (z) ∼

∞ aν

n n aν ε z f (z) − < zν 2 ν=0

also

und f (z) ∼

und

n ε n bν < , z − f (z) ν z 2 ν=0

n n n bν aν z < ε. − z ν ν=0 z ν ν=0

4 Meromorphe Funktionen

254

Hieraus folgt zun¨achst im Falle n = 0 die Gleichung a0 = b0 . Ist schon bewiesen, ur ν = 0, 1, . . . , n − 1 ist, so folgt, dass |bn − an | < ε f¨ ur großes |z| dass aν = bν f¨ und jedes ε > 0 ist, also an = bn .

4.7.10. Das Rechnen mit asymptotischen Entwicklungen ∞ aν

Es sei f (z) ∼

ν=0

und g(z) ∼

zν

∞ bν . Dann ist ν z ν=0

f (z) + g(z) ∼

∞ cν f (z) · g(z) ∼ ν z ν=0

und

Beweis:

∞ aν + bν zν ν=0

mit cν =

ν

ai bν−i .

i=0

Nach Voraussetzung ist

n aν =0 lim z n f (z) − z→∞ zν ν=0

also auch

und

n bν lim z n g(z) − = 0, z→∞ zν ν=0

n aν + bν lim z n f (z) + g(z) − = 0. z→∞ zν ν=0

Da außerdem lim

z→∞

n aν ν=0

zν

= a0 f¨ ur jedes feste n und lim g(z) = b0 ist, folgt: z→∞

n ν 1 ai bν−i ν = lim z n f (z)g(z) − z→∞ z ν=0 i=0 n n n " aν aν bν n f (z) − g(z) + · g(z) − = lim z z→∞ zν zν zν ν=0 ν=0 ν=0

+

2n ν=0

=

lim z n

z→∞

+

ai bj

i+j=ν i,j≤n

"

f (z) −

n ν=1

i+j=n+ν i,j≤n

n 1 1# − a b i j z ν ν=0 i+j=ν zν n aν ν=0

ai bj

zν

g(z) +

n n aν bν · g(z) − zν zν ν=0 ν=0

1 # = 0 f¨ ur jedes feste n. z n+ν

4.7

Anwendungen

255

4.7.11. Integration von asymptotischen Entwicklungen Sei f eine holomorphe Funktion auf einem Winkelraum, der die positive x-Achse ∞ aν , mit a0 = a1 = 0, so ist enth¨alt. Ist f (z) ∼ zν ν=0

∞

z

f (ζ) dζ ∼

∞ ν=2

aν . (ν − 1)z ν−1

Dabei ist das Integral u ¨ber die in W liegende Halbgerade durch 0 und z von 0 nach ∞ zu erstrecken. Beweis:

Sei ε > 0 und n ∈ N. Dann gibt es ein c > 0, so dass f¨ ur |z| > c gilt: n ε aν f (z) − < n. ν z |z| ν=2

Dann ist

∞ z

f (ζ) dζ −

n ν=2

n ∞ aν aν = f (ζ) − dζ (ν − 1)z ν−1 ζν z ν=2 ∞ ε ε ≤ dx = n n−1 x (n − 1)|z| |z|

Das bedeutet:

lim z n−1

z→∞

z

∞

f (ζ) dζ −

n ν=2

aν = 0. (ν − 1)z ν−1

Und daraus folgt die Behauptung.

4.7.12. Beispiel Das Rechnen mit asymptotischen Entwicklungen ist eine Sache, die Bestimmung solcher Entwicklungen eine andere. Wir suchen die asymptotische Entwicklung des Exponential-Integrals“ ” ∞ −ζ e dζ (f¨ ur Re(z) > 0). Ei(z) := ζ z Der Integrationsweg γ soll im Innern eines Winkelraums −π/2+ε < arg(z) < π/2 − ε gew¨ahlt werden. Ist R > 0, so wird das in der folgenden Skizze farbig gekennzeichnete Gebiet durch ein St¨ uck γ0 von γ, ein Kreisbogenst¨ uck und die (negativ durchlaufene) Strecke σ berandet. Nach dem Cauchy’schen Integralsatz verschwindet das Integral u ¨ber e−ζ /ζ entlang γ0 + − σ.

4 Meromorphe Funktionen

256

σ z

γ

s

γ0

R Es sei z = re i ϕ . Dann ist σ(t) = t(cos ϕ + i sin t), mit r ≤ t ≤ R, und (t) = Re i t , mit α ≤ t ≤ ϕ (f¨ ur ein geeignetes α). Wir verwenden die Hilfsfunktion h(t) := cos t + 2t/π − 1. Weil h(0) = h(π/2) = 0 und

h (t) < 0 auf (0, π/2) ist, ist h(t) ≥ 0 auf diesem Intervall, also R cos t ≥ R 1 − 2t/π . Damit erh¨alt man die Absch¨atzung ϕ π/2 e−ζ −R cos t dζ = |e | dt ≤ e−R e2Rt/π dt

ζ α −π/2 π

1 − e−R → 0 f¨ ur R → ∞. = R und

σ

e−t cos ϕ 1 R −t cos ϕ e dt dt ≤ t r r r e−r cos ϕ 1 −r cos ϕ − e−R cos ϕ → e , = r cos ϕ r cos ϕ

e−ζ dζ = ζ

R

f¨ ur R → ∞. Damit ist die Existenz des Integrals u ¨ber γ gesichert, und man erh¨alt das gleiche Ergebnis wie beim Integral u ¨ber den Strahl von z nach Unendlich. Partielle Integration (vgl. Aufgabe 2.3.24.A) liefert: ∞ −ζ " e−ζ ∞ ∞ e−ζ # e dζ = − Ei(z) = dζ + ζ ζ ζ2 z z z ∞ −ζ e e−z dζ − = z ζ2 z ∞ −ζ # e−z " e−ζ ∞ e +2 dζ + = z ζ2 z ζ3 z ∞ −ζ e−z e−z e = dζ − 2 +2 z z ζ3 z .. . n (−1)k−1 (k − 1)! −z + Rn (z) = e · zk k=1

4.7

Anwendungen

257

mit dem Restglied n

Rn (z) := (−1) n!

z

∞

e−ζ dζ . ζ n+1

Setzt man ζ = tz/|z|, so erh¨alt man (mit z = re i ϕ ) die Absch¨atzung |Rn (z)| ≤ n!

∞ r

e−t cos ϕ n! e−|z| cos ϕ dt ≤ C · , mit C = C(z) := , tn+1 |z|n+1 cos ϕ

ur jedes feste n. Das bedeutet: also lim |z n Rn (z)| ≤ lim C · n!/|z| = 0 f¨ z→∞

z→∞

Ei(z) ∼ e−z ·

∞ (−1)k−1 (k − 1)! k=1

zk

, f¨ ur Re z > 0.

Die asymptotische Reihe mit den Gliedern ak := (−1)k (k − 1)!/z k divergiert f¨ ur alle z, denn |ak+1 /ak | = k/|z| strebt f¨ ur festes z gegen Unendlich. Trotzdem approximieren geeignete Partialsummen das Exponential-Integral sehr gut. Setzt man Ak := k!/|z|k+1 , so ist Ak−1 > Ak f¨ ur k < |z| und$ Ak−1 % < Ak f¨ ur k > |z|. Das beste Ergebnis erh¨alt man demnach, wenn n = |z| ist. Ist etwa n = z = 10, so ist |Rn (z)| ≤

10! −10 9!e−10 −9 ·e = ·10 ≈ 1.64747·10−9 . 1011 10

Die Sattelpunktmethode Gegeben seien ein Gebiet G ⊂ C, eine Kurve C in G und holomorphe Funktionen ϕ und f auf G. Es gibt viele Anwendungen, bei denen man Integrale der Form ϕ(z)eλf (z) dz (mit großem λ > 0) J(λ) := C

auswerten muss. Man interessiert sich f¨ ur das asymptotische Verhalten von J(λ) f¨ ur λ → ∞. Die Idee bei der Sattelpunktmethode“ beruht auf der Beobachtung, dass diejeni” gen Teile des Integrals den entscheidenden Anteil liefern, die von der Auswertung u uck herr¨ uhren, auf dem Re f (z) große Werte oder gar ein ¨ber einem Kurvenst¨ Maximum annimmt (und zwar um so mehr, je gr¨oßer λ ist). Da der Imagin¨arteil stark oszillieren kann, sucht man nach Integrationswegen, bei denen das nicht der Fall ist, also z.B. Niveaulinien von Im f (z). Der Cauchy’sche Integralsatz macht es m¨oglich, den urspr¨ unglichen Integrationsweg so zu ver¨andern, dass sich der Wert des Integrals nicht ¨andert. Als harmonische Funktion besitzt Re f (z) weder Maxima noch Minima. Es kann aber Punkte z0 ∈ G mit f (z0 ) = 0 geben. Ist zugleich f (z0 ) = 0, so nennt man z0 einen (einfachen) Sattelpunkt. Ist f (z0 ) = f (z0 ) = . . . = f (k) (z0 ) = 0

4 Meromorphe Funktionen

258

und f (k+1) (z0 ) = 0, so spricht man von einem Sattelpunkt der Ordnung k. Wir beschr¨anken uns hier auf den Fall k = 1. Dann gilt in der N¨ahe von z0 : $ % 1 f (z) = f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 )2 1 + (z − z0 )h(z) , 2 mit einer holomorphen Funktion h. Eine einfache Koordinatentransformation zeigt das qualitive Verhalten

von f in der N¨ahe des Sattelpunktes: W¨ahlt man eine komplexe Wurzel c = f (z0 ) und eine in der N¨ahe von z = 1 deﬁnierte holomorphe Wurzelfunktion σ, so ist

w = Φ(z) := c(z − z0 ) · σ 1 + (z − z0 )h(z) eine holomorphe Funktion mit Φ (z0 ) = c = 0, also lokal biholomorph, und es ist f (z) − f (z0 ) = Φ(z)2 /2, also 1 f ◦ Φ−1 (w) = f ◦ Φ−1 (w0 ) + w2 mit w0 := Φ(z0 ). 2 Schreiben wir w = u + i v und f(w) := f ◦ Φ−1 (w) = f(w0 ) + w2 /2, so ergibt sich folgendes Bild:

und

1 Re f(u + i v) = Re f(w0 ) + (u2 − v 2 ) 2 Im f(u + i v) = Im f(w0 ) + uv.

In geeigneten Koordinaten sind die Niveaulinien von Re f und Im f Hyperbeln, die beiden Scharen stehen aufeinander senkrecht. Linie des steilsten Abstiegs

Tal

Berg

Berg

Tal

Niveaulinien von Re f

Niveaulinien von Im f

Kommen wir nun zur¨ uck zur Ausgangssituation und verwenden die Approximation 1 w := f (z) − f (z0 ) ≈ f (z0 )(z − z0 )2 . 2 Gesucht ist (zu dem Sattelpunkt z0 ) ein Weg γ : [a, b] → G mit γ(t0 ) = z0 , so dass Re f (γ(t)) in t = t0 ein (isoliertes) Maximum hat und Im f (γ(t)) in der N¨ahe von

4.7

Anwendungen

259

t0 konstant ist. Man interessiert sich f¨ ur die Richtung der Wege mit dem steilsten Abstieg (ausgehend von Re f (z0 )) auf dem Graphen von Re f und projiziert dann auf den Weg γ in der Ebene. Im Angels¨achsischen spricht man von der method of ” steepest descent“. Ist f (z0 ) = Re i ω und z − z0 = re i θ (mit variablem r und θ), so ist f (z) − f (z0 ) ≈

% 1 2 i (ω+2θ) 1 2 $ r Re = r R cos(ω + 2θ) + i sin(ω + 2θ) . 2 2

Damit Im f (z) = Im f (z0 ) ist, muss sin(ω + 2θ) = 0 sein. Dann ist f (z) − f (z0 ) in der N¨ahe von z0 auf |γ| reell. Damit auf |γ| auch f (z) < f (z0 ) nahe z0 ist, muss cos(ω + 2θ) < 0 sein. Das triﬀt zu f¨ ur θ1 = −

ω π + 2 2

und

θ2 = −

ω 3π + . 2 2

Die Vektoren e i θ1 und e i θ2 geben also die zwei Richtungen an, in denen Re f am st¨arksten f¨allt und Im f konstant ist. Man ersetzt nun den urspr¨ unglich gegebenen Integrationsweg α (mit |α| = C) durch den neuen Weg γ (durch z0 ), der in Richtung des steilsten Abstieges verl¨auft und schließlich mit α zusammen einen geschlossenen Weg bildet, auf den man den Cauchy’schen Integralsatz anwenden kann. Sei h(t) := Re f ◦ γ(t) − Re f ◦ γ(t0 ) = f ◦ γ(t) − f ◦ γ(t0 ). Dann kann man ein T > 0 und Zahlen t , t mit a < t < t0 < t < b ﬁnden, so dass h(t ) = h(t ) = −T ist, h auf [t , t0 ] streng monoton w¨achst und auf [t0 , t ] f¨allt und h < −T außerhalb des Intervalls I0 := [t , t ] ist. Sei z1 := γ(a), z1 := γ(t ), z2 := γ(t ) und z2 := γ(b), sowie γ1 := γ|[a,t ] und γ2 := γ|[t ,b] . Außerdem sei A := ϕ(z0 ) und |ϕ(z)| ≤ M auf |γ|. Dann ist ϕ(z) λ(f (z)−f (z0 )) e ϕ(z)eλf (z) dz = ϕ(z0 )eλf (z0 ) dz C γ ϕ(z0 ) mit

γ

z2 # ϕ(z) λ(f (z)−f (z0 )) M " −λT

dz ≤ eλ(f (z)−f (z0 )) dz . e e L(γ1 ) + L(γ2 ) + ϕ(z0 ) |A| z1

Der erste Summand verschwindet f¨ ur λ → ∞. Wir konzentrieren uns auf das verbliebene Integral und setzen −τ = −τ (z) = f (z) − f (z0 ) ≈

(z − z0 )2 f (z0 ). 2

Zu jedem u mit −T < u < 0 gibt es genau ein z− auf |γ| zwischen z1 und z0 und ein z+ zwischen z0 und z2 , so dass −τ (z− ) = −τ (z+ ) = u ist. Die (zweideutige) Zuordnung −u → z± liefert zwei Umkehrfunktionen g± : [0, T ] → C zur Funktion z → τ (z), n¨amlich

4 Meromorphe Funktionen

260 .

. 2τ , f (z0 )

z = g± (τ ) = z0 ± i

2 . τ f (z0 )

mit g± (τ ) = i

Man beachte, dass diese Funktionen bei τ = 0 nicht diﬀerenzierbar sind, dass aber dort noch integrierbar sind. Man kann deshalb τ als Parameter f¨ ur den g± und g± Weg zwischen z1 und z2 benutzen und erh¨alt . T z2 T −λτ 1 e λ(f (z)−f (z0 )) −λτ √ dτ. e dz = 2 e g+ (τ ) dτ = 2 i (z ) 2f τ 0 z1 0 0 Dabei ist

T 0

e−λτ √ dτ = τ

0

∞

e−λτ √ dτ − τ

T

∞

e−λτ √ dτ, τ

mit

∞ 0

e−λτ √ dτ = τ

∞

e 0

−t

t −1/2 1

1 dt = √ λ λ

λ

∞

−t −1/2

e t 0

Γ(1/2) dt = √ = λ

und

∞ T

e−λτ 1 √ dτ ≤ √ τ λ T

T

∞

1 λe−λτ dτ = √ e−λT λ T

(→ 0 f¨ ur λ → ∞).

Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass ϕ(z) ≡ 1 ist. Dann folgt: . −λf (z ) 2π 0 e J(λ) − i = λf (z0 ) . ∞ −λf (z ) 2 −λτ dτ 0 √ J(λ) − i e = e f (z0 ) 0 τ . ∞ z2 z1 2 dτ λ(f (z)−f (z )) 0 = ϕ(z)e + dz − i e−λτ √ f (z0 ) T τ z1 z2 √ # "

2 e−λT , ≤ L(γ1 ) + L(γ2 ) + λ T · f (z0 ) und dieser Ausdruck strebt f¨ ur λ → ∞ gegen Null. Also gilt: √ eλf (z0 ) 2π . J(λ) ∼ i λf (z0 ) Weil f (z0 ) < 0 ist, ist die rechte Seite reell.

π λ

4.7

Anwendungen

261

4.7.13. Beispiele

a 2 A. Es soll das asymptotische Verhalten eines Integrals J(k) = −∞ ϕ(z)e−kz dz f¨ ur k → ∞ untersucht werden. Dabei sei a = x0 + i y0 ein Punkt im ersten Quadranten, und der Integrationsweg α verlaufe irgendwie in der oberen Halbebene von −∞ nach a. Hier ist f (z) = −z 2 , also f (z) = −2z und f (z) = −2. Der einzige auftretende Sattelpunkt ist z0 = 0 und hat die Ordnung 1. In diesem Falle ist f (z0 ) = 2 · e i π , also R = 2 und ω = π. Damit sind θ1 = −π/2 + π/2 = 0 und θ2 = −π/2 + 3π/2 = π die beiden gesuchten Winkel und e i θ1 = 1 und e i θ2 = e i π = −1 die beiden Richtungen des steilsten Abstieges. Es bietet sich also an, f¨ ur γ ein St¨ uck γ1 der reellen Achse (durch den Nullpunkt) zu w¨ahlen. Nun muss man von dort aus zum Punkt a gelangen. Die Niveaulinie von Im f durch a verl¨auft in a orthogonal zur Niveaulinie von Re f , also parallel zum Gradienten von Re f . Und dieser Gradient zeigt in die Richtung, in der sich Re f am st¨arksten ver¨andert. Deshalb benutzt man auch noch ein St¨ uck γ3 der Niveaulinie 0 = Im f (z) − Im f (a) = 2(x0 y0 − xy). ra

α

γ3 r

γ2

γ1

c

Schließlich verbindet man die beiden Teile γ1 und γ3 bei x = c durch eine Strecke γ2 . L¨asst man c gegen Unendlich gehen, so verschwindet das Integral u ¨ber γ2 . Das Integral u ¨ber γ3 l¨asst sich gut absch¨atzen und das u ¨ber γ1 ist im Nullpunkt konzentriert. Der Weg γ = γ1 + γ2 + γ3 ergibt zusammen mit −α einen geschlossenen Weg, u ¨ber den das Integral Null ergibt. ∞ 2 −kz 2 ϕ(z)e−kz dz. ϕ(z)e dz + lim + Damit ist J(k) = −∞

c→∞

γ2

γ3

ur c → ∞. Auf der Spur Das Integral u ¨ber γ2 verschwindet oﬀensichtlich f¨ von γ3 ist xy = x0 y0 , also x 2

0 z 2 − a2 = (x2 − y 2 ) − (x20 − y02 ) = (x2 − x20 ) + y02 1 − reell und ≥ 0. x √ Mit der Parametrisierung z(t) = a2 + t ist dann ∞ √

1 2 2 dt ϕ(z)e−kz dz = − ϕ a2 + t e−k(a +t) √ 2 a2 + t 0 γ3 2 ∞

√ e−kt e−ka dt , ϕ a2 + t √ = − 2 a2 + t 0

4 Meromorphe Funktionen

262

also (wenn ϕ auf |γ| durch M > 0 beschr¨ankt ist) M −ka2 ∞ −kt M −ka2 −kz 2 e e ϕ(z)e dz ≤ e dt = , 2 2ka γ3 0 und dieser Ausdruck strebt f¨ ur k → ∞ gegen Null. Da der Hauptanteil des Integrals durch das Verhalten in unmittelbarer Umgebung des Sattelpunktes z0 = 0 bestimmt ist, ist asymptotisch ∞ 2 J(k) ∼ ϕ(0) · e−kz dz −∞

und

∞

−kz 2

e −∞

√ π ekf (z0 ) 2π , dz ∼ i = k k · f (z0 )

π also J(k) ∼ ϕ(0) . k

B. Wir wollen die Sattelpunktmethode auf die Gammafunktion anwenden. Es ist ∞ ∞ Γ(k + 1) = e−t tk dt = ek log t−t dt 0 0 ∞ ∞ k log(ks)−ks k+1 = e k ds = k e−kf (s) ds, 0

0

mit f (s) := s − log s. Es ist f (s) = 1 − 1/s, also f (s) = 0 ⇐⇒ s = 1, und f (s) = 1/s2 , also f (1) = 1. Damit liegt in s0 = 1 ein Sattelpunkt vor. Das liefert die asymptotische Formel . k k √ 2π e−k·f (s0 ) k+1 ·i· √ 2πk. = k! = Γ(k + 1) ∼ k −f (s0 ) e k Das ist die Stirling’sche Formel u ¨ber das asymptotische Verhalten der Fakult¨aten.

Die Mandelbrot-Menge 1967 ver¨oﬀentlichte der franz¨osische Mathematiker Benoit Mandelbrot in der Zeitschrift Science einen Aufsehen erregenden Artikel unter dem Titel Wie lang ist ” die K¨ uste Britanniens?“. Denkt man genau u ¨ber diese Frage nach, so kommt man zu dem Schluss, dass es keine korrekte Antwort gibt. Je genauer man nachmisst, desto gr¨oßer wird die Zahl, und die Genauigkeit l¨asst sich – zumindest theoretisch – beliebig vergr¨oßern. In der Mathematik ist nat¨ urlich beliebige Genauigkeit m¨oglich,

4.7

Anwendungen

263

und da wird die K¨ uste Britanniens zu einem Gebilde, das man nicht mehr als etwas Eindimensionales auﬀassen kann. Man gelangt zum Begriﬀ der gebrochenen ” Dimension“, seit Mandelbrot spricht man von fraktaler Geometrie. Schon zu Anfang des 20. Jahrhunderts hatten die franz¨osischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou das Verhalten der n-fach Iterierten f n := f ◦ . . . ◦ f von rationalen Funktionen f : C → C studiert. Ihre Arbeit geriet ins Stocken, weil sie die untersuchten Objekte graphisch nicht darstellen konnten. Um 1980 entstanden die ersten Computer-Bilder von Fraktalen, und man entdeckte eigenartige Ordnungsstrukturen im Chaos. Je weiter die F¨ahigkeiten der Computer voranschritten, desto phantastischere Bilder und Strukturen wurden entdeckt. Beispiele liefert das ber¨ uhmte Buch The Beauty of Fractals“ von H. O. Peitgen und P. H. ” Richter (Springer-Verlag, 1986). Hier ist nicht der Platz, im Detail auf die Geometrie der Fraktale einzugehen. Es soll nur in aller K¨ urze dargelegt werden, was diese Theorie mit der Funktionentheorie im allgemeinen und dem Begriﬀ der normalen Familie im besonderen zu tun hat. Es sei also eine rationale Funktion f : C → C gegeben. 1. Fat(f ) := {z ∈ C : ∃ W = W (z), so dass (f n |W ) eine normale Familie ist} heißt die Fatou-Menge von f . 2. Jul(f ) := C \ Fat(f ) heißt Julia-Menge von f . Man sieht sofort, dass Fat(f ) oﬀen und Jul(f ) abgeschlossen ist. Im Falle der Funktion f (z) = z 2 ist Jul(f ) = ∂D, aber im Falle der Funktion fc (z) := z 2 + c kann die Julia-Menge – abh¨angig von c – sehr kompliziert werden. Eine Darstellung ist dann nur mit Computerhilfe m¨oglich. Die Menge M := {c ∈ C : Jul(fc ) ist zusammenh¨angend } heißt MandelbrotMenge. 1978 erzeugte Mandelbrot die erste Graﬁk der Menge M , die wegen ihres Aussehens auch Apfelm¨annchen“ genannt wurde. Er konnte zeigen: ” M = {c ∈ C : |fcn (0)| ≤ 2 f¨ ur alle n ∈ N0 }. M ist symmetrisch zur reellen Achse, schneidet diese im√Intervall [−2, 1/4] und umfasst das Innere der Kardioide K := {c ∈ C : |1 − 1 − 4c| < 1} und des Kreises D1/4 (−1).

−2

−1

1

264

4 Meromorphe Funktionen

Ein Bild der Mandelbrot-Menge entsteht nun folgendermaßen: Jedem Pixel (x, y) eines Graﬁk-Bereichs entspricht eine komplexe Zahl c = x + i y. ur n = Man gibt eine feste Anzahl N an Iterationen vor und berechnet |fcn (0)| f¨ 1, 2, . . . , N . Ist |fcn (0)| > 2 f¨ ur ein n, so geht man davon aus, dass c nicht in der Mandelbrot-Menge liegt und f¨arbt das Pixel weiß, andernfalls f¨arbt man es dunkel. Je mehr Iterationen man pro Pixel durchf¨ uhrt, desto genauer wird das Bild, das bei gen¨ ugender Genauigkeit etwa so aussieht:

Nichteuklidische Geometrie Um 300 v.Chr. lehrte der Mathematiker Euklid an der Universit¨at von Alexandria. Obwohl kaum etwas u ¨ber seine Person bekannt ist, machte er sich unsterblich durch die Niederschrift der Elemente“, einer streng axiomatisch aufgebauten Sammlung ” der wichtigsten zu jener Zeit bekannten mathematischen Fakten. Diese Sammlung entwickelte sich zum einﬂussreichsten Lehrbuch in der Geschichte der Zivilisation. Nach Einf¨ uhrung der Begriﬀe stellte Euklid 5 Postulate auf, aus denen er dann die gesamte Geometrie herleitete. Nach unseren Maßst¨aben enthielten diese Postulate logische L¨ ucken, die erst um 1900 von David Hilbert geschlossen wurden. Eine moderne Version von Euklids Postulaten w¨ urde etwa folgendermaßen aussehen: Postulat I (Inzidenz): Durch je zwei (verschiedene) Punkte geht genau eine Gerade. Jede Gerade enth¨alt wenigstens zwei (verschiedene) Punkte. Die Ebene enth¨alt wenigstens zwei (verschiedene) Geraden. Postulat II (Anordnung): Von drei (verschiedenen) Punkten auf einer Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen. Zu zwei Punkten A, B gibt es einen dritten Punkt C auf der gleichen Geraden, so dass B zwischen A und C liegt. Man kann dann sagen, dass zwei Punkte A und B auf verschiedenen Seiten einer Geraden liegen, wenn es einen Punkt C auf gibt, der zwischen A und B liegt. Es wird noch gefordert, dass es zu einer Geraden immer genau zwei Seiten gibt. Postulat III (Bewegungen): Es gibt eine Gruppe von bijektiven Abbildungen der Ebene auf sich (sogenannten Bewegungen oder Kongruenzabbildungen), die Inzidenzen und Anordnungen respektieren.

4.7

Anwendungen

265

Geometrische Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine Bewegung aufeinander abgebildet werden. Es wird gefordert, dass es gen¨ ugend viele Bewegungen gibt, so dass die bekannten Kongruenzs¨atze gelten. Man kann dann auch Spiegelungen, Drehungen und Translationen, sowie rechte Winkel deﬁnieren. Postulat IV (Stetigkeit): Geraden sind vollst¨andig im Sinne des Dedekind’schen Schnittaxioms. Bei Euklid lauteten die Postulate anders, aber er benutzte sie zumindest implizit in der obigen Form. Mit Hilfe von (I) bis (IV) bewies er 31 S¨atze, dann benutzte er zum ersten Mal sein letztes Postulat. Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben. Nun wird gefordert: Postulat V (Parallelenaxiom): Ist eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf liegt, so gibt es genau eine Gerade durch P , die parallel zu ist. Bei Euklid war die Formulierung des 5. Postulates sehr viel komplizierter als die der ersten vier Postulate. Obwohl es gebraucht wurde, um den Satz von der Winkelsumme im Dreieck und den Satz des Pythagoras herzuleiten, sahen es die nachfolgenden Mathematiker als nicht vollwertiges Axiom an und suchten nach einem Beweis. Zun¨achst die Griechen, dann die Araber, dann die Italiener, die Engl¨ander und zuletzt die Deutschen, Schweizer und Franzosen. Fast 2000 Jahre lang! Erst im 18. Jahrhundert entdeckten fast gleichzeitig der Deutsche Carl Friedrich Gauß, der Ungar Johann Bolyai und der Russe Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, dass man mit Hilfe der Postulate (I) bis (IV) und einer abgewandelten Version von Postulat (V) eine ebenfalls in sich schl¨ ussige Geometrie entwickeln konnte, in der die Winkelsumme im Dreieck stets weniger als 180◦ betr¨agt. Die nichteuklidische ” Geometrie“ war gefunden! Damit wurde gleichzeitig oﬀensichtlich, dass man in der euklidischen Geometrie auf das Parallelenaxiom nicht verzichten konnte. Die Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems der nichteuklidischen Geometrie konnte erst Ende des 19., Anfang des 20. Jahrhunderts mit Hilfe von Modellen nachgewiesen werden. Ein besonders sch¨ones Modell liefert uns die hyperbolische Geometrie im Einheitskreis (nach Poincar´e).

Deﬁnition

(hyperbolische Wegl¨ ange)

Sei D der Einheitskreis und γ : [a, b] → D ein st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbarer Weg. Dann nennt man b |γ (t)| Lh (γ) := dt 2 a 1 − |γ(t)| die hyperbolische Wegl¨ange von γ. Ist z.B. γ : [0, 1 − ε] → D mit γ(t) = t die Verbindungsstrecke von 0 nach 1 − ε, so ist

4 Meromorphe Funktionen

266

dt 1 1 + t 1−ε 1 2 − ε = ln . = ln 1 − t2 2 1−t 0 2 ε 0 F¨ ur ε → 0, also 1 − ε → ∂D, strebt Lh (γ) gegen +∞. 1−ε

Lh (γ) =

4.7.14. Wege ku ange ¨ rzester L¨ Unter allen Integrationswegen μ : [a, b] → D mit μ(a) = 0 und μ(b) = 1 − ε ist die Verbindungsstrecke γ der Weg mit der k¨ urzesten hyperbolischen Wegl¨ange. Außerdem ist Lh (α) ≥ L(α) f¨ ur jeden Integrationsweg α in D. Beweis:

Wir schreiben μ = μ1 + i μ2 . Dann ist |μ (t)| ≥ |μ1 (t)| ≥ μ1 (t)

und

1 − |μ(t)|2 = 1 − μ1 (t)2 − μ2 (t)2 ≤ 1 − μ1 (t)2 .

daraus folgt:

b |μ (t)| μ1 (t) dt ≥ dt 2 2 a 1 − |μ(t)| a 1 − μ1 (t) μ1 (b) 1−ε 1 1 = dt = dt = Lh (γ). 2 1 − t 1 − t2 μ1 (a) 0 b

Lh (μ) =

Außerdem gilt f¨ ur einen beliebigen Weg α : [a, b] → D : b b |α (t)| dt ≥ |α (t)| dt = L(α). Lh (α) = 2 a 1 − |α(t)| a Die hyperbolische Wegl¨ange ist stets gr¨oßer als die euklidische Wegl¨ange. Der hyperbolische Abstand zwischen zwei Punkten x und y in D ist die Zahl dh (x, y) := inf{Lh (γ) : γ Weg von x nach y }. Oﬀensichtlich ist stets dh (x, y) ≥ d(x, y), und es ist dh (x, x) = 0.

4.7.15. Eigenschaften des hyperbolischen Abstandes Der hyperbolische Abstand ist eine Metrik auf D, d.h., es gilt: 1. dh (x, y) ≥ 0. 2. Ist dh (x, y) = 0, so ist x = y. 3. dh (x, y) = dh (y, x) f¨ ur alle x, y ∈ D. 4. Es gilt die Dreiecks-Ungleichung: dh (x, y) ≤ dh (x, z) + dh (z, y).

4.7

Anwendungen

267

Der Beweis ist einfach. z−w Wir f¨ uhren jetzt die Hilfsgr¨oße δ(z, w) := ein. 1 − wz δ(z, w) ist symmetrisch in z und w, und es ist δ(z, 0) = |z|. F¨ ur α ∈ D ist δ(z, α) = |Tα (z)|, wobei Tα der durch α bestimmte Automorphismus des Einheitskreises z → (z − α)/(1 − αz) ist.

4.7.16. Lemma von Schwarz-Pick Sei f : D → D holomorph. Dann ist ur z1 , z2 ∈ D δ(f (z1 ), f (z2 )) ≤ δ(z1 , z2 ) f¨ und |f (z)| ≤

1 − |f (z)|2 f¨ ur z ∈ D. 1 − |z|2

Ist sogar f ∈ Aut(D), so gilt in beiden F¨allen die Gleichheit. Ist f kein Automorphismus, so gilt die strenge Ungleichung. Beweis: Es seien z1 , z2 ∈ D, sowie w1 = f (z1 ) und w2 = f (z2 ). Außerdem setzen wir T := T−z1 und T ∗ := Tw1 . Dann liegen T und T ∗ in Aut(D), es ist T (0) = z1 und T ∗ (w1 ) = 0, und g := T ∗ ◦ f ◦ T : D → D ist eine holomorphe Abbildung mit g(0) = 0. Aus dem Schwarz’schen Lemma folgt: |g(z)| ≤ |z|

und

|g (0)| ≤ 1.

Dabei gilt jeweils die Gleichheit, wenn g eine Rotation ist. Damit folgt: f (z ) − w 2 1 δ(f (z1 ), f (z2 )) = = |T ∗ (f (z2 ))| = |g(T −1 (z2 ))| 1 − w1 f (z2 ) z −z 1 2 ≤ |T −1 (z2 )| = |Tz1 (z2 )| = = δ(z1 , z2 ), 1 − z 2 z1 und die Gleichheit gilt genau dann, wenn g eine Rotation ist. Ist z0 ∈ D beliebig, w0 := f (z0 ) und wie oben T := T−z0 , T ∗ := Tw0 und g := T ∗ ◦ f ◦ T , so ist auch hier g(0) = 0 und damit |g (0)| ≤ 1. Weil g (0) = (T ∗ ) (w0 ) · f (z0 ) · T (0) ist, folgt: |f (z0 )| ≤ Allgemein ist Tα (z) =

1 . |T (0)| · |(T ∗ ) (w0 )|

(1 − αz) + α(z − α) 1 − |α|2 = , (1 − αz)2 (1 − αz)2

4 Meromorphe Funktionen

268

speziell also T (0) = 1 − |z0 |2 und (T ∗ ) (w0 ) = 1/(1 − |w0 |2 ). Daraus folgt die zweite Behauptung. Ist f ein Automorphismus, so auch g, und wegen g(0) = 0 ist g dann eine Rotation. In diesem Falle erhalten wir die Gleichheit. Ist umgekehrt |f (z0 )| = (1 − |f (z0 )|2 )/(1 − |z0 |2 ), so ist |g (0)| = 1, also g (und damit auch f ) ein Automorphismus.

4.7.17. Holomorphe Funktionen sind abstandsverku ¨ rzend Sei f : D → D holomorph. Dann ist Lh (f ◦ γ) ≤ Lh (γ) f¨ ur alle Wege γ, also dh (f (z), f (w)) ≤ dh (z, w). Beweis:

Wir verwenden das Lemma von Schwarz-Pick. Danach ist b b |(f ◦ γ) (t)| |f (γ(t)) · γ (t)| dt = dt Lh (f ◦ γ) = 2 1 − |f (γ(t))|2 a 1 − |f ◦ γ(t)| a b |γ (t)| ≤ dt = Lh (γ). 2 a 1 − |γ(t)|

Die Automorphismen des Einheitskreises sind also Isometrien f¨ ur die hyperbolische Metrik.

4.7.18. Formel fu ¨ r die hyperbolische Metrik F¨ ur z, w ∈ D ist dh (z, w) =

1 1 + δ(z, w) ln . 2 1 − δ(z, w)

Beweis: Ist z = 0 und w reell und positiv, so ist δ(z, w) = w. In diesem Fall kennen wir die Formel schon. Sind z, w ∈ D beliebig, so setzen wir T := Tz ∈ Aut(D). Dann ist T (z) = 0 und |T (w)| = δ(z, w). Daraus folgt: dh (z, w) = dh (T (z), T (w)) = dh (0, T (w)) = dh (0, |T (w)|) = dh (0, δ(z, w)). Mit der Bemerkung vom Anfang des Beweises ergibt sich die Behauptung.

4.7.19. Hyperbolische Metrik und Topologie Die hyperbolische Metrik dh induziert die Standard-Topologie auf D, und der metrische Raum (D, dh ) ist vollst¨andig. Beweis:

F¨ ur z ∈ D gilt:

4.7

Anwendungen

269

dh (0, z) < ε

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

1 + δ(0, z) < e2ε 1 − δ(0, z) e2ε − 1 δ(0, z) < 2ε e +1 e2ε − 1 |z| < 2ε e +1

Also stimmen die Umgebungen von 0 in beiden Topologien u ¨berein. Ist z0 ∈ D ein beliebiger Punkt, so gibt es einen Automorphismus T von D, der 0 auf z0 abbildet. Da T biholomorph ist, bildet T Umgebungen von 0 (in der Standard-Topologie) auf Umgebungen von z0 ab, und umgekehrt. Als Isometrie bildet T aber auch εUmgebungen von 0 (in der hyperbolischen Metrik) auf ebensolche Umgebungen von z0 ab. Also sind die Topologien gleich. Sei nun (zn ) eine Cauchy-Folge bez¨ uglich der hyperbolischen Metrik. Dann gibt es ein r mit 0 < r < 1, so dass alle zn in (h)

Dr (0) = {z ∈ D : dh (0, z) ≤ r} liegen (denn ∂D ist vom Nullpunkt unendlich weit entfernt). Aber dann konvergiert eine Teilfolge (in der gew¨ohnlichen Metrik) gegen ein z0 in dieser abgeschlossenen Kreisscheibe. Diese Teilfolge konvergiert auch in der hyperbolischen Metrik, und weil (zn ) eine Cauchy-Folge ist, konvergiert sogar die urspr¨ ungliche Folge gegen z0 .

Wir haben gezeigt, dass die hyperbolische L¨ange jeweils auf den konformen Bildern von Abschnitten der positiven reellen Achse ihr Minimum annimmt. Dies k¨onnen wieder nur Abschnitte von Geraden oder Kreisen sein. Wegen der Konformit¨at m¨ ussen die Bildkurven in der Verl¨angerung den Rand des Einheitskreises unter einem rechten Winkel treﬀen. Das tun nur Geraden durch den Nullpunkt oder sogenannten Orthokreise, die ∂D unter einem rechten Winkel treﬀen. Das Poincar´e-Modell f¨ ur die nichteuklidische Geometrie sieht nun folgendermaßen aus: Als Ebene“ benutzen wir das Innere des Einheitskreises D, als Geraden“ die Or” ” thokreise (inkl. der euklidischen Geraden durch den Nullpunkt). Die Inzidenz- und Anordnungsaxiome sind oﬀensichtlich erf¨ ullt, und da alle hyperbolischen Geraden hom¨oomorph zu einem oﬀenen Intervall und damit zur rellen Achse sind, ist auch das Dedekind-Axiom erf¨ ullt. Als Bewegungsgruppe dient die Gruppe Aut(D) (mit den verallgemeinerten Translationen Tα und den Drehungen Rθ um 0), erweitert um die Spiegelung z → z¯. Dann kann man zeigen, dass alle Bewegungs-Axiome erf¨ ullt sind. In der vorliegenden Geometrie ist oﬀensichtlich das hyperbolische Parallelenaxi” om“ erf¨ ullt:

4 Meromorphe Funktionen

270

Es gibt eine Gerade und einen Punkt P , der nicht auf liegt, so dass durch P mindestens zwei Parallelen zu gehen.

sP

D

Man sieht auch, dass eine Parallele zu einer Geraden g auf diese asymptotisch zulaufen kann, eine Tatsache, die 100 Jahre vor Gauß und Bolyai den Jesuitenpater Girolama Saccheri daran zweifeln ließ, dass er eine neue, g¨ ultige Geometrie entdeckt habe, so dass er lieber einen logisch eigentlich nicht haltbaren Widerspruch herbeif¨ uhrte und damit eine historische Chance verpasste. Das Modell von Poincar´e entstand erst 1881, zuvor musste man v¨ollig abstrakt argumentieren. Man kann auch leicht Dreiecke mit einer Winkelsumme < 180◦ ﬁnden:

Die Cayley-Abbildung C bildet D biholomorph auf H ab. Deshalb kann auch die obere Halbebene als Modell f¨ ur die nichteuklidische Geometrie dienen. Die Geraden in diesem Modell sind die Halbgeraden, die auf der reellen Achse senkrecht stehen, und die Halbkreise in H mit dem Mittelpunkt auf der reellen Achse.

4.7

Anwendungen

271

Die Riemann’sche Zeta-Funktion Deﬁnition

(Zeta-Funktion)

Die Riemannsche ζ-Funktion ist deﬁniert durch ζ(s) =

∞ 1 , ns n=1

wobei traditionell die komplexe Unbestimmte in der Form s = σ+ i t geschrieben wird. Die Reihe der ζ-Funktion konvergiert f¨ ur σ > 1 absolut, denn es ist ∞ ∞ 1 1 = , s n nσ n=1 n=1

und aus der Analysis ist bekannt, dass

∞

n=1

1/nσ f¨ ur σ > 1 konvergiert.

Ist s0 = σ0 + i t0 ein Punkt mit σ0 > 1, so kann die Reihe wegen der Monotonie 1/nσ ≤ 1/nσ0 f¨ ur alle σ ≥ σ0 gleichm¨aßig durch eine konvergente Reihe abgesch¨atzt werden. Daher ist die ζ-Funktion holomorph f¨ ur σ > 1. Bei s = 1 besitzt ζ oﬀensichtlich eine Singularit¨at. Den Funktionswert f¨ ur s = 2 haben wir auch schon ausgerechnet, es ist ζ(2) = π 2 /6.

4.7.20. Euler’sche Produktformel Es bezeichne p1 , p2 , . . . die Folge der Primzahlen. Dann gilt f¨ ur alle s mit Re(s) > 1 die folgende Produktformel: ζ(s) =

∞

1 . 1 − p−s n n=1

Beweis: Wir untersuchen konkret die ersten Partialprodukte. Bekanntlich sind die ersten Primzahlen die Zahlen 2, 3, 5 . . . , das ergibt ζ(s) · (1 − 2−s ) =

∞

n−s −

n=1

∞

(2n)−s =

n=1

m−s .

2m

Der Schritt f¨ ur p2 = 3 l¨auft analog : ζ(s) · (1 − 2−s )(1 − 3−s ) =

m−s (1 − 3−s )

2m

=

2m

m−s −

(3m)−s = m−s . 2m

2,3m

4 Meromorphe Funktionen

272

Allgemein ist, wenn wir bis pN weiter verfahren, −s −s m−s = 1 + p−s ohere Terme. ζ(s) · (1 − p−s 1 )(1 − p2 ) · · · (1 − pN ) = N +1 + h¨ p1 ,...,pN m

Den entstandenen Rest“ k¨onnen wir absch¨atzen: ” 1 . |p−s N +1 + . . .| ≤ nσ n≥p N +1

Die rechte Seite geht aber f¨ ur N → ∞ gegen Null, da es unendlich viele Primzahlen gibt. Das bedeutet N (1 − p−s lim ζ(s) · n ) = 1. N →∞

n=1

Das Produkt ist kompakt konvergent, da die unendliche Reihe konvergiert.

∞ n=1

|p−s n | kompakt

In dem Beweis ist die Existenz von unendlich vielen Primzahlen eingegangen. Der Spieß kann aber auch umgedreht werden, d.h. aus der Produktdarstellung der ζFunktion kann die Existenz unendlich vieler Primzahlen gefolgert werden: Angenommen, es g¨abe nur endlich viele Primzahlen. Dann ist das Produkt endlich, und es gilt 1 . ζ(s) = −s (1 − 2 ) · · · (1 − p−s N ) Auf der rechten Seite erh¨alt man einen endlichen Grenzwert f¨ ur s → 1, auf der linken Seite aber nicht. Widerspruch! Der im Satz gezeigte Zusammenhang zwischen der ζ-Funktion und der Primzahlverteilung ist der Anfang der analytischen Zahlentheorie. Dort wird versucht, mit den Methoden der Funktionentheorie zahlentheoretische Aussagen zu beweisen, wobei die ζ-Funktion h¨auﬁg eine zentrale Rolle spielt.

4.7.21. Folgerung Der Funktionswert ζ(s) ist ungleich Null, falls σ > 1 ist. Beweis: In der Produktdarstellung sind alle Faktoren ungleich Null, also muss es auch das Produkt sein. Nun wollen wir sehen, wie weit wir die ζ-Funktion nach links fortsetzen k¨onnen :

4.7.22. Die Zeta-Funktion und die Gamma-Funktion Ist s ∈ C mit σ > 1, dann gilt

4.7

Anwendungen

273

∞ ζ(s) · Γ(s) = 0

ts−1 1 dt = + (s), t e −1 s−1

wobei eine in der rechten Halbebene holomorphe Funktion ist. Wir geben hier nur die Beweis-Idee an: Zun¨achst untersucht man das uneigentliche Integral ∞ 0

ts−1 dt = et − 1 ∞

∞

s−1

t 0

∞

=

e−t · dt = 1 − e−t

∞ 0

ts−1

1 − 1 dt 1 − e−t

∞ ϕ(t) s−1 −ϕ(t) 1 dt = ( · ϕ (t) dt, ) ·e k k k=1 ∞

s−1 −kt

t

e

k=1 0

0

wobei ϕ(t) = kt ist. Mit der Substitutionsregel folgt dann ∞ 0

1 ts−1 · dt = et − 1 ks k=1 ∞

∞

xs−1 e−x dx = ζ(s) · Γ(s)

f¨ ur Re s > 1.

0

Daraus folgt der erste Teil der Behauptung. Dann betrachtet man die zwei Hilfsfunktionen 1 A(s) := 0

1 1 s−1 − t dt t e −1 t

∞ und

B(s) := 1

ts−1 dt. et − 1

Man kann zeigen: die beiden Funktionen sind holomorph auf der rechten Halbebene, also f¨ ur alle s mit Realteil von s > 0. Setzen wir (s) = A(s) + B(s), dann folgt ∞ ζ(s) · Γ(s) − (s) = 0

ts−1 dt − et − 1

1 = 0

ts−2 dt =

1 0

1 s−1 1 − t dt − et − 1 t

∞ 1

ts−1 dt et − 1

ts−1 1 1 . = s−1 0 s−1

Damit ist auch die zweite Gleichung gezeigt.

4.7.23. Folgerung ζ kann meromorph auf die rechte Halbebene fortgesetzt werden und hat dann genau einen einfachen Pol bei s = 1.

4 Meromorphe Funktionen

274

Beweis:

Dividieren der letzten Identit¨at durch Γ ergibt: ζ(s) =

1 1 · + (s) . Γ(s) s−1

Weil Γ(s) in der rechten Halbebene keine Polstellen hat, gibt es nur genau den einen Pol. Es stellt sich die Frage, ob es gelingt, ζ noch weiter fortzusetzen. Die Antwort liefert der folgende Satz:

4.7.24. Die Zeta-Funktion und die Funktion I Es gibt eine ganze Funktion I(s) mit I(1) = 2π i , so dass gilt: ζ(s) =

I(s) − 1)Γ(s)

(e2π i s

f¨ ur Re s > 1.

Beweis: Auch diesen Beweis werden wir nur andeuten. Zu δ > 0 w¨ahlen wir einen Weg γδ , der vom unendlich fernen Punkt aus entlang der reellen Achse bis zum Punkt δ l¨auft, von dort den Nullpunkt gegen den Uhrzeigersinn auf einem Kreis mit Radius δ uml¨auft und dann wieder gegen Unendlich geht.

δ

Es sei

Iδ (s) := γδ

z s−1 dz, ez − 1

s−1

mit jenem Zweig des Logarithmus erkl¨art wird, f¨ ur den die wobei die Potenz z positive reelle Achse entfernt wurde, also log(r · e i t ) = ln r + i t, mit 0 < t < 2π. Man beachte, dass γδ direkt auf der x-Achse verl¨auft (im Gegensatz zur Skizze, wo der Pfad zur Verdeutlichung etwas oberhalb und unterhalb der Achse eingezeichnet wurde). Ist αδ (t) := δ · e i t die Parametrisierung des Kreises, so ist Iδ (s) = αδ

z s−1 dz + e2π i s − 1 · ez − 1

∞ δ

ts−1 dt. et − 1

4.7

Anwendungen

275

Man kann zeigen, dass Iδ holomorph ist, und weil der Integrand in Iδ (s) auf einer im Nullpunkt gelochten Kreisscheibe um Null holomorph ist, folgt sofort, dass der urlich Wert Iδ (s) vom speziellen δ unabh¨angig ist. Diese Unabh¨angigkeit gilt nat¨ nicht f¨ ur die beiden Integrale in der Zerlegung. Man kann zeigen, dass das linke Integral f¨ ur Re(s) > 1 und δ → 0 gegen Null strebt, und wir wissen schon, dass ∞ ζ(s) · Γ(s) = 0

ts−1 dt et − 1

ist. Daraus folgt die gew¨ unschte Gleichung. Außerdem ist

1 1 dz = 2π i · res0 z = 2π i , I(1) = z e −1 αδ e − 1 ur z → 0 gegen 1 geht. weil z/(ez − 1) f¨

4.7.25. Folgerung (Fortsetzung der Zeta-Funktion nach C) ζ l¨asst sich meromorph nach ganz C fortsetzen, mit einer einzigen Polstelle bei s = 1 (mit Residuum gleich 1). Beweis:

Wir benutzen die Darstellung ζ(s) =

I(s) . (e2π i s − 1) · Γ(s)

Weil die Γ-Funktion keine Nullstellen hat, kann ζ nur einen Pol haben, wenn s eine ganze Zahl ist. Allerdings werden die Nennernullstellen f¨ ur s ∈ N0 von den Polstellen von Γ aufgehoben, also ist ζ dort holomorph. An den Stellen n ∈ N, n > 1, ist ζ ohnehin holomorph, weil die urspr¨ ungliche Produktdarstellung dort Bestand hat. Es bleibt noch die Polstelle bei s = 1 zu betrachten: res1 (ζ) = lim(s − 1)ζ(s) = lim s→1

s→1

2π i (s − 1) 2π i (s − 1) = lim 2π i (s−1) = 1, s→1 e e2π i s − 1 −1

weil I(1) = 2π i und limz→0 (z/(ez − 1)) = 1 ist.

4.7.26. Satz (Funktionalgleichung der ζ-Funktion) F¨ ur s = 0, 1 gilt ζ(s) = 2s · π s−1 · sin(

πs ) · Γ(1 − s) · ζ(1 − s). 2

Auf den Beweis verzichten wir hier. Eine M¨oglichkeit besteht darin, die Gleichung zun¨achst f¨ ur −1 < Re(z) < 0 zu beweisen und dann das Ergebnis mit Hilfe des Identit¨atssatzes auf immer gr¨oßere Bereiche zu u ¨bertragen.

4 Meromorphe Funktionen

276

4.7.27. Folgerung (u ¨ ber die Nullstellen der Zeta-Funktion) Es ist ζ(−n) = 0, falls n ∈ N gerade ist. Dar¨ uber hinaus hat ζ(s) h¨ochstens Nullstellen im Gebiet 0 ≤ σ = Re(s) ≤ 1. Beweis: Die Gammafunktion hat Polstellen in z = −n, n ∈ N0 , also hat Γ(1−z) Polstellen in z = 1, 2, 3, . . .. Da ζ(s) f¨ ur s = 1 holomorph ist, folgt sin(

πs ) · ζ(1 − s) = 0 f¨ ur s = 2, 3, . . . 2

Da die Polstellen der Gammafunktion einfach sind, m¨ ussen auch die obigen Nullstellen einfach sein. F¨ ur gerades s hat bereits sin((πs)/2) eine Nullstelle, aber auch nur dann. Setzen wir also z = 1 − s, so ist ζ(z) = 0 f¨ ur s = 3, 5, . . ., also f¨ ur z = −2, −4, −6, . . ., und ζ(z) = 0 f¨ ur s = 2, 4, 6, . . ., also z = −1, −3, −5, . . .. Ist σ > 1, so folgt aus der Produktdarstellung, dass ζ(s) = 0 ist. Insbesondere ist dort die rechte Seite der Funktionalgleichung ungleich Null. Schreiben wir wieder z = 1 − s, so kann ζ(z) f¨ ur Re(z) < 0 nur dann eine Nullstelle haben, wenn der Ausdruck πs Γ(1 − s) · sin( ) 2 eine Polstelle hat. Weil der Sinus keine Polstellen hat, muss eine solche von der Γ-Funktion kommen und darf nicht mit einer Nullstelle des Sinus gek¨ urzt werden. Nun gilt: • Γ(1 − s) hat Polstellen f¨ ur alle s ∈ N. • sin(πs/2) hat genau dann eine Nullstelle, wenn s gerade ist. Also kann ζ(z) f¨ ur Re(z) < 0 h¨ochstens dann eine Nullstelle haben, wenn s eine ungerade nat¨ urliche Zahl > 1 ist – das bedeutet aber genau, dass z = 1 − s = −2, −4, −6, . . . ist. Andere Nullstellen kann ζ(z) f¨ ur Re(z) < 0 nicht aufweisen. Bemerkung: Die Nullstellen −n f¨ ur gerades n heißen die trivialen Nullstellen der ζ-Funktion. F¨ ur das Auftreten von nicht-trivialen Nullstellen geben wir ohne Beweis an:

4.7.28. Satz von Hadamard / de la Valle´ e-Poussin ζ(s) hat keine Nullstellen f¨ ur Re(s) = 1 (und damit auch keine f¨ ur Re(s) = 0). Also m¨ ussen weitere Nullstellen im Gebiet S := {z ∈ C : 0 < Re z < 1} liegen, im sogenannten kritischen Streifen“. ” Der Satz von Hadamard / de la Valle´e-Poussin ist ¨aquivalent zum Primzahlsatz, der besagt: Ist π(x) die Anzahl der Primzahlen ≤ x, dann existiert der Grenzwert

4.7

Anwendungen

277

lim

x→∞

π(x) log(x) = 1, x

d.h. π(x) verh¨alt sich wie x/ log x. Man kann zeigen, dass unendlich viele Nullstellen von ζ(s) im kritischen Streifen liegen und dass die Nullstellen dort symmetrisch zur Geraden σ = 1/2 liegen, jedoch nicht auf der reellen Achse.

4.7.29. Satz von Hardy (1914) ζ(s) hat unendlich-viele Nullstellen bei σ = 1/2.

4.7.30. Satz Ist ε > 0, so liegen (maßtheoretisch gesehen) fast alle“ Nullstellen im Streifen ” 1 1 − ε < σ < + ε. 2 2 Diese immer st¨arker werdenden S¨atze legen die folgende ber¨ uhmte Vermutung nahe:

4.7.31. Riemann’sche Vermutung: Alle Nullstellen der ζ-Funktion im kritischen Streifen liegen bei σ = 1/2. Man weiß immerhin: Die ersten 150 Millionen Nullstellen im kritischen Streifen liegen genau bei σ = 1/2. Aber die Vermutung von Riemann blieb bis heute ungel¨ost.

5 Geometrische Funktionentheorie 5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz

Wir werden in diesem Abschnitt die schon lange versprochene topologische Charakterisierung einfach zusammenh¨angender Gebiete herleiten. Wichtigstes Hilfsmittel daf¨ ur ist der Riemann’sche Abbildungssatz, der zeigt, dass jedes einfach zusammenh¨angende Gebiet = C biholomorph ¨aquivalent zum Einheitskreis ist. Leider ist der Beweis dieses erstaunlichen Resultates nicht konstruktiv, aber im weiteren Verlauf dieses Kapitels werden wir mit Hilfe des Spiegelungsprinzips Methoden gewinnen, mit denen man gewisse Gebiete ganz konkret auf den Einheitskreis abbilden kann. Zu Erinnerung: Bislang nennen wir ein Gebiet G ⊂ C einfach zusammenh¨angend, falls jede holomorphe Funktion auf G eine Stammfunktion besitzt. Und wir wissen z.B. schon: 1. Jedes sternf¨ormige Gebiet ist einfach zusammenh¨angend. 2. Ist G einfach zusammenh¨angend und F : G → C holomorph und injektiv, so ist auch F (G) einfach zusammenh¨angend. 3. Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, f : G → C holomorph und f (z) = 0 auf G. Dann gibt es eine holomorphe Funktion h auf G, so dass exp(h(z)) = f (z) f¨ ur alle z ∈ G gilt.

5.1.1. Folgerung (Existenz der Quadratwurzel) Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, f : G → C holomorph und f (z) = 0 auf G. Dann gibt es eine holomorphe Funktion g auf G mit g 2 = f . Sei eh = f . Setzt man g := eh/2 , so ist g 2 = eh = f . ¨ Wir wollen nun (biholomorphe) Aquivalenzlassen von Gebieten bestimmen.

Beweis:

1. Ist G = C, so ist G kompakt. Das ist ein Sonderfall. 2. Ist G = C, so gibt ein z0 ∈ C\G. Wir k¨onnen ohne Einschr¨ankung verlangen, dass z0 = ∞ ∈ G ist, sonst bilden wir G mittels 1/(z − z0 ) biholomorph auf ein Gebiet in C ab. Also reicht es, wenn wir Gebiete in C betrachten.

5.1.2. Riemann’scher Abbildungssatz Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, G = C. Dann ist G biholomorph ¨aquivalent zum Einheitskreis D.

5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz

279

Beweis: Wir zeigen genauer: Ist G ⊂ C einfach zusammenh¨angend, so gibt es zu jedem Punkt z0 ∈ G eine biholomorphe Abbildung T : G → D mit T (z0 ) = 0, deren Ableitung T (z0 ) reell und > 0 ist. Der Punkt z0 sei fest gew¨ahlt. Dann wird der Beweis in drei Schritten gef¨ uhrt : 1. Zun¨achst konstruieren wir eine injektive, holomorphe Abbildung T1 : G → D mit T1 (z0 ) = 0, so dass T1 (z0 ) reell und > 0 ist. Das Gebiet G1 := T1 (G) ist dann auch einfach zusammenh¨angend. 2. Als N¨achstes betrachten wir die Familie F := {f : G1 → D | f holomorph und injektiv, f (0) = 0, f (0) > 0}. Mithilfe des Satzes von Montel zeigen wir, dass es eine Abbildung T0 ∈ F mit maximaler Ableitung im Nullpunkt gibt. Dies ist der nicht-konstruktive Teil des Beweises. 3. Schließlich beweisen wir, dass T0 das Gebiet G1 surjektiv auf D abbildet. Dann ist T := T0 ◦ T1 die gesuchte, biholomorphe Abbildung T : G → D. Wir kommen nun zur Ausf¨ uhrung. G ⊂ C sei das gegebene einfach zusammenh¨angende Gebiet, G = C. 1) o.B.d.A. sei G ⊂ C∗ , sonst verschieben wir G entsprechend. Wenn jetzt der Nullpunkt nicht in G liegt, ist die Funktion z → z holomorph und nullstellenfrei auf G. Weil G√einfach zusammenh¨angend ist, existiert eine holomorphe Quadratwurzel q(z) = z auf G. Die Funktion q ist injektiv, deshalb ist das Gebiet G := q(G) ⊂ C∗ biholomorph ¨aquivalent zu G. Aber das Komplement von G enth¨alt eine ganze Kreisscheibe, denn mit w ∈ G ist −w ∈ G , sonst w¨are die Wurzel auf G nicht umkehrbar. Nehmen wir nun ein w0 ∈ G , dann gibt es wegen der Oﬀenheit ein ε > 0, so dass die Menge Dε (w0 ) in G liegt. Also muss der Kreis mit gleichem Radius um −w0 ganz im Komplement G liegen. Wir betrachten nun den Automorphismus g(z) := ε/(z+w0 ) von C. Es ist g(∞) = 0 und |g(z)| < 1 f¨ ur |z + w0 | > ε. Also bildet g die Menge C \ Dε (−w0 ) nach D \ {0} ab, d.h. es gibt ein Gebiet G im Innern von D, so dass g ◦ q : G → G eine biholomorphe Abbildung ist. Sei a := g(q(z0 )) das Bild des ausgew¨ahlten Punktes z0 . Die Transformation Ta (z) :=

z−a 1 − az

schickt a auf den Nullpunkt, und hintereinandergeschaltet schickt die Abbildung Ta ◦g ◦q den Punkt z0 dorthin. Ist jetzt (Ta ◦g ◦q) (z0 ) = r·e i t mit r > 0, t ∈ [0, 2π), so wenden wir noch die Drehung Rt (z) := e− i t ·z an. Dann bildet T1 := Rt ◦Ta ◦g ◦q immer noch G nach D hinein und z0 auf 0 ab, zus¨atzlich ist aber T1 (0) = r > 0.

5 Geometrische Funktionentheorie

280

s z0

q

G ws0

G

s

s

q(z0 )

−w0 g

Rt ◦ Ta

a s G

T0 G1 s

s

D

2) Sei G1 := T1 (G). Dann ist G1 auch einfach zusammenh¨angend. Wir benutzen die Familie F := {f : G1 → D | f holomorph und injektiv, f (0) = 0, f (0) > 0}. Wir suchen ein T0 ∈ F, so dass T0 (0) maximal ist. F ist lokal-beschr¨ankt, sogar gleichm¨aßig beschr¨ankt, und F ist nicht leer, da idD in F liegt. Sei α := sup{f (0) | f ∈ F} ∈ R ∪ {∞}. Da (idD ) (0) = 1 gilt, ist α ≥ 1, und es gibt eine Folge von Funktionen fn in F, deren Ableitungen im Nullpunkt gegen α konvergieren. Wegen der lokalen Beschr¨anktheit und des Satzes von Montel enth¨alt die Folge eine Teilfolge, die kompakt gegen eine Funktion f0 ∈ O(G1 ) konvergiert. Ohne Einschr¨ankung sei (fn ) schon selbst diese Teilfolge. Nach dem Konvergenzsatz von Weierstraß konvergieren auch die Ableitungen (fn ) gegen f0 , deshalb gilt f0 (0) = α. Insbesondere ist f0 nicht konstant. Da alle fn injektiv sind, liefert der Satz von Hurwitz, dass f0 auch injektiv ist. Da |fn | < 1 f¨ ur alle n ist, ist |f0 | ≤ 1. Nach dem Maximumsprinzip muss |f0 | < 1 sein. Außerdem ist f0 (0) = lim fn (0) = 0 und damit f0 ∈ F. Wir deﬁnieren nun T0 := f0 , und der n→∞ zweite Schritt des Beweises ist abgeschlossen. 3) Ist T0 surjektiv, so sind wir fertig, weil die Verkettung T0 ◦ T1 : G1 → D biholomorph ist.

5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz

281

Angenommen, G2 := T0 (G1 ) = D. Sei c ein Punkt aus D \ G2 . Wir betrachten den Automorphismus z−c . Tc (z) := 1 − cz Tc bildet den Nullpunkt nach −c und den Punkt c nach Null ab. Das Gebiet G3 := Tc (G2 ) ist wieder ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet. Außerdem liegt der Nullpunkt √ nicht in G3 . Deshalb existiert eine holomorphe Quadratwurzel auf G3 , p(z) = z, die nat¨ urlich injektiv ist. Das Bild p(G3 ) ist vollst¨andig im Einheitskreis enthalten. Wir setzen jetzt eine Transformation an: Tλ,d (z) := e i λ ·

z−d , mit d := p(−c), 1 − dz

wobei wir den Parameter λ sp¨ater w¨ahlen wollen. Die Verkettung S := Tλ,d ◦ p ◦ Tc : G2 → D, ist auf jeden Fall injektiv. Jetzt w¨ahlen wir λ so, dass die Ableitung S (0) reell und gr¨oßer Null ist. Das geht, da die Ableitung wegen der Injektivit¨at ungleich Null ist und nur noch auf die positive reelle Achse gedreht werden muss. Deﬁnieren wir p∗ (z) := z 2

und

−1 S ∗ := Tc−1 ◦ p∗ ◦ Tλ,d : D → D,

so ist S ∗ ◦ S|G2 = idG2 . Weil S ∗ (0) = 0 ist, kann man das Schwarz’sche Lemma auf S ∗ anwenden, und es folgt |(S ∗ ) (0)| ≤ 1. W¨are der Betrag der Ableitung in Null gleich Eins, also S ∗ eine Drehung, dann w¨are p∗ (z) = Tc ◦ S ∗ ◦ Tλ,d ein Automorphismus des Einheitskreises, was aber nicht der Fall ist. Also ist |(S ∗ ) (0)| < 1. Dann ist aber |S (0)| > 1, und weil S (0) reell ist, ist sogar S (0) > 1. Die Abbildung h := S ◦ T0 : G1 → D ist eine holomorphe, injektive Abbildung, die den Nullpunkt ﬁx l¨asst, und außerdem ist h (0) = S (0) · T0 (0) > T0 (0). Das ist ein Widerspruch! Also ist T0 surjektiv und wir sind fertig. Den Cauchy’schen Integralsatz haben wir bisher nur f¨ ur geschlossene Integrationswege in einfach zusammenh¨angenden Gebieten bewiesen. Wir werden nun eine allgemeinere Formulierung ﬁnden und damit zu der gew¨ unschten topologischen Charakterisierung des Begriﬀes einfach zusammenh¨angend“ kommen. ” Unter einer Kette von Wegen in einem Gebiet G versteht man eine formale Linearkombination N Γ= nj αj j=1

5 Geometrische Funktionentheorie

282

von Wegen αj in G mit ganzzahligen Koeﬃzienten nj = n(αj ). Die Menge |Γ| := |α1 | ∪ . . . ∪ |αN | heißt die Spur von Γ. Einfache F¨alle (Summen von Wegen oder umgekehrt durchlaufene Wege) haben wir schon fr¨ uher kennengelernt. Ist f eine holomorphe Funktion auf G, so setzt man f (z) dz := Γ

N

ni

i=1

f (z) dz. αi

Jeder Weg ist nat¨ urlich auch eine Kette. Ist der Weg geschlossen, so gibt es genau einen Punkt, der zugleich Anfangs- und Endpunkt ist. Diese Eigenschaft k¨onnen wir benutzen, um geschlossene Wege zu verallgemeinern und geschlossene Ketten“, ” sogenannte Zyklen einzuf¨ uhren.

Deﬁnition

(Zyklus)

F¨ ur einen Weg α sei zA (α) der Anfangspunkt und zE (α) der Endpunkt. Eine Kette Γ = N ur jeden Punkt z ∈ G gilt: j=1 nj αj in G heißt ein Zyklus, falls f¨

n(αj ) =

j mit z=zA (αj )

n(αk ).

k mit z=zE (αk )

5.1.3. Beispiele A. Ist α ein geschlossener Weg mit Anfangs- und Endpunkt z0 , so ist n · α f¨ ur jedes n ∈ Z ein Zyklus, denn die zu betrachtenden Summen ergeben entweder beide n (im Punkt z0 ) oder 0 (sonst). Insbesondere ist jeder konstante Weg (dessen Spur ein einzelner Punkt ist) ein Zyklus. B. Sind α1 , . . . , αN irgendwelche Wege mit zE (αj ) = zA (αj+1 ) und zE (αN ) = zA (α1 ), so ist α1 + · · · + αN ein Zyklus. C. Sind Γ1 , . . . , Γn Zyklen und a1 , . . . , an ganze Zahlen, so ist auch die Linearkombination a1 Γ1 + · · · + an Γn ein Zyklus.

5.1.4. Verallgemeinerter Fundamentalsatz Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph. f besitzt genau dann auf G eine Stammfunktion, wenn gilt: f (z) dz = 0 f¨ ur jeden Zyklus Γ in G. Γ

Beweis:

1) Sei f = F auf G und Γ =

N j=1

nj αj ein Zyklus in G. Dann gilt:

5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz f (z) dz = Γ

N

nj αj

j=1

=

283

F (z) dz =

nj F zE (αj ) − F zA (αj )

j=1

⎛

F (z) · ⎝

z∈G

N

z=zE (αj )

nj −

⎞ nk ⎠ = 0.

z=zA (αk )

ur jeden geschlossenen 2) Ist umgekehrt das Kriterium erf¨ ullt, so ist α f (z) dz = 0 f¨ Weg α, und f besitzt (nach dem Fundamentalsatz) eine Stammfunktion. Auch der Begriﬀ der Umlaufszahl (vgl. Abschnitt 3.2) kann verallgemeinert werden.

Deﬁnition Sei Γ =

N

(Umlaufszahl)

nj αj eine Kette in C und z ∈ |Γ|. Dann heißt

j=1

1 n(Γ, z) := 2π i

Γ

N dζ dζ 1 nj = ζ −z 2π i j=1 αj ζ − z

die Umlaufszahl von Γ bez¨ uglich z.

5.1.5. Eigenschaften der Umlaufszahl 1. n(Γ, z) h¨angt stetig von z ab. 2. n(Γ1 + Γ2 , z) = n(Γ1 , z) + n(Γ2 , z). 3. n(−Γ, z) = −n(Γ, z). Der Beweis ist trivial.

5.1.6. Umlaufszahlen von Zyklen sind ganzzahlig Ist Γ ein Zyklus und z0 ∈ |Γ|, so ist n(Γ, z0 ) ∈ Z. Beweis: Ist α ein Weg und z0 ∈ |α|, so liegt 0 nicht auf dem durch (α − z0 )(t) := α(t) − z0 deﬁnierten Weg α − z0 , und es gilt n(α − z0 , 0) = n(α, z0 ). Deshalb k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, dass z0 = 0 ist. N ∗ Sei Γ = j=1 nj αj . Es gibt dann zu jedem Weg αj : [aj , bj ] → C eine stetige Argumentfunktion ϕj : [aj , bj ] → R, so dass gilt: n(αj , 0) =

N 1 1 nj · ϕj (bj ) − ϕj (aj ) . ϕj (bj ) − ϕj (aj ) , also n(Γ, 0) = 2π 2π j=1

5 Geometrische Funktionentheorie

284

Es gibt ganze Zahlen kj und lj , so dass ϕj (aj ) = arg(zA (αj )) + 2πkj und ϕj (bj ) = arg(zE (αj )) + 2πlj ist. Also ist N 1 nj arg zE (αj ) − arg zA (αj ) 2π j=1 j=1 ⎛ ⎞ N 1 nj (kj − lj ) + arg(z) · ⎝ nj − nk ⎠ = 2π j=1 z∈G

n(Γ, 0) =

N

nj (kj − lj ) +

z=zE (αj )

=

N

z=zA (αk )

nj (kj − lj ) ∈ Z.

j=1

5.1.7. Die Zusammenhangskomponenten von C \ |Γ| Sei Γ ein Zyklus in C. Dann enth¨alt C \ |Γ| endlich viele Zusammenhangskomponenten, und genau eine davon ist unbeschr¨ankt. Die Umlaufszahl n(Γ, z) ist auf jeder Zusammenhangskomponente konstant und verschwindet auf der unbeschr¨ankten Komponente. Der Beweis kann w¨ortlich von dem Beweis f¨ ur geschlossene Wege abgeschrieben werden.

Deﬁnition

(nullhomologe Zyklen)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Ein Zyklus Γ in B heißt nullhomolog in G, falls n(Γ, z) = 0 f¨ ur jeden Punkt z ∈ C \ G ist. Zwei Zyklen Γ1 , Γ2 in G heißen homolog in G, falls ihre Diﬀerenz nullhomolog in G ist. Anschaulich gesprochen ist ein Zyklus Γ genau dann nullhomolog in G, wenn er keinen Punkt des Komplementes von G uml¨auft. Der Rand des Einheitskreises ist also in C∗ nicht nullhomolog. Nun kann man den Cauchy’schen Integralsatz in folgender Weise verallgemeinern:

5.1.8. Allgemeiner Cauchy’scher Integralsatz Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und Γ ein nullhomologer Zyklus in G. Dann gilt: f (z) dz = 0. 1. Γ

2. Ist z ∈ G \ |Γ| und k ∈ N0 , so ist n(Γ, z) · f (k) (z) =

k! 2π i

Γ

f (ζ) dζ. (ζ − z)k+1

5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz

Beweis:

285

Der hier vorgestellte Beweis wurde von J.D.Dixon 1971 ver¨oﬀentlicht.

1. Schritt: Auf G × G wird folgende Funktion deﬁniert: ⎧ ⎪ ⎨ f (w) − f (z) f¨ ur w = z w−z g(w, z) := ⎪ ⎩ f¨ ur w = z. f (z) Wir zeigen, dass g stetig und bei festem w holomorph in z ist. Die Stetigkeit von g in Punkten (w, z) mit w = z ist klar. Also untersuchen wir Diﬀerenzen der Gestalt g(w, z) − g(z0 , z0 ). a) Ist w = z, so erh¨alt man g(w, z) − g(z0 , z0 ) = f (z) − f (z0 ), und diese Diﬀerenz strebt f¨ ur z → z0 gegen Null. b) Ist w = z, so ist f (w) − f (z) 1 − f (z0 ) = g(w, z) − g(z0 , z0 ) = w−z w−z

w

[f (ζ) − f (z0 )] dζ.

z

In der N¨ahe von z0 kann man das Integral u ¨ber die Verbindungsstrecke von z und w erstrecken und erh¨alt: |g(w, z) − g(z0 , z0 )| ≤ sup|f (z + t(w − z)) − f (z0 )|. [0,1]

ur (w, z) → Wegen der Stetigkeit von f strebt der Ausdruck auf der rechten Seite f¨ (z0 , z0 ) gegen Null. Bei festem w ist g(w, z) stetig und f¨ ur z = w holomorph, also u ¨berhaupt holomorph. 2. Schritt: Wir wollen zun¨achst die Formel (2) im Falle k = 0 beweisen. Sei z ∈ G \ |Γ|. Es ist 1 f (ζ) 1 g(ζ, z) dζ. dζ − n(Γ, z) · f (z) = 2π i Γ ζ − z 2π i Γ Um die ur k = 0 zu beweisen, gen¨ ugt es zu zeigen, verallgemeinerte Integralformel f¨ dass Γ

g(ζ, z) dζ = 0 ist. Wir deﬁnieren daher h0 : G → C durch h0 (z) :=

g(ζ, z) dζ. Γ

Oﬀensichtlich ist h0 stetig, und wir zeigen mit Hilfe des Satzes von Morera, dass h0 sogar holomorph ist: Sei Δ ein abgeschlossenes Dreieck in G. Dann ist h0 (z) dz = g(ζ, z) dζ dz = g(ζ, z) dz dζ. ∂Δ

∂Δ

Γ

Γ

∂Δ

5 Geometrische Funktionentheorie

286

Die Vertauschbarkeit der Integrale ist gegeben, weil g stetig auf G × G ist. Aber weil g(ζ, z) bei festem ζ holomorph in z ist, verschwindet das innere Integral auf der rechten Seite und damit auch das Gesamtintegral auf der linken Seite. h0 ist tats¨achlich holomorph auf G. 3. Schritt: Der entscheidende Trick des Beweises kommt jetzt: Sei G0 := {z ∈ C \ |Γ| : n(Γ, z) = 0}. Als Vereinigung von Zusammenhangskomponenten ist G0 oﬀen. Da Γ nullhomolog in G ist, liegt C \ G in G0 , und daher ist G ∪ G0 = C. Auf G ∩ G0 gilt jedoch: f (ζ) h0 (z) = dζ =: h1 (z), ζ −z Γ und h1 ist auf C \ |Γ| und damit insbesondere auf G0 holomorph. h0 l¨asst sich also mit Hilfe von h1 zu einer ganzen Funktion h fortsetzen. Die Standardabsch¨atzung zeigt sofort, dass h1 (z) f¨ ur z → ∞ gegen Null strebt. Damit ist h beschr¨ankt und nach Liouville konstant. Und diese Konstante muss oﬀensichtlich = 0 sein. 4. Schritt: Wir haben die Integralformel f¨ ur den Fall k = 0 bewiesen: 1 f (ζ) n(Γ, z) · f (z) = dζ. 2π i Γ ζ − z Die F¨alle k ≥ 1 ergeben sich hieraus durch fortgesetztes Diﬀerenzieren. Den verallgemeinerten Cauchy’schen Integralsatz erh¨alt man, indem man die Formel auf die Funktion F (z) := f (z)(z − z0 ) anwendet: F (z) 1 1 0 = n(Γ, z0 ) · F (z0 ) = dz = f (z) dz. 2π i Γ z − z0 2π i Γ Damit ist alles gezeigt.

5.1.9. Homologie und einfacher Zusammenhang Sei G ⊂ C ein Gebiet. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: 1. Jeder Zyklus in G ist nullhomolog in G. f (z) dz = 0 f¨ ur jeden Zyklus Γ und jede holomorphe Funktion f in G. 2. Γ

3. G ist einfach zusammenh¨angend, d.h., jede holomorphe Funktion auf G besitzt eine Stammfunktion. 4. Ist f : G → C holomorph und ohne Nullstellen, so gibt es eine holomorphe Funktion q auf G mit exp ◦q = f . Beweis:

(1) =⇒ (2) : Das haben wir oben gerade gezeigt.

(2) =⇒ (3) : Das ist der Hauptsatz u ¨ber Kurvenintegrale.

5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz

287

(3) =⇒ (4) : Auch diese Aussage haben wir schon fr¨ uher bewiesen. (4) =⇒ (1) : Sei Γ ein Zyklus in G und a ∈ C \ G. Dann hat f (z) := z − a keine Nullstelle in G und es gibt eine holomorphe Funktion q mit f = exp ◦q. Nun folgt: f (z) = q (z) · f (z), also q (z) = 1 Daher ist n(Γ, a) = 2π i (Seite 282) folgt.

Γ

1 1 dz = z−a 2π i

f (z) 1 = . f (z) z−a

q (z) dz = 0, wie aus Satz 5.1.4

Γ

5.1.10. Der Zyklus um ein Kompaktum Sei B ⊂ C oﬀen, K ⊂ B kompakt. Dann gibt es einen Zyklus Γ in B \ K, so dass gilt: 1 f¨ ur z ∈ K, n(Γ, z) = 0 f¨ ur z ∈ C \ B. Beweis: Betrachten wir zun¨achst den Fall, dass K zusammenh¨angend ist. Es gibt ein δ > 0, so dass 2δ < dist(K, ∂B) ist. Wir w¨ahlen nun einen Punkt a ∈ K beliebig, aber fest, und einen Punkt a0 , so dass gilt: Re(a0 ) < Re(a) < Re(a0 ) + δ

Im(a0 ) < Im(a) < Im(a0 ) + δ.

und

Weiter sei an,m := a0 + nδ + i mδ, f¨ ur n, m ∈ Z. So entsteht ein quadratisches Gitter der Maschenbreite δ. Q(n,m) sei das (abgeschlossene) Quadrat, das an,m als linke untere Ecke hat. ∂Q(n,m) sei stets positiv orientiert. ∃ J ⊂ Z × Z endlich, so dass gilt: Qι ∩ K = ∅ ⇐⇒ ι ∈ J.

s

a K Γ

G

Wir setzen Γ := ι∈J ∂Qι . Das ist ein Zyklus, und da es genau ein ι0 ∈ J mit a ∈ Qι0 gibt, folgt:

5 Geometrische Funktionentheorie

288

n(Γ, a) =

n(∂Qι , a) = n(∂Qι0 , a) = 1.

ι∈J

Schreiben wir ∂Qι =

4 ν=1

σι,ν , wobei die σι,ν die 4 Kanten darstellen, so gilt:

Ist |σι,ν | ∩ K = ∅, so wird K von zwei nebeneinander liegenden Quadraten getroﬀen, die σι,ν als gemeinsame Kante haben. Aber weil die Kante dann mit zwei entgegengesetzten Orientierungen versehen ist, tr¨agt sie nichts zur Spur von Γ bei. Also ist |Γ| ∩ K = ∅. √ Ist Qι ∩ K = ∅, so ist sup{|z − w| : z ∈ ∂Qι , w ∈ K} ≤ 2δ, d.h. f¨ ur z ∈ |Γ| ist dist(z, K) < 2δ < dist(∂B, K). Damit liegt |Γ| in B. Jetzt nutzen wir aus, dass K zusammenh¨angend ist. Dann muss n(Γ, z) n¨amlich auf K konstant = 1 sein. Und f¨ ur z ∈ C\B und ι ∈ J ist z ∈ Qι , also n(∂Qι , z) = 0. Jetzt m¨ ussen wir noch den Fall untersuchen, dass K aus mehreren Komponenten besteht: K = K1 ∪. . .∪KN . Dann w¨ahlen wir in jeder Komponente Ki einen Punkt ai und die Zahl δ so klein, dass jeder der Punkte ai im Innern eines der Quadrate liegt. Der Beweis l¨asst sich dann ganz analog durchf¨ uhren. Jetzt folgt:

5.1.11. Kriterium I fu ¨ r einfachen Zusammenhang Ein Gebiet G ⊂ C ist genau dann einfach zusammenh¨angend, wenn gilt: Ist C \ G = A ∪ A eine Zerlegung in zwei disjunkte nicht-leere in C abgeschlossene Teilmengen, so kann keine der beiden kompakt sein. Beweis: 1) Sei G einfach zusammenh¨angend, C \ G = A ∪ A eine Zerlegung in zwei disjunkte nicht-leere abgeschlossene Teilmengen. Wir nehmen an, A sei kompakt. Die Menge B := G ∪ A ist oﬀen, denn C \ B = A ist abgeschlossen. Also gibt es einen Zyklus Γ in B \ A = G mit 1 f¨ ur z ∈ A n(Γ, z) = 0 f¨ ur z ∈ C \ B. Aber da G einfach zusammenh¨angend ist, muss jeder Zyklus in G nullhomolog in G sein, also insbesondere n(Γ, z) = 0 f¨ ur z ∈ A ⊂ C \ G. Das ist ein Widerspruch. 2) Ist G hingegen nicht einfach zusammenh¨angend, so gibt es einen Zyklus Γ in G, der dort nicht nullhomolog ist. Sei nun

und

A := {z ∈ C \ G | n(Γ, z) = 0} A := {z ∈ C \ G | n(Γ, z) = 0}.

Nach Voraussetzung ist A = ∅, und da nur auf den beschr¨ankten Zusammenhangskomponenten von C \ |Γ| die Umlaufszahl = 0 sein kann, ist A beschr¨ankt.

5.1

Der Riemann’sche Abbildungssatz

289

Sei nun A ∈ {A , A }. Eine Folge von Punkten aν ∈ A, die in C konvergiert, muss auch schon in der abgeschlossenen Menge C \ G gegen ein a0 konvergieren. Dann kann aber a0 nicht auf der Spur von Γ liegen, und es gibt eine oﬀene Umgebung U = U (a0 ), so dass n(Γ, z) auf U konstant ist. Liegen also die aν alle in A (bzw. alle in A ), so muss auch a0 in A (bzw. in A ) liegen. Also sind A und A beide abgeschlossen in C. Und oben haben wir gesehen, dass A dann sogar kompakt sein muss, dass also das Kriterium nicht erf¨ ullt ist.

5.1.12. Beispiel Sei α : [0, ∞) → C deﬁniert durch α(t) := t · e i t . Dann ist |α| eine bei Null startende und nach ∞ strebene Spirale, die oﬀensichtlich abgeschlossen, zusammenh¨angend und nicht kompakt ist. Also ist G := C \ |α| ein in C∗ enthaltenes einfach zusammenh¨angendes Gebiet. Insbesondere gibt es auf G eine Logarithmusfunktion.

5.1.13. Kriterium II fu ¨ r einfachen Zusammenhang Es sei G ⊂ C ein Gebiet. Dann sind ¨aquivalent : 1. G = C oder G ist biholomorph ¨aquivalent zum Einheitskreis. 2. G ist einfach zusammenh¨angend. 3. Das Komplement C \ G ist zusammenh¨angend. Beweis: (1) =⇒ (2) : Jede sternf¨ormige Menge (und jedes biholomorphe Bild einer solchen Menge) ist einfach zusammenh¨angend. (2) =⇒ (3) : Sei G einfach zusammenh¨angend. Angenommen, C\G ist nicht zusammenh¨angend, U1 ist eine Zusammenhangskomponente und U2 ist die Vereinigung aller anderen Komponenten. In der Relativtopologie von C \ G sind U1 und U2 beide oﬀen und damit auch beide abgeschlossen. Weil C \ G in C abgeschlossen ist, gilt dies auch f¨ ur U1 und U2 . Ohne Einschr¨ankung sei ∞ ∈ U1 . Dann sind A1 := U1 \ {∞} und A2 := U2 abgeschlossen in C, und die Menge A2 ist zus¨atzlich beschr¨ankt, also kompakt. Das widerspricht dem Kriterium I. (3) =⇒ (1) : Jetzt bestehe C \ G aus einer einzigen Komponente, Γ sei ein Zyklus in G und C die unbeschr¨ankte Zusammenhangskomponente von C \ |Γ|. Die Menge C\G muss ganz in der unbeschr¨ankten Komponente C enthalten sein. Das bedeutet aber, dass Γ nullhomolog in G ist. Weil das f¨ ur jeden Zyklus gilt, ist G einfach zusammenh¨angend. Der Rest folgt aus dem Riemann’schen Abbildungssatz. Auch der Residuensatz kann etwas allgemeiner formuliert werden.

5 Geometrische Funktionentheorie

290

Ist G ⊂ C ein Gebiet, D ⊂ G diskret, Γ ein nullhomologer Zyklus in G mit |Γ| ∩ D = ∅ und f : G \ D → C holomorph, so gilt: 1 f (ζ) dζ = n(Γ, z) resz (f ). 2π i z∈G Γ

Der Beweis kann genauso wie im Falle geschlossener Wege gef¨ uhrt werden.

5.1.14. Homotopiekriterium fu ¨ r einfachen Zusammenhang Ein Gebiet G ⊂ C ist genau dann einfach zusammenh¨angend, wenn jeder geschlossene Weg in G nullhomotop ist. Beweis: Es sei G einfach zusammenh¨angend. Dann ist G = C oder G biholomorph ¨aquivalent zum Einheitskreis. Da C und D konvex sind, ist dort jeder geschlossene Weg nullhomotop. Die Homotopie kann mit Hilfe der biholomorphen Abbildung nach G u ¨bertragen werden. Die umgekehrte Richtung haben wir schon bewiesen.

5.1.15. Aufgaben A. Die Wege γ1 : [0, 1] → C und γ2 : [0, 1] → C seien deﬁniert durch γ1 (t) := t und γ2 (t) := (1 − t) + i t. Beschreiben Sie γ1 + γ2 durch eine st¨ uckweise glatte Parametrisierung γ : [0, 1] → C. B. Suchen Sie globale Stammfunktionen zu f (z) := zez (auf C), zu g(z) := cos2 z (auf C) und zu h(z) := log z ( in C∗ \ R− ). C. Sei γ(t) := e i t f¨ ur −π/2 ≤ t ≤ π/2. Entwickeln Sie die holomorphe Funktion 1 1 dζ f (z) := 2π i γ ζ − z in eine Potenzreihe um den Nullpunkt. Wie groß ist der Konvergenzradius? D. Sei α(t) := e i t und β(t) := 3e i t , f¨ ur 0 ≤ t ≤ 2π. Sind die Ketten Γ1 = α + β, Γ2 := α − β und Γ3 := 2α Zyklen? Falls ja, berechnen Sie die Umlaufszahlen bez¨ uglich z0 = 2. 1 1 E. Sei α(t) := 2e− i t , β1 (t) := i + e i t und β2 (t) := − i + e i t , sowie G := 2 2 C \ { i , − i }. F¨ ur welche ganzen Zahlen k, l, m ist γ := kα + lβ1 + mβ2 in G nullhomolog? Berechnen ur f (z) := 1/(z − i ), g(z) := 1/(z + i ) und h(z) := 1/(z 2 + 1)

Sie f¨ jeweils γ f (z) dz.

5.2

Holomorphe Fortsetzung

291

F. Bestimmen Sie alle M¨obiustransformationen, die Dr (0) biholomorph auf D abbilden. G. Sei f : H → C deﬁniert durch f (z) := e2π i z . Ist f (H) einfach-zusammenh¨angend? H. Sei G ⊂ C ein einfach-zusammenh¨angendes Gebiet, z1 , z2 ∈ G. Dann gibt es eine biholomorphe Abbildung f : G → G mit f (z1 ) = z2 . I. Sei G := {z = re i t : r > 0 und − π/10 < t < π/10} und f : G → D eine biholomorphe Abbildung mit f (1) = 0 und f (1) > 0. Bestimmen Sie den Wert f (2).

5.2

Holomorphe Fortsetzung

In diesem und den folgenden Abschnitten geht es um die Frage, ob holomorphe Funktionen u ¨ber ihren Deﬁnitionsbereich hinaus auf ein gr¨oßeres Gebiet fortgesetzt werden k¨onnen. Dabei wird hier zun¨achst nur die Eindeutigkeit der Fortsetzung l¨angs Wegen untersucht. Es seien U ⊂ V ⊂ C oﬀene Mengen, f ∈ O(U ). Gibt es eine holomorphe Funktion f auf V mit f|U = f , so sagt man: f l¨asst sich holomorph (von U aus) nach V fortsetzen. In gewissen F¨allen ist eine solche Fortsetzung unm¨oglich:

Deﬁnition

(voll singul¨ ar)

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ O(G) und z0 ∈ ∂G. Die Funktion f heißt in z0 voll singul¨ar, falls es keine Umgebung U = U (z0 ) ⊂ C gibt, so dass sich f von einer Zusammenhangskomponente von G ∩ U aus nach U holomorph fortsetzen l¨asst. Man kann den folgenden Hilfssatz gebrauchen, um interessante Beispiele zu gewinnen.

5.2.1. Lemma (Konstruktion einer dichten Menge in ∂D) Sei En die Menge der n-ten Einheitswurzeln. Dann ist E :=

∞

E2n dicht in ∂D.

n=0

Beweis: Die Menge M := {m2−n : m ∈ Z und n ∈ N} liegt dicht in R, also auch die Menge 2πM . Weil p : R → S 1 = ∂D mit p(t) := e i t stetig und surjektiv ur jede Teilmenge A ⊂ R ist, ist auch E = p(2πM ) dicht und damit p(A) ⊂ p(A) f¨ in ∂D.

5 Geometrische Funktionentheorie

292

5.2.2. Beispiele A. Sei G := C \ {x ∈ R : x ≤ 0} und f (z) := log z auf G. Dann ist f in z = 0 voll singul¨ar und in z = −1 nicht. B. Ist G ein beliebiges Gebiet und z0 ∈ ∂G, so ist f (z) := 1/(z − z0 ) holomorph in G und voll singul¨ar in z0 . C. Sei G := D und f (z) :=

∞

ν

z 2 = z + z 2 + z 4 + z 8 + · · · . Die Formel von

ν=0

Hadamard zeigt sofort, dass der Konvergenzradius der Reihe = 1 ist. Nun ist n

n

f (z 2 ) = z 2 + z 2

n+1

+ z2 2

n+2

+ z2

n+3

4

+ ···

= f (z) − (z + z + z + · · · + z 2

n−1

),

2n

also |f (z )| ≤ |f (z)| + n, f¨ ur |z| < 1 und n ≥ 1. (*) Setzt man eine reelle Zahl t mit 0 < t < 1 ein, so erh¨alt man (f¨ ur q ∈ N): q ν q t2 > (q + 1)t2 , f (t) > ν=0

und das ist gr¨oßer als (q + 1)/2, falls t > R die Beziehung lim f (t) = +∞.

−1 2√ q 2 ist. Daraus ergibt sich in

t→1

Jetzt benutzen wir die Dichtheit der Menge E. Ist ζ ∈ E2n , so folgt aus (*) die Ungleichung n |f (tζ)| ≥ |f (t2 )| − n. F¨ ur t → 1 strebt die rechte Seite (und damit auch die linke Seite) gegen +∞. Weil E dicht in S 1 liegt, wird f in jedem Punkt von S 1 voll singul¨ar. Voll singul¨are Stellen k¨onnen isolierte Singularit¨aten sein, aber auch H¨aufungspunkte von Singularit¨aten. Die Beispiele haben gezeigt, dass man eine holomorphe Funktion nicht unbedingt u ¨ber den Rand ihres Deﬁnitionsbereiches hinaus holomorph fortsetzen kann. Und wenn, dann nicht in jeder Richtung (siehe Logarithmus). Wir wollen uns jetzt mit holomorpher Fortsetzung entlang eines Weges besch¨aftigen.

Deﬁnition

(Fortsetzung von Funktionselementen)

Unter einem Funktionselement in z0 verstehen wir ein Paar (f, D) mit einer Kreisscheibe D um z0 und einer holomorphen Funktion f auf D. Ein Funktionselement (f2 , D2 ) heißt direkte holomorphe Fortsetzung des Funktionselementes (f1 , D1 ), falls gilt: D1 ∩ D2 = ∅ und f1 = f2 auf D1 ∩ D2 . Sei jetzt α : [a, b] → C ein stetiger Weg und (f, D) ein Funktionselement in z0 := α(a). Außerdem gebe es eine Kreiskette (D0 , D1 , . . . , Dn ) l¨angs α und f¨ ur jedes i eine holomorphe Funktion fi auf Di , so dass gilt:

5.2

Holomorphe Fortsetzung

293

1. D1 = D und f1 = f . 2. F¨ ur i = 1, . . . , n ist (fi , Di ) direkte holomorphe Fortsetzung von (fi−1 , Di−1 ). Man sagt dann, (fn , Dn ) ist eine holomorphe Fortsetzung von (f, D) l¨angs α. Die Beziehung zwischen Funktionselementen, Fortsetzung l¨angs eines Weges voneinan¨ der zu sein, ist oﬀensichtlich eine Aquivalenzrelation. Ein gegebenes Funktionselement muss nicht unbedingt l¨angs eines Weges fortsetzbar sein, wie wir oben gesehen haben. Ist allerdings G ein Gebiet, f holomorph auf G, α : [a, b] → G ein stetiger Weg und (F, D) ein Funktionselement in α(a) mit D ⊂ G und F = f |D , so gibt es eine holomorphe Fortsetzung von (F, D) l¨angs α.

5.2.3. Verschiedene Fortsetzungen l¨ angs eines Weges Gegeben sei ein Funktionselement (f, D) in z0 ∈ C und ein stetiger Weg α : [a, b] → m ) zwei Funktionselemente in w0 := α(b), C mit α(a) = z0 . Sind (fn , Dn ) und (gm , D m, beide holomorphe Fortsetzungen von (f, D) l¨angs α, so ist fn = gm auf Dn ∩ D m ) direkte holomorphe Fortsetzung von (fn , Dn ). also (gm , D Beweis: Es gibt Zerlegungen a = t0 < t1 < . . . < tn = b und a = s0 < s1 < . . . < 1, . . . , D m ) l¨angs α und holomorphe sm = b, sowie Kreisketten (D1 , . . . , Dn ) und (D Funktionen fi auf Di und gj auf Dj , mit D1 = D1 = D, f1 = g1 = f , so dass f¨ ur alle i, j gilt: j , α([ti−1 , ti ]) ⊂ Di und α([sj−1 , sj ]) ⊂ D j ) ist direkte (fi , Di ) ist direkte holomorphe Fortsetzung von (fi−1 , Di−1 ), und (gj , D holomorphe Fortsetzung von (gj−1 , Dj−1 ). j ) direkte holomorphe Wir wollen zeigen: Ist [ti−1 , ti ] ∩ [sj−1 , sj ] = ∅, so ist (gj , D Fortsetzung von (fi , Di ). Im Fall i = j = 1 ist nach Konstruktion nichts zu zeigen. Wir f¨ uhren Induktion nach i + j (der Fall i + j = n + m ergibt die gew¨ unschte Aussage). Dazu sei i + j > 2 und [ti−1 , ti ] ∩ [sj−1 , sj ] = ∅. O.B.d.A. sei ti−1 ≥ sj−1 . Dann ist ti−1 ∈ [sj−1 , sj ], j ) direkte i ≥ 2 und [ti−2 , ti−1 ] ∩ [sj−1 , sj ] = ∅, nach Induktionsannahme also (gj , D holomorphe Fortsetzung von (fi−1 , Di−1 ). Andererseits ist (fi , Di ) nach Deﬁnition direkte holomorphe Fortsetzung von (fi−1 , Di−1 ). j . Dieser Durchschnitt ist nicht leer, denn er enth¨alt Also ist gj = fi auf Di−1 ∩Di ∩ D j ist, den Punkt α(ti−1 ). Aus dem Identit¨atssatz folgt nun, dass gj = fi auf Di ∩ D und damit ist alles gezeigt. Benutzt man verschiedene Wege von z0 nach w0 , so braucht das Ergebnis der holomorphen Fortsetzung im Endpunkt nicht u ¨bereinzustimmen, wie etwa das Beispiel des Logarithmus zeigt. In gewissen F¨allen kann man aber zeigen, dass das Ergebnis nicht vom Weg abh¨angt.

5 Geometrische Funktionentheorie

294

5.2.4. Monodromiesatz Sei (f, D) ein Funktionselement in z0 ∈ C und F : [a, b]×[0, 1] → C eine Homotopie zwischen den Wegen α(t) = F (t, 0) und β(t) = F (t, 1) mit α(a) = β(a) = z0 und α(b) = β(b) = w0 . Wenn (f, D) l¨angs jeden Weges αs (t) = F (t, s) holomorph fortgesetzt werden kann, dann stimmen die Fortsetzungen l¨angs α und l¨angs β in einer Umgebung von w0 u ¨berein Beweis: 1. Schritt: Sei s0 ∈ [0, 1] und α0 (t) := F (t, s0 ). Die Fortsetzung von (f, D) l¨angs α0 wird mit Hilfe einer Kreiskette (D1 , D2 , . . . , Dn ) und holomorphen Funktionen fi auf Di bewerkstelligt. Sei U := D1 ∪ . . . ∪ Dn . Da F auf [a, b] × [0, 1] gleichm¨aßig stetig ist, gibt es ein δ > 0, so dass gilt: Ist |s − s0 | < δ, so liegt die Spur von αs (t) := F (t, s) in U . Also liefert die Kreiskette auch eine Fortsetzung l¨angs αs . Das bedeutet, dass das Ergebnis der Fortsetzung f¨ ur alle solche s gleich ist. 2. Schritt: Man kann [0, 1] durch oﬀene Intervalle Iι u ¨berdecken, so dass das Ergebnis der holomorphen Fortsetzung l¨angs αs f¨ ur alle s ∈ Iι gleich ist. Da [0, 1] kompakt ist, kommt man mit endlich vielen Intervallen aus, wobei man vermeiden kann, dass eins der Intervalle ganz in einem anderen enthalten ist. Sortiert man sie dann nach ihrem Anfangspunkt, so u ¨berschneidet sich jedes der Intervalle mit seinem Nachfolgerintervall, und das letzte Intervall enth¨alt den Endpunkt 1. Unter Verwendung von (1) folgt die Behauptung.

5.2.5. Aufgaben A. Zeigen Sie, dass f (z) :=

∞

z n! in jedem Punkt z ∈ ∂D voll singul¨ar wird.

n=1

B. Sei f (z) := exp (1/2) log z auf einer Umgebung von z0 = 1, wobei mit log der Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet werde. Welche Funktion erh¨alt man, wenn man f l¨angs des Einheitskreises fortsetzt und schließlich wieder bei z0 = 1 anlangt? C. Sei f (z) :=

∞ zn

. Zeigen Sie, dass f (z) in allen Punkten von ∂D konvergiert, n2 dass f aber in keine Umgebung von z0 = 1 holomorph fortgesetzt werden kann. (Hinweis: Berechnen Sie f (z).) n=1

D. Berechnen Sie die Konvergenzradien der Reihen f (z) :=

∞ zn 2n+1 n=0

und

g(z) :=

∞ (z − i )n . (2 − i )n+1 n=0

Zeigen Sie, dass g eine holomorphe Fortsetzung von f ist.

5.3

5.3

Randverhalten

295

Randverhalten

Im Folgenden geht es um die Existenz der Fortsetzung von holomorphen Funktionen. Einen ersten Beitrag dazu liefert der Satz von Caratheodory, der kl¨art, unter welchen Bedingungen eine biholomorphe Abbildung f : G → D stetig auf den Rand von G fortgesetzt werden kann. Im n¨achsten Abschnitt wird sich zeigen, dass es unter g¨ unstigen Umst¨anden m¨oglich ist, eine bis zum Rand stetige, holomorphe Funktion in ein deutlich gr¨oßeres Gebiet holomorph fortzusetzen. Dabei reicht eigenartigerweise die Stetigkeit auf dem Rand, alles weitere h¨angt nur von der Geometrie des Gebietes und seines Randes ab. Der Rand eines Gebietes kann sehr kompliziert aussehen, man denke nur an die am Ende des vorigen Kapitels kurz angesprochenen Fraktale. Um allgemeine Aussagen u ¨ber das Fortsetzungsverhalten machen zu k¨onnen, muss man sich auf sch¨one“ ” oder einfache“ Randpunkte beschr¨anken. Schwierig ist aber eine saubere Charak” terisierung des Begriﬀes einfach“. ”

Deﬁnition

(erreichbarer Randpunkt)

Ein Punkt z0 im Rand eines Gebietes G heißt einfach oder erreichbar, falls zu jeder Folge (aν ) ∈ G, die gegen z0 konvergiert, eine stetige Kurve γ : [0, 1) → G existiert, so dass gilt: 1. z0 ist der Endpunkt γ(1) = lim γ(t). t→1

2. Es gibt eine monoton wachsende Folge (tν ) ∈ [0, 1) mit γ(tν ) = aν und lim tν = 1. ν→∞

Ein Randpunkt z0 ist sicher dann nicht erreichbar, wenn man sich ihm (im Innern des Gebietes) u ¨ber Folgen so auf zweierlei Weisen n¨ahern kann, dass die Verbindung zwischen beteiligten Folgenpunkten verschiedener Art innerhalb des Gebietes immer l¨anger wird.

G z1 r

z2 r

nichterreichbarer Randpunkt: z0

z4 r q

q q s

r r z3 q

Der folgende Satz charakterisiert die Situation auf andere Weise:

296

5 Geometrische Funktionentheorie

5.3.1. Kriterium fu ¨ r Erreichbarkeit Es sei G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ ∂G ein Randpunkt. Der Punkt z0 ist genau dann erreichbar, wenn es f¨ ur jede Folge (zν ) ∈ G, die gegen z0 konvergiert, und f¨ ur jedes ε > 0 ein ν0 und genau eine Zusammenhangskomponente Z von G ∩ Dε (z0 ) gibt, so dass f¨ ur ν > ν0 alle zν in Z liegen. Beweis: Sei z0 erreichbar. Zu einer gegebenen Folge (zν ) ⊂ G, die gegen z0 konvergiert, sei γ : [0, 1] → C die stetige Kurve, die z0 u ¨ber die zν erreicht. Wegen der Stetigkeit von γ in t = 1 gibt es zu jedem ε > 0 ein t0 < 1, so dass die Menge At0 := γ([t0 , 1)) ganz in Dε (z0 ) enthalten ist. Weil es aber eine Folge (tν ) ∈ [0, 1] mit tν → 1 und γ(tν ) = zν gibt, existiert ein ν0 , so dass f¨ ur ν > ν0 alle zν in At0 liegen. Und weil At0 zusammenh¨angend ist, liegen alle diese zν in der gleichen Zusammenhangskomponente von G ∩ Dε (z0 ). Sei jetzt die Bedingung erf¨ ullt, dass zu jeder Folge (zν ) und jedem ε > 0 ein ν0 existiert, so dass alle zν in der gleichen Zusammenhangskomponente von Dε (z0 )∩G liegen. Wir konstruieren den Weg γ : F¨ ur n ∈ N sei N (n) so gew¨ahlt, dass f¨ ur ν ≥ N (n) alle zν in der gleichen Zusammenhangskomponente Zn von G ∩ D1/n (z0 ) liegen. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit k¨onnen wir annehmen, dass N (1) = 1 und N (n + 1) ≥ N (n) ist. Sei 1 1 γn : 1 − , 1 − →C n n+1 ein stetiger Weg, der die Punkte zN (n) , zN (n)+1 , . . . , zN (n+1) in Zn ⊂ G miteinander verbindet. Durch die Vorschrift ur t ∈ [1 − 1/n, 1 − 1/(n + 1)], γn (t) f¨ γ(t) := z0 f¨ ur t = 1, wird ein Weg γ : [0, 1] → C deﬁniert, der oﬀensichtlich auf [0, 1) stetig ist. Wegen |γn | ⊂ D1/n (z0 ) folgt: dist(γ(t), z0 ) → 0 f¨ ur t → 1. Also ist γ auch in t = 1 stetig. Da tn := 1 − 1/n monoton wachsend gegen 1 konvergiert und γ die Punkte zn = γ(tn ) verbindet, ist z0 erreichbar.

5.3.2. Hilfssatz Es seien G, G ⊂ C beschr¨ankte Gebiete, f : G → G eine topologische Abbildung, also ein Hom¨oomorphismus. Dann gilt: 1. Ist (zn ) ⊂ G eine Folge, deren Randabstand dist(zn , ∂G) gegen Null konvergiert, dann gilt das auch f¨ ur die Folge der Randabst¨ande der Bilder f (zn ) zum Rand ∂G .

5.3

Randverhalten

297

2. Ist α : [0, 1] → G ein stetiger Weg mit lim dist(α(t), ∂G) = 0, so ist auch t→1

lim dist(f (α(t)), ∂G ) = 0. t→1

Beweis:

Die Beweise laufen analog, wir zeigen nur die erste Aussage.

Es sei (zn ) eine Folge, deren Randabstand zu ∂G gegen Null konvergiert. Das ist genau dann erf¨ ullt, wenn f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ G ein n0 existiert, so dass f¨ ur n ≥ n0 alle zn außerhalb von K liegen. Ist K ⊂ G kompakt, dann ist K := f −1 (K ) ⊂ G kompakt, da f ein Hom¨oomorphismus ist. Also existiert ein n0 , so dass zn nicht in K liegt f¨ ur alle n ≥ n0 . Dann liegen aber auch die f (zn ) nicht in K f¨ ur alle n ≥ n0 , d.h. die Randabst¨ande von f (zn ) zu ∂G gehen gegen Null. Bemerkung: Abbildungen, deren Urbilder von Kompakta wieder kompakt sind, heißen eigentliche Abbildungen. Jede topologische Abbildung zwischen beschr¨ankten Gebieten ist nat¨ urlich eigentlich, f¨ ur beliebige stetige Abbildungen gilt das keineswegs.

5.3.3. Satz von Caratheodory Es sei G ⊂ C beschr¨ankt und einfach zusammenh¨angend. f : G → D sei eine biholomorphe Abbildung. Dann gilt 1. Ist z0 ∈ ∂G ein erreichbarer Randpunkt, so existiert lim f (z) ∈ ∂D.

z→z0 z∈G

2. Sind z1 , z2 ∈ ∂G erreichbare Randpunkte, z1 = z2 und wi = lim f (z), so z→zi

ist auch w1 = w2 .

Beweis: 1) Angenommen, der Grenzwert existiert nicht. Da D kompakt ist, bedeutet das die Existenz einer Folge (zn ) ⊂ G, die gegen z0 konvergiert, so dass die Bilder f (zn ) nicht konvergieren, also ohne Einschr¨ankung alternierend zwei Grenzwerte ansteuern: f (z2n ) → w1 ∈ ∂D, f (z2n+1 ) → w2 = w1 ,

w2 ∈ ∂D.

Weil z0 erreichbar ist, existiert ein stetiger Weg γ, der z0 u ¨ber die zn erreicht, wobei (tn ) die zugeh¨orige Folge von Parametern sei, so dass γ(tn ) = zn ist. Wir deﬁnieren nun eine Folge von stetigen Wegst¨ ucken γn := γ|[t2n ,t2n+1 ] mit zugeh¨origen n := f (Cn ) ⊂ D. Kurvenst¨ ucken Cn := |γn | und den Bildern C

5 Geometrische Funktionentheorie

298

G z2

z4 r r r rC1 C2

z6 r

r C3

q

r z0

q

D f

q

q

q r w1

2 C

3 C 1 C

q r w2

n außerhalb von D1−1/n (0), schließlich Ohne Einschr¨ankung liegen die Bilder C n¨ahern sich die Punkte zn immer mehr dem Rand von G. Seien an = t2n und bn = t2n+1 die oben schon betrachteten Teilfolgen der Paramen = βn ([an , bn ]). Ohne Beschr¨ankung terfolge, βn := f ◦γn : [an , bn ] → D. Dann ist C der Allgemeinheit liegen die Punkte w1 und w2 symmetrisch zur reellen Achse, w1 in der oberen Halbebene (sonst m¨ ussen wir f noch mit einer Drehung verketten). ¨ Sei jetzt M ∈ N so groß, dass der zu R symmetrische Sektor mit Oﬀnungswinkel 2π/M weder w1 noch w2 enth¨alt. Dann treﬀen die beiden den Sektor begrenzenden n , jedenfalls f¨ ur großes n. Strahlen L1 und L2 die Mengen C

s

n C

π/M

D

L1

sw1

s

s

w2

L2

Es sei h : D → C deﬁniert durch h(w) := f −1 (w) − z0 . Dann ist h eine holomorphe, beschr¨ankte Funktion (weil G beschr¨ankt ist). Wir deﬁnieren die Zahlen n } = sup{|z − z0 | : z ∈ Cn }. rn := sup{|h(w)| : w ∈ C

5.3

Randverhalten

299

Da dist(Cn , z0 ) gegen Null konvergiert, ist lim rn = 0. n→∞

Aus dem nachfolgenden Lemma folgt nun, dass h(z) ≡ 0 und damit f −1 (w) ≡ z0 ist. Das ist ein Widerspruch, f ist nach z0 fortsetzbar. 2) Es fehlt noch die Injektivit¨at der Fortsetzung: Seien dazu z1 = z2 erreichbare Randpunkte von G, wi := f (zi ) die Bilder, wobei wir die Fortsetzung wieder f genannt haben. Wir k¨onnen annehmen, dass w1 = w2 = −1 ist (sonst verketten wir f mit einer entsprechenden Drehung). Außerdem sei g := f −1 : D → G. γi : [0, 1] → C seien stetige Kurven mit γi ([0, 1)) ⊂ G und γi (1) = zi . Da die Kurven stetig sind und auf verschiedene Punkte zulaufen, existiert ein t0 ∈ (0, 1), so dass 1 |γ1 (t1 ) − γ2 (t2 )| > K := |z1 − z2 | f¨ ur t0 < t1 , t2 < 1. 2 ur die Es seien βi := f ◦ γi : [0, 1] → D die durch f abgebildeten stetigen Wege. F¨ gilt nat¨ urlich βi ([0, 1)) ⊂ D und β1 (1) = β2 (1) = −1. W¨ahlen wir δ gen¨ ugend klein, so liegen die Kurvenst¨ ucke βi ([0, t0 ]) außerhalb von Dδ (−1). Mit Aδ bezeichnen wir den Abschluss des Schnittes von D und Dδ (−1) : Aδ = D ∩ Dδ (−1) = {w = −1 + re i t : 0 ≤ r ≤ δ; −ϕ(r) ≤ t ≤ ϕ(r)}, wobei ϕ : [0, δ] → [0, π/2) jedem Radius den passenden Winkel zuordnet. rβ

f

z2

2

r

z1 r

γ1

γ2

−1

G

r

Dδ (−1)

Aδ D r β1

g Wir bestimmen das Lebesgue-Maß der Bildmenge g(Aδ ), um einen Widerspruch zur Beschr¨anktheit von G zu erhalten: μ(g(Aδ )) = dx dy = |det Jg (u, v)| du dv g(Aδ )

= Aδ

Aδ

|g (u, v)|2 du dv =

ϕ(r) δ

|g (−1 + re i t )|2 · r dt dr.

0 −ϕ(r)

Ist 0 < r < δ, so gibt es Punkte ui ∈ ∂Dr (−1)∩βi ([t0 , 1]) mit zugeh¨origen Urbildern ur gilt dann t1 bzw. t2 von β1 bzw. β2 . Daf¨

5 Geometrische Funktionentheorie

300

|g(u1 ) − g(u2 )| = |g(β1 (t1 )) − g(β2 (t2 ))| = |γ1 (t1 ) − γ2 (t2 )| > K. Andersherum aufgeschrieben sch¨atzen wir damit einen Teil des Integrals von unten ab: ϕ(r) u2 g (ζ) dζ ≤ |g (−1 + re i t )| · r dt , K < |g(u1 ) − g(u2 )| = −ϕ(r)

u1

bzw.

ϕ(r)

K ≤ r

|g (−1 + re i t )| dt.

−ϕ(r)

Jetzt ﬁndet die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung Anwendung und liefert: ⎛ K2 ⎜ ≤⎝ r2

ϕ(r)

⎞2

ϕ(r)

⎟ |g (−1 + re )| dt⎠ ≤

it

−ϕ(r)

it

ϕ(r)

2

|g (−1 + re )| dt · −ϕ(r)

dt .

−ϕ(r)

! "

≤π

Als entscheidende Absch¨atzung haben wir damit gewonnen: K2 ≤ πr 2

ϕ(r)

|g (−1 + re i t )|2 dt.

−ϕ(r)

Setzen wir das Ergebnis in die Berechnung von μ(g(Aδ )) ein, so folgt: K2 μ(g(Aδ )) ≥ π

δ 0

1 dr = ∞. r

Dies ist ein Widerspruch, da G beschr¨ankt und g(Aδ ) darin enthalten ist.

5.3.4. Lemma (Verallgemeinertes Maximumprinzip) Es seien L1 , L2 zwei vom Nullpunkt ausgehende Strahlen, symmetrisch zur x-Achse, die einen Winkel der Gr¨oße 2π/M einschließen. Zu jedem n ∈ N gebe es eine Kurve n = |βn | gilt: βn : [an , bn ] → D, so dass f¨ ur die Spuren C n ⊂ D \ D1/n (0). 1. C n ∩ L1 und qn ∈ C n ∩ L2 . 2. Es gibt Punkte pn ∈ C Ist h : D → C eine beschr¨ankte holomorphe Funktion, so dass die Zahlen rn := n } eine Nullfolge bilden, so ist h(z) ≡ 0. sup{|h(w)| : w ∈ C

5.3

Randverhalten

301

Beweis: Vorbemerkung: Wir k¨onnen o.B.d.A. annehmen, dass h(0) = 0 ist. Ist n¨amlich h(0) = 0, aber h nicht identisch Null, so hat h eine lokale Normalform h(z) h(z) = z k ·

mit k ≥ 1 und h(0) = 0,

wobei h ansonsten die gleichen Eigenschaften wie h hat. Zu n ∈ N seien un < vn so aus [an , bn ] gew¨ahlt, dass • un der gr¨oßte Parameter s ist, so dass βn (s) in L1 liegt, • vn der kleinste Parameter s > un ist, so dass βn (s) ∈ R ist. (0)

Spiegeln wir βn ([un , vn ]) an R, dann erhalten wir ein stetiges Kurvenst¨ uck Sn , das (k) βn (un ) mit βn (un ) verbindet. Ist T die Drehung um 2π/M , so setzen wir Sn := (0) (k) k T (Sn ). Die Vereinigung der Sn ergibt eine geschlossen Kurve Sn in D, die ganz in {w ∈ D : 1 − 1/n < |w| < 1} enthalten ist.

Cn

L1

r r

L2

Wir deﬁnieren weiterhin h∗ (w) := h(w) · h(w) ∈ O(D) und H(w) := h∗ (w) · h∗ (T w) · · · h∗ (T M −1 w) ∈ O(D). H h¨angt zwar von dem Winkel 2π/M ab, jedoch nicht von n oder den Kurven Cn . |h(w)| ist nach Voraussetzung durch eine Konstante B > 0 beschr¨ankt. Deshalb ist jeder Faktor von H durch B 2 beschr¨ankt. Liegt ein Punkt w in Sn , so liegt T k w (0) f¨ ur ein geeignetes k in Sn , und es ist dann |h∗ (T k w)| ≤ rn · B. Deshalb gilt auf Sn : |H(w)| ≤ (B 2 )M −1 · rn · B = rn · B 2M −1 , wobei f¨ ur jedes h∗ ein B 2 in die Absch¨atzung einging; in einem Fall liegt aber T k w (0) im Sektor Sn , und deshalb ist |h(T k w)| nach oben absch¨atzbar durch rn . Sei jetzt Un die Zusammenhangskomponente von D\Sn , in der die Null enthalten ist. Wegen des Maximumprinzips muss |H(0)| ≤ sup{|H(z)| : z ∈ ∂Un } ≤ B 2M −1 · rn gelten, aber f¨ ur n → ∞ geht die rechte Seite gegen Null. Also ist H(0) gleich Null. Weil H(0) = |h(0)|2M ist, muss h(z) ≡ 0 sein.

5 Geometrische Funktionentheorie

302

5.3.5. Folgerung Es sei G ⊂ C beschr¨ankt und einfach zusammenh¨angend, so dass jeder Randpunkt erreichbar ist. Dann hat jede biholomorphe Abbildung f : G → D eine topologische Fortsetzung f : G → D. Beweis:

Nach Caratheodory kann f durch lim f (z) f¨ ur z0 ∈ ∂G f(z0 ) := z→z 0

z∈G

auf den Rand von G fortgesetzt werden. Oﬀensichtlich ist f|G = f . Zeigen wir zuerst die Stetigkeit von f in den Randpunkten: Sei z0 ∈ ∂G und ε > 0 vorgegeben. Da ∂G kompakt ist, gibt es ein δ0 > 0, so dass |f (z ) − f(z)| < ε/2 f¨ ur alle z ∈ ∂G und z ∈ G mit |z − z| < δ0 gilt. Ist z ∈ ∂G und |z − z0 | < δ := δ0 /2, so kann man ein z ∈ G mit |z − z| < δ ﬁnden, und dann ist |z − z0 | ≤ |z − z|+|z − z0 | < δ0 und |f(z) − f(z0 )| ≤ |f(z) − f (z )|+ |f (z ) − f(z0 )| < ε. Die Injektivit¨at von f erhalten wir durch eine Fallunterscheidung: 1. f|G = f ist nach Voraussetzung injektiv. 2. f ist auch injektiv auf ∂G – das war der zweite Teil der Aussage des Satzes von Caratheodory. 3. Weil f das Gebietsinnere ins Innere des Einheitskreises und den Rand auf den Rand abbildet, ist f insgesamt injektiv. Die Surjektivit¨at folgt noch schneller: f(G) ist kompakt, insbesondere abgeschlossen, und wegen D ⊂ f(G) ⊂ D kann kein Punkt aus dem Rand fehlen. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung folgt schließlich aus Satz 4.1.2.

5.3.6. Aufgaben A. Sei G0 := {z = x + i y : 0 < x < 1 und 0 < y < 1}, # Sn := {z = x + i y : x = 1/n und 0 < y ≤ 1/2} f¨ ur n ≥ 2 und G := G0 \ ∞ n=2 Sn . Zeigen Sie, dass 0 ein nicht erreichbarer Randpunkt von G ist. B. Sei G ⊂ C ein Gebiet. Ein Randschnitt uckweise stetig diﬀe in G ist ein st¨ renzierbarer Weg γ : [a, b] → C mit γ [a, b) ⊂ G und γ(b) ∈ ∂G. Im Falle des Gebietes G aus der vorigen Aufgabe gibt es keinen Randschnitt in G, der im Nullpunkt endet. Geben Sie ein Beispiel eines Gebietes G ⊂ C und eines nicht erreichbaren Randpunktes z0 ∈ G an, so dass dennoch ein Randschnitt in G existiert, der in z0 endet.

5.4

Das Spiegelungsprinzip

303

C. Sei G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ ∂G Endpunkt eines Randschnittes. Betrachtet werden nun alle Folgen (zν ) in G, die auf einem Randschnitt liegen und gegen z0 konvergieren. Zwei solche Folgen (zn ) und (wn ) heißen ¨aquivalent, wenn es einen Randschnitt gibt, auf dem beide Folgen liegen. Zeigen Sie, dass ¨ tats¨achlich eine Aquivalenzrelation vorliegt. Wodurch unterscheiden sich in diesem Zusammenhang erreichbare und nicht erreichbare Randpunkte?

5.4

Das Spiegelungsprinzip

Will man eine beliebige holomorphe Funktion f : G → C u ¨ber den Rand hinaus fortsetzen, so muss man die stetige Fortsetzbarkeit voraussetzen, und das Gebiet sollte einen hinreichend sch¨onen Rand besitzen. Dann aber liefert das Spiegelungs” prinzip“ ein bequemes und m¨achtiges Verfahren f¨ ur die holomorphe Fortsetzung. Das folgende technische Lemma wird beim Beweis des Spiegelungsprinzips gebraucht.

5.4.1. Lemma Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und G ⊂⊂ G ein Teilgebiet. Gegeben seien außerdem Folgen von Punkten aν , bν ∈ G , die gegen a bzw. b konvergieren. Die Verbindungsstrecke von a und b sei mit S bezeichnet, die der Punkte aν und bν jeweils mit Sν . Dann ist f (z) dz = f (z) dz. lim ν→∞

Sν

S

Beweis: Es sei K := G , M := supK |f | und C := supν |bν − aν |. Außerdem seien αν (t) := aν + t(bν − aν ) und α(t) := a + t(b − a) die Parametrisierungen von Sν bzw. S. Nun sei ein ε > 0 vorgegeben. f ist stetig und daher auf K gleichm¨aßig stetig. Zu ε∗ := ε/(2C) gibt es ein δ > 0, so dass f¨ ur alle z, z ∈ K mit |z − z | < δ ∗ gilt: |f (z) − f (z )| < ε . Dabei k¨onnen wir δ < ε/(2M ) w¨ahlen. ur ν ≥ ν0 Weil (aν ) gegen a und (bν ) gegen b konvergiert, gibt es ein ν0 , so dass f¨ gilt: |aν − a| < δ/2 und |bν − b| < δ/2. Daraus folgt: |αν (t) − α(t)| = |(aν − a)(1 − t) + (bν − b)t| < δ f¨ ur ν ≥ ν0 und t ∈ I := [0, 1]. F¨ ur eben diese ν ≥ ν0 und alle t ∈ I ist dann |f (αν (t)) − f (α(t))| < ε∗ und f (αν (t))αν (t) − f (α(t))α (t) = = f (αν (t)) − f (α(t)) α (t) + f (αν (t)) αν (t) − α (t) ε ε ≤ ε∗ · C + δ · M < + = ε, 2 2

5 Geometrische Funktionentheorie

304

Also konvergiert Fν (t) := f (αν (t))αν (t) auf I gleichm¨aßig gegen F (t) := f (α(t))α (t). Dann l¨asstsich Limes und es ist Integral vertauschen, f (z) dz = S

F (t) dt = lim

ν→∞

I

Fν (t) dt = lim

ν→∞

I

f (z) dz. Sν

Das Lemma begr¨ undet das, was man gerne salopp so beschreibt: Streben die ” Streckenz¨ uge Sν gegen eine Strecke S, so streben die Integrale einer Funktion f u ¨ber die Sν gegen das Integral von f u ¨ber S.“ Wir werden das Spiegelungsprinzip zun¨achst in einem sehr speziellen Fall kennenlernen. Dieses Prinzip liefert die holomorphe Fortsetzung u ¨ber die reelle Achse hinaus, indem einem zu z gespiegelten Punkt z die Spiegelung des Wertes der Funktion an der Stelle z zugeordnet wird. H bezeichne dabei wie u ¨blich die obere Halbebene.

5.4.2. Schwarz’sches Spiegelungsprinzip Es sei G+ ⊂ H ein Gebiet, dessen Rand ∂G+ ein oﬀenes Intervall I ⊂ R enthalte. Es sei G− := {z ∈ C : z ∈ G+ } das Spiegelbild von G+ bez¨ uglich der reellen Achse. Dann gilt : 1. Ist f stetig auf der Vereinigung G+ ∪ I ∪ G− und holomorph im Inneren der beiden Gebiete G+ und G− , so ist f holomorph auf G+ ∪ I ∪ G− . 2. Ist f stetig auf G+ ∪I, holomorph auf G+ und zus¨atzlich noch reellwertig auf dem Intervall I, so gibt es eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung F von f auf G+ ∪ I ∪ G− , mit f¨ ur alle z.

F (z) = f (z)

Beweis: Sei zun¨achst f stetig auf G := G+ ∪ G ∪ G− . Es sei t eine reelle Zahl aus I, U = Uε (t) eine Umgebung, die ganz in G liegt. Wir wollen die Holomorphie von f in U mit dem Satz von Morera zeigen. Sei daf¨ ur Δ ein abgeschlossenes Dreieck in U , γ bezeichne den orientierten Rand ∂Δ. s s

γδ+ γδ− s

F¨ ur δ > 0 seien γδ+ und γδ− die R¨ander der auf der H¨ohe von δ i bzw. −δ i abgeschnittenen Dreiecksst¨ umpfe“. Geht δ gegen Null, so geht die Summe der beiden ” Wege gegen γ (ein St¨ uck reelle Achse hebt sich weg, da es entgegengesetzt durch-

5.4

Das Spiegelungsprinzip

305

laufen wird), und es gilt:

f (z)dz = lim

δ→0

γ

f (z)dz = 0,

γδ+ +γδ−

Mit dem Satz von Morera folgt nun die Holomorphie von f . f (z) f¨ ur z ∈ G+ F¨ ur den zweiten Teil sei f stetig auf G+ und F (z) := . f (z) f¨ ur z ∈ G \ G+ Weil f reell auf I ist, ist F stetig auf G. Nach Voraussetzung ist F holomorph auf G+ , aber die Holomorphie u ¨bertr¨agt sich auf G− , denn mit c(z) := z ist F (z) = f ◦c auf G− , und die Ableitung nach z ergibt mittels Kettenregel ∂f ∂c ∂f ∂c ∂F = · + · = 0, ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z weil (f )z = 0 und (z)z = 0 ist. Deshalb ist der erste Teil anwendbar, d.h. F ist holomorph auf G.

Deﬁnition

(glattes analytisches Kurvenstu ¨ ck)

Eine Kurve γ : [a, b] → C heißt reell-analytisch, falls es f¨ ur jedes t0 ∈ [a, b] eine konvergente Potenzreihe ∞ Γ(t) = aν (t − t0 )ν ν=0

mit (komplexen) Koeﬃzienten aν gibt, so dass Γ(t) = γ(t) f¨ ur t nahe t0 ist. C = γ([a, b]) heißt glattes analytisches Kurvenst¨ uck, falls γ reell-analytisch und injektiv und γ (t) = 0 f¨ ur alle t aus [a, b] ist. Ist C = γ([a, b]) ein glattes analytisches Kurvenst¨ uck, so gibt es eine Umgebung U ([a, b]) ⊂ C und eine Umgebung W = W (C), so dass γ zu einer biholomorphen Abbildung γ : U → W fortgesetzt werden kann. Das sehen wir so ein: Jede lokale Potenzreihe konvergiert (als komplexe Potenzreihe gesehen) auf einem Kreis gegen eine holomorphe Funktion. Da zwei solche Potenzreihen auf dem reellen Schnitt u ¨bereinstimmen, garantiert der Identit¨atssatz die Gleichheit auf dem oﬀenen Schnitt der Kreise in C. Da die Ableitung γ auf [a, b] ungleich Null ist, gilt das auch auf einer (unter Umst¨anden verkleinerten) Umgebung f¨ ur die Fortsetzung. In dieser Situation f¨ uhren wir die folgende Redeweise ein:

Deﬁnition

(Symmetrie bezu ¨ glich einer Kurve)

Zwei Punkte z1 , z2 ∈ W heißen symmetrisch bez¨ uglich C, falls γ −1 (z1 ) = γ −1 (z2 ) gilt, falls also die Urbilder bez¨ uglich γ symmetrisch zur reellen Achse liegen.

5 Geometrische Funktionentheorie

306

Bemerkung: Die Eigenschaft symmetrisch bez¨ uglich C“ ist unabh¨angig von der ” Parametrisierung von γ. Ist n¨amlich : [c, d] → C eine andere Parametrisierung von C und die holomorphe Fortsetzung von auf eine Umgebung U = U ([c, d]), so k¨onnen wir annehmen, dass und γ die gleiche Bildmenge W besitzen, sonst verkleineren wir den Deﬁnitionsbereich entsprechend. Dann ist Λ := −1 ◦ γ : U → U auf U ∩ R reellwertig und die Einschr¨ankung λ von Λ auf U ∩ R kann um jedes t0 ∈ [a, b] in eine reelle Potenzreihe entwickelt werden, λ(t) =

∞

bν (t − t0 )ν .

ν=0

Da λ reellwertig ist, sind alle bν reell. Die Reihenentwicklung bleibt aber im Komlexen g¨ ultig. Deshalb ist Λ(z) =

∞

bν (z − t0 )ν =

ν=0

∞

bν (z − t0 )ν = Λ(z).

ν=0

−1 (z1 ), w2 = γ −1 (z2 ) symmetrisch zu R, so ist w1 = w2 . Dann gilt : Sind w1 = γ −1 (z2 ) = −1 ◦ γ ◦ γ −1 (z2 ) = Λ(w2 ) = Λ(w1 ) = Λ(w1 ) = −1 ◦ γ ◦γ −1 (z1 ) = −1 (z1 ). Deshalb ist die Symmetrie bzgl. C wohldeﬁniert.

5.4.3. Beispiele A. Es sei γ(t) = a + tv, v = 0 eine Gerade. Dann ist γ die Einschr¨ankung der aﬃn linearen, holomorphen Funktion γ (z) = a + zv. Die Menge γ (H) ist eine der beiden durch γ bestimmten Halbebenen. Die Spiegelung an der Geraden wird beschrieben durch x = a + zv → x∗ = a + zv. Setzt man z = (x − a)/v in x∗ ein, so erh¨alt man die geschlossene Spiegelungsformel v x∗ = a + (x − a), v die wir schon in Abschnitt 1.5. als Anwendung der komplexen Zahlen in der Geometrie kennengelernt haben. B. Es sei γ(t) = a+re i t , r > 0, ein parametrisierter Kreis. Dann erhalten wir die Fortsetzung wieder durch Ersetzen der reellen Variablen t durch die komplexe Variable z. Die Spiegelung am Kreis hat dann die Gestalt x = a + re i z → x∗ = a + re i z . Die Auﬂ¨osung nach z ergibt

5.4

Das Spiegelungsprinzip

z=

307

x−a 1 x−a r log( ), also i z = − log = log , i r r x−a

und damit die geschlossene Formel x∗ = a +

r2 x−a

f¨ ur x = a.

Anzuwenden ist die Formel auf Punkte x mit 0 < |x − a| < r. Dann ist |x∗ − a| > r. ¨ Bemerkung: Dabei wird das gesamte Innere auf das gesamte Außere und der Mittelpunkt a ins Unendliche gespiegelt. Ist a = 0 und r = 1, so erh¨alt man – bis auf die Konjugation – die Inversion.

Deﬁnition

(freier Randbogen)

Sei G ⊂ C ein Gebiet. ∂G enth¨alt ein glattes analytisches Kurvenst¨ uck C als freien Randbogen, wenn es eine reell-analytische Parametrisierung γ : [a, b] → C und Umgebungen U von [a, b] und W von C gibt, so dass die Fortsetzung γ : U → W biholomorph ist und γ −1 (W ∩ G) ganz in der oberen Halbebene H liegt.

W

H U

a

r

r

γ

b

C G

5.4.4. Großer Spiegelungssatz Sei G ⊂ C ein Gebiet. ∂G enthalte ein glattes, analytisches Kurvenst¨ uck C als freien Randbogen. f : G → C sei holomorph und stetig nach G ∪ C fortsetzbar. uck, das im Rand von Das Bild C := f (C) sei ein glattes, analytisches Kurvenst¨ G = f (G) als freier Randbogen enthalten ist. Dann gibt es eine Umgebung W = W (C) ⊂ C und eine holomorphe Fortsetzung f von f nach G ∪ W , so dass f Punkte, die bez¨ uglich C symmetrisch liegen, auf Punkte abbildet, die bez¨ uglich C symmetrisch liegen. Beweis: Seien γ : [a, b] → C und : [c, d] → C die Parametrisierungen der freien Randb¨ogen, γ : U → W und : U → W die biholomorphen Fortsetzungen. −1 Dann ist F+ := ◦f ◦ γ : U ∩H → U ∩H holomorph und besitzt eine reellwertige stetige Fortsetzung auf U ∩ R.

308

5 Geometrische Funktionentheorie

Nach dem Schwarz’schen Spiegelungsprinzip gibt es eine holomorphe Fortsetzung F (auf das gespiegelte Gebiet) mit F (z) = F+ (z) f¨ ur z in der unteren Halbebene. Nun sei

ur z ∈ W. f(z) := ◦ F ◦ γ −1 (z) f¨

Ist z ∈ W ∩ G, so liegt γ −1 (z) in U ∩ H, und es ist −1 (z) = f (z). f(z) := ◦ F+ ◦ γ Also ist f eine holomorphe Fortsetzung von f . Oﬀensichtlich bildet f symmetrische Punkte auf symmetrische Punkte ab.

5.4.5. Folgerung Sei G ⊂ C, G = C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, C ein analytisches Kurvenst¨ uck, das ein freier Randbogen von G ist. Ist f : G → D eine biholomorphe Abbildung, so l¨asst sich f u ¨ber C hinaus holomorph fortsetzen. Beweis: Aus dem Beweis zum Riemann’schen Abbildungssatz entnehmen wir die Existenz einer biholomorphen Abbildung T ∈ Aut(C), so dass G := T (G) beschr¨ankt ist. C := T (C) ist dann ein freier analytischer Randbogen von G . Die Abbildung g := f ◦ T −1 : G → D ist biholomorph, deshalb kann g zu einer stetigen Abbildung g : G ∪ C → D fortgesetzt werden, wobei K := g(C ) ⊂ ∂D wieder freier analytischer Randbogen ist. Deshalb ist der Spiegelungssatz anwendbar, d.h. g kann u ¨ber C hinaus fortgesetzt werden. F := g ◦ T setzt dann f fort.

5.4.6. Aufgaben A. Sei G ⊂ C ein Gebiet, S ⊂ G ein Geradenst¨ uck, f stetig auf G und holomorph auf G \ S. Dann ist G auf ganz G holomorph. B. Berechnen Sie jeweils die Spiegelung an C1 := {z : Im(z) = −2}, C2 := {z = re i π/4 : r > 0} und C3 := {1 + t( i \ 1) : t ∈ R} und bestimmen Sie die Bilder von z1 = 0, z2 = 2 + i und z3 = −5. C. Es sei G+ ⊂ H ein Gebiet, dessen Rand ∂G+ ein oﬀenes Intervall I ⊂ R enth¨alt, sowie G− := {z ∈ C : z ∈ G+ }. Dann gibt es zu jeder reellwertigen, stetigen Funktion u auf G+ ∪ I, die auf G+ harmonisch und auf I konstant = 0 ist, eine harmonische Fortsetzung u von u auf G+ ∪ I ∪ G− . D. Sei G ⊂ C ein Gebiet und C ⊂ ∂G ein glattes, analytisches Kurvenst¨ uck (als freier Randbogen). Ist f stetig auf G ∪ C, holomorph auf G und = 0 auf C, so ist f = 0 auf ganz G. E. Sei f : D → C stetig, holomorph auf D und |f (z)| = 1 auf ∂D. Zeigen Sie, dass es eine meromorphe Funktion f mit nur endlich vielen Polstellen auf C gibt, so dass f = f auf D gilt.

5.5

Anwendungen

309

F. Sei K eine Kreislinie, z1 und z2 zwei bez¨ uglich K spiegelbildlich gelegene Punkte. Ein Kreis oder eine Gerade C durch z1 l¨auft genau dann auch durch z2 , wenn sich K und C senkrecht treﬀen.

5.5

Anwendungen

Die Formel von Schwarz-Christoﬀel Mit Hilfe des Spiegelungsprinzips kann man f¨ ur polygonal berandete Gebiete eine biholomorphe Abbildung auf den Einheitskreis explizit berechnen.

Deﬁnition

(Polygongebiet)

Ein Polygongebiet ist ein einfach zusammenh¨angendes, beschr¨anktes Gebiet G, zusammen mit einer Menge {w1 , . . . , wn } ⊂ ∂G (den Ecken), so dass sich der Rand ∂G aus den Strecken Sk = wk wk+1 (den Seiten) zusammensetzt und insbesondere wn+1 = w1 ist. Außerhalb der Ecken seien die Sk freie Randb¨ogen von G, die Ecken seien alle erreichbar. Zus¨atzlich wollen wir fordern, dass die Sk so orientiert sind, dass G positiv berandet ist, dass sich also das Gebiet beim Durchlaufen des Randes immer auf der linken Seite beﬁndet. Die Innenwinkel bei wk schreiben wir in der Form αk π mit αk ∈ (0, 2). Ist der Innenwinkel αk π gegeben, dann entspricht die Richtungs¨anderung beim Durchlaufen der Ecke genau +(1 − αk )π.

(1 − αk )π Innenwinkel αk π

Dabei ist es egal, ob ein spitzer oder stumpfer Winkel vorliegt (Richtungswechsel nach links) oder ein u ¨berstumpfer Winkel (Richtungswechsel nach rechts). Weil das Gebiet genau einmal umlaufen wird, ist die Summe der Richtungs¨anderungen genau 2π, d.h. 2π =

n k=1

(1 − αk )π

bzw.

n

αk = n − 2.

k=1

Wir untersuchen jetzt die Eigenschaften einer biholomorphen Abbildung f : G → H. Oben hatten wir angek¨ undigt, eine biholomorphe Abbildung in den Einheitskreis

5 Geometrische Funktionentheorie

310

zu konstruieren, aber wir k¨onnen G auch in die obere Halbebene biholomorph abbilden, denn diese ist u ¨ber die Cayley-Abbildung biholomorph ¨aquivalent zum Einheitskreis. Sei also f wie oben gegeben – die Existenz folgt aus dem Riemann’schen Abbildungssatz. Mit F := f −1 : H → G bezeichnen wir die Umkehrabbildung. Nach unserer letzten Folgerung l¨asst sich F topologisch auf den Rand fortsetzen zu einer Abbildung F : H → G. Die Ableitung F : H → G ist holomorph und ohne Nullstellen, denn sonst w¨are F nicht umkehrbar. Also besitzt F einen Logarithmus, d.h. es gibt eine holomorphe Funktion g : H → C, so dass exp(g) = F gilt. Die Ableitung von g, F (z) g (z) = : H → C, F (z) ist holomorph. Mit k seien die Bilder der Ecken f (wk ) bezeichnet. Die k sind alle reell, deshalb ist Ik := k k+1 ein Intervall, n¨amlich genau das Urbild einer Polygonseite: Sk = F (Ik ). ◦

Nach dem Spiegelungsprinzip kann F u ¨ber I k hinaus ◦holomorph fortgesetzt wer den. Dabei ist die Ableitung F (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ I k , da auch die Fortsetzung umkehrbar ist. Deshalb kann F | I◦k auch als glatte Kurve geschrieben werden: Es ◦

gibt a0 , v0 ∈ C und eine stetig-diﬀerenzierbare Funktion ϕk : I k → R, so dass gilt: ◦

F (t) = a0 + ϕk (t) · v0 f¨ ur t ∈ I k . ◦

Dann ist die Ableitung von F in t0 ∈ I k gegeben durch F (t0 ) = lim

t→t0

F (t) − F (t0 ) = ϕk (t0 ) · v0 . t − t0 ◦

Also ist das Argument der Ableitung konstant auf I k . Aber das Argument einer komplexen Zahl z ist gleich dem Imagin¨arteil des Logarithmus von z, also ◦ ist Im(log(F )) konstant auf I k . Das bedeutet, dass g = F /F = (log F ) reell◦ wertig auf I k ist. Wenn wir nun das Schwarz’sche Spiegelungs-Prinzip anwenden, dann klappt das u ¨berall, nur nicht in den Bildpunkten der Polygonecken. Immerhin kann g = (log F ) zu einer holomorphen Funktion auf C \ {1 , . . . , n } fortgesetzt werden. Behauptung: g hat in den Punkten k ∈ R Polstellen erster Ordnung. Außerdem verschwindet g im Unendlichen. Zum Beweis betrachten wir Kreisscheiben Dε (k ) so, dass g dort holomorph bis auf eine isolierte Singularit¨at in k ist. Die Abbildung F(z) := F (z) − wk ist holomorph in Dε (k ) ∩ H und stetig auf der reellen Achse, und in k hat sie eine Nullstelle. Weil F biholomorph ist, ist das Bild F(Dε (k ) ∩ H) einfach zusammenh¨angend in C∗ . Wir wissen noch mehr u uck vom Poly¨ber diese Menge: Es handelt sich um ein St¨ gongebiet, wobei die Ecke wk mit dem Winkel αk nach Null verschoben ist. Deshalb existiert die holomorphe Funktion

5.5

Anwendungen

311 h(z) := (F (z) − wk )1/αk

auf Dε (k ) ∩ H und klappt den Winkel zu einem gestreckten Winkel auf. Wie F kann auch h auf die Seiten stetig fortgesetzt werden, d.h. h ist auch auf Dε (k ) ∩ R deﬁniert und hat nat¨ urlich die Nullstelle in k . Das Spiegelungsprinzip setzt h fort zu einer holomorphen Abbildung h : Dε (k ) → C. Diese wird nun auf Dε (k ) in eine Potenzreihe entwickelt: h(z) =

∞

aν (z − k )ν .

ν=1

h injektiv, da h vor dem Spiegeln auch injektiv war. Deshalb verAuf Dε (k ) ist schwindet die erste Ableitung nicht in k , und der Koeﬃzient a1 ist ungleich Null. Also hat h die folgende lokale Normalform: a2 h(z) = a1 (z − k ) · g(z) mit g(z) = 1 + (z − k ) + . . . . a1 Diese Darstellung wollen wir so weit wie m¨oglich auf g u ¨bertragen. Es ist hαk (z) = aα1 k (z − k )αk · g(z)αk F (z) − wk = und

F (z) = (z − k )αk −1 [αk aα1 k g(z)αk + aα1 k (z − k )( g αk ) (z)] .

Zur Abk¨ urzung bezeichnen wir die eckige Klammer mit g ∗ . Das ist eine holomorphe Funktion, die in k den Wert αk aα1 k = 0 annimmt. Dann folgt: z − k ∗ αk −2 ∗ (g ) (z) = (αk − 1)(z − k )αk −2 · k(z), g (z) + F (z) = (αk − 1)(z − k ) αk − 1 wenn k(z) wiederum f¨ ur die eckige Klammer steht. In der Ecke“ k nimmt auch ” k(z) den Wert αk aα1 k = 0 an. Die Ableitung g hat dann das Aussehen g (z) =

(αk − 1)(z − k )αk −2 · k(z) αk − 1 F (z) = = · r(z), F (z) (z − k )αk −1 · g ∗ (z) z − k

wobei r(z) = k(z)/g ∗ (z) holomorph ist, und in z = k den Wert Eins annimmt. Damit hat g in k die angek¨ undigte Polstelle erster Ordnung mit Residuum αk − 1. Das Bild einer Ecke muss Unendlich sein, ohne Einschr¨ankung sei 1 = ∞, dann ist die Diﬀerenz n αk − 1 g (z) − z − k k=2 eine auf C holomorphe Funktion, wobei der Grenzwert des hinteren Summanden f¨ ur z → ∞ gegen Null geht. In der N¨ahe von 1 ist F (z)−w1 = h(z)α1 , wobei h(∞) = 0 ist. Wir transportieren alles von Unendlich nach Null mit h0 (z) := h(1/z). Dann ist h0 (0) = 0. Und weil h0 lokal injektiv ist, ist h0 (z) = z · g0 (z) mit g0 (0) = 0. Einsetzen in F ergibt

5 Geometrische Funktionentheorie

312

1 1 F (z) = w1 + h(z)α1 = w1 + h0 ( )α1 = w1 + α1 · g(z), z z wobei g(z) = g0 (1/z)α1 holomorph ist und in ∞ nicht verschwindet. F¨ ur die Ableitung gilt: g (z)+z −α1 · g (z) = z −α1 −1 [−α1 g(z) + z · g (z)] = z −α1 −1 ·g ∗ (z), F (z) = −α1 z −α1 −1 · mit 1 α1 1 α1 −1 −1 + z · α1 · g0 · 2 z z z 1 α1 α1 1 α1 −1 − . · g0 = −α1 · g0 z z z

g ∗ (z) = −α1 · g0

Dann ist g ∗ (∞) = −α1 g0 (0)α1 = 0. Weiter folgt: F (z) = z −α1 −2 [(−α1 − 1)g ∗ (z) + z · (g ∗ ) (z)] , also g (z) =

−α1 − 1 (g ∗ ) (z) F (z) = + ∗ . F (z) z g (z)

Die rechte Seite strebt f¨ ur z gegen Unendlich gegen Null, denn (g ∗ ) /g ∗ ist nahe ∞ holomorph. Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. Jetzt folgt aber, dass g (z) −

n αk − 1 k=2

z − k

eine holomorphe Funktion auf C ist, die in einer Umgebung von Unendlich beschr¨ankt ist. Also ist sie auf ganz C beschr¨ankt und nach dem Satz von Liouville konstant. Wegen des Grenzwertes in Unendlich ist sie ≡ 0. Damit wollen wir nun r¨ uckw¨arts auf das Aussehen von F schließen: & $ n n % αk − 1 αk −1 g (z) = (log F ) (z) = = log (z − k ) , z − k k=2

und das ergibt F (z) = C ·

k=2

n %

(z − k )αk −1 .

k=2

Damit haben wir folgendes Ergebnis bewiesen :

5.5.1. Formel von Schwarz-Christoﬀel Sei G ⊂ C ein Polygongebiet mit den Ecken {w1 , . . . , wn } und den Innenwinkeln αk π f¨ ur k ∈ {1, . . . , n}. Außerdem sei 2 , . . . , n eine streng monotone Folge reeller Zahlen. Dann gibt es komplexe Zahlen A, B, so dass die Funktion

5.5

Anwendungen

313

F (z) := A

z % n

(ζ − k )αk −1 dζ + B

k=2

0

die obere Halbebene so biholomorph auf G abbildet, dass zus¨atzlich Unendlich auf die Ecke w1 und jeweils k auf die Ecke wk abgebildet wird.

5.5.2. Beispiele A. Es sei G ein Dreieck mit den Ecken a, b und c, wobei wir annehmen, dass die Ecke a der Nullpunkt ist. Als reelle Zahlen w¨ahlen wir die Null f¨ ur Ecke a und die Eins f¨ ur Ecke b. Das Urbild von der Ecke c wird Unendlich sein. Der Ansatz ist nun z F (z) = A ζ α/π−1 (ζ − 1)β/π−1 dζ + B, 0

wobei α und β die Innenwinkel an den Ecken a und b sind. Zur Bestimmung der Konstanten A und B setzen wir z = 0 ein, dann verschwindet das Integral. F (0) ist aber per Konstruktion die Ecke a = 0, also ist B = 0. Das Bild F (1) ist die Ecke b, also k¨onnen wir nach A auﬂ¨osen: A=b·

1

−1 xα/π−1 (x − 1)β/π−1 dx .

0

Das reelle Integral l¨asst sich mit uhrt man

1 Hilfe der Γ-Funktion l¨osen. Dazu f¨ die Beta-Funktion B(p, q) := 0 tp−1 (1 − t)q−1 dt ein und beweist die Formel B(p, q) =

Γ(p)Γ(q) . Γ(p + q)

B. Sei G nun ein Rechteck. Wir legen es so, dass die eine Seite auf der reellen Achse liegt und je zwei Ecken symmetrisch zur imagin¨aren Achse sind, d.h. die Ecken sind die Punkte −a/2 + b i , −a/2, a/2 und a/2 + b i . Diesmal wollen wir f¨ ur jede Ecke einen reellen Punkt w¨ahlen. Unendlich wird dann auf einen Punkt auf der Seite zwischen erster und letzter Ecke abgebildet. Sei k eine reelle Zahl gr¨oßer Eins. Dann sollen die reellen Werte −k, −1, 1, k in gleicher Reihenfolge Urbilder der Ecken sein. ur alle Ecken. Damit Die Winkel sind alle rechte Winkel, d.h. es ist αk = 1/2 f¨ ergibt sich die Abbildung z F (z) = A 0

1 ' dζ. 2 (1 − ζ )(k 2 − ζ 2 )

5 Geometrische Funktionentheorie

314

Das Integral ist ein elliptisches Integral“, das nicht elementar berechenbar ” ist. Die Umkehrabbildung f := F −1 bildet das Rechteck nach H ab und kann mit Hilfe des Spiegelungsprinzips zun¨achst auf ein benachbartes Rechteck und dann Schritt f¨ ur Schritt auf ganz C (unter Auslassung eines Eckengitters) fortgesetzt werden. Die fortgesetzte Funktion wird dabei automatisch doppelt-periodisch, also eine elliptische Funktion. Der folgende Unterabschnitt wird noch weiter auf den Zusammenhang zwischen Ellipsen, elliptischen Integralen und elliptischen Funktionen eingehen.

Elliptische Integrale und Jacobi’sche elliptische Funktionen

'

Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form R(x, P (x)) dx, wobei R eine rationale Funktion und P ein Polynom 3. oder 4. Grades ist. Eine besondere Rolle spielen die Normalintegrale 1., 2. und 3. Gattung, auf die sich uckf¨ uhren l¨asst. Wir betrachten hier nur die Normaljedes elliptische Integral zur¨ integrale 1. und 2. Art x x( dt 1 − k 2 t2 ' K(x, k) = dt, mit k ∈ C. und E(x, k) = 1 − t2 (1 − t2 )(1 − k2 t2 ) 0 0 Durch die Substitution t = sin ϕ erh¨alt man diese Integrale in der Form θ) θ dϕ ' 1 − k 2 sin2 ϕ dϕ. und E(θ, k) = K(θ, k) = 1 − k 2 sin2 ϕ 0 0 W¨ahlt man als obere Grenze t = 1 bzw. θ = π/2, so spricht man von vollst¨andigen Normalintegralen. Dabei gibt es nur die von 1. und 2. Art.

5.5.3. Beispiele A. Die achsenparallele Ellipse mit Mittelpunkt (0, 0) und den Halbachsen a und b wird parametrisiert durch α(t) := (a cos t, b sin t), 0 ≤ t ≤ 2π. Der Ellipsenbogen zwischen den Parameterwerten 0 und T hat deshalb die L¨ange T' T α (t) dt = a2 sin2 t + b2 cos2 t dt L(α) = 0 0 T) b2 − (b2 − a2 ) sin2 t dt = 0 T' ' = b 1 − k 2 sin2 t dt (mit k = 1 − a2 /b2 ). 0

B. Sei a > 0, p± := (±a, 0) und d± (x) := dist(x, p± ). Unter der Lemniskate von Bernoulli versteht man die Menge Λ := {x ∈ R2 : d− (x) · d+ (x) = a2 }.

5.5

Anwendungen

315

Ist x = (x, y) und r2 = x2 + y 2 , so gilt: d− (x) · d+ (x) = a2 ⇐⇒ ⇐⇒ (x + a)2 + y 2 · (x − a)2 + y 2 = a4 2 ⇐⇒ (x + y 2 ) + (a2 + 2ax) · (x2 + y 2 ) + (a2 − 2ax) = a4 ⇐⇒ (x2 + y 2 )2 + 2(x2 + y 2 )a2 − 4a2 x2 = 0 ⇐⇒ (x2 + y 2 )2 − 2a2 (x2 − y2 ) = 0. Verwendet man Polarkoordinaten, x = r cos t und y = r sin t, so ist x2 + y 2 = r 2 und x2 − y 2 = r2 (cos2 t − sin2 t) = r2 cos(2t). Die Lemniskate wird also auch durch die Gleichung ' r 2 = 2a2 cos(2t) bzw. r = a 2 cos(2t) beschrieben. Das ergibt die Parametrisierung ' ' t → a cos t 2 cos(2t), a sin t 2 cos(2t) .

Lemniskate r s

s

p−

p+

x

' Ist (x, y) ∈ Λ und r = x2 + y 2 , so ist r2 = x2 + y 2 und r4 = (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ), also 4a2 x2 = 2a2 r2 + r 4 und 4a2 y 2 = 2a2 y 2 − r4 . Das ergibt die Parametrisierung 1√ 1√ 22 2a2 t2 + t4 , 2a t − t4 γ(t) := (x, y) = 2a 2a mit γ (t) =

a2 + t2 a2 − t2 √ , , √ a 2a2 + t2 a 2a2 − t2

also 1 (a2 + t2 )2 (2a2 − t2 ) + (a2 − t2 )2 (2a2 + t2 ) 1/2 a 4a4 − t4 6 1/2 4a 1 2a2 √ = = . a 4a4 − t4 4a4 − t4

γ (t) =

Der Lemniskatenbogen zwischen t = 0 und t = T hat demnach die L¨ange

5 Geometrische Funktionentheorie

316

T

L= 0

2a2 √ dt = 4a4 − t4

T

)

0

1−

1

t √ a 2

√ 4 dt = a 2

√ T /(a 2)

0

ds √ . 1 − s4

Hier tritt ein elliptisches Normalintegral 1. Art mit k = i auf. Nach dem Satz von Schwarz-Christoﬀel wird f¨ ur 0 < k < 1 durch die Funktion z dζ ' w = F (z) := 2 )(1 − k 2 ζ 2 ) (1 − ζ 0 eine biholomorphe Funktion F : H → R deﬁniert, wobei R das Rechteck mit den Ecken −K, K, K + i K und −K + i K ist und folgende Zuordnung getroﬀen wird: F (0) = 0, F (±1) = ±K und F (±1/k) = ±K + i K . Es ist F (−z) = −F (z), und f¨ ur reelle Argumente x ∈ (−1, 1) ist F (x) reell. −K + i K

K + i K R

−K

0

K F −1

F

H −1

−1/k

0

1

1/k

Das Rechteck grenzt auf einer Seite an die reelle Achse und ist symmetrisch zum Nullpunkt gelegen. Es hat die Breite 2K und die H¨ohe K . Dabei ist 1 dt ' K = K(1, k) = 2 (1 − t )(1 − k 2 t2 ) 0 ein vollst¨andiges elliptisches Normalintegral 1. Gattung. Weiter ist K + i K =

1/k

0

dt ' , 2 (1 − t )(1 − k 2 t2 )

und damit

iK = 1

1/k

dt

' , (1 − t2 )(1 − k 2 t2 )

also K = 1

Mit der Substitution τ = 1/kt erh¨alt man schließlich:

1/k

'

dt (t2

− 1)(1 − k 2 t2 )

.

5.5

Anwendungen

317

∞

F (∞) = F (1/k) + 1/k 1

'

dt (1 −

t2 )(1

− k2 t2 )

dt ' 2 )(1 − k 2 t2 ) (1 − t 0 = (K + i K ) − K = i K . = F (1/k) −

Die Funktion F −1 : R → H kann durch Spiegelung an den Seiten des Rechtecks holomorph fortgesetzt werden, einzig bei i K und den gespiegelten Punkten treten Pole auf. Die einzige Nullstelle liegt bei 0 (und den entsprechenden Spiegelbildern). Weil dF/dz(0) = 0 ist, haben alle Punkte die Ordnung 1. Die durch Fortsetzung von F −1 gewonnene Funktion ist also meromorph auf C und doppelt-periodisch mit den Perioden ω1 := 4K und ω2 := 2 i K . Sie ist eine der Jacobi’schen elliptischen ” Funktionen“.

Deﬁnition

(Jacobi’sche elliptische Funktionen)

Die (durch holomorphe Fortsetzung gewonnene) Funktion sn(w) = sn(k, w) := F −1 (w) heißt Jacobi’scher elliptischer Sinus (oder Sinus-Amplitude), die Funktion ' cn(w) = cn(k, w) := 1 − sn2 (w) Jacobi’scher elliptischer Cosinus (oder Cosinus-Amplitude). ' Schließlich nennt man dn(w) = dn(k, w) := 1 − k 2 sn2 (w) die Delta-Amplitude.

5.5.4. Eigenschaften der Jacobi-Funktionen 1. sn(0) = 0 und cn(0) = dn(0) = 1. 2. sn(−w) = − sn(w), cn(−w) = cn(w) und dn(−w) = dn(w). 3. sn, cn und dn h¨angen von k ab. Speziell gilt f¨ ur reelles x : sn(0, x) = sin(x), cn(0, x) = cos(x) und dn(0, x) ≡ 1. 4. sn2 (w) + cn2 (w) = 1 und k2 sn2 (w) + dn2 (w) = 1. Beweis:

1) ist klar.

2) Sei w = F (z). Dann ist sn(−w) = F −1 (−w) = F −1 (−F (z)) = F −1 (F (−z)) = −z = −F −1 (w) = − sn(w). Die Aussagen u ¨ber cn und dn folgen nun trivial.

5 Geometrische Funktionentheorie

318 3) Im Falle k = 0 ist F (x) = 0

ist klar.

x

dt √ = arcsin(x), also sn(x) = sin x. Der Rest 1 − x2

4) Die Gleichungen folgen unmittelbar aus den Deﬁnitionen. ¨ Es gibt noch weitere Ahnlichkeiten mit den Winkelfunktionen, zum Beispiel ist sn (w) = cn(w) · dn(w)

und

cn (w) = − sn(w) · dn(w).

Der Beweis ergibt sich aus der Deﬁnition von F und der Regel u ¨ber die Ableitung der Umkehrfunktion.

Elliptische Kurven Nachdem elliptische Integrale und elliptische Funktionen behandelt wurden, beschließen wir dieses Thema mit einer kleinen Einf¨ uhrung in die Theorie der elliptischen Kurven. Was sich dahinter versteckt, sind eigentlich Fl¨achen. Man nehme eine elliptische Funktion. Deren Periodenparallelogramm ist im g¨ unstigsten Fall ein Rechteck, realisierbar als Blatt Papier. Das Blatt kann man zu einer R¨ohre rollen und zusammenkleben, und wenn man mal so tut, als w¨are diese Papierrolle aus Gummi, so kann man sie herumbiegen und an den Seiten zusammenkleben, so dass so etwas wie ein Rettungsring entsteht. Das ist eine kompakte Fl¨ache, reell 2-dimensional und tats¨achlich mit einer komplexen Struktur zu versehen, also eine Riemannsche Fl¨ache. Noch immer ist keine Kurve in Sicht. Oder? So ein Rettungsring entsteht auch, wenn man einen vertikal aufgestellten Kreis einmal horizontal im Kreis herumschiebt. Deshalb kann man die Fl¨ache als kartesisches Produkt S 1 × S 1 auﬀassen und am besten in den 4-dimensionalen Raum C × C einbetten. Der reell 4-dimensionale Raum ist aus komplexer Sicht eine Ebene, und die reell 2-dimensionale Fl¨ache ist komplex 1-dimensional. Voil`a, da ist die Kurve! Eine ebene komplexe Kurve ist normalerweise die Nullstellenmenge eines Polynoms p(z, w) in der komplexen aﬃnen Ebene C2 = C × C mit den Koordinaten z und w. Das Kreuz mit den Nullstellen ist, dass sie gerne mal im Unendlichen verschwinden. Um also elliptische Kurven richtig betrachten zu k¨onnen, m¨ ussen wir einen Blick auf die unendlich fernen Punkte werfen und daf¨ ur komplex-projektive R¨aume einf¨ uhren. Den einfachsten Fall kennen wir eigentlich schon: Zwei Punkte (z0 , z1 ), (w0 , w1 ) = (0, 0) der komplexen aﬃnen Ebene C2 sollen ¨aquivalent genannt werden, wenn es eine komplexe Zahl λ = 0 gibt, so dass ¨ (w0 , w1 ) = λ(z0 , z1 ) ist. Das ergibt eine Aquivalenzrelation auf C2 \ {(0, 0)}. Das ¨ Verh¨altnis z0 : z1 zwischen den Komponenten eines Elementes einer Aquivalenzklasse ist dann unabh¨angig vom gew¨ahlten Repr¨asentanten. Deshalb bezeichnet man ¨ die Klasse von (z0 , z1 ) mit dem Symbol (z0 : z1 ). Die Menge P1 der Aquivalenzklassen nennt man den 1-dimensionalen komplex-projektiven Raum. Die Abbildung (1 : z) falls z ∈ C, 1 Φ : C → P mit Φ(z) := (0 : 1) falls z = ∞

5.5

Anwendungen

319

ist bijektiv, mit

Φ−1 (s : t) =

t/s falls s = 0, ∞ falls s = 0.

Der 1-dimensionale komplex-projektive Raum ist also nichts anderes als die Riemann’sche Zahlenkugel. Nun kommen wir zur projektiven Ebene, dem 2-dimensionalen komplex-projektiven ¨ Raum. Ausgangspunkt ist diesmal eine Aquivalenzrelation auf C3 \ {(0, 0, 0)} : (z0 , z1 , z2 ) ∼ (w0 , w1 , w2 ) ⇐⇒ ∃ λ ∈ C∗ mit (w0 , w1 , w2 ) = λ(z0 , z1 , z2 ). ¨ Wie oben bezeichnet man die Aquivalenzklasse von (z0 , z1 , z2 ) mit (z0 : z1 : z2 ), ¨ und analog die Menge der Aquivalenzklassen mit P2 . Die Komponenten zi von x = (z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 nennt man die homogenen Koordinaten von x. So wie der 1-dimensionale komplex-projektive Raum aus C durch Hinzunahme eines unendlich-fernen Punktes entsteht, so entsteht P2 aus C2 durch Hinzunahme einer unendlich fernen Gerade“: Durch j : C2 → P2 mit j(u, v) := (1 : u : v) wird ” C2 bijektiv auf die Menge U0 := {(z0 , z1 , z2 ) ∈ P2 : z0 = 0} abgebildet und kann als Teilmenge von P2 aufgefasst werden. Die Restmenge {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 : z0 = 0} = {(0 : u : v) : (u : v) ∈ P1 } kann mit P1 = C identiﬁziert werden. Ein Polynom p = p(z0 , z1 , z2 ) in den drei Variablen z0 , z1 , z2 heißt homogen vom Grad k, falls p(λz0 , λz1 , λz2 ) = λk · p(z0 , z1 , z2 ) f¨ ur alle λ ∈ C∗ gilt. Ist p nicht das Nullpolynom, so nennt man die Menge C = N (p) := {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 : p(z0 , z1 , z2 ) = 0} eine ebene projektive Kurve. Man beachte, dass C wegen der Homogenit¨at von p wohldeﬁniert ist, und dass C ein komplex 1-dimensionales Gebilde ist, reell gesehen also eigentlich eine Fl¨ ache. Ob man nun von einer Kurve oder einer Fl¨ache spricht, das h¨angt vom Standpunkt des Betrachters ab. Das einfachste Beispiel ist die projektive Gerade“ P1 = {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 : z0 = 0}, die hier als ” Nullstellenmenge des homogenen Polynoms p(z0 , z1 , z2 ) := z0 auftritt. Wenn man Gl¨ uck hat, l¨asst sich eine gegebene projektive Kurve parametrisieren. Tats¨achlich kann man aus der Weierstraß’schen ℘-Funktion die Parametrisierung einer ebenen projektiven Kurve gewinnen, das Ergebnis ist eine elliptischen Kur” ve“. Dies wollen wir hier nun demonstrieren. Sei Γ ⊂ C ein Periodengitter. Wir nennen zwei Punkte z, w ∈ C ¨aquivalent (oder kongruent) bez¨ uglich Γ (in Zeichen: z ≡ w mod Γ), falls z − w in Γ liegt. Die

5 Geometrische Funktionentheorie

320

Punkte eines (halb-oﬀenen) Periodenparallelogramms P bilden ein Repr¨asentan¨ ¨ tensystem f¨ ur die Aquivalenzklassen modulo Γ. Die Menge der Aquivalenzklassen ¨ bedeutet, dass man beim bezeichnen wir mit TΓ . Das Bilden derAquivalenzklassen Periodenparallelogramm gegen¨ uberliegende Seiten verklebt“. Auf diese Weise ent” steht ein Torus, also eine Fl¨ache, die wie ein Rettungsring oder ein Donut aussieht. Versieht man T = TΓ auf naheliegende Weise mit einer Topologie, so entsteht eine kompakte Fl¨ache. Ist p : C → T die nat¨ urliche Projektion, die einer komplexen ¨ Zahl z ∈ C die Aquivalenzklasse [z] ∈ T zuordnet, so deﬁniert man: f heißt eine meromorphe Funktion auf T , falls es eine elliptische Funktion F auf C mit f ◦p = F gibt. Damit wird der K¨orper der elliptischen Funktionen zugleich zum K¨orper der meromorphen Funktionen auf T . Wir deﬁnieren eine Abbildung ϕ : T → P2 durch Γ, (1 : ℘(z) : ℘ (z)) falls z ∈ ϕ([z]) := (0 : 0 : 1) falls z ∈ Γ.

5.5.5. Satz ϕ : T → P2 ist eine injektive Abbildung mit ϕ(T ) = C := {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 : z0 z22 − 4z13 + g2 z02 z1 + g3 z03 = 0}. Ist U0 = {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 : z0 = 0}, so ist C ∩ U0 = {(1 : u : v) ∈ U0 : v 2 = 4u3 − g2 u − g3 }. Beweis: a) Ist z ≡ w (Γ), so ist ℘(z) = ℘(w) und ℘ (z) = ℘ (w). Ist z ∈ Γ, so ist ℘(z) ∈ C und ℘ (z) ∈ C. Also ist ϕ wohldeﬁniert. b) Sei π : C3 \ {(0, 0, 0)} → P2 die durch π(z0 , z1 , z2 ) :=(z0 : z1 : z2 )deﬁnierte Projektion. Die Abbildung ϕ0 : C \ Γ → C3 \ {0} mit z → 1, ℘(z), ℘ (z) ist oﬀensichtlich holomorph (in dem Sinne, dass alle Komponenten holomorphe Funktionen sind) und erf¨ ullt die Gleichung ϕ ◦ p = π ◦ ϕ0 . Was passiert in den Gitterpunkten? Wir benutzen die Laurent-Entwicklungen in der N¨ahe des Nullpunktes: 1 + c2 z 2 + c4 z 4 + · · · z2 2 und ℘ (z) = − 3 + 2c2 z + 4c4 z 3 + · · · z 3 Dann ist π ◦ ϕ0 (z) = 1 : ℘(z) : ℘ (z) = z : z + c2 z 5 + · · · : −2 + 2c2 z 4 + · · · , und damit ℘(z) =

5.5

Anwendungen

321

lim ϕ ◦ p(z) = lim π ◦ ϕ0 (z) = (0 : 0 : 1) = ϕ ◦ p(0).

z→0

z→0

Das bedeutet, dass ϕ in p(0) stetig ist (wenn man die beteiligten R¨aume in naheliegender Weise mit Topologien versieht, was wir hier allerdings nicht ausf¨ uhren wollen). Man k¨onnte sogar komplexe Strukturen einf¨ uhren und (mit Hilfe des Riemann’schen Hebbarkeitssatzes) zeigen, dass ϕ u ¨berall holomorph ist. c) Sei ϕ([z]) = ϕ([w]). Wir k¨onnen annehmen, dass [z] und [w] beide in T \ {p(0)} liegen. Dann ist ℘(z) = ℘(w) und ℘ (z) = ℘ (w). Da ℘ gerade ist und jeden Wert mit Vielfachheit genau zweimal annimmt, ist w ≡ z (Γ) oder w ≡ −z (Γ), also w ± z ∈ Γ. W¨are w + z ∈ Γ, so w¨are ℘ (w) = ℘ (−z) = −℘ (z), also ℘ (z) = 0. Das ist nur m¨oglich, wenn 2z ∈ Γ und z ∈ Γ ist. Aber dann nimmt ℘ in z einen Wert zweimal an (weil die Ableitung dort verschwindet). Das geht nur, wenn [z] = [w] ist. Damit ist ϕ injektiv. d) Wegen der Diﬀerentialgleichung der ℘-Funktion ist ϕ(T ) ⊂ C. Sei nun umgekehrt ein Punkt (1 : u : v) ∈ C ∩ U0 gegeben. Dann ist v 2 = 4u3 − g2 u − g3 . Da ℘(z) jeden Wert aus C (sogar zweimal) annimmt, gibt es ein z0 ∈ C \ Γ mit ℘(z0 ) = u. Nun sei v0 := ℘ (z0 ). Dann ist v02 = 4u3 − g2 u − g3 = v 2 , also v = ±v0 . Es ist aber ϕ([−z0 ]) = (1 : ℘(−z0 ) : ℘ (−z0 )) = (1 : ℘(z0 ) : −℘ (z0 )) = (1 : u : −v0 ). Daraus folgt, dass entweder ϕ([z0 ]) = (1 : u : v) oder ϕ([−z0 ]) = (1 : u : −v) ist. Damit ist ϕ : T → C surjektiv. Jede Kurve, die auf diese Weise entsteht, nennt man eine elliptische Kurve. Weil ϕ : T → C eine bijektive Abbildung ist, ist eine elliptische Kurve nichts anderes als ein Torus! Jeder Torus ist eine Gruppe, mit der Verkn¨ upfung [z] + [w] := [z + w] (deren Wohldeﬁniertheit leicht zu zeigen ist). Wie u ¨bertr¨agt sich diese Gruppenstruktur auf die Kurve C ? Dazu betrachten wir f¨ ur beliebige Punkte a, b ∈ C die elliptische Funktion fa,b (z) := ℘ (z) − (a · ℘(z) + b) = −

2 a − 2 − b − 2c2 z + z 2 (. . .) 3 z z

Oﬀensichtlich hat fa,b in z = 0 einen Pol 3. Ordnung (und sonst nirgends). Also muss fa,b drei Nullstellen w1 , w2 , w3 besitzen, und es muss gelten: w1 + w2 + w3 ≡ 0

mod Γ.

Sind umgekehrt zwei Punkte w1 , w2 im Periodenparallelogramm gegeben, so gibt es in U0 ∼ = C2 eine Gerade v = au + b durch die Punkte ϕ(w1 ) und ϕ(w2 ). Dann sind w1 und w2 zwei Nullstellen von fa,b . Ist w3 die dritte Nullstelle, so liegt ϕ(w3 ) ebenfalls auf der Gerade. Es gibt zwei F¨alle:

5 Geometrische Funktionentheorie

322

1. Die Nullstelle w1 hat die Vielfachheit 2. Ist dann etwa w3 = w1 , so ist 2w1 + w2 ≡ 0

mod Γ.

2. w1 und w2 haben beide die Vielfachheit 1. Dann ist w3 ≡ −(w1 +w2 ) mod Γ. Wir betrachten nur den zweiten Fall. Da ist ϕ(w3 ) = ℘(w3 ), ℘ (w3 ) = ℘(−(w1 + w2 )), ℘ (−(w1 + w2 )) = ℘(w1 + w2 ), −℘ (w1 + w2 ) und ϕ(w1 + w2 ) = ℘(w1 + w2 ), ℘ (w1 + w2 ) . Also erh¨alt man ϕ(w1 + w2 ) aus ϕ(w3 ) durch Spiegelung an der u-Achse. s

p q

s

s

p+q

Die elliptische Kurve C wird durch die Gleichung v2 = 4u3 − g2 u − g3 beschrieben. Also liegt ϕ(z) = (u, v) genau dann auf dem Durchschnitt von C und der Geraden L = {v = au + b}, wenn fa,b (z) = 0 ist, wenn also 4u3 − g2 u − g3 − (au + b)2 = 0 ist. Diese Gleichung hat – mit Vielfachheit gez¨ahlt – die drei Nullstellen ℘(w1 ), ℘(w2 ) und ℘(w3 ). Das bedeutet: 4u3 − g2 u − g3 − (au + b)2 = 4(u − ℘(w1 ))(u − ℘(w2 ))(u − ℘(w3 )). Vergleicht man die Koeﬃzienten bei u2 , so folgt daraus: a2 . 4 Andererseits ist ℘ (w1 ) − ℘ (w2 ) = a℘(w1 ) + b − a℘(w2 ) = a ℘(w1 ) − ℘(w2 ) und ℘(w3 ) = ℘(w1 + w2 ). Daraus folgt (f¨ ur w1 ≡ w2 mod Γ): ℘(w1 ) + ℘(w2 ) + ℘(w3 ) =

℘(w1 + w2 ) = Wir haben bewiesen:

a2 − ℘(w1 ) − ℘(w2 ) 4

und

a=

℘ (w1 ) − ℘ (w2 ) . ℘(w1 ) − ℘(w2 )

5.5

Anwendungen

323

5.5.6. Additions-Theorem der ℘-Funktion Sind w, w1 , w2 Punkte in C mit w1 ≡ w2 mod Γ, so gilt: ℘(w1 + w2 ) = −℘(w1 ) − ℘(w2 ) + und ℘(2w) = −2℘(w) +

1 ℘ (w1 ) − ℘ (w2 ) 2 4 ℘(w1 ) − ℘(w2 )

1 ℘ (w) 2 . 4 ℘ (w)

¨ Der Beweis des Spezialfalls ist eine einfache Ubungsaufgabe. Betrachtet man elliptische Kurven nicht u ¨ber C, sondern u ¨ber endlichen K¨orpern Z/pZ (mit einer Primzahl p), so kann man sie f¨ ur die Verschl¨ usselung von Daten verwenden. 1. Um eine zu verschl¨ usselnde Zahl m ∈ Z in einer elliptischen Kurve E = {y 2 = x3 + ax + b} modulo einer Primzahl p zu verstecken, w¨ahlt man eine Zahl k und berechnet so lange die Zahlen x = mk √ + j mit 0 ≤ j < k, bis x3 + ax + b ein Quadrat modulo p ist. Dann liegt x, x3 + ax + b auf der Kurve. Ist umgekehrt eine verschl¨ usselte Botschaft, also ein Punkt (x, y) ∈ E gegeben, so ist m = [x/k]. Sei z.B. a = 3 und b = 0, sowie m = 2174, p = 4177 (in der Praxis wird man p sehr viel gr¨oßer w¨ahlen) und k = 30. Dann ist x = k · m + 15 = 65235 und usselung von m ergibt den x3 + 3x ≡ 382 ein Quadrat modulo p. Die Verschl¨ Punkt (65235, 38). Erh¨alt man diese verschl¨ usselte Botschaft, so bekommt man daraus wieder die Originalbotschaft m = [65235/30] = 2174. 2. Ist q ∈ N und g das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe G, so kann man expg : Z/qZ → G durch k mod qZ → g k deﬁnieren. Die Umkehrung dieser Abbildung bezeichnet man als diskreten Logarithmus“. Er ist ” im Allgemeinen schwer zu berechnen. Als zyklische Gruppe kann man eine elliptische Kurve u ¨ber einem endlichen K¨orper benutzen. In der Realit¨at benutzt man bekannte (Public-Key-)Verfahren und baut Schritte wie die obigen (und andere) ein, bei denen elliptische Kurven zum Einsatz kommen.

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Symbolverzeichnis C √ i = −1 Re(z) Im(z) z |z| arg(z) U (t) := cos t + i sin t Dr (z0 ) −α α+β CM (z) ∂M M ◦ M lim an Df (z0 ) fz und fz Sa log(a) C C∗ H j f (z) dz α |α| L(α) −α α+β B ⊂⊂ G PR (z, θ) Tα Nα ∂f (α, z0 ) ∂ν n(α, z) Int(α) Ext(α) ) resz0 (f ∞ C.H. −∞g(t) dt ∞ oder PV −∞ g(t) dt

K¨orper der komplexen Zahlen imagin¨are Einheit Realteil der komplexen Zahl z Imagin¨arteil der komplexen Zahl z konjugierte komplexe Zahl Betrag einer komplexen Zahl Argument von z Kreisscheibe mit Radius r um z0 umgekehrt durchlaufener Weg zusammengesetzter Weg Zusammenhangskomponente von z in M Rand einer Menge abgeschlossene H¨ ulle oﬀener Kern Limes superior totale Ableitung Wirtinger-Ableitungen Streifen parallel zur x-Achse Logarithmuszweig aufgeschlitzte Ebene C ohne Null obere Halbebene imagin¨are Einheit in der Elektrotechnik komplexes Kurvenintegral Spur eines Weges L¨ange eines Weges umgekehrt durchlaufener Weg Summe von Wegen relativ kompakt Poisson-Kern Tangenteneinheitsvektor Normaleneinheitsvektor

1 1 2 2 2 3 3 4 7 11 11 11 15 16 16 24 34 38 43 44 45 46 55 56 69 69 70 72 73 81 101 105 105

Normalenableitung

106

Umlaufszahl Inneres eines Weges ¨ Außeres eines Weges Residuum

131 134 134 137

Cauchy’scher Hauptwert

146

Symbolverzeichnis

328 b R a f (z) dz b L a f (z) dz T

f (x) ◦−−• T [f (x)] π(t) si(x) := sin x/x L[f (t)] ∞ C DV (z, z1 , z2 , z3 ) H O(U ) D P (z) γ Γ(z) Ψ(z) Per(f ) K(Γ) Pa ℘(z) C(z) Bν Ei(z) Fat(f ) Jul(f ) Lh (γ) ζ(s) n(Γ, z) sn(w) cn(w) P2

Rechtswert des Integrals Linkswert des Integrals

155 155

lineare Transformation Rechteck-Impuls

160 161 162 170 182 182 189 190 191 193 226 226 227 229 235 238 238 240 243 248 255 263 263 266 271 284 317 317 319

Laplace-Transformierte unendlich ferner Punkt abgeschlossene Ebene Doppelverh¨altnis obere Halbebene holomorphe Funktionen auf U Einheitskreis Hilfsfunktion zur Gamma-Funktion Euler’sche Konstante Gamma-Funktion Hilfsfunktion zur Gamma-Funktion Menge der Perioden von f K¨orper der Γ-elliptischen Funktionen Periodenparallelogramm Weierstraß’sche ℘-Funktion K¨orper der rationalen Funktionen Bernoulli’sche Zahlen Exponential-Integral Fatou-Menge Julia-Menge hyperbolische Wegl¨ange Zeta-Funktion Umlaufszahl Sinus-Amplitude Cosinus-Amplitude komplex projektive Ebene

Stichwortverzeichnis Abbildung eigentliche, 297 Abel Lemma von, 24 abgeschlossene H¨ ulle, 16 Ableitung komplexe, 26 partielle nach x und y, 34 nach z und z, 38 totale, 34 absolute Konvergenz eines unendlichen Produktes, 218 Abszisse absoluter Konvergenz, 170 Additionstheorem der Exponentialfunktion, 31 f¨ ur die ℘-Funktion, 323 analytisch, 89 antiholomorph, 39 Apfelm¨annchen, 263 ¨ Aquipotentiallinien, 62 Arcustangens, 48 Argument, 3 Argument-Prinzip, 141 Argumentfunktion stetige, 130 asymptotisch ¨aquivalent, 252 asymptotische Entwicklung, 253 ¨ Außeres eines Weges, 134 Bernoulli-Zahlen, 248 Betrag einer komplexen Zahl, 3 Bewegung, 264 biholomorph, 41 ¨aquivalent, 41 lokal, 41 Bildfunktion, 160, 170 Blindleitwert, 57

Blindwiderstand, 57 Bolyai, 265 Caratheodory Satz von, 297 Casorati-Weierstraß Satz von, 114 Cauchy’sche Integralformel, 84 h¨ohere, 89 Cauchy’sche Ungleichungen, 94 Cauchy’scher Hauptwert, 146, 155 Cauchy’scher Integralsatz allgemeiner, 284 f¨ ur einfach zusammenh¨angende Gebiete, 83 f¨ ur Sterngebiete, 80 Cauchy-Hadamard, 25 Cauchy-Kriterium, 14 Cauchy-Riemann Diﬀerentialgleichungen von, 35 Cayley-Abbildung, 190, 196 chordale Konvergenz, 205 chordale Metrik, 204 Cosinus, 31 Cosinus-Amplitude, 317 Cotangens-Reihe, 214 Darstellbarkeitskriterium, 176 Delta-Amplitude, 317 Diﬀerentialgleichung, 51 der ℘-Funktion, 241 Diﬀerentialgleichungen, 178 Diﬀerenzierbarkeit komplexe, 26 reelle, 34 Dirichlet-Problem, 99, 102 Dispersionsrelationen, 159 Divisor, 220 doppelt-periodisch, 237 Doppelverh¨altnis, 189 Drehung, 53

330

einfach zusammenh¨angend, 82, 130 einfacher Randpunkt, 295 Einheitskreis, 193 Einheitswurzel, 5, 55 Einschaltvorgang, 169 Elektrotechnik, 56 Ellipse, 67 Ellipsenbogen, 314 elliptisch, 237 elliptische Funktion, 314 Jacobi’sche, 317 elliptische Kurve, 321 elliptischer Cosinus, 317 elliptischer Sinus, 317 elliptisches Integral, 314 Entwicklungs-Lemma, 87 Entwicklungssatz, 88 Erg¨anzungsformel, 227 erreichbarer Randpunkt, 295 Euklid, 264 Euler’sche Formel, 31, 32, 50 Euler’sche Konstante, 226 Euler’sche Produktformel, 271 Euler’sche Relation, 250 Exponential-Integral, 255 Exponentialfunktion, 31 Fatou-Menge, 263 Fixpunkt, 188 Fluss, 105 Folge lokal beschr¨ankte, 200 folgenkompakt, 203 Folgenkriterium, 22 Fourier-Entwicklung, 236 Fourier-Integral-Theorem, 167 Fourier-Transformierte, 161 fraktale Geometrie, 263 freier Randbogen, 307 Frequenzgang, 160 Fundamentalsatz der Algebra, 95 f¨ ur Kurvenintegrale, 282 Funktion

STICHWORTVERZEICHNIS

analytische, 89 doppelt-periodische, 237 elliptische, 237 ganze, 95 harmonische, 61, 104 konjugierte, 62 holomorphe im Unendlichen, 191 meromorphe, 136 periodische, 236 Funktionselement, 292 Gamma-Funktion, 227 Gauß, 265 Gebiet, 9 Gebietstreue, 96 geometrische Reihe Trick mit der, 87 Gerade, 52 Goursat Satz von, 77 in versch¨arfter Form, 79 Green’sche Formel, 107 Green’sche Funktion, 108 Green’scher Integralsatz, 111 Green-Funktion, 159 Grenzwert einer Funktion, 21 Hadamard, 276 Hardy Satz von, 277 H¨aufungspunkt einer Folge, 13 einer Menge, 12 Hauptsatz f¨ ur Sterngebiete, 75 u ¨ber Kurvenintegrale, 74 Hauptteil, 116 Hauptteilverteilung, 208 Hauptzweig, 44 Hausdorﬀ-Raum, 8 Heaviside-Funktion, 173 Hebbarkeitssatz von Riemann, 90

STICHWORTVERZEICHNIS

Hilbert-Transformation, 159 holomorph, 36 holomorphe Fortsetzung, 291 direkte, 292 l¨angs eines Weges, 293 homogene Koordinaten, 319 homolog, 284 Hom¨oomorphismus, 186 homotop, 128 Homotopie, 128 Homotopiekriterium, 290 Hyperbel, 67 hyperbolischer Abstand, 266 Identit¨atssatz, 92 Imagin¨arteil, 2 Induktionsgesetz, 58 innerer Punkt, 15, 183 Inneres eines Weges, 134 Integraldarstellung der Gamma-Funktion, 230 Integraltransformation, 160 Inversion, 28, 185 isolierter Punkt, 12 Joukowski-Funktion, 66 Joukowski-Proﬁl, 68 Julia-Menge, 263 K.O.-Topologie, 199 Kette, 281 kompakt, 13, 184 komplexe Amplitude, 56 Komplexe Umkehrformel, 167, 176 komplexe Zahl, 1 konjugierte, 2 Kondensator, 57 konform, 40 Kongruenz, 264 konvergent kompakt, 209 Konvergenz absolute, 15 einer Folge, 9

331

einer Laurent-Reihe, 116 einer Reihe, 14 gleichm¨aßige, 21 im Funktionenraum, 199 normale, 21 punktweise, 21 konvergenzerzeugende Summanden, 210 Konvergenzkreis, 24 Konvergenzradius, 24 konvex, 17 Kramers-Kronig-Relationen, 159 Kreis, 52 Kreisfrequenz, 56 Kreiskette, 127 Kreisring, 116 Kreisscheibe, 7 kritischer Streifen, 276 Kurve reell-analytische, 305 Kurvenintegral, 105, 127 komplexes, 69 Kurvenst¨ uck glattes analytisches, 305 L¨ange eines Weges, 70 Laplace-Integral, 169 Laplace-Operator, 61 Laplace-Transformation, 169 Laurent-Reihe, 116 Laurent-Trennung, 119 Legendre’sche Verdopplungsformel, 228 Lemniskate, 314 L-Funktion, 169 Limes superior, 24 Linkswert, 155 Liouville’scher Satz dritter, 239 erster, 238 zweiter, 238 Lobatschewski, 265 Logarithmusfunktion, 83 Logarithmuszweig, 44 L¨osung

332

einer Hauptteilverteilung, 208 einer Nullstellenverteilung, 220 Majorantenkriterium, 15 Mandelbrot-Menge, 263 Maximumprinzip, 93 verallgemeinertes, 300 Mellin-Transformation, 151 Menge abgeschlossene, 7 beschr¨ankte, 13, 200 diskrete, 12 oﬀene, 7, 8, 183 im Funktionenraum, 199 meromorph, 136 Metrik, 8 metrischer Raum, 8 Minimumprinzip, 94 Mittag-Leﬄer Satz von, 209 spezieller Satz von, 211 Mittelwerteigenschaft, 93, 100 M¨obius-Transformation, 187, 195 M¨obius-Transformation, 28 M¨obiustransformation, 53 Moivre Formel von, 5 Monodromiesatz, 294 Montel Satz von, 201 Morera Satz von, 89 Multiplikationsformel von Gauß/Euler, 227 Nebenteil, 116 normale Familie, 202, 206 normale Konvergenz eines unendlichen Produktes, 219 Normalenableitung, 106 Normaleneinheitsvektor, 105 Normalintegral, 314 nullhomolog, 284 nullhomotop, 128 Nullstellenordnung, 92

STICHWORTVERZEICHNIS

Nullstellenverteilung, 220 obere Halbebene, 55, 189 oﬀener Kern, 16 Ohm’sches Gesetz, 56 Operator, 160 orientierungserhaltend, 39 orientierungsumkehrend, 39 Originalfunktion, 160, 170 Orthokreis, 269 Ortskurve, 58 Parallelenaxiom, 265 hyperbolisches, 269 Parameter-Integrale holomorphe, 232 Partialbruchzerlegung, 149, 208 Partialsumme, 14 Periode, 235 Periodengitter, 237 Periodenparallelogramm, 238 periodisch, 236 Poincar´e-Modell, 269 Poisson-Kern, 101 Polstelle, 113 Polstellenmenge, 136 Polstellenordnung, 113 Polygongebiet, 309 Polynom, 20 positiv berandet, 140 Potential komplexes, 62 Potentialfunktion, 62 Potenzfunktion, 46 Potenzreihe, 20 Primzahl, 271 Primzahlsatz, 276 Produkt unendliches, 216 projektive Kurve, 319 projektiver Raum, 195, 318 Quadratwurzel Existenz der, 278 Quelle, 64

STICHWORTVERZEICHNIS

Randpunkt, 15 Randschnitt, 302 Realteil, 2 Rechteck-Impuls, 161, 173 Rechtswert, 155 Reihe geometrische, 15 meromorpher Funktionen, 209 unendliche, 14 relativ kompakt, 81 Residuenformel, 140 Residuensatz, 139, 290 Residuum, 137 im Unendlichen, 251 Riemann’sche Vermutung, 277 Riemann’sche Zahlenkugel, 186, 195 Riemann’scher Abbildungssatz, 278 Riemann-Lebesgue-Lemma, 164 Riemannsche Fl¨ache, 20, 46 Rouch´e Satz von, 142 R¨ ucktransformation, 175 Saccheri, 270 Sattelpunkt, 258 Sattelpunktmethode, 257 Satz von Bolzano-Weierstraß, 13 Heine-Borel, 13 Schwarz’sches Lemma, 193 Schwarz’sches Spiegelungsprinzip, 304 Schwarz-Christoﬀel Formel von, 312 Schwarz-Pick Lemma von, 267 Senke, 64 Singularit¨at hebbare, 113 isolierte, 113 wesentliche, 113 Sinus, 31 Produktdarstellung des, 223 Sinus-Amplitude, 317 Spektralfunktion, 161

333

Sph¨are, 184 Spiegelung, 53 am Kreis, 306 an einer Geraden, 306 Spiegelungssatz großer, 307 Sprungfunktion, 173 Spule, 57 Spur eines Weges, 69 Stammfunktion, 71 Standardabsch¨atzung, 70 stereographische Projektion, 184 sternf¨ormig, 75 stetig, 185 st¨ uckweise, 76 Stirling’sche Formel, 262 Strahlensatz, 185 Stromlinien, 62 Stromst¨arke, 56 Str¨omung, 62 summatorische Funktion, 245 Symmetrie bez¨ uglich einer Kurve, 305 Tangenteneinheitsvektor, 105 Topologie, 8 topologischer Raum, 8 Torus, 321 Tragﬂ¨ache, 68 Translation, 53 Umgebung, 8 im Funktionenraum, 198 von Unendlich, 183 Umlaufszahl, 131, 283 unendlich ferner Punkt, 182 Vall´e-Poussin, 276 Verpﬂanzungsprinzip, 110 Verschl¨ usselung, 323 Verzweigungssingularit¨at, 150 Vitali Satz von, 204 voll singul¨ar, 291

334

Wachstum exponentielles, 170 Wallis’sche Formel, 223 Wegl¨ange hyperbolische, 265 Weierstraß Konvergenzsatz von, 96 Weierstraß’sche ℘-Funktion, 240 Weierstraß’scher Produktsatz, 220 spezieller, 222 Weierstraß-Kriterium, 22 Winkel, 40 winkeltreu, 40 Wirkleitwert, 57 Wirkwiderstand, 57 Wirtinger-Ableitungen, 38 Zeiger, 56 Zeta-Funktion, 271 Funktionalgleichung der, 275 Zirkulation, 105 zusammenh¨angend, 10 Zusammenhangskomponente, 11 unbeschr¨ankte, 132 Zyklus, 282

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