Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis

Inhaltsregister Vermessung

Seite 1 bis 27

1

Bauphysik

Seite 29 bis 47

2

Schallimmissionschutz

Seite 49 bis 64

3

Statik und Festigkeitslehre

Seite 65 bis 97

4

Stahlbetonbau

Seite 99 bis 127

5

Stahlbau

Seite 129 bis 167

6

Holzbau

Seite 169 bis 209

7

Glasbau

Seite 211 bis 241

8

Mauerwerksbau

Seite 243 bis 277

9

Brandschutz

Seite 279 bis 295

10

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Seite 297 bis 323

11

Geotechnik

Seite 325 bis 365

12

Hydraulik und Wasserbau

Seite 367 bis 394

13

Siedlungswasserwirtschaft

Seite 395 bis 431

14

Abfallwirtschaft

Seite 433 bis 463

15

Verkehrswesen

Seite 465 bis 500

16

Sachwortverzeichnis

Seite 501 bis 505

S

Otto W. Wetzell (Hrsg.)

Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis

Otto W. Wetzell (Hrsg.)

Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis 2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2007 Herausgegeben von: Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell, Fachhochschule Münster Bearbeitet von: Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner, Hochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Ernst Biener, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Johannes Feiser, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Gerhard Haße, Fachhochschule Münster Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Heinemann, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-Ing. Wolfram Jäger, Technische Universität Dresden Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel, Hochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Krings, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-Ing. Wolfram Lohse, Fachhochschule Aachen Prof. Dipl.-Ing. Henning Natzschka, Fachhochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Helmuth Neuhaus, Fachhochschule Münster Prof. Dr.-Ing. Andreas Strohmeyer, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller, Technische Universität Dresden Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell, Fachhochschule Münster

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Hochschule in Hannover und der Stanford University in Palo Alto, Kalifornien. Er promovierte an der TU Hannover und war danach als Beratender Ingenieur und Gutachter Partner einer Ingenieursozietät. 1968 ging er an die spätere Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor und Herausgeber veröffentlichte er zahlreiche Fachbücher und Aufsätze.

1. Auflage Januar 2005 2., überarb. u. erw. Auflage April 2007

Alle Rechte vorbehalten © B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms, Sabine Koch Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-8351-0069-5

Vorwort Diese vor zwei Jahren erstmals vorgelegte Sammlung von ausführlich erläuterten Beispielen und komplett durchgerechneten Aufgaben aus allen Bereichen der Baupraxis wurde von der Leserschaft freundlich aufgenommen und erscheint nun – zeitgleich mit der 32. Auflage des „Wendehorst“ – in zweiter Auflage. Sie ist die ideale Ergänzung zu dem seit mehr als siebzig Jahren bewährten Standardwerk „Wendehorst Bautechnische Zahlentafeln“ (BZ) und wendet sich vornehmlich an Studierende des Bauingenieurwesens. Aber auch dem Baupraktiker wird sie von Nutzen sein, wenn er längere Zeit nicht gebrauchte Kenntnisse auffrischen will oder muss. Die behandelten Sachgebiete sind Vermessung, Bauphysik, Statik und Festigkeitslehre, Stahlbetonbau, Stahlbau, Holzbau, Mauerwerksbau, Glasbau, Geotechnik, Wasserwirtschaft, Abfallwirtschaft und Verkehrswesen. Den eigentlichen Beispielen bzw. komplett durchgerechneten Aufgaben jedes Gebietes ist eine kurze Einführung in die jeweilige Thematik und eine Zusammenstellung der verwendeten Formeln und Formelzeichen vorangestellt. Selbstverständlich basieren alle Beispiele und Aufgaben auf den aktuellen - das heißt jeweils neuesten - Fassungen der zugehörigen Normen und sonstigen Technischen Regelwerke. Auf die entsprechenden ausführlichen Abschnitte in den BZ wird durchweg hingewiesen. Größter Wert wurde – wie auch bei den BZ selbst – auf gute Lesbarkeit und leichte Verständlichkeit gelegt. Die Nummerierung der Gleichungen, Bilder und Tafeln wurde – in Anpassung an die aktuelle Auflage „des“ Wendehorst – geändert: Die Nummern beginnen jetzt in jedem Kapitel eines Beitrages neu mit 1, wobei die Kapitelnummer vorangestellt ist. Zum Beispiel ist Bild 7-25 das fünfundzwanzigste Bild in Kapitel 7 des aktuellen Beitrages. Diese Aufgabensammlung ist äußerst nützlich bei der Vorbereitung auf Klausuren und Prüfungen allgemein, sie leistet aber auch als Begleiter auf dem Weg durch das Studium schon gute Dienste, denn neuen Stoff erarbeitet man sich am leichtesten und effizientesten an Hand von komplett durchgerechneten Aufgaben zu diesem Stoff. Verlag und Autoren sind dankbar für Anregungen und konstruktive Hinweise auf Möglichkeiten der Verbesserung dieser Sammlung. Münster/Ostbevem, im Frühjahr 2007

Otto W. Wetzell

Autorenverzeichnis Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner studierte Physik an der Universität Freiburg und war anschließend in einem bauphysikalischen Beratungsbüro tätig. Später wurde er an die Fachhochschule Stuttgart - Hochschule für Technik in den Fachbereich Bauphysik berufen, in dem er derzeit Dekan ist. Seine Fachgebiete sind Bau- und Raumakustik, Schwingungstechnik sowie Allgemeine Bauphysik. Prof. Dr.-Ing. Ernst Biener war nach Studium und Promotion an der RWTH Aachen zunächst für einen internationalen Baukonzern im Bereich der Umwelttechnik tätig. Seit 1989 ist er Professor für Umwelttechnik im Fachbereich Bauingenieurwesen der Fachhochschule Aachen. Er ist außerdem von der IHK Aachen ö.b.u.v. Sachverständiger für Deponietechnik sowie Erkundung, Beurteilung und Sanierung von Grundwasser- und Bodenverunreinigungen und Beratender Ingenieur (Ingenieurkammer BauNW). Als Mitglied zahlreicher Berufsverbände (DGGT, ATV, VKS etc.) sowie Geschäftsführer der Ingenieurgesellschaft Umtec GbR ist er Autor zahlreicher Veröffentlichungen in nationalen und internationalen Fachmedien. Prof. Dr.-Ing. Johannes Feiser studierte Bauingenieurwesen an der RWTH Aachen und promovierte am dortigen Institut für Grundbau mit einem Thema aus dem Bereich der Felsmechanik. Er war danach in einer Ingenieurgesellschaft für Geotechnik in Aachen beschäftigt, anschließend als Geschäftsführer eines Geotechnikbüros in Neuss tätig und eingetragener Sachverständiger für Erd- und Grundbau nach DIN 1054. Seit 1996 ist er Professor an der Fachhochschule Aachen und vertritt dort die Lehrgebiete Geotechnik, Erd- und Tunnelstatik sowie Spezialtiefbau. Daneben bleibt er als Beratender Ingenieur und Geotechnischer Gutachter weiterhin in der Praxis aktiv. Prof. Dr.-Ing. Gerhard Haße studierte Bauingenieurwesen an der TU Berlin. Er promovierte während seiner sechsjährigen Tätigkeit als wissenschaftlicher Assistent an der TU Berlin mit einem Thema über den Einfluss zeitabhängiger Formänderungen auf vorgespannte statisch unbestimmte Verbundtragwerke. Vor, während und im Anschluss an diese Tätigkeit war er sowohl selbstständig als auch für verschiedene Bauunternehmen tätig. Auf eine Verwendung als Gutachter bei der Oberfinanzdirektion Münster folgte schließlich der Dienst als Hochschullehrer an der Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Massivbau, Stahlbau, Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor war er an mehreren Fachbüchern beteiligt. Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Heinemann studierte an der Ingenieurschule Siegen und der RWTH Aachen Bauingenieurwesen. Anschließend war er als wissenschaftlicher Assistent am Aachener Institut für Wasserbau und Wasserwirtschaft tätig und promovierte auf dem Gebiet von Wirbelströmungen. Viele Jahre wurde er von einer Ingenieurgesellschaft hauptsächlich für Auslandsprojekte der Wasserkraft- und Talsperrenplanung eingesetzt. Seit 1990 vertritt er an der Fachhochschule Köln die Gebiete der Wasserwirtschaft und des Wasserbaus. Als Autor beteiligte er sich an zahlreichen Fachbeiträgen und Büchern. Prof. Dr.-Ing. Wolfram Jäger studierte Bauingenieurwesen an der TU Dresden und an der Moskauer Bauhochschule (MISI) und promovierte in Dresden am Lehrstuhl für Baumechanik der Stabtragwerke und Bauwerksoptimierung. Professor Jäger hat viele Jahre als Beratender Ingenieur, Prüfingenieur und Leiter eines größeren Bauunternehmens gearbeitet und - neben zwei Fachbüchern in englischer Sprache - mehr als sechzig wissenschaftliche Aufsätze veröffentlicht zu

Autorenverzeichnis

Themen aus dem Bauwesen, insbesondere dem Holz- und Mauerwerksbau. Er ist Mitglied in mehreren Fachausschüssen und -gremien des DIN und des Deutschen Instituts für Bautechnik sowie Mitglied des Redaktionsbeirates der Zeitschrift „das Mauerwerk“. Professor Jäger ist Inhaber des Lehrstuhls für Tragwerksplanung der Fakultät Architektur der TU Dresden. Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel studierte an der Universität Stuttgart Geodäsie. Nach der Assistentenzeit am Geodätischen Institut Stuttgart promovierte er über ein Thema der Messtechnik. Nach anschließender Tätigkeit in der Vermessungsverwaltung in Baden-Württemberg und bei der Stadt Stuttgart erfolgte die Berufung an die Fachhochschule Stuttgart - Hochschule für Technik. Seine Fachgebiete sind Vermessungskunde, Präzisionstechnik, Elektronisches Messen und Geodätische Positionsbestimmung. Er ist Autor zahlreicher wissenschaftlicher Veröffentlichungen, Fach- und Lehrbücher. Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Krings studierte nach einem Ingenieurschulstudium in Essen an der neu gegründeten Ruhr-Universität Bochum Bauingenieurwesen. Er promovierte dort mit einem Finite Element-Thema und war anschließend 15 Jahre bei einer großen Baufirma als Statiker, Entwicklungsingenieur, Abteilungsleiter und Geschäftsführer einer Tochtergesellschaft tätig. Seit 1990 ist er an der Fachhochschule Köln und vertritt dort die Lehrgebiete Mechanik, Baustatik und Massivbau. Zahlreiche Veröffentlichungen über Dynamik, Finite Element-Methoden, Schalenstatik, Altlastensanierung und Berechnungsmethoden im Massivbau. Seit 2001 Ehrenprofessor der Staatlichen Akademie für Architektur und Bauwesen in Wolgograd. Prof. Dr.-Ing. Wolfram Lohse studierte an der Universität Karlsruhe Bauingenieurwesen und promovierte dort am Lehrstuhl für Stahl- und Leichtmetallbau über ein Thema aus dem Stahlbrückenbau. Während seiner Assistentenzeit entstanden unter anderem zahlreiche wissenschaftliche Gutachten über Schadensfälle im Stahlbau und zur Restnutzungsdauer von Eisenbahnbrücken. Anschließend wechselte er in die Stahlbauindustrie als technischer Leiter und Leiter des Verkaufs und ließ sich zum Schweißfachingenieur ausbilden. Ab 1985 ist er Professor für Stahlbau und Baustatik an der Fachhochschule Aachen und nebenberuflich tätig als Gutachter und Tragwerksplaner im eigenen Ingenieurbüro. 1998 wurde er zum Prüfingenieur für Baustatik ernannt und zwei Jahre später zum Prüfer für bautechnische Nachweise im Eisenbahnbau. Diese nebenberufliche Tätigkeit übt er seit 2001 als geschäftsführender Gesellschafter in der Ingenieurgemeinschaft Genähr & Partner in Dortmund aus. Prof. Dipl.-Ing. Henning Natzschka studierte Bauingenieurwesen an der Universität Fridericana Karlsruhe (TH) und durchlief anschließend eine Referendarausbildung bei der Straßen- und Wasserbauverwaltung Baden-Württemberg., Abschluss Regierungsbaumeister. Die langjährige Arbeit als Mitglied im Vorstand eines Straßenbauamtes und Leiter der Neubauabteilung „Vogelfluglinie" des Landesamtes für Straßenbau Schleswig-Holstein hat ihn mit allen Fragen der Planung, Ausführung und Unterhaltung von Verkehrswegen und Verkehrswegebauten in engste Berührung gebracht. Professor Natzschka ist Leiter der Labore Bituminöser Straßenbau und Informatik im Bauwesen der Hochschule für Technik in Stuttgart sowie des Joseph-von-Egle-Instituts. Außerdem leitet er ein Ingenieurbüro für Straßen- und Verkehrsplanung. Er ist Mitglied mehrerer Forschungsgremien, Verfasser des Lehrbuchs „Straßenbau – Entwurf und Bautechnik“ und Autor von mehr als vierzig wissenschaftlichen Veröffentlichungen in Fachzeitschriften. Prof. Dr.-Ing. Helmuth Neuhaus studierte Bauingenieurwesen an der Ruhr-Universität Bochum. Er promovierte dort mit einem Thema aus dem Holzbau. Danach war er in der Bauabteilung einer Anlagenbaufirma tätig. 1986 ging er an die Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete sind Holzbau und Bauphysik. Als Autor und Mitautor veröffentlichte er zahlreiche Aufsätze und ein Fachbuch. Er ist öffentlich bestellter und vereidigter Sachverständiger der IHK Münster für das Sachgebiet Holzbau.

VII

VIII

Autorenverzeichnis

Prof. Dr.-Ing. Andreas Strohmeier studierte an der RWTH Aachen Bauingenieurwesen. Dort promovierte er auch während seiner wissenschaftlichen Assistententätigkeit mit einem Thema zum Leistungsvermögen von Abwasserbehandlungsanlagen. Er war in verschiedenen international tätigen Ingenieurunternehmen beschäftigt, unter anderem über sieben Jahre in einem der weltweit größten Wasser- und Abwasseraufbereitungsunternehmen. In Führungspositionen übernahm er praktische Ingenieurtätigkeiten aus dem Bereich der Wasser- und Abwassertechnik. Seit 1994 ist er Professor an der Fachhochschule Aachen im Fachbereich Bauingenieurwesen für das Lehrgebiet „Wasserversorgung und Abwassertechnik“. Er ist Autor zahlreicher internationaler Fachaufsätze. Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller studierte Bauingenieurwesen mit Vertiefung Konstruktiver Ingenieurbau an der RWTH Aachen. Später war er als Beratender Ingenieur tätig mit anschließender Promotion. Nach seiner Professur für Tragwerksplanung an der Fachhochschule Frankfurt/Main arbeitet er jetzt am Lehrstuhl für Baukonstruktionslehre an der TU Dresden und ist dort seit 2002 außerdem Direktor des Instituts für Baukonstruktion. Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell studierte Bauingenieurwesen an der TU in Hannover und der Stanford University in Palo Alto, Kalifornien. Er promovierte an der TU Hannover mit einem Thema aus der Mechanik und war danach als Beratender Ingenieur und Gutachter Partner einer Ingenieursozietät.. Später ging er an die Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor und Herausgeber veröffentlichte er zahlreiche Fachbücher und Aufsätze.

Vermessung Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel

Inhalt Vermessung ..................................................................................................................................... 1 1 Vorbemerkungen ....................................................................................................................... 3 2 Grundaufgaben........................................................................................................................... 3 2.1 Richtungswinkelberechnung........................................................................................... 3 2.2 Polarpunktberechnung .................................................................................................... 5 2.3 Höhenübertragung mit dem Tachymeter (trigonometrische Höhenübertragung)............................................................................ 6 2.4 Transformationen............................................................................................................ 7 2.4.1 Transformation mit zwei identischen Punkten:................................................ 7 2.4.2 Transformation mit mehr als zwei identischen Punkten (Helmert-Transformation)................................................................................ 8 2.5 Achsenschnitte.............................................................................................................. 10 2.5.1 Schnitt zweier geradliniger Achsen ............................................................... 10 2.5.2 Schnitt einer geradlinigen Achse mit einem Kreis ......................................... 13 3 Polygonzugsberechnung .......................................................................................................... 14 4 Freie Stationierung................................................................................................................... 17 5 Nivellement.............................................................................................................................. 21 6 Achsberechnung....................................................................................................................... 23 7 Mengenberechnung.................................................................................................................. 25

1 Vorbemerkungen Die Reihenfolge der Beispiele entspricht der Reihenfolge der Kapitel im Abschnitt „Vermessung“ der Bautechnischen Zahlentafeln. Die zur Lösung der Beispiele erforderlichen Formeln sind bei den Beispielen aufgeführt und für einige Beispiele speziell umgeformt. Zusätzlich wird auf die in den Bautechnischen Zahlentafeln vergebene Formelnummer verwiesen. Zwischenergebnisse werden meist auf Millimeter oder Zentimeter bzw. Milligon gerundet angegeben. Bei der Weiterrechnung werden jedoch nicht diese gerundeten Werte verwendet, sondern es wird mit den im Rechner vorhandenen und in der Regel wesentlich genaueren Werten gerechnet. Zu beachten ist auch, dass bei der Rechengenauigkeit nicht allein die Nachkommastellenzahl der eingegebenen Werte von Bedeutung ist sondern die Zahl der besetzten Wertstellen, also die Zahl der Vorkommastellen und der Nachkommastellen (z.B. bei den Transformationsparametern).

2 Grundaufgaben 2.1 Richtungswinkelberechnung

Gegeben: Koordinaten der Punkte P1 bis P5 (siehe Tabelle) Gesucht: Quadrantengerechte Richtungswinkel t von P1 zu den Punkten P2 bis P5 Lösung: ǻY = Yi − Y1 ǻX = X i − X1 ΔY t1,i = arctan ΔX

Hierzu bei den Taschenrechnern die Winkeleinheit „gon“ wählen Der Richtungswinkel t muss immer im Intervall 0 ≤ t < 400 gon liegen. Abhängig vom Vorzeichen von ΔY und ΔX wird t im Quadranten I–IV liegen:

4

Vermessung

1 Quadrant I II III IV

Richtungswinkel ΔY t = arctan ΔX + + t + – t + 200gon – – t + 200gon – + t + 400gon Quadrantenfestlegung ΔY

ΔX

Für diese Aufgabe gibt es auch eine Formel, die den Quadranten automatisch festlegt: ΔY = Yi − Y1 + 1 ⋅ 10− a

a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird (z.B. a = 6 bei sechsstelliger Genauigkeit).

ΔX = X i − X1 + 1 ⋅ 10− a

t[gon] =

200 ΔY arctan + 200 − (1 + sgn ΔX ) ⋅ sgn ΔY ⋅ 100 π ΔX

wobei sgn x = 1

für x > 0

sgn x = 0

für x = 0

sgn x = – 1

für x < 0

Pkt.-Nr. P1 P2 P3 P4 P5

Y [m] 1340,12 1407,89 1382,27 1295,62 1310,28

X [m] 2487,56 2513,32 2430,87 2417,23 2560,11

ΔY

ΔX

t [gon]

67,77 42,15 – 44,50 – 29,84

25,76 – 56,69 – 70,33 72,55

76,875 159,298 235,914 375,158

Die Lösungsformeln entsprechen den Formeln (2-1) bis (2-3) aus den Bautechnischen Zahlentafeln.

5

2 Grundaufgaben

2.2 Polarpunktberechnung

1 Gegeben: Koordinaten von Standpunkt S und Anschlusspunkt A Pkt.-Nr. S A

Y [m] 4826,27 5083,69

X [m] 3427,19 4217,38

Gemessen: Winkel α1 bis α 4 und Strecken S1 bis S4 zu den Neupunkten P1 bis P4 (siehe folgende Tabelle!) Gesucht: Koordinaten der Neupunkte P1 bis P4 Lösung: t S , A = arctan

YA − YS = 20, 0489 gon X A − XS

ti = tS,A + α i

wobei ti < 400 gon !

Yi = YS + Si ⋅ sin ti X i = X S + Si ⋅ cos ti

siehe auch Formeln (2-4) bis (2-7) der Bautechnischen Zahlentafeln. Pkt.-Nr. P1 P2 P3 P4

αi [gon] 67,1252 131,8927 252,0231 298,6125

Si [m] 120,125 80,090 170,605 147,820

ti [gon] 87,1741 151,9416 272,0720 318,6614

Yi [m] 4943,966 4881,149 4671,820 4684,755

Xi [m] 3451,227 3368,857 3354,725 3469,903

Umkehrung dieser Aufgabe: Berechnung polarer Absteckelemente Gegeben: Koordinaten des Standpunktes S, des Anschlusspunktes A und der abzusteckenden Punkte P1 bis P4 Gesucht: Die polaren Absteckelemente αi und Si

6

1

Vermessung

Lösung: ti = arctan

Yi − YS X i − XS

α i = ti − tS,A Si =

(Yi − YS ) 2 + ( X i − X S ) 2

Zahlenbeispiel: Siehe vorige Zahlentabelle!

2.3 Höhenübertragung mit dem Tachymeter (trigonometrische Höhenübertragung)

Gemessen:

Gesucht: Lösung:

Zenitdistanzen Zi und Schrägstrecken Si zu den Punkten Pi Instrumentenhöhe i auf dem Standpunkt und die Zielhöhen ti auf den Punkten Pi (siehe Tabelle!) Höhenunterschiede ΔHi zwischen Standpunkt und den Punkten Pi S2 ΔH i = Si ⋅ cos Zi + i ⋅ 0,87 + i − ti 2R

Pkt.-Nr. Zi [gon] Si [m] P1 94,163 314,28 P2 99,432 426,17 P3 100,332 452,03 P4 106,728 287,65 Instrumentenhöhe: i = 1,425 m

ti [m] 1,380 1,520 1,425 1,485

ΔH1 = 28, 775 + 0, 007 + 1, 425 − 1, 380 ΔH 2 = 3,802 + 0, 012 + 1, 425 − 1, 520

= 28,827 m

ΔH 3 = −2, 357 + 0, 014 + 1, 425 − 1, 425

= − 2, 343 m

ΔH 4 = − 30, 343 + 0, 006 + 1, 425 − 1, 485

= − 30, 397m

= 3, 719 m

7

2 Grundaufgaben

2.4 Transformationen

1

2.4.1 Transformation mit zwei identischen Punkten:

Gegeben: Koordinaten der Punkte 10 und 20 im Ausgangssystem (System1) und im Zielsystem (System2), Koordinaten der Neupunkte 12, 13, und 15 im Ausgangssystem

Gesucht: Koordinaten der Neupunkte 12, 13 und 15 im Zielsystem

Pkt.-Nr. Identische Punkte 10 20 Neupunkte 12 13 15

Ausgangssystem y x

119,45 104,07

168,70 91,10

113,04 87,00 100,27

125,60 65,30 82,38

Zielsystem Y

X

27,33 17,05

10,20 88,60

Lösung: Berechnung der Parameter aus den Koordinaten der identischen Punkte: o=

( x20 − x10 ) (Y20 − Y10 ) − ( y20 − y10 ) ( X 20 − X10 ) = 0, 320138 ( x20 − x10 ) 2 + ( y20 − y10 ) 2

a=

( x20 − x10 ) ( X 20 − X10 ) + ( y20 − y10 ) (Y20 − Y10 ) = − 0,946859 ( x20 − x10 )2 + ( y20 − y10 ) 2

M = a 2 + o2 = 0,999515

§o· © ¹

α = arctan ¨ ¸ = 179, 2437 gon a

Y0 = Y10 − o ⋅ x10 − a ⋅ y10 = 86, 425

X 0 = X 10 − a ⋅ x10 + o ⋅ y10 = 208,176

8

1

Vermessung

Koordinaten der Neupunkte im Zielsystem (y, x) → (Y, X): Yi = Y0 + o ⋅ xi + a ⋅ yi

X i = X 0 + a ⋅ xi − o ⋅ yi

Y12 = 19, 601 Y13 = 24,953 Y15 = 17,856

X12 = 53, 062 X13 = 118, 494 X15 = 98, 073

Rücktransformation (Y, X) → (y, x): yi =

a o (Yi − Y0 ) − (Xi − X0 ) 2 M M2

xi =

a o (Xi − X0 ) + (Yi − Y0 ) 2 M M2

y12 = 113, 04 y13 = 87, 00

x12 = 125, 60 x13 = 65, 30

y15 = 100, 27

x15 = 82,38

2.4.2 Transformation mit mehr als zwei identischen Punkten (Helmert-Transformation) Gegeben: Gesucht:

Koordinaten der Punkte 121-124 im Ausgangs- und im Zielsystem Koordinaten der Neupunkte 125-127 im Ausgangssystem Koordinaten der Neupunkte 125-127 im Zielsystem Ausgangssystem

Pkt.-Nr. Identische Punkte 121 122 123 124 Neupunkte 125 126 127

Zielsystem

y

x

Y

X

3331,42 6016,76 4423,71 1618,10

6492,43 4370,94 657,01 2680,17

41132,12 43988,31 42717,27 39749,54

27133,89 25248,46 21412,31 23189,31

2436,17 3578,03 5402,89

1240,98 5822,36 6003,52

Lösung: Schwerpunktkoordinaten: yS =

1 n yi = 3847, 498 n i =1

¦

xS =

1 n xi = 3550,138 n i =1

¦

9

2 Grundaufgaben

YS =

1 n Yi = 41896,810 n i =1

XS =

¦

Auf Schwerpunkt reduzierte Koordinaten y i = yi − yS x i = xi − xS

1 n X i = 24245,992 n i =1

¦

Y i = Yi − YS

Pkt.-Nr.

y

x

121 122 123 124

–516,078 2169,262 576,212 –2229,398

2942,292 820,802 –2893,128 –869,968

X i = Xi − XS Y –764,690 2091,500 820,460 –2147,270

Parameter: 4

¦ ( x i Y i + yi X i ) = − 2446071, 78 i =1 4

¦ ( yi Y i + x i i =1 4

2

¦ ( xi i =1

X i ) = 28628880, 69

2

+ y i ) = 28732101,92

4

¦ ( xi Y i − y i X i )

o = i =1

4

¦

i =1

2

= − 0, 08513376

2

( xi + y i )

4

¦ ( y i Y i + xi X i )

a = i =1

4

¦

2 ( xi

+

= 0,99640746

2 yi )

i =1

bzw.

§o· M = a 2 + o2 = 1, 00003779 α = arctan ¨ ¸ = 394,5739 gon ©a¹

Y0 = YS − o ⋅ xS − a ⋅ yS = 38365,371 X 0 = X S − a ⋅ xS + o ⋅ yS = 20381, 057

Verbesserungen der Koordinaten der identischen Punkte: vy = Y − Y0 − o ⋅ x − a ⋅ y vy1 vy 2 v y3 vy14

= 0, 022 m = − 0, 091 m = 0, 015 m = 0, 055 m

¦= 0

vx = X − X 0 − a ⋅ x + o ⋅ y vx1 vx 2 vx 3 vx14

= 0,111 m = − 0, 064 m = − 0, 004 m = − 0, 043 m

¦= 0

1

X 2887,898 1002,468 –2833,682 –1056,682

10

Vermessung

n

1 S y = Sx =

¦ (vx2i + vy2i ) i =1

2n − 4

=

0, 0303 = 0, 087 m 4

Berechnung der Koordinaten der Neupunkte (yi, xi) → (Yi, Xi): Yi = Y0 + o ⋅ xi + a ⋅ yi

X i = X 0 + a ⋅ xi − o ⋅ yi

Y125 = 40687,140 Y126 = 41434,867 Y127 = 43237, 749

X125 = 21824,979 X126 = 26487,111 X127 = 26822,977

Rücktransformation (Yi, Xi) → (yi, xi): yi =

a (Yi − Y0 ) − o ( X i − X 0 ) a 2 + o2

y125 = 2436,17 y126 = 3578, 03 y127 = 5402,89

xi =

a ( X i − X 0 ) + o (Yi − Y0 ) a 2 + o2

x125 = 1240,98 x126 = 5822,36 x127 = 6003,52

Die Lösungsformeln entsprechen den Formeln (2-21) bis (2-31) in den Bautechnischen Zahlentafeln.

2.5 Achsenschnitte 2.5.1 Schnitt zweier geradliniger Achsen 1. Beispiel: Gegeben: Erste Achse mit Punkten 1 und 2 Zweite Achse mit Punkten 3 und 4 Gesucht: Schnittpunkt S Pkt.-Nr. 1 2 3 4

Y 119,78 230,89 189,14 187,00

X 98,80 103,10 159,90 71,20

11

2 Grundaufgaben

Lösung: k1 =

Y2 − Y1 = 25,839535 X 2 − X1

k2 =

1

Y4 − Y3 = 2, 4126268 X 4 − X3

(Y3 − Y1 ) − k2 ( X 3 − X1 ) = 101, 43 k1 − k2 YS = Y1 + k1 ( X S − X1 ) = 187, 73 X S = X1 +

Siehe auch Formeln (2-32) bis (2-35) in den Bautechnischen Zahlentafeln. 2. Beispiel: Pkt.-Nr. 15 16 23 24

Y 106,20 154,10 170,83 200,14

X 205,70 266,19 270,34 219,24

k1 = 0, 7918664 k2 = − 0,5735812 X S = 280,19 YS = 165,18

3. Beispiel: Schnitt einer Achse mit einer Parallelen zu einer zweiten Achse Gegeben: Erste Achse mit den Punkten 1 und 2 Zweite Achse mit den Punkten 3 und 4 Parallele zu 1-2 im Abstand d (liegt 5 rechts der Linie von 1 nach 2, dann ist d positiv, im anderen Fall negativ!). Gesucht: Schnittpunkt S Lösung: • Berechnung der Koordinaten des Punktes 5 t1,2 = arctan

Y2 − Y1 X 2 − X1

t1,5 = t1,2 + 100 gon Y5 = Y1 + d ⋅ sin t1,5 X 5 = X1 + d ⋅ cos t1,5

falls t1,5 ≥ 400 gon dann 400 gon abziehen!

12

Vermessung

1

Unabhängig davon, ob Punkt 5 rechts oder links der Linie 1-2 liegt, führen diese Formeln immer auf das richtige Ergebnis, da d eine mit Vorzeichen versehene Größe ist! Hier: Parallele zur Achse von 1 nach 2 im Abstand d = – 5,00 m Y 391,70 514,56 465,86 451,99

Pkt.-Nr. 1 2 3 4

t1,2 = 116, 4972 gon

X 713,51 680,94 785,48 608,02

t1,5 = 216, 4972 gon Y5 = Y1 + (− 5, 00) ⋅ sin t1,5 = 392,981 X 5 = X1 + (− 5, 00) ⋅ cos t1,5 = 718,343

Parallele zur Achse von 1 nach 2 im Abstand d = –5,00m

• Schnitt der Achse 3-4 mit der Achse 5-6 k1 =

Y4 − Y3 X 4 − X3

XS = X3 +

k2 =

(Y5 − Y3 ) − k2 ( X 5 − X 3 ) k1 − k2

k1 = 0, 0781585

Y6 − Y5 Y − Y1 , da parallel! = 2 X6 − X5 X 2 − X1

YS = Y3 + k1 ( X S − X 3 )

k2 = − 3, 772183

X S = 700, 78 YS = 459, 24

4. Beispiel: Schnitt einer Achse mit einer Senkrechten zu einer Achse Gegeben: Erste Achse mit Punkten 1 und 2 Zweite Achse mit Punkten 3 und 4 Senkrechte zu Achse 1-2 im gegebenen oder berechenbaren Punkt A Gesucht: Schnittpunkt S Lösung: Da A-S senkrecht auf 1-2 steht, gilt tan tA,S = −

1 tan t1,2

wobei

tan t1,2 =

Y2 − Y1 X 2 − X1

Schnitt Achse 3-4 mit Achse A-S k1 =

Y4 − Y3 = tan t3,4 X 4 − X3

k2 =

YS − YA 1 X − X1 = tan tA,S = − =− 2 XS − X A Y2 − Y1 tan t1,2

13

2 Grundaufgaben

XS = X3 +

(YA − Y3 ) − k2 ( X A − X 3 ) k1 − k2

1

YS = Y3 + k1 ( X S − X 3 ) Pkt.-Nr. 1 2 A 3 4

Y

X

601,96 547,22 585,21 633,10 596,43

796,49 867,15 818,12 773,82 872,41

k1 = − 0,3719444 k2 = 1, 2908294 X S = 837, 01 YS = 609, 60

2.5.2 Schnitt einer geradlinigen Achse mit einem Kreis Gegeben: Achse mit den Punkten 1 und 2 Kreis um Mittelpunkt 3 mit Radius r Gesucht: Schnittpunkt S1 bzw. S2 Pkt.-Nr. 1 2 3

Lösung: Mit Formeln (2-36) bis (2-42) α = |t1,3 − t1,2 | = |85,9743 − 116,9893| = 31, 0150 gon 13 = 111,331m

r 2 − 3H

2

2

1H = 13 − 3H

X 611,98 578,52 636,31

2

= 98,378m

1S1 = 1H − HS1 = 80,808m

3H = 13 ⋅ sin α = 52,118m HS1 = HS 2 =

Y 489,53 611,92 598,17 r = 55,00 m

= 17,570m

1S 2 = 1H + HS 2 = 115,948m

YS1 = Y1 + 1S1 ⋅ sin t1,2 = 567, 48

YS2 = Y1 + 1S 2 ⋅ sin t1,2 = 590, 67

X S1 = X1 + 1S1 ⋅ cos t1,2 = 601,37

X S2 = X1 + 1S 2 ⋅ cos t1,2 = 581, 40

Siehe auch Formeln (2-36) bis (2-42) in den Bautechnischen Zahlentafeln(BZ).

14

1

Vermessung

3 Polygonzugsberechnung Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte P0, P1, P7, P8 Genauigkeitsstufe 2 Gemessen: Brechungswinkel β1 bis β7 Reduzierte Horizontalstrecken S1,2, S2,3, S3,4, S4,5, S5,6, S6,7 Gesucht: Koordinaten der Neupunkte P2 bis P6 Pkt.-Nr.

Y [ m]

X [ m]

P0

3559383,06

5413732,71

P1

58219,68

13442,72

P7

58406,23

14234,58

P8

58927,64

15431,00

Pkt.-Nr.

β [gon]

S[m]

P1

335,218

P2

198,876

126,79 123,20 P3

197,822 152,08

P4

173,253 161,56

P5

227,959

P6

211,854

P7

196,725

109,98 157,33

¦S = 830,94 m Lösung: Berechnung der Anschlussrichtungen mit Gleichungen (3-1) und (3-2) in den BZ t0,1 = arctan

y1 − y0 (+ 200 gon) = 284,4482 gon x1 − x0

15

3 Polygonzugsberechnung

t7,8 = arctan

y8 − y7 = 26,1644 gon x8 − x7

1

Winkelabschlussverbesserung nach (3.5) in den BZ 7 § · vβ = t7,8 − ¨ t0,1 − 7 ⋅ 200 gon + β k (± 400 gon) ¸ = + 0, 0092 gon ¨ ¸ k =1 © ¹

¦

vβ

= + 0, 0013 gon 7 Zulässige Winkelabweichung für Genauigkeitsstufe 2 ZW2 =

6002 (n − 1)2 ⋅ n + 102 (¦ S ) 2

mit

¦ S = 830,94 und n = 7

folgt

→ eingehalten!

ZW2 = 15, 2mgon = 0, 0152 gon

Berechnung der Koordinaten der Neupunkte ΔY

ΔX

19,6675

38,550

120,787

– 0,002 – 0,009

18,5448

35,383

118,010

– 0,002 – 0,008

16,3681

38,672

147,081

– 0,002 – 0,010

389,6224

– 26,220

159,418

– 0,002 – 0,011

17,5827

29,991

105,812

– 0,002 – 0,007

29,4380

70,186

140,807

– 0,002 – 0,010

t

VΔY

VΔX

Y

X

58219,68

13442,72

58258,228

13563,498

58293,609

13681,500

58332,279

13828,571

58306,057

13987,978

58336,046

14093,783

58406,23

14234,58

Y7 − Y1 =

X 7 − X1 =

186,55

791,86

P0 284,4482 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 26,1644 P8

¦ ΔY = 186,562 ¦ ΔX = 791,915 v Y = − 0,012 m

vX

= − 0,055 m

L = − 0,056 m ZL2 = 0,095 m

Q = 0,001m ZQ2 = 0,091m

16

1

Vermessung

Hierzu wurden berechnet: Ausgeglichene Richtungswinkel t nach Gl. (3-6) ti,i +1 = ti −1,i − 200 gon + β i +

υβ 7

(± 400 gon)

Koordinatenunterschiede nach Gl. (3-7) und (3-8) ǻYi,i +1 = Si,i +1 ⋅ sin ti,i +1 ΔX i,i +1 = Si,i +1 ⋅ cos ti,i +1

Koordinatenabschlussverbesserungen nach Gl. (3-9) und (3-10) 6

υY = (Y7 − Y1 ) − ¦ ǻYk,k +1 = − 0, 012 m k =1 6

υX = ( X 7 − X1 ) − ¦ ǻX k,k +1 = − 0, 055 m k =1

Längs- und Querabweichung: L= Q=

υ y (Y7 − Y1 ) + υ x ( X 7 − X1 ) P1P7

υ y ( X 7 − X1 ) − υ x (Y7 − Y1 ) P1P7

= − 0, 056 m = 0, 001 m

wobei P1 P7 = S = 813,54 m

Zulässige Längs- und Querabweichung für Genauigkeitsstufe 2: ZL2 = 0, 032 (n − 1) + 0, 062 = 0, 095 m

→ eingehalten!

ZQ2 = 0, 0032 ⋅ n3 + 0, 000052 ⋅ S 2 + 0, 062 = 0, 091 m

→ eingehalten!

Verbesserungen für die Koordinatenunterschiede nach Gl. (3-11) und (3-12) Si,i +1

υΔ Yi,i +1 =

830,94

υΔ Xi,i +1 =

830,94

Si,i +1

(− 0, 012) = −1, 444 ⋅ 10−5 ⋅ Si,i +1 (− 0, 055) = − 6, 619 ⋅ 10−6 ⋅ Si,i +1

Ausgeglichene Koordinaten der Neupunkte nach Gl. (3-13) und (3-14) Yi +1 = Yi + ΔYi,i +1 + υǻ Yi,i +1 X i +1 = X i + ΔX i,i +1 + υΔX i,i +1

Die angegebenen Formelnummern entsprechen den Formelnummern in den Bautechnischen Zahlentafeln.

17

4 Freie Stationierung

4 Freie Stationierung

1 Gegeben: Die Koordinaten der Anschlusspunkte 10-13 im Zielsystem Y, X

Gemessen auf „freiem“ Standpunkt O: Horizontalrichtungen r, Zenitdistanzen Z und Schrägstrecken S zu den Anschlusspunkten 10-13 und den Neupunkten 118-120

Gesucht: Koordinaten der Neupunkte 118-120 im Zielsystem

Pkt.-Nr.

Anschlusspunkte 10 11 12 13 Neupunkte 118 119 120

Richtung r [gon]

Standpunktsystem Zenitdistanz Z [gon]

Strecke S [m]

Zielsystem Y`

X

62,9839 126,1715 214,4462 360,0354

101,2385 97,0223 98,9315 103,9402

174,782 150,706 111,308 107,457

13412,62 13383,79 13215,85 13204,20

22800,90 22647,32 22621,19 22819,75

20,2345 168,0028 291,1249

102,3192 100,0238 96,9345

82,135 101,062 68,729

Lösung: Mit Formeln (4-1), (4-2) und (2-20) bis (2-29) Rechtwinklige Koordinaten der Anschlusspunkte im Standpunktsystem yi = Si ⋅ sin Zi ⋅ sin ri

xi = Si ⋅ sin Zi ⋅ cos ri

y10 = 146, 032

x10 =

y11 = 137,998

x11 = −60,159

y12 = −25, 038

x12 = −108, 439

y13 = −62,992

x13 =

95,978

86,803

18

1

Vermessung

Koordinaten der Schwerpunkte yS =

1 n yi = 49, 000 n i =1

xS =

YS =

1 n Yi = 13304,115 n i =1

XS =

¦

¦

1 n xi = 3,546 n i =1

¦

1 n X i = 22722, 290 n i =1

¦

Auf Schwerpunkt reduzierte Koordinaten y i = yi − yS

xi = xi − xS y

Y i = Yi − YS

X i = Xi − XS

Pkt.-Nr. 10 11 12 13

x 92,432 – 63,705 – 111,985 83,257

Y

X

97,032 88,998 – 74,038 – 111,992

108,505 79,675 – 88,265 – 99,915

78,610 – 74,970 – 101,100 97,460

¦

0

0

0

0

Berechnung der Parameter der Helmert-Transformation 4

¦ ( xi Y i − yi X i ) = 6519,3711 + 2473,9931 = 8993,3642 i =1 4

¦ ( yi Y i + xi X i ) = 35344, 0176 + 31477,9541 = 66821,9716 i =1 4

2

¦ ( xi

2

+ yi ) = 67434, 0565

i =1

4

o=

¦ ( xi Y i − y i X i ) i =1

4

¦

2

= 0,13336532

2

( xi + y i )

i =1

4

a=

¦ ( y i Y i + xi X i ) i =1

4

¦

2 ( xi

+

= 0,99092321

2 yi )

i =1

bzw. M =

a 2 + o2 = 0,99985755

½ Y0 = YS − o ⋅ xS − a ⋅ yS = 13255, 087m ¾ X 0 = X S − a ⋅ xS + o ⋅ yS = 22725,311m ¿

§o· © ¹

α = arctan ¨ ¸ = 8,5169 gon a Entspricht Standpunktkoordinaten im Zielsystem!

19

4 Freie Stationierung

Berechnung der Verbesserungen vyi = Yi − Y0 − o ⋅ xi − a ⋅ yi

vx i = X i − X 0 − a ⋅ xi + o ⋅ yi

vy10 = 0, 026 m

vx10 = − 0, 043 m

vy11 = − 0, 019 m

vx11 = 0, 026 m

vy12 = 0, 036 m

vx12 = − 0, 006 m

vy13 = − 0, 043 m

vx13 = 0, 023 m

¦= 0

¦= 0 Klaffungen

Zulässig bei Genauigkeitsstufe 2

vL = v y 2 + vx 2 vL10 = 0, 05 m

0, 04 m

vL11 = 0, 03m

0, 04 m

vL12 = 0, 04 m

0, 04 m

vL13 = 0, 05 m

0, 04 m

Die Punkte 10 und 13 würden also die Fehlergrenzen (Baden-Württemberg) nicht mehr einhalten. Standardabweichung der Koordinaten im Zielsystem 4

S y = Sx =

¦ (vx2i + vy2i ) i =1

2⋅4− 4

=

0, 00727 = 0, 043 m 4

Berechnung der Neupunkte im rechtwinkligen Standpunktsystem yi = Si ⋅ sin Zi ⋅ sin ri

xi = Si ⋅ sin Zi ⋅ cos ri

y118 = 25, 652

x118 = 77,969

y119 = 48, 683

x119 = − 88,563

y120 = −67,983

x120 = − 9,539

Transformation der Neupunkte in das Zielsystem Yi = Y0 + o ⋅ xi + a ⋅ yi

X i = X 0 + a ⋅ xi − o ⋅ yi

Y118 = 13290,904

X118 = 22799,152

Y119 = 13291,517

X119 = 22631, 060

Y120 = 13186, 449

X120 = 22724,925

1

20

Vermessung

1

Absteckung mit Freier Stationierung: Zuvor berechnete rechtwinklige Koordinaten eines Objektes sollen mit Freier Stationierung abgesteckt werden. Übergeordnete Koordinaten Y, X der Anschlusspunkte und der Objektpunkte (siehe Tabelle) Richtungen r , Zenitdistanzen Z und Schrägstrecken S zu den Anschlusspunkten Richtungen r und Horizontalstrecken S zu den Objektpunkten (polare Absteckwerte)

Gegeben: Gemessen: Gesucht:

Pkt.-Nr.

System der übergeordneten Koordinaten

Standpunktsystem

Anschlusspunkte 10 11 12 13 Objektpunkte 51 52 53

Richtung r [gon]

Zenitdistanz Z [gon]

Schrägstrecke S [m]

Y

X

62,9839 126,1715 214,4462 360,0354

101,2385 97,0223 98,9315 103,9402

174,782 150,706 111,308 107,457

13412,62 13383,79 13215,85 13204,20

22800,90 22647,32 22621,19 22819,75

13301,17 13360,85 13198,03

22765,02 22610,79 22732,11

Lösung: Berechnung der Parameter a, o, Y0 , X 0 für die Freie Stationierung (siehe obiges Zahlenbeispiel!) Rücktransformation der Objektpunkte bezogen auf das Standpunktsystem mit: a (Yi − Y0 ) − o ( X i − X 0 ) a 2 + o2 = 40,380 = 120,110

a ( X i − X 0 ) + o (Yi − Y0 ) a 2 + o2 = 45,507 = − 99, 405

yi =

xi =

y51 y52

x51 x52

y53 = − 57, 462

x53 = − 0,873

Berechnung ebener Polarkoordinaten r, S (Absteckwerte): y S i = yi2 + xi2 ri = arctan i xi S 51 = 60,840 m r51 = 46, 204 gon S 52 = 155,910 m r52 = 144, 013 gon S 53 = 57, 470 m r53 = 299, 033 gon Die hier angegebenen Formeln entsprechen den Formeln (4-1), (4-2) und (2-20) bis (2-29) in den Bautechnischen Zahlentafeln.

21

5 Nivellement

5 Nivellement 1. Beispiel:

1

Der Höhenunterschied zwischen Höhenpunkt 10 und Höhenpunkt 20 soll durch Hin- und Rücknivellement bestimmt werden. Gemessen: Vorwärtsablesungen V und Rückwärtsablesungen R auf den Instrumentenstandpunkten I1 bis I3 Gesucht: Höhenunterschied ΔH = H 20 − H10

Lösung: Δh = R – V Pkt.

ΔH = ¦ Δh

Ablesung: „rückwärts“ R

Ablesung: „vorwärts“ V

Δh = R – V

Zielweite

2,812 1,903 2,006

1,428 1,926 1,235

+ 1,384 – 0,023 + 0,771

30/30 40/40 35/35

¦R = 6,721

¦V = 4,589

10

20 ¦Δh = ΔHHin = + 2,132

¦Δh = ¦R – ¦V = +2,132 20 1,243 2,011 1,375

2,108 1,982 2,673

¦R = 4,629

¦V = 6,763

– 0,865 + 0,029 – 1,298

35/35 35/35 35/35

10 ¦Δh = ΔHRück = – 2,134

¦Δh = ¦R – ¦V = – 2,134

ΔH = H 20 − H10 =

1 (ΔH Hin − ΔH Rück ) = 2,133 m 2

Die verwendeten Lösungsformeln entsprechen den Formeln (7-1) bis (7-3) in den Bautechnischen Zahlentafeln.

22

1

Vermessung

2. Beispiel:

Die Höhe des Neupunkts 100 soll durch Anschluss an die gegebenen Höhenfestpunkte 50 und 60 bestimmt werden. Gegeben: H 50 = 267, 282 m H 60 = 258,956 m

Gemessen: Rückwärtsablesungen R1 bis R5 und Vorwärtsablesungen V1 bis V5 auf den Instrumentenstandpunkten I1 bis I5 Gesucht: Ausgeglichene Höhe H100 Lösung: Pkt.

Ablesung: „rückwärts“ R

Ablesung: „vorwärts“ V

Δh = R – V

vH n

0,827 0,402 0,571

3,232 3,476 2,839

– 2,405 – 3,074 – 2,268

+ 0,0006 + 0,0006 + 0,0006

1,234 1,553

1,867 1,502

– 0,633 +0,051

+ 0,0006 + 0,0006

50

Höhe

Zielweite

267,282

100

40/40 35/35 40/40 259,537

60

¦ R = 4,587 ¦V = 12,916

¦ Δh = − 8,329 „IST“

40/40 35/35 258,956 H60 − H50 =

− 8,326 „SOLL“

¦ R − ¦V =

s ≈ 380 m =ˆ 0,38 km

−8,329

vH = SOLL − IST = −8,326 + 8,329 = +0, 003 m Grenzwert F für den Widerspruch zwischen Messergebnis und vorgegebenem Höhenunterschied: F [mm] = 2 + 5 ⋅ s = 2 + 5 ⋅ 0,38 = 5 mm → eingehalten! vH = 0, 0006 m 5 v H100 = H 50 + ǻh1 + ǻh2 + ǻh3 + 3 H = 259,537 m 5 Die ausgeglichene Höhe des Punktes 100 beträgt 259,537m.

Kontrolle:

H 60 = H100 + ǻh4 + ǻh5 + 2

vH = 258,956 m 5

9

23

6 Achsberechnung

6 Achsberechnung Beispiel 1:

1

Zwei geradlinige Achsen, die sich im Schnittpunkt TS unter dem Winkel α schneiden, sind durch einen Kreisbogen mit Radius r zu verbinden. Gegeben: Radius r = 300 m, Schnittwinkel α = 60 gon Gesucht: Tangentenlänge lt = A − TS = TS − E , Bogenlänge lb von A nach E, rechtwinklige Koordinaten der Bogenpunkte mit den Stationswerten 0 + 50 und 0 + 100 und des Scheitelpunktes S

Lösung: lt = r ⋅ tan

α

= 152,858 m 2 π lb = r ⋅ α ⋅ = 282, 743m 200 50 m 200 ⋅ = 10, 6103 gon α = π r X 0 + 50 = r ⋅ sin(1 ⋅ α ) = 49, 769

Y0 + 50 = r − r ⋅ cos(1 ⋅ α ) = 4,157

X 0 +100 = r ⋅ sin(2 ⋅ α ) = 98,158

Y0 +100 = r − r ⋅ cos(2 ⋅ α ) = 16,513

X S = r ⋅ sin

Beispiel 2:

α 2

= 136,197

YS = r − r ⋅ cos

α 2

= 32, 698

Für eine Klotoide als Übergangsbogen zwischen Gerade und Kreis sind die Klotoidenelemente zu berechnen.

Gegeben: Anfangspunkt UA auf der geradlinigen Achse, Klotoidenparameter A = 300, Kreisbogenradius r = 400 m Gesucht: Länge l der Klotoide von UA bis UE, rechtwinklige Koordinaten von UE und von Kreismittelpunkt M

24

1

Vermessung

Lösung: l=

A2 = 225, 000 m r

le =

l = 0, 750000 A

Für le ≤ 1 kann mit den folgenden Näherungsformeln gerechnet werden: § § l4 · 1 · X UE = A ¨¨ ¨ e − ¸ le4 + 1¸¸ le = 223, 227 3474,1 40 ¹ ©© ¹ §§ l4 1 · 4 1· 3 YUE = A ¨¨ ¨ e − ¸ le + ¸¸ le = 20,975 6¹ © © 42410 336 ¹

§

4 2 § X UE §X · · ⋅ ¨ 1 − 0, 27371 ⋅ ¨ UE ¸ ¸ 2 © A ¹ ¸¹ ¨ 2 A ¨© ©

τ = arctan ¨¨

− 0,487134 ·

¸ = 17,90494 gon ¸ ¸ ¹

X M = X UE − r ⋅ sin τ = 112, 204 Δr = YUE − r (1 − cos τ ) = 5, 259 YM = r + Δr = 405, 259

Siehe auch Formeln (8-14) bis (8-21) in den Bautechnischen Zahlentafeln!

Beispiel 3:

Für einen unsymmetrischen Übergangsbogen (Klotoide-Kreisbogen-Klotoide) sind die Elemente zu berechnen. Gegeben: Klotoidenparameter A1 = 350 , A2 = 450

Kreisbogenradius r = 450 m

Tangentenschnittwinkel τ = 142,500 gon

Gesucht: Tangentenlängen SA und SE und die Trassenlänge von A nach E

25

7 Mengenberechnung

Lösung:

1

Berechnung der Tangentenlängen SA und SE : t1 = (r + ǻr1 ) tan

γ

2

t2 = (r + ǻr2 ) tan

= (450 + 6,839) tan 71, 250 = 941,869 m

γ

= (450 + 18,584) tan 71, 250 = 966, 083m 2 Δr1 bzw. Δr2 werden in Abhängigkeit von r und A1 bzw. r und A2 berechnet (siehe auch Beispiel 2!). d =

ǻr2 − ǻr1 = +14,956 m sin γ

T1 = SA = X M1 + t1 + d = 135, 697 + 941,869 + 14,956 = 1092,522 m T2 = SE = X M 2 + t2 − d = 223,138 + 966, 083 − 14,956 = 1174, 265 m

XM1 bzw. XM2 werden in Abhängigkeit von r und A1 bzw. r und A2 berechnet (siehe auch Beispiel 2!). Berechnung des Kreisbogenstücks b :

α = γ − (τ1 + τ 2 ) = 142,500 − (19, 2558 + 31,8310) = 91, 4132gon wobei

τ1 =

A12

200 2r 2 π ⋅

b = r ⋅ α [ gon]

und

τ2 =

A22 2r 2

⋅

200 π

π = 646,162m 200

Trassenlänge LÜ von A nach E A2 A2 l1 = 1 = 272, 222m und l2 = 2 = 450, 000 m . r r LÜ = l1 + b + l2 = 1368,384 m

7 Mengenberechnung Die beiden dargestellten Querprofile liegen in einer Linkskurve mit Radius 250,00m. Die zwischen beiden Stationen 0+200 und 0+220 liegende Menge für den Abtrag ist zu berechen.

26

Vermessung

1

Pkt.-Nr. 0 1 2 3 4 5

Station 0 + 200 Achsabstand Y 0,00 11,15 19,42 10,21 – 7,82 – 10,20

Höhe Z 204,25 206,15 205,83 200,07 200,20 201,52

Pkt.-Nr. 0 1 2 3 4 5

Station 0 + 220 Achsabstand Y 0,00 12,41 19,35 10,81 – 8,05 – 12,82

Höhe Z 201,31 204,75 205,81 200,53 200,75 198,72

Lösung: Mit Formeln (2-32) bis (2-35) und (9-1) bis (9-5) Berechnung des Schnittpunktes 6 zwischen Planum 3.4 und Gelände 5.0 für die Station 0 + 220. Y4 − Y3 Y − Y5 = − 85, 727272 k2 = 0 = 4,9498070 Z 4 − Z3 Z 0 − Z5 (Y − Y3 ) − k2 ⋅ ( Z5 − Z3 ) Z 6 = Z3 + 5 = 200, 69 (k1 − k2 )

k1 =

Y6 = Y3 + k1 ( Z 6 − Z3 ) = − 3, 06

Im Profil 0 + 200 ergibt die Querschnittsfläche A0123450 =

1 5 ( Zi (Yi +1 − Yi −1 )) = A1 = 105, 294m 2 2 i =0

¦

Im Profil 0+220 ergibt die Querschnittsfläche für den Abtrag A0123450 = A2 = 41,773 m2 Schwerpunktlage bei unsymmetrischem Querprofil berechnen: i=n

YS =

¦ ((Yi2 + Yi ⋅ Yi +1 + Yi2+1 ) ⋅ (Zi − Zi +1 )) i =1

6A

27

7 Mengenberechnung

Schwerpunktslage für Profil 0+200: Yi

Yi 2 + Yi ⋅ Yi + 1 + Yi 2+ 1 = Si

Zi − Zi + 1

Si ⋅ (Zi − Zi + 1)

124,3225 717,9919 679,6587 85,5543 244,9564 104,0400

– 1,90 0,32 5,76 – 0,13 – 1,32 – 2,73

– 236,2128 229,7574 3914,8341 – 11,1221 – 323,3424 – 284,0292

0,00 11,15 19,42 10,21 – 7,82 – 10,20

¦ 3289,8850 3289,8850 = 5, 2075 m 6 ⋅ A1 Schwerpunktslage für Profil 0 + 220: YS1 =

Yi

Yi 2 + Yi ⋅ Yi + 1 + Yi 2+ 1 = Si

Zi − Zi + 1

Si ⋅ (Zi − Zi + 1)

0,00 12,41 19,35 10,81 – 3,06

154,0081 768,5641 700,4521 93,1411 9,3636

– 3,44 – 1,06 5,28 – 0,16 – 0,62

– 529,7879 – 814,6779 3698,3871 – 14,9026 – 5,8054 ¦ 2333,2133

YS2 = k200 =

2333, 2133 = 9,3091 m 6 ⋅ A2 r − YS1 r

da Linkskurve: r negativ!

k200 =

−250 − 5, 2075 = 1, 0208300 −250

k220 =

−250 − 9,3091 = 1, 0372364 −250

k=

1 (k200 + k220 ) = 1, 0290332 2

V =

A1 + A2 ⋅ 20 m ⋅ k = 1513,37 m3 2

Ohne Berücksichtigung der Schwerpunktlage hätte sich nach der Näherungsformel A1 + A2 · 20 m 2 das Volumen 1470,67 m3, also 42,70 m3 zu wenig, ergeben. V =

1

Bauphysik Bearbeitet von Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner, HfT Stuttgart

Inhalt Bauphysik ...................................................................................................................................... 29 1 Wärmeschutztechnische Berechnungen................................................................................... 31 1.1 Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten ........................................................ 31 1.2 Schichtgrenztemperaturen ............................................................................................ 34 1.3 Anwendung des Temperaturfaktors.............................................................................. 35 1.4 Wärmedurchgangskoeffizient von Fenstern nach DIN EN ISO 10077-1 .................... 36 2 Schalltechnische Berechnungen............................................................................................... 37 2.1 Erläuterungen................................................................................................................ 37 2.2 Luftschalldämmmaße von Massivbauteilen (Bauteileigenschaft) ................................ 38 2.2.1 Einschalige Massivwände und -decken ......................................................... 38 2.2.2 Massivwände und -decken mit biegeweichen Vorsatzschalen bzw. schwimmenden Estrichen ...................................................................... 39 2.3 Trittschalldämmung von Massivdecken ....................................................................... 40 2.4 Schallschutznachweis ................................................................................................... 41 2.4.1 Beschreibung des Objektes ............................................................................ 41 2.4.2 Nachweise nach DIN 4109 ............................................................................ 43 2.4.3 Nachweise nach DIN EN 12354 Teil 1 und 2................................................ 45

1 Wärmeschutztechnische Berechnungen 1.1 Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten Trennt ein Bauteil zwei Umgebungen mit unterschiedlichen Temperaturen, so fließt ein Wärmestrom in Richtung des Temperaturgefälles. Er hängt ab von der Geometrie, dem Bauteilmaterial und Bauteilaufbau, den Luftbewegungen beidseits des Bauteils und der Temperaturdifferenz. Wenn die Temperaturen zeitlich nicht konstant sind, ist der Wärmestrom instationär. Beim Wärmeschutz im Hochbau werden normalerweise zeitlich stationäre Zustände und unendlich ausgedehnte, plattenförmige Bauteile betrachtet. Ecken und Anschlussbereiche werden also ausgeklammert und gesondert als Wärmebrücken berücksichtigt. Zahlenmäßig wird der Wärmestrom zwischen der warmen Seite und der kalten Seite beschrieben durch den Wärmedurchgangskoeffizienten U, der sich für plattenförmige Bauteile aus N hintereinander folgenden Schichten wie folgt berechnen lässt:

1

U= Rsi +

N

Rsi innerer Wärmeübergangswiderstand in m2 K/W in W/(m ⋅ K) (1-1) Rse äußerer Wärmeübergangswiderstand di Dicke der i-ten Bauteilschicht in m λi Wärmeleitzahl der i-ten Schicht in W/(m · K). 2

d

¦ λii + Rse i =1

Bei Anwendung der Gleichung (1-1) wird vorausgesetzt, dass das Bauteil in seiner gesamten Ausdehnung aus einer oder mehrerer aufeinanderfolgenden, homogenen, senkrecht zum Wärmestrom angeordneten Schichten besteht. Liegen jedoch Abschnitte mit unterschiedlichem Materialaufbau nebeneinander, so ergeben sich bei der Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten Fehler, deren Größe von der Differenz der wärmeschutztechnischen Qualität der nebeneinanderliegenden Abschnitte abhängt. Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient eines inhomogenen Bauteils kann mit ausreichender Genauigkeit errechnet werden, indem zuerst ein oberer Grenzwert RT' und ein unterer Grenzwert RT" errechnet werden; der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient ergibt sich dann aus dem Mittelwert der beiden Grenzwerte. Neben den Materialeigenschaften werden daher die Flächenanteile der Bauteilabschnitte benötigt: fi = Ai /A

A

Gesamtfläche des Bauteils.

(1-2)

Oberer Grenzwert RT' Für jeden Abschnitt des Bauteils wird der Wärmedurchlasswiderstand und der Wärmedurchgangskoeffizient getrennt bestimmt. Sind m nebeneinanderliegende Bauteilabschnitte vorhanden,

32

Bauphysik

so ergibt sich der obere Grenzwert über die flächengewichteten Wärmedurchgangskoeffizienten der Einzelabschnitte:

2

RT' =

1

(1-3)

m

¦U i ⋅ f i i =1

Unterer Grenzwert RT" Für jede Bauteilschicht wird aus den Wärmeleitzahlen der nebeneinanderliegenden Schichten flächengewichtet die mittlere Wärmeleitzahl λmittel berechnet:

λmittel =

m

¦ λi ⋅ fi i =1

Der Wärmedurchlasswiderstand des n-schichtigen Bauteils ergibt sich dann zu RT" = Rsi +

1 n

di

+ Rse

(1-4)

¦ λmittel, i i =1

Mittelwert und relativer Fehler Der Mittelwert aus oberem und unterem Grenzwert liefert den Näherungswert für den Wärmedurchlasswiderstand: RT =

RT' + RT" ; 2

aus dessen Kehrwert errechnet sich der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient: U = 1/RT

(1-5)

Der relative Fehler ergibt sich zu

ε =

RT' − RT" R ' − RRT" = T 2 ⋅ RT RT' + RT"

(2-6)

Beispiel: Hinterlüftete Außenwand mit inhomogener Wärmedämmung Gegeben ist eine Außenwand mit folgendem Aufbau (von innen nach außen, in Klammern jeweils die Wärmeleitzahlen in W/(m · K)): 10 mm Innenputz (0,7) 175 mm Mauerwerk aus Kalksandvollsteinen (1,01) 100 mm Mineralwolle der WlfG 035 (0,035) zwischen senkrecht verlaufenden Hölzern, Holzabstand 625 mm, Holzbreite 60 mm (0,13) 60 mm Mineralwolle der WlfG 035 zwischen waagrecht verlaufenden Hölzern, Holzabstand 625 mm, Holzbreite 60 mm Unterspannbahn (–) 40 mm Unterkonstruktion, stark durchlüftet Äußere Abdeckung, z.B. Faserzementplatten.

33

1 Wärmeschutztechnische Berechnungen

Berechnungsgang: Da die äußere Abdeckung stark durchlüftet ist, endet die Konstruktion wärmetechnisch mit der Unterspannbahn, die auf Grund ihrer geringen Dicke nicht berücksichtigt wird. Die Übergangswiderstände werden nach DIN EN ISO 6946 wie folgt angesetzt: Rsi = 0,13 · m2 K/W Rse = 0,13 · m2 K/W. Als Bezugsfläche wird ein Quadrat mit der Seitenlänge von 0,625 m × 0,60 m herangezogen. Gesamt- Bezugsfläche: 0,4692 m2 Flächenanteile im Bereich der Wärmedämmung: Nur Holz: 60 mm Holz + 100 mm Mineralwolle: 100 mm Holz + 60 mm Mineralwolle: Nur 160 mm Mineralwolle:

4 × 0,03 × 0,03 2 × 0,625 × 0,03 2 × 0,625 × 0,03 0,625 × 0,625

= 0,0036 m2, Anteil 0,0077 = 0,0375 m2, Anteil 0,0799 = 0,0375 m2, Anteil 0,0799 = 0,3906 m2, Anteil 0,8325.

U-Werte der nebeneinanderliegenden Bereiche: Bei allen Bereichen konstant ist die Summe der Wärmedurchlasswiderstände von Innenputz, Mauerwerk und Übergangswiderstände: Summe konstant:

0, 01 0,175 + + 0,13 + 0,13 = 0, 448 m 2 ⋅ K/W 0, 7 1, 01

Nur Holz:

U1 =

1 = 0,596 W/(m 2 ⋅ K) 0,16 + 0, 448 0,13

60 mm Holz + 100 mm Mineralwolle:

U2 =

1 = 0, 266 W/(m 2 ⋅ K) 0, 06 0.1 + + 0, 448 0,13 0, 035

100 mm Holz + 60 mm Mineralwolle:

U3 =

1 = 0,341 W/(m 2 ⋅ K) 0,10 0, 06 + + 0, 448 0,13 0, 035

Nur Mineralwolle:

U4 =

1 = 0,199 W/(m 2 ⋅ K) 0,16 + 0, 448 0, 035

Oberer Grenzwert RT' : RT' =

1 =4,572 m 2 ⋅ K/W 0, 0077 ⋅ 0,596 + 0, 0799 ⋅ 0, 266 + 0, 0799 ⋅ 0,341 + 0,8325 ⋅ 0,199

Mittlere Wärmeleitzahl aus Holz und Mineralwolle: In beiden Schichten der Wärmedämmung liegen jeweils 60 mm Holz neben 625 mm Mineralwolle. Die mittlere Wärmeleitzahl wird:

λMittel =

0, 06 ⋅ 0,13 + 0, 625 ⋅ 0, 035 = 0, 0433 W/(m ⋅ K) 0, 685

2

34

Bauphysik

Unterer Grenzwert RT" : RT" =

2

0,16 + 0, 448 = 4,143 m 2 ⋅ K/W 0, 0433

Mittlerer U-Wert und relativer Fehler: 2 2 = = 0, 229 W/(m 2 ⋅ K) 4,572 + 4,143 RT' + RT" 4,572 − 4,143 = 0.048 oder etwa 5 %. ε = 4,572 + 4,143

U mittel =

Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient ist damit auf etwa 0,01 W/(m2 · K) genau bestimmt.

1.2 Schichtgrenztemperaturen Im stationären Zustand ergeben sich in einem Bauteil mit n homogenen Schichten folgende Oberflächentemperaturen:

ϑsi = ϑi − (ϑi − ϑe ) ⋅ U ⋅ Rsi ϑse = ϑe + (ϑi − ϑe ) ⋅ U ⋅ Rse

(1-7)

Die Schichtgrenztemperaturen an der Grenze zwischen den Schichten n und n + 1 errechnen sich nach der Formel § ¨ ©

n

di · ¸ λ ¸ i =1 i ¹

ϑn, n + 1 = ϑi − (ϑi − ϑe ) ⋅ U ⋅ ¨ Rsi + ¦

(1-8)

Beispiel: Flachdach Gegeben ist folgender Flachdachaufbau (von innen, Wärmeleitzahlen in W/(m · K) in Klammern): 10 mm Innenputz (0,7) 200 mm Stahlbeton (2,1) 5 mm Dampfsperre (0,23) 160 mm Polyurethan-Hartschaum (0,03) 10 mm bituminöse Feuchteschutzisolierung. Innerer und äußerer Wärmedurchlasswiderstand betragen 0,13 m2 · K/W und 0,04 m2 · K/W. Die Schichtgrenztemperaturen werden für – 10° C Außenlufttemperatur und + 20° C Raumtemperatur berechnet. Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten: U =

1 = 0,165 W /(m 2 ⋅ K) 0, 01 0, 2 0, 005 0,16 0,1 0,13 + + + + + + 0, 04 0, 7 2,1 0, 23 0, 03 0, 23

35

1 Wärmeschutztechnische Berechnungen

Berechnung der Schichtgrenztemperaturen: Innenoberfläche:

ϑsi = 20 − (20 − (−10)) ⋅ 0,165 ⋅ 0,13 = 19, 4° C

2

Innenputz/Stahlbeton: §

ϑ1/ 2 = 20 − 30 ⋅ 0,165 ⋅ ¨ 0,13 + ©

0, 01 · ¸ = 19,3° C 0, 7 ¹

Stahlbeton/Dampfsperre: §

ϑ2 / 3 = 20 − 30 ⋅ 0,165 ⋅ ¨ 0,13 + ©

0, 01 0, 2 · + ¸ = 18,8° C 0, 7 2,1 ¹

Dampfsperre/Polyurethan-Hartschaum: §

ϑ3 / 4 = 20 − 30 ⋅ 0,165 ⋅ ¨ 0,13 + ©

0, 01 0, 2 0, 005 · + + ¸ = 18, 7° C 0, 7 2,1 0, 23 ¹

Polyurethan-Hartschaum/Feuchtigkeitsisolierung: §

ϑ4 / 5 = 20 − 30 ⋅ 0,165 ⋅ ¨ 0,13 + ©

0, 01 0, 2 0, 005 0,16 · + + + ¸ = − 7, 7° C 0, 7 2,1 0, 23 0, 03 ¹

Feuchtigkeitsisolierung/Außenluft:

ϑse = −10 + (20 − (−10)) ⋅ 0,165 ⋅ 0, 04 = − 9,8° C Der gesamte Temperaturabbau erfolgt in der Wärmedämmschicht.

1.3 Anwendung des Temperaturfaktors Der (dimensionslose) Temperaturfaktor f Rsi ermöglicht es, für beliebige Kombinationen von Innen- und Außentemperaturen die Bauteiloberflächentemperatur im Bereich der Wärmebrücke zu errechnen: ϑ − ϑe f Rsi = si folgt t: ϑsi = ϑe + f Rsi ⋅ (ϑi − ϑe ) (1-9) ϑi − ϑe Dies ist vor allem dann von Bedeutung, wenn es gilt, das Tauwasserrisiko an einer Wärmebrücke abzuschätzen. Die Taupunkttemperatur der Raumluft ergibt sich bei gegebener Raumluftfeuchte ϕ und im Temperaturbereich von 0° C bis 30° C nach der Formel 1/ 8,02

§ ϕ · ts = ¨ ¸ © 100 ¹

⋅ (109,8 + ϑi ) − 109.8

(1-10)

Beispiel: Für eine Metallpaneelkonstruktion, wie sie bei Industriebauten als Außenwand verwendet wird, wurde für den Bereich der Wärmebrücke ein Temperaturfaktor von 0,71 > 0,7 errechnet. Die Metallkonstruktion soll nun in eine Produktionshalle eingebaut werden, in der eine Innentempera-

36

Bauphysik

tur von 25° C bei einer relativen Luftfeuchte von 70 % herrscht. Der Bauherr verlangt, dass die Bauteilinnenoberfläche bis zu einer Außentemperatur von – 5° C tauwasserfrei bleiben muss. Temperatur an der Wärmebrücke:

2

ϑsi = − 5 + 0, 71 ⋅ (25 − (−5)) = 16,3° C Taupunktstemperatur: 1/ 8,02

§ 70 · ts = ¨ ¸ © 100 ¹

⋅ (109,8 + 25) − 109,8 = 19,1° C > 16,3° C

Damit wird an der Wärmebrücke bei – 5° C Außenlufttemperatur mit Sicherheit Kondensat auftreten. Die beiden Gleichungen können auch verwendet werden, um den erforderlichen Temperaturfaktor zu bestimmen, ab dem kein Kondensat auftritt. Es gilt f Rsi, erf . =

ts − ϑe 19.1 − (−5) = = 0,803 , 25 − (−5) ϑi − ϑe

also deutlich höher als die Mindestanforderung.

1.4 Wärmedurchgangskoeffizient von Fenstern nach DIN EN ISO 10077-1 Der Wärmedurchgangskoeffizient ergibt sich nach folgender Gleichung: Uw =

Ag ⋅ U g + Af ⋅ U f + lfg ⋅Ψ fg Ag + Af

(1-11)

mit folgenden Bedeutungen: Uw Ag Ug Af Uf lfg

Ψfg

Wärmedurchgangskoeffizient des Fensters [W/(m2 · K)] verglaste Fläche ohne Glasrand [m2] Wärmedurchgangskoeffizient der Verglasung ohne Berücksichtigung des Randeinflusses [W/(m2 · K)] Rahmenfläche [m2] (Index f: frame) Wärmedurchgangskoeffizient des Rahmens ohne Berücksichtigung des Randeinflusses [W/(m2 · K)] Gesamtumfang der Verglasung [m] linearer Wärmedurchgangskoeffizient in Folge des kombinierten Einflusses von Abstandshalter, Glas und Rahmen (Glasrandverbund) [W/(m · K)]

Für den linearen Wärmedurchgangskoeffizienten des Glasrandverbundes können folgende Anhaltswerte verwendet werden:

37

2 Schalltechnische Berechnungen

Materials des Abstandhalters Aluminium Edelstahl Kunstoff

Ψ-Wert in W/(m · K) 0,8 0,053 0,045

Beispiel: Doppelflügeliges Fenster, Rohbaumaß 1,975 × 1,625 m = 3,209 m2 Glasfläche: 2 × 0,75 × 1,40 = 2,10 m2 Länge des Glasrand-Verbundes: 4 × 0,75 + 4 × 1,4 = 8,60 m Rahmenfläche: 3,209 – 2,10 = 1,109 m2 Rahmenanteil: 1,109/3,209 × 100 = 34,56 %. U-Wert der Verglasung: Wärmeschutzglas, Ug = 1,1 W/(m2 · K) U-Wert des Rahmens: Holzrahmen, Uf = 1,4 W/(m2 · K) U-Wert des Fensters bei verschiedenen Glasrand-Verbundarten: Aluminium:

Uw =

2,10 ⋅ 1,1 + 1,109 ⋅ 1, 4 + 8, 6 ⋅ 0, 08 = 1, 42 W/(m 2 ⋅ K) 3, 209

Edelstahl: U w =

2,10 ⋅ 1,1 + 1,109 ⋅ 1, 4 + 8, 6 ⋅ 0, 053 = 1,35 W/(m 2 ⋅ K) 3, 209

Kunststoff: U w =

2,10 ⋅ 1,1 + 1,109 ⋅ 1, 4 + 8, 6 ⋅ 0, 045 = 1,32 W/(m 2 ⋅ K) 3, 209

Entfällt der Mittelpfosten, so steigt die Glasfläche auf 1,4 × 1,75 = 2,45 m2 und der Rahmenanteil verringert sich entsprechend; die U-Werte des Fensters lauten dann: Aluminium: Uw = 1,38 W/(m2 · K) Edelstahl: Uw = 1,29 W/(m2 · K) Kunststoff: Uw = 1,26 W/(m2 · K).

2 Schalltechnische Berechnungen 2.1 Erläuterungen Im Sinne der europäischen Normungen nach DIN EN 12354 werden in diesem Abschnitt zunächst die schalltechnischen Eigenschaften von Einzelbauteilen errechnet. Erst danach wird ein ausführlicher Schallschutznachweis nach DIN 4109 zunächst mit den Methoden des Beiblattes 1 und dann mit den Verfahren der DIN EN 12354-1 und -2 geführt. Alle Berechnungen beziehen sich auf Einzahl – Angaben, also bewertete Schalldämmasse bzw. bewertete Norm – Trittschallpegel.

2

38

Bauphysik

2.2 Luftschalldämmmaße von Massivbauteilen (Bauteileigenschaft) 2.2.1 Einschalige Massivwände und -decken

2

Das bewertete Schalldämmass von massiven, einschaligen Wand- und Deckenkonstruktionen ergibt sich nach DIN 4109 unter Berücksichtigung von bauüblichen Nebenwegen aus der flächenbezogenen Masse m' in kg/m2 nach der Formel ' = 28 ⋅ log (m' ) − 20 in dB. Rw

(2-1)

Betrachtet man nach DIN EN 12354 nur das Bauteil alleine, also ohne Nebenwege, so ergibt sich das bewertete Schalldämmass als Bauteileigenschaft zu Rw = 37,5 ⋅ log (m' ) − 42 in dB.

(2-2)

Dabei beträgt m' ≥ 150 kg/m2. Für kleinere flächenbezogene Massen nennt die DIN EN 12354-1 keine Näherungsformel. Für Ziegelmauerwerk ohne schalltechnisch ungünstiges Lochbild, Kalksandvollsteine, Stahlbeton etc. kann man sich im Massenbereich zwischen 85 kg/m2 ≤ m' ≤ 150 kg/m2 mit folgender Gleichung behelfen: ' = 28 ⋅ log ( m' ) − 18 in dB. Rw

(2-3)

Neuere Forschungen lassen erkennen, dass man in Zukunft wohl nicht mehr mit einer oder zwei Massenkurven auskommen wird, sondern Massenkurven für verschiedene Materialarten verwenden muss. Für Porenbeton z.B. ist folgende Massenkurve experimentell gut abgesichert und wird wohl in der Neufassung des Beiblattes 1 zu DIN 4109 Eingang finden: Rw = 26,1 ⋅ log (m' ) − 8.4 in dB.

(2-4)

Folgende Tafel 2-1 gibt einige Beispiele:

Tafel 2-1 Beispiele für das bewertete Schalldämmass von Wandaufbauten bewertetes Schalldämmass in dB nach Dicke Rohdichte m' einschl. Putz DIN 4109 DIN EN 12354-1 PorenbetonMaterial Beton Kalksandvollstein

in m

in kg/m3

in kg/m2

0,12

2300

290

48,9

50,3

–

0,175

1900

346,5

51,1

53,2

–

mit Nebenw. ohne Nebenw.

formel

Ziegel

0,24

1600

398

52,8

55,5

–

Betonschalungssteine

0,24

2000

494

55,4

59,0

–

Porenbeton

0,12

500

60

(31,8)

–

38,0

Porenbeton

0,175

500

87,5

(36,4)

–

42,3

0,1

900

90

(36,7)

–

42,6

mass. Gipsplatten

39

2 Schalltechnische Berechnungen

2.2.2 Massivwände und -decken mit biegeweichen Vorsatzschalen bzw. schwimmenden Estrichen Nach DIN 4109 Beiblatt sind die bewerteten Schalldämmasse für Massivwände mit biegeweicher Vorsatzschalen in einer Tabelle angegeben, wobei als Mindestabstand 60 mm angegeben sind, Hohlraum mit Mineralwolle gefüllt, Beplankung aus ≥ 12,5 mm dicken Gipskartonplatten oder 10 bis 16 mm dicken Spanplatten. Die Tabellenwerte der DIN können mit sehr guter Genauigkeit nach folgender Formel errechnet werden: § 300 · ' ' Rw mit VS = 28 ⋅ log ( m ) + 10 ⋅ log ¨ ¸ − 15, 4 in dB, © m' ¹

(2-5)

wobei m' die flächenbezogene Masse der Vorsatzschale bedeutet. Nach DIN EN 12354-1 ergibt sich die Verbesserung des bewerteten Schalldämmasses einer Massivwand oder -decke nach Tafel 2-2:

Tafel 2-2 Verbesserung durch Vorsatzschalen nach DIN EN 12354-1 Resonanzfrequenz der Vorsatzschale in Hz < 80 100 125 160 200

Verbesserung ΔRw in dB 35 – Rw/2 32 – Rw/2 30 – Rw/2 28 – Rw/2 –1

Rw bedeutet dabei das Schalldämmass des Basisbauteils in dB (Bauteileigenschaft, ohne Nebenwege). Diese Tabelle gilt sowohl für Wände wie für Massivdecken mit schwimmenden Estrichen. Nach DIN 4109 beträgt die Verbesserung der Luftschalldämmung einer Massivdecke durch einen schwimmenden Estrich generell 4 dB, sofern diese eine flächenbezogene Masse ≥ 350 kg/m2 aufweist. Die Resonanzfrequenzen des Systems aus Basiswand bzw. Decke und Vorsatzschale ergeben sich nach folgenden Gleichungen a) Luftschicht zwischen Vorsatzschale und 650 f0 = (2-6) Basisbauteil mit schallabsorbierender Einlam' ⋅ d ge aus Mineralwolle: b) Dämmschicht mit beiden Schalen fest verbunden:

f 0 = 190 ⋅

s' m'

(2-7)

Darin bedeutet m' die flächenbezogene Masse der Vorsatzschale, d den Wandabstand in cm, und s' die dynamische Steifigkeit der Dämmschicht in MN/m3. Beispiel 1: Eine 175 mm dicke KSV-Wand mit einer flächenbezogenen Masse von 350 kg/m2 erhält eine biegeweiche Vorsatzschale aus 10 mm Gipsfaserplatten (m' = 12 kg/m2) mit 60 mm Wandabstand. Im Hohlraum sind Mineralwolleplatten.

2

40

Bauphysik

Resonanzfrequenz der Vorsatzschale: f0 =

2

650 12 ⋅ 6

= 77 Hz

Nach DIN 4109:

' = 28 ⋅ log (350) + 10 ⋅ log § 300 · − 15, 4 = 55 dB. Rw ¨ ¸ © 350 ¹

Nach DIN EN 12354-1:

37,5 ⋅ log (350) − 42 º ª Rw = 37,5 ⋅ log (350) − 42 + «35 − » = 62 dB. 2 ¬ ¼

Beispiel 2: Eine Stahlbetondecke mit 200 mm Dicke weist einen 50 mm dicken schwimmenden Zementestrich auf (m' = 100 kg/m2), der auf einer Dämmschicht mit einer dynamischen Steifigkeit von ≤ 10 MN/m3 aufgebracht ist. Resonanzfrequenz der Vorsatzschale: f 0 = 190 ⋅

10 = 60 Hz 100

Nach DIN 4109:

' = 28 ⋅ log (460) − 20 + 4 = 59 dB. Rw

Nach DIN EN 12354-1:

37,5 ⋅ log (460) − 42 º ª Rw = 37.5 ⋅ log (460) − 42 + «35 − » = 64 dB. 2 ¬ ¼

2.3 Trittschalldämmung von Massivdecken Sowohl nach DIN 4109 wie auch nach DIN EN 12354-2 ergibt sich der bewertete NormTrittschallpegel Ln,w einer fertigen Deckenkonstruktion aus dem bewerteten äquivalenten NormTrittschallpegel Ln,w,eq der Rohdecke. Verbessernd wirken schwimmende Estriche bzw. Beläge; die Verbesserungsmaße ΔLw sind nach beiden Normen unterschiedlich, da bei DIN 4109 Schallübertragungen über flankierende Wände bereits in den Verbesserungsmaßen berücksichtigt sind, bei DIN EN 12354-2 dagegen nicht. Dementsprechend ergeben sich folgende Gleichungen: DIN 4109:

Ln, w = Ln, w, eq − ΔLw

(2-8)

DIN EN 12354-2:

Ln, w = Ln, w, eq − ΔLw + k

(2-9)

Darin berücksichtigt k den Einfluss der flankierenden Wände. Für übliche Estriche (Zement oder Anhydrit, flächenbezogene Masse m' = 100 kg/m2) ergeben sich folgende Verbesserungsmaße:

41

2 Schalltechnische Berechnungen

Tafel 2-3 Verbesserungsmaße von schwimmenden Estrichen mit m' = 100 kg/m2 Verbesserung in dB nach DIN 4109 DIN EN 12354-2

50 22 22

dynamische Steifigkeit der Dämmschicht in MN/m3 40 30 20 15 24 26 28 29 24 26 28 30

10 30 34

Der äquivalente bewertete Normtrittschallpegel errechnet sich nach folgender Formel: Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log (m' )

(2-10)

Beispiel: Stahlbetondecke, Dicke 180 mm, 50 mm Zementestrich auf Dämmschicht mit dynamischer Steifigkeit s' = 15 MN/m3 Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log (0,18 ⋅ 2300) = 72 dB ΔLw = 29 dB nach Beiblatt 1; ΔLw = 30 dB nach DIN EN 12354-2 Ln, w = 72 − 29 (30) = 43 (42) dB.

2.4 Schallschutznachweis 2.4.1 Beschreibung des Objektes Das nebenstehende Bild 2-1 zeigt einen Grundrissausschnitt eines Mehrfamilienwohnhauses. Das darunter liegende und das darüber liegende Geschoss sind gleichartig. In horizontaler Richtung wird der Nachweis des Schallschutzes geführt zwischen Elternzimmer und Elternzimmer (Pfeil). In vertikaler Richtung ergibt sich die ungünstigste Situation vom Kinderzimmer in die darunteroder darüber liegende Etage, weil hier die flankierenden Bauteile mit den geringsten flächenbezogenen Massen vorhanden sind. Die flankierenden Wände in horizontaler Richtung sind mit H1 und H2 bezeichnet, in vertikaler Richtung mit V1 bis V4. In horizontaler Richtung sind noch die untere und die obere Decke (H3 und H4, nicht dargestellt) an der Schallängsleitung beteiligt. Folgende Konstruktionen sind vorhanden: • Wohnungstrennwand: Mauerwerk aus 240 mm Kalksandvollsteinen, Steinrohdichteklasse 2.0, effektive Steinrohdichte 1900 kg/m3, beidseitig verputzt, flächenbezogene Masse 476 kg/m2 • Außenwand V1 bzw. H1: Außenliegendes Wärmedämmverbundsystem aus Polystyrolhartschaumplatten mit mineralischem Außenputz (kein Einfluss auf die Schallängsdämmung); Basiswand aus 200 mm Kalksandvollstein, Steinrohdichteklasse 2.0 (effektive Steinrohdichte 1900 kg/m3), mit ca 10 mm Innenputz, flächenbezogene Masse m' = 390 kg/m2, T-Stoß zu den trennenden Bauteilen Wohnungsdecke und Wohnungstrennwand • Innenwände V2 bis V4 und H2: Massive Gipswandbauplatten, 100 mm dick, Rohdichte 900 kg/m3, flächenbezogene Masse ca. 90 kg/m2, Kreuzstöße zu den trennenden Bauteilen

2

42

2

Bauphysik

• Obere Decke H3: 200 mm Stahlbeton mit schwimmendem Estrich, flächenbezogene Masse 460 kg/m2, Kreuzstöße zu den trennenden Bauteilen • Untere Decke H4: 50 mm Zementestrich als schwimmender Estrich auf Dämmschicht mit dynamischer Steifigkeit ≤ 10 MN/m3, 200 mm Stahlbeton, flächenbezogene Masse 460 kg/m2, Kreuzstöße zu den trennenden Bauteilen

Bild 2-1

Grundriss Wohnungen

Geometrische Daten: Raumhöhe 2,40 m; Fläche der Trennwand 5 × 2,4 = 12,0 m2 Grundfläche Kinderzimmer 3,14 × 3,5 = 11,0 m2.

2 Schalltechnische Berechnungen

43

2.4.2 Nachweise nach DIN 4109 2.4.2.1 Luftschall in vertikaler Richtung Nach Gleichung (2-1) beträgt das bewertete Schalldämmass der Geschossdecke einschließlich eines Zuschlags von 4 dB für den schwimmenden Estrich ' Rw, R, 300 = 28 ⋅ log[460] − 20 + 4 = 58 dB

Dieses Schalldämmass muss korrigiert werden, wenn die mittlere flächenbezogene Masse der flankierenden Bauteile von 300 kg/m2 abweicht: ' mmittel =

390 + 3 ⋅ 90 = 165 kg / m 2 ≈ 150 lg / m 2 4

der Korrekturwert KL, 1 nach DIN 4109 Beiblatt beträgt K L, 1 = − 3 dB;

der Rechen- und damit Beurteilungswert beträgt dann ' Rw, R = 58 − 3 = 55 dB. ' = 55 dB) erfüllt. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (erf. Rw

2.4.2.2 Luftschall in horizontaler Richtung Nach Gleichung (2-1) beträgt das bewertete Schalldämmass der massiven Trennwand ' Rw, R = 28 ⋅ log[476] − 20 = 55 dB

Der Korrekturwert KL, 1 für die flankierenden Bauteile ergibt sich aus der flächenbezogenen Masse der Außenwand, der oberen Decke und der Wand H2. Die untere Decke darf nicht mitgerechnet werden, da die Schallängsdämmung durch den beidseitigen schwimmenden Estrich so ' verbessert wird, dass dieses Bauteil praktisch herausfällt. Es ergibt sich für mmittel : ' mmittel =

460 + 90 + 390 = 313 kg / m 2 ≈ 300 lg / m 2 3

Somit ist keine Korrektur erforderlich. ' = 55 dB) erfüllt. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (erf. Rw

2.4.2.3 Trittschall in vertikaler Richtung Die Trittschalldämmung zwischen den beiden Geschossen ergibt sich nach DIN 4109 ausschließlich aus den Eigenschaften der Rohdecke und ihres Aufbaues. Sie errechnet sich wie folgt: Äquivalenter bewerteter Normtrittschallpegel der Rohdecke: Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log [460] = 71 dB

2

44

Bauphysik

Verbesserungsmaß des schwimmenden Estrichs nach Tafel 2-3: ΔLw, R = 30 dB

2

und für die gesamte Decke ergibt sich ein bewerteter Norm-Trittschallpegel von L'n, w, R = 71 − 30 = 41 dB.

Beim Trittschall muss ein Vorhaltemaß von 2 dB eingerechnet werden; bei der Beurteilung muss der Rechenwert also um 2 dB erhöht werden. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (Ln, w, r ≤ 46 dB) erfüllt.

2.4.3 Nachweise nach DIN EN 12354 Teil 1 und 2 2.4.3.1 Luftschall in vertikaler Richtung Trennendes Bauteil, RÐd Das bewertete Schalldämmass der Rohdecke ergibt sich nach Gleichung (2-2) zu Rw, Rohdecke = 37,5 ⋅ log[460] − 42 = 57,9 dB.

Die Resonanzfrequenz des schwimmenden Estrichs beträgt bei einer Estrichmasse von 100 kg/m2 und einer dynamischen Steifigkeit der Dämmschicht von ≤ 10 MN/m3 f R = 190 ⋅

10 = 60 Hz. 100

Das Verbesserungsmaß ergibt sich nach Tafel 2-2 zu R 57,9 ΔRw = 35 − w = 35 − = 6, 05 dB 2 2 Rw = 64 dB.

Der Einfluss der Schallängsleitung wird exemplarisch für die massive Gipswandbauplatte V4 errechnet. Allgemein gilt für das Schalldämmass auf den flankierenden Wegen: Rij, w = (Ri, w + Rj, w)/2 + ΔRij, W + Kij + 10 · log [S0/l0 · lf]

(2-11)

mit folgenden Bedeutungen: Ri, w Schalldämmung des flankierenden Bauteils auf der Sendeseite Rj, w Schalldämmung des flankierenden Bauteils auf der Empfangsseite ΔRij,w Verbesserung der Schalldämmung des flankierenden Bauteils auf der Sende- bzw. der Empfangsseite Kij Stoßstellendämmasse auf dem Übertragungsweg ij S0 Fläche des trennenden Bauteils in m2 Bezugslänge, 1 m l0 lf Verbindungslänge zwischen flankierendem Bauteil und trennendem Bauteil in m.

2 Schalltechnische Berechnungen

Schalldämmass der massiven Gipswandbauplatte V4: Nach den Formeln der DIN EN 12354 Teil 1 ist dies nicht möglich, da für flächenbezogene Massen unter 150 kg/m2 keine Näherungsformel angegeben ist. Massive Gipswandbauplatten lassen sich jedoch in sehr guter Näherung mit Gl. (2-4) berechnen: Rw = 26,1 ⋅ log[90] − 8, 4 = 42, 6 dB

Gipswandbauplatte als flankierendes Bauteil und Trenndecke bilden einen Kreuzstoß. Das Stoßstellendämmass Ki,j ergibt sich nach folgenden Formeln: ª m' º ª 460 º M = log « Rohdecke » = log « » = 0.709 ' m ¬ 90 ¼ ¬ Flanke ¼ K1,3 = 8, 7 + 17,1 ⋅ M + 5, 7 ⋅ M 2 = 5, 7 + 14,1 ⋅ 0, 709 + 5, 7 ⋅ 0, 7092 = 23, 7 dB K1,2 = 8, 7 + 5, 7 ⋅ M 2 = 11, 6 dB.

Die geometrische Korrektur ergibt sich aus der Trennfläche S0 = 12 m2 und der gemeinsamen Kantenlänge lf = 3,5 m zu ª 12 º 10 ⋅ log « » = 5,35 dB. ¬ 1 ⋅ 3,5 ¼

Die Schalldämmungen auf den einzelnen Übertragungswegen des Systems Trenndecke + flankierende Wand V4 ergeben sich dann wie folgt: • Alleinige Übertragung über die Trennwand, Weg Dd: RD,d = 57,9 + 6, 05 = 64 dB.

• Weg Flanke-Flanke über die massive Gipswandbauplatte V4: R1,3 = (42, 6 + 42, 6)/2 + 23, 7 + 5,35 = 71, 65 dB

• Weg Flanke (Energieaufnahme im Senderaum) auf trennendes Bauteil: R1,2 = (42, 6 + 57,9)/2 + 11, 6 + 5,35 = 67, 2 dB

Anmerkung: der schwimmende Estrich wirkt hier nicht, die Energieübertragung erfolgt von der Gipswandbauplatte auf die Stahlbetondecke. • Weg Trennendes Bauteil (Energieaufnahme im Senderaum) auf flankierendes Bauteil im Empfangsraum: R2,1 = (57,9 + 42, 6)/2 + 11, 6 + 6, 05 + 5,35 = 73, 25 dB

Anmerkung: Hier wirkt der schwimmende Estrich wirkt, weil die Energieübertragung von der Stahlbetondecke auf die Gipswandbauplatte erfolgt. Fasst man alle drei flankierenden Wege zusammen, so erhält man RV 4 = −10 ⋅ log[10−67,2/10 + 10−71,65/10 + 10−71,65/10 + 10−73,25/10 ] = 64,3 dB.

45

2

46

Bauphysik

Schallängsdämmasse der flankierenden Bauteile V3 und V2: Beim flankierenden Bauteil V2 sind die gleichen Verhältnisse vorhanden wie beim Bauteil V4; bei V3 ergibt sich ein geringfügig anderer Wert durch die Geometrie:

2

RV 3 = 64, 7 dB.

Schallängsdämmass des Bauteils V1: Die Schalldämmung ergibt sich analog zur obigen Rechnung, es ist jedoch die höhere flächenbezogene Masse des Flankenbauteils zu berücksichtigen sowie der T-Stoß. Die Formeln für die Stoßstellendämmasse bei T-Stößen lauten: K1,3 = 5, 7 + 14,1 ⋅ M + 5, 7 ⋅ M 2 K1, 2 = 5, 7 + 5, 7 ⋅ M 2

Damit erhält man auf diesem Weg: RV1 = 66,8 dB

Gesamte Schalldämmung in vertikaler Richtung: Die gesamte Schalldämmung in vertikaler Richtung ergibt sich dann zu ' − RdD /10 + 10− RV1/10 + 10− RV 2/10 + 10− RV 3/10 + 10− RV 4/10 ] Rw, R = −10 ⋅ log[10

= −10 ⋅ log[10−6,4 + 2 ⋅ 10−6,43 + 10−6,47 + 10−6,68 ] = 57, 7 dB.

In einem Schallschutznachweis wird man dies auf 57 dB runden; Beurteilung: Anforderungen nach erhöhtem Schallschutz erfüllt. 2.4.3.2 Luftschall in horizontaler Richtung Die Rechnung erfolgt vollkommen analog zu Abschnitt 2.4.3.1. Als Ergebnis erhält man ' Rw, R = 55,8 dB,

gerundet zu 55 dB. Beurteilung: Anforderungen nach erhöhtem Schallschutz erfüllt. 2.4.3.3 Trittschall nach DIN EN 12354 Teil 2 Die Trittschalldämmung zwischen den beiden Geschossen ergibt sich nach DIN EN 12354 aus den Eigenschaften der Rohdecke und ihres Aufbaues sowie aus den flächenbezogenen Massen des Trennbauteils und der flankierenden Bauteile. Sie errechnet sich wie folgt: Äquivalenter bewerteter Normtrittschallpegel der Rohdecke: Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log[460] = 71 dB

Verbesserungsmaß des schwimmenden Estrichs nach Tafel 2-3: ΔLw, R = 34 dB

2 Schalltechnische Berechnungen

47

Der Korrekturwert ergibt sich aus der flächenbezogenen Masse des Trennbauteils mit 460 kg/m2 und der mittleren flächenbezogenen Masse der flankierenden Bauteile von 150 kg/m2 zu K = 3 dB, und für die gesamte Decke ergibt sich ein bewerteter Norm-Trittschallpegel von L'n, w, R = 71 − 34 + 3 = 40 dB.

Beim Trittschall muss ein Vorhaltemaß von 2 dB eingerechnet werden; bei der Beurteilung muss der Rechenwert also um 2 dB erhöht werden. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (Ln, w, r ≤ 46 dB) erfüllt.

2

Schallimmissionschutz Bearbeitet von Prof. Dipl.- Phys. Herwig Baumgartner, HfT Stuttgart

Inhalt Schallimmissionschutz .................................................................................................................. 49 1 Lärmschutz an Straßen............................................................................................................. 51 1.1 Durchschnittlicher Täglicher Verkehr, Geschwindigkeitsbeschränkungen.................. 51 1.2 Pegelminderung durch Abstand an langen, geraden Straßen; Luft- und Bodenabsorption........................................................................................... 54 1.3 Abschirmung bei langen, geraden Straßen ................................................................... 55 1.4 Schallleistungspegel eines Parkplatzes ......................................................................... 57 2 Schallabstrahlung von Industriebauten .................................................................................... 58 2.1 Schallabstrahlung der Gebäudehülle ............................................................................ 58 2.2 Ausbreitung des Schalls im Freien ............................................................................... 60 3 Berechnung von Beurteilungspegeln nach TA – Lärm und EU – Umgebungsrichtlinie......... 64

Vorbemerkung Die Berechnung der Schallimmissionen von Straßen, Schienen und Industrieanlagen wird heute fast ausschließlich mit umfangreichen EDV-Programmen ausgeführt. Nur so ist es möglich, farblich kodierte Lärmkarten oder Lärmkarten mit Isophonen (Linien gleicher Lautstärke) zu erstellen. Auch die in der EU-Umgebungslärmrichtlinie geforderten strategischen Lärmkarten lassen sich nur durch ein aufwändiges Zusammenspiel von Geoinformationssystemen und Schallausbreitungsmodellen erstellen. Für den Benutzer solcher Programme ist es aber wichtig, die physikalischen Hintergründe derartiger Programmpakete zu kennen, um deren Ergebnisse einordnen und beurteilen zu können. Darauf sind die nachfolgenden Beispiele abgestimmt. Auf Beispiele für den Schienenverkehr wird verzichtet, da deren Berechnung grundsätzlich gleich abläuft wie bei Straßen.

1 Lärmschutz an Straßen 1.1 Durchschnittlicher Täglicher Verkehr, Geschwindigkeitsbeschränkungen Der maßgebliche Emissionspegel einer Straße in 25 m Abstand hängt ab von der stündlichen Verkehrsmenge M und dem LKW-Anteil p in %: m L25 m,T bzw. N = 37,3 + 10 ⋅ log[ M ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ p )]

Die stündliche Verkehrsmenge M ergibt sich entweder aus detaillierten Zählungen oder für die entsprechenden Straßentypen standardisiert nach Tafel 1-1: Tafel 1-1: Maßgebliche stündliche Verkehrsmenge M und LKW-Anteil p in % Straßengattung

Bundesautobahn Bundesstraße Landes- Kreis-, Gemeindeverbindungs Gemeindestraße

Tags 6,00 – 22,00 Uhr M in KFZ/h p in % 0,06 DTV 25 0,06 DTV 20 0,06 DTV 20 0,06 DTV 10

Nachts 22,00 – 6,00 Uhr M in KFZ/h p in % 0,014 DTV 45 0,011 DTV 20 0,008 DTV 10 0,011 DTV 3

Da der maßgebliche Emissionspegel für eine Geschwindigkeit der PKW von 100 km/h und der der LKW von 80 km/h definiert ist, müssen für hiervon abweichende Geschwindigkeiten Korrekturen nach folgendem Formelsatz durchgeführt werden: ª100 + (100,1⋅ D − 1) ⋅ p º DV = LPKW − 37,3 + 10 ⋅ log « » 100 + 8,23 ⋅ p ¬ ¼

52

Schallimmissionschutz

LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ υPKW )3 ] LLKW = 23,1 + 12,5 ⋅ log [υPKW ] D = LLKW − LPKW

3

Die Geschwindigkeit der PKW darf dabei von 30 km/h bis 130 km/h variiert werden, die der LKW zwischen 30 und 80 km/h. Beispiel 1: Bundesstraße, VPKW = 80/80 km/h, VLKW = 80/60 km/h Bundesstraße, DTV = 25000 KFZ/24 h Geschwindigkeitsreduktion PKW/LKW von 100/80km/h auf 80/80 km/h. Stündliche Verkehrsmengen nach Tafel 1: MTag = 0,06 · 25000 = 1500 KFZ/h MNacht = 0,011 · 25000 = 275 KFZ/h. Die zugehörigen LKW-Anteile betragen jeweils 20 %. Daraus errechnen sich folgende maßgeblichen Emissionspegel in 25 m Abstand ohne alle Korrekturen: m L25 m,Tag = 37,3 + 10 ⋅ log [1500 ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ 20) ] = 73,3 dB ( A) m L25 m, Nacht = 37,3 + log [ 275 ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ 20) ] = 65,9 dB ( A)

Wird nun die Geschwindigkeit der PKW auf 80 km/h reduziert, so ergibt sich folgende Pegelminderung: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 80)3 ] = 34, 77 dB ( A) LLKW = 23 + 12,5 ⋅ log [80] = 46, 79 dB ( A) D = 46, 79 − 34, 77 = 12, 02 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅12,02 − 1) ⋅ 20 º DV = 34, 77 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −0, 75 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 20 ¬ ¼

Die Geschwindigkeitsbeschränkung für die PKW alleine beträgt also weniger als 1 dB(A) und ist subjektiv kaum wahrnehmbar. Wird die Geschwindigkeit der PKW dagegen auf 80 km/h und die der LKW auf 60 km/h begrenzt, ergibt sich: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 80)3 ] = 34, 77 dB ( A) LLKW = 23 + 12,5 ⋅ log [60] = 45,32 dB ( A) D = 45, 23 − 34, 77 = 10, 46 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅10,46 − 1) ⋅ 20 º DV = 34, 77 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −1,95 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 20 ¬ ¼

also eine Pegelreduktion um knapp 2 dB(A) und damit doch deutlich bemerkbar.

1 Lärmschutz an Straßen

53

Beispiel 2: Pegelminderung durch Ausweisung einer Zone mit 30 km/h im Wohngebiet In einem Wohngebiet mit einem LKW - Anteil von tagsüber 10 % und nachts 3 % soll eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h auf 30 km/h durchgeführt werden. Die erreichte Lärmpegelsenkung errechnet sich, in dem zuerst die Geschwindigkeitskorrektur für 50 km/h errechnet wird, danach die für 30 km/h und dann die Differenz gebildet wird: Korrektur für 50 km/h: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 50)3 ] = 30, 71 dB ( A) LLKW = 23,1 + 12,5 ⋅ log [50] = 44,34 dB ( A) D = 44,34 − 30, 71 = 13, 63 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅13,63 − 1) ⋅ 10 º DV,Tag = 30, 71 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −4,14 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 10 ¬ ¼ ª100 + (100,1⋅13,63 − 1) ⋅ 3 º DV, Nacht = 30, 71 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −5,34 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 3 ¬ ¼

Korrektur für 30 km/h: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 30)3 ] = 28, 05 dB ( A) LLKW = 23,1 + 12,5 ⋅ log [30] = 41,56 dB ( A) D = 41,56 − 28, 05 = 13,51 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅13,51 − 1) ⋅ 10 º DV,Tag = 28, 05 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −6,88 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 10 ¬ ¼ ª100 + (100,1⋅13,51 − 1) ⋅ 3 º DV,Nacht = 28, 05 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −8, 05 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 3 ¬ ¼

Die erreichbaren Pegelminderungen durch die Geschwindigkeitsbeschränkung betragen also: ΔLTag = 6,88 – 4,14 = 2,74 ~ 3 dB(A) ΔLNacht = 8,05 – 5,34 = 2,71 ~ 3 dB(A). Subjektiv ist diese Lärmpegelsenkung spürbar.

3

54

Schallimmissionschutz

1.2 Pegelminderung durch Abstand an langen, geraden Straßen; Luft- und Bodenabsorption

3

Beispiel Eine vierspurige Autobahn hat einen maßgeblichen Schallemissionspegel von 76 dB(A) tagsüber und 70 dB(A) nachts. Der Mittelstreifen hat eine Breite von 1,5 m, die Breite der Fahrspuren beträgt jeweils 3,5 m. Diese Angaben sind erforderlich, da die Berechnungen getrennt vorzunehmen sind für den nächst liegenden und den fernsten Fahrstreifen. Ein Immissionsort befinde sich in 500 m Entfernung von der Straßenmitte. Die Entfernung zum nächsten Fahrstreifen ist folglich 500 – 0,75 – 3.5 – 3,5/2 = 494 m, die zum fernsten Fahrstreifen 506 m. Die Pegelminderung durch Geometrie und Luftabsorption berechnet sich nach der Formel Ds = 15,8 − 10 ⋅ log ( s⊥ ) − 0, 0142 ⋅ ( s⊥ )0,9

in dB(A) mit

s⊥ =

s⊥2 ,0 + ( H − 0,5)2

s⊥,0

Abstand des Fußpunktes des Immissionsortes zum Fahrstreifen

in m und

H Höhe des Immissionsortes. Die Höhe der Schallquelle liegt dabei generell in 0.5 m Höhe, die Höhe des Immissionsortes ergibt sich entweder aus konkreten Angaben oder wird einheitlich mit 4 m über Gelände angenommen. Die Gesamtimmission ergibt sich durch logarithmische Addition der Immissionen des nächsten und des fernsten Fahrstreifens. Im Beispiel ergeben sich folgende Pegelminderungen: Nächster Fahrstreifen, s⊥ = 494 m: Ds = 15,8 – 10 log(494) – 0,0142 (494)0,9 = – 14,91 dB(A) Fernster Fahrstreifen, s⊥ = 506 m: Ds = 15,8 – 10 log(506) – 0.0142 (506)0,9 = – 15,10 dB(A) Der Einfluss von Bewuchs und Bebauung bei langen geraden Straßen ergibt sich nach folgender Formel: ª §h DBM = −4,8 ⋅ exp « − ¨ m « s ¬ © ⊥

1,3 º

§ 100 · · ⋅ ¨ 8,5 + ¸¸ s⊥ ¹ ¹ ©

» » ¼

wobei hm die mittlere Höhe aus Emissions- und Immissionsort ist. Das folgende Bild 1-1 zeigt den Einfluss der Entfernung, der Luftabsorption und der Bodenabsorption in der Schallausbreitung. Für den Aufpunkt wurde eine Höhe von 4 m angenommen, so dass sich eine mittlere Höhe von (0,5 + 4)/2 = 2,25m ergibt.

1 Lärmschutz an Straßen

55

3

Bild 1-1

Einfluss von Entfernung, Luft- und Bodenabsorption bei der Schallausbreitung an Linienschallquellen

Bis zu Entfernungen von etwa 50 m von der Quelle «st nur die geometrische Ausbreitungsdämpfung maßgeblich. Bei Entfernungen ab 1000 m ist die Pegelminderung durch Luftabsorption und Bodenabsorption größer als die durch Entfernung.

1.3 Abschirmung bei langen, geraden Straßen Die Wirkung von Hindernissen bei der Schallausbreitung (Lärmschutzwände, Geländeerhebungen, Häuserzeilen) hängt in erster Linie vom Umweg ab, den der Schall von der Quelle zum Immissionsort über das Hindernis hinweg ausführt. Die Verhältnisse sind für einen Doppelschirm in Bild 2 dargestellt.

Bild 1-2

Geometrie am Doppelschirm

Im einzelnen bedeuten: a Abstand Emmissionsort bis Oberkante des ersten Schirms b Abstand Oberkante des letzten Schirms bis zum Immissionsort s Abstand zwischen Immissionsort und Emmissionsort c Abstand der beiden Schirmoberkanten.

56

Schallimmissionschutz

Ist nur ein Schirm vorhanden, entfällt die Größe c. Zusätzlich muss eine Witterungskorrektur KW⊥ eingeführt werden, mit der die Krümmung der Schallstrahlen durch positive Wind- oder Temperaturgradienten berücksichtigt wird. Die RLS 90 rechnet dabei mit Krümmungsradien von 2000 m. Diese Witterungskorrektur ergibt sich nach folgender Formel: ª 1 a⋅b⋅sº K W ⊥ = exp « − ⋅ » 2⋅ z ¼ ¬ 2000

3

Damit ergibt sich folgende Pegelminderung durch Abschirmung: 7 + 0, 25 ⋅ s ª 2 º Dz = 7 ⋅ log «5 + ⋅ z ⋅ Kw ⊥» 1 + 0, 2 ⋅ z ¬ ¼

in dB (A)

Die Einfügungsdämpfung De ergibt sich dann zu De = Dz − DDBM

in dB (A)

Betrachtet man die Gleichung für die Abschirmung Dz, so stellt man fest, dass bei einem z-Wert von null – wenn also gerade streifende Sichtverbindung zwischen Immissionsort und Quelle besteht – eine Abschirmwirkung von 7 · log(5) = 4,9 dB (A) vorhanden ist. Diese muss nun um die Bodenabsorption vermindert werden, die bei geringen Höhen und großen Abständen einen Wert von 4.8 dB(A) annimmt. Abschirmwirkung bei streifender Sicht über das Hindernis und Bodenabsorption heben sich dann gerade auf, so dass nur die Pegelabnahme durch Entfernung und Luftabsorption übrig bleibt. Im nachfolgenden Bild 1-3 ist die Einfügungsdämpfung einer 3 m hohen Lärmschutzwand für einen Immissionsort der Höhe 4 m als Funktion der Entfernung dargestellt, wobei der Abstand zur Fahrbahnmitte 4 m beträgt.

Bild 1-3

Einfügungsdämpfung einer 3 m hohen Lärmschutzwand für einen Immissionsort in 4 m Höhe als Funktion der Entfernung; Modell: lange, gerade Straße

57

1 Lärmschutz an Straßen

Bei sehr großen Abständen geht die Abschirmwirkung der Wand zurück bis auf 5 dB(A); da die Bodenabsorption davon abgezogen werden muss, geht die Einfügungsdämpfung gegen null.

1.4 Schallleistungspegel eines Parkplatzes

3

Der Schallleistungspegel Lw eines Parkplatzes ergibt sich nach folgender Formel: ªS º Lw = L"w + 10 ⋅ log « » in dB (A) ¬ S0 ¼ wobei sich der flächenbezogene Schalleistungspegel Lw für Parkplätze mit weniger als 150 Stellplätzen nach folgender Formel ergibt: ª ng º ªS º L"w = 63 + K Pa + K I + 10 ⋅ log «1 + » + 10 ⋅ log[n ⋅ N ] − 10 ⋅ log « » 44 ¬ S0 ¼ ¬ ¼

in dB (A)

Bedeutungen: KPa und KI: Sie kennzeichnen die Zuschläge für die Parkplatzart und für das Taktmaximalpegelverfahren. Letzterer nimmt mit zunehmender Entfernung des Immissionsortes vom Parkplatz ab, da die Spitzenpegel in zunehmender Entfernung immer mehr im Hintergrundgeräusch untergehen. Aus Sicherheitsgründen werden sie jedoch unabhängig von der Entfernung berücksichtigt. ng: benennt die gesamte Anzahl von Stellplätzen auf dem Parkplatz, unabhängig davon, ob er in Teilflächen unterteilt werden muss N Bewegungshäufigkeit je Stunde n Anzahl der Stellplätze des Parkplatzes oder der Gästebetten oder der Netto – Verkaufsfläche/10 m2 oder der Netto – Gastraumfläche/10 m2 N · n = alle Fahrzeugbewegungen je Stunde auf der Parkplatzfläche S Gesamtfläche bzw. Teilfläche des Parkplatzes in m2 Bezugsfläche, 1 m2. S0 Die Zuschläge KPa und KI sowie die Bewegungshäufigkeit je Stunde ergeben sich nach den Tafeln 1-5 und 1-6 im Abschnitt Schallimmissionsschutz der BZ. Beispiel: Ein kleiner Verbrauchermarkt mit weniger als 5000 m2 Verkaufsfläche hat insgesamt 36 Stellplätze auf einer Gesamt - Parkplatzfläche von 750 m2. Die Zuschläge lauten: KPa = 3 dB(A) KI = 4 dB(A) nach Tafel 1-5 N = 1,05 nach Tafel 1-6. Flächenbezogener Schalleistungspegel und Gesamt - Schallleistungspegel: ª 36 º L"w = 63 + 3 + 4 + 10 ⋅ log «1 + » + 10 ⋅ log[36 ⋅ 1, 05] − 10 ⋅ log [750] = 59, 6 dB ( A) ¬ 44 ¼ Lw = 59, 6 + 10 ⋅ log [750] = 88, 4 dB ( A)

58

Schallimmissionschutz

2 Schallabstrahlung von Industriebauten 2.1 Schallabstrahlung der Gebäudehülle

3

Eine Industriefassade nach Bild 3 besteht aus zwei Fensterbändern, einem Tor und einer Trapezblechkonstruktion. Die Größen der Flächen betragen: Tor: 24 m2 Oberes Fenster: 54 m2 Unteres Fenster: 42 m2 Wand: 260 m2.

Bild 2-1 Industriefassade

Die gesamte Fassade wird zu einem Segment zusammengefasst Die Schallleistung der punktförmigen Ersatzquelle ergibt sich zu: ªS º Lw = Lp,in + Cd – R' + 10 · log « » ¬ S0 ¼

Darin bedeuten:

der Schalldruckpegel im Innern des Gebäudes, in 1 bis 2 m Abstand vor der Fassade gemessen oder gerechnet Diffusitätsfaktor für das Schallfeld im Innern des Gebäudes Gebäudes das Bau - Schalldämmass des Segments Fläche des abstrahlenden Bauteils Bezugsfläche, 1 m2.

Lp,in Cd: R': S: S 0:

Da das Segment nur aus großen Bauteilen besteht, errechnet sich das Schalldämmass des gesamten Segmentes zu ª m Si º ⋅ 10− Ri /10 » in dB R ' = −10 ⋅ log « ¬« i =1 S ¼»

¦

Der Diffusitätsterm beträgt – 5 dB. Der Innenpegel weist folgende Frequenzzusammensetzung auf: Innenpegel in dB bei Frequenz f in Hz 63

125

250

500

1000

2000

4000

80

80

80

78

75

72

70

59

2 Schallabstrahlung von Industriebauten

Die frequenzabhängigen Schalldämmasse der Bauteile und die Schalldämmasse R' des gesamten Segments sind in der folgenden Tabelle dargestellt: Bauteil

Teilfläche in m2

oberes Fenster

54

63 15

125 19

250 23

500 25

1000 25

2000 25

4000 25

unteres Fenster Wand

42 260

18 32

22 36

27 36

34 33

37 39

39 49

37 57

Tor

24

13

17

22

25

25

25

25

20,1

24,1

28,2

29,8

31,2

31,7

31,7

R'

gesamt

Schalldämmass R in dB bei Frequenz f in Hz

Steht das Tor offen, dann ist sein Schalldämmass gleich 0 dB zu setzen. Die gesamt Schalldämmung reduziert sich dann drastisch auf folgende Werte: R' gesamt

11,6

11,8

11,9

11,9

12,0

12,0

12,0

Damit ergeben sich folgende frequenzabhängigen Schallleistungspegel sowie die A - bewerteten Summenpegel: Schallleistungspegel in dB bei Frequenz in Hz Bezeichnung

63

125

250

500

Innenpegel

80

80

80

78

1000 2000 4000 75

72

70

Diffusitätsterm

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–5

Schalldämmass, Tor geschlossen

20,1

24,1

28,2

29,8

31,2

31,7

31,7

Schalldämmass, Tor offen

11,6

11,8

11,9

11,9

12,0

12,0

12,0

Schallleistungspegel, Tor geschlossen

80,7

76,7

72,6

69,0

64,6

61,1

59,1

Schallleistungspegel, Tor offen

89,2

89,0

88,9

86,9

83,8

80,8

78,8

– 26,2 – 16,1 – 8,6

– 3,2

0,0

1,2

1,0

A-Bewertung: Summenpegel in dB(A), Tor geschl. Summenpegel in dB(A), Tor offen

70,3 88,8

2.2 Ausbreitung des Schalls im Freien Die Schallimmission der Fassade soll für einen Immissionsort berechnet werden, der sich in 150 m Entfernung und 4 m Höhe in einer Mitwind-Situation befindet. Der Nahbereich der Quelle ist Wiese (Bodenfaktor G = 1), Mittelbereich und Nahbereich des Immissionsortes sind asphaltiert (Bodenfaktor G = 0). Das Gelände ist eben, es sind keine Hindernisse vorhanden. Da der Abstand des Immissionsortes mit 150 m knapp 4 mal größer ist als die größte Abmessung des Segmentes, braucht dies nicht weiter aufgeteilt zu werden. Der Schalldruckpegel der Quelle am Immissionsort ergibt sich zu LfT(DW) = Lw + Dc – Atot mit folgenden Bedeutungen: LfT: Schalldruckpegel der Punktquelle am Immissionsort Lw: Schalleistung der Punktquelle

3

60

Schallimmissionschutz

Dc: Atot: Atot

3

Richtwirkungskorrektur der punktförmigen Ersatzschallquelle in Richtung des Aufpunktes die im Verlauf der Schallausbreitung auftretende Gesamtausbreitungsdämpfung, die sich aus folgenden Termen zusammensetzt: = Adiv + Aatm + Agr + Abar + Amisc

Die einzelnen Terme bedeuten: Adiv: Dämpfung aufgrund der geometrischen Ausbreitung Aatm: Dämpfung aufgrund von Luftabsorption Agr: Dämpfung durch Bodeneffekte Abar: Dämpfung durch Abschirmung Amisc: Dämpfung durch andere Effekte wie durch Bewuchs, Industriegelände und Bebauungsflächen (Anhang A, nicht Gegenstand der eigentlichen Norm). Der Gesamtpegel am Immissionsort, der für die Berechnung der Beurteilung herangezogen wird, ergibt sich dann für n Quellen und j = 7 Frequenzen zu ª n ­ 7 ½°º ° LAT (DW ) =10 ⋅ log « ¦ ® ¦ 10(Lff (i, j )+Af (j )/10) ¾» in dB(A) « i =1 ° j =1 °¿»¼ ¬ ¯

wobei Af die A-Bewertung darstellt. Da die Quelle eine senkrecht stehende Fassade darstellt, die in den Viertelraum abstrahlt, ergibt sich die Richtwirkungskorrektur Dc zu + 6 dB. Dämpfung aufgrund der geometrischen Ausbreitung; Adiv = 10 ⋅ log[4 ⋅ ʌ ⋅ d 2 ] = 10 ⋅ log[4 ⋅ ʌ ⋅ 1502 ] = 54,5 dB. Dämpfung aufgrund von Luftabsorption: Die Dämpfung durch Luftabsorption muss frequenzabhänig berechnet werden. Als Temperatur werden 10° C und 70 % relative Luftfeuchte angenommen. Es ergeben sich folgende frequenzabhängigen Werte: Dämpfung in dB durch Luftabsorption Bezeichnung

63

125

250

500

1000

2000

4000

Dämpfung in dB je km

0,1

0,4

1

1,9

3,7

9,7

32,8

Dämpfung für d = 150 m

0,0

0,1

0,2

0,3

0,6

1,5

4,9

Dämpfung durch Bodeneffekte: Die Höhe der Schallquelle wird in 2/3 der Fassadenhöhe angenommen, also in 6.33 m Höhe. Der Nahbereich der Quelle erstreckt sich über 30 hs, also 30 × 6,33 = 190 m. Es gibt also bei der Berechnung der Bodeneffekte keinen Mittelbereich. Der Empfängerbereich umfasst 30 × 4 = 120 m.

61

2 Schallabstrahlung von Industriebauten

Die Dämpfungsterme ergeben sich dann wie folgt: Bandmittenfrequenz in Hz

As oder Ar in dB

Am in dB

63

– 1,5

– 3 q2 a'(h)

125

– 1,5 + G

250

– 1,5 + G b'(h) c'(h)

500

– 1,5 + G

1000

– 1,5 + G d'(h)

2000

– 1,5 (1 – G)

4000

– 1,5 (1 – G)

3 – 3 q(1 – Gm)

Dabei bedeutet Gm den Mittelwert der Faktoren für den Quellen- und Empfängerbereich. Für die verwendete Funktion q gilt: q = 0, wenn dp ≤ 30 · (hs + hr ); 30 ⋅ (hs + hr ) q = 1− wenn dp ≤ 30 · (hs + hr ); dp Die Funktionen a'(h), b'(h), c'(h) und d'(h) lauten: 2

2

2

a'(h) = 1,5 + 3 · e–0,12 · (h – 5) · (1 – e–dp/50) + 5,7 e–0,09 · h · (1 – e–2,8 · – 6 · d p) 2 b'(h) = 1,5 + 8,6 · e–0,09 · h · (1 – e–dp/50) 2 c'(h) = 1,5 + 14 · e–0,46 · h · (1 – e–dp/50) 2 d'(h) = 1,5 + 5 · e–0,9 · h · (1 – e–dp/50) Die Gesamtdämpfung durch Bodeneffekte ergibt sich aus As + Ar. Die frequenzabhängigen Werte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Frequenz in Hz

As

Ar

Am

A Gesamt – 3,00

63

– 1,50

– 1,50

0,00

125

2,31

– 1,50

0,00

0,81

250

0,26

– 1,50

0,00

– 1,24

500

0,03

– 1,50

0,00

– 1,47 – 1,47

1000

0,03

– 1,50

0,00

2000

0,00

– 1,50

0,00

– 1,50

4000

0,00

– 1,50

0,00

– 1,50

Mit Ausnahme der Frequenz von 125 Hz werden durch den harten Bodenfaktor im Empfängerbereich die Schallimmissionen durch Bodeneffekte erhöht. Gesamtimmission Die Gesamtimmission der Fassade ist in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.

62

Schallimmissionschutz

Berechnungsgrößen in dB bei Frequenz f in Hz Bezeichnung

63

125

250

500

1000

2000

4000

Schallleistungspegel, Tor offen

89,2

89,0

88,9

86,9

83,8

80,8

78,8

Richtwirkungskorrektur

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

Einfluß Entfernung

3

Luftabsorption

– 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 0

– 0,1

Bodeneffekte

3,0

– 0,8

1,2

1,5

1,4

1,5

1,5

Immissionspegel in dB

43,7

39,6

41,4

39,5

36,2

32,3

26,9

– 26,2

– 16,1

– 8,6

– 3,2

0,0

1,2

1,0

17,5

23,5

32,8

36,3

36,2

33,5

27,9

A – Bewertung: Immissionspegel in dB(A)

– 0,2

Summenpegel in dB(A), Tor offen

– 0,3

– 0,6

– 1,5

– 4,9

40,7

Bleibt das Tor geschlossen, so verringert sich der Immissionspegel auf 22.3 dB(A). Anwendung der meteorologischen Korrektur Die Pegelminderung für verschiedene Windsituationen errechnet sich nach (1-1) ΔLi = k · (1 – cos [εi – γ · sin(εi)]) mit den beiden Konstanten k = 7,5 für den Tag und k = 5 für die Nacht. Die Winkel γ betragen 25° bzw. 45° für Tag und Nacht. Berechnet man die sich ergebenden Pegelminderungen für 30° – Schritte und addiert sie energetisch für die Mitwindsituation (εi = 0 ± 45° , Index m), Querwindsituation (εi = 90 ± 45° , Index q) und Gegenwindsituation (εi = 180 ± 45° , Index g), so erhält man folgende Pegelminderungen K: Kq = 5,1 dB Kg = 13,2 dB Tag: Km = 0,4 dB; Kq = 3,4 dB Kg = 8,8 dB. Nacht: Km = 0,27 dB; Geht man von folgenden Häufigkeitsverteilungen der Winde von der Quelle zum Immissionsort aus: Mitwind: Tm = 20 % Querwind: Tq = 50 % Gegenwind: Tg = 30 % so ergeben sich die zugehörigen Meteorologiefakten nach der Gleichung (1-1). Man erhält: C0 = 4,5 dB für den Tag C0 = 3,4 dB für die Nacht. Die auf den Immisionsort bezogene Korrektur ergibt sich nach der Formel ª h + hr º Cmet = C0 ⋅ «1 − 10 ⋅ s » wenn dp > 10 · (hs + hr) d p ¼» ¬«

Mit hs + hr = 10,6 m und d = 150 m ergeben sich folgende Korrekturen: Cmet.Tag = 1,3 dB Cmet, Nacht = 1,0 dB.

63

3 Berechnung von Beurteilungspegeln

3 Berechnung von Beurteilungspegeln nach TA – Lärm und EU – Umgebungsrichtlinie

Ein Betrieb erzeugt in der Nachbarschaft folgende Schallimmissionen: Uhrzeit

Dauer in h

Immissionspegel in dB(A)

5,00 – 6,00

1

38,8

6,00 – 7,00

1

47,7

7,00 – 12,00

5

45,5

12,00 – 13,00

1

43,5

13,00 – 17,00

4

47,0

17,00 – 18,00

1

47,5

18,00 – 19,00

1

44,0

19,00 – 22,00

3

43,7

22,00 – 23,00

1

35,2

Zuschlag für schutzwürdige Zeiten nach TA Lärm 6

6

Nach TA – Lärm wird der Beurteilungspegel Lr aus folgender Formel errechnet: ª1 N º Lr = 10 ⋅ log « ⋅ t j ⋅ 100,1⋅( LA,eq,j − Cmet + K T,j + K1,j + K R,j ) » « Tr j =1 » ¬ ¼

¦

Darin bedeuten im einzelnen: Lr Beurteilungspegel in dB(A) TR Beurteilungszeitraum (16 h für den Tag, 1 h für die Nacht) N Anzahl der Teilzeiten tj tj j-te Teilzeit LAeq,j Mittelungspegel während der j-ten Teilzeit Cmet Meteorologische Korrektur KT,j Zuschlag für Ton- und Informationshaltigkeit während der Teilzeit j KI,j Zuschlag Impulshaltigkeit während der Teilzeit j KR,j Zuschlag für Tageszeiten, die besonders schutzwürdig sind. Der Beurteilungspegel wird dabei grundsätzlich für Tag und Nacht getrennt ermittelt. Besonders schutzwürdige Zeiten sind: 06.00 Uhr bis 07.00 Uhr 19.00 Uhr bis 22.00 Uhr an Werktagen 06.00 Uhr bis 09.00 Uhr 13.00 Uhr bis 15.00 Uhr 20.00 Uhr bis 22.00 Uhr an Sonn – und Feiertagen. In diesen Zeiten beträgt der Zuschlag auf den Mittelungspegel: KR,j = + 6 dB

3

64

Schallimmissionschutz

Sieht man von Zuschlägen für Ton – und Informationshaltigkeit und von Impulshaltigkeit ab und vernachlässigt die meteorologische Korrektur, dann errechnen sich nach TA – Lärm folgende Beurteilungspegel: Nachtzeit:

3

Der Beurteilungspegel während der Nachtzeit ist identisch mit dem Immissionspegel während der lautesten Nachtstunde. Diese liegt im Beispiel zwischen 5.00 und 6.00 Uhr morgens mit 38.8 dB(A).

Lr = 38,8 dB(A). Tageszeit:

Die Zeiten von 6.00 Uhr bis 7.00 Uhr und 19.00 Uhr bis 22.00 Uhr sind mit einem Zuschlag von + 6 dB(A) zu versehen.

Lr = 47,9 dB(A). Der Beurteilungspegel für den Tageszeitraum liegt also durch die Zuschläge für die besonders schutzwürdigen Zeiten höher als der höchste Immissionspegel von 47.0 dB(A) am Nachmittag. Nach der EU – Umgebungsrichtlinie ist folgender Beurteilungspegel zu bilden: ª1 º Lden = 10 ⋅ log « ⋅ {12 ⋅ 10( Lday ) /10 + 4 ⋅ 10( Levening + 5) /10 + 8 ⋅ 10( Lnight +10) /10 }» 24 ¬ ¼

mit folgenden Lärmpegeln: LDay: äquivalenter Dauerschallpegel während des Tageszeitraums (6,00 bis 18,00 Uhr), Bezugszeitraum 1 Jahr LEvening: äquivalenter Dauerschallpegel während des Abendzeitraums (18,00 bis 22,00 Uhr), Bezugszeitraum 1 Jahr LNight: äquivalenter Dauerschallpegel während des Nachtzeitraums (22,00 bis 6,00 Uhr), Bezugszeitraum 1 Jahr. Anders als in der TA-Lärm wird also auch für die Nacht ein Dauerschallpegel ermittelt und beim gesamten Beurteilungspegel mit einem Zuschlag von 10 dB(A) berücksichtigt. Der Lden ist allerdings nicht nur für die Immissionen eines Betriebes anzuwenden, sondern auf alle Schallimmissionen am Einwirkungsort, also auch auf Straßen –, Schienenverkehrs – und Fluglärm. Berücksichtigt man nur die in der Tabelle angegebenen Immissionen, so erhält man folgende Beurteilungspegel: Lday Levening Lnight Lden

= 45,1 dB(A) = 43,8 dB(A) = 31,3 dB(A) = 45,9 dB(A).

Die Berechnung für Lden ist allerdings nicht korrekt, weil dabei davon ausgegangen wurde, dass im gesamten Jahr die Emissionen des Betriebs vorhanden sind. Samstage, Sonn- und Feiertage sind also nicht berücksichtigt. Geht man von 220 Arbeitstagen aus, so erniedrigt sich der Lden um den Faktor 10 log(220/365) = – 2.2 dB(A), beträgt also nur noch 43.7 dB(A).

Statik und Festigkeitslehre Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Gerhard Haße Die angegebenen Verweise beziehen sich auf Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 31. Auflage.

Inhalt Statik und Festigkeitslehre............................................................................................................. 65 1 Ausmittig beanspruchtes Rechteckfundament ......................................................................... 67 1.1 Abmessungen und Lastfälle.......................................................................................... 67 1.2 Lastfall 1 ....................................................................................................................... 67 1.3 Lastfall 2 ....................................................................................................................... 68 1.4 Lastfall 3 ....................................................................................................................... 68 2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren............................................................................ 68 2.1 System und Belasting ................................................................................................... 68 2.2 Statisch bestimmtes Grundsystem ................................................................................ 68 2.3 Berechnung der statisch Unbestimmten........................................................................ 69 2.4 Fesselkräfte, Querkraft- und Biegemomentenzustand .................................................. 71 3 Einflusslinien von Durchlaufträgern........................................................................................ 72 3.1 Einflusslinien der statisch Unbestimmten..................................................................... 72 3.2 Einflusslinie für Feldmoment in Feld 2 ........................................................................ 74 3.3 Einflusslinie der Querkraft in Feld 1 ............................................................................ 75 3.4 Einflusslinie der Auflagerkraft C.................................................................................. 75 3.5 Numerische Ergebnisse ................................................................................................ 76 3.6 Graphen ........................................................................................................................ 77 4 Einfeldträger als UPE-Profil .................................................................................................... 78 4.1 System mit Bohlenfahrbahn.......................................................................................... 78 4.2 System mit Stahlbetonfahrbahn .................................................................................... 81 5 Schnittgrößen eines Randträgers aus zusammengesetzten Walzprofilen................................. 82 5.1 System und Belastung................................................................................................... 82 5.2 Querkraft- und Biegemomentenzustand ....................................................................... 83 5.3 Torsion.......................................................................................................................... 83 6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt ................................................................. 87 6.1 Urberechnung der Querschnittswerte ........................................................................... 87 6.2 Biegeruhepunkt- (Schwerpunkt-)Transformation......................................................... 90 6.3 Hauptachsen-Transformation ....................................................................................... 91 6.4 Drillruhepunkts- (Schubmittelpunkts-) Transformation ............................................... 91 6.5 Normalspannungsermittlung......................................................................................... 92 6.6 Schubspannungsermittlung........................................................................................... 94

1 Ausmittig beanspruchtes Rechteckfundament 1.1 Abmessungen und Lastfälle Es werden drei Lastfälle untersucht: (1) D1 = 800 kN; M a1 = 120 kNm , (2) D2 = 500 kN; M a 2 = 250 kNm . (3) D3 = 400 kN; M a 3 = 200 kNm; M b 3 = 75 kNm Fundamentabmessungen: a / b = 1,5 m/ 2,5 m . Grundlage der Berechnungen ist BZ 31, Tafel 4-12.

1.2 Lastfall 1 z1 =

M a1 120 = = 0,150 m; D1 800

z1 0,150 = = 0, 060; b 2,50

y1 = 0 → μ1 = 1,36 , a

Resultierende liegt im Kern (grauer Tafelbereich). max σ B1 = μ1

D1 800 kN = 1,36 ⋅ = 290 . ab 1,5 ⋅ 2,5 m2

Da die resultierende Druckkraft im Kern der Fundamentfläche liegt, kann die Bodenpressung in diesem Fall auch wie bei einem biegesteifen Querschnitt berechnet werden: a b 2 1,5 ⋅ 2,52 = = 1,563 m3 ; 6 6 M N 800 120 kN max σ B1 = 1 + a1 = + = 290 1,5 ⋅ 2,5 1,563 a b Wa m2

Wa =

1.3 Lastfall 2 z2 =

M a 2 250 = = 0,500 m; D2 500

z2 0,500 = = 0, 200; b 2,50

y2 = 0 → μ 2 = 2, 22 , a (Klaffende Bodenfuge)

68

Statik und Festigkeitslehre

max σ B 2 = μ 2

D2 500 kN = 2, 22 ⋅ = 296 . ab 1,5 ⋅ 2,5 m2

1.4 Lastfall 3

4

z3 =

M a 3 200 = = 0,500 m; D3 400

y3 =

75 = 0,188 m 400

max σ B3 = μ3

z3 0,500 = = 0, 200; b 2,50

y3 0,188 = = 0,125 → μ3 = 3, 05 a 1,50

(Klaffende Bodenfuge)

D3 400 kN = 3, 05 ⋅ = 325 . ab 1,5 ⋅ 2,5 m2

2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren 2.1 System und Belasting

Bild 2–1 System und Belastung

2.2 Statisch bestimmtes Grundsystem Beim Kraftgrößenverfahren geht man von einem „statisch bestimmten Grund- oder Hauptsystem“ aus, dessen Schnittgrößenzustände mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden können. Dazu sind nach Maßgabe des Unbestimmtheitsgrades des Systems solche Bindungen zu lösen, die dem System eine möglichst hohe Stabilität belassen. Dies kann durch Einführen von Gelenken, Verschieblichkeiten und durch Entfernen von Fesseln geschehen. Beim Einführen von Gelenken entfernt man die Biegemomentenkontinuität, beim Einführen von Transversalverschieblichkeiten die Querkraftkontinuität und beim Einführen von Longitudinalverschieblichkeiten die Längskraftkontinuität. Beim Durchlaufträger führt man im allg. Gelenke über den Stützen und Randeinspannungen ein. Dadurch entsteht eine Gruppe von Einfeldträgern (Bild 3–2, unterstes Teilbild: „Ursächlicher Zustand“).

2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren

69

4

Bild 2-2

Zustandslinien am statisch bestimmten Grundsystem

Im gegebenen Fall erhält man die Größtwerte der Biegemomente jeweils in Feldmitte zu max M1 =

q1 l12 52 ⋅ 5, 602 = = 203,84 kNm; 8 8

max M 2 =

F2 l2 200 ⋅ 7, 002 = = 350, 00 kNm; 4 4

max M 3 =

q3 l32 36 ⋅ 5, 602 = = 141,12 kNm 8 8

2.3 Berechnung der statisch Unbestimmten Die im statisch bestimmten Grundsystem zunächst außer Acht gelassenen unbestimmten Schnittgrößen (oder Fesselgrößen) werden als jeweils eigene Zustände betrachtet und mit den „ursächlichen“ überlagert: M ( x ) = 0 M ( x ) + 1M ( x ) ⋅ X1 + 2 M ( x ) ⋅ X 2 + 3M ( x ) ⋅ X 3 .

Der Hochindex 0 kennzeichnet den Zustand am statisch bestimmten Grundsystem infolge der ursächlichen Last, die übrigen Hochindizes die Zustände der entsprechenden statisch Unbestimmten. Die Beträge (Xi) der qualitativ bekannten unbestimmten Zustände (hier Xi · iM) folgen aus der Bedingung, dass die Kontinuität an den Unterbrechungsstellen wiederhergestellt werden muss. Im konkreten Fall müssen die Knickwinkel der Biegelinie (δi) an den eingeführten Gelenken verschwinden. Die Winkelsprünge können mit Hilfe der Arbeitsgleichung (bei Vernachlässigung des Querkrafteinflusses) berechnet werden:

δ i ( ⋅1) =

³

M ( x) i M ( x) d x EI

(System )

70

Statik und Festigkeitslehre

0

=

³

M iM d x + X1 ⋅ EI

(System )

M iM dx + EI

(System )

2

+ X2 ⋅

1

³

³

M iM d x + X3 ⋅ EI

(System )

3

³

M iM dx=0 EI

(System )

oder bei E I = const

4 E I δi = =

³ M ( x)

i

M ( x) d x

(System )

³

0

M i M d x + X1 ⋅

(System ) + X2 ⋅

³

1

M iM d x +

(System )

2

M iM d x + X 3 ⋅

(System )

Das Integral [ E I ] δ ik =

³

³

³

3

M iM d x = 0

(System )

i

M kM d x

(der Faktor E I kann hier unterdrückt werden) kann

(System )

BZ 31, Tafel 5-8 entnommen werden. § δ11 δ12 δ13 · § δ10 · § X1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Mit δ = ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ , δ0 = ¨ δ 20 ¸ , und X = ¨ X 2 ¸ ¨δ ¸ ¨δ ¸ ¨X ¸ © 31 δ 32 δ 33 ¹ © 30 ¹ © 3¹

schreibt sich die Bedingung für alle drei Stellen: δ ⋅ X + δ0 = 0 . l2 7, 00 § l1 + l2 5, 60 + 7, 00 · = 0 ¨ 3 = ¸ 3 6 6 0 · ¨ ¸ § 4, 200 1,167 l2 + l3 7, 00 + 5, 60 l3 5, 60 ¸ ¨ l2 7, 00 ¨ ¸ δ=¨ = = = = 1,167 4, 200 0,933 ¸m 6 6 3 3 6 6 ¸ ¨¨ ¨ ¸ 0 0,933 1,867 ¸¹ l3 5, 60 l3 5, 60 ¸ © ¨ = = 0 ¨ 6 6 3 3 ¸¹ © § l1 max M1 l2 max M 2 5, 60 ⋅ 203,84 7, 00 ⋅ 350, 00 · + = + ¨ ¸ 3 4 3 4 ¨ ¸ § 993, 00 · ¨ l max M 2 l3 max M 3 7, 00 ⋅ 350, 00 5, 60 ⋅141,12 ¸ ¨ ¸ 2 δ0 = ¨ 2 + = + ¸ = ¨ 875,92 ¸ kNm , 4 3 4 3 ¨ ¸ ¨© 263, 42 ¸¹ l3 max M 3 5, 60 ⋅141,12 ¨ ¸ = ¨ ¸ 3 3 © ¹

2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren

X=−δ

−1

71

§ −198,3 · ¨ ¸ δ0 = ¨ −137, 4 ¸ kNm . ¨ −72, 4 ¸ © ¹

2.4 Fesselkräfte, Querkraft- und Biegemomentenzustand Querkräfte: q l X 52 ⋅ 5, 60 ( −198,3) VAr = 1 1 + 1 = + = 110, 2 kN , 2 l1 2 5, 60 q l X 52 ⋅ 5, 60 ( −198,3) VBl = − 1 1 + 1 = − + = −181, 0 kN; , 2 l1 2 5, 60 F X − X1 200 ( −137, 4 ) − ( −198,3) = + = 108, 7 kN VBr = 2 + 2 2 l2 2 7, 00 F X − X1 200 ( −137, 4 ) − ( −198,3) =− + = −91,3 kN; VCl = − 2 + 2 2 l2 2 7,00 q l X − X 2 36 ⋅ 5, 60 ( −72, 4 ) − ( −137, 4 ) = + = 112, 4 kN VCr = 3 3 + 3 2 l3 2 5, 60 VDl = −

q3 l3 X 3 − X 2 36 ⋅ 5, 60 ( −72, 4 ) − ( −137, 4 ) + =− + = −134, 0 kN . 2 2 5, 60 l3

Auflagerkräfte: A = VAr = 110, 2 kN; B = VBr − VBl = 108, 7 − ( −181, 0 ) = 289, 7 kN; C = VCr − VCl = 112, 4 − ( −91,3) = 203, 7 kN; D = −VDl = − ( −134, 0 ) = 134, 0 kN.

Feldmomente: V2 110, 22 max M1 = Ar = = 116, 76 kNm, 2 q1 2 ⋅ 52 max M 2 = max M 20 +

( −198,3) + ( −137, 4 ) X1 + X 2 = 350, 0 + = 182,17 kNm, 2 2

V2 112, 42 = 38, 08 kN. max M 3 = X 2 + Cr = −137, 4 + 2 ⋅ q3 2 ⋅ 36

4

72

Statik und Festigkeitslehre

4

Bild 2–3 V- und M-Zustandslinien, Auflagerkräfte

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern Der Beispielrechnung wird das System von 2 zugrunde gelegt. Einflusslinien sind ein Mittel zur Bestimmung von Laststellungen, unter denen statische Größen (SG) Extremwerte annehmen.

ηSG = ηSG 0 + ¦ δ SGi η X i

(3-1)

Darin bedeuten ηSG0 die Einflusslinie (EL) der statischen Größe im statisch bestimmten Grundsystem, ηXi die EL für die statisch Unbestimmte i und δSGi das Klaffungsmaß an der Wirkungsstelle von Xi infolge ηSG0. Die ELn der statisch Unbestimmten müssen unter allen Umständen zuerst ermittelt werden.

3.1 Einflusslinien der statisch Unbestimmten Nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen ergibt sich die Einflusslinie einer statisch Unbestimmten als die Biegelinie infolge einer Klaffung (virtuellen Verrückung) vom Betrage –1 am Ort und im Sinne der Unbestimmten. Im Falle eines unbestimmten Momentes handelt es sich um einen Winkel-, im Falle einer unbestimmten Kraft um einen Wegsprung. Im gegebenen Fall ist demnach beispielsweise für „X1“ über der Stütze B der Winkelsprung (δ1 = –1) einzuprägen. An den übrigen Systemöffnungen dürfen keine Sprünge auftreten (δ2 = δ3 = 0). Der Winkelsprung verursacht im System Zwängungen, die einen zugehörigen Wertesatz für die statisch Unbestimmten zur Folge haben. Für ηXi erhält man einen Satz Belastungsglieder:

73

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern

§1· ¨ ¸ δ1η1 = −1, δ 2η1 = δ 3η1 = 0 → δη1 = − ¨ 0 ¸ . ¨ 0¸ © ¹

§ δ11 δ12 δ13 · § X1η1 · §1· ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ Die Rechnung ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ ⋅ ¨ X 2η1 ¸ = − ¨ 0 ¸ liefert die zugehörigen statisch Unbestimmten. ¸ ¨ 0¸ ¨δ ¸ ¨ © ¹ © 31 δ 32 δ 33 ¹ ¨© X 3η1 ¸¹

Zweckmäßigerweise führt man aber die Berechnung für alle Unbestimmten-Einflusslinien (X-EL) in e i n e m Arbeitsgang durch. Die aneinandergereihten Belastungsgliedsätze aller X-EL bilden offenbar eine Einheitsmatrix. Daher ergeben sich die entsprechenden Unbestimmtensätze als negative Inverse der Elastizitätsbeiwertematrix: § δ11 δ12 δ13 · § X1η1 ¨ ¸ ¨ ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ ⋅ ¨ X 2η1 ¨δ ¸ ¨ © 31 δ 32 δ 33 ¹ ¨© X 3η1 § X1η1 ¨ → ¨ X 2η1 ¨ ¨ X 3η1 ©

X1η 2 X 2η 2 X 3η 2

X1η 2 X 2η 2 X 3η 2

X1η 3 · § 1 0 0· ¸ ¨ ¸ X 2η 3 ¸ = − ¨ 0 1 0 ¸ → ¸ ¨0 0 1¸ X 3η 3 ¸¹ © ¹

X1η 3 · § δ11 δ12 δ13 · −1 ¸ ¨ ¸ X 2η 3 ¸ = ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ ¸ ¨ ¸ X 3η 3 ¸¹ © δ 31 δ 32 δ 33 ¹

oder Xη = − δ −1 . Mit den Werten von 2.3 ergibt sich 0 · § 4, 200 1,167 ¨ ¸ Xη = − ¨ 1,167 4, 200 0,933 ¸ ¨ 0 0,933 1,867 ¸¹ ©

−1

§ −0, 26073 1 ¨ = 0, 08148 m ¨¨ © −0, 04074

0, 08148 −0, 29332 0,14666

−0, 04074 · ¸ 1 0,14666 ¸ . m −0, 60904 ¸¹

Die Einflusslinien können nun feldweise als Biegelinien infolge Randmomenteneinwirkung berechnet werden. Die allgemeine Biegelinienfunktion für diesen Belastungsfall lautet w ( X l , X r , ξ ) = η X (ξ ) =

l2 ª Xl 6 ¬

( 2 − ξ ) + Xr (1 + ξ )º¼ ξ (1 − ξ ) ,

(3-2)

x . l Mit Hilfe von Bild 3–1 können die Biegelinien konstruiert werden; die Funktionswerte sind mit Xl l2 zu multiplizieren (wegen E I = const ist diese Größe aus der Beziehung eliminiert). Die Ergebnisse sind im oberen Teil von Bild 3–2 dargestellt.

worin Xl und Xr die Momente am linken und rechten Rand des Feldes bedeuten. Ferner ist ξ =

4

74

Statik und Festigkeitslehre

4

Bild 3–1 Einheitsbiegelinie infolge eines linken Randmoments M

3.2 Einflusslinie für Feldmoment in Feld 2 Es soll die Einflusslinie für das Biegemoment an der Stelle 2ξ = 2ξM = 0,2775 im Feld 2 ermittelt werden (Der Hochindex zeigt das Bezugsfeld an). Nach Formel (3-1) sind folgende Elemente zu bestimmen: • die Einflusslinie ηM0 im statisch bestimmten Grundsystem, • die Beträge der Klaffungen an den Stellen gelöster Bindungen (hier bei 1{}und {2}). Die Einflusslinien der statisch Unbestimmten (hier ηX1 und ηX2) sind bereits ermittelt. Die Figur ηM2 in Bild 3–2 zeigt die Konstruktion von ηM0. Für die Klaffungen bei 1{}und {2}folgt daraus

(1 − ξ ) l =+ 2

δ1M

l2

δ2M = +

2

und damit ηM 0

M

2

ξ M l2 l2

2

(

)

= + 1 − 2ξ M = 1 − 0, 2775 = 0, 7225;

= + 2ξ M = 0, 2775; δ 3 M = 0

(

)

­ξ ≤ 0, 2775 : 1 − 2ξ l ξ = 0, 7225 ⋅ 7, 00 ⋅ ξ = 5, 0575 ⋅ ξ M 2 ° =® °ξ ≥ 0, 2775 : 2ξ M l2 (1 − ξ ) = 0, 2775 ⋅ 7, 00 ⋅ (1 − ξ ) = 1,9425 ⋅ (1 − ξ ) ¯

[m] .

75

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern

Damit ergibt sich die Funktion der Einflusslinie nach Formel (3-1): Feld 1: 1ηM = 0, 7225 ⋅ 1ηX1 + 0, 2775 ⋅ 1η X

[m] ,

2

­°ξ ≤ 0, 2775 : 5, 0575 ⋅ ξ Feld 2: 2ηM = ® °¯ξ ≥ 0, 2775 : 1,9425 ⋅ (1 − ξ )

+ 0, 7225 ⋅ 2ηX1 + 0, 2775 ⋅ 2η X

Feld 3: 3ηM = 0, 7225 ⋅ 3ηX1 + 0, 2775 ⋅ 3η X

[m] .

2

2

[m] ,

4 3.3 Einflusslinie der Querkraft in Feld 1 Es soll die Einflusslinien für die Querkraft an der Stelle 1ξ = 1ξV = 0,8 im Feld 1 ermittelt werden. Es wird entsprechend 3.2 verfahren:

δ1V =

1 1 = = 0,17857 m −1; δ 2 V = δ 3V = 0 l1 5, 60

­ξ ≤ 0,8 : −ξ ηV 0 = ® ¯ξ ≥ 0,8 : 1 − ξ

1

mit

Funktion der Einflusslinie: ­ξ ≤ 0,8 : Feld 1: 1ηV = ® ¯ξ ≥ 0,8 :

−ξ 1−ξ

+ 0,17857 ⋅ 1ηX1 ,

Feld 2: 2ηV = 0,17857 ⋅ 2ηX1 , Feld 3: 3ηV = 0,17857 ⋅ 3ηX1

3.4 Einflusslinie der Auflagerkraft C Die eingeprägte Verschiebung des Auflagerpunktes von – 1 (entgegen der Orientierung der Auflagerkraft C) führt im statisch bestimmten Grundsystem zu

δ1C =

1 1 1 1 = = 0,14286 m −1; δ 3C = = = 0,17857 m −1 ; l2 7, 00 l3 5, 60

δ 2 C = − (δ1C + δ 3C ) = − ( 0,14286 + 0,17857 ) = −0,32143 m −1 . Funktion der Einflusslinie: Feld 1: 1ηC = 0,14286 ⋅ 1ηX1 − 0,32143 ⋅ 1η X

2

+ 0,17857 ⋅X1η

Feld 2: 2ηC = ξ + 0,14286 ⋅ 2ηX1 − 0,32143 ⋅ 2η X

2

3

,

+ 0,17857 ⋅X2η

Feld 3: 3ηC = (1 − ξ ) + 0,14286 ⋅ 3ηX1 − 0,32143 ⋅ 3η X

2

3

,

+ 0,17857 ⋅X3η

3

.

76

Statik und Festigkeitslehre

3.5 Numerische Ergebnisse ξ


Feld A

4

1

0

0

ηX2 0

ηX3

ηM (Feld 2)

0 – 0,02108

– 0,08577

– 0,12409

– 0,03659

0,2

– 0,26135

0,08176

– 0,04088

– 0,16635

– 0,24672

– 0,07096

0,3

– 0,37230

0,11626

– 0,05813

– 0,23653

– 0,36643

– 0,10090

0,4

– 0,45788

0,14309

– 0,07154

– 0,29111

– 0,48176

– 0,12418

0,5

– 0,51103

0,15970

– 0,07985

– 0,32490

– 0,59125

– 0,13859

0,6

– 0,52329

0,16353

– 0,08176

– 0,33270

– 0,69344

– 0,14192

0,7

– 0,48650

0,15203

– 0,07602

– 0,30931

– 0,78687

– 0,13194

1/0

– 0,39247

0,12265

– 0,06132

– 0,24952

– 0,23303

0,07282

– 0,03641

– 0,14815

0

0

0

0

D

– 0,87008 0,12992 0,05839 0

– 0,10644 – 0,06320 0

0,1

– 0,29823

– 0,12337

0,06168

0,25604

– 0,05326

0,10806

0,2

– 0,48584

– 0,26829

0,13414

0,58629

– 0,08669

0,24084

0,2775

3

0

0,04216

0,9

C

0

ηC

– 0,13491

0,8r

2

0

ηV (Feld 1)

0,1

0,8l

B

ηX1

0,88881

0,3

– 0,57850

– 0,41641

0,20820

0,82623

– 0,10330

0,38838

0,4

– 0,59407

– 0,54935

0,27468

0,59384

– 0,10608

0,54076

0,5

– 0,54895

– 0,64876

0,32438

0,39460

– 0,09803

0,68803

0,6

– 0,45992

– 0,69627

0,34814

0,25149

– 0,08213

0,82027

0,7

– 0,34375

– 0,67352

0,33676

0,14749

– 0,06138

0,92752

0,8

– 0,21719

– 0,65213

0,28106

0,07559

– 0,03878

0,99985

0,9

– 0,09702

– 0,34375

0,17187

0,02877

– 0,01732

1,02732

0

0

1/0

0

0

0

1,00000

0,1

0,05174

– 0,18627

– 0,18407

0,2

0,08176

– 0,29435

– 0,39042

– 0,01431

0,00924

0,93440

– 0,02261

0,01460

0,3

0,09390

– 0,33804

0,83657

– 0,59538

– 0,02596

0,01677

0,4

0,09198

– 0,33115

0,71575

– 0,77523

– 0,02543

0,01643

0,58115

0,5

0,07985

– 0,28745

– 0,90627

– 0,02208

0,01426

0,44197

0,6

0,06132

– 0,22076

– 0,96482

– 0,01696

0,01095

0,30743

0,7

0,04024

– 0,14488

– 0,92716

– 0,01113

0,00719

0,18675

0,8

0,02044

– 0,07359

– 0,76961

– 0,00565

0,00365

0,08914

0,9

0,00575

– 0,02070

– 0,46845

– 0,00159

0,00103

0,02382

1

0

0

0

0

0 m

0

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern

77

3.6 Graphen

4

Bild 3–2 Einflusslinien des 3-Feldträgers

78

Statik und Festigkeitslehre

4 Einfeldträger als UPE-Profil

4

Beim U-Profil fallen Biegeruhe- (Schwer-) und Drillruheachse (Schubmittelpunktsachse) nicht zusammen und liegen bei aufrechtem Einsatz in einer Ebene senkrecht zur Lastebene. Jede Wirkungsebene von Last- und Auflagerkräften, die die Drillruheachse nicht enthält, führt aber zu Torsionsbeanspruchung (Beispielvariante 4.1). Konstruktionsbedingt kann die Torsionsbelastung ausgeschlossen sein (Beispielvariante 4.2). Dies hat aber Rückwirkung auf die dafür eingesetzten Bauteile. Bild 4–2 und Bild 4–5 zeigen die Querschnittsausbildungen einer Grabenüberquerung in den beiden Konstruktionsarten. Die Breite des Übergangs beträgt aQ = 2,75m, die Stützweite der Längsträger l = 7,5 m. Die Ersatzlast für beide betrachtete Systemvarianten sei qQ = 20 kN/m2. UPE 400:

A=

91,9 cm 2

b = 11,5 cm

4

ez = 2,98 cm

82, 2 cm 4

yM = 6, 06 cm

I y = 20981 cm IT =

Iω = 255351 cm

Belastung der Längsträger: qQ aQ 20 ⋅ 2, 75 q= = = 27,5 kN/m 2 2

6

Extrema der Schnittgrößen in den Längsträgern: ql max V = VA = VzA = = 2 27,5 ⋅ 7,5 = = 103,125 kN 2 2 §l · ql max M = max M y = M ¨ ¸ = = 8 © 2¹ =

Bild 4–1 V und M in Längsträgern

27,5 ⋅ 7,52 = 193, 4 k Nm 8

4.1 System mit Bohlenfahrbahn Die querabtragenden Bauteile (z. B. Holzbohlen seien gelenkig auf die Untergurte der ULängsträger aufgelegt. Stützweite der Bohlen ( eQ ≈ 6 cm ): lQ = aQ − 2 ⋅ eQ = 2, 75 − 2 ⋅ 0, 06 = 2, 63 m

Biegebeanspruchung der Bohlen: Bild 4–2 Bohlenfahrbahn

max M Q(1) =

qQ lQ2

8

=

20 ⋅ 2, 632 kNm = 17, 29 8 m

79

4 Einfeldträger als UPE-Profil

Die Auflagerachse hat zur Drillruheachse den Abstand et = yM − ez + eQ = 6, 06 − 2,98 + 6, 00 = 9, 08 cm .

Daraus resultiert eine Torsionslast mt L = − q et = − 27,5 ⋅ 0, 0908 = − 2, 497 Mt =

kNm und damit ein Torsionsmoment von m

mtL l m l − 2, 497 ⋅ 7,5 = − 9,364 kNm . (1 − 2 ξ ) : min M t = M tA = tL = 2 2 2

Vernachlässigt man die Wölbkrafttorsion, so erhielte man aus Torsion allein die Schubspannung min τ t =

max t min M t 1,8 ⋅ ( −9,364 ) kN (im Gebrauchszustand). = = −20,5 82, 2 IT cm 2

Bild 4–3 Graphen der Torsionsmomente

Um den Einfluss der Wölbkrafttorsion zu erfassen, muss die Differentialgleichung der Torsion gelöst werden (s. BZ 31, 5.3):

ϑ=

μ t ª eκ ξ

º κ2 e −κ ξ + + ξ (1 − ξ ) − 1» « κ −κ 4 2 1+ e κ «¬ 1 + e »¼

mit κ = l

G IT E Iω

G = 8100

kN cm

2

und μ t =

; E = 21000

mtL l 4 . E Iω kN

cm 2

.

4

80

Statik und Festigkeitslehre

κ = 750 ⋅

( −2, 497 ) ⋅ 7504

μt = ϑ=

4

8100 ⋅ 82, 2 = 8,357 21000 ⋅ 255351

21000 ⋅ 255351

= −147,335

μt § eκ ξ

· κ2 e−κ ξ + + ξ (1 − ξ ) − 1¸ ; ¨ −κ 4 ¨ κ ¸ 2 κ © 1+ e 1+ e ¹

ϑ=−

º e−8,357 ξ 147,335 ª e8,357 ξ 8,357 2 ⋅« + + ⋅ ξ ⋅ (1 − ξ ) − 1» 4 8,357 −8,357 2 8,357 ¬« 1 + e 1+ e ¼»

= −0, 0302 ⋅ ª0, 000235 ⋅ e8,357 ξ + 0,99977 ⋅ e −8,357 ξ + 34,921 ⋅ ξ ⋅ (1 − ξ ) − 1º ¬ ¼ M tr =

M tr =

· mtL l § eκ ξ κ e −κ ξ − + (1 − 2 ξ ) ¸ ; ¨ ¸ κ ¨© 1 + eκ 1 + e−κ 2 ¹

( −2, 497 ) ⋅ 7,50 8,357

⋅ ª 0, 000235 ⋅ e8,357 ξ − 0,99977 ⋅ e−8,357 ξ + 4,179 ⋅ (1 − 2 ξ ) º ¬ ¼

= −2, 241 ⋅ ª 0, 000235 ⋅ e8,357 ξ − 0,99977 ⋅ e −8,357 ξ + 4,179 ⋅ (1 − 2 ξ ) º kNm ¬ ¼ Vω = −

Vω =

mtL l § eκ ξ e −κ ξ − ¨ κ ¨© 1 + eκ 1 + e−κ

( −2, 497 ) ⋅ 7,50 8,357

· ¸; ¸ ¹

⋅ ª 0, 000235 ⋅ e8,357 ξ − 0,99977 ⋅ e −8,357 ξ º ¬ ¼

= 2, 241 ⋅ ª0, 000235 ⋅ e8,357 ξ − 0,99977 ⋅ e −8,357 ξ º ¬ ¼ Mω =

· mtL l 2 § eκ ξ e −κ ξ + − 1¸ ; ¨ κ −κ 2 ¨ ¸ 1+ e κ © 1+ e ¹

Mω = −

( −2, 497 ) ⋅ 7,502 8,357 2

⋅ ª 0, 000235 ⋅ e8,357 ξ + 0,99977 ⋅ e −8,357 ξ − 1º ¬ ¼

= −2, 011 ⋅ ª 0, 000235 ⋅ e8,357 ξ + 0,99977 ⋅ e −8,357 ξ − 1º ¬ ¼

4 Einfeldträger als UPE-Profil

81

4

Bild 4–4 Graphen des Wölbbimoments

Die Graphen der Torsionsmomente sind in Bild 4–3 dargestellt, der Graph des Wölbbimoments in Bild 3–9 Zum Vergleich ist die Funktion Mw0 eingefügt, die sich bei Unterdrücken der St. Venantschen Torsion einstellen würde. Man erkennt, dass die Wölbkrafttorsion bei den vorliegenden Torsionsschlankheitsverhältnissen nur eine untergeordnete Rolle spielt. Der Verdrillungswinkel in Feldmitte ergibt sich zu ϑ (ξ ҏ= 0,5) = – 13,43°, ein viel zu hoher Wert (wie auch das Ergebnis für die Schubspannung). „Offene“ schlanke Stahlstäbe verhalten sich wegen der geringen Wanddicken gegenüber Torsion sehr „weich“. Für gedrungenere Stäbe (5.3) gilt dies jedoch nicht!

4.2 System mit Stahlbetonfahrbahn

Bild 4–5 Stahlbetonfahrbahn

82

Statik und Festigkeitslehre

Die momentenschlüssig an die U-Profile angeschlossene Fahrbahnplatte verhindert praktisch die Verdrehung der U-Querschnitte und bewahrt so die Längsträger vor Torsionsbeanspruchung, — vorausgesetzt, die Platte wird entsprechend bemessen. Da die Lastebene bei geforderter Drillfreiheit durch die Drillruheachse des Längsträgers verlaufen muss, ist die Stützweite der Platte nicht zwischen den Auflagerlinien auf den Gurten, sondern zwischen den Schubmittelpunkten der Längsträger zu spannen: lQ = aQ + 2 ( yM − ez ) = 2, 756 + 2 ⋅ ( 0, 0606 − 0, 0298 ) = 2,812 m . max M Q( 2 ) =

4

20 ⋅ 2,8122 = 19, 76 kNm . 8

Der Wert liegt um 14,3 % über dem der Konstruktionsvariante (1).

5 Schnittgrößen eines Randträgers aus zusammengesetzten Walzprofilen 5.1 System und Belastung

Bild 5–1

System und Belastung

l = 5, 0 m

kN , m kN q2 = 10 , m q1 = 25

q = q1 + q2 = 25 + 10 = 35 kN/m

Die Ausmitte der Last ist auf O bezogen. Berechnung der Querschnittswerte s. 3.6.

yq1 = 0, 0 cm yq 2 = − 20, 0 cm

83

5 Schnittgrößen eines Randträgers

5.2 Querkraft- und Biegemomentenzustand

A= B=

ql ; 2

My = A x −

mit ξ =

Vz = A − q x =

ql ql −q lξ = (1 − 2 ξ ) ; 2 2

2 q (l ξ ) q x2 q l q l2 lξ− = = ξ (1 − ξ ) 2 2 2 2

x . l

4

Bemerkung: Die natürlichen Wirkungsebenen von Querlasten und Querkräften enthalten nicht die Biegeruheachse (Schwerachse) sondern die Drillruheachse (Schubmittelpunktsachse)!Anderenfalls würden verdeckte Torsionsmomente auf den Querschnitt einwirken!Hier werden aber die Schnittgrößen bewusst auf die „willkürlich“ festgelegte Bezugsachse durch O bezogen. Bei der Spannungsberechnung (6.5 und 6.6) wird sich erweisen, dass bei der gewählten Berechnungsmethode für die Spannungen die Wahl der Achse keine Rolle spielt. 100 80

Vz(x)

60 40 20 0

x

20 40 60

My(x)

80 100 120

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vz [kN], My [kNm] Bild 5–2

Zustandslinien von Querkraft- und Biegemoment

5.3 Torsion Wie sich aus Bild 5.2 ergibt, ist der Träger an beiden Auflagern „gabelgelagert“. D. h. die Endquerschnitte verdrehen sich nicht, können sich aber frei verwölben. Da die Bezugsachse (O) nicht in die Lastebenen fällt, ergibt sich eine über die Trägerlänge verteilte Momentenlast mxL: mxL = q1 yq1 + q2 yq 2 = 25 ⋅ 0 + 10 ⋅ (− 0, 20) = − 2, 000 kNm/m

84

Statik und Festigkeitslehre

Daraus folgt ein Torsionsmomentenzustand: M tA = − M tB =

mxL l 2, 000 ⋅ 5, 0 =− = −5,000 kNm 2 2

M t = M tA − mxL x =

4

mxL l m l − mxL l ξ = xL (1 − 2 ξ ) = −5,000 ⋅ (1 − 2 ξ ) [kNm] 2 2

Für die Spannungsberechnung reicht allerdings die Kenntnis des Torsionsmoments nicht aus!Es muss zunächst ermittelt werden, wie sich das Moment auf St. Venant- und Wölbkrafttorsion verteilt. Dazu muss die Differentialgleichung der Torsion,  − κ 2 ϑ = μ mit ϑ = ϑ (ξ ), ϑ = ϑ t

Für Stahl gilt: E = 21000 kN/cm 2

dϑ , κ =l dξ

G It m l4 , gelöst werden. , μt = t E Iω E Iω

und G = 8100 kN/cm2 .

Aus Abschnitt 6.1 entnimmt man Iω = 2127987,7 cm6 Das Torsionsflächenmoment IT kann für den IPE 500 der Profiltafel entnommen werden, für den Winkel fehlt eine entsprechende Angabe in den Tafeln. Es lässt sich jedoch aus den beiden Schenkelflächen genügend genau berechnen: I T [ IPE 500] = 89,3 cm 4 , I T [ L 200 ×100 ×12] = → κ = 500 ⋅

1, 23 (20 + 10) = 17, 28 cm 4 → I T = 106,58 cm 4 3

8100 ⋅106,58 −2,349 ⋅ 5004 = 2,198; μ t = = −2, 797 . 21000 ⋅ 2127987, 7 21000 ⋅ 2127987, 7

Spezielle L. Homogene Lösung

    μ Lösungsansatz für die Differentialgleichung: ϑ = c1 eκ ξ + c2 e−κ ξ + c3 ξ + c4 − t ξ 2 . 2κ 2 Randbedingungen: ϑ (ξ = 0 ) = ϑ (ξ = 1) = 0; M (ξ = 0 ) = M (ξ = 1) = 0 → ϑ(ξ = 0 ) = ϑ(ξ = 1) = 0 .

ω

ω

Das Erfüllen der Randbedingungen durch den Lösungsansatz führt zu dem Gleichungssystem: c1

+ c2

eκ c1

+ e−κ c2

κ 2 c1

+ κ 2 c2

=

κ 2 eκ c1 + κ 2 e−κ c2

=

+ c3

+ c4

=0

+ c4

=

μt 2κ 2

μt κ2 μt κ2

85

5 Schnittgrößen eines Randträgers

§ c1 · §¨ 1 κ ¨ ¸ ¨ e c c =¨ 2¸=¨ 2 ¨ c3 ¸ κ ¨¨ ¸¸ ¨ ¨ © c4 ¹ © κ 2 eκ

1 e−κ

κ2 κ 2 e−κ

0 1· ¸ 1 1¸ ¸ 0 0¸ ¸ 0 0¹

−1

§ 0 ¨ ¨ μt ¨ 2κ 2 ¨ ⋅ ¨ μt ¨ 2 ¨ κ ¨ μt ¨ 2 © κ

μt § · ¨ ¸ 4 κ · ¨ 1+ e κ ¸ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ μt ¸ ¸ ¨ ¸ κ − 4 ¸ ¨ 1+ e κ ¸ ¸=¨ ¸ ¸ ¨ μt ¸ ¸ ¨ ¸ 2κ 2 ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ μt ¹ − ¨ ¸ 4 κ © ¹

(

)

(

)

4

Die Lösungsfunktionen lauten schließlich:

μ t § eκ ξ

· κ2 e−κ ξ + + 1 − ξ ) − 1¸ ξ ¨ ( ¸ 2 κ 4 ¨© 1 + eκ 1 + e−κ ¹

ϑ=

ϑ =

μ t § eκ ξ

· κ e−κ ξ − + (1 − 2 ξ ) ¸ → ¨ κ −κ 3 ¨ ¸ 2 κ © 1+ e 1+ e ¹

→ M tr =

· G I T  mtL l § eκ ξ e−κ ξ κ − + (1 − 2 ξ ) ¸ ϑ= ¨ ¸ l κ ¨© 1 + eκ 1 + e−κ 2 ¹

μ t § eκ ξ

ϑ =

κ

ϑ =

2

μt κ

· E Iω  mtL l 2 e−κ ξ + − 1¸ → M ω = ϑ= ¨ κ κ − ¨ 1+ e ¸ κ2 1+ e l2 © ¹

§ eκ ξ e−κ ξ − ¨ κ ¨ 1+ e 1 + e−κ ©

· ¸ ¸ ¹

→ Vω =

§ eκ ξ · e−κ ξ + − 1¸ ¨ κ κ − ¨ 1+ e ¸ 1+ e © ¹

E Iω  m l § eκ ξ e−κ ξ ϑ = − tL ¨ − 3 κ κ ¨© 1 + e l 1 + e−κ

· ¸ ¸ ¹

Für das zugrundeliegende statische System sind die Beziehungen allgemeingültig, können also auch für andere Parameter Anwendung finden. Im konkreten Fall gilt: M tr =

( − 2, 000 ) ⋅ 5, 0 2,198

§ e2,198ξ · e−2,198ξ 2,198 ⋅¨ − + 1 − 2ξ ) ¸ ( − 2,198 2,198 ¨ 1+ e ¸ 2 1+ e © ¹

(

= −4,550 ⋅ 0, 099963 ⋅ e2,198ξ − 0,900037 ⋅ e−2,198ξ + 1, 099 ⋅ (1 − 2 ξ )

Vω =

( −2, 000 ) ⋅ 5, 0 2,198

(

§ e2,198ξ e−2,198ξ · ⋅¨ − ¸ ¨ 1 + e2,198 1 + e−2,198 ¸ © ¹

= −4,550 ⋅ 0, 099963 ⋅ e2,198ξ − 0,900037 ⋅ e−2,198ξ

)

)

86

Statik und Festigkeitslehre

4

Bild 5–3

Zustandslinien der Torsionsmomente

In Bild 5–3 ist zum Vergleich das Gesamttorsionsmoment Mt eingetragen. Wölbbimoment: Mω =

( −2, 000 ) ⋅ 5, 02 2,198

2

§ e2,198ξ · e−2,198ξ ⋅¨ + − 1¸ 2,198 2,198 − ¨ 1+ e ¸ 1+ e © ¹

(

)

= −10,353 ⋅ 0, 099963 ⋅ e2,198ξ + 0,900037 ⋅ e−2,198ξ − 1

Bild 5–4

Zustandlinie des Wölbbimoments

In Bild 5–4 ist zum Vergleich das „Wölbbimoment“ Mω0 eingetragen, das ohne St. Venanttorsion entstehen würde:

( − 2, 000 ) ⋅ 5, 0 ⋅ ξ 1 − ξ = 25, 00 ⋅ ξ 1 − ξ . m l2 M ω 0 = − tL ξ (1 − ξ ) = − ( ) ( ) 2 2 2

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt

87

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt 6.1 Urberechnung der Querschnittswerte

4

Bild 6–1

Profilkomposition

An den Obergut des IPE 500 (1) ist über die gesamte Länge ein ungleichschenkliges Winkelprofil L 200 × 100 × 12 (2) unter 30° geneigt angeschweißt. Der Gesamtquerschnitt wird räumlich beansprucht, so dass auch Wölbkrafttorsion auftritt. Es darf unterstellt werden, dass sie die St. Venant-Torsion signifikant überwiegt. Die Profildaten werden den Tafeln für Walzprofile entnommen. Das Winkelprofil besitzt einen praktisch wölbfreien Querschnitt mit dem Schubmittelpunkt im Schenkelschnittpunkt. Die Rechnung gestaltet sich bei Anwendung der Matrizentechnik vergleichsweise einfach. (1) IPE 500: h1 = 50 cm b1 = 20 cm

A1 = 116 cm 2 Ayy1 = I z1 = 2140 cm4 Azz1 = I y1 = 48200 cm 4 Aωω1 = Iω1 = 1249000 cm6

(2) L 200 ×100 ×12 h2 = 20 cm A2 = 34,8 cm 2 b2 = 10 cm Ayy 2 = I z 2 = 247 cm 4 s2 = 1, 2 cm Azz 2 = I y 2 = 1440 cm 4 ey 2 = 7, 03 cm Ayz 2 = I yz 2 = 338 cm 4 ez 2 = 2,10 cm

88

Statik und Festigkeitslehre

Das führt zu den Ausgangsmatrizen: 0 0 0 § 116 · ¨ ¸ 0 2140 0 0 ¨ ¸ A1 = ¨ ¸ 0 0 48200 0 ¨ ¸ 3 ¨ 0 0 1249 ⋅10 ¸¹ © 0

0 0· § 34,8 0 ¨ ¸ 0 247 338 0 ¸ A2 = ¨ ¨ 0 338 1440 0 ¸ ¨ ¸ 0 0 0¹ © 0

In den in Bild 3–15 gekennzeichneten Punkten sollen die Normalspannungen infolge der Lastfälle aus dem Beanspruchungszustand nach 5 ermittelt werden. Die Profiltafeln enthalten zwar – jedenfalls für die meisten Profile – die Werte für das Wölbflächenmoment 2. Grades, in keinem Fall aber die Wölbordinaten. Sie lassen sich bei dünnwandigen Querschnitten jedoch mit guter Genauigkeit ermitteln (BZ 31, Abschnitt 6, 4.8.4).

4

z. B. für IPE 500, Punkt 2:

ω 2 = 25 ⋅10 = 250 cm 2 bzw. ω 2 = ω m + ym z2 − y2 zm = 0 + 0 ⋅ 25 − 10 ⋅ ( −25 ) = 250 cm 2 Bild 6–2

Wölbordinaten

Im L-Profil sind alle Wölbordinaten 0. Die Einheitsverschiebungstupel der Punkte lauten 1 1 1 · § 1 ¨ ¸ − − 10 10 10 10 ¸ af 1 = ¨ ¨ −25 −25 25 25 ¸ ¨ ¸ © −250 250 −250 250 ¹ 1 1 · § 1 ¨ ¸ − − + 2,10 2,10 7,90 ¸ af 2 = ¨ ¨ −12,97 +7, 03 +7, 03 ¸ ¨ ¸ 0 0 ¹ © 0

§ 1 · ¨ ¸ −1,50 ¸ aD 2 = ¨ ¨ + 6, 43 ¸ ¨ ¸ © 0 ¹

Voraussetzung für die Bildung der Gesamtquerschnittswerte ist, dass alle beteiligten Querschnittselemente auf dasselbe Bezugssystem (Achsrichtungen, Drehpunkt und Horizonte der Einheitsverschiebungen und -verwölbung) eingestellt sind. Als gemeinsames Bezugssystem wird das originäre Bezugssystem des IPE 500 verw endet. Dessen Querschnittswerte (1) müssen daher nicht transformiert werden.

89

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt

Für den Winkel sind dagegen folgende Transformationen durchzuführen: (1) Koordinatensystem um – 150° drehen, (2) Drehpunkt M2 nach D verschieben, (3) Horizonte der Verschiebungs- und Verwölbungsordinaten auf die des IPE zurückführen. In bezug auf die Einheitsverschiebungen y und z ist der letzte Schritt (3) gleichbedeutend mit der Versetzung des Koordinatensystems von S2 nach O. Bei der gewählten Formulierung handelt es sich um eine Verallgemeinerung, die auch die Einheitsverwölbung ω einbezieht (s. Bild 6–1). Schritt (1):

ϕ 2 = −150°

4

0 §1 ¨ 0 cos ϕ 2 Φ2 = ¨ ¨ 0 − sin ϕ 2 ¨ 0 ©0

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1¹

0 sin ϕ 2 cos ϕ 2 0

Φ

A 2 = Φ2 ⋅ A 2 ⋅ Φ2T

Φ

a D 2 = Φ2 ⋅ a M 2

Φ

af 2 = Φ2 ⋅ af 2

Schritt (2):

( 2) y ( 2) z

D1

2Φ 2Φ 1 = ( ) y1 − ( ) yM 2 − ( ) y1 = 8,304 − (−1,196) − (−10) = 20, 220 cm

D1

2Φ 2Φ 1 = ( ) z1 − ( ) zM 2 − ( ) z1 = 10,182 − (−6,319) − (−25) = 41,501cm

§1 ¨ ¨0 Θ2 = ¨ 0 ¨ ¨0 ©

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ ( 2) z ( 2) y ¸ D1 − D1 1 ¹ 0 1 0

0 0 1

Θ

A 2 = Θ 2 ⋅ Φ A 2 ⋅ Θ T2

Θ

af 2 = Θ 2 ⋅ Φ af 2

Schritt (3):

( 2 ) y = ( 2 )Θ y − (1) y = 8,304 − (−10) = 18,304 cm O 1 1 ( 2 ) z = ( 2 )Θ z − (1) z = 10,182 − (−25) = 35,182 cm O 1 1 ( 2 )ω = ( 2 )Θω − (1)ω = 138, 726 − (−250) = 388, 726 cm2 O

§ 1 ¨ 2 ¨ − ( ) yO Λ2 = ¨ 2 ¨ − ( ) zO ¨ ¨ − ( 2 )ω O ©

1

1

0 0 0· ¸ 1 0 0¸ ¸ 0 1 0¸ ¸ 0 0 1 ¸¹

A 2 = Λ 2 ⋅ Θ A 2 ⋅ ΛT2

O O

af 2 = Λ 2 ⋅ Θ af 2

Die Elemente der Zwischenergebnisse der Querschnittswertematrizen wurden im bisherigen Rechengang nicht benötigt. Der Rechenaufwand hätte deshalb durch Zusammenfassen der Transformationen verringert werden können: T2 = Λ 2 ⋅ Θ 2 ⋅ Θ 2

→

O

A 2 = T2 ⋅ A 2 ⋅ T2T .

90

Statik und Festigkeitslehre

34,8 § ¨ − 637, 0 O A2 = ¨ ¨ −1224,3 ¨ © −13527, 7

− 637, 0 12496,8 23095, 6 268519, 7

−1224,3 23095, 6 43924, 4 487220,1

− 13527, 7 · ¸ 268519, 7 ¸ . 487220,1 ¸ ¸ 5898322,1 ¹

Nun beziehen sich alle Daten des Winkelprofils in der angestrebten Position auf das gemeinsame Bezugssystem, die Querschnittswerte können überlagert und die Eckpunktordinaten zu einer Matrix zusammengefasst werden, wobei der in beiden Matrizen vertretene Punkt 1 einmal gestrichen werden kann:

4 A = A1 + OA 2

150,8 § ¨ − 637, 0 = ¨ ¨ −1224,3 ¨ © −13527, 7

− 637, 0 1436,8 23095, 6 268519, 7

−1224,3 23095, 6 92124, 4 487220,1

−13527, 7 · ¸ 268519, 7 ¸ 487220,1 ¸ ¸ 7147322,1 ¹

1 1 1 1 1 1· § ¨ ¸ − − − − 10 10 10 10 20 28, 66 ¸ af = ¨ ¨ −25 −25 −42,321 −37,321 ¸ 25 25 ¨ ¸ © −250 250 −250 250 −314, 795 −775,301 ¹ Für die Spannungsberechnung ist eine weitere Entwicklung des Ergebnisses nicht erforderlich, im Interesse der Fehlervermeidung eigentlich sogar unerwünscht. Zur Veranschaulichung werden aber alle Normierungen durchgeführt und für jede auch die Spannungen berechnet; die Ergebnisse müssen selbstverständlich in allen Fällen dieselben sein.

6.2 Biegeruhepunkt- (Schwerpunkt-)Transformation § 1 ¨ 4, 224 → ΛS = ¨ zS = −1224,3 150,8 = −8,119 cm ¨ 8,119 ωS = −13527, 7 150,8 = −89, 706 cm ¨ © 89, 706

yS = −637, 0 150,8 = −4, 224 cm

§150,8 ¨ 0 S A = Λ S ⋅ A ⋅ ΛTS = ¨ ¨ 0 ¨ 0 ©

S

af = Λ S ⋅ a f

1 § ¨ − 5, 78 =¨ ¨ −16,88 ¨ © −160, 29

0 11946,3 17924, 0 211379,9 1 14, 22 −16,88 339, 71

0 17924, 0 82183,9 377388,9 1 14, 22 33,12 −160, 29

0 1 0 0

0 0 1 0

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1¹

0· ¸ 211379,9 ¸ [cm ] 377388,9 ¸ ¸ 5933810, 4 ¹ 1 −5, 78 33,12 379, 71

1 −15, 78 −34, 20 −225, 09

1· ¸ −24, 44 ¸ [cm] −29, 20 ¸ ¸ −685, 60 ¹

91

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt

6.3 Hauptachsen-Transformation 0 0 §1 ¨ § · 1 2 ⋅17924 ¨ 0 cos ( −13,519° ) sin ( −13,519° ) ϕ H = arctan ¨ ¸ = −13,519° → ΦH = ¨ 0 − sin ( −13,519° ) cos ( −13,519° ) 2 © 11946,3 − 82183,9 ¹ ¨ 0 0 ©0 § 150,8 ¨ 0 H A = ΦH ⋅ SA ⋅ ΦHT = ¨ ¨ 0 ¨ 0 ©

0 7636, 7 0 117298,1

1 § ¨ −1, 67 H a f = ΦH ⋅ S a f = ¨ ¨ −17, 76 ¨ © −160, 29

1 17, 78 −13, 09 339, 71

0 0 86493, 6 416347,3 1 6, 09 35,53 −160, 29

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1¹

0· ¸ 117298,1 ¸ [cm ] 416347,3 ¸ ¸ 5933810, 4 ¹ 1 −13,36 30,85 339, 71

1 −7,34 −36,94 −225, 09

4

1· ¸ −16,93 ¸ [cm] −34,10 ¸ ¸ −685, 60 ¹

6.4 Drillruhepunkts- (Schubmittelpunkts-) Transformation Ausgehend vom S-System:

sz M

SM

11946,3 ⋅ 377388,9 − 17924 ⋅ 211379,9

0 0 §1 ¨ 0 1 0 11946,3 ⋅ 82183,9 − 17924 → ΘSM = ¨ ¨0 17924 ⋅ 377388,9 − 82183,9 ⋅ 211379,9 0 1 =− = −16, 06 cm ¨ 11946,3 ⋅ 82183,9 − 179242 © 0 −16, 06 −1, 089

sy M =

A = ΘSM ⋅ SA ⋅ ΘSTM

2

= 1, 098 cm

0 0 0 § 150,8 · ¨ ¸ 0 11946,3 17924, 0 0 ¸ [ cm ] =¨ ¨ 0 ¸ 17924, 0 82183,9 0 ¨ ¸ 0 0 2127987, 7 ¹ © 0

1 1 1 1 1 · § 1 ¨ ¸ −5, 78 14, 22 −5, 78 −15, 78 −24, 44 ¸ 14, 22 SM a f = ΘS M ⋅ S a f = ¨ [cm] ¨ −16,88 −16,88 33,12 33,12 −34, 20 −29, 20 ¸ ¨ ¸ © −49,14 129, 67 −424,81 396,39 65,53 −261,34 ¹

0· ¸ 0¸ [cm ] 0¸ ¸ 1¹

92

Statik und Festigkeitslehre

Ausgehend vom H-System:

4

Hy

M

Hz

M

HM A

HM

0 0 §1 416347,3 = 4,814 cm ¨ 0 1 0 86493, 6 → ΘH M = ¨ ¨0 117298,1 0 1 = = −15,36 cm ¨ 7636, 7 0 15,36 4,814 − − © =

= Θ HM ⋅ HA ⋅ Θ TM

0 0 0 § 150,8 · ¨ ¸ 0 7636, 7 0 0 ¸ [ cm ] =¨ ¨ 0 ¸ 0 86493, 6 0 ¨ ¸ 0 0 2127987, 7 ¹ © 0 1 § ¨ −1, 67 =¨ ¨ −17, 76 ¨ © −49,14

af = Θ H M ⋅ H af

0· ¸ 0¸ [cm] 0¸ ¸ 1¹

1 17, 78 −13, 09 129, 76

1 6, 09 35,53 −424,81

1 −13,36 30,85 396,39

1 −7,34 −36,94 65,53

1· ¸ −16,93 ¸ [cm] −34,10 ¸ ¸ −261,34 ¹

6.5 Normalspannungsermittlung Die Normalspannungen werden für alle Eckpunkte und drei ursprünglich auf das O-System bezogene Schnittgrößensätze nach 5.1 (im Gebrauchzustand) ermittelt. Die Größtwerte von Biegemoment und Wölbbimoment treten in Feldmitte auf: max M y =

q l 2 35 ⋅ 5, 02 = = 109,375 kNm 8 8

(

)

max M ω = −10,353 ⋅ 1 − 0, 099963 e2,198 ⋅ 0,5 − 0,900037 e−2,198 ⋅ 0,5 = 4,142 kNm 2

Obwohl es sich bei den beiden Schnittgrößen um die Auswirkung ein und desselben Lastfalls handelt, werden sie bei der Spannungsberechnung wie getrennte Lastfälle behandelt, um die aus ihnen herrührenden Normalspannungen getrennt ausweisen und vergleichen zu können: Als „Lastfall 1“ wird das Biegemoment, als „Lastfall 2“ das Wölbbimoment und als Lastfall 3 beide zusammen ausgewiesen. Die Spannungen erscheinen in der dreispaltigen, sechszeiligen Matrix für die drei „Lastfälle“ und sechs Nachweispunkte. Die Schnittgrößen im ursprünglichen Bezugssystem (O-System) bilden die Matrix: § N1 ¨ − M z1 Sσ = ¨¨ M y1 ¨ ¨ −M ω1 ©

"

Nn · § 0 0 0 · ¸ ¨ ¸ " − M zn ¸ 0 0 0 ¨ ¸ [ kN, cm ] , = " M yn ¸ ¨ 10937,5 0 10937,5 ¸ ¸ ¨ ¸ −41421,5 −41421,5 ¹ " − M ω n ¹¸ © 0

93

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt

Die Nachweispunkt- und Querschnittswertematrizen findet man unter 6.1: §1 ¨ ¨1 ¨1 aTf = ¨ ¨1 ¨1 ¨¨ ©1

−10

−25

10 10

−25 25

−10

25

−20 −28, 66

−42,32 −37,32

§ 150,8 ¨ −637, 0 A =¨ ¨ −1224,3 ¨ © −13527, 7

−637, 0

−250 · ¸ 250 ¸ −250 ¸ ¸ [ cm ] und 250 ¸ −314,80 ¸ ¸ −775,30 ¸¹ −1224,3

14636,8 23095, 6 23095, 6 92124, 4 268519, 7 487220,1

−13527, 7 · ¸ 268519, 7 ¸ [cm] . 487220,1 ¸ ¸ 7147322,1¹

Die Spannung berechnet man mit σ = afT ⋅ A −1 ⋅ Sσ in einem „Arbeitsgang“ für alle Lastfälle und Nachweispunkte. Die Formel stellt nichts anderes dar als die Verallgemeinerung z. B. der geläufigen Spannungsformel für Biegung:

σ=

z ⋅My Iy

= z ⋅ I y−1 ⋅ M y , die im Aufbau mit jener völlig identisch ist

( z  aTf , I y−1  A −1 , M y  Sσ ). § −1,350 ¨ ¨ −8, 287 ¨ 4, 709 Die Rechnung ergibt σ = afT ⋅ A −1 ⋅ Sσ = ¨ ¨ 6, 046 ¨ −2, 450 ¨¨ © 2,940

0,957 −2,524 8, 269 −7, 716 1, 276 5, 087

− 0,393 · ¸ −10,811 ¸ 12,997 ¸ kN . ¸ −1, 669 ¸ cm 2 −3, 726 ¸ ¸ 8, 027 ¸¹

Die erste Spalte enthält den Einfluss der Biegung in den 6 Eckpunkten, die zweite den der Wölbkrafttorsion und die dritte das Gesamtergebnis. Man entnimmt dem Ergebnis, dass die Wölbkrafttorsion einen beachtlichen Beitrag zu den Spannungen liefert und daher im allg. nicht vernachlässigt werden darf! Die Spannungen sind auf der Basis der ursprünglichen Querschnittswerte im O-Bezugssystem berechnet worden. Die Umrechnung auf das S-System, H-System, S-M-System oder H-M-System ist für diesen Zweck überflüssig!Wollte man es dennoch tun, müssten auch die Schnittgrößen mit den unter 6.2 bis 6.4 ermittelten Matrizen transformiert werden: 0 0 § 0 · ¨ ¸ 0 0 0 ¸ [ kN, cm ] , S-System: S Sσ = Λ S ⋅ Sσ = ¨ ¨ 10937,5 0 10937,5 ¸ ¨ ¸ −41421,5 −41421,5 ¹ © 0

4

94

Statik und Festigkeitslehre

0 § ¨ −2556,9 H-System H Sσ = ΦH ⋅ S Sσ = ¨ ¨ 10634, 4 ¨ 0 ©

4

0 0 0 −41421,5

0 § ¨ 0 S-M-System: S , M Sσ = ΘS M ⋅ S Sσ = ¨ ¨ 10937,5 ¨ © −11916, 0 0 § ¨ −2556,9 H-M-System: H , M Sσ = Θ H M ⋅ H Sσ = ¨ ¨ 10634, 4 ¨ © −11916, 0 Für die Spannungen gilt:

afT A −1 Sσ ∧ S afT S A −1 S Sσ σ=

∧ H afT H A −1 H Sσ ∧ S , M afT S , M A −1 S , M Sσ ∧ H , M afT H , M A −1 H , M Sσ

§ −1,350 ¨ ¨ −8, 287 ¨ 4, 709 =¨ ¨ 6, 046 ¨ −2, 450 ¨¨ © 2,940

0· ¸ −2556,9 ¸ [ kN, cm] , 10634, 4 ¸ ¸ −41421,5 ¹ 0· ¸ 0¸ [ kN, cm] , 10937,5 ¸ ¸ −53337,5 ¹

0 0 0 −41421,5 0 0 0 −41421,5 0,957 −2,524 8, 269 −7, 716 1, 276 5, 087

0· ¸ −2556,9 ¸ [ kN, cm] . 10634, 4 ¸ ¸ −53337,5 ¹

0,393 · ¸ −10,811 ¸ 12,977 ¸ kN . ¸ −1, 669 ¸ cm 2 −3, 726 ¸ ¸ 8, 027 ¸¹

6.6 Schubspannungsermittlung Die Schubspannungen werden am Auflager A exemplarisch in 3 Schnitten ermittelt: 1 in der Schweißnaht zwischen den beiden Profilen, 2 in Stegmitte des IPE 500, 3 am Ausrundungsbeginn des Gurtes des IPE 500. Sie werden hervorgerufen durch die „Querkräfte“ (einschl. des Wölbtorsionsmoments Vω) und das St. Venantsche Torsionsmoment Mtr. Wie bei den Normalspannungen werden die Beiträge der Querkraft Vz und des Wölbtorsionsmoments Vω getrennt ausgewiesen. Der Nachweis wird mittels der nichtnormierten „Urquerschnittswerte“ (O-System) und zugehörigen Schnittgrößen geführt.

Bild 6–3

Schubspannung

M tr , IT

St. Venant-Torsionsschubspannung:

τ s = ± ts

„Querkraft“-Schubspannung:

τ V = t −1 AτT A −1 Sτ .

95

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt

In den Beziehungen bedeuten: Schubspannung im Schnitt s bzw. Tupel für mehrere Schnitte,

Us, τ "

§ 0 ¨ Vy LF1 M tr LF1 ! M tr LF n , Sτ = ¨¨ V ¨ z LF1 ¨V © ω LF1

· ¸ " Vy LF n ¸ " Vz LF n ¸ ¸ " Vω LF n ¸¹ 0

Torsionsflächenmoment 2. Grades und Querschnittswertematrix, (s. 5.3 und 6.1) Schnittlängen bzw. Diagonalmatrix der Schnittlängen mehrerer Schnitte,

IT , A ts , t § Aτ 1 ¨ Ayτ 1 Aτ = ¨¨ A ¨ zτ 1 ¨A © ωτ 1

„Querkräfte“:

die Schnittgrößen für n Lastfälle (s. 5.3),

"

Aτ m · ¸ " Ayτ m ¸ " Azτ m ¸ ¸ " Aωτ m ¸¹

§ 0 ¨ 0 Sτ A = ¨ ¨ 87,5 ¨ © 0

Tupel der Flächenmomente 1. Grades für m Schnitte.

0 0 0 −364,1

Schnittlängen:

0 · § 0,8 0 ¨ ¸ t = ¨ 0 1, 02 0 ¸ cm ¨ 0 0 1, 6 ¸¹ ©

St. Venanttorsion:

M tr A = −135,9 kNcm .

0· ¸ 0¸ [ kN, cm] ; 87,5 ¸ ¸ −364,1 ¹

Aus St. Venanttorsion ergibt sich an den Profilrändern mit It = 106,58 cm 4 : § 1· § −1, 202 · ¨ ¸ ( −135,9 ) ¨ ¸ kN τ tr = ± t ⋅ ¨1¸ ⋅ . = B ¨ −1,30 ¸ 2 ¨1¸ 106,58 ¨ −2, 04 ¸ cm © ¹ © ¹

§ 1· ¨ ¸ ( ¨1¸ transformiert t zum Tupel ) ¨ 1¸ © ¹

Für die aus Querkraft und Torsion herrührenden Schubspannungen müssen die den Schnitten zugeordneten Flächenmomente 1. Grades ermittelt werden. Da der Schnitt den Querschnitt in zwei Teile zerlegt, können die Flächenmomente wahlweise am einen oder anderen berechnet werden. Die Ergebnisse unterscheiden sich im Vorzeichen, weil die Spannung stets vom Schnitt weg in den zugrundegelegten Querschnittsteil orientiert ist. Sind die Querschnittswerte auf die Schwerachsen bezogen, dann sind auch die Flächenmomente betragsmäßig gleich. Werden sie auf ein anderes Achsensystem bezogen – wie hier –, ergeben sie sich mit unterschiedlichen Be-

4

96

Statik und Festigkeitslehre

trägen. Dennoch erhält man aber betragsmäßig gleiche Ergebnisse. Dies wird am Beispiel von Schnitt 1 gezeigt. Schnitt 1 zerlegt den Querschnitt in die ursprünglichen Bestandteile, das IPE- und das L-Profil. Deren Flächenmomente sind bereits in den ersten Spalten der Matrizen OA2 (a) bzw. A1 (b) enthalten, die alternativ verwendet werden können. Für Schnitt 2 entnimmt man den Wert der Profiltafel (Spalte Sy: 1100 cm3) und für Schnitt 3 muss das Flächenmoment berechnet werden. Schnitt 1:

4

34,8 · § § 116, 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ −637, 0 ¸ 0 ¸ ¨ A L 200 × 100 × 12 : Aτ 1(a) = ¨ cm ; IPE 500 : = [ ] [cm ] τ 1(b) ¨ ¨ −1224,3 ¸ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © −13527, 7 ¹ © 0 ¹ Schnitt 2: 116, 0 Aτ 2 = = 58, 0 cm 2 Aτ y 2 = 0; Aτ z 2 = S y = 1100 cm3 ; 2 § 58, 0 · ¨ ¸ 0¸ Aτω = 0 → Aτ 2 = ¨ [cm ] ¨ 1100 ¸ ¨ ¸ 0¹ © Schnitt 3:

tτ 3 = 1, 6 cm; sτ 3 =

b−s 20 − 1, 02 −r = − 2,1 = 7,39 cm; 2 2

Aτ 3 = tτ 3 sτ 3 = 11,824 cm 2 ; yτ 3 =

b − s3 20 − 7,39 = = 6,305 cm; 2 2

zτ 3 =

h − t3 50 − 1, 6 = = 24, 20 cm; 2 2

ωτ 3 = − zτ 3 yτ 3 = 24, 20 ⋅ 6,305 = −152,581 cm 2 ; 11,824 · § 11,8 · § Aτ 3 · § ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ 11,824 6,305 ⋅ A y 74,5 ¸=¨ ¸ [ cm ] Aτ 3 = ¨ τ 3 τ 3 ¸ = ¨ ¨ Aτ 3 zτ 3 ¸ ¨ 11,824 ⋅ 24, 20 ¸ ¨ 286,1 ¸ ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨ © Aτ 3 ωτ 3 ¹ © 11,824 ⋅ ( −152,581) ¹ © −1804,1 ¹

Die drei Tupel werden zusammengefasst: 34,8 § ¨ −637, 0 Aτ (a) = ¨ ¨ −1224,3 ¨ © −13527, 7

58 0 1100 0

11,8 · ¸ 74,5 ¸ [cm ] 286,1 ¸ ¸ −1804,1 ¹

6 Aus Walzprofilen zusammengesetzter Querschnitt

§ 116 ¨ 0 Aτ (b) = ¨ ¨ 0 ¨ © 0

IJ V(a) = t

−1

58 0 1100 0

T

Aτ (a) A

−1

97

11,8 · ¸ 74,5 ¸ [cm] . 286,1 ¸ ¸ −1804,1 ¹ § −0,324 0,323 −0, 001· ¨ ¸ kN Sτ = ¨ 1,886 0, 074 1,961 ¸ 2 ¨ 0, 282 0,338 0, 619 ¸ cm © ¹

§ 0,324 − 0,323 0, 001· ¨ ¸ kN IJ V(b) = t −1 AτT(b) A −1 Sτ = ¨ 1,886 0, 074 1,961 ¸ . 2 ¨ 0, 282 0,338 0, 619 ¸ cm © ¹

(Die Ergebnisse unterscheiden sich nur im Vorzeichen von Schnitt 1 (Zeile 1)). Die Werte der Spalte 3 (Gesamtergebnis) sind mit τtr zu überlagern, um das endgültige Ergebnis zu erzielen. § 0, 001 · § −1, 020 · § 1, 021/ − 1, 019 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ kN τ = ¨ 1,961 ¸ B ¨ −1,301 ¸ = ¨ 3, 262 / 0, 660 ¸ 2 ¨ 0, 619 ¸ ¨ −2, 041¸ ¨ 2, 660 / − 1, 421¸ cm © ¹ © ¹ © ¹

4

Stahlbetonbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Krings Die Hinweise beziehen sich auf Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 32. Auflage, Kapitel 8 „Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN 1045-1“:

Inhalt Stahlbetonbau ................................................................................................................................ 99 1 Formelsammlung ................................................................................................................... 101 2 Gebäudeaussteifung ............................................................................................................... 105 3 Berechnung eines Vierfeldträgers.......................................................................................... 107 4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung.................................................. 115 5 Mittig gedrückte Stütze.......................................................................................................... 120 6 Einzelfundament .................................................................................................................... 125

1 Formelsammlung Hier eine Zusammenstellung für Normalbeton bis C50/60 und für häufig vorkommende Aufgaben. Auswahl der Expositionsklasse(n) Festlegung der Betondeckung

Festlegung der Betonfestigkeitsklasse

f ck = 30

MN m

2

mit Tafel 6-2 in BZ: z.B. C X3, X F1, X M2 … cnom = cmin + Δc mit cmin ≥ Stabdurchmesser ∅ Mit Tafel 6-3 oder 6-4 in BZ; eventuell zusätzliche Anforderungen aus Brandschutzgründen beachten. in Abhängigkeit von der Expositionsklasse; z.B. C30/37 mit der charakteristischen Festigkeit

f 30 MN und dem Bemessungswert fcd = α ⋅ ck = 0,85 ⋅ = 17 1,5 γc m2

Der Betonstahl BSt 500 hat die charakteristischen Festigkeit f yk = 500

f yk 500 MN MN kN = = 435 2 = 43,5 2 und den Bemessungswert f yd = 2 γ s 1,15 m m cm

Statische Höhe d = h − cnom − ∅ Bügel − 0,5 ⋅∅ Längsbewehrung (Hier einlagige Balkenbewehrung!) Stützweite

leff =

alinks a + ln + rechts i i

(Mittenauflager i = 2; Endauflager i = 2 bis 3)

Mit der lichten Weite ln und den Auflagerbreite a . Plattenbalken wirksame Stützweite l0 = δ ⋅ leff (Stützung δ = 0,15; Mittelfeld δ = 0, 70; Endfeld δ = 0,85; Kragarm δ = 1,50)

mitwirkende Breite beff = beff, 1 + beff, 2 + bw mit beff, i = 0, 2 ⋅ bi + 0,1 ⋅ l0 ≤ 0, 2 ⋅ l0 bzw. bi Belastung bei einer ständigen Einwirkung g k und einer veränderlichen Einwirkung qk Bemessungswerte gd = γ G ⋅ g k = 1,35 ⋅ g k qd = γ Q ⋅ qk = 1,50 ⋅ qk Begrenzung der Verformung (Tafel 6-10 in BZ) mit der Ersatzstützweite: li = α ⋅ leff

→

{

li 35 < 150 / li d

(Trennwände)

102

Stahlbetonbau

Momentenumlagerungsfaktor δҏ (Tafel 5-2 in BZ) mit der Druckzonenhöhe xd nach der Umlagerung ≥ 0, 70 Stahl A; hochduktil, z.B. spezieller Stabstahl

δ ≥ 0, 64 + 0,80 ⋅

xd ≥ 0,85 Stahl B; normalduktil, z.B. Lagermatten d

≤ 1,00 Abminderung der Stützmomente bei frei drehbarer Lagerung (Ausrundung der Momentenspitzen) M reduziert = M Stütze − CEd ⋅ a / 8

5

Biegebemessung M Eds = M Ed − N Ed ⋅ zs1 Näherung für N Ed = 0 ; z ≈ 0,9 ⋅ d ≈ 0,8 ⋅ h ; σ s = 43,5

kN

cm 2 Bemessungstafel BT1 (Hier Formeln ohne Druckbewehrung) d [cm]

kd - Verfahren mit kd =

As1, erf [cm 2 ] = ks1 ⋅

M Eds [kNm] b[m]

→

As, erf [cm 2 ] ≈

M Ed [kNm] 35 ⋅ h [m]

→ Ablesung → ks1

M Eds [kNm] N Ed [kN] + d [cm] σ sd [kN/cm 2 ]

Bemessungstafeln BT2 bis BT3f (Hier Formeln ohne Druckbewehrung)

μ - Verfahren mit μ Eds =

As1, erf =

ω1 f yd /fcd

⋅b⋅d +

M Eds b ⋅ d 2 ⋅ f cd

Ablesung → ω1

N Ed

σ sd

Mindestbewehrung zur Sicherstellung des duktilen Verhaltens (7-6) in BZ As, min =

f ctm Wc, Zustand I ⋅ f yk zZustand II

beim Rechteckquerschnitt As, min ≈ 0, 21 ⋅

Begrenzung der Rissbreiten ohne direkte Berechnung (6-59) in BZ ds = ds* ⋅

σs

fct, eff σ s ⋅ As ≥ d*s ⋅ 4 ⋅ (h − d ) ⋅ b ⋅ f ct, 0 fct, 0

Stahlspannung im Zustand II bei quasi-ständiger Belastung

f ct, 0 = 3, 0N/mm 2

f ctm ⋅b ⋅ h f yk

103

1 Formelsammlung

Querkraftbemessung (ohne Längskraft) VEd bei direkter Auflagerung im Abstand d vom Auflagerrand, sonst am Auflagerrand. aufnehmbare Querkraft ohne Querkraftbewehrung (6-8) in BZ

einwirkende Querkraft

1

VRd, ct [MN] = 0,1 ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ fck [MN/m 2 ]) 3 ⋅ bw [m] ⋅ d [m]

κ = 1+

A 0, 2 ≤ 2, 0 Bewehrungsgrad ρl = sl ≤ 0, 02 bw ⋅ d d [m]

Wahl der Druckstrebenneigung θ (6-9) in BZ z = 0,9 ⋅ d ≤ d − 2 ⋅ cnom, Längsbew. VRd, c [MN] = 0, 24 ⋅ ( fck

0,58 ≤ cot θ ≤ 1−

1 [MN/m 2 ]) 3

1, 2 ≤ 3,00 VRd, c

5 ⋅ bw [m][m] ⋅ z[m]

18, 4° ≤ θ ≤ 60°

VEd

maximale Querkrafttragfähigkeit am Auflagerrand für um α geneigte Bewehrung (6-11) in BZ VRd, max = bw ⋅ z ⋅ 0, 75 ⋅ f cd ⋅

cot θ + cot α 1 + cot 2 θ

erforderliche Querkraftbewehrung (Schubbewehrung) (6-12 in BZ) Asw, erf ª cm 2 º « »= sw ¬ m ¼

VEd [kN]

ª kN º f yd « 2 » ⋅ z[m] ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α ¬ cm ¼

Mindestquerkraftbewehrungsgrad (7-10) und Tafel 7-15 in BZ min

Asw ª cm 2 º « » ≥ ρmin · bw [cm] · sin a · 100 sw ¬ m ¼

Durchstanzbemessung (ohne Längskraft) einwirkende Querkraft VEd (bei Fundamenten reduziert um 50 % der Bodenpressungskraft innerhalb des kritischen Rundschnittes) Mindestplattenmomente (6-36) und Tafel 6-5 in BZ mEd, x = mEd, y = η ⋅ VEd Mittelwerte für die statische Höhe und für den Bewehrungsgrad d = (d x + d y )/2

­ < 0, 4 ⋅ fcd /f yd < 0, 02 ¯

ρl = ρ x ⋅ ρ y ®

Der kritischer Rundschnitt mit dem Umfang ucrit befindet sich 1,5 ⋅ d außerhalb der Lastfläche Aload .

104

Stahlbetonbau

einwirkende Querkraft (Streckenlast) (6-29) in BZ vEd = β ⋅

VEd u

β = 1, 0 bis 1,5

aufnehmbar ohne Durchstanzbewehrung (6-30) in BZ 1

vRd, ct

5

§ ª MN º · 3 ª MN º «¬ m »¼ = 0,14 ⋅ κ ⋅ ¨ 100 ⋅ ρl ⋅ f ck «¬ m 2 »¼ ¸ ⋅ d [m] mit © ¹

maximal aufnehmbar (6-31) in BZ

vRd, max = 1,5 ⋅ vRd, ct

maximaler Stabdurchmesser

ds ≤ 0, 05 ⋅ d

κ s = 0, 7 + 0,3 ⋅

erf. Durchstanzbewehrung (6-33) in BZ sw ≤ 0, 75 ⋅ d A sw, erf =

κ = 1+

0, 2 ≤ 2, 0 d [m]

d [ m ] − 0, 4 ≥ 0,7 ≤ 1,0 0, 4

(vEd − vRd, ct ) ⋅ u sw ⋅ κ s ⋅ f yd d

κ a = 1−

äußerer Rundschnitt (6-34) lw = Bewehrungsbereich außerhalb Aload

0, 29 ⋅ lw ≥ 0, 71 3,5 ⋅ d

vRd, ct, a = κ a ⋅ vRd, ct ≤ vEd

Bemessung unter Längsdruck (Theorie II. Ordnung), Modellstützenverfahren (Kap. 6.4.5.3) Ersatzstablänge (6-39) in BZ l0 = β ⋅ lcol

λ=

Schlankheit

e0 =

Ausmitte nach Theorie I. Ordnung ungewollte Ausmitte

l0 i

α a1 =

1 100 ⋅ lcol [m]

<

1 200

M Ed N Ed

l ea = α a1 ⋅ 0 2

Ausmitte nach Theorie II. Ordnung K2 =

N ud − N Ed ≤1 N ud − N bal

1 2 ⋅ K 2 ⋅ f yd = r 0,9 ⋅ d ⋅ Es

K1

= λ /10 − 2,5 =1

( 25 ≤ λ ≤ 35) ( λ >35)

l02 1 l2 e2 = K1 ⋅ ⋅ 0 = K1 ⋅ K 2 ⋅ r 10 2070 ⋅ d

totale Ausmitte (ohne Kriechen)

etot = e0 + ea + e2

Bemessung für die Schnittgrößen

N Ed

und M Ed,II = M Ed + | N Ed ⋅ etot |

105

2 Gebäudeaussteifung

2 Gebäudeaussteifung Das Kellergeschoss ist durch Stahlbetonwände im Vergleich zur aufgehenden Konstruktion sehr viel steifer (Ein Nachweis erfolgt hierzu nicht.). Daher wird als Einspannebene die Oberkante der Kellerdecke, das ist ungefähr OK Gelände, angesetzt. Es erfolgt ein Nachweis für die Gebäudequerrichtung. In Längsrichtung ist das Gebäude verschieblich.

5

Bild 5-1

Grundriss und Querschnitt des Gebäudes, Querschnitte einzelner Bauteile Lastzusammenstellung Ständige Last für alle Decken gk = 7,00 kN/m2 Verkehrslast für alle Decken qk = 5,00 kN/m2 Fassade gk = 2,30 kN/m Die Lastermittlung für ein Geschoss (Decke, Unterzüge, Stützen, usw.) ergibt zirka: Ständig Lasten: Gk = 4.100 kN Veränderliche Lasten: Qk = 2.200 kN Nachweis der Seitensteifigkeit (6-38) in BZ 1 hges

Ecm I c ≥ 1/0, 6 FEd

hges = 27, 0 m Ecm = 31.900 MN/m 2

für m = 9

106

Stahlbetonbau

I c = 2 ⋅ 0,30 ⋅ 8,503 /12 = 30, 7 m 4

(ohne 14 Stützenquerschnitte!)

FEd = (4.100 + 2.200) ⋅ 9 = 56700 kN = 56, 7 MN

(Die Dachdecke wird hier näherungsweise wie eine Geschossdecke behandelt!) 1 31.900 ⋅ 30, 7 > 1/0, 6 27, 0 56, 7 4,91 > 1, 67

Der Nachweis ist erfüllt!

Das Tragwerk ist in Querrichtung ausgesteift und die lotrechten aussteifenden Bauteile sind im Gebäudegrundriss symmetrisch angeordnet.

5

Horizontale aussteifende Bauteile, siehe Kap. 5.2 Imperfektion (Stabilisierung): H fd = ( N bc + N ba ) ⋅ α a2

α a2 = 0, 008/ 2k = 0, 008/ 2 ⋅14 = 0, 0015 mit k = 14 (Anzahl der auszusteifenden Tragwerksteile 35/45 im Geschoss) Vertikale Lasten pro Geschoss: Fd = Gk ⋅ γ G + Qk ⋅ γ Q = 4.100 ⋅1,35 + 2.200 ⋅1,50 = 8.835 kN

Ad = Bd = ΣH fd /2 max M d = ΣH fd ⋅ 35, 0/8

Ersatzhorizontallasten (Stabilisierungskräfte) auf die horizontalen aussteifenden Bauteile

Bild 5-2

Beispielhaft soll hier nur die 4. Geschossdecke oberhalb der Kellerdecke – diese befindet sich 4 · 3,00 = 12,00 m über Gelände - betrachtet werden: ΣN bc = 5 ⋅ 8.835 ≈ 44.200 kN oberhalb unterhalb ΣN ba = 6 ⋅ 8.835 ≈ 53.000 kN ΣH fd = (ΣN bc + ΣN ba ) = (44.200 + 53.000) ⋅ 0, 0015 = 145,8 kN max VEd =

145,8 = 72,9 kN 2

max M d = 145,8 ⋅

35, 00 = 637,9 kNm 8

107

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

Zusätzlich sind hier noch die Momente infolge der Windbelastung zu berücksichtigen. Das Windmoment und das obige Moment aus der Imperfektion (der Stützen) sind von der Deckenscheibe aufzunehmen ( b = 0, 22 m und d ≈ 12,50 − 0,15 = 12,35 m ); ebenso ist die Querkraft von der Deckenscheibe auf zu nehmen. Hinweis: Ein vollständig durchgerechnetes Beispiel findet sich in: Heydel, Krings, Herrmann „Stahlbeton im Hochbau nach DIN 1045-1“, Ernst & Sohn, 2003

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

5

Bild 5-3

Umgebungsbedingung:

mäßige Feuchte; Expositionsklasse C X3

Mindestbetonfestigkeitsklasse

C20/25 mit f cd = 0,85 ⋅

Betondeckung

cnom = cmin + Δc = 20 + 15 = 35 mm

Statische Höhe

d = 86, 0 − 3,5 − 1, 2 −

20 MN = 11,33 1,50 m2

2,5 ≈ 80 cm 2

(Schätzung: Bügeldurchmesser ds = 12 mm und einlagige Zugbewehrung mit ds = 25 mm ) Stützweiten: Endfeld:

l = 0,30/3 + 9, 75 + 0,30/2 = 10, 00 m

Innenfeld: l = 0,30/2 + 9, 70 + 0,30/2 = 10, 00 m Mitwirkende Breiten: Endfeld:

beff = beff, 1 + beff, 2 + bw beff, 1 = beff, 2 = 0, 2 ⋅ 3, 70/2 + 0,1 ⋅ 0,85 ⋅10, 00 = 1, 22 m

< 3,70/2 m < 0,2 ⋅10,00 m

108

Stahlbetonbau

beff = 2 ⋅1, 22 + 0,30 = 2, 74 m

Innenfeld: beff, 1 = beff, 2 = 0, 2 ⋅ 3, 70/2 + 0,1 ⋅ 0, 70 ⋅10, 00 = 1, 07 m

< 3,70/2 m < 0,2 ⋅10,00 m

beff = 2 ⋅1, 07 + 0,30 = 2, 44 m

Stützung:

beff, 1 = beff, 2 = 0, 2 ⋅ 3, 70/2 + 0,1 ⋅ 0,30 ⋅10, 00 = 0, 67 m

< 3,70/2 m < 0,2 ⋅10,00 m

beff = 2 ⋅ 0, 67 + 0,30 = 1, 64 m

Charakteristische Werte der Einwirkungen:

5

ständige

Eigengewichte

Platte 0, 20 ⋅ 4, 00 ⋅ 25 = 20 kN/m Balken 0, 66 ⋅ 0,30 ⋅ 25 = 5 kN/m Bodenbelag und Putz ≈ 1,50 ⋅ 4, 00 = 6 kN/m g k = 31 kN/m

veränderliche Verkehrslast für Behandlungsraum

qk = 3,5 ⋅ 4, 00 = 14 kN/m

Bemessungswerte für den Grenzzustand der Tragfähigkeit: ständige veränderliche

gd = γ G ⋅ g k = 1,35 ⋅ 31 = 41,9 kN/m qd = γ Q ⋅ qk = 1,50 ⋅ 14 = 21,0 kN/m

gesamt

gd + qd =

62,9 kN/m

Nachweis der Begrenzung der Verformung: Maßgebend ist das Endfeld mit einseitiger Einspannung und einer Stützweite von leff = 10, 00 m . li = α ⋅ leff = 0,80 ⋅10, 00 = 8, 00 m →

li 800 < 35 = = 10 < 150/li = 18,8 (Trennwände) d 80

Berechnung der Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit:

linear elastische Berechnung (mit der Durchlaufträgertabelle)

min M B = (−0,107 ⋅ 41,9 − 0,121 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −448,3 − 254,1 = −702, 4 kNm MC

= (−0, 071 ⋅ 41,9 − 0, 018 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −297,5 − 37,8 = −335,3 kNm

max B = (1,143 ⋅ 41,9 + 1, 223 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = 478,9 + 256,8 = 735, 7 kN min VBl = (−0, 607 ⋅ 41,9 − 0, 621 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = −254,3 − 130, 4 = −384, 7 kN

109

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

min M C = (−0, 071 ⋅ 41,9 − 0,107 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −297,5 − 224, 7 = −522, 2 kNm M B = (−0,107 ⋅ 41,9 − 0, 036 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = −448,3 − 75, 6 = −523,9 kN max C = (0,929 ⋅ 41,9 + 1,143 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = 389,3 + 240, 0 = 629,3 kN

MB

= (−0,107 ⋅ 41,9 − 0, 054 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −448,3 − 113, 4 = −561, 7 kNm

MC max A

= (−0, 071 ⋅ 41,9 − 0, 036 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −297,5 − 75, 6 = −373,1 kNm = (0,393 ⋅ 41,9 + 0, 446 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = 164, 7 + 93, 7 = 258, 4 kN 258, 42 /(2 ⋅ 62,9)

max M1 =

= 530,8 kNm

max M 2 = (0, 036 ⋅ 41,9 + 0, 081 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = 320,9 kNm

Hinweis:

Mit den hier ermittelten Schnittgrößen der linear elastischen Berechnung kann die Biegebemessung und die Querkraftbemessung erfolgen!Das soll hier aber nicht gezeigt werden. Es besteht noch die Möglichkeit die Stützmomente durch eine Umlagerung zu reduzieren. Dieser Weg wird hier weiter verfolgt.

Umlagerung der Stützmomente: Stützung B:

kd =

80 702, 4 0,30

= 1, 65 → δ = 1, 00

(siehe Bemessungstafel BT1)

Keine Umlagerung erlaubt! Stützung C:

kd =

80 522, 2 0,30

= 1,92 → δ = 0,877

(siehe Bemessungstafel, BT1)

δ ⋅ min M C = 0,877 ⋅ (−522, 2) = −458 kNm umgelagertes Stützmoment Kontrolle des Umlagerungsfaktors (Nicht unbedingt erforderlich!): kd =

80 458 0,30

= 2, 05 → k x = 0, 295 → δ = 0, 64 + 0,8 ⋅ 0, 295 = 0,876 ≈ 0,877

5

110

Stahlbetonbau

Zugehörige weitere Schnittgrößen zu den umgelagerten Stützmomenten: Da nur das Stützmoment an der Stützung C umgelagert werden konnte, ändern sich für die entsprechenden Lastfälle die maßgebenden Feldmomente zur Bemessung nicht; weil für diese entsprechenden Lastfälle der Betrag des Stützmomentes MC kleiner als das umgelagerte Stützmoment von 458 kNm ist. Es ändert sich nur die maßgebende Auflagerkraft C für das umgelagerte Stützmoment: VCl = 62,9 ⋅10, 00/2 − (523,9 − 458, 0)/10, 00 = 314,5 − 6, 6 = 307,9 kN C = 2 ⋅ VCl = 2 ⋅ 307,9 = 615,8 kN

Abminderung der Stützmomente bei frei drehbarer Lagerung:

5

(umgelagerte Größen) − M B, red = 702, 4 − 735, 7 ⋅ 0,30 / 8 = 674,8 kNm − M C, red = 458, 0 − 615,8 ⋅ 0,30 / 8 = 434,9 kNm

Zusammenstellung der Schnittgrößen für die Bemessung: M Ed, 1 = 530,8 kNm

Feldmomente

M Ed, 2 = 320,9 kNm − M Ed, B = 674,8 kNm

Stützmomente

− M Ed, C = 434,9 kNm Querkraft

max VEd = VBl = 384, 7 kN

Biegebemessung mit Bemessungstafel BT1: Feld 1

kd =

80 530,8 2, 74

= 5, 75 → ks1 = 2, 23 → As1, erf = 2, 23 ⋅

530,8 = 14,8 cm 2 80

Bemessung als Rechteckquerschnitt, weil Druckzonenhöhe kleiner als Plattendicke k x ≈ 0, 06 → x ≈ 0, 06 ⋅ 80 ≈ 5 cm < 20 cm

gewählt 5∅ 20 mit 15, 7 cm 2 > 14,8 cm 2 Feld 2

kd =

80 320,9 2, 44

= 6,98 → ks1 = 2, 22 → As1, erf = 2, 22 ⋅

gewählt 3∅16 und 2∅14 mit 9,11 cm 2 > 8,90 cm 2 Stütze B kd =

80 674,8 0,30

= 1, 69 → ks1 = 2,80

ks2 = 0, 06

320,9 = 8,9 cm 2 80

111

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

As1, erf = 2,80 ⋅

674,8 = 23, 6 cm 2 80

As2, erf <<

gewählt 5∅ 25 mit 24,5 cm 2 > 23, 6 cm 2 Die hier erforderliche, unten liegende, geringe Druckbewehrung wird durch die vorhandene konstruktive Bewehrung gebildet! Stütze C kd =

80 434,9 0,30

= 2,10 → ks1 = 2,56 → As1, erf = 2,56 ⋅

434,9 = 13,9 cm 2 80

gewählt 3∅ 20 und 3∅14 mit 14,04 cm 2 > 13,9 cm 2

Mindestbewehrung zur Sicherstellung von duktilem Verhalten (7-6) in BZ:

Bild 5-4

Endfeld, untere Bewehrung As, min =

f ctm Wc, Zustand I 2, 2 0, 055 ⋅ = ⋅ = 0, 00035 m 2 = 3,5 cm 2 < As, vorh f yk zZustand II 500 0, 70

mit zZustand II ≈ d −

hf 0, 20 = 0,80 − = 0, 70 m und Wc, Zustand I = 0, 055 m3 2 2

Bild 5-5

Stützung, obere Bewehrung: As, min =

2, 2 0,118 ⋅ = 0, 00072 m 2 = 7, 2 cm2 < As, vorh 500 0, 72

5

112

Stahlbetonbau

mit zZustand II ≈ 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,80 = 0, 72 m und Wc, Zustand I = 0,118 m3 Begrenzung der Rissbreiten ohne direkte Berechnung (6-59) in BZ: Nachweis für das Endfeld mit quasi-ständiger Belastung und Rissbreite wk = 0,3 mm . g k = 31, 0 kN/mm

Schnittgrößen

A = (0,393 ⋅ 31, 0 + 0, 446 ⋅ 7, 0) ⋅10, 00 = 121,8 + 31, 2 = 153 kN max M1 =

5

ψ 2 ⋅ qk = 0,5 ⋅14, 0 = 7, 0 kN/m

Belastung

1532 = 308 kNm 2 ⋅ (31, 0 + 7, 0)

vorhandene Bewehrung

5∅ 20 mit 15, 7 cm 2

Stahlspannung

σs =

Modifizierungsfaktor

innerer Hebelarm z  0,96 ⋅ 80 = 76,8 cm 2

308 kN N = 25,5 = 255 2 0, 768 ⋅15, 7 cm mm 2

σ s ⋅ As 4 ⋅ (h − d ) ⋅ b ⋅ f ct, 0 f ct, eff f ct, 0

=

25,5 ⋅15, 7 = 1,85 4 ⋅ 0, 06 ⋅ 0,30 ⋅ 3000

f 2, 2 = ctm = = 0, 73 f ct, 0 3, 0

ds = ds* ⋅1,85 > d*s ⋅ 0, 73

Ablesung aus Tabelle für

σ s = 255N/mm 2 → ds* = 17,5 mm

max ds = 1,85 ⋅17,5 = 32, 4 mm > 20 mm = vorh ds Weil die Bewehrung nicht über die gesamte Höhe der Zugzone verteilt ist, wird zirka 30 cm von

Nachweis Stabdurchmesser

unten eine Stegbewehrung von 2∅14 mit 2,1 cm 2 angeordnet. Höchstbewehrung: As, max = 0, 08 ⋅ Ac = 0, 08 ⋅ 30 ⋅ 80 = 192 cm 2 Die Mindest- und die Höchstbewehrungsgrade sind hier eingehalten! Querkraftbemessung: Hier erfolgt nur der Nachweis der ungünstigsten Stelle, das ist links neben dem Auflager B. Es liegt ein direktes Auflager vor und die Querkraft im Abstand d vom Auflagerrand ist maßgebend:

§ Auflagerbreite · VEd = min VBl − ( gd + qd ) ⋅¨ + d ¸ = 384, 7 − 62,9 ⋅ (0,30/2 + 0,80) = 324,9 kN 2 © ¹

113

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

Aufnehmbare Querkraft ohne Querkraftbewehrung: 1

1

VRd, ct = 0,1 ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ f ck ) 3 ⋅ bw ⋅ d = 0,1 ⋅1,5 ⋅ (0, 41 ⋅ 20) 3 ⋅ 0,30 ⋅ 0,80 = 0, 0726 MN = 72, 6 kN VRd, ct = 72, 6 kN < 324,9 kN = VEd

Mit

κ = 1+

→

Querkraftbewehrung ist erforderlich!

0, 20 0, 20 = 1+ = 1,5 < 2, 0 und dem Längsbewehrungsgrad für d 0,80

ρl =

ausreichend verankerte 2∅ 25 mit Asl = 9,82 cm 2

Asl 9,82 = = 0, 0041 < 0, 02 . bw ⋅ d 30 ⋅ 80

Wahl der Druckstrebenneigung θ : z = 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,80 = 0, 72 m

5

z = d − 2 ⋅ cnom, Längsb.  0,80 − 2 ⋅ (0, 035 + 0, 008) = 0, 714 m

Es wird 0,71 m gewählt! VRd, c = 0, 24 ⋅ fck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z = 0, 24 ⋅ 201/ 3 ⋅ 0,30 ⋅ 0, 71 = 0,139 MN = 139 kN cot θ ≤ 1−

1, 2 = VRd, c VEd

1, 2 ≥ 0,58 = 2,10 ≤ 3, 00 139 1− 324,9

θ = 25,5° → cotθ = 2,10

maximale Querkrafttragfähigkeit für senkrechte Bügelbewehrung (α = 90°) : VRd, max = bw ⋅ z ⋅ 0, 75 ⋅ fcd ⋅

cot θ + cot α 1 + cot 2 θ

= 0,30 ⋅ 0, 71 ⋅ 0, 75 ⋅11,33 ⋅

2,10 + 0 1 + 2,102

= 0, 703 MN = 703 kN

VRd, max = 703 kN > VEd < 384,7 kN (Hier VEd = einwirkende Querkraft direkt am Auflagerrand!) erforderliche Querkraftbewehrung (Schubbewehrung): Asw, erf sw

=

gewählt

VEd 324,9 cm 2 = = 5, 00 f yd ⋅ z ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α 43,5 ⋅ 0, 71 ⋅ (2,10 + 0) ⋅1 m 2-schnittige Bügel

∅8/20 mit 5,03

cm 2 cm 2 > 5,00 m m

Mindestbewehrung A A cm 2 cm 2 min sw = min ρ ⋅ bw ⋅100 = 0, 0007 ⋅ 30 ⋅100 = 2,1 <5,03 = vorh sw m m sw sw

Schub zwischen Balkensteg und Gurt des Plattenbalkens: Nachweis im Endfeld neben dem Auflager A auf einer Länge av gleich dem halben Abstand zwischen dem Momentennullpunkt und der Stelle des maximalen Momentes.

114

Stahlbetonbau

x = 0, 00 m 258, 4 x= = 4,11 m 62,9 x = 0,5 ⋅ 4,11 = 2, 05 m

M =0

max A = 258, 4 kN

max M = 530,8 kNm M = 0, 75 ⋅ 530,8 = 398,1 kNm

Mit dem inneren Hebelarm z ≈ 0,80 − 0, 20 / 2 = 0, 70 m ergibt sich die Druckkraft in einem Gurtabschnitt zu Fd, Gurt =

398,1 1, 22 ⋅ = 253 kN und die erforderliche Bewehrung mit 0, 70 2, 74

VEd = Fd, Gurt = 253 kN zu asw, erf =

5

VEd 253 cm 2 = = 2,36 av ⋅ f yd ⋅ cot θ 2, 05 ⋅ 43,5 ⋅1, 2 m

Diese Bewehrung ist zur Hälfte an der Ober- und Unterseite des Gurtes quer zur Balkenrichtung zu verlegen. Die Bewehrung aus der Plattenbiegung quer zur Balkenachse darf hierbei mit berücksichtigt werden und braucht nicht zusätzlich angeordnet werden! Spannungsnachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit sind hier nicht zu führen, weil die Schnittgrößen bei der Bemessung um weniger als 15 % umgelagert wurden! (δ = 0,877 > 0,85; entspricht 100 % − 15 % !) Mindestbewehrung zur Einhaltung der Rissbreiten (6-58) in BZ: Nachweis für das Endfeld mit positivem Biegemoment (siehe Bild 5-6). k ⋅ k ⋅ ht f ct, eff * f ct, eff ds = ds* ⋅ c ⋅ ≥ ds ⋅ 4 ⋅ (h − d ) f ct, 0 f ct, 0 kc = 0, 4 k = 0,8 ht = 64, 6 cm h = 86 cm d = 80 cm kc ⋅ k ⋅ ht 0, 4 ⋅ 0,8 ⋅ 64, 6 = = 0,86 < 1 4 ⋅ (h − d ) 4 ⋅ (86 − 80) f ct, eff = 0,5 ⋅ 2, 2 N/mm 2 = 1,1 N/mm 2 f ct, 0 = 3, 0 N/mm 2 ds = ds* ⋅

fct, eff fct, 0

→ d*s = ds ⋅

f ct, 0 f ct, eff

= 20 mm ⋅

3, 0 N/mm 2 0,5 ⋅ 2,2 N/mm 2

= 54 mm

Für die Expositionsklasse X C3 aus Tafel 6-6 in BZ ergibt sich die Anforderungsklasse E und damit aus Tafel 6-7 in BZ der Rechenwert der Rissbreite von wk = 0,3 mm und dann aus Tafel 6-9 in BZ die Stahlspannung σ s ≈ 110N/mm 2 für den Stabdurchmesser ds* = 54 mm . As, min = kc ⋅ k ⋅

f ct, eff

σs

⋅ Act = 0, 4 ⋅ 0,8 ⋅

Bild 5-6

1,1 ⋅ 64, 6 ⋅ 30 = 6, 2 cm 2 < As, vorh 110

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung

115

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung Eine quadratische Platte (10 m × 10 m) ist an den Rändern frei drehbar gestützt. Zusätzlich ist die Platte in der Mitte noch durch eine Stütze (30 cm × 30 cm) unterstützt. Die Ecken können nicht abheben. Die ständig wirkende Belastung für die 20 cm Platte mit Belag und Putz beträgt gk = 6,5 kN/m2 und die nicht ständig einwirkende Verkehrslast hat den Wert qk = 3,5 kN/m 2 . Damit ergibt sich die gesamte Bemessungsbelastung zu gd + qd = 1,35 ⋅ 6,5 + 1,5 ⋅ 3,5 = 14, 03 ≈ 14, 0 kN/m 2

5

Bild 5-7

116

Stahlbetonbau

Eine finite Element Berechnung ergab die folgenden Größen: VEd = 0,35 ⋅10, 002 ⋅14, 0 = 490 kN vEd = 23, 2 kN/m min M Ed = − 70 kNm/m max M Ed = + 28 kNm/m

Auflagerkraft der Mittelstütze Max. Randquerkraft Stützmoment Feldmoment Platte: h = 20 cm

Expositionsklasse X C1

5

Betondeckung:

C30/37 mit f cd = 0,85 ⋅

Beton

Betonstahl BSt 500 mit f yd =

cnom = cmin + Δ c = 1, 0 + 1, 0 = 2, 0 cm

30 = 17, 0 MN/m 2 1,5

500 = 435 MN/m 2 = 43,5 kN/cm 2 1,15

f yd /fcd = 435/17 = 25, 6 d x = 20, 0 − 2, 0 − 0,8/2 = 17, 6 cm

Statische Höhen

d y = 17, 6 − 0,8 = 16,8 cm

Biegebemessung mit Bemessungstafel BT2 (a) obere Stützbewehrung in x-Richtung

μ Eds =

0, 070 1, 00 ⋅ 0,1762 ⋅17, 0

gewählt

= 0,133 → ω = 0,140 → as, erf =

0,140 cm 2 ⋅100 ⋅17, 6 = 9, 63 25, 6 m

Q513 und Zulagen ∅ 8/11 mit 5,13 + 4,57 = 9,60 cm2/m ≈ 9, 63 cm 2 /m (Siehe auch Tafel 10-8 Lagermatten und Tafel 10-2 in BZ!)

Bewehrungsgrad

ρ lx = 9, 60/17, 6 = 0,55 % = 0, 0055 (b) obere Stützbewehrung in y-Richtung

μ Eds =

0, 070 1, 00 ⋅ 0,1682 ⋅17, 0

= 0,146 → ω = 0,155 → as, erf =

0,155 ⋅100 ⋅16,8 = 25, 6

cm 2 m Q513 und Zulagen ∅8/9,5 mit 5,03 + 5,29 = 10,32 cm2/m > 10,17 cm2/m

= 10,17 gewählt Bewehrungsgrad

ρ ly = 10,32/16,8 = 0, 61 % = 0, 0061 (c) untere Feldbewehrung 0, 057 cm 2 ⋅100 ⋅16,8 = 3, 74 25, 6 m 1, 00 ⋅ 0,1682 ⋅17, 0 gewählt Q377 mit 3,77 cm2/m > 3,74 cm2/m Bewehrungsgrad ρl = 3,77/16,8 = 0,22 %

μ Eds =

0, 028

= 0, 058 → ω = 0, 057 → as, erf =

117

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung

Querkraftnachweis (am Plattenrand)

κ = 1+

0, 20 = 2, 07 > 2, 0 → κ = 2, 0 0,176 1

1

vRd, ct = 0,10 ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ fck ) 3 ⋅ d = 0,10 ⋅ 2, 0 ⋅ (100 ⋅ 0, 0022 ⋅ 30) 3 ⋅ 0,168

= 0, 063 MN/m Weil vRd, ct = 63 kN/m > 23, 2 kN/m = vEd ist keine Plattenquerkraftbewehrung erforderlich! Durchstanznachweis, siehe Kapitel 6.4.4 einwirkende Querkraft VEd = 490 kN = 0, 490 MN Mindestplattenmomente mEd, x = mEd, y = 0,125 ⋅ VEd = 0,125 ⋅ 490 = 61,3 kNm/m < 70 kNm/m Breite

0,30 ⋅ l = 0,3 ⋅ 5, 00 = 1,50 m

(Auf dieser Breite muss die eingelegte Stützbewehrung ein Mindestmoment von 61,3 kNm/m aufnehmen!) Mittelwerte d = (17, 6 + 16,8)/2 = 17, 2 cm = 172 mm 17, 0 ­ ° < 0, 40 ⋅ = 0, 0156 435 °¯ < 0, 0200

ρl = 0,55 ⋅ 0, 61 = 0,58 % = 0, 0058 ® kritischer Rundschnitt

rcrit = 30/2 + 1,5 ⋅17, 2 = 15, 0 + 25,8 = 40,8 cm ucrit = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 25,8 = 120 + 162 = 282 cm

(Hinweis: Der Flächenlastanteil aus der Platte innerhalb des kritischen Rundschnittes könnte von der einwirkenden Querkraft abgezogen werden. Dieses wird hier nicht berücksichtigt.) einwirkende Querkraft im kritischen Rundschnitt Innenstütze mit β = 1, 05

vEd = β ⋅

VEd 0, 490 = 1, 05 ⋅ = 0,182 MN/m 2,82 ucrit

aufnehmbare Querkraft ohne Durchstanzbewehrung

κ = 1+

0, 20 = 2, 08 > 2, 0 → κ = 2, 0 0,172 1

vRd, ct = 0,14 ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ f ck ) 3 ⋅ d 1

vRd, ct = 0,14 ⋅ 2, 0 ⋅ (100 ⋅ 0, 0058 ⋅ 30) 3 ⋅ 0,172 = 0,125 MN/m

maximal aufnehmbare Querkraft vRd, max = 1,5 ⋅ vRd, ct = 1,5 ⋅ 0,125 = 0,187 MN/m vRd, ct = 0,125 MN/m < vEd = 0,182 MN/m < vRd, max = 0,187 MN/m

5

118

Stahlbetonbau

Die Querkraft ist mit einer Durchstanzbewehrung aufnehmbar. Wahl der Durchstanzbewehrung Maximaler Stabdurchmesser: ds ≤ 0, 05 ⋅ d = 0, 05 ⋅172 = 8, 6 mm → gewählt ds ≤ 8 mm Nachweisschnitte für die Ermittlung der Durchstanzbewehrung (Bügelbewehrung: sw ≤ 0, 75 ⋅ d = 0, 75 ⋅17, 2 = 12,9 cm gewählt: sw = 12, 0 cm

κ s = 0, 7 + 0,3 ⋅

0,172 − 0, 40 = 0,53 < 0, 70 → κ s = 0, 70 0, 40

1. Bewehrungsreihe

5

r 1 = 30/2 + 0,5 ⋅17, 2 = 15 + 8, 6 = 23, 6 cm

u 1 = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 8, 6 = 174 cm

0, 490 vEd = 1, 05 ⋅ = 0, 296 MN/m 1, 74 (vEd − vRd, ct ) ⋅ u 1 (296 − 125) ⋅1, 74 A sw, erf = = = 9, 77 cm 2 0, 70 ⋅ 43,5 κ s ⋅ f yd

gewählt

8 zweischnittige Bügel Ø8 und 4 zweischnittige Bügel Ø6 mit 8,04 + 2,26 = 10,30 cm2 > 9,77 cm2

Mindestbewehrung ρ w =

Asw ≥ min ρ w sw ⋅ u

ρ w, vorh =

10,30 = 0, 00493 > 1, 0 ⋅ 0, 00093 12, 0 ⋅174

2. Bewehrungsreihe r 2 = 15 + 8, 6 + 12 = 15 + 20, 6 = 35, 6 cm

u 2 = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 20, 6 = 249 cm

0, 490 = 0, 207 MN/m 2, 49 (vEd − vRd, ct ) ⋅ u 2 sw (207 − 125) ⋅ 2, 49 12, 0 A sw, erf = ⋅ = ⋅ = 4, 68 cm 2 d 0, 70 ⋅ 43,5 17, 2 κ s ⋅ f yd

vEd = 1, 05 ⋅

8 zweischnittige Bügel Ø 6 mit 4,52 cm2 ≈ 4,68 cm2 4,52 = 0, 00151 > 1, 0 ⋅ 0, 00093 Mindestbewehrung ρ w, vorh = 12, 0 ⋅ 249 gewählt

3. Bewehrungsreihe r 3 = 15 + 20, 6 + 12 = 15 + 32, 6 = 47, 6 cm

u 3 = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 32, 6 = 325 cm

0, 490 = 0,158 MN/m 3, 25 (vEd − vRd, ct ) ⋅ u 3 sw (158 − 125) ⋅ 3, 25 12, 0 A sw, erf = ⋅ = ⋅ = 2, 46 cm 2 d 0, 70 ⋅ 43,5 17, 2 κ s ⋅ f yd

vEd = 1, 05 ⋅

gewählt

8 zweischnittige Bügel Ø 6 mit 4,52 cm2 > 2,46 cm2

119

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung

Mindestbewehrung

ρ w, vorh =

4,52 = 0, 00116 > 0, 00093 12, 0 ⋅ 325

äußerer Rundschnitt r a = 15 + 32, 6 + 1,5 ⋅17, 2 = 15 + 58, 4 = 73, 4 cm vEd = 1, 05 ⋅

u a = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 58, 4 = 487 cm

0, 490 = 0,106 MN/m 4,87

lw = 32, 6 cm

κa = 1−

0, 29 ⋅ 32, 6 = 0,84 > 0, 71 3,5 ⋅17, 2

vRd, ct, a = κ a ⋅ vRd, ct = 0,84 ⋅ 0,125 = 0,105 MN/m vEd = 0,106 MN/m ≈ vRd, ct, a = 0,105 MN/m

Bewehrungsskizze Der Einbau der insgesamt 8 + 4 + 8 + 8 = 28 zweischnittigen Bügel ist auf der Baustelle wohl nur mit einem sehr hohen Aufwand möglich! In der Bewehrungsskizze (Bild 58) sind die Zulagen der oberen Lage ∅ 8/11 und ∅ 8/9,5 noch nicht eingetragen! Besser für die Einbaubarkeit ist die Anordnung von handelsüblichen „Dübelleisten“ mit einer „Allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung“. Die Hersteller bieten eigene Formeln, bzw. Rechenprogramme für den Durchstanznachweis ihrer Dübelleisten an.

Bild 5-8

5

120

Stahlbetonbau

5 Mittig gedrückte Stütze Die in der Mitte stehende Stütze ( 30 cm × 30 cm ) des vorigen Beispiels soll nun berechnet werden. Die Stütze soll eine Höhe von 6,00 m haben und über zwei Etagen durchgehen. Die untere Stütze hat dann die Last von zwei Decken und ihr Eigengewicht zu tragen. Belastung (Bemessungswerte) 2 ⋅ 490 = 980 kN

Aus 2 Decken ≈ 0,302

Eigengewicht

5

⋅ 25, 0 ⋅ 6, 00 ⋅1,35 =

36 kN

N Ed = 1016 kN ≈ 1, 02 MN

Gesamt

Baustoffe Beton C20/25 20 20 f cd = 0,85 ⋅ = 11,33 MN/m 2 (DIN 1045-1) f cd = = 13,33 MN/m2 (EC2) 1,5 1,5 (Bei Benutzung der Bemessungstafeln BT8 ist der Wert für den EC2 maßgebend!) 500 = 435 MN/m 2 Betonstahl BSt 500 f yd = 1,15

Bild 5-9

121

5 Mittig gedrückte Stütze

Schätzung der Bewehrung und Festlegung der statischen Höhe Bügeldurchmesser 10 mm Längsbewehrungsdurchmesser Expositionsklasse X C1 Betondeckung Statische Höhe d ≅ 30, 0 − 2, 0 − 1, 0 − 2, 0/2 = 26, 0 cm

20 mm 2,0 cm

Nachweis Ersatzstablänge (Als Knicklängenbeiwert ist hier β = 1 gewählt!) l0 = β ⋅ lcol = 1, 0 ⋅ 6, 00 = 6, 00 m

Schlankheit

λ=

l0 600 = = 69, 2 > 50 i 0, 289 ⋅ 30

schlankes Druckglied

Nachweis nach Theorie II. Ordnung erforderlich. Ausmitten nach Theorie I. Ordnung e0 = 0 (weil M = 0 ) Ungewollte Ausmitte

α a1 =

1 100 ⋅ lcol

ea = α a1 ⋅

=

1 100 ⋅ 6, 00

=

1 1 < 245 200

l0 6, 00 = = 0, 0122 m 2 245 ⋅ 2

nach Theorie II. Ordnung (Schätzung: Längsbewehrung 4∅ 20 mit 12,6 cm 2 ) − N ud = f cd ⋅ Ac + f yd ⋅ As = 11,33 ⋅ 0,302 + 435 ⋅10−4 ⋅12, 6 = 1,57 MN − N Ed = 1, 02 MN − N bal = 0, 4 ⋅ fcd ⋅ Ac = 0, 4 ⋅11,33 ⋅ 0,302 = 0, 41 MN K2 =

N ud − N Ed −(1,57 − 1, 02) = = 0, 47 < 1 N ud − N bal −(1,57 − 0, 41)

λ = 69, 2 > 35 → K1 = 1 e2 = K1 ⋅ K 2 ⋅

l02 6, 002 = 1 ⋅ 0, 47 ⋅ = 0, 0317 m 2070 ⋅ d 2070 ⋅ 0, 26

totale Ausmitte (ohne Kriechen) etot = e0 + ea + e2 = 0 + 0, 0122 + 0, 0317 = 0, 0439 m

Moment nach Theorie II. Ordnung M Ed = etot ⋅ N Ed = 0, 0439 ⋅1, 02 = 0, 0448 MNm

5

122

Stahlbetonbau

Berechnung mit dem Bemessungsdiagramm BT 4b Eingangswerte

ν Ed =

N Ed −1, 02 = = −1, 00 b ⋅ h ⋅ fcd 0,302 ⋅11,33

d1 = d 2 = 4, 0 cm →

Ablesung (siehe Bild 5-10)

d1 4 = = 0,13 h 30

M Ed

μ Ed = gewählt

b ⋅ h 2 ⋅ f cd

=

0, 0448 0,303 ⋅11,33

= 0,146

d1 = 0,15 h

ω tot ≈ 0, 41

Erforderliche Bewehrung

5

As, erf = ω tot ⋅ b ⋅ h ⋅

fcd 11,33 = 0, 41 ⋅ 302 ⋅ = 9, 6 cm 2 f yd 435

Mindest- und Maximalbewehrung (siehe auch Bemessungsdiagramm!) As, min = 0,15 ⋅

N Ed 1, 02 4 = 0,15 ⋅ ⋅10 = 3,51 cm 2 f yd 435

As, max = 0, 09 ⋅ Ac = 81 cm 2

Bild 5-10

123

5 Mittig gedrückte Stütze

Berechnung mit dem Bemessungsdiagramm BT 8b e0 + ea 0 + 0, 0122 = = 0, 041 h 0,30 l0 6, 00 = = 20 h 0,30

ν Sd =

N Ed −1, 02 = = −0,85 Ac ⋅ fcd 0,302 ⋅13,33

Das Bemessungsdiagramm beruht auf dem Eurocode 2; deshalb gilt hier: f cd = 13,33

MN m2

!

Ablesung (siehe Bild 5-11) ω tot ≈ 0,35 Erforderliche Bewehrung As, erf = ω tot ⋅ b ⋅ h ⋅

fcd 13,33 = 0,35 ⋅ 302 ⋅ = 9, 7 cm 2 f yd 435

Wahl der Bewehrung Längsbewehrung 4∅ 20 12,6 cm 2 > (9,7 cm 2 bzw. 9,6 cm 2 ) Bügel

∅ 6/24 12 ⋅ d Längsbewehrung = 12 ⋅ 2, 0 = 24 cm = Bügelabstand d Längsbewehrung

20 = 5 mm 4 4 Unterhalb der Decke und oberhalb des Fundamentes ist auf einer Höhe von jeweils 30 cm – das ist die Stützenbreite – der Bügelabstand auf 0,6 · 24 cm ≈ 15 cm zu verringern. d Bügel = 6 mm ≥

=

Kontrolle der Betondeckung und der statischen Höhe Gegenüber der anfänglichen Schätzung der Bewehrung hat sich der Bügeldurchmesser von 10 auf 6 mm verringert. Bezogen auf den Bügel ist eine Betondeckung von 20 mm einzuhalten. Bezogen auf den Längsstab ist eine Betondeckung von 30 mm einzuhalten!Mit der Folge, dass hier eine Betondeckung – bezogen auf den Bügel – von 30 − 6 = 24 mm maßgebend wäre. Da es aber keine handelsüblichen Abstandhalter von 24 mm gibt, wird endgültig die Betondeckung zu cnom = 25 mm gewählt. Die statische Höhe beträgt nun d = 30, 0 − 2,5 − 0, 6 − 2, 0/2 = 25,9 cm ≈ 26 cm ! Eine Neuberechnung ist nicht erforderlich!

5

124

Stahlbetonbau

5

Bild 5-11

125

6 Einzelfundament

6 Einzelfundament Last aus dem vorigen Beispiel N Ed = 1, 02 MN Boden Zulässige Bodenpressung (Annahme)

σ Boden, zul = 400 kN/m 2 Bodenpressung (ohne Fundamentgewicht!)

σ Boden =

1020 1, 702

5

= 353 kN/m 2

Bodenpressung (mit Fundamentgewicht!)

σ Boden, vorh =

1020 + 1, 702 ⋅ 0,50 ⋅ 25 ⋅1,35 1, 702

= 369 kN/m 2 < σ Boden, zul = 400 kN/m 2

Beton Alle Betonnachweise sind mit der Bodenpressung ohne Fundamentgewicht zu führen! Expositionsklasse X C3 Beton C20/25 Betonstahl BSt 500 Betondeckung cmin = 2, 0 cm Δc = 1,5 + 5, 0 = 6,5 cm cnom = 2, 0 + 6,5 = 8,5 cm (Das Vorhaltemaß ist hier um 5 cm zu erhöhen, weil auf den Baugrund betoniert wird!) statische Höhe d = 50, 0 − 8,5 − (≈ 2, 0/2) = 40,5 cm gewählt: d x ≈ d y ≈ d ≈ 40 cm Biegung M =

N Ed 1, 02 ⋅ (bFundament − bStütze ) = ⋅ (1, 70 − 0,30) = 0,179 MNm 8 8

Das entspricht:

m=

0,179 = 0,105 MNm/m 1, 70

Mindestplattenmoment für den Durchstanznachweis: mEd = η ⋅ VEd = 0,125 ⋅1, 02 = 0,128 MNm/m

Maßgebend ist hier das Mindestplattenmoment. f cd = 11,33 MN/m 2

μ Eds =

0,128 ⋅1, 70 1, 70 ⋅ 0, 402 ⋅11,33

gewählt in beiden Richtungen

f yd = 435 MN/m 2

f yd f cd

=

435 = 38, 4 11,33

= 0, 071 → ω = 0, 07 → As, erf =

0, 07 ⋅170 ⋅ 40 = 12, 4 cm2 38, 4

9∅14 mit 13,9 cm 2 > 12, 4 cm 2

126

Stahlbetonbau

5

Bild 5-12

Durchstanzen kritischer Rundschnitt 1,5 ⋅ d = 1,5 ⋅ 0, 40 = 0, 60 m Acrit = 0,302 + 4 ⋅ 0,30 ⋅ 0, 60 + ʌ ⋅ 0, 602 = 1,94 m 2 ucrit = 4 ⋅ 0,30 + 2 ⋅ 0, 60 ⋅ ʌ = 4,97 m

einwirkende Querkraft (Der innerhalb des kritischen Rundschnittes liegende Bodenpressungsanteil darf mit 50 % berücksichtigt werden!) VEd = N Ed − 0,50 ⋅ Acrit ⋅ σ Boden = 1, 02 − 0,50 ⋅1,94 ⋅ 0,353 = 0, 678 MN

Bei quadratischen Fundamenten β ≈ 1, 05 .

ν Ed = β ⋅

VEd 0, 678 = 1, 05 ⋅ = 0,143 MN/m ucrit 4,97

Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung Biegebewehrungsgrad

ρl =

As, vorh b⋅d

=

13,9 = 0, 002 170 ⋅ 40

κ = 1+

0, 20 0, 20 = 1+ = 1, 71 d 0, 40

127

6 Einzelfundament

1

1

vRd, ct = 0,14 ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ f ck ) 3 ⋅ d = 0,14 ⋅1, 71 ⋅ (100 ⋅ 0, 002 ⋅ 20) 3 ⋅ 0, 40 = 0,152 MN/m vRd, ct > vEd = 0,143 MN/m → Es ist keine Durchstanzbewehrung erforderlich!

Hinweis: Nach Heft 525 vom DafStb „Erläuterungen zu DIN 1045-1“ (10.5.3) ist der kritische Rundschnitt für dieses Fundament im Abstand 1, 0 ⋅ d und nicht 1,5 ⋅ d von der Lastfläche anzusetzen. Die Bodenpressung ist dann zu 100 % zu berücksichtigen. Außerdem ist dann auch noch die Größe vRd, ct im Verhältnis der kritische Umfänge zu modifizieren. Der Nachweis ist dann wie folgt zu führen: kritischer Rundschnitt 1, 0 ⋅ d = 1, 0 ⋅ 0, 40 = 0, 40 m Acrit = 0,302 + 4 ⋅ 0,30 ⋅ 0, 40 + ʌ ⋅ 0, 402 = 1, 07 m 2 ucrit = 4 ⋅ 0,30 + 2 ⋅ 0, 40 ⋅ ʌ = 3, 71 m VEd = N Ed − 1, 0 ⋅ Acrit ⋅ σ Boden = 1, 02 − 1, 0 ⋅1, 07 ⋅ 0,353 = 0, 642 MN

ν Ed = β ⋅

VEd 0, 642 MN = 1, 05 ⋅ = 0,182 ucrit 3, 71 m

MN 4,97 m MN MN ⋅ = 0, 204 > vEd = 0,182 → m 3,71 m m m Keine Durchstanzbewehrung erforderlich!

vRd, ct =0,152

5

Stahlbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Wolfram Lohse

Inhalt Stahlbau ....................................................................................................................................... 129 Vorwort.................................................................................................................................. 131 1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen............................................................................... 131 2 Knicken von Stäben und Stabwerken .................................................................................... 142 Allgemeines ........................................................................................................................... 142 3 Verbundkonstruktionen ......................................................................................................... 155 4 Verbindungstechnik ............................................................................................................... 160 5 Literatur und Vorschriften ..................................................................................................... 167

Vorwort Es werden hier Beispiele behandelt entsprechend dem Inhalt und der Reihenfolge der Themen in [1]. Stichwortartige Erläuterungen dienen dem leichteren Verständnis der einzelnen Rechengänge. Auf eine vorangestellte Zusammenstellung der wichtigsten Formeln wird aus Platzgründen verzichtet, weil bei deren Anwendung sehr häufig auch noch auf Parameter aus umfangreichen Tafeln zurückgegriffen werden muss. Alle seitlich herausgestellten Verweise auf Formeln und Tabellen beziehen sich auf [1], sofern keine anderen Literaturquellen benannt sind. Mit Hilfe dieser Hinweise sollen die Beispiele leichter nachvollzogen werden können. Hier neu eingeführte Gleichungen werden kurz erläutert. Ihre Gleichungsnummern stehen im eckigen Klammern.

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen Mit den Tragsicherheitsnachweisen gegen Fließen – üblicherweise auch als Spannungsnachweis bezeichnet- wird sichergestellt, dass der Querschnitt, das Bauteil oder das Tagwerk die Beanspruchung mit Rücksicht auf die Festigkeit des Materials – dies ist i.d.R. die Streckgrenze fy (= Fließgrenze), in Ausnahmefällen die Zugfestigkeit fu-aufnehmen kann. Instabilitätserscheinungen wie Biegeknicken, Biegedrillknicken oder Beulen sind mit diesen Nachweisen (i.A.) nicht erfasst, ebensowenig der Nachweis der Gebrauchstauglichkeit. Beispiel 1.1: Rippenlose Lasteinleitung in Walzträger; Bild 1-1 Für die Trägerkreuzung und Auflagerung sind die möglichen Lasten FR, d und FA, R, d zu ermitteln, die ohne Aussteifungsrippen möglich sind. Mit den Nachweisen wird auch die örtliche Beulung und das Stegkrüppeln erfasst. Die Träger bestehen aus Material S235, Abmessungen der Profile und Formeln siehe [1]. Die angegeben Spannungen sind in den Trägern direkt an der Kreuzungsstelle vorhanden.

132

Stahlbau

6 Bild 1-1 Rippenlose Lasteinleitung

Auflagerkraft FA, R, d: = 24,0 kN/cm2 fy, k

γM

= 1,1

l

= 5,0 + 2,5⋅(1,1 + 1,8) = 12,25 cm

FA, R, d = 0,7 ⋅ 12,25 ⋅ 24,0/1,1 = 187 kN Vpl, R, d = ASteg ⋅ τR, d

n. Tafel 1-4 n. Abschnitt 2.1 n. Bild 2-5 n. Gl. (2-10a) n. Bild 2-8

= 13,9 ⋅ (24,0/ 3 )/1,1 = 175 kN (< 187 kN – maßgebend) Lasteinleitung an der Stelle 1: HE220-A: An der Lasteinleitungsstelle des Profils HE220-A haben σx und σz (aus Träger 2) unterschiedliche Vorzeichen. c1

= 0,56 + 1,61 ⋅ 1,2 + 5 ⋅ 0,85 = 6,74 cm

l2

= 6,74 + 5 ⋅ (1,1 + 1,8) = 21,24 cm

| σx |

= 15,0 ⋅[21 – 2⋅(1,1 + 1,8)]/21 = 10,86 kN/cm2 < 0,5 ⋅ 24,0 = 12 kN/cm2

n. Bild 2-5

(FR, d, 2 = 0,7 ⋅ 21,24 ⋅ 24,0 ⋅ (1,25 – 0,5 ⋅ 10,86/24,0)/1,1 = 14,87 ⋅ 24,0 ⋅ 1,02/1,1 = 330,9 kN)

n. Gl. (2-10)

Die Erhöhung von fy, k um 2 % ist wegen | σx | < 0,5 ⋅fy, k nicht zulässig FR, d, 1 = 0,7 ⋅ 21,24 ⋅ 24,0/1,1 = 324,4 kN IPE220:

An der Lasteinleitungsstelle des Profils IPE220 haben σx und σz (Träger 1) gleiches Vorzeichen

133

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

c2

= 0,7 + 1,61 ⋅ 1,8 + 5⋅1,1 = 9,10 cm

l1

= 9,10 + 5 ⋅ (0,85 + 1,2) = 19,35 cm

FR, d, 1 = 0,56 ⋅ 19,35 ⋅ 24,0/1,1 = 236,4 kN < 324,4 kN Damit kann an der Stelle 1 eine Kraft von 236,4 kN vom ΙPE220 auf den Träger HE220-A ohne Lasteinleitungsrippen übertragen werden. Beispiel 1.2 Überprüfung der Blechschlankheiten b/t beim Verfahren Elastisch-Plastisch (EP), Plastisch-Plastisch (P-P), siehe [1], Tafel 2-5. Bild 1-2: Mit diesem Nachweis wird sichergestellt, dass bei Einhaltung der grenz b/t – Werte der Querschnitt ohne Beulgefahr vollplastisch ausgenutzt werden darf. Plastische Grenzschnittgrößen nach [1], Tafel 2-8 und Umrechnung über das Streckengrenzenverhältnis Npl, d = 3469 ⋅ 36,0/24,0 = 5203 kN Mpl, d = 559 ⋅ 36,0/24,0 = 838 kNm

Bild 1-2 Blechschlankheit beim Verfahren E-P, P-P

Bemessungswerte der einwirkenden Schnittgrößen Nd = (–) 1050 kN Md = 740 kNm Vd sei vernachlässigbar klein Interaktionsnachweis nach [1], Tafel 2-6a 0,9 · 740/838 + 1050/5203 = 1,0 Überprüfung der Blechschlankheiten über die Spannungsverteilung Die Normalkraft wird über eine Höhe hSt, N – symmetrisch zur y-Achse – verteilt (statischer Satz der Fließgelenktheorie)

σR, d = 36,0/1,1 = 32,72 kN/cm2

6

134

Stahlbau

hSt, N = 1050/(1,1 · 32,72) = 29,2 cm Damit liegt die plastische Spannungsverteilung fest, siehe Bild 1-2: 295 = 0,99 Steg: α = 298 ½ 240 ° 360 < 37 ⋅ = 30,5 (E-P) ° 0,99 ° b 298 ° = = 27,1 ¾ t 11 ° 240 ° ° > 32 ⋅ 360 = 26,4 (P-P) ° 0,99 ¿

6

n. Tafel 2-5

n. Tafel 2-5

(30, 0 − 1,1 − 2 ⋅ 2, 7) = 11, 75 cm; α = 1, 0 2 ½ 240 ° < 11 ⋅ 360 = 8,98 (E-P) ° 1, 0 ° b 117,5 ° = = 6,18 ¾ t 19 ° 240 ° ° 360 = 7,35 (P-P) ° < 9⋅ 1, 0 ¿

Gurt: b =

Das Profil kann plastisch beansprucht werden. Ob im gesamten Tragsystem mehrere Fließgelenke auftreten können, hängt von den Spannungsverteilungen in den Fließgelenken und der Reihenfolge ihres Auftretens ab. Das behandelte Profil mit den angenommenen Schnittgrößen ist zunächst nur zugelassen für das Nachweisverfahren Elastisch-Plastisch. Beispiel 1.3: M-N-Interaktion für ein U-Profil; Bild 1-3 und 1-4: Die in DIN 18800-1 wiedergegebenen plastischen Interaktionsdiagramme -siehe [1], Tafel 2-6a und Tafel 2-7 gelten nur für doppelsymmetrische I-Querschnitte. Für einfachsymmetrische Querschnitte ist der Zusammenhang zwischen N und M im vollplastischen Zustand vom Vorzeichen der Schnittgrößen abhängig. Die Berechnung für ein UPE300-Profil erfolgt nach [1], Tafel 2-6b. Material S235, Querkraft vernachlässigbar klein.

Bild 1-3 M-N-Interaktion für ein U-Profil

135

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

Mz > 0

Mz < 0 Vorwerte

A1 = 30 ⋅ 0,95 = 28,5 A2 = 0 A3 = (10 – 0,95/2) ⋅ 1,6 · 2 = 30,48 cm2 cm2

A1 = 0 A2 = 28,5 cm2 A3 = 30,48 cm2

(Momentendruckgurt) (Momentenzuggurt) (Steg)

ΣAi = A = 58,98 cm2 (vgl. UPE: A = 58,6 cm2) η = 1,0 δ1 = 28,5/58,98 = 0,48, δ2 = 0

η = 1,0 δ1 = 0, δ2 = 0,48 δ3 = 0,52

δ3 = 1 – 0,48 = 0,52

6

Bereich Ι: Plast. Nulllinie im Gurt A2 Entfällt

1 – 2 ⋅ 0,48 ≤ N ≤1 0, 04 ≤ N ≤ 1 : M ≤ 0,5 ⋅ 0,52 ⋅ (1 − N ) ≤ 0, 26 ⋅ (1 − N )

(c)

Bereich ΙΙ: Plast. Nulllinie im Steg 2 ⋅ 0, 48 − 1 ≤ N ≤ 1 − 2 ⋅ 0

2 ⋅ 0 − 1 ≤ N ≤ 1 − 2 ⋅ 0, 48

− 0, 04 ≤ N ≤ 1 :

− 1 ≤ N ≤ 0, 04 :

M ≤ (0, 48 + 0,5 ⋅ 0,52) ⋅ (1 − N )

M ≤ 0,5 + 0,52 ⋅ (1 − N )

− 0, 25 ⋅ (1 −

N )2

− 0, 25 ⋅ (1 − 2 ⋅ 0, 48 − N )2 / 0,52

/ 0,52

M ≤ 0, 74 ⋅ (1 − N )[1 − 0, 65 ⋅ (1 − N )]

(a)

M ≤ 0, 26 ⋅ (1 − N ) − 0, 48 ⋅ (0, 04 − N )2

Bereich ΙΙΙ: Plast. Nulllinie im Gurt A1 − 1 ≤ N ≤ 2 ⋅ 0, 48 − 1

entfällt

− 1 ≤ N ≤ −0, 04 : M ≤ 0,5 ⋅ 0,52 ⋅ (1 + N ) M ≤ 0, 26 ⋅ (1 − N )]

(b)

Zahlenwerte Npl, V, d = Npl, d = 58,98 ⋅ 24,0/1,1 = 1287 kN h ⋅ Npl, d = (0,10 – 0,0095/2)⋅1287 = 122,6 kNm

(d)

136

Stahlbau

Aus Gl. (b) erhält man Mpl, d für N = 0: M = M pl,d = M pl,d /(h ⋅ N pl,d ) = 0, 26 ⋅1

Mpl, d = 0,26 ⋅ 122,6 = 31,88 kNm Die Auswertung der Gleichungen (a) bis (d) in den jeweiligen Gültigkeitsbereichen und unter Verwendung von h⋅Npl, d = Mpl, d/0,26 liefert das Interaktionsdiagramm, Bild 1-4.

6

Bild 1-4 Interaktionsdiagramm

Beispiel 1.4:

Fließgelenktheorie bei Durchlaufträgern Nachweisverfahren Plastisch-Plastisch (P-P); Bild 1-5 bis Bild 1-7: Für den in Bild 1-5 dargestellten Durchlaufträgern ist mit dem Nachweisverfahren P-P das kleinstmögliche ΙPE-Profil aus S235 zu bestimmen. Die angegebenen Lasten stellen die γMfachen Bemessungswerte dar. Die beiden Einzellasten bilden jedoch eine Lasteinheit. Kippen sei konstruktiv ausgeschlossen.

Bild 1-5 Durchlaufträger nach der FG-Theorie

Regeln der Fließgelenktheorie (FG-Th.) bei Durchlaufträgern (siehe hierzu auch [2]) -FG = Fließgelenk 1. FG bilden sich über Stützen und an Stellen relativer Momentenhöchstwerte (im Feld) 2. Jedes Feld versagt für sich allein (Elementarketten) 3. Die statische Berechnung erfolgt sinnvollerweise über das Prinzip der virtuellen Verrückungen. Dieses Prinzip beinhaltet eine Gleichgewichtsaussage und lautet

137

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

δV Aa = δV Ai

[1-1]

mit

δVAa virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte auf einem beliebigen systemverträglichen δVAi

Verrückungszustand. Der Faktor 1/2 wie bei der wirklichen Arbeit einer Kraft entfällt hier. virtuelle innere Arbeit in dem FG; diese ist mit Gl. [1-1] stets positiv, d.h. das Vorzeichen von Mpl spielt keine Rolle.

δV Ai = ¦ Mpl, i · ϑi

[1-2]

mit

ϑi

virtueller Gelenkdrehwinkel im FG i.

Im dargestellten System können sich FG an durch • gekennzeichneten Stellen bilden: Im Feld ໂ unter der Einzellast, im Feld ໃ etwa 0,42 ⋅ l3 links vom Auflager C. Die möglichen FG-Ketten sind in Bild 1-6 bei einer virtuellen Verrückung infolge ϑ = 1 dargestellt. Die hierdurch hervorgerufenen Verschiebungswege (bei einer Starrkörperbewegung) sind ebenfalls eingetragen.

6 Elementarkette E1:

δ V Aa = 75 ⋅1 ⋅ 2, 0 = 150 kNm ½° ¾ δ V Aa = δ V Ai : M pl, E1 = 150 kNm δ V Ai = M pl, E1 ⋅1, 0 °¿

Bild 1-6 Kinematische Ketten, Zustandslinien

138

Stahlbau

Elementarkette E2: Gleichstreckenlast q über Feldlänge l:

δVAa = (q · l) · δmax/2

[1-3]

δmax δVAa

Größtwert der virtuellen Lastverschiebung = 30 ⋅ 6,0 ⋅ (3,0/2) + 150 ⋅ 3,0 – 75 ⋅ 2,0 = 570 kNm (Die virtuelle Verrückung an der Kragarmspitze ist der Last entgegen gerichtet; die virtuelle Arbeit dieser Last ist daher negativ).

δVAi = Mpl, E2 ⋅ (2,0 + 1,0) = 3,0⋅Mpl, E2 δVAa = δVAi: 3,0 Mpl, E2 = 570 kNm

Mpl, E2 = 190 kNm (maßgebend)

Elementarkette E3:

6

δ V Aa = 120 ⋅ 4, 0 ⋅ (1, 66 / 2) = 398, 4 kNm ½° ¾ M pl, E 3 = 165 kNm δ V Ai = M pl, E 3 ⋅ (1, 709 + 0, 709) °¿ Mit Mpl = 190 kNm bildet sich unter den gegebenen Lasten die kinematische Kette E2. Es muss noch geprüft werden, ob die Querkraft im FG einen Einfluss auf das plastische Moment hat. Zustandsgrößen My und Vz Mit einer Schnittführung gemäß Bild 1-7 werden die restlichen Schnittgrößen bestimmt: 150 30 75

2,0

A

6,0

190 Bl

Bild 1-7 Trägerschnitt

A VA, l

= (75⋅8 + 150⋅3 + 30⋅6⋅3 – 190)/6,0 = 233,33 kN = – 75 kN; VA, r = 233,33 – 75 = 158,33 kN

Vm, l

= 158,33 – 30⋅3 = 68,33 kN;

C

= 120⋅4/2 – 190/4 = 192,5 kN

VB, l B

= – 81,67 – 30⋅3 = – 171,67 kN ; = 171,67 + 287,5 = 459,17 kN

Vm, r = – 81,67 kN VB, r = – 192,5 + 120⋅4 = + 287,5 kN

Gewählter Querschnitt Mit Rücksicht auf die hohe Querkraft im FG über der Stütze B wird gewählt: IPE360: Mpl = 1,1 ⋅ 222 = 244 kNm; Vpl = 1,1 ⋅ 350 = 385 kN Nachweis – Interaktionsbeziehung n. Tafel 2-6a

n. Tafel 2-8

139

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

VB, l/Vpl = 287,5/285 = 0,75 > 0,33 0,88⋅(190/244) + 0,37 ⋅ 0,75 = 0,96 < 1 Beispiel 1.5: FG-Theorie bei seitenverschieblichen Systemen, Bild 1-8 bis 1-10: Es ist zunächst der Bemessungswert der plastischen Grenzlast Pd nach Theorie I. Ordnung zu bestimmen. Anschließend ist die Stütze im plastischen Grenzlastzustand nachzuweisen. Zur Umgehung einer iterativen Berechnung sollen die Querkräfte in den FG mit Vz, d/Vpl, d ≈ 0,5 abgeschätzt werden; Material S235.

6

Bild 1-8 Seitenverschieblicher Rahmen nach der FG-Theorie

Zur FG-Theorie bei verschieblichen Rahmensystemen Bei (seitlich) verschieblichen Rahmensystemen unterscheidet man als Elementarketten die Balkenketten von den Seitenverschiebungsketten. Beide lassen sich überlagern zu den kombinierten Ketten. Maßgebend ist der Versagenszustand, der zur kleinsten plastischen Grenzlast oder zum größten erforderlichen plastischen Moment führt. Lösung Querschnittswerte (n. Tafel 2-8)

IPE 400 HEA 260

Mpl,d 285 201

Npl, d 1843 1894

Vpl, z, d 419 224

Abtriebskräfte aus Imperfektion1) A* = ϕ 0 ⋅ ¦ P = [(1/ 200) ⋅ (1 + 1/ 3) / 2] ⋅ 2 P = 0, 01 P

n. Tafel 3-1 und Gl. (2-3)

(n = 3 Stiele) Das aufnehmbare plastische Moment unter Berücksichtigung der (abgeschätzten) Querkraft ist nach Tafel 2-6a M pl,d,Vz = (1 − 0,37 ⋅ 0,5) ⋅ 285 / 0,88 = 264 kNm

1)

(ǿPE 400)

Da der Biegeknicknachweis für die Stiele nach dem Ersatzstabverfahren geführt werden soll, darf auf den Ansatz der Imperfektionen eigentlich verzichtet werden. Bei einem Nachweis nach Theorie II. Ordnung sind Imperfektionen jedoch zu berücksichtigen. Aus diesem Grund ist der Rechengang hier vorgeführt.

140

Stahlbau

Elementar- und kombinierte Ketten Die möglichen Elementarketten und die maßgebende kombinierte Kette sind im Bild 1-9a bis c dargestellt. P.d.v.V: für die kinematische Kette c

δ V Aa = 0,11 Pd ⋅1 ⋅ 4, 0 + Pd ⋅ 4, 0 / 2 = δ V Ai = M pl,d,Vz ⋅ (2 + 1) 2, 44 Pd = 3 ⋅ 264 Pd = 324,6 kN

6

Bild 1-9 Gelenkketten

Schnittgrößen AV = 324,6/2 – 264/4 BV = 2 ⋅ 324,6 – 96,3 – 132 M4 = 35,7 ⋅ 4 M1 = 96,3 ⋅ 2,0

Bild 5-10 Zustandslinien

= 96,3 kN = 420,9 kN = 142,8 kNm = 192,6 kNm

CV = 264/2 = 132 kN Bh = 0,11 ⋅ 324,6 = 35,7 kN M2, r = 132 ⋅ 4 – 324,6 ⋅ 2 = – 121,2 kNm

141

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

Nachweis an der Stelle 2: 0,88 ⋅ 264/285 + 0,37 ⋅ 228,3/419 = 1,02 ≈ 1,0 Biegeknicknachweis Stiel Die Knicklänge des Stieles muss bei der FG-Theorie an jenem System ermittelt werden, dass sich unmittelbar vor Ausbildung des letzten FG bildet. In den anderen FG sind reibungsfreie Gelenke anzunehmen. Die richtige Lage des letzten FG zeichnet sich dadurch aus, dass für dieses System eine charakteristische Verformung- z.B. die Horizontalverschiebung des Rahmenknotens- maximal wird. In unserem Fall bildet sich das letzte FG im Punkt 3. Die Knicklänge ist daher am statischen System, Bild 1-11, zu ermitteln

6

Bild 1-11 System beim Knicken

n. Tafel 32 c = 10450/23130 = 0,45;

n = 0,54

β = 1 + 0,96 ⋅ 0,54 ⋅ 4 + 2,8 ⋅ 0, 45 + 0, 08 ⋅ 0, 452 = 2,83 λ y = 2,83 ⋅ 400 /(11, 0 ⋅ 92,9) Linie b: κ y = 0,53 ;

= 1,11

βm = 1,0

N /(κ y ⋅ N pl,d ) = 420,9 /(0,53 ⋅1894)

= 0,42

ǻn = 0, 42 ⋅ (1 − 0, 42) ⋅ 0,532 ⋅1,112

= 0,08 < 0,1

0,42 + 1,0⋅142,8/201 + 0,08

= 1,21 > 1

Nachweis

Der Stiel muss kräftiger ausgeführt werden (mindestens HE280-A).

n. Gl. (1-2) bis (1-5) (Tragwerk verschieblich)

n. Gl. (3-16)

142

Stahlbau

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

Allgemeines

6

Bei stabilitätsgefährdeten Stäben oder Stabwerken ist nachzuweisen, dass sich das System im stabilen Gleichgewicht befindet. Zur Vereinfachung der Nachweise darf der i.a. räumliche Verformungszustand in die Fälle Biegeknicken (mit Verschiebungen w oder υ) und Biegedrillknicken (mit zusätzlichen Verdrehungen ϑ um die Stabachse) getrennt werden. Ausreichende Tragsicherheit kann nach den Verfahren Elastisch-Elastisch (E-E), Elastisch-Plastisch (E-P) oder PlastischPlastisch (P-P) nachgewiesen werden. Als Berechnungsverfahren stehen die Theorie II. Ordnung (fallweise unter Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion) oder die vereinfachten Ersatzstabnachweise zur Verfügung. Bei Letzteren werden die aus dem Tragwerk herausgelöst gedachten Einzelstäbe mit den Stabendschnittgrößen aus dem Gesamtsystem und den direkt auf dem Einzelstab einwirkenden Beanspruchungen unter Berücksichtigung realistischer Lagerungsbedingungen untersucht. Der Nachweis gegen Biegeknicken wird in der Praxis – zumindest bei Stabwerkenhäufig mit Hilfe von Stabwerkprogrammen mit Theorie II. Ordnung geführt, während das Biegedrillknicken i.d.R. über einen Ersatzstabnachweis behandelt wird. Bei Anwendung der Ersatzstabnachweise muss die Knicklänge sK (für Biegeknicken) und das ideale Biegedrillknickmoment MKi, y bekannt sein. Manche Rechenprogramme können MKi, y „genau“ berechnen, während die meisten sich jedoch der Hilfsmittel in DIN 18800 bedienen. Bei Untersuchungen nach Th. II. O. sind geometrische Ersatzimperfektionen (Vorkrümmungen wo oder υo, Vorverdrehungen ϕ0 oder beide gleichzeitig) und in den Steifigkeiten der Materialsicherheitsbeiwert γM zu berücksichtigen. Alternativ darf auch mit den γM-fachen Lasten gerechnet werden. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass bei den herkömmlichen Räumlichen Stabwerksprogrammen mit Theorie 2. Ordnung das Biegedrillknicken nicht erfasst ist. [2] enthält im Anhang eine systematische Zusammenstellung der wichtigsten Formeln zu den Tragsicherheitsnachweisen beim Knicken von Stäben und Staubwerken. Beispiel 2.1 Zur Wahl geometrischer Ersatzimperfektion; Bild 2-1 Imperfektionen sind so anzunehmen, dass sie sich auf die betrachtete Beanspruchung ungünstig auswirken. Sie soll möglichst affin zur 1. Knickeigenform (= Knickbiegelinie unter der kleinsten Verzweigungslast) sein. Da die meisten Rechenprogramme Module zur Berechnung der Knicklast und Knickeigenform haben, kann man mit ihrer Hilfe die richtige Vorverformung ermitteln. Es wird der Rahmen (als unverschieblicher bzw. verschieblicher) nach Bild 2-1 untersucht. Bild 2-1a, b zeigen die Abmessungen, allgemeine Belastung und Querschnitte sowie die Lagerung beim unverschieblichen System. In Bild 2-1c sind die maßgebenden Stielnormalkräfte angegeben. Bild 2-1d zeigt die 1. Eigenform des unverschieblichen Rahmens. Der Verzweigungslastfaktor (für alle Stäbe) beträgt ηKi = N Ki /N = 17, 28 . Mit sK = π ⋅ Eǿ/N Ki

erhält man z.B. für die Stäbe ແ und ໂ mit EIy = 21 ⋅ 103 ⋅ 13670 ⋅ 10−4

= 28707 kNm2

143

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

sK,ແ = ʌ ⋅ 28707 /(17, 28 ⋅ 400)

= 6,40 m = 1,6 · l1

sK,ໂ = ʌ ⋅ 28707 /(17, 28 ⋅ 1040) = 3,97 m = 0,79 · l2 Die Imperfektionen sind gemäß Bild 2-1d (oder spiegelbildlich) mit einem Verformungsstich nach [1], Tafel 16 anzusetzen. Sie dürfen auf 2/3 reduziert werden beim Nachweisverfahren E-E. Bild 2-1e zeigt die 1. Eigenform des verschieblichen Rahmens. In diesem einfachen Fall sind Imperfektionen als Stieldrehwinkel ϕo anzusetzen. Interessant sind hier lediglich die Knicklängen der Stiele ແ und ໂ. Mit ηKi = 2,24 erhält man für

sK,ແ = ʌ ⋅ 28707 /(2, 24 ⋅ 200) = 25,15 m = 6,29 ⋅ l1 und

sK,ໂ = ʌ ⋅ 28707 /(2, 24 ⋅ 540) = 15,30 m = 3,06 ⋅ l2

6

Bild 2-1 Zur Wahl von Imperfektionen: Rahmensystem, Abmessungen, Einwirkungen, Normalkräfte und Knickeigenformen

144

Stahlbau

Beispiel 2.2: Untersuchung eines Stabwerks nach Theorie ΙΙ. O. (Th. ΙΙ. O.): Bild 2-2 und 2-3: Die in Bild 2-2 dargestellte Kragstütze aus S235 mit angehängten Pendelstielen soll nach (Th. ΙΙ. O.) untersucht werden. Gesucht sind: 1. Knicklast und Knicklänge der Einspannstütze 2. Nachweis der Einspannstütze nach Th. ΙΙ. O. und dem Verfahren E-P 3. Abschätzung der Verformungen im Gebrauchszustand Angaben – Die Pendelstiele seien für sich knicksicher – Alle Stützenköpfe aus der Zeichenebene seitlich unverschieblich gehalten; – Biegedrillknicken sei konstruktiv ausgeschlossen – Ersatzlasten aus Imperfektionen sollen in den H-Lasten enthalten sein – Der gewichtete Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkungen sei γ F, m = 1,45

6

Die Aufgabe wird mit einfachen, baustatischen Mitteln per Hand gelöst, indem eine Verformungsfigur (w(ξ)) mit freiem Parameter δ geschätzt wird. In Bild 2-2b sind die Verformungsfigur und die einwirkenden Lasten bei Erreichen der Knicklast angegeben. Die Biegelinie wird über w(ξ) = δ · (2ξ – ξ2) abgeschätzt.

ξ = x/l

Bild 2-2 Rahme nach Theorie II. Ordnung (Th. II. O.)

145

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

Knicklast und Knicklänge Verformungen: w(0) = 0; w(1/2) = δ2 = 0,75 ⋅ δ ; ϑ = δ /l ; ϑ1 = δ /(0,5 l) = 2 ⋅ ϑ ;

w(1) = δ ; δ 2' = δ – 0,75 ⋅ δ = 0,25 ⋅ δ ' ϑ2 = δ 2 /(0,5 l) = 0,50 ⋅ ϑ

Abtriebskräfte der Pendelstiele: A1 = (0,25 PKi) ⋅ 2 ⋅ ϑ = 0,5 PKi ⋅ ϑ;

A2 = (0,5 PKi) ⋅ 0,5 ⋅ ϑ = 0,25 PKi ⋅ ϑ

Momentenbeanspruchung der Einspannstütze aus PKi, A1 und A2 Die einzelnen Lasten rufen in der Einspannstütze die in Bild 2-3 dargestellten M-Linien hervor. Die noch freie Stützenkopfverschiebung δ = ϑ ⋅ l wird mit Hilfe der Arbeitsgleichung, siehe [1], Kapitel 6, Abschn. 5.3, bestimmt:

6

Bild 2-3 M-Linien nach Th. II. O.

EΙy ⋅ ϑ = [l ⋅ ((5/12) + (1/3) ⋅ (1/2)) + 0,5 ⋅ l ((1/3) ⋅ (1/8) + (1/6) ⋅ (1/8) ⋅ (1/2))] ⋅ PKi ⋅ ϑ ⋅ l

ϑ [EΙy – (117/192) ⋅ PKi ⋅ l2] = 0 Im Knickfall ist ϑ ≠ 0 und die Knicklast PKi = (192/117) ⋅ EΙ/l2 EΙ = 21 ⋅ 103 ⋅ 23130 ⋅ 10–4 = 48573 kNm2; l = 6,0 m PKi = (192/117) ⋅ 48573/6,02 = 2214 kN sK = π ⋅ l ⋅

117 /192 = 2,45 ⋅ l = 14,71 m

* (Vergleich mit EDV: PKi = 2256 = 1,02 ⋅ PKi)

Nachweis der Stütze unter den gegebenen Lasten Die Einflüsse aus der Th. ΙΙ. O. sind mit den M-Linien für PKi vollständig beschrieben, wenn anstelle der (zuvor unbekannten) Knickklast PKi die tatsächliche Last Pd eingesetzt wird. Zusätzlich sind die M-Beanspruchungen aus den horizontalen Einwirkungen zu berücksichtigen (siehe Bild 2-3c):

146

Stahlbau

Pd = 650 kN;

Hd = 25 kN

(EΙ )d = 48573/1,1 = 44157 kNm2 (EΙ )d ⋅ ϑ II = (117/192) ⋅ Pd ⋅ ϑ II ⋅ l2 + Hd ⋅ l ⋅ l ⋅ [(1/3) ⋅ (1/2) + (1/3) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2)

ϑ ΙΙ

+ (1/6) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2)] 13 1 = ⋅ Hd ⋅ l 2 ⋅ 48 ( E Ι )d − 117 ⋅ Pd ⋅ l 2 /192

13 1 ⋅ 25 ⋅ 6, 02 ⋅ = 0, 0082 48 44157 − 117 ⋅ 650 ⋅ 6, 02 /192 Die Zusatzmomente an der Einspannstelle sind

ϑ ΙΙ =

ǻM EII = Pd ⋅ ϑ II ⋅ l ⋅ (1 + 1/ 2 + 1/ 8) = 13 Pd ⋅ ϑ II ⋅ l / 8 Das gesamte Moment an der Einspannung ist dann

6

M EII = H d ⋅ l + ǻM EII = 25 ⋅ 6, 0 + 13 ⋅ 650 ⋅ 0, 0082 ⋅ 6, 0 / 8

= 150 + 52 = 202 kNm Mpl, d = 285 kN Npl, d = 1843 kN;

n. Tafel 2-8

Nachweis 650/1843 + 0,9 ⋅ 202/285 = 0,99 < 1

n. Tafel 2-6a

Gebrauchstauglichkeit Mit Pk = 650/1,45 = 448 kN; Hk = 25/1,45 = 17,24 kN und EΙ = EΙk

ϑ ΙΙ = δ

13 1 ⋅17, 24 ⋅ 6, 02 ⋅ 48 48573 − 117 ⋅ 448 ⋅ 6, 02 /192

= 0,0043 (< 0,0082/(1,45 ⋅ 1,1) = 0,0051) = 0,0043 ⋅ 600 = 2,6 cm (식 h/230)

Beispiel 2.3: Aussteifung einer Halle; Bild 2-4 und 2-5: in Längsrichtung durch Einspannstiele; Material S355. Neben dem Tragsicherheitsnachweis nach Th. ΙΙ. O. sind die Knicklast und die Knicklängen der Stiele zu bestimmen. Die Gebrauchstauglichkeit ist zu kontrollieren.

Bild 2-4 Aussteifung einer Halle

147

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

Knicklast, Knicklängen Die Knickfigur und die Beanspruchung der Einzelstiele (einschl. der unbekannten Koppelkraft X ) sind in Bild 2-5 dargestellt. Es wird eine Parabel 2. Ordnung als Knickbiegelinie unterstellt.

Bild 2-5 Verformungsfigur und M-Linien

Aus der Gleichheit der Stützenkopfverschiebungen erhält man die Unbekannte X :

6

ϑ1 = [5 /12 ⋅ PKi ⋅ ϑ ⋅ h + 1/ 3 ⋅ X ⋅ h] ⋅ h /( E Ι 1 ) = [ (5 /12) ⋅ 2 PKi ⋅ ϑ ⋅ h + (1/ 3) ⋅ (10 P ⋅ ϑ − X ) ⋅ h ] ⋅ h /( E Ι 2 ) = ϑ2 Mit n = Ι1/Ι2 = 13251/17976 = 0,7371 erhält man X = 5 ⋅ PKi ⋅ ϑ ⋅ (10 n − 1) /[4 ⋅ (1 + n)] X wird in die Beziehung für ϑ1 (oder ϑ2) eingesetzt und die Gleichung nach PKi aufgelöst. Man erhält

ϑ1 = ϑ = PKi =

5 ⋅ PKi ⋅ h 2 12 E Ι 1

ª 10 n − 1 º ⋅ «1 + ⋅ϑ 1 + n »¼ ¬

12 Eǿ1 1 + n ⋅ 5 ⋅ h2 11 n

[2-1]

Mit EΙz, 1 = 13251 kNm2 und EΙz, 2 = 17976 kNm2 erhält man PKi = 12 ⋅ 13251 ⋅ (1 + 0, 7371) /[5 ⋅ 5, 02 ⋅ 11 ⋅ 0, 7371)] = 272,5 kN und sK, ແ = ʌ ⋅ 13251/ 272,5 = 21,90 m = 4,38 ⋅ h sK, ໂ = ʌ ⋅ 17976 /(2 ⋅ 272,5) = 18,04 m = 3,61 ⋅ h Tragsicherheitsnachweis nach Th. ΙΙ. O. Die Ersatzimperfektion von ϕ0 = 1/200 ⋅ r2 wird über eine gleichwertige Ersatzlast Hϕ0 berücksichtigt. Beim Nachweisverfahren E-E ist ϕ0 auf 2/3 ϕ0 reduzierbar; in Gl. (2-3) ist für n = 12 (= Anzahl der Stiele) zu setzen: Hϕ0

1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ (1 + 1/12) ⋅ 13 ⋅ 112,5 = 3,15 kN 200 3 2

Hd,E = Hd + Hϕ0 = 31,85 + 3,15 = 35,0 kN Die Horizontallast wird näherungsweise auf die Stiele entsprechend ihrer Biegesteifigkeit aufgeteilt; es wird mit dem γM = 1,1-fachen Lasten gerechnet. Hd, E, 1 = 1,1 ⋅ 35 ⋅ 13251/(13251 + 17976) = 16,34 kN; Hd,E,2 = 22,16 kN

148

Stahlbau

MH, 1 = 16,34 ⋅ 5, 0 = 81,7 kNm; MH, 2 = 110,8 kNm EΙ1⋅ϑ =

5 ⋅ γ M ⋅ Pd ⋅ h 2 ⋅ 11 ⋅ n 1 ⋅ ϑ + ⋅ M H, 1 ⋅ h 12 ⋅ (1 + n) 3

=

5 ⋅ 1,1 ⋅ 11 ⋅ 0, 7371 ⋅ 112,5 ⋅ 5, 02 ⋅ ϑ + 81, 7 ⋅ 5, 0 / 3 12 ⋅ (1 + 0, 7371)

ϑ ⋅ [EΙ1 – 6017] = 136,17 ϑ = 0,0188 X = 5 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 ⋅ (7,371 − 1) /(4 ⋅ 1, 7371) = 10,67 kN Damit betragen die Einspannmomente um die z-Achsen ME, 1 = 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 ⋅ 5, 0 + 10, 67 ⋅ 5, 0 + 81, 7 = 146,7 kNm ME,2 = 2 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 ⋅ 5, 0 + (10 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 − 10, 67) ⋅ 5, 0 + 110,8

6

= 197 kNm Nachweise:

σE, 1 = 1,1 ⋅ 112,5 /112 + 14670 / 421 = 35,95 kN/cm2 < 36,0 kN/cm2 σE, 2 = 2 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 /159 + 19700 / 571 = 36,06 kN/cm2 ≈ 36,0 kN/cm2

Gebrauchstauglichkeit Die Stützenkopfverschiebungen unter Gebrauchslasten (mit γ F = 1,35) werden auf der sicheren Seite abgeschätzt:

δ h ≤ 0, 0188 ⋅ 500 ⋅ 31,85 /(1,1 ⋅ 1,35 ⋅ 35, 0) = 5,76 cm = h/87 Die Verformungen sind zu groß. Beispiel 2.4: Nachweis einer Gitterstütze (Rahmenstütze) aus S235; Bild 2-6 Die 7,0 m lange Stütze ist im Fall A fachwerkartig ausgekreuzt und im Fall B über Bindebleche zu einem Vierendelrahmen verbunden. Die Berechnung erfolgt nach [1], Abschn. 3.3. Es sei sK, z = 7,0 m = 2⋅sK, y Fall A – Gitterstütze AG = 42,3 cm2; Ιz, G = 248 cm4; iz = i1 = 2,42 cm; iy = 9,22 cm AD = 1,0 ⋅ 7,0 = 7,0 cm2; min Wz = 39,6 cm3 Knicken senkrecht zur Stoffachse (= Knicken um y-Achse) – λy = 0,5 ⋅ 700 /(9, 22 ⋅ 92,9) = 0,41; Linie c: κy = 0,892 Npl, d = 2 ⋅ 42,3 ⋅ 24, 0 /1,1 = 2 ⋅ 923 = 1846 kN Nachweis : 1200/(0,892 ⋅ 1846) = 0,73 < 1

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

149

6

Bild 2-6 Mehrteiliger Druckstab

Knicken senkrecht zur stofffreien Achse (= Knicken um z-Achse)

η = 0; Iz = I z* = 2 ⋅ 42,3 ⋅ (20,46/2)2 = 8854 cm4 * = 21 ⋅ 103 ⋅ 8854 ⋅ 10–4/1,1 = 16903 cm3 EI z, d

Wz,* d = 8854/10,23 = 865 cm3 * = 2 ⋅ 21 ⋅ 103 ⋅ 7,0 ⋅ 0,866 ⋅ 0,52 = 63651 kN Sz, d

NKi, z, d =

1 = 3232 kN 7, 02 1 + ʌ 2 ⋅ 16903 63651

υ0 = l/500 = 700/500 = 1,40 cm

150

Stahlbau

Schnittgrößen am Gesamtstab Mz =

1200 ⋅ 1, 4 = 2672 kNcm 1 − 1200 / 3232

max Vy = π ⋅ 2672/700 = 12 kN Nachweis des Einzelgurtes λ K, 1 = 100 /(2, 42 ⋅ 92,9) = 0,445; Linie c: κ = 0,873

NG = 1200/2 + 2672 ⋅ 42,4/865 = 731 kN Nachweis: 731/(0,873 ⋅ 923) = 0,91 < 1 Nachweis der Vergitterung ND = max Vy/(2 ⋅ sin 30° ) = 12/(2 ⋅ 0,5) = 12 kN min i = 0,289 ⋅ t = 0,289 cm

6

λ D = 49,74/(0,289 ⋅ 92,9) = 1,851; Linie c: κ = 0,224 Npl, d = 7,0 ⋅ 24,0/1,1 = 153 kN Nachweis: 12/(0,224 ⋅ 153) = 0,35 < 1 Anschluss der Diagonalen: 1 × M16, 5.6, SLP oder gleichwertige Schweißnähte. Fall B – Rahmenstütze (Bild 2-6d) yS = 20,46/2 = 10,23 cm Ιz = 2 ⋅ (42,3 ⋅ 10,232 + 248) = 9350 cm4; A = 2 ⋅ 42,3 = 84,6 cm2 iz = 9350 / 84, 6 = 10,51 cm

λz = 700/10,51 = 66,6 < 75; η = 1; I z = I z* * = 21 ⋅ 103 ⋅ 9350 ⋅ 10–4/1,1 = 17850 kNm2 EI z, d

Wz,* d = 9350/10,23 = 914 cm3 * = 2 ⋅ ʌ 2 ⋅ 21 ⋅ 103 ⋅ 248 /(1,1 ⋅ 702 ) = 19073 kN Sz, d

1 = 3025 kN 7, 02 1 + ʌ 2 ⋅ 17850 19073 Schnittgrößen am Gesamtstab

NKi, z, d =

Mz =

1200 ⋅ 1, 4 = 2785 kNcm 1 − 1200 / 3025

max Vy = π ⋅ 2785/700 = 12,5 kN Nachweis des Einzelgurtes NG = 1200/2 + 2785 ⋅ 42,4/914 = 729 kN Nachweis: 729/(0,873 ⋅ 923) = 0,90 < 1 Nachweis des Endfeldes (x = 0,7 m) Mz(x) = 2785 ⋅ sin(π ⋅ 0,7/7,0) = 861 kNcm MG = (12,5/2) ⋅ (70/2) = 219 kNcm

n. Gl. (3-26)

151

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

NG = 1200/2 + 861 ⋅ 42,3/865 = 642 kN Nachweis: σ = 642/42,3 + 219/39,6 = 20,71 kN/cm2

σ /σR, d = 20,71/(24,0/1,1) = 0,95 < 1 Anschluss der Bindebleche Umlaufende Kehlnaht a = 4 mm Beispiel 2.5: Hallenrahmen; Bild 2-7 bis 2-10 Der in Bild 2-7a dargestellte Hallenrahmen aus S235 soll in den wesentlichen Elementen nachgewiesen werden. In den Horizontallasten ist eine Schiefstellung ϕ0 der Stiele bereits eingerechnet. Der Rahmen wird zunächst mit Hilfe eines Stabwerksprogramms nach Th. ΙΙ. O. und den γ F ⋅ γM = 1,35 ⋅ 1,1 = 1,485-fachen Lasten durchgerechnet. Das Programm berücksichtigt hierbei die 1,5 m langen Vouten, deren Querschnitte am Voutenanfang und -ende in Bild 2-7b dargestellt sind. Das Eigengewicht der Konstruktion wird vom Programm direkt erfasst.

Bild 2-7 Hallenrahmen

In Bild 2-8 sind die Ergebnisse der EDV-Berechnung dargestellt. Die geringfügige Überschreitung der Vergleichsspannung am Voutenanfang (σv/fy, k = 249,03/240 = 1,04) ist mit Rücksicht auf die plastischen Querschnittsreserven unbedenklich. Mit den Spannungen aus den Schnittgrößen nach Th. ΙΙ. O. ist das Biegeknicken des Rahmens (in Zeichenebene) sowohl für den Riegel, als auch für den Stiel abgedeckt. Für sie ist jedoch noch der Biegedrillknicknachweis erforderlich. Dieser soll für beide Elemente per Hand vorgeführt werden.

6

152

Stahlbau

Bild 2-8 Schnittgrößen und Spannungen aus EDV-Berechnung

6

Biegedrillknicknachweis Rahmenriegel Der Nachweis wird unter Berücksichtigung der angeschlossenen Randglieder (= Pfetten und Dachverband) geführt.

Bild 2-9 Ersatzsäbe beim Biegedrillknicknachweis

Voraussetzungen (s. Bild 2-9a) – gerader Rahmenriegel ohne Berücksichtigung der Voute (ΙPE360) – stahlbaumäßig befestigte Durchlaufpfetten (ΙPE160) im Abstand von b = 2,57 m – Dachverband mit gekreuzten Diagonalen (L60 × 6) soll 5,0 Rahmenriegel stabilisieren; Rahmenabstand 6,0 m – Gabellagerung an den Stabenden Vorwerte für ΙPE360 EΙy = 34167 kNm2; EΙz = 2184 kNm2; EΙω = 65,86 kNm4 GΙT = 30,21 kNm2 h = 0,36 – 0,0127 = 0,347 m; l = 18,0 m Drehbettung cϑ aus Pfetten ΙPE160 nach [2] k = 6 (Anzahl der Innenpfetten) 6 + 1 21, 0 ⋅ 8,1 ⋅ 106 17 ⋅ ⋅ ⋅ (0,8 ⋅ 1, 27)3 = 21 kNm/m 1800 3 34, 7 (Drehbettung aus Profilverformung) cϑ , P, k =

21 ⋅ 103 ⋅ 869 ⋅ 10−4 ⋅ 4, 0 = 473 kNm/m 6, 0 ⋅ 2,57 (Drehbettung aus Biegesteifigkeit Pfette) cϑ , M, k =

cϑ,A,k = ∞ (stahlbaumäßiger Anschluss der Pfetten)

153

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

vorh cϑ,k = 1/(1/473 + 1/21) = 20,11 kNm/m erf cϑ,k = (1,1 ⋅ 222)2 ⋅ 3,5 ⋅ 0,35/2184 = 33,45 kNm/m > 20,11 kNm/m Der Rahmenriegel ist durch die angeschlossenen Pfetten nur drehelastisch gebettet; die Verdrehung ϑ des Riegels ist also nicht vollständig ausgeschlossen. Schubsteifigkeit des Dachverbandes nach [3], Tafel 3-4 AD = 6,91 cm2; d = 6, 02 + 2,57 2 = 6,53 m; Av = 20,1 cm2 sin α = 6,0/6,53 = 0,92; cos α = 2,57/6,0 = 0,43; tg α = 6,0/2,57 = 2,33 S* =

21 ⋅ 103 = 40892 kN 1 2,33 + 6,91 ⋅ 0,922 ⋅ 0, 43 20,1

Pro Rahmenriegel entfällt bei n = 5 hiervon S = 40892/5 = 8178 kN 2

70 § ʌ · 2 2 erf S ≥ ¨ ¸ ⋅ [65,86 + 30, 21 ⋅ (18, 0/ʌ) + 0, 25 ⋅ 0,347 ⋅ 21,84] ⋅ 2 18, 0 0,347 © ¹ = 19893 kN n. Gl. (3-9)

erf S ≥ 10,18 ⋅ (1,1 ⋅ 222) / 0,347 − 4,31 ⋅ 2184 ⋅ [ 1 + 1,86 ⋅ 4, 78 / 0,347 2 − 1] /18, 02 = 6942 kN n. [3], Gl. (6.18) 2 2 2 = (π ⋅ 65,86 + 30,21 ⋅ 18,0 )/2184 = 4,78 m (Nach [3] ist die erforderliche Schubsteifigkeit zur Verhinderung der seitlichen Verschiebung des Rahmenriegelobergurtes wesentlich geringer als nach DIN 18800-2 ([1]). Mit vorh S = 8178 kN > erf S = 6942 kN wäre der Obergurt seitlich gehalten; es handelt sich dann um den Fall einer gebundenen Kippung). Mit dem Ergebnis nach [1] ist vorh S = 8178 kN < erf S = 19893 kN und der Riegelobergurt ist danach seitlich nur elastisch gestützt. Die vorhandene Drehbettung und Schubsteifigkeit wird (näherungsweise) in eine ideelle Torsionssteifigkeit umgerechnet, siehe [2]: c2

cy, k = 8178 ⋅ (π/18,0)2 = 249 kN/m2

n. [2], Gl. (8.19)

18002 ΙT, id = 37,3 + [20,11 + 249 ⋅ 0,182] ⋅ = 1179 cm4 ʌ ⋅ 8,1 ⋅ 103

Das ideale Biegedrillknickmoment wird nach [1], Gl. (3-13b) bestimmt: Stabendmomente siehe Bild 2-8 MA = – 269,3 kNm; MB = – 342,3 kNm qd = [(3,0 + 0,6) + 4,5] ⋅ 1,485 = 12,0 kN/m (incl. Riegeleigengewicht) c2 = (313,6 ⋅ 103 + 0,039 ⋅ 18002 ⋅ 1179)/1040 = 14,35 ⋅ 104 cm2 = 14,35 m2 G1 = [– (269,3 + 342,3)/2 + 12,0 ⋅ 18,02/9,2]2 = 13,64 ⋅ 103 kNm2 G2 = 12,0 ⋅ (– 0,18)/(2 ⋅ π2) = – 0,11 kN 14,35 = 1,37 ⋅ 10–4 G3 = 18, 04

n. Gl. (3-6)

νKi = ʌ 2 ⋅ 2184 ⋅[−0,11 ± 0,11 2 + 13, 64 ⋅103 ⋅1,37 ⋅10−4 ] /13, 64 ⋅103 = 1,99 n. Gl. (3-13b)

6

154

Stahlbau

Wird die Momentenlinie des Rahmenriegels – siehe Bild 2-8d- mit υKi = 1,99 multipliziert, erhält man den Beanspruchungszustand beim Kippen (= MKi, y). An der Stoßstelle gilt: MKi, y = 1,99 ⋅ 213,8 = 425,5 kNm

λ M = 1,1 ⋅ 222 / 425,5 = 0,76

n. Gl. (1-8)

1/ 2,5

§

· 1 ¸ © 1 + 0, 762⋅ 2,5 ¹

κM = ¨

= 0,91

n. Gl. (3-8)

Nachweis: 213,8/(0,91 ⋅ 1,1 ⋅ 222) = 0,96 < 1 (Vergleich EDV. Mit genauer Ermittlung von MKi, y einschl. Drehbettung, Wegfedern und Vouten: MKi, y = 464 kNm, Nachweis: 0,90 < 1).

6

Biegedrillknicknachweis rechter Rahmenstiel (Bild 2-9b) Vorraussetzungen – Rahmeneckpunkt durch Wandverband seitlich gehalten – sK, z = 4,62 m – Stabendschnittgrößen: N = 117,6 kN; My = (–) 342,3 kNm – Gabellagerung an den Stabenden Vorwerte für ΙPE450 Npl = 1,1 ⋅ 2156 = 2372 kN;

Mpl, y = 1,1 ⋅ 371 = 408 kNm

EΙz = 3528

iz = 4,12 cm = 0,0412 m

kNm2

c2 = (791 ⋅ 103 + 0,039 ⋅ 4622 ⋅ 66,9)/1680 = 802 cm2 = 0,08 m2

n. Gl. (3-6)

Biegedrillknicknachweis NKi, z = π2 ⋅ 3528/(4,62)2 = 1631 kN;

zp = 0 (keine Querlast)

ψ = 0: ξ = 1,77

n. Tafel 3-12

MKi, y = 1,77 ⋅ 1631 ⋅ 0, 08 = 816 kNm

n. Gl. (3-13)

λ M = 408 / 816 = 0,71

κM = 0,94

βM = 1,8

(ψ = 0)

λK

2372 /1631 = 1,21

Linie b: κz = 0,48

n. Gl. (1-8) und (3-8) n. Tafel 3-14 n. Gl. (1-5) n. Gl. (3-7), (3-8)

ay = 0,15 ⋅ (1,21 ⋅ 1,8 – 1) = 0,18 < 0,9 ky = 1 – 0,18 ⋅ 117,6/(0,48 ⋅ 2372) = 0,98 < 1 Nachweis: 117,6/(0,48 ⋅ 2372) + 342,3 ⋅ 0,98/(0,94 ⋅ 408) = 0,98 < 1 (Vergleich EDV: 0,95 < 1) Abschließend soll noch gezeigt werden, dass ein so einfacher Rahmen auch noch schnell und zuverlässig per Hand behandelt werden kann. Die γ F ⋅ γ M-fachen Lasten einschl. des Riegeleingengewichts und der Stieleingengewichte sind in Bild 2-10 eingetragen. Wegen der im Voutenbe-

155

3 Verbundkonstruktionen

reich geneigten Stabachse wird mit einer gemittelten Rahmenhöhe von h' = 4,81 m gerechnet. Der Rechengang wird kommentarlos mitgeteilt (EDV-Ergebnisse in Klammer)

12,0

9,4

IPE 360 IPE 450

6,0

5,6

4,81

6,0

Bh 18,0

BV

Bild 2-10 Vereinfachtes System für Handrechnung

k = 16270 ⋅ 4,81/(33740 ⋅ 18) = 0,13

c = 1/k = 7,76

Bv = 12,0 ⋅ 18,0/2 + 6,0 + 15,0 ⋅ 4,81/18,0 = 118 kN (117,6) Bh =

12, 0 ⋅ 18, 02 + 15, 0/2 = 62,0 + 7,5 = 69,5 kN (74,4) 4 ⋅ 4,81 ⋅ (2 ⋅ 0,13 + 3)

β = 4 + 1, 4 ⋅ 7,76 + 0,02 ⋅ 7,762 = 4,01 EΙy = 21 ⋅ 103 ⋅ 33740 ⋅ 10–4 = 70854 kNm2 NKi, y = π2 ⋅ 70854/(4,01 ⋅ 4,81)2 = 1880 kN MEck = – [62 ⋅ 4,81 + 7,5 ⋅ 4,81 ⋅ 1/(1 – 118/1880)] = – 336,7 kNm (342,3) [Fehler: – 1,6 %] Man beachte, dass in MEck die Th. ΙΙ. O. nur in den antimetrischen Lastanteilen von Einfluss ist.

3 Verbundkonstruktionen Es werden Verbundkonstruktionen des Hochbaus behandelt. Der Abschn. 5 in [1] basiert auf dem Eurocode 4 (EC 4), wobei Sonderregelungen nach dem Nationalen Anwendungsdokument (DASt -Ri 104) hier eingearbeitet sind. Beispiel 3.1: Einfeldträger mit Pendelstütze; Bild 3-1 Für den einfeldrigen Verbundträger mit Ortbetonplatte und die ausbetonierte Rundrohrstütze werden die wichtigen Tragsicherheits- und Verbundsicherungsnachweise geführt. Die Herstellung des Verbundträgers erfolgt ohne Eigengewichtsverbund, wobei der Stahlträger für die Last gk überhöht werden soll. Dabei sind Schwinden und Kriechen näherungsweise zu erfassen.

6

156

Stahlbau

6

Bild 3-1 Verbund - Einfeldträger mit Verbundstütze

Berechnung des Verbundträgers, Tragsicherheitsnachweise

σa, Rd = 23,5/1,1 = 21,36 kN/cm2 σc, Rd = 0,85 ⋅ 2,5/1,5 = 0,85 ⋅ 1,667 = 1,42 kN/cm2 σS, Rd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2 had

= 0,33/2 + 0,15 = 0,315 m

Za

= 133 ⋅ 21,36 = 2841 kN

x

= 2841/(1,42 ⋅ 175) = 11,43 cm < 15,0 cm

n. Gl. (5-2), (5-3) u. Tafel 5-1 bis 5-3 (Mattenbewehrung BSt 500M)

n. Bild 5-3

Mpl, Rd = 2841 ⋅ (0,315 – 0,1143/2) = 732,5 kNm Vpl, Rd = 1,04 ⋅ 33 ⋅ 0,95 ⋅ 21,36/ 3 = 402 kN qd

= 1,35 ⋅ 30 + 1,5 ⋅ 12 = 58,5 kN/m

MSd

= 58,5 ⋅ 10,02/8 = 731,25 kNm

VSd

= 58,5 ⋅ 10,0/2 = 292,5 kN

n. Gl. (5-7), (5-8) n. Tafel 2-1

Nachweis: MSd/Mpl, Rd = 731,25/732,5 ≈ 1,0 VSd/Vpl, Rd = 292,5/402 = 0,73 < 1 Verbundsicherung = 2841 kN Vl PR, d

= [0,29 ⋅ 1,0 ⋅ 192 ⋅

25 ⋅ (30,5 ⋅ 103 ) /1,25] ⋅ 10–3 = 73,1 kN

Nf e

= 2841/73,1 = 38,86; = (5000 – 300)/(40/2)

Nf = 40 Dübel zweireihig e = 235 mm

n. Gl. (5-18b)

157

3 Verbundkonstruktionen

Dübelumrissfläche Acv, 1 = (3,2 + 2 ⋅ 10) ⋅ 100/1,0 = 2320 cm2/m Acv, 2 = (3,2 + 19 + 2 ⋅ 10) ⋅ 100/1,0 = 4220 cm2/m < 2 ⋅ 2320 cm2/m

τRd υ (υRd υSd

= 0,09 ⋅

3

25 = 0,263 N/mm2 = 0,0263 kN/cm2

= 2,5 ⋅ 4220 ⋅ 1,0 ⋅ 0,0263 = 277,5 kN/m n. Gl. (5-28a) = 0,2 ⋅ 4220 ⋅ 1,0 ⋅ (1,42/0,85) = 1407 kN/m) n. Gl. (5-3) mit ac = 1,0 = 2 ⋅ 73,1/0,235 = 622 kN/m > 277,5 kN/m (622 − 277,5) / 2 = 3,96 cm2/m (zweischnittig) erf as = 43, 48 gewählt: 2Q221 mit as = 4,42 cm2/m > 3,96 cm2/m η = 4,42 ⋅ 100/1500 = 0,29 % > 0,2 % Plattenanschnitt (Außenkante Flansch) = (1750 – 300)/(2 ⋅ 1750) = 0,41 b' υSd = 2 ⋅ 73,1 ⋅ 0,41/0,235 = 255 kN/m υRd = 2,5 ⋅ 15 ⋅ 100 ⋅ 1,0 ⋅ 0,0263 + 4,42 ⋅ 43,48 = 291 kN/m υSd/VRd = 255/291 = 0,88 < 1 Überhöhung für Eigengewicht gk Unter Langzeitlast dürfen die Verformungen mit Ec' = Ecm/3 berechnet werden. Die Berechnung erfolgt über einen ideelen Gesamtquerschnitt, indem über das Verhältnis n = Ea/Ec der Betongurt in eine ideelle Stahlfläche umgewandelt wird, siehe [3], Abschn. 8.4.3.1. n = 21 ⋅ 103/(1/3 ⋅ 3050) = 20,66 Ac = 15 ⋅ 175 = 2625 cm2 Acn = 2625/20,66 = 127 cm2 Ιc = 175 ⋅ 15 ⋅ 0,152/12 = 4,92 cm2m2 Ιcn = 4,92/20,66 = 0,238 cm2m2 Aa = 133 cm2 Ιa = 27690 cm4 = 2,769 cm2m2 = Aa za = 7,5 + 33/2 = 24 cm = 0,24 m zst = za Ast = 133 + 127 = 260 cm2 Ai zi = 133 ⋅ 0,24/260 = 0,123 m Si = (127 ⋅ 133 ⋅ 0,24/260)/100 = 15,59 cm2m Ιi = 2,769 + 0,238 + 15,59 ⋅ 0,24 = 6,75 cm2m2 (EaΙ )i = 21 ⋅ 103 ⋅ 6,75 = 141750 kNm2 5 30 ⋅ 104 ⋅ = 0,03 m (Überhöhung in Feldmitte) 384 141750 Berechnung der Verbundstütze Der Umschnürungseffekt wird zunächst vernachlässigt: η10 = 0; η20 = 1 d/t = 508/6 = 84,7 < 90 (ε = 1) -kein Beulen n. Tafel 5-8 Aa = 94,6 cm2 Ιa = 2,9812 cm2m2 dc = 508 – 2 ⋅ 6 = 496 mm Ac = π ⋅ 49,62/4 = 1932 cm2 Ιc = π ⋅ (49,6/2)2 ⋅ (0,496/2)2/4 = 29,71 cm2m2 Npl, Rd = 94,6 ⋅ 21,36 + 1932 ⋅ 1,667 = 2020,6 + 3220,6 = 5241 kN n. Gl. 5-34 Npl, R = 94,6 ⋅ 23,5 + 1932 ⋅ 2,5 = 7053 kN 0,2 < δ = 2020,6/5241 = 0,39 < 0,9 -echte Verbundstütze

fgk

=

6

158

Stahlbau

(EΙ )eff = 21 ⋅ 103 ⋅ 2,9812 + 0,8 ⋅ 3,05 ⋅ 103 ⋅ 29,71/1,35 = 116,3 ⋅ 103 kNm2 Ncr

= π2 ⋅ 116,3 ⋅ 103/3,52 = 93701 kN

λ

= 7053 / 93701 = 0,27 < 2,0

η10 η20

= 4,9 – 18,5 ⋅ 0,27 + 17 ⋅

0,272

Linie a: κ = 0,984 = 1,14 > 1

= 0,75 + 0,5 ⋅ 0,27 = 0,89 < 1

6 23,5 · § Npl, Rd = 2020,6 ⋅ 0,89 + 3220,6 ⋅ ¨1 + 1,14 ⋅ ⋅ ¸ = 5426 kN 508 2,5 ¹ ©

NSd = 1,35 ⋅ (2365 + 30 ⋅ 10) + 1,5 ⋅ (915 + 12 ⋅ 10) = 5150 kN Nachweis: NSd/(κ ⋅ Npl, Rd) = 5150/(0,984 ⋅ 5426) = 0,96 < 1

6

Beispiel 3.2: Verbunddurchlaufträger; Bild 3-2 und 3-3 Für den im Bild 3-2 dargestellten Durchlaufträger (in Abständen von 5,0 m) sind die Tragsicherheitsnachweise mit Hilfe der Fließgelenktheorie (FG-Theorie) unter Berücksichtigung der Querkräfte zu führen. Plastische Grenzschnittgrößen

σa, Rd = 23,5/1,1 = 21,36 kN/cm2 bzw. σa, Rd = 35,5/1,1 = 32,27 kN/cm2 σc, Rd = 0,85 ⋅ 3,0/1,5 = 1,70 kN/cm2: σs, Rd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2 Plastische Grenzschnittgrößen für die Stahlprofile nach [1], Tafel 2-8, umgerechnet über die Streckgrenzenverhältnisse (EC 4-DIN 18800-1)

α = 23,5/24

bzw. α = 35,5/24

Bild 3-2 Verbund-Durchlaufträger

159

3 Verbundkonstruktionen

HE500 A Npl, a, Rd Vpl, z, Rd* Mpl, a, Rd

S235 4219 754 843

S355 6374 1139 1274

[kN, kNm]

* nach EC 4, siehe Gl. (5-7), (5-8)

Mittragende Breiten nach [1], Bild 5-2 Außenfeld: Innenfeld: Stütze:

¦ beff ¦ beff ¦ beff

= 2 ⋅ (0,8 ⋅ 16) / 8 = 3,20 m < 5,0 m = 2 ⋅ (0, 7 ⋅ 16) / 8 = 2,80 m < 5,0 m = 2 ⋅ (0,8 ⋅ 16) / 8 = 2,00 m < 5,0 m

Außenfeld

Innenfeld ha, d = 0,2 + 0,49/2 = 0,445 m x = 6374/(1,7 ⋅ 320) = 11,72 cm < 14,9 cm x = 4219/(1,7 ⋅ 280) = 8,86 cm Mpl, Rd = 6374 ⋅ (0,445 – 0,1172/2) Mpl, Rd = 4219 ⋅ (0,445 – 0,0886/2 = 2463 kNm = 1691 kNm

Das plastische Moment über der Stütze wird anhand der Spannungsblöcke – siehe Bild 3-2c – ermittelt (plastische Nulllinie im Trägerflansch) Zs, 1 = 12,57 ⋅ 2,0 ⋅ 43,48 = 1093 kN Zs, 2 = 8,04 ⋅ 2,0 ⋅ 43,48 = 699 kN Nf = 2 ⋅ tf ⋅ bf ⋅ σa, Rd = 2 ⋅ 2,3 ⋅ 30 ⋅ 21,36 = 2948 kN Plast. Nulllinie: 1792 + x ⋅ 30 ⋅ 21,36 = 4219 – x ⋅ 30 ⋅ 21,36

x = 1,9 cm < 2,3 cm

N f' = 2 ⋅ 1,9 ⋅ 30 ⋅ 21,36 = 2435 kN

Mpl, Rd = 4219 ⋅ 0,445 – 2435 ⋅ 0,2095 – 699 ⋅ 0,12 – 1093 ⋅ 0,04 = 1240 kNm Plast. Moment ohne Steganteil Mf, Rd Aa = 2 ⋅ 2,3 ⋅ 30 = 138 cm2; 1792 + x ⋅ 30 ⋅ 21,36 = 2948 – x ⋅ 30 ⋅ 21,36

Za = 138 ⋅ 21,36 = 2948 kN x = 0,9 cm < 2,3 cm

N f' = 2 ⋅ 0,9 ⋅ 30 ⋅ 21,36 = 1153 kN

Mf, Rd = 2948 ⋅ 0,445 – 1153 ⋅ 0,2045 – 699 ⋅ 0,12 – 1093 ⋅ 0,04 = 948 kNm Bestimmung der plast. Grenzlast qpl, d Sie wird zunächst ohne den Einfluss der Querkraft auf das plast. Moment über der Stütze ermittelt. Das FG in den Außenfeldern wird vereinfacht in Feldmitte angenommen. A qpl,d

I qpl,d

1 A

16,0

VB,I

1001

1 2

1001 8,0

1691 8,0

1001

Bild 3-3 Zur Bestimmung der plastischen Grenzlast

6

160

Stahlbau

Es wird unterstellt, dass sich unter den gegebenen Lasten über der Stütze ein FG ausbildet. A = 80 ⋅ 16/2 – 1240/16 = 562 kN VB, l = 80 ⋅ 16 – 562 = 718 kN = | max V | Mpl, Rd, Vz = 948 + (1240 – 948) ⋅ [1 – (2 ⋅ 718/754 – 1)2] = 1001 kNm Außenfeld A ⋅ 16 ⋅ 8, 0 / 2 = 1001 + 2 ⋅ 2463 = δ A δvAa = qpl, v i d A qpl, d = 92,6 kN/m

Innenfeld I qpl, d = 2 ⋅ (1001 + 1691)/(16 ⋅ 4) = 84,13 kN/m

6

(maßgebend)

Nachweis I qsd / qpl, d = 80/84,13 = 0,95 < 1

4 Verbindungstechnik Es werden stahlbauübliche Stöße, Knotenpunkte und Anschlüsse mit Schrauben und Schweißnähten nachgewiesen. Auf eine Kommentierung der einzelnen Rechenschritte wird wegen ihrer Einfachheit verzichtet. Beispiel 4.1: Stoß eines gleichseitigen, dreieckigen Hohlprofils; Bild 4-1 und 4-2 Es werden Schrauben mit Gewinde bis zum Schraubenkopf verwendet und im Hohlprofil Gewindelöcher gebohrt.

Bild 4-1 Stoß eines Hohlquerschnittes

161

4 Verbindungstechnik

Normal- und Schubspannungen

Ιy = 1,0 ⋅ 303/4 = 6750 cm4

A = 3 ⋅ 30 ⋅ 1,0 = 90 cm2 W1 = 6750/17,32 = 390 cm3

W2, 3 = 780 cm3

σ1 = – 75/90 – 6500/390 = – 17,5 kN/cm2 < σR, d = 24,0/1,1 = 21,8 kN/cm2 σ2, 3 = – 75/90 + 6500/780 = + 7,5 kN/cm2 b' = 30 ⋅17,32/25,98 = 20 cm Sy = 40 ⋅ (17,32/2) = 346

A' = 2 ⋅ 20 ⋅ 1,0 = 40 cm2

cm3

max τ = 50 ⋅ 346/(6750 ⋅ 2 ⋅ 1,0) = 1,28 kN/cm2 Stoßlaschenschnittgrößen Laschen ແໂ, ແ-ໃ: Bild 4-2c σm = (– 17,5 + 7,5)/2 = – 5,0 kN/cm2;

σM = ± (17,5 – 5,0) = ± 12,5 kN/cm2

NL = 30 ⋅ 1,0 ⋅ (– 5,0) = – 150 kN

6

ML = 1,0 ⋅ (302/6) ⋅ 12,5 = 1875 kNcm VL = (50/2) ⋅ 30/25,98 = 29 kN

Laschen ໂ-ໃ: Nur NL = 30 ⋅ 7,5 = 225 kN

40

Nachweis der Schrauben nach [1], Gl. (7-25) bis (7-28)

100

a 29

100

150

40

216,5

50

100

50

Bild 4-2 Schraubenkräfte

MS = 1875 + 29 ⋅ 10 = 2165 kNcm

¦ x2 = 6 ⋅ 5,02 = 150 cm2

¦ z 2 = 4 ⋅ 102 = 400 cm2

Ιp = 550 cm2

Schraube a: max Va, h = 150/6 + 2165 ⋅ 10/550 = 64,4 kN max Va, v = 29/6 + 2165 ⋅ 5/550 = 24,5 kN max Va = 64, 42 + 24,52 = 69 kN > 225/6 = 37,5 kN Mit den Abständen e2/dL = 40/16 = 2,5 > 1,5; e1/dL = 50/16 = 3,125; e/dL = 100/16 = 6,25 > 3,0 wird αl = 3,0 Va, Rd = 68,36 kN; Vl, Rd = 1,0 ⋅ 1,6 ⋅ 3,0 ⋅ 21,8 = 104,6 kN > 68,36 kN n. Tafel 7-22 und 7-14, Gl. (7-15) Nachweis: max Va/Va, Rd = 69/68,36 = 1,0

162

Stahlbau

Beispiel 4.2: Nachweise für eine Lastschwinge; Bild 4-3 Für die dargestellte Lastschwinge sind nach Maßgabe der größten Schraubenkraft für die Lastverhältnisse a) P2,d = 0,75 ⋅ P1,d und b) P2, d = 0 die möglichen Schwingenlasten zu ermitteln. Anschließend sollen die Tragsicherheitsnachweise für das mittige Anschlussblech und dessen Schweißnahtanschluss sowie für die Lastschwinge in den Schnitten a-a und b-b geführt werden. Es ist anzugeben, wie der Trägersteg im Anschlussbereich zu verstärken ist.

6

Bild 4-3 Lastschwinge mit gemischten Anschlüssen

Schraubenkräfte allgemein r1

=( 4, 02 + 102 = 10,8 cm; r2 = 7,8 cm = 0,723 ⋅ r1; r3 = 4,0 cm = 0,37 ⋅ r1

VS

= P1 + P2

MS

= (P1 – P2) ⋅ a = 2 ⋅ ( N1MS ⋅ r1 + N 2MS ⋅ r2 ) + N3MS ⋅ r3

MS

= N1MS ⋅ r1 ⋅ (2 + 2 ⋅ 0,7232 + 0,37 2 ) = 3,182 ⋅ N1MS ⋅ r1

MS

N1

= MS/(3,182 ⋅ r1);

N1,MvS = N1MS ⋅ e / r1 ;

N1,MhS = N1MS ⋅ r3 / r1

N1, res = [VS / 5 + N1MS ⋅ e / r1 ]2 + ( N1MS ⋅ r3 / r1 ) 2

Va, Rd = 2 ⋅ 94,46 kN = 189 kN; e1/dL = 45/21 = 2,14; αl = 1,1 ⋅ 2,14 – 0,3 = 2,054 Vl, Rd = 2,5 ⋅ 2,1 ⋅ 2,054 ⋅ 21,8 = 235,3 kN > 189 kN

163

4 Verbindungstechnik

Schwingenlast Fall a) VS

= 1,75 ⋅ P1, d ;

MS = (1,0 – 0,75) ⋅ P1, d ⋅ 30 = 7,5 P1, d [kNcm]

VS/5

= 0,35 ⋅ P1, d ; N1MS = 7,5 ⋅ P1, d/(3,182 ⋅ 10,8) = 0,218 ⋅ P1,

N1,a res

= P1,a d ⋅ (0,35 + 0, 218 ⋅ 10 /10,8)2 + (0, 218 ⋅ 4 /10,8)2 ≤ 189 kN

P1,a d

≤ 339 kN

Schwingenlast Fall b) VS/5 = 0,2 ⋅ P1, d ;

MS = P1, d ⋅ 30

VS

= P1, d ;

N1MS

= 30 ⋅ P1, d/(3,182 ⋅ 10,8) = 0,873 ⋅ P1, d

N1,b res = P1,b d ⋅ (0, 2 + 0,873 ⋅ 10 /10,8)2 + (0,873 ⋅ 4 /10,8)2 ≤ 189 kN P1,b d

≤ 178 kN

6

Nachweise für Anschlussblech und Schwinge Anschlussblech VSa

= 1,75 ⋅ 339 = 593 kN;

M Sa = 7,5 ⋅ 339 = 2542 kNcm

VSb

= 178 kN;

¦a

= 2 ⋅ 10 = 20 mm < 25 mm – Nachweis nur für Nähte erforderlich

Aw

= 2,0 ⋅ 30 = 60 cm2;

M Sb = 178 ⋅ 30 = 5340 kNcm

Ww = 20 ⋅ 302/6 = 300 cm3

σw, R, d = 0,95 ⋅ 24/1,1 = 20,73 kN/cm2

n. Tafel 7-1

σ ⊥a

= 593/60 + 2542/300 = 18,36 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

σ ⊥b

= 178/60 + 5340/300 = 20,77 kN/cm2 ≈ 20,73 kN/cm2

Schwinge -Nachweis nur für Fall a) Kraftzerlegung im Schnitt b-b: N = 271 kN; Q = 203 kN Ab

= 2 ⋅ 1,5 ⋅ 17 = 51 cm2;

σb σRd

= 271/51 + 271 ⋅ 12/144,5 = 26,48 kN/cm2

Aa

= 2 ⋅1,5 ⋅ 24 = 72

Wa,N

= (3,0 ⋅ 243/12 – 2 ⋅ 2,1 ⋅ 1,5 ⋅ 7,52)/12 = 258,5 cm3

σ

= 339 ⋅ 20/258,5 = 26,23 kN/cm2 < 32,7 kN/cm2

= 36,0/1,1 = 32,7 kN/cm2

Wb = 2 ⋅ 1,5 ⋅ 172/6 = 144,5 cm3

σb/σRd = 26,48/32,7 = 0,81 < 1

cm2

max τ = 1,5 ⋅ 339/72 = 7,06 kN/cm2 < 32,7/ 3 = 18,9 kN/cm2 Das Walzprofil sollte im Bereich des Anschlussbleches durch 2 × 8 mm dicke Bleche verstärkt werden (Bild 4-3)

164

Stahlbau

Beispiel 4.3: Nachweis eines Rahmenecks; Bild 4-4: Das dargestellte Rahmeneck ist in den Details nachzuweisen.

6

Bild 4-4 Rahmeneck mit gemischten Anschlüssen

Schubnachweis des Eckbleches

Bild 4-5 Beanspruchung des Eckbleches

165

4 Verbindungstechnik

To Tu Tl Tr

= 9700/38,65 – 12/2 = 9700/38,65 + 12/2 – 12 = 10000/20,4 – 68/2 = 10000/20,4 + 68/2 – 68

τ Eo, u

= 245/(20,4 ⋅ 0,86) = 13,96 kN/cm2

τ El,r

= 456/(38,65 ⋅ 0,86) = 13,72 kN/cm2

τm

= 13,84 kN/cm2 > τRd = (24,0/ 3 )/1,1 = 12,68 kN/cm2

= 245 kN = 245 kN = 456 kN = 524 – 68 = 456 kN

Das Eckblech wird einseitig mit t = 12 mm verstärkt und mit a = 6 mm umlaufend eingeschweißt. Nachweis der Zuglasche und des Stützenflansches ZL = Tl = 456 kN AN, L = 2 ⋅ 22,0 ⋅ 2,0 – 2 ⋅ 2,5 ⋅ 20 = 44 – 10 = 30 cm2 AN, f = 22 ⋅ 1,6 – 2 ⋅ 2,5 ⋅ 1,6 = 35,2 – 8,0 = 27,2 cm2 n. Gl. (2-4) A/AN > 1,2 NR,d = 27,2 ⋅ 36,0/(1,25 ⋅ 1,1) = 712 kN > 456 kN e1/dL = 50/25 = 2,0; e/dL = 80/25 = 3,2 > 2,5 Va, Rd = 133,9 kN; Vl, Rd = 1,6 ⋅ 103,6 = 165,8 kN > Va, Rd 456/(4 ⋅ 133,9) = 0,85 < 1 lw = 2 ⋅ (40 – 2 ⋅ 1,35) = 74,6 cm; Aw = 74,6 ⋅ 0,4 = 29,84 cm2

τ|

= 456/29,84 = 15,28 kN/cm2 < σw, Rd = 0,95 ⋅ 24,0/1,1 = 20,73 kN/cm2

343

e

Me

40 – 2 · 1,35 = 37,3

Anschluss Stützendruckflansch und Aussteifungsrippe D = 524 kN lw = 2 ⋅ 22 – 0,95 = 43 cm; σ⊥ = 524/43 = 12,4 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2 DSt ӽ 524 ⋅ 70/180 = 204 kN e = 9,0 – (7,0 + 0,86)/2 = 5,07 cm M = 204 ⋅ 5,07 = 1034 kNcm

70

524 kN 180

Bild 4-6 Anschluss der Riegelsteife

Aw = 43 ⋅ 1,0 = 43 cm2

6

166

Stahlbau

Aw, 1 Aw, 3

σ ⊥, 1

= 2 ⋅ 7,0 ⋅ 1,0 = 14 cm2; Aw, 2 = 2 ⋅ 7 ⋅ 0,5 = 7,0 cm2; = 2 ⋅ 34,3 ⋅ 0,4 = 27,4 cm2 = 204/14 = 14,57 kN/cm2; τ ,| 1 = 1034/(37,3 ⋅ 14) = 1,98 kN/cm2

σw, v, 1 = 14,57 2 + 1,982 = 14,7 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2 τ ,| 2 τ ,| 3

= 1034/(37,3 ⋅ 7) = 3,96 kN/cm2 = 204/27,4 = 7,44 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

Beispiel 4.4: Knaggenanschluss eines Hochbauträgers; Bild 4-7 Der Knaggenanschluss ist in seinen Details nachzuweisen

6

Bild 4-7 Knaggenanschluss

σRd = 24,0/1,1 = 21,8 kN/cm2; σw, Rd = 0,95 ⋅ 24,0/1,1 = 20,73 kN/cm2

τRd = 21,8/ 3 = 12,6 kN/cm2;

Pressung

σ

= 350/(1,5 ⋅ 19) = 12,3 kN/cm2 < 21,8 kN/cm2

Stegnähte, Steg, Stirnplattenverbindungsnaht Aw, V = 2 ⋅ 0,4 ⋅ (22 + 20) = 17,6 + 16,0 = 33,6 cm2 τ| = 350/33,6 = 10,42 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

167

5 Literatur und Vorschriften

τSteg

= 350/40,9 = 8,56 kN/cm2 < 12,6 kN/cm2

Vdu

= 350 ⋅ 16/33,6 = 167 kN;

σ⊥

= 167/19 = 8,79 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

Aw = 1,0 ⋅ 19 = 19 cm2

Exzentrischer Anschluss der Kräfte Vd- Vdu (Bild 4-7b, c) Me Aw ew

Ιw

= 350 ⋅ 2,75 – 167 ⋅ 0,5 = 879 kNcm = (19 + 2 ⋅ 7,0) ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 22 ⋅ 0,4 = 9,5 + 7,0 + 17,6 = 34,10 cm2 = (7 ⋅ 1,46 + 17,6 ⋅ 11,73)/34,10 = 6,35 cm = 2 ⋅ 0,4 ⋅ 223/12 + 9,5 ⋅ 6,352 + 7,0 ⋅ (6,35 – 1,46)2 + 17,6 ⋅ (11,73 – 6,35)2 = 1770 cm4

Wol

= 1770/(6,35 – 1,46) = 362 cm3;

Wu = 103 cm3

σ ⊥u

= 879/103 = 8,53 kN/cm2

σw, v

= 8,532 + 10, 422 = 13,47 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

Anschluss Knagge Aw, Me = 0,5 ⋅ 19 = 9,5 cm2 Aw, V = 2 ⋅ 0,5 ⋅ 20 = 20 cm2; 2 τ| = 350/20 = 17,5 kN/cm < 20,73 kN/cm2 σ⊥ = 350 ⋅ 2,75/(20 ⋅ 9,5) = 5,07 kN/cm2

5 Literatur und Vorschriften [1]

Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln/Handbuch Bautechnik, 32. Auflage 2006, B.G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, Abschnitt 9 : Stahlbau [2] Wolfram Lohse: Stahlbau 1, 24. Auflage 2002, B.G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden [3] Wolfram Lohse: Stahlbau 2, 20. Auflage 2005, B:G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden DIN 18800-1 (11-90): Stahlbauten, Bemessung und Konstruktion DIN 18800-2 (11-90): Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken DIN 18800-3 (11-90): Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Plattenbeulen DIN V ENV 1994-1-1 (2-94): Eurocode 4: Bemessung und Konstruktion von Verbundtragwerken aus Stahl und Beton – Allgemeine Bemessungsregeln, Bemessungsregeln für den Hochbau

6

Holzbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Helmuth Neuhaus Nach DIN 1052: 2004-08

Inhalt Holzbau........................................................................................................................................ 169 1 Wichtige Nachweise, Werte und Vorschriften ...................................................................... 174 2 Beispiele................................................................................................................................. 178 2.1 Berechnung einer Schwindverformung ...................................................................... 178 2.2 Nachweis eines Zugstabes aus Nadelvollholz ............................................................ 178 2.2.1 Holzbaustoff................................................................................................. 179 2.2.2 Einwirkungen ............................................................................................... 179 2.2.3 Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 179 2.2.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen ............................................. 180 2.2.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit)....................... 180 2.3 Nachweis einer Druckfläche rechtwinklig zur Faser .................................................. 180 2.3.1 Holzbaustoff, gewählt .................................................................................. 180 2.3.2 Einwirkungen ............................................................................................... 180 2.3.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 181 2.3.4 Aufstandsfläche und Beiwert kc,90 ............................................................... 181 2.3.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit)....................... 181 2.4 Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz, einaxiale Biegung ...................... 182 2.4.1 Holzbaustoff................................................................................................. 182 2.4.2 Einwirkungen ............................................................................................... 182 2.4.3 Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 183 2.4.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen ............................................. 183 2.4.5 Bemessungswerte der Beanspruchungen ..................................................... 183 2.4.6 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) (einfache, einaxiale Biegung)....................................................................... 183 2.4.7 Schub (Querschnittstragfähigkeit im Grenzzustand der Tragfähigkeit) (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) ......................... 184 2.4.8 Kippen (Ersatzstabverfahren im Grenzzustand der Tragfähigkeit) (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) ......................... 185 2.4.9 Nachweis der Auflagerpressung (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) ...................................................................... 186 2.5 Nachweis einer Mittelpfette aus Brettschichtholz, zweiaxiale Biegung ..................... 187 2.5.1 Holzbaustoff................................................................................................. 187 2.5.2 Einwirkungen ............................................................................................... 187 2.5.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 188 2.5.4 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit)....................... 188 2.6 Nachweis eines Druckstabes mit dem Ersatzstabverfahren, mittiger Druck .............. 189 2.6.1 Holzbaustoff................................................................................................. 189 2.6.2 Einwirkungen ............................................................................................... 190 2.6.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 190 2.6.4 Knicken um die y-Achse (Ersatzstabverfahren)........................................... 190

2.7

2.8

2.9

2.11

2.6.5 Knicken um die z-Achse (Ersatzstabverfahren) ........................................... 191 2.6.6 Querschnittsschwächungen und -tragfähigkeit im Druckstab...................... 191 Berechnung der Ersatzlast qd und Qd für eine Aussteifungskonstruktion zwischen Brettschichtträgern (Parallelträgern)........................................................... 191 2.7.1 Holzbaustoff, gewählt .................................................................................. 192 2.7.2 Aussteifungskonstruktion............................................................................. 192 2.7.3 Kippbeiwert km............................................................................................ 192 2.7.4 Mittlere Normalkraft Nd im BST-Druckgurt eines jeden BS-Trägers ......... 193 2.7.5 Ersatzlasten für eine Aussteifungskonstruktion ........................................... 193 2.7.6 Anteilige Windlast wd auf Giebelwand für eine Aussteifungskonstruktion (hier nicht gesondert errechnet).......................... 193 2.7.7 Gesamtlast qmax,d und Qmax,d für eine Aussteifungskonstruktion ............... 194 2.7.8 Einzelabstützungen, Mindeststeifigkeit........................................................ 194 Nachweis der Durchbiegungen eines Parallelträgers aus Brettschichtholz (Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit)................................................................. 194 2.8.1 Holzbaustoff, gewählt .................................................................................. 194 2.8.2 Einwirkungen ............................................................................................... 194 2.8.3 Querschnittswerte und Überhöhung............................................................. 194 2.8.4 Verformungsbeiwert und weitere Beiwerte ................................................. 195 2.8.5 Anfangs- und Enddurchbiegungen............................................................... 195 2.8.6 Kombination der Durchbiegungen in der charakteristischen, seltenen (rare) Bemessungssituation .......................................................................... 195 2.8.7 Kombination der Durchbiegungen in der quasi-ständigen (perm) Bemessungssituation .................................................................................... 196 Bemessung einer Verbindung mit Stabdübeln, Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt ................................................................................... 196 2.9.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt ............................................ 197 2.9.2 Einwirkungen ............................................................................................... 197 2.9.3 Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 197 2.9.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen ............................................. 198 2.9.5 Abstände der Stabdübel in diesem Abschn. ................................................. 198 2.9.6 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit eines Stabdübels ....................... 198 2.9.7 Mindestdicken und Mindesteindringtiefen der Seiten- und Mittelhölzer..... 199 2.9.8 Wirksame Anzahl nef der Stabdübel. ........................................................... 200 2.9.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Stabdübelverbindung zweischnittig, auf Abscheren ....................................................................... 200 2.10 Bemessung einer Verbindung eines Zugstoßes mit Ringdübeln A1 ............ 201 2.10.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel: gewählt ............................................ 201 2.10.2 Einwirkungen ............................................................................................... 202 2.10.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 202 2.10.4 Einzuhaltende Bedingungen für den Basiswert der Ringdübel A1 .............. 202 2.10.5 Weitere Mindestabstände der Ringdübel A1................................................ 203 2.10.6 Beiwerte zur Berechnung der charakteristischen Tragfähigkeit (Basiswert)............................................................................. 203 2.10.7 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit einer Verbindungseinheit.......... 203 2.10.8 Wirksame Anzahl der Ringdübel in Faserrichtung hintereinander .............. 204 2.10.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Ringdübelverbindung .................... 204 Bemessung einer Verbindung mit Nägeln (Abscheren), Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt ......................................................... 204 2.11.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt: ........................................... 205 2.11.2 Einwirkungen ............................................................................................... 205

2.11.3 2.11.4 2.11.5 2.11.6 2.11.7 2.11.8

Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 205 Abstände der Nägel...................................................................................... 206 Mindestholzdicken bei Nägeln..................................................................... 206 Mindesteindringtiefe (Mindesteinschlagtiefe) der Nägel............................. 208 Übergreifende Nägel im Mittelholz (Gurt) .................................................. 208 Charakteristischer Wert der Lochleibungsfestigkeit in Nagelverbindungen. ..................................................................................... 208 2.11.9 Charakteristischer Wert des Fließmomentes................................................ 208 2.11.10 Charakteristische Tragfähigkeit eines Nagels. ............................................. 208 2.11.11 Wirksame Anzahl nef der Nägel................................................................... 208 2.11.12 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Nagelverbindung ........................... 209

Technische Baubestimmungen DIN 1052 2004-08

DIN 1055-100

2001-03

Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken; Allgemeine Bemessungsregeln und Bemessungsregeln für den Hochbau Einwirkungen auf Tragwerke; Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln

Weiterführende Literatur [1]

[2]

[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

Blaß, H.J.(Hrsg.); Ehlbeck, J.(Hrsg); Kreuzinger, H.(Hrsg.); Steck, G. (Hrsg): Erläuterungen zu DIN 1052 : 2004-08. Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken. Deutsche Gesellschaft für Holzforschung. München/Karlsruhe: DGfH Innovations- und Service GmbH/Bruder, 2004 Blaß, H.J.; Ehlbeck, J.; Kreuzinger, H.; Steck, G.: Einführung in die Bemessung nach DIN 1052 : 2004. holzbau handbuch, Reihe 2, Teil 1, Folge 10. Informationsdienst Holz. Bonn/München: Holzabsatzfonds/DGfH Innovations- und Service GmbH, 2004. Bund Deutscher Zimmermeister: DIN 1052, Praxishandbuch Holzbau. Berlin/Kissing: Beuth/Weka MEDIA, 2005 Colling, F.: Holzbau. Grundlagen, Bemessungshilfen. Wiesbaden: Vieweg, 2004 Colling, F.: Holzbau-Beispiele. Musterlösungen, Formelsammlung, Bemessungstabellen. Wiesbaden: Vieweg, 2004 Neuhaus, H.: Holzbau nach DIN 1052 : 2004-08. In: Wetzell, O. (Hrsg.): Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln. 32. Aufl. Wiesbaden: Teubner, 2006 Scheer, C. (Hrsg.); Peter, M. (Hrsg.); Stöhr, S. (Hrsg.): Holzbau-Taschenbuch. Bemessungsbeispiele nach DIN 1052 Ausgabe 2004. 10. Aufl. Berlin: Wilhelm Ernst & Sohn, 2004 Schild, K., Völkner, S.: Praxishandbuch Ingenieurholzbau. Grundlagen, Bemessung, Konstruktion. Stuttgart: Frauenhofer IRB, 2005. Steck, G.: Euro-Holzbau. Teil 1, Grundlagen. Düsseldorf: Werner, 1997 Steck, G.: 100 Holzbau-Beispiele nach DIN 1052 (2004). Neuwied: Werner, 2005

Software für die Berechnung und Bemessung [11]

Colling, F. : HoB.Ex. Excel-Bemessung DIN 1052 – neu. München: DGfH Innovations- und Service GmbH, Deutsche Gesellschaft für Holzforschung, 2004

Vorbemerkungen Die in den folgenden Beispielen angeführte „neue“ DIN 1052: 2004-08 und weitere Folgenormen dürfen für Bauzwecke nur dann angewendet werden, wenn sie in den einzelnen Bundesländern bauaufsichtlich bekannt gemacht worden sind, oder wenn bis zu diesem Zeitpunkt eine Zulassung im Einzelfall bei der zuständigen Bauaufsichtsbehörde eingeholt worden ist. Maßgebend für die Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken ist stets die entsprechende bauaufsichtlich eingeführte Norm. Für die „alte“ DIN 1052: 1988-04 und die „neue“ DIN 1052: 2004-08 gilt das Mischungsverbot.

174

Holzbau

1 Wichtige Nachweise, Werte und Vorschriften Tafel 1-1 Wichtige Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit von Holzbauteilen nach DIN 1052: 2004-08 Kombination von Einwirkungen

Festigkeitseigenschaften

¦ γ G,j ⋅ Gk,j + γ Q,1 ⋅ Qk,1 + ¦ γ Q,i ⋅ ψ 0,i ⋅ Qk,i

X d = kmod ⋅ X k / γ M

Querschnittstragfähigkeit (nicht kipp- und nicht knickgefährdet) Zug in Faserrichtung (mittiger Zug) σ t,0,d Ft,d / An = ≤1 ft,0,d ft,0,d

Ersatzstabverfahren (kipp- und/oder knickgefährdet

j ≥1

i >1

Druck in Faserrichtung (mittiger Druck) σ c,0,d Fc,d / An = ≤1 fc,0,d fc,0,d

7

σ c,0,d

=

kc ⋅ fc,0,d

Fc,d / A kc ⋅ fc,0,d

≤1

Druck senkrecht zur Faserrichtung σ c,90,d F /A = c,90,d ef ≤ 1 kc,90 ⋅ fc,90,d kc,90 ⋅ fc,90,d Biegung (einaxiale, einfache Biegung um die y- oder z-Achse)

σ m,d fm,d

=

σ m,d

Md / Wn ≤1 fm,d

km ⋅ fm,d

=

Md / Wn ≤1 km ⋅ fm,d

Biegung (zweiaxiale Biegung, Doppelbiegung um die y- und z-Achse)

σ m,y,d fm,y,d kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

σ m,y,d

≤1

+ kred ⋅

km ⋅ fm,y,d

≤1

kred ⋅

σ m,y,d

+

km ⋅ fm,y,d

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

≤1 ≤1

Biegung und Zug (ausmittiger Zug, Zug und Biegung um die y- und z-Achse)

σ t,0,d ft,0,d

σ t,0,d ft,0,d

+

σ m,y,d fm,y,d

+ kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

≤1 ≤1

σ t,0,d ft,0,d

σ t,0,d ft,0,d

+

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+ kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

≤1 ≤1

Biegung und Druck (ausmittiger Druck, Druck und Biegung um die y- und z-Achse) 2

§ σ c,0,d · σ m,y,d σ + kred ⋅ m,z,d ≤ 1 ¨¨ ¸¸ + f f fm,z,d m,y,d © c,0,d ¹ 2

§ σ c,0,d · σ m,y,d σ m,z,d + ≤1 ¨¨ ¸¸ + kred ⋅ fm,y,d fm,z,d © fc,0,d ¹ Schub aus Querkraft τd V ⋅S ≤1 allgemein: τ = I ⋅b fv,d

σ c,0,d kc,y ⋅ fc,0,d

σ c,0,d kc,z ⋅ fc,0,d

+

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+ kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

für Rechteckquerschnitt: τ max =

≤1 ≤1

1,5 ⋅ V b⋅h

175

1 Wichtige Nachweise, Werte und Vorschriften

Tafel 1-2 Wichtige Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit von Verbindungen mit Bolzen, Stabdübeln und Passbolzen auf Abscheren nach DIN 1052: 2004-08 (Auswahl) Bolzen, Passbolzen, Stabdübel in Holz-Holz-Verbindungen (Abscheren) Charakteristische Tragfähigkeit Rk 1) Bemessungswert der Tragfähigkeit Rd R d = kmod · Rk/γM 2⋅β Rk = ⋅ 2 ⋅ M y,k ⋅ fh,1,k ⋅ d γ M = 1,1 für stiftförmige VM aus Stahl 1+ β Mindestdicke t1,req des Seitenholzes 1

Mindestdicke t2,req des Seitenholzes 2 einer einschnittigen Verbindung

§ · M y,k β t1,req = 1,15 ⋅ ¨ 2 ⋅ + 2¸ ⋅ ¨ ¸ 1+ β © ¹ fh,1,k ⋅ d Mindestdicke t2,req des Mittelholzes einer zweischnittigen Verbindung

§ · M y,k 1 + 2¸ ⋅ t2,req = 1,15 ⋅ ¨ 2 ⋅ ¨ ¸ 1+ β © ¹ fh,2,k ⋅ d Abminderung der charakteristischen Tragfähigkeit Rk bei Holzdicken t1, t2 kleiner als die Mindestholzdicken t1,req , t2,req Rk,red = Rk ⋅ t1 / t1,req der kleinere Wert

§ 4 · M y,k ⋅ t2,req = 1,15 ⋅ ¨ ¨ 1 + β ¸¸ fh,2,k ⋅ d © ¹ Charakteristisches Fließmoment My,k für Kreisquerschnitte M y,k = 0,3 ⋅ fu,k ⋅ d 2,6 in Nmm

Rk,red = Rk ⋅ t2 / t2,req

ist maßgebend

Verhältniswert ȕ

7

β = fh,2,k / fh,1,k

mit d in mm und fu,k in N/mm2 Charakteristische Lochleibungsfestigkeit fh,k für Nadel- und Laubhölzer für Bolzen, Passbolzen, Stabdübel Belastung in Faserrichtung Į = 0° Belastung unter Winkel Į zur Faserrichtung fh,0,k fh,0,k = 0,082 ⋅ (1 − 0,01 ⋅ d ) ⋅ ρk in N/mm2 in N/mm2 fh,α,k = k90 ⋅ sin2 α + cos2 α mit d in mm und ȡk in kg/m3 Nadelhölzer: k90 = 1,35 + 0,015 ⋅ d Laubhölzer: k90 = 0,90 + 0,015 ⋅ d Charakteristische Werte der Festigkeiten fu,k des Stahles Stabdübel fu,k in N/mm2 Bolzen, Passbolzen fu,k in N/mm2 Stahl S 235 S 275 S 355 Stahl 3.6 4.6/4.8 5.6/5.8 fu,k fu,k 300 400 500 360 430 510 1)

8.8 800

die Rk-Werte von Passbolzen dürfen um den Anteil ΔRk = min {0,25 · Rk oder 0,25 · Rax,k} erhöht werden

Tafel 1-3 Wichtige Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit von Verbindungen mit Nägeln auf Abscheren nach DIN 1052: 2004-08 (Auswahl) Nägel in Holz-Holz-Verbindungen (Abscheren) Charakteristische Tragfähigkeit Rk Bemessungswert der Tragfähigkeit Rd

Rk =

2 ⋅ M y,k ⋅ fh,1,k ⋅ d

für Verbindungen v. Nadelholzbauteilen

Rd = kmod ⋅ Rk / γ M

γ M = 1,1 für stiftförmige VM

Mindesteindringtiefen treq im Holz mit der Mindestholzdicken treq (allgemein) Nagelspitze bei Nadelholzbauteilen bei Nadelholzbauteilen treq = 9 ⋅ d treq = 9 ⋅ d bei Eindringtiefen 4 · d < t < 9 · d: s. jedoch unten, Mindestholzdicken zur BerücksichtiRk-Werte abmindern wie bei Holzdicken, s. gung der Spaltgefahr bei Nagelung ohne Vorbohren einhalten unten, t < 4 · d nicht zulässig Fortsetzung Tafel 1-3 s. nächste Seite

176

Holzbau

Tafel 1-3, Fortsetzung Nägel in Holz-Holz-Verbindungen (Abscheren) Mindestholzdicken t für Schnittholzbauteile aus Nadelvoll- und Laubvollholz ohne Vorbohren der Nagellöcher (berücksichtigt die Spaltgefahr des Holzes) für Schnittholz aus Kiefernholz für Schnittholz (außer Kiefernholz) ρk ½ ­ ρ ½ ­ ¾ in mm t = max ®14 ⋅ d oder (13 ⋅ d − 30) ⋅ k ¾ t = max ®7 ⋅ d oder (13 ⋅ d − 30) ⋅ 400 ¯ ¿ 200 ¯ ¿ in mm mit d in mm und ȡk in kg/m3

7

t gilt auch für andere Nadelhölzer, wenn Mindestrandabstände eingehalten werden: a2,t , a2,c ≥ 10 ⋅ d

für

ρk ≤ 420 kg/m3

a2,t , a2,c ≥ 14 ⋅ d

für

420 kg/m3 < ρk < 500kg/m3

Charakteristisches Fließmoment My,k für Kreisquerschnitt Mindestzugfestigkeit fu,k = 600 N/mm2

Abminderung der charakteristischen Tragfähigkeit Rk bei Holzdicken t1, t2 kleiner als Mindestholzdicken t1,req, t2,req

M y,k = 0,3 ⋅ fu,k ⋅ d 2,6 in Nmm

Rk,red = Rk ⋅ t1 / t1,req

der kleinere Wert

Rk,red = Rk ⋅ t2 / t2,req

ist maßgebend

mit d in mm und fu,k in

N/mm2

Lochleibungsfestigkeit fh,k für Holz nicht vorgebohrte Hölzer fh,k = 0,082 ⋅ ρk ⋅ d −0,3 in N/mm2

(für alle Winkel Į zwischen Kraft- und Faserrichtung) vorgebohrte Hölzer

fh,k = 0,082 ⋅ (1 − 0,01 ⋅ d ) ⋅ ρk in N/mm2

mit d in mm und ȡk in kg/m3

Tafel 1-4 Wirksame Anzahl nef für mehrere in Faserrichtung hintereinander liegende Bolzen, Nägel, Stabdübel und Passbolzen nach DIN 1052: 2004-08 ª ­° a1 ½°º 90 − α α +n⋅ nef = «min ®n oder n 0,9 ⋅ 4 ¾» ⋅ ⋅ 10 d 90 90 ° ° ¯ ¿¼» ¬« n Anzahl der Stabdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen, für Nägel mit d ԛ 6 mm ist nef = n zu setzen α Winkel zwischen Kraft- und Faserrichtung d Durchmesser der stiftförmigen Verbindungsmittel a1 Abstand der Stabdübel untereinander in Faserrichtung des Holzes, für Winkel 0 < α < 90° darf der Mindestabstand a1 für α = 0° eingesetzt werden Tafel 1-5 Mindestabstände von Stabdübeln und Passbolzen nach DIN 1052: 2004-08 Bezeichnung a1 a2 a1,t a1,c a2,t a2,c

Benennung der Bezeichnungen untereinander parallel zur Faserrichtung untereinander rechtwinklig zur Faserrichtung vom beanspruchten Hirnholzende vom unbeanspruchten Hirnholzende vom beanspruchten Rand vom unbeanspruchten Rand

Mindestabstände (3 + 2 · cos Į) · d 3·d 7 · d, • 80 mm 7 · d · sin Į, • 3 · d 3·d 3·d

177

1 Wichtige Nachweise, Werte und Vorschriften

Tafel 1-6 Mindestabstände von Bolzen nach DIN 1052: 2004-08 Bezeichnung

Benennung der Bezeichnungen

Mindestabstände

a1

untereinander parallel zur Faserrichtung

(3 + 2·cos Į)·d, • 4·d

a2

untereinander rechtwinklig zur Faserrichtung

4·d

a1,t

vom beanspruchten Hirnholzende

7·d,

a1,c

vom unbeanspruchten Hirnholzende

7·d·sin Į, • 4·d

a2,t

vom beanspruchten Rand

3·d

a2,c

vom unbeanspruchten Rand

3·d

• 80 mm

Tafel 1-7 Mindestabstände von Nägeln in Holz-Holz-Verbindungen nach DIN 1052: 2004-08 Bezeichnung

ȡk ” 420 kg/m3 a1

untereinander in Faserrichtung

a2

untereinander ⊥ zur Faserrichtung vom belasteten Hirnholzende

a1,t

a1,c a2,t

a2,c

vom unbelasteten Hirnholzende vom belasteten Rand

vom unbelasteten Rand

nicht vorgebohrt 420 < ȡk < 500 kg/m3

vorgebohrt

d < 5 mm: (5 + 5·cos Į)·d d • 5 mm: (5 + 7·cos Į)·d 5·d

(7 + 8·cos Į)·d

(3 + 2·cos Į)·d

7·d

3·d

d < 5 mm: (7 + 5·cos Į)·d d • 5 mm: (10 + 5·cos Į)·d

(15 + 5·cos Į)·d

(7 + 5·cos Į)·d

d < 5 mm: 7·d d • 5 mm: 10·d

15·d

7·d

d < 5 mm: (5 + 2·sin Į)·d d • 5 mm: (5 + 5·sin Į)·d 5·d

d < 5 mm: (7 + 2·sin Į)·d d • 5 mm: (7 + 5·sin Į)·d 7·d

(3 + 4·sin Į)·d

3·d

7

178

Holzbau

2 Beispiele Die folgenden Beispiele sind sehr ausführlich und umfangreich dargestellt, um die Einführung in die Berechnung/Bemessung des Holzbaus zu erleichtern; in der Praxis ist dieser gewählte Umfang im Allg. nicht notwendig und kann auf das Wesentliche reduziert werden. Die Angaben von Bildern, Tafeln und Gl. beziehen sich auf den Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln, 32. Aufl., 2006, Abschn. „Holzbau nach DIN 1052: 2004-08“ (Abschnitte des vorliegenden Buches werden neu mit Zahlen zitiert, z.B. „nach 2.1“, Tafeln des vorliegenden Abschn. mit z.B.„oder Tafel 1-1 in diesem Abschn.“).

2.1 Berechnung einer Schwindverformung

7

Berechnung der Querschnittsänderung eines Kantholzes durch Schwinden Kantholz aus Nadelholz: Holzfeuchte beim Einbau: Ȧ2 = 20 % b/h = 18/20 cm zu erwartende AusgleichsSchwindmaß nach Tafel 1-19: feuchte im Bauwerk: Ȧ1 = 10 % Į = 0,24 %/% Rechenwerte nach Gl. (1-1) Rechenwert der Verkleinerung ¨h über die Höhe h ¨h = Į ·(Ȧ2 – Ȧ1)· h = (0,24/100) · (20 – 10) · 20 = = 0,48 cm = 4,8 mm ¨h/2 = 4,8/2 = 2,4 mm etwa an Ober- und Unterkante Rechenwert der Verkleinerung ¨b über die Breite b: ¨b

= Į · (Ȧ2 – Ȧ1) · b = (0,24/100) · (20 – 10) · 18 = = 0,43 cm = 4,3 mm

¨b/2 = 4,3/2 = 2,2 mm etwa an beiden senkrechten Seitenflächen Bild 2-1

Anmerkungen: Nach Beendigung des Schwindens wird der Querschnitt voraussichtlich die Abmessungen b/h ! 17,6/19,5 cm besitzen, darüber hinaus ist eine ungleichmäßige Querschnittsänderung in Abhängigkeit vom Jahrringverlauf wahrscheinlich. Die durch den Schwindvorgang rechnerisch ermittelten Verkleinerungen der Querschnittsseiten sind gegebenenfalls bei der Konstruktion zu berücksichtigen, bei den Nachweisen der Tragfähigund Gebrauchstauglichkeit ist mit den Nennmaßen b/h = 18/20 cm zu rechnen.

2.2 Nachweis eines Zugstabes aus Nadelvollholz Bemessung eines Zugstabes, mittiger Zug in Faserrichtung Umgebungsklima: beheizter Innenraum

179

2 Beispiele

2.2.1 Holzbaustoff gewählt: Nadel-Vollholz, C 24 (S 10), b/h = 14/14 cm

Bild 2-2

Charakteristische Zugfestigkeit nach Tafel 1-1 ft,0,k = 14 N/mm2 = 1,4 kN/cm2

2.2.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 50,0 kN aus ständiger Last Ft,s,k = 50,0 kN aus Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Bemessungswerte der Zugkraft aus ständiger Last Ft,g,d = 1,35 ⋅ Ft,g,k = 1,35 ⋅ 50,0 = 67,5 kN aus veränderlicher Last Ft,s,d = 1,5 ⋅ Ft,s,k = 1,5 ⋅ 50,0

= 75,0 kN

Kombination der Einwirkungen (Lasten) nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. Ft,d = 1,35 ⋅Ft,g,k + 1,5⋅Ft,s,k = 67,5 + 75,0

= 142,5 kN

2.2.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 1 nach Tafel 1-15 (beheizter Innenraum) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) bzw. „kurz“ für Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Modifikationsbeiwerte nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last bzw. kmod = 0,9 für Schneelast

7

180

Holzbau

2.2.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen Der größte Quotient aus Ft,d/kmod ergibt die für die Bemessung maßgebende Kombination. aus ständiger Last Ft,g,d/kmod = 67,5/0,6 = 112,5 aus ständiger und veränderlicher Last Ft,d/kmod = 142,5/0,9 = 158,3 (maßgebend) Anmerkung: Bei der Bemessung muss mit Ft,d = 142,5 kN gerechnet werden.

2.2.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) Querschnittsschwächung des Zugstabes durch einen Dübelanschluss, hier nicht dargestellt An = 157,6 cm2 Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

7

γM = 1,3 Bemessungswert der Zugfestigkeit nach Gl. (2-2) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. ft,0,d = 0,9 ⋅ 1,4/1,3 = 0,97 kN/cm2 Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-1) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 142,5 /157, 6 0,90 = = 0,93 ≤ 1 0,9 ⋅ 1, 4 /1,3 0,97

2.3 Nachweis einer Druckfläche rechtwinklig zur Faser Anschluss eines Druckpfostens (Rippe) an eine Schwelle (Fußrippe) über Flächenpressung Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

2.3.1 Holzbaustoff, gewählt Pfosten: Nadel-Vollholz, C 24 (S 10), b/h = 8/12 cm Schwelle: Nadel-Vollholz, C 24 (S 10), b/h = 8/10 cm Charakteristische Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Tafel 1-1 fc,90,k = 2,5

N/mm2

= 0,25

Bild 2-3

kN/cm2

2.3.2 Einwirkungen Charakteristische Druckkraft rechtwinklig zur Faser aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt)

181

2 Beispiele

Fc,90,k = 15,0 kN aus ständiger Last Bemessungswert der Druckkraft aus ständiger Last nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. Fc,90,d = 1,35 ⋅ Fc,90,k = 1,35 ⋅ 15,0 = 20,25 kN

2.3.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

2.3.4 Aufstandsfläche und Beiwert kc,90 Länge der Druckfläche in Faserrichtung und tatsächliche Aufstandsfläche auf der Schwelle: l = hPf = 12 cm Druckflächenabstand zur benachbarten Druckfläche nach Bild 3-3 l1 • 2 · h (nur eine Druckfläche) Beiwert kc,90 für Nadelvollholz nach Tafel 3-2 kc,90 = 1,25 bei Schwellendruck wirksame Querdruckfläche nach Tafel 3-2 Aef = (l + 2 · 3,0 cm) · b = (12,0 + 6,0)· 8 = 144 cm2

2.3.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Bemessungswert der Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Gl. (2-2) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. fc,90,d = 0,6 · 0,25/1,3 = 0,115 kN/cm2 Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-5) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 20, 25/144 = 0,98 ≤ 1 1, 25 ⋅ 0,115

7

182

Holzbau

2.4 Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz, einaxiale Biegung Bemessung eines Parallelträgers aus Brettschichtholz Umgebungsklima: beheizter Innenraum

Bild 2-4

7

2.4.1 Holzbaustoff gewählt: Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/90 cm Charakteristische Biegefestigkeit für Brettschichtholz GL28c nach Tafel 1-3 fm,k = 28,0 N/mm2 = 2,8 kN/cm2

2.4.2 Einwirkungen Charakteristische Lasten: senkrechte, gleichmäßige Linienlasten (Gleichlasten), hier nicht gesondert errechnet qz,g,k = 5,00 kN/m

aus ständiger Last

qz,s,k = 3,75 kN/m

aus Schneelast

(Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Bemessungswerte der Linienlasten aus ständiger Linienlast qz,g,d = 1,35 · 5,00

= 6,75 kN/m

aus veränderlicher Linienlast qz,s,d = 1,5 · 3,75

= 5,63 kN/m

Kombination der Einwirkungen (Linienlasten) nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. qz,d

= 1,35 · qz,g,k + 1,5 ⋅ qz,s,k = 6,75 + 5,63 = 12,4 kN/m

183

2 Beispiele

2.4.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 1 nach Tafel 1-15 (beheizter Innenraum) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) bzw. „kurz“ für Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Modifikationsbeiwerte nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last bzw. kmod = 0,9 für Schneelast

2.4.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen Der größte Quotient aus qd/kmod ergibt die für die Bemessung maßgebende Kombination. aus ständiger Linienlast qz,g,d/kmod = 6,75/0,6 = 11,3 aus ständiger und veränderlicher Linienlast qz,d/kmod = 12,4/0,9

= 13,8 (maßgebend)

Anmerkung: Bei der Bemessung muss mit qz,d = 12,4 kN/m gerechnet werden.

2.4.5 Bemessungswerte der Beanspruchungen (s. Bild) Ad = Bd = 12,4 · 15,0/2

= 93 kN

My,max,d = 12,4 · 15,02/8 = 348,8 kNm

2.4.6 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) (einfache, einaxiale Biegung) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Nutzbares Widerstandsmoment (keine Querschnittsschwächung) Wy = Wy,n = 16 · 902/6 = 21 600 cm3 Flachkant-Biegebeanspruchung der Lamellen nach Gl. (3-12) Trägerhöhe h = 90 cm > 60 cm, kh = 1 (keine Erhöhung zulässig) Hochkant-Biegebeanspruchung der Lamellen liegt im Beispiel nicht vor Bemessungswert der Biegefestigkeit nach Gl. (2-2) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. fm,d = 0,9 · 2,8/1,3 = 1,94 kN/cm2

7

184

Holzbau

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-10) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. Biegebeanspruchung um die y-Achse 34880/21 600 1, 61 = = 0,83 ≤ 1 0,9 ⋅ 2,8/1,3 1,94

2.4.7 Schub (Querschnittstragfähigkeit im Grenzzustand der Tragfähigkeit) (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) Charakteristische Schubfestigkeit für Brettschichtholz GL28c nach Tafel 1-3 fv,k = 2,5 N/mm2 = 0,25 kN/cm2 Bemessungswert der Schubfestigkeit nach Gl. (2-2) fv,d = 0,9 ⋅ 0,25/1,3 = 0,17 kN/cm2

7

Nachweis mit Querkraft Vmax max. Querkraft Vmax im Beispiel an den Auflagern nach 2.4.5 Ad = Bd = Vd = 93 kN Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-13) und (3-21) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 1,5 ⋅ 93, 0/(16 ⋅ 90) = 0,57 ≤ 1 0,17

Bild 2-5

Gabellager nicht dargestellt

185

2 Beispiele

Nachweis mit reduzierter Querkraft Vred nach Abschn. 3.4.1 (hier: alternativ) reduzierte Querkraft Vred im Abstand h vom Auflagerrand Vd,red = Vmax – qz,d · x1 = 93,0 – 12,4 (0,10 + 0,90) = 80,6 kN Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-19) und (3-21) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 1,5 ⋅ 80, 6/(16 ⋅ 90) = 0, 49 ≤ 1 0,17

2.4.8 Kippen (Ersatzstabverfahren im Grenzzustand der Tragfähigkeit) (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) Gabellagerung an beiden Auflagern, der Träger wird am Obergurtrand durch 2 Einzelabstützungen (und diese durch eine Aussteifungskonstruktion) seitlich unverschieblich gehalten: Aussteifungsabstand a = 5,00 m = 500 cm (Länge der seitlich nicht gehaltenen Biegedruckbereiche) Momentenverlauf im mittleren Biegeträgerbereich (innerhalb des mittleren Aussteifungsabstandes a = 5 m) nahezu konstant, deshalb wird für den Kipplängenbeiwert in guter Näherung ein konstanter Momentenverlauf angenommen, Kipplängenbeiwerte a1 und a2 nach Tafel 4-9 für gabelgelagerten Einfeldträger mit konstantem Biegemoment a1 = 1,0 und a2 = 0,0

Bild 2-6

Ersatzstablänge lef nach Tafel 4-8 lef =

500 = 500 cm ª az Bº ⋅ 1, 0 ⋅ «1 − 0,0 ⋅ » l T¼ ¬

Charakteristische Steifigkeitskennwerte für Brettschichtholz GL28c nach Tafel 1-3 E0,05

= 10 500 N/mm2

= 1 050 kN/cm2

G05

= 600 N/mm2

= 60 kN/cm2

7

186

Holzbau

Bezogener Kippschlankheitsgrad für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-6

λrel,m =

500 ⋅ 90 ⋅ ʌ ⋅ 162

2,80 1050 ⋅ 60

= 0, 79

Kippbeiwert km nach Tafel 4-6 oder aus Tafel 4-7 km = 1,56 – 0,75 · 0,79 = 0,968 Flachkant- bzw. Hochkant- Biegebeanspruchung der Lamellen, wie Abschn. 2.4.6 (keine Erhöhung zulässig) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Nachweis des Kippens mit dem Ersatzstabverfahren nach Gl. (4-9) oder Tafel 1-1 in diesem Absch. (maßgebende Bemessungswerte s. 2.4.6)

7

34880/21600 = 0,86 ≤ 1 0,968 ⋅ 1,94

2.4.9 Nachweis der Auflagerpressung (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) Charakteristische Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Tafel 1-3 fc,90,k = 2,7 N/mm2 = 0,27 kN/cm2 Bemessungswerte der Beanspruchungen nach 2.4.5 Ad = Bd = Fc,90,d = 12,4 · 15,0/2 = 93 kN Aufstandsfläche und Beiwert kc,90 Länge der Druckfläche in Faserrichtung und tatsächliche Auflagerfläche nach Bild in 2.4.7: l = 20 cm Druckflächenabstand zur benachbarten Druckfläche nach Bild in 2.4.7 „rechts“ vom Auflager: l1 • 2 · h (keine weitere Auflagerfläche) „links“ vom Auflager: ü = 10 cm (bis Trägerende) Beiwert kc,90 für Brettschichtholz bei l ” 40 cm und l1 • 2 · h nach Tafel 3-2 kc,90 = 1,75 bei Auflagerdruck wirksame Querdruckfläche nach Tafel 3-2 Aef = (3,0 + l + 3,0 cm)· b = (3,0 + 20,0 + 3,0)· 16,0 = 416 cm2 Bemessungswert der Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Gl. (2-2) fc,90,d = 0,9 · 0,27/1,3 = 0,187 kN/cm2

187

2 Beispiele

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-5) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 93,0/416 = 0, 68 ≤ 1 1,75 ⋅ 0,187

Weitere Nachweise: Nachweis der Ersatzlasten einer Aussteifungskonstruktion, s. Beispiel 2.7 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit (Durchbiegung), s. Beispiel 2.8

2.5 Nachweis einer Mittelpfette aus Brettschichtholz, zweiaxiale Biegung Bemessung einer Mittelpfette (zweiaxiale Biegung, Doppelbiegung), nicht kippgefährdet, Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

7

Bild 2-7

2.5.1 Holzbaustoff gewählt: Brettschichtholz GL36h (BS 18), b/h = 18/36 cm Charakteristische Biegefestigkeit für Brettschichtholz GL36h nach Tafel 1-4 fm,k = 36,0 N/mm2 = 3,6 kN/cm2

2.5.2 Einwirkungen Bemessungswerte der Biegemomente (Doppelbiegung) für Lastkombination ständige Last, Schnee- und Windlast, hier nicht gesondert errechnet My,d = 78,0 kNm aus ständiger Last und Schneelast Mz,d = 8,5 kNm aus Windlast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m)

188

Holzbau

2.5.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer für o.a. Lastkombination nach Tafel 1-16 und 1-17, kurz für Schnee- und Windlast (maßgebend) Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,9 für Schnee- und Windlast (maßgebend)

2.5.4 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Nutzbare Widerstandsmomente

7

Wy = Wy,n = 18 · 362/6 = 3888 cm3 Wz = Wz,n = 36 · 182/6 = 1944 cm3 Erhöhung der charakteristischen Biegefestigkeiten bei Doppelbiegung und homogenem Brettschichtholz: Flachkant-Biegebeanspruchung der Lamellen für Biegung um die y-Achse nach Gl. (3-12) Trägerhöhe h = 36 cm ” 60 cm, Erhöhung zulässig, kh = (600/360)0,14 = 1,074 ≤ 1,1

Hochkant-Biegebeanspruchung der Lamellen bei homogenem Brettschichtholz um die z-Achse nach Wendehorst, 32. Auf., Abschn. 3.3.2: (Anzahl der hochkant- biegebeanspruchten Lamellen • 4) kl = 1,2 Erhöhte charakteristische Biegefestigkeit infolge Flachkantbiegung der Lamellen um die y-Achse fm,y,k,adv = kh · fm,k = 1,074 · 3,6 = 3,87 kN/cm2 Erhöhte charakteristische Biegefestigkeit infolge Hochkantbiegung der Lamellen um die z-Achse fm,z,k,adv = kl · fm,k = 1,2 · 3,6 = 4,32 kN/cm2 Bemessungswerte der Biegefestigkeiten nach Gl. (2-2) fm,y,d = 0,90 · 1,074 · 3,6/1,3 = 2,68 kN/cm2 fm,z,d = 0,90 · 1,2 · 3,6/1,3

= 2,99 kN/cm2

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-13) und (3-14) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. Rechteckquerschnitt: h/b = 36/18 = 2 ” 4, Abminderung mit kred = 0,7 zulässig

189

2 Beispiele

7800/3888 850/1944 + 0, 7 ⋅ = 0, 749 + 0, 7 ⋅ 0,146 = 0,85 ≤ 1 2, 68 2,99 0, 7 ⋅

7800/3888 850/1944 + = 0, 7 ⋅ 0, 749 + 0,146 2, 68 2,99

= 0, 67 ≤ 1

Weitere Nachweise: (hier nicht geführt) Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Nachweis für Schub

2.6 Nachweis eines Druckstabes mit dem Ersatzstabverfahren, mittiger Druck Knicknachweis eines einteiligen Druckstabes, Pendelstütze Umgebungsklima: beheizter Innenraum

2.6.1 Holzbaustoff gewählt: Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/32 cm Charakteristische Druckfestigkeit in Faserrichtung nach Tafel 1-3 fc,0,k = 24,0 N/mm2 = 2,4 kN/cm2 Charakteristischer Steifigkeitskennwert nach Tafel 1-3 E0,05 = 10 500 N/mm2 = 1050 kN/cm2

Bild 2-8

7

190

Holzbau

2.6.2 Einwirkungen Charakteristische Druckkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Fc,0,k = 133,3 kN aus ständiger Last Das Eigengewicht der Pendelstütze (FStütze = b · h · l · Ȗ = 0,16 · 0,32 · 5,0 · 5,0 = 1,28 kN) ist im Vergleich zur charakteristischen Druckkraft Fc,k sehr klein (FStütze/Fc,k = 1,28/133,3 < 0,01 = 1 %) und wird im Beispiel vernachlässigt. Bemessungswert der Druckkraft in Faserrichtung (ständig wirkend) Fc,0,d = 1,35 · 133,3 = 180 kN

2.6.3 Modifikationsbeiwert

7

Nutzungsklasse 1 nach Tafel 1-15 (beheizter Innenraum) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

2.6.4 Knicken um die y-Achse (Ersatzstabverfahren) Knicklänge nach Tafel 4-5, Zeile 2 (Pendelstütze) lef,y = 1,0 · 5,0 = 5,0 m = 500 cm Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λy = 500/(0,289 · 32) = 54 Bezogener Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λrel,c,y =

500 2,40 ⋅ = 0,822 ʌ ⋅ 0,289 ⋅ 32 1050

Knickbeiwert kc,y nach Tafel 4-1 (oder aus Tafel 4-4 für λy = 54) k y = 0,5 ⋅ [1 + 0,1 ⋅ (0,822 − 0,3) + 0,8222 ] = 0,864 kc,y = 1/ (0,864 + 0,8642 − 0,8222 )

= 0,885 ≤ 1

Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Bemessungswert der Druckfestigkeit nach Gl. (2-2) fc,0,d = 0,6 · 2,40/1,3 = 1,11 kN/cm2 Nachweis der Tragfähigkeit für Knicken um die y-Achse nach Gl. (4-1) oder nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. 180/(16 ⋅ 32) = 0,36 ≤ 1 0,885 ⋅ 1,11

191

2 Beispiele

2.6.5 Knicken um die z-Achse (Ersatzstabverfahren) Knicklänge nach Tafel 4-5, Zeile 2 (Pendelstütze) lef,z = 1,0 ⋅ 5,0 = 5,0 m = 500 cm Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λz = 500/(0,289 ⋅ 16) = 108 Bezogener Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λrel,c,z =

500 2, 40 ⋅ = 1, 646 ʌ ⋅ 0, 289 ⋅16 1050

Knickbeiwert kc,z nach Tafel 4-1 (oder aus Tafel 4-4 für λz = 108) kz = 0,5 ⋅ [1 + 0,1 ⋅ (1, 646 − 0,3) + 1, 6462 ]

= 1,922

kc,z = 1/(1,922 + 1,9222 − 1, 6462 )

= 0,343 ≤ 1

Bemessungswert der Druckfestigkeit s. Knicken um die y-Achse Nachweis der Tragfähigkeit für Knicken um die z-Achse nach Gl. (4-2) oder nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. 180/(16 ⋅ 32) = 0,92 ≤ 1 0,343 ⋅1,11

2.6.6 Querschnittsschwächungen und -tragfähigkeit im Druckstab Die Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-4) für Druck in Faserrichtung ist bei knickgefährdeten Druckstäben zusätzlich zum Knicknachweis nachzuweisen, wenn Querschnittsschwächungen, s. [6], Abschn. 2.3.1, in den überwiegend nicht knickgefährdeten Stabbereichen, z.B. in der Nähe der Auflager vorhanden sind. Liegen jedoch Querschnittsschwächungen in den knickgefährdeten Stabbereichen wie innerhalb des mittleren Drittels der Knicklänge vor, sind diese beim Knicknachweis gesondert zu berücksichtigen. Hierzu sind die Druckspannungen mit der Nettofläche An zu ermitteln, planmäßige Ausmitten aus Querschnittsschwächungen nach Gl. (4-3) und (4-4) oder nach „Druck und Biegung, Ersatzstabverfahren“ der Tafel 1-1 in diesem Abschn. zu berücksichtigen.

2.7 Berechnung der Ersatzlast qd und Qd für eine Aussteifungskonstruktion zwischen Brettschichtträgern (Parallelträgern) Fortführung des Beispiels 2.4 „Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz“

7

192

Holzbau

2.7.1 Holzbaustoff, gewählt Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/90 cm Charakteristische Steifigkeitskennwerte nach Tafel 1-3 E0,mean = 12 600 N/mm2 = 1 260 kN/cm2 = 10 500 N/mm2 = 1 050 kN/cm2 E0,05 = 72 kN/cm2 Gmean = 720 N/mm2 2 = 600 N/mm = 60 kN/cm2 G05 Charakteristische Biegefestigkeit nach Beispiel 6.1.4

Bild 2-9

2.7.2 Aussteifungskonstruktion vorhandener Aussteifungsabstand a in der Ebene der Brettschichtträger- (BST) Obergurte, s. auch Bild im Beispiel 2.4.8

7

a = 5,0 m = Abstand der Verbandspfosten = Abstand der Einzelabstützungen in BST- Bereichen ohne Verband Anzahl der auszusteifenden BS-Träger- Druckgurte n = 5 (in den Giebelwänden keine BST) Anzahl der Aussteifungsverbände m=2

2.7.3 Kippbeiwert km Berechnung für den seitlich nicht ausgesteiften Druckgurt jeden BST- Trägers nach Tafel 8-2 Aussteifungsabstand a des seitlich nicht ausgesteiften Druckgurtes eines jeden BS- Trägers (= Stützweite l des Trägers im Beispiel), Gabellager an den Auflagern a = 15,0 m = 1500 cm Kipplängenbeiwerte a1 und a2 nach Tafel 4-9 für den gabelgelagerten Einfeldträger mit Gleichlast a1 = 1,13 und a2 = 1,44 Abstand des Lastangriffs az vom Schubmittelpunkt M nach Tafel 4-8 Lastangriff am oberen Trägerrand az = h/2 = 90/2 = 45 cm Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Biegesteifigkeit B um die z-Achse für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-8 E = 1260/1,3 = 969 kN/cm2 B = 969 · 163 · 90/12 = 29,77 · 106 kNcm2

193

2 Beispiele

Torsionssteifigkeit T für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-8 G = 72/1,3 = 55,4 kN/cm2 T ӽ 55,4 · 163 · 90/3 = 6,808 · 106 kNcm2 Ersatzstablänge lef nach Tafel 4-8 lef =

1500

ª 45 29, 77 º 1,13 ⋅ «1 − 1, 44 ⋅ ⋅ » 1500 6,808 ¼ ¬

= 1459 cm

Bezogener Kippschlankheitsgrad für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-6

λrel,m =

1459 ⋅ 90 ⋅ ʌ ⋅ 162

2,80 1050 ⋅ 60

= 1,35

Kippbeiwert km nach Tafel 4-6 oder aus Tafel 4-7 km = 1,56 – 0,75 ⋅ 1,35 = 0,548

2.7.4 Mittlere Normalkraft Nd im BST-Druckgurt eines jeden BS-Trägers Bemessungswert der Beanspruchungen (Biegung), s. Beispiel 2.4.5 My,max,d = 12,4 · 15,02/8 = 348,8 kNm Bemessungswert der mittleren Normalkraft im Druckgurt des Biegeträgers nach Tafel 8-2 N d = (1 − 0,548) ⋅ 34880/90 = 175,2 kN

2.7.5 Ersatzlasten für eine Aussteifungskonstruktion Berechnung nach Tafel 8-2 für die Hälfte der auszusteifenden BS- Träger: n/2 = 5/2 kl = 15/15, 0 = 1

qd = 1 ⋅

(5/2) ⋅ 175, 2 = 0,97 kN/m 30 ⋅ 15, 0

Qd = 0,97 ⋅15, 0/2 = 7,28 kN

2.7.6 Anteilige Windlast wd auf Giebelwand für eine Aussteifungskonstruktion (hier nicht gesondert errechnet) wd = 1,20 kN/m Qw,d = 1,20 · 15,0/2 = 9,0 kN

7

194

Holzbau

2.7.7 Gesamtlast qmax,d und Qmax,d für eine Aussteifungskonstruktion qmax,d = 0,97 + 1,20 = 2,17 kN/m Qmax,d = 7,28 + 9,0 = 16,3 kN

2.7.8 Einzelabstützungen, Mindeststeifigkeit nach Tafel 8-1 I z = 90 ⋅ 163 /12 =

= 30 720 cm4

K u,mean = 4 ⋅ ʌ 2 ⋅ 1260 ⋅ 30720/5003

= 12,2 kN/cm

2.8 Nachweis der Durchbiegungen eines Parallelträgers aus Brettschichtholz (Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit) Fortführung des Beispiels 2.4 „Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz“

7

2.8.1 Holzbaustoff, gewählt Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/90 cm Charakteristische Steifigkeitskennwerte nach Tafel 1-3 E0,mean = 12 600 N/mm2 Gmean =

720 N/mm2

Bild 2-10

= 1 260 kN/cm2 =

72 kN/cm2

2.8.2 Einwirkungen Charakteristische Lasten: senkrechte, gleichmäßige Linienlasten (Gleichlasten), s. Beispiel 2.4 qz,g,k = 5,00 kN/m aus ständiger Last qz,s,k = 3,75 kN/m aus Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Nachweise der Gebrauchstauglichkeit sind mit den charakteristischen Werten der Einwirkungen zu führen, s. [6], Abschn. 10.

2.8.3 Querschnittswerte und Überhöhung Flächenmoment 2. Grades Iy = 16 · 903/12 = 972 000 cm4

195

2 Beispiele

Parabelförmige Überhöhung des Parallelträgers aus Brettschichtholz, in Feldmitte w0 = 4, 0 cm

2.8.4 Verformungsbeiwert und weitere Beiwerte Nutzungsklasse 1, s. Beispiel 2.4.3 Verformungsbeiwert nach Tafel 1-14 kdef = 0,6 Beiwerte nach DIN 1055-100, Tab. A.2, für Schneelast ȥ0 = 0,5 und ȥ2 = 0,0 (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m)

2.8.5 Anfangs- und Enddurchbiegungen nach Tafel 10-1 Elastische Anfangsdurchbiegung aus ständiger Einwirkung qz,g,k 5 0, 050 ⋅ 15004 ⋅ = 2, 69 cm 384 1260 ⋅ 972000 aus veränderlicher Einwirkung (Schneelast qz,s,k)

wG,inst =

wQ,inst = 2, 69 ⋅ 3, 75/5, 00 = 2, 02 cm

Enddurchbiegungen aus ständiger Einwirkung qz,g,k wG,fin = 2, 69 ⋅ (1 + 0, 6) = 4,30 cm

aus veränderlicher Einwirkung (Schneelast qz,s,k) wQ,fin = 2, 02 ⋅ (1 + 0, 0 ⋅ 0, 6) = 2, 02 cm

2.8.6 Kombination der Durchbiegungen in der charakteristischen, seltenen (rare) Bemessungssituation nach Tafel 10-3 (bzw. Tafel 10-2) Kombination der elastischen Anfangsdurchbiegung elastische Anfangsdurchbiegung, gesamt (falls erforderlich) winst,rare = 2, 69 + 2, 02 = 4, 71 cm

elastische Anfangsdurchbiegung infolge veränderlicher Einwirkungen

7

196

Holzbau

wQ,inst,rare = 4, 71 − 2, 69 = 2, 02 cm

empfohlener Grenzwert wQ,inst,max ≤ 1500/300 = 5, 0 cm

Nachweis wQ,inst,rare wQ,inst,max

2, 02 = 0, 40 ≤ 1 5, 0

=

Kombination der Enddurchbiegungen Enddurchbiegungen, gesamt wfin,rare = 4,30 + 2, 02 = 6,32 cm

Enddurchbiegung abzgl. Anfangsdurchbiegung infolge ständiger Lasten wfin,rare,net = 6,32 − 2, 69 = 3, 63 cm

empfohlener Grenzwert

7

wfin,rare,max ≤ 1500/200 = 7,5 cm

Nachweis wfin,rare,net wfin,rare,max

=

3, 63 = 0, 48 ≤ 1 7,5

2.8.7 Kombination der Durchbiegungen in der quasi-ständigen (perm) Bemessungssituation nach Tafel 10-3 (bzw. Tafel 10-2) Kombination der Enddurchbiegungen Enddurchbiegung, gesamt wfin,perm = 4,30 + 0, 0 ⋅ 2, 02 = 4,30 cm

Enddurchbiegung abzgl. vorhandener Überhöhung w0 = 4, 0 cm wfin,perm,net = 4,30 − 4, 0 = 0,30 cm

empfohlener Grenzwert wfin,perm,max ≤ 1500/200 = 7,5 cm

Nachweis wfin,perm,net wfin,perm,max

=

0,3 = 0, 04 ≤ 1 7,5

2.9 Bemessung einer Verbindung mit Stabdübeln, Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

197

2 Beispiele

2.9.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt Holzbaustoff: Nadel-Vollholz, C 24 (S10), für Gurt- und Diagonalstab Charakteristischer Rohdichtekennwert nach Tafel 1-1

ρk = 350 kg/m3 Stiftförmige Verbindungsmittel Stabdübel ∅ 12 mm, Nennstahlgüte S 235

Bild 2-11

Charakteristische Festigkeit nach Tafel 14-4 oder nach Tafel 1-2 in diesem Abschn. fu,k = 360 N/mm2

2.9.2 Einwirkungen

7

Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 10,0 kN aus ständiger Last Ft,s,k = 21,0 kN aus Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Bemessungswerte der Zugkraft aus ständiger Last Ft,g,d = 1,35 ⋅ Ft,g,k = 1,35 ⋅ 10,0

= 13,5 kN

aus veränderlicher Last = 31,5 kN Ft,s,d = 1,5 ⋅ Ft,s,k = 1,5 ⋅ 21,0 Kombination der Einwirkungen (Lasten) nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. Ft,d = 1,35 ⋅ Ft,G,k + 1,5 ⋅ Ft,s,k = 13,5 + 31,5

= 45,0 kN

2.9.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) bzw. „kurz“ für Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Modifikationsbeiwerte nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last bzw. = 0,9 für Schneelast

198

Holzbau

2.9.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen Der größte Quotient aus Ft,d/kmod ergibt die für die Bemessung maßgebende Kombination. aus ständiger Last Ft,g,d/kmod = 13,5/0,6 = 22,5 ständige und veränderliche Last Ft,d/kmod = 45,0/0,9 = 50,0 (maßgebend) Anmerkung: Bei der Bemessung muss mit Ft,d = 45,0 kN gerechnet werden.

2.9.5 Abstände der Stabdübel nach Tafel 14-5 oder nach Tafel 1-5 in diesem Abschn.

7

Winkel α zwischen Kraft- und Faserrichtung Gurtstab: α = 45° Diagonalstab α = 0° Diagonalstab: α = 0° (Fußzeiger D) a1,D,min = (3 + 2⋅cos 0° )⋅12 = 60 mm > a1,D,min

a1,D

= 5,0/sin 45°

= 71 mm

a2,D

= 50 mm

> a2,D,min = 3 · 12

a1,t,D

= (5,0 + 2,0)/sin 45° = 99 mm

> a1,t,D,min

= 60 mm = 36 mm = 7 · 12 = 84 mm • 80 mm

a2,c,D

= 45 mm

> a2,c,D,min = 3 ⋅ 12

= 36 mm

Gurtstab: α = 45° (Fußzeiger G) a1,G,min = (3 + 2⋅cos 45°) · 12

= 53 mm

a1,G

= 5,0/sin 45°

= 71 mm

> a1,G,min = 53 mm

a2,G

= 50 mm

> a2,G,min

= 3 · 12

= 36 mm

a2,t,G

= 50 mm

> a2,t,G,min = 3 · 12

= 36 mm

a2,c,G

= 50 mm

> a2,c,G,min = 3 · 12

= 36 mm

2.9.6 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit eines Stabdübels Charakteristische Lochleibungsfestigkeit nach Tafel 14-4 oder Tafel 1-2 in diesem Abschn. Diagonalstab: α = 0°, (Seitenholz, gewählt als Stab 1 mit der höheren Lochleibungsfestigkeit)

199

2 Beispiele

fh,1,0,k

= 25,26 N/mm2

= 0,082⋅(1 – 0,01⋅12)⋅ 350

Gurtstab: α = 45° , (Mittelholz, gewählt als Stab 2 mit der niedrigeren Lochleibungsfestigkeit) k90

= 1,35 + 0,015 ⋅ 12

= 1,53

fh,2,0,k

= fh,1,0,k = 0,082 ⋅ (1 – 0,01⋅12)⋅ 350

= 25,26 N/mm2

fh,2,45,k = 25, 26/(1,53 ⋅ sin 2 45° + cos 2 45°) = 25,26/1,265 = 19,97 N/mm2 Charakteristischer Wert des Fließmomentes nach Tafel 14-4 oder Tafel 1-2 in diesem Abschn. My,k

= 0,3 · 360 · 122,6

= 69 070 Nmm

Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit eines Stabdübels nach Tafel 14-1 oder Tafel 1-2 in diesem Abschn., Holz-Holz-Verbindung, zweischnittig auf Abscheren, pro Scherfuge, s. auch Tafel 14-6

β

= 19,97/25,26

Rk =

= 0,791

2 ⋅ 0, 791 ⋅ 2 ⋅ 69070 ⋅ 25, 26 ⋅ 12 = 0,9398 ⋅ 6471 1 + 0, 791

= 6,08 kN

2.9.7 Mindestdicken und Mindesteindringtiefen der Seiten- und Mittelhölzer nach Tafel 14-1 und 14-6 für Seitenholz (Diagonale) § · 0, 791 69070 t1,req = 1,15 ⋅ ¨¨ 2 ⋅ + 2 ¸¸ ⋅ = 57,8 mm 1 + 0, 791 © ¹ 25, 26 ⋅ 12 < 80 mm = t1 (Holzdicke) < 80 mm = t1 (Eindringtiefe des Stabdübels)

für Mittelholz (Gurtstab), zweischnittig beansprucht § · 4 69070 t2,req = 1,15 ⋅ ¨ ⋅ ¨ 1 + 0, 791 ¸¸ 19,97 ⋅ 12 © ¹

= 58,4 mm

< 120 mm = t2 (Holzdicke) < 120 mm = t2 (Eindringtiefe des Stabdübels) Anmerkung: Die Angaben für die Mindestdicken (-Eindringtiefen) der Seiten-Mittelhölzer in Tafel 14-6 gelten für den Fall, dass der Stab 1 mit niedrigerer und der Stab 2 mit höherer Lochleibungsfestigkeit gewählt werden. Im vorliegenden Beispiel wird umgekehrt verfahren. Werden wie im Beispiel den Stäben 1 (höhere) und 2 (niedrigere) die „umgekehrten“ Lochleibungsfestigkeiten vergeben, können die zyklisch vertauschten ti,req der Seitenhölzer nach Tafel 14-6 benutzt werden, lediglich die Mindestdicke des Mittelholzes t2,req ist neu zu berechnen, da sie gegenüber dem Tafelwert prinzipiell größer wird.

7

200

Holzbau

2.9.8 Wirksame Anzahl nef der Stabdübel nach Gl. (14-2) oder Tafel 1-4 in diesem Abschn. Diagonalstab: α = 0° , (Seitenholz) Anzahl der Stabdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen, zwei Gruppen zu je n = 3 Stabdübel Abstand der Stabdübel untereinander in Faserrichtung a1 = 71 mm für eine Gruppe zu je n = 3 Stabdübel: 90 − 0 0 + 3⋅ =3 90 90 § 71 · 90 − 0 0 nef = ¨¨ 30,9 ⋅ 4 + 3⋅ = 2,36 ¸¸ ⋅ 10 12 90 90 ⋅ © ¹ für zwei Gruppen zu je 3 Stabdübel: nef = 3 ⋅

7

nef = 2 · 2,36

= 4,72 (maßgebend)

Gurtstab: α = 45° , (Mittelholz) Anzahl der Stabdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen, drei Gruppen zu je n = 2 Stabdübel Mindestabstand der Stabdübel untereinander in Faserrichtung bei 0° < Į < 90° nach Gl. (14-2) und Tafel 14-5 oder nach Tafel 1-5 in diesem Abschn. a1 = (3 + 2⋅cos 0° )⋅12 = 60 mm für eine Gruppe zu je n = 2 Stabdübel: 90 − 45 45 + 2⋅ =2 90 90 § 60 · 90 − 45 45 = ¨¨ 20,9 ⋅ 4 + 2⋅ = 1,78 ¸¸ ⋅ 10 12 90 90 ⋅ © ¹

nef = 2 ⋅ nef

für drei Gruppen zu je 2 Stabdübel: nef = 3 · 1,78

= 5,34

2.9.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Stabdübelverbindung zweischnittig, auf Abscheren Anzahl der Scherfugen, gesamt n = 2 · 6 = 12 Scherfugen > nmin = 4 Scherfugen nach Tafel 14-3 Teilsicherheitsbeiwert für Stahl in Verbindungen nach Tafel 2-1 auf Biegung beanspruchte stiftförmige Verbindungsmittel

γM = 1,1 Bemessungswert der Tragfähigkeit nach Gl. (14-1) oder nach Tafel 1-2 in diesem Abschn.

201

2 Beispiele

für einen Stabdübel mit einer Scherfuge (einschnittig) Rd =

0,9 ⋅ 6, 08 = 4,97 kN 1,1

für einen Stabdübel mit vorhandenen zwei Scherfugen (zweischnittig): Rd = 4,97 · 2 = 9,94 kN wirksame (rechnerisch anzusetzende) Anzahl der Stabdübel, maßgebende wirksame Anzahl von Stabdübel aus 2.9.8 nef = 4,72 für zwei Gruppen zu je 3 = 6 Stabdübel Bemessungswert der Tragfähigkeit für alle 6 zweischnittigen Stabdübel Rtot,d = 4,72 ⋅ 9,94 = 46,9 kN Nachweis Ft,d Rtot,d

=

45, 0 = 0,96 ≤ 1 46,9

7

Nachweis der Zugverbindung und Querzugnachweis nach [6], Abschn. 3.1.3 bzw. 6.3 führen.

2.10 Bemessung einer Verbindung eines Zugstoßes mit Ringdübeln A1 Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

2.10.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel: gewählt Holzbaustoff: Nadel-Vollholz, C 30 (S13), für Seiten- und Mittelholz Charakteristischer Rohdichtekennwert nach Tafel 1-1

ρk = 380 kg/m3 Verbindungsmittel: Ringdübel A1 nach Tafel 15-4 2 · 6 = 12 Ringdübel A1 ∅ 65 mm, mit 6 Bolzen M 12, U.S. 58/6 mm jeweils einschnittig, auf Abscheren

Bild 2-12

202

Holzbau

2.10.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 75 kN aus ständiger Last Bemessungswert der Zugkraft aus ständiger Last Ft,d = 1,35 · Ft,g,k = 1,35 · 75 = 101,3 kN

2.10.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

7

2.10.4 Einzuhaltende Bedingungen für den Basiswert der Ringdübel A1 nach Tafel 15-2, Zeile 1 bzw. Tafel 15-4 Winkel Į Kraft-Faserrichtung Į = 0: dvorh = 0° für Seiten- und Mittelholz Charakteristische Rohdichte der miteinander verbundenen Bauteile: ȡk

• 350 kg/m3:

ȡk,vorh = 380 kg/m3 für Seiten- und Mittelholz Endabstand der Dübel vom belasteten Hirnholzende in Faserrichtung: a1,t

• 2 · dc

a1,t,min = 2 · 65

= 130 mm

< a1,t,vorh = 150 mm

Randabstand der Dübel vom Holzrand ŏ Faserrichtung: a2,t (c) • 0,6·dc a2,t (c),min = 0,6·65 = 39 mm < a2,c,vorh

= 60 mm

Seitenholzdicke t1 • 3·he t1,req • 3·15

= 45 mm < t1,vorh

= 120 mm

= 75 mm < t2,vorh

= 160 mm

Mittelholzdicke t2 • 5·he t2,req • 5·15

203

2 Beispiele

2.10.5 Weitere Mindestabstände der Ringdübel A1 nach Tafel 15-3 bzw. 15-4 Winkel α zwischen Kraft- und Faserrichtung

α = 0° für Seiten- und Mittelholz a1,min = (1,2 + 0,8⋅cos 0° ) ⋅ 65 = 130 mm < a1,vorh = 150 mm a2,min = 1,2 ⋅ 65 s. oben a1,t nicht vorhanden a1,c nicht vorhanden a2,t s. oben a2,c

= 78 mm < a2,vorh = 80 mm

2.10.6 Beiwerte zur Berechnung der charakteristischen Tragfähigkeit (Basiswert) nach Tafel 15-2 Winkel zwischen Kraft- und Faserrichtung Į = 0:

kĮ = 1

charakteristische Rohdichte ȡk der verbundenen Bauteile ȡk = 380 kg/m3:

kȡ = 380/350

= 1,086 ” 1,75 Seitenholz- und Mittelholzdicken eingehalten, s. oben: kt = 1 Endabstand a1,t • 2·dc der Ringdübel vom belasteten Hirnholzende in Faserrichtung: eingehalten, s. oben: ka1 = 1

2.10.7 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit einer Verbindungseinheit Basiswert nach Tafel 15-4 für Ringdübel A1 ∅ 65 mm Rc,0,k = 18,3 kN oder nach Tafel 15-2, Zeile 1 Rc,0,k = 35 ⋅ 651,5 = 18340 N (maßgebend) bzw. Rc,0,k = 31,5 ⋅ 65 ⋅15 = 30710 N eine Verbindungseinheit nach Gl. (15-1) Rc,0(Į),k = 1,0 · 1,086 · 1,0 · 1,0 · 18,3 = 19,9 kN

7

204

Holzbau

2.10.8 Wirksame Anzahl der Ringdübel in Faserrichtung hintereinander Seiten- und Mittelholz: α = 0° , Anzahl der Ringdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen je Seite zwei Gruppen zu je n = 3 Ringdübel, insgesamt: vier Gruppen zu je n = 3 Ringdübel wirksame Anzahl nef für eine Gruppe zu n = 3 Ringdübel nach Gl. (15-4) für n > 2: ª º 90 − 0 3 · 0 § nef = « 2 + ¨1 − ¸ ⋅ ( 3 − 2 ) » ⋅ + 3⋅ = 2,85 20 ¹ 90 © ¬ ¼ 90

wirksame Anzahl für vier Gruppen zu je n = 3 Ringdübel nef = 4 · 2,85 = 11,4

2.10.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Ringdübelverbindung

7

Bemessungswert für eine Verbindungseinheit mit einem Ringdübel A1 nach Gl. (15-2) Rc,0(α ),d =

0, 6 ⋅19,9 = 9,18 kN 1,3

wirksame (rechnerisch anzusetzende) Anzahl aller Verbindungseinheiten mit je einem Ringdübel A1 maßgebende wirksame Anzahl aus 2.10.8 nef = 11,4 für vier Gruppen zu je 3 = 12 Verbindungseinheiten Bemessungswert der Tragfähigkeit aller Verbindungseinheiten mit Ringdübeln A1 nach Gl. (153) Rj,d = 11,4 · 9,18 = 104,7 kN Nachweis Ft,d R j,d

=

101,3 = 0,97 ≤ 1 104, 7

Nachweis der Zugverbindung nach [6], Abschn. 3.1.3 führen

2.11 Bemessung einer Verbindung mit Nägeln (Abscheren), Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk, Einbaufeuchte Ȧ < 20 %

205

2 Beispiele

Bild 2-13

2.11.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt: Holzbaustoff: Nadel-Vollholz C 24 (S10) für Gurt- und Diagonalstab Charakteristischer Rohdichtekennwert nach Tafel 1-1

ρk = 350 kg/m3 Stiftförmige Verbindungsmittel glattschaftige Nägel 3,4 × 90 mm nach Tafel 14-18 Charakteristische Festigkeit (Mindestzugfestigkeit) nach Tafel 14-13 fu,k = 600 N/mm2

2.11.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 9,0 kN aus ständiger Last Bemessungswert der Zugkraft aus ständiger Last Ft,d = Ft,g,d = 1,35 · Ft,g,k = 1,35 · 9,0 = 12,15 kN

2.11.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

7

206

Holzbau

2.11.4 Abstände der Nägel nach Tafel 14-16 oder nach Tafel 1-7 in diesem Abschn. Winkel α zwischen Kraft- und Faserrichtung α = 45° Gurtstab: Diagonalstab α = 0° Nägel nicht vorgebohrt, Charakteristischer Rohdichte

ρk = 350 kg/m3 ” 420 kg/m3 Nageldurchmesser

d = 3,4 mm < d = 5 mm

Anmerkung: Bei den Mindestabständen darf der Winkel α berücksichtigt werden. Diagonale: α = 0° (Fußzeiger D)

7

a1,D,min a1,D

= (5 + 5⋅cos 0°) ⋅ 3,4 = 30/sin 45°

= 34 mm = 42 mm > a1,D,min

= 34 mm

a2,D

= 30 mm > a2,D,min = 5 ⋅ 3,4

= 17 mm

a1,t,D,min a1,t,D

= (7 + 5⋅cos 0°) ⋅3,4 = 35/sin 45°

= 41 mm = 50 mm

a2,c,D

> a1,t,D,min = 35 mm > a2,D,min = 5 · 3,4

= 41 mm = 17 mm

Gurtstab: α = 45° (Fußzeiger G) a1,G,min a1,G

= (5 + 5⋅cos 45°) · 3,4 = 30/sin 45 > a1,G,min

= 29 mm = 42 mm = 29 mm

a2,G

= 30 mm > a2,G,min = 5 ⋅ 3,4

= 17 mm

a2,t,G,min a2,t,G

= (5 + 2⋅sin 45°) ⋅ 3,4 = 35/sin 45°

= 22 mm = 50 mm

> a2,t,G,min a2,c,G

= 35 mm > a2,G,min = 5⋅3,4

= 22 mm = 17 mm

2.11.5 Mindestholzdicken bei Nägeln allgemein für Nägel nach Tafel 14-14, Zeile 1, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. treq

= 9 · 3,4

= 30,6 mm

= 31 mm

207

2 Beispiele

Anmerkung: (im Beispiel nicht vorhanden, da t = 40 mm > treq = 9 · 3,4 = 30,6 mm) wird treq auf eine Holzdicke t < treq = 9 · d unterschritten, ist die charakteristische Tragfähigkeit Rk nach Tafel 14-12 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. abzumindern Rk,red = Rk · t/treq charakteristische Tragfähigkeit Rk (der „letzten“ Scherfuge) rechnerisch nicht ansetzen, wenn t<4·d im Beispiel: t = 4 · 3,4 = 13,6 mm Rk darf in voller Höhe angesetzt werden

Rk = 0 ” 50 mm

Zur Verhinderung der Spaltgefahr bei Nägeln sind einzuhalten: in Schnitthölzern ohne Vorbohrung nach Tafel 14-14, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. entweder nach Tafel 14-14, Zeile 2 Mindestholzdicken t in Bauteilen aus Nadelholz außer Kiefernholz t = 14 · 3,4 = 47,6 mm = 48 mm (maßgebend) oder t = (13 · 3,4 – 30) · 350/200 = 24,9 mm = 25 mm oder nach Tafel 14-14, Zeile 3 und 4: bei Einhaltung folgender größerer Mindestrandabstände (Nägel ohne Vorbohrung) a2,t und a2,c • 10 ⋅ d (für ρk = 350 kg/m3 ” 420 kg/m3) die Mindestholzdicken t in Bauteilen aus Nadelholz t = 7 · 3,4 = 23,8 mm = 24 mm (maßgebend) oder t = (13 · 3,4 – 30) · 350/400 = 12,4 mm = 12 mm (t-Werte gelten auch für Bauteile aus Kiefernholz bei Einhaltung der Mindestabstände nach Tafel 14-16, ohne Einhalten der größeren Randabstände a2,t und a2,c • 10 · d) Im Beispiel werden die Bedingungen der größeren Randabstände eingehalten: a2,c,D(G) = 35 mm (Diagonale und Gurt) = 35 mm (Gurt) a2,t,G • 10 · 3,4 mm = 34 mm einzuhaltende Holzdicken t = 7 · 3,4 = 23,8 mm = 24 mm (maßgebend) < 40 mm (Gurt) < 120 mm (Diagonale) Mindestholzdicken für tragende Einzelquerschnitte bei Vollholz nach Tafel 2-2 nie unterschreiten tmin = 24 mm

7

208

Holzbau

2.11.6 Mindesteindringtiefe (Mindesteinschlagtiefe) der Nägel (im Holz mit der Nagelspitze) nach Tafel 14-14, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. für Nagel 3,4 × 90 mm treq = 9 · 3,4 = 30,6 mm = 31 mm ” t = (90 – 40) = 50 mm

2.11.7 Übergreifende Nägel im Mittelholz (Gurt) nach Gl. (14-5) und Bild 14-5 (120 – 50)

= 70 mm > 4 · 3,4 = 13,6 mm Übergreifende Nägel sind im Beispiel nicht vorhanden

7

2.11.8 Charakteristischer Wert der Lochleibungsfestigkeit in Nagelverbindungen nach Tafel 14-13 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. Die charakteristische Lochleibungsfestigkeit ist bei Nägeln unabhängig vom Kraft-Faserwinkel α. Diagonale und Gurt: nicht vorgebohrte Hölzer (Nägel) fh,1,0,k = 0,082 · 350 · 3,4-0,3

= 19,88 N/mm2

2.11.9 Charakteristischer Wert des Fließmomentes nach Tafel 14-13 oder nach Tafel 1-3 in diesem Abschn. für runde glattschaftige Nägel My,k = 0,3 · 600 · 3,42,6

= 4336 Nmm

2.11.10 Charakteristische Tragfähigkeit eines Nagels nach Tafel 14-12, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. Holz-Holz-Verbindung, nicht vorgebohrt, einschnittig auf Abscheren, pro Scherfuge: Rk =

2 ⋅ 4336 ⋅ 19,88 ⋅ 3, 4

= 765 N

2.11.11 Wirksame Anzahl nef der Nägel für Nägel mit Durchmessern d ” 6 mm wird keine wirksame Anzahl ermittelt. nef = n da d = 3,4 mm

” 6,0 mm

209

2 Beispiele

2.11.12 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Nagelverbindung Nagelverbindung: einschnittig, auf Abscheren, im Beispiel werden 16 Nägel je Seite eingeschlagen, Anzahl der Nägel, gesamt ntot = 2 · 16 = 32 Nägel > 2 Nägel nach Tafel 14-11 > nmin Teilsicherheitsbeiwert für Stahl in Verbindungen nach Tafel 2-1 auf Biegung beanspruchte stiftförmige Verbindungsmittel (hier: Nägel) γM = 1,1 Bemessungswert der Tragfähigkeit nach Gl. (14-1) oder nach Tafel 1-3 in diesem Abschn. für einen Nagel mit einer Scherfuge (einschnittig) Rd =

0, 6 ⋅ 765 1,1

= 417 N = 0,417 kN

für 16 Nägel einer Anschlussseite (einschnittig) Rd = 0,417 · 16

= 6,67 kN

für alle 32 Nägel beider Anschlussseiten Rtot,d = 6,67 · 2 Nachweis der Nagelverbindung Ft,d Rtot,d

=

12,15 = 0,91 ≤ 1 13,34

Weitere Nachweise: (hier nicht geführt) Nachweis der Zugverbindung und Querzugnachweis nach[6], Abschn. 3.1.3 bzw. 6.3 führen

= 13,34 kN

7

Glasbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller, Dipl.-Ing. Dipl.-Wirt.-Ing. Stefan Reich und Dipl.-Ing. Jan Wünsch

Inhalt Glasbau ........................................................................................................................................ 211 1 Grundlagen............................................................................................................................. 213 1.1 Abkürzungen und Formelzeichen Abkürzungen ........................................................ 213 1.2 Materialeigenschaften................................................................................................. 214 1.3 Baurechtliche Situation............................................................................................... 214 2 Bemessung ............................................................................................................................. 215 2.1 Allgemeines ................................................................................................................ 215 2.2 Bemessung nach TRLV .............................................................................................. 215 2.3 Bemessung nach TRAV ............................................................................................. 216 3 Einwirkungen......................................................................................................................... 217 3.1 Allgemeines ................................................................................................................ 217 3.2 Isochorer Druck .......................................................................................................... 217 3.3 Einwirkungskombinationen nach TRLV .................................................................... 218 3.4 Einwirkungskombinationen nach TRAV.................................................................... 218 4 Berechnungsverfahren ........................................................................................................... 219 4.1 Allgemeines ................................................................................................................ 219 4.2 Berechnungstafeln für allseitig linienförmig gelagerte Verglasungen ....................... 219 4.3 Mehrscheiben-Isolierglas............................................................................................ 224 5 Beispiele................................................................................................................................. 225 5.1 Vertikalverglasung eines Kastenfensters .................................................................... 225 5.2 Isolierverglasung eines Atriums Allgemeines ............................................................ 227 5.3 Überkopfverglasung eines unbeheizten Parkhauses ................................................... 232 5.4 Absturzsichernde Verglasung der Kategorie A .......................................................... 234 5.5 Begehbare Verglasung aus Verbund-Sicherheitsglas ................................................. 236 6 Literatur ................................................................................................................................. 240

1 Grundlagen 1.1 Abkürzungen und Formelzeichen Abkürzungen BRL ESG ESG-H MIG PVB SPG SZR TVG VG VSG Formelzeichen a, b a* a' BV b' c c1, c2 cp d da di dPVB dSZR d* E g h K mx, my P p p0 q s vorh. w vorh. σ w zul. w zul. σ

α γ

ΔH ΔT

Bauregellisten Einscheiben-Sicherheitsglas Heißlagerungsgeprüftes Einscheiben-Sicherheitsglas Mehrscheiben-Isolierglas Polyvinyl-Butyral Spiegelglas Scheibenzwischenraum Teilvorgespanntes Glas Verbundglas Verbund-Sicherheitsglas Seitenlängen Charakteristischen Kantenlänge Kürzere Seitenlänge Beiwert zur Ermittlung der charakteristischen Kantenlänge Längere Seitenlänge Spezifische Wärmekapazität Beiwert zur Ermittlung des isochoren Druckes Aerodynamischer Beiwert Plattendicke Dicke der äußeren Einzelscheibe eines MIG Dicke der inneren Einzelscheibe eines MIG Dicke der PVB-Folie eines VSG Dicke des SZR eines MIG Ersatzdicke der Platte bei VSG und VG Elastizitätsmodul Eigengewicht Holmlast Plattensteifigkeit Momente Einzellast Verkehrslast Isochorer Druck Gleichlast Schneelast Vorhandene Durchbiegung Vorhandene Spannung Windlast Zulässige Durchbiegung Zulässige Spannung Mittlerer thermischer Ausdehnungskoeffizient Wichte Differenz der Ortshöhe zwischen Einbau- und Herstellungsort Differenz der Temperatur zwischen Gebrauchszustand und Herstellung

214

Glasbau

Δpmet δa, δi ηx, ηy

ηw λ μ ρ ϕ

Differenz des meteorologischen Luftdruckes Anteile der Einzelscheiben an der Gesamtbiegesteifigkeit Momentenbeiwerte Durchbiegungsbeiwert Wärmeleitfähigkeit Querdehnzahl/Poissonzahl Dichte Faktor zur Ermittlung der Einwirkungsverteilung

1.2 Materialeigenschaften Der Werkstoff Glas verfügt, wie Stahl, über elastisches Materialverhalten und besitzt eine hohe Druckfestigkeit. Aufgrund seiner hohen Sprödigkeit ist Glas jedoch nicht in der Lage, lokale Spannungsspitzen durch Plastifizierung abzubauen. Die Zugfestigkeit von Glas wird stark von der Oberflächenbeschaffenheit beeinflusst. Kleinste Mikrorisse in der Oberfläche fuhren zu Spannungsspitzen und am Ende zum spontanen Versagen des Glases. Die Normung der Basisgläser befindet sich in der Koexistenzphase. Die physikalischen Eigenschaften sind in der DIN EN 572-1 [1] und der DIN 1249-10 [2] angegeben und in Tafel 1-1 zusammengefasst dargestellt. Tafel 1-1 Eigenschaften von Kalk-Natronglas

8

Eigenschaft Dichte ρ Elastizitätsmodul E Querdehnzahl μ Spezifische Wärmekapazität c Mittlerer thermischer Ausdehnungskoeffizient α (20° C bis 300° C) Wärmeleitfähigkeit k 1) 2) 3)

Einheit kg/m3 N/mm2 – J/(kg · K)

Kalk-Natronglas Kalk-Natronglas DIN EN 572-1 DIN 1249-101) 2,5 · 103 7,0 · 104 7,3104 2) 7,0 · 104 3) 0,20 0,23 0,72 · 103 0,8 · 103

K–1 W/(m · K)

9,0 · 10–6 1,0

0,8

Glas nach DIN 1249-10 ist gemäß Tabelle 11-3 der Bauregelliste A geregelt. Technisch entspanntes Glas. Thermisch vorgespanntes Glas.

Die in den Berechnungen anzusetzenden Werte werden in der TRLV [14] mit μ = 0,23 und E = 70000 N/mm2 festgelegt.

1.3 Baurechtliche Situation Neben reinen Berechnungs- und Bemessungskriterien sind bei der Ausführung von Verglasungen auch konstruktive Bestimmungen zu berücksichtigen. Dazu zählen beispielsweise der Glaseinstand, die Auflagerausbildung oder Abmessungsbeschränkungen. Die zurzeit bauaufsichtlich eingeführten Regelwerke für die Berechnung und Bemessung von Glasbauteilen sind die DIN 18516-4 „Außenwandbekleidung, hinterlüftet aus Einscheibensicherheitsglas“ [12], die „Technischen Regeln für die Verwendung von linienförmig gelagerten Verglasungen (TRLV)“ [14] sowie die „Technischen Regeln für die Verwendung von absturzsichernden Verglasungen (TRAV)“ [13]. Darüber hinaus sind bei der Anwendung oben genannter

215

2 Bemessung

Regelwerke die zusätzlichen Bestimmungen aus den Bauregellisten [15] und aus der Liste der Technischen Baubestimmungen des jeweiligen Bundeslandes anzuwenden. Bauteile aus Glas, die nicht durch eine der eingeführten Regelwerke zu erfassen sind und für die keine allgemeine bauaufsichtliche Zulassung (abZ) oder ein allgemeines bauaufsichtliches Prüfzeugnis (abP) vorliegt, unterliegen stets der Zustimmung im Einzelfall (ZiE). Die ZiE wird durch die oberste Baubehörde des jeweils zuständigen Bundeslandes erteilt. Die Anforderungen im Rahmen der ZiE sind mit der zuständigen Behörde abzuklären.

2 Bemessung 2.1 Allgemeines Gegenwärtig wird die Bemessung von Glas nach dem deterministischen Sicherheitskonzept durchgeführt. Die vorhandenen Regelwerke und allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassungen geben die zulässigen Spannungen unter Berücksichtigung eines globalen Sicherheitsfaktors an. Der Nachweis der Tragfähigkeit ist nach Gleichung (2-1) und der Nachweis der Gebrauchstauglichkeit nach Gleichung (2-2) zu führen. vorh. σ ≤ zul. σ vorh. w ≤ zul. w

8

2.2 Bemessung nach TRLV Die zulässigen Spannungen nach TRLV [14] gelten für linienförmig gelagerte Verglasungen. Unterschieden wird in Vertikal- und Überkopfverglasungen, wobei sich die Überkopfverglasung über einen Neigungswinkel von mehr als 10° zur Vertikalen definiert. Tafel 2-1 Zulässige Biegezugspannungen in N/mm2 [14] Glassorte ESG aus Spiegelglas ESG aus Gussglas Emailliertes ESG aus Spiegelglas2) Spiegelglas Gussglas VSG aus Spiegelglas TVG aus Spiegelglas 4) Emailliertes TVG aus Spiegelglas2) 4) 1) 2) 3) 4)

Überkopfverglasung1)

Vertikalverglasung

50 37 30 12 8 15 (25 3)) 29 18

50 37 30 18 10 22,5 29 18

Winkel zur Vertikalen ≥ 10° . Emaille auf der Zugseite. Nur für die untere Scheibe einer Überkopfverglasung aus Isolierglas beim Lastfall „Versagen der oberen Scheibe“ zulässig.' Die zulässigen Spannungen sind mit der jeweiligen bauaufsichtlichen Zulassung abzugleichen.

Die Beanspruchbarkeit von Spiegelgläsern, resultierend aus dem bruchmechanischen Verhalten, wird im Wesentlichen von den Einflussfaktoren Beanspruchungsdauer und Flächengröße bestimmt. Daraus ergeben sich unterschiedliche zulässige Spannungen für Vertikal- und Überkopfverglasungen. Thermisch vorgespannte Gläser zeigen diese Abhängigkeiten im Bereich der zulässigen Spannungen aufgrund des Vorspannungseffektes nicht.

216

Glasbau

Zusätzlich dürfen die Biegezugspannungen aus Tafel 2-1 bei Überlagerung von statischen Einwirkungen nach Abschnitt 4.1 der TRLV und klimatischen Einwirkungen nach Abschnitt 4.2 der TRLV um 15 % erhöht werden. Bei Vertikalverglasungen mit Scheiben aus Spiegelglas, einer Glasfläche von bis zu 1,6 m2 und der oben genannten Einwirkungskombination dürfen die zulässigen Biegespannungen um 25 % vergrößert werden. Zur Sicherstellung der Gebrauchstauglichkeit und Lagesicherung der Verglasung sind die in Tafel 2-2 angegebenen Durchbiegungsbegrenzungen einzuhalten. Tafel 2-2 Durchbiegungsbegrenzungen [14] Überkopfverglasung1)

Lagerung Vierseitig Zwei- und dreiseitig 1) 2) 3)

8

Vertikalverglasung

1/100 der Scheibenstützweite in Haupttragrichtung

Keine Anforderung

Einfachverglasung: 1/100 der Scheibenstützweite in Haupttragrichtung

1/100 der freien Kante2)

Scheiben der Isolierverglasung: 1/200 der freien Kante

1/100 der freien Kante3)

Winkel zur Vertikalen 10°. Auf die Einhaltung dieser Begrenzung kann verzichtet werden, sofern nachgewiesen wird, dass unter Last ein Glaseinstand von 5 mm nicht unterschritten wird. Durchbiegungsbegrenzung des Isolierglasherstellers ist zu beachten.

Die Durchbiegungen der Auflagerkonstruktionen sind auf 1/200 der Auflagerlänge der Scheiben, jedoch auf höchstens 15 mm zu begrenzen. Neben den Vorgaben der TRLV sind erhöhte Anforderungen an die Durchbiegung seitens des Isolierglasherstellers zu beachten, da hier auch Gewährleistungsansprüche eine Rolle spielen können.

2.3 Bemessung nach TRAV Beim Nachweis der Tragfähigkeit unter statischer Einwirkung sind bei absturzsichernden Verglasungen zusätzlich die Bestimmungen nach Abschnitt 5 der TRAV [13] zu beachten. Für den Nachweis der Tragfähigkeit unter stoßartiger Einwirkung existieren drei mögliche Arten der Nachweisführung. Dies sind der experimentelle Nachweis durch Pendelschlag nach Abschnitt 6.2 der TRAV, die Auswahl von Verglasungen mit bereits versuchstechnisch nachgewiesener Stoßsicherheit nach Abschnitt 6.3 der TRAV und der Nachweis der Stoßsicherheit mittels Spannungstabellen nach Abschnitt 6.4 der TRAV. Die in Tafel 2-3 angegebenen zulässigen Spannungen gelten nur für kurzzeitige Einwirkungen durch Pendelschlag und nur im Zusammenhang mit dem Nachweis der Stoßsicherheit mittels Spannungstabellen nach Abschnitt 6.4 TRAV. Tafel 2-3 Zulässige Biegezugspannungen in N/mm2 bei kurzzeitigen Einwirkungen [13] Glassorte1) Spiegelglas

1)

Zulässige Spannungen 80

TVG aus Spiegelglas

120

ESG aus Spiegelglas

170

Es dürfen nur Gläser verwendet werden, die den Bestimmungen des Abschnittes 2 der TRAV entsprechen.

217

3 Einwirkungen

3 Einwirkungen 3.1 Allgemeines Die maßgeblichen statischen Einwirkungen für Einzelverglasungen bestehen im Rahmen der TRLV aus Eigengewicht, Wind und Schnee. Für Mehrscheiben-Isolierverglasungen werden zusätzlich klimatische Einwirkungen maßgeblich, die zu isochoren Druck im Scheibenzwischenraum führen. Im Rahmen der TRAV sind zusätzliche Einwirkungen aus horizontalen Verkehrslasten anzusetzen. Für besondere Zustimmungspflichtige Glaskonstruktionen können auch vertikale Verkehrsbelastungen aus bedingter Betretbarkeit für Wartungs- und Reinigungszwecke sowie aus Begehbarkeit resultieren. Das deterministische Nachweiskonzept basiert auf den Lastannahmen der DIN 1055 [3, 4, 5, 6]. Bei Standsicherheits- und Durchbiegungsnachweisen von VSG- oder VG-Einfachverglasungen darf ein günstig wirkender Schubverbund der Scheiben nicht berücksichtigt werden. Gleiches gilt für die Schubkopplung von Mehrscheiben-Isolierverglasungen über den Randverbund. Bei Vertikalverglasungen aus Mehrscheiben-Isolierglas mit Einzelscheiben aus VSG oder VG ist bei der Nachweisführung zusätzlich der Grenzzustand des vollen Schubverbundes zu berücksichtigen.

3.2 Isochorer Druck

8

Die Einzelscheiben von Mehrscheiben-Isolierglas werden im Randbereich durch verklebte Abstandhalter tragend und gasdicht verbunden. Im dadurch entstehenden Scheibenzwischenraum befindet sich ein abgeschlossenes Luft- beziehungsweise Gasvolumen, das eine mechanische Kopplung beider Scheiben bewirkt und Ursache für klimatische Belastungen ist. Die klimatischen Einwirkungen in Form von Druckdifferenzen, die sich aus der Veränderung der Temperatur und des meteorologischen Luftdruckes sowie aus der Differenz der Ortshöhe zwischen Herstellungs- und Einbauort ergeben, führen zu einer flächigen Belastung der Scheiben. Die Beanspruchung der Einzelscheiben durch isochoren Druck kann durch eine Verformung der Einzelscheiben abgebaut werden. Die endgültige Beanspruchung der Scheiben aus klimatischer Belastung ist somit vom Verglasungsformat und von den Steifigkeitsverhältnissen der Einzelscheiben abhängig. Vereinfachend können innerhalb der Standardbedingungen nach Anhang B der TRLV für den sommerlichen und den winterlichen Lastfall die Werte nach Tafel 3-1 für den isochoren Druck p0 angesetzt werden. Tafel 3-1 Klimatische Einwirkungen und isochorer Druck unter Standardbedingungen [14] ΔT in K

Δpmet in kN/m2

ΔH in m

p0 in kN/m2

Sommer

+ 20

–2

+ 600

+ 16

Winter

– 25

+4

– 300

– 16

Einwirkungskombination

Eine exakte Berechnung des isochoren Druckes p0 ist notwendig, wenn von den Standardbedingungen ungünstig wirkend abgewichen wird. Veränderliche Einflussfaktoren, die in Gleichung (3-1) eingehen, sind Temperatur- und Höhendifferenzen.

218

Glasbau

p0 = c1 ⋅ ǻT − ǻpmet + c2 ⋅ ǻH

(3-1)

mit c1 = 0,34 kPa/K und c2 = 0, 012 kPa/m Tafel 3-2 Zusätzliche Werte bei besonderen Temperaturbedingungen am Einbauort [14] Einwirkungskombination

Sommer

Winter

Ursache für erhöhte Temperaturdifferenz

ΔT in K

P0 in kN/m2

Absorption zwischen 30 % und 50 % Absorption größer 50 % Innen liegender Sonnenschutz (ventiliert) Innen liegender Sonnenschutz (nicht ventiliert) Dahinter liegende Wärmedämmung (Paneel) Unbeheiztes Gebäude

+9 + 18 +9 + 18 + 35 – 12

+3 +6 +3 +6 + 12 –4

3.3 Einwirkungskombinationen nach TRLV

8

Bei der Berechnung von linienförmig gelagerten Verglasungen sind die Einwirkungen nach DIN 1055 [3, 4, 5, 6] zu berücksichtigen. Die gleichzeitige Einwirkung von Wind w und Schneelast s wird durch die Lastfallkombination: s + w / 2 bzw. w + s / 2

berücksichtigt. Der ungünstigere Wert der Lastfallkombination ist dabei maßgebend. [5] Bei Mehrscheiben-Isolierverglasungen sind die Klimalasten als weiterer Lastfall der Lastfallkombination zu berücksichtigen. Ein realistischer Ansatz der Klimalasten ist dabei notwendig (Überlagerung sommerlicher Klimalasten mit sommerlicher Lastfallkombination und Überlagerung winterlicher Klimalasten mit winterlicher Lastfallkombination).

3.4 Einwirkungskombinationen nach TRAV Die Einwirkungen Wind w und Holmlast h sind bei absturzsichernden Verglasungen zu überlagern. Bei Verglasungen aus Mehrscheiben-Isolierglas sind außerdem die Flächenersatzlasten aus dem isochoren Druck zu berücksichtigen. Im Falle der gleichzeitigen Beanspruchung einer Mehrscheiben-Isolierglasscheibe durch Wind w und Holmlast h dürfen die Beanspruchungen durch die Last aus der Druckdifferenz d vernachlässigt werden. Weiterhin darf statt der vollen Überlagerung die ungünstigere Lastfallkombination w + h/2 bzw. h + w/2 bzw. die Überlagerung h + d bzw. w + d für die Bemessung zugrunde gelegt werden.

4 Berechnungsverfahren

219

4 Berechnungsverfahren 4.1 Allgemeines Allgemein können Verglasungen mit Hilfe der Plattentheorie oder numerischer Verfahren berechnet werden. Für die Berechnung des isotropen Werkstoffes Glas wurden mit dem Ansatz der linearen Plattentheorie, unter Verwendung der Querdehnzahl von μ = 0,23, Bemessungsdiagramme für allseitige gelagerte, rechteckförmige Verglasungen erstellt [21]. Die Ergebnisse von Berechnungen nach der linearen Plattentheorie liefern im Vergleich zur nichtlinearen Schalentheorie auf der sicheren Seite liegende Werte. Die Berücksichtigung des Membrantragverhaltens der Schalentheorie erfolgt in der Praxis über nichtlineare numerische Berechnungsmodelle und führt häufig zu wirtschaftlicheren Ergebnissen. Aufgrund der konstruktiven Ausbildung der Glashaltekonstruktionen wird im Konstruktiven Glasbau mit frei verschieblichen und damit zwängungsfreien sowie gelenkigen Auflagerungen gerechnet.

4.2 Berechnungstafeln für allseitig linienförmig gelagerte Verglasungen Allseitig linienförmig gelenkig gelagerte, rechteckförmige Scheiben stellen den Großteil der eingebauten Verglasungen dar. Für flächige Beanspruchungen aus Eigenlasten, Verkehrslasten und Klimalasten werden die Bilder 4-1 und 4-2 für die Berechnung der Biegemomente und Durchbiegungen an Vertikal- und Überkopfverglasungen verwendet [21].

Bild 4-1 Beiwerte ηx, ηy für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Flächenlast [21]

8

220

Glasbau

In Abhängigkeit von den Seitenverhältnissen b/a können die Beiwerte ηx und ηy für die Berechnung der zugehörigen Biegemomenten mx und my abgelesen werden. Die Berechnung erfolgt mit den Formeln: m x = ηx · a · b · q (4-1) m y = ηy · a · b · q (4-2) Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt analog. Aus dem Seitenverhältnis b/a wird der Beiwert ηw ermittelt. Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt mit der Formel: vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K (4-3) unter Berücksichtigung der Plattensteifigkeit K = E · d3/(12 · (1 – μ2)) = 6159 MPa · d3 (4-4)

8

Bild 4-2 Beiwert ηw für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Flächenlast [21]

Für die Berechnung von begehbaren [16] und von für Wartungs- und Reinigungszwecke bedingt betretbaren Verglasungen [8, 17] muss die Einwirkung Personenersatzlast berücksichtigt werden. Die Personenersatzlasten sind in ungünstigster Laststellung und mit einer Aufstandsfläche von 10 cm × 10 cm anzusetzen. Für die Einwirkung Personenersatzlast P in Feldmitte können die Biegemomente und die Durchbiegung anhand der Bilder 4-3 bis 4-5 ermittelt werden [21]. In Abhängigkeit der Seitenlängen a und b können die Beiwerte ηx und ηy für die Berechnung der zugehörigen Biegemomenten mx und my abgelesen werden. Die Berechnung erfolgt mit den Formeln: (4-5) m x = ηx · P m y = ηy · P (4-6) Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt analog. Anhand der Seitenlängen a und b wird der Beiwert ηw ermittelt. Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt mit der Formel: vorh. w = 1/25000 · ηw · a2 · b2 · q/K unter Berücksichtigung der Flächenlast q = P/0,01 · m2 und der Plattensteifigkeit K = E · d3/(12 · (1 – μ2)) = 6159 MPa · d3

(4-7) (4-8) (4-4)

4 Berechnungsverfahren

221

8

Bild 4-3 Beiwert ηx für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Einzellast [21]

222

Glasbau

8

Bild 4-4 Beiwert ηy für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Einzellast [21]

4 Berechnungsverfahren

223

8

Bild 4-5 Beiwert ηw für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Einzellast [21]

224

Glasbau

4.3 Mehrscheiben-Isolierglas Bei der Berechnung von Mehrscheiben-Isolierglas ist der Kopplungseffekt, die Mitwirkung aller Einzelscheiben bei der Lastabtragung, zu berücksichtigen. Kommen Verglasungen aus VerbundSicherheitsglas oder Verbundglas im Mehrscheiben-Isolierglas zum Einsatz, so sind Grenzfallbetrachtungen zum vollen und ohne Schubverbund in der Berechnung zu berücksichtigen. Die Anteile der Einzelscheiben an der Gesamtbiegesteifigkeit berechnen sich aus:

δ a = da3 /(da3 + di3 ) = 1 − δ i

(4-9a)

δ i = di3 /(da3 + di3 ) = 1 − δ a

(4-9b)

Die Berechnung der charakteristischen Kantenlänge a* erfolgt mit der Formel (4-10) unter Berücksichtigung des Beiwertes BV aus Tafel 4-1. a* = 28,9 ⋅ 4 (dSZR ⋅ da3 ⋅ di3 ) /(da3 + di3 ) ⋅ BV

(4-10)

Tafel 4-1 Beiwert BV 1) [14]

8

a'/b' 2) 3) BV 1) 2) 3)

1,0

0,9

0,8

0,0194 0,0237 0,0288

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0350 0,0421 0,0501 0,0587 0,0676 0,0767 0,0857

Die Werte wurden auf Basis der Kirchhoff sehen Plattentheorie für μ = 0,23 berechnet, Zwischenwerte können linear interpoliert werden. a' entspricht der kürzeren Kantenlänge. b' entspricht der längeren Kantenlänge.

Die Berechnung des Faktors ϕ zur Ermittlung der Einwirkungsverteilung erfolgt mit:

ϕ = 1/(1 + (a ' /a* ) 4 )

(4-11)

Die Verteilung der Einwirkung auf die Innen- und Außenscheibe des Mehrscheiben-Isolierglases erfolgt mit den Formeln der Tafel 4-2. Die Einwirkungsverteilung kann in Abhängigkeit von der Lastangriffsseite und der Art der Einwirkung abgelesen werden. Tafel 4-2 Verteilung der Einwirkungen 1) [14] Lastangriff auf

Lastanteil der äußeren Scheibe

Lastanteil der inneren Scheibe

Wind wa

(δa + ϕ · δ i) · wa

(1 – ϕ) · δ i · wa

Schnee s

(δa + ϕ · δ i) · s

(1 – ϕ) · δ i · s

innere Scheibe

Wind wi

(1 – ϕ) · δa · wi

(ϕ · δa + δ i) · wi

beide Scheiben

Isochorer Druck p0

– ϕ · p0

ϕ · p0

äußere Scheibe

1)

Einwirkung

Vorzeichenreglung siehe Anhang B der TRLV

Für Mehrscheiben-Isolierverglasungen können die Lastabtragungsanteile der äußeren und inneren Einzelscheibe und die Einwirkungen infolge klimatischer Veränderungen unter Ansatz der Ersatzdicke d* ermittelt werden.

225

5 Beispiele

Die Ersatzdicke d* für die Berücksichtigung des vollen Schubverbundes errechnet sich mit der Formel: n

d* = ¦ di

(4-12)

i =1

Ohne Ansatz des Schubverbundes errechnet sich die Ersatzdicke d* mit der Formel: n

d* = 3 ¦ di3

(4-13)

i =1

Bei der Ermittlung der Ersatzdicke d* werden ausschließlich die Dicken der Einzelscheiben ohne Ansatz von Zwischenschichten berücksichtigt.

5 Beispiele 5.1 Vertikalverglasung eines Kastenfensters Allgemeines Die Beispielverglasung ist ein vertikales Kastenfenster im mittleren Bereich eines Wohngebäudes. Die Verglasung befindet sich im Höhenbereich h ≤ 8 m. Aufgrund der Lage der Fenster im Gebäude muss kein erhöhter Sogbeiwert nach Abschnitt 6.3 der DIN 1055-4 [5] angesetzt werden. Die Nachweiserleichterungen für Vertikalverglasungen aus Mehrscheiben-Isolierverglasungen bis Flächen ≤ 1,6 m2 nach Abschnitt 5.4 der TRLV [5] kommen bei Kastenfenstern nicht zum Einsatz. Systemabmessungen a = 0,50 m b = 1,25 m allseitig linienförmige Lagerung Glasaufbau und Materialkennwerte Einzelscheibe: d = 3 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23 zul. σ = 18,0 MPa

vgl. Tafel 2-1

Bild 5-1 Kastenfenster

8

226

Glasbau

Einwirkungen Windlast qw = 0,50 kN/m2 cp = 0,8 w = 1,25 · cp · qw w = 1,25 · 0,8 · 0,50 kN/m2 w = 0,50 kN/m2

vgl. DIN 1055-4, 5.2.3 Tab. 1 vgl. DIN 1055-4,6.3.1 Tab. 11 25 % Erhöhung bei Winddruck auf einzelne Bauteile, vgl. DIN 1055-4,5.2.2

Lastfallkombination Lastfall 1 q=w

8

Berechnung Lastfall 1 m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q b/a = 1,25/0,50 = 2,5 ηy = 0,045 (maßgebend) ηx = 0,014 my = 0,045 · 0,50 · 1,25 · 0,50 · 0,014 kNm/m my = 1,40 kNcm/m

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2) vgl. Bild (4-1) vgl. Bild (4-1)

W = d2/6 W = 0,32/6 = 0,015 cm3/cm W = 1,50 cm3/m vorh. σy = my/W vorh. σy = 1,40/1,50 = 0,93 kN/cm2 vorh. σy = 9,3 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

ηw = 0,0018 K = E · d3/(12 · (1 – μ2)) K = 70000 · 33/(12 · (1 – 0,232)) = 166297 Nmm K = 0,166 kNm

vgl. Gl. (4-3) vgl. Bild (4-2) vgl. Gl. (4-4)

vorh. w = 0,0018 · 0,502 · 1,252 · 0,50/0,166 = 0,0021 m vorh. w = 2,1 mm Nachweis der Tragfähigkeit vorh. w = 9,3 MPa ≤ 18,0 MPa = zul. σ Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Für Vertikalverglasungen mit vierseitiger Lagerung ist keine Durchbiegungsbegrenzung nach Tabelle 3 im Abschnitt 5.3 der TRLV nachzuweisen.

227

5 Beispiele

5.2 Isolierverglasung eines Atriums Allgemeines Dieses Beispiel einer Mehrscheiben-Isolierverglasung als Vertikalverglasung soll maßgeblich die Berechung der Klimalasten demonstrieren. Die Atriumsverglasung erfüllt keine absturzsichernde Funktion, sondern wird nur durch Wind und Klimaeinwirkungen belastet. Sie erstreckt sich über die gesamte Breite des Gebäudes. Die maßgebende Verglasung befindet sich im Höhenbereich 8 m ≤ h ≤ 20 m. Die Temperatur- und meteorologischen Druckdifferenzen zwischen Fertigungs- und Einbauort bestimmen die Größe des isochoren Druckes. Die Höhendifferenz zwischen Herstell- und Einbauort beträgt 300 m. Das Mehrscheiben-Isolierglas besitzt eine Beschichtung für die Einhaltung des sommerlichen Wärmeschutzes. Die daraus resultierende Absorption von Strahlungs- und Wärmeenergie ist größer als 50 % und muss bei der Berechnung durch eine erhöhte Temperaturdifferenz ΔT berücksichtigt werden. Da der Ansatz der Verbundwirkung bei Verbundsicherheitsgläserm höhere isochore Belastungen bedeuten kann, werden in diesem Beispiel unterschiedliche Lastfallkombinationen mit und ohne Verbund ermittelt. Die Nachweise der Tragsicherheit und Verformung erfolgen ohne den Ansatz der Verbundwirkung. Systemabmessungen a = b' = 2,40 m

8

(b' ist die längere Kantenlänge) b = a' = 0,80 m (a ist die kürzere Kantenlänge) allseitig linienförmige Lagerung Glasaufbau und Materialkennwerte Mehrscheiben-Isolierglas mit Aufbau von außen nach innen: da = 6 mm Einscheiben-Sicherheitsglas aus Spiegelglas dSZR = 16 mm Scheibenzwischenraum di,1 = 5 mm Spiegelglas dPVB = 0,38 mm Polyvinyl-Butyral-Folie di,2 = 5 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23 zul σVSG = 22,5 MPa für VSG aus Spiegelglas zul σVSG = 50,0 MPa für ESG aus Spiegelglas

Bild 5-2 Isolierverglasung eines Atriums

vgl. Tafel 2-1 vgl. Tafel 2-1

Einwirkungen Windlast qw = 0,80 kN/m2 cp,1 = – 2,0 cp,2 = 0,8

vgl. DIN 1055-4, 5.2.3, Tab. 1 vgl. DIN 1055-4, 6.3.1, Tab. 11 vgl. DIN 1055-4, 6.3.1, Tab. 11

228

Glasbau

Windsog im Randbereich w1 = cp1 · qw w1 = – 2,0 · 0,80 kN/m2 w1 = – 1,60 kN/m2

vgl. DIN 1055-4,5.2.2

Winddruck w2 = 1,25 · cp,2 · qw w2 = 1,25 · 0,8 · 0,80 kN/m2 w2 = 0,80 kN/m2

25 % Erhöhung bei Winddruck auf einzelne Bauteile, vgl. DIN 1055-4,5.2.2

c1 = 0,34 kPa/K c2 = 0,012 kPa/m

vgl. TRLV, Anhang A

Klimalast

Sommerlicher Lastfall, detaillierte Ermittlung ΔTSLF = 20 + 18 = 38 K

Standardbedingungen und Absorption > 50 %, vgl. Tafeln 3-1 und 3-2

ΔH = 300 m Δpmet = – 2 kN/m2

8

p0,SLF = c1 · ΔTSLF – Δpmet + c2 · ΔH p0,SLF = 0,34 · 38 + 2 + 0,012 · 300 = 18,52 kPa p0,SLF = 18,52 kN/m2 Winterlicher Lastfall, überschlägliche Ermittlung p0,WLF = – 16,00 kN/m2

vgl. Tafel 3-1 vgl. Gl. (3-1)

vgl. Tafel 3-1

Lastfallkombinationen Belastungsverteilung beim Ansatz VSG mit voller Verbundwirkung di,mV = di,1 + di,2 di,mV = (5 + 5) mm di,mV = 10 mm

vgl. Tafel (4-12)

3 δ a,mV = da3 /(da3 + di,mV )

vgl. Tafel (4-9a)

δ a,mV = 63 /(63 + 103 )

δ a,mV = 0,178 δ i,mV = 1 − δ a,mV

vgl. Tafel (4-9b)

δ i,mV = 1 − 0,178 δ i,mV = 0,822 a'/b' = 0,80/2,40 = 0,333 BV = 0,0647

vgl. Tafel 4-1

229

5 Beispiele

3 3 * amV = 28,9 ⋅ 4 (dSZR ⋅ da3 ⋅ di,mV ) /((da3 + di,mV ) ⋅ BV )

vgl. Gl. (4-10)

* amV = 28,9 ⋅ 4 (16 ⋅ 63 ⋅ 103 ) /((63 + 103 ) ⋅ 0, 0647) * amV = 418 mm * )4 ) ϕ mV = 1/(1 + (a ' /amV

ϕ mV = 1/(1 + ϕ mV = 0, 070

vgl. Gl. (4-11)

(0,800 / 0, 418) 4 )

Lastfall 1: Äußere Scheibe, sommerlicher Lastfall qa,mV,SLF = (δa,mV + ϕmV · δ i,mV) · w1 – ϕmV · p0,SLF qa,mV,SLF = ((0,178 + 0,070 · 0,822) · (– 1,60) – 0,070 · 18,52) kN/m2 qa,mV,SLF = – 1,67kN/m2 Lastfall 2: Äußere Scheibe, winterlicher Lastfall qa,mV,WLF = (δ a,mV + ϕ mV ⋅ δ i,mV ) ⋅ w2 − ϕ mV ⋅ p0,WLF

vgl. Tafel (4-2)

vgl. Tafel (4-2)

qa,mV,WLF = ((0,178 + 0,070 · 0,822) · 0,80 – 0,070 · (– 16,00)) kN/m2 qa,mV,WLF = 1,31 kN/m2

8

Lastfall 1: Innere Scheibe, sommerlicher Lastfall qi,mV,SLF = (1 − ϕ mV ) ⋅ δ i,mV ⋅ w2 + ϕ mV ⋅ p0,SLF qi,mV,SLF = ((1 – 0,070) · 0,822 · 0,80 + 0,070 · 18,52)) qi,mV,SLF = 1,91 kN/m2

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

Lastfall 2: Innere Scheibe, winterlicher Lastfall qi,mV,WLF = (1 − ϕ mV ) ⋅ δ i,mV ⋅ w1 + ϕ mV ⋅ p0,WLF qi,mV,WLF = ((1 – 0,070) · 0,822 · (– 1,60) + 0,070 · (– 16,00)) qi,mV,WLF = – 2,34 kN/m2

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

Belastungsverteilung beim Ansatz VSG ohne Verbundwirkung di,oV =

3

3 + d3 di,1 i,2

vgl. Gl. (4-13)

di,oV = 3 53 + 53 mm

di,oV = 6,3 mm 3 ) δ a,oV = da3 /(da3 + di,oV

δ a,oV = 63 /(63 + 6,33 ) δ a,oV = 0, 464

vgl. Gl. (4-9a)

230

Glasbau

δ i,oV = 1 − δ a,oV

vgl. Gl. (4-9b)

δ i,oV = 1 − 0, 464 δ i,oV = 0,536 a'/b' = 0,80/2,40 = 0,33 BV = 0,0647

vgl. Tafel (4-1)

3 3 * = 28,9 ⋅ 4 ( d 3 3 aoV SZR ⋅ d a ⋅ di,oV ) /((d a + di,oV ) ⋅ BV )

vgl. Gl. (4-10)

* = 28,9 ⋅ 4 (16 ⋅ 63 ⋅ 6,33 ) /((63 + 6,33 ) ⋅ 0, 0647) aoV * = 376 mm aoV * )4 ) ϕoV = 1/(1 + (a ' /aoV

ϕoV = 1/(1 + ϕoV = 0, 047

vgl. Gl. (4-11)

(0,800 / 0,376) 4 )

Lastfall 3: Äußere Scheibe, sommerlicher Lastfall

8

qa,oV,SLF = (δ a,oV + ϕ oV ⋅ δ i,oV ) ⋅ w1 − ϕ oV ⋅ p0,SLF

vgl. Tafel (4-2)

qa,oV,SLF = ((0,464 + 0,047 · 0,536) · (– 1,60) – 0,047 · 18,52)) qa,oV,SLF = – 1,65 kN/m2

kN/m2

Lastfall 4: Äußere Scheibe, winterlicher Lastfall qa,oV,WLF = (δ a,oV + ϕ oV ⋅ δ i,oV ) ⋅ w2 − ϕoV ⋅ p0,WLF

vgl. Tafel (4-2)

qa,oV,WLF = ((0,464 + 0,047 · 0,536) · 0,80) – 0,047 · (– 16,00)) qa,oV,WLF = 1,14 kN/m2

kN/m2

Lastfall 3: Innere Scheibe, sommerlicher Lastfall qi,oV,SLF = (1 − ϕ oV ) ⋅ δ i,oV ⋅ w2 − ϕ oV ⋅ p0,SLF

vgl. Tafel (4-2)

qi,oV,SLF = ((1 – 0,047) · 0,536 · 0,80 + 0,047 · 18,52)) kN/m2 qi,oV,SLF = 1,27 kN/m2 Lastfall 4: Innere Scheibe, winterlicher Lastfall qi,oV,WLF = (1 − ϕ oV ) ⋅ δ i,oV ⋅ w1 + ϕoV ⋅ p0,WLF qi,oV,WLF = ((1 – 0,047) · 0,536 · (– 1,60) + 0,047 · (– 16,00)) qi,oV,WLF = – 1,57 kN/m2

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

Berechnung m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2)

231

5 Beispiele

b/a = 0,80/2,40 = 0,33

ηx = 0,040 (maßgebend) ηy = 0,011

vgl. Bild (4-1) vgl. Bild (4-1)

qa,mV,SLF = – 1,67 kN/m2 (maßgebend für Außenscheibe) mx,a,mV,SLF = 0,040 · 2,40 · 0,80 · (– 1,67) = – 0,128 kNm/m mx,a,mV,SLF = – 12,8 kNcm/m qi,mV,SLF = – 2,34 kN/m2 (maßgebend für Innenscheibe) Die Belastungsaufteilung auf die Einzelscheiben der inneren Verbund-Sicherheitsglas-Scheibe erfolgt entsprechend den Steifigkeiten, hier (di,1 = di,2) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. mx,i,1,mV,SLF = 0,040 · 2,40 · 0,80 · (– 2,34 · 0,50) = – 0,090 kNm/m mx,i,1,mV,SLF = – 9,0 kNcm/m Wa = da2 / 6 Wa = 0,62/6 = 0,06 cm3/cm Wa = 6,00 Wi,1 = di2,1 / 6

8

Wi,1 = 0,52/6 = 0,0417 cm3/cm Wi,1 = 4,17 cm3/m vorh. σx,a = mx,a,mV,SLF/Wa vorh. σx,a = |– 12,8|/6,00 = 2,13 kN/cm2 vorh. σx,a = 21,3 MPa vorh. σx,i,1 = mx,i,1,mV,SLF/Wi,1 vorh. σx,i,1 = | – 9,0 |/4,17 = 2,16 kN/cm2 vorh. σx,i,1 = 21,6 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-3)

ηw = 0,0014

vgl. Bild (4-2)

Ka = E ⋅ da3 /(12 ⋅ (1 − μ 2 )) Ka = 70000 · 63/(12 · (1 – 0,232)) = 1330376 Nmm Ka = 1,330 kNm

vgl. Gl. (4-4)

3 /(12 ⋅ (1 − μ 2 )) Ki,1 = E ⋅ di,1

vgl. Gl. (4-4)

53/(12

Ki,1 = 70000 · Ki,1 = 0,770 kNm

· (1 –

0,232))

= 769894 Nmm

vorh. wa = 0,0014 · 2,402 · 0,802 · (– 1,67)/1,330 = 0,0065m vorh. wa = 6,5 mm vorh. wi,1 = 0,0014 · 2,402 · 0,802 · (– 2,34/2)/0,770 = 0,0078m vorh. wi,1 = 7,8 mm

232

Glasbau

Nachweis der Tragfähigkeit Bei gleichzeitigem Ansatz von Verkehrsbelastungen und Klimalasten dürfen die zulässigen Spannungen nach Abschnitt 5.2.1 der TRLV um 15 % erhöht werden. vorh. σx,a = 21,3 MPa ≤ 57,5 MPa = 1,15 · 50 MPa = 1,15 · zul. σESG vorh. σx,i,1 = 21,6 MPa ≤ 25,8 MPa = 1,15 · 22,5 MPa = 1,15 · zul. σVSG Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Es besteht keine Durchbiegungsbegrenzung für Vertikalverglasungen mit vierseitiger Lagerung nach Tabelle 3 im Abschnitt 5.3 der TRLV.

5.3 Überkopfverglasung eines unbeheizten Parkhauses

8

Allgemeines Das Beispiel beschreibt die Berechnung einer Überkopfverglasung. Entsprechend den technischen Bestimmungen der TRLV wird für die Einfachverglasung ein Verbund-Sicherheitsglas mit einer Zwischenschicht aus Polyvinyl-Butyral mit einer Dicke von dPVB ≥ 0,76 mm verwendet. Die Dachverglasung erstreckt sich über die gesamte Grundrissfläche des Baukörpers und befindet sich im Höhenbereich h ≤ 8 m. Das Parkhaus ist nach DIN 1055-5 [7] in der Schneelastzone III einzuordnen und liegt in einer Höhenlage von 670 m HN. Die Reinigung der Dachverglasung erfolgt mit Hilfe einer getrennten Reinigungsbühne. Die Verglasung wird für Reinigungs- und Wartungsarbeiten nicht betreten. Systemabmessungen a = 1,50 m b = 1,00 m α = 7° (Dachneigung) allseitig linienförmige Lagerung

Glasaufbau und Materialkennwerte Verbund-Sicherheitsglas: d1 = 8 mm Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie d2 = 8 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23 γ = 25 kN/m3 zul. σ = 15 MPa für VSG aus Spiegelglas zul. w = 1/100 · b = 1/100 · 1000 mm = 10 mm

Bild 5-3 Überkopfverglasung eines unbeheizten Parkhauses

vgl. DIN 1055-1, 7, Tab. 7-1 vgl. Tafel 2-1 vgl. Tafel 2-2

233

5 Beispiele

Einwirkungen Eigenlast g = (d1 + d2) · γ · cos (α) g = (0,008 + 0,008) · 25 kN/m2 · cos (7°) g = 0,40 kN/m2 Windlast qw = 0,50 kN/m2 cp = – 3,0 Windsogbelastung im Eckbereich w = cp · qw w = – 3,0 · 0,50 kN/m2 w = – 1,50 kN/m2 Schneelast s0 = 2,00 kN/m2 ks = 1,0 s = ks · s0 · cos (α) s = 1,0 · 2,00 kN/m2 · cos (7°) s = 1,99 kN/m2

vgl. DIN 1055-4, 5.2.3, Tab. 1 vgl. DIN 1055-4, 6.3.1, Tab. 11 vgl. DIN 10.55-4, 5.2.2

Schneelastzone III, Höhe 670 m, vgl. DIN 1055-5, Tab. 2 Dachneigung < 30° , vgl. DIN 1055-5, Tab. 1 vgl. DIN 1055-5, 3.1.2

Lastfallkombinationen Lastfall 1: Sommerlicher Lastfall qSLF = g + w qSLF = 0,40 – 1,50 kN/m2 qSLF = – 1,10 kN/m2 Lastfall 2: Winterlicher Lastfall qWLF = g + s qWLF = 0,40 + 1,99 kN/m2 qWLF = 2,39 kN/m2 Weitere Lastfallkombinationen (g + s + w/2 bzw. g + s/2 + w) sind für dieses Beispiel nicht maßgebend. Berechnung Lastfall 2 m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2)

b/a = 1,00/1,50 = 0,67

ηx = 0,053 (maßgebend) ηy = 0,030 qWLF = 2,39 kN/m2 (maßgebend)

vgl. Bild 4-1 vgl. Bild 4-1

8

234

Glasbau

Die Belastungsaufteilung auf die Einzelscheiben der Verbund-Sicherheitsglas-Scheibe erfolgt entsprechend den Steifigkeiten, hier (d1 = d2) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. mx,1 = 0,0530 · 1,50 · 1,00 · (2,39 · 0,50) = 0,095 kNm/m mx,1 = 9,50 kNcm/m W1 = d12 / 6 W1 = 0,82/6 = 0,1067 cm3/cm W1 = 10,67 cm3/m vorh. σx,1 = mx,1/W1 vorh. σx,1 = 9,50/10,67 = 0,89 kN/cm2 vorh. σx,1 = 8,9 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-3)

ηw = 0,0035

vgl. Bild 8-2

K1 = E ⋅ d13 /(12 ⋅ (1 − μ 2 ))

8

K1 = 70000 · 83/(12 · (1 – 0,232)) = 3153486 Nmm K1 = 3,15 kNm vorh. w1 = 0,0035 · 1,502 · 1,002 · (2,39 · 0,50)/3,15 = 0,0030 m vorh. w1 = 3,0 mm Nachweis der Tragfähigkeit vorh. σx,1 = 8,9 MPa < 15 MPa = zul. σ Nachweis der Gebrauchstauglichkeit vorh. w1 = 3,0 mm ≤ 10 mm = zul. w Nachweis der Resttragfähigkeit Die Verglasung kann unter Einhaltung der konstruktiven Bestimmungen der TRLV [14] (Verglasungsart, Abmessungen, Foliendicken, Lagerungsart) als Überkopfverglasung ausgeführt werden. Ein getrennter Nachweis der Resttragfähigkeit ist nicht erforderlich.

5.4 Absturzsichernde Verglasung der Kategorie A Allgemeines Die Verglasung ist raumhoch. Sie übernimmt eine absturzsichernde Funktion und weist keinen vorgesetzten lastabtragenden Holm auf. Dadurch wird die Verglasung in die Kategorie A nach TRAV [13] eingestuft. Die Nachweisführung auf experimentelle Art erfordert für die Kategorie A Pendelschlagversuche in Anlehnung an DIN EN 12600 [11] mit einer Pendelfallhöhe von 900 mm nach Abschnitt 6.2 der TRAV.

235

5 Beispiele

Verglasungen mit absturzsichernder Funktion müssen nicht gegen stoßartige Einwirkungen nachgewiesen werden, wenn sie m ihrer Ausführung mit Verglasungen mit versuchstechnisch nachgewiesener Stoßsicherheit übereinstimmen. Der Auswahl erfolgt für linienförmig gelagerte Verglasungen gemäß Abschnitt 6.3.2 der TRAV unter Einhaltung der konstruktiven Bestimmungen. Die Verglasung kann aus der Tabelle 2 der TRAV ausgewählt werden. Sie ist zusätzlich in ihrer Tragfähigkeit gegen statische Einwirkungen nach Abschnitt 5 der TRAV nachzuweisen. Für die Glashaltekonstruktion ist die Einhaltung der konstruktiven Bestimmungen nachzuweisen. Die nachzuweisenden Details sind ein ausreichender Glaseinstand, die Tragfähigkeit der Verschraubung von Klemmleisten in Richtung der Stoßeinwirkung beziehungsweise die Tragfähigkeit des Glasfalzanschlages bei Rahmensystemen. Die Nachweise sind versuchstechnisch durch ein allgemeines bauaufsichtliches Prüfzeugnis oder, soweit möglich, mit den eingeführten technischen Baubestimmungen zu fuhren. In diesem Beispiel soll es sich bei der Glashaltekonstruktion um eine Pfosten-Riegel-Konstruktion aus Aluminium mit 18 mm allseitigem Glaseinstand handeln. Die Verschraubung der Klemmleiste am Tragprofil erfolgt im Abstand von 250 mm und die Auszugskraft der Verschraubung liegt bei mehr als 3 kN. Die charakteristische Auszugskraft wurde versuchstechnisch im Rahmen eines allgemeinen bauaufsichtlichen Prüfzeugnisses nachgewiesen. Systemabmessungen a = 1,50 m b = 2,60 m

8

allseitig linienförmige Lagerung: Absturzsicherung der Kategorie A

Glasaufbau Mehrscheiben-Isolierglas mit Aufbau von außen nach innen: da,1 = 6 mm Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie da,2 = 6 mm Spiegelglas dSZR = 16 mm Scheibenzwischenraum di = 10 mm Einscheiben-Sicherheitsglas aus Spiegelglas Bild 5-4 Absturzsichernde Verglasung der Kategorie A

236

Glasbau

Nachweis der Tragfähigkeit unter stoßartiger Einwirkung Der gewählte Glasaufbau entspricht dem Glasaufbau mit versuchstechnisch nachgewiesener Stoßsicherheit nach den Zeile 7 der Tabelle 2 der TRAV [13] (vgl. Auszug in Tafel 5-1). Die zugehörige Glashaltekonstruktion erfüllt die konstruktiven Bestimmungen des Abschnittes 6.3.2 der TRAV. Die charakteristische Auszugskraft der Klemmleistenverschraubung wurde versuchstechnisch im Rahmen eines allgemeinen bauaufsichtlichen Prüfzeugnisses nachgewiesen. Tafel 5-1 Glasaufbauten mit nachgewiesener Stoßsicherheit, Auszug aus Tabelle 2 der TRAV[13] Kat

1)

8

Typ

Linienf. Lagerung

Breite [mm]

Höhe [mm]

min.

max.

min.

max. 7

1

2

3

4

5

6

1A

MIG

Allseitig

900

2500

1000

Glasaufbau [mm] (von innen nach außen) 1) 8

4000 8 ESG/SZR/6 SPG/0,76 PVB/6 SPG 7

Mit „innen“ ist die Angriffseite, mit „außen“ die Absturzseite der Verglasung gemeint.

Nachweis der Tragfähigkeit unter statischer Einwirkung Der Nachweis der Tragfähigkeit unter statischen Einwirkungen ist zusätzlich zum Nachweis der Stoßsicherheit zu führen. Die absturzsichernde Verglasung ist nach Abschnitt 5 der TRAV unter Berücksichtigung der Einwirkungen im Abschnitt 4 der TRAV nachzuweisen.

5.5 Begehbare Verglasung aus Verbund-Sicherheitsglas Allgemeines Bei diesem Beispiel handelt es sich um eine planmäßig begehbare Verglasung im Innenbereich eines Gebäudes. Die Verkehrsfläche ist öffentlich zugänglich. Begehbare Verglasungen sind immer zulassungs- oder zustimmungspflichtige Bauteile. Eine Grundlage für eine Zustimmung im Einzelfall ist in den meisten Bundesländern die Empfehlung aus den DIBt-Mitteilungen „Anforderungen an begehbare Verglasungen; Empfehlungen für das Zustimmungsverfahren" [16]. Neben den Nachweisen zur Tragfähigkeit unter statischen Einwirkungen sind experimentelle Nachweise zur Stoßsicherheit und zur Resttragfähigkeit gefordert. Die genauen Bedingungen für das Zustimmungsverfahren sind mit der jeweilig zuständigen Bauaufsichtsbehörde abzuklären. Für begehbare Verglasungen sind nach Abschnitt 2 in [16] mindestens Verbund-Sicherheitsgläser mit dreifachem Aufbau erforderlich. Dabei ist die oberste Scheibe als Verschleißscheibe anzusehen und für die statischen Nachweise nicht ansetzbar. Nach Abschnitt 3 in [16] sind die Lastannahmen nach DIN 1055-3 [5] maßgebend für den Ansatz der Verkehrslasten. Als Belastungen treten eine Verkehrsflächenlast sowie eine Personenersatzlast als Einzellast auf. Die Personenersatzlast ist für die Berechnung mit einer Aufstandsfläche von 10 cm × 10 cm in ungünstigster Laststellung anzuordnen.

237

5 Beispiele

Systemabmessungen a = 1,00 m b = 2,00 m allseitig linienförmige Lagerung

Glasaufbau und Materialkennwerte Dreifach-Verbundsicherheitsglas mit Aufbau von oben nach unten: d1 = 10 mm Teilvorgespanntes Glas aus Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie d2 = 12 mm Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie d3 = 12 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23 γ = 25 kN/m3 zul. σ = 15 MPa für VSG aus Spiegelglas zul. w = 1/100 · a = 1/100 · 1000 mm = 10 mm

8 Bild 5-5 Begehbare Verglasung aus Verbund-Sicherheitsglas

vgl. DIN 1055-1, 7, Tab. 7-1 vgl. Tafel 2-1 vgl. Tafel 2-2

Einwirkungen Eigenlast g = (d1 + d2 + d3) · γ g = (0,010 + 0,012 + 0,012) · 25 kN/m2 g = 0,85 kN/m2 Verkehrsflächenlast p = 5,00 kN/m2 Personenersatzlast P = 2,00 kN

vgl. DIN 1055-3, 6.1, Tab. 1 vgl. DIN 1055-3, 6.1

Die Personenersatzlast ist mit einer Aufstandsfläche von 10 cm × 10 cm in ungünstigster Laststellung anzusetzen. Bei einer rechteckigen Verglasung mit allseitig linienförmiger Lagerung liegt die ungünstigste Laststellung in der Feldmitte der Verglasung [16]. Lastfallkombinationen Lastfall 1: Eigengewicht und Verkehrsflächenlast qLF1 = g + P qLF1 = 0,85 + 5,00 kN/m2 qLF1 = 5,85 kN/m2

238

Glasbau

Lastfall 2: Eigengewicht und Personenersatz qLF2 = g + P Berechnung Lastfall 1 m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2)

b/a = 2,00/1,00 = 2,00

ηx = 0,020 ηy = 0,050 (maßgebend)

vgl. Bild (4-1) vgl. Bild (4-1)

Die Belastungsaufteilung auf die beiden unteren Einzelscheiben der Verbund-SicherheitsglasScheibe erfolgt entsprechend der Steifigkeiten, hier (d2 = d3) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. Die oberste Verschleißscheibe wird für die statischen Nachweise nicht angesetzt. my,2,LF1 = 0,050 · 2,00 · 1,00 · (5,85 · 0,50) = 0,293 kNm/m my,2,LF1 = 29,3 kNcm/m

8

W2 = d 22 / 6 W2 = 1,22/6 = 0,24cm3/cm W2 = 24,0 cm3/m vorh. σy,2,LF1 = my,2,LF1/W2 vorh. σy,2,LF1 = 29,3/24,0 = 1,22 kN/cm2 vorh. σy,2,LF1 = 12,2 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

ηw = 0,0025 K2 = E ⋅ d 23 /(12 ⋅ (1 − μ 2 ))

vgl. Gl. (4-3) vgl. Bild (4-2) vgl. Gl. (4-4)

K2 = 70000 · 123/(12 · (1 – 0,232)) = 10643015 Nmm K2 = 10,643 kNm vorh. w2,LF1 = 0,0025 · 2,002 · 1,002 · (5,85 · 0,5)/10,643 = 0,0028 m vorh. w2,LF1 = 2,8 mm Lastfall 2 Die Belastungsaufteilung auf die beiden unteren Einzelscheiben der Verbund-SicherheitsglasScheibe erfolgt entsprechend den Steifigkeiten, hier (d2 = d3) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. Die oberste Verschleißscheibe wird für die statischen Nachweise nicht angesetzt. Anteil des Eigengewichtes m y = ηy · a · b · g my,2,LF2,g = 0,050 · 2,00 · 1,00 · (0,85 · 0,50) = 0,0425 kNm/m my,2,LF2,g = 4,25 kN/cm/m

vgl. Gl. (4-2)

239

5 Beispiele

vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-3)

ηw = 0,0025

vgl. Bild (4-2)

K2 = 10,643 kNm vorh. w2,LF2,g = 0,0025 · 2,002 · 1,002 · (0,85 · 0,50)/10,643 = 0,0004 m vorh. w2,LF2,g = 0,4 mm Anteil der Personenersatzlast m x = ηx · P m y = ηy · P ηx = 0,257 ηy = 0,312 (maßgebend)

vgl. Gl. (4-5) vgl. Gl. (4-6) vgl. Bild (4-3) vgl. Bild (4-4)

my,2,LF2,P = 0,312 · (2,00 · 0,5) = 0,312 kNm/m my,2,LF2,P = 31,20 kNcm/m vorh. w = 1/25000 · ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-7)

q = P/0,01 m2

vgl. Gl. (4-8)

ηw = 1,02 q = (2,00 · 0,50)/0,01

vgl. Bild (4-5) m2

= 100

kN/m2

vorh. w2,LF2,P = 1/25000 · 1,02 · 1,002 · 2,002 · 100/10,643 = 0,0015 m vorh. w2,LF2,P = 1,5 mm Superposition der Anteile my,2,LF2 = my,2,LF2,g + my,2,LF2,P my,2,LF2 = 4,25 + 31,20 kNcm/m my,2,LF2 = 35,45 kNcm/m W2 = 24,0 cm3/m vorh. σy,2,LF2 = my,2,LF2/W2 vorh. σy,2,LF2 = 35,47/24,0 = 1,48 kN/cm2 vorh. σy,2,LF2 = 14,8 MPa vorh. w2,LF2 = vorh. w2,LF2,g + vorh. w2,LF2,P vorh. w2,LF2 = 0,4 + 1,5 mm vorh. w2,LF2 = 1,9 mm Nachweis der Tragfähigkeit vorh. σy,2,LF2 = 14,8 MPa ≤ 15 MPa = zul. σ Nachweis der Gebrauchstauglichkeit vorh. w2,LF1 = 2,8 mm ≤ 10 mm = zul. w

8

240

Glasbau

Nachweis der Stoßsicherheit und Resttragfähigkeit Im Rahmen eines Zustimmungsverfahrens sind die Nachweise der Stoßsicherheit und der Resttragfähigkeit zu erbringen. Wenn keine vergleichbaren Versuchsergebnisse vorliegen, sind die Nachweise experimentell durchzuführen. Für Verglasungen mit einer allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung kann der experimentelle Nachweis entfallen.

6 Literatur [1]

[2] [3]

8

[4] [5] [6] [7] [8]

[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]

DIN EN 572-1: Glas im Bauwesen – Basiserzeugnisse aus Kalk-Natronglas – Teil 1: Definitionen und allgemeine physikalische und mechanische Eigenschaften, Ausgabe 09/2004, Berlin: Beuth Verlag. DIN 1249-10: Flachglas im Bauwesen, Chemische und physikalische Eigenschaften, Ausgabe 08/1990, Berlin: Beuth Verlag. DIN 1055-1: Lastannahmen für Bauten; Lagerstoff Baustoffe und Bauteile; Eigenlasten und Reibungswinkel, Ausgabe 07/1978, Berlin: Beuth Verlag. DIN 1055-3: Lastannahmen für Bauten; Verkehrslasten, Ausgabe 06/1971, Berlin: Beuth Verlag. DIN 1055-4: Lastannahmen für Bauten; Verkehrslasten; Windlasten bei nicht schwingungsanfälligen Bauwerken, Ausgabe 08/1986, Berlin: Beuth Verlag. DIN 1055-5: Lastannahmen für Bauten; Verkehrslasten; Schneelast und Eislast, Ausgabe 06/1975, Berlin: Beuth Verlag. DIN EN 1863-1: Glas im Bauwesen – Teilvorgespanntes Kalknatronglas – Teil 1: Definition und Beschreibung, Ausgabe 03/2000, Berlin: Beuth Verlag. DIN 4426: Einrichtungen zur Instandhaltung baulicher Anlagen – Sicherheitstechnische Anforderungen an Arbeitsplätze und Verkehrswege – Planung und Ausführung, Ausgabe 09/2001, Berlin: Beuth Verlag. DIN EN 12150-1: Glas im Bauwesen – Thermisch vorgespanntes Kalknatron-Einscheibensicherheitsglas – Teil 1: Definition und Beschreibung, Ausgabe 11/2000, Berlin: Beuth Verlag. DIN EN ISO 12543-1: Glas im Bauwesen – Verbundglas und Verbund-Sicherheitsglas – Teil 1: Definitionen und Beschreibung von Bestandteilen, Ausgabe 08/1998, Berlin: Beuth Verlag. DIN EN 12600: Glas im Bauwesen – Pendelschlagversuch – Verfahren für die Stoßprüfung und Klassifizierung von Flachglas, Ausgabe 04/2003, Berlin: Beuth Verlag. DIN 18516-4: Außenwandbekleidungen, hinterlüftet: Einscheiben-Sicherheitsglas; Anforderungen, Bemessung, Prüfung, Ausgabe 02/1990, Berlin: Beuth Verlag. Technische Regeln für die Verwendung von absturzsichernden Verglasungen (TRAV), DIBt Mitteilungen, Ausgabe 2/2003, Berlin: Ernst und Sohn Verlag. Technische Regeln für die Verwendung von linienförmig gelagerten Verglasungen (TRLV), DIBt Mitteilungen, Ausgabe 6/1998, Berlin: Ernst und Sohn Verlag. Bauregelliste A, Bauregelliste B und Liste C (Ausgabe 2005/1), DIBt Mitteilungen, Sonderheft Nr. 31, Berlin: Ernst und Sohn Verlag. Anforderungen an begehbare Verglasungen; Empfehlung für das Zustimmungsverfahren, DIBt Mitteilungen, Ausgabe 2/2001, Berlin: Ernst und Sohn Verlag. GS-BAU-18: Hauptverband der gewerblichen Berufsgenossenschaften: Grundsätze für die Prüfung und Zertifizierung der bedingten Betretbarkeit oder Durchsturzsicherheit von Bauteilen bei Bau- oder Instandhaltungsarbeiten, Karlsruhe: Fachausschuss Bau, Prüf- und Zertifizierungsstelle im BGPRÜFZERT, 2001.

6 Literatur

[18]

[19]

[20] [21]

241

Charlier, H.; Feldmeier, F.; Reidt, A.: Erläuterungen zu den Technischen Regeln für die Verwendung von linienförmig gelagerten Verglasungen, DIBt Mitteilungen, Ausgabe 3/1999, Berlin: Ernst und Sohn Verlag. Schneider, H.; Schneider, J.; Reidt, A.: Erläuterungen zu den Technischen Regeln für die Verwendung von absturzsichernden Verglasungen, DIBt Mitteilungen, Ausgabe 3/2004, Berlin: Ernst und Sohn Verlag. Weller, B.; Tasche, S.: Glasbau. In: Wendehorst Bautechnische Zahlentafeln, Herausgegeben von O. W. Wetzell. Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden: Teubner Verlag, 2006. Weller, B.; Reich, S.; Wünsch, J.: Berechnungstafeln für den Glasbau. In: Stahlbau 75 (2006), Heft 6. Seite 479-487.

8

Mauerwerksbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Wolfram Jäger

Inhalt Mauerwerksbau ........................................................................................................................... 243 1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung ................................................................. 245 1.1 Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens................................................... 245 1.2 Nachweis normalkraftbeanspruchter Wände .............................................................. 246 1.3 Nachweis schubbeanspruchter Wände ....................................................................... 248 1.4 Nachweis von Kellerwänden ...................................................................................... 249 2 Zahlenbeispiele ...................................................................................................................... 250 2.1 Normalkraftbeanspruchte Außenwand ....................................................................... 250 2.1.1 Beschreibung und Geometrie....................................................................... 250 2.1.2 Belastungen.................................................................................................. 251 2.1.3 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren ................................. 251 2.1.4 Nachweis nach DIN 1053-1 genaueres Verfahren....................................... 252 2.1.5 Nachweis nach DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren ............................. 257 2.1.6 Nachweis nach DIN 1053-100 genaueres Verfahren................................... 258 2.2 Kellerwand.................................................................................................................. 263 2.2.2 Nachweis nach DIN 1053-1......................................................................... 265 2.2.3 Nachweis nach DIN 1053-100..................................................................... 267 2.3 Schubwand.................................................................................................................. 268 2.3.1 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren ................................. 270 2.3.2 Nachweis nach DIN 1053-1, genaueres Verfahren...................................... 272 2.3.3 Nachweis nach DIN 1053-100, vereinfachtes Verfahren ............................ 273 2.3.4 Nachweis nach DIN 1053-100, genaueres Verfahren.................................. 276 3 Literatur ................................................................................................................................. 277

1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung Die im Mauerwerksbau am häufigsten nachzuweisenden Bauteile sind Wände unter vertikaler Belastung, Schubwände und Kellerwände. Die beim Nachweis dieser Bauteile auszuführenden Arbeitsschritte sowie die dazu benötigten Formeln sind in den folgenden Abschnitten tabellarisch angegeben. Eine umfassende Darstellung der Regelungen enthalten die jeweiligen Normentexte ([1], [2]) oder in aufbereiteter Form das Kapitel „Mauerwerksbau“ im Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln (32. Auflage [3]). Das vereinfachte Berechnungsverfahren hat sich im Mauerwerksbau als Standardverfahren herauskristallisiert. Aufgrund des höheren Rechenaufwandes ist die Anwendung des genaueren Berechnungsverfahrens nur dann notwendig, wenn die Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens überschritten werden oder der Nachweis eines Bauteils nach dem vereinfachten Verfahren nicht erbracht werden kann. Die DIN 1053-1 [1] und DIN 1053-100 [2] unterscheiden sich im Sicherheitskonzept und in den Nachweisformaten. Mit der Einführung der DIN 1053-100 erfolgt nun auch im Mauerwerksbau die Umstellung auf das Teilsicherheitskonzept, bei dem die anzusetzende Sicherheit, nach den Gesetzen der Zuverlässigkeitstheorie aufgesplittet, direkt den jeweiligen Eingangsgrößen zugewiesen werden. Diese selbst sind statistische Größen, die einer bestimmten Verteilung entsprechen. Gleichzeitig erfolgt der Übergang von den bekannten Spannungsnachweisen auf Tragkraftnachweise. Durch den näherungsweisen Ansatz eines Spannungsrechtecks anstelle der bisher als linear angesehenen Spannungsverteilungen vereinfachen sich die Nachweise. In beiden Fällen wird die Übertragungen von Zugspannungen ausgeschlossen. Eine Unterscheidung in gerissenen und ungerissenen Querschnitt ist bei Verwendung des Spannungsrechtecks nicht mehr notwendig, was eine wesentliche Vereinfachung darstellt. Die Nachweise sind außerdem entsprechend dem heutigen wissenschaftlichen Erkenntnisstand überarbeitet bzw. angepasst worden.

1.1 Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens DIN 1053-1 und DIN 1053-100 Gebäudehöhe (Mittel zwischen First- und Traufhöhe) h ≤ 20 m Stützweite der aufliegenden Decken l ≤ 6,0 m Lichte Wandhöhe in Abhängigkeit von der Wanddicke und der Nutzlast nach folgender Tafel Bauteil Wanddicke d [mm] Lichte Wandhöhe hs [m] Nutzlast p [kN/m2] 115 ≤ d < 240 ≤ 2,75 Innenwände ≥ 240 – ≤5 Einschalige 175a ≤ d < 240 ≤ 2,75 Außenwände ≥ 240 ≤ 12 d ≤ 3c 115b ≤ d < 175b Tragschale zweischaliger ≤ 2,75 Außenwände und zweischa175a ≤ d < 240 ≤5 lige Haustrennwände ≥ 240 ≤ 12 d a b c

Bei eingeschossigen Garagen und vergleichbaren Bauwerken, die nicht zum dauernden Aufenthalt von Menschen vorgesehen sind, auch d ≤ 115 mm zulässig. Geschossanzahl maximal zwei Vollgeschosse zuzüglich ausgebautem Dachgeschoss; aussteifende Querwände im Abstand ≤ 4,50 m bzw. Randabstand von einer Öffnung ≤ 2,0 m Einschließlich Zuschlag für nichttragende innere Trennwände

246

Mauerwerksbau

1.2 Nachweis normalkraftbeanspruchter Wände

Tafel 1-1 Vorgehensweise nach DIN 1053-1 DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren

zul σ = k ⋅ σ0

βR = 2,67 ⋅ σ 0

Wände als Zwischenauflager

Knotenmomente aus Rahmenrechnung oder 5 %-Regel

k = k1 ⋅ k2

Wandkopf/Wandfuß M d ≤ N 3

e=

Wände als einseitiges Endauflager k = min(k1 ⋅ k2 oder k1 ⋅ k3 ) ­0,8 für Pfeiler k1 = ® ¯1,0 für Wände oder Pfeiler

9

Wandmitte zusätzliche Ausmitte

­1,0 wenn hk /d ≤ 10 ° k2 = ® 25 − hk /d wenn 10 ≤ hk /d ≤ 25 ° 15 ¯

f =λ⋅

1+ m ⋅ hk 1800

λ =

­1,0 wenn / ≤ 4,20 m ° k3 = ®1,7 − l /6 wenn / > 4,20 m °0,5 bei Dachdecken ¯

m=

hk d 6⋅e d

Nachweis Normalspannung

vorh σ ≤ zul σ

Randspannung unter Berücksichtigung des Aufreißen des Querschnitts

γ W ⋅ vorh σ R ≤ 1,33 ⋅ βR und mittlere Spannung im überdrückten Querschnittsbereich

γ W ⋅ vorh σ m ≤ βR

247

1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung

Tafel 1-2 Vorgehensweise nach DIN 1053-100 DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren

NE d = 1,35 ⋅ NGk + 1,5 ⋅ NQk

min NE d = 1,0 ⋅ NGk NRd = Φ ⋅ A ⋅ fd fd = η ⋅

fk

γM

η = 0,85 bei Biegung

Φ = Φ1 = 1 −

Knotenmomente aus Rahmenrechnung oder 5 %-Regel

2⋅e d

Wandkopf/Wandfuß

bei Knickgefahr

§ hk · ¸ ©d ¹

2

eo,u =

Φ = Φ2 = 0,85 − 0,0011⋅ ¨

Wände als einseitiges Endauflager

Mo,u,d ­≤ 0,33 ⋅ d ® No,u,d ¯≥ 0,05 ⋅ d

Φo,u = 1 −

­1/3 bei Dachdecken ° °0,9 wenn / ≤ 4,20 m Φ = Φ3 = ® 2 °1,6 − l /6 ≤ 0,9 wenn fk ≥ 1,8 N/ mm ° 2 ¯1,6 − l /5 ≤ 0,9 wenn fk < 1,8 N/ mm

2 ⋅ eo,u d

Wandmitte

§

Φ = 1,14 ⋅ ¨ 1 − ©

2 ⋅ em · hk § 2 ⋅ em · ≤ ¨1− ¸ − 0,024 ⋅ ¸ d ¹ d © d ¹

em =

emk

M hk + md + emk 450 Nmd

­0 für hk /d ≤ 10 ° =® Mmd °0,002 ⋅ ϕ ∞ ⋅ hk ⋅ N ⋅ d für hk /d > 10 md ¯

Nachweis bei zentrischer und exzentrischer Druckbeanspruchung

NE d ≤ NRd

9

248

Mauerwerksbau

1.3 Nachweis schubbeanspruchter Wände Tafel 1-3 Vorgehensweise nach DIN 1053-1 DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren c ⋅Q τ= A c = 1,0 für hw/l ≤ 1

c = 1,5 für hw/l ≥ 2 Nachweis Scheibenschub τ ≤ σ 0HS + 0,2 ⋅ σ Dm ≤ max τ

γ ⋅ τ ≤ βRHS + μ ⋅ σ σ βRZ

γ ⋅ τ ≤ 0,45 ⋅ βRZ ⋅ 1 + Nachweis Plattenschub

τ ≤ σ 0HS + 0,3 ⋅ σ Dm

γ ⋅ τ ≤ βRHS + μ ⋅ σ

Tafel 1-4 Vorgehensweise nach DIN 1053-100 DIN 1053-100

9

vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren

Scheibenschub

fvk = fvko + 0,4 ⋅ σ Dd

fvk = fvko + μ ⋅ σ Dd

fvk = max fvk

fvk = 0,45 ⋅ fbz ⋅ 1 +

σ Dd fbz

Plattenschub

fvk = fvko + 0,6 ⋅ σ Dd

fvk = fvko + μ ⋅ σ Dd Nachweis

VEd = 1,35 ⋅ VGk + 1,5 ⋅ VQk ≤ VRd VRd = α s ⋅ fvd ⋅

­1,125 ⋅ l ¯1,333 ⋅ lc

α s = min ®

d c

fvd =

fvk

γM

lc = 1,5 ⋅ (l − 2 ⋅ e) ≤ l ­1,0 für hw /l ≤ 1 c =® ¯1,5 für hw /l ≥ 2

§ Zwischenwerte · ¨ ¸ © interpolierbar ¹

249

1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung

1.4 Nachweis von Kellerwänden Bei Kellerwänden darf der Nachweis auf Erddruck entfallen, wenn die nachfolgenden Bedingungen erfüllt sind: a) Lichte Höhe der Kellerwand hs ≤ 2,60 m, Wanddicke d ≥ 240 mm. b) Kellerdecke wirkt als Scheibe und kann aus dem Erddruck entstehenden Kräfte aufnehmen. c) Im Einflussbereich des Erddruck auf die Kellerwände beträgt die Verkehrslast aus der Geländeoberfläche nicht mehr als 5 kN/m2, die Geländeoberfläche steigt nicht an, und die Anschütthöhe he ist nicht größer als die Wandhöhe hs d) Die minimale und maximale Wandnormalkraft liegt die Wand längs Kraft aus ständiger Last innerhalb der in Tafel 1-5 bzw. Tafel 1-6 angegebenen Grenzen. Anderenfalls ist die Aufnahme der Biegemomente aus Erddruck explizit nachzuweisen. Tafel 1-5 Vorgehensweise nach DIN 1053-1 DIN 1053-1 Nachweis Kellerwände am oder

Wandkopf

halbe Anschütthöhe d ⋅ βR max N = 3 ⋅γ

max No = 0,45 ⋅ d ⋅ σ 0 min No nach Tabelle 8 in [1] bzw. Tafel 22 in [3], Kap. 11

min N =

ρe ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

zweiachsige Lastabtragung (Zwischenwerte sind geradlinig zu interpolieren)

1 b ≤ hs : min No = ⋅ min No 2 b ≥ 2 ⋅ hs : min No = min No

1 b ≤ hs : min N = ⋅ min N 2 b ≥ 2 ⋅ hs : min N = min N Nachweis

max No ≥ N o ≥ min N o

max N ≥ N1 ≥ min N

Tafel 1-6 Vorgehensweise nach DIN 1053-100

Wandkopf No,Rd

DIN 1053-100 Nachweis Kellerwände am oder fk = 0,33 ⋅ d ⋅ γM

No,lim,d nach Tabelle 11 in [2] bzw. Tafel 35 in [3] , Kap. 11

halbe Anschütthöhe f N1,Rd = 0,33 ⋅ d ⋅ k γM N1,lim,d =

γ e ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

Nachweis (Zwischenwerte sind geradlinig zu interpolieren)

b ≤ hs :

1 ⋅ No,lim,d 2 ≥ No,lim,d

No,Ed,inf ≥

b ≥ 2 ⋅ hs : No,Ed,inf

No,Ed,sup ≤ No,Rd

b ≤ hs :

1 N1,lim,d 2 ≥ N1,lim,d

N1,Ed,inf ≥

b ≥ 2 ⋅ hs :

N1,Ed,inf

N1,Ed,sup ≤ N1,Rd

9

250

Mauerwerksbau

2 Zahlenbeispiele Die Beispiele beschränken sich auf herausgeschnittene Mauerwerksbauteile, die vollständig nachgewiesen werden. Auf die Herleitung der Lasten bzw. Kräfte aus dem Gesamtgebäude wird verzichtet.

2.1 Normalkraftbeanspruchte Außenwand

2.1.1 Beschreibung und Geometrie Es wird eine Außenwand im 1. Obergeschoss eines Mehrfamilienhauses mit ausgebautem Dachgeschoss nach DIN 1053-1 [1] und DIN 1053-100 [2], jeweils nach dem vereinfachten und genaueren Verfahren, nachgewiesen. Die Gebäudehöhe beträgt 9,80 m über Gelände (Mittel aus First- und Traufhöhe). Die Wand dient als Endauflager einer einachsig gespannten Ortbetondecke (Beton B25 bzw. C 20/25, d = 18 cm) mit einer Spannweite von 4,48 m (teilaufliegende Decke). Auf beiden Seiten wird die Wand durch aussteifende Wände begrenzt (Achsabstand der aussteifenden Wände im Grundriss b = 4,25 m). Das Mauerwerk soll aus Hochlochziegeln HLz 8-0,9 in Leichtmörtel LM21 hergestellt werden.

9

Bild 2-1

Vertikaler Schnitt durch die nachzuweisende Außenwand

251

2 Zahlenbeispiele

2.1.2 Belastungen • Ständige Lasten Wandlast aus Dach- und 2. Obergeschoss Deckenauflagerkraft Decke 1. OG inkl. Fußbodenaufbau Eigengewicht der Wand inkl. Putz • Veränderliche Lasten Wandlast aus Dach- und 2. Obergeschoss Deckenauflagerkraft Deckenplatte 1. OG (p = 2,75 kN/m2)

gOG = 34,14 kN/m gDOG1 = 13,70 kN/m gW = 3,88 kN/m2 pOG = 19,16 kN/m pDOG1 = 6,16 kN/m

2.1.3 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren a) Überprüfung der Anwendbarkeit des vereinfachten Verfahrens Deckenstützweite l1 = 4,48 m < 6,00 m = zul l1 Lichte Geschosshöhe 1. OG hs = 2,51 m < 3,60 m = 12 d = zul hs Verkehrslast p = 2,75 kN/m2 < 5,00 kN/m2 = zul p Gebäudehöhe H = 9,80 m < 20,00 m = zul H Es sind alle Voraussetzungen für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens erfüllt. b) Schnittgrößen für die Nachweisführung Die bei den Nachweisen anzusetzenden Normalkräfte sind für die verschiedenen Nachweisstellen in Tafel 2-1 zusammengefasst. Die Normalkräfte dürfen beim vereinfachten Verfahren zentrisch wirkend angenommen werden. Tafel 2-1 Normalkräfte Lastfall g Lastfall p Lastfall g + p

Wandkopf NK [kN/m] 47,84 25,32 73,16

Wandmitte NM [kN/m] 52,71 25,32 78,03

Wandfuß NF [kN/m] 57,58 25,32 82,90

Horizontallasten aus Wind brauchen beim vereinfachten Verfahren nicht berücksichtigt werden, wenn die Wand ausreichend horizontal ausgesteift ist, z.B. durch Decken mit Scheibenwirkung. Dies ist hier der Fall. c) Schlankheit b = 4, 25 m < 30 ⋅ d = 9, 00 m

vierseitig gehaltene Wand

hs = 2,51 m < 3,50 m

→ Knicklängenbeiwert β nach [3], Kap. 12, Tafel 3-7

β = 0, 70 hk = β ⋅ hs = 0, 70 ⋅ 2,51 = 1, 76 m

λ=

hk 1, 76 = = 5,86 < 25 = zul λ d 0,3

9

252

Mauerwerksbau

d) Abminderungsfaktoren

k1 = 1, 0

für Wände (Pfeiler/Wand)

k2 = 1, 0

für λ ≤ 10

l 4, 48 k3 = 1, 7 − 1 = 1, 7 − = 0,96 6 6

(Kicken)

am Wandkopf und -fuß, da l1 > 4,20 m (Deckendrehwinkel)

k = min (k1 ⋅ k2 und k1 ⋅ k3 ) = min (1, 0 ⋅1, 0 und 1, 0 ⋅ 0,96) = 0,96 e) Nachweise

Grundwert der zulässigen Druckspannung für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 12, Tafel 3-8b)

σ 0 = 0,8 MN/m2 Im vorliegenden Fall handelt es sich um eine nicht vollflächige aufgelagerte Deckenplatte. Dieser Fall wird von der DIN 1053-1 nicht explizit geregelt. Auf der sicheren Seite liegend wird zum Nachweis nur der Mauerwerksstreifen unter dem Deckenauflager angesetzt und die Normalkraft als zentrisch in der Deckenauflagertiefe wirkend angenommen. Der Nachweis wird am Wandfuß geführt (Index F). Zulässige Druckspannung

zul σ = k F ⋅ σ 0 = 0,96 ⋅ 0,8 = 0, 77 MN/m2

9

Nachweis der Normalspannung vorh σ =

NF 82,90 ⋅10−3 = = 0, 61 MN/m 2 < 0, 77 MN/m 2 = zul σ b ⋅ d A 1, 00 ⋅ 0,135

Die Tragfähigkeit der Wand ist somit nach dem vereinfachten Verfahren nachgewiesen.

2.1.4 Nachweis nach DIN 1053-1 genaueres Verfahren a) Lastzusammenstellung für Nachweisführung

Der Nachweis der Wand erfolgt an den Nachweisstellen Wandkopf, Wandfuß und Wandmitte. • Vertikallasten Die anzusetzenden Wandauflasten und Deckenauflagerkräfte sind in Tafel 2-2 zusammengestellt. Tafel 2-2

Zusammenstellung der Wandauflasten N und Deckenauflagerkräfte A

Infolge g Infolge p Infolge g + p

NOG1 [kN/m] 34,14 19,16 53,30

AOG1 = AEG [kN/m] 13,70 6,16 19,86

2 Zahlenbeispiele

253

• Horizontallasten lichte Geschosshöhe OG hs = 2,51 m < 3,00 m = zul hs Gebäudehöhe H = 9,80 m < 20,00 m = zul H Wanddicke d = 0,30 m > 0,24 m = min d Horizontal wirkende Lasten aus Wind senkrecht zur Wandebene brauchen somit nicht berücksichtigt zu werden. b) Knotenmomente

Die Ermittlung der Knotenmomente ist vereinfacht unter Zuhilfenahme der 5 %-Regel (Bild 2-2) möglich, da die einschränkende Bedingung p = 2,75 kN/m2 < 5,00 kN/m2 eingehalten ist (s. Abschnitt 3.3.1 in [3], Kap. 12).

9

Bild 2-2

Knotenmomente nach der 5 %-Regel in den Außenwandknoten an Dach- und Zwischendecken

Ausmitten der Deckenauflagerkräfte am Wandkopf eK und Wandfuß eF infolge Deckeneinspannung

eK = eF = 0,05 ⋅ l1 = 0, 05 ⋅ 4, 48 = 0, 224 m • Wandkopf min M K = − 0,5 ⋅ eK ⋅ Ag,DOG 1 = − 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅13, 7 = − 1,54 kNm/m max M K = − 0,5 ⋅ eK ⋅ Ag+p,DOG 1 = − 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅19,86 = − 2, 22 kNm/m • Wandfuß

min M F = 0,5 ⋅ eF ⋅ Ag,DEG = 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅13, 7 = 1,54 kNm/m max M F = 0,5 ⋅ eF ⋅ Ag+p,DEG = 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅19,86 = 2, 22 kNm/m

254

Mauerwerksbau

c) Knicklänge

Die Wand darf als vierseitig gehalten angesehen werden, da b = 4, 25 m < 9, 00 = 30 ⋅ d

Knicklängenbeiwert β (s. Abschnitt 3.3.2 in [3], Kap. 11) 3 d = 300 mm: a = 135 mm < 225 mm = ⋅ d 4

→ β = 1, 00

hs = 2,51 m < b = 4, 45 m hk =

1 § β ⋅ hs · 1+ ¨ ¸ © b ¹

⋅ β ⋅ hs =

2

1 § 1, 00 ⋅ 2,51 · 1+ ¨ ¸ © 4, 25 ¹

2

⋅1, 00 ⋅ 2,51 = 1,86 m

d) Nachweise

Grundwert der zulässigen Druckspannungen für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 12, Tafel 3-8b)

σ 0 = 0,8 MN / m2 Rechenwert der Druckfestigkeit (vgl. [3], Kap. 12, Abschnitt 3.3.3.1)

β R = 2, 67 ⋅ σ 0 = 2, 67 ⋅ 0,8 = 2,14 MN / m2

9

Sicherheitsbeiwert ([3], Kap. 11, Tafel 20)

γ W = 2, 0

(für Wände)

Unter der Annahme eines aufreißenden Querschnitts ist die maximale Randspannung σR und die mittlere Spannung σm im überdrückten Querschnittsbereich nachzuweisen. Ergeben sich Ausmitd d ten der Gesamtresultierenden e > , so dürfen diese auf den Wert e = zurückgesetzt werden. 3 3 In diesen Fällen ist jedoch mit einer Rissabzeichnung im Putz zu rechnen, der konstruktiv, z. B. durch Fugenausbildung oder Rissüberdeckung, entgegengewirkt werden sollte. • Wandkopf Maßgebend wird der Lastfall Volllast. N K = N g+p,OG 1 + Ag+p,DOG 1 = 53,30 + 19,86 = 73,16 kN/m

| eK |=

MK 2, 22 0,30 d = = 0, 03 m < 0, 05 m = = N K 73,16 6 6

→ keine klaffende Fuge

Nachweis der Randspannung vorh σ R,K =

NK b⋅d

§ 6⋅ | eK | · 73,16 ⋅10−3 § 6 ⋅ 0, 03 · 2 ¨1 + d ¸ = 1, 00 ⋅ 0,30 ¨1 + 0,30 ¸ = 0,39 N/mm © ¹ © ¹

γ W ⋅ vorh σ R,K = 2, 0 ⋅ 0,39 = 0, 78 MN/m2 < 2,84 MN/m2 = 1,33 ⋅ 2,14 = 1,33 ⋅ β R

255

2 Zahlenbeispiele

Nachweis der mittleren Normalspannungen

σ m,K =

N K 73,16 ⋅10−3 = = 0, 24 N/mm 2 b⋅d 1, 00 ⋅ 0,30

γ W ⋅ vorh σ m,K = 2, 0 ⋅ 0, 24 = 0, 48 MN/m2 < 2,14 MN/m2 = β R Die Nachweise am Wandkopf sind erfüllt. • Wandfuß Maßgebend wird der Lastfall Volllast N F = N g+p,OG1 + Ag+p,DOG 1 + hs ⋅ g W = 53,30 + 19,86 + 2,51 ⋅ 3,88 = 82,90 kN/m

eF =

MF 2, 22 0,30 d = = 0, 027 m < 0, 05 m = = N F 82,90 6 6

→ keine klaffende Fuge

Nachweis der Randspannung vorh σ R,F =

N F § 6 ⋅ eF · 82,90 ⋅10−3 § 6 ⋅ 0, 027 · 2 1+ = ¨1 + ¸ = 0, 43 N / mm b ⋅ d ¨© d ¸¹ 1, 00 ⋅ 0,30 © 0,30 ¹

γ W ⋅ vorh σ R,K = 2, 0 ⋅ 0, 43 = 0,86 MN/m2 < 2,84 MN/m2 = 1,33 ⋅ 2,14 = 1,33 ⋅ β R

9 Nachweis der mittleren Normalspannungen

σ m,F =

N F 82,90 ⋅10−3 = = 0, 28 N/mm 2 b⋅d 1, 00 ⋅ 0,30

γ W ⋅ vorh σ m,F = 2, 0 ⋅ 0, 28 = 0,56 MN/m2 < 2,14 MN/m2 = β R Die Nachweise am Wandfuß sind erfüllt. • halbe Wandhöhe In halber Wandhöhe ist die Knicksicherheit im Bruchzustand und das Klaffen der Fuge im Gebrauchszustand nachzuweisen. Die ungünstigste Beanspruchung für den Nachweis im Bruchzustand ergibt sich für den Fall voller Wandauflast bei gleichzeitig voller Verkehrslast auf der Deckenplatte über OG1 und ausschließlich Eigenlast der Deckenplatte über dem EG.

1 1 (max M K − min M F ) + min M F = (−2, 22 − 1,54) + 1,54 = −0,34 kNm/m 2 2 1 1 = N g+p,OG 1 + Ag+p,DOG 1 + ⋅ hs ⋅ g W = 53,30 + 19,86 + ⋅ 2,51 ⋅ 3,88 2 2

max M M = max N M

= 78, 03 kN/m

256

Mauerwerksbau

Knicknachweis (vgl. [3], Kap. 12, Abschnitt 3.3.3.2)

λ=

hK 1,86 = = 6, 20 d 0,30

eM = m=

(Schlankheit der Wand)

MM 0,34 = = 0, 004 m N M 78, 03

6 ⋅ eM 6 ⋅ 0, 004 = = 0, 08 d 0,30

f =λ⋅

1+ m 1 + 0, 08 ⋅ hk = 6, 20 ⋅ ⋅1,86 = 0, 007 m 1800 1800

e = eM + f = 0, 004 + 0, 007 = 0, 011 m

(planmäßige Ausmitte)

(bezogene planmäßige Ausmitte) (zusätzliche Ausmitte) (Gesamtexzentrizität)

Nachweis der Randspannung e = 0, 011 m < 0, 05 m = vorh σ R,M =

0,30 d = 6 6

→ Querschnitt komplett überdrückt

N M § 6 ⋅ eM · 78, 03 ⋅10−3 § 6 ⋅ 0, 011 · 2 1+ = ¨1 + ¸ = 0,32 N/ mm b ⋅ d ¨© d ¸¹ 1, 00 ⋅ 0,30 © 0,30 ¹

γ W ⋅ vorh σ R,K = 2, 0 ⋅ 0,31 = 0, 64 MN/m2 < 2,84 MN/m2 = 1,33 ⋅ 2,14 = 1,33 ⋅ β R

9

Nachweis der mittleren Normalspannungen

σ m,M =

N M 78, 03 ⋅10−3 = = 0, 26 N/ mm 2 b⋅d 1, 00 ⋅ 0,30

γ W ⋅ vorhσ m,F = 2, 0 ⋅ 0, 26 = 0,52 MN/m2 < 2,14 MN/m2 = β R Der Nachweis der klaffenden Fuge fällt bei minimaler Wandauflast in Verbindung mit voller Verkehrslast auf der Deckenplatte über EG und ausschließlich dem Eigengewicht der Deckenplatte über OG1 am ungünstigsten aus. max M M =

1 1 ( min M K − max M F ) + max M F = ( −1,54 − 2, 22 ) + 2, 22 = 0,34 kNm/m 2 2

min N M = N g,OG1 + Ag,DOG1 +

eM =

1 1 ⋅ hs ⋅ g W = 34,14 + 13, 70 + ⋅ 2,51 ⋅ 3,88 = 49, 71 kN/m 2 2

max M M 0,34 0,30 d = = 0, 007 m < 0,10 m = = min N M 49, 71 3 3

Damit wurden alle erforderlichen Nachweise nach dem genaueren Verfahren erfolgreich erbracht.

257

2 Zahlenbeispiele

2.1.5 Nachweis nach DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren a) Überprüfung der Anwendbarkeit des vereinfachten Verfahrens Für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens gelten die gleichen Bedingungen wie nach DIN 1053-1 (siehe 2.1.3). b) Bemessungsschnittgrößen für die Nachweisführung

Bemessungswerte der Normalkräfte N Ed = 1,35 ⋅ N Gk + 1,5 ⋅ N Qk

Die bei den Nachweisen anzusetzenden charakteristischen Werte und Bemessungswerte der Normalkräfte sind für die verschiedenen Nachweisstellen in Tafel 2-3 zusammengefasst. Tafel 2-3

Bemessungswerte der Normalkräfte

Aus ständiger Last NGk Aus veränderlicher Last NQk Bemessungswert NEd

Wandkopf NK [kN/m] 47,84 25,32 102,56

Wandmitte NM [kN/m] 52,71 25,32 109,14

Wandfuß NF [kN/m] 57,58 25,32 115,71

Horizontallasten aus Wind brauchen wiederum nicht berücksichtigt werden (analog 9.2.1.4). c) Knicklänge

Die Ermittlung der Knicklänge entspricht dem genaueren Verfahren nach DIN 1053-1 (siehe 9.2.1.4) d) Abminderungsfaktoren (vgl. Tafel 1-2) 2

2

§ 1,86 · § hk · ¸ = 0,85 − 0, 0011 ⋅ ¨ 0,30 ¸ = 0,81 d © ¹ © ¹

Φ2 = 0,85 − 0, 0011⋅ ¨ Φ3 = 1, 7 −

(Knicken)

l1 4, 48 = 1, 7 − = 0,80 < 0,90 am Wandkopf und -fuß, da l1 > 4,20 m und 5 5 fk = 2,5 N/mm2 > 1,8 N/mm2 (Deckenverdrehung)

­°Φ 2 = 0,81 Φ = min ® °¯Φ3 = 0,80

e) Nachweise

Charakteristischer Wert der Druckfestigkeit für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 12, Tafel 4-5)

f k = 2,5 MN/m2 Teilsicherheitsbeiwert der Baustoffeigenschaften für normale Einwirkungen

k0 = 1, 00

für Wände ([3], Kap. 12, Tafel 4-2)

γ M = 1,5 ⋅ k0 = 1,5 ⋅1, 00 = 1,5 η = 0,85

Berücksichtigung der Langzeitwirkung

9

258

Mauerwerksbau

Der Fall der nicht vollflächig aufgelagerten Deckenplatte wird auch in DIN 1053-100 nicht explizit geregelt. Auf der sicheren Seite liegend wird wiederum zum Nachweis nur das Mauerwerk unter dem Deckenauflager angesetzt und die Normalkraft als zentrisch in der Deckenauflagertiefe wirkend angenommen. Der Nachweis wird mit der maximalen Normalkraft (Wandfuß, Index F) geführt. Bemessungswert der aufnehmbaren Normalkraft f 2,5 ⋅1000 = 153, 00 kN/m N Rd = Φ ⋅ A ⋅η ⋅ k = 0,80 ⋅1, 00 ⋅ 0,135 ⋅ 0,85 ⋅ 1,5 γM

Nachweis N Ed,F = 115, 71 kN/m < 153, 0 kN/m = N Rd

Damit ist die Tragsicherheit der Wand nach dem vereinfachten Verfahren nachgewiesen.

2.1.6 Nachweis nach DIN 1053-100 genaueres Verfahren a) Belastungskombinationen für Nachweisführung

9

Für den Nachweis der Wand sind insgesamt 12 verschiedene Lastfallkombinationen zu untersuchen. Bei günstiger Wirkung des Eigengewichts der Deckenplatten darf zusätzlich die halbe Verkehrslast wie ständige Last behandelt werden. Alle ständigen Lasten in einer Lastfallkombination dürfen mit dem gleichen Teilsicherheitsbeiwert angesetzt werden. Die Anzahl der zu untersuchenden Lastfallkombinationen lässt sich durch Ausschluss von offensichtlich nicht maßgeblichen werdenden Lastfallkombinationen auf neun reduzieren (siehe Bild 2-3). Die anzusetzenden Vertikallasten sind für die jeweiligen Lastfälle in Tafel 2-4 aufgeführt. Tafel 2-4 Zusammenstellung der Bemessungslasten Lastkombination 1,35g + 1,5p 1,35g 1,35(g + p/2) 1,0g + 1,5p 1,0(g + p/2) 1,0g

Auflast Nd,OG1 [kN/m] 74,83 46,09 – – – 34,14

Deckenauflagerkraft Ad,DOG1 = Ad,DEG [kN/m] 27,74 – 22,65 22,94 16,78 –

• Horizontallasten Lichte Geschosshöhe 1. OG hs = 2,51 m < 3,00 m = max hs Gebäudehöhe H = 9,80 m < 20,00 m = max H Wanddicke d = 0,30 m > 0,24 m = min d Horizontal wirkende Lasten aus Wind senkrecht zur Wandebene brauchen somit nicht berücksichtigt werden. Knotenmomente Die Ermittlung der Knotenmomente ist wiederum vereinfacht unter Zuhilfenahme der 5 %-Regel möglich, da die einschränkende Bedingung p = 2,75 kN/m2 < 5,00 kN/m2 eingehalten ist (vgl. 2.1.4).

259

2 Zahlenbeispiele

9 Bild 2-3

Bemessungsrelevante Lastkombinationen

Ausmitten der Deckenauflagerkräfte am Wandkopf eo und Wandfuß eu infolge der Einspannung der Deckenplatten in die Wand

eo = eu = 0, 05 ⋅ l1 = 0, 05 ⋅ 4, 48 = 0, 224 m Knotenmomente am Wandkopf MK und am Wandfuß MF

M Eo = − 0,5 ⋅ eo ⋅ ADOG M Eu = 0,5 ⋅ eu ⋅ ADEG Die sich ergebenden Knotenmomente sind für die verschiedenen Einwirkungskombinationen auf die Deckenplatten in Tafel 2-5 zusammengefasst. Tafel 2-5 Knotenmomente nach Belastungsfällen Lastkombination auf Decke 1,35 g + 1,5 p 1,35 (g + p/2) 1,0 g + 1,5 p 1,0 (g + p/2)

Wandkopf Mo [kNm/m] – 3,11 – 2,54 – 2,57 – 1,88

Wandfuß Mu [kNm/m] 3,11 2,54 2,57 1,88

260

Mauerwerksbau

c) Knicklänge (nach [3], Kap. 11, Abschnitt 3.3.2)

Die Wand darf als vierseitig gehalten angesehen werden, da b = 4, 25 m < 9, 00 = 30 ⋅ d

Knicklängenbeiwert β (nach [3], Kap. 12, Tafel 15) Wanddicke d = 0,30 m > 0,125 m Auflagertiefe der Deckenplatte a = 0,135 m <

2 d = 0, 20 m → β = 1, 00 3

hs = 2,51 m < b = 4, 45 m hk =

1

§ β ⋅ hs · 1+ ¨ ¸ © b ¹

2

⋅ β ⋅ hs =

1

§ 1, 00 ⋅ 2,51 · 1+ ¨ ¸ © 4, 25 ¹

2

⋅1, 00 ⋅ 2,51 = 1,86 m

d) Nachweise

Charakteristischer Wert der Druckfestigkeit für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 12, Tafel 4-5)

f k = 2,5 MN/m2

9

Teilsicherheitsbeiwert der Baustoffeigenschaften für normale Einwirkungen k0 = 1, 00 für Wände ([3], Kap. 12, Tafel 4-2) γ M = 1,5 ⋅ k0 = 1,5 ⋅1, 00 = 1,5 η = 0,85 Berücksichtigung der Langzeitwirkung • Wandkopf Ergeben sich Ausmitten der Gesamtresultierenden e > 1 3 ⋅ d , so dürfen diese zur Bestimmung der aufnehmbaren Normalkraft auf e = 1 3 ⋅ d abgemindert werden. In diesen Fällen ist jedoch mit einer Rissabzeichnung im Putz zu rechnen, der konstruktiv, z.B. durch Fugenausbildung oder Rissüberdeckung, entgegengewirkt werden sollte. Mindestens ist jedoch eine Ausmitte von e = 0, 05 ⋅ d anzusetzen. Maßgebend wird Lastfallkombination LFK1 = LFK3. N Ed,o = 1,35 ⋅ N g,OG 1 + 1,5 ⋅ N p,OG 1 + 1,35 ⋅ N g,DOG 1 + 1,5 ⋅ N p,DOG 1 = 74,83 + 27, 74 = 102,57 kN/m

M Ed,o = − 3,11 kNm/m | eo |=

M Ed,o N Ed,u

=

3,11 = 0, 03 m > 0, 015 m = 0, 05 ⋅ 0,30 = 0, 05 ⋅ d 102,57

Abminderungsfaktor am Wandkopf

Φo = 1 −

2 ⋅ eo 2 ⋅ 0, 03 = 1− = 0,80 d 0,30

261

2 Zahlenbeispiele

Aufnehmbare Normalkraft N Rd,o = Φo ⋅ A ⋅η ⋅

fk

γM

= 0,80 ⋅1, 00 ⋅ 0,30 ⋅ 0,85 ⋅

2,5 ⋅103 = 340, 00 kN/m 1,5

Nachweis N Ed,o = 102,57 kN/m < 340, 00 kN/m = N Rd,o

Der Nachweis am Wandkopf ist erfüllt. In Tafel 2-6 sind die wesentlichen Berechnungsgrößen für alle in Bild 2-3 enthaltenen Lastfallkombinationen zusammengefasst. Tafel 2-6 Rechenwerte für die Nachweisführung am Wandkopf

Nd,o [kN/m] Md,o [kNm/m] 102,57 – 3,11 97,48 – 2,54 73,83 – 3,11 68,74 – 2,54 57,08 – 2,57 50,92 – 1,88

LFK1 = LFK3 LFK2 LFK4 = LFK6 LFK5 LFK7 = LFK9 LFK8

|eo| [m] 0,015 < 0,030 < 0,100 0,015 < 0,026 < 0,100 0,015 < 0,042 < 0,100 0,015 < 0,037 < 0,100 0,015 < 0,045 < 0,100 0,015 < 0,037 < 0,100

Φo 0,80 0,83 0,72 0,75 0,70 0,75

NRd,o [kN/m] 340,00 351,17 305,65 320,31 297,43 320,39

• Wandfuß Maßgebend wird Lastfallkombination LFK3.

9

N Ed,u = 1,35 ⋅ N g,OG 1 + 1,5 ⋅ N p,OG 1 + 1,35 ⋅ N g,DOG 1 + 1,5 ⋅ N p,DOG 1 + 1,35 ⋅ hs ⋅ g W = 74,83 + 27, 74 + 1,35 ⋅ 2,51 ⋅ 3,88 = 115, 72 kN/m M Ed,u = 3,11 kNm/m eu =

M Ed,u N Ed,u

=

3,11 = 0, 027 m > 0, 015 m = 0, 05 ⋅ 0,30 = 0, 05 ⋅ d 115, 72

Abminderungsfaktor am Wandkopf

Φu = 1 −

2 ⋅ eu 2 ⋅ 0, 027 = 1− = 0,82 d 0,30

Aufnehmbare Normalkraft N Rd,u = Φu ⋅ A ⋅η ⋅

fk

γM

= 0,82 ⋅1, 00 ⋅ 0,30 ⋅ 0,85 ⋅

Nachweis N d,F = 115, 72 kN/m < 348,50 kN/m = N Rd,F

2,5 ⋅103 = 348,50 kN/m 1,5

262

Mauerwerksbau

Der Nachweis am Wandfuß ist erfüllt. Analog zum Nachweis am Wandfuß sind in Tafel 2-7 die wesentlichen Berechnungsgrößen für alle in Bild 2-3 enthaltenen Lastfallkombinationen zusammengefasst. Tafel 2-7 Rechenwerte für die Nachweisführung am Wandfuß

Nd,u [kN/m] 115,72 110,63 115,72 86,98 81,89 86,98 66,82 60,66 66,82

LFK1 LFK2 LFK3 LFK4 LFK5 LFK6 LFK7 LFK8 LFK9

Md,u [kNm/m] 2,54 3,11 3,11 2,54 3,11 3,11 1,88 2,57 2,57

eu [m] 0,015 < 0,022 < 0,100 0,015 < 0,028 < 0,100 0,015 < 0,027 < 0,100 0,015 < 0,029 < 0,100 0,015 < 0,028 < 0,100 0,015 < 0,036 < 0,100 0,015 < 0,028 < 0,100 0,015 < 0,042 < 0,100 0,015 < 0,036 < 0,100

Φu 0,85 0,81 0,82 0,81 0,75 0,76 0,81 0,72 0,74

NRd,u [kN/m] 362,81 345,35 348,50 342,26 317,39 323,69 345,28 304,96 316,02

• Halbe Wandhöhe Maßgebend wird Lastfallkombination LFK1.

9

1 N Ed,m = 1,35 ⋅ N g,OG 1 + 1,5 ⋅ N p,OG 1 + 1,35 ⋅ Ng,DOG 1 + 1,5 ⋅ N p,DOG 1 + 1,35 ⋅ ⋅ hs ⋅ g W 2 1 = 74,83 + 27, 74 + 1,35 ⋅ ⋅ 2,51 ⋅ 3,88 = 109,14 kN/m 2

M Ed,m = | em 0 |=

1 1 ( M Ed,o − M Ed,u ) + M Ed,u = (−3,11 − 2,54) + 2,54 = −0, 25 kNm/m 2 2

M Ed,m N Ed,m

=

0, 25 = 0, 002 m 109,14

Ungewollte Ausmitte ea =

hk 1,86 = = 0, 004 m 450 450

Exzentrizität infolge Kriechen hk 1,86 = = 6, 20 < 10 d 0,30

→ emk = 0

Exzentrizität der einwirkenden Lasten em =

M Ed,m N Ed,m

+ emk + ea = 0, 002 + 0 + 0, 004 = 0, 006 m

263

2 Zahlenbeispiele

Abminderungsfaktor in halber Geschosshöhe 2 ⋅ em d

hk § 2 ⋅ 0, 006 · 1,86 · ¸ − 0, 024 ⋅ d = 1,14 ⋅ ¨ 1 − 0,30 ¸ − 0, 024 ⋅ 0,30 = 0,94 ¹ © ¹ 2 ⋅ em 2 ⋅ 0, 006 ≤ 0,96 = 1 − = 1− d 0,30 §

Φ m = 1,14 ⋅ ¨ 1 − ©

Aufnehmbare Normalkraft N Rd,m = Φ m ⋅ A ⋅η ⋅

fk

γM

= 0,94 ⋅1, 00 ⋅ 0,30 ⋅ 0,85 ⋅

2,5 ⋅103 = 399,50 kN/m 1,5

Nachweis N Ed,m = 109,14 kN < 399,50 kN = N Rd,m

Zusätzlich ist nachzuweisen, dass unter Gebrauchslasten der Querschnitt nicht weiter als bis Mitte aufklafft. Da bereits unter Bemessungslasten der Querschnitt nie so weit aufreißt (vgl. Tafel 2-8, Spalte |em0|), erübrigt sich der erneute Nachweis unter Ansatz der Gebrauchslasten. Alle Nachweise in halber Wandhöhe sind erfüllt. Damit sind alle Nachweise nach dem genaueren Verfahren erbracht. Die Wand ist nachgewiesen. Tafel 2-8 enthält wiederum die wesentlichen Berechnungsgrößen für alle in Bild 2-3 aufgeführten Lastfallkombinationen. Tafel 2-8 Zusammenfassung aller Lastfallkombinationen in halber Wandhöhe LFK1 LFK2 LFK3 LFK4 LFK5 LFK6 LFK7 LFK8 LFK9

Nd,M [kN/m] 109,14 104,05 109,14 80,40 75,31 80,40 61,95 55,79 61,95

Md, M [kNm/m] 0,29 – 0,29 0,00 0,29 – 0,29 0,00 0,35 – 0,35 0,00

|em0| [m] 0,002 0,003 0,000 0,003 0,003 0,000 0,005 0,006 0,000

em [m] 0,006 0,006 0,004 0,006 0,008 0,004 0,009 0,010 0,004

Φm 0,94 < 0,96 0,94 < 0,96 0,96 < 0,97 0,94 < 0,95 0,93 < 0,95 0,96 < 0,97 0,92 < 0,94 0,96 > 0,93 0,96 < 0,97

NRd,M [kN/m] 399,50 399,70 408,02 397,43 396,78 408,02 391,34 389,65 408,02

2.2 Kellerwand Es soll eine Kelleraußenwand eines Einfamilienhauses nach DIN 1053-1 und DIN 1053-100 nachgewiesen werden. Die zu berechnende Wand ist eine einschalige Außenwand aus Kalksandsteinen (KS-R12-1,4) der Steinfestigkeitsklasse 12 mit Normalmörtel (MGII). Die Wand befindet sich unter einer Ter-

9

264

Mauerwerksbau

rasse, weist eine Länge von 5,25 m auf. Die Geschosshöhe beträgt 2,35 m bei einer Wandstärke 24 cm (vgl. Bild 2-4). Sofern die vorhandenen Normalkräfte die Grenzlasten nach [3], Kap. 12, Tafel 1-6 nicht überbzw. unterschreiten, kann ein genauerer Nachweis auf Erddruck entfallen. Voraussetzung ist jedoch, dass die angegebenen Randbedingungen eingehalten sind. Die Grenzlasten wurden unter Ansatz eines Bogenmodells bestimmt. Bei den Formeln wurde von üblichem Erdstoff und aktivem Erddruck ausgegangen. Der Nachweis auf Plattenschub ist bei Einhaltung der Grenzlastbedingungen ebenfalls automatisch erfüllt.

9

Bild 2-4

Vertikalschnitt durch die nachzuweisende Kellerwand

Bei einem genauen Nachweis auf Erddruck ist ein geeignetes Modell (z. B. Bogenmodell) zu wählen und ein Nachweis auf Biegung bzw. Knicken unter minimaler und maximaler Auflast an den maßgebenden Querschnitten zu führen. Zunächst wird man jedoch stets versuchen, die Einhaltung der Grenzlasten nachzuweisen. a) Annahmen Einschalige Kelleraußenwand aus: Kalksandstein KS-R12-1,4 in Normalmörtel MG II

Abmessungen:

Wanddicke lichte Höhe Wandlänge Anschütthöhe

d hs b he

= 24,0 cm = 2,35 m = 5,25 m = 1,05 m

Bei Kellerwänden darf ein genauer Nachweis nach DIN 1053-1 bzw. DIN 1053-100 unter Berücksichtigung des Erdrucks nur dann ggf. entfallen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: – lichte Höhe der Kellerwand hs ” – Wanddicke d • – Verkehrslast auf der Geländeoberfläche p ”

2,60 m 24 cm 5 kN/m2

265

2 Zahlenbeispiele

– Anschütthöhe he ” hs – Geländeoberfläche verläuft waagerecht – Kellerdecke ist als Scheibe ausgebildet Alle Bedingungen sind eingehalten. Es darf der Nachweis ohne Ansatz des Erddrucks geführt werden. Die Wandnormalkraft aus ständiger Last muss entweder in halber Anschütthöhe oder am Wandkopf innerhalb bestimmter Grenzen liegen. Diese Grenzen werden in den folgenden Abschnitten ermittelt. (Vgl. [3], Kap. 12, Abschnitt. 3.4.2 und 4.5) b) Belastung Auf das Erdreich wirkende Verkehrslast p = 3,75 kN/m2 Wichte der Anschüttung ȡe = 19,0 kN/m3 (= γe in DIN 1053-100) Wandeigengewicht g = 14 kN/m3 · 2,35 m · 0,24 m = 7,9 kN/m Eigengewicht in halber Anschütthöhe g = 14 · (2,35 – 1,05/2) · 0,24 = 6,13 kN/m Tafel 2-9 Zusammenstellung der vertikalen Lasten ständige Lasten [kN] 4,5 10,63 12,4

Wandkopf Σ halbe Anschütthöhe Σ Wandfuß

Verkehrslasten [kN] 5,0 5,0 5,0

Gesamt [kN] 9,5 15,63 17,4

2.2.2 Nachweis nach DIN 1053-1 Die Bedingung zum Wegfall des genaueren Nachweises für durch Erddruck belastete Kellerwände kann am Wandkopf oder in halber Anschütthöhe geprüft werden. ([3], Kap. 12, Abschnitt 3.4.2) Wandkopf maximale Auflast No,max = 9,5 kN/m minimale Auflast No,min = 4,5 kN/m obere Grenzlast max No = 0, 45 ⋅ d ⋅ σ 0 mit dem Grundwert der zulässigen Druckspannungen nach [3], Kap. 12, Tafel 3-8a ı0 = 1,2 MN/m2 (SFK 12, MGII)

max No = 0, 45 ⋅ 0, 24 ⋅1, 2 = 129,6 kN/m untere Grenzlast min No ([3], Kap. 11, Tafel 22) min No = 6 kN/m

(d = 0,24 m; he ≈ 1,0 m)

Sollte die Wandlänge b < 2 ⋅ hs sein, kann eine zweiachsige Lastabtragung angenommen werden, und damit die untere Grenze verringert werden.

b ≤ hs :

min No =

1 ⋅ min No 2

9

266

Mauerwerksbau

b ≥ 2 ⋅ hs :

min No = min No

(Zwischenwerte sind geradlinig zu interpolieren)

Da in dem Beispiel b = 5,25 m ≥ 4,7 m = 2 · 2,35 ist, liegt eine einachsige Lastabtragung vor. Nachweis der Grenzlasten max N o = 129, 6 kN/m > 4, 5 kN/m = N o,min < 6, 0 kN/m = min N o

Die untere Grenzlast ist am Wandkopf nicht eingehalten. Es darf jedoch der Nachweis in halber Anschütthöhe versucht werden. halbe Anschütthöhe maximale Auflast N1,max = 15,63 kN/m minimale Auflast N1,min = 10,63 kN/m Obere Grenzlast

max N =

d ⋅ βR 3⋅γ

mit dem Rechenwert der Druckfestigkeit ȕR = 2,67 · ı0 = 2,67 · 1,2 = 3,20 MN/m2

9

max N =

0, 24 ⋅ 3, 20 = 128, 2 kN/m 3 ⋅ 2, 0

untere Grenzlast min N =

ρe ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

=

19 ⋅ 2,35 ⋅1, 052 = 10, 25 kN/m 20 ⋅ 0, 24

Aufgrund der einachsigen Lastabtragung kann die untere Grenze nicht weiter abgemindert werden. Nachweis der Grenzlasten max N = 128, 2 kN/m > 10, 63 kN/m = N1,min > 10, 25 kN/m = min N Es sind beide Grenzbedingungen eingehalten. Der genaue Nachweis auf Erddruck kann entfallen, da die Bedingungen nur am Wandkopf oder bei halber Anschütthöhe zu prüfen sind. Nach DIN 1053-1 [1] Abschnitt 7.1.2.3 sind für die Prüfung der Bedingung nur die ständigen Lasten anzusetzen. Nach Meinung des Autors ist aber zusätzlich die maximale Auflast gegen die obere Grenze zu prüfen. max N = 128, 2 kN/m > 15, 63 kN/m = N1

Diese Grenzbetrachtung gewinnt erst bei hoch belasteten Kellerwänden an Bedeutung.

267

2 Zahlenbeispiele

2.2.3 Nachweis nach DIN 1053-100 Die Prüfung der Grenzwerte nach DIN 1053-100 entspricht formal dem Verfahren nach DIN 1053-1. Die Formeln sind lediglich an das Konzept der Teilsicherheitsbeiwerte angepasst worden. Wandkopf maximale Auflast No,Ed,sup = 1,35 · 4,5 + 1,5 · 5 = 13,75 kN/m minimale Auflast No,Ed,inf = 1,0 · 4,5 = 4,5 kN/m obere Grenzlast N o,Rd = 0,33 ⋅ d ⋅

fk

γM

mit dem charakteristische Wert der Druckfestigkeit ([3], Kap. 12, Tafel 4-4) (SFK 12, MGII) fk = 3,7 MN/m2 N o,Rd = 0, 33 ⋅ 0, 24 ⋅

3, 7 = 195,36 kN/m 1, 5

untere Grenzlast No,lim,d ([3], Kap. 11, Tafel 35) (d = 0,24 m; he ≈ 1,0 m)

No,lim,d = 6 kN/m

9

Der Lastabtrag ist analog Abschnitt 2.2.2 als einachsig anzunehmen. Nachweis der oberen Grenzbedingung N o,Ed,sup = 13, 75 kN/m < 195, 36 kN/m = N o,Rd Nachweis der unteren Grenzbedingung N o,Ed,inf = 4,5 kN/m < 6 kN/m = N o,lim,d

Die untere Grenzbedingung ist am Wandkopf nicht eingehalten. Es darf wiederum alternativ der Nachweis in halber Anschütthöhe versucht werden. halbe Anschütthöhe maximale Auflast N1,Ed,sup = 1,35 · 10,63 + 1,5 · 5 = 21,85 kN/m em 0 minimale Auflast N1,Ed,inf = 1,0 · 10,63 = 10,63 kN/m obere Grenzlast f 3, 7 N1,Rd = 0,33 ⋅ d ⋅ k = 0, 33 ⋅ 0, 24 ⋅ = 195,36 kN/m 1, 5 γM

untere Grenzlast N1,lim,d =

γ e ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

=

19 ⋅ 2,35 ⋅1, 052 = 10, 25 kN/m 20 ⋅ 0, 24

(analog dem Wandkopf)

268

Mauerwerksbau

Der Lastabtrag ist analog Abschnitt 2.2.2 als einachsig anzunehmen. Nachweise der oberen Grenzlast N1,Rd = 195, 36 kN/m > 21,85 kN/m = N1,Ed,sup

Nachweise der oberen Grenzlast N1,lim,d = 10, 25 kN/m < 10, 63 kN/m = N1,Ed,inf

Es sind beide Grenzbedingungen eingehalten. Die Standsicherheit der Wand konnte erfolgreich nachgewiesen werden. Der genaue Nachweis auf Erddruck kann entfallen, da die Bedingungen wiederum nur am Wandkopf oder in halber Anschütthöhe zu prüfen sind.

2.3 Schubwand In diesem Beispiel soll eine aussteifende Innenwand (Bild 2-5) nach DIN 1053-1 und DIN 1053100 jeweils nach dem vereinfachten und dem genaueren Verfahren nachgewiesen.

9

Bild 2-5

Längsansicht der Aussteifungswand mit Belastungen

Die nachzuweisende Wand ist eine einschalige Innenwand aus Porenbeton-Plansteinen (PP6) der Steinfestigkeitsklasse 6, verlegt in Dünnbettmörtel. Die Wandstärke beträgt 24 cm. Für das statische System wird die Wand in Scheibenrichtung ein Kragarm angenommen. Für den Kragarm ist

269

2 Zahlenbeispiele

der Schubnachweis am Wandkopf und Wandfuß zu führen. Bei einer am Wandkopf eingespannten Wand bzw. außermittig belasteten Wand ist zusätzlich ggf. ein Nachweis in Wandmitte zu führen. Die im Folgenden vorgeführten Nachweise beschränken sich auf die Scheibenbeanspruchung. Zum vollständigen Nachweis der Standsicherheit der Wand ist zusätzlich jedoch noch die ausreichende Normkrafttragfähigkeit nachzuweisen. a) Annahmen SFK 6, DM, unvermörtelte Stoßfugen Abmessungen Wanddicke d = 24 cm lichte Höhe hs = 2,51 m Wandlänge lw = 2,00 m Angaben für die Überprüfung der Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens nach DIN 1053-1 [1] Abschnitt 6.1 bzw. DIN 1053-100 [2], Abschnitt 7.1 Gebäudehöhe über Gelände ” 20,00 m Stützweiten der aufliegenden Decken ” 6,00 m Verkehrslast der Decken ” 5 kN/m2 Die Kriterien für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens gelten als erfüllt. (Vgl. [3], Kap. 12, Abschnitt 3.2.1) b) Belastung vertikale Lasten Die vertikale Belastung ergibt sich aus den auf der zu bemessenden Wand aufliegenden Decken und dem Eigengewicht. Die Linienlast wurde in eine resultierende Einzellast umgerechnet. Eigengewicht des Wandabschnittes

g = 7,5 kN/m3 · 2,51 m · 2,0 m · 0,24 m = 9,0 kN Tafel 2-10 Zusammenstellung der vertikalen Lasten am Wandkopf Wandeigengewicht Σ Wandfuß

ständige Lasten [kN] 64,5 9,0 73,5

Verkehrslasten [kN] 29,1 29,1

Gesamt [kN] 93,6 9,0 102,6

horizontale Lasten Als horizontale Lasten sind die auf das Gebäude einwirkenden Windlasten und Lasten aus ungewollter Schiefstellung des Gebäudes anzusetzen. Diese Kräfte werden über die Decken und Aussteifungswände abgeleitet. Der auf eine Wand entfallende Anteil der Schubkraft ist nach der Lage und der Steifigkeit aller Aussteifungswände in jedem Geschoss zu bestimmen. Querkraft: QW = 10,4 kN QS = 1,56 kN

Wandanteil aus Wind Wandanteil aus der Schiefstellung des Gebäudes

Einspannmomente am Wandfuß: MW = QW · hs = 26,1 kNm MS = QS · hs = 3,92 kNm

(aus Wind) (aus der Schiefstellung des Gebäudes)

9

270

Mauerwerksbau

2.3.1 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren Die Schubwand wird zuerst auf Biegung in Scheibenrichtung am Wandfuß nachgewiesen. Dies ist nur nach dem genaueren Verfahren möglich. Zunächst ist die Randspannung unter Berücksichtigung des Aufreißens des Querschnitts zu bestimmen. Ausmitte der Resultierenden

e=

­< d/3 = 2, 00/3 = 0, 66 m 26,1 + 3,92 M = = 0, 408 m ® min N 73,5 ¯> d/6 = 2, 00/6 = 0,33 m

→ teilweise gerissener Querschnitt überdrückte Wandlänge

§l · § 2, 00 · lc = ¨ w − e ¸ ⋅ 3 = ¨ − 0, 408 ¸ ⋅ 3 = 1, 78 m © 2 ¹ © 2 ¹ Randspannung

σR =

2 ⋅ min N 2 ⋅ 73,50 ⋅10−3 = = 0,344 MN/m 2 lc ⋅ d 1, 78 ⋅ 0, 24

Rechenwert der Mauerwerksdruckfestigkeit ([3], Kap. 12, Abschnitt 3.3.3.1)

β R =2,67 ⋅ σ 0 =2,67 ⋅1,50 = 4, 00 MN/m2

9

(SFK 6 mit Dünnbettmörtel)

globaler Sicherheitsbeiwert

γ = 2,0

(für Wände, siehe [3], Kap. 12, Tafel 3-12)

Nachweis

σ R = 0,344 MN/m 2 < 2, 66 MN/m 2 = 1,33 ⋅

β 4, 00 MN/m 2 = 1,33 ⋅ R γ 2

Zusätzlich ist die Randdehnung auf der Zugseite der Wandscheibe nachzuweisen (vgl. Bild 2-6).

εD =

σR E

=

σR 3000 ⋅ σ 0

=

0,344 = 0,8 ⋅10−4 3000 ⋅1,5

ε R = ε D ⋅ (lw /lc − 1) = 0,8 ⋅10−4 ⋅ (2, 0/1, 78 − 1) = 9,9 ⋅10−6 < 1⋅10−4 Der Nachweis der Randdehnung ist erfüllt. Für den eigentlichen Schubnachweis nach [3], Abschnitt 6.9.5, ist die vorhandene Schubspannung zu berechnen.

τ = c⋅

Q A

Der Faktor c für die Schubspannungsverteilung in der Wand, ist bei hs/lW = 2,51/2,0 = 1,25 zwischen 1,0 und 1,5 zu interpolieren. c = 1,128.

271

2 Zahlenbeispiele

Bild 2-6

Randdehnung bei Windscheiben

Schubspannung am Wandkopf

τ K = 1,128 ⋅

(10, 4 + 1,56) ⋅ 10−3 = 0, 0281 MN/m 2 0, 24 ⋅ 2, 0

Schubspannung am Wandfuß

τ F = 1,128 ⋅

(10, 4 + 1,56) ⋅ 10−3 = 0, 0316 MN/m 2 0, 24 ⋅ 1, 78

Die zulässige Schubspannung zul τ werden nach [1] Abschnitt 6.9.5 (6a) bzw. [3], Kap. 12, Abschn. 3.2.9.5, berechnet. Sie ergibt sich als kleinster Wert aus den beiden Fällen Reibungsversagen und Steinzugversagen. Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel) zul τ = σοHS + 0,2 σDm

σοHS = 0,055 MN/m2

(DM und unverm. Stoßfugen, [3], Kap. 12, Tafel 3-9)

Wandkopf

σ Dm =

N 64,5 ⋅10−3 = = 0,134 MN/m 2 0, 24 ⋅ 2, 0 d ⋅ lW

zul τ1K = 0, 055 + 0, 2 ⋅ 0,134 = 0, 082 MN/m 2

Wandfuß

σ Dm =

N 73,5 ⋅10−3 = = 0,173 MN/m 2 d ⋅ lc 0, 24 ⋅1, 78

zul τ1F = 0, 055 + 0, 2 ⋅ 0,173 = 0, 090 MN/m 2

9

272

Mauerwerksbau

Versagensfall 2 (Steinzugversagen) Wandkopf und Wandfuß max τ = 0, 014 ⋅ β NSt

(für Vollsteine ohne Grifföffnungen oder -löcher)

β NSt = 6, 0 MN/m 2

(für SFK 6 [3], Kap. 12, Abschnitt 3.2.9.5)

max τ = 0, 014 ⋅ 6, 0 = 0, 084 MN/m²

zulässige Schubspannung ­zul τ1 zul τ = min ® ¯max τ ­°0, 082 MN/m 2 ­°0, 090 MN/m 2 zul τ K = min ® , zul τ F = min ® 2 2 ¯°0, 084 MN/m ¯°0, 084 MN/m

Nachweis am Wandkopf

τ K = 0, 028 MN/m 2 < 0, 082 MN/m 2 = zulτ K Nachweis am Wandfuß

τ F = 0, 032 MN/m 2 < 0, 084 MN/m2 = zulτ F Beide Nachweise sind erfüllt. Die Querkrafttragfähigkeit der Windscheibe ist nachgewiesen.

9

2.3.2 Nachweis nach DIN 1053-1, genaueres Verfahren Der Nachweis der Schubwand auf Biegung und Klaffen in Scheibenrichtung entspricht dem vereinfachten Verfahren (Abschnitt 2.3.2). Die Ermittlung der vorhandenen Schubspannungen erfolgt ist identisch zum vereinfachten Verfahren. Lediglich die Berechnung der zulässigen Schubspannungen ändert sich ([3], Kap. 12, Abschnitt 3.3.3.5). Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel) zul τ1 = β RHS + μ ⋅ σ

βRHS = 2 · σoHS = 2 · 0,055 = 0,11 MN/m2

(σoHS siehe vereinfachtes Verfahren)

μ = 0, 4 Die mittlere vertikale Spannung σ entspricht dem vereinfachten Verfahren. Wandkopf zul τ1K = 0,11 + 0,4 · 0,134 = 0,164 MN/m2

Wandfuß zul τ1F = 0,11 + 0,4 · 0,173 = 0,179 MN/m2

273

2 Zahlenbeispiele

Versagensfall 2 (Steinzugversagen) zul τ 2 = 0, 45 ⋅ β RZ ⋅ 1 + σ /β RZ

Steinzugfestigkeit βRZ = 0,040 · βNSt βRZ = 0,040 · 6 = 0,24 MN/m2

(für Vollsteine ohne Grifföffnungen oder -löcher)

Wandkopf zul τ 2K = 0,45 ⋅ 0,24 ⋅ 1 + 0,134/0, 24 = 0,135 MN/m 2

Wandfuß zul τ 2F = 0, 45 ⋅ 0, 24 ⋅ 1 + 0,173/0, 24 = 0,142 MN/m 2

zulässige Schubspannung ­zul τ1 zul τ = min ® ¯zul τ 2 ­°0,164 MN/m 2 ­°0,179 MN/m 2 zul τ K = min ® , zul τ F = min ® 2 2 ¯°0,135 MN/m ¯°0,142 MN/m

globaler Sicherheitsbeiwert

γ = 2, 0

(für Wände, siehe [3], Kap. 12, Tafel 3-12)

Nachweis am Wandkopf

γ ⋅τ K = 2, 0 ⋅ 0, 028 = 0, 056 MN/m 2 < 0,135 MN/m 2 = zulτ K Nachweis am Wandfuß

γ ⋅τ F = 2, 0 ⋅ 0, 032 = 0, 064 MN/m 2 < 0,142 MN/m 2 = zulτ F Beide Nachweise sind erfüllt. Die Querkrafttragfähigkeit der Windscheibe ist nachgewiesen.

2.3.3 Nachweis nach DIN 1053-100, vereinfachtes Verfahren Im Gegensatz zum Nachweis nach DIN 1053-1 [1] erfolgt der Nachweis nach DIN 1053-100 [2] über Traglasten und nicht über zulässige Spannungen.

VEd = 1,35 ⋅ QS + 1,5 ⋅ QW = 1,35 ⋅ 1,56 + 1,5 ⋅ 10,4 = 17,7 kN MEd = 1,35 ⋅ MS + 1,5 · MW = 1,35 ⋅ 3,92 + 1,5 · 26,1 = 44,4 kNm (am Wandfuß) Die Lasten aus der Schiefstellung des Gebäudes wurden als ständige Lasten angesetzt. Da die vertikale Belastung für den Schubnachweis und den Nachweis des Klaffen günstig wirkt, ist hier die minimale Auflast anzusetzen. Wandkopf min NEd = 1,0 · 64,5 kN = 64,5 kN

9

274

Mauerwerksbau

Wandfuß min NEd = 1,0 · 73,5 kN = 73,5 kN Der Nachweis auf Biegung in Scheibenrichtung erfolgt analog Abschn. 2.1.5., jedoch ohne den Knicknachweis.

e=

M Ed 44, 4 = = 0, 604 m min N Ed 73,5

Φ1 = 1 −

2⋅e 2 ⋅ 0, 604 = 1− = 0,396 lw 2, 0

f k = 4, 7 MN/m2 N Rd = Φ1 ⋅ d ⋅ lw ⋅η ⋅

(SFK 6 mit DM nach [3], Kap. 11, Tafel 30)

fk

γM

= 0,396 ⋅ 0, 24 ⋅ 2, 0 ⋅ 0,85 ⋅

4, 7 ⋅10−3 = 507 kN 1,5

Nachweis

N Ed = 73,5 kN < 507 kN = N Rd Der Nachweis der Windscheibe auf Biegung aus der Schiefstellung des Gebäudes und des Winds ist erfüllt. Zusätzlich ist nun noch der Nachweis der Randdehnung und der Klaffung zu führen. Diese Nachweise werden im Gebrauchszustand, d. h. mit charakteristischen Lasten geführt. Ausmitte der Resultierenden

9

e=

­< d/3 = 2, 00/3 = 0, 66 m M Ek 26,1 + 3,92 = = 0, 408 m ® min N Ek 73,5 ¯> d/6 = 2, 00/6 = 0,33 m

→ Der Querschnitt reißt nicht bis zum Schwerpunkt auf. überdrückte Wandlänge §l · § 2, 00 · − 0, 408 ¸ ⋅ 3 = 1, 78 m lc = ¨ w − e ¸ ⋅ 3 = ¨ 2 2 © ¹ © ¹ Randspannung 2 ⋅ min N Ek 2 ⋅ 73,50 ⋅10−3 σD= = = 0,344 MN/m2 lc ⋅ d 1, 78 ⋅ 0, 24 Randdehnung auf der Zugseite der Wandscheibe (vgl. Bild 2-6). σ σD 0,344 εD = D = = = 0, 73 ⋅10−4 E 1000 ⋅ f k 1000 ⋅ 4, 7

ε R = ε D ⋅ (lw /lc − 1) = 0, 73 ⋅10−4 ⋅ (2, 0/1, 78 − 1) = 9,0 ⋅10−6 < 1 ⋅10−4 Der Nachweis der Randdehnung und der Klaffung ist erfüllt. Der charakteristische Wert der Schubfestigkeit ergibt sich wiederum als kleinster Wert aus den Versagensmechanismen Reibungsversagen und Steinzugversagen. Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel)

f vk = 0,11 + 0, 4 ⋅ σ Dd

275

2 Zahlenbeispiele

f vk0 = 0,11 MN/m2

(unverm. Stoßfugen, siehe [3], Kap. 12, Tafel 4-6)

charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf (e = 0) min N Ed 64,5 ⋅10−3 K σ Dd = = = 0,134 MN/m2 d ⋅ lw 0, 24 ⋅ 2, 00 K f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0,134 = 0,164 MN/m2

charakt. Schubfestigkeit am Wandfuß §l · § 2, 0 · − 0, 604 ¸ ⋅ 3 = 1,19 m lc = ¨ w − e ¸ ⋅ 3 = ¨ 2 2 © ¹ © ¹ F σ Dd =

min N Ed 73,5 ⋅10−3 = = 0, 258 MN/m2 d ⋅ lc 0, 24 ⋅1,19

F f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0, 258 = 0, 213 MN/m2

Versagensfall 2 (Steinzugversagen) charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf und Wandfuß max f vk = 0, 020 ⋅ f bk

(für Vollsteine ohne Grifföffnungen oder -löcher)

f bk = 6, 0 MN/m 2

(für SFK 6 [3], Kap. 12, Tafel 4-8)

max f vk = 0, 020 ⋅ 6, 0 = 0,120 MN/m 2

maßgebende charakt. Schubfestigkeit ­° f vk ,1 f vk = min ® °¯max f vk ­°0,164 MN/m 2 ­°0, 213 MN/m 2 K F f vk = min ® = min ® , f vk 2 2 °¯0,120 MN/m °¯0,120 MN/m Schubtragfähigkeitsbeiwert bei überwiegender Scheibenbeanspruchung durch Wind

­1,125 ⋅ lw ¯1,333 ⋅ lc

αs = min ®

°­1,125 ⋅ 2, 0 = 2, 250 m °­1,125 ⋅ 2, 0 = 2, 25 m , αsK = min ® ¯°1,333 ⋅ 2, 0 = 2, 666 m ¯°1,333 ⋅1,19 = 1,59 m

αsK = min ®

Nachweis am Wandkopf fF d 0,120 ⋅103 0, 24 K = α sK ⋅ vk ⋅ = 2, 25 ⋅ ⋅ = 38,3 kN VRd 1,5 1,128 γM c K VEd = 17, 7 kN < 38,3 kN = VRd

9

276

Mauerwerksbau

Nachweis am Wandfuß fF d 0,120 ⋅103 0, 24 F VRd = α sF ⋅ vk ⋅ = 1,59 ⋅ ⋅ = 27,1 kN 1,5 1,128 γM c F VEd = 17, 7 kN < 27,1 kN = VRd

Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ist damit erfüllt.

2.3.4 Nachweis nach DIN 1053-100, genaueres Verfahren Die Ermittlung der Einwirkungsgrößen sowie die Nachweise von Biegung in Scheibenebene und Randdehnung sind mit dem vereinfachten Verfahren identisch (siehe 9.2.3.4). Gleiches gilt für die Schubspannungsverteilung. Der einzige Unterschied im Nachweisverfahren besteht in einer genaueren Berechnung der Schubfestigkeit aus dem Versagensmechanismus Steinzugversagen. Die Berechnung der Schubfestigkeit aus dem Reibungsversagen ändert sich nur formal gegenüber dem vereinfachten Verfahren, das Ergebnis bleibt davon jedoch unverändert. Im Folgenden werden nur die Nachweisschritte dargelegt, die sich vom vereinfachten Verfahren (Abschn. 2.3.3) unterscheiden. Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel)

f vk = 0,11 + μ ⋅ σ Dd

9

f vk0 = 0,11 MN/m2

μ = 0, 4

(unverm. Stoßfugen, siehe [3], Kap. 12, Tafel 4-6)

(abgeminderter Reibungsbeiwert, siehe [3], Kap. 12, Abschn. 4.4.3.5)

charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf K f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0,134 = 0,164 MN/m2

charakt. Schubfestigkeit am Wandfuß F f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0, 258 = 0, 213 MN/m2

Versagensfall 2 (Steinzugversagen)

σ f vk = 0, 45 ⋅ f bz ⋅ 1 + Dd f bz f bz = 0, 040 ⋅ f bk

(für Vollsteine [3], Kap. 12, Tafel 4-7)

f bk = 6, 0 MN/m 2

(für SFK 6 [3], Kap. 12, Tafel 4-6)

charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf K f vk,2 = 0, 45 ⋅ 0, 04 ⋅ 6, 0 ⋅ 1 +

0,164 = 0,135 MN/m 2 0, 24

charakt. Schubfestigkeit am Wandfuß F f vk,2 = 0, 45 ⋅ 0, 040 ⋅ 6, 0 ⋅ 1 +

0, 258 = 0,156 MN/m 2 0, 24

277

3 Literatur

maßgebende charakt. Schubfestigkeit ­° f vk ,1 f vk = min ® °¯ f vk,2 ­°0,164 MN/m 2 K = min ® f vk , 2 ¯°0,135 MN/m

­°0, 213 MN/m 2 F = min ® f vk 2 ¯°0,156 MN/m

Nachweis am Wandkopf fF d 0,135 ⋅103 0, 24 K VRd = α sK ⋅ vk ⋅ = 2, 25 ⋅ ⋅ = 43,1 kN 1,5 1,128 γM c K VEd = 17, 7 kN < 43,1 kN = VRd

Nachweis am Wandfuß fF d 0,156 ⋅103 0, 24 F VRd = αsF ⋅ vk ⋅ = 1,59 ⋅ ⋅ = 35, 2 kN 1,5 1,128 γM c F VEd = 17, 7 kN < 27,1 kN = VRd

Beide Nachweise sind erbracht. Ein Nachweis der Schubtragfähigkeit nach dem genaueren Verfahren ist gegenüber dem vereinfachten Verfahren nur geringfügig aufwändiger, für aber oftmals zu günstigeren Bemessungsergebnissen. Es ist daher ratsam, stets die Schubtragfähigkeit nach dem genaueren Verfahren nachzuweisen. Konstruktion und Ausführung gilt weiterhin DIN 1053-1: 11/1996 [1].

3 Literatur [1] [2]

[3]

DIN 1053-1: 11/1996: Ausgabe 11.96. Mauerwerk, Teil 1: Berechnung und Ausführung. Deutsches Institut für Normung e.V., Beuth Verlag, Berlin 1996 DIN 1053-100: 08/2006: Mauerwerk, Teil 100: Berechnung auf der Grundlage des semiprobabilistischen Sicherheitskonzepts. (Konsolidierte Fassung) Deutsches Institut für Normung e.V., Beuth Verlag, Berlin 2006 Wetzell, O. W (Hrsg.): Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln, 32. Auflage, Teubner Verlag, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2006

9

Brandschutz Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller, Dipl.-Ing. Sylvia Heilmann

Inhalt Brandschutz ................................................................................................................................. 279 1 Allgemeines ........................................................................................................................... 281 1.1 Abkürzungen .............................................................................................................. 281 1.2 Formelzeichen............................................................................................................. 281 1.3 Vorbemerkungen ........................................................................................................ 282 2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude.......................................... 282 2.1 Bauliche Situation, Nutzung und Lage ....................................................................... 282 2.2 Bauordnungsrechtliche Grundlagen ........................................................................... 284 2.3 Brandschutzkonzeption Variante I ............................................................................. 285 2.4 Brandschutzkonzeption Variante II ............................................................................ 287 2.5 Brandschutzkonzeption Variante III........................................................................... 289 2.6 Erster und zweiter Rettungsweg (gilt für alle Varianten) ........................................... 292 3 Konstruktiver Brandschutz .................................................................................................... 292 3.1 Bemessung einer Holzbalkendecke ............................................................................ 292 3.2 Bemessung einer Stahlstütze ...................................................................................... 294 Literatur ....................................................................................................................................... 294

1 Allgemeines 1.1 Abkürzungen NE MBO U/A GKF GKB DIN B/H ETK GKL F 30-B B2

Nutzungseinheit, die einer Büro- oder Verwaltungsnutzung dient Musterbauordnung Verhältnis Umfang zur Fläche des Bauteilprofils Gipskartonfeuerschutzplatte Gipskartonbauplatte Deutsches Institut für Normung e.V. Verhältnis Bauteilbreite zu Bauteilhöhe Einheitstemperaturzeitkurve Gebäudeklasse Feuerwiderstandsklasse für die Bauaufsichtliche Benennung feuerhemmend Baustoffklasse schwerentflammbar nach [17]

1.2 Formelzeichen nach Tabelle 57 und 95 in [17] erf b erf d1 erf d3 erf d4 erf d5 zul l

erforderliche Mindestbreite der Holzbalken erforderliche Mindestdicke der unteren Beplankung erforderliche Mindestdicke der oberen Beplankung erforderliche Mindestdicke der Dämmschicht erforderliche Mindestdicke des schwimmenden Estrichs zulässige Spannweite der unteren Beplankung

vor d1 vor d3 vor d4 vor d5 vor l

vorhandene Mindestdicke der unteren Beplankung vorhandene Mindestdicke der oberen Beplankung vorhandene Mindestdicke der Dämmschicht vorhandene Mindestdicke des schwimmenden Estrichs vorhandene Spannweite der unteren Beplankung

erf d vor d

erforderlich Mindestbekleidungsdicke der Stahlstütze vorhandene Mindestbekleidungsdicke der Stahlstütze

282

Brandschutz

1.3 Vorbemerkungen Für ein Gebäude mit einer definierten Nutzung (Büro/Verwaltung) werden im Abschnitt 2 drei unterschiedliche konzeptionelle Lösungsansätze für den vorbeugenden baulichen Brandschutz tabellarisch zusammengestellt und erläutert. Alle drei Brandschutzkonzeptionen sind gleichermaßen bauordnungsrechtlich zulässig und damit genehmigungsfähig. Die drei verschiedenen Brandschutzkonzepte haben insbesondere – funktionale; – technische; – bauliche; – konstruktive; – versicherungsrechtliche; – verfahrensrechtliche; – wirtschaftliche Auswirkungen auf die Gebäudeplanung und spätere Gebäudenutzung, was wiederum die hohe Priorität einer zweckmäßigen und wirtschaftlichen Brandschutzkonzeption verdeutlichen soll. Es werden nur die wesentlichen und sich unterscheidenden Brandschutzmaßnahmen aufgeführt. Darüber hinaus sind weitere bauliche oder auch organisatorische Anforderungen (z.B. Rauchabführung in den notwendigen Treppenräumen, Ausgänge aus dem Gebäude, Lüftung der Büroräume, Rettungspläne in den Geschossen usw.) zu beachten, die hier nicht aufgeführt werden. Im Abschnitt 3 wird die konstruktive Ausbildung ausgewählter Bauteile nach DIN 4102-4:199403 [17] erläutert.

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude

10

2.1 Bauliche Situation, Nutzung und Lage Das Bürogebäude wird als Neubau ohne Keller und mit vier oberirdischen Geschossen errichtet. Das Gebäude hat eine Ausdehnung von 20 m × 41 m mit einer Grundfläche von etwa 820 m2. Das Gebäude soll ausschließlich als Bürogebäude mit etwa 65 Arbeitsplätzen genutzt werden. Bauart: Tragkonstruktion: Gebäudeaussteifung: Decken: Flachdachkonstruktion: Treppenraumwände: Außenwände: Unterdecken: Trennwände:

Massivbauweise Stahlbeton (Stützen/Pfeiler/Wände, Treppen, Aufzugsschacht) Wandscheiben aus Stahlbeton Stahlbeton Stahlbeton mit üblicher Flachdachabdichtung Stahlbeton Mauerwerk und Aluminium-Paneele abgehängte Gipskartondecken Mauerwerk, Trockenbaukonstruktionen

283

Brandschutz

Erschließung:

Das Gebäude grenzt unmittelbar an die öffentliche Straße. Der Gebäudeabstand zu den Grundstücksgrenzen beträgt jeweils mehr als 2,50 m. Haupteingang (Foyer) im EG 2 notwendige Treppenräume TH1, TH2 mit jeweils einem direkten Ausgang ins Freie Aufzug innerhalb des Treppenraumes TH 2 Erdgeschoss ± 0,00 m = Geländeoberfläche 1. Obergeschoss + 3,89 m 2. Obergeschoss + 7,78 m 3. Obergeschoss + 11,67 m Oberkante Dach + 15,56 m

Höhe über Gelände:

Haupteingang

Büro

3

WF

A

Büro

A

Foyer

Büro

9,60

2

Büro

B 3,88

B Flur C

20,00

1

C TH 2 Büro

Büro

Büro

WC

Flur

Büro

A

A 28 m²

D 1

28 m²

Ausgang TH 1

2

10

D 3

Ausgang TH 2

19,63

6,52

TH 1

41,00

Bild 10-1 Grundriss Erdgeschoss 1

2

3 A

Büro

Büro

Büro

Büro

Büro

Büro

Büro

B 3,88

B Flur C

C TH 2 Büro

Büro

Büro

Büro

WC

Büro

Büro

A

A 18 m²

D

28 m²

1 19,63

2 41,00

Bild 10-2 Grundriss Regelgeschoss

D 3

6,52

TH 1

20,00

Büro

9,60

A

284

Brandschutz

2 OK Dach=15,56m

RA

3

RA

OK RFH=11,67m

2. OG

OK RFH=7,78m

1.OG

OK RFH=3,89m

3,69

20

3,69

20

15,76

3,69

20

3.OG

3,69

20

1

EG

OK RFH=0,00m 19,63

1

Gelände 20

Gelände

3

2 41,00

Bild 10-3 Schnitt A-A

2.2 Bauordnungsrechtliche Grundlagen

10

Die Musterbauordnung (MBO) in der aktuellen Fassung vom November 2002 soll hier ersatzweise für die jeweilige Landesbauordnung als gesetzliche Grundlage der Brandschutzkonzeptionen gelten. Gemäß § 2 (3) MBO [16] wird bei der Einordnung in die Gebäudeklasse die Höhe der Fußbodenoberkante des am höchsten über der im Mittel an das Gebäude angrenzenden Geländeoberfläche gelegenen Geschosses, in dem ein Aufenthaltsraum möglich ist, sowie die Anzahl und Größe der Nutzungseinheiten maßgebend. In dem Bürogebäude befindet sich der Fußboden der im 3. Obergeschoss befindlichen Aufenthaltsräume bei 11,67m (> 7 m; < 22 m) über dem Gelände. Bauordnungsrechtliche Einordnung für die Varianten I und II Erfolgt eine Unterteilung des gesamten Gebäudes in Nutzungseinheiten < 400 m2 (Variante II) bzw. werden notwendige Flure (Variante I) ausgebildet, ist das Gebäude gemäß § 2 (3) Nr. 4 MBO [16] als Gebäude der Gebäudeklasse 4 zu bewerten. Bei dem Gebäude handelt es sich um keinen Sonderbau nach § 2 (4) Nr. 5 MBO [16], da die einzelnen Büroräume in beiden Varianten jeweils eine Fläche von weniger als 400 m2 aufweisen. Damit handelt es sich bei den Varianten I und II um ein Gebäude normaler Art und Nutzung. Hierfür wird nach Abschnitt 4.4, Tafel 9 [1] keine Prüfung des Brandschutznachweises erforderlich. Bauordnungsrechtliche Einordnung für die Variante III Die Nutzungsbereiche weisen nach der Brandschutzkonzeption der Variante III insgesamt eine Grundfläche von mehr als 400 m2 auf. Daher ist das Gebäude gemäß § 2 (3) Nr. 5 MBO [16] als Gebäude der Gebäudeklasse 5 zu bewerten. Für die Variante III muss das Gebäude als Sonderbau nach § 2 (4) Nr. 5 MBO [16] bewertet werden, da eine bauliche Trennung der einzelnen Büroräume aus Brandschutzgründen nicht notwendig ist und somit ein Großraumbüro zulässig wäre. Es entsteht in diesem Fall eine Fläche des Großraumbüros von mehr als 400 m2. Hierfür wird nach Abschnitt 4.4, Tafel 9 [1] die Prüfung des Brandschutznachweises erforderlich.

285

Brandschutz

Grundstücksgrenzen Die Gebäudeabschlusswände haben jeweils einen Abstand von mehr als 2,50 m zur Grundstücksgrenze. Damit werden die aus Brandschutzgründen bauordnungsrechtlich vorgeschriebenen Gebäudeabstände nach § 30 (2) Nr.1 MBO [16] zu den Grundstücksgrenzen eingehalten.

2.3 Brandschutzkonzeption Variante I Brandschutzkonzeption: Ausbildung notwendiger Flure Der in Gebäudemitte gelegene Flur wird in jedem Geschoss als notwendiger Flur ausgebildet. Über diesen notwendigen Flur werden die Büroräume erschlossen, an deren Abtrennung untereinander keine Anforderungen bestehen. Sicherheitstechnische Brandschutzmaßnahmen, wie z.B. eine Brandmeldeanlage, sind in dieser Brandschutzkonzeption Variante I aus bauordnungsrechtlichen Gründen nicht notwendig. 2

1

3 A

A

C

Büro

Büro

Büro

notwendiger Flur nach § 36 MBO

notw. Fl. RS-Tür

nicht abschließbar

Büro

Büro

Büro

Wand im Verlauf der Rauchabschnittsbildung

Büro

A D

C

TH 2 WC

Büro

Büro A 28 m²

2

1

B

F30-Flurwände und dichtschließende Bürotüren keine Leitungsführung zulässig oder F30 Unterhangdecke

Büro

TH 1

Büro 20,00

F30-Flurwände und dichtschließende Bürotüren keine Leitungsführung zulässig oder F30 Unterhangdecke

Büro

3,88

B

Büro

6,52

Büro

9,60

Wand im Verlauf der Rauchabschnittsbildung

D 3

19,63 41,00

Bild 10-4 Grundriss Regelgeschoss mit notwendigem Flur in Gebäudemitte

Die definierten Schutzziele werden im Gebäude der GKL 4 allein durch bauliche Maßnahmen erreicht (siehe Bild 10-4).

Bauteilanforderungen nach Abschnitt 4.5, Tafel 13 [1] für Variante I Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Tragende Wände, Stützen – im KG – in den Obergeschossen – im Dachraum – Balkone Außenwände – Nichttragende Außenwände und nichttragende Teile tragender Außenwände – Oberflächen von Außenwänden und Außenwandbekleidungen

Bauteilanforderungen in GKL 4

– – – –

entfällt – hochfeuerhemmend (F60-BA) entfällt – entfällt –

– nichtbrennbare Baustoffe (A1/2) oder feuerhemmend (F30-B)

Grundlage

§ 27 (1) MBO

§ 28 (2) MBO

– schwerentflammbare Baustoffe (B1) § 28 (3) MBO

10

286

Brandschutz Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer – Balkonbekleidungen – Fassade mit Hinterlüftung – Doppelfassaden Trennwände – zwischen Nutzungseinheiten, zwischen Nutzungseinheiten und anders genutzten Räumen (außer notwendigen Fluren) sowie zwischen Aufenthaltsräumen und anders genutzten Räumen im KG

– zum Abschluss von Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – Öffnungen in Trennwänden Brandwände

Bauteilanforderungen in GKL 4 – entfällt – – entfällt – – entfällt –

– entfällt – (Die Büroräume stehen in funktionalen und nutzungsspezifischen Zusammenhang, so dass diese in den Geschossen zu einer NE zusammengefasst werden können. Es erfolgt auch keine Fremdvermietung. So ergeben sich keine brandschutztechnischen Anforderungen an die Trennwände zwischen den Büroräumen.) – entfällt – – entfällt – – Brandwände aufgrund eines geringeren Gebäudeabstandes (< 2,50 m) zur Grundstücksgrenze sind nach Punkt 2.2 nicht erforderlich. – Das Gebäude hat eine Ausdehnung von etwa 20 m x 41 m mit einer Grundfläche von maximal 820 m2. Laut § 30 (2) Nr. 2 MBO ist ein Gebäude mit einer Ausdehnung von über 40 m durch innere Brandwände zu unterteilen, wobei dadurch Flächen von maximal 1.600 m2 zulässig sind. Das Bürogebäude weist nur eine Grundfläche von 820 m2 auf. Die Längenüberschreitung von 1 m stellt eine formale Abweichung von den Forderungen des § 30 MBO dar, was jedoch wegen der Geringfügigkeit der Überschreitung und der vorhandenen Grundfläche kein erhöhtes Risiko darstellt. Der Abweichung kann zugestimmt werden.

10

Decken – im KG – in den Obergeschossen – unter / über Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – für Geschosse im Dachraum – zwischen landwirtschaftlich genutzten Teil und Wohnteil Fahrschachtwände

Dächer Rettungswege Notwendige Treppen – tragende Teile Notwendige Treppenraumwände

Grundlage

– entfällt – – hochfeuerhemmend (F60-BA) – entfällt –

§ 30 (2) Nr. 1 MBO § 30 (2) Nr. 2 MBO

§ 67 (1) MBO

§ 31 (1) MBO

– entfällt – – entfällt – – entfällt – (Der Aufzugsschacht befindet sich innerhalb eines notwendigen Treppenraumes in einem Gebäude mit einer Höhe der Fußbodenoberkante des letzten Aufenthaltsraumes von unter 22m.) Harte Bedachung

§ 32 (1) MBO

– nichtbrennbare Baustoffe (A 1/2)

§ 34 (4) MBO

– unter zusätzlicher mechanischer Beanspruchung hochfeuerhemmend (F60-BA)

§ 35 (4) MBO

§ 39 (1) MBO

287

Brandschutz Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Notwendige Flure in NE mit >400 m2 – Flurwände in Obergeschossen – Flurwände im Kellergeschoss und Türen darin zu Lagerräumen im KG – Öffnungen in Flurwänden

Bauteilanforderungen in GKL 4

Grundlage

– feuerhemmend (F30-B) – entfällt –

§ 36 (4) MBO

– dichtschließend – Notwendige Flure sind in maximal 30 m lange Rauchabschnitte zu unterteilen, was im Verlauf der Achse 2 durch eine nichtabschließbare Rauchschutztür nach DIN 18095 erfüllt wird. Diese Abschlüsse sind bis an die Rohdecke zu führen; sie dürfen bis an die Unterdecke der Flure geführt werden, wenn die Unterdecke feuerhemmend ist.

§ 36 (4) MBO § 36 (3) MBO

2.4 Brandschutzkonzeption Variante II Brandschutzkonzeption:

Bildung von NE mit einer Bruttogrundfläche von jeweils nicht mehr als 400 m2

Bei dieser brandschutztechnischen Gebäudekonzeption werden zwei NE gebildet, deren Bruttogrundfläche jeweils nicht mehr als 400 m2 beträgt. Die Grundfläche der Treppenräume wird nicht der Grundfläche der jeweiligen Nutzungseinheit zugerechnet, da die Treppenräume brandschutztechnisch in allen Geschossen von den Nutzungseinheiten abgetrennt sind. An die Trennwand zwischen den beiden Nutzungseinheiten (Bild 10-5: entlang der Achse 2) werden nach § 29 (2) Nr. 1 MBO [16] Brandschutzanforderungen gestellt.

10 (BGF<400 m²) 2

Nutzungseinheit B

(BGF<400 m²)

3 A

B

Büro 1 Person

2. RW Büro 1 Person

2. RW F60-BA Wand Büro 1 Person

TH 1

Büro 1 Person

Büro 1 Person

2. RW 1

2. RW 19,63

2. RW

Büro 1 Person

Büro 1 Person

Büro 1 Person

2. RW Büro 2 Personen

B

interner Flur, wenn 2. Rettungsweg durch Rettungsgeräte der Feuerwehr nachgewiesen werden

Büro 1 Person

F60-BA Wand Büro 2 Personen

A D

2. RW

365,40 m 2

Wand interner Flur, wenn 2. Rettungsweg F60-BA durch Rettungsgeräte der und Feuerwehr nachgewiesen werden T30+RS

C

2. RW

9,60

2. RW

Büro 2 Personen

2. RW

2. RW

TH 2 WC

3,88

2. RW

C

Büro 1 Person

Büro 1 Person

2. RW

2. RW

2

A D 3

41,00

Bild 10-5 Grundriss Regelgeschoss mit Brandschutzunterteilung in 2 NE

20,00

Nutzungseinheit A

6,52

1 A

288

Brandschutz

Entsprechend § 36 (1) Nr. 4 MBO [16] kann auf die Ausbildung von notwendigen Fluren in NE < 400 m2 verzichtet werden, wenn die Rettungswege in den beiden NE unabhängig voneinander nachgewiesen werden können. Auch bei dieser brandschutztechnischen Konzeption (Variante II) kann das gesetzlich verlangte Sicherheitsniveau allein durch bauliche Brandschutzmaßnahmen erreicht werden, so dass keine Sicherheitstechnik im Gebäude der GKL 4 erforderlich wird.

Bauteilanforderungen nach Abschnitt 4.5, Tafel 13 [1] für Variante II

10

Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Tragende Wände, Stützen – im KG – in den Obergeschossen – im Dachraum – Balkone Außenwände – Nichttragende Außenwände und nichttragende Teile tragender Außenwände – Oberflächen von Außenwänden und Außenwandbekleidungen – Balkonbekleidungen – Fassade mit Hinterlüftung – Doppelfassaden Trennwände – zwischen Nutzungseinheiten, zwischen Nutzungseinheiten und anders genutzten Räumen (außer notwendigen Fluren) sowie zwischen Aufenthaltsräumen und anders genutzten Räumen im KG

Bauteilanforderungen in GKL 4

– – – –

entfällt – hochfeuerhemmend (F60-BA) entfällt – entfällt –

– nichtbrennbare Baustoffe (A1/2) oder feuerhemmend (F30-B)

Grundlage

§ 27 (1) MBO

§ 28 (2) MBO

– schwerentflammbare Baustoffe (B1) § 28 (3) MBO – entfällt – – entfällt – – entfällt – – wie tragende und aussteifende Bauteile im Geschoss (Das Gebäude wird in 2 NE mit einer Fläche von jeweils weniger als 400 m2 unterteilt. Die Trennwand zwischen den beiden NE im Verlauf der Achse 2 muss hochfeuerhemmend (F60-BA) ausgebildet werden und bis zur Rohdecke, in Dachräumen bis zur Dachhaut führen.)

§ 29 (3) MBO

§ 29 (4) MBO – zum Abschluss von Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – Öffnungen in Trennwänden

– entfällt – – feuerhemmend (T30) und zusätzlich mit Rauchschutzfunktion (RS)

§ 29 (5) MBO

– Brandwände aufgrund eines geringeren Gebäudeabstandes (< 2,50 m) zur Grundstücksgrenze sind nach Punkt 2.2 nicht erforderlich. – Das Gebäude hat eine Ausdehnung von etwa 20 m x 41 m mit einer Grundfläche von maximal 820 m2. Laut § 30 (2) Nr. 2 MBO ist ein Gebäude mit einer Ausdehnung von über 40 m durch innere Brandwände zu unterteilen, wobei dadurch Flächen von maximal 1.600 m2 zulässig sind. Das Bürogebäude weist nur eine Grundfläche von 820 m2 auf. Die Längenüberschreitung von 1 m stellt eine formale Abweichung von den Forderungen des § 30 MBO dar, was jedoch wegen der Geringfügigkeit der Überschreitung und der vorhandenen Grundfläche kein erhöhtes Risiko darstellt. Der Abweichung kann zugestimmt werden.

§ 30 (2) Nr. 2 MBO

Brandwände

§ 30 (2) Nr. 2 MBO

§ 67 (1) MBO

289

Brandschutz Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Decken – im KG – in den Obergeschossen – unter / über Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – für Geschosse im Dachraum – zwischen landwirtschaftlich genutzten Teil und Wohnteil Fahrschachtwände

Dächer Rettungswege Notwendige Treppen – tragende Teile Notwendige Treppenraumwände Notwendige Flure in NE mit > 400 m2 – Flurwände in Obergeschossen – Flurwände im Kellergeschoss – Türen darin zu Lagerräumen im KG – Öffnungen in Flurwänden

Bauteilanforderungen in GKL 4

Grundlage

– entfällt – – hochfeuerhemmend (F60-BA) – entfällt –

§ 31 (1) MBO

– entfällt – – entfällt – – entfällt – (Aufzugsschacht befindet sich innerhalb eines notwendigen Treppenraumes in einem Gebäude mit einer Höhe der Fußbodenoberkante des letzten Aufenthaltsraumes von unter 22m.) Harte Bedachung

§ 32 (1) MBO

– aus nichtbrennbaren Baustoffen (A1/2)

§ 34 (4) MBO

– unter zusätzlicher mechanischer Beanspruchung hochfeuerhemmend (F60-BA)

§ 35 (4) MBO

– entfällt – (Da die Rettungswege aus beiden NE jeweils separat und unabhängig voneinander nachgewiesen werden können (siehe Bild 10-5), ist der Verzicht auf die Ausbildung von notwendigen Fluren möglich. Anderenfalls sind notwendige Flure feuerhemmend (F30-B) herzustellen. Die Verbindungstür muss dauerhaft benutzbar sein.)

§ 39 (1) MBO

§ 36 (1) Nr. 4 MBO

2.5 Brandschutzkonzeption Variante III Brandschutzkonzeption:

NE größer als 400 m2 ohne notwendige Flure

Die in der MBO [16] geforderten baulichen Brandschutzmaßnahmen, wie z.B. die Ausbildung von notwendigen Fluren (siehe Punkt 2.3) oder die Bildung von NE mit nicht mehr als 400 m2 (siehe Punkt 2.4) resultieren aus der Annahme, dass keine sicherheitstechnischen Maßnahmen vorgesehen werden. Im Umkehrschluss ermöglicht der Einsatz von geeigneter Sicherheitstechnik im Gebäude den Verzicht auf bestimmte bauliche Maßnahmen. Wird eine Brandmeldeanlage (BMA) der Kategorie 1 nach DIN 14675:2003-11 [18] (Vollschutz – alle Räume werden in den Überwachungsumfang einbezogen) eingesetzt, kann das erhöhte Risiko der Brandausbreitung infolge des Verzichtes auf notwendige Flure bzw. auf eine hochfeuerhemmende Trennwand in der Achse 2 kompensiert werden. Ein Brand kann unmittelbar und unabhängig erkannt werden, so dass frühzeitig in der Phase der Brandentstehung, nicht erst zum Zeitpunkt des Vollbrandes, erforderliche Flucht-, Rettungs- und Löscharbeiten eingeleitet werden können. Mit der Installation einer Brandmeldeanlage (BMA) kann das Schutzziel nach § 3 (1) MBO [16], siehe hierzu Abschnitt 4.1 und 4.2 [1], gleichermaßen erfüllt werden. Es werden die baulichen Maßnahmen nach MBO [16] durch sicherheitstechnische Maßnahmen ersetzt, die auf andere Weise zu einem bauordnungsrechtlich gleichwertigen Sicherheitsniveau im Gebäude der GKL 5 führen.

10

290

Brandschutz

1

2

3 A

Großraumbüro mit BMA

B

B Überwachung mit einer BMA der Katagorie 1 nach DIN 14675

3,88

Überwachung mit einer BMA der Katagorie 1 nach DIN 14675

C

20,00

keine Anforderungen an die Trennwände zwischen den Büroräumen damit auch Großraumbüro zulässig

9,60

A

C TH 2 WC

A

Empfang Großraumbüro

D

2

19,63

A

28 m²

D 1

Archiv mit BMA

Archiv mit BMA

6,52

TH 1

3 41,00

Bild 10-6 Grundriss Regelgeschoss beispielhaft als Großraumbüro mit BHA (Kat. I)

10

Verfahrensrechtlich stellt diese Brandschutzkonzeption eine Abweichung von den Vorschriften der MBO gemäß § 67 (1) MBO [16] dar, deren Zulässigkeit und Übereinstimmung mit den Forderungen des § 3 (1) MBO [16] im Rahmen eines Brandschutzkonzeptes nachgewiesen werden müssen. Dieser Nachweis muss einer unabhängigen Prüfung (Vier-Augen-Prinzip) unterzogen werden. Bauteilanforderungen nach Abschnitt 4.5, Tafel 14 [1] für Variante III Bauteile in GKL 5 Wände, Decken, Dächer Tragende Wände, Stützen – im KG – in den Obergeschossen – im Dachraum – Balkone Außenwände – Nichttragende Außenwände und nichttragende Teile tragender Außenwände – Oberflächen von Außenwänden und Außenwandbekleidungen – Balkonbekleidungen – Fassade mit Hinterlüftung, – Doppelfassaden Trennwände – zwischen Nutzungseinheiten, zwischen Nutzungseinheiten und anders genutzten Räu-

Bauteilanforderungen in GKL 5

– – – –

entfällt – feuerbeständig (F90-AB) entfällt – entfällt –

– nichtbrennbare Baustoffe (A1/2) oder feuerhemmend (F30-B)

Grundlage

§ 27 (1) MBO

§ 28 (2) MBO

– schwerentflammbare Baustoffe (B1) § 28 (3) MBO – entfällt – – entfällt – – entfällt – – entfällt – (Die Büroräume stehen in funktionalen und nutzungsspezifischen Zusammenhang. Da keine

291

Brandschutz Bauteile in GKL 5 Wände, Decken, Dächer men (außer notwendigen Fluren) sowie zwischen Aufenthaltsräumen und anders genutzten Räumen im KG – zum Abschluss von Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – Öffnungen in Trennwänden Brandwände

Bauteilanforderungen in GKL 5 brandschutztechnischen Anforderungen an die Trennwände zwischen den Büroräumen gestellt werden, kann auf sie auch verzichtet werden – Großraumbüro.) – entfällt – – entfällt – – Brandwände aufgrund eines geringeren Gebäudeabstandes (< 2,50 m) zur Grundstücksgrenze sind nach Punkt 2.2 nicht erforderlich. – Das Gebäude hat eine Ausdehnung von etwa 20 m x 41 m mit einer Grundfläche von maximal 820 m2. Laut § 30 (2) Nr. 2 MBO ist ein Gebäude mit einer Ausdehnung von über 40 m durch innere Brandwände zu unterteilen, wobei dadurch Flächen von maximal 1.600 m2 zulässig sind. Das Bürogebäude weist nur eine Grundfläche von 820 m2 auf. Die Längenüberschreitung von 1 m stellt eine formale Abweichung von den Forderungen des § 30 MBO dar, was jedoch wegen der Geringfügigkeit der Überschreitung und der vorhandenen Grundfläche kein erhöhtes Risiko darstellt. Der Abweichung kann zugestimmt werden.

Decken – im KG – in den Obergeschossen – unter / über Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – für Geschosse im Dachraum – zwischen landwirtschaftlich genutzten Teil und Wohnteil Fahrschachtwände

Dächer Rettungswege Notwendige Treppen – tragende Teile Notwendige Treppenraumwände Notwendige Flure in NE mit > 400 m2

Grundlage

– entfällt – – feuerbeständig (F90-AB) – entfällt –

§ 31 (1) MBO

§ 30 (2) MBO

§ 67 (1) MBO

§ 31 (1) MBO

10

– entfällt – – entfällt – – entfällt – (Aufzugsschacht befindet sich innerhalb eines notwendigen Treppenraumes in einem Gebäude mit einer Höhe der Fußbodenoberkante des letzten Aufenthaltsraumes von unter 22m.) Harte Bedachung – feuerhemmend und aus nichtbrennbaren Baustoffen (F30-A) – Wände in der Bauart von Brandwänden – entfällt – (Keine Ausbildung eines notwendigen Flures trotz der Größe der NE > 400 m2 aus bauordnungsrechtlicher Sicht wegen anderer gleichwertiger Maßnahme erforderlich! Abweichung muss begründet werden!)

§ 39 (1) MBO

§ 32 (1) MBO § 34 (4) MBO § 35 (4) MBO

§ 67 (1) MBO

292

Brandschutz

2.6 Erster und zweiter Rettungsweg (gilt für alle Varianten)

10

– Entsprechend § 33 (1) MBO [16] müssen Nutzungseinheiten mit Aufenthaltsräumen in jedem Geschoss mindestens zwei voneinander unabhängige Rettungswege ins Freie aufweisen, wobei beide Rettungswege innerhalb eines Geschosses über denselben notwendigen Flur führen dürfen (hier: Variante I – Punkt 2.3). – Für Nutzungseinheiten, die nicht zu ebener Erde liegen, muss der erste Rettungsweg über eine notwendige Treppe führen. Der zweite Rettungsweg kann nach § 33 (2) MBO [16] über eine weitere notwendige Treppe (hier: Variante III – Punkt 2.5) oder eine mit Rettungsgeräten der Feuerwehr erreichbare Stelle der Nutzungseinheit nachgewiesen werden (hier: Variante II – Punkt 2.4). Gebäude, deren zweiter Rettungsweg über Rettungsgeräte der Feuerwehr führt und bei denen die Oberkante der Brüstung von zum Anleitern bestimmten Fenstern oder Stellen mehr als 8 m über der Geländeoberfläche liegt, dürfen nach § 33 (3) MBO [16] nur errichtet werden, wenn die Feuerwehr über die erforderlichen Rettungsgeräte wie Hubrettungsfahrzeuge verfügt. Bei Sonderbauten ist der zweite Rettungsweg über Rettungsgeräte der Feuerwehr nur zulässig, wenn keine Bedenken wegen der Personenrettung bestehen. Hierfür ist insbesondere die zuständige Brandschutzdienststelle (örtliche Feuerwehr) zu befragen. Entsprechend § 35 (2) MBO [16] muss von jeder Stelle eines Aufenthaltsraumes mindestens ein Ausgang in einen notwendigen Treppenraum oder ins Freie in höchstens 35 m Entfernung erreichbar sein, der während der Betriebszeit jederzeit von innen zu öffnen sein muss. – Bei dem vorliegenden Bürogebäude sind zwei notwendige Treppen jeweils in notwendigen Treppenräumen geplant. Bei einer Gebäudelänge von 41 m kann nach maximal 35 m der 1. Rettungsweg erreicht werden. Der 2. Rettungsweg wird baulich jeweils über den anderen notwendigen Treppenraum gewährleistet. – Bei Variante II (Punkt 2.4) muss im Brandfall der 2. Rettungsweg aus jeder Nutzungseinheit über die Rettungsgeräte der Feuerwehr möglich sein. Ist das nicht möglich, muss die Verbindungstür zwischen beiden NE immer benutzbar sein (Blindzylinder) und der Flur innerhalb der jeweiligen NE als notwendiger Flur ausgebildet werden (siehe § 36 (1) Nr. 4 MBO [16]).

3 Konstruktiver Brandschutz 3.1 Bemessung einer Holzbalkendecke nach [17] Für eine bestehende Holzbalkendecke mit verdeckten Holzbalken (B/H: 14/20) muss der Nachweis einer Mindestfeuerwiderstandsklasse von F30-B vorgelegt werden. Nach Abschnitt 5.3.3.1 in [17] dürfen Holzbalkendecken nach den konstruktiven Angaben des Abschnittes 5.2 in [17] bemessen werden. Die Angaben in Abschnitt 5.2 [17] gelten somit für von unten oder oben beanspruchte Holzbalkendecken nach DIN 1052 Teil 1. Es wird zwischen Decken mit (brandschutztechnisch) notwendiger und nicht notwendiger Dämmschicht unterschieden (siehe Abschnitt 5.2.4 [17]), wobei in diesem Beispiel eine Dämmschicht zwischen den Holzbalken (nicht auf den Holzbalken) nicht notwendig sein soll.

293

Brandschutz

Angaben nach Bestandsaufnahme der Holzbalkendecke:

Feuerwiderstandsklasse F30-B nach konstruktiven Vorgaben der DIN 4102-2, Tabelle 57: schwimmender Estrich aus Gips: Mindestdicke d5 = 20 mm

5 cm Anhydrit-Estrich 10 cm Dämmung

Dämmung mit Dichte >30 kg/cbm (aus B2 zulässig vgl. Abs. 5.2.5.2): Mindestdicke d4 = 15 mm obere Beplankung aus Holz werkstoffplatten (Dichte >600 kg/cbm): Mindestdicke d3 = 16 mm

3,5 cm Holzdielung 10 cm Dämmung 2,5 cm Einschubbretter B/H:14/20, Balkenabstand: ca. 60 cm 2,0 cm untere Beplankung (Dichte nicht bekannt, nicht dicht verlegt - Rauhspund) Rohrputzgeflecht entfernt

ersetzbar durch gespundete Bretterschalung d3 >21 mm

keine Brandschutzanforderungen Mindestbreite der Holzbalken: b > 40 mm (Bauschnittholz nach DIN 4074 -1 [21], Sortierklasse S 10, S 13; MS 10, MS 13, MS 17 (Achtung: z. B. visuelle Sortierung S13 der DIN 4074 entspricht der Festigkeitsklasse C30 nach EN 338 usw.) untere Beplankung aus Holz (Dichte > 600 kg/cbm): Mindestdicke d1 = 19 mm = 1,9 cm zulässige Spannweite l < 625 mm ersetzbar durch: 16 mm Holz + 9,5 mm GKB oder GKF

Abhänger, Grundprofil, Tragprofil für Trockenkonstruktion GKF d =15 mm

Werden die konstruktiven Angaben nach DIN 4102-2, Tabelle 57 [17] eingehalten, ist die erforderliche Feuerwiderstandsklasse von F30-B nachgewiesen! Nach der Bestandsaufnahme kann für die vorhandene Deckenkonstruktion ein Feuerwiderstand von 30 Minuten bestätigt werden. Die Klassifizierung F30-B nach DIN 4102-2, Tabelle 57 ist möglich!

Bild 10-7 Querschnitt durch eine Holzdeckenkonstruktion

Erforderliche Mindestmaße zum konstruktiven Nachweis der Feuerwiderstandsklasse F30B nach Tabelle 57 in [17] DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (Mindestbreite der Holzbalken) erf b = 40 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (schwimmender Estrich aus Gips) erf d5 = 20 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (Dämmschicht) erf d4 = 15 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (obere Beplankung aus Holzwerkstoffplatten) erf d3 = 16 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (untere Beplankung aus Holzwerkstoffplatten) erf d1 = 19 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (zulässige Spannweite der unteren Beplankung) zul l = 625 mm Nachweis der vorhandenen Feuerwiderstandsklasse F30-B nach Tabelle 57 in [17] vor b = 14 cm

>

erf b = 4 cm

Nachweis erfüllt

vor d1 = 20 mm nicht dicht verlegt

>

erf d1 = 19 mm

Nachweis nicht erfüllt

daher Nachweis durch 20mm dicken Rauhspund + 15 mm GKF möglich

>

Nachweis erfüllt

vor d3 = 35 mm vor d4 = 100 mm vor d5 = 50 mm vor l = 600 mm

> > > <

nach Fußnote 1: ersatzweise 16 mm dicke Holzwerkstoffplatte + 9,5 mm dicke GKB oder GFK möglich erf d3 = 16 mm erf d4 = 15 mm erf d5 = 20 mm zul l = 625 mm

Nachweis erfüllt Nachweis erfüllt Nachweis erfüllt Nachweis erfüllt

10

294

Literatur

3.2 Bemessung einer Stahlstütze nach [17] Für eine neue Stahlstütze muss der Nachweis einer Mindestfeuerwiderstandsklasse von F90-A vorgelegt werden. Das Verhältnis des Profilumfanges zur Profilfläche U/A beträgt ” 300 mm–1 bei geschlossener Oberfläche. Es soll eine 2lagige GKF-Bekleidung mit einer Plattendicke von jeweils 12,5 mm eingesetzt werden. Erforderliche Mindestmaße zum konstruktiven Nachweis der Feuerwiderstandsklasse F90A nach Tabelle 95 in [17] Bekleidung mit 3 Gipskarton- Feuerschutzplatten (GKF) DIN 4102-4; Tab. 95: nach DIN 18180 [19] mit einer Mindestdicke von 15 mm (Mindestbekleidungsdicke) Nachweis der vorhandenen Feuerwiderstandsklasse F90-A nach Tabelle 95 in [17] vor d = 2 × 12,5 mm < erf d = 45 mm = 3 × 15 mm Nachweis nicht erfüllt Daher sind GKF-Platten mit einer Dicke von 15 mm sowie eine weitere Lage GKF einzubauen. vor d = 3 × 15 mm

= erf d = 3 × 15 mm

Nachweis erfüllt

Literatur

10 [1]

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295

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[20]

DIN 18095-1: Türen; Rauchschutztüren; Begriffe und Anforderungen, Ausgabe 10/1988, Berlin: Beuth Verlag.

[21]

DIN 4074-1: Sortierung von Holz nach der Tragfähigkeit, Nadelschnittholz, Ausgabe 06/2003, Berlin: Beuth Verlag.

10

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Gerhard Haße

Inhalt Räumliche Aussteifung von Geschossbauten .............................................................................. 297 1 Grundlagen............................................................................................................................. 299 1.1 Systemauffassung ....................................................................................................... 299 1.1.1 Verformungsmodell ..................................................................................... 299 1.1.2 Statisches System ......................................................................................... 300 1.2 Querschnittswerte ....................................................................................................... 300 1.2.1 Bezugssystem............................................................................................... 301 1.2.2 Ursprüngliche Einheitsverschiebungen........................................................ 301 1.2.3 Auf Si (Biegeruhepunkt bzw. Schwerpunkt) bezogene Teilquerschnittswerte ................................................................... 303 1.2.4 Auf D (gemeinsamer Drehpunkt) bezogene Querschnittswerte................... 303 1.2.5 Auf M (Drillruhepunkt, Schubmittelpunkt) bezogene Wölbquerschnittswerte................................................................. 303 1.3 Einwirkungen und Schnittgrößen ............................................................................... 304 1.3.1 Vertikale Beanspruchung (in Richtung –X) ................................................. 304 1.3.2 Horizontale Beanspruchung (Y- und Z-Richtung)........................................ 305 1.3.3 Torsion mit stetiger Lastfunktion und gleich bleibendem Querschnitt ........ 306 1.3.4 Torsion bei abschnittsweise stetiger Lastfunktion ....................................... 307 1.3.5 Wandnormalkräfte ....................................................................................... 309 1.3.6 Schubkräfte .................................................................................................. 309 2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen ....................................................... 310 2.1 Teilquerschnitte und Lage bezüglich Drehpunkt D .................................................... 310 2.2 Querschnittswerte ....................................................................................................... 311 2.2.1 Einheitsverschiebungen ............................................................................... 311 2.2.2 Flächen und Flächenmomente der Teilquerschnitte..................................... 312 2.2.3 Biegeruhepunkt-Transformation für die Teilquerschnitte............................ 313 2.2.4 Flächenmomente des Gesamtquerschnitts.................................................... 313 2.2.5 Transformation auf den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt) M................... 315 2.2.6 Transformation in Hauptrichtung:................................................................ 315 2.3 Schnittgrößen.............................................................................................................. 316 2.3.1 Schnittgrößen infolge Vertikallast ............................................................... 316 2.3.2 Windlast (EDIN 1055-4).............................................................................. 318 2.4 Bemessungswerte der Wand-Normalkräfte ................................................................ 319 2.5 Bemessungswerte der Schubkräfte ............................................................................. 322

Die angegebenen Verweise beziehen sich auf Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 32. Auflage (BZ 32). Dieser Abschnitt unterscheidet zwischen „Tafel“ und „Tabelle“. Tafeln enthalten allgemeine Ausdrücke wie Gleichungen etc., Tabellen enthalten konkrete Zahlenrechnungen.

1 Grundlagen Zur Indizierung Es werden Hochindizes links oben und Tiefindizes rechts unten am Hauptzeichen verwendet. Die Hochindizes kennzeichnen Bezugssysteme (z.B. SAyz = auf Schwerpunkt bezogen) oder Geltungsbereiche (z.B. i y, iS y = im Teilquerschnitt i gültig). Die Tiefindizes charakterisieren die bezeichnete Größe (z.B. Az , Ayz ), bezeichnen einen bestimmten Punkt (z.B. ya = etwa y am Anfang) oder sind ein Zähler (z.B. ya = Anfangspunkt der Wand j im Teilquerschnitt i).

1.1 Systemauffassung 1.1.1 Verformungsmodell Gebäudegrundrisse setzen sich im allg. aus Teilbereichen zusammenhängender Wandzüge (und Stützenquerschnitten) zusammen. Jeder Teilbereich bildet über die Gebäudehöhe ein Wandfaltwerk. Hinsichtlich der Querverformungen sind sie über die Geschossdeckenscheiben gekoppelt, hinsichtlich der Längsverformung durch die „weichen“ Deckenplatten jedoch praktisch voneinander unabhängig (Bild 1-1): Die Teilsysteme bilden ein „Stabbündel“. Bild 1-1

Formänderungsverhalten des Gebäudesystems

300

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

1.1.2 Statisches System Das Gebäude ist in statischer Hinsicht ein in das Kellergeschoß eingespannter Kragträger. Es wird durch seine Stabachse repräsentiert. Für die Teilstäbe werden Teilstabachsen eingeführt, die aber nur für Längseinwirkungen (iFx, iqx) und dadurch ausgelöste Längskräfte (Ni) und Momente (Myi, Mzi, Mωi) maßgebend sind. Das Achssystem des Gesamtstabs wird mit X, Y und Z bezeichnet, die Einheitsverwölbungen (W) der Querschnitte sind wegen der Deckenverdrehungen ebenfalls auf den Gesamtstab zu beziehen. Das Achssystem des Teilstabs i wird mit ix, iy, iz bezeichnet, die Einheitsverschiebungen seiner Querschnitte mit ix, iy, iz und iω.

Bild 1-2

Statisches System

1.2 Querschnittswerte

11

Zusammenhängende Wandzüge des Grundrisses bilden einen Teilquerschnitt (Ai, i = 1 … n). Bei Betonbauweise begrenzen Tür- und Fensteröffnungsstränge den Querschnitt nur dann, wenn die Sturz- und/oder Brüstungshöhen keine ausreichende Schubsteifigkeit oder Bruchfestigkeit gewährleisten können. Insbesondere bei höheren Bauten werden so Verformungswidersprüche an den begrenzenden Leibungsfluchten vermieden und die Rissgefahr an den Sturzanschlüssen gemindert. Es muss allerdings beachtet werden, dass die verminderte Schubsteifigkeit im Öffnungsstreifen zu Beanspruchungsumlagerungen führt, die vor allem im unteren Gebäudebereich auch Spannungserhöhungen zur Folge haben (Bild 1-3). Tafel 1-1 Bezugssysteme Querschnitt Teilquerschnitt i Gesamtquerschnitt

Ursprung Oi = Di D

System Querschnitt Stabachse ix iy, iz X Y, Z

Bild 1-3

Spannungsumlagerung infolge Wandöffnungen

302

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

„Geschlossene“ Querschnittsbereiche (Zellen) Sind mehrfach zusammenhängende Wandzüge („geschlossene“ Bereiche, Zellen) vorhanden, so kann sich in den umschließenden Wänden keine freie Verwölbung – wie bei einfach zusammenhängenden („offenen“) Wandzügen – einstellen. Für die Berechnung von ω in den betroffenen Wänden müssen die Zellen an beliebiger Stelle zunächst aufgeschlitzt werden, so dass ein offener Querschnitt entsteht. In den Wandungen der Zelle  κ bildet sich ein Torsionsschubfluss aus, der Δ ω die (tatsächlich nicht vorhandene) Klaffung ț an der Schnittstelle durch die gegenläufige  Schubverzerrung Δω ț wieder schließt. Bei benachbarten Zellen ι, κ mit gemeinsamen Wandabschnitten überlagern sich die Einheitsschubflüsse Γι und Γκ. Rings um die Zelle κ entsteht durch Γκ bei einheitlichem Schubmodul G der Versatz si.j · ¸= (δ țȚ Γ Ț) [↑↑= ⊕; ↑↓= ] (1-1) t ¸ (Ț ) (Ț) © ( j (Ț ∧ ț ) ) i.j ¹ Die innere Σ erstreckt sich über alle Wandabschnitte, die sowohl der Zelle κ als auch der Zelle ι angehören. Das Vorzeichen richtet sich danach, ob der Schubfluss von Zelle ι in Orientierung des Schubflusses von Zelle κ (+) oder entgegengesetzt (–) verläuft.  Der Verwölbungssprung der geöffneten Zelle κ beträgt Δω ț = 2 Amț (Am: Zellfläche zwischen   den Wandachsen) und aus der Bedingung Δω ț + Δω ț = 0 für alle κ folgt das Gleichungssystem ( ι , κ = 1! nZ )



§

Δω ț =

¦ ¨¨ ± Γ Ț ¦

§ δ11 ¨ ¨ # ¨ δκ 1 ¨ ¨ # ¨δn 1 © Z

" δ1Ț # % " δ țȚ # % " δ nZȚ

¦

" δ1nZ · § Γ 1 · § Am1 · ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ # ¸ ¨ # ¸ % ¨ # ¸ " δ țnZ ¸ ⋅ ¨ Γ ț ¸ = −2 ¨ Amț ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ # ¸ ¨ # ¸ % ¨ # ¸ ¨ Am n ¸ " δ nZnZ ¸¹ ¨© Γ nZ ¸¹ Z ¹ ©

(1-2)

Der dem Wandabschnitt i.j zuzuordnende Verwölbungsausgleich beträgt



11

Δωi.j =

si.j ti.j

¦

( ț ∧ i.j )

±Γ κ

[↑↑= ⊕; ↑↓= ]

(1-3)

Die Querschnittswerte des Teilquerschnitts Ai werden als Summe der Beiträge jedes Wandstücks (j) tabellarisch ermittelt ((1-4) und (1-5)). § Ai ¨ Ayi Ai = ¨ ¨ Azi ¨¨ © AȦi

AȦi · Ayi.j Azi.j AȦi.j · § Ai.j ¸ ¨ ¸ AyȦi ¸ Ayi.j Ayyi.j Ayzi.j AyȦi.j ¸ ¨ = (1-4) AzȦi ¸ ¦ ¨ Azi.j Ayzi.j Azzi.ij AzȦi.j ¸ ¸¸ ( j ) ¨¨ ¸¸ AȦȦi ¹ © AȦi.j AyȦi.j AzȦi.j AȦȦi.j ¹ Die Bezeichnungen entsprechen den Konventionen für Matrizenelemente. Die üblichen Bezeichnungen S und I eignen sich nicht, da eine Entsprechung streng genommen nur für Ay ԑ Sz und Az ԑ Sy gegeben ist, denn I y  S Azz , I z  S Ayy und I yz  S Ayz sind im allg. auf den Biegeruhepunkt (Schwerpunkt S) und I ω  M Aωω auf den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt M) bezogen. St. Venant’sches Torsionsflächenmoment: Iti =

Ayi Ayyi Ayzi AyȦi

¦ I t i.j

(i.j )

Azi Ayzi Azzi AzȦi

­° ½° Am i.ț Γ i.ț ¾ {falls nZ i > 0 } ®+2 °¯ (i.ț ) °¿

¦

(1-5)

305

1 Grundlagen

1.3.2 Horizontale Beanspruchung (Y- und Z-Richtung) Für die Beispielrechnung werden die Windlasten nach EDIN 1055-4 (08.2003) (siehe BH 32, Abschn. 5.4) für quaderförmige Baukörper angesetzt. Dabei wird die Windzone WZ II zu Grunde gelegt und von einer Gebäudehöhe h > 4 m ausgegangen: qw d = γ Q cf q ( x), (γ Q = 1,5) (1-11) Mit dem Kraftbeiwert cf = ψ r ψ Ȝ cf,0

(1-12)

und dem Geschwindigkeitsdruck § x ⋅ [m −1 ] · q( x) = 2,1 qref,0 ¨ ¸ © 10 ¹ Bild 1-5

0,24

(1-13)

Windlast nach EDIN 1055-4

Für WZ II ist qref,0 = 0, 48 kN/m 2 . Der Funktionsverlauf von q( x) entspricht der gestrichelten Linie in Bild 1-5. Für scharfkantige Baukörper gilt ψ r = 1 . Die übrigen Parameter in (1-12) sind Bild 1-7 und Bild 1-6 zu entnehmen. Für die effektive Schlankheit gilt b ≥ 4h :

λeff =

b≤ h:

b/h h ≤ 15 m: h ≥ 50 m:

2, 0 h/b 1, 4 h/b

≤ 70 ≤ 70

(1-14)

(in den nicht erklärten Bereichen ist zu interpolieren).

11

Bild 1-7

Abminderungsbeiwert Ψ Ȝ

Aufgrund des Lastbildes (Bild 1-5) ergibt sich allgemein für einen Schnitt innerhalb des Abschnitts i, i = 1 … 3 der Schnittgrößenzustand mit iΔX = X i − X bzw. iΔξ = ξi − ξ Bild 1-6

Grundkraftbeiwert cf,0

= Vi + (qi − 12 qi' i ΔX ) i ΔX = Vi + h(qi − 12 h qi' i Δξ ) i Δξ (1-15) i M = M − (V + 1 (q − 1 q' i ΔX ) i ΔX ) i ΔX = M − h(V + 1 h(q − 1 h q' i Δξ ) i Δξ ) i Δξ (1-16) i i 2 i 3 i i i 2 i 3 i

iV

306

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Darin bedeuten mit i = Abschnitt und Abschnittsendpunkt: § iVZ · i V = ¨ iV ¸ ; ¨ Y¸ ¨ iVW ¸ © ¹ q § Yi · ¨ ¸ qi = ¨ qZi ¸ ; ¨m ¸ © Wi ¹ § − M Zi · ¨ ¸ M i = ¨ M Yi ¸ ; ¨ −M ¸ Wi ¹ ©

§ − iM Z · ¸ i M = ¨ iM Y ¸ ¨ ¨ − iM W ¸ © ¹

Schnittgrößen im Abschnitt i,

' · § qY i ¨ ' ¸ = ¨ qZi ¸ ' ¸ ¨ mW i¹ © § VYi · ¨ ¸ Vi = ¨ VZi ¸ ¨V ¸ © Wi ¹

qi'

Quer- und Torsionslasten,

nach am Abschnittsende.

1.3.3 Torsion mit stetiger Lastfunktion und gleich bleibendem Querschnitt Gegenüber der (maßgebenden) Drillruhe- oder Schubmittelpunktsachse wirken die Windlasten praktisch immer ausmittig. Es treten daher neben Biegemomenten stets auch Torsionsmomente auf, die den Gebäudequerschnitt als r e in e T o r s io n (St. Venanttorsion) u n d als (der Biegung verwandte) W ö lb k r a f tto r s io n beanspruchen. Wie sich das Torsionsmoment auf die beiden Torsionsarten verteilt, hängt hauptsächlich von der Querschnittsgestalt ab: Mt

M tr VW

Reine oder St. Venant-Torsion Wölbkrafttorsion

M t = M tr + VW .

Maßgebend für die Verteilung ist der charakteristische Wert:

11

κ =h

G It G It =h E Iω E MAWW

h G It G Darin bedeuten: It E Iω E Iw = MAWW

(1-17)

Gebäudehöhe St. Venantsche Torsionssteifigkeit Gleit- oder Schubmodul Torsionsflächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts Wölbtorsionssteifigkeit Elastizitätsmodul Wölbflächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitt

Bei einem sehr kleinen Kennwert (κ < 0,5) spielt die St. Venanttorsion praktisch keine Rolle und kann vernachlässigt werden. Bei einem großen Kennwert (κ > 10) kann umgekehrt auf die Betrachtung der Wölbkrafttorsion verzichtet werden. Sonst muss die Torsionsverteilung berechnet werden. 2  = h κ 2 (m  t0d ξ + mt0d ) ϑ −κ2ϑ Die Lösung der Differentialgleichung für die Verdrehung G It

 t0d ξ lautet eines Stabes mit der Torsionslastfunktion mtd (ξ ) = mt0d +m

ϑ (ξ ) =

(

h2 (ețȟ G It

 t0d ξ ) ξ 2 eț (1-ȟ ) ξ 1 − ξ ) ⋅ c − 12 (mt0d + 13 m

)

(1-18)

307

1 Grundlagen

 t0d ξ + mt0d gilt (1-19). Für den Stab mit stetiger linear veränderlicher Torsionslast m § eț · −κ ¨ ¸ §  t0d mt0d + m · ț κe 1 ¨ 1 ¸⋅¨ ¸ c= 1 1  t0d ¸ κ 2 (e2ț + 1) ¨ −2 eț κ 2 (e2ț + 1) − κ (e2ț − 1) ¸ ¨ mt0d + 2 − 2 m κ ¹ ¨¨ ¸¸ © ț −κ (e2ț − 1) © −2 e ¹

)

(

(1-19)

Tafel 1-8 Torsionsmomente und Wölbbimoment unter linear veränderlicher Torsionslast

M td

§  t0d 1 + ξ ·¸ (1 − ξ )h ¨ mt0d + m 2 ¹ ©

M tr d

§ eκ ξ − e −κ ξ · § κ (1−ξ ) + e −κ (1−ξ ) ·  t0d ) − ¨ e  t0d − ! ¸ − κ ¸ mt0d + 21 − 12 m (mt0d + m ¨ κ h − κ κ − κ κ e +e ¨ e +e ¸ © ¹ κ ¨ ¸  t0d ξ ξ ¸ ¨ ! − κ mt0d + 21 m © ¹

(

)

)

(

(

(

κ (1− ξ ) + e −κ (1− ξ ) § eκ ξ − e −κ ξ  t0d ) − e (mt0d + m mt0d + −¨ κ −κ e e eκ + e −κ + ©

Vωd Mωd

1

(

κ (1− ξ ) − e −κ (1−ξ ) § eκ ξ + e −κ ξ  t0d ) + e (mt0d + m mt0d + ¨ κ − κ eκ + e −κ © e +e

(

−

1 2

(

1 2

1

κ2

−

1

κ2

2

)

) m ) − mκ 

t0d

) m ) − (m t0d

t0d

·h ¸ ¹κ

3 · h2

 t0d ξ ) ¸ t0d +m

¹κ

2

4

1.3.4 Torsion bei abschnittsweise stetiger Lastfunktion Für den einzelnen stetigen Belastungsabschnitt λ : ξ Ȝ −1 → ξ Ȝ ; λ = 1! nȜ gilt derselbe Lösungsansatz (1-18) wie bei durchweg stetigen Verhältnissen zweckmäßigerweise in angepasster Form: Ȝϑ

=

ț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) h2 §¨ (e G It ¨ ©

eț (ȟ Ȝ − ȟ ) ξ − ξ Ȝ −1 ξ Ȝ − ξ ) ⋅ cȜ − !

!−

(

1m 2 tȜ d

+

1m  ξ 6 tȜ d

· ¸ − ξ Ȝ −1 (ξ − ξ Ȝ −1 )2 ¸ ¹

)

(1-20)

Es gelten auch dieselben Randbedingungen. Allerdings sind die geometrischen( ϑ (0) = 0 und ϑ (0) = 0 ) am Abschnitt λ = 1 , die dynamischen ( M ω (1) = 0 und M t (1) = 0 ) aber am Abschnitt λ = nȜ zu erfüllen, für die unterschiedliche Integrationskonstantensätze cλ maßgebend sind. § eț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) ¨ ț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) ȜU = ¨ κ e ¨ κ 2 eț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) ¨¨ 0 ©

e ț (ȟ Ȝ − ȟ ) ξ − ξ Ȝ −1 ξ Ȝ − ξ · ¸ ( ) ț ȟ ȟ − Ȝ −κ e 1 −1 ¸ κ 2 e ț (ȟ Ȝ − ȟ ) 0 0 ¸ ¸ 0 1 −1 ¸¹

( (

) )

§ 1 mtȜ d + 1 m  (ξ − ξ Ȝ −1 ) (ξ − ξ Ȝ −1 )2 3 tȜ d ¨ 2 ¨  tȜ d (ξ − ξ Ȝ −1 ) (ξ − ξ Ȝ −1 ) mtȜ d + 12 m Ȝu = ¨ ¨  tȜ d (ξ − ξ Ȝ −1 )) / k −2 (mtȜ d + m ¨  tȜ d ¨ m  tȜ d (ξ − ξ Ȝ −1 ) (ξ − ξ Ȝ −1 ) − ¨ mtȜ d + 12 m κ2 ©

(

)

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

(1-21)

(1-22)

11

308

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Für ξ = 0 erhält man aus (1-21) und (1-22) § 0 · ¨ ¸ §1 0 ξ1 · ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ m ¸ κ −κ eț ȟ1 1 −1¸ ; r0 = 1u0 = ¨ t1d ¸ R0 = 1U0 = ¨ ț ȟ ¨1 ¸ 0 0 e 1 ¨ κ2 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ m  t1d ¸ 0 0 1 1 − © ¹ ¨− ¸ © κ2 ¹ Die ersten beiden Zeilen bilden die geometrischen Randbedingungen. Übergangsbedingung an der Grenze zwischen den Abschnitten λ−1 und λ ҞBezeichnungsbeispiel: (Abschnitt)U(Grenzpunkt): e ț ȟ1

ȜU

Ȝ −1

⋅ c Ȝ − Ȝ u Ȝ −1 =

Ȝ −1 U

Ȝ −1

⋅ c Ȝ −1 −

Ȝ −1u

(1-23)

Ȝ −1 .

(1-24)

Darin ist mit der bezogenen Abschnittslänge Δξ Ȝ = ξ Ȝ − ξ Ȝ −1 Ȝ −1 U

Ȝ −1

§ e ț Δȟ Ȝ −1 ¨ ț Δȟ κ e Ȝ −1 =¨ ¨ e ț Δȟ Ȝ −1 ¨¨ 0 ©

1

Δξ Ȝ −1

−κ

1

1

0

0

1

0· ¸ −1¸ ; 0¸ ¸¸ −1¹

( (

Ȝ −1

eț Δȟ Ȝ −κ eț Δȟ Ȝ eț Δȟ Ȝ 0

0 Δξ Ȝ · ¸ −1 ¸ und 0 0 ¸ ¸¸ 1 −1 ¹

1

) )

1 m 1 2 § 0 · § · tȜ −1d + 3 m tȜ −1d Δξ Ȝ −1 Δξ Ȝ −1 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ 1  mtȜ −1d + 2 mtȜ −1d Δξ Ȝ −1 Δξ Ȝ −1 ¨ mtȜ d ¸ ¨ ¸ Ȝu Ȝ −1u ; Ȝ −1 = ¨ Ȝ −1 = ¨ ¸. ¸ 2  tȜ −1d Δξ Ȝ −1 ) / κ (mtȜ −1d + m ¨ κ2 ¸ ¨ ¸ ¨ m  tȜ −1d ¸ ¨ m  tȜ d ¸  tȜ −1d Δξ Ȝ −1 Δξ Ȝ −1 − ¨− ¸ ¨ mtȜ −1d + 12 m ¸ 2 © ¹ κ © κ2 ¹ Mit Hilfe der Übergangsbedingungen wird in einer Übertragungsrechnung für λ = 1! nȜ cλ durch c1 substituiert:

(

11

ȜU

§1 ¨ κ =¨ ¨1 ¨¨ ©0

ȜU

Ȝ −1

)

⋅ c Ȝ − Ȝ u Ȝ −1 = R Ȝ −1⋅ c1 − rȜ −1 .

Übertragungsrechnung für λ = 1! nȜ RȜ

= Ȝ U Ȝ ⋅ Ȝ U −Ȝ 1−1 ⋅ R Ȝ −1

(1-25) = Ȝ U Ȝ ⋅ Ȝ U −Ȝ 1−1 ⋅ (rȜ −1 − Ȝ u Ȝ −1 ) + Ȝ uλ Rechnungsabschluss R nȜ ⋅ c1 − rnȜ liefert mit den Zeilen 3 und 4 dynamischen Randbedingungen, die in (1-23)ergänzt werden: rȜ

§ 1 ¨ § R 0;Z:1,2 · ¨ κ R=¨ ¸=¨ © R nȜ ;Z:3,4 ¹ ¨ R13 ¨R © 14

eț ȟ1

0

−κ eț ȟ1

1

R23

R33

R24

R34

ξ1 ·

§0· ¸ ¨ ¸ § r0;Z:1,2 · ¨ 0 ¸ −1 ¸ ; r=¨ = ¸ R43 ¸ © rnȜ ;Z:3,4 ¹ ¨ r3 ¸ ¸¸ ¨ ¸ R44 ¹ © r4 ¹

c1 = R −1 ⋅ r

(1-26)

(1-27)

Die übrigen Konstanten können mit (1-24) bestimmt werden: c Ȝ +1 = Ȝ +1 U −Ȝ 1 ⋅ ( Ȝ U Ȝ ⋅ c Ȝ − Ȝ u Ȝ + Ȝ +1u Ȝ )

(1-28)

309

1 Grundlagen

Tafel 1-9 Torsionsmomente und Wölbbimoment im Abschnitt λ λM λM

(

§ ¨ (0 0 1 −1) ⋅ c λ − mtλ d + ©

td

tr d

((κ eκ ξ

( − ξλ −1)

ωd

λM

 tλ d · m ¸h κ2 ¹

)

− ξλ −1) (ξ − ξλ −1) −

(

−κ eκ (ξλ −ξ ) 1 −1) ⋅ c λ − mtλ d +

§ − ¨ (κ eκ (ξ −ξλ −1) ©

λV

1m  (ξ 2 tλ d

1m  (ξ 2 tλ d

−κ eκ (ξλ −ξ ) 0 0) ⋅ c λ −

)

1

)

− ξλ −1) (ξ − ξλ −1) h

 tλ d · m

¸h

3

κ2 ¹

 tλ d (ξ − ξλ −1) · mtλ d + m § κ (ξ −ξ ) λ −1 eκ (ξλ −ξ ) 0 0) ⋅ c λ − ¨ (e ¸ h2 κ2 © ¹

ωd

2

4

1.3.5 Wandnormalkräfte Für die Bemessung der Wandquerschnitte werden die Normalkräfte/Wandlänge benötigt: nx = t σ (t = Wanddicke; σ = Normalspannung) (1-29) nx = t Ma T MA −1 MN (1-30) mit den auf die Biegeruhepunkte (Schwerpunkte) und den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt) bezogenen Einheitsverrückungen im abgefragten Punkt, Querschnittswerten und Schnittgrößen § 1 · ¨ S ¸ y¸ Ma = ¨ ; ¨ Sz ¸ ¨M ¸ © ω¹

§A ¨ 0 MA= ¨ ¨0 ¨ ©0

§ A−1

¨ 0 MA −1 = ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

0

0

SA YY SA YZ

SA YZ SA ZZ

0

0

0

0

SA D −1 ZZ − SAYZ D −1

− SAYZ D −1 −1 SA YY D

0

0

0 0

· ¸ ¸; 0 ¸ ¸ MA WW ¹

§ N · ¨ S ¸ − MZ ¸ MN = ¨ ¨ SM Y ¸ ¨ M ¸ ©− MW ¹

(1-31)

· ¸ 0 ¸ 2 ; D = SAYY SAZZ − SAYZ 0 ¸ ¸ MA−1 ¸ WW ¹ 0

(1-32)

11

oder §N nX =t ¨ − ¨A ©

Sy SA − Sz SA Sz SA S S ZZ YZ S YY − y AYZ S MZ+ MY SA S S 2 SA S S 2 YY AZZ − AYZ YY AZZ − AYZ

−

MW MA WW

MM

W

· ¸¸ (1-33) ¹

mit der Einheitsverwölbung W im auf den Drillruhepunkt bezogenen System.

1.3.6 Schubkräfte Die Schubbeanspruchung infolge Biegung, Torsion und Wölbkrafttorsion hat insbesondere im Bereich von Öffnungen große Bedeutung. Stürze und Brüstungen sind darauf zu bemessen. Die Schubkraft in einem vertikalen Wandschnitt (z.B. durch einen Sturz) ergibt sich als Normalkraftdifferenz einer Gebäudeschicht (z.B. Stockwerk) in der Fläche des abgetrennten Querschnittsteils iAT . In Horizontalschnitthöhe X herrscht im abgetrennten Querschnitt T die Normalkraft NT (X )=

MAT MA −1 M M( X ); T

MA

§ SAyT · § − SM Z · § SVY · ¨ S ¸ M ¨ S ¸ M ¨ S ¸ T = ¨ AzT ¸ ; M = ¨ M Y ¸ ; V = ¨ VZ ¸ (1-34) ¨ MAWT ¸ ¨ − MM W ¸ ¨ MVW ¸ © ¹ © ¹ © ¹

310

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Die Flächenmomente 1. Grades des abgetrennten Querschnittsbereichs MA T werden entsprechend Tafel 1-3 mit den auf die Biegeruhe- bzw. den Drillruhepunkt bezogenen Einheitsverschiebungen berechnet. Für die Gebäudeschicht ΔX = X o − X u ergibt sich demnach ΔN T =

M A T MA −1 ( M M o T

−

MM

u)

=

M A T MA −1 M V u T

ΔX

(1-35)

Schubkraft in Zellwänden Bei Schnitten durch Zellen sind stets mehrere Wände durchtrennt. Hier muss die Schubkraft ΔN T /ΔX nach Gleichung (1-35) im Verhältnis der Steifigkeit auf die betroffenen Wände verteilt werden. Außerdem ist der Zellschubfluss zu berücksichtigen. ΔN T j =

M tro − M tr u ⋅ MA TT MA −1 ( M M o − M M u ) + ΔX ± Γ ț It tiT Ț (ț )

tiT j

¦ (Ț)

¦

(1-36)

Die Summe der ideellen Dicke der Wand j ( tiT j  hSturz, j /hGeschoss ⋅ t j ) erstreckt sich über alle durchtrennten Wände (ι), die Summe über Γκ über alle Zellen (κ), denen die betrachtete Wand (zu tiT) angehört; das Vorzeichen richtet sich nach der Richtung des Schubflusses.

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen 2.1 Teilquerschnitte und Lage bezüglich Drehpunkt D

11

Der Grundriss des Gebäudes besteht aus drei Teilquerschnitten. Teilquerschnitte sind nur über „biegeweiche“ Geschossdecken miteinander verbunden, die zwar keine Verdübelung der Teilquerschnitte bewirken können, wohl aber bündeln sie die drei Stäbe und erzwingen eine parallele Biege- und gemeinsame Torsionsverformung (siehe Bild 1-1). Das ganze Gebäude bildet einen in die Kellerbasis eingespannten Kragarm, dessen Schnittgrößen aus Querlast genau wie für einen einfachen Kragarm (also ein statisch bestimmtes Tragwerk) ermittelt werden. Bei Längseinwirkungen (vertikalen Lasten) verbleiben die Längskräfte (Ni) im zugehörigen Teilquerschnitt i, während die aus „Ausmitten“ herrührenden Momente ebenso wie die Momente aus Querlast in den Gesamtquerschnitt einfließen (siehe 1.1.1). Auch das Torsionsmoment lässt sich – abgesehen einmal vom im allg. aber nicht großen Beitrag der Vertikallasten – auf die übliche Weise am Kragarm ermitteln. Die Querlastenausmitte ist dabei auf die Drillruhe- oder Schubmittelpunktsachse zu beziehen. Es verteilt sich im allg. auf die beiden Torsionsarten: St. Venant- oder reine Torsion einerseits und die der Biegung verwandte Wölbkrafttorsion andererseits (siehe 1.3.3). Ob die Torsionsaufspaltung beachtet werden muss, hängt vom charakteristischen Wert κ (Gleichung (1.17)) ab. Mit den in Tabelle 2-2 berechneten Werten und den Daten aus Bild 2-1 ergibt sich St. Venanttorsion kann also vernachlässigt werden.

κ = 33 ⋅

8100 ⋅ 0, 0853 = 0, 255 < 0,5 . 30000 ⋅ 386, 2

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

311

Wegen der Unabhängigkeit hinsichtlich Längsdehnung erhalten die Teilquerschnitte eigene Bezugssysteme mit den Ursprüngen Oi (Bild 1-3). Die Achsen werden mit kleinen Zeichen (y, z) bezeichnet im Unterschied zu den Achsen des Gesamtbezugssystems (Y, Z) mit dem Ursprung D (Drehpunkt).

Bild 2-1 Gebäudegrundriss

Bild 2-2

Teilquerschnitte

2.2 Querschnittswerte

11

2.2.1 Einheitsverschiebungen Die im Verhältnis zu den Gebäudeabmessungen geringe Dicke der Wände erlaubt es, die Wandquerschnitte auf deren „dickenbelegte Systemlinien (Mittellinien)“ zu reduzieren. Geringfügig abweichende Dehnungen der Wandränder gegenüber der Wandmitte sind vernachlässigbar. Die Einheitsverschiebungen werden nur für die Systemlinien der Wandquerschnitte benötigt (Bild 2-3). Der Berechnung der Querschnittswerte geht die Ermittlung der Einheitsverschiebungen (1, y, z und ω) für die Eck- und Endpunkte der Wände voraus. Im Falle von y und z ist das gleichbedeutend mit der Feststellung der Koordinaten dieser Punkte. Die Wölbverrückung ω wächst dagegen von einem beliebig auf einer Wandachse festgelegten Nullpunkt den Wandverästelungen folgend proportional zum Abstand der Wände vom Drehpunkt D bzw. O = D an:

G

ex G G G ω ( s ) = ³ r ( s) × ds = 0 0 0 s

G

G

ey y dsy

G

ez z dsz

Der Vektor ds folgt der Tangentenrichtung im Punkt s. (Berechnung siehe Tafel 1-2.)

312

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Bild 2-3 zeigt das Ergebnis für die Einheitsverschiebungen. Die Wölbordinaten sind in Tabelle 2-2 nach Tafel 1-2 ermittelt worden.

2.2.2 Flächen und Flächenmomente der Teilquerschnitte § A ¨ Ay Ai = ¨ ¨ Az ¨¨ © AȦ

Ay Ayy Ayz AyȦ

Az Azy Azz AzȦ

AȦ · ¸ AȦy ¸ = AȦz ¸ ¸ AȦȦ ¸¹ i

O

§ A ¨ ¨ Sz ¨ Sy ¨ ¨ SȦ* ©

Sz Iz I zy * I zȦ

Sy I yz Iy * I yȦ

SȦ* · * ¸ I Ȧz ¸ * ¸ I Ȧy ¸ I Ȧ ¸¹ i

Fläche und Flächenmomente eines Teilquerschnitts i werden zweckmäßigerweise in einer Matrix zusammengefasst. Bei den doppelt indizierten Größen gilt die Vertauschbarkeit, z.B. AȦy ≡ AyȦ . (Der Gebrauch der zweiten Bezeichnungsvariante wird nicht empfohlen. Die mit * gekennzeichneten Größen sind nicht eindeutig definiert. I Ȧ ist für das Schubmittelpunkts-Bezugssystem reserviert. Der Hochindex O weist hier darauf hin, dass die Querschnittswerte auf die willkürlich gewählten Ursprünge Oi = Di, nicht auf die Biegeruhepunkte Si und den Drillruhepunkt M bezogen sind.)

11

Tabelle 2-1

Einheitsverschiebungen

Pkt.

z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

y

ω

– 1,000 4,000 28,000 3,000 4,000 12,000 3,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2,000 0,000 – 3,000 0,000 0,000 – 5,000 0,000 0,000 – 2,000 0,000 0,000 – 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 – 4,000 0,000 – 2,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 – 3,000 0,000 – 2,000 – 3,000 – 6,000

sy

sz

– 2,000 2,000 2,000 – 1,000 – 1,000 – 4,000 – 3,625 – 0,625 0,375 1,375 1,375 – 1,563 0,438 1,438 0,438 – 1,563 – 1,000 0,031

2,375 2,375 – 1,625 – 1,625 0,375 – 1,625 1,000 1,000 1,000 1,000 – 3,000 1,313 1,313 1,313 – 1,688 – 1,688 2,375 – 2,656

Mω 10,692 3,234 2,243 – 4,163 – 9,667 – 10,569 15,507 – 2,087 – 7,952 – 13,816 9,193 – 9,386 – 11,116 – 11,980 15,141 10,871 8,828 4,253

Die Berechnung der Flächen- und die Flächenmomentenbeiträge einer Wand j an den Querschnittswerten des Teilquerschnitts i wird in Tabelle 2-2 durchgeführt.

Bild 2-3 Graphen der Einheitsverschiebungen

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Bild 2-4

Einheitsverschiebungen (Wand j = 2–1)

313

Der Berechnung liegen die allgemeinen Beziehungen für Produktintegrale zugrunde, wobei alle möglichen Kombinationen der vier Verschiebungszustände auftreten (Beispiel: Bild 2-4). In Tabelle 2-1 sind die Einheitsverschiebungen zusammengestellt. Die Spalten „y“ und „z“ enthalten die „Urdaten“ der Wandendpunkte, die Spalte „ω“ die nach Tafel 1-2 berechneten Werte der Einheitsverwölbung. Die zweite Spaltengruppe enthält die normierten Wert im S- bzw. M-System gemäß den Rechenanweisungen der Tafel 1-4, Tafel 1-5 und Tafel 1-6. Die Berechnung der normierten Einheitsverrückungen setzt die Querschnittswerteberechnung nach Tabelle 2-2 voraus. (Für die Durchführung der Rechnungen wird zweckmäßigerweise ein Tabellenkalkulationsprogramm – wie z.B. EXCEL – eingesetzt. Im weiteren Rechengang sind mathematische Problemlöser wie z.B MATHCAD oftmals besser geeignet) In Bild 2-4 ist beispielhaft die Einheitsverschiebungssituation der Wand j = 2–1 (zwischen den Punkten ja = 2 und je = 1 ) im Teilquerschnitt i = 1 dargestellt. Der Flächenbeitrag dieser Wand beträgt A1;2-1 = 0,20 · 4,00 = 0,800 m2.

Für das Wölbflächenmoment ³ y ω d A ergibt sich z.B.: AyȦ;2-1 = 16 (2 ⋅ 3 ⋅ 12 + 3 ⋅ 28 − 1 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1 ⋅ 28) ⋅ 0,800 = 11, 733 m 2 (siehe Tabelle 2-2, Sp. 18, Z. 5). In den Zeilen 1 – 5, 9 – 12 und 16 – 19 sind alle Wandbeiträge berechnet. Die Summen (Zeilen 6, 13, 20) ergeben die zu den ursprünglichen Bezugssystemen gehörenden Teilquerschnittswerte (Gleichung (1-4)).

2.2.3 Biegeruhepunkt-Transformation für die Teilquerschnitte In den Zeilen 6 – 8, 13 – 15 und 20 – 22 der Tabelle 2-2 werden die Querschnittswerte auf die Biegeruhepunkte (Schwerpunkte) der Teilquerschnitte nach Gleichung (1-6) bzw. Tafel 1-4 transformiert. −1, 200 = −0, 750 m 2 ; 3ω16 = −6 − (−0, 750) = −5, 250 m 2 Beispiel: 3ω0 = 1, 600 3, 200 ⋅ 20,800 SA = 26,133 − 20,800 = 5,333 m5 . und yȦ1 = 26,133 − 3, 200

2.2.4 Flächenmomente des Gesamtquerschnitts Wegen der Dehnungsunabhängigkeit der Teilquerschnitte ergibt die Berechnung einer Gesamtquerschnittsfläche keinen Sinn. Die Spannungsbeiträge der in den Biegeruhepunkten angreifenden Längskräfte verbleiben in den jeweiligen Teilquerschnitten. Anders ist das bei den Flächenmomenten, denn die Teilstabachsen werden durch die Deckenscheiben in eine parallele Krümmung gezwungen, die Biegedehnung wird aber durch die in Plattenrichtung verhältnismäßig weichen Decken kaum behindert (Die Querschnitte kippen um die lokalen Sy- bzw. Sz-Achsen). Die Gesamtsteifigkeit ergibt sich als Summe der Teilstabsteifigkeiten.

11

6 5 3 2 1

4 4 4 3 2

t m 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20

4

11 9 8 7

0,20 0,20 0,00 0,20

13 13 13 15

14 12 15 16

0,20 0,20 0,20 0,20

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,438

0,000 0,000 -1,000 -2,000 -1,375

0,000 0,000 0,000 -3,000 -1,313

0,000 0,000 0,000 0,000 -1,000

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,750

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

m 0,000 0,000 0,000 0,000 12,000 6,500

ω

7

Gesamtquerschnittswerte bezögen auf D i YD ZD 1 2,500 -4,000 2 -0,500 4,000 3 -3,500 -1,000 Gesamtquerschnitt Gesamtquerschnittswerte bezögen auf M YM ZM 5,252 -1,865

3 S3-Transformation

3 3 3 3

2 S2-Transformation

2 10 2 10 2 9 2 8

5 6 Anfangspunkt y z m m 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3,000 0,000 3,000 4,000 1,000 1,625

1,000 -2,000 0,000 -2,000

0,000 -1,000 -2,000 -5,000

0,000 0,000 -3,000 -3,000

-4,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 -6,000

0,000 0,000 0,000 0,000

9 10 Endpunkt y z ω m m m -3,000 0,000 0,000 0,000 2,000 0,000 3,000 0,000 0,000 3,000 4,000 12,000 -1,000 4,000 28,000

8

0,200 0,400 0,600 0,400 1,600

0,100 -0,400 0,000 -0,400 -0,700

0,000 -0,100 0,000 -2,100 -2,200

Ay m3 -0,900 0,000 0,900 2,400 0,800 3,200

A m2 0,600 0,400 0,600 0,800 0,800 3,200

0,800 0,200 0,000 0,600 1,600

12

11

0,000 0,000 -0,900 -1,200 -2,100

-1,600 0,000 0,000 0,000 -1,600

m3 0,000 0,400 0,000 1,600 3,200 5,200

Az

13

AYY 9,467 4,842 0,827 15,135

m4 1,800 0,000 1,800 7,200 1,867 12,667 -3,200 9,467 0,000 0,067 0,000 7,800 7,867 -3,025 4,842 0,067 0,533 0,000 0,533 1,133 -0,306 0,827

Ayy

15

AYZ 2,800 -2,200 0,281 0,881

m4 0,000 0,000 0,000 4,800 3,200 8,000 -5,200 2,800 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -2,200 -2,200 0,000 0,000 0,000 1,200 1,200 -0,919 0,281

Ayz

16

AZZ 9,150 2,667 2,644 14,460

m4 0,000 0,533 0,000 4,267 12,800 17,600 -8,450 9,150 4,267 0,000 0,000 0,000 4,267 -1,600 2,667 0,000 0,000 1,800 3,600 5,400 -2,756 2,644

Azz

17

218,09 15135 0,881 14,460

Δ

0,000 0,000 0,000 -1,200 -1,200

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

m4 0,000 0,000 0,000 4,800 16,000 20,800

Aω

14

AYW 50,200 -18,267 0,918 32,851

m5 0,000 0,000 0,000 14,400 11,733 26,133 -20,800 5,333 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,600 1,600 -0,525 1,075

A yω

18

m6 0,000 0,000 0,000 38,400 337,067 375,467 -135,200 240,267 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4,800 4,800 -0,900 3,900

Aωω

20

AZW AWW 77,075 762,588 7,467 69,333 -6,947 23,119 77,595 855,040 MA WW -468,813 386.227

m5 0,000 0,000 0,000 12,800 64,000 76,800 -33,800 43,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3,600 3,600 -1,575 2,025

Azω

19

0.085

0,00267 0,00533 0,00800 0,00533

0,01067 0,00267 0,00000 0,00800

m4 0,00800 0,00533 0,00800 0,01067 0,01067

It

21

27 28

23 24 25 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Tabelle 2-2

1 S1-Transformation

je

ja

i

3

2

11

1

314

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Berechnung der Querschnittswerte

315

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Ähnlich verhält es sich mit der Torsion. Die Teilquerschnitte können sich wegen der steifen Deckenscheiben nicht um ihre eigenen Achsen drehen. Sie haben vielmehr eine gemeinsame Drillachse, um die sie sich spiralartig winden. Neben der Drillung erfahren sie Biegungen – umso mehr je weiter sie von der Drillachse entfernt sind. Die Transformation der Wölbflächenmomente auf D wird nach Tafel 1-5 vorgenommen (Tabelle 2-2, Zeilen 23–25). D ist frei gewählt. Die Summen (Zeile 26) ergeben die Querschnittswerte des Gebäudes.

2.2.5 Transformation auf den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt) M Für die Spannungsberechnung ist die Ermittlung des Drillruhepunkts nicht unbedingt erforderlich. Der Drillruhepunkt ist von Interesse für die Beurteilung des Gesamtquerschnittscharakters. Eine weit vom Windangriffsschwerpunkt entfernte Lage des Drillruhepunkts beansprucht die gegenüberliegenden Querschnittsteile besonders stark, zumal diese dann meist auch schwächer ausgebildet sind. Optimal ist eine möglichst zentrale Position. Außerdem wird das Wölbflächenmoment für die Berechnung des charakteristischen Wertes κ (Gleichung (1-17)) benötigt. Die Koordinaten des Drillruhepunkts und die auf M bezogenen Querschnittswerte berechnet man nach Tafel 1-6 (Tabelle 2-2, Zeilen 27–28). Die zugehörigen Einheitsverwölbungen enthält Tabelle 2-1. Beispiel:

3Dω 16

= − 5, 250 + (−1, 000) ⋅ (−1,563) − (−3,500) ⋅ (−1, 688) = −0,905 m 2 ,

3Mω 16

= − 0,905+( −1,865) ⋅ (−1,563) − 5, 252 ⋅ ( −1, 688) = 10,871 m 2 .

2.2.6 Transformation in Hauptrichtung: Tafel 2-1 Hauptachsentransformation DA YY

Größe

HA

DA YZ

2 D AYZ

1 arctan D 2 AYY − D AZZ

ϕH HA

DA YY

≠ DAZZ

DA

YY

YY

2 DA

ZZ

+ D AZZ

YY

+ D AZZ 2

+ −

DA

YY

− D AZZ 2

DA

YY

− D AZZ 2

±

1 + tan2 2ϕH

DA

1 + tan2 2ϕH

DA

YY

= DAZZ

≠0

π 4

DA YZ

beliebig

+ D AYZ DA YY

Hy

Dy

cos ϕH + D z sin ϕH

Hz

Dy

cos ϕH − D z sin ϕH

YY

=0

−

DA

= DAZZ

YZ

(Die Transformation in die Hauptrichtungen ist – jedenfalls für die Ermittlung von Normalspannungen – nicht von Vorteil. Schnittgrößen und vor allem die Punktkoordinaten müssen dann in die Hauptrichtungen transformiert werden! Das Arbeiten im Y-Z-System ist – insbesondere bei Ausnutzen von Matrizenoperationen – bequemer). Falls die Hauptachsen in Einzelfällen interessieren, kann die Transformation nach Tafel 2-1 durchgeführt werden. Für das Beispiel ergibt sich ein Hauptrichtungswinkel von

11

316

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

ϕ H = 12 arctan

2 ⋅ 0,881 = 15,135 − 14, 460

1 arctan 2, 610 2

= 34,52° .

In Bild 2-5 sind die Biegeruhepunkte (Schwerpunkte) Si der Teilquerschnitte und der Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt M) des Gesamtquerschnittes eingetragen. Wegen des U-förmigen Teilquerschnitts 1 wird M weit nach links gerückt. Daraus resultiert eine verhältnismäßig große Torsionsbeanspruchung.

Bild 2-5

Lage der Biegeruhepunkte und des Drillruhepunkts

2.3 Schnittgrößen 2.3.1 Schnittgrößen infolge Vertikallast

11

Bild 2-6

Verteilung der Deckenlast auf Wände und Balken

Grundlage der Schnittgrößenermittlung ist die für Massivdecken zulässige Einflussflächenbildung aus Trapezen und Dreiecken (Bild 2-6). Im unmittelbar belasteten Geschoß werden die tragenden Bauglieder (Balken, Wände, Stützen) nach dieser Verteilung von den Auswirkungszuwächsen der Geschoßdecke beansprucht. In den darunter liegenden Geschossen verteilen sich die Zuwächse über die Lasteinleitungsstrecke im gesamten Querschnitt neu und bilden sich in der Teilquerschnittsnormalkraft und den Biegemomenten und Wölbbimoment des Gesamtquerschnitts ab.

Die Berechnung wird tabellarisch durchgeführt (Tabelle 2-3) mit den Gleichungen (1-8), (1-9) und (1-10) in Verbindung mit Tafel 1-7. Dabei ist es grundsätzlich unerheblich, ob die Belastung direkt in die Wände oder indirekt über Balken einfließt. Ausgenommen sind davon lediglich solche Balken, deren Auflager an unterschiedliche Teilquerschnitte anschließen. In diesen Fällen sind die Auflagerkräfte zu berechnen und den jeweiligen Teilquerschnitten zuzuweisen (letzter Block in Tabelle 2-3).

317

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Berechnung der Einheits-Geschoßbeiträge an den Schnittgrößen

Tabelle 2-3 Wand

I

γa

Teilquerschnitt 1 3 4 3,00 45 2 17 3,00 45 4 6 3,00 30 17 1 1,00 30 7 3 4,00 45 60 17 5 2,00 60

γb

α

β

bq

30 30 30

0,366 0,366 0,500 1,000 0,275 0,549 0,433 0,000 0,000

0,634 0,634 0,500 0,000 0,275 0,000 0,000 0,549 0,433

1,098 1,098 0,866 0,577 1,098 1,902 1,500 1,902 1,500

45

60 60

5 4 2,00

sy

va sz

Mω

sy

ve sz

Mω

2,000 2,000 -1,000 -1,000 2,000

-1,625 2,375 -1,625 2,375 2,375

2,243 3,234 -4,163 8,828 3,234

-1,000 -1,000 -4,000 -2,000 2,000

-1,625 2,375 -1,625 2,375 -1,625

-4,163 8,828 -10,569 10,692 2,243

-1,000 2,375

45 8,213 10 7 5,00 45

-1,000 0,375 -9,667 -1,000 -1,625 -4,163 von

4,0

Balken: 18,0

30 45

Teilquerschnitt 3 14 13 1,00

3,0 3,0 3,0 1,0 4,0

8,828 -1,000 0,375 -9,667

Teilquerschnitt 2 10 11 4,00

N Wand Decke

0,458 0,542 1,566 1,375 1,000 -13,816 1,375 -3,000 9,193 1,000 0,000 0,577 0,366 0,366 1,830 1,375 1,000 -13,816 -3,625 1,000 15,507 von Balken:

4,0 5,0 9,0

1,000 0,000 0,366 0,915 0,289 0,244 0,366 0,244

1,000 3,170 1,268 3,170 1,500 1,268 0,732 0,732

0,250 0,000 0,500 0,750 1,000 0,915 0,866 0,000 0,000 0,500 0,366

0,750 1,000 0,500 0,250 0,000 0,000 0,000 1,000 0,289 0,289 0,634

0,433 0,577 0,866 0,750 1,000 3,170 1,500 0,577 1,500 1,500 1,830

1,438 1,313 -11,980 0,438 1,313 -11,116

1,0

0,438 1,313 -11,116 -1,563 1,313 -9,386

2,0

0,438 1,313 -11,116 0,438 -1,688 15,141

3,0

0,438 -1,688 15,141 -1,563 -1,688 10,871 -1,563 1,313 -9,386 -1,563 -1,688 10,871 von Balken: Beiträge der Balken zwischen den Teilquerschnitten

2,0

13 12 2,00 13 15 3,00 15 16 2,00 12 16 3,00

1 11 2,00

45

0,000 0,000 0,634 0,000 0,500 0,423 0,634 0,423

45 45 45 30 30

30

6 15 3,00

30 45 18 14 2,00 26,565 60 11 18 1,00

60

18 6 3,00

45

7 12 5,00

45

60 60 60 60 45 45

30 16,102 30 45

30 60 60 30

Hinweis: Nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen können die Auflagerkräfte (für beidseits gleichartige Lagerung) genauso berechnet werden wie die Schnittgrößen – als Produktintegrale der Belastung und den (dreieckigen) Verrückungsbildern (Gleichung (1-10), Term „qD“ mit (va, ve) = (1, 0) und (0, 1) für A bzw. B). In Bild 2-7 wird deutlich, dass die Summe der Auflagerkräfte der „Summe“ der

-2,000 2,375 10,692 1,375 -3,000 9,193 -4,000 -1,625 -10,569 0,438 -1,688 15,141 0,031 -2,656 4,253

1,438 1,313 -11,980

1,375 -3,000 9,193

0,031 -2,656 4,253

0,031 -2,656 4,253 -4,000 -1,625 -10,569 -3,625 1,000 15,507 -1,563 1,313 -9,386

Bild 2-7

Berechnung der Auflagerkräfte

8,0 0,3 0,4 0,6 0,3 0,3 1,2 0,3 0,2 2,2 1,3 2,5

1,6 1,6 1,3 0,3 3,2 2,8 2,4 2,8 2,4 5,9 24,2 3,1 1,2 5,8 7,8 17,9 0,5 3,2 1,3 3,4 2,7 2,5 0,7 1,5 6,1 22,0 0,2 0,2 0,6 0,4 0,7 2,3 0,6 0,1 1J 1,5 2,1

s

MY

s

MZ

s

MW

0,3 0,3 -3,2 -0,5 6,4 -3,0 -2,4 -2,6 -2,3

-2,4 -2,4 3,6 9,9 -2,1 -9,6 0,9 3,6 1,2 8,7 4,9 6,7 3,9 4,1 -2,5 -15,4 -2,0 -14,1

4,2 2,1 -6,5

-3,4 -5,0 0,0 -12,4 5,8 4,9

0,1 3,0 -0,6 -3,5 1,2 1,1 -0,3 -2,4

0,4 4,2 1,8 3,4 0,0 -0,1 -1,3 -0,1

-3,7 -36,6 -14,4 -24,4 1,1 1,8 10,7 -0,4

0,1 -0,5 3,5 0,5 -1,2 3,5 -2,3 -2,2 3,0 0,5 -1,1 -1,4 0,5 -2,2 0,3 1,8 -6,9 -0,3 1,0 -3,0 8,1 0,0 -0,5 0,8 -8,7 -7,8 -16,3 -4,9 -6,3 -6,4 -10,0 4,9 2,6 -29,8 -10,5 -89,6

11

318

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Dreiecke entspricht, die sich zu dem Rechteck ergänzen, das zur Berechnung des Balkenbeitrags zur Schnittkraft N verwendet wird (Verschiebungszustand „1“). Bei 17 Geschossen ergibt sich in der Einspannebene mit den Ergebnissen der Tabelle 2-3 der Schnittgrößenzustand: § N1 · § −498,5 · § −5483,5 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ N V = ¨ N 2 ¸ = 11 ⋅ ¨ −331, 7 ¸ = ¨ −3648, 7 ¸ kN ¨N ¸ ¨ −363, 6 ¸ ¨ −3999, 6 ¸ © 3¹ © ¹ © ¹ § −MZ · § 298, 4 kNm · § 3282,4 kNm · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ M V = ¨ M Y ¸ = 11 ⋅ ¨ 104,9 kNm ¸ = ¨ 1153,9 kNm ¸ ¨ −M ¸ ¨ 896, 2 kNm 2 ¸ ¨ 9858,2 kNm 2 ¸ W¹ © © ¹ © ¹

2.3.2 Windlast (EDIN 1055-4) Es wird mit den Lastannahmen für quaderförmige Baukörper gerechnet. Als Windangriffsbreite wird die Gesamtbreite der Bausilhouette und als Bauwerkstiefe die Gesamttiefe des Gebäudes angesetzt. Die Windlastannahmen werden für die Richtungen Y- und Zgetroffen. Abweichende Windrichtungen – etwa in Richtung der Hauptachsen könne daraus abgeleitet werden:

11

ϕq

wYd

= qwYd cos ϕ

ϕq

wZd

= qwZd sin ϕ

in beiden Richtungen gleichzeitig wirkend. Die auf das Gebäude einwirkenden Lasten gibt Bild 2-8 wieder. Grundlage der Berechnung sind Gleichungen (1-11) – (1-14) und Bild 1-5 – Bild 1-7.

Bild 2-8

Windlast

Wind in Y-Richtung: bY /d Y = 8 m/11 m = 0, 727

Bild 1-6:

cf0,Y = cf0 (0, 727) = 2,373

Gleichung (1-14):

33 − 15 · 33 § b < h, 15 < h < 50 m λeff Y = ¨ 2 − 0, 6 ⋅ = 6,98 ¸ 35 ¹ 8 ©

Bild 1-7:

ψ ȜY = 0, 684 0,24

§ x [m−1]· Gleichungen (1-11) – (1-13): qwYd = 1,5⋅1⋅ 0,684 ⋅ 2,373⋅ 8,0 ⋅ 2,1⋅ 0,48⋅ ¨ ¸ © 10 ¹

0,24

§ x [m−1]· = 19,64 ⋅ ¨ ¸ © 10 ¹

kN m

319

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

An den Abschnittsgrenzen ergeben sich die Werte qYw d (8 m) = 18, 62 kN/m; qYwd (25 m) = 24, 47 kN/m; qYwd (33 m) = 26,16 kN/m .

Der Einwirkungsschwerpunkt in Bezug auf die Drillruheachse ist anzusetzen mit eZw = Z M B b(Y) /10 = −1,865 B 8, 0/10 = −2, 665/ − 1, 065 [m] .

Daraus folgt eine Torsionseinwirkung von mt w d(Y) = {−2, 665 m, − 1, 065 m} ⋅ qYw d Tabelle 2-4 Zusammenstellung der Windeinwirkung

Die Änderung der Einwirkung im mittleren Abschnitt beträgt Breite mime maxe Breite mime maxe 8,0 -2,665 -1,065 11,0 4,152 6,352 24, 47 − 18, 62 ' qYwd = X qwd minmwd maxmwd X qwd minmwd maxmwd 25, 0 − 8, 0 33,0 26,16 -69,72 -27,86 33,0 28,51 118,36 181,07 kN 25,0 24,47 -65,22 -26,06 22,0 25,86 107,38 164,28 = 0, 344 2 8,0 18,62 -49,62 -19,83 11,0 21,90 90,93 139,11 m 0,0 18,62 -49,62 -19,83 0,0 21,90 90,93 139,11 Entsprechend errechnen X q'wd minm'wd maxm'wd X q'wd minm'wd maxm'wd sich die Änderungen der 25,0 0,344 -0,918 -0,367 22,0 0,360 1,496 2,289 Torsionseinwirkung. Tabelle 2-5 Querkräfte und Torsionsmomente an den Abschnittsgrenzen Die Ergebnisse für beide Windrichtungen sind in Wind in Y-Richtung Wind in Z-Richtung Tabelle 2-4 zusammenX VYwd minVWwd maxVWwd X VZwd minVWwd maxVWwd gefasst. Wind in Y-Richtung 2,373 -1,865

ψλ,cf,0,ZM: 0,684

33,0 25,0 8,0 0,0

0,0 209,3 575,6 724,5

0,0 -557,7 -1533,9 -1930,8

Wind in Z-Richtung 1,919 5,252

ψλ,cf,0,ZM: 0,671

0,0 -222,9 -613,0 -771,6

33,0 22,0 11,0 0,0

0,0 313,6 576,3 817,2

0,0 1302,0 2392,7 3392,9

0,0 1991,8 3660,5 5190,6

Tabelle 2-6 Biege- und Wölbbimomente an den Abschnittsgrenzen X

Wind in Y-Richtung –MZwd –minMWwd –maxMWwd

33,0 0,0 25,0 -837,1 8,0 -7649,2 0,0 -12849,4

0,0 2230,9 20385,1 34243,7

X

Wind in Z-Richtung –MYwd –minMWwd –maxMWwd

0,0 33,0 0,0 891,5 22,0 -1724,7 8146,4 11,0 -6658,7 13684,6 0,0 -14322,6

0,0 -7160,7 -27647,1 -59467,6

0,0 -10955,0 -42296,4 -90977,4

Mithilfe der Abschnittsgrenzwerte qi, Vi und Mi können die Ergebnisse für V und M in beliebigen Schnitten mit den Gleichungen (1-15) und (1-16) berechnet werden.

2.4 Bemessungswerte der Wand-Normalkräfte Zur Bemessung werden die Wände im allg. in Abschnitte aufgeteilt, die sich nach den Abmessungen der Bewehrungselemente (Baustahlmatten) richten sollten. Für die Grenzpunkte werden die extremen Liniennormalkräfte = Normalspannungen×Wanddicke (Gleichung (1-29)) als Bemessungsgrundlage berechnet. Wegen der zahlreichen Bemessungsstellen ist es nicht zweckmäßig, nach Gleichung (1-33) zu verfahren. Weitaus einfacher ist es, Gleichung (1-30) unmittelbar zugrunde zu legen. Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms gewinnt man sämtliche erforderlichen Spannungswerte in einem Arbeitsgang.

11

320

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

In Tabelle 2-7 werden die Linien-Normalkräfte der Wände berechnet. Dabei werden im Beispiel nur die Eck- und Endpunkten der Wände (Punkte 1 … 16) und diese nur in der Einspannebene betrachtet. Bei einheitlicher Wanddicke t erhält man im Teilquerschnitt i nach Gleichung (1-30) für den Lastfall lf: § Ni,lf · = t¨ + i a TM ⋅ A −M1 ⋅ M lf ¸ . © Ai ¹ in ist ein Tupel, dessen Werteanzahl der Zahl der betrachteten Punkte im Teilquerschnitt i entX spricht (im Beispiel 6 für Teilquerschnitt 1 und je 5 für die Teilquerschnitte 2 und 3). Die einzelnen Lastfälle müssen aber nicht gesondert behandelt werden. Vielmehr werden sie besser zu einer Matrix zusammengesetzt und gemeinsam berechnet (M in Tabelle 2-7): in

Xlf

§ − M Z,1 − M Z,2 − M Z,nlf · § 1 · ¨ ¸ − T 1 i Ni + a M ⋅ A M ⋅ M ¸ mit M = ¨ M Y,1 , M Y,2 ... M Y,nlf ¸ . X = t¨ © Ai ¹ ¨ ¸ © − M W,1 − M W,2 − M W,nlf ¹ Entsprechend verhält es sich mit Ni. in inX besitzt so viele Wertetupel wie Lastfälle existieren, nämlich nlf. Die Lastfälle 1 und 2 betreffen die Vertikallasten, wobei sich LF 1 auf das Mindesteigengewicht G bezieht und LF 2 auf die größte anzunehmende Vertikallast γ G ⋅ G + γ Q ⋅ ψ ⋅ Q . in

Wandnormalkräfte nX in der Einspannebene

Tabelle 2-7 AM 15,135 0,881 0,000

11

0,881 14,460 0,000

1 0,000 0,000 386,227

2

3

Lastfall 4

minG moxG+Q WY(–e) -Mz= -692,6 -1154,3 MY= 1969,4 3282,4 -Mw= -5914,8 -9858,1

t · AM–1 1.326E-02 -8.082E-04 0.000E+00 -8.082E-04 1.388E-02 0.000E+00 0.000E+00 0,000E+00 5.178E-04

-10,78 27,90 -3,06

-17,96 46,49 -5,10

WY(–e) M -12849,4 -12849,4 0,0 0,0 34243,7 13684,6 –1 t · AM · M -170,40 -170,40 10,38 10,38 17,73 7,09 1n

Punkt minN1d = maxN1d = A1 = minn1d = maxn1d =

-2125,1 kN -4520,8 kN 3,200 m2 -132,8 kN/m -282,6 kN/m

1 -77,8 2 -98,0 3 -206,6 4 -154,6 5 -82,0 6 -102,7

-190,8 -224,6 -405,5 -318,9 -197,8 -232,3

555,1 -258,8 -317,9 79,7 2,9 477,3

minN 2d = maxN2d = A2 = minn2d = maxn2d =

-1097,1 kN -2346,8 kN 1,600 m2 -137,1 kN/m -293,4 kN/m

7 -117,7 8 -96,1 9 -88,9 10 -81,7 11 -263,8

-260,9 -225,0 -213,0 -201,0 -504,5

903,1 79,9 -194,5 -468,9 -102,4

minN3d = maxN3d = A3 = mmn3d = maxn3d =

-1011,7 kN -2177,3 kN 1,600 m2 -63,2 kN/m -136,1 kN/m

12 19,0 13 2,7 14 -5,4 15 -161,4 16 -126,8

0,9 -26,2 -39,7 -299,7 -242,0

113,4 -258,0 -443,8 176,4 441,5

2

3

5

6

WZ(–e)

WZ(–e)

0,0 0,0 -14322,6 -14322,6 -59467,6 -90977,4 11,57 11,57 -198,80 -198,80 -30,79 -47,11

x

441,2 -293,2 -341,8 124,0 105,8 589,8

-824,6 -548,6 277,1 439,7 211,6 602,2

-999,0 -601,3 240,5 507,6 369,3 774,7

738,0 102,1 -109,9 -321,8 -200,3

-718,3 -141,8 50,4 242,6 329,2

-971,3 -107,7 180,1 468,0 179,2

213,4 -139,7 -316,2 15,2 325,8

10,0 86,4 124,6 -125,7 -17,4

163,2 267,8 320,1 -372,8 -194,7

nx

nx

kN/m

AM enthält die Überträge aus der Querschnittswerteberechnung (Tabelle 2-2), t ⋅ A −M1 die mit der Wanddicke multiplizierte Inverse dazu. In M unter „Lastfall“ 1 und 2 sind die Ergebnisse für die Vertikallast zusammengestellt. Die „Einheitsergebnisse“ nach Tabelle 23 werden mit den Lastannahmen (11.3.1) für min G bzw. max (G + Q) vervielfacht. Die zugehörigen Normalkraftanteile in den Teilquerschnitten sind links unten aufgeführt. Die Daten der Windlastfälle 3 – 6 entstammen Tabelle 2-6 Der nX-Block rechts unten enthält die Wandnormalkräfte in den ausgezeichneten Punkten als Matrizenprodukt der Einheitsverschiebungen (Tabelle 21) und t · A −M1 · M.

321

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Tabelle 2-8 Punkt

Überlagerung zur Ermittlung der Extremwerte

G+W G+Q+W +WY–e –WY–e +WY+e –WY+e +WZ–e –WZ–e +WZ+e –WZ+e +WY–e –WY–e +WY+e –WY+e +WZ–e –WZ–e +WZ+e 1

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

–WZ+e

1

nX(G+W)

nX(G+Q+W)

477,3 -632,8 363,5 -519,0 -902,3 746,8 -1076,8 921,3 364,3 -745,9 250,4 -632,0 -1015,4 633,8 -1189,8 808,2 -356,8 160,8 -391,2 195,2 -646,6 450,6 -699,4 503,3 -483,3 34,2 -517,8 68,7 -773,1 324,0 -825,9 376,8 -524,5 111,3 -548,3 135,2 70,5 -483,7 33,9 -447,1 -723,4 -87,6 -747,2 -63,7 -128,4 -682,6 -165,0 -646,0 -74,9 -234,3 -30,6 -278,6 285,0 -594,3 353,0 -662,2 -239,2 -398,6 -194,9 -442,9 120,8 -758,6 188,7 -826,5 -79,1 -84,8 23,8 -187,8 129,6 -293,5 287,3 -451,3 -194,9 -200,7 -92,0 -303,6 138 -409,4 171,5 -567,1 374,6 -580,0 487,1 -692,5 499,5 -704,9 672,0 -877,3 245,0 -709,6 357,5 -822,1 369,9 -834,5 542,3 1007,0 2 nX`(G+W) 785,4 -1020,7 620,3 -855,6 -836,0 -16,2 -176,0 60 -198,2 -237,9 283,4 105,6 -198,8 20,9 -38,5 550,7 387,2 -403,6 240,1 160,8 366,2 -161,4 -464,1 -63,5 65,4

132,4 -94,5 232,3 -255,3 260,7 -137,0 -449,2 438,3 -321,6 150 -337,8 -146,2 314,7 -568,3 199,0

3 nX(G+W) -194,4 29,0 142,4 89,2 310,8 1192 -176,6 -287,1 -452,5 -144,1

600,6 -1089,0 853,6 642,1 -11640 45,6 -203,8 11,6 -145,1 -304,9 -139,3 91,2 -269,1 -407,5 -185 -324,3 386,3 -549,8 -669,9 267,9 -593,0 84,6 -443,0 -606,9 -402,0 89 182,2 -83,7 270,5 -130,1 3147 -35,7 -534,2 -109,4 -321,5

477,0 -122,9 -322,9 -522,8 -704,8

2 nX(G+Q+W) -998,9 -979,2 457,4 -1232,2 7104 -327,1 -366,8 -83,2 -332,7 -117,3 -103,1 -162,6 -263,4 -32,9 -393,2 120,8 41,5 -443,6 267,0 -669,0 -304,2 -175,2 -833,7 -325,2 -683,7

3 nX(G+Q+W) -144,2 114,3 -112,5 214,3 -212,4 11,0 91 164,1 -162,3 -265,1 -284,2 231,9 -165,9 113,5 60,3 -112,6 241,6 -294,0 -325,5 -483,5 404,0 -355,9 276,5 84,9 -164,4 280,4 -359,8 211,4 -123,3 -476,1 -284,5 -314,9 -425,4 -174,0 -672,5 73,1 68,0 199,5 -683,5 83,8 -567,7 -259,3 -224,6 -436,7 -47,2 kN/m

11

Bild 2-9

Liniennormalkräfte in der Einspannebene [kN/m]

322

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Die Lastfälle 3 und 4 behandeln die Windeinwirkung in Y-Richtung und die Fälle 5 und 6 die Windeinwirkung in Z-Richtung und zwar jeweils mit der negativen bzw. der positiven Angriffsausmitte (± b/10). In Tabelle 2-8 werden die Ergebnisse aus Tabelle 2-7 für die Lastfälle 1 und 2 (Vertikallast) mit denen der Lastfälle 3 – 6 (Windlast) überlagert, wobei auch die umgekehrte Windrichtung zu berücksichtigen ist: Linker Tabellenblock: LF 1 ± LF 3 – 6, Rechter Tabellenblock: LF 2 ± LF 3 – 6. (In der Einspannebene sollten wegen der Schubverformung (Bild 1-3) vor allem bei Punkten 7 und 8 die Werte in der Größenordnung von 15 % angehoben werden. In den höher liegenden Bereichen ist dies nicht erforderlich) In Bild 2-9 sind die Wandnormalkräfte in der Einspannebene grafisch dargestellt.

2.5 Bemessungswerte der Schubkräfte

11

Schubkräfte sind in jedem Fall zu beachten, wenn Teilquerschnitte über Öffnungsschwächungen hinweg gebildet werden (Teilquerschnitt 2). Ihre Werte werden zur Bemessung der Stürze und Brüstungen benötigt. Mehrere Berechnungsvarianten stehen zur Verfügung, z.B. Gleichung (1-35). Liegen aber die Wandnormalspannungen in benachbarten Gebäudeschnitten, etwa UK-Geschoss ohnehin für die Bemessung der Wände schon vor, dann können die Sturzquerkräfte eines Geschosses (oder mehrerer aufeinander folgender) aus der Differenz der Spannungsintegrale an Ober- und Unterfläche der Gebäudeschicht gebildet werden. Die Spannungswerte in den Punkten 7 und 8 liegen für UK 0. Geschoss vor (Tabelle 2-7). Zur Berechnung der entsprechenden Werte UK 1. Geschoss müssen zunächst die Schnittmomente für die sechs Lastfälle ermittelt werden. Für Vertikallasten ergeben sie sich aus dem Verhältnis der belastenden Geschosse (10/11) aus den Ergebnissen für das 0. Geschoss, für die Windlasten nach Gleichung (1-16). § −692, 6 −1154,3 · § −629, 6 −1049, 4 · 10 ¨ ¸ ¨ ¸ M LF1,2 ( X = 3, 0) = ¨ 1969, 4 3282, 4 ¸ = ¨ 1790, 4 2984, 0 ¸ [kN, m] 11 ¨ ¸ ¨ ¸ © −5914,8 −9858,1 ¹ © −5377,1 −8961,9 ¹

0 · § 18, 62 18, 62 · § 0 ¨ ¸ ¨ ¸ q1,LF3,4 = ¨ 0 0 ¸ ; q1,LF5,6 = ¨ 21,90 21,90 ¸ ; = 0 [kN, m] ¨ −49, 62 −19,83 ¸ ¨ 90,93 139,11¸ © ¹ © ¹ 575, 6 · 0 0 · § 575, 6 § ¨ ¸ ¨ ¸ V1,LF3,4 = ¨ 0 0 ¸ ; V1,LF5,6 = ¨ 576,3 576,3 ¸ [kN, m] ¨ −1533,9 −613, 0 ¸ ¨ 2392, 79 3660,5 ¸ © ¹ © ¹ 0 0 § −7649, 2 −7649, 2 · § · ¨ ¸ ¨ ¸ M1,LF3,4 = ¨ M = − − 0 0 ; 6658, 7 6658, 7 1,LF5,6 ¸ ¨ ¸ [kN, m] ¨ 20385,1 8146, 4 ¸ ¨ −27647,1 −42296, 4 ¸ © ¹ © ¹ ΔX (1)LF3,4 = 8,0 − 3,0 = 5,0 m; ΔX (1)LF5,6 = 11,0 − 3,0 = 8,0 m

323

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

· § −7649,2 −7649, 2 · § § 575,6 575,6 · § 18,62 18,62 · ¸ ¨ ¸ ¨¨ ¸ 1¨ ¸ MLF3,4 ( X = 3,0) = ¨ 0 0 ¸ −¨¨ 0 0 ¸+ ¨ 0 0 ¸ ⋅ 5,0 ¸ ⋅ 5,0 2 ¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¸ © 20385,1 8146,4 ¹ © © −1533,9 −613,0 ¹ © −49,62 −19,83¹ ¹ § −10759,7 −10759,7 · ¨ ¸ =¨ 0 0 ¸ [kN, m] ¨ 28674,6 11459,1 ¸ © ¹ 0 § ¨ MLF5,6 ( X = 3,0) = ¨ −6658,7 ¨ © −27647,1 0 § ¨ = ¨ −10924,1 ¨ −49698,1 © Tabelle 2-9 Pkt

0 0 · § 0 0 · · · §§ 0 ¸ ¸ ¨¨ ¸ 1¨ ¸ −6658,7 ¸ − ¨ ¨ 576,3 576,3 ¸ + ¨ 21,90 21,90 ¸ ⋅8,0 ¸ ⋅8,0 2 ¸ −42296,4 ¹¸ ©¨ ©¨ 2392,79 3660,5 ¹¸ ©¨ 90,93 139,11¹¸ ¹ 0 · ¸ −10924,1¸ [ kN, m] −76031,4 ¸¹

Berechnung der Schubkraft 8 – 9 im 0. Geschoss

X 0,00 m 7 3,00 m Δ7 0,00 m 8 3,00 m Δ8 l7-8 = 3,0 m ΔN7-8 = LF 1 + | LF 3-6 | LF 1 – | LF 3-6 |

1 – 117,7 – 107,0 – 10,7 – 96,1 – 87,4 – 8,7

2 – 260,9 – 237,2 – 23,7 – 225,0 – 204,5 – 20,5

3 903,1 756,2 146,9 79,9 66,9 13,0

4 738,0 617,9 120,0 102,1 85,5 16,6

5 – 718,3 – 582,7 – 135,6 – 141,8 – 103,4 – 38,3

6 – 971,3 – 794,2 – 177,1 – 107,7 – 75,0 – 32,7

– 29,2

– 66,3

239,8 210,6 – 306,0

204,9 175,8 – 271,2

– 260,9 231,7 – 327,1

– 314,8 285,7 – 381,1

In Tabelle 2-9 sind die Normalkraftdifferenzen in den Punkten 7 und 8 (siehe unter 2.4) in den Schnitten unterhalb (X = 0 m) und oberhalb (X = 3,0 m) des zu bemessenden (0.) Geschosses ermittelt (Zeilen Δ). Das Produkt der Wandlänge mit dem Mittelwert der Werte für Punkt 7 und Punkt 8 ergibt die rechnerische Schubkraft in Sturz/Brüstung zwischen den Punkten 8 und 9 im untersten (0.) Geschoss. In der Nähe der Einspannebene wird die rechnerische Schubkraft allerdings wegen der Umlagerung (Bild 1-3) deutlich geringer ausfallen; ein großer Teil fließt in den Unterbau. In den darüber liegenden Ebenen bildet der Rechenwert eine verlässliche Bemessungsgrundlage.

11

Geotechnik Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Johannes Feiser

Inhalt Geotechnik................................................................................................................................... 325 1 Flach- und Flächengründungen.............................................................................................. 327 1.1 Vereinfachte Bemessung des Einzelfundamentes einer Bauwerksstütze mit Hilfe der Tafeln für den aufnehmbaren Sohldruck............................................... 327 1.2 Ausführlicher Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelfundamentes für die Stütze eines Hallenrahmens mit großer Spannweite ....................................... 328 1.3 Nachweis der Lagesicherheit eines Speicherbeckens im Grundwasser...................... 332 1.4 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eines Stützenfundamentes bei Gründung auf geschichtetem Baugrund ..................................................................... 335 2 Pfahlgründungen.................................................................................................................... 337 2.1 Nachweis der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit eines Einzelpfahles aufgrund von Erfahrungswerten für den Pfahlwiderstand ................... 338 2.2 Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelpfahles aufgrund der Widerstandsermittlung durch drei Probebelastungen ................................................. 342 3 Baugrubenumschließungen.................................................................................................... 345 3.1 Nachweis der Tragfähigkeit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Trägerbohlwandverbaus ................................................................ 346 3.2 Nachweis der Tragsicherheit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Spundwandverbaus........................................................................ 351

1 Flach- und Flächengründungen Die geotechnischen Nachweise zur Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Flach- und Flächengründungen sind in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ) in Kapitel 6 behandelt. Je nach den vorhandenen Randbedingungen kann die Gründungsbemessung in vereinfachter Form oder ausführlich durch den zuverlässigen Ausschluss möglicher Versagensmechanismen und die Einhaltung zulässiger Verformungen erfolgen. Bei einfachen Baugrundverhältnissen (Geotechnische Kategorie GK1) reicht häufig eine vereinfachte Gründungsbemessung nach dem aufnehmbaren Sohldruck aus. Bei den für schwierigere Randbedingungen (Baugrund und/oder Bauwerk) maßgebenden Geotechnischen Kategorien GK2 oder GK3 muss wie folgt eine ausführliche Bemessung erfolgen: Nachweis der Tragfähigkeit für den GZ1B (Sicherheit gegen Kippen, Grundbruch, Gleiten und Materialversagen), ggf. zusätzlich für den GZ1A (Sicherheit gegen Aufschwimmen oder Abheben), Nachweis der Gebrauchstauglichkeit für den GZ2 (Zulässigkeit der Ausmitte der Sohldruckresultierenden, Verschiebungen, Setzungen und Verdrehungen).

1.1 Vereinfachte Bemessung des Einzelfundamentes einer Bauwerksstütze mit Hilfe der Tafeln für den aufnehmbaren Sohldruck Bei diesem vereinfachten Verfahren wird der rechnerische (einwirkende charakteristische) Sohldruck dem aufnehmbaren Sohldruck gegenübergestellt: σvorh ≤ σzul, σvorh – rechnerischer Sohldruck, ggf. auf eine reduzierte Fundamentsohlfläche bezogen, mit σzul – aufnehmbarer Sohldruck nach Tafeln der BZ, ggf. erhöht bzw. abgemindert. Da der Nachweis auf der Grundlage der charakteristischen Beanspruchungen erfolgt, sind keine von 1,00 verschiedenen Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen.

Schnittgrößen auf OK Fundament aus der ungünstigsten Kombination der vorhandenen Einwirkungen: Ständige Last, vertikal: VG,k = 1000 kN Veränderliche Last, vertikal: VQ,k = 500 kN Veränderliche Last, horizontal: HQ,k = 150 kN Homogener Baugrund: Bodengruppe UL, Konsistenz steif – halbfest Bild 1-1

Fundament und Belastung

328

Geotechnik

Ermittlung der charakteristischen Beanspruchungen in der Gründungssohle: Eigengewicht des Fundamentes: Gk = 3,00 ⋅ 3,00 ⋅ 1,20 ⋅ 25,0 = 270 kN Charakt. Vertikalbeanspruchung: Vk = 1000 + 270 = 1270 kN (G) = 500 kN (Q) = 1770 kN (G + Q) Charakt. Horizontalbeanspruchung: Hk = 150 kN (Q) e=0m (G) Ausmitte: a) wegen HG,k = 0 b) e = MHQ/Vk = 150⋅1,20/1770 = 0,10 m (G + Q) Neigung der Resultierenden: Hk/Vk = 150/1770 = 0,085 (G + Q) Prüfung der Zulässigkeit des vereinfachten Bemessungsverfahrens: • Geländeoberfläche und Schichtgrenzen annähernd horizontal ? • Baugrund bis t = 2 ⋅ b in ausreichender Festigkeit ? • Fundament nicht dynamisch beansprucht bzw. Porenwasserdruck ? • resultierende charakteristische Sohlbeanspruchung (Hk/Vk ≤ 0,2) ? • zulässige Ausmitte der resultierenden charakteristischen Sohlbeanspruchung (e < b/6 (G) bzw. b/3 (G + Q)) ?

erfüllt erfüllt erfüllt erfüllt erfüllt

Ermittlung des Bemessungswertes des einwirkenden Sohldruckes: Aufgrund der durch die veränderliche Horizontallast bedingten Ausmitte wird für die Berechnung eine reduzierte Fundamentsohlfläche maßgebend: a = 3,00 m, b' = b – 2 ⋅ eb = 3,00 – 2 ⋅ 0,10 = 2,80 m A' = a · b' = 3,0 ⋅ 2,8 = 8,4 m2 Vertikale Gesamtbeanspruchung: Vk = 1770 kN Einwirkender charakteristischer Sohldruck: σvorh = Vk/A' = 1770/8,4 = 211 kN/m2 Ermittlung des Bemessungswertes des aufnehmbaren Sohldruckes: Grundwert aus Tafel 6-2 (BZ), Tabelle 3 (für t = 1,20 m): σzul = 196 kN/m2 Erhöhung für Rechteckfundament a/b < 2 um 20 %: σzul = 1,2 ⋅ 196 = 235,2 kN/m2 Abminderung wegen a = b > 2 m um 10 % pro m Mehrbreite: σzul = 235,2 ⋅ (1 – 0,1) = 212 kN/m2 Vereinfachter Nachweis:

σvorh = 211 kN/m2 < σzul = 212 kN/m2.

12

Mit dem vereinfachten Nachweis ist auch die Sicherheit für den GZ1B nachgewiesen. Für das aufgehende Bauwerk sollten dabei Setzungen in einer Größenordnung von 2 bis 4 cm verträglich sein.

1.2 Ausführlicher Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelfundamentes für die Stütze eines Hallenrahmens mit großer Spannweite Beim ausführlichen Nachweis der Tragfähigkeit sind die Versagensfälle Kippen, Gleiten und Grundbruch zu untersuchen sowie die Sicherheit gegen Materialversagen nachzuweisen. Die Sicherheit gegen Kippen ist nachgewiesen, wenn die aus ständigen und veränderlichen (charakteristischen) Einwirkungen ermittelte Sohldruckresultierende innerhalb der sogenannten 2. Kernweite angreift. Die für den Grenzzustand GZ1B zu untersuchende Sicherheit gegen Gleiten ist nachgewiesen, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Td ≤ Rt,d + Ep,d

329

1 Flach- und Flächengründungen

Td

Bemessungswert der parallel zur Sohlfläche gerichteten Komponente der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination horizontaler Einwirkungen, Rt,d Bemessungswert des in der Sohlfläche verfügbaren Gleitwiderstandes, Ep,d Bemessungswert der sohlflächenparallelen Komponente des Erdwiderstandes. Die für den Grenzzustand GZ1B zu untersuchende Sicherheit gegen Grundbruch ist nachgewiesen, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Nd ≤ Rn,d , Nd

Bemessungswert der rechtwinklig zur Sohlfläche gerichteten Komponente der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination vertikaler Einwirkungen, Rn,d Bemessungswert des Grundbruchwiderstandes, berechnet aus dem nach DIN 4017 ermittelten charakteristischen Grundbruchwiderstand. Die Sicherheit gegen Materialversagen ist nach den für den jeweils verwendeten Baustoff gültigen Bauartnormen zu führen und daher kein geotechnischer Nachweis. Da die genannten Nachweise mit den Bemessungswerten für Beanspruchungen und Widerstände erfolgen, sind entsprechende Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen. Schnittgrößen auf OK Fundament aus der ungünstigsten Kombination der vorhandenen Einwirkungen: Ständige Last, vertikal: VG,k = 900 kN Veränderliche Last, vertikal: VQ,k = 80 kN Ständige Last, horizontal: HG,k = 200 kN

Bild 1-2

Fundament und Belastung

Veränderliche Last, horizontal: HQ,k = 50 kN Homogener Baugrund: Bodengruppe UM, γ = 20 kN/m3, ϕ' = 27,5° , c' = 5 kN/m2

Ermittlung der charakteristischen Beanspruchungen in der Sohlfläche: Eigengewicht des Fundamentes: Gk = 2,50 ⋅ 1,50 ⋅ 0,80 ⋅ 25,0 = 75 kN Charakt. Vertikalbeanspruchung: Vk = Nk = 900 + 75 = 975 kN = 80 kN = 1055 kN Charakt. Horizontalbeanspruchung: Hk = Tk = 200 kN = 50 kN = 250 kN

(G) (Q) (G + Q) (G) (Q) (G + Q)

Eine vereinfachte Bemessung mit Hilfe der Tafeln für den aufnehmbaren Sohldruck ist im vorliegenden Fall nicht möglich, da eine der Bedingungen (Neigung der Gesamtresultierenden aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen (G + Q)) Tk/Nk = 250/1055 = 0,24 < 0,20 (!) nicht erfüllt wird. Die Tragfähigkeit ist daher explizit für die Versagensarten Kippen, Gleiten und Grundbruch nachzuweisen. Ermittlung der Bemessungswerte der Beanspruchungen in der Sohlfläche: Für die Komponente senkrecht zur Sohlfläche: Nd = NG,k ⋅ γG + NQ,k ⋅ γQ

12

330

Geotechnik

= 975 ⋅ 1,35 + 80 ⋅ 1,50 = 1436 kN (LF1) = 975 ⋅ 1,20 + 80 ⋅ 1,30 = 1274 kN (LF2) Für die Komponente parallel zur Sohlfläche: Td = TG,k ⋅ γG + TQ,k ⋅ γQ = 200 ⋅ 1,35 + 50 ⋅ 1,50 = 345 kN (LF1) = 200 ⋅ 1,20 + 50 ⋅ 1,30 = 305 kN (LF2) (mit γG, γQ – Partialsicherheitsbeiwerte für Einwirkungen bzw. Beanspruchungen nach Tafel 5-1 (BZ)). Die angegebenen veränderlichen Beanspruchungen sollen aus regelmäßig während der Funktionszeit des Bauwerkes auftretenden Einwirkungen resultieren und sind damit sämtlich dem Lastfall 1 zuzuordnen. Der Lastfall 2 soll hier nur den denkbaren Fall berücksichtigen, dass während der Funktionszeit des Bauwerkes auch Abgrabungen auf der Seite des Erdwiderstandes (z.B. späteres Verlegen einer Grundleitung, Reparaturarbeiten o.ä.) vorgenommen werden. Damit unterscheiden sich die für die Lastfälle 1 und 2 zu führenden Nachweise lediglich durch den bei den Widerständen anzusetzenden passiven Erddruck. Nachweis der Sicherheit gegen Kippen Für die aus den charakteristischen Werten der Gesamtbeanspruchung (G + Q) berechnete Ausmitte ergibt sich: e = (MG,k + MQ,k)/(NG,k + NQ,k) = (200 ⋅ 0,80 + 50 ⋅ 0,80)/(975 + 80) = = 200/1055 = 0,19 m < b/3 = 2,50/3 = 0,83 m Der Angriffspunkt der Resultierenden aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen liegt damit innerhalb der 2. Kernweite der Fundamentfläche, womit die Kippsicherheit nachgewiesen ist.

12

Nachweis der Sicherheit gegen Gleiten Maßgebend für den Gleitsicherheitsnachweis ist der Bemessungswert der Beanspruchung parallel zur Sohlfläche (s.o.): Td = 345 kN (LF1), = 305 kN (LF2). Der Bemessungswert des Widerstandes setzt sich aus dem Gleitwiderstand (LF1 und LF2) sowie dem Erdwiderstand (nur LF1) zusammen und ergibt sich jeweils aus der Division des charakteristischen Widerstandes durch den zugehörigen Partialsicherheitsbeiwert. Da konsolidierte Verhältnisse vorliegen, gilt für den charakteristischen Gleitwiderstand Rt,k = Nk ⋅ tan δS,k = 1055 ⋅ tan 27,5° = 549 kN (mit δS,k = ϕ k' = 27,5° für Ortbeton). Der Bemessungswert des Gleitwiderstandes ergibt sich daraus zu Rt,d = Rt,k/γGl = 549/1,10 = 499 kN (LF1 und LF2) (mit γGl – Partialsicherheitsbeiwert für den Gleitwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ)). Der charakteristische Erdwiderstand wird unter der Annahme gekrümmter Gleitflächen und einem Wandreibungswinkel von δP = – ϕ'/3 ermittelt. Nach Bild 8-6 (BZ) ergibt sich bei ϕ' = 27,5° ein Beiwert von kpgh = 3,5.

331

1 Flach- und Flächengründungen

Daraus folgt

Eph,k = 0,5 ⋅ γ ⋅ kpgh ⋅ d 2 = 0,5 ⋅ 20 ⋅ 3,5 ⋅ 0,82 = 22,4 kN/m bzw. 22,4 ⋅ 1,50 = 33,6 kN1)

Der Bemessungswert des Erdwiderstandes ergibt sich daraus zu Eph,d = Eph,k/γEp = 33,6/1,4 = 24 kN (LF1) (mit γEp – Partialsicherheitsbeiwert für den Erdwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ)). Im Lastfall 2 gilt Eph,d = 0 (z.B. Abgrabung vor dem Fundament, s.o.). Nachweis für Lastfall 1: Nachweis für Lastfall 2:

Td ≤ (!) Rt,d + Eph,d 345 < 499 + 24 = 523 Td ≤ (!) Rt,d 305 < 499

(Gleitsicherheit erfüllt), (Gleitsicherheit erfüllt).

Nachweis der Sicherheit gegen Grundbruch Maßgebend für den Grundbruchsicherheitsnachweis ist der Bemessungswert der Beanspruchung senkrecht zur Sohlfläche (s.o.): Nd = 1436 kN (LF1), = 1274 kN (LF2). Der Bemessungswert des Grundbruchwiderstandes ergibt sich aus der Division des charakteristischen Widerstandes durch den zugehörigen Partialsicherheitsbeiwert. Der charakteristische Grundbruchwiderstand wird wie üblich aus der dreigliedrigen Grundgleichung nach DIN 4017 bzw. DIN 4017-100 (04.96) ermittelt: Rn,k = Q = Vb = a' ⋅ b' ⋅ σ (mit σ = γ1 ⋅ d ⋅ Nd + γ2 ⋅ b' ⋅ Nb + c' ⋅ Nc und Ni = Ni0 ⋅ νi ⋅ κi ⋅ λi ⋅ ξi). Wegen der Außermittigkeit der aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen resultierenden Gesamtbeanspruchung (s. Nachweis gegen Kippen) ist eine reduzierte Fundamentfläche anzusetzen: a' = a – 2 ⋅ ea = 2,50 – 2 ⋅ 0,19 = 2,12 m, b' = b = 1,50 m, A' = a' ⋅ b' = 2,12 ⋅ 1,5 = 3,18 m2. Wegen des horizontalen Geländes und der waagerechten Fundamentsohle gilt λi = ξi = 1. Mit den Gleichungen der DIN V 4017-100 (04.96) lassen sich unter Berücksichtigung von z.T. mehrfachen Interpolationen die notwendigen Beiwerte ermitteln: Tragfähigkeitsbeiwerte: Nd0 = 14, Nb0 = 7, Nc0 = 25, (Tafel 6-4 (BZ)) Formbeiwerte: νd = 1,327, νb = 0,788, νc = 1,352, (Tafel 6-5 (BZ)) Neigungsbeiwerte: κd = 0,637, κb = 0,570, κc = 0,561, (Tafel 6-6 (BZ)) bzw. Nd = 14 ⋅ 1,327 ⋅ 0,637 = 11,83, Nb = 7 ⋅ 0,788 ⋅ 0,579 = 3,14, Nc = 25 ⋅ 1,352 ⋅ 0,561 = 18,96. Damit folgt für den charakteristischen Grundbruchwiderstand Rn,k = 3,18 ⋅ (20 ⋅ 0,80 ⋅ 11,83 + 20 ⋅ 1,50 ⋅ 3,14 + 5 ⋅ 18,96) = 1203 kN (LF2). 1)

sehr stark vereinfacht

12

332

Geotechnik

Der für den charakteristischen Grundbruchwiderstand angegebene Wert gilt für den Lastfall 2, da zur Berechnung kein Erdwiderstand angesetzt wurde. Ist dieser allerdings nachweislich vorhanden, so erlaubt DIN 1054 (01.03) eine entsprechende Berücksichtigung durch Ansatz einer horizontalen Bodenreaktion Bk bis zur Größe des halben charakteristischen Erdwiderstandes. Die Kraft Bk wird dann bei der Ermittlung der charakteristischen Beanspruchung in der Sohlfläche wie eine Einwirkung mit berücksichtigt und reduziert daher die Horizontalkomponente aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen. Im vorliegenden Fall gilt: Bk = 0,5 ⋅ Eph,k = 0,5 ⋅ 33,6 (s. Nachweis gegen Gleiten) = 16,8 kN. Mit Berücksichtigung von Bk reduziert sich die charakteristische horizontale Einwirkung auf 250 – 16,8 = 233,2 kN. Aufgrund der damit verbundenen steileren Neigung der resultierenden charakteristischen Beanspruchung ergeben sich größere Neigungsbeiwerte, eine geringere Ausmitte und damit ein größerer charakteristischer Grundbruchwiderstand. Aus analoger Berechnung nach DIN V 4017-100 (04.96) folgt: = 3,21 m2, A' Nd = 14 ⋅ 1,324 ⋅ 0,657

= 12,18,

Nb = 7 ⋅ 0,790 ⋅ 0,593

= 3,28,

Nc = 25 ⋅ 1,349 ⋅ 0,585

= 19,73.

Damit folgt für den charakteristischen Grundbruchwiderstand (mit Ansatz von Eph,k bzw. Bk) Rn,k = 3,21 ⋅ (20 ⋅ 0,80 ⋅ 12,18 + 20 ⋅ 1,50 ⋅ 3,28 + 5 ⋅ 19,73) = 1258 kN (LF1). Insgesamt ergeben sich folgende Bemessungswerte des Grundbruchwiderstandes: Rn,d = Rn,k/γGr = 1258/1,40 = 899 kN (LF1), = 1203/1,30 = 925 kN (LF2). (mit γGr – Partialsicherheitsbeiwerte für den Grundbruchwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ)).

12

Nachweis: Für Lastfall 1: Für Lastfall 2:

Nd ≤(!) Rn,d 1436 > 899 1274 > 925

(Nachweis nicht erbracht), (Nachweis nicht erbracht).

Zum Erfüllen der Sicherheit der Tragfähigkeit müssen folglich die Fundamentabmessungen und/oder die Einbindetiefe nennenswert erhöht werden. Der bei der ausführlichen Fundamentbemessung ebenfalls zu führende Nachweis der Gebrauchstauglichkeit wird an einem separaten Beispiel (s. Beispiel 1.4) erläutert.

1.3 Nachweis der Lagesicherheit eines Speicherbeckens im Grundwasser Beim Nachweis der Lagesicherheit (Grenzzustand GZ1A) werden abweichend von den übrigen Nachweisen nur stabilisierende und destabilisierende Einwirkungen miteinander verglichen. Erfolgt die Sicherung des Gründungskörpers zusätzlich zum Eigengewicht durch Zugelemente, so sind diese wie gewohnt nach dem Grenzzustand GZ1B zu bemessen.

333

1 Flach- und Flächengründungen

Die Sicherheit gegen Aufschwimmen ist nachgewiesen, wenn die Bemessungswerte der stabilisierenden Einwirkungen größer sind als die Bemessungswerte der destabilisierenden Einwirkungen. Da die erforderlichen Nachweise mit Bemessungswerten geführt werden, sind entsprechende Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen. Charakteristische Kennzahlen Stahlbeton: γ = 24 kN/m3, Baugrund: γ = 20 kN/m3, γ ' = 12 kN/m3, c'= 0, ϕ ' = 32,5°, qc = 10 MN/m2 (im Mittel).

Bild 1-3

Speicherbecken

Da es sich bei dem entleerten Becken um einen Revisionsfall (vorübergehender Zustand) handelt, werden die erforderlichen Nachweise für den Lastfall 2 geführt. Ermittlung der Lagesicherheit bei ausschließlichem Ansatz des Beckengewichtes Die destabilisierende Einwirkung ergibt sich aus dem Auftrieb des Beckens: Ak = γW ⋅ tGW ⋅ B = 10 ⋅ 6,50 ⋅ 15,0

= 975 kN/m.

Als stabilisierende Einwirkung wirkt lediglich das Beckengewicht: Gk,stb = Gk,Platte + Gk,Wände = (15 ⋅ 1,5 + 2 ⋅ 6 ⋅ 0,6) ⋅ 24 = 712,8 kN/m. Im vorliegenden Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Ak ⋅ γG,dst ≤ (!) Gk,stb ⋅ γG,stb 975 ⋅ 1,00 = 975 > 712,8 ⋅ 0,90 = 641,5 kN/m Die Lagesicherheit ist bei Ansatz des Beckengewichtes nicht gewährleistet. Ermittlung der Lagesicherheit bei Ansatz des Beckengewichtes und seitlichen Scherkräften aus Wandreibung Die stabilisierende Einwirkung wird auf beiden Beckenseiten durch die Vertikalkomponente des aktiven Erddruckes ergänzt. Der charakteristische Erddruck wird unter der Annahme ebener Gleitflächen und einem Wandreibungswinkel von δa = 2/3 ϕ' ermittelt. Nach Tafel 8-1 (BZ) ergibt sich bei ϕ' = 32,5° ein Beiwert von kagh = 0,25. Erddruckspannungen: Kote – 1,00: 20 ⋅ 1,0 ⋅ 0,25 = 5,0 kN/m2, Kote – 7,50: 5,0 + 12 ⋅ 6,5 ⋅ 0,25 = 24,5 kN/m2. Daraus folgt Eah,k = 5,0 ⋅ 1,0/2 + (5,0 + 24,5)/2 ⋅ 6,5 = 98,4 kN/m. Da die charakteristische Bodenwichte bei der Ermittlung der aktiven Erddruckkraft mit dem Anpassungsfaktor 0,80 abzumindern ist und die seitlichen Scherkräfte zu beiden Seiten des Beckens wirken, folgt für die charakteristischen Einwirkungen aus Wandreibung FS,k = 2 ⋅ 0,80 ⋅ Eah,k ⋅ tan δa = 2 ⋅ 0,80 ⋅ 98,4 ⋅ tan 21,7° = 62,5 kN/m.

12

334

Geotechnik

Im vorliegenden Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Ak ⋅ γG,dst ≤(!) Gk,stb ⋅ γG,stb + FS,k ⋅ γG,stb 975 > 641,5 + 62,5 ⋅ 0,90 = 697,8 kN/m Die Lagesicherheit ist auch bei Ansatz der seitlichen Scherkräfte nicht gewährleistet. Bemessung einer schlaffen Sohlverankerung mittels gebohrter Ortbetonzugpfähle zur Gewährleistung der Lagesicherheit Da die Sicherheit gegen Aufschwimmen durch das Beckengewicht und die Wandreibung nicht erfüllt wird, sollen zur zusätzlichen Sicherung Zugelemente in die Sohlplatte integriert werden. Entlang der in Bild 1-3 gewählten Achsen sind dazu Bohrpfähle aus Stahlbeton mit einem Durchmesser von 80 cm und einer Länge von 4 m vorgesehen. Zu ermitteln ist der Abstand der Pfähle in Längsrichtung. Im vorliegenden Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Ak ⋅ γG,dst ≤ (!) Gk,stb ⋅ γG,stb + FS,k ⋅ γG,stb + FZ,k ⋅ γG,stb, 975 ≤(!) 697,8 + FZ,k ⋅ 0,90 kN/m. Daraus ergibt sich die erforderliche charakteristische Pfahlkraft pro laufenden Meter Becken zu: FZ,k = (975 – 697,8)/0,90 = 308 kN/m. Für die vorgesehenen Zugpfähle ist ein ausreichender Pfahlwiderstand nach GZ1B nachzuweisen. Dieser Nachweis wird mit den Bemessungswerten der Beanspruchungen und Widerstände geführt. Als Bemessungswert für die Pfahlbeanspruchung pro lfdm Bauwerk ergibt sich: E1,d = FZ,k ⋅ γG = 308 ⋅ 1,20 = 369,6 kN/m (mit γG – Partialsicherheitsbeiwert für die Pfahlbeanspruchung nach Tafel 5-1 (BZ)). Auf der Basis der mit der Drucksondierung erhaltenen Information zur Baugrundtragfähigkeit kann der charakteristische Pfahlwiderstand eines Einzelpfahles aufgrund von Erfahrungswerten ermittelt werden (qc = 10 MN/m2 Ÿ qS,k = 80 kN/m2 nach Tafel 7-2 (BZ)): R1,k = π ⋅ D ⋅ L ⋅ qS,k = π ⋅ 0,8 ⋅ 4,0 ⋅ 80 = 804,2 kN. Daraus folgt für den Bemessungswert des Pfahlwiderstandes (Einzelpfahl): R1,d = R1,k/γP = 804,2/1,40 = 574,4 kN

12

(mit γP – Partialsicherheitsbeiwert für den Pfahlwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ)). Für drei Pfähle in Reihe ergibt sich 3 ⋅ R1,d = 1723,2 kN.

Bild 1-4

Mögliche Zugpfahlanordnung (Grundriss)

335

1 Flach- und Flächengründungen

Auf der Grundlage der für die Sicherheit gegen Aufschwimmen zu erfüllenden Bedingung kann wie folgt formuliert werden: 3 ⋅ R1,d ≥ E1,d ⋅ aPfahl

bzw. aPfahl ≤ 3 ⋅ R1,d/E1,d aPfahl ≤ 1723,2/369,6 = 4,66 m.

Zur Sicherung des Speicherbeckens gegen Aufschwimmen ist daher eine Pfahlanordnung gemäß Bild 1-4 zu empfehlen. Bei engeren Pfahlabständen ist evtl. die Gruppenwirkung der Verankerung zu berücksichtigen, indem in dem beschriebenen Nachweis anstelle der Einwirkungen der einzelnen Zugelemente die charakteristische Gewichtskraft des an die Pfahlgruppe angehängten Bodens einzusetzen ist. Dabei ist wie bei den seitlichen Scherkräften ein Anpassungsfaktor von 0,80 zu berücksichtigen.

1.4 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eines Stützenfundamentes bei Gründung auf geschichtetem Baugrund Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit sind sämtlich dem Grenzzustand GZ2 zuzuordnen. Es sind die zulässige Lage der Sohldruckresultierenden sowie die Verformungsmöglichkeiten Verschiebung, Setzung und Verdrehung zu untersuchen. Die Nachweise können teilweise entfallen, wenn die Nachweise der Tragfähigkeit auch bei bestimmten ungünstigen Annahmen gelingen. Die zulässige Lage der Sohldruckresultierenden ist nachgewiesen, wenn die nur aus ständigen Einwirkungen ermittelte Sohldruckkraft innerhalb der sogenannten 1. Kernweite angreift. Die rechnerischen Setzungen sind – wie bisher – nach DIN 4019 zu ermitteln und hinsichtlich ihrer Tolerierbarkeit mit dem Tragwerksplaner abzustimmen. Die Nachweise gegen unzuträgliche Verschiebungen bzw. Verdrehungen können i.d.R. entfallen, wenn sowohl der Nachweis der Gleitsicherheit ohne Ansatz des Erdwiderstandes als auch der Nachweis der zulässigen Lage der Sohldruckresultierenden gelingt. Da sämtliche Nachweise mit den charakteristischen Werten der Beanspruchungen erfolgen, sind keine besonderen Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen.

12

Bild 1-5

Geschichteter Baugrund

Bild 1-6

Vertikalspannungen aus Bodeneigengewicht (σü) und aus Erstbelastung durch das Bauwerk (σz)

336

Geotechnik

Die für die einzelnen Bodenschichten maßgebende Verformbarkeit soll idealisierend durch einen konstanten Wert für den Steifemodul erfasst werden. Bei der Gründung handelt es sich um ein starres Fundament.

Ermittlung des setzungserzeugenden Anteiles des charakteristischen Sohldruckes Sohldruck aus Bauwerkslast: σBW = (ΣV + EGFund)/(a ⋅ b) = (1000 + 2,52⋅1,0 ⋅ 25)/2,52 = 185 kN/m2 Baugrundvorbelastung in Höhe der Gründungssohle: σEG = γ ⋅ t1 = 20 ⋅ 2,5 = 50 kN/m2 Setzungserzeugende Spannung (Erstbelastung): σ0 = σBW – σEG = 185 – 50 = 135 kN/m2 Berechnung der Fundamentsetzung mit Hilfe der lotrechten Spannungsverteilung σz Die Verteilung der vertikalen Normalspannung aus dem setzungserzeugenden Anteil des Sohldruckes lässt sich mit Tafel 6-14 (BZ) berechnen und dann u.a. zur Festlegung/Überprüfung der Einflusstiefe zgr mit der Überlagerungsspannung vergleichen (vgl. Bild 1-6): a/b = 2,5/2,5 = 1 und z/b (Eingangswerte für i aus Tafel 6-14 (BZ))

12

1) 2)

t [m] 2,5

z [m] 0

z/b [–] 0

i [–] 1,0

σÜ = Σ γi⋅ti

σz = i⋅σ0

[kN/m2] 50,0

[kN/m2] 135,0

4,5 6,0 7,51)

2,0 3,5 5,0

0,8 1,4 2,0

0,2952) 0,1622) 0,094

88,0 119,5 149,5

39,8 21,9 12,7

Einflusstiefe zgr wie üblich zu 2⋅b gewählt; zgr ausreichend, da dort σz < 0,2 ⋅ σÜ linear interpoliert

Die rechnerische Gesamtsetzung ergibt sich bei diesem Verfahren über die für die einzelnen Schichten addierten Quotienten aus der jeweiligen Spannungsfläche Aσi und dem dazugehörigen Steifemodul. Vereinfachend wird dabei innerhalb jeder Bodenschicht die Spannungsfläche als Trapez idealisiert (vgl. Bild 1-6). Setzung

s

= Σ (Aσi/ESi) = [(135,0 + 39,8)/2 ⋅ 2,0]/8000 + [(39,8 + 21,9)/2 ⋅ 1,5]/20000 + [(21,9 + 12,7)/2 ⋅ 1,5]/10000 = 0,027 m = 2,7 cm.

337

2 Pfahlgründungen

Alternative Berechnung der Fundamentsetzung mit Hilfe von Setzungseinflussbeiwerten Bei diesem Verfahren ist die Integration der Spannungsverteilung bereits in sogenannten Setzungseinflussbeiwerten berücksichtigt. Diese Beiwerte lassen sich aus Tafel 6-9 (BZ) entnehmen. a/b = 1 und z/b (Eingangswerte für fK aus Tafel 6-9 (BZ))

1)

z [m] 2,0 3,5

z/b [–] 0,8 1,4

fK [–] 0,436 0,5611)

5,0

2,0

0,638

linear interpoliert

Die rechnerische Gesamtsetzung kann bei diesem Verfahren wie folgt berechnet werden: Setzung s

= σz ⋅ b ⋅ Σ (fK,i – fK,i-1)/ESi) – Beiwert für die Unterkante der Bodenschicht i, fK,i fK,i-1 – Beiwert für die Oberkante der Bodenschicht i.

Im vorliegenden Beispiel ergibt sich: s = 135 ⋅ 2,5 [0,436/8000 + (0,561 – 0,436)/20000 + (0,638 – 0,561)/10000] = 0,023 m = 2,3 cm. Unter dem betrachteten Fundament sind bei maximaler Vertikalbelastung Setzungen von etwa 2,5 cm zu erwarten. Da bei mittiger lotrechter Belastung keine Ausmitte vorhanden ist und wegen der fehlenden HLasten auch kein Gleitsicherheitsproblem auftritt, erübrigt sich ein Nachweis der Verschiebungen und Verdrehungen.

2 Pfahlgründungen Die geotechnischen Nachweise zur Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Pfahlgründungen sind in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ) in Kapitel 7 behandelt. Hierzu ist zunächst die Größe und Neigung der resultierenden Beanspruchung eines Pfahles mit charakteristischen Werten zu ermitteln. Dabei ist wegen der unterschiedlichen Nachweise nach ständigen und veränderlichen Einwirkungen sowie nach Beanspruchungen in Achsrichtung und quer zur Pfahlachse zu unterscheiden. Entscheidend für die Gründungsbemessung ist die zuverlässige Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes. Je nach dem Kenntnisstand über die in der Pfahlumgebung vorhandenen Baugrundverhältnisse werden hierzu statische oder dynamische Probebelastungen ausgeführt oder aus Kostengründen häufig auch eine Bemessung aufgrund von Erfahrungswerten erfolgen. Die ausreichende Tragfähigkeit eines Einzelpfahles ist beim neuen Sicherheitskonzept für den Grenzzustand GZ1B nachzuweisen. Zusätzlich ist der Sicherheitsnachweis gegen Materialversagen zu führen.

12

338

Geotechnik

Eine ausreichende Tragsicherheit für einen axial belasteten Einzelpfahl wird eingehalten, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: E1,d ≤ R1,d

E1,d R1,d

Bemessungswert der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination axial wirkender Einwirkungen, Bemessungswert des Pfahlwiderstandes.

Bei der Berechnung des Bemessungswertes der Pfahlbeanspruchung E1,d sind je nach dem Zweck des Pfahles und nach verschiedenen Beanspruchungsarten evtl. auch lastfallabhängige Partialsicherheitsbeiwerte aus DIN 1055-100 zu verwenden. Der Bemessungswert des Pfahlwiderstandes R1,d ergibt sich durch Division des charakteristischen Pfahlwiderstandes R1,k mit lastfallunabhängigen Teilsicherheitsbeiwerten. Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit erfolgen für den Grenzzustand GZ2 – wie gewohnt – sowohl für die Beanspruchungen als auch für die Widerstände mit charakteristischen Werten: E2,d E2,d = E2,k ≤ R2,d = R2,k R2,d

Charakteristischer Wert der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination axial auftretender Einwirkungen, Charakteristischer Wert des Pfahlwiderstandes.

Tragfähigkeitsnachweise für quer zur Achse beanspruchte Pfähle sind nur bei Lasten erforderlich, die größer sind als 3 bzw. 5 % der Axiallasten des Pfahles. Dabei wird im besonderen die Mobilisierbarkeit des seitlichen Erdwiderstandes überprüft. Zusätzlich ist die Sicherheit gegen Materialversagen nachzuweisen. Pfahlgruppen erfordern besondere Untersuchungen, die aber im wesentlichen den früheren Verfahren entsprechen.

2.1 Nachweis der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit eines Einzelpfahles aufgrund von Erfahrungswerten für den Pfahlwiderstand Beim Nachweis der Tragfähigkeit von Bohrpfählen aufgrund von Erfahrungswerten wird der charakteristische Pfahlwiderstand (früher: Grenzlast) aus spezifischen, vom Baugrund und den Pfahlkopfsetzungen abhängigen Werten für den Pfahlspitzen- und den Pfahlmantelwiderstand ermittelt

12

Bild 2-1

Einzelpfahl

339

2 Pfahlgründungen

und durch Division mit der entsprechenden Partialsicherheit in den Bemessungswiderstand umgerechnet. Darüber hinaus erlaubt dieses Verfahren die Konstruktion einer Widerstands-SetzungsLinie (WSL) des Pfahles, die für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit benötigt wird. Für Verdrängungs- oder Verpresspfähle erfolgt der Tragfähigkeitsnachweis bei Verzicht auf eine Probebelastung im Moment noch ohne Berücksichtigung der Pfahlkopfsetzungen. Schnittgrößen auf OK Pfahl aus der ungünstigsten Kombination der vorhandenen Einwirkungen: Ständige Last, vertikal: Veränderliche Last, vertikal:

FG,k = 1000 kN FQ,k = 450 kN

Im Pfahlbereich steht geschichteter Baugrund an, bei dem die oberen beiden Schichten (A und UM) als nicht tragfähig bewertet werden. In einer Tiefe von 17 m beginnt ein für eine Pfahlgründung ebenfalls nicht tragfähiger Horizont aus Braunkohle und Ton. Die Abschätzung der Baugrundqualität erfolgt durch eine Rammsondierung DPH. Die für die einzelnen Bodenschichten angegebenen Schlagzahlen stellen vorsichtig eingeschätzte Mittelwerte dar. Für den Entwurf sind zwei Pfahltypen zu vergleichen: 1. Bohrpfahl aus Stahlbeton ∅ 800, 2. Verdrängungspfahl aus Stahlbeton a = b = 40 cm. Die zulässige Pfahlkopfsetzung beträgt 1 cm. a. Bohrpfahl – Lösung Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes Der charakteristische Pfahlwiderstand und dessen Entwicklung in Abhängigkeit von der Pfahlkopfsetzung (s) wird ermittelt, indem man die maßgebende Querschnittsfläche (Ab) am Pfahlfuß mit dem Spitzenwiderstand (qb,k) und die Pfahlumfangsflächen (As) mit dem Mantelwiderstand (qs,k) des umgebenden Bodens multipliziert und addiert: R1,k(s) = R1b,k(s) + R1s,k(s) = qb,k(s) ⋅ Ab + Σ qs,k,i(s) ⋅ As,i. Die spezifischen Bodenwerte können den Tafeln 7-1 und 7-2 (BZ) in Abhängigkeit vom Spitzenwiderstand der Drucksonde (qc) entnommen werden. Bei Ausführung einer Rammsondierung lassen sich nach Anhang E der DIN 4094-3 (01.02) die Größen N10 und qc wie folgt korrelieren: Mittelsand: N10 = 18

Ÿ

qc ≈ 11,

N10 > 24

Ÿ

qc > 18.

12

Kiessand:

Im vorliegenden Fall ergibt sich: qc qb,k (s/D = 0,02) qb,k (s/D = 0,03) qb,k (s/D = 0,10) Ab R1b,k (s = 1,6cm) R1b,k (s = 2,4cm) R1b,k (s = 8,0cm)4)

Einheit MN/m2 MN/m2 MN/m2 MN/m2 m2 MN MN MN

mS, gs 11 – – – – – – –

f-m G,s 18 1,261) 1,621) 3,301) 0,50 0,63 0,81 1,65

340

Geotechnik

qc qs,k As R1s,k4) 1),2) 3) 4)

Einheit MN/m2 MN/m2 m2 MN

mS, gs 11 0,0882) 7,54 0,66

f-m G,s 18 0,120 2,51⋅tG 3) 0,30⋅tG

linear interpoliert [1) aus Tafel 7-1, 2) aus Tafel 7-2] tG = Einbindetiefe im Kiessand Grenzwiderstand bei Erreichen von sg

Ermittlung der Pfahllänge über den Nachweis der Tragfähigkeit (nur Grenzwiderstand) Hierbei ist folgende Bedingung zu erfüllen: E1,d = FG,k ⋅ γG + FQ,k ⋅ γQ ≤ (!) R1,d = R1,k/γP (mit γG, γQ, γP – Partialsicherheitsbeiwerte für Beanspruchungen bzw. Widerstände nach den Tafeln 5-1 und 5-2 (BZ)). = 1,0 ⋅ 1,35 + 0,45 ⋅ 1,50 ≤ (!) (1,65 + 0,66 + 0,3⋅tG)/1,40 = 2,03 MN ≤(!) 1,65 + 0,21⋅tG Daraus folgt für die erforderliche Einbindetiefe des Pfahles in den Kiessand: tG ≥ 1,81 m. Gewählt: tG = 2,0 m. Konstruktion der Widerstandssetzungslinie (WSL) Der so bemessene Pfahl besitzt eine Länge von 10 m, wobei nur entlang der unteren 5 m eine Mantelreibung mobilisiert wird. Seine Aufstandsfläche liegt auf dem Niveau GOK – 12,0 (vgl. Bild 2-1). Da bis zum Übergang in den wenig tragfähigen Horizont (Braunkohle und Ton) noch ein tragfähiges Kiessandpaket von 5 m Mächtigkeit (Forderung mindestens 4 ⋅ DPfahl = 3,20 m) verbleibt, ist die Tragfähigkeit gewährleistet.

12

Bild 2-2

Widerstandssetzungslinie aufgrund von Erfahrungswerten

341

2 Pfahlgründungen

Für die Konstruktion der WSL sind neben den Angaben in der oben stehenden Tabelle noch folgende Größen erforderlich: Grenzsetzung beim Pfahlmantelwiderstand: ssg [cm] = 0,5 ⋅ Rs,k (ssg) [MN] + 0,5 = 0,5 ⋅ (0,66 + 0,3⋅2,0) + 0,5 = 0,5 ⋅ 1,26 + 0,5 = 1,13 cm. Gesamtwiderstand bei Erreichen von ssg: R1,k(ssg) = R1s,k (ssg) + R1b,k (ssg) = 1,26 + 1,13/1,6 ⋅ 0,63 = 1,70 MN. Damit und mit den für die markanten Setzungen maßgebenden Werten (R1b,k + R1s,k) aus der oben stehenden Tabelle ergibt sich die in Bild 2-2 dargestellte WSL wie folgt: Pfahlkopfsetzung s [cm] ssg = 1,13 1,60 2,40 8,00

Fußwiderstand R1b,k [MN] 0,44 0,63 0,81 1,65

Mantelwiderstand R1s,k [MN] 1,26 1,26 1,26 1,26

Gesamtwiderstand R1,k [MN] 1,70 1,89 2,07 2,91

Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Für die vom Tragwerksplaner vorgegebene zulässige Setzung von 1 cm kann aus der WSL ein Pfahlwiderstand für den GZ2 von R2,k (s = 1cm) = 1,52 MN abgelesen werden. Die mit charakteristischen Werten (γi = 1,0) ermittelte Pfahlbeanspruchung beträgt E2,k = FG,k + FQ,k = 1,0 + 0,45 = 1,45 MN. Da die Bedingung E2,d = E2,k < R2,k = R2,d eingehalten wird, ist auch dieser Nachweis erbracht. b. Verdrängungspfahl – Lösung Wegen der herstellungsbedingt (Bodenverspannung durch Verdrängung) deutlich höheren mobilisierbaren Bodenwiderstände soll untersucht werden, ob die geplante Gründung auch mit einem Rammpfahl aus Stahlbeton mit wesentlich kleinerem Querschnitt als der Bohrpfahl herstellbar ist. Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes Der charakteristische Pfahlwiderstand wird ermittelt, indem man die gleiche Bestimmungsgleichung wie bei der Bohrpfahllösung verwendet. Allerdings kann hierbei keine Abhängigkeit des Pfahlwiderstandes von der Pfahlkopfsetzung berücksichtigt werden. Damit entspricht der ermittelte Pfahlwiderstand direkt dem Grenzwiderstand: R1,k = R1b,k + R1s,k = qb1,k ⋅ Ab + Σ qs1,k,i ⋅ As,i Die spezifischen Bodenwerte können den Tafeln 7-4 und 7-5 (BZ) in Abhängigkeit vom Spitzenwiderstand der Drucksonde (qc) entnommen werden. Im vorliegenden Fall ergibt sich: Pfahlspitze Tafel 7-4: qc = 18 Pfahlmantel Tafel 7-5: qc = 11 qc = 18

Ÿ qb1,k = 7,1 MN/m2 (linear interpoliert), Ÿ qs1,k = 0,103 MN/m2 (linear interpoliert), Ÿ qs1,k = 0,167 MN/m2 (linear interpoliert).

12

342

Geotechnik

Mit den Querschnittswerten des Rammpfahles (a = b = 40 cm, Ab = 0,16 m2, As = 1,6⋅t) ergibt sich für den charakteristischen Pfahlwiderstand: R1,k = 7,1 ⋅ 0,16 + (0,103 ⋅ 1,6 ⋅ 3,0 + 0,167 ⋅ 1,6 ⋅ tG) = 1,63 + 0,267 tG. Ermittlung der Pfahllänge über den Nachweis der Tragfähigkeit Hierbei ist wiederum folgende Bedingung zu erfüllen: E1,d = FG,k ⋅ γG + FQ,k ⋅ γQ ≤ (!) R1,d = R1,k/γP = (1,63 + 0,267⋅tG)/1,40 2,03 ≤(!) = 1,16 + 0,19⋅tG Daraus folgt für die erforderliche Einbindetiefe des Pfahles in den Kiessand: tG ≥ 4,58 m. Gewählt: tG = 5,0 m. Der so bemessene Pfahl besitzt eine Länge von 13 m, wobei nur entlang der unteren 8 m eine Mantelreibung mobilisiert wird. Seine Aufstandsfläche liegt auf dem Niveau GOK – 15,0 (vgl. Bild 2-1). Da bis zum Übergang in den wenig tragfähigen Horizont (Braunkohle und Ton) noch ein tragfähiges Kiessandpaket von 2 m Mächtigkeit (Forderung mindestens 4 · DPfahl ≈ 1,80 m) verbleibt, ist die Tragfähigkeit gewährleistet. Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Nach den Ausführungen im zu den Verdrängungspfählen gehörigen Anhang C der DIN 1054 (01.03) kann im vorliegenden Fall eine gesonderter Nachweis der Gebrauchstauglichkeit entfallen. Es wird allerdings darauf hingewiesen, dass die zu erwartenden Setzungen in der Regel unter 1,5 cm liegen. Gegebenenfalls (zul s = 1 cm) müssten demnach gesonderte Untersuchungen vorgenommen werden.

2.2 Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelpfahles aufgrund der Widerstandsermittlung durch drei Probebelastungen

12

Die zuverlässigere Methode für den Nachweis der Tragfähigkeit von Pfählen stellt die Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes und dessen Abhängigkeit von der Pfahlkopfsetzung aufgrund von Probebelastungen dar. Für deren Auswertung ist nach DIN 1054 (01.03) ein Streuungsfaktor ξ ≥ 1,0 mit anzusetzen, der eine mögliche Veränderlichkeit des Baugrundes und mögliche Unregelmäßigkeiten bei der Pfahlherstellung berücksichtigen soll. Hinsichtlich der jeweiligen Auswertung wird nach folgenden Systemen unterschieden: Weiches System: Die einzelnen Pfähle wirken insbesondere in ihrem Setzungsverhalten unabhängig voneinander. In diesem Falle ist zum Nachweis der Tragfähigkeit eine fiktive Widerstandssetzungslinie maßgebend, die sich aus den Kleinstwerten aller Einzelwerte der Probebelastungsergebnisse ergibt. Der für den Nachweis der Tragfähigkeit maßgebende charakteristische Pfahlwiderstand ist dann nach folgender Gleichung abzumindern: Steifes System:

R1,k = R1m,min/ξ. Die einzelnen Pfähle sind durch eine biegesteife Kopfplatte miteinander verbunden, so dass eine Vergleichmäßigung der Einzelpfahlbelastung eintritt. In diesem Falle ist zum Nachweis der Tragfähigkeit eine mittlere Widerstandssetzungslinie maßgebend, die sich aus den arithmetischen Mittelwerten aller Einzelwerte der

343

2 Pfahlgründungen

Probebelastungsergebnisse ergibt. Der für den Nachweis der Tragfähigkeit maßgebende Pfahlwiderstand ist dann nach folgender Gleichung abzumindern: – R1,k = R1m/ξ. Für das weiche System werden konstant definierte Streuungsfaktoren in Abhängigkeit von der Anzahl der Probebelastungen angegeben. Für das steife System ist der jeweils maßgebende Streuungsfaktor neben der Anzahl der Probebelastungen zusätzlich vom Variationskoeffizienten der Versuchsergebnisse abhängig. Die nachfolgende Tabelle (Tabelle 4 aus DIN 1054 (01.03)) beinhaltet die entsprechenden Fälle für die Auswahl des Streuungsfaktors. Streuungsfaktor ξ Mittelwert R1ma) Spalte 2 Spalte 3 sN / R1m = 0 sN / R1m = 0,25 – – 1,05 1,10 1,00 1,05

Zahl der Probebelastungen N Spalte 1 1 2 >2 a)

Kleinstwert R1m,min Spalte 4 1,15 1,05 1,00

Zwischenwerte dürfen geradlinig interpoliert werden

In einem ähnlichen Baugrund wie in Beispiel 5 wurden an drei Bohrpfählen (∅ = 80 cm) Probebelastungen nach der „Empfehlung für statische axiale Pfahlprobebelastungen“ (DGGT, Arbeitskreis 2.1) durchgeführt. Bei einer voraussichtlichen charakteristischen Pfahlbeanspruchung von 1,5 – 1,6 MN wurden dazu die einzelnen Pfähle in acht gleich großen Belastungsstufen (je 400 kN) bis zum 2-fachen der voraussichtlichen Pfahlbeanspruchung (Rmax = 3,2 MN) belastet und die dabei auftretenden Pfahlkopfsetzungen gemessen. Die nachfolgende Tabelle zeigt die entsprechenden Versuchsergebnisse: In den einzelnen Laststufen gemessene Pfahlkopfsetzungen in [ cm ] Versuch 1 2 3

0,4 MN 0,20 0,25 0,30

0,8 MN 0,45 0,55 0,55

1,2 MN 0,80 0,95 0,90

1,6 MN 1,20 1,65 1,45

2,0 MN 1,85 2,55 2,40

2,4 MN 2,80 3,55 3,60

2,8 MN 4,15 4,75 5,55

3,2 MN 6,20 8,00 8,80

Das dazugehörige Versuchsergebnis ist in Bild 2-3 in Form von drei Widerstandssetzungslinien dargestellt. Da die Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes über die Pfahlbelastung erfolgt, müssen die Ergebnisse der drei Versuche nach Widerständen gleicher Setzung umgeformt werden. Da sich der Grenzwiderstand in den einzelnen Kurven nicht unmittelbar erkennen lässt, wurde die Grenzsetzung zu 0,10 ⋅ Db = 0,10 ⋅ 80 = 8,0 cm festgelegt. Aus den drei Kurven lassen sich folgende Wertepaare ablesen: Bei gleichen Setzungen auftretende Pfahlwiderstände in [ MN ]: Versuch 1 2 3 Mittelwert

1 cm 1,41 1,23 1,29 1,31

2 cm 2,08 1,77 1,87 1,91

3 cm 2,46 2,19 2,23 2,29

4 cm 2,76 2,57 2,51 2,61

5 cm 3,02 2,85 2,72 2,86

6 cm 3,17 3,02 2,88 3,02

7 cm (3,29) 3,13 3,02 3,15

8 cm (3,37) 3,20 3,12 3,23

Da die Probebelastung nur bis zu einer Maximallast von 3,2 MN gefahren wurde, sind die beiden letzten Werte des Versuches 1 (Klammerwerte) extrapoliert.

12

344

Geotechnik

Ergebnisse der axialen Probebelastungen

Bild 2-3

Bild 2-4

Charakteristische Widerstandssetzungslinie für ein weiches und ein steifes System

Weiches System: Die grau hinterlegten Zahlenwerte stellen den für gleiche Setzungen jeweils vorhandenen Kleinstwert des Pfahlwiderstandes (R1m,min) dar. Da mehr als zwei Probebelastungen ausgeführt wurden, sind diese Werte für die Bemessung von Einzelpfählen in einem weichen System nicht mehr abzumindern (vgl. Tabelle 4 (DIN 1054) Spalte 4: ξ = 1,00 für N > 2), so dass diese Werte die maßgebende Widerstandssetzungslinie ergeben. Bild 2-4 zeigt die dazugehörige grafische Darstellung (Kurve für R1m,min).

12

Steifes System: Die untere Zeile der Pfahlwiderstandstabelle enthält die für gleiche Setzungen sich jeweils ergebenden Mittelwerte des Pfahlwiderstandes ( R1,m ). Da mehr als zwei Probebelastungen ausgeführt wurden, sind diese Werte für die Bemessung von Einzelpfählen in einem steifen System in Abhängigkeit vom Variationskoeffizienten (auf den Mittelwert bezogene Standardabweichung) abzumindern (vgl. Tabelle 4 (DIN 1054) Spalten 2 und 3). Eine detaillierte Auswertung ergibt, dass lediglich die Werte für s = 1 cm um den Faktor 1,01 und für s = 2 cm um den Faktor 1,02 abgemindert werden müssen. Die für ein steifes System maßgebende WSL ergibt sich demnach zu: s [cm] R1,k [MN]

1 1,30

2 1,87

3 2,29

4 2,61

5 2,86

6 3,02

7 3,15

8 3,23

Bild 2-4 zeigt die dazugehörige grafische Darstellung (Kurve für R1,m /ξ ). Aus den so ermittelten Widerstandssetzungslinien ergeben sich folgende Grenzwiderstände: R1,k (sg) = 3,12 MN R1,k (sg) = 3,23 MN

(weiches System), (steifes System).

3 Baugrubenumschließungen

345

Damit würde der Nachweis der Tragfähigkeit für die Beanspruchung aus Beispiel 2.1 (a) im vorliegenden Fall auch gelingen: E1,d = 2,03 MN < R1,d = R1,k/γPc = 3,12/1,2 = 2,6 MN.

3 Baugrubenumschließungen Die geotechnischen Nachweise zur Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Baugrubenumschließungen sind in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ) in Kapitel 10, die Nachweise für Verpressanker in Kapitel 9 behandelt. Nach DIN 1054 (01.05) sind bei den üblichen dünnwandigen Baugrubenumschließungen (Trägerbohlwand, Spundwand o.ä.) die Nachweise der Sicherheit gegen • • • • • • •

Versagen des Erdwiderlagers Aufbruch des Verankerungsbodens vor Ankerplatten und Ankerwänden Versagen der Lastübertragung durch Ankerverpresskörper Versinken von Bauteilen Versagen in der tiefen Gleitfuge Versagen des Materiales (Verbau, Anker, Gurtung etc) ggf. hydraulischen Grundbruch

zu führen. Darüber hinaus ist insbesondere bei der Festlegung der Einbindetiefe die angenommene Mobilisierbarkeit der Wandreibung für den Erdwiderstand zu überprüfen. Generell ist zunächst die Größe und Neigung der resultierenden Beanspruchung des Verbaus mit charakteristischen Werten zu ermitteln. Dabei ist wegen der unterschiedlichen Partialsicherheiten nach ständigen und veränderlichen Einwirkungen zu unterscheiden. Die bei Baugruben maßgebende Beanspruchung resultiert aus den so genannten grundbauspezifischen Einwirkungen, i. d. R. Erddruck und Wasserdruck. Bei kohäsiven Böden ist hierbei eine Vergleichsberechung mit dem Mindesterddruck vorzunehmen. Bei umströmten Baugruben, z. B. infolge einer notwendigen Grundwasserabsenkung, muss der Einfluss der Strömung auf den Erddruck (erhöhend) und den Erdwiderstand (reduzierend) berücksichtigt werden, während er beim Ansatz des Wasserdrucks häufig unberücksichtigt bleiben kann (Hydrostatischer Ansatz). Abweichend zur bisher bekannten Vorgehensweise ergibt sich, dass insbesondere die früher übliche Überlagerung von Erddruck und Erdwiderstand unterhalb der Baugrubensohle nicht mehr zulässig ist, da der Erdwiderstand im Gegensatz zum Erddruck (Einwirkung) einen Widerstand darstellt. Folgerichtig darf eine Erddruckumlagerung auch nur bis zur Baugrubensohle angesetzt werden. Die ausreichende Tragfähigkeit eines Verbaus bzw. dessen Komponenten (Flächige Sicherung, Gurtung, Anker, Steifen, Erdauflager etc.) ist beim neuen Sicherheitskonzept für den Grenzzustand GZ1B (Überprüfung ausreichender Bauteilabmessungen) nachzuweisen. Die Nachweise erfolgen für den Lastfall LF2 mit Ausnahme der Bemessung von Steifen (LF1). Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit erfolgen in der Regel gesondert, und zwar nur in Fällen, in denen benachbarte Gebäude, Leitungen, andere bauliche Anlagen oder Verkehrsflächen gefährdet sein könnten. Für den Nachweis der Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch gilt der Grenzzustand GZ1A, für den Nachweis der Gesamtstandsicherheit (Geländebruch) der Grenzzustand GZ1C.

12

346

Geotechnik

3.1 Nachweis der Tragfähigkeit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Trägerbohlwandverbaus Das nachfolgende einfache Beispiel beschränkt sich auf die aus geotechnischer Sicht maßgebenden Nachweise der Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers und gegen Versinken von Bauteilen bei einer Trägerbohlwand. Es zeigt insbesondere, dass zwar eine durchgehend einheitliche Vorgehensweise wie bei anderen Aufgabenstellungen möglich ist, einige Nachweisführungen allerdings im Vergleich zu früher noch nicht konsequent umsetzbar sind.

Bild 3-1

12

Einfach gestützter, im Boden frei aufgelagerter Trägerbohlwandverbau

Im Baugrubenbereich steht geschichteter Baugrund an, bei dem der Einfachheit halber alle Schichten (A, S und G) keine Kohäsion aufweisen sollen. Neben der üblichen Flächenbelastung von 10 kN/m2 (BE, Lagerbereich) ist im Abstand von 1 m von der Baugrube eine Baustraße mit durchgängigem Schwerlastverkehr vorgesehen. Die für diesen Fall auf einer Breite von 3 m anzusetzende Ersatzlast von 33,3 kN/m2 wird als Zulage von 23,3 kN/m2 auf die ohnehin vorhandene großflächige Verkehrslast von 10 kN/m2 berücksichtig. Eine Begrenzung der Ersatzlast in Längsrichtung der Baugrube wird der Einfachheit halber vernachlässigt. Die den Nachweisen zugrunde liegenden Bodenkennwerte lauten: Schicht Auffüllung A Sand S Kies G

γ [kN/m3]

ϕ' bzw. ϕ" [° ]

18,0 20,0 22,0

30 30 35

Für die anzusetzende Wandreibung soll gelten:

δa = 2/3⋅ϕ', δp = – 2/3⋅ϕ'. Als Bohlträger wird ein gerammtes Profil IPB240 mit einer Einbindetiefe von 1,5 m gewählt (Alternativ könnte die Einbindetiefe natürlich auch optimiert werden). Der Bohlträgerabstand soll zunächst zu 2,80 m angenommen werden. Ermittlung der charakteristischen Werte des aktiven und des passiven Erddruckes Aus Tafel 8-1 (aktiver Erddruck, ebene Gleitflächen) sowie Bild 8-6 (passiver Erddruck, gekrümmte Gleitflächen) der BZ können die Erddruckbeiwerte entnommen werden. Der Gleitflächenneigungswinkel kann entweder als Näherung für den Rankine-Fall zu 45° + ϕ'/2 oder unter Berücksichtigung der Wandreibung (hier gewählt) bestimmt werden. Es ergibt sich:

347

3 Baugrubenumschließungen

Schicht A, S G

δa [° ] 20,0 23,3

kagh [–] 0,28 0,22

ϑa [° ]

δp [° ]

56,0 58,9

– -23,3

kpgh [–] – 7,30

Mit den angegebenen Größen kann die Erddruckverteilung aus Eigengewicht und großflächiger Verkehrslast errechnet werden. Hierbei wird angenommen, dass die großflächige Verkehrslast wie eine ständige Belastung und die für die Fahrfläche angenommene Zulage wie eine veränderliche Belastung zu behandeln sind. Kote ± 0,00 – 1,00 – 5,00 – 6,50

σz [kN/m2]

eagh [kN/m2]

18,0 98,0 131,0 (33,0)

5,04 27,44/21,56 28,82

eaph [kN/m2] 2,80 2,80 2,80/2,20 2,20

eah [kN/m2] 2,80 7,84 30,24/23,76 31,02

eph [kN/m2]

(240,9)

Hierbei entspricht σz der mit der Tiefe zunehmenden Vertikalspannung hinter der Verbauwand (Klammerwert gilt für die Ermittlung des passiven Erddruckes auf der Baugrubenseite). Für die Berechnung des aktiven Erddruckes aus der Streifenlast (Schwerverkehr) wird der Ansatz nach Bild 8-4b (BZ) gewählt. Hierbei ist zu beachten, dass der aus der großflächigen Belastung von 10 kN/m2 resultierende Anteil bereits in eaph (s.o.) enthalten ist, so dass nur noch der Zuwachs aus der Streifenlast anzusetzen ist. Damit ergibt sich: Eap'h = p' ⋅ b ⋅ (sin (ϑa – ϕ) ⋅ cos δa)/cos (ϑa – ϕ – δa)

= 23,3⋅3,0 ⋅ (sin (56 – 30) ⋅ cos 20)/cos (56 – 30 – 20) = 28,95 kN/m Bei dreieckförmiger Verteilung über die wirksame Höhe von 5,35 m (Kotendifferenz 5,93 – 0,58, vgl. Bild 3-1) ergibt sich eine obere Ordinate von eap'h = 28,95/5,35 ⋅ 2 = 10,82 kN/m2 Die so ermittelte gesamte Erddruckverteilung ist in Bild 3-2 dargestellt. Hierbei entspricht die Größe eah der Beanspruchung aus ständigen und die Größe eap'h der Beanspruchung aus veränderlichen Lasten. Die Größe eph stellt demgegenüber einen Widerstand dar.

12

Bild 3-2

Erddruckverteilung

Die dargestellten Verteilungen des aktiven und des passiven Erddruckes gelten für ein linienförmiges Bauwerk, was bei einer Trägerbohlwand nur oberhalb der Baugrubensohle (BGS) der Fall ist.

348

Geotechnik

Die Lastfigur des aktiven Erddruckes aus ständigen Lasten oberhalb BGS kann nach EB69 [EAB] zur Berücksichtigung der Umlagerung vereinfacht werden. Bei der im vorliegenden Fall gewählten Höhenlage der Stützung (hK/H = 1,0/5,0 = 0,2, vgl. Bild 3-2) ergibt sich ein abgestuftes Rechteck mit einem Ordinatenverhältnis von 1,5. Mit einer mittleren Erddruckspannung bzw. Erddruckkraft von bzw.

eh = [(2,80 + 7,84)/2 ⋅ 1,0 + (7,84 + 30,24)/2 ⋅ 4,0]/5,0 = 16,30 kN/m2 Eh = 81,48 kN/m

folgt daraus: ehu = 2/2,5 ⋅ 16,30 = 13,04 kN/m2 eho = 1,5 ⋅ 13,04 = 19,56 kN/m2 Die so erhaltene wirklichkeitsnähere Verteilung für den aktiven Erddruck oberhalb BGS ist in Bild 3-2 ebenfalls mit eingetragen. Ermittlung der Auflagerkräfte Die aus den charakteristischen Beanspruchungen resultierenden Auflagerkräfte sind getrennt für ständige (G) und veränderliche Einwirkungen (Q) zu ermitteln. Bei einer Trägerbohlwand darf dabei die Lage des unteren Erdauflagers in einer Tiefe von 0,6 ⋅ t unter BGS (hier: 0,6 ⋅ 1,5 = 0,9 m) angesetzt werden. Damit ergibt sich als statisches System ein Einfeldträger (Stützweite 4,90 m) mit Kragarm (Länge 1,0 m, vgl. Bild 3-2). Aus den Erddruckspannungen oberhalb BGS können folgende Auflagerreaktionen berechnet werden (zusätzlicher Index l für linienförmiges Bauwerk): Aus ständigen Einwirkungen (G)

ΣMBh,k = 0 Ÿ Ahl,k ⋅ 4,90 = 13,04⋅2,5⋅2,15 + 19,56⋅2,5⋅4,65 = 297,48 Ahl,k,G = 60,71 kN/m

ΣH = 0 Ÿ Bhl,k = Eh – Ahl,k = 81,48 – 60,71

Bhl,k,G = 20,77 kN/m

Bezogen auf den einzelnen Bohlträger (at = 2,80 m) ergibt sich für das untere Auflager:

12

Bhk,G = 20,77 ⋅ 2,80 = 58,15 kN Aus veränderlichen Einwirkungen (Q)

ΣMBh,k = 0 Ÿ Ahl,k ⋅ 4,90 = 28,95 ⋅ 3,54 = 102,48 ΣH = 0 Ÿ Bhl,k = Eap'h – Ahl,k = 28,95 – 20,91

Ahl,k,Q = 20,91 kN/m Bhl,k,Q = 8,04 kN/m

Bezogen auf den einzelnen Bohlträger ergibt sich für das untere Auflager: Bhk,Q = 8,04 ⋅ 2,80 = 22,51 kN Nachweis der Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers Die so berechneten Größen stellen die für den ebenen Fall und für den einzelnen Bohlträger ermittelten Auflagerreaktionen aus dem aktiven Erddruck oberhalb BGS dar. Beim Nachweis der Tragfähigkeit ist die Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers zu untersuchen. Hierzu ist zum einen der Bemessungswert des Erdwiderstandes hinter dem Einzelträger zu ermitteln. Darüber hinaus muss mit den entsprechenden Bemessungswerten – obwohl sich DIN 1054 (01.03) hierzu ausschweigt – wie früher ein ausreichender Erdwiderstand für ein Linienbauwerk aus der unteren Auflagerreaktion (s.o.) und dem unterhalb BGS wirksamen Erddruck nachgewiesen werden (früherer Nachweis des Differenzerddruckes).

349

3 Baugrubenumschließungen

Nachweis des Einzelträgers Hierbei ist folgende Bedingung zu erfüllen: Bh,d = Bhk,G ⋅ γG + Bhk,Q ⋅ γQ ≤(!) Eph,d = Eph,k/γEp (mit γG, γQ, γEp – Partialsicherheitsbeiwerte für Beanspruchungen bzw. Widerstände im LF2 nach den Tafeln 5-1 und 5-2 (BZ)). Der charakteristische Erdwiderstand ergibt sich im vorliegenden Fall (keine Überschneidung der Bruchkörper wegen at = 2,80 m (Bohlträgerabstand) > t = 1,50 m (Einbindetiefe)) nach Abschnitt (BZ) aus Eph,k = 0,5 ⋅ γ ⋅ ωR ⋅ t3 = 0,5 ⋅ 22 ⋅ 3,74 ⋅ 1,53 = 138,85 kN

mit ωR nach Bild 10-17 (BZ)

Damit folgt für den Nachweis Bh,d = 58,15 ⋅ 1,20 + 22,51 ⋅ 1,30 ≤(!) Eph,d = 138,85/1,30 99,04 kN < 106,81 kN Nachweis des linienförmigen Bauwerkes (zusätzlicher Index l) Im vorliegenden Beispiel wird vereinfachend angenommen, dass der aktive Erddruck aus veränderlicher Einwirkung p' komplett oberhalb der BGS angreift, so dass er hier nicht mehr berücksichtigt werden muss (vgl. Bild 3-2). In diesem Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Bhl,d = Bhl,k,G ⋅ γG + Bhl,k,Q ⋅ γQ + ΔEahl,k ⋅ γG ≤(!) Ephl,d = Ephl,k/γEp Der charakteristische Erdwiderstand ergibt sich hierbei aus dem ebenen Fall zu Ephl,k = 0,5 ⋅ eph ⋅ t = 0,5 ⋅ 240,9 ⋅ 1,5 = 180,68 kN/m Analog beträgt die charakteristische Einwirkung aus Differenzerddruck ΔEahl,k = (23,76 + 31,02)/2 ⋅ 1,5 = 41,09 kN/m Damit folgt für den Nachweis Bhl,d = 20,77 ⋅ 1,20 + 8,04 ⋅ 1,30 + 41,09 ⋅ 1,20 ≤(!) Ephl,d = 180,68/1,30 84,68 kN/m < 138,98 kN/m Damit ist die gewählte Einbindetiefe von 1,50 m als ausreichend zu bewerten. Auffällig bzw. zu beachten ist, dass bei Anwendung des neuen Sicherheitskonzeptes für den Nachweis am Einzelträger und den Nachweis am Linienbauwerk das gleiche Sicherheitsniveau gefordert wird (früher 2,0 für den Einzelträger und 1,5 für das Linienbauwerk). Nachweis der mobilisierbaren Mantelreibung Nach DIN 1054 (01.05) ist zusätzlich zu überprüfen, ob der bei der Ermittlung des Erdwiderstandes angenommene Wandreibungswinkel mit der Gleichgewichtsbedingung ΣV = 0 im Einklang steht. Hierzu ist auf der Grundlage von charakteristischen Werten folgende Bedingung zu erfüllen: Vk Vk = ΣVk,i ≥ Bv,k

Bv,k

Vertikalkomponente der nach unten gerichteten charakteristischen Einwirkungen, nach oben gerichtete Vertikalkomponente der charakteristischen Auflagerkraft.

12

350

Geotechnik

Im vorliegenden Fall ergibt sich (ebene Betrachtung ohne Differenzerddruck): Vk = Eh ⋅ tan δa > (!) Bv,k = Bhl,k,G ⋅ tan δp = 81,48 ⋅ tan 20 > (!) = 20,77 ⋅ tan 23,3 29,66 kN/m > 8,94 kN/m

Aus G:

Aus G + Q: Vk = (Eh + Eap'h ) ⋅ tan δa > (!) Bv,k = (Bhl,k,G + Bhl,k,Q) ⋅ tan δp = (81,48 + 28,95) ⋅ tan 20 > (!) = (20,77 + 8,04) ⋅ tan 23,3 40,19 kN/m > 12,56 kN/m Die für die Erdwiderstandsermittlung angesetzte Wandreibung kann demnach mobilisiert werden. Nachweis gegen Versinken von Bauteilen Nach DIN 1054 (01.05) ist zusätzlich nachzuweisen, dass die am Bohlträgerfuß auftretenden, nach unten gerichteten Vertikallasten vom umgebenden Baugrund aufgenommen werden können und der Bohlträger nicht im Boden versinkt. Hierbei ist auf der Grundlage von Bemessungswerten folgende Bedingung zu erfüllen:

Vd = ΣVd,i ≤ Rd

Vd Bemessungswert der lotrechten Beanspruchung am Trägerfuß, Rd Bemessungswert des Bohlträgerwiderstandes im Bereich der Einbindetiefe (ähnlich einem Pfahlwiderstand).

Im vorliegenden Fall ergibt sich (Betrachtung am Einzelträger): Vd

= G ⋅ γG + ΣEav,k,G⋅ γG + ΣEav,k,Q ⋅ γQ = G ⋅ γG + [(Eh ⋅ tan δa1 + ΔEah,k ⋅ tan δa2) ⋅ γG + Eap – h ⋅ tan δa1 ⋅ γQ] ⋅ at = 83,2⋅6,5/100 ⋅ 1,20 (aus Trägergewicht IPB240) + [(81,48 ⋅ tan 20 + 41,09 ⋅ tan 23,3) ⋅ 1,20 + 28,95 ⋅ tan 20 ⋅ 1,30] ⋅ 2,80

12

= 5,41 ⋅ 1,20 + [47,35 ⋅ 1,20 + 10,54 ⋅ 1,30] ⋅ 2,80 = 203,95 kN Der charakteristische Bohlträgerwiderstand errechnet sich wie folgt: R1,k = qb,k ⋅ Ab + qs,k ⋅ As, wobei die Fußfläche unter Berücksichtigung einer Pfropfenbildung ermittelt und als Mantelfläche der Trägerumfang im Einbindebereich angenommen werden kann. Im Hinblick auf den zu führenden Nachweis ergibt sich das Problem, dass für den Fall eines gerammten IPB-Trägers (Verdrängungspfahl) keine auf Erfahrungswerten beruhenden charakteristischen Widerstände für den GZ1B in DIN 1054 (01.05) mehr angegeben sind. In diesem Falle sollte man daher aushilfsweise auf die früher gültige Tabelle nach Schenck (Grenzzustand bei Rammpfählen) zurückgreifen. Für den im Einbindebereich der Bohlträger anstehenden Kiessand lassen sich daraus folgende Grenzwiderstände entnehmen: qb,k = 3 MN/m2

qs,k = 25 kN/m2

351

3 Baugrubenumschließungen

Für den hier vorgesehenen IPB-Träger ergibt sich bei einer Profilhöhe und -breite von jeweils 240 mm und einer Einbindetiefe von 1,50 m Ab = 0,242 = 0,058 m2 As = 1,38 ⋅ 1,50 = 2,07 m2 Damit errechnet sich der charakteristische Bohlträgerwiderstand wie folgt: R1,k = 3000 ⋅ 0,058 + 25 ⋅ 2,07 = 225,75 kN Für den Nachweis der Sicherheit gegen Versinken von Bauteilen folgt Vd = 203,95 > Rd = R1,k/γP = 225,75/1,40 = 161,25 Da aufgrund des Ergebnisses ein Versinken der Bohlträger nicht ausgeschlossen werden kann, ist der Trägerabstand zu reduzieren und/oder ein stärkeres Profil zu wählen. Im vorliegenden Fall gelingt der betreffende Nachweis, wenn der Trägerabstand auf 2,20 m reduziert wird. Damit „verbessert“ sich auch der Nachweis gegen Versagen des Erdwiderlagers am Einzelträger. Die weiteren Nachweise (GZ1B, i.d.R. LF2), insbesondere gegen Materialversagen und hinsichtlich der Ankerbemessung, sollen an einem zusätzlichen Beispiel ausführlich veranschaulicht werden.

3.2 Nachweis der Tragsicherheit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Spundwandverbaus Das nachfolgende Beispiel beinhaltet sämtliche Nachweise der Tragsicherheit, die aus geotechnischer und zum Teil auch konstruktiver Sicht im Hinblick auf die Festlegung ausreichender Bauteilabmessungen einer Spundwand zu führen sind. Es zeigt insbesondere, dass der Aufwand zur Durchführung aller Berechnungen gegenüber dem bisher bekannten Konzept der globalen Sicherheiten zwar deutlich umfangreicher wird, die einzelnen Nachweise aber nunmehr eine durchgehend einheitliche Form aufweisen. Darüber hinaus wird insbesondere deutlich, dass zum einen auf sehr große Sorgfalt bei der vollständigen und nach ständigen und veränderlichen Einwirkungen getrennten Lastermittlung zu achten ist und zum anderen eine konsequente Indizierung der einzelnen Rechengrößen unabdingbar wird. Es zeigt sich aber auch, dass aufgrund der Tatsache, dass viele mit der neuen Norm DIN 1054 (01.05) gekoppelte Richtlinien noch nicht auf gleichem „Status Quo“ liegen, einige Nachweisführungen im Vergleich zu früher noch nicht konsequent umsetzbar sind. Im Baugrubenbereich steht eine 2,5 m mächtige bindige Deckschicht an, die von einem 8,5 m mächtigen Horizont aus stark kiesigem Sand unterlagert wird. Da weiter unterhalb ein Wasserstauer folgt, ist im Kiessand in einer Tiefe von 4,5 m unterhalb der Geländeoberfläche ein freier Grundwasserspiegel ausgebildet, der für die Baugrube um 2,0 m abgesenkt werden muss. Die Kennwerte der beiden für die Berechnung maßgebenden Bodenschichten lauten: Schicht Decklehm U Sand, kiesig S

γ [kN/m³]

γ' [kN/m³]

19,0 21,0

– 12,0

c' [kN/m²] 5,0 –

ϕ' [° ] 27,5 37,5

12

352

Geotechnik

Bild 3-3

12

Einfach gestützter, im Boden frei aufgelagerter Spundwandverbau

Unmittelbar neben der Baugrube ist ein Laststreifen von 2,5 m Breite für mittleren bis schweren Baustellenverkehr vorgesehen. Die angegebene Flächenbelastung von 30 kN/m² ist als veränderliche Einwirkung zu interpretieren. Eine Begrenzung der Ersatzlast in Längsrichtung der Baugrube wird der Einfachheit halber vernachlässigt. Im Abstand von 2,5 m zur Baugrube befindet sich ein 1,5 m breites Streifenfundament einer kleineren Lagerhalle, das sowohl mit einer ständigen als auch einer veränderlichen Linienlast beansprucht wird. Für die Wandreibung soll zunächst der für eine Spundwand übliche Ansatz getroffen werden:

δa = 2/3⋅ϕ', δp = – 2/3⋅ϕ'. Als Verbau ist eine im Schloss gerammte Spundwand mit einer Einbindetiefe von 2,0 m gewählt (Alternativ könnte die Einbindetiefe natürlich auch optimiert werden). Die Spundwand soll im Aushubbereich durch vorgespannte Verpressanker gestützt werden, die 1,5 m unterhalb der Geländeoberfläche ansetzen und mit einer Neigung von 25° sowie einem Abstand von 3 m anzuordnen sind. Ermittlung der charakteristischen Werte der maßgebenden Einwirkungen Wie aus der Aufgabenstellung ersichtlich ist, wird die Spundwand durch ständige Einwirkungen aus Bodeneigengewicht, Fundamentbelastung und Wasserdruck belastet. Darüber hinaus sind veränderliche Einwirkungen aus dem unmittelbar benachbarten Laststreifen sowie aus Fundamentbelastung zu berücksichtigen.

353

3 Baugrubenumschließungen

Bei der Erddruckermittlung wird für die oberste Bodenschicht eine Vergleichsberechung mit dem so genannten Mindesterddruck (kohäsionsloser Vergleichsboden mit ij' = 40°) erforderlich, da nach der klassischen Berechnung in Höhe der Geländeoberfläche eine unzulässige Zugspannung aus Kohäsion entsteht. Da die Spundwand umströmt wird, ist auf der aktiven Seite eine Erhöhung der für die Erddruckberechung maßgebenden Bodenwichte unter Auftrieb Ȗ' um den Strömungsdruck (zusätzlicher Summand i · ȖW) erforderlich. Um den Aufwand zur Konstruktion eines Strömungsnetzes zu umgehen, wird hierfür der Einfachheit halber der maximale Gradient i gewählt (kürzester Sickerweg). Die Korrektur der klassischen Erddruckfigur zu einer wirklichkeitsnahen Lastfigur (Abgestuftes Recheck für den Einfluss der Erddruckumlagerung) erfolgt in Anlehnung an EB70 der EAB. Aufgrund der homogenen Baugrundverhältnisse unterhalb des Wasserspiegels wird auf die Berücksichtigung einer strömungsbedingten Reduzierung des resultierenden Wasserdruckes verzichtet. Mit dem entsprechenden hydrostatischen Ansatz ist daher eine auf der sicheren Seite liegende Annahme getroffen. a) Erddruckberechnung (ständige Einwirkung aus Bodeneigengewicht und Fundamentlast) Aus Tafel 8-1 (aktiver Erddruck, ebene Gleitflächen) sowie Bild 8-6 (passiver Erddruck, gekrümmte Gleitflächen) der BZ können die Erddruckbeiwerte für den Fall Bodeneigengewicht entnommen werden. Der Beiwert für die Kohäsion ergibt sich aus der maßgebenden Gleichung in Abschnitt 8.1.1 der BZ. Der Gleitflächenneigungswinkel wird aus Tafel 8-4 der BZ entnommen. Insgesamt ergibt sich: Schicht U S

δa [°] 18,3 25,0

kagh [–] 0,31 0,20

ϑa [° ] 54,5 60,4

δp [°]

kach [–] 0,98 –

– – 25,0

kpgh [–] – 8,9

Mit den angegebenen Größen kann die Erddruckverteilung aus Eigengewicht nach der klassischen Methode ermittelt werden. Decklehm:

4,9 kN/m2

z = 0:

eahc = – c · kach = – 5 · 0,98

z = 2,5:

eah = eagh – each = 19 · 2,5 · 0,31 – 4,9 = 9,8 kN/m2 (min eah = 19 · 2,5 · 0,18 = 8,6 kN/m2)

=–

Schnittpunkt (oberhalb Mindesterddruck, unterhalb klassischer Erddruck) Aus 19 · u · 0,31 – 4,9 = 19 · u · 0,18 folgt u = 4,9/[19 ·(0,31 – 0,18)] = 1,98 m eah = 19 · 1,98 · 0,18 eagh = 19 · 2,5 · 0,20

= 6,8 kN/m2 = 9,5 kN/m2

z = 4,5:

eagh = 9,5 + 21 · 2,0 · 0,20

= 17,9 kN/m2

z = 8,0:

Sickerströmung beachten: Mit max i = ǻH/lmin = 2,0/5,0 = 0,40 folgt: γ a' = Ȗ' + i · ȖW = 12 + 0,4 · 10 = 16 kN/m3

z = 1,98: Sand, kiesig: z = 2,5:

12

354

Geotechnik

eagh = 17,9 + 16 · 3,5 · 0,20

= 29,1 kN/m2

z = 6,0:

eagh = 17,9 + 16 · 1,5 · 0,20

= 22,7 kN/m2

z = 7,2:

eagh = 22,7 + 16 · 1,2 · 0,20

= 26,5 kN/m2

Die so ermittelte Verteilung des klassischen aktiven Erddruckes ist in Bild 3-4 in der Lastfigur für eagh enthalten.

Bild 3-4

12

Erd-/Wasserdruckverteilung

Die Lastfigur des aktiven Erddruckes aus Bodeneigengewicht und Kohäsion oberhalb der Baugrubensohle kann nach EB70 [EAB] bei gestützten Spundwänden zur Erfassung einer wirklichkeitsnäheren Verteilung aus Umlagerung vereinfacht werden. Bei der im vorliegenden Fall gewählten Höhenlage der Stützung (hK/H = 1,5/6,0 = 0,25) ergibt sich ein abgestuftes Rechteck mit einem Ordinatenverhältnis von 1,5. Mit einer mittleren Erddruckkraft bzw. Erddruckspannung (oberhalb der Baugrubensohle BGS) von Eh

= 6,8 · 1,98/2 + (6,8 + 9,8)· 0,52/2 + (9,5 + 17,9)· 2,0/2 + (17,9 + 22,7)· 1,5/2 = 68,9 kN/m = 68,9/6,0 = 11,5 kN/m²

bzw. eh folgt daraus: ehu = 0,8 · 11,5 = 9,2 kN/m² = 1,2 · 11,5 = 13,8 kN/m² eho Damit ergeben sich folgende den aktiven Erddruck aus Bodeneingewicht repräsentierende Kräfte: Eah1 = 13,8 · 3,0 Eah2 = 9,2 · 3,0 Eah3 = 22,7 · 2,0 Eah4 = 6,4 · 2,0/2

= 41,4 kN/m = 27,6 kN/m = 45,4 kN/m (Rechteckanteil) = 6,4 kN/m (Dreieckanteil)

Decklehm Kiessand > BGS Kiessand < BGS Kiessand < BGS

Die wirklichkeitsnähere Verteilung für den aktiven Erddruck oberhalb der Baugrubensohle und die resultierenden Erddruckkräfte sind in Bild 3-4 ebenfalls mit eingetragen.

355

3 Baugrubenumschließungen

Für die Berechnung des aktiven Erddruckes aus der ständigen Fundamentlast wird der Ansatz nach Bild 8-4b (BZ) gewählt. Da die Verbaubelastung vorzugsweise im Bereich des Kiessandes erfolgt, werden dessen Kenngrößen zur Berechnung angesetzt. Damit ergibt sich: EaPG

= PG ⋅ (sin (ϑa – ϕ)/cos (ϑa – ϕ – δa) = 150 ⋅ (sin (60,4 – 37,5)/cos (60,4 – 37,5 – 25) = 58,4 kN/m

Bei dreieckförmiger Verteilung über die wirksame Höhe von 5,20 m (Kotendifferenz 7,50 – 2,30, vgl. Bild 3-4) ergibt sich eine obere Ordinate von = 58,4 ⋅ 2/5,20 = 22,5 kN/m2 eaPG Die so ermittelte Erddruckverteilung ist ebenfalls in Bild 3-4 in der Lastfigur für eah(PG) dargestellt. b) Wasserdruckberechnung (ebenfalls ständige Einwirkung) Wegen des homogenen Baugrundes ist ein auf der sicheren Seite liegender Ansatz mittels hydrostatischen Wasserdrucks zulässig. Es ergibt sich: z = 4,5:

wh

=0

z = 6,5 bis 8,0:

wh = 10 · 2,0

= 20,0 kN/m²

Die dazugehörigen Kräfte lauten: Wh1 = 20,0 · 2,0/2

= 20,0 kN/m (Dreieckanteil)

Wh2 = 20,0 · 1,5

= 30,0 kN/m (Rechteckanteil)

Die ermittelte Wasserdruckverteilung ist ebenfalls in Bild 3-4 in der Lastfigur für wh dargestellt. c) Erddruckberechnung (veränderliche Einwirkung aus Fundamentlast und Laststreifen) Die Berechnung und Verteilung des veränderlichen Fundamentlastanteiles erfolgt wie unter Punkt a) beschrieben. Entsprechend der Aufteilung der Einwirkungen ergibt sich für den veränderlichen Anteil die Hälfte des ständigen Anteiles.

bzw.

EaPQ

= EaPG/2

= 58,4 kN/m

eaPQ

= 29,2 ⋅ 2/5,20

= 11,2 kN/m²

Die dazugehörige Erddruckverteilung ist in Bild 3-4 in der Lastfigur für eah(PQ) dargestellt. Die Erddruckbelastung aus dem unmittelbar neben der Baugrube vorgesehenen Laststreifen verläuft bis zu einer Tiefe, die sich aus der Lastbreite und unter Ansatz des Bodenreibungswinkels ergibt, konstant (z = 1,3) und ist in einer Tiefe, die sich unter Ansatz des Gleitflächenneigungswinkels ergibt, vollständig abgeklungen (z = 3,8). Da das Gelände horizontal verläuft und die Verbauwand lotrecht steht (Į = ȕ = 0), gilt kaqh = kagh = 0,31 (Decklehm) Damit ergibt sich eine maximale Ordinate von eaqh = q · kagh = 30 · 0,31 = 9,3 kN/m2 Die dazugehörigen Kräfte lauten: = 12,1 kN/m (Rechteckanteil) Eaq1 = 9,3 · 1,30 = 11,6 kN/m (Dreieckanteil) Eaq2 = 9,3 · 2,50/2

12

356

Geotechnik

Die ermittelte Erddruckverteilung ist ebenfalls in Bild 3-4 in der Lastfigur für eah(q) dargestellt. Damit sind die gesamten grundbautechnischen Einwirkungen auf die Spundwand bekannt. Wesentlich sind eine klare Trennung zwischen ständigen und veränderlichen Einwirkungen sowie eine konsequente Verfolgung der Indizes. Ermittlung der Auflagerkräfte Für die statische Berechnung ist zunächst der Verbau als statisches System zu idealisieren. Hierbei kann entweder die Einbindetiefe gewählt und mit dem Nachweis des ausreichenden Erdwiderstandes geprüft oder die Einbindetiefe als Unbekannte in der Berechnung mitgeführt und über den Nachweis des ausreichenden Erdwiderstandes (zur Optimierung) ermittelt werden. Im vorliegenden Beispiel wird die Einbindetiefe zu 2 m gewählt. Die aus den charakteristischen Einwirkungen resultierenden Auflagerkräfte sind getrennt für ständige (G) und veränderliche Belastungen (Q) zu ermitteln. Es empfiehlt sich, anschließend zunächst die Einbindetiefe mit dem vorgenannten Nachweis „Ausreichender Erdwiderstand“ sowie den Nachweisen „Mobilisierbare Mantelreibung“ und ggf. „Hydraulischer Grundbruch“ zu überprüfen, bevor die Schnittgrößen zur Festlegung des Verbauquerschnittes (Profilwahl) berechnet werden. Der eigentlich auch die Einbindtiefe betreffende Nachweis gegen „Versinken von Bauteilen“ kann demgegenüber erst geführt werden, wenn das Profil bekannt ist. Bei dem hier gewählten Spundwandverbau darf nach EAB – ähnlich des Ansatzes bei einer Trägerbohlwand – mit der Annahme einer freien Auflagerung die Lage des unteren Erdauflagers in einer Tiefe von 0,6⋅t unterhalb der Baugrubensohle (hier: 0,6⋅2,0 = 1,2 m) angesetzt werden (vgl. Bild 10-7 der BZ). Damit ergibt sich als statisches System ein Einfeldträger (Stützweite 5,70 m, Kote 7,2 – 1,5) mit zwei Kragarmen (Länge 1,5 m (oben) bzw. 0,8 m (unten), vgl. Bild 3-4 links). Aus den gesamten Erddruckspannungen auf der aktiven Seite können folgende charakteristische Auflagerreaktionen berechnet werden: Aus ständigen Einwirkungen (G) MBh,k

12

= 26,5 · 0,82/2 + 2,6 · 0,82/3 + 20,0 · 0,82/2 = 15,43 = 22,7 · 1,22/2 + 3,8 · 1,22/6 + 27,6 · 2,7 + 41,4 · 5,7 (aus eagh) + 58,4 · 3,17 (aus eah(PG)) (aus wh) + 20,0 · 1,22/2 + 20,0 · 1,87 – Ahk,G⋅5,7 (aus Anker)

Ÿ

Ahk,G⋅5,7 Avk,G⋅ Ak,G⋅

= (564,68 – 15,43)/5,7 = Ahk,G · tan ȕA = 96,4 · tan 25° = Ahk,G/cos ȕA = 96,4/cos 25°

ΣH = 0 Ÿ

Bhk,G

= ȈH – Ahk,G = 6,4 + 45,4 + 27,6 + 41,4 + 58,4 + 30,0 + 20,0 – 96,4

Ahk,G = 96,4 kN/m Avk,G = 45,0 kN/m Ak,G = 106,4 kN/m

Bhk,G = 132,8 kN/m Aus veränderlichen Einwirkungen (Q) MBh,k

§0 = 29,2 · 3,17 + 12,1 · 6,55 + 11,6 · 5,07 – Ahk,Q · 5,7

(aus eah(PQ)) (aus eah(q)) (aus Anker)

357

3 Baugrubenumschließungen

Ÿ

Ahk,Q⋅5,7 Avk,Q⋅ Ak,Q⋅

= 230,6/5,7 = Ahk,Q · tanȕA = 40,5 · tan25° = Ahk,Q/cosȕA = 40,5/cos25°

Ahk,Q = 40,5 kN/m Avk,Q = 18,9 kN/m Ak,Q = 44,7 kN/m

ΣH = 0 Ÿ

Bhk,Q

= ȈH – Ahk,Q = 29,2 + 12,1 + 11,6 – 40,5

Bhk,Q = 12,4 kN/m

Überprüfung der gewählten Einbindetiefe Die so berechneten Größen stellen die für den ebenen Fall ermittelten charakteristischen Auflagerreaktionen aus dem aktiven Erddruck dar. Sie entsprechen charakteristischen Beanspruchungen des Baugrundes im Bereich der Einbindetiefe (Bhk) bzw. der im Aushubbereich liegenden Stützung mittels Verpressankern (Ahk). Die Überprüfung der gewählten Einbindetiefe erfolgt über die Nachweise „Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers“, „Mobilisierbare Mantelreibung beim Erdwiderstand“ und „Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch“. a) Nachweis der Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers Beim Nachweis der Tragsicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers darf der Bemessungswert der Auflagerbeanspruchung höchstens dem Bemessungswert des Erdwiderstandes entsprechen (vgl. Abschnitt 10.4.1 der BZ). Hierbei ist demnach folgende Bedingung zu erfüllen: Bh,d

= Bhk,G ⋅ γG + Bhk,Q ⋅ γQ ≤(!) Eph,d = Ephk/γEp ( mit γG, γQ, γEp – Partialsicherheitsbeiwerte für Beanspruchungen bzw. Widerstände im LF2 nach den Tafeln 5-1 und 5-2 (BZ) ).

Der charakteristische Erdwiderstand wird – da keine besonderen Einschränkungen hinsichtlich der Verformungen gelten sollen – in voller Höhe angesetzt (Ș = 1,0) sein und ergibt sich im vorliegenden Fall unter Annahme eines mobilisierbaren Wandreibungswinkel von – 2/3 · ij wie folgt: =0 Sand, kiesig: z = 6,0: epgh z = 6,5:

epgh = 21 · 0,5 · 8,9

z = 8,0:

Sickerströmung beachten: Mit max i = ǻH/lmin = 2,0/5,0 = 0,40 folgt: yp' = Ȗ' – i · ȖW = 12 – 0,4 · 10 = 8 kN/m3

= 93,5

kN/m2

= 200,3 kN/m2

epgh = 93,5 + 8 · 1,5 · 8,9 Die dazugehörige Erdwiderstandskraft lautet: Ephk = 93,5 · 0,5/2 + (93,5 + 200,3)· 1,5/2

= 243,7 kN/m

Damit folgt für den Nachweis Bh,d

= 132,8 ⋅ 1,20 + 12,4 ⋅ 1,30 = 175,5 kN/m

≤(!) <

Eph,d = 243,7/1,30 187,5 kN/m

12

358

Geotechnik

Damit ist die gewählte Einbindetiefe von 2,0 m als ausreichend und darüber hinaus sehr wirtschaftlich gewählt zu bewerten. b) Überprüfung der mobilisierbaren Mantelreibung beim Erdwiderstand Bei dieser Untersuchung, die im eigentlichen Sinne keinem geotechnischen Nachweis entspricht, ist zu überprüfen, ob der in der Berechnung für den Erdwiderstand angenommene Wandreibungswinkel überhaupt mobilisierbar ist (vgl. hierzu Bild 10-20 der BZ). Dies ist der Fall, wenn die nach oben gerichtete Vertikalkomponente der Erdauflagerkraft höchstens so groß ist wie die von oben nach unten gerichteten Einwirkungen (Vertikalkomponenten des aktiven Erddrucks und geneigter Anker o.ä.). Hierzu ist demnach folgende Bedingung (nur charakteristische Werte) zu erfüllen: Vk = ΣVk,i ≥ Bv,k, Im vorliegenden Fall ergibt sich:

12

Aus G:

VkG

= ȈEahG ⋅ tan δa + Avk,G = 13,8 · 2,5 · tan 18,3° + (13,8 · 0,5 + 27,6 + 45,4 + 6,4 + 58,4) · tan 25° + 45,0 = 11,4 + 67,5 + 45,0 = 123,9 kN/m >(!) = Bhk,G ⋅ tan δp = 132,8 · tan25° = 61,9 kN/m

Aus G + Q:

VkG + Q

= VkG + ȈEahQ ⋅ tan δa + Avk,Q = 123,9 + (12,1 + 0,75 · 11,6)· tan18,3° + (29,2 + 0,25 · 11,6) · tan 25° + 18,9 = 123,9 + 6,9 + 15,0 + 18,9 = 123,9 + 40,8 = 164,7 kN/m >(!) = (Bhk,G + Bhk,Q) ⋅ tan δp = (132,8 + 12,4) · tan25° = 67,7 kN/m

Die für die Erdwiderstandsermittlung angesetzte Wandreibung kann demnach mobilisiert werden. c) Nachweis der Sicherheit gegen Hydraulischen Grundbruch Beim Nachweis der Sicherheit gegen Hydraulischen Grundbruch darf der Bemessungswert der im Baugrubensohlbereich von unten nach oben gerichteten Strömungskraft höchstens dem Bemessungswert des dort vorhandenen Bodeneigengewichtes entsprechen (vgl. Bild 10-23 der BZ). Der Nachweis erfolgt über den Vergleich destabilisierender und stabilisierender Einwirkungen. Im vorliegenden Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Gk · ȖG,stb

•(!)

S k · ȖH

Die für den Nachweis erforderlichen Kräfte werden für den im Spundwandfußbereich betrachteten TERZAGHI-Körper (Breite = halbe Höhe, hier: b = 1 m, h = t = 2 m) ermittelt. Nimmt man für den in die Strömungskraft einfließenden Gradienten den kürzesten Sickerweg, so liegt das Ergebnis auf der sicheren Seite (vgl. Erläuterung bei der Erddruckberechnung).

359

3 Baugrubenumschließungen

Damit ergibt sich: Gk = (Ȗ' · A' + Ȗ · A) · b = (12 · 1,50 + 21 · 0,50) · 1,0 Sk = imax · ȖW · A' = 0,40 · 10,0 · 1,50 · 1,0

= 28,5 kN/m = 6,0 kN/m

und für den Nachweis: 28,5 · 0,90 = 25,7 kN/m

>

6,0 · 1,30 = 7,8 kN/m

Damit ist bei der gewählten Einbindetiefe und der hier erforderlichen Grundwasserabsenkung um 2 m eine ausreichende Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch gegeben. Auswahl des Spundwandprofils In der statischen Berechnung sind neben den Auflagerreaktionen auch die maßgebenden Schnittgrößen (Biegemoment und Normalkraft) zu ermitteln. Sie stellen die charakteristische Materialbeanspruchung des Verbausystems dar. Unter der Annahme, dass der Querkraftnullpunkt aus ständiger und veränderlicher Einwirkung die für die Bemessung maßgebende Stelle darstellt, kann die Profilauswahl über den „Nachweis gegen Materialversagen“ (früher: Spannungsnachweis) erfolgen. Die Wahl des Profils (Querschnitt und Einbindetiefe) muss darüber hinaus den Nachweis „Sicherheit gegen Versinken von Bauteilen“ erfüllen. a) Nachweis gegen Materialversagen Für die Ermittlung der Schnittgrößen werden das statische System und die Belastungsfiguren wie in Bild 3-4 dargestellt zugrunde gelegt, da hierfür auch die Auflagerreaktionen ermittelt wurden. Wie der nachfolgende Vergleich der Horizontalbelastungen zeigt, ergibt sich der Querkraftnullpunkt für das Feldmoment bei einer Kote von z = 4,48 m. Ahk

= Ahk,G + Ahk,Q

= 96,4 + 40,5 = 136,9 kN/m

ȈEahk,i

= 41,4 + 9,2 · 1,48 + (13,1 + 22,5)· 2,18/2 (aus G) + 12,1 + 11,6 + (6,5 + 11,2)· 2,18/2 (aus Q) = 93,8 + 43,0 = 136,8 kN/m Die Bemessung erfolgt zunächst aufgrund des Biegemomentes und anschließender Überprüfung aufgrund des Biegemomentes und der Normalkraft (oberhalb der Baugrubensohle). Hierbei wird von einer Fließgrenze des Stahls von 215 N/mm2 = 21,5 kN/cm2 (S235, Profildicke > 4 mm) ausgegangen. Beim Nachweis gegen Materialversagen darf der Bemessungswert der Materialbeanspruchung höchstens dem Bemessungswert des Materialwiderstandes entsprechen. Hierbei ist demnach folgende Bedingung zu erfüllen: =(!)

Ed = Md/Wy = (Mk,G ⋅ γG + Mk,Q ⋅ γQ)/Wy

≤(!)

Rd = fyk/γM

Im vorliegenden Fall gilt für den Betrag des Feldmomentes: Mk,G

= 96,4 · 2,98 – 9,2 · 1,48²/2 – 41,4 · 2,98 – 13,1 · 2,18²/2 – 9,4 · 2,182/3 = 107,8 kNm/m

Mk,Q

= 40,5 · 2,98 – 12,1 · 3,83 – 11,6 · 2,35 – 6,6 · 2,182/2 – 4,6 · 2,182/3 = 24,1 kNm/m

12

360

Geotechnik

Die Gleichung für den einzuhaltenden Nachweis kann nach Wy aufgelöst werden: Wy

• (Mk,G ⋅ γG + Mk,Q ⋅ γQ) · γM/fyk = (107,8 ⋅ 1,20 + 24,1 ⋅ 1,30) · 1,10 · 100/21,5 = 822 cm3

Im Hinblick auf die fehlende Normalkraft und aus rammtechnischen Gründen sollte ein Profil LARSSEN 603 (Wy = 1200 cm3) oder ARBED PU12 (Wy = 1200 cm3) oder ARBED AZ13 (Wy = 1300 cm3) gewählt werden (vgl. BZ, Tafeln 10-5 bis 10-7). Für die zusätzlich zu berücksichtigende Normalkraft oberhalb der Baugrubensohle (z”6,0) ergibt sich: Nk,G = Avk,G + ȈEavk,G = 45,0 + 13,8 · 2,5 · tan18,3° + (13,8 · 0,5 + 27,6 +(6,5 + 22,5)· 3,70/2)· tan25° = 45,0 + 11,4 + 41,1 = 97,5 kN/m Nk,Q

= Avk,Q + ȈEavk,Q = 18,9 + (12,1 + 0,75 · 11,6)· tan18,3° + (0,25 · 11,6 +(3,2 + 11,2)· 3,70/2)· tan25° = 18,9 + 6,9 + 13,8 = 39,6 kN/m

Daraus folgt für den gesamten Nachweis bei einer Profilfläche von etwa A = 140 cm² wie folgt: ≤(!) fyk/γM (Mk,G/Wy + Nk,G/A) ⋅ γG + (Mk,Q/Wy + Nk,Q/A) ⋅ γQ (107,8 · 100/1200 + 97,5/140)· 1,20 + (24,1 · 100/1200 + 39,6/140)· 1,30 < 21,5/1,10 11,6 + 3,0 = 14,6 < 19,5 kN/cm2 b) Nachweis gegen Versinken von Bauteilen Beim Nachweis der Sicherheit gegen Versinken von Bauteilen darf der Bemessungswert der vertikalen Einwirkungen (Verbaugewicht, Vertikalkomponenten des Erddrucks und der Anker o.ä.) höchstens dem Bemessungswert des Spundwandwiderstandes im Bereich der Einbindetiefe (ähnlich einem Pfahlwiderstand) entsprechen (vgl. Abschnitt 10.4.2 und Bild 10-21 der BZ). Hierbei ist auf der Grundlage von Bemessungswerten demnach folgende Bedingung zu erfüllen: Vd = ΣVd,i ≤ Rd, mit Vd – Rd –

12

Bemessungswert der lotrechten Beanspruchung am Verbaufuß, Bemessungswert des Spundwandwiderstandes im Bereich der Einbindetiefe (Wandgewicht ca. 110 kg/m2, Profilhöhe 310 mm).

Im vorliegenden Fall ergibt sich: = γG · (GSpW + Avk,G + ΣEavk,G) + γQ · (Avk,Q + ΣEavk,Q) Vd = 1,20 ⋅ (8 · 110/100 + 123,9) + 1,30 · 40,8 = 212,0 kN/m Der charakteristische Spundwandwiderstand errechnet sich aus Spitzendruck und Mantelreibung, wobei für die Mantelreibung die Vertikalkomponente der Auflagerbeanspruchung gewählt werden kann. Daraus ergibt sich: R1,k = qb,k ⋅ Ab + Bvk,G+Q, wobei die Fußfläche als Nettoaufstandsfläche beispielsweise nach WEISSENBACH, Baugruben Teil III, ermittelt werden kann. Für das hier gewählte Spundwandprofil (Wandhöhe 310 mm) ergibt sich eine für den anzusetzenden Spitzendruck maßgebende Nettobreite von 0,55 · 0,31 = 0,17 m. Im Hinblick auf den zu führenden Nachweis ergibt sich das Problem, dass für den Fall eines gerammten Spundwandprofils keine auf Erfahrungswerten beruhenden charakteristischen

361

3 Baugrubenumschließungen

Widerstände für den GZ1B in DIN 1054 (01.05) mehr angegeben sind. In diesem Falle sollte man daher aushilfsweise auf die früher gültige Tabelle nach Schenck (Grenzzustand bei Rammpfählen) zurückgreifen. Für den im Einbindebereich der Spundwand anstehenden Kiessand lässt sich daraus folgender Grenzwiderstand für den Spitzendruck entnehmen: qb,k = 1,5 MN/m2 Damit errechnet sich der Bemessungswert des Spundwandwiderstandes wie folgt: R1,d

= R1,k/ȖP = (1500 ⋅ 0,17 + 67,7)/1,40 = (255,0 + 67,7)/1,40

= 230,5 kN

Für den Nachweis der Sicherheit gegen Versinken von Bauteilen folgt < Rd = 230,5 kN Vd = 212,0 kN Damit ist auch dieser Nachweis erfüllt, womit das gewählte Profil (z.B. LARSSEN 603 o.ä., Länge 8 m) sämtlichen Tragsicherheitsanforderungen genügt. Auswahl des Verpressankers Die in der statischen Berechnung ermittelte obere Auflagerreaktion stellt die charakteristische Beanspruchung der für die Stützung gewählten Verpressanker dar. Dieses Bauteil ist unter Zugrundelegung von drei maßgebenden Versagensarten zu bemessen. Hierzu zählen der „Nachweis gegen Materialversagen“ (Widerstand des Stahlzuggliedes), der „Nachweis des ausreichenden Schubverbundes am Verpresskörper“ (Herausziehwiderstand) und der „Nachweis gegen Versagen in der tiefen Gleitfuge“ (Überprüfung der Ankerlänge). Im vorliegenden Fall beträgt die charakteristische Beanspruchung in Richtung der Ankerachse Ak,G = 106,4 kN/m, Ak,Q = 44,7 kN/m bzw. Ak,G + Q = 151,1 kN/m. Bei einem gewählten Ankerabstand von 3 m kann der Bemessungswert der Beanspruchung eines Einzelankers wie üblich folgendermaßen ermittelt werden: Ad

= aA · (Ak,G ⋅ γG + Ak,Q ⋅ γQ) = 3,0 · (106,4 ⋅ 1,20 + 44,7 ⋅ 1,30) = 557,4 kN

a) Nachweis gegen Materialversagen Beim Nachweis der Tragsicherheit gegen Versagen des Stahlzuggliedes darf der Bemessungswert der Ankerbeanspruchung höchstens dem Bemessungswert des Materialwiderstandes entsprechen (vgl. Abschnitt 9.3 der BZ). Der Materialwiderstand, der als innerer Widerstand Ri,k bezeichnet wird, ergibt sich aus der Spannung im Ankerstahl bei 0,1 % bleibender Dehnung (ft,0.1,k) und dem Stahlquerschnitt AS. Hierbei ist demnach folgende Bedingung zu erfüllen: ≤(!) Ri,d = Ri,k/γM = AS · ft,0.1,k/γM Ad Diese Gleichung für den einzuhaltenden Nachweis kann zur Bemessung des Stahlzuggliedes nach AS aufgelöst werden. Dabei wird eine für Ankerstahl üblicherweise maßgebende Streckgrenze von ft,0.1,k = 1520 N/mm2 = 152 kN/cm2 berücksichtigt. = 4,2 cm2 AS • Ad · ȖM/ft,0.1,k = 557,4 · 1,15/152 b) Nachweis des ausreichenden Schubverbundes am Verpresskörper Beim Nachweis des ausreichenden „Herausziehwiderstandes“ darf der Bemessungswert der Ankerbeanspruchung höchstens dem Bemessungswert des Herausziehwiderstandes im Bereich des Verpresskörpers (Schubverbund zum umgebenden Baugrund), der als äußerer Widerstand Ra,k bezeichnet wird, entsprechen (vgl. Abschnitt 9.3 der BZ).

12

362

Geotechnik

Hierbei ist demnach folgende Bedingung zu erfüllen: ≤(!) Ra,d = Ra,k/ȖA Ad Nach DIN 1054 (01.05) ist der charakteristische Herausziehwiderstand auf der Grundlage einer an mindestens drei Ankern vorzunehmenden Eignungsprüfung zu ermitteln. Die früher häufig gewählte Festlegung der Verpresskörperlänge nach OSTERMAYER (vgl. hierzu [1]), die fast immer konservative Verpresskörperabmessungen lieferte, erscheint daher nicht mehr zulässig. Gleichwohl dürfte diese Methode aus Kostengründen nach wie vor in der Praxis vertretbar sein. Im vorliegenden Fall wird angenommen, dass der charakteristische Herausziehwiderstand bei einem Verpresskörper im hier maßgebenden Kiessand und einer Länge von 4,0 m etwa 620 kN beträgt. Damit ergibt sich: Ad = 557,4 kN

≤(!)

Ra,d = Ra,k/ȖA = 620/1,10

= 563,6 kN

Damit kann bei einer Verpresskörperlänge und einem Ankerabstand von 3,0 m davon ausgegangen werden, dass eine zuverlässige Lasteintragung der Ankerkraft in den den Verpresskörper umgebenden Baugrund erfolgt. c) Nachweis gegen Versagen in der tiefen Gleitfuge Mit diesem Nachweis wird die gewählte Ankerlänge überprüft. Hierbei darf der Bemessungswert der Auflagerbeanspruchung höchstens dem Bemessungswert derjenigen Ankerkraft entsprechen, die zu einem Grenzgleichgewicht an einem sich hinter der Verbauwand aus dem Gesamtsystem herauslösenden großmaßstäblichen Bodenkörpers führt (vgl. Bild 9-1 der BZ). Der Nachweis kann durch Vergleich der am Auflagerpunkt linienförmig (also zweidimensional) auftretenden Beanspruchungen erfolgen. Hierbei ist demnach folgende Bedingung – und zwar jeweils getrennt für ständige (G) sowie ständige und veränderliche (G + Q) Lasten – zu erfüllen: Ad

12

≤(!)

RA,d = RA,k/γEp

Die den angenommenen Versagensmechanismus auslösende charakteristische Ankerkraft wird ermittelt, indem man alle an dem betrachteten Bodenkörper angreifenden Einwirkungen ins Gleichgewicht bringt. Bild 3-5 zeigt den zu dem hier behandelten Beispiel gehörigen Schnitt, die einzelnen Einwirkungen und das entsprechende Krafteck. Hierbei ist zu beachten, dass die Erddruckverteilung auf der Verbauseite (vgl. E2a) ohne Umlagerung, also entsprechend der klassischen Verteilung, angesetzt wird, da sich der Verbau bei der angenommenen Beanspruchung um den Fußpunkt dreht. Auf der gegenüberliegenden Seite ist ein idealisierter Erddruck (vgl. E1a) parallel zur Geländeoberfläche anzusetzen. Bei der Ermittlung der im/am Bruchkörper angreifenden Kräfte wird die Auswirkung des Grundwassers über den Ansatz des „hydrostatischen“ Porenwasserdruckes in der tiefen Gleitfuge berücksichtigt. Auf der sichern Seite liegend wird dabei nur der entlang der Gleitfuge wirkende Wasserdruck angesetzt. Insgesamt ergeben sich folgende Kräfte: – Bodengewicht im Decklehm (U): GU = AU · ȖU = 6,35 · 2,50 · 19,0 = 301,6 kN/m – Bodengewicht im Kiessand (S): GS = AS · ȖS = 6,35 · 2,00 · 21,0 = 266,7 kN/m ' ' GS = AS · ȖrS = 6,35 · 3,50 · 22,0/2 = 244,5 kN/m – Ständige Fundamentlast: PG = 150,0 kN/m – Zwischensumme (vertikal):

ȈVG

= 962,8 kN/m

3 Baugrubenumschließungen

363

12

Bild 3-5

Nachweis in der tiefen Gleitfuge

364

Geotechnik

E2ah,U = 6,8 · 1,98/2 + (6,8 + 9,8)· 0,52/2 E2av,U = 11,0 · tan 18,3° E2ah,S = (9,5 + 17,9)· 2,00/2 + (17,9 + 29,1)· 3,50/2 + 58,4 E2av,S = 168,1 · tan 25°

= =

11,0 kN/m 3,6 kN/m

= =

168,1 kN/m 78,4 kN/m

– Zwischensumme aus G:

E2ah(G) = 11,0 + 168,1 E2av(G) = 3,6 + 78,4

= =

179,1 kN/m 82,0 kN/m

– Erddruckkräfte (Verbau) aus Q:

E2ah,U = 12,1 + 0,75 · 11,6 E2av,U = 20,8 · tan 18,3° E2ah,S = 0,25 · 11,6 + 29,2 E2av,S = 32,1 · tan 25°

= = = =

20,8 kN/m 6,9 kN/m 32,1 kN/m 15,0 kN/m

– Zwischensumme aus G + Q:

E2ah(G + Q) = 179,1 + 20,8 + 32,1 E2av(G + Q) = 82,0 + 6,9 + 15,0

= =

232,0 kN/m 103,9 kN/m

– Veränderliche Fundamentlast:

PQ

=

75,0 kN/m

– Veränderliche Flächenlast:

Pq = 30,0 · 2,50

=

75,0 kN/m

– Zwischensumme (vertikal):

ȈVQ

=

150,0 kN/m

für įa = ȕ = 0 gilt: kagh = 0,37 (U) bzw. 0,24 (S) kach = 1,21 (U) min kagh = 0,22 (U) eahc = – c · kach = – 5 · 1,21

=

– 6,1 kN/m2

eah = eagh – each = 19 · 2,5 · 0,37 – 6,1 (min eah = 19 · 2,5 · 0,22

= =

11,5 kN/m2 10,5 kN/m2)

– Erddruckkräfte (Verbau) aus G:

– Erddruckkräfte (rechter Rand):

Decklehm:

z = 0: z = 2,5:

12

Schnittpunkt

(oberhalb Mindesterddruck, unterhalb klassischer Erddruck) Aus 19 · u · 0,37 – 6,1 = 19 · u · 0,22 folgt u = 6,1/[19 ·(0,37 – 0,22)] = 2,14 m

Sand, kiesig:

– Zwischensumme:

z = 2,14: z = 2,5: z = 4,5:

eah = 19 · 2,14 · 0,22 = eagh = 19 · 2,5 · 0,24 = eagh = 11,4 + 21 · 2,0 · 0,24 = E1ah(U) = 8,9 · 2,14/2 + (8,9 + 11,5)· 0,36/2 = E1av(U) = E1ah(S) = (11,4 + 21,5)· 2,00/2 = E1av(S) = E1ah = E1a = 13,2 + 32,9 =

8,9 kN/m2 11,4 kN/m2 21,5 kN/m2 13,2 kN/m 0 32,9 kN/m 0 46,1 kN/m

365

3 Baugrubenumschließungen

– Porenwasserdruck in der tiefen Gleitfuge: z = 4,5 (rechtes Ende) z = 8,0 (linkes Ende) Länge der tiefen Gleitfuge: Porenwasserdruckkraft:

ur ul = 3,5 · 10 LGlF = 6,35/cos 29° U = 35,0 · 7,26/2

= 0 = 35,0 kN/m2 = 7,26 m = 127,1 kN/m

Die nach Größe und Richtung bekannten Kräfte werden getrennt für ständige Lasten (E1a, ȈVG, E2ah(G) und E2av(G)) sowie ständige und veränderliche Lasten (E1a, ȈVG, ȈVQ, E2ah(G + Q) und E2av(G + Q)) jeweils zu einer Resultierenden zusammengefasst und anschließend auf die Wirkungslinie der in der tiefen Gleitfuge mobilisierbaren Reibungskraft sowie die Wirkungslinie der Ankerkraft aufgeteilt. Wie das in Bild 3-5 dargestellte Krafteck zeigt, ergibt sich daraus eine charakteristische Ankerkraft von RA,G = 185,0 kN/m

bzw.

RA,G + Q = 255,0 kN/m

Als erforderlicher Nachweis ist einzuhalten: Ad

≤(!)

RA,d = RA,k/γEp

Ak,G · ȖG 106,4 · 1,20 127,7 kN/m

≤(!) ≤(!) <

RA,G/γEp 185,0/1,30 142,3 kN/m

also für ständige Lasten:

sowie für ständige und veränderliche Lasten: Ak,G · ȖG + Ak,G · ȖG ≤(!) 106,4 · 1,20 + 44,7 · 1,30 185,8 kN/m <

RA,G+Q/γEp ≤(!) 255,0/1,30 196,2 kN/m

Damit ist nachgewiesen, dass der Anker wie vorgesehen ausgeführt werden kann und eine für die Lastabtragung ausreichende Länge aufweist. Somit sind sämtliche geotechnischen – und zum Teil auch konstruktiven – Nachweise für den hier betrachteten Baugrubenverbau erfüllt. Neben diesen Nachweisen zur Festlegung ausreichender Bauteilabmessungen (GZ1B) ist bei Baugruben, da es sich um eine Geländesprungsicherung handelt, grundsätzlich auch zusätzlich die Sicherheit gegen Geländebruch für den Grenzzustand GZ1C (Gesamtstandsicherheit) nachzuweisen.

12

Hydraulik und Wasserbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Heinemann

Inhalt Hydraulik und Wasserbau ........................................................................................................... 367 1 Grundlagen............................................................................................................................. 369 2 Zahlenbeispiele ...................................................................................................................... 372 2.1 Aufgabe zur Hydrostatik............................................................................................. 372 2.2 Aufgabe zur Rohrhydraulik ........................................................................................ 375 2.3 Aufgabe zur Gerinneströmung und einfachen Hochwasserwahrscheinlichkeit ......... 378 2.4 Aufgabe zum Gerinne mit unterschiedlichen Rauheiten ............................................ 382 2.5 Aufgabe zum gegliederten Querschnitt mit Großbewuchs ......................................... 385 2.4 Aufgabe zur Spiegellinienberechnung........................................................................ 389

1 Grundlagen Für Verweise auf „Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln“ wird nachfolgend vor die Abschnitts- Tafel- oder Bildnummer das Kürzel „BZ“ vorangestellt. Nachfolgende Ausführungen beziehen sich auf BZ Kap. 17, soweit nicht auf ein anders Kapitel verwiesen wird (z.B. Kap. 1 Mathematik). In den Beispielen wird die Dichte ȡ ohne Zusatz als Dichte des Wassers ȡW verwendet. In eckigen Klammern angegebene Literaturhinweise beziehen sich auf die Angaben in BZ Kap. 17. Wassereigenschaften Die von der Temperatur abhängigen Wassereigenschaften sind in BZ Tafel 1 enthalten. Als übliche Werte für Berechnungen von Wasserdrücken und -strömungen gelten Dichte ȡW = 1000 kg/m3 (bei 4° C) , Kinematische Viskosität υ = 1,3 · 10–6 m2/s (bei 10° C) , Elastizitätsmodul EW = 2,06 · 109 N/m2 , Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2. Grundlagen der Hydrostatik Der hydrostatische Wasserdruck wirkt an jedem Ort orthogonal zur gedrückten Fläche, mit dem Betrag pSt = ȡW · g · z mit z – Überdeckungshöhe bis zum freien Wasserspiegel (BZ Bild 2-1). Für ebene Stauflächen erhält man den Betrag der Wasserdruckkraft aus dem Produkt des im Flächenschwerpunkt S wirkenden Drucks pS und der Flächengröße A: FW = pS · A (BZ Bild 2-2). Der Angriffspunkt D der Wasserdruckkraft liegt um e unter dem Flächenschwerpunkt S. (Berechnungshilfen für verschiedene Flächenformen in BZ Tafel 2-1). Bei gekrümmten Stauflächen erfolgt zunächst eine Ermittlung von Horizontal- und Vertikalkomponente, welche anschließend vektoriell addiert die resultierende Wasserdruckkraft FW bilden (BZ Tafel 2-2). Horizontal- und Vertikalkomponente verlaufen jeweils durch den Schwerpunkt der zugehörigen Druckfigur. Beim häufigen Sonderfall einer konstanten Krümmung verläuft die resultierende Wasserdruckkraft durch den Krümmungsmittelpunkt. Grundlagen der Hydrodynamik Bedeutende Ansätze in der Hydrodynamik sind • die Kontinuitätsbedingung, • die BERNOULLIsche Energiehöhengleichung, • Ansätze für Impuls- und Wasserdruckkräfte (zusammengefasst als Stützkräfte) und • Reibungsansätze zur Berücksichtigung von Fließverlusten. Kontinuitätsbedingung Das je Zeiteinheit in einen Abschnitt (Kontrollraum) hinein fließende Volumen entspricht dem an anderer Stelle austretenden Volumen. Es gilt nach Bild 1-1 A1 · υ1 · ǻt = A2 · υ2 · ǻt → A1 · υ1 = A2 · υ2 → Q1 = Q2 . Für verzweigte Systeme sind die Gleichungen entsprechend zu erweitern.

370

Hydraulik und Wasserbau

Bild 1-1

Kontinuitätsbedingung

BERNOULLIsche Energiehöhengleichung Die Summe aus Geschwindigkeits- und Druckenergiehöhe sowie der potenziellen Energiehöhe wird für zwei aufeinander folgende Querschnitte 1 und 2 gleichgesetzt. Infolge längerer Fließwege, Querschnittsänderungen oder Einbauten auftretende Fließverluste werden durch die Verlusthöhe hv berücksichtigt (Bild 1-2):

υ2 p υ2 p H oder hE = 1 + 1 + z1 = 2 + 2 + z2 + hv 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g

13

Bild 1-2

Größen der BERNOULLIschen Energiehöhengleichung

Impuls- und Wasserdruckkräfte Impulskräfte FI oder innere Kräfte sind dann zu berücksichtigen, wenn sich die Geschwindigkeit in Bezug auf die Richtung oder den Betrag ändert. Dann ist ein Kontrollraum so festzulegen, dass alle wirkenden Kräfte berücksichtigt werden. Wichtig ist, dass alle äußeren Kräfte (Wasserdruckkräfte FW, Gewichtskraft FG, Reibungs- und Haltekräfte, (hier zusammengefasst zu FR) für die Gleichgewichtsbedingungen vollständig angesetzt werden (Bild 1-3).

371

1 Grundlagen

Bild 1-3

Impulskräfte (innere Kräfte) und äußere Kräfte an einer gekrümmten Stromröhre

Reibungsansätze zur Berücksichtigung von Fließverlusten Für Rohrleitungen werden die Verlusthöhen nach dem Ansatz von de Voisin und Weisbach bestimmt: hv =

υ2 §

l· ¨ ¦ζ + λ ⋅ ¸ 2⋅ g © d¹

mit υ [m/s] mittlere Fließgeschwindigkeit, Σȗ [–] Summe der Beiwerte für örtlich auftretende Verluste, Ȝ [–] Widerstandsbeiwert sowie l [m] und d [m] als Rohrlänge und Durchmesser. Weitere Einzelheiten zu ȗ und Ȝ sind in BZ Abschnitt 3.1.3 und [5] beschrieben. Für Fließgewässer wird sowohl obiger Ansatz als auch der Reibungsansatz nach ManningStrickler verwendet (BZ Abschnitt 3.2.2): 2 / 3 1/ 2 υ = kSt ⋅ rhy ⋅ IE

und

hv = I E ⋅ l

mit kSt [m1/3/s] – Rauheitsbeiwert, rhy [m] – hydraulischer Radius und rhy = A/lu , A [m2] – Fließquerschnitt, lu [m] – benetzter Umfang. Bei Ansatz der Formel von de Voisin und Weisbach auf Fließgewässer ist anstelle des Durchmessers der hydraulische Durchmesser dhy = 4 · rhy einzusetzen. Neben den Reibungsansätzen sind für Rohr- und Gerinneströmungen verschiedene Fließzustände wie hydraulisch glatt oder vollkommen rau (Rohrströmung, [5] und BZ Abschnitt 3.1.3) bzw. schießend oder strömend (Gerinne, BZ Abschnitt 3.2.1) zu beachten.

13

372

Hydraulik und Wasserbau

2 Zahlenbeispiele 2.1 Aufgabe zur Hydrostatik Gegeben ist der in Bild 2-1(a) dargestellte Wehrverschluss als Zugsegment mit aufgesetzter Klappe. Die Dichtungshaut der Klappe ist mit einem Radius von r = 1,36 m gekrümmt. Die Krümmung schließt tangential an die unterhalb vorhandene ebene Staufläche an. Der gesamte Verschluss hat eine Breite von b = 15 m. Die verminderte Breite der Klappe durch seitliche Dichtungen wird hier vernachlässigt.

Bild 2-1

13

Zugsegment mit aufgesetzter Klappe

Zu bearbeitende Aufgabenteile: a) Die Wasserdruckfiguren auf die gekrümmte und die ebene Staufläche sind mit allen wesentlichen Abmessungen (Betrag und Dimension) darzustellen. b) Die Wasserdruckkräfte auf die beiden Stauflächen sind nach Größe, Richtung und Lage zu bestimmen. c) Die Höhe des Drehlagers über der Gewässersohle ist so festzulegen, dass die Wasserdruckkräfte bezogen auf das Drehlager des Verschlusses ein öffnendes Moment von 2500 kNm bilden. Dieses öffnende Moment dient der Entlastung der Huborgane. Der horizontale Abstand des Drehlagers vom Verschluss bleibt dabei unverändert. Lösung Zu a) Wasserdruckfiguren Die Wasserdruckfigur für die ebene Staufläche des Zugsegments bildet im vertikalen Schnitt ein Trapez. Für die gekrümmte Staufläche der aufgesetzten Klappe erfolgt zweckmäßiger Weise eine getrennte Betrachtung für die horizontale und vertikale Wirkungsrichtung. Dementsprechend sind zwei getrennte Druckfiguren für dieses Bauteil dargestellt. Bezüglich der Abmessungen der Druckfiguren ist zu beachten, dass parallel zur betrachteten Wirkungsrichtung des Druckes ein Druck mit entsprechender Druckeinheit und orthogonal dazu ein Längenmaß anzugeben ist. Die Größe des Überdrucks erhält man nach BZ Abschnitt 2 mit dem Ansatz pi = ρ · g · zi. Die Druckfiguren sind in Bild 2-1 (b) dargestellt.

373

2 Zahlenbeispiele

Zu b) Wasserdruckkräfte b1) Wasserdruckkraft auf die gekrümmte Dichtungshaut der aufgesetzten Klappe Horizontalkomponente:

FW1h = ρ W ⋅ g ⋅ b ⋅

1,002 z12 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 15,00 ⋅ = 73,58 ⋅ 103 N = 73,58 kN . 2 2

Vertikalkomponente: Für die Vertikalkomponente sind die geometrischen Elemente der gerundeten Staufläche zu berücksichtigen. Über die trigonometrischen Funktionen erhält man die in Bild 2-1 (c) gegebenen Längen. Beispielsweise bildet die Verbindungslinie vom Schnittpunkt Wasserspiegel/Staufläche zum Krümmungsmittelpunkt zur Horizontalen den Winkel

δ = arcsin

1,00 + 0, 236 = 65,36° . 1,36

Der für den eingetragenen Kreisabschnitt maßgebende Zentriwinkel ist um 10° kleiner und ergibt sich somit zu 55,36° . Die Vertikalkomponente entspricht dem Volumen der Wasserdruckfigur FW1v = ρW · g · b · (ADE – AKA) , wobei ADE und AKA der Dreiecksfläche und Kreisabschnittsfläche entsprechen. Die Formel für den Kreisabschnitt enthält BZ Kap. 1 (Mathematik), Abschnitt 1.3. Nach Einsetzen von r = d/2 erhält man ª º 1,00 1,362 π − ⋅ (55,36° ⋅ − sin 55,36°) » FW1v = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 15,00 ⋅ «(0,793 − 0,021) ⋅ 2 2 180° ¬« ¼»

= 37,28 · 103 N = 37,28 kN. Diese Kraftkomponente wirkt als Auflast. Der Betrag der Wasserdruckkraft auf die Klappe ergibt sich aus der vektoriellen Addition zu 2 2 FW1 = FW1h + FW1v = 73,582 + 37, 282 = 82, 49 kN .

Die Richtung der Kraft zur Horizontalen erhält man mit β1 = arctan

FW1v 37, 28 = arctan = 26,87° . FW1h 73,58

Die Lage der Wasserdruckkraft FW1 ist dadurch definiert, dass die Wirkungslinie durch den Krümmungsmittelpunkt verläuft. Diese einfache Definition für die Lage ist dann anwendbar, wenn eine Krümmung mit gleich bleibendem Radius vorliegt. Der vertikale Abstand des Krümmungsmittelpunkts von der Sohle beträgt z1 = 5,00 – 0,236 = 4,764 m. Der horizontale Abstand dieses Punkts vom Drehlager errechnet sich zu a1h = 5,00 + 5,00 · cos 80° + 1,339 = 7,207 m. b2) Wasserdruckkraft auf die ebene Staufläche des Segmentverschlusses Die Ermittlung dieser Kraft erfolgt analog zu BZ Abschnitt 2.1. Nach Tafel 2-1 gilt für die rechteckförmige Staufläche

h· § FW 2 = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ b ⋅ h ⋅ ¨ y1 + ¸ . 2¹ © Mit den Werten für dieses Beispiel

b = 15,00 m; α = 80° ; h = 5,00/sin 80° = 5,077 m und y1 = 1,00/sin 80° = 1,015 m erhält man

13

374

Hydraulik und Wasserbau

5,077 · § 3 FW 2 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ sin 80° ⋅ 15,00 ⋅ 5,077 ⋅ ¨1,015 + ¸ = 2614, 4 ⋅ 10 N = 2614,4 kN . 2 ¹ © Die Wirkungslinie ist unter ȕ2 = 10° zur Horizontalen geneigt, da sie die Staufläche orthogonal schneidet. Der vertikale Abstand des Angriffspunktes von FW2 erhält man mit den zugehörigen Ansätzen aus BZ Tafel 2-1 mit § · h h2 zü 2 = ( ys + e) ⋅ sin α = ¨ y1 + + ¸ ⋅ sin α ¨ 2 12 ⋅ ( y1 + h / 2 ) ¸¹ © § · 5,077 5,077 2 = ¨1,015 + + ¸ ⋅ sin 80° = 4,095 m . ¨ 2 12 ⋅ (1,015 + 5,077 / 2) ¸¹ ©

Damit errechnet sich der vertikale Abstand des Angriffspunktes von der Gewässersohle zu z2 = 6,00 – zü2 = 6,00 – 4,095 = 1,905 m. Der horizontale Abstand des Angriffspunkts von FW2 vom Drehlager beträgt a2 h = 5,00 +

z2 1,905 = 5,00 + = 5,336 m . tan 80° tan 80°

Zu c) Höhe zD des Drehlagers über der Sohle

Bei der in horizontaler Richtung bekannten, in vertikaler Richtung aber unbekannten Lage des Drehlagers ist ein Lösungsweg zweckmäßig, der die Horizontal- und Vertikalkomponenten der Wasserdruckkräfte betrachtet. Die Hebelarme der Vertikalkomponenten bleiben dabei unverändert. Bezogen auf das Drehlager weisen die Komponenten folgende Hebelarme auf: FW1v: FW1h: FW2v: FW2h:

13

a1h = 7,207 m (Lage des Krümmungsmittelpunkts der Klappe) a1v = z1 – zD = 4,764 – zD a2h = 5,336 m (Lage des Angriffspunkts von FW2) a2v = zD – z2 = zD – 1,905

Die Komponenten von FW1 sind bereits aus Lösungsteil zu b1) bekannt. Für die Komponenten von FW2 gilt und FW2h = FW2 · cos 10° = 2574,68 kN . FW2v = FW2 · sin 10° = 453,99 kN Bei Ansatz der Momente um das Drehlager positiv im Uhrzeigersinn weist das vorgegebene öffnende Moment ein negatives Vorzeichen auf: FW1v · a1h + FW1h · a1v + FW2v · a2h – FW2h · a2v = – 2500 kNm; das Einsetzen der Zahlen führt zu 37,28 · 7,207 + 73,58 · (4,764 – zD) + 453,99 · 5,336 – 2574,68 · (zD – 1,905) = – 2500 kNm. Nach Auflösen der Klammern und Durchführung der Multiplikationen erhält man 268,68 + 350,54 – 73,58 · zD + 2422,49 – 2574,68 · zD + 4904,77 = – 2500 kNm ĺ – (73,58 + 2574,68) zD =·– 2500 – 7946,48 ĺ zD =

−10446, 48 = 3,945 m . −2648, 26

Das Drehlager ist 3,945 m über der Gewässersohle anzuordnen, um das gewünschte öffnende Moment aus dem Wasserdruck zu erzielen.

2 Zahlenbeispiele

375

2.2 Aufgabe zur Rohrhydraulik Die nachstehend skizzierte Rohrleitung mit zwei Abschnitten unterschiedlicher Durchmesser (d1 = 400 mm und d2 = 250 mm) verbindet zwei Wasserbehälter. Innerhalb des ersten Abschnitts ist ein Richtungswechsel als Rohrkrümmer mit einem Rohrauflager zu berücksichtigen. Durch die ober- und unterstrom des Krümmers angeordneten Dehnungsstücke sind die auf den Krümmer wirkenden Kräfte vollständig durch das Rohrauflager aufzunehmen. Der Fließweg vom oberen Behälter bis zum Rohrkrümmer beträgt lW = 15 m. Alle weiteren Aufgaben einschließlich der Beiwerte für die örtlichen Verluste sind der unmaßstäblichen Skizze zu entnehmen. Für den Verlustbeiwert am Rohrende ist eine sinnvolle Annahme zu treffen. Für die Behälter gilt, dass dort die Geschwindigkeit vernachlässigbar klein und die Wasseroberfläche so groß ist, dass für die Bearbeitung der Aufgabe ein stationärer (zeitlich unveränderter) Fließzustand vorausgesetzt werden darf.

Bild 2-2

Leitung zwischen zwei Behältern, Druck- u. Energiehöhenlinie sind Teile der Lösung (unmaßstäblich)

Zu bearbeitende Aufgabenteile: a) Druck- und Energiehöhenlinie sind qualitativ in obige Skizze einzutragen. b) Der Durchfluss Q der Rohrleitung ist für den dargestellten Fall zu berechnen. c) Der auf das Rohrwiderlager wirkende Kraftanteil aus Wasserdruck- und Impulskräften ist nach Größe und Richtung zu bestimmen. Der geodätische Höhenunterschied zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt ist dabei zu vernachlässigen. Lösung Zu a) Druck- und Energiehöhenlinie Für die qualitative Entwicklung dieser Linien dienen folgende Hinweise: – Im oberen Behälter ist die Geschwindigkeit vernachlässigbar gering. Druck- und Energielinie fallen dort mit dem Wasserspiegel zusammen (57,50 m + NN). – Die Druckhöhe am Leitungsende ist durch die dort gegebene Wasserüberdeckungshöhe gegeben. Folglich liegt die Drucklinie auf Höhe des Wasserspiegels (45,00 m + NN). – Die Fließgeschwindigkeit am Leitungsende wird durch die Strahlaufweitung im unteren Behälter auf null reduziert. Durch die dabei entstehende Makroturbulenz wird die zugehörige kinetische Energie in Schall und Wärme umgewandelt (und steht dem Fließvorgang nicht weiter zur Verfügung). Daher ergibt sich ein Austrittsverlust mit der Größe der Geschwindigkeitshöhe am Rohrende (ȗa = 1, BZ Abschnitt 3.1.3.10).

13

376

Hydraulik und Wasserbau

–

Das Verhältnis der Fließgeschwindigkeiten in den beiden Leitungsabschnitten verhält sich mit Blick auf die Kontinuitätsbedingung (BZ Abschnitt 3.1.1) reziprok zum Verhältnis der Leitungsquerschnitte: A1 ⋅ υ1 = A2 ⋅ υ 2 →

υ1 A2 d 22 υ2 d 4 = = 2 → 1 2 = 24 . Mit den gegebenen Durchmessern ergibt sich so ein υ2 A1 d1 υ2 d1 4

Verhältnis zwischen den Geschwindigkeitshöhen von

–

υ12 § 250 · 1 =¨ = 0,1526 . Die Geschwin¸ = 6,554 υ22 © 400 ¹

digkeitshöhen sind folglich unterschiedlich groß darzustellen. Das Energiehöhengefälle lässt sich vereinfacht ebenfalls abhängig von der Geschwindigkeitshöhe (also von υ2) beschreiben. Somit ist das Gefälle im ersten Leitungsabschnitt wesentlich geringer als im zweiten.

Aus vorstehenden Betrachtungen und Berücksichtigung örtlicher Verluste ergeben sich die in Bild 2-2 enthaltenen Linien für die Druck- und die Energiehöhe. Zu b) Durchfluss der Rohrleitung Für einen Bezugshorizont auf NN lässt sich folgende Bernoulli-Gleichung (BZ Abschnitt 3.1.2) aufstellen (betrachtet werden im oberen und unteren Behälter jeweils ein Ort auf Höhe des Wasserspiegels):

υo2 2⋅ g

+

po υ2 p + zo = u + u + zu + hv1 + hv 2 2⋅ g ρ ⋅ g ρ⋅g

mit hv1 und hv2 als Verlusthöhen der beiden Leitungsabschnitte. In den Behältern gilt υ = 0 und auf Höhe des Wasserspiegels p = 0. Folglich fallen die Terme für Geschwindigkeits- und Druckhöhe auf beiden Seiten der Gleichung weg. Man erhält zo − zu = hv1 + hv 2 → 57,50 − 45,00 =

υ12 §

¨ 2⋅ g ©

l ·

υ2 §

l ·

¦ ς Abschn.1 + λ1 ⋅ d11 ¸¹ + 2 ⋅2g ¨© ¦ς Abschn.2 + λ2 ⋅ d22 ¸¹ . 4

§ 250 · Aus der unter a) zitierten Kontinuitätsbedingung erhält man die Beziehung υ12 = υ 22 ⋅ ¨ ¸ . Die Wider© 400 ¹ standsbeiwerte Ȝ hängen von der relativen Rauheit k/d bzw. dem Kehrwert d/k sowie der Reynoldszahl Re = υ · d/ν ab (BZ Abschn. 3.1.3.1). Da die Fließgeschwindigkeiten nicht bekannt sind, wird die Bestimmung der Ȝ-Werte zunächst unter Voraussetzung eines vollkommen rauen Fließzustands nur als Funktion von d/k vorgenommen (Bereich im Moody-Diagramm, in welchem die Linien gleicher d/k-Werte horizontal verlaufen, BZ Bild 3-6). Man erhält [

für Abschnitt 1: d1/k1 = 400/0,3 = 1333 ĺ Ȝ1 = 0,018 und für Abschnitt 2: d2/k2 = 250/0,2 = 1250 ĺ Ȝ2 = 0,019.

13

Die vorstehenden Werte sind nach der Bestimmung der Fließgeschwindigkeiten mit Hilfe von Re zu überprüfen. Gegebenenfalls ist die Rechnung zu verbessern. Die Beiwerte für die örtlichen Verluste führen zu folgenden Summen (ȗa bereits in a) zu 1 bestimmt):

¦ς Abschn.1 = ς e + ς Kl = 0, 25 + 0,3 = 0,55 ; ¦ς Abschn.2 = ς S + ς a = 0,35 + 1,0 = 1,35 . Die umgeformte Bernoulli-Gleichung erhält nach Einsetzen der Variablen und der Beziehung aus der Kontinuitätsbedingung die Form 4

57,50 − 45,00 =

υ22 § 250 · §

400 · υ 22 § 150 · ⋅¨ ¸+ ¨1,35 + 0,019 ⋅ ¸. ¸ ⋅ ¨ 0,55 + 0,018 ⋅ 2 ⋅ g © 400 ¹ © 0, 40 ¹ 2 ⋅ g © 0, 25 ¹

377

2 Zahlenbeispiele

Durch Berechnungen und Umformung ergibt sich für die Fließgeschwindigkeit im zweiten Abschnitt

υ2 =

2 ⋅ g ⋅ (57,50 − 45,00) 4

§ 250 · ¨ ¸ ⋅ 18,55 + 12,75 © 400 ¹

2

=

19,62 ⋅ 12,50 § 250 · = 3,967 m/s → υ1 = 3,967 ⋅ ¨ ¸ = 1,550 m/s . 15,58 © 400 ¹

Mit Hilfe dieser Fließgeschwindigkeiten lassen sich die zugehörigen Reynolds-Zahlen bestimmen, wobei als üblicher Wert für die kinematische Zähigkeit υ = 1,3 · 10–6 m2/s angesetzt wird: Re1 = 1,550 · 0,40/(1,3 · 10–6) = 4,8 · 105

Re2 = 3,967 · 0,25/(1,3 · 10–6) = 1,5 · 106.

und

Die erneute Anwendung des Moody-Diagramms führt unter Berücksichtigung von Re und d/k zu Ȝ1 = 0,019 und Ȝ2 = 0,019. Damit ändert sich der Widerstandsbeiwert nur für den ersten Abschnitt geringfügig. Die Verbesserung führt zu

υ2 =

2 ⋅ g ⋅ (57,50 − 45,00) 4

§ 250 · ¨ ¸ ⋅ 19,55 + 12,75 © 400 ¹

2

=

19,62 ⋅ 12,50 § 250 · = 3,948 m/s → υ1 = 3,948 ⋅ ¨ ¸ = 1,542 m/s . 15,73 © 400 ¹

Daraus errechnet sich der gesuchte Durchfluss zu Q = υ2 ⋅

ʌ ⋅ d 22 = 3,948 ⋅ 0,0491 = 0,194 m3/s . 4

Zu c) Wasserdruck- und Impulskräfte auf den Krümmer ĺ Kraft auf das Rohrauflager Die Lösung erfolgt analog zu BZ Tafel 3-1. Der für den betrachteten Fließzustand am Krümmer herrschende Überdruck pKr ist mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung zu bestimmen, wobei ein Ort an der Wasseroberfläche des oberen Behälters sowie der Krümmer gegenüber gestellt werden (υo = 0 und ρo = 0, daher fallen für diese Stelle die ersten beiden Terme der Bernoulli-Gleichung weg):

zo =

2 υKr

2⋅ g

+

υ2 υ2 § pKr p + zKr + hv → Kr = zo − Kr − zKr − 1 ⋅ ¨ ρ⋅g ρ⋅g 2⋅ g 2⋅ g ©

l

·

¦ ς + λ1 ⋅ dW1 ¸¹ .

Ferner gilt υKr = υ1. Mit den Zahlen erhält man die Druckhöhe p Kr

ρ⋅g

= 57,50 −

1,5422 1,5422 − 41,00 − 19,62 19,62

15,00 · § ⋅ ¨ 0,55 + 0,019 ¸ = 16, 23 m . 0, 40 ¹ ©

Daraus errechnet sich der hydrostatische Überdruck am Krümmer zu pKr = 16,23 · 1000 · 9,81 = 159,2 · 103 = 159,2 kN. Die am Ein- und am Austrittsquerschnitt wirkende Wasserdruckkraft errechnet sich zu FWE = FWA = pKr ⋅ ʌ ⋅ d12 / 4 = 20,0 kN .

Die Impulskraft tritt ebenfalls am Ein- und am Austrittsquerschnitt auf und hat den Betrag FIE = FIA = ρ · Q · υ1 = 299 N = 0,3 kN. Damit errechnet sich jeweils ein Gesamtbetrag von FE = FA = 20,3 kN. Die Kraft FE wirkt in Fließrichtung, während die am Austritt wirkende Kraft FA gegen die Fließrichtung anzusetzen ist. Aus der vektoriellen Addition entsprechend Bild 2-3 ergeben sich aus der Komponentenzerlegung von FE (FEh = FE · cos 56° und FEv = FE · sin 56° ) der Betrag F = ( FE ⋅ cos56° − FA )2 + ( FE ⋅ sin 56°) 2 = 19,06 kN und die Richtung β = arctan (FE sin 56° )/(FE · cos 56° – FA) = (–) 62° (Drehsinn gegenüber dem Winkel von 56° umgekehrt). Die Lage erhält man aus dem Schnittpunkt der Wirkungslinien von FE und FA.

13

378

Hydraulik und Wasserbau

Bild 2-3

Krafteck für das Rohrauflager

2.3 Aufgabe zur Gerinneströmung und einfachen Hochwasserwahrscheinlichkeit Innerhalb einer Ortslage führt eine Brücke über ein Fließgewässer. Die Unterkante der Brücke liegt 2,40 m über der Gewässersohle. Das Fließgewässer kann annähernd als Trapezprofil mit einer Sohlbreite von b = 1,00 m und einer Böschungsneigung von 1 : m = 1 : 2,5 beschrieben werden. Das nicht ausgekleidete, etwas unregelmäßige Gewässer liegt in einem lehmigen Kies mit geringem Bewuchs auf den Böschungen. Das Energiehöhengefälle IE beträgt im Mittel 0,2 ‰ Nach Aussagen der Anwohner kommt es häufig zu einem Einstau der Brücke, wodurch Überflutungsschäden hervorgerufen werden. Eine Reihe von 20 Jahreshöchstabflüssen HQ steht für die weitere Bearbeitung zur Verfügung (in m3/s), die mit Hilfe der Gauß-Normalverteilung erfolgen soll: Jahr HQ Jahr HQ

13

– m3/s – m3/s

1982 6,29 1992 9,28

1983 6,82 1993 5,76

1984 4,54 1994 9,44

1985 8,72 1995 3,92

1986 2,51 1996 5,51

1987 5,50 1997 18,16

1988 7,91 1998 3,36

1989 4,70 1999 21,30

1990 11,04 2000 3,20

1991 8,47 2001 7,16

Zu bearbeitende Aufgabenteile a) Es ist aufgrund des Schiefekoeffizients festzulegen, ob die statistische Auswertung mit den Ereigniswerten oder den Logarithmen der Ereigniswerte durchgeführt werden sollte. b) Die Wiederholungszeitspanne, mit welcher der Wasserspiegel die Brückenunterkante erreicht bzw. eingestaut, ist zu bestimmen. c) Der Hochwasserabfluss HQ50, der im langjährigen Mittel nur alle 50 Jahre erreicht bzw. überschritten wird, ist zu berechnen. d) Die Höhe der Brückenunterkante über der Gewässersohle ist so zu bestimmen, dass sie 0,50 m über dem 50-jährlichen Wasserspiegel liegt. Lösung Zu a) Bestimmung der statistischen Kennwerte (Mittelwert, Standardabweichung und Schiefekoeffizient) für die Ereigniswerte und die zugehörigen Logarithmen (hier Basis 10 verwendet) für die Antwort, ob Ereigniswerte oder Logarithmen geeigneter sind.

379

2 Zahlenbeispiele

Mit den berechneten Summen aus Tafel 2-1 und den in BZ, Kap. 1 (Mathematik), Abschn. 11.1 angegebenen Formeln errechnen sich Mittelwert, Standardabweichung und Schiefekoeffizient. Für die Ereigniswerte erhältman folgende Werte:

x = ¦ x / n = 152,59 / 20 = 7,6295 ≈ 7,63 m3/s , in der BZ, Kap. 2 Tafel 2-1 als xm bezeichnet; sx = Tafel 2-1

Jahr

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Summen: Mittelwert:

¦ ( x − x )2 = n −1

427,84 = 4,745 m3/s . 20 − 1

Berechnung der Ausgangswerte für Standardabweichung und Schiefekoeffizient Höchstabfluss als Ereigniswert x

x – xm

m3/s

m3/s

6,29 6,82 4,54 8,72 2,51 5,50 7,91 4,70 11,04 7,47 9,28 5,76 9,44 3,92 5,51 18,16 3,36 21,30 3,20 7,16 152,59 7,630

(x – xm)2 (x – xm)3

(m3/s)2

(m3/s)3

– 1,340 1,794 – 2,403 – 0,810 0,655 – 0,530 – 3,090 9,545 – 29,489 1,091 1,189 1,297 – 5,120 26,209 – 134,178 – 2,130 4,535 – 9,657 0,281 0,079 0,022 – 2,930 8,582 – 25,141 3,411 11,632 39,669 – 0,160 0,025 – 0,004 1,651 2,724 4,496 – 1,870 3,495 – 6,534 1,811 3,278 5,935 – 3,710 13,760 – 51,044 – 2,120 4,492 – 9,521 10,531 110,891 1167,742 – 4,270 18,229 – 77,827 13,671 186,883 2554,778 – 4,430 19,620 – 86,909 – 0,470 0,220 – 0,103 0,00 427,84 3340,60 m3/s

Log. Höchstabfluss y = log (x) – 0,7987 0,8338 0,6571 0,9405 0,3997 0,7404 0,8982 0,6721 1,0430 0,8733 0,9675 0,7604 0,9750 0,5933 0,7412 1,2591 0,5263 1,3284 0,5051 0,8549 16,368 0,818

y – ym

(y – ym)2 (y – ym)3

–

–

–

– 0,0197 0,0154 – 0,1613 0,1221 – 0,4187 – 0,0780 0,0798 – 0,1463 0,2246 0,0549 0,1492 – 0,0580 0,1566 – 0,2251 – 0,0772 0,4407 – 0,2921 0,5100 – 0,3132 0,0365 0,000

0,0004 0,0002 0,0260 0,0149 0,1753 0,0061 0,0064 0,0214 0,0504 0,0030 0,0222 0,0034 0,0245 0,0507 0,0060 0,1942 0,0853 0,2601 0,0981 0,0013 1,0500

0,0000 0,0000 – 0,0042 0,0018 – 0,0734 – 0,0005 0,0005 – 0,0031 0,0113 0,0002 0,0033 – 0,0002 0,0038 – 0,0114 – 0,0005 0,0856 – 0,0249 0,1326 – 0,0307 0,0000 0,0903

Die Formel für den Schiefekoeffizient ist in BZ, Kap. 1 unmittelbar über Tafel 11-2 gegeben: csx =

n⋅

¦ ( x − x )3

(n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ sx3

=

20 ⋅ 3340,60 (20 − 1) ⋅ (20 − 2) ⋅ 4,7453

= 1,828 .

Aus den Logarithmen der Ereigniswerte (y = log x bzw. y = log HQ) ergeben sich folgende Daten:

y = ¦ y/n = 16,368 / 20 = 0,8184 , in der Tafel als ym bezeichnet;

13

380

Hydraulik und Wasserbau

sy = csy =

¦ ( y − y )2 = n −1

n⋅

1,050 = 0, 2351 ; 20 − 1

¦ ( y − y )3

( n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ sy3

=

20 ⋅ 0,0903 (20 − 1) ⋅ (20 − 2) ⋅ 0, 23513

= 0, 406 .

Es zeigt sich, dass der Schiefekoeffizient csy aus den Logarithmen deutlich näher an null liegt als der entsprechende Wert csx aus den Ereigniswerten. Da die Gauß-Normalverteilung eine symmetrische Form und damit cs = 0 aufweist, sind die Logarithmen für die statistische Auswertung mit dieser Verteilung wesentlich geeigneter als die Ereigniswerte. Zu b) Wiederholungszeitspanne für das Erreichen bzw. den Einstau der Brückenunterkante Zur Lösung ist zunächst der Durchfluss zu berechnen, bei dem die Brückenunterkante gerade noch nicht berührt wird (Wassertiefe 2,40 m). Für die Rauheitsbeiwerte sind in BZ, Tafel 3-22 folgende Angaben enthalten:

Natürliche Flussbetten mäßig. Geschiebe oder verkrautet

kSt = 15 bis 35 m1/3/s,

Erdkanäle in Sand, Lehm oder Kies, stark bewachsen

kSt = 20 bis 25 m1/3/s.

Aufgrund dieser Angaben wird der Rauheitsbeiwert für das betrachtete Gewässer mit kSt = 25 m1/3/s geschätzt. Die weitere Berechnung erfolgt mit der Fließformel nach Gauckler-Manning-Strickler entsprechend BZ, Abschnitt 3.2.2.1: Fließquerschnitt

A

= b ⋅ h + m ⋅ h 2 = 1,00 ⋅ 2, 40 + 2,5 ⋅ 2, 402 = 16,80 m 2 ;

benetzter Umfang

lu

= b + 2 ⋅ h ⋅ 1 + m 2 = 1,00 + 2 ⋅ 2, 40 ⋅ 1 + 2,52 = 13,92 m ;

hydraulischer Radius rhy = A / lu = 16,80 /13,92 = 1, 207 m ; mittl. Fließgeschw.

υ

2 / 3 1/ 2 = kSt ⋅ rhy ⋅ I E = 25 ⋅ 1, 207 2 / 3 ⋅ 0,00021/ 2 = 0, 4007m/s ;

Durchfluss

Q

= A ⋅ v = 16,80 ⋅ 0, 4007 = 6,732 m3/s .

Die statistische Betrachtung erfolgt mit dem Logarithmus y = log Q = 0,8281 . Ferner werden aus dem Kap. 1 die normierte Gauß-Verteilung mit der Tafel 11-2 und die darüber angegebene Formel zur Normierung verwendet: z=

13

x−x y − y 0,8281 − 0,8184 = = 0,041 . bzw. für die hier gewählten Logarithmen z = sy 0, 2351 sx für z = 0,04

ĺ PÜ = 0,04840

für z = 0,05

ĺ PÜ = 0,04801

für z = 0,041

ĺ PÜ = 0,04840 +

Aus Tafel 3:

Interpolation

0,04801 − 0,04840 ⋅ (0,041 − 0,04) = 0,04836 . 0,05 − 0,04

Die Wiederholungszeitspanne oder Jährlichkeit erhält man aus dem in Kap. 1, Abschnitt 11.1 gegebenen Ansatz Tn = PΔt . Die gegebene Reihe von Ereigniswerten enthält jährliche Hochwasserwerte. Folglich gilt Ü

für ǻt = 1. Daraus folgt für die Jährlichkeit: Tn =

1 0,04836

= 2,07 ≈ 2 Jahre , d.h. etwa alle 2 Jahre wird die

Unterkante der Brücke vom Wasserspiegel erreicht oder eingestaut.

381

2 Zahlenbeispiele

Zu c) Hochwasserabfluss HQ50

Die Überschreitungswahrscheinlichkeit für den 50-jährlichen Hochwasserabfluss errechnet sich aus der Δt 1 = = 0,02 . Aus BZ Kap. 1 Tafel 3 lässt sich der Umstellung des Ansatzes für die Jährlichkeit zu PÜ = Tn 50 zugehörige Wert z ermitteln: für PÜ = 0,02018 ĺ

z = 2,05

für PÜ = 0,01970 ĺ

z = 2,06

Interpolation

für PÜ = 0,02 ĺ

z50 = 2,05 +

2,06 − 2,05 ⋅ (0,02 − 0,02018) = 2,054 . 0,01970 − 0,02018

Durch Umstellung des Normierungsansatzes z =

y−y erhält man sy

y50 = y + z50 ⋅ sy = 0,8184 + 2,054 ⋅ 0, 2351 = 1,3013 .

Der Hochwasserabfluss HQ50 errechnet sich mit der eingangs für den Logarithmus verwendeten Basis 10 zu HQ50 = 10 y50 = 101,3013 = 20,0 m3/s .

Dieser Wert wird im langjährigen statistischen Mittel alle 50 Jahre erreicht oder überschritten.

Zu d) Höhe der Brückenunterkante Bei einem 50-jährlichen Hochwasserabfluss soll noch eine lichte Höhe von 0,50 m über dem Wasserspiegel verbleiben. Dazu ist zunächst die zu HQ50 gehörende Wassertiefe zu bestimmen. Bei Trapezprofilen erfolgt dies iterativ, indem der Durchfluss für wenigstens drei Wassertiefen bestimmt und anschließend eine graphische Interpolation durchgeführt wird (oder zusätzliche Berechnungen erfolgen). Die dazu werden die Formeln wie in Lösungsteil b) verwendet: Tafel 2-2

Werte zur iterativen Bestimmung der Wassertiefe bei gegebenem Abfluss im Trapezprofil

1. Wassertiefe: h = 4,00 m

2. W.-t.: h = 3,80 m 2

3. W.-t.: h = 3,70 m

2

A = 39,90 m

A = 37,925 m2

ben. Umfang lu = 1,00 + 2 ⋅ 4,00 ⋅ 1 + 2,52 = 22,54 m

lu = 21,46 m

lu = 20,925 m

hydraul. Radius rhy = a / lu = 44,00 / 22,54 = 1,952 m

rhy = 1,859 m

rhy = 1,812 m

Fließgeschw. v = 25 ⋅ 1,9522 / 3 ⋅ 0,00021/ 2 = 0,552 m/s

v = 0,535 m/s

Fließquersch. A = 1,00 ⋅ 4,00 + 2,5 ⋅ 4,00 = 44,00 m

Abfluss Q = A ⋅ v = 44,00 ⋅ 0,552 = 24,3 m3 /s

2

3

Q = 21,3 m /s

v = 0,526 m/s Q = 19,9 m3 /s

Die anschließende graphische Interpolation ist in Bild 2-4 dargestellt. Darin wird der nach oben gekrümmte Verlauf dieses Ausschnitts aus der Abflusskurve nur leicht deutlich. Als Ergebnis erhält man für die gesuchte Wassertiefe knapp h = 3,71 m. Die Unterkante ist für eine verbleibende Höhe von 0,50 m auf 4,21 m über der Gewässersohle anzuordnen.

13

382

Hydraulik und Wasserbau

Bild 2-4

Graphische Interpolation der Wassertiefe

2.4 Aufgabe zum Gerinne mit unterschiedlichen Rauheiten Gegeben ist ein Fließgewässer mit dem in Bild 2-5 dargestellten Querschnitt und einem Sohlengefälle von ISo = 0,3 ‰. Zu bearbeitende Aufgabenteile: Gesucht ist der Hochwasserabfluss für den gleichförmigen Fließzustand bei einer Wassertiefe von h = 2,50 m 1) nach dem universellen Fließgesetz und 2) nach dem Ansatz von MANNING-STRICKLER.

13

Bild 2-5 Asymmetrischer Querschnitt mit unterschiedlichen Rauheiten (zum Zahlenbeispiel)

Lösung:

Geometrische Elemente (mit den üblichen Berechnungsansätzen): Querschnittsfläche: Benetzter Umfang:

A = 20,94 m2; lu,Bö,li = 4,507 m ; lu,So = 4,00 m ; lu,Bö,re = 5,59 m ; Σlu = 14,097 m.

Hydraulischer Radius des Gesamtfließquerschnitts: rhy,ges =

A 20,94 = = 1, 49 m Ȉlu 14,097

383

2 Zahlenbeispiele

Zu 1): Berechnung nach dem universellen Fließgesetz

Die Berechnungsschritte sind in BZ, 3.2.2.2 wiedergeben. Angenommene Rauheiten: kBö,li = 0,04 m ;

kSo = d90 = 0,0075 m; kBö,re = 0,20 m.

Ein gewichtetes Mittel der Rauheit errechnet sich aus BZ Gl. (3-24): § ks,m = ¨ ¨ ©

¦ ks,i0,4 ⋅ lu,i ·¸ ¦ lu,i ¸¹

2,5

§ 0,040,4 ⋅ 4,507 + 0,007504 ⋅ 4,00 + 0, 200,4 ⋅ 5,59 · =¨ ¸ 4,507 + 4,00 + 5,59 © ¹

2,5

= 0,0657 m

Die weiteren Schritte beziehen sich auf den oben zitierten Berechnungsablauf: a) Erste Annahme der Fließgeschwindigkeit auf der Basis einer gewichteten Rauheit mit BZ Gl. (3-22): ª

§ ks,m · º ª § 0,0657 · º ¸ » = 8 ⋅ 9,81 ⋅ 1, 49 ⋅ 0,0003 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» ¨ rhy ¸ » © 1, 49 ¹ ¼ ¬ © ¹¼

υa = 8 ⋅ g ⋅ rhy ⋅ I E ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¬«

= 0,946 m/s

b) Iterative Bestimmung der hydraulischen Radien der Teilquerschnitte; die Berechnung beginnt mit rhy,a aus BZ Gl. (3-25). Als erste Annahme für die linke Böschung errechnet sich: rhy,Bö,li,a =

1/4 ks,i

¦

1/4 ⋅ l ks,i u,i

⋅A=

0,040,25 ⋅ 20,94 0,040,25 ⋅ 4,507 + 0,00750,25 ⋅ 4,00 + 0, 20,25 ⋅ 5,59

= 1,35 m Die Iteration wird mit der umgestellten BZ Gl. (3-22) weitergeführt: rhy,Bö,li,r =

=

υa2 ª § k 8 ⋅ g ⋅ I E ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ s,Bö,li ¨ rhy,Bö,li,a «¬ ©

·º ¸¸ » ¹ »¼

2

0,9462 ª § 0,04 · º 8 ⋅ 9,81 ⋅ 0,0003 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 1,36 ¹ ¼ ¬

2

= 1,30 m

13

Die Lösung und damit auch die neue Annahme liegt zwischen der vorhergehenden Annahme und dem berechneten Wert. Die neue Annahme errechnet sich z.B. mit rhy,Bö,li,a,neu =

2 ⋅ rhy,Bö,li,r + rhy,Bö,li,a,alt 3

= 1,32 m

Das Einsetzen der neuen Annahme in die umgestellte BZ Gl. (3-22) fuhrt zu rhy,Bö,li,r =

0,9462 ª § 0,04 · º 8 ⋅ 9,81 ⋅ 0,0003 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 1,32 ¹ ¼ ¬

2

= 1,31 m

384

Hydraulik und Wasserbau

Dieser Berechnungswert weicht nur geringfügig von der letzten Annahme ab. Als hinreichend genau gilt: rhy,Bö,li = 1,31 m. Nach gleichem Muster ergeben sich die hydraulischen Radien der beiden übrigen Teilflächen zu rhy,So = 0,90 m und rhy,Bö,tre = 2,01 m. c) Die Geschwindigkeitsannahme wird mit Blick der Flächengleichheit mit BZ Gl. (3-23) überprüft:

¦ Ai = ¦ (rhy,i ⋅ lu,i ) = A Bereich

benetzter Umfang [m] 4,507 4,00 5,59

li. Böschung Sohle re. Böschung Summe

hydraul. Radius [m] 1,31 0,90 2,01

errechn. Teilquerschnitt Ai [m2] 5,904 3,600 11,236 20,740

Diese Summe ist mit der Gesamtfläche von 20,94 m2 zu vergleichen. Der zu geringe Summenwert resultiert aus einer etwas zu klein angenommenen Geschwindigkeit υa. Eine Verbesserung dieser Annahme erfolgt mit º υa,alt ª 2 ⋅ 20,94 º 0,946 2⋅ A + 1» ⋅ =« + 1» ⋅ = 0,952 ≈ 0,95 m/s 3 ¬ 20,74 ¼ «¬ Ȉ (lu,i ⋅ rhy,i ) »¼ 3

ª

υa,neu = «

Die neue Annahme weicht nur 0,6 % vom vorhergehenden Wert ab. Eine Wiederholung der Berechnung erübrigt sich. Somit ergibt sich die mittlere Fließgeschwindigkeit zu v = 0,95 m/s. d) Bestimmung des Abflusses: Q = A · v = 20,94 · 0,95 = 19,9 m3/s.

13

Zu 2): Anwendung des Näherungsverfahrens nach MANNING-STRICKLER

Annahmen für die Rauheitsbeiwerte: kSt,Bö,li = 50 m1/3/s;

kSt,So = 45 m1/3/s; kSt,Bö,re = 35 m1/3/s.

Berechnung des Rauheitsbeiwertes für den Gesamtquerschnitt nach BZ Gl. (3-15):

kSt,ges

ª « « =« « « ¬«

º » lu,i » » § lu,i · » ¨ 3/ ¸ ¨ kSt,i2 ¸ » © ¹ ¼»

¦ ¦

2/3

§ ¨ 14,097 =¨ 4,507 4,00 5,59 ¨¨ + + © 503/ 2 453/ 2 353/ 2

· ¸ ¸ ¸¸ ¹

2/3

= 41,36 m1/ 3 / s

385

2 Zahlenbeispiele

Damit ergeben sich Fileßgeschwindigkeit und Abfluss zu 2 2/3 1/ 2 ⋅ 1, 492 / 3 = 0,935 m/s υ = kSt,ges ⋅ I 1/ E ⋅ rhy,ges = 41,36 ⋅ 0,0003

Q = υ ⋅ A = 0,935 ⋅ 20,94 = 19,6 m3/s .

2.5 Aufgabe zum gegliederten Querschnitt mit Großbewuchs Ein Fließgewässer mit dem in Bild 2-6 dargestellten Querschnitt weist ein Gefälle von ISo = 0,5 ‰ auf. Gesucht ist der Abfluss Q für die in der Skizze gegebene Wasserspiegellage unter Voraussetzung eines gleichförmigen Fließzustandes nach dem Verfahren nach MERTENS.

Bild 2-6 Gegliederter Fließquerschnitt mit Großbewuchs (zum Zahlenbeispiel)

Lösung

Für den gleichförmigen Zustand gilt IE = ISo. Geometrische Elemente: Vorland (links):)

Hauptgerinne:

Böschungsbereich (rechts):

Fließquerschnitt benetzter Umfang hydraulischer Radius Fließquerschnitt benetzter Umfang der Sohle Trennflächenhöhe links Trennflächenhöhe rechts hydraulischer Radius Fließquerschnitt benetzter Umfang hydraulischer Radius

13 AV = 5,00 lu,v = 6,236 m rhy,V = 0,802 m AF = 9,25 m2 lu,So,F = 6,736 m hT,li = 1,00 m hT,re = 1,00 m rhy,F = 1,059 m ABö = 1,00 m2 lu,Bö = 2,236 m rhy,Bö = 0,447 m

386

Hydraulik und Wasserbau

Als alternative Flächenaufteilung käme die zusätzliche Gliederung des Vorlands in den geböschten und den horizontalen Bereich in Frage. Die daraus resultierenden Abflussunterschiede sind jedoch vernachlässigbar gering. Der Querneigungswinkel α für den Vorlandbereich wird als Mittelwert aus der Verbindungslinie zwischen dem Sohlpunkt an der linken Trennfläche und dem Schnittpunkt des Wasserspiegels mit der linken Böschung ermittelt.

Abflussberechnung mit dem Verfahren nach MERTENS Hauptgerinne: Die Berechnung beginnt mit der Ermittlung der Trennflächenrauheiten und der Schätzung, dass die Breiten des Bereiches III jeweils der Hälfte des Hauptgerinnes entsprechen: bIII,li = bIII,re = bF/12 = 3,25 m. Weiterhin werden für beide Trennflächen die Bewuchsparameter B mit BZ Gl. (3-30) und die Beiwerte c mit BZ Gl. (3-29) ermittelt. Für den Bewuchsparameter auf der linken Seite Bli ist zu beachten, dass das Verhältnis ay/dP den Wert 10 übersteigt und deshalb nur mit 10 anzusetzen ist: 2

2

§ 2, 00 · − 1¸ ⋅ 10 = 3, 610 ; Bli = ¨ © 0,10 ¹

§ 0,30 · 0, 20 − 1¸ ⋅ = 540 ; Bre = ¨ © 0, 03 ¹ 0, 03 1,5

cli = 1, 2 − 0,3 ⋅

3,160 § 3,160 · + 0, 06 ⋅ ¨ ¸ 1000 © 1000 ¹

cre = 1, 2 − 0,3 ⋅

540 § 540 · + 0, 06 ⋅ ¨ ¸ 1000 © 1000 ¹

= 0,529 und

1,5

= 1, 062.

Die iterative Berechnung zur Ermittlung der Trennflächenrauheit erfolgt in Tafel 2-3. Tafel 2-3 Bestimmung der Trennflächenrauheit nach MERTENS (zum Zahlenbeispiel) Gegenstand Berechnungsschleife Nr.

13

linke Trennfläche (am Vorland)

rechte Trennfläche an der Böschung)

1

2

3

1

2

3

bII,max = bIII (B > 16)

3,25 m

3,73 m

3,60 m

> 2,00 m

> 2,00 m

> 2,00 m

AII

3,25 m2

3,73 m2

3,60 m2

1,00 m2

1,00 m2

1,00 m2

bII,m = AII/hT

3,25 m

3,73 m

3,60 m

1,00 m

1,00 m

1,00 m

kT = c · bII, m + 1,5 · dP

1,87 m

2,12 m

2,05 m

1,11m

1,11 m

1,11 m

λT aus BZ Gl. (3-34)

0,125

0,125

0,125

0,093

0,101

0,099

3,73 m

3,60 m

3,63 m

2,77 m

2,90 m

2,87 m

bIII,li mit BZ Gl. (3-33); bIII,re = bF – bIII,li = 6,50 – bIII,li

Für bII, max ist auf der rechten Seite die geometrisch bedingte Obergrenze von 2 m zu beachten. Zwischen der letzten und vorletzten Berechnungsschleife ergeben sich keine signifikanten Veränderungen der Breiten bIII und der Trennflächenrauheiten kT mehr. Deshalb kann der Abfluss für das Hauptgerinne mit den Werten kT,li = 2,05 m und kT,re = 1,11 m sowie der gegebenen Sohlenrauheit von kSo = 0,03 m wie ein kompakter Querschnitt mit unterschiedlichen Rauheiten unter Verwendung von BZ Gl. (3-22) und dem im Anschluss an diese Gleichung beschriebenen Rechenablauf bestimmt werden.

387

2 Zahlenbeispiele

Schritt a): Gewichtete Mittelung der Rauheiten aus BZ Gl. (3-24) und Annahme der Geschwindigkeit aus Umstellung von BZ Gl. (3-22) § ks,m = ¨ ¨ ©

¦ ks,i0,4 ⋅ lu,i ¸· = ¨§ 2,050,4 ⋅ 1,00 + 0,030,4 ⋅ 6,736 + 1,110,4 ⋅ 1,00 ¸·2,5 = 0,145 m, 1,00 + 6,736 + 1,00 ¹ ¦ lu,i ¹¸ © ª

§ 0,145 · º ¸ » = 0,83 m/s © 1,059 ¹ ¼

υa = 8 ⋅ 9,81 ⋅ 1,059 ⋅ 0,0005 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¬

Schritt b): Iterative Bestimmung der hydraulischen Radien: Die iterative Berechnung wird beispielhaft für den hydraulischen Radius der linken Trennfläche beschrieben (Beginn der Iteration mit rhy,T,n,a aus BZ Gl. (3-25) weiterer Schritt mit BZ Gl. (3-22)): rhy,T,li,a =

rhy,T,li,r =

1/4 ks,i

¦

1/4 ks,i

⋅ lu,i

⋅A=

2,050,25

2,050,25 ⋅ 9, 25 = 2, 20 m ⋅ 1,00 + 0,030,25 ⋅ 6,736 + 1,110,25 ⋅ 1,00

υa2 ª § k ·º 8 ⋅ g ⋅ I E ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ si ¸ » ¨ ¸ © rhy,i,a ¹ ¼» ¬«

2

=

0,832 ª § 2,05 · º 8 ⋅ 9,81⋅ 0,0005 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 2, 20 ¹ ¼ ¬

2

= 3,04 m

Das gesuchte Ergebnis liegt zwischen dem angenommenen und dem berechneten Wert. Eine verbesserte Annahme kann z.B. als gewichtetes Mittel (2/3 für das neue Ergebnis und 1/3 für die ursprüngliche Schätzung) vorgenommen werden: rhy,T,li,a =

2 ⋅ 3,04 + 2, 20 = 2,76 m; rhy,T,li,r = 3

rhy,T,li,a =

2 ⋅ 2,59 + 2,76 = 2,65 m; rhy,T,li,r = 3

0,832 ª § 2,05 · º 8 ⋅ 9,81⋅ 0,0005 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 2,76 ¹ ¼ ¬

2

= 2,59 m

2

= 2,67 m

0,832 ª § 2,05 · º 8 ⋅ 9,81⋅ 0,0005 ⋅ « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 2,65 ¹ ¼ ¬

Die Übereinstimmung zwischen rhy,T,li,a und rhy,T,li,r ist beim letzten Rechendurchgang mit hinreichender Genauigkeit gegeben. Für die weitere Rechnung gilt rhy,T,li = 2,67 m. Nach gleichem Schema werden die hydraulischen Radien der Sohle und der rechten Trennfläche zu rhy,So = 0,69 m und rhy,T,re = 2,09 m bestimmt. Schritt c): Verbesserung und Überprüfung der mit Schritt a) geschätzten Fließgeschwindigkeit ª

υa,neu = « «¬

¦

º υa,alt ª 2⋅ A 2 ⋅ 9, 25 º 0,83 + 1» ⋅ =« + 1» ⋅ = 0,82 m/s (lui ⋅ rhy,i ) »¼ 3 ¬1,00 ⋅ 2,67 + 6,736 ⋅ 0,69 + 1,00 ⋅ 2,09 ¼ 3

13

388

Hydraulik und Wasserbau

Die neue Annahme für die mittlere Geschwindigkeit weicht etwa 1 % von der ersten Annahme aus Schritt a) ab. Eine Neuberechnung kann entfallen. Bei größerer Abweichung wäre die Rechnung ab Schritt b) zu wiederholen. Die weitere Rechnung wird hier mit υa,neu = υF = 0,82 m/s fortgesetzt. Schritt d): Der Abfluss des Hauptgerinnes ergibt sich zu QF = AF · υF = 9,25 · 0,82 = 7,58 m3/s.

Vorland (linke Seite) und Böschungsbereich (rechte Seite): Die Abflüsse, die im Bereich des Vorlands auf der linken Seite und der Böschung auf der rechten Seite abgeführt werden, sind nach dem Ablaufschema zu bestimmen, das in BZ Abschn. 3.2.2.3 im Teil „Kompakte Querschnitte mit Großbewuchs“ beschrieben ist. Den mittleren Querneigungswinkel erhält man für das Vorland aus der Verbindung zwischen dem Sohlpunkt an der Trennfläche und dem Schnittpunkt des Wasserspiegels mit der Böschungslinie zu § ǻh Vor · § 1,00 · ¸ = arctan ¨ ¸ = 9, 46° ¨ bSp,Vor ¸ © 6,00 ¹ © ¹

α Vor = arctan ¨

Auf der rechten Seite lässt sich der Böschungswinkel bei der Böschungsneigung von 1:2 analog zu αBö = 26,57° bestimmen. Die mittlere Höhe der vom Wasser eingestauten Baumstämme ergibt sich aus dem Ansatz hP,m = A/bSp = 0,833 m für das Vorland und für den Böschungsbereich zu 0,50 m. Beispielhafte Berechnung für das Vorland auf der linken Seite: Schritt a): Berechnung des Widerstandsbeiwerts für den Großbewuchs Aus den berechneten Werten und der Widerstandszahl cW = 1,5 erhält man die Widerstandsbeiwerte für den Bewuchs aus BZ Gl. (3-26) zu

λP,Vor = cȦ ⋅ 4 ⋅

hP,m ⋅ d P a x ⋅ ay

⋅ cos α = 1,5 ⋅ 4 ⋅

0,833 ⋅ 0,10 ⋅ cos 9, 46° = 0,123 2,00 ⋅ 200

Schritt b): 1. Annahme für den sohlenbezogenen hydraulischen Radius dieses Querschnittsteils:

13

rhy,so,a = rhy,Vor = 0,802 m. Schritt c): Berechnung eines ersten Widerstandsbeiwerts für die Sohle sowie der zugehörigen Geschwindigkeit:

λSo = λω =

υVor =

1 ª § k « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¨ rhy,So,a © ¬«

8 ⋅ g ⋅ rhy,Vor ⋅ I

λSo + λP

=

·º ¸¸ » ¹ ¼»

2

=

1 ª § 0, 20 · º « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 0,802 ¹ ¼ ¬

8 ⋅ 9,81 ⋅ 0,802 ⋅ 0,0005 = 0,394 m/s 0,0794

2

= 0,0794 ;

389

2 Zahlenbeispiele

Schritt d): Berechnung des sohlenbezogenen hydraulischen Radius dieses Querschnittsteils aus den in Schritt c) ermittelten Werten: rhy,So,r =

2 ⋅λ υVor So

8⋅ g ⋅ I

=

0,3942 ⋅ 0,0794 = 0,315 m 8 ⋅ 9,81 ⋅ 0,0005

Da der unter Schritt b) angenommene Wert für den sohlenbezogenen hydraulischen Radius deutlich von dem rechnerischen Ergebnis abweicht, ist eine Verbesserung der Annahme und eine Wiederholung der unter c) und d) enthaltenen Berechnungen erforderlich. Schritt e): Verbesserung der unter b) getroffenen Annahme für den sohlenbezogenen Radius: rhy,So,r =

6 ⋅ rhy,So,r + rhy,So,a,alt 7

=

6 ⋅ 0,315 + 0,802 = 0,384 m 7

Wiederholung von Schritt c):

λSo = λω =

υVor =

1 ª § ·º k « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸¸ » ¨ r © hy,So,a,neu ¹ ¼» ¬«

2

=

1 ª § 0, 20 · º « 2,343 − 2 ⋅ log ¨ ¸» © 0,384 ¹ ¼ ¬

2

= 0,118

8 ⋅ 9,81 ⋅ 0,802 ⋅ 0,0005 = 0,361 m/s 0,118 + 0,123

Wiederholung von Schritt d): rhy,So,r =

2 ⋅λ υVor So

8⋅ g ⋅ I

=

0,3612 ⋅ 0,118 = 0,393 m 8 ⋅ 9,81 ⋅ 0,0005

Die Abweichung zwischen der verbesserten Annahme und dem neuen Berechnungswert für den sohlenbezogenen hydraulischen Radius liegt unter 3 %. Eine weitere Verbesserung kann deshalb entfallen. Für das Vorland erhält man aus der ermittelten Geschwindigkeit υVor = 0,36 m/s in Verbindung mit dem Querschnittsanteil AVor = 5,00 m2 aus der Kontinuitätsgleichung den anteiligen Durchfluss QVor = AVor · υVor = 0,36 · 5,00 = 1,80 m3/s. Für den Böschungsbereich am rechten Ufer wird die Berechnung analog durchgeführt. Daraus ergeben sich die Werte:

υBö = 0,10 m/s und QBö = 0,10 m3/s. Der Gesamtabfluss entspricht der Summe aus den drei berechneten Abflussanteilen Q = QF + QVor + QBö = 7,58 + 1,80 + 0,10 = 9,48 m3/s ≈ 9,5 m3/s.

2.4 Aufgabe zur Spiegellinienberechnung Ein etwa horizontal verlaufender Rohrdurchlass aus alten Betonrohren mit einem lichten Durchmesser von d = 1,20 m und einer Länge von 10 m führt das Wasser über einen Sohlabsturz in ein Gewässer mit einem großen Fließquerschnitt, so dass am Ende des Rohrdurchlasses bei Teilfüllung die Grenztiefe auftritt (Bild 2-7, Bereich des Rohrdurchlasses weniger überhöht als der des Gerinnes). Die Sohlenhöhe beträgt 35,00 m + NN. Das bewachsene Gewässer oberstrom des

13

390

Hydraulik und Wasserbau

Durchlasses lässt sich näherungsweise als Trapezprofil mit einer Sohlbreite von b = 0,70 m und einer Böschungsneigung von V : H = 1 : 2 beschreiben. Das Sohlengefälle beträgt dort ISo = 3 ‰. Zum Durchlass hin ist die Sohle und der untere Teil der Böschung an die Kreisform angepasst. Gesucht sind für einen Durchfluss von Q = 3,2 m3/s: a) die Wassertiefe und die Energiehöhe am Austrittsquerschnitt des Rohrdurchlasses, b) die Energiehöhe und die Wassertiefe unmittelbar oberstrom des Rohrdurchlasses und c) der Verlauf der Spiegellinie im Gerinne oberstrom des Durchlasses bis zur Stauwurzel. Lösung Zu a) Wassertiefe und Energiehöhe am Austrittsquerschnitt des Rohrdurchlasses Für den Fall des Fließwechsels vom strömenden zum schießenden Fließzustand lassen sich für vorgegebene Werte für Durchfluss Q und Durchmesser d die Grenztiefe hgr und die minimale sohlenbezogene Energiehöhe Hmin mit Hilfe von BZ Tafel 3-20 bestimmen. Dazu ist die Größe ȕ = Q/d 2,5 = 3,2/1,20 2,5 = 2,0286 zu berechnen. Die zugehörigen Werte für ȡ = Hmin/d sowie Ș = hgr/d sind aus der Tabelle abzulesen bzw. für eine höhere Genauigkeit durch Interpolation zu bestimmen. Dazu sind die Differenzen zum nächsten Wert mit in BZ Tafel 3-20 enthalten. Der zum eingangs berechneten ȕ-Wert nächst kleinere Wert der Tafel beträgt 1,9358 und weist eine Differenz zum nächsten Tafelwert von ǻȕ = 0,2887 auf. Dazu lassen sich die Werte für ȡ und Ș analog ablesen: ȡ = 1,2210, ǻȡ = 0,1272, Ș = 0,80 und ǻȘ = 0,05 (nicht als separate Spalte aufgeführt). Die lineare Interpolation führt zu

ρ = 1, 2210 + η = 0,80 +

0,1272 ⋅ (2,0286 − 1,9358) = 1, 2619 und 0, 2887

0,05 ⋅ (2,0286 − 1,9358) = 0,8161 . 0, 2887

13

Bild 2-7 Fließgewässer mit Rohrdurchlass (Wasserspiegel und Energielinie sind Teile der Lösung)

391

2 Zahlenbeispiele

Daraus errechnen sich die Energiehöhe Hmin = 1,2619 · d = 1,2619 · 1,20 = 1,51 m hgr

die Grenztiefe

und

= 0,8161 · d = 0,8161 · 1,20 = 0,98 m.

Nur zufällig beträgt das Verhältnis Hmin/hgr etwa 1,5 wie auch beim Rechteckquerschnitt, dies ist allerdings auf andere Teilfüllungen nicht übertragbar. Durch die Stromfadenkrümmung am Austritt wird die Druckverteilung gegenüber der hydrostatischen Verteilung derart verändert, dass die Grenztiefe nicht unmittelbar am Rohrende sondern etwa (2 bis 3) · hgr oberstrom auftritt.

Zu b) Wassertiefe und Energiehöhe unmittelbar oberstrom des Rohrdurchlasses Die am Austritt vorhandene Energiehöhe unterscheidet sich von der oberstrom des Rohrdurchlasses durch den Reibungsverlust auf dem Fließweg von 10 m sowie dem Eintrittsverlust. Zur Bestimmung des Reibungsverlusts wird vereinfacht eine Teilfüllung aus Grenztiefe + 2 cm = 1,00 m herangezogen. Mit dem Verhältnis hgr/d = 1,00/1,20 = 0,8333 erhält man aus BZ Kap. 1, Abschn. 1.3 folgende geometrische Größen:

α = 4 ⋅ arcsin h / d = 4 ⋅ arcsin 0,8333 = 263,62° ,

Zentriwinkel

benetzter Umfang lu (in BZ Kap. 2 als b bezeichnet) =

Fließquerschnitt

A=

d π ⋅ ⋅ α = 2,761 m , 2 180°

d2 § π · ⋅¨ ⋅ α − sin α ¸ = 1,007 m 2 . 8 © 180° ¹

Daraus erhält man den hydraulischen Durchmesser (BZ, Abschn. 3.1.3.1) dhy = 4 · A/lu = 4 · 1,007/2,761 = 1,459 m. Nach BZ Tafel 9 wird für nicht genormte Rohre ohne Nachweis eine Rauheit von k = 1,5 mm angesetzt. Tafel 10 ist für holzgeschalten Beton ein unterer Wert von 1 mm zu entnehmen. Für das ältere Betonrohr wird hier eine Rauheit von 1,5 mm gewählt. Daraus erhält man das Rauheitsverhältnis dhy/k = 1,459/(1,5 · 10–3) = 973. Als Obergrenze für Geschwindigkeitshöhe und die Geschwindigkeit werden die Werte aus dem Grenzzustand angesetzt. Sie errechnen sich zu 2 υgr

2⋅ g

= H min − hgr = 1,51 − 0,98 = 0,53 m → υgr = 2 ⋅ g ⋅ 0,53 = 3, 22 m/s .

Die kinematische Zähigkeit wird mit υ = 1,3 · 10–6 m2/s angesetzt. Die REYNOLDS-Zahl errechnet sich daraus zu Re =

υ ⋅ d hy ν

=

3, 22 ⋅ 1, 459 1,3 ⋅ 10−6

= 3,62 ⋅ 106 .

13

392

Hydraulik und Wasserbau

Mit dem Rauheitsverhältnis und der Reynolds-Zahl ergibt sich aus dem MOODY-Diagramm (BZ Bild 3-6) ein Widerstandsbeiwert Ȝ = 0,020. Die über den Fließweg von 10 m auftretende Reibungsverlusthöhe errechnet sich nach Weisbach (BZ Abschn. 3.1.3.1) zu hvr =

υ2 2⋅ g

⋅λ

l 10 = 0,53 ⋅ 0,020 ⋅ = 0,07 m . d hy 1, 459

Der örtliche Verlust am Rohreintritt wird überwiegend durch die Strömungseinschnürung und nachfolgende Aufweitung bewirkt. Da an der Sohle keine Einschnürung erfolgt, wird im Vergleich zum scharfkantigen Einlauf mit rechtwinkliger Umlenkung (BZ Tafel 3-5 ĺ ȗ = 0,5) hier nur ein halb so großer Verlustbeiwert ȗe = 0,25 gewählt. Als maßgebende Geschwindigkeitshöhe wird die des vollgefüllten Kreisquerschnitts angesetzt. Es ergeben sich folgende Zahlenwerte:

υe =

Q AKreis

=

3, 2 ⋅ 4

π ⋅ 1, 20

2

υe2

= 2,83 m/s →

2⋅ g

= 0, 408 m → hve = ζ e ⋅

υe2 2⋅ g

= 0, 25 ⋅ 0, 408 = 0,10 m.

Die auf die Sohle bezogene Energiehöhe vor dem Rohrdurchlass errechnet sich aus dem entsprechenden Wert am Rohrende (Hmin) sowie den beiden Verlusthöhen hvr und hve: HSo oder hE,So = 1,51 + 0,07 + 0,10 = 1,68 m. Die zugehörige Wassertiefe liegt um die Geschwindigkeitshöhe der Anströmung darunter. Mit einer geschätzten Wassertiefe von h = 1,67 m erhält man im Trapezprofil: Fließquerschnitt

A = b ⋅ h + m ⋅ h 2 = 0,70 ⋅ 1,67 + 2,0 ⋅ 1,67 2 = 6,747 m 2 ;

Fließgeschwindigkeit

υ=

Zugehörige Energiehöhe:

H So = h +

Q 3, 2 υ2 = = 0, 474 m/s → = 0,011 m ; A 6,747 2⋅ g

υ2 2⋅ g

= 1,67 + 0,01 = 1,68 m = Sollwert.

Damit ist die Wassertiefe hinreichend genau zu 1,67 m bestimmt. Der Wasserspiegel liegt somit auf einer Höhe von 35,00 + 1,67 = 36,67 m + NN. Vorstehende Zahlen führen zu der in Bild 2-7 dargestellten Energielinie und des Wasserspiegels im Bereich des Rohrdurchlasses. Mit der häufig verwendeten Annahme eines vollgefüllten Querschnitts für den Rohrdurchlass sowie der Drucklinie am Rohrende auf Höhe der Rohrachse würde sich ein deutlich niedrigerer Oberwasserstand errechnen. Mit diesem Beispiel wird verdeutlicht, dass derartige Voraussetzungen nur bei größeren Durchflüssen gegeben sind.

13

Zu c) Spiegellinie oberstrom des Durchlasses bis zur Stauwurzel Eine Spiegellinienberechnung wird notwendig, wenn sich Geschwindigkeit und Querschnittsfläche über den Fließweg ändern (ungleichförmiger Fließzustand, wie Stau- oder Senkungslinie). Über den gleichförmigen Fließzustand für das Gerinne lässt sich feststellen, ob eine Stau- oder Senkungslinie vorliegt. Für den gleichförmigen Zustand verlaufen Sohle, Wasserspiegel und Energiehöhenlinie parallel (ISo = IW = IE). Nach BZ Tafel 3-22 lässt sich für stark bewachsene Erdkanäle ein Rauheitsbeiwert von kSt = 20 m1/3/s bis 25 m1/3/s ablesen. Für verkrautete Flussläufe ist ein Bereich von 15 m1/3/s bis 35 m1/3/s angegeben. Daraus wird für das vorliegende Beispiel kSt = 20 m1/3/s gewählt. Zur Ermittlung der Wassertiefe für das Gefälle IE = 3 ‰ und zur Erleichterung der Spiegellinienberechnung sind die Ergebnisse der Berechnungen für Q = 3,2 m3/s für Wassertiefen von h = 1,20 m bis 1,70 m graphisch in Bild 2-8 aufgetragen. Dazu wurden folgende Ansätze verwendet:

Fließquerschnitt

A = b ⋅ h + m ⋅ h2 ;

hydraulischer Radius rhy = A / lu ; Energiehöhengefälle I E =

v 2 kSt

2

4/3 ⋅ rhy

.

benetzter Umfang

lu = b + 2 ⋅ h ⋅ 1 + m 2 ;

mittl. Fließgeschw.

υ = Q / A = 3, 2 / A ;

393

2 Zahlenbeispiele

Bild 2-8

Fließquerschnitt A, benetzter Umfang lu und Energiehöhengefälle IE als Abhängige der Wassertiefe h

Aus Bild 2-8 lässt sich ablesen, dass bei einem Energiehöhengefälle von 3 ‰ eine Wassertiefe von h = 1,24 m auftritt. Für diese Wassertiefe lässt sich ein Fließquerschnitt von A = 3,96 m2 ablesen. Die zugehörige Fließgeschwindigkeit beträgt v = 3,2/3,96 = 0,808 m/s und die Spiegelbreite errechnet sich zu bSp = b + 2 · m · h = 0,70 + 2 · 2 · 1,24 = 5,66 m. Mit diesen Werten bestimmt man die FROUDE-Zahl (BZ Abschn. 3.2) zu Fr =

υ A g⋅ bSp

=

0,808 = 0,31 . 3,96 9,81 ⋅ 5,66

Da dieser Wert kleiner als 1 ausfällt, liegt ein strömender Fließzustand vor und Störungen (wie der Aufstau durch den Rohrdurchlass) wirken sich gegen die Fließrichtung aus. Eine FROUDE-Zahl Fr > 1 hätte angezeigt, dass ein schießender Zustand bis kurz vor dem Durchlass und dort die Ausbildung eines Wechselsprungs zu erwarten wäre. Hier bildet sich allerdings eine Staulinie oberstrom des Durchlasses aus. Die Spiegellinienberechnung wird bei strömendem Fließzustand gegen die Fließrichtung bis zur Stauwurzel geführt. Die Berechnung wird beendet, wenn der Unterschied zwischen der errechneten Wassertiefe und der Wassertiefe des gleichförmigen Zustands etwa 1 % erreicht. Bei der Spiegellinienberechnung sind die Abstände zwischen den berücksichtigten Querprofilen dort enger zu wählen, wo zwischen den Wassertiefen und Fließquerschnitten größere Unterschiede auftreten. Für den vorliegenden Fall wird mit einem Abstand von 30 m begonnen. Nachdem die Differenz der Wassertiefen zwischen den Profilen 5 und 6 kleiner als 3 % ausfällt, wird der Abstand verdoppelt. Die Sohlhöhen an den Profilen ergeben sich aus der Höhe von 35,00 m + NN sowie dem Anteil der sich aus dem Sohlengefälle ergibt. Die von Hand durchgeführte Berechnung lässt kleinere Rundungsungenauigkeiten zu, die sich bei strömendem Fließzustand und einem gegen die Fließrichtung gewählten Berechnungsfortschritt nicht kumulieren. Vielmehr kommt es zu einer Kompensation kleiner Fehler durch größere Energiehöhengefälle bei etwas zu geringer Wassertiefe (und Energiehöhe). Für den Wasserstand des jeweils nachfolgenden Profils ist eine Wasserstandsdifferenz ǻhW zu schätzen. In Verbindung mit der Sohlenhöhe ergibt sich die Wassertiefe sowie die übrigen geometrischen Parameter, die

13

394

Hydraulik und Wasserbau

Fließgeschwindigkeit υ und das Energiehöhengefälle IE. Über den in BZ Abschn. 3.2.3.3 beschriebenen Ansatz, der sich auch im Kopf von BZ Tafel 3-28 wieder findet, erhält man eine rechnerische Größe für ΔhW . Für die in Tafel 2-4 enthaltene Handrechnung wird eine ausreichende Übereinstimmung zwischen Schätzwert und berechnetem Wert von ΔhW vorausgesetzt, wenn die Differenz kleiner als 0,01 m ausfällt. Der aus dem Schätzwert resultierende Wasserstand wird dann weiter verwendet. Für Profil 2 wird zunächst die Wasserstandsänderung ΔhW = 0 geschätzt und die Berechnung dann mit einer Neuschätzung wiederholt. Für die nachfolgenden Profile ist nur die gültige Schätzung wiedergegeben. Tafel 2-4 Spiegellinienberechnung für Q = 3,2 m3/s (Reibungsansatz nach Manning-Strickler kSt = 20 m1/3/s)

13

Die Berechnung endet mit einer Wassertiefe von h = 1,25 m und zeigt, dass der durch den Rohrdurchlass bewirkte Rückstau sich bis 0,45 km weiter oberstrom auswirkt. Der berechnete Wasserspiegelverlauf ist in Bild 2-7 eingetragen.

Siedlungswasserwirtschaft Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Strohmeier

Inhalt Siedlungswasserwirtschaft........................................................................................................... 395 1 Grundlagen............................................................................................................................. 397 2 Aufgaben zur Wasserversorgung........................................................................................... 401 3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung ................................................................................... 412 4 Aufgaben zur Abwasserreinigung.......................................................................................... 421

1 Grundlagen Nachfolgende Ausführungen und Berechnungsbeispiele beziehen sich auf Kapitel 16 Siedlungswasserwirtschaft im „Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln“ (abgekürzt: BZ). Für den Bau von Anlagen der Siedlungswasserwirtschaft sind ebenso die Grundlagen der Hydraulik zu berücksichtigen. Aus diesem Grunde sind auch die entsprechenden Ausführungen zur Hydraulik zu beachten. Tafel 1-1 Formelsammlung Wasserversorgung Bezeichnung

Formel

Erläuterung der Abkürzungen

Wasserversorgung

Größter Tagesbedarf

Maximaler Stundenbedarf

Qdmax = fd · Qdm

Qhmax = fh · Qhm

Qdmax

größter Tagesbedarf in m3/d

fd

Tagesspitzenfaktor

Qdm

mittlerer Tagesbedarf in m3/d im Bezugsraum z.B. Jahreswassermenge ™Qda/365

Qda

Jahreswassermenge in m3/a

Qhmax

maximaler Stundenbedarf am Tag des größten Wasserbedarfs in m3/h bzw. l/s

fh

Stundenspitzenfaktor

Qhm

maximaler Stundenbedarf am Tag des größten Wasserbedarfs im Bezugszeitraum mit Qdm/24 in m3/h bzw. l/s

Aerf

erforderliche Reaktorfläche in m2

Oberfläche

Aerf = QB/υf

QB

Bemessungswert in m3/h

Reaktor

Aerf = QB/qA

υf

zulässige Filtergeschwindigkeit in m/h

Volumen Reaktor

Verf = tk · QB

qA

Oberflächenbeschickung in m/h

Verf

erforderliche Volumengröße in m3

tk

Kontaktzeit

QB

Bemessungswert in m3/h

Q

Wasserandrang im ungespannten Grundwasser in m3/s

Vertikale

ungespanntes

Fassung

Grundwasser

Wasser-

Q=

kf

Durchlässigkeitsbeiwert in m/s

andrang zum Brunnen -

π · kf · (hgr2 – h2)/ln (R/r)

h

Grundwassermächtigkeit in m

Ergiebigkeit

gespanntes

hgr

Wasserstand im Bohrbrunnen über Grundwassersohle in m

Grundwasser

m

Grundwassermächtigkeit – gespannt – in m

Q=

R

2 π · kf · m (hgr – h)/ln (R/r) r

Reichweite in m Brunnenradius in m

398

Siedlungswasserwirtschaft

Bezeichnung

Formel

Erläuterung der Abkürzungen

Vertikale

ungespanntes

q

Fassungsvermögen in m3/s

Fassung

Grundwasser

h

abgesenkter Wasserstand im Brunnen in m

Fassungs-

q = 2 · π · h · r · kf /15

r

Brunnenradius in m

vermögen des Brunnens

gespanntes Grundwasser

q = 2 · π · r · m · kf /15 Reichweite in m

s

Brunnenabsenkung in m

I

Reibungsgefälle in m/km

L

Rohrleitungslänge in km

ǻQ = –™(ai·Qi·IQiI)/2·(™hv,i/Qi)

ǻQ

Korrekturwert in l/s

hv

Verlusthöhen in Rohrleitungen in m

bzw.

Q

Durchfluss in l/s

ǻQ = – ™ hv/(2·(™hv/Q)

ai

Rohrkonstante in s5/m5

R = 3000 · s ·

Absenkung

s = hgr – h

Druckverlust in Rohrleitung

hv = I · L

Korrekturwert Wasserverteilung nach Hardy-Cross Vermaschte Netze

Förderhöhe der Pumpenanlage

14

R

Reichweite

kf

HA = Hgeo + pa – pe/(ρ · g) + υa2 – υe2/2g + Hv

HA

Förderhöhe der Anlage in m

Hgeo

geodätische Förderhöhe, Höhenunterschied zwischen saug- und druckseitigem Flüssigkeitsspiegel

ȡ

Dichte in kg/m3

pa

Druck im Austrittsquerschnitt in bar (N/m2)

pe

Druck im Eintrittsquerschnitt in bar (N/m2)

g

Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

Hv

Summe der Druckhöhenverluste in Saug- und Druckleitung in m

399

1 Grundlagen

Tafel 1-2 Formelsammlung Siedlungsentwässerung Bezeichnung

Formel

Erläuterung der Abkürzungen

Siedungsentwässerung

QT,h,max =

Trockenwetterabfluss

QH,h,max + QG,h,max + QF,aM

QR = ȥs · rD(n) · AE,k

Regenabfluss

QM = QT,h,max + QR

Mischwasserabfluss Kritischer Mischwasser

Qkrit = QT,aM + Qrkrit

Abfluss Bauwerke

Qrkrit = AU · rkrit

Regenentlastungen

Speichervolumen

V = (Qzu – Qs) · D ·

Regenrückhalteräume

60 · fz · fA · 0,06

Zufluss zur

Qzu = 10

Versickerungsanlage

–7

· rD(n) · AU

Qs = υf,u · As = (kf/2) · As

Versickerungsrate

QT,h,max

max. stündlicher Trockenwetterabfluss in l/s

QH,h,max

häusliches Schmutzwasser nach A 118 in l/s

QG,h,max

gewerbliches Abwasser nach A118 in l/s

QF,h,aM

Fremdwasserabfluss nach A118 in l/s

QR

Regenabfluss in l/s

AE,k

kanalisiertes Einzugsgebiet in ha

rD(n)

Regenspende der Dauer D und Häufigkeit n in l/(s · ha)

ȥs

Spitzenabflusswert, qmax/rmax

QM

Mischwasserabfluss in l/s

Qkrit

kritischer Mischwasserabfluss in l/s

QT,aM

Trockenwetterabfluss im Jahresmittel in l/s

Qrkrit

kritischer Regenabfluss in l/s

AU

undurchlässige Fläche in ha

V

Volumen in m3

D

Regendauer, Dauerstufe in min

fz

Zuschlagfaktor, Risikomaß nach A117

fA

Abminderungsfaktor nach A117

AU

undurchlässige Fläche in ha

Qzu

Zufluss zur Versickerungsanlage in m3/s

AU

undurchlässige Fläche in ha

rD(n)

Regenspende in l/s · ha

Qs

Versickerungsrate in m3/s

As

Versickerungsfläche in m2

υf,u

Filtergeschwindigkeit der ungesättigten Zone in m/s

14 Tafel 1-3 Formelsammlung Abwassereinigung Bezeichnung

Formel

Erläuterung der Abkürzungen

Abwasserreinigung

MischwasserQM = Abfluss zur Kläranfs,QM · Qs,aM + QF,aM lage

QM

Mischwasserfluss zur Kläranlage in l/s

fs,Qm

Faktor zur Berechnung des Schmutzwasserabflusses bei QM nach A 198 (04.03)

Qs,aM

Schmutzwasserabfluss im Jahresmittel in l/s nach A 198 (04.03)

QF,aM

Fremdwasserabfluss im Jahresmittel

400

Siedlungswasserwirtschaft

Bezeichnung

Formel

Erläuterung der Abkürzungen

tTS = Schlammalter Belebung

VBB · TSBB/ÜSd = VBB · TSBB/ (QÜS,d · TSÜS + Qd · XT, AN)

Schlammindex Belebung Oberfläche Nachklärung

Sauerstoffverbrauch

Raumbelastung Tropfkörper

ISV = VSV/TSBB qA = qsv/VSV VSV = TSBB · ISV

OVh = fc (OVd,C – OVd,D) + fN · OVd,N/24

tTS

Schlammalter in d

VBB

Belebungsbeckenvolumen in m3

TSBB

Belebtschlammkonzentration in kg/m3

TSÜS

Überschussschlammkonzentration in kg/m3

ÜSd

täglicher Überschussanfall in kg/d

QÜS,d

tägliche Schlammmenge m3/d

Qd

täglicher Abfluss m3/d

XTS,AN

Trockensubstanzgehalt im Ablauf NB kg/m3

ISV

Schlammindex in l/kg

VSV

Vergleichsschlammvolumen in l/m3

qA

Flächenbeschickung in m/h

VSV

Vergleichsschlammvolumen in l/m3

OVh

Sauerstoffverbrauch in kg O2/h

OVd,C

Sauerstoffverbrauch in kg O2/h für C-Elimination

OVd,D

Sauerstoffverbrauch in kg O2/h für C-Elimination, der durch Denitrifikation gedeckt wird

OVd,N

Sauerstoffverbrauch in kgO2/h für Nitrifikation

fc

Stoßfaktor für Kohlenstoffatmung

fN

Stoßfaktor für Nitrifikation

BR,BSB =

BR,BSB

BSB5 – Raumbelastung in kg/m3 · d

Bd,BSB,ZB/VTK,C

VTK,C

Tropfkörpervolumen zur C-Elimination in m3

BR,TKN =

BR,TKN

TKN – Raumbelastung in kg/m3 · d

Bd,TKN,ZB/VTK,TKN

VTK,N

Tropfkörpervolumen zur Nitrifikation in m3

ÜSB

Schlammproduktion aus Biologie in kg/d

Schlamm Schlammproduktion

ÜSB =

ÜSC,BSB

spezif. Schammproduktion in kg TS/kg BSB5

(ÜSC, BSB + ÜSP) Bd, BSB

ÜSP

spezif. Schammproduktion in kg TS/kg BSB5

Wasser - und

Bd, BSB

BSB5 – Zulauffracht in kg/d

m1

Gesamtmasse vor der Entwässerung in kg

m2

Gesamtmasse nach der Entwässerung in kg

Trockenmasse

m1/m2 = TR2/TR1

TR1

Trockenrückstand vor der Entwässerung in %

Gehalt im

= 100 – WG2/(100 – WG1)

TR2

Trockenrückstand nach der Entwässerung in %

WG1

Wassergehalt vor der Entwässerung in %

Schlamm

14 TR – Bilanz

WG2

Wassergehalt nach der Entwässerung in %

oTR

Prozentualer Anteil des organischen Trockenrückstandes von Schlamm in %

mTR

Prozentualer Anteil des mineralischen Trockenrückstandes von Schlamm in %

QSchl,d

Schlammanfall in m3/d – näherungsweise bei geringen TR Gehalten mit ȡs ∼ 1,0 – 1,1 kg/l

TR = oTR + mTR

Volumen

QSchl,d =

Schlamm

TRF · 100/(TR · 1000)

TRF

TR – Fracht in kg TR/d

TR

TR – Gehalt in %

401

2 Aufgaben zur Wasserversorgung

2 Aufgaben zur Wasserversorgung Wassergewinnung – Filterbrunnen Zur Wasserversorgung einer Ortschaft ist ein neuer Vertikalbohrbrunnen anzuordnen. Das Grundwasser soll aus dem Bohrbrunnen über eine Unterwassermotorpumpe kontinuierlich in die Wasseraufbereitung und in den Speicher gefördert werden. Von dort wird das Trinkwasser anschließend dem Versorgungsgebiet zugeführt. Nachfolgende hydrogeologische Gegebenheiten sind bekannt: – freier Grundwasserspiegel – Höhe des freien Grundwasserspiegels ....................... hgr – Durchlässigkeitsbeiwert ............................................. kf – maßgebender Korndurchmesser nach W 113 ............ dg – Energiegefälle der Grundwasserströmung ................. I – Ungleichförmigkeitsgrad des Bodens ........................ U – Bohrdurchmesser ....................................................... dB – Edelstahl-Wickeldrahtfilter DN 700 – aussen ........... da – Edelstahl-Wickeldrahtfilter DN 700 – innen ............. di – Außendurchmesser der Pumpe................................... dp

= 11,50 = 0,0006 = 0,1875 = 9 = 2,1 = 1,30 = 0,714 = 0,684 = 0,350

m m/s mm ‰ m m m m

Gesucht werden: 1. Bestimmung der maximal zulässigen Absenkung s in m sowie die im praktischen Betrieb vorzunehmende Betriebsabsenkung in m in Verbindung mit der Brunnenleistung Q in m3/h; 2. Bestimmung des geeigneten Filtersandes bzw. Filterkieses; 3. Bestimmung der Schlitz- bzw. Spaltweite des Filterrohres; 4. Ermittlung der Filterrohrlänge; 5. Nachweis des Filterrohrdurchmessers; 6. Entnahmebereich des Bohrbrunnens für die im Betrieb angeordnete Absenkung; 7. Anzahl der zu versorgenden Einwohner, wenn ein spezifischer Wasserbedarf von 130 l/ (E · d), ein Spitzenfaktor von fd = 2,0 und eine kontinuierlichen Förderung der Unterwasserpumpe zugrunde gelegt wird. Lösung: 1. Bestimmung der maximal zulässigen Absenkung eines Einzelbrunnens in Abhängigkeit von Ergiebigkeit und Fassungsvermögen: (BZ Kapitel 15 Hydraulik/Wasserbau 3.5.1) Zulauf zum Einzelbrunnen bzw. Brunnerergiebigkeit ungespanntes Grundwasser Reichweite nach Sichardt

Q = π · kf · (hgr2 – h2)/ln (R/r) R = 3000 · s · kf

Fassungsvermögen Absenkung im Bohrbrunnen:

q = 2/15 · π · r · h · s = hgr – h

kf

14

402

Siedlungswasserwirtschaft

Tafel 2-1 Iteration bis Ergiebigkeit = Fassungsvermögen

Auswertung s in m 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 11,50 6,50 6,81

hgr in m 11,50 10,50 9,50 8,50 7,50 6,50 5,50 4,50 3,50 2,50 1,50 0,50 0,00 5,00 4,69

R in m 0,07 73,48 146,97 220,45 293,94 367,42 440,91 514,39 587,88 661,36 734,85 808,33 845,07 477,65 500,43

Q in m3/s 0,0000 0,0088 0,0146 0,0194 0,0234 0,0268 0,0295 0,0316 0,0332 0,0343 0,0348 0,0349 0,0347 0,0306 0,0313

q in m3/s 0,0767 0,0700 0,0633 0,0567 0,0500 0,0433 0,0367 0,0300 0,0233 0,0167 0,0100 0,0033 0,0000 0,0333 0,0313

Bild 2-1 Brunnen bei freiem Grundwasserspiegel

Ergebnis: maximale Absenkung s = 6,81 m Bei dieser Absenkung ergibt sich die Wash = 11,50 – 6,81 = 4,69 m serspiegellage im Filterbrunnen zu Dies bedeutet, dass bei einer Absenkung von 6,81 m die Ergiebigkeit bzw. der Zulauf zum Einzelbrunnen gleich dem zulässigen Fassungsvermögen ist. Bei einer Erhöhung der Absenkung von > 6,81 m besteht die Gefahr der Versandung des Filterbrunnens.

Bild 2-2 Darstellung der Ergebnisse; Zusammenhang zwischen Zulauf zum Einzelbrunnen Q in m3/s und Fassungsvermögen q in m3/s: Schnittpunkt der Kurven definiert die maximale Absenkung.

14 Betriebsabsenkung: nach W118 (07.05) Dauerbetriebsleistung mögliche Dauerbetriebsleistung zugehörige Absenkung bei 0,75 Qmax gewählte Absenkung Wsp-Lage im Bohrbrunnen Förderleistung bei sgew = 3,00 m

QBetrieb QBetrieb s sgew h Q

= 0,75 · Qmax = 0,0313 · 0,75 = 0,0234 m3/s = 4,0 m = 3,00 m = hgr – s = 11,50 – 3,00 = 8,50 m = 0,0194 m3/s = 69,84 m3/h

403

2 Aufgaben zur Wasserversorgung

2. Bestimmung des geeigneten Filtersand bzw. Filterkieses : Bemessung des Schüttkorndurchmessers nach W 113 ( 03.01) DS = dg · Fg für 1 < U < 5 gilt der Filterfaktor nach W 113 Fg =5+U Fg = 5 + 2,1 = 7,1 mit U = 2,1 ergibt sich Fg maßgebender Korndurchmesser des Bodens dg = 0,1875 mm erforderlicher Schüttkorndurchmessers DS = dg · Fg = 0,1875 · 7,1 = 1,33 mm gewählte Korngruppe nach DIN 4924 1 – 2 mm Filtersand Höchstzulässiger Massenanteil an Unterkorn < 10 % Höchstzulässiger Massenanteil an Überkorn < 10 % gewählter Aufbau des Schüttkorns einfache Einschichtschüttung Dicke der Filtersandschüttung nach DIN 4924 D ≥ 50 mm, gewählte Schichtdicke-Ringraum d = (1.300 – 714)/2 = ca. 293 mm

Bild 2-3

schematischer Schnitt Bohrbrunnen mit Filtersandanordnung

3. Bestimmung der Schlitz- bzw. Spaltweite des Filterrohres Schlitzweite bzw. Spaltweite nach W 118 (07.05) bei einer Korngruppe von 1 bis 2 mm Ls = 0,5 bis 0,75 mm 4. Ermittlung der Filterrohrlänge: Für die Bestimmung der Filterrohrlänge nach W 118 (07.05) ist zu beachten, dass die horizontale Eintrittsgeschwindigkeiten des Grundwassers in das Filterrohr beim Verlassen des Kornfilters nicht die kritische Geschwindigkeiten von im Mittel 0,0025 m/s überschreiten. Die erforderliche Mindestfilterrohrlänge wird bestimmt zu der Mindestfilterrohrlänge LF = QBetrieb/(ʌ · da·υkrit) LF = /(ʌ · da · υkrit) LF = 0,0194 m3/s/( ʌ · 0,714 · 0,0025) LF = 3,46 m Gewählte Filterrohrlänge LF = 3,50 m Geht man davon aus, dass der Brunnen kein Sumpfrohr erhält, beträgt der Abstand zwischen dem abgesenkten Brunnenwasserspiegel und der Oberkante des Filterrohres Abstand ǻH = 8,5 – 3,50 = 5,00 m Über diese Länge ist der Einbau der Pumpe oberhalb des Filterrohres möglich.

14

404

Siedlungswasserwirtschaft

5. Nachweis des Filterrohrdurchmessers Im Sinne einer gleichmäßigen Brunnenanströmung sind die Rohrreibungsverluste im Filterrohr klein zu halten. Aus diesem Grunde ist die Geschwindigkeit nach W 118 je nach Anströmung im

υRohr = 4 · Q/(ʌ · di 2)

< 1,0 m/s

υRingspalt = 4 · Q/(ʌ · di2 – dp2)

< 2,0 m/s

und im

einzuhalten.

Bild 2-4

Systemskizze zur Beschreibung der Fließgeschwindigkeiten nach W 118 (07.05)

Nachweise

υRohr = 4 · 0,0194/(ʌ · 0,6842) = 0,05 m/s < 1,0 m/s d.h. Kriterium erfüllt! υRingspalt = 4 · 0,0194/ʌ · (0,6842 – 0,3502) = 0,07 m/s < 2,0 m/s d.h. Kriterium erfüllt! 6. Entnahmebereich des Bohrbrunnens für die im Betrieb angeordnete Absenkung: Kontinuitätsgesetz: Q = b · hgr · υf Filtergeschwindigkeit: υf = kf · I Entnahmebreite: b = Q/(hgr · kf · I) = 0,0227/(hgr · kf · I) b = 0,0194/(11,50 · 0,0006 · 0,009) = 312 m Zusammenhang zwischen Entnahmebreite und dem Maß der Scheitelung von der Brunnenachse nach dem Wirkungsgradgesetz xo xo = Q/(2 · ʌ · hgr · υf) nach Smreker xo = 0,0194/(2 · ʌ · 11,50 · 0,0006 · 0,009) xo = 50 m

14

Bild 2-5 Einzugsbereich des Brunnens

7. Anzahl der zu versorgenden Einwohner förderbare Wassermenge aus dem Brunnen Qd Qd Tagesbedarf Qd,max zu versorgende Einwohner E

= Qd,max = 24 · 69,84 m3/h = 1.676 m3/d = fd · qdm · E = 1,961 m3/d = 1,676/(2 · 0,130) = 6.447

405

2 Aufgaben zur Wasserversorgung

Wasserförderung – Pumpenkennlinie – Rohrkennlinie Aus einem Tiefbehälter sollen 200 m3/h mit einer Kreiselpumpe in einen Hochbehälter gepumpt werden. Die Ausgangssituation ist in dem nachfolgenden Bild dargestellt. Die weiteren Kenndaten zu den Rohrleitungen sind: Länge im Druckbereich ............................ 1.200 m Durchmesser im Druckbereich ................. DN 250 Länge im Saugbereich .................................... 8 m Durchmesser im Saugbereich ................... DN 300

Gesucht wird: 1. Bestimmung des Arbeitsbereiches einer Kreiselpumpe. Bild 2-6

gegebenes Förderschema

Lösung: 1. Bestimmung des Arbeitsbereiches der Kreiselpumpe Für die Rohrleitungen ergeben sich aus dem Bild 2-6 nachfolgende Kenndaten saugseitig DN 300:

ls = 8 m = 0,008 km; Hgeo,min = 90,00 – 55,00 = 35,00 m

druckseitig DN 250:

lD = 1200 m = 1,2 km; Hgeo;max = 94,00 – 53,00 = 41,00 m

Die Rauheit für die neuen Rohrleitungen werden mit k2 = 0,4 angesetzt. Im Laufe der Zeit wird die Rauheit auf k1 = 1,5 steigen. Die Druckhöhenverluste in den Leitungen können näherungsweise den Rohrreibungsverlusten gleichgesetzt werden, weil die Geschwindigkeitsdruckhöhe sowie die Druckhöhenverluste durch Armaturen und Formstücke vernachlässigbar klein sind. Die Verluste werden über: den nachfolgenden Ansatz bestimmt Druckhöhenverluste Wsp-Lagen 1 Druckhöhenverluste Wsp-Lagen 2

HV = hv = c · l · Q2/1000 HV1 = (cs1 · ls + cD1· lD) Q2/1000 HV2 = (cs2 · ls + cD2· lD) · Q2/1000

14

406

Siedlungswasserwirtschaft

Die zugehörigen c-Werte werden der Tafel 1-12 im BZ Kapitel 15, Siedlungswasserwirtschaft entnommen. Es gilt dann: HV1 = (1,0455 · 0,008 + 2,756 · 1,2)· Q2/1000

Druckhöhenverluste Wsp-Lagen 1

= 3,316 · Q2/1000 HV2 = (0,7448 · 0,008 + 1,950 · 1,2)· Q2/1000

Druckhöhenverluste Wsp-Lagen 2

= 2,346 · Q2/1000 Die Rohrleitungskennlinien werden zweckmäßig in Tabellenform errechnet (s. unten). Die Pumpenkennlinie ist in Abstimmung mit den Pumpen-Hersteller zu ermitteln. Tafel 2-2 Tabellarische Ermittlung der Rohrleitungskennlinie Q

m3/h

100

150

200

250

Q

l/s

27,78

41,67

55,56

69,44

l2/s2

0,772

1,763

3,086

4,822

m

2,56

5,76

10,23

15,99

Q2/1000 HV1 = 3,316

·Q2/1000

HV2 = 2,346·

Q2/1000

m

1,81

4,07

7,24

11,31

Hgeo,max + HV1

m

43,56

46,76

51,23

56,99

Rohrleitungskennlinie 1

Hgeo,max + HV2

m

36,81

39,07

42,24

46,31

Rohrleitungskennlinie 2

Mit der Übertragung der Werte ergibt sich der in Bild 2-7 angegebene Arbeitsbereich der ausgewählten Kreiselpumpe:

14

Bild 2-7

Arbeitsbereich der Kreiselpumpe

407

2 Aufgaben zur Wasserversorgung

Wasseraufbereitung – Schnellfiltration Ein Talsperrenwasser mit Trübungswerten von weniger als 7 FNU (Formazin Nephelometric Units) ist in einem Wasserwerk über eine offene 2-Schichtfiltration mit nachgeschalteter Desinfektion aufzubereiten. Die Schnellfilter sollen im Normalbetrieb mit der Nennleistung von Qh = 1500 m3/h abwärts durchflossen werden. Gesucht werden: 1. Entwurf und Skizze einer offenen Schnellfilteranlage zur Trübstoffentfernung mit allen technischen Einrichtungen im Querschnitt; 2. Filteraufbau des 2-Schichtfilters mit genauer Angabe des Filtermaterials, der Körnung und der Schichtfolge (von oben nach unten); 3. erforderliche Filterfläche und Anzahl der Filtereinheiten; 4. Vorschlag für Zugabemenge an Flockungsmittel bzw. Flockungshilfsmittel; 5. Vorschlag eines Filterspülprogammes und einer Filterdüsenanordnung; 6. Angabe der Menge an Chlordioxid (ClO2), die zudosiert werden muss für eine Auslegungszugabemenge von 0,2 g/m3 ClO2. Lösung: 1. Entwurf einer offenen Schnellfilteranlage und Vorschlag für den Filteraufbau:

Bild 2-8

Skizze eines offenen Schnellfilters als Zweischicht – Abstromfilter mit allen technischen Einrichtungen nach ATV A 203 (04.95)

2. Filteraufbau des 2-Schichtfilters mit genauer Angabe des Filtermaterials, der Körnung und der Schichtfolge (von oben nach unten) Filteraufbau:

Auswahl der Filtermaterialien nach DVGW W 213-2 sowie nach DIN 19 623 in engen Kornklassen und mit geringem Über- und Unterkornanteil sowie U = d60 : d10 < 1,5

Beispiel für Aufbau:

a) Stützschicht in Abhängigkeit von Filterbodenkonstruktion und Schlitzweite der Düsen z.B. Filtersand obere Schicht 1,0 – 2,0 mm bzw. h = 0,15 m untere Schicht 3,15 – 5,6 mm h = 0,15 m b) Unterschicht z.B. Quarzsand Korngruppe 0,7 bis 1,25 mm

h = 0,60 m

14

408

Siedlungswasserwirtschaft

c) Oberschicht z.B. Hydroanthrazit Korngruppe 1,4 bis 2,5 mm d) Freibord für Expansion bei der Spülung

h = 1,00 m h = 2,00 m

3. erforderliche Filterfläche und Anzahl der Filtereinheiten Bemessungskenngröße: maximale Trinkwasserabgabemenge zuzüglich Spülwasserbedarf bei der ungünstigsten Rohwasserbeschaffenheit Spülwasserbedarf: ca. 5 % bezogen auf Rohwasseraufbereitungsmenge; eine detaillierte Berechnung des Spülwasserbedarfes kann nur unter Berücksichtigung der Rohwasserbeschaffenheit, der Filterart, der Flockungsmittelzugabe, der Flockungshilfsmittel (Menge, Art der Zugabe) vorgenommen werden Filtergeschwindigkeit: Vorgabe υf ≤ 15 m/h gewählt υf = 7,5 m/h bei konstanter Durchsatzmenge Erforderliche Filterfläche unter Berücksichtigung der zulässigen Filtergeschwindigkeiten und des erforderlichen Spülwasserbedarfes: gesamte Filterfläche: AFges = 1500 · 1,05 m3/h/(7,5 m/h) = 210 m2 Einzelfiltergröße: i.d.R. Breite 3 bis 6 m mit Filterfläche zwischen 20 bis 120 m2 gewählter Einzelfilter: AF = 3 · 7 = 21 m2 Filtereinheiten- Anzahl: n = 210/21 = 10 Stück gewählte Anzahl n = 10 + 2 Einheiten zusätzlich zur Spülung und Revision 4. Vorschlag für Zugabemenge an Flockungsmittel bzw. Flockungshilfsmittel Flockungsmittel- und Flockungshilfsmitteldosierung: Zur Verbesserung der Flockenabscheidung vor dem Filter erfolgt häufig eine Zudosierung von Eisen- oder Aluminiumsalze mit üblichen Mengen von 0,1 bis 2 mg/l, u.U. zusätzliche Zugabe von Flockungshilfsmittel von 0,005 bis 0,2 mg/l; Flockungsmenge (FM): gewählt: 0,5 Fe mg/l FM = 1575 m3/h · 0,5 g/m3 = 787,5 g/h Flockungshilfsmittelmenge (FHM): gewählt: 0,05 mg/l FHM = 1575 m3/h · 0,05 g/m3 = 78,5 g/h

14

5. Vorschlag eines Filterspülprogrammes und einer Filterdüsenanordnung Filterspülprozess für den 2-Schichtfilter: Zeitpunkt der Filterspülung: Erreichen des max. Filterwiderstandes bzw. bei Erreichung einer vorgegebenen Ablauftrübung Spülprogramm: a) Aufbrechen des Filtermaterials: Spülung mit Luft z.B. 70 – 100 m/h b) Ablösung der Partikel vom Filtermaterial mit Luft und Wasser gemeinsam in Abhängigkeit der Art des Filtermaterials Luft z.B. 70 – 100 m/h Wasser z.B. 20 – 30 m/h c) Entfernung der Partikel mit reiner Wasserspülung Wasser z.B. bis 60 – 90 m/h d) Klassierung: Sortierung der Filtermaterialien mit nur mit Wasser je nach Art des Filtermaterials Wasser z.B. 60 – 100 m/h

2 Aufgaben zur Wasserversorgung

409

Anzahl der Filterdüsen im Filterboden: Filterdüsenböden sind so auszubilden dass ein gleichmäßiger Filtratabfluss und eine gleichmäßige Verteilung des Spülmediums sowie eine einwandfreie Aufnahme der Filterschichten sichergestellt wird; i.d.R. werden Stahlbetonböden mit einer Bestückung von Düsen mit 64 bis 90 Polsterrohr-Düsen pro m2 gewählt.

Bild 2-9

Beispiel für Anordnung einer Polsterrohrdüse im Düsenboden (Geering, gwf Nr. 7 1996)

gewählt für Düsenboden 64 Stück/m2 Anzahl der Filterdüsen insgesamt: 64 · 21 · 12 = 16.128 Stück 6. Angabe der Menge an Chlordioxid (ClO2) in g/h, die zudosiert werden muss. Restgehalte nach abgeschlossener Aufbereitung: min. 0,05 mg/l ClO2, max. 0,2 mg/l ClO2 Auslegungszugabemenge: 0,2 g/m3 ClO2 Bedarfsermittlung: 0,2 g/m3 · 1575 m3/h = 315 g/h ClO2 Aus Sicherheitsgründen wird die ClO2-Lösung auf ca. 2 g/l ClO2 verdünnt. Es ergibt sich hiermit eine Dosierung: 315 g/h ClO2/2g ClO2 = 157,5 l/h Wasserverteilung Die Durchflüsse der Rohrleitungen zu dem in Bild 2-10 dargestellten Rohrnetzes sind zu bestimmen. Es wird darauf hingewiesen, dass die Rohrleitung zwischen den Knoten A und C als Strang 3 (zu Masche 1) und als Strang 6 (zu Masche 2) aufgeführt ist. Im Knotenpunkt A fließen dem System Qz,A = 0,060 m3/s zu. Die Abgabe aus dem Netz erfolgt gemäß Bild an den Knoten mit Qa,B = 0,01 m3/s, Qa,C = 0,02 m3/s und Qa,D = 0,03 m3/s. Die Angaben zu den einzelnen Rohrsträngen und die daraus resultierenden Konstanten ai sind in der Tafel 2-3 enthalten.

Bild 2-10 Rohrnetz mit 2 benachbarten Maschen

14

410

Siedlungswasserwirtschaft

Tafel 2-3 Angaben zu den Rohrsträngen des Rohrnetzes Strang Nr.

1 2 3 4 5 6

Widerstandsbeiwert Ȝ

Länge L

Rohrdurchmesser d

–

m

m

0,0234 0,0154 0,0262 0,0234 0,0234 0,0262

1000 500 1120 1000 500 1120

0,25 0,20 0,25 0,25 0,20 0,25

Konstante a 2

Anmerkung

5

s /m 1980 1989 2483 1980 3022 2483

Rohrkonstante für Kreisrohre

ai = 8 ·λ· li/(di5 · π · 2 · g)

Gesucht werden: 1. Durchflüsse der Rohrstränge in dem angegebenen Ringsystem in m3/s nach dem Iterationsverfahren. Lösung: 1. Durchflüsse der Rohrstränge in m3/s nach dem Iterationsverfahren Cross Bei der Berechnung von Durchflüssen vermaschter Rohrnetze sind nach Cross nachfolgende Bedingungen zu berücksichtigen: 1. Die Summe der aller Druckverluste über einen geschlossenen Weg – eine Masche – muss Null sein; d.h. Ȉ hv,i = 0 Entsprechend dem festgelegten Umlaufsinn eines Ringes sind die Verlusthöhen je nach Strömungsrichtung mit positiven und negativen Vorzeichen zu behaften. 2. In jedem Knoten muss der Zufluss (+ Vorzeichen) gleich dem Abfluss (- Vorzeichen) sein; d.h. ȈQ=0 Auf der Grundlage dieser Voraussetzungen werden für die Rohrstränge 1, 3 und 5 mit den Vorzeichen des in Bild 2-10 eingetragenen Umlaufsinns folgende Durchflüsse angenommen: Durchfluss im Strang 1 Q1 = 0,03 m3/s Durchfluss im Strang 2 und 5 Q2 = 0,02 m3/s bzw. Q5 = – Q2 Durchfluss im Strang 3 bzw. 6 Q3 = – 0,01 m3/s bzw. Q6 = – Q3 Durchfluss im Strang 4 Q4 = 0,01 m3/s Mit diesen Schätzwerten beginnt die Berechnung in Tafel 2-4

14

411

3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung

Tafel 2-4 Berechnung des vermaschten Rohrnetzes Q hv hv/Q ǻQ m3/s m s/m2 m3/s 1. Rechenschritt 1 1980 0,03 1,78 59,4 – 0,0094 1 2 1989 0,02 0,80 39,8 – 0,0094 3 2483 – 0,01 0,25 24,8 – 0,0094 2,33 124 ǻQ = –™(ai·Qi·IQiI)/2·(™hv,i/Qi) d.h. für Masche 1: ǻQM1 = – 2,33/(2 · 124) = – 0,0094 m3/s für Masche 2 : ǻQM2 = – 0,76/(2 · 105) = – 0,0036 m3/s 4 1980 0,01 0,20 19,8 – 0,0036 2 5 3022 – 0,02 – 1,21 60,4 – 0,0036 6 2483 0,01 0,25 24,8 – 0,0036 – 0,76 105,0 ǻQ = –™(ai·Qi·IQiI)/2·(™hv,i/Qi) d.h. für Masche 2 : ǻQM2 = – (– 0,76)/(2 · 105) = 0,0036 m3/s s2/m5 m3/s m s/m2 m3/s 2. Rechenschritt 1 1980 0,0206 0,84 40,8 0,0010 1 2 1989 0,0106 0,22 21,1 0,0010 3 2483 – 0,0230 – 1,31 57,1 0,0010 – 0,25 119,0 für Masche 1: ǻQM1 = – (– 0,25)/(2 · 119) = 0,0010 m3/s Masche

2

Strang

4 5 6

Qneu m3/s

a s2/m5

1980 3022 2483

0,0136 – 0,0164 0,0230

0,36 26,9 – 0,0036 – 0,81 49,6 – 0,0036 1,31 57,1 – 0,0036 0,86 133,6 für Masche 2: ǻQM2 = – 0,86/(2 · 133,6) = – 0,0032 m3/s

0,0206 0,0106 – 0,0230

0,0136 0,0164 – 0,0230

m3/s 0,0216 0,0116 – 0,0188

0,0104 0,0196 – 0,0188

Weitere Rechenschritte führen zu folgendem Durchflüssen in den Strängen: Q2 = 0,01 m3/s Q3 = – 0,02 m3/s Q1 = 0,02 m3/s 3 Q4 = 0,01 m /s Q5 = – 0,02 m3/s Q6 = 0,02 m3/s

14

412

Siedlungswasserwirtschaft

3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung Regendaten In einem Wohngebiet einer Kleinstadt wurden in den letzen Jahren bei starken Regenereignissen mehrfach Überflutungen festgestellt. Es ist zu überprüfen, ob unter Berücksichtigung der Empfehlungen des Arbeitsblattes A 118 (11.99) zur Überflutungshäufigkeit ein Sanierungsbedarf für das vorhandene Entwässerungsnetz gegeben ist. Die Kenndaten zu den Niederschlagsereignissen sind in der Tafel 3-1 zusammengestellt. Tafel 3-1 Daten der festgestellten Überflutungen im Entwässerungsgebiet

Niederschlagsereignisse Datum Niederschlagshöhe hN = mm

Tafel 3-2 Empfohlene Häufigkeiten nach A118 (11.99)

Ort

1 in 1

Ländliche Gebiete

1 in 10

1 in 2

Wohngebiete Stadtzentren, Industrie- und Gewerbegebiete: - mit Überflutungsprüfung - ohne Überflutungsprüfung Unterirdische Verkehrsanlagen, Unterführungen

1 in 20

(1-mal in „n“ Jahren)

Dauer

12.06.1975

18

D = min 15

10.08.1995

14

10

27.07.2000

10

5

1 in 2

25.07.2002

20

15

1 in 5

25.08.2003

12

10

1 in 10 1)

14

Überflutungshäufigkeit

Häufigkeit der Bemessungsregen 1) (1-mal in „n“ Jahren)

1 in 30 _ 1 in 50

Für Bemessungsregen dürfen keine Überlastungen auftreten

Gesucht werden: 1. Bewertung der aufgetretenen Niederschlagsereignisse bezüglich der Wiederkehrzeit, unter Berücksichtigung der nachfolgend aufgelisteten Kostra-Daten für das betreffende Entwässerungsgebiet; 2. Überprüfung, ob die gemäß A 118 empfohlene Überflutungshäufigkeit in dem vorgegebenen Entwässerungsgebiet eingehalten ist und welche Maßnahmen gegebenenfalls zu ergreifen sind.

413

3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung

Tafel 3-3 Starkniederschlagshöhen gemäß KOSTRA – Daten für betreffendes Entwässerungsgebiet Niederschlagshöhen und -spenden für das Rasterfeld Spalte: xx Zeile: yy in der Zeitspanne Januar - Dezember T D 5,0 min 10,0 min 15,0 min 20,0 min 30,0 min 45,0 min 60,0 min 90,0 min 2,0 h 3,0 h 4,0 h 6,0 h 9,0 h 12,0 h 18,0 h 24,0 h 48,0 h 72,0 h T D hN rN

-

0,5 hN rN 4,5 149,7 5,7 95,3 6,6 73,1 7,3 60,6 8,4 46,4 9,6 35,6 10,6 29,5 12,1 22,5 13,4 18,6 15,3 14,2 16,8 11,7 19,2 8,9 21,9 6,8 24,0 5,6 26,8 4,1 29,6 3,4 36,7 2,1 46,7 1,8

1,0 hN rN 6,12 04,8 8,0 132,6 9,3 102,8 10,3 85,8 12,0 66,5 13,9 51,6 15,5 43,1 17,4 32,3 19,0 26,4 21,4 19,8 23,2 16,1 26,1 12,1 29,4 9,1 32,0 7,4 34,8 5,4 37,5 4,3 45,0 2,6 55,0 2,1

2,0 hN rN 7,8 260,0 10,2 169,9 11,9 132,5 13,3 111,0 15,6 86,6 18,2 67,6 20,4 56,6 22,7 42,1 24,6 34,1 27,4 25,4 29,7 20,6 33,1 15,3 37,0 11,4 40,0 9,3 42,7 6,6 45,4 5,3 53,3 3,1 63,3 2,4

5,0 hN 10,0 13,2 15,5 17,3 20,4 23,9 26,9 29,7 32,0 35,5 38,1 42,3 46,9 50,5 53,2 55,8 64,2 74,2

rN 332,9 219,2 171,7 144,4 113,2 88,7 74,6 55,1 44,4 32,8 26,5 19,6 14,5 11,7 8,2 6,5 3,7 2,9

10,0 hN rN 11,6 388,0 15,4 256,5 18,1 201,4 20,4 169,7 24,0 133,2 28,3 104,7 31,7 88,2 35,0 64,9 37,6 52,2 41,5 38,5 44,6 31,0 49,3 22,8 54,5 16,8 58,5 13,5 61,1 9,4 63,8 7,4 72,5 4,2 82,5 3,2

20,0 50,0 100,0 hN rN hN rN hN rN 13,3 443,1 15,5 516,0 17,1 571,2 17,6 293,8 20,6 343,1 22,8 380,4 20,8 231,1 24,3 270,3 27,0 300,0 23,4 194,9 27,4 228,3 30,4 253,5 27,6 153,3 32,4 179,9 36,0 200,0 32,6 120,6 38,3 141,8 42,6 157,8 36,6 101,8 43,1 119,7 48,0 133,3 40,3 74,7 47,3 87,7 52,6 97,5 43,2 60,0 50,6 70,3 56,2 78,1 47,6 44,1 55,6 51,5 61,7 57,1 51,0 35,4 59,5 41,3 65,9 45,8 56,2 26,0 65,4 30,3 72,4 33,5 62,0 19,1 72,0 22,2 79,5 24,5 66,5 15,4 77,0 17,8 85,0 19,7 69,1 10,7 79,6 12,3 87,5 13,5 71,7 8,3 82,1 9,5 90,0 10,4 80,8 4,7 91,7 5,3 100,0 5,8 90,8 3,5 101,7 3,9 110,0 4,2

Wiederkehrzeit (in a): mittlere Zeitspanne, in der ein Ereignis einen Wert einmal erreicht oder überschreitet Niederschlagsdauer einschließlich Unterbrechungen (in min, h) Niederschlagshoehe (in mm) Niederschlagsspende (in l/(s · ha))

Wenn die angegebenen Werte für Planungszwecke herangezogen werden, sollte für rN(D;T) bzw. hN(D;T) in Abhängigkeit von der Wiederkehrzeit (Jährlichkeit) bei 0,5 a ≤T≤ bei 5a
5a 50 a 100 a

ein Toleranzbetrag ± 10 %, ein Toleranzbetrag ± 15 %, ein Toleranzbetrag ± 20 %,

Lösung: 1. Bewertung der aufgetretenen Niederschlagsereignisse Ermittlung der Wiederkehrzeit für die aufgetretenen Niederschlagsereignisse unter Berücksichtigung der gegebenen Kostra-Daten für das betreffende Siedlungsgebiet: d.h Abgleich der aufgetretenen Niederschlagsereignisse mit Kostra-Daten nach Tafel 3-4; Bestimmung der Regenspende : r = l/s ha = 166,7 · hN (mm)/D (min) Tafel 3-4 Ermittlung der Widerkehrzeit für die gegebenen Niederschlagsereignisse Datum Niederschlagshöhe hN (mm) Regendauer D (min) Niederschlagsspende in l/(s ha) Regenhäufigkeit nach Kostra-Daten = 1/a Wiederkehrzeit gemäß Kostra-Daten in a

12.06.75 18 15 200 0,1 10

10.08.95 14 10 233,4 0,14 7

27.07.00 10 5 333,4 0,2 5

25.07.02 20 15 222,3 0,06 17

25.08.03 12 10 200 0,25 4

2. Überprüfung der Überflutungshäufigkeiten Nach A118 sind in dem vorgegebenen Entwässerungsgebiet für das „Wohngebiet“ Anzahl der Überflutungen zulässig: 1 mal in 20 Jahren Überflutungshäufigkeit für untersuchte Wohngebiet nach den festgestellten Überflutungen: Zeitraum: 1975–1995: 1 Überflutung in 20 Jahren damit (gerade) zulässig Zeitraum: 1983–2003: 4 Überflutungen in 20 Jahren damit unzulässig!! Folgerung: Nachrechnung und Überprüfung der Leistungsfähigkeit des Entwässerungsnetzes und Festlegung des Sanierungsbedarfes.

14

414

Siedlungswasserwirtschaft

Kanalbemessung Der Abfluss eines Mischwasserkanals für ein Wohngebiet ist neu zu bestimmen. Zur Nachrechnung sind nachfolgende Kenndaten des Entwässerungsgebietes bekannt: Trockenwetterabfluss ................................................................. QT = 25 l/s Fläche des durch die Kanalisation erfassten Einzugsgebietes .... AEK = 5 ha kürzeste Regendauer................................................................... TK = 10 min Häufigkeit ................................................................................... n = 0,5 1/a Spitzenabflussbeiwert................................................................. Ψs = 0,53 Fließzeit ...................................................................................... tf = 15 min Rauhigkeit des Kanals ................................................................ kb = 1,5 mm Gefälle des Kanals ...................................................................... I = 10 ‰ Abfluss für DN 500 .................................................................... Qv = 379 l/s Fließgeschwindigkeit für DN 500 .............................................. υv = 1,93 m/s Die Niederschlagsauswertung für das Entwässerungsgebiet ist in der folgenden Tafel zusammengestellt Tafel 2-5: Niederschlagsauswertung für n = 0,5 l/a Niederschlagshöhe HN (mm) Regendauer D (min)

4,4

5,7

6,7

7,4

8,7

10,1

5

10

15

20

30

45

Gesucht werden: 1. Maximaler Mischwasserabfluss für die angegebene Kanalhaltung; 2. Fülltiefen und Nachweis der Fließgeschwindigkeit bei Trockenwetterabfluss; 3. Fülltiefen und Nachweis der Fließgeschwindigkeit bei Mischwetterabfluss; Lösung: 1. Bestimmung des maximalen Mischwasserabflusses für die angegebene Kanalhaltung Maßgebender Mischwasserabfluss: QM = QT + QR Trockenwetterabfluss: QT = 25 l/s Regenspende: r = l/s ha = 166,7 · hN (mm)/D (min) Bestimmung der Niederschlagsspende r gemäß nachfolgender Tabelle

14 Tafel 3-6 Niederschlagsauswertung für n = 0,5 l/a Niederschlagshöhe HN (mm) Regendauer D (min) Niederschlagsspende in l/(s ha)

4,4

5,7

6,7

7,4

8,7

10,1

5

10

15

20

30

45

146,2

95,2

74

61,9

48,1

37,4

415

3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung

Fall 1: Maßgebende kürzeste Regendauer D und entsprechender Überregnung der Fläche Fall 2: Mit Fließzeit von tf = 15 min ist maßgebend D = 15 min Maßgebender Mischwasserabfluss:

TK = 10 min QR = (10/15) · 5 · 0,53 · 95,2 QR = 168,2 l/s QR = 5 · 0,53 · 74 = 196,1 l/s QM = Qt + Qr = 25 l/s + 196 l/s QM = 221,1 l/s

Das Abflussvermögen des Querschnittes DN soll zur Berücksichtigung von Nenngrößenunterschreitung im Rahmen der DIN 4263 und der Querschnittsverringerungen durch Ablagerungen nicht voll ausgenutzt werden. Aus diesem Grunde gilt: Qvorh < 0,9 · Qv Zu berücksichtigender Mischwasserabfluss nach A 118 QM = 221,1 l/s/0,9 = 245,7 l/s Abflussvermögen für DN 500 bei Vollfüllung Qv = 379 l/s Überprüfung QM = 245,7 l/s < Qv = 379 l/s 2. Fülltiefen und Nachweis der Fließgeschwindigkeit bei Trockenwetterabfluss Berechnung der Fülltiefen und Fließgeschwindigkeiten nach Teilfüllungskurven A 110 BZ Kapitel 15 Tafel 3-17 Hydraulik Wasserbau: Eingangswert: QT/Qv = 25/379 = 0,0806 hT/d = 0,189 → hT = 0,189 · 0,5 = 0,095 m υT/υv = 0,61 → υT = 0,61· 1,58 = 0,96 m/s Ermittlung des Grenzwertes für ablagerungsfreien Betrieb gemäß A 110 in BZ Kapitel 15 Tafel 20 Siedlungswasserwirtschaft: Für Mischwasserkanal mit hT/d = 0,171 υc = 0,46 m/s Überprüfung der Bedingung υT = 1,12 m/s > υc = 0,46 m/s →erfüllt! 3. Fülltiefen und Fließgeschwindigkeit bei Mischwetterabfluss Berechnung der Fülltiefen und Fließgeschwindigkeiten nach Teilfüllungskurven A 110 BZ Kapitel 15 Tafel 3-17 Hydraulik Wasserbau: Eingangswert: QM/Qv = 245,7 /379 = 0,648 hT/d = 0,588 → hT = 0,588 · 0,5 = 0,29 m υ /υv = 1,06 → υT = 1,06 · 1,93 = 2,04 m/s Ermittlung des Grenzwertes für ablagerungsfreien Betrieb gemäß A 110 in BZ Kapitel 15 Tafel 20 Siedlungswasserwirtschaft: Für Mischwasserkanal mit hT/d = 0,648 υ = 0,71 m/s υT = 2,04 m/s > υc = 0,71 m/s → erfüllt! Überprüfung der Bedingung

14

416

Siedlungswasserwirtschaft

Regenrückhalteraum Für ein gegebenes Entwässerungsgebiet ist ein Regenrückhaltevolumen zu ermitteln. Zur Berechnung des Regenrückhaltevolumens sind die nachfolgenden Kenndaten zu berücksichtigen. Fläche des kanalisierten Einzugsgebietes ................................... AE,k = 6 ha befestigte Fläche ......................................................................... AE,b = 6 ha mittlerer Abflussbeiwert ............................................................. Trockenwetterabfluss.................................................................. vorgegebene Drosselabflussspende ............................................ vorgegebene Überschreitungshäufigkeit..................................... Fließzeit bis zum RRR................................................................ Abminderungsfaktor ................................................................... Zuschlagsfaktor ..........................................................................

ψm,b QT qdr,k n tf fA fz

= 0,833 = 1,6 l/s = 10 l/(s·ha) = 0,2/a = 7 min = 1,0 = 1,2

Tafel 3-7 Niederschlagsauswertung Dauerstufe Niederschlagshöhe für n = 0,2/a

D = min

45

60

90

120

150

180

240

hN = mm

23,2

24,9

27,0

29,5

31,5

33,2

35,9

Gesucht werden: 1. erforderliches Rückhaltevolumen in m3 unter Beachtung der Berechnungsgrundlagen des ATV-DVWK A – 117 (03.01). Lösung 1. erforderliches Rückhaltevolumen in m3 unter Beachtung der Berechnungsgrundlagen des ATV-DVWK A – 117 (03.01): Ermittlung der für die Berechnung maßgebenden undurchlässigen Fläche:

Ermittlung der Drosselabflussspende:

Au

= AE,b · ψm,b = 6,0 · 0,833 = 5,0 ha

Qdr,k

= qdr,k · AE,k = 10 · 6,0 = 60 l/s

qdr,u

= Qdr – Qt24/Au = (60 – 1,6)/5,0 = 11,7 l/(s·ha)

14

Ermittlung des Abminderungsfaktor fA:

Mit der Fließzeit tF = 7 min und der Häufigkeit n = 0,2/a ergibt sich aus Bild 35 der Abminderungsfaktor fA = 1,0

Festlegung des Zuschlagsfaktors fz:

Der Zuschlagfaktor wird gewählt für ein geringes Risikomaß zu fz = 1,20

Bestimmung der statistischen Niederschlagshöhen und Regenspenden für die ÜberschreiAnwendung der Speichergleichung Vs,u = tungshäufigkeit: n = 0,2/a für das gegebene (rD,n – qdr,r,u) · D · fz · fA · 0,06 (m3/ha) Entwässerungsgebiet gemäß KOSTRA (DWD, 1997)

417

3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung

Tafel 3-8 Auswertung der Speichergleichung Dauerstufe D min 45 60 90 120 150 180 240

Niederschlags- Zugehörige Drosselabflusshöhe Regenspende r spende qdr,u hN für n = 0,2/a mm l/(s · ha) l/(s · ha) 23,2 85,9 11,7 24,9 68,9 11,7 27,0 50,0 11,7 29,5 41,0 11,7 31,5 35,0 11,7 33,2 30,7 11,7 35,9 24,9 11,7

Größtwert bei D = 120 min; d.h. erforderliches Volumen Bestimmung des erforderlichen Rückhaltevolumens

Differenz (rD,n – qdr,r,u) l/(s · ha) 74,2 57,2 38,3 29,3 23,3 19,0 13,2

Spez. Speichervolumen Vs,u m3/ha 239 246 247 252 250 246 227

Vs,u = 252 m3/ha V = Vs,u · Au = 252 · 5 = 1.260 m3

14

418

Siedlungswasserwirtschaft

Anlagen zur Versickerung – Flächenversickerung In einem Gewerbepark sind die Dachabflüsse eines Baumarktgebäudes flächenhaft zu versickern. Die gesamte Dachfläche beträgt 2000 m2 und besteht aus Faserzement. Die Versickerung soll unmittelbar neben dem Gebäude erfolgen. Der Durchlässigkeitswert kf in der gesättigten Zone ist für den anstehenden Boden mit 2 · 10–4 m/s ermittelt worden. Tafel 3-9 beispielhafte Niederschlagsauswertung Dauer min 5 10 15 Regenspende rD(0,2) l/(s · ha)

338,9

204,6

152,6

20

30

45

60

90

124,0

92,6

69,2

56,4

42

Gesucht werden: 1. die erforderliche Fläche in m2 einer Anlage zur Flächenversickerung auf nicht befestigter Fläche. Lösung: 1. erforderliche Fläche zur Flächenversickerung auf nicht befestigter Fläche Bewertung der Niederschlagsabflüsse nach A 138 (01.02) Tabelle 1: unbedenklich, für Flächenversickerung geeignet. Berechnungsansätze nach A 138: Die Versickerungsfähigkeit der Versickerungsfläche muss mindestens gleich der maßgebenden Regenspende sein. Darüber hinaus ist bei der Berechnung der erforderlichen Versickerungsfläche zu berücksichtigen, dass auch die Versickerungsfläche selbst durch den Bemessungsregen belastet wird. Es gilt demnach mit: Au = angeschlossene undurchlässige Fläche kf = Durchlässigkeitsbeiwert der gesättigten in m2 Zone in m/s 2 rD(n) = maßgebende Regenspende in l/(s · ha) As = Versickerungsfläche in m (Au + As) · rD(n) · 10–7 = As · kf/2 As = Au/[(kf · 10 – 7/2 · rD(n)) – 1] empfohlene Häufigkeit 0,2 [1/a] und maßgebliche Regendauer D = 10 – 15 min; es gilt hier z.B. rD(n) = r15(0,2) = 152,6 l/(s · ha) Abflussbeiwert für Flachdach nach A 138 Tab. 2: ψm = 0,95 Bemessung: Au = AE · ψm = 2000 · 0,95 = 1.900 m2 As = Au/[(kf · 10–7/2 · rD(n)) – 1] As = 1.900/[(2 · 10–4/2 · 152,6) – 1] = 342 m2

allgemeiner Ansatz : erforderliche Versickerungsfläche ergibt sich: hydrologische Bemessungsempfehlungen:

14

Technische Ausführung: Bei Versickerung auf nicht befestigter Fläche beträgt die erforderliche Versickerungsfläche damit 342 m2.

419

3 Aufgaben zur Siedlungsentwässerung

Anlagen zur Versickerung - Muldenversickerung In einem Gewerbepark sind die Dachabflüsse einer Baumarkthalle in einer Mulde zu versickern. Die gesamte Dachfläche beträgt 4000 m2 und besteht aus Faserzement. Das Hallendach ist extensiv begrünt. Im Bereich der geplanten Muldenversickerung ist ein Mittel- bzw. Feinsand mit einem Durchlässigkeitswert kf von 1 · 10–4 m/s zugrunde zu legen. Die Mulde ist mit einer 10 cm starken Oberbodenschicht auszubilden, so dass unter diesen Voraussetzungen bei den weiteren Berechnungen der Durchlässigkeitswert mit kf = 5 · 10–5 m/s zu berücksichtigen ist. Tafel 3-10 beispielhafte Niederschlagsauswertung Dauer D Regenspende rD(0,2)

min l/(s · ha)

5 338,9

10 204,6

15 152,6

20 124,0

30 92,6

45 69,2

60 56,4

90 42

Gesucht werden: 1. Entwurf einer Anlage zur Muldenversickerung mit Angabe des Speichervolumens, der Einstauhöhe und Entleerungszeit. Lösung: 1. Entwurf einer Anlage zur Muldenversickerung Berechnungsansätze nach A 138: – Bewertung der Niederschlagsabflüsse nach A 138 (01.02) Tabelle 1: unbedenklich, für Muldenversickerung geeignet – Bei Versickerungsmulden: Berücksichtigung der Zwischenspeicherung des Abflusses – Es gilt: Zuflussvolumen – Abflussvolumen (Versickerung) = Speicheränderung; Annahme einer konstanten Versickerungsrate (As = konst.; I = 1 = konst.) Somit gilt mit: Speichervolumen undurchlässige Fläche Versickerungsfläche Durchlässigkeitsbeiwert der gesättigten Zone maßgebende Regenspende Dauer des Bemessungsregens Zuschlagsfaktor gemäß ATV-ADVWK-A 117

V Au As kf rD(n) D fz

allgemeine Speichergleichung: erforderliches Speichervolumen der Mulde hydrologische Bemessungsempfehlungen:

V = (Qzu – Qs ) · D · 60 · fz V = [(Au + As) · 10–7 · rD(n) – As · kf/2] · D · 60 · fz empfohlene Häufigkeit 0,2 [1/a]

m3 m2 m2 m/s l/(s · ha) min (–)

Die maßgebliche Regendauer des Bemessungsregens ist zunächst unbekannt. Sie ergibt sich durch wiederholte Lösung der Speichergleichung unter Beachtung der jeweiligen Dauerstufe und Häufigkeit. Maßgebend ist diejenige Regendauer mit dem maximalen Speichervolumen V. Die erforderliche Versickerungsfläche As (Muldenfläche) ist vorzugeben. Je nach Durchlässigkeit des Bodens sind die Größenordnungen für As als erster Anhalt nach A 138 in Tafel 3-11 zusammengestellt.

14

420

Siedlungswasserwirtschaft

Tafel 3-11 Anhaltswerte für Muldenfläche nach A 138 Bodenart

erf. As

Mittel-/Feinsand

0,10 ⋅ Au

schluffiger Sand, sandiger Schluff, Schluff

0,20 ⋅ Au

Es ist zu beachten, dass es sich bei As um eine mittlere Versickerungsfläche handelt. Bei einer vereinfachenden Annahme ergibt sich die Versickerungsfläche zu As, max = 2 · As – As, min Bei einer flachen Ausformung der Mulde wird As, min sehr klein und As, max etwa doppelt so groß wie die rechnerische Muldenfläche/Versickerungsfläche. Abflussbeiwert für Dach mit Begrünung, humusiert < 10 cm Aufbau, nach A 138 Tab. 2: ψm = 0,5 Bemessung: Au = AE · ψm = 4000 · 0,5 = 2.000 m2 As = 0,1 · Au = 0,1 · 2000 = 200m2 fz = 1,2 (gewählt) V = [(Au + As) · 10–7 · rD(n) – As · kf/2] · D · 60 · fz V = [(2000 + 200) · 10–7 · rD(n) – 200 · (5 · 10 – 5/2)] · D · 60 · 1,2 In der Bestimmungsgleichung für das erforderliche Volumen ist nun die Regendauer solange zu variieren und die entsprechende Regendauer einzusetzen, bis sich ein maximaler Wert für das Speichervolumen ergibt. Tafel 3-12 rechnerische Ermittlung der Muldenfläche D rD(0,2)

min

5

10

15

20

30

45

l/(s · ha)

338,9

204,6

152,6

124,0

92,6

69,2

56,4

m3

25,1

28,8

30,8

32,0

33,2

33,1

32,0

V

Ergebnis:

Bei D = 30 min erhält man maximales Speichervolumen von V = 33,2 m3. Es wird ein Speichervolumen von 34 m3 gewählt.

Einstauhöhe der Mulde zM = V/As = 33,2/200 = 0,17 m Entleerungszeit tE = 2 · zM/kf = 2 · 0,17/5 · 10 – 5 = 6.800 s = 1,9 h < 24 h

14

Bild 3-1

Versickerungsmulde nach A 138

60

421

4 Aufgaben zur Abwasserreinigung

4 Aufgaben zur Abwasserreinigung Biologische Abwasserreinigung und Schlammbehandlung Belebungsanlage und Nachklärung Eine bestehende Belebungsanlage nach dem System der vorgeschalteten Denitrifikation ist hinsichtlich der erforderlichen Belebungsbeckengröße und der Sauerstoffzufuhr zu überprüfen. Die vorhandenen horizontal durchströmten Nachklärbecken mit Schildräumer sind hinsichtlich der Oberfläche und der Beckentiefe neu zu berechnen. Die Berechnungen sind unter Beachtung der nachfolgend aufgelisteten Kenndaten durchzuführen: Belastungsdaten - Zulauf Biologie Bd,BSB,ZB = 2.100 kg/d Bd,CSB, ZB = 4.200 kg/d Bd,AFS = 1.260 kg/d Bd,N,ZB = 516 kg/d Bd, P = 72 kg/d

Reinigungsziel – Überwachungswerte = 20 mg/l BSB5 CSB = 90 mg/l NH4-N = 10 mg/l – Temperatur: 12° C Pges = 2 mg/l Nanorg. Ges < 18 mg/l

Abwasserzufluss Qd = 12.000 m3/d QM = 1.700 m3/h ISV = 95 l/kg

Berechnungsansätze Sorg.N, AN = 2 mg/l SNH4-N, AN = 1 mg/l N-Inkorperation in Biomasse = 4,5 % von BSB5

Gesucht werden: 1. erforderliche Belebungsbeckengröße in m3 unter Beachtung der Überwachungswerte; 2. erforderliche Luftzufuhr in m3N /h; 3. Oberfläche und Tiefe der Nachklärbecken; 4. Angabe der Dosierstelle des Fällmittels zur chemisch-physikalischen P-Elimination. Lösung: 1. erforderliche Belebungsbeckengröße a) Bestimmung der Bemessungsdaten Sicherheitsfaktor Erforderliches aerobes Schlammalter

SF = 1,45 nach Messungen tTS,Bem = SF · 3,4 · 1,10315–T · 1/(1 – VD/VBB)

Feststoffgehalt im Belebungsbecken gemäß Berechnung des Nachklärbeckens TSBB

= 4,0 kg/m3

Bemessungstemperatur

= 12° C

T

14

422

Siedlungswasserwirtschaft

b) Ermittlung des Volumenanteils für die vorgeschaltete Denitrifikation Stickstoffbilanz im Ablauf Nachklärung im Ablauf Nachklärung Inkorporation in Biomasse

Bd, orgN, AN = 0,002 · 12.000 = 24 kg/d Bd, NH4, AN = 0,001 · 12.000 = 12 kg/d Bd, orgN, BM = 0,045 · Bd BSB, ZB = 0,045 · 2.100 = 94,5 kg/d

behördliche Auflage in qualifizierter Stichprobe

SanorgN,AN = 18 mg/l

im Tagesmittel im Ablauf erreichbar

SanorgN,AN = 12 mg/l = SNH4,AN + SNO3,AN = 1 + 11 mg/l

im Ablauf Nachklärung

Bd, NO3,AN = SNO3,AN · Qd = 0,011 · 12.000 = 132 kg/d Bd,NO3,D = Bd, N,ZB – Bd, orgN, AN – Bd, NH4, AN – Bd, orgN, BM – Bd, NO3,AN = 516 – 24 – 12 – 94,5 – 132 = 253,5 kg/d

Denitrifikationskapazität nach A 131 Bd,NO3,D/Bd,BSB,D = 253,5/2.100 = 0,12

14

erforderlicher Volumenanteil zur Denitrifikation gemäß A 131

VD/VBB

Erforderliche Rückführung Rücklaufschlamm + Kreislaufschlamm

RF = (Bd,N,ZB – Bd,org N, AN – Bd,org N,BM)/Bd,NO3,AN ) – 1 = (516 – 24 – 94,5/132 ) – 1 = 2,0

Wirkungsgrad der Denitrifikation

Ș = 1 – 1/(1 + RF) = 1 – 1/(1 + 2,0) = 0,67 = 67 %

Bemessungsschlammalter

tTs = SF · 3,4 · 1,10315–T · 1/(1 – VD/VBB) = 1,45 · 3,4 · 1,10315–T · 1/(1 – 0,25) = 8,8 d

= 0,25

c) Ermittlung der Schlammproduktion aus Kohlenstoffelimination gemäß A 131 Tafel für spezifische Schlammproduktion mit Kennwerten T = 10 bis 12° , tTS = 8, 8 und ÜSC, BSB = 0,79 kg TS/kg BSB BD, TS, ZB/BD, BSB, ZB = ÜSd,C = ÜSC, BSB· Bd, BSB, ZB = 0,79 · 2.100 1260/2100 = 0,6 = 1.659 kg TS/d d.h. X TS,ZB/C BSB, ZB = 0,6

423

4 Aufgaben zur Abwasserreinigung

aus der Phosphorelimination im Tagesmittel im Ablauf erreichbar Bd, P,AN = 0,65 · Bd, P, ÜW = 0,65 · 2 = 1,3 mg/l = 0,65 · 0,002 12.000 = 15,6 kg/d Bd, P,BioP = 0,01 · Bd, BSB, ZB Inkorporation in Biomasse = 0,01 · 2.100 = 21 kg/d Bd, P,BioP = 0,005 · Bd, BSB,ZB biologisch P für DN-Stufe = 0,005 · 2.100 = 10,5 kg/d (ohne Anaerob-Becken) B zu fällender P-Anteil d,P,Fäll = Bd, P,ZB – Bd, P,AN – Bd, P,BM – Bd, P,BioP = 72 – 15,6 – 21 – 10,5 = 24,9 kg/d ÜS = 3 · Bd, P, BioP + 6,8 · Bd, P, Fäll Fe Fällung mit Eisensalz d,P = 3 · 10,5 + 6,8 · 24,9 = 200,8 kg/d biologisch P für vorgeschaltete DN ohne anaerobes Becken Gesamtüberschussschlammproduktion ÜSd

= ÜSd,C + ÜSd,P = 1.659 + 200,8 = 1860 kg TS/d

d) Ermittlung des Belebungsbeckenvolumen Gesamtvolumen

VBB

Denitrifikationsvolumen Nitrifikationsvolumen

VD VN

= tTS · ÜSd/TSBB = 8,8 d · 1.860 kg TS/d/4,0 kg/m3 = 4.092 m3 = 0,25 · 4.092 = 1.023 m3 = (1 – 0,25) · 4.092 = 3.068 m3

2. erforderliche Luftzufuhr in m 3N /h Stoßfaktoren nach Messungen

fC = 1,2 fN = 1,45

Maßgeblicher Lastfall N/DN bei 20° C gemäß A131 Tafel für spezifischer Sauerstoffverbrauch mit Kennwerten von T = 20° und tTS OVC,BSB = 1,16 kg O2/kgBSB5 aus Kohlenstoffabbau OVd, C = 1,16 · Bd,BSB,ZB = 1,16 · 2.100 = 2.436 kg O2/d OVd, N = Qd · 4,3 (SNO3, D – S NO3, ZB + SNO3, AN) aus Nitrifikation OVd, N = Qd · 4,3 (21,1 – 0 + 11)/1000 = 1.656 kg O2/d aus Denitrifikation OVd, D = Qd · 2,9 · SNO3,D/1000 OVd, D = Qd · 2,9 · 21,1/1000 = 734 kg O2/d gesamter Sauerstoffbedarf Fall 1 OVh = (fC · OVd,C – OVd,D + fN · OVd,N)/24 = (1,0 · 2.436 – 734 + 1,45 · 1.656)/24 = 171 kg O2/h = (fC · OVd,C – OVd, D + fN · OVd,N)/24 Fall 2 OVh = (1,2 · 2.436 – 734 + 1,0 ·1.656)/24 = 160 kg O2/h

14

424

Siedlungswasserwirtschaft

erforderliche Sauerstoffzufuhr Einblastiefe gemäß ATV-Handbuch S. 336ff bei 20° C

Belüftung feinblasige Belüftung O2-Eintrag mit Membranbelüfter erforderliche Luftzufuhr

erf.αOC hE Cs

= p/po · Css · (1 + hE/20,7) = 1 · 9,09 (1 + 4,5/20,7) = 11,07 mg/l Cx = 2,0 mg/l α OC = Cs/(Cs – Cx) = 11,07/(11,07 – 2,0) · 171 = 209 kg O2/h O2-Eintrag = 17 g O2/ m3N · mET α – Wert = 0,6 α OC/O2-Ausnutzung · Einblastiefe = 209/0,6 · 0,017 · 4,5 = 4.553 m3N /h

3. Oberfläche und Tiefe der Nachklärbecken ISV Schlammindex tE Eindickzeit Bestimmung von TSBS TSBS Ermittlung von TRS bei Schildräumer TSRS TSBB RV

= 95 ml/g =2h = 1000/ISV 3 tE = 13,3 kg/m3 § 0,7 · TSBS = 0,7 · 13,3 = 9,3 kg/m3 = RV · TSRS/(1 – RV) = 4,0 kg/m3 = 0,75

qSV

” 500 l/(m2 · h)

qA

= qSV/TSBB · ISV = 500/4,0 · 95 = 1,31 m/h < 1,6 m/h

VSV

= TSBB · ISV = 380 l/m3

erforderliche Gesamtoberfläche Nachklärbeckentiefe Klar- und Rückstromzone

ANB h1 h2

Trenn- und Rückstromzone

h3

Dichtestrom- und Speicherzone Eindick- und Räumzone Gesamte Nachklärbeckentiefe

h4

= QM/qA = 1700/1,31 = 1.297 m2 = 0,50 m = 0,5 · qA· (1 + RV)/(1 – VSV/1000) = 0,5 · 1,31 · (1 + 0,75)/(1 – 380/1000) = 1,85 m = 1,5 · 0,3 · qsv ·(1 + RV)/500 = 1,5 · 0,3 · 500 ·(1 + 0,75)/500 = 0,79 m = TSBB · qA ·(1 + RV) · tE/TSBS = 4,0 · 1,31 ·1,75· 2,0/13,3 = 1,38 m = h1 + h2 + h3 + h4 = 4,52 m

Rücklaufschlammverhältnis Zulässige Schlammvolumenbeschickung horizontal durchströmte Becken zulässige Oberflächenbeschickung

14

= Cs/(Cs – Cx) = OVh = 4,50 m

Bild 4-1

hges

Hauptströmungsrichtungen und funktionale Beckenzonen von horizontal durchströmten runden Nachklärbecken nach A 131

4 Aufgaben zur Abwasserreinigung

425

4. Angabe der Dosierstelle des Fällmittels zur chemisch-physikalischen P-Elimination

Bild 4-2

Dosierstellen bei Simultanfällung nach ATV-DVWK-A 202

14

426

Siedlungswasserwirtschaft

Mesophile anaerobe Schlammstabilisierung Das kommunale Abwasser aus einer Mischwasserkanalisation wird in einer Belebung mit vorgeschalteter Denitrifikation gereinigt. Die Vorreinigung erfolgt über eine Rechenanlage, einen belüfteten Sandfang und eine Vorklärung mit einer Aufenthaltzeit von t = 0,5 h. Durch den Einsatz einer neu optimierten maschinellen Überschussschlammeindickung ist die Schlammbilanz neu zu überprüfen. Die Eindickung des Primärschlammes erfolgt statisch. Der eingedickte Schlamm wird anschließend in einem Faulbehälter mit einem Nutzvolumen von 1.400 m3 anaerob mesophil ausgefault. Die weiteren Kenndaten sind nachfolgend zusammengestellt: Täglicher Primärschlammanfall....................................................... Trockenrückstand des Primärschlamm vor Eindickung .................. Trockenrückstand des Primärschlammes nach Eindickung............. Täglicher Überschussschlammanfall ............................................... Trockenrückstand des Überschussschlammes vor der Eindickung...... Trockenrückstand des Überschussschlammes ................................. Trockenrückstand des eingedickten Überschussschlammes............

Qd,PS TR TR Qd, ÜS ÜSd,BB,TR TRÜS TRÜS,e

= 1.500 = 3,5 = 5,0 = 1.500 = 1.860 = 0,7 = 7,0

kg TR/d % % kg TR/d Kg TR/d % %

Gesucht werden: 1. Verfahrenskizze zur Schlammeindickung bei anaerober Schlammfaulung; 2. Ermittlung der Trübwassermengen; 3. Aufenthaltzeit und organische Raumbelastung im Faulbehälter und Bewertung der Betriebsdaten; 4. Faulschlammanfall in m3/d, Feststofffracht des Faulschlammes in kg TR/d sowie der Trockenrückstand des Faulschlammes in %; 5. Berechnung des täglichen Gasanfalles. Lösung: 1. Verfahrenskizze zur Schlammeindickung bei anaerober Schlammfaulung

14 Bild 4-3 Fließschema Voreindickung mit anaerober Schlammfaulung

2. Ermittlung der Trübwassermengen Primärschlamm Zuschlag bei Mischkanalisation von Schlammanfall Vorklärung

PSd,VK = 1.500 kg TR/d ǻPSd,VK = 20 % PSd,VK = 1.500 · 1,2 = 1.800 kg TR/d

427

4 Aufgaben zur Abwasserreinigung

eingedickter Primärschlamm Primärschlammanfall Primärschlamm nach Eindickung Trübwasseranfall Überschussschlamm Belebung TR des Überschussschlammes Überschussschlammanfall Maschinelle Eindickung des Überschussschlammes über Zentrifuge mit Überschussschlammanfall, nach Eindickung Trübwasseranfall Gesamter Trübwasseranfall

TRe =5% Qd,PS = 1.800/35 = 51 m3/d Qd,PS,e = 1.800/50 = 36 m3/d Qd,PS,Trüb = Qd,PS – Qd,PS,e = 51 – 36 = 15 m3/d ÜSd,BB = 1.860 kg TR/d TRÜS = 7 kg TR/m3 = 1.860/7 = 266 m3/d Qd,ÜS TRÜS,e = 65 kg TR/m3 Qd,ÜSe = 1.860/70 = 27 m3/d Qd,US,Trüb = Qd,ÜS – Qd,ÜS,e = 266 – 27 = 239 m3/d = Qd,PS,Trüb + Qd,ÜS,Trüb = 15 + 239 = 254 m3/d Qd,Trüb

3. Bestimmung der Aufenthaltzeit und organischen Raumbelastung im Faulbehälter Bestimmung der Aufenthaltzeit: Primärschlamm nach Eindickung Überschussschlammanfall nach Eindickung Mischschlamm (PS + ÜS) Aufenthaltzeit im Faulbehälter Bewertung der Faulzeit Bestimmung der org. Raumbelastung: Primärschlamm Primärschlamm für oTR/TR Primärschlamm für oTR Überschusschlamm für oTR/TR Überschusschlamm für oTR Organische Raumbelastung Prüfung der Raumbelastung

Qd,PS,e Qd,ÜSe Qd,Schl tR tR

= 1.800/50 = 36 m3/d = 1.860/70 = 27 m3/d = 36 + 27 = 63 m3/d = 1.400/63 = 22,2 d = 22,2 d > tRerf = 20 d

PSd,Vk oTR/TR PSd,VK oTR/TR ÜSd,BB BR,oTR BR,o T

= 1.800 kg TR/d = 0,67 = 0,67 · 1.800 = 1.206 kg oTR/d = 0,725 = 0,725 · 1.860 = 1.349 kg oTR/d = (1.206 + 1.349)/1.400 = 1,8 kg oTR/m3d = 1,8 kg oTR/m3d < BR,oTRerf = 2,5 kg oTR/m3d

4. Faulschlammanfall Bei einer Temperatur von 35° C wird der Faulraum ständig intensiv durchmischt. Es wird kein Trübwasser abgezogen. Es wird unter diesen Bedingungen und bei ordnungsgemäßem Betrieb ein Abbau der organischen Feststoffmasse von 45 – 50 % erreicht. (ATV-DVWK M 368) Mischschlamm(PS + ÜS) vor der Faulung Schlammfracht vor Faulung – mineralisch – organisch Abbau der org. Feststoffmasse

Qd,Schl BmTR BoTR Ș

Schlammfracht nach der Faulung – organisch BoTR – mineralisch BmTR Faulschlammfracht, gesamt Bd,TR Faulschlammanfall Qd,Faulschlamm TR-Faulschlamm TRFaulschlamm

= 63 m3/d = 594 + 511 = 1.105 kg m TR/d = 1.206 + 1.349 = 2.555 kg oTR/d = 50 % = 2.555 · (1 – 0,5) = 1.278 kg oTR/d = 594 + 511 = 1.105 kg mTR/d = BoTR + BmTR = 1.278 + 1.105 = 2.383 kg TR/d = 63 – 1.278/1000 = 61,7 m3/d = 2.383 · 100/(1000 · 61,7) = 3,9 %

5. Gasanfall Die Faulgasproduktion beträgt bei ca. 400 – 500 l/kg oTRzugeführt (siehe ATV-DVWK M 368) Schlammfracht vor Faulung BoTR = 2.555 kg oTR/d Gasanfall QGas = 2.555 · 0,450 = 1,150 m3/d

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428

Siedlungswasserwirtschaft

Tropfkörperanlage Die vorhandene Tropfkörperanlage einer Gemeinde ist bezüglich des ATV-Regelwerkes A 281 (09.01) neu zu überprüfen. Es ist das nach den Regelwerken A 281 erforderliche Tropfkörpervolumen für eine Stickstoffelimination neu zu ermitteln. Eine Vorklärung mit einer Aufenthaltzeit von t = 0,5 h ist zurzeit vorhanden. Der anfallende Schlamm soll landwirtschaftlich verwertet werden. Aus diesem Grunde ist eine Stabilisierung und Entseuchung des Schlammes angestrebt. Dies soll über eine aerob-thermophile Schlammstabilisierung erreicht werden. Folgende Betriebsdaten sind weiter bekannt: EW = 7000 EW Qd = 1600 m3/d QT = 160 m3/h QM = 250 m3/h CBSB,ZB = 200 mg/l CN,ZB = 50 mg/l Nachklärung..................................................................... ANKges = 180 m3 VNK = 400 m3 Gesucht werden: 1. Verfahrenskizze vorgeschalteter Tropfkörper mit nachgeschaltetem nitrifizierenden Tropfkörper; 2. Tropfkörpervolumen für Stickstoffelimination mit nachfolgenden Einleitungsbedingungen: BSB5 : 20 mg/l CSB: 90 mg/l P: kein Überwachungswert NH4-N: 10 mg/l Nanorg.,ges: 18 mg/l 3. Oberfläche und Volumen der Nachklärung; 4. Bemessung der aerob-thermophilen Schlammstabilisierung.

Angeschlossene Einwohner ............................................. Abwassermengen täglich ................................................. Trockenwetterzufluss....................................................... Mischwasserzufluss ......................................................... Abwasserkonzentration im Ablauf der Vorklärung.........

Lösung: 1. Verfahrensskizze vorgeschalteter Tropfkörper mit nachgeschaltetem nitrifizierenden Tropfkörper

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Bild 4-4 beispielhaftes Verfahrenfließbild einer Tropfkörperanlage zur Denitrifikation und Nitrifikation

2. erforderliche Tropfkörpervolumen für die Stickstoffelimination Berechnungsansätze nach A 281 (09. 2001) Belastungsgrundlagen Zulauf biologische Stufe:

Bd,BSB,ZB = 320 kg/d bzw. CBSB,ZB = 200 mg/l Bd,N,ZB = 80 kg/d bzw. CN,ZB = 50 mg/l Bestimmung der erforderlichen Denitrifikationskapazität

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4 Aufgaben zur Abwasserreinigung

SorgN,AN = 2 mg/l XorgN,BM = 0,03 · 200 = 6 mg/l SNO3,AN = 0,7 · SanorgN.ÜW = 0,7 · 18 mg/l = 12,6 mg/l SNO3,D = CN,ZB – SorgN,AN – SNH4,AN – SNO3,AN – XorgN,BM SNO3,D = 50 – 2 – 1 – 12,6 – 6 = 28,4 mg/l erf. Denitrifikationskapazität: SNO3,D/CBSB,ZB = 28,4/200 = 0,14 Bemessung des Tropfkörpervolumens zur Denitrifikation: gewähltes Füllmaterial: Lavaschlacke SNO3,D/CBSB,ZB = 0,14 ergibt sich BR,BSB,D VTK,D Erforderliche Rückführung: RVD RVD

= 0,2 kg/(m3 · d) (siehe nachfolgende Tafel 4-1) = Bd,BSB,ZB/BR,BSB,D = 320/0,2 = 1.600 m3 = ((SN,ZB – SorgN,AN – XorgN,BM)/SNO3,AN) – 1 = [(50 – 2 – 7,2)/12,6] – 1 ≈ 2,2 (< 3 = RVmax)

Tafel 4-1 zulässige BSB5-Raumbelastung des DN- Tropfkörpers nach A 281 BSB5-Elimination ohne BSB5-Elimination mit BSB5-Raumbelastung Denitrifikationskapazität Zwischenklärung Zwischenklärung SNO3,D/CBSB,ZB kg/(m3· d) % % 0,2 0,6 1,0

0,14 0,10 0,08

Wirkungsgrad der Denitrifikation: ȘD Wahl der Tropfkörperhöhe:

60 45 40

80 65 60

= 1 – 1/(1 + RV) = 0,69

hTK,D = 4 m

Ermittlung der erf. Oberfläche: ATK,D = VT K,D/hTK,D = 1,600/4 = 400 m2 Oberflächenbeschickung: qA,TK,D = QT · (1 + RVt)/A TK,D qA,TK,D = 160 · 3,2/400 = 1,28 m/h < 3 m/h = qA,TK,D,max BSB5-Elimination im Denitrifikation TK (ohne Zwischenklärung): ȘBSB ≈ 60 % (gemäß Tabelle A 281) Zulauf C + N-Stufe: Bd,BSB,ZC + N = 128 kg/d Bd,N,ZC + N = 80 kg/d Bemessung des Tropfkörpervolumens zum C-Abbau und zur Nitrifikation: gewähltes Füllmaterial: Kunststoff mit spezifischer Oberfläche von 150 m2/m3 erforderliches TK-Volumens: VTK = VTK,BSB + VTK,N bzw. VTK = (Bd,BSB, ZB/BR,BSB) + (Bd,TKN,ZB/BR,TKN) Reinigungsziel: Nitrifikation Bemessungswerte für Kunststoff-TK C-Abbau gemäß A 281 BR,BSB ≤ 0, 6 kg/(m3 · d) gewählt BR,BSB = 0, 5 kg/(m3 · d) Nitrifikation gemäß A 281 BR,TKN ≤ 0,15 kg/(m3 · d) gewählt BR,TKN = 0,15 kg/(m3 · d)

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430

Siedlungswasserwirtschaft

VTK,C + VTK,N = BD,BSB,ZB/BR,BSB + Bd,TKN/BR,TKN VTK,C + VTK,N = 128/0,5 + 80/0,15 = 789 m3 gewähltes Tropfkörpervolumen VTK = 800 m3 Mischkonzentration am DN-TKCBSB,Z,C+N,RF = BD,BSB,ZC + N · 1000/(Qd · (1 + RV)) CBSB,ZC+N,RF = 128 · 1000/(1600 · 3,2) CBSB,ZC+N,RF = 25 mg/l < 150 mg/l Dies bedeutet, dass die erforderliche Rückführung für die Denitrifikation deutlich höher ist, als das zur Einhaltung einer ausreichenden Verdünnung der BSB5-Konzentration (und der TKNKonzentration) am Drehsprenger erforderlich ist. Wahl der Tropfkörperhöhe: hTK,C + N Ermittlung der erf. Oberfläche: ATK,C + N Oberflächenbeschickung: qA,TK,C + N qA,TK,C + N

= 3,5 m = VTK,C + N/hTK,C + N = 800/3,5 = 229 m2 = Qt · (1 + RVt)/ATK,C + N = 160 · 3,2/229 = 2,2 m/h > 0,8 m/h = qA,TK,N + C,min

3. Oberfläche und Volumen der Nachklärung Bemessung der Nachklärung: qA,NB ≤ 0,8 m/h bzw. tNB ≥ 2,5 h nach A 281 erforderliche Beckenoberfläche: ANB = QNB/qA,NB = 160 · 3,2/0,8 = 640 m2 erforderliches Volumen: VNB = tNB · QNB = 2,5 · (160 · 3,2) = 1.280 m3 4. Bemessung der aerob-thermophilen Schlammstabilisierung Vor der aerob-thermophilen Schlammstabilisierung werden Primärschlamm und Überschussschlamm statisch eingedickt. Der Schlamm wird landwirtschaftlich verwertet. Deshalb ist die Stabilisierung und Entseuchung mittels Hitze in einem thermophilen Temperaturbereich von 45° – 65° vorgesehen. Der anfallende Schlamm wird in geschlossenen Behältern belüftet. Anschließend erfolgt eine Stapelung des stabilisierten Schlammes.

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Schlammanfall aus der Vorklärung bei gemäß Schlammliste (siehe BZ, Kapitel 18 Tafel 3-33) eingedickter Schlamm Primärschlammanfall

t Bd,TR,PS

= 0,5 h = 7000 · 0,030 = 210 kg TR/d

TRe Qd,PS

= 3,5 % = 210/35 = 6,0 m3/d

Überschussschlamm Tropfkörper eingedickter TK-Schlamm in der NK Überschussschlammanfall

Bd,TR,TK TRe Qd,PS

= 0,75 · 320 = 240 kg TR/d = 4,0 % = 240/40 = 6,0 m3/d

statische Eindickung des PS- und ÜS-Schlamm TRend zulässige Flächenbelastung für Eindicker BA Oberfläche für statische Eindickung AE typische Höhe h Volumen Eindicker VE Volumen Eindicker, gewählt VE Eingedickter Mischschlamm Qd,PS + ÜS

= 60 kg TR/m3 = 30 kg TR/(m2 · d) = (210 + 240)/30 = 15 m2 = 3,2 m = 48 m3 = 50 m3 = (210 + 240)/60 = 7,5 m3/d

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4 Aufgaben zur Abwasserreinigung

Stabilisierung des Schlammes Aufenthaltzeit im aerob-thermophilen Reaktor Volumen des aerob thermophilen Reaktors Volumen gewählt

aerob-thermophil tA ≥ 5 d, gewählt 8 d VATS = 8 · 7,5 = 60 m3 = 65 m3 VATS

Bemessung der Belüftung (BZ, Kapitel 8.73) geschätzter org. Anteil Mischschlamm Sauerstoffbedarf

0,70 – 0,80 kg O2/kg oTR 67 % Bd,oTR,PS,TK = 0,67 · 450 = 302 kg oTR OVd = 0,8 · 302 = 241 kg O2/d

Stapelzeit des stabilisierten Schlammes, z.B. Volumen Schlammstapelung

4 – 5 Monate, 120 – 150 d VST = 160 · 7,3 = 1.168 m3

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Abfallwirtschaft Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Ernst Biener

Inhalt Abfallwirtschaft ........................................................................................................................... 433 1 Vorbemerkungen ................................................................................................................... 435 1.1 Formelsammlung ........................................................................................................ 435 1.2 Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Einheiten ........................... 437 1.3 Konzentrationsangaben............................................................................................... 438 2. Beispiele aus der Praxis ......................................................................................................... 438 2.1 Grundlagen Abfallwirtschaft ...................................................................................... 438 2.1.1 Beispiel – Abfalltechnische Kennwerte ....................................................... 438 2.1.2 Beispiel – Volumenreduktion bei Entwässerungsverfahren ........................ 440 2.1.3 Beispiel – Massenstromermittlung eines Abfallgemisches .......................... 441 2.1.4 Beispiel – Klärschlammmischung in einer Aufbereitungsanlage ................ 442 2.1.5 Beispiel – Feststoffkonzentrationsermittlung eines Abfallgemisches.......... 443 2.1.6 Beispiel – Verfahrenstechnische Ermittlungen an einer Kompostierungsanlage................................................................................. 444 2.1.7 Beispiel – Heizwertbestimmung von Abfällen ............................................ 447 2.2 Deponietechnik ........................................................................................................... 448 2.2.1 Beispiel – Restdurchlässigkeit von mineralischen Abdichtungen................ 448 2.2.2 Beispiel – Hydrogeologische Kennwerte bei der Untersuchung einer Altablagerung (Altdeponie) ................................................................ 451 2.2.3 Beispiel – Ermittlung der Gasemissionen an der Oberfläche einer abgedeckten Deponie .......................................................................... 453 2.2.4 Beispiel – Beurteilung der Einleitqualität eines Deponiesickerwassers....... 455 2.3.1 Beispiel – Prüfwertermittlung nach BBodSchV .......................................... 456 2.3.2 Beispiel – Reststoffanteil bei einer Bodensanierung.................................... 458 2.3.3 Beispiel – Dimensionierung einer Bodenluftabsauganlage.......................... 460 2.3.4 Beispiel – Dimensionierung einer mikrobiologischen Bodenreinigung ...... 462

1 Vorbemerkungen Die im Bereich der Abfallwirtschaft zur Berechnung von abfallwirtschaftlichen Problemstellungen angewendeten Formeln, Bezeichnungen und formelmäßigen Zusammenhänge stammen in der Regel aus anderen Anwendungsgebieten (Geotechnik, Wasserwirtschaft, etc.) der Bautechnik. Die für die folgenden Beispiele aus der Praxis wesentlichen maßgeblichen Beziehungen sind in der nachfolgenden Formelsammlung zusammengefasst dargestellt. Hilfreich sind dabei häufig auch die angegebenen Bezeichnungen und Konzentrationsangaben.

1.1 Formelsammlung Bezeichnung

Formelzeichen

Formelmäßiger Zusammenhang

Erläuterung der Formelzeichen

Abfalltechnischer Wassergehalt

Wa

wa = mw/m

Bodenmechanischer Wassergehalt

wb

wa = 1 – (1/(wb + 1)) wb = mw/md wb = (1/(1 – wa))– 1

wa mw m wb md

Trockensubstanz (TS) (Trockenmasse, Feststoffkonzentration)1)

TS

TS = 1 – wa

Trockenrückstand (Feststoffkonzentration)1) Dichte

TR

TS = md/m

TS wa md

TR = ρi · TS

m TR

ρi TS

ρi

ρi = mi/Vi

ρi

ρi = Mi/Qi

mi Vi i

Massenstrom

Volumenstrom

Mi

Qi

Mi = ρi · Qi Mi = mi/t

Qi = Mi/ρi Qi = Vi/t

Mi

ρi

Qi t mi Qi Mi

ρi

Vi t

Verhältnisgröße Masse des Wassers in g oder Mg Feuchte Masse in g oder Mg Verhältnisgröße Trockenmasse bzw. Trockensubstanz (TS) in g oder Mg Verhältnisgröße Abfalltechnischer Wassergehalt Trockenmasse bzw. Trockensubstanz (TS) in g oder Mg Feuchte Masse in g oder Mg Trockenrückstand in Mg/m3 Dichte in Mg/m3 Trockensubstanz (Verhältnisgröße) Dichte in Mg/m3 Masse in Mg (bzw. Massenstrom Mi) Volumen in m3 (bzw. Volumenstrom Qi) Bezugsgröße (Feuchtmasse, Trockenmasse, etc.) Massenstrom in Mg/d Dichte in Mg/m3 Volumenstrom in m3/d Zeit in d Masse in Mg Volumenstrom in m3/d Massenstrom in Mg/d Dichte in Mg/m3 Volumen in m3 Zeit in d

436

Abfallwirtschaft

Bezeichnung Mittlere Feststoffkonzentration

Glühverlust (Organische Substanz)2)

Formelzeichen TSm

Vgl

Formelmäßiger Zusammenhang TSm = ΣTSi · Mi/ΣMi TSm = Σ(TSi · ρi · Qi)/ Σρi · Qi Vgl = (md – mgl)/md

Erläuterung der Formelzeichen TSm/ TSi Mi

ρi

Qi Vgl md mgl

Organischer Trockenrückstand2)

oTR

oTR = Vgl · (TR)

Glührückstand (Mineralische Substanz)

Rgl

Rgl = 1 – Vgl Rgl = mgl/md

oTR Vgl TR Rgl Vgl md mgl

Durchfluss (Kontinuitätsgleichung)

Q

Q=v·A

Filtergeschwindigkeit (Gesetz von Darcy)

v

v=k·i

Filtergeschwindigkeit (Gesetz von Darcy; Gasströmungen)

vGas

vGas = k · ηw/ηG · i

Q v A v k i vGas k

ηw/ηG i

Hydraulisches Gefälle

i

i = Δh/Δl

Schadstofffracht/ Massenstrom (Grundwasser)

MMKW

MMKW = Q · cMKW

i Δh Δl MMKW Q c MKW

15

Trockensubstanz (Verhältnisgröße) Massenstrom in Mg/d Dichte in Mg/m3 Volumenstrom in m3/d Verhältnisgröße Trockenmasse bzw. Trockensubstanz (TS) in g oder Mg Masse der Probe nach dem Glühvorgang in g oder Mg Verhältnisgrösse Glühverlust (Verhältnisgröße) Trockenrückstand in Mg/m3 Verhältnisgröße Glühverlust Trockenmasse bzw. Trockensubstanz (TS) in g oder Mg Masse der Probe nach dem Glühvorgang in g oder Mg Durchfluss in m3/s Geschwindigkeit in m/s Durchflussfläche in m2 Filtergeschwindigkeit in m/s Durchlässigkeitsbeiwert in m/s Hydraulisches Gefälle/Gradient (Verhältnisgröße) Filtergeschwindigkeit (Gas) in m/s Durchlässigkeitsbeiwert in m/s Verhältniswert der dynamischen Viskositäten von Wasser und Gas (Deponiegas ≈ 70) Hydraulisches Gefälle/Gradient (Verhältnisgröße) Gradient (Verhältnisgröße) Druckhöhenunterschied in m Fließlänge in m Schadstofffracht (hier: MKW) in g/s Durchfluss in m3/s Schadstoffkonzentration (hier MKW) in mg/l Mineralölkohlenwasserstoffe

437

1 Vorbemerkungen

Bezeichnung Wasserableitvermögen (Transmissivität in der Ebene) Permittivität (Bentonitmatten)

Formelzeichen qk

Formelmäßiger Zusammenhang qk = k · d

Ψ

Ψ = Q/A · h

Erläuterung der Formelzeichen qk k d A

qk = k · A

Ψ Q A h va v neff

Ψ = v/h Abstandsgeschwindigkeit

va

va = v/neff

Durchlässigkeitsbeiwert (Hazen-Formel für grobkörnige Böden) Heizwert (Unterer Heizwert)

k

2 k = 0,0116 · d10

k d10

Hu

Hu = Ho · (1 – wa) – 2.450 · wa

Hu Ho wa

1)

2)

Wasserableitvermögen in m3/s · m Durchlässigkeitsbeiwert in m/s Schichtdicke in m Durchflussfläche in m2/m Permittivität in s–1 Durchfluss in m3/s Durchflussfläche in m2 Druckhöhenunterschied in m Abstandsgeschwindigkeit in m/s Filtergeschwindigkeit in m/s Nutzbares (effektives) Porenvolumen (Verhältnisgröße) Durchlässigkeitsbeiwert in m/s Wirksamer Korndurchmesser in mm Heizwert in kJ/kg oder kJ/m3 Brennwert (oberer Heizwert) in kJ/kg oder kJ/m3 Abfalltechnischer Wassergehalt (Verhältnisgröße)

In der Siedlungswasserwirtschaft wird statt der Trockensubstanz TS häufig der Trockenrückstand TR verwendet; hier ist zu beachten, dass TR in der Regel nicht (wie TS) als Verhältnisgröße in % angegeben wird, sondern in kg/m3. Bei Schlämmen mit geringem TS-Gehalt wird bei der Umrechnung von TR auf TS zumeist von einer Dichte ρi = 1.000 kg/m3 ausgegangen. In der Siedlungswasserwirtschaft wird statt des Glühverlustes Vgl häufig auch der organische Trockenrückstand oTR verwendet; hier ist zu beachten, dass oTR zwar auch als Verhältnisgröße (aber von TR) in % angegeben wird, jedoch die Bezugsgröße TR nicht als Verhältnisgröße, sondern in der Einheit kg/m3 ermittelt wurde (siehe auch Anmerkung 1)).

1.2 Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Einheiten Bezeichnung

Vorsatz- Bedeu- Beispiel zeichen tung (Masse)

Deka

da

101

1 dag

Dezi

d

10–1

dg

Hekto

h

102

1 hg

Zenti

c

10–2

cg

Kilo

k

103

1 kg

Milli

m

10–3

1 mg

Mega

M

106

1 Mg

Mikro

ȝ

10–6

1 —g

Giga

G

109

1 Gg

Nano

n

10–9

1 ng

Tera

T

1012

1 Tg

Piko

p

10–12

1 pg

Peta

P

1015

1 Pg

Femto

f

10–15

1 fg

E

1018

a

10–18

1 ag

Exa

1 Eg

Bezeichnung

Atto

Vorsatz- Bedeu- Beispiel zeichen tung (Masse)

15

438

Abfallwirtschaft

1.3 Konzentrationsangaben Bezeichnung

Verhältnis

Bezugsgröße

Potenz

Beispiel

pph (Prozent)

1 : 100

Hundert

1 · 10–2

10 g/kg

ppt (Promille)

1 : 1.000

Tausend

1 · 10–3

1 g/kg

ppm

1 : 1.000.000

Million

1 · 10–6

1 mg/kg

ppb

1 : 1.000.000.000

ppt

1 : 1.000.000.000.000

ppq

1 : 1.000.000.000.000.000

ppq°

1 : 1.000.000.000.000.000.000

pps

1 : 1.000.000.000.000.000.000.000

pps°

1 : 1.000.000.000.000.000.000.000.000

Milliarde (engl. billion) Billion (engl. trillion) Billiarde (engl. quadrillion) Trillion (engl. quintillion) Trilliarde (engl. sextillion) Quadrillion (engl. septilion)

–9

1 · 10

1 —g/kg

1 · 10–12

1 ng/kg

1 · 10–15

1 pg/kg

–18

1 · 10

1 fg/kg

1 · 10–21

1 ag/kg

1 · 10–24

1 ag/g

Vergleich 1 Stück Würfelzucker aufgelöst in: einer großen Tasse Kaffee einem großen Kochtopf einem Tankwagen einem Schwimmbad einer kleinen Talsperre einer großen Talsperre Kaspischen Meer Rotem Meer gesamten Wasser der Erde

2. Beispiele aus der Praxis 2.1 Grundlagen Abfallwirtschaft 2.1.1 Beispiel – Abfalltechnische Kennwerte Aufgabenstellung: Folgende Angaben über einen bodenartigen Abfallstoff sind bekannt (Angaben in Volumen- %): – Anteil luftgefüllter Poren: 30 % – Anteil wassergefüllter Poren: 21 % – Feststoffanteil: 49 %

15

Fragestellungen: a) Ermittlung der Dichte dieses Abfallstoffes (Korndichte: 2,7 g/cm3). b) Ermittlung des Wassergehaltes (abfalltechnisch) dieses Abfallstoffes. c) Wie groß ist der Wassergehalt (bodenmechanisch)? d) Der o.a. Feststoffanteil besteht zu 33 Volumen- % aus organischem Material (gleicher Korndichte). Wie hoch ist in diesem Fall der Glühverlust des Abfalls?

Zur Beantwortung der Frage a):

2. Beispiele aus der Praxis

439

– Über die jeweiligen Beziehungen zwischen Volumen, Masse und Dichte (mi = ρi · Vi) erhält man im einzelnen (Dichte der Luft wird vernachlässigt; Bezugsgröße 1 m3 = 1.000 l; 1 g/cm3 = 1 Mg/m3): mL = ρL · VL mL = 0,0 · 0,3 mL = 0,0 Mg mB = ρB · VB (Anmerkung: mB = md) mB = 2,7 · 0,49 mB = 1,323 Mg mw = ρw · Vw mw = 1,0 · 0,21 mw = 0,210 Mg (Anmerkung: mg = m) – Somit ergibt sich eine Gesamtmasse mg ms = mL + mB + mw = 0,0 + 1,323 + 0,210 = 1,533 Mg – und ein Gesamtvolumen von: Vg = VL + VB + Vw = 0,300 + 0,490 + 0,210 = 1,0 m3 – Damit ergibt sich die Dichte zu:

ρg ρg ρg ρg

= mg/Vg = 1,533/1,0 = 1,533 Mg/m3 = 1,533 g/cm3

Zur Beantwortung der Frage b): – Der Wassergehalt wa (abfalltechnisch) bezieht sich immer auf die Feuchtmasse (Gesamtmasse mg) des Bodens: (Anmerkung: mg = m) wa = mw/mg wa = 0,210/(0,210 + 1,323) wa = 0,137 wa = 13,7 % Zur Beantwortung der Frage c): – Der Wassergehalt wb (bodenmechanisch) bezieht sich immer auf die Trockenmasse (Trockensubstanz wd) des Bodens: wb = mw/mB (Anmerkung: mB = md) wb = 0,210/1,323 wb = 0,159 wb = 15,9 % – bzw. alternativ ist der bodenmechanische Wassergehalt auch allein aus dem abfalltechnischen Wassergehalt über folgende Formel ermittelbar: wb = (1/(1 – wa)) – 1 wb = (1/(1 – 0,137)) – 1 wb = 1/0,863 – 1 wb = 1,159 – 1 wb = 0,159 wb = 15,9 % Zur Beantwortung der Frage d):

15

440

Abfallwirtschaft

– Der organische Anteil (in Massen- %) entspricht dem Glühverlust, der immer auf die Trockenmasse bezogen ist. Da laut Aufgabenstellung die Korndichte gleich ist, entspricht im vorliegenden Fall der Volumenanteil dem Massenanteil. – Somit beträgt der Glühverlust Vgl: Vgl = 33 %

2.1.2 Beispiel – Volumenreduktion bei Entwässerungsverfahren Aufgabenstellung: Ein Klärschlamm mit einem Trockensubstanz(TS)-Gehalt von 5 % soll vor der Entsorgung mittels einer Kammerfilterpresse auf einen TS-Gehalt von 30 % entwässert werden. Fragestellungen: a) Welche Volumenreduktion wird erreicht? b) Wieviel % des im Ausgangsstoff enthaltenen Wassers werden in diesem Fall entfernt? Zur Beantwortung der Frage a): – Bei einem zu betrachtenden Volumen von 1 m3 (und einer vereinfachend angenommenen Masse von 1 Mg = 1.000 kg; es erfolgt vereinfachend keine Berücksichtigung der unterschiedlichen Dichten von Wasser und Feststoff) ermittelt sich die Trockensubstanz (TS) bzw. die Feststoffmasse über folgende Beziehung zu: aus: TS = md/m wird md = TS · m mit TS = 5 % und m = 1.000 kg md = 0,05 · 1.000 kg md = 50 kg – Demzufolge ist die enthaltene Wassermasse: mw = m – md = 1.000 kg – 50 kg = 950 kg – Dies entspricht abfalltechnisch einem Wassergehalt von 95 % (bodenmechanisch allerdings einem Wassergehalt von 1.900 %; siehe Aufgabe 2.1.1). – Bei einem TS-Gehalt von 30 % (nach der Entwässerung; abfalltechnischer Wassergehalt somit 70 %) beträgt somit die Gesamtmasse: aus: TS = md/m wird m = md/TS m = 50/0,3 m = 167 kg

15

– Die darin enthaltene Masse an Wasser mw beträgt: mw = m – md mw = 167 – 50 mw = 117 kg – Die eingetretene Massenreduktion Rw beträgt somit: Rw = 950 – 117 bzw. 1.000 – 167 Rw = 833 kg

441

2. Beispiele aus der Praxis

– Wegen der o.a. Vereinfachung (gleiche Dichten) beträgt somit sowohl die Massenreduktion als auch die Volumenreduktion RV. RV = 833/1.000 RV = 83,3 % – Eine Reduzierung des (abfalltechnischen) Wassergehaltes von 95 % auf 70 % bewirkt somit eine Volumenreduktion von 83,3 % im Hinblick auf das betrachtete Klärschlammvolumen. Zur Beantwortung der Frage b): – Im Ausgangsstoff (Index 1) ist folgende Wassermasse enthalten: mw1 = 950 kg – Im entwässerten Schlamm (Index 2) ist an Wasser noch enthalten: mw2 = 117 kg – Somit ergibt sich folgende entfernte Wassermasse: Δw = mw1 – mw2 Δw = 950 – 117 Δw = 833 kg – und auf die Ausgangswassermenge bezogen: Δw = 833/950 Δw = 88 % – Es werden somit 88 % des im Ausgangsstoff enthaltenen Wassers entfernt.

2.1.3 Beispiel – Massenstromermittlung eines Abfallgemisches Aufgabenstellung: Auf einer Abfallbehandlungsanlage werden die in der Tabelle genannten Abfälle angeliefert, die zwecks einer gemeinsamen weiteren Behandlung miteinander vermischt werden sollen. Volumenstrom Q

Dichte ρ

Trockensubstanz TS

in m3/d

in kg/m3

in %

Klärschlamm (KS)

120

1.000

4,0

Bioabfall (Bio)

25

350

16,0

Abfall

Fragestellung: Berechnung des Feststoffmassenstroms und des TS- bzw. TR-Gehaltes des Gemisches. Zur Beantwortung der Frage: – Über die jeweiligen Beziehungen zwischen Volumenstrom Q (Volumen/Zeit), Massestrom (Masse/Zeit) und Dichte (Mi = ρi · Qi) erhält man zunächst die jeweiligen Feuchtmassenströme: MKS = QKS · ρKS = 120 · 1.000 = 120.000 kg/d

15

442

Abfallwirtschaft

und MBio = QBio · ρBio = 25 · 350 = 8.750 kg/d Daraus ergibt sich der Gesamtmassenstrom M (feucht) zu: M = MKS + MBio M = 120.000 + 8.750 M = 128.750 kg/d und der Gesamttrockenmassestrom Md = TS · M mit TSKS = 4 % = 0,04 sowie TSBio = 16 % = 0,16 zu: Md = MKS · TSKS + MBio · TSBio = 120.000 · 0,04 + 8.750 · 0,16 Md = 4.800 + 1.400 Md = 6.200 kg/d Md = 6,2 Mg/d Die Dichte des Gemisches ermittelt mit ρi = Mi/Qi sich zu:

ρ ρ ρ ρ

= (MKS + MBio)/(QKS + QBio) = (120.000 + 8.750)/(120 + 25) = 128.750/145 = 888 kg/m3

Der Trockensubstanzgehalt TS des Gemisches bestimmt sich zu: TS = Md/M TS = 6.200/128.750 TS = 4,8 % Mit TR = ρi · TS lässt sich der Trockenrückstand TR wie folgt ermitteln: TR = 888 · 0,048 TR = 42,8 kg/m3 oder alternativ über: TR = Md/ (QKS + QBio) TR = 6.200/145 TR = 42,8 kg/m3

2.1.4 Beispiel – Klärschlammmischung in einer Aufbereitungsanlage Aufgabenstellung: In einer Klärschlammaufbereitungsanlage werden die (in der Tabelle näher charakterisierten) angelieferten Klärschlämme aus 3 Gemeinden zur Vorbereitung weiterer Behandlungsschritte zunächst miteinander vermischt.

15

Abfall

Volumenstrom Q in m3/d

Dichte ρ in kg/m3

Trockensubstanz TS in %

Klärschlamm Gemeinde 1 Klärschlamm Gemeinde 2 Klärschlamm Gemeinde 3

250 350 400

950 1.000 1.050

2,0 5,0 8,0

2. Beispiele aus der Praxis

443

Fragestellung: Berechnung des Volumen- und Feststoffmassenstroms, der Dichte und des TS- bzw. TR-Gehaltes des Gemisches. Zur Beantwortung der Frage: Über die jeweiligen Beziehungen zwischen Volumenstrom, Massenstrom und Dichte (Mi = ρi · Qi) erhält man folgende Beziehung zur Ermittlung des Festmassenstroms (siehe auch nähere Erläuterungen in Beispiel 2.1.3): Md = Q1 · ρ1 · TS1 + Q2 · ρ2 · TS2 + Q3 · ρ3 · TS3 Md = 250 · 950 · 0,02 + 350 · 1.000 · 0,05 + 400 · 1.050 · 0,08 Md = 4.750 + 17.500 + 33.600 Md = 55.850 kg/d Md = 55,85 Mg/d Der Feuchtmassenstrom ermittelt sich zu M = Q 1 · ρ1 + Q 2 · ρ2 + Q 3 · ρ3 M = 250 · 950 + 350 · 1.000 + 400 · 1.050 M = 237.500 + 350.000 + 420.000 M = 1.007.500 kg/d M = 1.007,5 Mg/d Der Volumenstrom zu: Q = Q1 + Q2 + Q3 Q = 250 + 350 + 400 Q = 1.000 m3/d Daraus erfolgt die Bestimmung der Dichte mit:

ρi = Mi/Qi ρ = 1.007.500/1.000 ρ = 1.007,5 kg/m3 Die Trockensubstanz TS des Gemisches bestimmt sich zu: TS = Md/M TS = 55.850/1.007.500 TS = 5,54 % Mit TR = ρi · TS lässt sich der Trockenrückstand TR wie folgt ermitteln: TR = 1.007,5 · 0,0554 TR = 55,85 kg/m3 oder alternativ über: TR = Md/(Q1 + Q2 + Q3) TR = 55.850/1.000 TR = 55,85 kg/m3

2.1.5 Beispiel – Feststoffkonzentrationsermittlung eines Abfallgemisches Aufgabenstellung: In einer Kompostierungsanlage zur Behandlung von biogenen Abfällen werden folgende organischen Abfälle miteinander vermischt.

15

444

Abfallwirtschaft

Abfall

Bioabfall Stroh Klärschlamm

Volumenstrom Q

Dichte ρ

in m3/d 80 25 15

Wassergehalt wa

in kg/m3

Feststoffgehalt (Trockensubstanz) in %

500 800 1.000

40 85 65

60 15 35

in %

Fragestellung: Berechnung der mittleren Feststoffkonzentration des Gemisches. Zur Beantwortung der Frage: – Die mittlere Feststoffkonzentration TSm ergibt sich durch Division der Summe der Produkte der einzelnen Feststoffkonzentrationen mit dem jeweiligen Massenstrom (ΣTSi · Mi) durch den Gesamtmassenstrom Mi: TSm TSm TSm TSm TSm TSm TSm TSm

= ȈTSi · Mi/ ΣMi und Mi = ρi · Qi = Ȉ(TSi · ρi · Qi)/Ȉ(ρi · Qi) = (TS1 · ρ1 · Q1 + TS2 · ρ2 · Q2 + TS3 · ρ3 · Q3)/(ρ1 · Q1 + ρ2 · Q2 + ρ3 · Q3) = (0,4 · 500 · 80 + 0,85 · 800 · 25 + 0,65 · 1.000 · 15)/(500 · 80 + 800 · 25 + 1.000 · 15) = (16.000 + 17.000 + 9.750)/(40.000 + 20.000 + 15.000) = 42.750/75.000 = 0,57 = 57 %

2.1.6 Beispiel – Verfahrenstechnische Ermittlungen an einer Kompostierungsanlage Aufgabenstellung: In einer Kompostierungsanlage (Mietenkompostierung) zur Behandlung von organischen Abfällen werden im Mittel 250 m3/d angeliefert. Der Wassergehalt der angelieferten Abfälle beträgt 65 %, die Dichte 900 kg/m3. In der vorgeschalteten Metall- und Störstoffabscheidung der Anlage werden täglich 3.000 kg FE-Metalle und erfahrungsgemäß 2 Massen- % an sonstigen Störstoffen vom Eingangsmassenstrom abgetrennt. Die mittlere Dichte der Metalle kann mit ρ = 7.500 kg/m3, die der Störstoffe mit ρ = 2.500 kg/m3 angenommen werden (vereinfachend kann vorausgesetzt werden, dass bei der Abtrennung von FE-Metallen und Störstoffen kein nennenswertes Wasser ausgetragen wird). Weiterhin soll vor der eigentlichen Kompostierung dem aufbereiteten Bioabfall Strukturmaterial (TS = 75 %; ρ = 950 kg/m3) zudosiert werden, um den Wassergehalt der Mieten zu vermindern. Als Verfahrensalternative wird eine Vergärungsstufe diskutiert.

15

Fragestellungen: a) Bestimmung der Feststoffkonzentration, des Wassergehaltes und der Dichte des Bioabfalls nach der vorgeschalteten Aufbereitung. b) Welcher Volumenstrom an Strukturmaterial muss dem aufbereitetem Bioabfall zudosiert werden, um den Wassergehalt der Mieten auf 60 % einzustellen? c) Welcher Wasservolumenstrom muss dem Bioabfall zugegeben werden, um im Falle der Verfahrensalternative der Vergärung einen Feststoffgehalt in der Suspension von TS = 8 % sicherzustellen?

445

2. Beispiele aus der Praxis

Zur Beantwortung der Frage a): Über die jeweiligen Beziehungen zwischen Volumenstrom, Massenstrom und Dichte (Mi = ρi · Qi) erhält man folgenden Massenstrom vor der Aufbereitung (Index 1: vor Aufbereitung, Index 2: nach Aufbereitung): MBio,1

= QBio,1 · ρBio,1 = 250 · 900 = 225.000 kg/d

davon sind: MWasser

= MBio,1 · wBio,1

mit wBio,1 = 65 % (und TSBio,1 = 35 %) MWasser

= 225.000 · 0,65 = 146.250 kg/d = 146,25 m3/d

und somit verbleibt ein Festmassenstrom (TS) vor der Aufbereitung von: Md Bio,1 Md Bio,1

= 225.000 – 146.250 = 78.750 kg/d bzw. alternativ = 225.000 · 0,35 = 78.750 kg/d

Die Feststoffkonzentration in TR vor der Aufbereitung ist im übrigen: TR TRBio,1 TRBio,1

= ρi · TS = 900 · 0,35 = 315 kg/m3

In der vorgeschalteten Metall- und Störstoffabscheidung werden folgende Massenströme abgetrennt: = 3.000 kg/d und MFE MStörstoffe = 0,02 · 225.000 = 4.500 kg/d Die zugehörigen Volumenströme ergeben sich zu: = 3.000/7.500 = 0,4 m3/d und QFE QStörstoffe = 4.500/2.500 = 1,8 m3/d Somit verbleiben nach der Aufbereitung folgende Volumen- und Festmassenströme: QBio,2 Md Bio,2

= 250 – 0,4 – 1,8 = 247,8 m3/d = 78.750 – 3.000 – 4.500 = 71.250 kg/d

Damit ergibt sich ein Feuchtmassenstrom von: MBio,2 MBio,2 MBio,2

= Md Bio,2 + MWasser = 71.250 + 146.250 = 217.500 kg/d

Daraus ergibt sich ein Wassergehalt bzw. eine Feststoffkonzentration nach der vorgeschalteten Aufbereitung von wBio,2 wBio,2 wBio,2 wBio,2

= MWasser/MBio,2 = 146.250/217.500 = 0,672 = 67,2 %

TSBio,2 TSBio,2 TSBio,2

= Md Bio,2/MBio,2 = 71.250/217.500 = 0,328

15

446

Abfallwirtschaft

bzw. alternativ: TS2 = 1 – w2 TSBio,2 = 1 – 0,672 TSBio,2 = 32,8 % Die Dichte ermittelt sich zu:

ρBio,2 ρBio,2

= 217.500/247,8 = 877,7 kg/m3 bzw. als TR ermittelt sich die Feststoffkonzentration zu: TR = ρi · TS TRBio,2 = 877,7 · 0,328 TRBio,2 = 287,5 kg/m3 Zur Beantwortung der Frage b): – Die mittlere Feststoffkonzentration bei Zugabe von Strukturmaterial (TS = 75 % und w = 25 %) und der mittlere Wassergehalt ergeben sich über folgende Beziehungen (siehe auch Beispiel 2.1.5): TSm

= (TSBio,2 · ρBio,2 · QBio,2 + TSStruktur · ρStruktur · QStruktur)/ (ρBio,2 · QBio,2 + ρStruktur · QStruktur) bzw.

wm

= (wBio,2 · ρBio,2 · QBio,2 + wStruktur · ρStruktur · QStruktur)/ (ρBio,2 · QBio,2 + ρStruktur · QStruktur)

damit ergibt sich nach Umformung der o.a. Gleichung und Auflösung nach QStruktur: QStruktur = (wBio,2 · ρBio,2 · QBio,2 – wm · ρBio,2 · QBio,2)/ (wm · ρStruktur – wStruktur · ρStruktur) bzw. QStruktur = (wBio,2 – wm) · ρBio,2 · QBio,2/(wm – wStruktur) · ρStruktur QStruktur = (0,672 – 0,6) · 877,7 · 247,8/(0,6 – 0,25) · 950 QStruktur = 15.659,6/332,5 QStruktur = 47,1 m3/d

15

Zur Beantwortung der Frage c): Grundsätzlich gilt bei der Ermittlung von Massen- und Volumenströmen unterschiedlicher TSGehalte die Massenkonstanz (Md = MTS1 = MTS2) in der Form: Md,i = Mi · TSi = konstant bzw. M1 · TS1 = M2 · TS2 Daraus folgt im Fall einer Vergärung der Bioabfälle mit TS = 8 %: = MVergärung · TSVergärung MBio,2 · TSBio,2 und entsprechend aufgelöst: = (MBio,2 · TSBio,2)/TSVergärung MVergärung MVergärung = (217.500 · 0,328)/0,08 = 891.750 kg/d MVergärung Die erforderliche Wasserzugabe ergibt sich insofern zu: MWasser, Vergärung = MVergärung – MBio,2 = 891.750 – 146.250 MWasser, Vergärung = 745.500 kg/d MWasser, Vergärung = 745,5 Mg/d und mit ρWasser = 1.0 Mg/m3 folgt daraus MWasser, Vergärung = 745, 5 m3/d

2. Beispiele aus der Praxis

447

2.1.7 Beispiel – Heizwertbestimmung von Abfällen Aufgabenstellung: Bei Laboruntersuchungen an Abfallproben aus einem Produktionsbetrieb wurden folgende Kennwerte festgestellt: – Trockensubstanz: 70 % – Glühverlust Vgl: 60 % 12.000 kJ/kg – Brennwert Ho des Abfalls: Fragestellungen: a) Wie verändert sich der Heizwert des Abfalls, wenn dem Abfall 20 % Wertstoffe (Trockensubstanz 90 %; Glühverlust 100 %; Brennwert 20.000 kJ/kg) entnommen werden? b) Wie verändert sich der Glührückstand des Abfalls? c) Wie verändert sich der Wassergehalt des Abfalls? Zur Beantwortung der Frage a): mit: Hu = Ho · (1 – wa) – 2.450 · wa und TS = 1 – wa bzw. wa = 1 – TS = 1 – 0,7 = 0,3 bzw. 30 % – ergibt sich für den Abfall ein Heizwert von: Hu,A = 12.000 · (1 – 0,3) – 2.450 · 0,3 Hu,A = 8.400 – 735 Hu,A = 7.665 kJ/kg – und entsprechend für die Wertstoffe ein Wassergehalt von 10 % sowie ein Heizwert von: Hu,W = 20.000 · (1 – 0,1) – 2.450 · 0,1 Hu,W = 18.000 – 245 Hu,W = 17.755 kJ/kg – Die Veränderung des Heizwertes des Abfalls bei Entnahme von 20 % Wertstoffen ermittelt sich über folgende Beziehung (Hu,R = Heizwert des Restabfalls): 0,8 · Hu,R + 0,2 · Hu,W = 1,0 · Hu,A Ÿ Hu,R = (Hu,A – 0,2 Hu,W)/0,8 = (7.665 – 0,2 · 17.755)/0,8 Hu,R = (7.665 – 3.551)/0,8 HuR = (4.114)/0,8 Hu,R Hu,R = 5.142,5 kJ/kg Zur Beantwortung der Frage b): allgemein gilt: Rgl = 1 – Vgl Rgl,A = 1 – Vgl,A Rgl,A = 1 – 0,6 Rgl,A = 40 % Rgl,W = 100 – Vgl,W Rgl,W = 100 – 100 Rgl,W = 0 % 0,8 · Rgl,R + 0,2 · Rgl,W = 1,0 · Rgl,A

15

448

Abfallwirtschaft

Rgl,R = (Rgl,A – 0,2 · Rgl,W)/0,8 Rgl,R = (40 – 0,2 · 0)/0,8 Rgl,R = 50 % Zur Beantwortung der Frage c): = 1 – TS bzw. in % wa = 100 – TS und wa wa,A = 100 – 70 wa,A = 30 % wa,W = 100 – 90 wa,W = 10 % 0,8 · wa,R + 0,2 · wa,W = 1,0 · wa,A wa,R = (wa,A – 0,2 · wa,W)/0,8 wa,R = (30 – 0,2 · 10)/0,8 = 28/0,8 wa,R = 35 %

2.2 Deponietechnik

2.2.1 Beispiel – Restdurchlässigkeit von mineralischen Abdichtungen Aufgabenstellung: Auf einer mineralischen Abdichtung eines Deponieabschnittes stellt sich durch den Ausfall der Sickerwassersammelrohre ein permanenter Sickerwassereinstau von h0 = 0,15 m ein. Gegeben: – Dicke der mineralischen Dichtung: – Effektives Porenvolumen: – Durchlässigkeitsbeiwert: – Größe des Deponieabschnittes: – Jährliche Niederschlagshöhe:

15

d = 0,50 m neff = 10 % k = 1 · 10–8 m/s A = 10.000 m2 N = 800 mm

Fragestellungen: a) Welche Menge an Sickerwasser sickert pro Jahr bei den angegebenen Verhältnissen durch die mineralische Abdichtung? b) Wieviel Prozent des jährlichen Niederschlages versickern in diesem Fall in den Untergrund unterhalb der Abdichtung? c) Welche Folgen (für Frage a) und b)) hätte es, wenn die mineralische Dichtung einen k-Wert von 1 · 10–9 m/s bzw. 1 · 10–10 m/s besitzen würde? d) Welche Folgen (für Frage a) und b)) hätte es, wenn die mineralische Dichtung eine Dicke von 1,0 m bzw. 2,0 m besitzen würde? e) Wie lang ist der Zeitraum, den das Sickerwasser für die vollständige Durchsickerung der mineralischen Dichtung benötigt? f) Welche Konsequenzen ergeben sich im Hinblick auf die Durchsickerungsdauer bei Änderung der maßgeblichen Dichtungsparameter gemäß Frage c) und d)?

449

2. Beispiele aus der Praxis

Zur Beantwortung der Frage a): – Die Ermittlung der Sickerwassermenge Q erfolgt nach folgenden Beziehungen: Q = v · A (Kontinuitätsgleichung) und v = k · i (Filtergeschwindigkeit) mit i = hydraulischer Gradient – Im vorliegenden Fall ergibt sich der hydraulische Gradient i zu: i = (h0 + d)/d i = (0,15 + 0,50)/0,50 i = 1,3 – Damit lässt sich die Sickerwassermenge Q ermitteln zu: Q =v·A=k·i·A Q = 1 · 10–8 · 1,3 · 10.000 Q = 1,3 · 10–4 m3/s und multipliziert mit 365 h/a sowie 24 h/d und 3.600 s/h ergibt sich: Q = 4.099,7 m3/a – Somit durchsickern im vorliegenden Fall pro Jahr 4.099,7 m3 Sickerwasser die betrachtete mineralische Abdichtung. Zur Beantwortung der Frage b): – Die Umrechnung der o.a. Sickerwassermenge (als Niederschlagshöhe qN) auf die untersuchte Fläche erfolgt nach: qN qN qN qN

= Q/A = 4.099,7 m3/a/10.000 m2 = 0,40997 m3/m2/a = 410 mm/a

– Damit ergibt sich der prozentuale Niederschlagsanteil P zu: P P P P

= qN/N = 410/800 = 0,512 = 51,2 %

– Im betrachteten Fall versickern also rund 51,2 % des Niederschlages durch die Abdichtung. Zur Beantwortung der Frage c): – Der Durchlässigkeitsbeiwert geht in die Beziehungen (siehe Frage a) linear ein. Demzufolge ergibt sich: k k

= 1 · 10–9 m/s = 1 · 10–10 m/s

→ →

Q = 410 m3/a Q = 41 m3/a

→ →

5,1 % von N 0,5 % von N

Zur Beantwortung der Frage d): – Die Dicke d der mineralischen Dichtung geht lediglich in die Ermittlung des hydraulischen Gradienten ein, wobei zu beachten ist, dass der hydraulische Gradient für eine vertikale Durchsickerung per Definition grundsätzlich > 1 ist. Demzufolge ergibt sich:

15

450

Abfallwirtschaft

d i d i

= 1,0 m = 1,15 = 2,0m = 1,075

→ → → →

i Q i Q

= (h0 + d)/d = 4.099,7 · 1,15/1,3 = (h0 + d)/d = 4.099,7 · 1,075/1,3

→ → → →

i Q i Q

= (0,15 + 1,0)/1,0 = 3.626,6 m3/a = (0,15 + 2,0)/2,0 = 3.390,1 m3/a

– Demzufolge ist mit einem 400 %-igen Materialeinsatz (d = 2,0 m) lediglich eine Verringerung der Durchsickerung um 17 % zu erzielen. Zur Beantwortung der Frage e): – Für die Ermittlung des Zeitraums für die vollständige Durchsickerung der mineralischen Abdichtung wird zunächst die Filtergeschwindigkeit nach Darcy herangezogen: Filtergeschwindigkeit: v = k · i – Die Abstandsgeschwindigkeit va ermittelt sich aus der Filtergeschwindigkeit zu: va = v/neff = k · i/neff und mit der allgemeinen Beziehung: v = s/t = d/t = va ergibt sich somit: d/t = k · i/neff und nach Auflösung nach t: mit:

t d t t t

= d · neff/k · i = 0,5 m neff = 10 % = 0,5 · 0,1/1 · 10–8 · 1,3 = 3,6 · 106 s = 3.846.154 s

k = 1 · 10–8 m/s

i = 1,3

und mit 365 h/a sowie 24 h/d und 3.600 s/h ergibt sich: t t

= 45 Tage = 0,12 a

Zur Beantwortung der Frage f): – Der Durchlässigkeitsbeiwert geht wiederum in die entsprechenden rechnerischen Beziehungen (siehe Frage c)) linear ein. Demzufolge ergibt sich: k k

= 1 · 10–9 m/s = 1 · 10–10 m/s

→ →

t = 1,2 a t = 12 a

k

= 1 · 10–10 m/s und d = 1,0 m

→

i = 1,15

t t t

= 1,0 · 0,1/1 · 10–10 · 1,15 = 8,7 · 108 s = 27,6 Jahre

und bei

15

Somit:

451

2. Beispiele aus der Praxis

sowie bei k

= 1 · 10–10 m/s und d = 2,0 m

→

i = 1,075

Somit: t t t

= 2,0 · 0,1/1 · 10–10 · 1,3 = 1,86 · 109 s = 59 Jahre

– Somit erfolgt die vollständige Durchsickerung im Falle einer mineralischen Dichtung mit k = 1 · 10–10 m/s und einer Dicke d = 2,0 m erst nach rund 59 Jahren.

2.2.2 Beispiel – Hydrogeologische Kennwerte bei der Untersuchung einer Altablagerung (Altdeponie) Aufgabenstellung: Im Rahmen der Gefährdungsabschätzung an einer Altablagerung (Altdeponie) ergab sich das in der Skizze dargestellte Bild.

Die Altablagerung besitzt keinerlei Dichtungen und wird von Niederschlagswasser durchsickert (N = 884 mm; Versickerungsanteil: 45 %). Der Abstrombrunnen B2 zeigt im Vergleich zum Anstrombrunnen B1 eine deutliche Verunreinigung des Grundwassers an. Der Untergrund besteht aus einem grobkörnigen Sandboden mit einem k-Wert von 1 ⋅ 10–3 m/s (nutzbares Porenvolumen: neff = 20 %). Es sollen im folgenden einige hydrogeologische Kenndaten ermittelt werden. Fragestellungen: a) Ermittlung der Filtergeschwindigkeit v und der Abstandsgeschwindigkeit va (in m/a) für o.a. Fall. b) Welchen Zeitraum benötigt das Grundwasser beim Durchfließen des Untergrundes vom Anstrombrunnen B1 bis zum Abstrombrunnen B2 (Angabe in Tagen)?

15

452

Abfallwirtschaft

c) Welche Wassermenge durchsickert die Altablagerung pro Jahr (bei den angegebenen Niederschlagsverhältnissen) und infiltriert in das Grundwasser (Grundwasserneubildung)? d) Welche Grundwassermenge fließt pro Jahr unter der Altablagerung hindurch? e) Welchen Wert hat der Verdünnungsfaktor zwischen Sickerwasser und Grundwasser bei den angegebenen Verhältnissen? Zur Beantwortung der Frage a): Die Ermittlung der Filtergeschwindigkeit erfolgt über das Gesetz von Darcy wie folgt: v =k⋅i Der hydraulische Gradient i ergibt sich zu: i = Δh/Δl i i i

= (70,20 – 70,10)/100 = 0,1/100 = 0,001

v v v v

=k⋅i = 1 ⋅ 10–3 ⋅ 0,001 = 1 ⋅ 10–6 m/s | ⋅ 3.600 ⋅ 24 ⋅ 365 = 31,5 m/a

somit:

und die Abstandsgeschwindigkeit ermittelt sich mit va = v/neff va = 31,5/0,2 va = 157,7 m/a Zur Beantwortung der Frage b): Die Ermittlung des Zeitraums des Durchfließens des Untergrundes vom An- zum Abstrombrunnen ermittelt sich mit: va = v/neff = s/t und nach Auflösung der Gleichung nach t t t t t

15

= s/va = 100/157,7 = 0,63 Jahre | ⋅ 365 = 231,5 Tage

Zur Beantwortung der Frage c): Die durch die Altablagerung sickernde Wassermenge QN (Grundwasserneubildung) bestimmt sich bei Annahme eines Versickerungsanteils VA = 45 %, einer Niederschlagsmenge von 884 mm/a und den Abmessungen L und B zu: QN = VA ⋅ N ⋅ L ⋅ B QN = 0,45 ⋅ 0,884 ⋅ 70 ⋅ 90 QN = 2.506,1 m3/a

2. Beispiele aus der Praxis

453

Zur Beantwortung der Frage d): Die unterhalb der Altablagerung fließende Grundwassermenge QGW bestimmt sich über die Kontinuitätsgleichung zu: QGW = v ⋅ A Bei den Grundwassermächtigkeiten am Anstrom- und Abstrombrunnen von ΔHB1 = 70,20 – 61,42 = 8,78 m und ΔHB2 = 70,10 – 61,22 = 8,88 m ergibt sich somit eine mittlere Mächtigkeit von ΔHGW, Altabl. = (8,78 + 8,88)/2 = 8,83 m damit QGW QGW QGW QGW QGW

=v⋅A = v ⋅ ΔHGW, Altabl. ⋅ B = 1 ⋅ 10–6 ⋅ 8,83 ⋅ 90 = 7,947 ⋅ 10–4 m3/s | ⋅ 3.600 ⋅ 24 ⋅ 365 = 25.062 m3/a

Zur Beantwortung der Frage e): Damit ermittelt sich der Verdünnungsfaktor V zwischen Sickerwasser und Grundwasser zu: V = 2.506,1/25.062 V = 1 : 10

2.2.3 Beispiel – Ermittlung der Gasemissionen an der Oberfläche einer abgedeckten Deponie Aufgabenstellung: Ein abgeschlossener Deponieabschnitt mit einer Fläche von 6 ha und einem Ablagerungsvolumen von 1,5 Mio. Mg ist mit einer mineralischen Oberflächenabdeckung (d = 0,75 m; k = 5 ⋅ 10–8 m/s) zur Vermeidung von Oberflächenemissionen abgedichtet worden. Die Deponiegasproduktion im Deponiekörper beträgt zur Zeit noch rund 2,5 m3 Deponiegas/a · Mg Abfall. Der Deponieabschnitt wird im unteren Ablagerungsbereich teilweise noch über horizontale Fassungselemente aktiv entgast, jedoch wurde bei Kontrollmessungen an der Oberfläche der Deponie ein Methangehalt von 400 ppm in der Bodenluft sowie direkt unterhalb der Oberflächenabdeckung eine Druckdifferenz von Δp = 15 mbar = 15 hPa (Überdruck im Deponiekörper) gemessen. Fragestellungen: a) Wird die allgemein zulässige Restemission von 4 bis 6 l/h ⋅ m2 im vorliegenden Falle überschritten (nur Konvektionsbetrachtung erforderlich)? b) Wie groß ist die Gesamtgasemission pro Jahr über die Oberfläche dieses Deponieabschnitts? c) Wieviel % der gesamten Gasproduktion im Deponiekörper entweichen bei den o.a. Verhältnissen über die Oberflächenabdeckung? d) Ermittlung der Menge an Methan (in m3/a), die pro Jahr über die Bodenluft aus der Deponie in die Atmosphäre entweicht.

15

454

Abfallwirtschaft

Zur Beantwortung der Frage a): – Die spezifische Gasrestemission aufgrund der Konvektion (Potentialströmung) ermittelt sich über die entsprechende Darcy-Beziehung für Gasströmungen: vGas = k · ηw/ηG · i mit k i

= 5 ⋅ 10–8 m/s und = Δh/Δl bzw. i = Δp/Δl

Δp i i

= 15 mbar = 15 hPa = 15 cm WS = 0,15 m; Δl = d = 0,75 m = Δh/Δl = 0,15/0,75 = 0,2

und

und mit ηw/ηG: Verhältniswert der dynamischen Viskositäten von Wasser und Gas (Deponiegas ≈ 70) vGas = 5 ⋅ 10–8 · 70 · 0,2 vGas = 7 ⋅ 10–7 m/s bezogen auf eine Fläche von A = 1,0 m2 ergibt sich somit eine spezifische Emission von qGas = 7 ⋅ 10–7 m3/m2 · s | ⋅ 3.600 ⋅ 1.000 qGas = 2,52 l/m2 · h Diese liegt somit unterhalb des zulässigen Restemissionsbereiches von 4 bis 6 l/h ⋅ m2. Zur Beantwortung der Frage b): Bei einer Fläche des Deponieabschnitts von 6 ha ergibt sich über die Kontinuitätsgleichung die Gesamtgasemission über den betrachteten Bereich von: QGas = vGas ⋅ A QGas = 7 ⋅ 10–7 m/s ⋅ 60.000 m2 QGas = 4,2 ⋅ 10–2 m3/s | ⋅ 3.600 QGas = 151,2 m3/h | ⋅ 24 ⋅ 365 QGas = 1.324.512 m3/a Zur Beantwortung der Frage c): Die Gesamtgasproduktion ergibt sich zu:

15

QProd. = Ablagerungsvolumen ⋅ Gasproduktion QProd. = 1.500.000 Mg Abfall ⋅ 2,5 m3 Deponiegas/a · Mg Abfall QProd. = 3.750.000 m3/a Damit entweicht ein Anteil von: A = 1.324.512/3.750.000 A = 0,3532 A = 35,32 %

2. Beispiele aus der Praxis

455

über die Oberfläche der Deponie in die Atmosphäre. Zur Beantwortung der Frage d): – Die an der Oberfläche der Deponie insgesamt entweichende Methanmenge ermittelt sich über die ermittelte spezifische Gasrestemission (multipliziert mit der Gesamtfläche): QGas = 2,52 l/m2 · h · 60.000 m2 QGas = 151.200 l/h Der Methangehalt beträgt 400 ppm = 400 · 10–6 Damit ermittelt sich die entweichende Methanmenge zu QMethan = 151.200 ⋅ 400/1.000.000 QMethan = 60 l/h QMethan = 0,06 m3/h | ⋅ 24 h ⋅ 365 QMethan = 529,8 m3/a

2.2.4 Beispiel – Beurteilung der Einleitqualität eines Deponiesickerwassers Aufgabenstellung: Bei einer Monodeponie für produktionsspezifische Abfälle eines Industrieunternehmens fällt Deponiesickerwasser an, das lediglich folgende produktionsspezifische Belastung aufweist: – NH4-N = 9 mg/l – Zugehörige Atomgewichte: N = 14, H = 1 Der geforderte Grenzwert für die Einleitung in die Kanalisation beträgt: NH4 = 10 mg/l Fragestellung: Es ist zu prüfen, ob das geförderte Wasser ohne Behandlung in die Kanalisation eingeleitet werden darf. Zur Beantwortung der Frage: – Zunächst ist das Molgewicht des Ammoniums (NH4) zu ermitteln: Molgewicht NH4 = 1 ⋅ 14 + 4 ⋅ 1 = 18 g/mol Der Anteil des elementaren Stickstoff am Ammonium errechnet sich zu: N/NH4 = 14 g/18 g N/NH4 = 0,777 das Verhältnis von Ammonium/elementaren Stickstoff beträgt: NH4/NH4 – N = 18 g/14 g NH4/NH4 – N = 1,29 Damit ergibt sich bei einer Konzentration von cNH4-N = 9 mg/l die zugehörige Ammonium-Konzentration zu: cNH4 = 9 mg/l ⋅ 18 g/14 g cNH4 = 1,29 ⋅ 9 cNH4 = 11,6 mg/l > 10 mg/l Ÿ Eine Einleitung ohne Vorbehandlung nicht zulässig

15

456

Abfallwirtschaft

2.3.1 Beispiel – Prüfwertermittlung nach BBodSchV Aufgabenstellung: Aufgrund der hohen Schadstoffbelastungen eines ehemaligen linienförmigen Zapfsäulen- und Tankstelleanlage (L × B = 200 m × 3 m) eines früheren Industriebetriebes ist im Rahmen der Detailuntersuchung eine Sickerwasserprognose zu erstellen. Die Sickerwasserprognose soll über eine Rückrechnung aus der vorhandenen Grundwasserbelastung im Grundwasseran- und Grundwasserabstrom (siehe Abbildung; MKW = Mineralölkohlenwasserstoffe) erfolgen. Der betrachtete Standort liegt in einem Gebiet mit einer Niederschlagshöhe von N = 800 mm (Versickerungsanteil 52,5 %) und die Grundwassermächtigkeit beträgt im Mittel 6,5 m (k-Wert 1 ⋅ 10–4 m/s).

Fragestellung: Wird am Ort der Beurteilung der Prüfwert der BBodSchV für Mineralölkohlenwasserstoffe von 0,2 mg/l überschritten? Zur Beantwortung der Frage: Die zu betrachtende anströmende Grundwassermenge Qan ergibt sich zu: Qan = v ⋅ A mit v

15

=k⋅i

Qan = k ⋅ i ⋅ A Der hydraulische Gradient i ergibt sich zu: i = Δh/Δl i i i

= (52,69 – 52,61)/40 = 0,08/40 = 0,002

2. Beispiele aus der Praxis

457

somit ermittelt sich die anströmende Grundwassermenge Qan konkret zu: Qan = k ⋅ i ⋅ A Qan = 1 ⋅ 10–4 ⋅ 0,002 ⋅ 200 ⋅ 6,5 Qan = 2,6 ⋅ 10–4 m3/s Die durch die betrachtende Fläche (zwischen den Brunnen) sickernde Wassermenge QN (Grundwasserneubildung) bestimmt sich bei Annahme eines Versickerungsanteils VA = 52,5 %, einer Niederschlagsmenge von 800 mm/a und den Abmessungen L und B zu: QN = VA ⋅ N ⋅ L ⋅ B QN = 0,525 ⋅ 0,800 ⋅ 200 ⋅ 40 QN = 3.360 m3/a |/(3.600 ⋅ 24 ⋅ 365) QN = 1,07 ⋅ 10–4 m3/s Die im Bereich der ehemaligen Zapfsäulen und Tankstellenanlage sickernde Wassermenge QN,ZT (Grundwasserneubildung) ermittelt sich entsprechend zu: QN,ZT = 1,07 ⋅ 10–4 ⋅ 3/40 QN,ZT = 0,08 ⋅ 10–4 m3/s Die abströmende Grundwassermenge Qab setzt sich aus anströmender Grundwassermenge Qan sowie Grundwasserneubildung QN (zwischen den Brunnen) zusammen: Qab = Qan + QN Qab = 2,6 ⋅ 10–4 + 1,07 ⋅ 10–4 Qab = 3,67 ⋅ 10–4 m3/s Mit einer Schadstoffkonzentration von cMKW = 0,1 mg/l = 0,1 g/m3 ermittelt sich die zufließende Fracht (Massenstrom) an Mineralölkohlenwasserstoffen (MKW) MMKW,an zu: MMKW,an = Qan · cMKW MMKW,an = 2,6 ⋅ 10–4 m3/s ⋅ 0,1 g/m3 MMKW,an = 2,6 ⋅ 10–5 g/s MMKW,an = 0,26 ⋅ 10–4 g/s und mit einer Schadstoffkonzentration von cMKW = 0,16 mg/l = 0,16 g/m3 die abfließende Fracht (Massenstrom) an Mineralölkohlenwasserstoffen (MKW) MMKW,ab zu: MMKW,ab = Qab · cMKW MMKW,ab = 3,67 ⋅ 10–4 m3/s ⋅ 0,16 g/m3 MMKW,ab = 0,59 ⋅ 10–4 g/s Damit beträgt die im untersuchten Gelände eingetragene Fracht (Massenstrom): MMKW,Eintrag = MMKW,ab – MMKW,an MMKW,Eintrag = 0,59 ⋅ 10–4 g/s – 0,26 ⋅ 10–4 g/s MMKW,Eintrag = 0,33 ⋅ 10–4 g/s Somit ergibt sich eine Kohlenwasserstoffkonzentration cKW am Ort der Beurteilung (Grundwasseroberfläche) von cKW = MMKW,Eintrag/QN,ZT cKW = 0,17 ⋅ 10–4 g/s/0,08 ⋅ 10–4 m3/s cKW = 4,1 g/m3 cKW = 4,1 mg/l Ÿ Mit einer Kohlenwasserstoffkonzentration von 4,1 mg/l im versickernden Niederschlagssickerwasser ist also der Prüfwert der BBodSchV von 0,2 mg/l erheblich überschritten.

15

458

Abfallwirtschaft

2.3.2 Beispiel – Reststoffanteil bei einer Bodensanierung Aufgabenstellung: Ein mit Schwermetallen kontaminierter Boden soll mit Hilfe einer chemisch-phyikalischen Behandlungsanlage („Bodenwaschanlage“) gesäubert werden, wobei sich allerdings die Schadstoffe im Feinkornanteil des Bodens anreichern. Dieser Feinkornanteil, der mit einem Trockensubstanzanteil TS = 30 % in der Anlage anfällt, muss demzufolge entsorgt werden. Folgende Grunddaten sind gegeben: – Dichte des kontaminierten Bodens: p = 1,53 g/cm3 – Korndichte: 2,7 g/cm3 – Volumenanteile des kontaminierten Bodens: – 30 Vol- % Luft – 21 Vol- % Wasser – 21 Vol- % Feinteilen (die aufgrund der Schadstoffanreicherung nicht gereinigt werden können) – 28 Vol- % Grobkorn (die gereinigt werden) Fragestellung: Wie groß ist das Volumen des zu entsorgenden Feinkornanteils, falls die nicht gereinigten Bodenfeinteile mit TS = 30 % aus der Behandlungsanlage ausgetragen werden und wie verhält sich dieses Volumen zum Ausgangsvolumen des Bodens? Zur Beantwortung der Frage: – Zunächst erfolgt eine Darstellung der entsprechenden Volumenanteile des kontaminierten Bodens:

15

– Zur Lösung des Problems wird im folgenden die Zusammensetzung des Bodens vor und nach der Reinigung betrachtet: a) Zusammensetzung des Bodens vor der Reinigung s.o.: 30 Vol- % Luft = 300 l (ρ = 0) 70 Vol- % Feststoffe/Wasser = 700 l; (ρ = 2,7 bzw. 1,0 g/cm3 = kg/l)

459

2. Beispiele aus der Praxis

vom Anteil Feststoffe/Wasser sind: 30 Vol- % Wasser = 700 · 0,3 = 210 l · 1,0 kg/l = 210 kg 30 Vol- % Feinteile = 700 · 0,3 = 210 l · 2,7 kg/l = 567 kg 40 Vol- % Grobkorn = 700 · 0,4 = 280 l · 2,7 kg/l = 756 kg Summe: = 1.533 kg – Somit beträgt die Dichte des kontaminierten Bodens: ρ = m/V = 1,53 Mg/m3. – An dieser Stelle erfolgt noch der ergänzende Hinweis zu den Auswirkungen unterschiedlicher Angaben in % (Volumen-/Massen- % und den zugehörigen Bezugsgrößen): Feinteile: also: 210 l = 21 Vol- % bzw.: 567 kg/1.533 kg = 37 Gew- % (auf Feuchtmasse = 1.535 kg „abfalltechnisch“ bezogen) bzw.: 567 kg/1.323 kg = 43 Gew- % (auf Trockenmasse= (567 + 756) = 1.323 kg “bodenmechanisch“ bezogen) Wassergehalt wa bzw. wb: also: bzw.: (auf Feuchtmasse bzw.: (auf Trockenmasse

210 l = 21 Vol- % 210 kg/1.533 kg = 14 Gew- % = 1.533 kg bezogen) 210 kg/1.323 = 16 Gew- % = 1.323 kg bezogen)

b) Zusammensetzung des Bodens nach der Reinigung – Nicht gereinigter Feinteilanteil (Trockenmasse): md = 567 kg mit TS = 30 % (d.h., dass der Wassergehalt abfalltechnisch 70 % beträgt) somit besitzt der Boden folgende Gesamtfeuchtmasse (siehe auch Beispiel 2.1.2): – Gesamtfeuchtmasse der Feinteilanteile incl. Wasser: m = md/TS m = 567/0,3 = 1.890 kg Wasseranteil: mwasser = 1.890 kg – 567 kg = 1.323 kg H2O – Dies führt zu folgender Aufteilung (siehe Tafel): Masse m in kg

Volumen V in l

Feststoff/Feinteile Wasser

567 1.323

210 1.323

Summe

1.890

1.533

15

460

Abfallwirtschaft

– Somit beträgt die Dichte ρ des Reststoffes:

ρ = m/V ρ = 1.890/1.533 = 1,23 t/m3 (ohne Luftporen) – Das zu entsorgende Volumen beträgt jetzt allerdings: V = 1,533 m3 – Im Vergleich zum Gesamtvolumen vor der Bodenreinigung, welches 1,0 m3 betrug, tritt wegen der erheblichen Wasserzunahme des Feinkornanteils bei der Bodenreinigung in diesem Fall eine Volumenmehrung (der zu entsorgenden Reststoffe) um 53,3 Vol.-% ein.

2.3.3 Beispiel – Dimensionierung einer Bodenluftabsauganlage Aufgabenstellung Ein mit leichtflüchtigen Chlorkohlenwasserstoffen (LCKW) in der Größenordnung von 5.000 μg/l belasteter Grundwasserträger soll mithilfe einer Desorptionsanlage (Strippanlage) auf Werte kleiner 10 μg/l gereinigt werden. Die Leistungsdaten der zur Verfügung stehenden Strippstufen sind wie folgt: – Leistung der Anlage: Q = 50 m3/h (Wasserdurchsatz) – Mögliche Gebläsevarianten: Ausstattung mit 25 bzw. 50-fachen Luftüberschuss – Vorhandener Wirkungsgrad der Anlage: 97,5 % Die Abluftreinigung soll über Aktivkohlefilter, die entsorgt werden müssen, erfolgen. – Aktivkohle: Dichte: ρ = 450 kg/m3 Beladungsgrenzwert: η = 15 % Fragestellungen a) Wieviel Desorptionsstufen (Strippstufen) werden benötigt? b) Wie hoch ist der stündliche Austrag an leichtflüchtigen Chlorkohlenwasserstoffen aus der Anlage und wie hoch ist die Belastung der ungereinigten Abluft? c) Die Standzeit der Aktivkohlefilter soll mindestens 90 Tage betragen. Mit welchem Volumen müssen die Aktivkohlebehälter ausgestattet sein? d) Welche betriebliche Änderung sollte an der beschriebenen Anlage vorgenommen werden? Zur Beantwortung der Frage a): – Anzahl der Strippstufen gewählt: Für die 1. Strippstufe: Für die 2. Strippstufe:

15

25-facher Luftüberschuss 50-facher Luftüberschuss

– bei 97,5 % Wirkungsgrad verbleiben 2,5 % der Inhaltsstoffe im Ablauf Ai der jeweiligen Stufe. 1. Stufe: A1 = 2,5 % · 5.000 μg/l = 125 μg/l > 10 μg/l – somit erforderlich: 2. Stufe: A2 = 2,5 % · 125 μg/l = 3 μg/l < 10 μg/l also: Es sind 2 Desorptionsstufen (Strippstufen) erforderlich

461

2. Beispiele aus der Praxis

Zur Beantwortung der Frage b): – Stündlicher Austrag Mi an LCKW (Schadstofffracht) und Belastung der ungereinigten Abluft: – Stündlicher Austrag: (Achtung: 1 μg/l = 1 mg/m3) M1 = 5.000 mg/m3 · 50 m3/h · 0,975 = 243.750 mg/h = 0,24 kg/h M2 = 125 mg/m3 · 50 m3/h · 0,975 = 6.094 mg/h = 6,1 g/h

(um den Faktor 40 geringer)

– Abluftbelastung BLi (ungereinigt): 1. Strippstufe: 25-facher Luftüberschuss 2. Strippstufe: 50-facher Luftüberschuss BL1 = 5.000 mg/m3/25 · 0,975 = 195 mg/m3 BL2 = 125 mg/m3/50 · 0,975 = 2,44 mg/m3 Zur Beantwortung der Frage c): – Bemessung der Aktivkohlebehälter: – Aktivkohle: Dichte: ρ = 450 kg/m3 – Beladungsgrenzwert: η = 15 % – Standzeit: T = 90 Tage 1. Stufe: mLCKW,1 = 0,24 kg/h · 24 h/d · 90 d = 526,5 kg 2. Stufe: mLCKW,2 = 6,1 g/h · 24h/d · 90 d = 13,2 kg – Luftaktivkohle ist zu ca. 15 % beladbar (Beladungsgrenzwert η): mAK,1 = 526,5 kg/0,15 = 3.510 kg mAK,2 = 13,2 kg/0,15 = 88 kg – Bei einer Dichte von ca. 450 kg/m3 (genau: 440 kg/m3; z. Vgl. Wasseraktivkohle: ca. 360 kg/m3) ermittelt sich daher das notwendige Behältervolumen VAK,i für die A-Kohle zu: VAK,1 = 3.510 kg/450 kg/m3 = 7,8 m3 VAK,2 = 88 kg/450 kg/m3 = 0,2 m3 = 200 l

15

462

Abfallwirtschaft

Zur Beantwortung der Frage d): Es sollte folgende betriebliche Änderung der Anlage vorgenommen werden: – Statt einer Entsorgung könnte eine Regeneration des Aktivkohlefilters der 1. Stufe mit Sattdampf erfolgen. – Beispielsweise wäre hier eine Anlage mit 2 · 1 m3, die ca. alle 10 Tage zu spülen wäre, sinnvoller.

2.3.4 Beispiel – Dimensionierung einer mikrobiologischen Bodenreinigung Aufgabenstellung Gegeben ist eine mit Mineralölkohlenwasserstoffen kontaminierte ehemalige Betriebsfläche der Größe A = 100 m · 10 m = 1.000 m2 mit einer durchschnittlichen Verunreinigungstiefe von t = 3,0 m. Die Kontamination liegt dabei im Bereich der gesättigten Bodenzone. Die Verunreinigungen durch Mineralölkohlenwasserstoffe wurden mit durchschnittlichen Werten von 5.000 mg/kg festgestellt. Die Betriebsfläche soll durch eine aktive hydraulische Maßnahme, nämlich eine mikrobiologische insitu-Sanierung (Infiltration von sauerstoffgesättigtem Wasser) erfolgen. Fragestellungen: a) Wie groß ist die Masse an Mineralölen, die im Boden liegt (Dichte des Bodens: 1,6 g/cm3)? b) Wieviel Sauerstoff wird zur vollständigen Oxidation der Schadstoffe im Boden benötigt? c) Wie lange dauert die Sanierung, falls die mittlere Infiltrationsleistung bei durchschnittlich Qw = 20 m3/h liegt? Zur Beantwortung der Frage a): – Mineralölmasse mMÖ im Boden V m

= = = =

A · t = 1.000 m2 · 3m 3.000 m3 3.000 m3 · 1,6 Mg/m3 4.800 Mg

– bei einer Verunreinigung von 5.000 mg/kg = 5 g/kg = 5 kg/Mg: mMÖ = 4.800 Mg · 5 kg/Mg = 24.000 kg = 24 Mg

15

Zur Beantwortung der Frage b): – Benötigte Sauerstoffmasse – Für 1 kg org. Verunreinigungen werden rund 3 bis 3,5 kg O2 benötigt (= 3 – 3,5 Mg O2/1 Mg org. Verunreinigungen). Demzufolge ergibt sich die benötigte Sauerstoffmasse mO zu: mO

= 24 Mg · 3,5 Mg/Mg = 84 Mg O2

463

2. Beispiele aus der Praxis

Zur Beantwortung der Frage c): – Sanierungsdauer: – Bei den bei uns üblichen Grundwassertemperaturen Grundwasser löslich. – Infiltrationsleistung: Qw = – Infiltrierte Sauerstoffmasse/Stunde: MO = = – Infiltrierte Sauerstoffmasse/Jahr: MO,a = = =

(8 – 12° C) sind ca. 8 bis 12 mg O2/1 im 20 m3/h 20 m3/h · 10 g O2/m3 200 g O2/h 200 g O2/h · 24 · 365 1.752.000 g O2/a 1,75 MgO2/a

– Daraus kann die notwendige Zeitdauer T für eine vollständige Oxidation (d.h. Zeitbedarf zum Transport des insgesamt benötigten Sauerstoffs) wie folgt ermittelt werden: T

= mO/MO,a = 84 Mg O2/1,75 Mg O2/a = 48 Jahre

– Hierbei wurden Sauerstoffverluste bisher allerdings noch nicht berücksichtigt. Somit ist als Konsequenz von der beabsichtigten vorgesehenen Sanierungsart abzuraten.

15

Verkehrswesen Bearbeitet von Prof. Dipl.-Ing. Henning Natzschka

Inhalt Verkehrswesen ............................................................................................................................ 465 1 Berechnung der Böschungs-Durchstoßpunkte durch das Gelände ........................................ 467 2 Relationstrassierung............................................................................................................... 469 3 Gradientenberechnung ........................................................................................................... 470 4 Berechnung des Tangentenschnittpunktes ............................................................................. 471 5 Festlegen der Querneigung .................................................................................................... 473 6 Fahrbahnverwindung ............................................................................................................. 474 7 Fahrbahnverbreiterung in der Kurve...................................................................................... 477 8 Aufweitung der Fahrbahn ...................................................................................................... 479 9 Haltesichtweite in Kuppen ..................................................................................................... 481 10 Sichtweite in Linkskurven bei Richtungsfahrbahnen ............................................................ 483 11 Berechnung der Knotenpunktsgeschwindigkeit vk ................................................................ 484 12 Leistungsfähigkeit eines kleinen Kreisverkehrsplatzes ......................................................... 485 13 Konstruktion der Eckausrundung ohne Mittelteiler der Nebenstraße.................................... 485 14 Gradientenführung der untergeordneten Straße..................................................................... 487 15 Lärmschutz an Straßen........................................................................................................... 489 16 Bestimmung der Oberbaudicke.............................................................................................. 494 17 Berechnung der bemessungsrelevanten Beanspruchung B.................................................... 496

1 Berechnung der Böschungs-Durchstoßpunkte durch das Gelände Das Problem: Die Lage einer Straße wird bestimmt durch die Linienführung in Grund- und Aufriss. Dadurch entstehen im Gelände Einschnitte und Dämme. Um die jeweilige Breite des Baufeldes festzulegen, müssen die Schnittpunkte des Querprofils mit dem Gelände bekannt sein. Verwendete Formeln und Richtlinien: Steigung

s=

Δh ⋅100 in % l

Böschungsneigung

m=

h 1 = l n

Neigung zwischen 2 Punkten

y −y m= 2 1 x2 − x1

Δh Höhendifferenz in m, l Entfernung in m

n Horizontalentfernung des Endpunktes bei 1,00 m Höhe y1 , y 2 Abstand des Punktes von der Achse. x1 , x2 Höhe des Punktes

Böschungsgestaltung

Aufgabe: In einem Querprofil des RQ 10,5 haben die Kronenränder den Abstand von a = 5,25 m von der Achse. Der linke Kronenrand liegt auf der Höhe hli = 422,678 m + NN, der rechte auf hre = 422,400. Die Böschungsneigung ist auf der linken Seite mli = 1:1,5, auf der rechten Seite mit 3,00 m ausgebildet. Welche Geländehöhen haben die Fußpunkte der Böschungen, wenn das Gelände am rechten Kronenrand auf hG,re = 420,500 m liegt und von rechts nach links mit qGelände = 10,0 % fällt ?

468

Verkehrswesen

Lösung:

Bei 10,0 % Gefälle nach links ist die Geländehöhe unter dem linken Rand hG,li = 420,500 – (10,50 . 0,10) = 419,450 m. Damit liegt das Gelände um Δh = 422,678 – 419,450 = 3,228 m ≥ 2,00 m unter dem Kronenrand.

Die Böschung erhält demnach die Neigung 1,5 : 1 = 1,5 , das entspricht einem Neigungswinkel von 37,4334 gon gegen die Horizontale. Mit der Querprofilachse als Bezugslinie sind die Koordinaten des linken Kronenrandes yK,li = – 5,25; xK,li = 422,678. Die Koordinaten des Geländes unter den Kronenrändern sind bei Lage der Bezugsachse in der Querprofilachse yGel,re = 5,25; xGel,re = 420,50 ; yGel,li = – 5,25; xGel,li = 419,45. Die Neigung beträgt also mGel =

−5, 25 − 5, 25 −10,5 = = 10 , 419, 45 − 420,50 −1, 05

das entspricht einem Neigungswinkel von α = 6,3451 gon gegen die Horizontale. Die Schnittpunkte mit der y - Achse werden damit b1 = −5, 25 − 1,5 ⋅ 422, 678) = − 639, 267 b2 = 5, 25 − (10 ⋅ 420,50) = − 4199, 750

Damit wird der Schnittpunkt zwischen Böschung und Gelände auf der linken Querprofilseite − 4199, 750 + 639, 267 = 418,880 1,5 − 10 = 1,5 ⋅ 418,880 + (− 639, 267) = −10,946

xS, li = yS, li

Auf der rechten Seite erhält die Böschung eine horizontale Länge von 3,00 m. Der Schnittpunkt mit dem Gelände wird als Schnitt zwischen dem Gelände und einer Senkrechten im Abstand von 3,00 m vom Kronenrand bestimmt. Bei einer Neigung qGel = 10,0 % ergibt sich auf die Länge von 3,00 m ein Anstieg um 0,30 m. Damit werden die Koordinaten des Böschungsfußes auf der rechten Seite

16

yS,re = 5,25 + 3,00 = 8,25; xS,re = 420,50 + 0,30 = 420,80. Bei der Höhendifferenz zwischen Kronenrand und Durchstoßpunkt Δh = 422, 40 − 420,80 = 1, 60 m

2 Relationstrassierung

469

wird die Tangentenlänge der Ausrundung l = 1, 60 ⋅1,5 = 2, 40 m.

Ergebnis : Der Schnittpunkt auf der linken Seite liegt 10,946 m links der Achse auf der Höhe 418,880 m + NN. Vom Schnittpunkt aus ist die Tangentenlänge der Ausrundung l = 3,00 m in beiden Richtungen anzutragen. Der Schnittpunkt auf der rechten Seite liegt 8,250 m rechts der Achse auf der Höhe 420,800 m + NN. Vom Schnittpunkt aus ist die Tangentenlänge der Ausrundung l = 2,40 m anzutragen.

2 Relationstrassierung Das Problem: Die Linienführung einer Straße besteht aus einer Folge von Strecken mit verschiedenen Kurvenradien. Um dem Fahrzeuglenker ein möglichst angenehmes Lenkverhalten zu bieten, soll die Folge von zwei Kreisbögen kein abruptes Verändern der Lenkbewegung abverlangen noch ein scharfes Bremsen vor engen Bögen auslösen. Deshalb sollen die Radien aufeinander folgender Kurven in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in bestimmten Relationen zu einander stehen. Die Radienfolge kann man dem folgenden Bild entnehmen. Verwendete Richtlinien: Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Linienführung – RAS-L Zulässige Radienfolge nach RAS-L

Aufgabe: Im Zuge einer Bundesstraße soll eine Linienverbesserung durchgeführt werden. Die vorhandene Strecke besitzt nach einem Rechtsbogen mit r = 1000,00 m eine Bogenfolge von r = – 250,00 m (Linkskurve), r = 400,00 m und r = – 800,00 m. Die Geschwindigkeit v85 beträgt 90 km/h.

16

470

Verkehrswesen

Es ist nach der Relationstrassierung zu untersuchen, welche Bogenfolge möglich ist, wenn die Mindestwerte des guten Bereichs angesetzt werden. Lösung:

Man bringt die Linie für r = 1000,00 m mit der Linie r = 250,00 m zum Schnitt und erkennt, dass der Schnittpunkt außerhalb des brauchbaren Bereiches liegt. Um den Mindestwert des guten Bereichs zu erreichen, muss der Radius auf r = – 500,00 m erhöht werden. Das Verhältnis zwischen r = – 500,00 m und r = 400,00 m liegt im guten, das Verhältnis zwischen r = 400,00 m und r = – 800,00 m liegt im brauchbaren Bereich. Ergebnis: In der Linienführung muss nur der Radius r = – 250,00 m auf den Wert r = – 500,00 m erhöht werden.

3 Gradientenberechnung Das Problem: Der Linienzug einer Straßenachse im Gelände muss in der Regel verschiedene Höhen erreichen, um Berge oder Täler durchfahren zu können. Die Führung der Achse im Höhenplan nennt man Gradiente. Die Steigungen und Gefälle bilden einen Tangentenzug an die Ausrundungen der Kuppen und Wannen. Verwendete Gleichungen und Richtlinien:

16

Δh ⋅100 in % l

Längsneigung

s=

Längsneigung an einem beliebigen Punkt Pn

x sP = s1 + P ⋅100 in % h

Tangentenlänge der Ausrundung

s −s h t = 2 1 ⋅ in m 100 2

Bogenstich am Tangentenschnittpunkt

f =

Ordinate eines beliebigen Punktes Pn

s x2 yP = 1 ⋅ xP + P in m 100 2⋅h

Abszisse des Scheitelpunktes

s xS = − 1 ⋅ h in m 100

t s2 − s1 ⋅ in m 4 100

s1, s2 Längsneigung in %; (Steigung positiv, Gefälle negativ einsetzen)

Δh Höhenunterschied zwischen zwei Punkten l Entfernung zwischen den Punkten h Ausrundungshalbmesser in m xP Abszisse von Pn in m vom Tangentenanfang xS Abszisse des Scheitelpunktes in m vom Tangentenanfang gemessen

471

4 Berechnung des Tangentenschnittpunktes

Aufgabe: Die Achse einer Kreisstraße wird bestimmt durch folgende Tangentenschnittpunkte: Station Lage Ausrundungshalbmesser Höhe

1 0 + 229,961 498,435

2 0 + 520,000 5000,00 499,771

3 0 + 591,100 – 4000,00 499,416

4 0 + 761,039 3500,00 500,265

5 0 + 991,352 494,235

Es sind die Längsneigungen der Strecke, die Anfangs- und Endpunkte der Tangenten, die Bogenstiche und die Scheitelpunkte zu bestimmen. Außerdem sind für die Stationen 0 + 380, 1 + 520 und 2 + 320 die Gradientenhöhen zu berechnen. Lösung: Die Berechnung der Daten kann man in einer Excel-Tabelle darstellen.

4 Berechnung des Tangentenschnittpunktes Das Problem: Soll eine Straße in ihrer Gradientenführung verbessert werden, sind außerdem Zwangspunkte vorhanden, die feste Gradientenwerte erfordern oder sind die Sichtverhältnisse in der Kuppe schlecht, müssen die Neigungsverhältnisse der Gradiente verändert werden. Dadurch entsteht ein neuer Tangentenschnittpunkt, dessen Station errechnet werden muss.

16

472

Verkehrswesen

Verwendete Formeln und Richtlinien: Abstand des Tangentenschnittpunkts vom ersten TS

s l ⋅ 2 − Δh 100 | xT |= in m s2 − s1 100

Tangentenhöhe am neuen Tangentenschnittpunkt

s hT,neu = hT1 + xT ⋅ 1 in m 100

Tangentenlänge neu

s ±s h t = 2 1 ⋅ in m 100 2

Steigung positiv, Gefälle negativ einsetzen Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Linienführung –RAS-L Aufgabe: Bei einer Straße soll durch eine Vergrößerung des Kuppenhalbmessers auf h = 10.000,00 m eine bessere Sichtweite erzielt werden. Die vorhandene Straße wechselt von einer Steigung s1 = 4,0 % in ein Gefälle s2 = – 3,2 %. Gleichzeitig soll die Steigung von 4,0 % auf 3,5 % verringert werden. Der Tangentenschnittpunkt am Anfang der Steigung liegt bei Station 0 + 500 auf der Höhe 431,50 + NN, der Tangentenschnittpunkt am Ende des Gefälles liegt bei Station 2 + 350 auf der Höhe 438,00 + NN, Gesucht wird die Station und die Höhe des neuen Tangentenschnittpunktes. Lösung:

Der Abstand der Tangentenschnittpunkte beträgt l = 2350 – 500 = 1850,00 m, die Höhendifferenz ist ǻh = 438,00 – 431,50 = 6,50 m. Den Abstand des Tangentenschnittpunktes Tneu vom ersten Tangentenschnittpunkt berechnet man mit

xT =

l⋅

( −3, 2 ) − 6,50 s2 − Δh 1850 ⋅ 100 100 = = 980,597 m s2 − s1 ( −3, 2 ) − 3,5 100 100

Die Höhe des neuen Tangentenschnittpunktes ist hT,neu = hT1 + xT ⋅

s1 3,5 = 431,5 + 980,597 ⋅ = 465,821 m + NN 100 100

Die Tangentenlänge für den gewählten Halbmesser wird t=

16

s2 ± s1 h −3, 2 − 3,5 −10000 ⋅ = ⋅ = 335, 00 m . 100 2 100 2

Diese Länge ist kürzer als die vorhandenen Abstände zwischen den Tangentenschnittpunkten am Anfang und Ende der Strecke.

473

5 Festlegen der Querneigung

Tangenten – Schnittpunktberechnung

5 Festlegen der Querneigung Das Problem: In Kurven wird die Fahrbahn zur Innenseite geneigt. Das ist notwendig, um die Tangentialkräfte, die im Kreisbogen das Fahrzeug nach außen abdriften lassen, zu verringern oder ganz aufzuheben, da das Fahrzeuggewicht radial nach innen zieht. Verwendete Richtlinien: Richtlinie für die Anlage von Straßen, Teil Querschnitte – RAS –

16

474

Verkehrswesen

Kategoriengruppe C

anbaufreie Hauptstraßen

Querneigung in Abhängigkeit von v85 und Kurvenradius r Aufgabe: Für eine Straße der Kategoriengruppe B II, die für v85 = 100 km/h ausgelegt ist, sollen die Querneigung für r = 800,00 m und r = 1500,00 m bestimmt werden. Lösung:

Man bringt im Diagramm die Linie für v85 = 100 km/h mit den Linien für die Radien zum Schnitt und liest am linken Rand die Querneigung q800 = 3,8 % und q1500 = 2,9 % ab.

6 Fahrbahnverwindung

16

Das Problem: Im Linienzug der Trasse folgen meist Links- und Rechtsbögen, die durch Klothoiden verbunden sind. Da in der Regel die Querneigung zum Bogenmittelpunkt geneigt ist, kommt es zur Fahrbahnverwindung. Dabei wird im Bereich der Klothoide der hochliegende Rand abgesenkt, der

475

6 Fahrbahnverwindung

tiefliegende gehoben (Anrampung). Im Bereich des Wendepunktes entsteht so eine schwache bis horizontale Querneigung. Diese soll wegen der Wasserabführung möglichst kurz gehalten werden. Im Verwindungsbereich soll minΔs = 0,1.a eingehalten werden, bis die Mindestquerneigung q = 2,5 % erreicht ist. (a ist der Abstand des Fahrbahnrandes von der Drehachse, i.d.R. der Achse.) Verwendete Formeln und Richtwerte: Δs =

Anrampungsneigung

qe − qa ⋅ a in % lv

qe, qa Querneigung am Ende bzw. Anfang der Verwindungsstrecke in % (qe negativ einsetzen, wenn qe entgegengesetzt gerichtet ist.) lv Länge der Verwindungsstrecke in m q −q Mindestlänge der Verwindungsstrecke min lv = e a ⋅ a in m max Δs a Abstand des Fahrbahnrandes von der Drehachse in m max Δs Anrampungshöchstneigung in % Grenz- und Richtwerte für Straßen

Lageplan

Entwurfselemente

Höchstlänge der Geraden Mindestlange der Geraden bei gleichgerichteten Kurven Kurvenmindestradius Klothoidenmindestparameter Kurvenmindestradius bei einer Querneigung zur Kurvenaußenseite (q = – 2,0 %)

Querschnitt

Höhenplan

Höchstlängsneigung Mindestlängsneigung im Verwindungsbereich Kuppenmindesthalbmesse Wannenmindesthalbmesser Mindestquerneigung Höchstquerneigung in Kurven Anrampungshöchstneigung

Straßender maßgebende Katego- Geschwinriengruppe digkeit

50

60

90

100

120

–

1200

1400 1600

1800

2000

2400

A

ve ve

–

360

420

480

540

600

720

A, B A, B

ve ve

80 30

120 40

180 60

250 80

340 110

450 150

720 240

in m

A, B

v85

–

–

550

850

1300

1900

3500

in %

A B

ve ve

9,0 12,0

8,0 10,0

7,0 8,0

6,0 7,0

5,0 6,0

4,5 5,0

4,0 –

min s in %

A, B

–

min hk min hw min q max q

in m in m in % in %

A, B A, B A, B A, B

ve ve – –

max Δs

in %

A, B

ve

A, B

ve

A, B

v85

A

v85

max l

in m

min l

in m

min r min A

in m in m

min r max s

Anrampungsmindestneigung min Δs in % Mindesthaltesichtweite für min sh in m s = 0,0 % Mindestüberholsichtweite min su in m Mindeststreckenanteil mit in % Überholsichtweite a Abstand des Fahrbahnrandes von der Drehachse in m Sicht

Grenzwerte für ve bzw. v85 in km/h

A

A

70

80

0,7 [(s – Δs ≥ 0,2 %) ohne Hochbord] 1400 500

3150 4400 5700 1000 1300 2400 2,5 8,0 0,4 · a 0,25 · a 1,6 1,0 (a ≥ 4,0 m) (a ≥ 4,0 m) 0.1 · a

8300 16000 3800 8800

50

65

85

110

140

170

250

–

475

500

525

575

625

–

0,5 · a 2,0 (a ≥ 4,0 m)

2400 750

0,225 · a 0,9 (a ≥ 4,0 m)

20

16

476

Verkehrswesen

Aufgabe: Bei der Planung einer Straße mit einer Fahrbahnbreite bF = 7,50 m folgt auf einen Linksbogen mit r = 500,00 m ein Rechtsbogen mit r = 400,00 m. Die Kreisbögen sind mit einer Klothoide A = 200,00 m verbunden. Die Geschwindigkeit ve = 80 km/h. Die Querneigungen betrage q500 = – 2,8 % und q400 = 4,0 %. Es ist zu untersuchen, ob eine Schnellwendelung ausgeführt werden muss und das Rampenband zu zeichnen. Lösung:

Für die unsymmetrische Wendeklothoide müssen zuerst die Teillängen für die beiden Radien bestimmt werden. Es gilt: A2 = r ⋅ l

Damit wird l500 =

A2 40000 = = 80, 00 m und l400 = 100,00 m. r 500

Die Gesamtlänge der Wendeklothoide ist 180,00 m. Die Mindestlänge der Verwindungsstrecke ist sind q −q 4 − (−2,8) min lv = e a ⋅ a = ⋅ 3, 75 = 27, 20 m < vorh l. max Δs 0, 25 ⋅ 3, 75

Im Kreisbogen mit r = – 500,00 m liegt der rechte Fahrbahnrand bei der Querneigung q500 = 2,8% um hFBR,re =

a ⋅ q 3, 75 ⋅ 2,8 = = 0,105 m 100 100

tiefer, der linke Rand hFBR,li = 0,105 m höher als die Gradiente. Im Kreisbogen mit r = 400,00 m liegt der rechte Fahrbahnrand bei q500 = 4,0 % um 0,15 m tiefer, der linke Rand 0,15 m höher als die Gradiente. Es sind damit 0,255 m auf die Länge von 180,00 m zu verwinden. Es ist dann q −q 2,8 − (−4, 0) Δs = e a ⋅ a = ⋅ 3, 75 = 0,142 % < min Δ s = 0,1 ⋅ a = 0,375 % . 180 lv

16

Es muss also eine Schnellwendelung im Bereich von 27,20 m um den Wendepunkt vorgesehen werden, um die Mindestquerneigung von 2,5 % zu erreichen. Bei 2,5% Querneigung liegen die Fahrbahnränder um 0,094 m höher bzw. tiefer als die Gradiente. Von dieser Stelle aus wird dann die Verziehung der Ränder linear bis zum Bogenende bzw. – anfang des Kreisbogens ausgeführt. Hier spielt die Mindestlängsneigung des Fahrbahnrandes keine Rolle mehr, weil die Querneigung größer als 2,5 % ist und das Regenwasser zur Seite abfließen kann. Bei r500 entsteht dann in der Entfernung von 13,60 m vom Wendepunkt eine Rampenneigung von 0,14 %, bei r 400 eine solche von 0,1 %.

477

7 Fahrbahnverbreiterung in der Kurve

Ergebnis: Das Rampenband hat dann folgende Form:

7 Fahrbahnverbreiterung in der Kurve Das Problem: In engen Kreisbögen werden nachgeschleppte Achsen durch die Bogenverkürzung des Innenrandes auf das Bankett gezogen. Bei weichem Untergrund wird das Bankett beschädigt. Auch der Gegenverkehr kann die Mittellinie der Straße überstreichen und so Kollisionen hervorrufen. Deshalb wird nach Bedeutung der Straße eine Fahrbahnverbreiterung vorgesehen. Verwendete Formeln und Richtwerte:

(r² − d ²)

Für Bögen mit r ≥ 80,00 m gilt

i = n⋅r − n⋅

Für Bögen mit r ≥ 30,00 m gilt

i = n⋅

Winkel für volle Verbreiterung

γ max i =

Verbreiterung am Punkt P n

i in = ⋅ ln in m l

in m

d2 in m 2⋅r 400 ⋅ d in gon r ⋅π

Verbreiterungen in den Abschnitten von lz: i ⋅ ln2 30 ⋅ l

0 ≤ ln < 15,00 m

in =

15,00 ≤ ln < lz – 15,00

i in = ⋅ ( ln − 7,5 ) l

16

478

Verkehrswesen

lz – 15,00 ≤ ln ≤ lz i r n

γ max i

in ln l lz d

in = i −

i 2 ⋅ ( lz − ln ) 30 ⋅ l

Fahrbahnverbreiterung in m Kreisbogenradius in m Anzahl der Fahrstreifen Winkeländerung bis zum Erreichen der vollen Verbreiterung Verbreiterung am Punkt Pn in m Verziehungslänge bis zum Punkt Pn in m Länge des Übergangsbogens in m Gesamtlänge der Verziehung in m Achsabstand und vorderer Fahrzeugüberhang in m

Berechnung der Fahrbahnverbreiterung

StraßenKategorie

Busver- Empfohlener Bekehr gegnungsfall

A I, A II A III, A IV B II

ja

Bus 2 / Bus 2

d d 9 9

nein

Lz / Lz

8 8

i= 40 ⋅ n r 50 ⋅ n r

Fahrbahnverbreiterung in m (bei n = 2) in m b > 6,00 m b ≤ 6,00 m 30 < r ≤ 320

30v < r ≤ 160

30 < r ≤ 400

30 < r ≤ 200

Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Linienführung – RAS-L Aufgabe: Eine Gebirgsstrasse mit RQ 9,5 der Straßenkategorie A III weist einen Kreisbogen mit r = 180,00 m auf. Der Übergangsbogen hat einen Parameter A = 60,00 m. Die Richtungsänderung beträgt 170,0000 gon. Welche Fahrbahnverbreiterung ist erforderlich, wenn auf der Strasse starker Lkw- und Lastzugverkehr herrscht ? Wie groß ist die Verbreiterung bei ÜA und ÜE? Lösung:

16

Für Lastzüge gilt ein Deichselmass d = 10,00 m.

γ max i =

d ⋅ 400 4000 = = 7, 0736 gon < γ vorh r ⋅π 565, 487

8 Aufweitung der Fahrbahn

479

Die Länge des Übergangsbogens ist A2 602 = = 20, 00 m , r 180 Die Fahrbahnverbreiterung beginnt 7,50 m vor ÜA und endet 7,50 m nach ÜE. Somit wird die gesamte Verziehungslänge 35,00 m. Zwischen den Ausrundungen mit der Tangentenlänge von 7,50 m liegt also noch eine Gerade der Länge 5,00 m. Da die Strasse zwei Fahrstreifen hat und eine Fahrbahnbreite von 6,50 m, wird die Verbreiterung l=

i=

50 ⋅ n 100 = = 0,556 m > 0,50 m . r 180

Es muss eine Verbreiterung am Innenrand vollzogen werden. Um die Größe der Verbreiterung berechnen zu können, verwendet man für ÜA die Gleichung in =

i 0, 556 ⋅ ln2 = ⋅ 7, 52 = 0, 052 m . 30 ⋅ l 30 ⋅ 20

Die Fahrbahn wird hier. 6,552 m breit Für ÜE gilt in = i −

i 0,556 2 2 ⋅ ( lz − ln ) = 0,556 − ⋅ ( 35, 00 − 27,50 ) = 0,504 m . 30 ⋅ l 30 ⋅ 20

Die Fahrbahn wird hier 7,004 m breit. In der Mitte des Übergangsbogens liegt ein Stück Gerade. Die Verbreiterung in der Mitte der Klothoide ist i 0,556 in = ⋅ ( ln − 7,5 ) = ⋅ (17,5 − 7,5 ) = 0, 278 m . l 20

An dieser Stelle wird die Fahrbahn 6,778 m breit .

8 Aufweitung der Fahrbahn Das Problem: Wenn die Fahrbahn aufgeweitet werden muss, um für einen Abbiegestreifen Platz zu schaffen oder einen weiteren Fahrstreifen anzulegen, soll der Übergang flüssig befahrbar sein. Außerdem muss dieser aber deutlich erkennbar sein. Die Aufweitung erfolgt dann durch Aneinanderfügen zweier gegensinnig gekrümmter Parabeln.

16

480

Verkehrswesen

Verwendete Formeln und Richtwerte:

Verbreiterung im Abschnitt 0 ≤ ln <

im Abschnitt

i in m 3

lz = ve ⋅

Notwendige Verziehungslänge

lz Ÿ 2

in =

lz ≤ ln ≤ lz Ÿ 2

2 ⋅ i ⋅ ln2 lz2

in = i −

2 ⋅ i ⋅ ( lz − ln )

2

lz2

Interpolation von Zwischenordinaten in m a=

Verziehung der Fahrbahnränder bei Aufweitung

ln lz

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

en

Δen

0,000 0,005 0,020 0,045 0,080 0,125 0,180 0,245 0,320 0,405 0,500

0,005 0,015 0,025 0,035 0,045 0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

a=

ln lz

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

en

Δen

0,500 0,595 0,680 0,755 0,820 0,875 0,920 0,955 0,980 0,995 1,000

0,095 0,085 0,075 0,065 0,055 0,045 0,035 0,025 0,015 0,005

Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Knotenpunkte – RAS–K 1 Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Linienführung – RAS–L Aufgabe: An einer Straßeneinmündung wird in die zweistreifige Fahrbahn eine Aufstellspur für Linksabbieger in der Breite von 3,00 m eingeplant. Dafür ist die Aufweitung mit zwei quadratischen Parabeln ohne Zwischengerade zu berechnen. Es ist vorgesehen, die Aufweitung jeweils zur Hälfte links und rechts der Achse zu markieren. Die Knotenpunktsgeschwindigkeit ist vk = 70 km/ h. Der Abbiegeverkehr weist einen MSV = 450 Kfz/ h auf. Die Längsneigung im Knotenpunktsbereich beträgt s = 3,0 %. Die Abmessungen der Linksabbiegestreifen sind zu ermitteln.

16

481

9 Haltesichtweite in Kuppen

Lösung:

Die Länge der Verziehungsstrecke wird lz = vk ⋅

1,50 i = 70 ⋅ = 49, 497 ≈ 50, 00 m . 3 3

Da die Verbreiterung der Fahrbahn für den Linksabbiegestreifen je zur Hälfte nach beiden Seiten erfolgen soll und die Rückverziehung der Sperrfläche bei deren Breite von 2,00 m beginnt ergibt die Verziehung von 1,00 m bei der Gesamtverbreiterung i = 1,50 m den Wert en =

in 1, 00 = = 0, 666 . i 1,50

Man interpoliert den Wert zwischen en = 0,595 und en = 0,680 und erhält en,0,666 =

0, 666 − 0,595 = 0,835 0, 085

Damit wird a a = en ⋅ Δa = 0,835 ⋅ 0, 05 = 0, 0418 + 0,55 = 0,59176 ln = a ⋅ lz = 0, 59176 · 50,00 = 29,588 m

Probe: in = i −

2 ⋅ i ⋅ ( lz − ln ) lz2

2

= 1,5 −

2 ⋅1,5 ⋅ ( 50, 00 − 29,588 ) 502

2

= 1,5 − 0,500 = 1, 00 m .

Ergebnis: Bei einer einseitigen Verziehung von 1,00 m beginnt die Rückverziehung der Sperrfläche nach 29,59 m. Die Verzögerungsstrecke beträgt 30,00 m. Ausserdem ist eine Mindest-Stauraumlänge von 20,00 m erforderlich. Damit wird die Gesamtlänge der Linksabbiegespur mindestens min l = lz + lv + lA = 50,00 + 30,00 + 20,00 = 100,00 m.

9 Haltesichtweite in Kuppen Das Problem: Liegt in einem Straßenzug eine Kuppe, so wird die Sicht auf die vor dem Fahrzeuglenker liegende Strecke durch die (negative) Krümmung eingeschränkt. Daher ist ein Mindesthalbmesser der Kuppenausrundung einzuhalten.

16

482

Verkehrswesen

Verwendete Formeln und Richtwerte: Zusammenhang zwischen Kuppenhalbmesser und Haltesichtweite min hK =

2⋅

(

sh2 ha + hz

)

2

sh ha hz

in m

erforderliche Haltesichtweite in m Höhe des Augpunktes in m Höhe des Zielpunktes in m

Eingangsgrößen zur Sichtweitenermittlung Sichtweitenart

Augpunkt Lage

Höhe ha in m

Haltesichtweite

in der Achse des eigenen Fahrstreifens

1,00

Überholsichtweite

in der Achse des eigenen Fahrstreifens

1,00

Zielpunkt Höhe hz in m 0,00 0,05 in der Achse des 0,15 eigenen Fahrstrei0,25 fens 0,35 0,40 0,45 in der Achse des 1,00 Gegenfahrstreifens Lage

bei v85 in km/ h ≤ 60 ≤ 70 ≤ 80 ≤ 90 ≤ 100 ≤ 110 ≤ 120

Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Linienführung – RAS-L

Erforderliche Haltesichtweite sh bei Straßen der Kategoriengruppe A (links) und B

16

Aufgabe: In einer vorhandenen Straße der Kategoriengruppe A befindet sich eine Kuppe, welche mit einen Halbmesser h = 5000 m ausgerundet ist. Die Verkehrs-Geschwindigkeit beträgt v85 = 100 km/h. Die größte Längsneigung ist s = 2,0 %. Die Linienführung soll verbessert werden. Ist der Kuppenhalbmesser für die Haltesichtweite ausreichend ?

483

10 Sichtweite in Linkskurven bei Richtungsfahrbahnen

Lösung:

Man liest für v85 = 100 km/h die Haltesichtweite von 180,00 m ab. Der Augpunkt liegt in 1,00 m Höhe, der Zielpunkt wird mit 0,35 m angesetzt. Dann ist der Mindestkuppenhalbmesser min hK =

2⋅

(

sh2 ha + hz

)

2

=

1802 2 ⋅ ( 1 + 0,35) 2

=

32400 2 ⋅ (1 + 0,592 )

2

=

32400 = 6391,884 m 5, 069

Ergebnis: Der Kuppenhalbmesser muss auf hK = 6400,00 m vergrößert werden.

10 Sichtweite in Linkskurven bei Richtungsfahrbahnen Das Problem Richtungsfahrbahnen mit Mittelstreifen sind häufig wegen der Blendwirkung bei Nacht mit Blendschutzeinrichtungen ausgestattet. Bei engeren Kurven wird dabei die Sicht auf die vorausliegende Strecke eingeschränkt. Um Auffahrunfälle zu vermeiden, sollte der Radius unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit der Sichtweite angepasst werden. Verwendete Richtlinien Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil Linienführung – RAS-L

RQ 20 halbe Breite des Mittelstreifens in m 1,00 halbe Breite des Sichthindernisses in m – 0,40 Breite des Randstreifens in m 0,50 Abstand a zwischen Fahrstreifen und 1,10 Sichthinderniss in m

RQ 26 1,50 – 0,40 0,50 1,60

RQ 29,5 1,75 – 0,40 0,75 2,10

RQ 33 1,50 – 0,40 0,50 1,60

RQ 35,5 1,75 – 0,40 0,75 2,10

Haltesichtweite sw und Abstand a zwischen linkem Fahrbahnrand der Richtungsfahrbahn bei Sichthindernis im Mittelstreifen

16

484

Verkehrswesen

Aufgabe: An einer zweibahnigen Straße mit RQ 29,5 soll im Mittelstreifen ein Blendschutzzaun aufgestellt werden. Das Sichthindernis hat eine Breite von 0,80 m. Die Geschwindigkeit beträgt v85 = 100 km/ h. Die Längsneigung beträgt 0,0 %. Der Abstand des Augpunktes wird auf dem inneren Fahrstreifen konstant mit der Breite b = 1,80 m vom linken Rand des Fahrstreifens angenommen. Auch das Hindernis wird mit dem gleichen Abstand vom linken Rand angenommen. Es ist die Haltesichtweite sh auf nasser Fahrbahn und für die Radien r1 = 1000,00 m und r2 = 450,00 m der notwendige Abstand a zwischen innerem Fahrbahnrand und Außenkante Blendschutzzaun zu bestimmen. Lösung:

Man bringt die Linien v85 = 100,00 km/h und s = 0,0 % zum Schnitt und interpoliert dann in der Mitte sh = 175,00 m ab. Mit dieser Haltesichtweite erzeugt man die Schnittpunkte mit den Radien r1 und r2. Die Ablesungen ergeben für r1 = 1000,00 m ein a = 1,80 m, für r2 = 450,00 m ein a = 6,60 m. Ergebnis: Bei der halben Mittelstreifenbreite von 1,75 m und der Breite des inneren Randstreifens mit 0,75 m reicht der Abstand des Blendschutzzaunes bei r1 = 1000,00 m aus, wenn er in der Mitte des Mittelstreifens aufgestellt wird, denn der vorhandene Abstand ist a = 2,10 m. Im Radius r2 = 450,00 m ist jedoch eine Verbreiterung des Mittelstreifens an der Richtungsfahrbahn des linksgerichteten Kreisbogens um mindestens 4,50 m vorzusehen, da erf a = 6,60 – 2,10 = 4,50 m ist.

11 Berechnung der Knotenpunktsgeschwindigkeit vk Das Problem: Knotenpunkte verknüpfen kreuzende oder einmündende Straßen. An diesen Stellen hat die Verkehrssicherheit sehr große Bedeutung und Vorrang. Ob im Knotenpunktsbereich Geschwindigkeitsbeschränkungen angeordnet werden müssen, hängt von den dort gefahrenen Fahrzeuggeschwindigkeiten ab. Verwendete Formeln und Richtlinien vK = v85,trocken = 77,1 + 2, 74 ⋅10−5 ⋅ ve2 in km/h

Richtlinien für die Anlage von Straßen, Abschnitt 1: Plangleiche Knotenpunkte, RAS-K 1

16

Aufgabe: Es ist die Knotenpunkts-Geschwindigkeit zu bestimmen, die bei ve = 100 km/ h von 85 % aller Fahrzeuge nicht überschritten wird. Lösung:

vk = v85,trocken = 77,1 + 2, 74 ⋅10−5 ⋅ ve2 = 77,1 + 2, 74 ⋅ 0, 00001 ⋅10000 = 77,374 km/h.

13 Konstruktion der Eckausrundung ohne Mittelteiler der Nebenstraße

485

12 Leistungsfähigkeit eines kleinen Kreisverkehrsplatzes Das Problem: Zur Dämpfung der Verkehrsgeschwindigkeit oder zur Einsparung einer Signalanlage werden gern Kreisverkehrsplätze angelegt. Da der Kreisverkehr Vorfahrt vor den Zufahrten hat, muss bei der Planung geprüft werden, ob die Leistungsfähigkeit des Kreisverkehrsplatzes ausreicht, um übermäßigen Rückstau in den Zufahrten zu vermeiden. Verwendete Formeln und Richtlinien: Maximale Verkehrsstärke in der Zufahrt qz = 1068,6 – 0,65 . qk qk Verkehrsstärke auf der Kreisfahrbahn Richtlinien für die Anlage von Straßen, Abschnitt 1: Plangleiche Knotenpunkte – RAS-K 1 Aufgabe: Die Kreuzung zweier Straßen mit starkem Berufsverkehr soll durch einen kleinen Kreisverkehrsplatz entschärft werden. Die Zufahrt A hat eine Belastung von 600 Fz/ Spitzenstunde. Zufahrt B ist belastet mit 452 Fz/ Spitzenstunde. Zufahrt C weist eine Belastung von 380 Fz/ Spitzenstunde auf. In Zufahrt D ist die Belastung 128 Fz/ Spitzenstunde. Ist der Kreisel diesen Belastungen gewachsen ? Lösung:

Die Belastung der Kreisfahrbahn beträgt 1560 Fz/ Spitzenstunde. Damit wird an der Zufahrt A: qz = 1068,6 – 0,65 · 600 = 678,6 Fz/ Spitzenstunde B: qz = 1068,6 – 0,65 · 452 = 774,8 Fz/ Spitzenstunde C: qz = 1068,6 – 0,65 · 380 = 821,6 Fz/ Spitzenstunde D: qz = 1068,6 – 0,65 · 128 = 985,4 Fz/ Spitzenstunde Ergebnis: Die Zufahrt A kann mit dem Kreisverkehrsplatz gerade noch bedient werden. Für die anderen Zufahrten ist genügend Spielraum für den Abfluss der Fahrzeuge aus den Zufahrten vorhanden.

13 Konstruktion der Eckausrundung ohne Mittelteiler der Nebenstraße Das Problem: Biegen an der Einmündung einer Straße Fahrzeuge ab, so folgen die nachgeschleppten Hinterräder in einem größeren Abbiege- oder Einbiegeradius den gelenkten Vorderrädern nach. Damit die Hinterräder dabei nicht seitlich über den Fahrbahnrand rollen, ordnet man eine dreiteilige Ausrundung im Verhältnis r1 : r2 : r3 = 2 : 1 : 3 an. Je nach abbiegender Fahrzeugart (Pkw, Lkw, Lz) wählt man für den mittleren ‚Radius die Größe 8,00 m, 10,00 m oder 12,00 m.

16

486

Verkehrswesen

Verwendete Formeln und Richtlinien: Die Tangentenlängen in der Nebenstrasse und der Hauptstrasse, gemessen vom Schnittpunkt der beiden Fahrbahnränder, sind § β 0, 0861 · t N = r2 ⋅ ¨ 0, 2714 + 1, 0375 ⋅ tan + ¸ 2 sin β ¹ © § β 0, 0861 · tH = r2 ⋅ ¨ 0, 6922 + 1,1236 ⋅ tan − ¸ 2 sin β ¹ ©

Für die Eckausrundung ist

Δr2 = 0,0375 . r2

Abrückung für r1 Lotfußpunkt zum Kreismittelpunkt Abstand zum Übergangspunkt von der Tangente Abstand zum Übergangspunkt vom Kreisbogenanfang Abrückung für r3 Lotfußpunkt zum Kreismittelpunkt Abstand zum Übergangspunkt von der Tangente

xm1 = 0,2714 . r2 y1 = 0,0750 . r2 x1 = 0,5428 . r2 Δr2 = 0,1236 . r2 xm2 = 0,6922 . r2 y2 = 0,1854 . r2

Abstand zum Übergangspunkt vom Kreisbogenanfang

x2 = 1,0383 . r2

Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil plangleiche Knotenpunkte RAS-K 1 Aufgabe: An eine Stadtstrasse soll eine neue Anliegerstrasse angeschlossen werden. Die Eckausrundung erhält die Form r1 : r2 : r3 = 2 : 1 : 3, wobei der Kreisbogen mit r2 = 10 m angelegt werden soll. Der Einmündungswinkel des Fahrbahnrandes der Nebenstrasse beträgt 93,3333 gon. Es sind sämtliche Bemessungselemente zu berechnen.

16 Eckausrundung ohne Abbiegestreifen und Mittelteiler

487

14 Gradientenführung der untergeordneten Straße

Lösung:

Das Radienverhältnis ist r1 : r2 : r3 = 20,00 m : 10,00 m : 30,00 m. Die Öffnungswinkel der Radien betragen für r1 = 17,5 gon, r3 = 22,5 gon, r2 = 93,3333 – 17,5 – 22,5 = 53,3333 gon . Die Tangentenlängen in der Nebenstrasse und der Hauptstrasse, gemessen vom Schnittpunkt der beiden Fahrbahnränder, sind für r2 = 10,00 m § § β 0,0861 · 93,3333 0,0861 · t N = r2 ⋅ ¨ 0, 2714 + 1,0375 ⋅ tan + + ¸ = 10 ⋅ ¨ 0, 2714 + 1,0375 ⋅ tan ¸= 2 sin 2 sin 93,3333 ¹ β © © ¹ = 12,921 m § § 93,3333 0,0861 · β 0,0861 · tH = r2 ⋅ ¨ 0,6922 + 1,1236 ⋅ tan − − ¸ = 10 ⋅ ¨ 0,6922 + 1,1236 ⋅ tan ¸= 2 sin 2 sin 93,3333 ¹ β © © ¹ = 16,173 m

Für den Kreis mit r = 20,00 m sind in der Nebenstraße Abrückung Lotfußpunkt zum Kreismittelpunkt Abstand zum Übergangspunkt von der Tangente Abstand zum Übergangspunkt vom Kreisbogenanfang

Δr1 = 0,0375 . r2 = 0,0375 · 20 = 2,750 m, xm1 = 0,2714 . r2 = 5,428 m, y1 = 0,0750 . r2 = 0,0750 · 20 = 1,50 m, x1 = 0,5428 . r2 = 10,856 m.

Für den Kreis mit r = 30,00 m sind in der übergeordneten Straße

Δr2 = 0,1236 . r2 = 2,472 m,

Abrückung Lotfußpunkt zum Kreismittelpunkt Abstand zum Übergangspunkt von der Tangente

xm2 = 0,6922 . r2 = 13,844 m, y2 = 0,1854 . r2 = 3,708 m,

Abstand zum Übergangspunkt vom Kreisbogenanfang

x2 = 1,0383 . r2 = 20,766 m.

14 Gradientenführung der untergeordneten Straße Das Problem: Bei Einmündungen oder Kreuzungen bleibt die Querneigung der übergeordneten Straße erhalten. Dies führt zu einer Unterbrechung in der Gradientenführung der untergeordneten Straße. Deshalb gleich man den Verlauf der Gradiente der untergeordneten Straße durch Ausrundung an die Querneigung der übergeordneten Straße an. Verwendete Richtlinien: Richtlinien für die Anlage von Straßen, Teil: Knotenpunkte, Abschnitt 1: Plangleiche Knotenpunkte – RAS-K 1

16

488

Verkehrswesen

Gradientenführung der untergeordneten Straße

Aufgabe: Eine Bundesstraße in einer Rechtskurve mit der Querneigung im Kreuzungsbereich q = –3,0 % wird von einer Kreisstraße gekreuzt. Die Kreisstraße kreuzt von links nach rechts mit der Steigung s = 2,5 %. Für beide Fälle der Gradientenführung sind die Ausrundungshalbmesser zu bestimmen. Lösung:

Fall 1: Ohne Knick am Fahrbahnrand Als Tangentenlänge sind nach der Zeichnung t = 12,50 m erforderlich.. Damit wird h=

2 ⋅ t ⋅100 2 ⋅12,50 ⋅100 2500 = = = 454,545 m < 500,00 m s1 − s2 2,5 − (−3, 0) 5,5

Bei Ausrundung mit h = 500,00 m wird die Tangentenlänge s − s h (−3, 0 − 2,5) 500 t= 2 1⋅ = ⋅ = 13, 75 m 100 2 100 2 Fall 2: Mit Knick ≤ 4,5 % Da die Bundesstraße bereits 3,0 % Querneigung aufweist, muss zunächst an den Fahrbahnrändern die Längsneigung der Kreisstraße auf s = 1,5 % vermindert werden. Damit ist die Bedingung erfüllt, den Knick ≤ 4,5 % zu halten. Der Ausrundungshalbmesser ist dann 2500 h= = 555,556 m > 500,00 m 4,5 und die Tangentenlänge t=

16

(−3, 0 − 1,5) 500 ⋅ = 11, 25 m 100 2

Ergebnis: Beim Anschluss der Kreisstraße nach Fall 1 reicht die Tangentenlänge für den geforderten Kuppenhalbmesser nicht aus. Es muss bei Verwendung des Ausrundungshalbmessers h = 500,00 m der Tangentenschnittpunkt in einer Entfernung von 13,75 m vom Fahrbahnrand angeordnet werden.

489

15 Lärmschutz an Straßen

Beim Anschluss der Kreisstraße nach Fall 2 kann entweder ein größerer Halbmesser mit h = 555,556 m verwendet werden oder wegen der kürzeren Tangentenlänge kann der Tangentenschnittpunkt bis auf 11,25 m an den Fahrbahnrand herangerückt werden. Zusätzlich muss dann aber die geplante Steigung von q = 2,5 % an die Steigung mit q = 1,5 % angeschlossen und ausgerundet werden.

15 Lärmschutz an Straßen Das Problem: Motoren- und Rollgeräusche sind in dem Empfinden der Straßenanwohner belastend und beeinträchtigen den Wohnwert ihrer Grundstücke. Da durch Verkehrslärm auch Gesundheitsschäden auftreten können, sind gesetzliche Höchstwerte angesetzt worden, die die Lärmbelastung auf ein erträgliches Maß beschränken sollen. Beim Bau oder Umbau von Straßen ist zu prüfen, ob diese Belastungsgrenzen eingehalten werden oder Lärmschutzmaßnahmen anzuordnen sind. Maßgebend ist die durchschnittliche Lärmbelastung in der Zeiteinheit in Dezibel. Verwendete Formeln und Richtlinien: Emissionspegel

Lm,E = L(25) m + Dv + DStrO + DStg + DE in dB(A)

Mittelungspegel

(25) L(25) m,T = Lm,N = 37,3 + 10 ⋅ lg( M ⋅ (1 + 0, 082 p )) in dB(A)

Korrektur Dv

§ 100 + 100,1⋅D − 1 ⋅ p · ¸ in dB(A) Dv = LPkw − 37,3 + 10 ⋅ lg ¨¨ ¸ + ⋅ 100 8, 23 p ¨ ¸ © ¹

mit

LPkw = 27, 7 + 10 ⋅ lg 1 + ( 0, 02 ⋅ VPkw )

(

(

)

3

)

LLkw = 23,1 + 12,5 . lg(vLkw) D = LLkw – LPkw in dB(A) Korrektur Ds,⊥

Ds,⊥ = 15,8 − 10 ⋅ lg ( s⊥ ) − 0, 0142 ⋅ ( s⊥ )

bei Abschirmung

ª § 70 + 0, 25 ⋅ s⊥ · 2 º Ds,⊥ = 7 ⋅ lg «5 + ¨ ¸ ⋅ z⊥ ⋅ K w,⊥ » in dB(A) + ⋅ 1 0, 20 z ⊥ ¹ ¬« © ¼»

mit

1 ¨¨© − 2000 ⋅ K w,⊥ = 2,3

Überstandslänge

§ 34 + 3 ⋅ Dz,⊥ dü = ¨ ¨ 100 + s ⊥ ©

§

1

A⊥ ⋅ B⊥ ⋅s⊥ 2⋅ z⊥

· ¸ in m ¸ ¹

0,9

in dB(A)

· ¸¸ ¹

16

490

Verkehrswesen

Kontrolle auf „langer, gerader Fahrstreifen“ Lz = 48 ⋅

s⊥ 100 + s⊥

in m

Bundesimmissionsschutzgesetz - BImmschG Richtlinien für den Lärmschutz an Straßen – RLS Rechenbeispiele zu den Richtlinien für den Lärmmschutz an Straßen - RBLärm Aufgabe: Für eine Gemeindestraße entlang einem allgemeinem Wohngebiet (WA) – mit gerader Achse von 600,00 m Länge –ist die Lärmbelastung zu ermitteln. Das nächstgelegenes Wohnhaus liegt in der Mitte dieser Strecke. Die zulässige Geschwindigkeit vzul = 70 km/h. Die einbahnige Straße hat zwei Fahrstreifen, der Fahrbahnbelag besteht aus Asphaltbeton 0/ 11 mm, die Längsneigung beträgt s = 7,0 %. Der Abstand zur signalgeregelten Kreuzung a = 30,00 m. Die zulässigen Immissions-Grenzwerte sind am Tag 59 dB(A), bei Nacht 49 dB(A) nach der 16. Bundeslärmschutzverordnung (BImSchV), Aus einer Verkehrszählung liegen folgende Daten vor: Verkehrsmengen : DTV =

2578 Kfz/24 h Personenverkehr 306 Kfz/24 h Güterverkehr 2884 Kfz/24 h

= 1289 Kfz/24 h je Fahrstreifen = 153 Kfz/24 h je Fahrstreifen (~10,6 %) = 1442 Kfz/h je Fahrstreifen

Zuschlag K in dB(A) für erhöhte Störwirkung an signalgesteuerten Kreuzungen und Einmündungen a in m

von 0 bis 40

über 40 bis 70

über 70 bis 100

K in dB(A)

+ 3,0

+ 2,0

+ 1,0

> 100 0

Maßgebende Verkehrsstärken M in Kfz/h und maßgebende Lkw-Anteile p (über 2,8 t Gesamtgewicht) in % Straßengattung

16

tags (6 bis 22 Uhr) M in Kfz/h p in % Bundesautobahnen 0,06 . DTV 25 Bundesstraßen 0,06 . DTV 20 Landes-, Kreis- und Gemeindeverbindungsstra- 0,06 · DTV 20 ßen Gemeindestraßen 0,06 · DTV 10

nachts (22 bis 6 Uhr) M in Kfz/h p in % 0,014 . DTV 45 0,011 · DTV 20 0,008 DTV 10 0,011 · DTV

3

491

15 Lärmschutz an Straßen

Korrektur DStrO in dB(A) für unterschiedliche Straßenoberflächen Straßenoberfläche

zul Höchstgeschwindigkeit 30 km/ h 40 km/ h ≥ 50 km/ h ≥ 60 km/ h 0 0 0

nicht geriffelter Gussasphalt, Asphaltbeton, Splittmastixasphalt Beton, geriffelter Gussasphalt 1,0 1,5 2,0 Pflaster mit ebener Oberfläche 2,0 2,5 3,0 Pflaster mit unebener Oberfläche 3,0 4,5 6,0 Beton nach ZTV Beton mit Stahlbesenstrich mit Längsglätter Beton nach ZTV Beton ohne Stahlbesenstrich mit Längsglätter und Längstexturierung mit Jutetuch Asphaltbeton ≥ 0/ 11, Splittmastixasphalt 0/ 8 und 0/ 11 ohne Absplittung Offenporige Asphaltdeckschicht, Einbauhohlraum ≥ 15 % Kornaufbau 0/ 11 0/ 8

1,0 – 2,0 – 2,0 – 4,0 – 5,0

Korrektur DStg in dB(A) für Steigungen Steigung s in % DStg in dB(A)

≤ 5,0 0,0

> 5,0 0,6 · |s| – 3,0

Korrektur DE zur Berücksichtigung der Absorptionseigenschaften reflektierender Flächen bei Spiegelschallquellen Reflexionsart glatte Gebäudefassaden, reflektierende Lärmschutzwände gegliederte Hausfassaden (Erker, Balkone) absorbierende Lärmschutzwände hochabsorbierende Lärmschutzwände

DE in dB(A) – 1,0 – 2,0 – 4,0 – 8,0

Lösung:

Die maßgebende Verkehrsmenge ist MTag = 0,06 . DTV, Mnacht =0,011 . DTV bei Tag: MT,li = MT,re = 0,06.1442 = 86,5 Kfz/h, bei Nacht: MN = 0,011.1442 =15,9 Kfz/h und der Lastwagenanteil bei Tag: pT =

306 = 10, 6 % , bei Nacht: pN = 3% 2884

25 Die Mittelungspegel L25 m,T , Lm,N sind . L25 m,T = 37,3 + 10 ⋅ lg ( M ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ p ) ) = 37,3 + 10 · lg (86,5 · (1+ 0,082 10,6)) =

= 59,4 dB(A) L25 m,N

= 37,3 + 10 · lg (15,9 . (1+0,082 · 3,0)) = 50,3 dB(A)

Die Korrektur Dv zur Berücksichtigung der Geschwindigkeit erfolgt mit den Gleichungen

(

)

LPkw = 27, 7 + 10 ⋅ lg 1 + (0, 02 ⋅ vPkw )3 = 27,7 + 10 · lg (1 + (0,02 · 70)3) = 33,4 dB(A) LLkw = 23,1 + 12,5 · lg (70) = 46,2 dB(A)

16

492

Verkehrswesen

D = LLkw – LPkw = 46,2 – 33,4 = 12,8 dB(A) Dv,T = LPkw

(

)

§ 100 + 100,1⋅D − 1 ⋅ p · ¸ = − 37,3 + 10 ⋅ lg ¨¨ ¸ 100 + 8, 23 ⋅ p ¨ ¸ © ¹

(

)

⋅ § 100 + 100,112,8 − 1 ⋅10, 6 · ¨ ¸ = –2,0 dB(A), = 33,4 – 37,3 + 10 lg ¨ ¸ 100 + 8, 23 ⋅10, 6 ¨ ¸ © ¹ .

Dv,N = –3,0 dB(A) Die Korrektur für die Straßenoberfläche ist DStrO = –2,0 dB(A) Die Korrektur für die Längsneigung ist DStg = 0,6 . 7,0 – 3,0 = 1,2 dB(A). Da keine Spiegelschallquelle vorhanden ist, wird DE = 0 dB(A). Damit wird der Emissionspegel Lm,E,T = L(25) m + Dv + DStrO + DStg + DE = 59,4 – 2,0 + 0 + 1,2 + 0 = 58,6 dB(A), Lm,E,N = 48,5 dB(A) Der Korrekturfaktor K für die signalgesteuerte Kreuzung ist K = 3,0 dB(A). Die Abstände s⊥ zwischen Emissions- und Immissionsort betragen nach der Zeichnung s⊥,0,n = 21,25 + 9,25 = 30,50 m, s⊥,0,f = 30,50 + 3,75 = 34,25 m Die Höhe des Immissionsortes über der Schallquelle beträgt H = 291,95 – 287,44 – 0,50 = 4,01 m. Damit werden die Schrägentfernungen s⊥,n = ( s⊥,0,n )2 + H 2 =

30,52 + 4, 012 = 30,76 m, s⊥,f = 34,48 m

Prüfung für die Bedingung "langer, gerader Fahrstreifen" : Lz,f = 48 ·

34, 48 100 + 34, 48

= 142,72 m < 300,00 m

Pegeländerung Ds⊥ infolge Abstand und Luftabsorption ist für den nahen und fernen Fahrstreifen : Ds,⊥,n = 15,8 – 10 · lg s⊥ – 0,0142 · (s⊥)0,9 = = 15,8 – 10 · lg(30,76) – 0,0142 · (30,76)0,9 = 0,6 dB(A), Ds,⊥,f = 0,1 dB(A) Die Abstände für den Schallstrahl über die Beugungskante sind

16

A⊥,0,n = 9,25 m, A⊥,0,f = 9,25 + 3,75 = 13,00 m A⊥,n = 9, 252 + ( 289, 76 − ( 287, 44 + 0,50 ) )

2

= 9,43 m

493

15 Lärmschutz an Straßen

A⊥,f = 13, 002 + 1,822 = 13,13 m

(

B⊥,n = B⊥,f = 21, 252 + 291, 252 − 289, 76

)

2

= 21,36 m

Der Schirmwert z⊥ ist mit z⊥,n = 9,43 + 21,36 – 30,76 = 0,03 m, z⊥.f = 13,13 + 21,36 – 34,48 = 0,01 m und die Witterungskorrektur Kw,⊥ §

1

1 ¨¨© − 2000 ⋅ Kw,⊥,n = 2,3

9,43⋅21,36⋅30,76 · ¸¸ 2⋅0,03 ¹

= 1,14 dB(A) , Kw,⊥,f = 1,28 dB(A)

Das Abschirmmaß Dz,⊥ ist § 70 + 0, 25 ⋅ 30, 76 · ⋅ 0, 03 ⋅1,142 ¸ = 6,3 dB(A), Dz,⊥,f = 6,6 dB(A) Dz,⊥,n = 7 · lg ¨ 5 + + ⋅ 1 0, 2 0, 03 © ¹

Der Einfluss topographischer und baulicher Gegebenheiten DB⊥ beträgt DB,⊥,n = 0 – 6,3 = – 6,3 dB(A), DB,⊥ ,f = – 6,6 dB(A) Drefl = 0 dB(A), da keine Reflektion vorhanden Die Überstandslänge dü muss über das zu schützende Objekt hinausragen. § 34 + 3 ⋅ 6,3 · ⋅ 21,36 = 98,81 ~ 100,00 m , dü,f = 99,10 ~ 100,00 m dü,n = ¨ ¨ 100 + 30, 76 ¸¸ © ¹

Die Mittelungspegel Lm der Fahrstreifen sind Lm,T,n = 59,4 + 0,6 – 6,3 = 53,7 dB(A), Lm,N,n = 44,3 dB(A) Lm,T,f = 59,4 + 0,1 – 6,6 = 52,9 dB(A), Lm,N,f = 43,8 dB(A) DBM wird in Einschnittslage nicht berücksichtigt. Zusammengefasst ergibt das die Mittelungspegel

(

)

Lm,T = 10 ⋅ lg 100,1 ⋅ 53, 7 + 100,1 ⋅ 52,9 = 56,3 dB(A), Lm,N = 47,1 dB(A) Die Beurteilungspegel sind somit Lr,T = 56,3 + 3,0 = 59,3 dB(A) > 59,0 dB(A) Lr,N = 47,1 + 3,0 = 50,1 dB(A) > 49,0 dB(A) Ergebnis Der vorhandene Lärmschutzwall muss erhöht werden, um den notwendigen Lärmschutz zu gewährleisten.

16

494

Verkehrswesen

16 Bestimmung der Oberbaudicke Das Problem: Die Verkehrslasten müssen vom Oberbau einer Straße auf den Unterbau bzw. Untergrund abgetragen werden. Unterbau oder Untergrund sollen nur so viel Last erhalten, dass eine Verformung desselben verhindert wird. Nur dann kann eine gleichmäßige, verformungsfreie Oberfläche des Verkehrsweges erzielt werden. Gleichzeitig muss darauf geachtet werden, das die Froostempfindlichkeit von Unterbau bzw. Untergrund nicht durch Durchfeuchtung in seiner Tragfähigkeit verändert wird. Verwendete Formeln und Richtlinien: Mehr- oder Minderdicke Δd = A + B + C + D in cm Richtlinien für die Standardisierung des Oberbaus – RStO Zusätzliche technischen Vertragsbedingungen im Erdbau – ZTVE Zuordnung der Bauklasse zur bemessungsrelevanten Beanspruchung B in Millionen Achsübergängen / Nutzungsdauer Bemessungsrelevante Beanspruchung B in äquivalenten 10 t-Achsübergänge/ Nutzungsdauer Bauklasse

> 32

> 10 bis 32

>3 bis 10

> 0,8 bis 3

> 0,3 bis 0,8

> 0,1 bis 0,3

bis 0,1

SV

I

II

III

IV

V

VI

Ausgangswerte für die Bestimmung der Mindestdicke frostsicheren Oberbaus d Frostempfindlichkeitsklasse nach ZTVE-StB F2 F3

Dicke d in cm bei Bauklasse SV/ I / II III / IV V / VI 55 50 40 65 60 50

Mehr- oder Minderdicke des frostsicheren Aufbaus Örtliche Verhältnisse 1)

16

Faktor in cm A B C ±0 +5 + 15 +5 –5 ±0 ±0 +5

D Zone I Frosteinwirkung Zone II Zone III Lage der GraEinschnitt, Anschnitt, Damm ≤ 2,00 m, außerorts diente Damm > 2,00 m in geschlossener Ortslage etwa in Geländehöhe WasserverhältGünstig nisse Ungünstig gem. ZTVE-StB Ausführung der Außerhalb geschlossener Ortslage, in geschlossener ±0 Randbereiche Ortslage mit wasserdurchlässigen Randbereichen In geschlossener Ortslage mit teilweise wasserdurchlässigen Randbereichen und mit Entwässe–5 rungseinrichtungen In geschlossener Ortslage mit wasserundurchlässigen Randbereichen, geschlossener seitlicher Be– 10 bauung und Entwässerungseinrichtungen 1) Für besonders ungünstige Einflüsse auf die Frostsicherheit (Trasse am Nordhang, Schattenlage) kann eine Mehrdicke von 0,05 m vorgesehen werden

16 Bestimmung der Oberbaudicke

495

Aufgabe: Eine Ortsumgehung wird in einem Gebiet der Frostempfindlichkeitsklasse F3 gebaut. Im Nutzungszeitraum ist mit einer benutzungsrelevanten Beanspruchung B von 3 Millionen Achsübergängen der äquivalenten 10 t – Achse zu rechnen. Die Straße liegt in der Frosteinwirkungszone II. Die Lage der Gradiente liegt im Mittel auf Geländehöhe. Die Abführung des Niederschlagwassers ist günstig. Welche Dicke muss der frostsichere Oberbau mindestens erhalten ? Lösung:

Die Umgehung ist in die Bauklasse III einzuordnen. Ausgangswert ist eine Oberbaudicke d = 0,60 m. Die weiteren Einflussfaktoren sind A = + 5, B = ± 0, C = ± 0, D=±0 Ergebnis: Die Gesamtdicke wird d + Δd = A + B + C + D = 0,65 m

16

496

Verkehrswesen

17 Berechnung der bemessungsrelevanten Beanspruchung B Das Problem: Die maßgebende Belastung des Oberbaus ist definiert als die Anzahl der äquivalenten 10-tAchsübergänge des Schwerverkehrs im Nutzungszeitraum. Da Achslastwagen nur an ausgewählten Stellen vorhanden sind, muss in der Regel die Belastung aus Verkehrszählungen ermittelt werden. Verwendete Formeln und Richtlinien: Berechnung aus Verkehrszählungen mit variablen Faktoren: N

º B = 365 ⋅ qBm ⋅ f3 ⋅ ¦ ª DTAi(SV) −1 ⋅ f1i ⋅ f 2i ⋅ (1 + pi ) ¼ ¬ i =1

in äquivalenten Achsübergängen/ Nutzungsdauer (SV) mit DTAi(SV) −1 = DTVi −1 ⋅ f Ai-1

Berechnung aus Verkehrszählungen mit konstanten Faktoren B = N ⋅ DTA(SV) ⋅ qBm ⋅ f1 ⋅ f 2 ⋅ f3 ⋅ f z ⋅ 365

in äquivalenten Achsübergängen/ Nutzungsdauer mit DTA(SV) = DTV (SV) ⋅ f A B N qBm

16

Äquivalente 10 t-Achsübergänge im zugrunde gelegten Nutzungszeitraum Anzahl der Jahre des zugrunde gelegten Nutzungszeitraums (in der Regel 30 Jahre) einer Straßenklasse zugeordneter mittlerer Lastkollektivquotient, der die straßenklassen-spezifische Beanspruchung der tatsächlichen Achsübergänge ausdrückt f3 Steigungsfaktor DTVi(SV) Durchschnittliche tägliche Verkehrsstärke des Schwerverkehrs im Nutzungsjahr i in Fz/ 24h (SV) DTAi Durchschnittliche Anzahl der täglichen Achsübergänge (Aü) des Schwerverkehrs im Nutzungsjahr i in Aü/ 24h Durchschnittliche Achszahl pro Fahrzeug des Schwerverkehrs (Achszahlfaktor) im fAi Nutzungsjahr i in A/ Fz f1i Fahrstreifenfaktor im Nutzungsjahr i f2i Fahrstreifenbreitefaktor im Nutzungsjahr i pi mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs im Nutzungsjahr i . Das erste Jahr wird pi = 0 gesetzt. Konstante Faktoren ohne Zunahme des Schwerverkehrs im ersten Jahr des Zeitraumes fz =

(1 + p) N − 1 p⋅N

497

17 Berechnung der bemessungsrelevanten Beanspruchung B

Konstante Faktoren mit Zunahme des Schwerverkehrs auch im ersten Jahr des Zeitraumes fz =

(1 + p) N − 1 ⋅ (1 + p) p⋅N

fz mittlerer jährlicher Zuwachsfaktor des Schwerverkehrs Berechnung bei variablen Faktoren N

º B = 365 ⋅ f3 ⋅ ¦ ª EDTAi(SV) −1 ⋅ f1i ⋅ f 2i ⋅ (1 + pi ) ¼ ¬ i =1

in äquivalenten 10 t Aü/ Nutzungszeitraum 4º ª (SV) § Lk · » « DTA = ⋅ mit EDTAi(SV) ¨ ¸ ¦ « (i−1),k L0 » −1 © ¹ ¼ k ¬

Berechnung bei konstanten Fakttoren und Unterteilung des Gesamtzeitraumes in Teilbetrachtungszeiträume B = N ⋅ EDTA(SV) ⋅ f1 ⋅ f 2 ⋅ f3 ⋅ f z ⋅ 365 in äquivalenten 10 t Aü/ Nutzungszeitraum

N EDTAi(SV) f 1i f2i f3 fz DTAi(SV) k Lk L0

Anzahl der Jahre des Nutzungszeitraumes (in der Regel N = 30) durchschnittliche Anzahl der täglichen äquivalenten Achsübergänge des Schwerverkehrs im Nutzungsjahr i Fahrstreifenfaktor im Nutzungsjahr i Fahrstreifenbreitefaktor im Nutzungsjahr i Steigungsfaktor mittlerer jährlicher Zuwachsfaktor des Schwerverkehrs durchschnittliche Anzahl der täglichen Achsübergänge des Schwerverkehrs im Nutzungsjahr i in Aü/ 24h Lastklasse, als Gruppe von Einzellasten definiert mittlere Achslast in der Lastklasse k Bezugsachslast, L0 = 10 t

Achszahlfaktor fA Straßenklasse Faktor fA

Bundesautobahnen 4,2

Bundesstraßen 3,7

Landes-, Staats-, Kreisstraßen 3,1

Bundesstraßen 0,20

Landes-, Staats-, Kreisstraßen 0,18

Lastkollektivquotient qBm Straßenklasse Quotient qBm

Bundesautobahnen 0,26

Fahrstreifenfaktor f1 Zahl der Fahrstreifen, die durch den DTV(SV) erfasst sind 1 2 3 4 5 6 und mehr Faktor f1 bei Erfassung getrennt für jede Fahrtrichtung – 0,50 0,50 0,45 0,45 0,40 des DTV(SV) in beiden Fahrtrichtungen 1,00 0,90 0,80 0,80 0,80 0,80

16

498

Verkehrswesen

Fahrstreifenbreitefaktor f2 Fahrstreifenbreite in m

< 2,50

2,50 bis < 2,75

2,75 bis <3,25

3,25 bis <3,75

≥ 3,75

Faktor f2

2,00

1,80

1,40

1,10

1,00

Steigungsfaktor f3 Höchstlängs< 2 2 bis < 4 4 bis < 5 5 bis < 6 6 bis < 7 7 bis < 8 8 bis < 9 9 bis < 10 ≥ 10 neigung in % Faktor f3 1,00 1,02 1,05 1,09 1,14 1,20 1,27 1,35 1,45

Mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs p Straßenklasse Faktor p

Bundesautobahnen 0,03

Bundesstraßen 0,02

Landes, Staats-, Kreisstraßen 0,01

Mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs p ohne Zunahme im ersten Jahr des Betrachtungszeitraumes Mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs p 0,01 0,02 0,03

5 1,020 1,041 1,062

Jahre des Nutzungszeitraumes N 10 15 20 25 1,046 1,073 1,101 1,130 1,095 1,153 1,215 1,281 1,146 1,240 1,344 1,458

30 1,159 1,352 1,586

Mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs p bei Zunahme im ersten Jahr des Betrachtungszeitraumes Mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs p 0,01 0,02 0,03

5 1,030 1,062 1,094

Jahre des Nutzungszeitraumes N 10 15 20 25 1,057 1,084 1,112 1,141 1,117 1,176 1,239 1,307 1,181 1,277 1,384 1,502

30 1,171 1,379 1,633

Richtlinien für die Standardisierung des Oberbaus – RstO Zusätzliche technischen Vertragsbedingungen im Erdbau - ZTVE Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen – HBS Aufgabe: Die bemessungsrelevante Beanspruchung B für den Bau einer vierstreifigen Umgehungsstraße einer Bundesstraße und die Zuordnung zur Bauklasse ist zu bestimmen. Im vierten Jahr nach Verkehrsübergabe erhält die Umgehung die volle Verkehrsbedeutung.

16

Planungsdaten: Nutzungszeitraum Anzahl der Fahrstreifen 4 Fahrstreifenbreite mit höchster Verkehrsbelastung maximale Längsneigung Verkehrsdaten: DTV(SV) im ersten Nutzungsjahr

bF = 3,75 m max s = 2,2 %

N = 30 Jahre f1 = 0,45 f2 = 1,0 f3 = 1,02 DTV(SV) = 1800 Fz/ 24h p1 = 0

499

17 Berechnung der bemessungsrelevanten Beanspruchung B

mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs im zweiten und dritten Jahr nach Verkehrsübergabe mittlere jährliche Zunahme des Schwerverkehrs ab viertem Jahr durchschnittliche Achszahl/Fz des Schwerverkehrs Lastkollektivquotient

p 2...3 = 0,01 p 4...30 = 0,02 fA = 3,7 A/ Fz qBm = 0,20

Lösung 1:

Berechnung der bemessungsrelevanten Belastung in Achsübergängen/ 24 Stunden mit variablen Faktoren DTA(SV) = DTV (SV) ⋅ f A = 1800 ⋅ 3, 7 = 6660 Aü/ 24h N

º B = 365 ⋅ qBm ⋅ f3 ⋅ ¦ ª DTAi(SV) −1 ⋅ f1i ⋅ f 2i ⋅ (1 + pi ) ¼ ¬ i =1

Im ersten Jahr wird ohne Zuwachs des Schwerverkehrs gerechnet. Damit ergibt sich B1 = 365 ⋅ 0, 20 ⋅1, 02 ⋅ 6660 ⋅ 0, 45 ⋅1, 00 = 223156, 62 Achsübergänge/ 1. Jahr

Die bemessungsrelevante Belastung wird am einfachsten mir einer EXEL – Tabelle errechnet. (Da die Faktoren fA , qBm , f1 , f2 , f3 und die Anzahl der Tage im Jahr konstante Faktoren sind, wurden sie in der Tabelle bei der Berechnung von DTAi(SV) bzw. Bi direkt eingebunden.) Berechnung der bemessungsrelevanten Größe B Jahr

pi

DTV(SV)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

– 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02

1800,00 1800,00 1818,00 1854,36 1891,45 1929,28 1967,86 2007,22 2047,36 2088,31 2130,08 2172,68 2216,13 2260,45 2305,66 2351,78 2398,81 2446,79 2495,72 2545,64 2596,55 2648,48

DTA(SV) = DTV(SV) . fA 6660,00 6660,00 6726,60 6861,13 6998,35 7138,32 7281,09 7426,71 7575,24 7726,75 7881,28 8038,91 8199,69 8363,68 8530,96 8701,57 8875,61 9053,12 9234,18 9418,86 9607,24 9799,39

1 + pi

B

– 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02

223.156,62 223.156,62 225.388,19 229.895,95 234.493,87 239.183,75 243.967,42 248.846,77 253.823,71 258.900,18 264.078,18 269.359,75 274.746,94 280.241,88 285.846,72 291.563,65 297.394,93 303.342,82 309.409,68 315.597,87 321.909,83 328.348,03

16

500

Verkehrswesen

pi

DTA(SV) = DTV(SV) . fA 23 0,02 2701,45 9995,37 24 0,02 2755,48 10195,28 25 0,02 2810,59 10399,19 26 0,02 2866,80 10607,17 27 0,02 2924,14 10819,31 28 0,02 2982,62 11035,70 29 0,02 3042,27 11256,41 30 0,02 3103,12 11481,54 bemessungsrelevante Beanspruchung B am Ende der gewählten Nutzungsdauer von 30 Jahren Jahr

DTV(SV)

1 + pi

B

1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02

334.914,99 341.613,29 348.445,55 355.414,46 362.522,75 369.773,21 377.168,67 384.712,05 8.797.218,33

Ergebnis: Die Umgehungsstraße ist der Bauklasse II zuzuordnen. Lösung 2:

Berechnung der bemessungsrelevanten Belastung in Achsübergängen/ 24 Stunden mit konstanten Faktoren Die Betrachtung wird auf zwei Zeiträume aufgeteilt, nämlich 1. bis 3. Jahr und 4. bis 30. Jahr. Für den ersten Zeitraum gilt fz =

(1 + p ) N − 1 p⋅N

=

(1 + 0, 01)3 − 1 0, 0303 = = 1, 01 0, 01 ⋅ 3 0, 03

und für den zweiten Zeitraum ist fz =

(1 + p ) N − 1 p⋅N

⋅ (1 + p ) =

1, 0227 − 1 1, 706886 − 1 ⋅1, 02 = ⋅1, 02 = 1,335 0, 02 ⋅ 27 0,54

Damit wird B1...3 = N ⋅ DTA(SV) ⋅ qBm ⋅ f1 ⋅ f 2 ⋅ f3 ⋅ f z ⋅ 365 = = 3 · 6660 · 0,2 · 0,45 · 1,00 · 1,02 · 1,01 · 365 = 676.164,56 Aü/ Nutzungszeitraum B4...30 = 27 ⋅ 6726, 60 ⋅ 0, 20 ⋅ 0, 45 ⋅1, 0 ⋅1, 02 ⋅1,335 ⋅ 365 = = 8.124.117,17 Aü/ Nutzungszeitraum Bges =

8.800.281, 73 Aü/ Nutzungszeitraum ≈ 8.797.218,33 Aü/ Nutzungszeitraum

Weitere Berechnungsbeispiele können den HBS entnommen werden.

16

Sachwortverzeichnis A Abfallbehandlungsanlage 441 Abfallgemisch 443 Abfalltechnische Kennwerte 438 Abfallwirtschaft 433 Abminderung der Stützmomente 110 Abschirmung 55 Abstand des Lastangriffs 192 Abstände der Nägel 206 Abstände der Stabdübel 198 Abtriebskräfte 145 – aus Imperfektion 139 Altablagerung 451 Anfangsdurchbiegung 195 Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens 245 aufnehmbaren Sohldruck 327 Aufschwimmen 333, 335 Aufweitung 479 Aussteifungsabstand 185 Aussteifungskonstruktion 191, 192, 193 Aussteifungsrippe 167 Austrittsquerschnitt 390 B Balkenketten 139 Baugrubenumschließungen 345 Bauphysik 29 BBodSchV 456 Bemessung unter Längsdruck 104 Bemessungssituation 195, 196 benetzter Umfang 371, 380, 385 Bernoulli-Gleichung 376 BERNOULLIsche Energiehöhengleichung 370 Betondeckung 101 Beulen 131 Bewuchsparameter 386 Bezogener – Kippschlankheitsgrad 193 – Schlankheitsgrad 190, 191 Biegebemessung 102 Biegedrillknicken 131, 142, 144

Biegedrillknickmoment 142, 154 Biegedrillknicknachweis 152, 153, 155 Biegefestigkeit 182, 187 Biegeknicken 131, 142, 152 Biegeknicknachweis 141 Biegemoment 71, 85 Biegesteifigkeit 192 Biegeträgers aus Brettschichtholz 182 Biegung 175 Blechschlankheiten 133 Bodenluftabsauganlage 460 Bodensanierung 458 Bohrpfahl 339 Bolzen, Passbolzen, Stabdübel 176 Böschungs-Durchstoßpunkte 467 C charakteristischen 195 D Deponie 453 Deponiesickerwassers 455 dezimalen Vielfachen 437 Dichte 369 DIN 1053-1 246, 248, 249, 265 DIN 1053-100 247, 248, 249, 267 DIN 4109 43 DIN EN 12354 45 DIN EN ISO 10077-1 36 Doppelbiegung 175, 187 Drehbettung 153, 154, 155 Druck 175, 189, 375 Druckfestigkeit 180, 186, 189 Druckfläche rechtwinklig zur Faser 180 Dübelumrissfläche 158 Durchbiegungen 194 Durchfluss 375 Durchstanzbemessung 103 Durchstanznachweis 118 E ebene Staufläche 369, 372 Eckausrundung 485

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Sachwortverzeichnis

Eckblech 166, 167 Einbindetiefe 357 Einfeldträger 79 Einflusslinie 72, 74 Einheiten 437 Einleitqualität 455 Einzelabstützungen 194 Einzelfundament 126, 327 Einzelpfahles 338 Elastisch-Plastisch (E-P) 142 Elastizitätsmodul 369 Elementarkette 136, 137, 138 Enddurchbiegung 195, 196 Energiehöhe 390 Energiehöhengefälle 393 Energiehöhenlinie 375 Erddruckberechnung 353, 355 Erddruckes 354 Erdwiderlagers 348 Ersatzlast 191, 193 Ersatzstablänge 185, 193 Ersatzstabnachweise 142 Ersatzstabverfahren 175, 185, 189, 190 ESG 215, 216 F Fahrbahnverbreiterung 477 Fahrbahnverwindung 474 Fesselkräfte 71 Festigkeiten des Stahles 176 Festigkeitseigenschaften 175 Festigkeitslehre 65 Feststoffkonzentrationsermittlung 443 Flachgründunge 327 Flachkant-Biegebeanspruchung 183, 188 Fließformel 380 Fließgelenke 134 Fließgelenktheorie 133, 136, 159 Fließgewässer 371, 382 Fließmoment 176, 177, 198 Fließquerschnitt 371, 380, 385 Fließrichtung 393 Fließverlusten 371 Formelsammlung 435 FROUDE-Zahl 393 Fundamentsetzung 336

S

G Gabellagerung 153, 155 Gasemissionen 453 Gauckler-Manning-Strickler 380

Gauß-Normalverteilung 378 Gebäudeaussteifung 105 Gebrauchstauglichkeit 131, 147, 148, 335 gebundenen Kippung 154 gegliederten Querschnitt 385 gekrümmte Staufläche 369, 372 genaueres Verfahren 252, 258, 272, 276 geometrische Ersatzimperfektionen 142 Gerinneströmung 378 Gesamtsetzung 336 Gitterstütze 149 Glasbau 211 gleichförmigen 385, 392 Gleiten 328, 330 Gradientenberechnung 470 Gradientenführung 487 Grenztiefe 390 Grenzwert RT" 31, 32 Grenzwiderstand 341 Grenzzustand 391 Großbewuchs 385, 388 Grundbruch 329, 331 Gussglas 215 H Hauptgerinne 385 Heizwertbestimmung 447 Herausziehwiderstand 362 Hochkant-Biegebeanspruchung 183, 188 Hochwasserabfluss 378 Hochwasserwahrscheinlichkeit 378 hydraulisch 371 hydraulische Durchmesser 371 Hydraulischen Grundbruch 358 hydraulischer Radius 371, 380, 385 Hydrogeologische Kennwerte 451 Hydrostatik 372 I Imperfektionen 143, 144 Impuls- und Wasserdruckkräfte 370 Impulskraft 377 Isochorer Druck 217 J Jährlichkeit 380 K Kalk-Natronglas 214 Kellerwand 263 Kellerwänden 249

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Sachwortverzeichnis

kinematische Kette 137, 140 Kinematische Viskosität 369 Kippbeiwert 186, 192, 193 Kippen 155, 185, 328, 330 – mit dem Ersatzstabverfahren 186 Kipplängenbeiwerte 185, 192 Klärschlamm 440 Klärschlammaufbereitungsanlage 442 Klärschlammmischung in einer Aufbereitungsanlage 442 klimatischen Einwirkungen 217 Knaggenanschluss 168 Knickbeiwert 190, 191 Knickbiegelinie 147 Knickeigenform 142 Knicken 142, 190 Knicklänge 142, 143, 144, 145, 147, 190, 191 Knicklast 143, 144, 145, 147 Knicknachweis 189 Knotenpunktsgeschwindigkeit 484 Kombination von Einwirkungen 175 Kombinierte Kette 139, 140 Kompostierungsanlage 444 Kontinuitätsbedingung 369, 376 Konzentrationsangaben 438 Kraftgrößenverfahren 68 Kreisverkehrsplatzes 485 Kriechen 156 Kuppen 481 L Lagesicherheit 332, 333 Lärmschutz 51, 489 Lasteinleitungsrippen 133 Lasteinwirkungsdauer 179, 181, 183, 188, 190, 197, 202, 205 Lochleibungsfestigkeit 176, 177, 198, 208 Luftschall 44 Luftschalldämmmaße 38 M Manning-Strickler 371, 384 Mantelreibung 349 Massenstromermittlung eines Abfallgemisches 441 Materialversagen 329, 359 Materialwiderstandes 361 Mauerwerksbau 243 Mehrscheiben-Isolierglas 224 MERTENS 385

mikrobiologischen Bodenreinigung 462 Mindestabstände 203, 206 – von Bolzen 177 – von Nägeln 177 – von Stabdübeln und Passbolzen 177 Mindestbewehrung 111, 114 Mindestdicken 198 Mindesteindringtiefe 177, 198, 208 Mindestholzdicken 177 – bei Nägeln 206 – für tragende Einzelquerschnitte 207 Mindeststeifigkeit 194 Mindestzugfestigkeit 205 mineralischen Abdichtungen 448 minimale 390 mit Ringdübeln 201 Mittelwert 379 mittleren Querneigungswinkel 388 Mittragende Breiten 160 M-N-Interaktion 134 mobilisierbaren Mantelreibung 358 Modifikationsbeiwert 179, 183, 181, 188, 190, 197, 202, 205 Moody-Diagramm 376 N Nachweisverfahren E-E 143 Nachweisverfahren Plastisch-Plastisch 136 Nägel 205 Normalkraftbeanspruchte Außenwand 250 normalkraftbeanspruchter Wände 246 Normalspannungsermittlung 94 Nutzungsklasse 179, 181, 183, 188, 190, 195, 197, 202, 205 O Oberbaudicke 494 örtlich auftretende 371 örtliche Verlust 375, 392 P Pegelminderung 54 Pfahlgründungen 337 Pfahlkopfsetzungen 343 Pfahllänge 340, 342 Pfahlmantel 341 Pfahlspitze 341 Pfahlwiderstand 341, 343 Plastische Grenzschnittgrößen 133 Plastisch-Plastisch (P-P) 133, 142 Plattenanschnitt 158

S

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Sachwortverzeichnis

Prinzip der virtuellen Verrückungen 136 Probebelastungen 342, 344 Prüfwertermittlung 456 Q quasi-ständigen 196 Querkraft 71, 85 Querkraftbemessung 103 Querneigung 473 Querschnittsschwächungen 191 Querschnittstragfähigkeit 175, 180, 181, 183 R Rahmeneck 166 Rahmenstütze 149 Randdehnung 270, 274 Rauheiten 383 Rauheitsbeiwert 371, 380, 392 Rechteckfundament 67 reduzierter Querkraft 185 Reibungsansätze 371 Reibungsverlusthöhe 392 Relationstrassierung 469 relativen Rauheit 376 Restdurchlässigkeit 448 Reststoffanteil 458 Reynoldszahl 376, 391 Ringdübel 201, 202 Rippenlose Lasteinleitung 131 Rohrauflager 375 Rohrdurchlass 389 Rohrkrümmer 375 Rohrleitung 375

S

S Schallabstrahlung 58 Schallimmissionschutz 49 Schallleistungspegel 57 Schallschutznachweis 41 Schalltechnische Berechnungen 37 Schichtgrenztemperaturen 34 Schiefekoeffizient 378, 379 schießend 371 Schlankheitsgrad 190, 191 Schnittgrößen 83 Schrauben 161, 162 Schraubenkraft 162, 163 Schub 176, 184 schubbeanspruchter Wände 248 Schubfestigkeit 184

Schubmittelpunkt 192 Schubspannungsermittlung 96 Schubsteifigkeit 154 Schubverbundes am Verpresskörper 361 Schubwand 268 Schweißnähten 161 Schwinden 156 Schwindverformung 179 Seitensteifigkeit 106 Seitenverschiebungsketten 139 Setzungseinflussbeiwerten 337 Sichtweite 483 Sohlengefälle 382 Sohlverankerung 334 Spaltgefahr bei Nägeln 207 Spaltgefahr des Holzes 177 Spannungsfläche 336 Spannungsnachweis 131 Spannungsrechtecks 245 Spiegelglas 215 Spiegellinie 392 Spiegellinienberechnung 389 Spundwandprofils 359 Spundwandverbau 351, 352 Stabdübel 197 Standardabweichung 379 Statik 65 Statische Höhe 101 Staufläche 372 Stauwurzel 390, 392 Stegkrüppeln 131 stofffreien Achse 150 strömend 371 Stütze 120 Stützweite 101 T Tangentenschnittpunktes 471 Teilquerschnitte 383 Teilsicherheitsbeiwert für Holz 180, 181, 183, 188, 190, 192 Teilsicherheitsbeiwert für Stahl in Verbindungen 200 Temperaturfaktor 35 Theorie I. Ordnung 139 Theorie II. Ordnung 139, 142, 144 tiefen Gleitfuge 362 Torsion 85 Torsionssteifigkeit 193 Trägerbohlwandv 346 Trägerbohlwandverbau 346

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Sachwortverzeichnis

Tragfähigkeit 176 – der Nagelverbindung 209 – der Ringdübelverbindung 204 – der Stabdübelverbindung 200 – eines Stabdübels 198 – für Knicken 191 Tragsicherheitsnachweis 131, 157, 159 – nach Th. II. O. 147, 148 TRAV 216, 218 Trennflächen 386 Trennflächenrauheiten 386 Trittschall 44 Trittschalldämmung 40 TRLV 215, 218 TVG 215, 216 U Überdrucks 372 Übergreifende Nägel 208 Überhöhung 195 Überkopfverglasung 215 Überschreitungswahrscheinlichkeit 381 Umlagerung der Stützmomente 109 universellen Fließgesetz 383 V Verbindung 201 – mit Nägeln 176, 204 – mit Stabdübeln 196 – mit Bolzen, Stabdübeln und Passbolzen 176 Verbindungseinheit 203 Verbindungstechnik 161 Verbundsicherung 157 Verbundsicherungsnachweise 156 Verbundstütze 158 Verbundträger 156, 157 Verdrängungspfahl 339, 341 vereinfachtes Verfahren 251, 257, 270, 273 Verfahren Elastisch-Elastisch (E-E) 142 Verfahren Elastisch-Plastisch (E-P) 133

Verformungsbeiwert 195 Verkehrswesen 465 Verluste 371 Verpressankers 361 Versagen des Erdwiderlagers 357 Versinken von Bauteilen 350, 360 Vertikalverglasung 215 Verzweigungslast 142 Verzweigungslastfaktor 143 virtuelle Arbeit 137 Voisin 371 vollkommen 371 Volumenreduktion bei Entwässerungsverfahren 440 Vorland 385 VSG 215 W Wärmedurchgangskoeffizienten 31 Wärmeübergangswiderstand 31 Wasserdruckberechnung 355 Wasserdruckfiguren 372 Wasserdruckkraft 369, 377 Wasserdruckverteilung 354 Wassereigenschaften 369 Wassertiefe 381 Weisbach 371 Widerstandsbeiwert 371, 376 Widerstandsbeiwerts für den Großbewuchs 388 Widerstandssetzungslinie 340, 344 Widerstandszahl 388 Wiederholungszeitspanne 378, 380 Wirksame Anzahl 177, 200, 204, 208 wirksame Querdruckfläche 186 Z Zug 175 Zugfestigkeit 179 zulässigen Spannungen 215

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