Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen
Robert Fricke
Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Zweiter Teil Die algebraischen Ausführungen
1. Auflage 1922. Nachdruck 2011.
Geheimer Hofrat Prof. Dr. Robert Fricke (1861–1930) Technische Hochschule Braunschweig Braunschweig Deutschland
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner-Verlag
ISBN 978-3-642-19560-0 e-ISBN 978-3-642-19561-7 DOI 10.1007/978-3-642-19561-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): Primary 33E05, Secondary 11E16, 11E41, 11F03, 11F06, 11F11, 11F12, 11F27, 11F32, 11R04, 11R09, 11R11, 11R18, 11R32, 20-01. 1. Auflage 1922 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 (Nachdruck) Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf : WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)
Vorwort der Herausgeber von Teil III
Dieser Nachdruck des zweiten Teils des Klassikers Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen von Robert Fricke (1861–1930) erscheint zusammen mit einem Nachdruck des ersten Teils und einer Erstver¨offentlichung des dritten Teils aus dem Nachlass des Autors. In den Nachdruck des ersten Teils haben wir auch Frickes Vorwort zur zweiten unver¨anderten Auflage des ersten Teils aus dem Jahre 1930 aufgenommen. Der dritte Teil ist Anwendungen der elliptischen Funktionen gewidmet. Schon 1930, kurz nach Frickes Tod, sollte auch der dritte Teil publiziert werden, aber im Schatten der Weltwirtschaftskrise wurde dieses Projekt nicht realisiert. Wir freuen uns, dass es mit den heutigen technischen Mitteln m¨oglich ist, den ¨ dritten Teil der Offentlichkeit vorzulegen zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden Teile, auf die im dritten h¨aufig verwiesen wird. Auf diese Weise wollen wir das Frickesche Werk in sinnvoller Form zum Abschluss bringen. Den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlags danken wir f¨ur die gute Zusammenarbeit. Braunschweig, M¨unster und D¨usseldorf, den 15. Mai 2011
Clemens Adelmann, J¨urgen Elstrodt und Elena Klimenko
V
Robert Fricke
DIE
ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN UND IHRJij AN-WENDUNGEN VON
DR. ROBERT FRICKE PRO}'I<~SSon
A'N DER
T}~CHNISCHEN
HOCHSCHULE
IN BRAUNSCHWEIG
ZWEITER TEIL
DIE ALGEBRAISCHEN AUSFÜHRUNGEN MIT 40 IN DEN TEXT GEDRUOKTEN FIGUREN
LEIPZIG UND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B.G.TEUBNER
1922
SCHUTZFORMEL FUR DIE VEREINIGTEN STA.A'l'EN VON AMERIKA: COPYRIGH'l' 1922 BY 1l. G. TEUllNER IN LEIPZIG
ALL}'; RECH'l'!,;, }jlNSCHUESSLlCII DES UllERS.l!:TZUNGSRECH'l'S, VORll}j;HAL'l'}~N
DEM ANDENKEN
RIOHARD DEDEKIND'S GEWIDMET
Vorwort. Der vorliegende zweite Teil meines Buches "Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen" behandelt die algebraischen Ausführungen, er umfaßt also die Theoreme der Addition, Multiplikation und Division der elliptischen Funktionen, sowie die Transformationstheorie derselben. Das Interesse für diese Gegenstände ist während der langen Zeit der Entwicklung der Theorie der elliptischen Funktionen lebendig geblieben. Am 23. Dezember 1751 wurden Euler die Arbeiten Fagnano's zur Begutachtung vorgelegt und regten ihn zur Entdeckung der Additionstheoreme an, so daß Jacobi den genannten 'rag als den Geburtstag der elliptischen Funktionen bezeichnete. Die Entdeckungen Abel's und die Schöpfung der Theorie der Modulfunktionen durch Klein sind wichtigste Marksteine der reichen Entwicklung, die noch bis in die jüngste Zeit hinein zu neuen Erkenntnissen führte. In letzterer Hinsicht scheint mir die Auffindung des "Klassenpolygons" nicht unwichtig. Es handelt sich hierbei um ein beziehungsreiches Gebilde, das die früh bemerkte Beziehung der elliptischen Funkt.ionen zur Theorie der ganzzahligen binären quadratischen Formen in klarster Weise darlegt und sich als ein wertvolles Mittel zur Behandlung der 'rransformationstheorie erwies. Es bleibt mir übrig, der verehrten Verlagsbuchhandlung für die tatkräftige Förderung des Druckes meinen verbindlichen Dank auszusprechen und der Hoffnung Ausdruck zu geben, daß auch der letzte Teil, der die arithmetischen, geometrischen und mechanischen Anwendungen behandeln soll, in nicht zu ferner Zeit folgen möchte. Bad Harzburg, den 15. September 1921.
ltobert }'ricke.
Inhaltsverzeichnis. Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra unll Zahlentheorie. I. Endliche Gruppen. § 1. Begriff einer Gruppe endlicher Ordnung . . . . § 2. Begriff der Untergruppe. . . . . . . . . . . . § 3. Gleichberechtigte und ausgezeichnete Untergruppen § 4. Sätze über ausgezeichnete Untergruppen § 5. Kompositionsreihe einer Gruppe Gm § 6. Sätze über Abelsche Gruppen . . . . . § 7. Permutationsgruppen . . . . . . . . . § 8. Transitivität und Primitivität der Permutationsgrupp~n
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1 4 6 8 12
14 17 20
II. Algebraische Gleichungen. § § § §
§ § § § § § § § § § § § §
1.
2. 3.
4. 5. 6.
7. S. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15. 16. 17.
Symmetrische Funktionen. . . Tschirnhausentransformation. . . Hilfssatz über ganze Funktionen. Funktionen in Zahlkörpern . . . Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper st. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen . . Die Transformationen eines Galoisschen Körpers in sich . Die Galoissche Gruppe einer Gleichung fez) = o. . . . . Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen Die rationalen Resolventen einer Gleichung fez) = 0 . Auflösung einer algebraischen Gleichung fez) = u . Beispiel der Kreisteilungsgleichungen Zyklische Gleichungen . . . . . Abelsche Gleichungen. . . . . Algebraisch lösbare Gleichungen.
23
26 27 28 32
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46 49 52 54 56 58
61 62
III. Algebraische Funktionen. § 1. Funktionen und Gleichungeu in Funktionenkörpern § 2. Algebraische Funktionen in bezug auf einen Körper st", . . § 3. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Funktionen § 4. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Funktionen § 5. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen . . § 6. GaloisBche Gruppe einer Gleichung fez) = o. . . . § 7. Auflösung einer algebraischen Gleichung fez) = () . § 8. Monodromiegruppe einer Gleichung t'(z) = 0 . .
64 67 68 71
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IV. Algebraische Zahlen. § 1. § 2.
Algebraische und ganze algebraische Zahlen. Ein algebraischer Hilfssatz . . . . . . . . . . .
78 80
Inhaltsverzeichnis
XII § § § § § § § §
§ § § § § § § §
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
Folgerungen betreffs rationaler ganzer Zahlen Algebraische Zahlkörper . . . . . . Die ganzen Zahlen des Körpers Si:. • Teilbarkeit der Zahlen 11 im Systeme e Begriff und Darstellung eines Ideals Multiplikation der Ideale. . . Faktorenzerlegung eines Ideals Die BasIln eines Ideals a. Norm eines Ideals. . . . . . Äquivalenz der Ideale . . . . Die Idealklassen des Körpers Si:. Zerfällung der rationalen Primzahlen in Primideale . Sätzt' über Galoissche Zahlkörper . . . . . Beispiel der quadratischen Körper . . . . . . . . Gegen ein Ideal a teilerfremde Zahlklassen . . . . Satz über die zu einem gegebenen a teilerfremden Ideale.
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82 83
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115 119
V. Quadratische Körper uud Formen negativer Diskriminante § § § § § § § § §
1.
Zweige und Zweigideale im quadratischen Körper Si: . . . . Notizen über quadratische Formen negativer Diskriminante. Beziehung zwischen den Zweigidealen an und den quadratiscben Formen Komposition der quadratiscben Formen . . Einteilung d"r Formklassen in Geschlechter .
2. Zahlstrahlen im quadratischen Körper. . . . . . 3. Zerlegung der Idealklassen von Si: in Zweigklassen 4. Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale . 5. Basen der Ideale und ebene Punktgitter . . . . .
6. 7. 8. 9.
121 125 129 131 135 137 141 148 151
Erster Abschnitt. Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen.
§ 1. § 2. § 3. § 4. § O. § 6. § 7.
Erstes Kapitel. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen. Additionstbeoreme der elliptischen Funktionen erster Stufe . Invariante algebraische Gestalten der Additionsformeln . . . Übergang zu den Additionsformeln der Jacobiscben Funktionen. Einfübrung einer Abelschen Gruppe G256 • . • • • Die 256 dreigliedrigen Sigmarelationen . . . . . . Die Additionstheoreme der Jacobiscben Funktionen. Additionssiitze für mehrgliedrige Argumentsummen .
§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. ~ 6.
Zweites Kapitel. nie Multiplikationsslitze der elliptischen }'unktionen. Multiplikationssätze der Funktionen erster Stufe Partielle Difl'erentialgleichung der Funktionen 1/J(n) • Berechnung von so(nu) durch ein Kettenbruchverfabren . Ansatz der Multiplikationsformeln für sn, en und dn . Weitere Beziehungen zwischen den Funktionen G(z) Differentialgleicbungen zur Berechnung der Funktionen G(z)
157 161 164 166 171 17ii 180
184 l!lO
1!J2 196 199 205
Inhaltsverzeichnis
XIII Seite
§ 1. § 2. § 3. §
4.
§ 5. § 6. § 7.
Drittes Kapitel. Die Divisionsslttze der elliptischen Funktionen. Die allgemeine Teilungsgleichung der p-Funktion . . . . . Die Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung . Zyklische Untergruppen der Gn ' und Kongl'uenzgruppen n'er Stufe. Elliptische Funktionen n 'er Stufe . . . . . . . . . . . Lösung der aUgemeinen Teilungsgleichung . . . . . . . Divisionssätze der elliptischen Funktionen zweiter 8tufe. Die Abelschen Relationen . . . . . . . .
210 214 218 225 231 234 240
Viertes Kapitel. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen. § § § § §
1.
2. 3. 4. 5.
Die Teilwerte PlI" PlI' und die speziellen Teilungsgleichungen Kongruenzgruppen n ter Stufe in der Modulgruppe r . . . . . Die Galoissehen Resolventen der speziellen Teilungsgleiehungen . Lösung der speziellen Teilungsgleiehung. Die Teilwerte der Funktionen sn, eIl und dn. .
244 249 255 261 265
Zweiter .Abschnitt. Die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen. Erstes Kapitel.
§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.
Die Tramformation n ten Grades und die allgemeinen Transformationsgleichungen. Aufstellung des 'l'ransformationsproblems und Ansatz zur I,ösung Die Repräsentanten der Transformationen n ton Grades. . Die allgemeine Transformationsgleiehung der p-Funktion Transformation n'en Grades der Sigmafunktion . . . . . Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen . . Transformation zweiten Grades dei! Funktionen sn, cn und dn. Transformation ungeraden Grades der Funktionen zweiter Stufe.
270 274 278 284 286 290 293
Zweites Kapitel. Systeme ganzer elliptischer Fnnktionen dritter Art ntel' Stufe. § 1.. Teilwerte und Wurzeln der Diskriminante .4. . 297 § 2. Einführung der ganzen elliptischen Funktionen dritter Art n'e'· Ordnung X 2 (u 1(01' (02) • . • • • . • . • • • • . . • . 303 § 3. Lineare Transformation der Funktionen X}, (~t I (01' (02)' • • 308 § 4. Systeme von Modulformen für ungerade Stufen. . . . . . 314 § 5. Ein weiteres System für Modulformen für ungerade Stufen 316
6. Mehrgliedrige Bilinearverbindungen der Xl und ihre lineare Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Die Systeme der Funktionen Y l und der Modulformen Vi"' § 8. Die Systeme der Funktionen Zl und der Modulformell Zi" • §
320 324 327
Drittes Kapitel. Die Sl)eziellen 'l'ransformationsgleichungell erster Stufe. § 1. Die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
Inhaltsverzeichnis
XIV
Seito
Ansatz der speziellen Transformationsgleichungen. Geschichtliche Notizen § S. Das Transformationspolygon Tu und die Transformationsfläche F" . . § 4. Die erweiterte Gruppe r 1nj und das Klassenpolygon K". . . . . . . § 5. Algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen Transformationsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2.
342 349
357 367
Viertes Kapitel.
Aufstellung der 'l'ransformationsgleichungen erster Stufe flir niedel'e Grade n. § § § § § § §
1- Die Transformationsgrade 2, 4, 8, 16 und 32 2. Die Transformationsgrade 3, 9 und 27 3. Die Transformationsgrade 5, 25, 7 und 49. . 4. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n = 4h 5. Primzahlige Transforrnationsgrade der Gestalt n = 4h 6. Zusammengesetzte ungerade Transformationsgrade 7. Zusammengesetzte gerade Transformationsgrade
+3 +1
371 383 389 403
424 437 446
Fünftes Kapitel.
Die Gruppen der speziellen Transformationsgleicbungen und die ~lrei Resolventen der Grade 5, 7 und 11. § §
Die Galoisschen Gruppen der speziellen Transformationsgleichnngen 2. Die Galoisschen imaginären Zahlen und die imaginäre Gestalt der
1.
G,,-n(n'-l) 1 §
3.
462
Zyklische Gruppen, metazyklische Gruppen und Diedergruppen in der G
465
ADilatz zur Aufstellung aller Untergruppen der G 1
471
+n(n'-l)
§
4.
"
2 n (u--1)
5. Der Satz von Galoi8. . . . Die Resolventen fünften und siebenten Grades . § Die beiden Resolventen elften Grades . . . . §
S
459
6. 7.
475 482 486
Sechstes Kapitel.
Die speziellen Trallsformationsgleicbungen ltiiberer Stufen. Wiederholte Landensehe Transformation.
492
§ § § § §
2. Die Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen . 3. Die Schlaeflischen Modulargleichungen 4. Die Jacobischen Multiplikatorgleichungen 5. Gruppentheoretische Grundlagen für die Resolventen fünften Grades
495 502 508
§ §
6. 7.
zweiter Stufe. ........................ Aufstellung der Resolventen fünften Grades zweiter Stufe. . . . . . Notizen über die Lösung der allgemeinen Gleichung fiinften Grades durch elliptische ]'unktionen. . . . . . . . Notizen über irrationale Modulargleichungen . Notizen über Modularkorrespondenzen . . . . System der Modnlfunktionen sechster Stufe . Die Thetarelationen des dritten Transformationsgrades
513 515
1-
§ 8. § 9. § 10. § 11.
520 524 527
533 538
Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra und Zahlentheorie. Die Behandlung der Divisionssätze der elliptischen Funktionen und der Transformationstheorie dieser Funktionen setzt eine etwas tiefere Kenntnis der Algebra und Zahlentheorie voraus. In einer in fünf Teile zerlegten Einleitung werden zunächst die zur Verwendung kommenden Sätze aus den beiden genannten Gebieten entwickelt.
I. Endliche Grnppen. 1) § 1. Begriff einer Gruppe endlicher Ordnung. In I, 126ff. 2) betrachteten wir ein System von m linearen Substitutionen einer komplexen Variablen z, von dem wir aussagten, es bilde "eine Gruppe Gm endlicher Ordnung m". Dabei war m eine endliche Anzahl, die Substitutionen waren symbolisch durch So, Sv ..., Sm_l bezeichnet, und es bedeutete insbesondere die erste unter ihnen, So, die "identische Substitution", die auch symbolisch durch 1 bezeichnet wurde. Ein erstes Kennzeichen des Begriffs einer Gruppe bestand darin, daß die aufeinanderfolgenden Anwendungen zweier Substitutionen Sa und Sb der Gruppe Gm eine gleichfalls in der Gm enthaltene Substitution lieferten. Genauer gesprochen: Wenn z' = S a(z) und z" = Sb(Z') zwei unserer Substitutionen sind, so sollte auch :/' = Sb (Sa(z») eine der Gruppe angehörende Substitution sein. Die in dieser Art aus Sa und Sb "zusammengesetzte" Substitution bezeichneten wir symbolisch als "Produkt" Sb· Sa von Sa und Sb. Die Reihenfolge, in der die Substitutionen auf die Variable auszuüben sind, entspricht der von rechts nach links im Produkte Sb· Sa gelesenen Faktorenfolge. Das Produkt Sa· Sb erwies sich im allgemeinen 1) Von ausführlichen neueren Darstellungen sei genannt H. Weber, "Lehrbuch der Algebra", 2. Aufl. (Braunschweig 1898 u. 1899), Bd. 2, S. 1 ft". und Bd. 1, S.513ft". Eine Zusammenstellung der Sätze findet man bei A. Loewy im Kap. UI des "Pascals ehen Repertoriums", 2. Aufl. (Leipzig 1910), erste Hälfte, S. 168ft". 2) Diese Angabe bedeutet "Seite 126ft". in Band I des vorliegenden Werkes u , Fricke, Die elliptischen Funktionen II
1
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 2 als von Sb' Sa. verschieden, d. h. für unsere symbolischen Produkte gilt das "kommutative Grundgesetz" der gewöhnlichen Multiplikation nicht. Dagegen gilt für dreigliedrige symbolische Produkte unserer Substitutionen das "assoziative Gesetz", wie in I, 127 näher ausgeführt ist. Die nähere Beschaffenheit der einzelnen Gruppen gründet sich auf das Gesetz, nach dem sich die Zusammensetzung irgend zweier Substitutionen der Gruppe G", zu einer dritten gleichfalls in Gm enthaltenen Substitution vollzieht. Dieses Gesetz ist für unsere Substitutionen S durch die Gleichung (2) in I, 127 zum Ausdruck gebracht. Es tritt uns nun die Idee einer ganz entsprechenden Gruppenbildung nicht nur bei linearen Substitutionen, sondern weiterhin bei vielen verschiedenen Gelegenheiten entgegen. Wir wollen daher hier gleich bei Aufstellung der allgemeinen Sätze über endliche Gruppen die Begriffe von der besonderen Einkleidung befreien, welche bei den Gruppen linearer Substitutionen vorliegen. Es sei demnach jetzt irgendein System von m gleichartigen Operationen oder m gleichartigen analytischen Ausdrücken oder m sonstwie gleichartig erklärten mathematischen Gebilden vorgelegt, die wir sogleich wieder durch So, S1) S2' ..., S"'_1 bezeichnen wollen und die m "Elemente" nennen, um einen von der besonderen Einkleidung unabhängigen Namen für dieselben zu besitzen. Es soU ferner ein Gesetz der Zusammensetzung irgend zweier Elemente Sa> Sb zu einem symbolisch als Produkt zu schreibenden, eindeutig bestimmten Ergebnis Sb' Sa bekannt sein. Wir stellen dann unter der Voraussetzung, daß m eine endliche Anzahl ist, folgende Erklärung auf: Die m Elemente So, SlI ..., Sm_l bilden eine "Gruppe" Gm der endlichen "Ordnung" m, wenn folgende drei Bedingungen zutreffen: 1. Das Ergebnis der Zusammensetzwng Sb' Sa irgend zweier Elemente Sa' Sb ist stets wieder eines der Elemente S. 2. Für die nach 1. herstellbaren dreigliedrigen symbolischen Prowukte gilt das assoziative Gesetz:
(1) 3. 1st Sb + Sc, d. h. sind Sb und So irgend zwei verschiedene Elemente, und istSa irgendeinElement, so soll auch Sb' Sa +So' Sa und Sa' Sb+ Sa' Sc gelten. Ist Sa irgendeines der m Elemente, so sind die m Elemente So,Sa.' SI,Sa' S2,Sa"'" Sm_I,Sa alle voneinander verschieden, und da sie alle in Gm enthalten sind, so stellen sie alle m Elemente der Gruppe in irgendeiner Reihenfolge dar. Dasselbe gilt von den m Produkten Sa'SO' Sa,Sl' Sa,S2' ..., Sa,Sm_l' Wir folgern hieraus, daß, wenn Sa und StJ willkürlich gewählt sind, stets ein und nur ein Element Sb in Gm enthalten
Begriff einer endlichen Gruppe
3 ist, das die Gleichung Sö' Sa = Ba befriedigt; ebenso gibt es in Gm em und nur ein Element Sc, das die Gleichung erfüllt Sa' Sc = Sd' Insbesondere gibt es für ein vorgelegtes Sa ein und nur ein etwa durch SCa) zu bezeichnendes Element, das die Gleichung S(a)' Sa = Sa befriedigt und gleichfalls ein und nur ein Element S;a)' für das Sa' S(a) = Sa gilt. Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich für irgendwelche SM Sc die folgenden:
Seal . (Ba' Sc) = Ba . Sc'
(Sö' Ba) . S(a)
=
Sb . Sa'
Da nun durch geeignete Auswahl von Sc und Sb die Elemente Sa' Bc und Sb' Sa mit einem beliebigen Elemente Se VOll Gm gleich werden, so gilt für jedes Se: S S 8 8 8' S (a)'
B
=
e'
o'
(a)
=
B'
woraus wir die Folgerungen See) = Seal' S:o) = S:a) ziehen. Die Elemente SeO)' S(l)' S(2)' ..., S(m_1) sind also einander gleich, ebenso die Elemente 8(0)' S(1)7 S(2)7 ... , S(m-1)' Es gibt also ein und nur ein Element S in Gm, welches für alle Sa die Gleichung S· Sa = Ba befriedigt, und ebenso ein und nur ein S', das Sa' S' = Sa erfüllt. Setzt man in die beiden letzten Gleichungen Sa = S ein, so folgt S· B = Sund B· B' = B, so daß aus S· B = S . S' nach dem Grundsatze 3. endlich S' = S erkannt wird. Das eine so gefundene Element S spielt in den symbolischen Produkten die Rolle der Einheit; es wird demnach das "Einheitselement" genannt und auch symbolisch durch 1 bezeichnet. Wir wollen es hinfort an die erste Stelle setzen und also So = 1 nehmen: In der Gruppe Gm gibt es ein und nur ein "Einheitselement" So = 1, das die Eigenschaft besitrd, mit irgendeinem Sa die Ergebnisse So' Sa = Sa und Sa' So = Sa zu liefern. Weiter gibt es für irgendein Element Sa aus Gm zwei symbolisch durch S(~) und S;~ zu bezeichnende Elemente, die die Gleichungen: (2) S:~)· Sa= So = 1, Sa' S;:) = So = 1 befriedigen. A.us 1 = S:~i . Sa folgt unter A.nwendung des assoziativen Gesetzes mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (2): ", = 1 . S", S"(a)' (S a ' S"') 1 = S" S (a) (a) = (a) = S" (a)' (a)' so daß die beiden Elemente S:~) und B;~; einander gleich sind. Wir führen für sie auch das Symbol S:l ein und nennen dies Element S-;;l das zu Sa "inverse" Element: Zu jedem Elemente Sa gibt es in Gm ein eindeu-
tig bestimmtes "inverses" Element S;\ das mit S a zusammengesetzt, die Gleichungen S; 1 . S a = 1 und S a . B-;; 1 = 1 befriedigt; zu S-;; 1 ist umgekehrt Sa invers. Das kommutative Gesetz für die symbolischen Produkte gehörte nicht zu den Grundgesetzen, durch die wir den Begriff einer endlichen Gruppe erklärten. Es braucht demnach keineswegs immer Sb· Sa gleich Ba' Sb ZU sein. Besteht indessen für zwei besondere Elemente S,. un d S 1*
Einleituug, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
4
die Gleichung Sa' Sb = Sb' Sa' so heißen diese Elemente "vertauschbar" oder "kommutativ". Besteht für je zwei Elemente Sa und Sb von Gm die Regel Sa' Sb = Sb' Sa' so wird Gm eine "kommutatil!e" oder "Abelsche Gruppe" genannt.
§ 2. Begriff der Untergruppe. Eine Gruppe G,.., deren sämtliche Elemente in Gm enthalten sind, heißt eine "Untergruppe" von Gm' Das Einheitselement So = 1 bildet für sich eine Untergruppe Gi l und die Gesamtgruppe Gm ist der Erklärung entsprechend auch zu ihren Untergruppen zu rechnen. Wir bezeichnen die Elemente einer Untergruppe G,.. durch die Symbole To = So = 1, Tl I T 2 , •.• , T,.._l' Bedeutet U irgendein Element von Gm, so bezeichnen wir das System der ft verschiedenen Elemente:
To'U= U,
(1)
T 1 ·U,
T 2 ·U, ..., T,.._l·U
symbolisch durch G,..· U und nennen es eine "Nebengruppe" von G,... Die N ebengruppe GI-< . U bleibt, abgesehen von der Anordnung ihrer Elemente, unverändert, wenn wir U durch irgendein Element U' = Ta' U von G,t ' U ersetzen. Dies folgt aus der Tatsache, daß die Produkte T o ' Ta' Tl' Ta' T 2 • Ta' ..., T ,t _1 ' Ta wieder die G,.. bilden. Zwei Nebengruppen G,..' U1 und G,t ' U2 sind entweder gleich, GI-<' U1 = G,t U2 , d. h. sie bestehen abgesehen von der Anordnung aus den gleichen Elementen, oder sie haben kein Element gemein. Haben sie nämlich ein gemeinsames Element Ta U1 = T(1' U2, so ist U2 = (T(il Ta) . ~; also ist U2 in G,u U1 enthalten, so daß G,,' U2 = G,.. U1 folgt. Zu den Nebengruppen gehört auch G,.. selbst; denn wir erhalten die GI-< im Systeme (1) wieder, sooft U ein Element von GI-< ist. Alle von Glt verschiedenen Nebengruppen sind keine Gruppen, da keine von ihnen das Einheitselement enthält. Haben wir s verschiedene Nebengruppen Glt , G,..' ~, G,t ' U2 , •••, GI-< U. -1 bereits gebildet, so sind in den s ft verschiedenen Elementen derselben entweder bereits alle m Elemente von Gm erschöpft, oder es gibt noch ein weiteres Element U. in Gm und damit zugleich ft weitere Elemente, die eine neue Nebengruppe G,..' U. bilden. Da m endlich ist, so wird bei Fortsetzung dieses Prozesses die Gm durch t Nebengruppen erschöpft, wo die Anzahl t aus der Gleichung t . ft = m zu berechnen ist: 0
0
0
0
0
Die Ordnung ft der Untergruppe G,.. erweist sieh als ein Teiler von m; der Quotient t =
1; heißt der "Index" der Untergruppe G,..o
Es gilt der Satz:
Die Gesamtgruppe Gm läßt sich der Untergruppe G,.. entsprechend in t Nebengruppen zerlegen,' (2)
Gm = G,.. + Glt • U1 + Gp ' U2 +.00
+ G,..'
Ut _ lI
Untergruppen und Nebengruppen
5 wo 1, Ul1 U2 , ••• , Ut _ 1 geeignet gewählte Elemente von Gm sind. Durch die Pluszeichen in (2) soll zum Ausdruck kommen, daß wir Gm durch Zusammenfügung der Elemente aller t Nebengruppen erhalten. Aus den vorausgehenden Betrachtungen folgt noch: Die t Nebengntppen der GI-' sind, abgesehen von ihrer Anm'dnung, eindeutig bestimmt, d. h. unabhängig von der besonderen Auswahl der U. :Man kann die Bildung der Nebengruppen auch in der Art vollziehen, daß man an Stelle von (1):
(3)
V· Tl'
V· T o = V,
V· T 2 ,
•••,
V·
T!t_1
als eine Nebengruppe V· G!l erklärt, unter V irgendein Element aus Gm verstanden. Alle weiteren Schlüsse gestalten sich dann wie oben, und wir gelangen zu einer Zerlegung:
(4) von Gm' Eine spezielle Zerlegung dieser Art können wir aus (2) in der folgenden Gestalt ableiten:
(5)
+ U-1 1 • Gfl t Gm- -G !,
TT-1. U 2
G!, + ...
+
TT-l • U t- 1
G!"
Da nämlich G!l mit dem einzelnen Elemente Ta stets auch das inverse T;/ enthält und zu Ta' UfJ 'offenbar U(/· 1';1 invers ist, so besteht U;;l. G" aus allen zu den Elementen von GI" UfJ inversen Elementen und mag demnach die zu Gft' ~g inverse Nebengruppe heißen. Nun geht
jede Gruppe in sich selbst. über, wenn man jedes ihrer Elemente durch sein inverses ersetzt. Es ist demnach auf der rechten Seite von (5) jedes Element von Gm vertreten und jedes nur einmal, so daß wir durch die in (5) rechts stehende Summe tatsächlich die ganze Gm erschöpfen. Wir folgern noch den Satz: Irgend zwei Zerlegungen (2) und (4) stehen in der; Beziehung, daß bei der einen Zerlegztng, abgesehen von der Anordnung, die inversen Nebengruppen der anderen Zerlegung als Summenglieder auftreten. Zu einer einfachsten Art von Untergruppen führt folgende Überlegung: Mitte1st eines beliebigen Elementes S von Gm bilden wir die Reihe der gleichfalls in Gm enthaltenen Elemente:
(6)
S,
S· S
=
S2,
S· S . S
=
S3,
""
die wir abgekürzt als Potenzen von S schreiben. In dieser zunächst nicht abbrechenden Reihe können höchstens m verschiedene Elemente auftreten, so daß unter den Potenzen (6) notwendig solche auftreten, die gleich sind, d. h. die das gleiche Element von Gm darstellen. Es mag z. B. Sn= Sn + v sein, wo v > 0 ist, während die Sn + \ Sn + 2, . . ., Sn + v-1 noch alle von Sn verschieden sein sollen. Dann gilt:
0< v' < v,
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 6 woraus hervorgeht, daß Sv die niederste unter den Potenzen (6) ist, die das Einheitselement darstellt, Sv = So = 1. Es ergibt sich weiter, daß keine zwei unter den Potenzen:
(7) S, 8 2, 83, ' . " Sv-\ S· = So = 1 einander gleich sind (da man sonst durch Wiederholung der Überlegung eine Gleichung Sv' = 1 mit 0< v' < v rände), sowie daß Sund S·-l zu einander invers sind, desgleichen ß2 und S·-2, S3 und S·-3 usw. Verstehen wir unter So das Einheitselement und bezeichnen allgemein das zu Sn inverse Element durch S-", so sind in der unendlichen Reihe: (8) zwei Elemente stets und nur dann einander gleich, wenn ihre Exponenten mod v kongruent sind. Die Reihe (8) enthält demnach nur v verschiedene Elemente, als welche wir die Elemente (7) wählen können; bei Fortsetzung der Reihe (8) nach rechts und links hin tritt beständig periodische Wiederholung derselben Elemente in der gleichen Anordnung ein. Man sagt, S habe die "Periode v" oder sei "von der Periode v". Die v Elemente (7), d. h. die verschiedenen Potenzen von S, bilden für sich eine Untergruppe G", die eine "zyklische" Gruppe genannt wird; S heißt das "erzeugende Element" dieser G", insofern die gesamten Elemente der G" durch wiederholte Zusammensetzung von S mit sich selbst erzeugt werden können,
§ 3. Gleichberechtigte und ausgezeichnete Untergruppen. Sind Tund Vbeliebige Elemente aus Gm, so ist auch T' = V· T· V-I in Gm enthalten. Man sagt, das Element T' = V, T· V-I entstehe aus T durch "Transformation" mit Voder T gehe in T' durch Transformation mit V über. Da umgekehrt T = V-I. T' . V ist, so geht T' in T durch Transformation mit dem zu V inversen Elemente V-I über. Das Einheitselement geht bei jeder Transformation nur in sich selbst über. Sind Ta und Tb verschieden, so sind auch: (1) T~= V· Ta' V-I, T; = V· Tb' V-I verschieden. Sind Ta und Tb irgend zwei Elemente, die durch Transformation mit V in T~ und T; übergehen, so wird Tb' Ta durch V in T~ . T; transformiert. Es gilt nämlich zufolge des Assoziationsgesetzes: (2)
T;,
T~ =
(V. Tb' V-I).
CU. Ta'
V-I)
=
V· (Tb' Ta)' V-I,
Bilden die T o = 1, Tl, Ti' ..., TI'-_l eine Untergruppe GI'- von Gm, so bezeichnen wir mit V . GI'-' V-l das System der [L durch V transformierten Elemente T~ = V· Ta' V-I. Diese [L Elemente T~ sind alle voneinander verschieden, und man erkennt aus den eben ausgesprochenen Sätzen leicht, daß das System U· G,<' V-I alle Kennzeichen einer Gruppe
Zyklische Untergruppen. Gleichberechtigte Untergruppen
7
G~, = U· GIl · U-I der Ordnung!L hat. Wir sagen, diese Gruppe G~ gehe aus G,.. durch Transformation mit U hervor; umgekehrt ist natürlich wieder GI' = U-I. G~,· U. Zwei Untergruppen dieser Art G", G~, die durch Elemente von Gm ineinander transformierbar sind, heißen "innerhalb der Gruppe Gm gleichberechtigf' oder kurz "gleichberechtigt". Die Elemente der beiden Gruppen Gil und G~ sind umkehrbar eindeutig aufeinander bezogen, indem allgemein dem Elemente Ta von G,.. das Element T~ = U· Ta' U- I von G~ zugewiesen ist. Diese Beziehung ist eine solche, daß, wenn T(f' Ta = T y ist, zufolge (2) stets auch für die zugeordneten Elemente T~, T~ und T; die Gleichung T ß· T~ = T; gilt. Die Regel, nach der sich je zwei Elemente von GIl wie~er zu einem Elemente dieser Gruppe zusammensetzen, liefert also beim Ubergang zur G~, gerade genau die Regel für die gleichberechtigte Gruppe. Zwei Gruppen gleicher Ordnung, deren Elemente in der hiermit dargelegten Art umkehrbar eindeutig einander zugeordnet sind, heißen allgemein "isomorph". Da die wesentlichen Eigenschaften einer Gruppe aus dem Gesetze hervorgehen, nach dem sich je zwei Elemente zu einem dritten zusammensetzen, so stimmen zwei isomorphll Gruppen in ihren wesentlichen Eigenschaften überein. Wir notieren clen Satz: Zwei innerhalb
der Gm gleichberechtigte Untergruppen sind isomorph. Sind die Elemente T~ = U· Ta' U-I der mit Gil gleichberechtigten G~, abgesehen von der Reihenfolge, den Ta gleich, so ist G~ wieder die Gruppe GI" Wir bringen dies durch die Gleichungen:
(3)
U· GIl · U-I= G",
U· G"
=
GIl • U
zum Ausdruck und sagen, die Gruppe Gil sei mit dem Elemente U "vertauschbar". Offenbar ist GI' mit jedem ihrer eigenen Elemente vertauschbar. Allgemein besteht der Satz: Alle in Gm enthaltenen Elemente V, mit
denen Gil vertauschbar ist, bilden eine Gruppe GIl'~' in der Gil als Untergruppe enthalten ist. Aus: TT • G . U-I G11' U.2 •. GI" . u.-2 l -- G11 VI I' 1 folgt nämlich auf Grund des assoziativen Gesetzes, das man leicht auf die hier vorliegenden symbolischen Produkte überträgt:
(U2 • UI )
UI ) - l = U2 • (UI • GIl · Ui. l ) • U;t = U2 • GIl · U;l = Gil . Die Ordnung der Gruppe aller Elemente U, mit denen Gm vertausch bar ist, muß aber ein Vielfaches 1-"':: Ton !L sein, da G" in jener Gruppe als Untergruppe enthalten ist. Der Index dieser Gruppe G,U1J als Untergruppe der Gm ist : . Die GI'~ liefere als Zerlegnng von Gm in Nebengruppen: .
G~,. (V~·
Gm = G,,?: + VI' Gu~+ V 2 • GU1J +··· + V!..._l . G,l ,<, ~
8
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
Alle Elemente der einzelnen Nebengruppe Va' G,,~ liefern dann, zur Transformation von GI' verwendet, ein und dieselbe transformierte Gruppe G~a) = Va' GI" V; 1. Zwei verschiedene Nebengruppen liefern indessen verschiedene transformierte Gruppen. Wäre nämlich: Vb . GI" V b1 = Va' G,u' V;; 1, wäre G,u mit V;; 1 . Vb vertauschbar, und also würde V;; 1. Vb ein Element U von G1'1: sein, woraus die nicht zutreffende Gleichung Vb = Va . U folgen würde. Es ergibt sich also der Satz: Die Untergruppe GI' ist durch SO
die gesamten Elemente von Gm im ganzen in _t_ vm"schiedene gleichberech'/:
tigte und also isomorphe Untergruppen transformierbar. Wir nennen sie
ein "System von ~ gleichberechtigten Untergruppen". '/:
Ist insbesondere T = t, d. h. ist G u mit allen Elementen von Gm vertauschbar, so ist GJl nur mit sich ~elbst gleichberechtigt und heißt dann eine "ausgezeichnete Untergruppe" von Gm' Die nur aus So = 1 be" stehende Untergruppe G1 ist eine ausgezeichnete, desgleichen die aus allen Elementen bestehende Gm' Gibt es außer diesen bei den keine weiteren ausgezeichneten Untergruppen in Gm, so heißt die Gruppe Gm "einfach"; andernfalls nennt man sie ",zusammengesetzt". Sind G)., G", G~, ... irgendwelche Untergruppen von Gm, so nennt man das System aller Elemente, deren einzelnes in jeder dieser Gruppen enthalten ist, den "Durchschnitt" der Gruppen G l , GI" G und bezeichnet denselben durch D( G)., G u' G., ... ). Dieser Durchschnitt DCG)., G", G., ... ) bildet wieder eine Gruppe, die als Untergruppe in jeder der Gruppen G v GI" G., . .. enthalten ist. Gehören nämlich die Elemente' Sa und Sb dem Durchschnitt D an, so sind sie in jeder Gruppe Gl , GI" G., ... enthalten; also ist auch Sb' Sa in jeder Gruppe und damit im Durchschnitt enthalten. Gehen die Gruppen G)., G fl , G~, ... durch Transformation mit irgendeinem Elemente U von Gm in G~, G' , . I' G:, ... über, so geht der Durchschnitt DCG;., G,u' G., ... ) bei Transformation mit U in denjenigen der Gruppen G;', G~, G:, ... über. Ein System gleichberechtigter Untergruppen Gfl , G;" G~, ... geht bei einer solchen Transformation, abgesehen von der Anordnung der Gruppen, stets in sich selbst über. Hieraus folgt: Der Dttrchschnitt D( G", G~, G~, ... ) eines Systems gleichberechtigter Untergruppen ist eine ausgezeichnete Untergruppe von Gm'
v, ...
§ 4:. Sätze über ausgezeichnete Untergruppen. Ist die Untergruppe GI' des Index t und der Elemente T o = 1, Tl, T 2 , •••, TI'_l ausgezeichnet, so gilt für jedes Element Ua von Gm die Gleichung Gi-" Ua = Ua · GI" so daß die beiden Arten (2) und (4) S.4ff.
9
Ausgezeichnete Untergruppen
der Zerlegung von Gm in Nebengruppen im Falle einer ausgezeichneten GI' nicht verschieden sind. Nach S. 5 haben wir also jetzt nur ein System von Nebengruppen, dem mit der einzelnen Nebengruppe immer auch die ihr "inverse" Nebengruppe angehört. Wir nehmen nun an, daß das Element Ub • Ua in der zu Ue gehörenden Nebengruppe enthalten und also in der Gestalt Ub • Va = T· Ve darstellbar ist, wo T eines der Elemente von GI' ist. Dann werden sich irgend zwei Elemente Ta· Ua und T ß • Ub der beiden Nebengruppen G f1. Ua und GI'· Vb stets wieder zu einem Elemente der zu Ue gehörenden Nehengruppe zusammensetzen, wie mit Rücksicht auf Ub • Ta = T r • Ub aus
folgt. Wir bringen diese Tatsache durch die Gleichung zum Ausdruck:
(2) in die wir die den verschiedenen Kombinationen Ta' T'l, entsprechenden Gleichungen (1) zusammengefaßt denkerl. Die Gleichung (2) veranlaßt uns, die t zu einer ausgezeichneten Untergruppe des Index t gehörenden Nebengruppen G", GI'· Ul1 •••, G#. Ut _ 1 selbst wieder als "Elemente" aufzufassen, was nach dem allgemeinen Begriffe eines Elementes (S. 2) statthaft ist. Als solche nellen Elemente bezeichnen wir die Nebengruppen kurz dlll"ch Uo = GI" U1 = GI' . ~, U2 = G#· U2 , ••. , Ut _ 1 = G#. Ut _ 1 • Dann ist leicht zu zeigen, daß die U a selbst wieder eine "Gruppe" der Ordnung t bilden, die wir durch Gt bezeichnen. Irgend zwei Elemente U a und U b geben nämlich zufolge (2) bei Zusammensetzung das Element Ub • Ua = Ue , das wieder zu den t Elementen U gehört. Da ein symbolisches Produkt Ub • U a , wie bemerkt, die Bedeutung einer zusammenfassenden Bezeichnung für eine Anzahl symbolischer Produkte von Elementen der Grn hat, so überträgt sich das assoziative Gesetz auf die neuen Produkte. Sind endlich Ub und Ue irgend zwei verschiedene Elemente, ist also U b U e , so ist auch Ub Ue, und dann gehören auch Ua• Ub und Ua · Ue nicht der gleichen Nebengruppe an, da aus Ua· Vb = T· Ud' Va· Ue = T'· Ud SOfort auf zwei Gleichungen:
+
+
U,=T"·(U-l. U) bad'
Ue = T'" . (U-1. U) a cl
geschlossen würde, aus denen hervorginge, daß Ub und Ue entgegen der Annahme in der gleichen Nebengruppe enthalten wären. Aus Ub Ue folgt also Ua • Ub Ua • Ue , und ebenso beweist man, daß auch Ub • Ua Ue • Ua zutrifft. Damit ist der Satz gewonnen: Die eindeutig bestimmten Nebengruppen Uo= 1, Uu U 2 , ••• , Ut _ 1 einer ausgezeichneten Untergruppe G u des Index t bilden, aufs neue als Elemente aufgefaßt, eine Gruppe G t
+
+
+
10
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
der Ordnung t =
m , /L
die man die "Quotientengruppe" von Gm und GI<
nennt und durch GmlG,., bezeichnet. Die Gruppen Gm und G, sind l-lL-deutig aufeinander bezogen, indem dem einzelnen Elemente S = T· Ua von Gm das Element Va von G, entspricht, dem einzelnen Elemente Va von G"I aber die lL Elemente Ua' Tl . Ua T 2 • Ua' ..., TI<_I· Ua zugeordnet sind. Dabei entspricht, indem den Elementen Ta· Ua nnd T(t. Ub von Gm die Elemente Va und Vb von GI zngehören, zufolge (1) dem aus Ta' Ua und T 8 • Ur, zusammengesetzten Elemente (T{J' Ub) . (Ta· Ua) stets anch wiede'r das aus Va und Vb zusammengesetzte Element Vb' Va = Ue • Die Beziehung zwischen Gm und
G, ist also eine Verallgemeinerung des oben (S. 7) zwischen Gruppen gleicher Ordnung erklärten "Isomorphismns" (der hier für !L = 1 vorliegen würde); wir nennen die Gruppen Gm und Gt einander "l-lL-deutig homomorph". Es mögen nun die Elemente Wo = 1, W v W" ..., W 1 _ 1 von Gm eine Untergruppe G1 bilden. Diesen Elementen W mögen im ganzen s verschiedene Elemente V o = 1, Vii ..., V'_l von G, entsprechen. Sind den beiden Elementen Va und V{J (vielleicht außer anderen) die Elemente W" und Wb der G1 zugeordnet, so entspricht dem Elemente Wb' W a eindeutig d~ E~~ment V{J. Va' Da nun ~a in GJ:.. enthalten ist, so findet sich V (J. V", unter den Elementen V o, V 11 •••, V s -I: Jeder Untergruppe G;. von Gm entspricht eindeutig eine Untergruppe G. von Gt • Um zu prüfen, ob im Falle einer ausgezeichneten Untergruppe G1 vielleicht auch G, ausgezeichnet ist, bilden wir mit irgendeinem Elemente V von G, das Element U· Va·U-l. Ist Sein rJ entsprechendes Element, so ist S . W a· S-1 ein dem Elemente V . Va· U-1 zugeordnetes Element. Nun findet sich S· W a • S-1 in der ausgezeichneten Gi.) und also ist U· Va· V-I in G. enthalten: Einer ausgezeichneten Untergruppe G1 von
!!"b'
Gm entspricht wieder eine ausgezeichnete Untergruppe G, von Gt •
Alle in G;. und GI' gemeinsam enthaltenen Elemente bilden den Durchschnitt D( GM G,,) der beliebigen Untergruppe G;, und unserer ausgezeichneten GI" Ist G1 auch an der Nebengruppe GI" Ua beteiligt, so sei Va ein in Gi und GI'. Ua zugleich enthaltenes Element. Wir können die Nebengruppe dann auch in der Gestalt GI" Va schreiben, da nach S. 4 zur Bildung der einzelnen Nebengruppe das Element Ua durch irgendein in der Nebengruppe enthaltenes Element ersetzt werden kann. Mit D(GlI G,J und Va enthält G1 sogleich alle durch das symbolische Produkt D(GM G,.,)· Va zu bezeichnenden Elemente, die aus denen von D( G;.. GI') und Va zusammengesetzt sind. Hiermit sind aber auch die in GJ. und GI" l'a zugleich enthaltenen Elemente erschöpft. Soll nämlich neben 1'a auch T· Va in GJ. enthalten sein, so ist auch (T· Va)' V;;l = l'
11 in GJ. und also im Durchschnitt D(G)., GJ enthalten, so daß sich T· Va in de~ Tat in DCGl , G,.,) . Va findet. Nu~ ist aber Gl im ganzen an s Nebengruppen von GI" beteiligt. Bezeichnen wir diese Nebengruppen durch GI"' Gf , Vv ..., GI"' V._ t 1), so ergibt sich der Satz: Die Ordnung Sätze über ausgezeichnete Untergruppen
s der einer beliebigen Untergruppe GA. entsprechenden Untergruppe G, von Gt ist gleich dem Index, den die Gruppe DCG)., GI") als Untergruppe der G l besitzt, da sich die G). ihrer Untergruppe DCG., GI") entsprechend in die s Nebengruppen: (3) Gl = DCG)., GI") + DCGl , GI") V1 + D(G).! GI") V! + .. , .. , + D( G;., Gf ,) V._ 1 spaltet; die G. selbst besteht aus den Elementen 1, VI' V2'
• . .,
V. -1 .
Umgekehrt können der einzelnen Untergruppe G. von GI' bestehend aus den Elementen 1, VII V 2 , ••• , V._ t , mehrere Untergruppen Gl von Gm zugeordnet sein. Unter ihnen findet sich eine eindeutig bestimmte, die alle übrigen in sich enthält, und die wir deshalb als die "größte" der G. entsprechende Untergruppe von Gm bezeichnen. Sie hat die Ordnung p.s, enthält GI" in sich und ist durch die Zerlegung in Nebengruppen charakterisiert:
(4) GI"'= Gf , + GI"' VI + G,u' Vj + ... GI"' V._ l , wo Vo V2 , • ••, V._ t irgend (s - 1) den Vii V 2 , •••, V._ t entsprechende Elemente sind. Daß alle von den Nebengruppen in (4) rechts gelieferten Elemente wieder eine Gruppe bilden, folgt mit Rücksicht auf die Gruppeneigenschaft von G, leicht aus einer dem Ansatze (1) entsprechenden Gleichung. Ist G. ausgezeichnet, so erweist sich auch GI"S als eine ausgezeichnete Untergruppe. Ist nämlich Ta' Va irgendein Element aus GI"' und S ein beliebiges Element von G"" so ist: S· (Ta' Va)' S-l= (S· Ta' S-l). (8· Va' 8- 1 ). In der ersten Klammer rechts steht, so entspricht dem Produkte 8· Va' 8- 1 das Element V· Va' V-I = Vb' das sich in der ausgezeichneten G, findet. Diesem entsprechen aber die in GI" . Vb zusammenge faßten Elemente, unter denen sich demnach 8· Va' 8- 1 findet. Es gilt also: S·Va ·S-t=T·V, r b' und das in der zweiten Gleichung rechts stehende Element findet sich in
Gl"s: Einer beliebigen Untergruppe G. von GI entspricht als "größte"
1) Es. ist natürlich keineswegs gemeint, daß dies gerade die an erster Stelle unserer ursprünglichen Anordnung (2) S. 4 stehenden Nebengrnppen GI" Gf ,' U1 , ... , G/ I • sein sollen.
u,,-t
12
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
Untergruppe von Gm die durch (4) gegebene GI'S der Ordnung iLS, die eine ausgezeichnete Untergruppe der Gm ist, falls G. eine solche von Gt ist.
§
o.
Kompositionsreihe einer Gruppe Gm.
Eine ausgezeichnete Untergruppe GIl einer Ordnung iL < 'In heißt eine "größte ansgezeichnete Untergrnppe" von Gm, wenn außer Gm und GI' keine ausgezeichnete Untergruppe existiert, die GI' enthält und in Gm enthalten ist. Es besteht der Satz: GI' ist stets nnd nnr dann eine größte ansgezeichnete Untm-gruppe von Gm, wenn die Qnotientengruppe Gm/G,t = GI einfach ist. Einer ausgezeichneten Untergruppe G U8 mit 1 < s < t, die GI' enthält, gehört nämlich eine ausgezeichnete U~tergruppe G. von Gt zu, wie umgekehrt jeder ausgezeichneten G. mit 1 < s < t, die in GI enthalten ist, als "größte" zugehörige Untergruppe von Gm eine GI' enthaltende ausgezeichnete G,«. entspricht. Es sei weiterhin G u eine größte ausgezeichnete Untergruppe und G die zugehörige Quotientengruppe Gm/GI'. Einer von GI' verschiedeneij. ausgezeichneten Untergruppe G1 entspricht in Gt eine ausgezeichnete GSl die, da Gt einfach ist, entweder die Gi oder die Gt selbst ist. Im ersten Falle ist G. in G,« enthalten. Soll also auch Gl eine größte ausgezeichnete Untergruppe von Gm sein, so muß ihr die Gt entsprechen, die Gleichung (3) S. 11 hat demnach die Gestalt: (1)
+ D(G,., G,,). Vi + .. , + DCG).,
G). = D(G;" G,J
G,,) , V t _ u
d. h. sie ist rechtst-gliedrig. Wir wählen hier die V so, daß Va stets der N ebengruppe GI" Ua angehört. Nun liefert der Durchschnitt D(G).) a,J zweier ausgezeichneter G x, G't eine gleichfalls ausgezeichnete Untergruppe, da die Transformation irgendeines Elementes von DC Gl , G,J durch ein beliebiges S stets wieder ein in Gl und GI' und also in D( G)., G,J enthaltenes Element ergibt. Zur Bildung der Quotientengruppe G; = Gl/D( G l , GI') betrachten wir die t in (1) rechts stehenden Nebengruppen aufs neue als Elemente:
(2)
DCG 1 , GI')
=
Vo =],
D(G l
,
DCG;., G,J . V t _ i
GI') . Vi = Vi' =
. ., ,
Vt_i'
Indem wir die Elemente Ua und Va einander entsprechen lassen, werden die beiden Gruppen Gt und G; einander "isomorph", da ja aus Ub , Ua = U c stets wieder Vb . Va = V c folgt, Also ist auch G; einfach, und DC Gl , GI') erweist sich als "größte" ausgezeichnete Untergruppe von GA.' Da man diese Betrachtung auch in der Art ausführen kann, daß man G;. an Stelle von GI' voranstellt und GI' folgen läßt, so gilt der Satz: Sind G2 wld GI' zwei verschiedene größte ansgezeichnete Untergruppen von Gm, so ist der Durchschnitt D( G l , G,J eine größte ausgezeichnete Untergrnppe sowohl
13
Reihe der Zusammensetzung einer Gruppe Gm
von G;. als von GI'; die Quotientengruppen Gm/GI' und G;./D(G;., GI') sind isomorph, und dasselbe gilt von den Quotientengruppen Gm I G l und GI'ID(G)., GI')' Wir denken jetzt eine Reihe von Untergruppen Gm, G~ll' GI'., GI'3"" in der Art gewählt, daß jede eine größte ausgezeichnete Untergruppe in der voraufgehenden ist. Da hierbei m > [-1-1 > [-1-2 > ... gilt, so gelangt man nach einer endlichen Anzahl n von Schritten zur G1 und gewinnt die sich schließende Reihe: Gm, G1'1' Gfl., G,l"
(3)
..., GUn =
Gl I
in der die vorletzte Gruppe einfach ist. Die n zugehörigen Indizes:
(4)
:»~
1'1
= t
11
!L! = t.
1'2
",
[t~
[La
= t
3"
.•,
1'-,'-1 !Ln
= u
' n-1
=
t
'11
iefern als Produkt die Ordnung 'In = t 1 • t 2 • ta .•• t n der Gesamtgruppe. Die zugehörigen Quotientengruppen bezeichnen wir durch:
(5) G m /GI'1 = GI" Gf,jGI'. = GI.' Die Reihe (3) heißt eine "Reihe der Zusammensetzung" oder eine "Kompositionsreihe" der Gruppe Gm, die Reihe (4) heißt die zugehörige "lndexreihe". Neben (3) liege nun auch in: ~
~,~,~,~,
..
~~
eine Kompositionsreihe von Gm vor mit der zugehörigen Indexreihe: m
(7)
~
"''00.. =
,-- = 81 , "'1
S2'
~
7'1.3
= sa,
und den Quotientengruppen . (8)
Gm/Gl , = G •• ,
GdGl. = Gs"
G;jGl • = G s"
Dann gilt folgender Satz: Die Kompositionsreihen (3) und (6) unserer Gm haben stets gleiche Gliederanzahl (n 1), die nlndizes (4) sind, abgesehen von der Anordnung, den n Indizes (7) gleich, und es lassen sich die Q~tO tientengruppen (5) und (8) zu Paaren, Gt und Gs , so einander zuordnen, a /:1 daß Gt und Ga isomorph sind.
+
a
I
1t>J
Diesen Satz kann man durch vollstiindige Induktion beweisen. Ist
m eine Primzahl, so gibt es nur die eine Kompositionsreihe Gm, Gl I und dann ist der Satz selbstverständlich. Wir zerlegen nun bei beliebiger Ordnung m die Zahl m in ihre Pl'imfaktoren und zählen deren Anzahl ab. Wir nehmen den Satz als bereits bewiesen an für alle Ordnungen m', deren Primfaktorenanzahl mindestens um eine Einheit geringer ist als die von m. Dann läßt sich zeigen, daß der Satz auch noch für m gilt. Es ist nämlich der Durchschnitt D(G." GI') = GV1 eine größte ausgezeichnete Untergruppe sowohl in G,I, als G Z, ' Irgendeine Kompositions-
14
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
reihe G"l' G"., ..., Gi von G", liefert demnach in:
Gm, GI"I' GV" G" •• ..., G j und Gm. Gi" G"l' G"., ...• GI zwei Kompositionsreihen für Gm, wobei (nach dem vorausgesandten Satze) die Gruppen Gm/Gl"l und G1jG"1 isomorph sind und ebenso die Gruppen Gm/GAl und Gf.ljG"l' Nun sind:
G" l , G"" ..., 1
und
Gl"l' G"l' G"., ..., 1
Kompositionsreihen für GI"" Da (.ti mindestens einen Primfaktor weniger hat als m, so haben diese beiden Reihen der Annahme gemäß gleiche Gliederanzahlen, und es gilt für die Systeme der Quotientengruppen GI"JG,u.' Gl"jGI"•• ... und G/,jG"l' GvjGv., ... die im Satze behauptete Zusammenordnung zu Paaren. Insbesondere findet sich im ersten Systeme eine zu G,.,fGVl und also zu Gm/GA1 isomorphe Gruppe, während die übrigen (n - 2) Gruppen des Systems Gl"jG,•• , Gf.jG, •• , ... in irgendeinerAnordnung den Quotientengruppen G,,JG,,., G,jGv.' ... als isomorph zugewiesen sind. In derselben Art findet man im Systeme G;.jGA•• GJ.jGA•• . .. eine mit Gm/G1", isomorphe Gruppe, während jede der übrigen im Systeme G"JG"., G"jGv.' •.. und damit im Systeme Gf,JGI"., Gl"jGI"., ..., jedoch unter Ausschluß der bereits der Gruppe Gm/GA1 zugeordneten, ihre isomorphe findet. Damit ist der aufgestellte Satz bewiesen.
§ 6. Sätze über Abelsche Gruppen. Eine Gruppe Gm sollte als eine kommutative oder Abelsche bezeichnet werden, wenn jedes ihrer Elemente mit jedem anderen vertauschbar ist. Die Elemente einer solchen Gruppe seien So = 1, S1I S2"'" Sm_l' und die Periode von Sa werde durch va bezeichnet, so daß Vo = 1, Vi> 1, v 2 > 1, .. , gilt. Man bilde die Produkte: (1)
die sich auf alle Vi' V 2 '" v m _ i Kombinationen ganzzahliger Exponenten h beziehen, welche den in (1) rechts angegebenen Ungleichungen genügen. Im Systeme der Produkte (1) kommt jedes Element von Gm zur Darstellung, nämlich das Einheitselement z. B. dann, wenn alle h gleich 0 gesetzt werden, und das von So verschiedene Element Sa, wenn z. B. der Exponent ha = 1, alle übrigen haber = 0 gesetzt werden. Das Einheitselement möge nun im ganzen e Male unter den Produkten (1) auftreten, d. h. es möge im ganzen e verschiedene Kombinationen der Exponenten h geben, für welche das Produkt (1) gleich So = 1 wird. Wir belegen diese Kombinationen mit der besonderen Bezeichnung 'YJ1I 'YJ2' 'YJs, •.• , 'YJm-i und haben dann: '(2)
15
Abelsche Gruppen
Ist S ein beliebiges Element von Gm mit einer ersten Darstellung: m- 1 S = ftl. 8':'. Sh, ... Sh",-1 ( 3) 1 2 3 , so ergeben sich sofort e verschiedene Darstellungen von S in der Gestalt:
(4)
S
Si"~ + '/1. 1
=
S"'+ '12 ••• S"m-1 + rym-1 m-1
2
aus der Vertauschbarkeit der Elemente, wobei wir jeden Exponenten (ha + 'l'Ja) mod Va nötigenfalls auf seinen kleinsten nicht-negativen Rest reduziert denken. Ist andrerseits: S = Sh',. Sh'•. Sh', . .. ff"m-1 1
2
S
171-1
irgendeine Darstellung des fraglichen Elementes S, so ergibt sich wieder aus der Vertauschbarkeit der Elemente in: S. S-1 = S7(,- h, 1
•
s,(·-n,. SI/,-7I, ... Sk' m 2
-7I m m-l
3
-1
=
1
(nötigenfalls nach Reduktion der Exponenten) eine Darstellung (2) des Einheitselementes. Hieraus folgt, daß wir in den e verschiedenen Darstellungen (4) von S bereits alle von den Produkten (1) gelieferten Darstellungen von S vor uns haben: Jedes Element von Gm wird vom System der VI' Vi' .. v m _ 1 Produkte gerade so oft geliefert wie jedes andere, nämlich e Male, so daß die Gleichung gilt:
(5)
v1,v2,vS",vm_l=e·m.
Irgendein Primfaktor p von m l ) geht zufolge (5) in mindestens einer Va
der Zahlen V, etwa in Va' auf. Dann ist Sa P ein Element der Periode p. Ist p irgendein Primfaktor der Ordnung m der Abelschen Gruppe Gm' so gibt es in Gm sicher ein Element S der Periode p und damit eine zyklische Untergruppe Gp der Ordnung p. Es seien Sa' Sb' Sc, ... Elemente aus Gm von den Perioden va' Vb' V e, .. " und es sei v das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 1'a' Vb' V e, .. , Dann gilt für das aus Sa' Sb' SC,'" zusammengesetzte Element S: S' = (Sa' Sb' Sc .. ,)0 = S~ . S: '
sg ... = 1.
Also ist nach S. 5ff. die Periode von S ein Teiler von v: Die Periode des aus den Elementen Sa' Sb' SC,'" zusammengesetzten Elementes S=Sa,Sb,Se'" ist ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Perioden va' Vb' Ve, ," der zusammensetzenden Elemente. Die Ordnung m der Abelschen Gruppe sei als Produkt k· l zweier teilerfremder Zahlen k, 1 darstellbar. In Gm mögen k', durch Uo = 1, u;., Us, ... ) "u"'-l zu bezeichnende Elemente auftreten, deren Perioden in k aufgehen. Da nach dem eben bewiesenen Satze die Periode von U,,' Ub gleichfalls in k aufgeht, so gehört U,,' Ub zu den k: Elementen U. 1) Falls nichts weiter gesagt ist, gilt p als von 1 verschieden.
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 16 Die k' Elemente U bilden hiernach eine Gruppe Gk " die natürlich wieder eine Abelsche ist. Ebenso gelangen wir zu einer Abelschen Gruppe GI' aller l' in Gm enthaltenen Elemente Vo = 1, V u V 2 , ••• , V;'-l, deren Perioden in 1 aufgehen. Da keine Periode v > 1 in kund 1 zugleich aufgeht, so haben die Gruppen Gk , und GI' nur das Einheitselement gemein. Die Ordnung k' der Gk , ist teilerfremd gegen 1, und entsprechend ist l' teilerfremd gegen k. Hätten nämlich k' und leinen Primfaktor p gemein, so gäbe es in Gk , ein U der Periode p, die in 1 aufgeht und also teilerfremd gegen k ist. Dies würde der Erklärung der Elemente U widersprechen. Die k' ,l' Produkte Ua • Vb stellen lauter verschiedene Elemente von Gm dar. Soll nämlich Ua , Vb = ~. Va sein, so folgt:
(6) denn Uc-l, U", ist in Gil und Va' Vb-l in G! enthalten, beide Gruppen haben aber nur das Einheitselement gemein. Aus (6) aber ergibt sich sofort Ua = Ue , Vb = Va' Man kann weiter zeigen, daß jedes Element S von Gm als ein Produkt U",' Vb darstellbar ist. Da nämlich lc und 1 teilerfremd sind, so lassen sich nach I, 281 zwei ganze (positive oder negative) Zahlen x, 1 angeben, die die Gleichung kx + 11 = 1 befriedigen. Wir setzen dann:
(7) und folgern aus den beiden Gleichungen:
(SI2)k= Sm." = 1, (SkxY
=
Sm.x = 1,
daß SI2 ein Ua und Ski< ein Vb ist. In (7) liegt also die Darstellung S = Ua ' Vb vor. Die k' . Produkte U",' Vb bilden selbst wieder eine Gruppe der Ordnung If ·l', die wir Gk,.z' nennen und symbolisch als Produkt Gk ,· GI' bezeichnen können, Nach der eben beendeten Überlegung ist diese Gk,.z' mit der Gesamtgruppe Gm identisch. Es gilt also: k' .l' = m = 7c • 7,
r
und da wir bereits wissen, daß 7c' teilerfremd gegen 1 und l' teilerfremd gegen k ist, so folgt k' = k, l' = 1. Gestattet die Ordnung meiner Abelsehen Gruppe Gm die Zerlegung m = k . 1 in zwei teilerfremde Faktoren k,l, so gibt es in Gm genau keine Gk bildende Elemente U, deren Perioden k teilen, und genau 1 eine Gi bildende Elemente V, deren Perioden in 1 aufgehen; die Gesamtgruppe Gm aber ist in der Gestalt Gk • G! der Gruppe aller Elemente U,.· Vb darstellbat·, Da jedes Element einer in Gm enthaltenen Untergruppe GI' mit einem beliebigen Elemente S von Gm vertauschbar ist, so ist auch GI' mit S vertauschbar: Jede Untergruppe G,,, einer Abelsehen Gruppe Gm ist
17
Sätze über Abelsche Gruppen
"ausgezeichnet" und übrigens selbst wieder eine Abelsche Gruppe. Zur Auf· stellung der Quotientengruppe Gm/Gft führte die Gleichung (2) S. 9. Da im Falle unserer Abelscnen Gruppe aus jener Gleichung wegen der Vertauschbarkeit der Elemente
folgt, so gilt weiter der Satz: Die zu einer (ausgezeichneten) Untergruppe GI' einer Abelschen Gruppe Gm gehörende Quotientengruppe Gm/Gi-' = GI ist gleichfalls eine Abelsche Gruppe. 1st p" eine höchste in m aufgehende Primzahlpotenz, so setzen wir m = p"·l und finden in Gm eine Untergruppe der Ordnung pIT. Daran schließt sich der Satz: In einer Abelschen Gruppe, deren Ordnung die Primzahlpotenz p" ist, gibt es stets eine Untergruppe der Ordnung p"-l. Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt. Daß in einer Abelschen Gp stets eine Untergruppe Gp nachweisbar ist, steht bereits fest. Wir nehmen an, daß der Satz für die Ordnungen p2, ps, ... , p,,-l richtig ist, und können dann leicht zeigen, daß er auch für die Ordnung p" gilt. Die Abelsche G p " enthält nämlich eine (ausgezeichnete) Gp ' Die zugehörige Abelsche Gruppe Gp,,/Gp enthält der Annahme nach eine Untergruppe Gp "-2, da jene Quotientengruppe die Ordnung p,,-l hat. Nach S. 11 ff. entspricht dieser Gp " - 2 in der Gp(J eine Untergruppe der Ordnung p .p,,-2 = p"-t, womit der Beweis des Satzes beendet ist. Wir halten an der Zerlegung m = p"·l fest und multiplizieren nach S. 16 die eben nachgewiesene Gp"-l mit der G/. Es entsteht eine Gruppe 2
der Ordnung p,,-l.l
=
m. In jeder Abelschen Gruppe der Ori/;nung m,
p
die durch die Primzahl p teilbat· ist, gibt es eine Untergruppe der Ordnung .m, die in Gm ausgezeichnet enthalten ist; die zugehörige Quotientenp
gruppe
Gp ist als G'l'uppe von Primzahlordnung "zyklisch" und "einfach".
Selbstverständlich ist die Untergruppe der Ordnung .~ eine "größte" p ausgezeichnete Untergruppe. Durch wiederholte Anwendung dieses Ergebnisses folgt der Hauptsatz: Jede Indexreihe einer Abelschen Gruppe Gm besteht aus den gesamten Primfaktoren von m, wobei jeder Primfaktor so oft als Reihenglied auftritt, wie er in m enthalten ist; .jede Quotientengruppe ist als Grtlppe von Primzahlordnung zyklisch.
§ 7~ Permutationsgruppen. Es seien n gleichartige Dinge vorgelegt, die wir numerieren und mit ihren Nummern 1,2, 3, ... , n als Namen belegen. Eine erste Anordnung der Dinge ist durch 1, 2, 3, ... , n gegeben, irgendeine der n! F-ricke, Die ellipthchen. Funktionen 1I
2
18
Einleitung,· Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
Anordnungen sei durch al' a2 , as , ... , an bezeichnet, so daß die ak die Zahlen 1,2, 3, ... , n in der neuen Anordnung bedeuten. Unter der Operation S~ verstehen wir den gleichzeitigen Ersatz des Dinges 1 durch a l l 2 durch a2 usw., allgemein k durch ak • Wir nennen diese Operation Sa eine "Permutation" der n Dinge, so daß es den n! Anordnungen a l , a2 , ••• , an entsprechend n! verschiedene Permutationen der n Dinge gibt. Die Permutation Sa kann man symbolisch durch: (1) bezeichnen, wobei also dasjenige Ding a k , durch welches k ersetzt werden soll, genau unter k steht. Die in der oberen Zeile gewählte Anordnung ist unwesentlich; man kann Sa z. B. auch durch:
8
= a,
(3, 5, 1, ... , n - 3) ag , a6 , a 1 ,
.•• ,
an~3
bezeichnen, wenn nur in der ersten Zeile jedes der n Dinge und jedes nur einmal untergebracht ist und unter kallemal ak steht. Wir haben also im ganzen n! Schreibweisen für die einzelne Permutation zur Hand. Als abgekürzte Bezeichnung für Sa benutzen wir Sa = (k, a k ). Die Permutation So = (k, k), bei der also jedes Ding durch sich selbst ersetzt wird, heißt die "identische Permutation" und wird unten als Element der zu erklärenden Gruppen auch durch 1 bezeichnet, da sie das "Einheits element" dieser Gruppen liefern wird. Die Permutation (ak , k), bei der also umgekehrt a1 durch 1, a2 durch 2 usw. ersetzt wird, heißt zur Permutation Ba "invers" und wird durch 8;;1 bezeichnet. Üben wir auf die n Dinge zuerst die Permutation Sa = (k,a k ), so~ dann die Permutation Bb = (k, bk ) = (a k , ba ) aus, so ist das Ergebnis k wieder eine Permutation, nämlich offenbar (k, ba k ), die wir symbolisch durch das Produkt Sö· Sa bezeichnen:
(2)
Sb. S a=Cl;;,ba J=(l, k
2, ... ,n
bal , ba., ... , ban
).
Man kann auch sofort solche Produkte mit drei oder noch mehr Faktoren bilden, die stets wieder Permutationen darstellen, und findet, daß für diese Produkte das assoziative Gesetz gilt. Ist nämlich Sc = (k, ck) = (bak,Cb ak ) eine dritte Permutation, so gewinnt man als Permutation Sc' (Sb· 8 a):
(3) Andrerseits gilt:
Bc·Sö = (k,
Cbk) =
(ak , Cb a) ,
so daß (Sc . Bb)· Sa zu der schon in (3) gewonnenen Permutation zurückführt. Sind die beiden Permutationen Sb = (ak, ba) und Sc = (ak' cak ) verschieden, so sind stets auch Sb· Sa = (le, bak ) und Sc· Sa = (le, Ca) verk
19
Sätze über Permutationsgruppen
+
schieden, und ebenso erweist sich Ba ,Sb 8 a · 8 c als zutreffend. Es besteht hiernach der Satz: Alle n! Permutationen von n Dingen bilden, als "Elemente" o1tfgefaßt, eine Grttppe G n ! der Ordnung 121, die wir als eine Permutationsgruppe bezeichnen. Wir bestimmen weiter, daß die Benennung "Permutationsgruppe" auch auf alle in der G n ! enthaltenen Untergruppen übertragen werden soll, Ihnen gegenüber wird die Gesamtgruppe G n ! als die "symmetrische Permntationsgruppe" oder kurz die "symmetrische Gruppe" bezeichnet. Die Anzahl n der Dinge, die den Permutationen unterworfen werden, heißt der "Grad" der fraglichen Gruppen. Außer der symmetrischen Gruppe betrachten wir zunächst nur die "zyklischen" PermutationsgruppeIl. Die Bestimmung der Periode einer einzelnen Permutation 8 und damit der Ordnung der aus ihr zu erzeugenden zyklischen Permutationsgruppe geschieht durch folgende Betrachtung. Irgendeines der n Dinge /Xl möge bei Ausübung von 8 in 1X2 übergehen, d 2 aber in /xs, IXS in 1X4 usw. Die zu 8 inverse Permutation 8- 1 führt dann /X 2 in /Xl über, (.(3 in /X2' (.(4 in /xs usw. Man verfolge nun die Reihe /Xl' d 2 , (.(3' ••• , bis man zu einem Dinge /X~+1 gelangt, das schon einmal aufgetreten ist. Dann sind die -r Dinge /Xv /X2' /X3' . • . , /X~ verschieden, und /X N1 ist notwendig gleich /Xl' Wäre nämlich /X N ! = /X k mit k> 1, so würden auch die durch 8- 1 aus /X N1 und /X k hervorgehenden Dinge /X T und /Xk_1 gleich sein, und also wären die /Xli /X2' /XS' ••• , /X~ nicht alle voneinander verschieden. Die Dinge /X u /X2' /Xs, .•• , /X~ werden, wie man sagt, durch 8 "im Zyklus permutiert"; man nennt auch die Zusammenstellung /X u /X2' /XS' .•• , /xz einen ,,-r-gliedrigen Zyklus" der Permutation 8. Ist insbesondere y: = n, so ist 8 gegeben durch:
(4) Diese Permutation 8, die bei der in der ersten Zeile stehenden Anordnung jedes Ding durch das folgende, das letzte aber durch das erste ersetzt, heißt insbesondere eine "zyklische Permutation"; offenbar erzeugt sie eine zyklische Permutationsgruppe Gn der Ordnung n. Ist indessen -r < n, so erschöpfen die /Xl! /X2' ••• , /X~ noch nicht alle n Dinge. Es mögen dann die y:' Dinge /X~, /X~, •.• , /X~' einen zweiten -r'-gliedl'igen Zyklus von S bilden, so,vie vorkoillluenden Falles die a~i a~ einen -r". gliedl'igen Zyklus usw. Man hat nun:
a;, ... ,
(5) und findet auf diese Wei.se 8 in eine Anzahl von Zyklen aufgelöst. Es ist einleuchtend, daß die Periode v von 8 und damit die Ordnung v der aus 8 Ztt erzeugenden zyklischen Grttppe das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 1:', -r', -r", ... ist. 2*
20
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen
Die Bedeutung der Permutationsgruppen für die allgemeine Theorie der endlichen Gruppe wird durch folgenden Satz gekennzeichnet: Jede endliche Gruppe Grr, der Ordnung m ist als Permutationsgruppe, z. B. als eine solche m len Gmdes dm·stellbar. Man fasse nämlich die m "Elemente" So, 8 1 , S2' ... , Sm-l in dieser Reihenfolge als m Dinge, wie wir sie bisher durch 1,2,3, "', m bezeichneten, auf. Dem Elemente Sa der Gm möge dann die Permutation:
Sv 82 " •• , Sm_l ) ( 80' Sa'SO, 8 a ·Su 8 a ·S2 , · · · , Sa· 8 m_1 der m "Dinge" 8 zugeordnet sein. Alle m so zu gewinnenden Permutationen bilden dann die "Einkleidung" unserer Gm als einer Permutationsgruppe mten Grades.
§ 8. Transitivität und Primitivität der Permutationsgruppen. Es sei jetzt Gm eine beliebige unserer Permutationsgruppen n ten Grades. Zwei Dinge 0:1 und 0:2 heißen "durch Gm verbunden", wenn es eine Permutation 8 in Gm gibt, die 0: 1 durch 0: 2 ersetzt; die gleichfalls in Gm enthaltene Permutation 8- 1 ersetzt dann natürlich 0:2 durch 0:1 , Sind zwei Dinge durch Gm mit einem dritten verbunden, so sind sie auch untereinander durch Gm verbunden. Sind demnach 0:11 0:2 , " ' , O:t die gesamten mit 0:1 durch Gm verbundenen Dinge, so ist jedes dieser T Dinge mit jedem unter ihnen, aber mit keinem weiteren Dinge durch Gm verbunden. Ist T = n, d. h. ist jedes der n Dinge mit jedem anderen durch Gm verbunden, so heißt die Gruppe Gm "transitiv". Ist T < n, so können wir ein zweites System o:~, (X~, • • • , o:~, miteinander durch Gm verbundener Dinge aufstellen, sowie vorkommenden Falles ein drittes usw. Zwei aus verschiedenen Systemen entnommene Dinge sind dann nicht durch Gm verbunden. Die Gruppe Gm heißt jetzt "intransitiv", und die verschiedenen Systeme verbundener Dinge nennt man die ,,8ysteme der Intransitivität" von Gm' Die aus (4) S.19 zu erzeugende zyklische G" ist offenbar transitiv; dagegen erzeugt die Permutation (5) S. 19, die in mehr als einen Zyklus verfällt, eine intransitive zyklische Gw, bei der die verschiedenen Zyklen die Systeme der Intransitivität liefern. Der Begriff der Transitivität kann in folgender Art weiterentwickelt werden. Die Gruppe Gm heißt "k-fach transitiv", wenn es bei willkürlicher Auswahl der k Dinge (Xli (X2' ••• , (Xk in Gm stets eine Permutation:
( 1, 2, 3, ... , k, ... ) (Xv
(X2' (Xa, ••• , O:k' •••
gibt"die also die k Dinge 1,2, ... , k bzw. in die k willkürlich gewählten Dinge (Xv (X2' ••• , (Xk überführt. Es gibt dann sicher in Gm auch eine
Transitivität und Primitivität
21
Permutation, die k willkürlich gewählte Dinge a1 , a2 , ••• , ak bzw. in Je gleichfalls willkürlich gewählte ßl1 ß2' .•• , ßk überführt. Genauer wollen wir die Gm immer dann Je-fach transitiv nennen, wenn sie nicht auch noch (k + 1)-fach oder (k + 2)-fach usw. transitiv ist. Eine weitere Einteilung der transitiven Gruppen in zwei Arten geschieht nach folgendem Grundsatze. Es mögeu die n Dinge in eine Anzahl von Systemen, die wir symbolisch durch A, A', A", ... bezeichnen
(A), (A') ,
1
(1)
.,
in der Art zerlegbar sein, daß diese Zerlegung gegenüber jeder Permutation von Gm invariant ist. Die letzte Aussage soll folgenden Sinn haben. Es sollen, wenn die Anordnung (1) der n Dinge durch eine beliebige Permutation von Gm in die Anordnung:
(B), (E),
bl1 b2 , b~, b~,
b,n ... , b~·,
••• ,
.,
übergeht, die Systeme B, B', ... , als ganze betrachtet (d. h. abgesehen von irgendeiner Um ordnung der Dinge im einzelnen Systeme), wieder nur die Systeme A, A', ... in irgendeiner Anordnung darstellen. Da Gm transitiv sein sollte, so gibt es in Gm eine Permutation, die das Anfangsglied a~i) einer beliebigen unter den Reihen A(i) in b 1 überführt. Dann geht der Annahme zufolge das System A(i) der (j(i) Dinge a~i), a~), ... in das System B der (j Dinge bl1 b2, ... , b(J über. Wir ziehen hieraus die Folgerung: Die Anzahlen 0, 0', 0", ... der Dinge in den einzelnen Systemen (1) sind einander gleich 6 = 6' = 6" = .. " so daß (j ein Teiler des Gruppengrades n ist. Zwei solche Einteilungen der n Dinge können wir für jede Gm angeben, nämlich die für 6 = n und für (f = 1. Existieren keine weiteren Anordnungen (1), so heißt die transitive Gruppe Gm "primitiv"; gibt es indessen eine Anordnung (1) mit 1 < 6 < n, so wird Gm "imprimitiv" ge-
nannt, die!!:.. Systeme A, A', A", ... werden als "Systeme der Impri(i mitivitätf' bezeichnet. Es liege nun eine imprimitive Gruppe Gm vor. Zur Abkürzung schreiben wir .1'(i/,..
=
t, so daß
t ein von 1 und n verschiedener Teiler von
n ist. Da Gm transitiv ist, so findet sich in Gm eine Permutation T, die a1 in ein beliebiges Ding des ersten Systems A überführt. Diese Permutation transformiert dann das ganze System A in sich, was wir durch T(A) = A andeuten. Man sammle nun alle Permutationen :10 = 1,
22
Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen.
Tu T 2 , .•• , TI,_I von Gm' welche A in sich tiberführen. Da mit Ta und T(J auch T(i' Ta das Syste~ A in sich transformiert, so bilden die To = 1, Tl> T 2 , •.• , TI"_I eine in Gm enthaltene Untergn(ppe GI" die offenbar intransitiv ist und A zu einem ersten Systeme der Intransitivität hat. Da die Gm transitiv ist, so erhält sie weiter eine Permutation V;, die A in ein beliebiges System A{i) überführt, was durch V;(A) = ACi) angedeutet werde. Ist aber Sirgendeine Permutation der Gruppe Gm, für die gleichfalls S(A) = AC') zutrifft, so folgt ViI. S(A) = ViI(ACi») = A, so. daß ViI. S = T eine Permutation der GI" ist. Da andrerseits alle Permutationen Vi' T das System A in A (,) transformieren, so ergibt sich der Satz: Die Nebengruppe Vi' GI" besteht aus den gesamten Permutationen der Gm, die A in A(l) überführen, was wir durch V,.GI"(A) = A(') andeuten. Nun führt jede Permutation S von Gm das System A in eines der Systeme A, A', ... , A(t-I) über. Alle t Nebengruppen GI" VI' GI"' V 2 • GI""'" VI_I' GI" erschöpfen demnach die ganze Gm: In der Gleichung:
(2) Gm = GI" + Vi' GI' + V~. GI' + ... + Vt_I·GI" haben wir die der Untergruppe GI' entsprechende Zerlegung von Gm zn Nebengruppen vor uns,. es gilt demnach: (3) so daß t1m ein Vielfaches von n ist. Ist Teine beliebige Permutation von GI"' so gilt V;' T· V; 1 (A(i») =A(·). Andrerseits zeigt man leicht, daß jede Permutation S von G11I , die AU) in sich überführt, in die Gestalt S = V;' T· V;-I gesetzt werden kann. Nun haben wir in: G II , G~ = Vi' GI"' V 1 1, G;: = V 2 • GI" V 2 1, ... , G~-l) = V;-l' GI" V;--'t
die gesamten mit G" innerhalb Gm gleichberechtigten Untergruppen, die natürlich keinesweg~ alle verschieden zu sein brauchen, und die im Falle einer ausgezeichneten GI" sogar alle gleich sind. Es ergibt sich der Satz: Die t mit G"r gleichberechtigten Untergruppen G tt , G'p. , ... , G(I-l) sind den /I. t Systemen A, A', . .. , A (1-1) zugeordnet, indem die einzelne dieser Untergruppen alle Permutationen der Gm umfaßt, die das zugehörige System in sich transformieren. Insbesondere ergibt sich die Folgerung: Der Durchschnitt Gi = DCGI" G~, G:~, ... , G~-I») liefert eine in der Gm ausgezeichneteintransitive Untergruppe, die aus allen Permutationen besteht, welche jedes System (1) in sich überführen. Es . kann hierbei natürlich der Fall . vorliegen, daß GJ. die Untergruppe GI ist. . U mgekebrt gilt folgtmder Satz: Gibt es 'in einer transitiven Gruppe Gm eine intransitive ausge,zeichnete Un(ergruppe GA ein~17 Ordnung J.. > 1, I
23
Transitivität und Primitivität
so ist Gm imprimitiv, und die Systeme der lntransitivität von Gi. liefern für Gm Systeme der lmprimitivität. Die Systeme der Intransitivität von Gl , für welche wir die Bezeichnungen (1) heranziehen, sind eindeutig bestimmt, und insbesondere steht ihre Anzahl fest. Eine heliebige Permutation S aus Gm führe die Systeme A, A', A", ... in die oben durch B, B', B", ... bezeichneten Systeme über, deren Anzahl also gleich derjenigen der A, A', A", ... ist. Dann gelten die Gleichungen: G,(A(i» = ACi), S· G;.(ACi») = B(ACi» = BCi), A(i) = B-1(B"), aus denen S· Gl . S-l(B(i») = B(i) hervorgeht. Da nun G, eine ausgezeichnete Untergruppe ist, so folgt S· Gi.' 8- 1 = Gx und also G).(Bi») = B{l). Das einzelne B(i) stellt also wieder ein System durch G). verbundener Dinge vor oder mehrere solche Systeme. Die letztere Möglichkeit ist aber ausgeschlossen, da sonst aus den gesamten B, B', B Systeme der Intransitivität für G, in einer Anzahl hervorgehen würden, die größer als die Anzahl der A, A', A", ... wäre. Also sind die B, B', B" ... wieder die Systeme der Intransitivität von Gx und als solche mit den Systemen A, A', A", ..., von der Anordnung abgesehen, gleich. Die Zerlegung A, A', An ... aller n Dinge besitzt somit gegenüber jeder Permutation von Gm den oben bezeichneten Charakter der Invarianz. Da die Anzahl der Systeme > 1 (die Ordnung I ist > 1) sowie < n (G;. ist intransitiv) ist, so ist der Satz bewiesen. Als eine unmittelbare Folge notieren wir noch: Jede in einer primitiven Gruppe Gm enthaltene a~lsgezeichnete Untergruppe ist tmnsitiv. U
,
'"
11. Algebraische Gleichungen. 1) § 1. Symmetrische Funktionen. Unter g(zll Z2' ... , zn) verstehen wir eine rationale ganze Funktion der n unabhängigen Veränderlichen Zl' Z2' ... , Zn' die wir in der Gestalt: (1) mit von den Z unabhängigen Koeffizienten A geben. Die Gruppe Gnl sei die "symmetrische" Grnppe aller n! Permutationen der zlI Z2' ... , z,., Eine einzelne Permutation Sa = (Zk' zaJ der Gnl wird die Funktion (1) entweder in eine neue l!~unktion überführen oder in sich transformieren. Der letztere Fall charakterisiert sich dadurch, daß 9 (z a' Za , •.. , Za ) " n durch Umrechnung auf die Gestalt g(zlI Z2' . . . , zn) zurückgebracht werden kann und also mit 9 (ZlI Z2' ... , zn) bei unabhängig variablen 1) Neben den S.l genannten Werken vgl. man noch E. Landau "Einführung in die elementare ull.d analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale", Teil I (Leipzig 1918).
24
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
"identisch" ist, Falls jede der beiden Permutationen S a und Sb die Funktion (1) in sich transformieren, so geschieht dasselbe durch Sb' Sa' Die gesamten Permutationen, welche g(zlI Z2' . . . , zn) in sich transformieren, bilden eine in der G nl enthaltene Untergruppe, die GI' heiße und deren Index t = n! ist.
Zu Z2' ' , " Zn
/L
Alle !-" Permutationen der einzelnen zu GI< gehörenden Nebengruppe Vi' GI" transformieren g(Z1' Z2' .. " zn) in eine und dieselbe Funktion. Zwei aus verschiedenen Nebengruppen entnommene Permutationen Va und Vb ergeben indessen stets verschiedene Funktionen, da andernfalls Vbl, Va die Funktion (1) in sich transformieren würde und also der GI" angehören müßte, Die t Funktionen, in welche g(zu Z2' . , " zn) durch die t Permutationen Vo = 1, Vl1 V2 , . '" V;-1 übergeführt wird, heißen einander "konjugiert", und g (Z17 Z2' ' .. , zn) wird als eine "t-wertige" Funktion bezeichnet. Gegenüber irgendeiner Permutation der Gn I erfahren die t konjugierten Funktionen selbst eine Permutation. Eine einwertige Funktion, die also durch alle Permutationen der "symmetrischen" Gruppe G n! in sich transformiert wird, heißt eine "symmetrische Funktion". Ein Beispiel einer solchen Funktion ist:
g = Z1 + Z2 + Z3 + . , . + Z", Als Beispiel einer n-wertigen Funktion nennen wir g = Z1' Sie bleibt bei den Permutationen derjenigen G(n-1)1 unverändert, welche nur die Argumente Z2' zs, ' .. , zn auf alle Arten umstellt; die zugehörigen n konjugierten Funktionen sind Z17 Z2' .•. , zn' Als Beispiel einer n!-wertigen Funktion nennen wir endlich etwa: (2) g(Z17 Z2' •.. , Z,,) = Z1 + 2z2 + 3z3 + ' , , + nZn; sie wird nur durch die identische Permutation in sich transformiert. Die Funktion Z1 ' Z2 . Z3 ' . 'Zk bleibt bei den 7c! . (n - k)! Permutationen unverändert, welche die Zu Z2' ..• , Zk und ebenso die ßk+lI Zk+2' •.. , zn nur unter sich permutieren. Die Wertigkeit t dieser l!'unktion ist also, da sie durch alle übrigen Permutationen geändert wird:
t = k!.(~t~k)!
=
G)'
Die Summe der (;) zugehörigen konjugierten Funktionen ist symmetrisch und wird als die kiB symmetrische Grundfunktion 6 k bezeichnet. Den Zahlen k = 1, 2, ... , n entsprechend gewinnen wir im ganzen n symmetrische Grundfunktionen:
+ Z2 + Z3 + . , . + Z", ( ~2 ~ ~lZ2, + ,Z1~3 ~ ",. ~ Z~_1.Zn: 6 1 = Z1
(3)
6" = Zl' Z2' ß s ... Z",
25
Sätze über symmetrische Funktionen
Bildet man mit irgendeinem nicht-verschwindenden Faktor ao und einer Unbekannten z die Gleichung n ten Grades: ao(z -
Zl)(Z -Z2)(Z -
zs) ... (z - zn)
0,
=
deren n "Wurzeln" z die Zl' Z2' zs, ... , z" sind, und kleidet man diese Gleichung nach Ausmultiplikation der Klammern in die Gestalt: aoz"
+ a z n - + a z n - + ... + an = 1
1
2
2
0,
so ist bekanntlich die Beziehung der n Grundfunktionen (3) zu den Gleichungskoeffizienten gegeben durch:
(4) Der Hauptsatz der Theorie der symmetrischen Funktionen lautet Jede ganze symmetrische Pttnktion (1) kann umgerechnet werden in die Gestalt einer rationalen ganzen Punktion: der n symmetrischen Grltndfunktionen (3); dabei sind die Koeffizienten B lineare homogene, mit "ganzzahligen" Koeffizienten versehene Ausdrücke in den ursprünglichen Koeffizienten A der Punktion g, der Grad der in (5) rechtsstehenden Punktion in den 6 aber ist gleich dem größten im Ausdrucke (1) von g auftretenden Exponenten ,1..1) Nennen wir eine Funktion (1) mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten kurz eine "ganzzablige" Funktion, so folgt ins besondere der Satz: Eine ganze ganzzahlige symmetrische Punktion (1) läßt sich in eine ganze ganzzahlige Punktion der symmetrischen Grundfunktionen umrechnen, deren Grad in den ö gleich dem höchsten in (1) rechts auftretenden Exponenten list. Die bekanntesten Beispiele liefern die "Potenzsummen" der Zl' Z2' .•. , zn· Die vte Potenzsumme bezeichnen wir durch:
s,. = z; + z; + z;; + ... + z~.
(6)
Die Darstellung der niederst.en Potenzsummen als ganzer ganzzahliger Funktionen der ist:
°
(7)
+ 30s , O'i - 40i62 + 461 6s + 26; -
8a = 6~ 84 =
301°2
464 ,
1) Dieser Satz ist sehr bekannt, aber nicht ganz kurz beweisbar. Man findet den Nachweis in allen ausfiihrlicheren Lehrbüchern der Algebra, z. B. bei Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 160ff
Einleitung, Teil Ir: Galoissche Gleichungstheorie
26
Wir erinnern ferner noch an das "Dif(erenzenprodukt" der z:
(Z1 - Z2) (ZI - zs) ... (Z1 - zn) (Z2 - Zs) ..• (Z"'_1 - Zn)'
(8)
dessen Quadrat eine ganze ganzzahlige symmetrische Funktion der z und also eine ganze ganzzahlige Funktion der (j ist. Für die oben aufgestellte algebraische Gleichung n ten Grades, deren Wurzeln die Zu Z2' .•. , zn sind, ist dieses Quadrat die "Diskriminante", deren Verschwinden das Auftreten einer mindestens zweifachen Wurzel jener Gleichung anzeigt. Das Differenzenprodukt (8) selbst, d. h. die Quadratwurzel der Diskriminante, ist eine zweiwertige Funktion der ZlI Z2' ••. , Zn; sie wird durch alle "geraden" Permutationen in sich transformiert und erleidet gegenüber allen "ungeraden" Permutationen Zeichenwechsel. Die zur Funktion (8) gehörende Untergruppe ist die sogenannte "alternierende" Gruppe aller "geraden" Permutationen, die die Ordnung ~-n! hat und ausgezeichnet ist. 1)
§ 2. Tschirnhausentransformation. Eine erste Anwendung der entwickelten Sätze können wir bei Gelegenheit der nach Tschirnhausen benannten Transformation einer algebraischen Gleichung machen. Eine Gleichung ntenGrades sei durch:
(1) gegeben, ihre Wurzeln seien Zu Z2' zs, ... , zn' Es soll nun die Glei~ chung (1) für Z auf eine Gleichung für eine neue Unbekannte w umgerechnet werden, die mit Z durch die Beziehung:
(2) zusammenhängt, unter den c gegebene Konstante verstanden. Um diese Transformation zu vollziehen, berechnen wir die n Werte:
(3)
wk
=
Co
+ C1 Zk + c2ZZ + ... + Cn _ 1 z?-t,
die den n Wurzeln n ten Grades für w:
Zk
k
=
1,2, ... , n,
der Gleichung (1) entsprechen. Die Gleichung
(w - wt)(w - w2)(w - ws)···· (w - w n ) = 0, welche die n Wurzeln (3) hat, möge entwickelt so lauten:
+
w n + b1 w n - 1 b2 w n - 2 + ... + Du = 0; sie heißt eine "Tschirnhausenresolvente" der Gleichung (1), und die durch (2) gegebene Transformation wird als eine "Tschirnhausentransformation" der Gleichung (1) bezeichnet. Der einzelne Koeffizient b; ist eine ganze homogene Funktion i ten Grades der w ll w 2 , . . . , W n , die zugleich in diesen Größen symmetrisch ist. Tragen wir für dieWk die Ausdrücke (3) ein, so wird D; eine ganze
(4)
1) S. das Nähere ·bei Weber, a. a. O. Bd. I, S.537ft".
Tschirnhausentransformation. Hilfssatz über ganze Funktionen
27
symmetrische Funktion der Zv Z2' ... , zn' deren Koeffizienten ganze ganzzahlige homogene Ausdrücke i ten Grades der co, Cu •.. , 0n_1 sind. Da nun die symmetrischen Grundfunktionen der Z1' z;J, ... , zn' von den V Ofzeichen abgesehen, einfach die Koeffizienten a1 , a2 , ••• , an der Gleichung (1) sind, so folgt aus dem Hauptsatze von S.25 das Ergebnis: Die Koeffizienten b. der Tschirnhausenresolvente (4) sind rationale ganze Ftfnktionen der ursprünglichen Koeffizienten all a2 , . • ., an mit Koeffizienten, die ganze ganzzahlige homogene Ausdrücke i/en Grades der co, cll c2 , ••• , cn _ 1 sind.
§ 3. Hilfssatz über ganze Funktionen. Es seien n unabhängige Variable $11 Z2' za, ... , Z10 und m rationale ganze Funktionen der z: (1)
gl(ß1 , Z2'···' ß,,),
g2(ZU Z2' •.. , zn)' ... , gm(ZlI Z2' ... , ßn )
gegeben, unter mund n beliebige positive ganze Zahlen verstanden. Wir ordnen jede der Funktionen so, daß in ihr die Glieder, die in ihren variablen Bestandteilen Z~'·Z;2···z~n übereinstimmen, zusammengefaßt sind. Die einzelne Funktion verschwindet "identisch", wenn in der so geordneten Gestalt jeder Koeffizient gleich 0 ist. Wir nehmen an, daß keine der Funktionen (1) identisch verschwindet, daß also in jeder mindestens "ein Glied mit einem von 0 verschiedenen Koeffizienten auftritt. Dann gilt folgender, bald zur Verwendung kommender Satz: Sind m nicht identisch verschwindende ganze rationale Funktionen von n Variablen vorgelegt, so kann man auf unendlich viele Arten für die zll Z2' ... , zn ganze Zahlen eintragen, für welche keine der Funktionen verschwindet und also ihr P1·0dukt von 0 verschieden ist. Der Beweis kann leicht durch vollständige Induktion geführt w,erden. Ist zunächst n = 1, so haben wir m nicht identisch verschwindende ganze Funktionen gk(ß1 ) einer Variablen,. Für die einzelne gibt es nur eine beschränkte Anzahl von Werten ZlI die gk(ß1 ) = 0 befriedigen. Meiden wir also die endlich vielen Werte Zv für die mindestens eine der Funktionen gk (Z1) verschwindet, so bleiben in der Tat noch unendlich viele ganze Z~hlen Zv für die keine der Funktionen verschwindet. Unser Satz ist also für n = 1 richtig. Wir nehmen nun an, der Satz gelte auch noch für mehrere Variable, und zwar jedenfalls bis zum Falle von (n - 1) Variablen. Dann können wir leicht zeigen, daß er auch noch im nächstfolgenden Falle von n Variablen richtig ist, womit der allgemeine Beweis des Satzes beendet sein wird. Ordnen wir nämlich die Funktionen (1) nach Potenzen der letzten Variablen zn' so werden die Koeffizienten dieser Potenzen offenbar ganze Funktionen der (n - 1) Variablen ZlI Z2' ... , zn_1' Dabei können in der einzelnen Funktion gk diese "Koeffizienten" nicht alle identisch
28
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
verschwinden, da sonst gk (zu Z2' ••. , z,,) selbst identisch verschwinden würde. Der Annahme gemäß können wir dann auf unendlich viele Arten für die Z17 Z2' •.• , zn_1 solche ganze Zahlen eintragen, daß alle nicht identisch verschwindenden unter jenen "Koeffiziententl von 0 verschiedene Werte annehmen. Wir haben dann mit einem System nicht identisch verschwindender ganzer Funktionen der einzigen Variablen z". zu tun und können nach dem für n = 1 bereits bewiesenen Satze auf unendlich viele Arten für zn eine gleichfalls ganze Zahl so eintragen, daß keine dieser Funktionen verschwindet. Damit ist der Beweis unseres Satzes allgemein geführt.
§ 4. Fuuktionen in Zahlkörpern. Neben den Begriff der Gruppe tritt in der Theorie der algebraischen Gleichungen als nicht minder wichtig der von Dedekind 1) eingeführte Begriff des "Körpers". Ein System konstanter Zahlen heißt ein "Zahlkörper" oder kurz ein "Körper" 2), wenn mit irgendzwei Zahlen a, b des Systems stets auch (a b), Ca - b), a . b und, sofern b von 0 verschieden ist, auch a: b im System enthalten ist. Das Ergebnis irgendwelcher rationaler Rechnungen, angewandt auf Zahlen von ist also, wenn nur die Division durch 0 stets vermieden wird, immer wieder in enthalten. Die Zahlen von mögen irgendwelche reelle oder komplexe endliche Konstante sein; der zunächst mögliche Fall, daß nur aus der Zahl 0 besteht, soll übrigens ausgeschlossen sein. Nach der letzten Bemerkung enthält sicher eine von 0 verschiedene Zahl a, dann aber auch a: a = 1 und damit sogleich alle rationalen Zahlen. Die gesamten rationalen Zahlen bilden offenbar für sich einen Körper, der der "rat?:onale Körper" genannt wird und durch mbezeichnet werden möge. Der rationale Körper m ist, wie wir sahen, in jedem Zahlkörper ~ enthalten. Ein weiteres Beispiel eines Körpers liefert das System aller Zahlen (a + ib) mit rationalen a, b; wir nennen ferner den Körper aller reellen Zahlen sowie den alle übrigen Körper umfassenden Körper aller reellen und komplexen Zahlen. Es sei jetzt irgendein Zahlkörper vorgelegt. Eine rationale ganze Funktion einer Variablen z:
+
sr
sr,
sr
sr
sr
sr
sr
(1) heiße "eine Funktion im Körper
sr"
oder kurz eine "Funktion in
sr",
falls
1) Siehe die Angaben am Anfang des vierten 'l'eiles der vorliegenden Einleitung sowie über den Begriff des "Funktionenkörpers" die Ausführungen in 1,81. 2) Mit gewissen Eigenschaften ausgestattete Systeme unendlich vieler Zahlen oder Systeme unendlich vieler Funktionen werden weiterhin vielfach auftreten. Zur Bezeichnung solcher Systeme benutzen wir stets die Frakturschrift.
Zahlkörper
~
und Funktionen in
29
~
sr
die Koeffizienten ao, a l l a2 , •••, an Zahlen aus sind. Damit der "Grad" n in (1) wirklich vorliegt, gelte der Koeffizient ao des höchsten Gliedes stets als von 0 verschieden. Jede von 0 verschiedene Zahl aus gilt die Zahl 0 steht für hiernach als eine "Funktion nullten Grades in sich als "identisch verschwindende Funktion in Das Produkt zweier Funktionen in ist offenbar wieder eine Funktion in deren Grad gleich der Summe der Grade der Faktoren ist. Läßt sich andrerseits fez) als Produkt fez) = Xl (z) . X2 (z) zweier Funktionen in darstellen, so heißt jede der Funktionen Xl (z), X2(Z) ein "T~ler" der Funktion fez). Es ist einleuchtend, daß fez) jede Funktion nullten Grades in zum Teiler hat, und daß auch jedes Produkt von fez) und einer Funktion nullten Grades Teiler von fez) ist. Es seien fez) und g(z) zwei festgewählte Funktionen in deren Grade n und m > 0 seieu. 1) Man bilde alle Ausdrücke:
sr"; sr".
sr
sr,
sr
sr
sr
sr,
(2)
f(z)1/I(z)
+ g(z) rp(z),
unter rp(z) und 1/I(z) irgendwelche Funktionen in st verstanden. Es entsteht so ein System unendlich vieler Funktionen in das wir durch ts: bezeichnen, und das folgende Eigenschaften besitzt: 1. Die Summe und die Differenz zweier Funktionen aus ts: liefern
sr,
siets wieder Funktionen aus ts:; 2. Das Produkt einer Funktion aus stets wieder eine Funktion aus ts:.
ts:
und einer Funktion in
sr ist
sr,
Das System ts: enthält die mit 0 identische Funktion in die wir z. B. erhalten, wenn wir rp(z) mit fez) und 1/I(z) mit - g(z) identisch wählen. Auch die Funktionen fCz) und g(z) selbst kommen in ts: vor. Wir sehen von der mit 0 identischen Fnnktion ab und ordnen die übrigen Funktionen von ts: nach ihren Graden. Es sei v der hierbei auftretende "Minimal grad", der dann jedenfalls weder> m noch > n ist. Eine in ts: auftretende Funktion des Minimalgrades v sei X(z), die wir nötigenfalls nach Divi~üon durch den Koeffizienten des höchsten Gliedes in die Gestalt setzen: (3) Dann gilt der Satz: Die Funktion X(z) i~t durch fez) ttnd g(z) eindntiig bestimmt. Ist nämlich X' (z) = ZV + c~ ZV -1 + . .. irgendeine in ts: enthal-
tene Funktion des Minimalgrades v mit dem höchsten Koeffizienten 1, so ist X'(z) - X(z) eine in ts: enthaltene Funktion eines Grades< v, die demnach mit 0 identisch ist. Also ist Z' (z) mit X(z) identisch. 1) In dem Falle, daß mindestens eine der Funktionen fez), g(z) dem nullten Grade angehört, gestalten sich die folgeuden Entwicklungen elementar.
30
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
Da v < n ist, so können wir fez) durch X(z) teilen und ein Ergebnis der Gestalt:
(4)
fez)
=
q(z) x(z)
+ r(z)
aufstellen, wo q (z), der Quotient, und r(z), der Rest der Division, Funktionen in ~ sind und der Grad von r(z) kleiner als v ist. Ziehen wir die Darstellung: (5) xCz) = f(z) 1[' (z) + g(z)cp(z) der Funktion X als einer solchen des Systems
r(z)
und (5):
f(z)(l
=
=
q(z)1/J(z»
=
~
heran, so folgt aus (,4)
g(z)q(z)cp(z).
Die Funktion 1'CZ) ist hiernach gleichfalls in ~ enthalten; sie ist also als einem Grade< v angehörig mit 0 identisch, so daß fez) durch X(z) ohne Rest teilbar ist. Da man dieselbe Betrachtung auf g(z) anwenden kann, so ist X Cz) ein gemeinsamer Teiler von fez) und g(z). Aus (5) folgt weiter, daß jeder gemeinsame Teiler von fez) und g(z) ein Teiler von X(z) ist; die Funktion xCz) heißt demnach der "größte gemeinsame Teiler" von fez) und g(z): Die dU1'ch fez) und g(z) eindeutig bestimmte Funktion (3) des in ~ allftretenden Minimalgrades v ist der größte gemeinschaftliche
Teiler von fez) und g(z). Ist der Minimalgrad v = 1 und also x(z) mit 1 identisch, so heißen die beiden Funktionen fez) und g(z) "teilerfremd". Es folgt: Sind fez) ttnd g(z) zwei teilerfremde Funktionen in ~, so kann man cp(z) und 1/J(z) als Funktionen in ~ so 1,cählen, daß die Gleichung:
(6)
j'(z)1/J(z)
+ g(z)cp(z) =
1
identisch besteht; umgekehrt folgt aus dem Bestehen einer Gleichung (6), daß fez) und g(z) teilerfremd sind. Eine weitere wichtige Folgerung ist: Sind fCz), g(z) und h(z) Funktionen in ~, von denen die beiden ersten teilerfremd sind, und ist g(z)· h(z) durch fez) teilbar, so ist fez) ein Teiler von h(z). Für teilerfremde fez), g(z) folgt nämlich aus (6):
(7)
h(z)
=
fez) . 1/J(z)h(z)
+ g(z)h(z) . cp(z),
und da die beiden Glieder rechter Hand den Teiler fez) haben, so hat auch h(z) diesen Teiler. . Mit cp(z) und 1/J(z) genügen auch die beiden Funktionen:
(8)
CPl(Z)
=
cp(z)
+ m(z)f(z),
der identischen Gleichung (6), wobei mez) eine beliebige Funktion in ~ ist. Man kann über mez) so verfügen, daß CPl(Z) einen Grad< n erhält. Aus der identischen Gleichung:
f(z)1/J l (z)
=
1
=
g(z) CPl (z)
Sätze über Paare von Funktionen. Irreduzibilität
31
folgt dann, daß 'ljJl (z) einen Grad< m hat. Ist aber weiter tp~ (z) und 1/1~ (.z) irgend ein Funktionenpaar mit Graden< n bzw. < m, das die Gleichung (6) befriedigt, so folgt als identische Gleichung: f'(z) (1/1~ (z) - 1/11 (z)
=
9 (z) (tpl (z) - tp~ (z)).
Da f(z) und g(z) teilerfremd sind, so muß nach dem letzten Satze fez) ein Teiler von (tpl (z) - tp~ (z)) sein, so daß die letztere Funktion, da sie den Grad n vonf(z) nicht erreicht, mit 0 identisch ist. Es sind also tpl (z) und tp~ (z) identisch, und ebenso folgert man die Identität von 1/11 (z) und 1/1~ (z). Sind fez) und g(z) teilerfremd, so gibt es ein und nur ein Paar, die identische Gleichung (6) befriedigender Funktionen tp(z), 1/1(z), deren Grade bzw. < n und< m sind. Sind fez) und g(z) wieder teilerfremd und sind tp(z) und 1/1(z) zunächst zwei beliebige die Gleichung (6) erfüllende Funktionen, so folgt durch Multiplikation mit irgendeiner .b'unktion h(z) die Gleichung (7). Schreiben wir in ihr für h(z)tp(z) und h(z)1/1(z) gleich selbst wieder tp(z) und 1/1 (z), so folgt: (9) h(z) = f(z)1/1(z) + g(z)tp(z). Hieran schließe man die oben mit den Gleichungen (8) begonnene Betrachtung, die jetzt zu folgendem Ergebnisse führt: Sind fez) und g(z) teilerfremd, so kann man jede Funktion h(z) in St in der Gestalt (9) mit zwei Funktionen tp(z) und 1/1(z) in St da,rstellen, und zwar kann man die Funktionen tp (z) und 1/1 (z) in einer und nur einer Art so wählen, daß der Grad von tp(z) kleiner als der Grad n von fez) ist. Die Funktion fez) heißt "in ~ reduzibel", falls sie eine Funktion xCz) in St von einem Grade, der> 0 und< n ist, zum Teiler hat; besitzt sie keinen solchen Teiler, so heißt sie "in ~ irreduzibel". Der Zusatz "in ~" wird hierbei, wenn er sich von selbst versteht, gewöhnlich fortgelassen. Eine reduzibele Funktion fez) ist in das Produkt fez) = x(z) . Xl (z) zweier Funktionen in St spaltbar, deren Grade zwischen 0 und n liegen. Sie hai nämlich einen Teiler X(z), worauf wir vermittelst der Division von fez) durch X(z) einen Quotienten Xl (z) erhalten, der die Bedingungen des Satzes erfüllt. Ist ~ der Körper aller reellen Zahlen, so ist jede Funktion fez) eines Grades n > 2 reduzibel; sie ist nämlich in St in Faktoren ersten oder zweiten Grades spaltbar. Ist ~ der Körper aller Zahlen, so ist jede Funktion fez) eines Grades n> 1 reduzibel, nämlich in Faktoren ersten Grades zerlegbar. Diese Angaben folgen aus dem Fundamentaltheorem der 'Algebra. Es besteht der Satz: Ist von den beiden Funktionen fez) und g(z) in ~ die erste irreduzibel, so sind fez) und g(z) entweder teilerfremd oder gCz) hat den Teiler fez). Sind sie nämlich nicht teilerfremd, so haben sie einen
32
Einleitung, Teil II: Galoissche Gle.ichungstheorie
größten gemeinsamen Teiler x(z) eines Grades> 0, der als Teiler der irreduzibelen Funktion fCz), abgesehen von einem konstanten Faktor, nur fez) selbst sein kann. Einfache Folgerungen des letzten Satzes sind: Zwei
irreduzibele Funktionen fez) und g(z) sind entweder teilerfremd oder bis auf einen konstanten Faktor, der eine Zahl aus ~ ist, identisch. Sind sie nämlich nicht teilerfremd, so ist jede Funktion ein Teiler der anderen. Eine irreduzibele Funktion fez) ist stets teilerfremd zu ihrer Ableitung {'(z). Es kann nämlich (,Cz) als Funktion (n - lyen Grade" in ~ nicht durch fez) teilbar sein. Endlich besteht der Satz: Eine reclnzibele Ji'tmktion fCz) ist nnr auf eine Art als Produkt irrecluzibeler Funktionen darstellbar, abgesehen davon, daß jede irrednzibele Funktion noch um eine Zahl aus ~ als Faktor abgeändert tC erden mag. Haben wir nämlich für f'(z) die beidenZerlegungen: f1Cz), f~(z)··· f,Jz)
und
fhCZ)' [l2(Z)"" !I,,(z)
in irreduzibele Faktoren, so ist g1 (z) Teiler des Produktes von f1 (z) und f2(z) . fsCz) ... fp.(z). Da f1 (z) und 91 (z) irreduzibel sind, so sind diese Funktionen entweder (bis auf einen konstanten Faktor) identisch oder teilerfremd. Im letzteren Falle ist [11 (z) Teiler von f2(z) . (J(z) ... (,,(z). Indem man alsdann dieselbe Schlußweise für fl1 (z) und das Produkt f2 (z) . Cfs (z) .. " fp. (z» wiederholt und in derselben Weise fortfährt, ergibt sich, daß g1 Cz) notwendig unter den Faktoren h (z), f2 (z), ... , (u (z) auftritt. Die Fortsetzung des Beweises ist einleuchtend.
§ 5. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper
~.
Durch Nullsetzen einer Funktion fez) in ~ entsteht eine "Gleichung im Km'per ~(/ oder kurz eine "Gleichung in ,~" {(co) = 0, die "in ~ reduzibel" oder "irreduzibel" heißt, je nachdem die Funktion fCz) reduzibel oder irreduzibel ist. Der Zusatz "in ~" wird auch hier gewöhnlich fortgelassen. Zwei Gleichungen fCz) = 0 und [I(z) = 0 in ~ haben keine gemeinsame Lösung, falls fez) und g(z) teilerfremd sind. Haben diese Fnnktionen aber einen größten gemeinsamen Faktor xCz) eines Grades v > 0, so ist jede gemeinsame Wurzel der Gleichungen fez) = 0 und g(z) = 0 eine Wurzel der Gleichung xCz) = 0 und umgekehrt. Diese Angaben folgen leicht ans den Formeln (5)ff. von § 4, Die Sätze aus dem letzten Teile des vorigen Paragraphen ergeben nun unmittelbar einige wichtige Folgerungen: Eine irreduzl:bele Gleichung fez) = 0 hat nie eine mehrfache Wurzel. Hätte nämlich fCz) = 0 eine mehrfache Wurzel, so würde diese auch der Gleichung (,Cz) = 0 genügen, während doch fCz) und f' (z) teilerfremd sind. Ist von den beiden Glei-
chungen fCz) = 0 und g(z) = 0 die erste irreduzibel, so wird die zweite entweder durch keine oder durch alle Wurzeln der ersten befj"iedigt. Es
Begriff einer in bezug auf
algebraischen Zahl
33 sind nämlich fez) und g(z) entweder teilerfremd oder g(z) hat den Teiler fez). Als besonderer Fall ergibt sich hieraus: Zwei irreduzibele Gleichungen in haben entweder keine gemeinsame Wurzel, oder ihre linken Seiten sind, abgesehen von einem konstanten F(lktor, identisch. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Eine Zahl () heißt "algebraisch in bezug auf den Körpm· sr", wenn sie die Lös~ng einer Gleichung in ist. Ist diese Gleichung reduzibel, so hat ihre linke Seite mindestens einen irreduzibelen Faktor, der für () verschwindet. Dieser Faktor sei vom n ten Grade und liefere für () die irreduzibele Gleichung: ~
sr
sr
(1)
mit dem Koeffizienten 1 im höchsten Gliede. Mit Rücksicht auf den algebraische Zahl () genügt einer letzten Satz folgt: Jede in bezug auf eindeutig bestimmten irreduzibelen Gleichung (1) in Ist n = 1, so ist {j in enthalten. Ist n > 1, so bezeichnen wir die n Wurzeln von (1) durch (), ()', ()", ..., (){n-i); sie liefern n verschiedene in bezug auf algebraische Zahlen, die einander "konjugied' genannt werden, und von enthalten ist. denen keine in Unter der "Adjunktion" von () zum Körper versteht man den Zusatz von () sowie aller durch rationale Rechnungen aus () und Zahlen von berechenbarer Zahlen zum Körper ~; natürlich bleibt wieder die Division durch ausgeschlossen. Die Adjunktion führt zu einem durch (sr, ()) zu bezeichnenden Zahlkörper, der in sich enthält. Ist 8 in ~ enthalten, d. h. ist n = 1, so ist natürlich der Körper (sr, 8) kein anderer als selbst. Ist indessen n > 1, so tritt eine Erweiterung von em; dieser Fall wird uns demnach vornehmlich interessieren. Jede Zahl ~ des erweiterten Körpers (sr, ()) ist in der Gestalt:
sr
sr.
sr
sr
sr
sr
sr
°
sr
sr
sr
~=h(O)
(2)
9 (0)
sr
darstellbar, wo h (z) und g(z) Funktionen in sind, von denen die letztere für z = () nicht verschwindet. Da hiernach fez) und g(z) teilerfremd sind, so ist h(z) nach einem Satze von S. 31 in der Gestalt:
(3)
h(z)
=
f(z)1{J(z)
+ g(z)cp(z)
darstellbar. Dabei sind die Funktionen cp(z) und 1{J(z) eindeutig bestimmt, wenn wir fordern, daß cp(z) einen Grad< n hat und damit die Gestalt besitzt:
(4) 'Tragen wir nun in (3) insbesondere z = () ein, so wird f( () h (0) . finden: ~ = 9(0) = cp(()): Fricke, Die elliptischen Funktionen Ir
=
3
0, und wir
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
34
Wir sind damit zu dem Satze gelangt: Jede Zahl b des erweiterten Körpers (sr, ()) ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt:
b=
(5)
Co
+ c1 () + C2 ()2 + ... + cn _ 1 ()n-l
darstellbar (unter co, clI . . ., cn _ 1 Zahlen aus Sl' verstanden), und umgekehrt ist jeder Ausdruck (5) eine Zahl von (Sl', (). Es bleibt hierbei nur noch zu zeigen, daß die einzelne Zahl b nur auf eine Art in der Gestalt (5) darstellbar ist. Gäbe es nämlich noch eine zweite solche Darstellung b = c~ + c~ () + ..., so wäre:
(<'-1-
Cn_1)()n-l
+ ... + (C~ -
C2)()2+ (C~ -
+ (C~ c1)z + (Co C1)()
Co)
=
o.
Die Gleichung (C~_1 - C,,_l)zn-l + ... + (c~ co) = 0 hat demnach die Wurzel (), so daß die linksstehende Funktion den Teiler n ten Grades fez) hat und also notwendig die identisch verschwindende Funktion ist. Daraus folgt die Behauptung. Es besteht folgender Satz: Ist () algebraisch in bezug auf ~ und 81 algebraisch in bezug auf (Sl', (), so ist 81 auck algebraisch in bezug auf Sl'. Die Zahl 81 genügt einer Gleichung: g(z, 8) = Zl + d1 (8)ZI-1 + d2 (8)zl- 2 + ... + dj «() = 0, deren Koeffizienten als Zablen von (Sl', 8) die Gestalt (5) haben. Man bilde das Produkt: (6) k(z) = g(z, 8) . g(z, ()') . g(z, ()") ... g(z, ()(n-l)), dessen Faktoren man gewinnt, indem man in g(z, 8) für 8 der Reihe nach die n konjugierten Zablen 8, 8', 8", ..., 8(n-l), d. h. die n Wurzeln der irreduzibelen Gleichung (1) einträgt. In Abhängigkeit von 8, 8', ()", ..., 8(" - 1) ist h (z) eine symmetrische Funktion, deren "Koeffizienten" zufolge der Bauart der d "Funktionen in ~" sind. Nach dem Hauptsatze von S. 25 läßt sich diese symmetrische Funktion in eine rationale ganze Funktion der Koeffizienten (~11 a2 , •••, an von (1) umrechnen, wobei die Koeffizienten dieser Funktion der a ganzzahlige lineare homogene Verbindungen der eben genannten Funktionen il). ~ sind. Also ist k(z) selbst eine Funktion in Sl' und k(z) = 0 eine Gleichung in ~, deren Lösung ()1 ist.
§ 6. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen. Es seien 81 und ()2 zwei verschiedene in bezug auf Sl' algebraische Zahlen, die den beiden irreduzibelen Gleichungen f1 (z) = 0 und f2(z) = 0 der Grade n 1 und n 2 mit den höchsten Koeffizienten 1 genügen. Da die Koeffizienten von f2(z) in ~ und also in (~, ( 1) enthalten sind, so ist 82 auch in bezug auf (~, .01) algebraisch. Ist 82 in (~, ( 1 ) enthalten, so ergibt die Adjunktion von 82 zu (~, ()1) keine Erweiterung dieses Körpers. Ist aber 82 nicht· in (~, ( 1) enthalten, so liefert die Adjunktion von 02 ZU
35
Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen zu sr
einen durch (~, 811 ( 2) zu bezeichnenden erweiterten Körper, dessen sämtliche Zahlen durch 82 und Zahlen Co, Cl' C2 , ••• aus (~, ( 1) in der Gestalt: (1) Co + Cl 82 + C28~+ ... + Cn ._ 18'2.- l (~, ( 1)
darstellbar sind. 1) Trägt man für die C ihre Darstellungen (5) S. 34 ein, so nehmen die Zahlen von (~, 81 , ( 2) die Gestalt an:
(2)
J.. = 0, 1, ..., n 1 -
1, tt = 0, 1, .. " n 2 - 1,
sr
wo die c;.,.. Zahlen aus sind. Umgekehrt ist jeder Ausdruck (2) eine Zahl aus 81J ( 2), Offenbar gelangt man zu demselben Körper, wenn man zu ~ zunächst 82 und dann 81 adjungiert; man kann auch sagen, es entstehe (St, 81J ( 2) durch gleichzeitige Adjunktion von 81 und 82 , Diese Betrachtung ist leicht zu verallgemeinern. Sind sogleich 81 , 82 , ••• , 8m irgend m verschiedene in bezug auf algebraische Zahlen, die den irreduzibelen Gleichungen h (z) = 0, t;(z) = 0, ..., fmCz) = von den Graden n 1 , n 2 , ••• , n m und mit den höchsten Koeffizienten 1 genügen, so entsteht durch gleichzeitige Adjunktion aller m Zahlen ein durch (~, 811 82 , .••, 8m ) zu bezeichnender Körper, dessen Zahlen @ in der Gestalt:
(sr,
sr
(3)
@=.2'cJ.,.." ... 8~8~8; ..., 4,,((,11, ...
A=0,1, ...,nj -1,
°
tt=0,1, ... ,n2 -1, ...
sr (sr,
mit Koeffizienten c aus darstellbar sind. Zugleich liefert jeder Ausfil , 82 , ••. , 8m ). Die angenommene Verschiedruck (3) eine Zahl aus denheit der 81 , 82 , ••. , 8m schließt nicht aus, daß zwei oder mehrere dieser Größen oder vielleicht sogar alle der gleichen irreduzibelen Gleichung genügen und also konjugiert sind. Es ist ja nur die Verschiedenheit der 8, aber nicht diejenige der irreduzibelen Gleichungenf1 (z) = 0, f2(Z) = 0, . . ., fm (z) = gefordert. Es besteht nun der grundlegende Satz: Der durch Adjunktion einer beliebigen Anzahl in bezug auf algebraischer Zahlen 811 82 , • . ., 8m entstehende Körper 81 , 82 , •••, 8m ) ist auch herstellbar durch Adjunktion einer einzigen in bezug auf algebraischen Zahl '1/, die man in der Gestalt:
°
(sr,
sr
sr
(4) '1/ = 7'1 81 + 7'2 82+'" + 7'm 8m mit rationalen ganzen Zahlen 7' wählen kann. 1) Diese Darstellung ist übrigens nur dann eindeutig für die einzelne Zahl von (sr, 8t ,8.) bestimmt, wenn f. (z) auch im Körper (sr,8 t ) irreduzibel ist. Trifft dies nicht zu, so genügt 82 einer in (sr,8t ) irreduzibelen Gleichung eines Grades n 2 n., und wir haben dann für die einzelne Zahl von (sr, 8t , 8.) eine Darstellung (1) jedoch nur vom Grade (n 2-1) in 8. , die dann eindentig ist. Durch diesen Umstand wird die folgende Schlußreihe nicht berührt.
<
3*
36
Einleitung, Teil Il: Galoissche Gleichungstheorie
Zum Beweise erklären wir r; zunächst als lineare homogene Funktion von m unabhängigen Variablen Z17 z!, ... , Zm: (5)
r;
=
Zl ()1
+ Z2 ()2 + Zs ()s + ... + Em ()m'
Die Zahl ()1 ist eine unter n 1 voneinander verschiedenen konjugierten Zahlen ()17 ()~, .•. , ()i n,-I). Ebenso haben wir n2 voneinander verschiedene konjugierte Zahlen ()2' ();, ... , 8~n2-1) usw. Greift man je eine Zahl aus dem einzelnen der m Systeme konjugierter Zahlen heraus, so lassen sich auf diese Weise N = n 1 • n 2 • ns ... n m Kombinationen bilden, von denen keine zwei in der vorliegenden Anordnung dasselbe Zahlensystem darstellen. Man ersetze nun in (5) die ()17 82, ••• , 8m nach und nach durch alle N Kombinationen und gewinnt auf diese Weise N lineare Funktionen tj, r;', r;", ... , r;(N -1), von denen keine zwei identisch sind. Es stellen demnach die tN(N - 1) Differenzen: (6) r; -r;', rJ - r;", ... , 'Yj -rJ(N-l), rJ' -rJ", ... , rJ(N-2) -rJ{N-l) ebenso viele lineare Funktionen der Z17 Z2' ••• , zm dar, von denen keine einzige identisch verschwindet. Diese Funktionen genügen den Voraussetzungen des Satzes von S. 27. Nach jenem Satze können wir jetzt den Argumenten ZI' Z2' ••• , zm der {TI' (N - 1) Funktionen solche ganzzahlige Werte rl' r2' ... , r m erteilen, für welche keine der Funktionen (6) verschwindet. Für diese ganzzahligen Argumente r nehmen also die n linearen Funktionenr;, rJ', •.. , 'Yj(N-l) durchgängig voneinander verschiedene Werte an. Wir nennen diese Werte gleich selbst wieder rJ, rJ', ... , rJ{N -1); der erste der Werte soll die in (4) in Ansatz gebrachte Zahl sein. Wir bilden nun mit den N Zahlen rJ, rJ', ... , 'Yj(N-l) und einer Variablen Z die Funktion Nten Grades:
(7)
F(Z) = (Z - 'Yj)(Z -r;')(Z -rJ")'"
die entwickelt die Gestalt habe: (8) F(Z) = ZN + A 1 ZN-l
(Z -rJ(N-l»),
+ A 2 ZN-2 + ... + AN'
Die Koeffizienten .Al' A 2, ... , AN sind (abgesehen vom Vorzeichen) die symmetrischen Grundfunktionen der 'Yj, rJ', ... , rJ(N-l). Stellen wir die r;, rJ', ..., rJ(N-l) durch die () dar, so werden die Al' A 2 , •••, AN zu ganzen ganzzahligen Funktionen der Lösungen der m Gleichungen {I (z) = 0, (2(Z) = 0, ... , (mez) = 0, und zwar sind sie symmetrisch in den Wurzeln jeder einzelnen dieser Gleichungen. Wir rechnen nun die .A zunächst in rationale als symmetrische Funktionen der n 1 'Wurzeln von {I (z) = ganze Funktionen der Koeffizienten dieser Gleichung um, wobei nach dem Hauptsatze von S. 25 als "KoeffizientenU ganze ganzzahlige Funktionen auftreten, die wieder in den der Wurzeln von (2(Z) = 0, ... , (mez) = Wurzeln jeder dieser Gleichungen symmetrisch sind. Durch Wiederho~
°
°
Zurückführung mehrerer Adjunktionen auf eine einzige
37
lung dieses Verfahrens finden wir für die A schließlich ganze ganzzahlige Ausdrücke in den Koeffizienten aller Gleichungen f1 (z) = 0, f2(Z) = 0, . . ., fr" (z) = O. Es ist also F (Z) = 0 eine Gleichung in ~, so daß Tj als Lösung dieser Gleichung eine in bezug auf ~ algebraische Zahl ist; zugleich gilt tür die Ableitung F' (Z) die Ungleichung Fr (Tj) =1= 0, da die Gleichung FeZ) = 0 nur einfache Wurzeln hat. Es sei nun irgendeine Zahl @ des Körpers (~, 17 2 , ••• , 0m) gewählt. Indem wir in der Darstellung (3) dieser Zahl die 01> 2, ••• , 0m durch alle N Kombinationen der Wurzeln von fi(z) = 0, t~(z) = 0, ... , f m (z) = 0 ersetzen, mögen wir die den t), r/, ... , t)(N-i) zugeordneten Zahlen @, @', . . . , @(N-i) erhalten. Dann haben wir in:
°° °
(9)
}J~l Z-TJ
.@+ Z,FJZ) , .@'+ ... + ,_!!(Z)~ .@(N-i)=H(Z) -TJ Z-TJ(N-1)
eine ganze Funktion (N - Iren Grades von Z:
und zwar sind die BI' B 2 , ••. , B N ganze symmetrische Funktionen der Wurzeln jeder der tn Gleichungen fi(z) = 0, ... , fm(z) = U mit Koeffizienten, die dem Körper $I' angehören. Auf Grund des Hauptsatzes von S. 25 folgern wir hieraus wie oben, daß H(Z) eine "Funktion in ~" ist. Für Z = t) ergibt sich aus der Gleichung (9): ( 10)
@ =
!!01 Fr (TJ)'
°°
und da F'(t) =1= 0 ist, so gehört @ zufolge (10) dem Körper (~, t) an. Da andrerseits wegen (4) die Zahl t) in (sr, 1, 2, ••• , 0m) enthalten ist, so findet sich in diesem Körper überhaupt jede Zahl aus (Sf, t). Jede Zahl des einen der beiden Körper (.\'t, t) und (sr, 011 2 , ••• , 0m) ist demnach im anderen enthalten, so daß beide Körper, insofern sie das gleiche Zahlensystem darstellen, einander gleich zu nennen sind. Der aufgestellte Satz ist damit bewiesen. Aus dem letzten Satze von § 5 (S.34) ergibt sich noch eine Erweiterung des eben bewiesenen Satzes. Wir nehmen jetzt die Adjunktionen in der Art hintereinander vor, daß 2 algebraisch in bezug auf (~, ( 1 ) ist, ebenso Os in bezug auf (Sf, 0l' ( 2 ) usw. Dann ist nach dem Schlußsatze von § 5 zunächst 2 a1lch in bezug auf ~ algebraisch; ebenso ist, da wir (~, 01> ( 2) als einen Körper (Sf, t)1) darstellen können, naeh jenem Satze auch Os algebraisch in bezug auf Sf, und man folgert in derselben Weise weiter, daß überhaupt alle 011 2 , ••• , 0m in bezug auf sr algebraisch sind. Auch der durch diese Art der Adjunktion entstehende Körper (Sf, 1 , 2 , ••• , 0rn) ist als ein Körper (sr,11) mittelst einer einzigen Adjunktion herstellbar.
°
°°
°
°
°
38
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
§ 7. 'Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen. Die in bezug auf sr algebraische Zahl fJ genüge der irreduzibelen Gleichung n ten Grades (1) S.33. Dem Grade n dieser Gleichung entsprechend heißt der durch Adjunktion von fJ zu ~ entstehende Körper (~, fJ) ein algebraischer Körper n ten Grades in bezug auf~. Ist n = 1, so ist fJ in ~ enthalten, und die beiden Körper (sr, fJ) und ~ sind gleich, d. h. sie stellen das gleiche Zahlensystem dar, was wir durch (~, fJ) = zum Ausdruck bringen. Ist n > 1, so ist fJ nicht in ~ enthalten, und also enthält (sr, fJ) den Körper .~, ohne durch ihn erschöpft zu werden. Enthält allgemein ein Körper ~' einen Körper ~ in sich, ohne durch ihn erschöpft zu werden, so bringen wir dies Sachverhältnis durch ~'> ~ oder ~ <~' zum Ausdruck. In unserem Falle n> 1 gilt also (~, fJ) >~. Die n durchweg verschiedenen Lösungen der Gleichung fez) = 0 wurden als n "konjugierte" in bezug auf ~ algebraische Zahlen bezeichnet (S. 33). Statt der bisherigen Bezeichnung ist es fortan zweckmäßiger, diese n konjugierten Zahlen durch untere Indizes zu unterscheiden und sie durch fJ 1 = fJ, fJ 2 , fJ s, ... , fJn zu bezeichnen. Ihnen entsprechen n in bezug auf ~ algebraische Körper n ten Grades (~,fJ1)=(~' fJ), (~, fJ 2 ), •• · (~, fJn)' die n "konjugl:erte" Körper heißen. Die Zahlen dieser n Körper entsprechen einander umkehrbar eindeutig, indem wir einer Zahl:
sr
(1) von
(2)
~=CO+ClfJ+C2fJ2+"'+Cn_1fJn-1 (~,
fJ) im Körper ~i
=
(~, Co
fJ;) die Zahl:
+ Cl fJ i + C2 fJ: + ... + C,,_l fJF -1
mit den gleichen Koeffizienten C zuordnen. Je n solche Zahlen ~1 = ~, ~2' ~3' ••• , ~" sollen wieder "konjugiert" heißen. Wir setzen nun die Gleichung n ten Grades an, die ein solches System von n konjugierten Zahlen zu Wurzeln hat; sie lautet: (3) oder in ausgerechneter Gestalt: (4)
g(w) = w n + b1 w"-1+ b2 w"-2 + ...
+ b" =
O.
Nach dem Hauptsatze von S.25 sind die b1 , b2 , ••• , bn Zahlen in ~, also = 0 eine "Gleichung in sr". Mit Benutzung der Entwicklungen in § 2, S. 26, finden wir als Ergebnis: Je n konjugierte Zahlen ~1 = ~, ~2' •.• , ~n unserer n Körper sind die Wurzeln einer Gleichung n ten Grades (4) in ~, die eine Tschirnhausenresolvente der Gleichung fez) = 0 ist; umgekehrt liefert jede Tschirnhausentransformation (2), S. 26, mit Koeffizienten C aus ~ eine Resolvente g(w) = 0 von fez) = 0, deren Wurzeln n konjugierte Zahlen unserer Körper sind.
g(w)
39
Konjugierte Körper und Zahlen. Primitive und imprimitive Zahlen
Die Zerlegung der Funktion g(w) in ihre in ~ irreduzibelen Faktoren sei: (5) der Bestimmtheit halber seien die höchsten Koeffizienten der Faktoren alle gleich 1 genommen. Ein beliebiger dieser Faktoren liefert eine Gleichung h(w) = 0 in~, die durch mindestens ein ~i befriedigt wird. Dann wird das zugehörige 0i der Gleichung in ~: <ß) h(co + clZ + C2 Z2 + ... + cn _ 1 z n - 1 ) = 0 genügen. Da fez) = 0 irreduzibel ist, so wird nach S.32 die Gleichung (6) mit 0i sogleich alle n konjugierten Zahlen 0v O2 , ••• , On ZU Wurzeln haben. Daraus folgt umgekehrt, daß h(w) = 0 durch alle Zahlen ~11 ~2' .•• , ~n befriedigt wird. Andere Wurzeln kann die Gleichung h(w) = 0 nicht besitzen, da sie ein Bestandteil der Gleichung g(w) = 0 ist. Da h(w) irreduzibel ist, so hat die Gleichung h(w) = 0 nur einfache Wurzeln. Da diese Überlegung für jeden Faktor h(w) gilt, so ergibt sich: Die linke Seite 9 (w) der Tschirnhausenresolvente (4) ist die [kIB Potenz einer irreduzibelen Funktion h(w) vom Grade v, wo [k' v = n gilt; die n konjugierten Zahlen ~1l ~2' . . . , ~n sind zu je [k einander gleich und liefern v verschiedene Zahlen, die die Wurzeln der irreduzibelen Gleichung h(w) = 0 sind. Wir wollen nun die beiden Fälle, daß [k = 1 oder [k > 1 ist, unterscheiden und stellen folgende Erklärung auf: Eine Zahl ~ des Körpers (~, 0) heißt "primitiv" oder "imprimitiv", je nachdem die n konjugierten Zahlen ~l = ~, ~2' ••. , ~n alle verschieden sind oder nicht. Dann besteht der Satz: In einem Körper (~, 0) eines Grades n> 1 gibt es sicher unendlich viele primitive Zahlen. 1) Verstehen wir nämlich für den Augenblick unter ~ die Funktion: ~ = Zo
+ Zl () + Z2()2 + ... + zn_1 on-1
der n unabhängigen Variablen zo' Zll ~i die Funktion: 1'.= Z + Z 0.+ z ()7 \:', 0 1; 2 1,
•.. ,
zn_l und entsprechend unter
+ ... + Z
n-1
O'!-l a
,
so sind keine zwei dieser Funktionen ~l = ~, ~2' ••• , ~.. identisch, da z. B. ihre Koeffizienten von Zl durchweg verschieden sind. Von den tn(n -1) Funktionen (~1 = ~2)' (~l = ~3)' ... , (~l = ~..), (~2 ~3)' ... , (~"-l ~n) verschwindet also keine identisch. Durch Wiederholung der Überlegung von S. 27 findet man demnach, daß man die zo, Zu .• " zn_l auf unendlich viele Arten als rationale ganze Zahlen so wählen kann, daß n konjugierte, durchweg verschiedene Zahlen ~l' ~2' . , . , ~n unserer n Zahlkörper gewonnen werden. =
=
1) Für n = 1 würde die Unterscheiduug primitiver und imprimitiver Zahlen ihre Bedeutung verlieren.
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
40
Es sei jetzt ~ = ~l primitiv und also g' (~) =F O. Ferner sei 'YJ = n, irgend eine Zahl aus (sr, 8) und 1)17 1)2' •• . ,1)11 die zugehörigen n konjugierten Zahlen. Wir bilden den Ansatz:
(7)
g(wt1) w - ~1 1
..L I
_J!(w)_1) W
-~.
2
+ ... + J!(w)~n 1) W -
= 11
R(w)
und erkennen genau wie S. 37 auf Grund des Hauptsatzes von S. 25 in R(w) eine Funktion (n - l)ton Grades in sr. Setzen wir w = ~1 = ~ in (7) ein, so folgt: 11
(8)
=
.
H(~)
----
g'(t) ,
so daß jede Zahl 1) aus (sr, 8) im Körper (sr, s) enthalten ist. Da umgekehrt S in (sr, 8) enthalten ist, so gilt (sr, ~) = (sr, 8). Durch Adjunktion irgendeiner primitiven Zahl ~ von (sr, 8) zum Körper sr ergibt sich stets der gesamte Körper (sr, 8) wieder. Ist hingegen ~ imprimitiv, so ist (sr, s) ein Körper eines Grades v < n, dessen sämtliche Zahlen irreduzibelen Gleichungen mit Graden < v genügen. In diesem Körper kann also keine primitive Zahl von (sr, 8) enthalten sein: Für eine imprimitive Zahl von (sr, 8) gilt (sr, ~) < (sr, 8), d. h. (sr, ~) ist in (sr, 8) enthalten, erschöpft aber den Körper (sr, 8) noch nicht. Der Körper (sr, 8) möge selbst "primitiv" oder "imprimitiv" heißen, je nachdem seine sämtlichen Zahlen (außer denen, die den Körper sr bilden) primitiv sind oder neben primitiven auch im primitive vorkommen. Ist ~ eine noch nicht in sr enthaltene imprimitive Zahl von (sr, 8), so genügt der Körper sr' = (sr, s) der Bedingung sr < sr' < (sr, 8). Dieser Satz ist nmkehrbar: Jeder die Bedingung sr< sr' < (sr, 8) erfüllende Körpm' sr', der also sr enthält und in (sr, 8) enthalten ist, ohne mit einem dieser Körper gleich zu sein, ist ein Körper (sr, s), der WttS sr durch Adjunktion einer imprimitiven Zahl ~ von (sr, 8) gewinnbar ist. Die Existenz eines solchen Körpers sr' ist also charakteristisch für einen imprimitiven Körper (sr, 8). Zum Beweise verstehen wir nnter ~l eine nicht in sr enthaltene Zahl von sr'. Dann gilt (sr, Sl) < sr', und ~l ist eine imprimitive Zahl von (sr, 8), so daß der Grad V 1 von (sr, Sl) die Ungleichung V 1 < n befriedigt. Ist (sr, Sl) = sr', so ist der Satz bewiesen. Ist (,~, Sl) < sr', so sei ~ eine nicht in (sr, ~l) enthaltene Zahl von sr'. Nach S. 35ft'. können wir dann eine gleichfalls in sr' enthaltene Zahl ~2 so wählen, daß (sr, s17 ~;) = (sr, S2) wird. Der Körper (sr,62) befriedigt die Bedingung (sr, 62) < ~', und sein Grad "2 liegt im Intervall V1 < V 2 < n. Ist auch jetzt noch nicht (sr, S2) = sr', so können wir in derselben Art einen Körper (sr, 63) bilden, für den (sr, 63) < sr' gilt, und dessen Grad Vs im Intervalle v 2 < v s < n liegt. Dieser Prozeß führt nach endlich vielen Schritten zum Ziele, d. h. zu einem Körper (sr, ~;), der gleich sr' ist; denn die Grade v sind ganze po-
s
Primitive und imprimitive Körper. Galoissche Körper
41
sitive' Zahlen, von denen jede größer als die vorhergehende ist, und die alle< n sind. Einige bemerkenswerte Folgerungen sind noch: Ein Körper (~, 0) 'vom Primzahlgrade n ist stets prim#iv. Der Grad v der irreduzibelen Gleichung für eine imprimitive Zahl aus (~, 0) ist nämlich ein von n selbst verschiedener Teiler von n; im B~alle einer Primzahl n haben wir also nur 1) = 1. Ein die Bedingung:
(9)
~
< ~' < (~, 0)
er{üllender Körper ~' ist, {alls er vom nten Grade ist, notwendig gleich (~, ()). Wie soeben stellen wir nämlich ~' als einen Körper (~, ~) dar und haben in b wegen des Grades n von S!;' = (~, ~) eine primitive Zahl von (~, 0).
§ 8. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen. 1 ) Wie bisher seien (~, 0) = (~, ( 1 ), (~, ( 2 ), ••• , (st:, On) konjugierte in bezug auf ~ algebraische Körper n ten Grades. Soll 0i in (st,O) enthalten sein, so ist hierfiir hinreichend und notwendig das Bestehen einer Gleichung: (1) Bi = (;;0 cil 0+ C;202 + ... + ci,n_l O"-l,
+
wo die c hier und weiterhin stets Zahlen aus ~ sind. Es ist dann (~, 0;) < (~, 8) und also nach dem Schlußsatze von § 7 genauer (~, 0i) = (~, 8), so daß aus (1) umgekehrt auch die Gültigkeit einer entsprechenden Darstellung von 8 in (), entspringt. Hieran schließt, sich folgende Erklärung: Der Körpm' n ten Grades (sr, 0) heißt ein "Galoisscher Körper" oder "Normalkörper", falls er mit seinen sämtlichen lwnjugiA3rten Körpern gleich ist. Ein notwendiges und hinreichendes Kennzeichen für einen Normalkörper ist also, daß sich alle mit () = ()l konjugierten Zahlen 0i in der Gestalt (1) durch () darstellen lassen. Es wird sich dann in entsprechender Gestalt überhaupt jedes ()i in jedem ()k darstellen lassen. Einleuchtend ist der Satz: Ein Galoisscher Körper enthält mit irgendeiner Zahl ~ stets alle mit ~ konjugierten Zahlen in sich. Ein den Körper (~, B) umfassender Galoisscher Körper wird neben () = ()1 auch die konjugierten Zahlen O2 , 0a, •.. , B" und damit den Körper (~, ()1' B2 , •.• , Bn) enthalten. Es gilt aber der Satz: Der Körper (~, ()l' ()2' ... , ()n) ist selbst ein Ga,zoisscher Körper und ist demnach als 1) Die folgenden Entwicklungen geben die Grundzüge der Galoisschen Gleichungstheorie in der neueren auf den Körperbegriff aufgebauten Gestalt. Galois' Werke sind im Zusammenhang von Liouville im Bd.11 des Journ. de math. (1846) veröffentlicht, eine deutsche Ausgabe ist von M a s er veranstaltet (Berlin, 1889).
42
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
der "kleinste" den gegebenen Körper (~, 0) enthaltende Galoissche Körper zu bezeichnen. Nach S. 35 können wir nämlich den Körper (sr, 0u f)2' ..• , On) auch als einen Körper (~, 'YJ) durch Adjunktion einer einzigen Zahl:
(2)
'YJ
=
°+
1'1 1
7'2f)2
+ ... + 7'n On
mit rationalen ganzen Koeffizienten l' herstellen. Die Zahl 'YJ genügt einer Gleichung in sr vom Grade N = n", deren sämtliche Wurzeln in der Gestalt:
(3)
7'1°,
+ j)2 0k + ... + 7'rA
enthalten sind. 1) Wir nennen jetzt den irreduzibelen Bestandteil dieser Gleichung, welcher 'YJ als Wurzel hat, F(Z) = 0 und bezeichnen den Grad dieser in ~ irreduzibelen Gleichung durch m. Da alle Wurzeln dieser Gleichung die Gestalt (3) hal)en, so sind sie in (sr, 17 f)2' ... , 0,.) enthalten, d. h. alle mit 'YJ konjugierten Zahlen gehören wieder dem Körper (sr, 'YJ) an, so daß (sr, 'YJ) = (sr, 17 2 , ••• , On) tatsächlich ein Normalkörper ist. Es mag noch bemerkt werden, daß sich die eben gewonnenen Ergebnisse von der Voraussetzung der Irreduzibilität der Gleichung fez) = 0 frei machen lassen. Den Vorbedingungen der Entwicklung von S. 35 ff. entsprechend haben wir nur zu fordern, daß die n lVwrzeln 0p 2 , ••• , 0" der Gleichung fez) = 0 durchwe,q verschieden sind. Wir gewinnen zllfolge jener Entwicklungen auch dann in (sr,ou 2 , • . . , On) = (sr, 'YJ) einen Galoisschen Körper, nur ist er nicht mehr notwendig der "kleinste", den Körper (sr, 0) umfassende Galoissche Körper. Doch werden wir weiterhin immer nur beiläufig auf den Fall einer reduzibelen Gleichung fez) = 0 eingehen. Bezeichnen wir jetzt allgemein die Zahlen des Galoisschen Körpers (sr, 17 2 , ••• , On) durch 'YJ, so ist jede von ihnen in der Gestalt:
°
°°
°
(4)
°°
'YJ
=
R(Oll
°
2 , ••• ,
°
On)
als rationale Funktion der 0u f)2' .•. , On mit Koeffizienten aus sr darstellbar. Jede primitive Zahl (4) des Galoisschen Körpers genügt einer irredw!ibelen Gleichung in sr vom Grade m: (5) F(Z) = 0, die man als eine "Galoissche Resolvente" der Gleichung fez) = 0 bezeichnet, mag die letztere Gleichung irreduzibel oder reduzibel sein. Betrachtet man den Körper '(sr, 'YJ) ohne Beziehung auf (sr, 0) und die Gleichung fez) = 0 als einen durch Adjunktion von 'YJ zu sr entstehenden "Normalkörper", so erscheint es zweckmäßiger, die Gleichung (5) als eine "Nor1) Zur Vorbereitung der hier vorliegenden Uberlegung darauf aufmerksam gemacht, daß nur die damals 0" 0., Zahlen verschieden sein sollten, daß dagegen die Gleichungen ... , 4" (z) = 0 (wie es hier zutrifft) alle einander gleich sein
wurde bereits S. 35 ... , 0", genannten f, (z) = 0, f. (z) = 0, dürfen.
43
Galoissche Resolvente einer Gleichung
malgleichung" zu bezeichnen. Aus den Entwicklungen am Anfang des Paragraphen ergibt sich der Satz: Eine irreduzibeZe Gleichung m ten Grades in SI: ist dadurch als I!ine Normalgleichung charakterisiert, daß jede ihrer Lösungen 'YJi in einer beliebigen unter ihnen lIk in der Gestalt darstellbar ist: (6).
'li; =
(k)
C;o
+ Ci1 'YJ k + Ci2 1)k + ... + Ci ,rn_ l 17k (k)
(k)
2
(k)
m-l
•
Da alle Zahlen '1'12, 1)3' ... , 17m in (SI:, '1/1) enthalten sind und also der Körper (Sl:, "1u 1)2' ... , 'l'Jm) = (SI:, "11) ist, so kann man auch sagen, eine Normalgleichung sei dadurch charakterisiert, daß sie ihre CI;gene Galoissche Resolvente ist. Die Bedeutung der Galoisschen Resolvente geht aus folgenden Angaben hervor. In der Theorie der algebraischen Gleichungen bezeichnet man, falls irgendein Zahlkörper vorgelegt ist, die Zahlen desselben als "rational bekannte" Größen. Ist eine Gleichung fez) = 0 zu lösen, so sind mit ihr die Koeffizienten von fez) gegeben. Als vorgelegt gilt also ein Körper, der jedenfalls alle Koeffizienten von fez) enthält. Um für den Augenblick mit einem bestimmten Körper zu tun zu haben, denken wir etwa als Körper aller Zahlen, die sich aus den Gleichungskoeffizienten rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten berechnen lassen. Ist die Gleichung fez) = 0 irreduzibel, und ist ihr Grad n > 1, so gehören die Wurzeln der Gleichung noch nicht zu den "rational bekannten" Größen. Aber es gilt der Satz: Hat man eine "einzige" Wurzel 1) einer Galoisscken Resolvente (5) von fez) = 0 gewonnen und damit die Erweiterung des Körpers durch Adjunktion von 1) zum Körper (R, 1)) vollzogen, so sind m;cht nur alle übrigen Wurzeln der Galoisschen Resolvente, sondem atwh alle Wurzeln der Gleichung ((z) = 0 selbst "rational bekannt".
sr
sr
§ 9. Die Transformationen eines Galoisschen Körpers in sich. Wie soeben bedeute "1 eine fest gewählte primitive Zahl des Galois'sehen Körpers, die der irreduzibelen Normalgleichung F (Z) = 0 vom Grade 'In genügt. Beliebige Zahlen aus (sr,1) mögen durch ~ bezeichnet werden; jede von ihnen ist eindeutig in der Gestalt darstellbar:
(1)
~ =
Co
+ cl "1 + C2 1)2 + ... + Gm _ l 1)m-l.
Die mit ~ konjugierten Zahlen unterscheiden wir wieder durch die Bezeichnungen ~1 = ~, ~2' ~3' •.• , ~m· Ist ~ primitiv, so sind diese 'In Zahlen alle verschieden; andrenfalls werden sie zu je l'" einander gleich und stellen v verschiedene Zahlen ~l = ~, ~2' .•• , t dar, wo fJ, ein von 1 verschiedener Teiler von mund I.t. v = 'In ist. Bezeichnen wir allgemein ein 'System konjugierter Zahlen durch ~11 ~2' ••. , ~v, so können wir den Fall primitiver Zahlen für v = m hier mit einbegreifen. Im Ausdruck (1) aller Zahlen von (st, 1) ersetzen wir jetzt 1) durch
44
Einleitung, Teil Il: Galoissche Gleichungstheorie
irgendeine konjugierte Zahl 1/". Hierbei geht jede Zahl ~ von (sr, 1/) in eine bestimmte mit ihr konjugierte Zahl über, und zwar zwei verschiedene Zahlen stets wieder in zwei verschiedene. Ist nämlich ~'= c~ + c~ 7] + ... + C~_.1 7]'" -1 von der in (1) dargestellten Zahl ~ verschieden, so gelten nicht gleichzeitig alle m. Gleichungen c~= co, c~ = Cv ... , C~'_l = cm _ 1 • Dann sind aber notwendig auch die beiden Zahlen: co + C1 '1/"
+ C 7]! + ... + Cm _ 2
1 7],;-I,
c~+ C~7]a+ C;7]!+ ...
+ C~'_I'1/~'-1
verschieden, da aus ihrer Gleichheit eine nicht identische Gleichung in ~ für '1/" von einem Grade < m hervorgehen würde, was der Irreduzibilität widerspricht. Es folgt: Beim Ersatz von 'YJ durch irgendvon F(Z) = eine der m konjugierten Zahlen 7] a erf'ahren je v konjugierte Zahlen ~1 , ~2' .•• , ~. des Galoisschen Körpers (~, '1/) eine bestimmte Permutation. Wir bezeichnen diese Permutation (damit 8 0 = 1 die identische Permutation wird) durch S"_1 und erhalten (da die mit ~ konjugierten Zahlen alle in (Si', 7]) enthalten sind), indem wir der Reihe nach 7]a = 7]11 7]2' ... , 7]m setzen, im ganzen m Transf'ormationen des Galoisschen Körpers (~, 7]) in sich, die wir gleich selbst wieder So, S11 ... , 8"'_1 nennen, und von denen So = 1 die "identische" Transformation ist, bei der jede Zahl von (~, 1/) sich selbst entspricht. Diese Transformationen haben eine wichtige aus der Irreduzibilität folgende Eigenschaft. Es seien durch das Symbol R bei von F(Z) = der folgenden Überlegung stets rationale Funktionen bezeichnet, deren Koef'fizienten in ~ enthalten sind. Es seien zunächst R I (z) und R 2 (z) solche Funktionen einer Variablen, und es mögen die Zerlegungen der R 1 (z), R2 (z) in Quotielltenje zweier ganzer Punktionen gegeben sein durch:
°
°
R·1 (\z) --
R (") _ 3
h 1 (z) 91 (z) ,
2/
-
h 2 (z) g~-(z) .
Dann besteht der Satz: llaben die Funktionen R 1 (z), R 2 (z)f'ür Z=1/=7]1 gleiche endliche Wm·te, R1 ('I/) = R 2 (7]), so haben sie f'ür jede der 'In konjugierten Zahlen 1/" gleiche endliche Werte, R 1 (7],,) = R 2 (7]a). Der Voraussetzung nach gelten nämlich die drei Bedingungen: g2(7]) =1= 0, gl(7])h2 (7]) - g2(7])h1(7]) = 0, wo linker Hand "drei Funktionen in ~Ii stehen. Nach einem S. 32 aufgestellten Satze folgt sofort für jedes 1/,,: gl
(7]) =1= 0,
gl (7]a) =1= 0, g2(7],,) =1= 0, gl (7],,)h 2 (t),,) --:- g2(t),,)h 1 (7],,) = 0, woraus die Richtigkeit des Satzes hervorgeht. Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall des folgenden grundlegenden Satzes: Besteht zwischen irgendwelchen Zahlen ~, ~', -und
t, ...
~, ~', ~", ... ans (~,
(2)
7])
eine Gleiclnmg:
R1 (~, ~',
so, ... ~\
=
R2(~'
r, I", ...),
45
Transformationen des Galoisschen Körpers in sich
wo rechts und links rationale Ausdrücke endlicher Werte mit des Körpers ~ stehen, so sind auch die beiden Zahlen R 1 (~'" R 2 (fa , ~, •••) endlich ~tnd einander gleich:
(3)
Koeffi~ienten
~:, •.• )
und
r.., r:, ...), ~:, ~:, ... und ~, f,., r:, ... die aus den Argumenten in
R1(~a' ~:, ~;,
•.• ) =
R 2 (fa'
wenn wir unter ~'" (2) durch die Transformation 8"_1 hervorgehenden Zahlen verstehen. Der Beweis folgt sofort aus dem voraufgehenden Satze, wenn wir in (2) rechts und links für die Argumente ihre Ausdrücke (1) in 'I] eintragen. Die Transformation 8 a _ 1 mag nun als Permutation der "1 die folgende sein:
(4) und also 'l]k in 'l]ak überführen. Dann gilt der Satz: Die Transformation 8"_1 des GaZoisschen Körpers in sich kann auch dadurch vollzogen werden, daß man alle Zahlen dieses Körpers durch 'l]k darstellt und in diesen Darstellungen "1k durch 'l]ak ersetzt. Hat nämlich die beliebige Zahl ~ des Körpers in 'l]k die Darstellung:
(5)
;,~' = Co
+' +' + Cl 'l'Jk
2 C2 "1k
• • •
+'rn C
rn-I ' 1 1).
und geht ~ durch die Transformation 8 a _ I in ~a über, so folgt aus (5) nach dem soeben bewiesenen Satze die Gleichung:
- ' + c'1'1]"k +'C2 '1] k + .•• +'Cm - 1 '1]"k'
~ ;,,,-C o
2IX
m-i
Daraus geht die Behauptung unmittelbar hervor. Aus dem letzten Satze folgt die Möglichkeit der Zusammensetzung je zweier Transformationen des Körpers in sich. Üben wir zunächst die Transformation 8 a _ 1 aus, die 'I] in "1 .. überführt, und hierauf die Transformation 8{f-1I die vermittelst des Ersatzes von 'I] durch "1{f oder also vermittelst des Ersatzes von 'l]a durch 'I'J{fa erzielt werden kann, so gelangen wir zu einer durch 8{f-1 . 8"_1 zu bezeichnenden Transformation, die. unmittelbar vermöge des Ersatzes von 'I] durch 'l]ii a erzielbar ist, also unserem System der m Transformationen wieder angehört und für die "1 die Permutation lief~rt: '1]11 "12' •.. , "1m ) 8,'1_1 . 8 a _ 1 = ( . "1{fa 1]rhx.' ... , 'I] {fam 1'
Das System der m Transformationen So, 81' ... , 8 m -1 erfüllt hiernach die erste Gruppenbedingung von S.2. Aber auch die beiden anderen Gruppeneigenschaften liegen vor; man zeigt dies wie S. 18, indem man die 8 als Permutationen der 'TJu 1]2' .•• rJin schreibt und beachtet, daß die einzelne Permutation die zugehörige Transformation des ganzen Körpers in sich eindeutig festlegt:
46
Einleitung, Teil 11: Galoissche Gleichungstheorie
Die m Transformationen eines Galoisschen Körpers mim Grades in sich bilden eine Gruppe Gm der m ten Ordnung, die sich für die 'YIt> 1)2' ... , 'YIm sowie überhaupt für jedes System konjugierter p1'imiti'ber Zahlen als eine Permutationsgruppe Gm des m len Grades darstellt. Unter den m Permutationen der 'I') gibt es eine und nur eine, die 111 in die beliebig vorgeschriebene konjugierte Zahl '1')" überführt, nämlich die Permutation Sa_1' Sie führt dann '1')2 in eine bestimmte Zahl '1')"" nicht mehr in eine frei wählbare unter den konjugierten Zahlen über. Nach der S. 20 eingeführten Bezeichnung ist somit die Gruppe Gm als Permutationsgruppe m ten Grades für 'YJ1> '1')2' ••• , 'l')m oder irgendein System von m primitiven konjugierten Zahlen "einfach transitivtl.
§ 10. Die Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = O. Wir kehren jetzt zur Gleichung n ten Grades fez) = 0 zurück, die wir einstweilen als irreduzibel vorraussetzen , und aus deren Wurzeln wir in der Gestalt (~, ()1> ()2' •.. , ()n) = (~, '1') den Galoisschen Körper herstellten. Ist () = ()1 eine primitive Zahl dieses Körpers, so ist n = m, und wir haben in fez) = 0 eine "Normalgleichung".. Ist n < m, so ist () imprimitiv und also n ein vom ganzen verschiedener Teiler der Zahl m. Im ersten Falle liefert die Gm, eingekleidet in die Gestalt einer Permutatiollsgruppe der n = m Wurzeln ()1' ()2' . .. eine einfach transitive Gruppe Gm des Grades m, wie in § 9 am Schlusse gesagt wurde. Im zweiten Falle zeigen wir zunächst, daß die m Transformationen des Galoisschen Körpers in sich m verschiedene Permutationen der ()l' ()2' ... , ()n liefern. Sollen nämlich Sa und Sfi die gleiche Permutation der () bewirken, so liefert S; 1 . Sa die identische Permutation der () und damit die Transformation, bei der jede Zahl des Körpers (~, ()ll ()2' ... , ()1.) (~,1) sich selbst zugeordnet ist. Also ist S7 . Sa = So = 1 und Sfi = Sa' In jedem Falle (mag n = moder n < m sein) stellen wir folgende Erklärung auf: Die von den Transformationen des Galoisschen Körpers (~, ()l' 82 , .•. , 8n ) = (~, 1) in sich gelieferten m Permutationen der eil 2, ••• , On ergeben eine besondere Einkleidung der Gruppe Gm als einer Permutationsgruppe m ter Ordnung n ten Grades, die man als die "Galoissche Gruppe" der Gleichung fez) = 0 bezeichnet. Sie liefert den im Mittelpunkte der Galoisschen Theorie der Gleichungen stehenden Begriff. Für die Normalgleichung F (Z) = 0 des vorigen Paragraphen ist die Galoissche Gruppe die daselbst betrachtete einfach transitive Permutationsgruppe mten Grades der '1')11 '1')2' ••• , 'l')m' Die Eigenschaften der Galoisschen Gruppe ergeben sich leicht aus den Entwicklungen des vorigen Paragraphen. Wir notieren zunächst, daß die Galoissche Gruppe einer irreduzibelen Gleichung fez) = 0 stets =
°
Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0
47 transitiv ist. Eine beliebig vorgeschriebene Wurzel ()a gewinnen wir nämlich aus ()1 durch die Transformation Sa des Körpers (~, 17) in sich. Von grundsätzlicher Bedeutung sin( die folgenden Ausführungen: Unter R( ()p ()2' .•. , ()n) verstehen wir wieder einen rationalen Ausdruck mit Koeffizienten aus st. Hat der Ausdruck R«()v ()2' •.• , ()n) als Wert eine bereits in st enthaltene Zahl c, so sagen wir, es bestehe für die ()v ()2' . . . , ()n die "rationale Gleichung~in SI":
(1) Da jede Zahl c von SI bei den Transformationen SC( nur sich selbst zugeordnet ist, so folgt nach dem Satze von S. 44ft'. aus (1):
(2) wenn ()k durch Sa in ()C(k übergeführt wird. Damit haben wir den Satz: Jede rationale Gleichung in ~, die für die ()1' ()2' ... , ()n zutrifft, bleibt richtig, falls man in ihr die ()1' ()2' ... , ()n einer beliebigen Permutation der Galoisschen Gruppe unterwirfl. Umgekehrt gilt der Satz: Ein rationaler Ausdruck R (()1' ()2' . . . , ()n) mit endlichem Werte, der sich gegenüber den Permutationen der Galoisschen Gruppe Gm nicht ändert, stellt eine Zahl aus S't dar. Die Zahlen aus S't sind nämlich die einzigen Zahlen des Körpers (S't, 17), die nur sich selbst konjugiert sind. Sehen wir nur erst den Körper ~ als gegeben und also dessen Zahlen als "rational bekannt" an, so können wir auch sagen: Ein rationaler Ausdruck R«()v ()2' ..• , ()n) der Wurzeln von fez) = 0, der sich gegenüber den Permutationen der Galoisschen Gruppe Gm nicht ändert, ist "rational bekannt". Der erste dieser drei Sätze ist in folgender Art umkehrbar: Eine Permutation der 1 , ()2' ... , ()n' die "jede" zwischen den ()v ()2' ... , ()n gültige rationale Gleichung in S't in eine gleichfalls richtige solche (Jleichung überführt, gehört der Galoisschen Gruppe Gm an, so daß diese Gm auch als Gruppe aller Permtdationen der Wurzeln von fez) = 0 edclärt werden kann, bei denen "alle" für die ()1J ()2' •.. , ()n bestehenden rationalen Gleichungen (1) wieder in richtige Gleichungen übergehen. Wir können nämlich mitte1st rationaler ganzer Zahlen r eine Zahl:
°
(3) so wählen, daß die n! Zahlen 171 = 17, 172' 1)3' . . . , die aus (3) durch alle n! Permutationen der ()1' ()2' ... , ()n hervorgehen, durchweg verschieden sind. Man beweist dies durch Wiederholung einer S. 36 ausgeführten Überlegung. In der Reihe 171,172' •.. mögen die m in (sr, 17) mit 17 = 171 konjugierten Zahlen an erster Stelle stehen; sie gehen aus (3) durch die Permutationen der Galoisschen Gruppe Gm hervor, während der Rest 17"'+11 17",+2' ... , 17nl von den nicht in Gm enthaltenen (n! - m) Permu-
48
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
°
tationen herrührt. 1) Ist nun F(Z) = die zur Zahl (3) gehörende Galoissche Resolvente mten Grades, so gilt:
(4) während andrerseits:
(5)
F(1}m+2) +0, ... , F(7}nl)+O
F(7}m+l) +0,
°
zutrifft. Die Wurzeln von F(Z) = sind nämlich die m konjugierten Zahlen 7}I' 7}2' ... , "lrn' von denen die "lm+U" .,1]n: durchweg verschieden sind. Denken wir nun F(7}) ~ durch Einsetzung des Ausdrucks (3) für Yj als eine für die 0u 2, •.• , Oll gültige rationale Gleichung in geschrieben, und soll eine auf die auszuübende Permutation diese Gleichung wieder in eine richtige Gleichung überführen, so kann es sich zufolge (4) und (5) nur um eine der m ersten Permutationen handeln, also um eine Permution der Gm' die 17 in eine der Zahleu 'I)Ul/2' . . . , 11 m über· führt. Damit ist der Satz bewiesen. Die Übertragung der gewonnenen Ergebnisse auf 1'ed'uzibele Gleiist leicht. Auch im ]!'alle einer reduzibelen Gleichung chungen fez) = nten Grades fez) = mit n verschiedenen Wurzeln 0v O~, ... , On hatten wir oben (S.42) einen Galoisschen Körper (~, Oll 2 , ••• , On) = (~, 11) hergestellt. Die m Transformationen dieses Körpers in sich liefern wieder m Permutationen der 0u 2 , .... , On' die man wie vorhin (S.46) als durchweg verschieden erkennt. Diese m Permutationen Uefern uns die "Galoissche Gruppe" Gm der reduzibelen Gleichumg f(z) = 0. Zerfällt fez) in die irreduzibelen Faktoren fl(z), f2(z), ... , ti(z) der Grade nl l n 2 , ••• , n l , so sind die Wurzeln des einzelnen Faktors nur unter sich konjugiert und werden demnach durch die Gm auch nur unter sich permutiert: Die Galoissche G1'uppe der reduzibelen Gleichung fez) = ist also "intransi#v", und die Systeme der n i , n 2, ... , n 1 Wurzeln der in'eduzibelen Bestandliefern die "Systeme der Intransiti,:ität". Die Gruppenteile von fez) = ordnung m ist ein Multiplum jedes der Grade ni , n 2 , .•. , rt 1 , ist aber keineswegs mehr notwendig ein Multiplum von n selbst. Die wesentlichen Eigenschaften der Galoisschen Gruppe, die auf der Irreduzibilität beruhen, bleiben auch bei reduder Galoisschen Resolventen F(Z) = bestehen. zibelen Gleichungen fez) = Es sei wieder fez) = eine irreduzibele Gleichung n ten Grades mit den Wurzeln 0v 2 , ••• , On' Ist der Körper (~, 8) = (~, ( 1 ) (und damit natürlich jeder der konjugierten Körper (~, 0») im Sinne von S. 40 im"imprimitiv". Es primitiv, so nennen wir auch die Gleichung fez) = liege dieser Fall vor, und es sei insbesondere S 0= R(O) eine imprimitive
° ° °
sr
°°
°
°
°
°
° °
°
1) Wir dürfen m selbstverständlich ist.
°
°
< n!
annehmen, da für m
=
n! der zu beweisende ;Satz
Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0
49
Zahl aus (~, 0). Daun sind die n mit ~ konjugierten Zahlen zu je /L ein.ander gleich und stellen nur v verschiedene Zahlen ~u ~2' ••• , ~v dar; ,dabei ist /L ein von 1 und n verschiedener Teiler der Zahl n. Wir ordnen nun die n Zahlen so in v Zeilen zu je /L ZfLhlen an:
°
r
"
B" 0,.+11 O!t+2'
(6)
~2,".+17. 02:U+~'
.,
0,.,
... , °2,u' ... , Os",
daß die (J der i ten Zeile, als Argumente in R eingesetzt, übereinstimmend die Zahl ~i liefern. Für zwei Argumente (Ja und 0ß gilt alsdann: (7) R(Oa) = R(Oß) oder R(Oa) =l= R(Oß) , je nachdem die 0a' (J,j in der'gleichen Zeile (6) oder in verschiedenen Zeilen stehen. Bei Ausübung einer Permutation der Galoisschen Gruppe Gm geht nun ans einer Gleichung (7) stets wieder eine Gleichung, aus einer Ungleichung (7) stets wieder eine Ungleichung hervor. Die Zeilenanordnung (6) der n Zahlen (J17 O~, ... , 0'11 besitzt demnach gegenüber eter Gruppe Gm die S. 21 bei der Erklärung der Imprimitivität einer Permntationsgruppe näher dargelegte Invarianz. Es folgt somit: Die Galoissche Gruppe der impTimitiven Gleichung l(z) = 0 ist eine "imprimitive Gruppe", und die Zeilen (6) lielern die "Systeme der Imprimitivität,".l) ,§ 11. Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen. Wir gehen auf die ursprüngliche Erklärung der Galoisschen Gruppe Gm als Gruppe der m Transformationen des Galoisschen Körpers (~, Y) in sich zurück. Aus diesem Körper greifen wir eine beliebige Zahl b heraus, die in der Gestalt b = R(Y)) darstellbar ist, wo man Rer;) als rationale ganze Funktion (m - 1)ten Grades von r; mit Koeffizienten aus .~ schreiben kann. Die mit b konjugierten Zahlen sind zu je 11' einander .gleich, wo 11' ein Teiler von m ist, zunächst unter Einschluß von 11' = m und !t = 1; für./L = m ist ~ eine schon in ~ enthaltene Zahl, für 11' = 1 ;haben wir inb eine primitive Zahl des Körpers (~, Y). Unter den Transformationen der Gm, die nach S.44 die mit b konjugierten Zahlen bl = b, ~2' ••. , bv untereinander permutieren, kommen im ganzen !l vor, die die Zahl ~ in sich selbst überführen. Diese 11' Transformationen bilden eine in der Gm enthaltene Untergruppe G,., deren Index 1n = t die bisher durch v bezeichnete Anzahl ist. Wir nennen die /L
G,
1) Weiteres über imprimitive Gleichungen findet man bei Web er, a. a. 0., Bd. 1, S. 524 ff. Fr i c k e, Die e.lliptischell
~FnnktiQnen
11
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 50 Gesamtgruppe Gm, zu einer primitiven Zahl des Körpers (~, tl) die Untergruppe GI' Zerlegen wir die Gm entsprechend der Gll in die Nebengruppen Gll , VI' Gp., V2 • Gp., . ", Vt _ 1 • GI" so führen die Transforma, tionen der einzelnen Nebengruppe V;-l' GI' die Zahl b in eine und dieselbe konjugierte Zahl b, über; allen t Nebengruppen entsprechen auf diese Weise die t (= v) verschiedenen konjugierten Zahlen SI = b, b2' bS, ... , bl' Zur Zahl b, ihrerseits gehört die mit Gll gleichberechtigte Untergruppe V;-1 . GI" . Vi-\: Zu den t verschiedenen mit b konjugierten Zahlen des Körpers (~, 1) gehören die t mit G" gleichberechtigten Unterg'KUppen GI"' VI' GI"' ViI, V2 • G,,' V2"1, ... , die natürlich keineswegs alle verschieden zu sein brauchen. Es besteht nun folgender grundlegende Satz: Zu jeder 'Untergruppe G" von Gm gibt es unendlich viele zugehörige Zahlen im Körper (~, '1)); ist birgendeine dieser Zahlen, so ist jede andere sowie überhaupt jede Zahl, die zu einer G ll in sich enthaltenden Untergruppe gehört, im Körper (st, Ü enthalten und also rational in b mit Koeffizienten aus ~ darstellba,r. Da der Satz für p, = 1 und p, =·m selbstverständlich ist, so setzen wir 1 < p, < m voraus. "Vir bezeichnen die mit 'I) konjugierten Zahlen so, daß 1] = 1]1 durch die Transformationen der GI" in die in der ersten Zeile (1) stehenden Zahlen '1)1' 1]2' ... , 1],u übergeht, während diese ganz.e Zeile durch die Transformation V:i in die Zeile rl, + l' '1). +., . , ., 11(·"+,1)u übergeführt wird: ~f.1
l
(1)
'l,l&
'"
~:~l' ;:~2"".':: ::::,
~2,1~+ 1.'
1]2,0
+2' ... , 1]31"
Wir bilden nun die p, symmetrischen GrundfunHionen ol'), der in der Zeile Zahlenreihen:
1],,,+1' 1I;p+i' ... Ol' 02' { o~,
(2)
o~i>,
.. '"
o~)
stehenden 'I und gewinnen so t neue .•. ,01"'
0;, ... ,
""
0.1,02, ••• ,
o~, JI
O'l)
.,
von denen keine zwei einander gleich sind; es würden ja sonst die'rJ der bei den entsprechenden Zeilen (1) von der Anordnung abgesehen übereinstimmen. Nach einer wiederholt ausgeübten Schluß weise können wir somit (und zwar auf unendlich viele Arten) p, rationale ganze Zahlen l' so wählen, daß die t Zahlen von (~, '1)):
(3)
1'101
+ 1'2 02 + ... + 1'"0,,,
1'10~
+ 1'26~ + ... + 1'",0'""
...
durchweg voneinander verschieden sind. Die erste dieser Zahlen gehört
Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen
51
zur GM die übrigen gehen aus ihr durch die Transformationen V lI V2 , •• ' hervor und sind also die mit der ersten konjugierten Zahlen. Wir haber demnach in der Tat in: (4) eine zur Gruppe Gi< gehörende Zahl konstruiert. Aus den mit ~ = ~l konjugierten Zahlen bilden wir mitte1st einer Variablen w die Funktion g(w) = (w - ~l)(W - ~2) ... (w - ~t) vom Grade t, die ausgerechnet eine irreduzibele Funktion in ~ ergibt. Es sei alsdann ~' irgendeine Zahl aus (~, r;), die durch die Transformationen der G,n in sich selbst übergeführt wird, die also entweder auch zur G,,. oder zu einer G,,, umfassenden Untergruppe gehört. Durch 1, VlI V2J ••• , V t _ 1 werde = ~;in die Zahlen ~;, ~;, ... , ~; übergeführt, die nicht alle voneinander verschieden zu sein brauchen. Es ist nun, wie man durch Division von g(w) durch (w - ~l) feststellt:
r
(5
g(w)
)
.
10 -=--~ ~
g(w)
,
w-=" t
=
,
1 •
~l
ellle Funktion (t - 1yen Grades von w, deren Koeffizienten Zahlen aus r;) sind, die alle durch die Transformationen der Gi< in sich übergeführt werden. Durch 1, Vu V 2 , ••• , V t _ 1 geht die Funktion (5) III die t "konjugierten Funktionen" über: (~,
(6)
=-'1 .~1 ,
g(w)
,
W
g(w)
W- t; .
'" b2' .•• ,
die flich bei Ausübung irgendwelcher Transformationen der Gm untereinander permutieren. Die Summe der Funktionen (6) bleibt demnach bei allen Transformationen der Gm unverändert und erweist sich also als eine "Funktion in ~":
(7) Wie üblich gewinnen wir hieraus für w =
~l
=
~:
~'= _h§l
(8)
g' (t) ,
so daß ~' tatsächlich dem Körper (~, ~) angehört. Kehren wir zu unserer ursprünglichen Gleichung n ten Grades f(z) = 0 zurück, so ist der betrachtete Galoissche Körper in der Gestalt (~, 811 82" ••,8 ,,) zu erklären, und die Gm wird die als Galoissche Gruppe der Gleichung fez) = 0 erklärte Permutationsgruppe. Man nennt in der Theorie der Gleichungen eine Zahl aus (~, 811 82 , ••• , 8,,), d. h. eine Zahl, die durch einen rationalen Ausdruck:
(9) mit Koeffizienten aus
~
gegeben ist, eine "natürliche Irrationalität" der 4*
52
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheoiie
°
Gleichung fez) = O. Demgegenüber heißt eine beim Auflösungsprozeß der Gleichung etwa zu benutzende Zahl, die dem Körper (sr, Oll 2 , ••• On) nicht angehört, eine "akr:essorische Irrationalität" der Gleichung fez) = 0 . Wir übertragen die Bezeichung der "Zugehörigkeit" von den Transformationsgruppen GI' und Zahlen ~ auf die Untergruppen der Galoisschen Gruppe und die natürlichen Irrationalitäten der Gleichung. Den eben bewiesenen Satz können wir dann auch in folgende Gestalt kleiden: Zu jeder Untergruppe Gf' der Galoisschen Gruppe Gm unserer Gleichung fCz) = 0 gibt es unendlich viele zugehörige natürliche Irrationalitäten; in einer unter ihnen ist jede andere, sowie jede natürliche Irrationalität, die zu einer die G" umfassenden Untergruppe gehört, rational mit Koeffizienten aus sr darstellbar.
§ 12. Die rationalen Resolventen einer Gleichung fez) = (~,
°
°°
o.
Irgendeine Zahl ~ = R (Oll 2 , ••• , 0.. ) des Galoisschen Körpers 1, 2 , ••• , 0J genügt einer irreduzibelen Gleichung in ~:
(1)
g(w)
=
0
des Grades t, die wir als eine "rationale Resolvente" der Gleichung fez) = 0 bezeichnen. Die t Wurzeln der Resolvente ~l = ~, ~2' . . . , ~t sind Zahlen des genannten Galoisschen Körpers, die zu den gleichberechtigten Untergruppen Gf" Vl·Gf'.Vll=G~, ... , Vt_l·G'l·V;-~l=Gt-l) der Ordnung lL gehören mögen. Das Produkt der Gruppenordnung lL und des Grades t der Resolvente ist gleich m. Die im Extremfalle t = m, lL = 1 für primitive Zahlen ~ des Galoisschen Körpers eintretenden Resolventen sind natürlich die Galoisschen Resolventen der gegebenen Gleichung fez) = O. Die t gleichberechtigten Untergruppen G , G' , ... , G(t-l) brauchen I' f' I' keineswegs alle voneinander verschieden zu sein, können sogar alle einander gleich sein, nämlich wenn GI' eine ausgezeichnete Untergruppe ist, Jedenfalls ist der Durchschnitt:
(2) eine ausgezeichnete Untergruppe, deren Ordnung wir l nennen. Diese GI setzt sich zusammen aus allen Transformationen der Ges'amtgruppe Gm, die jede einzelne der t Zahlen ~lI ~2' •• " ~t in sich überführen, Den Index der Untergruppe G, bezeichnen wir durchr;
=
m,
die Zerlegung
der Gm in Nebengruppen entsprechend der GI sei durch: (3)
Gm
=
GI
+ U1 '
GI
+ U2 . GI + ' . , + U,1i-l • GI
gegeben. Alle Transformationen der einzelnen Nebengruppe U;' GI ergeben die gleiche, etwa durch Ti zu bezeichnende Permutation der
Rationale Resolventen und ihre Galoisschen Gruppen
53
wobei To = 1 die identische Permutation ist. Es ergibt sich der Satz: Gegenüber allen m Transformationen der Gm erfahren die t Wurzeln ~l) S2' ... , ~t der rationalen Resolvente (1) im ganzen m pecr~ mutationen T o = 1, Tl, ... , T m_ 1 , die eine mit der "Quotientengruppe" Gm/G. isomorphe und also wie diese auf die Gm 1-1-deutig homomorph bezogene Gruppe Gm bilden. Wir bezeichnen diese Permutationsgruppe ~1' ~2' ••. , ~t,
Gm gleich selbst als Quotientengruppe Gm/GI von Gm und GI' Ist 1= 1 und also m = m, so erhalten wir in der Permutationsgruppe G _ eine neue Darstellung unserer Gm und erkennen in dieser Permutationsg;~ppe einfach die "Galoissche Gruppe" der Resolvente (1). Besonders wichtig aber ist nun der Fall, daß l> list. Wir bilden wie oben bei der Gleichung fez) = 0 jetzt für die Resolvente (1) den Galoisschen Körper: (4) den wir mittelst irgendeiner zur GI gehörenden Zahl"ii auch in der Gestalt (St, "ii) darstellen können. Dt'ese Zahl "ii genügt dann eineer in Stir~ 'I'eduzibe1en "Normalgleichung" : ~=
F(W)
(5) vom Grade
m=
=
0
y, welche eine "Galoisschec Recsolventec" decr Gleichung (1)
ist; die Gruppe Gm der Transfonnationen des Körpers ~ in sich liefert in der Gestalt der Permutationsgruppe Gm/GI der T o = T v T 2 , ••• , Tm~l die "Ga1oissche Gruppe" der Gleichung (1). Nicht minder wichtig sind die Folgerungen für die ursprüngliche Galoissche Resolvente F(Z) = O. Die Gruppe GI ist als Permutationsgruppe der m Wurzeln von F (Z)= 0 intransitiv und besitzt m Systeme der Intransitivität zu je 1 Wurzeln. Ein beliebiges dieser Systeme sei '1/1' '1/2' .•• , 'l/z- Die symmetrischen Grundfunktionen dieser 1 Zahlen r; gehören zur GI und sind also im Körper ~ = (St,"ii) enthalten (S. 50). Die '1/17 '1/2' •.. , '1/1 sind also die Wurzeln einer Gleichung H(Z) = 0 in ~ vom Grade 1. Wir können leicht zeigen, daß diese Gleichung in ~ irreduzibel ist. Sollte sie es nicht sein, so bezeichnen wir mit h(Z) = 0, den irreduzibelen Bestandteil, dem '1/1 genügt. Ersetzen wir die in den Koeffizienten von h(Z) auftretende Zahl "ii durch ihren rationalen ganzen Ausdruck in '1/1 1), so entsteht aus h('1/1) = 0 eine für '1/1 gültige "Gleichung in ~". Diese Gleichung bleibt demnach bei allen m Transformationen der Gm richtig, und also insbesondere bei allen l Transformationen der Gl"' Die letzteren aber lassen "ii unverändert und führen '1/1 in rJl) '1/2' ... , '1/ über. Man beachte noch, daß die Transformationen der einzelnen zu GI 1) 1), ist eine primitive Zahl des Körpers
(~,
1)).
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
gehörenden Nebengruppe die Zahl 1] in eine ihrer konjugierten Zahlen überführt, das System rJ1' rJ2' ..• , rJl aber in eines der in Systeme der Intransitivität von GI. Wir haben damit den Satz gewonnen: In dem nach Adjunktion von 1] zu S'f entstehenden Körper ~ = (st, 1]) ist die ursprüngliche Galoissche Resolvente F (Z) = 0 reduzibel und zerfällt in in irreduzibele Gleichungen in ~ vom Grade l, deren einzelne H (Z) = 0 je eines der in genannten Systeme der Intransitivität zu Wurzeln hat; aus einer Gleichung HeZ) = 0 gehen die übrigen hervor, wenn man die in den Koeffizientel~ von DeZ) auftretende Zahl ii dttrch ihre konjugierten Zahlen ersetzt. Bilden wir für die einzelne in ~ irreduzibele Gleichung lten Grades HeZ) = 0 den Galoisschen Körper (~, rJi1 rJ2' ... , rJ/)' so ist dieser natürlich unser bisheriger Körper (st, "7) und kann auch als Körper (~, "71) geschrieben werden. Nach S. 44ft'. werden die 1 Transformationen dieses Körpers in sich dadurch gewonnen, daß wir "71 der Reihe nach durch "71' "72' ... , "7! ersetzen. Wir gelangen dabei zu den 1 Permutationen der "711 "72' ... , "711 die von der GI für dieses System der Intransitivität geliefert werden. In dieser Gestalt einer Permutationsgruppe lten Grades ist dann die GI wieder einfach transitiv: Die einzelne in ~ irreduzibele Gleichung lren Grades HeZ) = 0 ist eine "Normalgleichung", deren Galoissche Gruppe die als Permutationsgruppe lien Grades der "71' "72' ... , 111 geschriebene Gruppe GI ist. Wegen der grundlegenden Wichtigkeit fassen wir die gewonnenen Ergebnisse nochmals zusammen: 1st GI eine ausgezeichnete Untergruppe der ursprünglichen Galoissehen Gruppe Gm, so genügt eine zur GI gehörendp, natürliche Irrationalität 1] von f(z) = 0 einer in ~ irreduzibelen Gleichung
(5) des Grades
in =
'i, deren Galoissche Gruppe die Quotientengruppe Gm/GI
ist; nach Adjunktion von 1] zu ~ wird die ursprüngliche Galoissehe Resolvente F(Z) = 0 im Körper ~. = (st, 1]) reduzibel und liefert nach Zerlegung in in ~ irreduzibele, innerhalb (S'f, 11) "konjugierte" Gleichungen llew Grades HeZ) = 0, die wieder "Normalgleichungen" sind, und für deren einzelne GI die Galoissche Gruppe ist.
§ 13. A.uflösung einer algebraischen Gleichung f(z)
== O.
Am Schlusse von § 8, S. 43, wurde die Bedeutung der Galoisschen Resolvente F(Z) = 0 für die algebraische Gleichung n ten Grades fez) = 0 dargelegt. Wir nehmen diese Gleichung in einem vorgelegten Körper ~ als irreduzibel an. i ) Das Problem, die Gleichung vollständig zu lösen, d. h. alle Wurzeln anzugeben oder doch auf Grund "rationaler" Rechnungen 1) Andernfalls würden wir mit dem einzelnen irreduzibelen Bestandteile von fez) = 0 arbeiten.
Lösungsprozeß einer algebraischen Gleichung
55 finden zu können, erfordert alsdann die Gewinnung des Körpers (~, 'YJ), in dem in der Tat alle Wurzeln 011 2 , ••• , 0,. von fez) = "rational bekannt" sind. Die in § 12 aufgestellten Sätze im Verein mit den Entwicklungen von S. 12ff. über die "Kompositionsreihe" einer Gruppe Gm zeigen, wie die Lösung dieses Problems zu vollziehen ist: Wir gewinnen durch Auflösung einer Kette ron "Normalgleichungen" je mit "einfachenu Galoisschen Gruppen die Erweiterung von ~ zum Körper (~, 11), in dem fCz) = 0, ~oie auch die Galoissche Resolvente F (Z) = 0, in lauter "l1:neare' Gleichungen reduzibel sind. Die Galoissche Gruppe Gm unserer Gleichung besitze nämlich als eine Kompositionsreihe die Gruppen:
°
°
Gm, Gm" Gm.' "', GI und als zugehörige Indexreihe:
(1)
..~. =
(2)
m'1
m, _ t m. - ~,
t11
wobei das Produkt der Illdizes t 1 • t 2 • t3 Quotientengruppen:
••• =
m ist. Die zugehörigen
(3) Gm/Gm. = G,l, Gm/Gm. = GI.' ... sind einfach, d. h. keine der Gruppen GI enthält (von Gt und GI abgesehen) ~line ausgezeichnete Untergruppe. Da die Berechnung einer Wurzel 'YJ von F(Z) = unser Ziel ist, so gehen wir nach dem Schlußsatze von § 12 so vor: Wir nehmen für die daselbst G! genannte Gruppe die "größte" ausgezeichnete Untergruppe Gml • Die zugehörige Gleichung (5) S. 53 möge jetzt durch f~(w) = bezeichnet werden; sie hat den Grad ~ und ist eine "Normalgleichung" mit "einfacher" Galoisscher Gruppe GII • Es genügt, eine beliebige Wurzel 'YJl dieser Normalgleichung zu berechnen, deren Adjunktion zu ~ den Körper ~1 = (~j 'YJl) liefere. In ~l ist nun F( Z) = 0 reduzibel, und zwar in t1 irreduzibele Gleichungen m1 ten Grades zerfällbar. Eine beliebige unter ihnen sei F t (Z) = 0; sie ist wieder eine Normalgleichung und hat Gml zur Galoisschen Gruppe. Nun wiederholen wir den gleichen Prozeß, indem wir in Gm, die größte ausgezeichnete Untergruppe Gm. aufgreifen usw. Nach einer endlichen Anzahl solcher Schritte gelangen wir bis zur GI und damit zur Kenntnis der gesuchten wird geleistet, indem man Wurzel 11: Die Lösung der Gleichung fCz) =
°
°
°
fi"ir die endliche Kette von Normalgleichungen:
(4)
fl(W) =,0,
f2(W) =0,
fs(w)=O, ...
°
mit den die Bedingung t1 • t 2 • ts ... = 1n erfüllenden Graden t1 , t2 , t s , • .. je eine Wurzel 1]1' 'YJ2,". berechnetl); die einzelne Normalgleichung fv(w) = 1) BeiHiufig bemerken wir, daß die Berechnung einer Wurzel der einzelnen
Einleitung, Teil H: Galoissche Gleichungstbeorie
ist irreduzibel im Körper ~"-1 = (~, 'l}u 'l'}2' •.• , '1/"-1) und hat die einfiache Galoissche Gruppe G Iv . Hat man die letzte Gruppe Gl der Reihe (l} erreicht, so liegt für die gesuchte Wttrzel 'I} eine "lineare" Gleichung vorr d. h. 'I} ist bekannt. Der Satz von S. 13 über die Kompositionsreihen einer Gruppe Gm aber liefert uns noch das Ergebnis: Ityendeine andere Kompositionsreihe der Galoisschen Gruppe G", unserer Gleichung fez) = 0 liefert eine Kette von Normalgleichungen, die in der Anzahl sowie (abgesehen von der Reihenfolge) in den Graden und den Galoisschen G1'Uppen mit den Gleichungen (4) übereinstimmen. Dabei gelten zwei isomorphe Gruppen als gleich. Hiermit sind die im Mittelpunkte der Galoisschen Gleichungstheorie stehenden Sätze gewonnen. l )
§ H. Beispiel der Kreisteilungsgleichungen. 2) Ein einfaches Beispiel zur Erläuterung der Galoisschen Theorie liefern die Kreisteilungsgleichttngen. Diejenige für den n ten Teilungsgrad lautet zunächst zn = 1, ihre Lösungen sind die n Wurzeln n ten Grades der Einheit: 2(n-1) I", ._--
6 in
"
cn
=
1,
die als die aufeinanderfolgenden Potenzen c, 1 der ersten unter ihnen C = Cl darstellbar sind. Zugrunde zu legen ist der rationale Körper ffi. Der bei der Auflösung der Gleichung zu erreichende Galoissche Körper (ffi, Cu c2' ... , cn) ist auch bereits als Körper (m, c) darstellbar und heißt der "Kreisteilungskörper" für den n ten Teilungsgrad. Unter den n Wurzeln Ck = ck sind primitive Zahlen von (ffi, s) alle und nur die, bei denen k teilerfremd gegen n ist. Ist die Zerlegung von n in Primfaktoren durch n = p~" p~2' . .. gegeben, so hat man bekanntlich: c2, ..• , C"- \
(2)
rp (n)
~ n (1 -
cn =
;J (1- ;J ...
mod n inkongruente, gegen n teilerfremde Zahlen k, so daß im ganzen rp (n) unter den Einheitswurzeln (1) primitive Zahlen von (ffi, c) sind. Hilfsgleichung t~(w) = 0 auch ersetzt werden kann durch die vollständige Auflösung irgendeiner rationalen Resolvente, die die NormaJgleichung f.(w) = 0 zur Ga.loisschen Resolvente hat. 1) Die im Lösungsprozeß der Gleichung vollzogenen Adjunktionen beziehen sich ausschließlich auf "natürliche Irratioualitäten" von f(z) = O. Die Heranziehung irgendwelcber "akzessorischer Irrationalitäten" vermag den Prozeß nicht zu vereinfachen, insofern auch dann unter den zu lösenden Hilfsgleichungen sich immer wieder solche der Gruppen GI.' GI.' ... einstellen. Jlilan vgl. hierüber Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 555ff. sowie Loewy, a. a. 0., S. 303. 2) Wegen genauerer Begründung der in den nächsten vier Paragrapheu gegegebenen Ausführungen ist wieder auf Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 452ff. und 564 ff. zu verweisen.
Kreisteilungs körper und KreisteilungsgJeichungen
57
Sie heißen die "primitiven n ten Einheitswurzeln" und genügen einer in ffi irreduzibelen Gleichung rpten Grades:
(3)
z'P
+ a1zrp-l + a 2zrp-2 + ... + arp =
0,
welche die "irreduzibele Kreisteilungsgleiehungl' für den n tcn Teilungsgrad heißt. l ) Da jede der rp (n) Lösungen von (3) rational in einer unter ihnen 15 = 151 darstellbar ist, so haben wir in der irreduzibelen Gleichung (3) nach S. 41 ff. eine "Normalgleichung" und in (m, 15) einen "Galoisschen Körper" des Grades rp (n). Die Transformationen Sund S' des Galoisschen Körpers (lR, s) in sich mögen 15 in Ea bzw. E(1 überführen. Dann wird sowohl durch S· S' als auch durch sr. S die Wurzel;} in Ea (1.k übergeführt. Es gilt demgemäß S· S' = S' . S, so daß wir den Satz gewinnen: Die irreduzibele Kreisteiltlngsgleic7mng (3) ist eine "Normalgleichung", deren Galoissche Gruppe G'f(") eine "kommutative" oder "Abelsche Gruppe" ist. Nach dem Hauptsatze von S. 17 über die Kompositions- und Indexreihen Abelscher Gruppen haben wir nun die Gruppenordnung q;(n) in ihre Primfaktoren zu zerlegen:
(4)
rp(n)
=
qj . q2 . qs ... ,
wobei jede mehrfach vorkommende Primzahl q entsprechend oft hintereinander als Faktor zu setzen ist. Die Reihe der Primzahlen qlt q2' qSI ... liefert dann eine Indexreihe der Gruppe G
(5) d, h. wir erhalten den Kreisteilungskörper für den n ten Teilungsgrad durch 2i7t
2-i1t
gleichzeitige Adjunktion von e"' und e "•. Es bestehen nämlich erstens die Gleichungen: 2i1< 2i1< 2i1< 2;1< n!!.n e n, = e n e ". = e ", 1 "--
1) Über die Beweise der Irreduzibilität der Gleichung (3) im rationalen Körper sehe man auch die geschichtlichen Angaben bei Loewy, a. a. 0., S.314.
Einleitung, Teil 11: Galoissche Gleichungstheorie 58 sowie zweitens, wenn a und ß zwei die Bedingung an2 füllende rationale ganze Zahlen sind, die Darstellung: 2 in
en
2i1t
a . ----
e
=
n1
-
•
e
ßn1
=
1 er-
2iJt ß-11 2
woraus die Gleichung (5) hervorgeht. DIe Auflösung der Gleichung (3) für den Teilungsgrad n kann demnach in der Weise vollzogen werden, daß man gesondert voneinander die irreduzibelen Kreisteilungsgleichungen für die Teilungsgrade n 1 und n2 löst. Die wirkliche Durchführung der Auflösung darf man demnach auf den Fall beschränken, daß der Teilungsgrad n eine Primzahlpotenz n = pV ist. Hier gilt:
rp(pV)
=
pV-l(p - 1)
=
ql . q2' .. pv-l,
wo ql . q2 ... die Primfaktorenzerlegung von (p - 1) ist. Wir haben also Normalgleichungen der Grade qll q2' ... und (v - 1) Normalgleichungen pten Grades zu lösen. Die Gleichungen der Grade Ql' q2' .•. dienen zur Berechnung der Einheitswurzeln pten Grades. Die weiteren (v - 1) Gleichung plen Grades sind dann einfach die (v - 1) "reinen" Gleichungen: 2in
2in:
zP
(6)
=
e pO
,
••• ,
"p =
R
e Pv -
1
wobei mitte1st der Lösung jeder Gleichung die rechte Seite der nächsten Gleichung gewonnen wird. Hier handelt es sich also um Gleichungen, die durch "Wurzelziehungen" (Einteilungen von Winkeln in p gleiche Teile) lösbar sind. Gauß sagt (in Art. 336 der "Disquisitiones arithmeticae") von diesen Gleichungen, daß sie sich in keiner Weise auf Gleichungen niederen Grades zurückführen lassen. 1) Demgegenüber bezieht sich der Hauptinhalt der Gaußschen Theorie auf die Lösung der irreduzibelen Kreisteilungsgleichung:
(7)
Zp-l
+
Zp-2
+ ... + + 1 = Z
0
für die Primzahl n = p. Der erste Teil der Theorie führt zu der Kette der Gleichungen, welche in der späteren allgemeinen Galoisschen Theorie den Hilfsgleichungen (4) S. 55 entsprechen. Daran reiht sich so dann die wirkliche Auflösung der Hilfsgleichungen, die auf "reine" Gleichungen zurückgeführt werden und demnach wieder durch "Wurzelziehungen" lösbar sind.
§ 15. Zyklische Gleichungen. Nicht nur für die Kreisteilungsgleichungen, sondern auch für die gleich zu besprechende allgemeinere Klasse der "Abelschen Gleichungen" 1) Wir kommen auf Gleichungen dieser Art im nächsten Paragraphen zurück.
59
Lösung der Kreisteilungsgleichungen. Zyklische Gleichungen
sind die Gleichungen mit zyklischer Gruppe von grundlegender Bedeutung. Wir stellen folgende Erklärung auf: Eine in einem Körpe1" in"eduzibele Gleichung nie" Grades fez) = 0, deren Galoissche Gruppe zyklisch ist, soll selbst eine "zyklische" Gleichttng genannt werden. Die Galoissche Gruppe soll sich also aus einer einzigen Permutation S erzeugen lassen. Zerlegen wir diese Permutation S nach S. 19 in ihre Zyklen, so kann nur ein Zyklus vorliegen, der alle n Wurzeln der Gleichung verbindet, da andernfalls die Gruppe intransitiv sein würde. Wir ordnen die Wurzeln, die wir übrigens hier zweckmäßig durch f)o, f)11 f)2"'" f)1I_1 bezeichnen, in der Art an, daß:
sr
S
(1)
=
(f)o, f)11 f)2' ... , f)n_I) f)1' f)2' f)3' ... , f)o
wird. Wir erhalten damit den Satz: Die Galoissche Gntppe einer irreduzibelen zyklischen Gleichung n len Grades ist eine Gn'/lJpe Gn von der nie" Ordnung, so daß jede zyklische Gleichung f(z) = eine Normalgleichung ist. Für den vorliegenden Zweck ist es ausreichend, den Grad n der zyklischen Gleichung gleich einer Primzahl p zu nehmen, wodurch die Schlußweise wesentlich erleichtert wird. Wir bemerken dann zunächst,
°
2 in
sr
°
daß die primitive pte Einheitswurzel c = e P entweder in' enthalten ist darstellt. Im Galoisschen oder eine akzessorische Irrationalität von fCz) = Körper (sr, f)) vom Primzahlgrade p sind nämlich, abgesehen von den Zahlen nur primitive Zahlen enthalten (vgl. S. 41), die als solche des Körpers irreduzibelen Gleichungen plen Grades genügen; c aber geuügt einer GleiIst c nicht in enthalten, so bleibt die chung (p - 1)ten Grades in a~tch im Körper (sr, c) irrednzibel. Jede Zerlegung Gleichung fez) = f(z) = q;(z)·'IjJ(z) mit zwei .Faktoren q;(z), zjJ(z) von Graden
sr,
°
sr.
sr
sr
sr
sr
(2)
,. =
b"
f)
0
+ c-af)I+'f-2ctf) 2 + ... -L c-(p-l)afJP -1' I
°
sr
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
60
der eine "Lagramgesche Resolvente'(1) heißt und (nach Adjunktion von c) zu den natürlichen Irrationalitäten der Gleichung fez) = 0 gehört. Bei Ausübung der erzeugenden Permutation (1) der Galoisschen Gruppe Gp wird Sa übergeführt in c"s". Durch wiederholte Ausübung von S findet man als die p mit Sa konjugierten Zahlen:
(3) Die p Zahlen 1, cl', 8 21 ', .•. , c (p - 1) I' sind für tL = 0 alle gleich 1, für eine der Zahlen tL = 1, 2, 3, ... , p - 1 stellen sie die p Wurzeln pten Grades der Einheit in irgend einer Reihenfolge dar und geben dann die Summe O. Die für a = 0,1, 2, .... , p - 1 zu bildenden Gleichungen (2) lassen sich daraufhin in folgender Art nach {)o, {)lI ... , {)p-1 auflösen:
"1
p-l
(4)
()
ß
=
1 ---
/
P~' a=O
8"ß~
\>a'
ß=O, 1, 2, ... ,p-l.
sr
Die Zahl ~o ist bereits in enthalten. Würde dasselbe von allen Zahlen 6 gelten, so würden zufolge (4) auch die ()ß in ~ enthalten sein, während doch keine einzige Wurzel der irreduzibelen Gleichung f(z) = 0 eines Grades p > 1 in vorkommt. Also gibt es unter den Zahlen (2) mindestens eine primitive und eben deshalb von 0 verschiedene Zahl des Körpers (sr, (). Die pte Potenz jeder Zahl Set ist zufolge (3) nur mit sich dar: Jede der selbst konjugiert und stellt dieserhalb eine Zahl ca aus p Zahlen 6a genügt einer "reinen" Gleichung in ~:
sr
sr
(5) vom Grade p, und es findet sich unter diesen Gleichungen mindestens eine, die in irredttzibel ist, und für die ca 0 ist. Nennen wir eine beliebige unter den Wurzeln dieser reinen Glei-
+
sr
chung ~ =V~, so gilt (~, () = (~, s), und es ist jede Wurzel zyklischen Gleichung in der Gestalt:
(6)
()ß =
c,;,o
{)ß
unserer
+ Cß ,1S + Cß ,262 + ... + Cß,p-l ~P-l
mit Koeffizienten c aus ~ darstellbar. Wir haben also den Satz gewonnen: Eine zyklische Gleichung des Primzahlgrades p ist nötigenfalls nach Adjunktion der Einheitswurzel pten Grades 8 mittelst einer einzigen Wurzelziehung pten Grades lösbar. Dieser Satz begründet die am Schlusse des vorigen Paragraphen über die Kreisteilungsgleichungen gemachten Angaben näher. Die zur Berechnung der Einheitswurzeln pfen Grades zu lösenden Hilfsgleichungen sind zyklische Gleichungen der Grade qll q2' .... Jede dieser Gleichungen 1) Hier bedeutet also der Ausdruck "Resolvente" nicht eine Gleichung für eine natürliche Irrationalität, sondern eine besonders gewählte Irrationalität dieser Art selbst.
Lösung der zyklischen Gleichungen. Abelsche Gleichungeu
öl
ist durch eine einzige Wurzel qten Grades lösbar, wobei freilich der vorstehenden Theorie zufolge eine qte Einheitswurzel zu adjungieren ist. Schon hieraus folgt ohne näheres Eingehen auf die Gaußsche Theorie durch den Schluß der vollständigen Induktion, daß die Kreisteihtngsgleichungen und mit ihnen jedenfalls auch alle zyklischen Gleichungen von Primzahlgraden allein durch W2trzelziehungen (und rationale Rechnungen) lösbar sind.
§ 16. Abelsche Gleichungen.
° °°°
Eine in einem Körper ~ irrednzibele Gleichung n to " Grades, deren Wurzeln wir etwa wieder = 0 , 1 , 2 , ••. , 0n_l nennen, heißt eine "Abelsche Gleichung", wenn ihre Galoissche Gruppe eine kommutative oder Abelsche ist. Da die Gruppe transitiv ist, so können wir n Permutationen 'So= 1, S1I ... , S,,_l aus ihr entnehmen, von denen Sk die Wurzel 00 in 0k überführt. Diese n Permutationen bilden bereits die ganze Galoissche Gruppe der GleicJntng. Es sei nämlich G ft die Untergruppe aller Permutationen, die 00 in sich überführen. Dann bilden diejenigen Permutationen, die eine beliebige 'Wurzel 0k in sich überführen, die mit Gf , gleichberechtigte Untergruppe Sk . GI" . S;;1. Da aber jede Untergruppe einer Abelschen Gruppe ausgezeichnet ist, so ist Sk' Gp ' Sk 1 = Gp , d. h. die Permutationen der G" führen jede 'W urzel der Gleichung in sich über, so daß G" = GI nur aus der identischen Permutation So = 1 besteht. Führt neben Sk auch S~ die Wurzel 00 in 0k über, so transformiert S,/ . S~ die Wurzel 00 in sich, so daß S;;1 . S~ = 1 und also S; = 8 k gilt. Es gibt also eine nnd nur eine Permutation in der Gruppe, die 00 in eine beliebig vorgeschriebene Wurzel 0k überführt. Damit ist der Satz bewiesen: Die Galoissche Gruppe einer Abelschen Gleichung nl.n Grades ist eine einfach transitive Gruppe G" der Ordnung 12; eine Abelsche Gleichung ist also stets eine Normalgleichung, und der zugehörige Galoissche Körper ist der dttrch (~, 0) gegebene Körper n ten Gmdes. Jede Wurzel 0k der Abelschen Gleichung ist In emer ersten unter ihnen in der Gestalt:
°
(1)
0k=
ck,o+ Ck,10
+ Ck,202+ . . . + Ck,n_l0n-1
mit Koeffizienten C aus ~ darstellbar. Die in (1) rechts stehende Funktion, die durch R k bezeichnet werden möge, liefert die Wurzel Bk' in welche 0 bei der Permutation Sk übergeht. Üben wir zuerst Sk und dann SI aus, so gehe 0 in 0m = Rk(R/(O» über. Da nun Sk' SI = SI' Sk ist, so folgt: Je zwei eler bei 2tnSerer Abelschen Gleichung an(tretenden rationalen ganzen Funktionen R befriedigen die Bedingung:
(2)
Rk(RI(O»)
=
R/(Rk(O») .
Bei der Zusammensetzung zweier Funktionen R hat man die zunächst
62
Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie
°
auftretenden Potenzen von mit Exponenten:::::; n mitte1st der Gleichung = 0 auf solche mit Exponenten< n zu reduzieren. In (2) rechts und links erscheinen dann nach Ausfnhrung dieser Reduktionen identische Funktionen (n - 1yen Grades von 0. Umgekehrt gilt der Satz: Eine in Sfirreduzibele Gleichung n ten Grades l(z) = 0 ist eine Abelsche Gleichung, wenn jede ihrer rVurzeln 0k in einer ersten unter ihnen mtional in der Gestalt (1) darstellbar ist, und wenn diese mtionalen Funktionen R die Bedingung (2) erlüllen. Der Galoissehe Körper (Sf, 0,. 11 • , ., On-i) ist dann nämlich als Körper (sr, 0) darstellbar und also vom Grade n, so daß l(z) = 0 eine Normalgleichung ist. Die Galoissche Gruppe Gn der Ordnung n ist aber zufolge (2) kommutativ. Nach S. 17 wird die Indexreihe der kommutativen Gruppe Gn von den die Zahl n zusammensetzenden Primfaktoren tl1 ta, t s , ... geliefert. Die Gruppen Gtl , GI" ... der Hilfsgleichungen sind demnach als Gruppen von Primzahlordnung durchweg zyklisch, so daß die Hilfsgleichungen selbst ohne Ausnahme zyklische Gleichungen von Primzahlgraden sind, deren Auflösung in § 15 behandelt ist. Eine Gleichung, deren vollständige Auflösung ausschließlich durch rationale Rechnungen und Wurzelziehungen, also durch "Operationen der Algebra" vollzogen werden kann, wird als eine "algebraisch lösbare Gleichung" bezeichnet. Nach S. 60 ff. sind die zyklischen Gleichungen von Primzahlgraden solche Gleichungen. Die vorstehende Betrachtung hat uns also zu dem Satze geführt: Die Abelschen Gleichungen, zu denen insbesondere die Kreisteilungsgleichungen und alle zykUschen Gleichungen gehören, sind algebraisch lösbar.
(CO)
°
°
§ 17. Algebraisch lösbare Gleichungen. Um die Gesamtheit aller algebraisch lösbaren Gleichungen zu überblicken, gehen wir noch etwas weiter, als es in § 15 geschah, auf die algebraische Bedeutung der Ausziehung einer Wurzel n ten Grades ein. Ist die Primfaktorenzerlegung von n durch n = Pi . Pa' Ps . .. gegeben, so kommt das Ausziehen einer Wurzel n ten Grades auf eine Kette von Wurzelziehungen der Primzahlgrade Pli P2' Ps, ... hinaus. Für die einzelne dieser Wurzelziehungen, d. h. für die Lösung einer "reinen" Gleichung: (1) des Primzahlgrades P gilt nun der folgende Satz: Die Gleichung (1) ist in einem die Zahl c enthaltenden Körper entweder i1-reduzibel oder c ist die pte Poten.rJ einer Zahl Co aus Sf. Soll es nämlich eine Zerlegung:
sr
(2) zP-c=cp(z)·1fJ(z) von (zP - c) in zwei Funktionen cp(z) und 1fJ(z) in Sf von niederem aJs
Lösung der Abelschen Gleichungen. Algebraisch lösbare Gleichungen
63
Grade geben, so sei m der Grad von cp (z). Die m Wurzeln von cp (z) = 0 gehören zu denen der Gleichung (1) und haben also alle die Gestalt 8'YC, wo eine unter ihnen ist, 8 eine primitive pte Einheitswurzel bedeutet und l ganzzahlig ist. Das Produkt der m Wurzeln der Gleichung cp(z) = 0 ist als Absolutglied der Funktion cp(z) eine in .enthaltene Zahl a. Wir haben also: (1:r) 8'" vcm=a,
ptcn
yc
sr
wo auch ft eine ganze Zahl ist, und finden durch Erheben der letzten Gleichung zur pton Potenz: (3) c1/l= aP • Da nun m teilerfremd gegen p ist, so kann man zwei ganze Zahlen a und ß angeben, die die Gleichung am + ßp = 1 befriedigen. Mit Benutzung von (3) ergibt sich hieraus: c = CCXnl. cp p = a"P. c'':Ip = (aa. cP)P, so daß c in der Tat als pte Potenz einer Zahl aus ~ dargestellt ist. Ist nun die Gleichung (1) reduzibel und also c = c:;, so sind die Wurzeln dieser Gleichung co, 8 co, 1: 2 co, ... , 8 P-1 co, so daß die Auflösung der Gleichung einfach auf die del' Kj'eisteilungsgleichung für den plen Teilungsgrad zurückkommt. Im Falle der Irreduzibilität sei = eine beliebige unter den enthalten ist. Da Wurzeln der Gleichung (1), die dann noch nicht in sich die gesamten Wurzeln dann in der Gestalt:
°
yc
sr
(4) 00= 0, 0l = EO, 02= 8 2 (), ••• , 0p_l = EP-le ansetzen lassen, so ist 8 sicber im Galoisschen Körper (sr, 0, 11 ••• , 0p_l) enthalten. Sollte 8 noch llicht in ~ enthalten sein, so wird doch gleichwohl die Gleichung (1) auch noch im Körper (~, 8) irreduzibel sein. Wäre sie nämlich reduzibel, so fänden wir wie oben, daß c die pte Potenz einer Zahl aus (sr,8) sein müßte, und also wären alle Wurzeln der in irreduzibelen Gleichung pten Grades (1) im Körper (sr,8) vom (p - 1yen Grade enthalten, was unmöglich ist. Wir adjungieren nun 8 nötigenfalls und bezeichnen den Körper (sr, 8) gleich selbst wieder durch sr. Aus (4) erkennen wir in der Gleichung (1) etzt nach den Sätzen von S. 61 ff. sofort eine "Abelsche Gleichung", und zwar ist sie offenbar "zyklisch", so daß die Wurzelziehung plen Grades jetzt auf die Lösung einer zyklischen Gleichung des Primzahlgrades p hinauskommt. Da auch die Kreisteilungsgleichungen ihrerseits auf zyklische Gleichungen von Primzahlgraden zurückgeführt werden, so bedeutet überhaupt jede Radizierung im Sinne der Gleichungstheorie die Lösung einer Kette zyklischer Gleichungen von Primzahlgraden. Hiernach können wir sofort beantworten, wann irgendeine in einem Körper ~ irreduzibele Glei-.
°
sr
64 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen chung fez) = 0 algebraisch lösbar ist. Die bei der fortgesetzten Reduktiou der Galoisschen Gruppe Gm bis zur GI hin nach und nach zu lösenden Hilfsgleichungen haben lauter einfache Ga.Ioissche Gruppen. Sollen diese Gleichungen alle algebraisch lösbar sein, so müssen sie ohne Ausnahme zyklische Gruppen von Primroahlordnung rou Galoisschen Gruppen haben. Ist dieses aber der Fall, so sind sie auch sicher algebraisch lösbar. Da jede Gruppe von Primzahlordnung zyklisch ist, so ergibt sich der Satz: Eine in einem Körper irreduzibele Gleichung ist stets und nur dann algebraisch lösbm', wenn die Indexreihe der .?'UiJehörigen Galoisschen Grttppe ans lanter Prirnzahlen besteht.
sr
III. Algebraische Funktionen. § 1. Funktionen und Gleichungen in Fnnktionenkörpern. Die Entwicklungen des zweiten Teiles übertragen wir jetzt auf solche Gleichungen mit variablen Koeffizienten, wie sie in der Theorie der algebraischen Funktionen (vgl. I, 76ff.) auftreten. Wesentliche Änderungen sind dabei, daß erstens an Stelle von Zahlkörpel'll hier "Funktionenl;;ö~' per" treten, deren Begriff bereits in T, 81 aufgestellt wurde, und daß zweitens an die Stelle der Gleichheit zweier Zahlen jetzt die Identität zweier Funktionen tritt. Im übrigen gestalten sich die Entwicklungen durchaus nach dem Vorbilde derjenigen im Teile II, so daß es der Kürze halber vielfach gestattet sein wird, auf die obigen Darlegungen Bezug zu nehmen. Die B'unktionenkörper, mit denen wir zu arbeiten haben, sind in folgender Art zu erklären. Wir legen zunächst einen bestimmten Zahlkörper ~ zugrunde, verstehen unter x eine komplexe Yari~ble und unter B l (x), R 2 (x), ... rationale Funktionen von x mit Koeffizienten aus st. Weiter sei y eine algebraische Funktion von x, gegeben durch eine im Sinne von I, 79 irreduzibele Gleichung lten Grades in y: (1) yl+ R 1(x)yE-l+ R 2(x)yl-2+ ... R/x) = ü.
+
Dieser algebraischen Funktion y gehört eine gewisse zusammenhängende l·bläUrige Riemannsche Fläche FE über der x-Ebene zu. Die gesamten algebraischen Funktionen dieser Fläche sind nach I, 80 rational in x und y darstellbar, und umgekehrt ist jede rationale Funktion von x und y mit nicht identisch verschwindendem Nenner eine algebraische Funktion der Fläche. Wir greifen unter diesen Funktionen die.ienigen heraus, welche als rationale Ausdrücke R(x, y)in x und y mit Koeffizienten mlS ~ darstellbar sind. l ) Es ist einleuchtend, daß die herausgegriffenen Funk1) Unter (5) S. 68 wird eine eindeutig bestimmte Normaldar,;tellung für die .einzelne dieser Funktionen R(x, y) angegeben werden.
Der Funktionenkörper
sr",
und die Funktionen fCz) in
sr",
65
tionen R(x, y) in ihrer Gesamtheit einen "Funktionenkörper" bilden; wir bezeichnen diesen Körper durch ~x und legen ihn den nachfolgenden Entwicklungen zugrunde. Ist insbesondere 1 = 1, so handelt es sich einfach um den Körper ~'" aller rationalen Funktionen von x mit Koeffizienten aus~. Dieser letztere Körper, der durch Adjunktion der VariabIen x zum Körper ~ entsteht, kaun entsprechend auch durch (~, x) bezeichnet werden. Es seien nun ao(x), a1 (x), ... , an(x) oder kurz ao, al l ••• , an irgend (n + 1) Funktionen aus ~x, von denen die erste nicht identisch verschwinden soll. Vermittelst einer komplexen Variablen z bilden wir dann den Ausdruck:
(2) den wir als eine "Funktion n ten Grades im Körper ~x" bezeichnen, und aus dem wir durch Nullsetzen eine "Gleichtmfl n ten Grades in 5f"," gewinnen. Die Funktionen nullten Grades in ~'" sind dann einfach die den Körper ~x bildenden Funktionen, abgesehen von der identisch verschwindenden Funktion, die wieder für sich steht. Für funktionentheoretische Schlüsse ist die Tatsache wichtig, daß jede Lösung einer Gleichung fez) = 0 in ~1'x eine algebraische Funktion dfr ursp1'ünglichen Variablen x liefert. Durch Elimination von y aus fez) = 0 und der Gleichung (1) erhalten wir nämlich eine algebraische Relation zwischen z und x. Es lassen sich nun zunächst die EntwicklUllgen von S. 29ff. auf die hier vorliegenden Funktionen fez) übertragen. Kann fez) als das Produkt X1(Z)' X2(Z) zweier Funktionen X1(Z), X2(Z) in ~x dargestellt werden, so heißt jede dieser beiden Funktionen ein "Teiler" von fez). Einleuchtend ist dann wieder, daß jede nicht identisch verschwindende Funktion aus ~x (d. h. jede Funktion nullten Grades in sr x ) ein Teiler von fez) ist und ebenso jedes Produkt von fez) mit einer solchen Funktion aus ~x' Aus zwei fest gegebenen Funktionen fez) und g(z) in ~x, deren Grade n und m > 0 seien, bilden wir mitte1st beliebiger Funktionen rp(z), 1/J (z) in ~x die Gesamtheit ~ aller Funktionen:
(3)
f(z)1/J(z)
+ g(z)rp(z).
Aus der Körpereigenschaft der Koeffizienten unserer Funktionen geht dann wieder hervor, daß das System ~ die S. 29 unter 1. und 2. genannten Eigenschaften besitzt, wobei ~x an Stelle von ~ tritt. Hieran schließt sich die Überlegung von S.29ff., die zum "größten gemeinsamen Teiler" der beiden Funktionen fez) und g(z):
(4)
X(z)
=
z' + C1 Z·- 1 + C2 Z·- 2 + ... + c.
hinführt. Dieser größte gemeinsame Teiler ist eine durch fez) und g(z) eindeutig bestimmte Funktion in ~x, deren Grad v >0 ist und jedenfalls F ri c k e, Die elliptischen Funktionen II
5
66 Einleitung, TeiL IrI: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen keinen der Gradll n, m übertrifft. Die Funktion X(z) gehört dem Systeme ~ an, ist also darstellbar in der Gestalt:
(5)
x(z)
=
t(z)7f;(ft)
+ g(z)rp(z).
Ist der Grad v = 0 und aholO X(z) mit 1 identisch, so heißen dieFunktionen fez), g(z) "teilerfremd": Für zwei teilerfremde fez), g(z) kann
man zwei Funktionen cP (z), 7f; (z) in K x so bestimmen, daß die Gleichung: (6)
f(z)7f;(z)
+ g(z)rp(z) =
1
identisch besteht. Auch umgekehrt ist unmittelbar einleuchtend, 'daß dieFunktionen fez) und g(z) durch die Existenz einer identischen Gleichung (6) als teilerfremd charakterisiert sind. Hätten nämlich fez) und g(z) einen gemeinsamen Teiler eines Grades v> 0, so würde in (6) links. das Produkt einer Funktion des Grades v > 0 mit einer Funktion in ~'" stehen, die wegen (6) nicht mit 0 identisch sein kann. Also würde in (6) links eine Funktion mindestens vom Grade v > 0 stehen, die nicht mit der Funktion nullten Grades 1 identisch ist. Hieran schließen sich genau wieder die Überlegungen von S.30ff. Wir dürfen sogleich folgende Sätze notieren: Sind fez), g(z) und h (z)
Funktionen in ~x, von denen die beiden ersten teilerfremd sind, und ist g(z) . h(z) durch t (z) teilbar, so ist fez) ein Teiler von h(z). Auf die Gleichung (6) bezieht sich der Satz: Sind fez) und g(z) teilerfremd, so gibt es ein und nur ein Paar, die Gleichung (6) identisch befriedigender Funktionen rp(z), 7f;(z), deren Grade bzw. < n und< m sin:1. Für eine beliebige Funktion h(z) in ~x gilt endlich der Satz: Sind fez) und g(z) teilerfremd, so kann man jede Funktion h(z) in ~x in der Geslalt: (7)
h(z)
=
f(z)7f;(z)
+ g(z)rp(z)
mit zwei Funktionen rp(z) und 7f;(z) in~" darstellen, und zwar kann man die Funktionen rp (z) und l/J (z) in einer tmd nur einer Art so wählen, daß der Grad von fJJ (z) kleiner als der Grad n von fez) ist. Die Funktion fez) heißt "in ~x reduzibel", falls sie eine Funktion X(z) in ~x eines Grades, der> 0 und< n ist, zum Teiler hat; existiert ein solcher Teiler nicht, so.heißt fCz) "in ~x irreduzibel". 1) Hieran schließen sich wie S. 31ft'. die folgenden Sätze:
1st von den beiden Funktionen fez) und g(z) in ~x die erste irreduzibel, so sind fez) und g(z) entweder teilerfremd oder g(z) hat fez) zum Teiler. Zwei irreduzibele Funktionen fez) und g(z) sind entweder teilerfremd oder bis auf einen Faktor, der eine Funktion aus ~x ist, identisch. 1) Der Zusatz "in Sf"," wird wieder, falls er selbstverständlich ist, gewöhnlich fortgelassen.
Reduzibilität und Irreduzibilität. Algebraische Funktionen in bezug auf Sl'", 67
r
Eine irreduzibele Funkticn fez) ist stets teilerfremd zur Funktion (z), die man durch partielle Differentiation nach z aus ihr erzielt. Jede Funktion fez) in ~'" ist nur auf eine Art als Produkt irredutibeler Funktionen da1'stellbar, abgesehen davon, daß jede irreduzibele Funktion noch um eine nicht identisch verschw1'ndende Funktion aus ~'" als Faktor geändert werden kann.
§ 2. Algebraische Funktionen in bezug auf einen Körper
°
a
iZ••
Die Gleichung n ten Grades fez) = in ~"" die wir durch Nullsetzen einer Funktion n ten Grades in ~x gewinnen, heißt "in sr", reduzibel" oder "irredttzibel", je nachdem fez) reduzibel oder irreduzibel ist. Eine Lösung ist nach S. 65 eine "algeoder Wurzel z = 8(x) der Gleichung {(z) = braische Funktion" von x; genauer ist sie als eine mehrdeutige Funktion der Stelle der Riemannschen Fläche F1 zu denken und werde als eine "in bezug attf den Körper ~'" algebraische Funktion" bezeichnet. Ist fez) = reduzibel, so muß für z = 8 (x) mindestens einer der irreduzibelen F aktoren von fez) identisch verschwinden, so daß jede in bezug auf ~x algebraische Funktion sicher mindestens einer irreduzibelen Gleichung in ~'" genügt. Es gilt nun zunächst der Satz: Haben die beiden Gleichungen fez) = und g(z) = 0, von denen die erste t·rreduzibel i~t, eine gemeinsame Wttrzel z = 8(x), so ist fez) ein Teiler von g(z). Wäre dies nämlich nicht der Fall, so müßten, da fez) irreduzibel id, fez) und g(z) teilerfremd fein Also gäbe es zwei Funktionen rp (z) und 'Ij; (z) in ~x, die mit fez) und g(z) die Relation (6) S. 56 identisch befriedigen. Wählen wir aber irgelldeine Stelle X o auf Fl) für welche alle Koeffizienten umerer Funktionen endliche Werte haben, so ist sicher:
°
°
°
f(8ex o)'Ij;(8(xo)
+ g(8exo)rp(8exo)
=
0,
da rp(8exo), 'Ij;({)exo) nicht unendlich sind und f(8ex o)), g(8(xo) verschwinden. Dies widerspricht aber der identischen Relation (6) S. 66, so daß der Satz richtig ist. Als einfache Folgerungen ergeben sich die Sätze: ZU'ei in-eduzibele Gleichungen in ~x haben ln{u·eder keine glmeinsame TVur.cel oder ihre linken Seiten sind, abgesth()~ von eimm Falter, der eine I/unktion in sr", ist, identisch. Eine in bezug auf den Körper ~'" algebraische Funktien z = o(x) geni(qt im wesentlichen nur einer einzigen in-eduzibclen Gleichung in ~",. Der Ausdruck "im wesentlichen" bezieht sich darauf, daß die linke Seite der Gleichung noch mit einer Funktion aus ~'" als Faktor versehen werden kann. Weiter besteht der Satz: Ist z = 8(x) eine Wurzel der irrcduzibelen Gleichung fez) = 0, so kann f' (8ex» nt'cht identisch verschwinden. Ist n der Grad der irreduzibelen Gleichung für z = 8(x), so nennen 5*
68 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen wir ()(x) eine in bezug auf ~x algebraische Funktion "vom n ten Grade". Für n = 1 haben wir in ()(x) natürlich eine Funktion aus ~x. Ist n> 1, so gehört ()(x) dem Körper ~x nicht an, so daß wir durch Adjunktion von () = ()(x) zu ~x einen durch (~x, () zu bezeichnenden erweiterten Funktionenkörper erhalten. Dieser Körper besteht aus allen inder Gestalt: ( 1)
~(x) =~(O(x»
oder kurz
g(O(X»
~
=
h(O)
g(O)
darstellbaren Funktionen, wo g(x) und hex) Funktionen in ~'" sind, von denen die erste für ()(x) nicht identisch verschwinden und also fez) nicht als Faktor haben darf. Da hiernach fez) und g(z) teilerfremd sind, so können wir nach (7) S. 66 die im Zähler von ~ stehende Funktion h (z) in der Gestalt: h(z) = f(z)1fJ(z) g(z)g;(z) (2)
+
darstellen, wo g;(z) und 1fJ(z) Funktionen in ~x sind und der Grad von g; (z) kleiner als n ist. Schreiben wir demnach: (3)
g;(z)
=
Co
+ clz +
C2 Z 2
+ ... + cn _
z
1 n -\
so ergibt sich durch Eintragen von ()(x) für z in (2) und (3) der Satz: Jede Funktion S = sex) des erweiterten Körpers (~x, () ist in der Gestalt:
(4) darstellbar, wo die c Funktionen aus ~x sind; zttgleich ist diese Darstellung für die einzelne Funktion sex) eindeutig bestimmt. Der letzte Teil des Satzes folgt genau wie S. 34 aus der Irreduzibilität von f(z). Man kann diesen Satz auch auf die Gleichung:(1) S. 64 und damit auf die Darstellung der algebraischen Funktionen R(x', y) des Körpers ~x anwenden. Jene Gleichung ist irreduzibel im Körper (~, x) der rationalen Funktionen von x mit Koeffizienten aus ~.l) Für die Funktionen R(x, y) des Körpers ~x ergibt sich demnach je eine eindeutig bestimmte Darstellung: (5) R(x, y) = c~ c~y 4y 2 c;-d-t,
+
+
+ ... +
wo die c' dem Körper (~, x) angehören und also rationale Funktionen von x mit Koeffizienten aus ~ sind.
§ 3. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Funktionen. Von grundsätzlicher Bedeutung ist auch hier die Tatsache, daß man die gleichzeitige Adjunktion einer beliebigen Anzahl algebraischer Funktionen ()l (x), ()2(X), ..., ()m(x) zu ~x durch die Adjunktion einer einzigen Funktion r;(x) ersetzen kann. Der Beweis dieses Satzes kann wieder durch die 1) Sie ist nach I, 79 sogar irreduzibel im Körper aller rationalen Funktionen von x mit beliebigen konstanten Koeffizienten.
Darstellung der Funktionen von
(sr""
0). Adjunktion mehrerer Funktionen
69
Überlegungen von S. 35:ff. geführt werden, nur sind ein paar Änderungen dadurch bedingt, daß wir hier mit Funktionen und nicht mit Zahlen zu tun haben. Wir gehen schrittweise vor, bezeichnen zunächst die Funktion 01 (x) kurz durch O(x) und stellen nach (4) und (5) § 2 die Funktionen ~ des Körpers (~"" 0) in der Gestalt:
(1)
~
=
~C;..yJ.O",
1., v
A = 0, 1, ..., 1 _.- 1, v = 0, 1, ..., n - 1
dar, wo die ch Funktionen des soeben mit (~, x) bezeichneten Körpers der rationalen Funktionen von x mit Koeffizienten aus ~ sind. Die Funktion O(x) war zunächst eine mehrdeutige Funktion auf der Riemannschen FlächeFj • Sie ist aber auch direkt in bezug auf (~, x) algebraisch und möge als solche der in (~, x) irreduzibelen Gleichung:
(2)
0"' + R~ (x)om-l + R~(x)om-2 + ...
+ R~(x) =
°
genügen, die wir der Gleichung (1) S. 64 für y anreihen. Wir setzen nun: (3)
Yl(X)
=
ay(x)
+ ßO(x)
oder kurz
YI = ay
+ ßO,
wo a, ß als rationale ganze Zahlen in folgender Art bestimmt werden sollen: Da keine zwei Lösungen y(x), y'(x), ..., y(I-I)(X) der Gleichung (1) S. 64 identisch sind und ebenfalls keine zwei Lösungen O(x), O'(x), ..., o(m-I)(x) von (2), so können wir ein Argument X o so wählen, daß die 1 Zahlen y(xo), y'(xo), ... durchweg verschieden sind und ebenso die m Zahlen O(xo), O'(xo), .... Wir bilden die 1· m Kombinationen:
(4)
ayCl)(X)
+ ßOC1t)(x),
)"
=
0,1, ...,1-1,
[L =
0,1, ..., m-1
und erhalten auf diese Weise 1· m Funktionen, die wir in irgendeiner Reihenfolge '!Il' y~, y~, ..., y~",-l) nennen. Wegen der Verschiedenheit der Zahlen yC1J(xo) und derjenigen der O(P)(xo) können wir nach einer oben wiederholt ausgeübten Überlegung die a, ß als rationale ganze Zahlen so bestimmen, daß die 1· m Zahlen YI (xo), y~(xo), ..., yCim-i) (xo) durchweg verschieden sind. Daraus folgt dann, daß von den 1m Funktionen (4) keine zwei identisch sein können. Hieran schließt sich nun die Wiederholung der Überlegung, die wir oben (S. 36) mit der Gleichung (7) begonnen hatten. Wir finden, daß die 1m Funktionen YlI y~, ..., y~m-l) die Wurzeln einer Gleichung F(z) = im Körper (~, x) vom Grade 1m sind. Diese Gleichung braucht in (~, x) nicht irreduzibel zu sein; aber es verschwindet wegen der Verschiedenheit der YI' y~, ... sicher F' (YI) nicht identisch, was für die weitere Überlegung ausreichend ist. Durch Übertragung der an (9) S. 37 angeschlossenen Überlegung finden wir, daß der Körper (~"" 0) = (~, X,y, 0) auch als Körper (~, x, YI)' der durch St~l) bezeichnet werde, durch Ad-
°
70 Einleitung, Teil IU: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen junktion der einzigen Funktion Y1 zu (~, x) an der Stelle der beiden y;fJ gewinnbarist. Wir setzen jetzt genauer 81 (.r;) für die Fllnktion 8(x) ein und halten an der Bezeichnung (~x, 0i) = Sl:~I) fest. Wesentlich ist, daß der so erhaltene Körper Sl:!l) wieder ein Körper derselben Art wie Sl:", ist. Die Funktionen des Körpers (Sl:~I), ( 2 ) = (~x' 1 , Oa) lassen sich demnach in der Gestalt:
°
(5)
l
=
0,1, ..., n 1 - 1,
[L =
0, 1, ..., n2 -1
darstellen, wo die C\.I) Funktionen aus st~l) und die C). I' solche aus Sl:x sind; und nl l n a die Grade von fJ 1 (x), 02(X) bedellten. Die Darstellungen (4) sind freilich nicht mehr notwendig eindelltig bestimmt!); doch, wird dltdurch die weitere Schlußweise nicht beeinflußt. Der Körper (~~I), 82} kann dann wieder als ein Körper Sl:12 ) von der Art des Körpers Sl:x durch Adjunktion einer einzigen Funktion Ya zu (~, x) gewoIlllen werden. Um das Ergebnis möglichst dem Satze von S. 35 anzupassen, entnehmen wir'aus der vorstehenden Betrachtung die Tatsache, daß die bei den weiteren Adjunktionen eintretenden Körper (Sl:"" 811 Ba, 0a), ... stet'i wieder als Körper Sl:,~3), ... von der Art des Körpers Sl:x bei der Fortsetzung der Betrachtung zugrunde gelegt werden können .. Wir gelangen so für die Funktionen des Körpers (Sl:"" 0ll Ba, ..., Bm ) zu Darstellungen der Gestalt:
l
=
0,1, ... , n i -1,
[L =
0,1, ... , n 2 ~ 1,'... ,
die für die einzelnen Funktionen natürlich wieder nicht notwendig eindeutig bestimmt sind. Die Zahlen n1 , na, . . . sind die Grade der irreClllC: zibelen Gleichungen f1 (z) = 0, f2 (z) = 0, ..., denen die Funktionen B1(x), Os (x), ... genügen. Diese Gleichungen brauchen natürlich, wenn wir auch die m Funktionen BI (x), B2 (x), ... als durchweg verschieden voraussetzen, keineswegs alle voneinander verschieden zu sein. Die Überlegungen von S. 36f1. zum Beweise des am Anfang des Paragraphen aufgestellten Satzes wiederholen sich nun genau wie dort, wobei nur der Schluß auf die Verschiedenheit der N = n1 • n a . .. n,,, Fllnktionen 'I1(x), 'I1'(x), ..., 'I1(N-1 l (X) einer fllnktionentheoretischen Betrachtung bedarf, bei der man von einer geeigneten speziellen Stelle der Riemannschen Fläche F1 auszugehen hat. VVir gelungen zu deni Ergebnis: Der durch Adjunktion von m in bezug auf ~x algebraischen Funktionen 1 (x), B2 (x), ..., Bm(x) zu Sl:", zu gewinnende Funktionenkörpm' (Sl:"" 1 , B2 ,··., (Jm)
°
°
1) Die für 02 vorgelegte in Si'," irreduzibele Gl,eichung des Grades n j kann nämlich im Körper Sf~ll reduzibel sein.
Adjunktion mehrerer Funktionen. Konjugierte Körper
kann auch durch Adjunktion einer einzigen in bezug auf Funktion 'YJ(x), die in der Gestalt:
(7)
'YJ(x)
=
7'l(Jl(X)
sr",
71 algebraisChen
+ 7'2 (J2(X) + ... + 'Ym()m(X)
mittelst rationaler ganzer Zahlen 7' darstellbar ist, zu
sr", gewonnen wet·den.
§ 4. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Funktionen. In den folgenden vier Paragraphen übertragen wir die Entwicklungen von S. 38ft'. auf unsere jetzt vorliegenden Gleichungen mit variablen Koeffizienten. Die Beweise gestalten sich wie oben: sie dürfen demnach . zumeist übergangen werden. Es sei wieder fez) = 0 eine irreduzibele Gleichung in stx vom n ten Grade, deren n Lösungen wir jetzt durch (J(x) = 1 (x), 02(X), ..., O,,(x) bezeichnen. Die () = 011 2 , •••, 0" heißen n "konjugierte" in bezug auf stx algebraische F'unktionen, und entsprechend werden die n Funktionenkörper (st"" () = (st x, ( 1), (st"" ()2)' ..., (st"" On) als n "konjugierte" in bezug auf st", algebraische Körper n ten Grades bezeichnet. Irgendeine Funktion ~ = ~(x) des Körpers (sr"" 0) ist nach (4) S. 68 in der Gestalt:
°
°
. (1) darstellbar, unter co' Cl> •••, cn _ 1 Funktionen aus st", verstanden. Ersetzen wir in (1) rechts () = ()l durch ()2' 0a, ..., ()", so erhalten wir die mit ~ ~ ~l(X) "konjugierten Funktionen" ~2(X), ~3(X)"", ~n(x), Wie S. 38 beweist man, daß ~(x) = ~l(X), ~2(X), ..., ~,,(x) die Wurzeln einer Gleichung n ten Grades in sr",:
(2) sind, die aus der Gleichung fez) = 0 als "Tschirnhausenresolvente" mittelst der Transformation gewonnen wird:
(3) Die Frage der Reduzibilität der Gleichung (2) führt zu der Übel"'" legungvon S. 39 zurück. Wir haben den Satz: Die linke Seite g(w) der Tschirnhausenresolvente (2) ist die p,te Potenz einer irreduzibelen Funktion v ten Grades in St"" wobei p, • v = n zutrifft; die n konjugierten Funktionen ~l' ~2' ••., ~n sind zu je p, einander gleich und liefern v verschiedene Funktionen. Ist p, = 1, so ist die Gleichung (2) irreduzibel, und die n konjugierten Funktionen ~1I ~2' •.•, ~'" die in diesem Falle durchweg verschieden sind, heißen "primitive" Funktionen des Körpers (~"" 0). Für m> 1 werden die ~ "imprimitive" Funktionen des fraglichen Körpers genannt. Es gilt der Satz: In jedem in bezug auf ~x algebraischen Körper nte" Grades (~x, fJ) gibt es ttnenillich viele primitive Funktionen. Man kann
72 Einleitung, Teil Irr: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen nämlich bereits auf unendlich viele Arten ein ,System rationaler ganzer Zahlen 'Yo, 'Yu 'Y2' •.., 'Y,,-1 so wählen, daß die n mit (4) konjugierten Funktionen durchweg verschieden sind. Hierzu ist hinreichend, daß die n mit (4) konjugierten Funktionen an irgendeiner speziellen Stelle Xo der Riemannschen Fläche Fl durchweg verschiedene numerische Werte annehmen. Dies aber ist durch unendlich viele Auswahlen von Zahlen'Y erreichbar, wenn nur, was keine Schwierigkeit hat, die Stelle Xo etwa so gewählt ist, daß die Zahlen ()1 (xo), ()2(X O), ••• , ()n(xo) durchweg verschieden sind. Genau wie S. 40 gestaltet sich der Beweis des Satzes: Durch Adjunktion irgendeiner "primitiven" Funktion ~ von (~x, ()) zum Körper ~x ergibt sich stets der gesamte Körper (~x, () wieder, während für eine "imprimitive" Funktion ~ der Körper (~x, ~) den Körper (~x, ()) noch nicht erschöpft.
§ 5. Galoissehe Körper und Galoissehe Resolventen. Entsprechend den Entwicklungen von S. 41 haben wir nun folgende Erklärung aufzustellen: Der Funktionenkörper (~x, () heißt ein "Galoisschertl Körper oder "Normallcörper", falls er mit seinen sämtlichen konjugierten Körpern gleich ist. Notwendig und hinreichend hierfür ist, daß jede der Funktionen 02(X), 0s(x), ..., O,,(x) im Körper (~x, (1) = (~x, 0) enthalten ist, d. h. daß (n - 1) Gleichungen gelten: k
=
2, 3, ..., n,
wo die c Funktionen aus ~x sind. Es ist dann in entsprechender Weise jede Funktion Ok(X) in jeder O;(x) darstellbar. Einleuchtend ist, daß ein Normalkörper mit jeder seiner Funktionen ~(x) alle ihr konjugierten Funktionen ~l(X) = ~(x), ~2(X), ..., ~n(x) enthält. Wie oben besteht auch hier der Satz: 1st (~x, ()) ein beliebiger in bezug auf ~x algebraischer Körper n ten Grades, tmd sind 01 (x) = ()(x), 82 (x), ..., O,.(x) die mit O(x) konjugierten Funktionen, so ist der Körper (~a:' 01' 02' ..., On) der "kleinste" Galoissche oder Normalkörper, der (~x, 0) in sich enthält. Der Beweis wird durch Wiederholung der Betrachtung von S. 42 geführt. Ist (~x, 011 02' ..., &n) in bezug auf ~x ein algebraischer Körper mten Grades, so genügt irgendeine primitive Funktion 'I}(x) dieses Körpers einer irreduzibelen Gleichung mten Grades in ~x:
(2)
F(Z)
=
0,
°
die wir als eine "Galoissche Resolvente" der Gleichung fez) = bezeichnen oder auch, für sich betrachtet, eine "Normalgleichung" nennen. Eine N or-
Galoissche Körper und ihre Transformationen in sich
73
mal gleichung ist durch die Eigenschaft charakterisiert, daß sie in ~", irreduzibel ist, und daß jede ihrer Lösungen 'I);(x) in einer beliebigen unter ihnen 'l)k(X) in der Gestalt: 1'1. = C\k) + C\k)"., + C(k)".,2 + ... + C\k) ".,n-l (3) "4t 2.0 tl"k t2"k ~,n-l'lk
mit Funktionen C aus st", darstellbar ist. Eine Normalgleichung ist stets selbst eine ihrer Galoisschen Resolventen. .
§ 6. Galoissche Gruppe einer Gleichnng f(z) = O. Wie eben bedeute t) (x) eine bestimmt gewählte primitive Funktion des Galoisschen Körpers (~"" 0 2 , •••, On)' die der irreduzibelen Gleichung (2) § 5 genüge. Wir gewinnen dann .alle Funktionen des Körpers (~"" 1 , 2 , ••• , On) = (~x, t) in der Gestalt:
°°
°°
(1)
und zwar jede Funktion nur einmal, wenn wir hier für die co, Co ..., cm _ 1 alle möglichen Systeme von Funktionen aus ~", eintragen. Statt 'I) können wir aber auch jede mit t) (x) konjugierte Funktion 'l)k(X) benutzen, d. h. wir gewinnen auch durch den Ansatz:
6k= co+ C1 t)k+ c2 '1)Z + ... + cm_1t)r;:-1 jede Funktion von (Sl'"" t)) und jede nur einmal. Ersetzen wir nun t) durch 'l)k' so geht entsprechend 6 in 6k über, und (2)
wir erhalten einen umkehrbar eindeutigen Ersatz jeder Funktion aus '1)) durch eine bestimmte mit ihr konjugierte Funktion aus (~"" '1/). Wir nennen diesen Ersatz wie oben eine "Transformation des Galoisschen Körpers in sich". Nehmen wir der Reihe nach t)k gleich t)u t)2' . . . , tim' so erhalten wir m verschiedene Transformationen des Galoisschen Körpers in sich, die wir symbolisch durch So = 1, So 8 2 , •••, Sm_l bezeichnen; sie haben für jedes System von konjugierten Funktionen m Permutationen zur Folge, die wir gleichfalls durch die Symbole Sk bezeichnen. Für das System dieser m Transformationen gelten nun wieder alle Ausführungen von S. 44:ff. mit denjenigen Abänderungen der Begründungen, welche auf dem Umstande beruhen, daß wir hier mit Funktionenkörpern zu tun haben. Es besteht insbesondere der Satz: Wenn die m Permutationen auch nicht für jedes System konjugierter imprimitiver Funktionen von (~x, '1) durchgängig verschieden sind, so sind sie doch sicher durchgängig verschieden für die n Lösu,ngen 1 (x), 02(X), ..., On (X) der ursprünglich vorgelegten irreduzibelen Gleichung fez) = O. Die Gruppeneigenschaft der m Transformationen folgt wie S. 45: Die m Transformationen So = 1, 81' S2' ..., Sm -1 des Galoisschen Körpers (Sl'"" t)) in sich bilden eine endliche Gruppe Gm der Ordnung m, die in ihrer Gestalt als Permutationsgruppe der m konjugierten Funktionen 'I) die
(Sl'""
°
74 Einleitung, Teil HI: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen "Galoissche Gruppe" der Normalgleichung F(Z) = 0 heißt, in ihrer Gestalt als Permutationsgruppe der () aber "die Galoissche Gruppe" der Bleichttng f(z) = O. Die Galoissche Gruppe Gm der irredttzibelen Gleichung fez) = 0 ist transitiv. Die Galoissche Gruppe einer Normalgleichung mten Grades ist eine Gm der Ordnung m und des Grades m, die einfach transitiv ist. Die Eigenschaften der Gm, die auf der Irreduzibilität der Gleichungen beruhen, gestalten sich gleichfalls wie oben. Es seien: ( 3) ,
R (z) j
=
h1 (z) g1 (z) ,
R (z) 2
=
~.(z) g. (1$)
Quotienten von "Funktionen, In ~x", deren Nenner nicht durch F(z) teilbar seien. Dann sind gl('11k(X») und g2(1h(X») für jedes 1h(X) Funktionen aus (~"" 'Yj), die nicht identisch verschwinden. Damit die bei den in (~"" ?l) enthaltenen Funktionen R 1('Yj (x») und R 2('Yj (x») identisch sind, ist hinreichend und notwendig, daß die Gleichung:
(4) die Lösung z = 'Yj(x) hat. Nach S.67 hat sie danp. aber jedeFunktion 'flk (x) als Lösung, so daß die Gleichung R 1('Yjk (x») = R 2('Ih (x») für jedes 'Yjk(X) identisch besteht, sobald sie fiir eine dm' m Funktionen 'Yj(x) zutr-tf{t: Die Übertragung dieses Satzes auf die Galoissche Gruppe der Gleichung fez) = 0 ergibt wie oben (S. 47) den Satz: Jede rationale "Gleichung in ~xa, die [ur die Funktionen Oj (x), 02(X), .. " ()n(x) identisch besteht, bleibt eine identisch giiltige Gleichung, falls man die 817 8 2 , " ' ) O~ irgendeiner Permutation der Galoisschen Gruppe unterwirft. Berücksichtigt man noch, daß eine Funktion des Körpers (~x, On ()2' ..• , 8n) durch die Permutation der Gm in ihre "konjugierten" Funktionen übergeführt wird, so folgt der Satz: Ein rationaler Ausdruck R(OlJ 2 , ••• , 8,,) mit Koeffizienten aus sr x ' der bei allen Permutationen der Gm mit sich selbst als Funktion auf der Fläche F1 identisch bleibt, ist eine Funktion aus ~x. Als Umkehrung des vorletzten Satzes haben wir nooh den folgenden Satz zu nennen: Eine Permutation der 81 , 2 , ••• , On' die "jede" zwischen diesen Funktionen identisch gültige "Gleichung in ~x" wieder in eine ebensolche Gleichung übmiiihrt, gehört der Galoisschen Gruppe Gm an; diese Gm kann demnach als Gruppe aller Permutationen der 8 erklärt werden, bei denen "alle" zwischen den 81 (x), 82 (x), ... , 8n (x) identisch bestehenden Gleichungen in sr", wieder in solche übergehen. Man führt den Beweis gen au wie S. 47:tI mit einer besonders gewählten Funktion 'Yj(x) der Gestalt (3) S.47. Die Auswahl der ganzzahligen Koeffizienten r kann wieder so getroffen werden, daß von den n! Funktionen, die bei allen n! Permutationen der 8 aus 'Yj hervorgehen, keine zwei identisch sind.
°
°
Galoissche Gruppe und Auflösung einer Gleichung
75
§ 7. Auflösung einer algebraischen Gleichungj(z) = O. Es sei Gll irgendeine Untergruppe der Galoisschen Gruppe Gm unserer irreduzibelen Gleichung ((z) = O. Eine Funktion sex) des Galoisschen Körpers (sr x' 1 , 2 ; ••• , On)' die bei den Permutationen der GI< und nur bei dif:}sen in sich übergeführt wird, nennen wir "eine zur GI< gehörende Funktion" und sagen auch umgekehrt, die Grttppe GI< gehöre .eu tex). Es besteht der Satz: Zu irgendeiner Dntergrttppe GI< von Gm gibt es unendlich viele zugehörige Funktionen; ist sex) eine unter ihnen, so ist jede Funktion des Galoisschen Körpers, die durch die Permutationen der G." in sich übm·gef'iihrt wird, im Körper (srx ' s) enthalten . .-Der Beweis überträgt sich von S. 50ff. ohne weiteres, wenn nur überall an Stelle des Wortes "Zahl" das Wort "Funktion" gesetzt wird und die "Identität" der Funktionen an Stelle der "Gleichheij;" der Zahlen tritt. Irgendeine Funktion sex) des Galoisschen Körpers nennen wir auch hier eine "natürliche Irrationalität" der Gleichung ((z) = o. Die Gleichung in sr x ' der genügt, heißt wie oben eine "rationale Resolvente" der gegebenen Gleichung fez) = O. Die Entwicldungen von S.52ff. übertragen sich auf die vorliegenden Verhältnisse mit den eben genannten formalen Abänderungen, wo bei insbesondere alle gruppentheoretischen Überlegungen unberührt bleiben. Als Hauptsatz gilt der folgende: 1st GI eine ausge.eeichnete Untergruppe der Galoisschen Gruppe Gm' so genügt eine zur GI gehörende Funktion rj einer in srx irreduzibelmz Gleichung. des Grades
°°
s
m = 11; , deren Galoissche Grttppe die Quotientengruppe Gm/ GI ist,. nach Adjunktion von rj zu sr", wird die Galoissche Resolvente F(Z) = 0 im Körper ~x = (sr"" rj) reduzibel und liefert nach Zerlegzmg m in ~x irreduzibele Gleichungen lien Grades, die wieder Normalgleichungen sind, und für deren einzelne GI die Galoissche Gruppe ist. Der Prozeß der "vollständigen Auflösung" der Gleichung fez) ~ 0 oder, was auf dasselbe hinausläuft, die Berechnung "einer" Lösung der Galoisschen Resolvente F(Z) = 0 gestaltet sich nun genau so wie für die Gleichungen des vorigen Teiles. Wir haben eine Kette von Hilfsgleichungen, die "Normalgleichungen" mit "einfacher Galoisscher Gruppe" sind, zu lösen und erreichen nach der einzelnen Lösung eine. Erniedrigung der Ordnung der jeweils vorliegenden Galoisschen Gruppe unter entsprechender Zerfälhmg der bis dahin erreichten Galoisschen Resolvente. Insbesondere sind wieder die Kennzeichen für die "algebraische Lösbarkeit" der Gleichung fez) = 0 nach der oben (S. 64) angegebenen Regel aus der Struktur der Galoisschen Gruppe Gm zu entnehmen.
76 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen
§ 8. Monodromiegruppe einer Gleichung fez) =
o.
Die bei der Lösung einer Gleichung fez) = 0 nach und nach zu adjungierenden natürlichen Irrationalitäten sind Funktionen des Körpers (~"" Oll 2 , ••• , On). Es ist nicht ausgeschlossen, daß hierbei auch Funktionen auftreten, die bereits in x und der ursprünglich vorgelegten algebraischen Funktion y von x rational sind. Solche zu adjungierende Funktionen werden dann freilich nicht schon im Körper ~x enthalten sein, d. h. im rationalen Ausdruck R(x, y) dieser Funktionen müssen unter den Koeffizienten "Zahlentl auftreten, die noch nicht im Zahlkörper ~ enthalten sind. Wir nennen diese Zahlen "numerische Irrationalitätenl', die für die Gleic!hung fez) = 0 "natürlich 11 sind. Indem wir sie zu ~ und ~'" adjungieren, erhalten wir einen Zahlkörper ~' und einen Funktionenkörper ~~, welchem letzteren die zu adjungierenden Funktionen R(x, y) angehören. Es entsteht nun die Frage, wie weit wir du,rch Adjunktion "numerischer'l lrrationalitäten die Attflösung der Gleichung fez) = 0 zu treiben vermögen. Hierauf antwortet die folgende Betrachtung: Um die Lösungen 'YJl(X), 'YJ2(X), •.. , 'YJm(x) der Galoisschen Resolvente F(Z) = eindeutig zu erklären, wählen wir auf der Riemannschen Fläche Fj eine Stelle xo' in deren Umgebung keine dieser Funktionen verzweigt ist, und beziehen die Funktionen 'YJ(x) vorerst nur auf diese Umgebung. Setzen wir jetzt von Xo aus eine dieser Funktionen 'YJ (x) längs eines auf die Fj geschlossenen Weges fort, so erhalten wir nach Rückkehr zum Ausgangspunkte Xo der FE wieder eine Lösung von F(Z) = 0, also eine der m Funktionen 'YJ(x). Auch liefern zwei verschiedene Funktionen 'YJ(x) bei dieser Fortsetzung über einen geschlossenen Weg der Fläche am Schlusse notwendig wieder zwei verschiedene 'YJ(x). Einem geschlossenen Wege auf der F, gehört demnach eine bestimmte Permutation T der m Lösungen der Galoisschen Resolvente F(Z) = Ztt. Es sei irgendeine zwischen den 'YJl (x), 'YJ2(X), .•. , 'YJm(x) identisch bestehende rationale Gleichung:
°
°
°
(1) R('YJl (x), 'YJ2 (x), ... , 'YJm (x») = 0 vorgelegt, deren Koeffizienten rational in x und y mit irgendwelchen numerischen Konstanten (keineswegs nur mit Zahlen aus ~) aufgebaut sind. Bei analytischer Fortsetzung über die Fläche Fzhin bleibt die Gleichung (1) gültig; sie geht demnach wieder in eine identisch bestehende Gleichung über, falls wir die '1'/ der Permutation T unterwerfen. Da dies insbesondere auch für "jedell Relation (1) gilt, deren Koeffizienten Funktionen aus ~x sind, so folgt nach S. 74: Alle durch geschlossene Umläufe auf der Fläche Fj herstellbaren Permutationen T der r;1I 'YJ2' .•. , 'YJ m sind in der -Galoisschen Gruppe Gm enthalten.
Monodromiegruppe einer Gleichung fCz)
=
77
0
Zwei geschlossene Umläufe, die wir hintereinander ausüben, lassen sich zu einem dritten Umlaufe zusammensetzen. Also folgt der Satz: Die .qesamten durch geschlossene Umläufe herstellbaren Permutationen T o, Tl' T~, ... , Ti'-l bilden eine Gruppe Gi" die in der Galoisschen Gruppe Gm enthalten ist und als "Monodromiegruppe" der Gleichung F(Z) = 0 bezeichnet u·ird. In ihrer Gestalt als Permutationsgruppe n ten Grades der ()l' ()j' ... , ()" nennen wir die G." die "Monodromiegruppe" der Gleichung fez) = O. Es ist einleuchtend, daß wir diese Gestalt der Gi' unmittelbar gewinnen, wenn wir alle Permutationen T o= 1, Tl! T 2 , ••• , Ti'-l der Funktionen (Jl(X), ()~(x), ... , (),,(x) bei geschlossenen Umläufen auf der F, sammeln. Es ist möglich, daß die Monodromiegruppe Gi' mit der Gesamtgruppe Gm gleich ist. Liegt dieser Fall nicht vor, so gilt folgende Überlegung: Die Monodromiegruppe GI' ist ds Permutationsgruppe der '1] für t.t < m intransitiv. Da das einzelne '11 durch die [L Permutationen der Gi' in
[L
verschiedene
'1]
übergeführt wird, so erhalten wir t
der Intransitivität, die wir durch:
=
111 [L
Systeme
k=O, 1,2, ... , t-1
(2)
bezeichnen. Die '1] jedes dieser t Systeme werden bei den Umläufen auf der F, nur unter sich permutiert. Die symmetrischen Grundfunktionen . der '1] des einzelnen Systemes (2) sind demnach algebraische Funktionen der F1 und als solche rational in x und y. Es folgt der Satz: Die '1](x) eines jeden der t Systeme (2) sind die Lösungen einer Gleichung [LIen Grades:
(3)
Hk(Z) =0,
k=0,1,2, ... ,t-1,
deren Koeffizienten rationale Funktionen von x und y sind. Da F(Z) = 0 im Körper ~'" irreduzibel ist, so treten in diesen rationalen Funktionen von x und y Zahlenkoeffizienten auf, die als "numerische krationalitäten" fur die Gleichung fez) = 0 "natürlich" sind. Es besteht weiter der Satz: Jede der t Gleichungen (3) ist in dem Sinne irreduzibel, daß H;,(Z) nicht in Faktoren von niederem als [LIen Grade zerfällbar ist, die gleichfalls in x und y rationale Koeffizienten hätten. Jeder solche Faktor würde nämlich, wie die an (1) angeschlossene Überlegung zeigt, durch alle '11 seines Systems (2) befriedigt. Diese Ergebnisse legen die Bedeutung der Monodromiegruppe GI' dar: Durch Adjunktion "nUllnerischer lrrationalitäten" ist die Zerfällung der Galoisschen Resolvente in die t Gleichungen (3) erreichbar; jede weitere Zerfällung erfordert die Adjunktion von "Funktionen". Durch Adjunktion jener numerischen Irrationalitäten werde der Körper ~ auf ~' und entsprechend ~'" auf ~~ erweitert. Jede der t Gleichungen (3) ist eine "Gleichung in ~~ ", die in diesem Körper, sowie überhaupt in jedem Körper .fi'~, der durch weitere Adjunktionen von "Zahlen" herstellbar ist, irreduzibel ist;
78
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie .
dabei ist die Gleichung (3) wieder eine "Normalgleichung", deren Galoissche Gruppe die atts den IL Lösungen der Gleichung aufgebaute G I1 ist. Über die Berechnung der numerischen Irrationalitäten kann hier nur erst folgendes gesagt werden: Entsprechend dem ersten Satze von § 7 haben wir zunächst eine zur GI' gehörende "Funktion" tex) zu bilden, die einer Gleichung tten Grades in sr", genügt:
(4)
i;t+
Cl
(;t-l+ c2(;1-2+ ...
+ Ct _ 1 =
O.
Im Körper (sr"" (;) sind dann die sämtlichen Koeffizienten der t Gleichun, gen (3) enthalten. Die Gleichung (4) ist durch eine "rationale Funktion" von x und y lösbar; nichtrationale Operationen bei der Auflösung von (4) beziehen sich also nur anf die Berechnung von "Zahlen". Indessen muß es späteren besonderen Fällen vorbehalten bleiben, an Stelle der Gleichung (4) für eine ),Funktion" eine solche für eine "Zahl" zu setzen.
IV. Algebraische Zahlen. 1) § 1. Algebraische und ganze algebraische Zahlen. An die Entwicklungen von S. 32 ff. schließen wir für den einfachsten Fall, daß der damalige Körper der rationale Zahlkörper ffi ist, folgende Erklärnng an: Unter einer "algebraischen Zahl" schlechthin versteht man eine Zahl, die in bezug auf den rationalen Körper ffi algebraisch ist. Eine algebraische Zahl () genügt also einer Gleichung:
sr
(1)
fez)
=
zn + a1 z n -
1
+ a z n - + ... + an = 2
2
0
mit rationalen Zahlenkoeffizienten a, und jede Wurzel einer solchen Gleichung, mag sie reduzibel oder irreduzibel in ffi sein, ist eine algebraische Zahl. Da wir die Irreduzibilität der Gleichung (1) einstweilen nicht fordern, so lassen sich für eine einzelne Zahl () unendlich viele Gleichungen angeben, deren Wurzel sie ist. Insbesondere gilt die Erklärung: Eine algebraische Zahl heißt spefJielt eine "ganfJe algebraische Zahl" ?j, wenn sich mindestens eine in ffi reduzibele oder irredttzibele Gleichung (1) mit rationalen "ganfJen" Koeffizienten a angeben läßt, deren Wurzel ?j ist. Es besteht der Satz: Sind ?j und r/ ganze algebraische Zahlen, so 1) Es kommen in diesem Teile einige späterhin unentbehrliche Hauptsätze der "Idealtheorie" Dedekind's zur Behandlung; s. das Supplement XI zu Dirichlet's "Vorlesungen über Zahlentheorie", 3te Auf!. (Braunschweig, 1879), S.434ff., 4t • Auf!. (Braunschweig, 1894), S. 434ff. S. auch den ersten Teil des S.23 genannten Werkes von Landau. Beim Hauptsatze derIdealtheorie (S. 97) folgt die vorliegende Darstellung der besonders kurzen von A. Hurwitz herrührenden Beweismethode; ~. dessen Note "Über die Theorie der Ideale", Göttinger Nachrichten von 1894.
Begriff' der ganzen algebraischen Zahl
79
+
sind auch ihre Summe ('1) '1)'), ihre Differenz ('1) - '1)') 'Und ihr Produkt. '1) . r/ ganze algebraische Zahlen. Für T/bestehedie Gleichung (1) mit den ·WurzelnT/l = 'YJ, 'YJ2' ••• , 'YJ", für 'YJ' eine entsprechende Gleichung des Grades n' mit den Wurzeln 'YJ~ = r/, 'YJ~, ••• , 'YJ~,' Man bilde die n· n' Summen ("li + "I~) je einer Wurzel der ersten und einer der zweiten Gleichung. Die symmetrischen Grundfunktionen dieser n· n' Summen sind nach dem Hauptsatze der Theorie der symmetrischen Funktionen (S.25) ganze ganzzahlige Funktionen der Koeffizienten au a 2 , ••• und a~, a~, ... jener beiden Gleichungen, sind also selbst rationale ganze Zahlen. Also genügt ('YJ + "I') einer Gleichung: znn'
+ b1zn''''-1+ ... + b
nn ,.=
°
mit rationalen ganzen b und ist somit eine ganze algebraische Za.hl. Da offenbar mit "I' auch - "I' eine ganze algebraische Zahl ist, so gilt unser Satz auch für die Differenz ("I - 'YJ'). Endlich wird für das Produkt 'YJ • "I' der Beweis gerade so wie für die Summe (rJ + '1)') geführt. Durch wiederholte Bildung von Summen, Differenzen und Produkten folgt: Jede rationale ganze, ganzzahlige Funkdon von ganzen algebraischen Zahlen ist wieder eine ganze algebraische Zahl. Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen gestattet uns auch noch folgenden Satz zu beweisen: Jede Wurzel "I einer Gleichung (1), deren Koeffizienten alJ a2 , ••• , an ganze algebraische Zahlen sind, ist selbst eine ganze algebraische Zahl. Der einzelne Koeffizient ak genügt jetzt selbst einer Gleichung:
(2) mit rationalen ganzenb, deren sämtliche Wurzeln ak , Wir bilden die m1 • m2 ••• m n Funktionen:
a~,
... , atk -
lJ
seien.
(3) für alle m1 · m2 • •• mn Kombinationen der Zahlen aj;). Die erste dieser Funktionen ist die linke Seite der für "I vorgelegten Gleichung. Das Produkt aller dieser Funktionen gibt, gleich gesetzt, eine Gleichung für "I, deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Funktionen der b und also selbst rationale ganze Zahlen sind. Also ist 'YJ eine ganze algebraische Zahl. Irgendeine algebraische Zahl (J genüge der Gleichung (1), deren Koeffizienten a1 , a2 , ••• , an rationale Brüche sind. Ihr Hauptnenner sei die rationale ganze positive Zahl a, so daß a· al1 a· a2 , ••• , a· an rationale ganze Zahlen sind. Das Produkt a· (J = "I genügt der Gleichung:
°
'1)n+ aa1"ln-l+ a 2 a2T/n-2+ ...
+ ana"
=
0,
deren Koeffizienten durchweg rationale ganze Zahlen sind. Es folgt hieraus der Satz: Jede algebraische Zahl (J liefert durch Multiplikation mit
80
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
einer geeignet gewählten rationalen ganzen positiven Zahl a als Produkt a () = 1) eine "ganze" algebraische Zahl. Unter einer "ganzen Zahl" verstehen wir im vürliegenden Teile stets eine ganze "algebraische" Zahl. Die ganzen "ratiünalen" Zahlen, die zu den ganzen algebraischen Zahlen gehören, mögen immer durch den Zusatz "ratiünal" gekennzeichnet werden.
§ 2. Ein algebraischer Hilfssatz. Ist eine ganze algebraische Zahl 1) als Prüdukt 1) = 1)' • 1)" zweier ganzer algebraischer Zahlen 1)', 1)" darstellbar, so. heißt jeder Fakto.r, z. B. 1)', ein "Teiler" vün 1) oder 1) heißt durch 1)' "teilbar" üder man sagt, 1)' "gehe in 1) auf". Die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen algebraischen Zahlen werden den wichtigsten Gegenstand unserer Untersuchungen ausmachen. Um den hierbei auftretenden Hauptsatz be sünders kurz beweisen zu kön~€n, soll zunächst ein Bilfssatz aufgestellt werden. Mit irgendwelchen ganzen (algebraischen) Zahlen ao' a1 , ••• , ap' und bo, bv ... , b., vün denen ao und bo von 0 verschieden seien, bilde man die Funktiünen: (1) rp(z) = aoz ll deren Produkt:
+ at zft - 1 + ... + a",
1fJ(z) = boz'
+ b1 z·- 1 + ... + b.,
(2) q;(z) ·1fJ(z) = ((z) = coz n + C1 Z 1 + C2Z.rl-2+ ... + c" vüm Grade n = p, + v ist und wieder ganzzahlige Küeffizienten hat. Dann gilt der Satz: Sind alle Zahlen co, Cv ... , cn durch die ganze Zahl 1) teilbar, so hat auch jedes der (p, + 1) (v + 1) ganzzahligen Produkte a.· bk , zu bilden für i = 0, 1, ... , p, und k = 0, 1, ... , v, den Teiler 1). Einen sehr kurzen Beweis dieses Satzes hat B urwi tz 1) geliefert. Es wird zunächst bewiesen, daß die (v + 1) Pro.dukte aob o, aO bl1 aOb2 , .. , aob. durch 1) teilbar sinu. Für aobo = Co fülgt dies bereits aus der Y üraussetzung; für die übrigen Prüdukte gilt fülgende Betrachtung: Die Gleichung: ao1fJ (z) = coz' + a ob1Z'- 1 + aob2Z'- 2 + ... + aob• = ll -
°
hat v Wurzeln Zl1 Z2' hören. Der Quütient:
(3)
(_
..• ,
z., die zu den n Wurzeln vün fez)
l)kaobk _ Co
-
(
tJk Z1' Z2' •.. ,
=
0 ge-
z.;\
iefert die kte symmetriEche Grundfunktio.n der Zl1 Z2' . . . , z•. Als Funktiün der n Wurzeln Z17 $2' •.• , Zn der Gleichung fez) = 0 ist eine beliebige der v Funktiünen tJk , die wir kurz 15 nennen, noch nicht symmetrisch, bleibt vielmehr nur erst bei denjenigen v! (n - v)! Permutatiünen unverändert, welche die Z1> Z2' •.• , z. unter sich vertauschen und ebenso. die 1) In der S. 78 genannten Note.
81
Hilfssatz bei Produkten zweier ganzer Funktionen
Somit ist 0 im Sinne von S. 24 eine t-wertige ganze ganzzahlige Funktion der Wurzeln von fez) = 0, wo Zv+u Z~+2' ..• , Zn'
t
=
v!
(nn~ v)! =
ist. Als t-wertige Funktion genügt
(4)
01
+d 6 l
1- 1
0
(:)
einer Gleichung
+ d2 ot- 2 + ... + d t =
tten
Grades:
0,
wo die - dll d 2 , - ds , d4 , •.• die symmetrischen Grundfunktionen der t verschiedenen AusdrUcke sind, die aus 6(Zll Z2' .•. , z.) bei allen n! Permutationen der Zu z;p ... , zn hervorgehen. Nach dem Hauptsatze von S. 25 sind die d als ganze ganzzahlige symmetrische Funktionen der Zl' Z2' •.• , zn rationale ganze ganzzahlige Funktionen der symmetrischen Grundfunktionen der zlI
Z2' ... , zn
und damit der S, ~~, ... , ~, und zwar Co
ist der Grad von cl1 als Funktion der S, ~2, Co
Co
... , S. Co
Co
Co
gleich 1, der von d 2
gleich 2, der von ds gleich 3 usw. Man multipliziere die Gleichung (4) mit cJ und schreibe coo = oder. ausführlich: cOVk'" - 'l:k -- (- l)k a0 bk'
'I:
Die Produkte cOdl = ell cgd2 = e2 , ••• , cJd t = et sind alsdann ganze homogene Funktionen ersten, zweiten, ... , ttm Grades von co, ci l . . • , cn , die als solche der Voraussetzung zufolge bzw. durch 'YJ, 'YJ2, ••• ,'YJ I teilbar sind. Die mit cJ multiplizierte Gleichung (4) aber hat die Gestalt: '[:t+ ej'l:t-l+ e 2 'r t - 2 + ••• + e t = 0 und liefert, durch 'YJI
geteilt~
+ ... ( ~)t + ~(~)t-l + ~(~)t-2 2 11
11
11
11
11
+ ~I
11 1
=
O.
Somit befriedigt -~ eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und 11
ist demnach zufolge des vorletzten Satzes in § 1 selbst eine ganze Zahl. Also sind in der Tat alle (v+ 1) Produkte aobo, aObl , aOb2 , ••• , aob. durch 'YJ teilbar. Nachdem bewiesen ist, daß alle Produkte aobo, aobll ••• , aob~ durch 'YJ teilbar sind, stellen wir weiter fest, daß auch das Produkt von: (5) cp(z) - aoz/L= alzft - l a2 zf ,-2 + ... + a/L und 1f;(z), nämlich die Funktion:
+
(cp(z) - aoz/L)· 1f;(z) = fez) - z/L(aoboz. + aObjz·- l + ... + aob,,) lauter durch r; teilbare Koeffizienten hat. Ist a l =F 0, so finden wir durch Wiederholung der vorstehenden Überlegung, daß auch alle Produkte albo, albll al b2, ••• , alb. durch 'YJ teilbar sind. Im Falle a l = 0 ist dies selbstverständlich. In gleicher Weise fortfahrend erkennen wir die Richtigkeit des aufgestellten Satzes. Fr i c k e, Die elliptischen Funktionen 11
6
82
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
§ 3. Folgerungen betreffs rationaler ganzer Zahlen. Es gilt der Satz: Eine ganze algebraische Zahl 1], die dem rationalen Körper m angehört, ist eine rationale "ganze" Zahl. Als eine in ffi entha.ltene Zahl kann
1]
=!L gE\setzt werden, wo q und r zwei teilerfremde r
rationale ganze Zahlen sind. Als ganze (algebraische) Zahl genügt 1] einer Gleichung (1) S.78 mit rationalen ganzen al1 a 2 , ••. , an" Also folgt~ wenn wir 1] = !L für z in jene Gleichung eintragen und mit rn multir plizieren: qn ~ _ r(a1qn-l + a2 qn- 2 r + asrt'- sr 2 + ... + anrn-1) . Hiernach ist qn und also q durch jeden Primfaktor von r teilbar. Da aber q und r teilerfremd sind, so hat r keinen Primfaktor, der größer als 1 wäre, d. h. es ist r = 1 und also 1] rational u ud ganz. Wir ziehen nun einige Folgerungen aus dem Satze des § 2 für den Fall, daß die Koeffizienten ao, au ... , a,lt und bo , bu ... , bv der Funktionen cp(z) und !/Jez) rationale ganze Zahlen sind. Eine ganze Funktion mit rationalen ganzen Koeffizienten soll "ursprünglich" heißen, wenn diese Koeffizienten keine rationale ganze Zahl, die> 1 ist, als Teiler gemeinsam haben. Dann besteht der Satz: Das Produkt zweier ursprünglicher Funktionen cpez) und !/J(z) ist stets wieder eine ursprüngliche Funktion fez). Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es mindestens eine Primzahl p > 1~ die in allen Koeffizienten c von fez) und also in allen (!L + 1) (v + 1) Produkten ajbk aufgeht. Da cp(z) ursprünglich ist, so gibt es mindestens eine Zahl a" die nicht durch p teilbar ist, und ebenso können wir ein gegen p primes bk angeben. Also ist aibk nicht durch p teilbar, so daß. die Annahme einer nicht ursprünglichen Funktion fez) unhaltbar ist. Es gelte ferner die Annahme, daß die Funktion:
(1) fez) = zn + C1zn - 1 + C2 Z n - 2 + ... + Cn mit rationalen "ganzen" Koeffizienten c im Körper ffi reduzibel sei und in das Produkt· der beiden Funktionen: (2)
cp(z)
=
zft
+ a1z,u-l + ... + aft ,
!/J(s)
= ZV
+ b1z
v- 1
+ ... + b"
mit "rationalen" Koeffizienten a, b zerfalle. Die rationalen Brüche a mögen den Hauptnenner ao haben, so daß ao, a~ = aoau a; = aOa2 , ••• , a~ = aoa!' rationale ganze Zahlen ohne einen allen gemeinsamen Teiler> 1 sind; ebenso mag bo der Hauptnenner der rationalen Brüche b sein, so daß auch bo, b~ = boblI' .. , b: = bob. rationale ganze Zahlen ohne einen allen gemeinsamen Teiler sind. Es stehen also auf der linken Seite der Gleichung:
(aoz!' + a~z!,-l+ ... + a~)(bozv + b~Z"-l+ ... + b:) = aobof(z) zwei ursprüngliche Funktionen, und also ist nach dem eben bewiesenen
Begriff eines algebraischen Körpers n ten Grades
83 Satze auch aobof(z) ursprünglich. Hieraus ergibt sich aobo = 1, ao = 1, bo = 1, so daß der Satz gilt: 1st die Funktion (1) mit rationalen ganzen Koeffizienten c im rationalen Körper ffi reduzibel ~tnd zwar zerfällbar in das Produkt der heiden Funktionen (2) mit rationalen Koeffizienten a, b, so sind diese Koeffizienten a, b notwendig "ganze" rationale Zahlen.
§ 4:. Algebraische Zahlkörper.
°
Aus den Sätzen von S. 33:ff. entnimmt man unmittelbar die folgenden Ergebnisse: Eine algebraische Zahl genügt einer eindeutig bestimmten, im rationalen Körper ffi irreduzibelen 1) Gleichung: (1) fez) = zn + a1 z n- 1 + a 2 z n - 2 + ... + an = 0 mit rationalen Koeffizienten, deren sämtliche Wurzeln 01 = 0, (J2' .•• , On verschieden sind und n "konjugierte" algebraische Zahlen heißen. Die Adjunktion von zu ffi liefert einen in bezug auf ffi algebraischen Körper = (ffi, 0), der weiterhin kurz als ein "algebraischer Körper n len Grades" bezeichnet wird. Die n Körper (ffi, (1) = (ffi, 0), (ffi, (2)' ... , (ffi, On) heißen "konjugiertli und sollen kurz l = ~, ~2' .•• , ~n genannt werden. Diese Körper brauchen nicht alle voneinander verschieden zu sein. Sind sie insbesondere alle einander gleich, so heißt ~ ein "Galoisscher Körper" oder "Norm alkörper". Jede Zahl ~ des Körpers ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt: (2) mit rationalen c darstellbar; sie genügt der durch die Tschirnhausentransformation: W = Co + clZ +' c2 z 2 + • • • + C,,_lZ"I
°
sr
sr
sr
aus (1) hervorgehenden Gleichung nt.n Grades und ist deshalb wieder eiue algebraische Zahl. Umgekehrt ist jede mit rationalen c dargestellte Zahl (2) in enthalten. Die n mit ~ "konjugierten" Zahlen: (3) Si = Co + C1 0i c2 (J;, + cn _ 1 0;-t, i= 1, 2, ... , n
sr
+
+ ...
sind zu je po einander gleich und stellen v verschiedene Zahlen dar, wobei po' v = n ist. Gilt po = 1, so heißt S eine "primitive" Zahl des Körpers ~, für po 1 wird sie "imprimitiv" genannt.
>
Hieran schließen sich einige weitere Entwicklungen über die Darstellung von Zahlen aus Irgend n Zahlen S, b', ••• , b(n -1) aus ~ heißen "linear-abhängig", falls ein System nicht durchgängig verschwindender rationaler Zahlen b, b', ... , b(n-l) angebbar ist, für das:
sr.
(4)
bs
+ b's' + ... + b(n-l)b(n-l) =
0
gilt; existiert ein solches Zahlensystem b nicht, so heißen die b, 1) Der Zusatz "im rationalen Körper Irreduzibilität hier stets auf iR bezieht.
m"
s', ... ,
b(n-l)
bleibt gewöhnlich fort, da sich die 6*
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie . 84 "linear-unabhängig". Zu folge der Irreduzibilität von (1) sind jedenfalls die Zahlen 1, (J, (J2, ... , 0',-1 linear-unabhängig. Für die n Zahlen ~(O) =~, ~', ... ~(n-l) mögen als Darstellungen (2) gelten: (5) ~(k) = cbk ) + clk)(J + C~k)(j2 + ... + c~k~1(Jn-\ k=O, 1, ... ,12-1. Damit die Zahlen ~, ~', ... , ~(n-l) linear-abhängig sind, ist dann hin~ reichend und notwendig, daß n nicht durchgängig verschwindende rationale Zahlen b existieren, die den Gleichungen: bCi + b'c;'+'" + b(n-l)cl n - 1 ) = 0, i=O, 1, ... , (n-1) genügen. Nach bekannten Sätzen der Determinantentheorie folgt: 11'!Jend 12 durch (5) gegebene Zahlen \;, r, ... , \;(n - 1) des Körpers ~ sind linear~mabhängig oder nicht, je nachdem die Determinante IC;k) I der n 2 Koeffizienten c in (5) von verschieden ist oder verschwindet. Es seien \;ik ) = \;(k), \;~,), ••. , ~~k) die mit \;(k) konjugierten Zahlen. Dann gilt folgende Erklärung: Das Quadrat der n-reihigen Determinante:
°
~11 ~,
... ,
bin-tl
(6)
bn , b~' ... , \;;;-1) heißt die "Diskriminante" der n Zahlen \;, \;', ... , b(n -1) und wird durch D (\;, \;', ... , ben - 1» bezeichnet. Insbesondere ist die Diskriminante DeI, (J, ... , (Jn-1) der n Zahlen 1, (), ... , (Jn-l zugleich die Diskriminante der irreduzibelen Gleichung (1) in ffi (S. 26); diese Diskriminante ist eine von verschiedene rationale Zahl. Schreibt man alle mit (5) kon" jugierten Gleichungen auf, so ergibt das Multiplikationsgesetz der Determinanten: (7) Da, \;', ... , \;(n-l» = Icl k ) 12 • D(l, (), (J2, ... , ()n-l).
°
Hieraus folgt mit Rücksicht auf den letzten Satz: Die Diskriminante D(b, b, ... , \;(n-1» der n Zahlen ~,\;', ... , b(n-1) verschwindet oder hat einen von verschiedenen rationalen Zahlwert, der mit D (1, (J, (J2, ... , (Jn-1) im Vorzeichen übereinstimmt, je nachdem die \;, \;', ... , b(" -1) linear-abhängig sind oder nicht. Ist IC;k) I4= 0, so lassen sich die n Gleichungen (5) nach 1, (J, ... , (Jn- 1 lösen. Es ergeben sich so Darstellungen der 1, (J, ()2, ... , ()n-l und damit Darstellung aller Zahlen von st' in der Gestu,u: (8) C\; + C'\;' + c"b" + ... + c(n-1)\;(n-1)
°
dnrch die n linear-unabhängigen Zahlen \;, \;', ... ,
b(n -1) mittcZs rationaler
c, c', . . .. Auch diese Darstellung ist für die einzelne Zahl von st' eindeutig bestimmt, wie aus der linearen Unahhängigkeit der \;, ~', ... folgt. Umgekehrt liefert natürlich jeder mit rationalen c gebildete Ausdruck (8) eine Zahl aus St.
85
Diskriminanten, Spuren und Normen
Es mägen sich noch folgende Erklärungen hier anschließen: Sind Si = S, S2' .. "Sn die n mit konjugierten Zahlen, so versteht man unter der "Spur" Sm von S die Summe und unter der "Norm" N(s) von S das Produkt jener konjugierten Zahlen:
s
(9) Sm = Si + S2 + ... + Sn, Nm = SI' S2'" Sn' Sm und N(s) sind rationale Zahlen, die an bekannten Stellen als Koeffi-
s
zienten in der Gleichung n ten Grades für auftreten. Konjugierte Zahlen haben natürlich gleiche Spuren sowie auch gleiche Normen. Bildet man das Quadrat der Determinante (6) nach dem Multiplikationsgesetze der Determinanten, so gelangt man zu folgender Darstellung der Diskriminante der Zahlen S, s(n-1) durch Spuren:
s', ... ,
S(ss), (10)
D(s, s', ... , s(n-l»)= Sen),
S(ss'), ... , Sen'), ... ,
§ 5. Die ganzen Zahlen des Körpers
S(Ss(n-l») S(n(n-1»)
a.
Die in ~ = (91, fJ) enthaltenen ganzen Zahlen sollen allgemein t} genannt werden, das System aller dieser ganzen Zahlen werde e genannt. Es gilt der Satz: Sind t} und 1]' irgend zwei Zahlen aus e, so sind a~tch ihre
Summe (Tj +Tj'), ihre Differenz (Tj - Tj') und ihr Produkt (Tj '1/') in e enthalten.
Es sind nämli ch (Tj + Tj') und Tj. Tj' nach S. 79 wieder ganze Zahlen, und andrerseits gehören (Tj ± 71') und 1] • r/ dem Körper ~ an und sind demnach im System e enthalten. Allgemein gilt der Satz: Jede rationale ganze
Fztnkt'ion von Zahlen a~tS e mit rationalen ganzen Koeffizienten ist wieder eine Zähl aus e. Für die Spuren und Normalen bestehen die Regeln: (1)
SeTj
± 71') =
S(1Jr± S(1J') ,
N(1J . 71') = N(1J)' N(Tj').
Sind nämlich zu 71 und 71' im Körper ~i die Zahlen Tji und 1J~ konjugiert, so ist zu (71 ± 71') die Zahl (1Ji ± Tj;) und zu 71' 71' die Zahl 1Ji' Tj~ konjugiert, woraus die Regeln (1) leicht folgen. Eine Zahl aus c, deren Norm gleich ± 1 ist, heißt eine "Einheit" des Körpers ~ oder des Systems C und möge speziell durch E bezeichnet werden. Genügt E der irreduzibelen Gleichung:
(2) mit rationalen ganzen Koeffizienten, so genngt die gleichfalls in haltene Zahl E - 1 der Gleichung:
~
ent-
z· ± (a._ l z 1+ ... + alz + 1) = 0, V-
stellt also gleichfalls eine ganze Zahl dar. Ist andrerseits mit der von
°
86
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
verschiedenen Zahl t} aus e auch t} -1 eine ganze Zahl und also wieder in e enthalten, so genügt t} einer irreduzibelen Gleichung mit dem Absolutgliede + 1. Es gilt also der Satz: Eine von 0 verschiedene Zahl t} ause ist stets und nur dann eine Einheit E, wenn auch t} - 1 eine ganze Zahl ist. Jede mit einer Einheit konjugierte Zahl ist natürlich wieder eine Einheit ihres Körpers. Ist t} eine beliebige Zahl aus e und E eine Einheit, so heißt E· t} eine mit t} "assoziierte Zahl". Zwei assoziierte Zahlen haben, abgesehen vom Vorzeichen, gleiche Normen. Nach S. 80 liefert jede Zahl ~ aus ~, mit einer geeignet gewählten von 0 verschiedenen rationalen ganzen Zahl a multipliziert, eine ganze Zahl t} = a,·~. Es mögen auf diese Weise aus den n Zahlen ~u ~2' ... , ~n 1) von ~ die n Zahlen t}1 = a1 ~1' 'l'}2 = a2 ~2' •.. , t}n = an ~n von e gewonnen werd·en. Sind die ~ linear-unabhängig, so gilt dasselbe offenbar von den n ganzen Zahlen 'l'}u 'l'}2' •.. , 'l'}n. Wir können somit stets n linear-nnabhängige ganze Zahlen t}u 'l'}2' •.• , t},. zugrunde legen, in denen jede Zahl ~ von ~ auf eine und nur eine Art in der Gestalt:
(3)
~ = C1 t}1
+ C2 '1'}2 + ... + cnt},.
mittels rationaler Koeffizienten c darstellbar ist (vgl. S. 84). Die Diskriminante D ('1111 'l'}2' •.• , 'I1n) irgendeines Systems linearunabhängiger ganzer Zahlen '1111 "12' •.. , "1" aus e ist nach S.84 eine ganze Zahl, sowie nach dem an (7) S. 84 angeschlossenen Satze eine rationale, von 0 verschiedene und mit D (1, 0, ... , on-I) im Vorzeichen übereinstimmende Zahl. Also folgt: Die Diskriminanten aller Systeme linear-unabhängiger Zahlen "111 '112' •.. , t}n aus e sind von 0 vet·schiedene, rationale ganze Zahlen, die alle das gleiche Vorzeichen haben. Unter allen von 0 verschiedenen rationalen ganzen Zahlen, die als Diskriminanten bei den Systemen linear-unabhängiger Zahlen "711 112", ..•, t}n aus e auftreten, gibt es eine absolut kleinste. Diese absolut kleinste Zahl D heißt die "Grundzahl" oder "Diskriminante" des Körpers ~; ein System, dessen Diskriminante jenen Minimalwert hat, wird eine "Basis" des Zahlsystems e genannt. Es besteht der Satz: Bilden die Zahlen t}1' t}2' ... , "7.. eine Basis von e, so ist nicht nur jede Zahl:
(4) mit rationalen ganzen e in e enthalten, sondern umgekehrt ist auch "jede" Zahl aus e auf eine und nur eine Art in der Gestalt (4) mittels rationaler "ganzer" e darstellbar. Zu beweisen ist hier nur noch, daß keine ganze 1) Bisher bezeichneten wir mit ~,' ~2' .•• , ~n ein System von n konjugierten Zahlen. Da solche Systeme weiterhin nur noch selten zu betrachten sind, so benutzen wir die bequeme Schreibwei.se der unteren Indizes zur Unterscheidung irgendwelcher Zahlen aus .R'.
Grundzahl oder Diskriminante von $t. Basen für e
87
+
c1111 c2112 + ... + c"lI" mittels rationaler, aber nicht durchweg ganzer c darstellbar ist. Sollte aber eine ganze Zahl 11 mit solcher Darstellung vorkommen, so stellen wir die c als Quotienten kleinster ganzer Zahlen dar und nennen ihren Hauptnenner h. Dann sind: Zahl in der Gestalt:
11
=
hCl = el
,
hC2 = e2,
hc" = e"
n rationale ganze Zahlen, deren größter, allen gemeinsamer Teiler prim
gegen h ist. Irgendein Primfaktor p > 1 von h geht demnach nicht in allen diesen e auf und möge etwa teilerfremd gegen el sein. Schreiben wir h = ap, so ist auch: a 11 = e1"h + e.71. + ... + e" 1)" p
eine ganze Zahl. Da e1 und p teilerfremd sind, so kann man eine rationale ganze Zahl b entsprechend der Kongruenz bel = 1 (modp) wählen und hat dann auch in: bel - 1 1 111, = a b11 - --p-lIj = p-lIj + a b (c2112 + ... + c"lI") eine ganze Zahl. Für die Diskriminante des Systems 11;, 112, ... , 11" ergibt sich nun leicht:
D(lI~,
112, ···,11",)
=
;.D(nl1112"'" 11,,),
so daß wir in D (111' 112, ... , 11,,) noch nicht die minimale Diskriminante erreicht haben würden. Damit ist der Satz aber bewiesen. Irgendein System von n Zahlen 1I~, 1I~, ... , 1I~ aus e besitze in der Basis 111' 112, ... , 11" die Darstellung: i
(5)
=
1, 2, ... , n.
Wie S. 84 folgt aus dem Multiplikationsgesetze der Determinanten:
(6)
D(lI;, 'l}~, ... , 1I~)
=
leik l2 • D(1I1' 112,"
.,1],,).
Hieraus folgt der Satz: Die Zahlen 1I~, 1I~, ... , 1I~ bilden stets und nur dann gleichfalls eine Basis von c, wenn die Determinante der n 2 ganzzahligen Koeffizienten in (5) gleich ± 1 ist. Weiter liest man aus (6) das Ergebnis ab: Ist die rationale ganze Zahl D (11;, 11;, ... , 1I~) durch kein Quadrat (außer 1) teilbar, so bilden die 11;, 1I~,"" 1I~ eine Basis, und D('l};, ... , 1I~) ist die Grundzahl des Körpers.
§ 6. Teilbarkeit der Zahlen 11 im Systeme
f.
Eine Zahl 11 des Systems e heißt durch die gleichfalls in e enthaltene Zahl 11' "teilbar" oder 11' ist ein "Teiler" von 11 oder "geht in 11 auf'\ falls es eine Zahl 11" in e gibt, die mit 11 und 11' die Gleichung 11 = 'l}' . 11" be-
88
Einleitung, Teil 1II: Idealtheorie
friedigt. Natürlich ist dann auch 'YJ" ein Teiler von 'YJ. Es ist ein~ leuchtend, daß 'YJ durch jede Einheit 13 des Körpers ~ und durch jede mit 'YJ assoziierte Zahl 13"1 teilbar ist. Im rationalen Körper sind die Gesetze der Teilbarkeit sehr einfach. Die einzigen Einheiten von ffi sind + 1 und - 1. Eine von 0 und ± 1 verschiedene rationale ganze Zahl p, die als Teiler nur die vier Zahlen + 1 und + p hat, heißt eine "Primzahl". Es besteht der Satz: Jede von o verschiedene rationale ganze Zahl a ist als Produkt einer der Einheiten ± 1 und einer Anzahl positiver Primzahlen darstellbar, und zwar sind diese Primzahlen (natürlich abgesehen von ihrer Reihenfolge) durch a eindent/:g bestimmt. Der Satz von der eindeutigen Bestimmtheit dieser "Primfaktorenzerlegung" ist die Grundlage vieler arithmetischer Überlegungen und gahört zu den wichtigsten Grundsätzen der Zahlentheorie. Bei der Ausdehnung der Gesetze der Teilbarkeit auf die ganzen Zahlen 'YJ eines algebraischen Körpers stellte sich nun die Tatsache ein, daß der eben für den rationalen Körper ffi ausgesprochene Satz keine3wegs a llgemein auf algebraische Körper verallgemeinert werden konnte, indem bereits Körper zweiten Grades nachweisbar waren, in dene.n er nicht mehr gilt. Als Beispiel betrachten wir den durch die irreduzibele Gleichung Z2 + 5 = 0 gegebenen Körper zweiten Grades = (ffi, q/5). Derselbe ist ein Normalkörper, dem il/5 als ganze Zahl angehört und dessen sämtliche Zahlen in der Gestalt (co + Cl iY5) mit rationalen c darstellbar sind. Da: 12 n(l iy5) = 1, + 1 = 20 , 1, -iY5
sr
sr
sr
iY~
1
nur den quadratischen Teiler 4 hat, so sind sicher alle ganzen Zahlen von ~ mitteist rationaler ganzer e in der Gestalt t (eo + el iy5) darstellbar. Nun ist aber: nur dann eine ganze Zahl, wenn Co und Cl gerade Zahlen sind. Also bilden ist 'die beiden Zahlen 1, iy5 eine Basis von e, und die Grundzahl von - 20. Aus N(eo + e1 iY5) = e~ + 5ei liest man sofort weiter ab, daß ± 1 die einzigen Einheiten von sind. Die Zahl 21 ist nun in das Produkt 3 . 7 spaltbar. Keiner der Faktoren 3 und 7 ist in e weiter zerlegbar. Wäre nämlich z. B. die Zahl 3 als Produkt 'YJ1 . "12 zweier von + 1 verschiedener ganzer Zahlen von darstellbar, so wäre nach (1) S. 85:
sr
sr
sr
N('YJI)· N('YJ2)
=
N(3)
=
9,
und also würde, da N ("11) und N ('YJ2) rational, ganz und von ± 1 verschieden sind, N("11) = N( 'YJ2) = ± 3 zu treffen. Ist also 'YJI = eo+ el iy5 »
+
Teilbarkeit der ganzen Zahlen 11 im Systeme e
89
so würde ~ 5e~ = ± 3 folgen, eine Gleichung, die durch rationale ganze eo, el nicht zu befriedigen ist. Die Zahl 3 ist also im vorliegenden Systeme e unzerlegbar, und man zeigt in derselben Art, daß auch 7 unzerlegbar ist. Neben der Zerlegung 21 = 3 . 7 der Zahl 21 besteht aber noch eine zweite Zerlegung: 21 = (1
+ 2iV5) (1 - 2iV5)
von 21 in das Produkt zweier in ~ enthaltener ganzer Zahlen. Diese Faktoren sind gleichfalls unzerlegbar. Wäre nämlich etwa 1 + 21:V5 = r;l . r;2' wo wieder r;u r;2 keine Einheiten sind, so würde:
N(r;l) . N(r;2)
=
N(1
+ 2iV5) =
21
folgen, und also wäre für einen der beiden Faktoren N(YJ) = ± 3, was wir bereits als unmöglich erkannten. Die Zahl 21 ist hiernach in zwei wesentlich verschiedenen Arten als Produkt unzerlegbarer ganzer Zahlen unseres Körpers (m, iV5) darstellbar. Es ist ein naheliegender Gedanke, durch eine Erweiterung des Gebietes e unserer ganzen Zahlen den Satz von der "Eindeutigkeit" der Zerlegung jeder ganzen Zahl des erweiterten Gebietes in unzerlegbare Faktoren zu retten. In unserem Falle müßte etwa eine Zerlegung von 21 in vier unzerlegbare Faktoren Pl' P2' Ps, P4 stattfinden, und es müßte: (1)
3=Pl·.p2' 7=-PS·P4 und
1+2iY5=Pl·Pa, 1-2tV5=lJ2·P4
gelten. Die Durchführung dieses Gedankens in einer für alle algebraischen Körper ~ gültigen Gestalt ist von R. Dedekind in seiner "Idealtheorie" geleistet. Die wichtigsten Grundlagen dieser Theorie sind nun zu entwickeln.
§ 7. Begriff und Darstellung eines Ideals. Der Grundgedanke der Dedekindschen Theorie ist der, daß die Begriffe und Gesetze der Teilbarkeit nicht auf einzelne Zahlen angewandt werden, sondern auf gewisse Systeme unendlich vieler ganzer Zahlen aus e, die Dedekind "Ideale" nennt. Es mögen zunächst die elementaren Vorstellungen und Überlegungen, die die Teilbarkeit der rationalen ganzen Zahlen betreffen, in die Sprache der Idealtheorie übersetzt werden. Es sei demnach zunächst e das System aller ganzen Zahlen des rationaleu Körpers m. Ist a eine von 0 verschiedene Zahl aus e, und durchläuft r; alle Zahlen von e, so heißt das System r; a aller durch a teilbaren Zahlen von e ein in e enthaltenes "Ideal". Als Bezeichnung für ein solches Ideal benutzen wir wieder die Frakturschrift !l und schreiben auch, wenn wir ausdrücken wollen, daß n aus allen Vielfachen von a besteht, n = [aJ, so daß auch [a] ein Symbol für das System der unendlich vielen Zahlen rJa ist. Die charakteristischen Eigenschaften eines solchen Ideals sind die folgenden:
90
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
1. Die Summe und die Differenz zweier Zahlen aus a sind wieder in enthalten. 2. Das Produkt irgendeiner Zahl 'Yj aus e und einer Zahl aus a ist wieder in a enthalten. 3. Das Ideal a soll nicht nur aus der einzigen Zahl 0 bestehen. 1) Es ist leicht zu zeigen, daß diese drei Eigenschaften im System e der rationalen ganzen Zahlen stets ein Zahlsystem 'Yja obiger Art festlegen. Versteht man also jetzt unter einem Ideale a in jenem Systeme e irgendein in e enthaltenes Zahlsystem, das die drei genannten Eigenschaften hat, so ist zu beweisen, daß a stets aus den gesamten durch eine nicht-verschwindende ganze Zahl a teilbaren Zahlen von e besteht. Ist nämlich Ci eine absolut kleinste von 0 verschiedene Zahl in a, die zufolge 3. existiert, so enthält a sicher alle Zahlen 'Yja wegen der Eigenschaft 2. Weitere Zahlen können aber in a nicht auftreten, da sonst zu folge 1. sofort eine absolut zwischen 0 und I" I gelegene Zahl in a nachweisbar wäre. Man beachte übrigens gleich noch, daß die Gesamtheit e aller rationalen ganzen Zahlen offenbar selbst ein Ideal darstellt, das wir auch durch [1] bezeichnen können. Da zu jeder Zahl Ci aus e eindeutig ein Idepl a = [a] gehört und umgekehrt zu jedem Ideal a eindeutig ein Paar "assoziierter" Zahlen ± Ci aus e (die sich in Rücksicht auf Teilbarkeit im wesentlichen gleich verhalten), so erscheint es möglich, die Zahlen durch ihre zugehörigen Ideale zu ersetzen und die Regeln der Teilbarkeit in die Sprache der Ideale zu übertragen. Als "Produkt" zweier Ideale a = [Ci] und b = [ß] bezeichnen wir das Ideal c = a· b = [a . ß]. Dann ist offenbar o· a = a· 0, und wir finden, wenn eines der Ideale a, 0, etwa b = e = [1] ist, a . e = e . a = a, so daß e als "Einheitsideal" bezeichnet werden kann. Ist c = a . 0, so heißt jedes der Ideale a, 0 ein "Teiler" von c, oder man sagt, c sei durch a und 0 "teilbar«, oder a und 0 "gehen in c auf"; umgekehrt ist C ein" Vielfaches" von a und auch von O. Das Ideal a ist stets und nur dann ein Teiler von c, wenn jede Zahl von C in a enthalten ist. 2) Setzen wir nämlich C = [1'], so ist l' in a enthalten, also l' = ß . Ci, wo ß eine Zahl aus eist. Sind a und ß zwei von 0 verschiedene Zahlen aus e, so bilden alle Zahlen ('Yj1 a + 'tJ2 ß) mit irgendwelchen Paaren 'Yjl' 'Yj2 aus e wieder ein Ideal. Wir bezeichnen dieses Ideal durch b = [a, ß]. Offen bar sind sowohl die Zahlen von a als auch die von 0 in b enthalten, so daß b ein gemeinsamer Teiler von a ~nd b ist. Da jeder gemeinsame Teiler von a und 0 die tl
1) Das aus der Zahl 0 allein bestehende "System" würde die Eigenschaften 1. und 2. besitzen. Durch die Forderung 3. ist dieses "System" ausgeschlossen.
2) Der "Teiler" (l ist hier also ein "umfassenderes" Zahlsystem als das" Vielfache" c, sofern nicht etwa C = (l • e vorliegen sollte.
Begriff eines Ideals im Körper St
91
Zahlen nl a und n2 ß und also die von b in sich enthält, so heißt b = [a, ß] der "größte gemeinsame Teiler" von a und 0. Dies ist mit dem elementaren Begriffe des größten gemeinsamen Teilers zweier rationaler ganzer Zahlen in Übereinstimmung. Ist nämlich b = Ca, ß] = [tJ], wo tJ positiv gewählt sein mag, so ist {j die kleinste positive, mit rationalen ganzen nll 'YJ2 in der Gestalt {j = 'YJl a 'YJ2 ß darstellbare Zahl. Diese ist aber in der Tat der größte gemeinsame Teiler von a und ß (vgl. S. 30) . . Wir kehren nun zu einem beliebigen Körper n ten Grades ~ zurück, dessen ganze Zahlen das System e bilden. Irgendein System von Zahlen aus c bildet ein "Ideal" a des Körpers ~, wenn das System die drei oben genannten Eigenschaften 1., 2. und 3. besitzt. Wir stellen im Anschluß an diese Erklärung sogleich fest: Zwei Ideale a und 0 von ~ heißen einander gleich, a = 0, wenn jede Zahl des einen Ideals auch im anderen enthalten ist. Auf Grund des folgenden Satzes kann man Ideale des Körpers ~ herstellen: Sind al l a2, ..., IX). irgendwelche ), festgewählte, nicht durchweg verschwindende Zahlen aus c, so liefern die gesamten Zahlen:
+
{I) zu bilden für alle möglichen Systeme von A. Zahlen 'YJ1I nv . .., 'YJ). aus c, ein ideal a, das wir durch: (2) a = [al' a2 , •••, ";] ·bezeichnen. Man zeigt nämlich am Systeme (1) sofort die drei charakteristischen Eigenschaften eines Ideals. Hierbei ist übrigens keineswegs behauptet, daß die einzelne Zahl aus a nur auf eine Weise in der Gestalt (1) darstellbar sei. Auch umgekehrt gilt der Satz: Jedes Ideal a von ~ ist mittelst einer "endlichen" Anzahl seiner Zahlen (Xl' (X2' •.• , "l in der Gestalt [(Xl' "2' ••., aJ als System aller Zahlen (1) darstellbar. Zu einer weiterhin besonders wichtigen Art einer solchen Darstellung irgendeines vorgelegten Ideals a führt folgende Überlegung: Es gibt sicher in a Systeme von n linearunabhängigen Zahlen "I' "2' ..., an' Ist nämlich C(. eine von 0 verschiedene Zahl aus a, und bilden 'YJl' 'YJ2' ..., 'YJn eine Basis von c, so bilden z. B. die n Zahlen C(.1 = 'YJ1 a, C(.2 = 'YJ2C(., ..., "n = 'YJnC(. ein System linear-unabhängiger Zahlen von a. Für jedes solche System ist D(C(.l! a2 , • ••, C(.n) eine von 0 verschiedene rationale ganze Zahl. Wie S. 86 nennen wir ein System linear-unabhängiger Zahlen "11 "2' ..., C(.n aus a eine "Basis" des Ideals Cl, falls die von 0 verschiedene rationale ganze Zahl D (C(.l , C(.2' ..., C(.n), absolut genommen, einen möglichst kleinen Wert hat. Dann gilt der Satz: Jede Zahl: (3) C(. = el C(.1 + e2C(.2 + ... + enan
mit rationalen ganzen e ist in a enthalten, ~cnd jede Zahl (X von a ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt (3) mittelst rationaler ganzer Zahlen
92
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
e durch die Basis Oll' 012 , •••, an darstellbar. Der Beweis wird durch Wiederholung der Überlegung von S· 87 geführt, wobei an die Stelle der damaligen Zahlen "l1' "l2' ..., "ln die Zahlen 011/ 012, •. .,01" treten und das System e durch a zu ersetzen ist. Hiernach ist a sicher z. B. in den n Zahlen einer Basis Oll' 012 , •••, an als Ideal [all 012 , •••, an] darstellbar,. womit der letzte Satz bewiesen ist. Während später der Gebrauch einer Basis von awichtig wird, ist es einstweilen zweckmäßiger, die Anzahl A der Zahlen 01 in (2) unbestimmt zu lassen und als "Koeffizienten" nicht nur rationale ganze Zahlen, sondern wie in (1) beliebige ganze Zahlen "l aus e zuzulassen. Sollen alle Zahlen eines zweiten Ideals b = [ßlI ß2' .•., ß,J in a enthalten sein, so ist hierfür das Bestehen der !1- Gleichungen: (4)
i
=
1, 2, ..., !L
erforderlich und hinreichend, wo natitrlich die "l Zahlen aus e sind. Bestehen außerdem A Gleichungen: (5)
k
=
1, 2, ..., A
wieder mit Zahlen r/ aus e, so sind auch alle Zahlen von a in b enthalten, d. h. wir haben a = b. . Ein Ideal a = [01], das also aus allen durch die von 0 verschiedene ganze Zahl 01 teilbaren Zahlen aus e besteht, heißt ein "Hauptideal". Sollen die beiden Hauptideale a = [01] und b = [ß] einander gleich sein, so müssen zwei Gleichungen ß = 1) 01 und 01 = "l' ß mit Zahlen 1) und "l' aus e gelten. Aus ihnen folgt "l . 1)' = 1, so daß die Zahlen 1) und "l' Einheiten sein müssen, 1) = sund 1/ = S' = S-l. Aus ß = Sol folgt auch sofort 01 = c' ß, so daß der Satz gilt: Die beiden Hauptideale a = [01] und b = [ß] sind stets und nur dann einander gleich, wenn 01 und ß assoziierte Zahlen sind. Insbesondere folgt: Jedes aus einer Einheit s hergestellte Hauptideal [c] ist gleich e. Die "Hauptideale" sind es, die den Zahlen von c, genauer den Systemen assoziierter Zahlen von e zugeordnet sind. Soll der Begriff des Ideals allgemein die S. 88ff. besprochene Schwierigkeit heben, so müßte die zu vollziehende "Erweiterung" des Gebietes e der ganzen Zahlen von ~ darin bestehen, daß wir, nachdem die Systeme der assoziierten Zahlen durch ihre Hauptideale ersetzt sind, die gesamten übrigen Ideale von ~, sofern solche vorhanden sind, als selbständige Elemente, gewissermaßen als neue ganze Zahlen, den bisherigen hinzuzufügen. In dem so erweiterten Gebiete müßten dann die Gesetze der Teilbarkeit wieder denselben einfachen Charakter annehmen wie im rationalen Körper. Daß dies in der Tat der Fall ist, wird der in § 9, S. 97 aufzustellende Hauptsatz der Idealtheorie zeigen.
Basis eines Ideals. Hanptideal. Prodnkt zweier Ideale
93
§ 8. Multiplikation der Ideale. Die Multiplikation zweier Ideale ist so zu erklären, daß insbesondere die Multiplikation zweier Hauptideale auf diejenige zweier ganzer Zahlen hinausläuft. Dies leistet folgende Festsetzung: Das Produkt C = 11' b der beiden Ideale 11 = [all a2, ..., al ] und b = [ßlI ß2' ..., ß,u] ist das Ideal:
(1) c = [alßlI CX I ß2' ..., aIß,u' CX2 ßI' ..., cxlß1J. Dem Produkte gehört jede Zahl an, die durch Multiplikation einer Zahl a aus a und einer Zahl ß aus b entsteht, und damit auch jede Summe solcher 'Produkte: aß + cx' ß' + cx" ß" + ... + a(v)ß('·)· (2) Umgekehrt ist jede Zahl des Ideals (1) in der Gestalt (2) darstellbar z. B. als eine Summe: cx1ß' + cc2ß" + ... + alß(/.), wo CXll CX 2 , •••, CX l die zur Darstellung des ld!?als a = [cx ll CX2 • . • . , cxJ ausgewählten Zahlen sind und ß', ß", ..., ß(I·) Zahlen des Ideals 0 bedeuten. Man kann das Produkt 11 • 0 geradezu als das ein Ideal bildende System aller Zahlen (2) erklären. Hieraus erkennt man, daß das P1'odukt 11 • b dttrch die Faktoren 11 und b eindeutig bestimmt ist, d. h. daß a . 0 nicht etwa abhängig ist von der besonderen Auswahl der beiden Zahlensysteme a1) a 2, • " "' CXl und ßlI ß2' •••, ßI-" die der Erklärung (1) zugrunde liegen. Aus (1) folgt der Satz: Für die Multiplikation der Ideale gelten die Gesetze a· 0 = 0 . a und (a . 0) . C = 11 • (0 . c). Für das assoziative Gesetz wolle man sich das Produkt dreier Ideale entsprechend dem Ansatze (1) anschreiben. Die Gesetze bestehen für die Ideale dann einfach deshalb, weil sie für die Zahlen gelten. Von grundsätzlicher Bedeutung ist nun der folgende Satz: 1st a = [a o, CXll CX2 , •••, af ,] ein beliebiges Ideal des Körpers so kann man ein zweites Ideal 0 von so angeben, daß das Produkt von 11 und bein Hauptideal 11 • b = [aJ mit rationaler ganzer positiver Zahl a wird. Um dies zu zeigen, bilden wir mit einer Variablen z die ganze Funktion p.ten Grades: (3) q; (z) = C(oz," + CXI z!/ -1 + ... + cx,,,
se,
se
und stellen die (n _. 1) mit q;(z) "konjugierten" Funktionen her:
!
cc' z,u
(4)
o a" Z,ll
+ cx' z,u - + . . . + c/.cl' 1
I
+ 0/' Z,u-1 + ... + cl'I" o . . . . . . . . . ., I
unter U k , CX~, CX;;, •••, cx~n-l) die n mit CXk konjugierten Zahlen verstanden. Das Produkt der (n - 1) Funktionen (4) bezeichnen wir durch:
(5)
1/J(z)
=
ßozv + ß1 Zv - 1 + ...
+ ß.;
Einleitung, 'feil IV: Idealtheorie 94 der Grad v von 1/J(z) ist p,(n - 1), die Koeffizienten ß sind ganze Zahlen. Durch Multiplikation der Funktionen rp(z) und 1/J(z) entstehe die Funktion p,nten Grades:
(6) rp(z)1/J(z) = fez) = fo Z"'" + flZ,un-l + ... + f,un' Da fez) das Produkt der n konjugierten Funktionen (3) und (4) ist, so sind die fo, fl' ..., f,u,. rationall) und stellen also nach einem Satze von S. 82 rationale ganze Zahlen dar. Da ferner 1/J(z) der Quotient von fez) und rp(z) ist, so gehören die Koeffizienten ß dem Körper ~ an und sind als ganze Zahlen in e enthalten. Aus dem Hilfssatze von § 2, S. 80 folgt nun leicht, daß das Ideal b = [ßo, ßv ß2' ..., ß.J dem zu bewE;isenden Satze genügt. Haben nämlich die fo, fv ..., fun die rationale ganze positive Zahl a als größten gemeinsamen Teiler, so ist nach jenem Hilfssatze a ein Teiler jedes Produktes lXißk' Demnach ist jede Zahl des Ideals c = a . b durch a teilbar und also in der Gestalt 'YJa darstellbar. Andrerseits gehören dem Ideale c = a . b alle Zahlen fo, fv ..., f,un und damit die Zahl: (7) eofo+ elfl + e2 f2 + ... + e,unf,u" mit irgendwelchen rationalen ganzen e an. Man kann aber die e BO wählen, daß die Zahl (7) gleich dem größten gemeinsamen Teiler a aller f wird. 2) Hiernach ist auch a in c enthalten. Es ist also nicht nur jede Zahl von c in der Gestalt 'YJa darstellbar, sondern jedes Produkt 'YJa mit beliebigem Faktor 'YJ aus e ist in centhalten, d. h. es gilt c = a . b = [ al womit unser Satz bewiesen ist. Aus dem eben bewiesenen Satze kann man leicht auf den folgenden schließen: Sind die Produkte a . a' und a· a" eines Ideals a mit den beiden Idealen a' = [a~, a~, ..., IX] und a" = [a~, a~, ..., a;J einander gleich, so sind auch a' und a" gleich, d. h. aus a· a' = a· a" folgt a' = a". Ist nämlich U ein Ideal, das in b . a ein Hauptideal [a] mit rationaler ganzer positiver Zahl a liefert, so folgt durch Multiplikation von a . a' = a . a" mit b zufolge der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes [a J . a' = [a J . a". Diese Gleichung besagt, daß jede Zahl ('YJ~ aa~ + 'YJ~aa; + ... + 'YJ~ aa;) des Ideals [a J . a' auch als eine Zahl ('YJ~ aa~ + f)~ aa~ + ... + 'YJ; a<) von [aJ . a" 1) Um den Hauptsatz über symmetrische Funktionen bequem anwenden zu können, stelle man die IXO ' IX" ••• als Zahlen von ~ in der Gestalt (2) S. 83 dar und ordne geradezu die Funktion q;(z) nach Potenzen von 0 an. Für die Funktionen (4) ergeben sich dann die entsprechenden Ausdrücke in den mit 0 konjugierten Zahlen 0', 0", .... 2) Daß man bei zwei rationalen ganzen Zahlen Yo' y, die gleichfalls rationalen ganzen Zahlen eo' e, so wählen kann, daß (eoYo e, y,) der größte gemeinsame Teiler von Yo und y, wird, ist ein bekannter Elementarsatz der Zahlentheorie (S. 90ff.). Hieraus folgt die Behauptung des Textes leicht durch vollständige Induktion.
+
Sätze über Produkte zweier Ideale. Teiler eines Ideals
95
darstellbar sei und umgekehrt. Teilen wir durch a, so folgt, daß jede Zahl ('t}~"t + 't};"~ + ... + 't}~"J auch als eine Zahl ('t}~"; + 't};"; + ... + 't}>;:) darstellbar ist und umgekehrt. Dies aber heißt, daß a' = a" ist.
§ 9. Faktorenzerlegung eines Ideals. Um einen bei der Faktorenzerlegung eines Ideals zu benutzenden Hilfssatz zu beweisen, schicken wir folgende Erklärung voraus: Zwei Zahlen 't} und 't}' aus e, deren Differenz durch die ganze Zahl" aus e teilbar ist, sollen modulo " kongruent heißen:
't}'='t}
(mod ").
Alle mod " kongruenten Zahlen von e fassen wir in eine "Zahlklasse" zusammen. Es gilt der Satz: Ist a rational, ganz und positiv, so gibt es mod a im ganzen a" inkongruente Zahllclassen in e. Stellen wir nämlich die Zahlen 't} von ein einer Basis 't}u 't}2' ..., 't}" dar: (1)
't} =
+ e,,'t},., e~ 't}1 + e; 't}2 + ... + e n 't} n
e1't}1 + e2't}2+···
so ist die Zahl (1) mit der Zahl 't}' = stets und nur daun mod a kongruent, wenn ek == e;, (mod a) für k = 1, 2, ..., n gilt. Man erhält demnach ein volles System mod a inkongruenter Zahlen 't}, wenn man die n Koeffizienten ek in (1) auf alle an Arten entsprechend den Bedingungen 0 < ek < a auswählt. Hieraus ergibt sich der unten anzuwendende Satz: Es gibt in ~ nur eine beschränkte Anzahl von Idealen, die eine vorgeschriebene rationale ganze positive Zahl a enthalten. Ein solches Ideal enthält nämlich mit einer Zahl 't} sogleich die ganze Klasse der mod a mit 't} kongruenten Zahlen, setzt sich also aus einer gewissen Anzahl der an mod a inkongruenten Zahlklassen zusammen. Aus einer endlichen Anzahl an von Klassen können wir aber nur eine endliche Anzahl von Kombinationen herstellen, woraus der Satz hervorgeht. Es gelte nun folgende Erklärung: Ein Ideal c hat ein Ideal aals "Teiler" oder ist "durch a teilbar" oder a "geht in c auf", falls es ein Ideal a' gibt, das mit a multipliziert c liefert, a· a' = c. Aus a· e = a folgt, daß jedes Ideal a sowohl das Einheitsideal e als sich selbst zum Teiler hat. Sollte es Ideale a in ~ geben, die außer e und a keinen Teiler haben, so werden wir solche Ideale als "Primideale" hezeichnen. An die Erklärung des Teilers schließt sich der Satz: Ist a ein Teiler von c, so gibt es auch nur ein Ideal a', das mit a multipliziert c als Produkt liefert. Wäre näm1ich neben a . a' = c auch a . a" = c, so wäre a . a' = a . a" und also nach dem letzten Satze des vorigen Paragraphen a' = a". In den nächstfolgenden Sätzen wird man Verallgemeinerungen der S. 90ff. für den rationalen Körper aufgestellten Sätze erkennen. Das Ideal
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 96 a ist stets und nur dann ein Teiler von c, wenn jede Zahl von c in u ent~
halten ist. Daß jede Zahl von C = U • a' in a enthalten ist, folgt aus der Erklärung (1) S. 93 des Produktes zweier Ideale. Ist andrerseits c irgendein Ideal, dessen sämtliche Zahlt;ln in a enthalten sind, und ist b ein Ideal, das mit u multipliziert wie oben als Produkt ein Hauptideal a· b = [a] liefert, so ist auch jede Zahl des Ideals c· b = 0 . c durch a teilbar. Es gibt demnach für c eine Darstellung:
o·
o. c =
[a"~, a"~, ..., aIX:l,
· IXl) " "2' . . ., Cl,v ganze Zahl en sIn. . d S et zen wIr . [" ' wo dW "1' "2"'" IX.' ] =u, so wird 0 . C = [al . a' = 0 . a . u', woraus C = U • a' und also der zu beweisende Satz folgt. Ein Ideal, das in jedem der beiden Ideale a und a' aufgeht, und das jeden gemeinsamen Teiler von a und a' selbst zum Teiler hat, heißt ein "größter gemeinsamer Teiler" von a und a'. Es gilt der Satz: Je zwei Ideale u ~md a' des Körpers ~ haben einen eindeut'ig bestimmten größten gemeinsamen Teiler b; ist u = ["1' "2' ..., IX l ] und a' = [IX~, cx;, ..., cx], so ist dieser Teiler b: '
(2) Jede Zahl von U ist nämlich in diesem b enthalten, ebenso jede von u'; also ist b ein gemeinsamer Teiler von U und u'. Ist aber b' irgendein gemeinsamer Teiler von U und u', so sind alle Zahlen CXll IX2 , •••, CXl , cx~, "~, in b' enthalten. Also sind auch alle Zahlen von b in b' enthalten, d. h. es ist b' Teiler von b. Hieran schließt sich die Erklärung: 1st der größte gemeinsame Teilm" von a und u' das Einheitsideal c, so heißen u und u' "teilerfremd". Aus den bisherigen Sätzen ergeben sich einige einfache Folgerungen: Gilt für zu·ei Ideale a und a' die Gleichung u . u' = e, so ist a = a' = e. Es ist nämlich jede Zahl von e sowohl im Teiler a als im Teiler u' enthalten. Irgendein vorgelegtes Ideal u hat nur endlich viele Teiler. Ist wie oben u . 0 = [a], so ist jede Zahl von [a], also auch a selbst in U und damit auch in jedem Teiler von u enthalten. Es gibt aber nach S. 95 nur endlich viele Ideale, die die Zahl a enthalten. Ist u . u' = c, und ist u' nicht das Einheitsideal e, so hat u weniger Teiler als c. Jeder Teiler von u ist nämlich ein Teiler von c. Aber nicht jeder Teiler von C ist ein solcher von u. Es geht z. B. C selbst wohl in c, aber nicht in U auf. Wäre nämlich a = c . u", so würde durch Multiplikation mit u':
...,<
cu" . u' = u . a' = c = c . e und also u'· a" = c, u' = e entgegen der Annahme folgen. Das Ideal e ist nur durch sich selbst teilbar und hat demnach den Charakter eines Primideals. Indes verstehen wir weiterhin unter einem "Prim-
97 ideal" em von e verschiedenes Ideal p, welches nur e und p selbst zu Teilern hat. Es gilt dann der Satz: Jedes von e verschiedene Ideal a ist durch mindestens ein Primiaeal teilbar. Es hat nämlich a sicher mindestens einen von e verschiedenen Teiler, nämlich a selbst, und andrerseits auch nur eine endliche Anzahl solcher Teiler. Unter diesen von e verschiedenen Teilern des Ideals a können wir einen aussuchen, der seinerseits nicht mehr Teiler hat als irgendein anderer von ihnen. Jeder Teiler hat nämlich selbst nicht mehr Teiler als a; unter den Teileranzahlen gibt es also eine kleinste. Den ausgesuchten Teiler nennen wir b und erkennen leicht, daß er ein Primideal darstellt. Gäbe es nämlich eine Zerlegung b = c . c', wo keines der Ideale c gleich e wäre, so wären auch c und c' Teiler von a, die nach dem letzten Satze entgegen der Annahme über b weniger Teiler als b hätten. Jetzt ist auch der folgende Satz beweisbar: Geht ein Primideal lJ in dem Produkte 0 = a' . a" der beiden Ideale a' und a" auf, so ist mindestens einer der Faktoren a', a" durch lJ teilbar. Wir nehmen an, daß lJ nicht in a" aufgeht, und haben zu zeigen, daß lJ Teiler von a' ist. Der Annahme entsprechend sind a" = [(X~, a;, ..., (X~J und lJ = [ni, n 2 , .••, n ..J teilerfremd: Faktorenzerlegung der Ideale. Hauptsatz
Da die Zahl 1 in e enthalten ist, so gibt es eine Darstellung: • • • +"" 1 (Xl + 1]2"1X"+ 1]2 ai. + 1]1 n 1 + • • . + 1] u n .., 1 = "'1"" 2 dieser Zahl. Ist nun IX' eine beliebige Zahl aus a', so folgt durch Multiplikation der letzten Gleichung mit a':
,
IX =
IX
• • • +" 1]l a "+ l 1]2"1X"+ 1] l a ") IX 1]", n,u' '(" +'IX 1]1 7tl + • • • +' 2 l
Das erste Glied rechts, als Produkt einer Zahl IX' aus 0' und einer Zahl (1]~ a~ + ...) aus a", ist in a'· a" = a und also auch im Teiler lJ von U enthalten. Da auch die Zahl (IX' 1]1711 + ...) in lJ enthalten ist, so gilt dasselbe von IX', also von jeder beliebigen Zahl aus a'. Also ist lJ Teiler von 0'. In allen diesen Sätzen erkennt man die Übertragungen bekannter Elementarsätze über die Teilbarkeit der rationalen ganzen Zahlen auf die Ideale des Körpers st'. Der Hauptsatz der Idealtheorie ist endlich der folgende: Jedes von e verschiedene Ideal a von st' ist als Produkt von Primidealen darstellbar: (3) und zwar im wesentlichen, d. h. abgesehen, von der Anordnung der Faktoren nur auf eine einzige Art, wobei wir übrigens in (3) rechts etwa gleiche Primideale auch in Primidealpotenzen zusammenfassen können. Ist a nicht selbst Primideal, in welchem Falle die Gleichung (3) für 1 = 1 gilt, so sei lJl ein erstes in a anfgehendes Primideal, das nach dem vorletzten Satze existiert. Wir setzen a = VI . a' nnd haben in a' ein Ideal, das weniger Fr i c k e, Die elliptischen Funktionen II
7
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 98 Teiler hat als a. Ist a' no.ch nicht Primideal, so. setzen wir a' = Pi . a", wo. die Teileranzahl vo.n alt wieder geringer ist als dievo.n a'. Da die Teileranzahl vo.n a endlich war, so. ko.mmt dieser Pro.zeß zum Abschluß und liefert eine Darstellung (3) vo.n a. Gibt es noch eine zweite so.lche Darstellung: (4) a=p~.p~.p~ ... p;",
Bo. gelten fo.lgende Schlüsse. Es sei etwa l < m. Das Ideal Pi geht im Pro.dukte p~ . (p~ . p~ ... P;") auf; also. ist entweder Pi = p~, o.der Pt geht in p~. p~ ... P;" auf. Durch Fo.rtsetzung dieses Verfahrens findet man, daß Pt unter den in (4) rechts stehenden Idealen auftritt. Wir können demnach, nötigenfalls nach Umo.rdnung der Ideale in (4) rechts, :p~ = PI setzen. Dann fo.lgt nach einem Satze vo.n S. 94:
P2 . Ps ... PI = p~ . p~ ... p;"· Auf dieselbe Art ergibt sich p~ = P2' p~ = Ps, ... , P;-l " , die Gleichung übrig bleibt: Pi=pj·Pi+l···P",·
=
Pi-i' wo.rauf
Diese Gleichung lehrt, daß l = m sein muß, und daß P; = Pi zutrifft. Damit ist der Satz bewiesen. In dem S. 88:ff. betrachteten quadratischen Körper der Grundzahl - 20 konnten wir das Hauptideal [21] als Pro.dukt so.wohl vo.n [3] und [7] als auch als Pro.dukt vo.n [1 + 2iy'5] und [1 - 2iy'5] darstellen, was den Zerlegungen 21 = 3·7 und 21 = (1 + 2iy5) (1- 2iy5) entspricht. Die Hauptideale [3], [7J, [1 ± 2iy'5] sind nun no.ch keine Primideale. Die Zerlegung vo.n [21] in Primideale enthält vier Fakto.ren, nämlich:
Pt = [3, 1 + 2iY5], P2 = [3, 1 - 2iY5] , Ps = [7, 1 + 2iY5], P4 = [7, 1 - 2iy'5], in denen man auf Grund späterer Sätze leicht Primideale erkennt, und die übrigens die größten gemeinschaftlichen Teiler von [3] und [1 + 2iy'5]. vo.n [3] und [1 - 2iy'o] usw. sind. Bildet man nach (1) S. 93 das Produkt l\ . P2' so. ist:
Pi' P2 = [9,3 + 6i·Y5, 3 - 6i· Y5, 21]. Das Ideal Pi' P2 enthält auch die Zahl 21- 2·9 = 3 und also alle Zahlen
(5)
vo.n [3]. Da andrerseits alle vier Zahlen in (5) rechts in [3] enthalten sind, so sind auch alle Zahlen vo.n Pi' P2 in [3] enthalten, d. h. man hat die erste der vier Gleichungen:
Pl'P2=[3J, Pi'Pa=[1+2iy'5], PS'P4=[7J, P2'P4=[1-2iy'o], deren drei übrige entsprechend zu zeigen sind. Aus der eindeutig bestimmten Zerlegung [21] = Pt' P2 . Ps . P4 kommen wir demnach bei den beiden Anordnungen:
99
Beweis des Hauptsatzes. Basen der Ideale
[21] = (l\' P2)' (P3' V4) = [3]. [7J, [21] = (P1' Ps)· (P2 . P4) = [1 + 2iY5]. [1- 2iV5] zu den beiden Zerlegungen von [21] in Produkte von Rauptidealen zurück. Die Erweiterung auf alle Ideale des vorliegenden Körpers Eindeutigkeit der Primidealzerlegung wieder her.
~
stellt die
§ 10. Die Basen eines Ideals n. Eine "Basis" eines Ideals II wurde von irgendeinem Systeme linearunabhängiger Zahlen "1' "2' ... , "n aus II gebildet, deren Diskriminante D ("11 "2' ... , an) die absolut kleinste von 0 verschiedene Zahl ist, die als Diskriminante von n Zahlen aus a auftritt (S. 91). In der Basis "11 "2' ... , "n ist jede Zahl a von a auf eine und nur eine Art in der Gestalt: (1) ce = e1 "1 + e2 a2 + ... + e,,"n mit rationalen ganzen e darstellbar, und umgekehrt ist jeder Ausdruck (1) eine Zahl von ll. Dieser Satz ist für eine Basis charakteristisch, d. h. ein System linear-unabhängiger Zahlen ,,~, ,,~, ... , a~ von ll, in dem jede Zahl des Ideals in der Gestalt e~ a~ ~ a~ + ... + e: a~ mittels rationaler ganzer e' darstellbar ist, liefert immer eine Basis von ll. Es sind nämlich sowohl die ,,~, a~, ... , a: in den a l l a2 , ••• , an linear homogen mit rationalen ganzen Koeffizienten darstellbar wie auch umgekehrt die al! a2 , ••• , an in den a~, a~, ... , a~. Hieraus folgt (bei Benutzung des Multiplikationsgesetzes der Determinanten), daß jede der beiden rationalen ganzen Zahlen D (a v a2 , ••• , an) und D (a~, a;, ... , a~) in der anderen aufgeht, so daß sie als Zahlen von gleichem Vorzeichen einander gleich sind. Also ist auch a~, a~, ... , a~ eine Basis. Die Darstellungen der eben betrachteten Zahlen a~, in der ersten Basis seien:
+
a;, ... , ":
(2)
a;
=
eil a l
+ ei2 a2 + ... + ein an'
i
=
1, 2, ... , n.
Aus der Gleichheit der beiden Diskriminanten folgt dann der Satz: In einer ersten Basis a l l a2 , ••• , an von a ist jede andere Basis a~, a~, ... , a~ dieses Ideals in der Gestalt (2) mit rationalen ganzen Koeffizienten eik der Determinante ± 1 darstellbar, und jedes so gewonnene Zahlsystem a~, a~, ... , ,,~ ist auch offenbar wieder eine Basis von a. Es seien nun die Zahlen "1' "2' ... , "n einer Basis von a in einer Basis 'YJv rJ2' ••. , rJn von e in der Gestalt:
(3)
(Xj
= hil rJ1 + h;2rJ2
+ ... + h;,,'YJn'
i= 1,2, ... , n
mit rationalen ganzen h dargestellt. Dann gilt nach (7) S. 84:
(4)
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 100 wo [hik [ die n-reihige Determinante der Koeffizienten h ist. Der absolute Wert dieser Determinante hat für das Ideal a eine wichtige Bedeutung, welche im nächsten Paragraphen zur Besprechung gelangt. Zur V 01'bereitung wählen wir hier zunächst eine besonders gebaute Basis für a aus. Es besteht nämlich folgender Satz: Man kann eine Basis von a stets durch n Zahlen der Gestalt:
I= 011
=
hll tJ11
a2 = ha1 tJ1
(5)
+h
22 tJa,
~s ~31 :1 ~ h~2tJ~ +. ~~~: tJs :
OIn
-
hn1 tJ1
+ hn2 tJa +
+ hnn tJ"
mit positiven hl l , h22 , ••• , hnn aufbauen. Um dies einzusehen, betrachten wir alle in a enthaltenen Zahlen: (6) mit e. =1= 0, wo v eine der Zahlen 1, 2, ... , n ist. Solche Zahlen kommen sicher für jedes v in a vor; denn es gibt in a von 0 verschiedene rationale ganze Zahlen e., also z. B. auch Zahlen e"tJ v ' Die Gesamtheit der in a enthaltenen Zahlen (6) heiße ~r•. Da mit" auch - " in Q enthalten ist, so kommen auch Zahlen (6) mit e,. > in ~. vor. Die kleinste positive die vorkommt, heiße hv.' eine Zahl aus ~", bei der sie auftritt, sei: Zahl
°
e.,
(7) Wir können nun zunächst leicht zeigen, daß alle in
~.
auftretenden
e,. Vielfache von h•• sind. Gäbe es nämlich eine Zahl (6), bei der e. nicht durch h." teilbar ist, so könnten wir von ihr durch wiederholten Zusatz oder Abzug von IXv zu einer Zahl (6) mit < e,. < h"" gelangen, d. h. hvl' wäre der Annahme entgegen nicht die kleinste positive Zahl el' • Ist nun für irgend eine Zahl a aus m-,. der letzte Koeffizient el' = e:. . h"" wo also e;. rational und ganz ist, so ist offenbar (IX - e~a,.) eine Zahl, die bereits einem der Systeme ~v-l! ~v _ 2' . . . angehört. Nun bilden alle Systeme ~n' ~n-1' •.. , ~2' ~1 zusammen mit der Zahl 0 das ganze Ideal a. Durch wiederholte Anwendung der eben durchgeführten Überlegung finden wir, daß jede Zahl a aus Q in der Gestalt:
°
(8)
°
darstellbar ist. Dabei bildet die Zahl keine Ausnahme, da sie in (8) gewonnen wird. Nehmen wir noch hinzu, für e~ = 0, = 0, ... , e;, = daß offenbar:
°
e;
(9)
DCal1 a2, ... , IX,,)
=
(hn · h22 •·· hnrY· D(tJl! tJ2' "', tJ,') =1=
gilt, so erkennen wir in IX 1,
"2' . . . ,
an eine Basis
VOll
a.
°
Basen und Normen der Ideale
101
§ 11. Norm eines Ideals. Wir gehen jetzt auf die Gleichung (4) § 10 und die in ihr als Spezialfall enthaltene Gleichung (9) daselbst zurück und stellen folgende Erklärung auf: Unabhängig von der ausgewählten Basis IX1) a2 , ••• , IXn des Ideals n ist die positiv genommene Wurzel:
liDD (al' a2, ~ an)
(1)
(1)~;~-:-:-:,~
eine eindeutig bestimmte, dem Ideal n eigentümliche ration'ale ganze positiveZahl, die die "Norm" des Ideals a genannt und durch N(u) bezeichnet wird. Die Norm N(a) ist also der absolute Betrag der Determinante der n 2 Koeffizienten hik in (3) § 10; insbesondere folgt für die in (5) § 10 vorliegenden Zahlen h:
(2) Für ein Hauptideal [a] gilt der Satz: Die Norm N([ a]) eines Hauptideals [a] ist gleich dem absoluten Betrage der Norm N (a) der ganzen Zahl a. Für [a] haben wir nämlich eine Basis in a 1 = (1)v a 2 = (1)2' .•. , an = (1)n· Sind a, cl, a", ... , a(n- 1l die mit a konjugierten Zahlen, so liefert die zur Berechnung von D (a 1 , a2 , .•• , an) anzusetzende n-reihige Determinante: D( a l1
CX 2 , ••• ,
an) -- ( a .a' ... a (n-1 l)2D('1/1' 'I/!, ... , 'l/n ) ,
so daß sich aus (1) und der Erklärung der Norm (S.85) der Satz ergibt. Um die Bedeutung der Zahl N(a) darzulegen, erweitern wir den Begriff der Kongruenz zweier Zahlen in folgender Art: Zwei Zahlen ß, y aus e sollen mod n kongruent heißen:
(3)
ß-y
oder
y
ß
(moda),
wenn (ß - 1') und damit auch (1' - ß) in a enthalten ist. Für ein Hauptideal a = [a] ist die Kongruenz (3) gleichbedeutend mit ß - r (mod a). Die Elementarregeln für das Rechnen mit Kongruenzen in bezug auf Zahlen als Moduln übertragen sich auf die Kongruenzen (3). Ist ß = r (mod a) und r-~ (mod a), so ist auch ß ~ (mod n); denn mit (ß-r) und (1' - d) ist auch (ß - 1') + d) = ß - d in a enthalten. Besteht neben (3) die Kongruenz ß' =y' (mod a), so gilt auch (ß ± ß') (1' ± 1") (moda). Ebenso folgt aus (3) sofort 1) ß= '1/1' (mod a), da mit (ß - 1') auch '1/ (ß - 1') in n enthalten ist; etwas allgemeiner folgt aus (3) und ß' = 1" (mod n) auch ßß' 1'1" (mod a). Alle mod n kongruenten Zahlen von e vereinigen wir in eine "Zahlklasse" modulo n. Es besteht dann der Satz: Das System e der ganzen Zahlen von ~ zerfällt mod a in N(a) Klassen, als deren "Repräsentanten"
er -
=
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
102
wir die N(o)
(4)
=
h11 • h22
el'!}l + e2 '!}2
••.
h"" Zahlen:
+ ... + e" ,!}",
0 < el
< h11 , 0 < e2 < h22 , •• " 0 < e" < h",.
wählen können, unter h11 , h22 , ••• , hnn die n in (5) 8.100 auftretenden Zahlen verstanden. Erstlieh sind nämlich die N(o) Zahlen (4) durchweg inkongruent mod o. Die Differenz zweier verschiedenen unter ihnen hat nämlich die Gestalt: (5) mit rationalen ganzen, nicht durchweg verschwindenden d, die die Bedingungen 0 < Idi i < hii erfüllen. Es kann demnach die sicher von 0 verschiedene Zahl (5) keinem der oben (S. 100) durch ~'" ~"-1I . . . , ~l bezeichneten Zahlsysteme angehören und ist demnach auch nicht in 0 enthalten. Andrerseits kann, wenn wir für 0 die Basis (5) (S. 100) benutzen, jede Zahl'!} aus e auf eine Zahl des Systems (4) reduziert werden, indem wir von '!} nach und nach die Produkte e;, an' e:_ 1 a n _ 1 , • ~ ., e~ a l mit 'geeignet gewählten rationalen ganzen e' abziehen. Also ist jede Zahl aus e mit einer Zahl (4) mod 0 kongruent. Ein Repräsentantensystem der Neo) verschiedenen Zahlklassen mod 0 sei von den Zahlen ~l' ~2' • , ., ~ N geliefert. Dann sind auch die N Zahlen ~l + 1, ~2 + 1, ... , ~N + 1, die alle in e enthalten sind, mod 0 durchweg inkongruent, bilden also gleichfalls ein Repräsentantensystem mod o. Hieraus folgt: (Ql
+ 1) + (~2 + 1) + .. , + (QN + 1) = ~1 + ~2 + . , . + ~N
(mod 0)
und damit N(o) _ 0 (mod 0): Im Ideal 0 ist die rutionale ganze positive Zahl N(o) enthalten. Da nach S. 95 eine gegebene rationale ganze Zahl nur in endlich vielen Idealen auftritt, so folgt weiter der Satz: Es gibt nur endlich viele Ideale mit gegebenem Werte der Norm. Ferner besteht der wichtige Satz: Ist 0 ein beliebiges Ideal und lJ ein Primideal des Körpers ~, so gilt für N(o 'lJ) die Regel:
(6)
Neo· lJ)
=
Neo) . N(lJ)·
Der etwas umständliche Beweis läßt sich so gliedern: Alle Zahlen von o'lJ sind in 0 enthalten, aber nicht umgekehrt alle Zahlen von 0 in 0 . lJ, da sonst lJ = e wäre, Wir können demnach aus a eine Zahl a entnehmen, die nicht in 0 • lJ enthalten ist und deshalb auch sicher von 0 versehieden ist. Da Cl ein Teiler von [a] ist, so gibt PJS ein Ideal b, das die Gleichung o· b = [ a] befriedigt. Dieses Ideal b ist sicher zu lJ teilerfremd. Es müßte nämlich andernfalls durch lJ teilbar sein; dann aber wäre o· b = [a] durch o· lJ teilbar, und also wäre a entgegen der getroffenen Auswahl dieser Zahl in 0 . lJ enthalten. Zur Abkürzung schreiben wir N(o) = 1 und N(lJ) = m und verstehen
Sätze über die Normen der Ideale
103
unter Qll Q2' ••• , Q! und "'17 "'2' ••• , "'m Repräsentantensysteme mod und mod p. Wir können dann zeigen, daß die l· m Zahlen:
(7)
QA
+ IX "'I' '
}..
=
1, 2, ... , l,
l"
=
Cl
1, 2, ... , m
ein Repräsentantensystem mod a·p bilden, womit die Regel (6) bewiesen sein würde. Erstlich können keine zwei verschiedene Zahlen (7) mod a·p kongruent sein. Aus QA' + IX"'I" QA + IX"'" (mod Clp) folgt nämlich, da jede Zahl von Cl'1' auch in Cl enthalten i~t, die Kongruenz Q2' + IX "'I" - QA + IX"'" (mod Cl) und also, da IX in Cl enthalten ist, Q2' QA (mod a). Somit ist, Ql' = Q2 und also IX"'I" = IX"'" (mod a .p), d. h. es ist IX ("',lL' - "',J in a·p enthalten. Es ist demnach Cl . V ein Teiler des Hauptideals:
=
[IX ("'", -
nl')]
=
[IXJ· ["'I" -"'I'J
=
ab, ["'/I' -"'I']'
und also geht p im Ideal b . [%", - "'I.J auf. Da aber p kein Teiler von b ist, so ist [%1" - "'I'J durch p teilbar, woraus "'I" = "'" (mod p) und also 7t u , = "'" folgt. Also sind die l· m Zahlen (7) mod a·p durchweg inkongruent. Wir haben endlich zu zeigen, daß jede Zahl 'I} aus e mod a·p mit einer Zahl (7) kongruent ist. Gehört 'I} mod a in die durch (h repräsentierte Klasse, so gilt 'I} = Ql + IX', unter IX' eine Zahl aus a verstanden. Da 0 und p teilerfremd sind, so ist a der größte gemeinsame Teiler von a· b = [IX] und a .p. Also läßt sich nach S. 96 die in Cl enthaltene Zahl IX' als Summe ocl = r/ «- + IX" einer Zahl r/ IX aus [a J und einer Zahl a" aus Cl·p darstellen. Gehört 'I}' mod p zur Klasse des Repräsentanten "',u' so ist r/ = "'I' + %, wo '" in p enthalten ist. Es folgt also: a' = «-""i
+ a", + a",
'I} =
(12
+ IX"'I' + (a% + a").
Da nun a in a und", in p enthalten ist, so ist a'" in a·p enthalten; und dasselbe von IX" gilt, so folgt 'I} Q2 + «-"',tl (mod Clp), womit unsere Behauptung eingelöst und also der Satz (6) bewiesen ist. Die Regel (6) ist als Spezialfall im folgenden Satze enthalten: Die Norm des Produktes a· 0 zweier Ideale a, b ist gleich dem Produkte der Normen der Faktoren: N(a. 0) = N(a). N(o). (8) ~a
=
Für 0 = e ist der Satz (8) selbstverständlich, da a . e = a und N(e) = 1 gilt. Für ein Primideal b = P ist (8) soeben bewiesen. Der allgemeine Beweis kann durch vollständige Induktion geführt werden. Der Satz sei richtig, falls 0 in weniger als v Primideale zerfällt. Dann zeigt man leicht, daß er auch noch gilt, wenn b ein Produkt von v Primidealen ist, Man setze nämlich b = P. c, wo C ein Produkt von (v - 1) Primidealen ist, und
104
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
beweist leicht folgende Kette von Gleichungen:
N(o. b) = N(o· (1J . cl) = N(o· 1J) . c) = N(o .1J) . N(c) = N(o) . N(c) . N(1J) = N(o) . N(1Jc) = N(Cl) . N(o). § 12. Äquivalenz der Ideale. Der ErkUirung der Äquivalenz zweier Ideale schicken wir folgenden Hilfssatz voraus: Liefm'n die beiden Ideale Cl1 und 02' mit einem und demselben Ideale b multipliziert, als Produkte zwei Hauptideale :
(1)
Cl1 '
b = [al]'
Cl 2 '
b = [«2],
und ist auch das Produkt von Cl1 mit dem Ideale c ein Hanptideal 01 . C= [a; ], so ist stets auch das Produkt 02 • C ein Hauptideal. Es gilt nämlich: [a~
. a2 ]
[a;] . [a 2 ] =
=
und also, wenn wir
01 .
(Cl1 •
c) . (Cl2 • b) =
(Cl1 •
b = [a1J setzen: (0 2 • C) . [al]
=
[a~
. a2] .
Alle Zahlen des rechts stehenden Ideals, also auch den Teiler a11 so daß wir schreiben können: (Cl 2 '
Das Ideal
Cl 2 •
Cist
b) . (Cl 2 • c)
c) . [al]
=
[C<~~,C<2 . a l ]
=
lX~· lX 2 ,
haben somit
[C<_1~,C<2] . [aIJ.
also gleich [lXi~,C<']' d. h. es ist ein Hauptideal.
Hieran schließt sich folgende Erklärung: Zwei Ideale 01 und 02 aus heißen einander äquivalent, wenn es ein Ideal b in ~ gibt, das, mit 01 und 02 multipliziert, in den pj"odukten Cl1 ' bund 2 ' b Hauptideale liefert. Als Zeichen der Äquivalenz möge dienen 1 ' " 02' Der vorausgeschickte Hilfssatz ergibt die Folgerung: Gilt 01 ' " Cl2 und 01 "-' os, so gilt auch 0, '" os, d. h. sind zwei Ideale einem dritten äquivalent, so sind sie auch untereinander äqttivalent. Sind nämlich Il:t • 0 und Cl 2 ' 0 Hauptideale, und gilt dasselbe von 1 ' C und os' c, so ist nach dem Hilfssatze auch 2 ' C ein Hauptideal, so daß 2 ""'" Os gilt. Aus dem für zwei äquivalente Ideale Cl1 und 02 charakteristischen Gleichungen (1) folgt: ~
°
° °
°
°
. Cl1' [a 2] = Cl2 ' [al]' Besteht andrerseits für zwei Ideale Cll l 02 und zwei Zahlen a 1 und a2 aus e die Gleichung (2), so folgt durch Multiplikation mit einem Ideale b: 01 . b . [a 2] = 02 . b . [al] . (2)
Nun können wir nach S. 93 das Ideal b so wählen, daß 01 • b = [a] ein Hauptideal wird. Dann gilt 2 ' b . [«1] == [a· a2], woraus wir wie im An" fang des Paragraphen folgern, daß auch Cl 2 • bein Hauptideal ist. Somit
°
Aquivalenz der Ideale. Idealklassen
105 kann man auch sagen: Zwei Ideale 01 und O2 sind stets und nur dann äquivalent, wenn es zl,oei von 0 verschiedene Zahlen IX1 , IX 2 in e gibt, die mit 01 und 02 die Gleichung (2) erfüllen. Wir notieren als unmittelbare Folgerung noch den Satz: Gilt 0 1 ' " O2 , so gewinnt man die Zahlen von 02 aus denen von 01> indem man die letzteren sämtlich mit eine1" gewissen Zahl Il'! aus ~ multipliziert. IX 1
§ 13. Die Idealklassen des Körpers
°
~.
Alle mit einem einzelnen Ideale äquivalenten Ideale vereinigen wir in eine "Klasse" von Idealen oder "Idealklasse", die wir durch ~{bezeichnen. Dann sind je zwei Ideale der Klasse ~ miteinander äquivalent, und irgend zwei Ideale verschiedener Klassen nennen wir "inäquivalent". Jedes Ideal a von ~ gehört einer bestimmten Klasse an, da G, mit einem geeigneten Ideale "6 multipliziert, ein Hauptidealliefert. Als "Repräsentanten" der einzelnen Klasse können wir ein beliebiges Ideal derselben wählen. Es gilt der Satz: Die gesamten Hauptideale von ~ bilden eine Klasse für sich, die die "Hauptklasselt heißt und durch ~ bezeichnet werden mag. Jedes Hauptideal a ergibt nämlich, mit e multipliziert, ein Hauptideal, nämlich 0 selbst, und soll umgekehrt o· e ein Hauptideal sein, so muß 0 selbst ein solches sein. Es besteht der grundlegende Satz: Die gesamten Ideale des Körpers ~ ordnen sich in "endlich viele" Ideal7classen an. Dem Beweise müssen wir einen Hilfssatz vorausschicken, zu dem die folgende Betrachtung hinführt: Es sei '111> '112' •.• , 'I1n eine Basis von c, und es seien '11" '11;,'1/;, •.• , '1/}n-l) die mit '1/. konjugierten Zahlen, r;~k) eine beliebige unter ihnen. Die Summe der n absoluten Beträge 1r;ik)I, 1'1/~k) I, ... , In~k) 1 hat einen reellen positiven Wert, ebenso das Produkt aller n Summen:
TI (I n~k) n-l
(1)
!
+ 1r;~k) i + ... +
i
n}~) I)
=
llf.
k=O
Dieser reelle positive Wert M ist mit der Auswahl der Basis fest bestimmt. Jede Zahl r; von e ist nun in der Gestalt:
(2) mittels rationaler ganzer e darstellbar. Wir lassen jetzt nur noch diejenigen Zahlen (2) zu, bei denen die absoluten Beträge lei 1 eine rationale ganze positive Zahl g, deren Auswahl wir vorbehalten, nicht übersteigen, Iei I
1r;(k) I
Mit Rücksicht auf (1) folgt hieraus:
(3)
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
106
Es sei jetzt birgendein Ideal von~. Da N(b) eine rationale ganze positive Zahl ist, so können wir die ganze Zahl g so wählen, daß:
(4) zutrifft. Wir bilden nun die (g + 1)" verschiedenen ganzen Zahlen (2), die allen Kombinationen rationaler ganzer Zahlen e mit den Bedingungen 0;;;; ei :<:::; g entsprechen. Da es mod b nur N(o) inkongruente ganze Zahlen in e gibt, so sind unter jenen + l)n Zahlen 1j wegen (4) mindestens zwei mod 0 kongruente Zahlen nachweisbar, deren Differenz ß eine von 0 verschiedene Zahl (2) mit I ei I ; : : : g ist, die sicher in b enthalten ist. Also ist zufolge (3) der absolute Betrag I N(ß) I ~ Mgn, und da gn:<:::; Neo) ist, so folgt der Satz: In jedem Ideal b von ~ t·st eine von 0 verschiedene Zahl ß nachweisbar, für deren Norm die Ungleichttng gilt:
eg
I N(ß) I ~M· N(o).
(5)
Es sei nun 2( irgendeine Idealklasse des Körpers ~ und 0 ein Ideal, das, mit den Idealen a von m: multipliziert, Hauptideale a . b liefert. Wir wählen aus b eine der Bedingung (5) entsprechende Zahl ß und können dann, da das Hauptideal [ß] den Teiler 0 hat, [ß] = a . 0 setzen, wo II der Klasse m: angehört. Nach S. 10 1 ff. folgt: I
N(ß)
I
=
N(a) . N(o) :<:::; M· N(o) ,
und also gilt N(a) < M, so daß in jeder Klasse m: ein Ideal a nachweisbar ist, dessen Norm nicht größer als der reelle positive Wert M ist. Insbesondere können wir als Repräsentanten der Klasse m: ein solches Ideal a wählen. Nun gibt es nur endlich viele rationale ganze positive Zahlen, die ;;::::: JJ1 sind. Zu jeder dieser Zahlen, als Norm N ( a) aufgefaßt, gibt es nach S. 102 nur endlich viele Ideale a. Wir können also für jede Klasse m: des Körpers einen Repräsentanten a aus einer begrenzten Anzahl von Idealen wählen. Also haben wir in der Tat auch nur eine begrenzte Anzahl von Idealklassen in Aus dem Satze am Anfang des vorigen Paragraphen folgt weiter: Ist a . bein Hauptideal, so ergibt irgendein Ideal a' der Klasse m: von a mit irgendeinem Ideale b' der Klasse )B von b als Produkt a'· b' wieder ein Hauptideal. Man kann demnach von einer Multiplikation der beiden Klassen m: und )B sprechen und den vorstehenden Satz durch die Gleichung m:.)B = ~ oder auch )B. m: = ~ zum Ausdruck bringen. Jede der beiden Klassen m:, )B heißt zur andern "invers"; auch mag )B durch m:- 1 und entsprechend m: durch )B-l bezeichnet werden. Gilt a ~ a', und ist c irgendein Ideal, so gilt auch a . c ~ a' . c. Sind nämlich a· bund a'· b Hauptideale, und gehört das Ideal b der zur
sr
sr.
107
Multiplikation der Idealklassen
Klasse G: von c inversen Klasse an, so sind die beiden Ideale:
.(0 . c) . (v . b)
=
(0 . v) . (c . b),
(a' . c) . (v . b)
=
(0' . v) . (c . b)
Hauptideale, da rechts beide Male Produkte von Hauptidealen stehen. Also ist in der Tat o· c ~ 0' . c. Weiter folgt durch zweimalige An wendung dieses Satzes: Gilt a "-' 0' und V '" v', so gilt auch 0 . V "-' a' . v'. Hieraus ergibt sich die Möglichkeit, allgemein die Idealklassen miteinander zu multiplizieren: Sind 2( und 5S irgendzwei Idealklassen, so ergeben zwei Ideale a und aus ~ und 5S als Produkt a· = c stets ein Ideal einer durch 2( und 5S bestimmten dritten Klasse G:, die wir symbolisch als Produkt 2( . 5S = G: von 2( 1tnd 5S schreiben. Für Produkte dieser Art gelten das kommutative und das assoziative Gesetz, 2(,. 5S = )S . 2( und (2( . 5S) . G: = 2( . (5S . G:), da diese Gesetze für die Multiplikation der der Ideale gelten. Produkte gleicher ]'aktoren können wir natürlich als Potenzen schreiben. Wir bezeichnen jetzt mit h die endliche Anzahl aller Idealklassen des Körpers Sf, diese Klassen selbst aber mit 2(0' 2(11 ~2' .. " 2(h_lI wobei ~o die oben mit & bezeichnete "Hauptklasse" sei. Dann können wir die 2(0' 2(11 ... , m: h _ 1 im Sinne von S. 2 als die Elemente einer Gruppe Gh auffassen, wobei das Gesetz der Zusammensetzung zweier Elemente m:;, ~k zu einem dritten 2(1 durch die Multiplikation der Idealklassen gegeben ist, 2(,. 2(k = 2(1. Man erkennt sofort, daß dieses Gesetz den drei Gruppenbedingungen von S. 2 gehorcht, und zwar der zweiten Bedingung, da das assoziative Gesetz für die Produkte der Idealklassen gilt, der dritten Bedingung, wie man leicht aus dem Umstande folgert, daß mit der einzelnen Klasse 2(; immer auch die inverse Klasse 2(;1 dem Systeme mo, ml1 . . . , ~!h -1 angehört. Da überdies m;· ~rk = 'l{k· m:j gilt, so haben wir den Satz: Die h Idealklassen des Körpers Sf bilden gegenüber Multiplikation eine kommutative oder Abelsche Gruppe Gh der Ordnung h, in der· die Hauptklasse mo = & das "Einheitselement" darstellt. Es sei v die "Periode" irgendeines Elementes mder Gruppe G,., d. h. es sei v die kleinste rationale ganze positive Zahl, für die 2(v = 2(0·= & ist. Dann bilden die Elemente 2(, 2(2, ... , 2(v-\ 2(v=2(o eine zyklische Untergruppe G. der GM und also ist v ein Teiler von h. Insbesondere gilt stets 2(" = ~o; wir können auch sagen: Die htq Potenz jedes Ideals 0 aus ~ ist ein Hauptideal.
v
v
§ 14:. Zerfällung der rationalen Primzahlen in Primideale. In jedem Ideale a gibt es von 0 verschiedene rationale ganze positive Zahlen, z. B. die Zahl N(o). Ist a die~kleinste rationale ganze positive Zahl von a, so sind 0, ± a, ± 2a, ± 3a, ... alle in 0 auftretenden rationalen ganzen Zahlen. Gäbe es nämlich in 0 noch eine weitere ratio-
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 108 nale ganze Zahl, so würde auch noch eine zwischen 0 und a liegende Zahl auftreten. Da N(o) in 0 enthalten ist, so folgt: Die Zahl N(o) ist durch die kleinste in 0 vorkommende rationale ganze positive Zahl a teilbar. Da ferner 0 im Hauptideal [a] aufgeht, so kann man [a ] als Pro du kt '-a] = 0 . 0 darstellen, woraus:
N([aJ)
=
a"= N(o)· N(o)
folgt: Die Norm N(o) ist eine in an aufgehende rationale ganze positive Zahl, unter a die kleinste rationale ganze positive Zahl. von 0 verstanden. Ist 0 ein Primi deal lJ, so ist die Zahl a notwendig eine rationale Primzahl p. Man beachte zunächst, daß a = 1 nur für das Ideal e zutrifft; denn in diesem Falle ist N(o) = 1, also 0 = e. Wäre nun für 0 = lJ die Zahl a = al • a2 , wo a l und a2 zwei rationale ganze Zahlen > 1 sind, so würde lJ in [a] = [al] . a2] und also mindestens in einem Faktor [al] oder [a 2 ] aufgehen, so daß a nicht die kleinste rationale ganze positive Zahl von lJ wäre. Da N(lJ) in pn aufgeht und übrigens N(lJ) > 1 ist (sonst wäre lJ = e), so folgt: Die kleinste rationale ganze positive Zahl, die in einem Primideale lJ auftritt, ist eine rationale Primzahl p; für die Norm eines Primideals lJ gilt: (1) N(lJ)=pl,
r
wo der Exponent A eine Zahl der Reihe 1, 2, ... , n ist und als der "Grad" des Primideals lJ bezeichnet wird. Die Primfaktorenzerlegung des Hauptideals [p] sei:
(2) Nach (8) S. 103 folgt hieraus:
(3) Es ist demnach jeder der rechts stehenden Faktoren eine Potenz von p (mit einem Exponenten> 0), so daß der Satz gilt: 1st p eine rationale Primzahl, so zerfällt das Hauptideal [p] in 1 Primideale lJu lJ2' ... , lJl' wo l eine der Zahlen 1, 2, ... , n ist; jedes dieser Primideale hat p als kleinste rationale ganze positive Zahl, und die Summe ihrer Grade Ä1 , A2 , •.• , AI ist gleich n. Die tieferen Entwicklungen, die sich an die Zerlegung (2) des Hauptideals [P] anschließen, gehören zu den schwierigsten und interessantesten Teilen der Dedekindschen Idealtheorie. 1) Ein ziemlich leicht beweisbarer Satz, den wir nicht entbehren können, ist der folgende: Geht p nicht in der Grundzahl D des Körpers ~ a~tf, so sind die Primideale lJv lJ2' ... , Vp in welche [p] zerfällt, aUe voneinander verschieden. 1) Vgl. Dedekind, "Über die Diskriminanten endlicher Körper", Göttinger Abhandl., Bd. 19 (1882).
109
Sätze über ra.tiona.le Primzahlen und Primi deale
Dem Beweise dieses Satzes schicken wir zwei Hilfssätze voraus: Sind ß1' ß2' ... , ßn Zahlen aus e, und ist:
(4)
IX
=
b1ß1
+ b2ß2 + ... + b"ßn,
wo die b rationale Zahlen mit dem Hauptnenner h sind, eine "ganze" Zahl, so ist die Diskriminante D(ßl1 ß2' ... , ß,,) der ß durch das Quadrat h 2 des Hauptnenners h teilbar. Sind die ß linear-abhängig, so ist ihre Diskriminante 0, und dann ist der Satz richtig. Sind die ß linear-unabhängig, so mögen sie in einer Basis 1J11 1J2' .•• , 1J" die Darstellungen besitzen:
ßi= ei1 fJ1
+ ei2 1J2 + ... + e
i
ön 1Jn'
=
1,2, ... , n.
°
Die Determinante d = I eik I der n ganzen Zahlen eik ist jetzt von ver· schieden, und die 1J1' 1J2' ••• , 1Jn sowie damit jede Zahl1J von e stellen sich durch die ß je auf eine und nur eine Art in der Gestalt dar: 2
(5)
1J
=
C1ß1
+ C2ß2 + ... + c"ßn'
wo die rationalen C, insoweit sie Brüche sind, einen ß ) = d2 • D Hauptnenner haben. Da: D (ß ß l'
2"·"
lD
d aufgehenden
n
ist, wo rechts die Grundzahl D von ~, also eine rationale ganze Zahl steht, so ist D(ß1' ß2' ... , ß,,) durch d 2 teilbar. Nun ist das in (4) dargsstellte IX fine Zahl aus e; der Hauptnenner h der bl1 b2, .•. , bn geht also in d und das Quadrat h 2 demnach in d 2 und damit in der Diskriminante D(ß1' ß2' ... , ß,,) auf. Damit ist der erste Hilfssatz bewiesen. Zwei ganze algebraische Zahlen (mögen sie in ~ enthalten sein oder nicht) sollen modp kongruent heißen, falls ihre durch die rationale Primzahl p geteilte Differenz eine ganze algebraische Zahl liefert. Da die Binomialkoef(l~'1) durch p teilbar sind, so gilt für irgendzwei fizienten ganze algebraische Zahlen a, IX':
m, ({), ... ,
(a
+ IX"
-
IXV
+ lX'v
(modp),
woraus man leicht für irgendeine A.nzahl ganzer Zahlen IX, a', ... , lX(v-l) folgert:
(6)
(IX
+ IX' + ... + a(V-l»1' == 1X1' + lX'p + ... + (a("-I»1'
(modp).
Ist IX eine Zahl aus e, und sind IX, IX', ' .. , IX(" -1) die mit a konjugierten Zahlen, so folgt aus (6) für die Spur S(a) = IX + IX' +"., + a(n-1): . (S(IX»1' -IXP+ a'P+ ...
+ (a(n-1»p= S(a1')
(modp).
Nach dem Fermatschen Satze gilt aber für die ganze rationale Zahl S(a) die Kongruenz (S(a»p . S(IX) (modp). Wir finden demnach als für jede Zahl a aus e gültig: (7) S(IX) = S(lXp) (modp). Sind«l' «2' ' .. , a"irgend n Zahlen aus e, so können wir ihre Dis-
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 110 kriminante D(a u a2 , ••• , a,.) nach der Regel (10) S. 85 durch die Spuren der Produkte der a zu zweien darstellen. Bilden wir entsprechend die Diskriminante D(a{, a~, ... , af,), so folgt aus der Kongruenz (7) als zweiter Hilfssatz: Für irgend n Zahlen a)) ('(2' . . • , an aus e gilt, unter p eine rationale Primzahl verstanden, die Kongruenz:
D(al) a2 ,
(8)
••.,
a,.) = D(aIJ.,
a~,
...,
(modp).
a~)
Zum Beweise des Satzes über die Primi deale. 131' l:J 2, •.•, 131 von [p] nehmen wir an, [p] sei durch mindestens ein Primidealquadrat l:J2 teilbar, und haben dann zu zeigen, daß p in der Grundzahl D des Körpers st aufgeht. Wir schreiben [p] = a . lJ2 und haben in a . lJ ein nicht durch [p] teilbares Ideal. Folglich gibt es in a . lJ eine nicht durch p teilbare Zahl '1). Da aber (a . lJ)2 = a . [p] durch [P] teilbar ist, so ist '1)2 und also auch 'l)P durch p teilbar. Ist die Darstellung von 'I) in der Basis von e: 'I) =
el'l)l
+ e2 112 + ... + e,.'I),.,
so sind die e rationale ganze Zahlen, die nicht alle durch p teilbar sind. Durch Erheben zur pten Potenz folgt mit Rücksicht auf (6) und den Fermatschen Satz ef - ek (mod p): 'l)P
Da
'l)P
=
e l 'I){
+ e2 'I)~ + . . . + e,. 'I)~
(modp).
durch p teilbar ist, so gilt:
el 'I){ so daß wir in:
+ c2 'I)~ + .. "+ Cu '1);' -
0
e, p+e2~+ a=-1'l ... P '/1 P 2
(modp),
+e.",P "'n
--'>lV
eine "ganze" Zahl gewonnen haben, während rechts mindestens ein Bruch des Nenners p als Koeffizient auftritt. Nach dem ersten Hilfssatze ist also D('I){, ~, ..., '1);.) durch p2 teilbar, worauf die Kongruenz (8) lehrt, daß D (fJl' '1)2' ..., '1),,), d. h. die Grundzahl D des Körpers st durch p teilbar ist. Hierm it ist bewiesen, daß in der Zerlegung (2) von [p] lauter verschiedene Primideale auftreten, falls die rationale Primzahl p nicht in der Grundzahl D von Sl' aufgeht. Übel" die Zerlegung der in D aufgehenden rationalen Primzahlen, der sogenannten "kritischen" Primzahlen des Körpers Sl', sei auf die S. 108 genannte Arbeit von Dedckind verwiesen.
§ 15. Sätze über Galoissche Zahlkörper. Unter Sl' verstehen wir den bisher betrachteten Körper n ten Grades und unter Sl" einen seiner konjugierten Körper. Einer ganzen Zahl 'I) aus st entspricht als konjugiert wieder eine ganze Zahl '1)' aus st', so daß dem "Ideale" e von st das Ideal e' von st' zugeordnet ist. Allgemeiner ent-
111 spricht einem Ideale a von St stets wieder ein Ideal a' von St'. Sind nämlich a 1 und a2 zwei Zahlen aus a, die die gleichfalls in a enthaltene Summe a1 + a2 = a3 liefern, so besteht nach S. 71ft'. auch zwischen den konjugierten Zahlen die Gleichung a~ + a~ = a;, und ebenso überträgt sich die Gleichung r;. a1 = a4 auf die für a' gültige Gleichung r/ . a~ = a~ zwischen den konjugierten Zahlen. Sind die Zahlen eines Ideals {) in a enthalten, so sind auch die Zahlen des zu {) konjugierten Ideals 6' in a' enthalten. Man folgert hieraus leicht, daß sich die Ideale von sr in bezug auf 'reilbarkeit genau so verhalten, wie die ihnen konjugierten Ideale von ~. Insbesondere entspricht einem Primideale l.J von St stets wieder ein Zwei nach einem Ideale kongruente ganze Zahlen Primideal lJ' von des einen Körpers liefern als konjugiert zwei Zahlen, die bezüglich des konjugierten Ideals kongruent sind, so daß sich die Klasseneinteilung aller Zahlen von e bezüglich eines Ideals a auf eine Klasseneinteilung aller Zahlen von e' mod a' überträgt. Hieraus folgt der Satz: Konjugierte Ideale a und a' der beiden Körper St und St' haben stets gleiche Normen, d. k. es gilt N(a) = N(a'). Es sei jetzt St insbesondere ein "Galoisscher Körper", der mit seinen B~imtlichen konjugierten Körpern gleich ist. Nach S. 44ft'.. gestattet der Galoissche Körper ~ vom n ten Grade n Transformationen 80' 8 1, ... ,8"_1 in sich, die eine Gruppp- G" bilden, und bei denen je n konjugierte Zahlen untereinander permutiert werden. Jetzt sind die mit einem einzelnen Ideale a konjugierten Ideale a, a', a", ..., a(n-l) alle in St enthalten. Eine erste Folgerung knüpfen wir an die nun vorliegende Möglichkeit, diese n Ideale nach S. 93 miteinander zu multiplizieren. Hierbei ergibt sich der Satz: In einem Galoisscken Körper sr liefert die gemeinsame Norm N(u) von n konjugierten Idealen a, a', ..., a("-l) ein Hauptideal [N(a)], das Kritische Primzahlen. Galoissche Körper
sr.
gleich dem Prodttkte der 12 konjugierten Ideale ist: (1) a· a'· a"··· a(n-l)= [N(a)J
Dieser Satz ist für Hauptideale a = Ca], a' = [a'J, ..., a(n-1) = [a(n-1lJ einleuchtend; denn nach der Erklärung der Multiplikation der Ideale ist: Ca] . Ca'] ... [a(n-1)J = [a· a'· .. a(u-l)] = [N(a)]. Für ein beliebiges Ideal a gilt nach S. 107 die Gleichung ah = [a], wo h die Anzahl der Idealklassen ist und a eine Zahl aus e bedeutet. Da die Gleichung (1) für Hauptideale schon bewiesen ist, so folgt: (a. a'··· a(n-l»h= ah. a'k ... (a(n-l»h= [N(a h)]
=
[N(a)h]
=
[N(a)]h.
Sind aber die kten Potenzen zweier Ideale gleich, so sind diese selbst gleich, wie aus der eindeutigen Zerlegung der Ideale in Primideale folgt. Also gilt die Gleichung (1) allgemein. Die n konjugierten Ideale a, a', ..., a(n -1) brauchen keineswegs alle
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 112 voneinander verschieden zu sein. Sind im ganzen !' unter jenen Idealen mit a gleich, so gibt es !' unter den n Transformationen So, S11 ..., S"_1 der Gn , die a in sich überführen. Diese Transformationen bilden für sich eine Untergruppe G" der G n von der Ordnung !" die wir als die "zum
Ideal a gehörige Untergruppe" bezeichnen. Den v
=
~ Nebengruppen IL
entsprechend bilden dann die a, a', ..., a(n - 1) im ganzen v verschiedene Systeme von je !' einander gleichen Idealen. Sind alle n Ideale a, a', .. _, a(n-1) verschieden, so gilt!' = 1; ist a = [a] ein Hauptideal mit rationaler ganzer Zahl a, so gilt "" = n. Die in (:J) S. 108 angesetzte' Zerlegung eines Hauptideals [p] mit rationaler Primzahl p läßt sich in einem Galoisschen Körper in folgender Art weiter entwickeln: Ist V1 ein in [p] aufgehendes Primideal lten Grades, so war N(Vl) = p", und l war eine der Zahlen 1, 2, ..., 'il. Zu VI gehört eine Untergruppe GI' der Gn vom Index v
= ..~.
Wir haben dann v
verschiedene mit Vl konjugierte Primideale Vl' V2' .•., p.,., und der Satz (1) ergibt die Gleichung: (2) (V1' V2 ... vp)i< = [p]'. Ist demnach N die höchste in [P] aufgehende Potenz von Vl' so ist" l = f./, und also "lv = n. Zugleich ergibt sich: Das Hauptideal [P] mit einer rationalen Primzahl p zerfällt im Galoisschen KÖ1-per ~ in das Produkt:
[p]
(3)
von
11
=
V~
. V~ . . . V~
konjugierten Primidealpotenzen gleicher Exponenten
u.
Dabei ist die
Anzahl v ein Teiler von n, der Exponent u ein Teilet' von n ; es ist ferner v
l
=
-~der gemeinsame Grad der Primideale Pli V2' ..., V,., und endlich xv
ist!' = ul die Ordnung der {&Um einzelnen Primideale gehörenden Gruppe. Dies gilt, mag p eine kritische Primzahl des Körpers sein oder nicht . Für nichtkritische Primzahlen p ist nach S. 108ff. stets u = 1. Hier also gilt der Satz: Ist die rationale Primzahl p kein Teiler der Grundzahl D des Körpers, so zerfällt [pJ in das Produkt von v verschiedenen Primidealen;'
(4) des Grades !'
=
n
-,
v
der mit der Ordnung dm' zum einzel1len Primideale
gehörenden Gruppe Glt gleich 1·st.
§ 16. Beispiel der quadratischen Körper. Ein Körper zweiten Grades oder quadratischer Körper ~ wird nach S. 83 durch eine Gleichung zweiten Grades mit rationalen ganzen Koeffizienten aoz2 + a l z + a2 = 0 bestimmt, die im rationalen Körper irredu-
Primideale in Ga.loisschen Körpern. Qua.dratische Körper
113
zibel ist, d. h. deren Diskriminante (ai - 4aoall ) nicht das Quadrat einer rationalen ganzen Zahl ist. Sondern wir das größte in dieser Diskriminante als Teiler enthaltene Quadrat einer rationalen ganzen Zahl ab, 50 bleibe die rationale ganze Zahl d übrig, die dann dnrch kein Quadrat (außer 1) teil~ar ist. Der Körper ~ setzt sich zusammen ans allen Zahlen:
~
(1)
=
Co
+ Cl -Va,
unter Co und Cl irgendwelche rationale Zahlen verstanden. Da mit ~ stets in ~ enthalten ist, so ist jeder anch die konjugierte Zahl ~'= Co - Cl quadratische Körper ein Galoisscher Körper. Es ist znnächst festzustellen, welche unter den Zahlen (1) ganz sind.
-va
Ist ~ = Co + Cl -Va und also auch ~'= Co - Cl -Va ganz, so gilt dasselbe von ~ + ~' = 2co und (~- ~? = (2 Cl )2d. Es sind also 2co = eo und, da d durch kein Quadrat teilbar ist, auch 2 Cl = el rationale ganze Zahlen, so daß die ganzen Zahlen von ~ jedenfalls in der Gestalt:
~ = ~o +;' Va
(2)
mit rationalen ganzen e enthalten sind. Da die Zahl (2) der Gleichung ~2 -
eo~
e2 _ de 2
+ -°-4,__ 1 =
0
genügt, so ist dafür, daß sie ganzzahlig ist, die Bedingung:
(3) e~ = de~ (mod 4) hinreichend und notwendig. Nun ist d modulo 4 mit einer der Zahlen 1, 2, 3 kongruent. Für d = 2 oder 3 (mod 4) folgt eo = el = 0 (mod 2) aus (3), womit diese Kongruenz erfüllt ist; für d = 1 (mod 4) ist bereits ,das Bestehen der Kongruenz eo_ Cl (mod 2) hinreichend. Indem wir im letzten Falle der Zahl (2) die Gestalt verleihen: ". =
"
finden wir für d
=
eo 2
e,
1 (mod 4) in 1,
+e
1
1
+t~
1 +2 yd
2
'
eine Basis für das System e
aller ganzen Zahlen von st, für d - 2 oder 3 (mod 4) aber in 1, -Va: Die Grundzahl D von ~ ist entsprechend gleich d bzw. 4d. Für die Basis können wir in den heiden eben unterschiedenen Fällen einen gemeinsamen Ausdruck in der Grundzahl D finden. Setzen wir:
(4) so gilt der Satz: Die Grundzahl des quadratischen Körpers ~ ist D = d, falls d = 1 (mod 4) ist, und D = 4d, falls d = 2 oder 3 (mod 4) gilt; ,eine Basis für das System' e der ganzen Zahlen von ~ ist in allen Fällen durch 1, (J gegeben, unter (J die ganze Zahl (4) verstanden. F ricke, Die elliptischen Funktionen 11
8
114
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
Ist p eine rationale Primzahl, so ist das Hauptideal [PJ im Körper entweder ein Primideal zweiten Grades oder das Produkt zweier Primideale ersten Grades, die konjugiert sind und nur dann einander gleich sein können, wenn p in D aufgeht. Wir nehmen den Fall [p] = P . ):J' an, ohne die Möglichkeit p = p' auszuschließen. Da p ein P~·imideal ersten Grades ist, so gilt N(p) = p, so daß es mod p im ganzen p inkongruente Zahlklassen in e gibt. Als Repräsentanten dieser p Klassen können wir die Zahlen 0, 1, 2, ..., p - 1 wählen, da p die kleinste rationale ganze positive Zahl in p ist und also die Zahlen 0, 1, ..., p - 1 mod p durchweg in kongruent sind. Die in (4) erklärte ganze Zahl () gehöre in die durch die rationale ganze Zahl b repräsentierte Klasse mod V, so daß () - b (mod V) gilt. Setzen wir zur Abkürzung () - b = 1] und D - 2b = a, so gilt: ~
°
"1
a
=
+/"15 - 0
(mod V).
Die zu "1 konjugierte Zahl "1' ist demnach im konjugierten Ideale V' enthalten:
,
1,
vn _ °
a=-2~ =
(mod V'),
und also gehört das Produkt "1 . r/ dem Hauptideale V . V' = [P] an:
(5)
,
"1 . "1
=
a'-D
----T-- -
°
(modp),
D
=
a2
(mod 4p).
Die letzte Kongruenz liefert den Satz: 1st das Hattptideal [p] mit t'ationaler Primzahl p in das Produkt V . V' zweier Primideale ersten Grades spaltbar, so ist die Grundzahl D des Körpers quadratischer Rest von 4p. Dieser Satz ist umkehrbar. Ist nämlich D quadratischer Rest von 4p, so gibt es eine die zweite Kongruenz (5) befriedigende rationale ganze Zahl a. Da diese Zahl a auch a D (mod 2) befriedigt, so sind:
=
( 6)-
~j:~ 2
a =t= n
+ ()
2-
zwei ganze Zahlen, deren Produkt zu folge (5) durch p teilbar ist. Da aber keine dieser beiden Zahlen einzeln durch p teilbar ist!), so kann [pJ kein Primideal sein. Es besteht also der Satz: Ist D quadratischer Rest von 41), so zerfällt das Hauptideal [pJ in das Produkt zweier Primideale V, V' ersten Grades. Wir haben endlich noch festzustellen, ob im Falle einer in D aufgehenden rationalen Primzahl p etwa V' =.p zutrifft. Die Grundzahl D ist zufolge ihrer Erklärung aus d entweder 0 oder = 1 (mod 4). Ist p eine ungerade Primzahl, so kann die zweite Kongruenz (5) durch a =
=
°
1) Aus dem Umstande, daß 1, (J eine Basis von e ist, folgt leicht, daß die e, (J) vone durch p teilbareeo ' e1 haben. durch p teilbaren Zahlen (e.
+
Zerlegung der rationalen Primzahlen im quadratischen Körper
115
oder a = p befriedigt werden, je nachdem D 0 oder = 1 (mod 4) ist. Ist aber p = 2 und also D (als durch p teilbar) = 0 (mod 4), so genügt der zweiten Kongruenz (5) die Zahl a = 0 oder a = 2, je nachdem D - 0 oder 4 (mod 8) gilt. Geht p in der Grundzahl D auf, so ist D quadrar tischer Rest von 4p, und die zweite Kongr~lenz (5) wird mittelst einer durch p teilbaren Zahl a befriedigt. Wir zerlegen nun [p J in das Produkt fl . fl' der beiden Primideale fl und fl' und beachten, daß das Produkt der beiden
=
ganzen Zahlen lJ,
+tD durch
r/ = a
p teilbar ist. Es geht also fl' fl' in
[1)] . [1)'] auf, so daß fl in einem der Faktoren [1)J, [1]'], etwa in [1)J, aufgeht. Dann aber geht fl' in [1)'J auf, d. h. r/ ist in p' enthalten. Da auch a (als durch p teilbar) in fl' enthalten ist, so findet sich in V' auch 1) = a - 1)', so daß 1) in fl und in .p' enthalten ist. Wären nun V und fl' verschieden, so würde [1)J, als durch .p und lJ' teilbar, auch durch lJ . lJ' = [1)J teilbar sein, d. h. Yj hätte den Teiler p, was indessen nicht der Fall ist. 1) Also sind .p und p' einander gleich. Unter Zusammenfassung der Ergebnisse haben wir folgenden Satz: 1st p eine rationale Primzahl, so ist das Hauptideal [p] das Q~~adrat eines Primidea,ls ersten Grades, falls 1'. in D aufgeht; dagegen ist [p J für eine nicht-kritische rationale Primzahl p das Produkt zweier verschiedener konjugierter Primideale ersten Grades oder ein Primideal zweiten Grades, je nachdem die Grundzahl D quadratischer Rest oder Nichtrestvon 4p ist. Auf Grund dieses Satzes bestätigen sich die Angaben von S. 98ff. über die Primidealzerlegung von [3J und [7J in dem damalR betrachteten quadratischen Körper .~ der Grundzahl D = - 20.
§ 17. Gegen ein Ideal
Il
teilerfremde Zahlklassen.
Der soeben für quadratische Körper ausgesprochene Satz ist bei einer Untersuchung zu verwenden, die sich zunächst auf einen beliebigen Körper ~ vom n ten Grade bezieht. Von einer ganzen Zahl 1) dieses Körpers sagt man, sie habe mit einem Ideal a desselben den größten gemeinsamen Teiler b, wenn [tj] und a das Ideal b als größten gemeinsamen Teiler haben. Ist b = e, so heißt 1) zu a teilerfremd. Gilt 1)' 1) (mod a), so haben auch 1)' und a den größten gemeinsamen Teiler b. Da nämlich tj sowie alle Zahlen von a in b enthalten sind, und da andrerseits (r;' - 1)) dem Ideal a und also auch b angehört, so ist auch tj' = f) + (1)' - '()) in b enthalten, so daß b ein Teiler von [1)'] ist. Nennen wir nun b' den größten gemeinsamen Teiler von '1]' und a, so ist b Teiler von b'. Kehren wir diese Betrachtung um, i.ndem wir an 1)' und b' statt an 1) und b anknüpfen, so findet sich in derselben Weise, daß b' Teiler von b ist. Also 1) S. die vorige Note. 8"
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 116 ist b' = b: Alle Zahlen der einzelnen der N(a) mod a inkongruenten Zahl-
klassen von
e haben mit a einen und denselben größten gemeinsamen Teiler.
Es soll nun festgestellt werden, wie viele unter den N(a) mod a inkongruenten Zahlklassen teilerfremd gegen a sind. Die Anzahl dieser Klassen bezeichnen wir durch das Symbol 'I/I(a) im Anschluß an das bekannte Symbol rp (m) der rationalen Zahlentheorie, das für eine rationale ganze positive Zahl m die Anzahl der mod m inkougruenten und zu m teilerfremden Zahlklassen darstellt. Das Symbol t{J(a) hat die folgende Eigenschaft: Sind a und 0 teilerfremde Ideale, so gilt 'I/I(a· 0) = 'I/I(a). '1/1(0). Da nämlich der größte gemeinsame Teiler von a und 0 gleich e ist, so gibt es (vgl. S. 96) eine Zahl IX in a und eine Zahl ß in 0, deren Summe IX + ß = 1 ist. Hieraus folgt IX _1 (mod 0) und ß = 1 (mod a); die in a enthaltene Zahl IX ist also teilerfremd gegen 0, uud die in 0 enthaltene Zahl ß ist teilerfremd gegen a. Es mögen nun die Zahlen r 1 , r 2 , ••• ein Repräsentantensystem der Nea) mod a inkongruenten Klassen bilden und die S11 S2' •.. ein solches für die N(o) mod li inkongruenten Klassen. Wir haben dann in: (1)
ein System von N(a) . N(o) = N(a . 0) Zahlen, das ein Repräsentantensystem der N(a· 0) mod a·o inkongruenten Klassen bildet. Es ist nämlich leicht zu zeigen, daß keine zwei verschiedenen Zahlen (1) mod a· 0 kongruent sind. Soll aber:
(2) gelten, so folgt, da
r' ß IX
+ s' IX = rß + SIX
(mod a· 0)
0 (mod a) ist:
(r' - r)ß
=
0
(mod a).
er' -
Da nun ß teilerfremd gegen a ist, so ist rJ teilbar durch a, woraus r' = r (mod a) und also r' = r folgt. In derselben Weise folgt s' = s, so daß die Behauptung über die Zahlen (1) zutrifft. Soll jetzt die Zahl (1) teilerfremd zu a· 0 sein, so ist hierzu. notwendig und hinreichend, daß r i teilerfremd zu a und Sk teilerfremd zu 0 ist. Da nämlich IX - 0 (mod a) gilt und ß teilerfremd zu a ist, so ist der größte gemeinsame Teiler von riß und also von tik und dem Ideale a derjenige von ri und a. Wir erhalten also alle gegen a· 0 teilerfremden Repräsentanten (1), wenn wir r i auf die 'I/I(a) gegen a teilerfremden Repräsentanten rund Sk auf die '1/1 (0) gegen 0 teilerfremden Repräsentanten s beschränken. Damit ist die Regel 'I/I(a. li) = 'I/I(a) . '1/1(0) bewiesen. Die Primidealzerlegung von a Bei (unter Zusammenfassung gleicher Faktoren zu Potenzen): (3) a = ~~' . ~;2 . ~;.....
117
Anzahl der gegen a teilerfremden Zahlklassen mod a
Aus der eben bewiesenen Regel folgt dann:
1/I(N')' 1/I(p;2) . 1/1 (V;·) .. " so daß nur noch die Anzahl 1/1 (flv) für eine Primidealpotenz flv zu bestimmen ist. Zu diesem Zwecke zerlegen wir e in die N(fl) mod.)J inkon-
(4)
1/J(a)
=
gruenten Klassen, die wir durch die Zahlen Ql' Q2' ... repräsentieren. Wir zerlegen sodann erneut alle durch.)J teilbaren Zahlen 1), die eine der eben abgetrennten Klassen bilden, bezüglich des Moduls .)J" in Klassen, deren Anzahl wir durch das Symbol (fl,1J) bezeichnen, und die wir durch 11 02' ... repräsentieren. Bildet man nun die (.)J, v). N (fl) Summen (Qi + 0k), so zeigt sich, daß keine zwei verschiedene von diesen Summen mod.)J" kongruent sind, daß aber jede Zahl 1] aus e mit einer der Summen mod.)Jv kongruent ist, woraus sieh die Regel ergibt:
°
(5)
N(.)JV)
+ 0' = Q + 0
=
(.)J, v) . N(.)J).
=
(mod flv) folgt nämlich Q' Q (mod p) und damit pv). Diese letzte Kongruenz ergibt dann sofort auch 0' = 6. Andrerseits ist irgendeine ganze Zahl 1] mod p mit einem bestimmten Q kongruent, und weiter ist die durch .)J teilbare Zahl (1] - Q) mod .)J" mit einem bestimmten 6 kongruent, woraus 1] = Q + 0 (mod .)J") folgt. Damit ist die Regel (5) sichergestellt. Da nun N(P") = (N(V)" ist, so folgt (.)J, v) = (N(V)V-l. Alle N(.p") mod V" inkongruenten Klassen setzen sich nun aus den 1/J(Vv) gegen V" teilerfremden und den (V, v) Klassen der durch V teilbaren Zahlen zusammen. Also ist: Aus (/ =
Q'
Q sowie 0' = 6 (mod
+ (.)J, v) =
N(VV)
=
1/1 (V")
1/I(.)JV)
=
N(.)J") - N(.)JV-l)
1/I(.)JV) =
+ N(VV-1),
N(.)Jv)
(1 -
N~~))'
Bei Rückgang auf die Gleichung (4) ergibt sich damit der Satz: Die Anzahl 1/1 (a) der mod a inkongntenten ~tnd gegen 0 teilerfremden Zahlklassen von e ist gegeben durch:
(6)
1/1(0) = N(o)LI (1
- N~~i))'
wo sich das Produkt auf alle unterschiedenen in 0 aufgehenden Primideale bezieht. Die Formel (6) soll jetzt für einen quadratischen Körper und ein enthaltenes Hauptideal 0 = [a] mit rationaler ganzer positiver Zahl in a spezialisiert werden. Die rationalen Primfaktoren von a, die etwa kritische Primzahlen des Körpers ~ sind und also in der Grundzahl D des
sr
sr
1) Erl darf als selbstverständlich gelten, daß eine Zahl 71 durch ein Ideal teilbar heißt, wenn [71] durch dieses Ideal teilbar ist, d. h. also wenn 71 im Ideal enthalten ist.
118
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
Körpers aufgehen, sollen durch Po bezeichnet werden; die übrigen rationalen Pl'imfaktoren von a mögen Pl oder P2 heißen, je nachdem D quadratischer Rest oder Nichtrest von 4p ist. Zur Unterscheidung dieser drei Fälle bedient man sich einer Verallgemeinerung des Legendre-Jacobischen Zeichens. Man versteht für eine rationale Primzahl P unter dem Symbole (D,p) die Zahlen 0, + 1 oder - 1, je nachdem P eine Zahlpo Pt oder Ps ist: (7) (D, Po) = 0, (D, Pl) = + 1, (D, Ps) = - l.
sr
Nach S. 115 ist nun im quadratischen Körper das Hauptideal [Po] das Quadrat eines Primideals Po ersten Grades, während ein Hauptideal [Pl] das Produkt zweier verschiedenen konjugierten Primideale Pli P~ ersten Grades ist und ein Hauptideal [P2] selbst ein Primideal zweiten Grades darstellt. Für die Normen gelten also die Regeln: Da N([aJ)
=
a2 ist, so nimmt die Regel (6) hier die Gestalt an:
wo sich die Produkte auf die verschiedenen rationalen Primzahlen der einzelnen der drei Arten, die in a enthalten sind, beziehen. Die Gleichung (8) kann mitte1st des schon oben erwähnten Zeichens q; (a) aus der rationalen Zahlentheorie vereinfacht werden. Bekanntlich ist:
(9)
q;(a)
=
a
IT(l- -}),
wo sich das Produkt auf alle verschiedenen in a aufgehenden rationalen Primzahlen bezieht. Da wir die Gleichung (9) auch:
schreiben können, so kann die Gleichung (8) in die Gestalt: 1fJ([a])
=
q;(a). a·
n (1- ;J .fI(l + ;J
gesetzt werden. Ziehen wir also das in (7) erklärte Zeichen heran, so ergibt sich der Satz: 1st a eine rationale ganze positive Zahl, so sind von den N([a]) = a 2 mod [a] inkongrtte.nten Zahlklassen, in die das System e der zerfällt, im ganzen: ganzen Zahlen des quadratischen Körpers
sr
(10)
1fJ([a])
=
q;(a). a
II(l -
(P~P)).
Klassen gegen a teilerfremd, wo sich das Produkt auf alle verschiedenen, in a aufgehenden rationalen Primzahlen bezieht.
Formel für 1/>([a] im quadratischen Körper
119
§18. Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale. Es seien a und c irgend zwei Ideale des Körpers~. Alle in a und C zugleich enthaltenen Zablen, zu denen jedenfalls alle Zahlen des Ideals a . c gehören, bilden offen bar wieder ein Ideal m, das als das "kleinste ,gemeinschaftliche Vielfache" oder "Multiplum" von a und C bezeichnet wird. Die Benennung rechtfertigt sich dadurch, daß m als Teiler in jedem gemeinschaftlichen Vielfachen von a und c enthalten ist. Sind für a und c die Primidealzerlegungen bekannt, so kann man diejenige von m genau in derselben Art herstellen, wie man für zwei in ihre Primfaktoren zerlegte rationale ganze Zahlen a und c die Primfaktorenzerlegung ihres kleinsten gemeinsamen Multiplums m gewinnt. Der Begriff des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier Ideale a und C kommt beim Beweise des folgenden Satzes zur Geltung l ): L~t ein Ideal a durch keines der endlich vielen Ideale Cu e2 , . . ., c,. teilbar, so ist in a eine Zahl a nachweisbar, die in keinem der '/J Ideale centhalten ist. i ) Ist v = 1, so ist der Satz richtig, da C ein Teiler von a wäre, falls alle Zahlen von a in c enthalten wären. Der allgemeine Beweis des Satzes kann weiter durch vollständige Induktion geführt werden. Wir nehmen an, der Satz sei richtig, falls die Anzahl der Ideale C kleiner als v ist, und beweisen, daß er dann auch noch für die Anzahl l' gilt. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a und CI sei m; = a· wo ein bestimmtes von e verschiedenes Ideal ist. 3) Ist die Zahl a von a nicht in mj enthalten, so ist sie auch nicht in Ci enthalten, da ml aus allen a und Ci gemeinsamen Zahlen besteht. Es genügt demnach in a eine Zahl IX nachzuweisen, die in keinem der Ideale ml1 m2 , ••. , m. enthalten ist. Es mögen sich nun erstlich unter den Idealen v17 v2 , •••, ov zwei finden, die nicht teilerfremd sind. Wir stellen sie an den Schluß der Reihe und nennen 0:_1 den größten gemeinsamen der dann also von e verschieden sein wird. In Teiler von 0,._1 und ml = a . 01' ..., m._ 2 = a· 0._2' m:_ l = aO:_ 1 haben wir dann (1/ - 1) Ideale, von denen keines in a aufgeht. Der Annahme zufolge gibt es demnach in a eine Zahl a, die in keinem der Ideale m17 m2 , •••, m._ 2 , m:_ l enthalten ist. Da aber m:_ 1 sowohl m._ l als m. teilt, so ist IX auch nicht in m"_l und m,. enthalten, so daß in diesem Falle unser Satz bewiesen ist. Es braucht jetzt nur noch die Möglichkeit betrachtet zu werden, daß je zwei unter den v Idealen b1 , 02' ..., 0. teilerfremd sind. Dann ist
v"
v;
vv'
1) S. hierzu Dedekind in Dirichlets "Vorlesungen über Zahlentheorie" (4. Aufl.), S. 558ff.
Falle
2) Ist a = [IX] ein Hauptideal, 80 ist der Satz einleuchtend, da in diesem IX der Voraussetzung nach in keinem der Ideale c enthalten ist. 3) Wäre I)i=e, 80 wäre a(=m;) durch Ci teilbar, entgegen der Voraussetzung.
120
Einleitung, Teil IV: Idealtheorie
unser Satz aber leicht direkt beweisbar. Ist nämlich b~ das Produkt der Ideale V, abgesehen von Vi' so ist b; nicht durch das von e verschiedene Ideal Vi teilbar, und also ist auch a· v; nicht teilbar durch a· Vi .Es gibt demnach in a . v~ eine Zahl Cin die nicht in a . Vi enthalten ist. Die 11 so zu erklärenden Zahlen a l , a2 , ••• , Ci. sind aber alle in a enthalten, und dasselbe gilt also von ihrer Summe: a
=
/Xl
+ a2 + ... + a•.
Für diese Zahl IX von a aber finden wir IX - IXi (mod a . Vi), da alle IXk mit k =F i zufolge der Erklärung von v~ in dem Ideale a· Vi enthalten sind. 1) Die Zahl IX, ist indessen nicht in a . Vi enthalten, und also gehört auch IX dem Ideale mi = a . Vi nicht an. Hiermit ist unser Satz vollst~in dig bewiesen. Aus dem aufgestellten Satze ziehen wir nun eine Folgerung, die später grundsätzliche Bedeutung erlangt. Zunächst ist folgender Satz zu so kann man nennen: Sind a und V irgend zwei Ideale des Körpers eine von 0 verschiedene Zahl a a~tS a so auswählen, daß die beiden Ideale a· V und [a] das Ideal a selbst als größten gemeinschaftlichen Teiler haben. Wir verstehen nämlich unter Cl' C2 , ..., C. alle endlich vielen Teiler von a . V, die zugleich a als Teiler enthalten, aber von a selbst verschieden sind. Dann geht keines der Ideale C in a auf, und wir können also aus a eine Zahl a wählen, die in keinem der Ideale C enthalten ist. Der größte gemeinschaftliche Teiler von a· V und [a] hat das Ideal a, das sowohl in a· V als in [a] aufgeht, zum Teiler und geht seinerseits in a· V auf. Dieser größte :gemeinschaftliche Teiler muß also entweder eines der Ideale c sein oder stellt das Ideal a vor. Hiervon bleibt aber nur die zweite Möglichkeit, da IX in keinem der Ideale C enthalten ist. Der ausgesprochene Satz ist also richtig. Durch Vermittlung dieses Satzes gelangen wir nun zu dem schon genannten, für später wichtigen Ergebnisse. Das Hauptideal [a] als durch a teilbar, kann als Produkt [a] = a . a' dargestellt werden. Aus der Tatsache, daß a . a' und a· V den größten gemeinschaftlichen Teiler ahaben, folgt, daß a' und V teilerfremd sind. Man kann also aus dem Ideale a ein Hauptideal stets durch Multiplikation mit einem solchen Ideale a' herstellen, das teilerfremd gegen ein beliebiges Ideal V ist. In der zur Idealklasse von a inversen Klasse gibt es demnach stets ein Ideal a', das teilerfremd zu V ist. Bei der freien Wahl der· Ideale a und V sind wir damit zu dem aufzustellenden Hauptsatze gelangt: In jeder Idealklasse des Körpers ~ gibt es Ideale, die zu einem beliebig vorgeschriebenen Ideale V des Körpers teilerfremd sind.
se,
1)
"k
ist in a.!JA: und also im Teiler a· !Ji von
11'
bk enthalten.
121
Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale
v.
Quadratische Körper und Formen negativer Diskriminante.l )
§ 1. Zweige und Zweigideale im quadratischen Körper
~.
In einer nahen Beziehung zur Theorie der elliptischen Funktionen stehen die quadratischen Körper negativer Grundzahl oder Diskriminante 0. 2) Über diese Körper ~ sind demnach noch etwas weitergehende Unter-. suchungen anzustellen. Nach S. 113 ist die Diskriminante 0 = d oder = 4d, je nachdem die von quadratischen Teilern freie, rationale ganze negative Zahl d 1 (mod 4) ist oder einer der Zahlen 2, 3 mod 4 kongruent ist. Das System e der ganzen Zahlen von ~ stellen wir hinfort in der Basis 1, e dar, wo:
=
(1)
e=
__2
=-_~ + VD-
=
-
1
+ iviDl 2
oder
ist, je nachdem D = d oder = 4d gilt. Offenbar gilt der Satz: Die Diskriminante [I ist durch kein ungerades Quadrat teilbar; es ist entweder D - 1 oder = 0 (mod 4), und in letzterem Falle gilt genauer 0 _ 8 oder 12 (mod 16). Für eine Einheit c = eo + el e von ~ gilt, wenn c' und e' die zu c und e konjugierten Zahlen sind:
=
Durch Eintragung der Ausdrücke (1) von e und der entsprechenden Ausdrücke von e' zeigt man leicht den Satz: Der Körper der Diskriminante 0 = - 3 hat die sechs Einheiten c = ± 1, + Q, ± Q2, unter Q die
dritte Einheitswurzel Q =
-
1
t iy'S verstanden, derjenige der Diskriminante
0= - 4 hat die vier Einheiten c = beiden Einheiten c = ± 1.
± 1, ±
i, alle übrigen haben nur die
1) Den folgenden Entwicklungen liegt vornehmlich die Schrift Dedekinds ,;Uber die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers" (Braunschweig 1877) zugrunde. Die Theorie der quadratischen Formen im geometrischen Gewande und die Beziehungen dieser Theorie zu den elliptischen Funktionen behandelte Klein in seinen (autographierten) Vorlesungen "Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie I und II" (Göttin gen 1896 und 1897). 2) Wir bevorzugen fortan die Benennung "Diskriminante" für D, da diese in der Theorie der quadratischen Formen die übliche ist. Ubrigens werden die Diskriminanten D der Körper Sl' weiterhin durch Fettdruck hervorgehoben, damit wir die Bezeichnung D in anderem Sinne verwenden können.
122
Einleitung, Teil V:. Quadratische Körper und Formen
+
Wir sondern jetzt aus dem Systeme e aller ganzen Zahlen (eo el 0) von ~ das System c" aller Zahlen aus, bei denen et durch eine vorgeschriebene rationale ganze positive Zahl n teilbar ist. Dieses Zahlsystem e", bestehend aus allen in der Gestalt (e o + el n 0) wieder mit rationalen ganzen e darstellbaren Zahlen von ~, bezeichnen wir als einen "Zweig" von e und nennen n den "Grad" des Zweiges, sprechen auch kurz vom "n ten Zweige" e71 des Systems e. Es gilt der Satz: Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Zahlen des Zweiges c liefern stets wieder Zahlen dieses Zweiges. l ) Für n = 1 erhalten wir als "ersten Zweig" das System c selbst; dieses System, dem alle übrigen Zweige angehören, soll demnach auch als "Stamm" bezeichnet werden. Die negative Zahl D = n 2 D heiße die "Zu:eigdiskriminante", 0 selbst wird demgegenüber "Stammdiskriminante" genannt. 2) Ordnen wir die Stamm diskriminanten den Zweigdiskriminanten (nämlich für n = 1) unter, so läßt sich jede rationale ganze negative Zahl D, die = 1 oder 0 (mod 4) ist, als eine Zweigdiskriminante auffassen. Ist nämlich erstens D = 1 (mod 4), so verstehe man unter n 2 das größte in D aufgehende (ungerade) Quadrat und setze D = n 2 D = n 2 d. Dann ist d eine von quadratischen 1 (mod 4) ist. Gilt aber D 0 (mod 4), so sei Teilern freie Zahl, die n~ das größte in D aufgehende ungerade Quadrat und 4 v die größte in D aufgehende Potenz von 4. Dann ist 4- n ö 2 • D ganzzahlig und = 1, 2 oder 3 (mod 4). Im ersten Falle setzen wir: 1l
=
=
V •
wo auch d _ 1 (mod 4) und von quadratischen Teilern frei ist. Im zweiten und dritten Falle schreiben wir:
wo d wieder quadratfrei und
=
2 oder -- 3 (mod 4) ist.
Eine "Basis" für c" haben wir in den Zahlen 1) n0, insofern en gerade von allen Zahlen (eo + el · n0) mit irgendwelchen ganzzahligen e gebildet wird. Besseren Anschluß an die oben für e gebrauchte Basis gewinnen wir, wenn wir statt n0 die auf folgende Art zu erklärende Zahl (J heranziehen: 1) Dedekind bezeichnet ein Zahlsystem dieser Art als eine "Ordnung" und nennt n den "Führer" der Ordnung; Hilbert bedient sich der Bezeichnnng "Ring" oder "Zahlring". 2) Der Name "Stammdiskriminante" ist von Web er eingeführt, der Bezeichnung "Zweigdiskriminante" bedient sich Klein in seinen oben genannten Vorlesungen.
(I)
=
(2)
n0
=
~
für D
()=;+n0=Vf () =
123
Zweige des Systems e und Zweigdiskriminanten
n -2 1
+ n° = 'CI
-
= 0, 0 = 0
fürD=0,D-1
t VD
1 2
(mod4).
f"ur D =1 ,0= 1 ,
Wir haben dann in allen Fällen (auch unter Einschluß von n = 1) den Satz: Eine Basis von en wird durch die Zahlen 1, () geliefert, wo:
(3)
VD
·v]151
()=--=~---
2
2
ist, je nachdem D 1 oder = 0 (mod 4) gilt. Die folgenden Entwicklungen beziehen sich auf Ideale ll, die teilerfremd gegen das zum Grade n des Zweiges c" gehörende Hauptideal [n] sind. Alle Zahlen, die zugleich in II und cn enthalten sind, bilden ein durch lln zu bezeichnendes System, das wir als den "n te" Zweig des Ideals ll" bezeichnen. Dieser Zweig lln enthält jedenfalls unendlich viele Zahlen, z. B. alle Zahlen des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen von II und [n]. Zwei Zahlen des n ten Zweiges lln geben, addiert oder subtrahiert, stets wieder Zahlen von lln; denn die Summe und die Differenz sind wieder sowohl in ci als in cn enthalten. Ferner ist das Produkt einer beliebigen Zahl aus e" und einer solchen aus lln stets wieder in lln enthalten, da dieses Produkt eben auch wieder in II und e" zugleich enthalten ist. Eine dritte Eigenschaft von lln folgt aus dem Umstande, daß II teilerfremd gegen [n ] ist. Der größte gemeinsame Teiler von II und [n] ist also e, so daß sich nach S. 96 jede Zahl von e als Summe einer Zahl cx: aus II und einer Zahl nr; aus [n] darstellen läßt. Ist insbesondere für irgendeine Zahl r;n aus e" diese Darstellung r;n = Cl + nr;, so gehört a = 1In - nr; offenbar dem Zweige c" und also auch dem Zweige lln des Ideals II an und mag demnach genauer durch IX" bezeichnet werden. Die Gleichung r;" = a" + nr; zeigt, daß jede Zahl des Zweiges c" als Summe einer Zahl aus lln und einer solchen aus [n] darstellbar ist, eine Tatsache, die wir kurz durch die Aussage kennzeichnen, lln sei "teilerfremd" zu [n]. Als "Produkt" e . lln von e und lln erklären wir das System aller Zahlen, die als Produkte einer Zahl von C und einer von ll" oder als Summen solcher Produkte darstellbar sind (vgl. die Erklärung des Produktes zweier Ideale S. 93). Dann gilt der Satz: Das Produkt c . lln von e und dem n len Zweige des gegen rn] teile1'fremden Ideals II stellt wieder dieses Ideal II selbst dar. Zunächst überzeuge man sich, daß das Produkt e· lln die drei Grundeigenschaften eines Ideals hat (S. 90). Alle Zahlen des Ideals e . lln sind in II enthalten, so daß II ein Teiler von e . lln ist . Da ferner lln teilerfremd gegen [nJ ist, so besitzt die Zahl 1, die in en ent-
124
Einleitung, Teil Y: Quadratische Körper und Formen
halten ist, eine Darstellung: (4) 1= Ist jetzt
IXn
+ 11,11·
eine beliebige Zahl aus 0, so folgt aus (4) die Gleichung Das erste Glied dieser Summe IX • IXn gehört dem Ideale e· 0" an. Die Zahl nl1IX ist in en sowie als Produkt (nl1)' IX in 0, also in an und damit auch in e . an enthalten. Demnach ist. auch die Summe IX der Zahlen IX' IX" und nl1 IX und also jede Zahl IX von im Ideal e· an enthalten. Somit ist e . an ein Teiler von o. Da hiernach jedes der Ideale und C • an ein Teiler des anderen ist, so gilt in der Tat e . an = o. Die Zweige an der zu [n] teilerfremden Ideale spielen im Zweige e" offenbar dieselbe Rolle wie die Ideale selbst im Stamme e. Wir bezeichnen die 0" dieserhalb auch kurz als "Zweigideale", genauer als "die zum Grade n gehörenden Zweigideale" und nennen ihnen gegenüber die selbst "Stammideale". Es ist sogar möglich, die Zweigideale unabhängig von den Stammidealen in folgender Art zu erklären: Ein System an von Zahlen des n len Zweiges cn soll ein "Zweigideal" heißen, wenn es folgende Eigenschaften besitzt: 1. Die Summen und die Differenzen zweier Zahlen von an sind wieder in an enthalten. 2. Das Produkt einer Zahl von cn ~tnd einer von an ist wieder in an enthalten. 3. Das System an ist gegen [11,] teilerfremd, d. h. jede Zahl von en ist als Summe einer Zahl aus an und einer solchen aus Ln] darstellbar. Die Eigenschaft 3. hat natürlich nur für 11, > 1 Bedeutung. Sie ersetzt zugleich die bei einem Stammideale geforderte Bedingung 3 (S.90), daß nicht aus der Zahl allein bestehen solle. Da nämlich für n > 1 das Hauptideal [n] den Zweig en nicht erschöpft, kommen sicher in an von verschiedene Zahlen vor. . Daß die n ten Zweige an der gegen [11,] teilerfremden Stammideale a die drei Eigenschaften 1. bis 3. besitzen, wurde bereits gezeigt. Daß diese n ten Zweige aber auch alle den Bedingungen 1. bis 3. genügenden Zweigideale erschöpfen, geht aus folgendem Satze hervor: Ist an ein der independenten Erklärung entsprechendes Zweigideal, so ist das wie oben zu erklärende Produkt e . an = ein gegen [n] teilerfremdes Stamm ideal, ~tnd an ist der nte Zweig von o. Zunächst ist wieder einleuchtend, daß das Zahlsystem e . u das sich zusammensetzt aus allen Produkten einer Zahl aus e und einer solchen aus an, sowie aus allen Summen solcher Produkte, ein Stammideal = e . an bildet. Zufolge der Eigenschaft 3. von an gibt es eine Darstellung (4) der Zahl 1, unter IX" eine Zahl des Zweigideals an verstanden. Ist 11' eine beliebige Zahl aus e, so folgt aus (4):
IX
=
IXlXn
IX
+ nl1IX.
°
°
°
°
°
°
°
°
7t ,
°
11' = r/ IXn + nrp,/,
°
Zweigideale und Stammideale
125
so daß jede Zahl 1)' als Summe einer in e . 0" = 0 enthaltenen Zahl r/ a" und einer Zahl n1)1)' des Hauptideals [n] darstellbar ist. Also ist das Stammideal 0 = e . on teilerfremd zu [n]. Ist endlich o~ der n te Zweig -von 0 = e· on' so haben wir noch die Gleichheit von o~ mit On zu zeigen. Da alle Zahlen von 0" zugleich in = e . OlL und e" enthalten sind, so gehören sie auch alle dem Zweige o~ von 0 an. Ist andrerseits a~ eine beliebige Zahl des Zweiges so gibt es wegen der Eigenschaft 3. des Zweigideals 0" eine Darstellung:
°
0:,
(5) wo IX" dem Zweigideal 0" angehört. Die Zahl n1) = a~ - an' als Differenz zweier in enthaltenen Zahlen, findet sich gleichfalls in 0, so daß das Ideal [n'l)] = [n] . ['I)] durch die bei den teilerfremden Ideale [n] und 0, also auch durch [n] . teilbar ist. Nun gewinnt man die Zahlen VOll [n] . = [n] . (e . 0,,), indem man die Zahlen von 0" mit denen von [n] . e = [n] multipliziert und alle Summen solcher Produkte hinzufügt. Alle so erhaltenen Zahlen sind, da die Zahlen von [n] in eIL enthalten sind, zu folge der Eigenschaften 2. und 1. des Zweigideales on in diesem enthalten. Dies gilt also auch von der Zahl n'l) selbst, und mit an und n'l) gehört zufolge (5) auch a~ dem Zweigideale 0" an. Alle Zahlen des Zweiges o~ sind demnach im Zweigideale On enthalten, so daß die Gleichbeit von o~ und on jetzt feststeht. Wir haben somit den Satz gewonnen: Die gegen [nJ teilerfremden Stammideale 0 sind den Zweigidealen on des n len Zweiges e" umkehrbar eindeutig zngeordnet, indem einerseits on der nie Zweig von ist und andrerseits Cl das Produkt e . on darstellt.
°
°
°
°
§ 2. Zahl strahlen im quadratischen Körper. Um die .Äquivalenz der Zweigideale behandeln zu können, ist eine längere Zwischenentwicklung einzuschalten. Zwei Zahlen 'I) und '1)' aus e sollen "teilerfremd" heißen, wenn die Hauptideale ['I)] und ['I)'J teilerfremd sind. Wir greifen nun erstens aus e alle Zahlen heraus, die teilerfremd gegen den Grad n unseres Zweiges cn sind. Den ausgewählten Zahlen fügen wir sodann noch alle diejenigen gebrochenen Zahlen von ~ hinzu, deren einzelne als Quotient zweier gegen n teilerfremden ganzen Zahlen von ~ darstellbar ist. Das so gebildete Zahlsystem hat die Eigenschaft, daß sowohl das Produkt wie auch der Quotient zweier seiner Zahlen stets wieder dem System angehört. Ein mit dieser Eigenschaft ausgestattetes Zahlsystem heißt ein "Zahlstrahli' oder kurz ein "Strahli
126
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
Zweitens greifen wir aus dem n ten Zweige cn alle gegen n teilerfremden Zahlen heraus und fügen ihnen wieder alle gebrochenen Zahlen hinzu, die als Quotienten zweier herausgegriffener Zahlen darstellbar sind. Das so zu gewinnende in e; enthaltene Zahlsystem stellt wieder einen Strahl dar, der durch f(n) oder kurz durch f bezeichnet werden soll. Wenn nun auch die Strahlen e; und 1neben ganzen auch gebrochene Zahlen enthalten, so können wir diese Strahlen doch mod [n] oder, was auf dasselbe hinausläuft, mod n in "Zahlklassen" zerlegen, nämlich e; in 1jJ([n]) und 1in epen) Klassen, unter w([n]) und epen) die in (10) und (9) S. 118 erklärten Anzahlen verstanden. Wir führen dies zunächst im einfacheren Falle des Strahles 1aus; die Übertragung auf e; wird hernach leicht sein. Für die ganzen Zahlen (eo + elne) von f ist die Einteilung einleuchtend. Die Zahl (co el ne) ist mod n mit eo kongruent, und da eo teilerfremd gegen n ist, so haben wir für die ganzen Zahlen von f insgesamt epen) Klassen, die wir repräsentieren durch die epen) rationalen ganzen Zahlen r l = 1, r 2 , •••, r'P = n - 1 zwischen 0 und n, die teilerfremd zu
+
n sind. Eine gebrochene Zahl f-L von
1 habe
f-L
=
;
als eine erste Dar-
stellung als Quotient zweier ganzer Zahlen Cl, ß von f. Es sei Cl - Ti' ß = rk (mod n). Dann gibt es, da r k teilerfremd gegen n ist, einen und nur einen Repräsentanten rl> der die Kongruenz rk • r l - 1 (mod n) erfüllt und im Anschluß an diese Kongruenz auch durch r;l bezeichnet sein mag. Ist r i . r l = ri · ri; 1 - r m (mod n), so fügen wir die Zahl f-L der durch r m vertretenen Klas se bei, was durch: .(mod n)
(1)
zum Ausdruck komme. Zu zeigen ist noch, daß die Klasse, der f-L zuerteilt ist, von der besonderen Darstellung 11, zweite Darstellung von f-L sei f-L
=
;
unabhängig ist. Eine
=;;, und es gelte =r;, ß' =r~· (mod n), Cl'
so daß von dieser Darstellung aus die Zahl f-L in die Klasse von r;. r~-l gehören würde. Aus IX ß' = Cl' ß folgt dann rir~ = r; rk (mod n), und also ergibt sich weiter durch Multiplikation mit r;: 1 . r~-l die Kongruenz rir;:l = r~r~-l (mod n). Durch unsere Maßregel ist also auch Jede gebrochene Zahl von 1einer und nur einer unter den fJ! (n) Zahlklassen zuerteiZt. Es besteht der Satz: Zwei Kongruenzen f-L - r, f-L' r' (mod n) für Zahlen /L, f-L' aus f können miteinander multipliziert oder dUl'cheinander dividiert werden, ohne ein Hnrichtiges Ergebnis zu liefern. Die Division durch r läuft dabei natürlich auf die Multiplikation mit r- l hinaus. Der Satz ist zunäcbst einleuchtend für die Multiplikation ganzzahliger /L, [~' (S. 101). Dann gilt er aber auch für die Multiplikation, in dem Falle, daß eine der
=
127
Sätze über Zahlstrahlen im quadratischen Körper
beiden Zahlen [L' =
;: ,
so ist:
[L,
[L'
oder beide gebrochen sind. Ist nämlich
[L =
und gehören die a, ß, a', ß' in die Zahlklassen von ri , rk , r;,
a·c/-1'i·<'
ß·ß'-rk·r~
so daß [L[L' in die Zahlklasse von (rir;)· aber (rkr~)-I = r; 1. 1"~-1, woraus:
hr~)-i
; ,
r~,
(modn), hineingebört. Nun ist (mod n)
folgt. Also gehört [L . p,' in die Zahl klasse von rr', d. h. aus p, = r, 11': = r' (mod n) folgt p, fL' -- rr' (mod n). In ähnlicher Art zeigt man auch die Erlaubnis der Division zweier Kongruenzen fL r, fL' - r' (mod n) durcheinander. Den bewiesenen Satz verallgemeinert man leicht noch dahin, daß irgend zwei Kongrnenzen [L p,", [1.' = p,'" (mod n) bei Multiplikation und Division wieder 1·ü:htige Kongruenzen liefern. Das System aller in die durch r i repräsentierte Klasse gehörenden Zahlen von f werde durch ß\n) oder kurz durch ß; bezeichnet. Die Tatsache, daß alle !]J(n) Systeme ßu S2' ..., s
(2) zum Ausdruck. Das System Si bildet wieder einen "Strahl", da für zwei Zahlen aus f, die - 1 (mod n) sind, sowohl das Produkt als der Quotient wieder - 1 (mod n) sind. Nach dem soeben bewiesenen Satze gehört das Produkt von r i und einer Zahl aus SI in das System ß;, und umgekehrt ist der Quotient einer Zahl aus Si und der Zahl ri stets in SI enthalten. Wir erhalten also gerade das ganze System ßi) indem wir r i mit allen Zahlen von Si multiplizieren, was durch die Gleichung Si = r i · Si znm Ausdruck komme. Die Znsammensetzung des Strahles f aus seinen !]J(n) Zahlklassen können wir demnach an Stelle von (2) auch so scMeiben: (3)
f=
SI
+ r 2 • ßi + r s . Si + ... + r
Es wiederholen sieb entsprechende Bekachtungen für die Zerlegung des Strahles (t) in Zahlklassen mod n. Da die ganzen Zahlen von (t) alle gegen [n] teilerfremden Zahlen von e sind, so verteilen sie sich auf 'I/J ([nJ) Klassen (S. 11 7). Wir repräsentieren diese Klassen durch 'I/J geeignet gewählte Zahlen !?i = 1, !?2' !?a, ..., !?,p und dürfen die ersten rp unter ihnen mit den obigen r v r2, ••. , r
Produkte I!k, I!kl!., I!kl!., ••• , I!kf!t1J durchweg mod n inkongruent und teilerfremd zu n sind, so daß eines dieser Produkte mit I!, = 1 kongruent sein muß.
128
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
Die gebrochenen Zahlen von @5 verteilen wir daraufhin genau nach den oben beim Strahle f befolgten Grundsätzen auf die 1/J([nJ) Klassen. Auch die Fortsetzung der Betrachtung gestaltet sich Wort für Wort wie oben: Jede Zahl Avon @5 gehört in eine und nur eine der 1/J ([n]) mod n inkongruenten Klassen; zwei Kong1·uenzen 1 1", A' - 1'" (mod n) zwischen Zahlen von @5 dürfen miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert werden, ohne ein unrichtiges Ergebnis zu liefern. Eine beliebige Zahl der durch !h = 1 repräsentierten Klasse von @5 sei 1
=
{.
Mit der ganzen Zahl 0' ist auch die ihr konjugierte Zahl 0"
teilerfremd gegen [n], da ein [0"] und [n] gemeinsamer Primidealfaktor V' im konjugierten Ideale V einen gemeinsamen Faktor von [O'J und [n J liefern würde. Schreiben wir 1
=
; ;',
so ist der Nenner 0' 0" als ratio-
nale ganze Zahl in cn enthalten und als teilerfremd gegen n einer Zahl r i mod n kongruent. Aus 1 1, 0'0" ri (mod n) folgt weiter: rO" = A . 0'0" - r i (mod 11,),
=
=
so daß auch ')'0" in Cn und also A in 1 enthalten ist. Als mit 1 mod n kongruent gehört dann A in das Teilsystem ~1. Umgekehrt; ist jede Zahl von Sl auch in @5 enthalten und gehört daselbst zu der durch Ql = 1 repräsentierten Klasse. Also führt die durch Ql = 1 repräsentierte I1.lasse von @5 einfach zum Systeme S1 zurück. Wie oben zeigt man dann weiter leicht, daß man das System aller mit Qi kongruenten Zahlen von @5 gerade genau erschöpft, indem man das symbolisch durch Qi· ~l zu bezeichnende System aller Produkte von Qi und den Zahlen von Sl bildet. Es ergibt sich der Satz: Der Strahl @5 setzt sich aus den 1/J ([n]) Systemen S17 Q2 . Si' Qs· Sl' ..., Q",. S1 zusammen und kann demnach wieder symbolisch in der Gestaü einer Summe geschrieben werden:
(4)
@5=S1+Q2·Sl+QS·Sl+···+Q",·Sl'
Da Q2 = r 2, Qs = r3 , ••• , Qcp = rcp sein sollte, so liefern die ersten ep Glieder in (4) rechts zufolge (3) als Summe f. Wir schreiben nun Qcp+l = 02 und haben in 02' 2 . Q2' 152 • Q3' ••• , 152 • Qcp weitere ep Zahlen von @5, die untereinander und gegen Q1 = 1, Q2' •••, Qcp durchweg inkongruent sind. Wir können demnach die Zahlen 152 , 152 • Q2' •••, 02' Qcp als weitere ep Repräsentanten Qcp+l1 Qcp+2' •••, Q2cp benutzen; die zugehörigen Glieder der Summe (4) fassen sich zur Teilsumme:
°
Qcp+l·
SI + •.. +
Q2cp·
Sl = 02(Sl +
Q2' ~I
+ ...
+ Qcp.Sl) =
Dj'
f
zusammen. Wir setzen weiter Q2 cp + 1 = 153 und wiederholen dieselbe Schlußweise, bis alle Glieder auf der rechten Seite von (4) erschöpft sind, was nach t/J([n]): epen) = zen) Schritten erreicht sein wird. Da übrigens tI'([n]) mod n inkongruente, gegen n teilerfremde ganze Zahlen in C vor-
Beziehung zwischen den Zahlstrahlen 6 und f
129
"kommen, so steht nichts im Wege, die Repräsentanten Q durchweg ganszahlig zu wählen; auch die zen) Zahlen 1 = 1, 02' ..., 0x werden dann ganz. Wir gelangen zu dem Satze: Die gesamten Zahlen des Strahles @5 lassen sich auf X (n) Zahlsystemeverteilen, entsprechend der symbolischen Darstellung von @5 als Summe:
°
(5)
@5
=
f -1- 02' f -1- os' 1+ ... + 0x· ),
.wo x(n) die durch X (n) = 1p([n]) : epen) erkliirte Anzahl ist, die sich im Anschluß an (10) S. 118 in der Gestalt darstellen läßt:
xen)
(6)
=
n
TI (1 - (~~J!2);
1bedeutet den
oben näher erklärten zum nten Zweige gehörenden Strahl, und 6 1 = 1, 6 2 , . . . , (Jx sind gewisse x(n) inkongruente, geeignet gewählte "ganze" Zahlen aus S.
§ 3. Zerlegnng der Idealklassen von
~
in Zweigklassen.
Nach S. 104ft'. sind zwei Ideale 0 und b von ~ dann und nur dann äquivalent, wenn es eine Zahl A. in ~ von der Art gibt, daß die Zahlen des Ideals 0, mit A. multipliziert, gerade genau alle Zahlen von bergeben. Wir bringen diese Tatsache durch die Gleichung 0 = A. . 0 zum Ausdruck. Alle mit einem gegebenen Ideale äquivalenten Ideale bildeten eine "Idealklasse", und es gab in ~ nur eine endliche A.nzahl solcher Klassen. Nach S. 120 gibt es in jeder Idealklasse gegen [n] teilerfremde Ideale. Es besteht der Satz: Sind 0 und 0 = J, • 0 zwei äquivalente Ideale, so ist die Zahl J, bis auf einen Faktor, der eine Einheit s von st ist, eindeutig
,bestimmt. Gilt nämlich neben 1i = J,·o auch 0 = J,' 00, und setzen wir l = und J,'
0
0
J..: = ~, so müssen wegen der Gleichheit der Zahlsysteme
1
und
J, . 0
auch die beiden Systeme:
ßß' . l
a und ßß'
a = c/ ß . 0 gleich sein. Also folgt die Gleichheit der Ideale [a ß'J 0 und [()(' ß] . 0 .0
=
aß' .
0
J,' .
0
und damit auch diejenige von [aß'] und [cc'ß]. Die Zahlen aß' und clß sind demnach assoziiert, woraus der aufgestellte Satz folgt. Wir stellen weiter den Satz auf: Ist eines der äquivalenten Ideale 0 und 0 = J, . 0 teilerfremd gegen [n], und gehört }, dem Strahle @5 an, so ist
auch das andere Ideetl teilerfremd gegen [n]. Wir setzen A.
=
~, wo a
und ß ganze Zahlen des Körpers ~ bedeuten, die gegen n teilerfremde [ß] = 0 [ce] Normen N(a) und N(ß) haben. Aus 0 = l . a folgt und also:
o·
(I)
N(o) N(ß) 0
Fr i c k e, Die elliptißcheu Funktionon II
=
0
Neo) . N(tt). \)
130
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
Ist nun eines der Ideale a, U, etwa a, teilerfremd gegen [n] und damit N(a) teilerfremd gegen n 1), so folgt aus (1), daß N(u) teilerfremd gegen n und also b teilerfremd gegen [n] ist. Der aufgestellte Satz ist also richtig. Hieran schließt sich der Satz: Sind die beiden äquivalenten Ideale a und u= Ä, • a teilerfremd gegen [nJ, so gehö1-t 1 dem Strahle ® an. Wir können nämlich aus der zur Klasse von a und U inversen Idealklasse ein gegen [n] teilerfremdes Ideal c entnehmen und finden dann in u· c = [a'] und a· c = [ß'] zwei Hauptideale, die gegen [n] teilerfremd sind und also gegen n teilerfremde Zahlen a', ß' liefern. Aus U = l . a oder der damit gleichbedeutenden Gleichung [ß] . 0 = [a] . a folgt durch Multiplikation mit c:
[ß] . 1i c = [a] . ac,
[ß] . [a'J
=
[ßa']
[aJ . [ß'J,
=
[aß']·
Also sind ßa' und aß' assoziiert, und wir finden:
aß' = c . (l ß, unter c eine Einheit verstanden. Zufolge der letzten Darstellung von Ä, gehört diese Zahl dem Strahle ® an. Es sei jetzt n> 1. Die Zahlen Ä, des Strahles ® waren entsprechend der Gleichung (5) S. 129 in X(n) Systeme f, 2 ' ), ••• , x' f verteilt, wo f der zum nten Zweige cn gehörende Strahl f(n) war und 1 = 0u 02' ... , 0x gewisse x(n) ganze Zahlen von ® bedeuten. Mit einer Zahl Ä, gehört 1 stets dem gleichen Systeme 0k' f an, da der Strahl f mit einer einzelnen Zahl immer auch ihre entgegengesetzte enthält. Nach den Angaben von S. 121 über die Einheiten von ergibt sich: Für i IJ I > 4 sind y"e zwei assoziim·te Zahlen ± l2) ,immer in dem gleichen Systeme 0k' f enthalten. Ist IDI = 4, so gehören die bei den assoziierten Zahlen 1 und A' = i}' stets verschiedenen Systemen 0k' f an, da sonst ihr Quotient Ä,' : 1 = i in f enthalten wäre, was jedoch wegen 11, > 1 nicht der Fall ist. }Jbenso gehören für IDI = 3 die drei assoziierten Zahlen 1, (I Ä" (121 stets drei verschiedenen Systemen 0k' f an. Ist für 101 = 4 die zu 0" assoziierte Zahl i 0" in 1 ' f enthalten, so können wir, wenn nicht bereits 01 = i 0k sein sollte, 01 durch iOk ersetzen 3) und finden, daß 1 ' f einfach aus allen Zahlen besteht, die aus denen von 0k' i durch Multiplikation mit i entstehen. Die beiden Systeme 0,,' fund 01'1 mögen dann selbst "assoziiert" heißen. Durch Übertragung der Betrachtung auf I DI = 3 folgt. der Satz:
°
°
=
sr
°
°
1) Hätten N(a) und n eine rationale Primzahl p als gemeinsamen Faktor, so würde mindestens ein in [p] aufgehendes Primideal a und [n] zugleich teilen. 2) "Vir übertragen den Begriff der "assoziierten" Zahlen in sofort verständ· licher Art auch auf die gebrochenen Zahlen von Sl'. 3) Ist irgend eine Zahl des Systems 61' j, so ist offenbar das System 6;' mit 6,,· f identisch.
u;
Zerlegung einer Idealklasse in 't'X(n) Zweigklassen
131
Für I D I> 4 sind untm o den x(n) Systemen 0k' f keine zwei assoziiert, für i D I = 4 sind sie Ztt je zweien assoziiert und bilden -} X(n) nicht-assoziierte Systempaare, für 1 [) i = 3 sind sie Ztt je dreien assoziiel°t und bilden i-x(n) nicht-assoziierte Systemtripel. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Zwei gegen n teilerfremde, der gleichen Klasse angehörende Ideale a und 0 sollen "im Zweige e" äquivalent" heißen, wenn sich eine Gleichung 0 = fk . a angeben läßt, in der fk dem Strahle i angehört; läßt sich eine solche Gleichung nicht angeben, so heißen a und 0 "in en inäquivalenf'. Man bilde nun zunächst aus einem' ersten gegen [n] teilerfremden Ideale a die n äquivalentenI gleichfalls gegen n teilerfremden Ideale a, 62"a, 0s·a, ..., 6 x·a. Nach dem Satze über die Bestimmtheit der Faktoren A. in den Gleichungen o= Ä. • a zwischen je zwei äquivalenten Idealen und nach den Angaben über die Verteilung aller Zahlen l von ® auf die Systeme 0k' 1ergibt sich der Satz: Die X(n) Ideale a, 02" a, Os' G, •.., 0;/ a sind fYir IDI > 4 in e" inäqttivalent, für I[11 = 4 werden sie zu Paaren in e" äqttivalent und stellen} x(n) in c" inäquivalente Idealpaare dar, für ID 1= 3 werden sie zu dreien in cn äquivalent und liefern} X(n) in en in äquivalente Idealtripel. Um die beiden Ausnahmefälle nicht stets besonders nennen zu müssen, verabreden wir, daß die Zahl T = 1, oder -} sein soll, je nachdem I D1 > 4, 1 D I = 4 oder = 3 ist. Auch ordnen wir in den Ausnahmefällen die G, 02 . a, ..., x' a so an, daß T X(n) durchweg in en inäquivalente Ideale Cl, 2 ' a, ..., O'<x' a voran stehen. Einleuchtend ist, daß irgend zwei gegen [nJ teilerfremde Ideale 0 = }" . a und 0' = },,' . a stets und nur dann in en äquivalent sind, wenn l und l' dem gleichen Systeme 0k' 1 oder assoziierten Systemen angehören. Alle einander in en äquivalenten Ideale fügen wir in eine "Zweigklassec, zusammen und bezeichnen ihnen gegenüber die ursprünglichen Klassen auch als "Stammklassen". "Vir haben dann den folgenden Satz: Die gesamten gegen [n ] teilerfremden Ideale einer vm'gelegten Stammklasse verteilen sich auf TX (n) "Zweigklassen", die wit· durch a, 02· a, "'"' 0,,; x " a repräsentie1 en können; zwei Ideale ans verschiedenen Zweigklassen sind stets in en inäquivalent.
+
°
°
0
§ 4:. Jtlultiplikation uud Äquivalenz der Zweigideale. Die Erklärung der Multiplikation zweier Zweigideale des n ten Zweiges e" schließt sich an diejenige der Stammideale an. Unter dem Produkte an' on zweier Zweigideale an ?,mcl On verstehen wir das System aller Zahlen, die entweder Prodt~kte je einer Zahl an aus Cl n und einer Zahl ßn altS on sind oder als iJogendwelche Snmmen solcher Produkte gewonnen werden. Am Produkte an' On erkennt man leicht wieder die drei S. 124 genannten Grundeigenschaften eines Zweigideals. Jedenfalls enthält das System an' 0" nur Zahlen des Zweiges e". Betreffs der Eigenschaft 1 beachte 9*
132
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
man nur wegen der Differenzen, daß ein Zweigideal mit einer einzelnen Zahl immer auch deren entgegengesetzte Zahl enthält. Die Eigenschaft 2 kann man für on' On leicht aus dem Umstande ableiten, daß diese Eigenschaft für on zutrifft. Um die Eigenschaft 3 am Systeme on' bn nachzuweisen, verstehen wir unter 1]" eine beliebige Zahl des Zweiges cn ' Da On und bn die Eigenschaft 3 besitzen, so gibt es zwei Darstellungen:
1
=
ßn + nr/
der in cn enthaltenen Zahlen 11" und 1. Es folgt: 1]n = u"ßn + n1]",
wo
1]" =
an 1]' + ßn 1}
+ WYj 1]'
ist, so daß jede Zahl von e" als Summe einer Zahl aus an' On und einer solchen aus [n] darstellbar ist. Das Produkt zweier Zweigideale on' On ist wieder ein Zweigideal cn = an· on' Daß für unsere Produkte das kommutative und das assoziative Gesetz gelten, folgt wieder leicht aus dem Umstande, daß diese Gesetze für die Produkte der Zahlen zutreffen. Die Multiplikation der Zweigideale steht zu derjenigen der Stammideale in enger Beziehung: Sind a = e . an u,nd 0 = e . bn die zu den Zweigidealen on und on gehörenden Stammideale, so gehört zum Prodttkte c" = a~ . on von an und on als Stammideal e· c" das Produkt c = a . oder beiden Starnmideale a nnd O. Das Ideal a besteht nämlich aus allen Produkten 1) . an und allen Summen solcher Produkte, und ebenso besteht 6 aus allen Produkten r; . ß" und deren Summen. Da nun e . e wieder gleich e ist, so setzt sich das Ideal C = a . aus allen Produkten 11 • cx"ß" und allen Summen solcher Produkte zusammen. Zu gen au demselben Zahlsystem aber gelangt man, wenn man vom Zweigideal e" = on· 0" durch Multiplikation mit e zum zugehörigen Stammideal e· c" übergeht. Die Umkehrung des letzten Satzes lautet: Sind a und 0 gegen [n] teilerfremde Stammideale, denen die Zweigideale on nnd On zugehören, so entspricht dem offenbar gleichfalls gegen [n1 teilerfremden Stammideale c = 0' 1j als Zwei.qideal das Produkt an· On von an ~md On. Nach S. 125 entsprechen die Zweigideale und die gegen [n] teilerfremden Stammideale einander umkehrbar eindeutig. Zufolge des letzten Satzes entspricht aber dem Zweigalso ist umgekehrt das zu c = a· 6 ideal on· On das Stammideal c = a· gehörige Zweigideal cn = on· 6". Der Aquivalenz der Zweigideale legen wir folgende Erklärung zugrunde: Zwei Zweigideale an und on heißen stets und ntt1' dann "äqttivalent", 'wenn es eine Zahl fL des Strahles 1 gibt, die der Gleiehung 0" = fL . an genügt, tuasbesagt, daß die Zahlen von 0" einfach die mit fL multiplizierten Zahlen von an sind. Wir können dann folgenden Satz beweisen: Zwei Zweigideale on und 0" sind stets und nm· dann äquivalent, wenn die beiden zugehörigen Stam1m:deale a u,nd 6 "im Zweige e,. äqnivalent" s1:nd. Trifft
°
v;
133
Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale
niimlich die letzte Bedingung zu, so gibt es eine Zahl !t
=
~ in
f,
die
die Gleichung 0 = p, . ° erfüllt. Die Zahl ß ist teilerfremd gegen n und in en enthalten. Dasselbe gilt von der zu ß konjugierten Zahl ß', so daß ß . ß' eine gegen n teilerfremde rationale ganze Zahl ist. Nun ist jede Zahl des Systems:
IX
!t . 0" =
IX
po
ß . 0" = fl P' • 0"
in li enthalten und also ganz. Da jede dieser ganzen Zahlen bei Multiplikation mit der gegen n teilerfremden rationalen ganzen Zahl ß . ß' als Produkt eine Zahl des Systems aß'· an und also des Zweiges eR liefert, so gehärt sie bereits selbst dem Zweige cn an. 1) Da außerdem alle Zahlen von p, . an in 0 enthalten sind, so finden sie sich alle im Zweige li.. von b. In derselben Art zeigt man, daß jede Zahl von t,-l. 0" in CIn enthalten ist. Sind also die beiden Stammideale und lJ in en äquivalent, so gilt sicher 0" = p, . CI", d. h. die beiden Zweigideale CI n und bn sind ii,quivalent. Umgekehrt folgt aus un = P, • an sehr leicht (c . bn ) = P' • (e . an), womit der aufgestellte Satz im vollen Umfange bewiesen ist. Auch für die Aquivalenz der Zweigideale an und b" benutzen wir das oben (S. 104) eingeführte Zeichen 0n"-' on' Da sich die Zahlen des Strahles 1 bei Multiplikation reproduzieren, so sind auch hier wieder zwei Zweigideale, die einem dritten äquivalent sind, miteinander äquivalent. Alle mit einem gegebenen an äquivalenten Zweigideale fügen wir zu einer "Iclealklasse" m" zusammen, wobei dann je zwei Zweigideale der Klass~ m" äquivalent siud. Die mit dem Zweigideale e" äquivalenten Zweigideale bilden die "Hanptklasse" und mögen wieder "Ha'Uptideale" genannt werden. 2) Es ist nun leicht, die Betrachtung so zu ergä,nzen, daß Übereinstimmung mit den bei den Stammidealen aufgestellten Sätzen vorliegt. Zunächst haben wir den Satz: Ist CI,,' bn = cn , und gilt 0;, '" an, b;, '" b", so ist auch C;, = a~. o~ cn ' Es gibt nämlich zwei Zahlen !t und p,' in f, die die Gleichungen a~ = [.L • an' b~ = p,' . On befriedigen. Die Zahlen des Produktes c~ = CI~ • 0;, gehen dann aus denen des Produktes an' b" einfach durch Multiplikation mit p, . p,' hervor. Da diese Zahl in f enthalten ist, so gilt c~ "-' cn ' Nennen wir m n und )Bn die zu an und :On gehärenden Idealklassen, so gibt irgendein Ideal aus m n , mit irgendeinem aus )B" multipliziert, als Produkt stets ein Ideal einer bestimmten dritten Klasse
°
"-'
+
1) Soll nämlich eine Zahl (e o Cl nEl) von c", durch die gegen n teilerfremde, rationale ga,nze Zahl pp' geteilt, eine ganze Zahl als Quotienten liefern, so müssen eo und el durch fl fl' teilbar sein. 2) Wenn wir bei den letzten f-:enennungen den Zusatz "Zweig" der Kürze halber vermeiden, so wird daraus kaum eine Zweideutigkeit entstehen, da aus dem Zusammenhange stets die genane Bedeutung der Benennung zu entnehmen ist.
134
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und ]j'onnen
die wir das- "Produkt" der beiden Klassen 2{n und :iB" nennen und symbolisch durch ~,,= SUn • :iB" bezeichnen. Ist an irgendein Zweigideal und a das zugehörige Stammideal, so gibt es ein gegen [n] teilerfremdes Stammideal 6', das in a· 6' = [1'] ein Hauptideal des Stammes e liefert. Die ganze Zahl r ist teilerfremd gegen n, gehört also in eine der 1,b([n]) oben (S. 127ff.) betrachteten Zahlklassen mod n hinein. Wir können nach den dortigen Darlegungen eine gleichfalls gegen n teilerfremde Zahl!Lo so wählen, daß !L = !Lor in die Zahlklasse {\l und damit zum Strahle 1 gehört. Indem wir die Zahlen des Ideals a· 6' = [1'] mit !Lo multiplizieren und !Lo' 6' = 6 setzen, ist auch 0 ein gegen [n] teilerfremdes Ideal, und wir finden a . 0 = [!LJ. Der n te Zweig des Hauptideals [!LJ ist nun einfach das Hauptideal !L' eu des Zweiges en • Daß alle Zahlen von !L • en im nten Zweige von [!LJ vorkommen, ist nämlich einleuchtend. Soll andrerseits die Zahl /L • 'I] von [!LJ in en enthalten sein, so ist auch Cu . /L') . 1, in erz enthalten, unter !L' die zu !L konjugierte Zahl verstanden. Dann gehört aber, da ~~'!L' rational, ganz und gegen n teilerfremd ist, auch schon 'I] dem Zweige e" an. Aus a· 0 = [(.LJ folgt nun durch Übergang zu den Zweigidealen an' b" = (.L' e", und also, da (.L in f enthalten ist, der Satz: Für Jedes Zweigideal an gibt es sicher ein Ideal on von der A,·t, daß das Prod'ukt an' 6n ein Hauptideal des nie" Zweiges ist. Natürlich gibt dann jedes Ideal der Klasse 2{" von an' mit irgendeinem Ideale der Klasse :iB" von 6n multipliziert, als Produkt ein Hauptideal des Zweiges eu ' Wir nennen die Klassen m:" und:iB n einander "invers" und bezeichnen im Anschluß daran anch wohl )Sn durch m:;;'l und m:" durch )S;1. Die durch h (! D I) = h (n21 D I) zu bezeichnende "Anzahl der Idealklassen" des Zweiges e" wird durch den S. 132 sogleich an die Erklärung äquivalenter an' lJ" angeschlossenen Satz auf die Anzahl h (lD!) der Idealklassen im Stamme e zurückgeführt. Aus der Zexlegung der einzelnen Klasse der Stammideale in je x(n) "Zweigklassen" ergibt sich unmittelbar der Satz: Die "Klassenanzahl ii h CI D D de}' ZweigideaZe im n len Zweige Cu des quadratischen Körpers ~ der Diskriminante 0 ist gegeben dU~'ch: ~n'
(1)
J (.i 1/'
D i')
=
·7·t ('1 0 1)
.
7:11,
11(1
-
(D; P») , '-p'--
wo h CD i) die e1ulliche Anzahl der Idealklassen im Stamme el:8l 'l('ncZ die übrigen Bestandteile det· rechten Seite von (1) d~'e oben (S. 118 und 131) dargelegte Bedeutung haben. Endlich bleibt uns noch übrig, die gruppentbeoretische Auffassung der Multiplikation der Idealklassen auf den Zweig en zu übertragen, wobei die h Klassen m:o, m:1I ..., m:"_1 die "Elemente" der Gruppe bilden und unter ihnen insbesondere die "Hauptklasse(( m:o "das Einheitselement" liefert. Die Überlegungen schließen sich genau an S. 107 an; wir notieren
135
Klassenanzahl der Zweigideale, Basen der Ideale
sogleich den Satz: Die h Idealklassen 21o, ~v ' .., ~h-l des n len Zweiges vom Körper ~ bilden gegenüber Multiplik(ttion eine kommtttative, oder Abelsche Gruppe G" der Ordmmg h, in der das Einheitselement von der Hauptklasse ~o geliefert wird.
§ 5. Basen der Ideale und ebene Punktgitter. Die Übel'legung, welche uns oben (S. 86ff.) zur Existenz einer "Basis" für das Zahlsystem e hinführte, war auch auf jedes Ideal a anwendbar (S.91 ff.) und ist ohne Änderung auch bei jedem Zweigideal an durchführbar. Wir schließen jetzt, wenn wir von einem "Ideale an" sprechen, den Fall n = 1 mit ein, so daß an ein Zweigideal oder ein Stammideal bedeuten mag. Um den schon erwähnten Zusammenhang der quadratischen Körper ~ negativer Diskriminanten mit der Theorie der elliptischen Funktionen gleich äußerlich hervortreten zu lassen, bezeichnen wir die Zahlen einer Basis von an durch ro u ro 2 ; die' zu rot> ro 2 konjugierten Zahlen, die zugleich ihre "konjugiert komplexen" Zahlen sind, mögen Wl1 (02 heißen. Als ein erstes aus den allgemeinen Sätzen übel' die Basen folgendes Ergebnis haben wir anzumerken: Irgendeine Basis ro~, ro~ des Ideals an ist dttrch eine erste Basis ro l , ro 2 in dC1- Gestalt:
(1)
ro~ = aro j
+ ßw
ao - ßr = ± 1
2,
darstellbar, wo a, ß, r, 0 vier rationale ganze Zahlen der DetC1'minante + 1 oder - 1 sind. Da die W l1 W 2 linear-unabhängig sind, so ist der Quotient m
=
6), 6)2
eine nicht-rationale Zahl von ~, die wegen der nega-
tiven Diskriminante D komplex ist. Wir können nötigenfalls durch Zeichenwechsel einer der beiden Zahlen ro l , W 2 , der für den Gebrauch dieser Zahlen als einer Basis von an ohne I!'olge ist, erreichen, daß der Quotient weine komplexe Zahl mit positivem imaginären Bestandteile wird. Wir wollen in diesem Falle wl , ro 2 eine "positive" Basis und w
=
:'
einen
2
"positiven" Basisquotienten nennen. Dann gilt insbesondere der Satz: It-gendeine positive Basis ro;, von an ist dnrch eine erste unter ihnen rol1 m2 in der Gestalt darstellbar:
w;
(2)
w: =
aco l
+ ßC0 2,
m~ =
rWl + oro 2 ,
ao - ßr = 1,
wo ", ß, r, ~ vier rationale ganze Zahlen der Determinante 1 sind; andrerseits bildet jedes durch eine Sttbstitution (2) ans einer ersten positiven Basis mp ro 2 gewinnbare Zahlenpaar ro:, ro; wieder eine positive Basis von an' Wir sind hiermit zu der Lehre von den linew-en Transformationen der Perioden W p fil 2 , die in I, 182ff. entwickelt ,wurde, zurückgeführt. Unter Aufnahme der gruppentheoretischen Sprechweise können wir dem letzten Satze die Gestalt geben: Aus einer ersten positiven Basis wl , W 2
136
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
von an gewinnen wir gerade genau die gesamten positiven Basen dieses Ideals, indem wir auf rot, ro 2 die gesamten Substitutionen der "horMgenen Modulgruppe" r(w) ausüben (s. 1,283), und in entsprechender Art ergeben siCh aus einem ersten positiven Basisq~totienten ro alle solche Quotienten fÜt' an durch Ausübung der "nicht-homogenen Modulg1"uppe" T(W) auf ro. Die geometrischen Hilfsmittel aus Bd. I mögen nun auch hier herangezogen werden. 'Vir kleiden die gesamten Zahlen von an in die Gestalt~ (3)
u
=
111'1 ro 1
+ m2 ro 2 ,
wo mv m2 alle Paare rationaler ganzer Zahlen durchlaufen sollen. Indem wir in der "u-Ebene" alle Bildpunkte dieser Zahlen markieren, erhalten wir ein ebenes "Punktgitter" von der Art, wie uns solche Gitter in I, 174ff. von den Eckpunkten der Parallelogrammnetze der u-Ebene geliefert wurden. 1) Das vorliegende Gitter (3) gewinnen wir vom Parallelogrammnetze der Perioden rot, ro 2 • Doch können wir nach der Lehre von der linearen Transformation der Perioden das gleiche Gitter (3) noch durch unendlich viele weitere Parallelogrammnetze ausschneiden, wie sie eben durch die Substitutionen der ['(w) aus dem ersten Netze hervorgehen. Zur geometrischen Deutung der Werte ro der Basisquotienten ziehen wir die "ro-Halbebene" heran, in der wir das "Dreiecksnetz" der Modulgruppe ['(w) gezeichnet denken. Die gesamten positiven Basisquotienten ro unseres Ideals an stellen dann ein System bezüglich der r(w) äquivalenter Punkte ro im Dreiecksnetze dar. Für das zu an konjugierte Ideal an hat man das Zahlenpaar --- ro l1 002 . als eine positive Basis, wenn das Paar roll ro2 eine solche von an darstellt. 2) Das zu an gehörende Gitter geht aus dem von an durch Spiegelung an der reellen u-Achse hervor. Der zu - roH 002 gehörende Quotient - ro liefert den bezüglich der imaginären ro-Achse mit ro symmetrisch gelegenen Punkt: Die gesamten positiven Basisq1MJtienten von un liefern ein Punktsystem der ro- Halbebene, das mit dem zu an gehörenden Punktsystem bezüglich der durch Spiegelungen erweiterten JJlodulgruppe rCm) äquivalent ist. Insbesondere können diese beiden Punktsysteme dadurch identisch werden, daß sie auf Symmetriekreise des Dreiecksnetzes der w-Halbebene rücken. Wir kommen unten auf diesen Fall zurück. Ein mit a,. "äquivalentes" Ideal a;, ist nach S. 132 symbolisch als Produkt a~ = p.. • a" darstellbar, wo p.. eine Zahl des Strahles f ist. Es ist einleuchtend, daß wir aus' einer Basis ro1 , ro 2 von an in:
(4) 1) Die Vorstellung des Punkt gitters ist das wichtigste geometrische Hilfsmittel, mit dem K I e in in seinen S. 121 genannten Vorlesungen arbeitet. 2) Wie in Bd. I verstehen wir unter 001 , 00 2 , öl die zu (;)1' (;)s' (;) konjugiert komplexen Zahlen.
a:
Basen der Zweigideale und Punktgitter
0;,
137
eine Basis für gewinnen. Das zu gehörende Punktgitter wird demnach aus dem Gitter (3) durch die Transformation u' = f.tu erhalten. Wir haben den Satz: Äquivalente Ideale on und 0;, haben "ähnliche" Punktgitter, und ihnen kommt ein und dasselbe System bezüglich der rc'") äquivalenter P1(nkte der w- Halbebene zu, so daß dieses Punktsystem als ein Attribut der Idealklasse anzusehen ist. Die Perioden Wll W 2 sind in der Theorie der elliptischen Funktionen abgesehen davon, daß ihr Quotient nicht reell sein darf, frei wählbar, und sie werden in der Theorie der Modulfunktionen als variabel betrachtet. Demgegenüber sind die als Basen der Ideale on auftretenden roll W 2 in der Art beschränkt, daß sie gewisse Paare ganzer Zahlen eines quadratischen Körpers ~ negativer Diskriminante 0 sind, woraus dann folgt, daß auch die Basisquotienten ro diesem Körper angehören. In der Theorie der elliptischen Fun~tionen heißen diese ro 1, ro2 "singuläre Periodenpaare" und die ro "singttläre Periodenquotienten" ; ihre Bedeutung für die Theorie der elliptischen Funktionen wird unten ausführlich darzulegen sein. § 6. Notizen über quadratische .Formen negativer Diskriminante. Um die. Beziehung zwischen den Idealen on und den ganzzahligen binären quadratischen Formen negativer Diskriminante entwickeln zu können, sind zunächst einige Notizen über diese Formen vorauszuschicken.!) Unter einer "ganzzahligen binären quadratischen Form" verstehen wir einen Ausdruck der Gestalt:
(1) dessen Koeffizienten a, b, c rationale ganze Zahlen sind, während x, y willkürliche Größen bedeuten. Je nach Umständen gelten die x, y als komplexe Variable oder sind auf willkürliche rationale ganze Zahlen eingeschränkt. Als Bezeichnung für eine Form (1) benutzen wir, wenn es nicht erforderlich ist, die Variablen x, y besonders hervorzuheben, das Symbol (a, b, c). Die größte rationale ganze positive Zahl t, die in a, b, c zugleich aufgeht, heißt der "Tciler" der Form (n, b, c). Ist t = 1, so heißt die ]1"'orm "ursprünglich". Für t> 1 setzen wir a = tao, b = tbo, c = tco und können jetzt Ca, b, c) aus der ursprünglichen Form (ao, bo, co) durch Multiplikation mit t ableiten. Für t> 1 heißt demnach (a, b, c) eine "abgeleitete" Form. Der Ausdruck (b 2 - 4 ac) wird die "Dislm-iminante" der Form (a, b, c) genannt und durch D bezeichnet. Die Diskriminante ist offenbar durch das Quadrat t 2 des Teilers t teilbar. Ist die Diskriminante negativ, so sind a 'und c von 0 verschieden und haben gleiches 1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, "Vorlesungen über Zahlentheorie", 4. Aufl., S. 128ff. und "Modulfunktionen" Bd. I, S. 243ff.
138
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
Vorzeichen. Je nachdem dieses Vorzeichen positiv oder negativ ist, heißt (a, b, c) selbst eine "positive" oder eine "negatit'e Form". Da eine negative Form einfach durch Zeichenwechsel ihrer drei Koeffizienten in eine positive übergeführt wird, so wird bei den folgenden Untersuchungen der alleinige Gebrauch positiver Formen keine wesentliche Beschränkung bedeuten. Führt man in die Form (1) an Stelle der x, y neue Variable x', y' mittels einer "ganzzahligen linearen Substitution der Determinante 1":
(2)
+ ßy,
x'= ax
y' = rx
+ uy,
au - ßr
1
=
ein, so erhält man aus (a, b, c) die Form:
" 2 + b' xy , , + cy, ' '2 (a,, b") ,c =ax
(3)
deren ganzzahlige Koeffizienten sich aus den a, b, c und den Substitutionskoeffizienten 0:, ß, r, u nach der Regel berechnen:
j
+ r2c, - 2ßua + (au + ßr)b ß2 a -- aßb + a 2 c.
a' = d'2 a - rob
(4)
b' = c' =
2arc,
Umgekehrt wird die Form (a', b', c') durch die zu (2) "inversetl Substitution mit den Koeffizienten 0, - ß, - r, a wieder in (a, b, c) übergeführt, wobei sich die Gleichungen (4) invertieren zu:
(5)
a
=
a2 a' + ar b' + r2c',
c
=
ß2
Jb = 21Xßa' + (IX 0 + ßr)b' + 2yoc',
a + ßub' + 02 C'.
In (2) haben wir die Substitutionen der homogenen Modulgruppe r(w) wiedergewonnen, abgesehen davon, daß die Bezeichnungen 001 , 00 2 der der Variablen hier durch x, y ersetzt sind. Indem wir die in I benutzte abgekürzte Bezeichnung (;:
~) für die Substitution (2) wieder heranziehen,
können wir sagen, die Form (a, b, c) gehe durch die Substitution (;: ~) in (a', b', c') über und umgekehrt (a', b', e') durch (~' -
(a, b, c).
-
y,
ß)
IX
wieder in
Jede durch eine Substitution (2) aus (a, b, c) entstehende Form (a', b', c') heißt mit (a, b, c) "äquivalent". Aus der Gruppeneigenschaft der Substitutionen (2) folgt dann, daß umgekehrt auch (a, b, c) mit (a', b', c') äquivalent ist, und daß zwei Formen, die mit einer dritten äquivalent sind, stets auch miteinander äquivalent sind. Vereinigen wir daher alle mit einer gegebenen Form (a, b, c) äquivalenten .Formen in eine "Klasse von Formen" oder "Formklasse" ~, so sind je zwei Formen der Klasse ~ äquivalent. Aus (4) ergibt sich b' 2 - 4a' C'
Äquivalenz der quadratischen Formen
139
b2 -
= 4ac, äquivalente Formen haben demnach gleiche Diskriminanten D. Aus (.1) und (5) folgt ferner, daß äquivalente Formen stets gleiche Teiler t haben. }Jndlich folgert man aus (4) leicht:
4aa' = (2d'a - rb)2- Dr 2, so daß für D < 0 stets aa' > 0 zutrifft: Zwei äquivalente Formen negativer Diskriminante sind demnach imme?' zugleich positiv bzw. negativ. Die Diskriminante D und der Teiler t sind demnach Attribute der Formklasse 'iJ, auch gehören für D < 0 der Klasse entweder nur positive oder nur negative .F'ormen an. Die Hauptaufgabe ist nun für uns, bei gegebener Diskriminante D die gesamten hier eintretenden Formklassen 'iJ festzustellen und insbesondere ihre Anzahl abzuzählen. Wir behandeln diese Aufgabe nur für den weiterhin allein in Betracht kommenden Fall D < 0 und setzen die Formen als positiv voraus. Zur Durchführung der Aufgabe setzen wir den Quotienten der Variablen-~ y
=
m und führen eine geometrische Deu-
tung der Form Ca, b, c) durch denjenigen Punkt der positiven m-Halbebene ein, für welchen die Form Ca, b, c) verschwindet. Dieser "Nullpunkt" der :Form berechnet sich zu:
(ti) und es ergibt sich aus (5) durch eine einfache Rechnung im Falle der Äquivalenz der beiden Formen (a, b, c) und (a', b', 0') für ihre Nullpunkte die Gleichung:
(7) so daß die Nullpunkte ru und ru' der beiden äquivalenten Formen stets bezüglich der nicht-homogenen }\;Iodulgruppe äquivalent sind. Besteht andrerseits zwischen den beiden Nullpunkten ru und ru' zweier positiver Formen (a, b, c) und (a', b', c')mit gleicher Diskriminante D< 0 eine llelation (7), so folgt: -.b~±.ivrp! 2u'
(2ß~= ab)t~ivT~J (2~a - yb) + yiYID I
(2ßoet-(o:d'+ßylb+ 2ayc)+iVfDl . 2 (d"u - yd'b + y'c)
woraus man leicht auf die Gleichungen (4) zurückschließt. Die beiden positiven Formen Ca, b, c) und (a', b', c') gleicher negativer Diskriminante D sind also auch stets äquivalent, wenn ihre Nullpunkte ru, (J)' bezüglich der r(w) äquivalent sind. Die in I, 185ff. entwickelte Reduktionstheorie der Periodenquotienten setzt uns nun unmittelbar in den Stand, die gestellte Aufgabe der Aufzählung aller Formklassen iY gegebener negativer Diskriminante D
140
Einleitung, Teil V: Quadl'atische Körper nnd }<'ormen
zu lösen. Der Nullpunkt einer gegebenen Porm ist mit einem und nur einem Punkte ro des durch Fig. 43 in I, 179 gegebenen Diskontinuitätsbereiches der Gruppe r(w) äquivalent. Ein diesem Bereiche angehörender Punkt ro lieferte uns einen ,,?·eduzieden" Periodenquotienten. Die für einen solchen Punkt ro charakteristischen Bedingungen sind:
(8)
- 1 < ro
+ m< + 1,
rom
>1
oder (für ein ro auf dem unteren Rande des Diskontinuitätsbereiches):
(9)
- 1 ::; ro
+ m~ 0,
ro m= 1,
wo ro wie bisher der zu ro konjugiert komplexe Wert ist. Die zu einem solchen "reduzierten" (j) gehörende Porm (a, b, c) möge selbst als eine "reduzietü Form" bezeichnet werden. Aus (8) und (9) ergibt sich dann als Kennzeichen einer redtu:iertcn positiven Fo~·m negativer Disk1'iminante D:
(10) Nach den voraufgehenden Überlegungen und Rechnungen ist nun in jeder unserer Formklassen eine und nur eine reduzierte Form enthalten. Für eine solche }1"'orm ergibt sich aus (10) und der Erklärung von D:
(11)
4b 2 <4ac,
3b2~ID:,
4ac=b 2 +!Di.
Bei gegebenem D sind hiernach nur endlich viele b zulässig und beim einzelnen b zufolge der letzten Bedingung (11) nur endlich viele Kombinationen a, c. Indem wir daher die einzelne Formklasse ~ durch ihre reduzierte Form "repriisentieren", haben wir durch Aufzählung aller reduzierten Formen auf Grund der zweiten und dritten Bedingung (11) unsere Aufgabe der Feststellung aller Formklassen einer gegebenen Diskriminante D gelöst. Wir haben insbesondere den Satz gefunden: Bei gegebene,. negativer Diskriminante D gibt es nur eine endliche An.zahl zugehöriger Klassen ~ positiver Formen. Es mögen sich weiter folgende Notizen anschließen: Zwei Formen (a, b, c) und (a, - b, e), die sich nur im Vorzeichen des zweiten Koeffizienten unterscheiden, heißen "entgegengesetzt". Die Nullpunkte entgegengesetzter Formen liegen symmetrisch zur imaginären ro-Achse. Eine Form, deren Nullpunkt auf einem Symmetriekreise des Dreiecksnetzes der ro-Halbebene liegt, heißt "zweiseitig" oder "ambig". Aquivalente Formen sind immer zugleich zweiseitig, so daß die Benennung "zweiseitig" oder "ambig" auf die Formklasse ~ übertragen werden kann. Aus der Struktur des Dreiecksnetzes der ro-Halbebene geht der Satz hervor: Eine Form ist stets und nur dann mit ihrer entgegengeset.zten Ji'orm äquivalent, wenn sie zweiseitig ist. Für die reduzierten Formen, die, falls sie zweiseitig sind, ihre Nullpunkte auf der imagintiren ro-A.chse oder auf dem Rande
Endlichkeit der Klassenanzahl. Ambige Formen, Hauptformen usw.
141
des Diskontinuitätsbereiches der r("') haben, ist dies unmittelbar einleuchtend. Die gesamten Formklassen ~ negativer Diskriminante D setzen sich also aus den ambigen Klassen und den Paaren entgegengesetzter Klassen zusammen. Die Diskriminante D ist mod 4 entweder mit oder mit 1 kongruent. Je nachdem der erste oder zweite dieser Fälle vorliegt, haben
°
WIr in:
(12)
(1, 0, - } D)
1. (1 D»)/ ( 1, 1' 4
bzw.
eine reduzierte }l'orm der Diskriminante D, die offenba1' ambig ist, da ihr Nullpunkt: +iYIDI ...._-_._ ... _. _ .. bzw. (JJ = .-__1 (13) 2 auf der imaginären (JJ- Achse oder auf dem linken Rande des Diskontil1uitätsbereiches der rC"') liegt. Man bezeichnet die Form (12) als die "Haupt(m'm" und ihre Klasse als die "Hauptklasse" der Diskriminante D. Endlich haben wir mit Rücksicht auf die weitere Entwicklung noch folgenden Satz zu nennen: In jeder Klasse ursprünglicher Formen der Diskriminarde D ist eine Form Ca, b, c) nachweisba,j', die einen gegen die beliebig vm'geschriebene rationale ganze positive Zahl n teilerfremden ersten Koeffizienten a hat. Zum Beweise entnehmen wir der Klasse eine beliebige Form (a', b', c') und verstehen unter Pu P2' ..., p" die verschiedenen Primfaktoren von n. vVir setzen sodann:
mit folgender Bedeutung d,er Exponenten: (14)
!Lk = 1
für
0 •u= Je
für
*
a' 0 , a -- 0, a' 'c~c 0,
c:*
0] (modpk)' C=O Pk= 0 für woraus hervorgeht, daß IX und y teilerfremd sind. Von den drei Fällen (14) liegt für jeden Primteiler Pk von n einer und nur einer vor. Für IX und r bestimmen wir irgend zwei, die Gleichung a8 - ßr = 1 befriedigende rationale ganze Zahlen ß,o und berechnen nach (5) die mit (a', b', c') äquivalente Form Ca, b, c). :Man zeigt dann in der Tat leicht, daß a durch kein Pk teilbar ist, wobei für den dritten Fall (14) in Betracht kommt, daß a', b', rf nicht zugleich durch Pk teilbar sind.
§ 7. Beziehung zwischen den Zweigidealen q",adratischen :Formen.
Iln
und den
Es sei a" il'gendeines unserer Zweigideale und a das zugehörige Stammideal; der Fall n = 1, wo an = a ist, sei mit eingeschlossen. Eine positive Basis von an möge durch (JJl' [()2 gebildet werden. Um in (3)
142
Einleitung, Teil V: C2uadratische Körper und Formen
S. 136 die ml' m2 als "willkürliche" rationale ganze Zahlen zu kennzeichnen, schreiben wir 1nl = - y, m2 = x, so daß die Zahlen des Ideals an durch (xro 2 - yro l ) gegeben sind. Die Norm der einzelnen Zahl von an ist dann:
(1)
N (xro 2 - yro l )
"=
ro;m2x~ -
(ro l ())2 +
()J2
rol ) xy + w1W1y2,
wo Wj , w2 die zu W u W 2 konjugierten Zahlen sind. Die in (1) rechts auftretenden rationalen ganzen Zahlen OJ2 W2 , - (OJ 1 w2 + ()J2 ro1 ), W l rol gehören dem Produkte a . ades Stammideals a mit seinem konjugierten Ideale a an. Da dieses Produkt das Hauptideal [N(a)] ist (s. (1) S. 111), so sind die drei Zahlen W 2 W2 ' ••• durch die rationale ganze positive Zahl N(a) teilbar. Scbreiben wir also:
(2)
OJ 2 W2 = N(a) . a, -
W 1 W2 -
OJ 2 äi1 =
N(a) . b,
f))1 (.)1 =
N(a) . c,
so sind a, b, c drei rationale ganze Zahlen, von denen die erste und dritte positiv sind. Die Gleichung (1) schreibt sich in die Gestalt um:
N(xOJ 2 - yw l )
(3)
N(u) (ax 2 + bxy
=
+ cy2),
wo wir rechts in der Klammer eine ganzzahlige biniil"e quadratische Form gewonnen haben. Vlir bezeichnen die Diskriminante (b 2 - 4ac) dieser Form (a, b, c) vorläufig durch D', um durch D wie früber die Diskriminante des Zweiges en zu bezeichnen. Zum Zwecke einer ersten Angabe über D' stellen wir die OJ1 , (iJ2 durch die in (3) S. 123 gegebene Basis 1, 0 von en in der Gestalt:
ro l =
(4)
e&1) + 41)0,
W2 =
e&2) + ei2)()
dar und erbalten aus (2) leicht: N(a)2. J)' = N(a)2(b 2
-
4ac)
=
(ro1 f))2 -
W 2 OJ 1 )2 =
(e&1)ei2) -
°
ei1le&2)2 •
J).
wo D = n 2 • Il die Diskriminante von en ist. Da D < ist und a > 0, c > schon festgestellt wurde, so handelt es sich in (3) rechts um eine. positive Form (a, b, c) negativer Diskriminante D'. Der Übergang von ro1 , ro 2 zu irgendeiner positiven Basis ro~, ro~ von an wird durch die Substitution (2) S. 135 vermittelt, die für die konjugiert komplexen Werte ()JlJ w2 die gleiche Substitution nach sich zieht. Bei Zugrundelegung der Basis OJ~, ro; führt die Regel (2) zur lt'orm (a', b', c'), deren Koeffizienten sich nach (4) S. 138 aus a,·b, c und den Substitutionskoeffizienten berechnen. Also besteht der Satz: Denttnendlich vielen positiven Basen des Zweigideals an gehören die unendlich vielen Formen der zu (a, b, c) gehörenden Form7classe ~ umkehrbar einde~ttig zu, so daß dem Zweigideale an die Fm'mklasse zugeordnet erscheint. Ist CI: = [La n irgendein mit an äquivalentes Zweigideal, so ist u' =!L. a gehörende Stammideal. Auf Grund der Regel (7) S. 103 zeigt das zu
°
a:
Die Klassen
~
der Zweigideale und die Formklassen
man (unter Spaltung von !-L in den Quotienten leicht die Regel N(o') = I"'lL . N(o), wo lL die zu Eine erste Basis von o~ haben wir in ro: = I'" ro 1 , eine solche von on verstanden. Für die zu roi, ro~ Form (a', b', c') folgt aus (2): a' N(o') = (1/'
!-LlLN(O) =
ro~ro; =
!-Lp"
0:
143
zweier ganzer Zahlen) f1 konjugierte Zahl ist.
ro; = I'" ro 2 , unter ro l1 ro 2 gehörende quadratische (i)2ro2, . . . ,
so daß der Vergleich mit (2) zu a' = a, b' = b, c' = c führt: Den gesamten Idealen der zu on gehörenden Klasse m: ist hiernach ein und dieselbe Formklasse ts: zugeordnet, so daß der Ideallclasse m: die Formklasse ts: eindeutig zugehöTt. Es ist nun die Diskriminante D' und der Teiler t der Formklasse ts: festzustellen. Nach den gewonnenen Ergebnissen dürfen wir zu diesem Zwecke der Idealklasse m:. ein beliebiges Zweigideal an entnehmen und dem gewählten Ideale on irgendeine seiner positiven Basen zugrunde legen. Zu zweckm~ißigen Auswahlen führt die folgende Überlegung: Die größte rationale ganze positive Zahl, durch die alle Zahlen des Stammideals 0 teilbar sind, heiße der "größte rationale DivisoT" oder "Teiler u von 0 und werde durch d bezeichnet. Ist cl = 1, so heiße das Ideal a "ursprünglich", für d> 1. werde a "abgeleitet" genannt. Aus den Grundeigenschaften eines Ideals folgt, daß die Zahlen von a, durch d geteilt, wieder die Zahlen eines Ideals a(O) bilden, das dann ursprünglich ist. Da a = [d] . 0(0) teilerfremd zu [n] ist, so ist d teilerfremd zu n und also im Strahle f enthalten. Die beiden Stammideale a und a(O) sind also "im Zweige c" ä.quivalent", und somit sind die zugehörigen Zweigideale an und a~O) schlechthin äquivalent. Es ist hiernach statthaft, für die Untersuchung der Diskriminante D' und des Teilers t von (a, b, i:) ein Ideal an der Idealklasse m: zu entnehmen, dessen zugehöriges Stammideal a ursprünglich ist. Es besteht nun der folgende auch für sich bemerkenswerte Satz: 1st a ein ursp;'üngliches Ideal, so ist N(a) die kleinste mtionale ganze positive in a attftretende Zahl.!) Bezeichnen wir nämlich mit a die kleinste rationale ganze positive Zah1 2) von 11, so sind alle rationalen ganzen Zahlen von 0 Vielfache dieser Zahl a. Insbesondere ergibt sich für die Zahl N(a) von a eine Darstellung N(a) = a . c, wo e rational und ganz ist. Hieraus folgt: (5) a· Ci = [N(a)] = [a]· [e]. 1) Übrigens erweitert man diesen Satz leicht zu dem folgenden noch etwas allgemeineren Satze: Die kleinste in einem Ideale a auftretende rationale ganze positive Zahl ist d- 1 • N(a), unter d den größten rationalen Divisor von a verstanden. 2) Die Wahl der Bezeichnung a ist deshalb zweckmäßig, weil diese Zahl hernach der erste Koeffizient einer quadratischen Form wird.
144
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
Da a ein Teiler von [a] ist, so können wir [a] = a . 0 setzen und folgern hieraus, da [al sich selbst konjugiert ist [erJ = a· 6~ unter b das zu 0 konjugierte Ideal verstanden. Tragen wir a· i) für [a] in (6) ein und heben die entstehende Gleichung durch a, so erhalten wir a = [c] . b. Also geht c im größten rationalen Teiler 1 von a auf~ so daß c = 1 und damit a = N(a) folgt, wie zu beweisen war. Es zerfallen nun die Zahlen von e mod a in N(a) = a Zahlklassen, die wir durch die offenbar inkongruenten Zahlen 0, 1, 2, .. :, a -- 1 repräsentieren können. Die zweite in der Basis des Zweiges c,. auftretende Zahl 0, die durch:
(6)
0=
=1 +;VI DI
oder
gegeben ist, je nachdem D == 1 oder _ m repräsentierte Klasse gehören:
(7)
(j
=m
°
()
=
~v~Ql
(mod 4) gilt, möge in die durch
(mod a),
wo also 1n eine bestimmte der Zahlen 0, 1, 2, ..., a - 1 ist. Setzen wir b = 2m + 1 oder u= 2m, je nachdem D = 1 oder = (mod 4) gilt, so haben wir in b eine der Kongruenz b D (mod 2) genügende rationale ganze Zahl, und es folgt:
°
(8)
0-
In =
- b
+ iVI:nl _
--2- ---- =
°
(mod a),
iv ]n! dem Ideale a angehört.
so daß die Zahl - b +2
Statt 1, () können wir nun auch 1, () - m als Basis für clt benutzen. Die Zahlen von c" sind also in der Gestalt:
(9) mitte1st rationaler ganzer e darstellbar. Soll die Zahl (9) YOll e" auch in a enthalten sein und also eine Zahl des Zweigideals an liefern, so muß wegen (8) die Zahl eo in a vorkommen, also ein Vielfaches von a darstellen. Eine Basis des Zweigideals an erhalten wir somit in den beiden Zahlen:
(10) Mit der Zahl ro1 ist auch N(ro 1 ) in a enthalten und stellt als rational und ganz ein Multiplum ac von a dar; es gilt also:
(ll) wo auch c rational, ganz und positiv ist. Da N(a) = a ist, so berechnet sich aus (2) als die zur Basis (10) gehörende quadratische Form (a, b, c).
Die Klassen
2(
der Zweigideale und die Formklassen
g:
145
Zur Idealklasse ~ gehört demnach eine Formklasse (5, deren Diskriminante gleich det· Diskriminante D des Zweiges en ist. Wir können endlich zeigen, daß die dt'ei Zahlen a, b, c keinen gemdnsamen Teiler t > 1 besitzen. Da nämlich a und also a teilerfremd gegen [nJ sind, so sind auch a· a = [a ] und [nJ teilerfremd, so daß a und n teilerfremde rationale ganze Zahlen sind. Hätten nun a, b, c den ungeraden Primfaktor p gemein, so würde p2 in b2- 4ac = D = n 2D aufgehen. Es wäre also, da 0 durch kein ungerades Quach"at teilbar ist, p auch in n enthalten, was aber der Tatsache teilerfremder (f" n widersprechen würde. 'Wären aber a, b, c zugleich durch 2 teilbar, so wäre n als 'teilerfremd zu a ungerade. Da D und also 0 durch 4 teilbar wäre, so würde nach S. 121 entweder 0 == 8 oder 0 == 12 (mod 16) gelten, woraus wegen n 9 cc=- 1 (mod 4) auch D ,,=: 8 bzw. c= 12 (mod 16) folgen wiirde. Dies steht im \'Viderspruche dazu, daß bei drei geraden Zahlen a, b, c notwendig: J) =
b2 ..... 4ac == b2 :Ce.:.' 0 oder
c:"
4-
(mod 16)
zutrifft. Also ist auch der gemeinsame 'reiler 2 von a, b, c ausgeschlossen. Unter Zusammenfassung aller JiJrgebnisse haben wir folgenden für n = 1 und n> 1 geHenden Satz: Jeder Idealklasse ~ im n ten Zweige en des Körpers Si der negativen Diskt'iminante D ist eindeutig eine bestimmte Klasse (5 ursprünglicher positiver quadratiscJwr Formen der Zweigdiskt'iminante D == n 2 D zugeordnet, und zwar werden von irgendeinem Ideale a" der Klasse ~ attS die gesamten Fmwwn (ax 2 + bxy + cy") von ~ als die durch N(u) = N(e· an) geteilten Nm'men der Zahlen (xw 2 - YOO1) von an erhalten, indem man nach und nach alle positiven Basen 001 , 002 zur Darstellung dieser Zahlen heran/deht. Der gewonnene Satz ist umkehrbar. Man kann zunächst beweisen, daß man eine beliebige Klasse ~ ursprünglicher positiver Formen der Zweigdiskriminante D VOll einer geeigneten Idealklasse ~ des n ten Zweiges aus gewinnt. Da wir soeben alle Formen der Klasse ~ den verschiedenen. Basen 0011 oo~ von a" entsprechend fanden, so dürfen wir beim Versuch der Umkehrung der Entwicklung der beliebig vorgelegten Klasse ~ irgendeine Form (a, b, c) entnehmen. Wir wählen, entsprechend dem Schlußsatze von § 6, S. 141, eine Form (a, b, c) mit einem gegen 11 teilerfremden a. Wir erklären sodann zwei Zahlen 0)1' 00 2 wie in (10). Beide Zahlen 0011 00 2 sind ganzzahlig, und zwar (iJl deshalb, weil b ==D (mod 2) gilt; zugleich gehören heide Zahlen dem Zweige c" an. Wir bildcn nun das System aller Zahlen: (12) wo x, y alle Paare rationaler ganzer Zahlen durchlaufen, und können Frickc, Die elliptischen Punktionen II
10
146
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und
:l!~ormen
leicht zeigen, daß diese offenbar auch durchweg in en enthaltenen Zahlen ein Zweig ideal lln liefern. Das Zutreffen der Eigenschaft 1 eines Zweigideals (8. 124) ist einleuchtend. Zur Prüfung der Eigenschaft 2 können wir 1, C0 1 an Stelle von 1, f} als Basis von en benutzen. Es genügt dann zu zeigen, daß coi und C0 1 C02 im Systeme (12) enthalten sind, weil damit das Produkt irgendeiner Zahl 1)" von c" mit einer beliebigen Zahl (12) wieder diesem Systeme angehört. Nun erweist sich ro 1 C0 2 = aco 1 unmittelbar als dem Systeme (12) angehörig; dasselbe folgt aber für co~ aus der Gleichung:
wi• =
-
-b+iJ/i1TI ac - b ----2--- ....
=
-
bco1 -
CW 2 •
Die Eigenschaft 3 der Zweigideale fordert, daß jede Zahl 17" von Summe: (13)
t'n
als
einer Zahl des Systems (12) und einer solchen des Hauptideals [n] darstellbar ist, Es genügt, diese Darstellbarkeit für die beiden Basiszahlen 1J" = 1 und 1J" = C0 1 zu zeigen. Für '1')" = W 1 haben wir in (13) zu setzen x = 0, y = - 1, 1J = 0; für '1')" = 1 bestimme man x aus der wegen teilerfremder a, n lösbaren Kongruenz ax --- 1 (mod n), setze y = 0 und findet für '1') eine rationale ganze Zahl. Die Zahlen (13) bilden also tatsächlich ein Zweigideal an' Der Basis W 1 , W 2 dieses Zweigideals entspricht nun auf Grund von (2) eine ursprüngliche quadratische Form, deren Koeffizienten die von ihrem größten gemeinschaftlichi:mTeiler befreiten rationalen ganzen Zahlen co 2 ro2 , - C0 1 w2 - C0 2 ro1, W 1 ro1 sind. Durch Eintragen der Werte (10) für W 17 C02 findet man als Form (a, b, c) wieder und als jenen größten gemeinsamen Teiler, der nach (2) zugleich die Norm des Stammideals a = e . an ist, die Zahl a. Also wird in der Tat die vorgelegte Klasse ~ von einer unserer Idealklassen ?U geliefert. Wir können endlich zeigen, daß ~ auch nur von einer Idealklasse ?U geliefert wird. Ist nämlich co~, w~ die Basis irgendeines Zweigideals, die nach (2) die zuletzt betrachtete Form (a, b, c) ergibt, so gilt für die durch die Form eindeutig bestimmten Basisquotienten:
'_ w'. 1 • co 2 -
.
_ -b+iVJD1.. a.
61 1 • 61 2 -
---2---~
"Vir schreiben demnach w~ = [LW 17 w~ = fLW 2 mit elllem Proportionalitätsfaktor fL, für den wir die Darstellung haben:
Die im letzten Nenner stehende Zahl a ist teilerfremd gegen n und in en enthalten. Auch der Zähler co; ist in en enthalten. Wir nehmen nun an,
Die Klassen
~
der Zweigideale und die Formklassen
tf
147
daß [oo~] und [12] mindestens ein Primideal 1J als Faktor gemein haben. Aus [a] . [co;] = [oo~] . [001] würde dann wegen teilerfremder a, n folgen daß auch [00;] den Faktor 1J bat. Mit oo~ und oo~ ist aber auch jede Zahl, in 1J enthalten, d. h. a' hätte selbst den Faktor 1J mit [12] von (t' = e . gemein, während doch das zu einem Zweigideale gehörende Stammideala' teilerfremd gegen [n] ist. Also ist auch oo~ teilerfremd gegen 12, so daß wir in f-L eine Zahl des Strahles f und damit in a~ = f-L an ein mit an äquivalentes Ideal erkennen. Jede Formklasse ~ wird also nur von einer Idealklasse geliefert. "ViI' haben so den Satz gewonnen: Die Idealklassen 5ll: des 121en Zwm:ges cn vom quadratischen KÖ1"per Sl' der negativen Diskriminante [l und die Klassen ~ ttrsprünglicher positiver quadratischer Formen der negativen Zweigdiskriminante D = n 2 j) entsprechen in der oben näher erörterten Weise einander umkehrbar eindeutig. Insbesondere geht hieraus hervor, daß die Anzahl dm' Klassen ursprünglicher positiver F'or'men der negativen Diskriminante D gleich der An.zahl h (I D I) der Idealklassen des n len Zweiges ist. Für die Anzahlen hel!) I) und h(1 D I) der Formklassen der beiden Diskriminanten D = n 2 [) und 0 bleibt demnach die in (1) S. 134 aufgestellte Relation gültig. Die "Hauptklasse" Wo wurde nach S. 13B von den mit er< äquivalenten Idealen geliefert. Benutzen wir wieder die Basis 1, e für c", so finden
a;,
a;,
wir als zuO'ehöriO'e v " Form sofort
=
(1"1!=~) 4
(1 0 -=_-!!)
bzw' ) ' 4 ' J'e nach-
dem D 1 oder == 0 (mod 4) ist. Wir gelangen also zur Hauptform, so daß der Hauptkl(~sse ~o dcr Ideale an die Hat~ptklasse ~o der Formen zugeordnet ist. Eine später zur Verwendung kommende Folgerung aus der Gleichung (1) S.134 möge hier gleich noch angeschlossen werden. Ist D -1 (mod 4), so ist auch D 1 (mod 4), und n ist ungerade. Wir wollen in diesem Falle eine Beziehung zwischen den Klassenanzahlen h (I D I) und h(ID'1) = h(4ID!) der Diskriminanten D und D' = 4D aufstellen. Ist erstlich D = - 3 und also Stammdiskriminante, so folgt aus (1) S.134: 1 . 2 ( 1 - -2'--(--3 2») , h (12) = h CB) . "3
=
wo (- 3, 2) das S. 118 erklärte Symbol ist. Da die Kongruenz x 2 =-B (mod 8) keine rationale ganze Lösung x hat, so ist (- 3, 2) = - 1, und wir finden h(l~) = h(3). Ist D eine von - 3 verschiedene Stammdiskriminante, so gilt nach (1) S. 1B4:
(14)
h (41 D J)
=
(D,2--2») . h CI D I) . 2 (1 - ...
Ist hingegen Deine Zweigdiskriminante, 0 = n- 2 • D aber die zugehörige Stammdiskriminallte, so gelten die beiden Gleichungen: 10*
148
Einleitung, Teil Y: Quadratische Körper und Formen
Il'l (n)
Z1\/1 D I')
=
Pi)
1 ') r· n . _ \ - '.;P' (D, I~ (II DI' , (2,,)
h(4IDi) =~ 71,(10). r·2n
II(l .. (1)/)).
Da n ungerade ist, so hat das Produkt auf der rechten Seite der letzten Gleichung neben den im Produkte der ersten Gleichung auftretenden Faktoren noch den zu p = 2 gehörenden weiteren Faktor. Die Division der letzten Gleichung durch die vorletzte führt also zur Relation (14) zurück. Die Kongruenz x 2 == D (mod 8) ist nun aber in rationalen ganzerl Zahlen {c lösbar oder nicht lösbar, je nachdem D:.::=: 1 oder = 5 (mod 8) gilt. Im ersten Falle ist also CD, 2) 0= + 1, im zweiten CD, 2: = - 1. So ergibt sich aus (14,) der Satz: 1st D =c -- 3 oder ~'= 1 (mod 8), so sind die Klassenanzahlen h 1D I) wnd h (I D i) einander gleich; ist D == 5 (mod 8), jedoch nicht gleich - 3, so ist h (41 D i) das Dreifache der KlassenanzaJd
e!
h(IDI)· § 8. Komposition der quadrathwhen }'ormclI. Die Multiplikation der Ideale 0" im n tcll Zweige e" des quadratischen Körpers ~ führte uns S. 134ft·. zur ,,7YIultiplikalion der Idealklassen". Die Grundlage dieser Entwicklung war der Satz, daß das Produkt eines beliebigen Ideals der Klasse 52( und eines beliebigen der Klasse ~r ein Ideal einer durch ~ und ~' eindeutig bestimmten dritten Klasse ~l" liefert, die wir dann selbst als Produkt ~ . ~' der heiden gegebelJen Klassen ~ und ~(' bezeichneten. Gegenüber dieser Multiplikation bildeten die h IdealklasHen ~o, ~p . . . , ~"-1 von Ca eine Abelsche Gruppe GI. der Ordnung h, in der das Einheit,selement von der Hauptklasse ~o geliefert wird. Die Multiplikation der Idealklassen ~o, ~l' . • ., 2(" __ 1 des n ten Zweiges e" ergibt nuu, auf die den ~{ eindeutig zugeordneten Klassen ursprünglicher positiver quadratischer Formen der Zweigdiskrimillante D übertragen, die Lehre VOll der "Komposition" dieser Formklassen ~o, ~l' " ' J ~h-H die von Gauß begründet ist l ), uud die sich in etwas kürzerer Gestalt im Supplement X der "Vorlesungen über Zahlentheorie" von Dil'ichletDedekind 2) dargestellt findet. Entsprechen den drei Ideallilassen ~r, m:' und m:" = ~{ . 2(' die Formklassen ~, ~' ulld ~", so sagt man, dio Klasse %" entstehe aus ~ und ~' durch "Komposition" und bezeichnet~" wieder symbolisch durch das Produkt g:. {5-', wobei entsprechend den Produkten der Idealklassen das kommutative Gesetz g:. g:' = g:' . g: gilt. Alle h Fm'mklassen g:o, iYl' ..., g:"-l bilden dann gegenüber der Komposition 1) In Art. 234 der "Disquisitiones arithmeticae", S. 387 ff. der 4. Auflage.
2)
Multiplikation der Ideale und Komposition der .!<'ormen
149
die Elemente einer Aheischen Gt'uppe G h der Ordmtng h, in der das Einheitselement von der Hm~ptklasse iYo geliefert wird. Die Komposition der Klassen wird von Gauß ::J,uf diejenige der Formen gegründet, die "Komposition der Ji'ormen" aber wird direkt, und zwar mit einem erheblichen Rechnungsaufwande durchgeführt. Der einfachste Ansatz zur Behandlung der Komposition der Formen wird von der Multiplikation der Ideale an geliefert. Der Komposition zweier Formen (a, b, c) und (c{, b', c') entsprechend haben wir hier nicht nur zwei ihnen zugehörige Ideale 0" und a~ zu wählen, sondern auch für diese Ideale zwei besondere Basen U/l' U/ 2 und U/~, U/; zugrunde zu legen. Die Produkte der Zahlen (xU/ 2 - yw 1 ) und (x' ro~ - y' ro~) von an und sind dann im Produkte a~ = a" . enthalten. Wenn wir also fitr a~ irgcndeine Basis ro;, ro; auswählen, so gibt es für vier beliebige rationale ganze Zahlen x, y, x', y' stets zwei bestimmte rationale ganze Zahlen :lJ", y", die der Gleichung genügen:
0;,
0;,
(1) Aus dieser Grundgleichnng lassen sich alle Formeln der Kompositionstheorie entwickeln. Wir folgern zmüicb.st für die zu U/ll VJ 2 , . . . konjugierten Zahlen 0)1, W2 , ••• :
(2) Nach einem S. 132 aufgestellten Sah:e gehört zum Produkte an' als Stammideal das Produkt a· a' der zu a" und a~ gehörenden Stammideale. Da nun N(a· a')= N(a) . N(a') gilt, so ergibt sich durch Multiplikation der Gleichungen (1) und (2) auf Grund von (3), 8.:142: (3) (ax 2 + bxy+ cy2). (a' X'2 + b'.r'y' + c'y'2) = a,"x"2 + b"x"y" + c"y"2, wo (a", b", c") die zur Basis (j)~', (lJ~ gehörende Form ist. Lösen wir die Gleichungen (:1) und (2) nach x" und y" aufl), so berechnen sich die x", y" aus den x, y und Ji, y' in Gestalt einer sogenannten "bilineat'en Substitution" : 1':(:., = axx'+' a xy + Ci:C y + IX ,rr yy,, (4) Iy" = /3xx' + ß' xy' + ,r:J/ y -+- ß'" yy'.
a;,
I
f'
,
Durch diese bilineare Substütttion wi1'd die in (H) rechts stehende, ans (a, b, c) und (a', b', c') ,,7componic1·te" Form (a", b", c") in das in (3) link9 stehende Prodtt7ct der "komponie1'enrlrm" Formen zerlegt. Durch A.uswahl besonders zweckmäßiger Formen aus zwei vorgelegten Klassen iY und ~' kann man die vorstehenden Gleichungen in sehr einfache Gestalten kleiden und dadurch Regeln zur Bestimmung der komponierten Klasse iY. iY' gewinnen. Wir entnehmen z. B. den Klassen ~, D
1) Die Determinante des Gleichungssystems (1), (2) ist als Diskriminante der heiden linear-unabhängigen Zahlen w~, w;' von 0 verschieden.
(w~, w~)
150
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
~' zunächst zwei Formen (a, b1 , Cl) und (a', b~, c~), in denen a teilerfremd gegen n und a' teilerfremd gegen an ist, was nach dem Schlußsatze von § 6, S. 141 keine Schwierigkeiten hat. Wir üben sodann auf diese beiden Formen zwei Substitutionen der r(w) mit a = ~ = 1, r = 0 aus, wobei nach (4) S. 138 die ersten Koeffizienten der Formen unverändert bleiben, während sich als mittlere Koeffizienten (bi -- 2 ßet) und (b~ - 2 ß' a') einstellen. Da a und ({ teilerfremd sind und b~ bl (mod 2) wegen der gleichen Diskriminanten der }1~ormen gilt, so kann man die beiden rationalen ganzen Zahlen ß und ß' so wählen, daß:
=
{ja-ß'a'=}(bl=b~)
und also
bl-2(3a=b~=2ß'a'
zutrifft. Wir gelangen zu zwei Formen (a, b, c) und (a', b, c') mit gleichen mittleren Koeffizienten und folgern aus der Gleichheit der Diskriminanten die Gleichung ac = a' c'. Da nun a und a' teilerfremd sind, so geht a in c' auf. Wir setzen also c' = aco und finden c = a' co: Aus zwei beliebig vm'gelegten Klassen ~, ~' kann man zwei Fornzen Ca, b, a' co) und (a', b, aco) wählen, in denen a und a' gegeneinandcJ' und gegen n teilerfremd sind, während Co rational und ganz ist. Als zugehörige Ideale benutzen wir nun die der Zahlen:
(5)
ax
+ -b -2ivTDl - - - y,
iVI-DI ' +-2--y.
"b -
ax
Die Gleichung (1) nimmt dann die Gestalt an:
(6 ') ( xx' - coyy' ) aa' + (axy, + a"x y · Zahl a· a D18
I
• t' lS 1m
Id eaI On" =
On' On,
+ bYy-----2--') b -- i Vi]))
=
"" Y' 1w"l ·
X W2 -
- b + iVI-jTI- en th alten. Ab er aueI1 ----------2----
ivrnl
. h'III On; "denn sowo hl a· ----2-~--b + iVrlTj a1s auch a .----b +2--fi n d et SIC =
I
-
kommen in o~ vor, und a, a' sind teilerfremd. Aus (6) geht demnach hervor, daß man:
(7)
W" = 1
+ iviD: -
b ----------
=
2
W~
=
aa'
als Basis von o~ benutzen kann, worauf die zugehörige bilineare Substitution (4) die Gestalt annimmt:
(8)
x" = xx'
=
coyy',
y" = axy' + a' x' y + byy'.
Wir haben also den Satz gewonnen: Repräsentieren wir die beiden gegebenen Klassen ~ ttna ~' durch die Formen (a, b, a ' co) und (a', b, aco)' so ist die komponierte Klasse ~ . ~' diejenige der Form (aa', b, co), Dies ist in der Tat die der Basis (7) entsprechende Form. Die zu zwei "entgegengesetzten" Formen (a, b, c) und (a, b, c) gehörenden Klassen nannten wir bereits S. 141 selbst "entgegengesetzt". Diese Klassen sind stets nnd nur dann einander gleich, wenn sie ambig =
151 sind. -Wir nehmen a teilerfremd gegen n an und haben in den beiden zugehörigen Idealen: Durchführung der Komposition der Formen
(9)
ax
b - iv'ln! + ----2-y,
zwei "konjugierte" Ideale an' a~. Es läßt sich nun leicht zeigen, daß die beiden zugehörigen Idealklassen ~{, ~' im Sinne von S. 134 einander invers sind und also in m: . m:' = ~o die Hauptklasse liefern. Wir stellen nämlich in an' a~ zunächst die drei Zahlen fest:
ab+il/ID! 2
+ ab =~rl~1 '2
=
ab
'
damit aber auch (weil a, b, c keinen Teiler
t> 1
gemein haben) die
- b +iv'iiil enth"lt Zahl a. M 1't a un d a --~2--------'a an' an'11 a e Z,,,ahl en:
(10)
b-q/ID1)
a ( x+--2~-Y'
Andrerseits sind, wie man leicht feststellt, alle Produkte zweier Zahlen (
'9)'1m Sys t eme (10) enth alten. Al so 181;, . da 1,--------2------'- b + iv'iDT ellle . B aSlS. L
von en ist, an' a~ = a . en , so daß an' a: tatsächlich mit e" äquivalent ist. Wir kleiden das Ergebnis in die Gestalt: Zwei entgegengesetzte Ji'ormklassen ~, ty' geben, miteinander komponiert, stets die Hauptklasse tyo, so daß ~' auch durch ty-l bezeichnet werden ma.g. Da mit ty die Klasse ty', die der Gleichung ty . ty' = tyo genügt, eindeutig bestimmt ist, und da nur die ambigen Klassen sich selbst entgegengesetzt sind, so folgt insbesondere: Nnr die ambigen Formklassen geben, mit sich selbst komponiert, die Hanptklasse tyo'
§ 9. Einteilung der FOl'mklassen in Geschlechter. Von einer rationalen ganzen Zahl m sagt man, sie sei durch die 'quadratische Form (a, b, c) "darstellbar", wenn es zwei rationale ganze Zahlen x, y gibt, für welche (ax 2+ bxy cy2) gleich m wird:
+
(1) Nach (4) S. 138 folgt, daß z. B. alle Zahlen, die als erste Koeffizienten der mit (a, b,. c) äquivalenten Formen auftreten, durch (a, b, c) darstellhar sind. Wir können demnach zufolge eines S. 141 aufgestellten Satzes -durch (a, b, c) darstellbare Zahlen m angeben, die zu irgendeiner vorgeschriebenen Zahl n teilerfremd sind. Es gibt sogar unendlich viele gegen eine vorgeschriebene Zahl n teilerfremde, durch (a, b, c) darstellbare Zahlen. Ist nämlich m eine erste, so können wir auch eine gegen nm teilerfremde, durch Ca, b, c) darstellbare Zahl n{ angeben, sodann eine gegen nmm' ,teilerfremde usw.
152
Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen
Durch Ausübung einer Substitution (2) S. 138 auf (1) folgt leicht der Satz: Ist die Zahl m durch (a, b, c) darstellbar, so 1:st diese Zahl auch durch jede mit (a, b, c) äquivalente Form darstellba1'. Wir dürfen uns demnach der Ausdrucksweise bedienen, die Zahl m sei "durch eine Fm'mklasse iJ darstellbar". W ei tel' ergibt sich aus (1) sofort.: In =
ax 2 + (- b)x(- y) + c(- y)2.
Da nun (a, - b, c) der zn iJ entgegengesetzten Klasse ~-1 angehört, so besteht der Satz: Ist eine Zahl m durch eine der beiden entgegengesetzten Klassen iJ, ~-1 darstellbar, so ist sie stets auch cl/wch die a/J~dere Klasse darstellbar. Aus (3) S. 149 geht endlich noch folgender Satz hervor: Ist m dtll'eh die Klasse ~ nnd m' d~trch~' darstellbm', so ist das Pt'odulet m . m' durch die aus der Komposition der Klassen iJ und ~' zn gewinnende Klasse iJ . ~' darstellbar. Es seien nun Jn und m' irgend zwei durch ~ darstellbare Zahlen. Dann ist m' auch durch ~-1 und also m· m' durch die Hauptklasse
~ . ~-l = ~o darstellbar. Benutzen wir die Hauptfol'm (1, 0,- ~-) bzw. ( 1,
1--
D)
1'4······· selbst, so folgt:
)9 D y",~ 4.' nzm"= 2 ( x +!!"-
(2)
je nachdem D == 0 oder ~~ 1 (mod 4) ist. \Vir verstehen weiter unter p irgendeine in]) aufgehende ungerade Primzahl und unter m, m' irgend zwei gegen p teilerfremde ganze Zahlen, die durch ~ darstellbar sind. Aus (2) folgt dann: mm'= x 2 bzw, 4mm'===, (2x + y)2 (modp), so daß m . m' quadratischer Rest von p ist. Also besteht der Satz: Alle .!legen den 1mgemden Prirnf'aktor p von D teilerf'remden, durch iJ darstellba1'en Zahlen m, m', tu ", . •. haben gleichen quadratischen Charakter in bezug auf' p, d. h. sie sind entweder durchweg quadratische Reste oder durchc weg quadratische Nichtrestevon p, so daß u:ir mit Hilfe des Legendreschen Zeichens sch1'ciben können:
(3)
C:) G') =
=
C~')
=
....
Der gemeinsame Wert + 1 oder - 1 dieser Legendreschell Zeichen, der durch die in D enthaltene ungerade Primzahl p und die Formklasse iJ bestimmt ist, heißt ein "Charakter" der Klasse fr und möge durch X bezeichnet sein. Jede Klasse iJ hat demnach zunächst so viele Charaktere X, als verschiedene ungerade Primzahlen p in der Diskriminante D enthalten sind. Eine wesentliche Eigenschaft diesel' Charaktere kommt durch folgenden Satz zum Ausdruck: Sind X und Z' die zum ungeraden Primf'aktor p von D gehörenden Oharaktere der Klassen iJ ttnd
Die Charaktere elller Formklasse
10i)
~', so ist der zu p gehörende Oharakter der d~trch Komposition '/)on
~' entstehenden Klasse ~ . ~' das Produkt X .
ß' und
x: dm' Oharaktere X und x'.
Sind nämlich mund m' zwei gegen p teilerfremde durch ~ bzw. ~' darstellbare Zahlen, so ist m· m' durch ~. ~' darstellbar und teilerfremd gegen p. Dann aber gilt:
(m ~1l!')
X • X"
(;) . (;) =
=
Ist D gerade, aber nicht == 4 (mod 16), so können wir für jede Klasse ~ noch einen, in einem gewissen Falle sogar noch zwei weitere Charaktere erklären, die wieder die bisherigen Eigenschaften der X besitzen, Ist nämlich erstell8 t]) == 3 (mod 4), hat also D die Gestalt ]) = 16k + 12, unter Je hier und weiterhin rationale ganze Zahlen verstanden, so folgt aus (2) für irgend zwei ungerade durch ~ darstellbare
mm'c= x 2 + y2
Zahlen m, m':
(mod 4).
Da hier eine der Zahlen :1:, y gerade, die andere ungerade sein muß, folgt m· m' = 1, m' --- m (mod 4\ so daß für alle ungeraden, ourch darstellbaren Zahlen m, m', ln" • . ' ' die Gleichungen gelten: ,- 1
(4)
,,0
ß-
,.n"-l
,- 1" 2 = \ , -1") -2 (- 1) -~ =1.-.1 , Ist zweitens c}D c== 2 (mod 8), also D = 32k I
für irgend zwei ungerade, durch
~
+ 8, so folgt aus darstellbare Zahlen m, m':
(2)
mm' == x 2 - 2 y 2 (mod 8). Also ist x ungerade, und es folgt mm' ~= ± 1, m' == ± m (mod 8). 1n beiden Fällen folgt Hm~ - 1) oc-:": Hm'2 - 1) (moel 2), so daß sich jetzt für alle ungeraden, durch ~ darstellbaren Zahlen: 1I/ 2
(- 1)8
(5)
=
1,-
,Ift/l':'.-l
-1
1
=
\,_
1)
s
-t]) -
ergibt. Ist drittens 4 (,mod 8), also D = 32 k + 16, so sehließt man wieder auf rn' == m (mod 4) und damit auf das Bestehen der GleTchungen (4). Haben wir viertens}D 0:= I) (mod 8), also D = 32k + 24, so folgt aus (2):
mm' =cc :'/} + 2 y 2
(mod 8).
=
Da x ungerade sein muß, so schließen wir auf 1ft. m' 1 oder m· m' (mod 8), also auf rn,' = m bzw. m' = 3m (mod 8). In beiden Fiillen langt man leicht zu den Gleichungen:
(6)
-t
=;} ~t'
Ist endlich D = 0 (mod 8), also D = 32 k, so folgt in der bisherigen Weise mm' _ 1 (mod 8) und also m'= m (mod 8). Jetzt bestehen also die Gleichungen (4) und (5) zugleich. Wir führen nun, falls]) = lok + 12 oder =:32 k + 16 ist, den
154
Einleitung, 'l'eil V: Quadratische
Körper und Formen
m-l
Wert (- 1)-2~ als neuen Charakter X von ~ ein. :Bjbenso führen wir für
D = 32k
+8
ni,2.-l
den Charakter X = (- 1) rn-1
Charakter X = (-1)
8
und für D = 32k
m'l._l
+B- ein, sowie endlich für
2
m-1
+ 24 den
D = 32k die bei-
'111,2-1
den Charaktere (- 1) 2 und (- 1) 8 • Auch diese Charaktere haben 1 oder - 1. Da man aber für irgend zwei unstets einen der Werte gerade Zahlen in, m' leicht die Gleichungen zeigt:
+
m'-l
rn-i
(-1f2~.(-1) m2.-1
(_1)8~-.
2
1nm'-1
=(-1)
rn'2.-1
,
(m71/)'.!.-l
(-1)-8-= (-1Y-S-
so besteht auch für jede Art der neu erklärten Charaktere der Satz: Der Charakter einer komponierten Klasse ~.~' ist das Produkt der Charaktere der komponierenden Klassen. Die Anzahl v der Charaktere der einzelnen Klasse iY ist gleich der Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von D, falls D = 4 k + 1 oder = 16k + 12 oder mod 32 mit einer der Zahlen 8, 16, 24 kongruent ist; für D = 167u + 4 ist diese Anzahl v um eine Einheit geringer als die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von D, für D = 32 k um eine Einheit größer. Wir bezeichnen die Charaktere der einzelnen Klasse ~ in einer bestimmten Anordnung jetzt genauer durch X1' X2' ..., X" und nennen diese Zusammenstellung aller v Charaktere den "l'otalcharaJäer" der Kiasse ~. Dann gilt der Satz: Der Totalcharakter X~, X;, ..., X;: der durch Komposition von ~ und ~' entstehenden Klasse ~"= ~ .~' berechnet sieh aus den Totalchara7cteren der komponierenden Klassen X1' X2' ..., Xv und X~, X;, ..., X;, nach dem Gesetze:
(7)
X~ = X1 • X~,
X~ = X2· X~, ...,
X~ = X" . X:
Da jeder einzelne Charakter einen der beiden Werte ± 1 hat, so sind im ganzen 21' verschiedene Totalcharaktere kombinatorisch möglich. Wie viele von diesen 21' verschiedenen Kombinationen als Totalcharaktere unserer Formklassen wirklich auftreten, muß hier unentschieden bleiben. Da zwei entgegengesetzte Klassen ~ und ~-1 gleiche Totalcharaktere haben, so ist nach der Regel (7) einleuchtend, daß die Hauptklasse ~o den Totalcharalcter X1 = 1, X2 = 1, ..., X" = 1 hat. Wir vereinigen nun alle Klassen, welche im Totalcharakter übereinstimmen, zu einem "Geschlechte" von Pormklassen und nennen insbesondere dasjenige Geschlecht, dem die Hauptklasse angehört, das "Hauptgeschlecht". Die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes heiße p" die Klassen selbst seien ~o, ~1' . . . , ~.U-1. Dann besteht zufolge der Regel (7) der Satz: In der Abelschen G?'uppe G" aller h(ID!) Klassen
Totalcharaktere und Geschlechter der Forrnklassen
155
der Diskriminante D bilden die p, Klassen ~o, ~D ••. , ~Il-l des Hauptgeschlechtes eine ausgezeichnete 1) Untergruppe GI' der 01'dnung (L, so daß (L ein Teiler von h ist. Komponiert man irgend eine Klasse ~ mit den (L Klassen ~o, ~1' . • . , ~u-1 des Hauptgesehleehtes, so haben alle Klassen ~. ~o, ~. ~17 .• '., ~ • ~i'-1 gleiehe Totalcharaktere, und zugleich erschöpfen diese p, Klassen das ganze zu diesem Totalcharakter gehörende Geschlecht. Den ~ zur Gi' gehörenden Nebengruppen (vgl. S. 4) entspreehen also ebenso viele Geschlechter von Formklassen, und hiermit werden zugleich alle Geschlechter erschöpft: Alle Geschlechter der Formklassen der Diskriminante D enthalten gleich viele Klassen; die Klassenanzcthl h, geteilt durch die Anzahl (L der Klassen im einzelnen Geschlechte, ergibt ttnS somit als (Juotienten die Anzahl der Geschlechter Hnd damit die der widclich auftretenden Totalcharaktere. Die 2v kombinatorisch möglichen Totalcharaktere bilden gegenüber Multiplikation (entsprechend der Gleichung (7)) eine Abelsche Gruppe G2V der Ordnung 2'. Die bei der Diskriminante D wirklich auftretenden Totalcharaktere bilden für sich eine Gruppe, da mit zwei solchen Totalcharakteren stets auch ihr Produkt auftritt. Die Ordnung jeder Untergruppe der G2V ist ein Teiler von 2 v, also wieder eine Potenz 2 2 von 2. Für die Klassenanzahl h (I D I) nnd dam,ü für die Ordnung der Grnppe GI. folgt hieraus h = 2 2 • p" wo (L die Anzahl der Klassen im einzelnen Geschlechte ist. Die Anwendung des S. 17 (am Schlusse von § 6) aufgestellten Satzes ergibt somit das Resultat: Die Abelsche Gruppe G h besitzt als Indexreihe die in (L aufgehenden Primzahlen, vereint mit A. Indizes, die alle gleich 2 sind. 1) Alle Untergruppen einer Abelschen Gruppe sind ausgezeichnet.
Erster Abschnitt.
Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen. Die in diesem Abschnitte zur Sprache kommenden Entwicklungen über die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen stammen in ihren Grundlagen aus der älteren Geschichte der elliptischen Funktionen. Die Additionstheoreme wurden bereits gegen Mitte des vorletzten Jahrhunderts von Euler entdeckt!) und gehören zu den in der älteren und neueren Geschichte der elliptischen }i"'unktionen am häufigsten behandelten Gegenständen. Für die Ausbildung der Multiplikations- und Divisionssätze sind vOl'llehmlich die Schöpfungen A bels grundlegend gewesen. 2) Insbesondere ist von Abel der algebraische Charakter der Teilungsgleichungen erkannt, und die hier gewonnenen Sätze sind für seine allgemeinen Untersuchungen über die Aufläsung algebraischer Gleichungen vorbildlich gewesen. Die nachfolgende Darstellung schließt sich durchweg an die in Bel. I des vorliegenden Werkes entwickelte Gestalt der Theorie der elliptischen Funktionen an. Die Theoreme sind also überall zunächst für die Funktionen erster Stufe dargelegt; bei der zweiten Stufe aber werden sie in derjenigen Gestalt elJtwickelt, wie sie bei J aco bi vorliegen.
Erstes Kapitel.
Die Additionssätze der elliptischen .Funktionen. Eine vorläufige Betrachtung der AdditioDssätze der Funktionen erster Stufe wurde schon in I, 202ff. durchgeführt. Es sei insbesondere an die daselbst S. 204 entwickelte Auffassung erinnert., nach welcher die Addi1) Y gl. A. E n n e per, "Elliptische Funktionen, Theorie und Geschichte", 2. Aufl., bearb. von F. ]\i[ ü 11 e r (Halle 1890), S. 182 ff. Dieses Werk wird weiterhin kurz dureh die Namen der Autoren zitiert. 2) S. die" Recherehes sur les fonctions elliptiques", Art. 9 ff., .Journ. für Math., Bd. 2 (1827) oder "Werke", Bd. 1, S. 279 ff.
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_2 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
157
Einleitende Bemerkungen übel' die Additionstheoreme
tionsfol'meln für
~J
und
~l:
~o(u
+ v) =
R 1 (iJ(u), so'(u), ga(v), S;/(v»)
g;/(u
+ v) =
B 2 (SJ(tt), ga'(u), SJ(v), ga'(v»)
eine algebraische Darstellung der kontinuierlichen Gruppe zweifach unendlich vieler Transformationen der Riemannschen Fläche F2 in sich lieferten. Funktionentheoretisch ist die Existenz zweier Gleichungen der angegebenen Gestalt für SO (u + v) und ga' (u + v) leicht einzusehen. Es ist z. B ga(u + v) als Funktion von tt doppeltperiodisch mit den Perioden ro1 , ro~ und läßt sich also nach den Sätzen von I, 198 als rationale Funktion von ga(u), SJ'(u) darstellen. Weierstraß hat in seinen Vorlesungen!) die Existenz eines Additionstheorems sogar an die Spitze der ganzen Entwicklung gestellt und teilt den Satz mit, daß die Existenz eines solchen Theorems eine charakteristische Eigenschaft der elliptischen Funktionen und ihrer Ausartungen sei. Als Eingang in die Entwicklung der Additionssätze wählen wir eine gleichfalls von Weierstraß aufgestellte dreigliedrige Sigmarelation 2), aus welcher im wesentlichen nur noch durch das Mittel analytischer Umformungen die Hauptformeln der Additiol1ssätze gewonnen werden sollen.
*1. AdditionstheOl'eme der elliptischen Fnnktionen erster Stnfe. Sind ul l ~t2' un drei beliebig gewählte Werte von u, so stellen die drei Produkte:
6(u
+ u1) 6(n -
1(1)'
6(u
+ 'u2) 6(u -
u2 ),
6(lt
+u~)
6(1t - us)
drei gleichändrige ganze elliptische Funktionen dritter Art zweiter Ordnung dar, zwischen denen nach I, 227 eine lineare Gleichung:
(1)
A 1 6(u
+ u 6(u - '/(,1) + A 6(n + u + .A s 6(u + u~) 6(u - u,s) = 1)
2
6(u, - u2 ) 0
2)
mit nicht durchweg verschwindenden, yon u unabhängigen Koeffizienten A identisch besteht. Zur Bestimmung der A setzt man in (1) nacheinander ?t = U j , tt2 , Us ein und findet:
.A 2 6(u 1 + u2 ) 6(u}- u2 )
+ An 6 (u + tts) 6(u1- us) 1
Al 6(u2 + u1) 6(n2 - U'1) + .A3 6 (tte+ ttJ 6 (u 2 .A1 6(u3 + u 1 ) 6(lh--1tj) --J- A 2 6(u s+ 112 ) 6(u 3 - u2 )
tt3 )
=
0,
=
0,
=
o.
1) Vgl. H. A, Schwan, "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen", nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weierstraß (Göttingen 1881ff.) S. 1ff. 2) S. die eben genannte Schrift S. '17.
158
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
Aus diesen Gleichungen berechnen sich die Verhältnisse der A wie folgt:
Al: A 2 :As = 6 (u 2 +us)G (7(2 -us):6(?ts +~tl) 6 (u s -u1): 6 (u 1 +u2) 6 (U1- U2 ). Durch Eintragen dieser Werte in (1) findet man die dreigliedrige We'ierstraßsche Sigmarelation.
+ u 1) 6(u + 6(u + n2 ) 6(u + 6(n + us) 6(u -
(2)
6(u
+ us) 6(u2 u 2 ) G(us + n 1 ) 6(ns -
~ll) 6(u 2
u s)
u1 ) us) 6(u1 + u 2) 6(u1 - u 2 )
=
0,
die man als die gemeinsame Quelle der weiteren Additionsformeln benutzen kann. Bevor dies ausgeführt wird, schließen wir an (2) noch folgende, unten zur Benutzung kommende Betrachtung an. Für die zwölf Argumente der in(2) auftretenden Sigmafunktionen benutzen wir folgende Abkürzungen :
l
XI
(3)
X2
= u2 = Us-
Yl = u1 + U, = U 2 + U, Ys=?ls+U,
U3 ,
U1 ,
Y2
x S ='U1 - U2 ,
fJ1
= uI
-
U,
t1 = - u2 -
~l2
-
U,
t2 = -
fJ2 =
fJS=U3-~l,
213 -
tS = - U ' 1 -
us , u1 , U 2'
mit deren Hilfe sich die Relation (2) in die Gestalt kleidet:
(4)
6 (Xl) 6(Y1) 6(fJ1)6(tI ) + 6 (x2 ) 6 (Y2) 6 (fJ 2 ) 6 (t2) + 6 (xs) 6 (Y3) 6 (fJ3 ) G(ts) = O.
Man kann hierbei an Stelle der vier unabhängigen Variablen u, ul1 u2 , 'U3 auch die x, y, fJ, t irgend einer der drei Reihen (3) als solche benutzen. Nehmen wir z. B. die erste Reihe (3), so ergeben sich für die u die Darstellungen:
(5) u = }(Yl - fJI ), U1= ~(Y1 + fJ1), U2=
tex
1-
t1),
s=H-
1-l
Xl - t1)·
Durch Vermittlung dieser Formeln findet man die x, y, fJ, t der zweiten und dritten Reihe (3) in denen der ersten durch die be'iden quaternären linearen Substitutionen der Determinante 1 dargestellt:
(6)
(7)
X2 = -~-X1 - tY1 - t fJ1- -}t1, Y2 = +~-X1 + -tY1 }t1, I -
1
Z2 =
+ -}XI -
tfJ
tYl + tZl -}t1 ,
' t 2=
,1 1 1 T "2 X1- "2Y1- "2 Z1
:l'3 =
-- }X1
+lt 2" l '
J Ys =
-
Zs =
-
+ tYl + t Z1 + }t1 , t X I + tYl- t Z1 - g , }X1 - tYl + ifJ1 - tt
t3 =
-
}X1 -
I
l1
tYl -
t Z +}t1 · l
Die erste dieser Substitutionen, die wir symbolisch durch S bezeichnen,
Weierstraßsche Sigmarelation nebst Folgerungen
159
liefert, zweimal ausgeübt, die Substitution (7), die demnach durch S2 zu bezeichnen ist. Dreimalige Wiederholung von S liefert aber die identische Substitution, so daß die Substitutionen (6) und (7) im Verein mit der identischen Substiftäion eine zyklische Gruppe G 3 der 01·dnung 3 bilden. Bilden die x~, y~, z~, ~ ein zweites Variablensystem, das gleichfalls den Substitutionen Sund S2 unterworfen werden soll, so erweist sich der bilineare Ausdruck (XIX~ + YlY~ + zlz; + tl~) als invariant gegenüber Sund S2, d. h. es besteht die Relation: Xl X~
+ YlY~ + Zl z~ + tl t~ = X2X~ + Y2Y; + Z2Z; + t2 t~ = X3X~ + Y3Y~ + Z3Z~ + t3t~.
Dieserhalb werden Sund S2 als "orthogonale" Sttbstitutionen bezeichnet. l ) Unter Zusammenfassung können wir den Satz notieren: Sind Xv Yl1 Zl' t1 vier 'unabhängige Variable, die chLTch die orthogonalen Substitutionen Sund S2 der zyklischen Ga in die Vat·iablensysteme (6) und (7) übergehen, so besteht für diese drei Variablensysteme Xii Yi' Zi' t; die Sigmarelation (4) identisch. In die Relation (2) werde jetzt eingesetzt tt2 = 0, us = v, wodurch sie die Gestalt annimmt:
- 6(u
+ u )6(u - u )6(v)2 + 6(v + t( )6(v + 6(u + v)6(u -. v)6(U )2= o. 1
1
1
u1)6(u)2
1
Verstehen wir unter ± u1 die beiden Nullpunkte der so-Funktion, so können wir 6(u + t(1 )6(u - u1 ) durch das Produkt - so(U)6(U)26(U1 )2 ersetzen (vg1. (11) in I, 216) und 6(v + u1 )6(v - n1 ) entsprechend ausdrücken: ~(u)6(u)26(Ul)26(v)2 -
+ 6(u + v)6(u -
~(V)6(V)26(ttd6(u)2
v)6(U1)2=
o.
Hieraus folgt die schon in 1,217 unter (14) gewonnene Gleichung: 6(~t+v)6(u-v)
(8)
~u)26(v)~ = - ~(u
+ &0 (v).
)
Man logarithmiere diese Gleichung und differenziere nach u bzw. Vi bei Benutzung von (6) in 1,209 ergibt sich:
+ v) + ~ ( u ~(u + v) - ~(u ~(u
~/(u)
v) - 21; ( u)
=
+ &J(u)-=-S;}(v)'
v) - 2~(v)
=
_
___K':(v)
--0
SQ(u) - p(v)
Die Addition dieser Gleichungen ergibt das sogenannte "Additionstheomn des Normalintegrals zweiter Gattung 1;(u)'~, das auch bereits in 1,202 unter 1) In der analytischen Geometrie des Raumes liefern die Drehungen eines rechtwinkligen Achsenkreuzes um den Nullpunkt ternäre orthogonale Substitutionen der Koordinaten.
160
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen I<'unktionen
(:!) gewonnen wurde:
(9)
f;(u
+ v) =
f;(u)
+ f;(v) + 2IP'(U) p (u) -
~ (v) . p(v)
Durch die in 1,203 ausgeführte Rechnung findet mau aus (9) die a. a. O. unter (5: angegebene Gleichung: (10)
~(
u
+v
1 (S;/(U)-S;/(V»)2 ) =- - _..._ - -.~() () tt 4 SJ(U) - !p(v)
-
&J () V .
Hit,r hat man eine erste Gestalt des "Additionstheorems der fJ-Funktion" Y01' sich; das Theorem bringt zum A~tsdruck, daß die ~()-Funlction, gebildet ji"ir die Summe (u + v), sich rational dunh die Funkt?:onen ~J, ~o' der einzelnen Summanden u, v darstellt, ~tnd ze~qt zugleich die Gestalt dieser Darslr,lI/mg. Aus (9) und (10) folgt:
so(tt
+ v) + ~(u) + ~J(v) =
(f;(u
+ v) -- f;(u) -
f;(V»2.
Durch Differentiation nach u bzw. v und Addition der entstehenden Gleichungen folgt bei nochmaliger Benutzung von (9): (ll) 2io'(tt + v) o
+ 6;)'(U) +~'(v) = SO' «1'»- S;/(~)')Ü;)(U) +~o(v) pu -g,JV
2~(u + v»),
eintl Gleichung, der man die übersichtliche Gestalt geben kann: &J(u
(12)
+ v),
- so'Cu
+ v),
1
~;)(u),
~o'(u),
1
So (v) ,
p'(v),
1
=
O.
Ersetzt man s;)(u + v) durch den Ausdruck (10), so hat man eine erste Gestalt des Additionstheorems der ~o'-Funktion gewonnen. Mit Hilfe der zwischen ~o und p' bestehenden Gleichung kann man die vorstehenden Additionsformeln in verschiedene andere Gestalten kleiden. Da sich ~./ 2 rational in ~o ausdrückt, so kann man z. B. Gestalten d~r Gleichungen erzielen, die in ~;/(tt) und ~;)'(v) linear sind . .Für die gJ-.Funktioll gelangt man so zu der in 1,203 unter (4) angegebenen Gleichung:
(1:;) =
(2fiJÜt )'§l(vl(P(U)
+ );,(vl) -}g2(~J('U) + &9(V»
-
ga) --&O'(tt)p'(v).
Als entsprechende Gestalt des Additionstheorems der p'-.Funktion findet Ulan nach einer nicht ganz kurzen Rechnung:
2&o'(u
+ v) (fiJ(u) -
+ ß~J(lt» -- (2 P (v)2(\J (v) + 3~o(tt»
=
(2fJ(U)2ÜJ(V)
s;>(V»)3
+ p(v») -{g2(3&o(v) + ~)(u» -~g2(3&o(u)
2gs)p'(v) 2gs)r,/(u).
Eine weitere bemerkenswerte Gestalt der Additionsformeln erzielt man auf folgendem Wege: Man multipliziert (13) mit 2 (p(u) - s;>(v») und er-
Verschiedene Gestalten der Additionsformeln für I'J und gJ'
161
setzt im Produkte rechts die dritten Potenzen von &J auf, Grund der Regel: (15) Dabei erscheint ein Aggregat, das injedem der beiden Größenpaare !<J( u), !<J'(u) und !<J (v), !<J' (v) rational und ganz vom zweiten Grade ist. Einer entsprechenden Umformung unterziehe man die rechte Seite der mit 2 multiplizierten Gleichung (14). Endlich folgere man aus (15): 4(gJ(u) - So (v»)3 = so'(u)2 - gJ' (v? - (12 sJ(u)i'J(v) - g2)(bO (u) - gJ(v»).
Als zusammenfassender Ausdruck der Additionsformeln für !<J und So' entsteht so:
(16)
!<J(u+v):so'(u+v):I=
1s,:!'(U)2!<J (v)-so (n)so' (v )2_(2 So' (n) gJ'(v) +g2 (gJ(tt) +so(v»
: {(gJ' (U)gJ' (v)
+ 3g
3)
(gJ' (u) - so' (v»
+2 (6 !<J(u) !J(v) -
+3gs) (!<J (u)-p (v» 1
g2) Cf.! (u)f.!' (v) - so'(u) gJ (v»
+ g2 (ho(u) f.!' (u) ~ SO(~) So' (v»
l
: (!<J'(U)2 - SO'(V)2 - (12f.!(n)SJ(v) - fh)(so(tt) - gJ(v)}.
Hier stehen rechts in jedem Gliede der Proportion rationale ganze Fnnktionen zweiten Grades ,in jedem dm' heiden Größenpaare gJ (u), !<J' (tt) unrl
j;)(v), g:/(v). Man kann das Additionstheorem der gJ-Funktion auch dadurch zum Ausdruck bringen, daß nach demselben zwischen den drei Funktionen f.! (u + v), !J (u), gJ (v) eine algebraische Beziehung bestehen muß. Diese Beziehung nimmt symmetrische Gestalt an, wenn wir - (u + v) = wund also !J(u + v) = f.!(w) setzen. Die fragliche Beziehung gewinnt man leicht aus (13) durch Auflösung nach f.!'(u)so'(v), Quadrieren und Ersatz von iO'(U)2 und f.!'(V)2 durch ihre Ausdrücke in !<J(u.) und f.!(v): Für irgend drei Argumente tt, v, w der Summe u + v + w = 0 gilt folgende Relation zwdien Grades in jeder der Funktionen SJ (u), f.! ( v), SJ (w): .(17) (so(v)f.!(w)
+ f.!(w)&o(u) + so(u)SJ(v) + ig2)2 + so(v) + f.!(w»
- (4so(tt)f.!(v)gJ(w) - gs)üo(tt)
=
O.
§ 2. Invariante algebraische Gestalten der Additionsformeln. Verlegt man die Betrachtung aus der u- Ebene auf die Riemannsche Fläche F2 , so nehmen die Additionsformeln des § 1 algebraische Gestalten an, die sich an die Rechnungen in I, 146ff. anschließen. Wir setzen fez) = 4z 3 - g2Z - gs und haben den einzelnen Punkt der F2 durch ein zusammengehöriges Wertepaar z, fez) festzulegen. Den beiden Argumenten u und v mögen die Stellen x, V1(x) und y, Vf(YJ der F2 entsprechen, v) aber die Stelle z, Die Bedeutung der Addem Argumente (u ditionsformeln ist dann die, daß zwei willkürlich gewählte Stellen x, Vf(x)
V
+
Fricke, Die elJiptischen Funktionen II
vtez).
11
162
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
und y, vr(y) stets eine dritte Stelle z, v1(z) eindeutig bestimmen, die sich auf Grund von (13) und (14) S. 160 algebraisch aus den gegebenen Stellen berechnen liißt. Es hat nun Klein 1) gezeigt, daß man die zu gewinnenden neuen Formeln für die Additionstheoreme (13) und (14) S. 160 in sehr eineinfache invariante Gestalten setzen kann. Wir spalten z (und natürlich entsprechend die Werte x und Y von z) in den Quotienten Z1 : za zweier homogenen Variablen und ziehen neben fez) die "Verzweigungsform": (1) f.= 4z~za- ga$1 Z; - g3Z~ heran. Die Gleichung (13) S. 160 nimmt dann, in algebraische Gestalt umgeschrieben, nach Multiplikation mit x~y~ die Form an: 2 (x, y)2 z = (2X1Y1 - tga X 2Ya) (x 1Ya + XaY1) - gax;y~ - vr~ wo das Symbol (x, y) wie in I, 146 eine Abkürzung für (x1 Ya- XaYl) ist. Entsprechend kleidet sich die Gleichung (14) S. 160 nach Multiplikation mit x~ in die Gestalt:
.Vrv,
Y;
(x, y)3 Vf(z)
vrv
(xi (X1 Ya + 3X2 Yl) - ig2 X;C 3 X1 Y2 + XaYl) - g3X~Y2) - (yi(Y1 X 2 + 3Ya Xl) - igaY;C 3 YI Xa + Y2 Xl) - g3Y~Xa) y'l.
=
Es sei nun g"" y die durch 4 geteilte erste Polare der Verzweigungsform f" und h",!! die durch 12 geteilte zweite Polare: 4 of", + of", g""y= OX1 Yl ox2Y'J.' (2) 0'(", 2 + 2' o'f", + 0'(", 2 12h x,y= '5:i'Y1 -;;'X~YIY2 '"'x'Y2· u 1 U IV 2 U 2
1
Aus (1) berechnet man:
g",,'IJ = ( 3xi X a - iga x DYl + (x~ - jg2 Xl x~ - ga X;)Y2' h""y= 2XIX2Y~ + (2xi - tgaX;)YIYa- (tga x l xa + gaxDy;. Der Vergleich mit den vorstehenden Gleichungen ergibt als invariante Schreibweise der Additionsformeln der Funktionen SJ und SJ': hz,y -
]I f't" V(y
Z=--~'----
2(x,y)'
(3)
Vf(z)
=
,
g""yVt:: -gy,xVfx . (x, y)"
Diese Gleichungen erscheinen als algebraische Ausdrucksformen der transzendenten, zwischen den Stellen x, y, z bestehenden Gleichung:
(4)
f
%
dt
Vf(t)
f +. co
Y
J'
z
dt
y'f(i)
=
co
dt
Vf(t) .
1) "Über hyperelliptische Sigmafunktionen ", Math. Ann. Bd. 27 (1886), S. 455 ff.
163
Invariante Gestalten der Additionsformeln
In algebraischer Gestalt tritt das Additionstheorem bei Euler auf. l ) Das Hauptinteresse wendet~sich dann aber in den ältesten Untersuchungen unseres Gegenstandes sogleich der Annahme zu, daß der Wert s festgehalten wird. Dadurch werden die Stellen x und y in Abhängigkeit voneinander gesetzt, und zwar drückt sich diese Abhängigkeit zunächst in Gestalt der Differentialgleichung:
(5)
da; dy - 0 v1'(X)+v7(Y)-
aus, der man auch die homogene Gestalt verleihen kann: (6)
(a;, da;)
+ (y, '!!!)
=
O.
Yfx Yfy Indem man etwa in der ersten Gleichung (3) für s den konstanten Wert C einträgt, ergibt sich als algebraische Beziehung zwischen den Stellen x, Yf(x) und y, Yf(y): (7) hx,y- 2C(x, y)2_ Y1xY~= O. In dieser Gleichung hat unser Additionssats das allgemeine IntegraZ der Differentialgleichung erster Ordnung (5), und swar als algebraische Besiehung zwischen x und y ergeben. Auf dieses Ergebnis wurde ursprünglich das Hauptgewicht gelegt. 2) Sowohl die Differentialgleichung (6) als auch ihr Integral (7) sind invariant gebaut. Geht man demnach durch lineare Transformation zu einer beliebigen Verzweigungsform: (8)
f.= aost
+ 4alz~z2 + 6a2z~s; + 4aS st s; + a4s~,
so behalten für diese sowohl die Differentialgleichung (6) als auch ihr Integral (7) unverändert ihre Gestalt bei. Übrigens gestattet die Gleichung (7) noch eine Vereinfachung. Man berechnet zunächst aus (8): hx,y= x;y:(aox 2 y2+ 2a1 xy(x+y)+ a2 (x 2 +4xy+y2)+ 2as(x+y)+a,,) und gestaltet den Klammerausdruck unter Aufnahme der beiden Funktionen fex) und f(y) leicht so um: hx , 11 = x;y;(tf(x) + tf(y) - tao(x2 - y2)2 - 2at (x 2 -
y2)(X -
y) -
2a2(x _ y)2).
Durch Eintragung dieses Ausdrucks in (7) entwickelt man als Gestalt des allgemeinen Integrales der Gleichung (5): (9)
(tlf(x~=~y =
ao(x
+ y)2+ 4at (x + y) + Cf,
wo Cf = 4a2 + 4C als neue Konstante eingeführt ist. Dieses Integral ist bereits von Euler entdeckt. 1) S. die geschichtlichen Angaben bei "Enneper-Müller", S. 184ft'. 2) S. "Enneper-Müller", S. 185ft'. 11*
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
In eine sehr einfache invariante Gestalt, die bisher nicht bemerkt zu sein scheint, kann man die Additionsformeln (16) S. 161 durch Aufnahme ternärer Variablen auf Grund der Proportion: (10) Xl: Xa : Xs = hO(U) : gJ'(U) : 1 kleiden. Zwischen den drei X k besteht dann eine algebraische Beziehung, die man durch Nullsetzen der ternären kubischen Form: (11) F", = 4x~ - ga Xl xi - x;xs - g3X~ erhiHt. Man setze u+ v.+ w = 0, wie S. 161, und bezeichne die den Argumenten u, v I w zugehörigen ternliren Variablen durch xkl Yxl Zk. Die Proportion (16) nimmt dann die Gestalt an:
(12) Zl : Z2 : Zs = {X;YIYS - x1XSY; - (2X2 Y2 + g2(X I Ys + XSY1) + 3gs xs YS) (x 1 Ys - xSY1)} { - (xaYa + 3gs xS 'Ys)(x 2 'Ys - X SY2) - 2(6x1Yl - ga XsYs) (xIYa - Xa'Yl) + ga(xIXaY~ - X;Y1Y2)} {x~y; - xiY; - (12xI Yl - gaxs Ys) (xIYs - XSY1)}· Bezeichnet Gx,y die erste Polare der Form (11):
G
( 13)
x,
-
y-
so gilt explizite:
x oF + oFx Ya + oF x1 OX Yl Ox. Ys, oX2
t
Gx , y = 12xiYl - g2 X;Yl - 2XaXs'Y2 - 2g2 Xl xs YS - x;Ys - 3gs x;ys· Die Proportion (12) läßt sich nun mit dieser Polare einfach so schreiben: Zl : Z2 : Zs = (Xl Gy, '" - Yl G"" y) : (x2Gy, '" - Y2 G"" y): (xs Gy, x - Ys Gx , 1J· Da die homogenen Variablen nur als Verhältnisgräßen für die Riemannsche Fläche in Betracht kommen, so kann man die Zk auch direkt den drei in der letzten Proportion rechts stehenden Gliedern gleich setzen: Bei Gebrauch der durch (10) eingeführten ternären Variablen kann man die Additionsformeln in die einfachen Ausdrücke: (14) Zk=XkGy,X-YkGx,yl k=I,2,S zusammenziehen, wo G die erste Polare der ternaren kubischen Form (11) ist. ,. X
"
§ 3. Übergang zu den Additionsformeln der Jacobischen . Funktionen. Bei Ausübung einer linearen Transformation auf die homogenen Variablen verhalten sich die rechten Seiten der Gleichungen (3) S. 162 invariant. Übt man die unimodulare Substitution Zl = z~ + e"z~, Z2 = z~ aus, so geht die Verzweigungsform fz = 4z2 (ZI - el ( 2) (Zl - e2( 2)(zl - eS( 2) bei Fortlassung der oberen Indizes an den neuen Variablen über in:
(1)
fz = 4z1 Z2(ZI - (e l
-
e)z2)(zl - (eil - eJz2 J,
Umformung der invarianten Additionsformeln in die Jacobischen
165
wo x, A, !-L die Indizes 1,2,3 in irgendeiner Anordnung sein sollen. Die erste Gleichung (3) S. 162 ergibt somit in den neuen Variablen und also für die Form (1): hx,y - 2 e" (x, V)~ - Vf" vI;; (2) z= 2(x, v)2----· Berechnet man nun für die Form (1) die zweite Polare 12hx , y' so erh _ 2e (x y)2 = 2x X y2 gibt sich: x, y ", 1 2 1
+ 2(x~ + 6 e"x1 x2 + (e.- e)(e# -
e)x;Y1Y2 + 2(e. - eJ(ep - e"lx1x2yD, wofür man nach Multiplikation mit 2X1X 2 Y1Y2 schreiben kann: 2X1 X 2 Y1Y2(h""y- 2e,,(x, y)2) = xixify+ yiyU~. Die Gleichung (2) gestattet demnach die Schreibweise:
z
(Xl x. vI; -
Vf"y
VI V2 4xI x 2 V, V. (x, V)2
=
Nach Ausziehen der Quadratwurzel und Übergang zur nichthomogenen Schreibweise folgt:
Vi
+ V; V(V -
(e. - e») (v-(ep-e)) - Vy V(x-(e.-e)) (x-(e,,,-e»). x-v Diese Gleichung schreibt sich bei Einführung der in I,383ft erklärten doppeltperiodischen Funktionen zweiter Stufe w,,(u), rp,,(tt) so: .1. (tt + v) = + 1/',,(u) 'P,,(v) - 'I/J,,(v) 'P,,(u) . =
'P"
Für lim tt
=
'I/J,,(u)' -1/',,(v)'
-
0 folgt, da lim W,,(u) U=O
W,,(v)
=
00
ist:
+ W,,(v) . :~~ (::~:?2)'
=
Nach (4) und (9) in I,384ft'. ist aber der rechts stehende Limes gleich 1, so daß das untere Zeichen gilt: Die Additionstheoreme für die drei Funktionen zweiter Stufe W" (u) = V~ (u) - e" lauten also: (3)
u'o rp,,(u) nach 1,385 erklärt werden kann durch: rp,,(u) = W),(u)wf,(u) = V(W,,(U)2 - (e. - e))(1fJ,,(u)2 - (e f, - eJ). Von (3) aus kann man unmittelbar zu den Additionssätzen der Jacobischen Funktionen gelangen. Nach 1,389 gilt:
(4)
u.) e
=
v~,
W2 (~_u__)
=
cn uVe, snu
Wj ( (5)
Ve
2 -
Ve,-e
1fJs (
,Ie
y,
l
i
snu
el
,
u _) = d nu Ve.-=-e~ , _ eI sn u
166
I, 1. Die Additionssl1tze der elliptischen Funktionen
so daß man mit Rücksicht auf (4) weiter findet: __~_) =
Cfl ( . / - -
r e.
81
(e: -
cn u dn u sn u' ,
81)
(6) . u ) Cfa ( ./ r e. - e1
=
(e. - e1 ) cn u . snu'
Die Gleichungen (3) führen damit zu dem Ergebnis: Die Additionsformeln der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn sind: sn (7)
Cu + v) =
+ v) =
snucnvs;nu:=::::nudnu'
dnu sn v onv - dnv snu cntt sn u cn v dn v - sn v cn u dn u ' cnu dnv snv - cnv dnu snu dn ( +) u v = - snucnvdnv-snvcnudnu'
[ cn (u
-
----. ----.----
Bei Aufstellung der zweiten und dritten Gleichung hat man von den bekannten Relationen Gebrauch zu machen: (8) cn 2 = 1 - sn 2, dn 2 = 1 - k 2 sn'. Gewöhnlich benutzt man eine andere Gestalt der Additionsformeln der Funktionen sn, cn, dn, die aus (7) durch eine einfache Umrechnung hervorgeht. Mit Hilfe von (8) beweist man leicht die Gleichung (sn u cn v dnv - snv cnu dnu)(snu cnv dnv + snv cnu dntt) = (snu 2 snv 2)(1 - k 2 snu 2 snv 2). Erweitert man nun die Gleichungen (7) rechts mit dem Ausdrucke (sn u cn v dn v + sn v cn u dn u), so lassen sich auch die Zähler mitte1st der Relationen (8) derart umformen, daß sich aus allen drei Brüchen die Faktoren (sn u 2 - sn v 2) fortheben lassen. Als neue Ausdrücke für die Additionsformeln der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn gewinnt man so: sn u cn v dn v + sn v cn u dn u ( +) v =.. 1-k'snu'snv' ,
sn u (9)
+ v) = . dn Cu + v) = cn Cu
~~u_cnv=~nu snv d~u dnv 1 - k" snu' snv· , dn u dn v - k' sn u sn V cn u cn~ • 1 - k" snu' 8nv'
Für die in 1,472 unter (7) angegebene Ausartung der elliptischen Funktionen, die im Falle 7;;2 = 0 eiutritt, gelangen wir hier zu den Additionssätzen der trigonometrischen Funktionen sin und cos zurück.
§ 4:. Einführung einer A.belschen Gruppe G 256 • Nach I, 384 führen die Änderungen des Argumentes u der ursprünglieben Sigmafunktion um Periodenhälften zu den drei Sigmafunktionen
Additionstheoreme für die Funktionen sn, cn und dn
167
6;(u I WH ( 2) der zweiten Stufe. Um allgemein das Verhalten der dreigliedrigen Relation (4) S. 158 bei solchen Änderungen festzustellen, erklären wir zunächst für die Argumente Xl' Yl' Zl' t l im ersten Gliede unserer Relation (4) S. 158 die symbolisch durch Y zu bezeichnende Substitution:
'I , 'I
+ 1X1 2" + 1X1,,(O~ 2"' Y, = Y1 + ß' -2- + ß" 2' +'1'1 2" + 1'1 2 ' Z1 Z1 Xl =
1
l
Cl)
=
(0,
(0,
=
t'1
(0,
Xl
t1
1 "
(0.
(0.
+ ~'1 2~~ + ~"1 2 ' (0.
und schreiben für diese Substitution auch abkürzend:
v = (IX~, ß~, 1'~, d'~).
(2)
IX~, ß~, 1'~, ~~
Hierbei sollen die IX~, IX~, ••• , ~~ irgendwelche acht ganze Zahlen sein, die nur der einen Bedingung zu unterliegen haben, daß die vermöge der in (6) und (7) S. 158 gegebenen Transformationen 8 und 8 2 auf die Argumentreihen X 2 , Y2' .,. und X 3 , Ys, ... umgerechnete Substitution V wieder Substitutionen S· V· 8- 1 und 8 2 . y. 8-: der Gestalten:
(3)
i= 2,3
f,
=
t.
,
+ ~:' 2 + ~~'' 2~~ (0,
.mit ganzzahligen Koeffizienten a~, a~, ... , (j~ liefern. Nun berechnen sich aber die vier Koeffizienten ß~, 1';, ~; aus den a~, ß~, 1'~, ~~ einfach durch die Substitution 8 bzw. 8 2, und ebenso erhält man die a;', ß;', 1';', ~;' aus den IX~, ß~, 1'~, ~~. Für die Ganzzahligkeit der IX;, cl;, ... , ~; ist demnach das Bestehen der beiden Kongruenzen:
a;,
(4)
IX~
+ ß~ + 1'~ + d'~ =0,
IX~ + ß~ + 1'~ + ~~
=0
(mod. 2)
notwendig und hinreichend. Alle Substitutionen Y mit ganzzahligen, die Kongruenzen (4) erfüllenden Koeffizienten bilden nun eine kommutative oder Abelsche Gruppe r. Der Abelsche Charakter dieser Gruppe ist eine Folge des Umstandes, daß sich bei Kombination zweier Substitutionen Y entsprechende Koeffizienten addieren. Soll die G-Relation (4) S. 158 durch ein einzelnes Y in sich transformiert werden, so müssen sowohl die acht Koeffizienten von V, wie die
168
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
sechzehn von 8· V· 8- I und 8 2 • V· 8- 2 durch weg gerade Zahlen sein. Aus den auf unsere Koeffizientensysteme umgeschriebenen Substitutionen (6) und (7) S. 158 geht hervor, daß für die Geradzahligkeit der Koeffizienten von V, 8· V· 8-l, 8 2 • V· 8- 2 die Kongruenzen:
(5)
= = = =
f a~ ß~ r~ o~ 0 , a~ - ß~ - "I; - o~ 0 (mod 2), la~+ß~+r~+o~_O, a~+ß~+r;+o;=O (mod4),
notwendig und hinreichend sind. Alle Substitutionen V, die die Kongruenzen (5) befriedigen, bilden eine in r enthaltene attsgezeichnete Untergruppe. l ) Die gefundene Untergruppe nennen wir r' und zerlegen nach dem bei endlichen Gruppen angewandten Grundsatze die Gesamtgruppe r in eine symbolische Summe von "Nebengruppen" (vgl. S.4):
6) r = r' + r'· U1 + r'. U2 + .. " wo die U geeignet gewählte Substitutionen V sind. Aus dem additiven Gesetze, das für die Kombination unserer Substitutionen gilt, ist dann folgendes einleuchtend: In irgend zwei Substitutionen der einzelnen Neben-. gruppe sind je zwei entsprechende Koeffizienten mod 2 und je zwei entsprechende Koeffizientensummen (a + ß + r + 0) mod 4 kongruent; für irgend zwei Substitutionen aus verschiedenen Nebengruppen bestehen diese Kongruenzen nicht zugleich. Die Anzahl der Nebengruppen bestimmt man demnach durch folgende Abzählung: Auf Grund von (4) ist von den vier Zahlen a', ß', "I', 0' eine mod 2 durch die übrigen bestimmt, und dasselbe gilt von einer der Zahlen cl', ß", "I", rJ"'. Man hat also (2 8)2 = 64 inkongruente Klassen von Substitutionen mod2. Jede dieser 64Klassen zerlegt sich wieder in 4 Unterklassen, je nachdem von den Zahlen (a' + ß' + "I' + 0') und (a" + ß" + r" + 0"), die zufolge (4) gerade sind, beide durch 4 teilbar sind oder nur die erste oder nur die zweite oder endlich keine von beiden. Indem wir den Begriff des "Index" einer Untergruppe aufnehmen, (vgl. S. 4), hat sich ergeben: Die durch die Kongruenzen (5) erklärte mtsgezeichnete Untergruppe der Gruppe r hat den Index 256 und möge demnach r 256 genannt werden. Nach den S. 9ff. für ausgezeichnete Untergruppen entwickelten Sätzen fassen wir nun die 256 Nebengruppen (6) selbst als Elemente einer Gruppe und bezeichnen diese Elemente gleich wieder durch Uo= 1, U1 , U2 , ... , U255 • Die ausgezeichnete Untergruppe r 256 liefert auf diese Weise eine Abelsche Gruppe G 256 der endlichen Ordnttng 256. Von den Untergruppen dieser G256 kommt diejenige zur Benutzung, deren Substitutionen den Kongruenzen: (7)
a~
=ß~ = "I~ = o~ ,
IX~' -
ß; -
r~ - o~
(mod 2)
1) Es ist selbstverständlich, daß auch Abelsche Gruppen der Ordnung nur ausgezeichnete Untergruppen enthalten.
00
Einführung und Untersuchung einer Abelschen Gruppe
G256
169
genügen. Unter den 64 mod 2 inkongruenten Klassen von Snbstitntionen befriedigen vier diese Kongruenzen; man hat nämlich die beiden Fälle IX~ = ß~ = ... = 0 oder = 1 (mod 2) mit den beiden Fällen IX~ = ß~· .. = 0 oder = 1 (mod 2) zn kombinieren. Jede der vier Klassen zerfällt aber, wie wir sahen, in vier Unterklassen, so daß im ganzen 16 unter den 256 bezüglich der T 256 inäquivalenten Klassen von Substitutionen die Kongruenzen (7) befriedigen. Die den Bedingungen (7) genügenden Substitutionen der G 256 bilden eine attsgezeiehnete Untergt"tlppe G16 der Ot·dnung 16 und des Index 16. Dieser Gl6 entspricht innerhalb der Gruppe reine ausgezeichnete Untergruppe r 16 des Index 16. Bevor wir etwas näher auf die G16 eingehen, stellen wir die Wirkung der Transformation unserer Gruppen r, r 16 , T 256 durch die Substitution 8 fest. Daß die Substitution S· V· S-l wieder ganzzahlige Koeffizienten IX~, ß~, ... , o~ hat, wurde bereits oben (S. 167) ausgesprochen. Da sich jede der beiden Reihen 1X2, ß2' 'Y2' 02 aus der entsprechenden Reihe 1Xl) ßu 'Y1' 0'1 durch die Substitution S selbst berechnet, so ist für beide Reihen:
(8) wie aus (6) S. 158 folgt. Also erfüllt auch S· V· S-1 wieder die Kongruenzen (4), so daß S . r . S-1 wieder die Gruppe r ist (natürlich für die Variablen x 2 , Y2' fJ2 , t2 geschrieben). Da die Substitution S orthogonal ist, so gilt nach S. 159 für jede der beiden Reihen IX~, ... und IX; ••• : IX~
+ ß~ + 'Y~ + o~ =
a~
+ ß~ + 'Yi + oi·
Bestehen also insbesondere die Kongruenzen (7), IX~
+ ß~ + 'Y~ + o~ = 0
SO
folgt:
(mod 4).
Da das Quadrat einer ganzen Zahl mod 4 mit 0 oder 1 kongruent ist, je nachdem die Zahl gerade oder ungerade ist, so folgt aus der vorstehenden Kongruenz, daß die Zahlen 1X 2, ß2' 'Y2' 02 der einzelnen der beiden Reihen mod2 einander kongruent sind. Somit ist S· r i6 • S-1 wieder die Gruppe I;6 selbst. Gelten endlich die Kongruenzen (5), so erweist sich (wegen der ersten Gleichung (6) S. 158) jede der Zahlen IX;, IX; als gerade, und also sind nach der eben beendeten Überlegung alle acht Zahlen 1X2, ß2' 'Y21 0'2 beider Reihen gerade. Dann aber folgt aus (8) und (5) weiter: 1X2
+ ß2 + 'Y2 + 0'2 -
1X1
+ ß1 + 'Y1 + 0'1 = 0
(mod 4),
so daß auch S· V· S-1 die Kongruenzen (5) befriedigt. Es hat sich also gezeigt, daß jede der drei Gruppen r, r 16 und r 256 durch S und also atteh durch 8 2 in sich transformiert wird. "Vir baueu nun zunächst die Gi6 in folgenderWeise auf: Ein einzelnes Zahlquadrupel ((x, ß, 'Y, 0) geht durch die Substitutionen 1, 8, S2
170
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
in drei zusammengehörige Quadrupel über. Für (a, ß, y, h) = (0, 0, 0, 0) sind diese drei Quadrupel einander gleich. Setzen wir weiter (a, ß, y, h) = (2, 0, 0, 0), so erhalten wir die drei Quadrupel:
(9)
(2,0,0,0),
(-1,1,1,1),
(-1, -1, -1, -1).
Wir fügen zu diesen drei Quadrupeln noch (0, 0, 0, 0) hinzu und kombinieren die vier Quadrupel zn den sechzehn Paaren
, ß'
,
h'
(a,~ ß'~ '}',: ~,,). oe, ,,},,u
Diese sechzehn Paare können wir als die Substitutionen der G16 verwerten:
0: 0: 0: °.
0000) Unter ihnen haben wir zunächst die identische Substitution (
Die 15 übrigen ordnen sich in fünf Systeme zu je dreien, wobei die Substitutionen des einzelnen Tripels durch S zyklisch permutiert werden. Bei dreien unter diesen Tripein, neun Substitutionen liefernd, besteht jedesmal eine der Substitutionen nur aus geraden Zahlen; ein Beispiel ist
(10)
( 2, 0,0,0)
0, 0,0,
°'
( - 1, 1, 1, 0, 0, 0,
1)
°'
( - 1, - 1; - 1, - 1) 0, 0, 0, 0'
Bei den beiden übrigen Tripein, die noch sechs Substitutionen ergeben, ist keine der Substitutionen aus durchweg geraden Zahlen zusammengesetzt; ein Beispiel hierfür ist das Tripel: (11)
0, 0) (-12, 0, 1 1 1 '
, , ,
( - 1, - 1, -1, -1)
1, 1, 1) ( - 1, - 1, - 1, - 1, - 1 '
2,
0,
0,
0'
Man zerlege nun die GS56 entsprechend ihrer ansgezeichneten Untergruppe G16 in die sechzehn Nebengruppen:
(12)
G256 = G16 + G16 , Tl + G16 • T, + ' ..
+G
16 ,
T15 •
Es sind dann endlich auch noch die sechzehn hierbei zu benutzenden Substitutionen To = 1, Tl' T 2 , ••• , T15 zweckmäßig zu wählen, Es gehören aber zwei Substitutionen (
ß', y', h' ') "ß" "h"··' oe, ,,},, oe',
( ~"-" ß-"ß', .,oe,
11,
,,},, -'I
h') b"
stets und nur dann der gleichen Nebengruppe Gl6 , T k an, wenn die Kongruenzen gelten:
=
=
=
~' - a' (3' - ß' r' - ')" h' - h' ) -" "ß-" ß" _ (mod 2). a-(X= = ,"} , --" y -=~ u - u~" Neben To= 1 treffen wir nun für die weiter folgenden neun Substitutionen Tl! T 2 , •• " T 9 die Wahlen:
171
Die ausgezeichnete Untergruppe G16 in der G!56
{
(13)
1) _ (0, 0,0,0) _ (0, 0, 1, 1) Tl ° ° ° ° ' T °, °, 1, 1 ' Ta - °, °, 1, 1 ' _ (0, 1,0, 1) _ (0, 0,0,0) _ (0, 1,0,1) , , , , , , T ° ° ° ° . T ° 1 °1 ' T °, 1, °, 1 ' _ (0,0000' 1, 1,0) _ (0, 0,0,0) _ (0, 1,1,0) T (0, 0, 1, , , ,
=
4
2-
s-
5-
-
° °'
, , ,
° °'
, 1, 1, , 1, 1, Tg T9 während wir den Rest der sechs Substitutionen T 10 , • " so bestimmen: 7 -
T10 =
(°0, 0,1 °1, 11) '
Tl3 =
( 0, 0, 1, 1) 11
1
(14)
, , ,
°'" ° '
(0, 1, 0, 1) (0, 1, 1, 0) l2 = 1 1 ' T , , , , , 1, 1 ' (0, 1, 0, 1) (0, 1, 1,0) Tu = 11 Tl5 = 1 1 . '" '"
T 11 =
°° ° °'
°° ° °
Man wolle mitte1st der elementaren Durchrechnung feststellen, daß keine . zwei der sechzehn Substitutionen T o, Tl) ... , T 15 der gleichen Nebengruppe (12) angehören. Damit ist dann bewiesen, daß man diese Substitutionen zum Zwecke der Zerlegung (12) in der Tat gebrauchen kann.
§ 5. Die 256 dreigliedrigen Sigmal'elationen. 1) Mitte1st der Relation (8) in 1,209 stellt man die Wirkung einer Substitution V der Untergruppe r 256 auf die Relation (4) S. 158 fest. Das erste Glied der Relation erfährt die Substitution V, während auf die Argumente X 2 , .•• und x s , ... der beiden anderen Glieder die Substitutionen 8 . V· 8- 1 und 8 2 • V· 8- 2 auszuüben sind. Alle Sigmafunktionen gehen bis auf Exponentialfaktoren in sich über. Der bei der ersten Funktion (3 (Xl) auftretende Faktor aber ist:
und man findet, daß das erste Glied nnserer Sigmarelation in sich, multipliziert mit der Exponentialfunktion von:
:i (a~
+ r~r~ + o~ o~) + ~ ((a~ ~1 + IX~ ~2)Xl + ... + (o~ ~l + O~t12) t + ~1 + 112) + + ... + (u "11 + u 1l2
c( + ß~ß~
+ 8"1 ( (1X 1 1
1)
"( . "
1X 1
1X 1 (iJ1
1X 1 (iJ2)
5<'
l
5<11) (5<1
l
U l (iJl
5<"
U l (iJ2
))
,
übergeht. Die bei den anderen Glieder verhalten sich entsprechend; die bei ihnen auftretenden Exponentialfaktoren gehen aus dem eben angegebenen 1) tJber das Auftreten solcher Relationen in Gestalt von Thetarelationen und über zahlreiche sie betreffende Untersuchungen vgl. man die sachlichen uud geschichtlichen Darlegungen bei "Enneper-Müller", S. 135 ff. In erschöpfender Weise behandelt den Gegenstand E. Study in der Arbeit "Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen", Leipz. Abhandl. Bd. 20 (1893).
172
J, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
hervor, indem man die Indizes 1 bei den Koeffizienten a, ß, ... und den Variablen x, y, ... durch 2 bzw. 3 ersetzt. Nun ist es die Wirkung der ,orthogonalen" Substitution S, daß bei diesem Ersatze die Ausdrücke:
((1 a~ + ß~ß~ + i'~r~ + O'~ O'~,
a~ Xl
+ ... + O'~ t1) •.. , a;2 + ... + 0';2
unverändert bleiben. Die Faktoren der drei Glieder sind demnach einander gleich und können aus der transformierten Gleichung fortgehoben werden: Die dreigliedrige Sigmarelation (4) S. 158 wird dttrch die Substitutionen V der Untergruppe T 256 in sich tmns(ormiert und nimmt demnach gegenüber den Substitutionen V der Gesamtgruppe höchstens 256 verschiedene Gestalten an. Die Gewinnung dieser Relationen ist nur noch eine etwas umständliche Rechenarbeit, die hier nicht in allen Einzelheiten dargestellt werden kann. Man wird zunächst die sechzehn Substitutionen der GI6 zur Ausübung bringen und die entstehenden sechzehn Relationen sodann vermittelst der sechzehn Substitutionen T o, Tl, ... , TI5 umformen. Es ist zweckmäßig, neben Wt> W 2 auch noch als dritte Periode Ws = - W l - W 2 einzuführen und 'YJs als entsprechende Periode des Integrals zweiter Gattung zu benutzen. Bei den Rechnungen ist wiederholt die Legendresche Relation (6) aus I, 160 zu benutzen. Im übrigen gründen sich die Rechnungen auf das Verhalten der ursprünglichen 6-Funktion und der drei Funktionen 6 1 (u), 6 2 (u), 6 s (u) zweiter Stufe bei Änderung der Argumente um Perioden oder um Periodenhälften. Wir notieren zunächst aus 1,384:
(1)
+ w,,) = - e± ~xu +t~n"''' 6(u) , r::. ( + )=_ e±'lnU+-}r,,,w,,r::. Ur. U _ w" u" CO) u ,
j
6(u
6,,(u
± (2) = + e± "l u+ -} '11. "'l
6,,(u) ,
wo x, A zwei verschiedene der drei Indizes 1, 2, 3 sind. Weiter folgt aus der Erklärung der 6,,(u) in 1,384 und den übrigen daselbst entwickelten Formeln:
(2)
wo X, A, !L die Indizes 1, 2, 3 in irgendeiner Anordnung sind. Die Werte der Sigmafunktion für die Periodenhälften können nach I, 416ff. durch
Transformation der ursprünglichen G-Relation durch die
r 256
173
die daselbst unter (12) eindeutig erklärten vierten Wurzeln aus den Differenzen der eu ev es so dargestellt werden:
(3)
,,- ~a8W3 6 (O)s)
l+i
=
2
J
_
Ve
,t
172
2 -
es • "'~ V es - el
.
Die 15 von der identischen Substitution verschiedenen Substitutionen der GIS zerlegten wir in zwei Systeme zu neun bzw. sechs Substitutionen. Um ein Beispiel für die Wirkung der ersten neun Substitutionen auszuführen, so üben wir auf die drei Glieder der Relation (4) S. 158 gleichzeitig die drei Substitutionen (10) S. 170 aus. Im ersten Gliede bleiben die ursprünglichen 6-Funktionen bestehen, im zweiten und dritten Gliede findet sich überall die Funktion 6 1 ein. Entsprechend ist es überhaupt der Charakter der neun sich ergebenden neuen Relationen, daß immer in einem der drei Glieder die ursprünglichen 6 verbleiben, während übrigens entweder nur 6 1 oder nur 6 2 oder endlich nur 6 3 auftritt. Als ein Beispiel für die sechs noch fehlenden Substitutionen der GIS üben wir auf die drei liederG der Relation (4) S. 158 gleichzeitig die drei Substitutionen (11) S. 170 aus. Dabei treten im ersten Gliede nur Faktoren 6 21 im zweiten nur 6 3 und im dritten nur 6 1 auf. Entsprechend erscheinen wieder die übrigen fünf Relationen gebaut. Etwaige gemeinsame Exponentialfaktoren in den drei Gliedern einer transformierten Relation wird man fortheben. Auch hat man sich bei den Umrechnungen neben der Legendreschen Relation zur Vereinfachung der drei Gleichungen (3) zu bedienen. Die Rechnungen führen zu einem sehr übersichtlichen Ergebnisse, falls man sich folgender Abkürzungen bedient: (4)
1;(')
=
6 (x,) 6 (y,) 6 (Zi) <5 (ti) 1
;(.)
=
_
G (Xi) G~(y,) G~(Zi) Gr.(ti ) •
(e" - el) (e" - e,,)
"
Die der Gl6 entsprechenden sechzehn dreigliedrigen Sigmarelationen setzen sich dann zusammen erstens aus der ursprünglichen Relation:
(5)
;(1)
+ ;(2) + ;(3) =
sodann den neun Relationen:
(6)
;(1) -
wo "
=
7)
;S2) + ;~3) = 0,
;~1)
+
;(2) _
0,
;~) =
0, _
;~)
+ ;~) +
I, 2, 3 zu nehmen ist, drittens aus den sechs Relationen: ;(1) + ;}2) + ;~) = 0,
;(3) =
0,
174
I, 1.. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
wo x, A., !'" die sechs Anordnungen der drei Indizes 1, 2, 3 zu durchlaufen haben. Auf die gewonnenen sechzehn Relationen sind nun weiter die neun Transformationen (13) S .. l71 sowie die sechs Transformationen (14) S. 171 auszuüben. Aus der Bauart dieser Substitutionen ersieht man dann wieder leicht, welche Sigmafunktionen in den transformierten Relationen auftreten. Die Ergebnisse kleiden sich nach längeren Zwischenrechnungen wieder in eine sehr übersichtliche Gestalt. Wir erklären im Anschluß an (4) drei Systeme von je vier Größen rJ durch:
I
(8)
rJ(i) =
+
'I)~)
=
-
rJ(i) =
_
2
rJ~) =
° °
° °
(Xi) (Yi) 0 k (Zi) 0 k (ti) , 0 k (x;) 0 k (Yi) (Zi) (t;) ,
6 k + 1 (Xi) 6 k + 1 (Yi) 6 k + 2 (Zi) 6 k + 2 (ti) ek + 1 - ek + 2
+ 6k+2 (Xi) 6k+2 (Yi) 6
k +1
'
(Zi) 6k+ 1 (ti) ,
ek+l- ek+2
wo k die Indizes 1, 2, 3 durchläuft und die unteren Indizes bei den (3 und e nötigenfalls mod 3 zu reduzieren sind. Sechs weitere Systeme von je vier Größen 'I) erklären wir durch:
(9)
rJ{i) =
+ 0(xi )0 (Yi)
'I)~)
-
=
( ")
° k
°
(z;) 0 k (ti) ,
0 k (Xi ) (Yi) 0 k (z;) (ti) , 6 k + 1 (Xi) 6 k + 2 (Yi) 6 k + 1 (Zi) 6 k + 2 (ti)
'1); =
-
'I){i) =
+6
1
°
e.+ 1 -ek+2 k
,
+ 2 (Xi) 6 k + 1 (Yi) 6 k + 2 ("i) 6 k + 1 (ti) ek+l- ek+2
und durch:
(10)
An die 16 Relationen (5) ff. reihen sich dann den neun Substitutionen (13) S. 171 entsprechend die weiteren 9 . 16 Relationen:
(11) (12) (13)
'I){1) -
rJ~)
+ rJ~) =
+ + = 'I)~) + 'I)~3) = ,),](1) + ')'](2) + ')'](3) = "'x rJ{l)
0,
rJ(2)
rJ(3)
rJ(2) ·Il
"'/<
0, 0, -
°
rJ~1)
+ rJ~2) + '1)(3) =
0,
'
die sich auf die neun erklärten Größensysteme '1), '1)11 '1)2' '1)3 beziehen. Endlich sind noch die sechs Substitutionen (14) S. 171 auf die sechzehn Relationen (5)ff. auszuüben. Das Charakteristische ist nun, daß wir zu dreigliedrigen Relationen geführt werden, bei denen im einzelnen Gliede
System der 256 Sigmarelationen
175
als Faktoren die ursprüngliche Sigmafunktion und die drei Funktionen zweiter Stufe zugleich auftreten. Wir erklären sechs Systeme zu je vier GröBen 6 durch: 6(;) = 6(x,J 6 k(y;) 6 1(Zi) 6 m (t;), J6l.i ) = 6 k(Xi ) 6 (Yi) 6 m (Zi) 6 j (t;), (14) 6j(Xi) 6 m (Yi)6(z,) 6 (t l 6~i)= 6~) 6 (x,)6 (Yj) 6 (z;) 6(t;), k
=
m
j
i) ,
k
wo auch die Indizes k, l, m alle sechs Anordnungen von 1, 2, 3 durchlaufen sollen. Die noch fehlenden 6 ·16 Relationen haben dann wieder die Gestalt: (15)
+ 6(2) + 6(3) = 0, 6~) + [;(2) - 6~) = 0, 6~1) + 6~) + 6),3) = 0. ~1)
(16) 6(1) -
[;~)
+ 6~) =
0,
(17)
6~)
+ 6~) + 6(3) =
0,
Jede der 256 Relationen kann auch unabhängig von den übrigen durch eine funktionentheoretische Überlegung gewonnen werden, die uns oben zur ursprünglichen Relation (4) S.158 führte. Übrigens sind die Relationen natürlich in mannigfachster Art voneinander abhängig. Sehr einfach gestaltet sich diese Abhängigkeit für je sechzehn zusammengehörige Relationen, wie im Falle der Relationen (5), (6) und (7) ausgeführt werden möge. Den ursprünglichen vier unabhängigen Variablen tt, u l l U 2 ,tts entsprechend wählen wir etwa die vier Größen ~(1), Wl, WJ, ~~1) als unabhängig. Die Auflösung der Relationen (5):ff. nach den ~(2), ~~2), ••• ergibt:
(18)
!
~(2)= -
~~2) = ~~2) = ~~2) =
während wir für die
~(3l, ~~3),
1~~3) =
1~~S)
iW)- -~w)- t~~l),
+ H(l) - H~l) + tW) - t W), + H(l) - tW) - H~l) + -}W),
~(3) = -
(19)
t~(lJ-
+ H(l) + H~l) - tW) - tW),
-
=
-
~&3) =
-
... zu den Ausdrücken gelangen:
H(l) + tW) + tW) + H~ll, H(l) + Htl) - tW) - H~l), H(l)- {-W) + tW)- H~l), H(l) - t W) - H~l) + H~l).
Aus diesen acht unabhängigen Relationen, die uns übrigens, wie man sieht, zu unseren beiden orthogonalen Substitutionen Sund S2 zurückgeführt haben, sind dann die sechzehn Relationen (5) ff. einfache Folgen.
§ 6. Die Additionstheoreme der Jacobischen Funktionen. Nach I, 416:ff. ist die Beziehung zwischen den Sigmafunktionen und den vier Jacobischen .f)--Funktionen die folgende:
176
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
6(u)
=
11
2 '"
~--;
1
,/zu'
-VA e 2 w. &1 (v),
wo u = VQJ2 gilt und die rechts auftretenden Wurzeln durch die Relation verbunden sind:
-V~~ Ve-;-
es .
-res - e~ .Ve
2-
el
=
11;~ V
!:J..
Rechnet man nun die einzelne dreigliedrige Sigmarelation auf ihren Ausdruck in den &- Funktionen um, so erweisen sich die in den drei Gliedern auftretenden Exponentialfaktoren auf Grund der Eigenschaft der 8 und 8 2 als "orthogonaler" Substitutionen als gleich. Diese Faktoren und ebenso
r
die von den Wurzeln 1 / '" herrührenden gemeinsamen Faktoren der drei (0. Glieder können demnach fortgehoben werden. Die Rechnungen führen zu folgendem Ergebnis: In den .256 für die ~,1), ~ aufgestellten Relationen kann man diesen Größen auch folgende Bedeutungen unterlegen: ~(i)=
+ &l(Xi)
~li) = ~~) = -
~~) =
&l(Yi) &l(Zi) -IrO(xi) -Iro(Y;) -Iro(z;) -Ir2(Xi) -Ir2 (Yi) -Ir2(Zi) -IrS(Xi) -IrS(Yi) &S(Zi)
+ + -Ir1 (Xi)
&l(li)' -IrO(tI)'
-Ir2 (ti)' -Irs (ti)'
-Ir! (Y.) -Irk(Zi) .&k(ti)' 1)~i)=- -Irk(Xi) -Irk(y.) -Irl(Zi) -Irl(t.), 1)~i)= - -Ir/(x.) -Ir/(Yi) -Irm(Zi) -Irm(ti), 1)~)= + -Irm(Xi ) -Irm(Yi) -Ir/(Zi) -IrICt.) , 1)(i) =
-Ir1 CXi ) -Irk(Yi) -Ir/(Zi)-Irm(t.), ~ii) = -Irk(Xi ) -Ir! (Yi) -Ir", (Zi) -Ir/(ti), ~~) = -Ir/(Xi) -Irm(Yi) -Ir l (Zi) &k(ti ), ~~) = -Irm(X.) '&/(Y.) -Irk(Z.) -Ir1 (ti)' Hierbei ist noch folgendes zu bemerken: In den vier Formeln für die 1) hat man die Indizes k, 1, m zuerst gleich 0,2,3, sodann gleich 2,3,0, endlich gleich 3,0,2 zu nehmen. Neben jedes der drei so zu gewinnenden Systeme der 'Yj treten dann noch zwei weitere, die man aus ihnen einfach durch zyklische Permutation der Argumente y, z, t ableiten kann. ~(i)=
Übergang von den 256 Thetarelationen zu den Additionssätzen
177
Auf diese Weise entstehen, wie es sein muß, die neun Systeme der 11. In den Formeln für die ~ hat man für k, 1, m der Reihe nach die sechs Anordnungen der Indizes 0,2,3 einzutragen, womit wir die sechs Systeme der ~ gewinnen. Die drei Systeme der Xii Yi' 130 t; hängen wieder durch die Relationen (6) und (7) S. 158 zusammen. Der Ansatz der -3'-Relationen führt uns in das Gebiet der Untersuchungen, welche J aco bi in seiner Vorlesung "Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet" 1) zur Grundlage gewählt hat. Analytische Entwicklungen über diese Relationen sind seither vielfach wiederholt und weitergeführt. 2) Die Möglichkeit, jede dieser Relationen auch einzeln auf Grund eines funktionentheoretischen Schlusses (mitte1st des Hermiteschen Satzes von I, 227) zu gewinnen, wurde bereits erwähnt. Im übrigen erscheinen die Relationen in ihrer Anzahl 256 deshalb in einer gewissen abgeschlossenen Vollständigkeit, weil man in ihnen eben alle Relationen besitzt, die man aus einer unter ihnen vermittelst der Änderung der Argumente um Periodenhälften abzuleiten imstande ist. Zu den Additionssätzen der Jacobischen Funktionen gelangt man nun, indem man für .die Argumente x l1 Yu 131 , t 1 insbesondere Xl = Yl = U, 131 = t 1 = v einträgt, was nach (6) und (7) S. 128 für X 2 , Y2' ... , t s die Werte: X 2 = - U - V, Y2 = U - v, Z2 = t 2 = 0, Xs = - Ya = v, :1a = ts = - u
nach sich zieht. Die 256 Relationen werden dann z. T. identisch erfüllt, z. T. werden sie miteinander identisch. Zunächst gewinnen die zwölf Größen ~ folgende Bedeutungen: ~(l)= _ ~(S)= + -B- 1 (u)2-B-1 ev)2, ~(2)= 0, ~~1)=
+ ~iS)= -
-B-o(u)2-3'O(V)2,
~\2)=
-
-3'2(t~)2-B-2(V)2,
~h2)
;b1) = + ~~S) =
+ ~~3) = + -B-s
~~1) =
(M)2
-B-3(V)2,
- -3'Ö-3'o(u + v)-B-o(u - v), = - -B-~ -B-2(tt + v) -3'2(tt - v), ~~2) = + -B-i -3's (u + v) -3's (tt - v).
Bei Eintragung in die sechzehn Relationen (5), (6) und (7) S. 173 werden vier von ihnen identisch erfüllt, während die zwölf übrigen zu Paaren identisch werden und folgende sechs verschiedene -B--Relationen liefern: (-B-~-3'o(U + v)-B-o(u - v) = -B-o(u)2-B-oev)2- -B-1 (U)2-B-1 ev)2 = -B-S(U)2-B- s(V)2 - -B-2(U)2-3'2(1J)2,
1
(1)
~ -3'~ -3'2(U
+ V)-3'2(U -
-
v) : -3'2(U):-3'2(V):- -3'1 (U):-3'leV): -3's(U) -B-s(V) - -B-o(u) -B-o(v) , -B-:-B-seu + v)-3's(u - v) = -3'a (U)2-B-s(V)2 + -3'1(U)2-B-1(v)2 t = -B-O(~t)2-3'O(V)2 + -3'2 (U)2-B- 2(V)2.
I
-----
1) Ausgearbeitet von C. W. Borchardt; s. Jacobis Werke, Bd. I, S. 503ff. 2) S. die Note S. 171. Fr i c k e, Die elliptischen Fnnktlonen II 12
178
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
= =
= =
Man stelle entsprechend die für Xl Yl U, Zl tJ v eintretenden besonderen Gestalten der Größen 'YJ fest und wird durch Eintragung in die Gleichungen (11) ff. S.174 finden, daß die 9·16 Relationen der 1] im ganzen 24 verschiedene iF-Relati!men ergebell. Es sind dies erstens die drei Systeme zu je sechs Relationen:
iFgiF1CU + V) iFl (u - v)
f (2)
l
iFiiFS(U iF~ iF2(u
=
+ v)iFs(u + v)iF2Cu -
v) v)
= =
(iF;iFl(u
I
+ v)iFl(u -
I
v)
=
=
~iF~iFo(U+
iFgiFs(u
v)iFo(u - v)
+ V) iFs (u -
=
=
v)
t
= =
(liF~iF1(U
(4)
=
=
t
(3)
=
~iFiiFo(U
I
iF~iF2(U
+ v)iF1(u -
+ v)iFo(u -
v)
=
=
v)
= =
+ v)iF2(u -
v)
t
=
=
iF1(u)2iFo(V)2- iFoCU)2iF1Cv)2 iFs (u)2iF2(V)2 - iF2Cu)2iFs(V)2, iFl (U)2iF.oCV)2 + iF2(u)2iF s(V)2 iFO(U)2iFl (v)2+ iFS(U)2iF2Cv)2, iFS(U)2iF 2(v)2 - iFl (uliFo(V)2 iF2(u)2iFs(V)2- iFO(U)2iFl (v)2, iF1\tt)2iF2(v)2- iF2(u)2iF l (v)2 iFO(U)2iFsCV)2- iFS(U)2iFo(V)2' iF1 (u)2iF2(v)2+ iFs (u)2iF o(V)2 iF2(u)2iFl (v)2 + iFO(U)2iFs (V)2, iFO(tt)2iFs(V)2- iFl (u)2iF2(v)2 iF3(u)2iFo(V)2- iF2(u)2iF 1(v) 2, iFl .(tt)2iF3(V)2- iFS(U)2iF l (v)2 iFo(u)2iF2(V)2 - iF2(u)2iF o(v)!, iFl (u)2iF3(V)2 + iF2(u)2iF oCV)2 iFS CU)2iFl (v)2+ iFo(tt)~iF2(V)2, iFO(U)2iF 2(v)2- iFl (u)2iFs (V)2 iF2(u)2iFo(v)2 - iFS(U)2iFl (v)2,
an die sich weiter die drei Systeme zu je zwei Relationen anreihen:
(5)
(6)
jiF2iFsiF2(U J liFsiF2iFs(U
+ v)iFs(tt -
iFSiFoiF3(U
+ v)iFo(u -
iFoiFsiFo(u
+
f
l
v)
=
iF2(UWS(U)iF2(V)iFs~V)
- iFl (tt)iFo(u)iFl (v) iFo\.v) , + v)iF2(u - v) = il2(u)iF3(u)iF2(v) iFs (v) + iFl (tt)iFoCu)iF l (v)iFo(v), v)
iFs(u)iFoCu)iFs (vWo (v) - iFl (u)iF 2(u)iFl (V) iF2(v) , v)iFs(u - v) = iFs (u) iFo(u) its (v)iFo(v) =
+ {Tl (u)iF2(u)iFl (v) iF2(V) ,
~~~~+0~~-0=~M~M~~~~ (7)
- iFl (u)iF s(u)iF1(v)iF s(v) ,
~~~~+0~~-0=~M~M~~~~ + iFl (U) iFs (u)iFl (v)iFs(v).
179
Additionssätze der Thetafunktionen
Endlich bleiben noch die sechs Systeme zu je vier Größen ~ übrig. Ihre 6· 16 Relationen ergeben für Xl = Yl = U, $1 = tl = v nur noch sechs verschiedene it-Relationen, die wir in drei Systeme zu je zweien anordnen:
(8)
l l
itOitSitl(U
(9)
v)
=
+ v)it Cu -
v)
=
2
it1 Cu) it2 (u)itO(v)it s (v)
+ ito(ttWs(tt)it
1
(V)it2 Cv),
l ~~~~+~~~-~=~M~M~M~M - itoCu)it (u)it (V)it Cv), itOit2 itS (U
(10)
+ v)itoCtt -
itl Cu)itoCu)it2 (v)itS (v) I + it2 (u)itS (tt)itl (v)itOCv), it2 it SitOCU + v)itl(u - v) = itl Cu) itO(u)it2 (v)it s Cv) - its(u)itS(u)itl (v)itoCv), rit2 itSit 1 Cu
j
+ v)itsCu -
1
S
v)
2
itt Cu)its Cu)itoCv)it2 Cv) + itOCtt)it2 CU)it1 Cv)itS Cv),
=
~~~~+~~~-~=~M~M~M~M - ß'oCu)it2 CU)it1 Cv)itS (v).
Nach I, 419ft'. gelten für die Jacobischen Funktionen sn, cn, dn die Darstellungen:
it1 Cu) =Vksn(2Ku)ito(u), it2 (u)
=
-V~ cn(2 Ku) ito(u),
its(u)
=
VF dn (2 Ku) ß'o(u) ,
1
während die it-Nullwerte mit den Integralmoduln durch die Beziehungen ~/k-:; a. . ,Ik-:: verknüpft sind: Q.
_
'lJ 0 -
Q.
'lJ
s• V ,
Q.
_
'lJ2 -
'lJ
s V
•
Bildet man nun den Quotienten irgend zweier von den 36 it-Relationen, so lassen sich die Quotienten der it-Funktionen durch die Funktionen sn, cn, dn und die Quotienten der it-Nullwerte durch die Integralmoduln ausdrücken. Schreibt man für die Argumente 2Ku und 2Kv sogleich wieder u und v, so gelangt man zu einer Relation, die die Funktionen sn(u+v), cn(u±v), dn(tt±v), snu, snv, cnu, ... , dnv aneinander bindet, und deren Koeffizienten aus den Integralmoduln aufgebaut sind. Um für die Funktionen sn, cn, dn die Additionsformeln im engeren Sinne zu erhalten, d. h. die rationalen Ausdrücke für sn(u + v), cn(u + v), dn(u + v), kann man in vier Arten vorgehen. Man muß sich aus den Gleichungen (1) ft'. die vier Formeln aussuchen, in denen die Funktionen it1 (u + v), it2 (u + v), it3 (u + v), ito(u + v) entweder alle vier mit dem gleichen Faktor ito(u - v) oder mit it1 (u - v) oder mit it2 (u - v) oder endlich mit its(u - v) multipliziert erscheinen, und aus ihnen die Quotienten bilden. Greifen wir z. B. die erste Formel (8) und ebenso die ersten 12"
180
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
Formeln (7), (6) und (1) heraus, so ergibt sich nach den nötigen Vereinfachungen die Proportion:
sn(u + v): cn(u + v): dn(u + v): 1 = (snucnvdnv + snvcnudnu) : (cn u cn v - sn u dn u sn v dn v) : (dn tt dn v - k2 sn u cn u sn v cn v) : (1- k 2 snu 2 snv 2 ). Damit sind wir zu den bekannten Formeln (9) S. 166 zurückgelangt. Gewöhnlich treten bei den fraglichen Quotientenbildungen linker Hand mehrere Funktionen, miteinander multipliziert oder durcheinander geteilt, auf. Besonders einfach sind die drei Gleichungen:
+ v) sn (u -
snu'- sn v' snu snv cn u' cn v 2 - k' 2 sn u' sn v' cn(u+v)cn(u-v) = 17., - "2 Bnu " snv 2 dn u"dn v"+ k'k" sn u' sn v' dn(u+v)dn(u-v)= 1-k"snu'snv' ,
sn (u
v)
= -1- k "-2--"
die man leicht aus der ersten Formel (2) und den Formeln (1) herstellt.
§ 7. Additionssätze für mehrgliedrige Argumentsummen.1) Setzt man in den beiden Additionsformeln für f,J (u + v) und f,J'(u + v) an Stelle von v die Summe (v + w) und wendet auf hO (v + w) und f,J' (v + w) jene Formeln nochmals an, so gelangt man zu Darstellungen von &o(u + v + w) und f,J' (u + v + w) durch die Funktionen der einzelnen Argumente u, v, w. Man kann offenbar in der gleichen Art fortfahren und erkennt die Möglichkeit, die Funktionen hO und f,J' für n-gliedrige Argumentsummen (u1 + U 2 + ... + u n) rational in. den Funktionen der einzelnen Summenglieder darzustellen. Die Gewinnung dieser "Additionssätze für mehrgliedrige Argumentsummen" auf induktivem Wege ist freilich schon bei den niedersten Werten n recht umständlich. Dagegen gelingt die direkte Behandlung sogar des allgemeinen Falles einer n-gliedrigen Summe nach einer von Weierstraß2) herrührenden Methode mittels einer :Determinante auf folgende Art: Mit irgendwelchen (n + 1) Argumenten u, U l l u2 , ••• , un bilden wir die (n + l)-reihige Determinaute: 1) Man vergleiche hierzu die geschichtlichen und literarischen Notizen im Artikel "Elliptische Funktionen" in Bd. II, 2 der "Enzyklopädie ", S. 299ff. Hinweise auf diesen Artikel sollen weiterhin durch "Enzyklopädie" unter Angabe der Seitenzahl gemacht werden. 2) Vgl. Schwarz, "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen". S. 16.
181
ß;Iethode von Weierstraß zur Verallgemeinerung der Additionsformeln
1 , ~Jl' U" ) ,~J '() U n , ~ "() tf n , " ' ,
...
~ (n-1)(u")
An Stelle der Ableitungen ~n, ~"', kann man auch Potenzen von ~ und ~' treten lassen. Nach I,206 ist nämlich die Potenz ~(U)k+1 als (2 k + 2)-wertige doppeltperiodische Funktion mit einem einzigen Pole (2 k + 2)ter Ordnung bei u = 0 und insbesondere als gerade Funktion in der Gestalt: ~(u)k +1 =
(2k
1 + 1)! ~(2kl(U)+ a1~(2k- 2)(u) +a2~{2k-4l(U) +... +ak~(u) +ak+1
darstellbar. Der Koeffizient des ersten Gliedes rechts ist aus den Potenzreihen bestimmt, die übrigen Koeffizienten können unbekannt bleiben. Durch Differentiation nach u folgt weiter:
!J(uY~'(u) = (2k~ 2)! r{2k+ll (u) + al~{2k-l)(u)
+ ... + ak~'(tt).
Mit Benutzung bekannter Determinantensätze kann man auf Grund dieser beiden Formeln die Determinante (1) umrechnen, und zwar findet man im Falle eines ungeraden n:
n+1
1, ~(u), ~'(u), ~(U)2, SJ(u) sa'(u), "', SJ(Uf2-
(2)
rp,,+1=
,,+1
2!·3!·4!···n!
n-1
2 2
1, ~(U1)' sJ'(u1), ~(U1)2, ~(Ul)~'(Ul)' "', ~(Ul)~ n+1
1, ~(un)' sJ'(un ), sa(un)2, &a(un)~'(un)" ", SJ(Un )-2 woran sich für eine gerade Zahl n die Darstellung anschließt: n-2
n-2
Der bequemen Bezeichnung halber schreiben wir tto statt u und folgern aus(S) S. 159 für n = 1 als Darstellung der Determinante rp2 durch die Sigmafunktiom
(4) Diese Gleichung liefert den niedersten Fall des folgenden Satzes: Die
(n + 1)-reihige Determinante rp,,+l (uo, u1' tion in folgende:r A1"t darstellbar:
. .. ,
u,,) ist durch die Sigmafunk-
182
I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen
9?"+l(UO' ull
(5)
• •• ,
u,,) II6(u" _ u;.)
=
(_l)n l!. 2!· 3!· 4!··· n! G(uo + U 1 + ... + tl,,) 7.~.>_~~~~ . II 6 (u,,)n +1 7.=0
wo sich das Produkt im Zähler der rechten Seite auf alle Kombinationen u, )., der Indizes 0, 1, 2, ... , n zu zweien mit u > Ä bezieht. Der allgemeine Beweis der Formel (5) wird durch vollständige Induktion geführt. Wir nehmen an, daß für 9?n(u1 , u2 , •• • ,·u,.) die der Gleichung(5) entsprechendeDarstellunggiIt, und wählen vorerst die u1 , tl2, ... , U" so, daß 9?n(Ull 1f2 , . . . , u,,) einen endlichen, nicht verschwindenden Wert hat; es soll also keines der Argumente U 1 , U 2 , ••• , u", auch nicht ihre Summe einen Gitterpunkt des Parallelogrammnetzes der u-Ebene liefern, und keine zwei der Argumente U 1 , U 2 ' .•• , un sollen bezüglich der Gruppe rCu) äquivalent sein. In Abhängigkeit von U ist jetzt die Determinante (1) eine (n + l)-wertige doppeItperiodische Funktion, deren (n + 1) Pole bei U = 0 zusammenfallen. Als Anfangsglied der Entwicklung dieser Funktion nach Potenzen von u folgt aus (1): (6) 9?,,+1 (u, u 1, U 2 , •• " u,,) = - n! . 9?,,(ull u2 , ••• , u,,)· u- n- 1 + .... Von den Nullpunkten unserer Funktion liegen n zu folge (1) bei u = U l l U 2 .. , u". Nach dem Abelschen Theoreme liegt somit der letzte Nullpunkt bei u = - U 1 - U 2 - ••• - u". Als Darstellung (6) in 1,214 für unsere Funktion von u erhalten wir hiernach:
(7)
9?,,+l(U, Uu =
C~(u -
U 2 , · · · , tl,.)
u 1 )6(u - u 2 ) · · · ~~. -un )6(u 6 (u)" + 1
+ + ~t2 + ... + u,,) U1
,
wo C eine von u unabhängige Größe ist. Als Anfangsglied der Potenzreihe von 9?n +1 ergibt sich aus (7): 9?"+1 (u, ull
u2 ,
••• ,
u,,)
" x=1
Der Vergleich mit (6) liefert für C den Ausdruck: C = (-1)"-1 n1p ,.(U"u2,·· "u,,). n
6(u1 +u.
+ ... + u n)II6(u,,) x=1
Indem man diesen Ausdruck für ein (7) einträgt, 9?n(ull u 2 , • • , un) durch seinen als gültig vorausgesetzten Ausdruck in der Sigmafunktion ersetzt und U o an Stelle von u schreibt, ergibt sich die zu beweisende Formel (5). Um nun die Additionssätze für n-gliedrige Argumentsummen zu gewinnen, hat man die beiden ersten Glieder der eben bereits mehrfach be-
183
Additionsformel für (;(u) bei n-gliedriger Argumentsumme
trachteten Potenzreihe heranzuziehen. Von (1) aus gelangt man zum zweiten Reihengliede, indem man die zum Elemente !'J(n - 2) (tt) der ersten Zeile gehörende Unterdeterminante einführt. Wir bezeichnen dieselbe durch: 1, SO (u1), !'J' (u 1), .. " &~(" - 3) (tel), !'J(n-l) (ul)
.1.n (U p
(8.)
te2 ,···,un) =
'Y
1, !'J(u2), !'J'(te2),···,
&~(n-3)(tt2)' ~0("-1)(U2)
1, !'J (Mn)' !'J'(Un), ... , bOrn - 3) (u n), !'J(n -1) (u,,) und können sie im Anschluß an (2) bei ungeradem n auch so schreiben: n+1 !
n-1
1/J =
(9)
n
2!·3!·4!···n! n-3
2-2-(n -
1)!
n-1
1, 8J(u 2 ), !'J'(u2 ), !'J(U2 )2,
••• ,
go(u2f
2-,
n+1
go(u2f T
.
I
i' i
n+l !
n-l
1, &0 (1t,,) , &';;'(ttn ), go(u,.)2, ... , ~o(ttnfj-, !J(uJTworan sich im Falle eines geraden n, der Formel (3) entsprechend, reiht: n-4
n-2
n-4
n-2
1, &0 (u,,), !'J' (u,,), ... , \J(U,,)-2 ~o'(un ), !'J(Un )-2-go' (ttn ) Auf Grund von (1) erhalten wir damit für die beiden Anfangsglieder der Potenzreihe von Ifn+1 als Funktion von u:
-
n! Ifn (u l1 U 2 ,···, u n )tt- n -
1-
(n -1)1 1/J,,(ul1 u2 ,' •• , u,,)u- n + ...
Bei Zugrundelegung des Ausdrucks (5) dieser Funktion aber führt die Entwicklung des zweiten Reihengliedes auf Grund der Relation (6) in 1,209 auf das Normalintegral zweiter Gattung. Man gelangt zu folgender Gestalt der beiden ersten Glieder:
rr n +1 =
-
n! Ifn (ul , U'2' ••. , un ) u- n - 1 (1 - s(ul ) - . . . - s(un»u
+ (s(te 1 + u2+ ... + un ) + ... }.
Der Vergleich der zweiten Glieder führt zum Additionstheorem des Nm malintegrals zweiter Gattung für eine n-gliedrige Argumentsumme: (11)
s(u1 + U 2 + ...
+ u n)
=
~(Ul)
o
-
+ ~(tt2) + ... + ~(un)
+_~ 1/'n ('11'1' u" ... , U,,) . n 'P" (u1 , U 2 , .•• , 1!n)
Wir haben hier die Verallgemeinerung der Gleichung (9) S. 160 vor uns. Wie damals, so können wir auch hier durch Differentiationen zu entsprechenden Sätzen für die Funktionen ~J und go' gelangen; doch sind die entstehenden Formeln für uns ohne weitergehende Bedeutung.
Zweites Kapitel.
Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen betreffen die Beziehungen, die zwischen einer Funktion mit n-fachem Argumente nu und der gleichen, für einfaches Argument u gebildeten Funktion bestehen; n ist dabei als ganze positive Zahl vorausgesetzt. Man kann diese Sätze aus den Additionsformeln für n-gliedrige Argumentsummen durch Gleichsetzung aller n Summanden entwickeln; doch führt eine direkte Behand· lung leichter zum Ziele. Literarische Notizen über die Multiplikationssätze findet man in "Enzyklopädie", S.302ff.; die ältere Theorie betreffend vgl. man auch "Enneper-Müller", S. 368ff.
§ 1.
Multiplikatiollssä~ze
der Funktionen erster Stufe.
Die Funktion SO (nu), gebildet für irgend eine positive ganze Zahl n, hat als Funktion mit den Perioden 001 , 00 2 aufgefaßt, im Periodenparallelogramm n 2 Pole zweiter Ordnung in den n 2 Punkten: (1)
A"p. = 0, 1,2,· . ',1Z-1
und stellt demnach eine Funktion der Wertigkeit 2n 2 dar. Da sie überdies eine gerade Funktion ist, so ist sie bereits in f,J (u) allein rational darstellbar, und zwar vom Grade n 2• Wir nennen diese rationale Funk. tion R (10 (u) und finden durch Differentiation nach u eine entsprechende Darstellung für f,J' (nu): (2) SO (nu) = R(f,J(u), f,J' (nu) = ~ R' (f,J(tt) . SO' (tt) Um die Funktion R(SO) zugänglicher zu machen, führt Weierstraßl) folgenden, symbolisch durch 1/J(n)(u) zu bezeichnenden 6-Quotienten ein:
1/J(n)(u)
(3)
=
6(nu)
(6 (u»non
Aus (7) und (8) in I, 209 folgt, daß diese Funktion die Perioden 00 1 , 00 2 hat; dabei besitzt sie die Wertigkeit (n 2 -1), indem sie im Nullpunkte einen Pol der Ordnung (n 2 ._ 1) und in den (n 2 - 1) weiteren Punkten (1) je einen einfachen Nullpunkt hat. Es besteht nun die Gleichung:
(4)
so (nu)
•
=
SO\.u) -
1/J(n-l)(u)1/J(n+l)(u)
1/J(n>cu) 2
'
so daß, u:enn man die Fttnktionen 1/J(n)(u) in SO(u) und SO'(u) dargestellt hat, damit die Darstellttng von so(nu) in der Gestalt (2) zugleich gewonnen 1) S. Schwarz, "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen" S. 18.
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_3 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
Einführung der 'Funktion '!/J(n)(u) zur Berechnung von
foi(ntt)
185
ist. Die Gleichung (4) ist nämlich eine einfache Folge der Gleichung (8) S. 159, wenn man in ihr v = nu einträgt. An Stelle von (4) könnte man auch die Gleichung:
(5)
&9(nt~)
=
&9(U) -
1 d"log '!/J(n) (u) du"
n'
treten lassen, die aus (3) mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (1) in I, 212 folgt. Die Ausdrücke der ersten Funktionen 1/.,(1) (u), 1j;(2) (u), . .. in xa (u) und xa'(u) sind: 1j;(l)(U) = 1, 1j;(2)(U) = - xa'(u),
(6)
1
1j;(3)(U)
=
1j;(4) ( u)
=
g;,
3 i'J(ul-l g2 xa(U)2 - 3gs xa(n) - Is xa' (~~)(2 ~o(u)s - t g2 SJ(U)4 - 10 gs ~ (U)3 -
-
- t g2gS !J Cu) + 3\ g~ - g;), . . . . . . . . . . .
t g~ !J(U)2
. . . . .
.,.
Die zweite Gleichung folgt aus der Übereinstimmung der Nullpunkte und Pole von !J' (u) und 1j;(2)(tt) mit Rücksicht auf die Anfangskoeffizienten der beiderseitigen Potenzreihen. Zum Beweise der dritten Gleichung folgern wir aus (4) für n = 2 mit Rücksicht auf die beiden ersten Glei1j;(3)(U) = (&9(U) - SJ(2u» gJ'(U)2 chung (6): und entnehmen den Ausdruck von &,)(2u) aus (10) S. 160 für limv
(7)
!J
=
u:
()=~(12SJ(U)~_g,!)2_2 () (2 u ) =~(P"(U))2_2 4 so'(u) xa U 4 2so'(u) xa u.
Zur Entwicklllng des Ausdrucks von 1j;(4)(U) kann man an: ,1.(4)( ) = 'I' U
6(4u) =
6(U)'8
6(4u) . (~S2ttL)4 = _ "2 ). 'C)4 6(2u)4 6(U)4 xa \. U xa u
anknüpfen und hat aus (7) den Ausdruck von !J'(2u) in xa (tt) und xa'(u) zu berechnen. l ) Zur Berechnung der Ausdrücke von 1j;(5)(U), 1j;(6l (U), ... in !J(u) und ~;/(u) kann man sich zweier Rekursionsformeln bedienen. Setzt man in der G-Relation (4) S. 158 für die xl> Yu Zu tl die Werte Xl = (2n + l)u, Yl = Zl = tl = U ein, so ergibt sich: G (2n + l)u) 6(u)3- G(n + 2)u) 6(nu)3 + G(n-1)t~) 6(n + 1)u)3 = O. Trägt man zweitens Xl = 2 nu, Yl = 2 U, Zl = tl = u ein, so folgt: G(2nu) 6 (2tt) G(U)2- G(ntt) G(n + 2)u) 6(n - l)u)2 + G(nu) G(n - 2)u) 6(n + 1ht)2= O. In die Funktionen 1j; umgeschrieben lauten diese Relationen:
( 8)
{1j;(2n+l)(tt) = 1j;(n+2l(tt) 1j;(nl(u?_1jJ(n-ll (u) 'lj!(n+ll (u)3, 1j;(2nl(u) 1jJ(2l(u) = 1jJ(nl(tt) (1jJ(n + 2) (u) 1j;(n-l)(U)2 _ 1jJ(n- 2) (tt) 1jJ(n + 1) (U)2).
1) Ein anderer Weg zur Berechnung von angegeben werden.
'!/J(3) (u)
und
'!/J(4) Cu)
wird sogleich
186
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Im Anschluß an (6) kann man mit Hilfe dieser Formeln in der Tat 1fJ(5 l (U), (U), ... berechnen. Diese Rekursionsrechnungen gestalten sich aber alsbald sehr umständlich. Demgegenüber kann man wieder durch Einführung einer Determinante einen Ausdruck für 'l/J(nl(u) sogar bei beliebigem n angeben. In I, 450 ist unter (1) die von Klein eingeführte Funktion G2,1,(U[(lJ1I(lJ2) erklärt I), wo A, [1 die unter (1) genannten Kombinationen ganzer Zahlen durchlaufen sollen mit Ausschluß der Kombination A = 0, [1 = 0, die zur ursprünglichen 6-Funktion zurückführt. Der Quotient von GA,I' (u) und G (u) zeigt bei Vermehrung von u um Perioden das Verhalten: 'I/J(6 l
(9) wie man aus der Gleichung (2) in I, 451 folgert. Die nie Potenz dieses Quotienten hat demnach die Perioden (lJl' (lJ2' und zwar stellt sie eine n-wertige doppeltperiodische Funktion dar, deren n Pole im Gitterpunkte u = zusammenfallen, während die n Nullpunkte an der Stelle (1) gleichfalls zusammenliegen. Nach I, 206 stellen wir nun diese Funktion in der Gestalt:
°
(~~~!i~~)r =
ao + a1iO(u)
+ a2~o'(u,) + ... + an _ 1 SJ(n-2l (u)
°
dar, wo der letzte Koeffizient an _ 1 sichel' von verschieden ist. Da aber an der Stelle (1) ein Nullpunkt n ler Ordnung unserer Funktion liegt 2), so verschwinden ebenda auch noch ihre (n - 1) ersten Ableitungen; d. h. für die Stelle (1) sind die (n - 1) in den Ableitungen von S9(n) linearen homogenen Gleichungen erfüllt: a1 SJ'(u) + a2i:l"(u) + ... + an _ 1 SJ(n-ll(u) = 0, alSJ"(~t)
al SJ(n-ll (u)
+ a2 SJ"'(n) + ... + an _ 1 SJ(nl(u)
=
0,
+ a2SJ(nl(U) + ... + (tn_t!J(2n-3l (u) =
°
0.
Mit Rücksicht auf an _ 1 9= folgt hieraus aber weiter das Verschwinden der (n - l)-reihigen Determinante ) !J '(u,
(10)
Dn(u)
an jeder Stelle (1).
=
) SJ "(u, ..., SJ (n-ll ( u)
SJ u,
) SJ "'(u,. '" SJ (r/l ( U )
SJ(n-ll(u),
SJ(n)(~t),
"( )
...,
~o(2n- 3l(U)
1) An Stelle der in I, 450 im Anschluß an ältere Arbeiten über -lr-Funktionen benutzten Bezeichnung 6 g ,,.(u) wird fortan die in der Theorie der Modulfunktionen übliche Bezeichnung 6 1,1'(u) gebraucht. 2) Es gilt hier immer die Kombination Ä = 0, /L = 0 als ausgeschlossen.
Determinante D,,(u) von Brioschi und Kiepert
187
Wir haben damit die schon erwähnte Determinante gewonnen, die von F. BrioschP) und L. Kiepert 2) zur Aufstellung der Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen herangezogen ist. Tragen wir für SQ'(u), ~Q" (u), . .. die Anfangsglieder der Reihenentwicklungen nach Potenzen von u ein, so gewinnt man als Anfangsglied der Reihe von Dn(u) selbst: (11) D,,(u) = ( - 1)"-10". u-(n -1) + ..., 2
wo On die folgende, sogleich weiter zu berechnende Determinante ist: 2!, 3!, 41, ..., n!
(12)
On =
3!,
4!,
5 ! , . . , (n
+ 1)1
n!, (n + I)!, (n + 2)!, ..., (2n - 2)! Hiernach ist D,,(u) eine (n 2 -1)-wertige doppeltperiodische Funktion, die mit 1jJ(n)(u) in bezug auf Pole und Nullpunkte genau übereinstimmt und also mit 1jJ(n) Cu) bis auf einen konstanten Faktor identisch ist. Um diesen Faktor zu bestimmen, haben wir zunächst On zu berechnen. Wir sondern aus den Zeilen der Determinante (12) bzw. die Faktoren 2!, 3!, ..., n! ab, hierauf aus den Spalten die Faktoren I, I!, 2!, ..., (n - 2)! und gewinnen auf diese Weise: (13) On = n(2! . 3! . 4! ... (n - 1)!)2. O~,
0'= n
I,
(~),
(:),
(~), ..., (n~2)
I,
(~),
G),
(:), ..., (:~~)
C~+2) I, C~+l) 1 ' 2 '
(n+3) (2n-2) 3 ,..., n- 2
wo (;) der kte Binomialkoeffizient der n ten Potenz ist. Die Determinante O~ erweist sich als von n unabhängig und hat demnach den Wert C~ = 1. Zieht man nämlich jede Spalte, mit der vorletzten beginnend, von der folgenden ab, und verfährt man darauf mit den Zeilen genau so, so kürzt sich bei Benutzung einer bekannten Regel der Binomialkoeffizienten O~ zu:
I, (~),
1,
(~),
n-l) ..., (n-3 ..., C~ ~ 3)
1) "Sur q uelques formules poar la multiplication des fonctions elliptiques", Compt. Rend. Bd. 59 (1864) S. 999. 2) "Wirkliche Ausführung der ganzzahligen Multiplikation der elliptischen Funktionen", Journ. f. Matli. Bd. 76 (1875), S. 21.
188
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Hiernach haben wir an Stelle von (11) genauer: Dn(u) = (- 1)n- 1 n (2!. 3!· 4! ... (n - 1)!)2u -(n'-1) + ... als Anfangsglied der Reihe von D n (u), und der Vergleich mit dem Anfangsgliede der Reihe für t/J(n)(u) ergibt den Satz: Die Funktion t/J(")(tt) besitzt für beliebiges n in den Ableitungen von SO (u) die Darstellung: (14)
t/J(n)(u)
=
(_1)n-l . (21.31.41 ... (n_l)I)!Dn (tt),
wo D,,(u) die in (10) gegebene (n-1)-reihige Determinante ist. Der "Multiplikationssatz" für die &9-Funktion nimmt damit die abgeschlossene Gestalt an, daß g,J(nu) sich in dem Ausdrucke (4) oder (6) darstellt, wo die Funktionen t/J(n)(u) fiir alle n sich nach dem Gesetze (14) und (10) aus den Ableitungen g,J' (u), g,J" (u), ... berechnen. Um schließlich bis zur Gleichung (2) vorzudringen, ist hiernach in der Hauptsache weiter nichts mehr nötig als die Ableitungen der g,J-Funktion von g,J"(u) ab in g,J(u) und g,J'(u) darzustellen (vgl. 1,207). Für die Ableitungen g,J" (u), f-J'" (u), g,J(4) (u), g,J(5) (u) finden wir bei Fortlassung der Argumente Ul): (15)
I
g,J"=3!g,J2_tg2' g,J"'=2.3!g,Jg,J', g,J(4) = 6! f../3 - 2· 3 2g2g,J - 2 2 • 3g3 , g,J(5) = (3. 5! g,J2 - 2· 3 2g2) g,J'.
Bei Fortführung dieser Rechnung erkennt man leicht, daß sich jede Ableitung gerader Ordnung g,J(2k) als ganze Funktion (k + 1)ten Grades von g,J darstellt, deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Ausdrücke in t g2 und 93 sind. Wir bezeichnen diese Funktion dUrch das Symbol Pk(g,J, tg2' g3) und haben dann die allgemeinen Ansätze: (16) r- (2k)= P k(&9, tg2' gs)' g,J(2 k+1) = P~(g,J, tg2' gs)'g,J', J
wo P~ die Ableitung von P k nach g,J ist. Der Koeffizient des höchsten Gliedes von P k bestimmt sich aus den Anfangsgliedern der Potenzreihen nach u zu (2 k + I)!. Da übrigens g,J(2k) eine homogene Funktion der Dimension - (2 k + 2) in u, W 1 , Ws ist, so kann man den rationalen ganzen Ausdruck von P k in &9, t g2' gs bis auf die numerischen Koeffizienten sofort angeben. Man hat den Ansatz: (17)
g,J(2k) = Pk(fP, tg2' gs) = (2k + 1)!g,Jk+ 1+ a1(tg2)g,Jk-1 + a2 gs so k + aS (tg2)2g,Jk-3+ a4(tg2)gsg,Jk-4+ (a 5(tg2)3+ a~gV!Jk-5 + a6 (tg2)2gsg,Jk-6+ (a7(ig2)4+ a;
2
wo die a ganze Zahlen sind. 1) Mit Rücksicht auf die sogleich auszuführende Rekursionsrechnung ist es zweckmäßig, die numerischen Koeffizienten in den nachfolgenden Gleichungen (abgesehen vom ersten) in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
Berechnung der Determinanten Dn(u)
189 Differenziert man die zweite Gleichung (16) nochmals nach u, so ergibt sich als "Reknrsionsformel" für die Berechnung der Funktionen P k : (18) P k + 1 = (6 gJs - t gs)P; + (4 gJ3 - g2 SO - gs) P;. Mittels dieser Gleichung findet man im Anschluß an (15) für die nächstfolgenden Ableitungen &9(6), ••• gerader Ordnungen: SO(6) = 7! f,l4 24 .3 2 .7 g2 f,l2 - 24 .3 2 .5 gs gJ 32g~, &0(8) = 9! gJ5 - 2 5 .3 4 .5.7 g2 gJs - 2 4 .3 2 .5. 13 gs gJ2 + 24 • 3 s • 7 g~ gJ + 23 • 3 s .11g2 gs , (19) gJ(10) = 11! f,l6 - 2 7 • 3 5 • 5 . 7 . 11 g2 gJ4 - 2 6 • 3 2 • 52. 11 . 47 gs gJs + 24 • 34 • 72.11g~s02 + 24 • 3s . 52. 53g2gS\0
+
- 2 s . 3s . 7 g~
+2
fi •
3 2 • 5 ·13g~.
Zufolge (3) ist 1/J(n)(u) und damit Dn(u) eine gerade oder ungerade l'-'unktion von u, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Somit läßt sich Dn(u) für nngerades n als ganze ganzzahlige Funktion von gJ(u), tg, gs darstellen, für gerades n aber als Produkt einer solchen Funktion mit f,J' (u). Der Grad dieser Funktion in SO (u), die Dimension in u, W 1 , W 2 und der Koeffizient der höchsten Potenz von &9(U) werden aus dem oben angegebenen Anfangskoeffizienten der Entwicklung von Dn (u) nach Potenzen von u bestimmt. Wir haben allgemein für ungerades n den Ansatz:
(20)
+ b1 (tg2)gJ21.(n'-5) 1. + b4(tg2)gS gJ2
1. (n'-l)
D,,(u)=n(2!.3!.4! ... (n-l)!)2 gJ 2 _1 (n2 -
1. (n2 _
+ b2gSgJ2 + bs (tg2)2 S0 2 1 s b' 2) -~(n'-13) + (b5(7jg2) + gJ +"', 7)
9)
(n2 -11)
5gS
während sich für gerades n der Ansatz ergibt: (21)
D,,(u)
=
SJ'· { tn(2!. 3!· 4! ... (n -
+ c2gSgJ21. (n'-10) + CSGg2)2\;)2l(n A(n'-16)
+ (c5 Cfg2?+ c~gDgJ2
1. (n' _ 4)
1)!)2gJ2 2
-12)
+ Cl (fg2)S021. (n
2-
3)
+ C4(tg2)gSSO·{-(n -14) 2
!
+ ... f,
wo die bund C ganze Zahlen sind. Wir reihen an die Gleichungen (6) wenigstens noch die fertigen Ausdrücke von 1/J(5) und 1/J(6) an: ( 22)
1/J
Du (u) _ -(2!.3!.4!)'-
(5)( ) _
u
5
12
31
52 s + 3 ~ 5 gags + (3' 2C ga &9
-
53 g24 ( 28
+ (5229g25-
1 6 ( 212g2
-
5 19 9 3·5·7 2 8 . gspp--2-.-gd9
10
b9 -"2g2b9 -
7
2 . 3 . 5 gags2) &9 4 -
3 . 5 g'i.) pp 6 + --233·29 2 g2gS S9 5 (5 24
s
3.5 2 2) 2 (52 4 23 g2gs pp + 28 g2gS -
lS2
2"
g2gS
+ g34) .
s) &9S 5 s) <;; g2gs
g2gS - D~ 2gs
&0
190
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Für 'IjJ(6) findet sich aus der zweiten Rekursionsformel (8) der Ausdruck: 'IjJ(6) = 'IjJ(2) . 'IjJ(S} ('IjJ(5) _ (~~)
so daß 'IjJ(6) die Funktionen 'IjJ(2) und dritten Faktor findet man:
(23) •
1/>(S)(u)
12
1/'(2)(u)1/'(3)(u) =ijJ -
11
-i-g2~J
10
als Faktoren enthält. Für den
'IjJ(S)
5 11
-
2) ,
.
9 3·5· 11 2 8 g3b9 --2-.-g2b9
3 3 . 37 g3,SJ 2') ß - 2 3·11 2 f> - 3 . 11 g2g3 &9 7+ (23 24 g2 ' g2gs&9
s)
37 n4 - 3 . 5 g2g32) gJ 4 - (5 3 - ( 5, 2'Y2 2. g2gS - 5 g3 &9 3 3' . 5 5 + (2 ' g2 -
-
33
2 2) ~ + (32. 11' 943gs -
23g2g3 ijJ
3)
7
"2 g2gs ijJ
(2~' g~ - ~- g~gi + 2 g~).
Wie man sieht, werden die Ausdrücke der 'IjJ(n)(u) in ijJ(u) und ijJ'(u) bei wachsendem n schnell sehr umständlich. Wertvoll für später sind übrigens namentlich die allgemeinen Ansätze (20) und (21), an die wir wieder anzuknüpfen haben werden.
§ 2. Partielle Differentialgleichung der Funktionen
'l/-'(n).
Es gibt noch ein paar andere Methoden zur Berechnung von ijJ(nu) bzw. von 1/1(n)(u), die, wenn sie auch nicht mehr leisten als die Methoden von § 1, immerhin der Erwähnung wert sind. Eine erste solche Methode beruht auf einer partiellen Differentialgleichung, der 1/1(n) als Funktion von ijJ, g2 und gs genügt. Nach I, 322 befriedigt die G-Fnnktion die Differentialgleichung: ~210g6(u)+(0Iog6(~)2_+2D (1 OU
Ou'
~
og
6("»)+1
2-0 12g2u - •
U
Setzt man nu statt u ein und multipliziert mit n 2, so folgt: 0'log6(ntt)
Ou'
+
(010g6(nU»)2 OU
+ 2
n
2D
I)
(1
og
G(
nu
»
+ 11,4
12g2u
2=
° .
Von dieser Gleichung ziehe man die mit n 4 multiplizierte erste Gleichung ab, führe die kurz 1/1 zu nennende Funktion 1/1(n), sowie nach (1) in I, 212 die Funktionen ~(tt) und S9(U) ein. Das Ergebnis kleidet sich bei Fortlassung der Argumente u in die Gestalt: o'log1/' ~
0:
log 1/')2 + (0---ou+ 2n2~ -010" 1/' + 2n2D~(log1/1) +- n2(n 2-1)ijJ =
0,
wofür wir unter Zusammenfassung der beiden ersten Glieder nach:Multiplikation mit 'IjJ schreiben können:
(1)
~:~ + 2n2~ ~~ + 2n2 D~(1/1) + n 2(n 2 -
l)ijJ1/1
=
O.
B~rechnung
'l/J(n) mitte1st einer Differentialgleichung
von
191
In dieser Gleichung gelten u, g2' g3 als die unabhängigen Variablen. Führt man SJ an Stelle von u ein, so ist für die Differentiationen nach g2 und g3 zu berücksichtigen, daß fP die Argumente u, g2 und g3 enthält. Die Ableitungen von 'l/J nach g2 und g3 sind also: 0_'l{J op
op Og2
01jJ
+ Og2'
und als algebraische Gestalt des von (9) in I, 317: D~ ('l/J)
=
01/J
01jJ 0&0 OSJ ogs
01/)
+ Og3'
DifferentialausdrucksD~('l/J)
0 "1'
)
1
opD,/SJ - 6g3 8g 2
tritt an Stelle
0 l/J
S g; ags .
-
0
Andrerseits gilt, da u inSJ allein (und nicht in g2 und g3) enthalten ist: 01/J 01jJ, u = 38;; 5J ,
0'1/J 0'1/J iJt~' = ifs;2 iJ
o
'2+ 01/J
"
0 go SO .
Die Gleichung (1) gewinnt damit die Gestalt: ?'1P &J'2 + 01/' g/' + 2n 2.21/J (~S;/ + D (S;))) _ 12 n 2g .1L1/J _
op'
0 SJ
0p.
~
3
+ n 2 (n 2 - 1) S"'l/J
=
.2_ n 2g2
0g.
3
2
~_'l/J. 0gs
O.
Der im dritten Gliede auftretende Klammerausdruck ist nach (7) in 1,322 gleich (- 2 S,,2 + 1-g2). Ersetzen wir noch S,,'2 und so" durch ihre Ausdrücke in SJ, so ergibt sich: Die Funktion 'l/J(n) genügt als solche von SO, g2 und g3 der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnttng:
(2)
(4S0 3 -g2 SJ
:-gs)~~J~ -
01jJ - 12 n 2 gs,,,'-ug,
((4n 2 - 6)S02-
2 n 2 g2'52 01/J -3
ugs
(! n 2-
~)g2)~:
(. 1) SJ'l/J = + n 2 w-
0.
Man kann diese Differentialgleichung zur Berechnung von 'l/J(n) benutzen, was freilich schon bei n = 5 einen erheblichen Aufwand von Rechnung erfordert. Um die Methode für n = 3 durchzuführen, haben wir dem Ansatze (20) entsprechend:
'l/J
=
3g;)4
+ ag2 so 2 + bgsS" + cg~
mit numerischen Konstanten a, b, c in die Differentialgleichung: 0'1/J ( • 11 ) 01/J ( 4 \" s - g2So - g3 ) 2~:)2 - 30S0" - 2g2 op
+ 72so'l/J
=
-
01/J
108g309;
-
01jJ 6g~ Og3
0
einzutragen und müssen dadurch eine in So, g2' g3 identisch bestehende Gleichung gewinnen. Die entstehende Gleichung muß also z. B. auch gelten, wenn wir g3 = 0 setzen; auf diese 'Weise erhalten wir:
(4so 3 - g2S0) (36so 2 + 2ag2) - (306J2_1/g2)(12S03+ 2ag2 $o) - 6bg;Sr.l + 72 SJ (3 so! + Ctg2 ,1;j2 + cgD = O.
192
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Ordnet man nach Potenzen von f,I, so muß jeder dabei auftretende Koeffizient der einzelnen Potenz für sich verschwinden, was:
(3)
2a+3=O,
3a-2b+24c=O
liefert. Nimmt man ferner &9 = 0, so gelangt man auf entsprechendem Wege zur Gleichung: (4) 4a-llb+432c=0. Die Auflösung der Gleichungen (3) und (4) liefert a = - t, b = - 3, c = - ft und führt zu dem in (6) S.185 angegebenen Ausdrucke von 1/J(3) zurück.
§ 3. Berechnung von ''.J(nu) durch ein I{ettenbruchvel'fahren. Nur beiläufig gehen wir endlich auf eine Methode ein, den Ausdruck von &9(ntt) in &9(U) mitte1st eines Kettenbruchverfahrens zu gewinnen. Diese Methode führt in ihren Ergebnissen freilich nur zu bereits Bekanntem zurück; sie wird hier erwähnt wegen der bedeutenden Rolle, die sie in der Literatur des vorigen Jahrhunderts spielt. Einem Zusammenhange zwischen Integralen mit der Quadratwurzel einer ganzen Funktion und der Kettenbruchentwicklung dieser Quadratwurzel ist schon A bell) nachgegangen. Wenig später stellte J aco bi 2) ohne Beweis die Formeln auf, die im Falle der Quadratwurzel einer ganzen Funktion vierten Grades zwischen der Kettenbruchentwicklung und den Multiplikationssätzell der zugehörigen elliptischen Funktionen bestehen. In einer an die allgemeineren Fragen Abels anknüpfenden Arbeit von C. W. BorchardV) sind sodann die Jacobischen Resultate neu behandelt und bewiesen. Späterhin sind endlich G.l!'robenius und L. Stickelberger 40) in einer ausführlichen Arbeit auf diese Gegenstände zurückgekommen und haben die Multiplikationsformeln der gJ-Funktion bis zur Gewinnung der obigen Determinantenformeln hingeführt. Um die Kettenbruchentwicklung zunächst auf transzendenter Grundlage zu gewinnen, bilden wir die Funktion:
(1) mit einer ganzen Zahl n
> 1.
Die Stelle Uo denken wir vorerst fest ge-
l) "Sur l'integration de la formule differentielle (Jd'!. , R et
VR
(!
etant des fonc-
tions entieres", Journ. f. Matb., Bd. 1 (1826). 2) "Note sur une nouvelle application de l'analyse des fonctions elliptiques a l'algebre", Journ. f. Math., Bd. 7 (1831). 3) "Application des transcendantes abeliennes a la theorie des fractions continues", Journ. f. Math., Bd. 48 (1852). 4) "Uber Addition und Multiplikation der elliptischen Funktionen", Journ. f. Math., Bd. 88 (1879).
Ansatz einer Kettenhruchentwicklung
193
wählt, und zwar so, daß gJ (ntto), ~9' (nu o), Ü9(uo) - p(nuo») endliche und von 0 verschiedene Werte sind. Es ist dann jedenfalls nuo keine ganzzahlige Kombination von Periodenhälften, woraus hervorgeht, daß auch &9 (u o), &9' (uo) endlich sind, und daß die beiden Stellen + nuo bezüglich der Gruppe r(u) nicht äquivalent sind. Die Funktion (1) hat im Periodenparallelogramm zwei Pole und ist also zweiwertig. Der eine Pol liegt bei u = 0, wo das Anfangsglied der Potenzreihe durch cJJ,,(u) = - u- 1 + ... gegeben ist. Ein weiterer Pol kann nur in einem der beiden getrennt liegenden Nullpunkte erster Ordnung ± ntto des Nenners (&9(U) - gJ(nuo») auftreten. Da aber an der Stelle u = nuo auch der Zähler (gJ'(u) - &9'(n~to») verschwindet, so bleibt als weiterer Pol nur noch ~t = - nuo übrig. Von den beiden Nullpunkten der Funktion (1) liegt einer bei u = U o und also der andere zufolge des Abelschen Theorems (5) in 1,213 bei u = - (n + l)uo' Man kann daraufhin sofort die Darstellung (6) in 1,214 der Funktion (1) durch die 6-Funktion ansetzen, wobei der von u unabhängige Faktor aus dem schon genannten Anfangsgliede - ~(-i von CP,,(u) gewonnen wird. Man findet:
(2) eine Gleichung, in der fortan U o als unabhängige Variable gelten darf. Für n > 2 findet man weiter mit Benutzung von (14) in I, 217:
(3)
S;J(U) - SO (uo)
6 (u
+ uo) 6 (u + (n - 1)uo) 6 (nuo) + n16o) 6 (uo) 6«n -
1)160 )
Der links stehende Quotient ist also gleichfalls eine zweiwertige doppeltperiodische Funktion, die mit w,,(u) die Pole gemein hat und wie CPn(u) das Anfangsglied - u- i der Potenzreihe nach u hat. Die Differenz der Funktionen (3) und (2) hat demnach eine unter 2 herabsinkende Wertigkeit und stellt also eine von tt unabhängige Größe dar, die als Funktion von U o durch fPn(~tO) bezeichnet werden soll:
(4) Zur Berechnung von fPn(u O) tragen wir u =
( 5)
(u)--CPt'-tt)-
fPn,
0
-
n\
0
-
-
Uo ein und finden aus (1):
• S;J'(u o) SJ(uo) - SJ(nuoJ
Für n = 1 ist die den Funktionen (1) entsprechende zweiwertige Il'unktion durch:
(6) gegeben. Sie hat ihre beiden Pole bei u j,'ricke, Die elliptischen j,'unktionen II
=
° und u
=
-
uo, während
13
194
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
ihre Nullpunkte bei u = Uo und u = - 2 Uo liegen. Erklären wir CPl (~to) durch:
(7) so reiht sich an (4) für n 1
(8)
2
=
1 die Gleichung an:
p' (u) - f./ (u o) &J(u) _ SJ(uo) -
(
11>1 u)
CP1 (uo)'
=
Im übrigen gilt auch für die Funktion 11>1 (u) die allgemein unter (2) gewonnene Darstellung durch die Sigmafunktion. Hieraus folgt wie oben, daß die Gleichung (4) auch für n = 2 bestehen bleibt, falls wir CP2(UO) durch die allgemeine Vorschrift (5) erklären. Schreiben wir die entwickelte Formelkette in der Gestalt: 1 )Q'(u)-Sd(uo) s.J(u) _ p(uo) =
2
p(u) - SQ(Uo)
----4>~(u)-- = 9(1.1) - p(uo) = 4i.(u)
SJ(U) - SJ(uo) 4iu_1 (u)
=
+ 11>1 (u), () CP2 U o + W2 (u), cP (u ) + q) (u) sos,
CPl (uo)
CPn
+ Wn (U ) ,
() Uo
unter nirgendeine ganze Zahl > 1 verstanden, so sind die ersten Glieder der rechten Seiten stets als die Grenzen der links stehenden Ausdrücke für u = Uo eindeutig bestimmt, womit dann zugleich auch die in den zweiten Gliedern rechts stehenden 11>.(u) als für u = U o verschwindende Funktionen bestimmt sind. Die Elimination von W17 W2 , •••, Wn _ 1 ergibt aber für die in der ersten Gleichung links stehende Funktion die Entwicklung in einen n-gliedrigen Kettenbruch: (9)~ )Q' (u) - SJ' (u.) = (u ) 2 f.J(u) - SJ(uo) CP1 0
+ p(u) () CP. U O
SJ(uo) SJ(u) -
+
!Ps
(
U
p(uo)
+ 8J(u) o )
!P. (uo)
p(u.)
+: :+ •
+SJ(uo)
p(u) !Pn (u.)
4in (u) •
Diese Kettenbruchentwicklung ist nun auch in algebraischer Gestalt durchführbar, nämlich auf Grund der Regel, nach der man eine Potenzreihe in einen Kettenbruch umrechnet. Wir setzen zunächst die Formel (9) in algebraische Gestalt, indem wir:
so (u) = x,
SO (uo) =
xo,
g;/ (u)
=
-Vfex),
Ff/ (uo) =
-V f(x o)
schreiben, unter fex) die ganze Funktion (4x S- g2X - gs)
verstanden~
Die Kettenbruchentwicklung in transzendenter und in algebraischer Gestalt
(10)
~ Vf(il:::- ~~ 2
PI + X
=
x-%.
x,,-
-
x-%
+--- x-x !Ps + !P. -+-: :+ _x -xo_.
!P.
!Pn
Um die Taylorsche Reihe der links stehenden Funktion: (11)
195
+ qln
o) = a + a (x - x ) + a (x - x )2 + ... ~2 J(10::c -- Vf(x X 0 1 0 2 0 , o
1 dnVf'(xo) 2an-I =n! -----dx"
in den Kettenbruch (10) umzuwandeln, hat man wiederholt von der Gleichung:
Cl Z + (Ci (Co + Cl Z + c 2 Z·•+ Cs Zs + •••)- 1 = -1 - -. -. - -.CI) Z 2 _ (Cr _ ~ Cl C. + ~) Z3 + ... Co
cg
c~
Co
Co
Co
CÖ
Gebrauch zu machen, mittelst deren man den reziproken Wert einer Potenzreihe wieder in eine solche Reihe umwandelt. Die Anfangsglieder des Kettenbruchs (10) in der neuen Gestalt sind gegeben durch: ~ Vf(X)-v7(XJ 2 x-xo
=
a 0
+ x-xo 1 x-x _+ __ 0
a1
_111. + x -2xo a.
a. a1 (a 1 a.-a;)
+~::- X o
_ (alaS-a~)'
_
a.(a.a4 -aV
+.
:
Der Vergleich mit (10) lehrt die folgenden Darstellungen der Pli p" ... : 1
(12)
P2 = a1
P5
=
Ps =
'
-
-
ai
a. '
P4=
a (a 1
1
a'2 aa-aV'
(al a. - ai)' an ' .. " 4-
a. (a, a
wo die a Ol al1 a2 , ••• durch die zweite Gleichung (11) gegeben sind. Bei Rückgang zu den transzendenten Funktionen wollen wir den Index an U o fortlassen und haben dann erstlich:
_
Cfl -
~ s.:(u) 2 p' (u)'
__~S~~(~
Pn -
&J(u) _ 8J (nu) '
n
1
> .,
während andrerseits aus der zweiten Gleichung (11): 1 d &J' (u) 1 8/' (u) a =---=--o 2 dp(u) 2 S<7'(u) '
als Regel für die Berechnung der a folgt. In den ersten Fällen haben wir bei Fortlassung der Argumente u die Darstellungen: 13*
196
I, 2. Die Multiplikations sätze der elliptischen Funktionen
ao =
go"
a1 =
280"
So' So'" - po ~ 4 p' 3 ,
Man prüfe etwa den Fall n
=
_ p" p(4) - 4 p' 8'/' 8;J'"
a2 -
12 p' 5
+ 3 So"
3
-
3, wo die Gleichung:
S0(3tt) = 80 (tt) -
:~~i = so(u) + a2~(U)
nach Eintragung der Ausdrücke von S0", &J"', S0(4) in So und s.l' auf die von früher bekannte Darstellung von S0 (3 u) in SO (u) und s;/ (u) zurückführt. Im übrigen sei wegen Durchbildung der Methode nochmals auf die letzte der S. 192 genannten Abhandlungen verwiesen.
§ 4. Ansatz der Multiplikationsf'ormeln für sn, cn und dn. Die Multiplikationsformeln für die früher allein betrachteten Funktionen zweiter Stufe sind von AbeP) aufgestellt. Jacobi bezieht sich in den "Fundamenten" (am Ende des Artikels 28) auf Abel und übergeht daher die Einzelheiten der Multiplikationsformeln. Er kommt jedoch alsbald auf den Gegenstand zurück 2) und erkennt die Existenz einer partiellen Differentialgleichung, welche zur Berechnung der Multiplikationsformeln dienen kann. Es handelt sich um die der Gleichung des § 2 entsprechende Differentialgleichung für die Funktionen zweiter Stufe; wir kommen unten auf diese Gleichung zurück. Die drei Funktionen sn w, cn w, dn w gehören je als zweiwertige doppeltperiodische Funktionen zu den drei in I, 378 eingeführten Gruppen r.;W), r~W), r~W), deren Diskontinuitätsbereiche durch die Figuren 75ff. in '"'1
~'l
3
1,393 gegeben sind. Die Werteverteilung der Funktionen ist in diesen Figuren durch die in Klammern eingetragenen Werte veranschaulicht. Ist nun nirgendeine positive ganze Zahl, so gehören auch die drei Funktionen sn (nw), cn(nw), dn(nw) bzw. zu den drei genannten Gruppen. Es hat nämlich z. B. die Funktion sn (nw) die Perioden
4K
n
nnd
2 iK' ,
n
nnd zwar gehört sie als zweiwertige Funktion zu dem diesen beiden Perioden entsprechenden Parallelogramme. Man mache sich deutlich, daß sich n 2 Parallelogramme dieser letzteren Art zu dem in Fig. 75 a. a. O. gegebenen Diskontinuitätsbereiche der zusammenordnen lassen. Indem man die Betrachtung auch auf die beiden anderen Fälle überträgt, erkennt man in sn (nw), cn (nw), dn (nw) Funktionen der Wertigkeit2n 2 der fraglichen Gruppen. Auf Grund des Satzes in 1,394 (unten) und der entsprechenden Sätze für die r;:), r~~) sind nun die sn (nte), cn (nw),
r;;V)
1) Im zweiten Paragraphen der "Recherehes sur les fonctions elliptiques", Journ. f. Math., Bd. 2 (1828). 2) "Suite des notices Bur les fonctions elliptiques", Journ. f. Math., Bd. 3 1828) oder Jacobis Werke, Bd. 1, S. 264, Abs. IIr.
Ansätze für sn(nw), cn(nw), dn(nw) als Funktionen von snw, cn w, dn w
197
dn (nw) rational in sn w, cn w, dn w darstellbar. Die Ansätze für diese Darstellungen gewinnt man durch einfache funktionen theoretische Überlegung, wie wenigstens im Falle der Funktion sn (nw) etwas näher ausgeführt werden soll. Ist erstlich n ungerade, so bleibt die ungerade Funktion sn (nw) bei der Substitution w' = 2 K - w unverändert und ist demnach eine rationale Funktion von sn wallein, und zwar wegen der Wertigkeit eine solche vom Grade n 2• Bei w = 0 haben sn (nw) und sn weinen Nullpunkt erster Ordnung und bei w = iK' einen Pol erster Ordnung gemein. Hieraus schließt man, daß der Zähler der fraglichen rationalen Funktion den Faktor sn w hat, und daß der Grad des Nenners um eine Einheit kleiner als der Grad des Zählers ist. Hiernach ist sn (nw) darstellbar als Produkt von sn w und einer rationalen Funktion des Grades (n 2 - 1). Diese Funktion kann nur gerade Potenzen von sn w enthalten, da sn (nw) : sn weine gerade Funktion von w ist. Übrigens nimmt die fragliche rationale Funktion von (sn w)2 für sn w = 0 den Wert n an, da man aus (10) in 1,399 sofort lim (sn (nw) : sn w) = n feststellt. 10=0
Etwas umständlicher gestaltet sich die Überlegung im Falle einer geraden Zahl n, einfacher hingegen wieder für cn (nw) und dn (nw). Wir fassen sogleich die Ergebnisse zusammen und schreiben hierbei zur Ab(snw)2= z. kürzung:
Im Falle einer ungeraden Zahl 12 gelten für die Multiplikationsformeln der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn die Ansätze: ( 1)
( ) sn nw
sn w . G~nl (z) =-G~n)-r;)-'
( ) _ c_u_w._· G;n) (z) G~n) (z) ,
cn nw -
d ( ) _ du zu· G~nl (z) n nw G~n) (z) ,
wo die G rationale ganze Funktionen folgender Gestalten sind:
(2).
Gcn> (z) {
=
1 + alt! z
+ al"
2 Z2
Ginl(Z)
+ ... + a
n'-1
n'~-1,
Z
(1"=0,2,3)
1", - 2 -
I" =
n
+ 011 Z + a
12 Z2
+ ... + a
n'l._l
71'-1 1,~
Z-a-;
tUt· eine gemde Zahl n sehließen sich hieran die Ansätze: w ~ (~ d ( ) _ G, (z) d ( ) _ G 3 (z) (3) snnw( ) _ ~~ cnw (n)nw· G, (z) ,cnnw(n) , nnw--(~, Go (z)
Go (z)
wo die rationalen ganzen Funktionen G folgende Gestalten haben:
(4)
Go (z)
198
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Zwischen den vier Funktionen eines und desselben n bestehen zwei identische Gleichungen, die sich aus den beiden in I,389 gewonnenen Relationen zwischen sn, cn und dn ergeben. Diese Gleichungen lauten im Falle eines ungeraden n:
(5) (l-z) G2(Z)2= Go (Z)2_ ZGI (Z)2, (1-k 2z) G3(Z)2= Go(z)2-k 2ZGI (Z)2, während sie bei geradem n die Gestalt haben:
G2 (Z)2 = Go (Z)2 - z (1 - z) (1 - P z) GI (Z)2, G3(Z)2 = GO(Z)2 - k2z(1- z) (1 - k 2z) GI (Z)2; k 2 ist der Legendre-Jacobische Integralmodul (vgl. I, 367). Das Ziel der weiteren Entwicklung ist nun die genauere Berechnung der ganzen Funktionen G. Zunächst bietet sich ein rekurrentes Verfahren dar. Setzen wir in den drei Additionsformeln (9), S. 166 für tt und v übereinstimmend nw ein, so folgt: {
(6)
I
2 - 2snnw· cnnw· dnnw sn nwl - k 2 snnw' ,
(7)
_ cnnw' - snnw' dnnw' 1 - k' snnw 4 ,
cn 2nw -
dn 2nw
dnnw'- k' snw' cnnw' 1 - k' snnw, 4
=
Hieraus berechnen sich, wenn wir der Kürze halber die Argumente z der Funktionen G fortlassen, mit Rücksicht auf die Anfangskoeffizienten der G bei ungeradem n die Formeln:
(8)
I
G~2n) =
Gi2 n)
=
G~2n) =
Ge2 n) 3
=
- k 2z 2Gin)4, 2 G~n) Gin) G~n) G~n), G~n)4
(1 - z) G~")' G~n)2 - (z - 7c 2 z 2) Gin). G~n)2, (1 _ k 2z) Ge n). Gen), _ (k 2Z _ 7c 2Z2) G(n). Gen). 0
3
1
2'
bei geradem n aber die Beziehungen: G~2n) =
(9)
I G~2
Gi2 n)
=
n)
=
G~2n) =
- k2 z 2 (1 - z)2(l - 7c 2 z)2 Gin)4, 2 G~n) Gin) G~n) G~n), G~n)2 G~n). _ (z _ (1 + Jc2)Z2 + k2z 3) Gin) 2 G~n)2, G~n)2 G~n). _ (k 2i _ (k 2 + Jc4)Z2 + Jc4 Z3) Gin). G~n)2. G~n)4
+
Setzt man andrerseits tt = (n 1) w, v = nw in die Additionsformeln ein, so gelangt man entsprechend zu den drei in jedem Falle n gültigen Formeln: G~2 n+ 1) =
( 10)
1G(2"+1) = 2
Ge2n+1> 3
=
G6")2 G~n + ll, - (k 2 Z2 - (h 2 + k4 ) Z3 + 7c4 z4) Gin). Gin + 1)., Gut) G(n) Gen+1) Gen+1) _ (z _ Jc2 Z2) GCn) Gen) Gen+1) Gen+1) 0202 1313, Gen) G n) Gen+1) Gen+1l _ (k2z-k2Z2) Gen) Gen)G en+ll Gen+ll 0303
1212'
Rekursionsformeln für die ganzen Funktionen G(z)
199
während sich Gi2n + ll bei ungeradem n durch die Formel:
(11)
Gi2n + 1l
G~')
=
Gin)
+ (1 -
(1
G~n+ll G~'+ll
+ k 2) z + k 2 Z2) G~') G~') G~n+ll Gin
+1),
bei geradem n aber durch:
(12)
Gi2n + 1l
= G~n) G~n) G~n+ll G~'+l)
+ (1 -
+ k )z + k z
Gin) G~n+1) G~n+l1) berechnet. Da alle vier Funktionen G(l) mit 1 identisch sind, so ergibt sich aus den Formeln (8):
(13)
G~2) =
(1
1-k2 Z2, Gi2) = 2,
!
2 2) G~n)
2
G~2l
= 1- 2z +k!Z2,
G~2)= 1-2k2 Z
+ k 2 z 2,
sowie weiter mittelst der Formeln (10) und (11): G~S) =
GiS)
(14)
=
1 - 6P Z 2 + 4k 2 (1 + k 2)zS - 3k4 z4, 3 - 4(1 + k 2)z + 6k 2 z 2 - k 4 z 4,
+ 6k z
G~3) =
1 - 4z
G~) =
1 - 4k 2 z
4k4 z S + k 4 z4,
2 2 -
+ 6k z
2 2 -
+k
4k 2 z 3
4
z4 •
Mit Rücksicht auf die Gestalt der Rekursionsformeln gewinnen wir aus diesen Angaben den allgemeinen Satz, daß die Koeffizienten a der ganzen Funktionen G durchweg rationale ganze ganzzahlige Funktionen von k 2 sind. Einige weitere allgemeine Gesetze über unsere Funktionen Gerhalten wir durch Heranziehung bisher noch nicht benutzter Hilfsmittel.
§
o.
Weitere Beziehungen zwischen den Funktionen G(z).
Da weiterhin nur noch die Funktionen G~n), Gin), ... eines und des'selben n zur Sprache kommen, so wird der obere Index n fortgelassen. Dagegen wird ausführlicher Go(z, k 2 ), Gl (z, k 2), ••• geschrieben, um die Abhängigkeit der Funktionen von k 2 hervorzuheben. Es ist nun zunächst möglich, die Koeffizienten der höchsten Potenzen in den Ausdrücken (2) und (4) S. 197 der Funktionen G allgemein zu bestimmen. Diese Koeffizienten a n'-l, a u ' - l , . . . der vier Ausdrücke (2) S.197, die sich auf °'-2-
1, -2-
ungerades n beziehen, sind bzw.: n-1
(- 1)
2
nIe
2
,
n'l.-l
( - l f 2 -k-2- ,
k
2
,
im Falle eines geraden n hat man für a n', a u' _ 4, o'"jj
1'-2"
n2._
k
2
•.•
t
, •
bzw.:
200
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Für n = 1, 2 und 3 geht die Richtigkeit dieser Angaben aus den am Schlusse von § 4 zusammenge3telIten Ausdrücken der zugehörigen Funktionen G hervor. Die Rekursionsformeln (8):ff. S.198 zeigen dann mitte1st des Schlusses der vollständigen Induktion die allgemeine Gültigkeit. Schreiben wir auch noch bei den Koeffizienten a das Argument k 2 hinzu, so gilt hiernach als Ansatz bei einem ungeraden n:
(1)
I I
n-l
n'1.-1
Go(z, k2)
=
1 + a Ol (k 2)z + a 02 (7.;2) Z2 + ...
+ (- 1)~ nk-2-
GI (13, k2)
=
n + al1 (k 2)z + a 12 (k 2) Z2 + ...
+ (- 1)-2- k-2-
n-l
n'J.-l
G,,(z,k 2) = 1 + a,«l (lc 2)z +a,'2(lc2 )z2+ ... + k"';~/;~J,
n'l._l
Z--2-, n2.-1
Z2-, (lt=2,3)
und bei einem geraden n:
(2)
n
n2
n2.
Go (z, k2 )
=
1 + a Ol (k 2 )z + a02 (k 2) Z2 + ... + (-1)2 k2
GI (z, P)
=
n + a l1 (k 2) z + a12 (P) ß2 +... + (_1)n;2 nt;4 Z~;4,
G,«(z, k2)
=
1 + a,«l (P)z + ap2 (k 2)Z2 + ... + 1. 2 z ~
n'l
Z2,
n'J.
(1,=2,3)
Man gelangt nun zur Kenntnis einer Anzahl von Relationen zwischen den vier Funktionen G, wenn man das Argument w der Funktionen sn, cn, dn um Periodenhälften ändert, und wenn man diese Funktionen der linearen Transformation unterwirft (vgl. 1,475). Das Verhalten von sn w, ..., sn (nw), ... bei Vermehrung von w um iK' geht aus der Tabelle in 1,395 und den Formeln (13) in I, 390 hervor; der Integralmodul bleibt unverändert. Die für ungerades n gültigen Gleichungen (1) S.197 gehen demnach bei dieser Änderung von w in die folgenden über: 1
1
sn (nw)
=
snw'
dn(nw) sn (nw)
=
(_
G(J-z,k') 1
G (~ k 2) o k 2 Z' n-l
1)-2- dnw . sn w
cnw snw
,
G(J-z, k Go (k!Z' k
2)
2
2)
Gs
(kh, k
,
2)
Go (k!Z' k')
Der Vergleich mit den ursprünglichen Gleichungen lehrt die bei ungeradem n bestehenden Beziehungen:
201
Weitere Beziehungen zwischen den ganzen Funktionen G (z, k')
GI (z, k 2)
(3)
1G (z, k s
=
(-
l)n;1 (kz)n.-; I Go (k! z' Jc2) , n~-l
(kZ)-2- G 2 (k! Z' k 2)
2) =
•
Bei geradem n gewinnt man auf entsprechendem Wege die Regeln:
(4)
Go(z, Jc2)
=
(_l)i (kz);' Go (lc~Z' Jc2),
GI (z, k2)
=
(_1)~2 (JcZ)-2 Gi (k;Z' k 2).,
G,Jz,k 2)
=
(kz)"i:Gi«k!Z' k 2).
n-2
n2.-4
(1"=2,3)
M(l.n übe zweitens die in I, 475 mit - S T S bezeichnete lineare Transformationaus. Das Verhalten der Funktionen und des Integralmoduls ist a. a. O. angegeben; insbesondere ist z durch k2 z zu ersetzen und k 2 durch
I
~~. Man findet, daß sowohl bei ungeradem als geradem n die Regeln gelten: Gi«z, k2)
(5)
=
GLt (k 2 z,
G, (', k') - G,
Gs (z,
Jr,2)
=
:2)'
(k'S, :')'
G2 (k 2z'F)·
Bei Anwendung der linearen Transformation T geht Jr,2 zufolge I,475 in (1 - k 2) über und z in ~1· Hier findet man bei ungeradem n die zGesetze: n _1
I l
Go(Z, k2)
(6)
G2(Z, k2)
G/z, Jr,2)
2
=
(z - 1f.·.2~· G2
Cl ' 1 Z
k 2) ,
n'l-l
=
(z - If2~ Go (z~~i' 1 - k. 2)
,
n'.l.-l
=
(z - l)~ Gi< (z ~ l ' 1 - k 2),
während sich bei geradem n die Regeln anschließen: G o (z, P)
=
(-.!_---
(z - l)n/ G 2 z-l' 1 - k 2) , n'l-4
GI (Z, k2) (7)
=
(Z -
IfS- G]
G2(Z, k 2) = (Z - 1) ~ Go
~2
(z~ 1:' 1 -
C~ i' 1 -
GS(Z, k 2) = (Z - 1) Gs (z
Jr,2),
7;;2) ,
~i' 1 - Jcs) .
(,u=1,3)
202
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Zu neuen Regeln würde auch noch die Vermehrung von w um K führen; doch sind diese etwas umständlicher und kommen weiterhin nicht zur Verwendung. Die gewonnenen Formeln zeigen, daß bei ungeradem n mit Go die drei anderen Funktionen als bekannt gelten können, da man, falls Go bekannt ist, G2 aus der zweiten Formel (6) und sodann Gi und Ga aus den Formeln (3) gewinnt. Bei geradem n dürfen mit Go und Gi auch G2 und Ga als bekannt gelten, da man G2 mitte1st der dritten Formel (7) aus Go und sodann Ga aus G2 .durch die dritte Formel (5) bestimmt. Übrigens ist Gin), falls die Funktionen Gi i) schon bekannt sind, aus der zweiten Rekursionsformel (9) S. 198 unmittelbar abzulesen, so daß sich unsere Aufgabe im wesentlichen auf die Berechnung von G~n) beschränkt. Besonders wertvoll sind die Regeln (5), die wir für die Koeffizienten a in die Gestalten kleiden:
(8)
Ja,uv (:.) . k 2v = a,uvCk2 ) ,
Ia
2v
(,~,) • k 2• =
aa,,(k 2) ,
C
aav
C.) k2v = a
h
(k 2).
Der Schlußsatz von § 4 kann demnach so ergänzt werden: Der einuelne Koeffizient aflv ist eine ganze ganzzahlige Funktion höchstens v ten Grades von k 2• Ehe wir weitere Folgerungen aus den Relationen (3):/f. ziehen, stellen wir allgemein die Werte der Koeffizienten a für den Fall k 2 = 0 fest. In diesem Falle sind die Funktionen Go und Ga für n = 1, 2 und 3 nach § 4 mit 1 identisch. Die Rekursionsformeln (8) ff. S. 198 zeigen alsdann durch den Schluß der vollständigen Induktion, daß für jedes n die Funktionen Go (z, 0) und Ga (z, 0) mit 1 identisch sind. Es folgt hieraus: Die Koeffizienten aov (k 2) und aa. (k 2) in den Ansätzen (1) und (2) verschwinden mit k 2, haben also als ganze Funktionen höchstens v ten Grades von k 2 die Absolutglieder O. Die Regeln (8) zeigen daraufhin weiter: Die Grade von a ov (k 2) und a2 v (k 2) in k 2 sind höchstens (v - 1), so daß insbesondere -ao 1 (k 2) mit 0 identisch ist. Auch die l!'unktionen GI (z, 0) und G2 (z, 0) können allgemein angegeben werden, da bei verschwindendem Integralmodul die Funktionen sn wund cn w nach 1,472 in die trigonometrischen Funktionen sin wund cos w übergehen und also unsere Multiplikationsformeln einfach auf die Elementarformeln zurückkommen, in denen sin wund cos w nach Potenzen von sin w entwickelt sind. Wir haben also bei ungeradem n die Darstellungen:
I I
Gl
(9)
G2
Regeln für die Koeffizienten von G(z)
(z 0) ,
n-
=
n (n'--=-l.2 3!
... + (-1) (z, 0)
n-l 2
1 - n' ;
=
203
z + n (n' -1')5!(n'-S') Z2 _ !!
!
.•.
! !
n(n - 1 )(n - S ~.! .. (n -(n-2) 1" Z
+ (nt -l'~;n' -
· .. + (-1)-2- (nt -1') (ni n-l
~ Z2 -
21
n-l
Z2--,
••• n-l
S') ... (nO - (n - 2)') Z-2(n -1)! '
während bei geradem n sich die Gleichungen anschließen:
G ( 0) _ 1 Z,
-
n-
n(n 2 -2') 3!
+ n(n'- 2')(n'-4') 5! Z
Z
· .. + (-1) n-2 n (n' -
!\'
2) ... (n - (n (n - 1)!
2
(10)
G2 (z , 0) ·
n'
1 - -z 2!
=
+ --=Z2 4! n' (n'
.. + (_ 1)2n n •(n• -
2
2')
2)
•
2
-
..•
n-2
Z
2
'
.•.
') ... (i .)n n - (n - ~ Z-2- . n!
Die hier bei den Potenzen z, Z2, Z3 auftretenden Koeffizienten sind die Absolutglieder der rationalen ganzen Ausdrücke der a"l (P), ap2 (k 2 ), ap3 (k 2), ••• in k 2 für /L = 1 bzw. 2; diese Absolutglieder verschwinden bei ungeradem n von a n + 1 an, bei geradem n von a n und a n + 2 an. 1'2
I', -~-
2J --- 2~
Was die übrigen Koeffizienten in den Ausdrücken der a/.l 1' als Funktionen von k 2 angeht, so folgt aus der ersten Gleichung (8), daß sowohl bei aov als bei a h die Koeffizienten, die gleich weit vom Anfang und Ende des Ausdrucks abstehen, einander gleich sind. In dem für uns wichtigsten Falle der aov haben wir somit den Ansatz:
aov
(11)
=
(Xlk 2 + (X2k4+ ...
+ (X2k2v-4+ (Xlk2v-2
mit ganzen Zahlen (x, wofür wir unter Zusammenziehung entsprechender Glieder auch schreiben können: k- v . aov =
(12)
(Xl
(kV -
Führt man die Größe:
2
+ kV~') + (X2 (k 4+ k v1_.) + ... V -
1
(13)
u=k+k
ein, so kann man die in (12) auftretenden Klammerausdrücke in folgender Art durch die Potenzen von u darstellen: (14)
"+ k" =" - 2 ,
k"
1
2
7.3
/v
+ k31 -_ "3 -
3 u, k4
+ k1
4
4
= X -
4X2
+ 2, ...
Die rechte Seite von (12) wird dann eine rationale ganze Funktion:
(15)
204
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
höchstens (v - 2yen Grades von" mit ganzzahligen Koeffizienten c/. Ist aber in (12) rechts ai der erste nicht verschwindende Koeffizient, während a l , a2 , ••• , ai -1 gleich 0 sind, so verschwinden auch a~, a;, ... , a;_l1 und es ist = i• Wir gehen nun auf die Relationen (3):ff. zurück und tragen in die erste Gleichung (3) rechts für Go den Ansatz (1) ein. Es ergibt sich mit Rücksicht auf aOI = 0 nach kurzer Umrechnung für GI der Ausdruck:
a: a
GI(z, k 2)
=
n
n -1 (
+ (-1)-2-
,,0 - 5 k---2 ao ".':'-sZ ,
n2.-13
... + k-2-
",' - 9
+ k-- 2-
a ü ~:::5
2
n'l-7
aOSz-2 --
'
n'.l.-9
+ k-2
'1t 2
2
-5
a02 z-2-
Z2
+ ... n 2 -1)
+ (kZ)-ll-
.
Dieser Ausdruck geht aber für k2 = 0 in die rechte Seite der ersten Gleichung (9) über. Hieraus können wir einen Schluß ziehen auf die Gestalt des ersten in (11) rechts wirklich auftretenden Gliedes. Um ein abschließendes Ergebnis aussprechen zu können, setzen wir entsprechend dem Ansatze (1) den ersten Koeffizienten a oo = 1 und gehen übrigens sogleich auf (15) zurück: Im Falle eines ungeraden n haben wir f'ür die höchsten Koef'fizienten von Go(z, k 2) die Darstellttngen: k--2 a 10'-1
1
0'-2-
n-1
3 =
o~ , 2
k-,,';5 a 10-. - 5 = 0'-2~-7
.--2-
k
(_1)-2 n,
n2.-3
k--2- a ,
(16)
n -1
=
a 0'-2,.' - 7
-
(-
1)-2- n (n'-1'):H:
3!'
+ (_1)10;1
2
n(n'-1 )(n'-3 [) !
2) 2+ "an' - 5
--2-,1
,,-1' -2- n(n'-1')(n'-S')(n 2 -[)2)
= - ( - 1)
7, .
"
3
,
+ an"-2-,1 - 7 X, .,
während sich f'ür die Anf'angskoef'fizienten aus (15) ergibt:
(17)
{aoo =l, a01 =O, k- 2 a02 =a2,1' k- s a03 = a31 " , k- 4 a04 = a41 x 2 a42 , ••• , wo die a durchweg ganze Zahlen sind. Im Falle eines geraden n könnte man. im Anschluß an die erste Gleichung (6) die Entwicklung der Koeffizienten a op ebensoweit fördern wie soeben bei ungeradem n. Doch wollen wir hier nur erst die erste Gleichung (4) anwenden, die, wie man leicht feststellt, Beziehungen zwischen je zwei vom Anfang und Ende des Ausdrucks (2) für Go gleich weit abstehenden Koeffizienten a ergibt. Wir gewinnen den Satz: Im Falle eines geraden n gelten f'ür die Koef'fizienten '/:on Go (z, k 2) die Darstellungen:
+
205
Die Anfangs- und Endkoeffizienten von Go (z, k!) n
aoo
=
k- 2 a02
=
1, a ,,' = °'2 n
(-
n~-
4
n (-
0::"217
n' - 6 =
0::"31 X ,
6
a =
n'-4 =
°'--2-
n~-
a 04
a01 = 0,
k2,
(-1)~
1)2 k - -2 - a
(18)
1;;-4
n'
n2
_
°'-2-
S
1)2 k- - 2 - a o n'- 8 ,
=
0::"41
x2
2
+ 0::"42' .
,
wo die 0::" wieder durchweg ganze Zahlen sind. Für die Bestimmung dieser ganzen Zahlen kann die S. 196 erwähnte von J aco bi aufgefundene Differentialgleichung benutzt werden.
§ 6. Differentialgleichungen zur Berechnung der Funktionen G(z). Aus (1) S. 172 folgert man mit Hilfe der Legendreschen Relation, daß die Funktion 0\ (u) folgender Gleichung bei Vermehrung von u um Periodenmultipla genügt: 6 1 ( I~ + m1 1lJ1 + m2 1lJ2)
=
(-
1)m "m +
1ft
(_
) (
'em'~l+m"12
u+
ml 00 1 + m2 2
( 2)
6 1 u). (
Hieraus geht hervor, daß der Quotient: 6, (nu) (6, (U)n. n
(1) die Perioden
IlJlI 1lJ2
hat. Der Nenner dieses Quotienten hat im Periodenc
parallelogramm einen einzigen Nullpunkt der Ordnung n 2 an der Stelle
c; .
Der Zähler hat n 2 Nullpunkte erster Ordnung im Periodenparallelogramm an den Stellen:
(2) -von denen im Falle eines ungeraden n eine, im Falle eines geraden n keine mit dem Nullpunkte des Nenners zusammenfällt. Der Quotient (1) hat demnach die Wertigkeit (n 2 -1) bzw. n 2 und ist übrigens als gerade Funktion von u rational in ~J (u) darstellbar. Auf Grund der vierten Gleichung (1) in 1,401 schreiben wir die Funktion (1) in der Weierstraßschen Funktion Al (w) so:
(3)
(6, (Ult· n
Al (nw) (Al (wl?· n
,
als solche werden wir sie dann statt in ~Q (u) rational in z = (sn W)2 darstellen. Nun fällt der Pol der Ordnung (n 2 _ 1) bzw. n 2 unseres Quotienten mit dem Pole zweiter Ordnung von z zusammen, so daß der Quo-
206
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
tient eine rationale ganze Funktion des Grades Hn 2 - 1) bzw. t n 2 von f! ist. Die Zählernullpunkte (2) führen uns genau zu den Polen der Funktion sn (nm) zurück. Die Nullpunkte der fraglichen ganzen Funktion des von z sind demnach genau wieder die N ullGrades -Hn 2 - 1) bzw. punkte der Funktion Go(z), so daß der Quotient (3), abgesehen von einem konstanten Faktor, mit Go(z) identisch ist. Dieser Faktor aber ist einfach gleich 1, da für w = 0 und also z = 0 einerseits Go(z) zufolge (1) und (2) S. 200 gleich 1 wird und andererseits AI(O) = 1 zufolge (7) in I, 403 zutrifft: Die ganze Funktion G~n) (z) läßt sich als Funktion von w in der Weicrstraßschen Funktion Al (w) so darstellen:
tn2
G
(4)
Entsprechende Darstellungen der Funktionen Gin)(z), G~n)(z), G~n)(z) in allen vier Funktionen Al (w) wird man mit Benutzung der eben aufgestellten Gleichung (4) aus (1) und (3) S. 197 auf Grund von (2) in I, 401 leicht ableiten. Wie aus der Gleichung (3) S. 184, der unsere jetzige Gleichung (4) offenbar genau entspricht, in § 2, S. 190ff., eine partielle Differentialgleichung für 1jJ{n) abgeleitet wurde, so können wir aus (4) eine ebensolche Gleichung für die fortan kurz durch G zu bezeichnende Funktion G~n) (z, k 2) ableiten. Der Differentialgleichung (5) in I, 470 von Al als Funktion von wund k 2 kann man die Gestalt:
(5)
~'logAl(w)
ow'
+ (ßIog~I(W»)' + 2k 2w °log AI(w) ow
+ 4k2(1 _
ow
°
k2) log(!~) (w)
+ k2w2 =
0
geben. Man setze nw an Stelle von w, multipliziere mit n 2 und ziehe vom Ergebnis die mit n' multiplizierte Gleichung (5) ab. Die entstehende Gleichung nimmt bei Einführung von G auf Grund von (4) und bei Benutzung der dritten Gleichung (6) in 1,402 die Gestalt an:
o'logG
ow'
+ (OIOgG)'+ 2n2010gG(OlogAI(W) + k 2 w) . ow
. + 4n k (1 2 2
k 2)
°
ow
ologG (k")
ow
+ n 2(n 2_
1)li;2 z = O.
Hierfür kann man nach Zusatz des ]i-'aktors G auch schreiben:
(6)
~~
Ow·
+ 2n2oG (OlogAI(W) + li;2 W) OW
+ 4n 2li;2(1 - k2) ; . /{.) .
ow
+ n 2(n
2-
l)k 2zG = O.
Führt man an Stelle von wund 71;2 als neue unabhängige Variable z und 71;' ein, so ist zu beachten, daß w nur in z enthalten ist, während 71;2
Entwicklung einer partiellen Differentialgleichung für Go (Z, k')
207
nicht nur als zweite unabhängige Variable auftritt, sondern außerdem noch in z als zweites Argument vorkommt. Wir haben also einerseits:
oG CW
0 G OZ
=
iiiow'
während andererseits die in (6) gemeinte partielle Ableitung von G nach k 2 durch:
oG OZ -;}i- 8(k')
oG
+ 0(k
2)
zu ersetzen ist. Die Gleichung (6) nimmt so die Gestalt an:
(J z
(~~)' + cG 2 + 2n 2 (OIOg A~(~+ k2w)OZ + 4n 2k 2 (1-k 2) ~z_) (7) o'~ OZ' ow OZ ow' ow ow o(ki) + 4n2k2(1 _ k 2)
(; G o~~
+ n (n 22
1)k2 z G
=
0
.
Die mit den Ableitungen von G nach z multiplizierten Faktoren sind nun noch auf z und k 2 umzurechnen. Zunächst leitet man aus (1) und (2) in I, 396 leicht die Gleichungen ab:
l ;t:~
(~:r =
(8)
4z(1- z)(1 - k2 z), 2(1- 2(1
=
Die zweite Ableitung von ~ =
ow'
o'(snw') ow 2
z nach =
+ k )z + 3k z 2
2 2).
w können wir auch so entwickeln:
2snwo'snw Ow·
__1_(~(~nw)2)' ,ow
+ 2 (sn w)'
und folgern mit Rücksicht von (8) die sogleich zu benutzende Gleichung: 0' sn w
(9)
2)
2 2
snw ow' =-(l+k z+2kz.
Der Rest der Zwischenrechnung ist etwas umständliche!;. Subtrahiert man die durch Al (w) und All (w) geteilten beiden ersten Differentialgleichungen (5) in I, 470 voneinander, so ergibt sich bei Einführung der Logarithmen der Funktionen Al: o'log~ll (w)
ow'
_
o'log Al (w)
+(0 log All (W»)' _ (ClOg AI(7O»)'+2 k2w (0 log All (70) ow ow ow (0 logo(k') All (w) _ OlogAI(~) + 1 _ k 0 o(P) .
ow' olog Al (w») + 4k 2 (1- k2) OW
2=
Setzt man für All (w) das dieser J!'unktion gleiche Produkt sn w . Al (w), so folgt nach Multiplikation der entstehenden Gleichung mit 2n 2 (sn W)2 = 2n 2 z ) oz +4n21.2(1-k2)-~ 2 n 2(0IOg_~I(W)+J2 2 n 2 snw o'snw+ Ow' OW ,e w OW rv \ (k')
+ 2n (1 2
°
k 2)z
=
O.
208
I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen
Mit Benutzung von (9) finden wir somit:
2n 2
(0 logOWAl(w) + Pw) ow oz + 4n2k2(1-Jc2)r;~z-
o~~
=
4n 2Jc2 z (1-- z).
Auf Grund dieser Gleichung sowie der Gleichungen (8) und (9) lassen sich die Koeffizienten der Gleichung (7) durchweg auf z und 7;;2 umrechnen: Die Funktion G = GÖn)(z, k 2) befriedigt die partielle Differentialglei-
chung zweiter Ordnung:
o'G
(10)
4z(1-z)(1-7c 2 z) OZ'
+ 2 (1 + 2(- 1 + (n 2 -
1)Jc2)z - (2n 2 - 3) 7c2Z2)~;
+ n~(n2 -
1)k 2 zG
=
+ 4n 2Jc2(1- Jc2) :/(.)
O.
In diese Gleichung tragen wir den Ansatz:
G
=
ao + a1 ;:
+ a2Z2 + ...
ein, ordnen nach Potenzen von z und setzen den Koeffizienten der einzelnen Potenz ZV gleich O. Es ergibt sich:
(2v
+ 1)(2v + 2)av + 1 + 4n 2 Jc2(1- k 2) d~~;) + 4v(n2 + (n 2 _ 2v + 1)(n2- 2v + 2)7;;2 av _ 1 -:- O.
v)k 2 - v)a,.
Da die Produkte k- v • a p rationale ganze Funktionen der in (13) S.203 eingeführten Größe" sind, so ist es zweckmäßig, an Stelle der av diese Produkte zu berechnen und an Stelle von k 2 die Größe" als unabhängige Variable einzuführen. Wir gelangen so zu dem abschließenden Ergebnis, das die von J aco bi entdeckte Methode der Berechnung von G~n) begründet: Je drei aufeinander folgende Produkte Jc- v -1 • av+ 11 k- v av' k- v+ 1 a,v -1 sind dttrch die folgende Relation aneinander gebunden:
(11)
+ 2v(n 2-
(2v
+ 1)(2v + 2)(k- v- 1 • av + 1 ) + 2n2 ( 4 -
,(2)
d(1c- V a ) ~a;-!-
2v),,' (l.-v. av) + (n 2 _ 2v + 1)(n 2 - 2v + 2)(k- v+ 1 • av_1 )
=
O.
Mitte1st dieser Gleichung kann man die Ergebnisse des vorigen Paragraphen bestätigen und wesentlich ergänzen. Da aus (16) und (17) S.204 in jedem Falle n sowohl die beiden niedrigsten als auch die beiden höchsten Koeffizienten bekannt sind, so ist die Berechnung der übrigen auf rekurrentem Wege sowohl in aufsteigender als in absteigender Linie möglich. So findet man bei n = 4 unter zweckmäßiger Zusammenfassung der Glieder: {12)
G~4) (z,
k2) = (1
+ (JcZ)8) -
+ 32u(JcZ)3 + (JcZ)5) -
20 (JcZ)2 + (kZ)6)
2(8,,2 + 13)(Jcz)4.
Partielle Differentialgleichung für Go (z, k 2)
209
Für n = 5 reiht sich hieran: (13) Gb5J (z, k2 ) ~ 5 - 20x(7cz) + 2(8%2 + 31)(kz)2 - SO%(kZ)3 - 105(kz)4 360%(kz)5- 60(4%2+ 5) (k z) 6+ 16(4%3+ 23%)(kz)7 - 5(32%2 +25) (kZ)8 + 140x(kz)9 - 50{kz)10 + (kZ)12. Endlich ergibt sich für n = 6 wieder unter Zusammenfassung je zweier Glieder: (14) G~6) (z, k2) = (1 -'- (kZ)18) - 105«kz)2 - (kZ)16) + 44_8x((kz)3 - (kZ)15) -12(72%2+ 37){(kz)4_(kz)14) +768(%3+ 3x)(kz)5- (kZ)13)
+
- 4(64%4 + 840%2 + 621) (kZ)6 - (kzj12)
+ 192(Sx3 + 33%)((k4 -
(kzP) -126(32%2 + 15) ((kZ)8 - (kz)l°). Das Glied mit Z9 fällt aus. Durch die erste Relation (4) S. 201 zeigt man allgemein, daß der Koeffizient a n' stets verschwindet, falls n das Dop0,
pelte einer ungeraden Zahl ist.
-4-
209
Partielle Differentialgleichung für Go (z, k 2)
Drittes Kapitel.
Die Divisionssätze der elliptis'Chen Funktionen. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen sind von Ab el entdeckt und zum ersten Male in den "Recherches sur les fonctions elliptiques"l) Art. 14ft'. dargestellt. Die Erkenntnis Abels, daß die allgemeinen Teilungsgleichungen durch Wurzelziehungen lösbar sind,dürfte für seine allgemeinen Untersuchungen über algebraisch lösbare Gleichungen von wesentlichem Einfluß gewesen sein. Bei dem Interesse, das die Teilungsgleichungen als Beispiele für die Galoissche GIeichungstheorie darbieten, kommen die Divisionssätze ausführlicher in denjenigen Darstellungen zur GeJt~ng, bei denen algebraische Fragen im Vordergrunde stehen. So widmet C. Jordan in seinem bekannten Werke 2) ein besonderes Kapitel den Gruppen der Teilungsgleichungen, und zwar sowohl der hier zunächst zu behandelnden "allgemeinen" Teilungsgleichungen, wie der im nächsten Kapitel zur Sprache kommenden "speziellen" Teilungsgleichungen. Besonders ausführlich behandelt H. Weber die algebraische Seite der Divisionssätze in seinem Buche "Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen".3) Über die wirkliche Durchführung des Lösungsprozesses der allgemeinen Teilungsgleichung vgl. man L. Kiepert, "Auflösung der Transformationsgleichung und Div:ision der elliptischen Funktionen".4) 1) Journ. f. Math. Bd. 2 (1828). 2) "Traite des substitutions et des equations algebriques" (Paris, 1870). 3) Braunschweig, 1891. Eine zweite Auflage ist 1908 als dritter Band des S. 1 genannten "Lehrbuches des Algebra" erschienen. 4) Journ. f. Math., Bd. 76 (1873), S. 34. Frioke, Die elliptischen Funktionen II
14
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_4 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
210
1,3.. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
§ 1. Die a1lgemeine TeiIungsgleichung der 59-Funktion. Während das Ziel der Multiplikation bei den Funktionen go(u) und die Berechnung von ~(nu) und ~'(nu) aus !J(u) und ~'(u) ist, unter nirgendeine positive ganze Zahl verstanden, ist das Problem der Divisiön, bei gegebenen und durch die bekannte Relation verknüpften Funktions·
~'(u)
werten !J(u), !J'(u) die zugehörigen Werte ~(*),
!J'(*) zu
*
berechnen. Die
ganze Zahl n heißt der "Grad" der DiviSIon oder Teilung. Wird in den Gleichungen (2) S. 184 an Stelle von u der Wert (1)
!J (-U)) -
R(
n
!J(u)
,(U) -
0, ~() -
=
...
n
gesetzt,so folgt:
- n(SO'-(u) .. -. R'~(*))
Die erste dieser Gleichungen läßt sich auf Grund von (4) S. 184 nach Multiplikation mit dem Nenner ('I/1(n))2 der Funktion R in die Gestalt setzen:
(2)
!J (*) ('I/1(n) (*) )
2
_
'I/1(n-1)
(*) 'I/1(n+ (*) 1)
iJ (u) ('I/1(n) (:)
Y o. =
Die Darstellung der Funktionen 'I/1(n)(u) in iJ(u), !J'(u) geht aus (14) S.188 und (20) ff. S. 189 hervor. Man hat bei ungeradem n:
woran sich für ein gerades n die Gleichung schließt:
Die ß und r erweisen sich zunächst als rationale Zahlen; sie sind aber sogar ganze Zahlen, wie auf Grund der Rekursionsformeln (8) S. 185 aus den auf die niedersten n bezogenen Gleichungen (6) S. 185 hervorgeht. Benutzt man diese Ausdrücke der '!/J(n) zur weiteren Entwicklung der Gleichung (2), so ergibt die Zwischenrechnung, daß der Koeffizient der höchsten Potenz der unbekannten Funktion iJ(*) sowohl bei geradem als bei ungeradem n in einfachster Weise gleich 1 wird: Die Koeffizienten der Gleichung sind rationale ganze, ganzzahlige Fuuktionen von t g2' g3' (u). und sie sind speziell in !J(u) linear; die Dimension der Gleichung in u, 0011 002
!J
ist - 2n 2• Indem wir die Funktion
!J (*) als "Unbekannte" der Gleichung
d~rch Z bezeichnen, können wir die Gleichung (2) in die entwickelte Gestalt kleiden:
Ansatz der allgemeinen Teilungsgleichung und des Teilungsproblems
(3)
211
Zn' - n 2 SJ(u)zn'-l + a l (!g2)zn'-2 + (a2gs + a~(tg2)SJ(u))Zn2_3 + (aS (!g2)2 + a~gsSJ(u»)Zn'-4 + ... = 0,
wo die a l , a2 ,
a~,
a s , ... ganze Zahlen sind.
Die Gleichung (3) soll die "allgemeine Teilungsgleichung l ) der SJ-Funktion für den nler< Teilungsgrad" heißen. Das Teilungsproblem darf als erledigt gelten, wenn die Gleichung (3) nach Z aufgelöst ist. Kennt man nämlich sg
(*), so ist 8;/ (*) auf Grund der zweiten Gleichung (1) rational
berechenbar. Die Funktionen SJ
(*), SJ' (*) haben die Perioden nW
ll
nw2 • Der ein-
zelne Punkt des zugehörigen Periodenparallologramms der Ecken 0, nw 2 ,
nWl + nw2 , nW1 ist durch das hier auftretende Wertepaar SJ(*), SJ'(*) eindeutig angebbar. Das fragliche Parallelogramm läßt sich nun aus Wl, Ws bezogenen Teilung aufbauen. Die Angabe eines Paares zusammengehöriger Werte SJ(u), f,l'(u) legt aber in den n 2 kleinen Parallelogrammen ein System von n 2 homologen, bezüglich der Gruppe rCu) äquivalenten Punkten fest. Ist 2l der im ersten Parallelogramm der Ecken 0, Ws, Wl + W 2 , W 1 gelegene Punkt dieses Systems, so sind alle n 2 Punkte durch
n 2 Parallelogrammen der ursprünglichen, auf
(4)
2,p,=O, 1, 2, ... , n-l
gegeben, wo 1, fL alle n 2 Kombinationen der n ganzen Zahlen 0,1,2, ... , n - 1 durchlaufen. Abkürzend verstehen wir unter SJA/«U), SJl/«U) die beiden Funktionen:
(5)
SJl,,,(U) = SJ (u
+ lco! ~
(LC0 2 ) ,
~()2/«H) = SJ' (u
+ lco! ~
(LC0 2 ) •
Unser Teilungsproblem läuft dann darauf hinaus, bei Festlegung eines Systems von n 2 Stellen (4) im großen Parallelogramm durch Angabe eines
Paares zusammengehöriger Werte SJ(u), SJ'(u) die in jenen n 2 Stellen auftretenden Wertepaare 8;}l/«~)' SJ2/«*) zu berechnen. Im Anschluß hieran kann man das Teilungspro blem auch noch rein algebraisch aussprechen. Das einzelne Parallelogramm der ursprünglichen Teilung wird durch die Funktion z = sg(u) auf die in Bd. I mit F2 bezeichnete zweiblättrige Riemannsche Fläche des Geschlechtes p = 1 abgebildet, deren einzelner Punkt durch zwei zusammengehörige Werte z, w = 114zs - g2z - gs angebbar ist. Entsprechend gibt die Abbildung des Parallellogramms der Perioden nw u nW 2 durch z = ~(u) eine Riemann1) Im Gegensatze zur "speziellen Teilungsgleichung", die unten betrachtet wird. Wenn kein Zweifel vorliegt, mag der Zusatz "allgemein" auch fortbleiben. 14*
212
I, 3. Die Divisionssätzeder elliptischen Fuuktionen
Bche Fläche F2n• des Geschlechtes p = 1, die mit 2n 2 Blättern über der z-Ebene lagert. Ein Funktionssystem dieser F2n• haben wir dann in Z=so(*), W=V4Z3-g2Z-gS' Nun kann die F2n• offenbar auch
durch eine n 2-fache Überlagerung der F2 gewonnen werden. Unser Problem läuft dann darauf hinaus, für n 2 in den Exempla1'en der F2 homologe Stellen der F2n., wie sie dttrch Angabe eines Wertsystems z, w festgelegt sind, die n 2 zugehörigenWertsysteme Z, W zu bC1'echnen. Indem wir die in der Einleitung entwickelte Galoissche Gleichungstheorie auf die Teilungsgleichung (3) anwenden, gewinnt die Untersuchung neben dem algebraisch-funktionent,heoretischen Interesse noch einen wesentlichen arithmetischen Charakter, der durch den Bau der Koeffizienten der Gleichung (3) begründet ist. Als gegeben gilt mit der Gleichung (3) der weiterhin mit ~ zu bezeichnende Körper der rationalen Funktionen von &iJ (u), go' (u), deren Koeffizienten rationale Funktionen von g2' gs mit rationalen Zahlen7coeffizienten sind. Dabei liegt hier insofern noch eine Besonderheit vor, daß für uns n1~r solche Ausd1'ücke des Körpers ~ in Betracht kommen, die in u, mll m2 homogen sind. Sehen wir die Perioden mll m2 als veränderlich an, so bilden übrigens die von u unabhängigen Größen von ~ ihrerseits auch noch einen Fun7ctionenkörper, da sie rationale Funktionen der Modulformen Y2 (m 1, ( 2), gs (mI' ( 2) mit rationalen Zahlenkoeffizienten sind. Dieser Umstand wird für die Entwicklungen des nächsten Kapitels grundlegend, Als erster Satz der Teilungstheorie ist zu nennen: Die allgemeine Teilungsgleichunr; (3) ist im Körpe1' ~ irreduzibel und bleibt auch dann noch irreduzibel, wenn man zu ~ 'irgendwelche "von tt unabhängige" Irrationalitäten adjungier·t. Ist nämlich nach irgend welchen Adjunktionen dieser Art F(Z, gJC~l), gJ' Cu)) = 0 der irreduzible Bestandteil von (3), dem die erste Lösung SJ (6)
(*) genügt, so besteht die Gleichung: F(SJ(*), &J(u), SJ'(u))
=
0
in u identisch. Die Gleichung (6) bleibt also richtig, falls man tt um das Periodenmultiplum Äm 1 + !'m2 zunehmen läßt. Hierbei gehen so(tt) und so'(u) in sich über. Die Gleichung F(Z, ~}Cu), so'(u)) = 0 wird also durch alle n 2 Lösungen Z
=YA/1
(*)
des Teilungsproblems befriedigt und ist
demnach die Teilungsgleichung (3) selbst, die damit als irreduzibel erkannt wird. Zu den Funktionen (5) gehören für die Kombination Ä = 0, !' = 0 auch die ursprünglichen So (u), g,/(u). Setzt man in den übrigen (n 2 - 1) Paaren (5) das erste Argument u = 0, so gelangt man zu den abgekürzt durch So?,,, SJ~~t zu bezeichnenden Ausdrücken:
e
Einführung der Teilwerte
(7)
SJ AI1 = SJ
213
SJ).!, des n ten Teilungsgrades
~A!"
COI ~!LCO!)7 ~9~11 = ~9' ("COI~COt)7
die homogene Funktionen der Dimension (- 2) bzw. (- 3) der Perioden roll ro 2 allein sind und als die zum n ten Teilungsgrade gehörenden "Teilwerte" der Funktionen SJ und ~9' bezeichnet werden. Da ~9(U) eine gerade und Fr?' (u) eine ungerade Funktion ist, so gilt: '0 , n-p, = rY.,f-L' (/.);, (9', (8) n-A, n-A,n-,u = - '0'2"u· Man folgert hieraus leicht die Sätze: Bei 1J;ngeradem n gibt es nur t(n 2 - 1) verschiedene Teilwerte &9),!" und die (n 2-1) Teilwerte S021' sind zu je zweien I)
r)
!)
+
einander entgegengesetzt. Bei geradem n hat man erstlich t(n 2 2) Teilwerte SJÄ,u' unter denen sich die drei schon beim Grade 2 auftretenden Teilwerte: (9)
S9no=&J(~1)=el> 2 '
SJ o
:,:_=So(~')=e2' S9~n=.\0(COltC02)=e3
, 2
2 ) 2
finden (vgl. (13) in 1,217); von den 69~1' verschwinden die den drei Teilwerten (9) entsprechenden identisch, während die (n 2- 4) übrigen zu je fJweien entgegengesetzt sind. Nach den Additionssätzen sind übrigens 69)'11' 69~1' rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten in g2' g37 69 20' 690 11' &J;.o, gJ~,u darstellbar. Ferner sind nach den Multiplikationssätzen 8°"0 und goou wieder rationalll1it rationalen Zahlenkoeffizienten in g2' g3 ~nd 69 10 'bzw. fJ 01 darstellbar, und für SJ;.o, S9~" hat man entsprechende Darstellungen unter Hinzunahme von So~o bzw. S9~1' Jedenfalls sind also die gesa,mten Teilwerte des n ten Teilungsgrades rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten in g27 g3' 69 10' &9 01 , S9~0' S9~1 darstellbar, wobei iibrigens die beiden &J~o' gJ~l aus g2' g3 und 8'\0 bzw. gJ01 mittels zweier Quadratwurzeln berechenbar sind, Es besteht nun der wichtige Satz: Die Teilwerte des n ten Teilungsgrades gehören zu den natürlichen Irrationalitäten der allgemeinen Teilungsgleichung dieses Grades. Der zur Teilungsgleichung gehärende Galoissche Körper entsteht nämlich aus ~ durch Adjunktion aller 12 2 Lösungen
69.111(*) der Teilungsgleichung. Diesem Galoisschen Körper gehören wegen
der Gleichung:
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 214 woraus unmittelbar hervorgeht, daß &"'lu dem fraglichen Galoisschen Körper angehört. In derselben W eise erk~nnt man auch die Zugehörigkeit der &"';" zu diesem Körper. Wir wenden uns nun zunächst zu der Frage, wie sich der Lösungsprozeß der allgemeinen Teilungsgleichung gestaltet, wenn bereits alle natürlichen Irrationalitäten, die von u unabhängig sind, also insbesondere die Teilwerte &""'" &"';" adjungiert sind. Den alsdann zugrunde liegenden Körper (~, &° 2 ", so~.u, ... ) nennen wir kurz ~'. Entsprechend der allgemeinen Theorie (S. 76 ff.) haben wir zur Beantwortung dieser Frage zunächst die "Monodromiegruppe" der allgemeinen Teilungsgleichung aufzustellen.
§ 2. Die !Ionodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung. Nach S. 77 wird die Monodromiegruppe der Teilungsgleichung (3)
S. 211 von allen Permutationen der n2Lösungen Z =
rPl." (:) geliefert, die
bei den Umläufen von z auf der Riemannschen Fläche F2 oa:e~ (was auf dasselbe hinauskommt) bei den Substitutionen:
(1) der Gruppe
rPl"(:)
auftreten. Bei der einzelnen Substitution (1) aber geht
r(u)
einfach in&",l.'",(:) über, wo ).,',p,' aus:
(2)
A'
= )., + m
17
!L' =!L
+m
2
(mod. n)
+
zu berechnen ist. Nennen wir die Substitution u' = u + m~ W1 m~ Ws mit der Substitution (1) kongruent modn, falls m~ m17 m~ m2 (mod. n) zutrifft, so ist einleuchtend, daß alle mod n miteinander kongruenten Substitutionen ein und dieselbe Permutation der n 2 Wurzeln der Teilungsgleichung bewirken. Insbesondere ergeben die Substitutionen der in I, 375 mit r~~) bezeichneten "Hauptkongruenzgruppe n ler Stufe" innerhalb der r(u)
=
die identische Permutation der
=
rP1" (:) .
Andererseits liefern n 2 mod n inkongruente Substitutionen (1) ebenso viele verschiedene Permutationen der n 2 Wurzeln der Teilungsgleichung;
6"""(:)' wie aus (2) leicht folgt,
denn es wird irgendeine erste Lösung
durch jene n Substitutionen in alle n verschiedenen Lösungen unserer Gleichung übergeführt. Je zwei der n 2 PerJb.utationen sind zufolge des Gesetzes (2) "kommutativ". Nach der allgemeinen Theorie haben wir also folgenden grundlegenden Satz: Die Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung (3) S. 211 ist eine "kommutative", einfach transitive Gruppe Gn , der Ordnung n 2 ,. die Teilungsgleichung selbst ist demnach im Körper 2
~ = (~,
&"'1.", rP~ 1"
2
• • .)
eine Abelsche Gleichung und als solche algebraisch
215
Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung
lösbar. Das Kennzeichen einer Abelschen Gleichung, daß jede ihrer Wur-
zeln in jeder anderen rational!darstellbar ist, und daß je zwei hierbei auftretende rationale Funktionen kommutativ sind, muß also an unserer Teilungsgleichung erfüllt sein. Die rationale DarsteIlbarkeit ist aus dem Additionstheorem unmittelbar ersichtlich; so gilt z. B. als Darstellung von
gJlP(:)inSQ(:):
.
.
z,u)2 (U) (nU) =4"1 (!J'(-;-)-t (~)-J -gJ n - s,Jll' 1). J
(3)
g,],p
.,!J n
8 'I'
Um die algebraische Lösung der Teilungsgleichung wirklich durchzuführen, haben wir auf die Struktur der Gruppe Gn , und· die in ihr enthaltenen Untergruppen einzugehen. Ehe dies geschieht, sollen noch einige hemerkenswerte Darstellungsformen der Gn' erwähnt werden. Sieht man die mod n kongruenten Substitutionen (1) als nicht verschieden an, so reduziert sich die r(u) auf eine endliche Gruppe Gn', deren Substitutionen man zweckmäßig symbolisch durch die Kongruenzen:
(4) an Stelle der Gleichungen (1) darstellt. Die ganzen Zahlen m l1 m z wird man dabei auch nach Kombination zweier Substitutionen stets auf ihre kleinsten, nicht·negativen Reste mod n reduzieren. Diese Gn, ist der Monodromiegruppe der Teilungsgleichung isomorph und darf als eine Darstellungsform jener Gruppe benutzt werden. Für die Untersuchung der Untergruppen jener Gruppe ist diese Darstellung besonders geeignet. Nach I, 190 liefert jede Substitution (1) eine eindeutige Transformation der Riemannschen Fläche F2n, in sich, die wir oben vom Parallelogramm der Perioden nro u nro 2 aus herstellten. Dabei ergeben zwei mod n JwngruenteSubstitutionen (1) ein und dieselbe Transformation der Fläche in sich, während die n 2 mod n inkongruenten Substitutionen ebenso viele verschiedene Transformationen liefern. Diese n 2 Transformationen der F2n, in sich bilden dann ihrerseits wieder eine Gruppe Gn" in der wir eine neue Ausdrucksform . unserer Monodromiegruppe finden. Das Additionstheorem gestattet eine algebraische Darstellung der Gruppe zu gewinnen, und zwar ist hier die Gestalt (16) S. 161 der Additionsformeln Setzt man in dieser Proportion .!!'n.. statt u und +~C02 statt v ein, so erhält man bei Benutzung der algebraischen
besonders geeignet. lco,
n
1) Man beachte, daß S9' (:) zufolge der. zweiten Gleichung (1) S. 210 rational
in !J (-:-) und Größen des Körpers
~
darstellbar ist.
216
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
Schreibweise:
~(:)=Z,
als
~'(-~)=w, ~oJ.,,(:)=Z', ~~,,(:)=W' der Substitution u' = U + AUl l + 11U1 2 entsprechend die Transformation:
(5) Z': W:: 1 =(W2~J.I'-Z~;;' - (2 W~;I' + g2(Z+ iJ J.I')+3gs)(Z -~J.,,)) : «(W~o~1' + 3gs)(W - &J~.,,) + 2(6Z &Ji..u - g,;)(Z&J~I'- W&J).,") + g2(ZW -&Ji'I'&J~f) : (W 2 - &J;~ - (12Z&Jll' - g2)(Z - &JA,,), Die Gn' erscheint hier eingekleidet in eine Gruppe eindeutig umkehrbm'er quadratischer Trans{ormationen der Z, W. Eine Erniedrigung des Grades dieser Transformationen tritt in den beiden niedersten Fällen n = 2 und 3 ein, Im Falle n = 2 ist &JJ.ft eine der drei Größen el , e21 es, etwa ei , während so~1' = 0 ist. Ersetzt man auf der rechten Seite von (5) die g21 gs durch ihre Ausdrücke in eu e2 , es und W 2 durch 4(Z - Cl) (Z - e2 ) (Z -cs), so läßt sich nach den nötigen Zwischenrechnungen aus den drei Gliedern der Proportion der gemeinsame Faktor 4(Z -- Ci) herausheben, und es verbleibt die Proportion:
(6) z': W' : 1
=
(Z - ei ) (e.Z
+ e7 + ckel) : -
(2e;
+ ekel) W: (Z -
e;)2.
Die drei von der Identität verschiedenen Transformationen der G4 werden demnach in Z allein linear und führen uns zu den Substitutionen (2) in 1,133 zurück. In der Tat ist ja die vorliegende Gruppe für diejenige zweiblättrige Riemannsche Fläche F~ des Geschlechtes 1, welche durch Abbildung der F8 vermittelst der Funktion Z gewonnen wird, einfach die Vierergruppe der Transformationen der zugehörigen Verzweigungsform insich (vgl. I, 133ff.). Im Falle n = 3 handelt es sich bei der Herabminderung des Grades . der Transformationen (5) um einen bei den Anwendungen der elliptischen Funktionen auf die Theorie der Kurven dritten Grades bekannten Satz, der übrigens in der von Klein entwickelten "Theorie der elliptischen Normalkurven" verallgemeinert ist. 1) Statt übrigens die Transformationen (5) einer direkten algebraischen Umformung zu unterwerfen, kann man sich zum Beweise des Satzes, daß für n = 3 die neun Transformationen der Fläche F18 in sich in Z und W linear werden, der folgenden funktionen theoretischen Überlegung bedienen: Die bei den Funktionen ~)." (u), &J~.u(u) sind zwei- bzw. dreiwertig und haben einen Pol zweiter bzw. dritter Ordnung an der Stelle _ aOJ, ~ /LOJ 2 • 1) Vgl. Klein, "Über die elliptischen Normalkurven der n ten Ordnung und zugehörige Modulfunktionen der n ten Stufe", Leipziger Abhandl., Bd. 13 (1885), sowie die Darstellung in "Modulfunktionen", Bd. 2, S. 237 fr., insbesondere S.248.
217
Algebraische Darstellung der Monodromiegruppe
Nach dem Abelschen Theorem (vgLI, 214 ff.) gibt es eine dreiwertige doppeltperiodische Funktion 1/J Cu), die an jener Stelle einen Nullpunkt dritter Ordnung und bei u = 0 einen Pol dieser Ordnung hat. Diese Funktion 1fr Cu) läß.t sich nach der Regel (4) in 1,206 so darstellen:
1/J (u)
+ Cl SJ (u) + c2 SJ' (U ) ,
Co
=
wo die C von u unabhängige Größen sind und c2 von 0 verschieden ist. Übrigens ist 1frCu) durch Pol und Nullpunkt nur erst bis auf einen von u unabhängigen, beliebig wählbaren Faktor bestimmt. Wir verfügen über diesen Faktor so, daß ~2 = - gJ~,u wird. Die Werte Co und Cl ergeben sich dann aus dem Umstande, daß wegen des Nullpunktes dritter Ordnung an der Stelle - "CO, 1jJ' (u) =
tEL co~ sowohl 1/J (t~) als auch die Ableitung: Cl
SJ' (u) + Cd'/' (u) =
Cl
V' (u)
+ C2 (6SJ(U)2 -
verschwindet. Hieraus ergeben sich, wenn wir noch c2 = die beiden Gleichungen:
(7)
1fr (u)
=
SJ;"
eintragen,
_ s + g2 SJi" + gs, + Cl SJA,u -- - ${\"'2 -, - 4 SJi." Cl + 6g{u - t g2 = 0,
Co
aus denen sich
-
tg2)
Cl
und c2 sofort bestimmen. Man findet:
(2 SJi"
+ tg2 SJJ.I' + gs) -
(6 SJL
-
tg~) SJ(tt) - SJ~,,, S\/ (u) .
Die beiden Produkte 1/J(u) ·'Pl,I (u) und 1/J(tt). sJ;." (tt) sind nun als dreiwertige doppeltperiodische Funktionen mit Polen dritter Ordnung bei U = 0 gleichfalls inden Gestalten:
{1/J (u)SJi.,u (u) 1/J (tt)S9~/, (u)
(8)
= =
+ Ud:l(U) + a2s;/(u), bo + bl SJ(u) + b2 &9' (u)
Uo
darstellbar. Die Koeffizienten aOl 011 ... , b2 lassen sich aber leicht mittelst der Reihenentwicklungen bestimmen. Man hat erstlich wegen der rechten Seiten der Ansätze (8):
{
(9)
1/J(U)8J i,U Cu) 1/J(tt)SJ;.,u(u)
=
-
=
-
2a 2 u- s + Ul tt- 2+ ao+ ... , 2b2 u- 3 + b1 tt- 2+ bo + ... .
Auf der anderen Seite folgt aus (7):
1/J(tt)
=
269;.1' u- 3 - (6g{u - tg2) u- 2+ (2S9L, + -}g2 gJ A1,
+ gs) + ... ,
und man findet bei Benutzung der Regeln (15) S. 188:
+ 69;'p.tt + -}(6g;>i " -~g2)U2 + 269J.I,SJ;"U3 + ... , , () ' '(6 &9 i2.,u - 21g2) tt + 6 &9;.,,, &9)'.... u 2 + ~JJ.p. U - &9;.,u + + (20S:iL, - 3g2 69ip. - 2gs)uS + ....
8J;.,u(tt) = S9J.p.
Durch Multiplikation dieser Reihen mit der für l/J (u) gewinnt man die fertige
218
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
Gestalt der Anfangsglieder der Reihen für t/J(u)f"ll'(u) und t/J(u)&,,~I'(u), so daß der Vergleich mit den Ansätzen (8) die Bedeutung der Koeffizienten ao, al l . • . , b2 aufklärt. Man schreibe endlich in den Gleichungen (7) und (8) noch ~ an n
Stelle von u und führe übrigens wie oben (S. 216) die algebraischen Bezeichnungen Z, W, Z', W' ein. Als Ergebnis findet man: Im Falle n, = 3 stellen sich die 9 Transformationen der Riemannschen Fläche F18 in sich mittelst der Z, W durch folgende lineare Substitutionen dar:
(10)
Z' : W' : 1 = (2 &"t,
-
tg2 f"lf' - 2gs) Z - S"J.f'f"~~ W - (t g2 &"~I' + 3gs f"lf' + t g;i)
: (6 f"~ I' -- t g2) So~1' Z - &"~ 7, W : (- (6 &O~I' - }g2)Z - &";./, W
+ (6 &"t, - t g2 S"J.I' -
3 gs) &0; 1')
+ (2&,,~1' + tg2 &Oll' + gs)·
§ 3. Zyklische Untergruppen der G n • und Kongruenzgruppen n ter Stufe. Für die Snbstitutionen der Gruppe Gn• gebrauchen wir fortan die u'
Schreibweise:
=u + lro] +mro
2
(mod n);
wir bezeichnen diese Substitutionen durch So = 1, S11 S2' ... , S"'_l und deuten die einzelne unter ihnen auch durch das Symbol (l, m) an. Es soll nun zunächst die Entwicklung, welche in 1,377 für n = 2 ausgeführt wurde, auf beliebiges n übertragen werden. Zu diesem Zwecke stellen wir erstlich die "Perioden" der Substitutionen S und damit die "zyklischen Untergruppen" der G,,' fest. Die vte Potenz von S = (l, m) ist einfach Sv = (vl, vm). Soll Sv = 1 sein, so müssen die beiden .Zahlen vl, vm zugleich durch n teilbar sein. Ist t der größte gemeinsame Teiler von 1 und m, so gibt es zwei ganze Zahlen a, b, die die Gleichung al + bm = t befriedigen. Soll demnach Sv= 1 sein, so ist hierzu notwendig und offenbar auch ausreichend, daß:
a . vl
+ b . vm =
vi
durch n teilbar ist. Die kleinste, dieser Bedingung genügende positive wo Zahl v ist !:, 'r
't'
der größte gemeinsame Teiler von t und n ist. Im
Falle 't' = 1 nennen wir das Zahlen paar l, m teilerfremd gegen n. Die sogleich näher zu bestimmende Anzahl inkongruenter und gegen n teilerfremder Zahlenpaare mod n werde durch das Symbol x(n) bezeichnet. Wir merken vorläufig den Satz an: Die Periode der einzelnen Substitution S ist stets ein Teiler von n; insbesondere hat man X(n) Substitutionen der Periode n.
Anzahl der gegen n teilerfremden Zahlenpaare
219
Zur Bestimmung der Anzahl x(n) nehmen wir an, daß n das Produkt n 1 • n 2 zweier teilerfremder ganzer Zahlen n u n2 sei. Für das einzelne Paar l, m geIte: (i=
1,2)
wo die l;, mi Zahlen der Reihe 0, 1, 2, ... , ni - 1 sind. Das einzelne Paar l, m reduziert sich also nach den Moduln ni auf zwei bestimmte Restpaare l" mj • Auch umgekehrt gelangen wir durch Kombination der ni Restpaare l11 m 1 , mit den n~ Restpaaren l2' m2 zu den gesamten n~ . n; = n 2 Restpaaren mod n zurück. Die einzelne Zahlklasse mod 11, ergibt sich nämlich entsprechend durch Kombination der 11,1 Zahlklassen mod 11,1 mit den n2 Klassen mod n 2. Aus den Gleichungen:
(1) in denen die (x, ß ganze Zahlen sind, ist einleuchtend, daß der größte gemei)1same Teiler Ti von li' mil n i auch als Teiler in l, mund n enthalten ist. Haben andrerseits l, mund n einen Prim teiler p gemein, so ist p in n i , d. h. in einer der Zahlen n u n 2 , als Faktor enthalten und geht zufolge (1) auch in li und mi auf. Die sämtlichen gegen n teilerfremden Paare l, m erhalten wir also gerade genau, wenn wir die x(nt ) gegen n 1 teilerfremden Paare lt, m1 mit den X(n 2 ) gegen n 2 teilerfremden Paaren kombinieren. Es gilt demnach für die Anzahl X das Gesetz X(n i . 11,2) = x(n1) . x(n2), falls n 1 und n 2 teilerfremd sind. Hiernach braucht man X(n) nur noch in dem Falle zu berechnen, daß n eine Primzahlpotenz p" ist. Unter den p" inkongruenten Zahlen 0,1,2, .. . ,p" - 1 sind aber p,,-1 durch p teilbar und (p" - p,,-i) teilerfremd gegen p. Wird l gleich einem dieser (pv - p"-i) teilerfremden Reste gesetzt, so liefert jedes m ein gegen p" teilerfremdes Paar l, m, was p"(p" - p"-1) inkongruente Paare ergibt. Setzt man aber l gleich einem der pv-1 durch p teilbaren Reste, so sind für m nur noch die (p"_ pV-1) gegen p teilerfremden Reste zugänglich, was noch p"-1(p"_p"-1) Paare liefert. Hieraus folgt:
x(p") =
p"(p" - p.-l)
+ p.-l(p. _
p'-1) = p2"
(1 _ ;.)
und damit der allgemeine Satz: Ist die Prvmfaktorenzerlegttng der Zahl 11, durch n = P~' . p1' . p;' ... gegeben, so ist die Anzahl xCn) der gegen n teilerfremden Paare l, m und damit die Anzahl der in G11' enthaltenen Substitutionen der Periode n:
(2)
xCn)
=
11,2(1-
;i)(1- ;5)(1- ;~) ....
Jede dieser x(n) Substitutionen S der Periode n erzeugt eine zyklische Untergruppe Gn der Ordnung n. Soll unter den n Substitutionen
220
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
S~ dieser Gn die einzelne S" wieder die Periode n haben, so ist hierzu notwendig und hinreichend, daß v teilerfremd gegen n ist. Da unter den Resten mod n im ganzen:
(3)
epen)
=
n(1 -
p~) (1
-
~J
(1- ~) ...
teilerfremd gegen 12 sind, so enthält die Gn insgesamt epen) Substitutionen der Periode 12 und kann aus jeder dieser Substitutionen erzeugt werden. Erklären wir neben x(n) und epen) eine dritte von 12 abhängige Anzahl 1/!(n) durch: ljJ (n)
(4)
=
12 (1
+
;J
(1
+
;J (1 + ;J ... ,
= ep (n) . 1/! (n), und wir gewinnen den Satz: Als zyklische Untergruppen höchster Ordnung treten in der G r; im ganzen 1/!(n) Unterg1"Uppen G n der Ordnung 12 auf: Da G n• eine Abelsche Gruppe ist, so ist jede dieser G n eine "ausgezeichnete" Untergruppe der G n" Innerhalb der Gruppe r(u) der Substitutionen u' = u lOO 1 1noo z
so gilt X (12)
+
+
bilden nun alle Substitutionen, die mit den Substitutionen einer vorgelegten zyklischen Gn mod 12 kongruent sind, eine durch r~U) zu bezeichnende Untergruppe, welche die in 1,375 erklärte Hauptkongruenzgruppe r~~) der n ten Stufe in sich enthält. Wir nennen auch r~U) eine "Kongruenzgruppe n ter Stufell und haben unseren 1/!(n) zyklischen Gn entsprechend I/J (12) innerhalb der Gesamtgruppe r(u) ausgezeichnete Kongruenzgruppen n ter Stufe r~). Daß sie ausgezeichnet sinß, folgt in der Tat unmittelbar
wieder aus dem kommutativen Charakter der r(u). Wie im Falle 12 = 2 (vgl. I, 379ff.) gestalten sich die Verhältnisse aber wieder anders innerhalb der ternären Gruppe r(u,wl, in welcher die r(u) als ternäre Untergruppe der Substitutionen:
(5) und die Modulgruppe
(6)
, u = u,
r(w)
als ternäre Untergruppe der Substitutionen:
enthalten ist. Transformiert man nämlich die kurz durch S = (l, m) zu bezeichnende Substitution (5) mitte1st der unter (6) gegebenen Substitution V der pw), so wird, wie schon in 1,379 festgestellt ist, die transformierte Subsitution:
(7)
S' = V· S· V-l = (l', m') = (lo - mr, - lß
°
+ mlX).
°
Gilt nun zunächst 1= m (mod 12), so ist freilich auch l' - m' = (mod n), woraus man folgert, daß die Hauptkongruenzgruppe r~~) auch in der ternären Gruppe r(u,w) attsgezeichnet ist. Demgegenüber wird z. B. die Substitution S = (0, 1) in S' = (....:. r, IX) transformiert. Nun kommen in der r(w) als Zahlen - r, IX alle Paare teilerfremder ganzer Zahlen vor·
Die 1/J(n) KongJ:l1.enzgruppen n ter Stufe
221
r~U)
Geben - y, a als kleinste nichtnegative Reste mod n die Zahlen lo, mo, so haben wir in lo, mo sicher ein gegen n teilerfremdes Zahlen paar, da ein gemeinsamer Teiler 't' von lo, mo und n auch y und a zugleich teilen würde. Andrerseits kann man zu irgendeinem gegen n teilerfremden Paare lo, mo stets zwei mod n mit lo bzw. m o kongruente Zahlen - y, a angeben, die zueinander teilerfremd sind. 1) Die Substitution S = (0, 1) ist also durch Transformation mit einem geeignet gewählten V in ein S' überführbar, welches mit einer "beliebigen" unserer obigen Substitutionen (l, m) der Periode n kongruent ist. Hieraus ergibt sich insbesondere: Die 1fJ(n) innerhalb der r(u) ausgezeichneten Kongruenzgruppen r~u) werden innerhalb der ternären Gruppe r(u,w) miteinander "gleichberechtigt", d. h. ineinander transformierbar. Es gelten also für beliebiges n dieselben Sätze, die in I, 378ff. für n = 3 gewonnen wurden. Die Ergebnisse kaun man auch in geometrische Gestalt kleiden. .Als Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe r~~ kann man das Parallelogramm der Ecken 0, nw 2 , nW1 + nw 2 , nW1 benutzen, das aus n 2 "quadratisch" angeordneten Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes zusammensetzbar ist.. Übt man jetzt alle linearen Transformationen der r(w) aus (die offenbar auch für die beiden Perioden nW ll nW2 die gesamten "linearen Transformationen" (vgl. 1,184) liefern), so nimmt das große Parallelogramm unendlich viele verschiedene Gestalten an, die aber alle nur wechselnde Formen des Diskontinuitätsbereiches einer und derselben Gruppe, nämlich der ausgezeichneten r~~) sind. Für eine einzelne der 'l/J (n) Kongruenzgruppen r~ul, etwa die durch 1 = (mod n) erklärte, ist ein Diskontinuitätsbereich als Parallelogramm der Ecken 0, w2 , nW1 + w2 , nW 1 wählbar, das aus n "linear" aneinander gereihten Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes besteht. Wendet man jetzt auf dieses Parallelogramm der Ecken 0, w2 , nW1 + w2, nW1 die gesamten linearen Transformationen der r(w) an, so sind die entstehenden unendlich vielen Parallelogramme nicht mehr Diskontinuitätsbereiche einer und derselben Gruppe; aber sie liefern, als Dis7continuitätsbereiche aufgefaßt, doch nur endlich viele verschiedene Grttppen, nämlich eben unsere 1fJ (n) gleichberechtigten Kongruenzgruppen r~).
°
1) Man nehme etwa I' = -lo und bezeichne mit 1'0 das Produkt aller Primfaktoren von 1', die nicht zugleich in n aufgehen. Dann ist eine ganze Zahl a entsprechend der Kongruenz an = 1 - tno (mod 1'0) angebbar, da der Faktor n der linken Seite zum Modul 1'0 teilerfremd ist. Setzt man nun oe = '1110 an, so ist a _ 1 (mod 1'0) und also teilerfremd gegen 1'0' Hätte also IX mit I' = - lo niindestens einen Primteiler p gemein,. BO würde es sich um einen zugleich in n aufgehenden Teiler handeln, der zufolge tno = a - an auch mo teilen würde. Dies widerspricht aber dem Umstande, daß das Paar lo, tno teilerfremd gegen n ist. In - 1', IX haben wir also teilerfremde Zahlen, die mod n mit 10 bzw.m o kongruent sind.
+
222
Zwei abgekürzt durch V = (;: Substitutionen der grnenzen:
(8)
n
1, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
a'
=
r(w)
a,
!) und V' = (;::
zu bezeichnende
heißen mod n kongruent, wenn die vier Kon-
ß' = ß,
r' =
r,
d' = d
(mod n)
bestehen. Wir kennzeichnen ihr Zutreffen kurz durch V' = V (mod n). Gilt V'= V (mod n), so ergibt V', mit der zu V inversen Substitution V-i kombiniert, in V'· V-i eine mit der identischen Substitution Vo = (~: ~) oder kurz Vo = 1 kongruente Substitution. Ist zweitens eine der beiden Substitutionen V, V' mit der identischen Substitution kongruent, so ist V' . V mit der anderen kongruent. Diese Angaben folgen sofort aus der Regel, nach der sich die Koeffizienten einer aus zwei Substitutionen zusammengesetzten Substitution berechnen (s. Gleichung (2) in I, 127). Es folgt, daß alle mit der identischen Substitution Vo= 1 mod n kongruenten Substitutionen der r(w) eine Untergruppe bilden, die nach 1,375 die "Haupt7congruenzgruppe n ter Stufe" innerhalb der r(w) heißt.!) Ist V 1 (mod n) und V' beliebig, so ist V'·V=V' und also V'·V·V'-1-1 (mod.n).
=
Die Haupt7congruenzgruppe nter Stufe ist also eine ausgezeichnete Untergruppe der r(w). Bildet man für diese Untergruppe nach dem Schema (2) oder (4) S.4ff. die Nebengruppen, so erscheinen in der einzelnen Nebengruppe alle Substitutionen der r(w) vereint, die mit einer unter ihnen mod n kongruent sind. Der Index der Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe ist demnach gleich der Anzahl mod n inkongruenter Substitutionen in der r(w). Da aber jede Substitution V mit ihren vier Koeffizienten eine Lösung der Kongruenz:
(9)
ad - ßr
1
(mod n)
in ganzen Zahlen a, ß, r, d ergibt, so ist die Anzahl der mod n inkongruenten Substitutionen sicher nicht größer als die Anzahl inkongruenter Lösungen der Kongruenz (9). Diese Anzahl stellen wir leicht fest. Zunächst muß a, r wegen (9) ein gegen n teilerfremdes Restpaar sein, und wir haben x(n) derartige Paare. Ist beim einzeln~n solchen Paare a teilerfremd gegen n, so ist ß unbeschränkt, und für jedes ß ist ein zugehöriges d aus (9) eindeutig bestimmt, was für dieses Paar a, r im ganzen n inkongruente Lösungen von (9) ergibt. Hat aber a mit n den größten Teiler 't' gemein, so ist r teilerfremd gegen 't', und die aus (9) folgende Kongruenz ßr = - 1 (mod 't') hat eine und nur eine Lösung ßo. Wir finden 1) Es ist dies die in "Modulfunktionen" Bd.1, S.387ff. ausführlich untersuchte Gruppe.
Hauptkongruenzgruppe r~"2 in der Modulgruppe
r<W)
223
aus ihr !!:.. mod n inkongruente Zahlen: 'r:
ß=ßo,
ßo+-r,
ßo+(~ -1)-r (modn)
ßo +2-r, ... ,
als zugehörig. Für jede einzelne dieser Zahlen (ßo Kongruenz: :o_~o1''r:+l+rv (mod ~)
+ v-r) ist
weiter die
°
nach zu lösen. Sie hat mod n-r- 1 "eine 11 Lösung 00' aus der -r mod n inkongruente Zahlen:
00
+ 2!!:.., 'r:
... , 00
+ (-r -
1)!!:.. 'r:
als brauchbar hervorgehen. Wir haben also auch jetzt für das einzelne Paar
Cl,
r im
ganzen -~. 'r:
1:' =
n Lösungen der Kongruenz (9), so daß wir
als Anzahl inkongruenter Lösungen' von (9) finden:
(10)
nx(n)
=
n 3 (1 -
;i) (1 - ;i) (1 -
;~)
.. '.
Es geht nun schon aus der Fußnote von S.221 hervor, daß alle X(n) inkongruenten Paare Cl, I' in der rem) wirklich auftreten. Zum einzelnen Paare teilerfremder Zahlen Cl, r gehören aber nach (1) in 1,292 die einfach unendlich vielen Substitutionen:
v = (a, ~ + va). 1', !l'+v1'
(v=·. ',- 2, -1,0,1, 2,··-)
Wir erkennen sofort, daß unter ihnen genau n inkongruente Substitutionen enthalten sind, die wir etwa für v = 0, 1, 2, ... , n - 1 gewinnen. Also haben wir für alle nx(n) inkongruenten Lösungen von (9) zugehörige Substitutionen V, woraus hervorgeht, daß der Index der Hauptkongruenzgrttppe n ter Stufe innerhalb der rem) durch die in (10) dargestellte Anzahl nx(n) gegeben ist. Die fragliche Untergruppe möge dementsprechend durch r~~(n) oder kurz durch r~~ bezeichnet werden. Sehen wir je zwei mod n kongruente Substitutionen V als nicht verschieden an, so reduziert sich die Gruppe rem) hiernach auf eine Gruppe G nx(n) der endlichen Ordnung nx(n), deren Substitutionen wIr zweckmäßig durch: (11)
m~
= Clm 1 + ßm 2,
m~
=rm1 + om2
(mod n)
bezeichnen. Die Kongruenzzeichen beziehen sich natürlich auf die ganzzahligen Koeffizienten Cl, ß, 'Y, 0, die nur mod n zu unters~heiden sind. Das Gesetz der Kombination zweier Substitutionen ist selbstverständlich das bisherige; nur tritt an Stelle der "Gleichung" (2) in I, 127 hier eine entsprechend gebaute "Kongruenz". Zur deutlicheren Unterscheidung der
224
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
Gruppe Gnx(n) von den oben betrachteten Gruppen G n• und Gn der Substitutionen S schreiben wir genauer G(W)( ) sowie- G(~ und G(Il). nx n n n Reduzieren wir endlich die ternäre Gruppe
r(u,,,,)
mod n, so gelangen
wir zu einer Gruppe G~~';)!n) der Ordnung n3x(n), in der (nach der oben bei den Gruppen r(u,O), r(u), r(w) dargestellten Auffassung) sowohl die G~~) (und damit auch ihre zyklischen G~U» als auch die G~w;(,,) als Untergruppen enthalten sind. Da die Regel (7), nur als Kongruenz .mod n geschrieben, gültig bleibt, so folgert man aus den üben aufgestellten Sätzen betreffs der zyklischen G~U) die Angaben: Die 'IjJ(n) zyklischen Untergruppen G~u) sind zwar in der G~~) ausgezeichnet, dagegen werden sie in der G~~';ln) gleichbm'echtigt, ja innerhalb dieser letzteren Grztppe sind sogar alle X(n) Substitutionen S der Periode n gleichberechtigt. Zwei unter den 'IjJ(n) zyklischen Untergruppen G~u) mögen zu einander "komplementär" heißen, wenn sie außer der identischen Substitution keine Substitution gemein haben. Es süll festgestellt werden, wie viele unter den 'IjJ(n) zyklischen Gruppen mit einer vorgelegten unter ihnen komplementär sind. Da alle du) innerhalb der G(~'w) ineinander transn"x
n
formierbar sind, so ist die gesuchte Anzahl ein und dieselbe, welche G~U) wir auch vorlegen mögen. Wir wählen etwa die aus S = (0,1) zu erzeugende G;;) und schreiben T = (l, m) als erzeugende Substitution einer Dann darf keine der (n - 1) Substitutionen komplementären T"= (vl, vm) mit v = 1,2, ... , n - 1 der aus S zu erzeugenden G;,U) angehören, d. h. keine der Zahlen l, 27, ... , (n - l)l darf durch n teilbar sein, was einfach darauf hinausläuft, daß 1 einer der g; (n) gegen n teilerfremden Reste mod n ist. Da m unbeschränkt bleibt, so haben wir n g; (n) brauchbare T und gewinnen den Satz: Mit der einzelnen der 'IjJ(n) G1'Uppen G~U) sind immer n dieser zyklischen Gruppen komplementär, Die Bedeutung des Begriffs der komplementären G~U) geht aus folgendem Satze hervor: Die aus zwei Substitutionen Sund T der Periode n hergestellten n 2 Sttbstitutionen: 1',11' = 0, 1,2,_ .• ,71-1
G;;).
sind stets tmd mtr dann alle von einander verschieden zmd m'schöpfen also die G~~, wenn die aus Sund T zu erzeugenden G~U) komplementär sind.
Ist G~u) die aus S zu erzeugende Untergruppe, so können wir die Zerlegung der Gesamtgruppe G~~ in die zugehörigen schreiben:
G(u) = ~
n'l.
G(u) n
+ G(u). T + n
G(u). n
T2+ ...
Nebengruppen so
12
+ G(u). Tn-l. n
ZZt der in der G~~ attsgezeichneten G~,U) gehö1·t demgemäß als entsprechende "Quotientengruppe" G~) / G~u) eine mit der Gruppe der Substitutio-
Lösbarkeit der Teilungsgleichung durch zwei zyklische Gleichungen
225
nen 1, T, T2, . .. , Tn-l isomorphe Gr~lppe, d. h. wieder eine zyklische Gn · Wir folgern hieraus für die Lösung der allgemeinen Teilungsgleichung das Ergebnis: Die im Körper st' = (st, frJJ/l' frJ;'" ...) Abelsche Teilungsgleichung des Grades n 2 ist mittelst zweier zyklischer Gleichungen n ten Grades lösbar.
§ 4. Elliptische Funktionen n ter Stufe. Nach I, 376 ist eine elliptische Funktion n ter Stufe neben anderen Eigenschaften dadurch charakterisiert, daß sie homogen in u, W 1 , W 2 ist und gegenüber den Substitutionen der ternären Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe unverändert bleibt. Zu diesen Funktionen gehören insbesondere die Lösungen des Teilungsproblems frJi.,ll ( ~-), &0;' I' ( : ) . Schreiben wir nämlich z. B. die erster dieser Funktionen ausführlich:
(1) so erweist sie sich gegenüber einer Substitution u' = u + 1nl W 1 + 1n2 W 2 mit ml _ 0, m2 = 0 (mod n) unmittelbar als invariant. Die Ausübung einer Substitution w~ = aW l + ßw 2 , w~ = rWl + O'w 2 auf das zweite und dritte Argument in (1) läßt diese Funktion gleichfalls unverändert. Für das erste Argument finden wir:
lOJ~ +fOJ~ n
=
i~~_,-±/LOJ2
=
n
+ (1- ~=n 1 + r-11.-"'-) W + (1- I + II.~-:- 1) W n 1 n rn 2'
:so daß für a 0' ~ 1, ß = r - 0 (mod n) die Unveränderlichkeit der Funktion (1) feststeht. Es gibt nun noch einfachere elliptische Funktionen nter Stufe, die in doppelter Hinsicht wichtig sind. Sie werden uns einmal eine einfache Lösung des Teilungsproblems vermitteln, andrerseits stellt ihre Theorie ,eine planmäßige Erweiterung der in I,382ft'. entworfenen Theorie der elliptischen Funktionen zweiter Stufe auf eine beliebige Stufe n dar. Wir bilden entsprechend dem Ansatze (1) in I, 450 für die vorliegende Stufe n die n 2-Funktionen
(2)
6 J /l(u!
WlI (
2),
',/l=0,1,2 ... ,n-1,
von denen 6 0,0(u I WlI ( 2) mit der ursprünglichen 6-Funktion identisch ist. Etwas kürzer schreiben wir 6'/l(u) statt (2) und verstehen unter 6'/l den Wert dieser Funktion für u = 0; dabei ist 6 0,0 mit 0 identisch, während die übrigen 6"" nicht identisch verschwindende Funktionen der Wl, W 2 sind. Die Verallgemeinerung der drei unter (4) in I, 384 erklärten Funktionen zweiter Stufe tf;k(~~ I 0111 ( 2) sehen wir nun in den (n 2 - 1) .Funktionen: Fricke, Die elliptischen Funktionen II
15
226
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
(3)
lP'4~(U! (iJo (iJ2) = 6~.6(ul-ro---W~)'
,
~~~lrouroJ
°
2/,
U
1
wo nur die Kombination A = 0, ~ = auszuschließen ist. Nach I, 451 zeigt diese Funktion bei Vermehrung von 1,~ um Perioden das Verhalten:
(4) 2 i 1l
unter E die Einheitswurzel e tt verstanden; sie bleibt sicher unverändert, wenn l = 0, 1n _ 0 (mod n) gilt. Nach (5) in I,451 bleibt die Funktion lP'"f.L gleichfalls unverändert, wenn man auf die (iJ17 (iJ2 eine mod n mit 1 kongruente Substitution V ausübt. Wir haben hie-rnach in (3) im ganzen (n 2 - 1) verschiedene Funktionen n ter Stufe gewonnen, die offenbar in u, (iJu (iJ2 homogen von der Dimension - 1 sind. Die Funktion lP'4"'(U) ha,t einen Pol erster Ordnung in jedem Gitterpunkte des ursprünglichen Parallelogrammnetzes. Speziell bei u = gilt die Entwicklung:
°
lP' Cu)
(5)
J.,..
=.1 7t
6' 6" +.}:I': + _4Ji u + ... 6 , 2 62~ , 21
wo neben den (5.u auch noch die "Nullwerte" der Ableitungen 6J.~(u), 62',,,(u), ... in bez~g auf u auftreten. Vornehmlich wichtig sind die 6;"" und 6 2,«; wir bezeichnen sIe als "die 6- bzw. (5'- Teilwerte" des n ten Teilungsgrades. Nullpunkte erster Ordnung hat lP"/1 (u) an allen mit
aro, +f,w 2 bezüglich der on
F(a)
äquivalenten Stellen. Sonstige Pole oder
Nullpunkte treten aber nicht auf. Ä,ndern wir in der Erklärung (1) in 1,450 der Funktion 6}.f.L(u) die A, ~ um Vielfache von n, so zeigt die Funktion das in (4) daselbst notierte Verhalten. Bei der Bauart der rechten Seite von (3) geht hieraus hervor, daß lP'J.I.(n) unverändert bleibt, wenn wir J. und ~ um Vielfache von n ändern. Dieser Umstand ist gc' legentlich für die Schreibweise unserer Gleichungen wichtig. Haben A, ~, n einen Teiler t > 1 gemein, so tritt lP'J", (u) . bereits bei der Stufe ~- auf. Demgegenüber nennen wir die X(n) Funktionen lP'l,.. (u), welche zu den x(n) gegen n teilerfremden Paaren A, ~ gehören, die "eigentlich zur Stufe n gehörigen" Funktionen lP'J.I' (u). Soll die eigentlich zur Stufe n gehörende Funktion lP'4f.L(U) bei der Substitution S = (l, rn) der F(u) unverändert bleiben, so ist hierzu die Kongruenz:
°
(6) l~ - mA = (mod n) hinreichend und notwendig. Da A. ~ ein gegen n teilerfremdes Paa,r sind, so kann man zwei ganze Zahlen a, b angeben, die die Kongruen:z; a~ + bl 1 (mod n) befriedigen (vgl. S. 222 ff.). Durch Multiplikatio.n dieser Kongruenz mit l bzw. m findet man bei Benutzung von (6):
l
(am
+ bl)A,
m = (au'/,
+ bl)~
(mod n).
Die elliptischen
227
n'e r Stufe Pli' (u 1001, 00.)
~'unktionen
Setzt man also zur Abkürzung am + b 1 = v, so gelten die Kongruenzen 1 = vÄ., m -- V,u (mod n). Umgekehrt folgt aus diesen Kongruenzen bei beliebigem v auch wieder (6). Hieraus ergibt sich der Satz: Die eigentlich zur Stufe n gehörende Funktion 1Jfl.l'(u) bleibt bei den Substitutionen derjenigen Kongruenzgruppe n ter Stufe r~ul unverändert, die sich mod n auf die aus S = (l, 1') zu erzeugende zyklische G;:) reduziert; zur gleichen r~U) gehören alle rp (n) Funktionen 1Jfl ~, ," ~ (u), wo ,jetzt v die rp (n) inlwngrttenten und gegen n teiler(rernden Zahlen durchläuft. Unter den 1/1 (n) innerhalb der r(u,w) gleichberechtigten Gruppen r~U) bevorzugen wir zunächst die aus den beiden Substitutionen u' = u + nro1 , u' = 1t + ro 2 erzeugbare. Als Diskontinuitätsbereich dieser Gruppe kann man das Parallelogramm der Ecken 0, ro 2 , nro 1 + ro 2 , nro1 benutzen, das sich aus n Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes aufbaut. In 1Jf01 (u), 1Jf02 (u), ... , P'O,T<_l(U) haben wir (n - 1) Funktionen, die bei den Substitutionen der ausgewählten r~U) unverändert bleiben, und deren einzelne bei Ausübung von u' = u + ro 1 das Verhalten zeigt 1Jfo, ,(u + ro 1 ) = //' "POpCtl). Hieraus geht hervor, daß die (n - 1) Produkte: "P".01 ( v 'P.0, \U)·
(7)
n _ ,. (U ) ,
J'= 1,~,
... , n- I
+
°
die Perioden 6)1' 6)2 haben. Das einzelne Produkt (7) stellt eine (v 1)wertige Funktion mit einem Pole (v + 1) ter Ordnung bei '1~ = und (v + 1) Nullpunkten' im Parallelogramm, von denen v an der Stelle
co'n . zusammenfallen. Das Anfangsglied der Reihe nach Potenzen von u ist zufolge (5) gleich
U-(v+1).
Die Funktion (7) soll nun auf Grund der Regel (4) in I, 206 dargestellt werden. Wir benutzen dabei sogleich die Lage des v-fachen Nullpunktes und verstehen unter ffJ'; , ~0l.~" , . . . die entsprechend den Gleichungen (7) S. 213 zu erklärenden "Teilwerte" der Funktionen \J" (u), f,J'" (u), . ... Mit Rücksicht auf die Anfangsglieder der Reihen nach Potenzen von u hat man den Ansatz: A,U
(8)
P"01(tlY· 'P~,Jl_',(u)
.~t
= (l,,1(ffJ(tt) -
... + a,.,._l (\o(v- 2)(M) -
!J01)
&O~';-2))
+ a"2(ffJ'(u)·- ffJ'Ol) + ... (
+ -
).-1
~ !(iO(1'-l)(u) - ffJ~1-1)).
Zur Bestimmung der noch unbekannten Koeffizienten benutzen wir die Tatsache, daß (wegen des Nullpunktes vter Ordnung) auch noch die
(v -- 1) ersten Ableitungen der Funktion (8) an der Stelle ~ verschwinden. Es gelten also die (v - 1) Gleichungen: 15*
228
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
+
(......:. l)V
+ ... + a v,p_1 SOOl = - - ; , S001' " '" + a.,v_1 SOOl(.) = (_1)' (v + a,.1 SOm + a"2 SOO] + . . . --,,! S001 , , , , av2 SOO]
a"1 S0 01
(v-I)
(v)
1)
(9)
(.-1)
a,'l SOOl
+ a. 2 S001 + ... + a v , .-1 SOOl(2.-S) -_ (v)
(-1)"
(2v-2)
--:;,!- S001
•
Da für v = 1 in (8) noch kein unbekannter Koeffizient auftritt, so haben wir dieses Gleichungssystem nur auf die (n - 2) Zahlen v = 2, 3, ... , (n - 1) zu beziehen. Als Determinante dieses Systems haben wir nach den Gleichungen (10) und (14) S. 186 ff.:
(10)
D.(:;)
=
(-
1)·-1(2!. 3!· 41···
(v
-1)1)21/1(V)(::),
wo die Funktion 1/I(')(u) nach S. 189 bei ungeradem v durch:
(11)
1/I(v)(u)
-} (.2_1) =
vSO(~tr
+ ß1 (t g2) SO(u)
t (1'2_ 5)
+ ß2gS fP(u)
1· (.2_ 7)
+ .. "
bei geradem v aber durch:
(12)
1/I(v)(u)
1(1'2_ 4)~(.2_8)
=
-
+ 1'1(1' g2)SO(~t)ß
6/(u) Ctv6-;)(U)2
{c(v -10)
+ 1'2gS go (ur
2
+ ...)
gegeben ist und die ß und r ganze Zahlen sind. Diese in (3) S. 184 eingeführte und oben bereits ausführlich betrachtete Funktion hat die Wertigkeit (v 2 - 1), und ihre durchweg einfachen Nullpunkte liegen in den "vten Teilpunkten" des Parallelogramms, d. h. an den Stellen, die sich als ganzzahlige Multipla von
co , , 'V
~ darstellen, unter Ausschluß des Null'V
punktes u = 0, in dem 1/1(1') (u) unendlich wird.
.,.
Mit 1/1;,(1') bezeichiten
wir die entsprechend (7) S. 213 zu erklärenden "Teilwerte" von 1/I(")(u) für den n ten Teilungsgrad. Da v< n ist, so ist der in (10) rechts auftretende Teilwert 1/1~7 sicher von 0 verschieden, so daß das System (9) nach den a auflösbar ist. Für die mit dem Faktor 1/1~7 versehenen a finden sich rationale ganze Ausdrücke der Teilwerte &;}~lI 6-;)~1I • •• mit rationalen Zahlenkoeffizienten. In dem daraufhin für das Produkt: (13) sich ergebenden Ausdrucke sollen endlich alle höheren Ableitungen
p"(u), 6""'(U), ... , SJ(v-1)(U) auf Grund der Gleichungen (16) S.188 durch S" Cu), &0' (u), g~, g3 ausgedrückt werden, und ebenso mögen die Teilwerte
f)~1' 6"~~' . .. durch die aus jenen Gleichungen für sie entspringenden Ausdrücke in &001' &O~1' g2' g3 ersetzt werden. In der neuen Gestalt des
229
Ansatz zur Berechnung der Funktionen "Pop, (u)
Produktes (13) kommt dann g,/Cu) sogleich nur in der ersten Potenz vor. Aber auch von ~{)~1 können wir etwa zunächst auftretende höhere Potenzen mitte1st der Relation S{)~i = 4 b{)O~ - g~ ~{)Ol - gs entfernen. Aus der in (8) auftretenden höchsten Ableitung \;)(v-1)(U) folgern wir auf Grund der Gleichungen (16) ff. S. 188, daß bei ungeradem v im neuen Ausdruck des '1'+1
Produktes (13) das Glied höchsten Grades die Potenz ~;) (~{)2, das nächste '1'-3
Glied aber das Produkt
g;)'(~l)
. ~(u)
2
enthält. Bei geradem v tritt im '1'-2
höchsten Gliede das Produkt S,;'(u) . ~J(u)~ auf, im nächsten aber die
"
Potenz iP(UY2. Die Koeffizienten sind nunmehr rationale ganze Funktionen von Sr.J Oll ~~u g2' gs mit rationalen numerischen Koeffizienten, wobei wie bemerkt Sr.J~l nur in erster Potenz auftritt. Die nähere Bauart der Koeffizienten geht aus dem Umstande hervor, daß das Produkt (13) in u, (iJ1' (iJ2 homogen von der Dimension - v (v 1) ist. Da diese Zahl gerade ist, so wird in jedem Gliede, das &O'(u) enthält, zugleich der Faktor ~~1 auftreten. Für das P1'odukt (13) haben wir bei t~ngeradem v die Darstellung:
+
(14)
".('1') • 'I-' 01
W.01 (u)Y?JY0, n - v (u)
=
A(V) O'
+- A(V) (o(u) + A(V) «l(U)2 + ... 1 0 2 0" ,
2
während sich für gerades vergibt:
1/Jgi· ?JY01 (u)v1p"o,n_v(u)
(15)
+
=
A~V)+
Ai")S{)(u)
+ A~'\{)(u)2 + ...
A~) ~(u)-i- + b{)~d/(u) (B~V)+ Bi·) go(u) + ... + B~~2S{)(1l)"i-~);
die Koeffizienten haben die Gestalten: (16)
!
A(") k
=
__
B(V)
k
=
(V)
ak1
~,'(v+1)-k
2 goOl
1,'(v+l)-k_2 2
(V)
+ak2g2go01
(V)
,L"(V+l)-k-5 _ 2 ß<")
Iv(v+l)-k-3 ß(V) 2 k1 SOOl
1 v(1'+1)-k-3
2
+aks gs8001
+
+ ß(V)k2g28001
+ ... ,
.l,'(V+l)-k-G 2
kSgS~{)Ol
+"',
wo die a, ß rationale Zahlen sind. Übrigens bestimmen sich die Koeffizienten der höchsten Glieder leicht aus den Anfangskoeffizienten der Reihenentwicklungen; man findet, je nachdem v ungerade oder gerade ist:
(17)
bzw.
In den heiden niedersten Fällen v
=
1 und v
=
2, von denen der erste
230
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
direkt aus (8) hervorgeht" findet man: W01 (u)P"O,n_l (u)
=
8'J(u) - ~OOll
(u) = _ ~gJ31 + gIX!~ +2[1., 01 O,n - 2 ' 4 P~1 Im nächsten Falle 1J = 3 gilt: "IJl: (U)2qF,
s
WOI (U) WO,n_3 (U)
=
+
=
AiS)
=
Bci3) =
__
4, SJ~1
g, q(u) ~
+
..1&3) A~3) !.)(u) B~') SJ~l g;/ (u), -,~4----3----2-----1-2 I 3 g;J 01 - -2- g. SJ01 - 3.g3 ,\-'01 - J6 9,
_1,
f;/(U)
2 •
&9
(U)
•
2
Bci - sogl - {g2&O~1 - 4 gssJg 1 + 1\ gi &9~1 + ~ g2g38'JOl + t g:, + 6 8'J~1 - g2 &9~1 + 3 g3 8'J~1 +~- 9; 8'J~1 + t 92g3' - 2 &9~1 + t g2 ~JOI +~ g~.
mit folgender Bedeutung der A~S)
+ 12 r~l
A~3),
AiS),
3 ):
Auf die vorstehenden Rechnungen gründet sich die Methode, die elliptischen Funktionen n ter Stufe P"lp,(U) aus denjenigen der ersten Stufe zu berechnen. Wir haben in (14) bzw. (15) für P"OI (u)v. 1p'o,n_.(u) einen durch RvC&9 (n), &J' (u), SOOIl 8'J~1) zu bezeichnenden Ansdruck gewonnen, der dem Körper (Sl, &0011 SJ~l) angehört, unter Sl den S. 212 im Anschluß an die Koeffizienten der allgemeinen Teilungsgleichung erklärten Körper verstanden. Wir haben dann die (n - 1) Gleichungen:
(18)
W01 (u)"1p'0,n_,'(u) = R,,(rp(n), 8'J'(u), &JOll &0~1)' 1'=12, ... ,n-l, in deren letzter linker Hand die nie Potenz von P"01 Cu) steht. Die AuflöS'/.mg nach den 1p'o I' (tt) ist geleistet durch: (19)
I n-v P"OI (u) =
1p'0,
(lt)
VR:~~(&o(n)~-8J'-(u), S'JOll ~~1)' =
(11;:~~~:?c(~~S~~~;;J:1t~c:~t?1»)"
,
daß znr Gewinnung der (n - 1) Fttn7ctionen 1p'o I' (u) zum Körper (19) enthaltene nie Wurzel zu adjungieren 1:st. Da die übrigen Gruppen r~'" innerhalb der r(u,"') mit der eben betrachteten Gruppe gleichberechtigt sind, so gelangen wir durch Ausübung geeigneter Substitutionen der r<"') auf (19) zu den entsprechend zu den übrigen Gruppen gehörenden Gleichungen. Bei diesen Substitutionen bleiben die Größen des Körpers ~ invariant. Üben wir insbesondere die Substitution üJ~ = - üJ 2 , üJ~ = üJ 1 aus, so folgt auf Grund der Regel (3) in 1,451 das Gleichungensystem:
so
~Sl, 8'J01l gJ~I) nur dic eine in der Gleichung
231
Berechnung aller 1J:f2/l (u) durch zwei n'· Wurzeln
Nach S. 213 sind im Körper (~, gJIO ' gJ~o, gJOl1 gJ~l) bereits alle gJund g/-Teilwerte des n ten Teilungsgrades enthalten, so daß dieser Körper, wie schon S. 214ff. geschah, durch (~, 8']2"" SO;/l) bezeichnet werden mag. Es besteht nun der wichtige Satz: Nach Adjunktion der "beiden" in den ersten Gleichungen (19) und (20) gegebenen lVuneln n ten Grades zum Körper (~, gJ;.!" 80l/l) sind be1'eits "alle" (n 2 _ 1) eigentlich oder uneigentlich zur n len, Stufe gehörenden Funktionen Wi. /l (u) "rational bekannt". 1) Ist nämlich Wn_ 2 , n_",Cu) irgendeine unserer Funktionen mit zwei von 0 verschiedenen Indizes n - A, n - (t, so erweist sich: (21) auf Grund der Regel (4) S. 226 als eine Funktion der Perioden 0)11 O)jll die übrigens dreiwertig ist und bei U = 0 ihren Pol dritter Ordnung mit dem Anfangsgliede u- S der Reihenentwicklung hat. Nach (4) in I, 206 gestattet diese Funktion eine Darstellung: '1]T,,_J.,n_/l(u), WlO(U)WO,,(u)
=
0 0 + Cl~)(U) - ';'gJ'(u),
der Co und Cl von u unabhängig sind. Zur Bestimmung dieser Konstanten dient der Umstand, daß die dargestellte Funktion die Nullpunkte lD
~~'- und IL.co ! hat: n
n
ls"~o' Co + 0lSJ OU = l gJ~/l' Die Differenz (&"20 - gJo,.J verschwindet nicht, da die zweiwertige Ji'unktion CS"(u) - 8"0/,) ihre beiden Nullpunkte im Periodenparallelogramm bei ",ro, (n - [L)ro! . ht be1'" . 1ro1 N ac h Berech nung der LI, fl _... und '.-......... _. h at un d a1so lllC
00
n
+0
1
8°;'0
=
n
n
~
0'
0 1 findet man (22) W. Cu) = (P,loSJ~I'- N»),()~OI,>-+-(s.JJ~(),=.!J~/l) !J~)___ Ü;)J.o -f~2sJ'(u) n-.,n-!, 2 (sJ,o -Po,) 1J:fi.O(l,)1J:fO/l(U) , woraus der zu beweisende Satz hervorgeht.
§ 5. Lösung der allgemeinen Teilungsgleichung. Um die Auflösung der Teilungsgleichung nicht zu unterbrechen, soll eine Betrachtung über das Absolutglied der Reihenentwicklung (5) S. 226 vorausgesandt werden. Für die nte Potenz von W01 Cu) ergibt sich mit Rücksicht auf (19) S.230: U _n+n6~1_"+1+ ..6 _ .. U ••• = 01
Tl ( " )'} ' ) gJ .n n -1 gJlttI , . , . IU '011
«J ' )
~-01
•
1) An Stelle der heiden zu den Wurzeln (19) und (20) gehörenden Kongruenzgruppen r~U) kann man irgend zwei dieser Gruppen, die komplementären G~~) entsprechen, zugrunde legen.
232
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
Entwickelt man auch die rechte Seite nach Potenzen von u, so findet man als Koeffizienten von u- n + 1 einen rationalen Ausdruck in g2' gs, $')011 S;)~l mit rationalen Zahlenkoeffizienten. In einer solchen Gestalt läßt 'h a1so ----G~, darste II en. SIC GOI
Die wirkliche Aufstellung des fraglichen Ausdrucks, und zwar soG, gleich für einen beliebigen Quotienten 6~/I, führt man indessen zweckI.ft
mäßiger auf folgendem Wege aus: Aus der Erklärung von GI.1,(tt) folgt unter Heranziehung des Integrals zweiter Gattung: 6 2ft (u)
~2l>'±t-tl)2
=
Gi. I' (u)
n
+ ~ (tt _
±JLw,) .
J'VJ1
n
•
Für tt = 0 ergibt sich, wenn wir die klären:
"s -Teilwerte"
S1.1' Wie üblich er-
(1) Durch Differentiation des Logarithmus der zur nächst niederen Zahl (n - 1) gehörenden Funktion: 1/J
(n-1)( ) _ _ ~~~-=-!)~
u - (G(~t»)(n-I)(?l-1)
in bezug auf u findet man: -~-- . ~l_og 'I/>(n __ ,)(u)
n -1
Trägt man tt
=
),w ,
dtb
+n Il
W
,
=
s
t (n - l)u) - (n - 1) Cu). -
ein, so möge das aus der links stehenden' Ab-
leitung folgende Ergebnis wieder durch Anhängung des Indexpaares 1, [1 gekennzeichnet werden: 1
(d log
'I/>(n-1)
(U))
;~=-i ---d-U-- J.fl =
s-
. (
). w,
+ /LW, + 1w
-n--
,) [1w 2 -
1 T
(n - lHl/"
Das erste Glied der rechten Seite ist nach (5) in 1,196 gleich A1Jl + [1'1/2 - SAft; die gesamte rechte Seite ist also gleich dem n-fachen Werte der rechten Seite von (1). So ergibt sich der Satz: Der Quotient (1) ist eine Modulform n ter Stufe (- 1) tu Dimension, die sich atts der Funktion 1/J(n -1) (u) nach der Regel:
(2) berechnen läßt ttncl a.lso eine 1'ationale Ftmktion von g2' gs, IfJl.fl' lfJ;fl mit rationalen Zahlenkoeffizienten t~st. Für n = 2 verschwindet der Quotient (2); in den nächsten Fällen n = 3, 4, 5 findet man:
Auflösung der allgemeinen Teilungsgleichung
233
wo die Ausdrücke der '1fJ1.,u in g2' g3' (PA,u' (P~f' aus (6) S.185 abzulesen sind. Um nun die Auflösung der 'reilungsgleichung (3) S. 211 zu vollziehen, adjungieren wir zu dem S. 212 erklärten Körper st: die Teilwerte rPAI" rP~" des n ten Grades. Es wird sich im nächsten Kapitel zeigen, daß dem so zu gewinnenden Körper .W = (st:, &01,1 , &1;'1) die nie Wurzel der Einheit c angehört, die demnach fortan als "rational bekannt" gelten darf. Für die Summe der n 2 Lösungen der Teilungsgleichung lesen wir aus dieser Gleichung selbst die Darstellung ab:
(3)
~SOl,u (~) A, f'
=
~SJ;.,,, (~ + l~1~tlLfJ)2)
=
n2~?(u).
A, f'
Weiter bilden wir, unter l und l zwei Zahlen der Reihe 0, 1, 2, ... , n - 1 verstanden, die Summe:
Bei Znnahme von ~t um W 2 geht diese Summe in sich selbst, multipliziert mit cl, über. Das Produkt der Su~me und der Funktion 'P'zrn(~t) hat demnach (vgl. (4) S. 226) die Periode W 2 ; dabei ist m aus der Reihe 0, 1,2, ... , n - 1 willkürlich wählbar, nur unter Vermeidung der Kombination l = 0, m = 0. Man multipliziere dieses Produkt mit cmi. und bilde die Summe aller Produkte für l = 0, 1, ... , n - 1. Die entstehende Funktion hat dann, wie man mit Hilfe von (4) S. 226 leicht feststellt, die Perioden W u W 2 . Von dieser Summe:
(4) bestimme man nun die beiden ersten Glieder der Entwicklung nach Potenzen von u. Für den Faktor «f!",(u) ist die Gleichung (5) 8.226 heranzuziehen. Bei der Doppelsumme rühren Glieder mit negativen Exponenten von u nur von der KombinationÄ = 0, I-' = her, und zwar nur das eine Glied n 2 u- 2• Man hat somit:
°
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
234
"lfJ" (u) ~ c'n2-I,u p (_7~) Im L..i 'I' n
(5)
=
n2 U- 3 + n26/mu_ 2 + ... 6 1m
l,t<
als die gesuchten Anfangsglieder der Reihenentwicklung. Der Ausdruck (4) stellt nun eine dreiwertige Funktion der Perioden W 1 , w 2 dar, deren drei Pole bei u = 0 zusammenfallen, während einer der Nullpunkte von demjenigen der Funktion "lfJ"lm (u) geliefert wird. Sie ist demnach in der Gestalt: A(s9(u.) - SJ1m)
+ B(g/Cu) -
89 ;",)
darstellbar. Die Koeffizienten A, B bestimmen sich vermittelst der beiden ersten in (5) angegebenen Reihengliedern. Für irgendeine der (n 2 - 1) von 1 = 0, m = 0 verschiedenen Kombinationen Z, m gilt: (6)
"""Cml.-I,l/g9'/"i! (U) L..i n
=
.1~·_ (~i'!.!ÜJ(u) _ ,Im y) ) _ 'P'Zm(U) 6 '.' 1m
1
(s/(u)-s/im
2'
»).
2, I'
Man multipliziere nun, unter Ao, !Lo irgendeine der n 2 Zahlkombinationen verstanden, die einzelne Gleichung (6) mit c1 o -mJ. o und addiere alle (n 2 - 1) Gleichungen zur Gleichung (3). In der Summe tritt linker ,lI
Hand bei der einzelnen Funktion ;;EcrTI(J.-lo)-I(ft-,.,O)
g;)J.ft
=
(-~) der Faktor:
;;Ecffl(i.-io) . ;;Ec-1Cu-,uo)
m
l,m
L
auf. Falls nicht 1 = AO' !L = !Lo zutrifft, ist mindestens eine der Summen rechter Hand gleich 0; nur wenn ). = 10 , !L = !Lo ist, sind beide rechts stehenden Summen von 0 verschieden und gleich n. Es ergibt sich somit unter Fortlassung der Indizes 0 bei 10 und !Lo: (7)
S9.l,u
+
"!'~.
1
c::'
)
(-~) = g9(tt) L..i cl,u -ml. '
wo durch den oberen Index am Summenzeichen angedeutet sein soll, daß die Kombination 1 = 0, m = 0 auszulassen ist. Diese Gleichung gibt die Auflösung der allgemeinen Teilungsgleichung; die sämtlichen Wurzeln sind rational bekannt, sobald zum KÖ1per = (~, Y)J.I" S9;',.,) die beiden Wurzeln n ten Grades adjungiert sind, welche nach S. 230ff. zur Berechnung der Funktionen "lfJ"lm (u) dienen. Das Ergebnis ist in Übereinstimmung mit der allgemeinen Theorie der zyklischen Gleichungen (S.59:ff.) und dem S.225 ausgesprochenen Satze, daß die allgemeille Teilungsgleichung nach Adjunktion der Teilwerte durch zwei zyklische Gleichungen n ten Grades lösbar sei.
sr
§ 6. Divisionssätze der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. Im Ge biete der elliptischen Funktionen zweiter Stufe führt das Pro blem der Division nicht mehr zu wesentlich neuen Sätzen; es handelt sich viel-
Auflösung der allgemeinen Teilungsgleichung
235
mehr nur um eine formale Umgestaltung der bisherigen, auf die erste Stufe bezüglichen Sätze. Als gegeben hat man den Körper ~ anzusehen, der durch Adjunktion des lntegralmoduls k 2 und der drei Funktionen sn U', cn U', dn waus dem rationalen Körper m entsteht. Zu berechnen sind die Funktionen sn 3!!...., cn 1O , dn~, und zwar durch Auflösung der "alln n 1, gemeinen Teilungsgleichungen", die aus den Multiplikationsformeln (1) und (3) S. 197 durch den Ersatz von w durch'IIJ~ hervorgehen. n
Zur Erleichterung der Entwicklung kann man von dem Umstande Gebrauch machen, daß bei zusammengesetztem Grade n = n1 . n 2 unser Problem zerlegt werden kann in die beiden auf n 1 und n2 einzeln bezogenen Probleme. Man kann demnach so vorgehen, daß man zunächst die Teilung zweiten Grades behandelt, deren wiederholte Ausübung die Grade n = 2~ erledigt. Es verbleibt dann nur noch die Besprechung der Teilung ungeraden Grades. Aus den drei Gleichungen (7) S. 198 folgt, falls man in ihnen w durch ~'!I)- ersetzt: 2n
sn w
=
W 10 ;) sn -~.~... cn .W ~. . dn ~ 222 -~-~~.-~-----.~.-~_.
sn_W4 2 'U;2 w2 'LV 2 cn - - sn ~--. dn-222 ... 1 _.7.;'
cn w
(1)
=
-.-.~
_.~-~ ~~
w4
l-k'sn~~-
2
10 2
dn w
=
w 2
w2
dn- 2 -PenT cn-i! ~-~-~~ ~.~
~.-~-~~~~~
w4
1 - 1.;! sn--2
Das Teilungsproblem zwe'iten Grades fordert nun die Berechnung von sn
7; , cn~~,
dn~~ aus diesen drei Gleichungen, d. h. hei gegebenen snw,
cn w, dn w. Die Lösung dieses Problems erfordert an irrationalen Operationen das Ausziehen zweier Quadratwurzeln. Mitte1st der beiden zwischen den Funktionen sn, cn, dn bestehenden quadratischen Relationen (vgl. 1,389) folgert man aus (1): 1
+ cn w =
w2
2 cn 2
-----~~
w -. 4 , 1 -- 1.;2 sn 2
cn w
+ dn w = ~
w2
70 2
dn2 -------~-w4 1 - k' sn 2
cn-~-
2
2
236
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
Als Auflös~tngen dieser Gleichttngen nach cn ~ 'und dn ~ ergeben sich:
(2) während sich sn ~ mit Hilfe der ersten Gleichung (1) in cn -~- und dnif eindeutig berechnet:
en~
snw
snw
2
i-1-cnw . d~W
(3)
=
1
dn~ 2
+ dnw . cn w
2
•
2
Aus (1) ergeben sich zugleich die Formeln, mitte1st deren wir die Divisionsgleichungen erster Stufe auf diejenigen der zweiten Stufe umzurechnen haben. Die drei Gleichungen (10) in 1,389 nehmen bei Ersatz von u und
'tU
durch -~ und
!;- die Gestalten an:
Durch Eintragen dieser Ausdrücke in die drei Gleichungen (1) ergibt sich:
Ve2=-e, g;/ (~-)
(4)
sn w
=
cn Ui
=
dn w
=
(;)
(;)=~:r--= k' (e. - e,)~'
(so(;) -e2r-(2e~+e.e,) -------
(so (~) ~)
r-
--------~-----
e,
es)
k' (e. -
e, /
e~ -
e
(SJ ( 2 - (2 e, 2 ) ---- ---------,-------------------(SJ (;) -
e,f - k"(e, -
e,/
wo bei der Umrechnung von den beiden bekannten Gleichungen:
Gebrauch zu machen ist. Es erscheint nun zweckmäßig, an SteUe von ~o'(u) weiterhin die beiden Funktionen nullt er Dimension einzuführen:
so(tt) und (5)
In den auf diese Funktionen umgerechneten Gleichungen (4) steUen sich die Koeffizienten rational in k 2 allein dar:
Teilung zweiten Grades der Funktionen sn, cn und dn
sn w
9p' ( ; ) =
cnw=
(6)
237
~~-~~--~-
-~~-T~ -~
(SP(;)+1+k')-9k'
,
(s P ( i) + 2) •- 9 (1 - k') (sp (;) + + k')"- 9k' (sp (~)+1-2k")"+9k'(1-k') 1;" -
1
\
dn w
=---------------,,--~---
(SP(~)+1+k.)-9k2
.
Man kann diese Gleichungen in folgender Art deuten: In p (~) , p' (;) hat man ein Funktionssystem der Hauptkongruenzgruppe zweiter
Stufe
rr.
Zu dieser Gruppe gehören auch die Funktionen sn w, cn w,
dnw, so daß sie sich rational inp (;), p' (~) darstellen lassen, was eben durch die Formeln (6) geschehen ist. Es muß sich aber auch umgekehrt in sn w, cn w, dn w jede weitere Funktion jener Gruppe rational darstellen lassen. Um z. B. p (~) und p' (~) in sn 20, cn w, dn 20 darzustellen, entnehmen wir aus (6):
3P(-~-) +l+k"
3P
(i) + 1 3p' (;)
2 k"
dnw - cnw
2(1- k')
cU'W'
l-cnw
2sn1V'
Durch Addition dieser drei Gleichungen, sowie zweitens durch Subtraktion der zweiten von der dritten gelangt man leicht zu folgenden
( I
Ausdrücken der p (;), p' (;) in sn 20, cn w, dn 20:
(7)
!!-.) '(U)
p 2
p
2
=
1_k 4 +k'(k.-2). cnW+(2k"_1)dnW -S+3k"-3k 2 cnw+3dnw'
2k'(1-k')snw=-l+k"-k'cnu;,+dnw'
Für einen ungeraden Teilungsgrad n bezeichnen wir als zugehörige "Teilwerte" der Funktionen sn, cn, dn die Größen:
238
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
+ 4 !L K
4J. i K'
,
/ ::::"~ ::::::::~~:::
(8)
dn-1.1' =
dn~------_·
n
Nach (5) in I, 388 entspricht dem rechts stehenden Argumente der +- -2f"w, 1 -U =-----I.W1 +f"w 2 W er t 1l = -21.W1 ---- - - un d aso _.. F·· 'ur d·1e F unkt·IOnen (-) n n 2 n . erklären wir die Teilwertfl natürlich durch:
(9) Aus (6) ergibt sich nun:
(10)
sn 2 "
:
cn!.l' : dn.1' : 1
+1-
: ((3PA/L
9p~/L : ((3P2.,.
=
?+
2k 2
9k 2 (1
-
+ k2 -
2j2 - 9 (1 - k2»)
»): ((3Pi.1'
k2
+ 1 + k 2)2_ 9k 2),
und andrerseits folgt aus (7): (11)
P. :p~,,,: 1 "
=
(1-7c4 + k 2 (k 2 _ 2) cn)'I' + (2k 2 -1) dn).,<,) : 6k 2 (1 - k 2) sn).,«: 3(- 1 + k2 _ k2 cn,!, -j- dn!.I').
Es gilt also der Satz: Die für ein ungerades n erklärten Teilwerte sn!.!" cn2 ,<" dn AI, sind umkehrbar rational in den zum gleichen n gehörenden Teilwerten PA!,' P~I' darstellbar, wobei die Koeffizienten rationale A1lsdrücke in k 2 mit mtionalen Zahlenkoeffizienten sind. Um nun bei ungeradem n die Divisionssätze für die zweite Stufe zu erhalten, tragen wir erstlich in die Gleichungen von S. 21lfr. ; statt
u ein und schreiben zur Abkürzung . ;.
=
v. Wir beachten sodann, daß
jene Gleichungen in den u, W u W 2 homogen sind und demnach durch Division mit einer geeigneten Potenz der Wurzel Ve~-=-e~, die nach I, 473 ein Modulform 4ter Stufe der Dimension - 1 ist, in Gleiehungen der Dimension 0 umgewandelt werden können. Indem wir diese Um~ wandlung an den einzelnen in den Gleichungen verbundenen Größen vornehmen, haben wir an Stelle von So (v) und ~;/(v) mitp(v) und p'(v) zu tun, an Stelle der g2 und g3 aber mit den rationalen Funktionen von 7,;2: (12)
(e~-!!!el)'l =
:
(1 - k2 + 'i}),
(e 2 !!..'e1)"
=
4 2 7 (2 -
3k 2- ßk4+ 2k 6),
die man leicht aus den Darstellungen der .12' g3 in den el , e2 , es ableitet. An die Stelle des Körpers, der durch Adjunktion von g2' g3' p(u), p'(u) zum rationalen Körper ffi entsteht, tritt bei Ersatz von tt durch v und Übergang zur Dimension 0 der folgende Körper: Sl' = (ffi, k2, p(v), p' (v)).
239
Teilung ungeraden Grades der Funktionen sn, cn und dn
Der Hauptsatz der Teilungstheorie war, daß die Lösung der auf die Dimension 0 umgerechneten Teilungsgleichung (3) S. 211 nach Adjunktion der Pi.,,,' P~,u an irrationalen Operationen nur das Ausziehen zweier Wurzeln n ten Grades erfordert. Nun kann zufolge (6) und (7) auch durch (m, k 2, sn 20, cn w, dn w) erklärt werden, und ebenso ist (~, Pli" P~,u) zu-
sr
folge (10) und (11) mit dem Körper (~, sn l .", cn i.,«' dni.,J gleich. Endlich aber sind die Lösungen des Teilungsproblems Pi.." (~), P~i" (~) einerseits und sn.,u (~-) , cnle,u (:-), dn i,,« (~-), gegeben durch: sn
l,«
(W) n
(.!Iin . + 4_"iX'n+ 4~J{) " '"
sn
=
andrerseits gegenseitig rational ineinander mit Koeffizienten des Körpers (m, k2) darstellbar (Gleichungen (6) und (7»). Also -ist in der Tat mit der algebraischen Lösttng der Teilungsgleichung (3) S. 211 die Lösung des Teilttngsproblems für die zweite Stufe sogleich mitgegeben. Es erübrigt, noch einige Angaben über die äußere Gestalt des Teilungs" problems zweiter Stufe hinzuzufügen. Da n als ungerade gilt, so haben wir an die Gleichungen (1) S.197 anzuknüpfen, in denen von weinzusetzen ist. Gleichungen folgt: (13)
cn zl< (~~) =
cnw.
n
an Stelle
Aus der zweiten und dritten der genannten
G(n)
___ G(n) ~
W
(W)2)
(sn
~_~/l •.~
(snA,U
(Wn )~)
yz
während aus der ersten Gleichung, in der wir sn w = = Zeintragen, sich als "allgemeine Teilungsgleichung der sn-Funktion für den ttngeraden Teilungsgrad n" ergibt:
(14) oder explizite unter Angabe der höchsten und niedersten Glieder: n'l_l
n'l.-l
(15)
k- 2 -Zn -nk 2-- snw Zn O
n-l
.. - (- l)-f-
n(n:-;-
1)
(1
2
-1
+ 11,(n;1
n'1.-5
1)k -~(1
+ Jc2)Z3+ (-1)-2- nZ n-l
+k
2)
snwZn'-3
+...
n-l
_ (_ 1)2-- snw =0,
Diese Gleichung, deren Glieder alternierend den Faktor sn w haben und übrigens ganze ganzzahlige Funktionen von k 2 zu Koeffizienten besitzen, tritt also für die zweite Stufe bei ungeradem n an die Stelle der Gleichung (3) S.211. Als beiläufiges Ergebnis ziehen wir noch aus (13) für w = 0 die Folgerung:
240
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
(16)
cn;."
G~nl(sn~"J
=
G~nl(sn2)' -}./I
dn
}.,"
=
~~~) (sn~/I!. GCr"(Sn') •
2/1
Bei ungeradem n sind also die Teilwerte cn}.I" dn.<" rational in sni" darstellbar mit Koeffizienten des Körpers (ffi, k 2 ).
§ 7. Die Abelschen Relationen. Für die algebraischen Überlegungen des nächsten Kapitels sind gewisse Relationen zwischen den Teilwerten des n ten Teilungsgrades und den n ten Wurzeln der Einheit von Wert, die wir zweckmäßig schon hier aufstellen, da sich die Methode ihrer Aufstellung an die voraufgehenden Entwicklungen anschließt. Die fraglichen Relationen betreffen ein beliebiges ungerades n und sind nach A bel benannt, weil sie von ihm für die 1!~unktionen zweiter Stufe in NI'. 6 der Einleitung zum "Precis d'une theorie des fonctions elliptiques"l) angegeben sind. Bewiesen und für die algebraische Berechnung der Teilwerte verwertet wurden die Abelschen Relationen durch Sylow 2) sowie später durch Kronecker 3), dem die Untersuchungen Sylows zunächst unbekannt geblieben waren. Für die erste Stufe sind die Abelschen Relationen im Jahre 1884 durch Klein in einer Vorlesung aufgestellt. 4) Man kann die Abelschen Relationen zunächst fitr die Funktionen erster Stufe auf folgendem Wege gewinnen. Der Quotient:
(1) ßtellt eme zweiwertige
1!~unktion
der Perioden
WlI W 2
dar, deren Null-
punkte bei n = 0 und ~2 , und deren Pole bei u = ~ und ~'--t--"'~ liegen. Die Funktion fJ!~
(u + t)
hat dieselben Nullpunkte und Pole, ist also
bis auf einen von u unabhängigen Faktor gleich tp2 (u). Diesel' Faktor kann nur gleich + 1 oder - 1 sein, da tp2 (u) bei zweimaliger Ausübung -der Substitution u' = u
+ ~~
unverändert bleibt. Der Faktor
+ 1 ist nicht
brauchbar, da fJ!2 (~t) sonst eine einwertige Funktion der Perioden .ro... 1 2" ware; es gl'lt aso:
(1)
(2) 1) Journ. f. Math., Bd. 4 (1829).
2) In den Schriften der Gesellsch. d. Wiss. zu Christiania von 1864 und 71. 3) "Über die algebraischen Gleichungen, von denen die Teilung der elliptischen Funktionen abhängt", Berliner Berichte von 1875. 4) Mit Erweiterungen veröffentlicht durch Engel in den Berichten der Ge.sellsch. d. Wiss. zu Leipzig von 1884.
241
Ableitung der Abelschen Relationen
FUr beliebiges ungerades n bilde man die Summe: n-1
qj2(~t)
(3)
=
2)c~i·."0/2
(u + iI':2) ,
ft =0
wo 13 in der bisherigen Bedeutung als n te Wurzel der Einheit gebraucht ist und Ä. der Zahlenreihe 0, 1, 2, ... , n - 1 angehört. -Wächst u um
;;i' so kann man mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (2) schreiben: IP2 (u + (2 /l---tn 1)~'l.) = - 0/2 (~L + ~±~(:/ 1)0)~) = - 0/2 (t~ + 11-':2),
wo zur Abkürzung Ih'
ft
=
+ t (n + 1) gesetzt ist.
Da
ist, so folgt aus (3): l]J
2
(u + 2n 0)2)
=
__
c
/3-l ~ 2l ,It' m.
~,2
(tt + p,'n 0)2) '
ft'
wo l beginnend mit +(n + 1) ein volles Restsystem mo.d n durchläuft. Aber bei Änderung von ft' um ein Vielfaches von n bleibt das einzelne Glied dieser Summe unverändert, so daß die in der letzten Gleichung rechts stehende Summe wieder gleich l]J2(tt) ist. Die Funktion qJ2(U) genügt den Bedingungen: (4)
l]J2(U
+ 1))1) =
qJ2(U) ,
(u + ;:~)
l]J2
=
r
-
2
qJ2(U),
stellt also nach T,217 eine elliptische Fttnktion zweiter Art der Perioden w~
=
Wu
w~ = ~ und des Fa7ctorensystems Ä.1
=
1,
Ä.2
= - r
2
dar.
Diese Funktion hat nun im zugehörigen Parallelogramme der Perioden w~, w~ nur einen einzigen Pol, nämlich bei u =
UJ
= ~. Sie hat
demnach daselbst auch nur einen Nullpunkt v, für den aus (8) in I, 220 die Gleichung folgt:
Sehen wir vom Periodenmultiplum (mi W~ I 00' ( 0,
1.)
13-'
=
.-
1t~
+ m2w~) ab und schreiben:
1 A
I 00' 13 0
=
.-
1t~
i
1 2 1t JI. - - ,
n
so ergibt sich als Lage des einzigen Nullpunktes von qJ2(tt) im Parallelogramme der Perioden w~
=
[()u (l)~ sofort v
=
J,;?
Unter Rückgang auf
die Gestalt (3) von
16
242
I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen
(5) dagegen ist für zwei "verschiedene"
,r,
A stets:
(6) Eine entsprechende Entwicklung kann man an den Quotienten:
i;;-~-ci~~--':!
=
!PI Cu)
knüpfen, der den Bedingungen:
PI (u
+ ~-)
=
-!PI (u),
rpI(n
+ ( 2)
=
!PI (u)
genügt und in der Summe: n-I
:2IY'1" Pt (~.
=
+ /L~~)
,«=0
eine elliptische l!unktion zweiter At·t der Perioden ~1,
7: und des Faktoren-
systems Al = - 1, },,2 = I!- 22 ergi bt. Durch Fortsetzung der Betrachtung in obiger Art findet man den Satz: Für irgendein A der Zahlenreihe 0, 1, 2, ... , n - 1 gilt:
:2 n-l
(7)
c"QJ.
>,(/
" - e1 ';';'1" _;/
~ 1." '
ft =0
°
=.,
während für zwei "verschiedene" 1, ;: stets die Ungleichung besteht:
(8) Durch Kombination der heiden Gleichungen (5) und (7) gelangt man zu den beiden, mit ihnen gleichwertigen Gleichungen: n-l
~ 2' 1 ,..::;.;C 1"u&:7-
1"=0
=
0,
l!l
In ihnen haben 'wir die für ttngerades nund für jede Zahl 0, 1, 2, ... , n - 1 bestehenden "Abelschen Relationen" der ff'werte erreicht. Aus den beiden Ungleichungen (6) und (8) freilich nur noch die folgende Aussage herleiten: Sollen für AHnd J.' der Reihe 0, 1, 2, ... , n - 1 die Gleichungen:
). der Reihe und ~J'-Teil können wir zwei Zahlen
Die Abelschen Relationen
243
n-l
(10)
" 1 ~2 C I.,u ....
p'
,,,=0
0,
=
' AI-'
gleichzeitig gelten, so ist notwendig l' = l. Durch Ausübung von Substitutionen der homogenen Gruppe r(OiJ kann man aus (9) andere Relationen dieser Art ableiten. So :findet man z. B. mitteist der Substitution ro~ = CiJ 2 , ro; = - CiJ 1 aus (9):
(11) Die in der älteren Literatur vorliegenden Abelschen Relationen betreffen die sn-Funktion. Wir gelangen zu ihnen, indem wir die an (1) angeschlossene Überlegung auf den reziproken Wert der in 1,384 erklärten Funktion Wl(U) anwenden. Aus ihr bilden wir die Summe:
:E ___s4_<~_(1-ro-' 71.-1
'P·l (u)
=
i'
=0
1p, ( U
+ . '-n")
in welcher wir unter Benutzung der Regel (7) in 1,384 leicht eine ellipund des Multiplikatorentische Funktion zweiter Art der Perioden ro1 , w. n systems 1, - r
22
erkennen. Im zugehörigen Parallelogramme liegt ein
Pol erster Ordnung bei ~'; den einen im Parallogramme auftretenden Nullpunkt findet man daraufhin bei
U =
2_~')1 gelegen. Den Übergang
zur sn-Funktion vermitteln die Formeln (5) und (8) in I,388ff. Wir notieren sogleich als Beispiel einer Abelschen Relation älterer Gestalt: n-l
(12)
.::Ec4A
,a=O
,u
sn
1.1-1'
=
o.
Die Abelschen Relationen
243
Viertes Ka pi tel.
Die Teilwerte der elliptischen Funktionen. Der Satz, daß die allgemeine Teilungsgleichung eine Abelsche Gleichung ist, setzt die Adjunktion und damit die Kenntnis der Teilwerte (PlI" gJ~1' voraus. Diese genügen ihrerseits Gleichungen, die man als "spezielle Teilungsgleichungen" bez'eichnet und deren Theorie zu den interessantesten Gegenständen unserer DaJ."stellung gehört. Die Galoissche Gruppe der zum Grade n gehörenden speziellen Teilungsgleichung hat 16*
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_5 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
244
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
C. Jordan in seinem bekannten Gruppenwerke 1) betrachtet, ohne zu endgültigen Ergebnissen zu gelangen. Solche werden jedoch in den schon S.240 genannten Untersuchungen von Sylow und Kroneekel' erreicht· In funktionentheoretischer Hinsicht hat namentlich Kiepert 2) die Teilwerte der Funktionen erster Stufe untersucht und ihre Beziehung zur Transformationstheorie verfolgt.
§ 1. Die Teilwerte b9)..f.t' b9~f.t und die speziellen Teilungsgleichungen. Beim Teilungsgrade n haben wir nach der S. 213 vollzogenen Abzählung für ungerades n im ganzen} (n 2 - 1) verschiedene Teilwerte SJ;./,. und (n 2 -1) paarweise entgegengesetzte Teilwerte P;/,' Bei geradem n reihten sich ~(n2+ 2) verschiedene 8JJ.u an, unter ihnen die drei schOll bei n = 2 auftretenden "TeilwerteU e1 ;'e2 , es, sowie (n 2 - 4) paarweise entgegengesetzte P;P: Für die Teilwerte 8J21' versehen wir uns zu späterem Gebrauche sogleich mit einer analytischen Darstellung, die wir aus der Gleichung (14) in 1,270 durch Eintragen des Wertes u möge f'lir den Quotienten
1),
co.
=
/"co 1
+n IL.a:.
entnehmen. Dabei
die Darstellung (15) in I, 271 eingeführt
werden; auch ersetze man die trigonometrischen Funktionen durch ihre Ausdrücke in der Exponentialfunktion. Eine einfache Zwischenrechnung ergibt:
(1)
C.). t'J Afl
=
_ _ (21l:)2{ 000>
1 12
...
-
~'" + 2 ~C/O _1..m_ K_.
q'!.lIl
_
22m)2
00 [J'a ~(~. n . E1trltq"
':J
m=l
m=O
2iIt
wo wie bisher f = e r, ist. vVesentlich an dieser Darstellung ist, daß erstlich [L nur in den Exponenten der Potenzen von f auftritt, und daß zweitens, abgesehen vom Absolutgliede - Ain den Koeffizienten der Potenzen von q neben f nur rationale ganze Zahlen vorkommen. Bei Um· 2
ordnung nach ansteigenden Potenzen von qn erhalten wir somit eine Darstellung:
(2)
g')2/, =
(~:r {-A + Al1(foU)q~ + AJ.2(foU)q~+ AJ.3(C(t)q~ + ... },
wo sich die Koeffizienten A.u ( cou ) in der Gestalt: 1) Traite des substitutions et des equations algebriques" (Paris 1870) S.93:ff. 2) ,;Über Teilung und Transformation der elliptischen Funktionen", Math. Ann. Bd. 20 (1885).
Reihenentwicklung der Teilwerte fJll<
245 (3) A;.k(C'u) = aiok + a~L8f' + ai21c21< + ... + ai~-1J f(n-l)l' mit rationalen ganzen Zahlen an darstellen und also ganze algebraische Zahlen des zum Teilungsgrade n gehörenden "Kreisteilungskörpers" sind. Nach S.225 gehen die Funktionen S"lp. (:), SO;p. (-;:-) bei Ausübung einer Substitution der Hauptkongruenzgruppe nter Stufe r~";(,.) in sich selbst über. Setzen wir u = 0, so folgt: Die zum n te" Teilungsgrade gehörenden Teilwerte fPll<' b";'p. 'sind invariant gegenüber den Substitutionen der Hauptkongruenzgruppe n ler Stufe r~;(n) und heißen dieserhalb "Modulformen n ter Stufe". Die in (3) S. 184 eingeführte (n 2 - 1)-wertige Funktion 1/1(nl (u) hatte gerade die (n 2 - 1) Teilpunkte aco..2_l'co 2 des Periodenparallelogramms n
zu Nullpunkten. Setzt man also in den Ausdruck von 1/1 (n) ( u) als rationale ganze Funktion von ~J(u) an Stelle von SJ(u) eine Unbekanntez ein, so gelangt man zu einer Gleichung für die Teilwerte b"lp.' Aus den S. 189 für 1/1(nl (u) angegebene Ausdrücken folgt somit der Satz: Bei ungeradem n sind die +(»2 - 1) verschiedenen &JJ.I' die Wurzeln einer Gleichung: (4)
l_(n·'_l)
nz 2
+
~(n.~5l
ßl (+g2)Z2
~(n'-7l
+ ßsgsz S
+ ... =
0,
während bei geradem n die t(n 2 -4) von den el> es, es verschiedenen bOl,u der Gleich~mg:
(5)
~(n'2 tnz~(n2-4) +rl(-~g2)Z2
8)
~(n'-lO)
+rlgsz2
+···=0
genügen!); die ß und r sind dabei rationale ganze Zahlen. Bis n = 6 sind diese Gleichungen in den Entwicklungen von S. 185ft'. explizite enthalten. Entsprechende Gleichungen für die b"il< kann man durch Elimination von z aus:
(6) und nur wir und
(4) bzw. (5) gewinnen. Da jedoch die Berechnung von fPl,u aus fPI. I , noch das Ausziehen einer Quadratwurzel erfordert, so beschäftigen uns zunächst vornehmlich mit den SOllt und den Gleichungen (4) (5). Als "eigentlich" zum Teilungsgrade n oder zur -Stufe n gehörig bezeichnen wir diejenigen Teilwerte, die nicht bereits bei einer niederen Stufe auftreten. Haben die drei Zahlen A, f/', n den größten gemeinsamen Teiler t, so gehören die
gOi.I"
~J;:I< eigentlich zur Stufe
-T'
Nach S. 218
1) Der Fall n = 2, bei dem die drei p-Teilwerte durch e1 , e2 , es geliefert werden, .während noch keine (von 0 verschiedene) pi auftreten, gelte als ausge" schlossen.
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
246
gibt es 7Jn) gegen n teilerfremde mod n inkongruente Zahlenpaare, wo die in (2) S.219 berechnete Anzahl ist. Diese Zahlenpaare liefern die eigentlich zur n ten Stufe gehörenden Teilwerte. Da mit A, /'" auch n - X, n - /'" ein gegen n teilerfremdes Paar ist, so folgt für n > 2: Es gibtb;(n) eigentlich zur Stufe n gehörige Teilwerte SO;'I" und x(n) paarweise nU1' im Vorzeichen verschiedene eigentlich zur Stufe n gehörige Si): . .Bei "1" n = 2 hat man x(2) = 3 Teilwerte S·)i.ll' während die So;." identisch verschwinden.
zen)
Üben wir eine Substitution V
=
(;:
~) der homogenen
rUn)
aus, so
(0, in O,..,fi, (O" , = tla,.. (.) '+' ~I.' + ~ über, und eine entsprechende Aussag-e geht ÖAf.l }jU,p_ gilt für so;.', Da die Indizes mod n beliebig reduzierbar sind, so gilt der '--'
U,ll
Satz: Bei Ausübung einer Substitution V
=
G:~) dm' homogenen
r(w)
er
fähren die Indizes A, /'" eine durch die Kongrttenzen: (7)
X/-a).,+'Y/"',
/""'=ß)'+d/'"
(modn)
darstellbare Tmnsformation. Bei den ~}lll ist fiir n > 2 neben Reduktionen mod n nötigenfalls auch noch ein gleichzeitiger Zeichenwechsel der Indizes vorzunehmen. Bei diesen Transformationen werden nun die gegen n teilerfremden Zahlenpaare stets nur unter sich permutiert. Auch können wir etwa aus dem Paare A = 1, ,u = 0 mittels einer geeigneten Transformation (7) jedes beliebige gegen n teilerfremde Paar herstellen, da nach S. 220ff. für jedes solche Paar
).,1, /""
in der
r(w)
Substitutionen (;:~) mit
IX
= X', ß= /",' auf-
auftreten. Mit Rücksicht auf die Gruppeneigenschaft der r(w) können wir also den Satz aussprechen: Die {z (n) eigentlich zur nlen Stufe gehörendm~ Teilwerte $9;. u werden bei Ansiibung irgendeiner Snbstitution der homogenen r<w) stets nur untereinander permutiert; aueh können wir jeden diesrr Teilwerte durch eine geeignete Substituti01~ in jeden vorgeschriebenen unter ihnen transformieren. Die} X(n!. Teil werte S,);. fl werden in diesem Sinne als "gleichberechtigt' bezeichnet. Ubrigens kann ma.n das gewonnene Ergebnis kurz auch so ausdrücken: Gegeniiber den Substitutionen der Gruppe r(wJ er"(ahren die -{ zen) eigentlich zur n ten Stute gehörenden Teilwerte ~lu die Permu,tationen einer "transitiven" Gruppe, deren nähere Gesetzmäßigkeit durch die Kongruenzen (7) nötigenfalls mit gleichzeitigem Zeichenwechsel von X', /"" festgelegt ist. Entsprechende Sätze gelten natürlich für die x(n) Teilwerte \<1" . Auf Grund dieser Ergebnisse können wir die Frage der Reduzibilität der Gleichung (4) bzw. (5) im Körper ~ = (ffi, g2' g3) behandeln. Bilden wir die symmetrischen Grundfunktionen derh (n) eigentlich zm Stufe n gehörenden $9 lp ' so gelangen wir zu Ausdrücken, die gegen-
Die eigentlich zur nt"ll Stufe gehörenden 6C)zv
247
iiber allen Substitutionen der T(o,) invariant sind. Als ganze Funktionen der gJ zp werden sie sich zu folge (2) in Potenzreihen nach q2 entwickeln lassen, die für I q I < 1 konvergent sind, und die ausschließlich "positive" Exponenten der Potenzen von q2 aufweisen. Auf Grund der Sätze in I, 305ff. erkennen wir in jenen symmetrischen Grundfunktionen "ganze Modulformen erster Stufe", die als solche nach dem Gesetze (8) in I, 309 durch g2 und gs darstellbar sind. Ziehen wir noch die Dimension in den roll (iJ2 heran, so folgt, daß die~x(n) 'reilwerte SJ.l p die 'Wurzeln einer Gleichung:
(8) sind, in der die a l , «2' •.• numerische, d. h. von den 01", (]J2 unabhängige Konstante sind. Von diesen Konstanten kann man durch den Schluß der vollständigen Induktion zeigen, daß sie rationale Zahlen sind. Die Wurzeln der Gleichung (4) bzw. (5) sind nämlich die eigentlich zur Stufe n gehörenden
&;}2 " ,
sowie außerdem alle eigentlich zu den Stufen
-i'i gehörenden
Teilwerte, wo t alle Teiler > 1 von n durchläuft. Nur ist natürlich t = n ausgeschlossen, und außerdem ist aus der Gleichung (5) bereits der zur zweiten Stufe gehörende Bestandteil (4z 3 - gsz - g 3) entfernt. Man kanu aber durch "rationale" Divisionen aus (4) bzw. (5) alle Wurzeln entfernen, die zu Stufen~J, < n gehören. Gilt das Gesetz der rationalen numerischen Koeffizienten für alle Stufen< n, so ist hiernach einleuchtend, daß es auch für n gilt. Nun ist dieses Gesetz jedenfalls für alle Primzahlen n richtig, da für eine ungerade Primr.abl n die Gleichung (fl) einfach die durch n geteilte Gleichung (4) ist. Unsere Behauptung ist .damit allgemein bewiesen. Denkt man in (8) für z eine einzelne Wurzel g;Ji.,lI eingetragen, so ergibt -sich eine in (jJ1I (jJ2 identisch bestehende Gleichung. Die Gleichung bleibt demnach richtig bei allen solchen Veränderungen der OJ v (i)2' bei denen der Periodenquotient (jJ in seiner positiven Halbebene verbleibt. Durch Änderungen dieser Art kanu man nun von einem ersten Wertepaare 011> (]J2 zu jedem bezüglich der T(ru) äquiv~tlent,en Paare gelangen. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichberechtigung der +z(n) Teilwerte SOlf' die Irreduzibilitiit der Gleichung (8) selbst nach Adjunktion irgendwelcher ."numerischer" Irrationalitäten. Geni:igt nämlich etwa z = g;)10 einer "irreduzibelen" Gleichung F(z, ,q2' ,qs) = 0 in einem Körper, der aus (ffi, ,q2',qS) durch Adjunktion irgend welcher numerischer Irrationalitäten entsteht, so zeigt sich durch Wiederholung der vorstehenden Betrachtung, daß jene Gleichung durch alle -}x (n) Teil werte erfüllt wird. Sie enthält also
248
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
die Gleichung (8) und ist demnach als irreduzibel bis auf einen von z unabhängigen Faktor mit (8) identisch. Wir fassen die Ergebnisse in folgenden Satz zusammen: Die Jx(n) eigentlich zm" n ten Stufe gehörenden Teilwerte SI) l. u sind für n> 2 die Wurzeln der als "spezielle Teilungsgleichung" für den nEeR Teilungsgrad bezeichneten Gleichung (8), deren Koeffizienten dem Körper st = (lR, g2' g3) angehören, und die in diesem Körper irreduzibel ist, anch irredttzibel bleiben würde, falls noch irgendwelche "numerische" lrra#onalitäten adjnngiert uJürden. Im Falle 12 = 2 bleibt dieser Satz mit der Abänderung bestehen, daß der Grad der Gleichung nicht X(2), sondern X(2) = 3 ist. Übrigens findet man durch Elimination von z aus (8) und der Gleichung: 4z s - g2/'J- (z'2+ g3) = 0,
+
daß die X(12) eigentlich zur Stufe n gehörenden Teilwerte 8J;,u einer Gleichung x(nyen Grades:
(9)
z'x(n)
+ ß1gSZ'X(R)-2 + Cß2g2 3 + ßsgs 2)z'x(n)-4 + ... =
0
genügen, welche die soeben über die spezielle Teilungsgleichung (3) ausgesagten Eigenschaften gleichfalls besitzt. Der Schluß auf die Hationalität der numerischen Koeffizienten der speziellen Teilungsgleichung kann auch noch in anderer Art vollzogen werden. Ersetzt man den zweiten Index ft der ~12,u durch Uft, unter U einen der epen) gegen n teilerfremden Heste mod 12 verstanden, so permutieren sich die -~-x(n) Teilwerte SJJ.,u untereinander. Die symmetrischen Grundfunktionen der SOlI' bleiben demnach bei jenem Ersatze unverändert. Die aus (2) zu entnehmende Reihenentwicklung :
(10)
( 2",)2' ( ao + a 1 q2 + a2q4 + ...) o.(I?J.I' ) =;;;;
für die v te symmetrische Grundfunktion hat also als Koeffizienten nur noch Zahlen des zum Teilungsgrade n gehörenden Kreisteilungskörpers, die beim Ersatze von e durch irgend eine der cp (n) primitiven Einheitswurzeln n ten Grades unverändert bleiben, d. h. die Koeffizienten a in (10) sind rationale Zahlen. Als ganze Modulform der ersten Stufe bezeichnen wir O•. (S021') durch G.(OOl' 00 2). Nach (8) in I, 309 läßt sich eine solche Form in der Gestalt:
(11) mitte1st numerischer Koeffizienten alm durch g2' ga darstellen. Diese Darstellung von G" (00 11 00 2) ist einzig, da sonst zwischen g2 und gs eine identische Helation bestände. Eine nicht identisch verschwindende ganze Modulform erster Stufe der Dimension - 21J hat nach I, 309 im Diskontinuitätsbereiche der r(w'
Spezielle Teilungsgleichung des n ien Teilungsgrades
249
Nullpunkte in der Gesamtordnung :. Verschwinden demnach in der Potenzreihe einer solchen Form die Koeffizienten bis zu einem Gliede mit einem Exponenten von W =
(l,
der
>:
ist, so liegt bereits in der Spitze
ioo des Diskontuinitätsbereiches ein Nullpunkt von einer Ordnung
> ~-,
so daß die Form dann notwendig mit 0 identisch ist. Dieserhalb
sind zwei ganze Modulformen erster Stufe der Dimension - 2v, deren Potenzreihen in den Anfangsgliedern, und zwar bis zu einem Exponenten > von q2, übereinstimmen, notwendig miteinander identisch.
+
Tragen wir nun in den Ausdruck (11) irgendeiner Form GJw l , ( 2 ) für g2' g3 die Potenzreihen (3) in T, 274 ein, so ergibt sich bei Umordnung nach ansteigenden Potenzen von q2: (12) wo die bk lineare homogene Funktionen der Olm: bk --
(13)
~ lXZm (k) ...... ' .• m
°
Im
mit "rationalen" Koeffizienten cx sind. Soll jetzt die Form (11) mit O"(~ll.) identisch sein, so ist hierzu nach den vorausgeschickten Überlegungen notwendig und hinreichend, daß die Reihe (12) von G,,(w l l ws) mit der Reihe (10) in einer gewissen Anzahl von Anfangskoeffizienten übereinstimmt, daß also die Olm einer gewissen Anzahllineal'er Gleichungen: (14)
"" 1m (1) "';;;:'CX l,m
°
Im =
al
,·· •
mit durchweg rationalen Koeffizienten genügen. Nun gibt es sicher ein System endlicher Zahlen qm' die diese Gleichungen befriedigen, da O,,(&Ol,.,) als ganze Modulform erster Stufe in der Gestalt (11) darstellbar ist. Da aber jedes J~ösungssystem qm der Gleichungen (14) eine Darstellung (11) liefern würde und diese Darstellung für o.CfP;.,J, wie wir wissen einzig ist, so gibt es auch nur ein Lösungssystem qm der Gleichungen (14). Die linearen Gleiclntngen (14) sind also zur eindeutigen Berechnung der endlichen Größen Olm geeignet, so daß sich die q", als Quotienten von Determinanten der Ci: und a und damit als rationale Zahlen aus (14) bestimmen. Diese Schluß weise ist hier gleich ausführlich dargelegt, da wir sie noch öfter zu verwenden haben werden.
§ 2. Kongl'1lenzgruppen n tcr Stufe in der Modulgruppe P. Da sich die nächsten Überlegungen nur auf die Gruppen r(w) und beziehen, so wird der obere Index w der Kürze halber fortgelassen.
G~w;(n)
250
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
Es sei jetzt in der endlichen Gruppe Gnxen )' auf die sich die Gruppe r mod 12 reduziert, irgencleine Untergruppe G t der Ordnung t und des Index
(-L =
'i'b'h-;(11) vorgelegt. Die zugehörige Zerlegung der Gesamtgruppe in r
Nebengruppen sei etwa in der Gestalt gegeben:
(1)
Gr/x(n) = GI
+ Gi·
U1
+ Gt • U + ... +Gt · 2
Uf '-17
wo Uu U2 , .• . , U,U-l zweckmäßig gewählte Substitutionen der GnX (1I) oder der Gruppe r sind. Nun können wir die G nxen ) auch im Anschluß an die Zerlegung: (2) T = nx + nx · V1 + T,'x· V2 + ... + r"x· VnX - 1 .der Gruppe r in die der Hauptkongruenzgruppe nte~ Stufe zugehörigen Nebengruppen erklären. Da die r,'xe n ) ausgezeichnet ist, so liefern die nx(n) Nebengruppen, selbst wieder als Elemente gefaßt (vgl. S. 9), eine endliche Gruppe der Ordnung nx(n), nämlich unsere G"xen). Die Substitutionen derjenigen t Nebengruppen (2), die die Elemente der vorgenannten GI sind, bilden nun für sich eine Untergruppe von r, und zwar eine solche des Index !~ die dieserbalb r" heiße; der Zerlegung (1) entspricht nämlich die ZerIegung: (3) r = + I',,,. ['1 + I',,,. U2 + ... -I- ri'. U,'-1 ·.aer Gesamtgruppe T in die entsprechenden Nebengruppen. Alle so zu gewinnenden Gruppen T" bezeichnen wir als "Kongruenzgruppen n ter Stule". Man kann offenbar als eine solche Kongruenzgruppe n ler Stufe auch jeo.e Gruppe erklären, die die Hauptkongruenzgruppe dieser Stufe rnx(n) als Untergruppe in sich enthält; denn jede solche Gruppe wird sich aus einer bestimmten Anzahl von Nebengruppen (2) zusammensetzen und liefert demnach ihrerseits eine bestimmte GI innerhalb dE'r Gnx(n). Einem Systeme gleichberechtigter Untergruppen GI des Index 11entspricht ein System ebenso vieler gleichberechtigter Kongruenzgruppen Ti' des Index 11-; eine ausgezeichnete Gi ergibt eine ausgezeichnete ri" speziell die G 1 liefert die Hauptkongruenzgruppe r"x(n). Das Problem, alle Kongruenzgruppen n ter Stufe anzugeben, kommt also auf die Aufgabe zurück, die Gruppe G"x(n) in ihre gesamten Untergruppen zu zerlegen. Diese Aufgabe ist, wie beiläufig erwähnt sei, im wesentlichen als gelöst anzusehen. Ist n das Produkt n 1 • n 2 zweier teilerfremder Zahlen, so ist, wie in "Modulfunktionen", Bd. 1, S. 402 ff. gezeigt wird, die vollständige Zerlegung der U n X (n) auf die ZerIegungen der bei~ den Gruppen G n1x () und G n Y(n \ zurückführbar. Man hat demnach weiter nur noch Primzahlpotenzen n zu behandeln. Nun hat J. Gierster zunächst. für den .Fall einer Primzahl n 1) und sodaun für den Fall einer
r
r
r:"
?Zl
2 /.
2•
1) "Die Untergruppen der Galoisschen Gruppe der lVIodulargleichung für ..den Fall eines primzahligen Transformationsgrades", lVIath. Ann .. Bd.18 (1881).
Kongruenzgruppen n tcr Stufe in der Modulgruppe
251
beliebigen Potenz einer ungeraden PrimzahP) die vollständige Zerlegung der Gnx(n) wirklich durchführen können. Rückständig sind demnach nur die Potenzen der Primzahl 2, von denen allein die drei niedersten Fälle 2, 4, 8 erschöpfend behandelt sind. Für die Theorie der speziellen Teilungsgleichung ist folgender Satz grundlegend: Ist n = pT eine Potenz der Primzahl p mit einem Exponenten v :2: 2, so bilden alle Sttbstt"tutionen der Gnx(n)' dl:e mod p,,-1 mit der identischen Substitution 1 kongruent sind, eine Abelsche Gruppe Gp " der Ordnung pS, die in der Gnx(rt) ausgezeichnet enthalten l:st, und die, abgesehen von der identischen Suhstitution nur aus Substitutionen der Periode p besteht. Die fraglichen Substitutionen haben nämlich die Gestalt: (modp")2)
(4)
mit beliebigen ganzen Zahlen ((', b, c. Man erhält in der Ta'c p3 Substitutionen, wenn man a, b, c, unabhängig voneinander Restsysteme mod p durchlaufen läßt. Zwei Substitutionen Y und V' diesel' Art kombinieren sich nach dem Gesetze:
V.
7Tf=(1+(a+a')lJ,,-.-1, r
-
(c+ c'Jp"- l •
(b+b')P,.-l) (a a')p,,-l
1-
+
(modpl').
Hieraus sind die Angaben des Satzes abgesehen von der Behauptung, daß die Gpo ausgezeichnet ist, leicht abzulesen. Die Gp:o aber ist ausgezeichnet, weil sie der ausgezeichneten Kongruenzgruppe rpV-lx(p~-l) der Stufe pv-l entspricht. 3) Bei beliebigem n kommen für die speziellen Teilungsgleichungen gewisse zyklische Untergruppen G" der Ordnung n in Betracht. Unter
S verstehen wir wie in 1,298 die Substitution (~:~); da B"= 1 (mod n) gilt, so erweist sich S in der G",x(n) als eine Substitution der Periode n und erzeugt eine zyklische Untergruppe der Ordnung n, bestehend aus den Substitutionen So = 1, S, S2, ... , Sn -1, die offenbar alle voneinander verschieden sind. Die Anzahl der mit dieser G n gleichberechtigten Gruppen bestimmt man durch folgende Überlegung: Soll die Gn durch die Subßtitution V
== (;;~)
in sich transformiert werden, so muß V-i. S· V == Sv
1) "Über die Galoissche Gruppe der Modulargleichung , wenn der Transformationsgrad die Potenz einer Primzahl> 2 ist", Math. Ann., Bd. 26 (1885). Übrigens betreffen die Giersterschen Untersuchungen die weiterhin noch zu betrachtenden nichthomogenen Gruppen G 1 -2
nx(n)
2) Wie in (11) S. 223 bezieht sich das Kongruenzzeichen natürlich auf die Koeffizienten der Substitution. 3) Nach der Begriffserklärung der Kongruenzgruppen n'er Stufe gehören zu ihnen auch alle Kongruenzgruppen der Stufen, die Teiler von n sind.
252
I, 4. Die .Teilwerte der elliptischen Funktionen
sem. Die Kongruenz lautet ausführlich: V- 1 .S.V==(1+,,/8, _,,/2
82
)_(l,v) 0,1
,1-,,/0'
(modn)
und führt also zu den beiden Bedingungen l' 0 == 0, 1" = 0 (mod n). Multipliziert man diese heiden Kongruenzen mit a und - {J, so liefert ihre A.ddition l' 0 (mod n), womit sie beide erfüllt sind. Die Zahl" kann jeden der rp (n) gegen n teilerfremden Reste mod n bedeuten, ß bleibt beliebig wählbar, und für 0 gilt die Kongruenz 0 = ,,-1 (mod n). Alle so gewonnenen Substitutionen:
=
(6) bilden eine Untergruppe Gn
=
G"'P(n)
+ Gncp(n)' U + Gncp(n)' U + ... + Gncp(n)' U1fJ(nl-l' 1
2
Die Substitutionen der einzelnen Nebengruppe transformierenGn in eine und dieselbe mit Gn gleichberechtigte Gruppe. Man hat also höchstens 'IfJ(n) mit der Gn gleichberechtigte Gruppen:
G(1fJ- 1) = U- 1 n
.
G .U
1fJ-1"
1fJ-1'
unter Uo die identische Substitution verstanden. Diese wen) Gruppen sind aber durchweg verschieden. Wäre nämlich U;l. Gn · ~,= Tf;-l·Gn · U bei verschiedenen Tf;, Uk, so würde Uk • U;l die Gn in sich transformieren also in Gn'P'(n) enthalten sein. Dies ist aber nicht der Fall, da Uk sonst der Nebengruppe Gn · Ui angehören würde. In dm' Gnx(n) sind demnach 'IfJ (n) gleichberechtigte ßyklische Untergruppen Gn der Ordnung n enthalten, von denen, eine die aus S zu erzeugende Gn ist, und deren einzelne in einer metazyklischen Gruppe Gncp(n) als attsgezeichnete Untergruppe enthalten ist. Die symbolisch durch - 1 zu bezeichnende Substitution (;,
-= ~)
ist im Falle n = 2, aber auch nur in diesem Falle mit der identischen Substitution kongruent. Wir nehmen n > 2 und stellen fest, daß die Substitution - 1 mit jeder Substitution der Gnx(n) vertauschbar ist. Eine Untergruppe G", die die Substitution - 1 nicht enthält, wird demnach 1) '!/J(n) bedeutet die in (4) S. 220 erklärte, der Gleichung ep(n)· '/J(n) genügende Anzahl.
=
Zen)
Zyklische und metazyklische Untergruppen der
Gnx(n)
253
durch Zusatz dieser Substitution zu einer G2n der Ordnung 2ft erweitert, in der die G!t ausgezeichnet enthalten ist. So wird die aus der Substitution S zu erzeugende Gn durch Zusatz von - 1 zu einer G2n erweitert, die übrigens in der G"cp(n) der Substitutionen (6) enthalten ist. Soll V
= (;;~)
diese G2n in sich transformieren, so ist, da - 1 durch V in
sich transformiert wird, hierzu notwendig und hinreichend, daß V-i. S· 17 m der G2n enthalten ist:
V-i. S. V _ (
1
-I- r 8
82
)
-r 2,1-/,0 J
=
(± 1, V) O,±1
(mod n).
Gilt das obere Zeichen, so gehört V der Gnrp(n) an. Das untere Zeichen kann aber, wie man durch Addition des ersten und vierten Koeffizienten von V-1. S· V findet, nur für n = ,,1 geHen. In diesem Falle kommen neben den acht Substitutionen (6) noch die acht inkongruenten Substitutionen mit r = 2 (mod 4) für V zur Geltung, so daß hier die G2n in einer G2n
4 hat man gleichberechtigte G 2n , deren einzelne eine zyklische Gn als ausgezeichnete Untergruppe enthält, aus der sie durch Zusatz von - 1 entsteht; für n = 4 hat man }w(4) = 3 solche Gs, deren einzelne zwei zyklische G4 als ausgezeichnet enthält. Den Untergruppen Gn und G2n entsprechen ebenso viele gleichbeder Indizesx(n) rechtigte Kongruenzgruppen n ter Stufe Tx(n) und r l "2 x (n) bzw. tx(n). Zn diesen Gruppen gehören nun gerade die Teilwerte &O~;u
wen)
und SO'o;u' Die 8;)0,,, und &;)~ft bleiben unverändert bei der Substitution S, die S()ou auch gegenüber der Substitution -1. Umgekehrt folgt aus der Regel (7)S.' 246, daß eine Substitution, die &Qo" in sich überführt, der Tl , "2 x (n) angehört, und daß eine Substitution, die S·I~!, in sich transformiert, zur Tx(n) gehörti); gemeint sind hierbei natürlich diejenigen Gruppen, welche zu den aus Sund - Ibzw. aus S zu erzeugenden G2n und Gn gehören. Nun gehen alle eigentlich zur Stufe n gehörenden Teilwerte S;),';U ,&0:'-;u
aus den &;)01' &O~l durch Transformationen der r("') hervor; die gOl;u (und ebenso die &o:!,) heißen dieserhalb "gleichberechtigt" (vgl. S. 7). Hieraus ergibt sich der Satz: Die tx(n) = tcp(n)w(n) Teilwerte S;);'u gehören in Systemen z'tt je t cp (n) den 1/' (n) gleichberechtigten I{ongr2ten.~gt:;tppen Tl an, indem sie bei den Substitutionen der betreffenden
1) Bei den eigentlich zur Stufe n gehörendeu allein handelt, ist /L teilerfremd gegen n.
r1
POil ,\J~!t'
"2 x
-fx(n)
. (n)
nnd nur bei
um die es sich hier
254
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
ihnen
bleiben l ); ebenso gehören die x(n) Teilwerte ~J:I.,U zn je rp(n) den !{J(n) gleichberechtigten Kongruenzgruppen TieR) an. Ein paar weitere später zur Benutzung kommende Ausführungen über Kongruenzgruppen mögen sich gleich hier anschließen. Die Kongruenz zweiten Grades !L 2 := 1 (modn) ist bekanntlich stets lösbar. 2) Die Anzahl 6 ihrer mod n inkongruenten Lösungen ist gleich 1 für n = 2; weiter ist 6 = 2, wenn n die Potenz einer ungeraden Primzahl oder das Doppelte einer solchen Potenz ist oder n = 4 gilt; in allen übrigen li'ällen ist 6 durch 4 teilbar. Nennen wir die Lösungen jener Kongruenz Etl1 Et2' ..., ~mverändert
!La, so b I'lden d'le
gezeichnete
Ga
I
(j
(/Ll', !Ll0) ' 0 (/L!' .0)' .. " , !L2
Sub S·t·t I U t'iOnen 0
in dcr
GI/x(n);
('tL'i> 0
0) eme .
, !Lrl
aus-
denn (~: ~) ist mit jeder Substitution der
G"x(n) vertausch bar. In den Fällen mit 0 = 2 besteht die G" aus den beiden Substitutionen 1 und - 1; in den Fällen mit (j > 4 bilden diese beiden Substitutionen eine in der GI/x(n) ausgezeichnet enthaltene Untergruppe G 2 der G lr Zur G2 gehört eine "Quotientengruppe" G" y(n)!G2 = G 1 ,auf A
welche sich die und
Gnx(n)
reduziert, wenn wir je zwei
-."xen )
Substituti~nen
(;:
~)
(=;: =~) als nicht verschieden ansehen. Dies ist der Standpunkt
der nicht-homogenen Modulgrnppe r(w), wie in I, 280ff. näher erörtert ist. Man kann auch sagen, daß sich die nicht-homogene 11!odulgrttppe T mod n auf eine Gruppe der endlichen Ordnung tnx(n) 1'eduziert, die mit der obigen isomorph ist. Die Zerlegung dieser G 1 in ihre UnterG1 2,,;<en )
-2- nxCr<)
gruppen liefert dann wie oben die gesamten Kongruenzgruppen n tPr Stufe in der nicht-homogenen Modulgruppe. Insbesondere entspricht der Unterdes Index gruppe Gl die "Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe" r l -2 nx (n) ~ n X(n). Die zyklischen Gruppen Gn erfahren keine Reduktion der Ordnung bei Fortgang zu den nicht-homogenen Substitutionen, Dagegen reduzieren sich die metazyklischen Gruppen auf Untergruppen G 1 der 2"nlp(n)
Ordnung tnrp (n), da in der einzelnen homogenen G"
1) Nur für n = 4 gehören die {Zen) .),'1jJ(n) =:3 Gruppen r 1 = r s an. •
2
=
6 Teilwerte
jJAj.t
zu je epen) = 2 den
x(n)
2) S. etwa Dirichlet-Dedekind, "Vorles. über Zahlentheorie", S.88 der vierten Auflage,
255
StLtze über Kongruenzgruppen n ter Stufe in T("')
keine anderen in sich transformiert wird, so haben wit· -in der G 1
~nx (n)
wieder 1fJ(n) gleichberechtigte zyklische GI' det, Ordnung n, von denen eine die aus S zu erzeugende Gruppe ist. Allgemein entspricht der ausgezeichneten Ga eine Quotientengruppe G"x(njG a = G n der Ordnung~~- X(n), während ihr andrerseits eine ';,x(n) (j
r",,-x(n)
ausgezeichnete Kongruenzgruppe
des Index 1~ X (n) in der nichta
homogenen JYIodulgruppe zugehört. Diese Gruppen kommen in der Theorie der Modulargleichungen zur Verwendung.
§ 3. Die Galoisscben Resolventen der speziellen Teilungsgleicbungen. Die in den Teilen II und III der Einleitung entwickelte Galoissche Gleichungstheorie soll jetzt auf die spezielle Teilungsgleichung (8) S. 247 in Anwendung gebracht werden. Falls man diese Gleichung den S. 65 eingeführten Gleichungen genau anpassen will, so hat man etwa an Stelle der P'-f' die Größen nullter Dimension: g2 ga fh,u
(1)
~ß~
benutzen. Sie genügen einer Gleichung, die aus der Gleichung (8) S. 247 durch die Substitution: ß ,Z =
---~zo
g2ga
hervorgeht. Diese "auf die nullte Dimension reduzierte" spezielle Teilungsgleichung hat) wie man mit Hilfe von (16) in I, 124 zeigt, die Gestalt: (2)
z~x(n) + fX~J(J _
1) zg x(n l -2 +
fX~J(J _1)2 zg x(nl-3 + ..
,=
0,
1- x(n) - k wo der Koeffizient von zg eine ganze Funktion k,ten Grades von J mit rationalen Zahlenkoeffizienten ist. Den Koeffizienten dieser Gleichung entsprechend hat man den Körper ffi J der rationalen Punktionen von J mit rationalen Zahlenkoeffizienten als gegeben anzusehen, der dann an Stelle des S. 65:ff. durch ~x bezeichneten Körpers tritt. Nach dem Satze von S. 248 ist die Gleichung (2) in diesem Körper ffi J irreduzibel und würde auch nach Adjunktion irgendwelcher "numerischer'~ Irrationalitäten irreduzibel bleiben. Zur Erleichterung der Schluß weise werden wir in der Tat gelegentlich von der Gleichung (2) Gebrauch machen. Doch legen wir zunächst die Gleichung (8) S. 247 direkt zugrunde; vom Körper ~ = OR, g2' gs) kommen dann natürlich nur Größen, die in wlJ W2 homogen sind, d. h. "Modulformen", zur Benutzung.
256
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
Wir bilden nun durch Adjunktion der tx(n) Teilwerte Gleichung (8) S. 247 gehörenden Galoisschen Körper:
(3)
(~, ..., f'l", ...)
=
SOiu
den zur
'
(lR, g2' gs, ..., Soll!,' ...).
Nach S. 70 kann dieser Körper auch durch Adjunktion einer einzigen Größe hergestellt werden, die man mit Hilfe zweckmlißig gewählter rationaler ganzer Zahlen c aus den gJ).!, in der Gestalt: Pl (WH ( 2 )
(4)
=
.:E CA!' &Oll-' l,p.
bilden kann. Diese Größe ist eine Modulform n ter Stufe der Dimension - 2; die Bedeutung des Index 1 wird unten erklärt werden. Die S0J.I-' als Größen des Körpers (3) sind in Pl rational mit Koeffizienten des Körpers ~ darstellbar:
(5) Hieraus folgt leicht, daß zur Modulform Pl (w l , ( 2 ) diejenige ausgezeichgehört, deren Substitutionen nete Kongruenzgruppe n ter Stufe r l ';fnx(n)
mod n mit 1 oder -- 1 kongruent sind, d. h. daß diese und nur diese Substitutionen der r("') die Form Pl (w l , ( 2 ) in sich transformieren. Daß nämlich Pl gegenüber diesen Substitutionen invariant ist, geht aus (4) hervor. Jede Substitution, die Pl in sich transformiert, wird aber auch zufolge (5) z. B. die beiden Formen rOl und &;)10 zugleich in sich überführen, ist also zugleich mit einer Substitution Substitution
(~ i~)
(t:~ ~), als auch einer
mod n kongruent, d. h. sie ist' .~ ± l.
Durch die Substitutionen der T('") wird hiernach P1 (w v ( 2) im ganzen in~ n X(n) verschiedene Modulformen transformiert, deren symmetrische Grundfunktionen ganze Modulformen erster Stufe sind. Zur Dar, stellung dieser Modulformen als rationaler ganzer Funktionen von g2' gs bedienen wir uns der Methode von S. 248 ff. Wir entnehmen zunächst aus (2) S. 244 eine Potenzreihe für Pl: 2 4 6
(6) Pl (w lI
( 2) =
(~J~r (Bo + B l (c)q"- + B 2 (c) q"
+ B3 (c)q';; + ...),
wo B o eine rationale Zahl des Nenners 12 ist und die BI (E), B 2(c), .• , Zahlen (und zwar ganze Zahlen) des zum n ten Teilungsgrade gehörenden Kreisteilungskörpers (ffi, c) sind, der ein Körper des Grades tp (n) ist. Eine entsprechende Darstellung gestattet jede der ,~. n X (n) mit Pl gleichberechtigten Formen, und also wird auch die v to symmetrische Grundfunktion dieser Formen, abgesehen vom Faktor (~:) 2" als Entwicklungskoeffizienten der Potenzreihe Zahlen des Kreisteilungskörpers haben. Die
257
Galoisscher Körper der speziellen Teilungsgleichung
Methode von S. 248 zeigt daraufhin, daß auch die numerischen Koeffizienten jn den Darstellungen der fraglichen symmetrischen Grundfunktionen durch g2' g3 Zahlen von (91, E) sind. Man gelangt auf diese Weise zu dem Satze: Die t n Z (n) mit PI gleichberechtigten Formen sind die Lösungen einer ,Gleichung:
'(7) ztnx(n) + ß11g2 zt nx (n l -2 + ß1293 zt nx (nl -3 + ß13g22 zt nx (nl -4,+ '" -- 0, .1
deren Koeffizienten dem Körpm' (91, g2' g8' E) angehören; die Gleichung ist in diesem Körpm' irreduzibel und würde auch bei Adjunktion sonstigm' ,;numerischer" Irrationalitäten irreduzibel bleiben. Den letzten Teil des Satzes beweist man genau so wie S. 247 die Irreduzibilität der speziellen Teilungsgleichung. Ersetzt man in der Potenzreihe (2) S. 244 von S.J 2 /L die Einheits'wurzel c durch irgendeine der ep (n) primitiven Einheitswurzeln c", so gelangt man zur Reihenentwicklung für (fJ2,"/L' Wir erklären nun im Anschluß an (4) die epen) Modulformen p,,(w I , ( 2 ) durch:
(8) wo x die ep (n) gegen n teilerfremden Reste mod n durchläuft, Da die rational sind, so folgt aus (6) als Reihenentwicklung von p,,(w1 , ( 2 ):
Cl"
2
(9)
p,,(w 1 ,
( 2) =
6
4,
(:~r(Bo+ BI (cY.)q-;: + B 2 (c") q-;: + Bs(E,,)qn-+ .. )-
Die Gleichung (5) besteht in wl l w2 oder, wenn man die rechte und Ilinke Seite nach Potenzen von q entwickelt denkt, in W 2 und q identisch, ,so daß die Koeffizienten gleich hoher Potenzen rechts und links gleich sind. Diese Koeffizienten sind Zahlen aus (91, c) 1); je zwei einander gleiche ,Koeffizienten rechts und links bleiben demnach gleich, falls man c durch lirgendeine primitive Wurzel e" ersetzt. Da die Koeffizienten von R 2 /Ldem IKörper (m, ,g2' g3) angehören, also bei jenem Ersatz unverändert bleiben, ,so ,bleibt die Gleichung (5) richtig, falls man Pi durch p" und gJ 21l durch ,~J2,,,, ersetzt. Wir haben also epen) Systeme zu je tnz(n) Gleichungen:
(10) Für das einzelne x und die tz(n) Paare l, !.t haben wir auch in alle eigentlich zur n ten Stufe gehärenden ~o-Teilwerte. Die -iz(n) auf dieses x bezogenen Gleichungen (10) zeigen demnach, daß nicht nut· ,Pll sondern jede der ep (n) Größen p" benutzt werden kann, um durch ilwe Adjunktion den Galoisschen Körper (3) zu gewinnen. Indem wir die zur &91,,,1'
1) Natürlich wieder abgesehen vom gemeinsamen Faktor ·.Fric,ke, Die elliptilchen Funktionen TI
(~:) '. 17
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 258 Gleichung (7) führende Überlegung auf p" anwenden, ergibt sich, daß diese Form und die mit ihr gleichberechtigten die Wurzeln einer Gleichung sind:
(11)
Z
~"n7.(n)
+ ßdg2 Z "
"~"7.(..)-3
+ ßY.2gs Z • + ... =0,
r.-!-u7.(n)-2
, T
9
r !-nx(n)-4
ß"sg;,z"
welche alle oben von der Gleichung (7) ausgesagten Eigenschaften besitzt. Nun wird die Gleichung (7) für Z = Pi nach Eintragung der Reihenentwicklungen wieder zu einer in 612 und q identisch bestehenden. Sie bleibt demnach auch gültig, wenn wir in ihr überall, d. h. auch in den Koeffizienten ßllI ß12' ... die Einheitswurzel c durch 13" ersetzen. Es genügt demnach p" einer Gleichung des Grades -~-nx(n), die aus (7) hervorgeht, indem man in den Koeffizienten ßl1' ßl2I ... die Einheitswurzel c durch E" ersetzt. Die so zu gewinnende Gleichung muß aber direkt die Gleichung (11) sein, wie sich aus der Irreduzibilität dieser Gleichung ergibt. Die -~-nx(n) mit p" gleichberechtigten Formen genügen der im Körper (m, g2' gs, c) irreduzibelen Gleichung (11), in der die ß"p ßY.2' ß"3' ... diejenigen Zahlen des Kreisteilungskörpers (m, c) sind, die aus den nume?'ischen Koeffizienten ßll' ß12' ß13' .. , der Gleichung (7) durch den Ersatz von c durch c" hervorgehen, Es ist nun zu entscheiden, ob die rp (n) Gleichungen (11) alle ver~ schieden sind oder nicht. Zu diesem Zwecke wird folgende Hilfsbetrach,.. tung vorausgeschickt, bei der wir den niedersten Fall n = 2 als elemen.tar ausschließen, Wir üben auf das Formentripel SOOl, ~011l S02i zUIilächst die }nx (n) bezüglich der r 1 zu unterscheidenden Substitutionen 2""X(1O)
aus und erzeugen auf diese Art die tigten Tripel":
(12)
~Jrcl"
~-nx(n)
i;)"+Y,;1+d"
verschiedenen "gleichberech-
~;)2"+r,~ß+cl"
Ersetzen wir andrerseits in den Potenzreihen des ersten Tripels die Einheitswurzel c durch die rp(n) primitiven Einheitswurzeln E", so erhalten. wir die rp (n) Tripel:
(13)
SilO,,'
Sillx ,
Sil 2x ,
die wir als rp(n) "konjugierte" Tripel bezeichnen wollen. Abgesehen davon, daß &il Oll SOll' SJ 21 sowohl unter (12) als unter (13) auftritt, kommt keines der gleichberechtigten Tripel (12) zugleich unter den konjugierten Tripein vor. Aus dem gleichzeitigen Bestehen der drei. Gleichungen::
(14)
SOycl' = SilO,,'
SOa+Y'i~+cl'= sJ 1 ",
°
P~a+r,2ß+Ö=
&02;<
folgt nämlich zunächst r == auf Grund der ersten Gleichung, sowie dann weiter a = ± 1 auf Grund der zweiten. Da ein gleichzeitig.er Zei-
Übergang zur Galoisschen Resolvente der speziellen Teilungsgleichung
259
chenwechsel von a, ß, r, 8 vorgenommen werden kann, so soll a := 1 und damit 0 1 (wegen r == 0) gesetzt werden. Die zweite und dritte Gleichung (14) lauten nun &Ol,p+l = ~Jl,,,, SJ2,2{>'+1 = SO"" und führen auf " ~ ß + 1 = 2 ß + 1 und damit auf ß 0, " = 1, womit die behauptete Verschiedenheit der Tripel (12) und (13) bewiesen ist. Man bilde nun alle Tripel von Differenzen:
=
=
(15)
SJ rö - ~-Jo.e'
SOa+r,ß+ö--- S-JI
",
8J2(l+r,2ß+Ö~ SOh,
indem man nur davon absieht, das sowohl unter (12) als (13) auftretende Tripel\oou ~Jl17jJ21 mit sich selbst zur Subtraktion zu bringen. Man hat dann eine begrenzte Anzahl von Tripein (15), von denen nach dem eben bewiesenen Satze keines aus drei mit 0 identischen Differenzen besteht. Wie S.36 und S.69 kann man hieraus den Schluß ziehen, daß man drei rationale ganze Zahlen a, b, c so wählen kann, daß von allen, den TripeIn (15) entsprechenden Formen:
aÜJ yo - SOo,,) -I- b(SO,,+y,p+o- ~Jlk)
+ C(S02a+y,2,d+O- b'}2J
keine einzige identisch verschwindet. Demnach ist von allen lnxen) mit (a~Ol -I- b~ll -I- C8J21) "gleichberechtigten" Formen keine einzige mit einer der "konjugierten" Formen (ag;)oy' + bS01 " -I- CV2r.) mit "$' 1 (mod n) identisch. Nun ist aber (a&oOl + bS-Ju + C~J21)' als im Galoisschen Körper (3) enthalten, in der Gestalt: (16)
ag.J01 -I- b&Oll + cS-J21 = R(PI)
mit Koeffizienten des Körpers (ffi, g2' g3) darstellbar. Hieraus schließt man wie oben für die konjugi~rten Formen auf Darstellungen: (17) Wäre nun die "te Gleichung (11) mit" $' 1 identisch mit der Gleichung (7), so würde p" zu den mit PI "gleichberechtigten" Formen gehören und also die Form (17) unter den mit (16) gleichberechtigten Formen auftreten. Dies aber trifft, wie wir wissen, nicht zu. Es ist also keine der Gleichungen (11) mit k $' 1 identisch mit der Gleichung (7). Da es uns nun unbenommen bleibt, irgendeine der ep (n) Formen p" als Form Pt an die Spitze der Entwicklung zu stellen, so ist die wichtige Tatsache erkannt, daß die epen) Gleichungen (11) durchweg voneinander verschieden sind. Zur Erleichterung der nächsten Überlegung passen wir die vorliegenden Voraussetzungen dadurch etwas besser an die allgemeinen Sätze der Einleitung über die Galoissche Gleichungstheorie an, daß wir mit den in (1) gegebenen Teilwerten nullter Dimension arbeiten. Die entsprechend an Stelle der p" tretenden Größen [b.~~" genügen CF (n) "konjugierten" 17*
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 260 Gleichungen:
(18)
zt"x(n l + ß~J(J - 1)ZJ-n x (n l -2 + ß:2J(J _1)2Zg nx (n l -s + ·.. =0
mit Koeffizienten des Körpers (ffi J , 8), der durch Adjunktion von 8 zu ffi. r entsteht und einen in bezug auf ffi J algebraischen Körper q; (n )tell Grades darstellt. Wir nennen die Koeffizienten der Gleichung (18) kurz A"l' A d , A"3' ... und stellen fest, daß die Differenzen: A X1
-
A"'1'
A x2 -
A"'2' ...
für irgend zwei verschiedene Indizes ", ,,' ein System nicht durchweg identisch verschwindender Funktionen von (ffi J , /5) darstellen, da die q;(n) Gleichungen durchweg verschieden sind. Man kann demnach ein System rationaler ganzer Zahlen IXlI 1X2 , . • so wählen, daß 2(A"2- A"'2) + ... für keine Kombination zweier verschiedener ", ,,' identisch verschwindet Hieraus aber folgt, daß: 1X1
(AY-l- A"'l)
0=
IX l
A x1
+
+
1X
1X2
A x2 + ccS A X3 + ...
eine "primitive" Funktion des Körpers (ffi J , 8) ist, und daß demnach dieser Körper auch durch Adjunktion von 0 zu ffi J gewonnen werden kann. Nun gehören die A"v A"2' . .. als Koeffizienten der Gleichung (18) dem Galoisschen Körper (3) an. Im gleichen Körper ist also, da die IXl , "2' ... rationale ganze Zahlen sind, auch 0 und damit der Körper (ffiJ' 0) = (ffiJ' 8) enthalten. Hiermit ist die grundlegende Tatsache bewiesen, daß die Einheilswut'zel n ten Grades 8 eine natürliche IrrationaUtät der speziellen Teilungsgleichung des n ten Teilungsgrades ist (vgI. oben S.233). Die Frage nach der Galoisschen Resolvente der speziellen Teilungsgleichung ist jetzt unmittelbar zu beantworten. Durch Multiplikation der rp (n) Gle/:chungen (11) mttsteht eine im Körper (m, g2' g3) irreduzibele Gleichung des Grades -~-nz(n)q;(n), welche die Galoissche Resolvente der speziellen Teihmgsgleichung, bezogen auf den durch die Koeffizienten dieser Gleichung gegebenen Körpm" ~ = (ffi, g2' g3) ist. Weiter aber ergibt sich sofort: Nach Adjunktion det· natürlichen Irrationalität 8 wird die Galoissche Resolvente im Körper (~, /5) = (ffi, g2' g3' 8) reduzibel und zerfällt in die q; (n) nunmehr irreduzibelen Gleichungen (11), die auch bei Adjunktion irgendwelcher sonstiger numerischer lrrationalitäten irred~tzibel bleiben. Die "Galoissche Gruppe" der speziellen Teilungsgleichung ist hierder Ordnung }nx(n)q;(n}, die eine Gruppe nach eine G 1 -fn x(n) rp(n)
GI
. der Ordnung }nz(n), die "Monodromiegruppe" unserer Glei-
~nx(n)
chung, als ausgezeichnete Untergruppe besitzt. Als zugehörige "Quo-
Galoissche Gruppe der speziellen Teilungsgleichung
tientengruppe":
' -, / G
G1
2",(n)cp(n)j
1
2ux(n)
=
G cp
261
(n)
aber ergibt sich die Gruppe der Kreisteilungsgleichung des n ten Teilungsgrades. Bei Benutzung der Gleichung (2) würde sich die Monodromiegruppe auf die Umläufe von J in seiner Ebene beziehen (S. 76). Nach den Darlegungen in I, 299 ff. erzielen wir diese Umläufe durch Ausübung der Substitutioneu der Modulgruppe auf ro bzw. ro 1 , ro 2 • Als Perm~!tations gruppe der Wurzeln &{))./L der speziellen Teilungsgleichu,ng ist demnach die Monodromiegruppe dttrch die t n X (n) inkongruenten Substitutionen (7) S. 246 gegeben, wobei zwei Substitutionen, die dnrch gleichzeitigen Zeichenwechsel det· vier Koeffizienten ineinander übergehen, als nicht verschieden gelten. Natürlich ist dies so zu verst~hen, daß man sich die -}x(n) Wurzeln unserer Gleichung in eine Reihe geschrieben denkt und dann nacheinander die tnx(n) Substitutionen (7) S.246 auf die Indizes 2, (1 ausübt, wodurch die Permutationen der fJ2,u hergestellt werden. Übrigens können wir nach S. 246 den Satz aussprechen, daß die Monodromiegruppe der speziellen Teilungsgleichung isomorph mit der G 1 ist, auf die sich ,,-nx(n)
die nicht-homogene Modulgruppe mod n reduziert. • Um zur Galoisschen Gruppe zu gelangen, haben wir E der Reihe nach durch alle cp (n) primitiven Einheitswurzeln n ten Grades zu ersetzen. Dieser Ersatz bewirkt auf die Indizes A, (1 der Teilwerte S{)21' die Substitution: (19) A' cc= A, (1' = % (1 (mod n), wo % alle epen) inkongruenten gegen n teilerfi'emden Reste mod n zu durchlat].fen hat. Kombinieren wir die Substitutionen (19) mit den tnx(n) Su bst,itutionen (7) S. 246, so gelangen wir zur Galoisschen G 1 : 2 nx (n)cp(n)
Die Galoissche Gruppe G 1
2 nx (n)(p(n)
der speziellen l'eiltmgsgleichung wird
als Permutationsgruppe der &;»).1' dnrch die tnx(n)ep(n) inkongruenten Substitutionen: (20) A' == cd + r P, (1' -- ßA+ ~ (1 (mod n) erzielt, deren Determinanten (a~ - ßr) alle gegen n teilerfremden inkongruenten Reste % sind, und bei denen zwei durch gleichzeitigen Zeichenwechsel der Koeffizienten ineinander überfiihrbare Substitutionen als nicht verschieden gelten.
§ 4. Lösung der speziellen Teilungsgleiehung. Es ist jetzt möglich, über den Prozeß der Berechnung der Teilwerte f')l/L durch Auflösung der speziellen Teilungsgleichung endgültige Angaben zu machen. Ist n = n 1 • n2 das Produkt zweier teilerfremder Zahlen n l l n2 , so kann zunächst die Berechnung der Teilwerte des Grades n auf
262
I, 4, Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
die der Grade 1'1 1 , n2 zurückgeführt werden. Wir verstehen unter 11 , ).2 zwei ganze Zahlen, die die Gleichung 11 n 2 +- ),2nt = 1 befriedigen, setzen:
(1)
i=l.:?
und entwickeln die rechten Seiten dieser Gleichungen nach dem Additionstheorem. Aus den Teilwerten
g'J
(~,-(j)i), SJ (l! ~) und den durch Quant
n2
dratwurzeln zu berechnenden zugehörigen Teilwerten der S,;'-F'unktion berechnen wir uns also die Teilwerte (1) und aus ihnen weiter auf Grund der Additionssätze die übrigen Teilwerte des Grades n = n 1 · n 2 • Auf diese Weise wird die Berechnung der Teilioerte irgendwelcher Grade mit Hilfe von Quadratwurzeln und rationalen Rechnungen auf die Berechnung der Teilwerte solcher Grade n zurückgeführt, die Primzahlpotenzen = pV sind In der zu n = pV gehörenden Monodromiegruppe haben wir nun für v > 1 oben (S. 251) eine ausgezeichnete Untergruppe gefunden, deren zugehörige Quotientengruppe eine Abelsche Gruppe Gp der Ordnung pS ist. Dem entspricht folgende einfache algebraische Tatsache: Nach dem 3
Satze von S.234 berechnet man aus SJ (p~~i)' SJ' (p~!:i) durch Lösung der "allgemeinen" Teilungsgleichung für den
pten
Teilungsgrad die Teil-
werte &" (;~), S/ (~}), was nach Adjunktion der pten Einheitswurzel
E
an
irrationalen Operationen das Ausziehen zweier Wurzeln pten Grades erfordert. Mitte1st zweier weiteren Wurzeln pten Grades bestimmt man entsprechend &" (;~), &,,' (~;), womit dann alle weiteren Teilwerte des Teilungsgrades p" rational bekannt sind. Eine der vier Wurzeln plen Grades muß freilich überflüssig sein. Jedenfalls aber besteht der Satz, daß, falls die l'eilwerte dm' primzahligen Teilungsgrade p bekannt sind, die Teilwerte aller weiteren Grade allein durch rationale Rechnungen 'und Wurzelziehungen berechenbar sind; Wir haben demnach unsere Aufmerksamkeit allein noch auf die Primzahlgrade n = p zu richten und betrachten nunmehr naeh Adjunktion der speziellen der pten Einheitswurzel e die Monodromiegruppe G 1 -2 P (P'-1)
Teilungsgleichung, welche wir nach S. 246 in der Gestalt der mod n reduzierten nicht-homogenen Modulgruppe r vorlegen. Es besteht nun der grundlegende Satz: Für alle Primzahlen p> 3 ist die Gruppe G 1 " 2 P (p--l)
"einfach", d, h. sie besitzt (außer de1' Gl ~md der G 1.
op(p'-l)
)
keine ausge-
zeichnete Untergruppe. " Zum Beweise dieses Satzes erinnern wir daran, daß nach I, 297 die Modulgruppe r aus den beiden Substitutionen S = (~: ~) und T ~= (~'1,1
0)
263
LÖBungaprozeß der speziellen Teilungsgleicbung
<erzeugbar ist. Entsprechend wird die GI
"p(p'-l
Bfür p
(~: ~)
und T =:= C~'l,l
aus den Substitutionen
0) erzeugbar sei~. Wir können nun beweisen, daß
> 3 eine ausgezeichnete Untergruppe der GI. , die nicht nur aus 'i P(p--1)
der Substitution 1 besteht, notwendig die Substitutionen Sund T besitzt und also die GI sein muß. womit der Satz ersichtlich sein würde. 2 P (p O -l)
,
Eine ausgezeichnete Untergruppe muß mit einer ihrer Substitutionen
V=
(;:
!) alle mit V gleichberechtigten, d. h. durch Transformation aus
V hervorgehenden Substitutionen enthalten. Transformieren wir aber die 1V0rgeiegte Substitution V durch die Substitution:
Sb=(~:~), T=C~'l\)' U==(O,a'a~l)
(modp):
'unter a und birgendwelche Zahlen der Reihe 1, 2, ... , p -1 verstanden, so gewinnen wir:
f S-b.V.Sb=(It-bY,y, hß+b(lt-h)-b2y) + by ,
lT-I. V· T== (~ß. :),
(2)
[[-1. V· [[ =
(i~2~~::)'
Enthält nun die von der GI verschiedene ausgezeichnete Untergruppe
G eine Substitution V = (~: ~) mit ß =1= 0, so enthält sie auch S und damit auch:
, S·(T-I.S.T).S=
sie ist also notwendig die GI"
-2- P (P" -1)
V = (O~'It~I) mit a =1=
±
(0 1) .-'1,0 ==T;
. Enthält G zweitens eine Substitution
1, so ist (a - a- I) teilerfremd gegenp. Zufolge
der ersten Kongruenz (2) haben wir nun: S-b. V. Sb =
(~:
!-t
b(a -
tel») == (o~'a~l) =
Y~,
wo '/I durch zweckmäßige Auswahl von b mit jeder Zahl 0, 1, 2, ... , P -1 kongruent werden kann. Mit Vo und Va ist auch:
-_ Vo- I . Va= III
G enthalten, so daß wieder G
der GI..
2 p (p--1)
=
(1,1,01) =_
GI
'2"p(p'-l)
<(
~
ist. Eine von der Glund
verschiedene ausgezeichnete G hat demnach, abgesehen
=°
von der identischen Substitution, keine Substitution mit r und also wegen der zweiten Kongruenz (2) auch keine mit ß = 0. Ist demnach
Y= (;:
~
=1= 1 irgendeine Substitution von G, so ist
r
=1=
° (modp), so
daß es eine Zahl b_IX'J'-I (modp) gibt. Für dieses b hat Y'=S-b. Y·S"
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 264 einen durch p teilbaren ersten Koeffizienten, so daß es in G sicher eine
Substitution Y' =
V'·
(_
~',-,!: ~,) gibt und demnach auch die Substitution;
(1'-1. Y'.1"-l) = C~~-\ cJ,) . (~::-~) ~~ (~:;ß' +fJ'-l), ;'-2)'
Da sie einen durch p teilba.ren zweiten Koeffizienten hat, so ist sie = 1, d. h. wir haben ß' == ± 1, o':.::c,= 0. In G kommt stets die SubstitutionT vor; zugleich ist diese Substitution, wenn G nicht die GI" sein soll, die einzige in G auftretende Substitution mit a
== 0.
in G zufolge der dritten Kongruenz (2) mit l' auch
-2- P (P--1)
Nun kommt aber
(~~ (J~2~20) vor. Man
kann aber a, wenn p > 5 ist, sicher so wählen, daß diese Substitution von l' verschieden ist. Dieser Widerspruch zeigt, daß für p > 5 keine verschiedene ausgezeichnete Untergruppe vorkommt. von GI und GI 2 P (1'2_1)
Bei p = 5 gelangen wir zu dem gleichen Hesultate, indem wir bemerken, daß hier S-2.1'. 8 2, ohne - 1 zu sein, ein durch 5 teilbares ß hat. Für p >3 besteht hiernach die "Indexreihe" (vgl.S. 13) unserer Gruppe GI" nur aus dem einzigen Gliede i p(p2 - l)i und da diese Zahl 21'(1'- -1)
keine Primzahl ist, so ist nach dem Theorem 1)on S. 75. die spezielle l'eilWigsgleichung des pten 1'eilungsgmdes für p > ß nicht algebraisch lösbw', Für p = 2 und p = 3 gehören die Teilungsgleichungen den Graden 3 und 4 an: In den beiden niedersten Fällen p = 2 und p = 3 ist die Berechnung der Teilwerte allein durch Wurzelziehttngen durchführbar. Bei dieser Sachlage war es nun ein besonders wichtiges Ziel der von Klein geschaffenen Theorie der elliptischen Modulfunktionen, die eigenartigen algebraischen Probleme, welche den Monodromiegruppen für p = 5,7, 11, ... entsprechend als "Galoissche Probleme" der Grade 60, 168, 660, ..., allgemein des Grades ip (p2 - 1), auftreten, näher zu erforschen. Bei p = 5 gelangt man zur "Ikosaedertheorieil. 1) Im ]J'alle p = 7 entwarf K 1e in seine besonders schöne Theorie der zugrunde liegenden Gruppe G168 durch direkte algebraische Methoden ohne Zuhilfenahme von Reiheu7 entwicklungen der elliptischen Funktionen 2), und auch im Falle p = 11 gelang ihm die Durchführung einer entsprechenden Theorie. S) Für die 1) "Vorlesungen liber das Ikosaeder und die Auflösung' der Gleichungen vom fünften Grade" (Leipzig 1884); s. auch "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichung'en fiinften Grades", Math. Ann., Bd. 14 (1878). 2) "Über Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann, Bd. 14 (1878). 3) "Über Transformation elfter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann" Bd. 15 (1870).
265
Die Galoisschen Probleme bei Primzahl graden p
höheren Fälle bediente sich Klein indessen der analytischen Hilfsmittel der elliptischen Funktionen. Die Behandlung dieser Galoisschen Probleme ist in dem Werke "Modulfunktionen", Bd. 1 und 2 mit großer Ausführlichkeit gegeben. Demgegenüber nimmt die vorliegende Entwicklung die Wendung, daß sie sich den der älteren Theorie entstammenden algebraischen Gesichtspunkten enger anschließt. Es handelt sich dabei nicht um die Galoisschen Resolventen, sondern um die "Resolventen niedersten Grades" der speziellen Teilungsgleichungen. Es sind dies wenigstens im allgemeinen die Modular- und Multiplikatorgleichungen oder, wie wir sagen werden, die "speziellen Transformationsgleichungen", die bei der Transformation höheren Grades der elliptischen Funktionen auftreten. Auch in diesem Gebiete haben übrigens, wie uuten näher darzulegen sein wird, die Kleinschen Methoden mannigfach bahnbrechend gewirkt. Ehe wir indessen allgemein auf die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen eingehen, sind noch ein paar Ausführungen über die Teilwerte der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn nachzutragen.
§
o.
:pie Teilwerte der Fuuktionen sn, cn und dn.
Die S. 240 genannten Untersuchungen von Sy low und Kronecker beziehen sich auf die Teilwerte der sn-Funktion und betreffen übrigens nur 'ungerade 'l'eilungsgrade n. Die Aufgabe der Berechnung der Quadrate sni,u unterscheidet sich vom Probleme der Berechmmg der &{)J.I~ nur dadurch, daß noch die Adjunktion der Modulform zweiter Stufe (e2 - e1 ) zu vollziehen ist. Diese Adjunktion hat zunächst die Bedeutung, daß an Stelle von (m, 92' 93) der Körper (m, P) tritt, sowie daß andrerseits die Teilwerte fiJ,A,U ,fiJ~A,u durch die in (9) S. 238 erklärten 'l'eilwerte nullter Dimension Pl,u' p~'1< zu ersetzen sind. Dann aber gelten nach (10) und (11) S. 238 die Gleichungen:
(1)
12(27Plll-9(1-k~+k4)pJ.,u-2+3k·+3k4-2kG)
f sn
i. ll =
P
=
l
2
J.,u
-----------((iJp-;.-;-+T+ Ff·=--9P)T-----
+
+
,
k 2 (k' - 2) CD"" (2k·-1) dDi.1I -----.-------------'.3 (- 1 k 2 - k"cn;,',U dn;,',U ) ,
1- k 2
+
----~----------.---'
+
während sich die cn.,u' dnJ.,u auf Grund von (16) S. 2'10 rational in snL ausdrücken. Die Gleichwertigkeit der beiden genannten 'l'eilungsprobleme geht aus diesen Gleichungen hervor. Gleichwohl ist es zweckmäßig, auf das Problem der Berechnung der sn"l' noch etwas näher einzugehen, um die früher hierbei benutzten Methoden und Überlegungen zu kennzeichnen. Setzt man, unter n nach wie vor eine beliebige ungerade Zahl verstanden, w = 0 in (14) S. 239 ein, so ergibt sich G~n)(Z2) = 0 als Gleichung (n 2 -1)ten Grades für Z = sn...
266
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen
oder als Gleichung des Grades tc n 2 - 1) für Z2 = sn!I" Diese Gleichung ist nur im Falle eines primzahligen n im Körper (m, k 2) irreduzibel. Bei zusammengesetztem n stellt man indessen wie S. 247 durch einen Divisionsprozeß die irreilnzible, "spezielle Teilungsgleich'ung" des Grades h: (n) für Z2 = sn~i_I" dar, deren Lösungen die "eigentlich" zum Teilungsgrade n gehörenden Teilwerte der sn-Funktion sind. Die Hauptaufgabe ist nun die Bestimmung der Gruppe dieser speziellen Teilungsgleichung, wobei man so verfahren kann: Nach (1) S.197 gilt die Regel:
(>2)
sn""X/l
=
2 ) sn AU G(x) (snll' 1 af(T(snf,:}-
fUr jedes positive ganzzahlige x, wobei rechts eine rationale Ji"unktion von SD;'i' mit Koeffizienten des Körpers (m,k 2) steht. Insbesondere folgt hieraus:
(3)
sn,o
2)
( G (x) l' \ sn lO
aun,
sn xO =-G~X)(sn~o)"
sno"
=
2\
G(x) ( l' snOl )
-~G~)(su~l)
.
Eine einzelne vorgelegte Permutation der Galoisschen Gruppe unserer Gleichung möge nun snlO und sn Ol in sn"ß bzw. sn ycl UberfUhren, wo «, ß und 7', d> gewisse, im Sinne von S. 218 gegen n teilerfremde Zahlenpaal'e sind. Nach den Sätzen von S. 74 über die Galoissche Gruppe einer Gleichung gehen die Relationen (3) bei der fraglichen Permutation wieder in richtige Relationen über. Nimmt man demnach noch auf die Relation (2) Rücksicht, so zeigt sich, daß bei der vorgelegten Permutation unserer Gruppe snr.o in snr.a, r.ß und snox in sn"},, xci übergeht. Weiter folgt aus dem Additiollstheorem mit Rücksicht auf die Formeln (16) S.240 eine Darstellung von sn'+"'I'+/l' in der Gestalt:
(4) sn1+i:"u+/l' = R(sn'/l' sn).'I") als rationale Funktion von 8n'/l und sn"I" mit Koeffizienten aus (m,7;;2). Als Spezialfall von (4) notieren wir: (5) sn l " = R (snlO , sno/<)' Durch die fragliche Permutation geht nun sn lO in sn'')',ßl und SIlO/l. in snr,«,o,u über. Da nun auch die Relation (5) in eine richtige Relation übergeführt wird, so liest man aus (4) ab, daß sn).!' in snal+Y/l, {JJ.t-o,u übergeht. Da die Indizes beliebig mod n reduziert werden können, so finden wir, daß die einzelne Permutation der Galoisschen Gruppe sn l « in sn".u' überführt, wo: '
=
(6) ;,: == «.1. + Y!t, !t' ßA + o!t (modn) gilt und C(, ß, 7', 6' 'vier ganze Zahlen sind, von denen jedenfalls «, ß und 7', ~ gegen n teilerfremde Paare bilden. Hier dürfen nur solche Zahlquadrupel (t, ß, 7', 0' auftreten, welche die x(n) gegen n teilerfremden Zahlenpaare A, !t wieder in diese X Cn)
Spezielle Teilungsgleichung für die sn-Funktion
267
Paare 1,', p,' überführen. Hieraus kann man den Schluß ziehen, daß (1Xd' - ßr) teilerfremd gegen n sein muß. Hätte nämlich (1Xd' - ßr) mit n mindestens einen Primfaktor p gemein, so beachte man, daß sich die X(n) Paare 1" p, mod p auf die X(p) gegen p teilerfremden und mod p inkongruenten Paare reduzieren. Auch diese X(p) Paare müssen sich demnach bei den auf den Modul p bezogenen Kongruenzen (6) permutieren. Setzen wir aber in (6) das gegenp teilerfremde Paar 1, -r, p,==1X ein 1), so entsteht wegen 1Xd' - ßr = 0 (modp) das nicht gegen p teilerfremde Paar 1,' = 0, /L'- O. Also ist notwendip (1Xd' - ßr) teilerfremd gegen n. Die gesamten Substitutionen (6), in denen IXÖ' - ßr ==" die q; (n) gegen n teilerfremden Zahlen durchläuft, bilden nun, wie wir wissen, eine Gruppe Gnx(n)cp(n)' in der die Substitutionen mit IXÖ' - ßr== 1 (modn) eine ausgezeichnete Untergruppe G"x(n) der Ordnung nX (n) bilden. In
der Gnx(n)cp(n) ist die Galoissche Gruppe der speziellen Teilungsgleichung der sn-Funktion sicher enthalten, Bestimmen wir nun zunächst die Monodromiegruppe für die snl ", als algebraische Funktionen yon k2, so sind, wenn wir die Umläufe ton k 2 in seiner Ebene durch Periodensubstitutionen ersetzen, naeh I, 475 die homogenen Substitutionen der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe I~ anzuwenden. Bei Ausübung' der Substitution T2 = - 1 wird der einzelne Teilwert sn,!, durch snn_l., n-f' = - sn2 ,« ersetzt. ];"'ür ungerades n ist die Anzahl der mod n inkongruenten Substitutionen der homogenen Gruppe r 6 gleich nX (n). Man kann nämlich zu
jeder Substitution
(;:!), indem man die Koeffizienten nötigenfalls um n
ändert, sofort eine ihr mod n kongruente Substitution: ro~
== IX' ro l + ß' ro 2 ,
ro;
== r' rot + d" UJ s,
IX' d"
-
ß' r' == 1
(mod 2n)
angeben, die mod 2 mit 1 kongruent ist. Zu dieser Substitution gibt es dann aber mod 2n kongruente Substitutionen in der homogenen rem) (vgl. S. 221), so daß umgekehrt innerhalb der homogenen r 6 alle nx (n) inkongruenten Substitutionen mod n vertreten sind. Diese Substitutionen liefern dann in dm' Tat die oben schon genannte G"x(n) mit cdi - ßr:.=c, 1 (mod n) als :Dfonodromieg~'uppe der speziellen l'eilungsgleichung. Was nun die auf den Körper (m, P) bezogene Galoissche Gruppe der speziellen 'reilungsgleichung betrifft, so besteht sie nach S. 74 aus allen Permutationen der sn;./, , bei denen jede zwisehen den 'reilwerten bestehende rationale Gleiehung mit Koeffizienten aus (m,1. 2) wieder in eine richtige Gleichung übergeht. Tra,gen wir aber in irgendeine solehe Gleichung fUr die Sill,« und für k2 die Reihen nach Potenzen yon q ein und ordnen die linke Seite der Gleichung selbst naeh Potenzen von q, so 1) IX und r können nicht zugleich durch p teilbar sein, weil sonst ).' = 0 mod p) infolge (6) für jedes Paar)." /L zutreffen würde.
I, 4. Die Teilwerte der elliptischen l!'unktionen 268 muß jeder Koeffizient, der übrigens eine Zahl des Körpers (ffi, c) ist, für sich verschwinden. Hieraus kann man mit Rücksicht auf die Irreduzibilität der Kreisteilungsgleichung den Schluß ziehen, daß die gedachte rationale Gleichung zwischen den sn2." richtig bleibt, falls sn2." durch sn, Y. ft ersetzt wird, unter" eine beliebige der q; (n) gegen n teilerfremden, mod n inkongruenten Zahlen verstanden. Die Galoissche Grttppe der Teilungsgleichung ist also wirklich die Gnx(n)cp(n)' Die Reduktion der Galoisschen Gruppe auf die Monodromiegruppe kann man nun auch mit Benutzung der "Abeisehen Relationen" in folgender Art vollziehen. Ist c adjungiert und damit der Körper auf (m, k 2, E) erweitert, so ist die Abelsche Relation (12) S. 243 eine zwischen den sn).." bestehende Relation mit rational bekannten Koeffizienten. Eine Permutation der sn • .", bei welcher sn21, in sn 2, "p. mit "=1= 1 (mod n) übergeht, kann jetzt der Gruppe der Teilungsgleichung nicht mehr angehören. Aus den Betrachtungen von S. 243 folgt nämlich: 11.,
,,-1
~E ...:::.
42 11
!u=l
sn2, X~t =!= 0
für
,,'+ 1 T
(mod n), 1).
Die Abelsche Relation (12) S.243 würde also durch eine jener Permutationen mit" =1= 1 (mod n) nicht wieder in eine richtige Gleichung übergeführt, so daß jene Permutationen nach Adjunktion von E nicht mehr der Gruppe unserer Gleichung angehören. Nach Adjunktion von E kommt also die Gruppe der Gleichung in der Tat auf die Gnx(n) zurück. 1) Man wolle sich in dieser Formel wie auch in der Abelschen Relation (12) ." durch die Wurzeln unserer irreduziblen 'reilungsgleichung nach den Multiplikationssätzen ausgedrückt denken. S,243 die nicht eigentlich zum Teilungsgrade n gehörenden sn l
Zweiter Abschnitt.
Die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen. Als Ziel der weiteren Entwicklung wurde S.265 die Untersuchung der Resolventen niedersten Grades der spezielI.en Teilungsgleichung bezeichnet. Wir erweitern diese Aufgabe in der Art, daß wir auch für die allgemeine Teilungsgleichung nach bemerkenswerten Resolventen niederen Grades suchen. In der Tat werden uns solche Resolventen von den Gleichungen der Transformationstheorie, den "allgemeinen" und den "speziellen Transformationsgleichungen" geliefert. Es handelt sich hierbei um eine außerordentlich vielseitig entwickelte Theorie, deren Anfange in das vorletzte Jahrhundert zurückreichen, deren wichtigste Grundsätze von Ab el und Ja c 0 b i aufgestellt wurden, die aber erst im letzten Drittel des vorigen Jahrhunderts durch die Ausbildung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen ihre jetzt vorliegende Gestalt gewonnen hat. Erstes Kapitel.
Die Transformation n ten Grades und die allgemeinen Transformationsgleichungen. Die Grundaufgabe der Transformationstheorie tritt bereits bei Euler und Lagrange 1), und zwar bei Behandlung gewisser mechanischer Aufgaben, auf. Es handelt sich in der Sprechweise der elliptischen Funktionen um die Frage, ob ein elliptisches Differential, das z als Variable hat, in ein anderes elliptisches Differential mit z' als Variable dadurch transformiert werden kann, daß man zwischen z und z' eine algebraische Relation vorschreibt. Es ist dies die algebraische Fassung des Transformationsproblems, während sich die transzendente Gestalt, wie sogleich in § 1 ausgeführt wird, an den Begriff der doppeltperiodischen Funktion anschließt. Diese transzendente Gestalt bahnt in einfachster Weise die 1) Vgl. "Enzyklopädie" S. 186.
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_6 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
270 11, 1. Transformation nt,n Grades
1I.
allgemeine Transfonnationsgleiehungen
allgemeine Lösung des Problems an. In den grundlegenden Untersuchungen von Abel und Jacobi kommen natürlich beide Seiten des Problems zur Geltung, und zwar die algebraische vornehmlich im "Precis d'une theorie des fonctions elliptiquesl11) und im ersten Teile der "Fundamenta nova'12), die transzendente in den "Recherches sur les fonctions elliptiques" (vgl. die erste Note S. 209) und den späteren Entwicklungen der "Fundamenta nova". In neuerer Zeit pflegt man das Transformationsproblem in transzendenter Gestalt anzusetzen und die algebraische Fassung nur mehr beiläufig zu erwähnen. 3) In dieser Art soll auch hier verfahren werden.
§ 1. Aufstellung des Transformationsproblems und Ansatz zur Lösung. Es seien !p(tt I WlI ( 2) und 1/1(u' I w~, w~) zwei elliptische Funktionen mit fest gegebenen Perioden. Das Grundproblem der allgemeinen 'l'ransformation ist dann in transzendenter Gestalt: Unter welchen Umständen hat die Annahme einer linearen Relation u' = m'u !1' mit konstanten m, p, eine "algebraische" Relation P (fP, 1/1) = 0 zwischen den elliptischen Funktionen !p und 1/1 z'ur Folge? Da !p (u ! WlI ( 2 ) und &" (1-' , W 1 , UJ e) algebraisch zusammenhängen und ebenso t/J (u' I w~, w~) und SO (u' I w~, w;), so können wir unsere Frage ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich auf f,1(u!w lI w2 ) und f,1(u'lw~,w~) an Stelle der Funktionen !p (u W v ( 2 ) und 1/1 Cu' I w~, w;) beziehen. Weiter hängt !'I (mu + p, I w~, w~) mit SO (mu I w~, w;) algebraisch zusammen (auf Grund des Additionstheorems), und es gilt, da die so-Funktion homogen von der Dimension - 2 in ihren drei Argumenten ist:
+
!'I(mu I w~,
w~)
=
m- 2 .1'J(u ' ~,
~).
Setzt man demnach für coIn1, ~ sogleich wieder ro'l' m
W'2'
so hat das auf-
gestellte Problem ohne Beschränkung der Allgemeinheit folgende Gestalt angenommen: Unter welchen Umständen, d. h. für welche Periodenpaare W 1 , W 2 und w~, w; besteht zw/:schen !'I (u i W l , ( 2 ) und !'I (u I w~, w~) eine cdgebraische Relation: (1)
mit Koeffizienten, die natürlich von 1(, unabhängig sm:n sollen? Schreiben wir für die beiden in der Relation (1) vcrbundenenl'J-Funk1) Journ. f. Math., Bd. 4 (1829) oder Abels Werke, neue Ausg. Bd.1, S. 518. 2) Königsberg 1829 oder Jacobis Werke, Bd. 1, S.49ff. 3) Man vgl. z.B. Weierstraß, "Vorlesungen über die Theorie der elliptitisehen Funktionen", Werke, Bd. 5, S. 276.
Das Transformationsproblem in transzendenter und in algebraischer Gestalt
271
tionen z und z', und bezeichnen wir zur Einführung der algebraischen Schreibweise des Differentials du die g2 (oo~, 00;) und g8 (oo~, 00;) kurz durch g~, g~, so können wir unser Problem in folgende algebraische Gestalt umkleiden: Unter welchen Umständen kann man allgemein die DifferentialgleiChung:
(2)
dz
V4z:1 ~g~-z~-ü;
dz'
V4z' ,,= g; z'-=-9;
dttrch eine algebraische Relation F(z, z') = o integrieren, oder wie kann das in (2) links stehende Differential mittelst einer algebraischen Funktion z' von z in ein gleichgebautes Differential transformiert werden? Die Lösung des Problems wird durch folgende Betrachtung angebahnt: Die in I, 229 eingeführte Gruppe r(u) für die Perioden 001' 001l werde kurz r genannt; die entsprechende Gruppe für die Perioden w~, oo~ der zweiten fo'-Funktion heiße r'. Da die Gleichung (1) in u identisch bestehen soll, so bleibt sie bei Ausübung der Substitutionen von r richtig; und da bei ihnen fo' (u I Wu 00 2) unverändert bleibt,so genügen bei gegebenem so(u I 00 11 00 2) alle Funktionen:
(3) der Gleichung (1), wo mu m2 alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen. Nun liegt aber in (1) eine algebraische Gleichung für 8.7 (u I w~, OO~) vor; man hat also in (3) nur endlich viele, etwa n, verschiedene Funktionen vor sich. Die gesamten Substitutionen der Gruppe r, die auch SO (u I w~, 00;) in sich transformieren, bilden dann eine Untergruppe des Index n, die durch r" bezeichnet werden mag. Die zugehörige Zerlegung der Gruppe r in Nebengruppen sei:
(4) wo S(O) = 1, S(l), S(9), ••., S("-l) gewisse n zweckmäßig gewählte Substitutionen von r sind, die die n verschiedenen Funktionen (3) liefern. Übertragen wir den Begriff des "Durchschnittes" endlicher Gruppen ~S. 8) auf Gruppen unendlicher Ordnung, so ist r" als "Durchschnitt" D(r, r') der Gruppen rund r' zu bezeichnen. Da die Gleichung (1) auch in bO(u I OOu 002) algebraisch ist, so ist Der, r') auch in r' als Untergruppe eines endlichen Index n' enthalten und werde als solche genannt. Zwei Gruppen rund r' heißen nun "kommensurabel", wenn der Durchschnitt D (r, r') in jeder derselben eine Untergruppe von endlichem Index ist. Eine algebraische Relation (1) kann zwischen So (u I 0011 00 2) und S;} (t~ I oo~, 00;) jedenfalls nttr dann bestehen, wenn die Gruppen r und I' "kommensurabel/< sind. Aus den folgenden Betrachtungen wird hervorgehen, daß umgekehrt die Kommensurabilität der beiden Gruppen rund r' auch hinreichend für das Bestehen einer algebraischen Relation (1) ist.
r,:.
272 II, 1. Transformation n ten Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Um einen Diskontinuitätsbereich der Untergruppe r n zu gewinnen, .gehen wir auf das zur Gruppe r gehörende Parallelogrammnetz zurück und benennen, wie Fig. 47 in I, 233 darlegt, die einzelnen Parallelogramme nach den zugehörigen Substitutionen. Die beiden erzeugenden Substitu00 1 und u' = u 00 2 nennen wir wieder SI tionen der Gruppe u' = t, und 8 2 , Da nur n bezüglich der r" inäquivalente Parallelogramme existieren, so sind unter den Parallelogrammen 8 0 = 1, S2' S; sicher mindestens zwei äquivalente S; und S;+ D vorhanden, wo D eine positive ganze, möglichst klein gewählte Zahl sei. Die letztere Angabe soll bedeuten, daß unter den Parallelogrammen S;, S;;+I, .. " S;;+D-l noch nicht zwei bezüglich der r n äquivalente auftreten. Aus der Äquivalenz zweier Parallelogramme Sund S' folgt ·nun auch diejenige der Parallelogramme S2~' 8 und S;"· S'. Es sind demnach die Parallelogramme 8 0 = 1 und Sf bezüglich r n äquivalent, die D Parallelogramme 1, S2' S;, ..., Sf-l aber durchweg inäquivalent; die Substitution u' = n + DOO2 ist daraufhin in der r" enthalten. Weiter reihen wir an das Parallelogramm 1 die Parallelogramme SI' Bi, S~, ... an, bis wir zu einem St kommen, das mit einem der voraufgehenden 1, SI' Si, ..., St- 1 oder mit einem der schon an 1 angereihten Parallelogramme S2' S~, ..., 8f-l äquivalent ist. Dies tritt natürlich wieder spätestens für A = n ein. Dabei kann St mit keinem der Parallelogramme SI' Si, ..., S1- 1 äquivalent sein, da sonst schon St- 1 mit einem der Reihe 1, SI' ..., St- 2 äquivalent wäre. Also ist St mit einem der Parallelogramme 1, S:, S;, ..., Sf-l äquivalent, etwa mit Sf-B, wo B eine der Zahlen 1, 2, ..., D ist. Man reihe nun die A· D Parallelogramme:
+
+
S;, ...,
(5)
fl
=0, 1, ... ,A -1; "=0,1, . .. , 1)-1
zu einem größeren Parallelogramme der Ecken 0, Doo 2 , AOO1 + Doo 2 , AOO1 zusammen. Von den A· D Parallelogrammen (5) können keine zwei verschiedene bezüglich der r n äquivalent sein. Soll nämlich S(. S{ mit St· S2 äquivalent sein, wo wir 1-" > I-' voraussetzen dürfen, so folgt daraus mit Sv-", oder auch mit S,·-,"+J) welches Pardie Äquivalenz von Ba'-I" I 2 2 , allelogramm wir für v - v' < 0 bevorzugen. Aus der Reihe S~ = 1, SI' Si, ..., St- 1 ist aber, wie wir wissen, nur das Parallelogramm 1 mit einem solchen der Reihe 1, S2' 8~, ..., S~-l äquivalent, und zwar ist es auch nur mit sich selbst äquivalent. Also gilt 1-" = (A-, v' = v, womit die Behauptung bewiesen ist. Von der die Punkte 0 und D 00 2 verbindenden Seite des großen Par;allelogramms wird nun, wenn B< D ist, das durch und (D - B)oo 2 ,begrenzte Stück durch die in rot enthaltene Substitution:
°
n'
=
n
+A +B 00 1
00 2
Untergruppe des Index n in der Gruppe
+
+
r
213
CU )
in das äquivalente, von (Aw 1 Bfil 2) und (Afil 1 D(()2) begrenzte Stück ,der Gegenseite transformiert. Der von (D - B)w 2 und DW 2 begrenzte Rest aber wird durch u' = u + A (()l + (B - D) (()2 in das noch freie, durch die Punkte A(()I und (A(()i + B(()2) begrenzte Stück der Gegenseite übergeführt. Die letzte Substitution kann man aus den beiden durch S~ und S~ zu bezeichnenden Substitutionen: u' = u + D(()2 (6) herstellen. Um jene entbehren zu können, schneiden wir vom großen Parallelogramm das Dreieck der Ecken 0, AWi + Bw 2 , AWi ab und ersetzen es durch das äquivalente Dreieck der Ecken D(()2' AWi + CB + D)(()2' A(()I + Dw 2 • Im Parallelogramm der Ecken 0, D(()2' A(()i (B + D)wv AW i + B(()2 haben wir nun einen Diskontinuitätsbet'eich der Untergruppe r" in besonders einfacher Gestalt gewonnen; die Gegenseiten dieses Parallelogramms sind durch die Substitutionen (6), die ein System von erzeugenden Substitutionen der I~ bilden, aufeinander bezogen. Dieser Satz bezieht sich zwar auch auf den Fall B = D. Da jedoch in diesem Falle die Seite zwischen und D (()2 des ursprünglichen großen Parallelogramms durch die Substitution (() = u + A(()i ungeteilt in die äquivalente Gegenseite übergeht, so behalten wir dieses Parallelogramm unmittelbar als Diskontinuitätsbereich der r n bei. Es läuft dies darauf hinaus, daß die ganze Zahl B in (6) auf die Wet"te 0, 1, 2, ..., D - 1 beschränlct ist. Da nun die A· D Substitutionen (5) ein System bezüglich der r" inäquivalenter Substitutionen bilden müssen, so ist notwendig A· D = n. Nehmen wir andrerseits eine beliebige Zerlegung der Zahl n in zwei positive ganzzahlige Faktoren n = A· D und verstehen unter B eine beliebige der Zahlen 0, 1, 2, ..., D - 1, so bilden die beiden mit diesen Zahlen angesetzten Substitutionen (6) die Erzeugenden einer Untergruppe r n des Index n, deren Diskontinuitätsb2reich das Parallelogramm der Ecken 0, Dw 2 , A(()i + (B + D)(()2' A(()i B(()~ ist. Zwei verschiedenen ZahlentripeIn A, B, D und A', B', D' dieser Art entsprechen dabei auch sicher zwei verschiedene Gruppen r n und r;.. Sollten l1ämlich dies2 bei den Gruppen gleich sein, ~o muß erstlieh jede der Zahlen D, D' ein Vielfaches der anderen sein, worans D' = D und also A' = A folgt. Da alsdann weiter in r u = r~ die Substitution u' = u + CB' - B)(()2 enthalten sein muß, so folgt auch noch B' = B. Damit ist der Satz bewiesen: Die Anzahl verschiedener Untergruppen des Index n in r ist gleich der dU1"ch wen) ,zu bezeichnenden Teilersumme der Zahl n. Man gewinnt nämlich alle brauchbaren Paare (6) von Erzeugenden, wenn man fUr D der Reihe nach alle
+
°
+
=i
setzt und für B nacheinander 0, 1,2, ..., D-1 Teiler von n wählt, A einträgt . . Die gewonnenen Ergebnisse setzen uns in den Stand, einen Ansatz Fricke, Die elliptischen ]'unktionen 11
18
274 II,1. Transformation n ten Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen
zur Lösung des Transformationsproblems zu entwickeln. Als Untergruppe r u des Index n von r ist der Durchschnitt D (r, r') eine unserer eben gefundenen Gruppen, deren gJ-Funktion bQ(U! Aw! + Bw2 , Dro 2) wir zur Vermittlung zwischen gJ (u I W1) w2 ) und SQ (tt I w;, w~) einführen. Da &J(u I Wl1 w2) und bQ(tt I w~, ro~) bei den Substitutionen der r" unverändert bleiben und übrigens gerade Funktionen sind, so gilt der Satz: Für die beiden Funktionen &Q (u I W l1 w2 ) und &J(tt I w~, ro~) mit 7commensttrabele'n< Gruppen r, r' gelten Darstellungen:
{ ~J(U I Wu w2 ) = gJ(u I w~, w;) =
(7)
RÜJ(u I Aw! + Bro2 , Dw 2 )),
R'(&J(u I AW i
+ Bw
2,
Dw 2)
als rationale Funktionen des gleichen Argumentes bQ(U IAro! + Bro2 , Dro 2), durch dessen Elimination aus den Gleichungen (7) eine algebraische Relation (1) zwischen bQ(u IW u w2) und SQ (1t Iro~, ro~) gewonnen wird. Die Kommensurabilität der Gruppen ist demnach, wie schon oben behauptet wurde" auch hinreichend für die Existenz einer Relation (1).
§ 2. Die Repräsentanten der Transformationen n ten Grades. Eine Untergruppe In des Index n in der Gruppe r hat als Diskonro; + ro;, w/ tinuitätsbereich ein Parallelogramm, dessen Ecken 0, Gitterpunkte des ursprünglichen Netzes sind, und dessen Inhalt nmal so groß wie der Inhalt des Parallelogramms del""Ecken 0, ro 2, rot ro" rol ist. Wir nehmen die Bezeichnungen ro;, ro; auf die Ecken so verteilt an, daß der Quotient w' = ro;: ro; positiven imaginären Bestandteil hat. Umgekehrt liefert jedes solche Parallelogramm den' Dis7continuitätsbereich einer Untergruppe r" des Index n in r, die aus den beiden Substitutionen:
w;,
+
(1)
w;,
u'=S;'(u)=u+ro;',:
(i=12)
erzeugbar ist. Die ro~ stellen sich als Gitterpunkte des ursprünglichen Netzes in der Gestalt:
(2) mitte1st ganzer Zahlen a, b, c, d dar. Da der Quotient ro' =ro; : ro~ positiven imaginären Bestandteil hat, so ist die Determinante (ad - bc) positiv, und da der Inhalt des Parallelogramms der Ecken 0, ro;, ro; + ro;, ro; gleich dem n·fachen Inhalte des ursprünglichen Parallelogramms ist, so gilt insbesondere: (3) ad - bc = n. Man kann demnach sagen: Berechnet man die ro;, ro~ aus den ro1 , ro 2 nach (2) mittelst irgendwelcher ganze7' Zahlen a, b, c, d der Determinante n, so erzeugen die in (1) gegebenen Substitutionen S~, S~ eine Untergruppe des
Die transformierten Funktionen und Invarianten
275
Index n in r; zugleich gelangt man auf diese Weise zu allen Untergruppen r" von r. Man sagt nun, in (2) liege eine "Transformation n len Grades" der Perioden W l , W 2 vor, falls a, b, c, d vier ganze Zahlen der Determinante n sind. Diese Erklärung schließt den Begriff der "linearen Transformationl' oder "Transformation ersten Grades" der Perioden, wie er in I, 184 gegeben wurde, ein und verallgemeinert ihn. Symbolisch möge eine Transformation (2) durch T bezeichnet werden. Als Ziel der Transjormationstheorie für die punktionen erster Stufe sehen wir die Be1'echmtng det· "transf01'mierten Punktionen" &"l(u I w;, w~), &/(~t I w~, w;) oder: ~'J(t~!awl
+ bw 2 ,
cW l
+ d( 2 ),
&"l'(ulaw l
+ bw2., CW 1 + d( 2 )
und der "transformierten Invarianten" 92(aw 1
+ bw2, cWl + d(jJ2)'
gs(awl
+ bw 2 ,
CW!
+ d( 2 ), J(~: t-!)
aus den ursprünglichen ~Funktionen und Invarianten an. Das 'l'ransformationsproblem des vorigen Paragraphen ist dadurch ein wenig abgeändert. Die ursprüngliche Funktion &"l (u I WII (jJ2) ist rational in der transformierten &"l (u i w;, w~) darstellbar:
(4) In (7) S. 274 liegen zwei Relationen dieser Art vor, die das gleiche Argument der rationalen Funktionen haben. Erst durch Elimination die\les Argumentes ergibt sich eine algebraische Relation der Art (1) S. 270. Indem wir uns auf die einzelne Gleichung (4) beschränken, betrachten wir also nur algebraische Relationen (1) S. 270 ,in denen die eine der beteiligten &"l-Funktionen linear enthalten ist. Demgegenüber haben wir unser Problem in anderer Hinsicht wesentlich erweitert, insofern wir die Aufgabe gestellt haben, die transformierten Funktionen aus den ursprünglichen zu berechnen. Während man nun f!ir den einzelnen Grad n unendlich viele, abgekürzt durch l' =
(;:!)
zu bezeichnende Transformationen hat, gibt es
nach S.273 doch nur endlich viele, nämlich tP(n) verschiedene Untergruppen r n , unter tP(n) die Teilersumme der Zahl n verstanden. In der Tat gelangen wir immer wieder zu derselben Gruppe r", wenn wir an Stelle der zwei aus ihnen durch irgendeine "lineare" Transformation entstehende Perioden treten lassen. Alle zu derselben Gruppe T',. und also zu den gleichen transformierten Funktionen und Invarianten führenden Transformationen fassen wir in eine "Klasse von TTans(ormationen n len Grades" zusammen. Sie entstehen aus einer ersten unter ihnen T in der Gestalt:
w;, w;
18'"
276 lI,l. Transformation n tcD Grades u. allgemeine Transformationsgleichuugen
(aa + pe, ab + Pd) ra + oe, rb + lid ' wo V die Substitutionen der homogenen Modulgruppe rem) durchläuft. V. T =
(5)
(a, (1) . (a, b) r,li
e, d
=
Nach S. 273 muß in jeder Klasse eine und nur eine Transformation der Gestalt: (6) enthalten sein, wo .A, B, D positive ganze Zahlen sind, die den unter (6) angegebenen Bedingungen genügen. Dies ist arithmetisch leicht zu bestätigen. Bei gegebener Transformation (:,':) kann man in der Tat die Substitution V in einer und nur einer Art so bestimmen, daß in (5) rechts eine Transformation (6) vorliegt. Ist nämlich A der positiv genommene, größte gemeinsame Teiler von a und c, so hat man zu setzen:
r
=
-
~-, 0 =
+ ~,
rb
+ Ifd =
-
~- b + ~- ä
=
~-
=
D
und gewinnt, da A in n aufgeht, auch in D eine positive ganze Zahl. Da y und h teilerfremde ganze Zahlen sind, so gibt es einfach unendlich viele Substitutionen V in r(w) mit dieseu y und If als dritten und vierten Koeffizienten. Hat eine erste von ihnen die beiden ersten Koeffizienten '-"01 Po, so gewinnt man alle, indem man: IX =«0
+ vy, P= Po + "0,
(1'=" .', - 2, -1, O,l,~,··-)
setzt und v, wie angedeutet, alle ganzen Zahlen durchlaufen läßt. DarauS" findet man weiter:
aa + {Je = A(<
=
A, ab
+ pd =
(aob
+ (Jod) + vD =
B
und kann über v in einer und nur einer Art so verfügen, daß die letzte Bedingung (6) erfüllt ist. Wir wollen nun die eine in der Klasse enthaltene Transformation (6) zum "RepJ'äsentanten" der Klasse wählen und haben dann folgenden Satz: Beim Grade n hat man im ganzen (/j(n), durch die "Repräsentanten" (6) gelieferte Klassen von Transformationen und entsprechend (Jj (n) verschiedene Systeme transformiet'ter Funktionen und Invarianten. Ist t der größte gemeinsame Teiler der vier Koeffizienten a, b, c, d der Transformation T, so haben auch die vier Koeffizienten jeder weiteren Transformation V· T der gleichen Klasse t als größten gemeinsamen Teiler, so daß der Teiler t als ein Attribut der Klasse anzusehen ist. Ist t = 1, so sagt man, es liege "eigentliche" Transformation nl ... Grades vor. Ist t> 1, wo alsdann n den "quadratischen" Teiler t 2 hat, so schreiben wir t . ao, b = t . bOI c = t . co' d = t . do und haben:
a....
Die
h;J(U la W 1
r]j
(n) Repräsentanten. Eigentliche Transformation n ten Grades
+ b W 2, cW1
rh (et W 1 +bw 2,
(7-1
277
+ bOw 21 Co W 1 + doW~) ," ., cW 1 +d( 2 ) = t- 4 ·g2 (a Ow1 +bow t , COW 1 + dO( 2), .•. , d( 2 ) = t- 2.~
aOw 1
J(~:-t-~) = J(~:~t~:)· Sehen
WIr
von den Faktoren t- 2,
. • •
ab, so liegt bei den Funktionen
"eigentliche" Transformation des Grades .~ in Verbindung mit der Division des Argumentes u durch t vor, bei den Invarianten aber "eigentliche" Transformation des Grades;~. Sieht man anch über die Division des Argumentes u bei den Funktionen hinweg, so kann man den Satz aussprechen, daß sich die c»(n) Fälle der Transformation n ten Grades zusammensetzen aus den "eigentlich" zu allen Graden ;~ gehörenden l'ransformationen, wo t 2 die quadratischen Teiler von n unter Einschluß von t~ = 1 durchläuft. Zur Bestimmung der Anzahl der Klassen aller eigentlich zum Grade n geh ären den Transformationen stellen wir zunächst fest, daß jede Untergruppe r" des Index n eine Kongruenzgruppe n ter Stttfe ist. Benutzen wir nämlich die beiden in (6) S. 273 gegebenen Substitutionen S;, S~ als erzeugende Substitutionen der r n , so sind :mit ihnen auch S~ D. S~ -B und S~ i! oder explizite die Substitutionen u' = u + nW lI n' = u + n0:>2 in f'" enthalten. Aus diesen beiden Substitutionen aber läßt sich die Hauptkongruenzgruppe r n " der n ten Stufe erzeugen. Da der Flä,cheninhalt des Diskontinuitätsbereiches der r n , n-mal so groß wie der des Diskontinuitätsbereicbes der r n ist, so ist die r,,2 eine Untergruppe des Inrlex n in der r n , und die letztere Gruppe r n reduziert sicb mod n auf eine Untergruppe Gn der Ordnung n in derG". aller mod n inkongruenten Substitutionen. Wir sind auf diese Weise zu den Entwicklungen von S. 218ft'. über Kongruenzgruppen n ter Stufe in der Gruppe r(1.) zurückgeführt. Dabei stellen sich die Substitutionen der Gn in der Gestalt:
(7)
u' = u
+ lAw + (lB + mD)w 1
2
(mod n)
dar, unter l und m ganze Zahlen verstanden. Hieran schließt sich der Satz: Die Gn ist ~tets und nur dann eine zyklische Gruppe, wenn eigentliche Transformation n ten Grades vorliegt. Haben nämlich A, B, D den gemeinsamen Teiler t
> 1,
so ist sicher die (~i~) t. Potenz der Substitu-
tion (7) mit der identischen Substitution mod n· kongruent, so daß in diesem Falle die Gn keine Substitution der Periode n enthält und also nicbt zyklisch sein kann. Haben indessen A, B, D keinen Teiler t > 1
278 H,1. Transformation 'n'OD Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen
gemein, so weist man in der Gn leicht eine Substitution:
(8)
u':= 1J,
+ Aro + (B + mD)ro i
2
(mod n)
der Periode n nach. Man zerlege nämlich A in das Produkt Ai . ~, wo in Al alle Primfaktoren von A zusammengefaßt sind, die auch in D aufgehen, und wo also A 2 teilerfremd gegen D ist. Hieraus folgt, daß man m als ganze Zahl entsprechend der Kongruenz:
B.+ mD == 1 (mod A 2) bestimmen kann. Dann ist (B + mD) teilerfremd gegen A 2• Da aber
eine in Al aufgehende Primzahl auch in D aufgeht und deshalb B sicher nicht teilt, so ist CB mD) auch teilerfremd gegen Al und also auch gegen A. Die beiden ganzen Zahlen A und (B + mD) bilden also im Sinne von S. 218 ein gegen n teilerfremdes Paar, so daß nach den dortigen Sätzen die Substitution (8) die Periode n hat. Die G" ist also jetzt zyklisch und gehört zu den 1/J(n) schon S. 220 betrachteten Gruppen Gn • Umgekehrt lieferte jede der 1/J (n) Gruppen G" eine Kongruenzuntergruppe rrl' die als Untergruppe des Index n zu unseren bei der Transformation n ten Grades eintretenden r n gehört, und die, als ein ar zyklischen Gn entsprechend, eigentliche Transformation n ten Grades liefern muß. Mit Rücksicht auf die Entwicklungen von S. 220ft'. ist also der folgende Satz festgestellt: Die eigentlich zum Grade n gehörenden Transf(wmationen bilden 'lfJ (n) Klassen; die entsprechenden Gruppen r" sind in der der r(u) ausgezeichnet, aber in der ternären Gruppe r(u,w) miteinander gleichberechtigt.
+
Zum Grade ~~ gehören hiernach 1/J (;) Transformationsklassen im eigentlichen Sinne. Ist n rein quadratisch, so tritt auch der Repräsentant A = D = Vn, B = 0 auf, der die lineare Transformation liefert. Unter dem bisher noch nicht erklärten Symbole 'lfJ(1) hat man demnach den Wert 1 zu verstehen. Aus den berechneten Anzahlen der Transf(lrmationsklassen ergibt sich daraufhin die Regel: Die Teilersumme tP(n) stellt sich in den ganzen Zahlen 1/J durch die Gleichung:
(9) dar, wo sich die Summe auf alle qnadratischen Teiler' t 2 von n bezieht, u.nter Einschluß von t 2 = 1.
§ 3, Die allgemeine Trallsformationsgleichung der p.Funktion, Unter den 'lfJ(n) eigentlich zum Grade n gehörenden wesentlich verschiedenen Transformationen nennen wir die !iurch A = n, B = 0, D = 1 gegebene die "erste Hanpttmnsformation", während die Zahlen A = 1
Die 1/I(n) Klassen eigentlicher Transformation n ten Grades
279
.B = 0, D = n die "zweite Haupttransformation" liefern mögen. Die Disko.ntinuitätsbereiche der zugehörigen Gruppen sind leicht herstellbar. Für .die erste Gruppe r n hat man n Parallelo.gramme des ursprünglichen Netzes 'zu einem größeren Parallelo.gramme der Ecken 0, W 2, nW l + W 2 , nW I zu-sammenzuo.rdnen. Die beidenHaupttransfo.rmationen sind natürlich keineswegs vo.r den übrigen Transfo.rmatio.nen ausgezeichnet. Indem man statt der W 1 , Ws in geeigneter Weise linear transformierte Perio.den einführt, wird man jede beliebige Transfo.rmation in den neuen Perio.den z. B. als erste Haupttransfo.rmatio.n schreiben können. Umgekehrt geht aus den z. B. bei der ersten Haupttransfo.rmatio.n eintretenden Größen: &J(u I nw l , ws),, .. , g2(nw 1, ( 2), .. .. , J(nw)
(1)
.das System der Größen irgendeiner anderen Klasse vo.n Transfo.rmatio.nen .einfach durch eine geeignete "lineare" Transfo.rmatio.n der Perio.den in (Ier Gestalt: hervo.r, entsprechend der Gleichberechtigung der 1jJ(n) Gruppen r n innerhalb PU,,"). Bei dieser Sachlage darf man sich auf die Betrachtung der Haupttransfo.rmatio.nen beschränken und könnte unter ihnen so.gar eine, .z. B. die erste, bevo.rzugen. Im Disko.ntinuitätsbereiche der zur ersten Haupttransfo.rmatio.n gehörenden Gruppe r n ist p(ul W l , (2 )=SJ(u) l) eine 2n-wertige gerade Funk,tio.n, die dieserhalb eine ratio.nale Funktio.n nteI! Grades:
(2) vo.n &o(u
! 4'/,())1, ws)
ist. Als Gleichung n ten Grades für die transformierte ~-Funktion aufgefaßt, bezeichnen wir diese Gleichung als die "allgemeine Transformationsgleichung" der §J-Funktion fü}' die erste Haupttransfonnation n ten Grades. Sie hat die n Lösungen:
{3)
p(~t
+ AW
t
,nw1l
( 2 ),
(.t=O,1,2, ... ,n-l)
und ist irreduzibel in jedem Körper, der aus (m, ~J (u), p' (u), g2' g3) durch Adjunktion irgendwelcher vo.n u unabhängiger Größen entsteht. Die Theorie dieser allgemeinen Transformatio.nsgleichung ist nun ;bereitsin den Entwicklungen von S. 225ft'. übel' die allgemeine Teilungsgleichung vollständig enthalten. Die beiden zu den Haupttransfo.rmatio.nen gehörenden Gruppen r u sind im Sinne von S. 224 "komplemen,tär"; auch die bei den Haupttransformatio.nen mögen deshalb "ko.mplementär" heißen. Die aufeinanderfolgende Ausübung der beiden Haupttransfonnationen führt ZUj' Division. Üben wir nämlich auf p(u Inw1, ( 2) .die zweite Haupttransf0rmatio.n aus, so. gelangen wir zu: ,BO
1) Sind ,Perioden der Fllllktionen p, sind immerw1 ,w2 als solche gedacht.
~l,
13, ... nicht besonders angegeben,
280 II, 1. Transformation n'on Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen
~(u I nWi> nw2)
=
n- 2 • ~~1(~~ I w1, w2)·
Hatten wir nun oben den Satz gefunden, daß die allgemeine .Teilungsgleichung nach Adjunktion der Teilwerte durch zwei zyklische Gleichungen n ten Grades lösbar ist, so werden wir jetzt leicht erkennen, daß die bei den aufeinander folgenden Hauptt1'ansformationen eintretenden beiden Transformationsgleichungen n tcn Grades unmittelbar als jene beiden zyklischen Resolt'enten der allgemeinen Teilungsgleichung angesehen werden können. Man erinnere sich, daß unter den in (3) S. 226 eingeführten "lJfl/u) die (n -1) Funktionen "lJfo,u(u) der zur ersten Hanpttransformation gehörenden Gruppe r" angehören. Die Berechnung dieser Funktionen 'lJio.,,(u) aus ~o(u), go'(u) geschieht aber auf Grund von (19) S. 230 nach Adjunktion der Teilwerte mittelst einer einzigen Wurzel n ten Grades. Es besteht nun einfach der Satz, daß nach Adjunktion dieser n ten Wurzel und also der "lJfo,u (u) die Wurzeln (3) der allgemeinen Transformationsgleichung (2) rational beknnnt sind. Man bilde nämlich mitte1st der Einheitswurzel E = sungen (3) der Transformationsgleichung die Summe:
e-n: aus den Lö-
n-l
:EI/"'~J(U + Aw 2=0
(4)
1 1
nw1, w2),
unter tJo eine Zahl der Reihe 0,1,2, ... , (n - 1) verstanden. Die Summe (4) bleibt bei Vermehrung von U um w 2 unverändert, bei Vermehrung von u um W 1 geht sie in sich selbst, multipliziert mit 8-''', 11,ber. Für tJo = 0 liegt also eine Funktion der Perioden Wll W 2 vor, die im ursprünglichen Parallelogramm einen einzigen, bei U = 0 gelegenen Pol zweiter Ordnung mit den Anfangsgliedern der Reihenentwicklung:
I. + ~~(AWI InW n-l
ll ( 2 )
+ ...
2=1
hat. In diesem Falle ist also die Summe (4), abgesehen vom Absolutgliede der eben angegebenen Reihe, mit der Funktion so(u) identisch: n-l
(5)
.;S~(u
~=o
+ Aw
n-1
1
Inw!, w2 )
=
so(u)
+1.=1 ;S~(AWll nW1' w
2 )·
Die rechts stebende Summe gestattet Darstellung durch die 'l'eilwerte der go-Funktion. Man hat nämlich in go (nn: n W ll w 2) eine Funktion der Perioden w 1 ,
~_~._ , "
W2
mit n Polen zweiter Ordnung an den Stellen ~,
(n -1) 00 2
n
=
0,
0)2 ,
n
des Periodenparallelogramms. An der einzelnen Stelle
281
Beziehung der transformierten &J-Funktion zu den PA,u (u)
lt1~' wird n 2 SO (nu inW l1 w 2 )
gJ (u: W t ,
=
genau so unendlich, wie die
::)
unter (5) S.211 eingeführte Funktion SJo,_,,(u) = $OO,n_Ju). ist die Differenz: n-l n2~o(nu i nw l • w2) - ~ ~Jop(u)
Demnach
I' =0
eine von tt unabhängige Größe, für die man aus dem Absolutgliede der n-l
Reihe nach Potenzen von u den Ausdruck - ~ gJo,u abliest: 1,=.1
n 2 gJ(nu I nWt> w2 ) = gJ(u) Setzt man u
=
lro -', n
n-l
+ ~(~JOi'(u) -
gJOpJ
/1=1
so folgt:
gJ(Äw1 I
nw w2)
=
t,
n-l
;~,
u-l
(:E !Ji.p -
2\oo,u)·
,u=O
,u=l
Bildet man diese Gleichung für l = 1, 2, ... , (n - 1) und addiert alle (n -1) so entstehenden Gleichungen, so folgt bei zweckmäßiger Zusammenfassung der rechts stehenden Glieder: x-1
:E sJ(Äw11 nWl>w
1.=1
n-l
2) =
:h:E'gJAI' - !:E
gJOf.t'
,u=1
)."u
°
wo sich die erste Summe rechts auf alle inkongruenten Zahlenpaare mod n unter Auslassung der Kombination Ä = 0, !1 = bezieht. Nach (8) S. 247 ist diese Summe gleich 0, da für jeden Teiler von n die im eigentlichen Sinne zugehörigen Teilwerte verschwindende Summe liefern. Es besteht also die Gleichung: n-l
n-l
:E \o(Äw11 nwl,w2)
(6)
=
_.~:E gJo,u'
A=1
",=1
und die Relation (5) schreibt sich um in: n-l
2} gJ(u + Äw
(7)
n-l
1
l
nw l' w2 )
=
gJ(tt)
-~:E soo,,,'
.1=0
1,=1
Bedeutet /L in der Summe (4) eine der Zahlen 1,2, ... , (n --1), so hat das Produkt dieser Summe und der Funktion P'o f.t (u) zufolge (4) S. 226 die Perioden W t und W2; und zwar stellt dieses Produkt eine dreiwertige Funktion mit einem Pole dritter Ordnung im Punkte tt = dar_ Es gilt also für /L der Ansatz:
°
+°
n-t
P'OI./(u) .~ r/,1l6>] (tt 2=0
+ lw l lnw1, w2) =
A(so (u)
-
soo J '
+ B(S;;' (u) -
gJ~Il)'
282 II, 1. Transformation
nt('n
Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen
wobei sogleich noch benutzt ist, daß das Produkt im Nullpunkte u
=
":2
von ~o,uCu) verschwinden muß. Zur Bestimmung der von u unabhängigen Faktoren benutzen wir die Anfangsglieder der Potenzreihe nach u für das Produkt, die nach (5) S. 226 lauten: 1 1/,8
6~ I' 1 +. 6--. u-2 T 0"
I
...
Es ergibt sich für die Summe (4) die Darstellung:
Der Faktor von 10 (u) im Zähler rechter Hand gehört, wie S. 232 festgestellt wurde, dem Körper (m, g2' 93' !Oo!" !O~!,) an. Durch Auflösung der Gleichungen (7) und (8) gewinnt man nun für die einzelne 'Nurzel der rrransformationsgleichung die Darstellung
Es sind also die Lösungen der allgemeinen Transformationsgleichung (2) [lach Adjunktion der in der ersten Gleichung (19) S. 230 stehenden nten Wurzel zum Körper (m, go(u), !O'(u), g2' g3' !Ol,u' 10;,,) rational bekannt. Da ilich umgekehrt die Funktion ~Oll (u) zufolge:
{1O)
:als im "Galoisschen Körper" der Transformationsgleichung (2) enthalten ,erweist, so ist unsere obige Behauptung über den algebraischen Charakter dieser Gleichung bewiesen. Die entwickelte Gestalt der Transformationsgleichung (2) kann man :aus (5) ahleiten. Indem man zur Vereinfachung der Schreibweise vor>erst ~ statt w1 einträgt, kleidet sich die Gleichung (5) in die Gestalt: n-1
!O(u I ~!,
(
2)
=
!O(u)
+~ (b0i.O(u)-- 10;,0).(=1
Im Falle eines ungeraden n schreiben wir hierfiir:
Wirkliche Aufstellung der allgemeinen Transformationsgleichung
283
n-l
!J(U
2
Ic;:, 0}2)
=
!J(U)
+~(!J(U + ~~t-) + !J(U -
":') -
2~lO).
.1.=1
Ist ,hingegen der Transformationsgrad n eine gerade Zahl, so ergibt sich entsprechend:
Nun folgt z, B. aus der Gleichung (6) S. 216, falls man Z und Z' wieder als &J-Funktion schreibt und 2u an Stelle von U einsetzt:
während das Additionstheorem (4) in 1,203 zur Umformung der einzelnen Glieder der Summen die Gleichung liefert:
(J(u ö
+ v) + '''Cu _ ö"
v)
=
(2p(U)SJ(V)-;'g~) (P(U)
+ 8 ....(v)-- -g.. J
---~U)=i')(V)2
Man findet für ungerades n: n.-l
sowie für gerades n: ~J
{12)
CO) (U1,n' 0} ~-
2
=
&J (U)
e + e2es + 2__&o(u)-e, 1._ _ . 2
n-2
2 (12!o.2.-g.2.)~.J(U)-4P." +~ -----·--il(g.J(u) lO
-. g.Q .. -2gs
10 w~lo =-~;lO)·~--
.._ _..
2=1
Mitteist des Ersatzes von 0}1 durch n0}1 erhält man aus (11) bzw. (12) die Transformationsgleichung (2) selbst. Die Koeffizienten sind dann zwar noch nicht (wie wir nach dem Ausdrucke (9) der Lösungen erwarten sollten) in den g2' ga und den ursprünglichen Teilwerten ausgedrückt, sondern stellen sich in denjenigen Größen dar, die aus g2' gs und den !J10 durch die erste Haupttransformation hervorgehen. I) 1) Im Falle eines geraden n ist e, der zu während e. ea = ~ ist. 4f t
,,= 2'n gehörende Teilwert 8JH'
284 11, 1. Transformation
t,ten
Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen
§ 4. rrransformation n ten Grades deI' Sigmafnnktion. Die eben bei der \o-Funktion befolgte Art, die Transformationsglei-
hO(U I::' üJ 2)
chung anzusetzen, bestand darin, daß zunächst Funktion von gJ(u 1CD U
zu Darstellung kam. Beim Übergange vom
CD 2 )
03 2)
ursprünglichen hJ(ttl031,
als rationale
hO(U!::, 03 2)
zu
handelt es sich um die
zur ersten Haupttransformation inverse Operation. Diese Art, die Transformation n ten Grades anzufassen, ist besonders geeignet bei der (3·Funktion und den &- Funktionen, weil hier zur Entwicklung der aufzustellenden Relationen die Sä,tze aus I, 217ff. über ganze elliptische Funktionen dritter Art Verwendung finden können. Um dies zunächst bei der (3-Funktion auszuführen, stellen wir fest, daß (3
(u I ~-, (
2)
eine ganze elliptische Funktion dritter Art ist, die bei
Vermehrung von 'u um
W1
und
W2
bzw. die Faktoren annimmt:
Hier bedeuten 'YJ~, '1); die zu den "transformierten Perioden" w~ O3~ = 03 2 gehörenden Perioden des Integrals zweiter Gattung:
'1); =1ji(W~, 03;) =
(1)
'1),(::, ( 2),
=
u;: , i=1,2
und die Bezeichnungen ft, v sind im Sinne von 1,217 ff. gebraucht. Diese Größen ft, v stellen sich in den Perioden wie folgt dar:
(2)
Die Nullpunkte der Funktion (3 g:ramm sind nun bei
0, ölt, n (13) in 1,221 anzusetzen ist:
u
U =
(u I~, 03
-n-" . "
2 ölt
2)
im Periodenparallelo-
(n - 1)wt- ge1egen, so daß nach ---n-n-l
0(u
(3)
n' W 2 ölt
)
=
C . e Anz+fluTI'-( . \:) 11
I. CO,)
-;~
,
l=O
wo A, B, C von U unabhängig sind. Zur Berechnung von A dient die Gleichung (10) in I, 220. Man findet, indem man A als Funktion der Perioden durch G1 (CD u 032) oder kurz durch GI bezeichnet: A
=
Gt(03 u
( 2 ) = -{C'YJlft2- 'l)2!Ll) =
:d;(n'l)2'1)~ -
'1)1'1);),
Transformation
1~ten
235
Grades der 6-Funktion
wofür man auch schreiben kann:
(4) Setzt man nun (auf Grund der Legendreschen Relation) erstlich: (JJl '1]2
= 2i:n: + (JJ2 t11l
(JJ~'IJ~ = 2i:n:
+ (JJ~1)~
und sodann zweitens: (JJ~1);
=
-
2i:n:
+ (JJ~1)~,
(JJ2th =
2i:n:
-
+ (JJI'l]2
in die rechte Seite von (4) ein, so gelangt man nach kurzer Zwischenrechnung zu den beiden folgenden Ausdrücken für A = GI: (5)
Eine dritte Darstellung von A = GI durch f,l-Teilwerte folgt unten; übrigens haben wir in GI ((JJ1I ws) eine wichtige Modulform nter Stufe der Dimension - 2 gewonnen, die später noch wiederholt zu betrachten sein wird. In die Gleichung (14) in I, 221 ist entsprechend den Nullpunkten der Funktion (3) und den Werten (2) der {L, v einzutragen:
und übrigens natürlich 1ft = n. Es ergibt sich m l übrigens leicht das Zutreffen der Gleichung: -
( 1)1 '112 -
1 ( -2- {LI (JJ1 '1]2 -
1)2 VI ) -
{L2 (JJ2 1h
)
=
=
0, m2 n 1)2
2-- -
0. Da man
=
1),
2
zeigt, so bestimmt sich B = n -;=_11)1' Auf Grund der in (1) I, 450 gegebenen Erklärung der Funktionen Gl,u(t,t) kann man den Exponentialfaktor eBu mit dem Produkte in (3) rechts zum Produkte der n Funktionen G;.O(u) zusammenfal'!sen. Der Faktor C bestimmt sich endlich aus den Anfangsgliedern der Reihen nach Potenzen von tt. Man gelangt zu dem Ergebnis: Die durch die zur ersten Haupttransformation inverse Operation umgeformte 6-Funktion stellt sich in den Punktionen GlO(U) und ihren Nullwerten luie folgt dar: n-l
G(Ulo~,(JJ2) =e('lU'6(tt)TJ~!;J~~}'
(6)
2=1
/.0
Durch Logarithmierung und zweimalige Differentiation folgt aus (6)
~()(ul ~:~-, ( 2) •
n-l
=
-
2G1
+ !\J(tt) + ~!\Ji.o(u). i.= 1
286 II,1. Transformation nt,n Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Nach S. 282 aber gilt: f,J
(u
I~~, (
n-1
2) =
-
... -1
~iPI.O + iP(u) + ~rlO(U). L= 1
.
.l =1
Der Vergleich mit der voraufgehenden Gleichung liefert demnach noch den Satz: Die Größe G1 (wlI ( 2 ) stellt sich in den iP-Teilwerten des n ten Teilungsgrades so dar: n-1
(7)
G1 (WlI
( 2) =
~ ~f,Jl.o' I. =1
§ 5. Transformation zweiten Grades der '1'hetafunktionen. Bei den ])'unktionen der älteren Theorie, die zu den Stufen 2, 4, ... gehören, bringt das Transformationsproblem in seiner in § 1 entwickelten allgemeinen Fassung sachlich nichts Neues, da die Funktionen der zweiten Stufe mit denen der ersten algebraisch zusammenhängen und also eine algebraische Beziehung zwischen Funktionen erster Stufe eine ebensolche zwischen den zugehörigen Funktionen der Stufen 2, 4, ... zur Folge hat. Formal ist zu bemerken, daß die Argumente v und w der .f1Funktionen und der Funktionen sn, cn, dn mit u durch die Gleichungen zusammenhängen:
(1) wo der Faktor von u in der letzten Gleichung nach I, 473 eine Modulform vierter Stufe ist. Geht man demnach von WlI Wj zu den transformierten Perioden (2) S. 274, während u unverändert bleibt, so ändern sich gleichwohl die v und w, indem sie übergehen in:
(2) wo der :B'aktor M von w der Quotient:
(3)
JYl = lt'~2~=~t'l~OJ1i-c-JOl.-,__C_OJ1_+_~~2) 11e. - e1 (Oll' 0l2)
yet=-e;
des transformierten 'vVertes der Modulform und des ursprüng-· lichen Wertes ist. JY! ist der bei der Transformation eintretende "Multiplikator" des Integrals erster Gattung w, von dem J aco b i zeigt, daß er einer gewissen algebraischen Gleichung genügt. Wir kommen späterhin auf diese "Multiplikatorgleichung" für die Transformation n ten Grades zurück. Die erste Haupttransformation n ten Grades läßt sich, wenn n eine zusammengesetzte Zahl n t . n2 ist, ersetzen durch die Aufeinanderfolge der beiden entsprechenden rrransformationen der Grade n1 , n 2 . Es steht
287
Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen
uns also frei, aus dem Grade n zunächst die höchste in dieser Zahl enthaltene Potenz 2~ von 2 auszusondern und die Transformation des Grades 2· durch v-malige Ausübung der Transformation zweiten Grades zu ersetzen. vEr behandeln demnach, wie es für die Funktionen zweiter Stufe auch schon bei der Teilung zweckmäßig erschien, die Transformation zweiten Grades für sich und schließen dann die Transformation ungeraden Graden an. Bei den -/t-Funktiollen folgen wir zunächst der Entwicklung, die in § 4 auf die Funktion 0(u) angewendet wurde, d. h. wir üben auf die vier Funktionen -/t.(v, q) die zu den Transformationen inversen Operationen aus und versuchen, die entstehenden Größen in den ursprünglichen -/tFunktionen auszudrücken. Die fraglichen Ausdrücke werden gewonnen auf Grund der Sätze in I, 420ff. über Thetafunktionen erster und höherer Ordnung mit beliebigen Charakteristiken. Im Falle des zweiten Grades bedeutet die zur zweiten Haupttransformation inverse Operation den Übergang von
()J2
zu ~2 bei unveränder-
ten u, ()J1' Infolge (1) handelt es sich hier also um den Übergang vOn v, q zu 2v, q2. Dieser Übergang läßt sich aber auch so auffassen, daß er die Kombination dm' ersten Haupttransjormation und der Multiplikation des Argumentes u mit 2 ist. Die Hinzunahme der Multiplikation hat zur Folge, daß die umgeformten Funktionen wieder die Perioden der ursprünglichen erhalten und dadurch in den letzteren ausdrückbar werden. Dieser Auffassung folgend pflegt man als erste Haupttransformation zweiten Grades den Übergang von v, q zu 2v, q2 bezeichnen, während bei der zweiten Haupttransformation und der noch fehlenden dritten Transfor1
1
nmtion q durch q'i bzw. iq2- ersetzt wird, beide Male bei unverändertem v. Es gilt nun also die drei Systeme zu je vier Funktionen:
(4) in den ursprünglichen -/t auszudrücken. Aus den Formeln (19) in 1,419 folgt bei Ersatz von v und 2v und 2m:
1'
=.0,1,2,3
()J
durch
°
wo rechts für v = und 1 das negative, für v = 2 und 3 das positive Zeichen gilt. Da ferner jede -/t-Funktion bei Vermehrung des Argumentes v um 2 unverändert bleibt, bestehen die Gleichungen:
Im Sinne der in I, 428 aufgestellten Erklärung sind hiernach die vier Funktionen -/t" (2 v, q2) "allgemeine" Thetafun7ctionen zweiter Ordnung (J~2;' (v) der vier Charakteristiken (0,1), (0,1), (0,0), (0,0). Zu einem ähnlichen
288 II,1. Transformation n ten Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Resultate gelangt man bei dem zweiten und dritten Quadrupel (4). Man knüpfe, um das Verhalten bei Vermehrung von v um m festzustellen bzw. an: itv(v
ersetze
m
+ 2m -
durch ; bzw.
1, e7tiW ) ro
=
±
q-4 e-47t"iit,,(v,e7tiW ),
t~ und gelangt durch Fortsetzung der Über-
legung zu dem Ergebnis, daß auch die acht noch fehlenden Funktionen (4) "allgemeine" Thetafunktionen zweiter Ordnung ()~2~ (v) sind. Die Charakteristiken des zweiten Quadrupels (4) sind aber der Reihe v = 0, 1, 2, 3 nach (0,0), (1,0), (1,0), (0,0) und die des dritten (0,0), (1,1), (1,1), (0,0). Nach I, 429ft'. sind somit die zwölf transformierten Funktionen (4) durch die Quadrate und zweigliedrigen Produkte die vier ursprünglichen it-Funktionen darstellbar, deren Verteilung auf die vier Charakteristiken (g, h) in 1,429 unten angegeben ist: Bei der Charakteristik (0,0) darf man irgend zwei der vier Quadrate itv (V)2 für die Darstellung zugrunde legen. 1) Bei den anderen drei Charakteristiken (g, h) aber beachte man, daß immer ein Produkt -B-f,ev)itpev) eine gerade, das andere eine ungerade Funktion darstellt. Unter den zwölf Funktionen (4) sind übrigens die vier mit v = 1 ungerade, alle übrigen aber gerade. Dem Ansatze. der gesuchten Darstellungen schicken wir noch ein paar Relationen zwischen it-Nullwerten voraus. Die Nullwerte der drei geraden it-Funktionen sind nach (18) in 1,418 durch die Produkte darstellbar: 00
00
m=l
m=l
(5)
1
it2 = 2 q4
fI(1- q2m)fIe l + q2rn)2, 0000
m=l
m=l 00
rn=l
m=l
Durch Multiplikation der ersten und dritten Gleichung folgt: 00
00
wo sich rechts die Produktentwicklung von .&O(q2)2 eingefunden hat. Entsprechend gewinnt man: 1) Bei einer ohne zweites Argument geschriebenen Funktion .ßov(v) gilt stets q als zweites Argument. Ebenso ist bei einem ohne Argument geschriebenen Nullwerte .ßo•. als Argument q zu denken.
Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen
m=l
m=l
m=1
m=l
wo rechts die Produktentwicklung von erhält man die Relationen:
(6) .
-B'o-B's
=
&O(q2)2,
289
t-ltjJ(qty steht.
2-B'2-B's = -B'2(qty,
Auf diese Weise
-B'; = 2-B'2(q2) &s (q2),
deren dritte eine unmittelbare Folge der zweiten ist. Man bilde nun nach den Regeln von I, 429ff., die sich auf den Hermiteschen Satz gründen, zunächst die Ansätze:
(7)
-B'o(2v, q2)
=
a-B'o(v)-B's(v),
-B's(2v, q2)
b-B'S(V)2
=
+ c-B'o(v)2,
wo die a, b, c von v unabhängig sind. Vermehrt man in der zweiten so bleibt -B's(2v, q2) nach I, 419 unverändert, während Gleichung v um sich -B's(v) und -B'o(v) austauschen; es gilt also c = b. Vermehrt man v um
t,
i-, so folgt
aus (7) nach I, 419 bei Fortlassung der rechts und links
übereinstimmend auftretenden Faktoren:
(8)
-B'l (2v, q2)
=
a-B'l (V)-B'2(V),
°
-B'2(2v, q2)
=
b(-B'2(V)2 - -B'l (vn
Jetzt setze man v = in die erste Gleichung (7) und die zweite Gleichung (8) ein und findet so:
-B'O(q2)
=
a-B'o&a,
-B'2(q2)
=
b-B'~.
Mit Benutzung von (6) ergibt sich somit:
Fiir die m.ittelst der ersten Haupttransformation umgeformten -B'- Funktionen gelten also folgende Darstellungen in den ~trsprünglichen -B'(v)~ (9)
-B'O(q2)-B'o(2V' q2) = -B'o(v)&s(v), -B'O(q2)-B'1(2v, q2) = -B'1(V)-B'2(V), 2-B'S(q2)-B'2(2v, q2) = -B'2(V)2 - -B'1(V)2, 2-B'S(q2)-B's(2v, q2) = -B'S(V)2 + &o(v)2.
!
(v, qt)
Von den Funktionen -B'~ haben die beiden ersten die Charakteristiken (0,0) und (1,0), so daß die Ansätze gelten:
(10)
-B'Jv, q-}) = a-B'o(v)2+ b-B'1(V)2,
-B'l (v,
q~) =
C&l(V)&O(v).
Vermehrt man in der ersten Gleichung v um ;, so ko~mt für die linke Fr i c k e, Die elliptuchell Funktionen II
19
290 Ir, 1. Transformation n'en Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Seite die auf ~- statt co umgeformte erste Gleichung (19) in 1,419, für die beiden rechts stehenden Funktionen aber die Tabelle daselbst zur Verwendung. Man findet nach:Fortlassung überflüssiger Faktoren:
{}o(v, so daß a (11)
=
qt) =
a{}1(v)2
+ b{}O(V)2,
b gilt. Bei Vermehrung von v um
{}s(v, qt)
= a({}s(v)2
+ {}2(V)2),
.~
folgt aus (10):
{}2(V, ql) = c.ft2(v){}s(v).
Durch Eintragen von v = 0 in die erste Gleichung (10) und die zweite Gleichung (11) ergibt sich wieder mit Benutzung von (6):
Für die durch die zweite Haupttransformation umgeformten {}-Funktionen hat man also folgende Darstellungen in den ursprünglichen {}(v):
( ) J{}s(q~){}o(v, 12
qt)={}O(V)2+-&1(V)~,
1{}2 (1) . 1) q-2· {}2 (v, q2 =2{}2(V){}S(V)'
{}2(qi){}1 (v,qt)
=
{}s q2){}S
=
. (1 (v,q21)
2{}1(V){}O(v); {}s(V)2+{}2(V)2.
An Stelle der zweiten und dritten Gleichung kann man auch schreiben:' (13) Endlich trage man in die erste und vierte Gleichung (12) und in die Gleichungen (13) statt co noch co + 1 ein und bediene sich bei der Umrechnung der Reihenentwicklungen (17) und (20) in I,418ff. Man wird leicht zu folgendem Ergebnis gelangen: Die dttrch die noch fehlende Transformation zweiten Grades ttmgeformten {}-Funktionen stellen sich in den ursprünglichen {} (v) so dar,'
{}s(iqi){}o(v,iqt)
=
{}S(V)2
+ i{}1(V)2,
(14)
§ 6. Transformation zweiten Grades der Funktionen sn, cn und dn. Auf die Berechnung der transformierten Werte der von den Perioden allein abhäl;J.genden Modulfunktionen gehen wir erst in den späteren Kapiteln ein. Um indessen über die Transformation zweiten Grades der
Transformation zweiten Grades des Integralmoduls
291
Funktionen sn, cn und dn abschließende Angaben machen zu können, sind schon hier einige vorläufige Notizen über die Transformation desselben Grades der Integralmoduln und ihrer Wurzeln zu machen. Nach 1,419 stellen sich die vierten Wurzeln aus dem Integralmodul kS und dem komplementären Modul k'2 = 1 - k 2 in den ./}-Nullwerten so dar: (1)
und sie sind hierdurch als eindeutige Funktionen von ro erklärt. Setzt man im Quotienten der dritten und vierten Gleichung (9) S. 289 für 'IJ den Wert 0 ein, so folgt bei Übergang zu den Integralmoduln auf Grund von (1): .&. (q') .&S(q2)
-
= Vk(2ro) =
.&i
.&i
k
1
+ &6 = 1 +k'· )
Ebenso findet man aus der ersten und vierten Gleichung (9) S.289: ( '&0 (q.)) 2 = .&8 (q')
k' (2 ) ro
=
2.&0 &8
&~ + &ö
=
~~ki .
1
+ 7c'
Es gilt also der Satz: Die durch die erste Haupttransformation zweiten Grades ~tmgeformten Integralmoduln stellen sich in den ursprünglichen Moduln wie folgt dar:
(2)
-
Vk(2ro)
k
=
l+k"
Um entsprechende Gleichungen für die zweite Haupttransformation aufzustellen, kann man entweder an die Gleichungen (12) und (13) S. 290 anzuknüpfen oder in den eben aufgestellten Gleichungen ~- an Stelle von ro eintragen und nach k (;) und
VF (--i-)
lösen. Die mitielst der zweiten
Haupttransformation zweiten Grades umgeformten Integralmoduln stehen zu den ursprünglichen Moduln in der Beziehung:
(3)
00)
k (2
2Yk
=l+k'
l/F(OO) y. 2
=
k'
l+k'
k'(OO) 2
=
+
l-k k·
1
Die dritte Transformation zweiten Grades betrachten wir hier nicht besonders. Die Wirkung der Transformationen zweiten Grades auf die Funktionen sn, cn und dn liest man nun aus den Formeln (9)ff. S. 289 leicht ab. Wir nehmen in diese Funktionen neben w die Quadratwurzel des Integralmoduls k 2 als zweites Argument auf 2) und fassen die Formeln (28) in 1) Ist bei den Modulfunktionen k, k', J/k, J/k' ein Argument nicht angegeben, so ist stets 00 als solches hinzuzudenken. 2) So oft ein solches Argument nicht angegeben ist, gilt der ursprüngliche Wert k als zweites Argument. 19*
292 Ir, 1. 'fransformationnten Grades u. allgemeine Transformationsgleiehl1ngen 1,420 durch die Proportion zus'ammen:
I
(4)
sn(w,k):cn(w,k):dn(w,k):l =-B-:{)-l (v) :.{}oo.{}o" .{}oi(v) : .{}oo-B-2<&3 (v) : -B-3<&3 <&0 (v).
1
Die Wirkung der ersten Haupttransformation Cvereint mit der Multiplikation) auf v und w ist nun v' = 2v, w' = 2w. Für das Argument w, das sich nach 1,388 und (21) in 1,419 so darstellt:
(5) ergibt sich also die Transformation: w' = 2:n:V.{}oS(q2)2= 2w(,f)~~2)r= (1
(6)
+ k')w,
wie man mit Hilfe der für v = o gebildeten letzten Gleichung (9) S. 289 und der zweiten Gleichung (1) feststellt. Die Wirkung der ersten Haupttransformation auf k aber ist unter (2) angegeben. Die Proportion (4) ist demgemäß umzuformen in: sn(C1
+ k')w, ~ +~) :cn(l + k')w, ~ +~}dn((1 + k')w, ~-+~~): 1
= .{}o3 (q2)2-B-1(2 v, q!) : -B-o(q2)-B-3(q2) <&2 (2 v, q2) : <&0 (q2).a- 2(q2).{}o3 (2 v, q2) : .ßo2(q2)-B-S(q2).{}oo(2v, q~). Man drücke nun die rechts stehenden transformierten -B--Funktionen nach (9) S. 289 durch qie ursprünglichen aus, führe auf Grund von (1) und (4) die Moduln und Funktionen sn, cn, dn ein und ersetze noch die transformierten Moduln nach (2) durch die ursprünglichen. Die rechte Seite der letzten Proportion nimmt dabei die Gestalt an: (1
+ k')sn wen w: (cn w 2 -
k' sn w 2): 1~ k,(k'
+ dn w 2): du UJ.
Im zweiten und dritten Gliede schreibe man noch (1 - sn 2) für cn 2 und (1 - k2 sn 2 ) für dn 2• Unter Spaltung der Proportion in drei Gleichungen findet sich der Satz: Die mittels! der ersten Haupttransformation umgeformten Funktionen sn, cn und dn stellen sich in den ursprünglichen Funktionen so d(Lr:
(7)
!
sn ((1 + k')w, . +.. - :) 1 [ + k')
w
(1
dn( (1
=
-1c'.) = ~1+~
+ k')w, !_+ ~:) =
(1
+ k,)sn::w, + k')snw
1-(1
i
~w'
1 - (1 :n!')snw
1
.
Diese Formeln liefern die sogenannte Landensche Transformation. l ) 1) Vgl. die Landensehe Abhandlung "An investigation of a general theorem for finding the length of any are of any eonie hyperbel ete.", Philosoph. Transact., Bd. 65 (1776) oder "Math. Mem." (London 1780) Bd. 1, S. 33.
293
Landensche nnd Gaußsche Transformationen
Die anderen beiden Transformationen zweiten Grades gestatten eine ganz entsprechende Behand~ung. Wir notiflren nur noch das Ergebnis: Die durch die zweite Haupttransformationumgefor,mten Funktionen sn, cn und dn stellen sich in.den ursprünglichen Funktionen und Moduln so dar:
[
(8)
Sn.(1 +.k)W,
l
dn (1
=
2 Jlk
.)
(
cn(C 1 + k
12~) (~$-i)s::~'
w,
)
cn w dn w
1 ;:) = 2
+ k)w, l+k
-~~::::~:'
=-i +ksn7V"
Diese Gleichungen bilden die sogenannte Gattßsche Transformation. i )
§ 7. Transformation ungeraden Grades der :Punktionen .zweiter Stufe. . Es sei endlich der Transformationsgrad n eine beliebige ungerade Zahl. Beschränken wir uns auf diebeiden Haupttransformationen, so haben wir entsprechend. der. bei n = 2 befolgten Methode zunächst die transformierten Thetafunktionen : (1)
'V=O,1,2,3
in den ursprünglichen darzustellen. Die Ansätze zur Lösung dieser Aufgab~ gewinnt man wie im Falle n = 2. Man folgert erstlichaus den Gleichungen (19) in I,419: .f}~(nv
+ nw, qn) = ± q-ne-2n1i~i.f}.(nv, qn),
.f}Jnv
+ n, qn) = ± .f}.(nv, qn),
wo die rechts gültigen Vorzeichen aus den eben genannten Gleichungen zu entnehmen sind. Aus diesen Vorzeichen geht hervor, daß die .f}. (n v, qn) als Thetafunkti~nen er Ordnung die Charakteristiken (0,1), (1,1), (1,0), (0,0) besitzen. , Zur Behandlung des zweiten Quadrupels (1) knüpft man an die aus (19) in I,419 für beliebiges ungerades n leicht ableitbare Regel:
n:
.f}~(v
+ nw, q) = ± q-n2e-2n1t"i.f}~(v, q),
wo wieder dieselben Vorzeichen gelten wie in den genannten Formeln. Schreibt man ~ statt co, so folgt: n
1) VgL Gauß' Abhandlung "Determinatio attractionis, quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta etc.", Göttinger Abhandl~ Bd. 4 (1818) oder "Werke", Bd. 3, S, 331.
294 II, 1. Transformation nton Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen
während sich andrerseits unmittelbar:
~~ (v + 1, q~) = + &~ (v, q~) ergibt. Man findet, daß auch das zweite Quadrupel (1) Thetafunktionen noor Ordnung der Charakteristiken (0, 1), (1, 1), (1, 0), (0, 0) darstellt.
Die Ansätze für die Darstellung der beiden Systeme transformierter Thetafunktionen in den ursprünglichen ~(v) werden durch die Regeln von I,430ff. geliefert. Für die vier in Frage kommenden Charakteristiken sind daselbst je n linear-unabhängige Ausdrücke in den Funktionen ~~ (v, q) gebildet, in denen die einzelnen transformierten Funktionen jeweils linear und homogen darstellbar sind. Für die beiden Funktionen ~o(nv, qn) und
~o (v, q~) III
kommen nur die geraden Ausdrücke der Charakteristik (0,1)
Betracht. Dies sind die &0 (v)n,
nt
~o(v)n-2~1(v)2,
1
Produkte:
~o(V)n-
... ,
~O(V)~l(V)n-I,
welche in der Zusammenstellung von 1,430 (unten) an erster Stelle genannt sind. Man hat. also die beiden Ansätze:
wo die Koeffizienten a, b von v unabhängig sind. Statt für die übrigen drei transformierten Funktionen jedes Quadrupels (1) ähnliche Ansätze auf demselben Wege aufzustellen, kann man diese Ansätze auch durch Umrechnung aus (2) gewinnen. Zur ~cFunkti on gelangt man von ~o aus durch Vermehrung von v um ;. Erstlich ergibt sich aus der Tabelle in 1,419 leicht:
womit man die erste Gleichung (2) umzurechnen hat. Für die zweite Gleichung (2) knüpfe man an die für jede ganze Zahl m gültige Gleichung: ~o(v
Man setze hier m
~o
=
+ mw, q) =
( - 1)mq-m·e-2mtt·;~o(v,
t (n -1) und vermehre v um
(v + n2fiJ, q)
n-1
=
(-
n'
1)-2- i q-4
e-
q).
; , wodurch man erhält: nttvi
~1 (v, q)
Transformation ungeraden Grades der Thetafunktionen
und weiter, wenn man : statt .ß'O(v
OJ
295
einträgt:
+ ;, q~) = (_1{~1 iq-~e-n""i.ß'1 (v, q~).
-i- auf die rechten Seiten
Die Wirkung der Vermehrung von v um
der Gleichungen (2) ist direkt aus der Tabelle in 1,419 feststellbar. Man erhält aus (2) die weiteren Ansätze: n-1 (- 1) 2 .ß'1(nv, qn) = a O.ß'1(v)n + a1.ß'1(v)n- 2 .ß'oev)2 ... + an- 1.ß'1 (v).ß'o(v)n-t,.
(3)
.ß'1 (v,
q-~) =
bO.ß'1(V)n
+ ...
-.-
+ b1.ß'1 (v),,-s.ß'o (V)2 + ...
. . . + b-2-1 .ß'1 (v) .ß'O(V)"-t, n -
wo die a und b dieselbe Bedeutung haben wie in (2). Durch Vermehrung von v um t gelangt man von (2) und (3) aus zu entsprechenden Ansätzen für die transformierten Funktionen .ß's und .ß't. Von den Koeffizienten ergeben sich a o und bo aus (2), indem man 'V = 0 einträgt:
(4) Ebenso kann man aus (3) für lim v = 0 unter Berücksichtigung des aus I, 418ff. sich ergebenden Anfangsgliedes: .ß'1 (v,
q)
=
.ß'~ .
v + ... = n.ß'O.ß'2.ß'Sv
+ ...
<1er Reihe von .ß'1(V) nach Potenzen von v die Bedeutung der beiden letzten Koeffizienten entnehmen. Die Rechnung führt auf:
a
n-1
=
2
( 5)
\
bn- 1
-il- =
(_
l)n-; 1 n -B-o(qn) ,!!.(qn) -B-.(~n) -B-n-B- -B0
•
8
-B-o(q';) -B-.(i·-) -B-.(i) -B-~ -B-2 -B-8
Auch die übrigen Koeffizienten a, b sind rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten durch die ursprünglichen und transformierten .ß'- Nullwerte darstellbar. Man findet nämlich z. B. zum Zwecke der Berechnung der a bei Division der ersten Gleichung (3) durch die erste Gleichung (2):
a.(-Vk)n snw n+ a 1 (Vk)n-2 snwn- 2+ ... +a n_ 1 Yksnw n-1 (6) (-1)-2-Vfsn (w',l) = - - - - - - - - - - - - n-=:21: - - - -
ao+ a1ksnw'+ a. k'snw 4 +··.+a" -1 k-2- snw"- . -·2-
296 II, 1. Transformation n ten Grades u. allgemeine Tl'ansformationegleichungen wo das Argument w' und der transformierte Integralmodul l gegeben: sind durch:
(7) Multipliziert man in (6) mit dem Nenner nach links herauf und entwickelt rechts und links nach Potenzen von w, so gelangt man durch Gleichsetzung der Koeffizienten gleicher Potenzen rechts und links zU! Gleichungen, aus denen man mit Benutzung der schon bekannten Wem ao, an -1 die übrigen Koeffizienten bestimmen kann. 2
Arbeitet man bei diesen Rechnungen an Stelle der {Tl-Funktion mit den {ts- und {ts-F4Pktionen, so erscheint die Funktion sn w durch cn w' bzw. dn wersetzt. Man gelangt so zu zwei neuen Arten die Koeffizienten darzustellen und erhält durch Gleichsetzung der Ausdrücke, die man für ,ein und denselben Koeffizienten findet, Relationen zwischen den ursprünglichen und den tr'ansformierten {t-Nuawerlen. l ) Auf die algebraische Natur dieser {t-Relationen wird am Schlusse des vorliegenden Bandes eingegangen. Eine andere Art die Koeffizienten a, b zu bestimmen benutzt die Nullpunkte der transformierten {t-Funktionen. So verschwindet z. B. die Funktion {t (nv q") für v = ~ I '
.:.
_3_ ... , 1'1=1. Aus (3) entnimmt n
n' n' n'
man demnach ein System homogener linearer Gleichungen:
(/L)"-2 {t (/L)2 + ... + a ( /L)n +0.l{}-i n
a,fr -Oln
On
-1
(/L)"-l
{t (/L) -- {t. On
_n_In 2
=
01
!' die Werte 1,2, ... , n - 1 durchläuft. Nachdem 0.0 aus (4) bereits bekannt ist, könnte man versuchen, diese Gleichungen zur Berechnung der übrigen a zu verwenden. Dieser Weg führt alsdann zu Relationen, in denen neben den ursprünglichen und den transformierten {t-Nullwerten auch "Teilwerte" der {t-Funktionen auftreten. Die beschriebenen Rechnungen sind übrigens nur für ganz niedere Transformationsgrade durchführbar. Das Hauptinteresse der Transformationstheorie hat sich denn auch wesentlich von den "allgemeinen Transformationsgleichungen", zu denen z. B. auch die Gleichung (6) gehört, ab gewandt und den in algebraischer und arithmetischer Hinsicht weit interessanteren "speziellen Transformationsgleichungen" zugekehrt, denen .die transformierten Modulfunktionen und Modulformen genügen. Zu diesen Gleichungen gehören auch die unten noch ausführlich zu betrachtenden Jacobischen Modular- und Multiplikatorgleichungen. WO
1) Relationen dieser Art haben sich in großer Zahl im Nachlasse von Gauß gefunden; vgl. die Fragmente IV und Vin Gauß' "Werken", Bd. 3 S. 461ff. In neuerer Zeit hat sich mit diesen Thetarelationen insbesondere M. Krause beschäftigt; siehe dessen ,\Theorie der doppeltperiodischenFunktionen einer veränderlichen Größe" (Leipzig 1895), Bd. 1 S. 177ff.
Zweites Kapitel.
Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe. Wendet man die Transformation n ten Grades auf die von den Perioden allein abhängenden Modulfunktionen und Modulformen an, so entstehen Größen, die mit den ursprünglichen Funktionen bzw. Formen wieder algebraisch zusammenhängen. Diese algebraischen Relationen nennen wir "spezielle Transformationsgleichungen". Sie entsprechen den speziellen Teilungsgleichungen und sind, wie schon gelegentlich bemerkt wurde, im allgemeinen, d. h. von einigen besonderen Transformationsgraden abgesehen, die Resolventen niedersten Grades der speziellen Teilungsgleichungen .. Wegen· der beziehungsreichen und ausgedehnten Theorie dieser speziellen Transformationsgleichungen erscheint es zweckmäßig, . die Betrachtung zunächst auf die Transformation der Funktionen erster Stufe J(w), 92(Wll ( 2 ), g3(W lI ( 2 ) und L1(w 1 , ( 2 ) einzuschränken; nur sollen zugleich auch die Wurzeln der Diskriminante t::., soweit sie eindeutige Modulformen liefern, zugelassen werden. Bei den algebraischen Einzelausführungen über diese speziellen Transformationsgleichungen bedürfen wir noch der Kenntnis gewisser Systeme elliptischer Modulformen n ter Stufe, deren man sich bei allen tiefer greifenden Untersuchungen über Transformation der Funktionen erster Stufe mit Vorteil bedient. Es werden jene Systeme von Modulformen geliefert von gewissen Systemen ganzer elliptischer Funktionen n ter Stufe dritter Art, deren Theorie namentlich in gruppentheoretischer Hinsicht auch an sich bemerkenswert ist. Die Kenntnis dieser Funktionssysteme verdankt man der Abhandlung von Klein "Über die elliptischen Normalkurven der n ten Ordnung und zugehörige Modulfunktionen n ter Stufe"l) sowie· .derjenigen von A. Hurwitz "Über endliche Gruppen linearer Substitutionen, die in der Theorie der elliptischen Transzendenten auftreten".2} Eine ausführliche Besprechung der fraglichen Funktionssysteme findet man in "Modulfunktionen" Bd. 2, S. 236ff. Die Darstellung des vorliegenden Kapitels beschränkt sich auf das für die weitere Entwicklung unbedingt Notwendige. eu1 , W:!
§ 1. Teilwerte und Wurzeln der Diskriminante LI. Um die späteren Entwicklungeu nicht zu unterbrechen, werden zunächst einige Beziehungen zwischen den Teilwerten und den Wurzeln der 1) Abhandl. der Sächs. Gesellsch. d. Wissensch.zu Leipzig, Bd. 18 (18U). 2) Math. Ann., Bd. 27 (1885).
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_7 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
298
II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe
Diskriminante LI aufgestellt. Aus (9) in 1,268 ergibt sich die Produktentwicklung:
(1) wo der Teilungsgrad n der Deutlichkeit halber als oberer Index an der Bezeichnung (5 angebracht ist. Man nehme n ungerade, setze der Reihe nach !1
=
n-l -2-
1, 2, 3, ... ,
und bilde das Produkt der entstehenden n -1
Gleichungen (1), wobei sich das Produkt der Sinus zu 2--2sammenfaßt: n-l 2
[J ,,=1
n-1
(5(nJ
=
(_
01'
ynIT(l-l,,)n q ~
n-1
(.f
1)-2
zu-
2
00
1-
2"
yn
n
•
v=1
Schreiben wir die transformierten Perioden in der Gestalt: w'
(2)
2
00n2
=
und nennen LI' die zugehörige Diskriminante LI(w~,w~), so ergibt sich aus der Produktentwicklung (6) in .1, 313 der Diskriminante:
Für jedes ungerade n besteht also zwischen der Diskriminante und den 6-Teilwerten die Beziehung: n -1
;u r LI"~
24 ---,
(3)
2
n-1
=
(_
1).-2 IT(5(nJ
01'·
1'=1
Die SJ'-Funktion läßt sich durch die (5-Funktion in der Gestalt: , &1,)
darstellen. Für den Teilwert , f,JOf.' = -
Man setze !1
=
(u)
SJ~f.' (3
(3 (2u) =
-
6-(U)4
folgt hieraus:
(2 "'00.) n
(3 ("':')' =
(3(nJ 0,21'
((3~~)4'
1, 2, ... , n -; 1 und bilde das Produkt:
Beziehungen zwischen der transformierten Diskriminante und den Teilwerten
299
Aus den Formeln (4) und (6) in I, 451 leitet man nun leicht die Regel 6 0(") = 6 0(n) ab. Die letzten Faktoren im Zähler des eben an2:egebenen ft ...... ,n-~t
Produktes 6 0 ,"_ll 6 0,,,_s, ... kann man demnach durch 6 011 6 03 , ersetzen und findet so:
•••
Aus (3) folgt also der weitere Satz: FÜIr jedes ungerade n besteht zwischen der Diskriminante und den ~'-Teilwerten die Beziehung:
(4)
Endlich leitet man aus der Gleichung (14) in I, 217 leicht: 6(")
~O,2,u
-
&"'01'
0,31'
=
ab. Es sel nun die ungerade Zahl p, wieder die Zahlen 1, 2, 3, ... , ~ die zweiten Indizes auf:
3,6,9, "',
6(")' (6(") )2
-
01'
12
0,21'
teilerfremd gegen 3. Lassen wir
-;! durchlaufen, so treten im Zähler
3n-9 2
3n-3
--2-'
Reduziert man diese Indizes mod n auf ihre absolut kleinsten Reste, d. h. - 1 n- 3 n - 1 d k' au f Zahlen d er R el'he - -n2 - ' - - 2 - ' "', +-2-' so wer en ellle zwei gleich oder entgegengesetzt, wie leicht festgestellt wird. Der einzelne 6-Teilwert erfährt hierbei höchstens einen Zeichenwechsel. Lassen wir ein sich hier einstellendes, jedoch weiterhin nicht zur Benutzung kommendes Vorzeichen der Kürze halber unbestimmt, so ergibt sich aus (3): Für jeden ungeraden gegen 3 teilerfremden Grad 12 besteht zwischen der Diskriminante LI und den ~-Teilwerten die Beziehung:
(5)
Für ein gerades
12
n-2
bilden wir aus (1) das Produkt:
300
H, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art nt«r Stufe
Das rechts stehende unendliche Produkt ist wieder in einfacher Weise durch die Diskriminante darstellbar: Für jedes gerade n .besteht zwischen der Diskriminante und den 6-Teilwerten die Beziehung: ,. ,.
~VL1T Lin
(6)
=
-6(2)
01
I'
Hieraus folgt weiter:
(7)
'VA'LI -
(/IIn;~.6(n»)lI 0/1
=l'
- ('Va)" ('rA 5l\')
•
(j] 6~":' )'
Nun ergibt sich aus einer in 1,452 aufgel'ltellten Gleichung: l~Fd",.(2) V, '-'01
1
=
2 q6
_:
IIc1 + qh)2, ""
1'=1
woraus man durch Vergleich mit der ersten Gleichung (14) in I, .456 die Folgerung zieht: 1.jl/ A ",.(2) " LJ 1.:101
5"i
=
. - 4 - (.-(4)",.(4J -
e
\:)01 1.:1l!1
~
1")2
V l..l
•
Trägt man diesen Ausdruck für die zweite Klammer auf der rechten Seite von (7) ein, so zeigt sich, daß diese rechte Seite das Quadrat einer eindeutigen Modulform darstellt. Man kann also nochmals die Quadratwurzel ziehen 1) und findet: Für gerades n besteht zwischen der Diskrin-l! minante und den 6-Teilwerten die Beziehung:
{8)
2f!LI'Li =
5"i
n
± e's CvLi)2 (6~~ 6~~) VA)
rr
·'-2-'
6~~~ .
".·=1
Die Bestimmung des rechts zutreffenden Vorzeichens möge der Kürze halber wieder übergangen werden. Die transformierte Diskriminante LI' = LI ( ro1 , ~) wird durch die Substitutionen der durch 7'=0 (modn) erklärten Kongruenzgruppe 1'",(n) der nten Stufe in sich übergeführt. Bei diesen Substitutionen bleibt also sowohl die Form (3) als die Form (8) bis auf eine multiplikative 24ste Einheitswurzel unverändert. Die bei der einzelnen dieser Formen wirklich auftretenden Einheitswurzeln reproduzieren sich ihrerseits gegenüber Multiplikation irgend zweier unter ihnen; es handelt sich also um die t Einheitswurzeln eines Grades t, der ein bestimmter Teiler von 24 ist. Zerlegen wir nun die Substitutionen der ~",(,,) in t Klassen, indem wir in die einzelne Klasse alle Substitutionen hineintun, die die Form (3) bzw.(8) mit dem gleichen ,Faktor versehen, so ißt leicht einzusehen, 1) Ohne das Gebiet der eindeutigen Modulformen zu verlassen (vgl. I, (50).
Beziehungen zwischen der' transformierten Diskriminante und den Teilwerten 301
daß wir die t Nebengruppen einer in der r,/,(nj ausgezeichneten Untergruppe rt,/,(n) vor uns haben, deren zugehörige Quotientengruppe eine zyklische G t ist. Diese ausgezeichnete rt,/,(n) besteht dann aus allen Substitutionen, bei denen die fragliche Modulform unverändert bleibt. In dem weiterhin zu bevorzugenden Falle eines ungeraden n müssen wir die Gruppe rt,/,(n) noch näher bestimmen. Wir betrachten zunächst die Modulform (5) und stellen fest, daß (gJO,2f &{)Ol') durch eine Subl
stitution
(;:~) mit
7'
=
0 (mod n) in
-
(gJO,2I'Ö- SJO'f'Ö)
übergeführt wird,
Nun ist ~ teilerfremd gegen 7' und also gegen n. Die
J,
2~,
36, .. "
n-l -2-~
..
darf man ohneAnderung der
1
Zahlen
~-Teilwerte
mod n
11, - ;
:auf ihre absolut kleinsten Reste reduzieren. Von diesen Resten sind dann, ~ben weil ~ teilerfremd gegen nist, keine zwei gleich oder entgegengesetzt. Da unsere gJ-Teilwerte aber auch bei Zeichenwechsel der Indizes unverändert bleiben, so bleibt das in (5) rechts stehende Produkt überhaupt unverändert: 1m Falle eines ungeraden gegen 3 teilerfremden n ist die in (5) dargestellte zwölfte Wurzel des Diskriminantenq1.Wtienten eine unmittelbar zur r",(n} gehörende Modulform nter Stufe. Etwas umständlicher ist die Feststellung des Verhaltens, welches das in (4) rechts auftretende Produkt:
(9) gegenüber einer Substitution mit 7' = 0 (mod n) annimmt. Da
gilt, so bleibt das Produkt unverändert oder es erleidet Zeichenwechsel, je nachdem bei Reduktion der
n-; 1 ~ahlen ~, 2~, 3~, ... , n_-; 1 (J auf
ihre absolut kleinsten Reste mod n die Anzahl der hierbeilauftretenden negativen Reste gerade oder ungerade ist. Um diese Anzahl und damit das fragliche Vorzeichen festzustellen, bemerken wir, daß nur für eine Primzahl n alle 'I'!_~-.!. Faktoren (9) "eigentlich" zum ntenTeilungsgrade gehören. Ist n zusammengesetzt, so gehören nur {-!p (n) Faktoren (9) eigentlich zum Grade n, nämlich diejenigen ~~"" bei denen p,. teilerfremd gegen n ist. Ist aber 1: irgendein Teiler von n, so treten in (9) auch die zum Teilungsgrade 1: gehörenden Teilwerte ~~1I ~~2' • , ., gJ' 'l' - 1 auf, und zwar (1:) unter ihnen als "eigentlich" zum Grade 1: °'-2-
t!P
gehörig. Wir erschöpfen aber das ganze Produkt (9) gerade genau, indem wir 1: alle Teiler von n durchlaufen lassen, unter Einschluß von n und
302
II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe
Ausschluß von 1, und für jedes 1: die eigentlich zu diesem Grade gehörenden t «p (1:) Teilwerte f,l~11 f,l~2' ... , f,l' ... -1 zulassen. °'-2-
Bei einer Substitution mit r=O (modn) geht nun jedes dieser Produkte zu je t «p (1:) Faktoren in sich über oder erleidet nur einen Zeichenwechsel. Das von uns gesuchte Vorzeichen aber is(einfach das Produkt aller den einzelnen 1: entsprechenden Vorzeichen. Um beim einzelnen 7: dieses Vorzeichen zu bestimmen, reduzieren wir die t «p (1:) Produkte 01-' mit gegen 1: teilerfremden Zahlen I-' der Reihe 1, 2, ... ,
1: - ;
1
mod 1: auf
ihre absolut kleinsten Reste und sehen nach, ob unter diesen Resten eine gerade oder ungerade Anzahl negativer vorkommt. Da nach Zeichenwechsel der negativen Reste wieder die t «p (1:) anfänglichen Zahlen I-' vorliegen, so gilt für das Produkt der t «p (1:) Zahlen 01-' die Kongruenz:
oi rp(-t) III-' = ± II1-',
(mod1:),
wo rechts das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem die Anzahl der negativen unter jenen absolut kleinsten Resten gerade oder ungerade ist. Damit haben wir aber das Vorzeichen erreicht, welches wir für das auf 1: bezogene Teilprodukt der f,l'-Teilwerte suchen. Indem wir noch durch die gegen 1: teilerfremde Zahl II p. heben, findet sich fiir das Vorzeichen:
(10)
1
02rp(-t)
=±1
(mod 1:).
Um diese Kongruenz zu verwerten, stellen wir den Satz auf: Ist die ungerade Zahl m das Produkt m = m1 • m2 zweier von 1 verschiedener teilerfremder Zahlen ml l m2 , so ist stets:
(11)
o}p(m)
=
(mod m),
1
falls 0 teilerfremd gegen m ist. Nach dem verallgemeinerten Fermatschen op(>n = 1 (mod m1). Satze 1) gilt nämlich: J)
Da aber «p(m) =«p(m1 )· «p(m2) gilt und «p(m2) eine gerade Zahl ist, so folgt: otrp(m) =
(orp(m')ytp(m.)
=
1
(mod m1 ).
Da die gleiche Kongruenz auch für den Modul m2 gewonnen wird, so ist der Satz (11) damit bewiesen. Für die Potenzpv einer ungeraden Primzahl p gilt «p(pv) =pv-l «p(p), so daß man findet: ot,p(pV) =
(o-}P(p»)pV-l
=±1
(modpv).
1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, "Vorles. über Zahlentheorie", 4. Aufi., S.38.
Bestimmung eines Vorzeichens durch das Symbol
(!)
303
Das hier gesuchte Vorzeichen ist dasselbe, wie dasjenige der Kongruenz:
(d't
l
=±l
(modp),
wofür wir, da die in der großen Klammer stehende Zahl mod p mit kongruent ist und p .. - l eine ungerade Zahl bedeutet:
±1
(mod p) schreiben können. Das hier gesuchte Vorzeichen ist also einfach das Legendresche Zeichen
(!) aus der Theorie der quadratischen Reste.
1)
Zufolge (11) brauchen wir von den Teilprodukten des Produktes (9) nur die zuzulassen, welche sich auf Teiler 't der Gestalt p" beziehen, wo dannjedesmal das gesuchte Vorzeichen (~-) ist. Ist aber p" eine höchste in n aufgehende Primzahl, so haben wir T der Reihe nach gleich p", p"-t, ... , p2, P zu setzen und also die eben genannte Regel v Male anzuwenden. Hieraus ergibt sich das Vorzeichen des Produktes (9) als Produkt der Faktoren
(!)"
bezogen auf alle Primteiler von n. Damit
aber sind wir zum Legendre-Jacobischen Zeichen 2) geführt und gewinnen den Satz: Die für ein ttngerades n in (4) dargestellte achte Wurzel des Diskriminantenquotienten wird durch Ausübung einer Substitution mit r=O(modn)in:
(!) V~~
(12) transformiert, wo
(!) das Legendre-Jacobische Zeichen ist.
Da man die 24ste Wurzel (3) als Quotienten der beiden Formen (4) und (5) darstellen kann, so folgt aus den über diese letzteren Formen aufgestellten Sätzen: Für die ungeraden, gegen 3 teilerfremden n nimmt die in (3) dargestellte 248t' Wurzel des Diskriminantenquotienten bei Aus-
übung einer Substitution mit r _ 0 gleichfalls den Faktor Sätze über diesen Faktor folgen später.
(!)
an. Weitere
§ 2. Einfiihrung der ganzen elliptischen Funktionen dritter Art n ter Ordnung X", (u I 001, (02)'
-w;
Unter w~, verstehen wir auch weiterhin die transformierten Perioden (2) S. 289 und bezeichnen die zugehörigen Perioden des Normalintegrals zweiter Gattung durch: i=1,2
1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, a.a. 0., S. 104. - 2) Vgl. -Dirichlet-Dedekind, a. a. 0., S. 78.
304
H, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n"" Stufe
Die entsprechend der Gleichung (5) S. 285 gebildete Größe:
(1) ist eine Modulform nter Stufe, die durch die sg-Teilwerte in der Gestalt: ,,-1
(2)
G1 (mv ms)
=
.~ .. ~
f,Jo/,
I' =1
darstellbar ist. Diese Gleichungen gehen aus (5) und (7) S. 285ft'. einfach durch die mit T bezeichnete Substitution C~~,l
0)
der homogenen
Modulgruppe pw) hervor, wobei in Betracht zu zieben ist, daß die Perioden des Integrals zweiter Gattung sich zu den mt , m2 "kogredient" substituieren. Ist nun zunächst n eine beliebige ungerade Zahl, so bilden wir für die transformierten Perioden die Funktion 6tJo (u i m~, m~) und behaupten, daß sie den Charakter einer Modulform n ter Stufe hat, d. h. daß sie bei Ausübung einer Substitution (;:~) der Hauptkongruenzgruppe n te• Stufe unverändert bleibt. Für die transformierten Perioden rechnet sich die Substitution auf (n~'l;,ß 0') um, bei der die fragliche 6-Funktion nach (3) in I, 451 übergeht in: ~(,,) nfH ( ' Val, U Imt'
m') 2
6(") ). + "-.:::_1).. n
=
"
'
( 'I ml' ' m') 2 .
I'H." U,
Die rechts stehende Funktion ist aber nach (4) in 1,451 wieder mit 6~"~ , (u I m~, m~) identisch. Man hat bei der erforderlichen Rechnung nur zu berücksichtigen, daß n ungerade sein sollte, und daß bei geradem ß auch (" - 1) gerade sein muß. Wir fügen noch einen mit G1 aufgebauten Exponentialfaktor hinzu und haben auch in:
(3)
Cn ) (u Im' m') e- G,u'6 2,0 17 2
=
e-G,u' 6(") (u I' m11 00,) 1.,0 n
einen Ausdruck, der den Charakter einer Modulform nter Stufe hat. Im Falle eines geraden n reihen wir an (3) den Ausdruck an:
(4)
e- G, ,.' 6(2 ,,)
22+n,"
(u Im' m') = e- G, ,,' 6(2,.) 11
2
22+n,,.
(u Im
11
(0.2) n '
wo G1 in der bisherigen Bedeutung gebraucht ist. Als Funktion der Perioden mll m2 hat auch dieser Ausdruck die Eigenschaft der Invarianz gegenüber den Substitutionen einer gewissen Kongruenzgruppe. Jedocn ist es nicht erforderlich, die Stufe genauer festzustellen. Die Ausdrücke (3) und (4) gewinnen nun, wie der Erfolg zeigen wird, gruppentheoretisch ein besonders einfaches Verhalten, wenn wir sie
305
noch mit Y'A' LI multiplizieren, LI' im Sinne von § 1 gebraucht. Nach ,( 4) S. 299 ist bei ungeradem n:
r ~7'-
1 8/-;-
(5)
n+t
=
V:'lLJ(VLlf2
unmittelbar eine Modulform nter Stufe. Wir wollen demnach bei ungeradem n genauer den Faktor LI' LI (VA)n ohinzuzusetzen, wo no die kleinste, nicht-negative, der Kongruenz:
f'
(6) genügende ganze Zahl ist. In dem für uns wichtigeren Falle eines ungeraden n haben wir dann auch nach Zusatz des genannten Faktors Ausdrücke mit dem Charakter der Modulformen nter Stufe vor uns. t ) Wir fügen unseren Ausdrücken außerdem noch numerische Faktoren hinzu, ,die den Zweck haben, die durchzuführenden Rechnungen zu vereinfachen. Als abkürzende Bezeichnung benutzen wir Xl (u IW t ,ws), und zwar setzen wir für ungerades n:
(7)
X
l
(tt
IW I
11
w) 2
=
(-W' V1t
Vd' Li WLI)"oe- G, u" 6~')" 0 (u IW 11 ~!_) n '
während für gm'ades n die Erklärung gelten soll:
(8)
X
nil
3n>;
(ulw 11 w2')=e--~+4_~-i!/L:iiAe-GIU'6(2n) (ulw l' c.J!). l Vn r 2).+n,n n
Wächst). um n, so erfährt zufolge (4) in 1,451 der 6-Faktor in (7) Zeichenwechsel, während der in (8) den Faktor i annimmt. Es ist die Folge der aufgenommenen numerischen Faktoren, daß die Gesamtausdrücke in (7) und (8) rechts bei Vermehrung von). um n in sich selbst übergehen: (9) Wir haben deshalb in jedem Falle im ganzen höchstens n verschiedene Funktionen Xo, Xv Xs , ... , X"_l' Man setze für Gi den zweiten Ausdruck (1) ein und rechne die 6-Funktionen in (7) und (8) auf die &-Funktionen, gebildet für die transformierten Perioden, um. Im Falle eines ungeraden n gelangt man zur .&cFunktioll auf Grund von (9) in I, 416; bei geradem n führt die Tabelle in I, 419 zur '&3- Funktion. Die Rechnung, deren Einzelheiten wir übergehen, ergibt: 1) In der S. 297 genannten Abhandlung von K lei n wird die Form (5) unmittelbar als Faktor benutzt. Indem wir negative Potenzen der Diskriminante grundsätzlich meiden, werden die später zu erklärenden Modulformen n ler Stufe unmittelbar ganze Modulformen sein. Fricke Die elliptischen Funktionen II 20 t
306
TI, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n'
71 11.
1',
/2nf'.d Cf!LI)"oe 2W• u·e-----w.- qn it'1(nu- "())1, q"), . V
(10) Xl = (_1)1'
-
())2
())2
bezogen auf ungerades n, während sich bei geradem n anreiht:
(11) Setzt man schließlich die Thetareihen (16) in 1,418 ein, so ergeben sich Reihendarstellungen der Funktionen Xl(u j 01 1 , 01 2), nämlich im Falle eines ungeraden n: '
(12)
.,,=-00
während sich für gerades neinfindet:
(13)
,/2:n:-!!/- ~u'~
.
X1(u 1011,012)
=
V
C0 2
r LI e h ,
~ q
(~n-l)' 2''''~''(~n_l)
n
e "'.
.
'V=-oo
Im Parallelogramme der transformierten Perioden ist Xi. polfrei und hat nur einen Nullpunkt erster Ordnung, der bei U
=
"())~
n
b
zw.
u=
1, 1, n + 2" 01 1 + 2" 01 2
"())~
liegt, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Zur Feststellung des Verhaltens der Xl bei der Vermehrung von u um die Perioden 011 = OJ~ und Ws = nw~ ziehe man die Gleichung (2) in I, 451 heran und benutze die Darstellungen (7) und (8), in denen sich die 6-Funktionen auf die Perioden w~, OJ~ beziehen. Die Rechnung liefert das einfache Verhalten:
(14) Wir notieren unter Zusammenfassung der Ergebnisse den Satz: Die
Xl (~ll OJH 01 2) stellen für jedes n ein System von n gleichändrigen ganzen elliptischen Funktionen dritter Art nW Ordnung dar, die im Falle eines ungeraden n den Charakter von Modulformen n ter Stute haben; 1) die n einfachen Nullpunkte im :parallelogramme der Perioden OJ u Ws liegen tür ungerades n bei: f.L=o, 1, 2, ... , n-l
im Falle eines geraden n aber bei:
u=
(2 J.,
+ n) co, + (2 Il- + 1) 2n
())2
'
p =0, 1, 2, ... , n-l.
1) Nach "Modulfunktionen", Bd. 2, S. 289 liegt bei geradem n die Stufe 2n vor, falls n durch 4 teilbar ist, die Stufe 4 n dagegen, falls n das Doppelte einer ungeraden' Zahl ist.
Grundeigenschaften der Funktionen Xl (u ICD"
Ändert man u um :' oder
a;:,
307
CD!)
so zeigen die Xl ein einfaches Ver-
halten, das man z. B. aus den Formeln (10) und (11) mit Benutzung der GrundformeIn der &-Funktionen von I, 419 und der Legendreschen Relation leicht feststellen kann. Die Rechnung, deren Einzelheiten wir wieder übergehen, führt zu dem Satze: Die Funktionen Xl (u)erfahren
bei Vermehrung von u um ~n und
CD.
n
die folgenden Trans-l'ormationen: I'
(15) 2 i tt
wo c = e-----;;t ist. Mit Hilfe dieser Regeln kann man beweisen, daß die n Funktionen X. (u) des einzelnen Systems linear-unabhängig sind. Sollte nämlich eine CoX 0 (u) + C1 X I (u) + ... + Cn-1 X n-1 (u) = 0 Relation: mit Koeffizienten, die von u unabhängig sind, identisch bestehen, so fände man durch ~-malige Ausübung der ersten Transformation (15) nach Fortlassung eines gemeinsamen Faktors aller Glieder:
C"Xo(u)
+ C,,+1X1(U) + ... + C,,_1Xn_1 (u) =
O.
Man übe weiter v Male die zweite Transformation (15) aus und lasse jedesmal den auftretenden gemeinsamen Faktor aller Glieder (_ 1)" e~2 (u + 2W~) fort; auf diese Weise würde man weiter finden:
C"Xo(u) + C,,+1 c- Xl (U) + c,,+2c- 2v X2(u)+"'+C,,_lC-
Setzt man hier der Reihe nach v = 0, 1, 2, ... , n - 1 und addiert alle Gleichungen, so folgt nc"Xo(u) = 0 als identische Gleichung, aus der notwendig c" = 0 folgt. Damit aber ist die Behauptung bewiesen. Die Wirkung eines Zeichenwechsels von u auf Xl bestimmt man leicht aus (12) und (13). Man führe zugleich einen neuen Summationsbuchstaben v' ein, indem man v = - v' oder v = 1 - v' setzt, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Beide Male wird man dann zur Reihe von X n _ l geführt. Bei ungeradem n ist noch der Faktor (- 1Y zu berücksichtigen, der Zeichenwechsel erfährt, wenn ,t durch (n - 1.) ersetzt wird. Bei Zeichenwechsel von u zeigen die Funktionen Xl das Verhalten: (16)
In den drei Argumenten u, W I , W 2 sind unsere Funktionen homogen, und zwar von der Dimension - 3 no - 2 bzw. - 2, je nachdem nungerade 20·
308
H, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n'er Stufe
oder gerade ist. Bei gleichzeitigem Zeichenwechsel aller drei Argumente gelten die Regeln: (17) Xl (- u 1- WlI - wa)
n+1
1)-a-Xl (u j wlI (
= (-
bzw.
1)
=
Xl. (u jW 1 , wa),
je nachdem n ungerade oder gerade ist. Aus (16) und (17) ergibt sich endlich noch als Folgerung: Bei gleichzeitigem Zeichenwechsel von W l1 O1 z transformieren sich die Xl. entsprechend den Gleichungen: n-l
(18) Xl.(uj- O1 lI - (2 ) = (-1)
X n _l.(ujw l1 w2 ) bzw. = X n _J.(U!01 v 01 2 ),
2
je nachdem n '/111.r;erade oder gcrade ist. Für J.. = 0 hat man die Indizes n auf den rechten Seiten von (16) und (18) durch 0 zu ersetzen.
§ 3. Lineare Transformation der Funktionen X). (ulw., (02). Ändert man den Summationsbuchstaben v in (12) und (13) S. 306 um eine Einheit, so ändert sich der Exponent von q beide Male um eine gerade Zahl. Hieraus folgt, daß alle Glieder der einzelnen Reihe bei Ausübung der Substitution S
=
(~:~) der homogenen Gruppe rem) das gleiche
Verhalten zeigen. Berücksichtigt man auch die vor den Summen stehenden Faktoren, so zeigt sich, daß Xl sich gegenüber S verhält wie:
"0
1
(n-22)'
'+2+~ =
q .
2(n-l.)
q
1 (n+1)
b
---"-+2 2-+ 110
1
}'
,+-n
zw. q
.
Mit Rücksicht auf die Kongruenz (6) S.305 findet man den Satz: Bei Ausübung der Substitution S
(~:~) geht Xl. bis auf einen Faktor in
=
sich selbst über:
(1)
JX, (ul ID, + ID" ID,) - ': +
1Xl Cu j + W1
W 2 , ( 2) =
Wendet man auf die für i Substitution T Xl.(u
=
=
c8
2
(ul ID" ID,),
Xl. (u IW 1 , (
2 , - · (1 ) =
Ebenso folgt aus der für i
=
n::ce1
(mod 2)
":= 0 (mod
1 ),
(-
l»'e
n'I. (u+ o,!) 2
01;
kogredient sind:
Xl.(uj01a,- 01 1 ),
2 genommenen Gleichung (14) S.306:
0111012'- 011 ) =
2)
1 genommene Gleichung (14) S. 306 die
(~~~ 0) an, so folgt, da die 'I'Ji mit den
+ ws lw
Xl.(u -
;-x,
2(n-2)
(-
l)"e
-nJl1
woraus man nach Vermehrung von u um
(u-~) 2
W1
X).(ulw 2 , -
entnimmt:
Wl)'
Lineare Transforma.tion der Funktionen X 2(u 1611>
X1(u
+ w1 Iw 2 , - ( 1 ) =
(-1)"e
n~l(u+~)
309
61 2 )
X1 (ulw 2, -
( 1 ).
.
Demnach sind die Xl (u 1 Wsj,- ( 1 ) mit den ursprünglichen Xl (u 1 W v ( 2 ) gleichändrige ganze elliptische Funktionen dritter Art und als solche nach I, 227 durch die n linear-unabhängigen Funktionen Xl (u 1 Wu (\)2) in der Gestalt: ,,-1
(2)
X}.(u j (\)2'
-
0)1)
=~ c1"X,,(ul(\)v (\)2) ,,=0
mit von u unabhängigen, eindeutig bestimmten Koeffizienten c darstellbar. Zur Bestimmung dieser Koeffizienten nehmen wir im Ansatze (2) 0 und vermehren u um 61n1 • Links kommt die zur zweiten Transformation (15) S. 307 inverse Transformation zur Benutzung, da (\)1 die zweite Periode von Xo(u (\)2' (\)1) ist; rechts ist die erste Regel (15) S. 307 anzuwenden. Nach Forthebung überflüssiger Faktoren folgt: n-l zunächst
Ä. =
1
Xo(u
:E cO,,,X"_l(U I (\)11 (\)2)' ,,=0 so daß aus der eindeutigen Bestimmtheit der Koeffizienten co,,, = CO,"_l folgt. Also sind für Ä. = 0 alle Koeffizienten C des Ansatzes (2) einander gleich: I (\)2' -
(\)1) =
n-l
(3)
Xo(u I (\)2'
-
(\)1) =
c:E X,,(u 1(\)11 (\)2)' ,,=0
Vermindert man hier u um ::' so sind links und rechts die zu (15) S. 307 inversen Transformationen auszuüben. Es folgt: .. -1
Xl (u I(\)2'-
(\)1) =
c~ 13" X,,(U I(\)1'
(\)2)'
"=0
sowie bei wiederholter Ausübung der gleichen Operation allgemein: n-l
(4)
Xl Cu I(\)2'
-
(\)1) =
c:E 13,,1 X,,(u Im!) (\)2)' ,,=0
Um cerstlich für ungerades n zu bestimmen, differenzieren wir die Gleichung (3) nach u und setzen hierauf u = O. Ist X; Cu) die Ableitung nach u, so folgt:
(5)
X~(O 1(\)2' -
n-1
(\)1) =
c:E X~ (01 (\)1) (\)2)' '<=0
310
II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n'er Stufe
Nun folgt aus (10) S. 306:
(6) sowie hieraus weiter mit Benutzung von (25) in 1,420:
(7) Bei Ausübung von T
(~~~ 0) nimmt
=
t' LI nach (10) in I, 454 den Fak-
tor - i an, während aus der ersten Gleichung (4) in I, 482 für den Nullwert der -I}~ - Funktion die Regel folgtl) :
(8) Setzt man in (8) statt
00
den Wert ~ ein, so folgt: n
Hiernach berechnet sich als die Wirkung der Substitution T auf die Gleichung (7): 1
~+1
x o, (0 I (l)21 -
(9)
001
) = ----;;=-(- t) -. 2:1t (.1r-)n r Li o -I}1' (q) -I}1' (qTi") , r n
0).
yn
wo die Wurzel positiv zu nehmen ist. 2) Für die in (5) rechts stehende Summe folgt aus (12) S.306: n-l
~ ~(01(l)11 (l)2) =~
<=
0
0)2
1I 2n -y Li(t'
n-l
Li) no
co!
+00
«2Y+l)n-21)2
~ ~(-lY+.(2v+1)n-2A)q
4n
<=0 "=-00
Nun durchläuft bei Ausführung beider Summen (2 v + 1) n - 2 A) gerade genau alle positiven und negativen ungeraden Zahlen. Wir schreiben also (2 v + 1) n - 2 A) = 2 v' + 1 unter Einführung eines neuen Summationsbuchstaben v' und folgern hieraus: n-1 ,n-1 A +v=vn-A=v,--2-=v +~
(
mo d 2) .
1) Statt der hier gebrauchten Bezeichnung a-(q) = a- (en;W) für die a--Nullwerte ist in I, a. a. O. einfacher a-(O) geschrieben. 2) Nach I, 481 müssen die Werte y' teile haben.
0),
11- :
positive reelle Bestand-
311
Lineare Transformation der Funktionen X.(uloo p ws)
Die letzte Gleichung nimmt damit die Gestalt an: n-l
~ X; (0 I w11 ws) 2=0
=~
V:: r Ll(VLi)n ~
.n - 1
=
+.,
(2 v'
+ 1)'
o(- 1)-2 ~ (- 1t(2 v' + 1) q~n~ 11'=-00
Die mit n multiplizierte Summe liefert nach (24) in 1,419 den ,f}-Null-
r
'wert ,f}~ (q~). Ersetzen wir wie oben Ll durch den Ausdruck in entsprechend der Gleichung (25) in 1,420, so ergibt sich: (10)
2 x~
(01 w1 , w2 )
=
(-
1)n;1 :;
2=0
•
,f}~ (q)
WLlt°,f}; (q),f}; (i).
Trägt man nun die Ausdrücke (9) und (10) in (5) ein, so folgt nach Fortheben gemeinsamer Faktoren beider Seiten der Gleichung bei Benutzung der Kongruenz (6) S. 305 für no: n-l
(11)
(-i)
Yn
..!:. =i-g-yn
,,-1
=
l!
n-l
c. (_1)-2,
C
mit positiv genommener Wurzel yn. Im Falle eines geraden n setze man in (3) unmittelbar u und findet:
=
°ein
n-l
(12)
Xo(O I ws, - w1 )
c~ Xi. (0 I W 11 W 2)·
=
'=0
.Nun ergibt sich aus (11) S.306:
Xo(O! W 11 ws) =
1 / :n
JI
2
r
Ll,f}s (qn) = :: ,f}~ (q) ,f}s(q"). 2
Die Wirkung der Substitution T findet man aus der obigen Formel (8) und der vierten Regel (4) in I, 482: (13) .mit positiv genommener Wurzel ,,-1
~ Xl (0 IW 11 W 2 )= J.=O
v::r ~
yn. Andrerseits findet man aus (13) S. 306: n-l
+00
(vn-~)2
Ll ~ ~ q~n~= A=O v=-oo
1=0
(q~), so daß (
n-l
~ Xi. (0 Iw11 w2 ) =
:;
')1'2.
q-;-.
)1'=-00
Nach (16) in 1,418 ist die letzte Reihe gleich,f}a (14)
V::YLi ~ +co
~
1)
,f}; (q),f}s qn .
man findet:
312
I1, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n'er Stufe
Trägt man die in (13) und (14) berechneten Ausdrücke in (12) ein, so folgt nach Forthebung überflüssiger Faktoren: 1
(15)
-- = -
e
,F
"n.
In beiden Fällen ist c nicht nur von ·u, sondern auch von den Periodenunabhängig; es ist dies eine wichtige Folge der aus der Diskriminante aufgebauten Faktoren, die oben in die Erklärung der Funktionen X. aufgenommen wurden. Unter Zusammenfassung beider Fälle merken wir den Satz an: Bei Ausübung der Substitution T transformieren sich die XI. nach dem Gesetze:
CiJlI CiJ 2
(1.)
I
l-i~ y'n x. Cu I _
CiJ 2 , -
CiJ 1 ) =
y" X,(u i "" _ w.) _ .
2
cd X,,(u
i";d
I CiJi , CiJ 2 ),
71=1 (mod2),
XJu: w" w,),
n=O (mod2),_
x=O
wo y'n- beide Male positiv Zlt nehmen ist. Da die Gruppe r(w) aus den Substitutionen Sund T erzeugbar ist,. so erfahren die n Funktionen X. jedes Systems gegenüber irgendeiner Substitution -de1' r(w) ttnd also im Sinne von I, 184 bei irgendeiner "linearen" Transformation der Perioden selbst eine homogene lineare Substitution mit lwnstanten Koeffizienten. Da ferner die zum Grade n gehörenden Xl. bei den Substitutionen einer gewissen Kongruenzgruppe unverändert bleiben, so erhalten wir, dem Index dieser Untergruppe entsprechend, nur endlich viele XI.- Substitutionen, die ihrerseits eine endliche Gruppe G bilden. Um dies wenigstens in dem wichtigeren Falle eines ungeraden 1'1, wo die XI. den Charakter von Modnlformen n ter Stufe haben, näher auszuführen, stellen wir auch noch die Wirkung einer die Bedingungen ß - 0, r = (mod n) befriedigenden Substitution fest. Bei einer
°
solchen Substitution (;:
~) ist a mit einer der rp(n) mod n inkongruenten,
gegen n teilerfremden Zahlen kongruent, und es gilt 0 -- ex-i (mod n); insofern die Substitution mod n durch a bereits bestimmt ist, möge sie TJa genannt werden. Für die durch (2) S. 298 gegebenen transformierten Perioden CiJ~, CiJ~ rechnet sich die Substitution Uaauf ( a,_~n-,,) um. Nach (3) in 1,451 hat man nun zunächst:
Weiter folgt aus (4) a. a. 0.:
l'n
,u
313
Lineare Transformation der Funktionen X l (ulrol' co!)
Da ß durch n teilbar ist und 12 ungerade sein sollte, so gilt für den rechts auftretenden Faktor: ,.'
112+a~;.2
(-I)'
n
(_l}~Ä(1+aJ=
=
(_l)'(i+aJ;
man beachte hierbei, daß ß (1 + a) = 1 + a (mod 2) gilt, da oe und nie zugleich gerade sind. Hiernach gilt:
(- l/G!.,o(u IaOJ i
+ ßOJ2 , "/_o:J! -: d'ro
i )
=
(-
l)a.lGa.,o(u I OJ l1
ß
::).
Die Modulform Gi ist gegenüber U" invariant, der Faktor
-Va' LI (}I LI)"· aber zeigt dasselbe Verhalten wie die Modulform (5) S. 299, d. h. sie nimmt den Faktor
(!) an (vgl. (12) S. 303), für den wir wegen a· ~ = 1
(mod 12) auch (-~) schreiben können. Es gilt also der Satz: Gegenüber einer die Bedingung U"
= (O~~~')
(mod n) erj'üllenden Substitution zeigen
die Xl eines ungeraden n das Verhalten:
(17)
XÄ(u
I aOJ1 + ßOJ 2 ,
rOJI
+ oOJ2)
=
I
( : ) Xal.(u OJ17 OJ 2 ),
wo (r~) das Legendre-Jacobische Zeichen ist. Die erste Regel (18) S. 308 ist hierin als besonderer Fall enthalten. Die Xl eines ungeraden n bleiben nun bei den Substitutionen der Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe r n x (n) unverändert. Es ist jetzt leicht zu zeigen, daß sie insgesamt auch nur bei den Substitutionen der rnx(n)
unverändert bleiben. Soll nämlich zunächst Xo(u I OJ I ,
sich transformiert werden, so muß 6(u I OJ~,
OJ;)
OJ2 )
durch (;:
~) in
durch die Substitution
(r~-~,nd') in sich transformiert werden, was ein ganzzahliges rn-I, d. h. ein durch n teilbares r voraussetzt. Wir haben also nur noch die mit: (18)
Saß. U a
= (0,lX,
ß)
lX-I
(mod n)
kongruenten Substitutionen einer unserer von S. 252 her bekannten Kongruenzgruppen r '<{J(n) zuzulassen. Die Substitution (18) transformiert Xl. in:
(19)
-2-(:) X
"Ä(n-l)
8-"
a1 (1t[OJ l1 OJ 2).
Hieraus ziehen wir zunächst den später anzuwendenden Satz: Die Funktion Xo(u IOJ I , OJ 2 ) eines ttngeraden n bleibt bei den Substitutionen der durch r = 0 (mod n) erklärten Kongruenzgruppe n ter Stufe r'<{J(n) unverändert oder erf'ährt nur einen Zeichenwechsel, entsprechend de}' Regel:
314
(20)
II,2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe
Xo(u law 1 + ßw 2 ,
rWl
+ d'(
2) =
(:)
X O(ulw 1 ,W 2 ), r~O
(modn).
Soll weiter Xl durch die Substitution (18) in sich transformiert werden, so muß zufolge (19) notwendig a - 1, ß == 0 (mod n) zutreffen. Damit ist die Behauptung, daß die XI, insgesamt nur bei den Substitutionen der rnx(n) unverändert bleiben, bewiesen. Zwei mod n inkongruente Substitutionen 17; V' liefern hiernach stets zwei verschiedene Xl-Transformationen, da sonst V'· V-I die "identische" X),-Transformation ergeben würde. Damit aber ist der folgende Satz bewiesen: Aus den beiden gleich wiede;r durch Sund T zu bezeichnenden linearen X I - Transformationen: 1 (n -l)
X;' =
(S)
6 - -2-
n-l
i-2- 1/; X'
Xl'
n-l
X " ,,=0 erzeugt man im Falle eines ungeraden n durch Wiederholung und Kombination eine endliche Grttppe G"x(n) der Ordnung nx(n) solche;r Transformationen, die isomorph mit der mod n reduzierten homogenen Modtügruppe ist. Den bei der Transformation T links auftretenden l!'aktor kann man nach der letzten Gleichung in I, 494 als "Gaußsche Summe" darstellen:
(T)
= ~6d I.":;;;;
Y
n-1
{2- yri' =
(21)
n-1 n-1
(-
1)-2- ~ eh'.
Wir merken daraufhin noch den Satz an: Bei ungeradem n sind die Koeffizienten der nx(n) linearen Transformationen der Xl Zahlen des zum Teil~tngsgrade 12 gehörenden Kreisteilungskörpe;rs vom Grade qJ (12).
§ 4:. Systeme von Modulformen für ungerade Stufen. Für die Transformationstheorie wichtIge Größensysteme gewinnen wir in den Modulformen, welche aus den Xl (u I w1 , ( 2) und ihren ersten nach u genommenen Ableitungen X{(u Iwl , ws) für u = 0 hervorgehen. Indem wir 12 als ungerade voraussetzen, entnehmen wir für den Zeichenwechsel des ersten Argumentes u aus (16) S. 30,:
(1)
X l ( - u)
=
-
Xn_I,(u),
X~(-
u)
=
+ X~_l(U),
wo für 1. = 0 statt des Index 12 rechts 0 zu setzen ist. Schreiben WIr nun abkürzend:
(2)
Xl (0 IW v ws) =
X.l.( W
v
(0 2 ),
X; (0 Iw v ws) =
~s(W v
(0 2 ),
so ergibt sich aus (1):
(3)
X"_l(W H
ws)
=
-
Xl(W lI
(0 2),
~n-l(Wv
ws)
= ~l(WlI
(0 2 ),
Die Systeme der Modulformen Xl \(j)l' (j)!I) und
~1«(j)1'
(j)!I)315
während X o(w1 , ws) identisch verschwindet. Für jedes ungerade n erhalten wir somit ein System von 'I'! -; 1 Modulformen X,,_l 2
Xl
(w17
Wt), X 2 (w 1 ,
ws), ...,
(w v ( 2 ) der n ten Stufe und ein System von nt 1 Modulformen ;o(w17 ws),
~1 (w l l
ws), ..., ;n -1 (w v ws) der gleichen Stufe. -2-
Aus den Gleichungen (10) und (12) S. 306 ergeben sich folgende n-l
Darstellungen der -2-- Modulformen
(4) (5)
Xl
Xl
(w 1 ,
(W v ws)
(-lY~11j2nYLl(YA)noq~,f}&1.w, qR), JI-;;
( 2) =
(-.1)< 1
=
ws):
XI(W V
-
JI
~
.
Y (j)!I
.
+'"
«h+1)n-n)'
/211: LI (YA)n o ~ ( _ 1Yq--fn-. ..:::.;
11=-00
Weiter folgt aus (12) S. 306 für die nt 1 Modulformen ;l (w ll ws): (6)
;l (w v
wt )
=
(-
1)-' ~ 1 j2n YLI (VLI )no (j)2
JI
~
.2: (-1/(2v + +00
l)n -
~.+0n-2~
2).)q--4n,---.
11=-00
Für ;o(wl1 stellung:
( 2)
haben wir auch die schon in (6) S.310 genannte Dar-
(7) die wir mit Hilfe von (25) in 1,420 auch noch umkleiden in:
(8)
;0 (w v
ws)
=
y
y
~ LI {Vd)no LI (w v
Vn
(j)2).
n
Aus den Rechnungen von S. 308 ff. geht folgender Satz hervor: Die n -; 1 Modulformen
Xl
substituieren sich gegenüber den .Substitutionen der
homogenen Mod'ulgruppe T(m) selbst linear und homogen, und insbesondere entsprechen den erzeugenden Substitutionen Sund T der T(m) die Transformationen: l(n-I)
(S)
s--s-x;.,
x~ =
n-1
n-1 (T)
-2-
i-s-ynx~ =
Derselbe Satz gilt für die n
t
1
~
,,=l
(S"I_ c-v.l) X".
Modulformen ;" bei denen die Transfor-
mationen Sund T die Gestalten haben:
316
II,2. Systeme ganzer elliptischer l!'unktionen dritter Art
nt~r
Stufe
'(n-.<)
(S)
~~ =
E-- 2
~11
n-1
-2--
11.-1
(1')
-
( 2 Vn ~~ = ~o + ~ (E"· + E-x.1H". ,,=1
Für ;0 (ro17 ro2 ) insbesondere notieren wir zu späterem Gebrauche die Regeln:
(S)
n-l
(1')
(-2yn~~=
;~
=
~o,
;0 + 2;1 + 2;2 + ... + 2;,,_1l 2
(Ua ) Die Reihen (5) und (6) sind für Iq I< 1 konvergent und weisen keine negativen Exponenten der Entwicklungsgröße q auf. Da L1 eine "ganze" Modulform erster Stufe ist (vgl. I, 305), so sind die Modulformen XL und ;;. im Innern der ro-Halbebene polfrei und bleiben auch für q = 0, d. h. in der nach ro = i 00 ziehenden Spitze der Kreisbogendreiecke der ro- Halbebene endlich. Der eben erkannte Satz, daß sich die xl. und auch die ;;. gegenüber den Substitutionen der r(w) linear und homogen substituieren, führt von hieraus noch zu einer wichtigen Folgerung. Schreiben wir die einzelne Substitution der r(w) nicht-homogen in der Gestalt:
(9) 80
nähert sich ro' vom Innern des Dreiecksnetzes dem rationalen Punkte
-~, falls ro in die Spitze ioo wandert. Da sich nun die xl. und ebenso 'Y
die ;.1 bei Ausübung der Substitution (9) linear und ganz substituieren, so ,werden diese Größen, auch wenn wir uns im Innern eines einzelnen
Dreiecks der ro- Halbebene einem rationalen Punkte::- annähern, endlich r bleiben. Im Anschluß an die in I, 305 eingeführte Bezeichnung nennen wir dieserhalb die xI. und ;l. "ganze" Modulformen nler Stufe. Insbesondere erweisen sie sich in einem Diskontinuitätsbereiche der Hauptkongruenzgruppe n ler Stufe r"x(n) überall als polfrei, eine Eigenschaft, die später,. hin zu wichtigen Folgerungen den Grund legt.
§ 5. Ein weiteres System von Modulformen für ungerade Stufen. Da weiterhin Fnnktionssysteme X. für verschiedene Grade n miteinander kombiniert werden sollen, so erscheint es nötig, den Grad n als oberen Index am X 2 anzubringen. Wir ziehen nun die drei Funktionen Xi3)(~tll ro l , ro 2) und die 3n Funktionen Xi 3n )(u2 ro l , ( 2 ) heran, unter n 1
Dreigliedrige Bilinearverbindungen der Xl
317
eine ungerade, gegen 3 teilerfremde Zahl verstanden; jedes System sei für ein besonderes erstes Argument U 1 bzw. u2 gebildet, während das Periodenpaar in beiden Funktionen das gleiche sein soll. Aus beiden Funktionssystemen setzen wir die folgenden dreigliedrigen Ausdrücke zusammen: X(3)X(Sn) + X(S)X(3n) B 2 (U u U2 I 0111 012)'X(3)X(Sn)+ (1) = 0 BJ. 1 S2+n 2 S2+2n' die wir "biUnear" nennen und dieserhalb durch das Symbol B bezeichnen, weil sie in den X jedes der beiden Systeme linear aufgebaut sind. Ä.ndert man J.. um n, so ändert sich der untere Index der einzelnen Funktion X(3n) um 3n, wobei sie nach der Regel (9) S. 305 unverändert bleibt. Aus dem Ansatze (1) entstehen also im ganzen höchstens n verschiedene bilineare Verbindungen B o' B u ..., B n _ 1 • Dieser Ansatz soll in § 6 auf mehrgliedrige bilineare Ausdrücke der Xl verallgemeinert werden. Im vorliegenden besonderen Falle setzen wir sogleich u1 = 0 und können dann bei U 2 den Index 2 fortlassen. Da X~S)(O) identisch verschwindet und XiSl(O) X~3l(0) = x~S) ist, so gelangen wir zu den n Funktionen: 0=
(2)
B 2 (U
I
1 01 1 '
012
)
=
-
(Sl(x(Sn) S2+n -
Xl
X(3n») 32-n·
Für xisl folgt aus (5) S. 315 die Darstellung: +'"
~ (-lf q1 2 r VA5~=_'" ' -
x(S) = 1
i, j2n
(Gv+l)!
~
Ill!
so daß man zufolge (9) in 1,433 findet:
xiS) = i (l!dY
(3)
An Stelle von (2) können wir also auch schreiben: (4)
B. (u I 01 1 ,
01 2) =
i
(lILi)2
(X~St~" -
X;3,
"2 ,,).
Y
!in
Bei Ausübung der Substitution S nimmt LI den Faktor Q = e-san (vgl. (13) in 1,455), während das Verhalten der X(Bn) aus der ersten Regel (1) S. 308 zu bestimmen ist. Man findet:
(5)
B,(u 1011 + 01 2 ,
Y
_ sl(n-.)
01 2 ) =
(>2-"8
2
Bleu 10117 O1s).
Gegenüber T bleibt LI und also xiS) unverändert. Das aus der ersten Gleichung (16) S. 312 abzuleitende Verhalten der X(Sn) ergibt:
318
IJ, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art nter Stufe
Der Faktor von x~sn) unter dem Summenzeichen läßt sich kürzer in die Gestalt (f!" - Ir") e"" setzen. Da er verschwindet, so oft" durch 3 teilbar ist, so genügt es, ,,= 3,,' + n und" = 3 ,,' - n zu schreiben, wo dann beide Male x' die Zahlen 0, 1, 2, ..., n - 1 zu durchlaufen hat. Man erhält dabei: (Il"'- Q-")8"" = (Q±n - (1+") 8 sx'. = ± (~) il/S 83x'\ wo· (:) das Legendresche Zeichen ist. Somit findet sich: n-1
S1O-1
i-2-'13n B (u Jro2' - ro1 ) = i (~)'13 ~ eS?lX(S) (x(sn) _ V"70" 3 Vi.} ~ 1 Sl<+n
X(31O)
,,=0
).
3"-11
Nimmt man die vor dem Summenzeichen stehenden Faktoren nach links hinüber, so ziehen sie sich mit den Faktoren von B" zu: 310-3
n-1
-(;)Vn=(-1)-2 i-2
n-1
,,-1
2
2
(;).i- Vn=i- (!)vn
zusammen, wie man mit Hilfe des auf das Legendre-Jacobische Zeichen verallgemeinerten Reziprozitätsgesetzes findet. 1) Als Wirkung von T hat man also: 10-1
(6)
i-2-
(!) VnB.(uJro
n-1
2, -
rot)
=
~ eS "2 B,,(uJrol1 ro 2). ,,=0
Ist n = 2 (mod 3), so liegen in (5) und (6) genau wieder die X l Substitutionen Sund T von S. 314 vor, nur ist an Stelle von 8 die gleichfalls primitive nte Einheitswurzel 8s = eS getreten. Zum Zwecke dieses .. -1
.
Ersat,zes hat man i-2- Vn in Gestalt der Gaußschen Summe (21) S.314 darzustellen, worauf dann nach der letzten Gleichung in I, 494 beim Ersatze von
8
durch
8S
sich der Faktor
(!)
einfindet. Im Falle n _ 1
11
(mod 3) benutzen wir nochmals den Umstand, daß LI gegenüber S den Faktor Q annimmt und durch T in sich transformiert wird. Also wird im Falle n = 1 (mod 3) der Quotient B" : LI die Xl-Substitutionen unter Ersatz von 8 durch 8s erfahren. Das zu erklärende System von Modulformen gewinnt man nun aus den B l durch Einsetzung von u = o. Aus der Regel (16) S.307 leitet
11
man leicht:
- B n-l (u Jro11 ro) B l (- u I rot, ro) 2 2
ab, so daß man für
u =
0 zu einem System von
nt
1
Modulformen nter
1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, "Vorles. über Zahlentheorie", S. l04Jf. der 4. Aufi.
319 Stufe gelangt, wenn man im Falle n - 1 (mod 3) statt der Nullwerte von B). diejenigen der Quotienten B).: LI benutzt. Zur Vereinfachung einer sogleich anzugebenden Darstellung des Nullwertes von B o versehen wir alle Nullwerte noch mit dem gemeinsamen Faktor - t und bezeichnen die damit gewonnenen Modulformen durch s).(w1 , ( 2 ). In den S. 314 eingeführten Formen x gelten also die Darstellungen:
V
(7)
11
rZ). (W l1 W 2) =
-
1 • 2~
Z). W l1 W 2 =
-
1 2~ Y
l (
)
_I ( LJ
.~/
(S n)
.,12 (
LJ
(S n)
xS).+n -
)
xSJ._n ,
(3n)
(Sn) ) XS)._n ,
XSJ.+n -
n=1 (mod3) n=2 (modS)
Als Ergebnis merken wir an: Für jede gegen 6 teilerfremde Stufe n exi-
stiert ein System von
nt
1
durch (7) gegebener ganzer Modulformen nler
Stufe, die sich bei Ausübung der Substitutionen S tmd T in folgender Art substituieren: (S) n-l
(T)
,,-1
i-2 (~-) -Vnz~ =
2
Zo
+ }; (c~J. + Ea"')Z", ,,=1
unter Es die primitive nie Einheitswttrzel eS verstanden. Da die beiden Modulformen x(Sn) und x(Sn) = x 2(sn) sich nur im Vor-· n -n n zeichen unterscheiden, so gilt speziell für die Form so:
(8)
Zo =
-
·V
~
_I
Y LJ
x n(Sn)
Zo --
b zw.
-
.
t
Y'
A2
LJ
Xu(3n) •
Aus der Reihendarstellung (5) S. 315 der x aber ergibt sich:
iV::V -
x~n) =
A (l!Llysn)o
+'"
(6~+1)2n
~ (- 1yq-1-2-.
')1=-00
Damit sind wir zur Reihe (9) in I,433 für die 24ste Wurzel der Diskriminante geführt. Verstehen wir unter LI' die transformierte Diskriminante LI' = A(nwl1 ( 2 ), so ergibt sich der folgende Satz: Die Modulform nter Stufe Zo (w l1 ( 2) stellt sich in der Diskriminante wie folgt dar:
(9)
{
Zo(w l1
(2)
=
ZO (w l1 ( 2) =
Cf!A)5+3(Sn)o2yA'A,
u=1 (modS),
(lI.:d)3+ (h).2}!L1' LI,
u=2 (modSl,
n ist eine beliebige gegen 6 teilerfremde Stufe, A' hat die Bedeutung A(nw l1 ( 2 ) und (3n)0 ist die kleinste, nicht negative ganze Zahl, die der Kongrttenz genügt: 3n+ 1 (10) (3n)0= - - 2 - (mod 4).
320
II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n'er Stufe
§ 6. Mehrgliedrige Bilinearverbindungen der Xl und ihre lineare Transformation. Es soll jetzt der Ansatz (1) S. 317 der dreigliedrigen Bilinearverbindungen der Xl auf entsprechende Ausdrücke mit einer beliebigen Gliederanzahl l verallgemeinert werden. Wir denken n nach wie vor als ungerade Zahl gewählt und setzen 1 (wie oben 3) als teilerfremd gegen n voraus. Die zu untersuchende Bilinearverbindung der Funktionen X(l) und X(ln) erklären wir durch: (1) die für 1= 3, k = 1 den Ansatz (1) S.317 wieder liefert. Um diesen Ausdrücken bei beliebigem 1 möglichst einfache Eigenschaften zu erteilen, verstehen wir unter k eine der Kongruenz:
(2)
nk 2 + 1
=0
(mod 21)
bzw.
(mod 1)
genügende ganze Zahl, je nachdem 1 gerade oder ungerade ist. Wir können dieser Kongruenz entsprechend auch setzen:
(3)
nk 2 + 1
=
21m
bzw.
nk}+ 1
=
lm,
unter m eine weitere ganze Zahl verstanden, die wie l offenbar positiv ist. Im Falle eines geraden l gilt die erste Gleichung (3), aus der hervorgeht, daß k in diesem Falle ungerade ist. Dann ist Je! 1 (mod 4), und da 2lm durch 4 teilbar ist, so ergibt sich, daß im Falle eines geraden l die ungerade Zahl n der Beschränkung n = 3 (mod 4) unterliegt. Indem wir der Reihe nach l = 0, 1, 2, ..., n - 1 in (1) einsetzen, erhalten wir ein System von n bilinearen Ausdrücken. Das Periodenpaar WlI W 2 soll in allen Funktionen X(/) und X(ln) dasselbe sein. Es ist zunächst festzustellen, wie sich unser Größensystem B o, B n ..., B n _ 1 bei linearer Transformation der Perioden verhält. Ist erstlich 1 und also Zn gerade, so nimmt das Produkt:
=
(4) zufolge der zweiten Formel (1) S.308 gegenüber der Substitution S den Ji'aktor an: 2i1t(1 r.') + 2i1t(/n (tl+nkx)') -+- -+ e--I 8 2 In 8 2
=
.
i1t -(nr.'+l'l'+n'k'x')
~e In
•
Mit Hilfe der ersten Gleichung (3) führt man den Ausdruck dieses Faktors leicht über in:
Mehrgliedrige Bilinearverbindllngen der XI.· · 3 2 1
wo B, die primitive n te Einheitswurzel BI ist. Ist l ungerade, so nimmt das Produkt (4) gegenüber S den Faktor an: 'lti
7ti
-(lC'-llC) +-«11.+ nkY.)'-ln(lJ. +
eI
In
nh»
tti I (-1 )l+"+klC ein -(""'+I"l'+n'k'''')
=
wie aus der ersten Gleichung (1) S. 308 folgt. Mit Hilfe der zweiten Gleichung (3) und der aus ihr folgenden Kongruenz 1 k m = (mod~) wandelt man die Gestalt des eben erhaltenen Faktors in:
°
+ +
1t i
(- 1)' e n
_1J.(n-:~)
0.'
=
BI
2
um. Hiernach erweist sich der Faktor in beiden Fällen als von " unabhängig, so daß er für alle Glieder der Summe (1) ein und derselbe ist. Die Bi1inearverbindung (1) nimmt also gegenüber S den Faktor: l(n-l)
iB~-2-
(5)
bzw.
an, je nachdem 1 gerade oder ungerade ist. Um die Wirkung der Substitution T festzustellen, schreiben wir die Faktoren ,von XJ. auf den linken Seiten der Gleichungen (16) S. 312 kurz 0.. , so daß: n-1 On = i-2- Vn oder = -
Vn
gilt, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Aus den eben genannteh Gleichungen findet man dann:
wo die rechts stehenden Funktionen X für die ursprünglichen Perioden (iJ2 gebildet sind. Nimmt man die Summation in bezug auf " zunächst vor, so folgt:
(iJlI
00 B ( I
In
J.
u1 ,
U2
I 1lJ2 ,
1-1
_ ) = ~ (l.VX(I)X· (In) ~ _2{.!!"(,u+k p») ~
1lJ1
I',P
S
l'
l'
~
,,=0
e
.
Die innere Summe hat für die ;einzelne Zahlkombination !L, v stets den Wert 0, falls !L + kv =1= (mod 1) ist, dagegen den Wert 1, wenn !L + kv (mod l) zutrifft. Die letzte Gleichung vereinfacht sich demnach zu:
=°
°
r= 1:2 (/' X~l)bX;ln»). In-1
qOlnBl(UlI u2 1 1lJ2 ',
-
1lJ1
v=t}
Über die frei gewordenen Summationsbuchstaben " und fL können wir jetzt im neuen Sinne verfügen. Wir setzen v = 1" + nfL und erhalten ein System mod 1n inkongruenter Zahlen v, falls " die Z~hlen 0,1, .. " n ...,.; 1. und fL die Zahlen 0, 1, ..., 1 - 1 durchlaufen: . F r i c k e, Die elliptischen Funktionen II
21
322
II, 2. Systeme ga.nzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe
Da kn zufolge (3) teilerfremd gegen l ist, so durchläuft, falls man - kn~ = v (mod l) setzt und auf diese Weise auch v in neuer Bedeutung gebraucht, mit ~ auch v ein Restsystem mod l. Durch Multiplikation der letzten Kongruenz mit k und weiter mit n folgt aber wegen (2): - k2n~
=~ = kv
(mod l),
n~
=knv
(mod Zn).
Die innere Summe der letzten Gleichung Hißt sich also auch so schreiben: 1-1
~ x~l) Xl~"lnk"
11=0
und erweist sich also zufolge (1) als mit B" identisch: n-1
C1q .. Bi.(uu u 2 I C0 2 ,
(6)
-
co 1 )
Z:2 l(' B,,(up ' ' 21 COp C0 2).
=
x=o
Ist nun erstlieh 1 gerade, so ist
q. q .. =
zy;. Es läßt sich zeigen,
daß in diesem Falle das Legendre-Jacobische Zeichen
( nl)_- :,;1
(7)
--
(1!) der Gleichung:
~
genügt. Schreibt man nämlich l = 2h • Z', unter l' den größten ungeraden Teiler von l verstanden, so gilt, da zufolge (2) die Zahl - n quadratischer Rest von l' ist, zufolge des verallgemeinerten Reziprozitätsgesetzes (s. die Note S. 318): da jetzt 'n
= 3 (mod 4) ist.
Man findet also:
- (l') - _ - (2)" _.- -_ (- 1)h"'if1 . (-nZ) -_ (2)h n n n
(8) Ist h
=
1, so ist
(!) = + 1 ,oder
- 1, je nachdem n
=
7 oder - 3
(mod 8) gilt. In beiden Fällen erweist sich die Gleichung (7) als richtig. Ist
h> 1,
so folgt n
= 7 (mod 8)
aus (2). Nun ist
(~) zufolge (8)
gleich 1, so daß die Gleichung (7) auch jetzt sich als richtig erweist. Trägt man in (6) für cjq" seinen Wert ein und benutzt die Gleichung (7), so folgt: Im Falle eines geraden l zeigen die n Bilinearverbindungen (1) bei Ausübung der Substitution T das Verhalten:
zyn
n-1
(9)
i-S-(!)ynB.aCul,u2!C02'
n-1
-col)=-i~c;).B,,(np u 2 !col) co 2). ,,=0
Lineare Transformation der Bilinearverbindungen BI (ut
, Us
I Wt ,
( 2)
323
Im Fa,He eines ungeraden 1 gilt:
q Cln =
1-1
1-1
ln-I
(2-Yl. i-2-Yln
=
(-
n+l
10-1
1)2-' -2-~ . rll--l yn.
Da - n zufolge (2) quadratischer Rest von 1 ist, so gilt: 1-1 n+l
1 = (=i~) = (- 1f2~'~f~
(!), (- 1)-2-'-2- = (!). 1-1 10+1
Im Falle eines ungeraden 1 transfm'mieren sich die n Ausdrücke BI. rfegenüber der Substitution T nach der Regel: n-l
(10)
i-2 (~) Yn BI(ull ugl W 2 ,
.z; E~l B,,(u n-l
( 1) =
-
ll
u 2 1 wl' (
"=0
Nach (10) in 1,454 zeigt die Modulform vierter Stufe über Sund T das Verhalten:
VA (w 1 + w2 ,
( 2) =
il/Li (w l1 ( 2), VA (w 2 ,
-
2 )·
VA
gegen-
VA (w Quotienten B).: VLi ( 1) =
-
i
l1 ( 2 )·
Im Falle eines geraden 1 zeigen demnach die n gegenüber linearen Transformationen der Perioden genau das gleiche Verhalten wie die BI. mit ungeradem l. Nun gehen die Koeffizienten der linearen Transformationen Sund 4 T der B l : VLi bzw. der B l aus den Koeffizienten der entsprechenden Xl~Transformationen dadurch hervor, daß man die primitive n te Einheitswurzel E durch die gleichfalls primitive n te Einheitswurzel Ej ersetzt. ~-
n-l
Der Ausdruck rff~ yn ist dabei als ganze Zahl des Kreisteilungskörpers (m, E) in der Gestalt (21) S. 314 darzustellen. Die Schlußformel in n-l
I, 494 lehrt dann eben, daß zeichen
{-2-
Vn beim Ersatz von 8 durch
(-r-) als Faktor annimmt.
81
das Vor~
Im Anschluß an die Ergebnisse von
S. 314 finden wir den Satz: Gegenüber der Gesamtgruppe
r(w)
V
aller linearen
Periodentransformationen erfahren die n Funktionen Bi.: Li bzw. Bi. eine Gruppe G n x(n) von n X(n) linearen Transformationen, 'welche mit den entsprechenden X).- Transformationen als "konjugiert" zu bezeichnen sind, insofern sie mts jenen durch Ersatz von 8 durch die gleichfalls prim'itive nie Einheitswurzel 8 1 hervorgehen. Hieraus folgt insbesondere: Die n Funktio-
VA
nen B l : bzw. BI haben den Charakter von Modulformen n ter Stufe. Eine rationale Zahl des Kreisteilungskörpers (m, E) ist nur mit sich selbst konjugiert. Rational aber sind die Koeffizienten aller Xl-Transformationen, die den Substitutionen mit ß = r = 0 (mod n) entsprechen: Für alle der KongrHenz ß r 0 (mod n) genügenden Substitutionen sind die Transformationen der BI.: bzw. der B l genau so gebaut wie diejenigen der XI.'
==
VA
21*
324
rr,
2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art nte• Stufe
§ 7. Die Systeme der Funktionen Y Ä und der Modulformen Yl' Für den Fall eines geraden l und also einer der Kongruenz n == 3 (mod 4) genügenden Zahl n sollen jetzt ReihendarsteIlungen der bilinearen Ausdrücke entwickelt werden: Indem man für die Xl ihre Reihen (13) S.306 einträgt, gewinnt man folgenden Ansatz:] Bl
4= =
VLJ
I~. ( ) 2n -.ui+"u~
_e 2w •. co!
~
nv'+N2 2",; - 1 - -(pu1+Nu,) n e 012 ;
q
)t,)'ul'2.
dabei haben v und N die Bedeutungen: (1)
von den Summationsbuchstaben durchläuft" die Zahlen 0, 1, ..., 1 - 1, während Vi und Vi unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen durchlaufen. Die Zahl V nimmt somit gerade einmal jeden ganzzahligen Wert an. Für das einzelne v ist" der kleinste, nicht~negative Rest von - v mod 1, und weiter berechnet sich VI aus der ersten Gleichung (1). Die ganze Zahl N läßt sich in die Gestalt setzen:
N=nkv+11-',
l-'=v 2 n-).,-vi kn.
Bei gegebenem v und also bestimmtem Vi durchläuft die durch die zweite Gleichung erklärte ganze Zahl I-' wegen der Bedeutung von V 2 gerade einmal alle mod n mit - l kongruenten ganzen Zahlen. Bei Benutzung der ersten Gleichung (3) S. 320 findet man nun:
nv 2+ N2= nv 2+ (nkv
+ 11-')2= 21(+~2+ kn~v + mnv 2).
Den hier rechts stehenden Klammerausdruck fassen wir als eine in den variablen ganzen Zahlen ~, v geschriebene ganzzah1ige binäre quadratische Form:
(2)
f(~, v)
=
l
"21-'2
+ knl-'v + mnv
2
auf, für die wir nach früherem Brauche auch die symbolische Bezeichnung
(~ , kn, mn) benutzen (vgl. S.137 ff.). Die quadratische Form f(~, v) hat die negative Diskriminante:
D = k 2 n 2 - 2lmn = - n, sie ist positiv und twsprünglich, da zufolge (3) S. 320 die beiden ersten Koeffizienten!, kn teilerfremd sind. An Stelle der bisherigen Variablen mäßig zwei neue Variable u, v durch:
(3)
U ll
u2 führt man jetzt zweck-
Die Funktionen Y. CU, v I COt , co2 ) und die Modulformen 1h«(J)t, co 2 )
325
ein. Dann wird nämlich einerseits: l(ui
+ nu;) =
1 (u 2
nk n1kl+n) + 2 TUV + -v Z2 --
2
=
2f(u, v),
und andererseits gilt: vU1 +Nu2 =v(u+'!"zk v)-(nkv+l/L); =vU-/LV.
In Abhängigkeit .von u und v mögen nun die Quotienten der Bi. linearverbindungen B;. und der Modulform Li durch Y. (u, v) bezeichnet werden:
V
B1{u+'nZk V ,
'Vd
(4)
--t-)
=
Y.(u, v I GJ l ,
GJ 2)·
Als Reihendarstellung dieser Funktionen YJ. gewinnt man: (5) wo f die quadratische Form (2) ist, I" alle der Kongruenz /L = -;., (mod n) genügenden ganzen Zahlen und v alle ganzen Zahlen durchlaufen.
Aus (5) folgt, daß die Funktion Yo(u, v) bei gleichzeitigem Zeichenwechsel von u und v unverändert bleibt, während die (n - 1) übrigen Funktionen Y das Verhalten zeigen: Y,l(- u, -
Füru
nt
=
0, v
=
vi GJl ,
GJ2 ) =
Yn_iu, v I GJ lI
GJ 2)·
0 liefern demgemäß die Funktionen Y. ein System von
1 ganzen Modulformen der n ten Stufe Yo' Yl' ..., Yn -l1 welche durch -2-
die Potenzreihen: (6)
I'=-J. (modn)
darstellbar sind und gegenüber den linearen Periodentransformationen die S. 316 angegebenen~2-Substitutionen unter Ersatz von 8 durch 81 erfahren. Von diesen Modulformen werden wir später insbesondere die erste Yoe GJ1 ,GJs) gebrauchen. Schreiben wir hier /L = /L' n, so durchläuft 1'" alle ganzen Zahlen, und man hat feIL, v) = nf'(/L', v), wo l' die quadratische Form Ci Zn, kn, m) der Diskriminante - n ist. Auch diese Form ist positiv und ursprünglich, da nach (3) S. 320 die ganzen Zahlen mund kn teilerfremd sind. Als Reihenentwicklung der Modulform Yo folgt:
(7) wo 1", v alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen. Est ist nun in jeder Klasse
326
II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe
ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante - n eine Form der Gestalt
(! n, 1m, m) nachweisbar. Nach S. 141 können wir nämlich zu-
nächst einer beliebig vorgelegten Klasse eine Form (a, b, c) entnehmen, deren dritter Koeffizient c eine gegen n teilerfremde Zahl m ist. Gehen wir so dann mitte1st einer Transformation (4) S. 138 zu einer äqui.valenten Form (a', b', c'), indem wir « = cj = 1, ß = 0, wählen, so sind die Koeffizienten der neuen Form durch:
a' = a - rb
+ r2m,
b' = b - 2rm,
,
c=m
gegeben, und man kann wegen teilerfremder Zahlen 2m und n über r so verfügen, daß b' ein Vielfaches kn von n wird. Da die Diskriminante nach wie vor gleich - 12 ist, so gilt:
k2 n 2 _ 4a'm
=
-
n,
so daß a' durch n teilbar ist. Schreiben wir 2 a' n
=
l, so haben WIr in
der vorgelegten Klasse eine Form (tln, kn, m) der gewünschten Gestalt erreicht. Endlich können wir aber von der Form f' unserer Klasse durch eine ganzzahlige Substitution der Determinante 1:
(8)
fL
=
«fL'
+ ßv',
v
=
rfL'
+ ov'j
zu jeder beliebigen Form (a, b, c) der Klasse zurückgehen. Es gilt:
f' (p"
v)
=
ap,'2
+ bp,' v' + CV'2,
und da mit fL, v zufolge (8) auch p,', v' genau alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen, so haben wir bei Fortlassung der oberen Indizes an den neuen Summations buchstaben p,', v' an Stelle von (7) die Reihendarstellung:
(9) Da mit p" v auch immer das Zahlenpaar p" -v auftritt, so ergeben zwei "entgegengesetzte" Formen (a, b, c) und (a, - b, c) eine und dieselbe Modulform yo(w lI ( 2 ). Unter Erinnerung an die Substitutionen Sund Ua , deren Wirkung auf die ~l oben (S. 316) festgestellt wurde, und unter Zusammenfassung aller Ergebnisse haben wir folgenden für später grundlegenden Satz gewonnen: 1m Falle einer die Kongruenz n = 3 (mod 4) befriedigenden Stufe 12 liefert jede zweiseitige Klasse ursprünglicher positiver quadratischer .Formen der Diskriminante - n und ebenso jedes Paar entgegengesetzter solcher Klassen eine ganze Modulform n ter Stttfe (9) der Dimension - 1, die gegenüber den Substitutionen der dm'ch r = (mod n) erklärten Kongruenzgruppe r"'Cn) das Verhalten:
°
(10)
Yo(<<w 1 + ßw2 ,
rWl
+ 6( 2) =
(-;-)
Yo(w 1 ,
( 2)
Anzahl der Modulformen Yo (w u ws)
327
zeigt; die quadratische Form (a, b, c) in (9) kann der Klasse willkürlich entnommen werden, die !" v durchlaufen alle Paare ganzer Zahlen. In den später zu betrachtenden Einzelfällen ordnen wir die Reihen (9) stets nach ansteigenden Potenzen von q um. Die einzelne Modulform 1/0 ist dann in der Gestalt gegeben:
(11)
wO nach der Sprechweise von S. 152 die nicht-negative ganze Zahl A. die Anzahl der "Darstellungen" der ganzen Zahl i durch die quadra#sche Form (a, b, c) angibt.
§ 80 Die Systeme der Funktionen Z. und der Modnlformen
Zlo
Zu ähnlichen wenn auch nicht so einfachen Ergebnissen gelangt man im Falle eines ungeraden l. Wir dürfen hier, wie aus dem Ansatze (1) S. 320 hervorgeht, ohne Ä.nderung der Funktion B 1 die Zahl k um 1 vermehren und wollen von diesem Umstande in der Weise Gebrauch machen, daß wir k stets als ungerade gewählt denken. Dann gilt:
" + l). + nk" =).
(mod 2),
so daß wir durch Eintragen der aus (12) S. 306 zu entnehmenden Reihenentwicklungen der X in die Gleichung (1) S. 320 für die Entwicklung des bilinearen Ausdrucks B 1 den Ansatz haben:
(1)
"
BA =
-
(
4 _)1+10+("1)0 211'
-V Li
. --- e
1~'(2
')
2w. u 1 + "u 2
cu,
'n1'2+N2
rti
. .L)(-I/+">+""q--41-;;---e w, Cvu>+NIJ.):
v und N sind Abkürzungen für folgende Ausdrücke:
(2)
v = (2vl
+ l)l- 2",
N =
(2v~+
1)ln - 211- 2nk",
" durchläuft die Zahlen 0, 1, 2, ..., 1 - 1, während V l und V 2 alle ganzen Zahlen durchlaufen. Hier hat nun v gerade genau einmal alle ungeraden ganzen Zahlen zu durchlaufen. Für das einzelne v ist 2" als kleinste, nicht-negative gerade Zahl, die mod 1 mit - v kongruent ist, bestimmt, worauf sich dann weiter V l aus (2) eindeutig berechnet. Für N können wir statt des Ausdrucks (2) auch den folgenden setzen:
(3)
N
=
nkv
+ 2l!"
!'
=
v2 n - vjnk
- -).. + n--l -2 k
Die damit eingeführte ganze Zahl!, hat dann bei stehendem
Vl
wegen
3'28
J!, 2.
Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe
der Bedeutung vonvjgerade einmal alle mod n mit - 1 kongruenten Zahlen zn durchlaufen. Es sind jetzt die einzelnen Bestandteile auf der rechten Seite des Ansatzes (1) auf den Summationsbuchstaben I" umzurechnen. Man findet erstlich bei Benutzung der zweiten Gleichung (3) S.320:
nv 2+ N2 == 2l(2lp,2+ 2knp,v
+ ~ nv2),
wobei in Betracht kommt, daß wegen der ungeraden k die ganze Zahl m gerade ist. Es stellt sich also hier die ganzzahlige binäre quadratische Form ein: (4) Diese Form (2l, 2kn, ~ n) ist wieder positiv und hat die negative Diskriminante: D = 4k 2 n 2 - 4lmn = - 4n. Die beiden ersten Koeffizienten 21 und 2 kn haben den größten gemeinsamen Teiler 2. Da m zufolge der zweiten Gleichung (3) S. 320 die Kongruenz m _ n + 1 (mod 4) befriedigt, so ist m das Doppelte einer ungeraden Zahl oder durch 4 teilbar, je nachdem n 1 oder = 3 (mod 4) ist. Die quadratische Form (4) ist also ursprünglich, oder sie hat den Teiler 2, je nachdem n 1 oder 3 (mod 4) gilt. Entsprechend den Gleichungen (3) S. 324 führen wir hier an Stelle der bisherigen Variablen u 1 und U 2 die neuen Variablen u und v durch die Gleichungen ein: (5) Dann gilt erstlich:
=
=
2l(ui
+ nun =
=
nk.
2l ( u 2+ TUV
+ n'k!+n) ~4~ v 2 =
(u, v),
+ 211") ;z =
vu - p,v.
und man findet andrerseits:
vu1 +Nu2 = v(u
+ ~~ v) -
(nkv
Endlich ist noch das Vorzeichen unter der Summe des Ansatzes (1) umzugestalten. Dies geschieht auf Grund der aus der zweiten Gleichung (3) folgenden Kongruenz: 1
+ V 1 + V j =I" + -k-1 2~
(
mod 2) .
Wir erklären nun im Anschluß an die Gleichung (4) S.325 em System von Funktionen Zl(U, v) durch die Festsetzung:
(6)
~t_!
(,....,-1)
2
B,(u + ~~ v, - 2l) V
--
(VLf)1+ lo +(nl)o
=
Zl(U,V!OOl1
(0 2),
Die Funktionen Z). (u, v I 1))1'
und die Modulfonnen
00 2)
$1 (1))1' 1)),)
329
Als Reihenentwicklungen dieser Funktion hat man:
(7)
Zl ( u, I v WlI W 2) =
fell, Y)
11. 2n 4w f(u,e) ~(
~
1)1' 9n
..:::;.; -
e'
q
1t i
w-(vu-/'o)
e'
,
/1,V
2
f die quadratische Form (4) ist, p, alle der Kongruenz p, = - Ä. (modn) genügenden ganzen Zahlen und v alle ttngeraden ganzen Zahlen durchlaufen. Will man nur mit ursprünglichen quadratischen Formen arbeiten, so mag man den vorstehenden Satz nur auf die der Kongruenz n 1 (mod 4) genügenden Stufen beziehen, im Falle n = 3 (mod 4) aber den 'feiler 2 der Form fortheben. Es folgt dann der Satz: 1st n = 3 (mod 4), so haben wir· als Reihendarstellung der Zl: ~vo
=
(8)
Z ). ( U, I v Wu
)
W2 =
11. 2n 2f(u,~)
~
e w.
f(/',v) ni
""'l(
1)/' - - -(vU-/'V) q n e w• ,
..:::;.; p.,-v
2
..
unter f jetzt die ursprüngliche quadratische Form:
f
(9)
(l, kn, : n)
=
der negativen Diskriminante D = - nverstanden; die Summationsbedingungen für p, und v sind die bisherigen. Den Charakter von Modulformen n ter Stufe haben, wie wir in Erinnerung bringen, erst die Produkte der Z). und der Modulform (}ILi)l+lo+(n/)o, wo lo und (nl)o die kleinsten, nichtnegativen ganzen Zahlen sind, die die Kongruenzen befriedigen: (10)
_
lo = -
Z+l
-2-'
_
(nl)o = -
nl+l
- 2-
(mod 4).
Diese Produkte erfahren dann gegenüber den linearen Transformationen der Perioden die X).-Substitutionen, jedoch unter Ersatz von 13 durch EI' Aus den Reihenentwicklungen (7) und (8) ergibt sich, daß bei gleichzeitigem Zeichenwechsel von u und v die Funktion Zo(u, v) in sich übergeht, während sich die übrigen Funktionen Zl (u, v) des einzelnen Systems nach dem Gesetze:
Z).( - u, - v I W l , transformieren. Für u
=
0, v
=
einzelnen Systems ein System von mension zo,
Zl1 •••, Zn-l,
( 2) =
Zn_leU, V I WlI (
2)
0 erhalten wir demnach aus den Zl des n
t
1
ganzen Modulformen (- 1)ler Di-
welche durch Multiplikation mit (Vd )1 + 10 + (nl)o zu
2
ganzen Modulformen n ter Stufe werden, die gegenüber den linearen Periodentransformationen die ~).-Substitutionen unter Ersatz von 13 durch EI erfahren. Als Reihendarstellungen der z). haben wir im Falle einer mod 4 mit 1 kongruenten Zahl n: (11) .
330
II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ier Stufe
wo f(~, v) die ursprüngliche quadratische Form (4) der negativen Diskriminante - 4n ist; im Falle n -~ 3 (mod 4) aber gilt: (12)
unter f" die 'ursprüngliche Form (9) der negativen Diskriminante - n verstanden. Die Summationsbuchstaben ~, v sind natürlich den bisherigen Bedingungen unterworfen. Vom einzelnen Systeme der zl. wird später ins besondere wieder die erste Müdulform zo(wlI ( 2 ) benutzt, die wir bei Wiederholung der S. 325ft'. durchgeführten Überlegung so dargestellt finden: n"Ol (mod 4),
(13) n"OS (mod 4).
Die quadratische Form
(14)
r
=
r
ist durch:
(2ln, 2kn,
1;1)
bzw.
r
=
(ln, kn, 1~)
gegeben, während ~ jetzt alle ganzen Zahlen und v alle ungeraden ganzen hat die Diskriminante Zahlen zu durchlaufen haben. Auch die Form D = - 4n bzw. - n und ist positiv und ursprünglich. Es ist nun zu untersuchen, ob in jeder Klasse ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante - 4n bzw. - n mindestens eine Form der Gestalt (14) nachweisbar ist. Ist erstlich n = 1 (mod 4) und also D = - 4n, so entnehmen wir der einzelnen vorgelegten Klasse eine erste Form (a, b, c) mit einem gegen 2n teilerfremden c und setzen 2c = m, so daß m das Doppelte einer ungeraden Zahl ist. Wir gehen sodann zu einer äquivalenten Form (a', b', c') mit den Koeffizienten:
r
(15)
a' = a - rb
+ r2c,
b' = b - 2 rc,
c' = c
und können die ganze Zahl r den beiden Kongruenzen:
b'=;=b-2rc-0 (modn),
b'=b-2rc=2 (mod4)
entsprechend bestimmen, wobei für die zweite Kongruenz in Betracht kommt, daß die mittleren Koeffizienten der vorliegenden Formen durchweg gerade Zahlen sind. Setzt man b' = 2 kn, so erweist sich k als ungerade ganze Zahl. Für a' folgt aus:
331 daß diese Zahl gerade und durch n teilbar ist. Setzt man dementsprechend a' = 2ln, so folgt 1 + Pn = lm und damit wegen m = 2 (mod 4):
2l
=lm= 1 + Pn =n + 1 =2
(mod 4),
so daß l eine ungerade Zahl ist. Also haben wir in der Tat eine brauchbare Form (14) in der Klasse nachgewiesen. Ist zweitens n = 3 (mod4), so entnehmen wir der vorgelegten Klasse eine Form (a, b, c) mit einem gegen n teilerfremden c und setzen 4c = m. Jetzt sind die mittleren Koeffizienten ungerade. Gehen wir also durch die Transformation (15) zu einer äquivalenten Form (a', b', c') mit b' 0 (mod n), so ist b' = kn mit einer ungeraden Zahl k zu setzen. Da D = - n ist, so ist a' durch n teilbar. Setzt man also a' = ln, so ist nur noch zu untersuchen, ob man hierbei ein ungerades l erreichen kann. Dies ist, falls n - 3 (mod 8) ist, selbstverständlich; dann gilt nämlich:
=
4
= 1 + 12 = 1 + k 2 n =
lm = 4cl (mod 8),
woraus l = 1 (mod 2) folgt. Im Falle n = 7 (mod 8) kann zunächst aber auch ein grades l auftreten. Doch ist dies, wenn c gerade ist, stets vermeidbar, indem man die in der Transformation (15) auftretende ganze Zahl l' nötigenfalls Uill n größer wählt. Ist aber c ungerade, so gehe man von der eben erhaltenen Form (a, b, c) = (ln, kn, c) zunächst durch die Transformation:
a' = a,
b' = - 2 a
+ b,
Cf
= a - b + c = (l - k) n
+c
zu einer äquivalenten Form (a', b', c') mit einem geraden, gegen n teilerfremden c'. Von dieser Form aus gelangt man dann wie soeben leicht zu einer allen Anforderungen genügenden äquivalenten Form. Also ist auch für n = 3 (mod 4) in jeder ursprünglichen Klasse positiver Formen der Diskriminante - n eine brauchbare Form (14) enthalten. Wir fragen jetzt zunächst ün Falle n = 1 (mod 4), ob zwei äquivalente Formen (14) verschiedene Modulformen Zo zu liefern vermögen. Transformieren wir durch die Substitution: (16)
l
so erhalten wir von der Form (14) aus die Form (a, b, c) der Koeffizienten: a
(17)
=
b=
0 2 2ln - l' 02 k n -
Die Kongruenz
+ (ao + ßr)2kn aß 2 kn + a 2 ~ •
2ß02ln
c = ß2 2ln -
+ 1'2 ~ ,
2ar ~,
r = 0 (mod 2n) ist hinreichend und notwendig, damit
(a, b, c) wieder die Gestalt (14) hat. Zu letzterem Zwecke müssen nämlich erstlieh 1'2 und IXr und also l' durch n teilbar sein. Außerdem aber muß
332
TI, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art'
"ter
Stufe
/' gerade sein. Gilt andrerseits/' = 0 (mod2n), so ist a und also c teilerfremd gegen 2n, und es sind a und b durch 2n teilbar. Übrigens gilt:
a=o2.2ln=2, b=ao·2kn==2 (mod4), so daß in der Tat eine Form (14) vorliegt. Nennen wir die transformierte Form (2Z'n, 2k'n,
2lnt-t 2 + 2knt-tv
+ ~ v2 =
und andrerseits ergibt sich aus v (18)
(- l)f'
=
(-
2l'nt-t'2
=
1,
1)ß. (- 1)"',
+ 2k'nt-t'v' + ~' V'2,
= 0 = 1, v' = v = 1 0:
~'), so ist einerseits
/'
=0
(mod 2):
(mod 2);
t-t' durchläuft wieder alle ganzen Zahlen, v' alle ungeraden ganzen Zahlen.
Die für die äquivalente Form hergestellte Modulforni Zo ist also, abgesehen vom Faktor (- 1)f/, mit der ersten Modulform identisch. Übrigens können wir an Stelle der Form (14) jede beliebige Form der Klasse mit geradem ersten Koeffizienten a benutzen. Für eine solche Form ergibt sich aus:
(~
r-
ac
=
-
n- 3
(mod 4),
daß b das Doppelte einer ungeraden Zahl sein muß. Weiter folgt dann ac = 2 (mod 4), so daß c ungerade und a das Doppelte einer ung(lraden Zahl ist. ·Um in (17) eine solche Form zu erreichen, ist in (16) die Bedingung r = 0 (mod 2) hinreichend und notwendig. Dann aber gelten wieder die Bedingungen (18) Man findet von hieraus leicht folgenden abschließenden Satz: Jede zweiseitige Klasse und jedes Paar entgegengesetzter Klassen ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D = - 4 n liefert im wesentlichen nur eine Modulform :
(19) wo t-t alle ganzen Zahlen und v alle ungeraden ganzen Zahlen durchlaufen und übrigens eine beliebige Form (a, b, c) der Klasse mit geradem a zu wählen ist. Das Produkt von Zo und einer richtig gewählten Potenz von D. gehört zur nten Stufe und bleibt gegenüber S unverändert, hat also eine Potenzreihenentwicklung nach ganzen Potenzen von q2. Aus dem Charakter der Zahlen a, b, c mod 2 folgt demnach: Zur nie" Stufe gehört
V
l!A,
=
=
je nachdem c 1 oder 3 das Produkt von Zo mit (l!LI )3 oder (mod 4) zutrifft. Im Falle n = 3 (mod 4) transformieren wir die zweite Form (14)
333 mitte1st der Substitution (16) und gewinnen eine äquivalente Form (a, b, 0) mit den Koeffizienten: Anzahl der Modulformen Zo (co l , co!)
l a
(20)
=
b= c
=
+ r2 ~ , - 2ß~ln + (a~ + ßr)kn ß2 ln - aß k n + «2 m . 4 ~2 ln - r ~ k n
2ar
7,
Damit hier wieder eine Form (14) vorliegt, muß erstlich r = 0 (mod n) zutreffen; dann sind auch sicher a und b durch n teilbar, c aber if'lt teilerfremd gegen n. Da b jetzt stets ungerade ist, haben wir nur noch die Forderung a = 1 (mod 2) zu untersuchen. Nun folgt aus der zweiten Gleichung (3) S.320: lm
= n +1
(mod 8),
so daß sich die gestellte Forderung in die Gestalt kleidet: a = ~2
+ rh. + n+l -4 r
2
=
1
(mod 2).
=
Diese Kongruenz aber ist für n 3 (mod 8) stets erfüllt, da, rund h nicht zugleich gerade sind. Für n = 7 (mod 8) ist indes r = 0 (mod 2) erforderlich und hinreichend. Damit die zweite Form (14) durch eine Substitution (16) wieder in eine ebenso gebaute Form übergeht, ist hinreichend und notwendig die Kongruenz r=O (mod n), falls n=3 (mod8) gilt, und die Kongruenz r 0 (mod 2n), falls n 7 (mod 8) ist. Im Falle n = 7 (mod 8) kommt daraufhin die Untersuchung leic4t wie bei n = 1 (mod 4) zum Abschluß. Man kann auch wieder eine beliebige Form (a, b, c) der Klasse mit ungeradem a zum Gebrauche heran~ ziehen, da beim Übergange zu einer solchen Form die Bedingung r ~O (mod 2) besteht und also die Bedingungen (18) erfüllt sind. Wir finden den Satz: 1st n = 7 (mod 8), so liefert jede zweiseitige Klasse und jedes Paar entgegengesetzter Klassen ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D = - n im wesentlichen nur eine Modul(orm:
=
=
(21) wo die quadratische Form· (a, b, c) mit ungeradem a der Klasse beliebig zu entnehmen ist, während I'" alle ganzen Zahlen· und v alle ungeraden ganzen Zahlen durchlaufen. Da im vorliegenden Falle c notwendig gerade ist, während a und b ungerade sind, so gehört die Form (21) unmittelbar der n len Stufe an.
334
11, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ier Stufe
Ist endlich n = 3 (mod 8), so sind die Substitutionen (16), die eine Form (14) wieder in eine ebenso gebaute Form überführen, durch r=O (mod n) charakterisiert und mod 2 keiner weiteren Beschränkung unterworfen. Übt man eine Substitution (16) aus, so gilt: v
=
rp.' + Cf,V' = 1
-
(mod 2),
und es sind diese Formeln gegenüber den sechs mod 2 inkongruenten Substitutionen näher zu untersuchen. Ist erstlieh r = 0 (mod 2), so kommen wir auf die Bedingungen (18) zurück, so daß wir im wesentlichen die Modulform Zo für die transformierte quadratische Form wieder gewinnen. Ist zweitens Cf, - r (mod 2), wo dann natürlich beide Zahlen Cf" r ungerade sind, so folgt p.' ;$ v' (mod 2), und für (- 1)1' ergibt sich entweder (-1 )1", nämlich wenn ß=O (mod 2) ist, oder aber (-1 )~' = - (-1)1", nämlich wenn (} = 0 (mod 2) gilt. Wir kommen also im wesentlichen zum Ansatze (13) zurück, jetzt jedoch mit der Summationsbedingung p. ;$ v (mod 2). Ist endlich Cf, = 0 (mod 2), so folgt:
(- 1Y' = (_1)'1 . (-
1)~',
v
=
p.' ::= 1
(mod 2) .
Man überzeuge sich noch, daß man stets zu den gesamten Paaren ganzer Zahlen p.', v' gelangt, die den neuen Bedingungen genügen.. Auch hier können wir an Stelle der Form (14) sogleich eine beliebige Form der Klasse benutzen. Mit Rücksicht auf die soeben abgeleiteten Ergebnisse gelangen wir zu dem Satze: Ist n = 3 (mod 8), so liefert jede zweiseitige Klasse und jedes Paar entgegengesetzter Klassen ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D = - n im wesentUchen drei Ansätze von Modulformen zo, nämlich zunächst zwei Ansätze der Gestalt (21), und zU'ar den ersten Ansatz mit der Summationsbedingung v 1 (mod 2), den zu:eiten mit der Bedingung p.;$ v (mod 2), sodann den dritten Ansatz: Zo (w u ( 2) = : : 1)V qal"+bI'Hc~' (23)
=
;:2(1',.
mit der Bedingung p. = 1 (mod 2); die Form (a, b, c) ist irgendeine willkürlich der Klasse entnommene. Da man aus: b2
-
4ac =
-
n_ 5
(mod 8)
leicht folgert, daß a, b, c durchweg ungerade sind, so gehört jetzt in
jedem Falle das Produkt
Zo
YK zttr n
ten
Stufe.
Drittes Kapitel.
Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe. Nach der S.297 vereinbarten Sprechweise sollten die algebraischen Gleichungen, denen die bei Transformation n ten Grades aus gs, gs, ~ und J entstehenden Größen genügen, als "spezielle Transformationsgleichungen" bezeichnet werden. Insbesondere bezeichnen wir sie als spezielle Transformationsgleichungen "erster Stufe" und wollen hierzu auch noch diejenigen Gleichungen rechnen, die wir für die Wurzeln 8ten, 12ten und 24sten Grades der Diskriminante LI finden werden. Die speziellen Transformationsgleichungen entsprechen, wie oben bemerkt, den speziellen Teilungsgleichungen, denen sie als Resolventen zugehören. Es soll zunächst die allgemeine Theorie dieser Transformationsgleichungen erster Stufe entwickelt werden. Abschließende Einzeluntersuchungen über niedere Transformationsgrade folgen im nächsten Kapitel.
§ 1. Die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen. Nach S.273ff.. erhalten wir aus einer Modulform erster Stufe f(m ll ms)1) durch Transformation n ten Grades im ganzen Wen) verschiedene transdoo g), unter wen) die Teilerformierte Funktionen f(aOO 1 + boog , Coo! summe des Transformationsgrades n verstanden. Nach der Lehre von den "Repräsentanten" der q; (n) "Klassen" von Transformationen n ten Grades (vgl. S. 276) können wir die Wen) transformierten Formen in der Gestalt:
+
(1)
f(AOO 1
+ Boos, Doo2 ) ,
A· D
=
n",
°< B< D
schreiben, wo A, B, D positive ganze Zahlen sind, die den in (1) hinzugefügten Bedingungen genügen. Haben die Zahlen A, B, D keinen gemeinsamen Teiler, der> 1 ist, so liegt "eigentliche" Transformation nie,. Grades vor. Nach den Überlegungen von S.276ff. können wir uns auf eigentliche Transformationen n ten Grades beschränken. Die Anzahl der Klassen solcher eigentlicher Transformationen n ten Grades ist 1/J(n), dieses Symbol1/J(n) in der bekannten Bedeutung (4) S. 220 gebraucht. Zu den eigentlichen Transformationen n ten Grades gehören insbesondere die beiden Haupttransformationen (vgl. S. 278), von denen die erste durch A =- n, B = 0, D = 1, die zweite durch A = 1, B = 0, D = n gegeben ist. Die Existenz der Transformationsgleichungen erster Stufe, vorerst freilich unter Ausschluß derjenigen Gleichungen, die etwa für die ge1) Ist die Dimension dieser Form gleich 0, so haben wir eine Modulfunktion 'erster Stufe.
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_8 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
336
.II, 3. Die. apeziellenTransformationsgleichungen erster Stufe
nannten Wurzeln der Diskriminante LI bestehen mögen, ergibt sich nun aus folgender Überlegung: Aus der Modulform erster Stufe geht durch die erste Haupttransformation nten Grades eine Modulform n ter Stufe:
r(w lI w2)
(2)
f( n WlI w2)
=
hervor. In der Tat zeigt man sofort, daß die transformierte Porm (2) bei den Substitutionen derjenigen Kongruenzgruppe n ter Stufe unverändert bleibt, die durch r = 0 (mod n) erklärt ist. Durch diese Kongruenz ist aber eine unserer"" (n) gleichberechtigten Untergruppen r ",(n) des Index"" (n) erklärt. Wir zerlegen nun die Gesamtgruppe rCw) entsprechend dieser r",(,,) in ",,(n) Nebengruppen:
(3)
rCw) = r",
und schreiben . V~
=
+ r",'
("v, ~v). "1"
V1
+ r",'
V2
+ ... + r",'
V",_I
und speziell Vo = 1. Die Form (2) geht
11
dann durch die Substitutionen der r(w) im ganzen in ",,(n) verschieqene Formen über, die wir unter Benutzung der eben eingeführten Substitutionen Vv in den Gestalten anschreiben können:
(4)
f Cv +1) (w1 , w2)
=
f'(a"w 1 + ß~W2' r~wl =
+ d'vW2) =
f(na"w 1 + nß"w 2, r"w1 + d'.w 2)·
Diese ",,(n) Formen f', (", berechtigten Untergruppen gehören, sind dann nach S. 279ff. die ",,(n) durch eigentliche Transformation n ten Grades aus f(w l , w2) herstellbaren transformierten Formen. Übt man nun auf die Argumente W u W 2 der ",,(n) transformierten Formen (4) irgendeine Substitution der ['Coo) aus, so permutieren sich diese Formen. Daraus folgt, daß die symmetrischen Grundfunktionen der "" (n) Formen (4) gegenüber jeder Substitution der rCw) unverändert bleiben, . also Modulformen "erster" Stufe darstellen und als solche rationale Funktionen von [12 und gs sind. Wir gelangen zu dem Satze: Die "" (n) durch eigentliche Transformation n tdn Grades aus einer Modulform erster Stufe entstehenden Modulformen n ter Stufe sind die Lösungen einer Gleichung 1jJten Grades:
... , f C"'), die zu den ",,(n) mit r"'Cn) gleich-
(5)
f'!' + R l (g2' gS)f'!'-1 + R2(g2, gS){"'-2 + ... + R",(g2' gs) = 0,
deren Koeffizienten rationale Punktionen von g2' gs sind. In (5) haben wir den allgemeinen Ansatz für die Transformationsgleichungen erster Stufe gewonnen. Wir wenden nun den Al1.satz (5) auf die Formen g2' g3' LI und die Funktion J an und zeigen zunächst, daß wir hierbei in der Tat zu Resolventen der speziellen Teilungsgleichung für den n ten Teilungsgrad geführt werden. Zu diesem Zwecke ziehen wir die Gleichung (6) S.285
Allgemeiner Ansatz der Transformationsgleichungen erster Stufe
337
(unter Äustausch der beiden Haupttransformationen) heran und folgern:
(6)
-G, u'
e
6
(u I
O>v
0>.) n
rr n -1
6(uI0>1,co.)n =
",=1
6
0",
(u)
13ou' 6(uf'
71-1
(7)
G1 (ro!> ro 2)
=
t ~SJo,u '" =
1
ist und bei den 6 0 ", und fPo", der nte Teilungsgrad vorliegt. Der einzelne Faktor des Produktes (6) ist bereits in (3) S.226 eingeführt. Aus der Regel (4) daselbst ergibt sich, daß der Ausdruck (6) bei ungeradem n die Perioden ro1 , ro 2 hat, bei geradem n aber die Periode ro 2 besitzt und bei Vermehrung von u um ro1 Zeichen wechsel erfährt. Der Ausdruck hat ,einen Pol (n - ller Ordnung bei u = 0 und (n - 1) leicht näher angebbare Nullpunkte in Periodenparallelogramm. Nach bekannten Methoden. zeigt man leicht als Darstellung des Äusdrucks (6) in der fP-Funktion für ungerades n:
während sich im Falle eines geraden n die Darstellung findet: 71- 2
-G,u'
e
13(u!o>v :.)
6(uIO>v co.)n
2 ~-- [1
.
=YfP(u)-e2 ",=1 (fP(u)-SJo",)·
Die Größe e2 gehört bei geradem n zu den fP-Teilwerten, nämlich als ·SJ n ' Für die transformierte 6-Funktion ergibt sich hiernach bei un0'-2-
geradem n die Darstellung: (8)
6 (u I ro l1 ::)
=
n-l 2
eG1 u' 6 (u I ro 1, ro 2)n
II (fP (u) -
&00"') ,
fl =1
woran sich bei geradem n anschließt: (9) 6(ul roH '::)
=
71-1 2
eG1U' 6(ulro 1, ro 2)'" YfP(u) - e2 IICfP(u) - &00",). /<=1
Entwickeln wir jetzt rechts nach Potenzen von u,· so ergibt sich m beiden Fällen eine Reihe der Gestalt:
+asu9 +"', wo ah eme ganze rationale Funktion der g2' gs und der Teilwerte u
+ a u + asu 4
5
F ri c k e, Die elliptischen Funktionen II
7
22
~oo'"
338
TI, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen .erster .Stufe .
(vgI.Formel.(7») von der' Dimension- 2v in WlI Ws ist. Die numerischen Koeffizienten dieser ganzen rationalen Funktion sind rationale Zahlen. Aber zufolge der linken Seiten von (8) und (9) gilt:
Indem wir die beiden für jeden dieser Koeffizienten gefundenen Ausdrücke einander gleich setzen, ergibt sich der Satz: Die durch die erste Haupttransformation umgeformten Modulformen g2' gs sind in der Gestalt: (10)
g2(nw U
(
2) = G 2 (g2' flQ!,)'
gs(nw ll
Ul 2)
= GS (g2' gs, SJo,u)
als ganze rationale Funktionen der g2' gs und der Teilwerte flo" von den Dimensionen- 4 und - 6 in Ul t , Ul2 mit rationalen Zahlenkoeffizienten darstellbar. Äuf der rechten Seite der ersten Gleichung (10) kann wegen der Dimension - 4 die ursprüngliche Form gs noch nicht auftreten. Die etwa noch nicht "eigentlich" zum n ten Teilungsgrade gehörenden ~901' kann man nach früheren Sätzen in den Wurzeln der "irreduzibelen" Teilungsgleichung ausdrücken. Man erkennt so in den transformierten Formen (10) "natürliche Irrationalitäten" der zum nten Teilungsgrade gehörenden irreduzibelen speziellen Teilungsgleichung der fI-Funktion. Innerhalb der Galoisschen Gruppe der speziellen Teilungsgleichung, die wir S. 261 auf Grund der damaligen Kongruenzen (20) darstellten, bleiben unsere Irrationalitäten bei den Permutationen derjenigen Untergruppe G~-n'P(n)' unverändert, die durch y-- 0 (mod n) erklärt ist. .Es handelt sich somit um 1f!Cn)-wertige Irrationalitäten, so daß die f!ugehörigen Resolventen vom Grade 1f! (1~) sind. Da Li und J in g2 und gs rational mit r~ tionalen Zahlenkoeffizienten darstellbar sind, so folgt als abschließender Satz: Die speziellen Transformationsgleichungen 1f!(n)ten Grades der Modulformen g2' gs, L1 und der JYlodulfunktion J sind rationale Resolventen der speziellen Teilungsgleichung der fI-Funktion; die Koeffizienten jener Transformationsgleichungen gehören also dem Körper (IR, g2' ga) an. Entsprechend diesem Ergebnisse wollen wir es als eine wesentliche Eigenschaft einer speziellen Transformationsgleichung erster Stufe ansehen, daß si.e den Grad1f!(n) hat und Koeffizienten des Körpers (IR, g2' gs) aufweist. Diese Eigenschaft haben nun auch noch gewisse Gleichungen ,für die mehrfach genannten Wurzeln der Diskriminante 4. Wir gehen zunächst auf die in (9) S. 319 für ein gegen 6 teilerfremdes n erklärten ganzen Modulformen Zo(Ul u IlJ2) zurück. Diese Formen zeigen gegenüber einer Substitution, die die Kongruenz y =0 (mod n) erfüllt~ das Verhalten:
Die Tra.nsformationsgleichungeh als Resolventen der Teilungsgleichungen
(11) WO (-:-)
ZO(tHiJ 1
+ß002'
1'001
+ 000 2)
=
339
( : ) ZO(oo11 f0 2) ,
das Legendre-Jacobische ~eichen ist. Dieses Vorzeichen ist er-
klärt durch: (12) wo rechts das Legendresche Zeichen gemeint ist und das Produkt sich auf alle Prim teiler von n bezieht, jeden so oft gezählt, als er in n enthalten ist. Hat nun nirgendeinen Primteiler p in ungerader höchster Potenz, so kann man a so wählen, daß (;)
=
-
1 ist, daß aber a bezüg-
lich aller übrigen Primteiler von n quadratischer Rest ist. Dann ist das Vorzeichen (12) das negative. Ist hingegen n eine gegen 6 teilerfremde Quadratzahl, so ist das Vorzeichen (12) stets das positive. Gegenüber den Substitutionen dt~r durch r = 0 (mod 12) erklärten Kongruenzgruppe r",en ) bleibt Zo (0011 00 2) unverändert, falls 12 eine gegen 6 teilerfremde Quadratzahl ist; dagegen bleibt gegenüber der r",(n) erst das Quadrat von ZO(ool1 00 2) unverändert, falls n eine nicht-quadratische gegen 6 teilerfremde Zahl ist. In den Darstellungen (9) S. 319 der Formen Zo durch die Diskriminante L1 bedeutet (3n)0 die kleinste nicht-negative, der Kongruenz (10) daselbst genügende Zahl. Ist n quadratisch, so findet man, daß Zo gleich 'yL/'L/23 ist. Der Schluß auf die Existenz einer Gleichung 'l/Jten Grades für diese Modulfol'ffi wird durch Wiederholung der S. 336 ausgeführten Überlegung vollzogen: Im Falle einer gegen 6 teilerfremden Quadratzahl n genügt die durch die erste Gleiclntng:
(W) gegebene ganze Modulform einer Gleichung 'l/Jten Grades mit Koeffizienten, die ganze rationale Funktionen von g2' g3 sind, während der in der zweiten Gleichung dargestellte Quotient eine später zu betrachtende Modulfunktion der r", ist. Ist n nicht-quadratisch, so haben wir mit der zweiten Potenz von Zo zu arbeiten. Man bestimme die ganze Zahl (3n)o' indem man der Reihe nach die acht mod 24 zu unterscheidenden n durchreehnet. Ohne das Verhalten der Form z~ gegenüber der r",e n ) zu ändern, kann man diese Form um eine ganze Potenz von LI als Faktor ändern. Mit Rücksicht hierauf gelangt man zu folgendem Satze, bei dem auch die quadratischen n nicht ausgeschlossen sind: Je nachdemn 1,5,7 oder 11 (mod 12) gilt, ist die erste, zwe 1:te, dritte oder vierte der folgenden ganzen Modulformen:
=
22*
340 (14)
lI, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe ((00 11
ws) = lV.dAll,
=
lyA'A7, = lVA'A5, = 'VL1'A
die Wurzel einer Gleichung '!fJten Grades, deren Koeffizienten rationale ganze Funktionen von g2 und g3 sind. Für die durch 3 teilbaren Transformationsgrade n gehen wir auf die Modulformen ;0 (00 1 , (0 2 ) zurück, deren Zusammenhang mit der Diskriminante durch (8) S. 315 gegeben ist. Es wiederholen sich dieselben Betrachtungen wie soeben, doch ist die Anzahl der Fallunterscheidungen geringer. In den Schlußergebnissen brauchen wir die gegen 3 teilerfremden n nicht auszuschlipßell. Wir haben erstlich den Satz: Für ungerade Quadratzahlen n ist die durch die en;te Gleichung: (15) gegebene ganze Modul(orm die Wurzel einer Gleichung '!fJten Grades, deren Koeffizienten rational und ganz in gs und g3 sind. Endlich aber schließt sich der für alle ungeraden Grade n gültige Satz an: Je nachdem der ungerade Transformation.,grarl n 1 oder 3 (mod 4) ist, genügt die erste oder zweite der folgenden ganzen Modulformen:
=
(16)
f(w l1 ws)
=
YLi'A~
=
jI Li' d
einer Gleichung '!fJten Grades mit Koeffizienten, die rationale ganze Funktionen von g2' g3 sind. Soweit viert.e und zwölfte Wurzeln aus Diskriminantenausdrücken in Betracht kommen, stellen sich die betreffenden Modulformen auf Grund der Relationen (4) und (5) S. 299 als rationale Funktionen der Teilwerte ~Oll mit rationalen Zahlenkoeffizienten dar. 1) Für die Formen (13) und (15) kommen wegen (4) S. 299 auch noch die Teilwerte ~;I' zur Benutzung. In unseren Gleichungen '!fJte" Grades erk"nnen wir auf diese Weise rationale Besolrenten der speziellen Teilungsgleichungen; die Koeffizienten der Gleichungen '!fJten Grades gehörm demnnch durchu"eg dem Körper (ffi, g2' g3) an. Es erscheint also gerechtfertigt, die fraglichen Gleichungen den speziellen TransformationsgleicllUngen erster Stufe zuzurechnen. Zu einer weiteren wichti!;!en Resol vente '!fJten Grades der speziellen Teilungleicnung, die für alle Grade n> 1 (auch für die geraden) existiert, gelangen wir bei der Transformation der Perioden 7JI' 'Y)2 des N armalintegrals 7.weiter Gattung. Die erste Haupttransfurmation führt uns in (1) S. 304 zur Größe GI (00 1, 00 2 1, die infolge ihrer Darstellung (2) S.304 eine zur Gruppe r",(n) gehörende ganze Modulform n ler Stufe ist. Wir entwickeln zunäch"t für die"e Form GI (00 1, 0021 aus der zweiten Dar-
POl'
1) Man beachte, daß zuläßt.
,d'
nach S. 338 selbst eine solche Darstellung in den
Transformationsgleichungen für A und für G1 (00 1 ,
(0 2 )
341
stellung (1) S. 304 eine später zur Benutzung kommende Potenzreihe. Aus der Reihendarstellung (ln) in I, 271 findet man bei Umordnung nach ansteigenden Potenzen von q für 11, die Entwicklung:
(2")2 (124 - ~ )"'-" f'P (v) qh),
'12
(17)
2002 =00,
~=1
wo f'P(v) wie üblich die Teilersumme von v ist. Tragen wir die durch (2) S.298 gegebenen transformierten Perioden ein, so folgt: ,
!1!, = 200 2
n
2
(...!!.) 00 2
2
00
•
(~~ n w(v) q2n~). 24 ~ v=l
Für GI (OOu ws) ergibt sich demnach:
G1 (0011 ws)
=
n
(~:r (n~l +~«P(v) qh ,,=1
2nf'P(v)q2nv). ~=l
Ordnet man rechts beide Summen nach ansteigenden Potenzen von q zusammen, so erhalten alle Potenzen q2J' mit einem nicht durch n teilbaren v wieder f'P(v) als Koeffizienten. Die einzelne Potenz q2n~ aber bekommt den Koeffizienten (f'P(nv) - ntP(v», d h. die Teilersumme tP(nv) von nv, vermindert um die Summe aller Teiler von nv, die n als Faktor enthalten: Die bei der ersten Haupttransformation der Perioden 111' 112 eintretende Modulform n ter Stufe GI (00 11 (0 2) gestattet die Reihendarstellung : (18)
GI (0011
(0 2 )
=
n
'1
(n-~ - 1 +.L.,; Wn(v)q h) , (2")2 00 2
,,=1
wo wn(v) die Summe aller Teiler von v ist, die nicht selbst den Transformationsgrad n als Teiler enthalten. Der Schluß auf die Existenz der Gleichung 1jJten Grades für GI wird wie in den obigen Fällen begründet. Als Rpsolvente der speziellen Teilungsgleichung aber ist diese Gleichung durch die Darstellung (2) S. 304 der Form GI als symmetrischer Funktion der fPo!, charakterisiert. Wir merken sogleich den Satz an: Für jeden Transformationsgrad n > 1 genügt die ganze Modulform n ter Stufe GI (001, oo~) einer Transformationsgleichung erster Stufe 1jJ(nlen Grades, deren Koeffizienten als ganze Funktionen von g2' g3 dem Körper (ffi, g2' g3) angehören. Übrigens ist einleuchtend, daß wir ganz entsprechend wie oben die zo und ~o auch die S. 325 ff. für ungerade n gewonnenen Formen yo und zo zum Ausgangspunkte für die Bildung von Gleichungen 1jJtOIl Grades machen können. Für alle ungeraden n werden die Quadrate y~, zö Wurzeln von Gleichungen 1jJten Grades, deren Koeffizienten rational und ganz in g2' g3 sind; bei ungeraden Quadratzahlen n genügen die yo' Zo selbst solchen Gleichungen.
342
II, 3, ,Die, speziellen Transformiltionsgleichungen erster S'tufe
§ 2. A.nsatz der speziellen Transformationsgleichungen. , Geschichtliche Notizen. Über die Gestalt der verschiedenen 'rransformationsgleichungen, die in § 1 als existierend erkannt wurden, kann, man auf Grund der allgemeinen Sätze in I, 299ff. über Darstellung der Modulfunktionen und insbesondere der ganzen Modulformen erster Stufe eine Reihe allgemeiner Angaben machen. Jede ganze Modulform erster Stufe der Dimension - 2 v ist als rationale ganze Funktion von g2' gs in der Gestalt (8) in I, 309 darstellbar, wo die CI m konstänte Koeffizifmten sind. Es ist nun z. B. die Dimension des Koeffizienten von Gt- v in der" Gleichung 1/Jten Grades für Gi gleich - 2v. Wir haben also den fraglichen Koeffizienten nach der eben genannten Regel (8) in 1,309 anzusetzen, wobei dann die CI m ratio-nale Zahlen'werden. Die Überlegung überträgt sich sofort~uch auf die Transformationsgleichungen für gs und 93' deren Koeffizienten wieder "ganze" Modulformen erster Stufe sind: Als Ansätze {Ü1' die speziellen Transformationsgleic7mngen der F01"men Gi' g;, g~ haben wir:
(1)
Gt + "ig2Gt-2 + "2g3 Gt- S + lXag;Gt- 4 + 1X4 g 2 g3 Gt- 6 + "Sg2gS G"1-7 - 0, .+ «5g2 ß5gS2)G'fJ1 1 + ... (
3...L
6
2
I
2 ''''-2+ ("3g2 , 3 T ß'sga2) g2''''-3+' ... = 0 , (2)' g2'''' .. "lg2g2'W-l+' . 1X2P2g2 ' "+ , f"1gsgS-r f ',,, - 1+ (" ~ +ß"3g33) g:l'''' - 3+ .. , = 0 , (3) g3'1' "2.fh3+ß"2gS2) g3'./, 2+(" "3g2g3 I
'
I
'1'-
wo die ", ß,. . . durchweg rationale Zahlen sind. Bei den Gleichungen für die Modulformen (14) S. 340 kann man den Ansatz noch ein wenig verfeinern. Nach einem in I, 309 aufgestellten Satze hat eine ganze Modulformerster Stufe der Dimension - 2v im Diskontinuitätsbereiche der Modulgruppe r
i·
Liegt in der Spitze
Ci)
=
ioo jenes Bereiches ein Nullpunkt
der Ordnung m, so ist hierfür charakteristisch, daß die nach Potenzen von q fOl'tschreitende Reihe der Modulform mit der Potenz q2m beginnt. In diesem Falle ist auch noch der Quotient der Modulform und der mten Potenz Llm der Diskriminante eine ganze Modulform erster Stufe, so daß die vorgelegte Form als Produkt von LI'" und einer rationalen ganzen Funktion der g2' gs darstellbar ist. In einer ganzen Modulform erster Stufe, die nur in der Spitze Ci) = ioo des Diskontinuitätsbereiches verschwindet, erkennt man leicht das Produkt einer Konstanten und einer Potenz von LI. Endlich beachte man für die zu vollziehenden Schlüsse, daß eine ganze Modulform erster Stufe in der fraglichen Spitze des Diskontinuitätsbereiches jedenfalls nur einen Nullpunkt ganzzahliger Ordnung haben kann; sie ist nämlich gegenüber der Substitution S invariant und rlieserhalb nach ganzen Potenzen von q2 entwickelbar.
Transformationsgleichungenfür G1 , g! ,go und
343 Die Modulformen (14) S. 340 haben nun die Dimensionen - 12; - 8, - 6 und - 2, woraus man die Dimensionen der Koeffizienten in den zugehörigen Transformationsgleichungen zu bestimmen hat. Die Potenz reihe für f = IVLi' L/ll sowie die Reihen für· alle mit ihr gleichbe~ rechtigten Formen beginnen mit Exponenten> 161 von q, woraus man leicht auf eine Mindestordnungdes Nullpunktes der einzelnen symmetrischen Grundfunktion jener '!/J(n) Formen in der Spite ro = ioo schließt. Speziell kann das Absolutglied der Transformationsgleichung als Wurzel aus einem Produkt von Diskriminanten nur in der fraglichen Spitze verschwinden und stellt demnach, abgesehen von· einem konstanten Faktor, eine Potenz von Ll dar. Diese Überlegungen, die man leicht auch auf die drei anderen Formen (14) S. 340 ausdehnt, führen zu dem Satze: Für die zwölfte Wurzel der Diskriminante Ll haben wir in den vier zu unterscheidenden Fällen n = 1, 5, 7 1,tnd 11 (mod 12) als Ansätze der Transformationsgleichungen der Formen (14) S. 340: ,d
+ "ILlf",-1 + (u2 g; + ß2 gD4f'!'-2 + ("ag; + ßsgi) Ll f'P-s + ... + u~vLl'" = f"'+ "292 Llf"'.lJ-2 + (Usg: + ßs9D Ll f",-3
(4)
f'!'
2
(5)
+ u4 g;Ll 2 f'!'-4
3 + ... + "",Ll~'" =
0,
0,
+ "2 Llf'P-2 + us gs Llf",-3 + (u4 g; + ß4gDLl('f!-4
(6)
f'"
(7)
+ ... + "",Ll2 = 0, f'" + "6 L1f"'-6 + uS .Q2 L1 f'!'-8 + "9g3 Ll f lfJ - 9 1.'1 + uIo g;Llf'!'-10+ ll g2 gs Llf'!'-11 + ... + UIfJLl6= 0, 1-",
+ "ügsLl2f'!'-5
1
CJ.
wo die
(x,
ß, . .. durchweg t'ationale Zahlen sind.!)
Ähnliche Betrachtungen wird man auch bei den übrigen Transformationsgleichungen erster Stufe für Modulformen durchführen. Bei den ungeraden nicht-quadratischen und durch 3 teilbaren Graden n haben wir mit den beiden in (16) S.340 gegebenen Formen f(ro u ro 2) zu arbeiten, und zwar mit LI' Ll ß oder Ll' Ll, jenachdemn 1 oder=3 (mod4) gilt. Hier besteht der Satz, bei dem übrigens auch die quadratischen n nicht ausgeschlossen zu werden brauchen: 1st der Transformationsgrad n durch 3 teilbar und - 1 (mod 4), so liegt für die Modulform f = Ll' Ll3 eine Transformationsgleichung der Gestalt:
f!
f!
f!
1) Natürlich ist nicht gemeint, daß die z. B. in den drei ersten Gleichungen übereinstimmend gebrauchte Bezeichnung IX~ stets die gleiche rationale Zahl sein soll.
344
1I, 3 .. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
e8)
f'I'+ a1.df'l'-1+ (<<2g: + (<
+ ß2gi).d
+ ß2gi) d f",-2
2 f"'-s
+ ... + a",.d'" =
~or, während sich im Falle n = 3 (mod 4) für die Form f
0 =
.yATY
der
Ansatz anschließt: (9)
f'I'+ «S.df'l'-2+ asgs.df"'-s+ a4Ll 2 f",-4+ ...
+ a",.d1-", = 2
O.
Endlich reihen wir noch die besonderen Transformationsgleichungen ~n, die bei quadratischen T·ransformationsgraden n auftreten: Für alle gegen 6 teilerfremden quadratischen Transformationsgeraden n genügt f = Ll' .d2S einer Transformationsgleichung :
V
(10)
f'"
+ «ldf"'-l+ (a2g~ + ß2gi).df",-2 + (<
und für die durch 3 teilbaren ungeraden Quadrate n hat man bei der Form f = Ll' Ll 7 den Ansatz:
.y
f'I'+ a1Llf"'-1+(a2 g: + ß2gi)Llf",-2 + (<
(11)
+
Soweit die Glieder explizite angegeben sind, stimmen die Ansätze (10) und (11) noch überein. Die a, p, . . . sind natürlich wieder rationale Zahlen. Die wichtigsten Transformationsgleichungen erster Stufe sind diejenigen für die Modulfunktion erster Stufe J( ro). Wir wollen übrigens hier die Gleichungen nicht fürJ(ro), sondern nach Vorgang vonH. Weber für die Funktion: (12) 12 3 J(ro) = j(ro) anschreiben, weil dadurch in arithmetischer Hinsicht wesentliche Vorteile gewonnen werden.- Es gründen sich diese Vorteile auf die Potenzreihe für j (ro), die wir zunächst aufstellen.· Aus (3) in I, 274 und (9) in I, 433 folgt: 12 g2 = 240q2 + 2160q4 + 6720q6 + ...),
(::/(1 +
1
f.;:i
CD
=
4,-~
(2~)q 3(1
+ 8 q2+ 44 q4+ 192 q6+ .. .),
wo die in den Klammern stehenden Potenzreihen durchweg ganzzahlige Koeffizienten besitzen. Durch Multiplikation der bei den letzten Gleichungen folgt: (13) .
345
Die Trausforma.tionsgleichungen für j(oo) = 12 3 J(oo)
Durch Erheben zur dritten Potenz ergibt sich für j (w) selbst: (14)
j(w)
q-2+ 744
=
+ 196884 q2+ 21493760q4+·.·
oder bei Spaltung der Koeffizienten in Primfaktoren :
(15) j(w)
=
q-2+ 23.3.31
+ 2 2.38. 1823 q2+ 2 1l ·5·2099 q4+ ....
Das Wichtige ist hier, daß der Koeffizient des ersten Gliedes gleich 1 ist und die Koeffizienten aller Glieder ganze Zahlen sind. Die 1fJ(n) bei Transformation n ten Grades aus j(w) zu gewinnenden Größen sind nun:
(16)
Aoo
.
B
j(-.: )
=
_2it
e
_2.<1.
2it
2.<1.
J) q J) + 744 + 196884e J) qJ)
+ .. "
wo A, B, D im bekannten Sinne (vgl. S. 335) gebraucht sind. Liegt w im Innern der w-Halbebene, so gilt dasselbe von allen transformierten Werten
AOOn+ B .
Die symmetrischen Grundfunktionen der 1fJ(n) trans-
formierten Funktionen (16), in denen wir zunächst rationale Funktionen von j(w) erkannten, sind demnach "ganze" rationale Funktionen vonj(w), da sie für keinen endlichen Wert von j unendlich werden können. Für die Transformationsgleichung haben wir somit den Ansatz:
(17)
I"'+ G1(j)j'",-1+ G 2 (j)j'",-2+ ...
+ G",W =
0,
wo die Koeffizienten rationale ganze Funktionen von j(w) mit rationalen Zahlenkoeffizienten sind. Es läßt sich nun beweisen, daß die Zahlen7coeffizienten der Funktionen G(j) durchweg ganz sind. Es gilt nämlich folgender Satz: Hat eine ganze Funktion:
(18)
G(j)
=
cor + c1jm-l + c2jm-2 + ...
+ cm
von j eine Potenzreihe nach q2 mit durchweg ganzzahligen Koeffizienten, so müssen die cOI cl l • •• , cm selbst ganze Zahlen sein. Man kann den Satz durch den Schluß der vollständigen Induktion zeigen und nehme also an, daß er für Funktionen (m - l)ten Grades richtig ist. Aus (14) folgt für die mte Potenz von j eine Entwicklung:
(19)
jm=
q-2m+
a_ m + 1 q-2(m-l) + a_ m + 2 q-2(m-2) + ...
mit durchweg ganzzahligen Koeffizienten a. Das A.nfangsglied der Potenzreihe für G (j) ist also Co q- 2m, SO daß Co der Voraussetzung nach eine ganze Zahl ist. Dann aber hat (wegen der ganzzahligen a_ m + 1 , a_ m+2" ••) auch die Funktion (m - 1)ten Grades:
r- + c jm-2 + ... + cm
G(j) - cojm = c1
1
2
346
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
eine Potenzreihe nach q2 mit ganzzahligen Koeffizienten, so daß der An~ nahme nach auch die Cu c2, . •• , cm ganze Zahlen sind. Der Beweis wird bündig durch den Umstand, daß der Satz fiir Funktionen des Grades m = 0 selbstverständlich ist. Die in (17) auftretenden ganzen Funktionen G(j) haben nun sicher rationale Zahlenkoeffizienten, so daß mit Rücksicht auf die Ganzzahligkeit der Koeffizienten in (14) die Potenzreihen für jene Funktionen G(j) rationale Koeffizienten haben. Nun sind aber die G(j) die symmetrischen Grundfunktionen der .,p(n) transformierten Funktionen (16). Bei der Bauart der Koeffizienten in (16) rechts folgt also, daß die Reihenkoeffizienten 2 i:n:
der G(j) ganz~Zahlen des Kreisteilungskörpers (W, c) sind, wo c = e-n ist. Ganze Zahlen dieses Körpers, die rational sind, stellen aber rationale ganze Zahlen dar. Also haben die Reihenentwicklungen nach Potenzen von q2 für die in (17) auftretenden G(j) durchweg ganze rationale Koeffizienten. Nach dem eben bewiesenen Satze sind demnach auch die Koeffizienten c in den Ausdrücken (18) dieser Funktionen, wie zu beweisen war, ganze Zahlen. Ein weiterer wichtiger Satz ist, daß die Transf'ormationsgleichung (17) auch in j auf den Grad .,p(n) ansteigt. Unter den symmetrischen Grund~ funktionen der .,p (n) transformierten Funktionen (16) wird nämlich das Produkt dieser Funktionen ± G",(j) bei (l) = ioo stärker unendlich als die übrigen Funktionen GU). Die Ordnung des Unendlichwerdens ergibt sich aus dem Anfangsgliede der Reihenentwicklung: (20)
± G",(j)
=
- 2 i Jt:E:A:~~J±!3. D
e.
+ .. "
wo sich die Summe auf die .,p (n) Repräsentanten für eigentliche Transformation n teu. Grades bezieht. Ist nun n = A· D die einzelne Zerlegung von n in zwei positive ganzzahlige Faktoren, so durchläuft für diese A, D die Zahl B alle diejenigen Zahlen der Reihe 0, 1,2, ... , D - 1, welche teilerfremd gegen den größten gemeinsamen Teiler t von A und D sind. Es sind dies ~ pet) Zahlen B, so daß das einzelne Paar A, Dimmer
~ pet) Glieder der Summe in (20) liefert. Statt (20) können wir demnach auch schreiben: -2
(21)
G",(j)=±q
:Ef,p(t) A
+"',
wo sich die Summe auf alle Teiler A von n bezieht. Nun ist aber, da die einzelne Zerlegung n
=
A·.D im ganzen !?p(t) Repräsentanten lie-
fert, die Anzah\.,p(n) aller Repräsentanten in der Gestalt darstellbar:
Die Transformationsgleichungen für j(ro)
(22)
1/1(n)
=
=
12 s J(ro)
347
:2~ fj!(t), ])
wo die Summe sich wieder auf alle Teiler D von n bezieht. Also ist die Summe im Exponenten von (21) einfach gleich 1/1 (n). Daraus folgt aber in der Tat, daß G",(j) in j auf den Grad 1/1(n) ansteigt. Der Koeffizient des Anfangsgliedes in (21) durfte sogleich gleich ± 1 gesetzt werden; denn er ist zufolge (20) eine Einheitswurzel, und er ist andrerseits bekanntlich rational. Das höchste Glied 'fon G", (j) ist demnach ± j''', während keine der übrigen Funktionen G(j) im Ansatze (17) den Grad 1/1(n) erreicht. Die algebraische Natur der Transformationsgleichungen betreffend notieren wir zunächst nur den folgenden gleich zu benutzenden Satz: Die gesamten Transformationsgleichungen '!/Jten Grades sind im Körper (m, g2' gs) irreduzibel und bleiben auch dann irreduzibel, wenn man den Körper durch Adjunktion irgend welcher "numerischer" Irmtionalitäten erweitert. Den Beweis kann man direkt aus der Gleichberechtigung der '!/Jen) Wurzeln der einzelnen Transformationsgleichung bezüglich der Modulgruppe r<w) durch dieselben Überlegungen führen, die wir S. 247 ff. für die speziellen Teilungsgleichungen ausführten. Die auf der linken Seite der Transformationsgleichung (17) stehende ganze ganzzahlige Funktion von j' und j möge kurz F (j', j) genannt werden. Setzt man ins besondere j' = j (n ro), der ersten Haupttransformation entsprechend, so besteht die Gleichung:
F(j(nro), j(ro))
=
°
in ro identisch und bleibt also auch gültig, wenn man ~ statt ro einträgt: n
Nun ist aber j' = j (:) die durch die zweite Haupttransformation aus
j(ro) entstehende Funktion. Wir haben somit in FU,}') = 0, wo l wieder auf den Grad 1/1(n) ansteigt, gleichfalls eine Gleichung '!/J(n)len Grades für die transformierten Funktionen j'. Wegen der schon festgestellten bis auf einen konIrreduzibilität ist also diese Gleichung F(j, j') = identisch. Dieser konstante stanten Faktor mit der Gleichung Fer,j) = Faktor aber ist gleich + 1 oder - 1, da F(j', j) als höchstes Glied in j die Potenz ±j'" hat: (23) FU,}') = ± Fer,})·
° °
Die Funktion F(j', j) ist also entweder in j, j' symmetrisch gebaut oder wechselt bei Austausch von j und j' das Zeichen. Der zweite Fall kann aber nicht vorliegen. Würde er gelten, so wäre F(j, j) = 0, d. h. unsere
348
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
°
Gleichung 1jJten Grades P(j',j) = für j' hätte die Lösung j' = j, so daß P (I, j) den Linearfaktor (j' - j) besäße. Dies widerspricht aber der Irreduzibilität. Also ist P(j', j) in j' und j symmetrisch. Da GI (j) die negativ genommene Summe der 1jJ(n) transformierten Funktionen (16) ist und unter ihnen j(nro) in der Spitze ioo am stärksten unendlich wird, so gilt als Anfangsglied der Potenzreihe von GI (j): GIU)
=
-
q-2n+ ....
Im' Ausdrucke (18) von GI (j) ist also - jn das höchste Glied. Nun ist zufolge (22) oder auch zufolge der Ul'sprünglichen Erklärung (4) S. 220 von 1jJ(n) die Anzahl1jJ(n) - 1 bei primzahligem n gleich n, bei zusammengesetztem n aber stets> n. Das in PU', j) auftretende Glied - j'tfJ-ljn ist also bei primzahligem n sich selbst symmetrisch, während bei zusammengesetztem n daneben noch das Glied j'''jtfJ- I auftritt. Unter Zusammenfassung aller einzelnen Ergebnisse notieren wir den Satz: Die bei Transformation n ten Grades eintretende irreduzible Transformationsgleichung' 1jJ(n)ten Grades für j(ro) = 12 sJ(ro) hat die Gestalt: J·'tfJ+ J·tfJ
+ ~CkzJ ~
J -
"k ' 1 -
k,!
°,
wo sich die Summe auf die Kombinationen ganzer Zahlen k, 1 der Reihe Cil = CII: genügende ganze Zahlen, und speziell gilt bei primzahligem n, wo 1jJ (n) = n + 1 ist~ c.... = - 1, während bei zusammengesetztem Transformationsgrade ctfJ-l,n = c",tfJ- l = - 1 zutrifft. Die Gleichungen (1), (2) und (3) für Gu g; und g~ sind von
0, 1, 2, ... , 1jJ - 1 bezieht; die c sind der Bedingung
F. Müller ' ) behandelt, und zwar in der Art, daß die Transformationsgleichungen (1) für GI wirklich in Ansatz gebracht werden, während für g; und g~ rationale Ausdrücke in Gi! g2' g3 notiert werden, mittels deren die Gleichungen (2) und (3) als Resolventen von (1) eingeführt werden. Die Endergebnisse sind noch sehr wenig weitgehend; es gelingt nur für die Transformationsgrade 2, 3 und 4 die Gleichungen wirklich anzugeben. Die Transformationsgleichungen für die Wurzeln der Diskriminante LI sind zuerst von Kiepert 2) untersucht, und zwar unter Bevorzugung der Primzahltransformationen. Es gelingt, bis zum Grade 23 die fertigen Gestalten der Gleichungen zu gewinnen. Die Hilfsmittel zur Berechnung der Koeffizienten der Transformationsgleichungen sind in den bisher genannten Arbeiten die Potenzreihen der ursprünglichen und der transformierten Größen nach q2. 1) "De transformatione functionum ellipticarum", Berliner Dissert. von 1867. Vgl. auch die weiteren Nachweise in "Enneper-Müller", S. 495ff. 2) "Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen", Abh. 1 und 3, Journ. f. Math., Bd. 87 (lS79) und Bd. 95 (1883).
Geschichtliche Notizen über Transformationsgleichungen
349
Eine Weiterbildung von grundsätzlicher Bedeutung erfuhr die Theorie der speziellen Transformationsgleichungen durch die von K lein ausgebildete Theorie der Modulfunktionen. Gegenüber den verschiedenartigen Gattungen von Transformationsgleichungen lieferte diese Theorie zunächst die Möglichkeit der Sichtung und sachgemäßen Anordnung, indem sie ein Urteil darüber lieferte, welche unter den transformierten Größen im einzelnen Falle als die einfachste anzusehen ist, und welches die Beziehungen der übrigen zu diesen einfachsten Größen sind. Darüber hinaus benutzt Klein neben den Potenzreihen die auf gruppentheoretischer und geometrischer Grundlage erwachsenen Hilfsmittel der Riemannschen Theorie der algebraischen Funktionen zur Aufstellung der Transformationsgleichungen. Die nachfolgende Darstellung wird die großen Erfolge der Kleinschen Methoden darlegen. In den V ordergrund treten jetzt zunächst die Transformationsgleichungen für .J(Ci). Die Primzahlgrade bis n = 13 behandelte K lei n selbst 1); im Anschluß hieran stellte J. Gi e r s t e r 2) für einige niedere zusammengesetzte Grade Untersuchungen über die Transformationsgleichungp-n von J( Ci) an. Später sind diese U ntersuchungen dann von Kiep ert S) aufgenommen und wesentlich auch mit dem Hilfsmittel der Reihenentwicklungen gefördert. Eine Behandlung der Transformationsgleichungen für die Wurzeln der Diskriminante vom Standpunkte der Theorie der Modulfunktionen gab A. H urwi tz. 4)
§ 3, Das Transformationspolygon Tn und die Transformationsfläche F n' Die von Klein eingeführte Methode zur Behandlung der Transformationsgleichungen gründet sich auf die Diskontinuitätsbereiche der Koll.gruenzgruppen T1p(n) (vgl. I, 233). Wir haben vielfach die zu den; beiden Baupttransformationen nten Grades gehörenden 1 8 Untergruppen nebeneinander zu betrachten und unterscheiden sie dieser",~-3 ",-0 halb durch die Fig. 1. 1) "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades", Math. Ann., Bd. 14 (1878). 2) "Notiz über Modulargleichungen bei zusammengesetztem Transformationsgrad", Math. Ann., Bd. 14 (1879). 3) "Über die Transformation der elliptischen Funktionen bei zusammengesetztem Transformationsgrad", Math. Ann., Bd. 32 (1888). 4) "Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen erster Stnfe", Math. Ann., Bd. 18 (1881).
350
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
Bezeichnungen
r..,,(n)
und r~(n)' Die zur ersten Haupttransformation ge-
hörende r..,,(n) ist durch r = 0 (mod n) charakterisiert, die r~(n) aber durch ß_U (mod n). Die in der ro-Halbebene gelegenen Diskontinuitätsbereiche dieser Gruppen können wir in der Gestalt von Kreisbogenpolygonen wählen, die wir "Transforrnationspolygone" nennen und durch T .. bzw. bezeichnen.
T:
. Als Beispiel betrachten wir zunächst das zum Grade n = 7 gehörende Transformationspolygon T;. Entsprechend dem Index tjJ (7) = 8 der Gruppe können wir T; aus acht Doppeldreiecken des Netzes der ro-Halbebene aufbauen, die sich zu dem in Fig.1, S. 349, angegebenen Polygone zusammenordnen. Wir bezeichnen diese acht Doppeldreiecke durch die Sub-
(;:~), mittels deren sie aus dem als Diskontinuitätsbereich der Gesamtgruppe r = r(w) in I, 295 ausgewählten Doppeldreiecke hervor-
stitution
gehen. Es handelt sich dann in Fig. 1 um die acht Doppeldreiecke:
(1, ± 1)
( 1.0) 0,1 '
(1)
\ 0, 1
'
(1,0,± 12) ' (1,0,± 13) '
( 0, -1). 1,
°
Man stellt leicht fest, daß keine zwei unter diesen Doppeldreiecken bezüglich der r~(7) äquivalent sind. Die acht in (1) gegebenen Substitutionen Vo = 1, VI"'" V7 können wir demnach zur Zerlegung der Gruppe in acht Nebengruppen: r
=
r~(7) + 1',~(7) • VI
r
+ r~(7)' V2 + ... + 1',~(7)' V7
benutzen. Da hier rechts jede Substitution von r einmal und nur einmal a.uftritt, so ist jedes Doppeldreieck des die ganze ro-Halbebene bedeckenden Netzes bezüglich der r'~(7) mit einem und nur einem der acht Dopäquivalent. Daraus aber peldreiecke Va' VlI V2 , • •• , V7 des Polygons tatsächlich ein Diskontinuitätsbereich der Gruppe geht hervor, daß r~(7) ist. Irgendein dem Polygone T; unmittelbar benachbartes Doppeldreieck des Netzes ist natürlich auch mit einem der acht Doppeldreiecke von T; beztiglich 1',;'(7) äquivalent. Dies hat zur Folge, daß die am Rande von T; liegenden Dreiecksseiten zu Paaren bezüglich der r~(7) äquivalent sind, und zwar immer die Seite eines schraffierten Dreiecks mit der eines freien. Man zählt zunächst 16 solche am Rande liegende Seiten ab . .Doch können wir mehrere zu Seitenketten zusammenfassen und haben in Fig. 1 ins besondere im mer diejenigen Seiten, die einen Kreisbogen (eine Polygonseite) bilden,zusammengenommen und mit einer Nummer versehen. Die Zusammenordnung dieser Polygonseiten regelt sich dann wie folgt durch Substitutionen der Gruppe 1',~(7):
T;
r;
Die Transformationspolygone •T, und Ti
(2) 1 _
8,
(1,7). 0,1; 2·-·3,
(
2, 7)'
-1,-.3;
4
351
-7). _0,.. (1,0)· 1,1; 6·- '7·, (3,1,-2
Neben der Zuordnung der Seiten ist jedesmal die Substitution angegeben, welche diese Zuordnung vermittelt. Wie mau. sieht, gehören alle vier hier auftretenden Substitutionen in der Tat zur Gruppe r,~(7r Übt man auf T; der Reihe nach die acht Substitutionen (1) aus, so gewinnt man die Diskontinuitätsbereiche der acht mit T1f1(7) gleichberechtigten Kongruenzgruppen. Die ersten sieben Substitutionen (1) ergeben einfach Translationen von T; in Richtung der reellen ru-Achse. Eine Änderung der Gestalt wird indessen durch die in (1) an letzter Stelle genannte Substitution T geliefert, die zu dem in Fig. 2 abgebildeten Transformationspolygone T 7 hinführt. Der Deutlichkeit halber ist die Längeneinheit in dieser Zeichnung weit größer w_ 0 als in Fig. 1 gewählt. --.:-Die Beziehung der RandFig. 2. kurven aufeinander ist hier durch die Substitutionen geregelt:
1-
8, (~'7, ~); 2-- 3, (~:=
!);
4 __ 5, (~: - ~);6 __ 7,
Ci, _ _ ~).
Diese Substitutionen, die aus den Substitutionen (2) einfach durch Transformation mit T hervorgehen, gehören in der Tat alle zur Gruppe T1f1(7l' Die Polygone T" stehen nun zu den Transformationsgleichungen FU', j) = 0 in nächster Beziehung, wie zunächst wieder am Beispiele n = 7 dargelegt werden soll. Wir knüpfen an das besonders übel;sichtliche Polygon T; der Fig. 1 an und bilden dieses mittels der Funktion j(ru) auf die j-Ebene ab. Wir erhalten eine achtblättrige, zunächst noch zerschnittene Riemannsche Fläche F, mit einem in sich zurücklaufenden Schnitte, der vom Polygonrande herrührt. Die den Seiten 1 bis 8 des Polygons entsprechenden Schnittränder liegen aber jetzt so, daß je zwei durch eine Substitution (2) einander zugeordneteUferpunkte übereinander liegen. Indem wir entsprechend der Zuordnung (2) die Schnittränder aneinander heften, ergibt sich eine geschlossene Riemannsche
352
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
Fläche über der j-Ebene, die wir als "Transformations{läche" F7 bezeichnen. 1) Die Fläche F7 kann Verzweigungspunkte nur an den drei Stellen j = 0, 123 , 00 haben, da übrigens die ro-Halbebene auf die Ebene der Funktion j (ro) konform bezogen ist. Um mit j = 00 zu beginnen, so lesen wir aus Fig. 1 zunächst ab, daß 14 einfache Dreiecke von mit ihren Spitzen nach ro =i 00 laufen. Indem wir vom Rande 1 bis zum Rande 8 diese 14 Dreiecke durchhmfen, beschreiben wir eine Linie, die auf F7 einen geschlossenen Umlauf um einen bei j = 00 gelegenen Verzweigungspunkt liefert. Also haben wir an der Stelle j = 00 einen sieben blättrigen Verentsprechend zweigungspunkt, während das achte Blatt der Spitze ro = rühren von den Ecken unserer Kreisisoliert verläuft. Die Stellen j =
T;
°
°
bogendreiecke mit den Winkeln ~ her, also von den Punkten ro f!
+ 1, (! ± 2, ...
der Fig. 1, unter
(!
die dritte Einheitswurzel -
=
(!,
t iV3
1
+
verstanden. Betrachten wir zuerst die beiden Punkte ro = (! und ro = (! 1 der Seiten 4 und 5, die durch die dritte Substitution (2) aufeinander bezogen sind,. so ist aus Fig. 1 einleuchtend, daß der Umlauf um die zugehörige Stelle der F7 sich erst nach Durchschreiten von sechs j-Halbblättern schließt. Wir gelangen also hier zu einem dreiblättrigen Ver(I, der zweigungspunkte. Anders verhält sich z. B. der Punkt ro = - 2 isoliert verzufolge der Zuordnung der Seiten 2 und 3 zu einem bei j = laufenden Blatte führt. Durch Fortsetzung der Betrachtung gelangt man zu folgendem Satze: Unsere achtblättrige Transformations{läche F7 ist nur an den Stellen j = 0, 123, 00 verzweigt, und zwar hat man bei j = zwei dreiblättrige Verzweigungspunkte und zwei isoliert verlaufende Blätter, bei j = 12 3 vier zweiblättrige Verzweigungspunkte und bei j = 00 einen siebenblättrigen Verzweigungspunkt und ein isoliert verlaufendes Blatt. Zwischen der geschlossenen Fläche F7 und der ro-Halbebene besteht nun eine 1- 00 - deutige Beziehung von der Art, wie wir sie in I, 303 zwischen der j-Ebene und der ro-Halbebene fanden. Der einzelnen Stelle der Fv entsprechen unendlich viele Punkte der ro Halbebene, die bezüglich der r~(7) äquivalent sind; umgekehrt liefert jedes System bezüglich der
°
+
°
r~(7)
äquivalenter Punkte ro eine Stelle der F7 • Die Folge ist, daß die
durch die zweite Haupttransformation zu gewinnende Funktion j (~) , die zur r~(7) gehört, von der ro-Halbebene auf die F7 verpflanzt, daselbst eine eindeutige, und zwar algebraische Funktion liefert. Somit hängen 1) Hier bedeutet also der Index 7 nicht, wie in I, 49ff., die Blätteranzahl der Fläche, sondern den. Transformationsgrad.
353
Die Transformationsfläche für den Grad 7
j'
j(
=
T) und j
=
j ( w) als eindeutige algebraische FunJ.;tionen unserer F7
durch eine algebraische Relation zusammen, und eben diese Relation ist unsere Transformationsgleichung. Um dies noch etwas näher darzulegen, bemerken wir, daß durch Angabe eines Wertes j acht Punkte der F7 festgelegt sind, denen acht bezüglich der Gesamtgruppe r äquivalente Punkte im Bereiche T; zugehören. Ist unter ihnen w der im Diskontinuitätsbereiche der r(w) gelegene Punkt, so sind die sieben weiteren w ± 1, w
±
2, w
±
3, ~co 1 . An diesen acht Stellen finden folgende Werte der
transformierten Funktion statt:
Dies sind aber genau die acht verschiedenen durch Transformation siebenten Grades von j (w) zu gewinnenden Funktionen, die, wie wir wissen, in der Tat die acht Lösungen der Transformationsgleichung sind. Das Transformationspolygon T~ für beliebigen ungeraden Primzahlgradn ist, wie wir noch an weiterenBeispielen darlegen werden, entsprechend durch n nebeneinander gereihte Doppeldreiecke
(~: ± t(~ -
(~:~), C~,±~), C~,±~),···,
1)) und das inmitten unten angehängte Doppeldreieck
n,
~)
zusammensetzbar. Nicht so leicht zu übersehen ist indessen die Gestalt von T ~ bei zusammengesetztem n. Als Beispiel diene der Fall n = 6, wo wir mit einer Untergruppe des Index 11'(6) = 12 zu tun haben. Das Polygon T~ ist in Fig.3 1 ti dargestellt. Hier liegt in der Tat ein aus 24 einfachen Dreiecken zusammengesetzter Bereich vor, 101=3 Fig.3. von denen 12 schra~ fiert und 12 frei sind. Man kann zeigen, daß keine zwei gleichartige Dreiecke durch eine Substitution der r~(6) zusammenhängen. Die sechs mit Ziffern bezeichneten Seiten dieses Sechsecks sind nach folgender Regel einander zugeordnet: 1-+6,
(~:~);
2-+5,
(::1~);
3-+4,
G:~)'
Diese Substitutionen gehören in der Tat der Gruppe r,;'(6) an. Die Transformation von T~ mittels der Substitution T liefert das Polygon T6 , das Fr i c k e, Die elliptischen Funktionen II
23
354
TI, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
in Fig. 4 dargestellt ist. Der Deutlichkeit halber liegt dieser Figur wieder ein weit größerer Maßstab zugrunde als der Fig. 3. Durch Abbildung des Transformationspolygons T" mittels der Funktion j ( 00) gewinnen wirfür jeden Grad n eine geschlossene 1/J (n)blättrige Riemannsche Fläche überderj-Ebene, die wir wieder als "Transformationsfläche" Fn be3 zeichnen. Eine 4 Frage VOll grundsätzlicher Bedeutung ist, wie groß das Geschlecht p der Fläche Fn ist; wir wollen diese Zahl p auch das
- ' - - - - ' - - - - - - - ' - - , - - - - - - - w.... ~-l---w-.J...·-;-l-
Geschlecht des Transformationspolygons T" nen-
nen und gen au er durch p(n) bezeichnen. Die 1/J(n) Blätter derF n sind den 1/J (n) Repräsentanten Fig. 4.
(::~) für eigentliche Transformation ntenGmdes eindeutig zugeordnet. Wir nehmen 00 im Diskontinuitätsbereiche der rem) an und wählen eine einzelne transformierte Funktion j
(A
n+ B),
W
deren Werte wir auf dem zu-
gehörigen Blatte der F" aufgetragen denken, Umlaufen wir von jenem Blatte aus den Punkt j = 00 etwa v Male, so kommt dies darauf hinaus, daß wir durch v-malige Ausübung der Substitution S nach 00' = 00 + v gehen. Dabei aber wird j
(A n+ B) W
in j
(A + ~ + vA)) übergefübrt. Um OJ
nun festzustellen, wie viele Blätter in dem fraglichen Punkte j = 00 zusammenhängen, hat man die kleinste positive Zahl v anzugeben, für welche die Transformation (~: B
1;VA)
wieder durch die anfängliche
(~: ~) repräsentiert wird. Hierzu ist hinreichend und notwendig, daß in der Gruppe
r(Ol)
eine Substitution V
=
(;:~) existiert, für die:
Verzweigung der TransformationsHäche Aro
+11 + D
gilt. Es folgt:
355
vA = V (A(J)j-_l1) = aAro + (aB -tl D ) D yAw+(yB+8D)
r = 0,
a = d = 1,
vA = ßD.
Ist also t der größte gemeinsame Teiler von A und D, so ist: D
A
v=T'
ß=T·
'Vir erhalten also einen ~ - blättrigen Verzweigungspunkt, so daß die Blätteranzahl allein von D abhängt. Bei stehendem D ist A.
=
~ und B
durchläuft, um alle zugehörigen Repräsentanten der "eigentlichen" Transformationen n ten Grade für dieses Zahlenpaar A., D zu gewinnen, alle gegen t teilerfremden ganzen Zahlen des Intervalles < B < D. Dies
°
sind ~ rp(t) Zahlen B, so daß wir tUt· das einzelne D im ganzen rp(t) je
~ - blättrige Verzweigungspunkte finden. Durchläuft D alle Teiler von n, so erschöpfen wir alle 1fJ(n) Blätter von Fn ; wir gelangen dabei zu der schon unter (22) S. 347 aufgestellten Gleichung zurück. Von dem zu j
(A 1J+ B)
gehörenden Blatte der Fläche aus soll jetzt
einmal umlaufen werden, was auf die Ausübung der die Stelle j = Transformation Tauf OJ hinausläuft. Zweimaliger Umlauf um diese Stelle führt stets zum ersten Blatte zurück, einmaliger Umlauf aber stets und 12 3
nur dann, wenn bereits die Transformation B;:;A wieder durch AroD+B repräsentiert wird, d. h. wenn es eine Substitution V Bro-A Dro
=
=
(;:~) gibt, fUr die
V(Aro+~) = aAro+C aB +ß Dl D yAro+(yB+8D)
gilt. Diese Forderung ist gleichbedeutend mit den vier Bedingungen:
aA=B,
aB+ßD=-A.,
yA=D,
rB+dD=O.
Wegen der dritten Gleichung gilt y 4= 0. Wäre a = 0, so wäre r = 1, B = 0, A. = D = Vn, was aber selbst bei quadratischem n unzulässig ist, da keine eigentliche Transformation n ten Grades vorliegen würde. Somit gilt a 4= 0, r 4= 0, so daß A in Bund D zugleich aufgeht und also gleich 1 ist. Man gewinnt A. = 1, D = n und damit cx. = B,
y = n,
d
=
-
B,
B2+ 1 ß= --. n
Damit ß ganzzahlig ausfällt, haben wir nur diejenigen Zahlen B des Intervalls 0 < B < n zuzulassen, für welche die Kongruenz: (3)
B2 + 1 - 0 (mod n)
23*
356
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
erfüllt ist. Die Anzahl inkongruenter IJösungen dieser Kongruenz möge durch !Lt (n) bezeichnet werden. Dann gilt der Satz: Bei j = 123 verlaufen !Lt (n) Blätter der Fläche F" 1"soliert, während die übrigen zu Paaren in HlPen) - !Lten» Verzweigungspunkten zusammenhängen. Für die Stelle j = 0 kommt an Stelle von Sund T die Substitution
U(ro) j
=
~+ml zur Benutzung. Nach dreimaligem Umlaufe um die Stelle
0 gelangt man vom Blatte der Funktion j
=
(A
.t B) stets zu diesem
00
Blatte zurück. Das Blatt aber verläuft isoliert, so oft es eine Substitution V
=
(;:
!) gibt, für die die Gleichung zutrifft: CA -B)oo +_-! - Dm
=
V(Aro +B) D
=
aAro + (aB_:l-Jp).
rAm
+ erB + JD)
Dies führt auf die vier Bedingungen:
a.A.=.A.-B,
aB+ßD=.A.,
rA=-D,
rB+dD=O.
Aus der dritten Gleichung folgt wieder r + 0. Durch Elimination von D aus der zweiten und vierten Gleichung gewinnt man B = dA. Wäre nun d = 0, so wäre B = 0, r = - 1, .A. = D = was ausgeschlossen ist. Also gilt d 0, so daß .A. als gemeinsamer Teiler von Bund D gleich 1 ist. Man hat demnach .A. = 1, D = n und findet:
yn,
+
a=1-B,
r=-D,
d=B,
ß=B2_B+~, n
Jetzt handelt. es sich also um diejenigen B des Intervalles 0 für welche die Kongruenz:
< B < n,
(mod 12)
(4)
erfüllt ist. Bezeichnet man die Anzahl inkongruenter Lösungen dieser Kongruenz durch !Lo(n), so hat man den Satz: Bei j = 0 verlf/u{en !Lo(n) Blätter der Fläche F" isoliert, während die übrigen zu je dreien in +(11'(12) - f-to(n» Verzweig1,tngspu,nkten zusammenhängen. Das Geschlecht p(n) der F" berechnen wir jetzt nach (4) in I,88 und finden:
1
p(n) =-11'(12) + +HlP(n)--'-!Lt (12» +-HtP(n)-f-to(n»+t ~ rp(t) (~-1) D
Mit Hilfe der Relation (22) S.347 läßt sich die rechte Seite dieser Gleichung noch wesentlich ztJsammenziehen: Das Geschlecht p(n) der zum Grade 12 gehörenden Tmnsformationsfläche Fn und damit des Transformationspolygons Tn ist: (5)
p(n)
=
1
+ i\tP(n) -
'~!Lo(n) - i!Lt(n) -
t ;Srp(t). D
357
Geschlecht der Transformationsfläche
p
Die Transformationsgrade bis n = 72 verteilen sich auf die Geschlechter Obis P = 9 in folgender Art:
=
p= p= P= p=
0, n = 1, n = 2, n = 3, n =
p
= 4,
n
=
p
=
5,
n
=
P = 6, n P = 7, n p = 9, n
=
2,3,4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18,25, 11, 14, 15, 17, 1f\, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 37, 50, 30, 33, 34, 35, 39, 40, 41, 43, 45, 48, 64, 38,44,47,53,54,61, 42, 46, 51, 52, 55, 56, 57, 59, 63,65, 67, 72,
= =
58, 71, 60, 62, 68, 69, 66, 70.
§ 4. Die erweiterte Gruppe ren) llnd das Klassenpolygon Kn. Unter Wund W' verstehen wir die linearen Substitutionen der Periode 2 und der Determinante n: ol' = W(ol) =
(1)
n:'
ol'
=
W'(ol) = -
: .
Die folgende Entwicklung gründet sich auf die Tatsache, daß die zu den Haupttransformationen n len Grades gehörenden Gruppen r",en) und r;!)(n) durch W bzw. W' in sich transformiert werden: (
2)
-1 W·
r",(n)'
Eine Substitution V
=
W
=
(;;
r1{l(n) ,
W'-1 • r'1{I(n)' W'-r' ",(n)"
~) wird nämlich durch W in~
V' = W-1. V. W
=
(/i,-np, -r n -
1
)
IX
transformiert. Ist V in r",(n) enthalten, so gilt 1i. 0 (mod n), so daß auch V' eine ganzzahlige Substitution der Determinante 1 mit einem durch n teilbaren dritten Koeffizienten ist. Also ist V' in r",(nl enthalten. Auch ist leicht einzusehen, daß man in den W-1. V· W wieder die ganze r,!,(,,) gewinnt, wenn V diese Gruppe durchläuft. Damit ist die erste Gleichung (2) bewiesen; die zweite ergibt sich entsprechend. Die Gleichungen (2) kann man auch in die Gestalten setzen: T'1{I(n) • W
=
W . T'",(n) ,
r1fJ'(n)· W'w'·r'VJ (n) , -
aus denen hervorgeht, daß die Gruppen T1{IC''') und r~ (n) mit W bzw. W' vertauschbar sind. Hieraus aber folgt weiter, daß die Gruppen r",('fI) und r~ (n) durch Zusatz W bzw. W' zu zwei Gruppen:
(3)
ren) =
r1{l(n)
+ r",(n)' W,
r'(n)
= r'1fJ (n)
+ r',/J
(n)
. TY'
358
II, 3. Die speziellen TransformationsgleichungeIl erster Stufe
e:rweitert werden, in denen die ursprünglichen r1/1(rt) und r;!) Cn)ausgezeichnete Untergruppen des Index 2 sind. Wie in I, 296 verstehen wir unter U die Substitution "zweiter Art" 01' = U (ro) = - 01, wo OJ der zu ro konjugiert komplexe Wert ist. Diese Substitution, die geometrisch die Spiegelung an der imaginären 01· Achse bedeutet, übt auf eine beliebige Substitution V =
U-l. V.U
=
(
Cl,
--1',
(;:
~) die Wirkung aus:
-ß). 8
Jede der vier Gruppen r1/1(nl' r;p(nl' rCn), r'(n) ist also mit U vertauschbar und wird entsprechend durch Zusatz von U zu einer erweiterten Gruppe ausgestaltet, in der die ursprüngliche wieder eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2. ist. Wir bezeichnen diese Gruppen durch r1/1(n), t:tl (n)' rCn), r(n;; für rCn) haben wir die Darstellung: r1/1(rt) + r1/1(rt)· W + r1/1(rt)' U + r1/1(n)· w· U, und eine entsprechende Darstellung gilt für I"(n). Die Substitutionen zweiter Art W· U und W'· U mögen durch W nnd W' bezeichnet werden: r(n) =
(4) sie stellen Spiegelungen an den Kreisen der Radien l'
Vn
und
/-
Vn
um
den Nullpunkt 0 dar. Die Substitutionen W und W' erster Art könilen dann auch aus den Spiegelungen U, W, W' in den Gestalten hergestellt werden: 01 =
W=W·U, W'= W'· U. Indem mannun auf den Diskonti--'----'---------l-::--------'--c----~ nuitäts bereich T n der r1/1(n) die SubFig. 5.
Ubereinandertragung der Polygone Tn und T~,
359
stitution Wausübt, gewinnt man entsprechend der ersten Gleichung (2) wieder einen Diskontinuitätsbereich dieser Gruppe. Die Transformation von T" durch W können wir aber durch die beiden hintereinander auszuübenden Spiegelungen W, rJ ersetzen. Im Falle n = 6 wird das in Fig.4 dargestellte Polygon T6 durch W bzw. durch Wund rJ unmittelbar in sich transformiert, wie Fig.5 erläutert. In dieser Figur sind zwei Dreiecksnetze übereinander getragen. Das Netz mit der Vertikalschraffierung stellt das Polygon f 6 wie in Fig.4 dar. Durch die Spiegelung rJ geht dies Netz in sich über. Durch die Spiegelung W an dem in der Figur stark ausgezogenen Kreise des Radius
;"6
gelangt man zu dem
Netze mit der Horizontalschraffierung. In dieses Netz geht also das ursprüngliche Netz durch die Substitution W über. Nicht immer kommt das durch W oder rJ und 1fT transformierte Polygon T n unmittelbar mit seiner ursprünglichen Gestalt zur Deckung. So erkennt man z. B. in der den Fall n = 7 erläuternden Fig. 6, daß die beiden Netze nicht glatt zur Deckung kommen, sondern ein wenig übereinander hinweggreifen. Je ein überschießender Bestandteil des einen Netzes ist dann natürlich mit einem solchen des anderen Netzes bezüglich der r 1fJ (nl äquivalent. Man könnte freilich die Anordnung stets so treffen, daß der Bereich Tn bei Ausübung von W genau in sich selbst übergeht. Nur müßte man dann die Randkurven von Tn gelegentlich durch das Innere von Dreiecken führen, was man sich an Fig. 6 näher veranschaulichen wolle. In den beiden Figuren 5 und 6 tritt noch eine weitere Tatsache hervor. Das Dreiecksnetz des Po! i I, lygons Tn geht bei I! Ausübung der Trans,i formation W in das im Verhältnis von n zu 1 verkleinerte Dreiecksnetz des Transformationspolygons T~ der r~(n) über. Dies ist rech- -~--------___-L-:c--_----_._----------------------' , nerisch unmittelbar
W'= 2
Fig. G.
360
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
einleuchtend. Setzen wir nämlich (5) nw =~, so trifft im Punkte w = -~ bereits .Q, = 1 zu, so daß das zu n
.Q,
gehörende
Dreiecksnetz gegenüber dem ursprünglichen auf ._~ verkleinert erscheint. Nun wird durch (5) die Substitution:
(6) transformiert, so daß wir, wenn 1'=0 (modn) gilt, rechts in der Tat eine ganzzahlige Substitution der Determinante 1 gewinnen, deren "zweiter" Koeffizient durch n teilbar ist. Durch (5) wird also die Gruppe r",en) in r~ en) transformiert. Wir gehen nun genauer auf die unter (3) gewonnene Gruppe ren) ein. Die Nebengruppe r",enl· W besteht aus allen ganzzahligen Substitutionen
C: ~), die die Bedingungen:
(7) ab-ß1'=n, a=r-b-O (modn) befriedigen. Es soll festgestellt werden, welche unter diesen Substitutionen elliptisch oder parabolisch sind. Da die zweite Potenz jeder Substitution der Nebengruppe T",en) . W in der T",e n ) enthalten ist, so hat eine elliptische Substitution unter ihnen eine der Perioden 2, 4 oder 6 und erzeugt dann eine zyklische Untergruppe G2 , G4, oder Gs ' Wir untersuchen zunächst die Möglichkeit der Perioden 4 oder 6. Die zweite. Potenz einer Substitution (;:
~) der Nebengruppe
r",(n\'
W hat, auf die Determinante
1 reduziert, die Gestalt:
Soll diese Substitution die Periode 2 oder 3 haben, so muß die Summe des ersten und vierten Koeffizienten gleich 0 bzw. ± 1 sein:
(8)
=±l.
+
Im ersten Falle ist also (a + b)2 = 2 n. Da nun (a 0) ein Vielfaches von n ist, so ist 2n durch n 2 teilbar, so daß einzig n = 2 zulässig ist. Allein in der bei n = 2 eintretenden j"(2) können elliptische S~tbstitutionen der Periode 4 auf~reten. Wie man in Fig. 7 sieht, ist der Diskontinuitätsbereich der f(2) ein Kreisbogen___--',___~ dreieck der Winkel -~ , -~, 0, so daß sich in der l!'ig. 'i'.
r(2)
tatsächlich ein System gleichberechtigter zyklischer G"
Elliptische und parabolische Substitutionen in der Nebengruppe
r,p'
w
361
findet. Für die Periode 6 ist nur (a + 0)2 = 3n brauchbar. Man gelangt wie soeben leicht zu dem Satze: Allein in der bei n = 3 eintretenden r(3) können elliptische Sttbstitutionen der Periode 6 aut~reten. Der in Fig. 8 dargestellte Diskontinuitätsbereich der r(3) ist ein Kreisbogendreieck der Winkel
-i, T'
0 und zeigt somit, daß in der
r(8)
ein System gleich-
berechtigter zyklischer G6 auftritt. Ehe wir die Periode 2 betrachten, soll die Möglichkeit parabolischer Substitutionen in der Nebengruppe r'fl(n)' Wuntersucht werden. Hiermuß der in (8) links stehende Ausdruck gleich ± 2 sein. Doch ist nur
w=-t
W~O
Fig. 9.
Fig.8.
das obere Zeichen brauchbar, da das untere zu a + 0 = 0 und also zu den elliptischen Substitutionen der Periode 2 führt. A.us (a + 0)2 = 4n folgt wie oben der Satz: Nur in der zu n = 4 gehörenden r(4) können parabolische Substitutionen innerhalb der Nebengruppe r'fl (4) • W auftreten. Daß sie wirklich auftreten, zeigt der in Fig. 9 dargestellte Diskontinuitätsbereich der f i4J, der ein Kreisbogendreieck der Winkel
t
; , 0, 0 ist; zur Spitze ro =
-
lische Substitution
die noch nicht in der
C:: ~),
gehört die der
r(4)
angehörende parabo-
r'fl(4)
enthalten ist.
Es bleibt der Fall der elliptischen Substitutionen der Periode 2, der zu einem wichtigen Ergebnisse hinführen wird. Soll die Substitution
(;:~) der Nebengruppe
T'fl(n)'
W die Periode 2 haben, so ist hierfür
+ 0 = 0 und also 0 = - a charakteristisch, so daß der in der positiven ro-Halbebene gelegene Fixpunkt der Substitution der Gleichung genügt:
a
(9)
rro 2 -2aro-ß=O.
A.us den Bedingungen (7) folgt leicht, daß r nicht verschwinden kann; man kann also nötigenfalls durch gleichzeitigen Zeichenwechsel von
362 a,
ß,
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
r,
d' stets I'
>0
erreichen. Dann aber ist durch: (I', - 2a, - ß)
(10)
(a, b, c)
=
eine positive ganzzahlige binäre quadratische Form der Diskriminante -4n: D
=
b2
-
4ac
=
4a 2
+ 4ßr =
4n
-
gegeben. Da für alle Substitutionen der Nebengruppe r.p(n)· W die Zahlen I' und d' durch n teilbar sind, so sind a und ß zufolge (7) teilerfremd. Die Form (10) kann also nur dann eine "abgeleiteteU sein (S. 137), wenn ß und l' zugleich gerade sind, uud zwar hat sie dann den Teiler 2. Da in diesem Falle a als teilerfremd gegen ß ungerade ist, so gilt n = 3 (mod 4). Es gilt also der Satz: Ist n _ 0, 1 oder 2 (mod 4), so ist die Form (10) der Diskriminante - 4n urspt'ünglich; für n -.3 (mod 4) ist sie entwedet· ursprünglich oder sie hat den Teiler 2. Im letzteren Falle bedienen wir uns an Stelle von (10) der durch 2 gehobenen .I!'orm, die dann ursprünglich und von der Diskriminante - n ist: (11)
(;, - a, -
~)
=
(a, b, c),
D
=
b2 - 4ac
=
a 2 + ßr
=
-
n.
Das erhaltene Ergebnis ist umkehrbar. Es sei (a, b, c)eine ursprüngliche Form der Diskriminante - 4n, und es seien a durch n und b durch
2n teilbar. Dann ist c teilerfremd gegen n, und man erhält in
(-t\ -c) a, 'Sb
eine elliptische Substitution der Periode 2, die der Nebengruppe r.p(n)· W angehört. Weiter sei im Falle n = 3 (mod 4) eine ursprüngliche Form (a, b; c) der Diskriminante - n vorgelegt, deren Koeffizientena, b durch n teilbar seien. Dann ist wieder c teilerfremd gegen n, und man hat in
(--;!: - ~c)
eine der Nebengruppe
r.p(n)"
Wangehörende Substitution
der Periode 2. Es läßt sich weiter leicht zeigen, daß sich in jeder Klasse ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante - 4n bzw. - n eine zur Bildung einer elliptischen Substitution der Periode 2 im vorstehenden Sinne brauchbare Form nachweisen läßt. Man entnehme der Klasse zunächst eine Form (ao, bo, c) mit einem gegen n teilerfremden c und gehe von ihr mittels einer Substitution
G: ~) zur äquivalenten Form (a, b,c). Liegt
die Diskriminante - 4n vor, so sind die mittleren Koeffizienten der Formen gerade, und man hat tb = t bo - rc. Da c teilerfremd gegen n ist, so kann man r so wählen, daß tb durch n und also b durch 2 n teilbar ist, worauf aus b2 - 4ac = - 4n sich a = 0 (mod n) ergibt. Haben wir im :Falle n = 3 (mod 4) die Diskriminante - n, so ist, da jetzt 2 c teilerfremd gegen n ist, r so wählbar daß b = bo - 2rc durch n teilbar ist; aus
Beziehung der Nebengruppe r",. W zu den quadratischen Formen
363
b2 - 4ae = - 12 folgt dann wieder a = 0 (mod 12). Es ist also in jeder zulässigen Klasse eine brauchbare Form nachgewiesen. Es seien nun (a, b, c) und (a', b', c') zwei äquivalente Formen, die beide zur Bildung elliptischer Substitutionen der Periode 2 von T",(n)' W brauchbar sind. Im Falle der Diskriminante D = - 4n seien also a und a' durch n, bund b' durch 2n teilbar, während für D = - n (im Falle n _ 3 (mod 4)) die Zahlen a, a', bund b' durch n teilbar sind. Die Äquivalenz beider Formen sei durch die Substitution daß nach (4) S. 138 die Gleichungen gelten: a'
(12)
-
!b'
=
~2a
=
-
c'
=
ß2 a -
+ r2c, + (a~ + ßr)b aßb + a 2 c.
(;:~) vermittelt, so
r~b
2ß~a
2arc,
Im Falle D = - 4n folgt durch Reduktion der ersten Gleichung (12) mod n und der zweiten mod 2n: r2C - 0 (mod n),
2are _ 0 (mod 2n),
so daß r2e und are durch n teilbar sind. Da aber a und r teilerfremde Zahlen sind und e teilerfremd gegen n ist, so ergibt sich r 0 (mod n). Zu demselben Ergebnis gelangt man leicht auch im Falle D = - n. Geht man andrerseits von einer brauchbaren Form (a, b, e) mittels einer Substitution mit r = 0 (mod n) zur äquivalenten Form (a,', b', c'), so ist erstlich ce und also zufolge der dritten Gleichung (12) auch c' teilerfremd gegen 12. Weiter aber folgt aus den beiden ersten Gleichungen (12) sofort a' = 0 (mod n) und b' - 0 (mod 2n bzw. 12). Also ist auch (a', b', c') eine zur Bildung einer unserer elliptischen Substitutionen brauchbare Form. Diese brauchbaren Formen der einzelnen Klasse fassen wir nun zu einer "Unterklasse" zusammen. Die Formen der einzelnen Unterklasse sind bezüglich der T",(n) äquivalent und mögen kurz "relativ äquivalent" heißen; die einzelne Unterklasse besteht dann aus allen mit einer unter ihnen relativ äquivalenten Formen. Die "Nullpunkte" UJ dieser Formen (vgl. S. 139), die die Fixpunkte der zugehörigen elliptischen Substitutionen liefern, sind also selbst bezüglich der T",(n) äquivalent, so daß im Transformationspolygone T" für jede Unterklasse ein und nur ein Nullpunkt gelegen ist. Wir haben damit das wichtige Ergebnis gewonnen: Die Anzahl der im Transformationspolygone T" gelegenen Fixpunkte elliptischer Substitutionen der Periode 2 der Nebengruppe T",(n)' W ist gleich der Anzahl der Klassen 11,rsprünglicher positiver Formen der Diskriminante D = - 4n, falls 12 = 0, 1 oder 2 (mod 4) gilt, und gleich der Summe der Klassenzahlen solcher Formen der Diskriminanten D = - 4n und D = - n, falls n == 3 (mod 4) ist; die Fixpunkte werden dabei unmittelbar von den
364
TI, 3. Die speziellen Transformationsgleichnngen erster Stufe
Nullpunkten der "bezüglich der geliefert.
rtp(n)
reduzierten" Formen der Unterklassen
Als Beispiel betrachten wir den Fall n = 11. Die Anzahl der Klassen ursprünglicher positiver Formen der negativen Diskriminante D wurde S. 147 ff. durch h CI D D bezeichnet. Nach einer S. 148 aufgestellten Regel ist h(44) = 3h(1l). In der Tat gilt hell) = 1, h(44) = 3. Man hat nämlich für D = - 11 nur eine zweiseitige Klasse mit der im ursprünglichen Sinne von S. 140 reduzierten Form (1,1,3), während für D = - 44 eine zweiseitige Klasse und zwei entgegengesetzte Klassen mit den reduzierten Formen (1,0,11) und (3, ± 2, 4) vorliegen. Mit den vier genannten Formen sind bzw. die folgenden äquivalent: (11, 11, 3),
(33, =F 22, 4);
(11, 0, 1),
wir können diese Formen als die repräsentierenden Formen der Vier Unterklassen wählen und haben als ihre Nullpunkte:
(13)
(j)
=
- V11 + i 2 V11~'
(j)
=
z
Vll'
(j)
=
± Vll + i
-3V11
~,
sowie als die zugehörigen elliptischen Substitutionen: (14)
(
11, 6
)
-- 22,--11 '
(0;1,-1) 0 '
(
11,
± 33,
=F 4
) -11 .
Die geometrischen Verhältnisse in der (j)~ Halbebene werden durch Fig. 10 erläutert. Das Transformationspolygon ist mit der S2.-Teilung ge-
12
1
.,-0 Fig. 10.
zeichnet, so daß die Figur das Aussehen des Polygons T~l mit dem auf i\ verkleinerten Maßstabe hat. Die Zusammenordnung der mit Nummern 1 bis 12 versehenen Randkreise geschieht durch folgende, auf S2. auszuübende Substitutionen, die also der r~[J(l1) angehören:
(1,0, 11). 1 ' 4 -+ 10 (4, 11). , 1, 3 ' 1 -+ 12
,
Beispiel n = 11. Einführung des Klassenpolygons Kn
365
Die Umrechnung auf ro geschieht einfach entsprechend dem Rückgange -von der zweiten Substitution (6) zur ersten. Die vier Punkte (Ü3) liegen an den in der Figur mit ell es, eo, e~ bezeichneten Stellen. Der Diskontinuitätsbereich der durch W erweiterten Gruppe rCll) setzt sich aus zwei bezüglich der imaginären ro-Achse symmetrischen Hälften zusammen. Die einzelne, etwa linke Hälfte, die für sich einen Diskontinuitätsbereich der Cll ) bildet, fassen wir als ein Kreisbogenfünfeck der Ecken i 00, ell eo, e2 , es auf, obschon in der Ecke eo der Winkel 11: vorliegt. Die stark ausgezogenen Kreisbogen sind Symmetriekreise von Spiegelungen der erweiterten Gruppe TCll). Die Seite eo, el ist durch die vierte Substitution (14) auf die Seite eo, e2 bezogen. Entsprechend wird .die Seite e~, e~ durch die dritte Substitution (14) in e~, ~ transformiert, und endlich wird die Seite es, es der linken Hälfte des Diskontinuitätsbereiches der rCH) durch die zweite Substitution (14) in die symmetrische Seite e~, es der rechten Hälfte übergeführt. Der aus den beiden symmetrischen Kreisbogenfünfecken zusammengesetzte Diskontinuitätsbereich der rCH) möge das zum Grade 11 gehörende "Klassenpolygon" genannt und durch K11 bezeichnet werden. Der Name rechtfertigt sich durch die Beziehung der Ecken von Ka zu den Formklassen der Diskriminanten - 4 . 11 und - 11. Von diesen Ecken gehört die bei ro = i 00 bereits zum Transformationspolygon T11 . Weiter sind die vier Ecken eu e2 , e;, e~ bezüglich der rCH) äquivalent und bilden, wie man sagt, einen Zyklus zusammengehöriger Ecken. 1) Die übrigen .drei Ecken eo, e~, es aber sind bezüglich d~r rCll) in äquivalent. Lassen wir von den vier äquivalenten Ecken des Zyklus nur eine als den Zyklus repräsentierend zu, so sind nun eben die noch nicht dem Transformationspolygon T11 zugehörigen Ecken des Klassenpolygons eindeutig den Klassen ursprünglicher positiver quadratischer Formen der Diskriminanten - 4 ·11 und - 11 zugeordnet. Dieselben Verhältnisse kehren entsprechend bei jedem Grade n wieder, wo wir den Diskontinuitätsbereich der rCn) wieder als "Klassenpolygon" Kn bezeichnen. Auch die oben in den Figuren 7, 8 und 9 erläuterten niedersten Fälle n = 2, 3 und 4 bilden keine Ausnahmen. Wie oben festgestellt wurde, kommen für n 0, 1, 2 (mod 4) nur die Formklassen der Diskriminante D = - 4n in Betracht, während für n = 3 (mod 4) auch noch die Klassen der Diskriminante D = - n dazutreten. 2)
r
=
1) V gl. die allgemeine Theorie der Diskontinuitätsbereiche von Gruppen linearer Substitutionen einer Variablen in den "Vorlesungen über die Theorie der automorpheu Funktionen" ,on F. Klein nnd R. Fricke, Bd. 1, S. 159 ff. (Leipzig 1897). 2) Der Name "Klassenpolygon" für Kn erscheint um so mehr gerechtfertigt, .als die unter den Randkurven von Kn befindlichen Symmetriekreise von Spiege-
366
II, 3. Die speziellen Tmnsformationsgleichungen erster Stute
Bilden wir das Klassenpolygon K" mitte1st einer zur rc"} gehörenden Funktion auf die Ebene dieser Funktion ab, so entsteht eine Riemannsche Fläche F(n), deren Geschlecht wir durch po(n) bezeichnen und zugleich als das Geschlecht des Klassenpolygons Kn ansehen wollen. Um po(n) zu bestimmen, wenden wir die Formel (4) in I, 88 an: po(n)
(15)
=
-
rn
+ 1 +':::;';-2-' ~v-1
wo m die Blätterzahl der F (n) ist und die Summe sich auf die Verzweigungspunkte der pn) bezieht, deren einzelner v-blättrig gedacht ist. Wenn wir nun das Transformationspolygon T n durch dieselbe Funktion abbilden, so erhalten wir eine Fläche, deren Geschlecht p(n) wir bereits in (5) S. 356 berechnet haben. Sie erscheint hier aus zwei übereinander gelagerten Exemplaren der Fläche F(n) bestehend, die in einer Anzahl zweiblättriger Verzweigungspunkte aneinander geheftet sind. Diese Anzahl ist aber, wenn wir von den drei Fällen n = 2, 3,4, wo Po = ist, absehen, gleich der Klassenanzahl h (4n) oder gleich der Summe h (4n) h (n), je nachdem n _ 0,1,2 oder 3 (mod 4) ist. Nach der Regel von S.148 können wir auch sagen, jene Anzahl sei gleich snh(4n), wo sn = 1 ist, wenn n = 0, 1 oder 2 (mod 4) ist, dagegen Sn = 2 oder = t gilt, je nach7 oder 3 (mod 8) zutrifft. dem n Stellen wir nun das Geschlecht p(n) der 2m-blättrigen Fläche auf Grund der Regel (4) in 1,88 dar, so kommt für n> 4:
°+
=
=
=
p(n)
=
-
2m
+ 1 + 2 ~v_2_1 + {- snh(4n),
wofür wir mit Rücksicht auf (15) auch schreiben können: p(n)
=
2Po(n) - 1
+ fE
n h(4n).
Es ergibt sich hieraus der Satz: Das Geschlecht po(n) des Klassenpolygons K" berechnet sich nach der Regel: (16)
po(n)
=
fp(n)
+t -
-}s"h(4n),·
wo p(n) das durch (5) S.356 gegebene Geschlecht des Transformations.polygons T" ist, h (4n) die Klassenanzahl ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D = - 4n ist und S" für n 7 (mod 8) den Wert 2, für n 3 (mod 8) den Wert t und sonst den Wert 1 hat. Man kann hieraus noch den speziellen Satz ableiten: Die mit Sn multiplizierte Klassen-
=
=
=
lungen der Gruppe ['cn>, die noch nicht der Gruppe [''/J(n) angehören, für n 0, 2 und 3 (mod 4) eindeutig den ursprünglichen Formklassen der positiven Diskriminante 4n zugeordnet sind, im Falle n _1 (mod 4) aber ebenso den ursprünglichen Formklassen der beiden positiven Diskriminanten n und 4n. Vgl. R. Fricke "Über Transformations- und Klassenpolygone", Gött. Nachr. von 1919.
Geschlecht des Klassenpolygons Kn
367
zahl h(4n) liefert ein Produkt c"h(4n), das stets < 2p(n) + 2 ist; erreicht die Anzahl cn h(4n) ihre obere Schranke 2p(n) + 2, so ist das Geschlecht des Klassenpolygons gleich 0. Unter den 71 Graden n, für welche oben S. 357 die Geschlechter p(n) angegeben sind, liefern 36 Klassenpolygone des Geschlechtes Po = 0, nämlich:
n
=
2,3, ... , 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 39} 41, 47,49, 50, 71.
§ 5. Algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen
Transformationsgleichungen. Wie schon oben (S. 349) angedeutet wurde, gründet sich die von Klein entwickelte algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen Transformationsgleichungen auf den Gebrauch der Transformationspolygone. 1) Durch die Funktion j (ro) bildeten wir das einzelne Tn auf die Transformationsfläche F" ab, die '1jI(n)-blättrig die j-Ebene überlagerte, und deren Verzweigung, wie oben (S.352) im Falle n = 7 geschildert wurde, aus dem mit dem Dreiecksnetze der ro-Halbebene ausgefüllten Polygone Tn abgelesen werden kann. Auf dieser Fläche F" ist dannj' eine tP(n)-wertige algebraische Funktion, deren Zusammenhang mitjeben durch die Transformationsgleichung dargestellt wird. Die von Klein entwickelte Theorie der Transformationsgleichungen beruht nun auf der Verwertung der Hilfsmittel von Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen. Der Grundgedanke ist, auf der Riemannschen Fläche F" nicht sogleich die Funktionen j' und j einer verhältnismäßig hohen Wertigkeit zu betrachten, sondern sich zunächst geeignete Funktionen einer möglichst niedrigen Wertigkeit zu verschaffen und sodann j' ttnd j in ihnen rational darz~lstellen. Bei den 14 S.357 genannten Graden n, für welche die Flächen F" das Geschlecht p = haben, gibt es einwertige Funktionen. Eine geeignete Funktion dieser Art, die T(ro) genannt werden möge, ist im Einzelfalle auszuwählen, und sodann sind j und j' rational in T darzustellen. Für die Gewinnung dieser rationalen Darstellungen benutzte Klein eine rein algebraische Methode, die sich auf die Verzweigung der tP(n)-blättrigen Fläche Fn über der j-Ebene gründet. Es gelang ohne Be-
°
1) Das Polygon Tn gibt uns, wenn wir über die co-Teilung noch die nach dem
Maßstabe
~.. gezeichnete .Q-Teilung getragen denken (s. die Figuren 5,6, ... S. 358 ir.),
n ein anschauliches Bild für die zum n'en Grade gehörende spezielle Transformationsgleichung F(j', j) = O. Ein beliebig vorgeschriebener komplexer Wert j tritt in l/J(n) Punkten von Tn auf, die äquivalent im Netze der co-Teilung sind. Sie sind in der .Q-Teilung '!/J(n) Punkte, deren zugehörige Funktionswerte j'(co) =j(.Q) die 11' (n) zugehörigen Wurzeln der Gleichung F(j',j) = 0 sind.
368
II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe
nutzung der Potenzreihen die gewünschten Darstellungen für j' und j in allen 14 Fällen in Erfahrung zu bringen. Der Transformation W wird dabei eine wichtige Rolle zuerteilt.1) Die Transformationsgleichung selbst ergibt sich durch Elimination von -r aus den beiden Gleichungen für j und j'. Zur Weiterführung dieser Entwicklungen zog Fricke 2) neben den Polygonen T" auch noch die Klassenpolygone Kn und die zugehörigen Flächen F(n) heran und benutzte überdies bei den algebraischen Rechnungen formentheoretische Methoden una Potenzreihen. Auf diese Weise werden die 36 Fälle, in denen das Klassenpolygon Kn das Geschlecht 0 hat, ziemlich leicht zugänglich. Die vorliegende Darstellung entwickelt insbesondere die letzte Methode, und zwar in einer Reihe von Fällen, in denen das Geschlecht Po (n) = 0 ist. Wir bezeichnen mit -r(oo) eine geeignet gewählte einwertige Funktion der dem Klassenpolygone Kn entsprechenden Fläche F(n) in ihrer Abhängigkeit von 00. Diese Funktion ist dann gegenüber den Substitutionen der erweiterten Gruppe T(n) invariant. Durch Abbildung des Transformationspolygons Tn vermittelst -r((0) gewinnt man eine zwei blättrige Fläche über der -r-Ebene mit (2 p + 2) Verzweigungspunkten, wo p das Geschlecht des Transformationspolygons T" ist. Wir denken -r so gewählt, daß der Unendlichkeitspunkt dieser Funktion nicht gerade in einen jener Verzweigungspunkte fällt. Ist dann hP+2(-r) diejenige rationale ganze Funktion (2 p + 2) ten Grades mit dem höchsten Koeffizienten 1, deren Nullpunkte die (2 p + 2) Verzweigungswerte -r sind, so ist:
(1) eine zweite Funktion der Fn bzw. der T 'I{I(n)l die gegenüber der Substitution W Zeichenwechsel erfahrt, und die zusammen mit 't zur rationalen Darstellung aller Funktionen der Fn ausreicht. 3) Zu diesen Funktionen gehören nun insbesondere auch j und j'. Mit Rücksicht auf das Verhalten von 6 und -r gegenüber lY folgt somit der Satz: In den 36 Fällen, in denen das Geschlecht des Klassenpolygons K" gleich 0 ist, gibt es stets zwei Funktionen -r(oo) und 6(00) der r'l{l(n)' die 1) Ygl. die S. 349 genannten Arbeiten von Klein und Gierster. Übrigens sind die betreffenden Entwicklungen in "Modulfunktionen", Bd. 1, S. 634 ff. ausführlich dargestellt. 2) Vgl. die Abhandlung "Neue Beiträge zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen", Math. Ann., Bd. 40 (1891). 3) Die Gleichung f~p+ 2(~) = 0 hat als Wurzeln die Werte der Funktion ~tro) in den Nullpunkten der S. 362 ff. betrachteten h(4 n) bzw. (h(4 n) h(n» die Werte repräsentierenden quadratischen Formen. Wir nennen eine Gleichung dieser Art f2p + 2 ('t') = 0 deshalb eine "Klassengleichung" und kommen bei den arithmetischen Anwendungen der elliptischen Funktionen auf -deren rrheorie ausführlich zurück.
+
Einfachste Funktionen des Klassenpolygons Po
=
0
369
durch eine algebraische Relation: (2)
(j2_t~p+~(r)=0
verbunden sind, wo h p+2(r) eine rationale ganze Fttnktion de8 Gmdes (2 p + 2) ist und p das Geschlecht des Transt'ormationspolygons bedeutet. In den Funktionen -r (ro) und (j (ro), von denen die erste gegenüber W unverändert bleibt, während die zweite Zeichenwechsel erfährt, lassen sich j und j' rational in der Gestalt:
(3)
j=R(-r,o),
j'=R(-r,-(j)
darstellen. Durch Elimination von (j und -r aus den drei Gleichungen (2) und (3) ergibt sich die spezielle Transformationsgleichung FU', j) = 0 für den nte" Grad. Bei der wirklichen Herstellung der Funktionen -r (ro) und (j (ro) bedienen wir uns ganzer Modulformen der r ,/,(n). Die algebraischen Überlegungen stützen sich dabei auf einen Satz über die Anzahl der Nullpunkte solcher Formen im Transformationspolygon Tn' der zunächst aufzustellen ist. Wir verstehen unter Gi (roll (0 2) eine ganze Modulform der
r
-0 2
von der Dimension -~, die gegenüber den Substitutionen der r ,/,(n) entweder unverändert bleibt oder sich nur um Einheitswurzeln als Faktoren ändert; eine hinreichend hohe, etwa mte Potenz dieser Form bleibt dann gegenüber den Substitutionen der r,/,(n) unverändert. Demnach ist der Quotient: ,/,(n)
(4) eine Modulfunktion der r ,/,(n) und also eine algebraische Funktion der Transformationsfläche Fn. Für eine solche Funktion ist aber die Summe der Ordnungen aller Nullpunkte auf der Fn gleich der Summe der Ordnungen aller Pole. Für den Zähler des Quotienten (4) ist also die Summe aller "im Polygone Tn gemessenenl! Nullpunkte (vergl. I, 307) gleich derjenigen des Nenners, d. h. gleich m ~ . 'I/J (12). Damit ergibt sich der Satz: Eine ganze Modulform der Dimension - ~, die gegenüber den Substitutionen der r ,/,(n) , abgesehen von multiplikativen Einheitswurzeln, unverändert bleibt, hat im Transformationspolygon T n Nullpunkte in der Gesamt-
m·dnung ~'I/J (n). Daß bei Modulformen Nullpunkte gebrochener Ordnungen in einem Diskontinuitätsbereiche auftreten können, erkannten wir bereits in I, 307. Nach den damaligen Erörterungen wird man sofort folgenden Satz verstehen: In einer mit ro = i äquivalenten Ecke des Transformationspolygons T n (deren zugehörige elliptische Substitution der Periode 2 dann in r ,/,(n) enthalten ist) kann eine ganze Modulform der r ,/,(n), "irn Polygone Tn gemessen", einen Nullpunkt gebrochener Ordnung Fricke, Die elliptischen Funktionen 11
24
370
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
mit dem Nenner 2 haben, und ebenso kann in einer mit m = (! äquivalenten Ecke von T",ein Nullpunkt gebrochener 01'dnung m# dem Nenner 3 auftreten, Beim einzelnen Transformationsgrade n haben wir nun die B"etrachtung allemal an die ganzen Modulformen möglichst niedriger Dimension anzuknüpfen. Diese aber werden uns von den Modulformen (- 1)ter Dimension '!Jo und Zo des vorigen Kapitels geliefert, auch von den Potenzen des Ausdrucks 2.y Li' Li und den Formen ~o' Wie hierbei zu verfahren ist, muß den folgenden Einzelbetrachtungen überlassen bleiben. Das erste Ziel wird sein, jedesmal ein Paar von Formen 7:1 (m l1 m2), 7: 2 (m l1 m2) gleicher Dimension herzustellen, die als Quotienten 7:1 : 7:2 = 7: die gewünschte einwertige Funktion der ren) liefern. Die weitere Entwicklung hat alsdann die Darstellung von j und j' in 7: und dem zugehörigen (j zum Gegenstande. Wir schreiben zunächst die Transformation W in homogener Gestalt:
(5)
,
i
(i)2
m =-1
y'n'
in der sie gleichfalls die Periode 2 hat, Die Ausdrücke:
(6) sind dann ganze Modulformen der r '/Jen)' die gegenüber W unverändert bleiben oder Zeichenwechsel erfahren, je nachdem in (6) die oberen oder unteren Zeichen gelten. Wir werden diese Ausdrücke (6) in den 7:11 7:2 , (j darzustellen versuchen und gelangen auf diese Weise schließlich zu den Ausdrücken (3) von j und j'. Hierbei wird dann auch noch das Hilfsmittel der Potenzreihen eine wichtige Rolle spielen.
370
II, 4. Transformationsgleichungen erster 8tnfe für niedere Grade n
Viertes Kapitel.
Aufstellung der Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade 'n. Bei Entwicklung der allgemeinen Ansätze des vorigen Kapitels werden die ungeraden Transformationsgrade bevorzugt. Unter den 36 S. 367 zusammengestellten Graden n mit poen) = 0 sind nun zunächst die fünf ersten Potenzen n = 2, 4, 8, 16, 32 der Zahl 2 enthalten. Ihre Behandlung schließen wir unmittelbar an die Entwicklungen über die Funktionen zweiter Stufe in I, 434fr. an, indem wir uns übrigens der soeben entwickelten algebraischen Methoden bedienen. Für die ungeraden Trans. formationsgrade ziehen wir dann die analytischen Hilfsmittel der voraufgehenden Kapitel ausführlich heran. Ist aber allgemein der Grad R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_9 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
Transformation zweiten Gra.des
371 n = 2" . n' und n' ungerade, so werden wir versuchen, die Transformation dieses Grades n auf diejenigen der beiden Grade 2~ und n' zurückzuführen. Es vereinfacht die Formeln ein wenig, wenn wir uns an Stelle von j(m) = 12sJ(m) wieder der ursprünglichen Funktion J(m) bedienen. Mit t' (m) und 15 (m) bezeichnen wir einwertige oder zweiwertige Funktionen der Gruppen· r 1/'(11); doch sei bemerkt, daß diese Bezeichnungen wenigstens anfangs nicht immer genau in dem S. 368 vereinbarten Sinne gebraucht sind.
§ 1. Die Transformationsgrade 2, 4:, 8, 16 und 32. 1. Transformation zweiten Grades von J(m). Die beim Transformationsgrade n = 2 auftretende Transformationsgleichung dritten Grades für J (m) kann aus den Entwicklungen in I, 434 ff. abgeleitet werden. In I, 442 wurde die mit A (m) bezeichnete einwertige Funktion der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe eingeführt, die nach der zweiten Gleichung (3) in I, 444 in:
(1) \
t'
( )
- 4 m = l.(ro) f (ro + 1)
4 1 - A(ro)
A(ro)'-
=
et i)
eine für unsere Zwecke geeignete einwertige Funktion des Transformationspolygons T2 liefert. Aus A(i (0)
=
0, A(0)
1, A
=
=
2 berechnen
sich als Werte von t' (m) in den Ecken des durch Fig. 7, S. 360, dargestellten Polygons Tl!:
(2)
t'
(0) = 0,
t' (
t) =
+1+' 2
~ 1,
t'
(i (0) =
00.
Die Substitution W transforwiert T2 in sich, so daß t' (W(m) wieder eine einwertige Funktion von T 2 und als solche eine lineare Funktion von t' (m) ist. In der Tat gilt:
(3)
t'
-1) = '/: (ro) 1, (~.
°
da durch W die Polygonspitzen
und i
00
und also die Werte
und t' = 00 ausgetauscht werden und der Eckenzyklus mit der Wert T = - 1 in sich transformiert wird. Aus (6) in 1,445 folgt bei Umrechnung auf T:
(4)
J : (J - 1) : 1
=
(T
+ 4)3: (T -
8)2 (T
±l+i ---2---
+ 1) : 27 T 2.
Übt man die Substitution Waus und schreibt zur Abkürzung:
J (;})
=
J(2 m)
=
J'(m), T (;})
=
T'(m),
so folgt bei Fortlassung des Argumentes m: 24*
t' =
°
und da-
372 (5)
II, 4. Transforma.tionsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
J': (J' - 1): 1 = (t' + 4)8: (t' - 8)2(t' + 1) : 27
.,;'2,
$'
=
+
oder als Darstellung der transformierten Funktion J' durch $:
(6)
J': (J' -1): 1 = (4 $
+ 1)8: (8 $ -
1)2 ($
+ 1): 27 $.
Die Elimination von.,; aus (4) und (6) führt zur Transformationsgleichung von J (ro) für den zweiten Grad. Benutzt man vorübergehend wieder j (ro), so folgt zunächst:
4
J}F
rJ
=
,:+4
e}l-;)"
;;/-;;-
rJ ~
4
1:'+4
(fI.:-;-)"
, $' $
1
=
.
Man findet somit:
m
j
+
16 (4 ($ + $') + 17), j' = 64 (64 ($ + $')2 + 49 =
sowie weiter durch Elimination von ($
(7)
($
+ $'):
+ $') -
104),
j' +j _(W)2 + 3 2 .5.11 }In - 24 .3 3 .5 3 = O.
Durch l!'ortschaffung der Kubikwurzel aus j'j ergibt sich als spezielle Transformationsgleichung für j (ro) beim zweiten Grade:
(8)
j'3 + jS -
J2l + 1488 j'j (j' + j) -
162.103(j'2 + l) + 8748· 106(j' + j) - 157464.109 = 0
+ 40773375 j'j
oder bei Zerlegung der Koeffizienten in ihre Primfaktoren:
(9)
er
j'3 + jS- J2P + 24 .3. 31j'j (j' + j) - 24 .34 .5 3 +)2) + 34 • 53 .4027 j'j + 28 . 37 .56 (j' + j) - 212 • 39 • 59 = O.
Die Koeffizienten entsprechen den allgemeinen Sätzen von S. 348, sind aber bereits in diesem niedersten ~alle n = 2 außerordentlich große ganze Zahlen, wenn sie auch (abgesehen von 4027) nur aus ganz niederen Prim faktoren aufgebaut sind. Schon in den nächsten Fällen n = 3, 4, ... bietet die endgültige Herstellung der Transformationsgleichungen für j (ro) große rechneri~che Schwierigkeiten, die auch nur im Falle n = 3 überwunden sind. Für den späteren Gebrauch wird es nun nicht nötig sein, die Gleichungen in ferti!~er Gestalt zu besitzen. Es wird für unsere Zwecke, den Fall n = 2 betreffend, ausreichend sein, die beiden Gleichungen (4) und (6) zu kennen, aus denen die Transformationsgleichung selbst dt~rch Elimination von $ gewonnen wird, oder, was auf dasselbe hinausläaft, die Gleichung (4) und damit die gleichgebaute Gleichung (5) zw ischen J' und $', sowie die Relation zwischen $ und $' zu besitzen. Bis zu diesem Punkte werden wir demnach die Untersuchung in den folgenden Fällen n = 3,4, ... führen. 1) 1) Im Sinne späterer Entwicklungen haben wir in (7) eine ,,'l'ransformations-
373
Die Transformationen der Grade 2 und· 4
2. Transformation vierten Grades von J(ro). Der Übergang zu den Graden 4,8, 16,32 wird jedesmal durch Ausziehen einer einzigen Quadratwurzel vollzogen. 1) In Fig. 11 ist das Polygon T4 dargestellt. Die imaginäre ro-Achse und die beiden von ro = 0 nach ro =
+ ~+i
ziehenden Kreisbogen
zerlegen T4 in vier Kreisbogendreiecke. Die beiden schraffierten Dreiecke sind Abbilder der positiven t - -...-~----=O---!-f Halbebene der eben bei n = 2 benutzten Funktion 't', Fig.11. die fortan genauer 't'2 heiße. Einige Werte dieser Funktion sind: _....L...
die letzte Angabe folgt aus der Gleichung (6) für J' = J(2 ro), falls man ro = ~ und also J' = 1 einträgt. Eine einwertige Funktion des Polygons T4 heiße jetzt 't' (ro). Wie schon in I, 442 erörtert wurde, ist eine solche einwertige Funktion dadurch eindeutig erklärbar, daß man an drei Stellen des Polygons die drei Werte von 't'ero) vorschreibt. Wir setzen die Gleichungen fest: (11)
't'(±t)=-t,
't'(0) =0,
't'(ioo) =00.
Die zu n = 4 gehörenden Substitutionen Wund W mögen genauer W 4 und W 4 heißen. Der Symmetriekreis der Spiegelung W 4 ist der T4 durchschneidende, die Punkte ro = ± ~ verbindende Halbkreis. Durch W 4
+
werden die Punkte ro = 0 und i 00 und also die Werte 't' = 0 und 00 ausgetauscht. Anderseits wird durch W 4 der Punkt ro formiert und ebenso der Eckenzyklus ro = ± so ist die Wirkung von W 4 auf 't' (ro) durch:
t.
=
in sich trans-
Da 't' (± t)
=
-
t
ist,
gleichung dritter Stufe", nämlich eine solche für die Funktion dritter Stufe
VJ.
Diese Gleichung hat bereits viel kleinere ganzzahlige Koeffizienten. Die
gleiche Erscheinung kommt um so mehr zur Geltung, je höher die Stufe der Gleichung ist. Die in ihrer fertigen Gestalt am einfachsten gebauten Transforma· tionsgleichungen werden diejelligen sein, die wir im übernächsten Kapitel als "Jacobische" und als "Schlaeflische ModulargleichJlngen" betrachten; sie gehören zu den Stufen 16 und 48. 1) Man vgl. den Satz von S. 262 liber die LÖ8ung der speziellen Teilungsgleichung fi1r' einen Grad, der eine Primzahlpoten7 ist.
374
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niede>:e Grade n
~ (~:) =
(12)
41;l(m)
gegeben, woraus man .weiter auf ~ (~)
~ schließt.
=
Nun ist ~s (ro) als zweiwertige Funktion des Polygons T4 eine rationale Funktion zweiten Grades von ~. Ihre beiden Nullpunkte fallen bei ro = 0 und also bei ~ = 0 zusammen, die Pole liegen bei ro = i 00 und ro = ± t und also bei ~ = 00 und ~ = - 1· Da endlich für ~ = t der Wert ~2 = {- zutrifft, 80 besteht für 'T 2 die Darstellung: (13)
in 'T. Trägt man diesen Ausdruck von nannte Funktion ein, so folgt: (14)
~2 111
(4) für die daselbst 'T ge-
J: (J -1): 1 = ('T 2 + 8~ + 4)8: ('T3-15~2: 271:4 (2 'T 1).
+
24~
- 8)2
Diese Gleichung, die entsprechende in J' und ~', sowie die aus (12) folgende Gleichung 4~' ~ = 1 haben wir als Ersatz der Transformationsgleichung für J (ro) beim vierten Grade anzusehen. 3. Transformation achten Grades von J(ro). Fig. 12 stellt das Polygon T8 dar, dessen sechs mit Nummern versehene Seiten durch folgende der r 1/1(s) angehörende Substitutionen aufeinander bezogen sind:
1 ~ 6,
(~: ~); 2 ~ 5,
3~ 4,
G: ~).
(8,3, 1)3 .'
Die stark ausgezogenen Kreise sind Sym-
Fig. 12.
metriekreise von Spil'lgelungen der Gruppe T(S). Der Diskontinuitätsbereich dieser T(8) ist ein Kreisbogenviereck mit zwei Winkeln 0 und zwei rechten Winkeln. Die in der Figur mit e und e' bezeichneten Ecken der rechten Winkel liegen bei: (15)
ro
=
-2V2+i - = - - und 6
Y2
i ro = . 2
V2
Die beiden in der Figur schraffierten Dreiecke sind Abbilder der positiven ~4- Halbebene. 1) Diese in (14) mit ~ bezeichnete Funktion hat die 1) In sofort verständlicher Weise bezeichnen wir mit t"4(m) die soeben bei der Transformation vierten Grades von J(m) benutzte Funktion t" (m). Einer entsprechenden Bezeichnungsweise bedienen wir uns in den nächsten Fällen.
375
Transformation achten Grades
Spitzen werte :
(16)
~4(±t)=-h
T4(±-~-)=T",(ioo)=00,
T4,(O) =0.
Die Abbildung von T8 durch ~'" (00) liefert, wie man aus Fig. 12 abliest, eine zweiblättrige Fläche über der ~4-Ebene, die zwei bei T 4 = 0 und - {gelegene Verzweigungspunkte hat. Demnach haben wir in der Quadratwurzel: t(oo) = -V21;4(~)+1_ (17) 2"'.(00)
,
die auf der imaginären oo-Achse positiv genommen werden soll, eine einwertige Funktion von T8 mit den Spitzenwerten:
(18)
t(ioo)=l,
t(O) = 00, t(±{-) =0, t(±t)=-l.
Durch Ws werden die Werte 1 und 00 von t ausgetauscht und ebenso die Werte 0 und - 1, woraus man leicht folgert: t (-::-:-
(19)
I)
=
800
t(Ol)+~.
t(Ol)-l
An die Stelle von t (00) soll nun weiterhin die gleichfalls einwertige Funktion: ~ (00) = 2 (t(w) - 1) treten, deren Spitzenwerte nach (18) die folgenden sind:
(20)
~(ioo)=O,
~(O)=oo,
T(±t)=-2, T(±t)=-4.
Die Wirkung von Ws ist zufolge (19):
(21)
T
8 (-1) 80) - dOll' ----
~
woraus sich für die beiden Stellen (15) die Werte berechnen:
(22)
r Für
T4
2 V2 + i) --;;:Vf--
(-
=
-
1
F-
2 r 2,
ergibt sich aus (17) als rationaler Ausdruck in
T:
(23) Durch Eintragung dieses Ausdrucks von T 4 in die rechte Seite von (14) gelangt man zu dem Ergebnis: Der Ersatz der Transformationsgleichung für J (00) beim achten Grade ist die Gleichung:
(24)
+ 8 T 3 + 20 r 2 + 16 T + 1)3 : (2 T 6 + 24 T 5 + 108 T 4 + 224 T 3 + 207 T 2 + 60 T : 27 T (T + 4) (T + 2)2,
J: (J -1): 1 = 4
(T 4
die entsprechende Gleichung zwischen J' und
T'
und die Relation
2)2
T' . T =
8
376
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
4. Transformation 16 ten Grades von J(ro). In Fig. 13 ist das Polygon T16 dargestellt, dessen zwölf Seiten durch folgende Substitutionen aufeinander bezogen sind:
1 __ 12,
(~:~); 2 __ 11, (1!:~); 3 -- 4, (~:: -!); 5 -8, 6 - - '"i,'
(1,0) 16,1 ;
9 -- 10
(16,6, -1) _ 8 .
(4!: ~);
Die stark ausgezogenen Kreise sind Symmetriekreise von Spiegelungen der Gruppe T(l6). Das ganze Polygon T16 ist hier aufgebaut aus vier Kreisbogene 12 fünfecken, deren einzelnes drei und Winkel zwei rechte Win~'---~--~7-~~----~---+~~~--~t~--~t-- kel hat und Fig.1S. durchweg aus Symmetriekreisen von Spiegelungen eingegrenzt ist. So haben z. B. die mit den Nummern 2 und 3 versehenen Kreise die Gleichungen:
°
48 (;1 + '1';2) sie sind die Symmetriekreise der in der ,
ro = _
+
7 co 8 16 w _ 7 '
r(l8)
,
ro = _
+ 32; + 5 =
0;
enthaltenen Spiegelungen:
+
16 co 6 48 w - 16 .
Der die beiden Punkte ± t verbindende Halbkreis ist der Symmetriekreis der Spiegelung W l6 • Die Punkte e und e', gelegen bei ro
=
-
i 4
und
ro
-8+i =
20
'
sind die Nullpunkte der beiden quadratischen Formen (16, 0, 1) und (80, 64, 13), durch die wir die beiden Formklassen der Diskriminante D = - 64 repräsentieren können. Das schraffierte Kreisbogenviereck der Ecken 0, i 00, - -}, - t ist hier ein Abbild der negativen "rs-Halbebene. Das zweite Abbild dieser Halbebene findet sich zur rechten Hand am unteren Ende des Polygons T16 und wird durch den Rand dieses Polygons in zwei Stücke zerschnitten. Die Spitzenwerte von 't'8 sind:
(25)
't'8(0) = 00,
"rs(ioo) = 't'8(±i) =0, 't'8 (± {-) = - 4.
"r8 (±i-)=-2,
Transformation 16'en Grades
377
Mitte1st der Funktion -rs (ro) wird T16 auf eine zweiblättrige Fläche mit zwei von ro = 0 und dem Eckenzyklus ± -} herrührenden, bei -rs = 00 und -rs = - 2 gelegenen Verzweigungspunkten abgebildet. Eine einwertige Funktion von T16 hat man demnach in:
t (ro) = Jlt-rs (ro)
(26)
+1,
wo die Wurzel auf der imaginären ro-Achse positiv genommen werden mag. Diese Funktion hat folgende Spitzenwerte: t(O)=oo,
t(±-}) =0, t(±-})=-l,
t(ioo) = 1,
aus denen man leicht als Wirkung der Substitution W 16 folgert: t(-l)
(27)
16 co
=
t(co)+l t(co)-l'
An Stelle von t (ro) soll jetzt, wie im Falle n einwertige Funktion des Polygons T16 : -rtro)=2(t(ro)-1)
=
8, die gleichfalls
.
eingeführt werden, die die folgenden Spitzenwerte hat: (28)
-r(O) =
00,
-r(ioo) =0,
-r(±-~-)=-2,
-r(±-})=-4
und zufolge· (27) gegenüber fV;.6 das Verhalten zeigt: (29)
-r
8(~5 . (16-1) co = 't"
Der Zusammenhang zwischen -rs und -r ist: -r8 =
t -r2 + 2 -r.
Durch Eintragung dieses Ausdrucks von -rs in (24) ergibt sich der Satz: Der Ersatz der Transformationsgleichung tür J(ro) beim 16 ten Grade ist die Gleichung:
+ 448 f'5 + 1104 -r4 +1664 f'B + 1408 f'2 + 512 f' + 16)3 24 -r 11 + 264 f'10 + 1760't9 + 7896 -r8 + 24960 -r7 + 56448 -r 6 + 90624 -r5 + 99 960 -r4 + 70592 -r + 27456 -r
(30) J: (J - 1) : 1 = (t 8 + 16 t 7 + 112
: (t 12 +
f'6
3
+ 3840 -r -
: 1728 -r (-r
2
64)2
+ 4)(-r + 4 -r + 8)(-r + 2)4, 2
die entspt'echende Gleichung zwischen J' und
f"
und die. Beziehung 't'-r = 8.
378
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
5. Transformation 32 8ten Grades von J(w). Aus T16 kann man das Polygon T32 dadurch herstellen, daß man die heiden durch die ima~ ginäre w-Achse ausgeschnittenen Hälften von T16 mittels der Substitu-
± 16 + 1 transformiert und die entstehenden Bereiche längs
tionen w' =
(j}(j)
der Seiten 7 und 6 von T16 anfügt. Neben den Spitzen von T16 treten dann am Polygone T32 noch weitere Spitzen bei w = ± f2, ± f.t, + -ls auf. Es ist indessen nicht nötig, dieses Polygon T 32 wirklich herzustellen, vielmehr können wir uns zur Erledigung der Transformation 32 sten Grades von J(w) der soeben bei n = 16 benutzten Funktion "t"(w) bedienen. Mittels dieser Funktion wird T32 auf eine zweiblättrige Fläche abgebildet, die als zum Geschlechte p = 1 gehörig vier Verzweigungspunkte hat. Diese Verzweigungspunkte rühren von den Spitzen w = 0, -t (oder +t) und ± t des Polygons T16 her, da die zu diesen Punkten gehörenden Substitutionen (vgl. die bei Fig. 13 genannten Substitutionen):
(7, 4,) -16,-9'
(1,0) 16,1'
noch nicht der
r '/I(32)
(5 -1) 16:-3'
(- 3, - 1) 16, 5
angehören, während ihre Quadrate der Bedingung
r = 0 (mod 32) genügen. Die vier Verzweigungspunkte liegen also bei
2 und (- 2 ± 2 i); die beiden letzten Punkte sind die N ullpunkte des im dritten Gliede der rechten Seite von (30) auftretenden Faktors ("t"2 + 4 "t" + 8). Es ergibt sich also der Satz: Für das zum Geschlechte p = 1 gehörende Transjormationspolygon T32 hat man ein Funktionssystem in: "t" =
00, -
(31)
"t"
(w),
(w) die bei n = 16 so benannte Funktion ist ttnd die Quadratwttrzel auf der imaginären w-Achse positiv genommen werden mag. l )
WO "t"
Mit
"t"
(w) ist nun auch
von T32 , so daß 't'2
"t"
und
(ao"t"s + bo"t" + co)
't'
"t"'
(w)
= "t"
(.~-~) eine zweiwertige Funktion
durch eine algebraische Relation der Gestalt:
+ 't' (al 't 2+ b1 t: + Cl) + (a 2 "t"2 + b2 t: + C2 )
=
0
aneinander gebunden sind. Die beiden Stellen 't' = 00 fallen in der Spitze w = i 00, d. h. bei "t" = 0 zusammen, so daß (ao'['2 + bo7: + co) mit '['2 identisch ist. Die beiden Stellen 7:' = 0 treten bei w = 0 und w = ± i ein, und also bei "t" = 00 und "t" = . - 2, so daß (a 2 7: 2 + b2 't c2) mit b2 (7: + 2) identisch ist. Da die Relation zwischen "t" und 7:' überdies symmetrisch sein muß, so hat sie die Gestalt:
+
1) Man hat hier ein elliptisches Gebilde des harmonischen Falles vor sich.
379
Transformation 82 sten Grades
Man trage hier noch ein: ro = -
~, -r' = -r (:)
=
+ 2 i,
2
-
-r
=
-r
(~1)
=
-
4
und findet mit Rücksicht auf den Umstand, daß die Koeffizienten b, c reell sein müssen, b = - 32, c= - 64. Die gesuchte Relation ist: -r'2-r 2 -
(32)
32 -r' -r - 64 (-r' + -r) - 128
=
O.
Als Bestätigung dieses Ergebnisses kann die nach -r' gelöste Gleichung gelten: insofern sich rechts, wie es sein muß, die Quadratwurzel (31) einfindet. Als Ersatz der Transformationsgleichung für J( ro) beim Grade n = 32 hat man nun einfach die Gleichung (30), die entsprechende Gleichung zwi- . schen J' und -r' und die Beziehung (32) zwischen -r' und -r anzusehen. 6. Weitere Transformationsgleichungen für den zwei ten Grad. Die Transformationsgleichung für die Modulform Gl (roll ro2) lautet beim zweiten Grade einfach:
da Gl
,
=
25G~ -
+
2g2 Gl
gs = 0,
-
e2 = ~- gJ (~.) ist. Die durch W 2 transformierten Formen:
g2 = gs
(i112' W.
~1 112)
i,'
,=
gs
ga
(i112' W.
W1
112)
i'
Li' = Li
(i112' w.
ro 1
112)
i
g;
gestatten folgende Behandlung. Nach einem Satze von S. 369 hat in T2 einen Nullpunkt, der zufolge (6) S. 372 bei -r = - i liegt; derjenige von gj liegt bei -r = - 4. 1) Der Quotient g~: g2 ist demnach als einwertige Funktion in T2 linear durch -r darstellbar, und zwar in der Gestalt:
g;
4$'+1
+
-=0-g2 't' 4 '
wo 0 eine Konstante ist. Da der links stehende Quotient gegenüber W 2 in seinen reziproken Wert übergeht und dasselbe zufolge (3) von T( ro) gilt, so kann c nur gleich + 1 oder - 1 sein. Da auf der imaginären ro-Achse der links stehende Quotient und auch -r reell und positiv sind, so ist 0 = 1. In ähnlicher Weise findet man auch die zweite und dritte der folgenden Gleichungen: ( 33)
g; g2
=
+ 1 g; = + 4,' g.
41: 't'
_
8't' - 1 't' - 8 '
1) Vgl. auch Fig. 7, S. 360, die das mit den bei den Netzen versehene Polygon T. darstellt. Hier sind die von sechs Dreiecken umlagerten Punkte
-1+il/ ä
bzw. w = - - 4 - - die Nullpunkte von
g.
und
g;.
W
=
-
1
t
i
V3
380
11, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Durch Elimination von 't' aus (4) und der ersten oder zweiten dieser Gleichungen gewinnt man als Transformationsgleichungen für g2 und gs beim zweiten Grade: ,
+
_ 23 • 3 2g2g~2 + 3 .11g~g~ (112g~ - 33 • 5Sg;) = 0, 26g;3+ 24. 3· l1gsg;2+ (2 4. 5g~ + 3 s . 72gDg~ - (72g~g3-11SgV = O.
{24g~3
(34)
Aus der dritten Gleichung (33) und der Gleichung (4) folgt: 3g~
yd =
't'+4
-(V~)s =
4 LI'
+ LI
V:.:t' (VLI)21
4'
3
LI -
~fAI-
g2" LI LI
+ LI =
0
.
Durch Zusatz des Faktors LI ergibt sich für die Modulform zweiter Stufe f(w H ( 2 ) = LI' LI beim zweiten Grade die Transformationsgleichung:
V
(35)
4[3-3gsLlf+Ll2=0.
7. Weitere Transformationsgleichungen für den vierten Grad. Auch beim vierten Transformationsgrade sind noch einige weitere Gleichungen bekannt. Gehen wir zunächst auf die Darstellungen (1) S. 304 von GI (WH Ws) für irgendein n zurück und üben die in (5) S. 370 gegebene homogene Substitution W" aus, so finden wir mit Rücksicht auf den Umstand, daß die Perioden des Integrals zweiter Gattung mit den WH Ws kogredient sind und übrigens in den Wll W2 die Dimension - 1 haben: (36) die Modulform n ler Stttfe G1(W i , ws) ist also gegenüber der homogenen Substitution W n invariant. Wir stellen nun die Modulform vierter Stufe Gi (w i , ( 2 ) mit der zur zweiten und also auch zur vierten Stufe gehörenden Form es (w l , ( 2 ) zusammen und notieren die Anfangsglieder:
(37)
Gi =
(~;r
c+
4 q2 + ..
-),
e2 =
(::r (~ +
4 q2 +
.. )-
Nach dem Satze von S. 369 hat jede dieser Formen im Polygone T4 einen Nullpunkt erster Ordnung. Derjenige von GI wird wegen (36) durch W4, in sich transformiert, liegt also entweder bei
W
= ; oder
W
=
± ~.
Die
erste Möglichkeit ist indessen ausgeschlossen, da GI wegen der positiven Reihenkoeffizienten auf der imaginären w-Achse nicht verschwindet. Also liegt der Nullpunkt von GI bei w = + t und damit bei 't'4 = 't' = - t. Die Form es hat in T2 einen Nullpunkt der Ordnung t, der nur bei w
=
+ \+ i
der Ansatz:
und damit' bei
't'4
=
't'
= - 1 liegen kann. Hieraus entsteht
381
Transformationsgleichungen für gs, gs, d beim zweiten Grade
Die Konstante c ergibt sich für
(i)
=
ioo aus. (16) und (37) zu
t:
(38) Wir bilden jetzt, unter a und b zwei endliche nicht zugleich verschwindende Koeffizienten verstanden, die "lineare Formenschar" (a G1 + be2) der Dimension - 2. Die einzelne Form dieser Schar hat in T4 dann wieder nur einen Nullpunkt erster Ordnung, der durch geeignete Wahl von a, b an eine beliebig vorgeschriebene Stelle von T4 gebracht werden kann. Haben wir dann irgendeine ganze Form go(OO 1 , (0 2 ) des Polygons T4 von der Dimension - 20', die nach dem Satze von S.369 0' einfache Nullpunkte in T4 hat, so entsteht die Möglichkeit, diese Form in der Gestalt:
go= (al G1 + b1 e2)(a2 G1 + b2e2)··· (a O G1 + bOe2)
(39)
als Produkt von 0' Formen der Schar darzustellen. Man kann nämlich ein solches Produkt bilden, das dieselben Nullstellen wie go hat; der Quotient von go und diesem Produkte ist dann als eine von Polen und Nullpunkten freie Funktion der T"'( 4) mit einer Konstanten identisch.
Insbesondere findet man für g2 und g3 die Darstellungen: (40)
g2 =
-
4G~
+ 12 G e2+ 3e:, 1
g3 = 4G~e2 - 12 G1e~+ e~.
Die bei den Nullpunkte von g2 sind nämlich die Wurzeln der quadratischen Gleichung '1: 2 + 8'1: + 4 = 0, so daß man mit Benutzung von (38) den Ansatz hat: Die Konstante C bestimmt man aus den Anfangsgliedern der Reihenentwicklungen. Entsprechend findet man die zweite Gleichung (40). In der mit 4 multiplizierten zweiten Gleichung (40) setze man noch (g2e2 + g3) für 4e: ein und ordne beide Gleichungenllach Potenzen von e2 :
{ 3ei + 12e2 G1- (4G~ + g2) = 0, 48e;G1 - (16 G~ + g2)e2+ 3g3 = 0.
(41)
Durch Elimination von e2 aus diesen beiden Gleichungen erhält man als Gleichung fÜ1' G1 beim vierten Transformationsgrade : (42)
2 7 .3. 5g2 Gi - 2 6 .3 8 • 5g3 Gr - 22 .3 3 .5 gi G~ - 22 • 34 g2 g3 G1 +A = 0.
210G~ -
Der Nullpunkt von es liegt bei 'I: = - 1. Die durch W 4 transforund damit wegen (38) für mierte Form ~ verschwindet also bei 'I: = G) = es' Die Wirkung von W 4 auf e2 ist somit:
t
(43)
382
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
da die zweimalige Ausübung von W, zu e2 zurückführen muß. Aus (40) berechnen sich demnach weiter die Darstellungen:
für die transformierten
g;, g~,
sowie damit die Gleichungen:
Aus jeder dieser Gleichungen und den beiden Gleichungen (41) wolle man nun e2 eliminieren. Es entstehen zwei Ergebnisse, die nach g~ und g~ aufgelöst folgende Darstellungen der transformierte1~ g;, g~ in Gu g2' g3 liefern:
'- 2 4 .3. 5'Gt rg2 -
(46)
1g3
'= -
257 Gig. - 2.3'· 5G, g. 2 4 . 130'1
+9
+ g~
•
j!4·5· 7 Gi-a s . 7 Gjg. -107Gig.+
13G21
24 .
+9
,
7G,9~ + 9.9••
,
Auf dieser Grundlage kann man die Transformationsgleichungen für g2 und g3 als Resolventen der Gleichung (42) einführen. Aus (44) und (40) folgt durch Rückgang zur Funktion -r:
Jb =
(47)
g.
+
32~+ 1 4(~2+ ti ~
641"
+40 .
Andrerseits ergibt sich aus (14) und Ausübung von W,:
Dividiert man die zweite dieser Gleichungen durch die erste, so folgt bei Benutzung von (47):
V·
.:J
(48)
-;;Ji
=
2-r.
Erklären wir daraufhin f( 001 , (0 2) als ganze Modulform viertel' Stufe durch:
(49) so ergibt sich durch Elimination von -r zwischen diesel' Gleichung und der aus (14) folgenden Relation: .d(-r 2 + 8-r
+ 4)S_ 27 g~-r'(2-r + 1) =
0
für f( 001 , (02 ) die sum vierten Grade gehörende Transformationsgleichung der Diskriminante .d: (50)
22
r + 2'· 3L/f" + 2 .3.17 L/ r + 2 2
2
5•
ll.dsr + (3. 59g~
- 2 2 .34 .17 gD .d 3 f2 - (2 2 .3. 5g~ + 24 • 34g;)L/4f + 2 2 .d6 = O.
Weitere Gleichungen für den vierten Grad.
•
383
Der dritte Grad
§ 2. Die Trausformatiousgrade 3, 9 uud 27. 1. Transformation dritten Grades. Das Transformationspolygon
1 3 ist in Fig. 8, S. 361, dargestellt; das Klassenpolygon Ks läßt sich aus zwei symmetrischen Kreisbogendreiecken der Winkel Ecken ro
=
i +3+il/s . -=, 6 ' ~ 00
V3
i, -~, 0 und der
zusammensetzen.
Die Form Gl ist hier einfach So (~~), so daß die beim dritten Grade eintretende Transformationsgleichung für Gl die zn diesem Teilungsgrade gehörende spezielle Teilungsgleichung :
(1)
48 Gi - 2492 Gi - 489a G1 -
g~ =
0
der so-Funktion ist (vgl. den Ausdruck von 1fJ(3l (U) S. 185). Eine einwertige Funktion -r(ro) für Ts führen wir durch die Festsetzung:
(2)
-r (i (0) = 0,
-r
(Ja) = 1,
em. Da Ws die Punkte ro = 0 und i Fixpunkte hat, so gilt:
00
-r(0) =
00
i
va
austauscht und ro = --- zum
1. =(-1) 300 7:(00)
-r ---
(3)
Die Funktion -r(ro) ist auf der imaginären ro-Achse reell und positiv, auf dem äußeren Rande von Ta reell und negativ, und speziell gilt: (4) Die Formen g2' g~ der Dimension - 4 haben in T3 Nullpunkte je in der Gesamtordnung J. Ein gemeinsamer Nullpunkt der Ordnung t liegt im Eckenzyklus
± 3_t~_~;
die Lagen der beiden anderen Nullpunkte
sind aus den bei den Netzen der Fig. 8 sofort abzulesen, sie treten für zwei reelle negative, einander reziproke Werte 't' ein. Hieraus folgt der Ansatz: 9; _ -r+a
---+-92 - a7:+ 1
wo a reell und positiv ist. Das rechts nicht noch ein von ± 1 verschiedener Faktor auftreten kann, folgt aus dem Umstande, daß sowohl der links stehende Quotient wie auch -r durch Ws in ihre reziproken Werte transformiert werden. Für ro = ioo wird -r = 0 und die linke Seite gleich 9; also ist a = 9, und es gilt das obere Zeichen: (5)
384
.
II 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
,
Die Form Gi der Dimension - 2 hat in Ts einen Nullpunkt der . Eckenzyklus =-~6--+3+iV3 und also bei .. = - 1 Ordnung t, der nur 1m liegen kann. Demnach gilt der Ansatz: 9. 9", + 1 ---=c---·
"'+ 1
Gi
Die Konstante c bestimmt man für .. der Reihen für G1 und 92' Es gilt:
(6)
&
Gi
=
~ 9", 3
+1
",+1 '
=
0 mit Hilfe der Anfangsglieder
92
4 '"
+9
Gi =3 ",+1'
wo die zweite Formel aus der ersten durch Ws oder auch mit Hilfe von (5) hergeleitet wird. Eliminiert man 92 aus (6) und (1), so folgt: 8 ",' -
g~
(7)
Gi
=
+ 27 -
18", -
C'" + 1)'
27
wo die zweite Gleichung aus der ersten wieder durch Ws hervorgeht. Da LI eine Form erste~ Stufe mit einer dUl"ch 4 teilbaren Dimension ist, so können wir an Stelle der durch die homogene Substitution Ws umgeformten Diskriminante Li auch: (8) treten lassen, was mit Rücksicht auf die vorzunehmenden Radizierungen vorzuziehen ist. Es gilt nun einfach:
(9)
A' =
_
A
.. 2
'
wo die links stehende Wurzel auf der imaginären w·Achse positiv zu nehmen ist. Der Quotient der Diskriminanten ist nämlich eine Funktion des Polygons T3 , die nur in den beiden Spitzen ioo und 0 verschwinden oder unendlich werden kann. Da sie (wegen des Anfangsgliedes der Reihe) bei ioo einen Nullpunkt zweiter Ordnung hat, so liegt bei w = 0 ein Pol der gleichen Ordnung. In dem daraus sich ergebenden Ansatze Li' : LI = c..2 muß aber c =± 1 sein, da der Quotient LI': LI und .. bei Ws in ihre reziproken Werte übergehen. Endlich ist c = 1, da sowohl Li': LI als .. auf der imaginären w-Achse reell und positiv sind. Die weiteren zum dritten Transformationsgrade gehörenden Glei~ chungen folgen nun einfach durch Eliminationen. Wir entnehmen zu~ nächst aus (6):
(10) und finden sodann durch Addition der GleiGhungen (6) und weiter durch Subtraktion der Gleichungen (7) bei Benutzung von (10):
Transformation dritten Grades
{
eIl)
3g~ = 40G~ -
385
392 ,
- 280G~+ 4292 G1 + 2793 •
27g~=
Mittelst dieser Gleichungen sind die Transformationsgleichungen für g2 und 93 beim dritten Grade als Tschirnhausenresolventen der Gleichung (1) erklärbar. Weiter folgt aus (6) und (7): g~ -
27g~
L1
-
G1
G~
4096-r: 27(-r: 1)'
+
Aus dieser Gleichung und den eben genannten Gleichungen (6) und (7) ergibt sich bei Einführung von J( (lJ) : (12)
J: (J -1): 1 = (r:
+ 1)(9-r: + 1)3: (27't'2 + 18-r: _1)2: 64-r:.
Diese Gleichung, die entsprechende für J' und '1;" und die Beziehung '1;" • 1: = 1 bilden den Ersatz der Transformationsgleichung für J beim dritten Grade. 1) Nach S. 340 existiert beim dritten Grade eine Transformationsgleichung für 11A' A. Man schreibt zweckmäßig: (13) und findet aus dem zweiten und dritten Gliede von (12) beim Ausziehen der Quadratwurzel unter richtiger Bestimmung des Vorzeichens:
Indem man den aus (13) folgenden Wert von
'I;'
hier einträgt, ergibt sich
3[4 + 6Ar - 24gs Af - LJ2 = 0
(14)
als die zum dritten Grade gehörende Transformationsgleichung der Diskriminante. 2. Transformation neunten Grades. Das Transformationspolygon T9 ist in Fig. 14 (S. 386) dargestellt; seine acht Seiten sind durch folgende vier Substitutionen einander zugewiesen:
1~8, (~: ~); 2~3, die sämtlich der Gruppe
(-2-:: ~4); r",(9)
4~5,
G: ~);
6~7,
(::
=~),
angehören. Das Klassenpolygon K9 besteht
1) Die fertige Transformationsgleichl:ng ist von St. Smith in den "Proceedings" der Londoner mathematischen Gesellschaft von 1878 (S. 242) und 1879 (S. 87) mitgeteilt; sie lautet auf j und l' umgerechnet:
j'(j'
+2 -
51 •
3. 5 3)"+j(j
2'· 3 3 • 9907j'jU"
+2
16 •
+2
81 •
3 . 5 8)3_j'j
+ j') + 2 . 3
4•
+2
8•
3'· 31j"PU' +j)
13 . 193 . 6367 j"P
3 5 • 5 3 .17. 263j'j(j' +j) - 2 81 • 56. 22973j'j
Fricke, Die elliptischen Funktionen II
=
O. 25
386
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe fiir niedere Grade n
°
aus zwei symmetrischen Kreisbogenvierecken mit zwei Winkeln und zwei rechten Winkeln. Die Seiten des einzelnen Vierecks sind durchweg Symmetriekreise von Spiege-
rlllliii~=~:::~J ~illir~
zur Linken der imaginären lungen der Gruppe r(9). Das m-Achse gelegene Viereck hat
8
die bei den Spitzen m = i 00 und - t· Die Ecken der beiden rechten Winkel dieses
E.
-'-,---_-'-_'---'-_ _
~---'--+---!------'-_
Vierecks liegen bei und m =
-t
- 36
+i,
m=
{
die die Null-
punkte der die beiden Formklassen der Diskriminante D = - 36 repräsentierenden Formen (9, 0, 1) und (18, 18, 5) sind. Die Seite 2 ist der Symmetriekreis der in der r(9) enthaltenen Spiegelung: ,
-9m-4
m=
18ro+9-'
Die Abbilder der drei negativen Ts-Halbebenen sind in Fig. 14 schraffiert. Diese Abbilder sind von Symmetriekreisen der r(9) durchzogen; eines von ihnen (in Fig.14, links unten) ist in zwei getrennte Teile zerlegt. Durch Ta (m) wird das Polygon T9 auf eine dreiblättrige Riemannsche Fläche
+ 3 t iy'S
über der Ta-Ebene abgebildet, die (den Stellen m = 0 und m = entsprechend) zwei drei blättrige Verzweigungspunkte bei TS = hat. Man kann demnach (15)
VTa + 1 oder noch zweckmäßiger:
T(m)
=
-
00
und - 1
+ fiT + 1
1
S
mit der Bestimmung, daß die Kubikwurzel auf der imaginären m-Achse reell genommen werden soll, als einwertige Funktion des Polygons T!I benutzen. Die Spitzenwerte dieser Funktion sind:
(16)
T(ioo)
=
0,
T(O)
=
00,
T
Die Wirkung der Substitution W 9 auf
(17)
T
T
(± +)
=
-
3
t iy'S .
(m) ist:
-1) = 1:'(00) 3, (9W
°
da durch W 9 die beiden Werte T = und T = 00 sowie andrerseits die beiden Spitzenwerte T(± i) ausgetauscht werden. Trägt man nun den aus (15) folgenden Ausdruck: (18) von Ta im jetzigen
Ta(m) T
=
T(T 2
+ 3T + 3)
in die Relation (12) zwischen J und Ta ein, so folgt:
387
Transformation neunten Grades
(19)
J: (J -1): 1
(9't'4+ 36't's+ 54't'2+ 28't' + l)S : (271;6 + 162-r 5 + 405't'4 + 504-r 3 + 2971;2 + 54't' - 1)2 : 64-r(-r 2 + 3-r + 3). =
Diese Relation, die entsprechende zwischen J' und 't" und die Gleichung -r' -r = 3 bilden den Ersatz der Transformationsgleichung für J beim neunten Grade. Nach S.340 muß beim neunten Grade für die Form l! j'LP eine '.1'ransformationsgleichung zwölften Grades bestehen. Um sie zu gewinnen, üben wir W 9 auf die Gleichung (18) aus und finden bei Benutzung von (3) und (17): :I -rs -9~ = T; (3 ro) =~ ~+~+ ,
(- 1)
1
(9
9 3)
wo bei den Funktionen 't', die ohne Argument geschrieben sind, ro als solches zu denken ist. Für die zur Gruppe r",(9) gehörende Funktion 't's (3 ro) berechnet sich hieraus: 9't's (3 ro)
(20)
1'3
=
~'-+3~ + 3 .
Nun folgt aus (9) und (18):
Setzt man ro1 0, ro: an Stelle von roll ro 2 und also 3ro an Stelle von ro
V3
ein, so folgt bei Benutzung von (20):
1 /
V
Li
(srol'
Li (ro 1
~)
va, ;~) =
1'(CV)8
't's(3ro)
= ()('t'(ro)'
+
31'(ro)
+ S)·
Durch Multiplikation der beiden letzten Gleichungen und Ausziehen der vierten Wurzel ergibt sich: (21 ) Erklären wir demnach eine zur durch die Gleichung: (22) f(ro 1 , ro 2) =
r",(9)
gehärende Modulform f(ro l , ro2)
Y3 V:.1(3roll-~t) j(rou
ro 2)7 =
YSl! j'j7 =
j-r,
so ergibt sich jur diese Form aus (19) die gesuchte TmnsformationsgZeichung in der Gestalt: (23) (9f4 36j[3 54j2f2 28jSf j4)S
+
-
+
64g~j8f(f2
+ + + 3jf + 3j2) = o.
25*
388
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
3. Tran sform a ti on 27 sten Grades. Beim Grade 27 schlagen wir einen ähnlichen Weg ein wie oben (S. 378) beim Grade 32. Unter r(m) verstehe man die bei n = 9 benutzte Funktion, unter r' (m) die aus ihr durch Ausübung von W 27 hervorgehende Funktion. Man kann alsdann r(m) und r'(m) als ein Funktionssystem des zum Geschlechte 1 gehörenden Polygons T27 benutzen. Um die zwischen rund r' bestehende Relation zu finden, übe man W 27 auf die Gleichung (20) aus und findet:
9T3
(=j~) = ~'-f+ ~~:' +-3'
Andrerseits folgt aus (18) durch Ausübung von W 9 mit Benutzung von (17):
Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich als Relation ~wischen den beiden dreiwertigen Funktionen T und T' des Transformationspolygons T27 :
(24) Statt T und 7:' kann man auch T mit einer geeigneten ~weiwertigen Funktion (j zu einem Funktioussysteme der Fläche F27 zusammenstellen. Man formt nämlich die Gleichung (24) leicht in die Gestalt:
(~~~~:33)r = 9(T 2 + 37: + 3) um und findet demnach ei;Je geeignete Funktion
(25)
(j =
V9(r
2+ 31: + 3)
=
(j
in:
'&~~'&:33).
Die beiden durch die Relation: aneinander gebundenen Funktionen zeigen, daß wir hier mit einem elliptischen Gebilde des "äquianharmonischen" Falles ~u tun haben (vgl. I, 136). Geht (j durch Ausübung von W 27 in 6' über, so folgt aus (25): , '&('&'+3) 6= . ~+3
Durch Auflösung dieser Gleichung und der Gleichung (25) nach 1:' und I)' ergibt sich der Satz: Die Wirkung der Substitution W 27 auf das Funktionssystem ";, (j der r"'(27) ist: (27) Für die späteren Zwecke ist es etwas vorteilhafter, mit einer zweiwertigen Funktion zu arbeiten, die gegenüber W27 unverändert bleibt und ihr eine zweite Funktion anzureihen, die bei Ausübung von W 27
389
Transformation 27,ten Grades
Zeichenwechsel erfährt. Von der Funktion: r
(28)
G-3
$+3
=-
zeigt man auf Grund von (27), daß sie bei W 27 unverändert bleibt. Durch Elimination von 0 aus (26) und (28) folgt: r3~3+
9r 2 (i 3+i2 -1) + 27 r(i 3+ 2i2 + i -1) + 27 (iS + 3i 2 + 3i) = O.
Diese Gleichung gestattet die Absonderung des Linearfaktors (r + 3) und liefert dann als Beziehung zwischen rund i:
r 2 i 3 + 3r(2iS + 3~2 - 3)
+ 9 (i 3 + 3i 2 + 3i) =
O.
Die Diskriminante dieser für ,,; quadratischen Gleichung ist nach Fortlassung eines numerischen Faktors gleich (i 4 + 4is + 6 i 2 - 3). Durch Ausziehen der Quadratwurzel folgt der Satz: ..Als ein Funktionssystem der r1fJ(27) kann man: (29) i, 6 = -V~4 + 4i 3 + 6i 2 - 3
gebrauchen 1); i- ist zweiwertig und 6 vierwertig, gegenüber W 27 zeigen diese Funktionen das einfache Verhalten: (30) Die Funktion T verschwindet für ro
+ rVs
=
ioo; 6 sei dadurch eindeutig er-
klärt, daß o(ioo) = zutrifft. Die Funktionen rund in T und 6 umgekehrt in der Gestalt:
0
stellen sich
(31) dar. Was endlich die Transformationsgleichung für J( ro) beim Grade 27 angeht, so ist es am kürzesten, die Gleichung (19), die entsprechende in J' und r' und die Relation (24) zwischen rund ,,;' als E1·satz jener Gleichung anzusehen.
§ 3. Die Tl'ansformationsgrade 5, 25, 7' nnd 49. 1. Transformation fünften Grades. Fig. 15 (S. 319) zeigt das Transformationspolygon T5 mit den beiden übereinander getragenen Dreiecksnetzen; es zerfällt in vier Kreisbogenvierecke je mit drei rechten Winkeln und einem Winkel 0, die durch die stark ausgezogenen Symmetriekreise von Spiegelungen der Gruppe r(5) geliefert werden. Die acht mit Nummern versehenen Seiten sind durch folgende Substitutionen einander zugewiesen: 1) Nach I, 137 muß die auf Grund von (10) in J, 122 zu berechnende Invariante g2 für die unter der Quadratwurzel (29) stehende Funktion natürlich wieder verschwinden, was in der Tat zutrifft.
390
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
1 -- 8,
(~: ~);
2 -- 3,
(_!: ~ 2);
· b ogenvlerec . k der E ck en zoo, . i D as K relS yr;'
zur rechten Seite der imaginären das Klassenpolygon
1{5
(lJ-
6 -- 7,
(!: =~) .
-2+i -5+ivr; 10
. un d sem
4 -- 5,
G: ~);
--5-'
Achse gelegenes Spiegelbild mögen
zusammensetzen; die beiden Ecken
dann einen Zyklus und ebenfalls die beiden Ecken
r
25
+_!
bilden
+ 5 ~ iyr; .
Die zum fünften Grade gehörende Form GI hat in T5 einen Nullpunkt der Ordnung 1 und also in K5 einen solchen der Ordnung t, der in einem der beiden eben genannten Eckenzyklen liegen muß. Der Quotient von Gi 2 und A'· A liefert eine sechswertige Funktion von K5 mit einem 8 Nullpunkte sechster Ordnung Ettlmnnt im Nullpunkte von GI und einem Pole der gleichen Ordnung bei (lJ = i 00. Also ist jener Quotient die sechste Potenz einer einwertigen Funktion von K5 , die selbst als Quotient -'-,------L,;-------w---'_""t von Gi und 'VA' A darstellbar ist. Da nun Gi gegenüber den Substitutionen der r(5) unverändert bleibt, so gilt dasselbe von -f/ A' A. Wir verstehen hierunter A' zweckmäßig die Form A
(1)
((lJ11
(
Gi
~2) und haben dann folgende Anfangsgliederder Reihen:
=
-f/ A' A
25 =
Cro:
r
(316
+~
q2
+ 2 q4 + 232 q6 + .. -),
25 (~:)4 (q2 _ 4 q4
+ 2 q6 + ...). +
Mit Gi und -f/ A'A bilden wir nun wieder eine lineare Schar (a G~ b 'VA' A) von Formen mit einem im Polygone K5 beweglichen Nullpunkte und können dann die übrigen ganzen Formen von K5 als Produkte von GI und von Formen jener Schar oder auch nur aus Formen der Schar herstellen. Für die mitte1st der homogenen Substitution TV;; umgestaltete Form g2 gilt zunächst der Ansatz:
.q~
+ g2 = a Gi + b -f/:d'Li,
g~ . g2 =
a' G~
+ b' Gi -f/ A' A + c' f! A'A .
Transformation fünften Grades
391
Durch Heranziehung der Potenzreihen findet man die Koeffizienten: (2)
{
+ g2) =
25 (g;
78 Gi - 6yLI' LI,
25 g; . g2 = 9 Gi
+ 54 Gi IVLI' LI + -v:;rA.
Bei Berechnung von g2' g; einzeln stellt sich die Quadratwurzel:
(3)
G2 (rot> ro 2) = YS1 Gi - 99
G~ YLI' LI- 11LI' LI
ein, die durch Angabe des Anfangsgliedes 2~~
(:;) 4
der Reihenentwicklung
als eindeutige Modulform (- 4) ter Dimension erklärt sein mag. Sie erfährt gegenüber Ws Zeichenwechsel, ihre beiden Nullpunkte in T5 sind die Fixpunkte von vVs , d. h. die Stellen aus (3), daß GI für
±5
to
V~ und + 5
to VÖ. Man folgert i
iVÖ nicht verschwindet: Die Form
ihren Nullpunkt im 'Eckcnzyklus ro
± 25 + i.
=
GI hat
Aus (2) und (3) berechnet
man als Darstellungen für g2 und g;: (4)
{
6-V LI' LI - 4 G2, 3 f! LI'-.j- + 4 G2 •
25 g2
=
39 Gi - 3
25 g~
=
39 Gi -
Da g3 und g~ im Nullpunkte von GI zugleich verschwinden (vgl. Fig. 15), so sind die Quotienten g3: GI und g~ : Gi ganze Formen (- 4)IOr Dimension des Polygons T5 • Es gelten demnach die Ansätze:
is + g3 = GI (aGi + b f!LI' LI), g~ - g3 = cGI G2, wo man wegen der zweiten Gleichung beachten wolle, daß eine ganze Modulform des Polygons T5 , die bei W 5 Zeichenwechsel erfährt, bis auf einen konstanten Faktor mit G 2 identisch ist. l ) Die Koeffizienten a, b, c bestimmt man aus den Anfangsgliedern der Reihen; es findet sich für g3 und g~: 125 93 = - GI (62 Gi - 24 VLI' Li - 7 G2 ), { (5) 125 g~ = - GI (62 Gi - 24 f!LI' LI 7 G2 ).
+
Zu entsprechenden Formeln für LI führt folgende Überlegung: T5 hat die bei den Spitzen i 00 und 0 und gehört zum Geschlechte O. Eine Hauptfunktion -r(ro) werde so ausgesucht, daß -r(i 00) = 0 und -r(O) = 00 ist, wodurch -r ( ro) bis auf einen konstanten Faktor festgelegt ist. Der Quotient von LI' = LI (roll ~2) und LI = LI (roll ro 2) ist eine vierwertige 1) Die fragliche Form muß nämlich dieselben Nullpunkte wie G2 haben, da andernfalls der Quotient der Form mit G2 eine "Funktion" des Klassenpolygons K5 wäre, die an den Nullstellen von G2 Nullpunkte oder Pole "gebrochener" Ordnung hätte.
392
H, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Funktion von T5 , die bei ro = i 00 einen Nullpunkt vierter Ordnung und also bei ro = 0 einen Pol der gleichen Ordnung hat. Wir können demnach 1: (ro) eindeutig durch die Festsetzung:
(6) erklären, wobei auf der imaginären ro-Achse reelle positive Werte r(ro) vorliegen sollen. Es gilt dann:
(7) Man hat nun in: (T _
125) Jl/ LJ' Ll = T
V
YLI'-~:> y:d
VLI' L1
1
eine ganze Form (- 4)ter Dimension von T5 , die gegenüber W 5 Zeichenwechsel erfährtynd also bis auf einen konstanten Faktor mit G~ identisch ist. Den Faktor bestimmt man aus dem Anfangsgliede der Reihe ~
(8) Mit Rücksicht auf (3) folgert man hieraus:
(YA' + 125
4 fILl' LI (324 Gi - 396 G~ flLi' Ll
-VLl)2=
+ 121 VLl' Ll)?
sowie durch Wurzelziehung bei richtiger Bestimmung des Zeichens:
(9) Aus (8) und (9) ergeben sich für
f125yLl
(10)
1
=
y'Ll und y'Ll' die Darstellungen:
(18 Gi - 11 flLi' Ll + 2 G2rVA' Ll,
r-v
y:d' = (18 Gi - 11 fILl' Ll - 2 G2
Ll' Ll.
Die Trallsformatiollsgleichungen beim fünften Grade ergeben sich nun einfach durch algebraische Umgestaltungen der gewonnenen Formeln. Erstlich folgen aus (6) und (9), sowie weiter aus (6) und (8) die Darstellungen: 2 _ T'+22T+125Jl/-'-G =_ T'-125Jl/A' A (11) G1 36T vLl LI, 2 4T VLJ LJ von Gi und G2 in T und fI Ll' Ll. Durch Eintragung dieser Ausdrücke in die ersten Gleichungen (4) und (5) folgt: (12 ')
g2
= T'+__!YT + 5 Jl/Ll' 121:'
V
A
LJ,
gs
= _ G
1
1:"+36~TT- 1-t>/ r LJ
woran wir noch die aus (6) fließende Gleichung Ll
A'
= T- 2
Ll
,
y',d' Ll reihen.
Transformationsgleichungen beim fünften Grade
393
Bei Einführung von J( [i) ergibt sich aus (11) und (12):
J: (J - 1): 1
(13)
(r 2 + lOT
=
: (T 2 + 22T
+ 5)3
+ 125)(T 2 + 4T + 1)2
: 1728T,
eine Gleichung, die ~tnS in bekannter Weise im Verein mit der Relation T'· T = 125 die beim fünften Grade eintretende Transformationsgleichung für J( [i) ersetzt. Durch geeignete Verbindung der Gleichungen (12) beweist man: 2 g2 - -a 30U. 1
2g
2
+
6U3 GI
-
5.(j1 V Li' Li --
-tLi' Li
.vI
f,td' Li
=
/I'
T V LI
'r:
A LI ,
'
ebenso mit Benutzung der ersten Gleichung (11):
7 g2 + ~U. G - G21
( 14)
=
1
3.(j/ V Li' Li •
Trägt man den hier gewonnenen Ausdruck von }!Li'Li in die voraufgehenden Gleichungen ein, so folgt: 5G2 _ 2992 -190 u• 1
GI
•
=
-
T(G2 _ 7g _2~U3) 1
GI'
2
G2_ g -~U-"-=_.!.(G2_7g _ 20 U8 ) . 1
GI
2
1
'r:
GI
2
Durch Multiplikation dieser Gleichungen findet man als Transformationsgleichung sechsten Grades für Gl beim fünften Transformationsgrade: (15)
G~
- 5g2 Gi - 40g3G~ - 5g;Gi - 892 gS G l
t
-
5g;
=
O.
Durch Elimination von Li' Li aus (14) und der ersten Gleichung (2), sowie weiter durch Elimination von Li' Li und Gi aus (5) und (14) gewinnt man:
(16)
25 '
1125g~g2
=
80 G21 - 39 g2 -
=
-
t
40 U.
G'
140G~ + 11292~l + 1959s '
Durch diese Darstellungen der transformierten Formen g~, g~ sind die Transformationsgleichungen der g2' gs beim fünften Grade als Resolventen der Gleichung (15) erklärt. Nach S. 339 ff. besteht hier endlich noch für die Form:
(17) eine 'l'ransformationsgleichung sechsten Grades, die unter (5) S. 343 allgemein angesetzt wurde. Diese Gleichung ergibt sich aus (13), indem
.394
man -r:
H, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n =
[3 . .:1- 2 einträgt:
(z:'+ lOT + 5)3
123g~
~=
(f"+ lOt" L12+ 5L14)3 f". L110
T
Man multipliziere mit .:1 und ziehe die Kubikwurzel, womit man als Transformationsgleichung für die Form (17) findet: '(18)
[6+ 1O.:1 2[3-12g 2 .:1 sf+ 5.:14 = 0.
2. Transformation 25 sten Grades. Das Polygon T25 entsteht aus dem in Fig. 15 abgebildeten T5 , indem man auf diesen Bereich die vier Substitutionen (;'5~
1) und
(±1~~, 1) ausübt und die vier so entstehenden
Bereiche dem Polygone T5 anfügt. Polygonspitzen von T 25 liegen bei ,ro = ioo, 0, ± -h ± lo. Je die beiden von der einzelnen dieser sechs Spitzen ausziehenden Polygonseiten sind durch Substitutionen der Gruppe r"'(25) aufeinander bezogen, und zwar der Reihe nach durch
=
(~: ~) , (2~:~) , (2:: =~), (- 2:: -~) , (10~: ~1) , (- 1~~: - ~) . Auch T25 hat das Geschlecht 0. Eine zugehörige einwertige Funktion -r:(ro) sei durch die Festsetzungen:
(19)
-r:(ioo)
=
0,
-r:(0)
=
-r:(!)
00,
=Y5
näher erklärt; sie zeigt gegenüber W 25 das Verhalten:
-r:(;; ~)=
(20)
~~).
Die vier Spitzenwerte -r:(± t), -r:(± fo) sind zu Paaren konjugiert komplex und genügen also einer biquadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten: -r:4 + a-z;s + b-z;2 + C-Z;
+d =
0,
von denen d positiv ist. Durch W 5 werden die fraglichen vier Spitzen permutiert, so daß wegen (20) die letzte Gleichung auch: -z;4
+ 5d -z;3 + 25d b -z;2 + 125d a -z; + ~~ = d C
geschrieben werden kann. Also ist d lautet:
-z;4
=
°
25, c = 5a, und unsere Gleichung
+ a-z;3 + b-z;2 + 5a-z; + 25 =
O.
°
Die I!'unktion -r:5 (ro) ist in T 25 fünfwertig und zwar durch -z; als ganze Funktion fünften Grades darstellbar, da die fünf Pole von -r:5 bei ro = zusammenfallen. Die fünf Nullpunkte dieser Funktion liegen in den übrigen fünf Polygonspitzen, so daß der Ansatz gilt:
(21) wo rechts ro als Argument zu denken ist. Übt man die Substitution W 25
Transformation 25 ston Grades
395
aus, so folgt mit Benutzung von (7) und (20): 1
0
---(5-) = 6(~4+ a~s+ b~2+ 5a~
"'6
'"
w
V
+ 25).
Mit Rücksicht auf (6) findet man aus den beiden letzten Gleichungen: 4
6
~(oo) = r~5(5OO)~5(OO) =
(22)
;~)
A(Wl'
-----;,-( -). 00 1 , co 2 ~
Aus der Reihe für 2}iL1 (vgl. I, 433) stellt man leicht folgende Anfangsglieder der Reihen von ~5(OO) und ~(oo) fest: ~5(OO) =
125 q2(1 + 6 q2+27 q4+ .. .), 5 q2(1+
~(oo)=
q2+ 2 q4+ ... ).
Trägt man diese Reihen in (21) ein, so folgt durch Vergleichung der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von q rechts und links C = 1, a = 5, b = 15. Die Darstellung von ~5 als ganze Funktion von ~ ist somit: (23)
~5 =
~(~4
+ 5~3 +
15~2
+
25~
+ 25).
Diesen Ausdruck von ~5 setze man nun in der rechten Seite von (13) für ~ ein. Es ergibt sich als Darstellung von J( (0) in der zu. n = 25 gehörenden Funktion ~: (24)
J:(J -1):1
=
(~10+ 10~9+ 55~8+
+ : (~2 +
2~
1425~4
+
200. 7 +
525~6+ 1010~5
1400~s + 875~2
+
250~
+ 5)3
+ 5) (~4+ 4~3 + 9~2+ 10~ + 5)2 (.10 + 10~9 + 55.8 + 200~7 + 525.6 + 1004~5 + 1395~4 +
: 1728~( ~4 +
1310~3 5~3
+
+
725~2
15~2
+
100~
+ 25~ +
- 1)2
25).
Nach S. 339 genügt beim quadratischen Transformationsgrade n = 25 f00(, ) _ 2.fj die Form: r LJA' LJA23 -_ ~. LJA 1 OO s einer Transformationsgleichung 30·ten Grades. Diese Gleichung läßt sich aus (24) unmittelbar abschreiben: (25)
([10
+ lOLl[9 + 55A s[B + 200Ll3f1 + 525A r + 1010A5f5 4
+ 1425Ll sf4 + 1400 Ll fs + 875A f2 + 250Ll f + 5Ll oy - 1728g;A24f(f4 + 5A[3 + 15A 2[2 + 25Ll3f + 25A4) = 7
8
9
1
O.
3. Transformation siebenten Grades. Die Polygone T7 und K7 sind in Fig. 2, S. 351, und Fig. 6, S.359, figürlich dargestellt und daselbst näher besprochen. Als eine erste zur r",(7) gehörende Modulform ziehen
396
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
wir das in (9) S. 326 gegebene Yo der quadratischen Form (1,1,2) der Diskriminante D = - 7 heran:
Durch den Stern soll darauf aufmerksam gemacht werden, daß das Glied mit q6 ausfällt. Bei den Substitutionen der r"'(7) bleibt Yo unverändert oder erleidet nur einen Zeichenwechsel. In T7 hat Yo Nullpunkte in der Gesamtordnung f. Nullpunkte gebrochener Ordnung können nur in den ··l·hd ... Ek c en +5+iV3 - 1-4von T7 au ftret en. D· a rn zweI·b ezug lC er . Imagmaren w-Achse symmetrischen Punkten die in (26) rechts stehende Potenzreihe konjugierte Werte hat, so liegt in jeder der beiden genannten Ecken ein Nullpunkt der Ordnung -}. Durch die homogene Substitution W; wird demnach Yo, vielleicht vom Vorzeichen abgesehen, reproduziert. Setzen wir aber in: (27) dem Fixpunkte von W 7 entsprechend, W i -= i, W 2 = Y7 ein, so folgt, da yo(i, Y7) nicht gleich 0 ist, die Gültigkeit des oberen Zeichens in (27). Von der zu n = 7 gehörenden Form Gi stellt man fest, daß sie in
t iy'3 hat;
T 7 nur zwei Nullpunkte je der Ordnung : in den Ecken
+5
sie ist demnach bis auf einen konstanten Faktor mit Reihenentwicklung :
identisch. Die
Gi =
y~
7(~:r(+ + q2+ 3 q4+ 4 q6+ 7q8 + ...)
bestätigt dies und liefert:
(28) Für K7 bilden die heiden Ecken
+ 5 t i}/s einen Zyklus, in dem die
Form y~ einen Nullpunkt erster Ordnung hat. Unter Ll' verstehen wir hier zweckmäßig Ll(7 roll ro 2). Im Quotienten von y~4 und Ll' Ll erkennen wir dann die achte Potenz einer einwertigen Funktion von K7 , so daß der Quotient von yg und:
(29)
VLl' Ll =
(~:r(* + q2_ 3 q4 + *+ 5 q8- ...)
eine einwertige Funktion von K7 ist, deren Pol in der Spitze ioo liegt. Aus den beiden Formen yg und Ll' Ll, die gegenüber den Substitutionen von rm immer zugleich unverändert bleiben oder Zeichenwechsel erfahren,
f!
bilden wir nun wieder eine lineare Schar (ay~
+ bf!Ll' Ll)
mit einem in
397 K7 beweglichen Nullpunkte. Die übrigen ganzen Formen von K7 , die wie Yo und die Formen der Schar bei W7 unverändert bleiben, lassen sich dann als Produkte aus Faktoren Yo und Formen der Schar darstellen. Die Entwicklung geht nun auch weiter genau denselben Weg wie bei n = 5. Man gewinnt mit der Benutzung der Potenzreihe für g2 zunächst die Darstellungen: Transformation siebenten Grades
(30)
f6 (g~ + g2)
1 144g~g2
=
Yo(25yg - 80-V Li' Li),
=
49y~(y~ + 224y~ -VLi' Li + 448 -yd' Li).
Bei Berechnung von g; und g2 stellt sich eine Quadratwurzel ein, die die Modulform der Dimension - 3:
G~(O1ll (1 2)
(31)
=
-Vy~ -
26y~ -VA' A - 27 -yLi' A
2
liefert und durch das Anfangsglied der Potenzreihe (:~) S eindeutig erklärt sei. Diese Form hat im Klassenpolygon K7 zwei Nullpunkte je der 'Ordnung
~
bei 01
=
~ und im Eckenzyklus ± 7
erfährt G,,- Zeichenwechsel. Für g2 und
g~
t i}/7;
gegenüber W7
einzeln finden wir die Dar-
2
ßtellungen:
(32)
12g2 , 12g;
f)'
Yo (25y~ - 80 -VLi' A =F 24 G
=
Zur Berechnung von gs und g~ ist es etwas bequemer, neben (g; + gs) die Differenz (g~ - gs) darzustellen, nämlich als Produkt von G~ und einer
•
Form der Schar. Die Rechnung führt zu:
(33)
216gs , 216g~
=
9(19y~ - 200y~ -VLi' A - 72
-
-yA' Li)
± 4(43y~ - 20-VLi' Li) G_
3_. 2
Im Falle n = 7 erkennt man aus den Anfangsgliedern der Reihen im Quotienten von A' und Li die sechste Potenz einer einwertigen Funktion von T7 • Im Anschluß daran erklären wir eine solche einwertige Funktion -r(01) selbst durch:
(34)
,
-r( (1) = 49
V- = 7V·- -d-/7,-;~)6
LI'
L1
LI (co
L1 (co"
co.)
mit der Bestimmung, daß diese Funktion auf der imaginären O1-Achse reell und positiv sein soll. Die Wirkung von W, ist:
(35)
398
II, 4. 'rransformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
f!
Das Produkt von Cz; - 49c 1) und LI'LI ist nun eine ganze Form (- 3)tllT Dimension, die die Nullpunkte von G~ hat und also mit dieser Form bis 2
auf einen konstanten Faktor übereinstimmt. Die Anfangsglieder der Reihen liefern diesen Faktor und führen zur Gleichung:
yLI -
(36) .
49 f! LI'
G 3 211 LI' LI.
=
2
Zur Bestätiguug dieses Ergebnisses leite man aus ihm mit Benutzung A + 49Y LI') ab. Es muß sich das Provon (31) einen Ausdruck von dukt von 2.]1LI' Li mit einer Form der Schar finden; in der Tat ergibt sich bei richtiger Bestimmung eines Vorzeichens:
Cf!
(37)
Durch Kombination der letzten Gleichungen gewinnt man für die Diskriminante LI die Gleichungen:
2tLI
(
(38)
98
.v..d'
=
(Y~ - 13-VLI' LI + G~rfi LI' LI,
=
(Y~ - 13 -V LI' LI - G~r1lA' LI.
Um nun die Transformationsgleichungen zu gewinnen, entnehmen wir zunächst aus (37) und (36) mit Rücksicht auf (34) die Folgerungen: (39)
3 =
Yo
-r!+ 13-r+ 49.\'!LI' LI -r V ,
Durch Eintragung dieser Ausdrücke von
y~
und G-"- in die ersten Glei2
chungen (32) und (33) ergeben sich für g2 und g3 die Darstellungen: 12 (40)
(
g2
216 g3
=
72~/LI' LI.
=
-
V
Yo
~.+ o-r -r
+1'
7a 11LI' LI:C.± 14-r"+ 6:.-r'+ 70-r.- 7 .
Nimmt man die aus (34) folgende Gleichung LI = 76 r;- 3. -VLI' LI hinzu, so gelangt man zu folgender Darstellung von J (ro) als rationale Funktion achten Grades von r;:
(41)
J: (J - 1): 1
=
+
+
(r;2+ 13r; 49)(1;2 + 5-z; 1)3 : (r;4 + 14r;3 + 63r;2 70r; - 7)2
+
: 1728-z;,
eine Gleichtmg, die 2ms in bekannter Weise im Verein 'mit r;' r; = 49 die Transformationsgleichung für J( ro) beim siebenten Grade ersetzt. Nach S. 339 ff. besteht beim siebenten Grade eine Transformationsgleichung für die Form:
399
Transformationsgleichungen für den siebenten Grad
(42) die durch ihr Anfangsglied (~~) 67 qa eindeutig erklärt sei. Sie läßt sich fast unmittelbar aus der Gleichung (41) abschreiben, der wir zunächst die Gestalt geben: ('r 4 + 14-ra + 63-r 2 + 70r - 7)2.d 2 = 66gir.d
(216gaf)2.
=
Nach Ausziehen der Quadratwurzel (unter richtigerBestimmung des Vor~ zeichens) und Multiplikation mit .d8 ergibt sich als Transformations-gleichung dm' Diskriminante beim siebenten Grade:
(43)
r+ 14L1[6+ 63L1 [4+ 70.d af a+ 216gs Ll f-7.d 2
3
4
O.
=
Zur Gewinnung der Gleichung achten Grades für Gl ist folgender vVeg am kürzesten. Die fragliche Gleichung hat nach S. 342 die Gestalk
(44) G~
+ al g2 G~ + aags G~ + aag~ Gi + a4 gaga G~ + (a5 g; + ß5 L1 ) Gi
+ a6g~gaGl + a7g~ = 0, wo die a, ß rationale Zahlen sind. Das Absolutglied ist bis auf einen numerischen Faktor gleich g~, da Gl und damit die mit Gl gleichberechtigten Formen, d. h. alle ficht Wurzeln der Gleichung (44) mw in N ullstellen von ga verschwinden. Es ist nun zunächst möglich, mit einem Schlage alle sieben Koeffizienten a zu bestimmen, und zwar dadurch, daß man q = 0 einträgt. Hierbei reduzieren sich ga, ga, Li auf ihre Anfangsglieder: (45)
ga =
112
(~:y,
ga =
2~6
(::r,
von den acht Wurzeln Gl wird aber die eine ben anderen einander gleich und gleich -
LI = 0;
! (~:r,
während die sie-
~ (~~r werden. Aus der In-
varianz von Gl gegenüber W 7 folgt nämlich:
G1 (O'J 2' - O'J) 1
=
Y-)
im, . G1 ( - V7 -- ,- a tO'J 7
=
-
1 (2";)2 ---
4
00 2
'
ein Ausdruck, der gegenüber der Substitution O'J~ = O'J l + O'J a , O'J~ = O'Ja unverändert bleibt und also den gemeinsamen Wert der sieben Wurzeln G l (O'J a ,-O'J1), Gt(O'Ja,-O'Jl-O'Ja), ••• für q=O liefert. Man trage nun die Ausdrücke (45) in (44) ein und fordere, daß die entstehende Gleichung die acht angegebenen Wurzeln hat. Man findet die a und schreibt die Gleichung am bequemsten als solche für 2 Gl :
(2G l)8- 84ga(2G l )6- 3024ga(2 Gl )5-1890g;(2 Gl )4-18144gaga(2G l? - (3780g;
+ a.d)(2G )2_16ß4g;ga(2G 1
1) -
567gi
=
O.
400
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Zur Bestimmung des einzigen noch unbekannten Koeffizienten a stetzen wir: 7: -1
-5-V21
=---~-
2
ein und finden g2 = 0 aus (40), sowie weiter ans (28), (39) und (40): (2G,)3
(46)
g.
3. 56VS(3VS
=
+ 20).
Andrerseits folgt aus der Gleichung für G1 im Falle 3024 (2 G,)~
(2 G,)6 _
g.
g~
g2 =
0:
+ 27 a = o.
Da diese Gleichung durch den Wert (46) befriedigt werden muß, so folgt a = - 2 6 .49. Die Gleichung achten Grades für G1 beim siebenten Transformationsgrade ist hiernach: (47)
(2 G1 )8 - 84g 2 (2 G1)6 - 3024g3 (2 Gd - 1890g;(2 G1 )4 - 18144g2 g3 (2 G1 )3 - (3780g; - 3136.d)(2 G 1 )2 - 1664g;g3(2 G1 )
-
5i37 g~
=
o.
4. Transformation 49 Bten Grades. Das Polygon T49 ist aus dem in Fig. 2, S. 351, dargestellten Polygone T7 dadurch gewinnbar, daß man auf das letztere Polygon die Substitutionen
c:~ ~), (+1~4 ~), (+1;1 ~) -, -' -,
ausübt und die sechs so entspringenden Bereiche dem Polygone T7 anfügt. T 49 ragt mit acht Spitzen an die Punkte ro = i 00, 0, ± t, ± h" ± !h heran, wobei je die beiden von der einzelnen dieser Spitzen auslaufenden Polygonseiten aufeinander bezogen sind und zwar durch die Substitutionen:
(1,1) 0,1 '
( 1,0)
49,1 '
(-49,8, - 61) '
( 6-1) 49:-8 '
( 20 - 1 ) 22 '
441: -
(
( 13 -
1 )
196: -15·'
(
15,
1)
-196, -13 '
22, 1) -441, - 20 .
Die in (34) gegebene Funktion 7:(ro) ist im Polygone T 49 siebenwertig. Die sieben Pole fallen in der Spitze ro = 0 zusammen, während in den anderen sieben Spitzen Nullpunkte je erster Ordnung liegen. Durch die Transformation W 49 des Polygons T49 in sich werden die beiden Spitzen 0 und i 00 ausgetauscht, und ebenso werden die sechs weiteren Spitzen untereinander permutiert. Demnach ist 7:'(00) = -r(W49 (ro)) eine siebenwertige Funktion von 1 49 , die in der Spitze ioo einen Pol siebenter Ordnung hat und in den übrigen sieben Spitzen je in der ersten Ordnung verschwindet. Der Quotient .;. ist demnach achtwertig mit einem Pole l'
achter Ordnung bei ro bei ioo.
=
0 und einem Nullpunkte gleicher Ordnung
Transformation 49 sten Grades
401 Da T49 zum Geschlechte 1 gehört, so kann die achte Wurzel des eben genannten Quotienten, da sie auf T49 einwertig sein würde, nicht mehr eine Funktion der r",(49l sein. Wohl aber gilt dies von der vierten Wurzel des Quotienten. Aus (34) und (35) folgt nämlich:
-c'(w) = -c
(~~) = ~(~9ro) = -V:C~79~~'-,~!)·
Setzen wir nun: (48) so gelangen wir zu einer Funktion, die nach S. 339 in der Tat zur Gruppe r",(49) gehört. Ihre eindeutige Erklärung gehe aus der Reihenentwicklung . hervor:
(49)
6(01) = q4 + q6 + 2 q8 + 3 q10
+ 5 q12+ 7 q14+
llq16 + 15 q18 + ....
Gegenüber der Substitution W 49 zeigt 6(01) das Verhalten: (50) Andrerseits folgt aus (48) für -c(01) das Verhalten:
'() = (-1) 4900 =
(51)
-c 01
'C
~(w)
49a(w)4·
Zwischen 'C und 0 besteht eine algebraische Relation, die entsprechend der Wertigkeit dieser Funktionen in 't' vom zweiten und in 6 vom siebenten Grade ist. Bei Anordnung nach Potenzen von 'I: ist der Koeffizient von 't'2 gleich 1, da die sieben Pole von 't' bei 01 = 0 und also 6 = 00 zusammenfallen. Man setze demnach an:
wo die 9 ganze Funktionen höchstens siebenten Grades von 6 sind. Die Absolutglieder von g1 und g2 verschwinden, da die beiden Nullpunkte von 45 bei 01 = ioo, d. h. in einem Nullpunkte von 'I: zusammenfallen. Übt man W4,9 aus, so geht der Ansatz wegen (50) und (51) über in: '1: 2
+ 7 6 g (71a) + 7 2 4 1
g
408 2
'I:
(/a) =
0,
so daß man für g1 und g2 noch die Bedingungen hat:
726 4g 1
Va) = g1 (0),
740 8g 2
(/a) = g2(6).
Diese Funktionen haben also die Gestalten: gl(6) =
a16
g2(0)
b1 6
=
+ a26 2 + 7a1 6 s,
+ b 6 + bs 6 s + b4,6 2
2
Fricke, Die elliptischen Funktionen II
4
+ 7bs 05 + 72b2Ö6+7sb107. 26
402
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Die sechs jetzt noch unbekannten Koeffizienten bestimmt man mitte1st der Reihe (49) und derjenigen für 't":
(52)
'I:(m)
=
7 2 (q2+ 4q4+ 14 q6+ 40q8+ 105 ql0+ 252 q12 574 q14 1236 q16
+
Zwischen den Funktionen 'I: und Relation: (53)
't"2_
7 3 '1:(6 + 56 2 + 7( 3)
6
+
+ .. -).
des Polygons T49 besteht die algebraische
-
3.
7 4 (6 + 7(j2+
72 6 4 + 3. 72 (j5 7 3 (j6 + 73 (j7) = O.
7(j3+ +
Als Ersatz der l'ransformationsgleichung von J( m) für den 49 sten Grad können wir nun die Gleichung (41), die entsprechende Gleichung zwischen J' und '1:', die Relation 49 (j4'1: , = 'I: und die Gleichung (53) ansehen. Durch Elimination von 't", '1:' und (j würde die fragliche Gleichung gewinnbar sein. Übrigens hat man in (j und 't" noch nicht die einfachsten Funktionen der Polygone T49 und K49 erhalten. Aus (50) und (51) folgt, daß: (54) Funktionen von K49 sind, und zwar ist T dreiwertig mit einem Pole dritter Ordnung bei ioo und 6 zweiwertig mit eiuem Pole zweiter Ordnung ebenda. Aus (53) folgt als Relation zwischen 6 und 1::
T2 _ T(76
+
5) -7(12(6
+
1)
1 = 0,
+
eine Gleichung, die man auch in die Gestalt kleiden kann:
(55)
7
(6 -1)(6
+
1)2= (T
+
1)2_ 7(T
+
1)(6
+
1).
Erklärt man nun eine neue Funktion 'l:o(m) desKlassenpolygonsK 49 durch:'
"'+1
(56) die in der Spitze und (56): (57)
'1:0 = Ir + l '
einen Pol erster Ordnung hat, so folgt aus (55)
t 00
{
7 6 = 'I:~ - h o 7 T = 'l:g - h~
+ 7, + 14 't"o -
7.
Da hieraus hervorgeht, daß '1:0 keinen weiteren Pol in K49 hat, so haben wir in 'l:o(m) eine einwertige Funktion des Klassenpolygons K49 gewonnen. Bei Auflösung der Gleichung:
7 (j2 - (t'~ - h o + 7) d
+1 =
°
nach (j stellt sich,dem Geschlechte 1 von T49 entsprechend, die Quadratwurzel einer ganzen Funktion vierten Grades von '1:0 ein. Diese Wurzel liefert uns in der Gestalt:
Transformation 49 sten Grades
403
(58) eine Funktion der
r"'(49)'
die durch die Festsetzung lim (60 '1:0 w=ioo
2) =
1 ein-
deutig erklärt sein mag. In '1:0 und 00 haben wir dann die einfachsten Funktionen des Polygons T49 vom Geschlechte 1 erhalten. Die Berechnung der zugehörigen Invarianten (nach I, 121) zeigt, daß hier ein elliptisches Gebilde der absoluten Invariante J Die Funktionen
(59)
{
~ ~: vorliegt.
=
und 'I: berechnen sich aus
6
146 = 'l:g - 7'1:0 + 7 4'1:
('I:~ -
=
hg
+ 60 , + 14'1:0 -
7)('I:~ -
'1:0
und
60
so:
h o + 7 + 6 0l.
Die vier Nullpunkte von 6 0 in T49 liefern die Nullpunkte der repräsentierenden Formen für die vier Formklassen der Diskriminante D = - 196.
§ 4. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n = 4h
+ 3.
1. Transformation elften Grades. Die eine bei der Diskriminante D = - 11 auftretende Formklasse kann durch die reduzierte Form (1, 1, 3) repräsentiert werden. Man hat also für die Gruppe r"'(ll) , dem Ansatze (9) S. 326 entsprechend, eine Modulform Yo, die kurz y heiße und die Reihenentwicklung zuläßt:
(1)
Y=
21'1'
_ .. 00 2
(1
+ 2 q + 4 q + 2 qs + 4 q + ...). 2
6
10
Von den drei nach S. 334 anzusetzenden Formen Zo verschwindet die erste identisch, während die beiden anderen sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Die durch 2 geteilte zweite Form So heiße kurz si sie hat die Reihenentwicklung:
(2)
21'1' ( q-q 3 -q5 z=00.
+q
) -t-q15 -q23 - ....
11'
Die Formen y und z VLI gehören zur elften Stufe und nehmen gegenüber einer Substitution der
r"'(ll)
den Faktor
GD an.
Die Gesamtordnung des Verschwindens sowohl 'von y als von z im Polygone T11 ist 1. Da r"'(ll) keine elliptische Substitution enthält und y in der einen bei ro = i 00 gelegenen Spitze nicht verschwindet, so hat y an einer von dieser Spitze verschiedenen Stelle von Tll einen Nullpunkt erster Ordnung. Dagegen verschwindet s zufolge (2) in der Spitze i 00 in der Ordnung ti es bleibt dann nur noch ein Nullpunkt in der gleichen Ordnung t über, der nur in der zweiten Spitze von T11 , d. h. bei ro = 0 liegen kann. 26*
404
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Die Substitution W ll transformiere y und z in y' und z. Die Formen y' und z'
VL1 nehmen gegenüber einer Substitution der T",(l1)
(:1) an, der wegen (;(.8 = 1 (mod 11) gleich (1:)
den Faktor
ist. Somit ergibt sich
bei der Lage der Nullpunkte von z im Quotienten : eine von Nullpunkten und Polen freie Funktion der auch der Quotient
y'
y
T"'(ll) ,
die also eine Konstante ist. Aber
ist eine Konstante, da dieser Quotient höchstens
eine einwertige Funktion auf dem Polygone 1 11 des Geschlechtes 1 sein könnte. Da WH die Periode 2 hat, so schließen wir auf das Bestehen der Gleichungen y' = ± y, z' = ± z. Indem wir dem auf der imaginären ro-Achse liegenden Fixpunkte von ~1 entsprechend ro1 = i, ro 2 = eintragen, ergibt sich die Gültigkeit des oberen Zeichens, da weder y (zufolge der Reihe (1») noch z in diesem Fixpunkte verschwindet. Die beiden Formen (- 1)ter Dimension y und ß sind gegenüber Wu invariant:
in
(3)
y (~fl'
- i ro in) = y( roll ro 1
2),
z (~~~, - iro1
in) =
z(ro ll ro 2)·
Die Form y hat notwendig ihren Nullpunkt in einem Fixpunkte von W11 . Die beiden in Fig. 10, S. 364, mit eo und e~ bezeichneten, symmetrisch liegenden Punkte können hierbei nicht in Betracht kommen, da y (wegen (1») entweder in beiden Punkten zugleich oder in keinem von beiden verschwindet. Also folgt der Satz: Der Nullpunkt der Modulform y ist der in Fig. 10 mit ei bezeichnete Nullpunkt ro
=
-
V; +
2
11
i
der quadratischen
Form (11, 11, 3). Man hat nun in ( ay 2 bz 2) eine zum Klassenpolygone K11 gehörende Formenschar mit einem beweglichen Nullpunkte, die der Darstellung der übrigen Formen zugrunde zu legen ist. Dies mag zunächst für die zu n = 11 gehörende Form:
+
GI
=
~~ (~~)\5
+ 12 q + 36 q + 48 q + 84 q + 72 q + ...) 2
4
6
8
lO
geprüft werden. Die beiden Anfangsglieder der Reihen liefern:
12 GI
=
11 (5 y2
-
8z 2 ).
Dieses Ergebnis kann zu einer Bestätigung der bisher entwickelten Schlüsse dienen. Indem man nämlich rechts für y und z die Reihen (1) und (2) einträgt, müssen sich auch die weiter in der Reihe für GI angegebenen Koeffizienten wiederfinden, was in der Tat der Fall ist. Weiter ist (g~ + g2) eine ganze homogene Funktion zweiten Grades von y2 und Z2, sowie (rh - g'J)2 eine ebensolche Funktion vierten Grades. Die vier Nullpunkte der letzteren in K11 sind die vier unter (13) S. 364
405
Transformation elften Grades
genannten, in Fig. 10 daselbst mit eo, e~, eu es bezeichneten Ecken des Polygons 1(11' Da y in der Ecke e1 verschwindet, so hat die fragliche Funktion vierten Grades den Faktor y2. Die Reihenentwicklungen ergeben die Koeffizienten:
, { 6(g~ + g2) = 61 y4- 2 • 232 y 2Z2+ 2 • 11z (g~ _ g2)2= 100y2(y6- 2 • 5 y4Z2+ 23 • 7 y2z4_ 2 2 • 11z6). 4
(4)
5
4
Die Quadratwurzel des in der letzten Gleichung rechts stehenden Ausdrucks, der die "Verzweigungsform" (vgl. I, 119) für eine unten zu nennende Riemannsche Fläche mit vier Verzweigungspunkten liefert, hat in den vier Punkten eo, e~, eves des Polygons T11 einfache Nullpunkte und liefert eine Modulform (- 4)1er Dimension:
(5) der Gruppe r"'(ll)' die gegenüber Wu Zeichenwechsel erfährt. Die Potenzreihe von f2 ist:
(6)
f2
=
(::r
(1 - 2 q2_ 18 q4 - 56 q6 - 146 q8 - 252 ql0_
.• •).
Die Darstellungen von g2' g; durch y2, Z2, f! fassen wir zusammen in:
(7)
12g2,
61 y4 - 24 • 23 y 2 z 2 + 25 • 11z! =F 2 2 .3. 5f2'
12g~ =
Auf entsprechendem Wege gewinnt man für g3 und Zusammenfassung beider Formeln:
(8)
216gs ,
216g~ =
-
g~
wieder unter
5·7 ·19 y6+ 24 • 3·7· 23 y4 z 2 - 26 • 3·7 . 11 y2 z4
+ 2 .7 . 11 ± 2 . 3 f2 (37 y2 - 2s . 11 Z2). I-f!LI(l1w )LI(w ws) gegenüber den 2 Z6
3
2
Nach S.339 ist I-f!LI'LI = 1, ( 2 lI Substitutionen der r"'(ll) invariant. Da man in den beiden Spitzen von T11 je einfache Nullpunkte dieser Form feststellt, so ist sie bis auf einen konstanten Faktor gleich Z2. Es gilt aber einfach:
yLI'LI =
(9)
2
z,
wie die Potenzreihen bestätigen. Aus der Invarianz von
-V LI'Li
folgt,
daß VLI und VLI' bei den Substitutionen der r"'(ll) entweder zugleich unverändert bleiben oder zugleich Zeichenwechsel erfahren. Aus der zweiten Formel (9) in 1,453 folgt aber:
VLI (~::' -
iW1
V11)
VLI (iw 1 VÜ, ~?t)
= -
Umgekehrt gilt also: 'iro, VA-, (Jil1' -
.
HtJ1
-) V11
11 VLI. -3-
=
= 11 3 • VLI'.
406
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Jede der beiden Formen (1331 VLI' ± 'VA) wird also durch die Substitutionen der T",(l)' vielleicht vom Zeichen abgesehen, in sich transformiert. Bei Ausübung von WH aber bleibt die erste Form unverändert, während die zweite Zeichenwechsel erfährt. Im Polygone Kl l hat jede dieser Formen Nullpunkte der Gesamtordnung 3. Je ein Nullpunkt der Ordnung t liegt in der Spitze i 00 von Kw so daß noch Nullpunkte je in der Ordnung {- übrig bleiben. Nun verschwindet (1331 y LI' - yLi) im Punkte ca
=
_i_ (Punkt es der Fig. 10, S. 364).
Vl l
Das Quadrat:
Vd)2 = 11 6 L1' + LI- 2· IP Z 12,
(1331 VLi' -
das als homogene ganze Funktion sechsten Grades von y2 und Z2 mit rationalen Zahlenkoeffizienten darstellbar ist, hat hiernach mit der im rationalen Körper irreduzibelen Funktion: {;. y-2
y6_
=
2 2 • 5 y 4;;2 + 2 8 • 7 y 2z4- 22.11;;6
einen Nullpunkt gemein und enthält demnach diese Funktion als Faktor. Da überdies der Faktor;; (wegen des Nullpunktes in der Spitze i (0) vorliegt, so gilt der Ansatz: y (1331
YLI' - YLI)
=
;; t~
(ay 2 + b;;2).
Die Koeffizienten bestimmt man mitte1st der ersten Reihenglieder; es gilt: (10) Zur Prüfung dieses Ergebnisses berechne man aus ihm den Ausdruck für y (Vd + 1331 YLI'), wobei sich die im Laufe der Rechnung auftretende Quadratwurzel rational ausziehen lassen muß. Dies bestätigt sich in der Tat; man findet:
y LI + 1331 VLI'
YZ(Jl- 3·7 y2;;2 + 2 3 • 11z4).
=
Durch Kombination der beiden letzten Gleichungen folgt:
(11)
{
2 YVA
=
2 . 1 P . y VLI' =
+2 3 . 7 y2 Z2 + 2
Z (y2 (y4 - 3 . 7 y2 Z2 ;;
(y2 (y4 -
+ ~ (y2 -
3 •
11 Z4)
3 •
11 Z4) - ~ (y2 - 11 Z2») .
11 Z2»),
Man bilde nun die beiden Quotienten: (12)
1:'(ca)
=
y'
.... ,
z
von denen der erste eine einwertige Funktion des Klassenpolygons darstellt. T11 wird durch 1:' auf eine zweiblättrige Fläche des Geschlechtes 1 abgebildet, für die wir ein Funktionssystem in:
(13)
407
Transformation elften Grades
besitzen. Hier liegt ein elliptisches Gebilde von der absoluten Invariante J
=
-
2 6 • 31 S
~11. vor.
Aus (7), (8) und (11) berechnet sich folgende Darstellung von J( w) im Funktionssysterp, 0, T: (14)
J: (J -1): 1 = T(6h 2 - 24 • 23T + 25 • 11 - 2 2 .3.5 öl : r (5·7 ·19T 3 - 24 • 3 ·7· 23T 2 + 2 6 • 3 . 7 . 11 T - 2 3 .7 ·112- 2· 3 2 (j'(37't - 2 3 .11»)2
: 2 4 • 3 3 (r(r 2 - 3· 7r
+ 23 .11) + aCr -11»)2.
Die Gleichung für die transformierte Funktion J' geht hieraus durch Zeichenwechsel von (j' hervor. Beide Gleichungen im Verein mit der Relation (13) ersetzen uns die Transformationsgleichung für J( w). Beim elften Grade gibt es eine Transformationsgleichung für: (15) deren Gestalt unter (7) S.343 angesetzt ist. Man könnte diese Gleichung durch Eliminationen aus den entwickelten Relationen gewinnen. Doch ist es leichter, direkt an den eben genannten allgemeinen Ansatz anzuknüpfen und die noch unbekannten numerischen Koeffizienten aus den Reihenentwicklungen zu bestimmen. Für die Form (15) hat man zunächst die Reihe:
(16)
f(w u ( 2) = 11 (~:r (q2_ 2 q4- q6+ 2 q8+ q10+ 2 q12_
.• -).
Aus der Invarianz von z gegenüber Wu folgt:
f (~~i' • BOWle,
la11s man
J.'
f(w 2 ,
-
-i
V 11 -----==, --. iVU ~ 0)1
0).
( 1) =
W1
yl1 ) =
11 z(w l l
an SteIIe von wll
11 z (;~1'
ws?,
W2
V:l y= w2
Z
. t.. t. em rag.
(~~, w
2
t
Die Form f(w 2 , - ( 1 ), die gleichfalls eine Lösung der gesuchten Transformationsgleichung ist, hat hiernach die Potenzreihe:
(17)
f(w 2 ,
-
( 1) =
-
!
4
6
8
10
12
(~:r qU _2 qll_qii + 2 qll +qll + 2 ql1 (
)
....
Man trägt nun in den mehrfach genannten Ansatz (7) (S.343) zweckmäßig 1292 und 216g3 an Stelle von g2 und g3 ein, damit die Anfangskoeffizienten der Reihen für diese Produkte gleich 1 sind. Das vorletzte Glied der gesuchten Gieichnng bestimmt sich dann ans dem Anfangsgliede der Reihe (17), die übrigen Glieder findet man aber leicht durch
408
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Vermittlung der Reihe (16). Die beim elften Grade auftretende Transformationsgleichttng für die Form (15) ist:
(18)
f12 - 2 . 3 2.5 . 11A [6+ 23 . 5·11 (12g 2)Ar- 3·5 . 11 (216g s)AfS
+ 2 . 3 . 11 (12g 2 )2 Af2 + (129 2) (216gs)Af -
11 A2 =
o.
2. Transformation 19 ten Grades. Die zur linken Seite der imaginären ro-Achse liegende Hälfte c, des Klassenpolygons K19 ist in Fig. 16 abgebildet. Neben den beiden geradlinigen Seiten, die auch schon Symmetrielinien des TransformaFig. 16. tionspolygons Tl9 sind, kommen noch die drei in Fig. 16 mit 1, 2 und 5 bezeichneten Symmetriekreise hinzu, von denen der letzte zur Spiegelung W l9 gehört, während die beiden ersten die Gleichungen: 38(~2
+ rl) + 38~ + 9 =
haben und zu den in der ro
, =
r(19)
0,
57 (~2 + '1]2)
+ 38~ + 6 =
0
enthaltenen Spiegelungen gehören:
-19m - 9 38 co 19 '
+
ro'
-19 m- 6 57 co 19
+
Bei der DiskriminanteD = - 19 gibt es nur eine Formklasse mit der reduzierten Form (1, 1, 5). Die nach Vorschrift von S.362 der Klasse entnommene' Form (19, 19, 5) hat als Nullpunkt die in Fig. 16 mit eo bezeichnete, bei ro
=
-
V19 +~ gelegene Ecke. Nach 8.148 gehören zur
2 V19
Diskriminante D = - 76 drei FOl'mklassen, und zwar neben der Hauptklasse zwei entgegengesetze Klassen mit den reduzierten Formen (4,±2,5). Der in Fig.16 mit el bezeichnete Eckpunkt ist der Nullpunkt der in der Hauptklasse enthaltenen Form (19,0,1). Der bei ro
=
-V~i 4
19
ge-
legene Punkt e2 ist der Fixpunkt der elliptischen Substitution der Periode zwei
(-71:', -1~)
der
r(19)
und zugleich der Nullpunkt der in der einen
der beiden entgegengesetzten Klassen enthaltenel;l Form (76,38,5); durch jene Substitution werden die Seiten 3~und 4 der Fig. 16 ineinander transformiert. Der bezüglich der imaginären ro-Achse mit e2 symmetrische
Klassenpolygon K19 und zugehörige Formen y und
Punkt
e~
409
Z
gehört der anderen der bei den entgegengesetzten Klassen an.
Der Punkt es, der bei ro
e;
=
-15
~ i VS
gelegen ist, bildet mit dem sym-
metrischen· Punkte einen Eckenzyklus des Klassenpolygons K19 , Ain Transformationspolygon aber stehen diese Ecken je für sich und sind die Fixpunkte zweier in der [''''(19) enthaltenen elliptischen Substitutionen der Periode drei (=1= 7~7~ 1 8) .
Sie liefern für die über der J-Ebene
lagernden Transformationsfläche F19 die beiden bei J = 0 isoliert verlaufenden Blätter, deren Auftreten aus der Abzählung von S. 356 hervorgeht. Die analytischen Ansätze von S.326ff. gestalten sich gerade so wie bei n = 11. Die quadratische Form (1, 1,5) der Diskriminante D = - 19 liefert die Modulform (- 1 y,.r Dimension: (19) Von den drei Formen Zo verschwindet eine identisch 1), während die beiden anderen sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Eine dieser Formen, von dem gemeinsamen :Faktor 2 ihrer Reihenkoeffizienten befreit, ist: (20) Dieses z liefert erst im Produkte z VA eine zur r ",(19) gehörende Modulform. Gegenüber der einzelnen Substitution der r", (19) n~hmen die
z -VLI den Faktor (i9) an. Die Formeny und z haben in T19 Nullpunkte in der Gesamtordnungt· Die Lage der Nullpunkte von z ist leicht feststellbar. Infolge (20) liegt in der Spitze i 00 im Nullpunkt der Ordnung ~. Da z in den beiden
beiden Formen y und
symmetrischen Punkten es, e~ (wegen der reellen Reihenkoeffizienten) Nullpunkte gleicher Ordnung hat, so muß in jeder dieser Ecken, damit die Gesamtordnung t herauskommt, ein Nullpunkt der Ordnung t liegen. Der rückständige Nullpunkt der Ordnung -} liegt in der Spitze ro = 0, was durch den Umstand bestätigt wird, daß z . -VLi gegenüber der Substitution U~,
°1)
unverändert bleib,t. Die Form y ist bei ro
=
i
00 von 0
venrchieden und kann (wegen ihrer Invarianz gegenüber der eben genannten Substitution) bei ro = 0 höchstens in ganzzahliger Ordnung ver1) Das identische Verschwinden steht bereits fest, wenn in der Potenzreihe von Zo kein Glied mit einem Exponenten 4 von q auftritt. In diesem Falle ein Nullpunkt würde nämlich, falls Zo nicht identisch verschwände, bei Cl = i einer Ordnung :;::: 2 auftreten, wäbrend doch zo' als von der Dimension - 1, in T19 nur Nullpunkte in der Gesamtordnung t hat.
<
00
410
II,4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
schwinden. Damit die Gesamtordnung t herauskommt, muß y in es und Nullpunkte der Ordnung t haben, so daß noch ein einziger Nullpunkt der Ordnung 1 übrig bleibt. Die funktionentheoretische Überlegung, die schon im Falle n = 11 ausgeübt wurde, zeigt, daß dieser
.e;
Nullpunkt notwendig in dem bei ro = _=-~1} + i gelegenen Punkte eo von 2 Jl19 T19 liegt. Aus der Lage der Nullpunkte folgt weiter, daß y ttnd z gegenüber W 19 invariant sind. Ei~ Zeichenwechsel gegenüber W 19 ist deshalb ausgeschlossen, weil diese Formen im Punkte e1 nicht verschwinden. Wir haben nun wieder in (ay 2 + bz 2) eine lineare Formenschar mit einem beweglichen Nullpunkte erster Ordnung im Klassenpolygone K19 und übrigens je zwei festen Nullpunkten der Ordnung t in es und e~. Die zu n = 19 gehörende Form G1 gehört der Schar an; es gilt nämlich: 4G 1 = 19(3 y 2 - 8z 2 ).
Zur Gewinnung derjenigen ganzen homogenen Funktion dritten Grades -von y2 und Z2, deren drei Nullpunkte erster Ordnung in K19 die zu den drei . Formklassen mit D = - 76 gehörenden Ecken el! 2 , sind, kann man so vorgehen: Im Quotienten:
e e;
(21)
~:
T (ro) =
q- 2 + 4
=
+ 6 q2 + ...
haben wir eine einwertige Funktion von 1{19' die ihren Pol bei ro = i 00 hat. WÜ·· verstehen nun unter (ro, d ro) das schon in I, 318 eingeführte homogene Differential: (ro, dro)
=
ro1 • dro 2
-
ro 2 • dro 1
=
-
ro~'
dro,
das gegenüber den homogenen Substitutionen der T"'(19) invariant ist und bei W 19 Zeichenwechsel erfährt. Nennen wir die in (19) und (20) rechts in Klammern stehenden Potenzreihen kurz y' und z', so haben wir in: ~ = (00,
_
doo)
2ni qy'
ooi
Z'2
(dY' _ dq
,dlogz') dq
Y
eine Form (- 2)ler Dimension, die gegenüber W 19 Zeichenwechsel erfährt, und die in den beiden Polygonspitzen ro = i 00 und 0 je einen Pol erster Ordnung hat. Demnach wird in:
(22)
2i:ltz 2 ~ (00,
dOl)
=
(~)3 00 2
(dY' _ Y,dlogz') dq
qy dq
eine ganze Form (- 4)ler Dimension von T 19 gewonnen sein, deren Nullpunkte in der Gesamtordnung 2j nicht in den bei den Spitzen von T19 liegen. Die Lage und Ordnung dieser Nullpunkte läßt sich sofort angeben, da die von Z2 bekannt sind und die des Differentialquotienten in (22) links sich nur an jenen Stellen finden, wo die konforme Beziehung zwischen der
Funktionen des Transformationspolygons T19
411
z-Ebene und der oo-Halbebene unterbrochen ist, d. h. an den Stellen eo, el! e2 , e~, es, S. In T19 gemessen hat die Form (22) je einen Nullpunkt erster Ordnung in den vier Punkten eo, eil e2 , e~ und je einen Nullpunkt der Ordnung J an den Stellen es, e~. Demnach hat die Form: (
23)
v(OOl!
(0 2)
=
,.
2~n;
-
YZ2
dr
(~:d;;;)
=
(21l)3 (, dlogz' 01 q Y ~2
d Y') dq
in T19 fünf einfache Nullpunkte bei eu e2 , e;, e3 , e~. Die Bezeichnung v möge darauf hinweisen, daß diese Form mit der Verzweigungsform der dem Polygone T19 entsprechenden zweiblättrigen Riemannschen Fläche über der 1:'-Ebene eng zusammenhängt; die Potenzreihe von v ist:
(24)
v
=
(~:r (1- 2 q2 _ 4 q4_14 q6 - 22 q8 - 48 q10_
.• . ).
Das Quadrat von v ist nun eine Form des Klassenpolygons K19 , die drei einfache Nullpunkte in den Ecken eil e2 , e~ und einen Nullpunkt zweiter Ordnung im Eckenzyklus es, e~ hat. Somit ist v 2 als ganze homogene Funktion dritten Grades von y2 und Z2 darstellbar, und zwar, wie die Reihenentwicklungen zeigen, inder Gestalt:
(25) Das Produkt y2 v2 liefert die Verzweigungsform der eben genannten zweiblättrigen Fläche, auf die T 19 durch 1:'(00) abgebildet wird. Die Quadratwurzel yv dieser Verzweigungsform heiße als ganze Modulform (- 4)ter Dimension f2 (OO v (02). Wir haben dann in: (26)
1:'
und
O=~4=-V1:'(1:'3_241:'2+261:'-22.19)
ein Funktionssystem der fraglichen Fläche. Hier liegt, wie man durch Berechnung der Invarianten feststellt, ein elliptisches Gebilde der ab.
soluten Invariante J
=
-
2 12 7"
. -._.
3"·19"
vor.
Ehe wir g2' g~, gs, ... in y, Z und f2 darstellen, soll ein bisher schon wiederholt hervorgetretener Satz allgemein bewiesen werden. Die Ecken oder Eckenzyklen von K", die noch nicht als solche am Polygone T" auftreten, wurden von den Fixpunkten der elliptischen Substitutionen der Periode 2 in der Nebengruppe r",(n) . W" geliefert und waren übrigens den Formklassen der Diskriminante D = - 4n bzw. der Diskriminanten D = - n und D = - 4n zugeordnet. Es gilt der Satz, daß eine Form G~ der geraden Dimension - 2v, die gegenüber der r",(n) absolut invariant ist, aber gegenüber W" Zeiehenwechsel erfährt, in jedem der eben genannten Punkte von T n einen Nullpunkt hat. Durchläuft (;:
~) die
r",(n)'
d. h. ist
r durch n teilbar, und benutzen wir für W" die homogene Schreibweise
412
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
(5) S.370 der Periode 2, so erhalten wir für 7' = nß die elliptischen Substitutionen von der Periode 2 der Nebengruppe r",(n)' W n in der Gestalt:
/ißrn , _ Vii ia. ) ( i ~rn, - ißrn ' Der Fixpunkt der einzelnen dieser Substitutionen ist ßVii
j- i, wo ~ als
d'Vn
positiv gelten darf. Der Annahme gemäß besteht nun die Gleichung:
GV(ißro1 rn - i~~2, 1:~rol y'n - ißro 2 y'n)
=
-
Gv(roll
Setzt man hier, dem eben genannten Fixpunkte entsprechend, ro1 = ro 2 = ~ Yn ein, so folgt:
Gv(- ßy'n -
i, - ~rn) = -
ros)'
ßy'n+i,
G. (ß r n + i, ~V'n),
woraus sich wegen der geraden Dimension von G. das Verschwinden dieser Form an der fraglichen Stelle ergibt. Das Polygon 1 19 hat an Punkten der fraglichen Art die vier mit eo, el l e2, e; bezeichneten. Hier verschwindet die Form f2 je einfach. Wenden wir den eben bewiesenen Satz auf (g; - g2) an, so heben sich die vier Nullpunkte bei eo, el l e2, e; aus dem Quotienten (g; - g2) : f2 fort. Nun hat f2 außerdem noch im Polygone 1 19 in den bei den Ecken es, je einen Nullpunkt der Ordnung t und ist übrigens allenthalben von verschieden. Für (g; - g2) können wir in es und e~ zunächst nur je einen Nullpunkt der Ordnung} feststellen. Demnach ist der gegenüber W 19 invariante Quotient (g; - g2) : f2 eine einwertige Funktion von !(19 oder eine Konstante, nämlich letzteres, falls der noch übrig bleibende Nullpunkt von (g; - g2) etwa auch im Eckenzyklus es, e~ liegen sollte. In jedem Falle gilt der Ansatz:
e;
°
(ay 2+ bz 2) (g; - g2)
=
f2 (cy 2+ dz 2).
Der erste Faktor links ist diejenige Form unserer linearen Schar, die den beweglichen Nullpunkt im Eckenzyklus es, e~ von K19 hat. Es ist also weder a noch b gleich 0, und also kann einer dieser Koeffizienten, etwa a, gleich 1 gesetzt werden. Die drei anderen Koeffizienten ergeben sich leicht aus den Potenzreihen; man findet:
(27) so daß (y2 - Z2) die Form der Schar ist, die im Eckenzyklus es, e~ von K19 einen Nullpunkt der Ordnung t hat. Einfacher ist die Darstellung von (g; + g2)' Man erkennt leicht, daß (y2 - Z2) c.q; + g2) eine homogene Funktion dritten Grades von y2
413 und Z2 sein muß, deren Koeffizienten wie üblich aus den Potenzreihen bestimmt werden. Durch Kombination beider Ergebnisse folgen für g2 und die Darstellungen: Transformation 19 ten Grades
g;
(28)
12(y2- Z2)g21 12(y2- Z2)g;
=
181 y6 - 3. 503 y4Z 2+ 24 • 211 y 2 z4
- 2 5 .3. 19z6 += 60f2(3y2 - 5z2 ). Für die Darstellung von J in () und T ist es ausreichend, wenn wir neben (28) noch die Ausdrücke von A und A' = A (1900 1 , (0 2 ) in y, z und f2 kennen. Diesem Zwecke dient folgende Schlußweise. In A'· LI haben wir eine Form des Polygons Kl9 mit einem Nullpunkte 20ster Ordnung in der Spitze i 00, die sich infolge ihres Anfangskoeffizienten sofort als mit dem Quotienten von Z40 und (y2 - Z2)8 identisch erweist, welcher in der Tat in derselben Weise verschwindet. Wir finden bei richtiger Bestimmung der Wurzeln: 8 '.-,-
VA A
(29)
r
=
Z6
---~
y'-z"
jI -,LI LI =
GV (y' _z' z 3
---
Z')4 .
Weiter ist nach den Sätzen von S. 339ft'. die sechste Wurzel des Quotienten A': A eine Funktion der T"'(19)' Hieraus folgt, daß jeder der beiden Ausdrücke ± 19 VA') gegenüber den Substitutionen der T(19) bis auf multiplikative sechste Einheitswurzeln invariant ist. Nun liegt zunächst für die Form (1!::1 -19V:::t') ein Nullpunkt der Ordnung} in der Spitze i 00. Es bleiben Nullpunkte der Gesamtordnung t übrig, und da die fragliche Form im Punkte el verschwindet, während andrerseits die Funktion dritten Grades (25) von y2 und Z2, deren einer Nullpunkt el ist, im rationalen Körper irreduzibel ist, so sind die beiden anderen Nullpunkte je der Ordnung t von (VA -19 VA') die Punkte e2 , e~.l) Hiernach ist der Quotient von Z2 V6 und (VA - 19 V:::t')6 eine ganze Form des Polygons K19 , die nur noch im Eckenzyklus es, e~ verschwindet. Infolge des Anfangsgliedes der Potenzreihe ist sie einfach gleich (y2 - Z2)4. Wir haben also wieder bei richtiger Bestimmung der Wurzel das Ergebnis:
(VA
11::1 - 19VA' = v -V~~
(30)
.
Die Schlußweise gestattet eine Prüfung, indem man aus (30) und der zweiten ,Formel (29) den Ausdruck für (VA + 19 V:::t') berechnet. Es muß sich nämlich die Quadratwurzel aus (v 2 + 76z 6) in y und z rational ,darstellen. Dies ist in der Tat der Fall, man gewinnt:
'Von
1) Man beachte, daß das Produkt von (y' - Z')4 und der sechsten Potenz ganz und numerisch rational in y' und z· darstellbar ist.
(V.:1 - 1911.:1')
414
II,4. Transformationsgleichungen erster Stufe tür meuere Grade n
VA + 1911:5 =
(31)
y(y2 - 8z 2)
V(y2~
z')' .
Für Li selbst ergibt sich endlich der Ausdruck:
26(y2 - Z2)4 A
(32)
=
Z2 (yS - 8 yz2+ V)6.
Geht man jetzt zum Funktionssystem 0, 1: von T19 zurück, so findet man aus (28) und (32) folgenden Ausdruck für J(w) als rationale Funktion von 0 und 1::
(33)
J
=
(r-1).,.S(18h 3 -
3·503.,.2+ 2 4 .211.,.- 2"· 3 ·19 27
(.,.2_ 8.,.
+ (1)6
60(1(3"'-5)3.
Die Gleichung für J' ergibt sich hieraus durch Zeichenwechsel von o. Beide Gleichungen ersetzen uns im Verein mit der Relation (26) die beim 19 ten Grade auftretende Transformationsc, gleichungfÜrJ(w).l)
3. Transforma ti on23 ton Grades. Die zur line, ken Seite der imaginären w "Achse gelegene Hälfte des Klassenpoly"'~() Fig. 17. gons K23 ist in Fig. 17 dargestellt. Die mit 1 und 6 bezeichneten Kreisbogen sind die Symmetriekreise der Spiegelungen: ,
w
=
-23w-11 46-w 23 '
+
w
,
1
=---. 23w
Die Seiten 2 und 3 sind aufeinander bezogen, ebenso 4 und 5, nämlich durch: , -2300-6 , - 2300 - 8 w = 6900 + 23 bzw. w = 9200 + 23 ' deren Fixpunkte es nnd el gelegen sind bei:
-V23 + i w=-------
3V23
und
w =
Den drei Formklassen der Diskriminante D
-V23 + i
--c=-- .
4 V23 =
-
23 gehören die Ecken e()
=2V23 V23 + i
gelegen), el und die bezüglich der imaginären w-Achse
symmetrische Ecke
e~ an. Ebenso entsprechen die Ecken e2 (bei w= V~3
( bei w
=
1) Die Transformationsgleichung für die 12'· Wurzel der Diskriminante Li ist beim 19'en Grade von Kiepert im Journ. f. Math. Bd. 87, S. 216 angegeben.
Klassenpolygon K23 und zugehörige Funktionen
415
gelegen), e3 und die symmetrische Ecke e~ den drei Formklassen mit D = - 92. Die drei Ecken EO' Cl1 c2' gelegen bei: 00 =
- 93 +il/91 --23-0-- ,
-13
Vi + iV13 46
V7
-
47
+i1/9i
230
c;,
und die symmetrischen Ecken c~, c~ bilden für das ganze Polygon K2S einen Zyklus. l ) Die drei reduzierten Formen der Diskriminante D = - 23 sind die Hauptform (1, 1, 6) und die entgegengesetzten Formeu (2, ± 1, 3). Der Ansatz (9) S. 326 liefert zwei verschiedene Modulformen:
(34)
rY=
::
(1
+ 2 q2+ 2 q8+ 4 q12+ 4 q16+ 2 q18+ .. '),.
lYI
2:n:
(1
+ 2 q4+ 2 q6+ 2 q8+ 2 q12+ 2 q16+ 2 q18+ .. .).
=
0)2
Der Ansatz (21) S. 333 liefert für die Hauptform eine identisch verschwindende Reihe und für die beiden entgegengesetzten Formen (3, ± 1, 2) eine Modulform: 2:n: Z =;(q2 _ q4_ q6 + q12 + q16 _ q26 _ ...),
(35)
2
die mit
(36)
t (y -
y~) identisch ist. Übrigens gilt einfach:
z=
2yLi' Li = 2.yLi(23ool ,
(0 2 ) '
Li(OO l1 (0 2),
wie aus der Gleichheit der beiden ersten Glieder der beiderseitigen Reihenentwicklungen folgt. 2) Gegenüber einer Substitution der r"'(23) nehmen die Formen y, Yl1 z den Faktor C~) an. Die Formen y und z haben auf dem Polygone T23 Nullpunkte je in der Gesamtordnung 2. Ihr Quotient: (37)
$(00)
= ~ = q-2+ 3
+ 4 q3+ ...
ist demnach eine zweiwertige Funktion von T 23 , da er nicht konstant ist und einwertige Funktionen auf diesem Polygone des Geschlechtes 2 nicht. vorkommen. Nun gibt es auf einer hyperelliptischen Fläche im wesentlichen, d. h. von linearer Transformation abgesehen, nur eine zweiwertige Funktion. 3) In unserem Falle haben wir einers ei ts in $ (00), andrerseits, 1) Es handelt sich hier um sogenannte "zufällige" Ecken (vgl. die "Vorlesungen über automorphe Funktionen", 1,110), die nicht Fixpunkte elliptischer Substitutionen sind; entsprechend ist die Summe der Eckenwinkel gleich 2:n:. 2) Vgl. die Note S.409. 3) Existieren auf einer Riemannschen Fläche zwei zweiwertige }l'unktionen, die nicht linear miteinander zusammenhängen, so gehen diese beiden Funktionen eine algebraische Beziehung ein, die man leicht als zum Geschlecht p = 0 oder p = 1 gehörig erkennt.
416
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
in jeder einwertigen Funktion des Klassenpolygons K2S eine zweiwertige Funktion von T23. Also ist 7: (w) eine einwertige Funktion von K23 , und da z zufolge (36) gegenüber W 23 invariant ist, so gilt dasselbe von y und also auch von Yl. Das Polygon T 23 wird durch 7: (w) auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche mit sechs Verzweigungspunkten abgebildet, die von den Punkten eo, eu es, es, e~ herrühren. Die zu dieser hyperelliptischen Fläche gehörende" Verzweigungsform" gewinnen wir wieder durch einen Dift'erentiationsprozeß. Es handelt sich hierbei einfach um eine Wiederholung der Überlegung von S. 410ft'. Wir bilden die zur r""(23) gehörende, gegenüber TV23 Zeichenwechsel erfahrende Form (-1 )ler Dimension:
e;.,
•
.
v = - 2~]rz
(38)
d,,;
(00,
doo) = -
1 (211:)S q (da;qY' -
2
00 2
,
Y
dIOgz') , ------aq
wo y' und / die in der ersten Gleichung (34) und in der Gleichung (35) rechts in Klammern stehenden Potenzreihen sind. Für die Form v findet man die Reihenentwicklung: (39)
v
=
lO
(~)3 (1 _ q2 _ 5 q4 _ 10q6 _ 21 q8 _ 22 q _50q12_ 44 q14_ 85 qI6_
. . . ).
Die Ableitung von 7: nach w hat zwei Pole erster Ordnung in den Spitzen von T 23 , die aber durch die daselbst liegenden Nullpunkte des Faktors z fortgehoben werden. Andrerseits sind die sechs Nullpunkte erster Ordnung der ganzen Form v die sechs Punkte eo, el , e~, es, es, e~, die die Verzweigungspunkte unserer zwei blättrigen Fläche liefern. Die Verzweigungsform wird durch das Quadrat von v geliefert, das gegenüber W 23 invariant ist. Man beachte, daß wir für K23 jetzt in (ay + bz) eine lineare Formenschar mit einern beweglichen Nullpunkte haben. Demnach ist VS als homogene Funktion sechsten Grades von y und z darstellbar, die dann die gewünschte Verzweigungsform liefert. Die Reihenentwicklungen ergeben: (40)
v 2 = y6-2. 7 y5 z+ 3.19 y4 z 2 - 2.53 y 3 Z S+ 2 .3 2 .5 y 2 z4_ 2 4 yz5_19z 6•
Als Funktionssystem für das Tmnsformationspolygon T 23 führen wir nun:
(41)
7: =
JL
v
0=--
ZS z ' ein, wobei sich die zweite Funktion in der ersten in Gestalt der folgenden Quadmtwurzel darstellt:
(42)
0 =
-V7:6 -
147:5 + 577:4 - 1067:3 + 907: 2 - 167: - 19.
Dieses Ergebnis ist einer bemerkenswerten Prüfung zugänglich. Durch Nullsetzen der unter dem Wurzelzeichen stehenden Funktion gewinnt man eine Gleichung, deren Lösungen die drei zu den Formklassen
Verzweigungsform der Transformationsfläche beim Grade 23
der Diskriminante D =
-
23 gehörenden Werte -r (-
und die drei entsprechend zu D =
V:: +i), 2
92 gehörenden -r
-
I'
23
417
-r (=t= y2s + 4 V23
i)
(,li23 ), -r (=t= 3V23V23+i), y
sind. Aus den späteren arithmetischen Anwendungen der elliptischen Funktionen folgt nun, daß jedes dieser Systeme zu je drei Werten selbst einer Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügt. Die Gleichung sechsten Grades muß also im rationalen Körper reduzibel sein und zwar in zwei kubische Gleichungen zerfallen. Dies ist in der Tat der Fall; die heiden kubischen Gleichungen sind: D D
=
-
=
-
23, 92,
-r 3 -
3't'1I
+ 2-r + 1 =
-r 3 -1h2
0,
+ 22't' -19 =
O.
Daß die zweite Gleichung zur Diskriminante - 92 gehört, folgert man aus der Tatsache, daß sie (aber nicht die erste Gleichung) eine reelle
positive Lösung hat (die den Wert
't'
(V~3) liefert)-
Um eine gleich auszuführende Rechnung zu erleichtern, bilden wir uns in: Vi = VYsz - 3 yllZ2+ 2 yzs+ rf, { (43) v2 = y3 z - lly2.z2 + 22 yz3 - 19z4
r
zwei Modulformen (- 2)ter Dimension, von denen die erste drei N ullpunkte erster Ordnung an den Stellen eo, ell e~ von T 23 , die zweite ebensolche in den Punkten ea, es, e~ hat. Außerdem hat jede dieser Formen noch einen Nullpunkt der Ordnung -~- in jeder der bei den Polygonspitzen. Durch Eintragung der Reihen für y und z in (43) ergeben sich für Vi und V 2 die beiden Potenzreihen: (44)
wo der Stern in der ersten Reihe andeuten soll, daß ein Glied mit qll nicht auftritt. Da die Nullpunkte jeder Form Vii Vli durch W 23 in sich transformiert werden, so wird jede dieser Formen durch "W;S bis auf einen konstanten Faktor in sich transformiert. Die dabei auftretenden Faktoren können aber wegen der Periode 2 von Was nur gleich ± 1 sein. Bei Vi kann der Faktor - 1 nicht auftreten, da Vi im Punkte ejl nicht verschwindet. Nehmen wir noch hinzu, daß Vi· V 2 = zv gegenüber W 2S Zeichenwechsel erfährt, so folgt: Gegenüber W 23 ist Vi invariant und "'2 erfährt Zeichenwechsel. Fricke, Die elliptischen Fl1:nktionen 11
27
418
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Die Darstellung von J durch (j und,; bahnen wir jetzt wieder dadurch an, daß wir g2 und LI durch die Formen y, z, ... darstellen. Zunächst bietet g2 keine Schwierigkeit; (g~ + g2) ist eine homogene Funktion vierten Grades von y und z, (g; - g2) ist das Produkt von v und einer linearen Funktion von y und z. Die Reihenentwicklungen liefern . die Darstellungen:
45 (
{6(g;+g2)=5(53tf-24.52y3Z+24.59y2Z2_24.3 . 19 yz3+ 2 5 • 3 2z 4 ), ) . 6(g~ - g2) = 25 • 32 v(l1y - 24 z).
YLI' LI
Da
gegenüber der
r"'(23)
iuvariant ist, so bleiben
YLI
und
y'Lf bei der einzelnen Substitution dieser Gruppe stets zugleich unverändert oder erleiden zugleich Zeichenwechsel. Demnach sind (y'Li ± 12167 v'Lf) Formen, die gegenüber der r"'(23) bis auf Zeichenwechsel invariant sind; gegenüber W 23 ist die erste Form invariant, die zweite erfährt Zeichenwechsel. Das Produkt der bei den Formen enthält den Faktor v (vgl. S.411) und auch den Faktor z (wegen der Nullpunkte in den Polygonspitzen); man kann demnach auch sagen, es enthalte den Faktor VI' V 2 . Nun hat (y LI - 12167 y'Lf) mit der Form v2 den Nullpunkt e2 gemein. Da aber (y'Li - 12167 yLi')2 eine ganze Funktion der y, z mit rationalen Koeffizienten ist und v~ eine im rationalen Körper irreduzible ganze Funktion von y und z ist, so enthält (y'Li - 12167 Li') den Faktor v2 • Den Faktor VI kann sie nicht auch noch enthalten, da sonst (y Li- 12167 LI') in y und z rational wäre, was wegen des Nullpunktes der Ordnung -t bei ro = ioo nicht möglich ist. Somit sind die Formen (y'Li ± 12167VLI') als Produkte von VI und v2 mit ganzen homogenen Funktionen vierten Grades von y und z darstellbar. Die Potenzreihen ergeben:
Y
VLI +
12167y:;;? = (46)'
I
VA -
VI (tf-
Y
3·7 ySz + 2 2 .37 y2 z 2 -2 2.5·19 yzs+2 2 .53z4),
12167 V Li' =V2(y4_17 ySz+2.32.5y2z2-2·71yzS-2. 7 z4).
Eine Prüfung der vollzogenen Schlußweise kann man dadurch anstellen, daß man die Differenz der Quadrate der hier rechts stehenden Äusdrücke bildet, die sich zufolge (36) auf 4· 23 3 z 12 zusammenziehen muß. An die Stelle der etwas umständlichen Gleichung für J als rationale Funktion von (j und,; lassen wir die bei den Gleichungen treten: 12g2Z-4= 5(53'1:.4-400,;3+ 944,;2_912,; +288) -288(j(11,;-16)?
(47)
f2L1z-12_2.23 =(-r:4-17 -r +90-r -142,;-14). (-r _11,;2 +22-r-19) (,;4-17 ,;3+90-r -142,;-14)
l
3
3
3
2
2
+ (j(-r4,-21-r 3 +148-z;2_380-z;+212».
Transformation 23 stcn Grades.
419
Klassenpolygon KS1
Sie bilden mit der Gleiehung (42) in bekannter Weise den Ersatz der Transformationsgleichung für J(ro) beim 23. Grade. 1) 4. Transformation 31"ten Grades. Die zur linken Seite der imaginären ro-Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons K31 hat die in
e.
w= -~
Fig. 18.
Fig. 18 gegebene Gestalt. Die mit den Nummern 1, 4, 7 und 8 bezeichneten Symmetriekreise nebst zugehörigen Spiegelungen der r(31) sind der Reihe nach gegeben durch: ,
ro
3·31 (;2 + r;2) + 2.31; + 10 = 0,
ro
5·31 (;2 + r;2) + 2·31; + 6 = 0,
-
31m--15 62w+31 '
-
31m -10 31- ,
=
, =
-93m
+
- 31w-6 ro , =------------
15500
ro
,
+ 31
'
1 =--. 31m
Die zu eo, el) es und ei bezüglich der imaginären Achse symmetrischen Eckpunkte der anderen Hälfte von KSl mögen wieder 10, e~, e~ und e~ heißen. Der Eckenzyklus eo, e~ und die beiden Ecken el e~, gelegen bei: -V3l
+i
ro=---4
val
'
gehören den drei Formklassen der Diskriminante D = - 31 bzw. den diese Klassen repräsentierenden Formen (31, 31, 8), (62, ± 31, 4) an, von denen die erste zweiseitig, die beiden anderen entgegengesetzt sind. Ebenso gehören die Punkte e2 , es und e~, gelegen bei: 1) Auch für den Grad 23 ist die TransfOl'mationsgleichung der zwölften Wurzel der Diskriminante .d durch Kiepert berechnet; s. Joum. f. Math., Bd. 95, S.230. 27*
420
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
zu den drei l!~ormklassen der Diskriminante D = - 124, repräsentiert durch die Formen (31,0,1), (155, ± 124,25). Die Punkte e1 und es sind die Fixpunkte der beiden elliptischen Substitutionen der Periode 2: ro
, =
- 3101 - 8 12401 31
+
I
ro
, - 6201 - 25 = 15501 62
+
I
die in der r(Sl), aber noch nicht in der r"'(31) enthalten sind. Durch die erste werden die beiden Seiten 5 und 6 ineinander transformiert, durch die zweite die Seiten 2 und 3. Die beiden durch diese Seitenpaare zusammengesetzten Kreisbogen haben die Gleichungen:
(2, 3)
31(;2+ '1)2) + 25; + 5
=
0,
(5, 6)
31(;2+ '1)2)
+ 16; + 2 =
0.
Diese beiden Kreise schneiden die in der Figur stark ausgezogenen Symmetriekreise 1,4, 7 überall unter rechten Winkeln. Der Punkt e4 endlich bildet mit dem symmetrischen Eckpunkte e~ am Polygone KS1 einen Eckenzyklus. Diese Punkte, die bei ro
=
+ 11 ~ i Va gelegen sind,
stehen am
Transforniationspolygone TS1 für sich und bilden die Fixpunkte der beiden in der r",(31) enthaltenen elliptischen Substitutionen der Periode 3:
sie liefern für die über der J-Ebene gedachten Fläche F31 die Stellen mit J = 0 in den beiden hier unverzweigt verlaufenden Blättern. Die bekannten Ansätze (S. 326 ff.) liefern für n = 31 zwei Modulformen y und eine Form z:
(48)
die auch hier wieder in der Beziehung 2 z = Y - Yl stehen. Alle drei Formen nehmen wieder gegenüber einer Substitution der r",(31) den Faktor
(3:) an.
Jede der drei Modulformen y, Yll z hat im Polygone T31 Nullpunkte der Gesamtordnung t. Hieraus folgt leicht, daß y, Yl und z in e4 und e~ je einen Nullpunkt der Ordnung t haben; außerdem besitzt jede Form
Modulformen des Klassenpolygons KS1
421
noch zwei Nullpunkte erster Ordnung in T 311 die auch zusammenfallen können, vielleicht auch in den Ecken e4 , ~ gelegen sein mögen. Im Quotienten: T(ro) = .1'- = q- 2+ 3 + 3 q2 + ... z heben sich die genannten Nullpunkte in e4 und e~ fort, so daß wir auch hier in T( ro) eine zweiwertige Funktion des zum Geschlechte 2 gehörenden Polygons T81 und also eine einwertige Funktion von KUI erkennen, die übrigens ihren Pol in der Spitze i 00 hat. Da diese Spitze durch WSl nach ro = 0 verlegt wird, so liegen die beiden Nullpunkte erster Ordnung von z in den Spitzen i 00 und 0 von T s1 ' Hieraus aber ergibt sich leicht, daß z und damit auch yund Yl gegenüber WSI invariant sind. Wie bisher stellen wir aus Y und z in (ay + bz) eine lineare Formenschar des Klassenpolygons K31 her mit einem beweglichen Nullpunkte erster Ordnung und einem lesten der Ordnung t im Eckenzyklus e4 , e~. Zur Gewinnung der "Verzweigungsform" der zweiblättrigen hyperelliptischen Fläche über der T-Ebene, die das Abbild von T 31 ist, benutzen wir wieder den Ansatz (38), der uns hier mit der Modulform versieht: (49) v = (::r(1-q2-3q4_3q6_13q8_18ql0-27q12 - 36 q 14 _ 59 q 16 _
••• ).
Diese l!'orm hat in den sechs Punkten eo, eu e~, e2 , es, e~ von TS1 je Nullpunkte erster Ordnung; außerdem tritt je ein Nullpunkt erster Ordnung in e4 und e~ auf, da hier die Ableitung von T nach ro in der Ordnung ~ und z in der Ordnung t verschwindet. Hiernach ist das Quadrat von v als homogene Funktion sechsten Grades in y und z darstellbar, und zwar ergeben die Potenzreihen als Gestalt dieser Funktion:
(50)
v2 = y6_2· 7 Jlz + 61y4 z2 - 2· 53 y szs+ 2·3· lly2 z4-2 3 y,e5-3z 6 ;
in dem hier rechts stehenden Ausdrucke haben wir die Verzweigungsform der zweiblätfrigen Fläche über der '(-Ebene gewonnen. Als Funktionssystem des Transtormationspolygons führen wir ein:
T(ro) wobei sich
6
in
(51)
6 =
T
YT
=
; ,
O'(ro)
v
=
z'-'
mittels der Quadratwurzel darstellt: 6 -
14T5 + 61T4 -
106T3 + 66'[2 - 8T - 3.
Die gewonnenen Ergebnisse sind wieder wie bei n = 23 einer Prüfung zugänglich. Die durch Nullsetzen der unter der Quadratwurzel (51) stehenden Funktion entstehende Gleichung sechsten Grades muß wieder im rationalen Körper reduzibel sein und in zwei kubische Gleichungen
422
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
zerfallen. Die Wurzeln der einen kubischen Gleichung sind die Werte 1:" in den drei Nullpunkten eo, eu e~ der quadratischen Formen mit D = - 31, die andere Gleichung gehört entsprechend zu D = -124. Diese Zerfällung der Gleichung sechsten Grades ist in der Tat möglich; wir gelangen zu den beiden kubischen Gleichungen:
D=
-
31,
5,;2
,;3 -
D=-124,
+ 6-z; +
1
0,
=
T S -9-z;2+10-z;-3=0,
die ihrerseits leicht als im rationalen Körper irreduzibel erkannt werden. I) Die Verteilung der beiden kubischen Gleichungen auf die Diskriminanten D = - 31 und - 124 entspricht dem Umstande, daß die zweite Gleichung die reelle positive Lösung -z; 1:" ( -
+i) hat.
(V~
),
die erste die reelle negative
V31 2Y31
Wie bei n (52)
=
23 führen wir in: {
VI =
Vy z 3
V2= Vysz-
5 y 2 z2 + 6 yz s + z4, 9Y~Z2+
lO yz3 - 3z4
zwei Modulformen (- 2)ter Dimension ein, deren Produkt gleich zv ist. Die Nullpunkte der Gesamtordnung \6 jeder dieser Formen VII v2 im Polygone 1 31 verteilen sich so: Erstlich hat VI je drei einfache Nullpunkte in eo, el) e~ und v2 in e2 , es, e~. Ferner haben die Formen gemeinsam je einen Nullpunkt der Ordnung t in den Punkten e4 und e~ und je einen von 131" Durch diesolchen der Ordnung ~- in den Spitzen ioo und selbe Überlegung wie bei n = 23 findet man, daß VI gegenüber W SI invariant ist, während v2 Zeichenwechsel erfährt. Endlich gelten die Potenzreihen der vlI V2 :
°
(53)
Cro:r (q + * + q5 + 3 q7- 3 q9+ 6 q + ...), 1V2 Cro:r (q - 2 qS - 3 q5 - q7+ q9 - 6 qll + .. J JVI =
l1
=
Es soll nun zunächst diejenige Form (ay + bz) der linearen Schar festgestellt werden, für welche der bewegliche Nullpunkt der Schar mit dem festen Nullpunkte im Eckenzyklus e4 , e~ von KSI zusammenfällt. Die gesuchte Form (ay + bz) hat im genannten Eckenzyklus einen Nullpunkt der Ordnung t und kann in folgender Art berechnet werden. Das Produkt: (54)
LI'· LI = L1(31w lI
( 2) •
LI(w lI
( 2)
ist eine Form von KSI mit einem einzigen Nullpunkte 32 ster Ordnung in 1) 'Keine der beiden kubischen Gleichungen hat nämlich eine ganzzahlige Lösung.
423 der Spitze i 00. Die Potenz ZS2 hat ebenda gleichfalls einen Nullpunkt 32 ster Ordnung, außerdem aber einen Nullpunkt der Ordnung llf im Zyklus e4 , e~. Demnach ist ZS2 mit dem Produkte (ay + bZ)8. LI' LI identisch, und man findet durch Ausziehen der achten Wurzel den Ansatz: Transformation 31 sten Grade8
z" =
(ay
+ bz) VLI' LI.
Die beiden ersten Glieder der Potenzreihen liefern a und b: (55) so daß (y - 3z) die gesuchte Form ist. Die beiden Formen (g; ± g2) haben in KSl Nullpunkte der Gesamtordnung lj, so daß zunächst für den Eckenzyklus e", ~ je ein Nullpunkt der Ordnung t anzusetzen ist. Weiter hat (g~ - g2) je einen Nullpunkt der Ordnung t in den sechs Ecken eo, el) e~, e2, es, e~. Für (g; - g2) restieren also noch zwei, für (g; + g2)noch fünf einfache Nullpunkte. Das Produkt von v mit einer ganzen Funktion zweiten Grades von y und z und ebenso eine ganze Funktion fünften Grades von y und z haben aber die Dimension - 5 und je einen Nullpunkt der Ordnung -} im Zyklus e4, e~. Hier also haben wir nicht (g~ ± g2)' sondern die Produkte (g; ± g2)(y - 3z) dazustellen. Die Potenzreihen führen auf folgende Ausdrücke (g; ± g2) in y, z, v: 6(g;+ g2)(y-3z)=13.37 y5-5171 y4 z +2 5. 5· 11 2 ysz2 (56) . - 24 • 23· 83 y 2 z S + 24 • 3 2 • 131yz4- 25 • 5· 23z 5,
j
(g;- g2)(y - 3z) = 2 2 • 5v(2 2 y2- 17 yz + 24 z 2).
Aus den Sätzen von S. 339 ff. folgert man, daß beim 31 sten Grade die heiden Formen (- 2)ler Dimension CVLI ± 31 Vd') gegenüber den Substitutionen der T",(Sl) bis auf eine multiplikative sechste Einheitswurzel 'invariant sind. Gegenüber WSl bleibt die erste Form unverändert, die zweite erfährt Zeichenwechsel. Jede dieser Formen hat auf KSl NullDa in der Spitze ioo beide Male ein Nullpunkte der Gesamtordnung punkt der Ordnung t liegt, so bleiben Nullpunkte der Gesamtordnung ~ übrig. Es treten also bei beiden Formen Nullpunkte in den Ecken eo, .e11 • . . , e~ auf, und zwar folgt aus dem Verhalten gegenüber WSl und der Irreduzibilität der beiden oben genannten kubischen Gleichungen für 7:, daß (l!LI + 31 VA') drei bei eo, eu e~ gelegene Nullpunkte der Ordnung l hat, (VLI - 31 Vd') aber ebensolche Nullpunkte bei e2 , es, e~. Jetzt restiert für jede unserer Formen noch ein Nullpunkt erster Ordnung. Bilden wir aber demnach für diese Formen die Ansätze vl (ay + bz), v 2 (cy dz), so ist zu beachten, daß diese Produkte im Eckenzyklus e4 , e~ Nullpunkte erster Ordnung haben. Wir dividieren also noch durch jIz (y - 3 Z )2 und erreichen so, daß die Quotienten nicht nur die richtigen
t.
+
424
11, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Nullpunkte haben, sondern auch die Dimension- 2 besitzen. Die noch unbekannten Koeffizienten bestimmt man aus den bei den ersten Reihengliedern und gelangt zu dem Ergebnis: Die Darstellung der ursprünglichen und der transformierten Diskriminante in den y, z, vlJ v2 ist beim Grade n = 31 geleistet durch:
f (VLi + 31 VLt') lIs (y -=-3Z)2
(57)
l(VLi -
31
Ver) yz (y -
=
vl (y - 7 z),
3Z)2 = v2 (y-5z).
V
Zu einer Bestätigung der vollzogenen Schlußweise berechne man LI.f durch Quadrieren und Subtrahieren aus den beiden Gleichungen (57). Dabei zieht sich, wie es sein muß, die Differenz der Quadrate der rechten Seiten auf das einzige Glied 124z6 zusammen, und man gelangt zur Gleichung (55) zurück. Als Ersatz der Transformationsgleichung (ur J(m) beim Grade 31 benutzen wir wie im voraufgehenden Falle die beiden Gleichungen: 12g2C1;" - 3)Z-4= 48IT5- 517IT4 + 193601;"3- 305441;"2+ 18864 .. - 3680-1200 (41;"2-171;" + 16),. §/(58) / l!/2 V LI (1;"- 3) V 1;"-3z- 4 = 1;"5-191;"4+ 1251;"3- 328,/:2+ 2801;"-13 + 0 (1;"2-121;" + 35) im Verein mit der Gleichung (51 ).1)
§ 5. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n - 4h
+ 1.
1. Transformation 13ten Grades. Die zur linken Seite der imaginären m-Achse liegende Hälfte des Klassenpolygons K13 ist in Fig. 19 dargestellt. Sie ist ein aus lauter Symmetriekreisen der r(lS) begrenztes. Kreisbogenfünfeck mit drei rechten Winkeln, einem Winkel.: und einem Winkel O. Die mit den Nummern 1 und 2 bezeichneten Symmetriekreise nebst zugehörigen Spiegelungen sind:
39(~2
,
+
13~
+ 3
=
0,
m
+ '1/2) +
26~
+ 4
=
0,
m
13(~2+'l/2)
=
-13ro-ß 26 co 13' ,
=
-1300-4 39ro+is'
,
+
mit 3 ist der Symmetriekreis der Spiegelung W1S bezeichnet. Die Ecken eo und elJ gelegen bei m = in der
r(13)
-:;;c~ v13
und -
JI,1} ±!, sind die Fixpunkte der
2 v13
enthaltenen Substitutionen ~s und (- ~::
-1!);
sie ent-
1) Über die Transformationsgrade 47 und 71, für die auch noch das Geschlecht des Klassenpolygons 0 ist, vgl. man "Modulfunktionen", Bd. 2, S. 463 ff..
Klassenpolygon Ku und zugehörige Modulformen
425 sprechen den beiden (zweiseitigen) Formklassen der DiskriminanteD=-52 bzw. den diese Klassen repräsentierenden Formen (13, 0, 1), (26, 26, 7). Der Eckpunkt e2 bildet am Polygone K13 mit dem syme._ metrischen e~ einen Zyklus, ebenso die Eckpunkte es, rfs. Am Transformationspolygon stehen diese vier Ecken je e, für sich und liefern die 1 Fixpunkte der schon in der rtp(lS) enthaltenen Substitutionen der Perioden 2 ro=-~ '"-0 bzw.3: Fig. 19. (1)
ro
,
-300=F1
=
± 1300 + 4 .
e e;
Auf der über der J-Ebene gedachten Fläche F13 sind 2 , die beiden Stellen bei J = 1 in den daselbst unverzweigten Blättern, ebenso sind es, e~ die beiden Stellen bei J = in den hier isoliert verlaufenden Blättern. Der Ansatz (19) S. 332 liefert nur für die Hauptklasse der Diskriminante D = - 52 eine nicht identisch verschwindende Reihe. Man gelangt zur Modulform:
°
(2)
2,,; .t
z=~q2(1
•
+q4_ q6_2 q8+ q12_2 q14_ ... ),
die mit CV Li)S multipliziert eine Form der rtp(13) liefert und also ihrerseits gegenüber den Substitutionen der rtp(13) bis auf multiplikative vierte Einheitswurzeln unverändert bleibt. Die Form z hat auf dem Polygone Ta Nullpunkte der Gesamtordnung i. Zunächst liegt zufolge (2) in der Spitze i 00 ein Nullpunkt der Ordnung t. Da ferner in e3 und e~ Nullpunkte gleicher Ordnung auftreten, so kann diese Ordnung nur -!I sein. Endlich kann der übrigbleibende Nullpunkt der Ordnung t nur in der Spitze ro = gelegen sein. Da die Nullpunkte von z durch W1S in sich transformiert werden und keiner dieser Nullpunkte bei eo liegt, so ist die
°
Modulform z gegenüber
VJ~3
invm"iant.
Zwei weitere Formen (- l)ter Dimension des Klassenpolygons Ka gewinnt man auf folgende Art. Nach S. 339 ff. ist, falls wir:
VLi
12 - .
=
1.jl/-
V A(13ro ll
ro 2)
=
1 l.fj- (
,/-
00.)
-V13 vA rol V 13, -V13
setzen, die zwölfte Wurzel des Quotienten Li': Li eine Funktion der rtp(13t Da man für diese Funktion leicht einen einzigen Nullpunkt erster Ordnung in Tm gelegen bei ro = ioo, und einen Pol erster Ordnung bei ro = 0, feststellt, so ist:
426
II, 4. Txansformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade
'/'1
(3) ,eine einwertige Funktion von T13 , die zufolge (3) gegenüber W 13 das Verhalten zeigt: -
(4)
1)
-r ( 1300
=
13
;c~)'
Durch W I3 werden nur die beiden Punkte eo und e1 von T13 in sich transformiert, denen somit die Werte -r = V13 und - V13 zugehören. Hiernach haben wir in ± IVA') zwei Formen der Dimension -1, ,die gegenüber den Substitutionen der r"'(13) bis auf multiplikative zwölfte Einheitswurzeln invariant sind und gegenüber W 13 unverändert bzw. bis auf einen Zeichenwechsel unverändert bleiben. Im Klassenpolygon KIB haben beide Formen einen Nullpunkt der Ordnung 12 in der Spitze ioo. Weiter hat V13 1 einen Nullpunkt der Ordnung t im 1 i Eckenzyklus eu e~ und V13 ) einen ebensolchen Nullpunkt in der Ecke eo' Diese beiden Modulformen haben zwar nicht mehl' selbst rationale Entwicklungskoeffizienten, wohl aber gilt dies von ihrem Produkte:
Cf!Li VI3
CVA + VA') Cf!Li V:d
(5)
VA -., 13 Y.d' =
(~:r qt(l - 4 q2 - llq4+ 8 q6 - 5 q8 - 4 qlO + .. -).
Eine einwertige Funktion des Klassenpolygons Kl3 hat man in:
'1:(01)
+ ~ = 1/;; + 13V.:1'. ";(00)
IVLI' A
Zähler und Nenner des rechts stehenden Quotienten liefern einzeln zwei
die gegenüber WlS invariant und gegenüber den Substitutionen der r",(13) bis auf multiplikative sechste Einheitswurzeln invariant sind. Aus beiden Formen gewinnt man in:
(8) eiue Formenschar des Klassenpolygons KI3 mit einem festen Nullpunkte der Ordnung i in der Spitze ioo und einem beweglichen Nullpunkte erster .ordnung. Um die Beziehung der Form z zu den Formen (7) herzustellen, be-
Transformation 13ten Grades
427
merke man, daß der Quotient von ZS und 2f!Li' Li diejenige Form der Schar (8) ist, für welche der bewegliche Nullpunkt in den Eckenzyklus es, Is fällt, wie aus der Betrachtung der Nullpunkte hervorgeht. Die Potenzreihen liefern für die fragliche Form (8) die Koeffizienten a = 1, b = 5, worau sich für z die Darstellung ergibt: (9) Weiter stellt man mit Hilfe der zum Polygone KjB gehörenden Form: (10)
Gi
=
123
(~:r (1
+ 2 q + 6 q + 8 q + 14 q + 12 qiO + ...) 2
4
6
8
leicht fest, für welche Form (8) der bewegliche Nullpunkt in den Eckenzyklus es, e; fällt. Von den Nullpunkten der Gesamtordnung i, die GI in Kis hat, liegt nämlich zunächst ein solcher der Ordnung t im Eckenzyklus es, e~. Der rückständige Nullpunkt der Ordnung! kann nur in einem der Eckenzyklen el , e~ oder e2 , e~ liegen. Nun besteht wegen der ersten Substitution (1) die Gleichung: Gi
(-
5wl
2ws , 13wj
-
+ 5(2) =
GI (W 17
Trägt man hier der Ecke e2 entsprechend WI = - 5 folgt mit Rücksicht auf die Dimension von Gi: GI ( - l - 5i, 13i)
=
-
+ i, 13) =
Gi ( - 5
( 2)·
+ i,
Gj
(-
e;
W2
5
=
+ i,
13 ein, so 13),
liegt. Man hat so daß der fragliche Nullpunkt im Eckenzyklus es, nun, wie wieder aus der Lage der Nullpunkte folgt, im Quotienten G~:z4 eine einwertige Funktion von Kis mit dem Nullpunkte im Zyklus es, e~ und dem Pole in der Spitze ioo, die demnach eine lineare ganze Funktion der in (6) eingeführten einwertigen Funktion von Kis ist. Der sich hieraus ergebende Ansatz liefert unter Zuhilfenahme der Potenzreihen :
(11)
2 G/f!Li' Li
=
13zS YV,d
+ 13 V,d' + 6IV,d',d.
Somit haben wir in: (12)
YV,d + 13 V,d' + 6 IV,d' ,d
=
2n 00 2
ql (1 + q2 + q4 + * + 3 q8 + ...)
eine Form (- l)ter Dimension, die neben einem Nullpunkte der Ordnung der Spitze ioo einen solchen der Ordnung t im Eckenzyklus e2 , e~ von K1s hat. Die Formen (g; + g2) der Dimension - 4 haben auf Ku Nullpunkte der Gesamtordnung t. Für beide Formen liegt ein Nullpunkt der Ordnung t im Zyklus es, e~, und (g; - g2) hat zwei Nullpunkte der Ordnung -!bei eo und el ; es bleiben dann noch zwei Nullpunkte erster Ordnung für (g; + g2) I und ein solcher für (g; - g2) übrig. Setzen wir aber für
i2 in
428 (g~
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
+ g2) das Produkt von z mit einer homogenen Funktion zweiten Grades
der Formen (7) an und für (g~ - g2) das Produkt von z (l!Li - 13 y'.d') und einer Form (8), so ist zu beachten, daß diese Produkte in der Spitze ioo in der Ordnung l2 verschwinden. Diese Nullpunkte sind also durch Division mit 2VLI' LI wieder fortzuheben. Die entstehenden Ansätze werden leicht mit Hilfe der Potenzreihen durchgebildet. Es ergibt sich der Satz: Beim lSt• n Transformationsgrade bestehen für g2 ttnd g; die Gleichungen:
1
(13)
6(g~ + g2)2V LJ' LJ = 5z (17(l! LI + l3l1LI'? + 11· 13(l!Li + l3l!dYV LJ' LI + 2.3 2 .17l!LJ' ;t),
(g~ - g2)2-j1LJ' LJ = 2 z(l!LJ -13 l!LJ') (7 (VLI + l3l!LI') + 3 .13 l f!LJ' LI).
Eine entsprechende Überlegung führt zur Darstellung von g3 und g~. Die Rolle der Form z übernimmt dabei die Form (12). Man gelangt zu dem Satze: Für die beiden Formen g3 und g~ gelten beim Grade n = 13 die Gleichungen:
{6(gs+g~l-jlLJ' LJ=-Vl!LJ+ 13l!LJ' +61YLJ'LJ (6l(l!LI+ 13l!LJ')3 +24 .3.13(l!LJ+13l!LJ')21f!LI' Li+ 7 .11.l3(l!LI+ 13l!LJ') l!LJ' LI
+ 2.9.13 11LJ' LJ), 2
(14)
~ 108(g3-g~/VLI' LI=7Vl!LJ+ l3l!LI' +6 -j!:1':d(l!LJ-13l!LI') l
(157 (l!LI + 13l!LI')! +2 . 13· 59 (l!Li + 13 l!LJ') lY,d'A \.
+3.5.l3.l9l!::.1'LJ).
Berechnet man g'J und gs einzeln aus (13) und (14), so gelangt man bei Einführung der einwertigen Funktion -r von 1 13 zu folgenden Gleichungen:
(15)
.
'VA I1!2~:
=
216Js =
-V..d
-l~+ 5 + 13 (-r4 + h- 3 + Vr 'r:
20r 2 + 19-r + 1),
~-----
-r + 6 +1~(r6+ IOr5 + 46r4 + 108rs + I22r 2 + 38-r-I). 'r:
Die Darstellung von J als rationale Funktion 14 ren Grades von -r kleidet sich hiernach wieder in die für die Fälle des Geschlechtes 0 charakteristische Gestalt:
(16)
J: (J -1): 1 = (-r!+ 5-r
+ 13) (r 4 + 7-r3+
20-r2+ 19T' + 1)3
: (T'2+6r+ 13)(~6+ lOT'5+46r'+ 10Sr3 + 122T'2+ 3ST' _1)2 : 172Sr.
429
Transformationsgleichungenfür den Grad 13. Polygon KH ,
Diese Gleichung, die entsprechende für J' und ..,;' und die Relation ..,;'...,;= 13 ersetzen uns die Transformationsgleichung für J( w) beim 13ten Grade. Nach S. 339ft'. besteht beim Grade 13 eine Transformationsgleichung
f( Wll
für die Form:
( 2) =
13 lV.d<-:;jTi =
..,; .
.d.
Die Gestalt dieser Gleichung ergibt sich sofort aus der ersten Gleichung (15) durch Erheben zur dritten Potenz und Einführung von fansteIle von ..,;:
r+
(f2+ 5.df+ 13.d 2) (f'4+ 7.df3+ 20.d 2 19L13 f+ L14)3 - 1728g~.d12f = 0. 2. Transformation 17 ten Grades. In Fig. 20 hat man die zur linken Seite der imaginären w-Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons K17 vor sich. Wie immer sind die stark ausgezogenen Seiten Sym- e, metriekreise von Spiegelungen der Gruppe [,(17), und zwar sind die - L________________________ Gleichungen der Kreise 1 und 4 w~-t fO~O Fig. 20. und die zugehörigen Spiegelungen: (17)
-J~
17 (~2 + 71 2) 34(~2
+ 17 ~ + 4 =
0,
w
+ 1')2) + 17 ~ + 2 =
0,
w
, =
, =
-li05-S 34ro
+W- , -17ro-4 68 co + 17 '
während der Symmetriekreis 5 der Spiegelung W 17 angehört. Die mit den Eckpunkten eu e2 , e3 symmetrischen Punkte der rechten Hälfte des Polygons K17 mögen wieder e~, e~, e~ heißen. Die Punkte eo, e11 eiP e~, gelegen bei: i -V 17 +i w = ----
07'
. d :sm
2V17
d']i" 1e 1XPunk te der Sb" u stItutlOnen TVl71
(-17 -9) ' 34, '17
(=t=17 51,
±-6) 17
un d
die Nullpunkte von quadratischen Formen, durch die wir die viel' Klassen der Diskriminante D = - 68 repräsentieren können. Durch die dritte dieser Substitutionen werden die Seiten 2 und 3 von Kl7 ineinander trans· formiert. Diese Seiten setzen den Kreisbogen der Gleichung: 17 (~2
+ 'YJ2) + 12 ~ + 2
=
°
zusammen, der die beiden Seiten 1 und 4 orthogonal trifft. Die Punkte Ba
und e~ endlich, gelegen bei w =
Substitutionen
=t=
~7+ i sind Fixpunkte der elliptischen
(~7~'± 41) der Periode 2, die auch bereits in der
r1{l(17)
430
II, 4. Transformationsgleichllngen erster Stllfe für niedere Grade n
enthalten sind. Diese Punkte liefern auf der über der J-Ebene lagernden Fläche Fl7 die beiden Stellen mit J = 1 in den daselbst isoliert verlaufenden Blättern. Am Polygone Kl7 bilden sie einen Eckenzyklus. Von den drei Reihen, die wir für n = 17 dem Ansatze (19) S. 332 entnehmen, verschwindet eine identisch. Von den beiden übrigen Reihen liefert eine die Modulform:
wo A' = A(17 Wl , (19) Zur
+ q4_ q8_ 2 qlO+ ql2_ 2 q16 + q24+ .. }
~~q{-(1
$ =
r.,,(17)
ist, die andere Reihe ergibt die Form:
( 2)
w.
gehören nach S. 332 die Produkte
z(ll.:1)s, 2·V:di Li. }IA;
sie
nehmen gegenüber einer Substitution dieser Gruppe den Faktor (1~) an. In 1 17 gemessen haben die Formen
2f/
$
und
2-f!A' A
Nullpunkte je der
Gesamtordnung l Im einzelnen hat A' Li zwei Nullpunkte der Ordnung {- in den beiden Polygollspitzen ioo und 0; gegenüber W 17 bleibt 2-f!A' A invariant. Die Form z hat zunächst einen Nullpunkt der Ordnung t bei w = ioo und muß demnach, da ein Nullpunkt gebrochener Ordnung des Nenners 4 nur noch in der Spitze w = 0 auftreten kann, hier einen Nullpunkt mindestens der Ordnung t haben. Die übrig bleibenden Nullpunkte der Gesamtordnung 1 liegen in den Punkten es und e~, wo Z
t
je in der Ordnung
gilt für das Produkt
zyd
3 (-
$
verschwindet. Da nämlich (~74) • l/.d s:
4w 1 - w2 , 17 wt
+ 4( 2)
=
=
+1
ist, so
zl/ds (w u ws),
Tragen wir, dem Punkte es entsprechend~ W t = - 4 folgt mit Rücksicht auf die Dimension - 10:
+ i,
w 2 = 17 ein, so
-zl/A 3 (-4+i, 17)=z}lA3(-4+i, 17). Demnach verschwindet z im Punkte Ca und also auch in e~. Gegenüber der homogenen Substitution W 17 bleibt $, wie jetzt leicht folgt, invariant. Wir notieren die beiden Potenzreihen:
(20)
j
zs=
(2",)2 q(1 + 2 q4_ q8_ 4 qlO_ 4 ql4_ ql6 + 4 q18+ . ..), w.
lilLt'A
=
,
(::)2q3 (1_ 2 q2_ q4 + 2 q6+ q8 + 2 ql0_ 2 ql2_ 2 q16 _ ...)
+
und bilden aus diesen beiden Formen die Schar (az 2 b lilA' --;1) mit einem festen Nullpunkte der Ordnung -~- in der Spitze ioo und einem beweglichen Nullpunkte erster Ordnung im Klassenpolygone K17 • Daneben
Transformation 17ten Grades
431
führen wir als einwertige Funktion dieses Polygons K!7:
-r(m) =
(21)
Z2
!-ll;:;--: v"j'"j
= q-2+ 2
+ 7 q2+ 12 q4+ ...
ein, die ihren Pol erster Ordnung in der Spitze ioo hat. Durch -r (m) wird das dem Geschlechte 1 angehörende Transformationspolygon T17 auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche mit vier Verzweigungspunkten abgebildet. Um deren Verzweigungsform zu gewinneny ziehen wir wie üblich einen Differentiationsprozeß heran. Die Form (_2)tor · . d-r: • D ImenSlOn - (d-)' dIe gegenüber "W;7 Zeichenwechsel erfährt hat im 00,
co
,
Polygone K17 gemessen fünf Nullpunkte der Ordnung l in den Ecken eOT e2 , ~ und den Zyklen eve;. und es, is, sowie einen Pol erster Ordnung in der Spitze ioo. Aus ihr gewinnnen wir in:
(22) eine Form (- 4)ter Dimension mit der Reihenentwicklung: (23) v =
(::r
q2(1_ 3 q2_ 8 q4+ q6+ 6 q8+ 24 qlO_ 28 q12+ 21 q14+ .. .),
die in der Spitze ioo von K17 einen Nullpunkt erster Ordnung und in den Punkten eo, e2 , e~ sowie im Zyklus eu e~ je einen solchen der Ordnung ~- hat. Gegenüber WH ~rfährt diese Form Zeichenwechsel. Das Quadrat von v ist als homogene ganze Funktion vierten Grades von Z2 und LI' LI darstellbar und liefert in dieser Gestalt die Verzweigungsform der eben genannten Riemannschen Fläche über der -r-Ebene. Die fragliche Darstellung von v 2 ist:
If!
(24) v 2 =
Z8 -
6z 6 l.)1L1' LI - 27 Z4
YLI' LI -
28z 2
11LI' LI -
V
16 LI' LI.
Die Reihenentwicklungen liefern in bekannter Art die Koeffizienten dieses Ausdrucks. Als ein Funktionssystem für die r"'(17) gewinnen wir endlich:
(25)
-r( m)
wobei sich
tJ
Z2
=
IH---=' v"j'"j
o(m)
=
v~-, V.4'"j
als Funktion von -r mitte1st der Quadratwurzel darstellt:
(26) Es liegt hier ein elliptisches Gebilde mit der absoluten Invariante J
=
-
11"
26-:t7ä vor.
Auf Grund der damit gewonnenen Ergebnisse lassen sich nun wieder die ursprünglichen und die transformierten Formen g2' g3 und LI mittels formentheoretischer Überlegungen und der Potenzreihen darstellen. Für
432
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
die Gewinnung des Ausdrucks von J in (J und -z: ist es ausreichend, g2 und Ll zu betrachten. Wir finden erstlieh für g2 und g~:
,
(27)
y
{6(9~+ g2/JlLJ' Li = 5 (29z 6-34z41.J! Li' Li -103z 2 Ll'LJ- 3611 Li'-;;]), . (g~ - g2) I}!Li' Li = 4v (6z 2+ I}!Li' Ll).
l!Li
2t'.d' Ll gegenüber den SubZur Darstellung von Li beachte man, daß stitutionen der T"'(17) abgesehen vom Vorzeichen invariant ist; V Li I}!Li' Li ist also absolut invariant. In:
v
(V Li- 17 s Li'rJlLI'A hat man demnach eine Form der T"'(17)' die gegenüber W n Zeichenwechsel erfährt und also als Produkt von v und einer ganzen homogenen Funktion zweiten Grades von Z2 und I}!Li' Li darstellbar ist. Die Potenzreihen liefern:
(28)
(VLi-17SVLi,)1}!Ll'Li
=
v(z4-11 z21YLi'Li
+ 26Y:d'Li).
Zur Prüfung dil;lses Ergebnisses berechne man durch Quadrieren usw. (VLi + 17 s VLi'l· yLt' Li. Für diese Form muß sich, indem man für v2 den Ausdruck (24) einträgt, das Quadrat einer homogenen Funktion vierten Grades von Z2 und 1}!Li' LI ergeben. Die Rechnung bestätigt dies und führt auf:
(29)
(VA + 17 s y:d')1.J!Li' Li = Z8- 14z61}!Li'-:d + 41z4 .yLi' Li + 52z 2 11Li' Li-94 yLi' Ll.
Durch Kombination der vorstehenden Formeln und Einführung der Funktionen 0 und -z: findet man:
/2 ~ (30) ( _ 92
2V.d
!\; __
=
5 (29-z: s - 2 . 17-z: 2 -103-z: - 2 2 • 3 2)
=
-z:4-2· 7 -z:3+4h 2+ 2 2 • 13-z:- 2·47
-
23 • 30(2· 3-z: + 1),
+ a(-z:2-11-z: + 2·13).
" .d'.d
Hieraus ist der Ausdruck von J als einer rationalen Fun7ction von 0 und -z: leicht gewinnbar. Der entsprechende Ausdruck von J' folgt durch Zeichenwechsel von o. Man kann auch bereits die Gleichungen (30) im Verein mit der Gleichung (26) als Ersatz der Transformationsgleichung für J beim 17ten Grade ansehen. 1) 3. Transformation 29 sten Grades. Die zur linken Seite der imaginären rn-Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons K29 ist in Fig. 21 1) Die Transformationsgleichung für die Diskriminante .d beim Grade 17 ist von Kiepert im Journ. f. Math., Bd. 87,S. 215 mitgeteilt.
Transformation 17 ten Grades. Klassenpolygon K29
433
abgebildet. Der mit 8 bezeichnete Symmetriekreisgehört zur Spiegelung W29 j die Gleichungen der Kreise 1, 2 und 5 und die zugehörigen Spiegelungen sind: I
2900-14
-
OJ =-580)
+-2-9'
-5800-23 145 w 58 '
+
I
OJ = I
2900 - 7
-
OJ =. 116w +29
Von den sechs Formklassen der Diskriminante D
3
=
-
116 sind zwei
e, 4
w=-t
-, I
Fig. 21.
ambig; man kann sie durch die Formen (29,0, 1) und (58, 5R, 15) repräsentieren, deren Nullpunkte die in der Figur mit eo und e1 bezeichneten, bei
OJ =
i
V~
29, un d ( - 58,
und -
V29 +i gelegenen Fixpunkte .
2~9
=15) .d 29 sm.
der Substitutionen W. 9 •
D·le VIer . u··b· . d zu Paaren entgegenngen Kl assen sm
gesetzt und repräsentierbar durch (87, ± 58, 10), (145, + 58, 6). Von ihren Nullpunkten e2 , e~ und es, e~ sind e2 und es in Fig.21 angegeben un d be1. der
r
(29)
OJ =
---_~-, 11 2 9 + i ------:;;=- V29 + i ge1egenj SIe .. . sm d d'le F·lxpunkt e der m 31129
5,,29
enthaltenen Substitutionen
(-29
87:
=10) (-29 -6) 29 und 145: 29 '
die die
Seiten 3 und 4 bzw. 6 und 7 von K29 ineinander transformieren. Die von diesen Seitenpaaren gebildeten Kreisbogen· haben die Gleichungen:
Endlich sind e4 und der bezüglich der imaginären OJ-Achse symmetrische Punkt e~ die Fixpunkte der schon in der r",(29) auftretenden Substitutionen
{;9~2+-;-25 ) j sie liefern auf der über der J-Ebene gelegenen Fläche F29 Fricke, Die elliptischen Funktionen II
28
434
1I, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade
~
zwei Stellen J = 1 in den daselbst isoliert verlaufenden Blättern. Am Klassenpolygon K29 vereinigen sich e4 unde~ zu einem Eckenzyklus. Der Ansatz (19) S. 332 liefert für die Hauptklasse der Diskriminante D = - 116 und für die beiden Paare entgegengesetzter Klassen nicht identisch verschwindende Reihen. Wir gelangen zur Kenntnis dreier Modulformen der r1/l(291' die wir durch die Bezeichnungen zo' Zu Z2 unterscheiden:
[
(31)
So =
::
ql (1 + q4 + q12 _
Z1 =
:"
q-~- (1 _
Z2 =
: " q-~-
•
•
(1 -
2 q1G _ 2 qU + ...),
q14 _
q2 _
q4
+ q10 + q14 _
q4 _
q6
+ q12 _
q14
q24 _
+ q18 _
•••), q20
+ ...).
Für die zweite dieser Formen gilt: (32)
yLI' LI 2fLI (29 u w )LI (w l1 w die Produkte Zo VLl B, VLl B, Z2 Vd;
Z1 =
=
2
W
2 ).
2
Zur r1/l(29) gehören Zt sie nehmen gegenüber einer Substitution jener Gruppe übereinstimmend den Faktor
(2~)
an. Die einzelne Form Z hat im Transformationspolygone T 29 Nullpunkte der Gesamtordnung ~-, und zwar hat Z1 zwei Nullpunkte der Ordnung t in den beiden Spitzen von T 29 , woraus man leicht die Invarianz von Zt gegenüber W 29 folgert, die sich ja auch aus (32) ergibt. Die Form Zo hat in der Spitze ioo einen Nullpunkt der Ordnung t und muß demnach (da die Ordnung t restiert) bei w = 0 mindestens einen Nullpunkt der Ordnung t haben. Der Quotient:
-r(w)
z ZO
=
1
=
q-2+ 1
+ 3 q2+ 4 q4+ ... ,
der eine Funktion der r1/l(29) ist, stellt demgemäß eine zweiwertige Funk~ tion des zum Geschlechte p = 2 gehörenden Polygons T29 und also eine einwertige Funktion des Klassenpolygons K29 dar. Hieraus folgt wiederum, daß mit Zt auch Zo gegenüber W 29 invariant ist, und daß man demnach in (aso + bz1 ) eine Formenschar des Polygons K29 mit "einem" beweglichen Nullpunkte erster Ordnung und einem festen der Ordnung t in der Spitze i 00 hat. Die Form S2 hat in der Spitze ioo zunächst einen Nullpunkt der Ordnung
t. Gegenüber der Substitution (- ~:: ~~) zeigt das ProdukL
e2 VLI, da C~:2) Z2l!d ( -
=
-
12 W t
1 ist, das Verhalten: -
5w2 , 29w1 + 12 w2)
=
~
Z2V LI (w t , W2).
Modulformen des Klassenpolygons K29
Trägt man, dem Eckpunkt e, entsprechend, ro1 = - 12 so folgt:
Z2
und also, da
VA( - 1 - 12i, 29i) = Z2
Z2
VJ
-
z211J(-
12
+ i,
+ i,
435 ro 2 = 29 ein,
29)
der Dimension - 4 angehört:
11J(- 12 + i, 29) =
-
Z2
Vd(- 12 + i, 29).
Die Form Z2 verschwindet also im Punkte e4 und damit auch in e~, und zwar kann hier je nur noch die Ordnung t vorliegen. Der zurückbleibende Nullpunkt der Ordnung t kann nur noch im Punkte ro = 0 liegen. Hieraus ergibt sich, daß attch Z2 gegenüber "W;9 invariant ist. Die vorstehenden Darlegungen zeigen, daß der Quotient SI diejenige Form (aso + bs1 ) der Schar ist, für welche der bewegliche Nullpunkt in den Eckenzyklus 4 , ~ fällt. Es muß sich also in der Gestalt (az o + bZ1)Zl darstellen lassen. Diebeiden Anfangsglieder der Reihen liefern a = b = 1, so daß zwischen den drei Formen (31) die Gleichung besteht: (33) (zo + (1)Zl =
z; :
e
z;
z;.
In der Tat stimmen für die beiderseitigen Reihen auch die weiteren Glieder überein. Das Transformationspolygon T29 wird durch 't(ro) auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche abgebildet, die sechs, den Punkten eo, ev e2 , e~, ea, e~ entsprechende Verzweigungspunkte hat. Die zugehörige Verzweigungsform machen wir in üblicher Weise zugänglich, indem wir zunächst eine der r1{'(29) zugehörige Modulform (- 3)ter Dimension:
(34) erklären. Es handelt sich um eine ganze Modulform,die gegenüber der W 27 Zeichenwechsel erfährt, die die Reihenentwicklung besitzt:
(35) v = (::rq-~- (1- 2 q2_ 3 q4_ q6_ 6 q8+ 2 ql°_13q12 + 21 q14 + 2
q+ .. -), 16
und die neben einem Nullpunkte der Ordnung t in der Spitze ioo von K29 sechs Nullpunkte der Ordnung} in den genannten sechs Punkten eo, ev ... aufweist. Das Quadrat von v muß nun gleich einer ganzen Funktion sechsten Grades von Zo und SI sein und liefert in dieser Funktion die gesuchte Verzweigungsform. Man findet in bekannter Art mitte1st der Potenzreihen: (36)
v 2 = zg - 4zgz1 -
12~zi
+ 2z~z~ + 8s~zi + 8zoz~ - 7 zL
wo rechts die Verzweigungsform der genannten zweiblättrigen Riemannsehen Fläche mit sechs Verzweigungspunkten gewonnen ist.1) 1) Diese Verzweigungsform muß (nach späteren Sätzen) im rationalen Körper 28*
436
TI, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Als ein Funktionssystem für die
T"'(29)
d(m)
(37)
kann man nun: =
:. 1
benutzen, wobei sich die zweite, gegenüber W 29 Zeichenwechsel erfahrende Funktion in der ersten mittels der Quadratwurzel darstellt:
(38) Für die Gewinnung von J in Gestalt einer rationalen Funktion von und (j ist es wieder ausreichend, g2' g~, A und A' in zo, ZI und v darzustellen. Die formentheoretischen Überlegungen gestalten sich wie üblich; wir erhalten zunächst für (g~ ± g2) die Ausdrücke:
't
(39)
j
6(g;
+ g2)Zj
421s~ - 3.01Zci Z1 -
=
(g; - g2)Zl = 10v(7 zg
+ 6z0 z1 -
1867 z~zi - 671z~z~ + 627 zozf + 405z~, zi).
Die Untersuchung von Li und A' beginnt man am einfachsten mit der A - 29 3 . A'), für welche die formentheoretische ÜberDifferenz legung im Verein mit den Potenzreihen die Darstellung ergibt:
Cy
y
Dies Ergebnis ist wieder einer Prüfung zugänglich. Berechnet man nämlich aus (40) unter Benutzung von (36) den Ausdruck von:
(y:d - 29 3. YA't1f!A' Li + 4. 29 3 e-VA' AY = (y A
+ 29 3.ß/·1-J!A' A
in Zo und Zu so muß sich das Quadrat einer homogenen Funktion 7t • n Grades von Zo und ZI ergeben. Dies bestätigt sich in der Tat; durch Ausziehen der Quadratwurzel gelangt man zu:
(41) (y A
+ 293. YLJ') 2fiLJ' A
=
-
+ 45zgz~ + 25z~z~ 269zgzf + 29zgz~ + 300zoz~ + 166zi· z~ - 13zzzl
Der fertige Ausdruck von J als rationale Funktion von nun leicht aus den beiden Gleichungen hervor: irreduzibel sein.
d
und
t:
geht
Dagegen muß sie (entsprechend den beiden Geschlechtern zu je
drei Formklassen bei der Diskriminante D = - 116) nach Adjunktion von V29 in zwei kubische Faktoren zerlegbar sein. Dies ist in der Tat der Fall; die beiden kubischen Faktoren sind: Zo3 -
+
(2 _ ,/2-9) 2 r ZOZ,
+ -13-±2v-il9- ZOZ, 2
1
+20!9 Z"
3
Transformation 29 sten Grades.
j 11i~JJ'L
437
4211;5_7 ·43$4.-186h s - l l · 611;2+ 3 .11.19$ + 3".5
=
LI'LI
(42)
Klassenpolygon K15
- 22 • 3· 5o(h 2 + 51:' -1);
= 1tf:.~ V LI' L1
$7-131:'6+ 3 2. 5$5+ 5 2 1:'4_ 269$3+ 29$%+ 2 2 • 3.5 2 $ + 2 . 83 +
l
0
($4 - 11 $3 + 31 $2 + 2 . 7 $ - 2 2 • 52).
Die entsprechenden transformierten Modulformen ergeben sich durch Zeichenwechsel von o. Diese Gleichungen im Verein mit der Relation (38) ersetzen uns in bekannter Weise die Transformationsgleichung für J.
§ 6. Zusammengesetzte ungerade Transformationsgrade. 1. Transfor mation 15ten Grades. Die zur linken Seite der imaginären ro-Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons K15 ist das in Fig.22 dargestellte, von sechs Symmetriekreisen begrenzte Kreisbogensechseck. Die beiden Ecken eo und eH bei ro und
=
15 +-i -V --=-
2V15 +i ro = -- -V15 ----4yt5
gelegen, sind die Fixpunkte e.
-1:)
1
der Substitutionen (- ~~: - 15, - 4) . . d d' un d ( 60, 15 ; SIe sm le Nullpunkte der beiden qua- ",-'_L..._-:-;-t---w-_..1_-_7i---------.,-L_0 dratischen Formen (15, 15, 4), Fig. 22. (30, 15, 2), durch die wir die beiden Klassen der Diskriminante D = - 15 repräsentieren können. Der Fixpunkt e2 von W 15 gehört zur Hauptklasse der Diskriminante D
=
-
60; und der bei ro
punkt der Substitution (-1!~:
=
3 V15±i
-
8V15
gelegene Fix-
- ~!) ist der Nullpunkt der quadratischen
Form (120,90, 17), die die zweite Formklasse mit D = - 60 repräsentiert. Die drei mit den Nummern 1, 2,3 versehenen Seiten entsprechen den Gleichungen und Spiegelungen:
1.
30(~2+ 1]2)
2.
15(~2
+ t)2) +
3.
15(~2
+ rl)
+ 30~ + 7 = 0,
+
0,
ro' = , ro =
8~+1=0,
ro =
11~
+ 2
=
I
-15m - 7 30m +-15 ' -11m-4 30m 11'
-+
- 4m-1 -15-cY + 4 '
während der Kreis 4 der Symmetriekreis der Spiegelung W 15 ist. Die
438
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
zweite und dritte Spiegelung sind bereits in der r"'CI 5) enthalten. Neben der Spitze ioo ragt Kl5 noch mit dem Spitzenzyklus + t an die reelle ro-Achse heran. Funktionentheoretisch sind die zusammengesetzten Transformationsgrade besonders leicht zugänglich. Man setze zur Abkürzung: A(vro ll ro 2)
=
A~
und beachte, daß sowohl A s · Ar, wie Al· AIr, gegenüber den Substitutionen der r l5 invariant sind. Der Quotient (As A 5 ): (Al AIr,) ist also eine Funktion des Polygons K15 , und zwar kann diese Funktion Pole und Nullpunkte nur in der Spitze ioo und im Spitzenzyklus + t haben. Da aber in der Spitze i 00 ein Pol achter Ordnung liegt, so findet sich im Zyklus ± t ein Nullpunkt der gleichen Ordnung, so daß in:
't(m)
(1)
=
V.ds.d s =q-2+3+9 q2+ ... ..11 ..115
bereits eine einwertige Funktion von Kl5 gewonnen ist. Die beiden Formen 11A s A 5 und 11A~ A 15 als solche der Dimension - 3 haben beide Nullpunkte der Gesamtordnung 3 auf K15" Dabei hat 11A s A 5 in der Spitze ioo einen Nullpunkt erster Ordnung und also im Zyklus ± t einen solchen zweiter Ordnung, während VAl A--:r, an diesen beiden Stellen bzw. Nullpunkte der Ordnung 2 und 1 hat. Hiernach haben wir in:
(2) zwei ganze Formen mit je einem Nullpunkte erster Ordnung im Zyklus + t bzw. in der Spitze ioo, deren Quotient zo: Zl die in (1) erklärte Funktion't ist. In (az o+ b(1 ) aber haben wir eine Formenschar mit einem beweglichen Nullpunkte erster Ordnung auf K15. Das 'rransformationspolygon T15 wird durch $(ro) auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche des Geschlechtes 1 abgebildet, deren Verzweigungsform wir in üblicher Art herstellen. Die nähere formentheoretische Diskussion zeigt, daß die zur r"'CI5 ) gehärende ganze Modulform (- 2)1er Dimension:
(3) v
=
-
2ni 2 -~ 110
(Ol, dOl)
=
(2"')\1 Ol 2
3 q2_ 9 q4 _ 3q6_21 q8_
•. . ),
die gegenüber W 15 Zeichenwechsel erfahrt, ihre vier einfachen Nullstellen in den Punkten hat, die die Verzweigungspunkte jener zweiblättrigen Fläche liefern. Die Potenzreihen ergeben dann für v2 die Darstellung:
439
Modulformen des Klassenpolygons Klo
(4)
v 2 = z~ - 10s~zl - 13s~z~
+ 10zos~ + zi,
womit die Verzweigungsform gewonnen ist. Als Funktionssystem des Transformationspolygons T15 haben wir daraufhin:
( 5)
1:
wobei sich
(j
in
1:
() z~o, ()J = Rl
() = z' v = - ZZ 2,,: i d-r: -(00. doo)' 1 0 1 ,
(j ()J
durch die Quadratwurzel darstellt:
(6) . so daß wir hier mit einem elliptischen Gebilde der absoluten Invariante 13 3 .37 3 2 6 .3'.5 4
zu tun haben.
Zur Darstellung von J als rationale Funktion von (j und 1: bedienen wir uns der in (6) S. 392 bei der Transformation fünften Grades eingeführten Funktion 1:, die hier mit "1:5 bezeichnet werden möge, und in der sich J in der Gestalt (13) S. 393 darstellt. Es ist hinreichend, die auf T15 vierwertige Funktion "l:s in (j und "I: darzustellen. Wird "1:5 durch Wl5 in "I:~ transformiert, so hat man:
Der rechts stehende Zähler ist nun eine ganze Form (- 6)ter Dimension von K15 , die gegenüber W15 Zeichen wechsel erfährt und also den Faktor v €nthält. Hierdurch werden Nullpunkte der Gesamtordnung 2 auf K15 erledigt, so daß noch solche der Gesamtordnung 4 übrigbleiben. Ein Nullpunkt erster Ordnung liegt in der Spitze ioo, so daß die Ordnung 3 verbleibt. Da diese Ordnung ganzzahlig ist, so muß im Zyklus ± -h wo unser Ausdruck sicher verschwindet, mindestens ein Nullpunkt erster Ordnung liegen. Zwei weitere Nullpunkte dieser Ordnung sind dann noch zu be:stimmen. Dieser Überlegung entspricht der Ansatz:
Y.dl.dS -125Y.ds.dl5
=
vzOzl(asg
=
VZOz
+ bZoz + czi). l
Die Potenzreihen ergeben:
{7)
Vdl.dS
-
125 YLiS.d15
l (z~ -
4z0 z l -
zi).
Zur Priifung dieses Ergebnisses berechne man mit Hilfe von (4)
S
(8)
y.d1.d + 12511.d .dl5 = S
ö
ZOZI
(z~ - 9S~Zl - 9zoz~ - zi).
Von (7) und (8) aus gelangt man nun leicht zum Ziele: Der gesuchte
440
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe fitr niedere Grade n
Ausdruck de:r beim Grade 5 auftretenden Funktion und 't' ist: (9)
e,
w=--~
't'5
in den jetzigen
/$
2. Transformation 21"ten Grades. Das halbe KJassenpolygon K21 ist ein von lauter Symmetriekreisen begrenztes e. Kreisbogensiebeneck (Fig.23). Die vier Ecken co, Cu C2 , es gehören zu· den VIer Formklassen der Diskriminante D--..: - 84. Die näheren Angaben gehen aus folgen"'- 0' der Zusammenstellung w=-4Fig. 23. hervor:
es,
i
ro
=
V21 '
ro
=
--------
ro
=
-2Y21+i 5Y21
-V21 +i 2Y21 '
Die Eckee4 ist bei ro auch schon in der
=
-
r"'(21)
9
,
,
(21,0,1),
ro
(42, 42, 11),
ro
(105, 84, 17),
ro
(210,126,19),
ro ,
~ iV3
-1 =
2101'
=
-2101-11 4201 21 '
,
,
+
-
4201 -17 42 '
-
6301 -19
= 105 io =
+ +
-.-----. 21000 63
gelegen und stellt den Fixpunkt der
enthaltenen Substitution (~~: -~) der Periode 3
dar. Für die mit den Nummern 1 bis 4 versehenen Seiten gelten die Angaben:
1.
21(~2+
'1)2) +
21~
+ 5 = 0,
ru'
2.
21(;2+ '1)2) +
16~
+ 3 = 0,
ro
3. 42 W+ '1)2) +
26~
+ 4 = 0,
ro
'1)2) +
42~
+ 5 = 0,
ro' =
4.
84(~2+
, ,
=
-
21w-10 4201 + 21
=
-8w-3 2101 + 8 '
=
-1300-4 42w +
,
fa-'
-
2100 - 5 84w+ 21 .
Die zweite und dritte Spiegelung sind auch bereits in der r"'(21) enthalten. Die Seite 5 des Polygons K21 gehört natürlich zur Spiegelung W2l . Gebraucht man die Abkürzung L1~ wie soeben, so hat man in:
Klassenpolygon K21 und zugehörige Modulformen
xo =1f!Lls Ll7 =
(10)
l
(~rqt (1- 2 q6_ q12_ 2 qH+ 2q18+ ... ), 11
Xl
441
=ly::d;:1;;' = (:~rq3(1 .
-
2 q2_
q4+ 2 q6+ q8 + 2qlO_ 2q11l _ 2 q16_ 2 q18+
. . .)
zwei Formen, die auf K21 Nullpunkte der Gesamtordnung -~- haben. Da diese Nullpunkte nur in der Spitze ioo und im Zyklus ± 1 auftreten, so hat zufolge (10) X o an diesen beiden Stellen Nullpunkte der Ordnungen t und \1, Xl umgekehrt solche der Ordnungen Jl und t. Hiernach haben Wlr m:
(11) bereits eine einwertige Funktion von K21 • Es ist hier auch noch der Ansatz (19) S. 332 heranzuziehen. Zwei unter den vier Formklassen der Diskriminante - 84 liefern identisch verschwindende Reihen, die beiden anderen ergeben die Reihen:
(12)
zo(VLlY und VLI nehmen gegenüber den Substitutionen den Faktor (:1) an. Hiernach können Nullpunkte gebrochener
Die Produkte der
r"'(21)
&1
Ordnung des Nenners 3 nur in den beiden Ecken e4 , e~ von T21 auftreten; man zählt leicht ab, daß sowohl Zo als Zl an jeder dieser Stellen einen Nullpunkt der Ordnung t hat. Für beide Formen bleiben Nullpunkte der Gesamtordnung 2 übrig. Werden nun zo, Zl durch W 21 in z~, z; transformiert, so sind die Quotienten &~: $0 und z~ : $1 entweder Konstante oder Funktionen der r"'(21)' Da aber wegen der in der Spitze ioo sich forthebenden Nullpunkte in beiden Fällen die Wertigkeit unter 2 herabsinkt, so folgt mit Rücksicht auf das Geschlecht 1 von T211 daß beide Quotienten mit Konstanten identisch sind. Hiernach sind $0 und $1 gegenüber W 2l bis auf Faktoren, die nur gleich ± 1 sein können, invariant. Die Form Zl hat nun auf K21 einen Nullpunkt der Ordnung in der Spit~e ioo und einen solchen der Ordnung 1 im Zyklus e4 , e~, so daß nur noch ein Nullpunkt der Ordnung t übrig bleibt, der nur im Zyklus ± ~. liegen kann. Demgegenüber hat $0 einen Nullpunkt der Ordnung tin der Spitze ioo und einen solchen der Ordnung t im Zyklus e4 , e~; es
-r
1) Die beiden Sterne sollen andeuten, daß Glieder mit qlO und q'8 nicht auftreten.
442
11, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
bleibt also noch die Alternative, daß entweder ein Nullpunkt der Ordnung t im Zyklus ± t liegt, oder daß sich daselbst ein Nullpunkt der Ordnung t und dann ein weiterer Nullpunkt der Ordnung t in einem der Punkte eo, ... , es findet. In beiden Fällen ist z~ : z~ eine einwertige Funktion von KS1 mit dem Pole in der Spitze i 00 und also eine lineare ganze Funktion des in (11) erklärten $'. Die Reihenentwicklungen liefern aber sofort das Bestehen der Gleichung: Z2o
zi
:so daß zo im Zyklus ± t einen Nullpunkt der Ordnung Zufolge dieser Überlegung haben wir in:
(13)
ZOZl =
(::Yq
2(1 -
q2 ~ q4 _ q6 _
2q~ _ qlO _
q12
t
hat.
+ 3 q14 + ...)
.eine Form von K2D welche Nullpunkte erster Ordnung in der Spitze ioo und im Zyklus ± t hat und einen solchen der Ordnung t im Zyklus e4 , e~ aufweist. Dieser Form bedürfen wir zur Herstellung der Verzweigungsform der zweiblättrigen Riemannschen Fläche, auf die T21 durch $' «(j) abgebildet wird. Wir haben zu setzen:
v= - 2 :n;z. ~.d, .d• .d7 .d21
(14)
ZO Z,
d log 1: -(00, doo)
und finden die Potenzreihe: (15)
v=
(::Y qt(l_ 2q
2_
8q4+
* + 5 q8+
4 qlO_7 q12+
* + ...).
Diese Form hat im Klassenpolygon Nullpunkte je der Ordnung t an den Stellen ioo und ± t, sowie vier Nullpunkte der Ordnung t in eo und -den Zy;klen (e D e~), (e2 , e~), (ea, e~). Das Produkt v21f! L/ldsL/7L/21 muß .als homogene Funktion vierten Grades von Xo und Xl darstellbar sein. Die Reihen liefern: (16)
V 2 XOX1 =
x~ -
6X~Xl -
17 x~xi - 6xox~
+ xi,
womit die Verzweigungsform der vorhin genannten Fläche gewonnen ist.
Als Funktionssystem der(17)
$' ( (j)
wobei sich (18)
15
=
xo X
1
=
r>p(21)
haben wir damit er-halten:
Z5
z' , 1
als Funktion von$' mittels der- Wur-zel:
Transformation 21 sten Grades
443 darstellt.1) Es liegt hier also ein elliptisches Gebilde der absoluten In. t vanan e -
193
2" . 3 4
vor.
Zur Darstellung von J als rationale Funktion von (j und t: bedienen wir uns der Vermittlung der in (34) S. 397 gegebenen, beim siebenten Grade benutzten Funktion T'7' Aus der leicht beweisbaren Gleichung:.
lVii1 d S - 71f!d 7 d21
-lf!d -
7
d21
49't' =-!'t'7 't'7
folgt, daß die links stehende ganze Modulform gegenüber den Substitutionen der T"'(21) bis auf multiplikative Einheitswurzeln invariaut ist; gegenüber W2l erfährt sie Zeichenwechsel. Die Betrachtung der Nullpunkte zeigt, daß sie bis auf einen konstanten Faktor gleich v ist. Sie ist unmittelbar gleich v, was die Potenzreihen bestätigen. Eine weitere Prüfung des Ergebnisses liefert die Berechnung von d 1d s + 71f!Li;Li2~)' wobei sich der Ausdruck in (16) rechts, vermflhrt um 28x~x~, als QuaJrat einer homogenen Funktion zweiten Grades von Xo, Xl ergeben muß. Dies bestätigt sich; man findet:
Cf!
(19)
2f
L1ld3~d2l Cf!d 1 d s + 7 1f!:d7 L12l )
=
x~ - 3xOxl
+ xi·
Durch Fortsetzung der Rechnung gelangt man zu dem Ergebnis: Die beim siebenten Grade benutzte Funktion T'7 stellt sich in den jetzigen 6, T' so dar: (20) 3. Transformation 35sten Grades. Das halbe Klassenpolygon KS5 ist in Fig.24 (S. 444) abgebildet. Von den Ecken e gehören eo und el zu den beiden Formklassen der Diskriminante D = - 35, die beide zweiseitig sind. Die Lage dieser Ecken, die repräsentierenden Formen und die zugehörigen Substitutionen der TS5 sind:
-V35 + i
liJ = - - - -
2 Jl35
liJ =
'
-V35+i ---6V35 '
(35,35,9), (105,35,3),
, liJ =
, liJ =
- 3500 -18 7000 35- ,
+
- 3500 - 6 21000 35'
+
Die Ecke e2 gehört zur Hauptklasse der Diskriminante D = - 140 und qamit zur Substitution W35' Endlich gehören es, e4 , e5 und die zu den 1) Die Funktion unter der Wurzel (18) muß nach Adjunktion von V21 reduzibel sein und in das Produkt zweier Funktionen zweiten Grades zerfallen. Dies bestätigt sich; die Funktionen zweiten Grades sind:
444
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
beiden letzten symmetrischen Ecken e~, e~ zu den fünf restierenden Formklassen mit D = - 140. Die näheren Angaben gehen aus der Zusammenstellung hervor: (420, 350, 73),
ro' =
-170m - 73 420m + 175 '
-1I35+i ro= ---31135 '
(105, 70, 12),
(j)'=
-35m-12 105m + H5 '
r o -1135+ = - - -i 41135 '
(140, 70, 9),
, -35m - 9 ro =------. 140m + 35
es,
ro=
e4 , e5 ,
-51135+i 121130'
Fig.24.
Durch die bei den letzten Substitutionen werden die Seiten 3 und 4 bzw. 5 und 6 von K S5 in einander transformiert. Auf der reellen ro-Achse-
liefern diese Seitenpaare die Polygonspitzen ro = - ~, - t, - t, die mit den symmetrischen -;-, f, t zu einem einzigen Spitzenzyklus zusammengehören. Die Angaben, die Kreise 1, 2 und 7. betreffend, sind: , -35ro-17 1. 70W + 1'l) + 70~ + 17 = 0, ro = 70ro +-35'
1'l) +
2.
30(~?+
7.
35(~2+ 1)2) + 12~ +
29~
+
6
=
0,
ro
, =
-29ro-12 -7000 + 29 -,
, -6ro-1 ro = 35ro+6 .
1 = 0,
Die beiden letzten Spiegelungen sind auch bereits in der r",(S5) enthalten. Die funktionentheoretische Behandlung des Grades 35 kann man auf die beiden Formen gründen: %0 =
(21)
1
21 1 =
211 L15L17 =
Y
24 . - L11 L1S5 =
2m:
q(1 - ql0 -
ql4. -
211:
qS(l
q4
•
-
co,
~ q2 _
q20 + q24 + ...),
+ qlO + q14 _
q24 _ ...),
deren erste in der Spitze ioo und im Spitzenzyklus von KS5 Nullpunkte-
445
Klassenpolygon KS5 und zugehörige Modulformen
der Ordnungen t und i hat, während Z1 an diesen Stellen umgekehrt in -den Ordnungen t und t verschwindet. Folglich haben wir in: 1:
(22)
=
Zo -- = Z,
Y-
LI. Ll7 -- = LI, Ll85
q-2 + 1 + 2 q2+ ...
bereits eine einwertige Funktion des Klassenpolygons KS5 erhalten. Zur Berechnung der Verzweigungsform derjenigen zweiblättrigen Fläche, auf die l s5 durch T(m) abgebildet wird, erklären wir zunächst die Modulform (- 2)ter Dimension:
(23)
v=
-
.d
log~
2n~ (00, dw)'
die zur T'I'(35) gehört und gegenüber W 35 Zeichenwechsel erfährt. Diese Form hat auf K35 gemessen acht Nullpunkte der Ordnung t in den acht Ecken e, die die Verzweigungspunkte der genannten zweiblättrigen Fläche liefern; ihre Reihenentwicklung ist: (24)
v=
(::fc1 -
q2 - 3 q4 _ 4 q6 _ 7 q8 _
q10_
12 q12 _ q14
_ 15 q16 _ 13 q18 _ 3 q20 _
Das Produkt von v 2 und des in zo, Z1 darstellbar:
(25)
(VZOZ1)2=
(ZOZl)2
•• -).
ist als homogene Funktion achten Gra-
z~ - 4Z~Zl - 6zgzi - 4z~z~ - 9z~zf
+ 4z~z~ -
6z~z~
+ 4zozr + z~
und liefert in dieser Gestalt die gesuchte Verzweigungsform. Als Funktionssystem der T S5 haben wir nunmehr:
(26)
()
o m =
wobei sich 0 als Funktion von
(27)
T
zs = VZo 1
2ni
- 7
d~
(00 dw)'
"
mittelst der Quadratwurzel ausdrückt:
d =-V~8 - 41: 7 - 61: 6 - 41: 5 - 91: 4 + 41: 3 - 6'1: 2 + 41:+ 1,1)
Zur Darstellung' von J durch (j und T bedienen wir uns wieder der Vermittlung der in (34) S.397 gegebenen Funktion 1:7 , durch die sich J in der Gestalt (41) S. 398 ausdrückt. Es ist demnach ausreichend 1:7 in (j und 1: darzustellen. Zu diesem Zwecke knüpfen wir an die leicht beweisbare Gleichung: 1) Eine Prüfung des Ergebnisses kann man aus dem Umstande herleiten, daß der Ausdruck unter der Wurzel (27) im rationalen Körper reduzibel ist, nämlich das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren der Grade 2 und 6 sein muß, entsprechend den zwei Formklassen mit D = - 35 und den sechs mit D = - 140. Die l:erlegung ist: (~! ~ 1) (~6 _ 5~5 _ 9~3 __ 5~ _ 1).
+ _
446
I1, 4. Transfonnationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
11LlI Ll5 -
t:;
Cr; -
49l!Ll7L135 =
'l7)Y.dI Ll35 ,
wo die durch W 35 aus 'l7 hervorgehende Funktion ist. Die hier links stehende Form hat acht Nullpunkte auf K35 • Erstens hat sie die acht, Nullpunkte der Ordnung t mit v gemein, sodann kommen zwei einfache Nullpunkte in der Spitze ioo und im Spitzen zyklus dazu und endlich bleiben noch zwei Nullpunkte erster Ordnung übrig. Jene Form ist demnach als das Produkt von v und einer homogenen Funktion zweiten Grades von zo, Zl darstellbar; die Potenzreihen ergeben:
11Lli Llr, -
(28)
4911Ll7 L135 = v(z~ - 3z0 z1 - zn.
Die übliche Probe dieses Ergebnisses führt man bei der Berechnung von I 5 7 35 ) durch. Man findet die Gleichung (28) bestätigt und erhält:
WLl Ll + 4911Ll L1 (29)
WLl Ll + 4911Ll L1 i
5
7
35 )
ZOZI =
z~
5Z~,ZI + 5z~z~
-
Die Fortsetzung der Rechnung liefert für
'l7
-
5zoz~
-
z~.
den Ausdruck:
(30)
§ 7. Zusammengesetzte gerade Transformationsgrade. 1. Transformation sechsten Grades. Die Verhältnisse liegen hier noch so einfach, daß man der Betrachtung unmittelbar das Transformationspolygon Ts zugrunde legen kann, das in Fig. 4, S. 354, abgebildet ist und das Geschlecht 0 hat. Neben den beiden Spitzen bei W =i 00 und w = 0 hat T6 die beiden Spitzenzyklen ± t und + -h die durch Ws in einander transformiert werden. Eine einwertige Funktion '1:(00) von T 6 möge so erklärt werden, daß die Werte 'I:(ioo) = 0, '1:(0) = 00,
'I:(~6) = 3V2 zutreffen. Schreibt man abkürzend 'I:(W6 (w)) = '1:'(00), so hat man zufolge der letzten Festsetzung: , 18 'l=-
(1)
1:
als Verhalten von 'I: (w) gegenüber Ws' Zum Polygone 1 6 gehören auch die bei den Graden 2 und 3 benutzten Funktionen:
(2)
'1:2 = 64 ~2 , 1
'1:3 = 27
V~8
,
1
unter LI" wie bisher LI(vwl , ( 2 ) verstanden. Die erste dieser Funktionen ist reziprok zu der in (33) S. 379 bei n = 2 dargestellten Funktion 7:, die zweite ist direkt die in (9) S. 384 erklärte Funktion 'I: des dritten Grades. Die Lage der Nullpunkte und Pole von 7:2 und 7:3 in T6 stellt man da-
447
Transformation sechsten Grades
durch fest, daß man erstlich T 6 in vier mit T 2 äquivalente Teilbereichezerlegt, sodann in drei mit T3 äquivalente Teilbereiche und auf die Lage der Nullpunkte und Pole von 'l2 und 'l3 in den Teilbereichen Rücksicht nimmt. Der Wert von 'l im Spitzenzyklus ± t heiße - a, so daß wegen (1) für 'l(±~) der Wert -·18a- 1 folgt. Dann ist die Werteverteilung: von 'l, 'l2 und 'l3 in den Spi.tzen von T6 aus folgender tabellarischen Zusammenstellung zu ersehen: 1
ioo
I_~_
_ _'l___
I
±t
0
±t
1
1__00_1_c-___a_c-1_1_8_a_-_1
'l2
01
-I
00 3
03
1
00 1
'l3
01
I
00 2
00 1
I
02
d. h. 'l2 hat in der Spitze ioo einen Nullpunkt erster Ordnung, Spitze 0 einen Pol zweiter Ordnung usw. Aus diesen Angaben entnimmt man folgende Ansätze von als rationale Funktionen von 'l: 'l =
(3)
3
271 /Li;
VJ1
wo bund c Konstante sind. Durch W 6 gehen Rücksicht auf (1) folgt:
=
1'(a1' C(1'
""2' 'l3
in
'ls
'lt
in der und
'la.
+ 18)! + a) , 'l;, 'l;
über; mit
(4) Durch Division der Gleichungen (3) und (4) durch einander und Au8'ziehen der vierten bzw. dritten Wurzel folgt weiter:
(5) Indem man diese beiden Gleichungen mit einander multipliziert und dieQuadratwurzel zieht, findet man als Darstellung der einwertigen Funktion 'l(w) von T6 durch LI: (6) Hiernach ist das Anfangsglied der Potenzreihe von 'l durch 36 q2 gegeben. Nimmt man nun in der ersten Gleichung (5) rechts und links die Anfangsglieder, so folgt:
8q2= so daß a
=
!l'-'l =
18
2 aq 2,
4 ist. Indem man entsprechend für die Gleichungen (3) die-
II, 4. 'l'ransformationsgleichungen erster Stnfe für niedere Grade n
448
Anfangsglieder berechnet, folgt weiter b = 2,
von
7:2
und Ts als rationale Funktionen von
(7)
7:2
=
+ 4)" + 9)'
-r(-r: 4(2-r:
7:8
=
7:
C = 108. Die Darstellungen sind somit;·
-r:(2-r: 27 (-r:
+ 9)2 + 4) •
Endlich ergibt sich der Ausdruck von J mit 7: einfach dadurch, daß man den in der zweiten Gleichung (7) gegebenen Ausdruck von 7:s in (12) S. 385 für das damalige 7: einträgt. 2. Transformation zehnten Grades. Auch die Behandlung dieses Falles kann man unmittelbar auf das Transformationspolygon T IO
8
Fig. 25.
gründen, das in Fig. 25 dargestellt i~t und wieder zum Geschlechte 0 gehört. Die Seiten 1 und 2 und ebenso 7 und 8 werden in einander transformiert durch die elliptischen Substitutionen C±3~:31) der Periode 2, deren Fixpunkte in der Figur kenntlich gemacht sind. Die Seite 3 geht durch die Substitution
(4~:!) in 6 über, die Seite 4 durch (1~:~) in 5.
Alle diese Substitutionen sind in der Tat in der r1p(lO) enthalten. Die vier Spitzen ± -h ± t gehören zu einem Zyklus zusammen, der kurz der Zyklus ± t heiße; ebenso gehören die Spitzen ± t zu einem Zyklus zucsammen. Trägt man die Dreiecke des ursprünglichen Netzes der Modulgruppe rem) in T10 ein, so erkennt man leicht, daß beim Umlaufen des Zyklus ± t fünf Doppeldreiecke jenes Netzes durchschritten werden, beim Umlaufen des Zyklus ± t aber deren zwei. Dasselbe kann man durch Rechnung auf folgende Art feststellen: Die in der rem) enthaltene zyklische Untergruppe parabolischer Substitutionen des Fixpunktes ro = - t wird aus (-~: -~) erzeugt; von dieser Substitution ist erst die fünfte Potenz
f-;~: --;.~) in der
r1p(lO)
enthalten. Die erzeugende Substitution der ent-
sprechend zum Fixpunkte -
t
gehörenden zyklischen Untergruppe ist
aber (~:: -~), und von dieser Substitution ist schon die zweite Potenz
f~~: --;.~)
in
r1p(lO)
enthalten.
Diese Angaben sind wichtig, wenn man die Polygone T 2 und T5 in
449
Transformationspolygon T10 und zugehörige Modulfunktionen
T 10 einträgt uud die auf T 10 gemessenen Ordnungen der Nullpunkte und Pole der beiden Funktionen:
-r
(8)
2
=
64
LI.. Ll1
-r, = 125
'3
VLl 5 Ll1
feststellt. Man findet diese Ordnuugen sogleich tabellarisch zusammengestellt. Vorerst möge noch eine einwertige Funktion -r(m) von T 10 durch die Festsetzungen -r(ioo) = 0, -r(0) = oo,-r (iI~o) = Diese Funktion wird dann durch
erklärt werden.
in:
~o
,
(9)
-V5
5
't = ~
transformiert. Die beiden Zyklen ± t und ± {- werden durch WlO permutiert. Wird also 't (+ t) = - a gesetzt, so ist -r(± -D = - 5a- 1. Die Tabelle der Spitzenwerte von 't, 't2 , 't" ist dann:
ioo
o
I'
+-'2
+J_ 5
15a- 1 i I ~;--T~-I~~-I - a
00 1
Diesen Angaben entsprechen folgende Ansätze für stalt rationaler Funktionen von 't: 't = 5
{10)
125 -t /Ll-;'
JI
Ll 1
=
T,
-r(a-r c(-r
und
+ 5)"
+ a)
<:5
in Ge-
,
wo bund c zwei Konstante sind. Wir verfahren nun genau wie im Falle der Transformation sechsten Grades. Durch Ausübung der Transformation W 10 gehen die Gleichungen (10) über in: (11)
-r' = ~ 2
LI" 64L110
=
+
(a-r 5)~ b-r 5 (-r+a) ,
T' 5
=
-t / LI___ = JI Ll 10
~25(-r±~~. c-r"(a .. +5)
Dividiert man die Gleichungen (10) und (11) durcheinander und zieht ,die sechste bzw. dritte Wurzel, so folgt weiter:
(12) Durch Multiplikation dieser Gleichungen miteinander und Ausziehen der Quadratwurzel findet man als Ausdruck der einwertigen Funktion -r in dfYr Diskriminante LI:
(13) Fricke, Die elliptischen Funktionen II
29
450
Ir, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Das Anfangsglied der Reihe für 7: ist hiernach 10q2. Die Bestimmung von a, b, c aus der ersten Gleichung (12) und den Gleichungen (11) geschieht nun wie im vorigen Falle. Es findet sich a = 2, b = c = 1. Die Darstellung der bei den Transformationsgraden 2 und 5 benutzten Funktionen '(2 und 7: 5 als rationale Funktionen des zu T10 gehörenden 7: ist:
(14)
'(2
=
+ 2)' +5 '
-r(-r 2-r
7:5
=
-r(2-r 'r
+ 5)2
+2
.
Die Darstellung von J durch 7: erhält man endlich durch Eintragen des in der zweiten Gleichung (14) gegebenen Ausdrucks für 7:5 in die Gleichung (13) S. 393 an Stelle des damaligen '(. 3. Transformation zwölften Grades. Das in Fig. 26 dargestellte Polygon T12 ist ein Zehneck, dessen untere mit Nummern bezeichnete Seiten so zusammenhängen:
1 -- 8,
G)~, 25);
2 -- 7,
(27~, 27);
3 -- 6,
(:~, 15);
4 -- 5,
(:~. °1)'
Diese Substitutionen gehören in
p.!+t;~J ~!Xn~5~ji~nfft~~~ t
± -h
dIe durch W12 zu Paaren permutiert werden. Die beiden schraffierten Teilbereiche sind Abbilder der negativen 7:6-Halbebene, die heiden freien Bereiche solche der positiven 7:6 -Halbebene. Wie man unmittelbar aus der Figur abliest, wird 1 12 durch '(6 auf eine und zweiblättrige Riemannscbe Fläche abgebildet, die zwei der Spitze dem Zyklus ± t entsprechende Verzweigungspunkte bei 7:6 = 00 und '(6 = - t hat. Eine einwertige Funktion von 1 12 können wir demnach aus '(6 mit einer einzigen Quadratwurzel in der Gestalt berechnen:
-fr
-; -) -I;
w-O
}
i
.. -:
Fig. 26.
°
(15) mit der Festsetzung, daß die Quadratwurzel auf der imaginären co-Achse positiv genommen werden soll. Wir erzielen hierdurcb die Spitzenwerte 7: (i (0) = 0,7:(0) = 00. Auf dem äußeren Rande von 1 12 wird'( reell und negativ, und es gelten insbesondere folgende Spitzenwerte: 7:
(±
t) =
-
2,
7:
(± t) = - 3, '( (±
i) =
- 4, '( (± t)
=
-
6.
Da durch W12 die beiden Zyklen ± t, + t ausgetauscht werden, so findet man als Wirkung der Trar/,sformation W 12 auf 7: :
(16)
7:
,
12
=-. 'r
Transformation
12'on Grades. Klassenpolygon K'4
451
Indem man in die Darstellung von J durch T S für T s den Ausdruck -~-r(T + 6) einsetzt, erhält man den Ausdruck von J in dem zu n = 12 gehörenden -r. Diese Angaben über den Gradn = 12 sin~ für später aus.....---_ _ _-~__ . reichend.
4. T r ans f 0 r m a tion 14ten Grades. Man knüpft hier zweckmäßig an das Klassenpolygon K14 an, dessen eine Hälfte in Fig. 27 dargestellt ist. Den vier Formklassen der Diskriminante D = - 56 entsprechen die vier Punkte eo, el> es, e;, wo e~ zu es symmetrisch liegt. Die .. ~-t näheren Angaben sind:
eo,
ro
=
eu
ro
=
e2 ,
ro
=
Fig. 27.
i
Vi4'
(14:0 -1)0'
(14, 0, 1),
-4Vl4+i , (126, 112, 25), ( -56, -25) 126, 56' 9V14 -V14+i -5). (-14, (42, 28, 5), 42, 14 3J114
Durch die letzte Substitution werden die Kreisbogen 3 und 4 ineinander transformiert, die den Kreis der Gleichung: 14(~1+
1';2) + 8~ + 1
=
°
zusammensetzen. Der Kreis 5 ist der Symmetriekreis der Spiegelung W 14.; für die Kreise 1 und 2 gelten die Angaben: , -130>-6 ro = 2800+13 ' , - 280>-11 2. 70(~2+ 'r)2) + 56~ + 11 = 0, ro = 700>+28 . Das Klassenpolygon hat nur die Spitze ioo und den Spitzenzyklus ± t, so daß die formentheoretische Behandlung des Grades 14 sehr einfach ist. Man erkennt zunächst im Quotienten A 2 A 7 : Al Ll14 durch Abzählung der Nullpunkte des Zählers und Nenners die sechste Potenz einer einwertigen Funktion -r(ro) von Kw die demnach selbst durch: (17)
T(ro)=
~ V_2_7=q-2+4+lO q2+ ... L/ L/ 1
14
zu erklären ist. Die Formen \IA 2 L17 und \IA 1 L114 haben Nullpunkte der Gesamtordnung 4, und zwar hat AI Ll7 in der Spitze ioo einen Null-
11
29*
452
11, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
punkt der Ordnung t und im Zyklus ± t einen solchen der Ordnung t, während .d1.d14 an diesen Stellen umgekehrt Nullpunkte der Ordnungen t und t hat. Demnach hat L/1.d2.d7 .d14. in der Spitze ioo und im Zyklus ± t je einen Nullpunkt der Ordnung 1. Wir setzen nun:
Y
2f!
und haben in zo und Z1 zwei ganze Modulformen der Dimension - 2 mit den Potenzreihenentwicklungen : (18)
(2"')2 q(1 + q2_ q4+ * _ q8_ 2q10+ q12 -
z0 =
lZ1
co,
(:~r q3(1 - 3q2+ t
=
+ 2 q6+ 2q8-
9 q14+ .. .),
ql0 - 4 q12 + 2 q14 + ... ),
deren Quotient zo: Z1 die einwertige Funktion -z;" ist. Die Formenschar (azo+ bz1 ) hat neben zwei festen Nullpunkten der Ordnung t in den
Spitzen einen beweglichen Nullpunkt erster Ordnung auf Kw Die Verzweigungsform der zweiblättrigen Fläche des Geschlechtes 1, auf die das Polygon T14 durch -z;" abgebildet wird, kann wie bisher durch einen Differentiationsprozeß leicht bestimmt werden. Doch ist es noch etwas kürzer, diese Bestimmung sogleich mit der Darstellung der bei n = 7 benutzten Funktion -z;"7 zu verknüpfen. Wir haben zunächst, wenn wieder -z;"7(W14 (ro» = -z;"~(ro) geschrieben wird:
(19) woraus durch Addition hervorgeht:
Die hier im Zähler stehende Form hat Nullpunkte der Gesamtordnung 4 auf K14 • Da in der Spitze ioo ein Nullpunkt der Ordnung t auftritt und die Form in den Ecken e nicht verschwindet, so liegt auch im Zyklus + t ein Nullpunkt dllr Ordnung t, so daß das Produkt jener Form mit L11 L12.d7 .d14 als homogene ganze Funktion dritten Grades von Zo und SI darstellbar ist. Die Potenzreihen ergeben:
2ft
(20)
2ft.d .d;A .d (V A 1
7
14
1 .dS
+ 49 11.d A 7
14) =
z~ - 8S~Zl - 8zozi + zr.
Indem man·diese Gleichung ~uadriert und 19G}lL11 L12 .d7L114 abzieht, findet man: '
=
1ft'.dl.d2.d7.d14 (V.d1.d2 -49 !j;'L17L114?= 0$3 - 16sgz1 + 48 z~o$i + 48 z~z~ - 16~ozt + ,z~.
196z~s~
66z~z~
Transformation
gien
Grades.
Transformationspolygon T18
453,
Dies Ergebnis ist einer Prüfung fähig. Es muß nämlich die rechts stehende Funktion reduzibel sein und in das Produkt der oben genannten Verzweigungsform vierten Grades und des Quadrates einer linearen Funktion zerfallen. Dies bestätigt sich; man findet durch Ausziehen der Quadratwurzel: (21)
2}i.dl
.d2 .d7 ,d14 (l!.dl ,d2 -
49
Y,d7,d14)
(zo - Z1) -V~ =l4Zfz~
=
+ -19zgsf-=-f4z~zf+ zt ,
wo unter der Wurzel rechter Hand die Verzweigungsform gewonnen ist. Neben 'I:(ro) führen wir nun !tls zweite Funktion O'(ro) der r"'(14) den Quotienten der in (21) rechts stehenden Wurzel mit z~ ein: Für das Funktionssystem 0, 'I: der r",(14) besteht dann die Relation: (22)
6 =
Y'l:4_ 14. 3 + 19'1:2~ 14'1: +1,
so daß wir mit einem elliptischen Gebilde der absoluten Invariante 5".43 8
2-12 .3'-:-73 zu tun haben. Durch Subtraktion der Gleichung (21) von (20) findet man nach kurzer Zwischenrecbnung den Satz: Die beim siebenten Grade benutzte Funktion '1:7 stellt sich als rationale Funktion von 0 und t: in der Gestalt dar: (1:+ 1)(1: 2 -91:+ 1)-(r-l)(j (23) '1:7 = 21' . 5. Transformation 18ten Grades. Das Transformationspolygon 1 18 ist in Fig. 28 dargestellt, die man sich auf der rechten Seite der imagi-
rr~~~~-\
i
--'-=i
w=-k
Fig. 28.
nären ro-Achse symmetrisch fortgesetzt zu denken hat. Die sechs Halbkreise, die T 18 links von ro = 0 nach unten begrenzen, bezeichne man der Reihe nach mit 1, 2, ..., 6, die ihnen symmetrischen Halbkreise seien etwa durch 6', 5', ..., l' bezeichnet. Dann gelten folgende Zuordnungen der Polygonseiten durch erzeugende Substitutionen der r"'(18):
1 - +2, 1, -+ ..,')', (-±5,18,:P) 7;
-
D
-+
5' (17, 2 ) ,
144, 17 ;
3 - +4, 3' -+ 4', (-±5,36,+71) ;
454
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
An Polygonspitzen hat man erstlich die sechs bei ru= i 00,0, t, t, - t, - i gelegenen; von den übrigen Spitzen bilden die sechs ± t, ± ± ~ einen Zyklus, die beiden + t einen zweiten. Die drei schraffierten Teilbereiche sind Bilder der negativen 't6 -Halbebene, die drei freien solche der positiven 'ts-Halbebene. Man liest aus der Figur leicht den Satz ab: T18 wird durch 't6 auf eine dreiblättrige Riemannsche Fläche mit zwei dreiblättrigen Verzweigungspunkten abgebildet, die der Spitze ru = und dem Zyklus (+ t, ± ± t) entsprechen und also bei 'l'6 = - 4 und 'l'6 = 00 liegen. Eine. einwertige Funktion von 1 18 ist also in:
±,
°
(24)
±,
'l' =
-
2
+ i!2 'l'6 + 8
hergestellt, wo die Bestimmung gelte, daß die Kubikwurzel auf der imaginären ru-Achse reell ist. Als Spitzenwerte dieser Funktion berechnet man aus denen von 'ts :
!
't(iOO)
(25)
'l'(±
=
~) =
0, -
1:(0)
=
3, 't(± {-)
±) = 't(± i) = - 2, 3 ± iY3, 't(± t) = -3=;=i va. Spitzen t und - tausgetauscht
1:(± t) = 't(±
00,
=
-
Da durch die Transformation W 18 die werden, so ist die Wirkung von W 18 auf 'l': ,
(26)
6
'l' = - .
-c
Den Ausdruck von J in 't erhält man einfach durch Eintragung von:
(27)
't6 =
t'l' ('t 2
in die Gleichung zwischen J und
+ 6. + 12)
't6 •
6. Die Transformation sgrade 20, 24 und 36. Diese drei Grade, für welche die Transformationspolygone übereinstimmend zum Geschlechte 1 gehören, lassen sich sehr leicht im Anschluß an die Grade 10, 12 und 18 behandeln. Man verstehe unter 1: der Reihe nach die Funktionen 't10 , 1:12 , 't18 , bezeichne mit 'l" die bzw. durch W20 , W 24 , W S6 transformierte Funktion und beachte, daß in jedem Falle 't und T zwei zweiwertige Funktionen VOll T sind, die demnach durch eine in jeder Funktion 't, 't' auf den zweiten Grad ansteigende Gleichung verknüpft sind. Die Spitzenwerte genügen bereits, diese in jedem Falle in 't und 't' symmetrischen Relationen fertig anzuschreiben 1): 1) Man verfährt 30m zweckmäßigsten so, daß man in jedem Falle zunächst die Relation zwischen -c(oo) und -c(200) aufstellt und dann die Substitution Wausübt, wobei -c(oo) in -c' (00) übergeht und -c(2ro) auf Grund der Gleichungen (9) bzw. (16) oder (26) durch -c(ro)auszudrücke'n ist.
455
Transforniationen der Grade 18, 20, 24 und 36
(28)
$ = $10' $'2$2_ 30$'$ - 50(1:' + $) -100 = 0, $ = 1:12 , $'3$2 - 72$' $ - 144 ($' + $) - 288 = 0, $=$]8' r'2$2-24$'r- 36(r'+$)- 72=0.
1
Indem man diese Gleichungen nach r' löst, stellt sich in jedem Falle die Quadratwurzel einer ganzen Funktion dritten Grades von r ein, die als Funktion von m durch o(m) bezeichnet sei und mit r(m) zu einem Funktionssystem der r", vereint werden soll. Für die drei Transformationspolygone T20 , 1 24 und T56 erhalten wir so die drei Funktionssysteme:
I r
(29)
=
r 10 ,
0 = Y2r 3 + 13r~ + 30r + 25,
r=r12 ,
0=V$s+lh 2 +36-r+36,
$ = r 18 ,
0 = V;3+-6~2 + 12r + 9,
so daß wir mit drei elliptischen Gebilden der absoluten Invarianten
2 •.
131s~ 52'
2;~;r;, 0 zu tun haben. Übrigens seien die Wurzeln in (29) so bestimmt, daß die Funktionen o-(m) in der Spitze ioo die Werte + 5, + 6 und + 3 annehmen. Bei Ausübung der Substitutionen W gehen die r(m) über in r'(m), die man aus (28) durch Auflösung nach r' unter richtiger Bestimmung des Vorzeicbens der Quadratwurzel in folgenden Gestalten berechnet:
I n
(30)
=
20,
n= 24,
n
=
36,
r' = r
,
=
~ (3$ + 5 + 0),
'"
12
-.
'"
(3 r
+ 6 + 0),'
r' = ~- (2r + 3 + o)
'"
Wie man sieht, haben wir hier noch nicht mit Funktionenpaaren r, ($ zu tun, die gegenüber W invariant sind, bzw. Zeichenwecbsel erfahren. Doch ist es leicht, aus den 0, r solche Paare herzustellen. In jedem Falle ist nämlich ($' r) eine zweiwertige Funktion des Klassenpolygons K mit einem Pole zweiter Ordnung in der Spitze i 00. Es muß demnach möglich sein, r' + r durch Zusatz einer additiven Konstanten zum Quadrate einer einwertigen Funktion ~ von K zu machen. In der Tat. führt dieser Ansatz in den drei Fällen 20, 24 und 36 zu folgenden Funktionen r:
+
(31)
456
II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n
Tragen wir die hieraus sich ergebenden Ausdrücke -ri - 5, ... von 0 in die zugehörigen Gleichungen (29) ein und lösen noch -r auf, so stellen sich folgende Quadratwurzeln ein:
j
(32)
n
=
20,
6
=
n
=
24,
6
=
n
=
36,
6
=
y?- 26-r y-r 22-r Yi "'=-f2-r
2-
80-r - 71,
4_
2-
48-r - 23,
4
2-
24-r - 12.
In i, 6 haben wir nun jedesmal ein System von Funktionen der T"" von denen die erste gegenüber W invariant ist, während die zweite ZeichenuJechsel erfährt. Natürlich sind in jedem Falle die heiden Funktionssysteme 0, ,; und 6, i gegenseitig rational ineinander ausdrückbar. Speziell ergeben sich bei den eben angedeuteten Rechnungen folgende Ausdrücke der,; in den Funktionen 6, :r:
(33)
4$" =
i 2 -13 - 6,
2,; = i 2 -11- 6,
2,; = i 2 _ 6 - 6,
die sich wieder der Reihe nach auf n = 20, 24 und 36 beziehen. Durch Eintragen dieser Ausdrücke von $"10' $"12 und $"18 in die zwischen diesen Funktionen und J bestehenden Gleichungen gelangt man zu den Darstellungen von J durch unsere drei Funktionssysteme 6, i. 7. Transformation 26 sten Grades. Die Klassenanzahl der quadratischen Formen der Diskriminante D = -104 ist 6; die reduzierten Formen sind:
(1, 0, 26),
(3, ± 2, 9),
(2, 0, 13),
(5, ± 4, 6),
von denen die beiden ersten ambig sind. Das halbe KlassenpolygoD' K!&. ist in Fig.29 gegeben. Die Kreise 1, 6 und 7 sind Symmetriekreise,.
r-------------------
3 2 1
w=-i
e,
B,
w=-i
4
es
5 Fig.29.
nämlich 7 derjenige der Spiegelung W 26 ' während für die beiden anderen Kreise die Angaben gelten:
457
Transformation 26'en Grades
26 (;' + Tl)
+ 25; + 6 =
6. 130 (;2 + 1)2)
+ 52; + 5 =
1.
=_- 2500 - 12
(jJ'
0,
5200 ,
0,
=
(jJ
+ 25
'
- 2600 - 5 13000 26 .
+
Die zum Kreise 1. gehörende Spiegelung ist bereits in der T",(26) enthalten. Die Seiten 2, 3,4, 5 sind aufeinander bezogen durch folgende Substitutionen: -26 2 ~ 5, 26: 11 ; 3 ~ 4, ( 26 '
78: -9)
(-7 -3)
deren erste bereits in der T"'(26) enthalten ist. Die Ecke eo gehört zur Hauptklasse der Diskriminante - 104. Die bei den mit el bezeichneten Ecken bilden mit den beiden symmetrischen Ecken auf der rechten Seite der imaginären Achse einen Zyklus. Diese beiden Ecken el liegen bei: (jJ
- 7 V2~+i 15
=
und
V26
sie sind die Nullpunkte der beiden" äquivalenten Formen (390, 364, 85) und (546, 260, 31), die der zweiten ambigen Klasse angehören. Der Punkt e2 liegt bei
(jJ
~2:.,ti
= -
3 I' 26
und stellt den Nullpunkt der Form
(78, 52, 9) dar, die mit (3, - 2, 9) äquivalent ist. Die beiden Ecken es liegen bei:
_ _ (jJ -
2 y26 5 V26
+i
d un
(jJ
=
-
V26 + i
2 7 V26
'
sie sind die Nullpunkte der äquivalenten Formen (130, 104, 21) und (182, 104, 15), die der Klasse der reduzierten Form (5, 4, 6) angehören. Der Eckpunkt e4 bei
r ",(26)
(jJ
=
-
:6+
·· auf tre t end en S u b stltutlOn
i
ist der Fixpunkt der auch schon in der
(jJ
, = -2600 500-1 + [) .
Die funktionen theoretische Behandlung des Falles n = 26 bietet keine Schwierigkeit dar. Durch Abzählung der Nullpunkte der Produkte .d2 .dlS und .dl .d26 in den beiden in Betracht kommenden Spitzen stellt man leicht fest, daß:
,
(34)
'z;'=
V2~
~~=q-2+2+3q2+
Li1 Li26
-
...
eine einwertige Funktion des Klassenpolygons ist; ihr Pol liegt in der Spitze ioo, der Nullpunkt im Zyklus ±~. Aus den beiden Formen:
I
zo=
(35) ,
.<'1
=
1f!.d2.d1S=
11
12 - .d1 .d26
=
(::rq~(1- 2 q4 _ q8+ 2qI2+ . . .),
(2";)2 00 q2J1. (1 2
2 q2 _ q4+ 2 q6
+ q8+ 2 q
lO_
2 qI2+
.. -)
458
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
setzt man in üblicher Art die Schar von Formen (azo + bz1 ) zusammen, die einen beweglichen Nullpunkt:Zerster Ordnung auf K2S haben und in der Spitze ioo sowie im Zyklus ± } je in der Ordnung .~ verschwinden. Die Gewinnung einer zweiten Funktion 11 neben 'C für r1fJ(26) und die Darstellung von 'C13 und dadurch mittelbar auch von J in (j und 'C werden zweckmäßig wie im Falle n = 14 durchgeführt. Die in (3) S.426 eingeführte Funktion 'C13 möge durch W 26 in 'f~3 transformiert werden. Dann gilt: .(36) Die im Zähler stehende Form wolle man auf Zahl und Lage ihrer Nullpunkte untersuchen. Es stellt sich heraus, daß das Produkt dieser FOl'm mit Z OZl = 1i1A1A 2 A 13 A 2S als homogene ganze Funktion dritten Grades von Zo und Zl darstellbar ist, Mittels der Potenzreihen findet man in üblicher Weise:
(37)
CfAl A 2 + 131fA1SA26) = zg - 4zgzl - 4Zozi + z~. der Berechnung von CfAl ~2 - 131f:;~l~;Lt26) stellt sich
Z OZl
Bei Quadratwurzel ein:
(38)
y'zZ - 8Z&Z1 + 8~zi - 18z~z~
+ 8z~zi -
die
8z~z~ +i~.
Der unter dieser Wurzel stehende Ausdruck ist die Verzweigungsform der zwei blättrigen Fläche, auf die das Transformationspolygon T 26 durch 'C(m) abgebildet wird, und die in der Tat das Geschlecht 2 hat. Wir notieren den Satz: Als Funktionssystem der r1fJ(26) kann die in (34) erklärte Funktion 'C ttnd die in ihr durch die Quadratwurzel,'
(39) dargestellte Funktion und 'C findet man:
(j
benutzen. Als Ausdruck für die Funktion
'C1S III
,(j
(40) Die Darstellung von J in (16) S. 428 zu gewinnen.
(j
und
'f
ist durch Vermittlung der Gleichung
458
Ir, 5. Die Gruppeu der speziellen Transformationsgleichungen usw.
Fünftes Kapitel.
Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen und die drei Resolventen der Grade 5, 7 und 11. Die folgenden Ausführungen schließen sich an die Entwicklungen "Von S. 261 ff. über die Lösung der speziellen Teilungsgleichungen der bQ-Funktion an und sollen die Fortsetzung dieser Entwicklungen für die R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
Transformation 26 sten Grades.
Galoisscher Satz
459
speziellen Transformationsgleichungen geben. Nach S.262 besteht der Satz, daß, wenn die Teilwerte der primzahligen Teilungsgrade n bekannt sind, die Teilwerte aller weiteren Grade allein durch rationale Rechnungen und Wurzelziehungen berechenbar sind. Jedoch waren in allen Primzahlfällen n> 3 die speziellen Teilungsgleichungen der s{}-Funktion' nicht mehr durch Wurzelziehungen allein lösbar, so daß sich gerade diesen Fällen n das weitere Interesse zuwendet. Wir haben inzwischen die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen kennen gelernt. Es wird sich jetzt darum handeln, genauer die algebraische Theorie dieser Gleichungen zu entwickeln, wobei wir uns nach dem Gesagten auf die primzahligen Fälle n > 3 beschränken können. Die erste Frage wird die nach der Galoisschen Gruppe der speziellen Transformationsgleichung sein. Indem wir sodann auf die Struktur dieser Gruppe näher eingehen, behandeln wir die Frage, ob die speziellen Transformationsgleichungen, die beim einzelnen n ,den Grad (n + 1) haben, die Resolventen niedersten Grades der speziellen Teilungsgleichung sind oder nicht. Hierauf antwortet ein berühmter von Galois entdeckter Satz, nach dem zwar für n > 11 die Transformationsgleichungen die niedersten Resolventen sind, daß aber in den drei ersten Fällen n = 5, 7 und 11 Resolventen n ten Grades existieren. l )
§ 1. Die Galoisschen Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen. Der Übergang von den Teilungsgleichungen zu den Transformationsgleichungen wurde durch die Überlegungen von S. 335 ff. vollzogen. Die t(n 9 - 1) Teilwerte &{}l", des primzahligen Grades n ordnen wir in (n + 1) Systeme:
(1)
S{}2,f"
8022,2""
S{}S2,S""
•••, &{}n-12 n-l" 2
'
2
c
zu je -i-(n - 1) an, die gegenüber den Substitutionen der Galoisschen der Teilungsgleichung invariant sind. Diese Gruppe Gruppe G I -fn(n-l) (n'-l)
konnten wir nämlich aus allen auf die Indizes l, fL auszuübenden inkongruenten Substitutionen:
(2)
l'=td.+rfL,
fL'-ßl+~fL,
(modn)
aufbauen, deren Determinanten ("~ - ßr) teilerfremd gegen n waren, und bei denen zwei durch gleichzeitigen Zeichenwechsel von ", ß, r, ~ 1) Der Satz ist von Galois in seinem Briefe an A. Chevalier vom 29. Mai 1832 mitgeteilt; man vgl. die Sammlung der Galoisschen Arbeiten im J oum. de Math., Bd. 11 (1846).
460
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen
UBW.
ineinander übergehende Substitutionen als nicht verschieden galten (S. 261). Durch die einzelne dieser Substitutionen werden die Systeme (1), abgesehen von Umstellungen der &{/-Teilwerte im einzelnen Systeme, in der Tat nur untereinander permutiert. Das einzelne System (1) mit ,1. =1= 0 können wir durch diejenige Zahl" der Reihe 0, 1, 2, ..., n - 1 charakterisieren, die der Kongruenz ,,1 == P, (mod n) genügt, eine Zahl, die wir. auch in bekannter Weise durch
i
oder
p"
l-1 bezeichnen dürfen. Für
die Bezeichnung des Systems (1) mit l = 0 benutzen wir entsprechend das Symbol" = 00. Als wichtigstes Beispiel der Transformationsgleichungen ziehen wir nun diejenige von )(ro) = 12 3 J(ro) heran. Nach S. 338 ist die bei der ersten Haupttransformation eintretende transformierte Funktion )(nro) eine symmetrische Funktion der t(n - 1) Teilwerte des zu 00 gehörenden Systems (1) mit Koeffizienten des Körpers (m, g2' gs). Wir schreiben unter Aufnahnie von" als Index:
,,=
joo = j(nro) = R (S{/Ol1
(3)
S{/02' ••• ,
&\ n ;1) .
Daran reihen sich die weiteren n unter sich und mit j", gleichberechtigten, den übrigen Systemen (1) entsprechenden Funktionen:
(4)
,,=
mit 0, 1, 2, ..., n - 1, wo R dieselbe Bedeutung wie in (3) hat. Insbesondere entspricht)o der zweiten Haupttransformation nten Grades. In )00' }O, jl' .. "' }"-l haben wir nun die Wurzeln der Transformationsgleichung vor uns, auf welche jetzt die allgemeinen Grundsätze der Galoisschen Theorie bet.reffend die Gruppen der Resolventen in Anwendung zu bringen sind (vgl. S.52ff.). Wir haben zu dem Zwecke zunächst die Untergruppe derjenigen Substitutionen (2) festzustellen, die die identische Permutation der joo' }O, ill ..., i"-l bewirken. Nun wird ioo durch die Substitutionen (2) mit r == 0 (mod n) in sich übergeführt, io aber durch die Substitutionen mit ß == 0 (mod n). Ebenso finden wir als Bedingung dafür, daß j1 in sich übergeht, a == J (mod n). Die Substitutionen (2), die diesen drei Bedingungen genügen, transformieren aber bereits alle Wurzeln (3) und (4) in sich und liefern also den Durchschnitt aller (n + 1) zu den einzelnen Wurzeln gehörenden Untergruppen: Die Substitutionen der Galoisschen Gruppe G 1 der Teilungsgleichung,. :r n (n-l)(n2 -1)
die die identische Permutation der )00' )0' j1' ..., In-l liefern, bilden die' ausgezeichnete Untergruppe G 1 der tzn - 1) Substitutionen: "2(n-l)
(5)
,l'==a,l,
p,'_cxp,
(modn).
Galoissche Gruppe der speziellen Transformationsgleichung
461
Bei Fortgang zur Transformationsgleichung tritt nun nach S. 53 (iie Reduktion der Galoisschen Gruppe auf die Quotientengruppe G1 / G1 ein, so daß die Galoissche Gruppe der speziellen 2"("-1)("'-1)
2"("-1)
Transformationsgleichung eine G,,(n _1) der Ordnung n(n2 - 1) ist. Wir können sie aus der Gruppe (2) einfach dadurch herstellen, daß wir alle :Substitutionen (2) mit proportionalen Zahlen quadrupeln (x, ß, r, 0 als nicht voneinander verschieden ansehen. Es genügt also, alle tn(n 2 - 1) Substitutionen (2) mit der Determinante 1 und außerdem alle Substitutionen (2) zuzulassen, deren Determinante gleich einem beliebig zu wählenden .quadmtischen Nichtreste von n ist, also im Falle n = 4h + 3 etwa gleich ·dem Nichtreste - 1. Indem wir die Indizes x = (1-).,-1 einführen, können wir den gewonnenen Satz auch so ausdrücken: Die Galoissche Gruppe der speßiellen Transformationsgleichung besteht aus allen n(n 2 - 1) Permutati01~en der ioo' io, il1 ..., in-v welche dttrch die auf den Index x auszuübenden Substitutionen.' x' =tfx + ß (mod n) {6) 2
- rx+ IX erhalten werden, wobei (J(,o - ßr = 1 und kongruent einem beliebig ßU wäh-
lenden quadratischen Nichtreste von n ßU nehmen ist und von zwei durch Zeichenwechsel ineinander übergehenden Quadrupeln (x, ß, r, 0 natürlich wieder nur eines ßUßulassen ist. In der Galoisschen Gruppe G,,(n'_1) ist als ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 die Monodromiegruppe G 1 enthalten 1), die 2,,(n'-1) . ihrerseits in allen hier in Frage kommenden 1!'ällen n > 3 nach S. 262 ist isomorph mit der mod n reduzierten nicht.einfach ist. Die GI 2",,(,,'-1)
'homogenen Modulgruppe
r(w)
und kann demnach erzeugt werden aus
zwei Permutationen, welche den beiden Substitution~n S = (~:~) und
T
=
C.~\,1 0) entsprechen. Diese heiden Permutationen sind, wie man
leicht feststellt: (S)
(T) wo bei der Permutation S natürlich in = io zu nehmen ist. 2) Für die Reduktion der Galoisschen Gruppe auf die Monodromie1) Das ist die Gruppe aller Substitutionen (2) mit IX8 - ßr -1 (mod n). 2) Für die Galoissche Gruppe Gn (n'-l) kommt dann als eine dritte erzeugende Permutation: • j'oc, =j"" ja =jo, j~ =jVK hinzu, wo v irgendein quadratischer Nichtrest von n ist.
462
II, 5. Die Gruppen der. speziellen Transformationsgleichungen usw. 2 in
gruppe ist die Adjunktion der Einheitswurzel [3 = e n hinreichend, aber nicht notwendig. Da der Index der Monodromiegruppe in der Gn (n'_1) gleich 2 ist, so genügt bereits die Adjunktion einer einzelnen numerischen Irrationalität zweiten Grades. Da sie dem Kreisteilungskörper (m, [3) angehört, so handelt es sich um die Wurzel der quadratischen Resolvente der Kreisteilungsgleichung für den n ten Teilungsgrad. Diese quadratische Resolvente ist die Gleichung für die Hn - l)-gliedrige Summe:
(7)
[3
+ + + ... + [34
[39
[3
( n-1)'
2-
(
=
t -
1
l) + i-n2- -yn ,
wo links in den Exponenten die Hn - 1) quadratischen Reste von n stehen. 1) Nach S. 260 ist [3 eine natürliche Irrationalität der s;}-Teilungsgleichung, also als rationale Funktion der S9 l f' mit Koeffizienten des Körpers (m, g2' gs) darstellbar. Diese Funktion bleibt unverändert bei den Sub/3titutionen der Monodromiegruppe und geht bei der einzelnen Substitution (.2) der Determinante a8- ßr = d in cd über. Die Summe (7) ist demnach eine Größe, die gegenüber der GI der Substitutionen (5) 2(n-1)
invariant ist, d. h. sie gehört nach S. 49ff. als natürliche Irrationalität zur Transformationsgleichung: Die Galoissche Gruppe G n (n'_l) der speziellen Transjormationsgleichung reduziert sich nach Adjunktion der zu ihr natürn -1
lichen Irrationalität i -2.
yn auf die Monodromiegruppe
GI"
2 n (n--1)
die mit
dei mod n reduzierten nicht-homogenen Modttlgruppe isomorph ist.
§ 2. Die Galoisschen imaginären Zahlen und die imaginäre Gestalt der Gl2"n(n2 -1) • Um die Untergruppen der GI homogenen Substitutionen (;:
~)
.
-n(n--1) 2
der
aller modn inkongruenten nicht-
r(w)
bequem aufstellen zu können,
m"üssen wir diese Substitutionen noch auf eine neue Gestalt transformieren und zwar mit Benutzung der von Galois in die Zahlentheorie eingeführten imaginären Zahlen. Ist Nirgendein bestimmt gewählter quadratischer Nichtrest von n, so ist die Kongruenz x 2 _ N (mod n) durch keine der Zahlen 0, 1, 2, ..., n - 1 zu befriedigen. Man führt demnach genau wie in der Algebra eine neue imaginäre Zahl t ein, die die Eigenschaft besitzt, daß t 2 _ N (mod n) sein soll, und knüpft an diese Einführung ent1) Die Berechnung der Summe (7) geschieht auf Grund der letzten Gleichung in I, 494.
Monodromiegruppe der speziellen Transformationsgleichung
463
sprechende Folgerungen, wie an die Einführung der gewöhnlichen imaginären Einheit i in die Algebra. Man bildet also mitte1st der reellen .ganzen Zahlen a, b und der neuen imaginären Zahl t die n 2 mod n inkongruenten komplexen ganzen Zahlen (a + b t) und findet dann zunächst den Satz, daß jede bisher irreduzibele Kongruenz Ax 2 + Bx + C = 0 (mod n) mit gewöhnlichen ganzzahligen Koeffizienten ein Paar konjugiert komplexer Lösungen (a ± bt) erhält. Hat eine Kongruenz beliebigen Grades mit reellen Koeffizienten eine komplexe Lösung Ca + bt), so hat sie stets auch die konjugierte Lösung (a - bt). Durch bekannte algebraische Überlegungen 1) zeigt man, daß eine solche Kongruenz, wenn m ihr Grad ist, auch im erweiterten Zahlengebiete niemals mehr als m verschiedene Lösungen haben kann. Erhebt man irgendeine der (n 2 - 1) inkongruenten, durch n nicht teilbaren Zahlen (a + bt) in die n te Potenz, so folgt bei Fortlassung aller durch n teilbaren Glieder: n-1
=
=
n-1
Nach dem Fermatschen Satze gilt an a, bn b. Ferner gilt N2da N quadratischer Nichtrest von n ist. Es folgt also:
(a
+ bt)n= a -
bt
-1,
(mod n),
und man findet durch nochmaliges Erheben zur n ten Potenz: (a
+ bt)n = a + bt, 2
(a
+ bL)n -1= 1 2
(mod n)
als Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. Die Kongruenz xn' - l = 1 (mod n) hat hiernach die Höchstzahl zulässiger Lösungen, nämlich (n 2 - 1). Ist n 2 - 1 = lL' v irgendeine Faktorenzerlegung von (n 2 - 1), so folgt aus: x"'-1-1
=
(XI'-1)(xll(V-1)+ XI'(v-2)
daß eine Lösung von x n2 xl'=l,
1
=
+ ... + xl'+ 1),
1 (mod n) mindestens eine der Kongruenzen:
XI'(v-1)+X,u(v-2)+",+xl'+1=O
(modn)
befriedigt. Da aber die zweite höchstens lL(V - 1) Lösungen hat, so besitzt die erste sicher lL verschiedene Lösungen, Ist also lL irgendein Teiler von (n 2 -1), so hat auch xl'= 1 (mod n) notwendig /l. verschiedene Lösungen. Ist (a + bL) eine dieser Lösungen, die nicht bereits einer Kongruenz x' = 1 (mod n) mit A. < /l. genügt, so sagt man,,(a + b L) gehöre zum Exponenten /l.". Eine zum Exponenten (n 2 _ 1) gehörende Zahl wird im vorliegenden erweiterten Zahlgebiete als eine "primitive Wurzel" der 1) Vgl. Diriehlet-Dedekind, "Vorles. über Zahlentheorie" (4. Aufl.), S: 68.
464
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
Primzahl n bezeichnet. Die Existenz primitiver Wurzeln geht aus folgender Betrachtung hervor: Es seien !L und !L' zwei gegeneinander teilerfremde Divisoren von 2 {n - 1), und es mögen zwei zu den Exponenten !L und !L' gehörende Zahlen (a + b t) nnd (a' b' t) exi~tieren. Dann ist sicher die (!L' !L')te Potenz von:
+
c + eh
+ bt) (a' + b' t}
(a
1
+
Die hier links stehende Zahl gehört als Potenz von (a bt) notwendig zu einem in !L aufgehenden Exponenten, die rechts stehende entsprechend zu einem in !L' aufgehenden. Da aber beide Zahlen als mod n kongruent zum gleichen Exponenten gehören und !L, lt' teilerfremd sind, also den größten gemeinsamen Teiler 1 haben, so gehoren beide Zahlen zum Exponenten 1:
(a
+ bt)m- (a' + b't)m- 1
(mod n).
Hiernach ist m ein Vielfaches sowohl von !L als !L' und also von !L' !L'. Aus der schou festgestellten Kongruenz (e + dt)!to p ' - 1 folgt schließlich m = !L . !L', so daß wir aus den bei den zu !L und !L' gehörenden Zahlen (a + b t) und (a' + b' t) stets eine zum Exponenten !L'!L' gehörende Zahl (e + dt) herstellen können. Mit Hilfe dieses Satzes können wir durch eine bekannte Schlußweise die Existenz von primitiven Wurzeln der Primzahl n nachweisen, wenn wir nur sicher sind, daß es zu jeder höchsten in (n! - 1) enthaltenen Primzahlpote~z pV Zahlen (a + bt) gibt. Würden solche Zahlen aber 1 nicht vorkommen, so müßten alle p" Lösungen der Kongruenz x P" schon der Kongruenz x PV - 1 _ 1 genügen, was unmöglich ist. Die Existenz der primitiven Wurzeln steht also fest. Wir bilden nun die (n - 1)te Potenz irgendeiner primitiven Wurzel
=
+ ht)n-l_ a + bt (mod n) und haben damit eine zum Exponenten (n + 1) gehörende Zahl gewonnen. Diese Zahl (a + bt) genügt der Kongruenz: (g
+ ht):
(g
(a
+ bt)
n+l 2
=-
1
(mod n),
n-l
während alle voraufgehenden Potenzen (a+ b t), (a + b t )2, ..., (a + b t) T untereinander und gegen + 1 und - 1 inkongruent sind. Da übrigens (a bt)n= a - bt gilt, so folgt aus (a bt)n+l= 1 noch:
+
(1)
+
Ca + bt) Ca -
bt)
=1
(mod n).
465
Galoissche imaginäre Zahlen
Wir schreiben nun die Substitutionen der G 1 2
n (n'-1)
indem wIr
,
(6) S.461 statt des Index" zum besseren Anschluß an die Gruppe die Variable ro einführen: ' _ aw+f3
(2)
ro =
r-;;;---Fef '
a 0' -
ßr
=1
In
T(w)
()
mod n .
Die Kongruenzzeichen beziehen sich darauf, daß die Koeffizienten (x, ß r, 0 nur mod n zu nehmen sind. Zwei Substitutionen, die durch gleichzeitigen Zeichenwechsel der vier Koeffizienten (x, ß, r, 0 ineinander übergehen, gelten als nicht verschieden. führen wir jetzt eine Neben dieser "reellen Gestalt" der G 1 2
n (n"-1)
"imaginäre Gestalt unserer Gruppe" ein, indem wir die Variable ro durch eine neue Variable b vermöge der Transformation: ro=
-~+1 t~+ t
ersetzen. Die Substitution (2) geht über in:
b' =
(3)
(a
-
+ bt)!;+ (c+ dL)
(mod n),
(c-dt)~+(a-b,)
wo a, b, c, d vier reelle ganze Zahlen sind, die sich aus:
{
(4)
=
2- 1«X + 0') a, 2- 1 (-a 0) c,
+ =
- 2- 1 (ß + N-1r) - 2- 1 (ß - N-ly)
=b =d
(mod n)
berechnen, und die, wie man leicht feststellt, die Kongruenz:
(5)
(a
+ bt)(a -
+ dt) Ce -
bt) - (c
dt) - 1 (mod n)
befriedigeu. Da übrigens aus (4) umgekehrt: a
=
a - c,
ß
=- b -
d,
r,- (d -
b)N,
0
=
=a + c
(mod n)
folgt und die Kongruenz (5) sich auf IXO - ßr 1 (mod n) umrechnet, 'So entspricht auch jeder Substitution (3) eine solche der Gestalt (2). In der imaginären Gestalt besteht somit die G 1 aus allen Substitutio'2 n (n'-lj
nen (3) der Determinante 1, wobei natürlich wieder zwei durch gleichzeitigen Zeichenwechsel der vier Koeffizienten ineinander überg'ehende Substitutionen (3) als nicht verschieden gelten.
§ 3. Zyklische Gruppen, metazyklische Gruppen und . Diedergruppen in der GI Die Substitution S
= (~: ~)
2n(n~-I)
hat die Periode n und erzeugt somit
eine zyklische Untergruppe G n der Ordnung n, bestehend aus allen SubFr i c k e, Die elliptischen Funktionen 11
30
466
H, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
stitutionen -(01• ß\1 der GI , 1)
"2,,(n'-1)
. Bei der Abzählung der mit dieser Gn
gleichberechtigten Untergruppen gelangen wir zu den Betrachtungen von S. 251 Ir. zurück, die sich jedoch damals auf homogene Substitutionen bezogen. Alle Substitutionen der G I ' die mit der Gn vertauschbar "2 n (n'-I)
sind und also die Gn in sich transformieren, bilden wieder eine Untergruppe, in der die Gn ausgezeichnet enthalten ist. Ist die Ordnung dieser Untergruppe kn, so zerfällt die Gesamtgruppe ihr entsprechend in n'2k
1
Nebengruppen. Die Substitutionen der einzelnen Nebengruppe transformieren die Gn in eine und dieselbe gleichberechtigte G~, Substitutionen verschiedener Nebengruppen liefern aber verschiedene G~, G~. Die Anzahl der mit der Gn gleichberechtigten Gruppen ist also gleich ~:f=-~. Soll nun aber (;: ~) die aus S zu erzeugende G n in sich transformieren, so muß: V-I. S. Y
(1- 'It , 'I(J, (J' ) = (1, ß') 1 - '18 0, 1
(mod n)
gelten. Hierzu ist hinreichend und notwendig, daß '}' - 0 (mod n) gilt, was uns zu allen Substitutionen der Gestalt (0~'(X~1) hinführt. Da
(X
=1= 0
(mod n) sein muß und gleichzeitiger Zeichenwechsel von (x, ß statthaft ist, so haben wir mit tn(n - 1) eine GI bildenden Substitutionen "2,,(n-l)
zu tun. Wir gelangen zu den Gruppen zurück, die in homogener Gestalt als "metazyklische" Gruppen bezeichnet wurden (vgl. S. 252), eine Bezeichnung, übertragen. 1) Als Ergebnis aber folgt: In die wir auch auf die GI 2-,,(n-l)
der GI.
"2 n (n--l)
treten (n
+ 1) gleichberechtigte zyklische Untergruppen •
G" der
01'dnung n auf 1tnd ihnen entsprechend ebenso viele gleichberechtigte metazyklische Untergruppen G 1 der Ordnung tn(n - 1). "2,,(,.-1)
Die einzelne Gn als Gruppe von Primzahlordnung ist aus jeder ihrer Substitutionen, abgesehen von der identischen Substitution 1, erzeugbar. Hier-aus folgt, daß zwei verschiedene Gn , abgesehen von der Substitution 1, keine gemeinsamen Substitutionen enthalten können. Im ganzen finden wir demnach (n + 1) (n - 1) = n 2 - 1 Substitutionen der Periode n. Es besteht der Satz: Abgesehen von den etwa in den GI noch 2,,(n-l)
enthaltenen Untergruppen und -der Gesamtgruppe GI
"2 n (n'-I)
sind die metazy-
1) Sie heißen auch wohl in der nicht-homogenen Gestalt "halbmetazyklische" Gruppen.
Zyklische und metazyklische Untergruppen der GI211 ( ') n -1
467
klischen G ]"n(1I-1) 1 die einzigen Gruppen, an denen die zyklischen G11 beteiligt sind. Andernfalls gäbe es nämlich insbesondere eine von der Gesamtgruppe verschiedene Gruppe G, die die aus S zu erzeugende Gn und mindestens noch eine Substitution V =
(;: ~)
mit einem nicht durch n teil-
baren I' enthielte. Mit S und V fände sich in Gauch: S(1-aJy-l •
V.
S(l-ö)y-l
=
(1,1', 10)
(mod. n)l)
und damit auch C.~'1,0 1)' sowie endlich:
S .(
1, ° ) . S = (0,1, -1)° = T.
-1, 1
Aus Sund T aber wird die Gesamtgruppe G!-n(n'_l) erzeugt, so daß G entgegen der Annahme die Gtn (n'-l) wäre. Ist 9 eine primitive Wurzel der Primzahl n im gewöhnlichen Sinne, so ist gi-(n-1) =
-
1 (mod. n), während die {-(n - 3) Zahlen g, g2, g3, ...,
+1
gl(n-s) untereinander und gegen
und - 1 inkongruent sind. Die
Substitution (O:~~
,) hat demnach die Periode {-(n -
zyklische Gl
die aus den Substitutionen:
(1I-1)'
1) und erzeugt eine
(1) besteht. Transformiert man
-Hn (2)
(/;~v), unter v eine der Zahlen 1,2,3, ...,
3) verstanden, durch V
V
-1
.
0)
(gV, 0 ,g-v . V
° °
= (;: ~) , so folgt:
._= (Cl8 g"( -v.,) - ßrg-", Clr g
ß8(gv _ g- V») .. -v -t'yg R •• - g ' Clog
Nun ist g' - g- v =1= (mod n), so daß die transformierte Substitution (2) stets und nur dann wieder der G.!.(n_l) der Substitutionen (1) angehört, 2
wenn ay _ 0, ßd _ (mod n) gilt. Die Untergruppe aller diese Kongruenzen befriedigenden Substitutionen besteht aus den Substitutionen (1) und den ten - 1) Substitutionen der Periode zwei:
(3) 1) Es sei daran erinnert, daß unter 1'-1 die Lösung der Kongruenz rx· 1 mod. n) zu verstehen ist. 30*
468
II,
c.
Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen
UBW.
Auf Grund der vorhin bei den Gn benutzten Überlegung gelangen wir zu dem Satze: Die zyklische G1..Cn_l) ist also ausgezeichnet in einer ~lm2
fassendsten Gn _ 1 vom Diedertypus (vgl. 1,132) enthalten, so daß wir im ganzen tn(n + 1) zyklische Untergruppen G1..cn -1) der Ordnung i(n -1) 2
gewinnen, von denen eine ans den Snbstittdionen (1) besteht.
Es gilt wieder der Satz: Keine zwei unter den zyklischen Gruppen der Ordnung tcn - 1) können, abgesehen von der Substitution 1, eine Snbstitution gemein haben. Andernfalls müßte es auch eine von der Gruppe (1) ver"chiedene, aber mit ihr gleichberechtigte Gi cn _ I ) geben, die eine von 1 verschiedene Substitution ({ ~_0l') der G
tC
2
n -1)
enthielte. Ist diese Substi-
tution mit der von 1 verschiedenen Substitution gleichberechtigt, so gäbe es eine Substitution V
=
der Gtcn - 1)
= (;: ~), für welche die
(:,1';_01') wäre.
in (2) rechts stehende Substitution die
=
(t~~,)
Dies aber würde
zu den Bedingungen ar 0, ß(} 0 (mod n) zurückführen, so daß V unter den Substitutionen (1) und (3) enthalten wäre. Dann aber wäre Gi cn _1) wieder mit G1.. Cn -l) identisch. Wir stellen noch den Satz fest: 2
2
Die tn (n + 1) zyklischen Untergruppen G 1 Cn -1) enthalten außer 1 im ganzen
1- n (n + 1)(n -
2
3) verschiedene Substitutionen.
Jede der zyklischen
G1..Cn_l) 2
liefert eine Diedergruppe
G n _ lI
in der
sie ausgezeichnet enthalten ist. Zwei dieser Diedergruppen können, sobald n> 5 ist, nicht gleich sein; denn sie enthalten zwei verschiedene zyklische Gruppen eiueJ Ordnung> 2 und außerdem nur Substitutionen der Periode zwei. Fü; J, > 5 finden wir tn(n 1) gleichberechtigte Diedergruppen Gn _ l1 von denen eine aus den Substitutionen (1) und (3) besteht. Für n = 5 liegt ein Ausnahmefall vor. Hier werden die 15 Gruppen G4 , die den "Vierertypus" zeigen (vgl. I, 130), zu je dreien einander gleich, so daß in der zu n = 5 gehörenden G60 nur "fünf" gleichberechtigte Vierergruppen G4 auftreten. Die von den Substitutionen (1) und (3) gelieferte G4 besteht nämlich aus:
+
In ihr ist aber nicht nur VI' sondern sind auch V2 und Vs ausgezeichnet enthalten. In der G60 kommen außer den 15 gleichberechtigten Gi' wie sich gleich zeigen wird, keine weiteren Substitutionen der Periode 2 vor. Also sind die Substitutionen Vi und Va mit VI gleichberechtigt, und die
Zyklische Gruppen und Diedergruppen in der Gyn 1 (' n -
469
1)
Gruppe (4) ist auch die von V2 und ebenso die von Vs gelieferte Diedergruppe. Für eine noch fehlende Art zyklischer Untergruppen haben wir die imaginäre Gestalt der Gln (n'_1) zu benutzen. Wir kürzen deren Sub2
stitutionen in der Gestalt (~' ~) ab, wo A und B zwei komplexe Zahlen ß, A der S.463 eingeführten Art sind, A und 13 die zu ihnen konjugierten Zahlen bedeuten und AA - BE - 1 (mod n) gilt. Unter (a + bt) verstehen wir eine zum Exponenten (n + 1) gehörende Zahl. Dann gilt
+ b t){(n +1) = - 1 (mod n), die Potenzen (a + bt), (a + bt)2, ..., (a + b t)2 -1) sind untereinander und gegen + 1 und - 1 inkongruent, und die folgenden Potenzen (a + bt)t{n+S), (a + bt)t(n+5), ..., (a + bt)n (a
1
(n
sind den vorgenannten Potenzen, negativ genommen, kongruent. Zugleich liefern die (n + 1) Potenzen (a + bt)o= 1, (a + bt), (a + bt)2, ..., (a +bt)" alle Lösungen der Kongruenz x n + 1 = 1 (mod n) oder der mit ihr gleichwertigen Kongruenz xx=l (mod n), unter x die mit x konjugierte Zahl verstanden. Nach diesen Darlegungen erzeugt die in der Gln (n'_1) enthaltene Substitution
2
(~,~ ~'b~)
eine zyklische Gt(n +1) der Ordnung t(n
+ 1), die
aus allen Substitutionen der Gln (n'_1) mit verschwindenden zweiten und 2
dritten Koeffizienten besteht. Verstehen wir unter von 1 verschiedene Substitution der Gl
(n
2
mation mit V
(5)
V-1.
(~:!- ~';/~) irgendeine
+ 1)' so liefert deren Transfor-
= (~' ~): B,A
(a'0, +a' -b' b' 0) . V = ( a'2ABb' +(AA + BB)b~!.' 2A llb', ) a' - (AA + BB)b', . t,
-
t
-
t,
Soll diese Substitution wieder der Gl(n + 1) angehören, so ist, da b =1= 0 2
ist, hierzu das Bestehen der Kongruenz AB = 0 (mod n) hinreichend und notwendig; es muß also entweder B-O oder A=O (mod n) gelten. Die erste Kongruenz führt zu den Hn + 1) Substitutionen V der Gl(n + 1) ; die zweite ergibt
C'~ ;t,d~),
H n + 1)
2
Substitutionen der Periode 2 von der Gestalt
die mit der Gt(n +1) eine Diedergruppe Gn+1 liefern. Eine
erste dieser neuen Substitutionen bilden wir mit der Zahl Ce + dt), die ht) wir vermittelst der oben schon gebrauchten primitiven Wurzel (g von n im erweiterten Zahlgebiete aus:
+
n-1
(g+ht)
2
=e+dt
(modn)
470
H,
o.
Die Gruppen der speziellen Trausformatiousgleichungeu usw.
berechnen. Hieraus folgt in der Tat leicht: n'-1 (g+ht)
=(c+dt)"+1=(c+dt)(c-dt)=-1
S
(modn).
Die übrigen t(n - 1) Substitutionen der Periode 2 werden aus der ersten durch Kombination mit den Substitutionen der zyklischen Untergruppe G 1.(n +1) hergestellt. 2
Wie man sieht, gestalten sich hier die Verhältnisse ähnlich wie bei den Gruppen G1.(n_l)" Wir finden fn(n - 1) gleichberechtigte zyklische 2
Gruppen G1.(n+1) der Ordnung t(n 2
+ 1)
und ihnen entsprechend ebenso
viele gleichberechtigte Diedergruppen G n+11 deren einzelne die umfassendste Gruppe ist, in der die zugehörige G1.(n + 1) ausgezeichnet enthalten ist. Auch 2
hier besteht wieder der Satz: Zwei zyklische G1. (n + 1) können außer der 2
identischen Substitution 1 keine Substitution gemeinsam haben. Es müßte
sonst auch die besondere Gf(n +1) der Substitutionen
(~,~ ~'b~) mit einer
zweiten Gi(n + 1) eine von 1 verschiedene Substitution gemein haben. Die 2
Transformation von G1.(n +1) in Gi (n +1) ist indessen durch eine Substi2
2
AB =1= 0 zu vollziehen, und hierbei gehen alle von 1 verschiedenen Substitutionen (~,~ b\~) in Substitutionen über, deren zweite und
tution mit
dritte Koeffizienten =1= 0 (mod n) sind. Wir zählen daraufhin ab, daß in den G 1.(n + 1)' abgesehen von der identischen Substitution, im ganzen in (n-1)2 2
verschiedene Substitutionen enthalten sind.
Es sind nunmehr unter Einschluß der identischen Substitution im ganzen:
1 + (n 2 _ 1)
+ in(n + 1) (n -
3)
+ in(n -
1)2 = }n(n2 -
1)
verschiedene Substitutionen, d. h. die gesamten Substitutionen unserer G1. n (n _1)' in zyklische Gruppen eingeordnet. Nehmen wir also noch die 2
2
in den G1.(n_1) und G1.(n+1) enthaltenen zyklischen Untergruppen hinzu, 2
2
so sind damit alle in der G1n (n'_1) überhaupt enthaltenen zyklischen Unter2
gruppen gewonnen. Die in den G1.(n_1) und G1_(n+1) enthaltenen zykli2
2
sehen Untergruppen geben auch wieder zur Bildung von Diedergruppen Anlaß, indem man sie mit Substitutionen der Periode 2 aus den zugehörigen diedrischen G"_1 bzw. G"+1 kombiniert. Auf diese Weise gelangt man dann auch zu allen Untergruppen vom Diedertypus, die in der G1_n (n _1) enthalten sind. 2
2
Zyklische Gruppen und Diedergruppen in der GIyn (' n -
471
1)
§ 4:. A.nsatz zur Aufstellung aller Untergruppen der G1
'2"("'-1)
•
Die etwa noch fehlenden Untergruppen der Gl.n(n'_I) kann man auf .
2
Grund einer von C. Jordan entwickelten Überlegung aufstellen. l ) Die in den metazyklischen Gln(n_l) noch enthaltenen Untergruppen, die ohne 2
Mühe von den zyklischen Untergruppen der Gt(n- 1) aus gewonnen werden können, mögen beiseite gelassen werden, da es sich weiterhin nur um "umfassendste" Untergruppen handeln wird. Wir haben demnach überhaupt nur noch nach solchen Untergruppen zu suchen, an denen die zyklischen G n nicht beteiligt sind. Es sei nun Gm irgendeine dieser Untergruppen und Gft1 eine erste in Gm enthaltene umfassendste zyklische Untergruppe. Diese Gft1 ist in Gm entweder nur mit ihren eigenen Substitutionen vertauschbar oder darüber hinaus noch mit !tl Substitutionen der Periode 2, die dann mit der Gft1 eine in Gm enthaltene Diedergruppe G2f<1 bilden. lI) Um beide Fälle zusammenzufassen, verstehen wir unter el eine der Zahlen 1 oder 2 und sagen, Gft1 sei innerhalb Gm mit el!tl eine Ge,ft, bildenden Substitutionen vertauschbar. Den
_rn_
ellL,
zu Ge
'<
1rl
gehörenden Nebengruppen ent-
sprechend wird die Gn in Gm im ganzen in ~- gleichberechtigte zykliel
r1
/LI
sche Gft1 transformiert, in denen abgesehen von der identischen Substitution im ganzen ~ (!tl - 1) verschiedene Substitutionen auftreten. el/LI
Enthält die Gm noch weitere Substitutionen, so können wir auch -eine neue umfassendste zyklische Untergruppe Gft • bilden und an sie dieselbe Betrachtung wie an Gft1 anknüpfen. Wir finden ihr entsprechend ~ (!ts - 1) weitere Substitutionen in Gm und können in derselben Art
e.l-".
fortfahren, bis alle Substitutionen der Gm erschöpft sind. Es geht hieraus hervor, daß die ganzen Zahlen 1n, !t, e durch die Gleichung vE'rbunden sind: 'In 'In m 1n = 1 + (!tl - 1) + - (!t2 - 1) + ... + - (!tk - 1), ~~
~~
~h
die wir auch in die Gestalt setzen können:
(1)
In
~ = In
1
/LI -
el
/LI
+ /L. -
e. /L.
~
+ ... + I-"k -
ek /Lk
1.
1) Vgl. dessen Abhandlung "Memoire sur les equations differentielles lineaires .ft integrale algebrique", Journ. f. Math., Bd. 84 (1878). 2) Wäre Gft1 noch mit mehr als /LI Substitutionen der Periode 2 vertauschbar , so würde man leicht den Schluß ziehen, daß G,U, keine "umfassendste" zy-
klische Untergruppe von Gm wäre.
472
ll, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
Das einzelne Glied rechts ist > 1- Da die links stehende Zahl< 1 isty so gilt für die Anzahl der Glieder die Ungleichung k < 4. Diese für jede Gm gültige Gleichung (1) versuchen wir nun für die drei zulässigen Fälle k = 1, 2 und 3 in ganzen Zahlen m, 11, e zu lösen und beginnen mit dem Falle k = 1: . m-:-l=l!:l-l. m e1/LI
Hier ist el während
=
2 unbrauchbar, da in diesem Falle die rechte Seite <
m;: ~ > ~
t
ist,
gilt. Also bleibt nur el = 1, m = 111' was zu den
zyklischen Gruppen zurückführt. Für k = 2 haben wir die Gleichung: rI!-l = /LI - 1 m el /LI
+ /L. -
e. /L.
1.
zu lösen. Die Kombination e1 = e2 = 1 ist unbrauchbar, da dann die rechts stehende Summe > 1 ist. Gilt el = e2 = 2, so formt sich die Gleichung um in: 1 1 1
+ 2/L••
m = 2/LI
Auch dieser Fall ist unbrauchbar, da die Gm die Diedergruppe G2 1'1 enthält, also m ein Vielfaches von 2111 ist. Also bleibt nur der Fall, daß eine der Zahlen e gleich 2, die andere gleich 1 ist; wir setzen also e1 = 2, e2 = 1 und haben: 1 1 1 1
2+
1n
=2/1 r1
+-u , 2
zu lösen. Ist 112 > 4, so folgt: 1 1 =~_~>2-_ 2;u;-m 2/L.=4'
was wieder unmöglich ist, (l.a die links stehende Zahl selbst für den kleinsten Wert 111 = 2 kleiner als -} ist. Also bleiben nur die Fälle 112 = 2 und 3 übrig. Im ersten Falle folgt m = 211u so daß die Gm wieder eine Diedergruppe G2 1'1 ist. Dagegen führt 112 = 3 zu einer ersten neuen Lösung hin: (2) el = 2, e2 = 1, 111 = 2, 112 = 3, m = 12. Ist endlich k = 3, so muß el = e2 = ea = 2 gelten, da für alle übrigen Kombinationen die in (1) rechts stehende Summe > 1 ist. Wir haben also jetzt die Gleichung: 1
1
1
2
/L,
1'.
/La
1n
-+-+--1=zu lösen. Da offenbar mindestens eine der Zahlen JL gleich 2 sein muß, so setzen wir /L1 = 2 und haben weiter:
Allgemeine Bedingungen für die Untergruppen derG.tn(n'_I)
473
2-+~_2-=~_ 1'.
I's
2
1n
zu lösen. Weiter muß mindestens eine der Zahlen !1'2' !1's kleiner als 4 sein, so daß nur die Möglichkeiten 112 = 2 und !1'2 = 3 übrig bleiben. Für !1'2 = 2 folgt m = 2!1's und also wieder nur eine Diedergruppe Gm. Also bleibt nur !1'2 = 3 und damit die Gleichung: 112
---=--. /Ls
6
'In
Hieraus ergibt sich !1's < 5. Für!1's = 2 würde wieder eine Diedergruppe Gs eintreten. Eine der Lösung: Cl = ea = es
=
2,
!1'1 = 2,
!1'2 = !1's = 3,
m = 12
entsprechende Gl2 gibt es nicht. Diese Gl2 enthielte nämlich nur drei Substitutionen der Periode 2 und vier Diedergruppen G6 • In allen vier G6 müßten also dieselben drei Substitutionen der Periode 2 vorkommen. Indessen ist eine diedrische Gs aus ihren drei Substitutionen der Periode 2 erzeugbar, so daß die eben festgestellte Folgerung unhaltbar ist. Hiernach bleiben nur noch die beiden Werte !1's = 4 und!1's = 5 übrig, die in der Tat zu zwei neuen brauchbaren Lösungen hinführen. Unter Zusammenfassung mit der schon oben notierten Lösung (2) finden wir das Ergebnis: Außer den in § 3 genannten Gruppen können in der G1.. n (n'_I) nur 2
noch drei Arten von Untergruppen G12 , G24 und G60 der Ordnungen 12~ 24 und 60 auftreten, die den folgenden Lösungen der Gleichung (1) entsprechen:
GIS' G24 ,
k = 2,
el = 2,
e2 = 1,
!1'1 = 2,
!1's= 3,
m = 12,
k = 3,
el = es = es = 2,
!1'1 = 2,
!1'2= 3,
!1's=4,
m=24,
Gso ,
7c
= e2 = es = 2,
!1'1 = 2,
112 = 3,
!1's= 5,
m= 60.
=
3,
Cl
In der G12 sind, da e2 = 1 ist, vier gleichberechtigte zyklische Gruppen der Ordnung 3 enthalten. Wir nennen diese Gruppen Gs, G~, G~, G~' und bemerken, daß sie durch die einzelne Substitution V der G12 in vier Gruppen V-l·GS·V, V-I·G~.V, ... transformiert werden, die abgesehen von der Anordnung wieder die Gs , G~, ... sind. Jeder Substitution V ordnen wir so eine Permutation der vier Gruppen Gs , G~, G~, G~' zu, der gesamten G12 aber eine Permutationsgruppe der Gs , G~, ... Die Ordnung dieser Permutationsgruppe aber ist
12, 'P
falls im ganzen v Sub-
stitutionen V jede der Gruppen Gs , G~, ... einzeln in sich transformieren und also der identischen Permutation entsprechen. Nun ist die einzelne Gs wegen c2 = 1 nur mit ihren eigenen Substitutionen vertauschbar. Da aber die vier Gruppen Gs , G~, ... nur die identische Substitution gemein
474
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
haben, so ist v = 1, so daß die Permutationsgruppe der Gs , G;, ... gleichfalls die Ordnung 12 hat. Die einzige Gruppe dieser Art ist die Gruppe G~'; In der G24 sind wegen der geraden Vertauschungen der Ga, G;, e2 = 2 vier gleichberechtigte Diedergruppen G6 enthalten, deren einzelne nur mit ihren eigenen Substitutionen vertauschbar ist. Die einzelne der 6 gleichberechtigten Substitutionen der Periode 2 ist immer an zwei Diedergruppen G6 beteiligt, woraus sich ergibt, daß der Durchschnitt der vier G6 nur aus der Substitution 1 besteht. Bilden wir demnach wieder die mit der G24 homomorphe Permutationsgruppe der vier G6 , so gilt aufs neue v = 1, d. h. die Permutationsgruppe ist gleichfalls eine G24 und umfaßt also alle 24 Permutationen der vier G6• Endlich haben wir in der G60 fünfzehn gleichberechtigte Substitutionen der Periode 2, während die übrigen Substitutionen andere Perioden haben. Jede Substitution der Periode 2 ist ausgezeichnet in einer Vierergruppe G4 enthalten, und da wir die einzelne G4 immer von drei Substitutionen der Periode 2 aus erhalten, so haben wir im ganzen fünf gleichberechtigte Vierergruppen G 4 • Wir können demnach die G60 homomorph auf eine Permutationsgruppe G2S! der fünf G4 beziehen. Nun ist die einzelne G4 als eine unter fünf
0';,
"
gleichberechtigten Gruppen mit 12, eine G12 bildenden Substitutionen vertauschbar. Wir finden so 5 gleichberechtigte G12 , deren Durchschnitt notwendig aus der identischen Substitution 1 allein besteht.1) Also ist auch hier v = 1, und die Permutationsgruppe ist eine G60 , d. h. die Gruppe aller geraden Permutationen der fünf G4 . Die· drei gewonnenen Permutationsgruppen sind nun bekanntlich isomorph mit der Tetraeder-, der Oktaeder- und der Ikosaedergruppe. 2) Da übrigens bei Auftreten von Untergruppen G24 und G60 die Ordnung tn(n 2-1) der Gesamtgruppe Gln(n'_l) selbstverständlich durch 24 bzw. 60 teilbar 2
sein muß, so folgt als abschließender Satz: Außer den in § 3 bereits genannten Gmppen können inder Gf-n(n'-l) nur noch Tetraedergmppen G 12 , .
j
Oktaedergruppen G24 und Ikosaedergruppen G60 auftreten, wobei das Vorkommen von Oktaedergruppen Primzahlen n der Gestalt n = 8 h ± 1 zur Voraussetzung hat, dasjenige von Ikosaedergruppen aber Primzahlen der Gestalt n = lOh ± 1. Eine Ausnahme von der letzten, die G60 betreffenden Angabe liegt nur im niedersten Falle n = 5 vor, insofern die zu n = 5 gehörende Gesamtgruppe Gln (n'_l) selbst eine Ikosaedergruppe ist. Man 2
1) Der Durchschnitt ist nämlich eine ausgezeichnete Untergruppe, deren Ordnung ein Teiler von 12 ist. Diese Untergruppe kann demnach weder die 15 7..yklischen G2 , noch die 10 zyklischen Go enthalten, stellt also die Gi dar. 2) Ygl. Klein, "Yorlesungen über das Ikosaeder usw.", S. 14 ff.
Tetraeder-, Oktaedel:- und Ikosaedel:gruppen in deI: a~n(n'_l)
475
folgert dies genau wie oben leicht aus dem Vorkommen der zyklischen Gruppen und Vierergruppen in der GGo. 1)
§5. Der Satz von Galois. Die Galoissche Gruppe der Transformationsgleichung war im Primzahlfalle n eine S. 461 näher bestimmte Gn(n'_l), die sich nach Adjunkn-1
tion der Quadratwurzel
r 2 - yri" auf die in § 3ft'. zerlegte G.t n 2
(n2 _i)
redu-
zierte. Die Transformationsgleichung war dabei diejenige Resolvente, die zu den (n + 1) metazyklischen G.tn(n_l) gehörte. Dabei lieferte der Index 2
(n + 1) dieser Gruppen in der Gesamtgruppe G.t n (n 2 der Transformationsgleichung.
2
_1)
n-1
den Grad (n + 1)
y;
Wir halten zunächst an der Adjunktion von i-2fest, so daß die Gruppe jeder Resolvente wieder die G1 n (n _1) ist, da diese Gruppe 2
2
einfach ist. Eine Gleichung mit einem Grade< n kann keine Gruppe haben, deren Ordnung durch die Primzahl n teilbar ist. Soll demnach die Möglichkeit erörtert werden, ob Resolventen eines Grades < n + 1 auftreten, so kann es sich höchstens noch um Resolventen des n ten Grades selbst handeln. Die Antwort auf die aufgeworfene Frage ist im Satze von Galois enthalten, nach dem zwar in den drei niedersten Fällen n = 5, 7 und 11, aber bei keiner weiteren Primzahl n Resolventen n len Grades auftreten. Der negative Teil des Satzes geht sofort aus den Ergebnissen von § 3 und 4 hervor. Die zyklischen Untergruppen und die Diedergruppen der G.t n (n _1) erreichen in keinem Falle die Ordnung der metazyklischen 2 Gln(n_l)" Sollen demnach sogar Untergruppen vorkommen, deren Ord2)
2
2
nung >in(n-1) ist, so müßten sie zu den in § 4 aufgestellten G12 , G24 oder G60 gehören. Ist n > 13, so gilt tn(n -1) > 78,80 daß dann sicher die G.tn(n_l) die Untergruppen größter Ordnung sind. Dagegen ist für 2
n = 5 die Ordnung 12, für n = 7 die Ordnung 24 und für n = 11 die Ordnung 60 größer als die jeweilige Ordnung 10, 21 und 55 der metazyklischen Gruppen. Im niedersten Falle n = 5 ist das wirkliche Auftreten von Gruppen G12 leicht beweisbar. Wir stellten bereits ein System von fünf gleichberechtigten Vierergruppen G4 in der G60 fest, zu denen sich die 15 in der G60 enthaltenen Substitutionen der Periode 2 zu je dreien zusammen1) Das Auftreten von 5 gleichberechtigten Vierergruppen wurde bereits S.468 festgestellt. 2) Vgl. S. 262; es gilt n ~ 5.
476
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
schließen. Als eine unter 5 gleichberechtigten Gruppen ist die einzelne G 4 mit 12 eine Gi2 bildenden Substitutionen vertauschbar. Es treten also in der G60 tatsächlich fünf gleichberechtigte G12 auf, die nach § 4 Tetraedergruppen sind. Diesen G12 entsprechen nach den S. 250 allgemein entwickelten Sätzen fünf gleichberechtigte Kongruenzgruppen fünfter Stufe r 5 des Index 5, deren einzelne, mod 5 reduziert, sich auf die zugehörige G12 zusammenzieht. Wir greifen etwa diejenige G12 heraus, der die Substitution T - ( o~,~ 1 ) (mod 5) der Periode 2 angehört, und wollen den Diskontinuitätsbereich der zugehörigen r 5 herstellen. Diesel' Bereich läßt sich, da die aus 8 = (~: ~)
~~
zu erzeugende zyklische G5 in der Gi2 nicht enthalten ist, aus 8 den fünf in Fig.30 nebeneinander geordneten Dreieckspaaren zusammensetzen, die den Substitutionen 1, 8± \ S± 2 entsprechen; Die mit N ummem verFig. so. sehenen Seiten hängen durch folgilnde Substitutionen zusammen:
1 __ 8, (~: ~); 2 __ 3, (_ ~', _: ); 4 __ 5, (O~,~
1);
6 -- 7,
G: =~).
Die zur Substitution T gehörende Vierergruppe G4 besteht nämlich aus den Substitutionen:
1,
2, 0) 0, 2) (0,1,-1) ° ' (0, 3 ' ( 2,
°
(mod 5).
Diese G4 wird aber in der Tat sowohl durch (_ ~', _:) als durch
G: =~}
in sich transformiert. Am Diskontinuitätsbereiche sind diejenigen Ecken, die Fixpunkte elliptischer Substitutionen der r 5 sind, durch kleine Kreise kenntlich gemacht. Die Diskontinuitätsbereiche der weiteren vier gleichberechtigten r 5 gehen aus dem in Fig. 30 dargestellten Bereiche durch Ausübung der Substitutionen 8
=
(~: ~), 8 2, 8 s, 8 4 hervor, entsprechend
dem Umstande, daß auch die fünf G12 aus einer ersten unter ihnen durch Transformation mit 1, S, 8 2, 8 3, S4 entstehen. In der zu n = 7 gehörenden Gi6S sind nach S. 470 im ganzen 21 zyklische G4 enthalten, die alle gleichberechtigt sind, und die 21 ebensolche G2 in sich enthalten. Jede solche G 2 ist mit 4 anderen Substitutionen der Periode 2 vertauschbar und bildet, mit ihnen zusammengesetzt, zwei Vierergruppen G4 • Da aber dieselbe G4 immer von 3 Substitutionen der Periode 2 aus gewonnen wird, so haben wir nicht zweimal 21, sondern
Kongruenzgruppen rsund r
7
der Stufen 5 und 7
477
nur zweimal 7 Vierergruppen G4 • Es ist nun zunächst die Alternative zu entscheiden, ob diese 14 G4 alle untereinander gleichberechtigt sind, oder ob sie zwei Systeme zu je 7 gleichberechtigten G4 bilden. Im ersten Falle ist die einzelne G4, in der G168 im ganzen mit 12, eine Tetraedergruppe bildenden Substitutionen vertauschbar, im zweiten Falle aber mit 24, eine Oktaedergruppe bildenden Substitutionen. Bezeichnen wir aber mit S die erzeugende Substitution einer zyklischen G 4 und durch Teine von S2 verschiedene Substitution der Periode 2, die mit diesel' G4 vel'tauschbar ist, so gilt: T-l·S·T_T·S·T
=
S3 oder
S
(mod 7).
=
Es folgt demnach S-I. T· S S2 T oder T, so daß in beiden Fällen die aus 1, S2, T, S2 T bestehende Vierergruppe G4 durch die Substitution S der Periode vier in sich transformiert wird. Eine Tetraeder-Gl2 enthält aber keine Substitution der Periode 4, so daß der zweite der beiden in Rede stehenden Fälle vorliegt. Die bei n = 7 eintretende G168 enthält demgemäß zwei Systeme zu je sieben gleichberechtigten Vierergruppen G4 • Da nun die einzelne G4, mit 24, eine Oktaeder-G24 bildenden Substitutionen verinuschbar ist, so enthält die G168 in der Tat auch zwei Systeme von je sieben gleichberechtigten Oktaedergruppen G 24 . Diesen Gruppen entsprechen zwei Systeme von je sieben gleichberrxhtigten Kongruenzgruppen 7 ter Stufe r 7 vom Index 7, deren Diskontinuitätsbereiche wir aufstellen wollen. Wir wählen zunächst die G24 , die die aus S= T
=
G: !) (mod 7) zu erzeugende zyklische G
4
enthält. Diese G4 ist 'mit
(i: ~) vertauschbar, so daß die aus S2 und T zu erzeugende Vierer-
gruppe G4, aus den Substitutionen:
(1)
1, S2 =
(3,4, 1)4 '
T-
=
(3,4) 1,4 '
(mod 7)
besteht. Für die zugehörige r 7 läßt sich ein Diskontinuitätsbereich aus den 7 in Fig. 31 aneinander gereihtenDreieckspaaren aufbauen, da keine zwei dieser Paare bezüglich der r 7 -t W~O Fig. 31. äquivalent sein können. Die Zusammenordnung der Randkurven aber geschieht nach folgendem Gesetze:
478
Ir, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
1~12, (~: ~); 2~7, 8
~ 9,
G: :);
G: =:);
3~4, (-~',~2); 5~6, (O~:-ol)~ 10~ 11,
=
e;, -=-1;).
Die erste dieser Substitutionen ist 1 (mod 7), die zweite ist die soeben mit S bezeichnete Substitution, und die letzte ist mod 7 mit der eben T genannten Substitution kongruent. Auch die übrigen drei Substitutionen transformieren die Vierergruppe (1) in sich und gehören also der r 7 an. Die am Rande des Diskontinuitätsbereiches gelegenen Fixpunkte elliptischer Substitutionen der r 7 sind wieder durch kleine Kreise kenntlich gemacht. Durch Ausübung der Substitutionen
(~: ~), (~: :), ..., (~: ~)
auf den Bereich der Fig. 31 entstehen die Diskontinuitätsbereiche der sechs weiteren mit r 7 gleichberechtigten Gruppen. Wie aus der Zuordnung der Randkurven hervorgeht, sind die Bereiche unsymmetrisch. Durch Spiegelung an der imaginären ro -Achse entstehen die Diskontinuitätsbereiche des zweiten Systems der 7 gleichberechtigten Gruppen r7 • Der Aufsuchung etwaiger Ikosaeder-G so in der zu n = 11 gehörenden G6S0 ist folgende Überlegung betreffs der Erzeugung der Gso vorauszuschicken, bei der wir die G60 in der Gestalt der 60 mod 5 inkongruenten Substitutionen (;: ~ der Determinante 1 benutzen (vgl. (2) S.465). Die einzelne dieser Substitutionen hat die Periode 2,3 oder 5, je nachdem a+d'=O, = ± 1 oder = ± 2 (mod 5) ist; nur findet sich unter den Substitutionen mit a + d' _ ± 2 auch die identische Substitution. Die Substitutionen der Periode 5 zerfallen in 2 Systeme zu je 12 gleichberechtigten; diese beiden Systeme können wir durch S tieren. Ist T
8· T
= ( r,-IX IX, ß )
=(~: ~) und 8 =(~: ~) 2
repräsen-
irgendeine Substitution der Periode 2, so hat
=(IX +r~'!.:- IX) dann und nur dann die Periode 3, wenn r =+ 1
(mod 5) gilt. Man zählt leicht ab, daß es in der Gso im ganzen 5 Substitutionen T der Periode 2 gibt, die in S· T eine Substitution der Periode 3 liefern. Ebenso leicht stellt man fest, daß wieder 5 Substitutionen T der Periode 2 vorkommen, die ein Produkt S2. T der Periode 3 ergeben. Dieser Satz gilt dann auch für die mit S und mit S2 gleichberechtigten Substitutionen: Zu irgendeiner Substitution der Periode 5 der Gso gibt es in dieser Gruppe stets genau 5 Substitutionen der Periode 2, die mit ihr kombiniert eine Substitution der Periode 3 ergeben. Wir kehren zu der bei n = 11 eintretenden Gsso zurück und machen zunächst folgende Angaben über die Perioden ihrer Substitutionen: Die 55 Substitutionen der Periode 2 sind durch a + d' = 0 (mod 11) charakterisiert und ebenso die 2· 55 Substitutionen der Periode 3 durch a d'
+
479 1 (mod 11). Ferner ist ein erstes Sys~m von 2·66 gleichberechtigten Substitutionen der Periode 5 durch a + 0 = ± 3 und ein zweites durch a + 0 _ ± 4 (mod 11) gegeben; das erste System mag durch Ikosaedergruppen in der Gruppe G680 bei n = 11
== ± 8
= (~: ~),
das zweite durch 8 2 =
(~: ~) repräsentiert werden.
Eine etwa in der Gsso vorkommende G60 ist nur mit ihren eigenen Substitutionen vertauschbar, da sie nicht ausgezeichnet sein kann und auch keine umfassendere Untergruppe auftritt. Somit ist die einzelne G6(J immer eine von elf gleichberechtigten Untergruppen. Da nun die Gso sechs zyklische Go enthält und in der G 6S0 im ganzen 66 zyklische G5 vorkommen, so ist die einzelne Go stets nur in einer unter den elf G so enthalten. Wir suchen nun nach denjenigen Gso , welche die aus 8 _ (~: ~) zu erzeugende Go enthalten. Jede derselben müßte 5 Substitutionen T enthalten, die in S· T
= (621'~~:a)
(a, 1',-aß )
Substitutionen der Periode 3 liefern.
Hierfür ist - 4a = ± 1 (mod 11) charakteristisch, so daß wir a - 3, (mod 11) zu setzen haben. l ) Da hier ß einen beliebigen der Reste 1,2,3, ..., 10 bedeuten darf, so haben wir im ganzen 10 brauchbare Substitutionen T. Also folgt: Wenn überhaupt Ikosaeder-G so in der Gsso auftreten, so gibt es entweder ein System von elf gleichbm'echtigten Gso oder
'}' = ß- l
zwei solche Systeme.
(~:~) fest und wählen l'
Wir halten nun an S
= (~: _~).
Da
S· T die Periode 3 hat, so wird aus Sund T eine Gruppe erzeugt, deren Ordnung durch 30 teilbar ist, also (da es keine Gso in der Gsso gibt) entweder eine G60 oder die Gesamtgruppe Gsso ' Eine der Vierergruppen G.iI an denen die gewählte Substitution T beteiligt ist, besteht aus:
(1~~3)' (0~~1), (~~':),
(2)
1.
Diese G4 wird durch S, S2, 8 3, S4 transformiert in: G(l) 4'
G(2) 4 , G(3) 4 ,
G(4) 4 ,
(3, (0, -4) G: =~), 1, 3, -1 ' 3, ° ' (4,-3 3, 3)' (0,-3) (-~',~1)' 4, ° ' e,5, -2) 4, ~ 5), 1, - 3' C,2) 5, 0' (-1 ( 3, 5 ) C' 5) (-1 4) 5,'1 ' 1. -2,-3 ' 4 )
Das System der fünf Gruppen G5 ,
2,
1,
°'
G~l),
... wird durch S zyklisch per-
1) Man beachte, daß ein gleichzeitiger Zeichenwechsel von
haft ist.
a,ß,
1', lJ
statt-
480
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichnngen
U8W.
mutiert. Aber auch bei Transformation durch T gehen die fünf Gruppen ineinander über, da G4 mit T vertauschbar ist, während sich die anderen vier Gruppen wie folgt permutieren:
T-l.
G~l)·
T
=
G~4),
T-l.
G~l.
T
=
G~3),
T-l.
G~4).
T
=
G~l).
T-l.
G~3).
T
= G~),
'Somit transformieren auch alle aus Sund T erzeugbaren Substitutionen das System der fünf G4 stets nur wieder in sich, so daß aus Sund T Doch nicht die Gesamtgruppe, sondern vielmehr eine G60 erzeugt wird. Nun wird aus S
= (~:~)
und T' -
C~'l,-~ 3) eine zweite G60 er-
zeugt, deren Substitutionen aus denen der ersten G60 durch gleichzeitigen Zeichenwechsel von ß und r in allen Substitutionen entstehen. Die zweite G60 enthält gleichfalls die aus S zu erzeugende G5 und ist deshalb mit ,der ersten nicht gleichberechtigt. Damit sind in der G 660 in der Tat zwei Systeme von je elf gleichberechtigten Ikosaedergruppen G60 nachgewiesen. Den G60 entsprechen zwei Systeme von je elf gleichberechtigten Kongruenzgruppen r ll elfter Stufe vom Index 11. Für diejenige r 11l die der
it
T
ersten der obigen G60 entspricht, ist der Diskontinuitätsbereich in Fig: 32 angegeben, dessen Seiten, wie folgt, zusammengehören:
(3)
1
1~16,e~,1n; 2~11,G::); 3~4'(_\~4); 5~10, G:~); 12
~
13,
6-+7, (-~:-=-1); 8-+9,(0~;-~n;
(3L-10) _ 3;
14 -+ 15,
(5 -21) ~,_
4,
•
Die G60 enthält nämlich mit Sund T auch die Substitution:
S2·T·S3·T·S2·T
c~:~n (mod 11),
also alle vier Substitutionen (2) und damit überhaupt alle 5 Vierergruppen G4 , Gi1), . • ., GIt). Es erweisen sich also nicht nur die erste Substitution der Zusammenstellung (6), sondern auch die 5 te, 6te und 7te unmittelbar als in der aus Sund T zu erzeugenden r l l enthalten. Die 3 te
Kongruenzgruppen
r 11 der elften Stufe
481
und 8te Substitution (3); die elliptisch von der Periode 3 sind, lassen sich zufolge der Kongruenzen:
(-1,3) = (3,0). (-1,3) - ( -1,3,13)] 3, 1 0, 4 3, 1 - 4 S . ( 3, 5 ) _ (2. 0) . ( 3, 5 ) = (5, - 21) -2,-3 0,6 -2,-3 1,-4 S3.
(mod 11)
aus Substitutionen herstellen, die bereits in der Gso nachgewiesen sind. Aber auch die beiden noch fehlenden Substitutionen lassen sich zufolge der Gleichungen: 1, 2 ) ( 0, - 1) . ( 1, 0 -1, -1
=
( 0, - 1) . (
1,0
(1, 1) 1, 2 '
1, 2
-1,-1
) .(
G: :) und G: ~) 3, 13 )
-1,-4
=
(2, 9) 1,5
aus Substitutionen erzeugen, die wir bereits als in der r 11 enthalten erkannten. Aus dem gewonnenen Bereiche gehen durch Ausübung der Sub. h e der u··b· st1·tut·IOnen 0, l ' 0, 1 ' ..., 0, 1 d·1e D·1Sk ont·mU1·t··t a sb erelC rI-
(1, 1) (1, 2)
(1, 10)
gen 10 mit r 11 gleichberechtigten Gruppen r u . hervor. Diese Bereiche sind wieder unsymmetrisch; durch Spiegelung an der imaginären ()J~Achse -gelangt man zu den Diskontinuitätsbereichen für das zweite System der .elf gleichberechtigten r 11 . Innerhalb der auf den rationalen Zahlkörper bezogenen Galoisschen Gruppe G120 der zu n = 5 gehörenden Transformationsgleichung sind die 5 Tetraedergruppen G12 wieder nur unter sich gleichberechtigt. Die einzelne G12 ist demnach in der G120 mit 24 eine G24 (Oktaedergruppe ) bildenden Substitutionen vertauschbar. Man findet also in der G 120 fünf gleichberechtigte Untergruppen G 24 des Index 5. Anders liegen die Verhältnisse bei n = 7 und n = 11. Da -1 quadratischer Nichtrest sowohl von 7 als von 11 ist, so kann man die auf den rationalen Körper bezogenen Galoisschen Gruppen beide Male dadurch zur Darstellung bringen, daß man den bisherigen Substitutionen (;:
~)
noch die mit: a~
- ßr - -1
(mod n)
hinzufügt. Insbesondere ist in der Galoisschen stitution U stitution (;:
= (-~: ~) enthalten.
Gn(n2_1)
jedesmal die Sub-
Bei Transformation der einzelnen Sub-
~) durch U aber gilt: U-l. (;:
~) . U- (~;,-~)
(mod n).
Die Transformation durch U läuft also für die ,daß diese Gruppe.n durch die Spiegelung co' = F ricke, Die elliptischen Funktionen II
r -
7
und r 11 darauf hinaus, ro an d~r imaginären 31
482
11, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen
llBW.
w-Achse transformiert werden. Hierdurch aber werden jedesmal die beiden innerhalb der ursprünglichen Modulgruppe noch nicht gleichberechtigten Systeme von Gruppen T n ineinander transformiert. Wir gelangen zu dem Satze, den wir sogleich wieder für die Galoisschen Gn(n'_I) aussprechen~ Innerhalb der Galoisschen Gruppe GS36 tritt ein System von 14 gleichberechtigten Oktaedergruppen G u , des Index 14 auf, und ebenso findet sich innerhalb der Galoisschen G1320 ein System von 22 gleichberechtigten Ikosaedergruppen G60 des Index 22. Wir ziehen nun entsprechend den allgemeinen Sätzen der Galoisschen Gleichungstheorie hieraus sogleich die algebraischen Folgerungen: Erstlich gelwngen wir im Falle n = 5 zu einer numerisch rationalen Resolvente fünften Grades der Transformationsgleichung sechsten Grades. Sieht man bei n = 7 und 11 vorerst noch von der A.djunktion der Irrationalität q/n ab, so folgt weiter: Bei den Transformationsgraden 'n = 7 und 11 tritt je eine Resolvente des Grades 14 bzw. 22 mit rationalen Zahlenkoeffizienten auf. Bei Fortgang zu den Monodromiegruppen und also nach Adjunktion von iy'r bzw. i y'IT aber werden diese Resolventen reduzibel, und man gelangt zu dem Satze: Bei den Transformationsgraden n = 7 und n = 11 existieren je zwei Resolventen der Grade 7 bzw. 11, in deren Koeffizienten die Irrationalitäten iV7 bzw. iy'11 auftreten.
§ 6. Die Resolventen fünften und siebenten Grades. Um die Resolvente fünften Grades zu gewinnen, die im Falle der Transformation fünften Grades existiert, hätte man, den allgemeinen Ansätzen der Galoisschen Theorie folgend, zunächst den Galoisschen Körper der Transformationsgleichung zu bilden und für eine einzelne der Gruppen GI2 eine geeignete Funktion jenes Körpers zu wählen, die dann die Wurzel der gesuchten Gleichung fünften Grades wäre. Es handelt sich hierbei um ausgedehnte Entwicklungen, welche erschöpfend von Klein in den "Vorlesungen über das Ikosaeder" zur Darstellung gebracht sind. I) Die entsprechende Untersuchung für den Fall der Transformation siebenten Grades ist von Klein in der A.bhandlung "Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen C/2) gegeben. Nun kann 'man aber wenigstens in den bei den genannten niedersten Fällen n ~ 5 und n = 7 zur wirklichen Kenntnis der Resolventen mit Umgehung der Galoisschen Körper unmittelbar von den Diskontinuitätsbereichen der Gruppen Ta und T 7 aus gelangen, wie dies durch Klein in einer beson1) S. auch die Abhandlung von Klein "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades", Math. Ann., Bd. 14, S. 111. 2) Math. Ann., Bd. 14, S. 428ff. Vgl. auch "Modulfunktionen" Bd. 1, S.692ff_
483 deren Abhandlung "Über die Erniedrigung der Modulargleichungen"l) gezeigt wurde. Man hat sich hierbei jener rein algebraischen Methode zu bedienen, die Klein auch bereits bei den ,Transformationsgleichungen selbst zur Verwendung brachte. Indem wir betreffs der Beziehung der Resolventen fünften und siebenten Grades zu den Galoisschen Körpern und den Transformationsgleichungen auf die genannten Darstellungen verweisen, wollen wir im folgenden nur noch die wirkliche Aufstellung der Resolventen nach der algebraischen Methode Kleins geben. Es möge nun diejenige G 12 herangezogen werden, deren zugehörige r 5 den in Fig. 30, S. 476 dargestellten Diskontinuitätsbereich hat. Eine zur G19 gehörende Funktion des Galoisschen Körpers ist dann in Abhängigkeit von OJ eine Modulfunktion der r5 • Um unter diesen Funktionen eine geeignete auszusuchen, bilden wir den genannten Bereich durch J( OJ) ab. Als Abbild ergibt sich eine fünf blättrige Riemannsche Fläche über der J-Ebene, die nur bei J = 0, 1 und 00 verzweigt ist; und zwar tritt bei J = ein drei blättriger Verzweigungspunkt auf, bei J = 1 zwei zweiblättrige und bei J = 00 ein fünfblättriger. Diese Fläche hat das Geschlecht 0, so daß wir zum Aufbau der Resolvente eine einwertige Funktion verwenden können. Wir nennen diese Funktion b(OJ) und erklären sie eindeutig durch die Festsetzung, daß: Aufstellung der Resolvente fünften Grades
°
b(+1t il/ ä) =0,
°
b(i) =3,
b(ioo)=oo
sein soll. Der Wert b = findet also im dreiblättrigen Verzweigungsliegt; ferner wird punkte der Riemannschen Fläche statt, der bei J = b = 3 bei J = 1 in dem daselbst isoliert verlaufenden Blatte, und man hat b = 00 im fünfblättrigen Verzweigungspunkte bei J = 00. Umgekehrt ist J oder, was hier zweckmäßiger ist, j = 12 3 J als fünfwertige Funktion der Fläche eine rationale Funktion 5ten Grades von b. Da j nur mit b selbst unendlich wird, so handelt es sich um eine ganze Funktion 5ten Grades. Aus der soeben bei J . und J = 1 angegebenen Werteverteilung von b aber gewinnt man die beiden Ansätze:
°
°
(1)
j=ab3(b2+bb+c), j-123=a(b-3)(bi+db+e)2,
wo a in beiden Gleichungen dieselbe Bedeutung hat. Zur Bestimmung der Koeffizienten berechne man aus beiden Ansätzen (1) die Ableitung :~ und setze die entstehenden Ausdrücke gleich. Bei Fortlassung des Faktors 5a ergibt sich die identische Gleichung:
(b 2 + tbb + tC)b 2 = (b2+ db + e) (b 2 + t<3d - 12)b + t(e - 6d». Nun ist jedenfalls e =1= 0, da für b = die Funktion j = und also nicht
°
1) Mnth. Ann., Bd. 14, S. 417 ff.
°
31 *
484
II, 5. Die Gruppen der speziellen TransformationsgleIchungen usw.
gleich 12 3 ist. Der Ausdruck in der zweiten Klammer der rechten Seite der letzten Gleichung ist also mit ~2 identisch, und man findet durch Koeffizientenvergleichung : 3d - 12 = 0,
e - 6d = 0,
4b = 5d,
3c = 5e,
woraus sich d = 4, e = 24, b = 5, c = 40 ergibt. Den Faktor a findet man aus dem ersten Ansatz (1), indem man ~ = 3, j = 123 einträgt, zu a = 1. Der Ausdruck von j als rationale Funktion von ~ kann in die Gestalten: (2) j = ~S(~2+ 51; + 40), j -12 3= (~- 3) (~2 + 4~ + 24)2 gekleidet werden, zwei Gleichungen, die uns als solche für ~ nun unmittelbar unsere gesu;chte Resolvente fünften Grades in zwei Gestalten liefern. Die beiden Gleichungen (2) kann man auch in solche für die einfachsten Modulformen der r 5 umschreiben. Zunächst folgt aus der ersten Gleichung bei Division durch ~5 und Multiplikation mit 122g~.d:
Ctf 2
Für die
ZU1'
=
.d(40
(!'2--!'y + 60gs (~t) + 144g;).
r 5 gehörende ganze
(3)
Modulform (-
f( W 1 ,
( 2)
4)ter
Dimension:
=lf~
ergibt sich somit die Gleichung 5 ten Grades:
(4) Andrerseits finden wir aus der zweiten Gleichung (2) nach Multiplikation mit .d und Ausziehung der Quadratwurzel: 216gs = V(~
3).d(~2+ 4~
+ 24).
Hieraus folgt der Satz: Auch noch die Quadratwurzel:
(5) 1;st eine eindeutige und zwar ganze Modulform (- 6)ter Dimension der die der folgenden Gleichung fünften Grades genügt:
(6)
p5
+ 10Lf p + 45L12 p 3
r5 ,
216gs L1 2 = 0.
Die gleiche Methode ist auch im Falle n = 7 zur Gewinnung der beiden Resolventen 7ten Grades ausreichend. Der in Fig. 31, S. 477, dargestellte Diskontinuitätsbereich einer der Gruppen r 7 wird durch J( w) auf eine siebenblättrige Riemannsche Fläche über der J-Ebene abgebildet, die wieder nur bei J = 0, 1 und = verzweigt ist; und zwar liegen jetzt bei " = zwei dreiblättrige Verzweigungspunkte, bei J = 1 zwei zweiblättrige und bei J = = ein sieben blättriger. Auch diese Fläche gehört
°
485
Verschiedene Gestalten der Resolvente fünften Grades
zum Geschlechte 0, so daß wir uns wieder einer einwertigen Funktion ~ (OJ) bedienen können. Es gelte:
°
3)
~ (- 3_t iY
=
~(ioo) = 00,
0,
so daß ~ bei J = in dem daselbst isoliert verlaufenden Blatte verschwindet und im siebenblättrigen Verzweigungspunkte bei J = 00 unendlich wird. Durch diese beiden Bedingungen ist dann ~ nur erst bis auf einen konstanten Faktor bestimmt; eine weitere Festsetzung bleibe vorbehalten. In ~ ist J eine ganze Funktion 7ten Grades, und zwar leitet man aus der Werte verteilung von ~ bei J = und J = 1 die Ansätze ab:
°
wo zur Kürzung der Rechnung im Absolutgliede der ersten Klammer der Faktor 7 aufgenommen ist. Durch Gleichsetzung der beiden für
:f zu
gewinnenden Ausdrücke ergibt sich bei Fortlassung überflüssiger Faktoren die identische Gleichung:
(~2 + -i b~ + c) (~2 + b~ + 7 C)2 = (~2 + g ~ + h) (1:4+ 6d
t 5g ~3
+ 4dg+5~~~2+ 2dh+3eg+4f~+ eh+2 f9 ). 7
7
7
Nun folgt aus (7), daß die Funktionen (~2 + b~ + 7 c) und (~2 + g ~ + h) keinen Linearfaktor gemein haben. Somit sind die Funktionen (~2+tb~+c) und (6 2 + g~ + h) identisch, und man findet durch Koeffizientenvergleichung insgesamt:
7g=4b,
h=c, 2dh
6d+5g=14b,
+ 3eg + 4f= 98bc,
4dg+5e+3h=7b 2 +98c, eh + 2fg = 343c 2.
°
°
°
°
Wäre nun b = 0, so würde g = 0, d = und wegen der vorletzten Gleichung f = folgen. Aber es ist f 9= 0, da für ~ = auch J = und nicht J = 1. Hiernach ist b 9= 0. Dann aber können wir den zur eindeutigen Bestimmung von ~ noch verfügbaren Faktor so festsetzen, daß b = 7 wird. Die aufzulösenden Gleichungen kürzen sich nun zu:
b = 7,
g = 4,
h = c,
d = 13, ce
+ Sf =
e = 27
+ Igc,
3e
+ f=
165c,
343c 2•
Durch Elimination von e und f aus den drei letzten Gleichungen folgt für c die quadratische Gleichung: 4 Q2-11 c
+8=
0,
bei deren Lösung sich, wie es sein muß, die IlTationalität iV7 einfindet. Wir gewinnen, unseren beiden Resolventen entsprechend, die beiden
480
H, 5. Die Gruppen der speziellen Tl'ansfol'mationsgleichungen usw.
Koeffizientensysteme :
c= h
11
=
± iV7 8
'
e=
425
± 19iV7 8
'
f=
135
+
27iV7
2
'
während die Koeffizienten b, g, d die schon angegebenen rationalen Werte haben. 1) Endlich ergibt sich der Wert a, indem man in die zweite Gleichung (7) ~ = 0 und J = 0 einträgt; man findet:
_ 1 = a. f. h2 = a 135±27iV7_ (1~~:ti:V7)2 _a-1 28'
=
~1±189iV7. 4
Setzt man die berechneten Werte der Koeffizienten in die Ansätze (7) ein, so lassen sich diese in die folgende Proportion zusammenziehen:
(8) J: (J-1): 1 =
~(~2 + 7 ~ + !.'L±;iy'7
r
:(~3+ 13~2+ 425±819iy'i_~ + 135+227iV7)(~!+ 4~
. _ 351 + 189iV~. + 11 ::tiy'7)2 8 • 4 Als Gleichungen7 ten Grades für ~ aufgefaßt, hClben wir hier die beidf/i~ Resolventen 7ten Grades in einer ersten Gestalt vor uns. Aus (8) kann man auch leicht Gleichungen für die einfachsten Modulformen der r; herleiten. Man berechne zunächst aus dem ersten und dritten Gliede der Proportion (8):
(12 g2)3 =
C
±2i y'7Y.d ~ (1;2
+ 7 ~ + 77 +87 iy'7Y.
Hieraus geht hervor, daß auch noch die Kubikwurzeln: 3
(9)
f(w lI w2 )
=
'''/1 ± iy'7 JI-·2~·.d~ ~--~-~---
eindeutige und zwar ganze Modulformen (- 4)ler Dimension der r 1 sind. Führt man f statt ~ als Unbekannte in die vorletzte Gleichung ein, so ergibt sich nach Ausziehen der Kubikwurzel als neue Gestalt unserer Resolventen 7 len Grades: (10)
f7
+ 7 1 ±2i y'7 Lf r -
7 5 +2i y'7 Lf2f - 12 g2Lf2 = O.
§ 7. Die beiden Resolventen elften Grades. Für die Gewinnung der Resolvente fünften Grades geniigte die Angabe, daß die fünf blättrige Riemannsche Fläche über der J-Ebene bei 1) Man beachte, daß die zur zweiten Resolvente 7ten Grades fiihrende Riemannsche Fläche über der J-Ebene, die zur ersten Fläche symmetrisch ist, Verzweigungspunkte der gleichen Blätterzahl bei J = 0, 1 und 00 hat. Die durchgeführte Uberlegung mußte also zugleich zur zweiten Resolvente hinführen.
Die beiden Resolventen elften Grades
487
J = 0 einen drei blättrigen Verzweigungspunkt, bei J = 1 zwei zweiblättrige und bei J = 00 einen fünf blättrigen Verzweigungspunkt hatte, sowie daß weitere Verzweigungspunkte nicht auftraten. Welche Blätter bei J = 0 und J = 1 miteinander zusammenhängen, brauchte indessen nicht näher festgestellt zu werden. Es gibt demnach nur eine einzige fünf blättrige Fläche, die die fragliche Verzweigung besitzt. Entsprechend gibt es im Falle n = 7 nur zwei (einander symmetrische) Flächen, die die für diesen Pali oben näher bezeichnete Verzweigung besitzen. Demgegenüber fand Klein bei der Ausdehnung seiner Untersuchungen auf den Fall n = 11 1), daß es nicht nur zwei, sondern im ganzen zehn elfblättrige Riemannsche Flächen über der J-.Ebene gibt, welche die durch den Bereich der Fig. 32, S. 480, gegebenen Anzahlen von Verzweigungspunkte bei J = 0, 1 und 00 haben. Dierein algebraische Methode des vorigen Paragraphen läßt sich zwar, da wieder' das Geschlecht 0 vorliegt, mit einer einwertigen Funktion ~ geradeso wie oben ansetzen, müßte aber hier zu zehn verschiedenen Koeffizientensystemen hinführen, und es würde demnach erst noch näher zu untersuchen sein, welche unter den zehn Gleichungen die beiden gesuchten Resolventen sind. Es erscheint demnach hier zweckmäßiger, entsprechend der am Anfange des vorigen Paragraphen ausgeführten Überlegung an den Galoisschen Körper anzuknüpfen und von ihm aus eine geeignete Punktion für die einzelne Ikosaedergruppe G60 in der G660 herzustellen. Zum Aufbau des Galoisschen Körpers benutzt Klein das zu n = 11 gehörende System der fünf Modulformen xi., die durch (5) S. 315 gegeben sind. 2) Bei Fortlassung des gemeinsamen Faktors i und Benutzung der fünf quadratischen Reste von 11 als Indizes hat man für diese der Dimension (- 8) angehörenden Größen die Darstellungen: Xl =
l/~~ l/:d5qH (1 •
s V:n l/ --
X =
2
(1)
q2 -
25
LJ5
q44 (1 _
-,'
49
-
1
q6
q20 +
...),
~ q16 + ...),
q4 -
q18
+ ...),
X5 =
V:~ Vd&qM (1- qlO -
q12
+ ...),
X4 =
-
X9 =
V:~ V;J5q'.4 (1 -
V2n l/LJfi -
00.
9
q44 (1 _ q~ _
q14
+ ...).
1) "Über die Transforma.tion elfter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann. Bd. 15, S. 533. S. auch "Modulfunktionen" Bd. 2, S. 401 ff. 2) Über die Beziehung dieses Systems zur Transformationsgleichung vgl. man § 11 und 12 der eben genannten Abhandlung von Klein.
488
H, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
Gegenüber den Substitutionen S Xl
l
(~: ~) und T
=
(_~: ~) erfahren die
=
nach S. 315 die linearen Tl"ansformationen:
es )
(2)
(T)
wo sich die auf
%
A(11-2)
, X). =
i~/11 X). V
--2-
e
X A,
~(exJ.- cd)x,,'
=
"
bezogene Summe hier und weiterhin auf die fünf qua2 i7t
dratischen Reste von 11 bezieht und e = e 11 ist. Die G6S0 der Transformationen des Galoisschen Körpers in sich stellt sich hier als eine Gruppe linearer xA-Substitutionen dar, die aus den beideil Substitutionen (2) erzeugbar ist. Wir ziehen nun die zum Diskontinuitätsbereiche der Fig. 32, S. 480 gehörende Ikosaedergruppe Gso heran und haben zugehörige Funktionen der xI. zu bilden. In der Gso ist die mit S' zu bezeichnende Substitution der Periode fünf S'= (~: ~) (mod 11) enthalten, bei deren Ausübung sich die x A nach (18) und (19) S. 313 permutieren:
(S')
(3) Die abgekürzt mit
0",
zu bezeichnende Summe der x 2 :
(4) stellt demnach eine Modulform dar, die gegenüber S' invariant ist. Die Summe ist aber, wie man mit Hilfe der Relation: 8
+e +e + + 3
9
E5
E4 -
8 10 -
E8 -
82 -
1; 7 =
1;6 -
iV 11
zeigt, auch gegenüber T invariant, gehört also zu der aus S' und T zu erzeugenden metazyklischen Untergruppe GlO der Gso- Durch die gesamten Substitutionen der Gso wird demnach die Modulform (4) im ganzen in sechs gleichberechtigte Formen transformiert, die durch 0"" (]o, 0ll' .. , (]4 bezeichnet werden mögen. Insbesondere gehe 00 aus (]", durch die der
G60 angehörenden Substitution der Periode zwei S-l. T· S hervor. Die Wirkung dieser Substitution auf die iy11 x;.
=
Hieraus berechnet man für
iyri (]o =
~(8xA 00
Die übrigen vier Formen
(_;, _
~)
ist:
XI.
_ l;-d)I;S(Y.'-i··)X".
"
die Gleichung:
~(e'"
"
=
+2
8 2 '" -
2 1;5". - eSY.')x". .
6 1 , (]2' •..
folgen aus
(]o
durch wiederholte
489
Aufstelhlllg der Resolventen elften Grades
Ausübung der Substitution S'; man findet:
(5)
1'=0,1, ... ,4 ..
Als Funktionen der G60 benutzen wir nun symmetrische Ausdrücke der sechs 6. Da ihre Summe identisch verschwindet, so sind die heiden einfachsten Ausdrücke die zweite und die dritte Potenzsumme, für die man in den Xl die Darstellungen findet: -
1
+ q/ll
~
--12--.L.J (6)
-
i
2:
~11
6
2
=..::::.. "
63 =
1-
"",,-,( 2
iYl1
)
X" - X"X 4 , , - -~2~-X"X5" ,
L: (X; -
3iVllx~x3" + 3x"x5 ,,(X,,- X4 ,,)
" l+iYll . ) + -2--"X"(X"X4r.- X4r. X9 " - 2.1 9 "xJ .
Da die Xl der Dimension (- 8) angehören, so haben wir in den hier rechts stehenden Ausdrücken ganze M04ulformen der Dimensionen -16 und - 24 der zur G60 gehörenden r 11 • Zufolge (1) ist auch noch der Quotient der ersten dieser Formen und der Diskriminante Li eine ganze Modulform der r11' und zwar von der Dimension - 4. In dieser durch {(ro u ro 2) zu bezeichnenden Form:
{(ro u ro 2)
(7)
=
Li-l.
~(x;.- x"x4r.- ~~~X"X5")'
deren Reihendarstellung sich aUs (1) zu:
(8)
(c"ro ro )- (2 n)4 q-fr (1 + qfi + qn 1- iyll q-Ei + 1- iVll q-& + ...) V
2 -
---2-
-;,;--
-----2-
2
berechnet, haben wir eine besonders einfache Modulform der r 11 gewonnen. Die auf der rechten Seite der zweiten Gleichung (6) stehende Form ergibt, durch LJ2 geteilt, eine Modulfunktion der rw die nur in der Spitze ro = ioo des Diskontinuitätsbereiches unendlich wird. Da man aus (1) 2
für diesen Quotienten als Anfangsglied der Potenzreihe q-il berechnet, so liegt in jener Spitze ein Pol erster Ordnung, so daß wir im Quotienten eine einwertige Funktion der r l l gewonnen haben. Zur Vereinfachung der folgenden Formeln führen wir den um 3iVll verminderten Quotienten als einwertige Funktion s(ro) der r 11 ein:
(9) sero) =
-
3iVU + Li-2~\X;-3iVllx;X3" + 3x"xdx,,-x4)+··}
"
Die Potenzreihe dieser Funktion ist dann:
(10) sero)
=
-~- (
q
11
1
+ iVÜ .±. + 2 qJ\. +--i1 + iyii -~ qll + ...) , + * + 1-2-~q11 ll
2
wo durch den Stern hervorgehoben wird, daß das Glied mit qil ausfällt.
490
II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.
Die Form f als von der Dimension (- 4) hat im Diskontinuitätsbereiche Nullpunkte der Gasamtordnung ~. Da zufolge (8) in der Spitze ioo ein Nullpunkt der Ordnung 3 vorliegt, so restiert noch die Ordnung : . Es wird also entweder in den bei den Bereichecken bei ro =
-~
t va i
+2iva je ein Nullpunkt der Ordnung ~ liegen oder an einer dieser Stellen ein Nullpunkt der Ordnung t. In jedem Falle erkennt man im
und
9
Quotienten von (3 und LI eine ganze Funktion zweiten Grades von welche die Reihenentwicklungen ohne· Mühe die Darstellung:
~,
für
(11) ergeben. Da hier rechts kein Quadrat steht, so liegen in den beiden genannten Ecken Nullpunkte je der Ordnung t von f vor. Wir bilden ferner den Quotienten von 92 und f, der gleichfalls eine Funktion der r 11 darstellt. Die beiden eben genannten Nullpunkte heben sich in diesem Quotienten fort. Es verbleiben, vom Zähler g2 herrührend, drei Nullpunkte erster Ordnung in den drei Eckenzyklen des Bereiches, 3 +3+iva · slCh . aus den Ecken +1+iV .d 1e ~-, =~~-, ... zusammensetzen, und ein Pol dritter Ordnung in der Spitze ro = i 00, vom Nenner (herrührend. Der Quotient ist also eine ganze Funktion dritten Grades von 6', für die die Potenzreihen die Darstellung ergeben:
(12)
. g. = ~(~3_
f
12
b'2- 31
+ iVUb' _ 7 -iVll). 2
2
Die Elimination von b' aus (11) und (12) führt zu dem Ergebnis: Die -eine der beiden gesuchten Resolventen 11len Grades hat als Gleichung (ür die Modul(orm ( der r u die Gestalt:
(13) (11- 22L1[B+ 11(9
+ 2rV11)Ll (D-1329 L1 f'+ 88i}/11.dsr
+ 66(3 -
2
2
2
r)/Ti)g2L13( - 144g~Lls= 0;
die zweite Resolvente ergibt sich hieraus durch Zeichenwechsel von Y11. . Eine zweite Gestalt der Resolvente erhalten wir durch Multiplikation der Gleichung (11) mit der dritten Potenz der Gleichung (12):
(14) 12 3 J =
(6'2 + 36' + (5 - iy'll») (6'3 - 6'2 - 3 1+ ~V1~ 6' __ 7-
;Vuy.
Dieses Ergebnis kann man einer Prüfung unterziehen. Bilden wir den Diskontinuitätsbereich der r u auf die J-Ebene ab, so entsteht eine Riemannsche Fläche, die neben anderen Verzweigungspunkten (bei J = 0
491
Die beiden Resolventen elften Grades
und J = (0) vier zweiblättrige Verzweigungspunkte bei J = 1 hat. Demnach muß (J - 1) gleich dem Produkte einer ganzen Funktion dritten Grades und des Quadrats einer ganzen Funktion vierten Grades von I: sein, so daß eine in I: identische Gleichung der folgenden Gestalt besteht:
(bi + 3b + (5 - iYll)) (b3 - b2 - 3! +;V l l I: -
7
-?'l1Y - 12
3
= (1:3 + a1:2+ bb + c) (t'+ db 3+ e1:2+ fb+ g)2. Die Rechnung bestätigt dies in der Tat. Indem man die vorstehende Gleichung nach I: differenziert und wie im vorigen Paragraphen verfährt, iindet man leicht die Koeffizienten a, b, c, . ... Als zweite Gestalt der beiden Resolventen eltlen Grades nofüren wir die beiden folgenden Glei.chungen elften Grades für ~: (15) J:(J-1):1 =(b 2 + 3b+(5+=iYll)) (S3_~2_31 ± ; Vii ~_!
;l'liY
+
: (~S-4b2+ 7 + 52iY'Ü1:_ (4 += 6iYll)) (bi + 2b3+ 31 + ;Vil:~2
- (5 ± ivTI)b - 3 5j:~V~2:
12 3•
Die beiden Resolventen elften Grades
491
Sechstes Kap i tel.
Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen. Eine allgemeine Theorie der Transformationsgleichungen für Modulfunktionen und M/)dulformen höherer Stufen ist unter Heranziehung weitergehender gruppentheoretischer Hilfsmittel in "Modulfunktionen", Bd. 2, S. 83 ff. durchgeführt. Auch sind dort, S. 147 fr., ausführliche literarische Nachweise über ältere und neuere Arbeiten betreffs der Transformationsgleichungen für Funktionen höherer Stufen gegeben. Vor der Entwicklung der WeierstraBschen Theorie waren es die von Jacobi und im Anschluß an ihn von So h n k e aufgestellten Transformationsgleichungen für yk, die achte Wurzel des Integralmoduls P, die das Hauptinteresse hatten. Neben diese Jacobi-Sohnkeschen "Modulargleichungen" traten später die "Schlaeflischen Modulargleichungen", d. i. die Transformationsgleichungen für die ModU:lfunktion 4S ster Stufe lf!kk'. Der Transformationsgrad n wird als teilerfremd gegen die Stufe der transformierten Funktion vorausgesetzt, um die allgemeine Theorie der fraglichen Gleichungen zu vereinfachen. Es kommen also insbesondere nur ungerade Transformationsgrade zur Benandlung. Die Theorie dieser Modulargleichungen soll im vorliegenden Kapitel entwickelt werden. R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
492
H, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
Für die Transformationsgrade n = 2 v möge am Anfang dieses Kapitels eine auf die Formeln (2) S. 291 der Landenschen Transformation gegründete Entwicklung nachgetragen werden, welche die Wirkung wiederholter Landenscher Transformation auf die Integralmoduln, Thetanullwerte usw. betrifft. Von den eben behandelten besonderen Resolventen n ten Grades, die bei n = 5, 7 und 11 eintreten, hat in der älteren Theorie insbesondere die Resolvente fünften Grades in ihren verschiedenen Gestalten wegen ihrer Beziehung zur allgemeinen Theorie der Gleichungen fünften Grades das Interesse für sich gehabt. Einige hierauf bezügliche Ausführungen sollen sich an die Modulargleichungen anschließen. Endlich sind seit lange gewisse sehr einfache irrationale Gestalten einiger Modulargleichungen bekannt, die in der von Klein aufgestellten Theorie der Modularkorrespondenzen ihre Aufklärung gefunden haben. Im Zusammenhange mit diesen "irrationalen Modulargleichungen" stehen die schon gelegentlich (S. 296) erwähnten "Thetarelationen". Über diese Gegenstände folgen am Schlusse des Kapitels einige Andeutungen.
,
§ 1. Wiederholte J,andensche Transformation.
Die erste Haupttransformation zweiten Grades der doppeltperiodischen Funktionen mit den Argumenten u, OJ j , OJ 2 besteht in dem Ersatze von OJ 1 durch 2OJ 1 bei unveränderten u, OJ 2• Die Ausübung dieser Operation auf die Funktionen zweiter Stufe führte uns nach S. 292 zu den Formeln der "Landenschen Transformation". Wir nennen die erste Haupttransformation zweiten Grades deshalb kurz "Landensche Transformation" und können die erste Haupttransformation des Grades n = 2 v durch v-malige Wiederholung der Landensehen Transformation erzielen. Die vierten Wurzeln aus den Integralmoduln k 2 und k'2 sind durch die Gleichungen (1) S.291 als eindeutige Modulfunktionen dargestellt. Durch v-malige Ausübung der Landenschen Transformation mögen diese beiden Funktionen
Vk und yl? übergeben in:
(1) Zufolge (2) S.291 gilt dann insbesondere für v
=
1:
(2) Das Legendresche Integral erster Gattung w, das das erste A.rgument der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn ist, hängt mit dem Integrale u durch die Gleichung (5) S.292 zusammen. Bei v-maliger Ausübung der Landenschen Transformation gehe w in W v über, wo wir dann insbesondere für v = 1 zufolge (6) S. 292 die Darstellung haben:
493
Landensehe Transformation
w1 = (1
(3)
+ k')w,
Die vollständigen Integrale Kund K' Legendres, die in der Jacobischen Theorie an die Stelle der WlI Ws treten, sind nach (5) in I, 388 auch durch:
2Ve 2 - el = :n;-lts (q)2, 2iK' = w1 Ve 2 -~ = w:n;-ltS (q)2 erklärbar. Bei v-maliger Ausübung der Landenschen Transformation mögen sie in K v und K; übergehen. Aus der letzten Gleichung (9) S.289 und der zweiten Gleichung (1) S. 291 ergibt sich dann für v = 1:
(4)
2K =
W
1 + k ' K=(l+k)K K'=(l+k')K' K,=l+~K' ( 5)K_K ,12' 1 l' 1 , 2 l'
Führt man nach 1,388 im Sinne Jacobis gJ = am (w, k) als "Amplitude von w" ein und schreibt gJ" = am (w v , k,,) als Ergebnis v-maliger Ausübung der Landensehen Transformation, so folgt bei Division der beiden ersten Gleichungen (7) S. 292 durch einander wegen sn w = sin gJ und cn w = cos gJ speziell für v = 1 die einfache Beziehung: tg gJl- Qj7e) !.II~ l-k'tg'cp'
( 6)
tg (m ~ 't' l
-
m) Y
=
k' tg m. Y
Bezieht man die Formeln der Landenschen Transformation auf die Quadratwurzeln k, k' aus den Integralmoduln, so ist zur Berechnung der transformierten Größen neben rationalen Rechnungen die Quadratwurzel zu bestimmen. Der Wert dieser Wurzel ist eindeutig durch den Aus-
vP
druck von VI? als Quotient von -lto(q) und -lts(q) gegeben. In dem für spätere numerische Rechnungen wichtigen Falle, daß der Periodenquotient ro im Dreiecksnetze der Modulgruppe einem der nach dem Punkte ro = i 00 hinziehenden Dreiecke angehört, läßt sich aber auch direkt leicht angeben,
vP
vP
wie zu bestimmen ist. Man stelle die Werteverteilung von in jenen Dreiecken fest, wozu in I, 440ff. alle Mittel gegeben sind, und findet die Regel: Gehört w einem der nach ioo hinziehenden Dreiecke der w-Halbebene an, so muß die in der zweiten Formel (2) stehende Quadratwurzel einen "positiven" reellen Bestandteil haben. Bei wiederholtel' Ausübung der Landensehen Transformation erhält man den Formeln (2) ff. entsprechend die Rekursionsformeln:
(7) ('8)
(9)
K ,,-K"-1--2--' l+k v _ l wv =
Cl + k~-l)W"_l1
K"'--K'v -
tg (gJv -
1
Cl + k"-l),
gJ,,-l) =
.1
k:- 1 tg gJv-l'
Liegt, wie wir annehmen wollen, w in einem der nach ioo ziehenden Dreiecke der w-Halbebene, so gilt dasselbe von allen Werten 21' ro. Die Quadrat-
494
TI, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
wurzel -Vk;._~ ist dann für jedes v mit positivem reellen Bestandteile zu nehmen. An die vorstehenden Rekursionsformeln knüpft J aco bi 1) eine bemerkenswerte Darstellung von K in Gestalt eines unendlichen Produktes. Durch Multiplikation der letzten Gleichung (7) und der ersten Gleichung (8) folgt K."_l = (1 + k,) K~. Bildet man diese Gleichung für v = 1,2,3, ..., v, so ergibt die Multiplikation aller v Gleichungen nach Fortheben überflüssiger Faktoren:
(10)
K
=
(1
+ k1) (1 + k2 ) (1 + ks) ... (1 + k~)K~.
Nun gilt für !im v = 00 bekanntlich lim q'" = 0, und also folgt aus (10) in 1,464: (11) lim k v = 0, lim k~ = 1, lim K,.= ; . Die Gleichung (10) führt demnach beim Grenzübergange für v folgender Darstellung von K durch ein unendliches Produkt:
=
00
zu
(12) Da zufolge der Gleichungen (7):
1
+ k" =
1
2V/(,,_1
- = . -1-l?----
V/(,,-l
+
,,-1
=
k~
--=== -Vk~_1
gilt, so kann man der Gleichung (10) auch die Gestalt geben: (13)
K = -Vk~ -Vk~ -V~ ... -Vk~-l . ~. K~.
Beim Grenzübergange findet man an Stelle von (12) für K das unendliche' Produkt: (14) Die Gleichungen der wiederholten Landenschen Transformation, auf die Quadrate der Thetanullwerte &o(q) und &s(q) angewandt, führen zum Algorithmus' des Gaußsehen arithmetrisch-geometrischen Mittels. ') Aus (9) S. 289 ergibt sich, wenn man v = 0 einträgt:
(15)
{ &s (q2)2 = t(&s(q)2 + &0 (q)2), &0 (q2)2 = &s(q)&o(q).
Schreibt man zur Abkürzung: (16)
&s (q2'Y = av '
1) In Art. 38 der "Fundamenta nova", Jacobis Werke, Bd. 1, S. 149. 2) Vgl. Gauß' Werke, Bd.3, S. 361ff. und die Ausführungen Jacobis in Art. 38\ der "Fuildamenta. nova".
Wiederholte Landensehe TransfoImation und arithm.-geom. Mittel
490-
so ergibt sich aus (15) bei Wiederholung der Landenschen Transformation die Formelkette:
a1 = (17)
a2
=
as
=
tcao + bo)'
Hat + bt ),
Ha 2 + b2),
b1
=
'JIaob o,
b2
=
ya1b1 ,
bs =
Va 2 b, , "
die den fraglichen Algorithmus darstellt. Gauß beweist unter der Annahme reeller positiver ao, bo und positiv genommener Wurzeln, daß die beiden Zahlenreihen a 1 , a 2 , aa, ... und bl l b2 , ba, ..• je einer bestimmten Grenze zustreben, sowie daß diese beiden Grenzen einander gleich sind. Den gemeinsamen Wert der Grenzen nennt Gauß das "arithmetisch-geometrische Mittel" von a o und bo und bezeichnet dieses Mittel durch: (18)
a.,
Aus der vorliegenden Bedeutung (16) unserer Größenreihen by ist auc~ bei beliebigem ro die· Konvergenz des Algorithmus (17) im Gaußschen Sinne selbstverständlich, da: (19)
gilt.
Ändert man a o und bo um einen gemeinsamen Faktor, so ändern siclt alle a" und b" und also auch M(ao, bo) um denselben Faktor. Nun ist. aber nach der obigen Gleichung (4) sowie nach (1) S.291:
Es ergibt sich demnach:
M(l, k')
=
2~'
so daß sich das vollständige Integral K durch das arithmetisch-geometrische Mittel aus 1 und J( so darstellt:
(20)
§ 2. Die Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen.
Vk
Jacobi bezeichnet die achte Wurzel des Integralmoduls abgekürzt durch u. Da eine Verwechselung mit dem weiterhin nicht mehr auftretenden Integral erster Gattung u ausgeschlossen' ist, so nehmen wir dieBezeichnung Jacobis auf und notieren aus (10) in I, 464 als Produktentwicklung von u(ro) = }!kCro):
496
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
woraus zugleich die Reihenentwicklung folgt:
-n(ro)
(2)
1
=
V2 q8 (1 - q + 2 q
2-
3 q3
+ 4 q4 _ 6 q5 + 9 q6 -
. . .).
Nach der Tabelle in 1,459 bleibt 1Ik(ro) bei allen denjenigen Substitutionen der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe unverändert, für die: 1
e-s- =
(!) =
a'-l
(_ 1)-8-
gilt. Für ungerade IX der Gestalt (8h + 1) muß also ß = 0 (mod 16) zutreffen, für IX = 8h ± 3 aber ß 8 (mod 16). Unter Zusammenfassung beider Fälle kann man sagen, 1Ik gehöre zu derjenigen Kongruenzgruppe 16 ter Stufe, deren Substitutionen mit:
=
(3) kongruent sind, wo r gerade und IX ungerade ist. Im ganzen hat man 32 mod 16 inkongruente Substitutionen dieser Art. Da die Hauptkongruenzgruppe 16ter Stufe innerhalb der nicht-homogenen Modulgruppe den Index 1536 hat, so bilden die S-nbstit-ntionen, die 1Ik in sich transformieren, eine Kongr-nenzgruppe 16ter Stnfe T 4S des Index 48. Innerhalb der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe T 6 , deren Diskontinuitätsbereich durch Fig. 81 in I, 440 angegeben ist, stellt die r 48 eine Untergruppe des Index 8 dar. Entsprechend läßt sich aus acht neben einander gereihten Bereichen der eben genannten Art ein Diskontinuitätsbereich der T 48 aufbauen, Diesel' Bereich ist in Fig. 33 angedeutet; die
~
-1
w~O
1
2
3
18
... ------.-----.
151617 13 14' 15
Fig. 33.
Seiten sind zu Paare nebeneinander liegend zugeordet: 1 __ 18,
(~: 1~); 8 -- 9,
2 __ 3,
G: ~);
4 -- 5,
c:: =~~); .. "
III
folgender Art einander
G: =~);
16 __ 17,
6 __ 7,
c:: =:~2).
G: =3~);
Kongruenzgruppe 16t • r Stufe der Funktion
-VI.
4-
497
Der Diskontinuitätsbereich der r 4S ist vom Geschlechte 0 und hat u (ro ) = 4Vk (ro ) .zzt einer einwertigen Funktion. Die Spitze bei ro = ioo des Bereiches trägt den Nullpunkt der Funktion, der Pol ist in dem aus den Spitzen bei ro = - 1, 1, 3, 5, ... , 15 bestehenden Zyklus gelegen, während in den acht weiteren Spitzen bei ro = 0, 2,4, ..., 14 die Funktionswerte vorliegen:
(4) 2t(0) =1, u(2)=1-t i , u(4)=i, 2t(6)==,1/j-i, ...,u(14)=1,-;=.i. v2
Y2
'")12
Entsprechend dem Brauche bei den älteren Untersuchungen sei der Transformationsgrad n eine ungerade Primzahl. Die erste Haupttransformation n ten Grades ergibt als transformierte Funktion u(nro) = }lk(n ro), deren zugehörige Gruppe zunächst festgestellt werden soll. Damit aber u (nro) gegenüber (;: :) unverändert ist:
u(n;:~~) =uc,:'~~n!18) ist hinreichend und notwendig, daß (n~'l;,{J stitution
=u(nro),
8) der
['
angehört. Die Sub-
C: ~) muß also selbst der r 4S angehören und außerdem der Kon-
gruenz r - 0 (mod n) genügen. Da n teilerfremd gegen 16 ist und also in der r 48 noch alle in(n 2 -1) mod n inkongruenten Substitutionen vorkommen (S. 222:ff.), so wird durch die Forderung r=O (modn) in der r 48 , ebenso wie in der Gesamtgruppe, eine Untergruppe des Index (n + 1) ausgesondert.Die Substitutionen, welche u( ro) undu(nro) zttgleich unverändert lassen, bilden hiernach in der Gesamtgrttppe eine Kongruenzuntergruppe r 48 (n+1) des Index 48(n + 1) und der Stufe 16n. Im Diskontinuitätsbereiche der r 48 (n+l) ist tt(ro) eine (12 + l)-wertige Funktion. Als transformierte Funktion wollen wir übrigens nur für 12 - ± 1 (mod 8) unmittelbar u(12ro) gebrauchen, für n=±3 (mod 8) aber -u(nro). Mit Jacobi bezeichnen wir, beide Fälle zusammenfassend, die transformierte Funktion durch:
(5)
v(ro)
=
(!) u(nro) =
n'2-1
(-
l)_S_n(12ro).
Dann sind nach den allgemeinen Sätzen über Modulfunktionen gleicher -Gruppe u und v durch eine algebraische Relation:
(6)
F(v,u)=O
verbunden, die jedenfalls für v auf den Grad (n + 1) ansteigt. Die so in Ansatz gebrachte Relation ist die Modulargleichung für den 12ten Trans[ormationsgrad. Es gilt nun, eine Reihe von Eigenschaften der Modulargleichung zu entwickeln, die uns in den Stand setzen sollen, für niedere Grade n die Gleichungen wirklich anzugeben. Fricke, Dia elliptischen Funktionen II
32
498
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
Zunächst soll die Gestalt aller (n + 1) Lösungen v der Gleichung (6) festgestellt werden. Wir schreiben ausführlich:
F((:)V'i(nro), Vi(ro») =
(7)
0
und üben auf diese in ro identisch bestehende Gleichung eine Substitution aus, welche den Bedingungen: IX -
ß = r - 0 (mod 16), 0 = n2
1 (mod 8),
genügt. Die Funktion 1,459:
u= Vi bleibt unverändert, für vliefert die Tabelle
v(,:oo~+ ß) (_~) Vi (n a-;;+- + ß) yoo + d'
=
n
d'
Y-n -n 00
=
Vi (!!!..) n '
so daß die Gleichung (7) übergeht in:
(8)
F
(Vk (:), Vk(ro») = o.
Übt man weiter die Substitution C~,l~'II) aus, bei der
Vk wieder unver-
ändert bleibt, so folgt aus (8): ." = 0, I} 2, .. ., In -
Die (n
+ 1) Lösungen der Modulargleichung (6), die wir durch voo, Vo, V lT
V 2 , ••• , V n _ 1
(9)
l~
beseichnen, sind demnach: Voo =
2)V~ (-n yk(nro), V,,= .;-(00+16'11) vk n '
'V=O,1,2, ... ,n-l ..
Im Anschluß hieran nennt man die Zusammenstellung der (n + 1) Transformationen: (10)
(n,0, 0)l ' (1,0, n' 0) (1,0, 16) (1, 32) n ' 0, n ,
(1, 16(nn - 1»)
... , 0,
ein "Repräsentantensystem 16ter Stufe für die Primsahltransformation n". Setzt man in (8) für ro das Produkt n ro ein, so folgt: (11)
F(u,
(!)voo)
=
O.
Da die Gleichung (6) irreduzibel ist, so müssen wir sie in (11) bis auf einen konstanten Faktor c wieder gewonnen haben. Für die Funktion F(v, u) der als unabhängig gedachten u, v gilt also:
(12)
F(u, (!)v)
=
cF(v,u),
wo die Bestimmung der Konstanten c vorbehalten bleibt. Auch in u erreicht F(v, u) den Grad (n 1).
+
Sätze über die Gestalt der Jacobischen Modulargleichungen
499
Nähert sich ro einem rationalen Punkte JL, so sind drei Fälle zu q
unterscheiden, je nachdem p gerade oder q gerade oder p und q ungerade sind. Im ersten Falle wird Jul = 1, im zweiten u = 0, im dritten u = 00. Mit ro nähern sich auch die (n
+ 1) .transformierten
Argumente
n:,
'l2 +nq 16'l1q rationalen Punkten, und zwar liegt bei allen diesen Argumenten . immer auch derselbe der drei eben unterschiedenen Fälle vor wie bei w. Aus dem zweiten und dritten Falle folgern wir, daß eine Lösung v der
Modulargleichung stets und nur dann verschwindet oder unendlich wird, wenn auch u = bzw. = 00 ist. Die Modulargleichung hat also die Gestalt:
°
V"+1
+ g1 (u)v" + g2(U)V,,-1 + ... + g"+1 (u) =
0,
wo die Koeffizienten ganze Funktionen von u sind, die mit u verschwinden. Insbesondere mnß g"+1 (u) abgesehen von einem konstanten Faktor mit u" + 1 identisch sein. Indem man aber: ,,-1
g"+1 (u) = V VOV1 ... V"_1 = OO
(n2)41"k(nw) nV-(CO+16'l1) k -n-p=O
setzt und die Reihenentwicklung (2) heranzieht, ergibt sich jener Faktor zu
(!).
Wir verbinden mit diesen Ergebnissen noch den vorläufigen Satz
(12) und finden, daß die n Funktionen g1(U), g2(U), ..., g,,(u) den Grad (n 1) nicht erreichen. Die Modulargleichung läßt sich demnach in die
+
Gestalt kleiden: (13)
v.. +1+
(!) unH + uv(av.. - 1un- 1+ ...) =
0,
und an Stelle von (12) haben wir genauer: (14)
F(u, (!)v)
Speziell für ro (15)
=
°
=
(!)F(v,u).
hat man zufolge (4) und (9):
u=1, voo=(!), vo=l,
v,,=VkC~~),
"=1,2, ...,"-1
Da für v = 1, 2, ..., n -1 die beiden Zahlen 16v und n teilerfremd sind, so ist eine Substitution (;:
~) angebbar, die die Bedingungen befriedigt:
ß = 16v, b = n, '}'
=°(mod 2), a =n (mod 8).
Die Tabelle in I, 459 ergibt:
l!k(,"CO+ß\ = rro+bJ
woraus wir für w =
(~)Vk(w)
n
'
°als gemeinsamen Wert der letzten (n -1) Lösungen 32*
500
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
(15) sofort (:) ablesen. Wir haben damit den Satz gewonnen: Für u
=
1 reduziert sich die Modulargleichung attf:
(16)
(v-l)n+1=O
je nachdem n -
±
Übt man auf
1 oder m
=±
oder
(v-l)(v+l)n=o,
3 (mod 8) gilt.
in der Gleichung (7) die Substitution (~: ~) aus, so
nehmen nach der Tabelle in I, 459 die bei den Argumente der linken Seite jener Gleichung die Faktoren e 4 und e 4 an. Mit Rücksicht auf (13) folgt: Die Funktion F(v, u) der beiden unabhängig gedachten v, u befriedigt die Bedingung: n:rti :rti) n+1 ( F e4 v, e4 u = i-2-F(v, u). (17) Übt man zweitens in (7) auf m die Substitution (~: ~) aus, so gehen nach der wiederholt genannten Tabelle beide Argumente in ihre reziproken Werte über. Hieraus folgt mit Rücksicht auf (13): Die Funktion F(u, v) der unabhängigen u, v befriedigt die Bedingung:
(18) Bei der in (17) auf v und u ausgeübten Transformation nehmen vn + t, n +1 u" + 1 und uv übereinstimmend den Faktor i-a- an, so daß bei dieser Transformation der in (13) auftretende Klammerausdruck invariant ist. Man kann somit statt (13) genauer schreiben:
(19) wo sich die Summe auf alle nicht negativen ganzzahligen Exponentenpaare {-L, v bezieht, die den Bedingungen:
(20)
{-L
:..-
1,
11
1,
{-Ln
+ v == °(mod 8)
genügen. Zufolge der Regel (18) bestehen zwischen den numerischen Koeffizienten a!t, v die Beziehungen:
(21)
an-l-/1,
-
n-l-v -
(-n2) a
ft,
'1. ,•
Übrigens ist allgemein der Koeffizient a oo leicht angebbar. Setzen wir nämlich v = Voo und entwickeln F(v
501
Die Modulargleichung für Primzahl grad n. Beispiele n = 3, 5, 7,11
Da F(v oo , u) als Funktion von ro identisch verschwindet, so findet man unter Heranziehung der Relation (21): 2 _,,., n-l
(22)
a oo
=
-
a n-l,
n-l = -
(-n2)2n-:~. 2
Auf Grund der entwickelten Regeln sollen nun für die vier niedersten Grade n = 3, 5, 7 und 11 die Modulargleichungen wirklich hergestellt werden. Die Gleichung (19) liefert mit Benutzung von (21) und (22) für n = 3, 5 und 7 die Ansätze (23)
V6 _ U6+ VU(4V4~t4+ avsu - aVlt 3 - 4) = 0 (24) v8 + u8 _ vu(8v6tt6 + av5u5 + bV4U4 + ev3u3 bV 21l2 + avu + 8) = O.
-r'
{
Die Gleichung (23) für n = 3 ist bereits fertig. In die beiden für n = 5 und 7 angesetzten Gleichungen (24) tragen wir u = 1 ein, worauf die erste Gleichung die Gestalt (v - 1) (v + 1)5 = 0 annehmen muß, die zweite aber die Gestalt (v - 1)8 = O. Die noch unbekannten Koeffizienten bestimmen sich hierdurch, und man findet für n = 5 und 7 die Modulargleichungen : V6 - u 6 + vu( 4v4tt4 + 5v 3u - 5vu S - 4) = 0, (25) v8 + u 8_ vu(8v 6 n6- 28V5U 5+ 56v 4 U 4 -70v 3 uS + 56V 2 U 2
1
- 28vu
+ 8) =
O.
Im Falle n = 11 verwerten wir zur Ausgestaltung des Ansatzes (19) nicht nur die Formeln (21) und (22), sondern ziehen auch die Regel (14) heran. Der Ansatz gewinnt dadurch die Gestalt:
+ vu(32v 10 U10 + av 10 u 2 + bV 9 U 5 + ev 8u8 - av 8+ dv 7 uS + ev6 u6 att 32) = 0 bv5u- bV U ev u4 - dv u + av u 10 - ev 'u bvu
V12 _
+
U 12
5
9-
4
S
7
2
2
2-
mit fünf noch unbekannten Koeffizienten. Für u
v12 + (32
+ a)v ll + bv 10 + (e -
5-
=
8 -
1 gewinnen wir:
a)v 9 + dv 8 + ev 7 - ev 5 -
••• =
o.
Hier müssen wir aber links die Entwicklung von (v - 1) (v + 1)11 haben, woraus alle fünf unbekannten Koeffizienten a, b, ... hervorgehen. Die fertige Modulargleichung für den elften Grad ist hiernach:
(26)
V12 _
U12 + vu(32v 10 U 10 - 22v 10 U2 + 44v 9 U5 + 88V 8 U 8+ 22v8 + 165v 7 u 3+ 132v6u6-44v 5u9 + 44v5u-132v4u4-165vsu7 - 22v 2U10 - 88v 2 u 2 - 44vtt5+ 22u8 - 32)
=
O.
Die Modulargleichungen der Grade 3 und 5 sind von Ja c 0 b i in Art. 13 ff. der "Fundamenta nova" aufgestellt und zwar durch Elimina-
502
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
tionen bei Gelegenheit der algebraischen Durchführung der Transformationen dieser beiden Grade. Unter Zuhilfenahme der transzendenten Theorie hat alsdann Sohnke 1) im Anschluß an J aco bi die Modulargleichungen behandelt nnd in den Fällen n = 7, 11, 13, 17 und 19 fertig berechnet. In dem nächsten hier nicht abschließend behandelten Falle n = 13 bleibt bei Anwendung der eben benutzten Hilfsmittel noc1:J. ein Koeffizient unbestimmt. Hier und in den weiteren l!~ällen sind dann auch noch die Potenzreihen nach q heranzuziehen.
§ 3. Die Schlaeflischen Modulargleichungen. Während die Transformationsgleichungen für J(ro), abgesehen vom niedersten Falle n = 2, oben nicht endgültig aufgestellt werden konnten, gelang es soeben, diejenigen für Vk( ro) ziemlich leicht in den Fällen n = 3, 5, 7 und 11 anzugeben, da sich diese Gleichungen sowohl durch geringe Anzahl der Glieder wie auch durch niedrige Zahlenkoeffizienten vor denen von J(ro) auszeichnen. Der gleiche Vorteil tritt noch in erhöhtem Maße bei den zuerst von Schlaefli2) betrachteten Transformationsgleichungen für die Modulfunktion 48 ster Stufe l-yklc' ein. Mit SchlaeHi bedienen wir uns der abkürzenden Bezeichnung: (1)
und leiten aus den Produktdarstellungen in I, 460 für sero) die Potenzreihe ab:
(2) sero) =
1
V2 q24 (1- q +q2_ 2 q
3
+2q4 _ 3 q 5
+4 q
6_
5 q 7 + 6 q8 _ "
.).
Aus der Gleichung (23) in 1,460 zieht man die Folgerung, daß sero) gegenüber einer beliebigen Substitution der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe den Faktor:
(3)
Sn': 2n' C~)e-8- (aß-yo)+-s-(a' + Y')(aß+Yo)
annimmt. Außerdem aber bleibt s, wie mau aus (17) in 1, 456 leicht folgert, gegenüber der Substitution (~: - ~) unverändert:
(4)
s( 0/)
=
sero).
Auf Grund dieser Angaben stellt man fest, daß sero) zu einer Kongruenzgruppe 4S· ter Stufe r72 vom Index 72 gehört, deren Diskontinuitätsbereich 1) "Aequationes modulares pro transformatione functionum ellipticarum", Journ. f. Math., Bd. 36, S. 97 ff. 2) "Beweis der Hermiteschen Verwandlungstafeln für die elliptischen l'vlodularfunktionen", Journ. f.Math., Bd. 72.
Kongruenzgruppe 48"er Stufe für l Vkk'
503 in Fig. 34 dargestellt ist. Es sind hier die Seiten 1 und 50, sowie außerdem immer die beiden Quadranten des einzelnen unteren Halbkreises auf.... einander bezogen: 1---+ 50,
C~, 418); (2v + 2) ---+ (2v+
3),
Cj1'1~~;:-1),
v=O,1,2, ...,93.
Der Diskontinuitätsbereich hat das Geschlecht 0, 1tnd sero) ist eine zugehörige einwertige Funktion. Der Nullpunkt von s( ro) liegt in der Polygon spitze
(0=1 Fig. 34.
i 00, der Pol in dem von den unteren Spitzen des Bereiches gelieferten vor. Zyklus. Im Punkte ro = i liegt der Wert s = Der Transformationsgrad n sei eine Primzahl und teilerfremd gegen .ß. Wie bei den Jacobischen Modulargleichungen zeigt man dann, daß .die transformierte Funktion s (n ro) = t (ro) bei denjenigen in der r72 ent(mod n) haltenen Substitution unverändert bleibt, die die Kongruenz r .erfüllen, und daß die Gesamtheit dieser Substiüttionen eine Kongruenzgruppe 1'72("+1) der Stufe 48n bildet, die in der r 72 den Index (n + 1) und 1'n der Gesamtgruppe den Index 72(n + 1) hat. Die entsprechend zwischen sund .t bestehende irreduzible algebraische Relation:
112
=°
{5)
F(t, s)
=
0,
in der t auf den Grad (n + 1) ansteigt, ist; die zu untersuchende Schlaefli.sehe Modulargleichung für den n 1en Transformationsgrad. Um die Gestalt der (n + 1) Lösungen der Gleichung (5) zu gewinnen, schreiben wir die in ro identisch bestehende Gleichung an:
(6)
F(s(nro), sero))
Übt man die Substitution
=
0.
G: - ~) und darauf (~: 4~ 'Jf) aus, so folgt mit
Benutzung von (4):
(7).
F
(s(:),
sero»)
=
0,
Die (n + 1) Lösungen der Gleichung (6), die wir durch t.. , to, t l1 t 2 , bezeichnen, sind hiernach:
(8) t .. = s(nro) ,
to=s(:),
(00 n +~) t1 = s ' ..., t ,.-1 =
S
•.• ,
tn _ 1
(W + 48(n-1)). n
.Im Anschluß daran nennt man die Zusammenstellung der (n + 1) Trans-
504
Il, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
formationen:
0), e',0, n0), (1,0, 48), (1,0, 96), ... , (1, 480,(n1- 1)) n n
( n, 0, 1
(9)
ein "Repräsentantensystem 48 8ter Stufe" für die Primzahltransformation n len Grades. Ersetzt man in der ersten Gleichung (7) das Argument w durch n w, so ergibt sich F(s, t) = O. Wegen der Irreduzibilität der Gleichung folgt hieraus genau so wie S. 347 bei den Transformationsgleichungen für J( w),. daß F(s, t) eine symmetrische Funktion von sund t sein mttß: (10) F(s, t) = F(t, s). Die rationalen Punkte
w
r72
zerfallen bezüglich der
in nur zwei
Klassen (vgl. Fig. 34); die eine Klasse enthält die Punkte ~ mit ungeraden q
p und q, die andere Klasse die übrigen rationalen Punkte und die Stelle w = ioo. In den Punkten der ersten Klasse wird s = 00, in denen der zweiten aber = O. Nähert sich w einem Punkte der einzelnen Klasse, so nähern sich zufolge (8) die sämtlichen transformierten Argumente Punkten der gleichen Klasse. Irgendeine Lösung t der Gleichung (5) wird stets und nur dann gleich 0 oder 00, wenn auch s gleich 0 oder 00 ist. Die Gleichung (5) hat demnach die Gestalt: t n +1
+ g1 (s)t
n
+g2(S)tn - 1
+ ... + gn+1 (S)
=
0,
wo die 9 ganze Funktionen von s sind, die wegen (10) höchstens auf den 1) ansteigen. Insbesondere enthält gn+1 (s) nur das höchste Grad (n Glied mit der Potenz sn+\ so daß wieder wegen (10) die Funktion gn+1 (s) einfach gleich sn + 1 ist. Zufolge der Symmetrie von F( s, t) in sund t schließen wir demnach, wie bei den Jacobischen Modulargleichungen , anf die Gestalt: (11) t n +1 + sn+1+ ts(atn- 1sn- 1+ ... ) = 0
+
der Gleichung (5).
Gegenüber der Substitution (~:~) erfahren die Funktionen s( w) 7ti
n1li
und t (w ) = s (n w) gleichzeitig Abänderung um die Faktoren e12 und e 12 . Da n teilerfremd gegen 6 ist, so nehmen t n + \ sn+! und ts übereinstimmende Faktoren an, und also bleibt gegenüber (~: ~) der Ausdruck in der Klammer (11) unverändert. Schreibt man demnach die Gleichung (11) ausführlicher:
(12) fl,Y
so unterliegen die Exponenten
13)
p,
p"
v den Bedingungen:
v
p,n+v=O (mod 24).
Sätze über die Gestalt der Schlaefiischen Modulargleichungen
50~
Zur Modulfunktion zweiter Stufe k 2 k'2(ro) gehört die Kongruenzgruppe Ta zweiter Stufe des Index 3, die durch IX = 0, ß = I' (mod 2) erklärt ist. Diese Ts wird durch die nicht in der Modulgruppe T(w) ent-
1) in sich transformiert. Es ist nämlich: (Ha- ß-r+ 0), i(a + ß-r~ 0))
haltene Substitution W = (1~,~
W. (a, ß) . W-l =
r,
0
Ha - ß+ r -
0), t(a
+ ß+ r + 0)
,
und die rechts stehende Substitution gehört wieder der T s an, kann auch bei zweckmäßiger Auswahl von
G: ~) mit jeder vorgeschriebenen Sub-
stitution der Ts gleich gemacht werden. Mit k2 k'2(ro) ist somit auch k 2 k'2(W(ro) eine einwertige Funktion der T s und als solche eine lineare Funktion von k2 k'2(ro). Da aber die Substitution W den Nnllpunkt und den Pol von k 2 k'2 austauscht und der Wert dieser Funktion im Fixpunkte ro = ~ von W gleich t ist, so gilt:
-1) -_ 16k'k'"(w)· 1 ro+-f
k2~'2(W t
Kehren wir durch Ausziehen der 24ston Wurzel zur Funktion sero) zurück ist, so folgt weiter: und beachten, daß sei) =
v2
s (: +~)
(14)
t!) .
=
Um die Wirkung von W auf t",(ro) wir aus (14):
s(nro) festzustellen, folgern
=
++ 2) = S (W -+11+ n - 1) =
nm n s( W 1
W
(n-l)7ti
-24-
e
--
V2
sero) •
Ist m diejenige unter den Zahlen 1, 5, 7, 11, .. 0' 47, die der Kongruenz mn = 1 (mod 48) genügt, so folgt durch Ausübung der Substitution
( 1, ~~.-; 1) auf ro aus der letzten Gleichung: s ( nw +mn- 2) =e-- ---
(n-ml7ti
w
+m
24
,j-
v2 s(w)
---0
=
=
Nun ist aber, wie man leicht feststellt, n - m 0 oder 24 (mod 48),. je nachdem n = ± 1 oder = ± 3 (mod 8) gilt. Also folgt:
(15) Für t",(ro) bilden wir nun den Ansatz:
(16)
0)-1
t",
(0) + 1) =
nw
nro-n
s(
ro
+1 )
=
(
+n48'1' _ (1 + 48'1'))
s -ro+4S; n
+-i___
48 v
n
' ~
506
H, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
wo v diejenige unter den Zahlen 1, 2, 3, ..., n - 1 sein soll, die der Kongruenz 1 - 48 v
=0 (mod n) genügt.
Dann ist
!-n48 11 eine ganze Zahl,
die offenbar mod 48 mit m kongruent ist. Zufolge (15) ist also, da sero) gegenüber (~: 4~) invariant ist, die in (16) rechts stehende Funktion gleich:
(2) n
Vii
;f-+:1'
Die Wirkung der Substitution W auf t"" ist demnach: t (Ol -
1) -_ (~) V2 . n +,,(00)
"" Ol + 1
(17)
.Zufolge der Irreduzibilität der Schlaeflischen Modulargleichung haben wir hiernach folgenden Satz: Die Modulargleichun.q (5) wird d~trch folgende .substitution der Periode 2 in sich transformiert:
,V2 = s'
(18)
s
t' =
(~) V2. n
t
Die zur Gleichung (5) gehörende (n + l)-blättrige Riemannsche Fläche über der s-Ebene kann an der dem Werte ro = i entsprechenden Stelle s = höchstens zweiblättrige Verzweigungspunkte haben. Da
y2
die Substitution
G: - ~), die einem Umlaufe um die fragliche Stelle ent-
spricht, die beiden Lösungen t.. und t o permutiert, so hängen jedenfalls daselbst die diesen beiden Lösungen entsprechenden Blätter zusammen. Ist ferner v ein Index aus der Reihe 1, 2, 3, ... , n-1, so folgt wegen (4):
(19)
48 2 /1v
+1-
0 (mod n)
eindeutig bestimmte Index sein soll. Wie aus (3) hervorgeht, haben wir dann in: .( n, - 4811 ) - 48v, (1 + 48 2 /1v)n- 1 eine Substitution der
r
72 ,
und also folgt:
(20)
Das zu t" gehörende Blatt der Riemannschen Fläche wird also an der Stelle s = dann und nur dann isoliert verlaufen, wenn /1 = v wird und .also v eine Lösung der Kongruenz:
y2
507
Schlaeflische Modulargleichungen für die Grade 5, 7, 11
48 2 v 2 + 1 = 0 (mod n) ist. Diese Kongruenz hat aber keine oder zwei inkongruente Lösungen, je nachdem n = - 1 oder = + 1 (mod 4) ist. Im ersten Falle hat man -Hn + 1) zweiblättrige Verzweigungspunkte, im zweiten -Hn -1) und zwei isoliert verlaufende Blätter. Für die Gleichung (5) folgt: Setzt man in die Schlaeflische Modulargleichung s = l!2 ein, so geht sie im Falle n = - 1 (mod 4) in das Quadrat einer ganzen Funktion des Grades H n + 1) in t über, für n = + 1 (mod 4) aber liefert ihre linke Seite für s = das Produkt einer Funktion zweiten Grades und des Quadrates einer gan$en Funktion des Grades t(n - 1). Setzt man in (12) insbesondere t = too = s(nro) ein, so muß diese Gleichung in ro identisch bestehen. Entwickelt man aber die linke Seite auf Grund von (2) nach Potenzen von q, so liefern die beiden Glieder .sn + 1 und a oo ts die niederste Potenz:
112
( n+1 2-
2-
) n+1 q1.2.
+ 2 a oo
Da der Koeffizient verschwindet, so ergibt sich aoo sowie nach dem auf Grund von (18) folgenden allgemeinen Gesetze: (21) (22)
an-l-l1,n-l-t· aoo =
-
2
2 ,u+1 ,u+~:-~:!-~
=(-) n
n-~
2,
2
a"_1,n_1 =
2
a
-
(2) n .
,U,1I
Im niedersten Falle n= 5 erhält man auf Grund des Ansatzes (12) und den Regeln (22) als fertige Modulargleichung: t6
(23) Im nächsten Falle n
=
+ S6 + tS(t;4 s
4-
4)
=
O.
7 findet man den Ansatz:
t 8 + S8_ tS(t6s 6+ at 3s 3 + 8)
sowie weiter für den Grad n
=
=
0,
11:
t 12 + S12+ tS(t10S 10+ a(tBs8- 8t2 S2)
+ b(t6s6-
2t;4s 4)
-
32)
=
O.
Für s = l!2 müssen die linken Seiten dieser Gleichungen Quadrate von Ausdrücken vierten bzw. sechsten Grades werden. Daraus bestimmen sich die noch unbekannten Koeffizienten ohne Mühe; man findet für die Grade 7 und 11: 24 '{' t8+S8-st(t6s6_7tSS3+8)=0, ( ) t 12 + S12+ tS(t10s10_11tBs8+ 44t6 s6 - 88t;4s4+ 88t 2 s 2 - 32) = O. Benutzt man weiterhin anch noch die Symmetrie in sund t, so bleiben
508
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
bei n = 13 noch drei, bei n = 17 und 19 aber noch fünf unbestimmte Koeffizienten im Ansatze. Zur Berechnung dieser Koeffizienten zieht man zweckmäßig die Heihenentwicklungen heran. Die Schlaeflischen Modulargleichungen der Grade 13, 17 und 19 sind:
tU + S14 + ts (t 12 Sl~ - 64)
(25)
+ 13 t2S2 (t 10 + S10) + 52t1S4 (t 6+ S6)
+ 78t6 S 6 (t 2 + S2) = 0, t18 + S18 - tS(t16 S16 + 256) + 17 t 2 S2 (t 6+ S6) (tBs 8+ 16) - 34t 3 S3(t12 + S12) + 34t5 S5 (t 8S8 + 16) + 119 t6S6( t 6+ S6) + 340t9s9 0, 20 t + S20+ tS(t 18 s18 _ 512) + 19t2s2(t 4+ S4) (t 12 s12 + 64) + 95 t3s3(tB + S8) (t6S6 - 8) + 114t4S4(t12 + S12) =
+ 38t7s7(t6S6- 8) - 95tBs 8(f4+ S4)
=
0.
§ 4:. Die Jacobischen Multiplikatorgleichungen. Das Integral erster Gattung w nimmt bei Ausübung der ersten Haupttransformation n ten Grades einen in (7) S. 296 berechneten Faktor an. n-l
Den mit (- 1)-2- multiplizierten Faktor bezeichnen wir mit Jacobi durch M:
(1) und nennen ihn den "Multiplikator" des Integrals erster Gattung w. Beschränken wir uns sogleich wieder auf den Fall einer ungeraden Primzahl n, so beweist J aco bi, daß der Multiplikator M einer algebraischen Gleichung (n + l)ten Grades genügt, deren Koeffizienten rationale Funktionen von k 2 sind. Diese sogenannten Multiplikatorgleichungen haben das Interesse, daß sie in unserem Sinne die ersten Transformationsgleichungen für Modulformen sind, die in der Literatur auftreten. Führen wir nämlich (vgl. (21) in I,419) die Modulform vierter Stufe (- l)ter Dimension:
(2) ein, so stellt sich der Multiplikator M in der Gestalt dar:
(3)
M
n-l
=
(_
1)-2- n fe n0"
0.) (e0,,0.) ,
so daß die Jacobischen Multiplikatorgleichungen einfach die Transformationsgleichungen der Modulform vierter Stufe f = 2 - ~ sind. Aus der .{ta-Reihe folgt für f die Darstellung:
ye
Schlaefiische Modulargleichungen für n = 13, 17, 19. Jacobis Multiplikator
{4) {(oo 1 ,
"::'(1
00 2) =
00.
509
+ 4q + 4 q2+ 4 q4+ 8 q5+ 4 q8+ 4 q9+ 8 q + 8 q + 4 q + ...) 10
13
16
Das Verhalten von ( gegenüber den Substitutionen der rem) ist in I,478 angegeben. Die Gruppe der Form { ist die in I, ~ 74 ff. vielfach hervorgetretene homogene r 11 , die durch:
(5)
IX
= ~=
2ß=2r=O (mod4)
1,
erklärt ist. Man beachte, daß in dieser r 12 die Substitntion oo~ = - OO u oo~ = - 00 2 nicht enthalten ist. Die miUelst der ersten Haupttransformation n ten Grades entstehende Form {(nw ll oo 2) gehört zur Gruppe r 12 (n+1) des Index 12(n + 1) und der Stufe 4n, die durch (5) und die Kongruenz r = 0 (mod n) erklärt ist. Der Quotient (3) aber ist eine Modul{unktion, die als solche auch bei der Substitution oo~ = - 00 1 , oo~ = - 00 2 unverändert bleibt und zu der durch:
(6)
IX
=~ =1,
r
ß.
=0
r-
(mod 2),
0
(mod n)
erklärten Kongruenzgruppe r 6 (n +1) des Index 6 (n + 1) und der Stufe 2 n gehört. Innerhalb der Hauptkongruenzgruppe r 6 zweiter Stufe ist die Gruppe r 6 (n+1) vom Index (n + 1). Folglich ist M die Lösung einer Gleichung:
(7)
M"+l+ R1 (k 2)M'!' + R2 (k 2 )Mn-1+ ...
+
+ R"+l(P) =
0
(n 1yen Grades, deren Koeffizienten rationale Funktionen von k 2 sind. In (7) ist die Jacobische Multiplikatorgleichung für den n ten Transformationsgrad in Ansatz gebracht Die in (3) vorliegende erste Lösung von (7) möge jetzt insbesondere durch M oo bezeichnet werden. Um die übrigen n Lösungen darzustellen, üben wir auf die für JJ;[ = M oo in 00 identisch gültige Gleichung (7) erst-
lich die Substitution (:' ~:~) aus. Mit Benutzung von I, 478 findet man für die ursprüngliche Form {(oo1 , 00 2):
(noo!
+ (n + 1)002, (n -1)001 + noo 2 ) =
n-1
(-1) 2 {(oov 002),
für die transformierte Form ((noo!) 00 2 ) aber folgt bei Ausübung der €ben genannten Substitution mit Rücksicht auf ihre Dimension - 1 in {)J1'OO 2 :
n- 1 {(n 2W1 1'1
+ (n + 1)002'
+ 00)2 =
(n - 1) 001'11
n- 1 {
Also haben wir eine zweite Lösung von (7) in: M _ M 0-
ce
(nw + n+ 1) _ ((:~1 , :~ (n -
1) 00
+
1'1
-
((001' w2 )
,
((j),n' 00.). 2
510
H, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
wie aus der Unveränderlichkeit von k 2 gegenüber der ausgeübten Substitution und der Irreduzibilität der Gleichung (7) folgt. Den Rest der Lösungen gewinnen wir auf entsprechendem Wege durch wiederholte Ausübung der Substitution (~: ~). Unter Zusammenfassung folgt: Die (n
+ 1) Lösungen
der Multiplikatorgleichung sind:. v= 0, 1,2, ... , tt-1_
In f( roll ro2) hat man eine ganze Modulform, die im Diskontinuitätsbereiche der Hauptkongruenzgruppe r s zweiter Stufe einen einzigen Nullpunkt der Ordnung {- hat, gelegen im Spitzenzyklus ro = ± 1 (vgL Fig.81 in I,440). Die (n + 1) transformierten Formen:
(9) sind demnach gleichfalls ganze Modulformen; ihre Nullpunkte liegen ausschließlich in rationalen Punkten ro =.E. mit ungeraden p, q. Auch die q symmetrischen Grundfunktionen der Formen (9) sind also ganze Modulformen, die sich in den Gestalten R v (k 2)f(roll ro2 )" darstellen. Sie bleiben gegenüber den Substitutionen der homogenen r 6 vielleicht von einem Zeichenwechsel abgesehen unverändert und verschwinden im Spitzenzyklus ro = ± 1, dem Pole von P. Da nur in diesem Spitzenzyklus.
r
verschwindet, und zwar in der Ordnung ~-, während Rv (k 2) f" sicher überall polfrei ist, so folgt, daß R v (k 2) eine ganze Funktion von k 2 eines Grades
<;
ist. Speziell ist Rn + 1 (k 2) tn + 1 als Produkt der Formen (9), ab-
gesehen vielleicht vom Zyklus ro = ± 1, sicher frei von Nullpunkten. Aber nur an dieser Stelle könnte sich der Pol von R"+1 (k 2) finden. Also ist R"+1 (k 2) als eine ganze Funktion ohne Nullpunkte mit einer Konstanten identisch. Nach I,478 gilt f(ro 2 , - ro1) = if(roll ro2). Mit Rücksicht auf die Dimension - 1 von f(ro l , ro 2) folgt hieraus leicht:
M",(
0)1) =
n-1
(-1)-2 Mo (ro),
während andrerseits k2(ro) bei Ausübung der Substitution ro
,
=
-1.
0)
-~ In
den komplementären Modul k' 2 = 1 übergeht. Wegen der Irreduzibilität der Gleichung (7) ist also ihre linke Seite absolut invariant k2
"-1
bei Ersatz von Mund k2 durch (- 1 )-2-M und k' 2 = 1 - P. Für n
=1
Sätze über die Gestalt der Multiplikatorgleichungen
51L
(mod 4) sind also alle Koeffizienten R v (k 2) invariant beim Ersatze von k 2 durch le'2 = 1 - k 2 : Im Falle n = 1 (mod 4) ist R,.(k 2) eine ganze
Funktion von k 2 k'2 eines Grades< :. Im Falle n _ - 1 (mod 4) sind die R v (k 2) mit geradem v invariant gegenüber ro' = -~~, während die R v (k 2) mit ungeradem v Zeichenwechsel erfahren. Diese RJk2) verschwinden somit im Punkte ro =·i und haben demgemäß den Faktor (1 - 2k 2). Man gelangt zu dem Satze: Für n = - 1 (mod 4) sind die Köeffizienten R,,(k 2) mit geradem v ganze Funktionen von k l k'2 eines
< : ' diejenigen mit ungeradem v aber Produkte von (1 ganzen Funktionen von k 2 k' 2 eines Grades < ~ 1 • GI'ades
271,2) mit
'P
Für ro =ioo hat man k = 0 und zufolge (8) und (4): 2
n-l
M",= (-1)
2
n,
M o= M i =···
=
M n _ 1 = 1.
Für 71,2 = 0 nimmt die Multiplikatorgleichung also die Gestalt an: (
,,-1
)
M - (-1)-'-n (M _l)n=
Hieraus folgt: Die Absolutglieder a l l a2 , R i (k 2), R 2 (k 2 ), ••• sind:
(10)
".
o.
der ganzen Funktionen
a= 1
-
nh + (- 1)n;1 a = (~) (n-; 1 + (_ 1{;1n),
as =
-
(;)(n 3 2 + (-
a4 =
(;)
2
(n
4 3
n-1
1)-2
+ (_l)n;~n),
n), "', a"+i = (_l),,;l n.
Nimmt man die Regeln über Bauart und Grad der Funktionen I;l,,(k 2) hinzu, so findet man eine Anzahl Anfangskoeffizienten, sowie den letzten Koeffizienten eJ!dgültig bestimmt. 1m Falle n 1 (mod 4) gilt:
=
(11)
~
= - 2n,
R s = tn(3n - 1), Rs =
-
R 4 = /4n(n - l)(n - 2)(5n - 3),
tn(n - 1)(2n - 1), Rn+! = n,
während für n = - 1 (mod 4) folgende Koeffizienten der Multiplikatorgleichung endgültig bestimmt sind: (12)
IR lR
i =
0, R s = - tn(n
4 =
-
+ 1),
Rs = fn(n 2 - 1)(1 - 2k 2),
tn(n2-1)(n - 2),
R 5 """ 3~n(n2 - l)(n - 2)(n - 3)(1 - 2k 2),
R"+i =
-
n.
:512
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
Auf Grund der entwickelten Regeln kann man die Multiplikatorgleichung für n = 3:
(13) sofort fertig hinschreiben. In den beiden nächsten Fällen n = 5 und 7 bleiben im Ansatze vorerst noch eine bzw. zwei Konstante unbekannt. Man bestimmt diese leicht mit Hilfe der Potenzreihen. Die lJIultiplikatorgleichungen der Transformationsgrade 5 ztnd 7 sind:
(14)
M6-10M5+ 35M4- 60M3+ 55M2
- (26 - 256k 2k'2)M +5 (15)
=
0,
MB- 28M6+ 112(1- 2k 2)M5- 210M4+ 224(1 - 2k 2)M3
- (140
+ 5376k2k'2)M2+ (1- 2k 2) (48 -
2048k 2k'2)M - 7 = O.
J aco bi hat in Art. 32 der "Fundamenta nova" eine Beziehung zwischen den Wurzeln der Multiplikatorgleichung und denen der Modulargleichung abgeleitet, ,welche man leicht auf folgendem Wege gewinnt. Nach der ersten Gleichung (5) in !' 449 gilt:
e2 - el
=
f(OO ll
00 2 )2=
~ D~(log a a 1)'
Durch Entwicklung des Differentialausdrucks folgt: (
(OOlI
)2
00 2
=
1
n(l-I.)
D ( ) ~ 1
=
-
1ti
co~
1
da
1.(1-1.) dco
oder bei Übergang zu den Jacobischen Bezeichnungen: {(OOlI
00 2 )2 =
_~i k~'-' . : : . •
Übt man die erste Haupttransformation n ten Grades aus und bezeichnet die aus kund k' hervorgehenden Größen durch l und l', so findet man weiter: 2 1 2 ni 1 cll. f(nOO ll ( 2) = - -n -co.2 -li'2 d-·'· co Die Division diesel' Gleichung durch die voraufgehende ergibt zufolge (3) die fragliche Beziehung in der Gestalt:
(16)
kk' 2 dl
M2 = n Tt,'i dk '
wo M, l und l' die zur ersten Haupttransformation gehörenden Größen sind. Durch Ausübung geeigneter Substitutionen der r(w) zeigt man, daß die Relation (16) unverändert auch für die übrigen Klassen der Transformationen n ten Grades giiltig bleibt.
513
Multiplikatorgleichungen für die Grade 3, 5, 7
§ ä. Gruppentheoretische Grundlagen für die Resolventen fiinften Grades zweiter Stufe. Der Galoissche Körper der Jacobischen Modulargleichung für Primzahltransformation n wird gewonnen, indem man zur Funktion u(ro) die (n + 1) transformierten Funktionen voo(ro), vo(ro), v1 (ro), ..., v.. _ 1 (ro) adjungiert. Die zugehörige Untergruppe der Modulgruppe T(w) ist diejenige Kongruenzgruppe 16nter Stufe des Index 24n(n 2 - 1), die innerhalb der T 48 der Funktion u( ro) durch die Forderung IX - 0 = ± 1, ß= r (mod n) ausgesondert wird. Sie ist innerhalb der ['48 eine ausgezeichnete Untergruppe des Index -~_n(n2 - 1), und der letzteren entspricht die Monodromiegruppe G!_n(n -1) der Jacobischen Modularglei-
°
2
2
chung, die mit der Monodromiegruppe der Transformationsgleichung für J( ro) isomorph ist. Es existieren somit auch für die Jacobischen Modulargleichungen bei Primzahltransformation nur in drei Fällen n = 5, 7 und 1.1 Resolventen eines Grades < n + 1, nämlich tI,ten Grades. Es soll jedoch hier nur noch die Resolvente fünften Grades in ihren verschiedenen Gestalten besprochen werden. Wir nennen diese Gleichungen die "Resolventen fünnen Grades zweüer Stufe", wogegen die Gleichungen (2), (4) und (6) S. 484 als "Resolventen fünften Grades erster Stufe" bezeichnet werden sollen Die Unbekannten der zuletzt genannten Gleichungen waren Modulfunktionen einer Kongruenzgruppe T 5 fünfter Stufe, die sich mod 5 auf die 12, eine Tetraedergruppe Ga bildende Substitutionen:
(l) reduzierte. Man wird nun zu den verschiedenen Resolventen fünften Grades zweiter Stufe geführt, indem man die Durchschnitte dieser T 5 mit den einzelnen Kongruenzgruppen zweiter Stufe bildet und für die so entstehenden Kongruenzgruppell zehnter Stufe geeignete Funktionen auswählt, die dann die "Unbekannten" der zu bildenden Gleichungen fünften Grades sind. Einige Feststellungen über die fraglichen Gruppen zehnter Stufe sind zunächst vorauszuschicken. Erstlich stellen wir die T 5 mit der ausgezeichneten Gruppe T 2 zweiter Stufe zusammen, die sich mod 2 auf die Substitutionen:
(2)
(0,1, 0)l ' (1,1, 1)0' (0,1, 1)1
(mod2)
reduziert. Die gemeinsame Untergruppe ( der Durchschnitt) ist eine Gruppe zehnter Stufe TlO des Index 10, deren Diskontinuitätsbereich III Fricke, Die elliptischen Ftl.uktionen II
33
rr,
514
6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherel· Stufen
l!'ig. 35 gegeben ist. Die zwölf Seiten sind in folgender Anordnung auf· einander bezogen~
(1,0, 10). 1 ' ~ 6 (2, - 3) o ~ , 1, - 1 ;
1 ~ 12
,
o
'"' ~
3 ( ,
1,
3)
-1, - 2 ;
4
() (5, -1 )
~ "',
4 -13) 7 -). 8, ( 1: _ 3 ; 10 ~ 11,
1,
0;
(1:7 --_43) 6;
In der Tat reduzieren sich alle diese Substitutionen mod 5 auf Substitutionen (1) und mod 2 auf Substitutionen (2). Wir kombinieren zweitens die r 5 mit einer der drei gl~ichberech tigten Gruppen r s zweiter Stufe, etwa mit der durch ß = (mod 2) er-
°
~f~~D7;~~~
1~"-ll '~~~o~12 • 2 3 4 Ii 7 8 9 10 11 5~
:
!
fJJ
~=
5
Fig. S5.
klärten. Der Durchschnitt ist eine Kongruenzgruppe zehnter Stufe rio. des Index 15, deren Diskontinuitätsbereich in l!'ig. 36 dargestellt ist. Die Seiten sind in folgender Art einander zugeordnet:
(3)
1
~
8
,
(1,0, 10). 1 '
4 ~ 6,
2) . (1:3 1
°
Diese Substitutionen reduzieren sich nämlich mod 5 wieder auf Substitutionen (1) und befriedigen außerdem die Kongruenz ß (mod 2).
w-o
Fig. 36.
Die r 15 ist innerhalb der r s eine Untergruppe des Index 5. Nun ist (vgl. S. 360) die r s mit der Substitution:
(4)
" m' = Wem) = _.::. ro
vertauschbar und wird also durch Zusatz von W zu einer Gruppe:.
r=rs+rs·w erweitert, in der sie eine ausgezeichnete Untergruppe r~ des Index 2 ist. ist ein Paar von Kreisbogendreiecken Der Diskontinuitätsbereich der
r
der Winkel ; , : ' 0, wie aus l!'ig. 7, S. 360, hervorgeht. Die ~5 ist dann als Untergruppe der
r
eine
r~o
des Index 10, und dementsprechend
515
Erklärung und Erweiterung einiger Kongruenzgruppen loter Stufe
läßt sich ihr Diskontinuitätsbereich aus zehn Dreieckspaaren der Winkel ~
, :' °
aufbauen, wie in Fig. 37 zur Darstellung kommt.
Besonders wichtig ist nun aber die Tatsache, daß auch die _ W in sich transformiert wird.
r~o
durch
Nennt man nämlich die vier ~~~_ Substitutionen (3) der Reihe l.-c-. _ = 8 :') 3 4 E?5 6~i nach VI' V2 , V3 , V4 , so be- : l;1 I ; stätigt man leicht die Glei- w~-5 w~o '''~5 chungen: Fig. 37.
WV1·W-l= Vii. Vs' V;l. V4 • ViiI,
W·V2 • W-l= Vii. Va' ViI. V,C ViiI,
W· Vs' W-l= ViiI,
W· V4 • W-l= V4"l.
Also ist W· r~o' W-l jedeufalls in r;o enthalten, muß aber mit r;o identisch sein, da die nochmalige Transformation durch W zur r~o zurückführt. Die r~oist demnach durch Zu,satz von W zu einer Gruppe r~ erweiterungsfähig, die in der r' eine Untergruppe des Index 5 ist, 1 10 und in der die r;o eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 ist. Der in Fig. 38 gegebene w--'------,5~-----w--'-_'o,.---------w..i..~5 Diskontinuitätsbereich der r; Fig. a8. 1&
1&
besteht aus fünf Paaren von Kreisbogendreiecken der Winkel 2' 4"' 0. Die Seiten sind in folgender Art einander zugeordnet: 1 __ 10,
G: l~); -
D --
2 __ 9, (~: 1~); 6 ( ,
0,2)
-1,0
;
3 __ 4, (_::_:);
7 __ 8
,
(2,1, -- 26) .
Die zweite, dritte und fünfte dieser Substitutionen stellen sich in den eben mit Va, V4 und W bezeichneten Substitutionen so dar:
4, 14) W . V-I 'ra, (1,4= 4
TT
(
2, 6) =
-1,-2
W 'ra, TT
(2,1,-,-2 - 6) =
W . V-I 4'
§ 6. Aufstellung der Resolventen fünften Grades zweiter Stufe. Eine erste Resolvente fünften Grades zweiter Stufe wird von der Gruppe .z-;o geliefert. Mittelst der zur r 5 gehörenden einwertigen Funktion ~((i)), die S.483 näher erklärt ist, wird der in Fig.35 dargestellte Diskontinuitätsbereich der rIO auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche abgebildet, die, wie der Vergleich mit dem Diskontinuitätsbereiche der r 5 (Fig. 30, S. 476) zeigt, nur bei ~ = (Xl (dem Punkte (i) = i 00 entsprechend) und bei ~ = 3 (den Punkten (i) = i und 5 i der Fig. 35 ent-
+
33*
516
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
sprechend) verzweigt ist. Demnach ist y = Y~--:3 eine einwertige Funk-
tion der riO' Die Beziehung zur einwertigen Funktion yY=l der r g geht nnmittelbar aus der zweiten Gleichung (2) S. 484 hervor, indem man die Quadratwurzel zieht und durch Wahl des Vorzeichens über
y'f- 3 eindeutig verfügt.1) Die zur
riO gehörende Resolvente fünften
Gra-
des zweiter Stufe ist: (1)
Gleichungen fünften Grades dieser Gestalt, in denen also die Gliedere vierten und zweiten Grades ausfallen, bezeichnet Klein ") als "Diagonalgleichungen". Die Gruppe r', der die Einteilung der ro-Halbebene in Kreisbogendreiecke der Winkel ~., : ' 0 zugehört, habe als einwertige Funktion
L( ro), die durch die Festsetzung der Eckenwerte :
(2)
L(- 1
+ i) =
0,
L(iY2) = 1, L(ioo) =
00
eindeutig bestimmt sei. Der Diskontinuitätsbereich der Gruppe zweiter Stufe r s wird durch diese Funktion auf eine zwei blättrige Riemannsche Fläche mit zwei bei L = 0 und L = 1 gelegenen Verzweigungspunkten abgebildet. Also ist
-V
L -;; 1
eine einwertige Funktion der
seits ist, da die r s durch Zusatz von ro' = gruppe r 6 zweiter Stufe entsteht, auch:
w~1
r s'
Andrer-
aus der Hauptkongruenz-
ru) 1 = 1+ k + Ir" -ru + - = Ir + -. -1 k" k" eine einwertige Funktion der r s , so daß wir auf eine Relation: 7 "( le" ro)
1. (
72
4
schließen. Die Koeffizienten a, b, c, d bestimmen sich aus der Tatsache, daß den Werten k 2 = 0, 1, - 1 die Werte 1, - 1, 00 der in der letzten Gleichung links stehenden Funktion entsprechen. Man findet von hier aus leicht den Satz: Die einwertige Funktion L (ro) der Gruppe r' stellt 1) Die l!'unktion VJ - 1 sei auf der imaginären w-Achse positiv. 2) Vgl. die "Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade", S. 166. Wegen der Beziehung der Gleichung (1) zu der von Brioschi aufgestellten Resolvente fünften Grades der "allgemeinen Jacobischen Gleichung sechsten Grades" vgl. man ebenda S. 150 Ir.
517
Resolventen fünften Grades zweiter Stufe
sich in dem Integralmodul wie folgt dar:
+
(1 k')4 L=-16k'k" .
(3)
r;
Der Diskontinuitätsbereich der wird durch L(w) auf eine fünfblättrige Riemannsche Fläche abgebildet, die nur bei L = 0, 1 und 00 verzweigt ist. Bei L = hat man einen vierblättrigen Verzweigungspunkt, von dem Zyklus der Ecken ± 1 -I- i, ± 3 + i herrührend, bei L = 1 einen zweiblättrigen, dem Zyklus der Ecken ± 4 + i entsprechend, während bei L = 00 ein fünfblättriger Verzweigungspunkt liegt. Als Geschlecht dieser Fläche berechnet sich 0, so daß eine einwertige Funktion der existiert. Sie werde o(w) genannt und durch nie Festsetzungen:
°
Y2
r;
o (± 1 -I- i)
=
0-
(± 3
+ i)
=
0,
0- (±
5 + i)
=
5,
0- (i (0) =
00
eindeutig erklärt. Dann ist zufolge der eben angegebenen Verzweigung der fünfblättrigen Fläche L bis auf einen konstanten Faktor gleich der ganzen Funktion fünften Grades 04(0 - 5): 0-4 (6
- 5)
=
aL.
°
Der Faktor a bestimmt sich aus der Forderung, daß diese Gleichung für L = 1 eine von verschiedene Doppelwurzel haben muß. Man berechnet diese Wurzel zu 0- = 4 und findet a = - 256. Zwischen den einwertigen und r' besteht die Beziehung: Funktionen 0 ( w) und L ( w) der Gruppen
r;
(4)
65 -
5 0 4 + 256 L
=
0,
in der wir eine zweite Resolvente fünften Grades zweiter Stufe gewonnen haben. Diese Gleichung fünften Grades ist dadurch ausgezeichnet, daß in ihr die Glieder dritten, zweiten und ersten Grades fehlen. Es besteht nun folgender wichtige Satz: Während die Monodromiegruppe der Resolvente (1), ebenso wie die der Resolvente fünften Grades erster Stufe, die G60 der geraden Vertauschungen der Wurzeln (Ikosaedergruppe) ist, hat die Gleichung (4) als Monodromiegruppe die G120 aller 120 Permutationen der fünf Wurzeln. Der Durchschnitt der fünf mit der r 5 gleichberechtigten Gruppen ist nämlich die Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe r 60 , die mit der T 2 eine ausgezeichnete Kongruenzgruppe zehnter Stufe r 120 gemein hat. Die T 120 ist ihrerseits in der l~ eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 60, und ihr entspricht die Monodromiegruppe G60 der Gleichung (1). Ebenso ist der Durchschnitt der r 60 und der r a eine (nicht ausgezeichnete) Kongruenzgruppe T 180 zehnter Stufe, die aber in der Ta ausgezeichnet vom Index 60 ist. Aus ihr gewinnt man durch Zusatz von Weine in der Gruppe T' ausgezeichnete Untergruppe r;20 des Index 120, und eben dieser Untergruppe gehört
518
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
die Monodromiegruppe Gm der Gleichung (4) zu. Bezeichnen wir die fünf Wurzeln der Gleichung (4) durch 6'Jro) = 6'o(ro + 2v), wo v die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 durchläuft, so entspricht zwar der Substitution (~: ~) die zyklische, also gerade Permutation 6': = 6"'+1' aber die Substitution W liefert, wie man leicht feststellt, die ungerade Permutation: Mit der Gleichung (4) ist die von Hermi tel) aufgestellte Resolvente der Modulargleichung sechsten Grades (25) S. 501 nahe verwandt. Die sechs Wurzeln dieser Modulargleichung waren: 4-
Vk(5ro), v"
V",= -
=
V-(ro+16V) k 5 '
11 =0,1,
.. ,4
deren Produkt nach (25) S.501 gleich - u 6 ist:
(5) Die Wirkung der Substitutionen ro' = ro
+2
und ro' =
ro
~ 1 auf die v
1
stellen wir tabellarisch zusammen; ist
E =
e 4, so gilt:
V'" Vo Vi I V2 I Vs II V4 - -I-- --1---- - , --------- ---1
(10,, 2)! 1 ( 1, 0) 1, 1
i
~V
1 VI
'"
'
I
I
~V
"I
~V' ~V
2
S
I
I
4
I
~V, ~V 0 I
1
1 Vo
1
Die Richtigkeit dieser Angaben ist mit Hilfe der Tabelle in I, 459 leicht zn bestätigen. Man hat z. B.: VO(ro
+ 2) = yk (ro t 2)
=
j!k (-"'+52_:~6 -
6) =
c5V 2 (ro)
oder für die zweite Substitution:
wofür man aus der eben genannten Tabelle ~- gewinnt. Durch Wieder<'4
holung und Zusammensetzung der bei den ausgeübten Substitutionen stellt man die Wirkung der S. 515 mit Vi> V2 , Va, V4 bezeichneten Substitutionen fest: 1) Sur la resolution de l'equation du cinquieme degre", Compt. Rend" Bd, 46 (1859).
Beziehung zur Hermiteschen Resolvente fünften Grades I
I
I
I
519
I
_ ~~~1_~_1_!~1_~1~1_~~_
:~2_ ~_~_o'i i ':.:~ -7-1V~_I' __~.2'i'-l ~' I~~' 1':"I.~~_I 1 1
__
Y
~
~~l- ::-
V4
1),-
I
__
V3
;1-;: I::v: ·l~ :: ES
I
~:
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_~
v.
I
v.
i
'('0
U
!
~ i ~~
-I :: I
Va
1-:-u I
In der letzten Spalte ist die Wirkung der V auf u(ro) angegeben, Im Anschluß an Hermite bilden wir nun den Ausdruck:
(6) und stellen sogleich als Anfangsglied seiner Reihenentwicklung : 1
w(ro)
(7)
=
4 V5 q 5
+ ...
fest. Aus der letzten Tabelle folgt, daß w gegenüber V1 invariant ist, bei Ausübung von V2 , Va und V4 aber übereinstimmend in w' = k~ übergeht. Da k2 gegenüber den V2 , Va, V4 in ~- übergeht, so erweist sich: w
(8)
1
+k"
:als eine Funktion der Gruppe r 15 = r;o. Der in Fig. 36 dargestellte Diskontinuitätsbereich dieser Gruppe hat nun das Geschlecht p = 1 und besitzt an Spitzen erstlieh die bei ro = ioo und weiter nur noch den Spitzenzyklus ro = 0, ± 2, ± 4. In der ersten Spitze hat die Funktion (8) zufolge (7) einen Nullpunkt erster Ordnung. Im Spitzenzyklus liegt gleichfalls ein Nullpunkt der Funktion (8), da für ro = 0 der Nenner 1 + k2 = 2 und u = 1 ist, während von den sechs v fünf gleich - 1 und eine gleich + 1 ist (vgl. S.500), Auch in allen 'übrigen Punkten des genannten Bereiches ist w endlich. Der Nenner (1 Jc2) aber hat zwei Nullpunkte erster Ordnung in den beiden Eckenzyklen ro = - 1 + i, 3 + i und ro = 1 + i, - 3 + i, sowie weiter nur noch einen Nullpunkt der Ordnung t, im Bereiche gemessen, im Eckenzyklus ro = ± 5 + i. Die Funktion (8) hat demnach nur zwei Pole erster Ordnung in den Zyklen ro = - 1 + i, 3 + i und ro = 1 + i, - 3 + i, da im dritten Zyklus nur noch ein Pol der Ordnung t auftreten könnte, der aber bei einer Modulfunktion der r;o ausgeschlossen ist. Da wir somit in (8) eine zweiwertige Funktion der r;o erkannt haben,
+
520
II, G. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
muß neben dem Nullpunkte erster Ordnung bei ro = ioo ein zweiter Nullpunkt erster Ordnung im Spitzenzyklus ro = 0, ± 2, ± 4 auftreten. Nun haben wir in 6(~) eine zweite zweiwertige Funktion der
r;or
die in der Lage und Ordnung der Nullpunkte und Pole mit der Funktion (8) übereinstimmt und also von ihr nur durch einen konstanten Faktor verschieden ist. Man berechnet aus (3) und (4) als Anfangsglied der 1
Potenzreihe von o( ro) leicht - q- 5. Damit ergibt sich bei Benutzung von (7) der Satz: Die Funktionen o(ro) und w(ro) stehen in der einfachen Beziehung:
(9) so daß sich die Gleichung (4) mit RücJcsicht auf (3) in folgende Gleichung fünften Grades für w umrechnet: (10)
w 5 - 24 • 5 3 Jc2Jc'4 W
-
V5 Jc2Jc'4(1 + Jc2) =
26 • 52
O.
Hier haben wir die von Hermite angegebene Resolvente fünften Grades gewonnen. Sie steht gegenüber der Gleichung (4) insofern zurück, als die Unbekannte w der Gleichung (10) als Modulfunktion zehnter Stufe erst zu derjenigen r ao gehört, die der Durchschnitt der r 5 mit der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe r 6 ist. Will man an Stelle von (4) mit einer Gleichung arbeiten, in der die Glieder vierten, dritten und zweiten Grades fehlen 1), so führe man z = - 56- 1 als Unbekannte ein. Wir gelan.gen so zur Gestalt:
(11) der Resolvente fünften Grades, die natürlich gleichfalls die Eigenschaft der Gleichung (4) besitzt, daß ihre Monodromiegrttppe die Gao aller 120 Permtttationen der fünf Wttrzeln ist. 2)
§ 7. Notizen tiber die Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades durch elliptische Funktionen. Auf der H,esolvente fünften Grades der Modulargleichung für den Transformationsgrad n = 5 beruht die Verwendbarkeit der elliptischen, Funktionen zur Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades. Gemeinsam ist den verschiedenen Gestalten jener H,esolvente die Eigenschaft, daß neben der jeweiligen Unbekannten der einzelnen Gleichung in ihren 1) Gleichungen dieser Art nennt Klein "Bringsche Gleichungen"; sie wurden früher auch nach Jerrard benannt. Vgl. die "Vorles. über das Ikosaeder usw.",~ S.143. 2) Diese Eigenschaft büßt die Hermitesche Gleichung (10) ein, weil in ihr der Integralmodul k 2 den "Parameter" (im Sinne von § 7) darstellt.
521
Beziehung zur Hermiteschen Resolvente fünften Grades
Koeffizienten stets nur eine Größe auftritt, die als komplexe Variable willkürlich wählbar ist. Es handelt sich, wie man sagt, um Gleichungen fünften Grades mit einem "Parameter". In der Gleichung (1) S.516 ist dieser Parameter VJ::::"-f, in der Hermiteschen Gleichung P, in den Gleichungen (4) und (11) § 6 aber L. Gegenüber diesen Gleichungen hat die "allgemeine Gleichung fünften Grades": (1) mit beliebigen komplexen Koeffizienten a zunächst fünf Parameter. Soll es möglich sein, die elliptischen Funktionen unter Vermittlung einer unserer Resolventen zu einer "transzendenten" Lösung der Gleichung (1) zu verwerten, so müßte die Gleichung (1) zunächst in eine neue Gestalt transformierbar sein, in der nur ein Parameter auftritt. Das Mittel, dessen man sich hierbei zu bedienen hat, ist die Tschirnhausen-Transformation (vgl. S. 26). Man führt als neue Unbekannte y eine ganze Funktion vierten Grades von x ein:
(2) wobei die Berechnung von x aus y nur noch die Lösung einer Gleichung vom vierten Grade erfordert. Ist die Gleichung für y: (3)
y5
+ b1Jt + b2y3 + bsy2+ b4y + b5 =
so ist bv als symmetrische Grundfunktion
vten
0,
Grades der fünf Ausdrücke: i=
1,2~,
.. ,&
unter den Xi die Lösungen von (1) verstanden, eine ganze homogene Funktion vten Grades der Po, Pu ..., Pt, deren Koeffizienten als symmetrisch in den Xi sich rational in den Koeffizienten a darstellen. Man gibt nun über die Koeffizienten b möglichst weitgehende Vorschriften und sucht diesen Vorschriften durch zweckmäßige Auswahl der zur Verfügung stehenden Größen P zu genügen. Die sich dabei einstellenden algebraischen Entwicklungen sind sehr ausgedehnt, so daß es hier nur möglich ist, einige Hauptgesichtspunkte zu notieren. 1) Zunächst kann man aus der in den p linearen Gleichung b1 = eine der Größen p, etwa Po, rational in den Pv P2' Ps, Pt und den Koeffizienten a berechnen, und zwar linear und homogen in den Pli P2' PS,Pt' Trägt man diesen Ausdruck von Po in b2 , bs , ... ein, so werden diese bv homogene ganze Funktionen vten Grades in den vier restierenden p. Die Funktion zweiten Grades b2 der vier P läßt sich dann nach einem
°
1) Eine elementare Darstellung findet man bei Serret, "Handbuch der Algebra". 2. Aufi. (Leipzig 1878), Bd. 2, S. 350:ff.
522
II, 6.. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
bekannten Satze (s. Serret a. a. 0.) als Summe von vier Quadraten iinearer Ausdrücke in p schreiben:
(4)
b2 =
qi + q~ + (z; + q!,
wobei die qi in den P von der Gestalt: qi = "ilPi + "i2P2 + (XiSPS + "i4P4 .sind. Bei der Herstellung dieser linearen Ausdrücke sind aber bereits Quadratwurzeln zu ziehen, also "Irrationalitäten" zu adjungieren. Hierbei hat man zu entscheiden, ob die einzelne zu adjungierende Irrationalität -eine "natürliche" oder eine "akzessorische" ist (vgl. S. 51:ff.). Die nähere Untersuchung hat gezeigt, daß die eben erwähnten Quadratwurzeln be!reits akzessorisch sind. Soll jetzt auch b2 = 0 sein, so kann dies unter vielen Möglichkeiten z. B. so erreicht werden, daß:
(5)
qi
+ iq2 =
0,
qs
+ iq4 =
0
gesetzt wird. Damit hat man zwei lineare homogene Gleichungen für die Pv P2' Pa, P4 gewonnen, aus denen man etwa Pi und P2 linear und homogen in Ps und P4 berechnet. Nun wird bs nach Eintragung dieser Ausdrücke von Pi und P2 zu einer ganzen homogenen Funktion dritten Grades in Ps und P4' so daß die weitere Forderung bs = 0 durch Lösung einer kubischen Gleichung für den Quotienten Ps : P4 zu befriedigen ist. Hiernach ist es möglich, durch Tschirnhausen-Transformation die allgemeine Gleichung fünften Grades auf die Bringsehe Gestalt zu transformieren:
(6) wobei die einzuführenden lrrationalitäten Quadratwurzeln und Kubikwurzeln sind. Die Gleichung (6) aber ist sofort durch die weitere Transformation y
=
~5 Z auf eine Gleichung: <
Z5
+ ~; (z + 1) =
0
mit nur einem Parameter zu reduzieren, die die Gestalt unserer Resolvente (11) S. 520 hat. Die führenden Untersuchungen von Hermite (s. die Note S. 518) über die Verwendung der elliptischen Funktionen schließen sich an die Bringsehe Gleichung an. Die weiteren Entwicklungen von Brio schi 1), Kronecker 2) und KleinS) sind hiervon nicht nur abgewichen, indem 1) "Sulla risoluzione delle equazione di quinti grado", Annali di matem., sero 1, Bd. 1 (1858). 2) Brief an Hermite vom Juni 1858, Compt. Rend., Bd. 46. 3) "Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder", Math. Ann. Bd. 12 und 13 (1878).
523
Notizen über die allgemeine Gleichung fünften Grades
sie andere, den elliptischen Funktionen gleichfalls zugängliche Gestalten von Gleichungen fünften Grades mit einem Parameter bevorzugten, sondern sie haben vor allem auch die algebraische Seite der Theorie wesentlich vervollständigt und vertieft.!) Es muß hier genügen, in letzterer Hinsicht die bei den folgenden wichtigsten Theoreme zu nennen. Erstlieh ist der Satz, daß es tmmöglich ist, die allgemeine Gleichung fünften Grades allein bei Gebrauch "natürlicher" Irrationalitäten in eine Gleichung mit nur "einem" Parameter zu transfm'mieren, von Kronecker entdeckt und von Klein zuerst öffentlich bewiesen. Zweitens hat Klein gezeigt, daß man eine "Hauptgleichung" fünften Grades (d. h. eine Gleichung mit ausfallenden Gliedern vierten und dritten Grades) allein vermöge der Quadratwurzel der Diskriminante der (Jleichung, also einer "natürlichen" Irrationalität, in eine Gleichung mit nur einem Parameter überführen kann. Hieraus ging die grundlegende Tatsache hervor, daß die früher benutzte Kubikwurzel, welche zur Bringschen Gleichung hinführte, bei Bevorzugung anderer Gleichungsformen mit nur einem Parameter entbehrlich ist; denn die Hauptgleichung ist, wie oben gesagt, durch akzessorische Quadratwurzeln erreichbar. Das Eingreifen der elliptischen Funktionen in den Lösungsprozeß der Gleichungen fünften Grades ist ziemlich naheliegend. Wir erläutern die Verhältnisse etwa im Anschluß an die Gleichung (4) S. 517, die mit der Bringschen Gleichung unmittelbar verwandt ist. Eine vorgelegte Gleichung fünften Grades wird man zunächst durch Tschirnhausen-Transformation auf die Gestalt bringen: (7) y5 _. 5Jt + 256L = O. Zum vorliegenden Werte L gehört dann ein eindeutig bestimmter Wert ro im Diskontinuitätsbereiche der Gruppe r'. Man wird dabei zweckmäßig diesen Bereich aus dem Dreiecke der Ecken ()J = - 1 i, i V2, i 00 und seinem Spiegelbilde an der imaginären Achse aufbauen. Für die Berechnung des fraglichen V'il ertes ()J aus L gibt es eine Gleichung, die sich gen au an die Darstellung von ()J durch J, wie sie in der Gleichung (10) in 1,336 gegeben ist, anschließt. Die fragliche Formel ist:
+
(8)
.
70 ()J = -
log L - 8 log 2
.
Fl(~-'
+ (1 F
3
f; ~)
8' 8'
l'
1;
L)
wo rechts im Nenner die hypergeometrische Reihe und im Zähler die 1) Eine ausführliche Darstellung in geometrischem Gewande gibt der Abi3chnitt II der "Vorles. über das Ikosaeder usw." von Klein; eine weitere Darfitellung, die sich auf Hermites invarianten theoretische Behandlung der Tschirnhausen-Transformation gründet, findet man in Webers "Lehrbuch der Algebra", Bd. 1, S. 210ff.
524
Ir, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
mit ihr verwandte Reihe (15) in I, 114 gemeint ist. Die Gleichung folgt. in derselben A.rt aus der Theorie der hypergeometrischen Differentialgleichung, wie dies für die genannte Gleichung (10) in I,336 a. a O. ausführlich entwickelt ist. Hat man ro und damit q gewonnen, so sinde die fünf Lösungen der Gleichung (7) durch:
Yo = 6(ro),
+ 2),
Yl = 6(ro
..., Y4 = 6Cro
+ 8)
r;
gegeben, wo 6(ro) die S.517 erklärte einwertige Funktion der ist. Die Potenzreihe für 6(ro) kann man auf Grund von (6) und (9) § 6 aus den Reihen für u, v"", vo, vl I . . . ableiten; die Anfangsglieder sind:
(9)
6(ro)
l(
=
-
1
q-5 1 - q5
+ 2 q5 -
4 q5 + 7 q5 + 12q
2
3
4
+ .... )
Man kann sich auch zur Berechnung von ro aus L der Vermittlung des Integralmoduls k 2 bedienen, indem man aus der Gleichung (3) S. 517 mitte1st zweier Quadratwurzeln k 2 berechnet. Die Wurzeln sind dabei so zu wählen, daß ro im oben bezeichneten Diskontinuitätsbereiche der Gruppe r' liegt. Für die Berechnung von ro aus k,2 hat man dann nach S. 494ff. den schnell konvergenten Prozeß des arithmetisch-geometrischen Mittels zur Hand. Auch bei der Berechnung von 6 für gegebenes ro kann man sich der Vermittlung der Größen v"", vo, ... bedienen, die wegen der guten Konvergenz der Thetareihen besonders brauchbar erscheinen.
§ 8. Notizen über irrationale Modulargleichungen. Es ist schon sehr früh bemerkt, daß sich die Modulargleichungen gelegentlich in sehr einfache Gestalten zusammenziehen lassen, wenn man neben der achten Wurzel des Integralmoduls u = 'jIk auch noch die des,
Vl? V1 -
komplementären Moduls = u 8 und natürlich die aus ihnen durch Transformation entstehenden Größen zuläßt. Die fraglichen Gleichungen würden dann, in u und v geschrieben, noch Wurzelausdrücke enthalten und heißen dieserhalb "irrationale ltlodulargleichungen". Die nach (23) S. 501 für den dritten Grad bestehende Gleichung: (v 4 _
U 4 )2=
4v 2 u 2 (v 2 u 2 _1)2
schreibt man leicht in die Gestalt um:
(1 - u8 ) (1 - v 8)
=
(1 -
U 2 V 2)4.
Man beziehe diese Gleichung zunächst nur auf die erste Haupttransformation und bediene sich für die transformierten Moduln der schonS. 512 benutzten Bezeichnung l2 und 1'2. Dann kleidet sich die letzte Gleichung in die Gestalt:
k' 2l: 2 =
(1 -
Vk Yf)4.
Irrationale Modulargleichungen
525
Zieht man die vierte Wurzel und berücksichtigt, daß für ro = i 00 die Werte Yk = 0, yr = 0, -VI? = 1, yr = 1 zutreffen, so folgt als irrationale Modulargleichung für den dritten Grad l ):
(1) Die zweite Gleichung (25) S.501 für den siebenten Grad kleidet sich leicht in die Gestalt: (1 - u 8) (1 - v 8)
=
(1 -
UV)8.
Nach Ausziehen de; achten Wurzel findet man gleichfalls zunächst für die erste Haupttransformation als irrationale Modulargleichung für den siebenten Grad 2 ):
(2) Für den fünften Grad hat J aco bi in Art. 30 der "Fundamenta nova" eine irrationale Modulargleichung angegeben, die jedoch nicht die sogleich bei n = 5 aufzustellende Gleichung ist. Eine Reihe weiterer Gleichungen der fraglichen Art sind dann später von Schroeter 3) aufgestellt worden. Es sollen hier noch drei irrationale Modulargleichungen überein'stimmender Bauart für n = 5, 11 und 23 abgeleitet werden und zwar nicht durch algebraische Umformungen der betreffenden Modulargleichungen, sondern mitte1st einer funktionentheoretischen Überlegung, die wir ,etwa am Falle n = 11 erläutern. Man bilde für die erste Haupttransfor~ mation elften Grades den Ausdruck:
{3)
w(ro)
=
Yk-Vf + yl?-vt - 1 der durch r = (mod 11)
°
und untersuche die Wirkung erklärten Kongruenzgruppe r l2 elfter Stufe auf W(ro). Schreibt man ro' = 11 ro, so gilt:
yr(ro) = Yk( ro'), yt (ro) = -VI? (ro'), und es ist, falls auf ro die Substitution V die Substitution
=
(;:
~) ausgeübt wird, auf ro'
(1~~11:,ß0') anzuwenden. Diese beiden Substitutionen
sind.mod 2 einander kongruent, so daß bei Feststellung der Wirkung von
,(a,r, ~) auf die einzelnen Faktoren in (3) rechts
immer dieselbe Zeile der . Tabelle in 1,459 zur Geltung kommt. Gilt nun erstlich:
1) Die Gleichung (1), die bereits Legendre bekannt war, findet man bei Ja co bi in Art. 30 der "Fundamenta nova" entwickelt. 2) Die Gleichung (2) ist von Gützlaff in der Abhandlung "Aequatio mo,dularis pro transformatione functionum ellipticamm septimi ordinis", Journ. f. Math., Bd. 12 (1832) entwickelt. 3) In der Schrift "De aequationibuB modularibus", Regiomonti, 1854.
526
H, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
v = (a,r, ß)0 = (1,0, 1)1
(4)
(mod 2),
so folgt aus der letzten Zeile der genannten Tabelle 1):
.
(5) w(V(ro» Gilt aber zweitens (6)
=
-
YkVr 1 0C'vl' + yPvr - 1 =
v = (a,r, ß) = (0,1,01) 0
;P«(j)
-
vl?vl"
(mod 2),
so folgt aus der vierten Zeile dfll' Tabelle noch einfacher:
w(V(ro»
(7)
=
w(ro).
Man übe weiter auf den Ausdruck yick' yIT; die gleichen Substitutionen aus und findet, je nachdem der Fall (4) oder (6) vorliegt, als transformierten Ausdruck: bzw.
Ykk' y'll'.
Unter Heranziehung von (5) und (7) ergibt sich, daß in bei den Fällen:
(VkVr + VFVI' _1)3
;P«(j))"
(8)
Vkk'vIT'
=
Vkk'vll'
invariant ist. Da man nun durch Kombination der Substitutionen (4) und (6) alle sechs mod 2 inkongruenten Typen von Substitutionen gewinnt, so erweist sich der Quotient (8) gegenüber allen Substitutionen der r 12 als invariant und stellt also eine Funktion dieser Gruppe dar. Aber 'diese Funktion ist auch invariant gegenüber der Substitution ro' = ~!, bei welcher sich zufolge (17) in 1,456 die Funktionen
yf und ebenso
Yk,
die yl?, yl" austauschen. Die Funktion (8) ist also invariant sogar gegenüber der zum Klassenpolygon elften Grades gehörenden Gruppe r u ' Dieses Polygon hat nur eine einzige an den Rand der ro-Halbebene heranragende Spitze, nämlich die bei ro = ioo, und nur an dieser Stelle kann somit die Funktion (8) einen Pol hab~n. Doch zeigen die Reihenentwicklungen, daß auch hier kein Pol vorliegt. Die Funktion ist also mit einer Konstanten identisch; und dasselbe gilt demnach auch von ihrer dritten Wurzel, für welche die Potenzreihen den Wert - 2 \12 liefern. Als irrationale Modulargleichung für den elften Grad gewinnt man so: (9)
woran sich für die Grade 5 und 23 die auf ganz entsprechenden Wegen i) Im Zähler des daselbst angegebenen transformierten Ausdrucks von muß statt y'k gesetzt werden.
J!k
vrk
527
Irrationale Modulargleichungen
attfzustellenden Gleichungen anschließen:
(10)
!kl + k'l' + 2 \14 Vkk' vif = 1, 1Vk Vf + VI? Vi' + J!4 lf!kk' 1f!1l' =
1.
Alle fünf aufgestellten irrationalen Modulargleichungen sind hier zunächst auf die ersten Haupttransformationen der betreffenden Grade n bezogen. Schreibt man -
())
1
an Stelle von ro, benutzt die Gleichungen
(4) S. 502 und (17) in I, 456 und berücksichtigt die Symmetrie der Gleichungen (1) usw. in dem ursprünglichen und dem komplementären Modul, so zeigt sich, daß die fraglichen Gleichungen auch dann gelten, wenn wir unter 1und l' die vermittelst der zweiten Haupttransformation umgeformten Größen verstehen. Nun sind die ursprünglichen Größen Yk, VI? der Gleichung (1) Modulfunktionen achter Stufe, und ebenso gehören die ursprünglichen Größen der für die Grade n = 5, 7, 11 und 23 aufgestellten Gleichungen den Stufen v = 12, 16, 24 und 48 an. Im Anschluß an die Erklärungen von S. 498 und 504 verstehen wir aber unter einem "Repräsentantensystem vier Stufe" für Primzahltransformation n das System der (n 1) Transformationen:
+
(11)
ro' = nro,
ro
,
=
ro
---
n '
ro ,
=
ro
+v
-----
n
,
'
()) + (n -1)v ca ,=----.--.-------.
ro
+ 2v
ca =----n
'
n
Da in jedem Falle die ursprünglichen Größen gegenüber der Substitution
(~: ~) invariant sind, so gelangen wir zu dem Satze: Die einzelne der fünf aufgestellten irrationalen Modulargleiclnmgen gilt für alle (n + 1)
Repräsentanten eines Systems vier Stufe, wo v den Graden n = 3, 5, 7, 11 und 23 entsprechend die Stufen v = 8, 12, 16, 24 und 48 bedeutet.
§ 9. Notizen über Modularkorrespondenzen. Die Natur der irrationalen Modulargleichungen ist von Klein 1) aufgeklärt. Sie wurzelt im Begriffe der "Modularkorrespondenzen", die dann insbesondere durch die Arbeiten von A. Hurwitz 2) zu einer ausgedehnten Theorie entwickelt wurden. Die grundlegende Betrachtung möge etwa am Beispiele der 16ten Stufe erläutert werden. Die zu Vif gehörende'Gruppe r 48 der 16ten Stufe war durch die Kon1) "Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen" Math. Ann. Bd. 17 (1879). 2) "Zur Theorie der Modulargleichungen". Gött. Nachr. von 1883, "Über algebraische Korrespondenzen und das Korrespondenzprinzip" , Math. Ann. Bd. 28, "Über Klassenzahlrelationen und Modularkorrespondenzen primzahliger Stufe", Leipz. Ber. von 1885.
528
II, 6. Die speziellen Tmnsfol'illatiollsgleichungen höherer Stufen
gruenz (3) S. 496 erklärt. Da
yk
durch die Substitution T
1!P
=
(~'1,1 0)
in Vk' transformiert wird, so gehört zu der mit r.!8 gleichberechtigten Gruppe s = T· r 48 • T-l. Der Durchschnitt beider Gruppen besteht aus allen die Bedingungen:
r:
(1)
v -= (1,0, 0)l ' (5,8, 13' 8) (9,0, 0)9' (13,8, (,8)
(mod 16)
befriedigenden Substitutionen und stellt eine ausgezeichnete Kongruenzgmppe 16ter Stufe r S84 vom index 384 dar. Für diese Gruppe hat man dann ein 'Funktionssystem, daß an die Bedingung: eben in jlk,
1!P
(2) gebunden ist. Der Gewohnheit halber denken wir den Diskontinuitätsbereich der Ta84 mitte1st der Funktion J (00) auf eine "regulär verzweigte" Riemannsche Fläche F384 über der J-Ebene abgebildet. Es ist nun möglich, die Grundsätze der Transformation n ten Grades, wie wir sie frUher auf Funktionen anwandten, unmittelbar auf die Gruppe r S84 und die Fläche F384 auszuüben. Der Grad n sei als ungerade und also als teilerfremd gegen die Stufe 16 vorausgesetzt: Wir ordnen dem Punkte 00 des Diskontinuitätsbereiches der r S84 den Punkt 00' = noo zu, übertragen d/:ese Zuordnung auf die Fläche F384 ~md untersuchen, wie sich diese Beziehung bei Umläufen auf der Fläche ausgestaltet. Die geschlossenen Umläufe auf der Fläche werden in der 00- Halbebene, die wir zugleich mit in Betracht ziehen, von den Substitutionen der r 384 geliefert. Bei Fortsetzung der begrlindetcn Beziehung über die Fläche erscheinen also zunächst der einzelnen "Stelle 00" der Fläche die unendlich vielen Punkte der oo-Halbebene:
( 3)
,
zugeordnet, wo
(;:!) die r
00 SS4
=rro++ nIXw
nfl
durchläuft. Diese Werte liefern aber nur
'IjJ (n)
verschiedene Stellen der Fläche, wo 'l/J (n) in der bekannten Bedeutung (4) S. 220 gebraucht ist. In der Tat ergeben alle die Werte 00', welche bezüglich der r 3S4 äquivalent sind, ein und dieselbe Stelle der Fläche. Ein System bezüglich der r 384 äquivalenter Werte 00' repräsentieren wir aber durch einen unter ihnen und verfahren zu diesem Zwecke so: Die Ausübung einer Substitution V' = (3) berechnete
(4)
00'
führt zu:
(;::~) der r S84 auf das in
529
Neue Begründung der Transformation n ten Grades
Indem wir die Substitution e:~) der
r 384
beliebig entnommen voraus-
setzen, wählen wir, um die rechte Seite der Gleichung (4) möglichst einfach zu gestalten, V' in folgender Weise: Wir verstehen unter A den größten gemeinsamen Teiler von n und r, setzen n = A . D und wählen zunächst: 0'= ~a = Da.
= =
=
Dann gilt r' r 0 oder 8 (mod 16), 0' ist ungerade und sind teilerfremd. Es gibt also eine Reihe von Zahlenpaaren:
(5)
'+ V1'' a ,o - v A'l' ' ß~ + vo' ß~ + vDa,
,f a ' = a o
=
=
=
lß'
1" und
d"
v=O,± 1, ± 2, ... ,
die alle die Gleichung a' 0' - ß' 1" = 1 befriedigen, unter a~, ß'o ein -erstes solches Paar verstanden. Die Gleichung (4) aber nimmt die Gestalt an: Unter den Zahlen ß' kommen solche vor, die mod 16 mit ß kongruent sind. 1) Man kann demnach auch sogleich ß~ = ß(mod 16) als erfüllt voraussetzen. Läßt man sodann nur noch alle durch 16 Iteilbaren v zu, indem man etwa v = 16v' setzt, so folgt für alle Zahlen ß' die Kongruenz ß' ß Cmod 16), und man hat zusammenfassend:
ß'
(6)
= ß =r = 1" =8 oder =0 (na~ß
+ ß~o)
+ ß~o) + 16v' D =
16B,
Da na~ und 0 ungerade sind, so wird bare Zahl. Setzt man daraufhin: (na~ß
(mod 16). eme durch 16 teil-
so kann man die noch verfügbare Zahl v' so bestimmen, daß 0 < B zutrifft. Die Gleichung (4) hat damit die Gestalt: (7)
V'
(n;: t ;(3) = -~~ t~61:1_,
CA. D =
n,
0
< B< D)
angenommen. Aus der Gleichung:
(8)
V'_1((Aro+16B)) = D I
ncxro+n(3
rro+d'
aber stellt man leicht noch fest, daß die Zahlen A, B, D keinen gemeinsamen Faktor> 1 enthalten. Wir haben somit in (7) ?'echts einen der 'IjJ (n) Repräsentanten eines "Systems 16ter Stufe" für Tmnsformation n ten Grades gewonnen. 1) Man kann nämlich auswählen.
v entsprechend der Kongruenz vDcx _
Fr i c k e, Die elliptischen Funktionen 11
~
-
34
(30 (mod 16)
530
TI, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
Indessen ist V' noch nicht in allen Fällen eine Substitution der
r as4 '
Damit V' einer der Kongruenzen (1) genügt, ist nämlich, da (;:
!)
der r a84 angehört und die Kongruenzen (6) bereits feststehen, noch er~ forderlich und hinreichend, daß 0' = ± a (mod 8) zutrifft. Dies ist aber wegen 0' = Da nur für D = ± 1 (mod 8) erfüllt,!) Doch genügt es, falls
_~~)
+ 3 (mod 8) gilt, noch die Substitution (_ 1~: setzen, um eine Substitution der r zu erhalten.
D=
384
zu V' hinzuzu-
Um beide Fälle zu-
sammenzufassen, verstehen wir unter VD die Substitution (~:~) oder
!6), je nachdem D = ± 1 oder ± 3 (mod 8) zutrifft, und lassen
0, ( -16, -u1
an Stelle der Gleichung (7) die folgende treten:
(9)
VD.V,(n;~t;ß)
=
VD(Arot/6B),
(A.D=n,
O
Entsprechend werden wir die '!/J(n) hier rechts auftretenden Transformationen zu einem "Rep1'äsentantensysteme 16. Stufe" für Transformation des ungeraden Grades n wählen. Die durch die Zuordnung der Werte ro und ro' = nro begründete Beziehung zweier Stellen der Fläche F384 aufeinander ist also so beschaffen, daß bei geschlossenen Umläufen der Stelle ro auf der Fläche als jener Stelle zugeordnet höchstens '!/J(n) Stellen gewonnen werden, die durch (9) gegeben sind. Daß man der einzelnen Stelle aber auch nicht weniger. als '!/J(n) Stellen zugeordnet findet, ist gruppentheoretisch eillieuchtend~ Die beiden Werte: (((nm) + nß n((m + nß nro,
rro + 0
n lr(nro)+-~
sind nämlich (bei variablem ro) stets und nur dann bezüglich der r S84 äquivalent, wenn n-1r ganzzahlig, also r - 0 (mod n) ist. Es muß also
(;:~) der durch r
= 0 (mod n) und die Kongruenzen (1) erklärten Kon-
gruenzgruppe der Stufe 16n und des Index 384'!/J(n) angehören, die innerhalb der r 384 eine Untergruppe des Index '!/J(n) ist. Es finden sich also unter den Werten (3), falls
(;:~) die TaS4. durchläuft, in der Tat
'!/J(n) bezüglich dieser Gruppe inäquivalente Werte. Die auf der Fläche F384 begründete und über sie fortgesetzte Punktzuordnung ist also so beschaffmi, daß der einzelnen Stelle der Fläche stets '!/J (n) Stellen zugeordnet sind. Die Inversion der auf der Fläche F ss4 konstruierten Zuordnung würde der Stelle ro die Stelle :
zuweisen, eine Zuordnung, die dann
1) Für den als Beispiel in Betracht kommenden Fall n bereits der r 3S4 an.
=
7 gehört also V'
Modularkorrespondenzen
531
wieder über die Fläche hin fortzusetzen sein würde. Aber im Falle
n=
±1
(mod 8) ist bereits bei der ursprünglichen Zuordnung ~- eine
=
der t/J (n) der Stelle ro zugeordneten Stellen. Um im Falle n ± 3 (mod 8) die Inversion zu vollziehen, bemerken wir zunächst, daß für alle n die konstruierte Zuordnung nur erst eine unter 384 gleichberechtigte ist. Die r S84 ist nämlich eine ausgezeichnete Untergruppe, so daß die Fläche F384 384 eindeutige Transformationen in sich zuläßt, entsprechend den 384 bezüglich der Ta84 inäquivalenten Substitutionen 1, 1711 V2 , •••, V388 der Gesamtgruppe r(w). Ist Vi irgendeine dieser Substitutionen, so erhalten wir stets wieder eine Zuordnung unserer Art, wenn wir der Stelle ro die 1jJ (n) Stellen: zuweisen. Es gilt dann einfach der Satz: Im Falle n = ± 1 (mod 8) ist die durch ro' = n ro begründete Zuordnung sich selbst invers, bei n = + 3 (mod 8) führt ihre Inversion zu einer anderen unter den 384 gleichberechtigten Anordnungen. Punktzuordnungen der fraglichen Art sind zuerst auf algebraischen Kurven betrachtet und als "Korrespondenzen" bezeichnet. Von den Kurven aber überträgt man sie sofort auf Riemannsche Flächen. Die hier auf der F$84 hergestellten Zuordnungen heißen insbesondere "Modularkorrespondenzen". Da die einzelne Zuordnung, sowie auch ihre Umkehrung jedem Flächenpunkte t/J(n) Punkte zuweist, so wird die Modularkorrespondenz ,,1jJ(n)-t/J(n)-deutig" genannt. Die vorstehende Betrachtung ist auch auf andere ausgezeichnete Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe r(w) übertragbar, von denen wir sogleich einige zu nennen haben werden. Ist die Untergruppe vom Geschlechte 0, so gibt es eine zugehörige einwertige Modulfunktion. Diese ist zur algebraischen Darstellung der Korrespondenz besonders geeignet: Wir gelangen einfach zur "Transformationsgleichung" oder "Modulargleichung" der fraglichen Funktion. Haben wir eine Gruppe mit p> 0, so kommen zweckmäßig die Methoden der Geometrie bei Darstellung der Korrespondenzen zur Geltung, und gerade hier erhalten wir die Aufklärung über die Natur der irmtionalen Modulargleichungen. Ehe dies weiter ausgeführt wird, sollen die fünf ausgezeichneten Kongruenzuntergruppen und ihre Funktionssysteme zusammengestellt werden, die für die in § 8 aufgestellten irrationalen Modulargleichungen in Betracht kommen. Zunächst ist eine ausgezeichnete Gruppe achter Stufe T 96 des Index 96 zu nennen, bestehend aus allen die Kongruenzen:
V= -
(1,0, 0)l ' (5,0, 0)5
(mod 8) 34"
532
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
befriedigenden Substitutionen. Zu ihr gehört das System der Funktionen Yk, yP, verbunden durch die Relation:
+
(10) eVk)4 (yPl = 1. .An zweiter Stelle ordnen wir unsere obige r S84 ein. Um drei weitere Gruppen der Stufen 12, 24 und 48 zu erklären, verstehen wir unter r s die durch: v= (mod 3) 0, 1 2, 0 1, 2 2, 2
(1, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 2)
erklärte ausgezeichnete Kongruenzgruppe dritter Stufe (die der ausgezeichneten Vierergruppe G4 in der Tetraedergruppe G12 entspricht). Es handelt sich um die zur dritten Wurzel yJ gehörende Gruppe, eine Funktion, die zum Integralmodul in der Beziehung steht:
v-
y4 (1 - k + k 2
"J=
(11)
3kk'ykk'
4)
•
An dritter Stelle nennen wir jetzt den Durchschnitt der r a und dm" HauptJeongruenzgruppe vierter Stufe r 2 ;1' der eine ausgezeichnete Kongruenzgruppe zwölfter Stufe r72 des Index 72 ist. Als Funktionssystem haben wir Je, Je', oder auch (wegen (11) die Funktionen 7c, 7c', verbunden durch die beiden Relationen: 7c 2 + 71;'2 = 1, Je. Je' - (Vk1?)3 = O. (12)
v.r
l/kk',
Endlich folgen an vierter und fünfter Stelle die Durchschnitte der r s mit den beiden ersten Gruppen r 96 und r S8;1' die Kongruenzgrnppen r 288 und r1152 der Stufen 24 und 48 sowie der Indizes 288 und 1152 sind. Ein System von Funktionen der r 288 ist Yk, yP, Ykk', verbunden durch:
(Yk)4 + (yP)4 =
(13)
1,
ein solches der r1152 aber haben die beiden Beziehungen:
Yk. yp - (Vkk')3 = 0; wir in yk, yP, If!kJe', verbunden
durch
(lIkl + (lIP)8 =
1, ykW - CVklZ)3 = O. Um die geometrische Sprechweise bequem einführen zu können, nennen wir die Funktionen des einzelnen Systems x, y bzw. x, y, z und deuten sie als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene bzw. im Raume. Wir haben dann unseren fünf Gruppen entsprechend, folgende Bedeutungen der x, y, z und folgende Relationen: (14)
r 96 , r38 r
72 ,
r 28S ' ['1152'
x
=
x =
Yk, l!k,
x = Je, X
=
x =
Vk, yk,
y
=
Yk',
y=W, y = Je', y= y=
yP,
Vi?,
+ y4= 1, x 8 + y8= 1, z = 'VkJ?, x + y2= 1,
xy - Z3= 0,
z = 'VkJe',
x 4 + y4= 1,
xy -
Z3=
O.
XS
xy -
Z3=
O.
x4
2
6 ---
Z
12 -
= lIkk',
+ y8= 1,
Beispiele von Modularkorresponden;l:en
533
Die ersten beiden Relationen deuten wir als ebene Kurven vierten bzw. achten Grades, die drei weiteren Relationenpaare ergeben entsprechend Raumkurven sechsten, zwölften und 24ten Grades. Es gilt nun der Satz: Die irrationalen Modulargleichungen sind aufzufassen als die algebraischen Darstellungen der Modularkorrespondenzen auf den fraglichen Kurven. In den in § 8 betrachteten Fällen sind diese Darstellungen besonders einfach, sie haben nämlich die Gestalten bilinearer Gleichungen zwischen den Koordinaten der beiden zugeordneten Punkte. Bezeichnet man die transformierten Funktionen durch x', y' bzw. x', y, Z', so nehmen die bei den Gleichungen (1) und (2) S. 525 übereinstimmend die Gestalt an: (15) xx' + yy' = 1, während die drei Gleichungen (9) und (10) S.527 sich so schreiben:
xx'
(16)
+ yy' + C!!Z' =
1,
wo eden Txansformationsgraden 5, 11 und 23 entsprechend bzw. gleich 2112 und ist. Die fünf in Rede stehenden Modularkorrespondenzen we1"den also auf den betreffenden Kurven durch Gerade bzw. durch Ebenen ausgeschnitten. Die zur TS84 gehörenden Modularkorrespondenzen sind ausführlich von E. Fiedler mit invariantentheoretischen Hilfsmitteln behandelt. 1) Die allgemeine H urwi tzsche Theorie der Modularkorrespondenzen, die auf transzendenter Grundlage ruht, ist.in "Modulfunktionen" Bd. 2 ausführlich behandelt, worauf hier verwiesen sein mag.
2114,
V4
§ 10. System der Modulfunktionen sechster Stufe. Nahe verwandt mit den irrationalen Modulargleichungen sind die schon S. 296 erwähnten "Thetarelationen", die zahlreich in der älteren und neueren Literatur auftreten. Die algebraische Natur dieser Relationen und ihr Zusammenhang untereinander haben durch die Theorie der Modulfunktionen Aufklärung gewonnen. Um dies hier wenigstens für die bei dem dritten Transformationsgrade auftretenden Thetarelationen näher darzulegen, haben wir eine Zusammenstellung der Modulfunktionen sechster Stufe voraufzusenden. Die Modulgruppe T(w) reduziert sich mod 6 auf eine Gruppe G 72 der Ordnung 72, in der die mod 3 mit 1 kongruenten Substitutionen eine Gs vom Diedertypus, die mod 2 mit 1 kongruenten aber eine G12 vom Tetraedertypus bilden. In der Diedergruppe G6 ist bekanntlich eine aus1) In der Leipziger Dissertation "eber eine Klasse irrationaler Modulargleichungen der elliptischen Funktionen", veröffentlicht in der Züricher Vierteljahrsschrift, Bd. 30 (1886).
534
Ir, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
gezeichnete zyklische Ga enthalten; sie wird bei der vorliegenden G6 von den folgenden Substitutionen der G72 gebildet: (1)
Vo =
U: 130)'
(~: ~), VI ==
V2
G:!)
(mod 6).
Die Tetraedergruppe enthält eine ausgezeichnete Vierergruppe G4 , die innerhalb der eben genannten Untergruppe GI2 der Gn von den Substitutionen gebildet wird: (2)
V. -
o=
(1,0, 0)1 '
V' 1
=
(3,2, 34) '
V'
2
(1,2, 6f' 2\
=
17' _ 3
(1, 2,- 52) -
(mod 6).
Für die drei letzten Substitutionen gilt, dem Typus der Vierergruppe entsprechend:
(3) ~'. V;= V;· V;== V;,
wo sich die Kongruenzen hier und weiterhin auf den Modul 6 beziehen. Für die Transformation der vorstehenden Substitutionen mitte1st - der Substitution S
(4)
{
= (~: ~) merken wir gleich die Regeln an:
S· VI·S-I= V2 , S· V2 ·S-I= Vu . S· V;·S-l= V;, S· V;·S-l= V;, S· V;.S-l= V;.
Es erzeugt nun die Substitution S innerhalb der G72 eine zyklische G6 , in der die zyklische Gs der Substitutionen 1, S2, S4 und die zyklische G2 der Substitutionen 1, 8 3 enthalten sind. Da aus (4) die KonVI' S2. VII
gruenzen:
= S2,
V2' S2. V;;-1
=8
2
folgen, so ist die zyklische Gs nicht nur innerhalb der G6 , sondern innerG18 -- G6 + G6 . v:1 + G6 . v:2 halb der Gruppe: ausgezeichnet. Die Gs ist demnach höchstens eine der unter 72: 18 = 4 gleichberechtigten Gruppen. Da weiter aus (4) und (3) die Kongruenzen: V;·S2·V;-1=8 2 .V;,
V;.S2.V;-I-S2.V~,
V;.S2.V;-1=S2.V;
folgen, so erhalten wir tatsächlich vier gleichberechtigte Gruppen:
(5)
Ga,
V;·Gs·V;-t,
V~·G3·V;-t,
V~·G3·V~-I.
In ähnlicher Weise zeigt man: Es gibt in dm' G72 drei gleichberechtigte zyklische Untergruppen:
Vi' G2 • V2 1. Der G6 entspricht die durehr = 0 (mod 6) zu erklärende Kongruenzgruppe sechster Stufe r 12 , deren Diskontinuitätsbereich das in Fig. 4, S_ 354, dargestellte Transformationspolygon für den sechsten Grad (6)
G2 ,
VI' G 2 • ViI,
535
Kongruenzgruppen sechster Stufe
ist. Dieses Polygon hatte das Geschlecht O. Zur Gs gehört entsprechend die durch r 0 (mod 6), ß 0 (mod 2) erklärte Kongruenzgruppe r u '
=
=
Fig. 39.
deren Diskontinuitätsbereich die in Fig. 39 dargestellte Gestalt hat. Aus der Zusammen ordnung der mit Nummern versehenen Seiten: 1
~ 10, (~: ~);
2
~ 5, (15~, 25); 7
3
~ 4, (~: ~);
6
~ 9, e17~, -=:,17°) ;
~ 8, (~: =~)
ergibt sich als Geschlecht dieses Bereiches gleichfalls O. Zur G2 gehört die durch r = 0 (mod 6), ß = 0 (mod 3) erklärte Kongruenz-
~]]dlich
Fig. 40.
,gruppe r S6 ' deren Diskontinuitätsbereich in Fig. 40 abgebildet ist. Die Seitenzuordnung : 1 ' - 14,
(~: ~);
5~6, (
5, 3 ) -12, - 7 '
2
~ 13, G~: ~~); 7
~ 8, (~: ~);
11 ~ 12
,
3
~ 4, (_~: ~ 7) ;
(7 -3)
9 ~ 10, 1;, _ 5 ;
(7,6,-5 - 6)
ergibt auch für diesen Bereich wieder das Geschlecht O. An Stelle der S.446ff. benutzten eiuwertigen Funktion 1: der soll hier die Funktion:
(7)
zero)
=
I~2
9(1 + .,;(w) -~)
eingeführt werden, deren Spitzenwerte sich aus denen von 1:(ro) so berechnen: (8) z(ioo) = 00, z(O) = 9, z(± ~-) = 1, z(± t) = O. Mitte1st zero) werden die Bereiche der Fig. 39 und 40 auf Riemannsche Flächen mit 2 bzw. 3 Blättern abgebildet; und zwar hat die erste Fläche zwei Verzweigungspunkte bei z = 00 und z = 0, die zweite· aber zwei
536
II, 6. Die speziellen Transfol"luationsgleichungen höherer Stufen
dreiblättrige Verzweigungspunkte bei z = 00 undz = 1. Als einwertige Funktionen der beiden Gruppen T 24 und T S6 kann man demnach:
(9) benutzen, wo die erste Wurzel auf der imaginären ro-Achse positiv und die zweite reell gewählt werden mag. Die Spitzenwerte der Funktion y sind dann: .
{
(10)
y(± -D = y(t) = 0,
Y(iOO) = 00,
y(t) = y(t) = - 1, y(o) = 3,
y(± i) = 1,
y(l) = - 3,
diejenigen der Funktion x aber:
(11)
{
x(o) = 2, x(± 1)
X(iOO) = 00,
2 s 'f\
=
x(± t) = - 1,
x(± t) = - s±1, x(± {-) = x(± t) = x(± .~) = 0, 2i'"
wo s die dritte Einheitswurzel e tution Sauf y und x ist: y(ro
(12)
+ 1) =
Gegenüber V1 =
-
3
bedeutet. Die Wirkung der Substi~
y(oo),
x(ro
(3~' 130) und V2 =
+ 1) =
G:!)
S-1 X(OO).
substituiert sich y(oo) li-
near, da diese Substitutionen die T 24 in sich transformieren. Durch Vi werden die Spitzen 00 = i 00, - 3, - .~ bzw. in ro = t, 0, 1 übergeführt,. bzw. in y = 1, + 3, - 3. Hieraus und also die Werte y = 00, - 3, schließt man leicht auf die erste der beiden Gleichungen:
°
y( V1 (ro)
(13)
y(ro)-3 y(ro) + l '
=
(
Y V 2 (oo)
)
=
y(ro)+3
_ y(ro) + 1 '
während die zweite entsprechend folgt. Durch Kombination mit der ersten Substitution (12) ergibt sich für y eine aus den sechs Substitutionen: ,
(
, Y - 3 , _y+3 ± y l' Y = + y _ i
+
14) Y = ± y, y = bestehende Diedergruppe G6 •
Entsprechendes gilt für x( ro). Hier ist die Wirkung der obigen Substitutionen
V;, V;, V;:
(15)
x
) (V1'(00
=
x(ro)--2
x(c,;l+l'
-
X(V;(oo)
=
x(V:'m) ___ X(ro l -_2c._ 2
(VJ) -
::" ,
c'X(ro)
+1 '
-~~i~T
woraus man durch Kombination mit der zweiten Substitution (12) zwölf,. eine Tetraedergruppe bildende Substitutionen erhält:
(16)
:c' =
ePX,
, X =
x-2
-
e x+ l' P
11
=0, 1,·"
537
Modulfunktionen sechster Stufe
Die Funktionen x und y, die zufolge (9) in der Beziehung:
y2 = x 3 + 1
(17)
stehen, bilden zusammengenommen ein einfachstes System von Funktionen für die Hauptkongruenzgruppe sechster Stufe T 72 • Alle Funktionen dieser T 72 sind dann rational in x und y darstellbar. Diese Darstellungen sollen ins besondere für die mit y und x gleichberechtigten Funktionen angegeben werden. Zufolge (5) können wir für die vier mit der I~4 gleichberechtigten Gruppen als einwertige Funktionen:
(18)
yo(ro) = y(ro),
Yl(ro) = y(V;(ro», Y2(ro) = y(V;(ro»), Ys(ro)
=
y(V;(ro»)
benutzen. Hieran reihen sich zufolge (6) für die drei mit rechtigten Gruppen die Funktionen:
(19)
xo(ro) = x(ro),
x 1 (ro) = x(V1 (ro»),
r S6
gleichbe-
x 2 (ro) = x(V2(ro»).
Nun ergibt sich mit Benutzung von (15) und (17):
Yi = x(V;(ro»)3+ 1 = 1 +
(:+;~:~y.
Der rechts stehende Ausdruck muß sich mit Hilfe von (17) in das Quadrat einer rationalen Funktion von x und Y umwandeln lassen. In der Tat findet man:
1
2-
X)S
+ (1 + x
1 - x
+ x'
= 9 ( 1+ x)"
+ XS (3 y )2
1
= 9 (1+ X)4 =
(1
+ x)"
,
'womit der Ausdruck von Yl in x und Y bis auf das Vorzeichen gegeben 'ist. Das Vorzeichen aber bestimmt man leicht durch Eintragen des Wertes ro = O. Entsprechend findet man die Ausdrücke für Y2 und Ys' Es gilt der Satz: Die drei mit Y gleichberechtigten Funktionen Yl' Y2' Y3 stellen sich in x und Y wie folgt dar: (20)
Yl =
3y
-
(1
3y
+x)"
Ys= - (l+sx)"
Eine ähnliche Rechnung wird man für die Xli x 2 leicht ausführen. Die mit x gleichberechtigten Funktionen Xl und x 2 stellen sich in x und Y so dar:
(21)
Xl
= -
1
2x
+ y'
x2 = -
2x
1 _ Y,
Ein paar naheliegende Folgerungen aus (17) und (20) sind:
(22)
1
1
1
1
1
1
114
fY + Y1 + Y;+Y;=0,
1y2 + Yi + y1 +y~ Y . Yl' Y2' Ys =
-
=
27.
3'
538
II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen
Ebenso ergibt sich aus (17) und (21):
r ~ + -~ + ~x. X,
X
1x" + xi + x~
(23)
1
1
=
° '
1
x . Xl . X 2 =
S
=
-
-
4.
4 '
Um die folgenden Rechnungen nicht unterbrechen zu müssen, stellen wir noch die Wirkung der Substitution T
°
C.:\,1 0)auf Y (ro) fest.
°
=
Die
(mod 6), r = (mod 2) charakteriGruppe T· r 24 • T-l ist durch ß siert. Den gleichen Kongruenzen genügt aber die Gruppe v~· r u ' v;- t, so daß die beiden Funktionen Y (
ro ~)
und Yl (ro) linear zusammenhängen:
(- 1) _ ay, (ro) + b
Y --;;;- - Cy, (ro)+ d-' Man setze nacheinander die drei Wede ro findet, daß den Werten Yl(ro) 00, -
=
=
ioo,
°
und - 1 em und
0, -1, -3 bzw. die Werte Y(-:-~)=3,
3 entsprechen. Hieraus bestimmen sich die Koeffizienten a, b, C, d:
(24)
Y
(=: 1)
=
-
~~t~}~-~_.
§ 11. Die Thetarelationen des dritten Transformationsgrades. Die drei Nullwel'te der geraden Thetafunktionen bezeichnen wir wie üblich kurz durch 8-~ für v = 0,2,3 an Stelle der ausführlichen Schreibweise 8-,,(q). Sie gehen durch die erste Haupttransformation dritten Grades über in 8-,,(qS), wofür wir kurz ()" schreiben. Für die übrigen drei Transformationen dritten Grades werden wir unten die Bezeichnungen ()~ll, ()~2), ()~S) näher erklären. Diese Größen stehen nun in nächster Beziehung zu den in § 10 betrachteten Funktionen sechstel' Stufe, und umgekehrt werden wir die zum dritten Transformationsgrade gehörenden ,,'rhetarelationen" aus den grundlegenden algebraischen Relationen des vorigen Paragraphen ableiten können. Znnächst sind der Integralmodul k 2 (ro) und die durch die erste Haupttransformation entstehende Funktion k 2 (3ro) gegenüber der r 24 invariant und also rational in Y darstellbar. Man stellt sehr leicht die Werteverteilung jener beiden Funktionen im Bereiche der Fig. 39 fest, indem man einmal die ursprüngliche ro-Teilung (für k 2 (ro»), sodann die auf ein Drittel reduzierte ro-Teilung (für Jc2(3ro» einträgt. Es ergeben sich daraus die Darstellungen: (1)
k 2 (ro) =
(::r
=
(y _
~~(~3+ S)"'
k!(3ro) =
(~!r =
(y _
i)~~ +3)'
Darstellung der Funktionen sechster Stufe durch Thetaquotienten
539
Mit Benutzung von (23) in I, 419 folgt hieraus weiter:
(,{To)' = ,{T.
,(2)
(00)4 Os
(Yj--~JY - 3)S (y-l)(y+3)3'
+ l)S(y -
(y
=
3) .
(y_l)8(y+3)
Für den zum zweiten Teilungsgrade gehörenden Teilwert 0 01 der Sigmafunktion ergibt sich aus einer in I, 452 aufgestellten Gleichung bei wiederholt er Benutzung der Produktdarstellung der Diskriminante A:
II (1 + q2>n)2, OC)
0 01 (ro l , ro 2) IVA
-2 qi
=
rrt= 1
(3) wo A~ im Sinne von S. 438 gebraucht ist. Den Übergang zur ,f}2-Funktion vermitteln die Gleichungen: V;-!y:d0 0l (ro U ro 2)
=
V;~ Y.d~00j(3rov
,f}2'
ro 2)
=
(}2·
, Aus (3) ergibt sich daraufhin leicht:
VLlLi--; ( 6 4
2 (,{T.) O. =
(4)
.
.
12 _. __.
01 (011' 01 2 ) .)2 6 01 (3 o1~)-
i"/LlsLli
= V ~ Llä
.
Nun folgt aus den S. 447 ff. entwickelten Gleichungen der Transformation 13echsten Grades: LI. LI
"'('"
+ 4)S
",'(2",
LI"
+ 9)4
",5(2'1"
Ll6
+ 9)
28(2'" + 9)' -Li- = 31"(", + 4)" LI' = 2 8 .3'"(", + 4) • Bei Zusammenfassung dieser Gleichungen ergibt sich unter Einführung der Funktionen z und y von § 10:
~"Jl =
3
12 ('"
~~r
(9 (1 + !))
=
6
=
Z6
=
y12.
Man wird also zur ersten der drei folgenden Gleichungen geführt:
(!:f
(!:r
(5) = y, (~~f = ~ +~, = ~-+ ~, während sich die zweite und dritte durch Vermittlung von (1) und (2) berechnen. l ) Auf die Gleichungen (5) übe man die Substitution T = (_~: ~) aus, deren Wirkung auf y in (24) S. 538 berechnet ist. Die ursprünglichen ,f}-Nullwerte transformieren sich zufolge (4) in I,482 so:
( "i)2 =
,f}o e-o~
-
( n;)
,f}2 e- w ,
iro,f}2(q)2,
,f}3(e-: f i
2
=
-
iro,f}o(q)2,
iro,f}3(q)2. Für die transformierten Thetanullwerte ergibt sich entsprechend: =
-
1) Bei Wurzelziehungen wolle man die zutreffenden Einheitswurzeln stets durch Betrachtung der Werte unserer l!~unktionen auf der imaginären O1-Achse bestimmen.
Hier liegt rechts die zweite Haupttrausformation dritten Grades vor, Itir die wir folgende Abkürzungen einfÜhren: itv (q~)
=
i
V3 ()i1).
Die Gleichungen (5) rechnen sich damit um auf: (6)
(o~:)
Y
= YlI
(o:ilY
=
~: ~~, (o~;)
Y ~: +:. =
Um die beiden letzten Repräsentanten zu gewinnen, üben wir auf (6) die Substitutionen
(~: :) und C~, 116) aus, wobei Y1 in Y2 bzw. Ys übergeht,.
die ity unverändert bleiben und die 8~1) die transformierten Größen ()~2) bzw. {)~S) liefern mögen. Unter Hinzunahme der Gleichungen (6) findet man: (7)
(~:)r=Yi' (-~:)Y=~~:,
(:J)Y=~:+:'
i=I,2,3,
Aus (20) S.537 folgt:
1+x
=
iVS1/i. V Yl
Mitte1st (5) und (6) folgt hieraus die erste der Gleichungen: (8
)
1+x=iV3+, 1+x1=iV3-j-, 1+x =iV3-0s...· s -
(:p) 2
-
0(1) 0
-
0(1)
2
Die zweite und dritte Gleichung kann man aus der ersten etwa durch Ausübung der S. 536 erklärten Substitutionen V1 , V2 gewinnen, denen gegenüber Y und Y1 gleiche lineare Substitutionen erfahren. Durch Multiplikation je zweier Gleichungen (8) lassen sich bei Benutzung der Relationen (23) S. 538 hieraus noch die Formeln:
(9)
herstellen. Schließlich notieren wir noch die aus (1) und (2) leicht gewinnbaren Gleichungen:
541
Thetarelationen beim Transfonnationsgrade 3
f y+1 =
v,a,~eI
2
2
- 1/-1l'~00 1~ y-3-V-Il'g02'
(10)
1
l.Fso~
.F.OZ' y-1 = V -Il'.I:Ig'
~ _ 1/-1l'~03.
Y+3-V-Il'gO.
Die Thetarelationen des dritten Transformationsgrades sind nun einfach die Ergebnisse der Elimination der x und y aus den vorstehenden Gleichungen, wobei die in § 10 aufgestellten Beziehungen zwischen den x, y heranzuziehen sind. Setzt man z. B. den aus (5) folgenden Wert von y der Reihe nach in die vier Gleichungen (10) ein, so entstehen die Relationen: -Il'i + O~ _ 1 I og -Il" -- 0' 1 16i
2-V-ll'.~ = V -Il':'
2V-ll'.0. - V -Il'o'
{t~ -
30;
2Y{t282
=
y:g,
{t;
+ 30; =
2 Y{t2 02
o
y:g. "
Aus den beiden ersten Gleichungen (5) folgt:
({ti + 30~)0~, aus der zweiten und vierten Gleichung (10): ({t~ -
0D{t~
=
{t~0~ - (t~0~ = 2{toOo V{t2{tS YOsO;, aus den beiden letzten Gleichungen (10):
ß1 _ 'V-ll'8 _ 1 I-Il'g V e. 00 V Os
1
=
0
'
aus dreien unter ihnen:
1/01 V -Il's
+ 1/0~ _ V -Il'o
1/-1l'; =
V O.
O.
Die erste Gleichung (23) S.538 schreibt sich mit Hilfe von (8) in: 00
oo - i,/30(1) Y 0
+
0_ ~
O. i'!sll(l)
y
+
iJV2
um, mitte1st der Gleichungen (9) aber in:
I 0(,1)0(1) 1/0(1)0(1) 1 10(1)0(1) ,;V -'-"+ V -=-_"_,_0_ + V_O _'- + i r 3 = 0.1 ) 0,0 Os Oe 0 O.
1
3
0
1) Ähnliche Ausführungen für den fünften Transformationsgrad finden sich in der Dissertation des Verfassers "Über Systeme elliptischer Modulfunktionen von niederer Stufenzahl" (Braunschweig 1885).
Sachregister. Die Stichworte sind gesperrt gedruckt. Wiederholungen von Stich worten sind durch Bindestriche angedeutet. Die Ziffern beziehen sich auf die Seiten.
A. Abelsche Gleichungen 61. Abelsche Gruppe 4, 14ff.; - - G' 56 bei den Additionstheoremen 168. Abeteche Relationen 240ff. Abgeleitete binäre quadratische Form 137. Additionstheorem des Integrals zweiter Gattung 159, 183; -e der iO- und SJ'· Funktion 160 ff., in invarianter Gestalt 162, 164; -e der Funktionen sn, cu, dn 166, 180; -e der Thetafunktionen 177 ff.; -e für mehrgliedrige Argumentsummen 183. Adjunktion einer Zahl zu einem Körper 33; gleichzeitige - mehrerer Zahlen zu einem Zahlkörper 35 ff.; gleichzeitige - mehrerer Funktionen zu einem Funktionenkörper 66 ff. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper 33; konjugierte - 33; - -, allgemeiner Begriff 78; ganze - 78, 85ff. Algebraische Zahlkörper n'en Grades 83. Allgemeine Teilungsgleichung, s. "Teilungsgleichung" . Allgemeine Transformationsgleich ung,s." Transformationsgleichung". Alternierende Gruppe 26. Am bige quadratische Form 140. Xquivalenz der Ideale 104; - der Zweigideale 132; - der quadratischen Formen 138. Arithmetisch-geometrisches Mittel 495. Assoziatives Gesetz bei Gruppen 2. Assoziierte Zahlen 86. Auflösung einer algebraischen Gleichung 55ff., 75; - der allgemeinen Teilungsgleichung 225. 231 fl·., der speziellen 262ff.; - der Transformationsgleichung der so-Funktion 280.
Ausgezeichnete Untergruppe 8;: Sätze über - -n 9ff.; größte - - 12.
B Basis des Systems der ganzen Zahlen eines algebraischen Körpers 87; eines Ideals 91, 99 ff.; - eines Zweigideals 135. Bilinear, -e Substitutionen in der Komposition der quadratischen Formen 149; -e Verbindungen aus Funktionen Xi. (u i rot , ro.) 320 ff.
C Charaktere der Klassen quadratischer Formen 152.
D Darstellung von Zahlen durch quadrutische Formen 151. Determinante von Brioschi und Kiepert 186. Differentialgleichung, deren Integral das Additionstheorem liefert 163; partielle - der Funktion 1/J(n) 191 ; partielle - der Funktionen G(z) bei den Multiplikationssätzen 208. Diskriminante von n Zahlen eines algebraischen Körpers 84; - eines Körpers 86; - eines quadratischen Körpers 121; - einer quadratischen Form 137; transformierte - LI, Beziehung zu den Teilwerten 298ff.; Transformationsgleichungen für die - LI 339ff., 343, 380 usw. Divisionstheoreme für die Funktionen 8J, IP' 210ff.; - für die Funktionen zweiter Stufe 235ff. Durchschnitt mehrerer Gruppen 8. E Eigentliche Transformation n'en Grades 276.
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
543
Sachregister Einfache Gruppe 8. Einhei ten in algebraischen Körpern 85. Einheihelement einer Gruppe 3. Einhei tsideal 90. Einheitswurzel, primitive n ten Grades 57. Element einer Gruppe 2. Elliptische Funktionen n ter Stufe, 225ff., ihre Berechnung durch Radikale 230. Erzeugendes Element einer zyklischen Gruppe 6.
F Faktorenzerlegung einer Funktion in einem Körper 32; - eines Ideals 95 ff. Form, s. "Quadratische Form". Formklassen 138; Beziehung der zu den Klassen der Zweigideale 147. Funktionenkörper 64; Funktionen und Gleichungen in einem - 65. G Galoissche Gleichungstheorie 46ff., 54 ff. Galoissche Gruppe einer Gleichung 46, 73; - - der speziellen Teilungsgleichung 260, ihre arithmetische Darstellung 261; der speziellen Transformationsgleichungen 459 ff. Galoissche imagin äre Zahlen 462 ff. Galoissche Körper 41, 72. Gruppe der Transformationen eines -n -s in sich 46, 73; Idealtheorie der -n - 1Uff. Galoissche Probleme bei primzahligen Teilungsgraden 264. Galoissche Resolvente 42, 72; der speziellen Teilungsgleichung 255ff. Galoisscher Satz über Resolventen 5 ton, 7ten und 11 ten Grades der speziellen Transformationsgleichungen 475ff. Gaußsche Transformation 293. Geschlecht des Transformationspolygons 356, des Klassenpolygons 366. Geschlechter der Klassen quadratischer Formen 154. G le ich berech tigteU ntergrupp en 7. Gleichungen in einem Körper 32,65; Kreisteilungs- 57; zyklische - 59; Abelsche 61; algebraisch lösbare - 63ff.; - fünften Grades, aUge-
meine Bemerkungen 521 ft·.; s. auch "Teilungsgleichungen", "Transformationsgleichungen", "Modulargleichungen", "Multiplikatorgleichungen". Grad einer Permutationsgruppe 19; eines Primideals 108; - eines Zweiges im quadratischen Körper 122; der Teilung 210, der Transformation 275. Grundzahl eines Körpers 86. Gruppe, allgemeiner Begriff einer endlicher Ordnung 1; Grundeigenschaften einer - 2; einfache - 8; zusammengesetzte - 8; kommutative oder Abelsche - 4, 14; Permutations- 18; Galoissphe - einer Gleichung der 46, 73; Monodromie- 77; Idealklassen eines Körpers 107; der allgemeinen Teilungsgleichung 214, der speziellen Transformationsgleichungen 459. Gützlaffsche Modulargleichung 525.
H Hauptform 141. Hauptgeschlech t bei den Klassen . quadratischer Formen 154. Hauptideal 92. Hauptklasse der Ideale 105; - der quadratischen Formen 141. Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe in der Gruppe r{U) 220 ff., in der Gruppe r(OJ) 222, 254, ihr Index 223. Haupttransformation, erste und zweite n ten Grades 278 ff. Hermitesche Resolvente fünften Grades 520. Homomorphe Gruppen 10. I Ideal, allgemeiner Begriff 89ff.; Darstellung eines -s 91; Multiplikation der -e 93; Faktorenzerlegung eines -s 95ff.; Basis eines -s 99ff. Idealklassen eiues Körpers 105; Multiplikation der - 107. Identische Permutation 18. Ikosaedergruppe, ihr Auftreten in der Gi 474; Sätze über ErzeuT n (n'-1)
gung der - 478. Imaginäre Gestalt Gi 465.
der
T n (n'-1)
Imprimitive Körper 40.
Gruppe
544
Sachregister
Imprimitive Permutationsgruppen 21. Imprimitive Zahlen eines Körpers 39, 83. Imprimitiviti1t, Systeme der - 21. [ndex einer Untergruppe 4. Indexreihe einer Gruppe 13. Integralmodul, Transformation 2,eu Grades des -s 291ff., wiederholte 492 ff.; s. auch "Modulargleichungen" . In transiti ve Permutationsgrupp e 20. Intransitivität, Systeme der - 20; mehrfache - 20. Invariante Gestalten der Additionstheoreme 162ff. Inverse Elemente bei Gruppen 3. Irrationale Modulargleichungen 525 ff. Irrationalität, natürliche - 51, 75; akzessorische - 52; numerische - 76. Irreduzibilität einer Funktion in einem Körper 31, 66; - einer Gleichung in einem Körper 32, 6'l. Isomorphe Gruppen 7.
K Kettenbruchverfahren zur Berechnung von p(nu) 192ff. Klassenanzahl der Zweigideale und Stammideale im quadratiscben Körper 134. Klassenpolygon 357ff., 365, Beziehung zu den quadratischen Formen 363; einfachste Funktionen des - 8 367 ff. Klasse von Idealen eines Körpers 105; -n quadratischer J;'ormen 138; - von Transformationen n teu Grades 275. Kleinsche Funktionen X1(ulw" w2 ) 305 ff., ihre lineare Transformation 308ff.; - - xl(w 1 , w 2 ), ~l(Wl1 w2 ) 315. Kommutativ, -e Elemente bei Gruppen 4; -e Gruppen 4, 14ff. Komposition der quadratischen Formen 148. Kompositionsreihe einer Gruppe 13. Kongruenz ganzer Zahlen beziiglich eines Ideals 101; - der Substitutionen V moi! n 222. Kongruenzgruppen n ter Stufe in der Gruppe r CU ) 220ff., in der Modulgruppe r eW ) 250 ff. Konjugierte algebraische Zahlen 33, 83 j - Ideale 111; - Körper 38, 71, 83.
Körper, allgemeiner Begriff 28; rationaler - 28; J;'unktionen in einem 28; Gleichungen in einem 32, Reduzibilität und Irreduzibilität derselben 32; qua,dratische - 113; Galoissche - 41; Kreisteilungs- 56. Kreisteil ungsgleichnng 57. Kreisteilungskörper 56. Kritische Primzahlen eines algebraischen Körpers 110. L
Lagrangesche Resolvente 60. Landensche Transformation 292; wiederholte - - ·492ff. Legendre-Jacobisches Zeichen bei Transformation der Diskriminante "j 303.
Linear-abhängige bzw. -unabhängige Zahlen eines Körpers 83ff,
Modulargleichungen von Jacobi und Sohnke 496ff" von Schlaefii 502ft'.; irrationale - 525 ff. Modularkorrespondenzen 527ff. Modulformen, Systeme von _ n'er Stufe xl. (w i , w 2 ), Y;. (w 1 , "'2)' Z). (W i , 0]2) 315, 325, 330. Modulfunktionen sechster Stufe, Spezialbetrachtul1g 533 i1'. Monodromiegruppe einer Gleichung der allgemeinen Teilungs77; gleichung 214ff., ihre algebraische Darstellnng 216 ff., ihre Struktur 218 ff.; - der speziellen Teilungsgleichung 462, ihre vollstä,ndige Zerlegung 466ff., 471 ff. Multiplikation der Ideale 93; - der Idealklassen 107; - der Zweigideale 132. Multiplikationstheorem der pFunktion 184; -e für die Funktionen sn, cn, dn 196 ff. Multiplikatorgleichungen von Jaco bi 508ff. N
Ne b engr upp e, Begriff 4. Normalgleichung 43, 72. Normalkörper 41, 72. Norm einer algebraischen Zahl 85; eines Ideals 101.
Sachregister
o Oktaedergruppe, ihr Auftreten in der G l 474. Q
n(n'--l}
Ordnung einer Gruppe 1. Orthogonale Substitutionen bei der Weierstraßschen Sigmarelation 159.
p
Periode eines Gruppenelementes 6. Permutation 18; identische - 18; zyklische - 19. Permutationsgruppe 18; transitive und intransitive -n 20; primitive und imprirnitive -n 21. Potenzsummen 25. Primideal 95; Zerlegung rationaler Primzahlen in -e 108, in Galoisschen Körpern 112, in quadratischen Körpern 115. Primi ti v, -e Funktionen eines Körpers 71; -e Körper 40; -e Permutationsgruppen 21; -e Zahlen eines Körpers 39, 83. Primzahlen in rationalen Körpern 88; kritische - eines algebraischen Körpers 110; Zerlegung rationaler - in Primideale 108, in Galoisschen Körpern 112, in quadratischen Körpern 115. Produkt, symbolisches - von Substitutionen 1. Punkt gi tter bei den Basen der Zweigideale 136.
Q
Quadratische Form, ganzzahlige bin1i,re - - 137; Teiler einer - 137; ursprüngliche - - 137; abgeleitete - - 137; Diskriminante einer -n - 137; positive und negative -en 138; geometrische Deutung der -n -en '139; reduzierte - - 140; entgegengesetzte - -en 140; zweiseitige oder ambige -en 140; Komposition der -n -en 148. Quadratische Zahlkörper 112, 121 ff. Quotientengruppe 10.
R Rational- bek ann t, Begriff einer -en Größe 43. Reduzibilität einer Funktion oder Gleichung 31 fr., 66ff, Reduzierte quadratische Form 140. 1!'ric k e I Die elliptischen
J!""1
unktionen 11
545
Reihe der Zusammensetzung einer Gruppe 13. Repräsentanten für Transformation n'on Grades 276. Repräsentantensystem 16'er Stufe für Transformation n ten Grades 529; 48 stor Stufe 504, 'liter Stufe 527. Resolvente, Tschirnhausen- - 26; rationale - einer Gleichung 52; Galoissche - einer Gleichung 53; -n fünften Grades beim fünften Transformationsgrade 483, zweiter Stufe 516ff.; -n siebenten und elften Grades 486ff.
S Sigmarelation von Weierstraß 158; die 256 dreigliedrigen -en 173. Singuliir, -e Periodenpaare 137; -er Periodenquotient 137. Spezielle Teilungsgleichung, 8. "Teilungsgleichung" . Spezielle Transformationsgleic h u n g, s. "Transformationsgleichung" . Spur einer algebraischen Zahl 85. Stammdiskriminante bei quadratischen Körpern 122. Stamm eines quadratischen Körpers 122. Stammideal in quadratischen Körpern 124. Stammklassen von Idealen in quadratischen Körpern 131. Strahl in einem' quadratischen Körper 125. Symmetrische Funktion 24. Symmetrische Grundfunktionen 24. Symmetrische Gruppe 19.
'I' Teilerfremde Funktionen 30. Te i 1er, größter gemeinsamer - zweier Funktionen 30, 65; - einer ganzen algebraischen Zahl 87; größter gemeinsamer - zweier Ideale 96; einer quadratischen Form 137. Teilungsgleichung, allgemeine der S"-Funktion 211, ihre Monodromiegruppe 214ff., ihre Auflösung 225, 231 ff.; spezielle - der S"-Funktion 245, irreduzibele 247, ihre Galoissche Resolvente 255ff., ihre Auflösung262 ff. Teilwerte der Funktionen S" und ßJ' 213, 244ff., der Funktionen 6 und 6' 226; - der Funktionen sn, cn, dn 265ff. 35
Sachregister
546
Tetraedergruppe, ihr Auftreten in der G, 474. "in(n'-l)
Thetarelationen 296, für den dritten Grad 539ff. Totalcharakter einer Klasse quadratischer Formen 154. Transformation eines Gruppenelementes 6; -en eines Galoisschen Körpers in sich 44; - der elliptischen Funktionen, allgemeiner Ansatz 270ff.; - n'on Grades der elliptischen Funktionen 275, Klassen und Repräsentanten 275 ff.; eigentliche _ n'e" Grades 276; - n ten Grades der fPFunktion 279 ff., der 6-Funktion 284 ff.; - zweiten Grades der Thetafunktionen 286ff.. des Integralmoduls 291, der Funktionen zweiter Stufe 292; Landensche - 292; Gaußsche - 293; - ungeraden Grades der Funktionen zweiter Stufe 293ff.; - der Diskrimi11ante LI und Teilwerte 298ff.; _ n ten Grades der Diskriminante LI 343; n ten Grades von g2 und gs 342, 380, 382 usw.; - von J(ro) der Grade 2~ 371 fr., der Grade 3~ 3b3 ff., der Grade 5~ und 7~ 389 ff., primzahliger Grade 403 ff., 424 ff., zusammengesetzter Grade 437 ff., 446 ff. TransformationsfHtche 351ff., ihr Geschlecht 356. Transformationsgleichung der gJ:Funktion 279, ihre Lösung 280; spezielle -en als Resolventen der Teilungsgleichungen 335ff.; spezielle-en, allgemeine Ansätze 342 ff.; spezielle - für j(ro) = 12 s J(ro) 345; algebraische Methode zur Aufstellung der -en 367 ff.; spezielle -en erster Stufe für niedere Grade 371ff.; spezielle -en höherer Stufen 491 ff.
Transfor mation s p olygon349ff.; einfachste Funktionen des -s 367ff. Transitive Permutationsgruppen 20. Tschirnhausenresolvente 26. Tschirnhausentransformation 26.
U Untergruppe, Begriff 4; größte 11; gleichberechtigte -n 7; ausgezeichnete - 8. Ursprünglich, -e quadratische Form 137. Vertausch bare Gruppe 4.
V Elemente
einer
Weierstraßsche Sigmarelation 158. Wertig kei t einer Funktion g(z, , Z2' ""sn) gegenüber der symmetrischen Gruppe 24.
Z Zahlkörper, allgemeiner Begriff 28. Zahlstrahl in einem quadratischen Körper 125. Zusammengesetzte Gruppe 8. Zweigdiskriminante bei quadratischen Körpern 122. Zweig eines quadratischen Körpers 122. Zweigideal in einem quadratischen Körper 124. Zweigklassen von Idealen in quadratischen Körpern 131. Zweiseitige q uadratis che Formen 140. Zy kIen in Permutationsgruppen 19. Zyklische Gleichungen 59. Zyklische Gruppen 6.
Bemerkte Versehen in Band 1. S. 459, Tabelle, letzte Zeile, mittlere Spalte: Im Zähler muß 'Yk(roT statt Yk(ro) stehen. S. 475, erste der drei mit (± 1') bezeichneten Gleichungen: Im Nenner der rechten Seite muß cn (w, k 2) statt dn (10, k~) stehen.
