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Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 3: Differential- und Integralrechnung
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Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 3: Differential- und Integralrechnung
SpringerWienNewYork
Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. © 2006 Springer-Verlag/Wien Printed in Austria SpringerWien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck: Börsedruck Ges.m.b.H., 1230 Wien, Österreich Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier - TCF SPIN: 11558675
Mit zahlreichen Abbildungen
Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.
ISBN-10 ISBN-13
3-211-29689-1 SpringerWienNewYork 987-3-211-29689-9 SpringerWienNewYork
Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 ( Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weitere Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.
Gliederung des dritten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 12 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x
Folgen, Reihen und Grenzwerte: reelle Zahlenfolgen, Eigenschaften von Folgen, arithmetische- und geometrische Folgen, arithmetische endliche Reihen, geometrische endliche Reihen, Grenzwerte von unendlichen Folgen, Grenzwerte von unendlichen Reihen, geometrische unendliche Reihen.
x
Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit: Grenzwerte einer reellen Funktion, Stetigkeit von reellen Funktionen, Eigenschaften stetiger Funktionen, Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen,
x
Differentialrechnung: Differenzen- und Differentialquotient (Sekante und Tangente), Ableitungsregeln von reellen Funktionen in kartesischer Darstellung, Parameterdarstellung und Polarkoordinatendarstellung , Krümmung ebener Kurven, Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken, Kurvenuntersuchungen, Extremwertaufgaben, Differential einer Funktion (angenäherte Funktionswertberechnung und Fehlerbestimmung), Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen (Newton-Verfahren und Regula Falsi), Interpolationskurven, Funktionen in mehreren Variablen, partielle Ableitungen, Fehlerrechnung, Ausgleichsrechnung.
x
Integralrechnung: unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral, Integrationsmethoden, uneigentliches Integral erster und zweiter Art, numerische Integration (Mittelpunkts- und Trapezregel, Kepler- und Simpsonregel), Berechnung der Bogenlänge, Flächenberechnung (ebene Flächen und Matelflächen von Rotationskörpern), Volumsberechnung, Schwerpunktsberechnung, Trägheitsmomente, Biegelinien, Arbeitsintegrale, hydromechanische Berechnungen, Mittelwerte, Mehrfachintegrale.
Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.B. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung ( QuickSheets Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.B. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.
Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Januar 2006
Josef Trölß
Inhaltsverzeichnis
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1.1 Folgen
1 ... 34
1
1.1.1 Arithmetische Folgen
9
1.1.2 Geometrische Folgen
13
1.2 Reihen
20
1.2.1 Arithmetische endliche Reihen
20
1.2.2 Geometrische endliche Reihen
22
1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen
26
1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen
29
2. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit
35 ... 62
2.1 Grenzwerte einer reellen Funktion
35
2.2 Stetigkeit von reellen Funktionen
40
2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen
44
2.2.2 Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen
46
3. Differentialrechnung 3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient 3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten 3.2 Ableitungsregeln für reelle Funktionen
63 ... 252
63 69 73
3.2.1 Ableitung der linearen Funktion
73
3.2.2 Potenzregel
73
3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel
76
3.2.4 Produktregel
78
3.2.5 Quotientenregel
79
3.2.6 Kettenregel
81
3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung
85
3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion
90
3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen
99
3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen
105
3.2.11 Höhere Ableitungen
111
3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
114
3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung
123
3.2.14 Krümmung ebener Kurven
128
3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken
134
Inhaltsverzeichnis
3.3 Kurvenuntersuchungen
138
3.4 Extremwertaufgaben
177
3.5 Das Differential einer Funktion
190
3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung
191
3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung
194
3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen
198
3.6.1 Das Newton-Verfahren
198
3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi)
203
3.7 Interpolationskurven
207
3.8 Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen
217
3.8.1 Allgemeines
217
3.8.2 Partielle Ableitungen
222
3.9 Fehlerrechnung
236
3.10 Ausgleichsrechnung
242
4. Integralrechnung
253 ... 413
4.1 Das unbestimmte Integral
253
4.2 Das bestimmte Integral
256
4.3 Integrationsmethoden
264
4.3.1 Grundintegrale
264
4.3.2 Integration durch Substitution
272
4.3.3 Partielle Integration
277
4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung
280
4.4 Uneigentliche Integrale
287
4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art
287
4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art
291
4.5 Numerische Integration
294
4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel
294
4.5.2 Kepler- und Simpsonregel
298
4.6 Anwendungen der Integralrechnung
306
4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve
306
4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten
315
4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve
315
4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven
322
4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern
329
4.6.3 Volumsberechnung
334
Inhaltsverzeichnis
4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten
342
4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes
343
4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche
345
4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche
352
4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers
353
4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten
356
4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment
356
4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment
361
4.6.6 Berechnung von Biegelinien
366
4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen
378
4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik
387
4.6.9 Berechnung von Mittelwerten
390
4.7 Mehrfachintegrale
402
4.7.1 Doppelintegrale
402
4.7.2 Dreifachintegrale
408
Anhang
414... 486
Übungsbeispiele
414
Literaturverzeichnis
479
Sachwortverzeichnis
481
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1.1 Folgen Reelle Zahlenfolgen heißen solche Funktionen, bei denen die Definitionsmenge D eine Menge natürlicher Zahlen ( D ² bzw. D ² ) und der Wertebereich W eine Menge reeller Zahlen ist.
o W n |of(n) = an
f: D
(1-1)
Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Zahlenfolge. Die Glieder, also die Zahlen a0 , a1 , a2 ... , bzw. a1 , a2 , a3 ... sind die zu den Platzhaltern 1, 2, 3 ... (Indizes) gehörigen Funktionswerte. Bezeichnungen: f(n) = an
Funktionsgleichung
an
allgemeines Glied der reellen Folge (Termdarstellung)
a0 bzw. a 1
1. Glied der Folge oder Anfangsglied
ak
k-tes Glied der Folge
an!= a0, a1, a2, ... , an!
bzw. an!= a1, a2, a3, ... , an!
endliche Folge
an!= a0, a1, a2, a3, ... !
bzw. an!= a1, a2, a3, .a3, ...!
unendliche Folge
Beispiel 1.1.1: n
Definitionsmenge
{ 1, 2, 3, ..., 10 }
an!= 1/n != 1; 1/2; 1/3; ... ; 1/10 >
endliche Folge
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 10
Bereichsvariable
an
1
Folgeglieder in einem Vektor zusammengefaßt
n
Vektorausgabe in Tabellenform: an
a 1
Verschiedene Ausgabeformen der Folgeglieder: T
1
1
1
1
1/1
2
0.5
2
1/2
3
0.333
3
1/3
4
0.25
4
1/4
5
0.2
5
1/5
6
0.167
6
1/6
7
0.143
7
1/7
8
0.125
8
1/8
9
0.111
9
1/9
10
0.1
10
1/10
§ ©
a o ¨1
a2 o a10 o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
· 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ¹
1
a2
2 1 10
Seite 1
a10
0.5
0.1
a2 a10
1 2 1 10
symbolische Ausgabe in Vektorform symbolische und numerische Ausgabe der Folgeglieder
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Eigenschaften von Folgen: Eine Folge ak ! heißt 1. streng monoton steigend, wenn für alle k 2. monoton steigend, wenn für alle k
D gilt:
3. streng monoton fallend, wenn für alle k 4. monoton fallend, wenn für alle k 5. konstant, wenn für alle k
D gilt:
D gilt:
D gilt:
6. nach oben beschränkt, wenn für alle k
7. nach unten beschränkt, wenn für alle k Ku heißt untere Schranke von 8. beschränkt, wenn für alle k
D gilt:
ak < ak+1
(1-2)
ak d ak+1
(1-3)
ak > ak+1
(1-4)
ak t ak+1
(1-5)
ak = ak+1
(1-6)
ak d K o
(1-7)
ak t Ku
(1-8)
|ak | d M
(1-9)
ak!
Ko heißt obere Schranke von
M heißt Schranke von
D gilt:
D gilt:
ak!
D gilt:
ak!
Ko, K u, M Beispiel 1.1.2: Geg.:
an = 1/10 ( n 2 -1)
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 10
Bereichsvariable
an
1 10
§ ©
T
a o ¨0 a1 o 0
an
2
allgemeines Folgeglied
n 1 3
4
3
12
7
24
63
10
5
2
5
2
5
10
a2 o
3
a3 o
10
4
8
99
· 10 ¹
a4 o
5
symbolische Ausgabe in Vektorform
3
a5 o
2
12
a6 o
5
a10 o
2
99 10
1
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0
7
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
Abb. 1.1.1
Seite 2
10
11
1
0
2
3/10
3
4/5
4
3/2
5
12/5
6
7/2
7
24/5
8
63/10
9
8/1
10
99/10
numerische Ausgabe in Vektorform
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.1.3: Geg.:
an = (-1)n 2/n
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen und Redefinition der Variablen a
a a
64
Bereichsvariable
n 1 n1 2
n
an ( 1)
a o ¨ 2 1 a1 o 2
Steuerung der Bereichsvariablen mit einem Schieberegler (Slider)
allgemeines Folgeglied
n
§ ©
T
n1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
6
a2 o 1
a3 o
2 3
a4 o
1 2
· ¹
symbolische Ausgabe in Vektorform
a5 o
2
a6 o
5
1 3
a10 o
1 5
2
Wenn für alle k D ak . ak+1 < 0 gilt, so heißt die
1
Folge alternierende Folge ! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
an 1 2 3
Abb. 1.1.2 n
Beispiel 1.1.4: Geg.:
an = 2 cos( n S/6 )
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
a a
ORIGIN festlegen und Redefinition der Variablen a Bereichsvariable
n 1 10
§ ©
an 2 cos ¨ n
S· 6¹
allgemeines Folgeglied
1 1 § 1 · ¨ T 2 2 2 a o ©3 1 0 1 3 2 3 1 0 1 ¹
a5
1
a1 o 3
2
716035 413403
Vorsicht bei der Ausgabe im Format Bruch! Maschinenzahlen!
1
a2 o 1
a3 o 0
a4 o 1
a5 o 3
Seite 3
2
a6 o 2
a10 o 1
Folgen, Reihen und Grenzwerte
2 1
0
an
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abb. 1.1.3
1 2 3 n
Beispiel 1.1.5: Geg.:
an = 2
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 10
Bereichsvariable
an 2
allgemeines Folgeglied (konstante Folge)
T
a o (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )
symbolische Ausgabe in Vektorform
a1 o 2
a4 o 2
a2 o 2
a3 o 2
a5 o 2
a6 o 2
a10 o 2
Konstante Folge
3
2 an
Abb. 1.1.4 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
Beispiel 1.1.6: Geg.:
an = 3 n / (2 n -1)
Ges.:
Es soll gezeigt werden, dass die Folge streng monoton fällt und die Zahl 1 eine untere Schranke ist. Stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
Seite 4
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Bereichsvariable
n 1 10 an
3 n
§ ©
T
allgemeines Folgeglied
2 n 1
a o ¨3 2 a1 o 3
9
12
5
7
5
18
21
8
27
30
· 3 11 13 5 17 19 ¹
a2 o 2
9
a3 o
a4 o
5
symbolische Ausgabe in Vektorform
12
5
a5 o
7
a6 o
3
18 11
a10 o
30 19
4 3 an
2
Abb. 1.1.5 1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
an ! an 1 3 n 2 n 1
!
3 ( n 1) 2 ( n 1) 1
hat als Lösung(en)
Ku = 1
an t Ku 3 n 2 n 1
hat als Lösung(en)
t1
§¨ n 1 · 2 ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 2 n © ¹ § n d 1 · ¨1 ¨ n ©2 ¹
händische Lösung (gilt für alle n
3 n t 2 n 1
Gilt für alle n > 1/2 und damit für alle n ². Die Folge ist daher streng monoton fallend. n < -1/2 kommt hier nicht in Frage, weil n eine natürliche Zahl sein soll. Gilt für alle n > 1/2 und damit für alle n ². Die Folge ist daher nach unten beschränkt. n d -1 kommt hier nicht in Frage, weil n eine natürliche Zahl sein soll.
²)
Beispiel 1.1.7: an = (10 n - 7) / n2
Geg.:
Es soll nachgewiesen werden, dass die Zahl 4 eine obere und die Zahl 0 eine untere Schranke der Folge ist. Stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar.
Ges.:
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 10
Bereichsvariable
an
10 n 7
allgemeines Folgeglied
2
n T
§ ©
a o ¨3
13
23
4
9
33
43
53
9
73
83
93
· 16 25 36 7 64 81 100 ¹ Seite 5
symbolische Ausgabe in Vektorform
Folgen, Reihen und Grenzwerte
a1 o 3
a2 o
13
a3 o
4
23
a4 o
9
33
a5 o
16
43
a6 o
25
53 36
a8 o
73 64
4
4 3 an
2
Abb. 1.1.6
1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
an d Ko ( 10 n 7) 2
d4
hat als Lösung(en)
t0
hat als Lösung(en)
Gilt für alle n ². Die Folge ist daher nach oben beschränkt.
n
n
an t Ku ( 10 n 7) 2
n
7 10
dn
Gilt für alle n t 7/10 und damit für alle n ². Die Folge ist daher nach unten beschränkt.
Anstatt das allgemeine Glied a n in Termdarstellung anzugeben, kann eine Folge durch eine sogenannte Rekursionsformel (rekursiv bedeutet zurücklaufend) festgelegt werden. In diesem Fall wird das erste Glied (oder auch die ersten beiden) und zusätzlich eine Rechenvorschrift angegeben, die es gestattet, alle folgenden Glieder jeweils aus dem vorhergehenden Glied zu berechnen.
Beispiel 1.1.8: Geg.:
b1 = 1 und die Rekursionsformel b n+1 = bn + n2
Ges.:
Wie lauten die ersten 14 Folgeglieder. 2
b1 = 1
b4 = b3 3 = 6 9 = 15 2
b2 = b1 1 = 1 1 = 2 2
2
b5 = b4 4 = 15 16 = 31
Berechnung der ersten 6 Folgeglieder mit der Rekursionsformel
2
b3 = b2 2 = 2 4 = 6
b6 = b5 5 = 31 25 = 56
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 13
Bereichsvariable
b1 1
Anfangswert (Wert des 1. Folgegliedes)
Seite 6
Folgen, Reihen und Grenzwerte
2
Rekursionsformel (Differenzengleichung)
bn 1 bn n T
1
b
1
2
3
1
2
4 6
5
15
6
31
7
56
92
8
9
10
11
12
13
14
141
205
286
386
507
651
820
Beispiel 1.1.9: Geg.:
f0 = 1 , f1 = 1 und die Rekursionsformel fn+1 = fn + fn-1
Ges.:
Wie lauten die ersten 15 Folgeglieder.
f0 = 1
f1 = 1
f4 = f3 f2 = 3 2 = 5
f2 = f1 f0 = 1 1 = 2
f5 = f4 f3 = 5 3 = 8
f3 = f2 f1 = 2 1 = 3
f6 = f5 f4 = 8 5 = 13
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
n 1 14
Bereichsvariable
f0 1
Anfangswerte
f1 1
fn 1 fn fn1 T
f
0
Rekursionsformel (Differenzengleichung) 1
1
0
Berechnung der ersten 6 Folgeglieder mit der Rekursionsformel
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7
13
8
21
9
34
55
10 89
11
12
144
233
Diese Folge wird Fibonacci-Folge genannt.
Beispiel 1.1.10: Geg.:
x = a und die Rekursionsformel zur Berechnung von
Ges.:
Berechnen Sie
1
3
ORIGIN festlegen
n 1 9
Bereichsvariable
x1 3
Anfangswert (Startwert)
ª 3 « ¬ 1
« 2 xn
x1
a: x
n+1
= 1/3 ( 2 x + a/x
3 auf 5 Nachkommastellen genau.
ORIGIN 1
xn1
3
º» xn 2 »¼
Rekursionsformel (Differenzengleichung)
Seite 7
n
2 n
)
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1 1
3
2
2.1111111111
3
1.6317841387
4
1.4634119891
5
1.4425541251
6
1.4422496346
7
1.4422495703
8
1.4422495703
9
1.4422495703
10
1.4422495703
x
3
3
Anzeige auf 10 Nachkommastellen
1.4422495703
Beispiel 1.1.11: Geg.:
un = 2 int(n/2) und vn = n mod 2
Ges.:
Wie lauten die ersten 15 Folgeglieder.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 15
Bereichsvariable
§ n· © 2¹
un 2 floor ¨
int = floor. Gibt die größte ganze Zahl zurück, die nicht größer als der Wert von x = n/2 ist.
vn mod ( n 2)
Modulo-Funktion. Liefert den Rest der Division n/2, wenn der Zähler größer als der Nenner ist, sonst ist das Ergebnis gleich dem Zähler.
T
u
1 0
1
T
v
2
1 1
3 2
2
2 1
4
3 0
5 4
4
4 1
6
5 0
7 6
6 1
8 6
7 0
9 8
8 1
10 8
9 0
10
10 1
0
11 10
11 1
12 12
12 0
13 12
13 1
Beispiel 1.1.12: Geg.:
an = 1 für n ungerade und an = 2n für n gerade.
Ges.:
Wie lauten die ersten 10 Folgeglieder. ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 f ( n)
for k 1 n k
ck m 2
§k· = k © 2¹ 2
if floor ¨
ck m 1 otherwise
Unterprogramm (Funktion) zur Berechnung der Folgeglieder. floor(k/2) = k/2 ist dann gleich, wenn k eine gerade Zahl ist.
c
Seite 8
14 14
14 0
15 14
15 1
Folgen, Reihen und Grenzwerte
n 10
Anzahl der Folgeglieder
a f ( n)
Berechnung der Folgeglieder mit dem Unterprogramm
T
a
1
2
1
1
3 4
4 1
5
6
16
1
7 64
8 1
9
256
10 1
1024
Beispiel 1.1.13: Geg.:
z 1 = 1 und die Rekursionsformel zn+1 =( 5 z n + 3) mod 16
Ges.:
Berechnen Sie die Folgeglieder solange, bis sie sich wiederholen.
ORIGIN 1 a 5
r 3
Vorgabegrößen
k 16
n 1 19
Bereichsvariable
zn 1
Anfangswert
z n1 mod a z n r k T
z
1
2 1
1
8
Pseudozufallsgenerator (liefert Zahlen zwischen 0 und k - 1)
3
4
5
11
10
6
7
8
12
15
14
5
9
10 9
11
0
12
3
2
13
14
13
15
4
7
p k z1
1 p
T
z1
Pseudozufallszahlen zwischen 0 und 1
z 1 1
0.063
2
3 0.5
4
0.688
0.625
5 0.313
6 0.75
7 0.938
8 0.875
9 0.563
10 0
1.1.1 Arithmetische Folgen In einer arithmetischen Folge ist die Differenz d zweier benachbarter Glieder konstant, aber von Null verschieden (für d = 0 liegt eine konstante Folge vor). a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an+1 - an = d
(1-10)
Mit a1 a2 = a1 +d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a 1 + 2 d a4 = a3 + d = a1 + 2 d + d = a 1 + 3 d usw. erhalten wir das allgemeine Folgeglied: an = a1 + (n - 1) d
mit d und n ² bzw.
an = a0 + n d
mit d und n ²
Seite 9
(1-11)
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Mit (1-10) erhalten wir durch Addition das allgemeine Folgeglied aus dem sich daraus ergebenden arithmetischen Mittel seiner Nachbarglieder: an-1 = an - d an+1 = an + d -----------------------an-1 + an+1 = 2 an und damit an = 1/2 (an-1 + an+1 )
(1-12)
Arithmetische Folgen treten überall dort auf, wo sich ein gewisser Anfangswert mehrmals um einen festen Wert vermehrt oder verringert.
Beispiel 1.1.14: Geg.:
an = 2 + (n - 1) 1/2
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 10
Bereichsvariable
an 2 ( n 1)
§ ©
T
a o ¨2
5 2
3
1
allgemeines Folgeglied
2 7
9
4
2
2
5
11 2
13
· 2 ¹
6
symbolische Ausgabe in Vektorform
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
an an
d = 1/2 Die Folge ist streng monoton steigend. a3
1
Die Folgeglieder bilden eine Menge äquidistanter Punkte, die auf einer Geraden liegen.
2
a1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abb. 1.1.7
n
Beispiel 1.1.15: Geg.:
an = 4 + (1 - n) 5/7
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge, und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
a a
Bereichsvariable
n 1 10 an 4 ( 1 n)
ORIGIN festlegen und Redefinition von a
5 7
allgemeines Folgeglied
Seite 10
Folgen, Reihen und Grenzwerte
§ ©
T
a o ¨4
23
18
13
8
3
2
7
7
7
7
7
7
5 4 3 2 1
an an
1 2 3 4 5
1
12
17
7
7
· ¹
symbolische Ausgabe in Vektorform
a1 5 a3 7
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
d = - 5/7 Die Folge ist streng monoton fallend 11
Abb. 1.1.8 n
Beispiel 1.1.16: Einem Festplattenlager von anfänglich B 0 = 5000 Stück werden täglich durchschnittlich 186 Stück entnommen. Wie groß ist der Lagerbestand nach 21 Tagen ? Nach wie vielen Tagen sinkt der Lagerbestand erstmals unter 500 Stück ? ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
Stk 1
Einheitendefinition
k 25
Anzahl der Tage
t 0 k
Bereichsvariable
B0 5000 Stk
Lagerbestand
d 186 Stk
konstante Differenz
Bt B0 d t
arithmetische Folge
5000 t1 ( 186) 500
hat als Lösung(en)
t1 24
Nach dem 24. Tag sinkt der Lagerbestand erstmals unter 500 Stk.
750 31
t1
750 31
§ 750 · © 31 ¹
24.19 und floor ¨
6000 21
t1
Anzahl
4500 Bt Stk
3000 B 21 500
1500
0 1 2 3
4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 t Tage
Abb. 1.1.9
Seite 11
24
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.1.17: Im Allgemeinen verlieren Wirtschaftsgüter (Gebäude, Computer, PKW, Büroeinrichtungen usw.) mit der Zeit ihren Wert. Wir sprechen dann vom Buch- oder Restwert eines Wirtschaftsgutes. Die Art der Wertverminderung und ihre Aufteilung auf die gesamte Nutzungsdauer heißt Abschreibung des Gutes. Hier soll die lineare Abschreibung eines Gutes anhand eines Beispiels besprochen werden. Eine Stanzmaschine wird zu einem Preis von R 0 = 70 000 € (Anschaffungskosten oder 0-ter Restwert) angeschafft. Die Nutzungsdauer beträgt 7 Jahre, wobei mit einem Schrottwert im 7. Jahr von 4000 € gerechnet wird. Wir gehen hier von einem konstanten jährlichen Abschreibungsbetrag aus. Bestimmen Sie die Restwertfolge R n . n ... Nutzungsdauer in Jahren A1 ... Abschreibung nach dem 1. Jahr R1 = R0 - A1 R2 = R1 - A2
A2 ... Abschreibung nach dem 2. Jahr
------------------------------Rn = Rn-1 - An
An ... Abschreibung nach dem n. Jahr
Nach unserer Annahme gilt: A1 = A2 = ... = An = A ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
€ 1
Währungsdefinition (eine Variable schreiben und mit < Umschalt> + <Strg> + in den Textmodus wechseln, Eurozeichen eingeben und wieder mit der gleichen Tastenkombination den Textmodus verlassen)
n 1 7
Bereichsvariable
R0 70000 €
Anschaffungskosten (0-ter Restwert)
R7 4000 €
Schrottwert im 7. Jahr
R7 = R0 7 A
hat als Lösung(en)
A
1 7
R7
1 7
Rn Rn 1 A
R0
A
1 7
R7
1 7
R0
Abschreibung pro Jahr
9428.571 €
allgemeines Bildungsgesetz für den Restwert
R
4
8 10
€
R0
0 4
0
70000
1
60571.429
R0
2
51142.857
€
3
41714.286
Rn
4
32285.714
€
5
22857.143
6
13428.571
7
4000
6 10
4
4 10
Abb. 1.1.10 4
2 10
R7 1
0
1
2
3
4
0 n Jahre
Seite 12
5
6
7
8
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1.1.2 Geometrische Folgen Eine geometrische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient q je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist (q z 0): q=
an 1
(1-13)
an
Mit a1 a2 = a1 q a3 = a2 q = a 1 q q = a1 q 2 a4 = a3 q = a 1 q 2 q = a 1 q 3 usw. erhalten wir das allgemeine Folgeglied: an = a1 q n-1
mit q \ {0} und n ² bzw.
an = a0 q n
mit q \ {0} und n ²
(1-14)
Drei aufeinanderfolgende Folgeglieder ak-1 , ak , ak+1 lassen sich immer in der Form a k : q , a k , ak q schreiben. Es gilt daher: ( ak : q ) ( ak q ) = a k 2 . Daraus folgt, dass der Absolutbetrag jedes inneren Folgegliedes einer geometrischen Folge gleich dem geometrischen Mittel seiner Nachbarglieder ist:
ak =
§ ak · ¨ ak q = ©q¹
ak 1 ak1
(1-15)
Allgemein können wir sagen: Ist a 1 > 0 bzw. a 0 > 0, so nimmt die geometrische Folge für q > 1 zu. Sie ist konstant für q = 0, sie nimmt ab für 0 < q < 1 und sie ist alternierend für q < 0. GeometrischeFolgen treten überall dort auf, wo die Änderung von einem Folgeglied zum nächsten nicht absolut, sondern relativ (prozentuell) ist. Geometrische Folgen bilden in Form der sogenannten Vorzugs- oder Normzahlen die Grundlage für die Typisierung von Hauptabmessungen in der Technik und ermöglichen die Wahl zweckmäßiger Größenabstufungen bei Drehzahlen, Vorschüben, Gewindedurchmessern, Längen, Rohren, Stäben, Platten und dergleichen mehr. Bei konsequenter Verwendung werden die wirtschaftliche Fertigung durch Reduzierung von Werkzeugen und Vorrichtungen gefördert, und das Austauschen von Einzelteilen erleichtert. Zahlreiche Anwendungen geometrischer Folgen finden sich aber auch z.B. bei der Beschreibung physikalischer Vorgänge und bei wirtschaftsmathematischen Berechnungen.
Beispiel 1.1.18: Geg.:
an = 1/4 (3/2)n-1
Ges.:
Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
Seite 13
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Bereichsvariable
n 1 10 1
§ 3· 4 © 2¹
an T
a o
n1
a3
allgemeines Folgeglied
¨
a2
3
o
q
2
3
Der Quotient von zwei Folgegliedern ist konstant!
2
§ 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 · symbolische Ausgabe in Vektorform ¨ © 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 ¹ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
an an
7
q = 3/2 Die Folge ist streng monoton steigend.
8
a 1q
7
Die Folgeglieder bilden eine Menge von Punkten, die auf einer Exponentialkurve liegen.
a7
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abb. 1.1.11
n
Beispiel 1.1.19: Zwischen den Längen 15 mm und 210 mm sind weitere vier Längen so einzuschalten, dass eine geometrische Stufung erreicht wird. Bestimmen Sie die Folge dieser Längen. ORIGIN 1 L1 15 mm
L6 210 mm
5
nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge
L6 = L1 q 5
q
L6
q
L1
n 1
allgemeines Bildungsgesetz
Ln L1 q T
Quotient
1.695
Bereichsvariable
n 1 6
L
gegebene Längen
1 1
15
2
3
4
25.4
43.1
73.1
5 123.9
6 210
mm
numerische Ausgabe in Vektorform
Beispiel 1.1.20: Bei einer Drehmaschine ist die niedrigste Drehzahl 20 min -1 und die höchste 100 min -1. Dazwischen liegen weitere vier Drehzahlen, die geometrisch abgestuft sind. Wie lautet die Folge der Drehzahlen ? ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
Seite 14
Folgen, Reihen und Grenzwerte
n1 20 min
1
n6 100 min
1
gegebene Drehzahlen
5
n6 = n1 q 5
q
nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge
n6
q
n1
Bereichsvariable
k 1 6 k 1
allgemeine Bildungsgesetz
nk n1 q T
1
n
Quotient
1.38
20
1
2
3
4
5
6
27.6
38.1
52.5
72.5
100
min
1
numerische Ausgabe in Vektorform
Beispiel 1.1.21: Von 1 : ausgehend soll in 6 bzw. 12 prozentuell gleich großen Stufen der Wert 10 : erreicht werden. Berechnen Sie die Zwischenwerte der Folge. ORIGIN 1 E61 1 : 6
nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge
E67 = E61 q 6
q
gegebene Widerstände
E67 10 :
E67
q
E61
Quotient
1.468
Erhöhen wir, mit 1 beginnend, stets um 46,8 % den Wert 10.
|47 %, so erreichen wir nach 6 solcher Stufen
6
q = 10 heißt Stufensprung der Normzahlenreihe E6 (hier wird oft der Begriff Reihe statt Folge benützt). Daraus werden die sogenannten Hauptwerte der Normzahlen der Grundreihe E6 abgeleitet, die vereinbarungsgemäß mit zwei Nachkommastellen angegeben wird.
Bereichsvariable
k 1 10 k 1
allgemeines Bildungsgesetz
E6k E61 q T
E6
1 1
1
2
3
4
5
6
1.468
2.154
3.162
4.642
6.813
7
8 10
14.678
9 21.544
Daraus lassen sich die Hauptwerte der Normzahlen der Reihe E6 ableiten: E6
1.00
1.50
2.20
3.20
4.70
6.80
Seite 15
10.00
14.70 21.50
31.60
10 31.623
:
Folgen, Reihen und Grenzwerte
E121 1 :
gegebene Widerstände
E1213 10 : 12
E1213 = E121 q 12
q
nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge
E1213
q
E121
Bereichsvariable
k 1 15 k 1
allgemeines Bildungsgesetz
E12k E121 q T
1
E12
Quotient
1.212
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 1.21 1.47 1.78 2.15 2.61 3.16 3.83 4.64 5.62 6.81 8.25
13
14
15
10 12.12 14.68
:
Daraus lassen sich wieder die Hauptwerte der Normzahlen der Reihe E12 ableiten: E12
1.00
1.20
1.50
1.80
2.20
2.60
3.20
3.80
4.70
5.60
Hier ist zwischen 2 benachbarten Gliedern der E6 Reihe noch ein Glied dazwischengeschaltet. Beispiel 1.1.22: In der Physik sprechen wir von einer gedämpften Schwingung, wenn die Amplitude A, d.h. die maximale Auslenkung aus der Ruhelage, mit der Zeit abnimmt. Dabei bilden die Amplituden A 1 , A2 , A3 , ... im Allgemeinen eine geometrische Folge. Ermitteln Sie das Bildungsgesetz für die Amplitudenfolge und geben Sie die ersten 10 Glieder an. Welche Amplitude ist als Erste unter 5% der Anfangsamplitude ? ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
A1 2 cm
Ausgangsamplitude
G 0.5 s
1
Z 2 S s T
Dämpfungsfaktor
1
2 S
Kreisfrequenz T
Z Gt
s ( t ) A1 e
1s
cos ( Z t)
Gt
Schwingungsdauer Schwingungsgleichung
A ( t ) A1 e
zeitabhängige Amplitude
t 0 s 0.001 s 5 s
Zeitbereich
Seite 16
Folgen, Reihen und Grenzwerte
gedämpfte Schwingung
2
s( t)
T
2T
1
2
1
cm A( t) cm
0
3
4
5
Abb. 1.1.12
A( t) cm 1
2 t s
Mit A(t) = A1 e - Gt erhalten wir folgendes Bildungsgesetz: t=0
A1 = A1
t=T
A2 = A1 e - G T = A 1 q
t=2T
A3 = A1 e - G 2T = A1 (e - G T)2 = A1 q 2
...................................................................................................................
A n = A 1 q n-1 Bereichsvariable
n 1 10
GT
n 1
allgemeines Bildungsgesetz
An A1 e T
1
A
2
3
4
5
6
7
2 1.213 0.736 0.446 0.271 0.164
1
0.1
8
9
0.06
10
0.037 0.022
cm
Amplitude als Erste unter 5% der Anfangsamplitude:
GT
n1
A1 e
GT
0.1 cm n1
2 cm e
§ 1· © 20 ¹ 1
0.1 cm
Ungleichung
GT ln §¨ 201 ·
( n 1) ln e
©
¹
logarithmierte Ungleichung
ln ¨ n
GT
Lösung der Ungleichung
ln e n
6.991
Somit ist A7 die erste Amplitude, die kleiner als 5% der Anfagsamplitude A 1 ist.
Seite 17
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.1.23: Unterjährige Verzinsung. 15000 € sind zu 5% pro Jahr angelegt. Die Verzinsung wird quartalweise durchgeführt. Wie groß ist der Betrag nach 10 Jahren. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
n 10
Jahre
€ 1
Einheitendefinition
K0 15000 €
Anfangskapital
p 5 %
Zinsfuß (p/m % ... relativer Zinsfuß)
p § · ¨ 4 Kn K0 ¨ 1 100 % ¹ ©
4n
K10
verzinstes Kapital nach 10 Jahren
24654.292 €
Beispiel 1.1.24: 32000 € sind in 5 Jahren durch ganzjährige Zinseszinsen auf 38006 € angewachsen. Wie groß ist der Zinsfuß p ? ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
€ 1
Einheitendefinition
n 5
Jahre
K0 32000 €
Anfangskapital
K5 38006 €
Kapital nach 5 Jahren
§ ©
Kn = K0 ¨ 1 n
r
p
n
· = K rn 0 100 % ¹
Kn K0
r
1.035
Bildungsgesetz für die Kapitalfolge
p ( r 1)
p
3.5 %
Zinsfuß
Beispiel 1.1.25: Eine Maschine wir zu einem Preis von R 0 = 70000 € angeschafft Die Nutzungsdauer betrage 7 Jahre, wobei mit einem Schrottwert von 4000 € gerechnet wird (vergleiche Bsp. 1.17). Bei der sogenannten geometrisch-degressiven Abschreibung werden im jeden Jahr gleichbleibend p% vom jeweiligen Restwert abgeschrieben. Bestimmen Sie die Folge der Restwerte. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
€ 1
Einheitendefinition
n 1 7
Bereichsvariable
Seite 18
Folgen, Reihen und Grenzwerte
R0 70000 €
Anschaffungskosten (0-ter Restwert)
R7 4000 €
Schrottwert im 7. Jahr
n ... Nutzungsdauer in Jahren R1 = R0 - A1 = R0 - R0 p = R0 (1 - p)
A1 ... Abschreibung nach dem 1. Jahr
R2 = R1 - A2 = R1 - R1 p = R1 (1 - p) = R0 (1 - p)2 A2 ... Abschreibung nach dem 2. Jahr ------------------------------Rn = Rn-1 - An = R0 (1 - p)n
An ... Abschreibung nach dem n. Jahr
Nach unserer Annahme gilt also auch für den Abschreibungsbetrag: An = R0 p (1 - p) n-1 R7 = R0 ( 1 p) R7 = R0 ( 1 p)
7 7
Restwert im 7 Jahr 7
Daraus folgt:
p 1
R7
p
R0
33.561 %
Die jährliche Abschreibung beträgt somit ca. 34 % Rn R0 ( 1 p)
n
Restwertfolge
R
geometrisch-degressive Abschreibung
€
8 0
7
0
70000
1
46507.305
R0
6
2
30898.992
10000€
5
3
20528.984
Rn
4
4
13639.253
10000€
5
9061.784
3
6
6020.56
7
4000
2 1 1
0
1
2
3
4
0 n Jahre
Abb. 1.1.13
Seite 19
5
6
7
8
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1.2 Reihen Werden die Glieder einer endlichen Zahlenfolge < a 1 , a2 , a3 , ... an > aufsummiert, so entsteht eine endliche Reihe mit n-Gliedern: n
a1 a2 a3 .... an =
¦
k
ak
(1-16)
1
Werden die Glieder einer unendlichen Zahlenfolge < a1 , a2 , a3 , ... an, ... > aufsummiert, so entsteht eine unendliche Reihe mit unendlich vielen Gliedern: f
a1 a2 a3 .... an .... =
¦
k
ak
(1-17)
1
Werden die ersten n-Glieder einer Folge addiert, so heißt diese Summe n-te Partialsumme (Teilsumme) der zugehörigen Reihe: s1 = a1
1.Partialsumme
s2 = a1 a2
2.Partialsumme
s3 = a1 a2 a3
3.Partialsumme
-------------------------------------------------------------------------sn = a1 a2 a3 .... an n-te Partialsumme
(1-18)
sn heißt Summenwert einer aus n-Gliedern bestehenden Reihe. < s1 , s2 , s3 , ... sn > endliche Partialsummenfolge < s1 , s2 , s3 , ... sn, ... > unendliche Partialsummenfolge
(1-19) (1-20)
1.2.1 Arithmetische endliche Reihen Durch Aufsummieren der Folgeglieder einer endlichen arithmetischen Folge < a1 , a1 + d, a2 + d, a3 + d, ... , an + (n - 1) d > erhalten wir eine endliche arithmetischen Reihe: n
s n = a1 a1 d a1 2 d .... a1 ( n 1) d =
¦
k
ª¬ a1 ( k 1) dº¼
(1-21)
1
Der Wert der Summe s n ergibt sich aus folgender Addition: sn = a1 + (a1 +d) + (a1 +2d) + ... + a1 + (n - 1) d sn = a1 + (n - 1) d + a1 + (n - 2) d + a1 + (n - 3) d + ... + a1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 sn = (2 a1 + (n - 1) d) + (2 a 1 + (n - 1) d) + (2 a 1 + (n - 1) d) + ... + (2 a1 + (n - 1) d) Daraus folgt der Summenwert: 2 sn = n (2 a1 + (n - 1) d) sn = sn =
n 2 n 2
ª¬ 2 a1 ( n 1) dº¼ bzw. ª¬ a1 a1 ( n 1) dº¼ =
n 2
(1-22)
a1 an
Seite 20
(1-23)
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.2.1: Berechnen Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Redefinition von n
n n n
¦
sn =
k
k o sn =
1
1 2
2
( n 1)
1 2
n
n
1
sn =
2
k
1 2
k faktor o s n =
1
1 2
n ( n 1)
gewähltes n
n 100 sn =
¦
Summenwert
n ( n 1) o s n = 5050
Beispiel 1.2.2: Berechnen Sie die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen. Redefinition
n n n
¦
sn =
k
n
2
( 2 k 1) o s n = ( n 1) 2 n 1
sn =
1
¦
k
2
( 2 k 1) vereinfachen o s n = n
1
Beispiel 1.2.3: Berechnen Sie die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen. n
sn =
¦
k
n
2
( 2 k ) o s n = ( n 1) n 1
sn =
1
¦
k
( 2k ) faktor o s n = n ( n 1)
1
Beispiel 1.2.4: Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Ihre Summe ist 27 und ihr Produkt 585. Wie heißen diese Zahlen ? d d
Redefinition
a2 d a2 a2 d = 27 a2 d a2 a2 d = 585
Gleichungssystem
-------------------------------------------Aus der ersten Gleichung folgt:
a2 d a2 a2 d = 27 auflösen a2
o9
Folgeglied a2
a2 9
Aus der zweiten Gleichung folgt:
a2 d a2 a2 d = 585 auflösen d a1 = 5
a2 = 9
a3 = 13
oder
o
§4 · ¨ © 4 ¹
a1 = 13
a2 = 9
Seite 21
a3 = 5
gesuchte Folgeglieder
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.2.5: Auf einer trapezförmigen schrägen Dachfläche liegen in der obersten Reihe 50 Ziegel. In der zweiten Reihe liegen 54 und in der letzten Reihe 102 Ziegel. Wie viele Ziegel liegen auf dieser Dachfläche, wenn die Anzahl der Ziegel pro Reihe eine arithmetische Folge bilden ? ORIGIN 1 an = a1 ( n 1) d
Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge
a1 50
an 102
a2 54
hat als Lösung(en)
102 = 50 ( n 1) 4 n
s 14
a1 an
2
d=4
s 14
d = a2 a1 Anzahl der Reihen
14
n 14
1064 Ziegel liegen auf der Dachfläche
1064
1.2.2 Geometrische endliche Reihen Durch Aufsummieren der Folgeglieder einer geometrischen Folge < a1 , a2 q , a3 q 2 , ... , an qn-1 > erhalten wir eine endliche geometrische Reihe: 2
n 1
s n = a1 a1 q a1 q .... a1 q
n
=
¦
k
§ a1 qk1· © ¹
(1-24)
1
Der Wert der Summe s n ergibt sich aus folgender Multiplikation von (1-24) mit q und Subtraktion: sn q
=
+ a1 q2
+ a1 q
+ ... + a1 q n - 1
+ a1 qn
sn = a1 + a1 q + a1 q2 + ... a1 qn -1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sn q - sn = a1 q n - a1 sn (q - 1) = a1 (qn - 1) Daraus folgt der Summenwert: n
s n = a1
q 1 q1
n
= a1
1q
1 q
für q z 1
(1-25)
Beispiel 1.2.6: Berechnen Sie die Summe der ersten n Zweierpotenzen, und beweisen Sie das Ergebnis mithilfe der vollständigen Induktion (Induktionsbeweis). Redefinition
n n
n 1
sn =
¦
k
k
n
2 o sn = 2 1
0
Seite 22
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Induktionsbeweis: Für alle n ² gilt: Aussage: A(1), A(2), A(3), ... Annahme: für alle n ² gilt auch A(n) Behauptung: gilt auch für A(n+1) 0
1
A(1):
s1 = 2 = 1 = 2 1
A(2):
s2 = 2 2 = 3 = 2 1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
A(3): s3 = 2 2 2 = 7 = 2 1 ---------------------------------------------------------------------n1
A(n):
s n = 2 2 2 .... 2
A(n+1):
s n1 = 2 2 2 .... 2
0
1
2
n
=2 1
n1
n
n1
2 =2
1
n
n
n 1
2 1 2 =2
1
w.z.b.w. (q.e.d.)
Beispiel 1.2.7: Berechnen Sie die Summe der ersten n Potenzen einer reellen Zahl x. n 1
sn =
¦
k
0
n
x
k
n 1
1
x o sn = x 1 x 1
sn =
¦
k
0
k
n
x 1
x faktor o s n = x 1
x z1
Beispiel 1.2.8: a) Zu jedem Jahresbeginn wird ein Betrag R = 2000 € auf ein Rentenkonto eingezahlt und dort mit p = 5% verzinst. b) Zu jedem Jahresende wird ein Betrag R = 2000 € auf ein Rentenkonto eingezahlt und dort mit p = 5% verzinst. Bestimmen Sie den Wert dieser Rente (vorschüssiger Rentenendwert E 20 bzw. nachschüssiger Rentenendwert E 20) am Ende bzw. am Anfang des 20. Jahres und jeweils den Rentenbarwert B20. a) Die erste Einzahlung wird 20 Jahre die zweite 19 Jahre, ..., die letzte Einzahlung 1 Jahr verzinst. Wir setzen q = 1+p. 20
E20 = R q
19
R q
18
R q
19 q18 q17 .... R q 1
2
.... R q R q = R q q
Zinsen
p 0.05
Geometrische Reihe mit n = 20 Gliedern!
q 1 p € 1
Einheitendefinition
R 2000 €
Einzahlung zu Jahresbeginn 20
E20 R q
q
1
q1
E20
69438.504 €
vorschüssiger Rentenendwert
Seite 23
Folgen, Reihen und Grenzwerte
E20
B20
B20
20
q
Rentenbarwert (abzinsen des Rentenendwertes)
26170.642
b) Die erste Einzahlung erfolgt erst am Ende des ersten Jahres und wird daher nur 19 Jahre verzinst usw. Wir setzen wieder q = 1+p. 19
E20 = R q
20
E20 R
q
18
R q 1
q 1
E20
B20
20
q
2
19 q18 q17 .... R q 1
.... R q R = R q
E20
66131.908 €
nachschüssiger Rentenendwert
B20
24924.421
Rentenbarwert (abzinsen des Rentenendwertes)
Beispiel 1.2.9: Sie nehmen einen Kredit von K 0 = 20000 € bei einem jährlichen Zinssatz p = 7% auf. Für die Rückzahlung wird vereinbart, dass Sie 5000 € nach dem ersten Jahr, 4000 € nach dem zweiten Jahr, 6000 € nach dem dritten Jahr zurückzahlen. Der Rest soll am Ende des vierten Jahres zurückgezahlt werden. Wie hoch ist dieser Restbetrag ? Das sogenannte Äquivalenzprinzip besagt, dass Kapitalien nur miteinander verglichen werden können, wenn Sie auf den gleichen Zeitpunkt bezogen werden. Wir müssen also hier den Wert aller Zahlungen auf einen einzigen Zeitpunkt bestimmen. Eine jährliche Rückzahlung im k-ten Jahr wird auch Annuität A k genannt. Die Annuität muss einerseits die im k-ten Jahr anfallenden Zinsen Z k abdecken, andererseits vermindert sie die jeweilige noch bestehende Restschuld. Diese Restschuldminderung wird (Kapital-) Tilgung T k im k-ten Jahr genannt. A k = Zk + Tk. Wir beziehen alle Zahlungen auf das Ende des vierten Jahres:
ORIGIN 0
A A1
p 0.07
Zinsen
q 1 p
Quotient
€ 1
Einheitendefinition
K0 20000 €
Kredit K0
T1 5000 €
Tilgung im 1. Jahr
T2 4000 €
Tilgung im 2. Jahr
T3 6000 €
Tilgung im 3. Jahr
4
K0 q
3
T1 q
2
T2 q
K K1
ORIGIN festlegen und Redefinitionen
26215.92 €
Wert des Kredites
6125.215 €
Wert der Rückzahlung im 1. Jahr
4579.6 €
Wert der Rückzahlung im 2. Jahr
Seite 24
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1
T3 q
Wert der Rückzahlung im 3. Jahr
6420 €
4
3
2
1·
K0 q §© T1 q T2 q T3 q
¹
fällige Restschuld am Ende des 4. Jahres
9091.105 €
Unter der Annahme von jährlichen und gleichbleibenden Ratenzahlungen A (Annuitäten) und nachschüssiger Rückzahlung (d.h. die erste Rückzahlung erfolgt ein Jahr nach der Kreditvergabe) und die weiteren Rückzahlungen erfolgen in Jahresabständen gilt: Der Endwert der Schuld muss gleich dem Endwert eines nachschüssigen Rentenvorganges sein. n
n
K0 q = A
q 1 q 1 ( q 1)
n
Ak = K0 q n 4
hat als Lösung(en)
n
K0 q
( q 1)
qn 1
Annuität für die Rückzahlung einer Schuld K 0 in n Jahren
qn 1
Jahre
k 0 n 1
Zinsen
p 0.07 q 1 p € 1
Einheitendefinition
K0 20000 €
Kredit K0
n
Ak K0 q
( q 1)
Annuität für die Rückzahlung einer Schuld K 0 in n Jahren
qn 1
Z0 K0 p
A0
5904.562 €
T0 A0 Z0
S0 K0 T0
K1 S0
Z1 K1 p
A1
5904.562 €
T1 A1 Z1
S1 K1 T1
K2 S1
Z2 K2 p
A2
5904.562 €
T2 A2 Z2
S2 K2 T2
K3 S2
Z3 K3 p
A3
5904.562 €
T3 A3 Z3
S3 K3 K3
Tilgungsplan: Schuld am Jahresanfang
Zinsen
Annuität
Tilgung
Schuld
K
Z
Ak
T
S
0
0
0
0
0
0
20000
0
1400
0
5904.562
0
4504.562
0
15495.438
1
15495.438
1
1084.681
1
5904.562
1
4819.882
1
10675.556
2
10675.556
2
747.289
2
5904.562
2
5157.273
2
5518.283
3
5518.283
3
386.28
3
5904.562
3
5518.283
3
0
Seite 25
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen Zuerst sollen einige Beispiele untersucht werden, wie sich Folgeglieder einer unendlichen Folge verhalten, wenn wir den Index immer weiter erhöhen: < an> = < 1/n > = < 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... > Die Glieder der Folge streben mit wachsendem n gegen einen bestimmten Wert, nämlich gegen 0. Wir sagen, die Folge konvergiert gegen 0 oder die Folge hat den Grenzwert 0. Solche Folgen mit Grenzwert 0 heißen Nullfolgen. < an> = < n > = < 1, 2, 3, 4, ..., n, ... > Die Glieder dieser Folge werden unbegrenzt groß . Wir sagen, die Folge ist divergent bzw. die Folge besitzt keinen Grenzwert oder die Folge besitzt den uneigentlichen Grenzwert " f". Definition: Eine unendliche Folge an!= a1 , a2 , a3 , ... !heißt konvergent gegen den Grenzwert a , wenn folgendes gilt: Zu jedem H > 0 gibt es eine Zahl N ² , so dass für alle n > N gilt: | an - a| < H(1-26) Das heißt, in jeder beliebig kleinen H-Umgebung von a liegen alle bis auf endlich viele Folgeglieder. Wenn eine Folge a n gegen a konvergiert schreiben wir: lim nof
an = a
(1-27)
Der limes (lat. Grenze) für n gegen unendlich von an ist gleich a,
Beispiel 1.3.1: ORIGIN 1 an 1 lim nof
ORIGIN und Bereichsvariable festlegen
n 1 20
1
allgemeines Folgeglied
n
§1 1 · o 1 ¨ n¹ ©
an 1 H
Grenzwert der Folge (a = 1)
a 1
H
1
H-Umgebung von a = 1 (Abstand des Folgegliedes a n von 1)
10
Für H = 1/ 10 gilt:
|an - 1| = | 1 - 1/n - 1 | = 1/n < H,daher ist n > 10.
2
n1 ( a)
n m 20 for k 1 n
aH
N m k 1 if
1
a
n1 ( a)
aH
11
Fast alle an liegen in dem
an
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021
1
Streifen a rH (HUmgebung von a = 1), nämlich ab n = 11. Abb. 1.3.1
n
Seite 26
ak a t H
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Bei der Grenzwertberechnung können unbestimmte Ausdrücke folgender Form auftreten: 0 f 0 0 f 0 ff f0 f 1 . 0 f Sätze über Folgen: 1. Jede beschränkte und monotone Folge ist konvergent. 2. Jede konvergente Folge ist beschränkt. 3. Jede nicht beschränkte Folge ist divergent. 4. Eine konvergente bzw. divergente Folge bleibt konvergent bzw. divergent, wenn endlich viele Glieder abgeändert werden. 5. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt, d.h. die Folge besitzt höchstens einen Grenzwert. Aus
an = a und
lim nof
lim
6.
nof
lim
7.
nof
lim
8.
nof
c an
an bn
lim
=
lim nof
=
lim nof
lim
an
=
n o f bn
10.
lim
nof
lim nof
n
q
an an
an =
bn
bn = b folgt:
an = c a
nof
an bn
lim
9.
=c
lim nof
c
lim nof
lim nof
(1-28)
bn = a b (gilt auch für die Subtraktion)
bn = a b
(1-29) (1-30)
a
(alle bn z 0 ; a,b , b z0)
b
= 0 für |q| < 1 oder 1 für q = 1 oder "f" für q > 1
(1-31)
(1-32)
nof
Kein Grenzwert für q d-1! 1
11.
lim
n
q =
nof
lim
q
n
= 0 für q = 0 oder 1 für q > 1
(1-33)
nof
Beispiel 1.3.2: Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit Mathcad und händisch unter Anwendung der Grenzwertsätze: lim
7
nof n
lim nof
lim nof
o0
§3 2 5 · o 3 ¨ 2 n n ¹ © ª§ n 1 · § n 1 ·º o 1 «¨ ¨ » 2 ¬© n ¹ © 2 n ¹¼
Nullfolge
lim
3
lim
nof n
nof
n 1
lim nof
n 1
lim nof
2
lim
n
Seite 27
n 1
1
lim nof
5
n o f n2
n o f 2 n
1
1
lim
2
=3
=
1 n
=
1 2
Division von Zähler und Nenner durch n
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.3.3: Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit Mathcad und händisch unter Anwendung der vorher genannten Grenzwertsätze:
2
3 n 2 n 5
lim
n o f 5 n2 7 n 1
3
o
3
2
3 n 2 n 5
lim
n o f 5 n2 7 n 1
5
=
2 n
lim
5 2
n
nof 5 7 1 2 n
n
3
lim
n 1
nof
lim nof
n2
§1 ¨ ©
1·
o3
3
lim
n 1
nof
n
=
lim nof 1
2 n 1
=3
n
1
o exp ( 1)
n¹
n2
3
exp ( 1) = e = e
Beispiel 1.3.4: Berechnen Sie das Endkapital bei stetiger Verzinsung (augenblickliche Verzinsung) eines Kapitals K0 = 2000 € . Der Jahreszinsfuß beträgt 3 %. € 1
Währungseinheit
p 0.03
Jahreszinsen
K0 2000 €
Anfangskapital
m 1
Jahr
p· § K K0 ¨ 1 m¹ ©
m 12
Monate
p· § K K0 ¨ 1 m¹ ©
m 360
Tage
p· § K K0 ¨ 1 m¹ ©
m
m
K=
lim nof
p ª n º ª§ « 1· º » « K0 «¨ 1 n » » ¬ ¬© ¹¼ ¼
K K0 exp ( p)
K
np
n ª§ 1· º « » = K0 ¨ 1 n¹ ¼ ¬©
ergibt
p
K = exp ( p) K0
2060.909 €
Seite 28
2060 €
K
2060.832 €
K
2060.906 €
m
m
Lassen wir m über alle Grenzen wachsen und setzen p/m = 1/n, so gilt: p· 1· § § K = K0 ¨ 1 = K0 ¨ 1 m¹ n¹ © ©
K
=
3 5
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen Genau dann, wenn die Partialsummenfolge < s 1 , s2 , s3 , ... sn, ... > konvergiert, d.h. den Grenzwert s hat, wird dieser Reihe s als Wert zugeschrieben. Wir sagen: Die Reihe konvergiert und hat die Summe s (s ). f
¦
s = a1 a2 a3 .... an .... =
k
ak
(1-34)
1
Sätze über Reihen: f
1. Eine unendliche Reihe
¦
k
ak heißt konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge
1
< sn > konvergiert. Den Grenzwert s der Partialsummenfolge bezeichnen wir als Summe der Reihe: n
f
¦
s = a1 a2 a3 .... an .... =
k
ak =
lim nof
1
sn =
¦
lim nof
k
ak
(1-35)
1
Divergiert dagegen die Folge der Partialsummen der gegebenen Reihe, so heißt diese divergent. Sie hat keinen endlichen Summenwert ! 2. Die Summe einer konvergenten Reihe ist eindeutig bestimmt. 3. Eine konvergente bzw. divergente Reihe bleibt konvergent bzw. divergent, wenn endlich viele Glieder abgeändert werden. f
4. Konvergiert
¦
k f
Divergiert
f 1
5. Konvergiert
k
ak , so divergiert auch
1 f
¦
k
¦
k
¦
c ak
gegen c s (c ).
(1-36)
1
f
¦
k
ak gegen s, so konvergiert auch
ak , dann gilt
lim
(1-37)
1
an = 0 (die Umkehrung gilt nicht !).
(1-38)
ak divergent (die Umkehrung gilt nicht !).
(1-39)
nof
1
c ak .
f
lim
6. Gilt
nof
an z 0 , so ist
¦
k
1
Beispiel 1.4.1: ORIGIN 0
FRAME
nmax 5 FRAME
Anzahl der Folgeglieder
n 1 nmax
Bereichsvariable
2
gegebene Folge
2 n S0 0
ORIGIN festlegen und Animationsparameter Animation mit FRAME von 0 bis 15 und 1 Bild/s
f
1
an
0
¦
n
Sn Sn 1 an
1
2 1 2 n
o
1 12
S
2
0.822
n-te Partialsummenfolge (Rekursiv)
Seite 29
Summenwert der Reihe
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Summe S
n max
n
an 0
0.8
an 0
0.3
an
0.2
0
2
4
Sn 0
0
0
1
0
0.5
0
0.5
1
2
1
0.125
1
0.625
2
3
2
0.056
2
0.681
3
4
3
0.031
3
0.712
4
5
4
0.02
4
0.732
6
Abb. 1.4.1
n Summe
0.8 Sn Sn 1
0.3
Sn 0
2
4
6
0.2
Abb. 1.4.2
n
Beispiel 1.4.2: Berechnen Sie die ersten 64 Partialsummen der folgenden Reihe durch Iteration und berechnen Sie die Summe der Reihe: ORIGIN 1 f
¦
n
1
1
gegebene Reihe
n
n 1 64
Bereichsvariable
s1 1
Iterationsbeginn festlegen (Startwert)
sn1 sn
1 n1
Partialsumme rekursiv definiert
Seite 30
Folgen, Reihen und Grenzwerte
n
sn
Die ersten 64 Partialsummen
1
1
2
1.5
3
1.833
4
2.083
5
2.283
6
2.45
7
2.593
8
2.718
9
2.829
10
2.929
Daraus lässt sich bestenfalls eine gewisse Tendenz ableiten s4
2.083
s8
s4 ! 2
2.718
s8 ! 2.5
s16
3.381
s16 ! 3.3
s64
4.744
s64 ! 4
Die Partialsummenfolge ist nicht beschränkt und divergiert. f
¦
n
1
1
Die Reihe ist divergent!
of
n
Beispiel 1.4.3: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: f
1
¦
n
n ( n 1)
1
1 2
1 6
1 12
1 20
1
30
.... f
100000
1
¦
n
=
n ( n 1)
1
o
100000 100001
0.999990000099999
¦
n
1
1 n ( n 1)
ergibt
1
Beispiel 1.4.4: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: 100000
1
¦
n
n ( n 1) ( n 2)
1
f
0.249999999950002
¦
n
1
1 n ( n 1) ( n 2)
ergibt
1 4
Beispiel 1.4.5: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: 1 2
2
2
2
3 3
..
2
10
¦
n
n n
f
1.98828125
1 2
¦
n n
o2
1 2
n
Beispiel 1.4.6: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch: 2
2
1
2
100
¦
n
1
2
3
3
..
2
n
n
2
f
¦
5.43656365691809
n
Seite 31
1
n
n
o 2 exp ( 1)
5.43656365691809
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Beispiel 1.4.7: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: 1 1 3
1 3 5
1
1000
f
1
¦
n
..
5 7
( 2 n 1) ( 2 n 1)
1
1
¦
0.499750124937531
n
1
( 2 n 1) ( 2 n 1)
o
1 2
Die geometrische unendliche Reihe ( a1 = a): 2
n 1
a a q a q .... a q
f
.... =
k 1 ¦ a q
k
(1-40)
1
Die n-te Partialsumme 2
n 1
2
n 1
s n = a a q a q .... a q
(1-41)
hat den Summenwert sn = a a q a q .... a q
n
= a
1q
1q
=
a 1q
a 1q
n
q .
(1-42)
1. Fall q > 1 lim nof
sn =
lim nof
§ a a qn· = f (Satz 10 über Folgen). ¨ ©1 q 1 q ¹
(1-43)
2. Fall q = -1 lim nof
s n existiert nicht (Satz 10 über Folgen).
(1-44)
3. Fall |q| < 1 lim nof
sn =
lim nof
§ a a qn· = a ¨ 1 q ©1 q 1 q ¹
(1-45)
Also eine geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn |q| < 1 gilt ! a . Ihre Summe ist also s = 1q
Beispiel 1.4.8: f
¦
k
1
a 1
§ 1· ¨ © 2¹
k 1
=1
q
1 2
1 2
1 4
1 8 s
1 16
gegebene geometrische Reihe
.....
a 1 q
s
2
Faktoren und Summenwert
nmax 5 FRAME
Animation für FRAME von 0 bis 15 mit 1 Bild/s
n 1 nmax 1
Bereichsvariable
nu 1 3 nmax
Bereichsvariable (ungerade Zahlen)
Seite 32
Folgen, Reihen und Grenzwerte
n
¦ ª¬a q
s ( q a i) ( 0 d i)
( n d i)º¼
Summe s q a nmax
n
Partialsummen
2.5
Summe
Summe 2
s( q a nu 2)
§ nmax · 1¹ ©q s1 a ( q 1)
s( q a nu 1) s( q a nu 1)
1.5
s( q a nu)
s1
s( q a nu 1)
1.9375
1.938
1
s( q a nu) 0.5
1
0
1
2
3
4
5
6
Abb. 1.4.3
nu 1 nu 1 nu nu nu 1 nu
Auswertung als Grenzwert mit der Summenformel und direkte Berechnung der Reihe:
lim nmax o f
ª« § nmax · »º 1¹ ©q « a ( q 1) » o 2 ¬ ¼
Summe
f
a
Summe
1 q
k 1 ¦ a q vereinfachen
2
k
o2
1
Berechnung des Summenwertes mithilfe der Partialsummenfolge: s1 = 1 s 2 = 1 + 1/2 = 3/2
Partialsummenfolge
-------------------------n
§ 1· 1 ¨ ª § 1 · nº 2¹ © » sn = 1 = 2 «1 ¨ 2¹ ¼ 1 ¬ © 1
lim nof
ª ª § 1 · nº º «2 «1 ¨ »» = ¬ ¬ © 2 ¹ ¼¼
lim nof
2
ª2 § 1 1 ·º = 2 « ¨ n » 2 ¹¼ ¬ ©
Beispiel 1.4.9: f
¦
k
1
§ 1 · ¨ © 2¹
k 1
=1
1 2
1 4
1 8
1 16
.....
gegebene alternierende geometrische Reihe
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
nmax 5 FRAME
Anzahl der Folgeglieder (FRAME von 0 bis 15 und 1 Bild/s)
n 1 nmax
Bereichsvariable
a0 1
q n 1
an a0 q
1 2
Anfangsglied und Quotient
s
geometrische Folge
Seite 33
a1 1 q
so
1 3
Summenwert der Reihe
Folgen, Reihen und Grenzwerte
S0 0
Sn Sn 1 an
Summe S
n-te Partialsumme (rekursiv definiert)
Partialsummen
n max
nu 1 3 nmax
Bereichsvariable (ungerade)
ng 2 4 nmax
Bereichsvariable (gerade) an
Sn 0
ang
0.8
anu 0
0.3
ang 0
0.2
anu
0
2
4
0
0
1
0
1
1
-0.5
1
0.5
2
0.25
2
0.75
3
-0.125
3
0.625
4
0.0625
4
0.6875
6
0.7
Abb. 1.4.4 ng nu ng ng nu nu
Sng
Summe
Summe
0.8
Snu
0.688
Sng 1 Sng
0.3
Snu 1 Snu
0
2
4
6
Abb. 1.4.5
0.2 ng nu ng ng nu nu
Endliche geometrische Reihe: n max
s n a0
1q
1 q
sn
0.688
numerische Auswertung
Unendliche geometrische Reihe:
s
a0 1 q
f
s
0.667
¦
k
1
§ 1 · ¨ © 2¹
Seite 34
k 1
o
2 3
numerische und symbolische Auswertung
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
2. Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit 2.1 Grenzwert einer reellen Funktion Der Begriff des Grenzwertes einer reellen Funktion mit der Funktionsgleichung y = f(x) kann auf den Begriff des Grenzwertes einer Folge zurückgeführt werden . Dazu lassen wir die unabhängige Variable x eine gegen x0 konvergierende Zahlenfolge < x n >, die Abszissenfolge, durchlaufen und betrachten die Ordinatenfolge < y n = f(xn > der zu xi gehörigen Funktionswerte f(x i). Die Annäherung x o x0 bedeutet, dass x nacheinander die Werte jeder beliebigen gegen x 0 konvergierenden Folge < xn > annehmen kann. Bei x o x0 + wird zusätzlich verlangt, dass alle xn > x0 , bei x o x0 - alle x n < x0 sind. Definition: a) Eine reelle Funktion y = f(x) sei in einem die Stelle x 0 enthaltenen, offenen Intervall (einer Umgebung von x 0 ), nicht notwendigerweise an der Stelle x 0 selbst, definiert. Weiters kann dort < xn > jede beliebige Folge sein, die gegen x 0 konvergiert ( xn z x0 ). Konvergieren alle Folgen < y n = f(xn) > der Funktionswerte gegen den gleichen Grenzwert G , so heißt G Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Wir schreiben dafür: lim
f ( x) = G
(2-1)
x o x0
b) Ist < xn > eine beliebige von rechts nach x 0 konvergierende Folge, und konvergiert dabei die Folge < yn = f(xn) > stets gegen den Grenzwert G r, so heißt Gr rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Wir schreiben dafür: lim f ( x) = Gr x o x0
(2-2)
c) Ist < xn > eine beliebige von links nach x 0 konvergierende Folge, und konvergiert dabei die Folge < yn = f(xn) > stets gegen den Grenzwert G L, so heißt GL linksseitiger Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Wir schreiben dafür: lim f ( x) = GL x o x0
(2-3)
d) Existieren der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert an der Stelle x 0 , und stimmen diese überein, so existiert auch der Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Es gilt auch die Umkehrung. e) Werden die Funktionswerte f(x n) für jede gegen x 0 konvergierende Folge < xn > beliebig groß oder klein, so schreiben wir: lim x o x0
f ( x) = f
bzw.
lim
f ( x) = f .
(2-4)
x o x0
Dieser Grenzwert wird uneigentlicher Grenzwert der Funktion genannt. Entsprechendes gilt auch für den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der Funktion an der Stelle x0 . In all diesen Fällen heißt x 0 Unendlichkeitsstelle oder Polstelle der Funktion.
Seite 35
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Beispiel 2.1.1: Wir betrachten zwei Abszissenfolgen < x n > der Funktion f: y = x 2 , die den Grenzwert x 0 zustreben und die zugehörigen Ordinatenfolgen < y n = f(xn ) > : ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 100
Bereichsvariable
x1 n 2
1
x2 n 2
n
T
1
x1
2
1
1
T
1
x2
1
nof
y1n
1·
§2 ¨ ©
lim
T
n¹
lim nof
4
x2n 2
2.25
3.063
2
2.778
4
1.9
1.917
8
1.857
6
1.875
7
8
1.929
1.938
§2 1 · o 2 ¨ 2 n¹ ©
5
3.063
3 3.361
7
1.833
4
2
lim nof
2
3.24 5
3.516
o4
6 3.361
3.516
7
3.674
§2 1 · ¨ 2 n¹ ©
8
3.449
6
3.61
x 0 0.001 2.5
Bereichsvariable
8
3.719
3.754
1.95
9
10
3.568 9
3.61 10
3.781
3.802
Alle diese x-Folgen streben gegen 2 und die zugehörigen f(x)-Folgen gegen 4. 4 ist der Grenzwert G der
7 6 4
10
1.944
Grenzwerte der Folgen
o4
8
y1
9
1.9
2
Funktionsgleichung
5
10
Grenzwerte der Folgen
7
f ( x) x
f( x)
9 1.889
Ordinatenfolgen
3
2.25
6 1.8
5
1.875
lim
1
§2 1 · ¨ n¹ ©
5
1.75
3
2
1 1
1.833
4
nof
1
T
1.75
y2n
1
y2
3 1.667
o2
x1n 2
y1
Abszissenfolgen
2 n
1.5
2 1.5
1
4
Funktion f: y = x2 mit x gegen 2. Er stimmt hier mit dem Funktionswert an der Stelle 2 überein.
3 2 1
lim 0
0.5
1
1.5
2
x x1
Abb. 2.1.1
Seite 36
2.5
xo2
f ( x) o 4
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Beispiel 2.1.2: Wir betrachten die Funktion f: y = 1 für x t0 und y = 0 für x < 0 . Untersuchen Sie den rechts- und linksseitigen Grenzwert mit x o 0. f ( x) =
1 if x t 0
Heavisidefunktion
= ) ( x)
0 otherwise x 5 5 0.1 5 2
Der rechts- und linksseitige Grenzwert stimmt hier nicht überein !
1 ) ( x) 6
4
2
0
2
4
lim ) ( x) o 1 xo0
6
lim ) ( x) o 0 xo0
1 x
Abb. 2.1.2 Beispiel 2.1.3: Untersuchen Sie die Funktion g: y =
g ( x)
1 x 1 1 x 1
1 x 1
Funktionsdefinition
if x ! 1 if x 1
Bereichsvariable
x 2 2 0.001 2 10 8 6 4 2 g ( x)
2
, ob sie einen Grenzwert mit x o 1 besitzt.
1
2 4 6 8 10
1
0
Liefert jeweils an der Polstelle einen unbestimmten Grenzwert !
1
2
1 of x 1 xo1 lim
1 o f x 1 xo1 lim
x
Abb. 2.1.3
Seite 37
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Bei der Grenzwertberechnung kommen verschiedene Methoden zur Anwendung. Es kann, wenn uneigentliche Grenzwerte (siehe Kapitel 1) vorkommen, vorteilhaft sein, Funktionsterme zu kürzen oder zu erweitern. Hilfreich können bei der Bestimmung von Grenzwerten auch einige Grenzwertsätze sein, die genau jenen für Folgen (siehe Kapitel 1) entsprechen. Ein sehr hilfreicher Satz zur Bestimmung von Grenzwerten ist der Satz von L' Hospital, der jedoch erst später besprochen wird. Grenzwertsätze für reelle Funktionen: lim
Existieren die Grenzwerte
f ( x) und
x o x0
lim
a)
( f ( x) r g ( x) ) =
lim
x o x0
( f ( x) g ( x) ) =
x o x0
lim
lim
( c f ( x) ) = c
lim
g ( x)
(2-5)
f ( x) .
lim
g ( x)
(2-6)
x o x0
f ( x) mit c \ {0}
(2-7)
x o x0
lim lim
lim
g ( x) , dann gilt:
x o x0
x o x0
x o x0
c)
f ( x) r
x o x0
lim
b)
lim x o x0
f ( x)
x o x0 g ( x)
=
f ( x)
x o x0
lim
g ( x)
mit
lim
g ( x) z 0
(2-8)
x o x0
x o x0
Beispiel 2.1.4: Untersuchen Sie folgende Grenzwerte mithilfe der Grenzwertsätze: x 5 5 0.001 5 lim
§5 x 1
lim x o 1.5
=
1.5 2
x o 1.5
1.5
lim
5
xo3 x
Abb. 2.1.5
1
1
xo3
=
lim
( x 3)
= "1/0"
Unbestimmter Ausdruck !
xo3
Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig ! lim
10
lim x o 1.5
§ 5 x 1 x· o 3.9285714285714285714 ¨ © x 2 ¹
xo3 x 3
1 0
3.929
lim 3
5
( x 2)
Polstelle x = - 2 !
10
x 3
lim x o 1.5
5 1.5 1
lim Abb. 2.1.4
· x = ¨ x 2 © ¹
( 5 x 1)
x o 1.5
1 x 3
of
Polstelle x = 3 !
Seite 38
lim xo3
1 x 3
o f
=x
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
10
x x 2
lim
2
x 2
xo2
2
xo2
=
lim
5
0
5
( x 2)
= "0/0"
xo2
x x 2 x 2
x2 x 2
lim
2
Unbestimmter Ausdruck ! Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig !
10
2
x x 2
x
vereinfacht auf
x 2
x 1
Abb. 2.1.6 lim
( x 1) o 3
Der Graph hat eine Lücke bei x = 2 !
xo2
lim
10
lim
1
5
0
x 1
xo1
cos ( x) x 1
cos ( x)
5
=
cos ( x)
xo1
lim
= "cos(1)/0"
( x 1)
xo1
Unbestimmter Ausdruck ! Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig !
10
lim
x
xo1
Abb. 2.1.7
f ( x)
cos ( x)
lim
of
x 1
xo1
x 1
o f
Polstelle x = 1 !
sin ( x)
gegebene Funktion (Oszillationsstelle bei x 1 = 0)
x
x1 0
Oszillationsstelle
x 10 10 0.01 10
Bereichsvariable lim 2
lim
sin ( x) x
x o x1
f( x) 1
cos ( x)
10
0
10
=
sin ( x)
xo0
lim
x
= "0/0"
xo0
Unbestimmter Ausdruck ! Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig !
2
lim x 0
f ( x) o 1
Grenzwert
x o x1
Abb. 2.1.8 lim f ( x) o 1 x o x1
linksseitiger Grenzwert
lim f ( x) o 1 x o x1
rechtsseitiger Grenzwert
Die Oszillationsstelle x = 0 kann durch die Definition f(0) = 1 geschlossen werden !
Seite 39
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit Beispiel 2.1.5: Werten Sie für die Fallgeschwindigkeit eines Körpers mit Luftwiderstand folgenden Grenzwert mit k gegen 0 aus:
§ ¨ ¨ lim ¨ m0 g ko0 © § ¨ ¨ lim ¨ m0 g1 ko0 ©
2ks1
·
m0
¸
1e k
1 1
ergibt
¹ 2ks1 m0
1e k
1
2
§ s1 · 2 2 ¨ m0 g ¨© m0 ¹ 2
· ¸ ¹
1
annehmen m0 ! 0
1
2
§ s1 · ¨ o 2 g1 annehmen s 1 ! 0 © g1 ¹ 2
vereinfachen
§ ¨ ¨ lim ¨ m0 g1 ko0 ©
2ks1 m0
1e k
·
1 1
¸
2
1
s 2 § 1· 2 vereinfachen o 2 ¨ m0 g1 ¨ ¹ © m0 ¹
Beispiel 2.1.6: Für die erzwungene Schwingung ist für den Resonanzfall folgender Grenzwert mit G gegen 0 auszuwerten:
lim G o0
lim G o0
ª e Gt § G ·º « ¨ Z t sin ( Z t) G t cos ( Z t) sin ( Z t) » ergibt « 2 © Z ¹»¼ ¬ Z
( Z t sin ( Z t) ) Z
2
ª e Gt § G ( Z t sin ( Z t) ) ·º « ¨ Z t sin ( Z t) G t cos ( Z t) sin ( Z t) » vereinfachen o « 2 © » 2 Z ¹¼ Z ¬ Z
2.2 Stetigkeit von reellen Funktionen Eine stetige Funktion ("nicht sprunghafte Funktion") ist - vereinfacht gesagt - dadurch gekennzeichnet, dass wir ihren Graph "in einem Zuge" zeichnen können. Definition: a) Eine Funktion f: y = f(x) heißt an der Stelle x 0 (x0 D) stetig, wenn dort Grenzwert und Funktionswert existieren und übereinstimmen. D.h. lim x o x0
f ( x) = G und G = f x0
(2-9)
Trifft auch nur eine der beiden Bedingungen nicht zu, so heißt die Funktion an der Stelle x 0 unstetig. b) Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an allen Stellen des Definitionsbereichs stetig ist.
Seite 40
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Bemerkung: Existiert an einer Definitionslücke x0 der Grenzwert
lim
f ( x) = c (c ), so kann die Funktion
x o x0
durch die zusätzliche Definition f(x 0 ) = c stetig fortgesetzt werden. Die Lücke wird dadurch geschlossen (behebbare Unstetigkeitsstelle). Viele elementare Funktionen sind stetig. Auch die Summe, Produkt, Kehrwert und Verkettung (Hintereinanderausführung) von stetigen Funktionen führen wieder auf stetige Funktionen.
Beispiel 2.2.1: f ( x)
x if 0 d x d 3
oder
f1 ( x) = wenn [ ( 0 d x) ( x d 3) x wenn ( x ! 3 x 1 0) ]
Funktion
x 1 if x ! 3
x1 3
x2 3.5
'x x2 x1
'y f x2 f x1
'x
0.5
'y
0.5
FRAME
lim ( x 1) o 2 x o x1
35
mithilfe der Variablen FRAME definierter Parameter FRAME: 0 bis 15 mit 1 Bild/s x-Wert und y-Wert Differenz
rechtsseitiger Grenzwert
lim x o3 x o x1
linksseitiger Grenzwert
Funktionswert
f x1
3
lim 'x o 0
lim 'x o 0
f x1 'x f x1
Der Grenzwert sollte bei Stetigkeit 0 werden!
ª¬ x1 'x 1 x1º¼ o 1
x 0 0.01 5
Bereichsvariable
Seite 41
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Stetigkeit
4
Linksseitiger Grenzwert 3
lim x o3x 1 x o x1
x2
f x1 'x f x1
y-Achse
f( x)
f x2
Die Funktion f(x) ist an der Stelle x 1
f x1
2
lim ( x 1) o 2 x o x1 1
0
unstetig.
Rechtsseitiger Grenzwert
0
1
2
3
4
5
x x1 x2 x-Achse
Abb. 2.2.1 Beispiel 2.2.2: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = sign(x) (Vorzeichenfunktion) auf Stetigkeit. Bereichsvariable
x 2 2 0.01 2
sign ( 0.1)
2
sign ( 0)
0
sign ( 0.1)
sign( x)
Liefert hier den falschen Wert!
1
lim sign ( x) o 1 xo0
2
Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 0 unstetig,
2
1
lim sign ( x) o 1 xo0
1 sign( 0)
1
0
2
sonst stetig !
x 0
Abb. 2.2.2 Beispiel 2.2.3: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = V(x - a) = )(x - a) (allgemeine Heavisidefunktion) auf Stetigkeit. Bereichsvariable
x 2 2 0.01 2 2
) ( 1 1)
1 ) ( x 1 )
2
0
2
1
) ( 0.1 1)
lim ) ( x 1) o 1 xo1
0
lim ) ( x 1) o 0 xo1
1
Die Funktion ist an der Stelle x = 1 unstetig, sonst stetig !
2 x
Abb. 2.2.3
Seite 42
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Beispiel 2.2.4: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = )(x - a) - )(x - b) (Pulsfunktion) auf Stetigkeit. Bereichsvariable
x 2 2 0.01 4 2
lim xo1
1 ) ( x 1 ) ) ( x 2 )
2
0
2
4
1 2
( ) ( x 1) ) ( x 2) ) o 1
lim ( ) ( x 1) ) ( x 2) ) o 0 xo1
Die Funktion ist an den Stellen x = 1 und x = 2 unstetig, sonst stetig !
x
Abb. 2.2.4 Beispiel 2.2.5: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = ()(x) - )(x - S)) sin(x) (Fensterfunktion) auf Stetigkeit. f ( x) ( ) ( x) ) ( x S ) ) sin ( x)
Funktionsgleichung
x 2 2 0.01 4
Bereichsvariable 2 1
f( x)
2
0
2
4
Die Funktion ist überall stetig !
1 2 x
Abb. 2.2.5 Beispiel 2.2.6: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x sin(1/x) auf Stetigkeit.
§ 1· ©x¹
f ( x) x sin ¨ x
3 3 3 0.001 S S S
Funktionsgleichung (Oszillationsstelle bei x = 0)
Bereichsvariable
Seite 43
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
1
Die Funktion ist bei x = 0 unstetig ! 0.5
f( x)
lim
x
1
0.5
x
0
0.5
1
f ( x) o 0
xo0
Der Grenzwert bei x = 0 existiert. Die Oszillationsstelle (Definitionslücke) kann durch die Zusatzdefinition f(0) = 0 stetig geschlossen werden !
0.5 1 x
Abb. 2.2.6 Beispiel 2.2.7: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = (x 2 -1)/(x-1) auf Stetigkeit. 2
f ( x)
x 1
Funktionsgleichung (gebrochenrationale Funktion - Lücke bei x = 1)
x 1
Bereichsvariable
x 2 2 0.01 2
Die Funktion ist bei x = 1 unstetig !
4
lim
3 f( x)
2
2
1 2
1
f ( x) o 2
xo1
Der Grenzwert bei x = 1 existiert. Die Lücke (Definitionslücke) kann durch die Zusatzdefinition f(1) = 2 stetig geschlossen werden ! 0
1
2
1
2
x 1 x 1
x 1
vereinfacht auf
x 1
Abb. 2.2.7
2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Stetige Funktionen besitzen eine Reihe von nennenswerten Eigenschaften: Zwischenwertsatz: In einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] nehmen stetige Funktionen jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Nullstellensatz: Ist f eine in I = [a, b] stetige Funktion, deren Funktionswerte an den Randpunkten a und b verschiedene Vorzeichen haben, so gibt es mindestens einen Wert x 0 ] a, b[ mit f(x0 ) = 0. Extremwertsatz: Eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige Funktion f ist in I beschränkt und hat hier ein absolutes Maximum bzw. Minimum (absolute Extremwerte). Relative Extremwerte (relatives Maximum bzw. Minimum) werden im Abschnitt 3.3 näher besprochen.
Seite 44
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Beispiel 2.2.8: Besitzt die Funktion y = x3 - x - 3 im Intervall [0, 2] eine Nullstelle ? a 0
Intervallrandpunkte
b 2 3
Funktion
f ( x) x x 3 f ( a)
3
f ( b)
Es liegt mindestens eine Nullstelle innerhalb des Intervalls!
3
Nullstelle
x0 wurzel ( f ( x) x a b)
x0
1.672
x 4 4 0.01 4
Bereichsvariable 10 x0 b
f( x)
4
2
0
f( b) f( a) 4
2
10 x
Abb. 2.2.8 Beispiel 2.2.9: Besitzt die Funktion y = x3 - 2 x + 5 im Intervall [-3, 2] eine Nullstelle ? a 3
Intervallrandpunkte
b 2 3
f ( x) x 2 x 5
Funktion
x 4 4 0.01 4
Bereichsvariable f( b)
a
b
4
f( x)
2
0
2
4 f( a)
20 x
Abb. 2.2.9 f ( a)
16
x1 1
absolutes Minimum
f ( b)
Startwert (Näherungswert)
x2 1
0.816
Startwert (Näherungswert)
xmax Maximieren f x1 xmax
absolutes Maximum
9
xmin Minimieren f x2
f xmax
6.089
xmin
relatives Maximum
0.816
f xmin
3.911
relatives Minimum
Seite 45
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit 2.2.2 Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen In vielen Anwendungen wird öfters das Langzeitverhalten einer physikalischen Größe untersucht. Z.B. wird bei Schwingungsvorgängen das stationäre Verhalten untersucht, also das Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Um solche Verhalten untersuchen zu können, sind Grenzwertuntersuchungen notwendig. Definition: a) Konvergiert für jede Folge < x n > mit xn ofbzw. xn of die Folge < f(xn) > stets gegen denselben Grenzwert G, so heißt G Grenzwert der Funktion für xn ofbzw. xn of. Wir schreiben dafür: lim
f ( x) = G bzw.
lim
xof
f ( x) = G
(2-10)
xof
Ist G gleich "+ f"oder "- f ", so sprechen wir auch von einem uneigentlichen Grenzwert. Es gelten hier auch die vorher genannten Grenzwertsätze. b) Eine Gerade g: x = a (Parallele zur y-Achse) heißt Asymptote der Funktion f: y = f(x), wenn gilt: lim
f ( x) = f ;
xoa
lim
f ( x) = f
(2-11)
xoa
a heißt Pol der Funktion f. c) Existiert speziell der Grenzwert
lim
f ( x) = d, dann hat der Graph der Funktion f eine
x o +/-f
horizontale Asymptote mit der Gleichung y = d. d) Eine Gerade g: y = k x + d heißt Asymptote der Funktion f: y = f(x), wenn gilt: lim
( f ( x) g ( x) ) = 0 bzw.
x o +/-f
lim
[ f ( x) ( k x d) ] = 0
(2-12)
x o +/-f
Oder k=
lim x o +/-f
f ( x) x
und d =
lim
( f ( x) k x)
x o +/-f
Beispiel 2.2.10: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = tan(x) ; D = \ { (2 k +1) S/2 } mit k . f ( x) tan ( x)
Funktionsgleichung
x 2 S 2 S 0.001 2 S
Bereichsvariable
Seite 46
(2-13)
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Die Funktion besitzt bei xk = (2 k +1) S/2 Polstellen und an diesen Stellen Asymptoten mit den Gleichungen xk = (2 k +1) S/2
lim xo
S
f ( x) o f
lim xo
2
S
Grenzwerte
f ( x) o f
2
Beispiel 2.2.11: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = 1/(x-1) ; D = \ { 1 } . 1
f ( x)
Funktionsgleichung
x 1
x 5 5 0.001 5
Bereichsvariable
x0 1
Polstelle 5
Die Funktion besitzt bei x0 = 1 eine Polstelle und
x0
3 1 f( x)
6
4
2
0
1 0
2
4
3 5 x
Abb. 2.2.11 lim f ( x) o f xo1 lim
f ( x) o 0
xof
lim f ( x) o f xo1 lim
f ( x) o 0
xof
Beispiel 2.2.12: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = x/(x+1) ; D = \ { -1 } . f ( x)
x x 1
Funktionsgleichung
Seite 47
Grenzwerte
6
an dieser Polstelle eine Asymptote mit der Gleichung x = 1. Die Funktion nähert sich ebenfalls asymptotisch der x-Achse. Die x-Achse mit der Gleichung y = 0 ist ebenfalls Asymptote.
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Bereichsvariable
x 5 5 0.001 5
Die Funktion besitzt bei x0 = - 1 eine Polstelle (einfache Polstelle) und an dieser Polstelle eine Asymptote mit der Gleichung x = - 1. Die Funktion nähert sich asymptotisch der Geraden y = 1. y = 1 ist ebenfalls eine Asymptote. Abb. 2.2.12 lim f ( x) o f x o 1
lim f ( x) o f x o 1
lim
f ( x) o 1
lim
xof
f ( x) o 1
Grenzwerte
xof
Beispiel 2.2.13: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = (x 2 + 1)/(x2 -4) ; D = \ { -2, 2 } . 2
f ( x)
x 1
Funktionsgleichung
2
x 4 Redefinition
x x 2
x 4 = 0 auflösen x o
§2 · ¨ © 2 ¹
Polstellen Bereichsvariable
x 5 5 0.001 5
Die Funktion besitzt bei x1 = - 2 und bei x 2 = 2
5 2
2
3
1
1 f( x)
6
4
2
1 0
2
4
6
3 5
eine Polstelle (zweifache Polstelle) und an diesen Polstellen eine Asymptote mit der Gleichung x = - 2 bzw. x = 2. Die Funktion nähert sich ebenfalls asymptotisch der Geraden y = 1. y = 1 ist ebenfalls eine Asymptote.
x
Abb. 2.2.13 lim x o 2 lim xof
f ( x) o f
f ( x) o 1
lim x o 2
lim
f ( x) o f
lim xo2
f ( x) o 1
f ( x) o f
Grenzwerte
xof
Seite 48
lim xo2
f ( x) o f
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit Beispiel 2.2.14: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden unecht gebrochen rationalen Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. Konstante
a 1 2
2 x
f ( x)
Funktionsgleichung
2
x a k
f ( x)
lim xof
d
lim
x
Steigung der Asymptote
o0
Achsenabschnitt der Asymptote
( f ( x) k x) o 2
xof
y ( x) k x d
Asymptotengleichung
x a 4 a 4 0.001 a 3
Bereichsvariable 3 2.5 2
f( x)
Die Funktion nähert sich asymptotisch der Geraden y = 2.
1.5
y( x)
1 0.5 3
2
1
0
1
2
3
x
Abb. 2.2.14 Beispiel 2.2.15: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden unechtgebrochen rationalen Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. Konstante
a 5 2
f ( x)
k
Funktionsgleichung
x a lim xof
d
2
5 x 1
lim
f ( x) x
x a
in Partialbrüche zerlegt, ergibt 2
o5
( f ( x) k x) o 25
1 5 a
Steigung der Asymptote
5 x 5 a
Achsenabschnitt der Asymptote
5 x + 5 a ist der Term für die Asymptotengleichung
xof
y ( x) k x d
5 x 1
Asymptotengleichung
Seite 49
x a
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Bereichsvariable
x a 2 a 2 0.0001 a 2
Die Funktion nähert sich asymptotisch der Geraden x = a und y = k x +d. x = a und y = k x + d sind Asymptoten. Die Kurve hat bei x1 = a einen Pol.
Abb. 2.2.15
Beispiel 2.2.16: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. 2
x
f ( x) x e
Funktion
x 1 1 0.001 20
Bereichsvariable lim
1
of
x2 e x
o 25 exp ( 5)
xof
lim f( x)
x2 e x
xo5
0.5
lim
x2 e x
o0
xof 0
5
10
15
20
x
Asymptote mit der Gleichung y = 0
Abb. 2.2.16 Beispiel 2.2.17: Berechnen Sie die Asymptoten für die Feldstärke eines Kugelkondensators. E ( x) =
lim xo0
Abb. 2.2.17
Q 4 S H0
1 2
x
§k 1 · o f ¨ 2 © x ¹
=k
1
elektrische Feldstärke
2
x
lim xof
x = 0 ist eine Polstelle
Seite 50
§k 1 · o 0 ¨ 2 © x ¹
x- und y-Achse sind Asymptoten
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Q 100 1.6 10 H 0 8.8542 10
12
Q
E ( x)
19
4 S H0
gegebene Ladung
C As
elektrische Feldkonstante
Vm
1
elektrische Feldstärke
2
x
Bereichsvariable
x 0 cm 0.01 cm 10 cm
E( x)
1 10
5
7.5 10
6
5 10
6
2.5 10
6
V cm
Abb. 2.2.18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x cm
Beispiel 2.2.18: Berechnen Sie die Asymptoten für die magnetische Feldstärke H eines stromdurchflossenen Leiters. Außerhalb des Leiters mit Radius r gilt für die magnetische Feldstärke: lim
H ( x) = 0
und
lim
xof
H ( x) = 0
H ( x) =
I 2 S x
=
k x
ist Asymptote
H ( x) = 0
xof
Innerhalb des Leiters gilt unter der Annahme, dass die Stromverteilung über dem Leiterquerschnitt gleichmäßig ist: I I ( x) I
=
A ( x) A
2
=
x S 2
r S
2
=
x
2
I
I ( x) =
r
1 2
H ( x)
2
x
und damit
H ( x) =
r
I ( x) 2 S x
=
gegebener Strom
I 5 A r
2
2
gegebener Radius
mm I 2 S x I 2
if ( x ! r) ( x r) magnetische Feldstärkefunktion x if r d x d r
2 r S x 5 mm 5 mm 0.01 mm 5 mm
Bereichsvariable
M 0 0.1 2 S
Bereichsvariable
Seite 51
2
x
r
2 S x
=
I 2
2 r S
x
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
20 r
r
mm 10
mm
rsin( M ) mm 0 H ( x)
6
4
2
0
2
4
6
A cm
10
20 rcos ( M ) mm
x mm
Abb. 2.2.19 Beispiel 2.2.19: Die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer elektrischen Doppelleitung ist gegeben durch E(x) = k.1/(a2 - x2 ) (k = a.Q/(SH0 l). Bestimmen Sie den Grenzwert mit x gegen ± f und den links und rechtsseitigen Grenzwert mit x gegen -a und +a der Funktion E(x). Stellen Sie die Funktion zuerst grafisch dar. a 0.5 E ( x) k
k 1 1 2
2
gegebene Werte elektrische Feldstärke
Pol 2.Ordnung bei x1 = -a und x2 = a
a x
x 1 1 0.001 1 Bereichsvariable 10 a
a 5
E( x )
0 1
0 5
10 x
Abb. 2.2.20
Seite 52
1
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
lim
E ( x) o 0
lim
xof
lim x o a
y = 0 ist Asymptote
E ( x) o 0
xof
E ( x) o f
lim x o a
lim E ( x) o f xoa
x = - a ist Asymptote
E ( x) o f
x = a ist Asymptote
lim E ( x) o f xoa
Beispiel 2.2.20: Gegeben ist eine belastete Gleichstromquelle mit variablen Aussenwiderstand. Stellen Sie U = f(x), I = f(x), K = f(x) und P = f(x) in einem Koordinatensystem dar und bestimmen Sie die Asymptoten.
U0 = 85 V
gegebene Daten
Ri = 10 :
Abb. 2.2.21 (1) Spannungsfunktion: U = I Ra =
U0 Ra Ri
Ra
: Ri
U=
Ra U0 Ri Ra
U0 x
U0 x
lim
x 1
xof x 1
(2) Stromfunktion: I=
U0
I=
Ra
o U0
Asymptote bei U = U 0
o0
Asymptote bei I = 0
1 U0
U0 Ri
lim
x 1
Ri
xof x 1
(3) Wirkungsgradfunktion:
K=
Pab Pzu
=
K = f ( x) =
U I U0 I x
x 1
Ri
Ri
Ri
I = f ( x) =
Ra
U0
: Ri
Ra Ri
x=
1
Ri U = f ( x) =
Substitution:
Ra
2
=
I Ra 2
I Ra Ri
=
Ra
: Ri
Ra Ri lim
K=
Ri
Ra Ri
x
xof x 1
o1
Seite 53
1
Asymptote bei K = 1
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
(4) Leistungsfunktion: 2
2 2 U0 Ra §¨ U0 · Pab = U I = I Ra = Ra = ¨© Ra Ri ¹ Ra Ri 2 2
2
U0
Ri
Pab = f ( x) =
: Ri2
§¨ Ra ¨© Ri
2
U0
x
( x 1)
lim
2
Ri
Ri 10 :
Innenwiderstand
x 0 0.01 30
x = Ra /Ri Bereichsvariable
I ( x)
x 1
x 1
1
( x 1)
2
¹
2
U0
U0 Ri
=
x
Asymptote bei Pab = 0
o0
x o f ( x 1) 2
angelegte Spannung
U0 x
·
2
Ri
x
U0 85 V
U ( x)
U0 Ri Ri
Pab =
2
U0
Ra
K ( x)
x x 1
Pab ( x)
Ri
x
( x 1)
2
Funktionen
Ra = Ri
200
1 U0 V U ( x)
150
V I( x) A
100
Pab( x) W K ( x) %
50
100
0
5
10
15
20
25
30
x
Abb. 2.2.22 Beispiel 2.2.21: Untersuchen Sie den (verlustfreien) Reihenschwingkreis (Resonanzkreis) auf Asymptoten und Nullstellen, und stellen Sie die Blindwiderstände X, X L und X C in einem Koordinatensystem grafisch dar.
Seite 54
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
L = 3 mH
gegebene Daten
C = 5 nF Abb. 2.2.23 XL = Z L
XC =
1 Blindwiderstände
ZC
1 X = XL XC = Z L ZC ZL
1
lim
Zof ZC
Asymptote bei XC = 0 ,
o0
Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0
Gesamtblindwiderstand 2
1 ZC ZL
lim
ZC
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
ZL
1 ZC
1 ZC
Z
Zof
Z L C 1
vereinfacht auf
und
=k
oL
lim Zof
§Z L 1 L Z· o 0 ¨ ZC © ¹
=d
Asymptote bei XL = Z L , Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0 Nullstellen X = 0 d. h. X L = X C: ZL
1 ZC
=0
2
Z L C= 1
L 3 mH
Zr =
1
Resonanzfrequenz
L C
gegebene Daten
C 5 nF XL ( f) 2 S f L
XC ( f)
1
X ( f) 2 S f L
2 S f C
1 2 S f C
Bereichsvariable
f 1 kHz 1 kHz 0.01kHz 300 kHz
fr fr
1 2 S
L C
41.094 kHz
5000
XL( f)
0
fr
:
kHz
überwiegend induktiv
: XC( f)
0 :
0
: X( f)
50
100
150
200
300
(Spannungsresonanz)
überwiegend kapazitiv
:
250
Saugkreis, bevorzugt durchlässig für Ströme der Frequenz f r
5000 f kHz
Abb. 2.2.24
Seite 55
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Beispiel 2.2.22: Untersuchen Sie den (verlustfreien) Parallelschwingkreis (Resonanzkreis) auf Asymptoten und Nullstellen, und stellen Sie die Blindleitwerte B, B L und B C in einem Koordinatensystem grafisch dar. L L
Redefinitionen
C C
L = 5 mH gegebene Daten C = 4 nF Abb. 2.2.25 1
BL =
XL
BC =
1
=
1 XC
induktiver Blindleitwert
ZL
lim
Zof ZL
o0
Asymptote bei BL = 0 , Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0
kapazitiver Blindleitwert
=ZC
1 B = BC BL = Z C ZL
Gesamtblindleitwert 2
1
ZC
1
vereinfacht auf
ZL
Z L C 1
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
ZL
C Z
1 L Z
2
Z LC 1 ZL
lim
Z
Zof
=k
oC
und
lim Zof
§ Z C 1 Z C· o 0 ¨ ZL © ¹
=d
Asymptote bei BC = Z C, Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0 Nullstellen B = 0 d. h. B C = B L : ZC
X=
1 B
1 ZL
2
=0
Z L C= 1
1
=
ZC
1
ZL 2
o0
2
Z o f Z L C 1
L 5 mH BL ( f) fr
C 4 nF 1
2 S f L 1
2 S
L C
1
Resonanzfrequenz
L C
Gesamtblindwiderstand
Z L C 1
ZL
ZL
lim
=
Zr =
BC ( f) 2 S f C fr
35.588 kHz
f 1 kHz 1 kHz 0.01kHz 300 kHz
Asymptote bei X = 0 Polstelle bei Zr und damit Asymptote bei Zr gegebene Daten B ( f) 2 S f C
1 2 S f L
Resonanzfrequenz
Bereichsvariable
Seite 56
Blindleitwertfunktionen
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
BL ( f)
fr kHz
0.005
S
überwiegend kapazitiv
BC ( f) 0
S
100
150
200
250
300
Sperrkreis, sperrt Ströme der Frequenz f r (Stromresonanz)
B( f) S
50
überwiegend induktiv
0.005
f kHz
Abb. 2.2.26 X ( f)
2 S f L 2
Blindwiderstand
( 2 S f) L C 1
Abb. 2.2.27 Beispiel 2.2.23: Untersuchen Sie den (verlustfreien) Filter auf Asymptoten und Nullstellen, und stellen Sie den Blindwiderstand X in einem Koordinatensystem grafisch dar. C1 = 5 nF C2 = 8 nF
gegebene Daten
L = 2 mH R=0 Abb. 2.2.28
Seite 57
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit 1 Z1 = j XC = j Z C1
1
Z2 =
Y
Z2 = j
1
=
jB
komplexer Widerstand
1
=
j BC BL
=
1 1 · § j ¨ Z C2 Z L¹ ©
=
ZL
1
§¨ Z 2 L C 1 · 2 j¨ ZL © ¹
=
ZL 2
j § Z L C2 1·
©
¹
erweitern mit j / j
komplexer Widerstand
2
1 Z L C2
1 · ZL § ¨ 1 Z 2 L C2 Z C1 © ¹
Z = Z2 Z1 = j ¨
ZL
X=
2
1 Z L C2
2
1
vereinfacht auf X =
Z C1
Polstellen:
L L
§ 1 Z 2 L C · Z C = 0 2¹ 1 ©
Z1 = 0 Zr =
lim Zof
2
§ Z L C1 1 Z L C2·
©
¹
2
§ 1 Z L C · Z C 2¹ 1 ©
Polstelle und Asymptote bei Z1 = 0 1 L C2
ZL 1 · §¨ o0 ¨ 1 Z 2 L C2 Z C1 © ¹
Polstelle und Asymptote bei Zr
Asymptote bei X = 0
1 ª« 1 « « L C L C 2 1 2 2 2 « § Z L C1 1 Z L C2· = 0 auflösen Z o © ¹ « 1 « 1 « « L C1 L C2 2 ¬
Nullstellen:
º » » » » » » » » ¼
Z0 =
1 L C1 L C2
L 2 mH gegebene Daten
C1 5 nF C2 8 nF 2 S f L
X ( f)
2
1 ( 2 S f) L C2 fr
1 2 S
L C2
fr
1 2 S f C1
39.789 kHz
Blindwidwerstand
f0
1 2 S
Seite 58
1 L C1 L C2
f0
31.213 kHz
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit Bereichsvariable
f 1 kHz 1 kHz 0.01kHz 200 kHz
Bei f0 widerstandsloser Filter. Der Filter sperrt Ströme der Frequenz f r.
Abb. 2.2.29 Beispiel 2.2.24: Eine Kugel der Masse m 0 und der Geschwindigkeit v stößt zentral und elastisch auf eine zweite Kugel der Masse M0 . Aus dem Impuls- und Energieerhaltungssatz lässt sich die Geschwindigkeit v n der ersten Kugel nach dem Stoß herleiten. Wie groß ist v n , wenn der Stoß gegen ein festes Hindernis erfolgt ? Stellen Sie den Zusammenhang grafisch dar.
m0 M0 v
lim
o v
m0 M0
M0 o f
gleich große Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung
Abb. 2.2.30 m0 10 kg
v 20
m
gegebene Werte
s
Bereichsvariable
M0 0 kg 1 kg 100 kg
vn M0
vn M 0 m s
m0 M0 v
Geschwindigkeit nach dem Stoß
m0 M0 25 20 15 10 5 5 0 10 15 20 25
20
40
60
80
100 v
M0 kg
Seite 59
Abb. 2.2.31
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Beispiel 2.2.25: Regen wir ein schwingungsfähiges mechanisches oder elektrisches System (Oszillator) mit einer sinusförmigen Kraft bzw. Spannung der Kreisfrequenz Ze an, so schwingt auch das System nach Abklingen des Einschwingvorganges sinusförmig mit der gleichen Frequenz ( y = y 0 (Ze ) sin( Ze t + M)). Die Amplitude ist von der Erregerfrequenz Ze abhängig. Für die Amplitude und die Phasenverschiebung lassen sich folgende Beziehungen herleiten, we nn ein mechanisches System angenommen wird, das mit der Kraft F(t) = F 0 sin(Ze t) angetrieben wird:
F0
y0 Z e =
M Ze =
m0
Z 0 Z e
Frequenzgang der Amplitude 2
2
§ 2 G Ze ·
Phasengang der Amplitude
if Z e Z 0
¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
2
Redefinition
4 G Ze
artan ¨
S
m0 m 0
if Z e = Z 0
§ 2 G Ze ·
artan ¨
¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
S if Z e ! Z 0
Z0 ist die Eigenfrequenz des Oszillators im ungedämpften Fall. G ist der Dämpfungsfaktor. a) Wie verhalten sich die Amplitude y 0 und die Phasenverschiebung bei sehr kleinen, sowie bei großen Erregerfrequenzen Ze ? b) Skizzieren sie die Funktionen für Z0 und G = 0.3 s-1 und untersuchen Sie sie auf Stetigkeit. a)
F0
lim Ze o 0
2
m0
1
o
§ Z 2 Z 2· 4 G 2 Z 2 e ¹ e © 0
1
§ Z 4· © 0 ¹
F0 m0
2
Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen Erreger und Oszillator nahezu phasengleich. Der Oszillator wirkt wie starr verbunden und schwingt mit der Amplitude F 0 /(Z0 2 m0 ). F0
lim
Z 0 Z e
Ze o f m 0
lim Ze o 0
lim Ze o f
2
o0
die Ze Achse ist Asymptote
4 G Ze
§ 2 G Ze ·
artan ¨
2
¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
M(Ze ) = 0 ist Asymptote
o artan ( 0)
§ § 2 G Ze · · ¨ artan ¨ S o artan ( 0) S ¨ ¨Z 2 Z 2 e ¹ © © 0 ¹
Seite 60
M(Ze ) = - S ist Asymptote
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
b)
Z0 1 s
1
G 0.3 s
1
F0 100 N Eigenfrequenz, Dämpfungsfaktor und Kraftamplitude
F0
y0 Z e
Amplitudengang oder Frequenzgang der Amplitude
2
§ Z 2 Z 2· 4 G 2 Z 2 e ¹ e © 0
m0
§ 2 G Ze ·
atan ¨
M Ze
if Z e Z 0
¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
S 2
if Z e = Z 0
Phasengang der Amplitude
§ 2 G Ze ·
atan ¨
¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
Ze 0 s
1
0.01 s
1
S if Z e ! Z 0
10 s
1
Bereichsvariable Amplitudengang
20
y0 Z e
Z0
10
m
Abb. 2.2.32
0
2
4
6
8
10
Ze 1
s
Phasengang
M Ze
Grad
20 0 40 60 80 100 120 140 160 180 200
2
4
6
S
8
2
10
Grad
Abb. 2.2.33
Z0
S Grad
Ze 1
s
Bei hohen Frequenzen kann der Erreger nicht mehr folgen und hinkt ihm um fast die halbe Periode nach. Dazwischen erreicht die Amplitude einen Höchstwert (Resonanz). lim Ze o Z0
M Ze
=
lim Ze o Z0
M Ze
= M Z0 =
Seite 61
S 2
Die Funktion ist stetig.
Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit
Logarithmische Darstellung von Amplituden- und Phasengang: ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 Z min 0.01 s Z max 10 s
1
gewählte unterste Erregerfrequenz
1
gewählte oberste Erregerfrequenz Anzahl der Schritte
n 500
§ Z max · ¨© Z min ¹
log ¨ 'Z
Schrittweite
n
Bereichsvariable
k 0 n Ze Zmin 10 k
k'Z
Vektor der Erregerfrequenzwerte Amplitudengang
20
15 y0 § Z e
©
Z0
·
k¹
m
Bodediagramm
1
s
10
5
0 0.01
0.1
1 Ze
10
Abb. 2.2.34
k
1
s Erregerfrequenz
M §Z e
©
· k¹
Grad
Phasengang
0 20 40 60
Z0
80 100 120 140 160 180 200 0.01
s
90
Bodediagramm
1
180
Abb. 2.2.35 0.1
1 Ze
k
1
s Erregerfrequenz
Seite 62
10
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient 3. Differentialrechnung Die Differentialrechnung und Integralrechnung, zusammengefasst auch Infinitesimalrechnung genannt, stellen die Grundlage für die höhere Analysis dar. Sie wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts etwa gleichzeitig und unabhängig voneinander von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) und Isaac Newton (1643 - 1727) entwickelt. Während Leibniz vom Tangentenproblem ausging, gelangte Newton durch die Untersuchung physikalischer Probleme zur Differentialrechnung. Newton erkannte auch, dass die Integration als Umkehrung der Differentiation aufgefasst werden kann. Die Infinitesimalrechnung wurde zu einem wichtigen Hilfsmittel bei der Beschreibung und Erforschung der Natur. Zusammen mit anderen Gebieten der Mathematik konnte die theoretische und praktische Leistungsfähigkeit bis zum heutigen Tag entscheidend verbessert werden, sowohl bei der Verbindung von Mathematik und Naturwissenschaft als auch bei den direkten Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik in Technik und Produktion. In der Technik treten oft zwei wesentliche Probleme auf: x Die Untersuchung des Änderungsverhalten einer physikalischen Größe führt auf eine neue physikalische Größe (Tangentenproblem). Z.B. die Änderung des zurückgelegten Weges pro Zeit führt zur Geschwindigkeitsänderung. x Die Untersuchung der Fläche unter einer Kurve als Maß einer neuen physikalischen Größe (Flächen- problem). Z.B. die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve im v-t Diagramm ist ein Maß für den zurückgelegten Weg.
3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Mithilfe des Differenzenquotienten kann die Steigung der Sekante s zwischen zwei Kurvenpunkten P1 und P2 von y = f(x) berechnet werden. Wir berechnen damit den mittleren Anstieg der Kurve (mittlere Änderungsrate von y) im Intervall [ x 1 , x1 + 'x ] bzw. [ x1 , x1 + h]. Dieser mittlere Anstieg ändert sich jedoch von Intervall zu Intervall (ausgenommen bei der linearen Funktion). 2
f ( x) ( x 5) 50
gegebene Funktion
x 0 0.001 8
Bereichsvariable
ys x1 x2 x f x1 x1 1
f x2 f x1
x2 7
x2 x1
y2 y y1 = x2
x x1
FRAME
Sekante
y-Achse
f( x)
f x2
Sekantengleichung
Funktionswertdifferenz
50 x1
x x1
x - Werte Differenz
x1
Intervallrandpunkte (FRAME von 0 bis 20)
5
'x x2 x1 'y f x2 f x1
ys x1 x2 x
y1
x2
s
40
f x1
Steigung der Sekante:
P2
ks
f x1
f x1 'x f x1
Ds
ks
'x = h
30
20
f x1 'x
'x 2
P1
D s atan k s Ds
0
'y
1
2
3
4
5
x x x1 x2 x-Achse
Seite 63
6
7
8
63.435 Grad
9
Abb. 3.1.1
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Differenzenquotient: 'y
y2 y1
=
x2 x1 bzw. mit 'x = h 'x
'y 'x
=
= f x1 'x f x1 = k
f x2 f x1 x2 x1
x2 x1
s = tan D s
(3-1)
f x1 h f x1
=
(3-2)
h
Beispiel 3.1.1: Geben Sie den Differenzenquotienten der Funktion y = f(x) = 2 x + 1 an der Stelle x 0 an. 'y 'x
=
f x0 'x f x0 'x
=
2 x0 'x 1 2 x0 1 'x
= 2 = ks = k
Beispiel 3.1.2: Geben Sie den Differenzenquotienten der Funktion y = 3 x 2 + 1 an der Stelle x0 an und berechnen Sie ihn für P 0 (x0 | y0 ) = P0 (1 | y0 ) und 'x = 0.1. 'y 'x 'y 'x
=
= 3 x0 'x 2 1 3 x02 1 = 3 x02 6 x0 'x 3 'x2 1 3 x02 1
f x0 'x f x0 'x
'x
'x
= 6 x0 3 'x
ks =
'y 'x
Steigung der Sekante in den Punkten P 0 (1 | y0 ) und P( 1.1 | y)
= 6 1 3 0.1 = 6.3
Gelangt die Sekante s bei der Annäherung von P 2 an P1 in die Grenzlage t, so ist aus ihr eine Tangente geworden, die wir rechnerisch dadurch festlegen können, dass wir ihren Anstieg k T = tan(DT) ermitteln. Dieser ergibt sich aber als der Grenzwert des Sekantenanstiegs, wenn 'x gegen Null strebt. Also lim
'y
'x o 0 'x
=
lim
y2 y1 'x
'x o 0
=
lim
f x1 'x f x1 'x
'x o 0
= k T = tan D T
(3-3)
bzw. mit 'x = h lim
f x1 h f x1 h
ho0
= k T = tan D T
(3-4)
Durch geeignete Umformungen lässt sich dieser Grenzwert, wenn er überhaupt vorhanden ist, berechnen. Wir nennen diesen Grenzwert den Differentialquotienten oder auch die 1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x 1 . Das Bilden dieses Grenzwertes nennen wir Differenzieren oder Ableiten. Wir schreiben die 1. Ableitung der Funktion f: y = f(x) an der Stelle x 1 , den genannten Grenzwert, mit verschiedenen Abkürzungen:
y' x1 = f ' x1 = fx x1 =
d
dx
f x1 =
d dx
y x1 =
lim
'y
'x o 0 'x
Seite 64
(3-5)
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Für das oben angeführte Beispiel mit f(x) = - (x - 5) 2 + 50 gilt: kT
f x1 'x f x1
lim
'x
'x o 0
Steigung der Tangente
o8
yT x1 x f x1 k T x x1
y y1 = k T x x1
xT 0 0.001 4 x1 1
Bereichsvariable
6
'x
x2
7
'y
12
ks
2
Tangentengleichung
Daten wie weiter oben angegeben
'y
ks
'x
Steigung der Sekante Stelle x3
x3 1
c x3 yT x3 x3
c x3 yT x3 x3 1 k
Gegenkathete des Steigungsdreiecks Sekante und Tangente
60 x1
f( x)
yT x1 xT
x1 'x
t
50
ys x1 x2 x y-Achse
Steigungsdreieck (Tangente)
x4 x3 1 x3
f x1 'x
f x2 c x 3 f x1
FRAME von 0 bis 30
s 40
f x1
'x
6
ks
2
kT
8
D T atan k T 30
k
dy
DT
DT
82.875 Grad
'x = dx 20
0
1
2
3
4
5
6
x xT x x1 x2 x4 x3 x-Achse
Beispiel 3.1.3: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = x 2 - 1 an der Stelle x 0 = 2. 'y 'x
=
'x
f ' x0 f ' ( 2)
= x0 'x 2 1 x02 1 = 2 x
f x0 'x f x0
lim 'x o 0
4
'x
2 x0 'x
0 'x
o 2 x0
= kT
Seite 65
7
8
9
Abb. 3.1.2
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Beispiel 3.1.4: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = x 3 an der Stelle x0 = 1. 'y 'x
=
= x0 'x 3 x03
f x0 'x f x0 'x
'x
x0 'x 3 x03 'x
f ' x0 f ' ( 1)
lim 'x o 0
2
vereinfacht auf
2
3 x0 3 x0 'x 'x
§ 3 x 2 3 x 'x 'x2· o 3 x 2 0 0 © 0 ¹
= kT
3
Beim Grenzwertübergang kann die Annäherung an eine Stelle x 0 von der rechten oder von der linken Seite her erfolgen, also 'x positive und negative Werte annehmen. Die Funktion f besitzt an der Stelle x 0 eine linksseitige Ableitung f l'(x 0 ) bzw. eine rechtsseitige Ableitung fr'(x0 ) (eine links bzw. rechtsseitige Tangente), wenn folgender Grenzwert existiert:
f 'l x0 =
lim 'x o 0
'y 'x
bzw. f 'r x0 =
'y
lim 'x o 0
(3-6)
'x
Ist die Funktion f in einer Umgebung von x 1 stetig und ist fl'(x 0 ) = fr'(x 0 ), so gilt: f '(x0 ) = fl'(x0 ) = fr'(x0 ).
Beispiel 3.1.5: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = | x | an der Stelle x0 = 0. y ( x)
Funktionsgleichung
x
x1 4 4 0.1 4
Bereichsvariable 4
Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 0 stetig! y( x1 )
2
4
2
0
2
Abb. 3.1.3
4
x1
'y 'x
=
= x0 'x x0 = 1
f x0 'x f x0
f 'r x0 =
'x lim
'x o 0
'x
1 =1
'y 'x
=
= x0 'x x0 = 1
f x0 'x f x0
f 'l x0 =
'x lim
'x o 0
'x
1 = 1
Die Grenzwerte stimmen nicht überein, daher ist die Funktion an der Stelle x 0 = 0 nicht differenzierbar !
Seite 66
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Definition: a) Eine Funktion f: y = f(x) ( D und W ) heißt an der Stelle x 0 D differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert :
f ' x0 =
d
dx
f x0 =
'y
lim
'x o 0 'x
=
f x0 'x f x0
lim
'x
'x o 0
(3-7)
b) Eine Funktion f: y = f(x) heißt an jeder Stelle x D differenzierbar, wenn in ganz D die Grenzwerte existieren. Wir schreiben dann: d
y ' = f ' ( x) =
dx
f ( x) =
lim
'y
'x o 0 'x
=
lim
f ( x 'x) f ( x)
'x o 0
'x
(3-8)
Die Ableitungen von Funktionen sind wiederum Funktionen derselben Argumentwerte. Satz: Ist eine Funktion f: y = f(x) an der Stelle x 0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.
fx ( x)
d dx
Ableitungsfunktion
f ( x)
k T fx x1
kT
Steigung der Tangente
8
yT x1 x f x1 fx x1 x x1 x1 1
FRAME
FRAME von 0 bis 35 mit 2 Bilder/s
5
Bereichsvariable für die Ankathete des Steigungsdreiecks
x2 x1 1 x1
c x2 yT x1 x1 1
k c x1 yT x1 x1
k 1 0 f x x1
Tangente
Ankathete des Steigungsdreiecks Gegenkathete des Steigungsdreiecks
Funktionswert der Ableitungsfunktion
Seite 67
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Funktion- und Ableitungsfunktion
60 f( x)
yT x1 x
40
kT
fx( x)
30
c x 2
20
Funktionswert der Ableitungsfunktion:
f x1 y-Achse
Tangentensteigung:
f(x)
50
fx x1
10
x1
k
f ' (x) 1
k1
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
fx x1
8
10
Abb. 3.1.4
20 x x x1 x x1 x2 x1 x1 x-Achse
Beispiel 3.1.6: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = c mit c . 'y 'x
=
f ( x 'x) f ( x) 'x
f ' ( x)
lim
=
cc 'x
0
=
'x
=0
0 o0
Die 1. Ableitung einer konstanten Funktion ist an jeder Stelle 0 (waagrechte Tangente !).
'x o 0
Beispiel 3.1.7: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = x 3 . 'y 'x
=
f ( x 'x) f ( x) 'x 3
3
( x 'x) x 'x
3
( x 'x) x
vereinfacht auf
'x f ' ( x)
3
=
lim
2
2
3 x 3 x 'x 'x
3 x2 3 x 'x 'x2
2
o 3 x
Die Ableitungsfunktion der Funktion y = x 3 .
'x o 0
Es gilt offensichtlich für die Ableitung von y = x r mit r und r z 0: y ' = r x r-1
(3-9)
Seite 68
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Ist eine Funktion f: y = f(x) an der Stelle x differenzierbar, so gilt: dy dx
= f ' ( x)
(3-10)
Der Differentialquotient (dies rechtfertigt auch diese Bezeichnung) kann in die Differentiale dy und dx aufgespalten werden: dy = f '(x) dx
(3-11)
dy heißt Differential einer Funktion f: y = f(x) an der Stelle x. Es bedeutet den Zuwachs der Tangentenordinate, wenn sich x um 'x = dx ändert. außer der 1. Ableitung einer Funktion lassen sich, falls sie existieren, auch höhere Ableitungen bilden. Sie werden folgendermaßen definiert: 2
3
d
f "(x) = (f '(x))' =
2
f ( x) , f '''(x) = (f "(x))' =
dx (n)
(n-1)
f (x) = (f
d
3
f ( x) , ... ,
(3-12)
dx n
(x))' =
d
n
f ( x)
dx
Wir nennen die Ableitung der 1. Ableitung die zweite Ableitung, die Ableitung der zweiten Ableitung die dritte Ableitung usw.
3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten Differentialrechnung Mathematik Physik z.B. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------unabhängige Variable x Abszisse x Zeit t unabhängige Variable y Ordinate y Weg s Funktionsgleichung y = f(x) Kurve y = f(x) Weg-Zeit Gesetz s = f(t) Differenzenquotient 'y/'x Anstieg der Sekante Mittlere Geschwindigkeit v m Differentialquotient dy/dx (Ableitung)
Anstieg der Tangente Augenblicksgeschwindigkeit v(t) (Leibniz) (Newton)
Beispiel 3.1.8: Für den freien Fall eines Körpers (ungleichförmige Bewegung) unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes gilt für den zurückgelegten Weg: s = g/2 t 2 . In der Zeit t + 't legt der Körper den Weg s + 's zurück, also s 's =
's =
g 2
g 2
2
( t 't ) =
2
t
g 2
2
g 2
2
t 2 t 't 't
t 2 t 't 't
2
2
= g2 2 t 't 't2
§ 2 t 't 't2 · g vm = = ¨ = g t 't 't 't 2 © 2 ¹ 's
g
oder:
Seite 69
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient g 2 's s ( t 't ) s ( t) vm = = = 't 't v( t) =
's
lim
't o 0 't
=
d dt
s ( t)
2
( t 't )
v( t)
't t2 t1
't
2 d
s 1' ( t)
dt
t
lim 't o 0
t2 2 s
g
2
t
2
FRAME 10
FRAME von 1 bis 10
Zeitdifferenz
1s
Weg - Zeit Gesetz
v1 s 1' t1
v1
ss t1 t2 t s1 t1
s 1 t2 s 1 t1 t2 t1
14.71
m
Steigung der Tangente an der Stelle t1 (Geschwindigkeit v1 )
s m
Steigung der Sekante
s
Tangente
t t1
Sekante Bereichsvariable
t 0 s 0.01 s 3 s
s-t und v-t Diagramm
30 s1 ( t)
t1
ss t1 t2 t s1 t1 s1 t2
9.807
vm
s T t1 t s 1 t1 s 1' t1 t t1
Weg und Geschwindigkeit
Momentangeschwindigkeit
Zeitpunkte
s
g vm g t 1 't 2
2
mittlere Geschwindigkeit
't
§ g t g 't· o g t ¨ 2 © ¹
2
s 1 ( t)
g
= g t
't
t1 1 s
s1 ( t)
g
t2
't
20
sT t1 t
vm
10
v1
s1 t1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Abb. 3.1.5 t t t t1 t2 t Zeit
Bahnbeschleunigung beim freien Fall: v = g t 'v v ( t 't ) v ( t) g ( t 't) g t am = = = =g 't 't 't 'v
't o 0 't
9.807
3
10
lim
14.71
v1
v( t)
a ( t) =
1s
=
lim
g =g
mittlere Bahnbeschleunigung
Momentanbeschleunigung
't o 0
Seite 70
m s m s
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Beispiel 3.1.9: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Luftwiderstand mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v0 t + g/2 t2 . m v0 30 s
Anfangsgeschwindigkeit
t t
g 2 s ( t ) v0 t t 2 v( t)
d dt
s ( t)
Weg-Zeit Gesetz
v ( t ) o 30
m s
Geschwindigkeit-Zeit Gesetz
g t
Bereichsvariable für die Zeit
t 0 s 0.001 s 8 s
Tangentengleichung im Punkt P(t 1 | s1 )
st t1 t s t1 v t1 t t1 t1 3 s
FRAME 5
Animation: FRAME von 0 bis 20 mit 1 Bild/s
s
Bereichsvariable für die Tangente
tt t1 2 s t1 2 s 0.001 s t1 1 s
't t1 s t t1 t1
't t2 s t t1 t1 1 s 's
t2 t1 1 s t1
't = 1 im Steigungsdreieck k = 's im Steigungsdreieck
m v1 0 v t1 s
v1 = k ... Ableitungswert an der Stelle t 1 Tangente und Ableitung
600
s ( t)
s( t)
Weg s und Geschwindigkeit v
500
s t1 400 st t1 tt
v( t)
't t2 v t1
's v1
300
200
v( t) 100
0
0
1
2
3
4 t tt t1 t t1 t2 t1 t1 Zeit t
Abb. 3.1.6
Seite 71
5
6
7
8
Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Eine kleine Übersicht über wichtige Differentialquotienten aus Physik und Technik: Translation
Rotation
s = s(t) Weg - Zeit Gesetz v = v(t) Geschwindigkeit a = a(t) Beschleunigung
M = M t) Winkel - Zeit Gesetz Z = Z(t) Winkelgeschwindigkeit D = D(t) Winkelbeschleunigung
's vm = 't
Zm =
v( t) =
mittlere Geschwindigkeit lim
's
't o 0 't
'v am = 't a ( t) =
=
d dt
s ( t ) Momentangesch.
mittlere Beschleunigung lim
'v
't o 0 't
=
d dt
v ( t ) Momentanbesch.
'M
Z ( t) = Dm =
mittlere Winkelgeschwindigkeit
't lim
'M
't o 0 't
'Z
dt
M ( t)
Momentanwinkelgesch.
mittlere Winkelbeschleunigung
't
D ( t) =
d
=
lim
'Z
d
=
't o 0 't
Z ( t)
Momentanwinkelbesch.
M ( t)
Drehmoment
dt
Dynamische Grundgesetze:
F= m F=
d dt
d dt
2
v ( t) = m
d
dt
2
s ( t ) Kraftgesetz
M=J M=
p ( t)
d dt
d dt
2
d
Z ( t) = J
dt
2
L ( t)
Arbeit und Leistung: Fm =
'W
mittlere Kraft
's
F ( s) =
lim
'W
's o 0 's
=
d ds
W ( s ) Kraft
'W
Pm =
mittlere Leistung
't
P ( t) =
lim
'W
=
't o 0 't
d dt
W ( t)
Leistung
P ( A)
Intensität
Intensität: Im =
'P 'A
mittlere Intensität
I ( A) =
lim
'P
=
'A o 0 'A
d dA
Energiedichte: 'W wm = 'V
mittlere Energiedichte
w ( V) =
'W
lim
=
'V o 0 'V
d dV
W ( V)
Energiedichte
Strom und Stromdichte: im = Jm =
'q 't 'I 'A
mittlerer Wechselstrom mittlere Stromdichte
i ( t) = J ( A) =
lim
'q
't o 0 't
lim
'I
'A o 0 'A
Seite 72
=
d dt =
q ( t) d dA
I ( A)
Wechselstrom Stromdichte
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2 Ableitungsregeln für Funktionen 3.2.1 Ableitung der linearen Funktion Lineare Funktion f: y = k x + d , D = und W = . y ' ( x) =
d dx
( k x d) = k , D' = und W' = { k }
(3-13)
Beispiel 3.2.1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: y' = 0
(1) y = 3 (2) y =
1
y' = 1/2
y ' ( x)
y' = 1
y ' ( x)
y' = 6
y ' ( x)
(5) s = v t s 0
s' = v
s ' ( t) =
(6) v = a t v0
v' = a
v ' ( t) =
2
x
(3) y = x 2 1
(4) y = 6 x
2
§ 1 x· o 1 ¨ 2 dx © 2 ¹ d
d dx
( x 2) o 1
§6 x 1 · o 6 ¨ 2¹ dx © d
d dt d dt
v t s0
vereinfacht auf
s ' ( t) = v
a t v0
vereinfacht auf
v ' ( t) = a
(7) Vergrößern wir bei konstant gehaltener Ladung Q eines Plattenkondensators den Plattenabstand s um ds, so vergrößert sich die Energie auf Grund der geleisteten Arbeit. Wie groß ist dann die Kraftwirkung zwischen den beiden Kondensatorplatten ? W=
F=
1 2
2
Q
C
2
=
Q
2
s H 0. H r A
W = f ( s) = k s
§¨ Q2 · s vereinfacht auf ds ¨© 2 H 0. H r A ¹ d
F=
1 2
und
F=
2
Q
H 0. H r A
2
=
Q
2
d ds
W
1 C s
2
=
C U
2 s
mit
3.2.2 Potenzregel Potenzfunktion: f: y = x r , D und W , r \ { 0 , 1 }. Potenzregel: y ' ( x) =
d r r 1 x = r x , D' und W' (Ableitungsfunktion) dx
Seite 73
(3-14)
Q = C U
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.2: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: 2
(1)
y=x
(2)
y= 2 x
3
y' = 2 x
y ' ( x) =
y' = 6 x2
y ' ( x) =
d 2 x dx
d dx
2 x3
1
(3)
y=x
vereinfacht auf
y ' ( x) = 2 x
vereinfacht auf
y ' ( x) = 6 x
vereinfacht auf
y ' ( x) =
2
1
3
y' = 1/3 x
- 2/3
y ' ( x) =
d dx
x
3
y=
x=x
2
2
3 x
1
(4)
1
y' = 1/ 2 x - 1/2
y ' ( x) =
d dx
x
vereinfacht auf
y ' ( x) =
3
1 1
2 x
2
Beispiel 3.2.3: x an der Stelle x = 2 ?
Wie groß ist die Steigung und der Steigungswinkel der Tangente von y = 1
y=
x=x
2
D atan ( y ' ( 2) )
y ' ( x)
D
d dx
x
19.471 Grad
y ' ( 2)
0.354
Steigung k der Tangente
Steigungswinkel der Tangente
Beispiel 3.2.4: An welchen Stellen besitzt die Funktion y = 1/x die Tangentensteigung -1/2 ? y=
1 x
1
=x
y ' ( x) =
d 1 x dx
vereinfacht auf
2
=
x
1 2
hat als Lösung(en)
oder: ORIGIN 1
1 2
x
Es gilt: y'(x) = k 1
y ' ( x) =
§ 1 ¨ 2 ¨2 ¨ 1 ¨ 2 © 2
· ¸ ¸ ¹
ORIGIN festlegen
§ 1 ¨ 2 1 1 ¨2 x = auflösen x o ¨ 1 2 2 x ¨ 2 © 2
· ¸ ¸
x1
1.414
x2
1.414
¹
Die Funktion besitzt an den Stellen x 1 und x 2 die Tangentensteigung -1/2.
Seite 74
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.5: Berechnen Sie den Schnittwinkel M zwischen den Graphen der Funktion f: y =
1
x und g: y = x
.
Schnittpunkt der Graphen: x=
1
hat als Lösung(en)
x
1
tan ( D ) = f ' x0
Steigungen der Tangenten
tan ( E ) = g ' x0
Winkel zwischen den Tangenten
M=DE
tan ( D ) tan ( E )
tan ( M ) = tan D E =
f ' x0
2
1
g ' x0
x0
D atan f ' x0
Summensatz 1. Art
1 tan ( D ) tan ( E )
1
Steigungen der Tangenten
2
x0
26.565 Grad
D
E atan g ' x0
1 f ' x0 g ' x0 § f ' x0 g ' x0 · atan ¨ ¨© 1 f ' x0 g ' x0 ¹ f ' x0 g ' x0
tan ( M ) =
M
f ( x)
x-Wert des Schnittpunktes
x0 1
g ( x)
45 Grad
M
Winkel zwischen den Tangenten
71.565 Grad
gegebene Funktionen
x
Tangente von f(x) an der Stelle x 0
t1 ( x) f x0 f ' x0 x x0
t2 ( x) g x0 g ' x0 x x0
Tangente von g(x) an der Stelle x 0
x 0 0.001 5
Bereichsvariable
3 x0 f( x)
2
g ( x) t1( x) t2( x)
Abb. 3.2.1 1
0
f x0
M=DE
0
1
Steigungswinkel der Tangenten
Winkelberechnung mit dem Summensatz 1. Art
1
x
E
2
3
4
x
Seite 75
5
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.6: Bestimmen Sie im Punkt P(1 | 1) des Graphen y = x 2 die Normale auf den Graphen. Zwei Geraden stehen Normal aufeinander, wenn k k N = - 1 gilt. x-Wert des Punktes P
x0 1
f ' x0 2 x0 kN =
f ' x0
1 k
kN
y = kN x d
1=
Steigung der Tangente im Punkt P
2 1
Steigung der Normalen
2 1 2
hat als Lösung(en)
1 d
2
3 2
Achsenabschnitt
gegebene Funktion
f ( x) x
t1 ( x) f x0 f ' x0 x x0
Tangente im Punkt P
3 tN ( x) k N x 2
Normalen im Punkt P
x 0 0.001 3
Bereichsvariable
3 x0 f( x)
2
t1( x) tN( x)
1
0
Abb. 3.2.2
f x0
0
1
2
3
x
3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel Konstanter Faktor und Summenregel: Ein konstanter Produktfaktor c bleibt beim Differenzieren erhalten: y(x) = c f(x)
y'(x) = c f '(x)
(c )
(3-15)
Die Summe oder Differenz von Funktionen kann gliedweise differenziert werden: y(x) = f1 (x) r f 2 (x) r f3 (x) r... rfn(x)
y'(x) = f1 '(x) r f 2 '(x) r f3 '(x) r... rfn'(x)
Seite 76
(3-16)
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.7: Die Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers bei der absoluten Temperatur T ist gegeben durch I(T) = V T 4 . Die Strahlungskonstante beträgt V = 5.67 10 - 8 W/(m2 K4 ). Wie groß ist die Änderung der Strahlungsintensität bei der Temperatur T = 285 K ? I ( T) = V T
4
V 5.67 10
8
W
2
m K IT 4 V T
d
durch Differentiation, ergibt
3
IT
W
5.25
3
Strahlungskonstante und Temperaturwert T
T 285 K
4
dT
I ( T) = 4 V T
Ableitungswert bei der Temperatur T = 285 K
2
m K
Beispiel 3.2.8:
Bewegt sich ein Körper der Masse m, so besitzt er die kinetische Energie E k. Wie groß ist die Änderung der kinetischen Energie bezüglich der Geschwindigkeit ? 2
Ek ( v) = d dv
mv
durch Differentiation, ergibt
2
d dv
Ek ( v) = m v
Die Änderung der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit ist gleich dem Impuls!
Ek ( v) = m v = p
Beispiel 3.2.9: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: 2
y' = 2 x+1
(1) y = x x
y ' ( x) = 5
(2) y = 7 x
1 2
3
y ' ( x) = 2
dx
x2 x
vereinfacht auf y ' ( x) = 2 x 1
y' = 35 x4 + 3/2 x2
x
3
d
(3) y = 8 x 7 x x 15
§ 7 x5 1 x3· ¨ 2 dx © ¹ d
4
vereinfacht auf y ' ( x) = 35 x
3 2
2
x
y' = 24 x2 - 14 x + 1
y ' ( x) =
d dx
8 x3 7 x2 x 15
2
vereinfacht auf y ' ( x) = 24 x 14 x 1
Beispiel 3.2.10: Wie groß ist die Steigung der Kurve y = 1/3 x 3 + 1 im Punkt P(1 | 4/3) ? Wie groß ist der Steigungswinkel der Tangente im Punkt P und wie lautet die Tangentengleichung ? y=
1 3
3
y' = x2
x 1
hat als Lösung(en)
k = tan ( D ) = y ' ( 1)
tan ( D ) = 1
y=kx d
Gleichung der Tangente
4 3
=1d
d=
1 3
Steigung der Tangente
y ' ( 1) = 1
Achsenabschnitt der Tangente
Seite 77
1 4
Steigungswinkel der Tangente
S
y=x
1 3
Gleichung der Tangente
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.11: Für den senkrechten Wurf nach unten (ohne Luftwiderstand) gilt s = v 0 t + g/2 t2 . Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit in jedem Zeitpunkt und wie groß ist die Momentanbeschleunigung in jedem Zeitpunkt. v( t) =
a ( t) =
d dt d dt
s ( t) =
v( t) =
§ v t g t 2· ¨ 0 2 dt © ¹ d
d
v0 g t dt
vereinfacht auf
v( t) =
vereinfacht auf
a ( t) =
d dt d dt
s ( t ) = v0 g t v( t) = g
Beispiel 3.2.12: In welchen Punkten der Parabel y = (x 2 /2) - 3 x + 4 ist die Steigung der Tangente 1 bzw. -1 ? y=
1 2
2
y ' ( x) =
x 3 x 4
§ 1 x2 3 x 4· ¨ dx © 2 ¹ d
x 3=1
x1 = 4
y1 = 0
x 3 = 1
x2 = 2
y2 = 0
vereinfacht auf
y ' ( x) = x 3
Koordinaten der gesuchten Punkte
3.2.4 Produktregel Produktregel: y(x) = u(x) . v(x)
y'(x) = u'(x) . v(x) + v'(x) . u(x)
(3-17)
Beispiel 3.2.13: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)
y ' = 2 (x - 1) + 1 2 x = 4 x - 2
y = 2 x ( x 1)
y ' ( x) = (2)
2
y = x x 1 ( x 1)
2
§
y = x ¨x
©
1 x
1 2
x
[ 2 x ( x 1) ]
vereinfacht auf
y ' ( x) = 4 x 2
·
d dx
[ ( 2 x) ( 2 x) ]
vereinfacht auf
y ' ( x) = 2 x
y ' = (2 x + 1) (x - 1) + 1 (x2 + x + 1) y ' ( x) =
(4)
dx
y ' = -1 (2 + x) + 1 (2 - x) = - 2 x
y = ( 2 x) ( 2 x)
y ' ( x) = (3)
d
d dx
ª¬ x2 x 1 ( x 1)º¼
vereinfacht auf
2
y ' ( x) = 3 x
y ' = 2 x (x - 1/x - 1/x2 ) + (1 + x -2 + 2 x -3) x2
¹ y ' ( x) =
ªx2 § x 1 1 ·º « ¨ 2 » x dx x ¹¼ ¬ © d
Seite 78
vereinfacht auf
2
y ' ( x) = 3 x 1
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.5 Quotientenregel Quotientenregel: Sei y ( x) =
u ( x) v ( x)
mit v(x) z0.
Aus der Produktregel folgt: y = u/v u = v y u' = v' y+ y' v y' v = u' - v' y y' = (u' - v' y)/v y' = (u' - v' (u/v))/v . Durch Vereinfachung des Bruches erhalten wir schließlich die Quotientenregel: y ' ( x) =
u ' ( x) v ( x) v ' ( x) u ( x) ( v ( x) )
(v(x) z0)
2
(3-18)
Beispiel 3.2.14: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: 2
(1) y =
4 x 1 2 x
y ' ( x) =
2
2
x 1
y ' ( x) =
2
§ 4 x2 1 · ¨ dx © 2 x ¹ d
vereinfacht auf y ' ( x) =
2 2 x2 1 2
§ x2 y ' ( x) = ¨ dx ¨ x2 © d
2
x 5 x 6 x 3
y ' ( x) =
vereinfacht auf y ' ( x) =
2 x x 1 2 x x 1
x 1
(3) y =
2
4 x y ' ( x) =
(2) y =
8 x 2 x 2 4 x 1
1·
1 2 1 2
4 x2 1
2
x
4 x2 1
2
x
vereinfacht auf y ' ( x) = 4
vereinfacht auf y ' ( x) = 4
1¹
2
( 2 x 5) ( x 3) 1 x 5 x 6 ( x 3)
§ x2 5 x 6 · y ' ( x) = ¨ x 3 dx © ¹ d
2
vereinfacht auf
vereinfacht auf
x
x2 1 2 x
x2 1 2 y ' ( x) = 1
y ' ( x) = 1
Beispiel 3.2.15: Wie groß ist die Steigung der Tangente der Funktion y = (x+1)/(x-1) an der Stelle x 1 = 0 und x 2 = 2 ? y=
x 1
y ' ( x) =
x 1
x1 0 y ' ( x)
x2 2 2 ( x 1)
2
§ x 1· ¨ dx © x 1 ¹ d
vereinfacht auf
y ' ( x) =
( x 1)
Stelle 0 und 2
y ' x1
2
2
y ' x2
2
Seite 79
Steigungen der Tangenten
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.16: Unter welchem Winkel schneidet der Graph der Funktion y = (x 2 - 4)/(x+1) die x-Achse ? 2
y=
x 4
gegebene Funktion
x 1
2
x 4 x 1
Gleichung zur Nullstellenbestimmung
=0
x1 2
y ' ( x) =
y ' ( x)
Nullstellen der Funktion
x2 2
§ x2 4 · ¨ dx © x 1 ¹ d
vereinfacht auf
k 1 y ' x1
2
k1
x2 2 x 4 ( x 1)
x2 2 x 4 ( x 1)
y ' ( x) =
1.333
2
Ableitungsfunktion
Ableitungsfunktion
k 2 y ' x2
k2
Steigungen der Tangenten
4
M1
53.13 Grad
Winkel zwischen x-Achse und gegebener Kurve
M2
75.964 Grad
Winkel zwischen x-Achse und gegebener Kurve
M 1 atan k 1 M 2 atan k 2
Beispiel 3.2.17: Nach dem Boyle - Mariottschen Gesetz gilt V = c/p. Wie groß ist die Volumsänderung beim Druck p ? V ( p) =
c
d
durch Differentiation, ergibt
p
dp
V ( p) =
c 2
p
Beispiel 3.2.18: Bestimmen Sie den Verlauf der Wellen- und Gruppengeschwindigkeit in der Umgebung einer Absorptionslinie: k (Z ) =
k (Z ) =
B · ¨A 2 2 c¨ Z0 Z © ¹
Z§
Wellenzahl
B · ¨A 2 2 c¨ Z0 Z © ¹
Z§
1
durch Differentiation, ergibt
2
B Z B ª »º 2 k (Z ) = «A 2 2 2 c « c dZ §Z Z · » § Z 2 Z 2· ¬ © 0 ¹¼ © 0 ¹ d
Seite 80
Wellengeschwindigkeit
Differentialrechnung Ableitungsregeln
vgr ( Z ) =
d dk
Z ( k) =
1 d dZ
vgr ( Z ) =
Gruppengeschwindigkeit
k (Z ) 1
2 ª« 1 ª º» B B º 2 Z «A » «c « 2» c § Z 2 Z 2· » § Z 2 Z 2· » «¬ ¬ © 0 ¹¼ © 0 ¹ ¼
vgr ( Z ) = c
§ Z 2 Z 2· © 0 ¹
vereinfacht auf
2
§ A Z 4 2 A Z 2 Z 2 A Z 4 B Z 2 Z 2 B· 0 0 0 © ¹
3.2.6 Kettenregel Kettenregel: 2
2
Eine Funktion wie z.B. y = x 1 nennen wir verkettete Funktion, wobei x + 1 als "innere Funktion" und die Wurzel als "äußere Funktion" bezeichnet wird.
h ... äußere Funktion g ... innere Funktion y = h(g(x))
Abb. 3.2.3 Sei y = h(g(x)) = h(z) mit z = g(x). Dann gilt: y' = h'(z) g'(x) bzw.
d dx
y=
d dz
h
d dx
z
(3-19)
Wenn die innere Funktion wieder eine Funktion von einer Funktion ist, lässt sich die Kettenregel analog anwenden. Sei also y = f(g(h(x))) mit y = f(z) , z = g(w) und w = h(x). Dann gilt: y' = f'(z) . g'(w) . h'(x) bzw.
d dx
y=
d dz
y
d dw
Seite 81
z
d dx
w
(3-20)
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.19: Bilden sie die 1. Ableitung händisch und mit Mathcad der folgenden Funktionen:
(1)
y = ( 2 x 1)
3
h = z3 und z = g(x) = 2 x + 1 2
bzw.
y ' ( x) = 6 ( 2 x 1)
3
vereinfacht auf
y ' ( x) = 6 ( 2 x 1)
y ' ( x) = 3 ( 2 x 1) 2
y ' ( x) =
(2)
y=
d dx
( 2 x 1)
gegebene Funktion
2
2
händisch auswerten
2
mit Mathcad auswerten durch vereinfachen
h = z1/2 und z = g(x) = x2 + 2 x - 3
x 2 x 3
1
y ' ( x) =
y ' ( x) =
1
2
2
x 2 x 3
2 d
2
dx
x 2 x 3
( 2 x 2)
Ableitungsfunktion
( x 1)
vereinfacht auf y ' ( x) =
1
x2 2 x 3 (3)
y=
h = z1/2 und z = g(x) = 3 x + 1
3 x 1
gegebene Funktion
1
y ' ( x) =
y ' ( x) =
1 2
( 3 x 1)
d dx
2
Ableitungsfunktion
3
3
vereinfacht auf y ' ( x) =
3 x 1
1
2 ( 3 x 1) Damit gilt offensichtlich bei Verkettung mit einer Quadratwurzel: y=
(4)
f ( x)
2
x 1
y ' ( x) = 2 x
x 1
y ' ( x) =
dx
(3-21)
f ( x)
gegebene Funktion 2
3 x
3
2
2
3
y= x 1
d
f ' ( x)
y' =
ª x2 1 x3 1º ¬ ¼
3
2
Ableitungsfunktion
x 1
x 1
vereinfacht auf
y ' ( x) =
1 2
3 7 x 4 3 x x 1
x3 1 Seite 82
2
2
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln
(5)
3 x2 1 y= ( x 1)
y ' ( x) =
3
gegebene Funktion
2
2
2
3 3 x 1
ª¬( x 1) 2º¼ y ' ( x) =
d
3 x2 1
dx
( x 1)
2
2
3
6 x ( x 1) 2 ( x 1) 3 x 1
3
vereinfacht auf
2
Ableitungsfunktion
2
2 6 x2 9 x 1 2 y ' ( x) = 2 3 x 1 3
( x 1)
1
(6)
x
y=
2
2
= x x 1
2
gegebene Funktion
x 1 1
2
y ' ( x) = 1 x 1
y ' ( x) =
(7)
y=
3
2
1
2
2
x 1
x
d dx
2
2 x x
vereinfacht auf
2
vereinfacht auf
1 3
x2 1 2
1
y ' ( x) =
x 1
y ' ( x) =
3
x2 1 2 gegebene Funktion
( 2 x 3) ( x 2)
1
y ' ( x) =
y ' ( x) =
1
[ ( 2 x 3) ( x 2) ]
2 d dx
( 2 x 3) ( x 2)
2
Ableitungsfunktion
[ 2 ( x 2) 1 ( 2 x 3) ]
vereinfacht auf
1
y ' ( x) =
1
2 [ ( 2 x 3) ( x 2) ]
(8)
y=
( 2 x 3)
3
f(z) = (z) 1/2 mit z = g(w) = w3 und w = h(x) = 2 x - 3
( 4 x 1)
2
gegebene Funktion
1
y ' ( x) =
y ' ( x) =
1 2 d dx
ª¬( 2 x 3)
( 2 x 3)
3º
¼
3
2
2
Ableitungsfunktion
3 ( 2 x 3) 2
vereinfacht auf
y ' ( x) =
3 1
ª¬( 2 x 3) 3º¼ Seite 83
2
( 2 x 3)
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.20: Aus einem kugelförmigen Ballon entweicht Gas mit einer Geschwindigkeit von 54 l/min. Wie schnell nimmt die Oberfläche des Ballons ab, wenn der Radius am Anfang 3.6 m beträgt ?
V ( t) =
4 S
3
r ( t) = f ( r ( t) )
3
Volumen und Oberfläche
2
AM ( t) = 4 S r ( t ) = g ( r ( t ) )
54 l = 54 dm3 Abb. 3.2.4 V ( t) =
4 S 3
r ( t)
3
AM ( t) = 4 S r ( t ) d dt
AM ( t )
d dt d dt
durch Differentiation, ergibt
2
durch Differentiation, ergibt
8 S r ( t) =
V ( t)
d dt
AM ( t ) =
2
d
r ( t ) dt
dt
V ( t) =
dt d dt
2 d
V ( t) = 4 S r ( t)
dt
vereinfacht auf
AM ( t )
d
r ( t)
dt
§
2 36 dm
¨ 54
©
3·
dm
= V ( t)
Volumenstrom (theoretisch)
r ( t)
d dt
r ( t)
2 r ( t)
d
vereinfacht auf
min ¹
dt
AM ( t ) = 8 S r ( t )
d
r ( t)
2 d
4 S r ( t)
d
dt
AM ( t ) =
2
d
r ( t ) dt
2
V ( t ) = 3
dm
min
Die Oberfläche verkleinert sich um 3 dm 2 pro Minute. Beispiel 3.2.21: Aus einem konischen Trichter läuft Wasser mit der Geschwindigkeit von 8 cm 3 /s aus. Der Radius der Öffnung des Trichters sei R = 8 cm und die Höhe des Trichters H = 16 cm. Bestimme die Geschwindigkeit, mit der der Wasserspiegel sinkt, wenn er h = 4 cm über der Trichterspitze steht. r ( t) R
=
h ( t) H 1
r ( t)
ähnliche Dreiecke
8 cm
=
h ( t) 16 cm
§ h ( t) · h ( t) = 1 S h ( t) 3 V ( t) = S r ( t) h ( t) = S ¨ 3 3 12 © 2 ¹ A1 v1 = A2 v2
h ( t) 2
2
1
2
r ( t) =
Volumen
Kontinuitätsgleichung
Abb. 3.2.5 V ( t) =
d dt
1 12
h ( t) =
S h ( t) 4 2
Sh
3
d dt
durch Differentiation, ergibt
V ( t)
h 16 cm 4 cm
d dt
V ( t) =
1 4
2 d
S h ( t)
dt
Sinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels (theoretisch)
Höhe des Wasserspiegels
Seite 84
h ( t)
Volumenstrom (theoretisch)
Differentialrechnung Ableitungsregeln d dt
3
V ( t ) = 8
cm
Auslaufgeschwindigkeit (Volumenstrom)
s
3 § 2 cm cm · d ¨ h ( t) = 8 o h ( t) = 2 9 S s s ¹ dt dt Sh ©
4
d
2 9 S
cm
0.071
s
cm s
Die Sinkgeschwindigkeit beträgt in 4 cm Höhe 0.071 cm pro Sekunde.
3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung : y = 3 x2 - 2 x + 1
y = f(x)
explizite Funktionsgleichung
(3-22)
3 x2 - 2 x - y = - 1
F(x,y) = c
implizite Funktionsgleichung
(3-23)
x2 + y2 = r2
F(x,y) = c
implizite Gleichung - Relation
(3-24)
Wenn x die unabhängige und y die abhängige Variable bezeichnet, so differenzieren wir gliedweise jeden Term der Gleichung nach x. Jeder Term, der y enthält, ist mit der Kettenregel abzuleiten, da y von x abhängig ist. Danach lösen wir die erhaltene Gleichung nach y' auf.
Beispiel 3.2.22: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen und Relationen händisch und mithilfe von Mathcad: 2
(1)
3
2
y x =0
y=x
2
3 y y ' 2 x= 0
3
2
y ( x) x = 0
(2)
2
2
y x =0 2 y y ' 2 x = 0 2
2
3
implizite und explizite Form
2
y x y x=0 2
2
2
2 3
x
2
y' = f(x,y)
y
2 d
3 y ( x)
y=
implizite und explizite Form
x
y= x
F( x, y, y' ) = 0
y'=
F( x, y, y' ) = 0
y' = f(x,y)
3 y x
Seite 85
dx
x
y ( x) 2 x = 0
y' = f(x,y)
y
2 y ( x)
implizite Form 2
1 2 x y
y'=
durch Differentiation, ergibt
3 y y ' 2 x y y ' x 1 = 0 y'=
F( x, y, y' ) = 0
durch Differentiation, ergibt
y ( x) x = 0 (3)
3
d dx
y ( x) 2 x = 0
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3
2
y ( x) x y ( x) x = 0
durch Differentiation, ergibt
2 d
3 y ( x)
dx
2 d
y ( x) 2 x y ( x) x
dx
y ( x) 1 = 0
Beispiel 3.2.23: Bilden Sie die 1. Ableitung der Kreisgleichung: 2
2
2
x y =r
Kreis in Hauptlage
2 x 2 y y ' = 0
F( x, y, y' ) = 0
2
2
2
y'=
( x m) ( y n) = r
Kreis in allgemeiner Lage mit M(m|n)
2 ( x m) 2 ( y n) y ' = 0
F( x, y, y' ) = 0
y'=
y'=
x
y' = f(x,y)
y
( x m) ( y n)
y' = f(x,y)
Beispiel 3.2.24: Bilden Sie die 1. Ableitung der Ellipsengleichung: 2
x
2
2
y
2
a
Ellipse in Hauptlage
=1
b
2 x 2
2
2 y y '
2
a
F( x, y, y' ) = 0
=0
2
( y n)
2
y' = f(x,y)
2
Ellipse in allgemeiner Lage mit M(m|n)
=1
2
a
2
a y
b
( x m)
b x
b
2 ( x m) 2
2 ( y n) y ' 2
a
2
=0
F( x, y, y' ) = 0
y'=
b ( x m) 2
y' = f(x,y)
a ( y n)
b
Beispiel 3.2.25: Bilden Sie die 1. Ableitung der Hyperbelgleichung: 2
x
2
2
y
2
a
Hyperbel in Hauptlage
=1
b
2 x
2
2
2 y y ' 2
a
F( x, y, y' ) = 0
=0
2
a
2
b x 2
a y
b
( x m)
y'=
( y n) 2
2
=1
Hyperbel in allgemeiner Lage mit M(m|n)
b
Seite 86
y' = f(x,y)
Differentialrechnung Ableitungsregeln 2 ( x m) 2
2 ( y n) y '
2
a
2
F( x, y, y' ) = 0
=0
y'=
b ( x m) 2
y' = f(x,y)
a ( y n)
b
Beispiel 3.2.26: Bilden Sie die 1. Ableitung der Parabel: 2
Scheitelgleichung der Parabel (symmetrisch zur x-Achse und Brennpunkt F(p/2|0))
y 2 p x= 0 2
y ( x) 2 p x = 0
y'=
p
durch Differentiation, ergibt
2 y ( x)
d dx
y ( x) 2 p = 0
F( x, y, y' ) = 0
y' = f(x,y)
y
Beispiel 3.2.27: Bilden Sie die 1. Ableitung der Astroide (Sternkurve): 2
x
3
2
y
3
2
=a
2
x
3
3
2
y ( x)
3
implizite Form 2
=a
3
2
durch Differentiation, ergibt
1
3 x
3
2 1
3 y ( x)
3
§d · y ( x) = 0 © dx ¹
¨
F( x, y, y' ) = 0
1
implizite Ableitung mithilfe von Symboloperatoren
1
2 1
3 x
2
3
1
3 y
y' = 0
y
hat als Lösung(en)
3
1
3
x
3
1
y'=
y
3
y' = f(x,y)
1
x
3
2 2· § 2 d ¨ 3 3 3 f ( x y) © x y( x) a ¹
dx
auflösen
d dx
1
y ( x)
o ersetzen y ( x) = y
y
3
1
x
3
Seite 87
f ( 1 1)
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.28: Bestimmen Sie die Steigung des Graphen im Punkt P 1 (1| y1 > 0), den Steigungswinkel der Tangente im P 1 und die Tangentengleichung durch P 1 der folgenden Relation: 2
2
implizite Gleichung
y x y=3
1 § ¨1 1 ¨ 13 2 2 ¨2 2 y y1 1 y1 = 3 auflösen y1 o ¨ 1 ¨1 1 2 ¨ 13 2 2 © 2
2 y y ' 2 x y y ' x = 0
y ' ( x y) 2 x
y
2 y x2
D atan y ' x1 y1
· ¸ ¸ ¸ ¸
D
ORIGIN festlegen
x1 1
x-Wert des Punktes P1
y1
y2
2.303
1.303
¹
hat als Lösung(en)
y ' x1 y1
ORIGIN 1
1.277
51.944 Grad
y 2.303 = 1.277 ( x 1)
hat als Lösung(en)
y = 1.277 x 1.026
Tangentengleichung in P 1
2 x
y
2 y x2
Steigung der Tangente in P 1 Steigungswinkel der Tangente in P 1 1.026 1.277 x
Beispiel 3.2.29: Gegeben ist die folgende Relation p.V = c . Bestimmen Sie die 1. Ableitung von p nach V (p = f(V)): p V = c
implizite Gleichung
p ' V p = 0
p'=
Setzen wir p = c/V ein, dann folgt:
p'=
p
p' = f(p,V)
V c V
p' = f(V)
2
Ableitungen der Umkehrfunktionen: Beispiel: y = 2 x +3 y' = 2
y = f(x) explizite Funktionsgleichung y' = f (x)'
x = 1/2 y - 3/2 (x = 1/2 y - 3/2)'
x = fu(y) Umkehrfunktion von y = f(x) 1 = 1/2 y' implizite Differentiation
Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt demnach: (x = fu(y))' f ( x) ' =
1
fu (y) '
bzw.
1 = fu'(y) . y' d dx
y=
1 d dy
x
Seite 88
(3-25) (3-26)
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.30: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: (1)
x
a)
y'=
(3)
(4)
2
x=y
2
y ' = 2 x
b)
x=
y
y = ( x 5)
2
y ' = 2 ( x 5)
b)
x=5
a)
implizite Ableitung
1=
a)
2
1 = 2 y y '
x=
a)
g
Funktion und Umkehrfunktion
x
y=x
s=
x=y 1
2
b)
(2)
2
y=
t
y
1 2
y
x=5
y
1=
2
bzw.
y
1 2
y
y'
bzw.
2 s
t=
g
1 2 y
=
1 2
x
x= y
Funktion und Umkehrfunktion
implizite Ableitung
y ' = 2
x=5
Funktion und Umkehrfunktion
y
implizite Ableitung
y'
y'=
2 s
bzw.
t=
s'
implizite Ableitung
bzw.
y=
y ' = 2
y= 2 x
y = 2 ( x 5)
Funktion und Umkehrfunktion
g
s ' = g t 2
b)
2 s
t=
g
1=
g
2 s
2
s ' = g
2 s g
= g t
g 1
(5)
2
x y = 1
1
y=
x
=x
2
1
implizite und explizite Darstellung der Funktion
x
3
1
2
a)
y'=
b)
1 y 2 y y ' x = 0
2
x
2
hat als Lösung(en)
1
y'=
1 2
y x
=
1 2
x
3
2
x
=
1 2
x
2
Seite 89
1 2
y x
implizite Ableitung
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion: f: y = a x , D und W + , a +\ { 1 } y ' ( x) =
d dx
x
x
+
+
a = a ln ( a) , D' und W' , a \ { 1 }
(3-27)
Sonderfälle: y = ex
y = 10 x x
y' ( x) = e
y = 2x x
x
y' ( x) = 10 ln ( x)
y' ( x) = 2 ln ( 2)
(3-28)
Logarithmusfunktion: f: y = loga (x) = ln(x)/ln(a) , D + und W , a +\ { 1 } ln ( x) lg ( x) lb ( x) y = loga ( x) = = = ln ( a) lg ( a) lb ( a) y ' ( x) =
(3-29)
1 1 + loga ( x) = , D' \ { 0 } und W' \ { 0 } , a \ { 1 } ln ( a) x dx d
(3-30)
Sonderfälle: y = ln(x)
y' ( x) =
y = lg(x)
1 x
y' ( x) =
y = lb(x) 1
ln ( 10 )
1
y' ( x) =
x
1 ln ( 2)
1 x
Beispiel 3.2.31: Bilden Sie die 1. Ableitung händisch und mithilfe von Mathcad der folgenden Funktionen: (1)
x
y ' ( x) = (2)
d dx
y ' ( x) = 3 e
3 ex x
y= 1 2 e y ' ( x) =
(3)
x
y= 3 e
d dx
1 2 ex
x
y= e 2 x y ' ( x) =
d dx
ex 2 x
vereinfacht auf
y ' ( x) = 3 exp ( x)
x
y ' ( x) = 2 e
vereinfacht auf
y ' ( x) = 2 exp ( x)
x
y ' ( x) = e 2 vereinfacht auf
y ' ( x) = exp ( x) 2
Seite 90
(3-31)
Differentialrechnung Ableitungsregeln (4)
O x
y ' ( x) = (5)
vereinfacht auf 5x
d
5x
dx
vereinfacht auf
e
2x
2x
2x
dx
3x
vereinfacht auf
e
x
d dx
x
y ' ( x) = 3 e
e3x 3 e x
ergibt
3 e
y ' ( x) = 3 exp ( 3 x) 3 exp ( x)
2
x
2
y ' ( x) = 2 x e d
x
dx
2
1
2
x
y
2
2
2
vereinfacht auf
e
ln ( y) = x ln ( e)
y=e
y ' ( x) = 2 exp ( 2 x)
3x
3 e
y=e
y ' ( x) =
(9)
y ' ( x) = 5 exp ( 5 x)
y ' ( x) = 2 e
d
y=e
x
y ' ( x) = c O exp ( O x)
y ' ( x) = 5 e
y=e
y ' ( x) =
(8)
c eOx
5x
y ' ( x) = (7)
d dx
y ' ( x) = c O e
y=e
y ' ( x) =
(6)
O x
y=ce
x
2 x e
y ' ( x) = 2 x exp x
Implizite Differentiation nach dem Logarithmieren!
y ' = 2 x
2
x
2
2
y ' ( x) = x e
2
x
2 e
2
2
x
x e
2
2
2 x
2 §¨ x2 x · d ¨ 2 2 y ' ( x) = © e 2 x e ¹
dx
(10) y =
§ 1· ¨ © 2¹
y ' ( x) = x 2 exp x
x
§ 1· y ' ( x) = ¨ dx © 2 ¹ x
d dx
¹
§ 1 · ln § 1 · ¨ ¨ © 2¹ © 2¹
x
x
vereinfacht auf
y ' ( x) = 2 x
(11) y = x 3
y ' ( x) =
©
x
y ' ( x) =
d
2
2 2 x2 exp x2 exp §¨ 21 x2·
vereinfacht auf
x
ln ( 2)
2
y ' ( x) = 2 x 3 3 ln ( 3) x
x2 3x
vereinfacht auf
x
2
x
y ' ( x) = 2 x 3 x 3 ln ( 3)
Seite 91
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.32: Berechnen Sie die Zerfallsgeschwindigkeit beim radiaktiven Zerfall. t O t
N ( t ) = N0 e
= N0 e
W
Zerfallsgesetz
Zerfallsgeschwindigkeit: O t
d
N ( t ) = N0 e
durch Differentiation, ergibt
O 0.0002
Zerfallskonstante
N0 1000
Anzahl der Kerne zur Zeit t = 0 s O t
dt
N ( t ) N0 e
vN ( t) N0 O exp ( O t)
t 0 min 0.01 min 500 min
Bereichsvariable
N ( t ) = N0 O exp ( O t)
Zerfallsgesetz und Zerfallsgeschwindigkeit
1000
0
400
600
vN ( t) 0.1
500
N( t)
200
0
200
400
0.2
600
t
t
min
min
Abb. 3.2.6
Abb. 3.2.7
Beispiel 3.2.33: Berechnen Sie die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers der Anfangstemperatur -a und der Umgebungstemperatur -u (konstant). t
- = -a -u e
W
Abkühlungsgesetz von Newton
-u t
W
- ( t) = - a - u e d dt
- ( 0) =
- T ( t) = 0=
-u
exp § 0 · = k = - a - u
-a -u W
durch Differentiation, ergibt
¨ ©W ¹
t -
t-
-a -u W
a
dt
- ( t) =
exp § t ·
-a -u W
¨ ©W¹
Steigung der Anlauftangente
W
-a -u W
d
Tangentengleichung
a
-a
hat als Lösung(en)
- a - u Seite 92
W
Schnittstelle mit der t-Achse
Differentialrechnung Ableitungsregeln Gleichung zur Bestimmung der Schnittstelle der Tangente und -u-Geraden
- u = - T ( t)
t -
-a -u
-u =
W
hat als Lösung(en)
a
W
W 0.2 min
Zeitkonstante
°C 1
Grad-Definition
- a 100 °C
Anfangstemperatur
- u 25 °C
Umgebungstemperatur
Schnittstelle mit der -u - Geraden
t
- a - u e W - u - a - u ( t) t-
Abkühlungsgesetz
- ( t)
-T
-a
ta
v-
Tangentengleichung
a
W
Schnittstelle mit der t-Achse
W
- a - u - a - u § t · ( t) exp
Abkühlungsgeschwindigkeit
¨ ©W¹
W
Bereichsvariable
t 0 min 0.001 min 1 min
Abkühlungsgesetz
-a
100 W
- ( t) - T( t)
ta
min min 50
-u
0
0.2
0.4
0.6
Abb. 3.2.8
0.8
t min
Abkühlungsgeschwindigkeit 0 v- ( t)
0.2
0.4
0.6
5
0.8
Abb. 3.2.9
10 t min
Seite 93
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.34: Ein- und Ausschaltvorgang eines R-L Serienkreises an Gleichspannung. Zeigen Sie, dass i(t) = I (1 - e -t/W) für den Einschaltvorgang und i(t) = I e-t/Wfür den Ausschaltvorgang die zugehörige Differentialgleichung erfüllt. Spannung am Widerstand
uR ( t) = i ( t) R uL ( t) = L W =
d dt
Spannung an der Spule
i ( t)
L
Zeitkonstante
R
Abb. 3.2.10 Einschaltvorgang: 2. Kirchhoffsche Gesetz
U = uR ( t) uL ( t) U = i ( t) R L
d dt
i ( t)
R · § t ¨ U L i ( t) = ©1 e ¹
R
d dt
i ( t)
R L
i ( t) =
U
d
L
dt
durch Differentiation, ergibt
R ·º ª § t « ¨ U § R t· R U 1 e L » = U exp ¨ « © ¹» L © L ¹ L ¬R ¼ L
d dt
i ( t)
i ( t) =
1 W
U L
U
i ( t) =
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
L
§ R t· © L ¹
exp ¨
vereinfacht auf
U L
=
U L
Probe
Ausschaltvorgang: 2. Kirchhoffsche Gesetz
0 = uR ( t) uL ( t) 0 = i ( t) R L R
i ( t) =
U R
e
L
d dt
i ( t)
d dt
i ( t)
R L
d
i ( t) = 0
dt
t
durch Differentiation, ergibt
R · § t R · R ¨ U § L exp ¨ t ¨ e =0 L © L ¹ L ©R ¹
U
d dt
i ( t)
i ( t) =
1 W
i ( t) = 0
U L
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
§ R t· © L ¹
exp ¨
Probe
Beispiel 3.2.35: Ein- und Ausschaltvorgang eines R-C Serienkreises an Gleichspannung. Zeigen Sie, dass u C(t) = U (1 - e-t/W) für den Einschaltvorgang und u C(t) = U e-t/Wfür den Ausschaltvorgang die zugehörige Differentialgleichung erfüllt.
Seite 94
Differentialrechnung Ableitungsregeln Spannung am Ohmschen Widerstand
uR = i ( t ) R 1 uC ( t) = C
d
i ( t) = C
dt
´ µ µ ¶
Spannung am Kondensator
i ( t ) dt
Strom im Stromkreis
uc ( t)
Zeitkonstante
W = R C Abb. 3.2.11 Einschaltvorgang: 2. Kirchhoffsche Gesetz
U = uR ( t) uC ( t) U = i ( t) R
U = R C
d dt
1 ´ µ C µ ¶
i ( t ) dt
uC ( t) uC ( t)
/d/dt
0 = R
d dt
i ( t)
1 C
i ( t ) bzw.
d dt
i ( t)
homogene lineare i ( t ) = 0 Differentialgleichung R C 1. Ordnung 1
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
1 U uC ( t) uC ( t) = R C R C dt d
t
i ( t) =
U R
e
RC
d
durch Differentiation, ergibt
t · § ¨ RC uc ( t) = U © 1 e ¹
dt
t
U 2
R C
§ t · © R C¹
exp ¨
U § t · uc ( t) = exp ¨ R C dt © R C¹ d
durch Differentiation, ergibt t
· · § RC 0 = R exp ¨ ¨ e =0 2 R C¹ C© R © ¹ R C U
i ( t) =
§
1¨U
Probe
t · § ¨ t · 1 U § RC exp ¨ U ©1 e ¹= R C R C © R C¹ R C
U
vereinfacht auf
U R C
=
U R C
Probe
Ausschaltvorgang: 2. Kirchhoffsche Gesetz
0 = uR ( t) uC ( t)
0 = i ( t) R
0 = R C
d dt
1 ´ µ C µ ¶
i ( t ) dt
uC ( t) uC ( t)
/d/dt
0 = R
d dt
i ( t)
1 C
i ( t ) bzw.
1 uC ( t) u ( t) = 0 R C C dt d
t
i ( t) =
U R
e
RC
§ t · uC ( t) = U exp ¨ R C ©
¹
Seite 95
d dt
i ( t)
homogene lineare i ( t ) = 0 Differentialgleichung R C 1. Ordnung 1
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Differentialrechnung Ableitungsregeln t
i ( t) =
U R
e
RC
durch Differentiation, ergibt
§ t · uC ( t) = U exp ¨ R C ©
¹
durch Differentiation, ergibt
t · § ¨ 1 U § t · 1 U e RC = 0 exp ¨ ¨ 2 C © R C¹ R C © R ¹ R
U R C
d dt
i ( t) =
1 2
R
U C
§ t · © R C¹
exp ¨
U § t · exp ¨ uC ( t) = R C dt © R C¹ d
Probe
§ t · 1 § U exp § t · · = 0 ¨ ¨ © R C¹ R C © © R C ¹¹
Probe
exp ¨
Beispiel 3.2.36: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)
y = 3 ln ( x) y ' ( x) =
(2)
d dx
y ' ( x) = 3
( 3 ln ( x) )
y = x ln ( x)
y ' ( x) =
d dx
y=
(4)
y ' ( x) =
y ' ( x) = 1 ln ( x)
( x ln ( x) )
ln ( x)
1 x
x
3 x
x
vereinfacht auf
y ' ( x) =
x
y ' ( x) =
x
vereinfacht auf
1 (3)
1
y ' ( x) = ln ( x) 1
x 1 ln ( x) 2
x d ln ( x) dx x
vereinfacht auf
y ' ( x) =
( 1 ln ( x) ) 2
x
2
y = ln x
y ' ( x) =
1 2
2 x
x y ' ( x) =
(5)
d dx
y = ( ln ( x) )
y ' ( x) =
2
vereinfacht auf
ln x
2
d dx
( ln ( x) )
y ' ( x) = 2 ( ln ( x) ) 2
vereinfacht auf
y ' ( x) =
2 x
1 x y ' ( x) = 2
Seite 96
ln ( x) x
Differentialrechnung Ableitungsregeln
(6)
§
y ' ( x) =
d dx
·
2
y = ln © x
x 1¹
§
ln © x
1
ª « 1 1 2 y ' ( x) = «1 x 1 2 2 ¬ x x 1 2
·
x 1¹
vereinfacht auf
2
º » 2 x» ¼ 1
y ' ( x) =
1
x2 1 2 Beispiel 3.2.37: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen über die Umkehrfunktion bzw. durch Logarithmieren: d (1)
x
y=e
x = ln ( y ( x) )
durch Differentiation, ergibt
1=
d (2)
x
y=a
ln ( y ( x) ) = x ln ( a)
durch Differentiation, ergibt
dx
dx
y ( x) x
y ' ( x) = 1 y ( x) = e
y ( x)
y ( x) = ln ( a)
y ( x)
x
y ' ( x) = ln ( a) y ( x) = ln ( a) a
(3)
y = ln ( x)
y( x)
e
=x
durch Differentiation, ergibt
d dx
y ( x) exp ( y ( x) ) = 1
y ' ( x) =
(4)
y = loga ( x)
y( x)
a
=x
durch Differentiation, ergibt
y( x) d
a
dx
y ' ( x) =
(5)
y = u ( x) v ( x)
1 exp ( y ( x) )
=
1 x
y ( x) ln ( a) = 1 1
ln ( a)
1 y( x)
a
=
1 ln ( a)
1 x
ln ( y ( x) ) = ln ( u ( x) ) ln ( v ( x) ) durch Differentiation, ergibt d dx
d
y ( x)
y ( x)
=
dx
d
u ( x)
u ( x)
dx
v ( x)
v ( x)
§d · d ¨ d u ( x) dxv ( x) x y ' ( x) = u ( x) v ( x) ¨ = u ' ( x) v ( x) v ' ( x) u ( x) v ( x) ¹ © u ( x) Produktregel
Seite 97
Differentialrechnung Ableitungsregeln (6)
y = ( u ( x) )
v( x)
ln ( y ( x) ) = v ( x) ln ( u ( x) ) durch Differentiation, ergibt d dx
d
y ( x)
y ( x)
d
=
dx
v ( x) ln ( u ( x) ) v ( x)
y ' ( x) = ( u ( x) )
v( x)
dx
u ( x)
u ( x)
§ ©
¨ v ' ( x) ln ( u ( x) ) u ' ( x)
v ( x) · u ( x) ¹
1
(7)
y = ( a b x)
x
ln ( y ( x) ) =
1 x
ln ( a b x)
durch Differentiation, ergibt d dx
y ( x)
y ( x)
=
1 2
ln ( a b x)
x
1 x
b ( a b x)
1
y ' ( x) = ( a b x)
(8)
cx
y=a
b ª 1 ln ( a b x) 1 º 2 x ( a b x) » ¬x ¼
x
«
ln ( y ( x) ) = c x ln ( a) durch Differentiation, ergibt d dx
y ( x)
y ( x)
= c ln ( a)
cx
y ' ( x) = c ln ( a) a
(9)
Entropie bei isobarer Zustandsänderung
s = c p ln ( T) C Ges.: T(s) und dT/ds ?
s C
ln ( T) =
sC cp
T ( s) = e
cp
s C
T ( s) = e
cp
durch Differentiation, ergibt
Seite 98
d ds
T (s) =
1 cp
ª ( s C)º » ¬ cp ¼
exp «
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen Ableitungen der Kreisfunktionen: Sinusfunktion: f: y = sin(x) , D = und W = [-1 , +1]. y ' ( x) =
d dx
sin ( x) = cos ( x) , D' = und W' = [-1 , +1]
(3-32)
Kosinusfunktion: f: y = cos(x) , D = und W = [-1 , +1]. y ' ( x) =
d dx
cos ( x) = sin ( x) , D' = und W' = [-1 , +1]
(3-33)
Tangensfunktion: f: y = tan(x) = sin(x)/cos(x) , D = \ {(2k+1) S/2} und W = . y ' ( x) =
d dx
1
tan ( x) =
( cos ( x) )
= 1 ( tan ( x) )
2
2
, D' = \ {(2k+1) S/2 } und W' =
(3-34)
Kotangensfunktion: f: y = cot(x) = cos(x)/sin(x) , D = \ {k S} und W = . y ' ( x) =
d dx
1
cot ( x) =
( sin ( x) )
= ª¬ 1 ( cot ( x) )
2
2º
¼ , D' = \ {k S} und W' =
(3-35)
Ableitungen der Arkusfunktionen: Arkussinusfunktion: f: y = arcsin(x) , D = [-1 , +1] und W = [-S/2 , +S/2] usw. y ' ( x) =
d dx
1
arcsin ( x) =
, D' = ]-1 , +1[
2
(3-36)
1x
Arkuskosinusfunktion: f: y = arccos(x) , D = [-1 , +1] und W = [0 , S] usw. y ' ( x) =
d dx
1
arccos ( x) =
2
, D' = ]-1 , +1[
(3-37)
1x
Arkustangensfunktion: f: y = arctan(x) , D = und W = ]-S/2 , +S/2[ usw. y ' ( x) =
d dx
1
arctan ( x) =
, D' =
2
(3-38)
1 x
Arkuskotangensfunktion: f: y = arccot(x) , D = und W = ]0 , S[ usw. y ' ( x) =
d dx
arccot ( x) =
1 2
, D' =
1x
Seite 99
(3-39)
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.38: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)
y = a sin ( x) y ' ( x) =
(2)
dx
sin ( 2 x c )
d dt
( r sin ( Z t M ) )
vereinfacht auf
§x· ©c¹
y ' ( x) = cos ¨
§ c sin § x · · ¨ ¨ dx © © c ¹¹
vereinfacht auf
§x· © 2¹
y ' ( x) =
d
d dx
d dx
d dt
§x· © 2¹
dx
y ' ( t) = r cos ( Z t M ) Z
2
§x· ©c¹
y ' ( x) = cos ¨
§x· © 2¹
sin ¨
y ' ( x) =
1 2
§ 1 x· ©2 ¹
sin ¨
y ' ( x) = 4 sin ( 4 x 1)
cos ( 4 x 1)
vereinfacht auf
y ' ( x) = 4 sin ( 4 x 1)
y ' ( t) = r Z sin ( Z t M )
2
( cos ( c x) )
1
vereinfacht auf
cos ¨
( r cos ( Z t M ) )
d
y ' ( x) = 2 cos ( 2 x c )
§x· ©c¹
y = ( cos ( c x) )
y ' ( x) =
vereinfacht auf
y ' ( t) = r Z cos ( Z t M )
y = r cos ( Z t M )
y ' ( t) =
(9)
d
y ' ( x) = cos ( a x) a
y ' ( x) = 2 cos ( 2 x c )
y = cos ( 4 x 1)
y ' ( x) = (8)
vereinfacht auf
sin ( a x)
y = cos ¨ y ' ( x) =
(7)
dx
y = c sin ¨ y ' ( x) =
(6)
d
y ' ( x) = a cos ( x)
y ' ( x) = a cos ( a x)
y = r sin ( Z t M ) y ' ( t) =
(5)
vereinfacht auf
( a sin ( x) )
y = sin ( 2 x c ) y ' ( x) =
(4)
dx
y = sin ( a x) y ' ( x) =
(3)
d
y ' ( x) = a cos ( x)
vereinfacht auf
y ' ( t) = r sin ( Z t M ) Z
y ' ( x) = 2 cos ( c x) ( 1) sin ( c x) c = c sin ( 2 c x) 2
vereinfacht auf
y ' ( x) = 2 cos ( c x) sin ( c x) c
Seite 100
Differentialrechnung Ableitungsregeln 2
2
(10) y = x cos ( x) y ' ( x) =
d dx
y ' ( x) = 2 x cos ( x) sin ( x) x
x2 cos(x)
(11) y = cos ( x) sin ( x) y ' ( x) = (12) y =
( cos ( x) sin ( x) )
2
vereinfacht auf
y ' ( x) =
cos ( x)
y ' ( x) = 2 cos ( x) 1
sin ( x) ( cos ( x) )
1
d
2
vereinfacht auf
dx cos ( x)
y ' ( x) =
sin ( x) 1 d sin ( x) cos ( x) dx sin ( x) 1
dx
sin ( x)
( cos ( x) sin ( x) ) ( sin ( x) 1) cos ( x) ( sin ( x) cos ( x) )
vereinfacht auf
y ' ( x) = 1
y ' ( x) = 1 tan ( x)
cos ( x) d
2
( sin ( x) 1)
(14) y = x tan ( x)
y ' ( x) =
1
y ' ( x) =
cos ( x)
sin ( x) cos ( x)
y ' ( x) =
y ' ( x) = 2 x cos ( x) x sin ( x)
y ' ( x) = sin ( x) sin ( x) cos ( x) cos ( x)
1
y ' ( x) =
(13) y =
d dx
2
vereinfacht auf
vereinfacht auf
( x tan ( x) )
2
(15) y = tan x
y ' ( x) =
( cos ( x) sin ( x) 1)
2 2 sin (x) cos(x)2 2 x = tan ( x) 1 tan ( x) x 2
y ' ( x) = tan ( x) x x tan ( x)
1 2
2
2
2
2 x
cos x y ' ( x) =
d dx
2
(16) y = cot ( 3 x) tan ( 3 x)
y ' ( x) =
y ' ( x) =
d dx
2 ·¹ x
y ' ( x) = 2 © 1 tan x
1 sin ( 3 x)
2
§
vereinfacht auf
tan x
2
( cot ( 3 x) tan ( 3 x) ) vereinfacht auf
1
3
cos ( 3 x)
2
3 3
y ' ( x) =
2
cos ( 3 x) 1 cos ( 3 x) 1
(17) y = ln
y ' ( x) =
cos ( x)
d dx
ln
cos ( x)
y ' ( x) =
1 cos ( x)
vereinfacht auf
1 2
( cos ( x) )
y ' ( x) =
Seite 101
2
( sin ( x) )
1 2 cos ( x)
sin ( x)
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.39: Für einen gedämpften Schwingkreis gilt: Gt
uC ( t) = U0 e
§ ©
¨ cos ( Z t)
G
sin ( Z t)
Z
· ¹
Kondensatorspannung
Bestimmen Sie den Strom i = C du C/dt. i ( t) = C
ªU e Gt § cos ( Z t) G sin ( Z t)·º « 0 ¨ » Z dt ¬ © ¹¼ d
i ( t ) = C U0 2
mit
i ( t) =
2 2 G Z exp ( G t) sin ( Z t)
G Z
Z
ZL
2
2
Z U0
vereinfacht auf
=
2
G Z0 G
2
=
Z
1
folgt
Z L C
Stromfunktion
exp ( G t) sin ( Z t)
Beispiel 3.2.40: Leiten Sie die Ableitungsregeln für die Arkusfunktionen mithilfe impliziten Differentiation bzw. der Umkehrfunktionen her: (1)
y = arcsin ( x)
y' =
1 dx
=
durch Differentiation, ergibt
x = sin ( y ( x) ) 1
1
=
cos ( y)
1 sin ( y)
dy
2
1
=
mit 2
2
y = arccos ( x)
y' =
1 dx
=
x = cos ( y ( x) ) 1
sin ( y)
dy
y ( x) = acos ( x)
=
1 1 cos ( y)
y = arctan ( x)
d dx
y ( x) =
1 1
2
=
1
asin(x) = arcsin(x)
2
durch Differentiation, ergibt
1 = sin ( y ( x) ) 2
mit
d dx
y ( x)
2
sin ( y) cos ( y) = 1
2
1x
durch Differentiation, ergibt
x = tan ( y ( x) )
y ( x)
2
d dx
y ( x) =
1 1
1 x2 (3)
dx
sin ( y) cos ( y) = 1
1 x2 (2)
d
1x
durch Differentiation, ergibt
y ( x) = asin ( x)
1 = cos ( y ( x) )
durch Differentiation, ergibt
Seite 102
acos(x) = arccos(x)
2
1 = 1 tan ( y ( x) )
2
d y(x) dx
Differentialrechnung Ableitungsregeln y' =
1
1
=
dx
1 tan ( y)
dy
y = arccot ( x)
y' =
1
1 1 cot ( y ( x) )
dy
2
dx
1
y ( x) =
atan(x) = arctan(x)
2
x 1
1 = 1 cot ( y ( x) )
2
1x
d dx
1
y ( x) =
acot(x) = arccot(x)
2
x 1
Beispiel 3.2.41: Bilden Sie die 1. Ableitung händisch und mithilfe von Mathcad der folgenden Funktionen: (1)
y = arcsin ( 2 x)
2
y ' ( x) =
1 ( 2 x) y ' ( x) =
d dx
asin ( 2 x)
2
vereinfacht auf
2
y ' ( x) =
1
1 4 x2 2 1 (2)
y = arcsin
y ' ( x) =
x
d dx
asin
y ' ( x) =
x
2
x
1 2
1x
vereinfacht auf
1
y ' ( x) =
1
2 x
(3)
y = ( arcsin ( x) )
2
y ' ( x) = 2 arcsin ( x)
2
1
( 1 x)
1 2
1x y ' ( x) =
d dx
( asin ( x) )
2
vereinfacht auf
asin ( x)
y ' ( x) = 2
1
1 x2 2 y ( x) = ( asin ( x) )
2
2
1
=
durch Differentiation, ergibt
y ( x) = acot ( x)
d
durch Differentiation, ergibt
x = cot ( y ( x) )
=
dx
2
1x
durch Differentiation, ergibt
y ( x) = atan ( x)
(4)
2
1
=
durch Differentiation, ergibt
d dx
y ( x) = 2
asin ( x) 1
1 x2 2 Seite 103
2
d y(x) dx
Differentialrechnung Ableitungsregeln (4)
y = x arcsin ( x)
x
y ' ( x) = 1 arcsin ( x)
2
1x 1
y ' ( x) =
d dx
( x asin ( x) )
vereinfacht auf
y ' ( x) =
2
asin ( x) 1 x
1
1 x2 (5)
§x· © a¹
y = arccos ¨
y ' ( x) =
d dx
y ' ( x) =
§x· © a¹
arccos ¨
vereinfacht auf
2 x
1
1
a
2
§x· 1 ¨ © a¹
2
1
y ' ( x) =
1
ª a2 x2 º » a « « 2 » a ¬ ¼ (6)
§
y ' ( x) =
(7)
§ 1· ©x¹
y ' ( x) =
d dx
§ 1· ©x¹
arctan ¨
vereinfacht auf
§ x · a ln a2 x2 © a¹ 2
y ' ( x) =
x
y = arccot e
§ 1· ¨ ©x¹
2
x
1
1
d dx
x
arccot e
vereinfacht auf
y ' ( x) =
Seite 104
§x· ¨ © a¹
2
x
§x· © a¹
y ' ( x) = atan ¨
1
x
1
x
2
e
1 e y ' ( x) =
2
1x
1 2
vereinfacht auf
y ' ( x) =
2
§ 1 · = 1 2 2 ©x ¹ x 1
§x· 1 © a¹ a
2
1x
2 x
¨
y ' ( x) = 1 arctan ¨
§ x arctan § x · a ln a2 x2 · ¨ ¨ dx © © a¹ 2 ¹ d
1
y ' ( x) = atan ( x)
1 1
y = x arctan ¨
y ' ( x) =
(9)
vereinfacht auf
dx
2
1 x
§ x arctan ( x) ln § 1 x2· · © © ¹¹
d
x
y ' ( x) = 1 arctan ( x)
¹
y = arctan ¨
y ' ( x) =
(8)
2·
y = x arctan ( x) ln © 1 x
2
exp ( x) ( 1 exp ( 2 x) )
a 2
1 2
2
a x
2 x
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen Ableitungen der Hyperbelfunktionen : Hyperbelsinus - sinus hyperbolicus: f: y = sinh(x) = (ex - e-x)/2 , D = und W = . y ' ( x) =
d dx
sinh ( x) = cosh ( x) , D' = und W' = [1 , f[
(3-40)
Hyberbelkosinus - cosinus hyperbolicus: f: y = cosh(x) = (e x + e-x)/2 , D = und W = [1 , f[ . y ' ( x) =
d dx
cosh ( x) = sinh ( x) , D' = und W' =
(3-41)
Hyberbeltangens - tangens hyperbolicus: f: y = tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) , D = und W = ]-1 ,+1[ . y ' ( x) =
d dx
1
tanh ( x) =
( cosh ( x) )
2
= 1 ( tanh ( x) )
2
, D' = und W'
(3-42)
Hyberbelkotangens - cotangens hyperbolicus: f: y = coth(x) = cosh(x)/sinh(x) , D = \ {0} und W \ [-1 , +1] . y ' ( x) =
d dx
coth ( x) =
1 ( sinh ( x) )
2
= 1 ( coth ( x) )
2
, D' = \ {0}
(3-43)
Einige wichtige Beziehungen zwischen Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen: cos 2 x + sin2 x = 1
cosh 2 x - sinh 2 x = 1
(3-44)
sin(2x) =2 sin(x)cos(x)
sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
(3-45)
cos(2x) = cos2 x - sin 2 x
cosh(2x) = cosh2 x + sinh2 x
(3-46)
sin2 x = 1/2 (1 - cos(2x))
sinh2 x = 1/2 (cosh(2x) -1)
(3-47)
cos 2 x = 1/2 (1 + cos(2x))
cosh 2 x = 1/2 (cosh(2x) + 1)
(3-48)
1/sin2 x = 1 + cot 2 (x)
1/sinh 2 x = - 1 + coth 2 (x)
(3-49)
1/cos2 x = 1 + tan 2 (x)
1/cosh2 x = 1 - tanh2 (x)
(3-50)
Seite 105
Differentialrechnung Ableitungsregeln Bereichsvariable
x 3 3 0.01 3
5
20
3
10 sinh( x) 4
2
0
2
4
1
1
tanh( x)
cosh( x)
0
4
coth ( x)
2
1
10
0
1
2
4
3
20
5 x
x
Abb. 3.2.12
Abb. 3.2.13
Beispiel 3.2.42: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)
y = sinh ( k x)
y ' ( x) =
(2)
d dx
d dx
vereinfacht auf
sinh ( k x)
y = sinh k
y ' ( x) =
y ' ( x) = k cosh ( k x)
x
sinh k
y ' ( x) =
x
k 2
x
y ' ( x) = cosh ( k x) k
cosh k
vereinfacht auf
y ' ( x) =
x
1 2
1· § ¨ k 2 cosh © k x ¹ 1
x (3)
y=
1
y ' ( x) =
sinh ( x)
y ' ( x) =
d
cosh ( x) sinh ( x)
1
dx sinh ( x)
vereinfacht auf
2
y=
x
2
y ' ( x) =
ln ( sinh ( x) ) x coth ( x)
· 2
= cosh ( x) 1 coth ( x)
2
© sinh ( x) ¹
y ' ( x) =
cosh ( x)
1 cosh (x)2
2
(4)
1
§
= cosh ( x) ¨
2
y ' ( x) = x
1 sinh ( x)
§ x2 · ¨ ln ( sinh ( x) ) x coth ( x) vereinfacht auf dx © 2 ¹ d
ª
cosh ( x) « 1 coth ( x)
y ' ( x) = x
¬
cosh ( x)
1 cosh (x)2
y ' ( x) = x coth ( x)
Seite 106
2
2
§ 1 · xº ¨ » 2 © sinh ( x) ¹ ¼
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.43: Das Weg- Zeitgesetz für den zurückgelegten Weg s des freien Falls unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes lautet:
s ( t) =
vs
2
g
§
§ g t ··
©
© vs ¹ ¹
g ... Erdbeschleunigung vs ... stationäre Geschwindigkeit
ln ¨ cosh ¨
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung.
s ( t) =
vs
§
2
g
§
§ g t ··
©
© vs ¹ ¹
v( t) =
§ t · s ( t ) = vs tanh ¨ g dt © vs ¹ d
d dt
s ( t)
durch Differentiation, ergibt a ( t) =
2
d ds
v ( t) =
d
dt
2
t
·
© vs ¹ = v tanh § g t · ¨ v s dt § t · s¹ © cosh ¨ g vs © ¹ 2 § dd § t · ·g ¨ s ( t ) = 1 tanh ¨ g ¨ dt dt © © vs ¹ ¹ d
durch Differentiation, ergibt
ln ¨ cosh ¨
sinh ¨ g
s ( t ) = vs
s ( t)
Ableitungen der Areafunktionen:
§
y ' ( x) =
d dx
1
arsinh ( x) =
x 1¹
(3-51)
x 1
§
§
y = arcosh ( x) = ln © x
d dx
1
arcosh ( x) r
2
·
2
2
dx
artan ( x) =
dx
(3-52)
x 1
1 2
D = ]-1 , +1[ und W =
, D' = \ {-1, 1}
(3-53)
1x
§ x 1· © x 1¹
d
·
D' = \ [-1 , +1]
Areakotangenshyperbolicus: f: y = arcoth ( x) = ln ¨
y ' ( x) =
D = [1 , f[ und W = {0} bzw.
x 1¹ D = [1 , f[ und W =
§ 1 x· © 1 x¹
d
+
x 1¹
Areatangenshyperbolicus: f: y = artanh ( x) = ln ¨
y ' ( x) =
D = und W =
, D' =
2
Areakosinushyperbolicus: f: y = arcosh ( x) = ln © x
y ' ( x) = r
·
2
Areasinushyperbolicus: f: y = arsinh ( x) = ln © x
arcoth ( x) =
1
D = \ [- 1 , 1[ und W = \ {0}
D' = \ [-1, 1]
2
1 x
Seite 107
(3-54)
Differentialrechnung Ableitungsregeln Bereichsvariable
x 3 3 0.01 3
5
2 1 1
arsinh ( x)
1
artanh( x)
arcosh( x) 4
2
0
2
4
acoth( x)
arcosh( x)
1
3
4
2
1
1
0 0
2
4
3
2
5 x
x
Abb. 3.2.14
Abb. 3.2.15
Beispiel 3.2.44: Leiten Sie den Zusammenhang zwischen arsinh(x) und ln(x) her. y
y = arsinh ( x) y
y
2 x= e e y
e =x
x = sinh ( y) =
/.ey
2
2y
e
y
e e 2
y
2 x e 1 = 0
ey 2 2 x ey 1 = 0
Die negative Lösung entfällt, weil ey für alle y positiv ist!
x 1
Logarithmieren auf beiden Seiten liefert schließlich:
§
y = ln © x
·
2
x 1¹
Beispiel 3.2.45: Leiten Sie die Ableitungsfunktion für die Areasinushyperbolicus-Funktionen her:
§
2
y = arsinh ( x) = ln © x (1)
(2)
y ' ( x) =
1
§ 2 · x 1¹ ¨©
§ ©x
y = arsinh ( x) y ' ( x) =
1 dx
=
y ' ( x) =
d dx
2 x
¨1
1 cosh ( y)
dy
(3)
·
x 1¹
arsinh ( x)
·
händisch (kann noch vereinfacht werden)
2
x 1¹
2
x = sinh ( y) =
1 1 sinh ( y)
2
=
1
mit 2
2
2
cosh ( y) sinh ( y) = 1
1x
1
vereinfacht auf y ' ( x) =
1
1 x2 Seite 108
2
mithilfe von Mathcad
mithilfe der Umkehrfunktion
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.46: Bilden Sie die 1. Ableitung händisch und mithilfe von Mathcad von folgenden Funktionen: (1)
§x· © 3¹
y = 3 arsinh ¨
y ' ( x) =
1
y ' ( x) = 3
§x· 1¨ © 3¹
§ 3 arsinh § x · · ¨ ¨ dx © © 3 ¹¹ d
vereinfacht auf
2
1 3
3
y ' ( x) =
1
9 x2 2 (2)
§ x · a ln a2 x2 © a¹ 2
y ' ( x) =
(3)
y = x artanh ¨
§x· © a¹
y ' ( x) = 1 artanh ¨
§ x artanh § x · a ln a2 x2 · ¨ ¨ dx © © a¹ 2 ¹
d
§
y = arcosh ¨
1
·
y ' ( x) =
2
©1 x ¹
y ' ( x) =
d dx
§
arcosh ¨
1
· 2
1
1
§x· 1 ¨ © a¹
vereinfacht auf y ' ( x) =
©1 x ¹
2
1 x2 2
1 x2
2
1
2
2
( 2 x)
a x
2
1
x
1
ª x2 « « 2 ¬ 1 x
Beispiel 3.2.47:
a
a
2 x
º »= 2 2 § 1 · 1 «¬ 1 x2 »¼ ¨ 2 ©1 x ¹
x
y ' ( x) = artanh ¨
2 x
ª
§x· © a¹
vereinfacht auf
«
2
2
1
2 º º ª » « 2 x » » « 1 x2 » ¼ ¬ ¼
2
Ein Seil ist zwischen den Punkten A und B aufgehängt, und die Mittellinie hat die Gleichung y = a cosh(x/a) (Kettenlinie). Die Spannweite beträgt 2 L = 200 m. Im Punkt B hat das Seil eine Steigung k = 1. Bestimmen Sie den Durchhang f, und vergleichen Sie den Durchhang von einer Näherungsparabel y = b x 2 + a.
Abb. 3.2.16
Seite 109
Differentialrechnung Ableitungsregeln §x· © a¹
§x· © a¹
y = a cosh ¨
y ' ( x) = sinh ¨
y ' ( L) = k
y ' ( L) = sinh ¨
Funktion und deren Ableitung
§ L· = k © a¹
§ L· = k © a¹
sinh ¨
L a
§
= arsinh ( k ) = ln © k
Ableitung an der Stelle L
2
·
k 1¹
a=
L
§
ln © k
2
·
k 1¹
Für den Punkt B(L | a+f) gilt:
§ L· © a¹
a f = a cosh ¨ 2
§ L · 1· © a¹ ¹
§ ©
f = a ¨ cosh ¨
2
Mit cosh ( x) sinh ( x) = 1 folgt: cosh ( x) =
§ L· = sinh ( x) 1 bzw. cosh ¨ © a¹ 2
Durchhang der Kettenlinie 2
§ L· 1 = sinh ¨ © a¹
2
k 1
Damit lässt sich der Durchhang wie folgt berechnen:
§ 2 · § L · 1· = a § k2 1 1· = L © k 1 1¹ © ¹ © a¹ ¹ § 2 · ln © k k 1¹
§ ©
f = a ¨ cosh ¨
Durchhang der Kettenlinie
Näherungsparabel: 2
y= b x a
y ' ( x) = 2 b x
Funktion und deren Ableitung
y ' ( L) = k
y ' ( L) = 2 b L = k
Ableitung an der Stelle L
2 b L = k
b=
k
Koeffizient b
2 L
Für den Punkt B(L | a+f) gilt: 2
a f = b L a 2
f = b L =
k 2 L
2
L =
kL
kL 2
Durchhang der Parabel
2
§ 2 1 1· © k ¹ fK ( k L) L § 2 · ln © k k 1¹ fP ( k L)
2
f = b L
fK ( 1 100 m)
46.996 m
fP ( 1 100 m)
50 m
Seite 110
Durchhang der Kettenlinie
Durchhang der Parabel
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.11 Höhere Ableitungen Gegeben sei eine beliebig oft differenzierbare Funktion f: y = f(x). Mit f lassen sich dann rekursiv folgende Ableitungen bilden:
y ' ( x) = f ' ( x) =
d dx
2
y , y '' ( x) =
d
2
3
y , y ''' ( x) =
dx
d
3
( 4)
y, y
dx
4
=
d
( n)
4
y , ... , y
dx
n
=
d
n
y , ... (3-55)
dx
Beispiel 3.2.48: Bilden Sie die ersten 6 Ableitungen der folgenden Funktion: 5
2
y ( x) = x 3 x 5 x 6 4
y ' ( x) = 5 x 6 x 5 d dx
5 x4 6 x 5 3
y '' ( x) = 20 x 6 d dx
20 x3 6 2
durch Differentiation, ergibt
vereinfacht auf
vereinfacht auf
60 x2
vereinfacht auf
( 4)
y
d dx
( 120 x)
( 5)
y
d dx
= 120
120
( 6)
y
= 120 x
=0
3
20 x 6
zweite Ableitung
dritte Ableitung
dx
dx
4
y ( x) = 5 x 6 x 5
erste Ableitung
y ''' ( x) = 60 x d
d
2
60 x
120 x
vierte Ableitung
vereinfacht auf
120
fünfte Ableitung
vereinfacht auf
sechste Ableitung
Seite 111
0
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.49: Bilden Sie die ersten 3 Ableitungen der folgenden Funktion: x
x
d
durch Differentiation, ergibt
y ( x) = x e
x
dx
y ( x) = exp ( x) x exp ( x)
x
y ' ( x) = e e x = e ( 1 x) x
x
erste Ableitung
x
y '' ( x) = e ( 1 x) e = e ( 2 x) x
x
zweite Ableitung
x
y ''' ( x) = e ( 2 x) e = e ( 3 x)
dritte Ableitung
x x
Redefinition
10
d
10
dx
x ex o 10 exp (x) x exp (x)
zehnte Ableitung
Beweis für die n-te Ableitung durch vollständige Induktion: x
x
x
A(1):
y ' ( x) = e e x = e ( 1 x)
A(2):
y '' ( x) = e ( 1 x) e = e ( 2 x)
x
x
x
Annahme, ist auch für A(n) gültig: Daraus folgt, dass auch A(n+1) gültig sein muss: A(n+1):
( n1)
y
x
( x) = e ( n 1 x)
Beispiel 3.2.50: Bilden Sie die ersten n-Ableitungen der folgenden Funktion: y ( x) = sin ( x) ( n)
y
§ ©
= sin ¨ x n
y ' ( x) = cos ( x) S· 2¹
y '' ( x) = sin ( x)
y ''' ( x) = cos ( x)
( 4)
y
= sin ( x)
n-te Ableitung der Funktion y = sin(x)
Beispiel 3.2.51: Zeigen Sie, dass y = sinh ( x) der folgenden Differentialgleichung genügt. 2
d
2
y y=0
homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstante Koeffizienten
dx
y ( x) = sinh ( x) d dx
y ( x) = cosh ( x)
sinh ( x) sinh ( x) = 0
durch Differentiation, ergibt
durch Differentiation, ergibt
d dx
y ( x) = cosh ( x)
d d dx dx
2
d
2
y ( x) = sinh ( x)
sinh ( x) o sinh ( x)
dx
y = sinh(x) ist Lösung der gegebenen Differentialgleichung
Seite 112
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.52: Höhere Ableitungen mit dem Symboloperatoren: Redefinition
x x f ( x) 2 x 3 sin ( x)
3
die zu differenzierende Funktion
Erste Ableitung: d
2
dx
f ( x) o 2 3 sin ( x) cos ( x)
fx ( x)
d dx
2
f ( x)
fx ( x) o 2 3 sin ( x) cos ( x)
Ableitung n-ter Ordnung: n 5 n
d
3
n
2
f ( x) o 60 cos ( x) 183 sin ( x) cos ( x)
dx
n
d
fn ( x)
n
3
f ( x)
2
fn ( x) o 60 cos ( x) 183 sin ( x) cos ( x)
dx
Beispiel 3.2.53: Gegeben ist eine Parabel y = a x 2 + b x + c. Bestimmen Sie den Scheitel der Parabel, wenn f(2) = 3, f '(2) =2 und die zweite Ableitung der Parabel -1 ist. 2
f ( x) = a x b x c
f ' ( x) = 2 a x b
f '' ( x) = 2 a
Funktion und Ableitungen
Durch Einsetzen der Werte ergibt sich ein lineares Gleichungssystem: a 1
b 1
Startwerte (Schätzwerte)
c 1
Vorgabe 2
a 2 b 2 c = 3
2 a 2 b = 2
§¨ a · ¨ b ¸ Suchen ( a b c) ¨c © ¹
§¨ a · ¨b ¸ ¨c © ¹
2
f ( x) a x b x c
§¨ 0.5 · ¨ 4 ¸ ¨ 3 © ¹
x 0 0.01 8 5
6
Funktionsgleichung und Bereichsvariable
f ' ( x) = 1 x 4 = 0
4
3
2 a = 1
f( x)
f ( 4) 0 1
2 3
4
3
5 6
7
5
8
Abb. 3.2.17 x
Seite 113
waagrechte Tangente im Punkt S(4|5)
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Neben der expliziten Darstellung einer Funktion f: y = f(x) wird auch häufig die Parameterdarstellung verwendet: f: D o W 2
(3-56)
t |o f(t) = (x(t), y(t)) x = x(t) und y = y(t) heißen Parametergleichungen und t heißt Parameter. Häufig werden die Buchstaben t, M, O, D, T usw. als Parameter verwendet. Für jede Kurve gibt es unter bestimmten Voraussetzungen unendlich viele Parameterdarstellungen. Wenn eine Funktion durch eine Gleichung r = r(M) (Polarkoordinatendarstellung - siehe nächsten Abschnitt) gegeben ist, so erhalten wir durch x = r(M) cos(M) und y = r(M) sin(M) eine beliebige Parameterdarstellung. Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung: Mit xt =
d dt
d
x , yt =
d
y ' ( x) = f ' ( x) =
y'=
dt
dx
yt
y und y' =
y=
d dt
y
d dx
d dx
t =
y erhalten wir die erste Ableitung durch:
yt xt
mit xt z 0
xt
(3-57)
Die zweite Ableitung ergibt sich dann aus: ytt xt xtt yt 1 § d · § d · d yt d = t t y' = ¨ ¨ 2 xt © dt ¹ © dx ¹ dt xt dx xt
2
y '' ( x) =
d
2
y=
dx
2
y '' =
d
2
dx
y=
ytt xt xtt yt xt
3
§¨ xt yt · = ¨ xtt ytt 3 xt © ¹ 1
mit xt z 0
(3-58)
Beispiel 3.2.54: Geben Sie für einen Kreis in Hauptlage eine Parameterdarstellung an. Leiten Sie aus der Parameterform die implizite Form der Kreisgleichung her. Bestimmen Sie die waagrechten und senkrechten Tangenten am Kreis. Kreisradius
r 1 x ( M ) r cos ( M ) y ( M ) r sin ( M ) 2
2
2
2
2
2
x = r cos ( M ) y = r sin ( M )
Parameterdarstellung des Kreises in Hauptlage mit M [0, 2 S[
Durch Addition folgt:
2
2
2
2
x y = r cos ( M ) sin ( M )
1
Seite 114
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln d dM
d
x = xM = r sin ( M )
dM
y = yM = r cos ( M ) Ableitungen
xM ( M ) r sin ( M )
y'=
yM xM
=
yM ( M ) r cos ( M )
r cos ( M )
Mz0
r sin ( M )
und
MzS
Waagrechte Tangenten: y' =
r cos ( M ) r sin ( M )
r cos ( M ) = 0
Bereichsvariable
M 0 0.01 2 S 1
=0 hat als Lösung(en)
1 2
S
yM ( M )
Numerische Lösung:
S
3S
2
2
0
2
4
6
8
6
8
ORIGIN 1 TOL 10
1
15
M
wurzel yM M 2 M 2
M1 2
M 1 wurzel yM M 1 M 1
M2 4
M2
Abb. 3.2.18
i 1 2
yM M i
Mi Grad
90
0
270
0
L = {(0, 1); (0, -1)} Punkte mit Tangenten parallel zur Abszisse
x Mi
y Mi
0
1
0
-1 1
Senkrechte Tangenten: 1 y'
=
r sin ( M ) r cos ( M )
r sin ( M ) = 0
=0
Mz
S 2
hat als Lösung(en)
und M z
2
xM ( M )
0
2
4
0 1
Numerische Lösung: ORIGIN 1 TOL 10
S
3 S
M
15
Abb. 3.2.19
wurzel xM M 4 M 4
M3 0
M 3 wurzel xM M 3 M 3
M4 3
M4
Seite 115
Differentialrechnung Ableitungsregeln i 3 4
xM M i
Mi Grad
0
0 0
180
x Mi
y Mi
1
0
-1
0
L = {(1, 0); (-1, 0)} Punkte mit Tangenten parallel zur Ordinate
2 1
1
Parameterdarstellung eines Kreises in allgemeiner Lage mit M(m | n):
1
x ( M ) = m r cos ( M ) y( M )
2
0
1
2
y ( M ) = n r sin ( M )
2
Abb. 3.2.20
x( M )
Beispiel 3.2.55: Leiten Sie aus der gegebenen Parameterform die explizite Form der Funktionsgleichung her. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion. x( t)
t
y( t) 4 t
2
2
Parameterdarstellung einer Funktion mit t 2
2
y = 4 ( 2 x) = 4 4 x
t aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt liefert die explizite Funktionsgleichung.
y ( x) 4 4 x
2
explizite Funktionsgleichung
t 3 3 0.01 3
x1 3 3 0.01 3
t = 2 x
20
2
1
Bereichsvariable 20
0
y( t)
1
2
4
2
0
y( x1) 20
20
40
40
x( t)
x1
Abb. 3.2.21
Abb. 3.2.22
Seite 116
2
4
Differentialrechnung Ableitungsregeln 1 xt = 2
yt = 2 t
xtt = 0
ytt = 2
y'=
yt xt
Ableitungen der Parametergleichungen
=
2 t 1
= 4 t
y '' =
ytt xt xtt yt xt
2
3
1
2
2
=
§ 1· ¨ © 2¹
3
= 8
Beispiel 3.2.56: Leiten Sie aus der gegebenen Parameterform die explizite Form der Funktionsgleichung her. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion. x1 ( t) 3 ln ( t )
y1 ( t)
3
§ 2 ©
¨t
1· t
Parameterdarstellung einer Funktion mit t +
¹
Elimination des Parameters t: x
x 3
= ln ( t )
t=e
3
x § x · ¨ 3 §x· 3 3 y = ©e e ¹ = 3 cosh ¨ 2 © 3¹
§x· © 3¹
explizite Darstellung (Kettenlinie)
y ( x) 3 cosh ¨
explizite Funktionsgleichung
t 1 1 0.01 3
x 3 3 0.01 3
6
6
4
4
y1( t)
y( x) 2
2
0
2
4
4
2
x1( t)
3 xt = t
4
Abb. 3.2.24
Ableitungen
3
xtt = 2 t
ytt = 3 t 3
xt
2
3 § 1· yt = ¨ 1 2 2 t ¹ ©
3
y'=
0 x
Abb. 3.2.23
yt
Bereichsvariable
2 =
§
1·
©
t
¨1 3
2
¹
vereinfacht auf
t
Seite 117
y'=
yt xt
=
1 2
2 t 1
t
Differentialrechnung Ableitungsregeln 3 y '' =
ytt xt xtt yt xt
3
t
=
3
3 t
1 ·º ª3 § « ¨1 2 » 2 t ¬ t ¹¼ © 3
2
§ 3·
vereinfacht auf
3
y '' =
ytt xt xtt yt xt
¨ ©t¹
3
=
1 6
Beispiel 3.2.57: Leiten Sie aus der gegebenen Parameterform die explizite Form der Funktionsgleichung her. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion. x ( M ) 3 cos ( M ) 2
x
2
= cos ( M )
2
3
Umgeformte Parametergleichungen
2
y
2
Parameterdarstellung einer Ellipse mit M [0, 2S[
y ( M ) 2 sin ( M )
= sin ( M )
2
2
Durch Addition der beiden Gleichungen erhalten wir die implizite Darstellung der Ellipse in Hauptlage: 2
x
2
2
3
y
2
implizite Darstellung der Ellipse
=1
2
Bereichsvariable
M 4 4 0.01 4
2
y( M )
3
2
1
0
1
2
3
2 x( M )
Abb. 3.2.25
xM = 3 sin ( M )
yM = 2 cos ( M )
xMM = 3 cos ( M )
yMM = 2 sin ( M )
y'=
yM xM
=
2 cos ( M ) 3 sin ( M )
=
2 3
cot ( M )
Ableitungen der Parametergleichungen
erste Ableitung
Seite 118
1 t t
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln yMM xM xMM yM
y '' =
xM
3
=
2 sin ( M ) ( 3 sin ( M ) ) ( 3 cos ( M ) ) ( 2 cos ( M ) ) ( 3 sin ( M ) )
3
vereinfacht auf yMM xM xMM yM
y '' =
xM
3
2
=
9 sin ( M ) 1 cos ( M )
2
2
=
9 sin ( x)
zweite Ableitung
3
Beispiel 3.2.58: Geben Sie für eine archimedische Spirale in Polarkoordinatenform r = r( M) = M eine Parameterdarstellung an und bestimmen Sie die waagrechten und senkrechten Tangenten an der Spirale. x ( M ) M cos ( M )
y ( M ) M sin ( M )
Parametergleichungen für die archimedische Spirale
xM ( M ) cos ( M ) M sin ( M )
yM ( M ) sin ( M ) M cos ( M )
Ableitungen der Parametergleichungen
Tangenten parallel zur Abszisse: y' =
yM ( M ) xM ( M )
=
sin ( M ) M cos ( M ) cos ( M ) M sin ( M )
Ableitung in Parameterform
=0
sin ( M ) M cos ( M ) = 0
hat als Lösung(en)
M1 0
erste Lösung
0
Die weiteren Lösungen numerisch ermittelt:
wurzel yM M 3 M 3
M2 2
M 2 wurzel yM M 2 M 2
M3 5
M3
i 1 3
Bereichsvariable yM ( t)
yM M i
Mi 0 2.029 4.913
t 0 0.02 2 S
0 0
6.28 5.17 4.07 2.96 1.85 0.75 0.36 0 1.46 2.57 3.68
Bereichsvariable
2
4
6
0
t
Abb. 3.2.26
x Mi
y Mi 0
0
-0.897
1.82
0.98
-4.814
L = {(0, 0); (- 0.897, 1.82); (0.98, - 4.814)} Punkte mit Tangenten parallel zur Abszisse
Tangenten parallel zur Ordinate: 1 y'
=
cos ( M ) M sin ( M ) sin ( M ) M cos ( M )
=0
cos ( M1) M1 sin ( M1) auflösen M1 o 3.4256184594817281465
Seite 119
Differentialrechnung Ableitungsregeln Die weiteren Lösungen numerisch ermittelt:
M 4 0.5
M 4 wurzel xM M 4 M 4
M 5 3.5
M 5 wurzel xM M 5 M 5
i 4 5
Bereichsvariable
Mi
xM M i
xM ( t)
0.86
0
3.426
0
2
4
6
t
Abb. 3.2.27
y Mi
x Mi
5.1 4.27 3.44 2.61 1.77 0.94 0.11 0.72 0 1.55 2.38
0.561
0.652
L = {(0.561, 0.652); (- 3.288, - 0.96)}
-3.288
-0.96
Punkte mit Tangenten parallel zur Ordinate
i 1 5 y' ( M )
Bereichsvariable
t1 5 5 sin ( M ) M cos ( M )
Ableitung in Parameterform
cos ( M ) M sin ( M )
d ( M ) y ( M ) y' ( M ) x ( M )
Achsenabschnitt
tangente ( t M ) y' ( M ) t d ( M )
Tangentengleichung
1
y( t)
y Mi
3.5
1.5
0.5
2.5
4.5
6.5
1
tangente t1 M 4 tangente t1 M 2
Abb. 3.2.28 3
5
x( t) x M i t1 t1
Beispiel 3.2.59: Eine gespitzte Zykloide ist durch folgende Parameterdarstellung gegeben: x(t) = r (t - sin(t)) , y(t) = r (1 - cos(t)). Ermitteln Sie, falls vorhanden, die waagrechten Tangenten für t [0, 2S[ . Zeigen Sie, dass die Zykloide für t = 0 eine senkrechte Tangente besitzt. gewählter Abrollkreisradius
r 2 x ( t ) r ( t sin ( t) )
y ( t ) r ( 1 cos ( t) )
Parameterdarstellung einer Funktion mit t
xt = r ( 1 cos ( t) )
yt = r sin ( t )
Ableitungen der Parametergleichungen
Seite 120
Differentialrechnung Ableitungsregeln
y'=
yt xt
=
r sin ( t) r ( 1 cos ( t) )
sin ( t) = 0
=0
Ableitung in Parameterform eine Lösung derGleichung
t1 S
x t1 o 2 S
x- und y-Werte
y t1 o 4
Bereichsvariable
t 2 2 0.01 8
5
y t1
2Sr
x t1
y( t)
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x( t)
Abb. 3.2.29 Für t = 0 kann die Ableitungsformel nicht angewendet werden. lim
sin ( t)
t o 0 1 cos ( t )
=
0 0
§ ©
sin ¨ 2
t
· 2¹
sin ( t) = lim 1 cos ( t) § t· to0 to0 1 cos ¨ 2 © 2¹ lim
§ t · cos § t · ¨ © 2¹ © 2¹
2 sin ¨ =
lim to0
§
2 2 § t · sin § t · · ¨ © 2¹ © 2¹ ¹
1 ¨ cos ¨
©
§ t · cos § t · §t· cos ¨ ¨ © 2¹ © 2 ¹ = lim © 2¹ = f 2 §t· to0 §t· sin ¨ 2 sin ¨ © 2¹ © 2¹
2 sin ¨ lim to0
Die Tangente verläuft senkrecht ! Beispiel 3.2.60: Eine Kugel wird in der Höhe h = 10 m über dem Boden waagrecht mit konstanter Geschwindigkeit v 0 = 10 m/s (ohne Luftwiderstand) in Bewegung gesetzt. Mit welcher Geschwindigkeit trifft sie am Boden auf ? Wie groß ist der Winkel unter dem die Kugel am Boden auftrifft ? Welche Beschleunigung hat die Kugel ?
§ v0 t · § x( t) · ¨ r ( t) = ¨ =¨ ¸ g © y( t) ¹ ¨ h t2 2 © ¹
Ortsvektor
§d · x( t) ¨ §¨ vx( t) · d ¨ dt ¸ = § v0 · = r ( t) = v ( t) = ¨ vy( t) ¨d ¸ ¨© g t ¹ © ¹ dt ¨ y( t) © dt ¹
Geschwindigkeitsvektor
Seite 121
Differentialrechnung Ableitungsregeln 2
2
vx vy =
v= v =
d dt
2
2
v0 g t
s ( t) =
Betrag des Geschwindigkeitsvektors
2
§ 2 · §d · ¨ d x ( t) v ( t ) ¨ x §¨ ax ( t) · d ¨ dt 2 ¸ §0 · dt ¨ ¸ = v ( t) = a ( t) = =¨ ¸=¨ ¨ a ( t) ¨d ¸ ¨ 2 d t ¸ ©g ¹ y © ¹ d ¨ vy ( t) y ( t) © dt ¹ ¨ dt 2 © ¹ 2
t=
2
ax ay =
a= a =
d dt
x
2
v( t) =
d
dt
2
y=h
v0
Betrag des Beschleunigungsvektors
s ( t) = g
g 2
2
x
parameterfreie Bahnkurve
2
v0
m v0 10 s
Anfangsgeschwindigkeit
h 10 m
Anfangshöhe
x ( t ) v0 t
y( t) h
vx ( t) v0
vy ( t) g t 2
v( t)
vx ( t) vy ( t)
Beschleunigungsvektor
g 2
t
2
Parametergleichungen für die Bahnkurve Parametergleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten
2
Geschwindigkeitsfunktion
y = 0 am Auftreffpunkt: h
g 2
2
t =0
v t0
17.209
t0
2 h
t0
g
1.428 s
m
Auftreffzeit am Boden
Auftreffgeschwindigkeit am Boden
s
Auftreffwinkel: y'=
yt xt
=
tan ( D ) =
g t v0 g t0 v0
tan ( D ) = y ' t0
§ g t0 · ¨© v0 ¹
D atan ¨
D 0 D 180 Grad
D0
125.528 Grad
M 0 180 Grad D 0
M0
54.472 Grad
t 0 s 0.01 s 1.5 s
Bereichsvariable
Seite 122
D
54.472 Grad
Differentialrechnung Ableitungsregeln
xT ( O ) x t 0 O cos D 0
Parameterdarstellung der Tangente im Punkt P(x(t 0 )|0)
yT ( O ) O sin D 0
O 1 m 1 m 0.1 m 10m
Bereichsvriable
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y( t) m yT( O ) m
t0 D0
M0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 5
1.428 s
W x t0 W
Wurfweite
14.281 m
Abb. 3.2.30
x( t) xT( O ) m m
3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung Die Lage eines Punktes in der Ebene kann durch kartesische Koordinaten P(x|y) oder durch die Angabe des Winkels M und der Entfernung r vom Ursprung, also durch P(M| r), festgelegt werden. Ein funktioneller Zusammenhang zwischen r und M ist durch eine Polarkoordinaten- darstellung gegeben: f: D o W M
(3-59)
|o r = f(M)
Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt: 2
2
2
x y =r
r=
2
2
x y y tan ( M ) = x
x = r cos ( M )
§ y· © x¹
y = r sin ( M )
M = arctan ¨
(3-60) (3-61) (3-62)
Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung: r '( M ) =
d dM
r(M ) =
d dM
f (M )
(3-63)
r' bedeutet nicht die Steigung der Tangente ! tan ( < ) =
r(M ) r '( M )
tan ( D ) =
r ' ( M ) tan ( M ) r ( M ) r ' ( M ) r ( M ) tan ( M )
(3-64)
Der Winkel < zwischen Leitstrahl und Tangente spielt bei Polarkoordinaten eine wesentliche Rolle, ähnlich der der Steigung einer Tangente bei kartesischen Koordinaten (siehe Abb. 3.2.31)
Seite 123
Differentialrechnung Ableitungsregeln
Abb. 3.2.31
Beispiel 3.2.61: Gegeben ist ein Kreis in Hauptlage. Geben Sie die Kreisgleichung in Polarkoordinaten an. 2
2
2
implizite Form der Kreisgleichung (Relation)
x y =r y=
2
2
r x
explizite Form der Kreisgleichung
2
2
y= r x
x = U cos ( M )
Parametergleichungen des Kreises
y = U sin ( M ) Setzen wir die Parametergleichungen in die implizite Form ein, so erhalten wir die Polarkoordinatenform: 2
2
2
2
2
daraus folgt:
U cos ( M ) U sin ( M ) = r
U = r = konstant
M 0 0.01 2 S
Bereichsvariable
r(M ) 3
Kreisgleichung in Polarkoordinatenform
120 140 160 r( M )
180
100 80 4 3 2 1 0
60 40 20 0
200
340
220
Abb. 3.2.32
320 240
260 280 M
300
Seite 124
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.62 Gegeben ist eine Lemniskate in Polarkoordinaten r 2 = a2 cos(2 M). Geben Sie die Gleichung in kartesischen Koordinaten an. 2
2
Gleichung der Lemniskate
r = a cos ( 2 M ) Es gelten folgende Bezieghungen: 2
2
2
2
r =x y
2
2
cos ( 2 M ) = cos ( M ) sin ( M )
2 2 cos ( M ) sin ( M )
2
x y =a
x2 y2
2
2
2
2
=a x y
2
cos ( M ) =
r
=
x 2
2
sin ( M ) =
x y
2 ª x2 y « x y =a « x2 y2 2 2 x y ¬ 2
x
2
2
Bereichsvariable
r(M ) 3
Lemniskate in Polarkoordinatenform ( D = [0, 2 S>
cos ( 2 M )
100
80 4
140
y 2
40
2
20
1 180
0
0
200
Abb. 3.2.33
340
220
320 240
260
280
300
M
Beispiel 3.2.63: Stellen Sie die archimedische Spirale r = a M grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Spirale an. durch Differentiation, ergibt
r(M ) = a M
tan ( < ) =
r(M ) d dM
r(M )
=
a M a
=M
tan ( < ) = M
M 0 0.01 6 S
Bereichsvariable
a 0.6
Konstante
d dM
r(M ) = a
Seite 125
< = arctan ( M )
2
x y
60
3
160 r( M )
r
=
implizite Form der Gleichung für die Lemniskate
M 0 0.01 2 S
120
º » » ¼
y
Differentialrechnung Ableitungsregeln archimedische Spirale in Polarkoordinatenform
r(M ) a M
Eine Parameterdarstellung für die archimedische Spirale: Abb. 3.2.34
x = a M cos ( M ) y = a M sin ( M )
Beispiel 3.2.64: Stellen Sie die logarithmische Spirale r = a eM grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Spirale an. M
durch Differentiation, ergibt
r(M ) = a e
tan ( < ) =
r(M ) d dM
r(M )
d dM
r ( M ) = a exp ( M )
M
=
a e
M
=1
tan ( < ) = 1
hat als Lösung(en)
a e
M 0 0.01 4 S
Bereichsvariable
a 0.1
Konstante M
r(M ) a e
1 4
S
Kreisgleichung in Polarkoordinatenform
Eine Parameterdarstellung für die logarithmische Spirale: M
x = a e cos ( M ) M
y = a e sin ( M )
Abb. 3.2.35
Seite 126
<=
S 4
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.65: Stellen Sie die hyperbolische Spirale r = a /M grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Spirale an. r(M ) =
a
durch Differentiation, ergibt
M a
tan ( < ) =
r(M ) d dM
=
r(M )
M a M
= M
tan ( < ) = M
d dM
r(M ) =
a M
2
< = arctan ( M )
2
Bereichsvariable
M 0 0.01 6 S a 10 r(M )
a
hyperbolische Spirale in Polarkoordinatenform
M
120 150 r( M )
90 1000
Eine Parameterdarstellung für die hyperbolische Spirale:
60 30
10
180
x=
0.1
0
y= 210
330 240
270 M
a M a M
cos ( M )
sin ( M )
300
Abb. 3.2.36
Beispiel 3.2.66: Stellen Sie die Kardioide (Herzkurve) r = 2 a (1 + cos(M grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. r ( M ) = 2 a ( 1 cos ( M ) )
tan ( < ) =
r(M ) d dM
=
r(M )
durch Differentiation, ergibt
2 a ( 1 cos ( M ) ) 2 a sin ( M )
§M· © 2¹
dM
r ( M ) = 2 a sin ( M )
2
2 cos ¨ =
d
§ M · cos § M · ¨ © 2¹ © 2¹
2 sin ¨
§ M · = tan § M S · ¨ © 2¹ © 2 2¹
= cot ¨
M 0 0.001 6 S
Bereichsvariable
a 2
Konstante
r ( M ) 2 a ( 1 cos ( M ) )
Kreisgleichung in Polarkoordinatenform
Seite 127
<=
M 2
S 2
Differentialrechnung Ableitungsregeln
120
90
60
150 r( M )
30
180
02 4 6 8
210
0
Abb. 3.2.37
330 240
300
270 M
3.2.14 Krümmung ebener Kurven Die Änderung des Steigungswinkels 'D bezogen auf die Änderung der Bogenlänge 's ist ein Maß für die Stärke der mittleren Krümmung der Kurve zwischen zwei Punkten P und P 1 . Die Krümmung im Punkt P wird dementsprechend als Grenzwert dieses Differenzenquotienten definiert: N=
lim
'D
's o 0 's
=
d ds
(3-65)
D
Der Kehrwert U der Krümmung in P U =
1 N
ist der Krümmungsradius des Krümmungskreises in P.
Abb. 3.2.38
Näherungsweise gilt nach Abb. 3.2.39 für die Bogenlänge:
's =
Abb. 3.2.39
2
2
's
bzw.
'x 'y
'x
=
1
§ 'y · ¨ © 'x ¹
2
Durch den Grenzübergang, wenn y = f(x) differenzierbar ist, ergibt sich dann für die Bogenlänge: lim
's
'x o 0 'x
=
d dx
s =
Seite 128
1 y' ( x)
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln Mit tan(D) = y '(x) und damit D = arctan(y '(x)) erhalten wir mit der Kettenregel die Krümmung: N=
d ds
D =
1 § d · d § d · y'' ( x) ¨ D x = ¨ arctan ( y' ( x) ) x = 2 dx © ds ¹ dx © ds ¹ 1 y' ( x)
1
d
1 y' ( x)
2
y'' ( x)
=
3
1 y' (x)2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Funktionsdarstellungen: y = f(x) , P(x | y) x = x(t) , y = y(t) , P(x | y) r = r(M) , P(M| r) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Krümmung: y'' ( x)
N=
N=
3
1 y' (x)2 2
2
xt ytt yt xtt
N=
3
§ x 2 y 2· t ¹ © t
2
r 2 r'
2
r r'' 3
(3-66)
r2 r' 2 2
Krümmungsmittelpunkt:
xm = x
1 y' ( x)
2
2
y'' ( x)
y' ( x)
1 y' ( x)
ym = y ( x)
xt yt
xm = x y xt ytt yt xtt t 2
2
2
xt yt
(3-67)
2
ym = y x xt ytt yt xtt t
y'' ( x)
Bei waagrechter Tangente (Extremstellen x 0 ) gilt: y'(x0 ) = 0. Für die Krümmung vereinfacht sich dann die erste Beziehung in (3-66) zu: N=
1 U
= y'' x0
(3-68)
Damit kann mit der zweiten Ableitung eine qualitative Aussage gemacht werden, ob eine Kurve links( N positiv) oder rechtsgekrümmt (N negativ) ist. Die alle Mittelpunkte der Krümmungskreise verbindende Kurve heißt Evolute (entwickeln, entfalten) der Ausgangsfunktion y = f(x). Der Graph von y = f(x) heißt in diesem Zusammenhang Evolvente (hervorwälzen, herauswickeln) der betreffenden Evolute.
Krümmung und Krümmungsradius für eine Funktion y = f(x): 2
d
3
f x 2 0 dx0
N x f x0
3
ª «1 « ¬
§d · ¨ d f x0 © x0 ¹
2º
» » ¼
2
2 ª §d · »º «1 f x « ¨ dx 0 » 0 ¬ © ¹ ¼ U x f x0 § d2 · ¨ f ( x) ¨ dx 2 © 0 ¹
Seite 129
2
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.67: Bestimmen Sie die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Kurvenpunkt und die Krümmung und den Krümmungsmittelpunkt als auch den Krümmungsradius im Punkt P(0|0) der Funktion y = x 2 . 2
y=x
y' ( x) = 2 x y'' ( x)
N=
1 y' (x)2
gegebene Funktion und deren Ableitungen
2
=
3
y'' ( x) = 2
Krümmungsfunktion
3
2
1 4 x2
2
Krümmungsmittelpunkte: xm = x
1 y' ( x)
ym = y ( x)
2
y'' ( x)
2
y' ( x) = x
1 y' ( x) y'' ( x)
2
2
=x
1 4 x 2
vereinfacht auf
2 x
xm = x
1 y' ( x) y'' ( x)
2
1 4 x
vereinfacht auf
2
Mit P(0|0) gilt:
ym = y ( x)
N=2
und
U=
xm = 0
und
ym
1 N
=
2
1 y' ( x) y'' ( x)
3
y' ( x) = 4 x 2
2
= 3 x
1 2
1 2
1 2
Bereichsvariable
x 5 5 0.01 5 2
gegebene Funktion
f ( x) x
3
xm ( x) 4 x
Parametergleichungen der Krümmungsmittelpunkte (Semikubische Parabel - Neil Parabel)
1 2 ym ( x) 3 x 2
Evolvente, Krümmung und Evolute 3
2 f( x) 1
N ( x f x)
Abb. 3.2.40
ym ( x ) 4
2
0 1
2 x x xm( x)
Seite 130
2
4
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.68: Bestimmen Sie die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Kurvenpunkt und die Krümmung und den Krümmungsmittelpunkt als auch den Krümmungsradius im Punkt P(S/2|1) der Funktion y = sin(x). y = sin ( x)
y' ( x) = cos ( x)
y'' ( x)
N=
3
gegebene Funktion und deren Ableitungen
y'' ( x) = sin ( x)
sin ( x)
=
Krümmungsfunktion
3
1 y' (x)2 2 1 cos (x)2 2 Krümmungsmittelpunkte: xm = x
1 y' ( x)
2
y' ( x) = x
y'' ( x)
ym = y ( x)
1 y' ( x) y'' ( x)
1 cos ( x)
2
= sin ( x)
2
sin ( x) 1 cos ( x) sin ( x)
cos ( x) = 2
= 2
x sin (x) cos(x) cos (x)3 sin ( x)
cos ( x)
2
sin ( x)
Für P(S/2|1) gilt:
und
U=
S xm = 2
und
ym = 0
x 2 S 2 S 0.01 2 S
Bereichsvariable
f ( x) sin ( x)
gegebene Funktion
xm ( x)
1
N = 1
N
= 1
x sin (x) cos(x) cos (x)3 sin ( x) cos ( x)
Parametergleichungen der Krümmungsmittelpunkte
2
ym ( x) 2 sin ( x) Evolvente, Krümmung und Evolute 3
S 2
2 f( x) 1
N ( x f x) ym ( x )
Abb. 3.2.41 4
2
0 1
2 x x xm( x)
Seite 131
2
4
Differentialrechnung Ableitungsregeln
Beispiel 3.2.69: Bestimmen Sie die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Kurvenpunkt der Funktion x = r (t - sin(t)) und y = r (1 - cos(t)) (spitze Zykloide). x = r ( t sin ( t ) )
y = r ( 1 cos ( t) )
Parametergleichungen der Zykloide
xt = r ( 1 cos ( t) )
yt = r sin ( t )
Ableitungen der Parametergleichungen
yt
r sin ( t)
§t· y' = = = cot ¨ xt r ( 1 cos ( t) ) © 2¹ 1 d y'' =
dt d dt
§t· © 2¹
y'
2
2
1
=
§t· © 2¹
2 r sin ¨
4 r sin ¨
§ t· © 2¹
1 4
§ t· © 2¹
4rsin¨
y'' 3
1 y'2
2
=
zweite Ableitung
4
1
N=
erste Ableitung
sin ( t) = 2 sin ¨
2
§t· © 2¹
x
2
§ t · cos § t · ¨ © 2¹ © 2¹
1
sin ¨ =
§t· 1 cos ( t) = 2 sin ¨ © 2¹
wegen
4
4rsin¨ 3
2· § ¨ 1 cot §¨ t · © © 2¹ ¹
2
=
3
§¨ 1 · ¨ § t ·2 ¸ ¨ sin ¨ 2 © © ¹ ¹
2
=
1
§t· 4 r sin ¨ © 2¹
§ t· © 2¹
Krümmungsfunktion in Parameterform
cot¨
y'
xm = x y''
2 1 y' = r t r sin ( t )
§t· sin ¨ 4· § © 2¹ ¨ 4 r sin §¨ t · © © 2¹ ¹ 1
2
x(t) und die Ableitungen in (3-67) eingesetzt
§t· 4 © 2 ¹ 4 r sin § t · ¨ §t· © 2¹ sin ¨ © 2¹ § t · sin § t · xm = r t r sin ( t) = r t r sin ( t ) 4 r cos ¨ ¨ 2 © 2¹ © 2¹ §t· sin ¨ © 2¹ cos ¨
§ t · sin § t · = r t r sin ( t) 2 r sin ( t) = r ( t sin ( t) ) xm = r t r sin ( t) 4 r cos ¨ ¨ 2 2 © ¹
© ¹
Seite 132
x- Werte für den Krümmungsmittelpunkt
Differentialrechnung Ableitungsregeln 2
ym = y
1 y' y''
1
= r r cos ( t)
1
§ t· © 2¹
4rsin¨
1
4
§t· © 2¹
2
§t· © 2¹
2
y(t) und die Ableitungen in (3-67) eingesetzt
= r r cos ( t) 4 r sin ¨
sin ¨
2
2
2
§ t · = r ( 1 cos ( t) ) 4 r sin § t · = r 2 sin § t · 4 r sin § t · ym = r r cos ( t ) 4 r sin ¨ ¨ ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ © 2¹ © 2¹
2
2
§ t · = r ( 1 cos ( t) ) ym = 2 r sin ¨ © 2¹ t 0 0.01 15
Bereichsvariable
r 2
gewählter Abrollkreisradius
x ( t ) r ( t sin ( t) ) Funktion in Parameterdarstellung y ( t ) r ( 1 cos ( t) )
N ( t)
1
Krümmungsfunktion
§t· 4 r sin ¨ © 2¹
xm ( t) r ( t sin ( t ) )
Parametergleichungen der Krümmungsmittelpunkte (Evolute- verschobene Zykloide)
ym ( t) r ( 1 cos ( t) )
Evolvente und Evolute
5 Sr
y( t) ym( t)
0
5
2Sr
10
15
20
5 x( t) xm( t)
Abb. 3.2.42
Seite 133
25
30
35
Differentialrechnung Ableitungsregeln
Krümmungsfunktion
4
2
N ( t) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
2
4 t
Abb. 3.2.43
3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken Öfters ergeben sich bei der Anwendung der bekannten Grenzwertsätze (siehe Abschnitt 2.1) unbestimmte Ausdrücke (unbestimmte Formen) der folgender Form: 0 f 0 0 f 0 ff f0 f 1 . 0 f Mithilfe eines Satzes von Johann Bernoulli (von De l' Hospital veröffentlicht - daher auch Regel von l' Hospital genannt) ist es unter bestimmten Vorraussetzungen möglich diese Grenzwerte zu finden. Satz (Regel von l' Hospital):
(3-69)
Eine Funktion f sei durch f ( x) =
Z ( x)
in [a, b] definiert, Z(x) und N(x) stetig in [a, b] und N ( x) differenzierbar in ]a, b[. Ferner seien N(x) und N'(x) in ]a, b[ von Null verschieden und lim
Z ( x) = 0 ,
x o x0
lim
Wenn nun der Grenzwert
lim x o x0
N ( x) = 0 .
x o x0
f ( x) =
lim
lim
Z ' ( x)
x o x0 N ' ( x)
Z ( x)
x o x0 N ( x)
=
lim
existiert, dann ist Z ' ( x)
x o x0 N ' ( x)
.
Seite 134
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.70: 0 f , führen: 0 f
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, die auf Ausdrücke der Form
(1)
y=
sin ( x)
sin ( x)
lim
sin ( x)
lim
0
lim
0
l' Hospital
cos ( x)
=1
1
xo0
Damit gilt:
lim
sin ( x) x
xo0
=1
Berechnung mit Mathcad
o1
x
xo0
y=
=
x
xo0
(2)
gegebene Funktion
x
1 cos ( x)
gegebene Funktion
2
x
1 cos ( x)
lim
=
2
xo0
x
Damit gilt:
0 0
l' Hospital
1 cos ( x)
lim
2
xo0
(3)
y=
lim
x
ln ( x)
=
1 2
xo0
sin ( x)
=
2 x
0
lim
0
1 cos ( x)
lim
2
xo0
2
xo0
l' Hospital
Oder mit Mathcad:
cos ( x)
x
o
1 2
gegebene Funktion
n
x
ln ( x)
lim
=
n
xof
x
Damit gilt:
f
f
lim
l' Hospital ln ( x) n
xof
=0
y=
=
x
xof
nx
n1
Oder mit Mathcad:
1
lim
=0
x o f n xn
ln ( x)
lim
n
xof
x
2
(4)
1
lim
x
o0
x
gegebene Funktion
x
e
2
lim
x
x o f ex
=
f
f
l' Hospital
lim xof
2 x x
e
=
f f
l' Hospital
2
Damit gilt:
lim
x
x o f ex
lim
x o f ex
2
=0
Oder mit Mathcad:
Seite 135
lim
x
x o f ex
2
o0
=0
=
1 2
Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.71: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrücke der Form 0 f f f, führen. 0 f umgeformt. 0 f wird auf oder 0 f 0 umgeformt. f f wird auf 0 (1)
gegebene Funktion
y = x ln ( x)
lim
( x ln ( x) ) = 0 ( f )
xo0
lim xo0
l' Hospital
1 1 ln ( x)
Umformung auf ln ( x)
lim
1
xo0
=
f f
2
1
=
x ln (x)2
lim
führt zu keinem Ergebnis
= 0 f
x
:
f f
1
lim
xo0
l' Hospital
lim
=
x
lim
1 2
Oder mit Mathcad:
( x ln ( x) ) = 0
lim
§x· © 2¹
gegebene Funktion
ª( S x) tan § x ·º = 0 f « ¨ » ¬ © 2 ¹¼
x o S 1
l' Hospital
Umformung
=
1
2
lim
1
lim
( x ln ( x) ) o 0
xo0
y = ( S x) tan ¨
xoS
x = 0
xo0
xo0
lim
0
ln( x)
x
(2)
0
xo0
x
Damit gilt:
=
1
xo0
Umformung
x
lim
lim xoS
§x· © 2¹
Sx
x o S cot § x · ¨
=
0 0
© 2¹
2· § ¨ 2 sin §¨ x · =2 © © 2¹ ¹
2
sin ¨ Damit gilt:
lim xoS
(3)
y=
1 x
lim xo0
ª( S x) tan § x ·º = 2 « ¨ » ¬ © 2 ¹¼
1 sin ( x)
§1 1 · = f f ¨ © x sin ( x) ¹
Oder mit Mathcad:
lim xoS
ª( S x) tan § x ·º o 2 « ¨ » ¬ © 2 ¹¼
gegebene Funktion
lim
sin ( x) x
x o 0 x sin ( x)
Umformung
Seite 136
=
0 0
lim
cos ( x) 1
x o 0 sin ( x) x cos ( x)
l' Hospital
=
0 0
Differentialrechnung Ableitungsregeln sin ( x)
lim
Damit gilt:
=0
x o 0 cos ( x) cos ( x) x sin ( x)
lim xo0
§1 1 · = 0 ¨ © x sin ( x) ¹
l' Hospital Beispiel 3.2.72: 0
0
f
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrücke der Form 0 f 1 , führen. Wir schreiben statt u(x) v(x) : (eln(u(x)))v(x) = e v(x) ln(u(x)) (1)
x
gegebene Funktion
y=x
x
lim
x
=
xo0
e ln( x)
lim
x
xo0
Damit gilt:
Umformung x
lim
lim
x
e
=e
( xln( x) )
0
xo0
=e =1
xo0
Oder mit Mathcad:
=1
lim
xln( x)
xo0
x
lim
x
siehe Beispiel 3.2.71 (1)
o1
xo0
1
(2)
y=x
x
gegebene Funktion 1
lim
x
x
=f
0
lim
xof
§ 1· ¨ x ln©x ¹ e =
xof
Umformung
1
lim
lim
x
§ ©
y = ¨1
lim xof
lim xof
k·
x
= 1 Oder mit Mathcad:
x
x
o1
f
=1
lim xof
x¹
lim
=e
xof
§xln§1 k ·· ¨ ¨ © © x ¹¹
§ ©
ln ¨ 1 lim
x¹
1
xof
Umformung
k· =
0 0
x
§ k ·
k
¨
2
©x ¹
x
=
1 x
§1 k · ¨ x¹ ©
e
k·
xof
Umformung
1
lim
lim
1
xof
§ ©
xln¨1
§ x ln § 1 k · · = f 0 ¨ ¨ x ¹¹ © ©
Damit gilt:
lim
gegebene Funktion x
x
lim xof
2
k
=e
0
=e =1
siehe Beispiel 3.2.70 (3)
x
§1 k · ¨ x¹ ©
l' Hospital
xof
xof
x¹
=e
1
xof
(3)
x
§ 1 ln( x)· ¨ ©x ¹
xof
1
Damit gilt:
e
lim
ln( x)
§ k · =k ¨ k ¨1 x¹ ©
Oder mit Mathcad:
lim xof
Seite 137
§1 k · ¨ x¹ ©
x
o exp ( k )
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 3.3 Kurvenuntersuchungen Mithilfe der Differentialrechnung können für eine Funktion f: y = f(x) nicht nur die Tangenten in den einzelnen Kurvenpunkten ermittelt werden, sondern es können auch für den Kurvenverlauf wichtige Punkte (Hoch- und Tiefpunkte ; Wendepunkte) bestimmt werden. Die Untersuchung der Monotonie und des Krümmungsverhaltens von f gibt weitere wichtige Hinweise für den Kurvenverlauf. Die Anwendung der Differentialrechnung in diesem Sinne auf die Behandlung von Kurven wird als Kurven- diskussion bezeichnet. Bei einer Kurvendiskussion wollen wir folgende Punkte berücksichtigen: a) von welcher Art ist die zu untersuchende Funktion b) Bestimmung der Definitionsmenge (Sprungstellen, Lücken, Pole) c) Untersuchung der Funktion auf Nullstellen (siehe dazu Nullstellensatz Abschnitt 2.2.1) d) Symmetrieeigenschaften (Axial ( f(- x) = f(x) )- und Zentralsymmetrie ( f(- x) = - f(x) ) e) Untersuchung der Funktion auf Asymptoten f) Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte): Wenn eine Funktion f innerhalb eines bestimmten Intervalls I = [a, b] der Stelle x 0 einen größten bzw. kleinsten Wert besitzt, so hat die Funktion f an dieser Stelle ein absolutes Maximum bzw. Minimum. Befinden sich innerhalb des Intervalls I mehrere größte und kleinste Werte, so hat die Funktion f ein relatives (oder mehrere) Maximum (oder Maxima) bzw. relatives Minimum (oder Minima). Maxima und Minima heißen Extrema. x 0 heißt Extremstelle. Über den Extremstellen befinden sich die Hochpunkte H(x k |yk ) bzw. Tiefpunkte T i(x k |yk ). Siehe dazu Extemwertsatz Abschnitt 2.2.1. Notwendige Bedingung für ein relatives (lokales) Extremum: Ist f(x) an der Stelle x 0 differenzierbar, dann ist x0 eine relative Extremstelle, wenn f '(x 0 ) = 0 gilt. Hinreichende Bedingung für ein relatives (lokales) Extremum: f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) > 0 Minimum an der Stelle x 0 f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) < 0 Maximum an der Stelle x0
Bereichsvariable
x 1 1 0.01 5 2
f ( x) ( x 2) 1 2
g ( x) ( x 2) 1
fx ( x) 4 ( x 2)
fxx ( x) 4
Funktion und Ableitungen
gx ( x) 4 ( x 2)
gxx ( x) 4
Funktion und Ableitungen
20 10
f( x) fx( x) fxx( x)
20
2
10
g ( x)
0
2
4
6
Abb. 3.3.1
10
g x ( x) g xx( x)
20
2
0
0.4
4
6
10 20
x
fx ( 1.9)
2
fx ( 2.1)
x
0.4
gx ( 1.9)
Seite 138
0.4
gx ( 2.1)
0.4
Abb. 3.3.2
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen g) Wendepunkte: Punkte, in denen der "Tangentendrehsinn" wechselt, also die Kurve von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve (oder umgekehrt) wird, nennen wir Wendepunkte und bezeichnen sie mit W(x k |yk ). Wendepunkte mit waagrechter Wendetangente nennen wir Terrassenpunkte oder Sattelpunkte und bezeichnen sie mit T(x k |yk ) oder S(xk |yk ). Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: f ''(x0 ) = 0 und f '''(x0 ) z 0 x0 ist Wendestelle mit W(x 0 |y0 ) Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Terrassenpunkt oder Sattelpunkt: f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) = 0 und f '''(x0 ) z 0 Terrassenpunkt T(x0 |y0 ) bzw. Sattelpunkt S(x0 |y0 )
Bereichsvariable
x 3 3 0.01 5 3
2
Funktion und Ableitungen
f ( x) x 6 x 9 x 2
fx ( x) 3 x 12 x 9 4
fxx ( x) 6 x 12
3
fxxx ( x) 6
x0 2
gxxx ( x) 24 x 24
x01 0
Funktion und Ableitungen
g ( x) x 4 x 3
2
2
gx ( x) 4 x 12 x
gxx ( x) 12 x 24 x
40
10 x0
x01
g ( x)
f( x)
20
g x ( x)
fx( x)
4
fxx( x)
2
0
2
4
6
g xx( x)
5
g xxx( x)
0
5
20 10 x
x
Abb. 3.3.3
fxx x0
0
fxxx x0
6
Abb. 3.3.4
gx x01
0
gxx x01
0
gxxx x01
24
h) Krümmungsverhalten: Die zweite Ableitung gibt einen Hinweis darauf, wie stark sich eine Kurve krümmt. Siehe dazu Abschnitt 3.2.14. (1) Ist f bei x0 zweimal differenzierbar und f ''(x 0 ) < 0, dann ist die Kurve bei x 0 eine Rechtskurve. (2) Ist f bei x0 zweimal differenzierbar und f ''(x 0 ) > 0, dann ist die Kurve bei x 0 eine Linkskurve.
Seite 139
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen f ''(x0 ) < 0
Rechtskrümmung (von oben konvex)
Abb. 3.3.5
f ''(x0 ) > 0
Linkskrümmung (von oben konkav)
Abb. 3.3.6
i) Monotonie (Steigen und Fallen einer Funktion): Ist f an der Stelle x0 differenzierbar und f '(x 0 ) > 0 bzw. f '(x0 ) < 0, so ist die Funktion bei x0 streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend (es gilt auch die Umkehrung). Bereichsvariable
x 5 5 0.01 5 3
2
f ( x) x
fx ( x) 3 x
Funktion und Ableitung
10
fx ( 1) f( x) fx( x)
5
0
5
fx ( 1)
3 >0 3
Abb. 3.3.7 10 x
Seite 140
>0
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen): Eine Polynomfunktion n-ten Grades (Parabel n-ter Ordnung) hat die Form n
n 1
y = Pn ( x) = an x an1 x
n2
an 2 x
2
.... a2 x a1 x a0
D
(3-70)
an z 0; ak ; k = 0, 1, 2,... n ak bezeichnen wir als Koeffizienten und a 0 als Absolutglied oder konstantes Glied. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion in genau n-Nullstellen (x 1 , x2 , ..., xn), die einfach oder mehrfach, reell oder komplex sein können. Damit kann eine Polynomfunktion n-ten Grades in folgender Form geschrieben werden: y = an (x - x1 ) (x - x2 ) (x - x3 ) ... (x - xn)
(3-71)
Beispiel 3.3.1: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
3
2
f ( x) 2 x 4 x 2
Polynomfunktion 3. Grades (nicht symmetrisch wegen x 3 und x 2 )
Ableitungen: fx ( x)
d
2
dx
fxx ( x) fxxx ( x)
f ( x) o 6 x 8 x
d dx
fx ( x) o 12 x 8
d dx
fxx ( x) o 12
fx ( x) faktor o 2 x ( 3 x 4)
erste Ableitung
fxx ( x) faktor o 12 x 8
zweite Ableitung
2
fxxx ( x) faktor o 2 3
dritte Ableitiung
§¨ 1 · xN ¨ 1.618 ¸ ¨ 0.618 © ¹
drei reelle Nullstellen
Nullstellen: 1 § · ¨ 1 ¨ ¸ 1 ¨ 52 1 ¸ 2¸ xN f ( x) = 0 auflösen x o ¨ 2 ¨ 1 ¸ ¨1 1 ¸ ¨ 52 ©2 2 ¹
f xN
§¨ 0 · ¨0 ¸ ¨0 © ¹
Probe
Seite 141
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen §¨ xN f § xN · · 1 © 1¹ ¨ ¸ N ¨ xN2 f § xN2· ¸ © ¹ ¨ ¸ ¨ xN3 f § xN3· © © ¹¹
0· §¨ 1 N ¨ 1.618 0 ¸ ¨ 0.618 0 © ¹
die Koordinaten der Nullstellen zu einer Matrix zusammengefasst
Extremstellen: notwendige Bedingung:
§0· xE fx ( x) = 0 auflösen x o ¨ 4 ¨ ©3¹ § 2 · ¨ © 0.37 ¹
f xE
hinreichende Bedingung:
fxx xE
§ 8 · ¨ ©8 ¹
§ xE f § xE · · ¨ 1 © 1¹ E ¨x f §x · © E 2 © E 2¹ ¹ E
2 · § 0 ¨ © 1.333 0.37 ¹
Hochpunkt wegen f xx(xE1) < 0 Tiefpunkt wegen
f xx(xE2) > 0
Extremwerte zu einer Matrix zusammengefasst
oder
§0 2 · E o ¨ 4 10 ¨ © 3 27 ¹
Hochpunkt H Tiefpunkt Ti
Wendestellen: notwendige Bedingung: 2 xW fxx ( x) = 0 auflösen x o 3 hinreichende Bedingung:
fxxx xW
f xxx(xW ) z0
12
W
xW f xW
W
( 0.667 0.815 )
oder
Wo
§ 2 22 · ¨ © 3 27 ¹
Wendepunkt
Seite 142
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen a 2
b 4
Anzahl der Schritte
N 400 ba
'x
Intervallrandpunkte
Schrittweite
N
x a a 'x b
Bereichsvariable
20 xW
f( x)
10
fx( x) fxx( x)
2
1
0
1
2
3
Abb. 3.3.8
fxxx( x)
10
f xW
20 x x x x xW
20
f( x) f§xN
©
f§xN
©
f§xN
©
·
10
1¹
·
2¹
· 3¹
H N3 2
N1
1
0
f§xE
©
· 1¹
f§xE
©
W
1
Ti
N2
2
·
2¹
10
f xW
20 x xN xN xN xE x E xW 1 2 3 1 2
Seite 143
3
4
Abb. 3.3.9
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.2: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. Falls Extremstellen vorliegen, bestimmen Sie den Krümmungsradius und stellen Sie die Krümmungskreise ebenfalls grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
f ( x)
1
3
x
27
1 3
2
Polynomfunktion 3. Grades (nicht symmetrisch
x 4
wegen x3 und x 2 )
Ableitungen: fx ( x)
d dx
fxx ( x) fxxx ( x)
f ( x) o
d dx
1 9
fx ( x) o
d dx
2
x 2 9
fxx ( x) o
x
2 3
x
2
fx ( x) faktor o
1 9
fxx ( x) faktor o
3
2
2 9
fxxx ( x) faktor o
9
x ( x 6)
x
2 9
2 3
erste Ableitung
zweite Ableitung
dritte Ableitiung
Nullstellen:
§¨ 3 · xN f ( x) = 0 auflösen x o ¨ 6 ¸ ¨6 © ¹ §¨ 0 · Probe f xN ¨ 0 ¸ ¨0 © ¹ §¨ xN f § xN · · 1 © 1¹ ¸ ¨ N ¨ xN2 f § xN2· ¸ © ¹ ¸ ¨ ¨ xN3 f § xN3· © © ¹¹
§¨ 3 · xN ¨ 6 ¸ ¨6 © ¹
§¨ 3 0 · N ¨ 6 0¸ ¨6 0 © ¹
Extremstellen und Krümmungsradius: notwendige Bedingung:
xE fx ( x) = 0 auflösen x o
§0 · ¨ ©6 ¹
f xE
§4 · ¨ ©0 ¹
Seite 144
drei reelle Nullstellen
die Koordinaten der Nullstellen zu einer Matrix zusammengefasst
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen hinreichende Bedingung: Hochpunkt wegen f xx(xE1) < 0
§ 0.667 · ¨ © 0.667 ¹
fxx xE
Tiefpunkt wegen
§ xE f § xE · · ¨ 1 © 1¹ E ¨x f §x · © E 2 © E 2¹ ¹ E
U1
§0 4 · ¨ ©6 0 ¹ · 1¹
U1 o
· 2¹
U2 o
©
Tiefpunkt Ti
3 2 Krümmungsradien
1 fxx § xE
Hochpunkt H
§0 4 · Eo¨ ©6 0 ¹
1
©
U2
Extremwerte zu einer Matrix zusammengefasst
oder
fxx § xE
f xx(xE2) > 0
3 2
Wendestellen: notwendige Bedingung: xW fxx ( x) = 0 auflösen x o 3
hinreichende Bedingung:
fxxx xW W
0.222
xW f xW
a 4
b 9
W
oder
(3 2 )
W o (3 2 )
Intervallrandpunkte Anzahl der Schritte
N 400 'x
fxxx(xW ) z0
ba N
Schrittweite
x a a 'x b
Bereichsvariable
M 0 0.01 2 S
Bereichsvariable
x1 ( M )
y1 ( M )
U 1 cos ( M )
x2 ( M ) U 2 cos ( M ) xE 2
U 1 sin ( M ) § f § xE
©©
· U1 · ¹
1¹
y2 ( M ) U 2 sin ( M ) § f § xE · U 2· 2
©©
Seite 145
¹
¹
Krümmungskreise in Parameterdarstellung
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 5
H
f( x) f§xN
©
f§xN
©
f§xN
©
· ·
2¹
·
4
W
1
N1
1¹
f§xE
©
·
3¹
f§xE
©
3
1¹
2
0
2
4
6
N2 = N3 = Ti
1
·
8
2¹
f xW
y1( M )
3
y2( M )
5 x x N x N x N x E xE xW x1( M ) x2 ( M ) 1
2
3
1
2
Abb. 3.3.10 Beispiel 3.3.3: Der Graph einer Polynomfunktion 3.Grades besitzt den Hochpunkt H(1|7) und den Wendepunkt W(2|4). Wie lautet die Funktion? Redefinition
x x 3
2
y ( x) = a x b x c x d
d dx
2
y ( x) = 3 a x 2 b x c
durch Differentiation, ergibt
durch Differentiation, ergibt
d dx
2
y ( x) = 3 a x 2 b x c
d d dx dx
y ( x) = 6 a x 2 b
Aus den gegebenen Bedingungen erhalten wir folgendes lineare Gleichungssystem: 3
2
3
2
H(1|7) ist ein Punkt des Graphen:
7 = a 1 b 1 c 1 d
W(2|4) ist ein Punkt des Graphen:
4 = a 2 b 2 c 2 d
H(1|7): y' (1) = 0
0 = 3 a 1 2 b 1 c
W(2|4): y ''(2) = 0
0 = 6 a 2 2 b
2
Seite 146
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen a 1
b 1
c 1
Startwerte (Schätzwerte - nur für numerische Lösung erforderlich)
d 1
Vorgabe 3
2
3
2
7 = a 1 b 1 c 1 d 4 = a 2 b 2 c 2 d 2
0 = 3 a 1 2 b 1 c 0 = 6 a 2 2 b
§¨ 3 §a · ¨ 2 ¨ ¨ b ¸ Suchen ( a b c d) o ¨¨ 9 ¨c ¸ ¨ 27 ¨ ¨ 2 ©d ¹ ¨ 1 © 3
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
Lösungen des linearen Gleichungssystems
¹
2
y ( x) = a x b x c x d o y ( x) =
3 2
3
2
x 9 x
27
gesuchte Polynomfunktion
x 1
2
Beispiel 3.3.4: Ein beidseitig eingespannter Träger der Länge L wird mit einer konstanten Streckenlast q belastet. Die Biegelinie (elastische Linie) bezüglich des Koordinatensystems wird durch die nachfolgend angegebene Polynomfunktion beschrieben. Diskutieren Sie diese Funktion und stellen Sie die Biegelinie grafisch dar. 4
2
x
q L
x· § y = w ( x) = ¨1 2 24 E I L¹ L ©
2
Biegelinie ( 0 m d x d L)
E ...Elastizitätsmodul I ... Flächenträgheitsmoment
Abb. 3.3.11 4
y = w ( x) =
y = w ( x) =
q L
24 E I 1 24
2
x
2
L 2
q x
x·
§ ©
¨1
( L x)
L¹
y = w ( x) =
erweitert auf
y = w ( x) =
2
EI
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
24
4
2
= 0.006 m
vereinfacht auf
Redefinition
1
EI
2
x x
f ( x)
q
L 4 m
2
3
4
0.006 m x L 2 x L x
1 24 1 24
4
gegebene Größen
2
q x 2
( L x)
2
EI 2
3
EI
Polynomfunktion 4. Grades (nicht symmetrisch wegen x 3 und x 2 )
Seite 147
4
q x L 2 q x L q x
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Ableitungen: fx ( x)
d dx
f ( x)
d
fxx ( x)
dx
fx ( x)
d
fxxx ( x)
fx ( x) faktor o
dx
1 1000
fxx ( x) faktor o
fxx ( x)
fxxx ( x) faktor o
4
m x ( 4 m x) ( 2 m x)
1 1000 3 500
4
2
4
m ( 2 m x)
Nullstellen:
§ 0 · ¨ ¨ 0 ¸ xN f ( x) = 0 auflösen x o ¨ 4. m ¸ ¨ © 4. m ¹
f xN
§0 · ¨ ¨ 0 ¸ m8 ¨0 ¸ ¨ ©0 ¹
§0 · ¨ ¨0 ¸ m xN ¨4 ¸ ¨ ©4 ¹
zwei reelle Doppelnullstellen
Probe
Extremstellen und Krümmungsradius: notwendige Bedingung:
§¨ 0 · xE fx ( x) = 0 auflösen x o ¨ 4. m ¸ ¨ 2. m © ¹
f xE
§¨ 0 · 8 ¨ 0 ¸m ¨ 0.004 © ¹
hinreichende Bedingung: 3
fxx § xE
©
· 1¹
8 u 10
fxx § xE
©
· 2¹
8 u 10
fxx § xE
· 3¹
4 u 10
©
3
m
m
3
6
Tiefpunkt wegen
f xx(xE1) > 0
6
Tiefpunkt wegen
f xx(xE2) > 0
m
6
Hochpunkt wegen f xx(xE3) < 0
Seite 148
2
m 8 m 12 x m 3 x
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Wendestellen: notwendige Bedingung:
ª § « ¨ « 2 ¨1 « © xW fxx ( x) = 0 auflösen x o « § « ¨ « 2 ¨1 ¬ ©
1·
º » 2 3 m» 3 ¹ » » 1· » 1 2 3 m» 3 ¹ ¼ 1
ª § « ¨ « 2 ¨1 « © « § « ¨ « 2 ¨1 ¬ ©
1·
º » 2 3 m» 3 ¹ » » 1· » 1 2 3 m» 3 ¹ ¼ 1
§ 3.155 · m ¨ © 0.845 ¹
hinreichende Bedingung: fxxx § xW
3
·
6.928 u 10
fxxx § xW
· 2¹
6.928 u 10
a 0 m
b 4 m
1¹
© ©
m
3
5
m
fxxx(xW1) z0 5
f xxx(xW2) z0 Intervallrandpunkte Anzahl der Schritte
N 400 ba
'x
Schrittweite
N
Bereichsvariable
x a a 'x b
N1 = N2 = Ti1
f( x)
1
f§xN
©
· 1¹
f§xN
· 3¹
©
· 3¹
f§xW
·
f§xW
·
© ©
1
2
3
4
5
0.001
f§xE
©
0
N3 = N4 = Ti2
1¹
2¹
0.002
W1
W2
0.003
0.004
H 0.005 x xN xN xE xW xW 1 3 3 1 2
Abb. 3.3.12 Es ist üblich, die y-Achse nach unten zeigen zu lassen! Daher wird der Hochpunkt zum Tiefpunkt und umgekehrt!
Seite 149
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.5: Ein einseitig eingespannter Träger der Länge L = 2 m wird durch eine konstante Streckenlast q(x) = q0 = 115 N/m und zusätzlich am freien Ende durch die Kraft F = 10 00 N belastet. Die Gleichung der Biegelinie lautet dann (Biegelinie bei Einzelbelastung durch das Eigengewicht + Biegelinie bei Einzelbelastung durch die Kraft F): 4
4 3 3 § § 4 x 1 x · FL 3 x 1 x · ¨ ¨ y ( x) = y1 ( x) y2 ( x) = 1 1 4 3 3 E Iy ¨ 3 L 3 2 L 2 8 E Iy ¨ L ¹ L ¹ © ©
q0 L
0dxdL
Stellen Sie die Biegelinie (Biegeverlauf) dar, wenn der Träger a) nur durch das Eigengewicht belastet b) nur mit einer Kraft F belastet und c) durch Doppelbelastung von F und q 0 belastet wird. Ermitteln Sie das Biegemoment Mb (x) = - E Iy y''(x) und die Querkraft Q(x) = M'b (x) und stellen Sie diese ebenfalls grafisch dar. Für das Elastizitätsmodul wird E = 2.1 1011 N/m 2 und für das Flächenträgheitsmoment Iy = 1.7 10-6 m4 angenommen.
Abb. 3.3.13
F 1000 N
angreifende Kraft F
L 2000 mm
Länge L des Trägers
E 2.1 10
11
N m
Iy 1.7 10
6
Elastizitätsmodul
2
m
4
N q0 115 m
Flächenträgheitsmoment Streckenlast
4
4 3 3 § § 4 x 1 x · FL 3 x 1 x · ¨ ¨ y ( x) = 1 1 4 3 3 E Iy ¨ 3 L 3 2 L 2 8 E Iy ¨ L ¹ L ¹ © ©
q0 L
durch Differentiation, ergibt 3 3 2 § 4 § 3 4 x · 1 3 x · L ¨ ¨ y ( x) = q0 F 4 3 8 3 2 3 E Iy ¨ 3 L E Iy ¨ 2 L dx L ¹ L ¹ © ©
d
1
4
L
Seite 150
Biegelinie
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen durch Differentiation, ergibt
d d dx dx
y ( x) =
1
2
q0 E Iy
F
2
x
x
E Iy
§ 1 q0 · F 2 x x ¨© 2 E Iy E Iy ¹
E Iy ¨
Biegemoment: Mb(x) = - E Iy y''(x)
erweitert auf 1 2
2
Biegemoment
q0 x F x
durch Differentiation, ergibt Querkraft: Q(x) = M' b(x)
q0 x F 4
y1 ( x)
8 E Iy 3
y2 ( x)
FL
Mb ( x)
¨1
q0 L
8 E Iy 1 2
4
¨ ©
3
§
3
¨1
3 E Iy ¨ © 4
y ( x)
§
q0 L
§
¨1
¨ ©
2
4 3
x L x L
x L
2
q0 x F x
Q ( x) q0 x F
1 3 1 2
1 3
4·
x
4
L
¹
3·
x
3
L x
4
L
3
¹
Funktionsgleichung für Biegelinie bei Einzelbelastung durch Kraft F
¹
4·
Funktionsgleichung für Biegelinie bei Einzelbelastung durch das Eigengewicht
FL
3 E Iy
§
3
¨1
¨ ©
2
x L
1 2
3·
x
3
L
Biegelinie bei Doppelbelastung
¹
Biegemoment Querkraft
Maximale Biegung bei Einzelbelastung durch das Eigengewicht: x0 0 m
y1 x0
0.644 mm
Maximale Biegung bei Einzelbelastung durch die Kraft F:
y2 x0
7.47 mm
Maximale Biegung, maximales Biegemoment und maximale Querkraft bei Doppelbelastung:
y x0
8.114 mm
Mb ( L)
Q x0
2230 N m 1000 N
'x 0.2 mm
Schrittweite
x 0 mm 0 mm 'x L
Bereichsvariable
Seite 151
Q ( L)
1230 N
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Biegelinien
0 1
y1 ( x)
L
2
mm
mm
3
y2 ( x)
4
mm
5 6
y( x)
7
mm
8 9 10
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
x mm
Abb. 3.3.14
M b ( x)
0
Biegemoment
0 300 600
L
900 Nm 1200
mm
1500 1800 Nm 2100
M b ( x)
2400 2700 3000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
x mm
Abb. 3.3.15 Querkraft
1000 1030 1060
L
1090 Q( x) 1120 N
mm
1150 1180 1210 1240 1270 1300
0
200
400
600
800
1000 x mm
Abb. 3.3.16
Seite 152
1200
1400
1600
1800
2000
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Gebrochenrationale Funktionen: Eine gebrochenrationale Funktion, falls P n(x) nicht durch P m(x) ohne Rest teilbar ist, hat folgende Form: Pn ( x)
y=
Pm ( x)
n
=
n1
n 2
an x an 1 x m
bm x
an2 x
m 1
bm1 x
2
.... a2 x a1 x a0
m 2
bm 2 x
2
(3-72)
.... b2 x b1 x b0
D = {x | x Pm(x) z0} und a n, bn z 0; ak mit k = 0, 1, 2,... n; bl mit l = 0, 1, 2,... m ak , bk bezeichnen wir als Koeffizienten und a 0 , b0 als Absolutglieder oder konstante Glieder. Wenn n < m gilt, dann sprechen wir von einer echt gebrochenrationalen Funktion. Wenn n tm gilt, dann sprechen wir von einer unecht gebrochenrationalen Funktion. x0 ist eine Nullstelle wenn gilt: Pn(x 0 ) = 0 und Pm(x 0 ) z 0
(3-73)
x1 ist eine Polstelle, wenn gilt: Pn(x 1 ) z 0 und P m(x 1 ) = 0
(3-74)
Gemeinsame Nullstellen x 0 heißen Lücken, wenn gilt: Pn(x 0 ) = 0 und Pm(x 0 ) = 0
(3-75)
Beispiel 3.3.6: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Polstellen, Lücken, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
2
x 4
f ( x)
2
unecht gebrochenrationale Funktion
x 2 x 3 Ableitungen: fx ( x)
2
d dx
f ( x) vereinfachen o 2
x x 4
x2 2 x 3 3
2
fxx ( x)
d
2
f ( x) vereinfachen o 2
dx
d
3
dx
2
2 x 3 x 24 x 19
x2 2 x 3 4
3
fxxx ( x)
2
f ( x) vereinfachen o 12
3
3
2
38 x x 2 x 31 24 x
x2 2 x 3 Seite 153
4
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Nullstellen:
xN f ( x) = 0 auflösen x o
xN
§2 · ¨ © 2 ¹
einfache reelle Nullstelle bei 2 und -2
§2 · ¨ © 2 ¹
Probe:
f § xN
©
0
·
1¹
f § xN
·
2¹
©
0
Polstellen (Nullstellen des Nenners) und Asymptoten: 2
xP x 2 x 3 = 0 auflösen x o xP
§ 3 · ¨ ©1 ¹
§ 3 · ¨ ©1 ¹
D = \ {- 3, 1}
x = - 3 und x = 1 sind vertikale Asymptoten
2
x 4
lim
x o f x2 2 x 3
y = 1 ist eine horizontale Asymptote
o1
2
x 4
lim
x o f x2 2 x 3
o1
Extremstellen:
xE
auflösen x
d dx
f ( x) = 0
vereinfacheno gleit 4
§ .5000 1.937 i · ¨ © .5000 1.937 i ¹
keine reellen Extremstellen
Wendepunkte:
xW
1 ª« 1 3 « 75 2 « « 1 2 2 d « 1 1 f ( x) = 0 auflösen x o 1 3 3 2 75 « 75 dx 4 20 2 « « 1 2 «1 1 1 3 3 « 4 75 20 75 2 ¬
0.83 §¨ · xW ¨ 0.335 3.366i ¸ ¨ 0.335 3.366i © ¹
fxxx § xW
W
W
§ xW f § xW · · © 1 © 1¹ ¹
©
·
1¹
0.739
( 0.83 0.834 )
Seite 154
2
1 10
75
3
1 2
1
1 § ¨ 1 1 1 2 3 i3 ¨ 75 2 2 10 © 1
1 § ¨ 1 1 2 3 i3 ¨ 75 2 10 ©2
1
fxxx(xW1) z0
Wendepunkt
º» » » 2·» » 3 75 » ¹» 2·» 3 » 75 » ¹¼
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 2
x 4
f ( x)
if x z 3 x z 1
2
gegebene unecht gebrochenrationale Funktion
x 2 x 3 0 otherwise g ( x) 1
Asymptote
x 4 4 0.001 4
Bereichsvariable 10 xN
xN
6
2
1
W
f( x)
2
g ( x) f§xW
©
4
·
3
2
1
2
1¹
0
1
2
3
4
Abb. 3.3.17
6 10 x x xW
1
Beispiel 3.3.7: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Polstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
4
f ( x) =
3
2
4 x 8 x 3 x 7 x 2
unecht gebrochenrationale Funktion
2
2 x x 4
f ( x) =
3
2
3
4 x 8 x 3 x 7 x 2
vereinfacht auf
2
f ( x) =
2 x x 4
f ( x)
3
2
4 x 8 x 3 x 7 x 2
unecht gebrochenrationale Funktion
2
2 x x Ableitungen: fx ( x)
3
d dx
f ( x) vereinfachen o
2
x 3
2
fxx ( x)
2
4 x 3 x 2
d
2
dx
f ( x) vereinfachen o 4
x 1 3
x
Seite 155
2
2 x 3 x 3 x 2 x
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 3
d
fxxx ( x)
3
f ( x) vereinfachen o
dx
12 4
x
Nullstellen:
§ 1 · ¨ 1 ¸ xN f ( x) = 0 auflösen x o ¨ ¨ 2 ¸ ¨ © 2 ¹ §¨ 1 · xN ¨ 0.5 ¸ ¨ 2 © ¹
einfache reelle Nullstellen
Probe:
f § xN
©
·
1¹
0
f § xN
©
·
2¹
0
f § xN
©
·
3¹
Polstellen (Nullstellen des Nenners) und Asymptoten:
§ 0 · xP 2 x x = 0 auflösen x o ¨ 1 ¨ © 2 ¹ 2
D = \ {0, -1/2}
§ 0 · ¨ © 0.5 ¹
xP
x = 0 ist eine vertikale Asymptote Bei x = -1/2 hat die Funktion eine Lücke!
Grenzwertuntersuchungen: 4
lim xo
3
2
4 x 8 x 3 x 7 x 2 2
1
Die Lücke kann stetig ergänzt werden! Damit ist D = R \ {0}.
o0
2 x x
2 4
3
2
4 x 8 x 3 x 7 x 2
lim
2
xof 4
3
2
4 x 8 x 3 x 7 x 2
lim
2
xof 4
of
2 x x
of
2 x x 3
2
4 x 8 x 3 x 7 x 2 2
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2
2 x 3 x 3
2 x x 2
asymptotische Grenzkurve
fg ( x) 2 x 3 x 3 Extremstellen:
xE
d dx
1.137 §¨ · vereinfacheno ¨ .1935 .6346 i ¸ ¨ .1935 .6346 i gleit 4 © ¹ auflösen x
f ( x) = 0
eine reelle Extremstelle
Seite 156
2 x
0
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen
xE
§¨ 1.137 · ¨ 0.194 0.635i ¸ ¨ 0.194 0.635i © ¹
fxx § xE
Ti
§ xE f § xE · · © 1 © 1¹ ¹
Ti
©
f xx(xE1) > 0, daher ein Minimum
6.721
·
1¹
Tiefpunkt
( 1.137 2.066 )
Wendepunkte: 1 § ¨ 1 ¨ 1 1 2 ¨ i 32 d 2 f ( x) = 0 auflösen x o ¨ 2 2 dx ¨ 1 ¨ 1 1 ¨ i 32 © 2 2
xW
1 §¨ · xW ¨ 0.5 0.866i ¸ ¨ 0.5 0.866i © ¹
fxxx § xW
W
W
©
§ xW f § xW · · © 1 © 1¹ ¹
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
f xxx(xW1) z0
12
·
1¹
Wendepunkt
(1 0 )
Bereichsvariable
x 4 4 0.001 4
10 f( x) 6
fg( x) f§xW
·
f§xN
·
©
1¹
©
f§xN
©
f§xN
©
f§xE
©
N3
N2
2
1¹
·
2¹
·
4
3
2
1
0
Ti
2
1
3¹
·
1¹
6
10 x x xW xN xN xN xE 1 1 2 3 1
Seite 157
2
W = N1
3
4
Abb. 3.3.18
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.8: Berechnen Sie die kritischen Größen T c, pc und V c mithilfe der Van der Waals Gleichung. Der kritische Punkt ist ein Wendepunkt (Terrassenpunkt). Das heißt, dass die erste und die zweite Ableitung des Drucks p nach dem Volumen V m gleich null sind. Simulieren Sie die Isothermen von CO 2 mit Hilfe der Van der Waals Gleichung für verschiedene Temperaturen 0, 20, 30.85, 40, 80 °C. ORIGIN 1 R R
T T
a a R T
p Vm T R a b
Redefinitionen
b b
Vm b
a
Vm
Van der Waals Gleichung
2
R bedeutet die Gaskonstante, T die Temperatur, V m das molare Volumen und a, b sind spezifische gasabhängige Konstanten. Berechnung der ersten Ableitung und auflösen nach T:
pV Vm T R a b
d dV m
p Vm T R a b
pV Vm T R a b o R
T Vm T R a b pV Vm T R a b = 0 auflösen T o 2
a 3
Vm R
T
Vm b 2
a
2
Vm
2
Vm b
Berechnung der zweiten Ableitung, T ersetzen und auflösen nach V m
pVV Vm T R a b
d dV m
pV Vm T R a b
Vc Vm T R a b pVV Vm T R a b = 0
ersetzen T = T Vm T R a b auflösen Vm
o 3 b
Vc = 3 b
Tc Vm T R a b pV Vm T R a b = 0 Tc =
8 27
ersetzen Vm = 3 b 8 a o 27 b R auflösen T
a b R
R Tc a pc = 2 Vc b Vc
R TC
Van der Waals Gleichung im kritischen Punkt
ersetzen VC = 3 b a
pc = 2 VC b VC
a 1 a o pc = ersetzen TC = 2 27 b 27 b R 8
vereinfachen
Seite 158
3
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Zusammenfassung: a 1 pc = 2 27 b
Vc = 3 b
Tc =
8 27
a
pc
b R
V c Tc
Simulation der Isothermen von CO2 mit Hilfe der Van der Waals Gleichung: 5
bar 10 Pa
l
bar l
a 3.639
Mol
1 27
8 27
p T Vm
b 4.267 10
2
a 2
a R b
3
2
Einheiten
l Mol
Konstanten für CO2
Gaskonstante
K Mol
b
m
2
Vc 3 b Tc
3
bar l
R 0.083
pc
1 u 10
pc
74.024 bar
Vc
0.128
Tc
304.444 K
R T Vm b
l Mol
a Vm
Daten des kritischen Punktes
Van der Waals Gleichung
2
Np 800
Anzahl der Bildpunkte
i 1 Np
Bereichsvariable
- ( 0 20 30.85 40 80 )
Temperaturen in °C
T
T ( - 273.15) K
Vm 0.065 i
l Mol
l Mol
Molvolumina in l/Mol
Bereichsvariable
j 1 5 p j i p § T j Vm ·
©
i 0.001
T
§¨ 273.15 · ¨ 293.15 ¸ ¨ 304 ¸ K ¸ ¨ ¨ 313.15 ¸ ¨ 353.15 © ¹
i¹
Druckmatrix
Seite 159
Temperaturen in Kelvin
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Isothermen für CO2 140 Vc 120
pj i
T = 353.15 K
l Mol
bar p §Tc Vm · 100
©
i¹
pc
T = 313.15 K
bar 80 pc
bar
T = 304 K K
bar
60
T = 293.15 K
40
T = 273.15 K
20 0.05
0.1
0.15 Vm
0.2 i
l Mol
Vm
i
l Mol
0.25
Vc l Mol
Abb. 3.3.19 Oberhalb der kritischen Temperatur T c ist eine Verflüssigung allein durch Druck nicht möglich. Nur bei Unterschreiten der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch Druck verflüssigen. Nachfolgend sollen noch weitere Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten betrachtet werden:
Beispiel 3.3.9: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. Redefinition
x x
x
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
2
f ( x) 4x e
gegebene Funktion
Ableitungen: fx ( x)
d dx
fxx ( x)
fxxx ( x)
f ( x)
d dx
fx ( x)
d dx
fxx ( x)
2 1 2 x2
fx ( x) faktor o 4 exp x
2 3 2 x2
fxx ( x) faktor o 8 x exp x
2 3 12 x2 4 x4
fxxx ( x) faktor o 8 exp x
Seite 160
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Nullstellen: xN f ( x) = 0 auflösen x o 0
xN f xN o ( 0
N
0)
Extremstellen: notwendige Bedingung: 1 § ¨ 1 ¨ 22 ¨ 2 xE fx ( x) = 0 auflösen x o ¨ 1 ¨ 1 2 ¨ 2 © 2
· ¸ ¸ ¸ ¸
§ xE f § xE · · ¨ 1 © 1¹ E ¨x f §x · © E 2 © E 2¹ ¹
E
§ 0.707 1.716 · ¨ © 0.707 1.716 ¹
¹
hinreichende Bedingung: fxx § xE
©
fxx § xE
©
·
6.862
f xx(xE1) < 0, daher ein Maximum (Hochpunkt)
·
6.862
fxx(xE2) > 0, daher ein Minimum (Tiefpunkt)
1¹ 2¹
H
§ xE f § xE · · © 1 © 1¹ ¹
H
( 0.707 1.716 )
Hochpunkt
Ti
§ xE f § xE · · © 2 © 2¹ ¹
Ti
( 0.707 1.716 )
Tiefpunkt
Wendestellen: notwendige Bedingung:
§ 0 ¨ 1 ¨ ¨ 1 62 xW fxx ( x) = 0 auflösen x o ¨ 2 ¨ 1 ¨ 1 ¨ 62 © 2
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
§¨ xW f § xW · · 1 © 1¹ ¨ ¸ W ¨ xW2 f § xW2· ¸ © ¹ ¨ ¸ ¨ xW3 f § xW3· © © ¹¹
0 §¨ 0 · W ¨ 1.225 1.093 ¸ ¨ 1.225 1.093 © ¹
¹
hinreichende Bedingung: fxxx § xW
©
·
1¹
24
fxxx § xW
©
·
2¹
10.71
fxxx § xW
©
·
3¹
10.71
§ xW f § xW · · © 1 © 1¹ ¹
W1
(0 0 )
Wendepunkt 1
§ xW f § xW · · © 2 © 2¹ ¹ W3 § xW f § xW · · © 3 © 3¹ ¹
W2
( 1.225 1.093 )
Wendepunkt 2
W3
( 1.225 1.093 )
Wendepunkt 3
W1 W2
Seite 161
fxxx(xW) z0
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Verhalten im Unendlichen: 2 § x · 4x e © ¹ o0
lim xof
lim xof
2 § x · 4x e © ¹ o0
y = 0 ist Asymptote
grafische Darstellung: Bereichsvariable
x 4 4 0.01 4
H
2 f( x)
W2
f xN
1
f§xE
·
f§xE
·
© ©
1¹
0
2¹
3
2
1
0
f§xW
©
· 1¹
f§xW
© ©
2
3
·
2¹
f§xW
N = W1 1
1
W3
·
3¹
Ti
2
x xN x E x E x W x W x W 1
2
1
2
3
Abb. 3.3.20
Beispiel 3.3.10: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1 1
1
g(x P V ) V
2 S
e
2
§ x P · © V ¹
¨
2
ORIGIN festlegen
Gegebene Funktion (Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion). g(x) dx ist die Wahrscheinlichkeit, dass x einen Wert zwischen x und x+dx annimmt. P ... Mittelwert (Erwartungswert) V ... Standardabweichung (V > 0)
Seite 162
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Ableitungen: gx ( x P V )
d dx
g(x P V ) 1
1
gx ( x P V ) o
2 V
3
2
1
S d
gxx ( x P V )
dx
2
ª 1 ( x P ) 2 º » «2 2 » V ¬ ¼
( x P ) exp «
2
gx ( x P V ) 1
ª 1 ( x P ) 2 º » ( x P V ) x P V gxx ( x P V ) faktor o 2 exp « «2 2 » 1 2 V ¬ ¼ 1
2
5
V S gxxx ( x P V )
d dx
2
gxx ( x P V ) 1
1
gxxx ( x P V ) faktor o 2 2
2
ª 1 ( x P ) 2 º 3 V 2 x2 2 x P P 2 » «2 2 » 1 V ¬ ¼
( x P ) exp «
7
V S
2
Nullstellen: Wegen g(x) > 0 (für alle x D) gibt es keine Nullstellen. Extremstellen: notwendige Bedingung: xE ( P ) gx ( x P V ) = 0 auflösen x o P hinreichende Bedingung:
gxx xE ( P ) P V gleit 4 o
g xE ( P ) P V gleit 5 o
.3987 V
3
gxx(xE) < 0, daher ein Maximum (Hochpunkt)
.39892 V
Hochpunkt: H( P| 0.399/V)
Seite 163
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Wendestellen: notwendige Bedingung:
xW ( V P ) gxx ( x P V ) = 0 auflösen x o xW ( V P ) 1 o P V
§P V · ¨ ©P V ¹
xW ( V P ) 2 o P V
hinreichende Bedingung:
gxxx xW ( V P ) 1 P V gleit 4 o
.4837 V
4
.2418
g ( V P P V ) gleit 4 o
gxxx xW ( V P ) 2 P V gleit 4 o
V
g ( V P P V ) gleit 4 o
V
W1 (P+ V| 0.242/V)
.4837 4
fxxx(xW) z0
.2418 V
Wendepunkte
W2 (PV| 0.242/V) Verhalten im Unendlichen: P 3
lim xof
Vorgaben (Erwartungswert und Streuung)
V 1 2º ª« 1 § x P · » ¨ 1 « 2 © V ¹ » «¬ V 2 S e »¼ o 0
xE P
y = 0 ist Asymptote
Erwartungswert
xW P V 1
Wendestellen
xW P V 2 xW
§4 · ¨ ©2 ¹
g xW P V
§ 0.242 · ¨ © 0.242 ¹
PW erweitern xW g xW P V
Koordinaten der Wendepunkte
PW
§ 4 0.242 · ¨ © 2 0.242 ¹
Matrix mit Wendepunkten
Wendetangenten:
g ( x) g x1 = k x x1
Tangentengleichung (Punkt-Richtungsform)
Seite 164
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen k 1 gx § xW P V · 1
© ¹ k 2 gx § xW P V · © 2 ¹
k1
0.242
k2
0.242
Steigungen der Wendetangenten
g1 ( x) g § xW P V · k 1 § x xW · 1¹ © 1 ¹ ©
Wendetangentengleichungen
g2 ( x) g § xW P V · k 2 § x xW · 2¹ © 2 ¹ © P P
Redefinitionen
V V
Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse: g § xW P V · 1
©
0.242
¹
g1 ( x) = 0
g ( P V P V ) gleit 4 o
g2 ( x) = 0
g ( V P P V ) k1 V k1 P
g ( P V P V ) k2 V k2 P
g xE P V
g ( V P P V ) k1 V k1 P
(= P + 2 V)
5
g ( P V P V ) k2 V k2 P k2 x2
k2
(= P - 2 V)
1
Bereichsvariable
P V
t2
t1
P V
0.4
H
g §xW P V· 0.3
©
1
¹
g §xW P V·
©
2
¹
W2
W1
0.2
g 1 ( x) g 2 ( x)
0.1 0 0
1
2
3
4
x xE x W x W x x 1 2
Abb. 3.3.21
Seite 165
k1 x1
hat als Lösung(en)
x 0 0.01 7
g( x P V )
k1
g ( P V P V ) k2 ( x P V ) = 0
x2
V
hat als Lösung(en)
g ( P V P V ) k1 ( x P V ) = 0
x1
.2418
5
6
7
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.11: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. Redefinition
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
y t y0 G Z y0 e
sin ( Z t)
gegebene Funktion (gedämpfte Schwingung)
v0 y0 = Z
Amplitude
v0 ... Anfangsgeschwindigkeit
Kreisfrequenz
Z0 ... Eigenfrequenz
t t
Gt
2
Z=
Z0 G
2
(Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung) G ... Dämpfungsfaktor
Ableitungen:
yt t y0 G Z
d dt
y t y0 G Z
yt t y0 G Z faktor o y0 exp ( G t) ( sin ( Z t) G cos ( Z t) Z ) ytt t y0 G Z
§d · ¨ yt t y0 G Z © dt ¹
2
ytt t y0 G Z faktor o exp ( G t) y0 G sin ( Z t) 2 G cos ( Z t) Z sin ( Z t) Z
2
Nullstellen und Berührungspunkte mit den Dämpfungskurven: Gt
y0 e
sin ( Z t) = 0
sin ( Z t) = 0
hat als Lösung(en)
0
Zt=kS
tk = k
Hier wird nur eine Nullstelle gefunden! S Z
k ²
Berührungspunkte: Gt
y0 e
sin ( Z t) = r
Z tbk = ( 2 k 1)
Mit Z =
2 S T
Gt
y0 e
S 2
sin ( Z t) = 1
tbk = ( 2 k 1)
bzw.
sin ( Z t) = 1
S 2 Z
erhalten wir:
tbk = ( 2 k 1)
T 4
k ²
Die Berührungsstellen liegen zwischen den Nullstellen !
Seite 166
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Extremstellen: notwendige Bedingung: Vorgabe
yt t y0 G Z = 0
§Z· ©G¹
atan ¨ Suchen ( t ) o
§Z· ©G¹
atan ¨ tE =
Z
Z
Wegen der Periodizität gilt dann: 1 § § Z · k S· tEx = ¨ arctan ¨ Z © k ©G¹ ¹
k ²
k ... ungerade ... Maxima k ... gerade ... Minima
Wendestellen: notwendige Bedingung: Vorgabe
ytt t y0 G Z = 0
§
atan ¨ 2 G
©
Suchen ( t ) o
2
G Z
2
§
atan ¨ 2 G
¹
tW =
Z
§
atan ¨ 2 G
©
tWe = k
·
Z
· kS G Z ¹
©
·
Z 2
G Z
2
¹
Z
Z
2
2
k ²
Z
Verhalten im Unendlichen: lim tof
§ y e Gt sin ( Z t) · © 0 ¹
y = 0 ist Asymptote
Amplitudenverhältnis: G t
y ( t ) = y0 e
y( t) y ( t T)
Gt
=
G( t T)
sin ( Z t)
y0 e
G( t T)
y0 e
y ( t T) = y0 e sin ( Z t)
Dämpfungsverhältnis, das Verhältnis bleibt konstant.
sin [ Z ( t T) ]
§ y( t) · = ln eGT = G T = / © y ( t T) ¹
ln ¨
GT
=e
sin [ Z ( t T) ]
Logarithmisches Dekrement, daraus kann G ermittelt werden.
Seite 167
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen t 0 s 0.01 s 16 s
Bereichsvariable
y0 0.3 m
Amplitude
G 0.2 s Z 1 s
1
Dämpfungsfaktor
1
Kreisfrequenz
2 S
T
Schwingungsdauer
Z
Bereichsvariable
k 0 4 tk k
Nullstellen
S Z
tbk ( 2 k 1)
tEx k
T
Berührungsstellen
4
1§
§ Z · k S· ¨ atan ¨ Z© ©G¹ ¹ §
atan ¨ 2 G
©
tWe k
Extremstellen
· [ ( k 1) S ] G Z ¹ Z
2
2
Wendestellen
Z G t
y1 ( t) y0 e
Dämpfungskurven Gt
y2 ( t) y0 e
0.4
y t y0 G Z
T
2T
B 0.2
y1 ( t)
H
y2 ( t)
W
y tbk y0 G Z y tk y0 G Z
0
y§tEx y0 G Z· k
©
¹
N
0 2
4
6
8
10
0.2
y§tWe y0 G Z·
©
k
¹ 0.4 t t t tk tbk tEx tWe k
Abb. 3.3.22
Seite 168
k
12
14
16
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Kosten und Preistheorie (Betriebswirtschaftliche Berechnungen): K(x) ... Kostenfunktion eines Betriebes (Gesamtkosten) Ks (x) = K(x)/x ... Stückkostenfunktion (Gesamtkosten/Stück) Gesucht ist jene Menge x, für die die Kosten pro Stück am geringsten sind. Diese Produktionsmenge heißt Betriebsoptimum. Wir suchen also das Minimum der Stückkostenfunktion K s (x). Beispiel 3.3.12: Bestimmen Sie bei gegebener Kostenfunktion K(x) das Betriebsoptimum und stellen Sie die Kostenfunktion und die Stückkostenfunktion grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
ME 1
Mengeneinheiten
GE 1
Geldeinheiten
3
2
Gegebene Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten)
K ( x) 0.05 x 3 x 100 x 1000 Ks ( x)
Ks ( x) o
K ( x)
Stückkostenfunktion in GE/ME
x 5. 10
-2
3
2
x 3 x 100 x 1000 x
Ableitungen: Ksx ( x)
Ksxx ( x)
d dx
Ks ( x)
d dx
Ksx ( x) faktor o
Ksx ( x)
1 10
Ksxx ( x) faktor o
3
1 10
2
x 30 x 10000
2
x 3
x 20000 3
x
Extremstellen: notwendige Bedingung: Vorgabe Ksx ( x) = 0
§¨ 3.609 15.99 i · xE Suchen ( x) gleit 4 o ¨ 3.609 15.99 i ¸ ¨ 37.22 © ¹ T
eine reelle Extremstelle
hinreichende Bedingung: Ksxx § xE
©
xE 3
· gleit 4 o .1388
3¹
37.22 ME
Ksxx(xE3) !0, daher ein Minimum Kostengünstigste Produktionsmenge: 37 Mengeneinheiten
Seite 169
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen grafische Darstellung: Bereichsvariable
x 0 0.001 100 3500
K§xE xE
2625
©
·
3¹
3
ME
K( x) Ks( x)
1750
Abb. 3.3.23 875
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x ME
Unter Betriebsminimum verstehen wir jene Produktionsmenge, bei der die variablen Kosten pro Stück Ksv(x) den kleinsten Wert annehmen. Während die Stückzahlen im Betriebsoptimum zugleich die langfristige Kostenuntergrenze darstellen, geben die variablen Stückkosten K sv(x) im Betriebsminimum die kurzfristige Kostenuntergrenze an.
Beispiel 3.3.13: Bestimmen Sie bei gegebener Kostenfunktion K(x) das Betriebsminimum und stellen Sie die variablen Kosten und die variablen Stückkosten grafisch dar. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
ME 1
Mengeneinheiten
GE 1
Geldeinheiten
3
2
K ( x) 0.05 x 3 x 100 x 1000 3
2
Kv ( x) 0.05 x 3 x 100 x Ksv ( x) =
Kv ( x)
gegebene Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten) variable Kosten variable Stückkostenfunktion
x 2
Ksv ( x) 0.05 x 3 x 100 Ableitungen: Ksvx ( x)
Ksvxx ( x)
d dx
Ksv ( x)
§d · ¨ Ksvx ( x) © dx ¹
Ksvx ( x) faktor o
Ksvxx ( x) faktor o
Seite 170
1 10
x 3
1 10
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Extremstellen: notwendige Bedingung: Vorgabe Ksvx ( x) = 0 xE Suchen ( x) o 30. hinreichende Bedingung:
Ksvxx xE ! 0
Ksvxx(xE) !0, daher ein Minimum
xE
Das Betriebsminimum liegt bei 30 Mengeneinheiten
30 ME
Ksv xE
55
GE ME
x 0 0.01 50
Kurzfristige Kostenuntergrenze beträgt 55 GE/ME
Bereichsvariable
200 xE ME
Kv( x) 10
Ksv xE
100
Ksv( x)
Abb. 3.3.24
GE ME
0
0
10
20
30
40
50
x ME
Eine wichtige Größe in der Betriebswirtschaft ist der Gewinn bzw. Verlust , allgemein der Erfolg eines Unternehmens. Zur Ermittlung des Erfolges Erf(x) bei einer bestimmten Ausbringungsmenge x, müssen vom Erlös E(x) die Kosten K(x) abgezogen werden. Erf(x) ... Erfolgsfunktion E(x) ... Erlösfunktion Erf(x) = E(x) - K(x) Wird ein Produkt von vielen angeboten, so ist meist der Preis p eine konstante Größe und E(x) = p x. Ein einziger Anbieter (Monopolist) kann den Preis bestimmen, muss aber berücksichtigen, dass zwischen Preis p und Absatz (Nachfrage) ein funktioneller Zusammenhang besteht: E(x) = n(x) x p = n(x) ... (nichtlineare) Nachfragefunktion Es gilt: Erf(x) > 0 ... weist auf einen Gewinn hin. Erf(x) < 0 ... weist auf einen Verlust hin. Erf(x) = 0 ... das Unternehmen arbeitet gerade kostendeckend, die Nullstellen x1 , x2 nennen wir Gewinnschwellen.
Seite 171
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.14: Die Gesamtkosten K(x) lassen sich annähernd durch die nachfolgende Gleichung beschreiben. Berechnen Sie die Gewinnschwellen und den maximalen Gewinn bei einem Marktpreis p = 30 GE. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
ME 1
Mengeneinheiten
GE 1
Geldeinheiten
3
2
K ( x) 0.01 x x 40 x 500
gegebene Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten)
E ( x) 30 x
Erlösfunktion
Erf ( x) E ( x) K ( x)
Erfolgsfunktion
Ableitungen: d
Erfx ( x)
dx
d dx
Kxx ( x)
Erfx ( x) faktor o 10
§d · ¨ Erfx( x) © dx ¹
Erfxx ( x) faktor o
K ( x)
Kx ( x) faktor o
Erfxx ( x)
Kx ( x)
Erf ( x)
§d · ¨ Kx( x) © dx ¹
50
3
Kxxx ( x) faktor o
100
2
x 2 x
x 2
2
100
Kxx ( x) faktor o
§d · ¨ Kxx ( x) © dx ¹
Kxxx ( x)
3
3
3 50
x 2 x 40
x 2
3 50
Nullstellen: Vorgabe Erf ( x) = 0
§¨ 16.844954207003932543 · xN Suchen ( x) o ¨ 37.328925293226894475 ¸ Nur die positiven reellen Nullstellen sind brauchbar! ¨ 79.516028913777038068 © ¹ T
xu ceil § xN · 2
xo floor § xN · 3
xu
xo
©
38 ME
¹
©
79 ME
¹ untere- und obere Gewinnschwelle (die untere wird aufgerundet, die obere abgrundet)
Seite 172
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Extremstellen (Gewinnmaximum): notwendige Bedingung: Vorgabe Erfx ( x) = 0 T
xE Suchen ( x) o
Erf § xE
©
Erf § xE
©
§ 5.4446657821974817341 · ¨ © 61.222000884469184933 ¹
·
526.416 GE
Verlust
·
341.231 GE
maximaler Gewinn
1¹ 2¹
xE 1
5.445 ME
xE 2
61.222 ME
Der maximale Gewinn liegt bei 61 Mengeneinheiten und beträgt 341 Geldeinheiten.
Wendestellen der Kostenfunktion: notwendige Bedingung: Vorgabe Kxx ( x) = 0 xW Suchen ( x) gleit 4 o 33.33 x 0 0.01 100
Bereichsvariable
3000
K( x)
2000
E( x) Erf ( x)
xW
xE
ME
ME
2
fallende_Kosten
steigende_Kosten
Verlust
Verlust Erf §x E
1000
©
Gewinn
0
10
20
30
40
xu
50 x
Abb. 3.3.25
Seite 173
60
·
2¹
GE
70
80
xo
90
100
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.15: Für die Herstellung eines Produktes entstehen einem Betrieb Fixkosten in der Höhe von 1000 GE. Die variablen Kosten lassen sich annähernd durch die Gleichung K v(x) = x3 - 25 x2 + 250 x beschreiben. Der mengenmäßige Umsatz x ändert sich mit dem Preis p nach der Gleichung x = (500 - p) 1/2. Wie lautet die Funktionsgleichung für die Gesamtkosten, für den Erlös und für den Erfolg? Wie lauten die Gewinnschwellen und der maximale Gewinn? Wie groß ist die langfristige und kurzfristige Kostenuntergrenze? x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
ME 1
Mengeneinheiten
GE 1
Geldeinheiten
3
2
Kv ( x) x 25 x 250 x
variable Kosten
K ( x) = Kv ( x) Fixkosten
Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten)
3
2
K ( x) x 25 x 250 x 1000 Ks ( x)
K ( x)
Stückkostenfunktion
x 3
Ks ( x) o
Ksv ( x) =
2
x 25 x 250 x 1000
variable Stückkostenfunktion
x Kv ( x) x
3
2
x 25 x 250 x
=
x
2
Ksv ( x) x 25 x 250 Nachfrage: x=
hat als Lösung(en)
500 p
2
500 x
2
2
p = 500 x = n ( x) Nachfragefunktion
n ( x) 500 x
2
E ( x) = n ( x) x = 500 x
x
Erlösfunktion
3
E ( x) 500 x x
Erfolgsfunktion
Erf ( x) E ( x) K ( x) 3
2
Erf ( x) o 250 x 2 x 25 x 1000
Seite 174
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen
Ableitungen: d
Ksvx ( x)
dx
Ksvxx ( x)
Ksvxx ( x) faktor o 2
Ks ( x)
Ksx ( x) faktor o
3
dx
Ksxx ( x)
dx
dx
Erfxx ( x)
2
2 x 25 x 1000 2
x
2
d
d
Erfx ( x)
Ksvx ( x) faktor o 2 x 25
§d · ¨ Ksvx ( x) © dx ¹
d
Ksx ( x)
Ksv ( x)
Ksx ( x)
Ksxx ( x) faktor o 2 ( x 10 )
x 10 x 100 3
x
2
Erf ( x)
Erfx ( x) faktor o 250 6 x 50 x
§d · ¨ Erfx( x) © dx ¹
Erfxx ( x) faktor o 12 x 50
Nullstellen (Gewinnschwellen): xu wurzel ( Erf ( x) x 0 10 )
xu1 ceil xu
xu1
4 ME
xo wurzel ( Erf ( x) x 10 20 )
xo1
floor xo
xo1
17 ME
5.445 ME
xE 2
61.222 ME
untere- und obere Gewinnschwelle
Extremstellen (Gewinnmaximum): notwendige Bedingung: Vorgabe Erfx ( x) = 0 1 § ¨ 25 5 2 ¨ 85 T ¨ 6 6 xE Suchen ( x) o ¨ 1 ¨ 25 5 2 85 ¨ 6 6 ©
Erf § xE
©
Erf § xE
©
· ¸ ¸ ¸ ¸
xE 1
¹
·
2145.049 GE
maximaler Gewinn
·
1483.012 GE
Verlust
1¹
2¹
Die negative Größe scheidet aus!
Der Gewinnbereich liegt zwischen 4 ME und 17 ME. Der maximale Gewinn liegt bei 12 ME und beträgt 2145 GE.
Seite 175
Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Betriebsoptimum und Betriebsminimum:
xopt Ksx ( x) = 0
xopt
14.8 § · auflösen x ¨ o ¨ 1.14 5.72 i ¸ gleit 3 ¨ 1.14 5.72 i © ¹
xopt ceil § xopt · 1
©
Betriebsoptimum
15 ME
Ks xopt
166.667
xmin Ksvx ( x) = 0
xmin
GE
langfristige Kostenuntergrenze
ME auflösen x o 12.5 gleit 3
xmin ceil xmin
Betriebsminimum
13 ME
Ksv xmin
¹
94
GE
kurzfristige Kostenuntergrenze
ME
Bereichsvariable
x 0 0.01 30 5000
xE
xo
1
ME
4000
ME
K( x) E( x) Erf ( x)
Erf §x E
©
3000
·
1¹
GE 2000
n ( x)
Gewinn
1000
0
xu
5
10
15 x
Abb. 3.3.26
Seite 176
xo
20
25
30
Differentialrechnung Extremwertaufgaben 3.4 Extremwertaufgaben Bei angewandten Aufgaben stellt sich öfters die Frage, ob in einem gewissen Intervall I = [a, b] einer vorgegebenen Funktion y = f(x1 ,x2 ,..) (Zielfunktion) ein Extremwert (Maximum oder Minimum) vorliegt. Die Zielfunktion ist für das vorliegende Problem zu bestimmen und weist oft die Abhängigkeit von mehr als einer Variablen auf. Für diese Fälle können Nebenbedingungen aufgestellt werden (ergeben sich oft aus geometrischen Überlegungen wie dem pythagoräischen Lehrsatz, den Strahlensätzen usw.), um die Zielfunktion auf die Abhängigkeit von einer Variablen y = f(x) überzuführen (siehe dazu auch Abschnitt 3.8.2). Eine Funktion f, die auf einem Intervall I definiert ist, kann an einem Randpunkt oder im Inneren von I = [a, b] einen absoluten Extremwert annehmen (siehe Abschnitt 2.2.1 Extremwertsatz). Folgende Funktionen besitzen dieselben Extremstellen: y = f ( x) c
und
y = a f ( x) y= y=
n
f ( x) 1
f ( x)
(3-76)
und
y1 = f ( x) y1 = f ( x)
und
y1 = f ( x) n gerade und f(x)t0 in [a, b]
(3-78)
und
y1 = f ( x) Maximum wird zum Minimum
(3-79)
(3-77)
und Minimum zum Maximum ! Vorgangsweise: a) Aufstellen der Zielfunktion y = f(x1 ,x2 ,..) b) Aufsuchen von Nebenbedingungen c) Extremwerte aufsuchen:
(3-80) (3-81)
f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) > 0 ... Minimum f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) < 0 ... Maximum
(3-82)
Beispiel 3.4.1: Von einem quadratischen Blechstück mit den Seitenlängen a = 50.0 cm werden die markierten Quadrate weggeschnitten. Wie lang muss die Seite x dieser Quadrate sein, damit das Volumen V der Schachtel, die aus dem so entstehenden Netz gebildet werden kann, möglichst groß wird ? 2
V ( x) = ( a 2 x) x
Zielfunktion aus der Geometrie
V(x) soll ein Maximum werden für x [0 cm, 25 cm] ORIGIN 1 dm 10
1
m
ORIGIN festlegen Einheiten definieren
Abb. 3.4.1 2
V ( x a) ( a 2 x) x Vx ( x a) Vxx ( x a)
d dx
V ( x a)
d dx
Vx ( x a)
Zielfunktion
Vx ( x a) faktor o ( 6 x a) ( 2 x a) Vxx ( x a) faktor o 24 x 8 a
Seite 177
Ableitungen
Differentialrechnung Extremwertaufgaben Seitenlänge des Quadrates
a 50 cm
§ 25 cm · x Vx ( x a) = 0 auflösen x o ¨ 3 ¨ © 25 cm ¹
Vxx x1 a x1
Vxx(x1) < 0, daher ein Maximum
2 m
8.333 cm
V x1 a
Minimum
Vxx x2 a
2m
x 0 cm 0.01 cm 30 cm
dm
3
9.259 dm
Bereichsvariable
V x1 a
15
dm
x1
10
V( x a)
Ausschnitte (nur der erste Werte ist brauchbar)
3
cm
3
5
Abb. 3.4.2 0
10
20
30
x cm 2
V1 ( x) ( 50 cm 2 x) x
Zielfunktion
x 5 cm
Startwert
x1 Maximieren ( V1 x)
x1
Bestimmung der Extremstelle mithilfe der Mathcadfunktion Maximieren
8.333 cm
Beispiel 3.4.2: Aus einer gegebenen Kreisfläche ist ein Sektor von solcher Größe auszuschneiden, dass ein kegelförmiger Filter mit größtmöglichen Fassungsvermögen hergestellt werden kann.
x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
dm 10
1
m
Abb. 3.4.3 V ( r h) = 2
2
S 3
2
h =a r
2
r h
Zielfunktion: V(r,h) soll ein Maximum werden
Nebenbedingung (Abb. 3.4.3)
Seite 178
Einheitendefinition
Differentialrechnung Extremwertaufgaben
V (M ) =
S 3
S
2
r h= 3
a
V (M ) =
f1 ( M ) = V ( M )
2
M
fMM ( M )
d dM
4 S
2
2
2
4 S M
2
2
a
a M 4 S
2
a
2
2
=
M
d.h.
S
S 3
2
a M 4 S
r=
2
2
1 2
a 2 S
a
M
Radius des Trichters
S
2
4 S M
Volumsfunktion mit einer Variablen
2
Zielfunktion: V(M) soll ein Maximum werden
Nach (3-78) kann die Zielfunktion vereinfacht werden. 2
f (M ) M 4 S M
fM ( M )
a M
2
2
4
3
2
2
24 S
1
hat als Lösung(en)
2 S r = a M
2
Nach (3-77) können konstante Faktoren weggelassen werden.
3
f (M )
2
fM ( M ) faktor o 2 M 8 S 3 M
2
Ableitungen
d dM
2
fM ( M )
2
fMM ( M ) faktor o 6 M 8 S 5 M
2
0 § · ¨ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¨ ¸ 1 ¨ ¸ M fM ( M ) auflösen M o 2 ¨ 6 2 S ¸ Nur der Wert M4 ist brauchbar! ¨ 3 ¸ ¨ ¸ 1 ¨ 2 ¸ ¨ 62 S © 3 ¹
fMM M 4 o
256 3
M 0 0.01 2 S
S
4
fMM(M4 ) < 0, daher liegt ein Maximum vor
M4
Bereichsvariable (Winkel in Radiant)
4
1 10
f M4 M4
f( M )
5000
Abb. 3.4.4
0
2
4
6
8
M
a 20 cm
Radius des gewählten Kreises
Seite 179
5.13
f M4
9115.394
Differentialrechnung Extremwertaufgaben 3
a
V1 ( M )
2
24 S
2
M = 360° D
M
2
4 S M
2
V1 M 4
maximales Volumen
Mittenwinkel des Sektors (in Grad), der auszuschneiden ist.
293.939 Grad
M4
3
3.225 dm
D 360Grad M 4
D
66.061 Grad
M 4
Startwert
M Maximieren ( V1 M )
M
293.939 Grad
gesuchter Winkel in Grad
Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens "Maximieren"
Beispiel 3.4.3: Ein zylindrischer Behälter aus Blech mit kreisförmiger Grundfläche fasst 1000 cm 3 . Bestimmen Sie die Abmessungen, für die der Metallverbrauch (Oberfläche) am kleinsten ist, wenn der Behälter oben geschlossen ist. x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
dm 10
1
Einheitendefinition
m
Abb. 3.4.5 2
Zielfunktion (soll ein Minimum werden)
Ao ( r h) = 2 S r 2 S r h 2
3
3
V ( r h) = S r h = 1000 cm 2
3
Ao ( r) = 2 S r 2 S r 2
Ao ( r) 2 S r 2
Aor ( r)
Aorr ( r)
d dr
1000 cm 2
h=
1000 cm 2
Nebenbedingung
Sr
vereinfachte Zielfunktion
Sr 3
1000 cm r
Ao(r) soll ein Minimum werden 3
Ao ( r)
d dr
Aor ( r) faktor o 4
3
S r 500 cm 2
r
Ableitungen
3
Aor ( r)
Aorr ( r) faktor o 4
Seite 180
3
S r 1000 cm 3
r
Differentialrechnung Extremwertaufgaben 1 ª 1 « 3 5 2 3 « 4 S cm S « « ª 1 1 1 1 « « 2 3 r Aor ( r) = 0 auflösen r o « « 1 1 3 2 2 3 3 i 4 S « 5 «¬ 2 S 4 S 2 S « 1 1 « ª« 1 1 « « 1 2 3 1 3 2 2 3 3 «5 « 4 S i 4 S 2 S ¬ ¬2 S
º » » » » 1º » » 3» » » cm » ¼ » 1º » » » 3» » cm » ¼ ¼
Nur der reelle Wert ist brauchbar!
Die zweite Ableitung ist größer null, daher liegt eine Minimum vor.
Aorr r1 o 12 S
3
r1
5.419 cm
h
1000 cm
S r1
h
2
2
Ao r1
10.839 cm
Maße für die minimale Oberfläche
minimale Oberfläche
5.536 dm
Bereichsvariable
r 0 cm 0.01 cm 10 cm 10 Ao ( r) dm
2
r1
8
Ao r 1
cm
dm
6 4
0
2
4
6
8
2
Abb. 3.4.6 10
r cm 3
2
Ao ( r) 2 S r 2 S
1000 cm
Zielfunktion
Sr
Startwert
r 4 cm
r1 Minimieren Ao r
r1
5.419 cm
Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens "Minimieren"
Eine andere Berechnungsvariante: r r
h h 2
O ( r h) 2 r S 2 r S h 2
V=r Sh
Redefinitionen Zielfunktion (soll ein Minimum werden) Nebenbedingung (Zusammenhang zwischen den Parametern r und h des Zylinders)
Seite 181
Differentialrechnung Extremwertaufgaben V
h=
Die Höhe h aus der Nebenbedingung
2
r S
1 ª 1 « 3 1 2 3 « 4 VS 2 S d « ersetzen O ( r h) = O ( r h ( r) ) « dr 1 1 1 1 « 2 3 V o « 1 1 3 2 2 3 3 ersetzen h ( r) = 4 VS i 4 VS 2 « 4 S 4 S r S « 1 1 auflösen r « 1 1 « 1 2 3 1 3 2 2 3 3 « 4 VS i 4 VS 4 S 4 S ¬
r ( V) O ( r h) = 0
3
0.0542 §¨ · ¨ 0.0271 0.0469i ¸ m ¨ 0.0271 0.0469i © ¹
r r ( V) 1 h
vorgegebenes Volumen
V 1000 cm
r ( V)
V 2
Vektorfunktion
r
0.054 m
optimaler Radius
h
0.108 m
optimale Höhe
r S O ( r h)
2
minimale Oberfläche
5.536 dm
h umbenennen, weil auf h bereits ein Wert zugewiesen wurde: O ( r) O ( r h1 ) ersetzen h1 =
V 2
2
o 2 r S
2000 r
r S r 0 cm 0.01 cm 10 cm
3
cm
Bereichsvariable
10
O( r) dm
r1
8
cm
O r1
2
6
4
dm
0
2
4
6 r cm
Seite 182
8
2
Abb. 3.4.7
10
1
3 1
3
º » » » » » » » » » » » ¼
Differentialrechnung Extremwertaufgaben Beispiel 3.4.4: Es soll ein Viereck mit b = 3/4 dm und l = 3 dm in ein Dreieck so eingeschrieben werden, dass die Hyperthenuse L minimal wird.
x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
Abb. 3.4.8
2
L ( x y)
§ ©
( y 3) ¨ x
3·
2
Zielfunktion (soll ein Minimum werden)
4¹
Nebenbedingung: Für ähnliche Dreiecke gilt der Strahlensatz: y 3
=
3 x
9
hat als Lösung(en)
4 y
x ist also:
x=
9 4 y
4
y L ( x y) = 0
y1
§¨ ¨ d ersetzen L ( x y) = L ( x ( y) y) ¨ dy ¨ 2 ¨ 3 o 3 9 ¨ 2 ersetzen x ( y) = 8 4 y ¨ ¨ 2 auflösen y ¨ 3 3 ¨ 8 2 ©
2
· ¸ 2 4 ¸ 1 2 ¸ ¸ 3 2 3 i3 2 ¸ 8 ¸ 1 2 ¸ 3 2 3 ¸ 3
3
8
i3
2
¹
Nur die erste Vektorkomponente ist reell.
1.191
1
ª 2 L ( y) L ( x y) ersetzen x = o « ( y 3) 4 y ¬ 9
L y1
4.953
y 0 0.01 3
2 § 9 3 · »º ¨ © 4 y 4¹ ¼
2
minimale Länge in dm Bereichsvariable
Seite 183
Zielfunktion auf die Abhängigkeit von einer Variable reduzieren
Differentialrechnung Extremwertaufgaben
y1
10
L ( y)
L y1
5
0
1
2
Abb. 3.4.9
3
y
2
L ( y)
( y 3)
§ 9 3· ¨ © 4 y 4¹
2
Zielfunktion Startwert
y 1 y1 Minimieren ( L y)
y1
1.191
Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens
Beispiel 3.4.5: Es soll ein Kegel mit maximalen Volumen in eine Kugel eingeschrieben werden
r r
h h
ORIGIN 1 dm 10
1
m
x x
Redefinitionen ORIGIN festlegen Einheitendefinition
Abb. 3.4.10 Volumen: VKegel( r h) =
1 3
2
Sr h
Zielfunktion(soll ein Maximum werden)
Aus der Abbildung 3.4.10: h=R x 2
2
Nebenbedingungen 2
R =x r
Nach dem Einsetzen der Nebenbedingungen ist die Zielfunktion nur mehr von einer Variablen abhängig: VKegel ( r h)
1 3
2
Sr h
Seite 184
Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2
2
2
VKegel ( x) VKegel ( r h) ersetzen h = R x r = R x
§ R · x VKegel ( x) = 0 auflösen x o ¨ 1 ¨ R dx ©3 ¹
o
1 3
2
2
R x
S (R x)
d
nur der positive Radius ist von Bedeutung
1 xmax x2 o R 3
§¨ rmax · ¨ hmax © ¹
optimaler x-Wert
1 § · ¨ 2 ersetzen x = xmax 2 ¨ 2 R¸ o ¨3 ¸ annehmen R ! 0 ¨ 4 ¸ vereinfachen R ¨ © 3 ¹
§¨ R2 x2 · ¨ © R x ¹
Änderung des Kugelradius für weitere Simulationen
R ( 1 FRAME ) dm
VKegel ( x)
S 3
2
R x
R
xmax
2
3
optimaler Radius und optimale Höhe
(R x)
Kegelvolumen
hmax R xmax
rmax
hmax
rmax
0.133 m
2
R xmax 0.094 m
2
optimale Höhe und optimaler Radius
Bereichsvarible
x 0 dm 0.01 dm xmax 1 dm 0.002
0.001
VKegel ( x) 3
m
R
VKegel xmax m
0
0.5
1
1 dm
1.5
xmax
3
0.333 dm
0.001
VKegel xmax 0.002 x dm
xmax dm
Abb. 3.4.11
Seite 185
3
1.241 dm
Differentialrechnung Extremwertaufgaben Näherungsweise Lösung mit der Funktion "wurzel": Startwert
x 0 dm
§d · VKegel ( x) x © dx ¹
xmax1 wurzel ¨
xmax1
0.328 dm
VKegel xmax1
3
1.241 dm
Beispiel 3.4.6: Schubkurbel mit bzw. ohne Exzentrizität: Die Schubkurbel dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Z. Der Kreuzkopf bewegt sich geradlinig hin und her und erreicht im Punkt K max den oberen Totpunkt. Bestimmen Sie neben der Kreuzkopfposition auch dessen Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit und stellen Sie diese grafisch dar. Bestimmen Sie auch den oberen und unteren Totpunkt, den Kolbenhub und die Maxima der Kreuzkopfgeschwindigkeit.
Abb. 3.4.12
dm 10
1
Z 1 s T
Einheitendefinition
m
1
Kreisfrequenz
2 S
T
Z
6.283 s
Periodendauer für eine Kurbelumdrehung
r 4 dm
Kurbelradius
l 12 dm
Schubstangenlänge
O
r
Schubstangenverhältnis
0.333
O
l
Exzentrizität oder Versetzung
e 2 dm L
2
2
( r l) e
xp ( t) r cos ( Z t) yp ( t) r sin ( Z t)
L
1.587 m
größter x-Abstand Kreuzkopf-Kurbelachse
Kurbelkoordinaten
Seite 186
Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2
xpk ( t)
2
Abstand
l yp ( t) e
Kreuzkopfposition
xk ( t) xp ( t) xpk ( t) vk ( t)
d dt
Geschwindigkeit des Kreuzkopfes
xk ( t) 2
ak ( t)
d
dt
Beschleunigung des Kreuzkopfes
x ( t) 2 k
Hub bezogen auf oberen Totpunkt
h ( t ) L xk ( t)
Bestimmung des oberen und unteren Totpunkts aus den Nullstellen der Kreuzkopfgeschwindigkeit:
Z to
7.186 Grad
Z tu
194.467 Grad
to 0 s
to wurzel vk to to
tu T 0.5
tu wurzel vk tu tu
Z to Z tu
187.281 Grad
Durch die Exzentrizität ist der Abstand zwischen dem oberen und unteren Totpunkt nicht mehr 180 Grad. Je größer die Exzentrizität, desto größer die Abweichung von 180 Grad. Kolbenhub:
Hub h t u
Hub
0.813 m
Bestimmung der absoluten Maxima der Kreuzkopfgeschwindigkeit:
Z tmax1
81.168 Grad
vk tmax1
Z tmax2
294 Grad
vk tmax2
tm 0.25 T
tmax1 wurzel ak tm tm
tm 0.75 T
tmax2 wurzel ak tm tm
t 0 s 0.01 T T
Bereichsvariable
Seite 187
0.405
0.452
m s
m s
Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2 Zto
Ztu
1.5 Grad
Grad
xk( t) m
L m
vk( t) m
1
s
a k( t) m
0.5
2 s
vk tmax1 m
0
s
50
100
150
200
250
300
350
400
vk tmax2
0.5
m s
1 Ztmax1 Ztmax2 Grad Grad Grad Grad Grad Zt
Zt
Zt
Abb. 3.4.13
Beispiel 3.4.7:
Ein Zylinderkondensator soll bei gegebenem Außendurchmesser 2 r 2 = 2 cm die Spannung U = 10 kV aufnehmen. Zu bestimmen ist die am Innenleiter (r 1 ) auftretende elektrische Feldstärke E 1 bei Radien zwischen r1 = 0.1 cm und r2 = 0.7 cm. Bei welchem Radienverhältnis x = r2 /r1 ist die Feldstärke E 1 an der Oberfläche des Innenleiters minimal ?
x x
Redefinition
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
Abb. 3.4.14 U E1 =
U
§ r2 · r1 ln ¨ ¨© r1 ¹
E1 x r2 U
=
r2 r1
§ r2 · r1 ln ¨ ¨© r1 ¹ r1 r2
=
U x r2 ln ( x)
Feldstärke mit x = r2 /r1
U x r2 ln ( x)
Seite 188
Differentialrechnung Extremwertaufgaben
d
E1x x r2 U
dx d
E1xx x r2 U
E1 x r2 U
dx
E1x x r2 U faktor o U
E1x x r2 U
ln ( x) 1 r2 ln ( x)
E1xx x r2 U faktor o U
2
ln ( x) 2 3
r2 ln ( x) x
x1 E1x x r2 U auflösen x o exp ( 1)
r2 x1 = =e r1
U E1xx x1 r2 U vereinfachen o exp ( 1) r2
ist positiv, daher liegt ein Minimum vor
U 10 kV
Spannung
r2 1 cm
Außenleiterradius
U
E1 r1
r1min
Ableitungen
optimales Radiusverhältnis
Elektrische Feldstärke
§ r2 · r1 ln ¨ ¨© r1 ¹ r2
r1min
exp ( 1)
minimaler Radius
0.368 cm
Bereichsvariable
r1 0.1 cm 0.1 cm 0.001 cm 0.7 cm 45 r1min
40
E1 r1 kV
cm 35
E1 r1min
cm
Abb. 3.4.15
kV
30 25
cm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r1 cm
Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens "Minimieren":
E1 r1
U Zielfunktion
§ r2 · r1 ln ¨ ¨© r1 ¹
Startwert
r1 0.3 cm
r1 Minimieren E1 r1
r1
0.368 cm
optimaler Radius
Seite 189
r2 r1
2.718
Radiusverhältnis e
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion 3.5 Das Differential einer Funktion Ist eine Funktion f: y = f(x) an der Stelle x 1 differenzierbar, so gilt: dy dx
= f ' x1
(3-83)
Der Differentialquotient kann in die Differentiale dy und dx aufgespalten werden: dy = f '(x 1 ) dx
(3-84)
dy heißt Differential einer Funktion y = f(x) an der Stelle x 1 . Es bedeutet den Zuwachs der Tangentenordinate, wenn sich x 1 um 'x = dx ändert.
Abb. 3.5.1
Beispiel 3.5.1: Bestimmen Sie das Differential an einer beliebigen Stelle x von folgenden Funktionen: 2x
2x = 2 e2x dx
y=e
gegebene Funktion
dy = d e
y = ln ( x)
gegebene Funktion
dy = d ( ln ( x) ) =
gegebene Funktion
dy = d sin ( x)
4
gegebene Funktion
dy = d x
2
gegebene Funktion
dy = d x 4 = 2 x dx
y = sin ( x)
2
y=x
y=x 4
2
1 x
dx
= 2 sin (x) cos(x) dx
zugehöriges Differential zugehöriges Differential
zugehöriges Differential
4 = 4 x3 dx
zugehöriges Differential
2
zugehöriges Differential
Seite 190
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion 3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung a) Funktionswertdifferenz: dy ist Näherungswert für die tatsächliche Funktionswertdifferenz 'y, wenn 'x hinreichend klein ist. Die Näherung ist von 1.Ordnung, d.h. die Kurve wird im betrachteten Intervall [x, x+'x] durch die Tangente ersetzt. 'y | dy = y' dx bzw. f(x+'x) - f(x) | dy = f '(x) dx
(3-85)
Beispiel 3.5.2: Geg.: y = x4 , P1 (2|y1 ) , 'x = dx = 0.5. Ges.: 'y |dy
4 = 4 x3 dx = 4 23 0.5 = 24 = 16
Differential
dy = d x
4
4
'y = y2 y1 = f x1 'x f x1 = f ( 2 0.5) f ( 2) = 2.5 2 = 23.0625
Funktionswertdifferenz
dy < 'y, weil 'x = dx = 0.5 zu groß gewählt wurde ! Beispiel 3.5.3: Geg.: y = sin(x) , P1 (S/4|y1 ) , 'x = dx = 0.1047. Ges.: 'y |dy
§ S · 0.1047 = 0.0740 ©4¹
dy = d ( sin ( x) ) = cos ( x) dx = cos ¨
Differential
§S · § S · = 0.0700 'y = y2 y1 = f x1 'x f x1 = f ¨ 0.1047 f ¨ ©4 ¹ ©4¹
Funktionswertdifferenz ('y |dy)
b) Funktionswertberechnung aus einem benachbarten Wert x 0 : Aus f(x0 +'x) - f(x0 ) | dy = f '(x0 ) dx folgt: f(x0 +'x) | f(x0 ) + f '(x0 ) dx bzw.
(3-86)
f(x0 +'x) | f(x 0 ) + 'x f '(x0 ) bzw. mit 'x = h
(3-87)
f(x0 +h) | f(x 0 ) + h f '(x0 )
(3-88)
Beispiel 3.5.4: Geg.: y = x3 - 4 x2 + 5 x - 6 Ges.: Funktionswert näherungsweise für x = 4.03 3
2
gegebene Funktion x0 = 4
f ( x) x 4 x 5 x 6 2
f x0 h = f ( 4 0.03) = f ( 4.03) f ( 4.03)
|
14 0.03 21
Stelle x0 und Schrittweite h
Ableitung
f ' ( x) = 3 x 8 x 5
h = 0.03
|
14.63
f ( 4) 0.03 f ' ( 4)
nach (3-88)
f ( 4.03)
Näherungswert und "exakter" Wert
14.637
Seite 191
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion Beispiel 3.5.5: Geg.: y = cos(x) Ges.: Funktionswert näherungsweise für x = 0.005 f ( x) cos ( x)
gegebene Funktion
f ' ( x) = sin ( x)
Ableitung
|
cos ( 0) 0.005 sin ( 0)
Stelle x0 und Schrittweite h
h = 0.005
|
f ( 0) 0.005 f ' ( 0)
nach (3-88)
1
f ( 0.005 )
Näherungswert und "exakter" Wert
f x0 h = f ( 0 0.005 ) = f ( 0.005 ) f ( 0.005 )
x0 = 0
1
Eine genauere Berechnung erlaubt der Mittelwertsatz (Verschärfung der Linearisierungsformel). Mittelwertsatz: Sei f in [x1 , x2 ] stetig und in ]x 1 , x2 [ differenzierbar, dann existiert mindestens eine Zahl [ ]x 1 , x2 [ , sodass gilt: f ' ([) =
f x2 f x1
(3-89)
x2 x1
Das heißt, es gibt mindestens einen Punkt P zwischen P 1 und P2 , in dem die Tangente parallel zur Sekante ist.
Setzen wir x 1 = x0 , x2 = x0 + h, x 2 - x1 = h und [ = x0 + - h, dann folgt:
f ' x0 - h =
f x0 h f x0
(3-90)
h
Damit erhalten wir durch Umformung:
f x0 h = f x0 h f ' x0 - h
(3-91)
- ein positiver echter Bruch mit - ]0, 1[ .
Abb. 3.5.2 Beispiel 3.5.6:
Geg.: y = cos(x) Ges.: Funktionswert näherungsweise für x = 0.005 mithilfe des Mittelwertsatzes f ( x) cos ( x)
gegebene Funktion
f ' ( x) = sin ( x)
Ableitung
x0 = 0
h = 0.005
-=
1 2
Stelle x0 ,Schrittweite h und gewähltem -
1 § · f x0 h = f ( 0 0.005 ) = f ( 0.005 ) = f ( 0) 0.005 f ' ¨ 0 0.005 2 © ¹
§ 1 0.005· ©2 ¹
f ( 0.005 ) = cos ( 0) 0.005 sin ¨
0.9999875
Seite 192
f ( 0.005 )
0.9999875
Näherungswert und "exakter" Wert
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion c) Näherungsformeln für kleine Größen x: Wegen f(x0 +h)
| f(x 0) + h f '(x0) gilt für x0 = 0 und h = x:
f(x) |f(0) + f '(0) x , für |x| << 1
(3-92)
Beispiel 3.5.7: y = sin ( x)
y' = cos ( x)
sin ( x)
|
sin ( 0) cos ( 0) x = x
y' = sin ( x)
cos ( x)
|
cos ( 0) sin ( 0) x = 1
tan ( x)
|
tan ( 0) 1 tan ( 0)
|
e e x=1 x
|
( 1 0) n ( 1 0)
sin(x) | x y = cos ( x) cos(x) | 1 y = tan ( x)
y' = 1 tan ( x)
2
2
x=x
tan(x) | x x
x
y=e ex
x
y' = e
e
0
0
|1+x
y = ( 1 x)
n
y' = n ( 1 x)
n1
( 1 x)
n
n
n 1
x = 1 nx
(1 +x)n | 1 + n x 1
y = ( 1 x)
1
n
1
n
1
1
1
n
n
1
1
|
( 1 0)
sin ( 0.03)
|
0.03
cos ( 0.005 )
|
1
tan ( 0.02)
|
0.02
|
1 0.001
|
1 2 0.03
|
1 2 0.009
|
1
y' =
( 1 x)
n
( 1 x)
n
( 1 0)
(1+x)1/n | 1+ 1/n x Beispiel 3.5.8: sin ( 0.03)
0.03
cos ( 0.005 ) tan ( 0.02) 0.001
e
2
1.03
0.02
1.001 1.061
1 1.009
1
2
0.982
0.001
e
2
1.03 = ( 1 0.03) 1 1.009
2
2
= ( 1 0.009 )
1
1.06
1.03
1.06
2
2
1.001 1.06 0.982
1
= ( 1 0.06)
2
Seite 193
1 2
0.06
1.03
n
1
x=1
1 n
x
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion 3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung Im Folgenden soll auf die Auswirkung eines Eingabefehlers auf ein Rechenergebnis eingegangen werden, was als Fehlerfortpflanzung bezeichnet wird. Dabei stehen hier Messwerte im Vordergrund, die sogenannte systematische Messfehler besitzen. Systematische Messfehler entstehen durch die Unvollkommenheiten von Messgeräten, etwa durch ungenaue Justierung und ungenaue Messmethoden. Sie treten unter gleichen Messbedingungen immer mit gleichen Betrag und gleichem Vorzeichen auf und sind im Prinzip korrigierbar. Häufig verzichtet man auf diese Korrektur und gibt zum gemessenen Wert nur den maximal möglichen absoluten oder relativen Fehler an. Davon unterscheiden sich die zufälligen Fehler (Ablesefehler, Reibungsfehler, schlechte Kontakte, Rauschen und dergleichen). Sie sind nicht genau erfassbar und daher nicht korrigierbar. Als Messergebnis wird der arithmetische Mittelwert wiederholter Messungen angegeben, ergänzt durch eine statistisch bestimmte Messunsicherheit. Darauf und auf die Auswirkungen zufälliger Fehler auf ein Rechenergebnis (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz) wird hier vorerst noch nicht eingegangen. Jede Messung einer physikalischen Größe ist fehlerbehaftet, d.h. ihr wahrer Wert x ist nicht bekannt. Ist x0 der gemessene (angezeigte) Wert, so bleibt mit x auch die Messabweichung x 0 - x (auch absoluter Fehler genannt) unbekannt. Um dennoch eine Aussage über die Messunsicherheit machen zu können, begnügen wir uns oft mit einer Abschätzung der Messabweichung: |x 0 - x| d |'x|.
|'x| wird deshalb als Messunsicherheit oder absoluter Maximalfehler der Messung bezeichnet. x = x0 r|'x| bedeutet, dass für den wahren Wert x vermutet wird: x0 -|'x| d x d x0 +|'x|. Die Angabe eines absoluten Maximalfehlers erfolgt in der Regel auf eine oder zwei geltende Ziffern. Auf die gleiche Genauigkeit wird x 0
Abb. 3.5.3
gerundet. Die Größe |'x/x0 | heißt relative Messunsicherheit oder relativer Maximalfehler der Messgröße x. Auswirkung einer Messunsicherheit von einer Messgröße x auf eine von ihr abhängige Größe y = f(x): Ist y = f(x) , x = x0 r|'x| und y0 = f(x0 ), so gilt für den absoluten und relativen Maximalfehler von y (weil |'x| im Allgemeinen klein ist): 'y 'y y0
| dy = f ' x0 'x bzw. |
dy y0
=
f ' x0 y0
'x bzw. Frel =
Seite 194
(3-93) 'y y0
100%
(3-93)
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion Beispiel 3.5.9: Gemessen wird die Seite eines Quadrates mit a = 8.12 cm r0.5 mm. Wie groß ist näherungsweise der damit verbundene absolute und relative Maximalfehler ( mithilfe des Differentials) der Fläche ? Bestimmen Sie die Fehler auch exakt mithilfe der Wertschranken. Fehlerbestimmung mithilfe des Differentials: 2
d
A1 ( a) a
Ax ( a)
a0 8.12 cm
A0 A1 a0
'A
'A A0
A1 ( a)
Ax a0 vereinfachen o 2 a0
|
da
Ax a0
100%
2
Ax a0
|
'a 100%
A0
65.934 cm
absoluter Fehler
0.812 cm
'a
2
A0
Funktion und Ableitung
'a 0.05 cm A = A 0 r'A = (65.93 r 0.81) cm2
relativer Fehler
1.2 %
Fehlerbestimmung mithilfe der Wertschranken: aun 8.12 cm 0.05 cm Aun aun A0 'A
2
2
Aun
65.125 cm
1
A Aun 2 ob 1 2
Aob aob
2
Aob
2
66.749 cm
Wertschranken
2
A0
Aob Aun
Wertschranken
aob 8.12 cm 0.05 cm
65.937 cm
2
A = A 0 r'A
0.812 cm
'A
Beispiel 3.5.10: Der Spannungsabfall U eines von Gleichstrom durchflossenen Widerstandes R = 10 : wird mithilfe des Ohmschen Gesetzes bestimmt. Wie groß ist der prozentuelle Fehler von U, wenn bei der Messung von I0 = 6.3 A ein Fehler 'I = r0.2 A vorhanden ist? d
U ( I) R I
UI ( I)
I0 6.3 A
'I 0.2 A
'U U0
'U U0
100%
|
100%
|
UI I0 U0
'I I0
dI
U ( I)
UI I0 vereinfachen o R Messwert und Abweichung
'I 100% =
100%
Funktion und Ableitung
R R I0
'I 100% =
3.175 %
Seite 195
'I I0
100% relativer Fehler
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion Beispiel 3.5.11: Der Durchmesser einer Kugel zu d = 5.0 cm r0.1 cm gemessen. Wie groß ist näherungsweise der damit verbundene absolute und relative Maximalfehler ( mithilfe des Differentials) der Oberfläche und des Volumens der Kugel ? Bestimmen Sie die Fehler auch exakt mithilfe der Wertschranken. Oberfläche: Fehlerbestimmung mithilfe des Differentials: 2
d
O ( d) S d
Ox ( d)
d0 5.0 cm
'd 0.1 cm
O0 O d0 'O
'O O0
Ox d0
2
O0
Funktion und Ableitung
berechnete Oberfläche
absoluter Fehler
3.1 cm
Ox d0
Ox d0 vereinfachen o 2 S d0 Messwert und Abweichung
78.5 cm
'd
|
100%
O ( d)
2
O0
|
dd
'd 100%
relativer Fehler
4%
O = O0 r'2 = (78.5 r 3.1) cm 2 Fehlerbestimmung mithilfe der Wertschranken: dun 5.0 cm 0.1 cm Oun S dun O0 'O
1 2
2
2
Oun
75.4 cm
Oob Oun
O0
78.571 cm
Oob Oun
'O
3.142 cm
1 2
Wertschranken
dob 5.0 cm 0.1 cm Oob S dob 2
2
2
Oob
2
81.7 cm
Wertschranken
berechnete Oberfläche
absoluter Fehler
O = O0 r'2 = (78.5 r 3.1) cm 2 Volumen: Fehlerbestimmung mithilfe des Differentials: Redefinition
d0 d0 V ( d)
S 6
3
d
d0 5.0 cm
V0 V d0
Vx ( d)
d dd
V ( d)
'd 0.1 cm V0
3
65.4 cm
1 2 Vx d0 vereinfachen o S d0 2
Messwert und Abweichung berechnetes Volumen
Seite 196
Funktion und Ableitung
Differentialrechnung Das Differential einer Funktion
'O
'V V0
|
Vx d0
Vx d0
|
100%
3
absoluter Fehler
3.9 cm
'd
'd 100%
V0
6%
sehr großer relativer Maximalfehler
V = V0 r'V = (65.4 r 3.9) cm 3 Fehlerbestimmung mithilfe der Wertschranken: Wertschranken
dun 5.0 cm 0.1 cm dob 5.0 cm 0.1 cm S
Vun V0 'V
'V V0
6
dun
3
3
Vun
1
V Vun 2 ob 1
V Vun 2 ob 100 %
61.6 cm 3
V0
65.5 cm
'V
3.9 cm
3
Vob
S 6
dob
3
Vob
3
69.5 cm
Wertschranken
berechnetes Volumen
absoluter Fehler
sehr großer relativer Maximalfehler
5.994 %
V = V0 r'V = (65.5 r 3.9) cm 3 Beispiel 3.5.12: Das Flüssigkeitsvolumen in einem kugelförmigen Behälters beträgt V = S/6 h2 (3 D - 2 h). Der Behälterdurchmesser ist D = 2.75 m. Die Höhe der Flüssigkeit wird mit h = 0.720 m r0.005 m gemessen. Wie groß ist näherungsweise der damit verbundene absolute und relative Maximalfehler des Volumens ?
V ( h D)
Vx ( h D)
S 6
2
d dh
'V V0
|
V0
1.848 m
Vx h0 D
100%
|
2
Vx h0 D vereinfachen o S h0 D S h0
h0 0.720 m
V0 V h0 D 'V
V ( h D)
D 2.75 m
Funktion
h ( 3 D 2 h)
'h
'h 0.005 m
3
Durchmesser, Messwert und Messabweichung berechnetes Volumen
0.023 m
Vx h0 D V0
3
'h 100%
absoluter Fehler
1.24 %
V = V0 r'V = (1.848 r 0.023) cm3
Seite 197
relativer Fehler
Ableitung
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Von besonderer Bedeutung als numerisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung bzw. der Lösung einer Gleichung sind die sogenannten Iterationsverfahren (iterum-zum zweiten Mal; Wiederholungsverfahren). Gemeinsam ist ihnen, dass wir von einem Startwert (oder auch mehreren Startwerten) ausgehend eine Folge von Näherungswerten x 1 , x2 , x3 , ... berechnen. Dass diese Näherungswerte mehr oder weniger schnell der gesuchten Lösung beliebig nahe kommen, ist nicht von vornherein gesagt. Ist dies der Fall, so heißt die Folge der Näherungswerte x 1 , x2 , x3 , ... konvergent. Der Grenzwert ist eine gesuchte Nullstelle bzw. Lösung der Gleichung.
3.6.1 Das Newton-Verfahren Um die Gleichung f(x) = 0 lösen zu können, wird zuerst beim Startwert x 1 der Graph der Funktion y = f(x) durch seine Tangente t 1 ersetzt. Deren Schnittstelle mit der x-Achse ist ein Näherungswert x2 für die gesuchte Nullstelle der Funktion. Auf diese Weise fahren wir fort und errichtet an der Stelle x 2 die Tangente t2 . Mit dieser Stelle erhalten wir durch den Schnittpunkt mit der x-Achse den nächsten Näherungswert x 3 der Nullstelle usw.
Tangente in P 1 :
y f x1 = f ' x1 x x1 y y1 = k x x1
Schnittpunkt mit der x-Achse S(x 2 |0):
0 f x1 = f ' x1 x2 x1
Abb. 3.6.1
0 f x1 = f ' x1 x2 x1
x2 =
=x
f ' x1 x1 f x1
f ' x1
f x1 1 f' x 1
Setzen wir dieses Verfahren fort, dann ergibt sich: Ist x0 eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, und ist x 1 ein hinreichend nahe bei x 0 liegender Startwert, so konvergiert die nach
f xn xn 1 = xn , n = 1, 2, 3, ... f ' xn
(3-94)
berechnete Iterationsfolge gegen die Lösung x 0 . Als hinreichende Konvergenzbedingung gilt:
f ' xn
f xn f '' xn
1
(3-95)
Seite 198
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen NN ( x f H )
im0 while
f ( x) ! H
imi1 Ein Unterprogramm zur Nullstellensuche.
break if i ! 10 xmx
f ( x) d dx
f ( x)
Beispiel 3.6.1: Bei ein Schubkurbeltriebes tritt folgende Bestimmungsgleichung auf: x 3 - x2 - x + 0.04 = 0. Bestimmen Sie die kleinste positive Lösung dieser Gleichung. 3
2
Funktion
f ( x) x x x 0.04
0
f( x)
ORIGIN festlegen
ORIGIN 1
0.5
0.5
0.5
1
fx ( x)
d dx
2
f ( x)
fxx ( x)
fx x1
f x1 fxx x1 x
2
f ( x)
dx
Startwert
x1 0.1
1
d
0.083
x1 ist ein geeigneter Startwert (3-95)
Abb. 3.6.2 Bereichsvariable
n 1 10 xn1 xn
fx xn f xn
iterative Berechnung
1
x
1
0.1
2
0.04103
3
0.03857
4
0.03857
5
0.03857
6
0.03857
7
0.03857
8
0.03857
9
0.03857
10
0.03857
11
0.03857
H 10
5
Genauigkeit
Die Folge konvergiert sehr rasch! Hier sind im Ergebnisformatfenster 5 Dezimalstellen eingestellt!
NN x1 f H
Seite 199
0.03857
Näherungslösung mit einem Unterprogramm
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Beispiel 3.6.2: Ermitteln Sie die Quadrat- und Kubikwurzel einer Zahl a. x= x=
3
2
a
x =a
a
x =a
3
2
2
x a=0
x a=0
3
3
f ( x) x 2
f( x) 1
ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 d
fx ( x) 2
3
g ( x) = x a
Funktionen
g ( x) x 2 10
g ( x)
2
f ( x) = x a
0
1
dx
2
2
f ( x)
d
gx ( x)
dx
fxx ( x)
d
2
f ( x)
dx
Ableitungen
2
g ( x)
gxx ( x)
10
d
2
g ( x)
dx
x
Abb. 3.6.3
Startwert aus der Grafik
x1 1.3
fx x1
f x1 fxx x1
0.238
geeigneter Startwert (3-95)
Startwert aus der Grafik
x1 1 1.3
gx x1 1
g x1 1 gxx x1 1
xn1 xn
fx xn f xn
iterative Berechnung
x1 n1 x1 n
1
gx x1 n g x1 n
1.3
1
1.3
2
1.41923
2
1.26114
3
1.41422
3
1.25992
4
1.41421
4
1.25992
5
1.41421
5
1.25992
6
1.41421
6
1.25992
7
1.41421
7
1.25992
8
1.41421
8
1.25992
9
1.41421
9
1.25992
10
1.41421
10
1.25992
11
1.41421
11
1.25992
5
NN x1 f H
geeigneter Startwert (3-95)
Die Folge konvergiert sehr rasch.
Genauigkeit
iterative Berechnung
1
1
H 10
0.303
Bereichsvariable
n 1 10
x
1.41421
2
1.41421
x1
H 10
5
NN x1 1 g H
Seite 200
Die Folge konvergiert sehr rasch.
Genauigkeit
1.25992
3
2
1.25992
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen
xn 2 a
xn1 = xn
2 xn
=
2 xn 2 a
2 xn
2 xn
x1n 3 a = 2 3 x1 n
x1 n1 = x1 n
=
a · xn ¨ xn ¹ 2© 1§
3 x1n 3 a = 2 3 x1 n
3 x1 n
1
Heronverfahren für die Quadratwurzel
ª 3 « ¬
« 2 x1 n
»º x1n 2 »¼
Heronverfahren für die kubische Wurzel
Radikand
a 2 1§
a · xn ¨ 2© xn ¹
xn1
Heron Verfahren
1
ª 3 « ¬
x1 n1
« 2 x1 n
1
x
a
a
»º x1n 2 »¼
1
1
1.3
1
1.3
2
1.41923
2
1.26114
3
1.41422
3
1.25992
4
1.41421
4
1.25992
5
1.41421
5
1.25992
6
1.41421
6
1.25992
7
1.41421
7
1.25992
8
1.41421
8
1.25992
9
1.41421
9
1.25992
10
1.41421
10
1.25992
11
1.41421
11
1.25992
x1
Startwert
x1 1.3
wurzel f x1 x1
Näherungslösung wurzel g x1 x1
1.41401
wurzel ( f ( x) x 1 1.5)
1.41421
1.25996
wurzel ( g ( x) x 1 1.5)
Näherungslösung
1.25992
Beispiel 3.6.3: Bei der Untersuchung der Wärmestrahlung ergibt sich die Gleichung e Lösung x > 0 auf drei Dezimalstellen genau. x
f ( x) e
x 5
= 1 - x/5. Gesucht ist die erste
Funktion
1 2
ORIGIN 1
1
fx ( x)
f( x) 1
-x
1
3
5
7
d dx
2
f ( x)
x
fxx ( x)
fx x1
Abb. 3.6.4
Seite 201
d
2
f ( x) Ableitungen
dx
Startwert
x1 4 f x1 fxx x1
1
ORIGIN festlegen
0.018
x1 ist ein geeigneter Startwert (3-95)
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Bereichsvariable
n 1 10 xn1 xn
fx xn f xn
iterative Berechnung
1
x
1
4
2
5
3
4.96514
4
4.96511
5
4.96511
6
4.96511
7
4.96511
8
4.96511
9
4.96511
10
4.96511
11
4.96511
H 10
Die Folge konvergiert sehr rasch.
5
Genauigkeit
NN x1 f H
Näherungslösung mit einem Unterprogramm
4.96514
wurzel ( f ( x) x 4 6)
Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel"
4.96511
Beispiel 3.6.4: Für den Einweggleichrichter ist der Stromflusswinkel D (0 d D dS/2) aus der folgenden Gleichung zu bestimmen: Ra Ri
=
S
gegebene Gleichung
tan ( D ) D
Ra = 150 :
gegebene Werte
Ri = 40 :
f ( D ) tan ( D ) D
S 40
Funktion
150
ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 0 f( D )
0.75
1.5
10
2.25
3
fx ( x)
d dx
2
f ( x)
fxx ( x)
fx x1
f x1 fxx x1 D
Abb. 3.6.5
Seite 202
2
f ( x)
dx
Startwert
x1 1.1
20
d
0.134
x1 ist ein geeigneter Startwert (3-95)
Ableitungen
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Bereichsvariable
n 1 10
fx xn f xn
xn1 xn
iterative Berechnung
1
x
1
1.1
2
1.09301
3
1.09288
4
1.09288
5
1.09288
6
1.09288
7
1.09288
8
1.09288
9
1.09288
10
1.09288
11
1.09288
H 10
Die Folge konvergiert sehr rasch.
5
NN x1 f H
x3
1.093
Näherungswert in Radiant
x3
62.618 Grad
Näherungswert in Grad
Genauigkeit
Näherungslösung mit einem Unterprogramm
1.09288
wurzel ( f ( x) x 0.5 1.3)
1.09288
Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel"
3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi) Bei diesem Verfahren suchen wir zuerst zwei Stellen x 1 und x2 auf, an denen die Funktion y = f(x) verschiedene Vorzeichen der Funktionswerte hat (vergleiche Nullstellensatz). Durch den Punkt P 1 und P2 wird dann eine Sekante gelegt. Damit ergibt sich ein Schnittpunkt an der Stelle x 3 mit der x-Achse. Durch den Punkt P 1 und P3 wird wieder eine Sekante gelegt usw.
Sekante:
f ( x) = f x1
f x2 f x1 x2 x1
x x1
Schnittpunkt S(x 3 |0) mit der x-Achse:
0 = f x1
f x2 f x1 x2 x1
x3 x1
Abb. 3.6.6
0 = f x1
f x2 f x1 x2 x1
x3 x1
Seite 203
x2 x1 x3 = x1 f x1 f x2 f x1
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Setzen wir dieses Verfahren fort, dann ergibt sich: Ist x0 eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 und haben f(x 1 ) und f(x2 ) verschiedene Vorzeichen, also f(x1 ) . f(x2 ) < 0, so konvergiert die nach xn1 xn xn 2 = xn f xn f xn 1 f xn
, n = 1, 2, 3, ...
(3-96)
berechnete Iterationsfolge gegen die Lösung x 0 .
NS ( f a b H )
x1 m a x2 m b im0 while
x2 x1 ! H
if f ( x) f x1 0
x2 x1 x m x1 f x1 f x2 f x1 x2 m x
Ein Unterprogramm zur Nullstellensuche.
x1 m x otherwise imi1 break if i t 10 x Beispiel 3.6.5: Bei der Untersuchung der Wärmestrahlung ergibt sich, wie schon in Beispiel 3.6.3 angegeben, die Gleichung e -x = 1 - x/5. Gesucht ist die erste Lösung x > 0 auf drei Dezimalstellen genau. x
f ( x) e
x 5
1
Funktion
2
ORIGIN 1
1
f ( 3)
0.35
f ( 6)
0.202
f( x) 1
1
3
5
x
Abb. 3.6.7
x1 3 n 1 10
x2 6
Funktionswerte
7
( f ( 3) f ( 6) 0)
1
ORIGIN festlegen
Startwerte Bereichsvariable
Seite 204
1
Logische Auswertung! Im Intervall [3, 6] liegt eine Nullstelle.
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen
xn2 xn f xn
xn 1 xn
f xn1 f xn
iterative Berechnung
1
x
1
3
2
6
3
4.9009491651
4
4.9642305688
5
4.9651152804
6
4.9651142317
7
4.9651142317
8
4.9651142317
9
4.9651142317
10
4.9651142317
11
4.9651142317
12
4.9651142317
H 10
Die Folge konvergiert ebenfalls sehr rasch.
10
Genauigkeit
a 3
Intervallgrenzen
b 6
NS ( f a b H )
Näherungslösung mit einem Unterprogramm
4.9651142317
wurzel ( f ( x) x a b)
4.9651142317
Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel"
Beispiel 3.6.6: Eine Bank bietet dem Kunden folgende Sparmöglichkeit: Der Kunde zahlt fünfmal jeweils zu Jahresbeginn je 1000 € ein und er erhält am Ende des fünften Jahres ein Guthaben von 6000 €. Wie groß müsste der Zinssatz p sein, dass ein Kunde bei den gleichen Einzahlungen nach fünf Jahren den gleichen Endstand erzielt ? q=1 p 5
Endwert der ersten Einzahlung
4
Endwert der zweiten Einzahlung
1000 q 1000 q
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Endwert der fünften Einzahlung
1000 q Wir erhalten damit: 5
4
3
2
1000 q 1000 q 1000 q 1000 q 1000 q = 6000 5
4
3
2
q q q q q=6
§ q5 1 ·
f ( q) q ¨
© q 1 ¹
6
4 3 2 q q q q q 1 = 6
Funktion
Seite 205
bzw.
§ q5 1 · q ¨ = 6 geometrische Folge © q1 ¹
Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen
100
ORIGIN festlegen
ORIGIN 1
50
f ( 0.8)
3.311
Funktionswerte
f( q ) 0
0.5
1
1.5
50
2
f ( 1.5)
13.781
( f ( 0.8) f ( 1.5) 0) q
1
Logische Auswertung! Im Intervall [0.8, 1.5] liegt eine Nullstelle.
Abb. 3.6.8 q1 0.8
Startwert
q2 1.5
Bereichsvariable
n 1 10
qn 2 qn f qn
qn 1 qn
f qn 1 f qn
iterative Berechnung
1
q
1
0.8
2
1.5
3
0.936
4
1.004
5
1.072
6
1.061
7
1.061
8
1.061
9
1.061
10
1.061
11
1.061
12
1.061
H 10
Die Folge konvergiert sehr rasch.
6
Genauigkeit
q1 0.8
Intervallgrenzen
q2 1.5
NS f q1 q2 H
Näherungslösung mit einem Unterprogramm
1.061
q wurzel f ( q) q q1 q2 p q 1
p
6.14 %
q
1.061
Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel" gesuchter Zinssatz
Seite 206
Differentialrechnung Interpolationskurven 3.7 Interpolationskuven Wir sprechen von einer Interpolation, wenn eine Funktion ermittelt werden soll, die an vorgegebenen n+1 Stützstellen x 0 , x1 , x2 , ..., xn die gegebenen Stützwerte y 0 , y1 , y2 , ..., yn annimmt. Die gesuchte Funktion soll ein einfaches Interpolieren ermöglichen, wie die Berechnung der Zwischenwerte genannt wird. Dabei soll sie zwischen den Stützstellen von der gegebenen Funktion (falls diese bekannt ist) möglichst wenig abweichen. Bei allen möglichen Interpolationsfunktionen sind die Polynomfunktionen n-ten Grades von großer Bedeutung: n
n 1
y = Pn ( x) = an x an1 x n
y = Pn ( x) = a0
¦
k
n2
an 2 x
2
.... a2 x a1 x a0 bzw. (3-97)
§ a xk· © k ¹
(3-98)
1
Es kann Folgendes ausgesagt werden: Sind alle n+1 Stützstellen x0 , x1 , x2 , ..., xn paarweise verschieden, so gibt es dazu genau ein Interpolationspolynom vom Grad n. Bei zunehmender Stützstellenanzahl wird jedoch bei der Verwendung einer einzigen Polynomfunktion der Graph sehr wellig. Häufig verlangen wir aber bei Anwendungen (z.B. Autokarosserien, Flugzeugtragflächen usw.) eine möglichst glatte Kurve durch die Stützpunkte. Die Lösung sind stückweise aus Polynomfunktionen des gleichen niedrigen Grades zusammengesetzte Splines ("biegsames Lineal"). Der einfachste Spline ist ein linearer Spline, der aber nur einen Streckenzug durch die Stützpunkte darstellt. Die häufig gestellten Forderungen, dass der Graph beim Übergang an der Stelle x i keinen Sprung im Funktionswert (Sprungstelle), keinen Sprung in der Steigung (Knick) und keinen Sprung in der Krümmung haben soll, erfüllen am besten kubische Polynome, d.h. die erste und die zweite Ableitung der Kurve soll in jedem Punkt stetig sein . Diese Splines werden kubische Splines genannt. Kubische Splines zeichnen sich geometrisch dadurch aus, dass deren Krümmung, über das Interpolationsintervall betrachtet, minimal ist.
Beispiel 3.7.1: Gegeben ist die Funktion y = x 2 - 2.5 x + 1.8. Ersetzen Sie die Funktion an den Stützstellen x 0 = 1 und x 1 = 2 durch eine lineare Funktion und Berechnen Sie damit den interpolierten Wert an der Stelle x = 1.6. Wie groß ist dabei der Interpolationsfehler ? An welcher Stelle zwischen x 0 und x 1 ist der bei der linearen Interpolation entstehende maximale absolute Fehler am größten ? 2
f ( x) x 2.5 x 1.8
gegebene Funktion
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
x
§1 · ¨ ©2 ¹
y
§ f ( 1) · ¨ © f ( 2) ¹
0
y
0
0.3
1
0.8
Stützpunkte
Iterpolationskurve
y=kx d
Durch sukzessives Einsetzen der Werte für xi und yi erhalten wir daraus ein lineares Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten k und d . 0.3 = d k 1 0.8 = d k 2
bzw. als Matrixgleichung
y=
§1 1 · §d · ¨ = A a ¨ ©1 2 ¹ ©k ¹
Seite 207
Differentialrechnung Interpolationskurven Wir erhalten daraus den Lösungsvektor a durch Multiplikation mit A-1 von links,
y = A a
also a = A -1 y (wegen A-1 A = E). Die Koeffizientenmatrix A dieses lineares Gleichungssystem: Bereichsvariable
i 0 1 o ¢i² i A x
1
a A
A
§1 1 · ¨ ©1 2 ¹
A
§d · ¨ a ©k ¹
y
Die Matrix A ist regulär, daher
1
existiert die Matrix A-1. 0
§d · ¨ ©k ¹
0
-0.2
1
0.5
P ( x) k x d
gesuchtes Interpolationspolynom
x1 1.6
Zwischenstelle x 1
f x1
Näherungswert (Polynomwert)
P x1
0.6
exakter Funktionswert
0.36
Bereichsvariable
z 0.5 0.5 0.01 3 2
x1 1
f( z)
P x1 f x1
Interpolationsfehler
P( z)
Abb. 3.7.1
wahrer Wert
y 1
0
1
2
3
1 z z x
Interpolationsfehler (Istwert - Sollwert):
P x1 f x1
0.24
Maximaler absoluter Fehler (interpolierter Wert - wahrer Wert)
2
F ( x) = P ( x) f ( x) = 0.5 x 0.2 x 2.5 x 1.8 2
F ( x) = P ( x) f ( x) = 3. x 2. 1. x 2
F ( x) 3. x 2. 1. x
vereinfacht auf Fehlerfunktion nach unten geöffnete Parabel mit Hochpunkt (Maximum)
Seite 208
Differentialrechnung Interpolationskurven
Fx ( x)
2
d dx
F ( x)
xmax Fx ( x) = 0
Fxx xmax
d
Fxx ( x)
2
Ableitungen
F ( x)
dx
auflösen x o 1.5 gleit 2
berechneter x-Wert Fxx(xmax) < 0, daher liegt ein Maximum vor
2
Fmax F xmax
Fmax
maximaler absoluter Fehler
0.25
Beispiel 3.7.2: Durch n gegebene Punkte P k(xk, yk) (k = 1, 2, ... n) ist ein Polynom möglichst niedrigen Grades zu legen. Gesucht sind Zwischenwerte für x = -1, 0.5, 4.
§ 2.8 · ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 1 ¸ x ¨ ¸ ¨ 3.2 ¸ ¨ 5.5 ¸ ¨ © 6.1 ¹
§ 5 · ¨ ¨ 2.2 ¸ ¨ 2 ¸ y ¨ ¸ ¨ 4 ¸ ¨ 12.2 ¸ ¨ © 18.4 ¹
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen 2
Koordinaten der Punkte P k
3
4
5
y = a0 a1 x a2 x a3 x a4 x a5 x
6 Punkte, daher Polynom 5. Grades
Durch sukzessives Einsetzen der Werte für xi und yi erhalten wir daraus ein lineares Gleichungssystem aus 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten a 1 , ... ,a6 . Anzahl der Punkte:
n 6 i 0 n 1
Bereichsvariable (Indexlaufbereiche)
j 0 n 1 Koeffizintenmatrix:
ª1 « « «1 « «1 A « «1 « «1 « «1 ¬ A
x0
x0 2 x0 3 x0 4 x0 5 º»
x1
x1 2 x1 3 x1 4 x1 5 »
»
2
3
4
x2
x2 x2 x2
x3
x3 2 x3 3 x3 4
x4
x4 2 x4 3 x4 4
x5
x5 2 x5 3 x5 4
1.023 u 10
8
» x2 » » 5» x3 » 5» x4 » 5» x5 ¼ 5
§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1
2.8
7.84
21.952
61.466
0
0
0
0
0
¸ ¸ 1 1 1 1 1 ¸ 3.2 10.24 32.768 104.858 335.544 ¸ 5.5 30.25 166.375 915.063 5032.844 ¸ 6.1
reguläre Matrix
Seite 209
172.104 ·
37.21 226.981 1384.584 8445.963 ¹
Differentialrechnung Interpolationskurven oder:
xi j
Ai j
oder:
o
¢i² i A x
1
a A
2.8
7.84
21.952
61.466
0
0
0
0
§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1
2.8
7.84
21.952
61.466
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
¸ ¸ 1 1 1 1 1 ¸ 3.2 10.24 32.768 104.858 335.544 ¸ 5.5 30.25 166.375 915.063 5032.844 ¸ 37.21 226.981 1384.584 8445.963 ¹
6.1
0
1 2.2
0
n 1
P ( x) a0
¦
i
¸ ¸ ¸ 3.2 10.24 32.768 104.858 335.544 ¸ 5.5 30.25 166.375 915.063 5032.844 ¸ 37.21 226.981 1384.584 8445.963 ¹
6.1
2
-6.974
§ ai xi· © ¹
3
2.407
4
0.624
-0.283
5 0.026
Interpolationspolynom
1
§¨ 1 · x1 ¨ 0.5 ¸ ¨ 4 © ¹
k 0 2
gewählte Zwischenwerte und Bereichsvariable
0
0
172.104 ·
Koeffizienten des Polynoms
y
T
a
172.104 ·
§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1
y1k P x1 k
y1
0 1 2
10.647 -0.624
oder
P ( x1 )
6.868
x floor ( min ( x) ) floor ( min ( x) ) 0.1 ceil ( max ( x) )
0
10.647
1
-0.624
2
6.868
Bereichsvariable
60
P( x) yi
40
20
Abb. 3.7.2
y1k 0
20
3
1.33
0.33
2
3.67
x x i x1k
Seite 210
5.33
7
Differentialrechnung Interpolationskurven Beispiel 3.7.3: Durch die gegebenen Messdaten soll eine ganzrationale Funktion gelegt werden. Zum Vergleich soll mittels kubischer Spline-Interpolation eine Ausgleichskurve gefunden werden. T
I ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 )
Messdaten T
U ( 29 51 101 174 288 446 )
ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 2
3
4
Up ( I) = a0 a1 I a2 I a3 I a4 I a5 I
5
Näherungspolynom
Durch Einsetzen der Messdaten in das Näherungspolynom ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das in Matrixform U = A a geschrieben werden kann. n 6
Anzahl der Messwerte
i 0 n 1
Bereichsvariable
§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1
o
¢i² i A I
A
3.456 u 10 1
a A T
a
Koeffizientenmatrix
11
0.1 0.01 0.001
0
0
0.2 0.04 0.008 0.002
·
0
¸ 0.3 0.09 0.027 0.008 0.002 ¸ ¸ 0.4 0.16 0.064 0.026 0.01 ¸ 0.5 0.25 0.125 0.063 0.031 ¸ 0.6 0.36 0.216
0.13
0.078 ¹
reguläre Matrix gesuchter Koeffizientenvektor
U
( 101 1638.5 12379.167 37333.333 57083.333 31666.667 ) 5
Up ( I) a0
¦
k
§ ak Ik· © ¹
Up ( 0.1)
1
I 0.1 0.1 0.001 0.7
Bereichsvariable
Interpolationspolynom
600 U
Näherungspolynom
29
400
U p( I)
Abb. 3.7.3 200
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 I I
Seite 211
0.5
0.6
0.7
Differentialrechnung Interpolationskurven Zum Vergleich Interpolation mit kubischer Splinefunktion:
Upk ( I) interp ( vc I U I)
kspline(vx,vy) gibt einen Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren vx (I) und vy (U) zurück. Dieser Vektor wird als das erste Argument der Funktion interp verwendet. Die sich dabei ergebende Spline-Kurve ist an den Endpunkten kubisch. interp(vc,vx,vy,x) führt eine Spline-Interpolation von vy (U) am Punkt x aus und gibt den sich dabei ergebenden Wert zurück.
I 0.1 0.1 0.001 0.7
Bereichsvariable
vc kspline ( I U)
Spline-Interpolationspolynom
600 U U pk( I) U p( I)
400
Abb. 3.7.4 200
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
I I I
Beispiel 3.7.4: Durch fünf Punkte soll die Kurve einer ganzrationalen Funktion 4. Grades gelegt werden. Zum Vergleich soll mittels kubischer Spline-Interpolation eine Interpolationskurve gefunden werden. Die Ableitungsfunktion soll ebenfalls dargestellt werden. ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 T
x (1 2 4 6 9 )
Koordinaten der gegebenen Punkte
T
y ( 1 2.1 2.8 2 1.8 )
Gegebene Stützpunkte
4 3 y
2
Abb. 3.7.5
1 1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x 2
3
4
y = a0 a1 x a2 x a3 x a4 x
ganzrationale Funktion 4. Grades (Näherungspolynom)
Durch sukzessives Einsetzen der Werte für xi und yi erhalten wir daraus ein lineares Gleichungssystem aus 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten a 1 , ... ,a5 . Die Koeffizientenmatrix A dieses linearen Gleichungssystems enthält in der i-ten Zeile die i-ten Potenzen von xi . i 0 4
Bereichsvariable
Seite 212
Differentialrechnung Interpolationskurven
o ¢i² i A1 x
A1
1
1
1
1
· 16 ¸ 8 2 4 ¸ 4 16 64 256 ¸ 6 36 216 1296 ¸
A1
2.016 u 10
5
reguläre Matrix
9 81 729 6561 ¹
Wir erhalten daraus den Lösungsvektor a durch Multiplikation mit A-1 von links.
y = A1 a a A1
§¨ 1 ¨1 ¨1 ¨ ¨1 ¨1 ©
1
T
y
a 4
P ( x) a0
¦
i
§ ai xi· © ¹
( 0.557 1.751 0.171 0.026 0.003 )
gesuchtes Interpolationspolynom
1
Bei der kubischen Spline-Interpolation wird durch drei benachbarte Punkte (in aufsteigender Reihenfolge) jeweils ein kubisches Polynom gelegt. Diese kubischen Polynome werden dann zur eigentlichen Kurve verbunden. Dadurch wird erreicht, dass die erste und zweite Ableitung der Interpolationskurve in jedem Punkt stetig ist. vc kspline ( x y)
kubischer Spline-Vektor vc
Ps ( x) interp ( vc x y x)
kubische-Interpolationskurve
Psx ( x)
d dx
interp ( vc x y x)
Ableitungsfunktion
Bereichsvariable
x floor ( min ( x) ) floor ( min ( x) ) 0.1 ceil ( max ( x) )
5 y
3.6
P( x)
2.2
Ps( x)
0.8
Psx( x)
2
10.6 0
Abb. 3.7.6 1
2
3
4
5
6
7
2 x x x x
Seite 213
8
9
10
Differentialrechnung Interpolationskurven Ein Wertevergleich für t 2 10 : Ps ( t)
P ( t)
-5.678
-4.486
-2.858
-2.45
-0.642
-0.557
1
1
2.1
2.1
2.689
2.693
2.8
2.8
2.499
2.514
2
2
1.551
1.493
1.401
1.3
1.8
1.8
2.996
3.443
Der Vergleich zeigt, dass die Unterschiede der Splinekurve von der Kurve des oben gefundenen Polynoms sich in den Randbereichen stärker bemerkbar machen.
Beispiel 3.7.5: Durch die gegebenen Messdaten soll mittels kubischer Spline-Interpolation eine Ausgleichskurve gefunden werden. ORIGIN 0
§¨ 1 ¨3 ¨5 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ¨8 ¨ 11 D ¨ ¨ 12 ¨ 13 ¨ ¨ 14 ¨ 16 ¨ ¨ 17 ¨ 19 ©
ORIGIN festlegen
2.6
· 23.16 ¸ ¸ 24.26 ¸ 27.57 ¸ ¸ 16.63 ¸ 30.41 ¸ ¸ 47.2 ¸ 50.03 ¸ ¸ 60.33 ¸ 59.89 ¸ ¸ 71.18 ¸ 84.27 ¸
0
D spsort ( D 0) Sortieren der Messdaten ¢0² x D
D
Extrahierung der Spalten
¢1² y D
77.69 ¹
vc kspline ( x y)
Spline-Koeffizienten
fA ( x) interp ( vc x y x)
Anpassungsfunktion (Interpolationsfunktion)
i 0 länge ( x) 1
Bereichsvariable
n 500
Anzahl der Punkte
Seite 214
1
0
1
2.6
1
3
23.16
2
4
27.57
3
5
24.26
4
6
16.63
5
8
30.41
6
11
47.2
7
12
50.03
8
13
60.33
9
14
59.89
10
16
71.18
11
17
84.27
12
19
77.69
Differentialrechnung Interpolationskurven Bereichsvariable
j 0 n
x1 j min ( x) j
max ( x) min ( x)
Bereichsvariable in Vektorform
n
Interpolierte Werte: yi
fA ( 2)
fA x1j
13.775
fA ( 7.71)
xi x1j
27.299
Abb. 3.7.7
x-y-Daten kubische Spline-Interpolation
Beispiel 3.7.6: Durch die erzeugten Messdaten soll mittels linearer und kubischer Spline-Interpolation eine Ausgleichskurve gefunden werden.
f ( x) e
x 4
n 4 x2 i i
sin ( x)
gedämpfte Schwingung
i 0 n
Bereichsvariable
2 S
erzeugte Messdaten
y2i f x2 i
n
Lineare Interpolation: fL ( x) linterp ( x2 y2 x)
lineare Interpolationsfunktion
x x2 0 x2 0 0.01 x2 n
Bereichsvariable für Zwischenwerte
1
y2i
0.5
f( x)
Abb. 3.7.8
fL ( x)
0
1
2
3
4
5
0.5 x2i x x
Seite 215
6
7
Differentialrechnung Interpolationskurven Kubische Spline-Interpolation: Je nachdem ob das Spline-Ende linear, parabolisch oder kubisch sein soll, verwenden wir lspline, pspline, oder kspline. vl lspline ( x2 y2)
vp pspline ( x2 y2)
Spline-Koeffizienten
vc kspline ( x2 y2)
fl ( x) interp ( vl x2 y2 x) Interpolationsfunktionen
fp ( x) interp ( vp x2 y2 x) fc ( x) interp ( vc x2 y2 x)
0.6 y2i f( x) fl ( x)
0.4
0.2
Abb. 3.7.9
fp ( x) fc( x)
0
1
2
3
4
5
0.2
0.4 x2i x x x x
Quadratische Fehler im Vergleich: x2
´ n 2 µ f ( x) fL ( x) dx µ ¶x2
0.0624
lineare Interpolation
0
x2
´ n 2 µ f ( x) fl ( x) dx µ ¶x2
0.0096
Spline mit linearem Ende
f (x) fp (x) 2 dx
0.0023
Spline mit parabolischem Ende
´ n 2 µ f ( x) fc ( x) dx µ ¶x2
0.0056
Spline mit kubischem Ende
0
x
´ n µ µ ¶x2
0
x2
0
Seite 216
6
7
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3.8.1 Allgemeines Viele Zusammenhänge lassen sich nicht alleine durch Funktionen y = f(x) mit einer Variablen x beschreiben und in der Ebene 2 darstellen. Kurve im Raum 3 (Parameterdarstellung): f: D oW (x x )
(3-99)
t ~of(x(t),y(t),z(t))
Beispiel 3.8.1: N 36
Anzahl der Parameterwerte
i 0 N 1
Bereichsvariable
§ i 6 S· ©N 1 ¹
xi cos ¨
§ i 6 S· ©N 1 ¹
yi sin ¨ zi
i N 1
Koordinatenvektoren x, y, z definieren, die vom Parameter i abhängen. Die gewählten Koordinatenvektoren beschreiben eine Schraubenlinie.
3
Schraubenlinie
Die Raumkurve wird mit dem Befehl "3D-Streuungsdiagramm erstellen" aus dem Grafik-Menü erzeugt. In den Platzhalter sind die Vektoren x,y,z einzutragen.
(x y z) Abb. 3.8.1 Eine Zuordnung f, die jedem n-Tupel (x 1 , x2 , ..., xn) einer Definitionsmenge D ein Element y einer Wertemenge W zuordnet, heißt Funktion mit n-Variablen. Wir schreiben für die Funktionsgleichung: y = f(x1 , x2 , ..., xn). Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen x und y werden im räumlichen Koordinatensystem (3D) dargestellt. Flächen im Raum 3 (explizite Darstellung): f: D (x ) oW ()
(3-100)
(x,y) ~of(x,y) = z
Seite 217
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.2: Ebene im Raum A x + B y + C z + D = 0 bzw. in kanonischer Form x/a + y/b + z/c = 1. z 1 ( x y) x 2 y 8
z 2 ( x y) 8
explizite Ebenengleichungen im Raum
Abb. 3.8.2
z1 z2 Beispiel 3.8.3: Darstellung eines Paraboloids. z c
2
=
x
2
a
a 2
2
y
kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das Paraboloid
2
b
b 2
§ x2 y2 · z Pa ( x y) c ¨ ¨ a2 b2 © ¹
c 2
Konstanten
explizite Form der Gleichung für das Paraboloid
Abb. 3.8.3
z Pa
Seite 218
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.4: Darstellung eines hyperbolischen Paraboloids. 2
z
=
c
2
x
2
a
y
kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das hyperbolische Paraboloid
2
b
a 2
b 2
c 2
§ x2 y2 · z Pa ( x y) c ¨ ¨ a2 b2 © ¹
Konstanten explizite Form der Gleichung für das hyperbolische Paraboloid
Abb. 3.8.4
z Pa Zylinderkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten: M [0, 2 S[ x = r cos ( M ) y = r sin ( M )
r=
z=z
2
2
x y y x sin ( M ) = cos ( M ) = r r y tan ( M ) = x
Beispiel 3.8.5: Darstellung eines geraden Zylinders. 2
x
2
2
a
a 1
y
2
kanonische Form oder Normalform der Gleichung für den Zylinder
=1
b
b 1
§¨ a cos ( M ) · z zy ( M z ) ¨ b sin ( M ) ¸ ¨ z © ¹
Konstanten
Zylinderkoordinatendarstellung
Seite 219
(3-101)
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen
Abb. 3.8.5
z zy Beispiel 3.8.6: Darstellung eines Hyperpoloids. 2
x
2
2
a
a 2
y
2
b
z c
2 2
kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das Hyperboloid
=1
b 2
c 1
§ 2 z 2 cos ( M ) · ¨ a ¸ ¨ z hy ( M z ) ¨ b2 z2 sin ( M ) ¸ ¨ cz © ¹
Konstanten
Zylinderkoordinatendarstellung
Abb. 3.8.6
z hy
Seite 220
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Kugelkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten: M [0, 2 S[ , - [0, S@ x = r sin ( - ) cos ( M ) y = r sin ( - ) sin ( M )
r=
2
2
x y z y sin ( M ) =
2
2
2
x
cos ( M ) =
2
x y z = r cos ( - )
cos ( - ) =
z r
2
x y z
Beispiel 3.8.7: Darstellung einer Kugel. 2
x
2
2
r
y
2
r
z
2
2
=1
r
kanonische Form oder Normalform der Gleichung für die Kugel
r 1
Kugelradius
§¨ r sin ( - ) cos ( M ) · z Ku ( M - ) ¨ r sin ( - ) sin ( M ) ¸ ¨ r cos ( - ) © ¹
Kugelkoordinaten
Abb. 3.8.7
z Ku Beispiel 3.8.8: Darstellung eines Ellipsoids. 2
x
2
a
2
y
2
b
z c
2 2
=1
kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das Ellipsoids
Seite 221
(3-102)
x y 2
tan ( - ) =
2
tan ( M ) =
y x
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen a 1
b 1
Konstanten
c 2
§¨ a sin ( - ) cos ( M ) · z Ell ( M - ) ¨ b sin ( - ) sin ( M ) ¸ ¨ c cos ( - ) © ¹
Parameterdarstellung
Abb. 3.8.8
z Ell
3.8.2 Partielle Ableitungen Gegeben sei eine Funktion in expliziter Form f: z = f(x,y) ( D (x ) und W ). Da es sich bei den geometrischen Veranschaulichungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher um Flächen handelt, ist es einsichtig, dass die Tangentensteigungen in den verschiedenen Richtungen verschieden sind. Deshalb führen wir sogenannte Richtungsableitungen ein (differenzierbar in einer Richtung heißt nicht, dass die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist !). Wir nehmen an, dass f(x,y) in einer offenen Umgebung um (x ; y) definiert ist und dort stetige partielle Ableitungen existieren. Wir bezeichnen den bei festgehaltenem y bzw. x gebildeten Grenzwert z x = z x ( x y) =
w wx
f ( x y) =
lim 'x o 0
f ( x 'x y) f ( x y) 'x
(3-103)
als partielle Ableitung 1. Ordnung nach x bzw. z y = z y ( x y) =
w wy
f ( x y) =
lim 'x o 0
f ( x y 'y) f ( x y) 'y
(3-104)
als partielle Ableitung 1. Ordnung nach y. Es ist klar, dass die Existenz der beiden Ableitungen nicht die Existenz der Ableitungen in einer beliebigen Richtung garantiert. Die Fläche könnte z.B. in irgendeiner anderen Richtung geknickt sein. Eine Funktion mehrerer Variablen wird also nach einer dieser Variablen partiell abgeleitet, indem wir die restlichen Variablen als Konstante betrachten und nach den bekannten Differentiationsregeln differenzieren.
Seite 222
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen
w wx
f x0 y0
bedeutet die Steigung der Tangente ty0 der Schnittkurve sy0 an der Stelle (x 0 ,y0 ) w wy
f x0 y0
bedeutet die Steigung der Tangente tx0 der Schnittkurve sx0 an der Stelle (x 0 ,y0 )
Abb. 3.8.9
Höhere Ableitungen (Ableitungen 2. Ordnung) erhalten wir durch fortgesetzte partielle Differentiation:
z xx =
z yy = z yx =
w w wx wx w w wy wy w w wx wy
2
w
f ( x y) =
2
f ( x y)
zweite partielle Ableitung nach x,
(3-105)
f ( x y)
zweite partielle Ableitung nach y,
(3-106)
wx 2
w
f ( x y) =
2
wy
f ( x y)
z xy =
w w wy wx
f ( x y) gemischte zweite partielle Ableitungen.
(3-107)
Satz von Schwarz: Ist z = f(x,y) eine stetige Funktion, so stimmen die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung überein: z xy = z yx bzw.
w w wy wx
f ( x y) =
w w wx wy
f ( x y)
(3-108)
Beispiel 3.8.9: Bilden Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen an der Stelle x 0 = 1 und y 0 = 0: 2
2
f ( x y) 4 x 5 x y 2 y
gegebene Funktion
x0 1
Koordinaten eines Punktes in der Ebene
fx ( x y)
fy ( x y)
y0 1 w wx w wy
3
1
f ( x y)
fx ( x y) o 8 x 5 y
fx x0 y0
f ( x y)
fy ( x y) o 5 x 4 y
fy x0 y0
Seite 223
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 2
2
fxx ( x y)
w
fxy ( x y)
w w
2
f ( x y)
wx
wy wx
f ( x y)
fxx ( x y) o 8
fyy ( x y)
w
fxy ( x y) o 5
fyx ( x y)
w w
2
f ( x y)
fyy ( x y) o 4
f ( x y)
fyx ( x y) o 5
f ( x y)
fyy ( x y) o 0
f ( x y)
fyx ( x y) o 1
wy
wx wy
Beispiel 3.8.10: Bilden Sie die erste partielle Ableitungen an der Stelle x 0 = 2 und y 0 = 3: gegebene Funktion
f ( x y) x y x0 2 fx ( x y)
fy ( x y)
y0 3 w wx w wy
Koordinaten eines Punktes in der Ebene
3
fy x0 y0
2
fxx ( x y) o 0
fyy ( x y)
w
fxy ( x y) o 1
fyx ( x y)
w w
f ( x y)
fx ( x y) o y
fx x0 y0
f ( x y)
fy ( x y) o x
2
2
fxx ( x y)
w
fxy ( x y)
w w
2
f ( x y)
wx
wy wx
f ( x y)
2
wy
wx wy
Beispiel 3.8.11: Bilden Sie alle partiellen Ableitungen: f ( x y)
fx ( x y)
2
2
x y w wx
f ( x y)
gegebene Funktion fx ( x y) o
1 1
x2 y2 fy ( x y)
w wy
f ( x y)
fy ( x y) o
2
1 1
x2 y2
x
y
2 2
2
fxx ( x y)
w
2
wx
f ( x y)
y
fxx ( x y) vereinfachen o
3
x2 y2 Seite 224
2
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 2
w
fyy ( x y)
2
f ( x y)
wy
w w
fxy ( x y)
wy wx
1
fyy ( x y) vereinfachen o
2
x
3
x2 y2 2 f ( x y)
1
fxy ( x y) vereinfachen o
x y
3
x2 y2 2 w w
fyx ( x y)
wx wy
f ( x y)
1
fyx ( x y) vereinfachen o
x y
3
x2 y2 2 Beispiel 3.8.12: Zeigen Sie, dass T = f ( l g) = 2 S
w wl
g
die partielle Differentialgleichung l
w wl
T g
w wg
T = 0 erfüllt.
l
f ( l g) 2 S
fl ( l g)
l
Funktion
g
f ( l g)
S
fl ( l g) o
1 2
§ l· g ¨ © g¹ fg ( l g)
w wg
f ( l g)
fg ( l g) o
S 1
§l· ¨ © g¹ l fl ( l g) g f g ( l g) o 0
2
Ableitungen l 2
g
die Funktion f(l,g) erfüllt die partielle Differentialgleichung
Beispiel 3.8.13: Bilden Sie ersten partiellen Ableitungen:
R1 R2
R R1 R2
gegebene Funktion
R1 R2
2
RR1 R1 R2
w wR1
R R1 R2
RR1 R1 R2 vereinfachen o
R2
R1 R2 2 2
RR2 R1 R2
w wR2
R R1 R2
RR2 R1 R2 vereinfachen o
Seite 225
R1
R1 R2 2
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Differentiation von impliziten Funktionen: Wenn für F(x,y) = 0 (bzw. y = f(x)) F stetig und F x stetig in einer Umgebung von (x 0 ,y0 ) ist, dann gilt: w
y'=
d dx
y=
wx w wy
F mit F
w wy
Fz0
(3-109)
Wenn für F(x,y,z) = 0 (bzw. z = f(x,y)) F stetig, F x und Fy stetig in einer Umgebung von (x 0 ,y0 ) ist, dann gilt:
w w wx
z =
wx w wz
w
F und F
w wy
wy
z =
w wz
F w
mit
wz
F
Fz0
(3-110)
Beispiel 3.8.14: Bilden Sie die Ableitung y' der gegebenen Relation an der Stelle (2, 3): 2
2
2
gegeben Relation
x y =r
2
2
F1 ( x y) x y 1
2
2
2
implizite Darstellung ( F ( x y) = x y r = 0 )
konzentrische Kreise w wx
w
F = 2 x
w
d dx
y=
wx w wy
d dx
wy
F = F
y ( 2 3) =
F = 2 y
2 x 2 y
2 3
F1 Abb. 3.8.10
Seite 226
=
x y
partielle Ableitungen
Ableitung der Funktion y = f(x)
Ableitung der Funktion y = f(x)
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.15: Bilden Sie die Ableitung y' der gegebenen impliziten Funktion: 3
F ( x y) = y x y 12 = 0
implizite Darstellung der Funktion
3
F1 ( x y) y x y 12
w wx
w
F=y
wy w
d dx
y=
wx w wy
2
partielle Funktionen
F = 3 y x
F
y
=
Ableitung der Funktion y = f(x)
2
3 y x
F
F1 Abb. 3.8.11 Beispiel 3.8.16: Bilden Sie die Ableitung y' der gegebenen impliziten Funktion: x
y
F ( x y) = e sin ( y) e sin ( x) 1 = 0 x
implizite Darstellung der Funktion
y
F1 ( x y) e sin ( y) e sin ( x) 1
w wx
x
y
F = e sin ( y) e cos ( x) partielle Ableitungen
w wy
x
y
F = e cos ( y) e sin ( x)
w
d dx
y=
wx w wy
F = F
F1 Abb. 3.8.12
Seite 227
x
y
x
y
e sin ( y) e cos ( x) e cos ( y) e sin ( x)
Ableitung der Funktion y = f(x)
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.17: Bilden Sie die partiellen Ableitungen 2
w wx
w
z und
wy
2
z:
2
gegebene implizite Funktionsgleichung
F ( x y z) = x 3 x y 2 y 3 x z z = 0 w wx
w w wx
w
F = 2 x 3 y 3 z
z =
wx wz
wz w
F
w
wy
w
F = 3 x 4 y
=
2 x 3 y 3 z
w
3 x 2 z
wy
F
z =
wy w wz
F = 3 x 2 z
F = F
3 x 4 y 3 x 2 z
partielle Ableitungen
partielle Ableitungen der Funktion z = f(x,y)
Differentiation von Funktionen die noch von einem Parameter abhängen (totale Ableitungen): Ist z = f(x,y) , x = x(t) und y = y(t) und sind diese Funktionen differenzierbar, so gilt für die Ableitung: d dt
z =
§w · §d · §w · §d · ¨ z ¨ x ¨ z ¨ y © wx ¹ © d t ¹ © w y ¹ © d t ¹
(3-111)
Ist z = f(x,y) , wobei x = x(u,v) und y = y(u,v) und sind diese Funktionen differenzierbar, so gilt für die Ableitungen: z =
§w · §w · §w · §w · ¨ z ¨ x ¨ z ¨ y , © wx ¹ ©wu ¹ © wy ¹ ©wu ¹
(3-112)
z =
§w · §w · §w · §w · ¨ z ¨ x ¨ z ¨ y . ©wx ¹ © wv ¹ © wy ¹ ©wv ¹
(3-113)
d du d dv
Beispiel 3.8.18: Die Höhe h eines geraden Kreiskegels ist 150 cm und wächst mit 0.2 cm/s. Der Radius x der Grundfläche ist 100 cm und nimmt mit 0.3 cm/s ab. Wie schnell ändert sich sein Volumen ? V = f ( x ( t) y( t) ) = d dt d dt
V =
V =
1 3
2
S x ( t) y ( t)
Volumenfunktion (parameterabhängige Funktion)
1 S § §w · §d · §w · §d · 2 d 2 d d 2 d · ¨ V ¨ x ¨ V ¨ y = S x y x S x y = ¨2 x y x x y 3 3 © dt dt dt dt ¹ © wx ¹ © d t ¹ © w y ¹ © d t ¹ 3
ª 3 ¬ S
§ ©
«2 100 cm 150 cm ¨ 0.3
Gleitkommaauswertung ergibt
cm · s d dt
¹
2
2
100 cm 0.2 3
V = 7330.
cm s
Seite 228
cmº s
» ¼
totale Ableitung
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.19: Bilden Sie die totale Ableitung der gegeben Funktion.
2
2
z = ln x y d dt
z =
w wx
d dt
z =
t
y=e
§w · §d · §w · §d · ¨ z ¨ x ¨ z ¨ y ©wx ¹ © dt ¹ ©wy ¹ © dt ¹ 2 x
w
2
2
wy
x y
z =
t
x=e
2 x 2
2
t
e
x y
2
d 2
x y
2 y 2
totale Ableitung
2 y
z =
Funktion und Parametergleichungen
dt
t
x = e
d dt
t
y=e
Ableitungen
t
2
e
x y
totale Ableitung der gegebenen Funktion
Beispiel 3.8.20: Bilden Sie die totale Ableitung der gegebenen Funktion: 2
2
z = x x y y d dr d dr
z =
x= 2 r s
§w · §d · §w · §d · ¨ z ¨ x ¨ z ¨ y ©wx ¹ © dr ¹ ©wy ¹ © dr ¹
z = ( 2 x y) 2 ( x 2 y) 1
y= r 2 s d ds
z =
Funktion und Parametergleichungen
§w · §d · §w · §d · ¨ z ¨ x ¨ z ¨ y © wx ¹ © ds ¹ ©wy ¹ © ds ¹
vereinfacht auf
d dr
totale Ableitungen
z = 5 x 4 y totale Ableitungen
d ds
z = ( 2 x y) 1 ( x 2 y) ( 2)
vereinfacht auf
d ds
z = 3 y
Das vollständige Differential oder totales Differential: Die Funktionen dxz = zx (x,y) dx und dyz = zy(x,y) dy
(3-114)
heißen Differentiale. Die Funktion dz = zx (x,y) dx + zy(x,y) dy
(3-115)
heißt vollständiges oder totales Differential. Die Differentiale sind wie im eindimensionalen Fall lineare Näherungen von Funktionswertdifferenzen.
Seite 229
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Wenn die bei Messungen auftretenden Ungenauigkeiten 'x und 'y einer Messgröße x und y hinreichend klein sind, können wir das totale Differential benutzen, um den Gesamtfehler zu ermitteln. Jedenfalls erhalten wir den ungünstigsten Fall, also die größte Gesamtungenauigkeit der Funktion z = f(x,y) (Messgrößen x und y mit x = x 0 ± 'x und y = y 0 ± 'y), wenn statt dem totalen Differential dz 'z =
r^ z x x0 y0 'x z y x0 y0 'y }
(3-116)
benutzt wird (siehe dazu Abschnitt 3.8.3). Ein Term P ( x y) dx Q ( x y) dy ist genau dann ein vollständiges Differential, wenn gilt: w wy
P ( x y) =
w wx
Q ( x y) (Integrabilitätsbedingung)
(3-117)
Das totale Differential dz = z x (x 0 ,y0 ) dx + z y(x 0 ,y0 ) dy einer Funktion mit zwei Variablen gibt die Höhenänderung auf der Tangentialebene an der Stelle (x 0 ,y0 ) an, wenn wir zur Stelle (x0 +dx,y 0 +dy) fortschreiten (siehe Abb. 3.8.13). Das totale Differential gibt daher näherungsweise an, wie sich der Funktionswert z bei kleinen Änderungen der unabhängigen Variablen um dx = 'x bzw. dy = 'y ändert: 'z = f(x0 +dx,y 0 +dy) - f(x 0 ,y0 ) | dz
(3-118)
Abb. 3.8.13
Beispiel 3.8.21: Bilden Sie das totale Differential von folgender Funktion: z = a x b y c dz =
w wx
z dx
w wy
z dy = a dx b dy
gegebene Funktion totales Differential
Beispiel 3.8.22: Bilden Sie das totale Differential von folgender Funktion: z=
2
2
2
r x y
gegebene Funktion
Seite 230
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen w wx
x
z =
2
w
2
wy
2
r x y
dz =
w wx
w
z dx
wy
y
z =
2
2
2
r x y
x
z dy =
partielle Ableitungen
2
2
2
dx
r x y
y 2
2
2
dy
totales Differential
r x y
Beispiel 3.8.23: Zeigen Sie, dass die Entropie ds = dq/T ein vollständiges Differential ist. Für dq gilt: dq = c v dT dq T
=
cv T
R1 T v
dT
R1 v
v bedeutet das Volumen/kg des Gases, T die Temperatur und R1 die Gaskonstante für ein ideales Gas
dv
Division durch T
dv
§ cv · ¨ o0 wv © T ¹
§ R1 · o 0 ¨ wT © v ¹
w
w
ds ist ein vollständiges Differential (Integrabilitätsbedingung)
Extremwerte von Funktionen z = f(x,y): Eine Funktion z = f(x,y) hat an einer Stelle (x 0 ,y0 ) ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum wenn gilt: Notwendige Bedingungen für ein Extremum: w
wx
w
f x0 y0 = 0 und
wy
f x0 y0 = 0
(3-119)
Gelten diese Gleichungen für (x 0 ,y0 ), so ist das totale Differential dz = 0 d.h. die Tangentialebene ist an der Stelle (x 0 ,y0 ) parallel zur x-y-Ebene. Hinreichende Bedingung für ein Extremum: 2
2
§w w w f x y f x y ¨ f x0 y0 2 0 0 2 0 0 © wx wy wx wy
w
2
·¹ ! 0
(3-120)
(Gleich null liefert keine Entscheidung für ein Extremum, bei kleiner Null liegt sicher kein Extremum vor). 2
w
2
w
2
(oder
(oder
f x y 0 2 0 0 x w
f x y ! 0 2 0 0 wx
w
(3-121)
(3-122)
2
f x0 y0 0 ) Maximum
2
f x0 y0 ! 0 ) Minimum
wy 2
w
wy
Seite 231
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.24: Gesucht ist das globale Maximum einer Halbkugel. 2
f ( x y)
16 ( x 3) ( y 2)
2
gegebene Kugelgleichung
Abb. 3.8.14
Notwendige Bedingungen: ersetzen f ( x y) = x0 f ( x y) = 0
w wx
f ( x y) Stelle x0
o3
vereinfachen auflösen x
ersetzen f ( x y) = y0 f ( x y) = 0
w wy
f ( x y) Stelle y0
o2
vereinfachen auflösen y
z 0 f x0 y0
z0
Stelle z0
4
Hinreichende Bedingungen: 2
§w w · f ( x y) f ( x y) ¨ f ( x y) 2 2 © wx wy ¹ wx wy
' ( x y)
2
w
' x0 y0
w
0.063
' x0 y0 ! 0
2
z xx ( x y)
H
x0
w
2
f ( x y)
wx
y0 z 0
ist größer null (3-120)
1
z xx x0 y0
H
2
0.25
(3 2 4 )
z xx(x0 ,y0 ) < 0, dh. es liegt ein absolutes Maximum vor Hochpunkt
Seite 232
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Das Maximum kann hier auch mithilfe der Mathcad-Funktion "Maximieren" bestimmt werden: 2
f ( x y)
16 ( x 3) ( y 2)
x 1
Startwerte
y 1
§¨ xmax · Maximieren ( f x y) ¨ ymax © ¹
z max f xmax ymax H
xmax
2
§¨ xmax · ¨ ymax © ¹ z max
ymax z max
H
§3 · ¨ ©2 ¹ 4
(3 2 4 )
Beispiel 3.8.25: Gesucht sind die Extremstellen (Abb. 3.8.15) der nachfolgend gegebenen Funktion.
2
2
g ( x y) sin ( x) exp x y
xi j
i 10 5
gegebene Flächenfunktion ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 i 0 20
Bereichsvariable
j 0 20 yi j
j 10 5
x und y Variable als Matrix
o z g ( x y)
z Variable als Matrix
§¨ x · M ¨y ¸ ¨z © ¹
Gesamtmatrix
Abb. 3.8.15
M
Seite 233
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen x x
Redefinitionen
y y
ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 notwendige Bedingungen: w wx w wy w wx
2
2
g ( x y) o cos ( x) exp x y
2 sin (x) x exp x2 y2 partielle Ableitungen
2 2 g ( x y) o 2 sin ( x) y exp x y
2
2
g ( x y) = cos ( x) exp x y
2 sin (x) x exp x2 y2 = 0
Die Exponentialfunktion kann nicht null werden!
cos ( x) 2 sin ( x) x = 0
goniometrische Gleichung
f ( x) cos ( x) 2 sin ( x) x
linker Term der Gleichung als Funktion dargestellt
x 1 0.99 4
Bereichsvariable 10 5
f( x) 2
0.8
0.4
1.6
2.8
x1 wurzel ( f ( x) x 0.8 0)
x1
0.653
x2 wurzel ( f ( x) x 0.4 1)
x2
0.653
4
Die Lösungen der goniometrischen Gleichung können aus der Grafik näherungsweise gut abgelesen werden. Hier sind nur Hauptwerte der Lösung von Interesse.
5 x
Abb. 3.8.16
w wy
2
2
g ( x y) = 2 sin ( x) y exp x y
zwei Lösungen (Hauptwerte) der goniometrischen Gleichung
=0
Diese Gleichung hat nur die triviale Lösung y = 0!
y-Wert
y 0
z1
0.397
z2
0.397
z 1 g x1 y z 2 g x2 y
zugehörige z-Werte
Seite 234
Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen hinreichende Bedingungen: 2
§w w · g ( x y) g ( x y) ¨ g ( x y) 2 2 © wxwy ¹ wx wy
' ( x y)
2
w
' x1 y
w
ist größer null
1.481
' x1 y ! 0
g ( x y)
zweite partielle Ableitung
2
z xx x2 y
1.867
wx
x1
y z1
H
x2
y z2
1
es liegt ein Minimum vor
1.867
Ti
1.481
' x2 y ! 0
w
z xx x1 y
' x2 y
1
z xx ( x y)
2
2
es liegt ein Maximum vor
Ti
( 0.653 0 0.397 )
Tiefpunkt
H
( 0.653 0 0.397 )
Hochpunkt
Das Maximum und Minimum kann auch mithilfe der Mathcad-Funktion "Maximieren" bzw. "Minimieren" bestimmt werden:
2
2
f ( x y) sin ( x) exp x y x 1
Startwerte
y 0
§¨ xmin · Minimieren ( f x y) ¨ ymin © ¹
z min f xmin ymin Ti
xmin
gegebene Funktion
§¨ xmin · ¨ ymin © ¹ z min
ymin z min
Ti
§ 0.653 · ¨ © 0 ¹ 0.397
( 0.653 0 0.397 )
y 0
Startwerte
§¨ xmax · Maximieren ( f x y) ¨ ymax © ¹
§¨ xmax · ¨ ymax © ¹
x 1
z max f xmax ymax H
xmax
ymax z max
z max
H
Tiefpunkt
§ 0.653 · ¨ © 0 ¹ 0.397
( 0.653 0 0.397 )
Seite 235
Hochpunkt
Differentialrechnung Fehlerrechnung 3.9 Fehlerrechnung Eine Anwendung der partiellen Ableitungen liegt in der Fehlerrechnung . Dabei geht es um die Berechnung von Funktionen, deren Variable selbst Messgrößen und daher nur mit begrenzter Genauigkeit bekannt sind (siehe Abschnitt 3.5.2). Weil die Messfehler dx und dy betragsmäßig höchstens gleich |'x| bzw. |'y| sind, gilt: Für die Funktion z = f(x,y) der Messgrößen x und y , mit x = x0 r 'x und y = y0 r 'y, lässt sich der absolute Maximalfehler 'z max abschätzen durch: a) Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz (Maximalfehler): 'z max
| fx x0 y0 'x fy x0 y0 'y
(3-123)
b) Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß: 'z
max
2 2 2 2 | fx x0 y0 'x fy x0 y0 'y
(3-124)
Die gemessenen Werte x 0 und y0 sind meistens Mittelwerte und die Messunsicherheiten 'x und 'y sind meistens Standardabweichungen.
Beispiel 3.9.1: Die Widerstände R 1 = R01r 'R1 = (100 r 1) : und R2 = R02 r 'R2 = (500 r 3) : sind parallel geschaltet. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand R unter Angabe des Maximalfehlers a) mittels Differentials, b) mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz und c) mithilfe der Wertschranken.
R1 R2
R R1 R2
Funktion des Ersatzwiderstandes
R1 R2
R01 100 :
'R1 1 :
gemessener Wert und Messunsicherheit
R02 500 :
'R2 3 :
gemessener Wert und Messunsicherheit
R0
errechneter Wert
R0 R R01 R02
RR1 R1 R2
w wR1
83.333 :
R R1 R2
RR2 R1 R2
w wR2
R R1 R2
partielle Ableitungen
a) absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials): 'Rmax 'Rmax
RR1 R01 R02 'R1 RR2 R01 R02 'R2 absoluter Maximalfehler
0.8 :
R = (83.3 r0.8) :
b) absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetz): 'Rmax 'Rmax
RR1 R01 R02
2 'R12 RR2 R01 R02 2 'R22
0.7 :
Seite 236
Differentialrechnung Fehlerrechnung c) absoluter Maximalfehler (Berechnung mithilfe der Wertschranken):
Run
84.111 :
Rob
82.555 :
Run R R01 'R1 R02 'R2 Rob R R01 'R1 R02 'R2 1
R0
2
Rob Run
R0
83.333 :
errechneter Wert
Run Rob
'R
0.8 :
absoluter Maximalfehler
1
'R
Wertschranken
2
Beispiel 3.9.2: Von einem allgemeinen Dreieck wurden die Seitenlängen a = (322.4 r 0.2) mm und b = (125.3 r 0.3) mm sowie der eingeschlossene Winkel J = (42.62 r 0.09)° gemessen. Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehler für die Fläche des Dreiecks. a b
A (a b J)
Funktion der Dreiecksfläche
sin ( J )
2
a0 322.4 mm
b0 125.3 mm
J 0 42.62 Grad
gemessene Werte
'a 0.2 mm
'b 0.3 mm
'J 0.09 Grad
Messunsicherheiten
A0 A a0 b0 J 0
Aa ( a b J )
w wa
A0
A (a b J)
2
errechneter Wert für die Fläche
136.77 cm
Ab ( a b J )
w wb
A (a b J)
AJ ( a b J )
w wJ
A (a b J)
absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials): 'Amax 'Amax
Aa a0 b0 J 0 2
0.65 cm
A = (136.77 r 0.65) cm2
'ARel 'ARel
'Amax A0 0.5 %
'a Ab a0 b0 J 0
'b AJ a0 b0 J 0
'J
(positive) Abweichung des maximalen absoluten Fehlers errechneter Wert der Fläche
relativer Fehler
Wert für den relativen Fehler in Prozent
Seite 237
Ableitungen
Differentialrechnung Fehlerrechnung Beispiel 3.9.3: Das Widerstandsmoment W t eines Rohres mit einem kreisförmigen Querschnitt gegen Torsion lässt sich berechnen nach: 4
4
S D d Wt = Wt ( d D) = D 16 d und D sind der Innen- bzw. Außendurchmesser des Rohres. Eine Messung dieser Größen ergab dabei folgende Werte: d = ( 60.5 ± 0.4 ) mm , D = ( 75.2 ± 0.5 ) mm . Wie groß ist das Widerstandsmoment des Rohres, und mit welchem absoluten und prozentuellen Maximalfehler ist es behaftet ?
S
Wt ( d D)
16
4
Wt d0 D0
Widerstandsmoment
D
D0 75.2 mm d0 60.5 mm
4
D d
Mittelwert vom Aussendurchmesser und Abweichung
'd 0.4 mm
Mittelwert vom Innendurchmesser und Abweichung
'D 0.5 mm
48518.304 mm
3
berechnetes Widerstandsmoment
absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials):
§w · §w · ¨ Wt d0 D0 'd ¨ Wt d0 D0 'D © wd ¹ © wD ¹
'Wtmax d
3
1 d Wt ( d D) o S 4 D dd d
partielle Ableitungen 4
1
d dD
Wt ( d D) vereinfachen o S 16
1
'Wtmax
'Wtmax
4
S
Wt d0 D0
'd
D0
2823.254 mm
'Wtmax
3
d0
3
5.819 %
1 16
4
3 D d 2
D
4
S
4
3 D0 d0 2
'D
D0
absoluter Maximalfehler
prozentueller Maximalfehler
Für das Widerstandsmoment ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: Wt = ( 48.52 ± 2.82 ) 103 mm3
Seite 238
Differentialrechnung Fehlerrechnung Beispiel 3.9.4: Die Wirkleistung eines sinusförmigen Wechselstromes lässt sich berechnen aus: P = U I cos( M). Dabei sind U und I Effektivwerte und M der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung. Berechnen Sie zunächst den Leistungsfaktor O = cos(M) und dessen absoluten Maximalfehler 'Omax für einen Wechselstrom, dessen Größen U, I und P wie folgt gemessen wurden: U = (200 ± 2 ) V, I = (5 ± 0.1 ) A, P = (800 ± 20 ) W. Bestimmen Sie aus der vorangegangenen Lösung den zugehörigen Phasenwinkel M und dessen absoluten Maximalfehler 'Mmax. U0 200 V
'U 2 V
U = U 0 r 'U
I0 5 A
'I 0.1 A
I = I0 r ',
P0 800 W
'P 20 W
P = P 0 r 'P Wirkleistung eines sinusförmigen Wechselstromes
P = U I cos ( M ) = U I O P
O ( U I P)
O0
Funktion des Leistungsfaktors
U I
O U ( U I P)
w wU
gemessene Werte (Mittelwerte) und Abweichungen
O ( U I P)
P0
O0
U0 I0
O I ( U I P)
w wI
O ( U I P) O P ( U I P)
w wP
O ( U I P) partielle Ableitungen
Mittelwert des Leistungsfaktors
0.8
absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials):
'O max
O U U0 I0 P0 'U O I U0 I0 P0 'I O P U0 I0 P0 'P
'O max
0.044
Für den Leistungsfaktor ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: O = 0.8 ± 0.044 Zusammenhang zwischen Leistungsfaktor und Phasenwinkel: Zum Leistungsfaktor O0 = 0.8 gehört der Phasenwinkel M0 = arccos(0.8).
O = cos ( M )
M 0 O 0 acos O 0 'M max 'M max
und
M O (O )
Leistungsfaktor O0
O 0 0.8
M ( O ) acos ( O )
M O O 0 'O max
M0 O0
36.87 Grad
absoluter Maximalfehler
4.202 Grad
Für den Phasenwinkel ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: M = 36.87° ± 4.20°
Seite 239
d dO
M (O)
Differentialrechnung Fehlerrechnung Beispiel 3.9.5: Das Massenträgheitsmoment J eines dünnen homogenen Stabes der Länge L und der Masse M bezüglich einer durch den Schwerpunkt S und senkrecht zur Stabachse verlaufende Bezugsachse errechnet sich aus: J = 1/12 m L2 . In einem Experiment wurden dabei die nachfolgend gegebenen Messwerte (m in g und L in cm) ermittelt (jeweils 10 Einzelmessungen gleicher Genauigkeit). Bestimmen Sie jeweils den Mittelwert und den zugehörigen Fehler des Mittelwertes. Welcher Mittelwert ergibt sich daraus für das Massenträgheitsmoment J, und wie groß ist der mittlere maximale Fehler dieser Größe ? ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 m/g
L/cm 20.2 ·
§ 119.5 ¨ ¨ 119.2 ¨ 121.0 ¨ ¨ 119.7 ¨ 120.3 M ¨ ¨ 120.4 ¨ 119.8 ¨ ¨ 120.4 ¨ 119.2 ¨ © 120.5
19.9 ¸ 19.7 ¸
¸
19.7 ¸ 20.0 ¸
Messwerte
¸ 19.6 ¸ 20.2 ¸ ¸ 20.5 ¸ 19.8 ¸ 20.4 ¹
¢1² m M gm T
m
Extrahierung der Massen
1 1
2
119.5
3
119.2
121
4 119.7
¢2² L M cm T
L
1
6
120.3
120.4
7 119.8
8
9
10
120.4
119.2
120.5
10
gm
Extrahierung der Längen
1
2
3
4
20.2
19.9
19.7
19.7
n länge ( m )
5
n
5 20
6
7
8
9
19.6
20.2
20.5
19.8
Bereichsvariable
10
m0 mittelwert ( m )
m0
L0 mittelwert ( L)
L0
120 gm Mittelwerte 20 cm
Seite 240
20.4
cm
Differentialrechnung Fehlerrechnung 1
'm stdev ( m )
n 1 1
'L stdev ( L)
n 1
'm
mittlere Fehler der Mittelwerte (Standardabweichungen der Mittelwerte) 'L
m = m0 ± 'm = (120 ± 0.2) g 1
J ( m L)
12
J m ( m L)
0.192 gm
0.099 cm
L = L0 ± 'L = (20 ± 0.1) cm
2
Funktion des Massenträgheitsmomentes
mL
w wm
J ( m L)
J 0 J m0 L0
Mittelwert und Messunsicherheit der beiden Größen
J L ( m L)
J0
w wL
J ( m L)
2
4 kg cm
partielle Ableitungen des Massenträgheitsmomentes
Mittelwert des Massenträgkeitsmomentes
absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetz):
Jm m0 L0 'm 2 JL m0 L0 'L 2
'J
2
0.04 kg cm
'J
'J
J m0 L0
1.002 %
prozentueller Maximalfehler
Für das Massenträgkeitsmoment ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: J = J0 ± 'J = (4 ± 0.04) kg cm2
Seite 241
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung 3.10 Ausgleichsrechnung Mit den Methoden der Ausgleichsrechnung soll aus n gemessenen Wertepaaren (Messpunkten) (x i ; yi) ( i = 1, 2,..., n ) ein möglichst funktionaler Zusammenhang zwischen den Messgrößen X und Y hergeleitet werden. Als Ergebnis wird eine Funktion y = f(x), die sich den Messpunkten "möglichst optimal" anpasst, erwartet. In diesem Zusammenhang bezeichnen wir die Funktion y = f(x) als Ausgleichs- oder Regressionskurve. Zuerst ist eine Entscheidung darüber zu treffen, welcher Funktionstyp der Ausgleichsrechnung zugrunde gelegt werden soll (Gerade, Parabel, Potenz- oder Exponentialfunktion usw.). Eine Entscheidungshilfe liefert dabei das Streuungsdiagramm, in dem die n Messpunkte durch eine Punktwolke dargestellt wird. Als Maß für die Abweichung zwischen Messpunkt und Ausgleichskurve wählen wir die Ordinatendifferenz. Der Abstand des Messpunktes (x i ; yi) von der gesuchten aber noch unbekannten Ausgleichskurve y = f(x) beträgt damit y i - f(xi). Eine objektive Methode zur Bestimmung der "optimalen" Kurve liefert die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate. Danach passt sich diejenige Kurve mit den enthaltenen Parametern a, b, ... den vorgegebenen Messpunkten am besten an, für die die Summe S der Abstandsquadrate aller n-Messpunkte ein Minimum annimmt: n
S ( a b ....) =
2 yi f xi ¦
i
(3-125)
1
Eine notwendige Bedingung (jedoch keinesfalls hinreichend) zur Bestimmung eines Minimums lautet nach den Regeln der Differentialrechnung: Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von S(a,b,...) müssen verschwinden, also w wa
S =0 ,
w wb
S = 0 , ...
(3-126)
Aus diesem Gleichungssystem (von Fall zu Fall muss jedoch entschieden werden, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt) lassen sich dann die Parameter a, b, ... und damit die Ausgleichskurve eindeutig bestimmen. Für Ausgleichskurven (Regressions- und Glättungskurven) stehen in Mathcad zahlreiche Funktionen wie achsenabschn, neigung, regress, loess, linie, linanp, genanp, expanp, potanp, loganp, lgsanp, lnanp, sinanp, medgltt, kgltt, strgltt, stdfehl u.a.m. zur Verfügung.
Beispiel 3.10.1: Nachfolgend sollen zuerst Messdaten mit Messfehler simuliert werden, die um eine gegebene Gerade streuen. Für diese Messdaten soll dann mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Ausgleichskurve gefunden werden. ORIGIN 1 f ( x)
1 2
x 1
ORIGIN festlegen gegebene Gerade
N 10
Anzahl der Messdaten
i 1 N
Bereichsvariable
'xi rnd ( 0.2)
'xi ... Fehler der x-Werte
Seite 242
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung fehlerbehaftete x-Werte
xi i 'xi 'yi ( 1)
floor( rnd( 2 ) )
'yi Fehler der y-Werte (mit "zufälligem" Vorzeichen)
rnd ( 0.4)
yi f xi
fehlerbehaftete y-Werte
x 0 0.02 11
Bereichsvariable
8 6
f( x) y i 'y i
4
Abb. 3.10.1
y i 'y i 2 0
0
2
4
6
8
10
12
x xi xi
Fehlerbehaftete y-Werte
yi f xi 'yi
xi
f xi
yi
'yi
1
1.5
-0.048
1.452
2.039 3.117
2.019
0.213
2.232
2.559
-0.066
2.492
4.07
3.035
0.023
3.058
5.165
3.582
-0.208
3.374
6.035
4.017
-0.382
3.635
7.142
4.571
-0.185
4.386
8.061
5.03
-0.312
4.719
9.018
5.509
-0.245
5.265
10.029
6.015
0.336
6.351
5 yi
Abb. 3.10.2
2
4
6
8
10
xi
korr ( x y)
0.989
Hohe Korrelation. Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Korrektheit der Hypothese, dass ein linearer Zusammenhang vorliegt.
Seite 243
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung Allgemeine symbolische Lösung: n letzte ( x)
n
n
¦
S ( k d)
i
w wk
w wd
2 ª¬yi k xi d º¼
i
S(k,d) muss ein Minimum werden, d.h. die ersten partiellen Ableitungen müssen verschwinden.
1
n
¦
Bereichsvariable
10
2
ª¬yi k xi d º¼ = 0
n
vereinfacht auf
1
i
¦
i
n
¦
2
2
ª¬yi k xi d º¼ = 0
vereinfacht auf
1
ªyi xi k xi 2 xi dº = 0 ¬ ¼
1 n
2 n d 2
¦
i
yi k xi = 0
1
Dieses inhomogene lineare Gleichungssystem lässt sich in Mathcad auf verschiedene Art und Weise lösen: k 1
Startwerte
d 1
Vorgabe n
2
¦
i
ªyi xi k xi 2 xi dº = 0 ¬ ¼
1 n
2 n d 2
¦
i
yi k xi = 0
1
§k · ¨ Suchen ( k d) ©d ¹ k
0.4889
Steigung der Ausgleichsgeraden
d
0.9742
Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden
oder: Vorgabe
S ( k d) = 0
§k · ¨ Minfehl ( k d) ©d ¹ k
0.4889
Steigung der Ausgleichsgeraden
d
0.9742
Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden
Seite 244
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung oder: k neigung ( x y)
d achsenabschn ( x y)
k
d
0.4889
Steigung und Achsenabschnitt
0.9742
lineare Ausgleichskurve
f ( x) k x d
Fehler bei der linearen Regression: 'i
Abweichungen
yi f xi
max ( ' )
maximaler Fehler der Einzelwerte
0.473 1
Fm
länge ( x)
' i »º ¦ « » ¬
Fm
2
ª«
i
¼
mittlerer quadratischer Fehler
0.21437
6 yi
4
f( x)
Abb. 3.10.3
2
2
4
6
8
10
xi x
Beispiel 3.10.2: Bei einem Heißleiter (Halbleiter) nimmt der elektrische Widerstand R mit zunehmender absoluter Temperatur T nach der Gleichung R(T) = A e B/T stark ab. Bestimmen Sie mit den Methoden der Ausgleichsrechnung die Parameter A und B für einen Heißleiter, bei dem die nachfolgenden Messwerte (Temperatur in °C und Widerstand R in :) gefunden wurden. Gesucht ist auch eine Ausgleichskurve im Bereich 10 °C d - d 110°C. ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
°C 1
Einheitendefinition
-/°C R/:
§¨ 20 ¨ 40 ¨ 60 M ¨ ¨ 80 ¨ 100 ©
510 · 290 ¸
¸ ¸ 120 ¸
¢1² - M °C
80
-
178
¹
T ( - 273.15) K
T
T
T
Temperaturwerte
( 20 40 60 80 100 ) °C
¢2² R M : T
R
( 510 290 178 120 80 ) :
( 293.15 313.15 333.15 353.15 373.15 ) K
Seite 245
Widerstandswerte
Temperaturwerte in Kelvin
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
n 5
Bereichsvariable
i 1 n 3
1 10
Ri
100
:
Abb. 3.10.4 10 290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
Ti K Meßpunkte
Der Punktgraph zeigt bei logarithmierter y-Achse, dass die Punkte auf einer Geraden liegen. Sie sind also Punkte einer Exponentialfunktion. Logarithmieren wir die Exponentialfunktion, dann erhalten wir mit den nachfolgend gegebenen Abkürzungen die Geradengleichung: B1 · § ¨ 1 T ln ( R) = ln © A1 e ¹ = B1 ln ( A1)
T
Mit
und
R1 = ln ( R)
o § 1 R ·· § korr ¨ ln ¨ © T © : ¹¹
T1 =
1 T
und
k = B1
und
d = ln ( A1)
o § 1 R ·· § d achsenabschn ¨ ln ¨ © T © : ¹¹
k
d
2515.3535 K B1 d
A1 e :
2.3542
2515.3535 K Konstante bestimmen
A1
0.09497 : 2515.4
R ( - ) 0.095 e
- 273.15
Funktionsgleichungen 2515.4K
Ra T1 0.095 : e
R1 = k T1 d
Korrelationskoeffizient
1
o § 1 R ·· § k neigung ¨ ln ¨ © T © : ¹¹
B1 k
T1
- 10 °C 10 °C 0.1 °C 110 °C
Bereichsvariable
T1 280 K 280 K 0.1 K 380 K
Seite 246
Steigung und Achsenabschnitt
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
1000
800
:
600
R a T1
Ri
800 R( - ) 600 : Ri
400
:
:
200 0 250
280
310
340
370
400 200 0
400
0
30
T1 Ti K K
60 -
90
120
150
-i
°C °C
Abb. 3.10.5
Abb. 3.10.6
Beispiel 3.10.3: Die Spannungs-Stromkennlinie einer Glühlampe ist in guter Näherung gegeben durch: U(I) = c 1 I3 + c2 I . Bestimmen Sie die Koeffizienten c 1 und c 2 aus n vorliegenden Messpunkten (I k ; Uk) (k = 1, 2, ... n) mit einer geeigneten Fitfunktion und stelle die Ausgleichskurve grafisch dar. Für eine spezielle Glühlampe wurden folgende Werte ermittelt: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
,/A U/V 53
§¨ 0.2 ¨ 0.3 ¨ 0.4 M ¨ ¨ 0.5 ¨ 0.6 ©
· 100 ¸ ¸ 170 ¸ 285 ¸
n 5
i 1 n
442 ¹
¢1² I M A T
I
Stromwerte
( 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ) A
¢2² U M V T
U
Spannungswerte
( 53 100 170 285 442 ) V
Bereichsvariable
Geeignete Fitfunktionen U(I)= c1 f1 (I) + c2 f2 (I) als Vektorfunktion definieren: f ( I)
§¨ I3 · ¨© I ¹
Die Koeffizienten für den bestmöglichen Fit U(I) = c1 f1 (I) + c2 f2 (I) werden mittels der Funktion linanp bestimmt:
§ I U f· ©A V ¹
§ 1508.112 · ¨ © 192.617 ¹
c linanp ¨
c
U ( I) c f ( I)
Dieses Skalarprodukt erzeugt die richtige Linearkombination U(I) = c1 f1 (I)+c2 f2 (I)
Seite 247
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
i 1 länge ( I)
I min ( I) min ( I) 0.01 A max ( I)
Bereichsvariable
Konstruktion von Fehlerbalken: ai 15 V Uplus U a
Vektoren zur Darstellung von Fehlerbalken
Uminus U a
Messpunkte und Fitfunktion
500
Spannung in V
400 Ui 300
Uplus Uminus
Abb. 3.10.7
200
U ( I)
100
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ii I I I Strom in A
Beispiel 3.10.4: Bestimmen Sie aus n vorliegenden simulierten Messpunkten (t k ; Ik) (k = 1, 2, ... n) eine geeignete Fitfunktion, und stellen Sie die Ausgleichskurve grafisch dar. n 50
Anzahl der Daten
k 1 n
Bereichsvariable
tk
k 20
c 2 s
s
Zeitpunkte
1
Parameter ctk
Ik 100 A e
rnd ( 5) A
simulierte Funktionswerte
100
Ik
50
0
Abb. 3.10.8
0
0.5
1
1.5 tk
Seite 248
2
2.5
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
c1 1 s
1
Startwert
Vorgabe 2
¦
c1tk· § © Ik 100 A e ¹ =0
k
c neu Minfehl c 1
Gesucht wird jener Parameter p, sodass die Summe der Abstandsquadrate nach Gauß verschwindet! c neu
ct
1.808 s
1
optimale Fitfunktion
f ( c t ) 100 A e
Strom in Ampere
100
I o 50 f cneu t
0
Abb. 3.10.9
0
0.5
1
1.5
t Zeit in Sekunden
Fehler bei der nichtlinearen Regression:
'k
Ik A
max ( ' )
Fm
f c neu tk
Abweichungen
A
maximaler Fehler der Einzelwerte
4.269 1 länge ( t)
0.45397
2
ª«
' i »º ¦ « » ¬
Fm
i
¼
mittlerer quadratischer Fehler
Seite 249
2
2.5
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
Beispiel 3.10.5: ORIGIN festlegen
ORIGIN 1
Für folgende Daten soll ein optimale Ausgleichskurve gefunden werden. Daten
1
2
1
1
4.18
2
2
4.67
3
3
5.3
4
4
5.37
5
5
5.45
6
6
5.74
7
7
5.65
8
8
5.84
9
9
6.36
10
10
6.38
¢1² x Daten
¢2² y Daten
7
6 y
Abb. 3.10.10
5
4
0
2
4
6
8
10
x
Wir versuchen eine logarithmische Regression der Form y = a ln(x+b) + c:
§¨ 1 · S ¨0 ¸ ¨4 © ¹
Schätzvektor
§¨ 1.126 · a ¨ 0.734 ¸ ¨ 3.586 © ¹
a loganp ( x y S)
f ( x) a1 ln x a2 a3
Fitfunktion
x 1 1 0.1 länge ( x)
Bereichsvariable
Seite 250
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
7
6 y f( x)
Abb. 3.10.11 5
4
0
1.1
2.2
3.3
4.4
5.5
6.6
7.7
8.8
9.9
11
x x
Beispiel 3.10.6: Für folgenden Daten soll ein optimale Ausgleichskurve gefunden werden. ORIGIN 0
x x
ORIGIN festlegen und Redefinitionen
a a T
T
x ( 100 250 300 360 450 500 550 )
y ( .03 .34 .67 1 0.67 .34 0.1 )
1
y
0.5
Abb. 3.10.12
0
0
100
200
300
400
500
600
x
Wir versuchen einen Ansatz mit folgender Exponentialfunktion: a( b x)
2
f ( a b x) e
ersetzen a = a0 2 o exp ª¬ a0 a1 x º¼ ersetzen b = a1
f ( a b x)
w wa w wb
Austausch der unbekannten Konstanten durch Vektorkomponenten
e
ersetzen a = a0 2 2 o a1 x exp ª¬ a0 a1 x º¼ ersetzen b = a1
f ( a b x)
ersetzen a = a0 2 o 2 a0 a1 x exp ª¬ a0 a1 x º¼ ersetzen b = a1
a( b x)
2
Seite 251
partielle Ableitung nach a
partielle Ableitung nach b
Differentialrechnung Ausgleichsrechnung
2 ª º exp ª¬ a0 a1 x º¼ « » « » 2 2º ª F1 ( x a) « a1 x exp ¬ a0 a1 x ¼ » « 2º » ª ¬ 2 a0 a1 x exp ¬ a0 a1 x ¼ ¼
Vektorfunktion
T
S ( 0.002 300 )
Schätzvektor
§a · ¨ genanp ( x y S F1) ©b ¹
§a · ¨ ©b ¹
x 0 0.01 600
Bereichsvariable
§¨ 7.027 u 10 5 · ¨© 374.543 ¹
1
y f( a b x) 0.5
0
100
200
300
400 x x
Abb. 3.10.13
Seite 252
500
600
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal 4. Integralrechnung Die Integralrechnung hat zwei völlig verschiedene Ausgangspunkte, und daher auch ganz verschiedene Anwendungsgebiete, die aber eng miteinander zusammenhängen. Die eine Aufgabe ist die: Die Ableitung einer Funktion sei gegeben. Wie lautet die ursprüngliche Funktion? Das Aufsuchen der ursprünglichen Funktion heißt Integrieren (Wiederherstellen). Das Integrieren in diesem Sinne ist also die Umkehrung des Differenzierens. In diesem Zusammenhang sprechen wir von einem unbestimmten Integral. Die andere Aufgabe ist folgende: Eine Funktion sei gegeben. Wie groß ist z.B. der Flächeninhalt eines begrenzten Bereiches zwischen Kurve und x-Achse? In diesem Zusammenhang sprechen wir von einem bestimmten Integral.
4.1 Das unbestimmte Integral Es sei f mit y = f(x) eine auf einem Intervall I gegebene Funktion. Unter einer Stammfunktion von f mit y = f(x) verstehen wir eine Funktion F mit y = F(x) auf I = [a, b], für die F'(x) = f(x) gilt. Das Aufsuchen einer Stammfunktion heißt Integrieren (lat.: Integer > ganz, unversehrt). Integrieren ist also in diesem Sinne die Umkehraufgabe des Differenzierens.
Beispiel 4.1.1: Ermitteln Sie die Stammfunktion von f(x) = 3 x 2 + 1. Gesucht ist also eine Funktion F 1 (x), deren Ableitung F1 '(x) = 3 x2 + 1 ist. d dx
x3 x = 3 x2 1
also
3
F1 ( x) = x x
ist eine Stammfunktion von f(x)
F2 ist aber auch eine Stammfunktion von f(x), denn
3
F2 ( x) = x x 2
die Ableitung ergibt ebenfalls 3 x 2 + 1 verschiedene Konstanten (Bereichsvariable)
C 1 3 15 3
F ( x C) x x C
Stammfunktionen von f(x)
x 3 3 0.01 3
Bereichsvariable
20
Alle Funktionen F(x) + C sind Stammfunktionen von f(x)! F( x C )
4
2
0
2
4
Format:Punkte 20 x
Abb. 4.1.1
Seite 253
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Für Stammfunktionen gilt: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist jede weitere Stammfunktion G(x) von f(x) in der Form G(x) = F(x) + C darstellbar. Es gilt nämlich für alle x: (G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0
(4-1)
Die Ableitung einer Konstanten Funktion ist null. Umgekehrt gilt aber auch: (G(x) - F(x))' = 0 G(x) - F(x) = konstant, also G(x) = F(x) + C
(4-2)
Eine stetige Funktion f besitzt unendlich viele Stammfunktionen. Unsere Hauptaufgabe besteht in der Suche nach den Stammfunktionen gegebener stetiger Funktionen. Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit einer Funktion reicht bei der Integrierbarkeit die Stetigkeit bzw. stückweise Stetigkeit auf I = [a, b] aus. Wir definieren: a) Die Menge aller Stammfunktionen F einer stetigen Funktion f heißt unbestimmtes Integral. ´ µ µ ¶
Wir schreiben:
Das Zeichen
´ µ µ ¶
f ( x) dx = F ( x) C , C .
d (stilisiertes S-Zeichen) heißt Integralzeichen (Integraloperator), f(x) heißt
Integrand, x die Integrationsvariable und C die Integrationskonstante. b) Das Lösen eines (unbestimmten) Integrals ist das Aufsuchen der Stammfunktionen. Grafisch wird ein unbestimmtes Integral durch eine Kurvenschar dargestellt. Bei der Wahl eines speziellen Wertes für die Integrationskonstante C, auch Anfangsbedingung genannt, wird daraus eine Kurve als Graph einer speziellen Stammfunktion ausgewählt. Beispiel 4.1.2: Ermitteln Sie die Stammfunktion für den Wurf eines Körpers nach oben (ohne Luftwiderstand) mit a =
d dt
v = g.
Zum Zeitpunkt t = 0 s soll der Körper eine Anfangsgeschwindigkeit v0 haben.
v=
´ µ µ ¶
Dies gilt nämlich, weil (- g t + C)' = - g ist ((F(t) +C)' = f(t)).
g dt = g t C
v ( 0 s ) = g 0 s C = v0 m v0 30 s C 1
m s
3
C = v0
Die spezielle Lösung lautet damit: v = - g t + v 0 . Anfangsgeschwindigkeit
m s
27
m s
verschiedene Konstanten
v ( t C) g t C
Stammfunktionen von f(t)
v1 ( t) g t v0
spezielle Lösung
t 0 s 0.01 s 3 s
Bereichsvariable
Seite 254
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal
40
Alle Funktionen v(t) = - g t + C (F(t) + C) sind Stammfunktionen von a(t) = - g (f(t) = - g) .
20
v( t C ) v1 ( t)
0
1
2
3
Format:Punkte 20 t
Abb. 4.1.2 Für die Umkehrung des Integrierens gilt in diesem Fall: d dt
v( t) =
d dt
( g t C) = g
Beispiel 4.1.3: Ermitteln Sie die Stammfunktion nachfolgender Funktionen. Redefinition
C C a)
b)
f ( x) x 2
gegebene Funktion
x 2
durch Integration, ergibt
´ µ µ ¶
( x 2) dx C
ergibt
´ µ µ ¶
f ( x) dx C o
1 2
3
1 2
3
´ µ µ ¶
f ( x) dx C o
2
x 2 x
2
x 2 x C
2
x 2 x C
durch Integration, ergibt
x
x dx C
2
gegebene Funktion
f ( x) x
´ µ µ ¶
1
3
ergibt
1 4
1 4
1 4
4
x
4
x C
4
x C
Seite 255
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal 4.2 Das bestimmte Integral Das Riemann Integral: Wir betrachten zuerst eine in einem Intervall I = [a, b] monoton steigende stetige Funktion y = f(x). Gesucht ist der Inhalt A der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zwischen a und b. ba . Die dadurch entstehenden Dazu zerlegen wir zuerst das Intervall I in n Teilintervalle 'x = n Randpunkte der Teilintervalle sind a = x 0 , x1 , x2 , ...xn-1, xn = b. Über den Teilintervallen werden Rechtecke gebildet, die einerseits unterhalb der Kurve liegen (eingeschriebene Rechtecke) und andererseits über die Kurve hinausgehen (umgeschriebene Rechtecke). Der Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke über dem Intervall [a, b] ist eine untere Schranke des gesuchten Flächeninhalts und heißt Untersumme s u der Funktion y = f(x) bezüglich der gegebenen Intervallzerlegung. Entsprechend ist der Flächeninhalt aller umgeschriebenen Rechtecke eine obere Schranke des gesuchten Flächeninhalts, die Obersumme s o genannt wird.
Beispiel 4.2.1: a 0
Intervall [a,b]
b 1 Anzahl der Subintervalle
n 5 'x
b a n FRAME 2
Intervallbreite (mit Animationsparameter)
f ( x) x
Funktionsgleichung
x a a 0.001 b
Bereichsvariable
Funktionen zur grafischen Veranschaulichung:
Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen in einen Vektor:
tp 0 1 Lv_in_Vektor ( a b sw) yp 0 1
km0 for i a a sw b
Z 0.001
vk m i
fu ( x) f ( x mod ( x a 'x) )
kmk1 v
fo ( x) f ( x mod ( x a 'x) 'x) X a Z ( a 'x) Z b Z
Seite 256
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Animation: FRAME von 0 bis 60 mit 5 Bilder/s. In die Animation soll auch die nachfolgende Berechnung einbezogen werden. Untersumme
1 0.8
fu( x)tp
fo( x)tp
0.6
f( x)
f( x)
0.8 0.6
fu( X)yp 0.4
fo( X)yp 0.4
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
Obersumme
1
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
x x X
Abb. 4.2.1 xu = a a 'x b 'x
¦© ©
i 0 länge ( Lv_in_Vektor ( a b 'x 'x) ) 1
i
su T
xu
1
´ µ ¶
¹
1
2
x dx
xo = a 'x a 2 'x b xo Lv_in_Vektor ( a 'x b 'x)
Exakte Lösung:
§ f § xu · 'x· i¹
0.8
Abb. 4.2.2
xu Lv_in_Vektor ( a b 'x 'x) su
0.6
x x X
so
0.333
0
i
Untersumme und Obersumme
0.24
¦ §©f §©xoi·¹ 'x·¹
so T
( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 )
xo
Für die Untersumme gilt: Die Höhen der Rechtecke sind gleich den Funktionswerten am linken Rand der Teilintervalle.
0.44 ( 0.2 0.4 0.6 0.8 1 )
Für die Obersumme gilt: Die Höhen der Rechtecke sind gleich den Funktionswerten am linken Rand der Teilintervalle.
Es gilt: su d A d so Existiert nun unter den oben genannten Voraussetzungen der Grenzwert der Folgen der Untersummen und der Grenzwert der Obersummen und stimmen diese Grenzwerte überein, so heißt die Funktion integrierbar auf [a, b]. Der gemeinsame Grenzwert wird bestimmtes Integral von y = f(x) auf [a, b] genannt. Wir schreiben: ´ µ ¶
b
a
n1
f ( x) dx =
lim nof
¦
i
0
n
f xi 'x
=
lim nof
¦
i
f xi 'x
(4-3)
0
f(x) heißt Integrand; x Integrationsvariable; a, b untere bzw. obere Integrationsgrenze und [a, b] wird Integrationsintervall genannt. Wie schon erwähnt, ist jede "stückweise" stetige Funktion (die Funktionswerte weisen nur endliche Sprünge auf) ist integrierbar. Für die Integrierbarkeit einer Funktion bestehen also weniger strenge Forderungen als für die Differenzierbarkeit.
Seite 257
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Betrachten wir nun das oben besprochene Flächenproblem zwischen a und x bei einer stetigen Funktion, wobei also die obere Grenze variabel sein soll. Die Integrationsvariable bezeichnen wir mit t. Wir definieren: x
´ a) Die Funktion F mit F(x) = µ f ( t) dt heißt Integralfunktion von f. ¶ a
Das heißt, dass die Integralfunktion F(x) eine Stammfunktion von F(t) ist. Da Integralfunktionen bei stetigen Funktionen y = f(t) sinnvoll gebildet werden können, besitzt jedenfalls eine auf einem Intervall stetige Funktion eine Stammfunktion. ´ b) Stellt x einen bestimmten Wert b dar, so heißt µ ¶
b
f ( x) dx bestimmtes Integral.
a
Die bisherigen Überlegungen fasst der folgende fundamentale Satz zusammen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnug: Ist F:[a,b] ------------> eine beliebige Stammfunktion der stetigen Funktion f:[a,b] -------> , x |------------> F(x) x |---------> f(x) dann ist F differenzierbar mit F'(x) = f(x) und es gilt: ´ µ ¶
b
f ( x) dx = F ( b) F ( a)
(4-4)
a
Der Wert eines bestimmten Integrals ist von der Stammfunktion unabhängig; er errechnet sich als Differenz des Stammfunktionswertes der oberen und der unteren Grenze (siehe dazu (4-2)). Bemerkung: Die Integralfunktion F ist diejenige Stammfunktion, für die gilt: F(a) = 0
(4-5)
Beispiel 4.2.2: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion: f ( x) x
Funktionsgleichung
x 0 0.01 5
Bereichsvariable 5 1
´ µ ¶
4
4
x dx
1
f( x)
4 = [ x2 /2] | = 1
2
4
2
2
1
2
o
15 2
Interpretieren wir das bestimmte Integral als Fläche, so stellt das Ergebnis die Maßzahl des Flächeninhalts zwischen Kurve und x-Achse von 1 bis 4 dar.
f( x)( 1 x 4)
0
5
Abb. 4.2.3
x
Seite 258
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal 2
f ( x) x 1
Funktionsgleichung
x 0 0.01 5
Bereichsvariable ´ µ ¶
10 2
x2 1 dx
=[
x3 /3
0
f( x) f( x)( 0 x 2)
2
5
+ x]
2 |= 0
3
2
3
3
2
0
3
0o
14 3
Interpretieren wir das bestimmte Integral als Fläche, so stellt das Ergebnis die Maßzahl des Flächeninhalts zwischen Kurve und x-Achse von 0 bis 2 dar. 0
2
Abb. 4.2.4
x
Ein weiterer wichtiger Satz der Integralrechnung: Mittelwertsatz der Integralrechnung: Wenn f eine stetige Funktion auf ]a, x[ ist, dann gibt es mindestens ein t 0 ]a, x[, für das gilt: x
´ µ f ( t) dt = ( x a) f t0 ¶
a
(4-6)
Der Satz besagt, dass die ebene Figur, begrenzt durch die Funktionskurve y = f(x), der x-Achse und den beiden Grenzen a und x, durch ein flächengleiches Rechteck ersetzt werden kann.
Beispiel 4.2.3: Berechnen Sie den Mittelwert der Funktion y = x 2 zwischen 1 und 4. 2
f ( x) x
Funktionsgleichung
x 0 0.01 5
Bereichsvariable
a 1
Grenzen
b 4 b
§ x3 · ´ 2 1 µ x dx = f xm = ¨ b a ¶a b a © 3¹
b |= a
§ b3 a3 · ym ¨ b a © 3 3 ¹
ym
7
Mittelwert (Funktionswert an der Stelle x m)
xm
xm
2.646
Stelle xm
1
1
ym
§ b3 a3 · ¨ b a © 3 3 ¹ 1
Seite 259
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal
20 a
´ µ ¶
b
10
ym
0
2
f ( x) dx
Fläche zwischen Kurve und x-Achse
21
a
f( x) ym( ad xd b )
b
4
( b a) ym
6
Rechtecksfläche
21
Abb. 4.2.5
x
Mit dem Mittelwertsatz und den Grenzwertsätzen folgen nun einige Gesetzmäßigkeiten für integrierbare Funktionen f und g: a) Ein konstanter Faktor kann vor das Integral geschrieben werden: x
x
´ ´ µ k f ( t ) dt = k µ f ( t) dt , k ¶ ¶ a
(4-7)
a
b) Das Integral einer Summe (gilt auch für die Differenz) ist gleich der Summe bzw. Differenz der Integrale. x
x
x
a
a
a
´ ´ ´ µ ( f ( t ) g ( t ) ) dt = µ f ( t ) dt µ g ( t ) dt ¶ ¶ ¶
(4-8)
c) Gilt für alle t ]a, x[: f(t) > g(t), bzw. f(t) = g(t), bzw. f(t) < g(t), dann gilt für die Integrale: x
x
x
x
x
x
´ ´ ´ ´ ´ ´ µ f ( t) dt ! µ g ( t ) dt , bzw. µ f ( t) dt = µ g ( t ) dt , bzw. µ f ( t) dt µ g ( t ) dt ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ a
a
a
a
a
(4-9)
a
d) Die Umkehrung der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals: x
a
a
x
´ ´ µ f ( t) dt = µ ¶ ¶
f ( t ) dt
(4-10)
e) Das Integral kann in Teilintervalle (mit gleichen Integranden) zerlegt werden: x x x ´ 0 ´ ´ µ f ( t) dt = µ f ( t) dt µ f ( t) dt , x0 ]a, x[ ¶ ¶ ¶x a a
(4-11)
0
Beispiel 4.2.4: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale unter Ausnützung der vorher genannten Gesetzmäßigkeiten: ´ µ ¶
3
1
2
3 x dx o 26
´ 3 µ ¶
3
2
x dx o 26
1
Seite 260
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal
´ µ ¶
2
( x 1) dx o
1
´ µ ¶
2
( x 2) dx o
1
´ µ ¶
4
3
x dx o
1
´ µ ¶
4
4
x dx o
´ µ ¶
5 2
´ x dx µ ¶
1
2
2
1 dx o
1
1
´ µ ¶
7
( x 2) dx o
2
´ µ ¶
255 4
1
´ µ ¶
5
2
1
4
2
2
Bei vertauschten Grenzen ist das Ergebnis negativ!
4
´ 4 x dx µ ¶
5
7
255
3
x dx o
4
1023
1
2
4
x dx o
1023
2
5
Einige weitere Eigenschaften von bestimmten Integralen: a) Eine Fläche die oberhalb der x-Achse liegt ist positiv, eine Fläche die unterhalb der x-Achse liegt ist negativ, wenn entlang der positiven x-Achse integriert wird. Über Nullstellen darf daher nicht beliebig hinweg integriert werden ! b) Ist eine Funktion zentralsymmetrisch bzw. achsialsymmetrisch, so kann beim Integrieren diese Eigenschaft genützt werden.
Beispiel 4.2.5: Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Bereich von a = 0 und b = 2 S: f ( x) sin ( x)
Funktionsgleichung
x 0 0.01 2 S
Bereichsvariable
1
+ f( x)
0
2S
S
2
4
-
6
8
Abb. 4.2.6
1 x
´ µ ¶
2S
´ µ ¶
f ( x) dx o 0
0
f ( x) dx o 2
0
´ µ ¶
A
S
0
A
S
´ f ( x) dx µ ¶
S
2S
f ( x) dx o 2
S
2S
f ( x) dx
´ µ ¶
Oder durch Austausch der Integrationsgrenzen:
4
´ A1 µ ¶
0
A1
Seite 261
S
4
´ f ( x) dx µ ¶
S
2S
f ( x) dx
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Beispiel 4.2.6: Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Bereich a = -2 und b = 2: 3
2
f ( x) x 3 x 3 x 5
Funktionsgleichung
x 3 3 0.001 4
Bereichsvariable 20 2
2 10
f( x) f( x)( 2 x 2)
Abb. 4.2.7 4
2
0
2
4
10 x
TOL 10
10
Toleranzwert für das Näherungsverfahren Startwert (Näherungswert)
x1 1
x1 wurzel f x1 x1
x1
x2 1
Startwert (Näherungswert)
x2 wurzel f x2 x2
x2
1.449
f x1
1
f x2
6.217 u 10
15
0
20 x1
x2 10
f( x)
Abb. 4.2.8
f( x)( 2 x 2) 4
2
0
2
4
10 x
A
x x 2 ´ 1 ´ 2 ´ µ µ f ( x) dx f ( x) dx µ f ( x) dx µ ¶ ¶x ¶x 2 1
A
14
2
oder:
Maßzahl der Fläche
x ´ 1 A µ f ( x) dx ¶ 2
x 2 ´ 1 ´ µ f ( x) dx µ f ( x) dx µ ¶x ¶x 2
A
2
Seite 262
14
Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Beispiel 4.2.7: Berechnen Sie das bestimmte Integral im Bereich von a = - S und b = S unter Ausnützung der Symmetrie: f ( x) sin ( x)
gegebene Funktionsgleichung
x S S 0.01 S
Bereichsvariable
1 S f( x)
4
S
2
0
2
4
Abb. 4.2.9
1 x
´ 2 µ ¶
S
Maßzahl der Fläche
f ( x) dx o 4
0
Beispiel 4.2.8: Berechnen Sie das bestimmte Integral im Bereich a = -2 und b = 2 mit und ohne Ausnützung der Symmetrie. 2
f ( x) x
gegebene Funktion
x 2 2 0.01 2
Bereichsvariable
4
f( x)
2
2
1
Abb. 4.2.10
0
1
2
x
´ µ ¶
2
f ( x) dx o
16
2
3
Maßzahl der Fläche
Oder unter Ausnützung der Symmetrie: ´ 2 µ ¶
2
0
f ( x) dx o
16 3
Maßzahl der Fläche
Seite 263
Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3 Integrationsmethoden Weil das Integrieren stetiger Funktionen, also das Aufsuchen von Stammfunktionen, die Umkehrung des Differenzierens ist, lassen sich manche Differentiationsregeln unmittelbar in Integrationsregeln umwandeln. Ausgangspunkt seien aber zuerst die sogenannten Grundintegrale, deren Richtigkeit sofort durch Ableitungen bestätigt werden können. Neben den Grundintegralen sind noch die Substitution (Umkehrung der Kettenregel), die partielle Integration (Umkehrung der Produktregel) und die Partialbruchzerlegung (Umkehrung der Quotientenregel) von Bedeutung.
4.3.1 Grundintegrale Nachfolgend werden die wichstigsten Grundintegrale zusammengefasst. Wir setzen voraus, dass f und g stetige Funktionen sind. ============================================================================= y = k . f(x) ´ µ µ ¶
y' = k f '(x)
k f ( x) dx = k
´ µ µ ¶
f ( x) dx , k
(4-12)
Ein konstanter Faktor kann vor das Integral geschrieben werden. ============================================================================= y = f(x) ± g(x) ´ µ µ ¶
y' = f '(x) ± g '(x)
( f ( x) g ( x) ) dx =
´ µ µ ¶
f ( x) dx
´ µ µ ¶
g ( x) dx
(4-13)
Das Integral einer Summe (gilt auch für die Differenz) ist gleich der Summe bzw. Differenz der Integrale. ============================================================================= y=x ´ µ µ ¶
y' = 1
1 dx = x C
(4-14)
============================================================================= y=kx ´ µ µ ¶
y' = k
k dx = k x C
(4-15)
============================================================================= y = xr , r ´ µ µ ¶
r
x dx =
y' = r xr-1
r 1
x
r 1
C , r z-1
(4-16)
=============================================================================
Seite 264
Integralrechnung Integrationsmethoden ================================================================================ y = ex ´ µ µ ¶
y' = ex
x
x
e dx = e C
y = ax ´ µ µ ¶
(4-17)
y' = ax ln(a) x
x
a dx =
a
ln ( a)
C , a > 0, a z 1
(4-18)
================================================================================ y = ln(x) ´ µ µ µ ¶
1 x
y' = 1/x
dx = ln x
C
,xz0
(4-19)
================================================================================ y = sin(x) ´ µ µ ¶
y' = cos(x)
cos ( x) dx = sin ( x) C
y = cos(x) ´ µ µ ¶
y' = - sin(x)
sin ( x) dx = cos ( x) C
1 cos ( x)
2
1 sin ( x)
dx = tan ( x) C , x z (2n + 1) S/2
(4-22)
y' = -1/sin2 (x) = - (1 + cot 2 (x))
y = cot(x) ´ µ µ µ ¶
(4-21)
y' = 1/cos2 (x) = 1 + tan2 (x)
y = tan(x) ´ µ µ µ ¶
(4-20)
2
dx = cot ( x) C , x z n S
(4-23)
================================================================================
Seite 265
Integralrechnung Integrationsmethoden ================================================================================ y = arcsin ( x)
1
y'=
2
, x 1
1x ´ µ µ µ ¶
1
dx = arcsin ( x) C
2
(4-24)
1x
y = arccos ( x)
1
y'=
2
, x 1
1x ´ µ µ µ ¶
1
2
dx = arccos ( x) C
(4-25)
1x
y = arctan ( x)
1
y'=
2
1x ´ µ µ µ ¶
1
dx = arctan ( x) C
2
(4-26)
1 x
y = arccot ( x)
y'=
1 2
1 x ´ µ µ µ ¶
1 2
dx = arccot ( x) C
(4-27)
1x
================================================================================ y = sinh ( x) ´ µ µ ¶
cosh ( x) dx = sinh ( x) C
y = cosh ( x) ´ µ µ ¶
y ' = cosh ( x)
(4-28)
y ' = sinh ( x)
sinh ( x) dx = cosh ( x) C
(4-29)
Seite 266
Integralrechnung Integrationsmethoden
y = tanh ( x)
1
y'=
cosh ( x) ´ µ µ µ ¶
1 cosh ( x)
(4-30)
1
y'=
sinh ( x) 1
sinh ( x)
2
dx = tanh ( x) C
2
y = coth ( x)
´ µ µ µ ¶
2
= 1 tanh ( x)
2
2
= 1 coth ( x)
2
dx = coth ( x) C
(4-31)
===============================================================================
§
y = arsinh ( x) = ln © x
·
2
x 1¹
1
y'=
2
1x ´ µ µ µ ¶
1
§
2
2
dx = arsinh ( x) C = ln © x
x 1
·C ¹
(4-32)
1x
§
y = arcosh ( x) = ln © x
·
2
x 1¹
1
y'=
2
,x>1
x 1
§
y = arcosh ( x) = ln © x
2
·
x 1¹
y'=
1 2
,x>1
x 1 ´ µ µ µ ¶
1
§
dx = arcosh ( x) C = ln © x
2
·C x !0 , ¹
(4-33)
x 1
y = artanh ( x) =
´ µ µ µ ¶
2
x 1
1 2
1 x
1 2
§ 1 x· © 1 x¹
ln ¨
dx = artanh ( x) C =
y'=
1 2
, x 1
1x 1 2
§ 1x · C ,xz1 © 1x ¹
ln ¨
Seite 267
(4-34)
Integralrechnung Integrationsmethoden
1
y = arcoth ( x) =
´ µ µ µ ¶
1 2
2
§ x 1· © x 1¹
ln ¨
1
y'=
2
x !1
,
1x 1
dx = arcoth ( x) C =
§ x 1 · C ,xz1 © x 1 ¹
ln ¨
2
1 x
(4-35)
===============================================================================
Beispiel 4.3.1: Berechnen Sie folgende Grundintegrale: 3
(1)
´ µ µ ¶
x dx =
(2)
´ µ µ ¶
´ µ 2 12 x dx = 12 µ ¶
(3)
´ µ µ µ ¶
(4)
´ µ µ µ ¶
2
15 4
x
3
(4-16)
C 3
x
2
x dx = 12
´ µ 15 µ µ x dx = 4 ¶
3
3
1
x
(4-12) und (4-16)
C= 4 x C
3
2
dx =
15 4
x
3
2
3
C=
30 12
x
2
3
C=
5 2
x
2
(4-12) und (4-16)
C
2 1
3 4
x
dx =
x
1
4
C = 4 x
1
4
(4-16)
C
4
(5)
(6)
(7)
(8)
´ µ µ ¶
x2 6 x 5 dx = µµ
´
´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ 2 ¶ x
´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ 2 ¶ x
´ µ µ µ ¶
´ § 3 1 1 · dx = 3 µ µ ¨x x¹ µ © ¶
´ µ x dx 6 µ ¶ 2
¶
1
1
2
x
2
1
dx = x
x dx =
C=
1 x
´ µ x dx µ ¶
3
5 dx =
x
3
2
6
x
2
(4-13) bis (4-16)
5 x C
(4-16)
C
3
x
3
(4-16)
C
´ 1 µ dx µ x ¶
´ µ µ 1 dx µ ¶
x
Seite 268
1
1
2
2
dx = 3 ln x
x 2 x
C
(4-13) (4-19), (4-14), (4-16)
Integralrechnung Integrationsmethoden
(9)
´ µ µ ¶
ex sin (x) 1 dx = ex cos(x) x C
(4-13), (4-17), (4-21), (4-14)
(10)
´ µ µ ¶
ex e x dx = ex e x C
(4-13), (4-17)
(11)
´ µ µ ¶
(12)
´ µ µ µ ¶
x 1
( 1 x) x
2
2
´ µ dx = µ ¶
´ µ dx = µ µ ¶
x 2
3
2
x 1 dx =
x
2
4 3
x
2
x C
1 2 x x2 dx = ´µ x
¶
( a cos ( x) b sin ( x) ) dx = a sin ( x) b cos ( x) C
´ µ µ µ ¶
5 § 6 x· x 3 e dx = 6 tan ( x) 5 cot ( x) 3 e C ¨ 2 2 sin ( x) © cos ( x) ¹
(15)
´ µ µ ¶
3x 10x dx =
(16)
´ µ µ ¶
3 1 tan ( x)
(17)
´ µ µ ¶
1 cot(x)2 dx = cot(x) C
(18)
´ µ µ µ ¶
cos ¨
(19
´ µ µ µ ¶
sin ¨
´ µ µ µ ¶
´ 1 µ dx = µ 2 2 2 2 x µ ¶
(14)
(20)
2
x
3
ln ( 3)
2
x §1 · C µ ¨ 2 x dx = ln x 2 x 2 ¹ µ ©x
´ µ µ ¶
(13)
(4-13), (4-16), (4-14)
10
(4-13), (4-19), (4-14), (4-16)
(4-13), (4-12), (4-20), (4-21)
(4-13), (4-22), (4-23), (4-17)
x
ln ( 10 )
(4-13), (4-18)
C
dx = 3 tan (x) C
(4-12), (4-22)
(4-23)
2 1 § x · dx = 1 ´ µ ( 1 cos ( x) ) dx = ( x sin ( x) ) C µ 2 2 ¶ © 2¹
(3-48), (4-13), (4-14), (4-20
2 1 § x · dx = 1 ´ µ ( 1 cos ( x) ) dx = ( x sin ( x) ) C µ 2 2 ¶ © 2¹
(3-47), (4-13), (4-14), (4-20
1
1 2
1x
dx =
1 2
arctan ( x) C
Seite 269
(4-12), (4-26)
Integralrechnung Integrationsmethoden ´ µ µ µ ¶
(21)
(22)
(23)
1 2
dx =
3 3 x
´ 1 µ µ 3 µ ¶
1 2
dx =
1x
´ µ µ µ ¶
´ 1 µ dx = 2 µ 2 µ 4 4 x ¶
´ µ µ µ ¶
´ 1 µ dx = 3 µ 2 µ 9 9 x ¶
1
1 2
1 3
artanh ( x) C =
dx =
1x
1
1 2
dx =
1x
1 2
1 3
1 3
arcsin ( x) C
arsinh ( x) C =
1 2
§ 1 x · C © 1 x ¹
ln ¨
oder:
1 3
1 2
§
ln © x
(4-12), (4-34)
arccos ( x) C (4-12), (4-24)
·
2
x 1¹ C
(4-12), (4-32)
Beispiel 4.3.2: Ein Körper wird mit einer konstanten Anfangsgeschwindigkeit v 0 zum Zeitpunkt t = 0 s nach oben geworfen. Berechnen Sie v und s. v=
d dt
a=
s
ds = v dt
d dt
Geschwindigkeit und Beschleunigung
v
´ µ µ ¶
s=
´ µ µ ¶
1 ds =
v=
´ µ µ ¶
g dt = g t C1
´ s=µ µ ¶
Differentiale
dv = a dt zurückgelegter Weg
v dt
v=
´ µ µ ¶
1 dv =
´ µ µ ¶
a dt
Geschwindigkeit
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (Stammfunktionen) 2
t g t C1 dt = g C1 t C2 2
Weg-Zeit-Gesetz (Stammfunktionen)
Um zwei unbestimmte Konstanten berechnen zu können, sind 2 Anfangsbedingungen notwendig: v ( 0) = v0
v = g t C1
s ( 0) = 0
s = g
g 2 s = v0 t t 2
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
v = v0 g t
Weg-Zeit-Gesetz
t
v0 = g 0 C1
2
C1 = v0
C2 = 0
2
C1 t C2 2
0 = g
Seite 270
0
2
v0 0 C2
Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.3: Die Ableitung einer Funktion ist gegeben durch y' = 2 x + 3. Wie lautet die Funktionsgleichung y = f(x) die den Punkt P(1 | 2) enthält ? d dx
y = 2 x 3
´ µ µ ¶
Differential
dy = ( 2 x 3) dx 2
´ µ µ ¶
1 dy =
( 2 x 3) dx
Koordinaten von P(1 | 2) einsetzen: 2
y= 2
x
2
3 x C
2
2 = 1 3 1 C
auf beiden Seiten integrieren
C = 2
gesuchte Funktion
y= x 3 x 2 Beispiel 4.3.4:
Die Steigung einer Kurve ist in jedem Punkte gleich dem Werte der Ordinate. Wie lautet die Funktionsgleichung der Kurve ? d
y = y . Der Differentialquotient lässt sich aufspalten in
dy
= dx. y dx Dies wird auch Trennung der Variablen genannt. Nun kann auf beiden Seiten der Gleichung integriert werden: Es muss folgende Differentialgleichung gelten:
´ µ µ µ ¶
1 y
ln( y)
e
ln( y)
e
dy =
´ µ µ ¶
1 dx
( x ln( C ) )
=e
x C1
=e
oder
ln ( y) = x ln ( C)
ln ( y) = x C1
x
y = C e C1
y=e
gesuchte Lösungen x
x
e = C e
Beispiel 4.3.5: Welche konstante Kraft muss auf einen Eisenbahnwagon von 10 t Masse wirken, damit seine Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2 m/s im Laufe von W = 40 s umgekehrt wird, d.h. in v 1 = - 2 m/s umgewandelt wird ? Die Reibung wird vernachlässigt. F= m
d dt
dynamisches Grundgesetz
v
Nach der Aufspaltung des Differentialquotienten in F dt = m dv, kann auf beiden Seiten integriert werden. v
W ´ 1 ´ µ F dt = µ m dv µ ¶ ¶v 0
F W = m v1 v0
Kraftstoß = Impulsänderung
m v0 2 s
m v1 2 s
Geschwindigkeiten
W 40 s
m0 10 10 kg
0
F
m0 W
3
v1 v0
F
3
1 u 10 N
Seite 271
Zeit und Masse
gesuchte Kraft
Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3.2 Integration durch Substitution Das Ziel der Substitution (Umkehrung der Kettenregel) ist es, das vorgegebene Integral auf ein Grundintegral zurückzuführen. Wir gehen von einer integrierbaren verketteten Funktion y = f(g(x)) aus. Zuerst führen wir eine neue Integrationsvariable u ein, die mit x über g(x) zusammenhängt, also u = g(x). Das Differential von u ergibt sich dann zu: du = g'(x) dx. Das unbestimmte Integral lässt sich dann wie folgt umformen: ´ µ f ( g ( x) ) dx = µ µ ¶
´ µ µ ¶
f ( u) g' ( x)
du
(4-36)
Bei der Substitution am bestimmten Integral müssen auch die Integrationsgrenzen geändert werden: b
´ f ( g ( x) ) dx = µ µ a ¶
´ µ ¶
u( b)
f ( u)
du
g' ( x)
(4-37)
u( a)
Spezialfälle der Substitution: a) Die innere Funktion ist linear. Für Integrale der Form ´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
f ( a x b) dx =
f ( a x b) dx gilt dann mit u = a x + b und du = a dx: 1 ´ µ a µ ¶
1
f ( u) du =
a
F ( u) C =
1 a
F ( a x b) C
(4-38)
b) Im Integranden steht die Ableitung der inneren Funktion g(x) als Produkt ( u = g(x) und du = g'(x) dx ): ´ µ µ ¶
f ( g ( x) ) g' ( x) dx =
´ µ Für Integrale der Form µ ¶ ´ µ µ ¶
f ( u) du = F ( u) C = F ( g ( x) ) C
(4-39)
n
( g ( x) ) g ' ( x) dx gilt dann mit u = g(x) und du = g '(x) dx:
´ µ n ( g ( x) ) g ' ( x) dx = µ ¶
´ µ µ Für Integrale der Form µ ¶ ´ µ µ µ ¶
´ µ µ ¶
n
n 1
u du =
u
n 1
C=
1 n1
( g ( x) )
n1
C
(4-40)
1
( g ( x) )
´ µ µ 2 ( g ( x) ) g ' ( x) dx = µ ¶
2
1
g ' ( x) dx gilt dann mit u = g(x) und du = g '(x) dx: 3
1
u
2
du =
u
3
2
3
C=
2
Seite 272
2 3
( g ( x) )
2
C
(4-41)
Integralrechnung Integrationsmethoden ´ µ µ g ' ( x) dx = µ 2 g ( x) µ ¶
´ µ µ µ ¶
´ µ 1 µ 1 d( g ( x) ) = µ 2 ¶ 2 g ( x)
1· § ¨ 2 © g ( x) ¹ dg ( x) =
g ( x) C
(4-42)
c) Im Zähler des Integranden steht die Ableitung des Nenners ( u = g(x) und du = g '(x) dx ): ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ g ( x) µ ¶
1
g ' ( x)
u
du = ln u
C = ln
g ( x)
C
(4-43)
Bemerkung: Die Umkehrung der Kettenregel kann nicht immer bei Integralen, in denen der Integrand eine verkettete Funktion darstellt, angewendet werden. Hier helfen manchmal spezielle Substitutionen, wie am Ende dieses Abschnittes gezeigt wird. Beispiel 4.3.6:
(1)
´ µ µ µ ¶
´ µ 1 µ 2 ( 1 2 x) dx = µ 2 ¶ 3
5
3
u
2
du =
1 2
u
5
2
5
C=
1 5
u
2
5
C=
1 5
( 1 2 x)
2
C
(4-38), (4-16)
2
u = 1 2 x
(2)
´ µ µ ¶
du = 2 dx
sin ( 2 x) dx =
1 ´ µ 2 µ ¶
u = 2 x
(3)
´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
cos ( 3 x 1) dx =
3x
e
(5)
u=
dx =
1 ´ µ 3 µ ¶
2
1 ´ µ 3 µ ¶
cos ( u) du =
1
1 2
3
sin ( u) C =
u
e du =
1 3
u
e C=
1 3
3x
e
cos ( 2 x) C
(4-38), (4-21)
1 3
sin ( 3 x 1) C
(4-38), (4-20)
C
(4-38), (4-17)
du = 3 dx
t
´ µ 2 dt = 2 µ e ¶ t
2
cos ( u) C =
du = 3 dx
u = 3 x ´ µ µ µ ¶
1
du = 2 dx
u = 3 x 1
(4)
sin ( u) du =
t u
u
e du = 2 e C = 2 e
du =
1 2
dt
2
C
dt = 2 du
Seite 273
(4-38), (4-17)
Integralrechnung Integrationsmethoden
(6)
´ µ µ µ ¶
´ 5 µ dx = µ 2 3 ( 4 3 x) µ ¶
u = 4 3 x
(7)
5 ´ µ µ du = 2 3 ¶ u
5
2
u
5
du =
3
1
u
1
C=
5 3
1 u
C=
5 3
1 4 3 x
C
(4-38), (4-16)
du = 3 dx
´ µ µ 2 x 3 dx = µ ¶
´ µ µ ¶
1
3
1
( 2 x 3)
2
dx =
1 2
( 2 x 3)
3
2
C=
3
1 3
( 2 x 3)
2
(4-38), (4-16)
C
2
(8)
´ µ µ ¶
7
( 5 x 3) dx =
1 5
( 5 x 3)
(9)
´ µ 1 µ 3 x 1 dx = µ 3 ¶1
5
0
u = 3 x 1
C=
8 16
´ µ ¶
8
1
u
1 40
3
2
du =
du = 3 dx
2 9
u
(4-38), (4-16)
8
( 5 x 3) C
3· § 3 ¨ 2 2 2 2 © 16 1 ¹ = ( 64 1) = 14
16 | = 1
2
9
u ( 0) = 1
9
(4-37), (4-41)
u ( 5) = 16
Wir könnten aber auch zuerst unbestimmt integrieren und hinterher erst das bestimmte integral auswerten. Damit müssen die Grenzen nicht geändert werden!
(10)
´ µ µ µ ¶
u=
´ µ dx = µ 2 2 2 a µ a x µ µ ¶
´ 1 µ dx = µ 2 a x· µ § 1 ¨ ¶ © a¹
x
1
1
(12)
´ µ µ ¶
´ µ µ µ ¶
a
´ 1 µ dx = µ a 2 2 µ a x µ µ ¶ x
a
´ µ 4 sin ( x) cos ( x) dx = µ ¶
´ µ dx = µ 4 cos ( x) µ ¶ 1
1u
1 a
arctan ( u) C =
1 a
§x· C © a¹
arctan ¨
(4-38), (4-26)
´ µ dx = µ 2 µ x· § 1¨ ¶ © a¹ 1
du =
2
1
1
du =
a
1
dx
1
u = sin ( x) (13)
1
du =
a
´ (11) µ µ µ ¶
u=
1
2
1u
§x· C © a¹
du C = arcsin ( u) C = arcsin ¨
(4-38), (4-24)
dx
4
sin ( x) dsin ( x) =
sin ( x) 5
5
C
(4-40)
du = d ( sin ( x) ) = cos ( x) dx 1 cos ( x)
2
´ µ dx = µ 2 ¶ cos ( x) 1
1 tan (x)2 d(tan (x)) = tan (x) 13 tan (x)3 C
Seite 274
Integralrechnung Integrationsmethoden ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ 4 cos ( x) µ ¶ 1
u = tan ( x)
1 tan (x)2
1
du = d ( tan ( x) ) =
cos ( x) ´ µ (14) µ ¶
´ µ sin ( x) dx = µ ¶ 3
u = cos ( x)
´ µ (15) µ ¶
´ 1 µ x 1 dx = µ 2 ¶
(4-39), (4-14), (4-16)
C
3
dx
2
3
©
x
2
d x
1
¹
C
3
1 2
3·
(4-39), (4-14), (4-16)
du = d ( cos ( x) ) = sin ( x) dx
´ µ µ 1 µ 2 x 1 ( 2 x) dx = 2 µ ¶
2
x
1 u2 du = u u
1 cos(x)2 d(cos(x)) = §¨ cos(x) cos (x)
´ µ sin ( x) sin ( x) dx = µ ¶ 2
du = sin ( x) dx
3
´ µ dx = µ 2 ¶ cos ( x) 1
2
1 =
1 2
x2 1 2 3
C
2 2
u=x 1 ´ µ (16) µ µ ¶ ´ µ (17) µ µ ¶
2
´ µ dx = µ 3 x 2 µ ¶
1
3
2
1 x 2
dx = ln x 2
2
´ 1 µ dx = µ 2 x 3 2 µ ¶
´ µ (19) µ µ µ ¶
´ 1 µ dx = µ 3 6 µ 1 2 x ¶
´ (20) µ µ ¶
´ µ cot ( x) dx = µ µ ¶
´ (22) µ µ ¶
1
´ µ tanh ( x) dx = µ µ ¶
dx =
2 x 3
2
cos ( x) sin ( x)
d( 3 x 2) =
u=x 2
2
1 2
2
x
´ µ µ 1 dx = µ x ln ( x) µ ¶
3 x 2
C
´ µ (18) µ µ ¶
´ µ (21) µ µ ¶
(4-41)
du = d x 1 = 2 x dx
6 x
2 x 3
dx =
du = dx
ln 2 x 3
1 6
3 x 2 C
C
3
ln 1 2 x
C
(4-42)
(4-43), (4-19)
(4-43), (4-19)
(4-43), (4-19)
dx = ln sin ( x)
C
(4-43), (4-19)
dx = ln ln ( x)
C
(4-43), (4-19)
1 x
ln ( x)
sinh ( x) cosh ( x)
dx = ln cosh ( x)
C
Seite 275
(4-43), (4-19)
Integralrechnung Integrationsmethoden Spezielle Substitutionen:
´ µ (23) µ ¶
2
2
Substitution:
a x dx
oder:
x = a sin ( t)
x = a tanh ( t )
Konstante
a 3
1
´ µ µ ¶
2
2
a x dx C o
1 2
2
x 9 x
2
9 2
§ 1 x· C ©3 ¹
asin ¨
3
´ µ (24) µ ¶ ´ µ ¶
2
x
2
2
a x dx C o
a 2
x
2
2
a x dx o
0
´ µ (25) µ ¶
2
81 16
2
1 4
2
x 9 x
9 8
2
x 9 x
x=
´ µ (27) µ ¶
81 8
§ 1 x· C ©3 ¹
asin ¨
oder:
cos ( t)
x = a cosh ( t )
Konstante
2
2
x a dx C o
1 2
2
x 9 x
´ µ x 4 x 3 dx = µ ¶ 2
2
ª« 9 « 2 ln ¬ x 9 x
2
2
2
2
2
» »C ¼
2
1 4
2
2
( 2 x 4) x 4 x 3
Substitution:
x a dx
1º
( x 2) 1 dx
x 4 x 3 dx C o
1º ª« » 2 1 « 2 » ln ¬ x 2 x 4 x 3 ¼ C
2
x = a tanh ( t )
oder:
Redefinition
a a
1
´ µ µ ¶
2
a
1
´ µ µ ¶
S
1
´ µ (26) µ ¶
Substitution:
x a dx
a 3 ´ µ µ ¶
1
2
2
2
x a dx C o
1 2
2
2
x x a
2
ª« 1 2 « 2 2 a ln ¬ x x a
2
Seite 276
1º
2
» »C ¼
x = a sinh ( t )
Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3.3 Partielle Integration Partielle (teilweise) Integration oder Produktintegration (Umkehrung der Produktregel). Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen u(x) und v(x). Aus der Produktregel (u(x) . v(x)) ' = u'(x) . v(x) + v'(x) . u(x) folgt durch Umformung: u(x) . v'(x) = (u(x) . v(x)) ' - v(x) . u'(x)
(4-44)
Durch Multiplikation der Gleichung (4-44) mit dx und anschließender Integration erhalten wir die Regel für die partielle Integration: ´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
u ( x) v ' ( x) dx = u ( x) v ( x)
v ( x) u ' ( x) dx
(4-45)
bzw. mit dv = v'(x) dx und du = u'(x) dx ´ µ µ ¶
u dv = u v
´ µ µ ¶
v du
(4-46)
Beispiel 4.3.7:
(1)
´ µ µ ¶
´ x x µ x e dx = x e µ ¶
u=x
x
x
x
x
e dx = x e e C = e ( x 1) C x
du = dx
dv = e dx
x
(keine Integrationskonstante!)
v=e
Bei falschem Ansatz kann sich ein schwierigeres Integral als zuvor ergeben (z.B. u = e x )
(2)
´ µ µ ¶
´ µ 2 x 2 x x e dx = x e 2 µ ¶ 2
u=x
(3)
´ µ µ ¶
2
x
dv = e dx
x cos ( x) dx = x sin ( x)
2
u=x
x
x
du = 2 x dx
2
2
x
x
´ µ µ ¶
du = 2 x dx
v=
´ µ µ ¶
´ µ 1 dv = µ ¶
2
sin ( x) 2 x dx = x sin ( x) 2
dv = cos ( x) dx
v = sin ( x)
Für das letzte Integral muss noch einmal partiell integriert werden: ´ µ µ ¶
x sin ( x) dx = x cos ( x)
u=x
du = 1 dx
2
x e dx = x e 2 e ( x 1) C = e x 2 x 2 C
´ µ µ ¶
cos ( x) dx = x cos ( x) sin ( x)
dv = sin ( x) dx
Seite 277
v = cos ( x)
´ µ µ ¶
x
x
e dx = e
x sin ( x) dx
Integralrechnung Integrationsmethoden
(4)
´ µ µ ¶
x cos ( x) dx = x sin ( x) 2 ( x cos ( x) sin ( x) ) C = x sin ( x) 2 x cos ( x) 2 sin ( x) C
´ µ µ ¶
´ µ ln ( x) 1 dx = x ln ( x) µ µ ¶
2
2
u = ln ( x)
(5)
´ µ µ ¶
2
1
du =
x
1
x
x
dx
dv = 1 dx
´ µ arctan ( x) dx = x arctan ( x) µ µ ¶
u = arctan ( x)
1
du =
dx = x ln ( x) x C = x ( ln ( x) 1) C
2
v=x
´ 1 µ x dx = x arctan ( x) µ 2 2 1x µ ¶ 1
dx
dv = 1 dx
2 x 2
dx
1 x
v=x
1x
(6)
´ µ µ ¶
arctan ( x) dx = x arctan ( x)
´ µ µ ¶
´ µ x ln ( x) dx = x ln ( x) µ 3 µ ¶ 1
2
u = ln ( x)
(7)
´ µ µ ¶
x ln ( x) dx =
u = ln ( x)
(8)
1
x
x
n1
du =
1 x
2
ln 1 x
3
x
3
x
1
dx =
3
x ln ( x)
3
n 1
x
n1
1 x
1 3
3
x
3
C=
1 3
3
§ ©
x ¨ ln ( x)
1· 3¹
C
3
dv = x dx
´ µ ln ( x) µ µ ¶
dx
1
C
2
dx
n1
dx =
n
dv = x dx
v=
1 n1
n1
x
x
3
ln ( x)
1 n1
n 1
x
n1
C
n1
v=
x
n 1
n1
´ µ In = µ ¶
x ln ( x) dx =
´ µ In = µ ¶
´ µ n sin ( x) dx = µ ¶
n
n1
1
du =
u = sin ( x)
2
3
n
1
x
§ ln ( x) 1 · C ¨ n 1¹ n 1©
sin ( x)
n1
sin ( x) dx
du = ( n 1) sin ( x)
n2
cos ( x) dx
Seite 278
dv = sin ( x) dx
v = cos ( x)
Integralrechnung Integrationsmethoden
´ µ In = µ ¶
sin ( x) dx = sin ( x)
´ µ In = µ ¶
sin ( x) dx = sin ( x)
In = sin ( x)
n
n 1
n
n 1
´ µ cos ( x) ( n 1) µ ¶
sin ( x)
´ µ cos ( x) ( n 1) µ ¶
sin ( x)
§´ ¨µ cos ( x) ( n 1) µ ¨¶ ©
n 1
sin ( x)
n2
´ µ dx µ ¶
n 2
2
cos ( x) dx
n 2
1 sin ( x)
2
dx
·
n
sin ( x) dx
¹
Die letzte Gleichung kann wie folgt vereinfacht werden: In = sin ( x)
n 1
cos ( x) ( n 1) In 2 ( n 1) In
In ( n 1) In = sin ( x) n I n = sin ( x)
n1
n1
cos ( x) ( n 1) In2
cos ( x) ( n 1) In2
Daraus ergibt sich die Rekursionsformel für n t 2 : In =
1 n
´ µ (9) I1 = µ ¶
sin ( x)
kt
e
n1
cos ( x)
( n 1) n
In2
´ µ I2 = µ ¶
cos ( Z t) dt
kt
e
sin ( Z t) dt
Diese Integrale lösen wir einfacher mithilfe der Komplexrechnung (Siehe dazu Band 2 und Literatur über Funktionalanalysis) durch folgenden Ansatz: ´ µ I1 j I2 = µ ¶
e
´ µ I1 j I2 = µ ¶
e
´ µ I1 j I2 = µ ¶
e
I1 j I2 =
kt
kt
kt
´ µ cos ( Z t) dt j µ ¶
k Z
sin ( Z t) dt
Kann nach Euler vereinfacht werden!
( cos ( Z t) j sin ( Z t) ) dt
e
k jZ 2
kt
e
2
jZt
kt
e
´ µ dt = µ ¶
( k jZ )t
e
dt =
1 k jZ
( k jZ )t
e
2
k jZ
kt
e ( cos ( Z t) j sin ( Z t) )
kt
e
k Z
1
( cos ( Z t) j sin ( Z t) )
kt
I1 j I2 =
=
2
e
( k cos ( Z t) Z sin ( Z t) ) j
2
k Z
Aus dem Realteil ergibt sich I 1 und aus dem Imaginärteil I2 .
Seite 279
2
( k sin ( Z t) Z cos ( Z t) )
Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung Das Ziel dieses Abschnittes ist, gebrochenrationale Funktionen in eine Summe von Brüchen (Partialbrüche oder Teilbrüche) zu zerlegen, damit sie integriert werden können. m
y=
Pm ( x) Pn ( x)
¦
=
i
0
n
¦
i
§ a xi· © i ¹ ( ai , bi , x ; m, n ²)
(4-47)
§ b xi· © i ¹
0
Wir beschränken uns auf echt gebrochenrationale Funktionen (m < n), weil jede unecht gebrochenrationale Funktion in die Summe eine ganzrationalen Terms und eines echt gebrochenrationalen Terms (durch Division der Polynome) zerlegt werden kann. Zur Erinnerung sei hier noch der Fundamentalsatz der Algebra (von C.F. Gauß) angeführt: Jedes Polynom y = bn xn + bn-1 xn-1 + ... + b2 x2 + b1 x + b 0 hat genau n-Nullstellen, die einfach oder mehrfach, reell oder komplex sein können. Sind x1 , x2 , ..., xn reelle Nullstellen mit der Vielfachheit D1 , D2 , ..., Dr sowie x r+1, xr+2, ..., xs komplexe Nullstellen, zu denen jeweils noch eine konjugiert komplexe gehört, mit den Vielfachheiten Er+1, Er+2, ..., Es , so gilt: y = bn (x - x1 )D1 (x - x2 )D2 ... (x - xr)Dr (x2 + pr+1 x + q r+1)Er+1 ... ( x2 + ps x + q s )Es mit D1 +D2 + ...+ Dr + 2 Er+1 + 2 Er+2 + ... + 2 Es = n a) Das Nennerpolynom Q n(x) hat nur einfache reelle Nullstellen: ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ Pn ( x) µ ¶
Pm ( x)
Pm ( x)
´ µ = µ µ ¶
x x1 x x2 .. x xn ´ µ dx µ x x1 µ ¶ A1
dx
´ µ dx .. µ x x2 µ ¶ A2
(4-48)
An x xn
dx
Die Koeffizienten A1 , A 2 , ..., An erhalten wir mit unterschiedlichen Methoden: D) durch Koeffizientenvergleich E) durch Einsetzen bestimmter Werte
P xi , mit Q'( xi ) z 0. J) durch die Ableitung des Nenners und Ai = Q ' xi
Seite 280
Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.8: ´ µ dx = µ 2 µ x 4 ¶
´ µ µ µ ¶
1
´ µ dx µ x 2 µ ¶ A1
A2 x 2
gegebenes Integral (zerlegt in zwei Teilbrüche)
dx
2
P ( x) = 1
Zähler- und Nennerpolynom
Q ( x) = x 4
Nullstellen des Nennerpolynoms: x 1 = 2, x2 = - 2 Koeffizientenvergleich (Methode D): 1
=
2
x 4
A1 x 2
A2
Integrand, zerlegt in drei Partialbrüche
x 2
Bruchfrei gemachte Gleichung ausmultiplizieren und x herausheben
1 = A1 ( x 2) A2 ( x 2) 1 = A1 x 2 A1 A2 x 2 A2
Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten der Gleichung
1 = x A1 A2 2 A 1 A 2 A1 A2 = 0
A2 = A1
2 A1 A2 = 1
2 A1 A1 = 1
A1 =
1
und
4
A2 =
1 4
Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E): 1 = A1 ( x 2) A2 ( x 2) Wir wählen x = 2 und x = -2: 1
1 = A1 ( 2 2) A2 ( 2 2)
A1 =
1 = A1 ( 2 2) A2 ( 2 2)
A2 =
4 1 4
Durch die Ableitung des Nenners (Methode J): Zählerpolynom
P ( x) = 1 2
Q ( x) = x 4 = ( x 2) ( x 2)
Nennerpolynom mit den reellen Wurzeln x 1 = 2 und x 2 = -2
Q ' ( x) = 2 x
Ableitung des Nennerpolynoms
A1 =
´ µ µ µ ¶
= 1 = 1 =1 2 x1 2 2 4 Q ' x1 P x1
´ µ µ 1 dx = µ 2 µ x 4 ¶
´ µ µ 4 dx µ x 2 µ ¶ 1
A2 =
= 1 = 1 = 1 2 x2 2 ( 2) 4 Q ' x2 P x2
1 4
x 2
dx =
1 4
ln x 2
Seite 281
1 4
ln x 2
C=
1 4
§ x 2 · C © x 2 ¹
ln ¨
Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.9: ´ µ µ µ ¶
x 1 3
3
P ( x) = x 1
3
gegebenes Integral
dx
2
x x 6 x
2
2
Zähler- und Nennerpolynoms
Q ( x) = x x 6 x = x x x 6
2
§¨ 0 · ¨ 3 ¸ ¨2 © ¹
hat als Lösung(en)
x x 6 x= 0
Koeffizientenvergleich (Methode D): x 1 x ( x 2) ( x 3)
=
A1 x
A2 x 2
drei reelle Nullstellen: x1 = 0, x2 = 2, x3 = -3
A3
Integrand, zerlegt in drei Partialbrüche
x 3
x 1 = A1 ( x 2) ( x 3) A2 x ( x 3) A3 x ( x 2)
bruchfrei gemachte Gleichung
vereinfacht auf 2
2
2
x 1 = A1 x A1 x 6 A1 A2 x 3 A2 x A3 x 2 A3 x durch Zusammenfassen von Termen, ergibt
2
x 1 = A2 A1 A3 x 3 A2 A1 2 A 3 x 6 A 1 A1 A2 A3 = 0 zu lösendes Gleichungssystem
A1 3 A2 2 A3 = 1 6 A1 = 1 Vorgabe A1 A2 A3 = 0 A1 3 A2 2 A3 = 1 6 A1 = 1
§¨ 1 ¨ 6 §¨ A1 · ¨ A ¸ Suchen A A A o ¨¨ 3 1 2 3 10 ¨ 2¸ ¨ ¨© A3 ¹ ¨ 2 ¨© 15
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
Lösungen des Gleichungssystem
Seite 282
Integralrechnung Integrationsmethoden
A1 o
1 6
A2 o
3
2
A3 o
10
gesuchte Koeffizienten
15
Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E): x 1 = A1 ( x 2) ( x 3) A2 x ( x 3) A3 x ( x 2) Wir wählen die Polstellen: x = 0 und x = 2 und x = -3 1
0 1 = A1 ( 0 2) ( 0 3) A2 0 ( 0 3) A3 0 ( 0 2)
A1 =
2 1 = A1 ( 2 2) ( 2 3) A2 2 ( 2 3) A3 2 ( 2 2)
A2 =
3 1 = A1 ( 3 2) ( 3 3) A2 ( 3) ( 3 3) A3 ( 3) ( 3 2)
A3 =
6 3 10 2 15
Durch die Ableitung des Nenners (Methode J): P ( x) = x 1
3
2
2
Q ( x) = x x 6 x
A1 =
x1 1 = 1 = 2 6 Q ' x1 3 x1 2 x1 6
A2 =
x2 1 = 2 1 3 = = 2 2 10 Q ' x2 3 x2 2 x2 6 3 2 2 2 6
A3 =
x3 1 = 3 1 2 = = 2 2 15 Q ' x3 3 x3 2 x3 6 3 ( 3) 2 ( 3) 6
´ µ µ µ ¶
Zähler- und Nennerpolynom und Ableitung des Nennerpolynoms
Q ' ( x) = 3 x 2 x 6
P x1
P x2
P x3
´ µ µ x 1 dx = µ 3 2 µ x x 6 x ¶
1 6
x
1 = =
=
6
ln x
10 60 1 60
´ µ µ 10 dx µ x 2 µ ¶
´ µ µ dx µ µ ¶
ln x
3
3 10
ln x 2
18 60
2 15
x 3
ln x 2
2 15
ª ( x 2) 18 º »C « ( x 3) 8 x10 » ¬ ¼
ln «
Seite 283
dx
ln x 3
8 60
C
ln x 3
C
Integralrechnung Integrationsmethoden
b) Das Nennerpolynom Q n(x) hat mehrfache reelle Nullstellen: ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ Pn ( x) µ µ ¶
Pm ( x)
Pm ( x)
x x1
D1
x x2
´ µ = µ µ ¶
´ µ A1 1 dx µ x x1 µ µ ¶
´ µ + µ µ ¶
´ µ dx µ x xr µ µ ¶
D2
.. x xn
Dr
dx
´ µ A1 2 µ dx .. µ 2 x x1 µ ¶
´ µ dx .. µ 2 µ x xr ¶ Ar 2
Ar 1
(4-49)
A
1 D1
x x1 D 1 Ar D1
x xr D r
dx + ... +
dx
Für Vielfachheiten gilt: D1 + D2 + ... + Dr = n. Beispiel 4.3.10: ´ µ µ µ ¶
3 x 2 ( x 1)
2
gegebenes Integral
dx
2
P ( x) = 3 x 2
Q ( x) = ( x 1) = ( x 1) ( x 1)
Zähler- und Nennerpolynome
Zweifache Nullstelle des Nennerpolynoms: x 1 = x2 = 1 3 x 2 ( x 1)
2
=
A x 1
B ( x 1)
Integrand, zerlegt in zwei Partialbrüche
2
Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E): bruchfrei gemachte Gleichung
3 x 2 = A ( x 1) B Wir wählen x = 1 und x = 0: 3 1 2 = A ( 1 1) B
B=1
3 0 2 = A ( 0 1) 1
A=3
´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ 2 µ ( x 1) ¶
3 x 2
´ µ dx µ x 1 µ ¶ 3
1 ( x 1)
2
dx = 3 ln x 1
Seite 284
( x 1) 1
1
C
Lösung des gegebenen Integrals
Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.11: ´ µ µ µ ¶
1 3
2
gegebenes Integral
dx
x x
3
P ( x) = 1
2
2
Q ( x) = x x = x ( x 1)
Zähler- und Nennerpolynom
Nullstellen des Nennerpolynoms: x 1,2 = 0 , x3 = 1 1 3
A
=
2
x
x x
B 2
x
C
Integrand (zerlegt in drei Partialbrüche)
x 1
Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E ; (Methode J ist hier wegen Q'(0) = 0 nicht anwendbar!) 2
bruchfrei gemachte Gleichung
1 = A x ( x 1) B ( x 1) C x
Wir wählen x = 0 und x = 1 und x = 2: 2
1 = A 0 ( 0 1) B ( 0 1) C 0
2
1 = A 1 ( 1 1) B ( 1 1) C 1
2
1 = A 2 ( 2 1) ( 1) ( 2 1) 1 2 ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ 3 2 µ x x ¶ 1
´ µ dx µ x µ ¶
´ µ dx µ 2 µ x ¶
1
B = 1
C=1
A = 1
1
1 x 1
dx = ln x
=
1
x
1
ln x 1
§ x 1 · 1 C © x ¹ x
ln ¨
C
Lösung des gegebenen Integrals
c) Das Nennerpolynom Q n(x) hat mehrfache reelle und komplexe Nullstellen: ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ Pn ( x) µ µ µ ¶
Pm ( x)
Pm ( x)
x x1
D1
.. x xn
Dr
2
§© x pr1 x qr 1·¹
E r 1
Für Vielfachheiten gilt: D1 +D2 + ...+ Dr + 2 Er+1 + 2 Er+2 + ... + 2 Es = n.
Beispiel 4.3.12: ´ µ µ µ µ ¶
2
x 4
4
dx
gegebenes Integral
a x
Seite 285
2
.. §© x ps x qs·¹
Es
dx (4-50)
Integralrechnung Integrationsmethoden 2
4
P ( x) = x
2
4
2
4
A
=
4
ax
a x
B
Zähler- und Nennerpolynom
2
2
C x D
a x
a j = a j , x4 = a j = a j
Nullstellen des Nennerpolynoms: x = a , x = -a , x3 = 1 2 x
2
Q ( x) = a x = ( a x) ( a x) a x
2
Integrand, zerlegt in drei Partialbrüche
2
a x
Methode E) Einsetzen bestimmter Werte:
2
2
2
x = A ( a x) a x
B (a x) a2 x2 (C x D) (a x) (a x)
bruchfrei gemachte Gleichung
Wählen: x = a und x = -a und x = 0 und x = 2 a
2
2
2
a = A ( a a) a a 2
B (a a) a2 a2 (C a D) (a a) (a a)
2
a = 2 a 2 a A
2
2
2
a = A ( a a) a a 2
2
1
2
2
( a 0) a 0
4 a
B=
2
1
2
4 a
D=
2
2
( a 2 a) a 4 a
´ µ µ µ µ ¶
´ µ µ µ µ ¶
´ µ µ x dx = µ 4 4 µ a x ¶
´ µ µ 4a dx µ ax µ ¶ 1
2
1 2 2
2
dx =
a x
2
x 4
4
a x
dx =
´ µ µ 2 2 a µ µ µ ¶ 1
1 4 a
1 4 a
1 2
41 a (a 2 a) a2 4 a2 §¨ C 2 a 12 · (a 2 a) (a 2 a) ©
¹
C=0
´ µ µ µ µ ¶
4 a
41 a (a 0) a2 02 (C 0 D) (a 0) (a 0)
4 a =
1
B (a a) a2 a2 [ C (a) D] (a a) (a a)
a = 2 a 2 a B
0 =
A=
´ µ µ 4a dx µ ax µ ¶ 1
1 1
§x· ¨ © a¹
ln a x
2
dx =
1 2
2 a
1 4 a
1 2 2
dx
2
a x
§x· © a¹
letztes Teilintegral
a arctan ¨
ln a x
Seite 286
1 2 a
§x· C © a¹
arctan ¨
Lösung des gegebenen Integrals
Integralrechnung Uneigentliche Integrale 4.4 Uneigentliche Integrale Die Voraussetzungen der Integration waren bisher, dass das Integrationsintervall und auch der Integrand beschränkt sind. Die Integration kann aber auch auf unbeschränkte Intervalle oder unbeschränkte Funktionen ausgedehnt werden. Die Integrationsaufgabe mit unbeschränktem Integrationsintervall oder unbeschränktem Integranden kann als Grenzwertaufgabe angesehen werden. Das bestimmte Integral heißt uneigentliches Integral, wenn mindestens eine der Integrationsgrenzen unendlich ist oder der Integrand f(x) im Intervall [a , b] nicht beschränkt ist, d.h. eine oder mehrere Polstellen hat.
4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art Uneigentliche Integrale 1. Art (unendliche Integrationsgrenzen): Ist f(x) im Intervall [a , f[ stetig, so definieren wir ´ µ ¶
+f
a
x ´ 1 f ( x) dx = lim µ f ( x) dx , ¶ x1 o f a
(4-51)
falls der Grenzwert existiert. Ist f(x) im Intervall ]f , b ] stetig, so definieren wir ´ µ ¶
b
b
´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx , x0 o -f ¶x0 -f
(4-52)
falls der Grenzwert existiert. Ist f(x) im Intervall ]- f , f[ stetig, so definieren wir x
+f
a ´ 1 ´ µ f ( x) dx , f ( x) dx = lim f ( x ) d x lim µ ¶ ¶ x o -f x o f -f x0 a 0 1
´ µ ¶
(4-53)
falls beide Grenzwerte existieren.
Abb. 4.4.1
Seite 287
Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.1: f ( x)
1
gegebene Funktion
2
x
x 1 1 0.01 10
Bereichsvariable
1
f( x)
´ µ ¶
b
f
´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx ¶ bof 1 1
0.5
´ µ lim µ bof µ ¶ 0
5
b
1 2
dx =
lim bof
x b
´ µ f ( x) dx o 1 ¶ bof 1
b¹
´ µ ¶
lim
Abb. 4.4.2
1·
§1 ¨ ©
=1
Maßzahl der Fläche
1
10
x
nach (4-51)
f
f ( x) dx o 1
1
Beispiel 4.4.2: f ( x)
1
gegebene Funktion
x
x 1 1 0.01 10
Bereichsvariable
1
´ µ ¶
b
f
f ( x) dx =
1
f( x)
0.5
´ lim µ µ bof ¶
b
x
1
0
5
10
x
Abb. 4.4.3
1
´ µ f ( x) dx ¶ bof 1
dx =
lim
b
Der Grenzwert existiert nicht, das heißt das Integral ist divergent.
f ( x)
1 2
gegebene Funktion
x 4 x 0 0.01 10
Bereichsvariable
Seite 288
( ln ( b) ln ( 1) ) = f
bof
´ lim µ f ( x) dx o f ¶ bof 1
Beispiel 4.4.3:
nach (4-51)
lim
´ µ ¶
f
1
f ( x) dx o f
Integralrechnung Uneigentliche Integrale
´ µ ¶
b
f
´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx ¶ bof 0 0
0.2 f( x)
´ µ lim µ bof µ ¶
0
5
b
1 ´ dx = µ 2 4 µ x 4 µ 0 µ ¶
0.1
10
1
b
0
x
nach (4-51)
1
§x· 1 ¨ © 2¹
2
dx
Abb. 4.4.4 ´ µ lim µ bof µ ¶
b
1
dx =
2
lim bof
x 4
b | = 0
§ 1 2 arctan § x · · ¨ ¨ ©4 © 2 ¹¹
1 2
lim bof
§ arctan § b · arctan ( 0) · ¨ ¨ © © 2¹ ¹
0 2
§x· © 2¹
atan¨
S
= 1/2 (S/2 - 0) = S/4
2
Auswertung mit Mathcad:
Maßzahl der Fläche
b
1
´ 1 lim µ f ( x) dx o S ¶ 4 bof 0 0
5
10
x
´ µ ¶
f
f ( x) dx o
0
1 4
S
Abb. 4.4.5 Beispiel 4.4.4: 2x
f ( x) e
gegebene Funktion
x 3 3 0.01 0
Bereichsvariable
1
´ µ ¶
0
0
´ µ f ( x) dx f ( x) dx = lim ¶ aof a f
nach (4-52)
Maßzahl der Fläche:
f( x)
0.5 0
´ 2x µ e dx = lim lim ¶ aof a aof 3
2
1 x
Abb. 4.4.6
0
ª 1 e0 e2a º = 1 « » 2 ¬2 ¼
Maßzahl der Fläche mit Mathcad ausgewertet: 0
´ 1 µ f ( x) dx o lim ¶ 2 aof a
Seite 289
´ µ ¶
0
f
f ( x) dx o
1 2
Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.5: 1
f ( x)
x
gegebene Funktion
x
e e
Bereichsvariable
x 5 5 0.01 5
Nach (4-53) gilt:
´ µ ¶
0.6
0
f
lim
f
0.4 f( x)
´ µ µ µ ¶
0.2
´ µ 1 dx = µ x x µ e e ¶
f
f
5
0 x
5
b
´ ´ µ f ( x) dx lim µ f ( x) dx ¶ ¶ aof a bof 0
f ( x) dx =
f
x
e 2x
e
dx 1
Zähler und Nenner erweitern mit ex
f
x
x
u=e
du = e dx
Substitution
Abb. 4.4.7 ´ µ µ µ ¶
f
1 x
x
dx =
lim
arctan (1) arctan ea
aof
e e
arctan eb arctan (1)
lim
bof
f
Nach Auswertung der Grenzwerte ergibt sich die Maßzahl der Fläche zu: ´ µ µ µ ¶
f
1 x
x
dx = ( arctan ( 1) 0)
e e
§ S arctan ( 1)· = S ¨ ©2 ¹ 2
f
Mit Mathcad ausgewertet: ´ µ µ µ ¶
f
f
1 x
x
e e
dx o
1 2
S
´ µ µ µ ¶
1 x
x
e e
Seite 290
dx o atan ( exp ( x) )
Integralrechnung Uneigentliche Integrale 4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art Uneigentliche Integrale 2. Art (Polstellen von f(x)): Ist f(x) im Intervall [a, b[ stetig, aber in x = b nicht beschränkt, so definieren wir ´ µ ¶
b
bH
´ f ( x) dx = lim µ ¶ Ho0 a a
f ( x) dx ,
(4-54)
falls der Grenzwert existiert ( H > 0). Ist f(x) im Intervall ]a, b] stetig, aber in x = a nicht beschränkt, so definieren wir ´ µ ¶
b
b
´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx , ¶ G o 0 aG a
(4-55)
falls der Grenzwert existiert (G > 0). Ist f(x) im Intervall [a, b] bis auf x = c, a < c < b, stetig, aber in c nicht beschränkt, so definieren wir ´ µ ¶
b
a
c H
f ( x) dx =
´ µ ¶ Ho0 a lim
b
f ( x) dx
´ µ f ( x) dx , ¶ G o 0 c G lim
(4-56)
falls beide Grenzwerte existieren.
Abb. 4.4.8
Seite 291
Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.6: 1
f ( x)
gegebene Funktion 2
1x b 1
Polstelle
x 0 0.001 1
Bereichsvariable
4
0.9 b
Nach (4-54) gilt:
´ µ ¶
b
bH
f ( x) dx =
0
´ µ ¶ Ho0 0 lim
f ( x) dx
Maßzahl der Fläche:
f( x)
2
0
0.5
1
´ µ lim µ Ho0 µ ¶
1H
1 2
dx =
lim
( arcsin ( 1 H ) arcsin ( 0) )
Ho0
1x
0
x
Maßzahl der Fläche mit Mathcad ausgewertet:
Abb. 4.4.9
1H
´ µ ¶ Ho0 0 lim
f ( x) dx o
1 2
´ µ ¶
S
1
f ( x) dx o
0
1 2
S
Beispiel 4.4.7: f ( x)
1
gegebene Funktion
2
x a 0
Polstelle
x 0.1 0.1 0.01 3
Bereichsvariable
a
Nach (4-55) gilt:
´ µ ¶
2
2
2
f ( x) dx =
a
20
´ µ f ( x) dx ¶ G o 0 a G lim
Maßzahl der Fläche:
f( x)
0
1
2
3
´ µ lim µ G o0 µ ¶
1 2
x
dx =
lim Go0
§ 1 1 · ¨ © 2 G¹
existiert nicht
0 G
x
Abb. 4.4.10
2
Maßzahl der Fläche mit Mathcad ausgewertet: 2
´ µ f ( x) dx o undefined ¶ G o0 G lim
Seite 292
´ µ ¶
2
0
f ( x) dx o f
Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.8: 1
f ( x)
3
gegebene Funktion
x 1
c 1
Polstelle
x 0 0.01 4
Bereichsvariable
Nach (4-56) gilt:
5
´ µ ¶
c H
´ f ( x) dx = lim µ ¶ Ho0 a 0
c f( x)
4
0
2
1H
´ µ µ lim µ ¶ Ho0 0
4
5
b
´ f ( x) dx lim µ f ( x) dx ¶ G o 0 c G 4
1
( x 1)
3
dx
´ 1 µ µ 3 dx lim µ ( x 1) ¶ G o 0 1G
x
Abb. 4.4.11 Auswertung der Grenzwerte: 2º ª «3 » 3 lim « ( x 1) » ¼ H o 0 ¬2
2º ª «3 » 4 3 | lim « ( x 1) » ¼ 1+G G o 0 ¬2
1- H | + 0
2 2 ºº ª ª «3 « » 3 3» lim « ¬ ( 1 H 1) ( 1) ¼ » ¼ H o 0 ¬2
2 2 ºº ª ª «3 « » 3 3 3» lim « ¬ ( 4 1) ( 1 G 1) ¼ » = 2 ¼ G o 0 ¬2
3 9 1
Maßzahl der Fläche: ´ µ µ µ ¶
4
1 3
dx
3
=
2
x 1
3 9 1
4.62
0
´ µ µ µ ¶
1
0
´ µ µ µ ¶
´ µ dx µ 3 x 1 µ ¶ 1
2
4
1 3
dx o
x 1
3 2
3 2
3
3
4.62
Auswertung mit Mathcad
1 2
4
1 3
x 1
dx o
3 2
3
3
1
3 4
3 4
i3
Achtung nicht über Polstellen hinweg integrieren!
2
0
Seite 293
Integralrechnung Numerische Integration 4.5 Numerische Integration Numerische Methoden sind im Allgemeinen Näherungsverfahren. Im Gegensatz zu den bisher besprochenen bestimmten Integralen gibt es aber viele Integrale, die nicht geschlossen darstellbar sind, d.h. sie besitzen Stammfunktionen, die nicht durch elementare Funktionen ausdrückbar sind. Oft ist die Integration zwar in geschlossener Form möglich, aber zu aufwendig. In diesen Fällen verwenden wir numerische Integrationsverfahren. Führen wir das jeweilige Verfahren hinreichend weit und rechnen mit hinreichend vielen Stellen, um Rundungsfehler klein zu halten oder gar auszuschließen, so können Fehler der Lösung unter eine gewünschte Grenze gebracht werden. Nachfolgend werden einige diese Näherungsverfahren besprochen.
4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, b] in n Teilintervalle der Breite (Schrittweite) 'x = h = (b - a)/n und summieren dann die Rechtecksflächen, deren Höhe mit dem Funktionswert in der Mitte der Teilintervalle übereinstimmt.
Abb. 4.5.1
Als Näherung gilt dann für die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse: ´ µ ¶
b
f ( x) dx
a
h· 3 h· §§ § · f ¨a .... | Mn = h ¨ f ¨ a 2¹ 2 ¹ ©© © ¹
n
Mn = h
¦
i
ª ¬
§ ©
f «a ¨i
1
1· 2¹
Wählen wir die Schrittweite 2 h =
´ µ ¶
b
a
f ( x) dx
º ¼
h»
Mittelpunktsregel bei n-Rechtecken
ba n
M2n = 2 h
¦
i
1
ª ¬
§ ©
f «a ¨i
1· 2¹
(4-58)
, also 2n Rechtecksflächen, so gilt:
h· 3 h· §§ § · f ¨a .... | M2n = 2 h ¨ f ¨ a 2¹ 2 ¹ ©© © ¹ 2n
(4-57)
º ¼
2 h» Mittelpunktsregel bei 2n-Rechtecken
Seite 294
(4-59)
(4-60)
Integralrechnung Numerische Integration Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, b] in n Teilintervalle der Breite (Schrittweite) 'x = h = (b - a)/n und summieren dann die Trapezflächen, deren Höhe jeweils 'x = h ist. Die Parallelseiten sind die Funktionswerte an der linken und rechten Grenze der Teilintervalle .
Abb. 4.5.2
Als Näherung gilt dann für die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse: ´ µ ¶
b
| Tn =
f ( x) dx
a
Tn =
h 2
h 2
[ ( f ( a) f ( a h) ) ( f ( a h) f ( a 2 h) ) ....]
(4-61)
n
¦
i
[ f [ a ( i 1) h ] f ( a i h) ]
Trapezregel bei n-Trapezen
(4-62)
1
Die Trapezsumme ist gerade der Mittelwert von der unteren und oberen Riemannsumme. Wählen wir die Schrittweite 2 h =
´ µ ¶
ba n
, also 2n Trapeze, so gilt:
b
| T2n = h [ [ ( f ( a) f ( a 2 h) ) ( f ( a 2 h) f ( a 4 h) ) ....] ]
f ( x) dx
a
(4-63)
2n
T2n = h
¦
i
[ f [ a ( i 1) 2 h ] f ( a i 2 h) ]Trapezregel bei 2n-Trapezen
(4-64)
1
Die Trapezregel T n (4-62) erhalten wir auch aus dem Mittelwert von T 2n und M2n:
Tn =
T2n M2n
(4-65)
2
Seite 295
Integralrechnung Numerische Integration Beispiel 4.5.1: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) = x 2 im Bereich a = 0 und b = 1 exakt und mithilfe der Mittelpunkts- und Trapezregel. a 0
Intervallrandpunkte des Intervalls [a,b]
b 1 Anzahl der Subintervalle
n 2
'x
b a
Intervallbreite
n FRAME 2
f ( x) x
Funktionsgleichung
x a a 0.0001 b
Bereichsvariable
Funktionen zur grafischen Veranschaulichung:
Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen in einen Vektor:
tp 0 1 Lv_in_Vektor ( a b sw)
Bereichsvariablen
yp 0 1
km0 for i a a sw b vk m i
v 0 0.001 1
kmk1
Konstante
Z 0.0001
v
ª ¬
fm ( x) f «( x mod ( x a 'x) )
'xº
»
Linearisierung der Kurve (Rechtecke)
2¼
fu ( x) f ( x mod ( x a 'x) ) Hilfsfunktionen fo ( x) f ( x mod ( x a 'x) 'x)
ft ( x) fu ( x) f o ( x) fu ( x)
mod ( x a 'x)
Linearisierung der Kurve (Trapeze)
'x
Bereichsvariable
X a Z ( a 'x) Z b Z
§ ©
§ ©
i 0 länge ¨ Lv_in_Vektor ¨ a 'x 'x xm = a a 3 b 2 2
'x 2
·· 1 ¹¹
Summationsvariable
b 'x
Bereichsvariable
xu = a a 'x b 'x
'x § · xm Lv_in_Vektor ¨ a b 'x 2 © ¹ T
xm
( 0.25 0.75 )
Bereichsvariable
xu Lv_in_Vektor ( a b 'x 'x)
Vektor der Mittelpunkte der Rechtecke
Seite 296
T
xu
( 0 0.5 )
Vektor der Anfangspunkte der Trapeze
Integralrechnung Numerische Integration Animation: FRAME von 0 bis 10 mit 1 Bild/s
n FRAME
2
¦ §©f §©xmi·¹ 'x·¹
Mn
i
Mn
0.3125
Abb. 4.5.3
´ µ ¶
2
x dx
ft( x)yp
Tn
¦ i
f( x) 0.5
ft( x)
0.33333
0
Trapezregel
1
1
Tn
§¨ f § xu · f § xu 'x· · © i¹ © i ¹ 'x ¨ 2 © ¹
0.375
ft( X)v
Abb. 4.5.4 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x x x X
Beispiel 4.5.2: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) = e -x im Bereich a = 0 und b = 4 exakt und mithilfe der Mittelpunkts- und Trapezregel. a 0
Intervallrandpunkte des Intervalls [a,b]
b 4 Anzahl der Subintervalle
n 50 h
b a 2 n x
Intervallbreite
f ( x) e
Funktionsgleichung
x a a 0.0001 b
Bereichsvariable
Seite 297
Integralrechnung Numerische Integration
Abb. 4.5.5
´ µ ¶
b
f ( x) dx
exakte Lösung (auf fünf Nachkommastellen)
0.98168
a 2n
¦
M2n 2 h
i
1
ª ¬
§ ©
f «a ¨i
1· 2¹
º ¼
2 h»
M2n
0.9994
Näherungslösung (4-60)
T2n
1.0002
Näherungslösung (4-64)
2n
T2n h
¦
i
Tn
[ f [ a ( i 1) 2 h ] f ( a i 2 h) ]
1
T2n M2n
Tn
2
0.9998
Näherungslösung (4-65)
4.5.2 Kepler- und Simpsonregel Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, b] in zwei gleiche Teile mit dem Teilungspunkt xm = (a + b)/2 und der Länge 'x = h = (b - a)/2.
Abb. 4.5.6
Seite 298
Integralrechnung Numerische Integration Die Näherungsformel, die wir für das bestimmte Integral erhalten, wenn wir die Funktion y = f(x) durch eine Parabel p(x) = a 0 + a1 x + a2 x2 ersetzen, welche durch die Punkte P 0 (a | f(a)), P1 (x m | f(xm)) und P2 (b | f(b)) hindurchgeht, lautet: ´ µ ¶
b
f ( x) dx
a
´
b
| Kn = µ p ( x) dx = ¶
a
b a 6
f (b)º¼Keplerregel
ª f ( a) 4 f xm ¬
(4-66)
Es ist leicht einzusehen, dass der ermittelte Näherungswert umso besser sein wird, je näher die Stellen a und b auf der x-Achse beieinander liegen. Demnach ist es naheliegend, größere Intervalle [a , b] in eine Summe kleinerer Intervalle zu zerlegen und über jedem Teilintervall die Näherungswerte zu berechnen. Eine methodische Zusammenfassung dieses Gedankens führt zu Näherungsformel von Simpson. Wird das Integrationsintervall [a , b] in 2n gleich breite Teilintervalle zerlegt, dann lässt sich n-mal die Kepler-Regel anwenden, indem immer zwei Teilintervalle zu einem Doppelintervall (n Doppelstreifen) zusammengefasst werden. Für das bestimmte Integral gilt dann folgende Näherungsformel ( Simpsonregel): ´ µ ¶
b
f ( x) dx
a
S2n =
| S2n
b a 6 n
Mit der Schrittweite 2 h = S2n =
h 3
ª f ( a) 4 f x1 f x3 .... f x2n 1 « 2 f x f x .... f x 2n 2 f ( b) 2 4 ¬ b a n
º » ¼
(4-67)
kann dann die Simpsonregel wie folgt geschrieben werden:
ª f ( a) 4 [ f ( a h) f ( a 3 h) .... f [ a ( n 1) h ] ] ¬ [ 2 [ f ( a 2 h) f ( a 4 h) .... f [ a ( n 2) h ] ] f ( a n h) ]
º ¼
(4-68)
Mit n = 1 Doppelstreifen und b a 2 h = n erhalten wir aus der Simpsonregel die Keplerregel: A=
Abb. 4.5.7
Seite 299
h 3
y0 4 y1 y2
Integralrechnung Numerische Integration Die Simpsonregel kann für n/2 Doppelstreifen ba h= , m = 1 3 n 1 und k = 2 4 n 2 (n t 4) n in folgender Form geschrieben werden: S2n =
h 3
§ f ( a) 4
¨ ©
¦ f (a m h) 2 ¦ f (a k h) f (a n h)· m
k
(4-69)
¹
Die Simpsonregel kann für n Doppelstreifen auch als Unterprogramm ausgeführt werden: Simpson ( f a b n)
hm
b a
(4-70)
n
S m f ( a) f ( b) for i 0 n 1
§ ©
S m S 4 f ¨a i h
h· 2¹
for i 1 n 1 S m S 2 f ( a i h) h 6
S
In vielen Fällen liefert die Simpsonregel recht gute Ergebnisse. Bei manchen Fällen kann dies jedoch auch zu Problemen führen. Es sei daher nachfolgend noch eine bessere Methode angeführt. Die Funktion Adapt(f,a,b) benutzt Simpson in einer rekursiven Form zur Berechnung eines Näherungswertes für das bestimmte Integral: Adapt ( f a b)
H m 10
8
(4-71)
S1 m Simpson ( f a b 5) S2 m Simpson ( f a b 10 ) S2 if
S1 S2 H
§ ©
Adapt ¨ f a
a b· 2
¹
§ a b b· otherwise 2 © ¹
Adapt ¨ f
Die Arbeitsweise von Adapt nennen wir adaptive Quadratur, da sie sich selbstständig einer gegebenen Situation anpasst und nur soviel an Rechnungen ausführt, als nötig ist. In Mathcad können zur numerischen Berechnung eines bestimmten Integrals zwei Methoden eingesetzt werden: 1. Romberg-Methode (Intervall Bisektionsmethode): Nach jedem Schritt wird jedes Subintervall geteilt, und ein neues Trapez angenähert. Diese Näherung wird einer Liste von vorhergehenden Näherungen hinzugefügt. Aus diesen Daten wird ein Polynom als Näherung gewonnen. Dieses Polynom an der Stelle 0 ist die neue RombergNäherung. 2. Eine Adaptive-Quadratur-Methode. Adaptive Methoden benutzen immer mehr als eine Methode. In Mathcad wird zuerst für jedes Subintervall eine Gauß-Methode mit 10 Punkten und eine Methode von Konrad mit 21 Punkten verwendet. Wenn die Näherung nicht gut genug ist, wird jedes Subintervall weiter unterteilt.
Seite 300
Integralrechnung Numerische Integration Beispiel 4.5.3: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) im Bereich a und b exakt, mithilfe der Keplerregel, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a 0.5
Randpunkte des Integrationsintervalls
b 2.5 xm 'x
a b
Teilungspunkt
2 ba
Schrittweite
100
x a 2 a 2 'x b 2
Bereichsvariable
f ( x) sin ( x)
Funktion
Zur Illustration des Verfahrens bestimmen wir auch das quadratische Polynom p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 durch die Punkte P0 (a | f(a)), P1 (b | f(b)), P2 (xm | f(xm)). Aus den drei Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten von p(x) erhalten wir mit der Koeffizientenmatrix K und dem Vektor y den Lösungsvektor a: 2
a0 a1 a a2 a = f ( a) lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten
2
a0 a1 b a2 b = f ( b) 2
(in Matrizenform: K a = y mit dem Lösungsvektor a = K -1 y)
a0 a1 xm a2 xm = f xm
§ 1 a a2 · ¨ ¨1 2 ¸ K b b ¨ ¸ ¨1 x x 2 m m ¹ ©
§ f ( a) · ¨ y ¨ f ( b) ¸ ¨ f x © m ¹ 2
1
a K
Funktion und Näherungspolynom f( a) f( b)
y
Näherungspolynom
p ( x) a0 a1 x a2 x
4
§¨ 0.124 · a ¨ 1.435 ¸ ¨ 0.459 © ¹
a
Exakter Wert des Integrals (5 Gleitkommastellen): ´ µ ¶
b
f ( x) dx gleit 5 o 1.6787
a
Kepler-Näherung:
2
f xm
Kn 0
f( x) p ( x)
b
2
4
Kn
2
ba 6
§ ©
§ a b · p ( b)· © 2 ¹ ¹
¨ p ( a) 4 p ¨
1.6893
Direkt berechnetes Integral über p(x): 4
´ µ ¶
a b xm x
b
a
Abb. 4.5.8
Seite 301
p ( x) dx gleit 5 o 1.6893
Integralrechnung Numerische Integration n/2 Doppelstreifen
n 4
b a
h
Schrittweite
n
h
S2n
S2n
3
Bereichsvariablen
k 2 4 n 2
m 1 3 n 1
§ f ( a) 4
¨ ©
¦ f (a m h) 2 ¦ f (a k h) f (a n h)· m
k
Simpsonformel
¹
Simpsonnäherung
1.6793
n 2 6 30
Bereichsvariable für die Doppelstreifen 2, 6, 10, ..., 30
Simpson ( f a b n)
Adapt ( f a b)
Simpson- und Adaptiv-Methode
1.6787
1.6793 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787
Beispiel 4.5.4: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) im Bereich a und b exakt, mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a 1
Randpunkte des Integrationsintervalls
b 1 'x
ba
Schrittweite
400
Bereichsvariable
x a 2 a 2 'x b 2 f ( x)
2
Funktion
1 x
1
a f( x)
b
0.5
1
0.5
Abb. 4.5.9
0
0.5
x
Seite 302
1
Integralrechnung Numerische Integration
TOL 10
10
Berechnungstoleranz für das bestimmte Integral
S
A
A
2
´ ARA µ ¶
exakter Wert und auf 6 Nachkommastellen ausgewertet
1.570796
b
f ( x) dx
ARA
a
Romberg- und Adaptiv-Methode (mit rechter Maustatste auf das Integral klicken)
1.570796
AS Simpson ( f a b 4)
AS
1.541798
Simpson mit 4 Doppelstreifen (4-70)
AA Adapt ( f a b)
AA
1.570796
Adaptive-Methode (4-71)
Relativer Fehler: A AS
1.846 %
A
Beispiel 4.5.5: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) im Bereich a und b exakt, mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a 0
Randpunkte des Integrationsintervalls
b 2 S 'x
ba
Schrittweite
1000
Bereichsvariable
x 0 'x 2 S f ( x) sin ( 4 x)
2
Funktion
1 a f( x)
b
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Abb. 4.5.10 ´ ARA µ ¶
b
f ( x) dx
a
ARA
3.141593
Romberg und Adaptiv
ARA o S
AS Simpson ( f a b 5)
AS
3.141593
Simpson mit 5 Doppelstreifen (4-70)
AA Adapt ( f a b)
AA
3.141593
Adaptive-Methode (4-71)
Seite 303
exakter Wert
Integralrechnung Numerische Integration Beispiel 4.5.6: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Folge von diskreten Punkten im Bereich a und b exakt, mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a 0
Randpunkte des Integrationsintervalls
b 20 ba
'x
Schrittweite
300
x 0 'x 21
Bereichsvariable
f ( x) x sin ( x) x
Funktion
i 0 20
Bereichsvariable für die Punkte
xi i
Folge diskreter Punkte
yi f xi 60 a
f( x)
b
40
y 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
x x
Abb. 4.5.11 Wir lösen die Aufgabe, indem wir durch die Punktfolge mithilfe einer kubischen Spline-Interpolation eine Interpolationskurve legen und die Fläche unter dieser bestimmen: v kspline ( x y)
Mit dem Vektor v bilden wir die Interpolationskurve g(x).
g ( x) interp ( v x y x)
g ( x) f( x)
45 39 a 33 27 21 15 9 3 3 0 9 15
b
2
4
6
8
10
x
Abb. 4.5.12
Seite 304
12
14
16
18
20
Integralrechnung Numerische Integration Die Grafik zeigt, dass die interpolierte Kurve und die Kurve von f(x) im betrachteten Bereich recht gut übereinstimmen. ´ ARA µ ¶
b
g ( x) dx
a
´ A µ ¶
ARA
192.737549
Romberg und Adaptiv (die gesuchte Fläche)
b
f ( x) dx
A o sin ( 20 ) 20 cos ( 20 ) 200
192.751304
a
Vergleich mit der Fläche unter der Kurve f(x)
AS Simpson ( g a b 4)
AS
183.301808
Simpson mit 4 Doppelstreifen (4-70)
AA Adapt ( g a b)
AA
192.737549
Adaptive-Methode (4-71)
Relativer Fehler: A AA A
0.007 %
Seite 305
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve 4.6 Anwendungen der Integralrechnung 4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve Wir denken uns die Länge eines beliebig herausgegriffenen Kurvenstückes zwischen P 1 und P2 durch das differentiell kleine Linienelemente ds ersetzt. Die Integration über alle Linienelemete bedeutet, dass wir für unbegrenzt feiner werdende Zerlegungen den Grenzwert der Summe aller Linienelemente bilden. Wir setzen voraus, dass die Funktion y = f(x) und deren Ableitung im Intervall [a, b] stetig sind. Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt:
ª § dy · 2º » dx2 ds = dx dy = « 1 ¨ ¬ © dx ¹ ¼ 2
2
2
(4-72)
Damit gilt für das Linienelement: ds =
2
1 ( y' ) dx
(4-73)
Abb. 4.6.1.1 Für die Summe aller Linienelemente zwischen a und b, also für die Bogenlänge s, gilt dann: ´ s=µ ¶
b
a
´ 1 ds = µ ¶
b 2
1 ( y' ) dx für
adxdb
(4-74)
a
Liegt die Funktion in Parameterdarstellung x = x(t) , y = y(t) vor und ist diese im Intervall [t 1 , t 2 ] differenzierbar, so gilt mit yt a = x t1 , b = x t2 , dx = xt dt und y' = ( x z 0): xt t
t ´2 µ µ s= µ µ ¶
t
2
´2 §¨ yt · 1 xt dt = µ µ ¨© xt ¹ ¶
2
2
xt yt dt
für t1 d t d t2
(4-75)
t1
t1
Liegt die Funktion in Polarkoordinatendarstellung r = r( M) vor, so hat diese Funktion eine Parameterdarstellung der Form x = r(M) cos(M) und y = r(M) sin(M) : ds2 = dx2 + dy2 = (xM dM)2 + (yM dM)2 = [(r' cos(M) - r sin(M))2 + (r' sin(M) + r cos(M))2 ] dM2 = = [r' 2 cos(M)2 - 2 r' r sin(M) cos(M) + r2 sin(M)2 + r' =
[r2
(sin(M)2 M ´ 2 µ s= µ ¶
+
cos(M)2 ) 2
+ r'
2
2
(sin(M)2
r ( M ) r' ( M ) dM
+
cos(M)2 ]
2
sin(M)2 + 2 r' r sin(M) cos(M) + r2 cos(M)2 ] dM2 =
dM2
für M 1 d M d M 2
M1
Seite 306
= [ r2 + r' 2 ] dM2
(4-76)
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.1: Sekantenannäherung der Bogenlänge. Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen in einen Vektor:
a 1 Intervall b 2
3
Lv_in_Vektor ( a b sw)
km0 for i a a sw b
2
f ( x)
gegebene Funktion
4 x x
kmk1
Anzahl der Intervalle (FRAME von 0 bis 10, 1 Bild/s)
n 1 FRAME 'x
vk m i
v
ba Intervalllänge
n
x 0 0.01 4
Bereichsvariable
x1 a a 'x b
Bereichsvariable
2.5 a
b
2 f( a) 1.5
f( x)
f x1
f( b)
1 n1
lim
0.5
nof 0
0
0.5
¦
i
0
´ ª« 2 »º µ ª 'yi º « 1 « 'x » 'x» = µ ¬ ¬ ¼ ¼ µ ¶
b 2
a
1
1.5
2
§d · 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹
2.5
3
3.5
4
x x1
Abb. 4.6.1.2 xb = a a 'x b 'x
xb Lv_in_Vektor ( a b 'x 'x)
Bereichsvariable
i 0 länge ( Lv_in_Vektor ( a b 'x 'x) ) 1 sb
¦ i
´ µ µ µ ¶
2
'x § f § xb 'x· f § xb · ·
©©
i
¹
©
i¹ ¹
2
Bereichsvariable in einem Vektor umwandeln
sb
2.8284271247
Näherung der Bogenlänge
b
a
2
1
exakte Lösung der Bogenlänge (auf 10 Dezimalstellen)
§d · ¨ f ( x) dx 3.1415926536 © dx ¹
Seite 307
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.2: Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktion y = sin(x + 2 sin(x)) zwischen a = 0 und b = 2 S. gegebene Funktion
f ( x) sin ( x 2 sin ( x) ) d
fx ( x)
dx
Ableitung
f ( x)
a 0
Randpunkte des Integrationsintervalls
b 2 S Anzahl der Punkte
N 200 'x
ba
Schrittweite
N
Bereichsvariable
x a a 'x b 1 a
f( x)
b
0
2
4
6
Abb. 4.6.1.3
oder
´ µ µ ¶
1 x
Bogenlänge nach (4-74):
´ µ s1 µ µ ¶
b
a
2
§d · 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹
s1
9.593
b
a
1 f x ( x)
2 dx
9.593
Beispiel 4.6.1.3: Berechnen Sie die Länge der Durchhängekurve einer Freileitung (Kettenlinie) und den Durchhang f b . Dabei wird die Form der Kettenlinie von der horizontalen Spannkraft S h = 1000 kN, dem Gewicht der Leitung pro Längeneinheit G L = 2 kN/m, der Mastenhöhe h = 20 m und dem Mastenabstand b = 200 m beeinflusst: x x
b b
f x Sh GL b h
Redefinitionen
h h Sh
§ GL ¨ ©
§ GL · § GL x cosh ¨ ¨© Sh ¹ ¨© Sh
¨ cosh ¨
b ·· 2
h
¹¹
Seite 308
Kettenlinie
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Integrand und Integral zur Berechnung Seillänge nach (4-74): 1
g x Sh GL b h
1
ªd º « f x Sh GL b h » ¬dx ¼
2
2 § §¨ GL · · ¨ g x Sh GL b h o ¨ 1 sinh x ¨ Sh © © ¹ ¹
2
§ GL · b exp ¨ b 1 ´2 ¨© Sh ¹ Sh µ s F Sh GL b h = 2 µ g x Sh GL b h dx vereinfachen o s F Sh GL b h = 1 GL ¶ 0
§ GL · exp ¨ b ¨© Sh ¹ Spezielle Werte für die Freileitung: kN 1000 N
Einheitendefinition
b 200 m
Mastabstand
h 20 m
Masthöhe
Sh 1000 kN
Spannkraft
kN GL 2 m
Gewicht pro Länge
b b b b x 2 2 800 2
Bereichsvariable
fd h f 0 m Sh GL b h
fd
10.033 m
§ GL · b 1 ¨© Sh ¹ Sh
Durchhang fd
exp ¨
s F Sh GL b h
1
§ GL · exp ¨ b ¨© Sh ¹
s F Sh GL b h
201.336 m
GL
Berechnung der Seillänge der Freileitung
2
Freileitungslänge
Seite 309
2
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Freileitung-Kettenlinie 30
f x Sh GL b h
b
b
20
2
2 h fd
m 10
100
50
0
50
100
x m
Abb. 4.6.1.4 Beispiel 4.6.1.4: Berechnen Sie den Kreisumfang. 2
y ( x r)
2
kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)
r x
r 2
Kreisradius
x r r 0.01 r
Bereichsvariable 2
r
r
y( x 2 ) 2
y( x 2 )
0
x
y' =
2
Ableitung der Funktion (oberer Halbkreis)
2
r x
2
2
2
x
2
1 y' = 1
2
2
r x
2
=
r 2
2
Ausdruck unter der Wurzel
r x
x
Abb. 4.6.1.5 Berechnung in kartesischen Koordinanten nach (4-74): ´ u = 2 µ ¶
r
´ µ 1 y' dx = 2 2 µ µ ¶
r
2
r
0
´ dx = 4 µ µ 2 2 r x µ µ ¶ r
r
0
Substitution: u =
x r
Differential du:
du =
1 r
dx Austausch der Grenzen:
1 §S · u = 4 r arcsin ( u) | = 4 r ( arcsin ( 1) arcsin ( 0) ) = 4 r ¨ 0 = 2 r S 2 © ¹ 0 x x
r r
1
´ µ dx = 4 r µ 2 µ x· § ¶ 1 ¨ 0 © r¹ 1
Redefinitionen
Seite 310
1 2
du
1u
x=0
u=0
x=r
u=1
Kreisumfang
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve ´ µ u = 4 µ µ ¶
r 2
annehmen r ! 0 o u = 2 r S vereinfachen
§d · 1 ¨ y ( x r) dx © dx ¹
0
Kreisumfang
Berechnung in Parameterdarstellung nach (4-75): x ( M r) r cos ( M )
Parameterdarstellung des Kreises
y ( M r) r sin ( M ) xM ( M r) r sin ( M )
Ableitungen
yM ( M r) r cos ( M ) S M2
´ u=µ µ ¶M
´2 µ 2 2 xM yM dM = 4 µ ¶ 0
1
´ µ u = 2 µ µ ¶
S
´2 µ 2 2 2 2 r sin ( M ) r cos ( M ) dM = 4 µ r dM = 4 r M ¶ 0
S/2 |= 0
2 r S
S
0
2
2
§d · §d · ¨ x( M r) ¨ y ( M r) dM © dM ¹ © dM ¹
annehmen r ! 0 o u = 2 r S vereinfachen
Kreisumfang
Berechnung in Polarkoordinatendarstellung (r = konstant) nach (4-76): S
´2 µ u = 4 µ ¶ 0
S
´2 S/2 µ 2 2 r r' dM = 4 µ r dM = 4 r M | = ¶ 0 0
oder: ds = r dM ´ u=µ ¶
2S
0
´ 1 ds = µ ¶
Abb. 4.6.1.6 ´ u=µ ¶
2S
r dM vereinfachen o u = 2 r S
Kreisumfang
0
Seite 311
2S
0
2S r dM = r M | = 0
2 r S
2 r S
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.5: Berechnen Sie die Länge des ersten spitzen Zykloidenbogens. angenommener Radius des Abrollkreises
r 1 x ( t r) r ( t sin ( t) )
Parameterdarstellung der spitzen Zykloide
y ( t r) r ( 1 cos ( t) ) x1 ( t) r sin ( t)
Parameterdarstellung des Abrollkreises
y1 ( t) r cos ( t) 1 Bereichsvariable für den Parameter
t1 0 0.01 2S
Spitze Zykloide
2
2Sr y( t1 r)
1
y1( t1) 0 1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 x( t1 r) x1( t1) 0
Abb. 4.6.1.7 x x
y y
t t
Redefinitionen
r r
x ( t r) r ( t sin ( t) )
Parameterdarstellung der Zykloide
y ( t r) r ( 1 cos ( t) ) xt ( t r) ´ µ s1 = µ ¶
d dt
x ( t r)
yt ( t r)
2S
0
xt (t r) 2 yt (t r) 2 dt
d dt
y ( t r)
Ableitungen der Parametergleichungen
annehmen r ! 0 o s1 = 8 r vereinfachen
Seite 312
Achtfacher Radius des Abrollkreises
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.6: Berechnen Sie den Umfang der Ellipse mit den Ellipsenhalbachsen a = 10 und b = 5. a 10
Ellipsenhalbachsen
b 5
x ( t ) a cos ( t)
y ( t ) b sin ( t)
Parameterdarstellung der Ellipse
xt ( t) a sin ( t)
yt ( t) b cos ( t)
Ableitungen Bereichsvariable für den Parameter
t 0 0.01 2 S b
5 a y( t)
a
10
5
0
5
10
Die Berechnung des Umfanges führt auf ein elliptisches Integral: ´ µ u µ ¶
2S
0
xt (t) 2 yt (t) 2 dt
b 5
u
48.442
x( t)
Abb. 4.6.1.8 Beispiel 4.6.1.7: Berechnen Sie die Bogenlänge der logarithmischen Spirale r = c e M1 = 0 und M2 = S/2. c 1
kM
mit c = 1 und k = 0.5 im Bereich
Konstanten
k 0.5 kM
r ( M c k) c e
Polarkoordinatengleichung
M 0 0.01 S
Bereichsvariable für den Winkel
120
90
60
150 r( M c k)
30
180
1
3
210
0 330
240
270 M
300
Abb. 4.6.1.9
Seite 313
Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve kM
r' = c k e M ´ 2 µ s1 = µ ¶
=kr
M ´ 2 µ r r' dM = µ ¶ 2
M1
2
2
2
M2 2 ´ µ
2
1 k dM = c
1 k
M1
s1 =
c
2
1k
k
Bogenlänge in Polarkoordinaten nach (4-76)
M1
M ´ 2 µ s1 = r µ ¶
s1 = c
2
r k r dM
1 k
2
§
dM
vereinfachtes Integral
1
| M1 kM 1·
1 k ©e
kM
e
M2
kM
e
kM 2
µ ¶M
e
Bogenlänge nach Auswertung des Integrals
¹
· § k S c 2 ¨ 2 s1 = 1 k © e 1¹
Bogenlänge mit eingesetzten gegebenen Grenzen
k
Berechnung mit Mathcad: c c
Redefinitionen
k k
f ( M c k)
§d · ( r ( M c k) ) ¨ r ( M c k) © dM ¹ 2
S
2
Integrand
1
§1 · exp ¨ S k 1 2 annehmen c ! 0 k ! 0 2 ©2 ¹ o s1 = c 1 k vereinfachen k
´2 µ s1 = µ f ( M c k ) dM ¶
0
1
s1 ( c k ) c 1 k
s1 ( c k )
2.668
s1 ( 5 3)
581.426
2
§ 1 S k· 1 ©2 ¹
exp ¨
2
Bogenlänge der logarithmischen Spirale
k
Bogenlänge für verschiedene c und k
Seite 314
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten 4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve Wir setzen voraus, dass die Funktion y = f(x) , x [a, b] und deren Ableitung im Intervall [a, b] stetig sind. Summieren wir über alle differentiellen Flächenelemente dA = y dx, so erhalten wir den Flächeninhalt aus: P b ´ 2 ´ µ µ A= 1 dA = y dx µ ¶ ¶ P1
(4-77)
a
Abb. 4.6.2.1 Liegt die Funktion in Parameterdarstellung x = x(t) , y = y(t) vor und ist diese im Intervall [t 1 , t 2 ] differenzierbar, so erhält man den Flächeninhalt A mit a = x t1 , b = x t2 und dx = xt dt durch
Aufsummieren der Flächenelemente dA = y dx = y x t dt:
t
´2 A = µ y ( t ) xt ( t) dt µ ¶t
(4-78)
1
Abb. 4.6.2.2 Sektorformel von Leibniz, wenn die Funktion in Parameterdarstellung gegeben ist. Es gilt: tan ( M ( t) ) =
y ( t) x ( t)
( x ( t) z 0)
(4-79)
Differenzieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten nach dem Parameter t, so erhalten wir: 1 cos ( M )
2
d dt
M =
x yt xt y 2
(4-80)
x
Im Nenner auf der rechten Seite der Gleichung (4-80) kann die Parametergleichung eingesetzt werden: 1 cos ( M )
Abb. 4.6.2.3
Seite 315
2
d dt
M =
x yt xt y 2
r cos ( M )
2
(4-81)
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Durch Multiplikation der Gleichung (4-81) mit dem Faktor 1/2 und durch Aufspaltung des Differentialquotienten erhalten wir schließlich aus (4-81): 2
r dM
=
2
1 2
x yt xt y dt
(4-82)
Auf der linken Seite der Gleichung (4-82) ist das Differential der Kreissektorformel A = 1/2 r 2 M erkennbar. Damit lautet das differentielle Flächenelement in Parameterdarstellung: 1
dA =
2
x yt xt y dt
(4-83)
Summieren wir wieder über alle differentiellen Flächenelemente dA, so erhalten wir den Flächeninhalt mit der Sektorformel von Leibniz: t2 t ´2 1 ´ µ A= 1 dA = µ x yt xt y dt µ 2 µ ¶t ¶ t 1
(4-84)
1
Sektorformel von Leibniz, wenn die Funktion in Polarkoordinatendarstellung (r = r( M), M [M1 ,M2 ]) gegeben ist. Nach (4-82) gilt für das differentielle Flächenelement: 1
dA =
2
2
r ( M ) dM
(4-85)
Summieren wir auch hier über alle differentiellen Flächenelemente dA, so erhalten wir den Flächeninhalt mit der folgenden Sektorformel von Leibniz: ´ µ A= µ ¶
OP2
M2 1 ´ 2 µ 1 dA = r ( M ) dM 2 µ ¶
OP1
(4-86)
M1
Beispiel 4.6.2.1: Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfläche ?
2
2
2
x y =r
Kreisgleichung
Abb. 4.6.2.4 a) Kartesische Darstellung der Kreisgleichung (4-77): 2
y ( x r)
2
r x
oberer Halbkreis in kartesischer Darstellung
r
´ 2 A = 4 µ y ( x r) dx vereinfachen o A = r S ¶ 0
Seite 316
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten b) Parameterdarstellung des Kreis (4-78): x ( M r) r cos ( M )
Parametergleichungen
y ( M r) r sin ( M ) 0
´ d 2 µ A = 4 y ( M r) x ( M r) dM vereinfachen o A = r S µ dM µ ¶S 2
Sektorfläche von Leibnitz (4-84): ´ 1 A= µ 2 µ ¶
2S
§ · d d ¨ x( M r) y ( M r) y( M r) x ( M r) dM dM dM © ¹
0
annehmen r ! 0 2 oA=r S vereinfachen
b) Polarkoordinatendarstellung (4-86) Polarkoordinatengleichung
r ( M r1 ) r1 1 ´ A= µ 2 ¶
2S
2
r ( M r1 ) dM o A = S r1
2
0
Beispiel 4.6.2.2: Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen x-Achse und der Funktion y = sin 2 (x) zwischen 0 und S ? f ( x) sin ( x)
2
gegebene Funktion Bereichsvariable
x 0 0.01 S
´ A=µ ¶
f( x)
S
A=
0.5
0
1
0
1
2
S
1 ´ sin ( x) dx = µ ( 1 cos ( 2 x) ) dx 2 ¶0 0
1 0
S
3
4
x
2
´ A=µ ¶
2
S
2
sin ( x) dx o A =
0
x
S sin ( 2 x) | = 4 0 1
S 2
1 2
Flächeneinheiten
S
Abb. 4.6.2.5 Mit T =
1 f ´ µ ¶
= L
0
2 S Z
und L = k
´ 2 sin ( Z t) dt = µ ¶
T 2
L
0
bzw. L = k
2
S Z
cos ( Z t) dt =
(k ) gilt nämlich:
L 2
Seite 317
(4-87)
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.3: Wie groß ist der Flächeninhalt der Ellipse und Ellipsensektors zwischen M1 und M2 ? x ( M a) a cos ( M )
Parameterdarstellung der Ellipse in Hauptlage
y ( M b) b sin ( M ) xM ( M a) a sin ( M )
Ableitungen
yM ( M b) b cos ( M ) a 4
Halbachsen
b 2
Bereichsvariable
M 0 0.001 2 S 2
y( M b)
M1 =
S 2 M2 = 0
0
2
4
2
0
2
4
x( M a)
Abb. 4.6.2.6 S M2
´ A = 4 µ µ ¶M
0
´ y xt dt = 4 µ µS ¶ 1
´2 µ 2 b sin ( M ) ( 1) a sin ( M ) dM = 4 a b µ sin ( M ) dM ¶ 0
Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen!
2
S
´2 1 µ §M 1 · A = 4 a b µ ( 1 cos ( 2 M ) ) dM = 4 a b ¨ sin ( 2 M ) 4 2 ¶0 2 © ¹ a a
b b
S/2 |= 0
4 a b
S 4
= S a b
Redefinitionen
0
´ A = 4 µ y ( M b) xM ( M a) dM o A = S b a µ ¶S
2
Sektorformel (Ellipsensektor):
ª´ M2 º 1 µ « » A= ( a cos ( M ) b cos ( M ) b sin ( M ) a sin ( M ) ) dM faktor o A = b a M 2 M 1 » 2 «µ 2 ¶M ¬ 1 ¼ 1
Mit M1 = 0 und M2 = 2 S ist A = S a b !
Seite 318
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.4: Flächeninhalt unter einem Zykloidenbogen. angenommener Abrollradius
r 1 x ( t ) r ( t sin ( t) )
Parameterdarstellung der spitzen Zykloide
y ( t ) r ( 1 cos ( t) ) x1 ( t) r sin ( t )
Parameterdarstellung des Abrollkreises
y1 ( t) r cos ( t ) 1 Bereichsvariable für den Parameter
t1 0 0.001 2S
Abb. 4.6.2.7 a a
b b
r r
x ( t r) r ( t sin ( t) )
Redefinitionen
Parametergleichungen
y ( t r) r ( 1 cos ( t) )
´ A=µ µ ¶
2S
y ( M r)
d dM
x ( M r) dM
annehmen r ! 0 2 o A = 3 r S vereinfachen
0
´ 1 A= µ 2 µ ¶
0
2S
§ · d d ¨ x ( M r) y( M r) y ( M r) x( M r) dM dM dM © ¹
Seite 319
annehmen r ! 0 2 o A = 3 r S vereinfachen
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.5: Sektorfläche einer archimedischen Spirale. a 3
gewählte Konstante
r(M ) a M
Polarkoordinatendarstellung einer archimedischen Spirale
M 0 0.002 2 S Bereichsvariable r1 0 0.02 6 S
Abb. 4.6.2.8
Sektorformel von Leibniz: M
A M 1 M 2 a1
2 1 ´ 2 µ a1 M dM µ 2 ¶ M
1
a 3
M1 0
A M1 M2 a
vereinfachen o sammeln a1
§ 1 M 3 1 M 3· a 2 ¨ 1 6 ©6 2 ¹ 1
M2 2 S 372.075
Flächeneinheiten
Seite 320
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.6: Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse im Bereich von a = -2 bis b = 1. 3
2
f ( x) x 2 x x 2
Funktionsgleichung
a 3
Intervallanfang
b 2
Intervallende
N 800
Anzahl der Schritte
ba
'x
Schrittweite
N
Bereichsvariable
x a a 'x b
10 2
1 5
f( x)
+ 3
0
2
0-
1
1
2
Abb. 4.6.2.9
5
10 x
Nullstellenbestimmung: a ) Durch Faktorisierung: 3
2
x 2 x x 2
durch Faktorisierung, ergibt
b ) Symbolische Lösung der Gleichung: 3
2
x 2 x x 2 = 0
hat als Lösung(en)
x x
Redefinition
§¨ 1 · ¨ 2 ¸ ¨ 1 © ¹
§¨ 1 · x 2x x 2 = 0 auflösen x o ¨ 2 ¸ ¨ 1 © ¹ 3
2
Seite 321
( x 1) ( x 2) ( x 1)
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten c ) Mit der Funktion nullstellen (nur für Polynome):
§ 2 · ¨ ¨ 1 ¸ a f ( x) koeff x o ¨2 ¸ ¨ ©1 ¹ ´ (1) A = µ ¶
1
f ( x) dx o A =
2
´ (2) A = µ ¶
1
2
´ (3) A = µ ¶
´ f ( x) dx µ ¶
x nullstellen ( a)
9
1
f ( x) dx o A =
1
f ( x) dx o A =
0
gesetzter ORIGIN
§¨ 2 · x ¨ 1 ¸ ¨1 © ¹
x0
37 12
37
Variante 1: Integrationsgrenzen vertauschen
Variante 2: Betrag setzen
12
Flächeneinheiten
FE 1 x
´ 2 (4) A1 µ f ( x) dx ¶x
A1
3.083 FE
Variante 3: numerische Lösung
0
4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven Wir betrachten zwei Funktionen y 1 = f(x) und y2 = g(x) deren Graphen eine Fläche im Integrationsintervall [a, b] einschließen.
Abb. 4.6.2.10 Für die Fläche zwischen den beiden Kurven gilt nach Abbildung 4.54: ´ A=µ ¶
b
a
´ 1 dA = µ ¶
2
Nicht über Nullstellen hinweg Integrieren!
4
1
2
ORIGIN
b
( f ( x) g ( x) ) dx
(4-88)
a
Seite 322
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.7: Gesucht ist die Fläche zwischen den Schnittpunkten der Kurvenbögen y = f(x) und y = g(x). 2
f ( x)
x
6
3
2
g ( x) a 0
x
3
x
x 2
1
obere Kurve
3
5
untere Kurve
4
Intervallanfang und Intervallende
b 5
Bereichsvariable
x a a 0.01 b
4 3 f( x) g ( x)
2
Abb. 4.6.2.11 1
0
1
2
3
4
5
x x
Bestimmung der Schnittpunkte von f(x) und g(x): 1 § ¨5 1 ¨ 111 2 ¨2 6 x f ( x1) = g ( x1) auflösen x1 o ¨ 1 ¨5 1 2 ¨ 111 2 6 ©
x
§ 4.256 · ¨ © 0.744 ¹
x0
4.256
x1
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ x-Werte der Schnittpunkte
0.744
Seite 323
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Eingeschlossene Fläche schattieren: 4
f( x) x 1 x x0
g ( x ) x 1 x x 0
x0
x1
2
f( x)
Abb. 4.6.2.12
g ( x)
0
1
2
3
4
5
x x
´ 0 A µ ( f ( x) g ( x) ) dx ¶x
A
3.609
numerische Auswertung der Maßzahl des Flächeninhalts
1
1
Ao
37 108
111
2
symbolische Auswertung der Maßzahl des Flächeninhalts
Beispiel 4.6.2.8: Berechnen Sie den Flächeninhalt der von der Relation y 2 = 4 x und der Funktion y = 2 x - 4 eingeschlossen wird. a 0
Intervallanfang
b 5
Intervallende
N 400
Anzahl der Schritte
'x
ba
Schrittweite
N
x a a 'x b f1 ( x) 2 f2 ( x) 2
Bereichsvariable
x x
Funktionsgleichungen
g ( x) 2 x 4
Seite 324
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
10
5
f1 ( x) f2 ( x)
Abb. 4.6.2.13
g ( x) 0
1
2
3
4
5
5 x
Bestimmung der Schnittpunkte: x1 f2 ( x2) = g ( x2) auflösen x2 o 1 x2 f1 ( x2) = g ( x2) auflösen x2 o 4
g x2
y1 g x1 y2
y1 y2
2
P1 (1 | -2)
4
P2 (4 | 4)
Schnittpunkte
Eingeschlossene Fläche mit Punkten schattieren: Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen
I 20000 x1
1
y1
2
x2
4
y2
4
runif I y1 y2
u runif I 0 x2 v
w
Schnittpunkte
gleichmäßig verteilte Zufallszahlen für x und y Werte
jm0 for i 0 I 1 if
g ui vi vi f1 ui f2 ui vi § ui · wj m ¨ © vi ¹
Auswahl der Punkte, die in den Begrenzungslinien liegen.
jmj1 w
Seite 325
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
T
w
0
0
1
2
3
4
5
6
7
[2, 1]
[2, 1]
[2, 1]
[2, 1]
[2, 1]
[2, 1]
[2, 1]
[2, 1]
§ 1.043 · ¨ © 1.638 ¹
w0
zeilen ( w)
§ 1.107 · ¨ © 0.497 ¹
w1
ausgewählte Punkte
Anzahl der darzustellenden Punkte
7445
Bereichsvariable
j 0 zeilen ( w) 1
10 x1 f1 ( x)
x2
5
f2 ( x) g ( x)
wj 1
0
1
2
3
4
5
5
x x x wj 0
Abb. 4.6.2.14 FE 1
Einheitendefinition
x x ´ 1 ´ 2 µ µ A 2 f1 ( x) dx f1 ( x) g ( x) dx µ µ ¶ ¶ 0 x
A
9 FE
1
Variante: Integration entlang der y-Achse: 2
x= y1
y
x=
4 2 y
´ 2 µ A µ µ ¶y
y 2
y2
2 4
2º ª§ y «¨ 2· y » dy ¬© 2 ¹ 4¼
Nach x aufgelöste Funktionsgleichungen neue Grenzen
A
9 FE
1
Seite 326
Feld von Feldern
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.9: Berechnen Sie die Teilkreisfläche unter der Kurve (x + m) 2 + (y + n)2 = r2 sowie den Flächeninhalt zwischen den Kurven (x - m) 2 + (y - n)2 = r2 und (x + m)2 + (y + n)2 = r2 im 1. Quadranten mit r = 1, m = 0.6 und n = 0. r 1
Radius der Kreise
m 0.6
Mittelpunktverschiebung
f1 ( x)
2
r ( x m)
2
2
f2 ( x) r ( x m)
g1 ( x)
2
r ( x m) 2
oberer Halbkreis 2
unterer Halbkreis
2
g2 ( x) r ( x m)
oberer Halbkreis 2
unterer Halbkreis Bereichsvariable
x 2 r 2 r 0.001 2 r
2 m
m 1
f1( x) f2( x) g 1 ( x)
2
1
g 2 ( x)
0
1
2
Abb. 4.6.2.15
1
2 x
X m r m 0.95 r m
Bereichsvariable für die X-Werte
h ( x y) g1 ( x) y
Funktion zur Markierung der Fläche
y 0 0.05 1
Bereichsvariable für die y-Werte
Seite 327
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
2
1.5 f1( x) g 1 ( x)
1
Abb. 4.6.2.16
h ( X y) 0.5
A3 A1 0
0.5
1
1.5
2
x x X
Berechnung der schraffierten Fläche und der nichtschraffierten Fläche im 1. Quadranten: ´ A1 µ ¶
r m 2
r ( x m ) dx
0
´ A2 µ ¶
A1
0.224
Schraffierte Fläche
A2
1.347
Fläche unter verschobenen Kreis
A3
1.124
Nichtschraffierte Fläche
r m 2
r ( x m ) dx
0
A3 A2 A1
Seite 328
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern Das Kurvenstück y = f(x) zwischen A(a | c) und B(b | d) überstreicht bei Drehung um die x-Achse bzw. y-Achse den Mantel des Rotationskörpers. Summieren wir hier alle differentiellen Kegelstumpfmantelflächen dA = 2 S y ds, so erhalten wir die Mantelfläche des Rotationskörpers.
Abb. 4.6.2.17
Rotation der Funktion y = f(x) um die x-Achse mit ds =
1 y'
2
dx :
s b B b ´ ´ B ´ ´ µ AM = 1 dA = µ 2 S y d s = 2 S µ y ds = 2 S µ y µ ¶ ¶ ¶ ¶ sA
A
a
2
1 y' dx
(4-89)
a
Rotation der Funktion in Parameterdarstellung um die x-Achse mit ds =
2
2
xt yt dt :
t
´B AM = 2 S µ y µ ¶t
2
2
xt yt dt
(4-90)
A
Rotation der Funktion y = f(x) um die y-Achse mit ds = ´ AM = µ ¶
B
A
´ 2 S x ds = 2 S µ ¶
d
c
´ x ds = 2 S µ ¶
1 x'
2
dx :
d
x
2
1 x' dx
(4-91)
c
Rotation der Funktion in Parameterdarstellung um die x-Achse mit ds =
2
2
xt yt dt :
t
´B AM = 2 S µ x µ ¶t
2
2
xt yt dt
(4-92)
A
Seite 329
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.10: Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel, die durch Rotation des Halbkreises um die x-Achse bzw. y-Achse entsteht. r 1
Radius des Kreises 2
2
oberer Halbkreis
x 2 r 2 r 0.001 2 r
Bereichsvariable
f ( x)
r x
r
f( x)
r
d
1
r
0.5
Abb. 4.6.2.18
c
a 1
0.5
b
0
0.5
1
x
r r
Redefinitionen
x x 2
f ( x)
2
Funktionsgleichung des oberen Halbkreises
r x
r
´ µ AM = 2 S 2 µ f ( x) µ ¶ 0
2
g ( y)
2
§d · 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹
2
annehmen r ! 0 2 o AM = 4 r S vereinfachen
Rotation um die x-Achse (4-89)
Umkehrfunktion des oberen Halbkreises
r y
r
´ µ AM = 2 S 2 µ g ( y) µ ¶ 0
2
1
· §d ¨ g ( y) dy © dy ¹
annehmen r ! 0 2 o AM = 4 r S vereinfachen
Rotation um die y-Achse (4-91)
3D-Darstellung der Kugel (oder Ellipsoid) 2
x
2
2
a
a 1
y
2
b
z c
2 2
Kugelgleichung mit Radius 1 (implizite Darstellung)
=1
b 1
c 1
§¨ a sin ( M ) cos ( - ) · Kugel ( M - ) ¨ b sin ( M ) sin ( - ) ¸ ¨ c cos ( M ) © ¹
Parameter (Kugel: a = b = c = 1)
Parametergleichungen der Kugel (Vektorfunktion)
Seite 330
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
Abb. 4.6.2.19
Kugel Beispiel 4.6.2.11: Berechnen Sie die Mantelfläche der durch Rotation der Parabel y 2 = x um die x-Achse entstehenden Drehparaboloids im Bereich x = 0 und x = 3. f ( x)
x Parabelbögen
f1 ( x) x fx ( x)
1 2
Ableitungsfunktion x Bereichsvariable
x 0 0.01 3
Drehparaboloid 1.270
3
f( x) f1 ( x)
0.27 0
1
2
3
0.73
1.73 x
Redefinition
x x a 0 FE 1
b 3
Integrationsgrenzen Flächeneinheiten
Seite 331
Abb. 4.6.2.20
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
´ µ AM = 2 S µ µ ¶
b
a
1 · § ¨ 1 §d · 2 f ( x) 1 ¨ f ( x) dx vereinfachen o AM = S © 13 13 1¹ 6 © dx ¹ 2
´ µ AM ( a b) 2 S µ ¶
b
f ( x)
2
1 f x ( x) dx
a
AM ( a b)
24.019 FE
Mantelfläche des Drehparboloids
3D-Darstellung: rn 40
ri a
n 25 b a rn
X1i j ri otationsfläche:
i 0 rn
i
Mj
2 S n
Y1i j f1 ri cos M j
j 0 ( FRAME 25 )
Anzahl der Schritte und Bereichsvariable (FRAME von 0 bis 25. Die Zahl 25 bei der Bereichsvariable j löschen!) Bereichsvariable (Vektoren)
j
Z1i j f1 ri sin M j
Matrizen der x, y und z Werte
Abb. 4.6.2.21
( X1 Y1 Z1) Beispiel 4.6.2.12: Berechnen Sie die Mantelfläche der durch Rotation der gleichseitigen Hyperbel y = 1/x um die y-Achse entstehenden Drehfläche im Bereich y = 1 und y = 3. f ( x)
1
Funktion
x
x 0.1 0.1 0.01 4
Bereichsvariable
c 1
y-Bereichsgrenzen
d 3
Seite 332
Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten
4 d f( x)
Abb. 4.6.2.22
2 c
0
0
1
2
3
4
x
f1 ( y)
1
Umkehrfunktion
y
´ µ AM1 = 2 S µ µ ¶
d 2
§d · f1 ( y) 1 ¨ f1 ( y) dy © dy ¹
c
vereinfachen o AM1 = 7.6033 gleit 5
gesuchte Maßzahl der Mantelfläche
3D-Darstellung: a
1
b 1
3
m 40
ri a
n 25
b a m
i
X11i k ri sin M k
x-Bereichsgrenzen (x = 1/y)
k 0 ( FRAME 25 ) Anzahl der Schritte und Bereichsvariable (FRAME von 0 bis 25. Die Zahl 25 bei der Bereichsvariable k löschen!)
i 0 m
M k S
2 S n
Bereichsvariable (Vektoren)
k
Y11i k ri cos M k Z11 i k f ri
Matrizen der x, y und z Werte
Abb. 4.6.2.23
( X11 Y11 Z11 )
Seite 333
Integralrechnung Volumsberechnung 4.6.3 Volumsberechnung a) Berechnung des Volumens eines Körpers aus der Querschnittsfläche: Betrachten wir an einer Stelle x eines Körpers die Querschnittsfläche A(x) der Stärke dx, so ergibt sich ein Volumselement dV = A(x) dx. Integrieren wir alle Volumselemente von der Querschnittsfläche A a bis A b, dann erhalten wir das Gesamtvolumen.
Abb. 4.6.3.1
A b ´ b ´ µ Vx = 1 dV = µ A ( x) dx µ ¶ ¶ Aa
´ Vy = µ ¶
A(x) ...Querschnittsfläche zur x-Achse
(4-93)
A(y) ... Querschnittsfläche zur y-Achse
(4-94)
a
d
A ( y) dy
c
Beispiel 4.6.3.1: Berechnen Sie das Kugelvolumen.
2
2
2
x y =r
Kreisgleichung
dV = A ( y) dy differentielles Volumselement 2
2
2
dV = x S dy = r y
Abb. 4.6.3.2 ´ Vy = S µ ¶
r
r
r2 y2 dy vereinfachen
4 3 o Vy = S r 3
Seite 334
Kugelvolumen
S dy
Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.2: Berechnen Sie das Volumen eines Ellipsoids (Rotation der Ellipse um die x-Achse). 2
x
2
a
2
y
2
2
=1
y =
b
2
b
2
2
2
a x
Ellipsengleichung
a
2
differentielles Volumselement
dV = y S dx ´ µ Vx = S µ µ ¶
a
ª b2 º « a2 x2 » dx vereinfachen o V = 4 S a b2 x 3 « a2 » ¬ ¼
a
Volumen des Ellipsoids
Beispiel 4.6.3.3: Berechnen Sie das Volumen einer quadratischen Pyramide. Ähnliche Figuren: 2
A ( x) AG
2
x
=
2
a
A ( x) =
2
h
2
x
h
differentielles Volumselement
dV = A ( x) dx h
2
´ 2 1 2 Vx = µ x dx vereinfachen o Vx = a h 2 ¶ 3 0 h a
Abb. 4.6.3.3 Beispiel 4.6.3.4: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinderhufes. Für die schraffierte Dreiecksfläche gilt: A=
1 2
y z =
tan ( D ) =
h r
1 2
y y tan ( D )
damit ist
A=
h 2 r
2
y
Mit dem Höhensatz folgt für die Fläche A: 2
y = x ( 2 r x) A ( x) =
2r
´ µ 2 r ¶0 h
2 r
x ( 2 r x)
Querschnittsfläche
dV = A ( x) dx differentielles Volumenelement
Abb. 4.6.3.4
V=
h
x ( 2 r x) dx vereinfachen o V =
2 3
2
h r
Seite 335
Ist gleich groß wie das Volumen der Pyramide ABCDS (A = G . h /3)!
Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.5: Berechnen Sie das Volumen einer Pyramide mit beliebiger Grundfläche. A ( x) AG
2
=
x
Ähnliche Figuren
2
h
A ( x) =
AG 2
2
x
Querschnittsfläche
h
dV = A ( x) dx
differentielles Volumenelement
Abb. 4.6.3.5 AG ´ h 1 2 µ x dx vereinfachen o V = AG h V= 2 ¶ 3 0 h Mithilfe dieser Integration zeigt man den Satz von Cavalieri: Alle Körper, bei denen alle in gleichen Abständen von der Grundfläche geführten Parallelschnitte gleiche Flächeninhalte haben, sind raumgleich.
Abb. 4.6.3.6
(z.B. Pyramide, Kegel, Kugel, Zylinderhuf, Ellipsoid, Paraboloid, Hyperboloid usw.) b) Berechnung des Volumens eines Drehkörpers: Die Querschnittsflächen A(x) bzw. A(y) sind Kreise mit dem Radius y = f(x) bzw. x = f(y). Daher folgt aus a): ´ Vx = S µ ¶
b
2
y dx
a d
´ Vy = S µ ¶
2
x dy
Rotation einer Kurve um die x-Achse (y = f(x))
(4-95)
Rotation einer Kurve um die y-Achse (x = f(y))
(4-96)
c
Liegt die Funktion in Parameterform (x(t), y(t)) vor, so gilt: t
´2 2 Vx = S µ y xt dt µ ¶t
Rotation einer Kurve um die x-Achse
(4-97)
´ Vy = S µ µ ¶t
Rotation einer Kurve um die y-Achse
(4-98)
1 t2
2
x yt dt
1
Seite 336
Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.6: Berechnen Sie das Volumen eines Drehkegels.
´ µ Vx ( r h) S µ µ ¶
h
2
0
r 1 m Vx ( r h)
§ r x· dx ¨ ©h ¹
Vx ( r h) o
h 1 m
gewählte Größen
1.047 m
3
Vx ( r h) o
1 3
1 3
2
S h r
Sm
3
Abb. 4.6.3.7 Beispiel 4.6.3.7: Berechnen Sie das Volumen eines Kugelabschnittes.
Mit dem Höhensatz gilt: 2
y = x ( 2 r x) ´ Vx ( r h) S µ ¶
h
x ( 2 r x) dx faktor o
0
1 3
2
S h ( h 3 r)
Mit dem Pythagoras gilt: 2
2
r = U ( r h)
2
r=
Abb. 4.6.3.8 ´ µ Vx ( U h) S µ µ ¶
h
0
´ Vx ( U h) S µ ¶
ª § U2 º 1 h· 2 2 x «2 ¨ x» dx faktor o S h h 3 U 6 ¬ © 2 h 2¹ ¼
ersetzen r =
h
0
x ( 2 r x) dx
faktor
U
2
2 h
h 2 1 2 2 o S h h 3 U 6
Seite 337
U
2
2 h
h 2
Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.8: Eine Parabel y = 1/4 x 2 rotiert um die x-Achse bzw. y-Achse. Wie groß sind die Volumina der Drehkörper, wenn a = 0 und b = h ist ? Vergleichen Sie diese Volumina mit dem Zylindervolumen. Vx Vx
Redefinitionen
h h
´ µ Vx = S µ µ ¶
h
Volumen des 1 5 dx o V x = S h Rotationskörpers 80 16 4
x
0 2
2
Vz = r S h
h
r=
4
Zylindervolumen und Radius des Zylinders
2
§ h2 · 1 5 Vz = ¨ S h vereinfachen o Vz = Sh 16 ©4¹ Abb. 4.6.3.9
1 Vx Vz
5
Sh
80
=
Vx
vereinfacht auf
1
Vz
5
h S
16 2
x = 4 y
y ( 0) = 0
´ Vy = S µ ¶
1 5
y ( b) = h
h
0
=
2
4 y dy o V y = 2 S h 2
2
Vz = r S h
h=
r
Zylindervolumen
4 2
Vz = ( 4 h) S h o Vz = 4 S h Abb. 4.6.3.10 Beispiel 4.6.3.9:
Vy Vz
2
=
2 h S
vereinfacht auf
2
4 h S
Vy Vz
=
1 2
Berechnen Sie das Volumen eines Drehellipsoids. 2
y =
2
b
2
2
2
a x
Ellipsengleichung
a
2
Volumenelement
dV = y S dx ´ µ Vx = S µ µ ¶
a
2
b
2
a
2
2
a x
dx o Vx = 43 S a b2
a
Abb. 4.6.3.11
Seite 338
Mit a = b = r erhalten wir das Kugelvolumen
Integralrechnung Volumsberechnung
2
x =
2
a
2
2
2
b y
Ellipsengleichung
b
2
Volumenelement
dV = x S dy
´ µ Vy = S µ µ ¶
b
2
a
2
2
b y
2
b
dy o Vy = 4 S b a2 3
b
Abb. 4.6.3.12 Beispiel 4.6.3.10: Die Funktion y = cosh(x) rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers zwischen 0 und 2 ?
´ Vx ( a b) S µ ¶
b
2
cosh ( x) dx
a
Vx ( 0 2)
Abb. 4.6.3.13
Seite 339
24.575
Maßzahl des Volumens
Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.11: Bestimmen Sie das Volumen des Drehhyperboloids.
2
x
2
2
a
2
x =
y
implizite Gleichung der Hyperbel
=1
2
b
2
a
2
2
2
b y
umgeformte Gleichung der Hyperbel
b
2
differentielles Volumenelement
dV = x S dy
Abb. 4.6.3.14
´ µ Vy = 2 S µ µ ¶
c
2
2
2 3 b c 2 2 2 b y dy o V y = S a c 2 2 3
a
b
2
b
0
Beispiel 4.6.3.12: Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche unter dem ersten spitzen Zykloidenbogens um die x-Achse gedreht wird. Bereichsvariable
t 0 0.01 2 S x ( t ) t sin ( t)
Parametergleichungen
y ( t ) 1 cos ( t) 2 2S y( t)
1
0
Abb. 4.6.3.15
0
1
2
3
4
5
6
x( t)
´ V=Sµ µ ¶
2S 2 d
y( t)
dt
x ( t ) dt o V = 5 S
2
Maßzahl des Volumens
0
Seite 340
7
Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.13: Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Kurve y = x sin(x) 2 im Bereich - 2 S und 2 S um die x-Achse rotiert. 2
Funktion
a 2 S
b 2 S
obere und untere Grenze
n 60
m 35
i 0 n
i
Mj
f ( x) x sin ( x)
b a
ri a
n
Xi j ri
Anzahl der Schritte und Bereichsvariable
j 0 m
2 S j
Bereichsvariable
m
Yi j f ri cos M j
Matrizen der X, Y und Z Werte
Zi j f ri sin M j 5
a
f ri
8
b 6
4
2
0
2
4
6
8
Abb. 4.6.3.16
5 ri
Abb. 4.6.3.17
( X Y Z)
´ V=Sµ ¶
2S
2S
´ V Sµ ¶
2S
2
4
§ ©
3
x sin ( x) dx o V = S ¨ 2 S
2
15 16
S
· ¹
4
x sin ( x) dx
§ ©
V
2S
Seite 341
3
V S ¨2 S
185.565
15 16
S
· ¹
V
185.565
Maßzahl des Volumens
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten Der Schwerpunkt S eines Körpers ist der Schnittpunkt aller Achsen, für die das resultierende Drehmoment aller Massenteilchen (in einem homogenen Schwerefeld) null ist, d.h., wir können uns die Masse in diesem Punkt konzentriert denken. Die Achsen heißen Schwereachsen. Für den Schwerpunkt einer Fläche bzw. eines Kurvenstückes denken wir uns die Fläche bzw. das Kurvenstück mit Masse belegt.
Abb. 4.6.4.1
Für das Drehmoment von Masseteilchen gilt: M=
¦ Mi = ¦ §© FGi ri·¹ = ¦ mi g ri = g ¦ mi ri = g Mst i
Mst =
i
i
(4-99)
i
¦ mi ri heißt statisches Moment
(4-100)
i
Einen starren Körper der Masse m können wir uns aus vielen Massenelementen zusammen- gesetzt denken. Betrachten wir von diesem Körper ein bestimmtes Massenelement dm, dann greift an diesem die Gewichtskaft dF G = g dm an. Die Resultierende der Gewichtskräfte aller Massenelemente ist die Gewichtskraft F G = m g des gesamten Körpers. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt S(x s |ys |zs ). Seine Lage errechnet sich aus der Momentengleichung, d.h. die Summe der Momente der Einzelkräfte ist gleich dem Moment der resultierenden Kraft: ´ µ ¶
m
0
r ( m ) g dm = F G r = m g r .
Wenden wir nun die Momentengleichung für die z-Achse, y-Achse und x-Achse an und kürzen wir g aus der Gleichung, so erhalten wir die Schwerpunktskoordinaten: m
´ xs = µ x dm , m ¶0 1
m
´ 1 ys = µ y dm , z s = ¶ m 0 m 1
´ µ ¶
m
z dm
(4-101)
0
Die Masse pro Volumen, pro Fläche bzw. pro Länge hängt über der Dichte U zusammen: m U= m = U V, dm = U dV , (4-102) V m U= m=UA , dm = U dA , (4-103) A m U= m=Us , dm = U ds , (4-104) s Ist ein Körper homogen, d.h. U konstant, so kann in den Gleichungen U gekürzt werden.
Seite 342
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes Die Koordinaten für den Schwerpunkt eines Kurvenstückes zwischen dem Punkt A und B der Kurve erhalten wir aus den oben angeführten Gleichungen: b
b ´ ´ 1 1 2 xs = µ x ds = µ x 1 y' dx = Msty s AB ¶a s AB ¶a s AB Msty ...statisches Moment bezüglich der y-Achse.
1
(4-105)
b
b ´ ´ 1 1 2 ys = µ y ds = µ y 1 y' dx = Mstx s AB ¶a s AB ¶a s AB Mstx ...statisches Moment bezüglich der y-Achse.
1
(4-106)
Beispiel 4.6.4.1: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der Kettenlinie y = cosh(x) zwischen a = 0 und b = 2. a 0
Integrationsgrenzen
b 2 f ( x) cosh ( x)
Kettenline
x a a 0.01 b
Bereichsvariable
´ µ µ µ ¶
b
§d · x 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹
a
xs ( a b)
´ µ µ µ ¶
ys ( a b)
b
a
xs ( a b)
´ µ µ µ ¶
2
b
a
2
§d · f ( x) 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹ ´ µ µ µ ¶
2
§d · 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹
b
a
1.238
ys ( a b)
2
§d · 1 ¨ f ( x) dx © dx ¹
2.157
4 xs( a b ) 3 f( x)
ys( a b)
S
Abb. 4.6.4.2
2
1
0
0.5
1 x
Seite 343
1.5
2
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.2: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten eines Viertelkreisbogens mit Radius r. M1 0 M2
Integrationsgrenzen
S 2
x ( M r) r cos ( M )
Parameterdarstellung des Kreises
y ( M r) r sin ( M ) xM ( M r) yM ( M r)
d dM d dM
x ( M r)
Ableitungen
y ( M r) M ´ 2 µ x ( M r) r dM µ ¶
M1
xs M 1 M 2 r
M2
´ µ µ ¶M
Wegen der Symmetrie ist x s = ys !
xM (M r) 2 yM (M r) 2 dM
1
M
´ 2 µ µ ¶M
xM (M r) 2 yM (M r) 2 dM
annehmen r ! 0 1 o r S vereinfachen 2
Viertelkreis
1
xs M 1 M 2 r
annehmen r ! 0 r o 2 vereinfachen S
r 3 cm
gewählter Kreisradius
M M 1 M 1 0.01 M 2
Bereichsvariable
xs M 1 M 2 r
0.019 m
ys M 1 M 2 r xs M 1 M 2 r
3 xs( a b r) ys( a b r) cm cm
2 y( M r) cm
S
1
0
1
Abb. 4.6.4.3
2
3
x( M r) cm
Seite 344
Schwerpunktskoordinaten
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten ´ Vergleichen wir die statischen Momente Mstx = µ ¶
B
A
´ AMx = 2 S µ ¶
B
A
´ y ds und AMy = 2 S µ ¶
´ y ds und Msty = µ ¶
B
x ds mit der Mantelfläche
A
B
A
x ds des Drehkörpers, der durch Rotation von s AB
entsteht, so erhalten wir die 2. Guldin-Regel: Der Inhalt einer Drehfläche ist gleich dem Produkt aus der Länge sAB des erzeugenden Bogenstücks (das die Drehachse nicht schneiden darf) und dem Weg seines Schwerpunktes bei einer Umdrehung. AMx = 2 S Mstx = 2 S ys s AB
Drehung um die x-Achse
(4-107)
AMy = 2 S Msty = 2 S xs s AB
Drehung um die y-Achse
(4-108)
Beispiel 4.6.4.3: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten eines Viertelkreisbogens mithilfe der Guldin-Regel. 4Sr
AMx ys = = 2 S s AB
2
2
2 S
Sr
vereinfacht auf
AMx r ys = = 2 S 2 S s AB
Es gilt: xs = ys
2
4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche Wir betrachten zuerst den Schwerpunkt eines differentiellen Flächenstücks dA:
Abb. 4.6.4.4
Seite 345
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Die Koordinaten für den Schwerpunkt eines Kurvenstückes zwischen dem Punkt A und B der Kurve erhalten wir hier auch aus den oben angeführten Gleichungen: 1 ´ xs = µ A µ ¶
d
c
1 ´ µ dA = 2 A µ ¶ x
d
c
b
1 ´ 1 x dy = µ x y dx = Msty ¶ 2 A a A x
(4-109)
Msty ...statisches Moment bezüglich der y-Achse. 1 ´ ys = µ A µ ¶
b
a
1 ´ µ dA = 2 A µ ¶ y
b
y 2
y dx =
1 A
1 ´ µ 2 ¶
a
b
2
y dx =
a
1 A
Mstx
(4-110)
Mstx ...statisches Moment bezüglich der y-Achse. Wird eine Figur oben durch eine Kurve y 1 = f1 (x) und unten durch eine Kurve mit y 2 = f2 (x) begrenzt, so gilt wegen der Additivität der Momente: 1 ´ xs = µ A ¶
b
a
1 ´ ys = µ A 2 ¶ 1
(4-111)
§ y 2 y 2 · dx 2 ¹ © 1
(4-112)
x y1 y2 dx
b
a
Beispiel 4.6.4.4: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der oberen Halbkreisfläche mit Radius r. r r
x x
f ( x r)
r x
2
2
r
´ 2 2 µ f ( x r) dx ¶ 2 0 1
ys ( r)
oberer Halbkreis
r
´ 2 µ f ( x r) dx ¶
ys ( r)
annehmen r ! 0 4 r o vereinfachen 3 S
0
r 30 cm
gewählter Radius
x r r 0.001 cm r
Bereichsvariable
Seite 346
xs 0 cm
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten
xs ys ( r)
0 cm 12.732 cm
Abb. 4.6.4.5 Beispiel 4.6.4.5: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der halben Ellipse mit den Halbachsen a und b. a a
b b
x x
2
b
f ( x a b)
2
2
2
a x
oberer Ellipse
a
a
´ 2 2 µ f ( x a b) dx ¶ 2 0 1
ys ( a b)
´ 2 µ ¶
ys ( a b)
a
xs 0
f ( x a b) dx Vergleiche a = b = r !
0
a 3
annehmen a ! 0 b ! 0 4 b o vereinfachen 3 S
gewählte Halbachsen
b 2
Bereichsvariable
x a a 0.01 a
2 xs f( x a b)
xs
ys( a b)
1
ys ( a b)
S
3
2
1
0
0
1
x
Abb. 4.6.4.6
Seite 347
2
3
0.849
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.6: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der von einem Zykloidenbogen und der x-Achse begrenzten Fläche. r r
x x
x ( t r) r ( t sin ( t) )
Parameterdarstellung der Ellipse
y ( t r) r ( 1 cos ( t) ) d
xt ( t r)
dt d
yt ( t r)
dt
´ µ ¶
x ( t r) Ableitungen y ( t r)
0
1 ´ µ 2 ¶
x ( t r) y ( t r) xt ( t r) dt
2S
xs ( r)
´ µ ¶
´ µ ¶
x ( t r) yt ( t r) dt
0
xs ( r)
2
y ( t r) xt ( t r) dt
2S
ys ( r)
2S
0
2S
x ( t r) yt ( t r) dt
0
annehmen r ! 0 o r S vereinfachen
annehmen r ! 0 5 o r vereinfachen 6
ys ( r)
r 3
Radius des Abrollkeises
t 0 0.001 2 S
Bereichsvariable
10 xs( r) y( t r)
5 ys( r)
S 0
2
4
6
8
10
12
14
x( t r)
Abb. 4.6.4.7 xs ( r)
9.425
ys ( r)
2.5
Schwerpunktskoordinaten
Seite 348
16
18
20
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.7: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der Fläche, die durch den Viertelkreis im 1.Quadranten, der Kurve y 1 = r und x = r begrenzt wird. r r
x x
f ( x r)
r x
2
Redefinitionen 2
oberer Halbkreis Gerade
f1 ( r) r r
´ µ x §© r ¶
2·
2
r x
0
xs ( r)
¹ dx
annehmen r ! 0 xs ( r)
r
2 ´ r µ f ( x r) dx ¶
vereinfachen
o .774 r
ys ( r) xs ( r)
gleit 3
0
r 3
gewählter Radius
x 0 0.001 r
Bereichsvariable
4
3 f( x r) f1( r)
S
2
ys( r) x
xs ( r)
2.33
ys ( r)
2.33
1
0
1
2
3
x x xs( r) x
Abb. 4.6.4.8 Beispiel 4.6.4.8: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der Fläche, die durch y = x 2 /2 + 2 und y = x 2 im Bereich a = 0 und dem positiven Schnittpunkt der beiden Kurven eingeschlossen wird. x x 2
f ( x)
x
2
2 2
gegebene Funktionen
f1 ( x) x
Seite 349
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten
x1 f ( x) = f1 ( x) auflösen x o
´ µ µ ¶ xs
x10
0
´ µ ¶
§2 · ¨ © 2 ¹
Schnittpunktberechnung
´ µ 1 µ 2 µ ¶
2
§x · 2 x ¨ 2 x dx ©2 ¹ ys
x10
2 ª§ 2 · « x 2 «¨ 2 2 x ¬© ¹
2
º
»» dx
0
´ µ ¶
f (x) f1 (x) dx
0
x10
¼
x10
0
f (x) f1 (x) dx
3 xs vereinfachen o 4
8 ys vereinfachen o 5
x 0 0.001 x1 0
Bereichsvariable
5 x10 f x10
4
f( x)
3
f1( x) ys
2
S 1
0
0.5
1
1.5
x x xs
Abb. 4.6.4.9
Seite 350
2
xs
0.75
ys
1.6
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten
1 ´ Vergleichen wir auch hier die statischen Momente Mstx = µ 2 ¶
b
2
y dx und
a
´ Msty = µ ¶
b
x y dx =
a
1 ´ µ 2 ¶
d
2
x dy mit dem Rauminhalt eines Drehkörpers
c
´ Vx = S µ ¶
b
a
´ y dx und Vy = S µ ¶ 2
b
2
x dy , so erhalten wir die 1. Guldin-Regel:
a
Der Rauminhalt V eines Drehkörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt A der erzeugenden Fläche (die die Drehachse nicht schneiden darf) und dem Weg seines Schwerpunktes S(x s |ys ) bei einer Umdrehung. Vx = 2 S Mstx = 2 S ys A
Drehung um die x-Achse
(4-113)
Vy = 2 S Msty = 2 S xs A
Drehung um die y-Achse
(4-114)
Beispiel 4.6.4.9: Bestimmen Sie die Schwerpunkt einer Viertelkreisfläche mithilfe der 1. Guldin-Regel. 4Sr
Vx ys = = 2 S A
3
32
vereinfacht auf
2
2 S
r S
Vx 4 r ys = = 3 S 2 S A
xs = ys
4
Beispiel 4.6.4.10: Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche eines Torus (Kreisringkörpers) mithilfe der 1. und 2. Guldin-Regel.
1. Guldin-Regel: Vx = 2 S ys A 2
2
2
Vx = 2 S R r S = 2 S r R 2. Guldin-Regel: AMx = 2 S ys s AB 2
AMx = 2 S R 2 r S S = 4 S r R
Abb. 4.6.4.10
Seite 351
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche Für die Schwerpunktbestimmung von Drehflächen (und Drehkörpern) betrachten wir nicht axiale (auf eine Achse bezogene), sondern planare statische Momente (auf eine Ebene bezogene).
Abb. 4.6.4.11
Der Schwerpunkt liegt auf der Drehachse x: s b B ´ b 1 ´ 1 ´ µ xs = x dA = µ x 2 S y ds = µ 2 S x y AM µ AM ¶A AM ¶a ¶s a
1
2
1 y' dx =
1 AM
Myz (4-115)
Mxy = 0 , Mxz = 0 . Das statische Moment bezüglich der Schwerachse ist immer null. Beispiel 4.6.4.11: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer Halbkugelschale.
Abb. 4.6.4.12
Seite 352
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Myz kann auf drei verschiedene Arten berechnet werden: ´ Myz = µ ¶
B
A
´ x dA = µ ¶
R
x 2 S r dx
´ Myz = µ ¶
vereinfacht auf
0
B
3
x dA = r S
A
S
´ Myz = 2 S µ ¶
B
A
´2 µ x y ds = 2 S µ r cos ( M ) r sin ( M ) r dM ¶ 0
vereinfacht auf ´ Myz = 2 S µ ¶
B
A
§ 1 r3· ©2 ¹
x y ds = 2 S ¨
r
B
´ µ x y ds = 2 S x µ A µ ¶
´ Myz = 2 S µ ¶
2
r
2
r x
2
2
dx
r x
0
vereinfacht auf ´ Myz = 2 S µ ¶
B
3
x y dx = S r
A
Myz
3
Sr
xs = = 2 AM 4Sr
vereinfacht auf
Myz 1 xs = = r 2 AM
S(r/2|0|0)
2
4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers Für die Schwerpunktbestimmung von Drehkörpern betrachten wir auch hier nicht axiale (auf eine Achse bezogene), sondern planare statische Momente (auf eine Ebene bezogene).
Abb. 4.6.4.13
Seite 353
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Der Schwerpunkt liegt auf der Drehachse x: Ab b 1 ´ 1 ´ 1 2 µ xs = x dV = µ x y S dx = Myz µ V ¶A V ¶a V
(4-116)
a
Mxy = 0 , Mxz = 0 . Das statische Moment bezüglich der Schwerachse ist immer null. Beispiel 4.6.4.12: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Drehkegelkörpers. y x
=
r
Strahlensatz
h r
f ( x)
h
Funktion, die den Drehkörper erzeugt
x
´ Sµ ¶ xs ( h)
h
2
x f ( x) dx
0
´ Sµ ¶
h
2
f ( x) dx
0
Abb. 4.6.4.14 1 xs ( h) xs ( h) h 2
1 xs ( h) o h 4
3 xs ( h) o h 4
von der Spitze gemessen
von der Grundfläche gemessen
h 2 m xs ( h)
0.5 m
Beispiel 4.6.4.13: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Halbkugelkörpers. 2
2
2
oberer Halbkreis
y =r x f ( x)
2
2
r x r
0
r
´ 2 S µ f ( x) dx ¶ 0
Abb. 4.6.4.15
3 xs ( r) o r 8
Seite 354
Redefinition
Funktion, die den Drehkörper erzeugt
´ 2 S µ x f ( x) dx ¶ xs ( r)
r r
Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.14: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines zylinderisch durchbohrten Halbkugelkörpers. 2
2
2
y =R x
oberer Halbkreis
r r
Redefinition 2
2
´ R r µ 2 2 2 Sµ x R x r dx ¶
xs ( r R)
0
2
´ R r µ Sµ ¶
2
Momente sind additiv!
R2 x2 r2 dx
0
2
Abb. 4.6.4.16
2
§ d D · vereinfachen o 3 D d xs ¨ 1 16 ©2 2¹
D2 d2
Beispiel 4.6.4.15:
2
Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Drehparaboloids. Redefinition
h h 2
y= a x
1 ´ µ ys = V µ ¶
2
x =
y
Funktionsgleichung
a
´ y dV = S µ ¶
h
2
y x dy
0
Abb. 4.6.4.17
S ´ µ a ¶ ys ( h)
h
2
y dy 2 ys ( h) o h 3
0
´ Sµ µ ¶
h
y a
Schwerpunktskoordinate
dy
0
2 ys ( 1 m) o m 3
Schwerpunktskoordinate für h = 1 m
Seite 355
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment Für die kinetische Energie eines Körpers der Masse m und der Geschwindigkeit v gilt: 2
Ek =
mv
(4-117) 2 Führt dieser Körper dabei eine Drehbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit Z aus, so gilt wegen v = r Z: 2
ER =
mr Z
2
2
=
JZ
2
2
2
mit J = m r
(4-118)
J heißt dynamisches Trägheitsmoment oder Massenträgheitsmoment. Im Gegensatz zum statischen Moment stehen beim Trägheitsmoment die Abstände zum Bezugspol bzw. von der Bezugsachse im Quadrat (Moment zweiten Grades). Das Massenträgheitsmoment hat für die Drehbewegung die gleiche Bedeutung wie die Masse für die geradlinige Bewegung, entsprechend den dynamischen Grundgesetzen:
F= m
M=J
d dt d dt
2
v ( t) = m
d
dt
2
s ( t ) Translation
(4-119)
M ( t) Rotation
(4-120)
2
Z ( t) = J
d
dt
2
n
2
Da für einen Massenpunkt J = m r und für n Massenpunkte J =
¦
i
§ m r 2· gilt, errechnet © i i ¹
1
sich das Massenträgheitsmoment bei kontinuierlicher Massenverteilung über alle differentiellen Masseteilchen integriert durch: ´ µ J=µ ¶
2
r ( m ) dm
(4-121)
Ist der Körper homogen, dann gilt mit dm = U dV: ´ µ J=Uµ ¶
2
r ( V ) dV
(4-122)
1 2 2 Aus dER = Z r dm folgt auch: 2
ER =
´ 2 µ Z µ 2 ¶ 1
2
r dm =
1 2
2
Z J
Seite 356
(4-123)
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.1: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Zylinders, der um die x-Achse rotiert.
Volumselement
dV = 2 S y h dy ´ µ Jx = U µ ¶
r
´ 3 y dV = 2 S h U µ y dy ¶ 2
0
r
´ 3 J x ( r h U ) 2 S h U µ y dy ¶ 0
1
Jx( r h U ) o
2
4
S h U r
Abb. 4.6.5.1 2
m = r S h U
m
h=
2
r SU m 1 2 J = J x ( r h U ) ersetzen h = o J = mr 2 2 r SU Beispiel 4.6.5.2: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Hohlzylinders, der um die x-Achse rotiert. dV = h dA = h 2 S y dy ´ µ Jx = U µ ¶
Volumselement
r ´1 3 µ y dV = 2 S h U y dy µ ¶ 2
r2
r ´1 3 µ J x r h U r1 r2 2 S h U y dy µ ¶
r2
§ 1 r 4 1 r 4· 4 2 ¹ ©4 1
J x r h U r1 r2 o 2 S h U ¨ Abb. 4.6.5.2 2
2·
m = m1 m2 = S h U § r1 r2 ©
¹
ersetzen h =
J = J x r h U r1 r2
h=
m 2
2·
S U § r1 r2 ©
m 2
2·
S U § r1 r2 ©
¹o J =
vereinfachen
Seite 357
1 2
2
2·
§ r2 r1 ©
¹m
¹
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Mit den oben angeführten Beispielen lässt sich nun eine allgemeine Beziehung zur Berechnung des Massenträgheitsmoments eines Drehkörpers bezüglich seiner Symmetrieachse (Schwerachse) aufstellen:
Differentieller Vollzylinder dV x bzw. dV y mit dem Trägheitsmoment dJ x und dJy : dJx =
dJy =
1
4
S U y dx
2 1
4
S U x dy
2
Abb. 4.6.5.3 Mit U = m/V und den differentiellen Trägheitsmomenten erhalten wir dann: b
b
´ 4 m ´ 4 1 J x = S U µ y dx = S µ y dx ¶ 2 Vx ¶a 2 a
(4-124)
y ´ b 4 m 1 µ Jy = S U x dy = S µ 2 Vy 2 ¶y a
(4-125)
1
1
´ µ ¶
b
4
x y' dx (dy = y' dx)
a
Beispiel 4.6.5.3: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Drehkegels, der um die x-Achse rotiert. y=
r h
Funktionsgleichung
x
Jx( r h U )
Jx( r h U ) o
h
4
´ 4 µ x dx SU 4 ¶ 2 0 h 1
r
1
4
10
S h U r 2
Abb. 4.6.5.4
m = U Vx = U
3 m 3 2 J = J x ( r h U ) ersetzen h = oJ= mr 2 10 r SU
Seite 358
r Sh 3
h=
3 m 2
r SU
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.4: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Kreisringkörpers (Torus), der um die x-Achse rotiert.
2
2
2
Kreisgleichung des oberen Kreises
x ( y R) = r
2
2
oberer Halbkreis
2
2
unterer Halbkreis
yo ( x R r) R
r x
yu ( x R r) R
r x
Redefinition
Jx Jx
Abb. 4.6.5.5 ´ Smµ ¶ Jx =
r
0
´ 2 S µ ¶
r
0
§ y ( x R r) 4 y ( x R r) 4· dx u © o ¹ § y ( x R r) 2 y ( x R r) 2· dx u © o ¹
1 2 2 vereinfachen o J x = m 4 R 3 r 4
Ist die Drehachse keine Schwerachse, so lässt sich mittels Satz von Steiner das Massenträgheitsmoment berechnen: Das Massenträgheitsmoment J g eines Körpers bezüglich irgendeiner Achse g ist gleich der Summe aus dem Trägheitsmoment J s bezüglich der zu g parallelen Schwerachse s und dem Produkt Masse mal dem Quadrat des Abstandes a der beiden Achsen. 2
Jg = Js m a
(4-126)
Beweis: ´ J1 = µ µ ¶
x1 dm
´ J2 = µ µ ¶
x1 a 2 dm = µµ
2
´ ¶
´ 2 x1 dm 2 a µ µ ¶
´ 2 µ x1 dm a µ ¶
Statisches Moment M 1 = 0 2
J2 = J1 a m
bzgl. der Schwerachse w.z.b.w.
Abb. 4.6.5.6
Seite 359
1 dm
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.5: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment einer Kugel, die sich um die Achse g im Abstand a = r/2 dreht.
2
Satz von Steiner
Jg = Js m a
Jg =
2 5
2
mr m
2
r
13 2 o Jg = mr 20 4
Abb. 4.6.5.7 Beispiel 4.6.5.6: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines stabförmigen Körpers, der sich um die Achse s und g dreht. ´ µ Js = U µ ¶
2
x dV l
´2 µ 2 J s = 2 U µ x A dx ¶ 0
l
´2 µ 2 J s1 ( A l U ) 2 U µ x A dx ¶ 0
Abb. 4.6.5.8
m= UAl
A=
m lU
m 1 2 J s = J s1 ( A l U ) ersetzen A = o Js = l m lU 12 2
Satz von Steiner
Jg = Js m a Jg =
1 12
2
l m m
l
2
1 2 o Jg = l m 3 4
Seite 360
J s1 ( A l U ) o
1 12
3
Ul A
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment Die Flächenträgheitsmomente I (auch als Flächenmomente bezeichnet) einer Querschnittsfläche A und das von diesem hergeleitete Widerstandsmoment W und der Trägheitsradius i sind bei Untersuchungen der Festigkeitslehre erforderlich (bei der Biegebeanspruchung gerader Balken kommt es nicht nur auf die Querschnittsgröße, sondern auch auf die Gestalt des Querschnittes an). Flächenträgheitsmomente sind auch Momente zweiten Grades. Sie sind eigentlich geometrische Größen. Mathematisch gelangen wir jedoch von einem Massenträgheitsmoment in ähnlicher Weise zu einem (axialen) Flächenträgheitsmoment wie vom Massenpunkt zum Flächenschwerpunkt. Bei einer in der x-y-Ebene liegenden Fläche A sprechen wir von einem axialen oder äquatorialen Flächenträgheitsmoment, wenn die Bezugsachse in der Ebene der Fläche liegt. Analog zu den Massenträgheitsmomenten definieren wir die Flächenträgheitsmomente: ´ µ I=µ ¶
2
r ( A ) dA
(4-127)
Abb. 4.6.5.9
´ µ Ix = µ ¶
y dA heißt axiales Flächenträgheitsmoment bez. der x-Achse
´ µ Iy = µ ¶
x dA heißt axiales Flächenträgheitsmoment bez. der y-Achse
2
2
(4-128)
(4-129)
Die Summe der beiden Flächenträgheitsmomenten ´ µ Ip = µ ¶
´ µ 2 r dA = µ ¶
´
y2 x2 dA = µµ ¶
´ µ 2 y dA µ ¶
2
x dA = Ix Iy
(4-130)
heißt polares Trägheitsmoment. Die Bezugsachse, hier die z-Achse, steht senkrecht zur Flächenebene. Ähnlich wie beim Massenträgheitsmoment lässt sich ein analoger Zusammenhang zwischen Flächenträgheitsmoment bezüglich einer Schwerachse und einer dazu parallelen Achse angeben. Satz von Steiner: Das Flächenträgheitsmoment Ig einer Fläche bezüglich einer Achse g ist gleich der Summe aus dem Flächenträgheitsmoment Is bezüglich der zu g parallelen Schwerachse s und dem Produkt Flächeninhalt mal dem Quadrat des Abstandes a der beiden Achsen: 2
Ig = Is A a
(4-131)
Seite 361
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.7: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse sowie der Schwerachsen und das Polare Flächenträgheitsmoment einer Rechteckfläche.
´ Ix = µ ¶
h
1 3 2 y b dy o Ix = h b 3 0
´ Iy = µ ¶
b
1 3 2 x h dx o Iy = b h 3 0
Abb. 4.6.5.10 1 3 1 3 1 2 2 Ip = h b b h faktor o Ip = b h h b 3 3 3
1 1 2 2 2 Ip = b h h b = A d 3 3
Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwerachsen (Satz von Steiner): 2
Ix = Isx A a
2
2
Isx = Ix A a = 2
3
b h 3
2
b h
3
b h
h
4
vereinfacht auf
1 2 3 Isx = Ix A a = h b 12
vereinfacht auf
1 2 3 Isy = Iy A a = b h 12
2
Iy = Isy A a
Isy = Iy A a =
IpSp = Isx Isy
1 1 1 3 3 2 2 IppS = h b b h faktor o IppS = b h h b 12 12 12
3
b h
b
4
1 2 IpSp = Ad 12
Beispiel 4.6.5.8: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse sowie der Schwerachse s x und einer parallelen Achse zur Schwerachse im Abstand a einer Dreiecksfläche. g h
=
l
hy
dA = l dy =
g h
l=
g h
( h y)
( h y) dy
h
g ´ 2 1 3 Ix = µ y ( h y) dy o Ix = g h h ¶0 12 2
Abb. 4.6.5.11
Isx = Ix A a =
Seite 362
3
g h 12
g h 2
§ h· © 3¹
¨
2
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten 3
Isx =
g h 12
g h
2
2
§ h · o I = 1 g h3 sx 36 © 3¹
¨
2
§ 2 h · o I = 1 g h3 Ia = g h ¨ a 4 36 2 © 3 ¹ 1
2
Ia = Isx A a
3
g h
Beispiel 4.6.5.9: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse und das polare Flächenträgheitsmoment einer Kreisringfläche und einer Kreisfläche mit Radius r.
dA = 2 S r dr r ´1 2 1 1 4 4 µ Ip = r 2 S r dr o Ip = r1 S r2 S µ 2 2 ¶r 2
Abb. 4.6.5.12 Kreisring: r ´1 2 d D 1 1 4 4 µ Ip = r 2 S r dr ersetzen r2 = r1 = o Ip = D S d S µ 2 2 32 32 ¶r 2
Kreis (r1 =r D/2, r1 = 0): r ´1 2 µ Ip = r 2 S r dr µ ¶ r2
D ersetzen r2 = 0 r1 = 2 1 4 o Ip = D S 32 faktor
Wegen der Symmetrie des Kreises ergibt sich: Ip 1 4 Ix = Iy = = D S 2 64
Seite 363
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Axiales Flächenträgheitsmoment einer Fläche zwischen einer Funktion y = f(x) und der x-Achse: Für die Rechtecksfläche gilt: dIx =
dIy =
1 3 1 3
3
y dx =
3
x dy =
1
2
y y dx =
3 1
2
x x dy =
3
1 3 1 3
2
y dA
2
x dA
Abb. 4.6.5.13 1 ´ Ix = µ 3 ¶
b
y2 y ´ 2 2 1 ´ 1 3 µ µ Iy = x dy = x x dy = 3 µ 3 µ ¶y ¶y
3
y dx
a
1
1
´ µ ¶
b
2
x y dx
(4-132)
a
Axiales Flächenträgheitsmoment bezüglich einer beliebigen Schwerachse:
v = y cos(D) - x sin(D)
´ µ Iu = µ ¶
2
v dA
(4-133)
Abb. 4.6.5.14 ´ µ Iu = µ ¶
sin (D )2 y2 cos (D )2 2 x y sin (D) cos(D) x2 sin (D)2 dA
´ 2 µ Iu = cos ( D ) µ ¶
2
y dA sin ( 2 D )
2
´ µ µ ¶
´ 2 µ x y dA sin ( D ) µ ¶
Iu = Ix cos ( D ) Ixy sin ( 2 D ) Iy sin ( D ) ´ µ Ixy = µ ¶
2
x y dA
2
x dA
(4-134)
(4-135)
(4-136)
(4-137)
Ixy heißt Deviationsmoment (Zentrifugal- oder Fliehmoment) und bezieht sich auf zwei zueinander senkrecht stehende Achsen. Ist die x- oder y-Achse eine Symmetrieachse, so ist Ixy = 0 und es gilt: 2
Iu = Ix cos ( D ) Iy sin ( D )
2
(4-138)
Seite 364
Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.10: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse und die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der Schwerachsen eines Parabelsegments (y 2 = 4 x) im ersten Quadranten im Bereich a = 0 und b = 4. a 0
Integrationsbereich
b 4
x a a 0.01 b
Bereichsvariable
f ( x)
4 x
Funktion
f ( x) dx
A
10.667
Ix
34.133
xs
2.4
´ A µ ¶
b
a b
Ix
1 ´ µ 3 ¶
xs
1 ´ µ A ¶
3
( f ( x) ) dx
a
´ Iy µ ¶
a
0
2 x
1 ´ µ 2 ¶
b
4
2
f ( x) dx
a
Iy = Isy A xs
ys
0
A
Ix = Isx A ys
xs 2
1
ys
4
f( x)
2
x f ( x) dx
a
b
x f ( x) dx
b
Isx
10.133
Isy
11.703
2
Iy
73.143
ys
1.5
Isx Ix A ys
2
Isy Iy A xs
2 2
Abb. 4.6.5.15 Beispiel 4.6.5.11: Berechnen Sie das axiale Flächenträgheitsmoment eines Quadrates bezüglich der Diagonale. 4
a Ix = Iy = 12
Vergleichen Sie das Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks!
Wegen der Symmetrie gilt: 2
§ S · I sin § S · Iu = Ix cos ¨ ¨ y 4 4 © ¹
4
Iu ( a)
Abb. 4.6.5.16
a
12
2
© ¹
2
4
§ S · a sin § S · ¨ 12 ©4¹ ©4¹
cos ¨
a a
Redefinition
1 4 Iu ( a) o a 12
Ix = Iy = Iu
Seite 365
2
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien 4.6.6 Berechnung von Biegelinien Für die Berechnung von Trägern betrachten wir zuerst eine dem Träger belastende Streckenlast q(x) in kN/m. Die Gesamtlast ergibt sich als Inhalt der Fläche unter dem Graphen q(x): Die Querkraft Q(x) im Abstand x vom Festlager F A berechnet sich aus allen senkrechten Kräften von A bis zur betrachteten Stelle x : x
´ Q ( x) = FA µ q ( x) dx ¶
(4-139)
0
Abb. 4.6.6.1 Mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung folgt: d
Q' ( x) =
dx
Q ( x) = q ( x)
(4-140)
Die Summe der Momente aller links von x angreifenden Kräfte heißt Biegemoment M b(x) an der Stelle x. Es gilt folgender Zusammenhang mit der Querkraft: M'b ( x) =
d dx
Mb ( x) = Q ( x)
(4-141)
Die Linie, welche die im unbelasteten Zustand waagrecht liegenden Trägerachse bei der Biegung annimmt, heißt Biegelinie y(x). Für kleine Durchbiegungen kann diese aus der Differentialgleichung 2. Ordnung der Biegelinie hergeleitet werden (siehe dazu näheres Band 4): 2
y'' =
d
2
dx
y ( x) =
Mb ( x)
(4-142)
EI
E ist der Elastizitätsmodul des Trägermaterials und I das Flächenträgheitsmoment bezogen auf die y-Achse. Es ist üblich, positive Werte von M b(x) und y(x) nach unten aufzutragen (auf der negativen y-Achse). Damit gelten mit den oben angeführten Beziehungen folgende Differentialgleichungen: E I y'''' = q ( x) ; E I y''' = Q ( x) ; E I y'' = Mb ( x)
(4-143)
Bemerkung: Treten Einzelkräfte auf, so hat der Graph der Querkraft Q(x) Sprungstellen und der Graph des Biegemoments M b(x) Knicke. Trotzdem bleibt die Biegelinie y(x) stetig und auch differenzierbar.
Seite 366
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Beispiel 4.6.6.1: Ein zweifach gestützter Träger der Länge L = 4 m besitzt eine konstante Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m und eine Biegesteifigkeit E . I = 7.106 Nm2 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b (x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Mb (0) = M b (L) = 0 und y(0) = y(L) = 0.
Abb. 4.6.6.2
Q' ( x) = q ( x) = q0
Streckenlast
´ Q ( x) = µ µ ¶
Querkraft
q0 dx C1 o Q ( x) = q0 x C1
Aus M'b ( x) = Q ( x) = q0 x C1 folgt: ´ Mb ( x) = µ µ ¶
1 2 q0 x C1 dx C2 o Mb ( x) = q0 x C1 x C2 2
Die Konstanten C1 und C2 bestimmen wir aus den Randbedingungen: Mb ( 0) = C2 = 0 Mb ( L) =
1
q0 C1 = L 2
2
q0 L C1 L = 0 2
Damit lautet die Querkraft und der Biegemomentenverlauf: q0 §L · Q ( x) = q0 x L = q0 ¨ x 2 ©2 ¹ Mb ( x) =
1 2
2
q0 x
q0 2
L x=
q0 2
2
L x x
Aus der Differentialgleichung der Biegelinie folgt durch zweimaliges integrieren von y:
y'' ( x) =
y' =
Mb ( x) EI
q0
´ µ µ 2 E I ¶
L x x2 dx C3 o y' = 1 2
q0
§ 1 L x2 1 x3· C 3 3 EI ©2 ¹ ¨
Seite 367
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien ´ µ y=µ µ ¶
y=
1 2
1
2
q0
§ 1 L x2 1 x3· C dx C o y = 1 q0 § 1 L x3 1 x4· C x C ¨ 3 4 3 4 3 2 EI ©6 12 EI ©2 ¹ ¹
q0
¨
§ 1 L x3 1 x4· C x C 3 4 12 EI ©6 ¹ ¨
Die Konstanten C3 und C4 bestimmen wir aus den Randbedingungen: y ( 0) = C4 = 0 1
y ( L) = 1 2
2
q0
q0
§ 1 L L3 1 L4· C L = 0 3 12 EI ©6 ¹ ¨
§ 1 L L3 1 L4· C L = 0 3 12 EI ©6 ¹
y ( x) =
¨
q0
3
3
4
L x 2 L x x
24 E I
hat als Lösung(en)
1 24
q0 EI
3
L
3
kN 10 N kN q0 10 m
Streckenlast
L 4 m
Länge des Trägers 6
B 8 10 N m
2
E * I ... Biegesteifigkeit
§L · Q ( x) q0 ¨ x 2 ©
Mb ( x)
y ( x)
q0 2
2
L x x
q0 24 B
Biegemoment
3
3
4
L x 2 L x x
x0 0 m Q x0
Querkraft
¹
Q xL
Biegelinie
Randpunkte
xL L
20 kN
20 kN
maximale Querkraft Startwert
xsb 150 mm
xb Maximieren Mb xsb
xb
2000 mm
Mb xb
20000 N m
maximales Biegemoment
Startwert
xsy 150 mm
xy Maximieren y xsy
xy
2000 mm
y xy
Seite 368
4.167 mm
maximale Biegung
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien 'x 0.2 mm
Schrittweite
x 0 mm 0 mm 'x L
Bereichsvariable
q0 kN m
Streckenlast
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
L mm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
x mm
Abb. 4.6.6.3 Querkraft
25 Q( x) kN
Q x0
20 L
15
mm
10 5
kN
Q xL
5
kN
10
0
500
1000
1500
2000
15 20 25 x mm
Abb. 4.6.6.4
Abb. 4.6.6.5
Seite 369
2500
3000
3500
4000
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Biegelinie 0
0.6 1.2 1.8 y( x) 2.4 mm 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
xy
L
mm
mm
y xy
mm
x mm
Abb. 4.6.6.6 Beispiel 4.6.6.2: Ein halbseitig eingespannter Träger der Länge L = 3 m wird mit einer Dreieckslast q(x) = (q 0 /L) . x belastet (q 0 = 5.0 kN/m). Der Elastizitätsmodul E beträgt E = 2.1 1011 N/m 2 und das Flächenträgheitsmoment I = 1.688 10 6 mm4 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b (x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Mb (L) = 0, y(0) = y(L) = 0 und y'(0) = 0.
Abb. 4.6.6.7
x x
y y q0
Q' ( x) = q ( x) = ´ µ Q ( x) = µ µ ¶
q0 q0
L L
Q Q
Mb M b
Streckenlast
x
L
Redefinitionen
q0
1 q0 2 x dx C1 o Q ( x) = x C1 L 2 L
Querkraft
1 q0 2 Aus M'b ( x) = Q ( x) = x C1 folgt: 2 L ´ µ Mb ( x) = µ µ ¶
MbC ( x)
1 2
1 6
q0
1 q0 3 2 x C1 dx C2 o Mb ( x) = x C1 x C2 6 L L
q0 L
3
x C1 x C2
Seite 370
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Aus der Differentialgleichung der Biegelinie folgt durch zweimaliges Integrieren y: y'' =
Mb EI
y' =
´ µ EI µ ¶ 1
· 1 § 1 q0 4 1 2 MbC ( x) dx C3 o y' = ¨ x C1 x C2 x C3 E I © 24 L 2 ¹
§ 1 q0 4 1 · 1 2 y'C ( x) ¨ x C1 x C2 x C3 E I © 24 L 2 ¹ 1 § 1 q0 5 1 1 3 2· y'C ( x) dx C4 o y = ¨ x C1 x C2 x C3 x C4 E I © 120 L 6 2 ¹
´ y=µ µ ¶
Damit ist die Funktion der Biegelinie bis auf die Konstanten bestimmt.
§ 1 q0 5 1 1 3 2· x C1 x C2 x C3 x C4 E I © 120 L 6 2 ¹ 1
yC ( x)
¨
Wenn x = 0 ist, so gilt y(0) = 0: ersetzen x = 0 o0 auflösen C4
yC ( x) = 0 C4 = 0
Wenn x = 0 ist, so gilt y'(0) = 0:
§ 1 q0
1 EI
¨
© 24
L
4
x
1
2
·
C1 x C2 x C3 = 0 2 ¹
ersetzen x = 0 o0 auflösen C3
C3 = 0 Wenn x = L ist das Moment M b(L) =0: 1
2
q0 L C1 L C2 = 0 6
Wenn x = L ist, so gilt für die Durchbiegung y(L) = 0 (unter Berücksichtigung C 3 = 0 und C 4 = 0): 1
§ 1 q L4 1 C L3 1 C L2· = 0 1 2 E I © 120 0 6 2 ¹ ¨
Seite 371
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Berechnen von C1 und C 2 : Vorgabe 1
2
q0 L C1 L C2 = 0
6 1
§ 1 q L4 1 C L3 1 C L2· = 0 1 2 E I © 120 0 6 2 ¹ ¨
§¨ 9 q L · 0 40 ¨ ¸ Suchen C1 C2 o ¨ 7 2¸ ¨ 120 q0 L © ¹ Nun können die Funktionen Q(x), M(x) und y(x) angegeben werden. 3
kN 10 N kN q0 5 m
Streckenlast
L 3 m
Länge des Trägers
E 2.1 10
11
N
m
Elastizitätsmodul
2
6
I 1.688 u 10 mm q ( x)
Q ( x)
Mb ( x)
y ( x)
q0 L
Flächenträgheitsmoment Streckenlast
x
1 2
1 6
q0 L
9
2
x
q0
9
3
L
Querkraft
q0 L
40
x
40
q0 L x
7 120
2
Biegemoment
q0 L
ª 1 q0 5 1 § 9 · 3 1 § 7 2· 2º x ¨ q0 L x ¨ q0 L x » E I ¬ 120 L 6 © 40 2 © 120 ¹ ¹ ¼ 1
«
x0 0 m Q x0
4
Randpunkte
xL L
3.375 kN
Q xL
Biegelinie
4.125 kN maximale Querkraft Startwert
xsb 150 mm
xb Maximieren Mb xsb
xb
2012.461 mm
Mb xb
1903.038 N m
maximales Biegemoment
Startwert
xsy 150 mm
xy Maximieren y xsy
xy
1792.613 mm
y xy
Seite 372
3.483 mm
maximale Biegung
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien 'x 0.2 mm
Schrittweite
x 0 mm 0 mm 'x L
Bereichsvariable
Seite 373
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Biegelinie 0.4 0.8 1.2 y( x) 1.6 mm 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
xy
L
mm
mm
y xy
mm
x mm
Abb. 4.6.6.11 Beispiel 4.6.6.3: Auf einen halbseitig eingespannten Träger der Länge L wirken an den Stellen Lk Punktkräfte (Punktlast) F k und unterschiedliche Streckenlasten q(x) , die nicht notwendigerweise konstant sein müssen. Bei der Bestimmung der Biegelinie soll ein von x abhängiges Flächenträgheitsmoment I(x) ausgewählt werden können. Zwei einfache Situationen des einseitig eingespannten Trägers sind nachfolgend für die Fälle einer Punktlast F am Trägerende und einer Gleichlast q(x) = q 0 dargestellt.
Abb. 4.6.6.12 Konstante Streckenlast q0 Dreieckslast q0/L * x Sinusförmige Streckenlast q0*sin(pi*x/L) Trapezlast (q2-q1)/L
Listenfeld zur Auswahl verschiedener Streckenlasten
Streckenlast:
Trägerlänge:
Kräfteanzahl:
3
4
1
Seite 374
Maximalkraft:
2
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien kN q0 Konstante_Streckenlast m q0
3
1 m
kN
q x q0 L q1 q2
L Trägerlänge m
K Kräfteanzahl
Fmax Kraft kN
L
K
Fmax
4m
1
q0 if Streckenlast = 1
Konstante Streckenlast
q0
Dreieckslast
L
x if Streckenlast = 2
§ x · if Streckenlast = 3 q0 sin ¨ S © L¹ q2 q1 L Kraft_Angriffspunkte ( K L)
sinusförmige Steckenlast
Trapezlast
x q1 if Streckenlast = 4 for k 0 K 1 Lk m
k1 K
Kraft Fmax
T
F Kraft Fmax
L
T
F
kN q1 8 m
return F (4 ) m
Angriffspunkte der Kräfte
( 0.001 ) kN
mit dem Zufallsgenerator erzeugte Kraft bzw. Kräfte
kN q2 5 m
for k 0 K 1 Fk m Fmax rnd ( 1)
L
return L L Kraft_Angriffspunkte ( K L)
1 kN
Kräfte der Trapezlast
Funktion der Streckenlast
q ( x) q x q0 L q1 q2
Biegemomentenverlauf und Querkraftverlauf: Wenn ein Träger an der Stelle x freigemacht werden soll, muss zur Erhaltung des Gleichgewichts ein links-/rechtsdrehendes Biegemoment M b (x) und eine nach unten bzw. oben wirkende Querkraft Q(x) im linken bzw. rechten Trägerrest angesetzt werden. Weil im rechten Trägerrest nur Kräfte mit Lk > x (wir verwenden zur Auswahl die Heavisidefunktion )( Lk - x)) bzw. Streckenlasten q(x i) mit xi > x wirksam sind (Integration von x bis L), ergibt sich das Drehmomentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht aus folgenden Gleichungen. Ein positives Mb (x) bedeutet links- bzw. rechtsdrehendes Biegemoment im linken bzw. rechten Trägerrest. Aufgrund dieser Vorzeichenkonvention erhalten wir hier ein negatives Biegemoment: K 1
ª
Mb ( x) «
¦
« ¬k
0
´ ª¬) Lk x Fk Lk x º¼ µ ¶
L
x
º
q xi xi x dxi»
» ¼
xi Integrationsvariable
Ein positives Q(x) bedeutet, dass die Querkraft im linken bzw. rechten Trägerteil nach unten bzw. oben wirkt: K 1
Q ( x)
¦
k
x 0 m
´ ) Lk x Fk µ ¶
0
L 200
L
x
q xi dxi
Bereichsvariable
L
Seite 375
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien
Streckenlast
3 0 kN m
q ( x)
2
kN m
Abb. 4.6.6.13
q ( x) 1
kN m
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x m
Querkraft
8 0 6
kN Q( x) kN
4
Abb. 4.6.6.14
Q( x) kN
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x m
Biegemoment
0 M b ( x) kNm
5
0 kNm
10
Abb. 4.6.6.15
M b ( x) kNm
15
20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x m
Seite 376
3
3.5
4
Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Numerische Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie: 2
d
2
1
y=
E I ( x)
dx
Differentialgleichung der Biegelinie
Mb ( x)
Das axiale Flächenträgheitsmoment I(x) kann von x abhängig angenommen werden, z.B. wenn sich der Trägerquerschnitt ändert. Wir beschränken uns auf konstante Querschnitte und somit auf konstante axiale Flächenträgheitsmomente. Elastizitätsmodul
Flächenmoment Stahl 1
E
2.1 10
N
5
mm
if Elastizitätsmodul = 1
2
1.2 10
mm N
4
2 10
mm
2
I0
10
4
4 10
N
5
Stahl 1
2
if Elastizitätsmodul = 2
2 10
m
4
if Flächenmoment = 1
4 4
m
4
m
if Flächenmoment = 2 4
if Flächenmoment = 3
if Elastizitätsmodul = 3
I ( x) I0
Verlauf des axialen Flächenträgheitsmoments
y ( 0) = 0
Auslenkung an der Einspannstelle x = 0
y' ( 0) = 0
Trägerneigung an der Einspannstelle x = 0
´ y' ( x) µ µ ¶
x
1
E I xi
0m
´ y ( x) µ ¶
y'(0) = 0 ist im Integral bereits berücksichtigt
Mb xi dxi
x
0m
f y ( L) x 0 m
y(0) = 0 ist im Integral bereits berücksichtigt
y' xi dxi f L 20
Durchbiegung
3.354 mm
Bereichsvariable
L
Biegelinie 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y( x) mm
2
f mm
4 x m
Seite 377
Abb. 4.6.6.16
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen 4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen Eine physikalische Größe u = f(x,y,z) (stetig differenzierbare Funktion der Raumkoordinaten) heißt ein skalares Feld. Die Flächen im Raum, auf denen u = konstant ist, heißen Niveauflächen. Zur grafischen Darstellung eines skalaren Feldes werden oft Schnittkurven der Niveauflächen mit einer geeigneten Ebene gezeichnet (z.B. Isobaren oder Isothermen auf einer Wetterkarte; Höhenschnittlinie auf einer Landkarte). Siehe Näheres dazu Band 2 Vektoranalysis. Beispiel: Gravitationskraft eines Massenpunktes oder elektrostatische Anziehungskraft: c
F ( x y z) =
2
=
c 2
2
x y z
r
(c = Jm M bzw. c = k q Q)
2
(4-144)
Potentialfunktion:
u (x y z) =
1 F (x y z)
2
=
2
x y z
2
(4-145)
c
o Ist eine beliebige vektorielle Größe v( r) eine Funktion der Raumkoordinaten (z.B. Gravitationskraft eines Massenpunktes; Stromdichte in einer Strömung; elektrische oder magnetische Feldstärke et.), so sprichen wir von einem vektoriellen Feld. Beispiel: Gravitationskraft eines Massenpunktes oder elektrostatische Anziehungskraft: cx ª « « « 2 2 2 « x y z « §¨ Fx · cy oo o « c F r = ¨ Fy ¸ = r=« ¨ ¸ 3 « 2 2 2 ¨© Fz ¹ r « x y z « cy « « « 2 2 2 ¬ x y z
3
2
3
2
3
2
º » » » » » » o » ; F =F= » » » » » » ¼
c 2 2 2 Fx Fy Fz = 2 r
(4-146)
oo In einem Vektorfeld F r können verschiedene Integraloperationen definiert werden. Wir unterscheiden zwischen Linien (oder Kurven)- Flächen- und Volumsintegralen . Die mechanische Arbeit lässt sich damit als Kurvenintegral entlang einer Kurve C definieren:
W=
´ oo o ´ µ F r dr = µ µ µ ¶ ¶
C Gilt Fx =
w wx
u , Fy =
Fx ( x y z ) dx Fy ( x y z ) dy Fz ( x y z ) dz
(4-147)
C w wy
u , Fz =
w wz
u , so ist das Kurvenintegral unabhängig vom Integrationsweg.
oo u(x,y,z) ist die Potentialfunktion und F r das Potentialfeld.
Seite 378
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Für die Ebene gilt: o § Fx · o § dx · ¨ F= , dr = ¨ , u ( x y). ¨F © dy ¹ © y¹ ´ µ W=µ µ ¶ C
´ µ w w Fx dx Fy dy = µ u dx u dy = wy µ wx ¶ C
´ µ µ ¶
P ( x y) dx Q ( x y) dy
(4-148)
C w
P ( x y) =
w
Q ( x y) . wy wx Diese Bedingung heißt Integrabilitätsbedingung. Die Integrabilitätsbedingung ist eine notwendige und hinreichende Bedingung zur Prüfung eines Feldes auf Potentialeigenschaft. Ist dz = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ein vollständiges Differential, so gilt:
Ist die Kraft F = konstant und wirkt sie entlang des Weges s, so gilt:
W= Fs
(4-149)
Abb. 4.6.7.1
Ist die Kraft F = konstant, und und haben F und s verschiedene Richtungen, so gilt:
W = Fs s = F s cos ( M )
(4-150)
Abb. 4.6.7.2
Ist die Kraft entlang des Weges abgängig von s, so gilt: s ´ 2 µ W= F ( s ) cos ( M ) ds µ ¶
(4-151)
s ´ 2 µ W= F ( s ) ds (für M = 0) µ ¶
(4-152)
s1
s1
Abb. 4.6.7.3
Seite 379
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 4.6.7.1: Innerhalb gewisser Grenzen ist die Kraft, die benötigt wird, um eine Feder zu dehnen, zur Dehnung proportional, wobei die Proportionalitätskonstante die Federkonstante k genannt wird. Um eine gegebene Feder der Normallänge von 25 cm um 0.5 cm zu dehnen, wird eine Kraft von 100 N benötigt. Wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn wir die Feder von 27 cm auf 30 cm dehnen ? Hooksches Gesetz
F ( x) = k x
Die Federkonstante ergibt sich aus: F ( 0.5) cm = k 0.5 cm = 100 N ´ W µ µ ¶
5cm
200
N cm
k = 200
x dx
W
N
Federkonstante
cm
verrichtete Arbeit
21 J
2cm
Beispiel 4.6.7.2: Die Federkonstante der Feder an einem Prellbock beträgt 4 MN/m. Wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn wir die Feder um 0.025 m zusammendrücken ? Hooksches Gesetz
F ( x) = k x 6
Einheitendefinition
MN 10 N MN
k 4 ´ W µ ¶
Federkonstante
m 0.025m
k x dx
W
verrichtete Arbeit
1250 J
0cm
Beispiel 4.6.7.3: Wie in der Mechanik gezeigt wird, ist die partielle Ableitung der Formänderungsarbeit W eines linearen elastischen System nach der Kraft gleich der Durchbiegung (Verschiebung) f des Kraftangriffspunktes in Richtung der Kraft. Damit können Verformungen mithilfe der Formänderungsarbeit berechnet werden. Mit dem Biegemoment Mb , der konstanten Biegesteifigkeit E I und der Trägerlänge L erhalten wir: ´ µ W= 2 E I ¶ 1
L
´ f= W= µ EI µ wF ¶
2
1
w
Mb ( F x) dx
0
L
Mb ( F x)
w wF
Mb ( F x) dx
0
Für einen einseitig eingespannten Träger mit einer Einzelkraft am Trägerende ist M b = F x. Berechnen Sie die Formänderungsarbeit W und die Durchbiegung f. Redefinition
W W L
´ 1 2 2 3 2 µ F x dx o W ( F L) = W ( F L) = L F ¶ 6 E I 2 E I 0 1
w wF
( F x) o x
Ableitung des Biegemoments M b
L
´ 1 3 f= µ F x x dx o f = L F ¶ EI 0 3 E I 1
Formänderungsarbeit
oder:
f=
w wF
Seite 380
W ( F L)
Durchbiegung
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 4.6.7.4: Wie groß ist die aufgewendete Arbeit W, um einen Körper der Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen ? F= m
d dt
2
v ( t) = m
d
dt
2
dynamisches Kraftgesetz
s ( t)
s s v ´ 2 ´ 2 ´ 2 d d µ W= F ds = µ m v ds = µ m s dv = µ µ µ dt dt ¶s 1 ¶s ¶v 1
v ´ 2 µ m v dv µ ¶
1
v ´ 2 1 1 2 2 µ W= m v dv o W = v2 m v1 m µ 2 2 ¶v
v1
Die aufgewendete Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie!
1
Beispiel 4.6.7.5: Welche Arbeit W gegen die Erdanziehungskraft muss aufgebracht werden, um einen Nachrichtensatelliten der Masse m2 = 1400 kg auf eine geostationäre Bahn in der Höhe h = 36 000 km über der Erdoberfläche zu bringen ? Die Gravitationskonstante beträgt J = 6.67 10-11 Nm2 /kg2 , die Erdmasse m 1 = 5.98 1024 kg und der Erdradius rE = 6.37 106 m. Wie groß ist die Arbeit, wenn der Satellit für eine Planetenerkundungsmission das Gravitationsfeld der Erde völlig verlässt ? Stellen Sie die Arbeit (das Gravitationspotentioal) u (R) = - Wv /m1 als Funktion von R vom Erdmittelpunkt grafisch dar. F ( r) = J
m1 m2
Gravitationsgesetz
2
r
r h r h ´E ´E 1 µ µ dr Wp = F ( r) dr = J m1 m2 µ µ 2 ¶r r E µ ¶r
Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten auf die geostationäre Bahn zu bringen.
E
r h
´E Wp rE h J m1 m2 J m1 m2 µ µ µ ¶r
1 2
dr
r
E
§ 1 1 · Wp rE h J m1 m2 o J m1 m2 ¨ © rE h rE ¹
f
´ µ W1 rE J m1 m2 J m1 m2 µ µ ¶r
1 2
r E
dr
Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten aus dem Gravitationsfeld der Erde zu bringen.
m2 W1 rE J m1 m2 o J m1 rE
Seite 381
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen
J 6.67 10
11 N m 2
2
Gravitationskonstante
kg
m1 5.98 10
24
Erdmasse
kg
Satellitenmasse
m2 1400 kg 6
rE 6.37 10 m
Erdradius
h 36000 km
Höhe der geostationären Bahn
6
Einheitendefinition
MJ 10 J
Wp rE h J m1 m2
Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten auf die geostationäre Bahn zu bringen.
74483.428 MJ
m2 W1 rE J m1 m2 J m1 rE
W1 rE J m1 m2
Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten aus dem Gravitationsfeld der Erde zu bringen.
87662.857 MJ
u R J m1 m2
W1 R J m1 m2
Gravitationspotential
m1 2
Bereichsvariable (für den Abstand vom Erdmittelpunkt)
R 1 km 2 km 10 km
Gravitationspotential 0
u R J m1 m2 J kg
2.5 10
11
5 10
11
7.5 10
11
1 10
10
20
40
60
80
100
Abb. 4.6.7.4
R km
Seite 382
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 4.6.7.6: Industrieabgase werden heute häufig mittels elektrostatischer Filter gereinigt. Das verunreinigte Gas tritt in einen Behälter, in dem ein elektrostatisches Feld mit hoher Spannung aufgebaut wird. Die Staubteilchen werden durch die Spitzenwirkung und Influenz entsprechend hoch aufgeladen und lagern sich an der Behälterwand ab. Der Abstand von der zylindrischen Behälterwand zu einem in der Mitte angebrachten Metallrohr beträgt r = 2 m und die Ladung am Metallrohr Q 2 = 1.3 10-6 C. Das Metallrohr hat einen Durchmesser von 20 cm. Die Dielektrizitätskonstante beträgt H0 = 8.8542 10-12 As/(V m). Berechnen Sie mithilfe des Coulombschen Gesetzes das Potential u(r) = W El/Q1 der Behälterwand gegenüber dem r entfernten Metallrohr. Wie würde das Potential lauten, wenn das Staubteilchen in großer Entfernung (gegen die Größe des Staubteilchens kann die Wegstrecke aus dem Rauchgasrohr als unendlich angenommen werden) von der Behälterwand aufgeladen wird ? F ( r) =
1 4 S H0
Q1 Q2
Coulombsches Gesetz
2
r
r Q1 Q2 ´2 µ WEl = F ( r) dr = µ 4 S H0 ¶r 1
r
´2 1 µ dr µ 2 µ r ¶r
Die verrichtete elektrische Arbeit zwischen Metallrohr und Behälterwand.
1
WEl r1 r2 H 0 Q1 Q2
r
´2 1 µ dr 2 4 S H0 µ r µ ¶r Q1 Q2
Die verrichtete elektrische Arbeit als Funktion definiert.
1
Q2 1 § 1 1 · WEl r1 r2 H 0 Q1 Q2 o Q1 ¨ 4 S H0 © r2 r1 ¹
Q1 Q2
f
´ µ 4 S H0 µ µ ¶r
WEl1 r1 H 0 Q1 Q2
1 2
Die verrichtete Arbeit bei einem Staubteilchen, das aus dem Rauchgasrohr tritt.
dr
r 1
Q2 1 WEl1 r1 H 0 Q1 Q2 o Q1 4 S H 0 r1
H 0 8.8542 10 Q2 1.3 10
6
12
symbolische Auswertung
symbolische Auswertung
As
elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante)
Vm
Ladung des Metallrohres
C
r 2 m
Entfernung der Behälterwand zum Metallrohr
r1 0.2 m
Radius des Metallrohres
r2 r
Entfernung der Behälterwand zum Metallrohr
WEl r1 r2 H 0 Q1 Q2
1 4
Q1
Q2
§ 1 1 · S H0 © r2 r1 ¹ ¨
Die verrichtete elektrische Arbeit zwischen Metallrohr und Behälterwand.
Seite 383
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen
u r1 r2 H 0 Q2
u r1 r2 H 0 Q2
1
Q2
§ 1 1 · 4 S H0 © r2 r1 ¹
Das elektrisches Potential (Potentialdifferenz Spannung) der Behälterwand gegenüber dem r entfernten Metallrohr.
¨
52.577 kV
Q2 WEl1 r1 H 0 Q1 Q2 Q1 4 S H 0 r1
Die verrichtete Arbeit bei einem Staubteilchen, das aus dem Rauchgasrohr tritt.
Q2
u1 r1 H 0 Q2
Das elektrisches Potential bei einem Staubteilchen, das von der Behälterwand aufgeladen wird.
4 S H 0 r1
u1 r2 H 0 Q2
Das elektrisches Potential bei einem Staubteilchen, das von der Behälterwand im Abstand r 2 aufgeladen
5.842 kV
wird.
Beispiel 4.6.7.7:
Berechnen Sie die Arbeit W eines idealen Gases bei isothermer (T = konstant) Expansion (Expansionsarbeit) von Volumen V 1 auf V2 . Es gilt das Boyle-Mariotte-Gesetz p V = konstant. Die Gasarbeit W ist die Fläche gegen die Abszisse, die technische Arbeit W t (entspricht besser der Arbeitsweise der technischen Maschine) die Fläche gegen die Ordinate. k k oder
p V = k dW = p dV
p1 V1 = p2 V2
Boyle-Mariotte-Gesetz
dW t = V dp
differentielle Arbeit p p ´ 2 ´ 2 1 µ Wt = V dp = k µ dp µ p µ ¶p ¶p 1
V V ´ 2 ´ 2 1 µ W= p dV = k µ dV µ V µ ¶V ¶V 1
1
1
V
´ 2 1 W=kµ dV ersetzen k = p1 V1 o W = p1 V1 ln V2 ln V1 V µ ¶V
1
p1
´ Wt = k µ µ ¶p
Für diesen Fall gilt: W = Wt
1 p
dp ersetzen k = p1 V1 o Wt = p1 V1 ln p1 ln p2
2
Beispiel 4.6.7.8: Wird bei einem abgeschlossenen System keine Wärme zugeführt oder entzogen, so heißen die Zustandsänderungen eines idealen Gases adiabatisch (z.B. näherungsweise bei sehr rascher Kompression). Bestimmen Sie die Arbeit W und W t der adiabatischen Expansion (Expansionsarbeit) eines idealen Gases, wenn p1 = 12.07 bar, p2 = 2.06 bar, V 1 = 9.4 cm3 und der Adiabatenexponent N = 1.3 ist. Es gelten die Adiabatengleichungen p V N = k bzw. p1 V1 N = p2 V2 N. N
p V = k
oder
N
N
p1 V1 = p2 V2
Adiabatengleichungen
Seite 384
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen
V2 1 N ´ µ dV vereinfachen o W = p1 W = p1 V1 µ N
N § 1 V · V 2 1 © V1 ¹
V2 ¨
1 N
V
µ ¶V
1
1
p ´ 1 1
N
N Wt = § p1 V1 · µ © ¹ µ
µ µ ¶p
1
p
1
1
1N
N p1 p1 p2 N N· § dp vereinfachen o Wt = V1 © ¹ N 1 N
N
N
2
Adiabatenexponent
N 1.3 N
5
p1 12.07 10
m
Anfangsdruck
2
N
5
p2 2.06 10
m
Enddruck
2
3
Anfangsvolumen
V1 9.4 cm
1
§ p1 · V2 V1 ¨ ¨© p2 ¹
N
V2
§ 1 V · 2 © V1 ¹
V1 W
1 N 1
1 N
N Wt § V1 · N © ¹
p1
3
12.67 J
Expansionsarbeit
1N
p2
N
p1
1 N
Wt N W
§ V1 · p ( V) p1 ¨ ©V¹
N
Endvolumen
N
V2 ¨ W p1
3
36.625 cm
Wt
Wt
16.471 J
technische Expansionsarbeit
Vergleich der beiden Arbeiten
16.471 J
N
Funktionsgleichung
3
3
Bereichsvariable
V 5 cm 5.01 cm 50 cm
Seite 385
Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen
p-V Diagramm
6
3 10
V1 cm
6 2 10
V2
3
cm
3
p ( V)
p1
Pa
Pa
Abb. 4.6.7.5
6
1 10
p2 Pa
0
10
20
30
40
50
V cm
3
Beispiel 4.6.7.9: Wie groß ist der Energieinhalt W einer Spule ohne Eisenkern der Induktivität L = konstant, die von einem Gleichstrom I durchflossen wird ? Redefinition
W W d
u = L
dt
Induktionsgesetz
i ( t)
dW = p ( t ) dt = u ( t ) i ( t ) dt = L
d dt
differentielle Arbeit bzw. Energie
i ( t ) i ( t ) dt = L i ( t ) di
I
I
´ W = µ 1 dW ¶
´ 1 2 W = L µ i di o W = L I ¶ 2 0
0
Beispiel 4.6.7.10: Wie groß ist der Energieinhalt W eines Kondensators der Kapazität C, der an einer konstanten Spannung U angeschlossen ist ? Redefinition
W W i=
d dt
und
q
C=
d du
q
differentielle Arbeit bzw. Energie
dW = p ( t ) dt = u ( t ) i ( t ) dt = u C du ´ W = C µ ¶
U
0
u du o W =
1 2
2
C U
i dt = C du
oder
W=
bzw.
W=
1 2 1 2
Seite 386
2
C U ersetzen U =
2
C U ersetzen C =
Q C Q U
oW=
oW=
1 2 C 1 2
2
Q
Q U
Integralrechnung Berechnungen aus der Hydromechanik 4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik Aus der Bernoulligleichung (Strömungsgleichung) ergibt sich die theoretische Ausflussgeschwindigkeit von Flüssigkeiten aus einem Gefäß zu: vth = 2 g h (Torricelli-Formel). Kontinuierliche Strömungen werden mithilfe der Kontinuitätsgleichung beschrieben:
Abb. 4.6.8.1
mt =
d dt
m ... Massenstrom
d
Vt =
dt
V ... Volumenstrom
(4-153)
Strömende Flüssigkeiten bei konstantem Massenstrom: U=
m V
= konstant
mt = U V t = U
(4-154)
A1 s 1 t
=U
A2 s 2 t
=U
A3 s 3 t
= konstant
(4-155)
mt = U A1 v1 = U A2 v2 = U A3 v3 = konstant mt Vt = = A v = konstant U
(4-156) (4-157)
Strömende Gase: U ist nicht konstant. mt = U 1 A1 v1 = U 2 A2 v2 = U 2 A3 v3 = .... = konstant
(4-158)
mt = U A v = konstant
(4-159)
Beispiel 4.6.8.1: Ein mit Wasser gefüllter Behälter besitze im Abstand h von der Wasseroberfläche einen horizontalen rechteckigen Spalt. Ermitteln Sie das pro Sekunde ausströmende Volumen, wenn der Flüssigkeitsstand im Behälter gleich bleibt.
dA = b dy
differentielle Fläche
theoretischer differentieller Volumenstrom: dVtth = vth dA = vth b dy =
Abb. 4.6.8.2
Seite 387
2 g y b dy
Integralrechnung Berechnungen aus der Hydromechanik
Vtth =
1
3 3· § ¨ 2 2 2 2 2 2 y dy o Vtth = 2 g b ¨ h2 h1 3 3 © ¹
h ´ 2 µ 2 g b µ ¶ h1
1
Die wirkliche Ausflussmenge ist wegen der Reibung und der Zusammenschnürung des Flüssigkeitsstrahls kleiner. P < 1 ... Kontraktionszahl , M < 1 ... Geschwindigkeitszahl , D = P M < 1 ... Ausflusszahl 3· §¨ 3 2 2 2 Vt = D Vtth = D 2 g b ¨ h2 h1 © ¹ 3
tatsächlicher Volumenstrom
Beispiel 4.6.8.2: Ein zylindrischer Behälter mit dem Querschnitt A 1 sei bis zur Höhe h 0 mit Flüssigkeit gefüllt und oben offen. Eine Öffnung aus dem Boden des Behälters habe den Querschnitt A 2 . Berechnen Sie die theoretische Auslaufzeit T bei abnehmenden Flüssigkeitsstand. v1 ... Sinkgeschwindigkeit v2 ... Ausflussgeschwindigkeit v2th =
2 g h ... theoretische Ausflussgeschwindigkeit
U A1 v1 = U A2 v2
Kontinuitätsgleichung
A2 v1 = v A1 2 A2 v1 ( h) = A1
2 g h
d v1 ( h) = h dt
und
Abb. 4.6.8.3 A2 d h= A1 dt
bzw.
2 g h
dt =
A1 A2
1 2 g h
Differentialgleichung 1. Ordnung
dh
Theoretische Ausflusszeit von h 0 bis h1 : h
A1 ´ 1 1 dt = µ A2 µ 0 ¶h
´ T=µ ¶
T
h
1 2 g h
dh
0
A1 ´ 1 T h0 h1 A1 A2 µ A2 µ ¶h
1 2 g h
dh
0
1 1 ª º « 1 1» 2 2 A1 « h1 g h0 g 2 2 » 2 T h0 h1 A1 A2 o « 2 » A2 ¬ g g ¼ 1
A1
T h0 0 A1 A2 o A2
2 h0 g
g
1
2
2
theoretische Ausflusszeit des Gesamtbehälters
Seite 388
Integralrechnung Berechnungen aus der Hydromechanik Beispiel 4.6.8.3: Berechnen Sie die Gesamtkraft und die Kraft, die auf die obere und untere Hälfte eines Halbkreisförmigen Schleusentor wirken. Der Durchmesser an der Wasseroberfläche beträgt d = 2 r = 20 m.
Abb. 4.6.8.4 2
dA = 2
2
differentielles Flächenelement
r y dy
dFy = py dA = 2 U g y
2
2
r ´2 µ F U g r1 r2 r 2 U g y µ ¶
differentielle Kraft auf das Schleusentor in der Tiefe y
r y dy
2
2
Kraft auf das Schleusentor in Abhängigkeit von r 1 und r2
r y dy
r1
3
F U g r1 r2 r o
U 1000
2
2
2·
§ r r2 3 ©
¹
3
2
Ug
kg m
3
2
¹ Ug
Einheitendefinition
kN 10 N
F ( U g 5 m 10 m r)
2·
Radius des Tores
r 10 m
F ( U g 0 m 5 m r)
2
§ r r1 3 ©
Dichte des Wassers
3
F ( U g 0 m 10 m r)
2
6537.769 kN 2291.363 kN 4246.406 kN
Gesamtkraft in 10 m Tiefe Gesamtkraft in der Mitte des Schleusentors Gesamtkraft auf die untere Hälfte des Schleusentors
Seite 389
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten 4.6.9 Berechnung von Mittelwerten Die Mittelwertbildung von Funktionen mithilfe des bestimmten Integrals gehört beispielsweise in der Elektrotechnik, Nachrichtentechnik und Mechanik ebenfalls zu den Standardaufgaben. Wir unterscheiden mehrere Arten von Mittelwerten. a) arithmetischer Mittelwert (linearer Mittelwert oder Gleichwert): Für eine Funktion f: y = f(x) ist im Intervall [a, b] wegen ´ µ ¶
b
f ( x) dx = f xm ( b a)
a
(4-160)
der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von y = f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b] gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten f(x m) und (b - a). Siehe dazu Abschnitt 4.2 Mittelwertsatz der Integralrechnung. Die Integrationsgrenzen können auch unendlich sein. Beispiel 4.6.9.1: Eine Kraft F, die längs eines Weges x 1 = 1 m bis x2 = 8 m wirkt, sei in der Form F = x 2 /2 N/m2 wegabhängig. Wie groß ist die mittlere Kraft, also jene konstante Kraft, die längs des Weges die gleiche Arbeit verrichtet ? 2
F ( x)
x
2
N m
Fm x1 x2
Kraft
2 x ´ 2 µ F ( x) dx x2 x1 µ ¶x 1
1
arithmetischer Mittelwert der Kraft
1 1 §1 3 N 3 N · Fm x1 x2 o ¨ x2 x1 2 2 x2 x1 6 6 m m ¹ ©
b a = ( b a) b a b a
N 1 2 2 Fm x1 x2 vereinfachen o § x1 x2 x1 x2 · © ¹ 2 6 m
mittlere Kraft
x1 1 m
3
3
2
2
Wegbereich
x2 8 m
Fm x1 x2
mittlere Kraft
12.167 N 2
xm
m 2 Fm x1 x2 N
xm
4.933 m
zum Mittelwert Fm gehöriger xm-Wert Bereichsvariable
x 0 m 0.01 m 10 m
Seite 390
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten 40
Fm x1 x2 x1 d xd x2
N F( x) N
x1 20
x1 d xd x2
Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist gleich der Rechtecksfläche F m* (x2 -x1 )
x2
Fm x1 x2
0
2
4
6
8
10
Abb. 4.6.9.1
x m
Beispiel 4.6.9.2: Ein Gleichstrom wird von einem Wechselstrom überlagert und ist gegeben durch i(t) = 15 mA + 4 mA sin( Z t). Die Frequenz des Wechselstromes beträgt 50 Hz. Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert des Stromes über eine Periode T. i ( t Z ) 15 mA 4 mA sin ( Z t) 1 ´ µ T ¶
im ( T Z )
§ ©
2 S· T
T
arithmetischer Mittelwert des Stromes
i ( t Z ) dt
0
im ( T Z ) o
im ¨ T
¹
1
§ T ©
¨ mA
15 T Z 4 cos ( T Z ) Z
vereinfachen o 15 mA
4
mA · Z
¹
Gleichanteil des Mischstromes
Frequenz des Wechselstromes
f 50 Hz T
Mischstrom
1 f
Z 2 S f
T
0.02 s
Z
314.159 s
Periodendauer 1
Kreisfrequenz des Wechselstromes Bereichsvariable
t 0 s 0.0001 s T 20
i m( T Z )
i m( T Z ) mA i( t Z )
mA
T
15
Die Fläche zwischen Kurve und 15 mA-Achse wird null. Es bleibt nur der Gleichanteil übrig.
mA
10
0
0.005
0.01
0.015
t s
Seite 391
0.02
Abb. 4.6.9.2
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Beispiel 4.6.9.3: Ein Strom i = f(t) transportiert in der Zeit dt die Ladungsmenge dq = i dt. t ´2 µ q= i ( t ) dt ist dann die in der Zeit t2 t1 beförderte Ladungsmenge . Welche gedachte Stromstärke µ ¶
t1
im ist erforderlich, um in der gleichen Zeit die gleiche Ladungsmenge zu transportieren ? Sei i = I max sin(Z t) und t 2 - t1 = T/2. T
´2 1 µ § 2 S t· t µ Imax sin ¨ d T µ T © ¹ ¶
im Imax
0
2
im Imax o
2 S
mittlere Stromstärke
Imax
Beispiel 4.6.9.4: Bei einem idealen Wechselstrom sind Spannung und Strom in Phase. Bestimmen Sie die Wirkleistung P über eine Periode T.
u t Z Umax Umax sin ( Z t)
i t Z Imax Imax sin ( Z t) T
1 ´ 1 P = µ p ( t ) dt = ¶ T 0 T
P Umax Imax
´ µ ¶
T
u ( t ) i ( t ) dt
1 ´ µ T µ ¶
T
· § 2 S · § 2 S U i¨t Imax dt max © T ¹ © T ¹
2 Ueff
Wirkleistung (Mittelwert über die Momentanleistung p(t))
u¨t
1 P Umax Imax o Umax Imax 2 P
Wechselstrom
0
0
Wechselspannung
2 Ieff o Ueff Ieff
Umax =
2 Ueff
Imax =
2 Ieff
Wirkleistung ausgedrückt durch die Effektivwerte
Beispiel 4.6.9.5: Bei einem Wechselstrom sind Spannung u = U max sin(Z t) und Strom i = I max sin(Z t - M) phasenverschoben. Bestimmen Sie die Leistung P über eine Periode T. Bestimmen Sie auch die Wirkleistung bei einer Phasenverschiebung zwischen U und I von M = S2über eine Periode. Hier liegt eine reine induktive Belastung vor. Stellen Sie weiters dieses Problem grafisch dar, wenn U max = 6 V, I max = 4 A und f = 1/2S Hz gegeben sind.
Seite 392
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten
P Umax Imax M
´ µ 2 S ¶ 1
Substitution:
2S
Umax sin ( D ) Imax sin ( D M ) dD
0
1
D=Zt
t=0
D=Z0=0
dD = Z dt
t=T
D = Z T = 2 S
P Umax Imax M o Umax Imax cos ( M ) 2 P
P=
2 Ueff 1
Umax Imax cos ( M )
2
Wirkleistung (bei Phasenverschiebung)
2 Ieff M o Ueff Ieff cos ( M ) ersetzen Umax = Ueff ersetzen Imax = Ieff
2
2 o P = Ueff Ieff cos ( M )
Herleitung der Wirkleistung: 2S
P=
´ Umax Imax µ ¶ 2S 0
P=
´ Umax Imax µ ¶ 2S 0
P=
´ Umax Imax cos ( M ) µ ¶ 2S 0
P=
P=
1
sin ( D ) sin ( D M ) dD
2S
1
sin ( D ) ( sin ( D ) cos ( M ) cos ( D ) sin ( M ) ) dD 2S
1
1 2 S 1 2
2
sin ( D ) dD
Umax Imax cos ( M ) S
1 2S
Umax Imax cos ( M ) Scheitelspannung
Imax 4A
Scheitelstrom
1 2S
M
Frequenz
Hz
Z 2 S f
T
2S
´ Umax Imax sin ( M ) µ ¶ 2 S 0 1
Umax Imax sin ( M ) 0
Umax 6V
f
Anwendung Summensatz 1. Art
1 f S 3
1
Kreisfrequenz
s T
6.283 s
Periodendauer
Phasenverschiebung zwischen u und i
M = Mu Mi
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
Mu = 0
Phasenverschiebung der Spannung bei t = 0 s
M i M
Phasenverschiebung des Stromes bei t = 0 s
Seite 393
sin ( D ) cos ( D ) dD
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Momentanwert der Spannung
u ( t ) Umax sin ( Z t)
i ( t ) Imax sin Z t M i
Momentanwert des Stromes
p ( t) u ( t) i ( t)
Momentanwert der Leistung
t 0 s 0.001 s 2S s
Bereichsvariable Spannungs- und Stromverlauf
10
Umax 6
T
Imax
M
s
u ( t) V
2
i ( t) A
2
0
1
2
3
4
5
6
6
10 t s
Abb. 4.6.9.3
Die Leistung über die Periode gesehen ist 6 W.
P Umax Imax M o 6 V A
zeitabhängige Leistung
20
P Umax Imax M
T
T
p ( t ) dt
0
+
10
p ( t)
´ µ ¶
+ PT
0
-
1
2
3
-
10 t
Abb. 4.6.9.4
Seite 394
4
5
6
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Beispiel 4.6.9.6: Bestimmen Sie die Leistung eines Transistors bei Belastung, wenn folgende Größen gegeben sind: Ts ... Schaltzeit
UB t t i ( t ) = Imax = Ts RL Ts
RL ... Lastwiderstand UB ... Betriebsspannung
t · § us ( t) = UB ¨ 1 Ts © ¹
Schaltspannung
T 2 ´ s U µ 1 UB 1 B t t · § µ dt vereinfachen o P = P= UB ¨ 1 6 RL Ts µ RL Ts Ts © ¹ ¶
aritmethischer Mittelwert der zeitabhängigen Leistung p(t) = i(t) us(t) während der Zeit Ts
0
Beispiel 4.6.9.7: Der Strom eines Ausschaltvorganges einer Spule an Gleichspannung ist gegeben durch i(t) = I 0 e -t/W. Stellen Sie den Ausschaltstrom für R = 1000 :, L = 1 mH und U 0 = 10 V und der Zeitkonstante W = L/R grafisch dar. Berechnen Sie die Fläche zwischen Stromkurve und t-Achse und interpretieren Sie das Ergebnis. R 1000 : W
I0
L R U0 R
L 1 mH 6
W
1 u 10
I0
0.01 A
U0 10 V
vorgegebene Daten Zeitkonstante
s
Strom vor dem Ausschalten
t
i ( t) I0 e Ps 10
6
W
Ausschaltstrom Einheitendefinition
s
Bereichsvariable für die Zeit
t 0 Ps 0.001 Ps 6 W
Strom
I0 mA i( t) mA
( 0d td W )
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Ausschaltvorgang einer Spule
W I0 W
5W
Ps
Ps
´ µ ¶
f
Abb. 4.6.9.5
i ( t ) dt
0
0
1
2
3 t Ps Zeit
Seite 395
4
5
6
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten t t
´ µ µ µ ¶
I0 I0
W W
f
t W
I0 e
dt vereinfachen o
f
§ t ·
lim tof
0
´ µ µ µ ¶
Redefinitionen
§ W exp · I0 W I0 ¨ ¨ W © © ¹ ¹
´ µ µ µ ¶
f
t
I0 e
W
dt
0
annehmen W ! 0 o W I0 vereinfachen
t W
I0 e
I 0 W ist die gespeicherte Ladung in der Spule. Die Fläche zwischen Kurve und
dt = W I 0
t-Achse ist genauso groß wie die Rechtecksfläche I 0 W
0
´ µ 1 µ I0 = µ W ¶
f
t
I0 e
W
dt
Bedeutet den Mittelwert des konstanten Anfangsstromes
0
b) arithmetischer Mittelwert - Gleichrichtwert: Für eine Funktion f: y = f(x) ist im Intervall [a, b] wegen ´ µ ¶
b
f ( x) dx = ym ( b a)
a
(4-161)
der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von y = | f(x) | und der x-Achse im Intervall [a, b] gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten |y m| und (b - a).
Beispiel 4.6.9.8: Bestimmen Sie den Gleichrichtwert eines sinusförmigen Wechselstroms i = I max sin(Z t) bei Zweiweggleichrichtung über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für I max = 2 A und Z = 2*S s-1 dar. T
1 ´ , = Im = i = µ T ¶0 Imax Imax D=Zt=
,=
Gleichrichtwert des Stromes
Redefinition
2 S T
´ µ 2 S ¶ 2
i ( t ) dt
t
dD =
2 S T
Grenzen: für t = 0 ist D = 0 und für t = T ist D = 2 S
dt
S
0
Imax sin ( D ) dD vereinfachen o , =
2 S
Imax
Der Gleichrichtwert ist gleich dem linearen Mittelwert über eine halbe Periode !
Wir erhalten als Gleichrichtwert des Wechselstromes einen Wert, der über eine halbe Periode gleichmäßig wirkend dieselbe Ladungsmenge durch den Leiter treibt wie der Wechselstrom.
Seite 396
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten maximale Amplitude
Imax 2 A Z 2 S s T
1
2 S
Kreisfrequenz T
Z
Periodendauer
1s
gegebener Strom
i ( t ) Imax sin ( Z t) 2
,
S
Gleichrichtwert
Imax
Bereichsvariable
t 0 s 0.001 s T
Gleichrichtwert
2 i ( t)
T
1
A Strom
, A
0
i( t)
Abb. 4.6.9.6
A
1
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
t s Zeit
Beispiel 4.6.9.9: Bestimmen Sie den Gleichrichtwert eines sinusförmigen Wechselstroms i = I max sin(Z t) für 0 d t d T/2 und i = 0 für T/2 < t d T bei Einweggleichrichtung über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für Imax = 2 A und Z = 2 S s-1 dar. Imax Imax D=Zt=
2 S
´ ,= µ 2 S ¶ 1
, ,
T
t
Redefinitionen
dD =
2 S T
Grenzen: mit t = 0 ist D = 0 und mit t = T/2 ist D = S
dt
S
Imax sin ( D ) dD vereinfachen o , =
T0
1 S
Imax
´2 1 µ 1 , = µ Imax sin ( Z t) dt o , = Imax T ¶ S 0
Seite 397
Der Gleichrichtwert ist gleich dem linearen Mittelwert über eine halbe Periode!
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten maximale Amplitude
Imax 2 A Z 2 S s
1
2 S
T
T
Z
i ( t)
Kreisfrequenz Periodendauer
1s
Imax sin ( Z t) if 0 d t d
T
gegebener Strom
2
0 otherwise 1
,
S
Gleichrichtwert
Imax
Bereichsvariable
t 0 s 0.001 s T
Gleichrichtwert
2
T
i ( t) 1
Strom
A
T
2
, A
0
i( t)
Abb. 4.6.9.7
A
1
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
t s Zeit
c) quadratischer Mittelwert (Effektivwert): Für eine Funktion f: y = f(x) ist im Intervall [a, b] wegen ´ µ ¶
b
a
2
2
f ( x) dx = ym ( b a)
(4-162)
der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von y = [f(x)] 2 und der x-Achse im Intervall [a, b] gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten y m2 und (b - a). Beispiel 4.6.9.10: Bestimmen Sie den Effektivwert eines sinusförmigen Wechselstroms i = I max sin(Z t) über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für I max = 1 A und Z = 2 S s-1 dar.
Seite 398
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten 1 ´ IEff = µ T ¶ 2
T
2
quadratischer Mittelwert
i ( t ) dt
0
Redefinition
Imax Imax D=Zt=
2 S T
´ IEff = µ 2 S ¶ 1
2
t 2S
0
dD =
T
1
T
Z
IEff
2
Imax
quadratischer Mittelwert
gegebener Strom
IEff
Effektivwert des Stromes
0.707 A
Bereichsvariable
t 0 s 0.001 s T
quadratischer Mittelwert
1
Strom
Grenzen: mit t = 0 ist D = 0 und mit t = T ist D = 2 S
dD
quadratischer Mittelwert (I QU = IEff2 )
2
T
2
A
2 S
Periodendauer
1s
2
Imax
i( t)
T
Kreisfrequenz
2 S
1
T
dt =
maximale Amplitude
i ( t ) Imax sin ( Z t) IQu
dt
1 2 2 2 2 Imax sin ( D ) dD vereinfachen o I Eff = Imax 2
Imax 1 A Z 2 S s
2 S
T
2
0.5
IQu A
0
i( t) A
Abb. 4.6.9.8 0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t s Zeit
Seite 399
0.9
1
1.1
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Beispiel 4.6.9.11: Bestimmen Sie den Effektivwert einer nachfolgen angegebenen D reieckspannung u über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für U max = 5 V und T = 8 s dar.
Umax
u t T Umax
T
t if 0 s d t d
T 4
4
1 § · Umax ¨ 2 t if T
¨ 4 © § 1 t Umax ¨ T ¨ © 4
ª T «´ Umax « µ 4 2 Ueff = µ «µ T «µ « ¶0 « ¬
UEff
3
4
Dreieckspannung
4
¹
3
§ ¨ ¨ ©
T
´ 4 2 µ 1 · t dt µ T µ µ 4 ¹ µT ¶ 4
T
´ 2 § 2 1 t · dt µ µ ¨ T µ ¨ µ 4 © ¹ µ T ¶3 4
º » 2 § 1 t 4· dt» o U 2 = 1 U 2 ¨ T eff max » 3 ¨ » © 4 ¹ » » ¼
Maximale Amplitude
Umax 5 V
1
T
Redefinition
2
UQu
4
t d 3
¹ T · 4 if 3 tdT
Umax Umax
T 8 s
T
T
Umax
Periodendauer
8s
2
Umax 3
t 0 s 0.01 s T
quadratischer Mittelwert
UEff
2.887 V
Effektivwert der Spannung
Bereichsvariable
Seite 400
Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten quadratischer Mittelwert
25
u t T U max
Strom
V
2
T 17.5
U Qu V
10
u t T U max V
U max
2.5 0
2
4
6
5 t s Zeit
Abb. 4.6.9.9
Seite 401
8
10
Integralrechnung Mehrfachintegrale 4.7 Mehrfachintegrale Bisher wurde ausführlich auf die Integration einer Funktion von einer unabhängigen Variablen eingegangen. Wir sprechen in diesem Zusammenhang von einem gewöhnlichen Integral. Hier soll noch kurz auf die Integration einer Funktion mit zwei bzw. drei Variablen eingegangen werden. Diese Erweiterung des Integrationsbegriffes führt auf Doppel- und Dreifachintegrale, die bei vielen Anwendungen, wie z.B. Flächeninhalt, Schwerpunkt einer Fläche, Flächenträgheitsmomente, Volumen und Masse eines Körpers, Schwerpunkt eines Körpers und Massenträgheitsmomente, auftreten. Im vorhergehenden Abschnitt wurden diese Themen bereits behandelt. Hier wurden Mehrfachintegrale unter Berücksichtigung von gewissen Symmetrieeigenschaften auf gewöhnliche Integrale zurückgeführt.
4.7.1 Doppelintegrale Doppelintegrale (auch zweifaches Integral oder Gebietsintegral genannt ) werden von Funktionen zweier Veränderlicher in kartesischen Koordinaten z = f(x,y ) bzw. in Polarkoordinaten z = F(r, M), erstreckt über einen Bereich A in der x-y Ebene bzw. r- M-Ebene, gebildet. Dazu betrachten wir anschaulicherweise zuerst einen zylindrischen Körper, also ein geometrisches Problem. z = f(x,y) sei eine im Bereich A definierte und stetige Funktion mit f(x,y) t0.
Das Doppelintegral ist die Maßzahl des Rauminhaltes für den zylindrischen Körper, der vom Bereich A in der x-y-Ebene, den auf dem Rand von A errichteten Loten und einem Teil der Fläche z = f(x,y) begrenzt wird. Der Integrationsbereich lässt sich durch die Ungleichungen fu(x) d y d fo(x) und a d x d b beschreiben, wobei y u = fu(x) die untere und yo = fo(x) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur y-Achse mit den Funktionsgleichungen x = a und x = b bestehen. Das infinitesimale Flächenelement dA mit dA = dx dy ist ein Rechteck. Über diesem Rechteck liegt eine quaderförmige Säule mit dem infinitesimalen Rauminhalt dV = z dA = f(x,y) dx dy = f(x,y) dy dx. Abb. 4.7.1 1. Fall (Abb. 4.7.1): ´ µ µ ¶
´ µ z dA = µ ¶
A
A
´ µ f ( x y) dA = µ ¶
x=b
x=a
f ( x) ´o µ f ( x y) dy dx Doppelintegral µ ¶
(4-163)
fu ( x)
Bei diesem Doppellintegral wird von innen nach außen integriert, d.h. zuerst bezüglich der Variablen y (x wird dabei zunächst als Konstante angesehen) und dann erst nach der Variablen x. Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals sind dabei von x abhängige Funktionen, die Grenzen des äußeren Integrals dagegen Konstanten.
Seite 402
Integralrechnung Mehrfachintegrale 2. Fall: Der Integrationsbereich lässt sich durch die Ungleichungen f u(y) d x d fo(y) und a d y d b beschreiben, wobei xu = fu(y) die untere und xo = fo(y) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur x-Achse mit den Funktionsgleichungen y = a und y = b bestehen. ´ µ µ ¶
´ µ z dA = µ ¶
A
A
´ µ f ( x y) dA = µ ¶
y=b
y=a
x =f ( y) ´ o o µ f ( x y) dx dy Doppelintegral µ ¶
(4-164)
xu=fu ( y)
Bei diesem Doppelintegral wird ebenfalls von innen nach außen integriert, d.h. zuerst bezüglich der Variablen x (y wird dabei zunächst als Konstante angesehen) und dann erst nach der Variablen y. Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals sind dabei von y abhängige Funktionen, die Grenzen des äußeren Integrals dagegen Konstanten. 3. Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Integration: Die Reihenfolge der Integration ist eindeutig durch die Reihenfolge der Differentiale dy und dx im Doppelintegral festgelegt! Sie ist nur dann vertauschbar, wenn sämtliche Integrationsgrenzen konstant sind, d.h., wenn ein rechteckiger Integrationsbereich A vorliegt ! 4. Die Funktion f(x,y) = 1: In diesem Fall erhalten wir einen über dem Bereich A liegenden Zylinder der Höhe z = 1. Sein Volumen ist gegeben durch: ´ µ µ ¶
x=b
x=a
f ( x) ´o µ 1 dy dx = µ ¶ fu ( x)
´ µ µ ¶
x=b
x=a
f ( x) ´o µ 1 dx dy µ ¶
(4-165)
fu( x)
Zahlenmäßig beschreibt dieses Doppelintegral zugleich auch den Flächeninhalt des Bereichs A! 5. Die Funktion liegt in Polarkoordinaten z = F(r,M) vor: In vielen Fällen vereinfacht sich das Doppelintegral, wenn wir an Stelle der kartesischen Koordinaten x und y Polarkoordinaten r und M verwendet. Durch Koordinatentransformation geht die Funktion z = f(x,y) in die von r und M abhängige Funktion über: z = f(x,y) = f(r cos(M), r sin(M)) = F(r,M). Der Integrationsbereich lässt sich durch zwei Strahlen M = M1 und M = M2 sowie einer inneren Kurve r = r i(M) und einer äußeren Kurve r = r a (M) begrenzen und durch die Ungleichungen ri(M) dr dra (M) und M1 dM dM2 beschreiben. Das Flächenelement dA ist gegeben durch dA = (r dM) dr = r dr dM. M r ( M) ´ 2 ´a µ µ f ( r cos ( M ) r sin ( M ) ) r dr dM (Doppelintegral in Polarkoordinaten) µ ¶M µ ¶r ( M ) 1
(4-166)
i
Die Integralberechnung erfolgt wieder von innen nach außen, d.h. es wird zuerst nach der Variablen r zwischen den beiden Kurven r = r i(M) und r = ra (M) integriert und anschließend nach der Winkelkoordinate M zwischen den Strahlen M = M1 und M = M2 .
Seite 403
Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.1: Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Ellipse in Mittelpunktslage mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. a 3 y ( x)
angenommene Halbachsen
b 2 b a
2
2
obere Ellipsenkurve
a x
Bereichsvariable
x 0 0.01 a
a a
2
y( x)
´ µ A ( a b) 4 µ ¶
1
a
0
0
Redefinitionen
b b b
´a µ µ ¶
2
a x
2
1 dy dx
0
A ( a b) o b a S 0
2
4
A ( 2 m 1 m)
x
6.283 m
2
Flächeinhalt der Ellipse
Abb. 4.7.2 Beispiel 4.7.2: Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Kreislinie x 2 + y2 = 25 und der Geraden y = -x + 5 mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. r 5
Kreisradius
y1 ( x) x 5
Gerade
y2 ( x)
2
2
oberer Halbkreis
r x
Bereichsvariable
x 0 0.001 r
5
´ A=µ ¶
5
0
y1( x)
´ A=µ ¶
y2( x)
´ µ ¶
y2( x)
1 dy dx vereinfachen o A =
y1( x)
2
4 x
Abb. 4.7.3
6
( y2 ( x) y1 ( x) ) dx vereinfachen o A =
´ A µ ¶
5
0
A
2
5
0
0
25
´ µ ¶
1 dy dx
y1( x)
7.135
Seite 404
y2( x)
Maßzahl der Fläche
25
25 2
4
S
25 4
S
Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.3: Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Kardioide r( M) = 1 + cos(M) im Intervall 0 d M < 2 S mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. r ( M ) 1 cos ( M )
Polarkoordinatendarstellung der Kardioide
M 0 0.001 2 S
Bereichsvariable
ri ( M ) = 0
ra ( M ) = 1 cos ( M )
A A
Redefinition
´ A=µ ¶
2S
0
´ µ ¶
1 cos( M )
r dr dM o A =
0
3 2
Randkurven
S
Abb. 4.7.4 Beispiel 4.7.4: Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten eines Halbkreises und das Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwerachse s mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. b
´ 1 µ x dA = µ A ¶a
1 ´ µ xs = A µ ¶
b
1 ´ µ ys = A µ ¶
y dA =
f ( x) ´o µ x dy dx µ ¶ fu ( x)
f ( x) ´o
´ 1 µ µ µ y dy dx A ¶a µ ¶f ( x) u
M 2 ra ( M ) ´ 1 ´ 2 µ µ xs = r cos ( M ) dr dM µ µ A ¶M ¶r ( M ) 1
Abb. 4.7.5
M2
1 ´ µ ys = A µ ¶M
´ µ Ix = µ ¶ ´ µ Iy = µ ¶
´ µ y dA = µ ¶
b
2
a
´ µ 2 x dA = µ ¶
b
a
f ( x) ´o 2 µ y dy dx µ ¶ fu( x)
f ( x) ´o
µ µ ¶
fu( x)
kartesische Koordinaten 2
x dy dx
1
i
´ µ µ ¶
ra ( M )
M2
´ µ Iy = µ ¶M
2
ri ( M )
1
Seite 405
i
´ µ µ ¶
ra ( M )
ri ( M )
in Polarkoordinaten
r sin ( M ) dr dM
M r (M) ´ 2 ´a 3 2 µ µ Ix = r sin ( M ) dr dM µ µ ¶M ¶r ( M ) 1
in kartesischen Koordinaten
3
2
r cos ( M ) dr dM
in Polarkoordinaten
Integralrechnung Mehrfachintegrale 0drdR
Bereich
0dM dS
2
A=
R S
Halbkreisfläche
2
xs = 0
´ Ix = µ ¶
ys = S
0
´ µ ¶
2 2
R S
´ µ ¶
S
0
´ µ ¶
R
4 R 2 r sin ( M ) dr dM o ys = 3 S 0
Schwerpunktskoordinaten (Die Integrationsreihenfolge kann hier vertauscht werden!)
R
1 3 2 4 r sin ( M ) dr dM o Ix = S R 8 0
Is = Ix A ys
Flächenträgheitsmoment bzgl. der x-Achse
2
nach Satz von Steiner 2
2
4
1 R S § 4 R· 1 8 R 4 4 Is = S R ¨ o Is = S R 2 8 8 9 S ©3 S ¹
Flächenträgheitsmoment bzgl. der Schwerachse
Beispiel 4.7.5: Berechnen Sie die Oberfläche der Funktion f(x,y) = 6 - x 2 - y2 über einem kreisförmigen Integralbereich x2 + y2 d r2 mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. 2
2
Flächenfunktion
j 1 2 20
Bereichsvariablen
f ( x y) 6 x y i 1 2 20
§ i 10 j 10 · 5 ¹ © 5
Matrix der Funktionswerte
zi j f ¨
Radius des kreisförmigen Integralbereichs
r 2
´ µ Ao µ µ µ ¶
r
r
Ao
2
´ r x µ µ µ µ ¶ 2
2
r x
2
2
Maßzahl der Oberfläche
36.177
´ Ao µ ¶
2S
0
2
§d · §d · 1 ¨ f ( x y) ¨ f ( x y) dy dx © dx ¹ © dy ¹
´ µ ¶
r 2
1 4 U U dU dM
Polarkoordinaten
0
zz Abb. 4.7.6
Ao
36.177
Seite 406
Maßzahl der Oberfläche
Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.6: Über dem durch die Gleichung x 2 + y2 = 16 gegebenen Kreis der x-y-Ebene steht ein gerader Zylinder. Er wird durch die Ebene z = f(x,y) = x + y + 2 schief abgeschnitten. Wie groß ist das Volumen zwischen den Ebenen z = 0 und z = x + y + 2 ? Stellen Sie das Problem grafisch dar.
§¨ 4 cos ( M ) · f ( z M ) ¨ 4 sin ( M ) ¸ ¨ z © ¹
Zylinder in Zylinderkoordinaten
g ( x y) x y 2
Ebene
Radius
r 4 2
2
r r x ´ ´ µ V µ ( x y 2) dy dx ¶ ¶ 0
Vo
0
128 3
Maßzahl des Volumens
8 S
fg Abb. 4.7.7 Beispiel 4.7.7: Durch Rotation der Parabel z = 4 - x2 um die z-Achse entsteht ein Rotationsparaboloid, dessen Bodenfläche in die x-y Ebene fällt. Wie groß ist sein Volumen ? Stellen Sie das Problem grafisch dar.
2
2
f ( x y) 4 x y
Rotationsfläche Ebene
g ( x y) 0
In Polarkoordinaten:
2
2
2
2
2
z = 4 r cos ( M ) r sin ( M ) = 4 r Integrationsbereich: 0drd2 ´ V µ ¶
2S
0
V o 8 S
fg Abb. 4.7.8
Seite 407
0 d M 2 S ´ µ ¶
2
4 r2 r dr dM
0
Maßzahl des Volumens
Integralrechnung Mehrfachintegrale 4.7.2 Dreifachintegrale Dreifachintegrale (auch dreifaches Integral, 3-dimensionales Bereichs- oder Gebietsintegral genannt) werden von Funktionen dreier Veränderlicher in kartesischen Koordinaten u = f(x,y,z) bzw. in Zylinderkoordinaten u = F(r,M,z) bzw. in Kugelkoordinaten u = f(r,M,T) gebildet, über einen räumlichen Bereich V. Hier sei jedoch im Gegensatz zu Zweifachintegralen darauf hingewiesen, dass Dreifachintegrale nur im Speziellen eine geometrische Interpretation zulassen. Dazu betrachten wir anschaulicherweise zuerst einen zylindrischen Körper, also ein geometrisches Problem. u = f(x,y,z) sei eine in einem zylindrischen Integrationsbereich V definierte und stetige Funktion, die durch eine Bodenfläche und eine Deckfläche begrenzt wird. Die Projektion dieser Begrenzungsflächen in die x-y-Ebene führt zu einem Bereich A, der durch die Kurven y = fu(x) und y = fo(x) sowie die Parallelen x = a und x = b berandet wird. Der zylindrische Integrationsbereich V kann dann durch die Ungleichungen z u(x,y) dz d zo(x,y), fu(x) dy d f0 (x) und a d x d b beschrieben werden. Das infinitesimale Volumselement dV hat die Form eines Quaders und ist damit gegeben durch dV = dx dy dz = dz dy dx.
Abb. 4.7.9 1. Das Dreifachintegral kann dann über einem zylindrischen Integrationsbereich V beschrieben werden durch: ´ µ µ ¶
´ µ f ( x y y) dV = µ ¶
x=b
x=a
f ( x) ´o µ µ ¶ fu( x)
´ µ µ ¶
z=zo( x y)
f ( x y z ) dz dy dx
(4-167)
z=zu ( x y)
V Bei diesem Dreifachintegral wird auch von innen nach außen integriert, d.h. zuerst bezüglich der Variablen z (x und y werden dabei zunächst als Konstante angesehen), dann nach der Variablen y (x wird dabei zunächst als Konstante angesehen) und dann erst nach x. Nach der Ausführung des ersten Integrationsschrittes, der z-Integration, ist aus dem Dreifachintegral ein Doppelintegral geworden. Der Integrationsbereich ist jetzt der flächenhafte Bereich A, der durch die Projektion des zylindrischen Körpers in die x-y Ebene entsteht.
Seite 408
Integralrechnung Mehrfachintegrale 2. Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Integration: Die Reihenfolge der Integration ist nur dann vertauschbar, wenn sämtliche Integrationsgrenzen konstant sind. Bei einer Vertauschung der Integrationsreihenfolge in einem Dreifachintegral müssen die Integrationsgrenzen jeweils neu berechnet werden. 3. Die Funktion f(x,y,z) = 1: In diesem Fall beschreibt das Dreifachintegral das Volumen V des zylindrischen Körpers: ´ µ V=µ ¶
x=b
x=a
f ( x) ´o µ µ ¶ fu( x)
´ µ µ ¶
z=zo( x y)
1 dz dy dx
(4-168)
z=zu ( x y)
4. Die Funktion liegt in Zylinderkoordinaten u = F(r,M,z) vor: In vielen Anwendungen treten Körper mit Rotationssymmetrie auf. Zu ihrer Beschreibung werden zweckmäßigerweise Zylinderkoordinaten (r, M, z) verwendet. Die Berechnung des Dreifachintegrals wird dadurch ebenfalls erheblich vereinfacht. Durch Koordinatentransformation geht die Funktion u = f(x,y,z) in die von r , M und z abhängige Funktion über: u = f(x,y,z) = f(r cos(M), r sin(M), z) = F(r, M, z). Die z-Koordinate bleibt dabei unverändert erhalten. Die Integrationsgrenzen müssen neu bestimmt und in Zylinderkoordinaten ausgedrückt werden. Das infinitesimale Volumselement dV lässt sich durch (siehe Abbildung 4.7.10) dV = r dz dr dM ausdrücken. ´ µ µ ¶
M f ( M) ´ 2 ´o µ µ F ( r M z ) dV = µ ¶M µ ¶f ( M ) 1
u
´ µ µ ¶
z=zo ( r M )
F ( r M z ) r dz dr dM
(4-169)
z=zu( r M )
V Die Integration erfolgt dabei in drei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten in der Reihenfolge z, r und M.
Transformationsgleichungen: Zylinderkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten x = r cos ( M ) y = r cos ( M ) z=z r=
2
2
x y y tan ( M ) = x z=z
Abb. 4.7.10
Seite 409
(4-170)
(4-171)
Integralrechnung Mehrfachintegrale
5. Die Funktion liegt in Kugelkoordinaten u = F(r,-,M) vor: Für kugelsymmetrische Probleme werden zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten (r, T, M) verwendet. Die Berechnung des Dreifachintegrals wird dadurch ebenfalls erheblich vereinfacht. Durch Koordinatentransformation geht die Funktion u = f(x,y,z) in die von r , - und M abhängige Funktion über: u = f(x,y,z) = f(r sin(-) cos M), r sin(-) sin(M), r cos(-)) = F(r, -, M). Die Integrationsgrenzen müssen neu bestimmt und in Kugelkoordinaten ausgedrückt werden. Das infinitesimale Volumselement dV lässt sich durch (siehe Abbildung 4.7.11) dV = r 2 sin(-) dr d- dM ausdrücken. ´ µ µ ¶
M f ( M) ´ 2 ´o µ µ F ( r - M ) dV = µ ¶M µ ¶f ( M ) 1
u
´ µ µ ¶
z=zo ( - M )
2
F ( r - M ) r sin ( - ) dr d- dM
(4-172)
z=zu( - M )
V Die Integration erfolgt dabei in drei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten in der Reihenfolge r, - und M.
Abb. 4.7.11
Transformationsgleichungen: Kugelkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten M [0, 2 S[ , - [0, S] x = r sin ( - ) cos ( M ) ; y = r sin ( - ) sin ( M ) ; z = r cos ( - )
r=
2
2
x y z
2
y
sin ( M ) =
2
2
cos ( M ) =
x y cos ( - ) =
z r
(4-173)
x 2
2
2
2
x y tan ( - ) =
x y z
Seite 410
tan ( M ) =
y x
(4-174)
Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.8: Bestimmen Sie das Volumen eines Drehzylinders mit dem Radius r und der Höhe h, der entsteht, wenn eine Gerade x = r parallel zur z-Achse um die z-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen in kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten. Redefinition
r r
Die Projektion des Zylinders in die x-y Ebene ist ein kreisförmiger Bereich A mit Radius r
´ Vz ( r h) µ µ ¶
2
r
´ r x µ µ ¶ 2
r
´ Vz ( r h) µ ¶
0
r x
2S
r
´ ´ µ µ ¶ ¶ 0
r 30 cm Vz ( r h)
2
2
´ µ ¶
h
2
1 dz dy dx
Vz ( r h) o S r h
0
h
2
r1 dz dr1 dM
Vz ( r h) o S r h
0
gewählter Radius und gewählte Höhe
h 200 cm
0.565 m
3
Beispiel 4.7.9: Bestimmen Sie die Masse eines homogen Kreiskegels mit dem Radius R, der Höhe H und der Dichte U, der dadurch entsteht, wenn die Gerade z = - R/H (x - R) (0 dx dR) um die z-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen in Zylinderkoordinaten. Masse des Körpers
m=UV
Die Mantelfläche wird durch die Funktionsgleichung z = - R/H (r - R) (0 dr dR) beschrieben und bildet die obere Begrenzungsfläche des Kegels. Die Bodenfläche ist Teil der x-y Ebene z = 0. Die Projektion des Kegels in diese Ebene führt zu der Kreisfläche 0 dr dR, 0 dM d2 S. Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: H
z=0
bis
z=
r=0
bis
r=R
M=0
bis
M = 2 S
R
( r R)
Redefinition
r r ´ µ VK ( R H) µ ¶
2S
0
R 30 cm
´ µ µ ¶
R
0
´ µ µ ¶
H R
( r R )
r dz dr dM
0
H 100 cm
U 1000
0.094 m
kg m
m U VK ( R H) VK ( R H)
VK ( R H) o
3
m
3
94.248 kg
1 3
gewählte Daten Masse des Körpers Volumen und Masse
Seite 411
2
SR H
Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.10: Eine Parabel mit der Gleichung z = y 2 rotiere um die z-Achse. Das Volumen des entstehenden Paraboloides soll berechnet werden, wenn die Höhe des Paraboloides h ist. Dieser parabolische Behälter soll von einem Wasserreservoir aus, das sich in der x-y Ebene befindet, bis zur Höhe z = h mit Wasser gefüllt werden. Welche Arbeit ist dabei mindestens aufzuwenden ? Redefinition
h h h x ´ h ´ µ µ VP ( h) µ µ ¶ ¶ h
2
hx
2
´ µ ¶
h
1 dz dy dx 2
x y
VP ( h) o
2
1 2
2
h S
In Zylinderkoordinaten:
´ VP ( h) µ µ ¶
2S
0
´ h ´h µ µ r d z dr dM µ ¶2 ¶ 0
VP ( h) o
r
1 2
2
h S
Die Wassermenge wird von z = 0 um die Stecke h = z s angehoben.
W = m g h = m g zs
Für den Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers gilt unter Verwendung von Zylinderkoordinaten (Rotation um die z-Achse): 1 xs = 0 , ys = 0 , z s = V
´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
z r dz dr dM
(4-175)
V V ist das Rotationsvolumen.
z s ( h)
´ µ VP ( h) µ ¶ 1
2S
0
´ h ´h µ µ z r dz dr dM µ ¶2 ¶ 0
r
2 3
h
Masse des Körpers
m = U VP ( h)
Redefinitionen
g g
U U
z s ( h) o
1 3 Wmin ( U g h) o U h S g 3
Wmin ( U g h) U VP ( h) g z s ( h) Beispiel 4.7.11:
Berechnen Sie das Volumen einer Kugel (x 2 + y2 + z2 = r2 ) mithilfe eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten. r r
Redefinition
´ VK ( r) µ µ ¶
r
r
2
´ r x µ µ ¶ 2
2
r x
2
2
2
2
´ r x y µ µ ¶ 2 2
1 d z dy dx
VK ( r) o
2
r x y
Seite 412
4 3
3
Sr
Integralrechnung Mehrfachintegrale ´ VK ( r) µ ¶
2S
0
´ µ ¶
S
0
r
´ 2 µ U sin ( - ) dU d- dM ¶
VK ( r) o
0
4 3
3
Sr
Beispiel 4.7.12: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines homogenen Würfels der Kantenlänge a (0 dx da , 0 dy da, 0 dz d a) und der konstanten Dichte U bezüglich einer Kante und bezüglich einer kantenparallelen Schwerpunktachse. Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers in kartesischen Koordinaten: ´ Jz = U µ µ ¶
´ µ rg dV = U µ ¶
b
2
a
f ( x) ´o µ µ ¶ fu( x)
z ( x y) ´ o 2 2 µ x y dz dy dx µ ¶
(4-176)
zu( x y)
V rg ist der Abstand des Volumselementes dV von der Bezugsachse g parallel zur Schwerachse, und Uist die konstante Dichte des Körpers. Die Bezugsachse ist die z-Achse. Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers in Zylinderkoordinaten: ´ µ Jz = U µ ¶
´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
3
r dz dr dM
(4-177)
V
´ Jz = U µ ¶
a
0
´ µ ¶
a
´ µ ¶
0
a
0
x2 y2 dz dy dx o Jz = 2 U a5
Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Kante
3
m m ´ Jz = U µ ¶
a
0
´ µ ¶
a
´ µ ¶
0
a
0
x2 y2 dz dy dx ersetzen U = m3 a
Die Schwerpunktachse ist von der z-Achse d =
a 2
2 2 o Jz = m a 3
2 entfernt:
2
nach Satz von Steiner
Js = Jz m d
Js =
2 3
2
2
§ a 2· o J = 1 m a2 s 6 ©2 ¹
ma m¨
Seite 413
Übungsbeispiele
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1.1 Folgen Beispiel 1: Geben Sie das allgemeine Bildungsgesetz für die nachfolgenden Folgen an, und stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar. a) 1; 1/3; 1/5; 1/7, ... ! b) 1; 1/4; 1/9; 1/16, ... c) 1; 4; 9; 16, ...
!
!
Beispiel 2: Zeigen Sie, dass die Folge a) 2n !streng monoton steigt, b) 1/2n !streng monoton fällt, c) (3 n - 2)/(2 n - 1) !streng monoton steigt. Beispiel 3: Untersuchen Sie, ob 1 bzw. 2 eine obere Schranke der Folge (3 n - 2)/(2 n - 1) !ist. Beispiel 4: Ermitteln Sie eine obere und eine untere Schranke für die Folge (4 n + 1)/(2 n - 1) !. Beispiel 5: Geben Sie für die nachfolgenden Folgen die ersten 10 Glieder an, und stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar. Untersuchen Sie die Folgen auch auf Monotonie und Beschränktheit. a)
yn ! (-1)n (1/n) !
b) xn !
sin( n . S/2) !
c) z n !
2. 2-n !
d) hn !
1 - 1/n !
Beispiel 6: Geben Sie für die nachfolgenden rekursiv dargestellten Folgen die ersten 10 Glieder an, und stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar. a) xn+1 = 1/2 . (1- x n) , x1 = 1 b) xn = xn-12 + 1 , x1 = 1 c) un+1 = un + 1 , u1 = 0,2 d) an+2 = 1/2 . (an+1 + an) , a0 = 0 , a1 = 1
Seite 414
Übungsbeispiele
1.1.1 Arithmetische Folgen Beispiel 1: Wie heißen die ersten 5 Glieder der folgenden arithmetischen Folgen: a) a1 = - 7 , d = 2 b) a3 = 17 , d = - 4 Beispiel 2: Am Beginn eines Geschäftsjahres (einer Rechnungsperiode) kauft eine Firma einen PKW um 15 000 Euro (Anschaffungspreis). Am Ende eines jeden Jahres wird für die Buchhaltung der Buchwert des Wagens ermittelt, indem wir jedesmal 20 % des Anschaffungspreises abziehen (Abschreibung mit gleichbleibender Quote). Auf Grund welcher Funktion kann der Buchwert zu Beginn jedes beliebigen Jahres berechnet werden ? Nach wieviel Jahren ist der Buchwert null ? Stellen Sie die Abschreibung grafisch dar. Beispiel 3: Messungen ergeben, dass die Temperatur zum Erdinneren hin um ca. 3 °C je 100 m zunimmt, wobei in unseren Breiten eine Temperatur von 10 °C in 25 m Tiefe zugrunde zu legen ist. Welche Temperatur herrscht in 2300 m Tiefe ((78,3 °C).
1.1.2 Geometrische Folgen Beispiel 1: Wie heißen die ersten 5 Glieder der folgenden geometrischen Folge: a) a1 = - 7 , q = 3 b) a1 = -1 , q = 2 c) a1 = 4 , q = - 1/2 Beispiel 2: Bei einer Torsionsschwingung zeigen die Amplituden A 4 = 12,8 ° und A 6 = 9,8 °. Bestimmen Sie die geometrische Amplitudenfolge, und geben Sie die Glieder bis n = 6 an. Beispiel 3: Es sollen 6 Rohre mit den Durchmessern von d 1 = 50 mm bis d6 = 500 mm hergestellt werden. Wie sind d2 , d3 , d4 und d5 zu wählen, damit sich eine geometrische Stufung ergibt ? Stellen Sie die Folge der Durchmesser grafisch dar. Beispiel 4: Ein Lichtstrahl verliert beim Durchgang durch eine planparallele Glasplatte 1/10 seiner Intensität I. Wie groß ist die Restlichtstärke beim Durchgang durch sechs gleich beschaffene Glasplatten ? (I = 0.53 I0 ) Beispiel 5: An dem Saugstutzen einer Rotationskapselpumpe wird der Rezipient mit einem Volumen von 3000 cm 3 angeschlossen. Durch den exzentrischen Vollzylinder können je Drehung 200 cm 3 Luft zum Druckstutzen befördert werden. a) Wie groß ist der Druck im Rezipienten nach 5 und nach 10 Umdrehungen, wenn der ursprüngliche Druck 1000 mbar beträgt (p 1 V1 = p2 V2 Boyle-Mariaottesches Gesetz bei konstanter Temperatur) ? (p 5 = 724 mbar; p10 = 525 mbar) b) Wieviel Minuten muss die Pumpe bei 50 Umdrehungen je Minute laufen, um einen Druck von 10-6 mbar zu erreichen ? (t = n/50 = 6,4 min)
Seite 415
Übungsbeispiele
Beispiel 6: Ein Körper beginnt zum Zeitpunkt t = 0 s ohne Luftwiderstand frei zu fallen. Für den Fallweg gilt daher näherungsweise s = 1/2 . 10 . m/s 2 . t2 . a) Zeigen Sie, dass der zurückgelegte Weg nach 1 s, 2 s, 3 s usw., also s 1 , s2 , s3 usw., eine arithmetische Folge bildet. b) Berechnen Sie den zurückgelegten Weg nach 10 s. c) Addieren Sie die Teilwege bis zum Ende der 10. Sekunde, und zeigen Sie, dass die Summe gleich dem Ergebnis von b) ist. Beispiel 7: Ermitteln Sie jene Zahlenfolge < a1 , a2 , ... , a21 > mit a1 = 1 und a 21 = 10, aus denen die Hauptwerte der Normzahlen E20 bestimmt werden. Beispiel 8: Gesucht ist die geometrische Folge < a1 , a2 , ... , a9 > mit a1 = 1, bei der jedes 2. Glied eine Verdoppelung ergibt. Vergleichen Sie auch die Zahlenreihe < 1 ; 1,4 ; 2 ; 2,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 > der Blendenzahlen eines Kameraobjektivs.
1.2 Reihen 1.2.1 Arithmetische endliche Reihen Beispiel 1: Berechnen Sie die Summe folgender Reihen: 20
a)
20
¦
k
b)
k
1
20
¦
k
( 2 k 1)
1
c)
¦
i
1
i 2
20
d)
¦
n
10
§1 n · ¨ 2¹ ©
Beispiel 2: 220 m Papier der Stärke 0,2 mm werden auf eine Rolle mit dem Radius 7,5 cm gewickelt. a) Wie viel Lagen ergeben sich ? b) Wie groß ist der Durchmesser der Rolle zum Schluss ? (Umfang der 1. Schicht u 1 = 2 S (r1 +d/2) usw. n = 325 Lagen d = 28 cm) Beispiel 3: Für eine Tiefensonde soll ein 100 m tiefes Loch gebohrt werden. Der erste Bohrmeter kostet € 40. Wie groß sind die Bohrkosten, wenn die Kosten pro Bohrmeter um € 5 linear steigen ?
1.2.2 Geometrische endliche Reihen Beispiel 1: Berechnen Sie die Summe folgender Reihen: n
a)
¦
k
1 k
0 2
n
b)
¦
k
1
ª( 1) k1 1 º « k» 2 ¼ ¬
c)
4
6
8
16
x x x .... x
Seite 416
, mit x = 1,3 und x = - 0.5.
Übungsbeispiele
Beispiel 2: In einer "idealen Atmosphäre" fällt der Luftdruck von 0 m Höhe auf 1000 m Höhe von 1013 mbar auf 890 mbar. Bestimmen Sie den Luftdruck in 2000 m, 3000 m, 4000 m und 5000 m, wenn dieser exponentiell abklingt. Beispiel 3: Sie schreiben einen Brief an 5 Personen mit der Aufforderung, innerhalb einer Woche einen Brief gleichen Inhalts an weitere 5 Personen zu schreiben usw. (Kettenbrief!). Wie viele Personen bekommen in 8 Wochen einen Brief dieser Art, wenn jede angeschriebene Person mitmacht und keine Person zweimal angeschrieben wird ? Wie groß sind die Portokosten, wenn eine Briefmarke € 0,6 kostet ? Beispiel 4: Zu jedem Monatsbeginn wird ein Betrag R = € 100 auf ein Rentenkonto eingezahlt (vorschüssige Monatsrente) und dort mit p 12 = 3 % verzinst. Wie groß ist der Wert der unterjährigen Rente am Ende des 15. Jahres ? Hinweis: Häufig wird in der Praxis statt mit dem Jahreszinssatz p mit dem Monatszinssatz p 12 gearbeitet, der bei monatlicher Kapitalisierung nach einem Jahr die gleichen Zinsen erbringt wie der Jahreseinsatz. Wir sprechen vom äquivalenten monatlichen Zinssatz p 12. Beispiel 5: Zu jedem Monatsende wird ein Betrag R = € 100 auf ein Rentenkonto eingezahlt (nachschüssige Monatsrente) und dort mit p 12 = 3 % verzinst. Wie groß ist der Wert der unterjährigen Rente am Ende des 15. Jahres ? Hinweis: Häufig wird in der Praxis statt mit dem Jahreszinssatz p mit dem Monatszinssatz p 12 gearbeitet, der bei monatlicher Kapitalisierung nach einem Jahr die gleichen Zinsen erbringt wie der Jahreseinsatz. Wir sprechen vom äquivalenten monatlichen Zinssatz p 12. Beispiel 6: Eine Schuld von € 50 000 soll bei 6% in 10 Jahren durch gleich bleibende Annuität getilgt werden. Erstellen Sie einen Tilgungsplan. Beispiel 7: Kann eine Schuld von € 1000 bei 7,5% mit einer Annuität A = € 50 jemals getilgt werden ? Wie groß muss die Annuität mindestens sein, damit wir wenigstens die in jedem Jahr anfallenden Zinsen abdecken kann ?
1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen Beispiel 1: Berechnen Sie folgende Grenzwerte der gegebenen Folgen mit n gegen unendlich: a)
d)
lim
4 n 1
n o f 5 n 2
lim
3 n 1
n o f 5 n 2
b)
lim nof
e)
lim nof
§1 n 1 · ¨ © n 2 n 3¹ § 1· ¨ © 7¹
2
c)
n o f 3 n2 7 n 2
n
f)
lim nof
Seite 417
n 5 n 3
lim
n
2
Übungsbeispiele
Beispiel 2: Werten Sie für die Fallgeschwindigkeit mit Luftwiderstand folgenden Grenzwert mit k gegen 0 aus:
§ ¨ ¨ lim ¨ m g ko0 ©
2ks
·
m
¸
1 e k
¹
Beispiel 3: Für die erzwungene Schwingung ist für den Resonanzfall folgender Grenzwert mit G gegen 0 auszuwerten:
ª e Gt § G ·º lim « ¨ Z t sin ( Z t) G t cos ( Z t) sin ( Z t) » 2 Z © ¹»¼ G o0 « ¬ Z 1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen Beispiel 1: Bestimmen Sie den Summenwert folgender Reihen: f
a)
ª¬ 0.3 ( 0.1)
¦
k
f
f
k 1º
b)
¼
1
¦
k
ª¬ 0.35 ( 0.01)
k 1º
¼
c)
1
¦
k
1
k 1 5
Beispiel 2: Prüfen Sie mithilfe von Satz 6 für unendliche Reihen die folgenden Reihen auf Konvergenz: f
a)
¦
n
1
k
f
n
b)
2 n 1
¦
k
1
2 1 k
2
Beispiel 3: Bestimmen Sie die Summe der folgender Reihen und gegebenenfalls die Werte der Variablen, für die die Reihe konvergiert: 3
9
27
....
(5/2)
....
(5/7)
....
(3a/(a+3) für |a| < 3)
a)
1
b)
1
c)
a
d)
1 3 x 9 x 27 x ....
5 2 5
25 4 25
2
a
3
125 6
125
3
a
9
4
2
a
27
3
(1/(1-3x) für |x| < 1/3)
Seite 418
Übungsbeispiele
2. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit 2.1 Grenzwerte einer reellen Funktion Beispiel 1: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, falls sie existieren: a)
d)
lim
b)
( 2 x)
lim
xo2
c)
( 2 x 3)
xo2
x 2
lim
e)
xo3 x 2
x2 4 x 1
lim xo2
2
lim
25 x
xo4
Beispiel 2: Berechnen Sie folgende Grenzwerte nach geeigneter Umformung , falls sie existieren:
a)
3
x 4
lim
b)
x o 4 x2 x 12
xo2 3
e)
2
xo1
x 5
2
x x 2
lim
( x 1)
h
ho0
x 9
2
( x h) x
lim
2
4 x
lim
c)
2
xo3
2
d)
2
x 27
lim
f)
2
x 4
lim
x o 2 x2 4
Beispiel 3: Die folgenden Funktionen besitzen eine Definitionslücke. Stellen Sie anhand einer Skizze des Graphen fest, von welcher Art die Definitionslücke (Lücke im Funktionsgraphen, Sprungstelle, Polstelle) ist. Geben Sie dort auch, falls vorhanden, den Grenzwert bzw. die einseitigen Grenzwerte an. a)
x
e)
2
x
y=
y=e
b)
y=
f)
y=
3
x 2 x 2
2
x x
c)
y=
g)
y = arctan ¨
x 1
2
d)
y=
h)
y=
x 2 x x
1 x
2
sin ( x) x
§ 1 · © 1 x¹
1 x 1
Beispiel 4: Zeichnen Sie die Signumfunktion sign(x) = -1 für x < 0 und 0 für x = 0 und +1 für x > 0 und geben Sie die beiden einseitigen Grenzwerte an der Stelle x 0 = 0 an: a)
y = sign ( x)
b)
y = sign ª¬( x 1)
2º
¼
Seite 419
Übungsbeispiele
2.2. Stetigkeit von reellen Funktionen Beispiel 1: Skizzieren Sie den Funktionsgraphen und stellen Sie etwaige Unstetigkeitsstellen der Funktion fest. Existieren die Grenzwerte an den Unstetigkeitsstellen ? a)
y=x 1
für x d 1
und
y=x
für x > 0
b)
y = sin ( x)
für x d S/2
und
y = cos ( x)
für x > S/2
c)
y= 4 x
d)
y = x sign ( x 1)
e)
y = ( 1 x) ) ( x)
2
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Konstante c so, dass die folgenden Funktionen stetig sind: a)
y=x c
für x d 1
und
y = x
b)
y = 2x c
für x d 0
und
y=e
für x > 1
x
für x > 0
2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Beispiel 1: Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion y = x 3 - 4 x2 + x + 6 im Intervall [ - 5 , 5 ]. Beispiel 2: Bestimmen Sie alle Extremwerte der Funktion y = x 4 - 2 x - 2 (absolute und relative) im Intervall [ -10 , 10 ] Beispiel 3: Suchen Sie jeweils ein Intervall [a , b] auf, in dem mindestens eine Nullstelle liegt, und bestimmen Sie die Nullstellen.
2.2.2 Verhalten von reellen Funktionen im Unendlichen Beispiel 1: Skizzieren Sie folgende Funktionen und geben Sie an, ob und an welchen Stellen Unstetigkeiten vorliegen, und von welcher Art diese sind. Geben Sie ferner an, an welchen Stellen Asymptoten auftreten. a)
e)
y=
1 x 2 x
y=2
b)
y=
2
1 2
1 x f)
y=
1 cos ( x)
c)
y=
x 4 x 2
3
d)
y=
x 27 x 3 3
im Intervall [-S/2 , 3 S/2]
g)
y=
2
x 1
Seite 420
2
4 x x
Übungsbeispiele
h)
y=
x sin ( x) x
i)
y=
x
x
x
x
e e
j)
50
y=
1
e e
1 e
10
( t 40)
Beispiel 2: Die Kapazität C eines aus zwei konzentrischen Kugelschalen mit den Radien r und r+x bestehenden Kugelkondensators beträgt: C = 4 S H0
r ( r x) x
Daraus wird im Grenzfall x ofeine einzige Kugelschale. Berechnen Sie die Kapazität. Beispiel 3: Wird eine Masse m von der Erdoberfläche in eine Höhe h gehoben, so beträgt die Hubarbeit W = JM m (1/r - 1/h). J = 6.67 10-11 m3 kg-1s-1 ist die Gravitationskonstante, M = 5.97 10 24 kg die Erdmasse und r = 6370 km der Erdradius. a) Berechnen Sie die Arbeit, um eine Masse von m = 10 kg ins "Unendliche" zu heben (h of). b) Berechnen Sie aus W = m v 2 /2 die dazu nötige Abschussgeschwindigkeit von der Erde (Fluchtgeschwindigkeit): Beispiel 4: Für den Einschaltstrom eine Gleichstromkreises gilt für den Strom i = 5 A (1 - e -t/W) mit der Zeitkonstante W = 7.5 ms. Welcher Endwert wird sich für t of einstellen ? Beispiel 5: Für die Erwärmung einer zum Zeitpunkt t = 0 s in Betrieb gesetzten Maschine gilt: - = 5 -0 (1 - 0.8 e-t/W). -0 ist die Anfangstemperatur, W die Zeitkonstante und - die Temperatur zum Zeitpunkt t. Auf welche Betriebstemperatur wird sich die Maschine schließlich erwärmen ?
3. Differentialrechnung 3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Beispiel 1: Untersuchen Sie, ob der Graph der Funktion y = |x 2 - 1| an der Stelle x 0 =-1 bzw. x 0 = 1 eine Tangente besitzt. Stellen Sie die Funktion grafisch dar. Beispiel 2: Untersuchen Sie, ob der Graph der Funktion y = |x | an der Stelle x 0 = 0 eine Tangente besitzt. Stellen Sie die Funktion grafisch dar. Beispiel 3: Berechnen Sie die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion y = - x2 + 2 x + 1 an der Stelle x 0 . Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x 0 = 2. Gibt es einen Punkt am Graphen mit waagrechter Tangente ? Stellen Sie die Funktion und die Tangente an der Stelle x 0 grafisch dar.
Seite 421
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Berechnen Sie die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten sowie die Gleichung der Tangente an der Stelle x 0 : 2
a)
f ( x) = x 2
c)
f ( x) = ( 2 x 1)
2
3
x0 = 2
b)
f ( x) = 2 x 1
x0 = 1
d)
f ( x) =
1
x0 = 1 x0 = 2
x
Beispiel 5: Untersuchen Sie, ob der Graph der gegebenen Funktionen eine waagrechte Tangente besitzt. Ermitteln Sie bei vorhandener waagrechter Tangente die Koordinaten dieses Punktes und stellen Sie die Tangentengleichung auf. a)
y ( x) = ( x 2)
2
2
b)
c)
f ( x) = x x 4
3
2
f ( x) = x x 1
Beispiel 6: Besitzt bei den nachfolgenden Funktionen der Funktionsgraph eine Tangente mit der Steigung k ? Ermitteln Sie bei vorhandener Tangente die Koordinaten dieses Punktes, und stellen Sie die Tangentengleichung auf. a)
f ( x) =
§ 3 x 1· ¨ ©4 ¹
2
k=
1
b)
2
3
2
f ( x) = 2 x x
1 2
x0 = 2
Beispiel 7: Untersuchen Sie die nachfolgenden Funktionen auf Stellen, wo sie nicht differenzierbar ist. Stellen Sie die Funktion grafisch dar, und geben Sie die Stellen in der grafischen Darstellung an. a)
f ( x) = x 1
für
xd1
und
f ( x) = x 3
für
x!1
b)
f ( x) = x 1
für
xd2
und
f ( x) = 2 x 3 für
x!2
c)
f ( x) = x 3
für
xd1
und
f ( x) = x 1
2
2
für
x!1
3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten Beispiel 1: Ein Körper hat gerade den Weg s = 2 m im Freien Fall zurückgelegt. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Fallgeschwindigkeit, wenn der Fallweg a) um 0.5 m und b) um 0.1 m zunimmt. v= 2 g s Beispiel 2: Ein Körper wird zur Zeit t = 0 s aus einer Höhe s 0 = 2 m mit der Geschwindigkeit v 0 = 30 m/s senkrecht nach oben geworfen. Für den zurückgelegten Weg gilt: s(t) = s 0 + v0 t -1/2 g t 2 . Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit (mittlere Änderungsrate des Weges nach der Zeit) für die Zeitintervalle [2s, 2.5s], [2s, 2.01s] und die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = 2 s nach dem Abwurf. Wann erreicht der Körper seine maximale Höhe ? Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
Seite 422
Übungsbeispiele
Beispiel 3: Das Volumen eines Würfels nimmt mit einer Rate von 1 dm 3 pro Minute zu (Volumenstrom). Wie groß ist die mittlere Änderungsrate der Seitenkante, wenn diese gerade 10 dm beträgt ?
3.2 Ableitungsregeln für Funktionen 3.2.1 Ableitung der linearen Funktion Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 . Stellen Sie die Funktion und die Ableitungsfunktion grafisch dar. a)
1
y=
x 2
2
b)
c)
f ( x) = x 1
f ( x) = 2 6 x
Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle t 0 . Stellen Sie die Funktion und die Ableitungsfunktion grafisch dar. d)
s ( t ) = v0 t
e)
v ( t ) = v0 g t
f)
Z ( t) = Z 0 D t
c)
f ( t) = t
g)
g ( x) =
3.2.2 Potenzregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: 3a
a)
y=x
e)
y=x
2
x
2r
b)
f ( x) = x
f)
f ( x) =
x 3
x
4a 3
§ 1 · ¨ 3 ©x ¹
d)
h (z) =
h)
h (z) =
3
z
2
z
Beispiel 2: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Steigung und den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion. a)
y=
3
x
x0 = 2
b)
f ( x) =
1
x0 = 1
x
c)
5
f ( x) = x
x0 = 3
Beispiel 3: An welcher Stelle besitzt der Steigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen den Wert D? a)
2
y=x
D = 30°
b)
f ( x) =
4
x
D = 20°
c)
f ( x) =
1 2
x
Seite 423
D = 30 °
4
3
z
z
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen den Graphen von: a)
2
y=x
y=
b)
x
1
f ( x) =
y=
x
c)
x
g ( x) = x
1
h ( x) =
2
x
Beispiel 5: An welcher Stelle besitzt der Graph von y = 1/x eine Tangente, die parallel zur Geraden y = -x/2 + 2 verläuft ?
3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
2
b)
y = x ln ( 10 )
f ( x) =
c)
2 p x
g ( t) = S t
2
d)
h (s) =
1 3 s 5
Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
3
2
b)
y=x x x
f ( x) =
5 4
6 3
x
x
2 2
4
c)
2 x
2
f ( t) =
x
x
3
3
x
Beispiel 3: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Normale auf den Graphen und stellen Sie den Graphen, die Tangente und die Normale grafisch dar. a)
2
y=x x
b)
x0 = 1
y=
2 10
2
x
1 2
x 1
x0 = 2
Beispiel 4: An welchen Stellen und unter welchen Winkeln schneidet der Graph mit y = x 2 - 4 x + 1 die x-Achse ?
3.2.4 Produktregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
3 3
y= x 1 x 1
b)
1
d)
y=x
3
2
x x
e)
f ( x) =
2
x x 2
.4 · § ¨ 5 1 3 f ( x) = © x x ¹ 5
x
Seite 424
2
c)
g ( x) = x x 1 ( x 1)
f)
g ( x) = x 2
2
2
Übungsbeispiele
3.2.5 Quotientenregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
d)
2
x 1
y=
b)
x 1
y=
e)
1 x
f ( x) =
f ( t) =
x 1
c)
2 x 1t
f)
1t
g ( x) =
g (s) =
x 3
x x
1s 1s
3 3
3.2.6 Kettenregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen:
5 3
2
a)
y= x x
b)
f ( x) =
x ( x 2)
c)
g ( x) =
d)
3 2· § 1 y = ¨ x 2 x ¹ ©
e)
f ( t) =
t2 4 3
f)
g (s) =
2 x 2 x
2 g s
Beispiel 2: Wird Sand von einem Förderband geschüttet, so entsteht ein konischer Sandhaufen (Kegel), dessen Höhe h immer gleich 4/3 des Radius r der Grundfläche ist. a) Wie schnell wächst das Volumen, wenn der Radius r der Basis 1m ist und mit einer Geschwindigkeit von 1/8 cm/s wächst ? b) Wie schnell wächst der Radius, wenn er 2m ist und das Volumen mit einer Geschwindigkeit von 10 4 cm3 /s wächst ?
3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung Beispiel 1: Differenzieren Sie implizit und bestimmen Sie die Ableitung an der Stelle x 0 : a)
c)
2
3
x 2 x y = 1 3
2 y 1 x= 1
x0 = 3
b)
x0 = 0
d)
3
1 x0 = 2
x=1
x0 = 1
x y = x 2 x 3
y
Seite 425
Übungsbeispiele
Beispiel 2: Geben Sie Gleichung der Tangente im Punkt P(x 0 |y0 >0) an: a)
2
2
2
x y = 36
b)
x0 = 2
x
2
9
y
4
2
c)
2
3
y =x
d)
x0 = 1
x
3
=1
x0 = 2
=1
1 x0 = 2
2
y
3
Beispiel 3: Berechnen Sie die Steigung der Tangente im Punkt P 1 : a)
2
P1 (3.12 | - 2.498)
y 2 x= 0
b)
2
( y 3) 8 ( x 2) = 0
P1 (6 | - 2.657)
Beispiel 4: Bilden Sie die 1. Ableitung der gegebenen Funktion über die Umkehrfunktion: 1
a)
y=
3
b)
x
y=x
c)
2
s ( t) =
g 2
t
2
3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: x
a)
3x
t
e)
b)
y=e
y=
4x
f ( x) = 4 e
t
e e 2
c)
f ( u) =
2
d)
x 1
h ( x) = 2
2t 1
e u
2
g ( x) = e
u
f)
2
u
g)
3
g ( t) = 4
x 1
h)
h ( x) = e
x
e e
Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen:
a)
y = ln ( 2 x 1)
e)
y = lg ¨
§ 10 · © x¹
x
b)
f ( x) = ln
f)
f ( u) = ln ( ln ( u) )
c)
g ( x) = ln x 1
2
d)
h ( x) = lg x 1
g)
g ( t ) = ln ¨
§ 1 t· © 1 t¹
h)
h ( x) = ln ( 3 x 4)
Seite 426
2 2
Übungsbeispiele
i)
2
x
j)
y=x e
f ( u) =
2
ln u
u
2z
2t
k)
g ( z ) = z ( z 3) e
l)
h ( t) = ( 3 t) e
o)
g ( t) = A 1 e
p)
h ( t) = ( A B t) e
t)
§ t· T R ( t) = e © ¹
w)
y = ln © x
d)
h ( x) = x
e m)
q)
u)
Bt
B( x C)
1 k
f ( t) = A e
2
y= Ae
M ( t) =
Bt
n)
y= Ae
C
2
Px
r)
s)
I ( x) = I0 e
g ( r) =
Bt
rs
v)
v ( s ) = vs
t 3
1 r s t
1e
b
¨
2k
ln ( k Z t 1)
Ct
s m
§
2
2
·
x 1¹
Beispiel 3: Bilden Sie die 1. Ableitung an der Stelle x 0 = 2: a)
2x
x
b)
y=x
c)
f ( x) = x
g ( x) = ( 1 3 x)
x
2x 1
Beispiel 4: Zeigen Sie durch Logarithmusbildung und Differenzieren, dass für die Funktion y = x n gilt: y' = n xn-1.
3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
y = sin ( 5 x)
e)
y = t sin ( t)
2
§x· © 2¹
b)
f ( x) = 2 cos ¨
f)
f ( x) = e sin ( x)
x
c)
f ( t ) = sin ( t)
g)
g ( x) =
2
sin ( x cos ( x) ) x
2
d)
h ( z ) = tan ( z )
h)
h ( x) = x sin ( x)
l)
x ( t ) = sin ¨
p)
y=
t)
y=
2 e i)
y = cos ( x) 3 tan ( x) j)
m)
y = cos ( x) sin ( x)
q)
y=
u)
y=
1 tan ( x)
tan ( x)
2 tan ( x) 1 tan ( x)
2
f ( x) =
sin ( x) 2 cos ( x)
3
n)
y = x tan ( x)
r)
y=
v)
y=
x 1 cos ( x) cot ( 3 x) tan ( x)
sin ( x)
k)
g ( x) =
o)
y = cos ( x) sin ( x)
s)
y=
x 2
sin ( x) cos ( x) sin ( x) cos ( x)
2
§ t S· ©2 4¹
1 sin ( x) cos ( x) cos ( x) t
x
w)
Seite 427
y=
§ 1 · sin ( x) ¨ © 2¹
tan ( x)
x)
y= 3 e
2
sin ( 2 t )
Übungsbeispiele
y)
3
y = x sin ( x)
2
z)
y ( t ) = r sin ( Z t)
J)
y = cot ( t) 2 tan ( t)
D)
i ( t ) = I0 sin ( Z t M )
t
E)
y= 3 e
2
sin ( 2 t )
2
2
Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 . Stellen Sie die Funktion und die Ableitungsfunktion grafisch dar. S a) b) y = sin ( x) x0 = f ( x) = sin ( 2 t) 2
x0 = S
c)
§x· © 2¹
S x0 = 4
f ( x) = 3 sin ¨
Beispiel 3: In welchem Punkt bzw. Punkten des Graphen hat in [0, 2 S] die Tangente die Steigung k ? a)
y = sin ( x)
k=
1 2
b)
f ( x) = sin ( 2 t)
k = 0.8
c)
f ( x) = 2 x cos ( x)
k=1
Beispiel 4: Beim schrägen Wurf gelten folgende Beziehungen: g 2 y = v0 sin ( D ) t t y0 2
x = vo cos ( D ) t x0
Wie groß sind die Geschwindigkeiten in der x- und y-Richtung ? Beispiel 5: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Steigung und den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion. a)
y = cos ( x)
x0 = 0
b)
f ( x) = tan ( x)
x0 = 0
c)
f ( x) = cot ( x)
x0 = 1
Beispiel 6: An welcher Stelle besitzt der Steigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen den Wert D? a)
y = sin ( 2 x)
D = 30° b)
f ( x) = tan ( 2 x)
D = 20°
Beispiel 7: Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen den Graphen von: a)
y = sin ( x)
y = cos ( x)
für 0 < x S
b)
f ( x) = cos ( x)
y = tan ( x)
für 0 < x S/2
Seite 428
c)
§x· © 2¹
f ( x) = cot ¨
D = 10°
Übungsbeispiele
Beispiel 8: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Normale auf den Graphen und stellen Sie die Funktion, die Tangente in x0 und die Normale in x 0 grafisch dar. a)
y = sin ( x)
b)
x0 = S
S x0 = 2
y = cos ( x)
Beispiel 9: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
d)
g)
b)
y = arcsin ( 2 x)
y=
arctan ( x)
e)
x
2
f ( x) = arccos x
arcsin ( x)
f ( x) =
x
g ( x) = arctan x x
f)
§ x3 · g ( x) = arctan ¨ x ©2¹
i)
g ( x) = arctan © x 1¹
e h)
y = x arccot ( x)
f ( x) = tan ( x) arcsin ( x)
2
c)
1
§
2
Beispiel 10: Ermitteln Sie die Steigung im Punkt P 1 : a)
sin ( x y) 1 = 0
b)
y=x
xsin( x)
P1 (1/2 | S) P1 (3 | y1 )
3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
y = sinh ( 2 x)
b)
f ( x) = 3 cosh ( 5 x)
d)
y = tanh e
kx
e)
f ( x) =
g)
y = x coth x
h)
f ( x) = ln ( x) cosh ¨
2
sinh ( 4 x) 2 x
§ x · © x 1¹
§x· © 2¹
c)
g ( x) = tanh ¨
f)
g ( x) = cosh ( x) sinh ( x)
i)
g ( x) = cos ¨ sinh ¨
2
§ x ·· © 2 ¹¹
§ ©
Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)
§x· © 4¹
y = arsinh ¨
b)
f ( x) =
3
arcosh x 2
x
Seite 429
c)
§ 2 x· © 2 x¹
g ( x) = artanh ¨
2
·
Übungsbeispiele
d)
§ 1 ·
e)
y = arcoth ( 3 x)
f ( t ) = arcosh ¨
2
§ s · ¨© 1 s 2 ¹
f)
g ( s ) = artanh ¨
i)
g ( x) =
c)
y = 3 x 4 x x 1
©1 t ¹
g)
2
x
h)
y = x e arsinh ( x)
§ x · artanh x4 © 2¹
f ( x) = ln ¨
arcoth ( x 2) sin ( x)
3.2.11 Höhere Ableitungen Beispiel 1: Berechnen Sie alle Ableitungen bis zu jener, die identisch null ist: a)
2
b)
y= x 6 x 3
4
3
y= x 3 x 2 x 2
5
3
Beispiel 2: Geben Sie die 2. Ableitung an der Stelle x 0 = 2 an: a)
y=
1 2
b)
y=
f)
y=
2 x 1
3x
c)
y=e
g)
y = sin ( x)
1 2 x
d)
y=
h)
y=e
1 x
x e)
y=
x sin ( x) x
1 2 x
cos ( 3 x)
3
0.5x
sin ( 4 x)
Beispiel 3: Für welche Polynomfunktion 3. Grades ist f(a) = - 1, f '(a) = 0, f ''(a) = 2 und f '''(a) = 6 ? Beispiel 4: Die Steigung der Tangente einer Polynomfunktion 2. Grades ist an der Stelle x = 2 gleich 5. Der Punkt P(2|4) liegt auf dem Graphen und die zweite Ableitung ist identisch gleich 4. Wie lautet die Gleichung der Polynomfunktion ? An welcher Stelle besitzt der Graph eine waagrechte Tangente ? Beispiel 5: Zeigen Sie, dass y = e - 3x sin(4 x) und y = e - 3x cos(4 x) die Differentialgleichung y'' + 6 y' + 25 y = 0 erfüllen ? Beispiel 6: Untersuchen Sie, ob y = sin(x) , y = cos(x), y = sinh(x) bzw. y = cosh(x) die Differentialgleichung yd) - y = 0 erfüllt ?
Seite 430
Übungsbeispiele
Beispiel 7: Das Weg-Zeit-Gesetz während des Abbremsens eines Kraftfahrzeuges lautet: s = 40
m s
m
t 1.5
s
2
t
2
a) Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit Gesetz ? b) Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung bei Bremsbeginn ? c) Wie lang ist der Bremsweg bis zum Stillstand ?
3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Beispiel 1: Bilden Sie die Ableitungen y' und y'' der folgenden gegebenen Funktionen in Parameterdarstellung. Führen Sie auch die Parametergleichungen in eine kartesische Form über. Stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. 2
a)
x( t) = t 1
c)
x( t) = e
e)
x( t) = e
g)
x( t) = e e
y( t) = t 1
t
y( t) = 1 t
at
t
2
at
y( t) = e t
t
t
y( t) = e e
1
2
b)
x( t) =
d)
x ( t ) = cos ( t)
y ( t ) = sin ( t)
f)
x ( t ) = ln ( t)
y( t) =
h)
x( t) = 2 t
y( t) = t e
2t
y( t) = t
1
2
§ 2 ©
¨t
1· t
¹
t
Beispiel 2: Stellen Sie die Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt P mit dem Parameter t auf. Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. a)
t
x( t) = 2 e
t
y( t) = e
t=0
b)
x ( t ) = 2 cosh ( t)
y ( t ) = sinh ( t )
t=2
Beispiel 3: Bestimmen Sie die waagrechten und senkrechten Tangenten der gegebenen Funktion. Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. a)
x ( t ) = 2 cos ( t)
b)
y ( t ) = 2 sin ( t)
x ( t ) = 2 5 cos ( t)
y ( t ) = 1 3 sin ( t)
Beispiel 4: Bestimmen Sie die Tangenten und die Steigungswinkel der gegebenen Funktion im Ursprung des Koordinatensystems. Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. x ( t ) = sin ( t)
y ( t ) = sin ( 2 t)
0 dt <2S
Seite 431
Übungsbeispiele
Beispiel 5: Bestimmen Sie die Punkte mit waagrechten Tangenten der gegebenen Funktion (Kardioide). Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. x ( t ) = 2 sin ( t) sin ( 2 t)
y ( t ) = 2 cos ( t) cos ( 2 t)
0 dt <2S
Beispiel 6: Ein Körper wird in einer Höhe h = 10 m zum Zeitpunkt t = 0 s mit einer Geschwindigkeit v0 = 20 m/s unter einem Winkel von D = 35 ° abgeschossen. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Für die Bahnkurve gilt: x ( t ) = v0 t cos ( D )
1 2 y ( t ) = h v0 t sin ( D ) g t 2
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in horizontaler und vertikaler Richtung. b) Wie groß ist die Geschwindigkeit, wenn der Körper am Boden auftrifft ? c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels der Bahnkurve.
3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung Beispiel 1: Wie lautet die Kurvengleichung in kartesischen Koordinaten ? Stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. a)
r(M ) =
2
b)
cos ( 2 M )
r ( M ) = 4 cos ( M )
c)
r(M ) =
2 1 cos ( M )
Beispiel 2: Wie lautet die Kurvengleichung in Polarkoordinaten ? Stellen Sie diese Funktionen im kartesischen und im Polarkoordinatensystem dar. 3
a)
y= 3 x 2
b)
2
2
x y 4 x= 0
c)
y=x
2
Beispiel 3: Berechnen Sie r' und bestimmen Sie den Steigungswinkel <. Stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. a)
r(M ) = 5 M
2
b)
r(M ) =
2 sin ( M )
Seite 432
Übungsbeispiele
3.2.14 Krümmung ebener Kurven Beispiel 1: Bestimmen Sie den Krümmungsmittelpunkt und den Krümmungsradius der gegebenen Funktionen:
a)
x
2
2
3
3
y
2
=a
3
im Punkt P1 (a/2 | y 1 > 0)
2
b)
x( t) = a
t 1 2
t 1 2
y( t) = a t
im Punkt P1 (a/2 | y 1 < 0)
t 1 2
t 1 Beispiel 2: Wie groß sind die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Punkt der gegebenen Funktion? Stellen Sie die Funktion, die Krümmung und die Krümmungsmittelpunkte in einem Koordinatensystem dar. a)
x
b)
y=e
x ( M ) = 2 cos ( M )
y ( M ) = 2 sin ( M )
Beispiel 3: Wie groß sind Krümmung und Krümmungsradius in einem beliebigen Punkt der gegebenen Funktion r(M) = 4 M ? Stellen Sie die Funktion, die Krümmung und die Krümmungsradien in einem Koordinatensystem dar.
3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken Beispiel 1: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: 2
a)
d)
lim
x 1
xo1 x 1
lim
sin ( 2 x) x
xo0
g)
lim xo0
( x ln ( 2 x) )
2
b)
e)
lim
x o 2 x2 3 x 10
lim
lim
x
c)
f)
x
xof e
h)
lim
e
xof x
lim
xof x 5
lim
x2 x
i)
lim
lim
x e x x
x
xof x
k)
x 2
xof
xof x
j)
x 3 x 2
e
x o f cosh ( x)
Seite 433
l)
lim xof
ln ( a x) 2
x b
Übungsbeispiele
Beispiel 2: Für die Auslenkung eines gedämpften Federpendels gilt:
y( t) =
v0 Z
G t
e
sin ( Z t)
Z ... Kreisfrequenz, v0 ... Anfangsgeschwindigkeit, G ... Dämpfungsfaktor
Bei größer werdender Dämpfung G geht Z gegen null oder die Schwingungsdauer T gegen unendlich. Ermitteln Sie für diesen aperiodischen Grenzfall y(t). Beispiel 3: Für den freien Fall eines Körpers gilt unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes für die Fallgeschwindigkeit und den Fallweg:
v( s) =
mg k
2ks · § ¨ m ©1 e ¹
s ( t) =
m k
§ ©
§ ©
ln ¨ cosh ¨ t
k g ·· m
¹¹
Leiten Sie durch den Grenzübergang von k o0 das entsprechende Gesetz für den freien Fall ohne Luftwiderstand her.
3.3 Kurvenuntersuchungen Beispiel 1: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktionen grafisch dar. 2
a)
f ( x) = x 3 x 2
c)
g ( x) = x 2 x 5 x 8
3
2
3
2
4
3
b)
y = x 5 x 8 x 12
d)
y= x 2 x
Beispiel 2: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktionen grafisch dar. a)
y= x 1
b)
f ( x) = x 2
2
Beispiel 3: Ermitteln Sie die Gleichung y = a x2 + b x + c einer Polynomfunktion 2. Grades mit Scheitel S(x | 2). Die Ableitungsfunktion dieser Funktion lautet: y' = 2 x + 1. Beispiel 4: Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades besitzt den Hochpunkt H(1 | 7) und der Wendepunkt W(2 | 4). Wie lautet die Funktion ? Beispiel 5: Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades besitzt einen Wendepunkt W(2 | 1) mit einer zur x-Achse parallelen Tangente und einen Punkt P(3 | 2). Wie lautet die Funktion ?
Seite 434
Übungsbeispiele
Beispiel 6: Gegeben ist die Gleichung der elastischen Linie eines beidseitig eingespannten Trägers mit einer Gleichlast q und einer Länge L. Bestimmen Sie die größte Durchbiegung, die Lage des Wendepunktes und die Steigung der Wendetangente. Stellen Sie das Problem grafisch dar. 3
y ( x) =
2
§ x · §1 x · ¨ 24 E I © L ¹ © L¹ q L
2
Annahme:
¨
q
L = 3 m
EI
= 0.007 m
4
Beispiel 7: Ein einseitig eingespannter Träger in A mit einfachem Auflager in B , gleichmäßig verteilter Belastung q und einer Länge L erfährt ein Biegemoment M(x). Gesucht ist die Lage und Größe des maximalen Biegemoments zwischen den Auflagern. Stellen Sie das Problem grafisch dar. M ( x) =
1 8
2
q L
5 8
q L x
1 2
2
Annahme:
q x
L = 4 m
q = 5 kN
Beispiel 8: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Lücken, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. 2
a)
d)
y=
y=
3
x
b)
x 1
y=
3
x 1
c)
x
y=
e)
x 2
y=
2
x 5 x 4 2
x ( x 4)
2
x 5 x 8 x 16
3
1 x
f)
2
y=
1 x
x 8 2
2 x
Beispiel 9: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Lücken, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x
a)
y=
ln ( 2 x) x
b)
y = ( x 1) e
e)
y=
h)
y=
k)
y= 7 e
x
x
d)
y=
g)
y = x
j)
y= 5 e
2
e
2
4 x x
4t
2 e
e
2 x 2
2
x 4
t
x 4
4t
e
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1
c)
y=x
f)
y = x ln ¨
i)
y=
l)
y = e
x
2
t
2
x!0
2 x
§ 4· ©x¹
x x 2 t
4t
4 e
Übungsbeispiele
Beispiel 10: Berechnen Sie die Krümmung und den Krümmungsradius in x 0 . Stellen Sie den Krümmungskreis und die Funktion grafisch dar 2
1
a)
y=x
x0 = 0
b)
y=
d)
y = sin ( x)
S x0 = 2
e)
y = cosh ( x)
x
x0 = 1
c)
y=
x0 = 0
f)
y = tanh ( x)
x
x0 = 1 x0 = 1
Beispiel 11 Diskutieren Sie die standardisierte Normalverteilung im Intervall [- 3, 3]:
1
M ( u) =
2S
e
u
2
2
Beispiel 12: Die Kosten für die Herstellung eines bestimmten elektrischen Bauteils betragen in €: K(x) = 0.00001 x3 - 0.023 x2 + 24 x + 3300, 0 d x d 2000 Stück. a) Wie groß sind die Kosten für 1600 Bauteilen ? Wie groß sind in diesem Fall die durchschnittlichen Kosten pro Einheit ? b) Stellen Sie über die Grenzkosten fest, wie viel bei einer gegebenen Produktion von 200, 800 sowie 1500 Bauteilen die nächste produzierte Einheit kosten würde. Beispiel 13: Eine Firma stellt PKW-Anhänger her. Sie könnte wöchentlich bis zu 20 Anhänger herstellen. Die Kosten betragen (Geldeinheit = 100 €): K(x) = 0.1 x 3 - 2.5 x 2 + 25 x + 10, 0 d x d 20 Stück. a) Wie groß sind die durchschnittlichen Kosten bei der Herstellung von 8 Anhängern ? b) Stellen Sie mithilfe der Grenzkosten fest, was es der Firma zusätzlich kostet, wenn es die wöchentliche Produktion von 10 Anhängern auf 11 erhöht. Beispiel 14: Bestimmen Sie aus der Kostenfunktion K(x) die Gewinnschwellen und den optimalen Erfolg (max. Gewinn bzw. min. Verlust) für einen Verkaufspreis von a) 40 GE/ME , b) 2 0 GE/ME, c) 10 GE/ME. 3
2
K ( x) = x 10 x 40 x 50 Beispiel 15: Geg.:
3
2
K ( x) = 0.2 x 31 x 2250 x 40000
Kostenfunktion
n ( x) = 2550 x
Nachfragefunktion
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für den Erlös und Erfolg. b) Wo liegen die Gewinnschwellen und der maximale Gewinn ? c) Wo liegt die langfristige und die kurzfristige Preisuntergrenze ?
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Übungsbeispiele
Beispiel 16: Gegeben ist ein gedämpftes Feder-Masse System. Das System beginne zur Zeit t = 0 s mit einer Geschwindigkeit v 0 = 20 cm/s zu schwingen. Die Eigenfrequenz betrage Z0 = 2 s-1. Untersuchen Sie den Schwingungsverlauf: 1
a)
G = 2 s
b)
G = 2.5 s
= Z0
1
G t
aperiodischer Grenzfall
y ( t ) = v0 t e y( t) =
v0 2
Gt
e
2
§ ©
sinh t
G Z0
Beispiel 17:
2·
2
G Z0
Kriechfall (aperiodischer Fall)
¹
Die augenblickliche Wechselstromleistung ist gegeben durch: p(t) = u(t) i(t). Untersuchen Sie für u(t) = U0 sin(Z t) und i(t) = I0 sin(Z t + M) den zeitlichen Verlauf von p(t) innerhalb einer Periode, wenn U0 = 5 V, I0 = 1 A, Z = 1 s-1 und M = 60° sind. Beispiel 18: Untersuchen Sie den Stromverlauf für R = 50 :, R = 200 : sowie für R = 250 :eines elektrischen Reihenschwingkreises mit L = 1 H und C = 100 PF. Zum Zeitpunkt t = 0 s beginnt sich der mit U0 = 100 V aufgeladene Kondensator zu entladen. G=
R 2 L
Dämpfungskonstante
1
Z0 =
G < Z0 : Schwingfall
i ( t) =
G = Z0 : Aperiodischer Grenzfall
i ( t) =
G > Z0 : Kriechfall (aperiodischer Fall)
i ( t) =
U0 L Z U0 L
Gt
e
sin ( Z t)
Z=
2
Z0 G
2
G t
te
U0 L
Beispiel 19:
Eigenfrequenz
L C
2
Gt
2
e
sin
G Z0
§ G 2 Z 2 t· 0 © ¹
Untersuchen Sie den Stromverlauf für R = 50 :, R = 200 : sowie für R = 250 :eines elektrischen Reihenschwingkreises mit L = 1 H und C = 100 PF. Zum Zeitpunkt t = 0 s beginnt sich der mit U0 = 100 V aufgeladene Kondensator zu entladen. Beispiel 20: Die Festigkeit eines Stoffes ist durch seinen kristallinen Aufbau bedingt, wobei bei einem idealen Festkörper die Atome an genau definierten Punkten des Kristallgitters sitzen. Diese regelmäßige Anordnung verleiht dem Festkörper die charakteristischen Eigenschaften wie Härte und Festigkeit. Laborversuche zur Ermittlung der Materialeigenschaften sind bei der Prüfung eines Werkstoffes und bei der Qualitätskontrolle unerläßlich. Mit der Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallgittern (1912 Max von Laue) kann der Werkstoff zerstörungsfrei geprüft werden. Dabei lässt sich die Strahlungsintensität nach der Formel I()) = Imax (sin()))2 /)2 berechnen. Zur Abschätzung der Werkstoffgüte (Auffinden etwaiger Störstellen) ist die Kenntnis des genauen Kurvenverlaufes unumgänglich. a) Zeigen Sie I(0) = Imax b) Nullstellen c) Beugungsmaxima d) Wie groß ist die Halbwertsbreite E, d.h. der Abstand der Wendepunkte e) Stellen Sie die Intensität im Bereich [- 4 S, 4 S] grafisch dar.
Seite 437
Übungsbeispiele
3.4 Extremwertaufgaben Beispiel 1: Ein Rechteck hat einen Umfang von 20 cm. Welches dieser Rechtecke ergibt bei Rotation um die Seite b = x einen Zylinder mit maximalen Volumen ? Beispiel 2: Einer Kugel mit Radius r soll axial ein Zylinder mit maximalem Volumen eingeschrieben werden. Wie lauten die Maße dieses Zylinders ? Beispiel 3: Welcher Punkt P 0 des Funktionsgraphen y = x 2 - 9/2 hat vom Ursprung minimalen Abstand d ? Beispiel 4: Einem Kegel mit der kreisförmigen Grundfläche (r = 5 dm und H = 12 dm) soll ein Zylinder mit maximalen Volumen (Radius x und Höhe y) eingeschrieben werden. Welche Maße hat der Zylinder, und in welchem Verhältnis stehen Kegelvolumen und Zylindervolumen ? Beispiel 5: Ein Potentiometer mit R = R 1 + R2 ist an eine konstante Spannung U angeschlossen. Wie ist R3 zu wählen, sodass die von R 3 aufgenommene Leistung P 3 ein Maximum wird ? 2
2
p R3 U
u1
P3 R3 = = R3 R1 = 120 :
ª R R R p p2 º 1 2 ¬ 3 ¼ R2 = 480 :
p=
R1
R1 R2
U = 300 V
Beispiel 6: Gegeben ist ein Spannungsteiler. Wie ist der Widerstand Ra zu wählen, sodass die von R a aufgenommene Leistung P ein Maximum wird ? 2
2
P Ra = U I = I Ra =
U0 = 6 V
U0 Ra
Ra Ri 2
Ri = 1 :
Seite 438
Übungsbeispiele
Beispiel 7: Durch zwei parallele Drähte im Abstand a = 5 cm fließen die gegensinnigen Ströme I 1 = 2 A und I2 = 2.5 A. In welchem Punkt ist die magnetische Feldstärke H = H 1 + H2 minimal ? I
H=
2 S r
magnetische Feldstärke für einen Leiter
Beispiel 8: In einem Wechselstromkreis sind ein ohmscher Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet. Beim Anlegen einer Wechselspannung mit dem Effektivwert U und der Kreisfrequenz Z fließt ein Wechselstrom mit dem Effektivwert U I= . Bei welcher Kreisfrequenz Z ist I am größten ? 1 · 2 § R ¨Z L Z C¹ © Beispiel 9: Der Wirkungsgrad eines Transformators ist gegeben durch: P M ( P) = (Pt 0 W). 5 1 2 W P 250 W P 6 10 Bei welcher vom Transformator abgegebenen Leistung P ist der Wirkungsgrad am größten ? Beispiel 10: Eine Lampe mit der Lichtstärke I befindet sich in einer Höhe h über dem Punkt A auf einem Schreibtisch. Die Beleuchtungsstärke E im Punkt P auf dem Schreibtisch soll möglichst groß sein. Bestimmen Sie die optimale Höhe h, für die die Beleuchtungsstärke möglichst groß ist.
E=I
sin ( M ) 2
r
a = 50 cm
Beispiel 11: Durch eine Düse austretender Wasserstrahl trifft mit einer Geschwindigkeit w auf das Schaufelrad einer Pelton-Turbine und gibt dabei seine kinetische Energie an das Schaufelrad ab. Das Laufrad hat im Schaufelbereich eine Umfangsgeschwindigkeit u. Für die abgegebene Leistung des Wasserstrahls gilt: P ( u) = U A ( 1 cos ( D ) ) w ( w u) u . Dabei ist U die Dichte des Wassers, A der Austrittsquerschnitt der Düse und D der Umlenkungswinkel des Wasserstrahls. Für welche Umfangsgeschwindigkeit u ist P am größten ?
Seite 439
Übungsbeispiele
Beispiel 12: Für die Dimensionierung eines Heißwasserspeichers ist die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme c(t) von Wasser erforderlich: J J J 2 c ( - ) = 4212.5 2.117 - 0.0311 - , 0°C d - d 50°C. 2 3 kg °C kg °C kg °C Wo hat c(t) einen Extremwert ? Beispiel 13: Für den Bau von Sonnenkollektoren ist die Kenntnis der Energieverteilung E der Sonnenstrahlung in Abhängigkeit der Wellenlänge O des Sonnenlichts von Bedeutung. Den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge intensivster Sonnenstrahlung Omax und der dazugehörigen Temperatur T beschreibt das sogenannte Wiensche Verschiebungsgesetz: Omax T = b. Die Konstante b ist zu bestimmen. Das Emissionsvermögen E(O) eines schwarzen Körpers ergibt sich aus dem Planckschen Strahlungsgesetz:
· § ch c h ¨ kO T E (O ) = ©e 1¹ 5
1
2
.
O
3.10 8
c= m/s ... Vakuumlichtgeschwindigkeit ; h = 6.626 . 10 k = 1.387 . 10 - 23 JK-1 ... Boltzmann Konstante.
- 34
Js ... Plancksches Wirkungsquantum
a) Bestimmen Sie Omax, d.h. jenes O für das E maximal wird; Hinweis: eventuell Substitution x =
ch
, kOT b) Berechnen Sie die Konstante b im Wienschen Verschiebungsgesetz, c) Berechnen Sie die Wellenlänge intensivster Sonnenstrahlung (T = 6000 K), d) Stellen Sie E(O) für T = 3000K, 4000K, 5000K und 6000K in einem Koordinatensystem dar (O = 0 nm ... 2000 nm). Beispiel 14: Eine Eisenschraube mit der Reibungszahl P = tan(M) = 0.2 und dem Steigungswinkel D besitzt den Wirkungsgrad K=
tan ( D )
. tan ( D M ) Bestimmen Sie den Steigungswinkel, bei dem der Wirkungsgrad maximal wird. Stellen Sie das Problem im Bereich 0° d D d 60° grafisch dar.
Seite 440
Übungsbeispiele
Beispiel 15: Wie muss ein Balken mit rechtwinkeligen Querschnitt der Länge L und dem Durchmesser d sein, damit seine Tragfähigkeit F ein Maximum wird ? Die Tragkraft ist vom Widerstandsmoment W abhängig: 2
F L = W Vb
F ( b h) =
Vb W L
und
W=
b h 6
2
=
Vb b h 6 L
Beispiel 16: An welcher Stelle x [0, L] ist das Biegemoment M(x) eines Balkens mit zwei Stützen im Abstand L am größten, wenn a) M(x) = q/2 (L - x) x (kostante Streckenlast q), b) M(x) = q/6 x (L - x2 /L) (Dreieckslast, die von 0 auf den Wert q linear steigt; x ist der Abstand vom linken Auflager) Beispiel 17: Eine Sammellinse mit der Brennweite f erzeugt von einem Gegenstand G ein reelles Bild B. es gilt: 1/f = -1/g +1/b (g ... Gegenstansweite, b ... Bildweite). Wo müssen G und B liegen, damit e = - g + b möglichst klein wird ? Beispiel 18: In der kinetischen Gastheorie spielt die Maxwell-Verteilung M(c) eine wichtige Rolle. Berechnen Sie das Maximum der Funktion für die Konstante D = 1. c
M (c) =
4 S
c
2
D
3
e
D
2
2
3.5 Das Differential einer Funktion Beispiel 1: Berechnen Sie das Differential der Funktion an der Stelle x 0 : 3
1
a)
f ( x) = 2 x x
x0 = 2
b)
y=
c)
g ( x) = cos ( x)
S x0 = 3
d)
y=e
x0 = 1
e)
g ( x) = x ln ( x
x0 = 1
f)
y = sinh ( x)
x0 = 2
1 2 x 2x
Seite 441
x0 = 2
Übungsbeispiele
3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung Beispiel 1: Berechnen Sie 'y und dy für: 2
x 3
a)
f ( x) =
b)
y=
c)
y = cos ¨ 2 x
2
x 1 x 1
§ ©
S· 2¹
x0 = 1
dx = 0.01
und
dx = 2
x0 = 2
dx = 0.05
und
dx = 0.1
x0 = 0
dx = 0.02
und
dx = 0.2
Beispiel 2: Berechnen Sie mit der Linearisierungsformel : 3
2
a)
f ( x) = x 2 x 4
b)
y = sin ( 30.2°)
für
x = 2.05
Beispiel 3: Berechnen Sie mit dem Mittelwertsatz : a)
f ( x) = lg ( 9.92)
b)
y = sin ( 10.1°)
Beispiel 4: Berechnen Sie näherungsweise: 2
a)
0.95
f)
e
0.07
b) g)
3
2
1.09
c)
5.1
d)
sin ( 0.01)
e)
cos ( 87.9°)
tan ( 3.94°)
Beispiel 5: Beim Erwärmen einer Kugel mit einem Durchmesser von 20.0 cm vergrößert sich dieser um 1 mm. Berechnen Sie die Volumszunahme exakt und in der Näherung durch das Differential. Beispiel 6: Der elektrische Widerstand eines Heizkörpers, der an eine Spannung von U = 230 V angeschlossen ist, beträgt R = 75 :. Um wie viel Prozent ändert sich der durchfließende Strom I = U/R, um wie viel die Leistung P = U 2 /R, wenn die Spannung um 5 V abfällt ? Beantworten Sie die Fragestellung exakt und in der Näherung durch das Differential. Beispiel 7: Ein ungedämpfter elektrischer Schwingkreis besteht aus Kondensator der Kapazität C = 5 PF und einer Spule der Induktivität L = 0.2 H. Die Schwingungsdauer T für die Stromstärke i(t) wie auch für die Kondensatorspannung uC beträgt nach der Thomson-Formel T = 2 S L C . Berechnen Sie exakt und in der Näherung durch das Differential die Änderung von T, wenn sich C um 0.1 PF sowie um 0.5 PF ändert (L bleibt konstant).
Seite 442
Übungsbeispiele
3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung Beispiel 1: Die Kante eines Würfels misst a = 13.60 cm r0.5 mm. Wie groß sind der absolute und der relative Maximalfehler des Volumens ? Bestimmen Sie die Fehler auch exakt mithilfe der Wertschranken. Beispiel 2: Für die Fallhöhe h eines Körpers wurde 50.0 m gemessen, wobei ein Fehler von r0.5 m für möglich gehalten wird. Wie groß sind der absolute und der relative Maximalfehler für die Aufschlagsgeschwindigkeit v, wenn v = 2 g h gilt ? Beispiel 3: Für kleine Ausschläge eines mathematischen Pendels mit der Pendellänge l gilt für die Schwingungsdauer: l
T = 2 S
g
. berechnen Sie den relativen Maximalfehler von T, wenn 'l der Messfehler von l ist.
Beispiel 4: Wie groß ist die Kapazität einer geladenen Kugel vom Radius r = 10.00 cm r0.05 cm, wenn C = 4 S H0 r gilt und H0 = 8.86 10-14 As/Vcm ist ? Beispiel 5: Wie groß ist der Leitwert G, wenn der Widerstand mit R = (650 r5) : gemessen wird ? Beispiel 6: Das Volumen eines Würfels soll durch Messung seiner Seitenkante auf 3% genau bestimmt werden. Wie groß darf in diesem Fall die prozentuelle Messunsicherheit der Seitenkante höchstens sein ?
3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 3.6.1 Das Newton-Verfahren Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen auf drei Nachkommastellen: 3
3
a)
x x 1=0
b)
x 3 x 3 = 0
d)
x ln ( x) = 0
e)
x=e
g)
x ln ( x) = 2
h)
e
j)
x e
k)
2 x=2
2
2
x
=1
x
x
=
x 3
0.8
x
2
x 3 x 1 = 0
f)
x = 1 sin ( x)
i)
2
l)
Seite 443
4
c)
x
1 x
§x· = 3 © 2¹
sin ¨
lg ( x)
x 1=2
Übungsbeispiele
Beispiel 2: Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen auf drei Nachkommastellen genau und faktorisieren Sie danach das Polynom: a)
3
2
3
b)
x 4 x x 5 = 0
2
x x 10 x 5 = 0
c)
3
2
0.5 x x 3 x 1 = 0
Beispiel 3: Auf ein Sparbuch werden zu Beginn jeden Jahres K 0 = 1000 € eingezahlt. Wie groß ist die Verzinsung p (in % auf zwei Nachkommastellen genau), wenn das Endkapital beträgt: a) K 3 = 3215 € nach 3 Jahren, b) K 9 =9085 € nach 9 Jahren. n
q 1 Kn = K0 q mit q = 1 - p/100. q 1 Beispiel 4: Gegeben ist die Kostenfunktion eines Betriebes mit K(x) = x 3 - 14 x2 + 90 x + 145. a) Bei welcher Stückzahl sind die Durchschnittskosten K(x)/x am Geringsten (Betriebsoptimum) ? b) Bestimmen Sie die Gewinnschwellen, wenn zwischen Preis und abgesetzter Warenmenge x die Beziehung p = 155 - 9 x angenommen wird. Beispiel 5: Ein liegender zylindrischer Öltank faßt V = 2500 l Öl. Wie hoch steht das Öl, wenn V 1 = 1500 l eingefüllt sind ? Beispiel 6: Ein halbkugelförmiger Behälter mit dem Radius r = 50 cm wird mit Wasser gefüllt. Wie hoch ist der Wasserstand im Behälter, wenn 50% des Gesamtvolumens eingefüllt werden.
3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi) Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen auf drei Nachkommastellen: 3
2
b)
x ln ( x) = 2
sin ( 2 x) = 1 x
e)
cos ( 2 x) = x 1
2 x = tan ( x)
x [1, 2]
a)
x x 1=0
d)
g)
2
2
2
c)
x
f)
2 =1x
h)
tan ( D ) 0.25 = 0.5 sin ( D )
x=4
x
D [0°, 60°]
Beispiel 2: Ein Leitungsseil ist in einer Höhe h = 8.0 m auf zwei Masten befestigt, die voneinander einen Abstand von 50.0 m haben. Die Seilkurve ist durch y = a cosh(x/a) + b gegeben. Berechnen Sie a, wenn der größte Seildurchhang 1.5 m beträgt.
Seite 444
Übungsbeispiele
Beispiel 3: Der Rauminhalt eines geraden Zylinders beträgt V = 2065 cm 3 , die Oberfläche O = 1364 cm 2 . Berechnen Sie den Durchmesser d und die Höhe h des Zylinders. Beispiel 4: Von einem Kugelabschnitt sind V = 305 cm 3 und r = 8.5 cm gegeben. Berechnen Sie die Höhe h des Kugelabschnittes. Beispiel 5: Ein Ball wird in 2.00 m Höhe über dem Erdboden mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 20.0 m/s unter einem Winkel D schräg nach oben geworfen. Welcher Abwurfwinkel D muss gewählt werden, um einen Punkt P(14.0 m | 8.0 m) zu treffen ? 2
y = h x tan ( D )
g x 2
2 v0 cos ( D )
2
. Wie viele Lösungen gibt es und welche davon sind relevant ?
Der Koordinatenursprung befindet sich unter dem Abwurfpunkt. Beispiel 6: Eine Siliziumschaltdiode wird an eine Gleichspannungsquelle U 0 = 2 V angeschlossen. Für die kT I · § ln ¨ 1 . Für eine bestimmte Diode Driftspannung der Diode gilt der Zusammenhang U ( I ) = e I0 © ¹ kT = 0.02424 V und I0 = 20 PA . Mithilfe des Vorwiderstandes R = 10 : lässt sich nun der gilt: e sogenannte Arbeitspunkt A(U D|ID) der Diode einstellen. Dieser kann ausgehend von der Maschenregel U0 = I R + U bestimmt werden. Stellen Sie die Driftspannung I = f(U) und die Gerade U I = 1 grafisch dar und bestimmen Sie den Arbeitspunkt A (Schnittpunkt beider Kurven). U0 U0 R
3.7 Interpolationskuven Beispiel 1: Interpolieren Sie die Funktion y =
x zwischen den Stützstellen x 0 = 1 und x 2 = 2 durch eine
1.45 . lineare Funktion und berechnen Sie damit näherungsweise An welcher Stelle zwischen 1 und 2 ist der absolute Fehler betragsmäßig am größten ? Beispiel 2: Berechnen Sie aus der Kenntnis von ln(1.2) und ln(2) durch lineare Interpolation näherungsweise ln(1.5) und berechnen Sie den absoluten Fehler. An welcher Stelle zwischen 1.2 und 2 ist der absolute Fehler betragsmäßig am größten ? Beispiel 3: Bestimmen Sie ein geeignetes Interpolationspolynom, wenn folgende Stützpunkte gegeben sind: a) P0 (0.4|8.16), P1 (1.2|8.56),P2 (2.8|11.28) b) P0 (0.8|1.00), P1 (1.2|5.76),P2 (2.6|10.66), P3 (2.8|12.20)
Seite 445
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Der Kraftstoffverbrauch eines PKW pro 100 km wurde für drei Geschwindigkeiten gemessen: 6.0 l bei 70km/h, 7.1 l bei 90 km/h und 9.9 l bei 120 km/h. Berechnen Sie durch quadratisch Interpolation näherungsweise den Treibstoffverbrauch für eine Geschwindigkeit von 100 km/h. Beispiel 5: Nähern Sie die Funktion y = sin(x) im Intervall [0, S/2] zu den Stützstellen 0, S/4, S/2 durch ein geeignetes Interpolationspolynom und vergleichen Sie den interpolierten Wert und den wahren Wert zu x = S/3. Beispiel 6: Ermitteln Sie den kubischen Spline zu den Stützpunkten: a) P0 (0|1), P1 (1|0),P2 (2|0) b) P0 (0|0), P1 (1|1),P2 (2|2), P3 (3|2) c) P0 (0|0), P1 (2|1),P2 (3|2), P3 (5|0) Beispiel 7: Im CAD werden sogenannte Bezier-Kurven verwendet, die eine schnelle Beeinflussung ihrer Form durch wenige Punkte erlauben. Es handelt sich dabei um eine Parameterdarstellung von Kurven, die analog zur Spline-Interpolation stückweise durch Polynome etwa vom Grad 3 erfolgt. Gegeben sei das folgende Bezier-Kurvenstück: o §4 · 3 §5 · 3 §1 · 2 §2 · 2 x = ( 1 t) ¨ 3 t ( 1 t) ¨ 3 t ( 1 t) ¨ t ¨ , 0 d t d 1. ©1 ¹ ©3 ¹ ©5 ¹ ©1 ¹ Die Kurve ist durch die Punkte P0 (1|1), P1 (2|3),P2 (4|5) und P3 (5|1) gesteuert. Zeigen Sie: a) Die Punkte P0 und P3 sind Punkte der Kurve. b) Die Tangente in P0 ist die Gerade durch P0 und P1 , in P3 die Gerade durch P2 und P3 . c) Stellen Sie die Kurve grafisch dar. Wie liegt die Kurve im Viereck P 0 , P1 , P3 , P4 ?
3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3.8.1 Allgemeines Beispiel 1: Stellen Sie folgende Funktionen grafisch dar: 2
a)
z = 4 x y 5
d)
z=
2
x
2 3
b)
z=
e)
z=x y
2
y
2 4
2
2
4x y 2
2
x c)
f)
Seite 446
2
a
2
y
2
b
z c
2 2
§ x· © y¹
z = x sin ¨
a=2
b=4
c=1
a=1
b=1
c=1
=1
Übungsbeispiele
3.8.2 Partielle Ableitungen Beispiel 1: Bilden Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen: 3
3
2
2
a)
z=x y
b)
z = x 3 x y y
d)
z = x cos ( y) y cos ( x)
e)
z=e
xy
4
3
c)
f ( u v) = 4 u 5 u v 7 v 2
f)
z = arctan ¨
§ y· © x¹
Beispiel 2: Bestimmen Sie y ' = dy/dx aus folgenden impliziten Funktionen: 2 2
2
3
3
a)
x y 4 x 6 y= 0
c)
x y 2 a x y = 0
im Punkt P(a|a)
3
2 3
2 3
b)
x
d)
x y e sin ( y) = 0
y
=a
x
Beispiel 3: Bestimmen Sie 2
w wx
2
z und
w wy
z aus folgenden impliziten Funktionen:
2
a)
x y z 6 x= 0
c)
3 x 4 y 5 z = 60
2
2
2
2
b)
z = x y
d)
x y z = a
3
Beispiel 4: Bestimmen Sie
d dt
z aus folgenden Funktionen:
2
2
a)
z = x x y y
c)
z=
y
x=t t
y=t 2t
x=e
x
2
y=1 e
2
2
b)
z=
d)
u=x y
x y 2
2
x = sin ( t) x= 2 t
3
y = cos ( t) y= 3 t
2
Beispiel 5: Bei Deformation eines geraden Zylinders vergrößerte sich dessen Radius r = 2 dm auf 2.05 dm, und die Höhe h verringerte sich von 10 dm auf 9.8 dm. Ermitteln Sie näherungsweise die Änderung des Volumens V nach 'V | dV. Beispiel 6: Bestimmen Sie
w wu
z und
w wv
z aus folgenden Funktionen:
2
x
a)
z=
c)
z=e
y xy
x= u 2 v 2
x= s 2 s t
y= v 2 u
2
b)
y= 2 s t t
2
z = x 2 y 2
Seite 447
x= 3 u 2 v
y= 3 u 2 v
Übungsbeispiele
Beispiel 7: Bestimmen Sie die vollständigen Differentiale von: 2
a)
z=x y
b)
z=
d)
z=
x y x y
s
c)
u=e
t
2
2
x y
Beispiel 8: Bestimmen Sie den Wert des vollständigen Differentials: z=
y
x=2
x
y=1
'x = 0.1
'y = 0.1
Beispiel 9: Berechnen Sie dz und 'z = f(x+'x,y+'y) - f(x,y) für: z = x y
x=5
y=4
'x = 0.1
'y = 0.2
Beispiel 10: Ein Hohlzylinder besitzt die Radien r = 6.00 cm und R = 8.00 cm sowie die Höhe h = 18 cm. Wie ändert sich sein Volumen, wenn wir den Innenradius um 0.20 cm vergrößern, den Außenradius um 0.10 mm verkleinern und die Höhe um 0.30 cm vergrößern ? Berechnen sie die Änderung exakt und mithilfe des totalen Differentials. Beispiel 11: Berechnen Sie die prozentuelle Änderung der Schwingungsdauer T = 2 S L C einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung, wenn wir die Induktivität L um 4% vergrößern und die Kapazität C um 2% verkleinern. Beispiel 12: Die Leistung P, die in einem elektrische Widerstand R verbraucht wird, ist durch P = U 2 /R in W gegeben. Die Spannung beträgt U = 220 V und der Widerstand R = 8 :. Wie stark ändert sich die Leistung, wenn U um 5 V und R um 0.2 : abnehmen ? Beispiel 13: Bestimmen Sie die Extremstellen der folgenden Funktionen: 2
2
2
2
a)
z = f ( x y) = x x y y 10 x 5 y
b)
z = f ( x y) = x x y y 9 x 6 y 20
c)
z = f ( x y) = x 8 y 6 x y 1
3
3
x
d)
z = f ( x y) = e
2
2
x y
Seite 448
Übungsbeispiele
Beispiel 14: Einer Ellipse ist ein Rechteck größten Flächeninhalts einzuschreiben. Bestimmen Sie diesen Flächeninhalt. 2
x
2
a
2
y
2
Ellipsengleichung
=1
b
3.9 Fehlerrechnung Beispiel 1: Berechnen Sie z bzw. f unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers a) mittels Differentials, b) mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz und c) mithilfe der Wertschranken: a) b)
2
z=Sr h 1 f
=
1 g
1 b
r = (5 r 0.05) dm, h = (12 r 0.1) dm g = (3.92 r 0.01) cm, b = ( 2.41r 0.02) cm
Beispiel 2: Der Durchmesser einer Kugel wurde mit d = (13.2 r 0.1) cm und die Dichte mit U = (7.8 r 0.1) g cm-3 gemessen. Berechnen Sie die Masse m unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers a) mittels Differentials, b) mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz und c) mithilfe der Wertschranken. Beispiel 3: Wie groß ist der Flächeninhalt A unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers eines Kreisausschnittes, wenn r = (72.5 r 0.1) cm und D = (152 r 1)° gemessen wurden? Beispiel 4: Wie groß ist der Flächeninhalt A unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers eines Kreisabschnittes, wenn r = (8.2 r 0.05) cm und D = (126 r 1)° gemessen wurden? Beispiel 5: 2
Für das Volumen eines Kugelabschnittes gilt V =
Sh
( 3 r h) . Berechnen Sie das Volumen V mit 3 Angabe des maximalen Fehlers, wenn h = (54.0 r 0.5) mm und r = (48.0 r 0.5) mm ist. Beispiel 6: Für die Brechzahl n einer Glassorte gilt n = sin( D)/sin(E). Berechnen Sie den relativen Maximalfehler der Brechzahl, wenn der Einfallswinkel D = (35 r 1)° und der Brechungswinkel E = (23 r 1)° gemessen wurde. Beispiel 7: In einem Gleichstromkreis wurden U = (220 r 1.5) V und I = (1.23 r 0.01) A gemessen. Wie groß ist der Widerstand R und dessen relativer Maximalfehler ?
Seite 449
Übungsbeispiele
Beispiel 8: Bei der Widerstandsmessung mit der Wheatstone'schen Messbrücke ergibt sich der zu bestimmende x , wobei R = (1000 r 1) : der bekannte Widerstand und Widerstand aus Rx = R 1000 x x = (765.8 r 0.3) die Maßzahl der am Maßstab abgelesenen Länge in mm sind. Wie groß ist der Widerstand Rx und dessen relativer Maximalfehler ? Beispiel 9: Bei einem Plattenkondensator wurden A = (83.2 r 0.1) cm 2 und d = (0.15 r 0.01) cm gemessen. Wie groß ist die Kapazität C und dessen relativer Maximalfehler, wenn C durch C = 0.0866 A/d in pF gegeben ist ? Beispiel 10: Bei einer Serienschaltung von zwei Widerständen in einem Gleichstromkreis wurden R 1 = (78 r 1) :, R2 = (54 r 1) : und U = (220 r 3) gemessen. Wie groß ist die Stromstärke I und deren relativer Maximalfehler ?
3.10 Ausgleichsrechnung Beispiel 1: Wir haben Messdaten (Temperatur Ti, Spannung Ui) eines linearen Temperaturmessfühlers aufgenommen und suchen eine lineare Funktion U( T) = k T+d, die diesen Zusammenhang bestmöglich beschreibt. Messdaten: T
T ( 23.4 17 0 15.4 28 40.1 56.6 70.1 90 )
T
U ( 2.808 2.869 3.057 3.243 3.398 3.555 3.788 3.985 4.307 )
Die Messwerte verlaufen nur annähernd linear und haben einen leicht parabolischen Anteil. Aus diesem Grund wählen Sie drei Ausgleichsfunktionen F 0(-)=1, F1(-)=-, F2(-)=- 2 als Fitfunktionen und versuchen Sie jene Linearkombination u(-)=a0F0(-)+a1F1(-)+a2F2(-) zu finden, die am besten zu den Messpunkten passt (optimale Parabel). Stellen Sie die Messpunkte, die lineare und die parabolische Ausgleichskurve zum Vergleich in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie die Fehler bei linearer und bei polynomialer Regression. Beispiel 2: O t
Die Vermehrung von Bakterien erfolgt nach dem Gesetz P ( t ) = P0 e Messreihe vor:
§ 1.336 · ¨ ¨ 0.63 ¸ ¨ 0.612 ¸ t ¨ ¸ ¨ 0.217 ¸ ¨ 1.702 ¸ ¨ © 0.31 ¹
§ 23.042 · ¨ ¨ 8.02 ¸ ¨ 8.406 ¸ P ¨ ¸ ¨ 3.413 ¸ ¨ 37.837 ¸ ¨ © 6.552 ¹
. Für P und t liegt folgende
Stellen Sie zuerst die Messpunkte in einem ordinatenlogarithmischen Papier dar.
Seite 450
Übungsbeispiele
Logarithmieren Sie das Gesetz P = P 0 e O.t . Dieses ist nun mit linearer Regression p = p0 + O.t bearbeitbar. Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten. Stellen Sie die optimale Gerade und die Originalfunktion jeweils in einem Koordinatensystem dar Beispiel 3: Die Abkühlung einer Probe bei einer Umgebungstemperatur von 20 °C beginnt zur Zeit t = 0 min. Danach messen wir folgende Temperaturen zu den angegebenen Zeitpunkten: T
min
t ( 12 20 40 60 80 )
T
- ( 141 120 89 65 50 )
°C
Stellen Sie zuerst die Messpunkte in einem ordinatenlogarithmischen Papier dar.
Für die zeitliche Temperaturabnahme der Probe wird das Newtonsche Abkühlungsgesetz
t W
- = 20 °C - 0 20 °C e angenommen. Ermitteln Sie durch eine geeignete Ausgleichsrechnung die Anfangstemperatur -0 und die Zeitkonstante W. Beispiel 4: Nachfolgende Messdaten (x i,yi) wurden aufgenommen, die zuerst fast linear ansteigen und dann eine Sättigung zeigen. Aus diesem Grund wählen wir zwei Ausgleichsfunktionen F1 (x)=x/(1+x), F2 (x)=1-e-2x mit demselben Verhalten als Fitfunktionen. Suchen Sie jene Linearkombination f(x)=a 1 F1 (x)+a2 F2 (x), die am besten zu den Messpunkten passt und stellen Sie die Messdaten und die Fitfunktion grafisch dar.
§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨2 ¸ x ¨ ¸ ¨3 ¸ ¨4 ¸ ¨ ©5 ¹
§ 0 · ¨ ¨ 0.52 ¸ ¨ 0.75 ¸ y ¨ ¸ ¨ 0.88 ¸ ¨ 0.92 ¸ ¨ © 0.98 ¹
Messdaten
Beispiel 5: Nachfolgende Messdaten (x i,yi) wurden aufgenommen. Gesucht ist der beste lineare Ausgleich, der mit den Funktionen z, z 2 und ln(z) gefunden werden kann. Also: g(z) = a .z + b.z 2 + c . ln(z) mit unbestimmten Koeffizienten a, b, c !
§¨ 3.113 · ¨ 3.433 ¸ ¨ 4.219 ¸ ¨ ¸ ¨ 4.253 ¸ ¨ 4.533 ¸ x ¨ ¸ ¨ 4.709 ¸ ¨ 5.235 ¸ ¨ ¸ ¨ 5.515 ¸ ¨ 6.865 © ¹
§¨ 6 · ¨ 8 ¸ ¨ 12.5 ¸ ¨ ¸ ¨ 13 ¸ ¨ 14 ¸ y ¨ ¸ ¨ 15.5 ¸ ¨ 20 ¸ ¨ ¸ ¨ 22.5 ¸ ¨ 36 © ¹
Messdaten
Seite 451
Übungsbeispiele
Beispiel 6: Nachfolgende Messdaten (x i,yi) liegen annähernd auf einer Hyberbel. Gesucht ist die beste Fitfunktion mit x y = b bzw. zum Vergleich b x y + d x + f y = 1 D
0
1
0
0.01
0.99
1
0.01
0.94
2
0.01
0.9
3
0.01
0.86
Messdaten
Beispiel 7: E 1
Nachfolgende Messdaten (x i,yi) liegen annähernd auf der Funktion F1 ( x D E ) = D E x
Gesucht sind die Parameter D und E in der Form, dass sich F1 optimal den Messpunkten anpasst.
§ 0.132 · ¨ ¨ .322 ¸ ¨ .511 ¸ ¸ ¨ ¨ .701 ¸ ¨ .891 ¸ ¸ ¨ ¨ 1.081 ¸ ¨ 1.27 ¸ ¸ ¨ ¨ 1.46 ¸ ¨ 1.65 ¸ ¸ ¨ 1.839 ¸ ¨ x ¨ 2.029 ¸ ¸ ¨ ¨ 2.219 ¸ ¨ 2.409 ¸ ¸ ¨ ¨ 2.598 ¸ ¨ 2.788 ¸ ¸ ¨ ¨ 2.978 ¸ ¨ 3.167 ¸ ¸ ¨ ¨ 3.357 ¸ ¨ 3.547 ¸ ¨ © 3.737 ¹
§ .1 · ¨ ¨ .258 ¸ ¨ .543 ¸ ¸ ¨ ¨ .506 ¸ ¨ .606 ¸ ¸ ¨ ¨ .622 ¸ ¨ .569 ¸ ¸ ¨ ¨ .453 ¸ ¨ .438 ¸ ¸ ¨ .316 ¸ ¨ y ¨ .29 ¸ ¸ ¨ ¨ .195 ¸ ¨ .137 ¸ ¸ ¨ ¨ .09 ¸ ¨ .026 ¸ ¸ ¨ ¨ .032 ¸ ¨ .032 ¸ ¸ ¨ ¨ .021 ¸ ¨ .016 ¸ ¨ © .021 ¹
Messdaten
Seite 452
E
exp D x
Übungsbeispiele
Beispiel 8: Bei einem Motor wurde die Leistung in kW in Abhängigkeit von der Drehzahl pro Minute (U/ min) gemessen. Es ergaben sich folgende Messpaare: T
n ( 1400 2000 2600 3200 3600 ) T
P ( 17.6 30.8 39.2 46.5 50.1 )
U/min kW
Wie lautet die Ausgleichsgerade ? Welche Leistung ist bei einer Drehzahl von 3000 U/min zu erwarten ? Bei welcher Drehzahl is t eine Leistung von 34 kW zu erwarten ? Beispiel 9: Für die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes R in : eines Metalles gilt in guter Näherung R = R20 + D R20 '-, wobei R 20 der Widerstand bei 20 °C, D der Temperaturkoeffizient und '- = - - 20 °C die Temperaturänderung bezogen auf 20 °C ist. Folgende Messpaare liegen vor:
§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨2 ¸ - ¨ ¸ ¨3 ¸ ¨4 ¸ ¨ ©5 ¹
§ 0 · ¨ ¨ 0.52 ¸ ¨ 0.75 ¸ R ¨ ¸ ¨ 0.88 ¸ ¨ 0.92 ¸ ¨ © 0.98 ¹
Ermitteln Sie die Ausgleichsgerade und daraus den Temperaturkoeffizienten D
Beispiel 10: Der Spannungsverlauf bei der Kondensatorentladung folgt dem Gesetz u(t) = U 0 e -t/W ,wobei U0 die Anfangsspannung und W = R C die Zeitkonstante ist. Zur Bestimmung der Zeitkonstanten W wurden folgende Daten gemessen:
§ 0.09 · ¨ ¨ 0.21 ¸ ¨ 0.36 ¸ t ¨ ¸s ¨ 0.65 ¸ ¨ 0.90 ¸ ¨ © 1.15 ¹
§ 4.27 · ¨ ¨ 3.21 ¸ ¨ 2.58 ¸ u ¨ ¸V ¨ 1.32 ¸ ¨ 0.85 ¸ ¨ © 0.54 ¹
Ermitteln Sie durch eine Ausgleichsrechnung die Zeitkonstante W.
Beispiel 11: Ein Unternehmen stellt Fahrräder her. Die Gesamtkosten K(x) für eine tägliche Produktionsmenge x betragen: T
x ( 10 20 30 40 50 )
T
K ( 11 20 28 38 43 )
Stück in 1000 €
Stellen Sie die Wertepaare grafisch dar und ermitteln Sie die Gleichung einer linearen Kostenfunktion. Welche Kosten können bei einer Produktionsmenge von 35 Stück erwartet werden ? Wie würde eine quadratische oder eine kubische Kostenfunktion aussehen ?
Seite 453
Übungsbeispiele
4. Integralrechnung 4.1 Das unbestimmte Integral Beispiel 1: Ermitteln Sie die Stammfunktionen von: a)
f ( x) = 1
d)
f ( x) = x
2
b)
f ( x) = x
e)
f ( x) = x 4
2
c)
f ( x) = x 5
f)
f ( x) = x x 1
4
Beispiel 2: Ermitteln Sie die Stammfunktionen der gegebenen Funktionen. Geben Sie jeweils eine spezielle Lösung an, wenn die Kurve durch den angegebenen Punkt gehen soll. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. a)
f ( x) = x 1
P(0 | 1)
b)
3
f ( x) = x 3
P(1 | - 2)
4.2 Das bestimmte Integral Beispiel 1: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion:
a)
´ µ ¶
5
b)
1 dx
0
d)
´ µ ¶
´ µ ¶
3
c)
x dx
1
5
3
e)
x dx
2
´ µ ¶
´ µ ¶
3
2
x dx
0
6
f)
( x 2) dx
1
´ µ ¶
2
x2 1 dx
1
Beispiel 2:
ªx
Berechnen Sie die mittlere Ordinate und den zugehörigen x-Wert für die Funktion y = 4 «
¬S
Intervall zwischen den Nullstellen. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
2 § x · »º im ¨ ©S¹ ¼
Beispiel 3: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale, unter Ausnützung des Satzes 4.4:
a)
´ µ ¶
2
2
b)
5 x dx
1
d)
´ µ ¶
2
1
´ µ ¶
3
( x 1) dx
c) vergleiche
1
3
x dx
und
´ µ ¶
1
2
´ µ ¶
2
( x 3) dx
´ µ ¶
und
1
3
x dx
d) Zerlegen Sie das Integral in zwei Teilintegrale:
Seite 454
2
( x 5) dx
1
´ µ ¶
3
1
6
x dx
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen der Kurve y = x 2 - 3 x +1 und der x-Achse im Bereich von a = - 1 und b = 1.5. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 5: Berechnen Sie das bestimmte Integral im Bereich von a und b unter Ausnützung der Symmetrie. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
a)
´ µ ¶
2
4
´ µ ¶
b)
x dx
2
1
5
x dx
1
4.3 Integrationsmethoden 4.3.1 Grundintegrale Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:
a)
d)
g)
j)
m)
p)
´ µ µ µ ¶
´ µ µ ¶
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶
´ µ µ µ ¶
1
3
b)
x dx
2
x
2 dx
1 x
dx
2
h)
´ µ µ ¶
4
2
n)
dx
4 4 x
1 2
25 25 x
dx
2
§ 1 · dx ¨ © 3¹
1u
1
t
c)
dt
e)
k)
du
1
´ µ µ µ ¶
e
1
´ µ µ µ ¶
q)
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶
´ µ µ µ µ ¶
x
x
dx
1 1t
dt
2
1 5 5 t
2
1 cos ( x) cos ( x)
2
Seite 455
v
dv
´ µ µ µ ¶
i)
´ µ µ ¶
cos ( x)
l)
´ µ µ µ ¶
§ u · du sin ¨ © 2¹
2
dx
1
f)
o)
dt
´ µ µ µ ¶
r)
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ µ ¶
1 t
dt
2
dx
2
1 2
dx
9 9 x
x3 x 2 dx 4 x
Übungsbeispiele
s)
´ µ µ µ ¶
t
( u 2) e
du
1a
t)
´ µ µ ¶
x 1
u)
dx
e
´ µ µ µ ¶
1 2 s sin ( x)
2
ds
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale und stellen Sie das Problem grafisch dar:
a)
´ µ ¶
2
( 2 x 2) dx
b)
0
d)
´ µ µ ¶
2
1
´ µ ¶
4
c)
( 4 3 x) dx
0
§ x 1· x d ¨ © x ¹
e)
´ µ ¶
´ µ µ µ ¶
1
1
1
x
f)
2 e dx
2
´ µ ¶
§ x2 · ¨ 2 dx ©2 ¹
S
( 1 sin ( t) ) dx
0
Beispiel 3: Die Ableitung einer Funktion ist gegeben durch y' = 2 x - 1. Wie lautet die Funktionsgleichung der Kurve, wenn sie den Punkt P(1 | 2) enthält ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 4: Die Ableitung einer Funktion ist gegeben durch y' = x 2 - x. Wie lautet die Funktionsgleichung der Kurve, wenn sie den Punkt P(2 | 2) enthält ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
4.3.2 Integration durch Substitution Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:
a)
d)
´ µ µ ¶
( 2 3 x) dx
´ µ µ µ ¶
g)
´ µ µ µ ¶
j)
´ µ µ ¶
m)
2
´ µ µ µ ¶
3 1 2 x
1 3 t
x
e
dx
dt
dx
arcsin ( x) 2
1x
dx
b)
e)
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶
1 ( a x b)
n
4 3
dx
dx
c)
´ µ µ ¶
5 x 2 dx
f)
´ µ µ ¶
( 2 5 x) dx
i)
´ µ µ ¶
e
l)
´ µ µ ¶
cos ( Z t M ) dt
o)
´ µ µ ¶
e
6 x 5
h)
´ µ µ µ ¶
k)
´ µ µ ¶
sin ( Z t M ) dt
n)
´ µ µ µ ¶
sin ¨ 2 x
1 1 3 u
§ ©
du
S· 6¹
dx
Seite 456
3
2v 1
dv
0.9t 1.2
dt
Übungsbeispiele
p)
s)
v)
y)
E)
´ µ µ µ ¶
1
dx
2
q)
´ µ µ ¶
t)
´ µ µ µ ¶
2x
´ µ µ µ µ ¶
2
3 x 2 3
dx
x 2 x
´ µ µ µ ¶
x 2
w)
dx
2
a x
´ µ µ µ µ ¶
3
dx
z)
2 dx
J)
´ µ µ µ ¶
4
1 x
´ µ µ ¶
x cot x
cos ( x) sin ( x) dx
sin ( x) 5
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ ¶
x
3
cos ( x)
5 x
dx
dx
2
r)
´ µ µ ¶
e
u)
´ µ µ ¶
e
x)
´ µ µ µ µ ¶
2 3 x
tan ( x) dx
ln ( x) x
dx
D)
´ µ µ µ ¶
H)
´ µ µ µ ¶
x
x
2
x dx
2
x dx
2
3 x 2 3
dx
x 2 x
§ x · dx © 2¹
tan ¨
ln ( 2x)
dx
x
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale mithilfe von Mathcad:
a)
d)
g)
´ µ µ µ ¶
1 2
b)
dx
9x
´ µ µ µ ¶
1 x
´ µ µ µ ¶
e)
dx
2
x 4
1 sin ( x) cos ( x)
dx
h)
´ µ µ µ ¶
2
16 x
dx
x
´ µ µ µ µ ¶
c)
2
x
dx
2
f)
x 1
´ µ µ µ ¶
1 sin ( x)
4
i)
dx
´ µ µ µ ¶
1 2
x
´ µ µ µ ¶
2
5x
1 cos ( x)
´ µ µ µ ¶
dx
dx
1 1 2 cos ( x)
2
dx
Beispiel 3: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale und stellen Sie das Problem grafisch dar:
a)
´ µ µ µ ¶
4
0
§x
2
· ¨ 3 dx 2 © ¹
b)
´ µ ¶
1
3
( 5 4 x) dx
2
c)
´ µ µ ¶
1
3
Seite 457
4 3 dx
2 x 5
Übungsbeispiele
d)
´ µ ¶
4
4x 2
e)
dx
e
2
´ µ ¶
4
2x 2
dx
3
f)
0
´ µ µ ¶
S
0
§ sin § t · cos § t · · x d ¨ ¨ ¨ © © 2¹ © 2 ¹¹
4.3.3 Partielle Integration Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:
a)
d)
g)
´ µ µ ¶
b)
x cos ( x) dx
´ µ µ µ ¶
x sin ( x)
´ µ µ ¶
2
e)
dx
3
h)
x lg ( x) dx
´ µ µ ¶
x
x e
´ µ µ µ ¶
ln ( x)
dx
dx
2
c)
´ µ µ ¶
arccos ( x) dx
f)
´ µ µ ¶
x e
i)
´ µ µ ¶
e
x
´ µ µ ¶
2
x
x 2
dx
2
2t
3x
dx
sin ( t) dt
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale und stellen Sie das Problem grafisch dar: S
a)
´ µ ¶
1
2x
( 3 x) e
0
dx
b)
1
´ 2 µ x sin ( x) dx µ S ¶
c)
0
2
Beispiel 3:
´2 2 µ §t· t µ sin ¨ d µ © 2¹ ¶
Bestimmen Sie eine Rekursionsformel für folgende Integrale:
a)
´ µ In = µ ¶
x e dx
d)
´ µ In = µ ¶
ln ( x) dx
n
x
n
b)
´ µ In = µ ¶
e)
´ µ µ ¶
n
x sin ( x) dx
n
tan ( x) dx
Seite 458
c)
´ µ In = µ ¶
n
x cos ( x) dx
Übungsbeispiele
4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:
a)
d)
g)
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶
´ µ µ µ ¶
1
b)
dx
2
x 9
2
3 x 2 x 1 x ( x 5) ( x 7)
1 2x
dx
x
Substitution: ex
3 e
e
dx
e)
h)
=u
´ µ µ µ µ ¶
2
x 3 x 4
c)
dx
2
x 2 x 8
´ µ µ µ µ ¶
2
5 x 3 x 2 ( x 1)
´ µ µ µ ¶
3
f)
dx
sin ( x)
cos ( x) 1 cos ( x)
2
´ µ µ µ ¶
x ( x 2)
´ µ µ µ ¶
2
2 x 1 ( x 1)
2
dx
dx
Substitution: cos(x) = u
dx
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:
a)
´ µ µ µ ¶
1
b)
dx
3
x x
´ µ µ µ ¶
7 x 5
dx
2
x 2 x 4
4.4 Uneigentliche Integrale 4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Integrale, falls möglich. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
a)
´ µ µ µ ¶
f
1 3
b)
dx
x
2
d)
´ µ ¶
0
´ µ µ µ ¶
f
2
c)
dx
4
x
e)
e dx
f
´ µ µ µ ¶
1
1 2
f)
dx
x
g)
f
f
1 2
1 4 x
dx
h)
´ µ µ µ ¶
2 x
dx
f
1 cosh ( x)
f
Seite 459
´ µ µ ¶
2
1 x 1
dx
f
f
´ µ µ µ ¶
f
1
1
x
´ µ µ ¶
2
dx
i)
´ µ µ µ ¶
f
f
1 2
x 4 x 5
dx
Übungsbeispiele
4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Integrale, falls möglich. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
a)
´ µ µ µ ¶
3
1 2
´ µ µ µ ¶
b)
dx
9x
0
d)
´ µ µ µ ¶
g)
1 2
c)
dx
1x
1
3 3
´ µ µ µ ¶
e)
dx
x
2
x
f)
dx
2
x 1
1 3
´ µ ¶
h)
dx
1
i)
ln ( x) dx
0
x 2
3
1 2
dx
x
´ µ µ ¶
3
1 x 1
dx
1
1
3
´ µ µ µ ¶
2
1
0
´ µ µ µ ¶
1
´ µ ¶
1
x ln ( x) dx
0
2
4.5 Numerische Integration 4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel Beispiel 1: Berechnen Sie die folgenden Integrale numerisch mit Mathcad und vergleichen Sie die Lösung mit den Näherungswerten der Mittelpunktsformel M n und M2n und der Trapezformel T n und T 2n, wenn wir das Integrationsintervall in n = 4 bzw. n = 10 gleich breite Teilintervalle zerlegen. Geben Sie dazu den relativen Fehler (Mathcad Näherung und Mittelpunksformelwert bzw. Trapezformelwert) an. Stellen Sie die Funktion und die Integrationsfläche zuerst grafisch dar. S
a)
´ µ ¶
2
2
x dx
b)
0
d)
´ µ ¶
3
0
´2 µ µ sin ( x) dx ¶
c)
0
3
x dx
e)
´ µ µ ¶
3
1 2 x 1
´ µ ¶
1 2
1 x dx
0
dx
0
Seite 460
f)
´ µ ¶
2
1
ln ( x) dx
Übungsbeispiele
4.5.2 Kepler- und Simpsonregel Beispiel 1: Berechnen Sie die folgenden Integrale numerisch mit Mathcad und vergleichen Sie die Lösung mit den Näherungswerten der Keplerregel (n = 1), der Simpsonregel und der adaptiven Methode, wenn wir das Integrationsintervall in n Doppelintervalle zerlegen. Geben Sie dazu den relativen Fehler (Mathcad Näherung und Simpsonformelwert) an. Stellen Sie die Funktion und die Integrationsfläche zuerst grafisch dar. S
a)
´ µ ¶
1 3
1 x dx
n=2
b)
0
d)
´ µ µ µ ¶
g)
1
dx
ln ( x)
n=8
c)
´2 µ µ ¶
x
dx
n=4
e)
´ µ µ ¶
3
1 2 x 1
dx
n=6
f)
1 2
dx
n=2
h)
´ µ ¶
2
x
3
1 x dx
n=8
0
1 2 x
´ µ µ ¶
3
1 x
dx
n=2
1
0
2
n=4
2
2
e
cos ( x) dx
0
2
2
0
´ µ µ µ ¶
´ µ µ ¶
3
i)
´ µ ¶
2
x
e dx
n = 10
1
0
Beispiel 2: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Folge von diskreten Punkten im Bereich a und b mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der adaptiven Methode. Geben Sie dazu den relativen Fehler (Mathcad Näherung und Simpsonformelwert) an. Stellen Sie das Problem zuerst grafisch dar.
x f(x)
0 1
0,5 1,1
1 1,5
1,5 2,5
2 3,9
x f(x)
3 1.098
5 1,509
7 1,955
9 2,185
11 2,411
4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 1: Berechnen Sie die Bogenlänge von: a)
b)
2
y=x
a=0
Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
b=1
Kettenlinie:
§x· © 2¹
y = 2 cosh ¨
a=0
b=2
Werten Sie das Integral analytisch und numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
Seite 461
Übungsbeispiele
c)
Umfang der gleichseitigen Astroide:
x d)
2
2
3
3
y
2
=r
Werten Sie das Integral analytisch aus. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
3
Umfang der Ellipse:
Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
x = 10 cos ( t) y = 5 sin ( t ) e)
Länge des Hyperbelbogens:
Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
x = 2 cosh ( t ) y=
3 sinh ( t )
t1 = 0
t2 = arcosh ( 2)
f)
y = sin ( x)
g)
Archimedische Spirale:
r = a M
h)
x=t y=t
a=0
M1 = 0
M2 = 2 S
2 3
t1 = 0
Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
b=S
t2 = 4
Werten Sie das Integral analytisch und numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Werten Sie das Integral analytisch und numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve Beispiel 1: Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse im Bereich a und b und stellen Sie das Problem grafisch dar: a)
2
y = ( x 3) x 4
a = 1
b=5
a=0
b = 2.8
a = 5
b=5
a = 2
b=1
3 5
b)
y=x
c)
y = sinh ( x)
d)
y = ( x 2) x 1
2
Seite 462
Übungsbeispiele
Beispiel 2: Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Sektors der Hyperbel mit x = 3 cosh(t) und y = 2 cosh(t) im Bereich t = 0 und t = t 1 . Stellen Sie das Problem im Bereich t [-3 , 3] grafisch dar. Beispiel 3: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Kardioide mit r = a (1 + sin( M) und M [0 , 2S]. Stellen Sie das Problem für a = 2 grafisch dar. Beispiel 4: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Lemniskate mit r 2 = a2 cos(2M) und M [0 , 2S]. Stellen Sie das Problem für a = 2 grafisch dar. Beispiel 5: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Spirale mit r = aM im Bereich M1 = S und M2 = 2 S. Stellen Sie das Problem für a = 3 grafisch dar. Beispiel 6: ´ Berechnen Sie jene Stelle a > 0, sodass µ ¶
2
ln ( x) dx = 0 gilt. Stellen Sie das Problem grafisch dar.
a
Beispiel 7: Wie lautet die Gleichung der Waagrechten, die den Flächeninhalt zwischen y = cos(x) und der x-Achse im Intervall [0, S/2] halbiert ? Stellen Sie das Problem grafisch dar.
4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven Beispiel 1: Berechnen Sie die Flächeninhalte zwischen den Kurven und stellen Sie das Problem grafisch dar: 2
a)
y=x
y= 6 x 3
b)
y = ln ( x)
y=x 2
c)
y = tan ( x)
y = cot ( x)
d)
y = ( x 1) x 2 x 11
e)
2
y=
x
y=0 2
y=x 1
a = 3
b=3
2
y=x
Beispiel 2: Wie groß ist der kleinere Teil der Fläche, der durch die Gerade y = x + 3 vom Kreis x 2 + y2 = 25 abgeschnitten wird ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
Seite 463
Übungsbeispiele
Beispiel 3: Wie groß ist die gemeinsame Fläche der Kreise x 2 + y2 = 4 und x2 + y2 = 4 x ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 4: Beim Betrieb von Maschinen ist die Erwärmungskurve durch - = -max ( 1 - e - t/W) gegeben. Dabei ist - die Übertemperatur (Temperaturdifferenz auf die Umgebungstemperatur), -max der sich nach langem Betrieb einstellende Beharrungswert, t die Betriebsdauer und W die Zeitkonstante. Ermitteln Sie die Fläche Zwischen -max und der Kurve -. Wählen Sie geeignete Größen und stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Stellen Sie in dieser Graphik auch die Anlauftangente im Punkt P(0|0) dar. Beispiel 5: Gegeben ist die Funktion y = (x+2) e - x/2. Stellen Sie die Funktion im Bereich [-3, 7] grafisch dar. Bestimmen Sie Nullstelle, Extremwert und Wendepunkt. Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und jener Geraden, die durch die Nullstelle und den Wendepunkt geht.
4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern Beispiel 1: Wie groß ist die Mantelfläche, wenn folgende Kurve um die x-Achse rotiert. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar: 3
a)
y=x
a=0
b=2
b)
y = cosh ( x)
a=0
b=2
2
c)
2
x
16
y
4
=1
Beispiel 2: Wie groß ist die Mantelfläche, wenn folgende Kurve um die y-Achse rotiert. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar: 3
a)
x=y
c=0
d=1
b)
x = ln ( x)
c=0
d=4
Beispiel 3: Wie groß ist die Mantelfläche einer Kalotte (Kugelkappe) mit der Höhe h = h 2 - h 1 , die durch die Rotation eines Kreises x 2 + y2 = r2 um die y-Achse entsteht. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.
Seite 464
Übungsbeispiele
4.6.3 Volumsberechnung Beispiel 1: Berechnen Sie das Volumen des Kegelstumpfes mit den Endflächenradien R und r und der Höhe h (y = (R - r)/h * x + r). Beispiel 2: Wie groß ist das Volumen eines Drehkörpers, der durch Drehung der Kurve um die x-Achse entsteht ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. 2
x
a)
y=x
a=0
b=3
b)
y=e
a=0
c)
y = sin ( x)
a=0
b=S
d)
x y = 4
a=
e)
x = 2 ( t sin ( t) )
1 2
b=2 b=2
t [0 , 2S]
y = 2( 1 cos ( t ) ) Beispiel 3: Die Parabel y2 = 4 x schneide den Kreis y 2 = 5 - (x - 2.5)2 in den Punkten P 1 und P2 . Bei Rotation um die x-Achse beschreibt die Fläche einen parabolischen Kugelring mit der Höhe h = x 2 - x1 . Wie groß ist das Volumen des Kugelrings ?
Beispiel 4: Der Hohlraum eines Zylinders aus Stahl wird durch Rotation der Kurve y = e beschrieben. Wie groß ist dieses Volumen zwischen y 1 = 1 und y2 = 10 ?
Seite 465
2x - 1
um die y Achse
Übungsbeispiele
4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes Beispiel 1: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S(0|y s ) eines Kreisbogens von der Läng b. Hinweis: Polarkoordinaten. Der Schwerpunkt soll von r, s und b abhängen.
b = r M
db = r dM
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Parabelbogens y = x 2 zwischen a = 0 und b = 1. Beispiel 3: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines Zykloidenbogens mit der Parameterdarstellung x = r (t - sin(t)) und y = r (1 - cos(t)) zwischen a = 0 und b = 2 S r. Beispiel 4: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines 1/4 Ellipsenbogens (Rotation um die x-Achse) mit der Parameterdarstellung x = a cos( M)) und y = b sin(M) mithilfe der 2. Guldinregel zwischen x = 0 und x = a.
Seite 466
Übungsbeispiele
4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche Beispiel 1: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der gegebenen Fläche.
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines Kreisauschnittes.
Beispiel 3: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Dreiecksfläche.
Seite 467
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der gegebenen Fläche.
Beispiel 5: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines dünnen offenen Hohlprofils.
Beispiel 6: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer halben Ellipsenfläche zwischen x = 0 und x = a mithilfe der 1. Guldin-Regel. Beispiel 7: Gegeben ist die Funktion f: y = e x (- x2 + b x +c) und deren Nullstellen f(0) = 0 und fb)= 0. a) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Wendepunkte von f und stellen Sie die Funktion im Bereich - 3.5 d x d 2.2 grafisch dar. b) Bestimmen Si jene Grenze x = c, durch die das vom Graph und von der x Achse begrenzte Flächenstück in zwei gleiche Teile zerlegt wird. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des vom Graphen und von der x-Achse begrenzten Flächenstücks.
Seite 468
Übungsbeispiele
4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche Beispiel 1: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Kegelmantels (Rotation einer geeigneten Kurve um die x-Achse) mit Radius r und Höhe h. Beispiel 2: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Drehparaboloidmantels (Rotation der Parabel y = a x 2 um die y-Achse) mit Radius r und Höhe h.
4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers Beispiel 1: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines zylinderisch durchbohrten Kegelkörpers. Anleitung:
H=
h R
y=
R h
R r h
x R
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines halben Ellipsenkörpers, wenn eine Ellipse um die x-Achse rotiert (im Bereich x = 0 und x = a). Veranschaulichen Sie das Problem grafisch. Beispiel 3: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines Hyperboloids, das durch Drehung der Hyperbel x 2 /9 - y2 /16 = 1 um die y-Achse im Intervall [-3,4] entsteht. Veranschaulichen Sie das Problem grafisch. Beispiel 4: Bestimmen Sie mithilfe der 1. Guldin-Regel das Volumen eines Kegels mit dem Radius r = 10 dm und der Höhe h = 20 dm. Beispiel 5: Bestimmen Sie mithilfe der 1. Guldin-Regel das Volumen des Rotationskörpers der durch Rotation des Flächenstücks zwischen dem Funktionsgraphen y = f(x) und der x-Achse im Intervall [0,a] um die y-Achse entsteht. Veranschaulichen Sie das Problem grafisch. a)
y=x 2
a=4
b)
x
y=e
a=2
Seite 469
c)
y = sin ( x)
a=
S
2
Übungsbeispiele
Beispiel 6: Bestimmen Sie mithilfe der Guldin-Regeln die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe h.
4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment Beispiel 1: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment einer Kugel mit Radius r, die um die x-Achse rotiert (Zeichnung!) Beispiel 2: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Schwungrades.
kg
3
U = 7.3 10
m
3
Anleitung: J = J Kranz + JSteg + JNabe
Beispiel 3: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Drehparaboloidkörpers. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment auf zwei Arten, wie im Bild angegeben.
Seite 470
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders, der sich um die Achse g dreht.
Beispiel 5: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Drehkegelstumpfes mit den Radien R bzw. r und der Höhe h, der sich um die Symmetrieachse dreht (Zeichnung!). Beispiel 6: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment einer Zylinderscheibe mit Radius R und Dicke h in Bezug auf die Achse durch einen Durchmesser (Zeichnung!).
4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment Beispiel 1: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x-Achse.
Beispiel 2: Berechnen Sie das axiale Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks bezogen auf die Diagonale.
Seite 471
Übungsbeispiele
Beispiel 3: Aus einer Tabelle für Walzprofile entnehmen wir ( |_ 200. 200.20 ) folgende Angaben: 4
Ix = Iy = 2850cm 4
I[ = 4540 cm
Haupträgheitsmomente 4
IK = 1160 cm
Überprüfen Sie : 2
Iu = Ix = I[ cos ( D ) IK sin ( D )
2
Beispiel 4: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente Ix und Iy des vom Graphen der Funktion
y=
3 x und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Flächenstück (grafische Darstellung!).
Beispiel 5: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der Koordinatenachsen sowie der dazu parallelen Schwerpunktsachsen für die Fläche unter dem Graphen von a) y = x 2 , a =0 und b = 2; b) y = e x/2 , a =0 und b = 2. (grafische Darstellung!).
4.6.6 Berechnung von Biegelinien Beispiel 1: Ein beidseitig eingespannter Träger der Länge L = 4 m besitzt eine konstante Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m und eine Biegesteifigkeit E * I = 7*10 6 Nm 2 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b(x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen y(0) = y(L) = 0, y'(0) = y'(L) = 0. Beispiel 2: Ein einseitig eingespannter Träger der Länge L = 3 m besitzt eine konstante Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m und eine Biegesteifigkeit E * I = 3*10 6 Nm 2 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b(x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Q(0) = q0 * L, Mb(L) = 0, y(0) = 0, und y'(0) = 0. Beispiel 3: Ein Träger, der am linken Ende fest eingespannt ist und am rechten Ende ein freies Lager besitzt, hat eine Länge von L = 3 m und wird mit einer konstanter Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m belastet. Der Elastizitätsmodul beträgt E = 2*10 5 N/mm2 und das Flächenträgheitsmoment I = 10-4 m4 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b(x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Mb(L) = 0, y(0) = y(L) = 0, und y'(0) = 0.
Seite 472
Übungsbeispiele
4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 1: Für eine besondere Feder gilt das Kraftgesetz F = 200*N/m*s 3 . Wieviel Arbeit W ist notwendig, wenn die Feder um 5 cm gedehnt wird ? Beispiel 2: Berechnen Sie die Arbeit W eines idealen Gases bei isothermer Kompression (Kompressionsarbeit). Beispiel 3: Berechnen Sie die Arbeit W eines idealen Gases bei adiabatischer Kompression (Kompressionsarbeit). Beispiel 4: Durch ein sich ausdehnendes Gas in einem Zylinder wird ein Kolben so bewegt, dass das Volumen des eingeschlossenen Gases von 250 cm 3 auf 400 cm3 wächst. Bestimmen Sie die geleistete Arbeit, wenn zwischen dem Druck p (N/cm 2 ) und dem Volumen V (cm 3 ) die Gleichung p*V = 3000 besteht.
4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik Beispiel 1: Innerhalb welcher Zeit fließt das Wasser, das ein zylindrisches Gefäß der Grundfläche A = 420 cm 2 und der Höhe h = 40 cm füllt, durch eine Öffnung im Boden des Gefäßes ab, wenn diese Öffnung einen Querschnitt von A 1 = 2 cm 2 hat ? Die Ausflusszahl beträgt D = 0.6.
4.6.9 Berechnung von Mittelwerten Beispiel 1: Bestimmen Sie den linearen Mittelwert der Funktion y = x 2 /2 über dem Intervall [1,3]. Beispiel 2: Bestimmen Sie den linearen Mittelwert und den Gleichrichtwert der nachfolgend gegebenen Funktion. Stellen Sie weiters dieses Problem grafisch dar, wenn I max = 20 mA und T = 3 ms gegeben sind.
i ( t) =
Imax if 0 ms d t d
Imax
if
2
T 3
T 3
tdT
Beispiel 3: Bestimmen Sie die Wirkleistung P aus der nachfolgend gegebenen zeitabhängigen Leistung p(t) im Bereich einer Periode T. 2
2
2
p = u i = R I0 cos ( Z t) Z L I0 sin ( Z t) cos ( Z t)
Seite 473
Z = 2 S f =
2 S T
Übungsbeispiele
Beispiel 4: Die Spannung beim Entladevorgang eines Kondensators an Gleichspannung ist gegeben durch uC(t) = U0 e -t/W. Stellen Sie die Kondensatorspannung u C für R = 1000 :, C = 0.1 PF und U 0 = 10 V und der Zeitkonstante W = R*C grafisch dar. Berechnen Sie die Fläche zwischen Spannungskurve und t-Achse und intepretieren Sie das Ergebnis. Beispiel 5: Bestimmen Sie den Gleichrichtwert des Stromes i = 4 A sin( Zt) - 1.4 A cos(2 Z t) + 0.9 A cos(3 Z t) über eine Periode T. Stellen Sie das Problem für T = 5 ms grafisch dar. Beispiel 6: Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert und den Effektivwert der Spannung u(t) = (U max / T) * t. Stellen Sie das Problem für U max = 20 V und T = 10 ms grafisch dar. Beispiel 7: Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert, den Gleichrichtwert und den Effektivwert der nachfolgend gegebenen Spannung . Stellen Sie das Problem für Umax = 10 V und T = 3 ms grafisch dar.
u ( t) =
T Umax if 0 ms d t d 3
Umax 3
if
T 3
tdT
Beispiel 8: Bestimmen Sie den Effektivwert der nachfolgend gegebenen Spannung . Stellen Sie das Problem grafisch dar.
u ( t) =
t· ª § º « ¨ » W ¬11 © 1 e ¹ 5¼ V if 0 P s d t d 40 P s t · § ¨ W © 121 e 6¹ V if 40 P s d t d 80 P s
W =
40 P s ln ( 11 )
Beispiel 9: Um eine Lampe stufenlos und energiesparend regeln zu können, wird eine Phasenanschnittsteuerung (Dimmer) eingesetzt. Das Prinzip besteht darin, die sinusförmige Netzspannung u = U 0 sin(Z t) während jeder Halbwelle erst nach einer Verzögerungszeit W bzw. erst nach einem Zündwinkel D = Z*W an den Verbraucherwiderstand durchzuschalten, sodass kein Energieverbrauch stattfinden kann. Bestimmen Sie den Effektivwert der nachfolgend gegebenen Spannung . Stellen Sie das Problem für T = 3 Ps und W = 0.2 Ps grafisch dar.
u ( t) =
0 V if k
T 2
dtdk
T 2
240 V sin ( Z t) if k
W
T 2
k , T = 2S/Z
W d t d ( k 1)
T 2
Seite 474
Übungsbeispiele
4.7 Mehrfachintegrale 4.7.1 Doppelintegrale Beispiel 1: Berechnen Sie folgendes Doppelintegral und zeigen Sie, dass die Reihenfolge der Integration beliebig ist. ´ µ ¶
2
2
´ µ ¶
1
x2 x y dx dy
0
Beispiel 2: Berechnen Sie folgendes Doppelintegral und zeigen Sie, dass die Reihenfolge der Integration nicht beliebig ist. ´ µ µ ¶
x
1
S
´2 µ µ x cos ( y) dx dy ¶ 0
Beispiel 3: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von den Kurven y = 2 x und y = x 2 und x = 1 eingeschlossen wird ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 4: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von den Kurven y = cos(x) und y = x 2 - 2 eingeschlossen wird ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 5: Berechnen Sie mithilfe eines Doppelintegrals den Flächeninhalt, der von der logarithmischen Spirale r(M) = e 0.2 M und den Strahlen M1 = S/3 und M2 = 3/2 S eingeschlossen wird. Stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 6: Wo liegt der Schwerpunkt S der Fläche, die von der Parabel y = - x 2 + 4 und der Geraden y = x + 2 begrenzt wird ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 7: Wo liegt der Schwerpunkt S einer Viertelkreisfläche ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar.
Seite 475
Übungsbeispiele
Beispiel 8: Wie groß ist der Flächeninhalt der von der Kurve y = cos(x) und y = 0.5 im Bereich [-S/2 , S/2] eingeschlossenen Fläche. Wo liegt der Schwerpunkt auf dieser Fläche ? Wie groß sind die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy ? Lösen Sie die Aufgaben mithilfe von Doppelintegralen und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 9: Berechnen Sie die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy eines Kreises mit der Gleichung (x - R) 2 + y2 = R2 . Lösen Sie die Aufgaben mithilfe von Doppelintegralen und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 10: Berechnen Sie das Volumen eines schräg abgeschnittenen Zylinders mithilfe eines Doppelintegrals. Die Schnittebene liegt parallel zur x-Achse, d.h. z ist nur von y abhängig: z = a y + b. z(-r) = H = a (-r) + b z(r) = h = a r + b Daraus lässt sich a und b berechnen.
Beispiel 11: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines geraden Prismas mit den Grundseiten a und b und der Höhe h bezüglich der Schwerachse z. Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar.
4.7.2 Dreifachintegrale Beispiel 1: Durch Rotation eines Kurvenstücks z = x (0 dx d4) entsteht ein trichterförmiger Drehkörper. Bestimmen Sie das Volumen dieses Drehkörpers. Lösen Sie das Problem mithilfe eines Dreifachintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 2: Durch Rotation einer Ellipse um die z-Achse mit den Halbachsen a und b entsteht ein Rotationsellipsoid. Bestimmen Sie das Volumen dieses Drehkörpers. Lösen Sie das Problem mithilfe eines Dreifachintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar.
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Übungsbeispiele
Beispiel 3: Zur Bestimmung des Volumens einer dreiseitigen Pyramide ist nachfolgendes Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten zu lösen. Stellen Sie den Sachverhalt auch grafisch dar.
V=
´ µ µ ¶
´ 1 dV = µ ¶
a
0
´ µ ¶
x a
0
´ µ ¶
x y a
1 dz dy dx
0
Beispiel 4: Zur Bestimmung des Volumens eines elliptischen Querschnittes mit zylindrischer Bohrung ist nachfolgendes Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten zu lösen. Stellen Sie den Sachverhalt auch grafisch dar. ´ µ V=µ ¶
2S
0
´ µ µ ¶
a
c
b
´a µ µ ¶
2
a r
2
r dz dr dM
0
Beispiel 5: Bestimmen Sie das Volumen und den Schwerpunkt eines homogenen Kugelabschnitts. Lösen Sie die Aufgaben mithilfe von Dreifachintegralen.
Beispiel 6: Wo liegt der Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel mit dem Radius R ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Dreifachintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 7: Ein kugelförmiger Behälter mit Radius R = 4 m soll von einem h = 15 m unter seinem tiefsten Punkt liegenden Wasserreservoir bis zur Hälfte gefüllt werden. Welche Mindestarbeit muss dafür aufgewendet werden ? Die Dichte des Wassers beträgt U = 1000 kg/m3 .
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Übungsbeispiele
Beispiel 8: Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines Flügels der Dicke d = 0.05 m bezogen auf die zur Querschnittsfläche senkrechte z-Achse. Die Dichte des Flügels beträgt U = 4500 kg/m3 .
Beispiel 9: Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines Drehzylinders mit Radius R und Höhe h, der Durch die Rotation einer zu z parallelen Geraden um die z-Achse entsteht. Stellen Sie den Sachverhalt auch grafisch dar.
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Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
Dieses Literaturverzeichnis enthält einige deutsche Werke über Mathcad, Algebra, Analysis und Differentialund Integralrechnung. Es sollte dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe geben. ANSORGE, R., OBERLE, H.J. (2000). Mathematik für Ingenieure Band 1. Weinheim: Wiley-VCH. BARNER, M., FLOHR, F. (1987). Analysis 1. Berlin: Walter de Gruyter. BLATTER, C. (1991). Analysis 1. Berlin: Springer. BLATTER, C. (1992). Analysis 2. Berlin: Springer. BRÖCKER, T. (1999). Analysis 1. Heidelberg: Spektrum. ERWE, F. (1973). Differential- und Integralrechnung. Mannheim: Wissenschaftsverlag. FORSTER, O. (2001). Analysis 1. Braunschweig: Vieweg. FORSTER, O., WESSOLY, R. (1995). Übungsbuch zur Analysis 1. Braunschweig: Vieweg. FICHTENHOLZ, G. M. (1978). Differential- und Integralrechnung I. Berlin: VEB. FICHTENHOLZ, G. M. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Berlin: VEB. FISCHER, G. (1995). Lineare Algebra. Braunschweig 1995. GRAUERT, H., LIEB, I. (1976). Differential- und Integralrechnung I. Heidelberg: Springer. GRAUERT, H., FISCHER, I. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Heidelberg: Springer. HEUSER, H. (2000). Lehrbuch der Analysis. Stuttgart: Teubner. HILDEBRANDT, S. (2002). Analysis 1. Berlin: Springer. KABALLO, W. (1996). Einführung in die Analysis. Heidelberg: Spektrum. KÖNIGSBERGER, K. (2001). Analysis 1. Berlin: Springer. LEUPOLD, W. (1982). Mathematik Band III. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. LEUPOLD, W. (1987). Analysis für Ingenieure. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. MEYBERG, K., VACHENAUER, P. (1998). Höhere Mathematik 1. Berlin: Springer. MEYBERG, K., VACHENAUER, P. (1997). Höhere Mathematik 2. Berlin: Springer. OEVEL, W. (1996). Einführung in die numerische Mathematik. Heidelberg: Spektrum. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, Lothar (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2. Wiesbaden: Vieweg.
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Literaturverzeichnis
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Sachwortverzeichnis
Sachwortverzeichnis
A abhängige Variable 69 Abkühlungsgeschwindigkeit 92 Abkühlungsgesetz 92 Ableitung 64 Ableitungen der Areafunktionen 105, 107 Ableitung der Exponentialfunktion 90 Ableitung der Logarithmusfunktion 90 Ableitung der Umkehrfunktion 88 Ableitungen in Parameterdarstellung 114 Ableitungen in Polarkoordinatendarstellung 123 Ableitung von Arkusfunktionen 99 Ableitung von Hyperbelfunktionen 105 Ableitung von Kreisfunktionen 99 Ableitungsfunktionen 67 Ableitungsregeln 73 Abschreibung 18, 19 absoluter Fehler 194 absolutes Maximum 45 absolutes Minimum 45 Abszissenfolge 35, 36 abzinsen 24 adaptive Quadratur 300 adiabatisch 384 alternierend 13 Amplituden 16 Amplitudengang 61, 62 Analysis 63 Anfangskapital 18, 28 angenäherte Funktionswertberechnung 191 angenäherte Fehlerbestimmung 194 Annuität 25 Anschaffungskosten 12, 19 äquidistante Punkte 10 Äquivalenzprinzip 24 Arbeitsintegrale 378 archimedische Spirale 119, 125, 320 Arkuskosinusfunktion 99 Arkuskotangensfunktion 99 Arkussinusfunktion 99 Arkustangensfunktion 99 Areakosinushyperbolicus 107 Areakotangenshyperbolicus 107 Areasinushyperbolicus 107 Areatangenshyperbolicus 107 arithmetische endliche Reihe 20 arithmetische Folgen 9, 10 arithmetisches Mittel 10, 390, 396 Asymptote 46 asymptotisch 47, 48, 49
asymptotische Grenzkurve 156 Augenblicksgeschwindigkeit 69 Ausgangsamplitude 16 Ausgleichsrechnung 242 Ausschaltvorgang 94, 95 Aussenwiderstand 53 axiales Flächenträgheitsmoment 361 axialsymmetrisch 261 B Bahnbeschleunigung 70 Ballon 84 Bernoulligleichung 387 beschränkt 2, 5, 6, 27 bestimmtes Integral 256 Betriebsminimum 170 Betriebsoptimum 169 Biegelinie 147, 150, 366 Biegemoment 150, 366 Biegemomentverlauf 367 Biegesteifigkeit 380 Bisektionsmethode 300 Blindwiderstände 54, 55 Bodediagramm 62 Bogenlänge 128, 306 Boyle-Mariotte 80, 384 Buchwert 12 C Cavalieri 336 Coulombsches Gesetz 383
D Dachfläche 22 Dämpfungsfaktor 16, 61 Dämpfungskurven 166 Definitionslücke 41 degressive Abschreibung 18 Deviationsmoment 364 Differential 69, 190 Differentialgleichung 94, 95, 112, 271 Differentialquotient 64, 69 Differentialrechnung 63 Differentiation von impliziten Funktionen 226 differentielle Arbeit 386 differentieller Volumenstrom 387 differentielles Flächenelement 389
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Sachwortverzeichnis
Differenzengleichung 7 differenzierbar 67, 69 divergent 27, 29 Drehellipsoid 338 Drehfläche 352 Drehkegel 337, 358 Drehkegelkörper 354 Drehkörper 336 Drehmaschine 14 Drehmoment 72, 342 Drehparaboloid 331, 340, 355 Drehzylinder 411 Dreieck 237 Dreieckslast 374 Dreiecksspannung 400 Dreifachintegrale 408 Doppelintegral 402 Drehzahl 14 Durchhang 109 dynamisches Grundgesetz 271 E Effektivwert 398 Einschaltvorgang 94, 95 Einweggleichrichter 202, 397 Elastizitätsmodul 150, 366 elektrische Feldkonstante 51, 383 elektrische Feldstärke 52, 188 elektrostatischer Filter 383 Elemente 1 Ellipsenbogen 347 Ellipse 118, 318, 347, 404 Ellipsoid 221, 330, 335 endliche Folge 1, 20 endliche Reihe 20 endliche geometrische Reihe 34 Energiedichte 72 Energieinhalt 386 Entropie 98 Erfolg 171 Erlös 171 Erregerfrequenz 60, 62 Erwartungswert 162 Eurozeichen 12 Evolute 129 Evolvente 129 Expansionsarbeit 384 Exponentialfunktion 90 Extremstellen 129 Extremwertaufgaben 177 Extremwerte 138, 231 Extremwertsatz 44
F Fallgeschwindigkeit 40 Fehlerbestimmung 194 Fehlerfortpflanzung 194 Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß 236 Fehlerrechnung 236 Feld von Feldern 326 Feldstärke 50, 51 Fensterfunktion 43 Fibonacci-Folge 7 Flächen im Raum 217 Flächeninhalt 315 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven 322 Flächenträgheitsmoment 150, 361 Fliehmoment 364 floor 8 Folgen 1 Formänderungsarbeit 380 freier Fall 69, 107 Freileitung 308 FRAME 29, 32, 33, 41, 63, 65, 67, 70, 71, 185, 232, 233, 297, 307 Frequenzgang 61 Fundamentalsatz der Algebra 141, 280 Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 217 G ganzrationale Funktion 141 Gaußsche Methode 242 Gaußsche Normalverteilung 162 Gebietsintegral 40, 408 gebrochenrationale Funktion 153, 280 gedämpfte Schwingung 16, 166 geometrische endliche Reihe 22 geometrische Folge 13 geometrisches Mittel 13 geometrische Stufung 14 geometrische unendliche Reihe 32 Gesamtblindleitwert 56 gespitzte Zykloide 120 Gewichtskraft 342 Gewinn 171 Gewinnschwellen 171 Gleichrichtwert 396 Gleichstrom 195, 391 Gleichstromquelle 53 Gleichungssystem 21 Gleichwert 390 Glühlampe 247 Gravitationsgesetz 381
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Sachwortverzeichnis
Gravitationskonstante 381 Gravitationskraft 378 Grenzwerte 26, 29, 35, 134 Grenzwertberechnung 26 Grenzwertsätze 38 Grundintegrale 264 Gruppengeschwindigkeit 80 Guldin Regel 345, 351
Integrationsvariable 254, 257 Integrieren 253 Intensität 72 Iterationsbeginn 30 Interpolieren 207 Interpolationskurven 207 Intervall 35 isobare Zustandsänderung 98 isotherme Expansion 384 Isothermen 158 Iterationsfolge 198, 204
H Halbkreis 330 Halbkugel 232 Halbkugelkörper 354 Halbkugelschale Halbleiter 245 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 258 Heavisidefunktion 42, 375 hebbare Unstetigkeitsstelle 41 Heißleiter 245 Herzkurve 127 Hochpunkte 138 höhere Ableitungen 69, 111, 223 Hohlzylinder 357 Hydromechanik 387 Hyperbelfunktion 105 Hyperbelkosinus 105 Hyperbelkotangens 105 Hyperbelsinus 105 Hyperbeltangens 105 hyperbolische Spirale 127 hyperbolisches Paraboloid 219 Hyperboloid 220 I ideales Gas 384 implizite Darstellung 85 implizite Differentiation 88 Impulsänderung 271 Induktionsbeweis 23 induktiver Blindleitwert 56 infinitesimaler Rauminhalt 402 Infinitesimalrechnung 63 Innenwiderstand 54 int 8 Integrabilitätsbedingung 230, 379 Integralfunktion 258 Integralrechnung 253 Integralzeichen 254 Integrand 254, 257 Integration durch Substitution 272 Integrationsgrenze 257 Integrationsintervall 257 Integrationskonstante 254 Integrationsmethoden 264
J Jahreszinsfuß 28 K kapazitiver Blindleitwert 56 Kapitalfolge 18 Kardioide 127, 405 Kegel 184 kegelförmiger Filter 178 Kegelstumpfmantelfläche 329 Keplerregel 298 Kettenlinie 109, 308 Kettenregel 81, 272 kinetische Energie Kirchhoffsche Gesetz 94, 95 Koeffizientenvergleich 280 komplexer Widerstand 58 Kondensatorspannung 102 konischer Trichter 84 konstanter Faktor 76 konstante Folge 2, 4 Kontinuitätsgleichung 84, 387 konvergent 26, 27, 29 konvergierende Folge 35 Konvergenzbedingung 198 Kosinusfunktion 99 Kostenfunktion 169 Kotangensfunktion 99 Kraftgesetz 72 Kraftstoß 271 Kredit 24 Kreis 124 Kreisfläche 316 Kreisfunktionen 99 Kreiskegel 228, 411 Kreisringkörper 351, 359 Kreisumfang 310 Kreuzkopf 186 kritischeTemperatur 160 kritischer Punkt Krümmung 128, 129 Krümmungsmittelpunkt 129
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Sachwortverzeichnis
Krümmungskreis 128, 129 Krümmungsradius 128 Krümmungsverhalten 139 Kugel 184, 196, 221, 330, 360 Kugelabschnitt 337 Kugelkondensator 50 Kugelkoordinaten 221, 410 Kugelvolumen 334 Kurve im Raum 217 Kurvendiskussion 138 Kurvenintegral 378 Kurvenstück 343 Kurvenuntersuchungen 138 L Ladungsmenge 392 Lagerbestand 11 l'Hospital 38 Leistung 72 Leiterquerschnitt 51 Leitstrahl 124 Lemniskate 125 limes 26 lineare Funktionen 73 linearer Mittelwert 390 Linearisierungsformel 192 lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz 236 lineares Gleichungssystem 113, 146 Linienelemente 306 Linkskrümmung 140 linksseitige Ableitung 66 linksseitiger Grenzwert 35, 39, 41 logarithmische Spirale 126, 313 Logarithmusfunktion 90 Lücke 41, 153
mittlerer Wechselstrom 72 Mittelpunktsregel 294 Mittelwerte 390 Mittelwertsatz 192 mod 8, 9 monoton 2 monoton fallend 2, 5 monotone Folge 2, 27 monoton steigend 2 Modulo 8 N Näherungsformeln 193 Näherungsverfahren 198, 294 Näherungswert 45 Newton-Verfahren 198 Niveauflächen 378 numerische Integration 294 Nebenbedingungen 177 Nullfolgen 26 Nullstelle 45, 80, 153 Nullstellensatz 44 Nutzungsdauer 12 Normale 76 Normzahlen 13 Normzahlenreihen 14 O obere Schranke 2, 256 Obersumme 256, 257 Ohmsches Gesetz 195 Ordinatenfolge 35, 36 Oszillationsstelle 39 Oszillator 60
M
P
magnetische Feldstärke 51 Mantelflächen 329 Massenträgheitsmoment 240, 356, 413 Maximieren 233 Maximum 138, 177 Mehrfachintegrale 402 Messunsicherheit 194 Methode der kleinsten Quadrate 242 Minimum 138, 177 mittlere Bahnbeschleunigung 70 mittlere Beschleunigung 72 mittlere Energiedichte 72 mittlere Geschwindigkeit 69, 70 mittlere Intensität 72 mittlere Kraft 72 mittlere Leistung 72 mittlere Winkelbeschleunigung 72
Parabel n-ter Ordnung 141 Paraboloid 218 Parallelschwingkreis 56 Parameterdarstellung 114 Partialsumme 20 Partialsummenfolge 20, 29, 33 partielle Ableitungen 222 partielle Integration 277 Phasengang 61 planares statisches Moment 353 Plattenkondensator 73 Platzhalter 1 Polarachse 124 polares Flächenträgheitsmoment 361 Polarkoordinatendarstellung 114, 403 Polstellen 47, 48, 50, 153, 291 Polynomfunktionen 141, 207
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Sachwortverzeichnis
Potentialfeld 378 potentielle Energie 381 Potenzregel 73 Produktintegration 277 Produktregel 78 Pseudozufallszahlen 9 Pulsfunktion 43 Pyramide 336 Q Quadrat 195 quadratische Pyramide 335 quadratischer Mittelwert 398 Querkraft 150, 366 Querschnittsfläche 234, 336 Quotientenregel 79 R radioaktiver Zerfall 92 Rechtskrümmung 140 rechtsseitige Ableitung 66 rechtsseitiger Grenzwert 35, 39, 41 rechtwinkelige Koordinaten 219, 220 reelle Folge 1 reelle Funktionen 35 Regel von l'Hospital 134 Regula Falsi 203 Reihen 20 Reihenschwingkreis 54 Rekursionsformel 6, 79 rekursiv 30, 111 Relationen 85 relativer Fehler 194 relativer Zinsfuß 18 relatives Maximum 45, 231 relatives Minimum 45, 231 relatives Extremum 138 Rentenbarwert 23, 24 Rentenendwert 23, 24 Rentenkonto 23 Resonanz 61 Resonanzfrequenz 56 Resonanzkreis 54, 56 Restschuld 25 Restschuldmilderung 24 Restwert 12, 18 Riemann-Integral 256 Riemannsumme 295 Romberg Methode 300 Rotationskörper 329 Rückzahlung 25
S Sattelpunkt 139 Satz von Cavalieri 336 Satz von Schwarz 223 Satz von Steiner 359, 361 Schieberegler 3 Schleusentor 389 Schnittwinkel 75 Schranke 2, 4 Schrottwert 18 Schubkurbeltrieb 186, 199 Schuld 25 Schwerachsen 362 Schwerefeld 342 Schwerpunkte 342, 412 Schwerpunktskoordinaten 405 Schwingungsdauer 16 Schwingungsgleichung 16 Seillänge 309 Sekante 64 Sekantenverfahren 203 senkrechter Wurf 78 Sektorformel von Leibniz 315, 316 Serienkreis 94 sign 42 Simpsonregel 298 sinusförmiger Wechselstrom 239 Sinusfunktion 99 Slider 3 Spannkraft 308 Spannungsabfall 195 Spannungsfunktion 53 Spannungskennlinie 247 Sperrkreis 57 Splines 207 Stammfunktion 253, 254, 258 Startwert 45 Steigungsdreieck 67 statisches Moment 342 stetig 40, 67 stetige Funktion 40 Stetigkeit 35, 40, 254 Stoß 59 Strahlungsintensität 76 Strahlungskonstante 77 Streckenlast 147, 366, 374 streng monoton 2, 4, 10 Stromdichte 72 Stromflusswinkel 202 Stromfunktion 53, 102 Stromkennlinie 247 Stromresonanz 57
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Sachwortverzeichnis
Stromverteilung 51 Strömungsgleichung 387 Stückkostenfunktion 169 stückweise Stetigkeit 254, 257 Stützstellen 207 Stützwerte 207 Substitution 272 Summe der Reihe 29 Summenregel 76 Summensatz 1. Art 75 Symmetrieeigenschaften 138 systematische Messfehler 194
V
T
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 162 Wärmestrahlung 201 Wechselstrom 72, 239, 391 Wellengeschwindigkeit 80 Wellenzahl 80 Wendepunkte 138, 139 Wertschranken 195, 196, 197, 237 Widerstandsmoment 238 Widerstände 14 Wirkleistung 239, 392 Wirkungsgradfunktion 53 Wirtschaftsgüter 12 Wurfweite 123
Tangensfunktion 99 Tangente und Ableitung 71 Tangentengleichung 65 Tangentensteigung 68 Teilkreisfläche 327 Teilsumme 20 Terrassenpunkt 139 Tiefpunkte 138 Tilgung 24, 25 Toleranzwert 262 Torricelli-Formel 387 Torus 351, 359 totale Ableitungen 228 totales Differential 229 Träger 147, 150, 366 Trägheitsmomente 356 Transistor 395 trapezförmig 22 Trapezlast 374 Trapezregel 294 U unabhängige Variable 69 unbestimmte Ausdrücke 27, 134 unbestimmtes Integral 253 uneigentliche Integrale 287, 291 uneigentlicher Grenzwert 26, 134 unendliche Folge 1 unendliche geometrische Reihe 34 unendliche Reihe 29 unendliche Zahlenfolge 20 Ungleichung 17 untere Schranke 2, 256 Untersumme 256, 257
Van der Waals 158 variable Kosten 170 Verkettung 82 Verlust 171 vollständiges Differential 229 Volumsberechnung 234 Vorzeichenfunktion 42 Vorzugszahlen 13 W
Z Zahlenfolgen 1 zeitabhängige Amplitude 16 zentralsymmetrisch 261 Zentrifugalmoment 364 Zerfallsgeschwindigkeit 92 Ziegel 22 Zielfunktion 177 Zinseszinsen 18 Zinsfuß 18 Zweiweggleichrichtung 396 Zwischenwertsatz 44 Zykloide 120 Zykloidenbogen 313, 319, 340, 348 Zylinder 219, 357 Zylinderhuf 335 Zylinderkondensator 188 Zylinderkoordinaten 219, 409 zylindrischer Behälter 180, 388
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