Verfahren zur Metallartefaktreduktion und Segmentierung in der medizinischen Computertomographie German

Matthias Hahn Verfahren zur Metallartefaktreduktion und Segmentierung in der medizinischen Computertomographie

Verfahren zur Metallartefaktreduktion und Segmentierung in der medizinischen Computertomographie von Matthias Hahn

Dissertation, Universität Karlsruhe (TH) Fakultät für Informatik, 2005

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Universitätsverlag Karlsruhe 2006 Print on Demand ISBN 3-86644-001-4

Verfahren zur Metallartefaktreduktion und Segmentierung in der medizinis hen Computertomographie Zur Erlangung des akademis hen Grades eines

Doktors der Ingenieurwissens haften der Fakultät für Informatik der Universität Frideri iana zu Karlsruhe (TH) genehmigte

Dissertation von Matthias Hahn aus St.Georgen / S hwarzwald

Tag der mündli hen Prüfung:

13.12.2005

Erster Guta hter:

Prof. Dr. Rüdiger Dillmann

Zweiter Guta hter:

Prof. Dr. Jürgen Beyerer

I h danke dem

Herrn von

ganzem Herzen. Psalm 9,2

Dank

An erster Stelle gilt mein Dank Professor Thomas Beth, der diese Arbeit angeregt und betreut hat, die Fertigstellung jedo h ni ht mehr selbst erleben konnte, da er am 17.08.2005 im Alter von nur 55 Jahren aus dem Leben gerufen wurde. Professor Rüdiger Dillmann mö hte i h danken, dass er si h bereit erklärt hat, die weitere Betreuung zu übernehmen. Ebenso danke i h Professor Jürgen Beyerer für die Übernahme des Korreferats. Bei der Deuts hen Fors hungsgemeins haft bedanke i h mi h für die Einri htung des Sonderfors hungsberei hes 414 Informationste hnik in der Medizin  Re hner- und sensorgestützte Chirurgie (Projekt Q1: Aufbereitung medizinis her Daten) sowie des S hwerpunktprojekts 1124 Medizinis he Navigation und Robotik (Projekt: Computergestützte Planung und Navigation neuro hirurgis her Eingrie an der Wirbelsäule), die die Ausri htung meiner Arbeit geprägt haben. Für viele interessante Diskussionen, hilfrei he Anregungen und die Bereitstellung radiologis her Daten danke i h Dr. habil. Hartmut Friedburg. Den Radiologen aus der Radiologis hen Gemeins haftspraxis im Zeppelinzentrum in Karlsruhe, der Radiologis hen Universitätsklinik in Heidelberg, dem Städtis hen Klinikum in Karlsruhe sowie dem Diakonissenkrankenhaus in Karlsruhe, die an der in dieser Arbeit bes hriebenen Auswertung teilgenommen haben, danke i h für ihre Bereits haft und die aufgewendete Zeit. Bei allen Kollegen am Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme, insbesondere bei den (ehemaligen) Kollegen Ingo Boesna h, Martin Haimerl und Jörg Moldenhauer aus der Arbeitsgruppe Medizinis he Bildverarbeitung mö hte i h mi h für ihr oenes Ohr, ihre konstruktive Kritik und ihre Unterstützung meiner Arbeit bedanken. An alle (ehemaligen) Kollegen ergeht ein Dank für die vielfa hen Ku henspenden, die den Arbeitsalltag versüÿten. Vielen Dank an Andreas Heinemann für die Versorgung mit CT-Daten. Für das Korrekturlesen von kleineren und gröÿeren Abs hnitten der entstehenden Dissertation und die vielen hilfrei hen Anmerkungen bedanke i h mi h bei Ingo Boesna h, Dr. Otto W. Hahn, Susanne Hahn, Prof. Gerhard Hübner, Thomas Kreits hmann, Esther Kruts he, Reinhard Merk, Jörg Moldenhauer, Peter Möller, Wilhelm Möller und Dr. Wolfram Stein. Ein ganz besonderes Dankes hön ergeht an meine nun fast zwei Monate alte To hter Annika, dass sie mi h in den letzten Nä hten immer wieder s hlafen lieÿ. Meiner Familie und meinen Freunden danke i h für ihre Geduld mit mir und ihr Verständnis in den letzten Jahren. Abs hlieÿend sage i h Multas Gratias Susannae uxori arissimae.

i

ii

Inhaltsverzei hnis

Einleitung

1

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

5

1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6 1.7 1.8

1.9

Aufbau eines Computertomographen . . . . . . . . . . . Spiral omputertomographie . . . . . . . . . . . . . . . . Modellierung des Aufnahmeprozesses . . . . . . . . . . . Rekonstruktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Filterung im Frequenzraum . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Faltung im Radonraum . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Alternative Bere hnung im Radonraum . . . . . . 1.4.4 Bere hnung im Diskreten . . . . . . . . . . . . . . Impulsantwort der gelterten Rü kprojektion . . . . . . . 1.5.1 Impulsantwort des Rekonstruktionslters . . . . . 1.5.2 Impulsantwort der Rü kprojektion . . . . . . . . Metallsinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung und Spei herung von Rekonstruktionsbildern 1.7.1 Hounseld-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Spei herung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Artefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Raus hartefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Strahlaufhärtungsartefakte . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Streustrahlartefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Teilvolumenartefakte . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Abtastungsartefakte . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.6 Bewegungsartefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

2.1 Stand der Te hnik . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Direkte Verfahren . . . . . . . . . 2.1.2 Iterative Verfahren . . . . . . . . 2.2 Segmentierung von Metallsinusoiden . . 2.2.1 Bisherige Verfahren . . . . . . . . 2.2.2 Verbessertes Verfahren . . . . . . 2.3 Pseudorohdaten . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bere hnung von Pseudorohdaten iii

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5 7 8 10 12 13 14 15 15 16 17 18 20 21 21 22 24 27 33 34 34 35 35 37

38 39 45 46 46 49 52 53

iv

Inhaltsverzei hnis

2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

2.3.2 Clipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Artefaktbehaftete Rekonstruktionsbilder . . . . . . . 2.3.4 Metall auÿerhalb des gespei herten CT-Bildes . . . . Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten 2.4.1 Bestimmung inhomogener Regionen . . . . . . . . . . 2.4.2 Texturanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Waveletanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR) . . . 2.5.1 Tiefpasslterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Konvexe Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . Maÿe zur Bewertung radiologis her Bilder . . . . . . . . . . 2.6.1 Te hnis he Bildqualität . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Diagnostis he Bildqualität . . . . . . . . . . . . . . . Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR . . . . 2.7.1 Bildverbesserung eines artefaktbehafteten Bildes . . . 2.7.2 Auswirkungen auf das Rekonstruktionsbild . . . . . . Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze . Auswertung der Artefaktreduktion dur h Radiologen . . . . Kontraindikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klassikation raus hartefaktbehafteter Bilder . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Segmentierung medizinis her Daten

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln 3.1.1 Ballonmodell . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Krümmungsanalyse . . . . . . . . . . . 3.1.3 Bestimmung der Trennebenen . . . . . 3.1.4 Wirbelsegmentierung . . . . . . . . . . 3.1.5 Metallartefakte . . . . . . . . . . . . . 3.2 Wirbelsegmentierung in MRT-Datensätzen . . 3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Zusammenfassung und Ausbli k A Grundlagen

A.1 Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Inverse und s hle ht gestellte Probleme . . . . . . . . . . . A.1.2 Konvexe Kombinationen, Mengen, Hüllen und Funktionen A.1.3 Zusammenhang einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.4 Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.5 Grundlagen aus der Systemtheorie . . . . . . . . . . . . . . A.2 Grundlagen der Wavelettransformation . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Mathematis he Morphologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 54 63 64 66 69 70 84 85 90 94 94 99 99 100 106 110 133 136 136 140 143

143 145 149 152 153 155 155 157

159

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161

161 161 161 162 162 163 165 168

Inhaltsverzei hnis

v

Notationsverzei hnis

171

Abkürzungsverzei hnis

177

Literaturverzei hnis

179

Index

197

vi

Einleitung

Die Computertomographie (CT) ist seit einigen Jahren ein Standardverfahren zur Gewinnung tomographis her Aufnahmen in der medizinis hen Diagnostik sowie der Chirurgie. So werden beispielsweise Unfallverletzte häug vor einer Operation im CT untersu ht. Metalle, wie beispielsweise Zahnfüllungen, die si h im Aufnahmeberei h benden, führen häug zu starken Metallartefakten, insbesondere au h zu Raus hartefakten, die si h in vielen Fällen über das ganze Bild erstre ken und dadur h eine diagnostis he Auswertung sowie die weitere Bildverarbeitung oft erhebli h ers hweren oder gar unmögli h ma hen. In der Vergangenheit wurden vers hiedene Verfahren zur Reduktion von Raus hartefakten bes hrieben. Diese setzen voraus, dass die Rohdaten verfügbar sind oder dass das artefaktverursa hende Metall vollständig im Rekonstruktionsbild enthalten ist. In der Praxis ist in vielen Fällen keine von beiden Voraussetzungen erfüllt und deshalb keines der bestehenden Verfahren anwendbar. Im Rahmen dieser Arbeit wurde 1 RFMAR , ein Verfahren zur automatis hen Reduktion von Raus hartefakten, entwi kelt. Dieses basiert auss hlieÿli h auf den Rekonstruktionsbildern und erfordert ni ht, dass die artefaktverursa henden Metalle im Bild vorhanden sind. Die Rekonstruktionsbilder müssen dabei ni ht im DICOM2 -Format vorliegen. Prinzipiell ist es sogar mögli h, RFMAR auf alte, artefaktbehaftete CT-Bilder, die von Röntgenfolie digitalisiert wurden, anzuwenden. Zentraler Inhalt des ersten Kapitels ist die für die Bes hreibung von RFMAR wi htige Modellierung der CT-Bildgewinnung, das heiÿt der Aufnahme von Rohdaten und die Rekonstruktion von S hnittbildern aus diesen Daten, unter besonderer Berü ksi htigung der in diesem Prozess hervorgerufenen Artefakte. Dabei wird davon ausgegangen, dass zur Rekonstruktion das Standardverfahren in der CT, die gelterte Rü kprojektion, verwendet wird. Da si h die gelterte Rü kprojektion aus linearen Operatoren zusammensetzt, ist es mögli h, die Metallartefakte einheitli h anhand von Impulsantworten der gelterten Rü kprojektion zu bes hreiben. Dieser aus der Systemtheorie her bekannte Ansatz wird hier zum ersten Mal zur Bes hreibung von Metallartefakten genutzt. Eine wi htige Teilmenge der Rohdaten, in der besonders starke Störungen der Daten festzustellen sind, stellen die Metallsinusoide dar. Die Untersu hungen einiger geometris hen Eigens haften dieser Menge erlei htert im weiteren Verlauf der Arbeit das Verständnis von RFMAR. 1 RohdatenFreies MetallArtefaktReduktionsverfahren

2 DICOM (Digital Imaging and COmmuni ations in Medi ine): Standard zur Spei herung und Übertragung medizinis her Bilddaten [24, 141℄.

1

2

Einleitung

Das zweite Kapitel beginnt mit einem Überbli k über bisherige Verfahren zur Metallartefaktreduktion. Ein weiterer wi htiger Bestandteil bildet die Analyse von Pseudorohdaten, die dur h virtuelle Tomographie von Rekonstruktionsbildern gewonnen werden. Diese bilden die Grundlage für RFMAR. Dur h geeignete Modikationen und eine ans hlieÿende gelterte Rü kprojektion dieser Daten wird die Raus hartefaktreduktion von RFMAR realisiert. Deshalb geht die Analyse der Pseudorohdaten insbesondere der Frage na h, wie Störungen in den ursprüngli hen Rohdaten in die Pseudorohdaten abgebildet werden. Besonders wi htig für eine erfolgrei he Raus hartefaktreduktion mit RFMAR ist die Segmentierung der Metallsinusoide in den Pseudorohdaten. Es wird gezeigt, dass si h herkömmli he Methoden zur Segmentierung von Metallsinusoiden in den Rohdaten im Allgemeinen ni ht dafür eignen. Deshalb werden neue Verfahren entwi kelt und analysiert. Unter diesen erzielt die Waveletanalyse das beste Resultat. Im Ans hluss an die Segmentierungsverfahren wird RFMAR bes hrieben und analysiert. Die Bewertung der erzielten Bildqualität ges hieht einerseits anhand vers hiedener Verglei hsmaÿe, von denen eines im Rahmen dieser Arbeit entwi kelt wurde, andererseits dur h eine Darstellung etli her CT-Bilder vor und na h Artefaktkorrektur, die zusätzli h zum gröÿten Teil au h von einer Gruppe Radiologen ausgewertet wurden. Hierbei stieÿ RFMAR dur hweg auf gute bis sehr gute Resonanz. Im Weiteren wird ein s hnelles texturbasiertes Verfahren vorgestellt, mit dem si h zuverlässig raus hartefaktbehaftete CT-Bilder klassizieren lassen. Dadur h ist es mögli h, automatis h viele Bilder zu untersu hen und auf die artefaktbehafteten RFMAR anzuwenden.

Die Segmentierung medizinis her Daten spielt im zweiten Kapitel bereits eine wi htige Rolle und ist zentrales Thema des dritten Kapitels, in dem ein neues Verfahren zur dreidimensionalen Segmentierung von Halswirbeln aus CT-Volumendaten bes hrieben wird. Der Ansatz beruht darauf, einen virtuellen Ballon in Form eines Feder-Masse-Modells in den Wirbelkanal einzusetzen und diesen iterativ zu dilatieren. Er approximiert eine dierenzierbare 2-Mannigfaltigkeit im R3, deren Oberä henkrümmung ezient abges hätzt werden kann. Anhand der Oberä henkrümmung lassen si h elliptis he Regionen auf dem Ballon detektieren, die den Zwis henwirbelberei hen entspre hen. Deren Position wird zur Bestimmung von Trennebenen verwendet. Diese wiederum ermögli hen eine Segmentierung der Wirbel dur h Region Growing. Einsatzmögli hkeiten des Verfahrens ergeben si h in der Diagnostik, der Therapie oder au h der Planung von hirurgis hen Eingrien. Besonders interessant ist das Verfahren dadur h, dass es si h mit nur geringen Modikationen au h für Magnetresonanztomographie(MRT)-Daten eignet. Ein groÿes Problem für den Einsatz der Ballon-basierten Wirbelsegmentierung bei CT-Daten stellen Metallartefakte dar. Dur h eine Raus hartefaktreduktion dur h RFMAR lassen si h diese jedo h so reduzieren, dass das Ballonverfahren erfolgrei h eingesetzt werden kann.

Einleitung

3

Allgemeine Bemerkungen

In dieser Arbeit werden bei Grauwertdarstellungen, soweit ni hts anderes angegeben, Werte niedriger Intensität dunkel und Werte hoher Intensität hell dargestellt. Die Laufzeit von Algorithmen bezieht si h auf einen Intel Pentium 4PC mit 2,5 GHz und 2 GByte RAM unter Windows XP Professional SP 2. Die Algorithmen in den ersten beiden Kapiteln wurden unter Matlab Version 7, R14 ausgeführt. Im dritten Kapitel kamen Java 2 und Java3D 1.3.1 zum Einsatz. Zur Hervorhebung von Programm ode vom übrigen Text wird ein S hreibmas hinenfont verwendet.

4

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

I

n den 1970er Jahren, ungefähr 80 Jahre na h der Entde kung der Röntgenstrahlen dur h Wilhelm Conrad Röntgen [169℄, gelang es Godfrey N. Hounseld [87℄ basierend auf Arbeiten des Physikers Allan M Leod Corma k [28, 29℄ einen ersten Röntgen-Computertomographen (CT1 ) zur Erzeugung von Patientens hnittbildern zu entwi keln. Moderne CTs ermögli hen s hnelle tomographis he2 Aufnahmen des Körperinneren in hoher submillimetris her Auösung. Mittlerweile ist die CT ein Standardverfahren, ohne deren Einsatz viele Berei he der Medizin ni ht mehr denkbar wären. CT-Bilder werden dur h Rekonstruktionsverfahren aus Messwerten bere hnet, die während der CT-Aufnahmen gewonnen werden. Die Bere hnung von Rekonstruktionsbildern ist jedo h ein s hle ht gestelltes Problem (vgl. Def. A.2) und deshalb empndli h gegenüber Raus hen und anderen Störungen in den Messwerten [123, 139, 167℄. Dies äuÿert si h dur h Artefakte , die die Rekonstruktionsbilder zum Teil erhebli h beeinträ htigen. Bendet si h Metall, wie beispielsweise Amalgamfüllungen, im Messberei h, ergeben si h meist besonders starke Metallartefakte . Die Ausprägung der Artefakte ist abhängig vom verwendeten Rekonstruktionsverfahren. In der medizinis hen Radiologie wird dazu in der Regel die gelterte Rü kprojektion [20, Kap. 5.3℄, [86℄, [89, Kap. 3.6℄ verwendet. Deshalb wird in dieser Arbeit hauptsä hli h dieses Verfahren bes hrieben3 und anhand von Impulsantworten analysiert. Dies dient im Folgenden der Bes hreibung von Metallartefakten.

1.1 Aufbau eines Computertomographen Die CT-Aufnahme ndet in der Abtasteinheit (Gantry) statt. Zur Tomographie eines Patienten wird dieser auf einem Patiententis h in der Abtasteinheit des CT positioniert (s. Abb. 1.1). Dur h eine s hmale Blende gelangen Röntgenstrahlen einer 1 Die Abkürzung als au h für

2 grie h.:

CT wird als Abkürzung im Weiteren Röntgen-Computertomograph verwendet.

ὁ τόμος

= abges hnittenes Stü k

sowohl für

Röntgen-Computertomographie

3 Weitere Rekonstruktionsverfahren ndet man in [18, 20, 40, 82, 102, 108, 114, 145, 160, 164, 173, 175, 201, 223, 224℄.

5

6

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

rotierenden Röhre in das Messfeld , dur hdringen den Patienten und treen mit abges hwä hter Intensität auf der gegenüberliegenden Seite auf Detektoren, die die verbleibenden Intensitäten in vers hiedenen diskreten Winkelstellungen der Röntgenröhre messen. Dur h Kippung der Abtasteinheit (Gantry Tilt) wird die Aufnahmeebene festgelegt. Der Aufbau der Abtasteinheit hat si h im Lauf der Zeit viermal grundlegend geändert. Im Folgenden werden die vier CT-Generationen kurz bes hrieben. Ausführli he Bes hreibungen ndet man in [20, 89, 138℄. verschieb- und rotierbare Röntgenquelle

Messfeld

Röntg enstra

Gantry

hlen

Patiententisch

(a) Seitenansi ht

(b) Frontansi ht

Abbildung 1.1: S hematis her Aufbau eines Computertomographen der ersten Gene-

ration.

Bei Tomographen der ersten Generation ist die Röntgenquelle mit einem nadelförmigen Strahlaustritt versehen. Auf der gegenüberliegenden Seite bendet si h ein einziger Detektor. In jeder Winkelstellung werden mehrere Messungen dur hgeführt, zwis hen denen die Röntgenröhre und der Detektor parallel zueinander so vers hoben werden, dass das gesamte Messfeld an äquidistanten Positionen abgetastet wird. Dieser Aufbau wird Parallelstrahlgeometrie genannt. Seit den Tomographen der zweiten Generation wird eine Röntgenröhre mit fä herförmigem Strahlaustritt verwendet. Auf der gegenüberliegenden Seite wird anstelle eines einzelnen Detektors ein Detektorarray verwendet. Dadur h lassen si h glei hzeitig mehrere Werte messen. Wie bei Tomographen der ersten Generation werden in jeder Winkelstellung mehrere Messungen dur hgeführt, zwis hen denen die Röntgenröhre und das Detektorarray parallel zueinander vers hoben werden. In den heute übli hen Tomographen der dritten und vierten Generation kann im Verglei h zu Tomographen der zweiten Generation dur h Einsatz eines stärker gespreizten Fä hers von Röntgenstrahlen ein viel gröÿerer Berei h des Messfeldes abgetastet werden. In jeder Winkelstellung wird nur eine einzige Aufnahme gema ht. Die Röntgenröhre rotiert dazu kontinuierli h um den Patienten, während in festen

7

1.2 Spiral omputertomographie

Zeitabständen die Detektoren ausgelesen werden. Die Detektoren benden si h bei Tomographen der dritten Generation auf einem Detektorfeld, das zusammen mit der Röntgenröhre um das Messfeld rotiert und bei Tomographen der vierten Generation auf einem feststehenden Ring um das Messfeld4 . Man nennt die Aufnahmegeometrie dieser Tomographen Fä herstrahlgeometrie . Zur Rekonstruktion von CT-Aufnahmen, die in einer Fä herstrahlgeometrie aufgenommen wurden, ist die genaue Kenntnis aller geometris hen Parameter, wie der Önungswinkel des Fä herstrahls oder die Abstände zwis hen der Röntgenröhre und dem Drehzentrum beziehungsweise den Detektoren, erforderli h. Häug variieren geometris he Parameter sogar zwis hen unters hiedli hen Tomographen des glei hen Herstellers. Dur h Umsortieren der Röntgenstrahlen (Rebinning) [20, Kap. 6.6.1℄ lassen si h diese Geometrien jedo h auf die eine geräteunabhängige Parallelstrahlgeometrie zurü kführen5 , in der si h sowohl die Modellierung der CT-Aufnahme als au h die Bes hreibung von Rekonstruktionsverfahren besonders gut darstellen lassen. Aus diesem Grund wird im Weiteren von einer Parallelstrahlgeometrie ausgegangen. Jeder einzelne Röntgenstrahl ρl,θ wird dabei wie in Abbildung 1.2 dargestellt dur h das Tupel (l, θ) adressiert, wobei l die kollineare Vers hiebung und θ die Winkelstellung bes hreibt.

1.2 Spiral omputertomographie Das Spiral-CT -Aufnahmeverfahren wurde erstmals 1989 von Kalender und Vo k [105, 205℄ vorgestellt6. Es ermögli ht in verglei hsweise kurzer Zeit einen groÿen Körperberei h aufzunehmen. Innerhalb des aufgenommenen Berei hs lassen si h parallele S hnittbilder in beliebigen Positionen rekonstruieren. Die Spiral-CT hat si h mittlerweile als Standardverfahren in der Radiologie etabliert, mit dem au h alle in dieser Arbeit verwendeten radiologis hen Aufnahmen erstellt wurden. Bei der Spiral-CT wird der Patiententis h während der Aufnahme mit konstanter Ges hwindigkeit unter der Abtasteinheit hindur hbewegt. Dadur h bes hreibt die Röntgenröhre eine s hraubenförmige Kurve um den Patienten. Mit Hilfe von Interpolationsverfahren, die in [20, 103, 138℄ bes hrieben werden, und ans hlieÿendem Rebinning lassen si h daraus Messdaten in Parallelstrahlgeometrie und beliebiger Position innerhalb der S hraubenlinie gewinnen. 4 Bei Fä herstrahltomographen wird nur ein kreiss heibenförmiger Teilberei h im Zentrum des Messfeldes (

s an eld of view ) ausrei hend abgetastet und daraus ein CT-Bild rekonstruiert [143℄.

In dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass der Patient jeweils komplett innerhalb dieser Kreiss heibe und damit in allen Winkelstellungen vollständig innerhalb des Fä hers liegt.

5 Heutige Tomographen sind zum Teil als

Mehrzeiler-CT

ausgeführt, d. h. sie besitzen mehrere

Detektorzeilen bzw. eine Detektormatrix. Die daraus resultierenden Messdaten lassen si h jedo h ni ht auf zweidimensionale Geometrien übertragen [20, Kap. 7.4℄. Rekonstruktionsverfahren für Mehrzeiler-CT ndet man in [20℄. Sie sind jedo h ni ht Gegenstand dieser Arbeit.

6 Siehe au h [103, Kap. 3℄.

8

...

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Röntgenquelle: sendet mit Intensität I0

y ñl ,è 0 0 _ è0

...

è0 è0

l

1

...

x

l0

2

f (l0 ,è0)

...

De

Ù

tek tor en 0

Messwert am Detektor l0:

Abbildung 1.2: Parallelstrahlgeometrie. Der Röntgenstrahl

ρl0 ,θ0

wurde exemplaris h her-

vorgehoben.

1.3 Modellierung des Aufnahmeprozesses Zur Modellierung des Aufnahmeprozesses wird zunä hst davon ausgegangen, dass die Röntgenstrahlen mono hromatis h sind, das heiÿt eine einzige Frequenz aufweisen, und si h geradlinig ausbreiten. Zunä hst wird nur ein einziger Röntgenstrahl betra htet, der von der Röntgenquelle an Position p0 dur h das Gewebe dringt und zum Detektor an Position p1 gelangt. Die Intensität des Röntgenstrahls an der Position pλ, λ ∈ [0, 1] wird mit Iλ bezei hnet, wobei I0 die Ausgangsintensität an der Röntgenröhre und I1 die Intensität am Detektor darstellt. Ist die Intensität Iλ in pλ bekannt, so ergibt si h die Intensität Iλ+∆λ in pλ+∆λ mit einem innitesimalen ∆λ zu Iλ+∆λ = Iλ − µλ ∆λIλ .

(1.1)

Der Proportionalitätsfaktor µλ wird S hwä hungskoezient des Gewebes in pλ genannt. Er ist gewebespezis h und hauptsä hli h dur h die Ordnungszahl der Atome und die Di hte des Gewebes bestimmt (vgl. [42, Kap. 1.2℄). Für S hwä hungskoefzienten auÿerhalb des Strahlengangs wird deniert ∀λ ∈ / [0, 1] : µλ = 0.

9

1.3 Modellierung des Aufnahmeprozesses

Eine Grenzwertbildung in (1.1) führt zu dI = −µλ Iλ dλ

mit der Lösung

Iλ = I0 e

−

Rλ

(1.2)

µσ dσ

0

.

Daraus bestimmt si h der Projektionswert µˇ folgendermaÿen: I0 µ ˇ := ln = I1

Z1

µσ dσ =

0

Z∞

µσ dσ.

(1.3) (1.4)

−∞

Bei der CT-Aufnahme werden die Projektionswerte µˇ(l, θ) entlang der Geraden

¯ = l} ρl,θ := {x ∈ R2 |hx, θi (1.5) bestimmt, wobei (l, θ) ∈ (−1, 1)×[0, 2π) und θ¯ := (cos θ, sin θ)t ∈ S 1 (vgl. Abb. 1.2).

Sei θ⊥ = (− sin θ, cos θ)t ∈ S 1 ein Vektor, der senkre ht auf θ¯ steht. Für f ∈ L1(R2) wird dur h Rf (l, θ) :=

=

Z∞

f (lθ¯ + tθ⊥ ) dt

−∞ Z∞ Z∞

−∞ −∞

   x ¯ , θ − l) dxdy f (x, y) δ( y

(1.6) (1.7)

mit l ∈ R und θ ∈ [0, 2π) ein Operator deniert, der na h Johann Radon [162℄ Ragenannt wird. Die Funktion fˇ := Rf wird Radontransformierte beziehungsweise Sinogramm von f genannt. Aufgrund (1.4) stellt die Radontransformation ein geeignetes Modell für die CT-Aufnahme der S hwä hungskoezienten µ des Gewebes im Strahlengang dar. Die im CT tatsä hli h gemessenen Rohdaten µ ˇ stellen im Wesentli hen eine Abtastung des Sinogrammes Rµ bezügli h θ und l dar. Im Weiteren werden jedo h au h diese als Radontransformierte beziehungsweise Sinogramm bezei hnet. Aus (1.6) ergibt si h die Symmetriebedingung fˇ(l, θ) = fˇ(−l, −θ). (1.8) Somit ist die Radontransformation dur h die Projektionswerte in [0, π) bereits eindeutig bestimmt. Für die auf diesen Berei h einges hränkte Radontransformierte sowie deren diskrete Approximationen werden im Weiteren die Bezei hnungen wie oben verwendet. Weitere Eigens haften der Radontransformation sind in Tabelle 1.1 zusammengefasst. Für detailliertere Darstellungen sowie Verallgemeinerungen sei auf [10, 20, 79, 80, 82, 93, 102, 126, 127, 138, 139, 157, 162, 164, 186, 201℄ verwiesen. Die Rekonstruktion von CT-Bildern erfolgt anhand numeris her Verfahren zur Bere hnung der inversen Radontransformation R −1. dontransformation

10

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Linearität Vers hiebung Rotation Faltung

[R{αg + βh}] = α [Rg] + β [Rh] [Rf (x − a, y − b)] (l, θ) = fˇ(l − (a cos θ + b sin θ), θ) [Rg(r, φ)] (l, θ) = [Rg(r, φ − φ0 )] (l, θ − φ0 ) [R{g ∗ h}] = [Rg] ∗l [Rh]

Tabelle 1.1: Eigens haften der Radontransformation. Es gilt

α, β ∈ R.

Die Angabe der

Rotationseigens haft erfolgt für Polarkoordinaten.

1.4 Rekonstruktionsverfahren Sowohl die im CT gemessenen Rohdaten fˇ als au h das rekonstruierte Bild f können in der Praxis ni ht kontinuierli h sondern nur diskret sein. Deshalb lässt si h das diskrete fˇ als lineares Glei hungssystem fˇ = Rf darstellen, wobei R derjenige lineare Operator ist, der die Radontransformation des diskretisierten Urbildes f bes hreibt. Die Gewi hte in R berü ksi htigen die von Röntgenstrahlen endli her Breite dur hleu hteten Flä hen der einzelnen Pixel in f [66, 112℄. Dabei können unters hiedli he Pixelgeometrien als Grundlage dienen [39, Kap. 4℄. Das Rekonstruktionsbild f˜ bestimmt si h anhand der Pseudoinversen R+ [195℄ zu f˜ ≈ R+fˇ [20, 167℄. Diese Lösung minimiert den Fehler f˜ = arg min kRf − fˇk2. Die Lösung des Glei hungssystems kann anhand der Singulärwertzerlegung von R erfolgen [20, Kap. 5.12℄. Im Allgemeinen sind die auftretenden Matrizen jedo h so groÿ, dass eine direkte Bere hnung ni ht praktikabel ist und deshalb iterativ Näherungslösungen bestimmt werden7 . Dies ist jedo h sehr zeitintensiv [71, Kap. 5.2.4℄, weshalb die iterativen Verfahren bislang kaum praktis he Relevanz für die CT haben und deshalb in diesem Rahmen ni ht näher beleu htet werden. Für detaillierte Bes hreibungen sei auf [20, 39, 66, 95 97, 101, 102, 123, 139, 140, 224℄ verwiesen. Der folgende Satz ist die Grundlage für das Fourierrekonstruktionsverfahren [138, Kap. 5.4℄. Im Folgenden wird er zur Herleitung der gelterten Rü kprojektion verwendet. Satz 1.1 (Fourier-S heiben-Theorem)

¯ für alle θ¯ ∈ S fˆ(tθ) F (fˇ(·, θ)) so, dass

1

Sei

f ∈ L1 (R2 )

und

t ∈ R.

Dann ist

proportional zu den fouriertransformierten Projektionswerten

[Fl→ω fˇ](ω, θ) =

√

¯ 2π fˆ(ω θ).

2

7 Aufgrund der S hle htgestelltheit des Problems ist selbst bei entspre hender Re hnerkapazität ein Regularisierungsverfahren vorzuziehen [167℄.

11

1.4 Rekonstruktionsverfahren

Beweis: 1 [Fl→ω fˇ](ω, θ) = √ 2π 1 =√ 2π

Z∞

−∞ Z∞

fˇ(l, θ)e −ılω dl  

Z∞ Z∞

−∞ −∞ −∞ Z∞ Z∞

    x ¯ f (x, y) δ( , θ − l) dxdy  e −ılω dl y

(1.9)

x ¯ 1 f (x, y)e −ıωh(y),θi dxdy =√ 2π −∞ −∞ √ ¯ = 2π fˆ(ω θ)



Sei f

∈ S (R2 ). Dann gilt unter Verwendung F −1 fˆ und Satz 1.1 (vgl. [20, 82, 158, 201℄):

1 f (x, y) = 2(2π)

Z2π Z∞ 0

=

von Polarkoordinaten aufgrund f

=

¯ ıωh(y),θ¯i ω dωdθ fˆ(ω θ)e x

0

1 4π

Zπ Z∞

¯ ıωh(y),θi dωdθ |ω|fˆ(ω θ)e

1 4π

Zπ Z∞

|ω|[Fl→ω fˇ](ω, θ)e ıωh(y),θi dωdθ

x

¯

0 −∞

=

x

¯

0 −∞

=

1 ∗ −1 R Fω→l |ω|[Fl→ω fˇ](ω, θ). 4π

(1.10)

Hierbei bezei hne R ∗ den wie folgt denierten adjungierten Operator von R : ∗

[R g](x, y) :=

Zπ

g(x cos θ + y sin θ, θ) dθ =:

0

Zπ

g(σ(x,y) (θ), θ) dθ.

(1.11)

0

Dieser Operator wird Rü kprojektionsoperator genannt [158℄, die Kurven σ(x,y) : θ 7→ x cos θ + y sin θ,

werden im Weiteren als Sinusoide bezei hnet.

θ ∈ [0, π)

(1.12)

12

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

1.4.1 Filterung im Frequenzraum Die gelterte Rü kprojektion ergibt si h na h (1.10) dur h Filterung der Radontransformierten entlang der Spalten mit dem Filter |ω| und einer ans hlieÿenden Rü kprojektion8. Aufgrund der diskreten Abtastung des Bildes f weisen die Rohdaten eine Maximalfrequenz α ∈ R+ mit 0 ≤ |ω| ≤ α auf. Aus diesem Grund kann man anstelle des unbegrenzten Filters |ω| in (1.10) ein gefenstertes Rekonstruktionslter ηˆ verwenden. Dazu bieten si h vers hiedene Fenster an [147, 148, 161℄. Eine Fensterung mit dem idealen Tiefpass ergibt  ω ω ω  ηˆ(ω) = |ω| Π( ) = α Π( ) − Λ( ) . 2α 2α α

(1.13)

Dieses Filter wird na h seinen Erndern Rama handran und Lakshminarayanan Ram-Lak-Filter [20, Kap. 6.1.1℄ oder au h Rampenlter [39, 86, 163, 201℄ genannt. Da ho hfrequentes Raus hen dur h dieses Filter verstärkt wird, werden in der Praxis übli herweise Filter verwendet, bei denen hohe Frequenzen weniger stark gewi htet werden. Das heiÿt, sie gehen aus dem Ram-Lak-Filter dur h eine zusätzli he Tiefpasslterung hervor. Ein häug verwendetes Filter ist das folgende Shepp-LoganFilter [181℄: ω ω ηˆ(ω) = |ω| Π( ) sinc( ). (1.14) 2α 2α Dieses Filter wird, soweit ni ht anders angegeben, au h in dieser Arbeit zur Rekonstruktion verwendet. Eine Bes hreibung weiterer gebräu hli her Rekonstruktionslter ndet si h in [20, Kap. 6℄, [93, Kap. 10.6℄, [166, 173℄. Eine Darstellung des Ram-Lakund des Shepp-Logan-Filters ndet si h für α = 0,5 in Abbildung 1.3. 0,5 0,45

0,25

^ |ç( ù)|

Ram-Lak Shepp-Logan

0,4

ç(t)

0,2 0,15

0,35 0,3

0,1

0,25

0,05

0,2

0

0,15 -0,05

0,1

-0,1

0,05

ù

0 -0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4 á 0,6

t

-0,15 -10

(a) Ram-Lak- und Shepp-Logan-Filter

-5

0

5

10

(b) Ram-Lak-Faltungskern

Abbildung 1.3: Rekonstruktionslter und Faltungskern.

8 Eine Fortsetzung der gelterten Rü kprojektion von

RS

auf

bestimmten Voraussetzungen mögli h [126℄, [139, Th. II 1.6℄.

RL1

beziehungsweise

RL2

ist unter

13

1.4 Rekonstruktionsverfahren

1.4.2 Faltung im Radonraum Sei η gilt:

:= F −1 ηˆ

für ein bandbegrenztes Filter ηˆ. Aufgrund des Faltungstheorems 1 ∗ −1 R F ηˆF fˇ 4π 1 ∗ ≈ R η ∗l fˇ. 4π

f≈

(1.15) (1.16)

Somit lässt si h die gelterte Rü kprojektion au h als Faltung mit dem Rekonstruktionsfaltungskern η bere hnen [40, Kap. 6.4℄. Dieser ergibt si h für das Ram-Lak-Filter na h (1.13) und der Potenzformel sin2 x = 1/2(1 − cos 2x) [17℄ aufgrund der Linearität der Fouriertransformation zu ω ω ) − Λ( ))(t) 2α α 2 = α (2 sin (2αt) − sin 2 (αt)) α sin(2απt) 1 − cos(2απt) = − . πt 2(πt)2

η(t) = αF −1 (Π(

(1.17)

Der zu dem Ram-Lak-Filter (s. Abb. 1.3(a)) korrespondierende Faltungskern ist in Abbildung 1.3(b) dargestellt. Dur h Glättung dieses Faltungskernes ergeben si h die für die CT gebräu hli hen Rekonstruktionsfaltungskerne. Einen Überbli k über Rekonstruktionsfaltungskerne bieten [20, 22, 138℄. Aufgrund (1.17) gelten für Rekonstruktionsfaltungskerne η folgende asymptotis he Bes hränkungen na h oben und unten für |t| → ∞: α ) πt α = Ω(− ). πt

η = O(

(1.18) (1.19)

Für |t| → 0 lassen si h die Rekonstruktionsfaltungskerne η abs hätzen dur h: −α < η ≤ α.

(1.20)

Insgesamt lässt si h das Abklingen der Intensitäten in den Rekonstruktionsfaltungskernen dur h − min{α, |α/πt|} ≤ η ≤ min{α, |α/πt|} bes hreiben, wie in Abbildung 1.4 für α = 1 dargestellt ist. Für alle Rekonstruktionsfaltungskerne η gilt: Lemma 1.1

Der Mittelwert des Faltungskernes

η

vers hwindet.

Beweis: Na h Konstruktion gilt für den Mittelwert η¯ = β ηˆ(0) = 0.

2 

14

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT 2

1 2 3 4 5

1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -3

-2

-1

0

1

2

3

Abbildung 1.4: Abs hätzung des Intensitätsverlaufs des zum Ram-Lak-Filter korrespon-

dierenden Faltungskerns für

α = 1.

Die Intensitäten anderer Rekon-

struktionsfaltungskerne klingen aufgrund der Glättung no h s hneller

t 7→ 2 sin (2t), 2: t 7→ sin 2 (t), 3: t 7→ 2 sin (2t) − t 7→ min{1, |1/πt|}, 5: t 7→ − min{1, |1/πt|}

ab. 1: 4:

sin

2

(t),

1.4.3 Alternative Bere hnung im Radonraum Eine weitere Mögli hkeit zur Bere hnung der gelterten Rü kprojektion ergibt si h dur h die folgende Zerlegung des Filters ηˆ: 1 |ω| = ( sgn(ω)) (ıω). (1.21) ı Sei nun g ∈ S (R). Für den Dierentialoperator D [173℄ mit [Dg](t) =

∂ g(t + h) − g(t) g = lim h→0 ∂x h

(1.22)

und den Hilbertoperator H [139℄ mit 1 [H g](t) = π

Z∞

−∞

gelten na h [15, 139℄ und

1 g(y) dy = ∗l g(t) t−y πt

[F (Dg)](ω) = (ıω)ˆ g (ω) [F (H g)](ω) =

1 sgn(ω)ˆg(ω). ı

Hierbei ist das Integral in(1.23) als Cau hy's her Hauptwert gemäÿ  Z∞ ˇ f (y, θ)  dy + dy  l−y l−y

 l−ǫ  Z fˇ(y, θ)

1 [H fˇ](l, θ) = lim π ǫ→0 

−∞

l+ǫ

(1.23) (1.24) (1.25)

15

1.5 Impulsantwort der gelterten Rü kprojektion

zu interpretieren [82, Kap. 8℄. Aus (1.21), (1.24) und (1.25) folgt

(1.26) Sowohl der Dierential- als au h der Hilbertoperator lassen si h als Faltungskerne realisieren (vgl. etwa [147℄). F −1 |ω| = η = H D.

1.4.4 Bere hnung im Diskreten In der Praxis stellen die Sinogramme diskrete und keine kontinuierli hen Funktionen dar. Des Weiteren werden die kontinuierli hen dur h diskrete Operatoren approximiert [20, 82, 173℄. Ausführli he Untersu hungen zu den Genauigkeiten der diskreten Rekonstruktion ndet man in [6, 40, 50, 51, 82, 86, 120, 123, 139, 173, 203℄. Die Fehler sind bei ausrei hender Abtastung des Sinogramms und geeignetem Rekonstruktionslter gering [82, Kap. 16.4℄, [123, Kap. 6.3℄, [139℄. Es wird deshalb im Weiteren weder zwis hen kontinuierli hen und diskreten Operatoren no h zwis hen kontinuierli hen und diskreten Bildern L1(R2), S (R2) beziehungsweise l1(Z2) explizit unters hieden. Seien #θ ∈ N, #l ∈ N, #η ∈ N die Anzahl der Aufnahmewinkel und der Detektoren sowie die die Länge des diskreten Rekonstruktionsfaltungskerns und n × n die Gröÿe des Rekonstruktionsbildes, dann beträgt der Aufwand für die Filterung im Frequenzraum O(#θ#l log #l) und der Aufwand für die Faltung im Radonraum O(#θ#l#η). Die Weglängen der Sinusoide, über die bei der Rü kprojektion integriert wird, liegen in O(#θ#l). Für jedes Pixel des Rekonstruktionsbildes ndet eine Integration über einen Sinusoid statt. Somit ergibt si h ein Gesamtaufwand von O(n2#θ#l) für die Rü kprojektion. Die grundlegende Bere hnung erfolgt mit Algorithmus 1.1. Hierbei bere hne die Funktion interpoliere(fˇ, l, θ) einen Funktionswert von fˇ an der Stelle (l, θ) dur h geeignete Interpolation. Allgemeine Bes hreibungen zur Implementierung der gelterten Rü kprojektion ndet man in [20, 59, 139, 167, 173, 174, 201℄. In dieser Arbeit wird die gelterte Rü kprojektion mit der Matlab-Implementierung iradon [131℄ bere hnet. Deren Laufzeit beträgt für Sinogramme der Gröÿe 729×1.024, die in dieser Arbeit bei radiologis hen CT-Daten Verwendung nden, ungefähr 130 Sekunden. Das Verhalten der gelterten Rü kprojektion und insbesondere Artefakte lassen si h anhand von Impulsantworten der gelterten Rü kprojektion bes hreiben. Diese werden im folgenden Abs hnitt untersu ht.

1.5 Impulsantwort der gelterten Rü kprojektion Im Folgenden wird für (l, θ) ∈ R×[0, π) die Impulsantwort R −1δl ,θ eines δ-Impulses δl ,θ (l, θ) = δ(l − l0 )δ(θ − θ0 ) (1.27) 0

0

0

0

16

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Algorithmus 1.1 Gelterte Rü kprojektion

Eingabe: Ausgabe:

fˇ : {0, . . . , #l} × {0, . . . , #θ} → R f˜ : Z2 ⊃ Def(f˜) → R

Sinogramm Rekonstruktionsbild

/* Filterung im Radon- oder im Frequenzraum */ forea h s ∈ {0, . . . , #θ} do filtere(fˇ(·, s));

1 2 3

od

4

/* Initialisierung eines Akkumulators als Nullmatrix */ akkumulator ← newdouble[#l,#θ℄ /* Rü kprojektion */ forea h (x,y) ∈ Def(f˜) do for s ← 0, . . . , #θ do akkumulator[x,y℄ ← akkumulator[x,y℄ + interpoliere(fˇ, x cos s + y sin s, s);

5 6 7 8 9 10 11 12

od

13

od

an der Stelle (l0, θ0) im Sinogramm untersu ht. Dazu wird zunä hst die Impulsantwort des Rekonstruktionslters analysiert und daraus die Impulsantwort der gelterten Rü kprojektion abgeleitet. 1.5.1 Impulsantwort des Rekonstruktionslters Die Impulsantwort eines Rekonstruktionslters ηˆ entspri ht oenbar dessen Rekonstruktionsfaltungskern η = F −1ηˆ (vgl. Kap. 1.4.2). Alle Filter ηˆ leiten si h aus dem Rampenlter |ω| ab und sind deshalb wie dieses reellwertige gerade Funktionen und damit insbesondere a hsensymmetris h bezügli h des Ursprungs. Somit sind au h die Rekonstruktionsfaltungskerne η symmetris h bezügli h des Ursprungs [15℄, [122, Kap. 4.1℄. Die Faltungskerne sind zunä hst ni htlokal9,10 . Dies liegt daran, dass das Rampenlter |ω| in ω = 0 ni ht dierenzierbar ist [145℄. Für die Entstehung von Raus hartefakten spielen jedo h die Extrema des jeweiligen Faltungskernes, insbesondere das Maximum bei t = 0 und die re hts und links daneben liegenden Minima, die wesentli he Rolle. Die Antwort des Rekonstruktionslters auf einen Impuls δl ,θ (l, θ) ist folgli h der Rekonstruktionsfaltungskern η an der Stelle l0 entlang der Spalte θ0. 0

0

9 Ni htlokalität bedeutet in diesem Fall, dass der Träger ein relativ groÿes Intervall überde kt.

10 Die Ni htlokalität spiegelt si h au h in der Ni htlokalität des Hilbertoperators in (1.26) wider, die si h aus (1.23) ergibt (vgl. [15, 146℄).

17

1.5 Impulsantwort der gelterten Rü kprojektion

1.5.2 Impulsantwort der Rü kprojektion Die Impulsantwort des Rekonstruktionslters, das heiÿt der Rekonstruktionsfaltungskern, lässt si h als Linearkombination Z

(1.28)

η(s, ρ)δs,ρ ds

R

einzelner Impulse auassen. Da die Rü kprojektion ein linearer Operator ist [173℄ können somit die Impulsantworten der gelterten Rü kprojektion wie folgt dur h die Antworten der Rü kprojektion auf die Linearkombination der einzelnen Impulse in (1.28) darstellen. Sei wie in (1.5) ρl,θ ⊂ R2 eine Gerade im Ortsraum für (l, θ) ∈ R × [0, π). Na h (1.11) gilt nun für die Rü kprojektion eines Impulses δl ,θ 0

0

(1.29)

R ∗ δl0 ,θ0 = χρl0 ,θ0

und damit anhand (1.16), (1.28) und (1.29) für die Impulsantwort R −1δl ,θ der gelterten Rü kprojektion 0

R

−1

δl0 ,θ0

1 = 4π

Z

R

0

(1.30)

η(l − l0 )χρl,θ0 dl.

Die Impulsantworten der gelterten Rü kprojektion ergeben si h also dur h Linearkombinationen der Funktionen χρ , wobei die Gewi hte proportional zu dem Rekonstruktionsfaltungskern gewählt werden. Als Beispiel wird in Abbildung 1.5 die Antwort auf einen Impuls δl ,θ bei der gelterten Rü kprojektion dargestellt. In der 3D-Oberä hendarstellung (Abb. 1.5(b)) ist die Kontur des zugrundeliegenden Rekonstruktionsfaltungskerns deutli h zu erkennen. li ,θ0

0

0

(a)

Abbildung 1.5: (a)

(b)

Impulsantwort

R −1 δl0 ,θ0

Oberä hendarstellung

des

struktionslter: Shepp-Logan.

im

Rekonstruktionsbild.

markierten

Auss hnitts

in

(b)

(a).

3D-

Rekon-

18

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Es sei hier no h angemerkt, dass si h die Impulsantworten unters hiedli her Rekonstruktionsverfahren im Allgemeinen unters heiden. Je na h Rekonstruktionsverfahren ergeben si h deshalb unters hiedli he Defektbilder. Diese Arbeit bes hränkt si h jedo h auf die Analyse der gelterten Rü kprojektion, die standardmäÿig in der Radiologie verwendet wird.

1.6 Metallsinusoide Die Teilmenge der Metallsinusoide innerhalb eines Sinogramms spielt eine wi htige Rolle für die Entstehung von Metallartefakten . Das sind häug besonders stark ausgeprägte Artefakte, die dur h Metall im Strahlengang hervorgerufen werden. Eine Bes hreibung dieser Artefakte ndet si h im Abs hnitt 1.8. In vielen bisherigen Verfahren zur Reduktion von Metallartefakten werden alle Pixelintensitäten innerhalb der Metallsinusoide modiziert. Das Ziel dabei ist es, einen Rohdatensatz zu erzeugen, aus dem ein Rekonstruktionsbild resultiert, das weniger Artefakte als das Rekonstruktionsbild der ursprüngli hen Rohdaten enthält. Ein wesentli her S hritt besteht darin, die Metallsinusoide zu bestimmen. Im Folgenden werden na h einer formalen Denition wi htige Eigens haften der Metallsinusoide bes hrieben. Denition 1.1 (Metallsinusoide) Sei
f ein Bild, das Metall enthält11 , dann wird die Menge der Sinusoide Tr RχMetall(f ) Metallsinusoide 12 genannt. 2 Denition 1.2 (Lineare Separierbarkeit) Eine Menge A ∈ R2 wird linear separierbar genannt (vgl. [11, Kap. 3.2℄), wenn es eine Gerade g : hn, xi = d mit g ∩A = ∅ gibt, so dass die S hnittmengen von A mit den dur h g denierten Halbebenen ni ht leer sind, das heiÿt A ∩ {x|hn, xi > d} 6= ∅ und A ∩ {x|hn, xi < d} 6= ∅. 2 Satz 1.2 (Konvexe Hülle)

Für ein Bild

f,

das ein Metall

wird dur h die Menge der Metallsinusoide

σM :=

[

p∈M

auf

PDef(f )

σp =

[

p∈M

M ⊂ Def(f )

{hp, (cos θ, sin θ)t i| θ ∈ [0, π)}

enthält,

(1.31)

eine Äquivalenzrelation festgelegt gemäÿ

A ∼σ B ⇔: σA = σB ,

A, B ∈ PDef(f ).

Es gilt auÿerdem für ni ht linear separierbare, kompakte Mengen

A ∼σ B ⇔ A ∼kH B ⇔: kH(A) = kH(B),

A, B ∈ PDef(f ):

11 Damit ist gemeint, dass diejenige Körpers hi ht, die dur h f repräsentiert wird, Metall enthält. 12 In der Literatur wird hierfür au h der Begri Metalls hatten beziehungsweise shadow verwendet (vgl. [101, 135, 213℄).

19

1.6 Metallsinusoide wobei

kH(A)

beziehungsweise

kH(B)

die konvexen Hüllen der Mengen

A

und

B

bezei hnet.

2

Beweis: Es ist lei ht zu sehen, dass ∼σ und ∼kH Äquivalenzrelationen sind. Zu zeigen

bleibt, dass die Sinusoide zweier ni ht linear separierbarer, kompakter Mengen A und genau dann identis h sind, wenn ihre konvexen Hüllen kH(A) und kH(B) identis h sind. Der Rand jeder konvexen Menge wird na h Denition dur h ein konvexes Polygon bes hrieben, wobei die Anzahl der E ken au h unendli h sein kann. Seien V ∈ PDef(f ) die E ken des konvexen Polygons, das den Rand der konvexen Hülle von A bildet. Es gilt V ⊂ ∂A, weil na h Denition die kH(A) die kleinste konvexe Menge ist, die A enthält. Bei der Radontransformation gibt es in jeder Projektionsri htung θ einen Strahl ρl ,θ mit minimaler l-Koordinate l− und einen Strahl ρl ,θ mit maximaler l-Koordinate l+, die A jeweils in V s hneiden. Da A ni ht linear separierbar ist, wird die Menge au h von allen ρl,θ mit l ∈ (l−, l+) ges hnitten. Die Intervalle [l−, l+] sind oensi htli h genau diejenigen Intervalle, auf die au h die konvexe Hülle bei der Radontransformation jeweils projiziert wird. Enthält A jedo h einen linear separierbaren Punkt, unters heidet si h in mindestens einem Winkel θ die Projektion dieser Menge auf eine Hyperebene senkre ht zu ρ·,θ von der Projektion der konvexen Hülle kH(A) auf diese Hyperebene.  B

−

+

Korollar 1.1

Alle ni ht linear separierbaren Metalle, deren konvexe Hülle identis h

ist, sind bezügli h ihrer Metallsinusoide äquivalent.

2

Aufgrund Korollar 1.1 werden der weiteren Betra htung von Metallsinusoiden auss hlieÿli h konvexe Objekte zugrunde gelegt. Korollar 1.2 (Zusammenhang von Metallsinusoiden)

Sei

M ⊆ Def(f )

eine

konvexe, kompakte und ni ht linear separierbare Menge von Koordinaten eines Metalls innerhalb eines Bildes

f.

Dann ist die Menge der Metallsinusoide

σM

zusammenhängend (s. Def. A.7), das heiÿt ans hauli h ohne Lö her.

einfa h 2

Beweis: Aus dem Beweis zu Satz 1.2 geht hervor, dass die Radontransformation

die Menge M in jedem Winkel θ auf genau ein Intervall innerhalb der Spalte θ projiziert. Jeder Punkt p ∈ M wird bei der Radontransformation auf die Sinusoide σp abgebildet [224℄, wobei die Bezei hnung wie in (1.12) gewählt ist. Somit sind die einzelnen Intervalle entlang der θ-A hse zusammenhängend.  Bemerkung 1.1 (Glattheit der Randkurven)

13 und konvexes Metall innerhalb eines Bildes

f.

Sei

M ⊆ Def(f ) ein kompaktes σM ergeben si h

Die Metallsinusoide

13 Damit ist gemeint: Die Menge der Koordinaten des Metalls sei kompakt und konvex.

20

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

als Vereinigung

∪σp

einzelner Sinusoide

obere

Kurven sind. Die

beziehungsweise

σp , p ∈ M ,

die jeweils oensi htli h glatte

untere Randkurve,

das heiÿt die Kurven

der maximalen beziehungsweise minimalen l -Koordinaten entlang der

θ-A hse,

sind

jedo h ni ht notwendigerweise glatt. Dies sieht man etwa an den Sinusoiden eines glei hseitigen Dreie ks (vgl. Abb. 1.6(a)). Die Sinusoide überde ken in jeder Spalte

θ ein Intervall. θ ∈ [0, π/3)

Für die Länge

d(θ)

d(θ) = d

Oensi htli h ist

in

θ = π/6



des jeweiligen Intervalls in der Spalte

θ

gilt für

cos(θ), 0 ≤ θ < π6 . π cos θ − 3 , π6 ≤ θ < π3

(1.32)

ni ht dierenzierbar (vgl. Abb. 1.6(b)). Die Sinusoide

bilden na h Korollar 1.2 eine zusammenhängende Menge, die si h aus den einzelnen Intervallen zusammensetzt. An der Stelle π/6 können daher die obere und die untere Randkurve ni ht beide glei hzeitig glatt sein. Sei etwa die obere Randkurve glatt, so ergibt si h die untere Randkurve aus der Addition einer glatten Kurve mit der Kurve

d(θ), die in π/6 ni ht glatt ist. Diese Stelle ist neben zwei weiteren ni ht glatten Stellen deutli h in Abbildung 1.6( ) zu erkennen.

2

d(è)

0,è

ñ

l-,è

1

ñ

ñ

d(è)

l+,è

l

0

0,93

M h

0

è

0,86 0

ð /6 è

ð /3

0

θ[rad]

π

1 (a)

(b)

( )

Abbildung 1.6: Der Rand der Menge der Metallsinusoide ist ni ht notwendigerweise glatt.

(a) Glei hseitiges Dreie k, (b) Funktion der Intervalllängen

θ ≤ π/3.

( ) Sinusoide des Dreie ks.

d(θ)

für

0≤

1.7 Darstellung und Spei herung von Rekonstruktionsbildern Eine wi htige Eigens haft omputertomographis her Bilder ist die Normierung der Pixelintensitäten in Form von Hounseld-Einheiten (HU). Diese ermögli ht eine Zuordnung der Pixel zu bestimmten Gewebearten und dadur h beispielsweise anhand

1.7 Darstellung und Spei herung von Rekonstruktionsbildern

21

einer S hwellwertsegmentierung die Extraktion von Kno hengewebe aus den Bilddaten. Die Spei herung von Rekonstruktionsbildern stellt eine mögli he Quelle zusätzli her Artefakte dar. Bei der Entwi klung von Verfahren zur Artefaktreduktion anhand von Rekonstruktionsbildern sollte insbesondere das im Folgenden bes hriebene, bei der Spei herung übli herweise stattndende Clipping bea htet werden (vgl. Kap. 2.3). 1.7.1 Hounseld-Einheiten Die S hwä hungskoezienten µ(x, y) im rekonstruierten Bild werden in der Radiologie wie folgt auf Hounseld-Einheiten (HU) µHU abgebildet: µHU (x, y) = 1.000

µ(x, y) − µH2 O HU. µ H2 O

(1.33)

Hierbei bezei hne µH O den S hwä hungskoezienten, der si h bei Rekonstruktion von Wasser ergibt. Die Hounseld-Einheiten ermögli hen den direkten Verglei h vers hiedener CT-Bilder. In Abbildung 1.7 nden si h die Werte für typis he Gewebearten. Die HU vieler Wei hteile liegen im Berei h zwis hen 0 HU und 100 HU, wodur h eine Dierenzierung der einzelnen Gewebe anhand der HU ers hwert wird. Kno hengewebe unters heidet si h jedo h aufgrund seiner hohen Di hte gut von anderem Gewebe. Für eine S hwellwertsegmentierung von Kno hengewebe eignet si h ein S hwellwert T von T ≈ 300 HU. 2

1.7.2 Spei herung Zur Spei herung werden die Hounseld-Einheiten übli herweise in das DICOM 14Format übertragen. Genauere Angaben dazu sind in [24, 141℄ zu nden. Für die Spei herung von CT-Daten s hreibt DICOM eine Grauwertauösung a zwis hen 12 Bit und 16 Bit vor [141, Teil 3, C.8.2.1.1.5℄. Dur h die beiden DICOM-Parameter Res ale Inter ept b und Res ale Slope m [141, Teil 3, Tabelle C.8-3℄ werden die HounseldEinheiten auf folgende Werte abgebildet: µHU (x, y) 7→

 0,   j  

µHU (x,y)−b m a

2 − 1,

µHU (x, y) < b k

, b ≤ µHU (x, y) ≤ 2a − b − 1 . µHU (x, y) ≥ 2a − b

(1.34)

Häug setzen CT-Hersteller diese Parameter fest auf a = 12, b = −1.024 und m = 1 (vgl. [59, Kap. 2.2.7℄). Daraus resultiert ein darstellbarer Werteberei h von 14 DICOM (Digital Imaging and COmmuni ations in Medi ine): Standard zur Spei herung und Übertragung medizinis her Bilddaten [24, 141℄.

22

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT 340.000

HU Metall

8.000 Knochen

3.000 300 200 100

Milz Pankreas Niere

Wasser 0

Blut

Herz

Leber

Tumor

Nebenniere

Spongiosa

-100

Mamma

-200 Fett -900 -1.000

Luft

Lunge

Abbildung 1.7: Hounseld-Einheiten vers hiedener Gewebetypen sowie von Metall. Die

Werteberei he sind aus [20, 113, 138, 213℄ zusammengestellt.

−1.024 HU

bis 3.071 HU. Im Folgenden wird, soweit ni ht anders angegeben, von diesem Werteberei h ausgegangen. Die Hounseld-Einheiten von Metallen, wie beispielsweise Zahnfüllungen, liegen im Berei h von 8.000 HU bis 340.000 HU [113, 213℄ und damit über 3.071 HU. Aufgrund von Artefakten unters hreiten die Pixelintensitäten teilweise au h −1.024 HU. Dur h Clipping werden alle Werte, die auÿerhalb des Werteberei hs liegen auf den nähergelegenen Grenzwert −1.024 HU beziehungsweise 3.071 HU abgebildet. Das Clipping wird in Kapitel 2.3 im Hinbli k auf die Artefaktreduktion no hmals gesondert betra htet. Im Folgenden wird bei Abbildungen von CT-Bildern der dargestellte Grauwertberei h, wie in der Radiologie übli h, in Form eines Grauwertfensters angegeben, das dur h die Parameter Z und B festgelegt wird. Dabei werden alle HU innerhalb des Fensters [Z − ⌊B/2⌋, Z + ⌊B/2⌋] dargestellt, HU auÿerhalb des Fensters werden dur h Clipping auf Z −⌊B/2⌋ beziehungsweise Z +⌊B/2⌋] gesetzt.

1.8 Artefakte Häug treten in CT-Rekonstruktionsbildern Artefakte auf, die zum Teil eine diagnostis he Auswertung oder eine direkte Weiterverarbeitung erhebli h ers hweren oder

23

1.8 Artefakte

ganz unmögli h ma hen. In diesem Abs hnitt werden vers hiedene Arten von Artefakten bes hrieben. Dabei wird besonderer Wert auf diejenigen Artefakte gelegt, die darauf zurü kzuführen sind, dass si h Metall im Messberei h bendet. Die meisten Artefakte liegen in fehlerhaften und modellunverträgli hen Rohdaten begründet. Diese können als additive Überlagerung fˇr = fˇ+ˇf der korrekten Rohdaten fˇ mit einem von fˇ abhängigen Defektsinogramm ˇf interpretiert werden. Aufgrund der Linearität von R −1 gilt dann f˜r := R −1 fˇr = R −1 (fˇ + ˇf) = f˜ + R −1ˇf =: f˜ + ˜f.

(1.35)

Hierbei bezei hne f˜ ≈ f das artefaktfreie Rekonstruktionsbild15 und ˜f das additive Defektbild . Dieses bes hreibt den Artefaktanteil im Bild vollständig und kann somit zur Artefaktanalyse herangezogen werden. Das Defektsinogramm setzt si h im Allgemeinen aus den Defektmatrizen unters hiedli her Artefakte zusammen. Aufgrund der Linearität von R −1 kann wie im Folgenden jeder Artefakttyp für si h alleine betra htet werden. Na h den ihnen zugrunde liegenden Störursa hen unters heidet man ˆ Raus hartefakte, ˆ Strahlaufhärtungsartefakte, ˆ Streustrahlartefakte, ˆ Teilvolumenartefakte, ˆ Abtastungsartefakte und ˆ Bewegungsartefakte. Für die Bildqualität spielen häug die Raus h- und Strahlaufhärtungsartefakte die wi htigste Rolle [39, Kap. 3.4℄. Neben diesen Artefakten können in Rekonstruktionsbildern weitere weniger bedeutende Artefakte auftreten, die etwa in [20, Kap. 8℄, [89, Kap. 7℄, [143℄ und [229℄ bes hrieben sind. Für die meisten Artefakte gilt, dass eine stärkere Abs hwä hung der Röntgenstrahlen bei der CT-Aufnahme zu gröÿeren Störungen in den Rohdaten führt. Deshalb ergeben si h besonders starke Artefakte im Rekonstruktionsbild, wenn si h Metall im Strahlengang bendet. Diese Artefakte werden unter dem Terminus Metallartefakte zusammengefasst. Das Metall wird artefaktverursa hendes Metall genannt. In den folgenden Unterabs hnitten werden die erwähnten Artefakttypen bes hrieben. Dabei wird ein besonderes Gewi ht auf die Raus h- und Strahlaufhärtungsartefakte gelegt, da diese das Bild am meisten stören [39, Kap. 3.4℄. Die Bes hreibung dieser 15 Im Diskreten sind Re hen- und Interpolationsungenauigkeiten unvermeidli h. Deshalb ist im Allgemeinen gezählt.

f˜ 6= f .

Die daraus resultierenden Fehler werden hier jedo h ni ht zu den Artefakten

24

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Artefakte ndet, anders als bei sonstigen Bes hreibungen, anhand der Impulsantworten einzelner δ-Impulse statt. Dieser Ansatz ermögli ht auf einfa he Art unter anderem au h eine Analyse von Algorithmen zur Reduktion von Raus h- und Strahlaufhärtungsartefakten im nä hsten Kapitel. Zur Simulation von Raus h- und Strahlaufhärtungsartefakten dient das in Abbildung 1.8 dargestellte Kreiss heibenphantom k. Die Kreiss heibe hat einen Dur hmesser von 50 Pixel und liegt in der Mitte eines Bildes der Gröÿe 128 × 128 Pixel. Der Grauwert innerhalb der Kreiss heibe ist 255, das restli he Bild hat den Grauwert 0. Als Rekonstruktionslter wird das Ram-Lak-Filter verwendet. Die Bere hnung der Rohdaten ndet unter Matlab mit dem Befehl radon statt. Für ein CT-Bild der Gröÿe 512 × 512 dauert die Bere hnung der Radontransformation mit 1.024 Projektionswinkeln, wie sie in dieser Arbeit verwendet wird, ungefähr 25 Sekunden.

R −1

−−→

(a)

Abbildung 1.8: (a) Kreiss heibenphantom

(b)

k

(invertiert). (b) Sinogramm

kˇ = Rk .

1.8.1 Raus hartefakte Das Signal-Raus h-Verhältnis (SNR) im Sinogramm ist zunä hst von der Röhrenspannung, der Röntgendosis, der Aufnahmedauer beziehungsweise alternativ der Anzahl der Aufnahmen und dem Rekonstruktionslter ηˆ abhängig [20, Kap. 8℄. Aufgrund te hnis her Rahmenbedingungen und der Strahlenbelastung für den Patienten sind die Aufnahmeparameter jedo h ni ht beliebig zu variieren. Je stärker der Tiefpass harakter des gewählten Filters ist, desto s hwä her sind die Raus hartefakte. Glei hzeitig nimmt aber au h die Bilds härfe ab. Raus hartefakte haben ihre Ursa he in der statistis hen Natur des Röntgenaufnahmeprozesses der CT. Dabei überlagert si h das Raus hen der Röntgenquanten mit

25

1.8 Artefakte

dem Eigenraus hen des Messsystems [20, Kap. 8℄, [88℄, [138, Kap. 5.3.2.2℄. Das Eigenraus hen ist signalunabhängig, das Quantenraus hen hingegen nimmt mit sinkender Signalintensität zu [138℄. Die an den Detektoren gemessene Röntgenstrahlung hängt von der Anzahl der pro Zeiteinheit auftreenden Photonen ab und ist Poisson-verteilt [20, Kap. 2.4℄, [82, Kap. 3.1℄, [88℄. Das Signalraus hen lässt si h aus der Standardabwei hung der Poissonverteilung abs hätzen, die si h na h [17℄ zu σ(I¯1 (l, θ)) =

q I¯1 (l, θ)

ergibt. Hierbei stellt I¯1(l, θ) die mittlere Intensität dar, die am Detektor l in der Winkelstellung θ des Aufnahmesystems gemessen wird. Daraus lässt si h, wie in [20, Kap. 8.7.1℄ hergeleitet wird, die signalabhängige Raus hvarianz der Rohdaten abs hätzen dur h σ 2 (fˇ(l, θ)) = 1/I¯1 .

Mit (1.4) erhält man:

1 1 ¯ˇ σ 2 (fˇ(l, θ)) = ¯ = ¯ e f (l,θ) , I1 (l, θ) I0

(1.36)

wobei I¯0 die mittlere Intensität des Röntgenstrahls bei Strahlaustritt und f¯ˇ(l, θ) den Erwartungswert im Sinogramm an der Stelle (l, θ) bezei hnet. Das Quantenraus hen überträgt si h demna h in ein Raus hen im Radonraum, dessen Varianz exponentiell mit der Intensität der Projektionswerte fˇ zunimmt (vgl. [88℄). In Abbildung 1.9(b) ist ein Auss hnitt eines Rohdatensatzes dargestellt, in dem innerhalb der Metallsinusoide ein verstärktes Raus hen zu erkennen ist. l

l

θ (a)

θ (b)

Abbildung 1.9: Raus hen innerhalb der Metallsinusoide. (a) Auss hnitt aus den Rohdaten

eines Fä herstrahltomographen. Die hellen Streifen stellen die Metallsinusoide dar. (b) Invertierte Darstellung der Metallsinusoide. Zur Darstellung wurden beide Bilder entlang der l -A hse gestau ht. Auÿerdem wurde die S härfe künstli h erhöht.

26

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Das Defektsinogramm eines verraus hten Sinogramms ergibt si h aus der Dierenz zu dessen unverraus htem Sinogramm. Somit weist das Defektsinogramm eine hohe Varianz innerhalb der Metallsinusoide auf. Jedes Pixel im Defektsinogramm wird auf ein Defektbild abgebildet, das bis auf Skalierung, Rotation und Translation der Impulsantwort R −1δl ,θ in Abbildung 1.5 entspri ht. Das gesamte Defektbild setzt si h additiv aus den einzelnen Impulsantworten zusammen. Weil deren Skalierungen proportional zu den Intensitäten der korrespondierenden Defektpixel sind, wird das Defektbild von den Impulsantworten von Pixeln innerhalb der Metallsinusoide dominiert. Da die Geraden maximaler Intensität jeweils ein artefaktverursa hendes Metall s hneiden, ergeben si h im Defektbild strahlenkranzförmige Artefakte, die von den Metallregionen ausgehen. Aufgrund der Überlagerung von Impulsantworten sind die Intensitäten entlang der einzelnen Strahlen jedo h ni ht konstant. In Abbildung 1.10 ist eine Simulation von Raus hartefakten dargestellt. Diese ergibt si h dur h ein normalverteiltes Raus hen dessen Varianz exponentiell mit den Pixelintensitäten im Sinogramm kˇ (Abb. 1.8(b)) steigt. Ein zusätzli hes signalunabhängiges Eigenraus hen des Systems wird dur h ein Raus hen geringer Varianz in den Sinogrammregionen auÿerhalb der Metallsinusoide simuliert. Aus der Dierenz des verraus hten und unverraus hten Rohdatensatzes ergibt si h das in Abbildung 1.10(a) dargestellte Defektsinogramm. Dur h die Filterung mit ηˆ wird ho hfrequentes Raus hen verstärkt (Abb. 1.10(b)). Na h Rü kprojektion ergibt si h das in Abbildung 1.10( ) dargestellte Defektbild. Die Artefakte breiten si h strahlenkranzförmig von der Mitte des Defektbildes, das heiÿt von dem Träger Tr(k) des Kreisphantoms, über das ganze Defektbild aus. 0

0

l

l

R∗

|ω|F

−→

−−→

0

θ[rad] (a)

π

0

θ[rad]

π

(b)

Abbildung 1.10: Raus hartefakte am Kreiss heibenphantom

( )

k . (a)

Intensitätsabhängiges

Raus hen auf den Rohdaten, (b) Filterung mit einem Ram-Lak-Filter und ( ) Rekonstruktionsbild.

Aus den aufgeführten Gründen ergeben si h in der medizinis hen CT bei Aufnahmen von S hnitten, die Metall enthalten, häug starke Raus hartefakte. Dies ist in Abbildung 1.11(a) exemplaris h anhand eines Bildes aus der radiologis hen Praxis dargestellt. Im oberen Teil dieses Bildes ist ein Teil des Kiefers mit Zahnfüllungen

1.8 Artefakte

27

zu erkennen. Von dort ziehen si h Raus hartefakte strahlenförmig über das ganze Bild. Zum Verglei h ist in Abbildung 1.11(b) eine parallele S hi ht, die kaum Artefakte enthält, abgebildet. Beide Bilder sind in den Abbildungen 1.11( ) beziehungsweise 1.11(d) no hmals in einer anderen Grauwertfensterung dargestellt, in der die Artefakte no h deutli her zu erkennen sind. Das Grauwertfenster wird dur h den mittleren Grauwert Z und die Breite B des Fensters angegeben. Eine ausführli here Bes hreibung der Parameter ndet si h in Abs hnitt 1.7 am S hluss des Kapitels. Der Modellierung von CT-Aufnahmen in Abs hnitt 1.8.2 liegt die Annahme zugrunde, dass die Röntgenröhre mono hromatis he Strahlung emittiert. Dies trit jedo h in der Praxis ni ht zu. Poly hromatis he Spektren typis her Röntgenröhren sind beispielsweise [20, Kap. 2℄ und [59, Kap. 2℄ zu entnehmen. 1.8.2 Strahlaufhärtungsartefakte In der Praxis wird aus nanziellen und fertigungste hnis hen Gründen, anders als in Kapitel bei der Modellierung einer CT-Aufnahme angenommen, poly hromatis he Röntgenstrahlung verwendet. Die einzelnen Frequenzen der Strahlung werden im Gewebe unters hiedli h stark ges hwä ht. Strahlen hoher Frequenz, sogenannte harte Strahlen werden weniger stark ges hwä ht als Strahlen niedriger Frequenz. Dadur h ergibt si h eine relative Zunahme hoher Frequenzen bei der Dur hdringung des Gewebes dur h die Röntgenstrahlen16 . Der Eekt ist desto stärker, je länger der Weg ist, den die Röntgenstrahlen dur h das Gewebe zurü klegen, beziehungsweise je di hter das Gewebe ist. Es ist nun festzustellen, dass je härter ein Röntgenstrahl ist, desto geringer seine weitere S hwä hung ausfällt. Die gemäÿ (1.4) logarithmierten Rohdaten unters hätzen aus diesem Grund die Messwerte, die si h bei mono hromatis her Strahlung ergeben würden. Strahlaufhärtungsartefakte sind eine Folge dieses Eekts. Sie lassen si h in Cupping - und streifenförmige Artefakte unterteilen, die im Folgenden bes hrieben werden. Cupping-Artefakte

Cupping17 -Artefakte bes hreiben den Eekt, dass aufgrund von Strahlaufhärtung konvexe Berei he homogener Di hte na h der Rekonstruktion vom Rand zum Inneren hin abnehmende Intensitäten aufweisen. Prinzipiell treten Cupping-Artefakte bei jedem Gewebe auf. Standardmäÿig wird jedo h in jedem CT eine Linearisierung der Messwerte bezügli h Wasser dur hgeführt, das heiÿt, die Werte werden so verändert, dass bei einer CT-Aufnahme eines Wasserphantoms in einem dünnwandigen Gefäÿ ein homogenes Bild aus der Rekonstruktion 16 Dieser Eekt wird als Strahlaufhärtung bezei hnet. 17 engl.: upping = das Tiefziehen, das S hröpfen; s hröpfend

28

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

(a)

(b)

( )

(d)

Abbildung 1.11: Raus h- und Strahlaufhärtungsartefakte im Berei h des Atlas (C1). (a)

Artefaktbehaftete und (b) nahezu artefaktfreie S hi ht parallel zu (a) im Abstand von 7,5 mm na h kranial. Ventral bendet si h jeweils ein Stü k des Kiefers mit Zähnen, die Füllungen enthalten. In (a) überlagern ausgehend von den Zahnfüllungen ho hfrequente Raus hartefakte strahlenförmig das Bild. Sowohl die beiden dunklen Abs hattungen unterhalb der Zahnfüllungen, als au h die hellen Berei he zwis hen linker und re hter Kieferseite stellen Strahlaufhärtungsartefakte dar. Die Bild-

512 × 512 Pixel. Z = 476, B = 3000. Z = −24, B = 400.

gröÿe beträgt jeweils (a), (b), jedo h

( ), (d) wie

29

1.8 Artefakte

resultiert. Da der mens hli he Körper zu über 80% aus Wasser besteht, werden dadur h die meisten Gewebe ohne si htbare Cupping-Artefakte abgebildet [59, Kap. 3℄. Cupping-Artefakte treten jedo h bei Gewebe hoher Di hte beziehungsweise besonders bei Metall auf. Zur Simulation von Cupping-Artefakten wird auf das Sinogramm kˇ des Kreiss heiˇ θ))0,9 angewandt. Das resultierende benphantoms die Transformation (l, θ) 7→ (k(l, Sinogramm wird als Defektsinogramm f interpretiert, dessen Werte unterproportional mit der Wegstre ke des Röntgenstrahls dur h M wa hsen. Das Rekonstruktionsbild ist in Abbildung 1.13 dargestellt. Da alle Spalten, das heiÿt alle Projektionen im Sinogramm, identis h sind, ist das zugehörige Rekonstruktionsbild rotationssymmetris h. In Abbildung 1.12(b) sind die Intensitätsprole des ursprüngli hen Kreises k und des Defektbildes k entlang der in Abbildung 1.12(a) dargestellten Linie dur h den Mittelpunkt von k beziehungsweise k aufgetragen. Darin ist deutli h eine Intensitätsabnahme der Werte k(·, 64) vom Rand k(40, 64) beziehungsweise k(89, 64) des Defektbildes zur Mitte, das heiÿt na h k(64, 64) hin, zu erkennen. Für Punkte x ∈/ M gilt k(x) = 0. Eine Ausnahme bilden die Übergänge vom Rand des Defektbildes zum Bildhintergrund, das heiÿt zu Pixeln aus {x|x ∈/ M }, die hier geglättet sind. Diese Glättung hängt von der numeris hen Bere hnung des Sinogramms und der ans hlieÿenden diskreten gelterten Rü kprojektion ab. Sie ist insbesondere unabhängig von der Strahlaufhärtung und tritt in ähnli her Weise au h bei der Rekonstruktion von kˇ auf. 300 k( ,64) k ( ,64)

250 200 150

0

128 100 50 0 -50

0

20

40

(a)

Abbildung 1.12: Simulation

60

80

100

120

(b)

von

Cupping-Artefakten

(a) Obere Hälfte: Kreisphantom tensitätsprole dur h

k

und

k

k,

anhand

des

Kreisphantoms

untere Hälfte: Defektbild

k.

k.

(b) In-

entlang der in (a) dargestellten Linie.

Streifenförmige Artefakte

Benden si h im Messfeld mehrere Metalle oder werden die Röntgenstrahlen aufgrund inhomogener Di hten aus unters hiedli hen Ri htungen unters hiedli h stark

30

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

aufgehärtet, resultieren daraus in Teilmengen der Metallsinusoide überproportional hohe Intensitätsdämpfungen . Dies führt zu Artefakten im Rekonstruktionsbild, die si h im Gegensatz zu den Cupping-Artefakten au h auf Berei he auÿerhalb der Metallregionen erstre ken. Derartige Artefakte sind beispielsweise in Abbildung 1.11(a) in Verlängerung der beiden Seiten des Kiefernbogens in Form von s hattenartigen Abdunklungen zu sehen. Zur Simulation wird das Sinogramm kˇ des Kreiss heibenphantoms k verwendet. Die Menge Tr(k) wird ebenfalls als Metall identiziert. Es bende si h im Messfeld jedo h ein zweites Stü k Metall, das zu einer überproportional starken Strahlaufhärtung der Messwerte in einem bestimmten Winkelberei h des Sinogramms führe. Sei f das Bild, das dur h additive Überlagerung von k mit dem zweiten Metall entsteht, fˇ das zugehörige Sinogramm und ˇf das Defektbild aufgrund von Strahlaufhärtung. Zur Simulation wird ˇf aus fˇ in Abhängigkeit zum Projektionswinkel θ folgendermaÿen bere hnet: ˇf(l, θ) :=

  

r

−αfˇ(l, θ) 0,

1−



θ−φ β

2

θ−φ , β < 1,

sonst,

α, β ∈ R+ , φ ∈ [0, π).

(1.37)

Die Parameter α und β dienen zur Variation der Intensität beziehungsweise des Winkelberei hs der Intensitätsdämpfungen. Die Skalierung dur h α ist aufgrund der Linearität der inversen Radontransformation ni ht ents heidend für die Ausprägung sondern nur für die Intensität der Artefakte im Rekonstruktionsbild. Die Ausprägung wird hingegen dur h den Parameter β maÿgebli h bestimmt. Anhand des Parameters φ lässt si h das Zentrum der Intensitätsdämpfungen und damit die Orientierung der Artefakte im Rekonstruktionsbild variieren. In Abbildung 1.13 werden exemplaris h für unters hiedli he Parameter β zwei Defektsinogramme mit den jeweils korrespondierenden Defektbildern dargestellt. Das in Abbildung 1.13(a) dargestellte Defektsinogramm tritt typis herweise auf, wenn si h zwei Metalle im Messberei h benden. Innerhalb eines kleinen Winkelberei hs, in dem die Röntgenstrahlen beide Metalle dur hdringen, werden im Sinogramm die Metallsinusoide überproportional gedämpft. Im Rekonstruktionsbild resultiert dabei, wie in Abbildung 1.13(b) dargestellt, ein Streifen niedriger Intensität, der beide Metalle s hneidet und si h über das ganze Rekonstruktionsbild erstre kt. Die Erklärung dieser streifenförmigen Artefakte ndet wieder anhand der Impulsantworten der gelterten Rü kprojektion statt. Dazu wird zunä hst angenommen, dass nur eine einzige Spalte des Sinogramms von der Intensitätsdämpfung betroffen ist. Das Defektsinogramm enthält somit nur in dieser Spalte Defektpixel und ist ansonsten Null. Das Defektbild ergibt si h dur h die Überlagerung der Impulsantworten der einzelnen Defektpixel. Da die Winkelkoordinaten aller Defektpixel identis h sind, liegen alle Impulsantworten parallel im Defektbild. Die Intensitäten im Rekonstruktionsbild senkre ht zu dieser Parallelens har entspre hen bis auf Skalierung der

31

1.8 Artefakte

R −1

−−→

(a)

(b)

R −1

−−→

( )

(d)

Abbildung 1.13: Simulation von Strahlaufhärtungsartefakten gemäÿ (1.37), wobei die

Winkelangabe hier in Grad erfolgt. (a) Defektsinogramm mit den Parametern

α = 10, β = 10, φ = 90°.

(b) Rekonstruktionsbild. Zum Ver-

90° und 180° eingezei hnet. Parametern α = 5, β = 90, φ = 90°.

glei h mit (a) sind die Projektionswinkel ( ) Defektsinogramm mit den

(d) Rekonstruktionsbild. Zur Rekonstruktion in (b) und (d) wurde das Ram-Lak-Filter verwendet.

32

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Antwort des Defektsinogramms auf den Rekonstruktionslter innerhalb der betreffenden Spalte. Zur Ans hauung wird in Abbildung 1.14 das Ergebnis der Filterung einer Halbellipse, die si h dur h Dämpfung und Invertierung gemäÿ (1.37) aus kˇ ergibt, mit dem Ram-Lak-Filter dargestellt. An den eingezei hneten Punkten a und b, das heiÿt am Rand des Trägers der Halbellipse, ergeben si h bei der gelterten Halbellipse jeweils Flanken hoher Intensitäten, die mit zunehmendem Abstand zu a beziehungsweise b zu Null abfallen. Innerhalb des Intervalls (a, b) sind die Werte negativ. Daraus resultiert der für streifenförmige Strahlaufhärtungsartefakte typis he Streifen niedriger Intensität. 8 0 6

−0,2

4

−0,4 |ω|F

−−→

−0,6

0

−0,8 −1

2

a

b

−2

a

b

l

l

(a)

(b)

Abbildung 1.14: Filterung einer Halbellipse mit dem Ram-Lak-Filter. (a) Halbellipse und

(b) Filterergebnis

Sind im Sinogramm mehrere zusammenhängende Spalten von der Intensitätsdämpfung betroen, ergeben si h im Rekonstruktionsbild vom Metall strahlenkranzförmig ausgehende Parallelens haren, die den zu den Spalten im Sinogramm korrespondierenden Winkelberei h überde ken. Jede dieser Parallelens haren weist das in Abbildung 1.14(b) dargestellte Intensitätsprol auf. Mit zunehmendem Abstand zum Metall unters heiden si h die si h überlagernden Intensitäten der Parallelens haren aufgrund der Auä herung immer stärker. Da na h Lemma 1.1 der Mittelwert eines Rekonstruktionslters Null ergibt, führen die Überlagerungen der Parallelens haren mit zunehmendem Abstand zu M zu einer additiven Überlagerung unters hiedli her Intensitäten und dadur h zu einer immer stärkeren Reduktion bis hin zum vollständigen Vers hwinden der Strahlaufhärtungsartefakte. Je gröÿer der Winkelberei h ist, in dem die Intensitätsdämpfung stattndet, desto s hneller verjüngt si h der Streifen negativer Intensität und desto mehr weitet si h der Streifen positiver Intensität auf. In dem in Abbildung 1.13( ) dargestellten Extremfall beeinusst die Intensitätsdämpfung das ganze Sinogramm. Die Streifen negativer Intensität liegen in diesem Fall nahezu vollständig innerhalb von M , während si h der Streifen positiver Intensität über das ganze Bild erstre kt. Häug we hselnde Intensitätss hwankungen im Sinogramm innerhalb der Metallsinusoide führen ni ht zwangsläug zu starken Artefakten im Rekonstruktionsbild. Dies

33

1.8 Artefakte

wird in Abbildung 1.15 anhand einer Simulation demonstriert. Aus dem Sinogramm kˇ des Kreiss heibenphantoms wird das in Abbildung 1.15(a) dargestellte Sinogramm dur h Multiplikation der einzelnen Spalten mit glei hverteilten zufällig gewählten Gewi hten aus (0, 1) gewonnen. In den Rekonstruktionsbildern (Abb. 1.15(b) und 1.15( )) ist zu erkennen, dass si h die Strahlaufhärtungsartefakte gegenseitig fast vollständig auslös hen und deshalb nur wenig ins Gewi ht fallen. Die Intensitäten der rekonstruierten Kreiss heibe fallen jedo h um mehr als die Hälfte zu niedrig aus.

l R −1

−−→ 0

θ[rad]

π

(a)

(b)

Abbildung 1.15: (a) Sinogramm

kˇ

( )

spaltenweise jeweils mit einer zufälligen Zahl aus

[0, 1]

multipliziert (invertiert dargestellt). (b) Rekonstruktionsbild (invertiert dargestellt). ( ) Rekonstruktionsbild.

1.8.3 Streustrahlartefakte Die S hwä hung von Röntgenstrahlen im Gewebe wird ni ht allein dur h Absorption, sondern au h Streuung verursa ht [138, Kap. 4.2℄. Diese führt zu einer Ablenkung von Röntgenquanten aus ihrer geradlinigen Bahn. Diese ist mitunter so stark ausgeprägt, dass einzelne Photonen ni ht auf dem korrekten Detektor und zum Teil auf einem fals hen Detektor auftreen [39, Kap. 3.4.4℄. An dem korrekten Detektor wird somit eine zu geringe Intensität und bei anderen Detektoren eventuell eine zu hohe Intensität gemessen. Dies führt zunä hst zu einer Glättung der Messwerte und damit zu einer Reduzierung der Bilds härfe [39℄. Im Defektsinogramm ergeben si h gemäÿ (1.4) die Werte ln I1 − ln(I1 + ∆I), wobei ∆I die Intensität aufgrund der Streustrahlung darstellt, die als nahezu konstant betra htet werden kann. Mit kleiner werdender Intensität I1, sinkt überproportional der korrespondierende Wert im Sinogramm. Bei der Rekonstruktion ergeben si h Streustrahlartefakte, die den Strahlaufhärtungsartefakten ähneln [39℄. Weitere Details sowie Reduktionsverfahren ndet man in [101, Kap. 7℄.

34

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

1.8.4 Teilvolumenartefakte In der Praxis haben sowohl die Röntgenquelle als au h die Detektoren ni htvers hwindende Abmessungen. Der gemessene Projektionswert in (1.3) ergibt si h somit als Mittelung der Intensitäten von Röntgenstrahlen, die auf den Detektor auftreffen. Sobald diese Intensitäten si h unters heiden, wird dur h die Logarithmierung gemäÿ (1.4) der korrekte Projektionswert unters hätzt [63℄. Dies führt in den Rekonstruktionsbildern vor allem an Gewebegrenzen zu Defektgeraden negativer Intensität. 1.8.5 Abtastungsartefakte Trotz der hohen Auösung heutiger Tomographen sind Abtastungsartefakte in CTBildern immer vorhanden [39, Kap. 3.4.6℄. Sie können sowohl dur h den diskreten Aufnahmeprozess als au h dur h die diskrete gelterte Rü kprojektion hervorgerufen werden. Als Beispiel für ein mögli hes Ers heinungsbild dient folgende Simulation. Sei f = δ0,0 ein Bild im Messberei h. Dann ergibt si h das korrespondierende kontinuierli he Sinogramm zu fˇ(l, θ) := δ(l) (s. Abb. 1.16(a)). Die Anzahl der Detektoren wird in dieser Simulation konstant auf 185 gesetzt, die Anzahl der Winkels hritte jedo h variiert. Das Sinogramm wird zunä hst mit 180 Winkels hritten abgetastet und darauf die gelterte Rü kprojektion angewandt. Mit der verwendeten Matlab-Implementierung ergeben si h Artefakte wie in den Binärbildern in Abbildungen 1.16(b) bis 1.16(d) dargestellt. Diese Bilder sind S hwellwertsegmentierungen aller Werte, die 1%, 0,1% beziehungsweise 0,01% der Maximalintensität übersteigen. Der Punkt maximaler Intensität bendet si h an der korrekten Stelle (0, 0). Um diesen Punkt herum liegen Punkte mit geringerer Intensität. Sie resultieren aus dem Rekonstruktionsverfahren, das zu einer geringen Glättung führt (s. Abb. 1.16(b)). Abtastungsartefakte weisen in diesem Fall Intensitäten von weniger als 1% der Maximalintensität auf (s. Abb. 1.16( ) und 1.16(d)). Je gröÿer die Anzahl der Projektionswinkel gewählt wird, desto geringer sind die Intensitäten auftretender Artefakte. Bei einer Anzahl von 1.024 Projektionswinkeln beispielsweise liegt die maximale Intensität der Abtastungsartefakte bei 0,008% der Maximalintensität des Rekonstruktionsbildes an der Stelle (0, 0). Alle obigen Angaben beziehen si h auf ein Rekonstruktionsbild der Gröÿe 128 × 128. Je na h Gröÿe des Rekonstruktionsbildes ergeben si h unters hiedli he Werte. Für ein Rekonstruktionsbild der in der medizinis hen CT typis hen Gröÿe von 512 × 512 Pixel liegt bei einer Anzahl von 1.024 Projektionswinkeln die maximale Intensität der Abtastungsartefakte bei 0,032% der Intensität an der Stelle (0, 0). Generell haben Abtastungsartefakte eine relativ geringe Intensität und sind im Verglei h zu den Störungen dur h andere Artefakte häug verna hlässigbar [20, 39℄.

35

1.9 Zusammenfassung

Deshalb werden sie im weiteren Verlauf der Arbeit ni ht berü ksi htigt. Für ausführli he Bes hreibungen sei etwa auf [32℄, [33℄, [39, Kap. 3.4.6℄, [49℄, [89, Kap. 7℄, [102, Kap. 5.1℄ und [213, Kap. 3.6℄ verwiesen. l R −1

−−→ 0

θ[rad]

π

(a)

(b)

( )

(d)

Abbildung 1.16: Abtastungsartefakte (invertierte Darstellung).

(a) Sinogramm

fˇ(l, θ) := δ(l).

(b)-(d) Binärbilder: alle Werte, die in (b)

mindestens 1%, in ( ) mindestens 0,1% und in (d) mindestens 0,01% der Maximalintensität aufweisen, sind dunkel dargestellt.

1.8.6 Bewegungsartefakte Bewegungsartefakte werden dur h Patientenbewegungen während der CT-Aufnahme hervorgerufen. Bewegt si h dadur h während der Aufnahme das Gewebe im Messfeld, stellen die Rohdaten ni ht die Radontransformation des Gewebes dar. Deshalb ergeben si h bei der Rekonstruktion artefaktbehaftete Bilder. Eingehende Untersu hungen dieser Artefakte ndet man in [20, Kap. 8.5.3℄, [89, Kap. 7.6.1℄, Verfahren zur Reduktion spezieller Bewegungsartefakte in [34, 154, 168, 224℄. Weitere Bewegungsartefakte können in Sekundärrekonstruktionen18 auftreten, wenn aufgrund von Patientenbewegungen einzelne CT-S hnittbilder gegeneinander vers hoben sind [20, Kap. 8.6.3℄.

1.9 Zusammenfassung Die CT-Aufnahme lässt si h dur h den linearen Radonoperator modellieren. Raus hen im Aufnahmeprozess und andere Eekte führen zu teilweise erhebli hen Intensitätsveränderungen in den gemessenen Rohdaten im Verglei h zu denjenigen, die si h bei dem modellierten Aufnahmeprozess ergäben. Bendet si h Metall im Messberei h, ergeben si h im Allgemeinen besonders starke Störungen in den Rohdaten. Dies führt zu Metallartefakten in den Rekonstruktionsbildern und damit häug zu einer starken Qualitätsminderung des gesamten Bildes. 18 Unter einer

Sekundärrekonstruktion

versteht man numeris h aus einer Anzahl aufeinanderfol-

gender paralleler CT-S hnittbilder erzeugte beziehungsweise rekonstruierte Daten, beispielsweise S hnittbilder, die ni ht parallel zur Aufnahmeebene verlaufen, oder 3D-Visualisierungen.

36

1 Bildgewinnung und Artefakte in der Röntgen-CT

Die Kenntnis der Artefakte, ihrer Entstehung und Ausprägung ist wi htig für die Entwi klung von Artefaktreduktionsverfahren. Unter Kenntnis des physikalis hen Aufnahmeprozesses und der daraus resultierenden Störungen in den Metallsinusoiden der Rohdaten lassen si h Metallartefakte anhand von Impulsantworten der gelterten Rü kprojektion einheitli h bes hreiben. Die Modellierungen in diesem Kapitel bilden eine wesentli he theoretis he Grundlage für RFMAR, das im folgenden Kapitel bes hrieben wird.

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

T

rotz ges hi kter Wahl der Aufnahmeparameter sind CT-Bilder, in deren Messfeld si h Metall bendet, häug von starken Artefakten überlagert. Dazu gehören au h die dur h Metalle hervorgerufenen Raus hartefakte (s. Kap. 1). Sie beeinträ htigen und ers hweren die diagnostis he Auswertung sowie die weitere Bildverarbeitung häug erhebli h. Algorithmen zur Reduktion von Artefakten ermögli hen in vielen dieser Fälle eine erhebli he Verbesserung der Bildqualität. Damit die artefaktreduzierten Rekonstruktionsbilder problemlos in die radiologis he Verarbeitungskette integriert werden können, sollen die Algorithmen mögli hst ˆ keine neuen Artefakte verursa hen, ˆ die S härfe im Bild ni ht signikant verändern, ˆ anatomis he Strukturen erhalten und ˆ Gewebestrukturen auf korrekte Hounseld-Einheiten abbilden, das heiÿt insbesondere Gewebe identis her Di hte auf identis he Werte abbilden. Im Folgenden wird zunä hst ein Überbli k bisheriger Verfahren zur Reduktion von Metallartefakten gegeben. Diese setzen voraus, dass die Rohdaten verfügbar sind, oder zumindest alle artefaktverursa henden Metalle vollständig im Rekonstruktionsbild enthalten sind. Im Allgemeinen sind die Rohdaten jedo h ni ht verfügbar, sei es dass sie ni ht mit abgespei hert werden oder dass das Datenformat ni ht bekannt ist. In den CT-Bildern wird in der Regel nur ein diagnostis h relevanter Auss hnitt des vollständig rekonstruierten Bildes abgespei hert. Dadur h sind häug artefaktverursa hende Metalle ni ht oder nur unvollständig im abgespei herten CT-Bild enthalten. Aus diesen Gründen sind die bisherigen Verfahren in der Praxis vielfa h ni ht anwendbar. In diesem Kapitel wird ein im Rahmen dieser Arbeit entwi keltes neues Verfahren vorgestellt, das si h zur Reduktion von starken Raus hartefakten eignet, wenn die ursprüngli hen Rohdaten ni ht verfügbar sind. Dabei ist es ni ht erforderli h, dass die artefaktverursa henden Metalle im CT-Bild liegen. Das Verfahren benötigt keine Benutzerinteraktion und läuft vollautomatis h ab. Es ist invariant gegenüber pixelweise anen Werteberei hstransformationen x 7→ ax + b für konstante a ∈ R\0 und b ∈ R. Deshalb werden keine Hounseld-Einheiten benötigt. Wie anhand eines 37

38

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Beispiels demonstriert wird, ist eine Artefaktreduktion damit au h bei na hträgli h digitalisierten CT-Bilder mögli h. Aufgrund der genannten Eigens haften ist dur h dieses Verfahren in vielen Anwendungsfällen in der Praxis überhaupt erst eine Metallartefaktreduktion mögli h. Während in den meisten Verfahren die Metallartefaktreduktion dur h Modikation und ans hlieÿende Rekonstruktion der ursprüngli hen Rohdaten erzielt wird, ges hieht die Artefaktreduktion hier dur h Modikation und Rü kprojektion von Pseudorohdaten , die aus dem CT-Bild zuvor bere hnet werden. Dur h eine ausführli he Analyse der Pseudorohdaten wird dieses Vorgehen gere htfertigt. Ergebnisse der Analyse werden im Weiteren benötigt, um das im Ans hluss bes hriebene Verfahren zur Segmentierung von Metallsinusoiden anhand einer Waveletanalyse zu erläutern. Diese Segmentierung ist ein wesentli her Bestandteil in dem Artefaktreduktionsverfahren. Anhand von Simulationen, zahlrei hen Beispielen aus der radiologis hen Praxis und Auswertungen, die an drei Kliniken und einer Radiologis hen Praxis von insgesamt 14 Radiologen dur hgeführt wurden, wird die Leistungsfähigkeit des Verfahrens demonstriert.

2.1 Stand der Te hnik Sei f ein Bild, fˇr dessen artefaktbehaftetes Sinogramm, f˜r = R −1fˇr das daraus resultierende Rekonstruktionsbild und M ⊂ Def(fˇr ) die Menge der Metallsinusoide. Während Metallartefakte häug das gesamte Rekonstruktionsbild beeinussen, sind die korrespondierenden Defektpixel in den Rohdaten fˇr auf die Teilmenge M lokalisiert. In den meisten Verfahren zur Metallartefaktreduktion wird diese daher dur h eine Modikation der Rohdaten und eine ans hlieÿende gelterte Rü kprojektion dieser Daten errei ht1 . Das modizierte Sinogramm fˇr′ unters heidet si h dabei von fˇr hauptsä hli h oder auss hlieÿli h innerhalb der Metallsinusoide. Die Modikation des Sinogramms wird entweder direkt in einem S hritt oder in einem iterativen Verfahren dur hgeführt. Es folgt nun eine genauere Bes hreibung der Verfahren. Hierbei wird im Folgenden zunä hst davon ausgegangen, dass M bekannt ist. 1 Soltanian-Zadeh et al [188℄ bes hreiben ein rein bildbasiertes Verfahren zur Reduktion von Artefakten. Anhand eines Dierenzbildes zwis hen dem originalen und einem tiefpassgelterten Rekonstruktionsbild wird das Defektbild ges hätzt und von dem originalen Rekonstruktionsbild abgezogen. Für die S hätzung ist jedo h anatomis hes Wissen erforderli h.

39

2.1 Stand der Te hnik

2.1.1 Direkte Verfahren Eine Mögli hkeit zur Bestimmung des modizierten Sinogramms fˇr′ besteht darin, die Werte fˇr′ |M innerhalb der Metallsinusoide anhand von Werten fˇr |M auÿerhalb der Metallsinusoide zu interpolieren und die Werte auÿerhalb der Metallsinusoide beizubehalten, das heiÿt fˇr′ |M := fˇr |M . Im Gegensatz zu den Interpolationsverfahren werden bei den adaptiven Filterverfahren au h die Pixelintensitäten innerhalb der Metallsinusoide zur Bere hnung des modizierten Sinogramms berü ksi htigt. Das Mergingverfahren stellt eine Kombination aus beiden Verfahren dar. Findet bei der adaptiven Filterung eine Glättung der Intensitäten fˇr |M statt, so wird bei der lokal funktionalen Anpassung dur h Werteberei hstransformationen innerhalb der Metallsinusoide die Varianz der Intensitäten gezielt reduziert. Anders als bei den obigen Verfahren werden bei der lokalen und externen Tomographie ni ht die Rohdaten modiziert, sondern veränderte Rekonstruktionsalgorithmen verwendet. ∁

∁

∁

Interpolationsverfahren

Erste Interpolationsverfahren zur Metallartefaktreduktion wurden in den 1980er Jahren vorgestellt [64, 137℄. Das im Folgenden vorgestellte Verfahren der linearen Interpolation wurde in vers hiedenen Modikationen immer wieder verwendet [104, 113, 224℄ und gelangte ni ht zuletzt dur h seinen zeitweise kommerziellen Einsatz unter dem Namen Metal Artifa t Redu tion (MAR) [213, Kap 4.1℄ besondere Bedeutung. Bei der linearen Interpolation werden in jeder Spalte des Sinogramms fˇr diejenigen Intervalle Ii := [li, li+1] ermittelt, die von den Metallsinusoiden überde kt werden. Die Pixelintensitäten innerhalb dieser Intervalle bestimmen si h daraufhin dur h lineare Interpolation zwis hen den Werten fˇr (li − 1, θ) und fˇr (li+1 + 1, θ), das heiÿt für l ∈ Ii : (li+1 − l)fˇr (li , θ) + (l − li )fˇr (li+1 , θ) fˇr′ (l, θ) = (2.1) . l −l i+1

i

Auÿerhalb der Intervalle werden die Intensitäten beibehalten. Bei anderen Interpolationsverfahren wird darauf gea htet, dass die Übergänge zwis hen den interpolierten Werten und den Werten auÿerhalb der Intervalle glatt sind. In einem Verglei h vers hiedener Interpolationsverfahren stellte Ka helrieÿ [101, Kap. 4.2℄ jedo h keine signikanten Unters hiede in der Qualität der Bilder, die na h Anwendung der einzelnen Verfahren rekonstruiert wurden. Innerhalb der Metallsinusoide sind die Pixelintensitäten in den Rohdaten im Allgemeinen sehr verraus ht. Dur h die spaltenweise dur hgeführten Interpolationen vers hwindet das Raus hen innerhalb der Intervalle Ii. Dadur h wird im Rekonstruktionsbild auÿerhalb der Metalle das Raus hen stark reduziert. Neben der Reduktion von Raus hartefakten ndet im Allgemeinen au h eine Reduktion von Strahlaufhärtungsartefakten statt, da die artefaktverursa htenden strahlaufhärtungsbedingten

40

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Intensitätss hwankungen entlang der θ-A hse dur h die Interpolationen auf das Niveau der Pixel in der Umgebung der Metallsinusoide reduziert werden. Glover und Pel [64℄ weisen jedo h darauf hin, dass dabei neue Artefakte hervorgerufen werden können, da auÿer den Metallsinusoiden au h die Werte der Sinusoide anderer Objekte in der S hnittmenge mit M verändert werden. Dies wiederum führt zu künstli h hervorgerufenen Strahlaufhärtungsartefakten bei diesen Objekten. Glover und Pel s hlagen vor, zur Verringerung derartiger Artefakte die Interpolationen ni ht entlang der Spalten, sondern mögli hst senkre ht zu den Metallsinusoiden dur hzuführen. Watzke [213, Kap. 5.2℄ hingegen bestimmt die Sinusoide ni htmetallis her Objekte hoher Di hte und führt die Interpolationen in M na h Mögli hkeit entlang dieser Sinusoide dur h. Weitere Artefakte können innerhalb der Metalle auftreten, da die interpolierten Werte die korrekten Werte übli herweise stark unters hätzen. Dies wird in Abbildung 2.1 exemplaris h am Sinogramm des Kreiss heibenphantoms dargestellt, bei dem die zentralen Projektionswerte dur h lineare Interpolation bere hnet werden. Im resultierenden Rekonstruktionsbild (vgl. Abb. 2.1(b)) sind in der Mitte starke Cuppingartefakte zu erkennen. Dies wird in [177, 226, 227℄ verhindert, indem den modizierten Pixelintensitäten zusätzli he Intensitäten aufaddiert werden, die si h wie folgt bestimmen: In einem ersten S hritt werden im artefaktbehafteten Rekonstruktionsbild die Metalle segmentiert. Ans hlieÿend werden alle diese Berei he auf einen konstanten metalltypis hen Hounseldwert, alle anderen auf Null gesetzt. Aus der Radontransformation dieses Bildes ergeben si h nun die zu addierenden Pixelintensitäten. Alternativ können im rekonstruierten Bild die Metalle dur h die Metalle im artefaktbehafteten Rekonstruktionsbild ersetzt werden.

R −1

−−→

(a) Sinogramm mit interpolierten Werten

(b) Rekonstruktion

Abbildung 2.1: Cupping-Artefakte im Rekonstruktionsbild na h linearer Interpolation im

Sinogramm. Der Simulation liegt das Sinogramm

kˇ

zugrunde, in dem Pi-

xelintensitäten, die über einem gewissen S hwellwert liegen, dur h lineare Interpolationen entlang der Spalten ersetzt werden.

Um die innerhalb der Metallsinusoide enthaltene Information ni ht vollständig zu verwerfen, werden bei einigen Verfahren ni ht auss hlieÿli h Interpolationen verwendet.

2.1 Stand der Te hnik

41

[226, 227℄ etwa führen in jeder Sinogrammspalte eine Waveletzerlegung des wie oben bes hriebenen additiv überlagerten interpolierten Sinogramms sowie der Rohdaten dur h. Aus beiden Zerlegungen wird dur h Interpolationen zwis hen den korrespondierenden Detailkoezienten eine neue Waveletzerlegung erstellt. Das modizierte Sinogramm fˇr′ ergibt si h daraus dur h Waveletrekonstruktionen der einzelnen Spalten.

Zhao et al

Adaptive Filterverfahren

Dur h die Wahl eines geeigneten Rekonstruktionslters ηˆ lassen si h, wie in Kapitel 1.8 bes hrieben, Raus hartefakte bei glei hzeitiger Abnahme der Bilds härfe reduzieren. Bei der adaptiven Filterung werden Filter mit lokal variierendem Dur hlassberei h eingesetzt. Die daraus resultierenden Rekonstruktionsbilder weisen unters hiedli h s harfe Bildberei he auf. Je stärker die Sinogrammintensitäten in den korrespondierenden Sinusoiden geglättet sind, desto uns härfer ist der korrespondierende Teilberei h des Rekonstruktionsbildes. Hsieh [88℄ verwendet dazu spezielle Mittelwertlter, nämli h trimmed mean lter [165℄, deren Längen proportional zur Signalintensität der Messdaten variiert werden. Mit der Filterlänge variiert aber au h die Stärke der lokalen Glättung im Sinogramm. Watzke, Ka helrieÿ und Kalender [100, 101, 213℄ verwenden einoder mehrdimensionale Re hte k-, Dreie k- oder Gauÿlter variabler Gröÿe, in den neueren Veröentli hungen nur no h Dreie k- und Re hte k- [213℄ beziehungsweise auss hlieÿli h Dreie klter [100℄. Eindimensionale Filterungen nden jeweils entlang der Spalten statt. Bei zweidimensionalen Filtern werden für die Filterung jeweils au h bena hbarte Spalten berü ksi htigt. Dabei gilt es jedo h zu bedenken, dass ein Pixel (l, θ + ǫ), der in der Umgebung eines Pixels (l, θ) im Sinogramm liegt, mit den Projektionsgeraden ρl,θ+ǫ und ρl,θ korrespondieren. Mit zunehmendem Abstand zu ihrem S hnittpunkt entfernen si h die Geraden oensi htli h immer weiter voneinander. Deshalb kann bereits bei geringem Winkelabstand ǫ die Korrelation der beiden Werte im Sinogramm gering sein. Dieses Problem wird in [100, 101, 213℄ jedo h ni ht angespro hen. Dreidimensionale Filter werden zur adaptiven Filterung der Rohdaten von Spiral-CT-Volumendaten verwendet. Die Gröÿe der ein- sowie der mehrdimensionalen Filter wird, wie bei Hsieh, in Abhängigkeit zu den Pixelintensitäten bestimmt. Dies entspri ht einer S hätzung des Raus hens anhand der lokalen Pixelintensitäten. Um ni ht das gesamte Sinogramm zu glätten, wird in [101℄ ein S hwellwert anhand statistis her Eigens haften des Sinogramms gewählt. Nur diejenigen Pixel, deren Intensität diesen S hwellwert übersteigt, werden geltert. Die ans hlieÿende Filterung wird mit Filtern lokal variierender Länge dur hgeführt. In [100, 213℄ wird der S hwellwert so bestimmt, dass ungefähr 5% der Pixel im Sinogramm geltert werden, beginnend mit den Pixeln maximaler Intensität. Anstatt Filter variabler Gröÿe zu verwenden, wird in [100℄ alternativ ein Filter konstanter Gröÿe zur Filterung aller Pixel über einem bestimmten S hwellwert verwendet. Besonders

42

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

bei diesem Verfahren können dur h den harten S hwellwert an den Übergängen zwis hen ungelterten und gelterten Berei hen neue Artefakte hervorgerufen werden, da si h an diesen Stellen eine geringere Glattheit beziehungsweise eine Unstetigkeit ergeben kann. Dies führt bei der gelterten Rü kprojektion zu Defektpixeln im gelterten Sinogramm und dadur h zu Raus hartefakten im rekonstruierten CT-Bild. Der bes hriebene Eekt wird in Abbildung 2.2 anhand eines Auss hnittes einer Sinogrammspalte demonstriert. In Abbildung 2.2(a) ist das originale und das mit einem Tiefpassfenster geglättete Signal dargestellt. Abbildung 2.2(b) stellt das zusammengesetzte Signal dar, das si h bei dem eingezei hneten S hwellwert ergibt. An den Übergängen zwis hen gelterten und ungelterten Signalauss hnitten ergeben si h Unstetigkeitsstellen.

5

5

5,5

x 10

5,5 Original geglättet

5

4,5

4

4

3,5

3,5

3

3 0

10

20

30 (a)

40

50

adaptive Filterung mit Schwellwert

5

4,5

2,5

x 10

60

2,5

Schwellwert

0

10

30

20

40

50

60

(b)

Abbildung 2.2: (a) Auss hnitt aus einer Sinogrammspalte. (b) Adaptive Filterung mit

S hwellwert. An den Übergangsstellen zwis hen gelterten und ungelterten Berei hen ergeben si h Unstetigkeitsstellen.

[213, Kap. 5.1℄ führt in einem weiteren adaptiven Verfahren Glättung auss hlieÿli h innerhalb der Metallsinusoide dur h. Die Filtergröÿe variiert au h bei diesem Verfahren mit den Pixelintensitäten. Die Metallsinusoide werden dur h den Träger Tr(RχMetall(f˜)) bestimmt, der si h anhand der Segmentierung von Metall in einem vorläugen Rekonstruktionsbild f˜ ans hlieÿender Tomographie dieser Menge ergibt. Wie bei den oben bes hriebenen Verfahren können im Berei h der Übergänge zwis hen gelterten und ungelterten Sinogrammdaten, das heiÿt in diesem Fall an den Übergängen zwis hen den Berei hen innerhalb und auÿerhalb der Metallsinusoide dur h verringerte Glattheit Defektpixel und daraus neue Raus hartefakte hervorgerufen werden. Watzke

2.1 Stand der Te hnik

43

Mergingverfahren Watzke [213, Kap. 7.2℄, [214, 216℄ stellt fest, dass die Rekonstruktionsbilder, die mit dem Verfahren der linearen Interpolation erzeugt werden in der Nähe der Metalle bessere Reduktionsergebnisse erzielen als adaptive Filtermethoden, während diese in gröÿerer Entfernung zu den Metallen besser abs hneiden als die Interpolationsverfahren2 . Watzke kombiniert deshalb beide Verfahren zu dem Mergingverfahren . Dazu werden zunä hst zwei Rekonstruktionsbilder, einerseits mit linearer Interpolation, andererseits mit adaptiver Filterung erstellt. Aus diesen beiden Bildern wird das Ergebnisbild dur h pixelweise Konvexkombination zwis hen den beiden Rekonstruktionsbildern bere hnet, wobei die einzelnen Gewi hte in Abhängigkeit der Abstände zwis hen den einzelnen Pixeln und Pixel innerhalb der Metalle bestimmt werden.

Lokal funktionale Anpassungen

In [71, Kap. 5.4℄ werden alternative sinogrammbasierte Verfahren vorgestellt, bei denen die Pixelintensitäten im Sinogramm ni htlinear dur h gezielte lokal funktionale Anpassungen in Abhängigkeit zum jeweils minimalen Abstand der Pixelkoordinaten zu den Metallsinusoiden gedämpft werden. Am stärksten werden dabei die Intensitäten von Pixeln innerhalb der Metallsinusoide gedämpft. Dadur h sinkt die Raus hvarianz innerhalb der Metallsinusoide, wodur h im daraus resultierenden Rekonstruktionsbild Raus hartefakte gegenüber dem ursprüngli hen Rekonstruktionsbild reduziert werden. Sinusoide, die die Metallsinusoide s hneiden, werden jedo h innerhalb der S hnittmenge überproportional gedämpft. Das führt, wie au h bei interpolationsbasierten Verfahren, zu Artefakten, die den Strahlaufhärtungsartefakten ähneln und im Rekonstruktionsbild selbst in groÿer Entfernung zu dem Metall auftreten können. Die Pixelintensitäten in den resultierenden Rekonstruktionsbildern stehen in keinem linearen Zusammenhang zu den Hounseld-Einheiten, weshalb si h diese Bilder nur bedingt diagnostis h verwerten lassen. Lokale Tomographie

Bei den im Kapitel 1.4 bes hriebenen Rekonstruktionsverfahren wurde davon ausgegangen, dass die Rohdaten fˇ eines Bildes f vollständig verfügbar sind. Es gibt jedo h Anwendungen, in denen nur ein Teil der Rohdaten vorhanden ist. Dies kommt beispielsweise dann vor, wenn nur Röntgenstrahlen, die dur h eine Kreiss heibe im 2 Diese Annahme ist nur bedingt ri htig. Innerhalb der konvexen Menge des Metalls sind die bei der linearen Interpolation gewonnenen Werte im Allgemeinen fehlerhaft. Strahlaufhärtungsartefakte in der Nähe der Metalle können zwar reduziert werden, es können jedo h, wie oben bes hrieben, au h korrekte Strukturen wegkorrigiert werden.

44

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Inneren des Messberei hs gehen, verwendet werden, um die Strahlendosis zu verringern und dadur h die Strahlenbelastung des Patienten zu reduzieren. Die gemessenen Rohdaten liegen somit im Sinogramm innerhalb der Sinusoide, die si h dur h Radontransformation jener Kreiss heibe ergeben. Man bezei hnet diese Daten als 3 abges hnittene Projektionsdaten [117℄. Eine Rekonstruktion von f aus diesen einges hränkten Rohdaten wird inneres Problem genannt. Es zeigt si h, dass ni ht einmal die Werte innerhalb der Kreiss heibe eindeutig rekonstruiert werden können4 [50, 117, 128℄, [139, Kap. VI.4℄, [146℄. Unstetigkeiten in f , das heiÿt Intensitätssprünge beziehungsweise Singularitäten , lassen si h häug als Gewebegrenzen identizieren und können, wenn sie innerhalb der Kreiss heibe liegen, stabil lokalisiert werden [50, 125, 155℄. Dazu eignet si h die Lambda Tomographie [185℄, eine gelterte Rü kprojektion jedo h mit η ˆ(ω) = |ω|2 , was der Anwendung eines negierten Lapla eoperators entspri ht [50, 52℄. Im Gegensatz zu ηˆ(ω) = |ω| ist dieses Filter lokal, das heiÿt, der zugehörige lokale Faltungskern hat nur sehr wenige ni htvers hwindende Werte [54℄. Das Rekonstruktionsbild weist Singularitäten an den glei hen Stellen auf. Im Verglei h zum ursprüngli hen Bild f heben diese si h dur h ihre hohe Intensität besonders stark von glatten Bildberei hen ab [50, 185℄. Dadur h werden au h eventuelle Raus hartefakte verstärkt. Regionen konstanter Intensität in f werden auf glatte, ausgehend von den Singularitäten fallende Intensitätsverläufe ähnli h denen bei Cupping-Artefakten abgebildet. Zur Reduzierung dieses Cupping-Eekts wird in der lokalen Tomographie [7, 50, 5255, 164℄ dem in bes hriebener Weise erhaltenen Rekonstruktionsbild das Rekonstruktionsbild einer geeignet gewi hteten (ungelterte) Rü kprojektion additiv überlagert. Da diese oensi htli h ebenfalls lokal ist, ist das gesamte Rekonstruktionsverfahren lokal. Haimerl [71, Kap. 5.4℄ s hlägt eine Kombination von lokal funktionaler Anpassung und ans hlieÿender in diesem Fall auf das gesamte Bild angewandte lokalen Tomographie vor. Dur h die lokal funktionale Anpassung wird die Raus hvarianz innerhalb der Metallsinusoide, wie oben bes hrieben, gesenkt. Da der Faltungskern h|ω| der ans hlieÿenden lokalen Tomographie viel lokaler ist als der Ram-Lak- oder Shepp-Logan-Faltungskern, beeinussen Defektpixel na h Faltung mit diesem Kern einen kleineren Berei h. Dadur h werden weniger Pixel im Rekonstruktionsbild von Raus hartefakten überlagert. Raus hartefakte werden jedo h aufgrund des lokalen Faltungskernes s härfer abgebildet und stören deshalb das Bild desto mehr. Artefakte, die dur h die lokal funktionale Anpassung neu hervorgerufen werden, ers heinen au h in dem Rekonstruktionsbild einer ans hlieÿenden Rü kprojektion. Weiterhin entspre hen die rekonstruierten Werte, wie au h bei der rein lokal funktionalen Anpassung, ni ht den Hounseldwerten. 2

3 engl.:

trun ated proje tions

4 Dies gilt zumindest für den in dieser Arbeit auss hlieÿli h betra hteten Fall der zweidimensionalen Radontransformation.

45

2.1 Stand der Te hnik

Externe Tomographie

Das externe Problem bes hreibt die Rekonstruktion aus den Daten, die komplementär zu denen des inneren Problems sind. Das heiÿt, es sind in diesem Fall alle Rohdaten auÿerhalb der Sinusoide einer Kreiss heibe innerhalb eines Bildes f gegeben. Die Daten werden Lo hprojektion 5 [117℄ genannt. Ein Verfahren zur Rekonstruktion von f auÿerhalb der Kreiss heibe wird als externe Tomographie [154℄ bezei hnet. Im Gegensatz zum inneren Problem ist das externe Problem eindeutig lösbar6 [117℄, [139, Kap. VI.3℄. Es ist jedo h ein sehr s hle ht gestelltes Problem und deshalb besonders empndli h gegenüber Störungen in den Messdaten [139℄. Trotzdem kann es beispielsweise zur Reduktion von Strahlaufhärtungsartefakten sinnvoll sein, Rekonstruktionen mit externen Tomographieverfahren unter Auslassung der besonders gestörten Daten innerhalb der Metallsinusoide zu bere hnen [154℄. Für ausführli he Bes hreibung externer Rekonstruktionsverfahren sei auf [118, 119, 139, 153156, 158, 159℄ verwiesen. 2.1.2 Iterative Verfahren Sei wie in Kapitel 1.4 Rf = fˇ ein Glei hungssystem, das die Radontransformation des Bildes f bes hreibt. Bleiben diejenigen Glei hungen unberü ksi htigt, die Messwerte innerhalb der Metallsinusoide bes hreiben, so ergibt si h dur h das Optimierungsverfahren ein Sinogramm, in dem Sinusoide konsistent über den Berei h der Metallsinusoide fortgesetzt werden. Dies entspri ht dem externen Problem, das in diesem Fall auf einem diskreten Pixelraster formuliert wird. Eine bekannte iterative Methode zur Lösung des Glei hungssystems stellt die Algebrai Re onstru tion Te hnique (ART) [66, 82℄ dar. In einem Verglei h dieser Methode mit der oben bes hriebenen linearen Interpolationsmethode stellt Ka helrieÿ [101℄ fest, dass ART bei deutli h höherem Re henaufwand keine signikant höhere Bildqualität erzielt. In einem weiteren Verglei h wird in [101℄ das Verfahren von Medoff et al [135℄ untersu ht. Dieses liefert bei komplexen Geometrien der Metalle zum Teil sehr s hle hte Ergebnisse. Neben algebrais hen Methoden eignen si h au h statistis he Verfahren zur iterativen Lösung des externen Problems. Mit der Expe tation Maximization (EM) Methode [41℄ wird iterativ eine Maximum-Likelihood-S hätzung bei unvollständigen Daten dur hgeführt [144℄. Dieses Verfahren wird in [187, 207℄ zur Artefaktreduktion eingesetzt. In einem Verglei h zwis hen EM und ART in [207℄ wird gezeigt, dass bei glei her Iterationszahl EM mehr Raus hen aufweist als ART. In den oben bes hriebenen Verfahren werden die gemessenen Intensitäten innerhalb der Metallsinusoide dur h ges hätzte Intensitäten ersetzt. Einen anderen Ansatz ver5 engl.:

hollow proje tions

6 Dies gilt jedo h nur für die Radontransformation von Funktionen

f ∈S

[139, Kap. II.3℄.

46

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

folgen [39, 45, 59, 99, 133, 197℄7 , bei denen eine Anpassung der Rohdaten an das verwendete Modell unter Einbeziehung physikalis her Randbedingungen unter Verwendung aller Messdaten dur hgeführt wird. Ein typis her Fall ist dabei die Reduktion von Strahlaufhärtungsartefakten. Ist das Röntgenspektrum der zur CT-Aufnahme verwendeten Röntgenröhre bekannt, so ist eine Linearisierung der Rohdaten auf das mono hromatis he Modell mögli h. Hierzu werden in einem ersten Rekonstruktionsbild die Metalle und eventuell vers hiedene Gewebe anhand ihrer HU segmentiert und diese numeris h sowohl mit einer mono hromatis hen als au h mit einer poly hromatis hen Röntgenröhre, die das Röntgenspektrum der tatsä hli hen Röntgenröhre aufweist, tomographiert. Aus der Dierenz dieser beiden Sinogramme wird ein Korrektursinogramm und daraus anhand der gelterten Rü kprojektion ein Korrekturbild erstellt, das auf das initiale Rekonstruktionsbild addiert wird. Das Verfahren wird iteriert, bis die einzelnen Einträge des Korrektursinogramms eine vorgegebene S hranke unters hreiten. Sind alle artefaktverursa henden Metalle im Rekonstruktionsbild enthalten, lässt si h das Verfahren au h ohne die ursprüngli hen Rohdaten anwenden, indem an deren Stelle numeris h bere hnete Rohdaten verwendet werden [59, Kap. 4.1℄, [133℄. Mit iterativen Verfahren wird zum Teil eine sehr gute Artefaktreduktion erzielt. Da diese Verfahren jedo h im Allgemeinen einen sehr hohen Re henaufwand aufweisen (vgl. [39℄), s heiden sie für eine routinemäÿige Bildaufbereitung aus.

2.2 Segmentierung von Metallsinusoiden Bei der Bes hreibung etli her Artefaktreduktionsverfahren wurde implizit die Kenntis der Metallsinusoide vorausgesetzt. Im Folgenden werden die gängigen Verfahren zur Segmentierung der Metallsinusoide vorgestellt. Im Ans hluss daran werden Methoden zur Verbesserung der Segmentierungsergebnisse bei einem häug verwendeten Verfahren bes hrieben. Au h das im Rahmen dieser Arbeit entwi kelte Verfahren zur Metallartefaktreduktion benötigt die segmentierten Metallsinusoide. Wie später gezeigt wird, eignet si h hierfür jedo h keines der im Folgenden vorgestellten Verfahren. Neue Verfahren mussten dafür entwi kelt werden, die Im Kapitel 2.4 vorgestellt werden. Das hier bes hriebene verbesserte Segmentierungsverfahren dient in der weiteren Arbeit als Orientierungshilfe im Sinogramm. 2.2.1 Bisherige Verfahren In [224℄ werden die Metallsinusoide dur h eine S hwellwertsegmentierung im Radonraum bestimmt. Der S hwellwert muss hierbei manuell vorgegeben werden. Innerhalb 7 Diese Verfahren wurden zum Teil ni ht zur Korrektur von Metallartefakten entwi kelt, lassen si h jedo h für diesen Anwendungsfall übertragen.

47

2.2 Segmentierung von Metallsinusoiden

der Metallsinusoide variieren die Intensitäten jedo h übli herweise stark aufgrund der ni htkonstanten Werte in der Radontransformation eines (konstanten) Metalls (vgl. Abb. 1.8(b)) und der Überlagerung mit anderen Sinusoiden. Deshalb ist es s hwierig, einen geeigneten S hwellwert in den Rohdaten zu nden. Aus der Abbildung 1.7 ist zu entnehmen, dass im Rekonstruktionsbild die HounseldEinheiten von Metall diejenigen von Körpergewebe weit übertreen und deshalb in einem artefaktfreien Rekonstruktionsbild im Allgemeinen sehr gut segmentiert werden können. Selbst in einem artefaktbehafteten Rekonstruktionsbild ist häug eine grobe Segmentierung des Metalls mögli h. Aus dieser Segmentierung ergeben si h die Metallsinusoide gemäÿ Denition 1.1. Diese Methode wird in vielen Artefaktreduktionsverfahren zur Bestimmung der Metallsinusoide angewandt. Ka helrieÿ [101, Kap. 4.1℄ segmentiert die Metalle im Rekonstruktionsbild anhand einer automatis hen S hwellwertsegmentierung bei einem S hwellwert T von T = 3.071 HU. Dies entspri ht übli herweise dem maximalen Wert, der im DICOM-Format gespei hert wird (s. Kap. 1.7). In Abbildung 2.3(b) ist ein Auss hnitt des bei diesem S hwellwert segmentierten CT-S hnittbildes der Abbildung 1.11(a) dargestellt. Aufgrund der Raus h- und Strahlaufhärtungsartefakte enthält die segmentierte Menge sowohl fals h positiv segmentierte Pixel als au h fals h negativ ni ht segmentierte Pixel. Im Abs hnitt 2.2.2 wird bes hrieben, wie dur h Einsatz von Filtern die Anzahl der fals h positiv segmentierten Pixel auÿerhalb und die Anzahl der fals h negativ ni ht segmentierten Pixel innerhalb der konvexen Hüllen der Metalle reduziert werden kann. Wird der S hwellwert niedriger gewählt, nimmt einerseits die Anzahl der fals h negativ ni ht segmentierten Pixel ab, andererseits aber au h die Anzahl der fals h positiv segmentierten Pixel zu. Bei einem S hwellwert T = 3.000 HU, der in [101℄ als Alternative zu T = 3.071 HU vorges hlagen wird, ergibt si h die in Abbildung 2.3( ) dargestellte Menge.

(a) Auss hnitt aus Abbildung 1.11(a)

(b) S hwellwertsegmentierung bei 3.071 HU

( ) S hwellwertsegmentierung bei 3.000 HU

Abbildung 2.3: S hwellwertsegmentierung von Metallen innerhalb eines Bildauss hnittes

von Abbildung 1.11(a).

Zwei alternative Methoden zur Segmentierung von Metallen werden in [71, Kap. 5.4.1℄ vorges hlagen. Dazu werden abgeänderte Rekonstruktionsbilder bere hnet, die na h

48

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Mögli hkeit weniger, oder zumindest für die Segmentierung weniger gravierende Artefakte aufweisen als das ursprüngli he Rekonstruktionsbild. Bei der ersten Methode werden zur Bere hnung des Rekonstruktionsbildes zunä hst die Rohdaten fˇr pixelweise dur h die Abbildung τα : R → R,

x 7→ sgn(x)|x|α ,

(2.2)

0<α<1

modiziert und darauf ans hlieÿend die gelterte Rü kprojektion dur hgeführt. Bei der zweiten Methode ergibt si h das Rekonstruktionsbild dur h eine modizierte Rü kprojektion der Rohdaten. Während bei der Rü kprojektion (1.11) Integrale entlang von Sinusoiden gebildet werden, werden hier stattdessen jeweils die Minima entlang der Sinusoide bestimmt. In beiden Verfahren werden Raus hartefakte reduziert. Bei der ersten Methode ges hieht dies dur h die überproportionale Dämpfung hoher Intensitäten, dur h die au h die hohe Raus hvarianz innerhalb der Metallsinusoide überproportional sinkt, bei der zweiten Methode hauptsä hli h dadur h, dass aufgrund der Minimumbildung Artefakte aufgrund des Raus hens zumeist lokal wirken. Bei der ersten Methode ergeben si h dur h die Dämpfung Artefakte, die den Strahlaufhärtungsartefakten entspre hen, das heiÿt Cupping-Eekte innerhalb der Metalle und Störungen ausgehend von den Metallen (s. Abb. 1.12). In beiden Verfahren werden aufgrund der ni htlinearen Modikationen Werte f (x0, y0) = f (x1, y1), die im Urbild f identis h sind, im Allgemeinen auf unters hiedli he Werte im Rekonstruktionsbild abgebildet. Dies wird an einem Beispiel in Abbildung 2.5 verdeutli ht. Auf die genaue Realisierung der Segmentierung wird in [71℄ ni ht eingegangen.

(a) Original (invertiert dargestellt)

(b) Rekonstruktion

Abbildung 2.4: Aus dem Bild (a) wird anhand der Radontransformation ein Sinogramm

bere hnet. Die Intensitäten werden in diesem Bild mit

τ0,5

transformiert

und daraus das Bild (b) rekonstruiert. In diesem Bild sind Strahlaufhärtungsartefakte und geringe Abtastungsartefakte zu erkennen.

49

2.2 Segmentierung von Metallsinusoiden

(a)

(b)

Abbildung 2.5: Modizierte

Rü kprojektion:

( )

(a)

Kontrastverstärktes

Shepp-Logan-

Kopfphantom in das zusätzli h Metalle, das heiÿt Regionen hoher Intensität, gesetzt wurden. (b) Ergebnisbild der modizierten Rü kprojektion. Innerhalb der konvexen Hüllen der ursprüngli hen Metalle sind die Intensitäten erhöht. ( ) 3D-Oberä hendarstellung eines Auss hnittes von (b) (Bli kri htung: von re hts oben auf das Rekonstruktionsbild).

2.2.2 Verbessertes Verfahren Häug ndet die Segmentierung der Metallsinusoide statt, indem, wie in Kapitel 2.2.1 bes hrieben, zunä hst die Metalle im CT-Bild segmentiert, ans hlieÿend in den Radonraum transformiert werden und dort die Metallsinusoide mit der Indikatorfunktion identiziert werden. Da die Segmentierung im Allgemeinen im artefaktbehafteten CT-Bild dur hgeführt wird, führt die S hwellwertsegmentierung dort unter Umständen au h zu fals h segmentierten Pixeln. Daraus resultieren, je na h ihrer Lage innerhalb des CT-Bildes, fehlerhafte Metallsinusoide. Ziel der im Folgenden bes hriebenen Bildverarbeitungmethoden ist, die Segmentierung im CT-Bild geeignet zu modizieren, um mögli hst korrekte Metallsinusoide zu erhalten. Die derart gewonnenen Metallsinusoide dienen im Weiteren der Orientierung im Sinogramm und werden als Referenz-Metallsinusoide bezei hnet. In der folgenden Bes hreibung seien f : (Nn × Nn) → {−1.024, . . . , 3.071}8 ein CT-Rekonstruktionsbild und MT := {(x, y)|f (x, y) ≥ T } die Menge der unter dem S hwellwert T segmentierten Pixel. Wir verglei hen zunä hst die Resultate der Segmentierungen mit den S hwellwerten T = 3.071 HU und T = 3.000 HU, die im letzten Abs hnitt genannt wurden. Es zeigt si h, dass si h eine Segmentierung mit dem höheren S hwellwert besser zur ans hlieÿenden Bestimmung der Metallsinusoide eignet. Das Segmentierungsergebnis mit diesem S hwellwert lässt si h jedo h no h weiter verbessern, wie im Weiteren gezeigt wird. 8 Dies entspri ht, wie in Kapitel 1.7 bes hrieben wird, dem übli hen Werteberei h von CT-Bildern.

50

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Raus hartefakte sind additive Überlagerungen von Defektgeraden jeweils konstanter Intensität (s. Kap. 1.8), die die artefaktverursa henden Metalle im Rekonstruktionsbild s hneiden. Deshalb ist dort die Di hte der Defektgeraden, das heiÿt die Anzahl der Defektgeraden pro Flä he, am gröÿten. Die Intensitäten der Defektgeraden variieren mit dem Raus hen innerhalb der Metallsinusoide. Aufgrund der hohen Di hte der Defektgeraden innerhalb der artefaktverursa henden Metalle ist dort die Varianz der Pixelintensitäten, die si h dur h die Überlagerungen ergibt, besonders ho h. Deshalb liegen zum Teil die Intensitäten f˜r (x, y) einzelner Pixel (x, y) ∈ χMetall (f ) weit unter den korrekten Werten f˜(x, y), man hmal sogar unter 3.071 HU. Pixel dieser Intensität werden bei einer S hwellwertsegmentierung mit T = 3.071 HU ni ht segmentiert; deshalb ergeben si h die im letzten Abs hnitt bes hriebenen artefaktbedingten Lö her innerhalb der segmentierten Metallregionen (vgl. Abb. 2.3(b)). Je kleiner T gewählt wird, desto mehr artefaktbedingte Lö her vers hwinden. Andererseits nimmt, je niedriger T gewählt wird, die Menge derjenigen Pixel zu, deren Intensität aufgrund additiver Überlagerung mit Defektgeraden den S hwellwert T übersteigt. Während die artefaktbedingten Lö her, das heiÿt, die fals h negativ segmentierten Pixel si h im Allgemeinen innerhalb der konvexen Hülle der einzelnen ni ht linear separierbaren Metallregionen benden und deshalb na h Korollar 1.1 häug die Menge der Metallsinusoide überhaupt ni ht beeinussen, bilden die fals h positiv segmentierten Pixel übli herweise eine Menge von jeweils wenigen zusammenhängenden Pixeln, die zumeist auÿerhalb jener konvexen Hüllen liegen und deshalb zu einer veränderten Menge der Metallsinusoide führen. Aus diesem Grund ist der S hwellwert T = 3.071 HU einem niedrigeren S hwellwert vorzuziehen. Dur h den Einsatz des Medianlters lassen si h vereinzelte Störpixel unter Beibehaltung der Bilds härfe, das heiÿt insbesondere ohne Glättung von Kanten, entfernen [65, Kap. 4.3℄, [142℄. Dadur h eignet si h dieses Filter zur Entfernung kleiner isolierter Pixelmengen, die unter T = 3.071 HU fals h positiv segmentiert werden. In diesem Fall wird ein Medianlter der Gröÿe 5 × 5 auf das segmentierte Bild χ{p∈Def(f )|f (p≥T }

angewandt. Das Ergebnis dieser Filterung auf das segmentierte Bild (Abb. 2.3(b)) ist in Abbildung 2.6(a) dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die meisten der fals h positiv segmentierten Pixel auÿerhalb der konvexen Hüllen der Zahnfüllungen na h der Filterung entfernt sind. Es ist mögli h, dass ni ht linear separierbare metallis he Berei he na h Anwendung des Medianlters linear separierbar sind. Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn si h ein ni ht linear separierbares Metall aus zwei linear separierbaren Teilmengen zusammensetzt und einem s hmalen Band von Pixeln, das diese Mengen verbindet. Diese Linie kann bei der Medianlterung entfernt werden und die Menge der Pixel dadur h in linear separierbare Teilmengen aufgeteilt werden.

51

2.2 Segmentierung von Metallsinusoiden

(a) Median

(b) Closing

( ) S hwellwertsegmentierung bei 1.000 HU

(d) S hnittmenge der Abbildungen (b) und ( )

Abbildung 2.6: Verbesserte S hwellwertsegmentierung dur h geeignete Filterung der seg-

mentierten Metalle in Abbildung 1.11(a). Na heinander wird auf dieses Bild (a) ein Medianoperator und (b) ein Closing-Operator angewendet. Der S hnitt dieser Menge mit ( ) dem Binärbild aus der Segmentierung des ursprüngli hen Sinogramms mit dem S hwellwert

T = 1.000 HU

er-

gibt (d) die Referenz-Metallsinusoide.

Zur Fusionierung dieser Mengen wird der morphologis he Closing -Operator (s. Anh. A.3) verwendet. Lö her, das heiÿt fals h negativ segmentierte Berei he, die kleiner als das Strukturelement sind, werden dabei ges hlossen [76℄. Eine konvexe Menge von Pixeln ist, wie im Anhang gezeigt wird (s. Korollar A.2), invariant gegenüber dem Closing-Operator. Dies gilt somit au h für die konvexen Hüllen ni ht linear separierbarer Teilmengen und damit für die einzelnen Metalle, wenn der minimale Abstand zwis hen je zwei Mengen gröÿer als das Strukturelement ist. Es wird hier ein kreiss heibenförmiges Strukturelement mit einem Dur hmesser von 11 Pixeln verwendet. Das Ergebnis des Closing auf die mediangelterte Menge von Abbildung 2.6(a) ist in Abbildung 2.6(b) dargestellt. Es wird nun eine weitere S hwellwertsegmentierung auf dem ursprüngli hen Rekonstruktionsbild dur hgeführt, in diesem Fall jedo h bei einem niedrigen S hwellwert von T = 1.000 HU. Von Pixeln, die bei diesem S hwellwert ni ht segmentiert werden, kann angenommen werden, dass sie ni htmetallis h sind. Dur h Bildung der S hnittmenge zwis hen dieser und der dur h Closing gewonnenen Menge werden somit Pixel aus der letztgenannten Menge entfernt, die mit hoher Wahrs heinli hkeit ni htmetallis h sind. Insbesondere kann errei ht werden, dass linear separierbare Mengen, die dur h Closing fals h vers hmolzen wurden, wieder getrennt werden, was wiederum die Metallsinusoide beeinusst. Diese Menge ist für das betra htete CT-Bild in Abbildung 2.6(d) dargestellt. Zwar sind die hauptsä hli h aufgrund von Strahlaufhärtungsartefakten fals h positiv segmentierten Pixel in unmittelbarer Umgebung der Zähne zum Teil ni ht vollständig entfernt, im Verglei h zu dem ursprüngli h bei T = 3.071 HU segmentierten Bild (s. Abb. 2.3( )) enthält diese Menge aber insgesamt weniger fals h positiv segmentierte Pixel auÿerhalb der konvexen Hüllen der Metalle. Dies betrit vor allem die aufgrund von Raus hartefakten fals h positiv segmentierten Pixel. Somit stellt das bes hriebene Verfahren eine Verbesserung der Segmentierung

52

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

dar. Dies wird besonders im Verglei h der aus den jeweiligen Mengen resultierenden Metallsinusoide deutli h. Diese sind für des betra htete CT-Bild in Abbildung 2.7 dargestellt. Da die Metalle auf jeder Seite des Kiefers im Rekonstruktionsbild jeweils eine zusammenhängende Menge bilden (s. Abb. 1.11(a)), können si h die korrekten Metallsinusoide in jeder Spalte des Sinogramms na h Korollar 1.2 aus hö hstens zwei ni htzusammenhängenden Intervallen zusammensetzen. Während si h die Metallsinusoide in Abbildung 2.7(a), die aus der ursprüngli hen Segmentierung resultieren in allen Spalten aus mehr als zwei ni ht zusammenhängenden Intervallen zusammensetzen, setzen si h die Metallsinusoide in Abbildung 2.7(b), die si h aus der verbesserten Segmentierung ergeben, nur in einem geringen Winkelberei h um 0° aus mehr als zwei ni ht zusammenhängenden Intervallen zusammen. l

l

0

θ[rad]

π

0

θ[rad]

(a)

π

(b)

Abbildung 2.7: (a) Metallsinusoide des s hwellwertsegmentierten Rekonstruktionsbildes

aus Abbildung 2.3(b) (invertiert dargestellt). (b) Metallsinusoide wie in (a), jedo h na h verbesserter Segmentierung aus Abbildung 2.6(d) (invertiert dargestellt).

2.3 Pseudorohdaten Stehen die Rohdaten fˇr zur Verfügung, ist es, wie oben bes hrieben, sinnvoll, die Metallartefaktreduktion in den Rohdaten dur hzuführen, weil dort die artefaktverursa henden Defektpixel lokal innerhalb der Metallsinusoide liegen. Häug stehen die Rohdaten jedo h ni ht zur Verfügung, etwa weil sie ni ht abgespei hert wurden oder das proprietäre Format der Rohdaten ni ht bekannt ist. In diesem Fall lassen si h aus einem Rekonstruktionsbild numeris h Pseudorohdaten 9 fˇ˜ := R f˜ bestimmen. Bei dem im Rahmen dieser Arbeit neu entwi kelten Verfahren zur Reduktion von Metallartefakten ndet die Artefaktreduktion in den Pseudorohdaten statt. Um dieses Vorgehen zu re htfertigen, ist eine Analyse der Pseudorohdaten notwendig, insbesondere 9 Fu hs [59℄ verwendet hierfür den Begri

Pseudoprojektionen

(engl.:

mo k proje tions ).

2.3 Pseudorohdaten

53

im Hinbli k auf Unters hiede, die si h zwis hen den ursprüngli hen Rohdaten und den Pseudorohdaten ergeben können, beispielsweise dur h ˆ Clipping, ˆ Artefakte und ˆ einer Abspei herung eines Teilauss hnittes (einer ROI10 ) und ni ht des gesamten Rekonstruktionsbildes. 2.3.1 Bere hnung von Pseudorohdaten Die numeris he Bestimmung der Pseudorohdaten fˇ˜ = R f˜ eines Rekonstruktionsbildes fˇ erfolgt hier in der Parallelstrahlgeometrie, das heiÿt dur h Bere hnung von Rf . Dazu eignen si h Strahlverfolgungsalgorithmen11, bei denen Pixelwerte entlang von Geraden summiert werden [39, Kap. 3℄, [59, Kap. 4.1.4℄, [98℄, [133℄, [213, Anh. C℄. Werte an Zwis henpixelpositionen lassen si h dur h Interpolationen bestimmen. Für ein Bild der Gröÿe n × n müssen für jeden Detektor in jedem Aufnahmewinkel O(n) Summationen dur hgeführt werden. Bei #θ Aufnahmewinkeln und #l Detektoren ergibt dies einen Gesamtaufwand von O(n#l#θ). Die Radontransformation ist Bestandteil vers hiedenere Softwarepakete, beispielsweise IDL [91℄, Impa tIR [204℄, Matlab [131℄, RECLBL [90℄, SNARK93 [19℄, TomAS [225℄ und [202℄. In dieser Arbeit wird die Matlab-Implementierung radon verwendet, bei der der Mittelpunkt von fˇ als Drehzentrum der virtuellen Röntgenröhre verwendet wird12 . Die Gröÿe der in dieser Arbeit verwendeten radiologis hen CT-Bilder beträgt in der Regel 512 × 512 Pixel. Zur Bestimmung der Pseudorohdaten dieser Bilder wird als Kompromiss zwis hen Abtastungsartefakten (vgl. Kap. 1.8.5) und Laufzeit im Folgenden eine Anzahl von 1.024 Projektionswinkeln verwendet. Die Laufzeit von radon bei einem Bild dieser Gröÿe beträgt ungefähr 1 Minute. Für die Anzahl der Abtastwerte unter jedem Projektionswinkel wird der Standardwert von radon verwendet, der etwas mehr als die Länge der Diagonalen beträgt. Für CT-Bilder mit der übli hen Kantenlänge von 512 Pixel sind dies 729 Abtastwerte. In Abbildung 2.8 werden die Pseudorohdaten zu dem Datensatz in Abbildung 1.11(a) dargestellt. Diese Abbildung dient im Weiteren der Bes hreibung des im Rahmen dieser Arbeit entwi kelten Artefaktreduktionsverfahrens. In der Nähe der ReferenzMetallsinusoide weisen die Pseudorohdaten ein hohes Raus hen auf13 (s. Abb. 2.8(b)). Die Teilmenge des Sinogramms, in der die Pixel deutli h erkennbar stark verraus ht 10 Region Of Interest

11 Weitere Verfahren werden etwa in [9, 35℄ bes hrieben. 12 Für weitere Details sei auf [131, Image Pro essing Toolbox℄ verwiesen. 13 Die Textur des Raus hens ist vor allem von der Abtastung bei der numeris hen Radontransformation abhängig.

54

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

sind, ist ni ht de kungsglei h mit den Referenz-Metallsinusoiden. Ungefähr in den Winkelberei hen von θ ∈ [0,2; 0,4] ∪ [0,6; 0,8] ist in der Abbildung unterhalb der Referenz-Metallsinusoide Raus hen zu erkennen. Dies deutet auf artefaktverursa hende Metalle hin, die si h auÿerhalb des Rekonstruktionsbildes benden. Innerhalb der Referenz-Metallsinusoide sind unters hiedli h stark verraus hte Regionen unters heiden. Das Ziel der im Folgenden bes hriebenen Verfahren ist, die besonders stark verraus hten Teilmengen eines Sinogramms zu segmentieren. Diese liegen im Allgemeinen nahe bei den Referenz-Metallsinusoiden, weshalb si h diese zur Abs hätzung der ungefähren Lage eignen. 2.3.2 Clipping Der Abbildung 1.7 ist zu entnehmen, dass Hounseld-Einheiten von Metallen bei 8.000 HU beginnen. Häug ndet bei der Spei herung von Rekonstruktionsbildern jedo h ein Clipping auf den Werteberei h {−1.024, . . . , 3.071} statt, so dass im Rekonstruktionsbild alle Metalle den Wert 3.071 HU aufweisen (vgl. Kap. 1.7.2 und 2.2). Daraus ergeben si h in den Pseudorohdaten deutli h reduzierte Intensitäten innerhalb der Metallsinusoide. Dies bedeutet, dass Verfahren zur Segmentierung von Metallsinusoiden anhand der Intensität im Sinogramm im Allgemeinen zu fals hen Ergebnissen führen. Dies wird exemplaris h in Abbildung 2.9 anhand einer S hwellwertsegmentierung der Pseudorohdaten aus Abbildung 2.8 dargestellt. In der Abbildung ist zu erkennen, dass in den Pseudorohdaten ein groÿer Teil der Pixel innerhalb der Metallsinusoide eine verglei hsweise geringe Intensität aufweist. Die Hounseld-Einheiten von Körpergewebe liegen innerhalb [−1.024, 3.071] und werden deshalb dur h Clipping ni ht verändert. Zum Teil liegen aufgrund von Überlagerungen mit Artefakten Pixelwerte von Körpergewebe auÿerhalb des ClippingIntervalls. In diesem Fall kann wi htige Information über das Gewebe beim Clipping verloren gehen. Dies betrit vor allem Bildregionen, die von massiven Strahlaufhärtungsartefakten überlagert sind und dadur h auÿerhalb des Clipping-Intervalls liegen. In diesem Fall können Artefaktreduktionsverfahren, die auf Rohdaten basieren, deutli h bessere Ergebnisse erzielen als Verfahren, die Pseudorohdaten verwenden. 2.3.3 Artefaktbehaftete Rekonstruktionsbilder Aus der Radontransformierten fˇ eines Bildes f lässt si h f dur h Bere hnung der inversen Radontransformation eindeutig bestimmen (s. Kap. 1.4). Die Pseudorohdaten des Rekonstruktionsbildes entspre hen in diesem Fall oensi htli h exakt den ursprüngli hen Rohdaten14 . Werden die Rohdaten jedo h aufgrund von Raus hen 14 Im Diskreten gilt dies bis auf geringe Diskretisierungsfehler [98℄.

55

2.3 Pseudorohdaten

l

0

θ[rad]

π

(a)

l

0

0,2π

0,4π

0,6π

0,8π

θ

(b)

Abbildung 2.8: (a) Pseudorohdaten zu dem Datensatz in Abbildung 1.11(a). (b) Über-

lagerung von (a) mit den Metallsinusoiden der verbesserten S hwellwertsegmentierung aus Abbildung 2.7. Die Struktur des Raus hens ist abhängig von der Abtastung. Zur Darstellung der Bilder wurde die Bilds härfe künstli h erhöht.

56

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern l

θ Abbildung 2.9: S hwellwertsegmentierung bei 50% der Maximalintensität in den Pseu-

dorohdaten

aus Abbildung 2.8 (weiÿ) überlagert

Metallsinusoiden

(s hwarz).

Nur

ungefähr

die

mit den Referenz-

Hälfte

der

Referenz-

Metallsinusoide liegen in der Menge der segmentierten Pixel. Diese benden si h zum gröÿten Teil oberhalb der Referenz-Metallsinusoide im Sinogramm.

oder anderen Ursa hen von einem Defektsinogramm überlagert, so stellt das resultierende Sinogramm im Allgemeinen keine Radontransformierte dar15 . Im Diskreten lassen si h lei ht Beispiele konstruieren, in denen die gestörten Rohdaten fˇr kein Urbild besitzen. Sei beispielsweise f ein Bild der Gröÿe 1 × 1 mit f = 0 und fˇ = Rf dessen Sinogramm unter unters hiedli hen Aufnahmewinkeln. Dessen Werte sind oensi htli h konstant Null. Enthält nun das Sinogramm an genau einem Pixel einen Defekt, das heiÿt einen ni htvers hwindenden Wert, besitzt das zugörige Glei hungssystem keine Lösung. Somit existiert au h kein Urbild zu diesem Sinogramm. Ein wi htiges Kriterium für eine erfolgrei he Artefaktreduktion in den Rohdaten stellt eine gute Lokalisierung der Defektpixel dar. Deshalb werden im Folgenden die Bilder von Artefakten in den Pseudorohdaten betra htet. Dabei wird direkt an das Kapitel 1.8 angeknüpft. Während dort die Defektbilder R −1ˇf analysiert werden, ndet im Folgenden eine Untersu hung der Pseudorohdaten ˇ˜f = RR −1ˇf

statt. Aufgrund der Linearität der Radontransformation gilt für die Pseudorohdaten fˇ˜r = fˇ˜ + ˇ˜f = RR −1 fˇ + ˇ˜f = fˇ + ˇ˜f. (2.3) Ein Defektsinogramm setzt si h wiederum aus einzelnen Defektpixeln zusammen. Deshalb genügt es, das Bild RR −1δl ,θ eines einzelnen Impulses, das heiÿt die Radontransformierte des Defektbildes R −1δl ,θ , zu betra hten. Dazu ist in Abbildung 2.10 ein Defektbild der Gröÿe n × n skizziert. Die Intensitäten entlang der Geraden 0

0

0

15 Dies folgt aus [126, Fuÿnote 1℄.

0

57

2.3 Pseudorohdaten

sind konstant und entspre hen dem skalierten Maximum des Rekonstruktionsfaltungskernes η (vgl. Kap. 1.5). In der Abbildung wurde θ0 = 0 gewählt16. Die Breite b stellt die Ausdehnung von g2 im diskreten Bild dar, die für θ0 = 0 genau 1 Pixel beträgt. Die beiden Geraden g1 und g3 liegen parallel zu g2 und begrenzen die Menge T , in der R −1δl ,θ ni ht vollständig vers hwindet. Je na h verwendetem Faltungskern η bei der gelterten Rü kprojektion R ∗η ∗l δl ,θ variiert der Abstand b′ zwis hen g1 und g3 . g2 = ρl0 ,θ0

0

0

0

p

-l m

q

Breite von g2 Breite von hç; d(g1, g3) d(q, q’) d(l(p), l(r)) bzw. d(l(p’), l(r’)) g1,g2,g3 Parallelen (s.Text) è, è0 s. Text é s. Text hç Faltungskern Koordinaten auf r l l0 = d(0, g2) l0 l(x) Projektion von x auf r Bildhöhe und -breite n p,q,r,... Schnittpunkte der gi mit dem Bildrand Hyperebene durch 0 r senkrecht zu den Röntgenstrahlen b bT c d1, d2

r

ax

b

) l(q d

1

)

é

l(p

l(r )

è0

è

n

l0 0

d

l(r ’

2

bT g1

g2

0

g3

d

)

l(q

’) l(p

’)

r r’

q’

p’

v Rö irtu nt elle ge ns tra hl

en

1

lm

ax

l

Faltungskern ç

Abbildung 2.10: Numeris he Tomographie des Defektbildes

R −1 δl0 ,θ0 .

Die Abbildung ist

ni ht maÿstabsgetreu.

Sei g eine Approximation der Gerade g¯ : θ¯0x = l0 im diskreten Pixelraster des Rekonstruktionsbildes. Die Breite und Länge von g im Pixelraster wird mit b beziehungsweise c bezei hnet. Sei weiterhin χg die Indikatorfunktion der Pixelmenge von g im Rekonstruktionsbild. Es wird nun die Radontransformierte χˇg betra htet. Der Einfa hheit halber erfolgt die Darstellung im Kontinuierli hen. Die Menge g wird dabei als Parallelens har der Breite b aufgefasst, wobei die Länge der mittle16 Anstelle des Winkels stellt.

θ0 = 0

wird hier aus zei hente hnis hen Gründen ein Winkel von

π

darge-

58

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

ren Parallele c betrage. Die Radontransformierte lässt si h in der Spalte θ0 dur h χˇg (l, θ0 ) = cδ(l − l0 ) abs hätzen. Der Intensitätsverlauf17 entlang der θ-A hse ist proportional zu der Stre ke ι, die die virtuellen Röntgenstrahlen im Winkel θ dur h g zurü klegen und folgt somit der Funktion ι : (θ − θ0 ) 7→ min{c,

b }, sin(θ − θ0 )

(2.4)

die in Abbildung 2.11 für θ0 = 0, b = 1 und c = 512 dargestellt ist. Die Länge c ist jeweils von der Länge der Stre ken, die die Geraden g2 im Rekonstruktionsbild zurü klegen, abhängig. Dies hängt vor allem von der Gröÿe des Rekonstruktionsbildes und auÿerdem von der Lage der Geraden im Rekonstruktionsbild ab. Je länger c und insbesondere je gröÿer das Rekonstruktionsbild ist, desto dominanter wird demzufolge die Intensität ι an der Stelle θ = θ0. Für c = 512 beträgt ι bereits na h 0,2° nur no h 65% und na h 1° nur no h 12% der Intensität ι[0]. 500

min(512,1/sin(x))

400 300 200 100 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

Abbildung 2.11: Intensitätsverlauf der Pseudorohdaten

(2.4), wobei

θ0 = 0, b = 1

und

3

χ ˇg

entlang der

θ-A hse

gemäÿ

c = 512.

Mit der Abnahme der Intensitäten entlang der θ-A hse im Radonraum geht eine Aufweitung des Impulses δl ,θ einher, die dur h 0

0

(θ − θ0 ) 7→ max{b, c sin(θ − θ0 )}

(2.5)

abges hätzt wird. Die Pseudorohdaten RR −1δl ,θ ergeben si h nun aus der Überlagerung der Sinogramme aller Parallelen innerhalb von T , deren Bild im Folgenden anhand der Abbildung 2.10 eingehender untersu ht wird. Sei bT = d(g1, g3) die Breite von T , das heiÿt die maximale Distanz zwis hen zwei ni htvers hwindenden Koezienten im Faltungskern η. In der Abbildung 2.10 ist eine Momentaufnahme der numeris hen Tomographie dargestellt, in der si h die SendeEmpfangseinheit des virtuellen Parallelstrahltomographen in einem Winkel θ bendet. Sei x ein Pixel im Rekonstruktionsbild und l(x) die l-Koordinate der Projektion von x auf die Gerade r : λθ,¯ l ∈ R (s. Abb. 2.10). Wir betra hten nun die Spalte 0

17 Im Kontinuierli hen gilt onsgeraden

ρl,θ

mit

g¯

χ ˇg¯ (l, θ) = cδl0 ,θ0 ,

da für

0

(l, θ) 6= (l0 , θ0 )

jeweils das Maÿ Null haben.

die S hnittmengen der Integrati-

59

2.3 Pseudorohdaten [RR −1 δl0 ,θ0 ](l, θ), l ∈ [−lmax , lmax ].

Diese lässt si h im Allgemeinen in die folgenden

fünf Intervalle unterteilen : ˆ I1 := [−lmax , l(p)), ˆ I2 := [l(p), l(r)), ˆ I3 := [l(r), l(r′ )], ˆ I4 := (l(r′ ), l(p′ )] und ˆ I5 := (l(p′ ), lmax ]. Da auÿerhalb von T alle Pixelintensitäten vers hwinden, gilt 18

∀l ∈ I1 ∪ I5 : [RR −1 δl0 ,θ0 ](l, θ) = 0.

Weiterhin ergibt si h aus Lemma 1.1

∀l ∈ I3 : [RR −1 δl0 ,θ0 ](l, θ) = 0

sowie

θ = θ0 ⇒ [RR −1 δl0 ,θ0 ](·, θ) = 0,

falls T vollständig im Rekonstruktionsbild liegt. Ist θ⊥ = θ0, dann sind I2 und I4 identis h und die Projektionswerte entspre hen den Werten des Faltungskerns η bis auf einen Skalierungsfaktor, der abhängig von der Länge von g2 innerhalb des Rekonstruktionsbildes ist19. Somit enthalten die Pseudorohdaten an der Stelle (l0, θ0) statt eines Impulses den Faltungskern η entlang der Spalte. Für l ∈ I2 ergeben si h die Projektionswerte aus der skalierten und auf die Stre ke Rt d1 dilatierten Integralfunktion t 7→ −∞ η(t) dt beziehungsweise im Diskreten aus P der kumulierten Summe k 7→ k−∞ η[i]. Dies ist für einen typis hen Rekonstruktionsfaltungskern in Abbildung 2.12 dargestellt. Die Nulldur hgänge zwis hen dem Maximum η[0] des Faltungskerns und den beiden Minima liegen je na h Faltungskern bei ungefähr |t| = 1 (vgl. [20, Kap. 6.1.3℄). An diesen Stellen tritt jeweils ein Vorzei henwe hsel von η auf, so dass die Integralfunktion beziehungsweise die kumulierte Summe dort sein Minimum (k < 0) beziehungsweise sein Maximum (k > 0) annimmt20. Die Projektionswerte für l ∈ I4, ergeben si h aus den an der A hse k = 0 gespiegelten Werten der kumulierten Summe. Sofern I2 6= I4 und I2 ∩ I3 6= ∅, ergeben si h die Projektionswerte aus der kumulierten Summe für k ≤ kmax, kmax > 0 beziehungsweise den an der A hse k = 0 gespiegelten Werten. 18 Je na h der Breite

bT

und dem Aufnahmewinkel

θ

überde ken si h zum Teil Intervalle oder es

entfallen Intervalle.

19 Im Allgemeinen können si h die Längen, die die Parallelen innerhalb von T im Rekonstruktionsbild aufweisen, unters heiden. In diesem Fall entspre hen die Projektionswerte näherungsweise dem skalierten Faltungskern.

20 Im Diskreten sind die Extrema der kumulierten Summe um 1/2 Pixel na h links vers hoben. Dies lässt si h dur h die Asymmetrie der Rü kwärtsdierenz

n 7→ a[n] − a[n − 1]

die Integralfunktion auf den Faltungskern abgebildet wird.

erklären, dur h die

60

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

0

0

0

0

(a) Faltungskern

(b) Kumulierte Summe

Abbildung 2.12: Typis her Faltungskern

η

sowie die kumulierte Summe

k 7→

Pk

−∞ η[i].

Für die A hsen beider Abbildungen wurden identis he Skalierungen gewählt.

Aufgrund der ni htvers hwindenden Projektionswerte für l ∈ I2 ∪ I4 weisen die Pseudorohdaten au h für θ 6= θ0 ni htvers hwindende Intensitäten auf. Der Intensitätsverlauf für die Extrema entlang der θ-A hse kann dur h (2.4) abges hätzt werden, weil die Extrema nahe bei l(q) beziehungsweise l(q′) liegen. Ebenso lassen si h die Abstände d(l(q), l(q′)) anhand (2.5) abs hätzen, während die Abstände d(l(p), l(r)) beziehungsweise d(l(p′), l(r′)) si h zu (θ − θ0 ) 7→ bT | cos(θ − θ0 )| (2.6) ergeben und somit für θ = θ0 ihr Maximum annehmen. Zur Verans hauli hung der obigen Untersu hungen sind in Abbildung 2.13 die Pseudorohdaten RR −1αδl ,0 für ein α > 0 dargestellt. In dem S haubild ist deutli h das Maximum an der Stelle (l0, 0) zu erkennen. In den ersten Spalten sowie aufgrund der Symmetrieeigens haft (1.8) in den letzten Spalten ist η mit skalierten Werten zu erkennen. Die deutli h erkennbaren sinusoidalen Kurven werden dur h die Extrema bes hrieben. Liegt g2 in der Nähe des Randes ∂ Def(f˜), so bendet si h, anders als bei der bisherigen Betra htung, nur eine Teilmenge von T , beispielsweise die Parallelen zwis hen g2 und g3 im Rekonstruktionsbild (vgl. Abb. 2.10). Die Integrale über die Geraden ρl,θ , die diesen Teil von T s hneiden, vers hwinden im Allgemeinen ni ht. Als Beispiel sind in Abbildung 2.14 Pseudorohdaten dargestellt, die si h für g2 k ρl, / ergeben. Abbildung 2.14(a) resultiert aus einem Rekonstruktionsbild, in dem g2 direkt am Rand liegt, Abbildung 2.14( ) aus einem Rekonstruktionsbild, in dem g2 gerade ni ht mehr enthalten ist. Die ni htvers hwindenden Projektionswerte dieser Abbildungen sind, abgesehen von den s hwarz dargestellten negativen Intensitäten in Abbildung 2.14(a) für θ ≈ 90°, in den einzelnen Spalten nahezu identis h und entspre hen oensi htli h 0

π 2

61

2.3 Pseudorohdaten

l

θ (a) Grauwertdarstellung

(b) 3D-Oberä hendarstellung

Abbildung 2.13: Pseudorohdaten

RR −1 αδl0 ,0 , α > 0.

Die Intensität

ˇ˜f(l , 0) 0

beträgt in

diesem Fall ungefähr 30% der ursprüngli hen Intensität.

den Maxima beziehungsweise Minima in Abbildung 2.13, was au h in den Abbildungen 2.14(b) und 2.14(d) deutli h wird.

θ

1

0

0,8

−0,2

0,6

−0,4

0,4

−0,6

0,2

−0,8

0

0

90

(a)

(b)

Abbildung 2.14: Pseudorohdaten für

θ

180

−1 0

90

( )

g2

parallel zu

ρl,π/2 .

180

(d)

(a) Gerade

g2

no h im Rekon-

struktionsbild enthalten. (b) Intensitätsprol entlang der in (a) dargestellten Linie (Skalierung mit 1/(Maximum des Intensitätsprols)). ( ) Gerade

g2

auÿerhalb vom Rekonstruktionsbild. (d) Intensitätsprol ent-

lang der in ( ) dargestellten Linie (Skalierung mit 1/(|Minimum des

Intensitätsprols|)).

Liegt g2 in einer E ke des Rekonstruktionsbildes, ist also g2 ∩ Def(f˜) punktförmig, sind die Pseudorohdaten im Wesentli hen in den Sinusoiden dieses Punktes ni htvers hwindend. Dies wird in Abbildung 2.15 exemplaris h dargestellt. Die maximalen und minimalen Intensitäten entlang der θ-A hse in den Pseudorohdaten variieren in diesem Fall weniger als in den obigen Fällen. Da diese Extrema aufgrund des kurzen Integrationswegs über g2 jedo h verglei hsweise gering sind, spielt dieser Fall eine untergeordnete Rolle und wird ni ht näher betra htet.

62

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

1

l

0,8

R

− →

0,6 0,4 0,2 0

(a)

(b)

Abbildung 2.15: (a) Die Gerade

g2

θ

90

180

( )

s hneidet das Rekonstruktionsbild in einer E ke links

in der Abbildung. (b) Pseudorohdaten. ( ) Maxima in den Spalten der Pseudorohdaten entlang der

θ-A hse

(Skalierung mit 1/(Maximum der

Maxima)).

Wir betra hten nun die Varianz der Defektpixel in den Pseudorohdaten. Sei α ∈ R+. Dann ergibt si h für die Intensität der lineare Zusammenhang ˇ˜f(l , θ ) = RR −1 αδ = αRR −1 δ . 0 0 l0 ,0 l0 ,0

Andererseits hängt die Intensität au h linear von der Länge c der S hnittmenge zwis hen dem Rekonstruktionsbild und der Geraden g2 ab, die in diesem Fall ρl ,θ entspri ht. Aufgrund dieser Linearitäten wird die Varianz zwis hen den Intensitäten der Defektpixel in den Pseudorohdaten gegenüber der Varianz der korrespondierenden Intensitäten in den ursprüngli hen Rohdaten skaliert. Dadur h wird aber der Charakter des Raus hens ni ht verändert. Das bedeutet, dass au h die Pseudorohdaten eine exponentielle Zunahme der Raus hvarianz mit steigender Intensität der unverraus hten Rohdaten fˇ˜ aufweisen (vgl. Kap. 1.8). Da si h anstelle der ursprüngli hen Impulse entlang der Spalten jeweils die Rekonstruktionsfaltungskerne η benden, werden hohe Frequenzen verstärkt und das Raus hen in vertikaler Ri htung tritt in den Pseudorohdaten im Verglei h zu den Rohdaten deutli her hervor. In horizontaler Ri htung hingegen ist das Defektbild aufgrund der ni htvers hwindenden Ausdehnung, die die Impulsantworten von Defektpixeln entlang der θ-A hse aufweisen (s. Abb. 2.13), geglättet. Zur Verans hauli hung wird aus kˇ ein Defektsinogramm erstellt, wie in Kapitel 1.8 zur Erstellung von Abbildung 1.10(a) bes hrieben, jedo h ˇ : fˇr (l, θ) = 0. Die Menge Tr(k) ˇ wird als die Menge der Metallsiso, dass (l, θ) ∈/ Tr(k) nusoide interpretiert. Aus diesem Defektsinogramm wird ein Rekonstruktionsbild erzeugt und daraus die in Abbildung 2.16 dargestellten Pseudorohdaten. Zum Verglei h wurde in Abbildung 2.16(a) ein Auss hnitt des Sinogramms kˇ angefügt. Man kann deutli h sehen, dass die Varianz der Raus hintensitäten innerhalb der Metallsinusoide am gröÿten ist. Auÿerhalb der Metallsinusoide vers hwindet das Defektsinogramm in den Pseudorohdaten fast vollständig. 0

0

63

2.3 Pseudorohdaten l

0

θ[rad]

π

(a) Grauwertdarstellung

(b) 3D-Oberä hendarstellung

Abbildung 2.16: Pseudorohdaten

ˇ˜f.

Die Simulation eines Defektsinogramms

anhand des Sinogramms

kˇ

ge

wird in

ˇf

ges hieht

des Kreiss heibenphantoms. Zum Verglei h

ist re hts in (a) ein Auss hnitt von

ˇ Tr(k)

ˇf

kˇ

abgebildet. Innerhalb der Men-

ein normalverteiltes Raus hen erzeugt, dessen Vari-

ˇ kˇ wä hst. Auÿerhalb von Tr(k) ˇ ˇ beträgt Null. Der Werteberei h von f ist [−0,6; 0,5]. Aus f wird ein ˇf bestimmt. Rekonstruktionsbild der Gröÿe 128 × 128 Pixel und daraus ˜

anz exponentiell mit den Intensitäten in

ˇf

2.3.4 Metall auÿerhalb des gespei herten CT-Bildes In den bisherigen Betra htungen wurde davon ausgegangen, dass alle Metalle, die zu Metallsinusoiden in den Rohdaten korrespondieren, im CT-Bild f˜r enthalten sind. Dieses enthält jedo h häug nur eine ROI des Rekonstruktionsbildes [89, Kap. 3.6.3℄ und damit im Allgemeinen ni ht alle oder sogar gar keine Pixel des Metalls. In der Abbildung 1.11(a) sind zum Beispiel nur wenige Zähne zu sehen. Oensi htli h können jedo h au h von Zahnfüllungen, die ni ht im CT-Bild enthalten sind, Artefakte herrühren, die das CT-Bild überlagern. Es wird nun das Bild dieser Artefakte in den Pseudorohdaten untersu ht. Dabei wird davon ausgegangen, dass aufgrund der Metalle insbesondere au h Raus hartefakte hervorgerufen werden. In Abbildung 2.17 ist ein artefaktbehaftetes CT-Bild f˜r skizziert, bei dem das artefaktverursa hende Metall ni ht enthalten ist. Von dem Metall breiten si h Raus hartefakte über das ganze Bild aus. Die eingezei hneten Geraden symbolisieren jeweils die zentrale Gerade g2 maximaler Intensität (vgl. Abb. 2.10). Sei M der Mittelpunkt von Def(f˜r ). Man kann si h nun f˜r eingebettet in ein kreiss heibenförmiges Messfeld Ω2 mit Mittelpunkt M vorstellen so, dass Def(f˜r ) ⊂ Ω2 und die Werte auÿerhalb Def(f˜r ) vers hwinden (s. Abb. 2.17). Sei nun der Radius des Messfeldes so groÿ, dass die Pixel der artefaktverursa henden Metalle innerhalb des Messfeldes liegen, die Breite der Röntgenquelle jedo h unverändert (Abb. 2.17 links). Nehmen wir an, die Pixelintensitäten auÿerhalb des

64

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern è1

è2

è2

virtuelle Röntgenstrahlen im Projektionswinkel è1 Ù

2

CT-Bild

Metall

virtuelle Röntgenstrahlen eines größeren Messfeldes

M

è3

Abbildung 2.17: Bere hnung der Pseudorohdaten eines artefaktbehafteten CT-Bildes

(di k umrandetes Quadrat). Das artefaktverursa hende Metall liegt auÿerhalb des Bildes.

CT-Bildes sind ni ht vers hwindend, sondern enthalten im gesamten Messfeld die aus den ursprüngli hen Rohdaten rekonstruierten Werte. Dann sind die Metallsinusoide in den Pseudorohdaten innerhalb des Winkelberei hs, in dem das Metall von der Parallelens har der virtuellen Röntgenstrahlen überde kt wird, enthalten. Im übrigen Sinogramm vers hwinden die Metallsinusoide. Aufgrund der Raus hartefakte im Messfeld resultiert Raus hen innerhalb der Metallsinusoide in den Pseudorohdaten (vgl. Kap. 1.8). Sind nun die Intensitäten im Messfeld auÿerhalb des CT-Bildes Null, reduziert si h zwar der Mittelwert innerhalb der Metallsinusoide, die Varianz der Intensitäten steigt jedo h au h hier exponentiell mit der Intensität der unverraus hten Rohdaten fˇ˜. Dies gilt, weil die Intensitäten der Strahlen im Wesentli hen unabhängig von der Lage des Metalls sind. Die Intensitäten in den Metallsinusoiden der Pseudorohdaten sind somit ni ht in erster Linie von der Lage des Metalls, sondern von der Länge der einzelnen Strahlen im Bild abhängig. In Abbildung 2.18 ist ein Auss hnitt aus Abbildung 1.11(a) dargestellt, der kein Metall enthält. In den korrespondierenden Pseudorohdaten sind die Metallsinusoide deutli h anhand der ho hfrequenten Raus htextur zu erkennen, obwohl die Sinusoide anderer Objekte höhere Intensitäten aufweisen.

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten Sei f˜r ein wie im letzten Abs hnitt bes hriebenes artefaktbehaftetes CT-Bild für das gilt:

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

65

l

R

− →

θ (a)

(b)

Abbildung 2.18: (a) Auss hnitt aus Abbildung 1.11(a) so, dass alle artefaktverursa hen-

den Metalle auÿerhalb des Bildes sind.

Z = 76, B = 1000.

(b) Pseu-

dorohdaten zu (a). Die Metallsinusoide zei hnen si h dur h ihre Textur, jedo h ni ht dur h hohe Intensität aus.

ˆ

ˆ

Der Denitionsberei h ist im Allgemeinen nur eine Teilmenge des ursprüngli hen Messfelds. Deshalb sind häug die artefaktverursa henden Metalle nur teilweise oder gar ni ht im CT-Bild enthalten. Enthält das Bild Metalle, so sind übli herweise dort die Pixelintensitäten dur h Clipping reduziert.

Um anhand der Pseudorohdaten fˇ˜r eine Metallartefaktreduktion dur hführen zu können, ist es ents heidend, die Metallsinusoide beziehungsweise die Teilmengen der Pseudorohdaten, in denen das Defektsinogramm eine hohe Raus hvarianz aufweist, mögli hst gut abzus hätzen. Alle bisherigen Verfahren zur Segmentierung der Metallsinusoide liefern unbefriedigende Ergebnisse, wenn die Metalle ni ht vollständig in f˜r enthalten sind, und s heitern völlig, wenn die Metalle ni ht in f˜r enthalten sind (vgl. Kap. 2.2, [214℄, [215℄). Es wird im Folgenden davon ausgegangen, dass f˜r von Raus hartefakten überlagert ist. Diese führen zu Raus hen besonders hoher Varianz innerhalb der Metallsinusoide, unabhängig von Clipping sowie davon, ob das Metall im Bild enthalten ist (vgl. Kap. 2.3). Aufgrund der strahlenkranzförmigen Raus hartefakte ergeben si h im Sinogramm besonders ausgeprägte lokale Extrema, da die Integrationen bei der Radontransformation entlang von Geraden und damit insbesondere au h entlang der einzelnen kollinearen Punkte der Strahlen dur hgeführt werden21 . Strahlenkranzförmige Strukturen kommen in mens hli hem Gewebe ni ht vor, so dass si h die Defektpixel dur h ihre Intensität gut vom übrigen Sinogramm abheben. Das besonders starke Raus hen innerhalb der Metallsinusoide eignet si h somit als Signatur zur Segmentierung der Metallsinusoide beziehungsweise der 21 Aus diesem Grund eignet si h die Radontransformation sehr gut zur Detektion von kollinearen Punkten selbst in verraus hten Bildern (s. [201℄).

66

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Teilmengen, die eine besonders hohe Raus hvarianz aufweisen. Diese werden im Folgenden der Einfa hheit halber au h als Metallsinusoide bezei hnet. Es werden dazu drei Ansätze untersu ht: ˆ

eine Bestimmung inhomogener Regionen mittels Quadtree-Zerlegung,

ˆ

eine Texturanalyse mit Harali k's hen Texturmerkmalen sowie

ˆ

eine Wavelet-basierte Signalanalyse.

Um die Erebnisse verglei hen zu können, werden die Verfahren jeweils auf die in Abbildung 2.8 dargestellten Pseudorohdaten angewandt und dem segmentierten Sinogramm die Referenz-Metallsinusoide aus Abbildung 2.6(d) überlagert. Das Waveletbasierte Verfahren eignet si h am besten zur Segmentierung der Metallsinusoide, weshalb dieses Verfahren im Weiteren verwendet wird. 2.4.1 Bestimmung inhomogener Regionen Im Folgenden wird angenommen, dass das Bild quadratis h ist und eine Kantenlänge von n0 := 2n besitzt. Für ein Bild beliebiger Gröÿe wird dies dur h Einbettung in eine quadratis he Nullmatrix errei ht. Dur h das Raus hen hoher Varianz zei hnen si h Metallsinusoide gegenüber dem restli hen Sinogramm als besonders inhomogene Regionen aus. Mit der Quadtree -Darstellung lässt si h das Sinogramm in eine Menge disjunkter re hte kiger homogener Regionen unters hiedli her Gröÿe zerlegen. Dadur h eignet si h diese Darstellung zur Segmentierung sowohl der homogenen als au h der inhomogenen Bildregionen22 [65, Kap. 7.4.3℄, [67, Kap. 16℄, [116, Kap. 4.4.3℄. Bei der Quadtree-Zerlegung wird eine Baumstruktur erzeugt, in der die Blätter mit homogenen Teilmengen des Bildes korrespondieren. Zur Erzeugung des Baumes wird das Bild solange rekursiv in vier Quadranten unterteilt, bis die betra htete Teilmenge des Bildes einem gegebenen Homogenitätskriterium genügen oder die Kantenlänge 1 haben. Dieses Vorgehen wird im Algorithmus 2.1 skizziert. Anhand der Blatttiefen lassen si h Aussagen über die Homogenität der betreenden Region treen. Je tiefer das Blatt ist, desto geringer ist die Homogenität der betreenden Region. Sei υ(m) der Aufwand zur Bestimmung der Homogenität in einem quadratis hen Bild mit Kantenlänge m. Dann beträgt P der Aufwand zur Bere hnung der QuadtreeZerlegung im s hle htesten Fall O( nk=0 4k υ(n/2 )). Da jedes Pixel betra htet werden muss gilt υ(m) ∈ Ω(m2). Somit beträgt der Aufwand für die Quadtree-Zerlegung O(υ(n0)ldn0). k

22 Weitere Anwendungen der Quadtree-Zerlegung, wie beispielsweise Verfahren zur Bildkompression, ndet man etwa in [93, 94, 116, 178, 222℄.

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

Algorithmus 2.1 Quadtree-Zerlegung eines Bildes

Eingabe: Ausgabe: 1 2 3

else

5 6 7 8 9

11 12 13 14 15

Eingabebild Homogenitätskriterium Quadtree-Zerlegung von f

fun tion qtde omp(bild, kriterium) begin if erfüllt(bild, kriterium) then

4

10

f : N2n × N2n → R, n ∈ N+ kriterium qt

end

füge_blatt_in_qt(bild, qt);

/* zerlege Bild in 4 Quadranten */ zerlege(bild); forea h quadrant do qtde omp(quadrant, kriterium);

od endif

qt ← new(leerer_baum); /* starte Zerlegung */ qtde omp(f , kriterium);

67

68

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

In Abbildung 2.19(a) wird auf den Pseudorohdaten aus Abbildung 2.8 eine QuadtreeZerlegung dur hgeführt und die homogenen Regionen der Kantenlänge 1, 2 und 4 dargestellt. Dabei wird folgendes Homogenitätskriterium angewandt: max{fˇ˜r (p)} − min{fˇ˜r (p)} < T. p∈P

p∈P

Hierbei bezei hne P die Pixel im jeweiligen Sinogrammauss hnitt und T := 0,04(max(fˇ˜r ) − min(fˇ˜r ))

einen S hwellwert. Mit diesem Homogenitätskriterium dauert die Quadtree-Zerlegung 3,5 s in der Matlab-Implementierung qtde omp. Die in Abbildung 2.19(a) dargestellten Regionen werden nun als Metallsinusoide interpretiert. Diese sind, überlagert mit den Referenz-Metallsinusoiden, in Abbildung 2.19(b) dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die Referenz-Metallsinusoide zum gröÿten Teil segmentiert werden. Darüber hinaus werden au h andere stark verraus hte Berei he beispielsweise zwis hen den beiden Ästen der Referenz-Metallsinusoide segmentiert. Zum Verglei h sind in Abbildung 2.19( ) und 2.19(d) die dur h die Quadtree-Zerlegung bestimmten Metallsinusoide und die Referenz-Metallsinusoide dem Sinogramm überlagert dargestellt. Bei der Quadtree-Zerlegung werden au h einige Übergänge zwis hen homogenen Berei hen segmentiert. Dieser Eekt ist abhängig von der gewählten Einbettung des Sinogramms in eine Nullmatrix mit Kanten, deren Länge einer Zweierpotenz entspri ht und kann dur h die Bere hnung der S hnittmengen der Quadtree-Zerlegungen bei unters hiedli hen Einbettungen vermindert werden. l

l

0

θ[rad]

π

(a)

0

θ[rad]

π

(b)

Abbildung 2.19: (a) Quadtree-Zerlegung der Pseudorohdaten aus Abbildung 2.8: Die Un-

terbäume der Gröÿe

1 × 1 (weiÿ), 2 × 2 (hellgrau) und 4 × 4 (dunkelgrau)

repräsentieren die inhomogenen Berei he des Sinogramms. (b) Überlagerung aller Unterbäume (weiÿ) mit den Metallsinusoiden aus Abbildung 2.7. (wird fortgesetzt)

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

l

69

l

0

θ[rad]

π

0

θ[rad]

( )

Abbildung 2.19:

π

(d)

(Fortsetzung) ( ) Sinogramm überlagert mit segmentierter Menge. (d) Zum Verglei h: Sinogramm überlagert mit Referenz-Metallsinusoide (wie Abbildung 2.8(b)).

2.4.2 Texturanalyse Das erhöhte Raus hen innerhalb der Metallsinusoide lässt si h als Textur der Metallsinusoide interpretieren. Diese wird im Folgenden mittels Coo

urren e-Matrizen (siehe [73, Kap. 5.1.1℄) bestimmt. Es folgt hier nur eine knappe Bes hreibung der Bestimmung von Texturen anhand dieser Matrix. Für weitergehende Informationen zu diesen und anderen Texturanalyseverfahren sei auf Lehrbü her zur Bildverarbeitung, etwa [4, 65, 68, 73, 93, 94, 116, 151, 206℄ verwiesen. Sei zuerst f : Nm ×Nn → G ein Grauwertbild mit der Grauwertmenge G und v ∈ Z× Z ein Vektor mit ganzzahligen Komponenten. Weiterhin sei (cv ) das zweidimensionale Grauwerthistogramm der absoluten Häugkeiten mit den Einträgen X cv (k, l) := (2.7) δ (f (i, j) − k) δ (f ((i, j) + v) − l) . (i,j)∈G×G

Die Coo

urren e-Matrix Cv von f ergibt si h daraus dur h Normierung zu: Cv : G × G → [0, 1],

(x, y) 7→

1 P

cv (i, j)

(cv ) .

(2.8)

(i,j)∈G×G

Basierend auf der Coo

urren e-Matrix wurden von Harali k et al. mehrere Texturmerkmale deniert [73, Kap. 5.1.1℄, [74℄, [116, Kap. 6.2.3℄, [151, Kap. 16.6.5℄, [200, Kap. 8℄. Eines dieser Texturmerkmale ist die Lokale Homogenität beziehungsweise Inverse Dieren e Moment (IDM) : IDMv : (Nm × Nn → G) → (0, 1],

f 7→

X

(k,l)∈G×G

Cv (k, l) . 1 + (k − l)2

(2.9)

70

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Hierbei gilt: Je di hter die Einträge von Cv in der Nähe der Hauptdiagonalen liegen, desto homogener ist f und desto gröÿer wird oensi htli h au h IDM. Ist f völlig homogen, so enthält Cv nur einen einzigen Eintrag auf der Hauptdiagonalen und IDM nimmt den Wert Eins an. Der Aufwand zur Bere hnung der Coo

urren e-Matrix eines Bildes der Gröÿe Nm×Nn und |G| Graustufen beträgt O(mn+|G|2). Das Texturmerkmal IDM wird im Folgenden zur Analyse der lokalen Textur im Sinogramm verwendet. Dazu wird das Texturmerkmal für jedes Pixel aus einer Pixelumgebung von 21 × 21 Pixel bestimmt. Um den Rand des Sinogramms ni ht gesondert betra hten zu müssen, wird das Sinogramm links und re hts gemäÿ der Symmetriebedingung (1.8) zyklis h fortgesetzt, wobei die Spalten jeweils an der θ-A hse gespiegelt werden. Na h oben und unten wird das Sinogramm dur h Nulleinträge ergänzt. Insgesamt werden so viele Spalten und Zeilen hinzugefügt, dass zu jedem Pixel des Sinogramms eine genügend groÿe Umgebung zur Bere hnung der Coo

urren e-Matrix vorhanden ist. Zur Bere hnung eines weitgehend ri htungsunabhängigen Texturmaÿes werden vier Coo

urren e-Matrizen Cv , mit v = (1, 0)t, v = (1, 1)t, v = (0, 1)t und v = (−1, 1)t bestimmt und daraus dur h pixelweise Mittelung eine Matrix P erre hnet (vgl. [116℄). Im Weiteren wird anhand dieser Matrizen das Texturmerkmal IDM ermittelt. Sinogramme haben im Allgemeinen ein sehr groÿes Intensitätsspektrum. Das führt einerseits zu hohem Spei her- und Re henaufwand zur Bere hnung von P und andererseits zu dünn besetzten Matrizen P , die keine sinnvollen statistis hen Aussagen ermögli hen [151℄. Deshalb ges hieht die Bere hnung der Texturmerkmale auf Basis eines auf 64 Graustufen quantisierten Sinogramms. In Abbildung 2.20(a) wird das aus dem Sinogramm in Abbildung 2.8 bere hnete Texturbild gezeigt. Die Bere hnung dauert 10 Minuten. Bei einem S hwellwert von 0,81 ergibt si h das in Abbildung 2.20(b) hell dargestellte Bild. Zur Verglei hbarkeit mit Abbildung 2.19(b) wurden die Referenz-Metallsinusoide überlagert. Zwis hen der Quadtree-Segmentierung in Abbildung 2.19(b) und dem Texturbild in Abbildung 2.20(b) sind groÿe Ähnli hkeiten zu erkennen, wobei das Texturbild weniger segmentierte Pixel in groÿer Entfernung zu den Referenz-Metallsinusoiden aufweist und daher insgesamt ein besseres Ergebnis liefert. 2.4.3 Waveletanalyse Innerhalb der Metallsinusoide sind aufgrund des Raus hens mit hoher Varianz ho hfrequente Intensitätssprünge mit häug groÿer Amplitude innerhalb der Spalten zu erwarten. Zur Detektion derartiger Berei he eignen si h Waveletanalysen der einzelnen Spalten. Die Wavelettransformation wird im Folgenden als bekannt vorausgesetzt. Grundlegende Denitionen und Eigens haften nden si h im Anhang A.2.

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten l

71

l

0

θ[rad]

π

0

(a)

θ[rad]

π

(b)

Abbildung 2.20: (a) Texturmerkmal IDM (invertierte Darstellung). (b) S hwellwertseg-

mentierung von (a), überlagert mit den Metallsinusoiden aus Abbildung 2.7.

Wahl des Wavelets ˆ Für ein Wavelet mit p vers hwindenden Momenten vers hwinden ψ(ω) und die ersten p − 1 Ableitungen für ω = 0 [129, Kap. 7.2℄. Daraus folgt, dass der Mittelwert von ψ vers hwindet und die Amplituden von ψˆ für niederfrequente ω desto geringer sind, je gröÿer p ist [145℄. Je höher die Anzahl vers hwindender Momente eines Wavelets ψ ist, desto stärker werden also bei der Waveletzerlegung die niedrigen Frequenzanteile unterdrü kt. Damit die ho hfrequenten Raus hberei he si h deutli h von der Umgebung abheben, wird in dieser Arbeit ein Wavelet mit 6 vers hwindenden Momenten gewählt.

Ein weiteres Auswahlkriterium ist die Symmetrie von ψ. Ist ψ symmetris h bezügli h t = t0 , das heiÿt ψ(t − t0 ) ist gerade beziehungsweise ungerade, weist es eine lineare Phase auf [147, Kap. 5.7.3℄. Diese ist eine wi htige Eigens haft, um die Segmentierung exakt dur hführen zu können. Zur ezienten Bere hnung der Wavelettransformation muss ψ einen kompakten Träger haben. Orthogonale Wavelets können ni ht glei hzeitig symmetris h sein und einen kompakten Träger besitzen, biorthogonale Wavelets hingegen können beide Eigens haften erfüllen [36, Kap. 8℄. Aus diesem Grund wird im Folgenden ein symmetris hes biorthogonales Spline-Wavelet mit 6 vers hwindenden Momenten gewählt, dessen Konstruktion in [36, Kap. 8.3℄ bes hrieben ist23. Dieses wird im Weiteren mit ψ, der dazu korrespondierende Wavelet-Faltungskern (vgl. Anh. A.2) mit gψ bezei hnet. In Abbildung 2.21 ist das Wavelet und die Übertragungsfunktion von gψ dargestellt. Daraus geht die Dämpfung tiefer Frequenzen deutli h hervor. 23 Dieses Wavelet trägt in Matlab die Bezei hnung

bior6.8.

72

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

1,5

50 0

Amplitude [dB]

1 0,5 0

-50 -100 -150 -200

-0,5 -250 -1 -8

-6

-4

-2

0 t

2

4

6

-300

8

0

0,2ð

(a)

0,8ð

ð

(b)

Abbildung 2.21: (a) Biorthogonales Spline-Wavelet

Wavelet-Faltungskernes

0,4ð 0,6ð Kreisfrequenz ù

ψ.

(b) Übertragungsfunktion des

gψ .

Faltung mit dem Wavelet-Faltungskern

In Abs hnitt 2.3 wurde gezeigt, dass die Pseudorohdaten ein besonders ho hfrequentes Raus hen entlang der Spalten aufweisen. Deshalb resultiert aus jeweils entlang der Spalten dur hgeführten Waveletzerlegungen das beste Segmentierungsergebnis. In Abbildung 2.22 wird exemplaris h aus den Pseudorohdaten der Abbildung 2.22(a) eine Spalte ausgewählt (Abb. 2.22(a) und 2.22(b)) und darauf eine kontinuierli he Waveletzerlegung dur hgeführt. Diese wird in Abbildung 2.22( ) dargestellt, wobei helle Bildberei he mit betragsmäÿig hohen Intensitäten korrespondieren. Zur besseren Darstellung werden auÿerdem die Intensitätsprole für die Skalen b = 1, b = 3, b = 5, b = 7 und b = 10 in den Abbildungen 2.22(d) bis 2.22(h) exemplaris h gezeigt. Die in den Pseudorohdaten messbare Raus hfrequenz ist unter anderem von der Abtastung des Rekonstruktionsbildes abhängig. Aus den Intensitätsprolen ist zu erkennen, dass für die gewählte Abtastung mit 720 Detektoren für ein Bild der Gröÿe 512 × 512 die Metallsinusoide unter b = 3 besonders gut vom restli hen Sinogramm getrennt wird24 . Da jedo h au h für b = 1 eine sehr gute Trennung mögli h ist, wird aus Ezienzgründen auss hlieÿli h die feinste Skalierungsstufe verwendet. Die Bere hnung der Detailkoezienten erfolgt über eine Faltung mit gψ [i]. Damit der Faltungskern keine Phase hat, werden die Koezienten so gewählt, dass gψ [i] = gψ [−i]. Die entspre henden Koezienten sind in Tabelle 2.1 aufgelistet. Der Aufwand zur Bere hnung der Faltung ist linear in der Bildgröÿe. Für Sinogramme der Gröÿe 729×1.024 dauert die Faltung 0,1 Sekunden. Damit ist dieses Verfahren das s hnellste der drei untersu hten Verfahren. Das Resultat der Faltung der Pseudorohdaten in Abbildung 2.8 wird in Abbildung 2.23 dargestellt. In der Nähe der 24 Verglei he dazu etwa die Intensitäten in den Abbildungen 2.22(d) und 2.22(e).

73

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten θ1

l

θ

0 1 (a) Sinogramm mit hervorgehobener Sinogrammspalte

7

x 10

ˇ f˜r (·, θ1 )

5

Sinogrammspalte 6 5 4 3 2 1 0 -1

-0,8

(b) Intensitätsprol

-0,6 der

-0,4

-0,2

ausgewählten

0 l

0,2

Sinogrammspalte

0,4

ˇ f˜r (·, θ1 ).

0,6 Grau

0,8 hinterlegte

1 Berei he:

Referenz-Metallsinusoide.

6,4 Skalierungsstufe b

12,8 19,2 25,6 32 38,4 44,8 51,2 57,6 64 −1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0 l=a

0,2

( ) Kontinuierli he Wavelettransformation

0,4

ˇ Wψ f˜r (·, θ1 )

mit

0,6

0,8

1

ψ = bior6.8

4

2

x 10

1 0 −1 −2 −1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0 l

(d) Intensitätsprol aus ( ):

0,2

0,4

0,6

0,8

1

ˇ [Wψ f˜r (·, θ1 )](·, 1)

Abbildung 2.22: Waveletanalyse einer Sinogrammspalte (Fortsetzung auf nä hster Seite).

74

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

1

x 10

5

0,5 0 −0,5 −1 −1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0 l

(e) Intensitätsprol aus ( ):

1

x 10

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,6

0,8

1

0,6

0,8

1

0,6

0,8

1

ˇ [Wψ f˜r (·, θ1 )](·, 3)

5

0,5 0 −0,5 −1 −1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0 l

(f ) Intensitätsprol aus ( ):

2

x 10

0,2

0,4

ˇ [Wψ f˜r (·, θ1 )](·, 5)

5

1 0 −1 −1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0 l

(g) Intensitätsprol aus ( ):

2

x 10

0,2

0,4

ˇ [Wψ f˜r (·, θ1 )](·, 7)

5

1 0 −1 −1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0 l

(h) Intensitätsprol aus ( ):

0,2

0,4

ˇ [Wψ f˜r (·, θ1 )](·, 10)

Abbildung 2.22: (Fortsetzung) Waveletanalyse einer Sinogrammspalte.

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten i

gψ [i]

0

0,75891 −0,41785 −0,040368 0,078722 0,014468 −0,014426

±1 ±2 ±3 ±4 ±5

Tabelle 2.1: Koezienten des Faltungskernes

75

gψ .

Referenz-Metallsinusoide ist die Menge der Pixel mit betragsmäÿig hoher Intensität ähnli h wie die Segmentierungsergebnisse dur h die beiden anderen Verfahren in diesem Berei h. Im Gegensatz zu der Quadtree-Zerlegung und der Texturanalyse liefert die Waveletanalyse nur im Berei h der Metallsinusoide hohe Intensitäten und ist au h aus diesem Grund den anderen beiden Verfahren vorzuziehen. Im Folgenden wird ein Verfahren zur automatis hen Segmentierung der Metallsinusoide aus dem Bild der gefalteten Pseudorohdaten vorgestellt. l

l

0

θ[rad]

π

0

(a)

Abbildung 2.23: (a) Mit

θ[rad]

π

(b)

gψ

gefaltete Pseudorohdaten (S härfe künstli h erhöht). (b) Ge-

faltete Pseudorohdaten überlagert mit den Metallsinusoiden aus Abbildung 2.7.

Segmentierung der Metallsinusoide

Da das Vorzei hen der gefalteten Pseudorohdaten für die Segmentierung keine Rolle spielt, werden im Folgenden, anders als in Abbildung 2.23 dargestellt, die betragsmäÿigen Intensitäten fˇ˜r′ := |fˇ˜r ∗l gψ |

betra htet. Das Histogramm des auf diese Weise modizierten Sinogramms ist in Abbildung 2.24(a) zu sehen. Die Grauwerte sind hierbei auf das Intervall [0, 1] ab-

76

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

gebildet. Dieses Histogramm ist unimodal und eignet si h deshalb für eine eventuelle Klassizierung. Das Ziel im Folgenden ist es, dur h geeignete Modikation von fˇ˜r′ ein Sinogramm zu erhalten, aus dem anhand seines Histogramms eine automatis he Trennung der Metallsinusoide von dem restli hen Sinogramm mögli h ist. Sei g : R → R eine Funktion. Dann bezei hne im Folgenden g(fˇ˜r′ ) die pixelweise Auswertung des Sinogramms unter g. Sei weiter h dasqHistogramm einer Funktion. Das in Abbildung 2.24(b) dargestellte Sinogramm h( fˇ˜r′ ) hat bereits einen bimodalen Charakter (vgl. Abb. 2.24(a)). Die beiden Moden repräsentieren jedo h die Pixel mit der Intensität Null von Pixeln mit ni htvers hwindender Intensität. Wie im Folgenden gezeigt wird, eignet si h zur Segmentierung das Histogramm h(ln(fˇ˜r′ )). Dies ergibt si h aus den Eigens haften der Faltung und der Raus hvarianz in den Pseudorohdaten fˇ˜r . 4

4

x 10

l

h( fr') · h(Öfr ')

3 2 1 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

θ[rad]

(a)

Abbildung 2.24: (a) Grauwerthistogramme

π

(b)

ˇ h(f˜r′ )

und

q ˇ h( f˜r′ )

der absoluten Häugkei-

ten na h Quantisierung auf 256 Graustufen im Intervall

[0, 1].

Darstel-

[0,q 40.000]. Die Werte an der Stelle Null q betragen ˇ˜′ ˇ˜′ ˇ h(fr )[0] = 364.590 und h( fr )[0] = 72.050. (b) Sinogramm f˜r′ (inver-

lung des Werteberei hs

tierte Darstellung).

Sei q : [a, b] → R eine Spalte des Sinogramms fˇ˜r , die mit gψ gefaltet wird. Um keine gesonderte Behandlung der Ränder dur hführen zu müssen, wird das gefaltete Signal nur innerhalb des Teilintervalls [a′, b′] := [a + 5, b − 5] betra htet, in dem si h Eekte an den Rändern ni ht auf das Ergebnis der Faltung auswirken. Die Faltung ist linear, folgli h gilt (αq) ∗ g = α(q ∗ g). Da ψ se hs vers hwindende Momente hat und damit orthogonal zu Polynomen fünften Grades ist, vers hwindet bei der Faltung mit gψ der Mittelwert. Des Weiteren werden niedrigfrequente Signalanteile stark gedämpft (vgl. Abb. 2.21(b)). Dies wird in Abbildung 2.25 an einem Beispiel verdeutli ht. Die Abbildung stellt ein Signal q dar, das si h in zwei Teilintervallen [ai , bi ] und [aj , bj ] dur h einen konstanten Versatz und eine Skalierung unters heidet.

77

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

Na h Faltung unters heiden si h dann die Intensitäten in [a′i, b′i] von den Intensitäten in [a′j , b′j ] nur dur h den Skalierungsfaktor. l q

t

ai

ai

bi

bi

Abbildung 2.25: Faltung einer Funktion

q

mit

aj

aj

bj

bj

gψ .

An vier Positionen ist ein typis her

Faltungskern dünn eingezei hnet.

Aus der in Abbildung 2.21(b) dargestellten Übertragungsfunktion von gψ ist zu entnehmen, dass hohe Frequenzen bei der Faltung nahezu unverändert bleiben. Die Amplitude des gelterten Signals hängt für lokale Signalabs hnitte hoher Frequenz also nur von der Amplitude des Signals ab. Das bedeutet aber, dass die Varianz des ho hfrequenten Raus hens die Intensität des gefalteten Signals maÿgebli h beeinusst. Da diese exponentiell mit der Intensität des unverraus hten Sinogramms fˇ wä hst, ergibt si h somit eine exponentielle Intensitätszunahme in den gefalteten Pseudorohdaten von den Berei hen auÿerhalb der Metallsinusoide hin zu den Berei hen innerhalb der Metallsinusoide. Das führt im Histogramm zu einer Stre kung der Di hte, die mit den Pixeln innerhalb der Metallsinusoide korrespondiert. So liegt beispielsweise der manuell ermittelte S hwellwert zur Trennung der Metallsinusoide vom restli hen Sinogramm im Histogramm h(fˇ˜r ) bei 0,03.

Das Histogramm h(ln(fˇ˜r′ + 1)) wird in Abbildung 2.26(a) dargestellt. Dieses weist aber au h nur die beiden Moden, nämli h 0 und das restli he Histogramm, auf. Zwis hen 0,5 und 1 ist jedo h ein Plateau zu erkennen, das si h, wie skizziert, aus einer Überlagerung von zwei Di hten ergeben kann. Eine S hwellwertsegmentierung mit T = 0,72, das heiÿt an dem S hnittpunkt der beiden skizzierten Di hten, führt zu dem in Abbildung 2.26(b) dargestellten Segmentierungsergebnis. Dieses de kt si h weitgehend mit der Menge betragsmäÿig hoher Intensitäten in Abbildung 2.23. Dies ist ein Indiz für die Existenz eines dritten Modus.

78

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern 3

8

0,72

x 10

l

h(ln fr ') geschätzte Dichten

6 4 2 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0

1

θ[rad]

(a)

π

(b)

Abbildung 2.26: (a) Grauwerthistogramm

ˇ h(ln(f˜r′ + 1)).

Es wird nur der Werteberei hs

[0, 8.000] dargestellt. An der Stelle Null beträgt der Wert des Histogramms 69.612. Die manuell ges hätzten Di hten für die ni htvers hwindenden Werte im Sinogramm auÿerhalb der Metallsinusoide und die Werte innerhalb der Metallsinusoide sind gestri helt dargestellt. (b) Segmentierung des Sinogramms

ˇ ln(f˜r′ + 1)

bei

T = 0,72.

Um die Segmentierung robust anhand des Histogramms dur hführen zu können, ist es sinnvoll, die gefalteten Pseudorohdaten fˇ˜r′ vor der Logarithmierung zu glätten um die Varianz der Intensitäten von Pixeln aus den einzelnen Moden und damit den Überlappungsberei h der Moden zu reduzieren. In diesem Fall wird aus den Werten des geglätteten Sinogrammes kein Rekonstruktionsbild erzeugt. Vielmehr stehen hier die geometris hen Eigens haften des Zusammenhanges der Metallsinusoide in l- und θRi htung (s. Kap. 1.6) im Vordergrund. Deshalb wird trotz der in Kapitel 2.1.1 angestellten Überlegung zur Verwendung zweidimensionaler Faltungskernes zur Glättung in Sinogrammen ein zweidimensionaler Faltungskern verwendet. Es hat si h gezeigt, dass si h der normierte zweidimensionale rotationssymmetris he Gauÿ-Faltungskern hnng der Gröÿe n × n und der Standardabwei hung σ sehr gut für diese Anwendung eignet25 . Seine Koezienten ergeben si h wie folgt: hnng (i, j) =

hg (i + ⌊ n2 ⌋, j + ⌊ n2 ⌋) P , hg (i, j)

hg (i, j) = e

i2 +j 2 2σ 2

.

(2.10)

0≤i,j≤n

Für die Standardabwei hung wurde experimentell ein Wert von fünf Pixeln ermittelt und die Gröÿe des Faltungskernes mit 35 × 35 Pixeln so gewählt, dass 99,9% der Gesamtintensität der zweidimensionalen Gauÿdi hte im Faltungskern enthalten ist. Die maximale Intensität am Rand des Faltungskernes beträgt na h der Normierung 1,97 · 10−5 und damit ungefähr 0,3% des globalen Maximums. Der normierte 25 Der Faltungskern wurde für Sinogramme der in dieser Arbeit hauptsä hli h verwendeten Gröÿe von

1.024 × 768

Pixel getestet. Für Sinogramme abwei hender Ausmaÿe muss gegebenenfalls eine

Anpassung der Filtergröÿe und -geometrie dur hgeführt werden.

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

79

Faltungskern wird in Abbildung 2.27 dargestellt. Damit die Faltung am Rand des Sinogramms ohne Ausnahmebehandlung erfolgen kann, wird das Sinogramm vor der Faltung, wie bei der Bestimmung des Texturmaÿes IDM (s. Kap. 2.4.2), na h oben und unten dur h Nulleinträge, na h links und re hts dur h zyklis he Fortsetzung mit den an der θ-A hse gespiegelten Spalten ergänzt.

Abbildung 2.27: Gauÿ-Faltungskern. Fenstergröÿe:

5 Pixel.

35 × 35

Pixel, Standardabwei hung:

In Abbildung 2.28(a) wird das Histogramm des geglätteten und logarithmierten Sinogramms fˇ˜r′ dargestellt. In diesem Histogramm sind die drei Moden sehr gut unters heidbar. Es gibt zahlrei he Mögli hkeiten zur Bestimmung eines S hwellwerts anhand des Histogramms [41, 62, 176, 189℄. In dieser Arbeit wird der S hwellwert na h dem MINIMUM-Verfahren von Prewitt und Mendelsohn bestimmt [62℄. Dabei wird der minimale Wert zwis hen den beiden Maxima des zweiten und dritten Modus gewählt. Es wird hierbei davon ausgegangen, dass die Anzahl der Pixel innerhalb der Metallsinusoide geringer ist als die Anzahl der restli hen Pixel und deshalb das Maximum im Histogramm von der Grauwertverteilung der Sinogrammintensitäten auÿerhalb der Metallsinusoide eingenommen wird. Zur Bestimmung des gesu hten Minimums wird das Histogramm von re hts na h links dur hlaufen und das am weitesten re hts gelegene Maximum bestimmt. Entspri ht dieses dem globalen Maximum, ist die Anzahl der Pixel innerhalb der Metallsinusoide zu gering, um einen S hwellwert anhand des Sinogramms zu bestimmen. In diesem Fall wird eine Warnmeldung ausgegeben und der S hwellwert konstant bei dem empiris h ermittelten Wert T = 0,85 gewählt26. Als Beispiel ist in Abbildung 2.29(a) ein nahezu artefaktfreier Datensatz dargestellt. Das erste Maximum T = 0,53 im geglätteten Histogramm (s. Abb. 2.29(b)) entspri ht dem globalen Maximum. Bei diesem S hwellwert wird der gröÿte Teil des Sinogramms segmentiert (s. Abb. 2.29( )). Eine Artefaktreduktion mit dem im Kapitel 2.5 vorgestellten neuen Verfahren RF26 Bei allen untersu hten CT-Daten, in denen dieser Fall auftrat, führte die Modikation der Pseudorohdaten innerhalb der bei

T = 0,85 segmentierten Menge mit

Verfahren zu einer Reduktion der Metallartefakte.

dem weiter unten bes hriebenen

80

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

liefert ein sehr uns harfes Bild (s. Abb. 2.29(e)). Die Wahl des S hwellwertes T = 0,85 führt zur Segmentierung der in Abbildung 2.29(d) Menge. In diesem Fall liefert RFMAR ein Bild, das si h nur unwesentli h vom originalen Bild unters heidet (s. Abb. 2.29(f)). Liegt das Maximum re hts von dem globalen Maximum, wird der S hwellwert an der Stelle des Minimums zwis hen diesem und dem globalen Maximum gewählt. Eine Glättung des Histogramms mit einem Bla kmanfenster (s. Kap. 2.5, [147℄) entfernt die ho hfrequenten Anteile des Histogrammverlaufs und vereinfa ht dadur h die Bestimmung der Extrema. Die Länge des verwendeten Bla kmanfenster beträgt hierbei 10% der im Histogramm betra hteten Grauwerte. In Abbildung 2.28(b) wird das geglättete Histogramm mit dem daraus automatis h bestimmten S hwellwert T = 0,7838 dargestellt. Eine S hwellwertsegmentierung des geglätteten und logarithmierten Sinogramms fˇ˜r′ mit diesem Wert führt zu dem in Abbildung 2.30 dargestellten Ergebnis. MAR

12.000

12.000

10.000

10.000

8.000

8.000

6.000

6.000

4.000

4.000

2.000

2.000

0 0

0,2

0,4 (a)

0,6

0,8

1

0 0

0,7838

0,2

0,4

0,6

0,8

1

(b)

Abbildung 2.28: (a) Histogramm na h Glättung und Logarithmierung des Sinogramms

ˇ f˜r′ . (b) Geglättetes Histogramm. Zwis hen dem zweiten und dritten Maximum wurde automatis h ein S hwellwert von 0,7838 bestimmt.

Die Intensitäten der gefalteten Pseudorohdaten fˇ˜r′ werden als double-Werte gespei hert und müssen daher vor Erstellung des Histogramms quantisiert werden. In der Abbildung 2.31 werden die erre hneten S hwellwerte in Abhängigkeit von der Anzahl der Quantisierungsstufen aufgetragen. Betra htet werden hierbei die Ergebnisse für 300 bis 10.000 Quantisierungsstufen. Die ermittelten S hwellwerte streuen um einen festen Wert. Mit zunehmender Anzahl von Quantisierungsstufen nimmt die Streuung ab. In dieser Arbeit werden 5.000 Quantisierungsstufen zur Erstellung des Histogramms verwendet. In Abbildung 2.32 werden einerseits die Referenz-Metallsinusoide zu dem artefaktbehafteten CT-Bild aus Abbildung 1.11(a) sowie andererseits die anhand der be-

81

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 (a)

0,4

Z = 476, B = 3000

( )

(e)

0,2

0,6

0,8

1

(b)

T = 0,53

(d)

Z = 476, B = 3000

(f )

T = 0,85

Z = 476, B = 3000

Abbildung 2.29: (a) Original. (b) Geglättetes Histogramm. ( ) S hwellwertsegmentierung

bei

T = 0,53.

(d) S hwellwertsegmentierung bei

reduziertes Bild mit

T = 0,85.

(e) Artefakt-

T = 0,53. (f ) Artefaktreduziertes Bild mit T = 0,85.

82

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

l

l

0

θ[rad]

π

0

θ[rad]

(a) invertiert

π

(b)

Abbildung 2.30: (a) Sinogramm

ˇ f˜r′ , geglättet mit Gauÿfaltungskern. (b) Automatis h seg-

mentierte Metallsinusoide überlagert mit Referenz-Metallsinusoiden.

Schwellwert

0,786 0,785 0,784 0,783 0,782 0

1.000

2.000

3.000

4.000 5.000 6.000 Anzahl der Quantisierungsstufen

7.000

8.000

9.000

10.000

Abbildung 2.31: Erre hnete S hwellwerte in Abhängigkeit zur Anzahl der Quantisie-

rungsstufen.

83

2.4 Segmentierung von Metallsinusoiden in den Pseudorohdaten

s hriebenen Waveletanalyse segmentierten Metallsinusoide rekonstruiert. Dabei wird ein gröÿerer Bildauss hnitt rekonstruiert als das ursprüngli he CT-Bild, wie in Abbildung 2.32(a) dargestellt. Während die rekonstruierten Referenz-Metallsinusoide erwartungsgemäÿ innerhalb des ursprüngli hen CT-Bildes liegen (s. Abb. 2.32(b)), erstre ken si h die rekonstruierten segmentierten Metallsinusoide deutli h auf Berei he auÿerhalb des ursprüngli hen CT-Bildes (s. Abb. 2.32( )), die oensi htli h artefaktverursa hende Metalle auÿerhalb der ROI enthalten.

(a)

(b)

( )

Abbildung 2.32: Rekonstruktion der Referenz-Metallsinusoide (b) sowie der mit der Wa-

veletanalyse segmentierten Metallsinusoide ( ) in dem in (a) dargestellten Auss hnitt. Der weiÿe Rahmen in (b) und ( ) entspri ht der Position des ursprüngli hen CT-Bildes.

Die einzelnen S hritte des bes hriebenen Verfahrens zur automatis hen Segmentierung der Metallsinusoide werden in dem Aktivitätsdiagramm in Abbildung 2.33 zusammengefasst dargestellt. Der Gesamtaufwand steigt linear mit der Bildgröÿe. Für Sinogramme der Gröÿe 729×1.024 ergibt si h eine Laufzeit von insgesamt 0,2 Sekunden. Die Intensität von Defektpixeln in den Pseudorohdaten aufgrund von Raus hartefakten ist unter anderem von der Stre ke, die die korrespondierenden Artefaktstrahlen im Rekonstruktionsbild zurü klegen. Eine Normierung der Pseudorohdaten bezügli h der Längen der zugehörigen Geradenabs hnitte im Rekonstruktionsbild könnte somit zu no h exakteren Segmentierungsergebnissen führen. Für den Einsatz bei dem im Folgenden bes hriebenen neuen Verfahren zur Metallartefaktreduktion resultieren indes bereits mit dem bes hriebenen Vorgehen sehr gute Ergebnisse, so dass eine derartige Normierung im Rahmen dieser Arbeit ni ht näher untersu ht wird.

84

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern Automatische Segmentierung von Metallsinusoiden

Pseudorohdaten

Einbettung

Faltung mit gψ

Betragsbildung und Glättung

Metallsinusoide

Segmentierung

Histogrammanalyse

Logarithmierung

Abbildung 2.33: Aktivitätsdiagramm für das bes hriebene Verfahren zur automatis hen

Segmentierung von Metallsinusoiden.

2.5 Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR) Herkömmli he Verfahren zur Reduktion von Metallartefakten setzen voraus, dass die Rohdaten verfügbar sind, oder zumindest alle artefaktverursa henden Metalle vollständig im Rekonstruktionsbild enthalten sind. In der Praxis ist jedo h häug keine der beiden Annahmen erfüllt und deshalb eine Artefaktreduktion mit bisherigen Verfahren ni ht mögli h. Eine Anwendung dieser Verfahren auf Pseudorohdaten anstelle der ursprüngli hen Rohdaten s heitert häug an der Segmentierung der Metallsinusoide beziehungsweise an der S hätzung des Raus hens. Eine S hätzung des Raus hens beispielsweise anhand der Pixelintensitäten wie bei der adaptiven Filterung führt häug zu völlig fals hen Ergebnissen, wie im Kapitel 2.3 in der Abbildung 2.9 eindrü kli h gezeigt wird. Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein neues Verfahren entwi kelt, das ˆ

automatis h abläuft,

ˆ

die ursprüngli hen Rohdaten ni ht benötigt,

ˆ

robust gegenüber Clipping im Rekonstruktionsbild sowie

ˆ

robust gegenüber im Rekonstruktionsbild unvollständig abgebildeter Metalle ist.

Dur h dieses Verfahren ist es in vielen Anwendungsfällen aus der Praxis überhaupt erst mögli h, eine Reduktion von Metallartefakten dur hzuführen. Die zweite der aufgeführten Eigens haften gibt dem Verfahren seinen Namen Rohdatenfreies Metallartefaktreduktionsverfahren (RFMAR) . Aufgrund der im Allgemeinen sehr hohen Laufzeit iterativer Verfahren (vgl. Kap. 2.1.2) wird RFMAR aus Ezienzgründen als direktes Verfahren realisiert.

2.5 Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR)

85

RFMAR wurde speziell zur Reduktion von Raus hartefakten entwi kelt. Während viele Metallartefakte CT-Bilder hauptsä hli h in einem lokalen Berei h um die Metalle stören, ergeben si h dur h Raus hartefakte im Allgemeinen globale Störungen des gesamten Bildes. Selbst Bildberei he, die weit von den Metallen entfernt liegen, sind dadur h zum Teil so stark gestört, dass eine Weiterverarbeitung s hwer oder gar ni ht mögli h ist. Eine Reduktion der Raus hartefakte führt deshalb im Allgemeinen zu einer Verbesserung des gesamten Bildes. Bei der Rekonstruktion von CT-Bildern mit der gelterten Rü kprojektion ist die Wahl des Rekonstruktionslters ents heidend für die Qualität des Rekonstruktionsbildes. Je stärker hohe Frequenzen geltert werden, desto geringer wirken si h Raus hartefakte auf das Bild aus. Glei hzeitig sinkt jedo h au h die Bilds härfe (vgl. Kap. 1.4). Dur h gezielte lokale Filterung lassen si h hingegen Rekonstruktionsbilder mit nahezu unveränderter Bilds härfe erzeugen, in denen ein Groÿteil der Raus hartefakte entfernt ist. Dieser Ansatz wird bei RFMAR verfolgt. Hierzu wird ein stark tiefpassgelterter Pseudorohdatensatz erzeugt und pixelweise konvex mit den unveränderten Pseudorohdaten kombiniert. Die Gewi hte der Konvexkombination bestimmen si h hierbei anhand der automatis h segmentierten Metallsinusoide. Im Folgenden wird zunä hst das verwendete Tiefpasslter und darauf die Realisierung der Konvexkombinationen bes hrieben. 2.5.1 Tiefpasslterung In Kapitel 2.4.3 wurde exemplaris h gezeigt, dass das Raus hen im Defektsinogramm entlang der Spalten besonders dominant in den hohen Frequenzen ist. Zur eektiven Unterdrü kung dieses Raus hens wird ein Filter benötigt, das hohe Frequenzen besonders stark dämpft. Das Bla kmanfenster ist ein in der Signalverarbeitung bekanntes FIR-Filter27, das si h besonders gut zur Dämpfung hoher Frequenzen eignet [106℄. Der diskrete Bla kmanfaltungskern der Länge n ergibt si h na h [106, Kap. 5.3.3℄, [147, Kap. 7.2℄, [151, Kap. 9.4.3℄ zu hnbm [i]

:=





i i 0,42 − 0,5 cos 2π n−1 + 0,08 cos 4π n−1 , 0 ≤ i < n, 0, sonst.

(2.11)

Wie im Folgenden gezeigt wird, ist es wi htig, dass der Faltungskern eine ungerade Länge hat und normiert ist. Weist der Faltungskern eine ni htvers hwindende Phase auf, ndet eine Vers hiebung in den Sinogrammspalten statt, die zur Verletzung der Symmetriebedingung (1.8) führt. Daraus resultieren Artefakte im Rekonstruktionsbild. Ist der Faltungskern h symmetris h mit h[n] = h[−n], weist er keine Phase auf (vgl. [122, Kap. 4.1℄, [147, Kap. 5.7.3℄). Dazu muss oensi htli h die Länge des Faltungskernes ungerade sein. Eine Änderung der mittleren Intensitäten der gelterten 27 Finite ge.

impulse response(FIR) -Filter haben einen korrespondierenden Faltungskern endli her Län-

86

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

gegenüber den ursprüngli hen Pseudorohdaten führt, da die gelterte Rü kprojektion linear ist, zu einer Veränderung der mittleren Hounseld-Einheiten im glei hen Verhältnis. Da für die medizinis he Diagnostik die absoluten Hounseld-Einheiten eine wi htige Rolle spielen, muss für eine Invarianz der P Mittelwerte gesorgt werden. Dies wird mit einem normierten Faltungskern h mit h[i] = 1 errei ht, denn dann gilt für die Faltung mit einem Signal s N · s¯ =

X

s[i] =

X

ˆ = N · s ∗ h. s[i]e 0 = sˆ[0] = sˆ[0]h[0]

Das in dieser Art erzeugte symmetris he und normierte Bla kmanfenster wird im Weiteren als hnbmn bezei hnet. Seine Koezienten ergeben wie folgt: hnbm [i + ⌊ n2 ⌋] hnbmn [i] := P . n j hbm [j]

In Abbildung 2.34 wird exemplaris h der normierte Faltungskern h25bmn sowie das Amplitudenspektrum seiner Übertragungsfunktion dargestellt. Zum Verglei h werden Das Re hte kfenster Π25 und das Dreie kfenster Λ25, zwei häug verwendete Fenster, die zum Beispiel au h zur adaptiven Filterung in [100, 213℄ eingesetzt werden (vgl. Kap. 2.1.1), zusammen mit ihrem Amplitudenspektren dargestellt. Im Verglei h zu diesen beiden Fenstern zeigt das Bla kmanfenster die beste Dämpfung für hohe Frequenzen. 0,1 Rechteck Dreieck Blackman

Amplitude [dB]

0,08

h [i]

0,06 0,04 0,02 0 -15

Rechteck Dreieck Blackman

0 -20 -40 -60 -80

-10

-5

0 i

5

10

15

-100

0

(a) Faltungskerne

Abbildung 2.34: (a) Faltungskerne

0,2ð

0,4ð 0,6ð Kreisfrequenz ù

0,8ð

ð

(b) Übertragungsfunktionen

Π25 , Λ25 , h25 bmn .

(b) Korrespondierende Amplituden-

spektren (logarithmiert).

Wie später gezeigt wird, setzt si h der modizierte Pseudorohdatensatz im Wesentli hen innerhalb der Metallsinusoide aus den geglätteten und auÿerhalb aus den unveränderten Pseudorohdaten zusammen. Eine starke Glättung der Pseudorohdaten kann

2.5 Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR)

87

dort im Verglei h zu den unveränderten Pseudorohdaten zu einer signikanten Änderung der mittleren Intensitäten innerhalb der Metallsinusoide führen. Sinusoide, die im modizierten Sinogramm sowohl innerhalb als au h auÿerhalb der Metallsinusoide verlaufen, erfahren dadur h eine lokale Veränderung der mittleren Intensitäten im Berei h der Metallsinusoide. Dies wiederum führt zu Artefakten, die den Strahlaufhärtungsartefakten ähneln. Um diese Artefakte so gering wie mögli h zu halten, ist es notwendig, die Pseudorohdaten mögli hst wenig zu glätten. In Abbildung 2.34(b) ist zu erkennen, dass der Bla kmanfaltungskern aufgrund eines gröÿeren Übergangsberei hes zwis hen Dur hlass- und Sperrberei h tiefe Frequenzen weniger dämpft und dadur h weniger stark glättet als Re hte k- und Dreie kkerne glei her Länge. Dies ist ein weiterer Grund für die Verwendung des Bla kmanfensters anstelle der beiden anderen Fenster. Dur h Änderung der Fensterlänge lässt si h der Tiefpass harakter des Bla kmanfensters verändern. Zur Bestimmung einer optimalen Fensterlänge wurde das stark mit Raus hartefakten behaftete CT-Bild aus Abbildung 1.11(a) herangezogen und dessen Pseudorohdaten entlang der Spalten mit unters hiedli h langen Bla kmanfenstern geglättet. Bei einer minimalen Länge von n = 25 waren nahezu keine Raus hartefakte mehr im Rekonstruktionsbild zu erkennen. Das dabei rekonstruierte Bild wird in Abbildung 2.35 zusammen mit dem ursprüngli hen Rekonstruktionsbild jeweils in zwei unters hiedli hen Grauwertfensterungen dargestellt. Im geglätteten Rekonstruktionsbild sind no h einige niederfrequente strahlenförmige Artefakte erkennbar28 , die den Bildeindru k jedo h weit weniger stören als die ho hfrequenten Raus hartefakte in dem ursprüngli hen CT-Bild. Strukturen in den Wei hteilen, die im ursprüngli hen CT-Bild in Abbildung 2.35( ) s hle ht oder gar ni ht erkennbar sind, treten im geglätteten Bild in Abbildung 2.35(d) deutli h hervor. Zum Verglei h der Pseudorohdaten wird in den Abbildungen 2.35(e) und 2.35(f) jeweils der identis he Auss hnitt von den ungeglätteten und den geglätteten Pseudorohdaten dargestellt. Während das Raus hen innerhalb der Metallsinusoide weitgehend vers hwindet, bleiben die groben Strukturen weiterhin erhalten. Dies ist besonders gut anhand der in Abbildung 2.35(g) dargestellten Intensitätsverläufe einer Sinogrammspalte vor und na h der Glättung29 si htbar. Der Faltungskern h25bmn wird im Weiteren generell zur Glättung der Pseudorohdaten verwendet30 . In den untersu hten Datensätzen konnten hiermit sehr gute Erfolge verzei hnet werden, wie in Kapitel 2.9 in einer Auswertung von mehreren Radiologen gezeigt wird.

28 Hierbei handelt es si h vermutli h zumindest teilweise um Strahlaufhärtungsartefakte.

29 Während die Standardabwei hung zwis hen den ungelterten und den gelterten Pseudorohdaten innerhalb der Metallsinusoide 12.744 beträgt, liegt sie auÿerhalb nur bei 4.058.

30 Für einen Einsatz von RFMAR als interaktive Applikation wäre eine Parametrisierung der Fenstergröÿe mögli h.

88

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

(a) CT-Bild

f˜r

(b)

( ) Auss hnitt aus (a)

ˇ R −1 (f˜r ∗l h25 bmn )

(d) Auss hnitt aus (b)

Abbildung 2.35: Tiefpasslterung von Pseudorohdaten mit

h25 bmn .

(a) Artefaktbehafte-

tes CT-Bild (identis h mit Abbildung 1.11(a)). (b) Rekonstruktionsbild na h Glättung mit

h25 bmn

(künstli h erhöhte Bilds härfe). (a) und (b):

Z = 476, B = 3.000. ( ) Auss hnitt aus (a), jedo h mit Grauwertfenster Z = −24, B = 400. (d) Glättung mit Dreie ksfenster. Auss hnitt und

Grauwertfenster wie in ( ). ( ) und (d): künstli h erhöhte Bilds härfe. (Fortsetzung auf nä hster Seite)

89

2.5 Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR)

(e)

7

x 10

6

(f )

5

Sinogrammspalte ungeglättet Sinogrammspalte geglättet

5 4 3 2 1 0 -1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0 l

0,2

0,4

0,6

0,8

1

(g)

Abbildung 2.35: (Fortsetzung) (e) Auss hnitt der Pseudorohdaten

geglätteten Pseudorohdaten

ˇ f˜r ∗l h25 bmn .

ˇ f˜r .

(f ) Auss hnitt der

(e) und (f ): künstli h erhöh-

te Bilds härfe. (g) Ursprüngli he und geglättete Sinogrammspalte wie in Abbildung 2.22. Der dur h die Waveletanalyse segmentierte Berei h ist grau hinterlegt, die Positionen der Referenz-Metallsinusoide sind als Re hte ke eingezei hnet.

90

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

2.5.2 Konvexe Kombinationen Zur Reduktion von Raus hartefakten wird ein modizierter Pseudorohdatensatz mit Hilfe pixelweiser konvexer Kombinationen zwis hen den unveränderten und den geglätteten Pseudorohdaten erzeugt und daraus das artefaktreduzierte CT-Bild rekonstruiert. Das heiÿt, das modizierte Sinogramm fˇ˜r′ ergibt si h zu: fˇ˜r′ (l, θ) = (1 − wfˇ˜(l, θ))fˇ˜ + wfˇ˜(l, θ)(fˇ˜ ∗l h25 bmn ).

(2.12)

Hierbei bezei hnet wfˇ˜ die Gewi htsfunktion in Abhängigkeit zum Sinogramm fˇ˜. Für den im Weiteren auss hlieÿli h betra hteten Fall diskreter Sinogramme wird wfˇ˜ als Matrix Wfˇ˜ := (wfˇ˜(l, θ)) interpretiert, die Gewi htsmatrix genannt wird. Diese bestimmt ents heidend die Qualität des artefaktreduzierten Bildes. Kriterien für die Wahl der Matrixelemente beziehungsweise Gewi hte ergeben si h aus den Forderungen, die im Folgenden aufgestellt werden. Im Ans hluss daran wird der Aufbau der Gewi htsmatrix bes hrieben. Eine ausführli he Analyse der te hnis hen und diagnostis hen Bildqualität von RFMAR folgt in den Kapiteln 2.7 und 2.9. Forderungen an RFMAR

Die Praxistaugli hkeit eines Artefaktreduktionsverfahrens hängt davon ab, ob ˆ im artefaktreduzierten Rekonstruktionsbild die Bilds härfe nahezu unverändert gegenüber der S härfe im ursprüngli hen CT-Bild ist, ˆ alle Raus hartefakte entfernt sind, ˆ keine neuen Artefakte entstehen und ˆ die Hounseld-Einheiten der einzelnen Gewebe korrekt sind. Idealerweise gilt dies im gesamten Rekonstruktionsbild. Häug genügt jedo h s hon eine Erfüllung in wesentli hen Teilen des Bildes. Dies wird für RFMAR gefordert, wobei alle Berei he auÿerhalb von Metallen, jeweils zuzügli h einem s hmalen Umgebungsberei h, zu den wesentli hen Berei hen gezählt werden. Wahl der Gewi hte

Es wird zunä hst von einem Rohdatensatz ausgegangen, der bis auf ein Defektpixel artefaktfrei ist. Dieses Defektpixel führt zu Raus hartefakten im Rekonstruktionsbild (vgl. Kap. 1.8). Die Gewi htsmatrix Wfˇ˜ habe lauter Nulleinträge bis auf eine Umgebung des Defektpixels mit Einseinträgen innerhalb der Spalte, in der das Defektpixel liegt. Das modizierte Sinogramm fˇ˜r′ ist daraufhin in der Umgebung des

2.5 Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR)

91

Defektpixels geglättet. Dadur h weist die Umgebung des Defektpixels weniger hohe Frequenzen auf. Dies wiederum führt zu einer Antwort geringerer Intensität auf das Rekonstruktionslter und damit zu einer Reduktion der Raus hartefakte im artefaktreduzierten Rekonstruktionsbild. Dur h Variation der Gewi hte zwis hen Null und Eins lassen si h die Werte im modizierten Sinogramm kontinuierli h zwis hen den ursprüngli hen und den geglätteten Werten verändern. Bei genauerer Betra htung zeigt si h, dass bei dem bes hriebenen Verfahren au h neue Artefakte entstehen können. Aus der folgenden Analyse derartiger Artefakte ergeben si h wi htige Kriterien für eine geeignete Wahl der Gewi hte, um neue Artefakte mögli hst zu vermeiden. Zunä hst wird der Übergang zwis hen Eins- und Nulleinträgen in Wfˇ˜ innerhalb einer Spalte betra htet. Dazu wird der bereits in Abbildung 2.2 dargestellte exemplaris he Auss hnitt einer Sinogrammspalte ein weiteres Mal herangezogen. In Abbildung 2.36(a) ist dieser no hmals abgebildet. Die dur hgezogene Linie stellt den ursprüngli hen und die gepunktete Linie den geglätteten Auss hnitt dar. Zusätzli h ist ein Teil des S haubilds grau hinterlegt. Dieser Berei h repräsentiert einen Auss hnitt der Gewi htsmatrix, in dem die Gewi hte Eins betragen. In dem si h re hts ab dem Abszissenwert 27 daran ans hlieÿenden Berei h habe Wfˇ˜ Nulleinträge. Unter Verwendung der bes hriebenen Gewi hte setzt si h das modizierte Sinogramm im grau hinterlegten Berei h aus dem geglätteten und sonst aus dem unveränderten Sinogramm zusammen. Das Resultat ist in Abbildung 2.36(b) als gepunktete Linie dargestellt. Am Übergang ergibt si h ein deutli her Sprung. Dieser wiederum führt, wie in Kapitel 1.8 bes hrieben, zu neuen Raus hartefakten. Derartige Sprünge treten oensi htli h immer dann auf, wenn das ursprüngli he und das geglättete Sinogramm an der Übergangsstelle dierieren. Sie lassen si h jedo h vermeiden, indem statt eines harten Übergangs zwis hen den Gewi hten Eins und Null ein wei her Übergang verwendet wird, wie es beispielsweise in Abbildung 2.36(b) als gestri helte Linie dargestellt ist. Die A hsenbes hriftung für die Gewi htsfunktion bendet si h an der re hten Seite des S haubilds. Die Gewi hte ergeben si h in diesem Fall dur h Glättung des harten Übergangs mit einem Gauÿ-Faltungskern. Das daraus resultierende modizierte Sinogramm ist im S haubild mit einer dur hgezogenen Linie dargestellt. Es weist im Übergangsberei h keinen Sprung auf und führt somit zu keinen neuen Raus hartefakten. Wenn ein Sinusoid im modizierten Sinogramm in einigen Spalten geglättet und in anderen ni ht geglättet wird, treten Strahlaufhärtungsartefakte auf (s. Kap. 1.8). Dies lässt si h ni ht vermeiden, solange das Sinogramm ni ht vollständig geglättet wird. Dur h eine mögli hst vollständige Glättung innerhalb der Metallsinusoide werden jedo h zumindest neue, von den Metallen ausgehende Strahlaufhärtungsartefakte vermieden. Aus diesem Grund ist es au h wi htig, dass die Werte innerhalb der Metallsinusoide in der Gewi htsmatrix si h hö hstens geringfügig verändern. Dies bedeutet insbesondere, dass die Gewi hte ni ht kontinuierli h mit der beispielsweise anhand einer Waveletanalyse ermittelten Raus hintensität variiert werden sollten.

92

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Die Bestimmung der Metallsinusoide erfolgt anhand der in Kapitel 2.4.3 bes hriebenen Waveletanalyse. Eventuell vorhandene kleine Lö her in der segmentierten Menge werden dur h eine morphologis he Dilatation (s. Anh. A.3) ges hlossen. Als Strukturelement B dient eine Kreiss heibe mit einem Radius von 5 Pixeln. Die Indikatorfunktion der dilatierten Menge wird als initiale Gewi htsmatrix verwendet, die ans hlieÿend mit dem Gauÿ-Faltungskern hng geglättet31 wird, um Sprungstellen an den Übergängen zu vermeiden. Dur h die Glättung reduzieren si h aber au h die Gewi hte am Rand der Menge, wodur h der Anteil ungeglätteter Sinogrammdaten zunimmt. Die Kombination aus Dilatation und ans hlieÿender Glättung sorgt dafür, dass die Gewi hte am Rand der segmentierten Menge ni ht zu klein werden. So beträgt beispielsweise das Gewi ht na h der Glättung am Rand waagere ht verlaufender Metallsinusoide ohne vorherige Dilatation 0,46. Wird die Menge vor der Glättung morphologis h dilatiert, so ergibt si h an der glei hen Stelle ein Wert von 0,82. Um die Faltung au h an den Rändern des Sinogramms dur hführen zu können, wird dieses dur h das Hinzufügen von Nullzeilen und gespiegelten Spalten, wie bei der in Kapitel 2.4 bes hriebenen Faltung dargestellt, erweitert. 5

5,5

5

x 10

5,5

Original geglättet

5

4,5

4

4

3,5

3,5

3

3 0

10

30

20

40

50

harter Übergang weicher Übergang

5

4,5

2,5

x 10

60

2,5

1

Gewichte für einen weichen Übergang

0 0

10

(a)

20

30

40

50

60

(b)

Abbildung 2.36: (a) Auss hnitt aus einer Sinogrammspalte. (b) Überlagerung des geglät-

teten (grau markierter Berei h) und des ungeglätteten Sinogrammauss hnittes aus (a) mit hartem und wei hem Übergang zwis hen den Gewi hten Eins und Null (A hsenbes hriftung für Gewi hte mit wei hem Übergang am re hten Bildrand).

Zusammenfassend bestimmt si h die Gewi htsmatrix Wfˇ˜ also folgendermaÿen: (2.13) Hierbei bezei hnet M⊕ die mit dem Strukturelement B dilatierte Menge der Metallsinusoide, das heiÿt M⊕ := Metallsinusoide(fˇ˜) ⊕ B. (2.14) Wfˇ˜ = χM⊕ ∗ hng .

31 In Abbildung 2.27 im Kapitel 2.4.3 wird der Faltungskern abgebildet.

93

2.5 Neues Verfahren zur Metallartefaktreduktion (RFMAR)

Für die in den Abbildungen 2.22 und 2.35 dargestellte Sinogrammspalte ergeben si h die in Abbildung 2.37 dargestellten Gewi hte. 8

x 10

5

Sinogrammspalte Gewichte

6 4 2 0 -1

1 -0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0 l

0,2

0,4

0,6

0,8

0 1

Abbildung 2.37: Gewi htsmaske na h Glättung (A hsenbes hriftung an re hter Seite).

Die Dilatation und Glättung haben jeweils für ein Sinogramm der Gröÿe #l#θ einen Aufwand von O(#l#θ). Für ein Sinogramm mit der in dieser Arbeit im Allgemeinen verwendeten Gröÿe von 1.024×729 Pixel dauern diese beiden Operationen zusammen 1,4 Sekunden. Zusammen mit der automatis hen Segmentierung ergibt si h für die Erstellung der Gewi htsmaske aus den Pseudorohdaten ein Zeitaufwand von insgesamt 1,6 Sekunden. Bei der Matlab-Implementierung dominiert der Zeitaufwand für die gelterte Rü kprojektion mit 130 Sekunden den Gesamtaufwand gefolgt von der Radontransformation, die im S hnitt 25 Sekunden benötigt. Die Zeit für die automatis he Segmentierung und Modikation der Pseudorohdaten ist im Verglei h dazu vers hwindend klein. Zum Abs hluss dieses Abs hnittes wird der gesamte Ablauf von RFMAR no hmals in Abbildung 2.38 in Form eines Aktivitätsdiagramms graphis h dargestellt. Verfahren zur automatischen Metallartefaktreduktion Automatische Segmentierung

Metallsinusoide

Glättung Dilatation

Glättung

artefaktreduziertes Rekonstruktionsbild

Konvexkombination

W

Abbildung 2.38: Aktivitätsdiagramm für RFMAR.

94

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

2.6 Maÿe zur Bewertung radiologis her Bilder Für die weitere Untersu hung von RFMAR werden Maÿe zur Bewertung der Qualität der artefaktreduzierten Bilder benötigt. Bei der Betra htung radiologis her Bilder ist grundsätzli h die te hnis he Bildqualität von der diagnostis hen zu unters heiden [150℄. Während die te hnis he Bildqualität anhand von Bildmerkmalen bestimmt wird, ist für die diagnostis he Bildqualität die Si htbarkeit diagnostis h relevanter Strukturen ents heidend. Unabhängig von der te hnis hen Qualität ist in einem Bild die diagnostis he Qualität dann ho h, wenn anhand des Bildes korrekte Diagnosen gestellt werden. Je mehr die Diagnose in einem Bild ers hwert wird, desto geringer ist die diagnostis he Bildqualität. Im Folgenden werden Methoden zur Bestimmung der te hnis hen und der diagnostis hen Bildqualität bes hrieben. Insbesondere werden hierbei au h die te hnis hen Qualitätsmaÿe normierter mittlerer quadratis her Fehler (NMQF) , adaptiertes Strukturverglei hsmaÿ (ASSIM) sowie MSVD bes hrieben, die in Kapitel 2.7 verwendet werden. 2.6.1 Te hnis he Bildqualität Qualitätsmaÿe zur Bewertung der te hnis hen Bildqualität lassen si h in referenzfreie und verglei hende Maÿe untergliedern. Referenzfreie Qualitätsmaÿe32 bestimmen si h direkt aus einem Bild anhand inhärenter Bildeigens haften. Derartige Maÿe lieÿen si h ideal zur Bewertung eines Artefaktreduktionsverfahrens verwenden: zu einer ausrei hend groÿen Menge unters hiedli her artefaktbehafteter Bilder wird die Qualität vor und na h Anwendung der Artefaktreduktion gemessen und miteinander vergli hen. Obwohl es für einen mens hli hen Betra hter im Allgemeinen keine S hwierigkeit bedeutet, die Qualität eines Bildes referenzfrei zu beurteilen, ist es s hwierig, objektive referenzfreie Maÿe zu denieren [211℄. Aus diesem Grund ges hieht eine Bewertung von Bildverarbeitungsverfahren übli herweise anhand verglei hender Maÿe33 . Hierbei werden Unters hiede zu einem Referenzbild gemessen und bewertet, wobei angenommen wird, dass die Bildqualität desto höher bewertet wird, je kleiner die ermittelten Unters hiede sind. Als Maÿe wurden dazu in der Vergangenheit häug der (normierte) mittlere quadratis he Fehler (NMQF/MQF)34,35 oder das Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) verwendet [31, 47, 48, 149℄, [151, Anh. 3℄. Diese Maÿe lassen si h zwar ezient bere hnen, geben jedo h nur sehr ungenau die Art der Fehler an und sind vor allem sehr s hle ht mit dem mens hli hen visuellen Wahrnehmungssystem (MVS)36 korreliert [3, 30, 182, 210℄. Aktuelle Maÿe, wie MSVD [182, 183℄ und Mean Stru tural Similarity (MSSIM) [208, 210, 228℄ errei hen eine 32 im Englis hen:

no-referen e quality assessment

[183, 210, 211℄

33 im Englis hen: full-referen e quality assessment [183, 210℄ 34 im Englis hen: (normalized) mean square error (NMSE/MSE) 35 Zur Bewertung von Kompressionsverfahren bei verlustbehaftetem Spei hern medizinis her Daten ist NMQF als Maÿ von der FDA (U.S. Food and Drug Administration) zugelassen [46℄.

36 im Englis hen: human visual system (HVS)

2.6 Maÿe zur Bewertung radiologis her Bilder

95

gute Übereinstimmung mit subjektiven Bewertungen und weisen dadur h eine hohe Korrelation mit dem MVS auf. Sowohl MSVD als au h MSSIM ergeben si h dur h Mittelung von Qualitätsmaÿen, die jeweils auf Bildauss hnitten bestimmt werden. Beide eignen si h zur Visualisierung der Bildgüte. Sei im Folgenden f das originale und f ′ das daraus dur h Metallartefaktreduktion hervorgehende Bild mit Def(f ) = Def(f ′). Sei weiterhin P := {pi}i∈I ⊆ Def(f ) die Menge der Pixel, deren Intensitäten f (pi) und f ′(pi) in die Bere hnung der jeweiligen Maÿe einieÿen. In dieser Arbeit gilt P = Def(f ). Normierter mittlerer quadratis her Fehler

Der mittlere quadratis he Fehler (MQF) ist eines der bekanntesten objektiven Maÿe mit X (2.15) MQF(f, f ′, P ) := |P1 | |f ′(p) − f (p)|2. p∈P

MQF ist jedo h sehr s hle ht mit dem MVS korreliert. Besser eignet si h NMQF, der folgendermaÿen deniert ist [48℄: NMQF(f, f ′, P ) := P

X 1 |f ′ (p) − f (p)|2 2 p∈P |f (p)| p∈P

(2.16)

und bei dem im Gegensatz zu MQF die Bildintensitäten in der Gewi htung berü ksi htigt werden. Unters hiede bei Pixeln geringer Intensität werden dadur h stärker gewi htet als bei hoher Intensität. Das Maÿ ist dadur h jedo h unsymmetris h. NMQF nimmt sein Minimum NMQF = 0 für f |P = f ′|P ein. Na h oben ist das Maÿ unbes hränkt. Mittlere strukturelle Ähnli hkeit

Bei NMQF werden nur einzelne Pixel miteinander vergli hen. Für das MVS spielen jedo h gröÿere, zusammenhängende Bildberei he eine groÿe Rolle. In dem von Wang et al [209, 210℄ vorges hlagenen Maÿ stru tural similarity (SSIM) werden deshalb Veränderung von Strukturen, das heiÿt von Intensitätsverläufen auf Pixelumgebungen, berü ksi htigt. Zusätzli h ieÿen der Kontrast und die Bildhelligkeit in die Bewertung ein. Sei U eine Umgebung von (0, 0) in der diskreten Topologie von Z × Z. Für jedes Pixel p ∈ P wird SSIM in der Pixelumgebung U (p) := {p + u|u ∈ U } bestimmt. Für Pixel p, die in der Nähe des Bildrandes liegen so, dass U (p) ∩ Def(f ) 6= ∅, wird kein Ähnli hkeitsmaÿ bestimmt. Jedem Pixel u in der Umgebung U wird ein Gewi ht αu ∈ R+0 zugeordnet. Wang et al [209, 210℄ verwenden die Umgebung U = {u : kuk∞ ≤ 5}. Die Gewi hte werden dur h die Werte der zweidimensionalen

96

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

rotationssymmetris hen Gauÿglo kenfunktion mit Standardabwei hung 1,5 an den Pixelpositionen der Pixel u ∈ U bestimmt. Seien X := f |U (p) und Y := f ′|U (p) die Pixelintensitäten von f beziehungsweise f ′ in der Umgebung eines Pixels p und x¯ und y¯ die gewi hteten Mittelwerte, σx und σy die gewi hteten Standardabwei hungen sowie σxy die gewi htete Kovarianz für x ∈ X und y ∈ Y . Hieraus werden das Strukturmaÿ 2σxy + C2 s(X, Y ) = (2.17) , 2σ σ + C x y

das Kontrastmaÿ k(X, Y ) =

sowie das Helligkeitsmaÿ h(X, Y ) =

bere hnet und damit SSIM bestimmt zu

2

2σx σy + C2 σx2 + σy2 + C2

(2.18)

2¯ xy¯ + C1 + y¯2 + C1

(2.19)

x¯2

xy¯ + C1 )(2σxy + C2 ) . (2.20) SSIM(X, Y ) = s(X, Y ) k(X, Y ) h(X, Y ) = (¯x2 (2¯ + y¯2 + C )(σ 2 + σ 2 + C ) 1

x

y

2

Hierbei sorgen die Konstanten C1, C2 ∈ R+ dafür, dass der Nenner ni ht vers hwindet und somit keine Singularitäten auftreten. Es werden hier die Standardwerte C1 = 6,5 sowie C2 = 58,5 verwendet [208℄. Zur Visualisierung werden die SSIM-Werte der einzelnen Pixel als Grauwerte dargestellt. Die mittlere strukturelle Ähnli hkeit (MSSIM) ergibt si h als Mittelwert über die SSIM-Wert aller Pixel, das heiÿt MSSIM(f, f ′, P ) = |P1 |

X

SSIM(f, f ′, p).

(2.21)

p∈P

Sie weist folgende Eigens haften auf [210℄: 1. Symmetrie: MSSIM(f, f ′, P ) = MSSIM(f ′, f, P ) 2. Bes hränktheit: MSSIM(f, f ′, P ) ≤ 1 3. Eindeutiges Maximum: MSSIM(f, f ′, P ) = 1 ⇔ f |P = f ′|P . Untersu hungen in [209, 210℄ zeigen, dass MSSIM eine starke Korrelation mit dem MVS aufweist37 . Die Bere hnung in dieser Arbeit erfolgt mit den Standardwerten in der freien Matlab-Implementierung von Wang [208℄. Detaillierte Bes hreibungen des Verfahrens sowie Analysen seiner Leistungsfähigkeit sind [210℄ zu entnehmen. 37 MSSIM wird deshalb mittlerweile au h zur Bewertung von Video-Code s verwendet [228℄.

97

2.6 Maÿe zur Bewertung radiologis her Bilder

Adaptiertes Strukturverglei hsmaÿ

Für positive Bildwerte ist das in (2.19) ausgedrü kte Maÿ h für den Helligkeitsunters hied dem Weber's hen Gesetz der Wahrnehmungsphysiologie [217℄ qualitativ konsistent [209℄. Das Weber's he Gesetz drü kt aus, dass ein mens hli her Beoba hter ni ht absolute sondern relative Unters hiede in der Signalintensität registriert. Treten jedo h wie bei CT-Bildern übli h negative Bildintensitäten auf, stellt das Intensitätsmaÿ h in (2.19) kein sinnvolles Maÿ dar, wie in Abbildung 2.39(a) exemplaris h anhand der Kurve h(500, 500+ǫ) verdeutli ht wird. Diese nimmt für ǫ = −1.000 ein Minimum ein, das weder physikalis h vom Bildgewinnungsprozess her betra htet no h physiologis h zu re htfertigen ist. 1

1

h(500, 500+å)

1 / (1 + 0,005ä) 0,8

0,5

0,6 0 0,4 -0,5 -1 -2.000

0,2 0 -1.000

0

å

0

500

(a)

1.000

1.500

ä

(b)

Abbildung 2.39: (a) Das Maÿ

h

in (2.19)eignet si h ni ht zur Bewertung von Helligkeits-

unters hieden bei negativen Bildwerten (ǫ

< −500). (b) Hierzu eignet h′α . In der Abbildung wird

si h das in (2.22) denierte alternative Maÿ

δ := |¯ x − y¯|

verwendet.

Während für das MVS die absoluten Bildintensitäten eine untergeordnete Rolle spielen, können in der Radiologie bereits Unters hiede von wenigen HU zu den korrekten Werten die Diagnose verfäls hen, da die Korrespondenzen zwis hen den Werten und dem Gewebe ni ht mehr korrekt ist. Um dieser Tatsa he Re hnung zu tragen wird das Strukturmaÿ SSIM dur h Verwendung des Helligkeitsmaÿes h′ mit 1 h′α (X, Y ) := (2.22) 1 + α|¯ x − y¯|

für die Verwendung bei medizinis hen CT-Bildern adaptiert. Diese Funktion liefert oensi htli h au h für negative Bildwerte ein sinnvolles Maÿ. Der Skalierungsfaktor α ∈ R+ dient der Anpassung für vers hiedene Dynamikberei he. In dieser Arbeit wird α = 0,005 verwendet. In Abbildung 2.39(b) ist h′α(x, x + δ) für α = 0,005 dargestellt. Die Funktion h′α ist bes hränkt dur h 0 ≤ h′α ≤ 1. Für das Maximum h′α (X, Y ) = 1 gilt h′α (X, Y ) = 1 ⇔ X = Y . Mit zunehmender Dierenz konvergiert h′α zu dem Wert Null.

98

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Aus h′α ergibt si h mit den Bezei hnungen wie oben das für die Bewertung von CTBildern adaptierte Maÿ ASSIM 38 wie folgt: xy + C) ASSIM(X, Y ) = s(X, Y ) k(X, Y ) h′α(X, Y ) = (1 + α|¯x (2σ . (2.23) − y¯|)(σ 2 + σ 2 + C) x

y

Die Konstante C ∈ R+ sorgt wie C2 in (2.20) dafür, dass der Nenner ni ht vers hwindet und somit keine Singularitäten auftreten. In dieser Arbeit wird C = C2 = 58,5 verwendet. Bei der Bestimmung von MSSIM, dem Mittelwert aus den SSIM-Werten, werden negative SSIM-Werte, das heiÿt negativ korrelierte Bildberei he, genauso gewi htet wie positive. Negativ korrelierte Bildberei he mit einem betragsmäÿig hohen SSIMWert sind jedo h besser zu interpretieren als positiv korrelierte Werte mit einem geringen SSIM-Wert. In dieser Arbeit wird deshalb als Gesamtmaÿ der Mittelwert aus den Beträgen der einzelnen ASSIM-Werte bestimmt. Dieses Maÿ wird im Weiteren MASSIM bezei hnet. Oensi htli h ist MASSIM wie au h MSSIM symmetris h und bes hränkt. Da die Konstante C ni ht vers hwindet, gilt −1 < ASSIM(X, Y ) ≤ 1 und somit MASSIM(f, f ′) = 1 ⇔ f = f ′. Qualitätsmaÿ mittels Singulärwertzerlegung

[182, 183℄ stellen ein weiteres Qualitätsmaÿ vor, bei dem das MVS berü ksi htigt wird. Dieses Maÿ MSVD bestimmt si h, wie au h MSSIM und MASSIM, als Mittelwert über Maÿe, die in Teilbildern bestimmt werden. Dazu werden das Original sowie das modizierte Bild in Blö ke der Gröÿe 8 × 8 Pixel aufgeteilt und in beiden Bildern identis h dur hnummeriert. Diese Blö ke werden als Matrizen interpretiert, auf jeder dieser Matrizen wird eine Singulärwertzerlegung dur hgeführt und die Singulärwerte werden jeweils der Gröÿe na h geordnet. Seien s0 > s1 > · · · > s7 die Singulärwerte des i-ten Blo kes im Originalbild sowie s′0 > s′1 > · · · > s′7 die Singulärwerte im i-ten Blo k des modizierten Bildes. Der Unters hied Di zwis hen den beiden Blö ken bestimmt si h daraus wie folgt: v Shnayderman et al

u 7 uX Di := t (si − s′i )2 .

(2.24)

i=0

Sei D˜ der Median der Werte Di und n die Anzahl der Blö ke. Damit ergibt si h das Maÿ MSVD zu n 1X ′ ˜ MSVD(f, f ) := n |Di − D|. (2.25) i=0

Für identis he Bilder f und f vers hwindet MSVD. Je gröÿer der gemessene Wert ist, desto stärker dierieren die Bilder. ′

38 Adapted Stru tural Similarity

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR

99

2.6.2 Diagnostis he Bildqualität Eine Bestimmung der diagnostis hen Bildqualität kann subjektiv dur h Vergabe von absoluten oder relativen Maÿzahlen in vorgegebenen Skalen erfolgen39 oder dur h diagnostis he Tests auf Basis der Befunde, die anhand modizierter Bilder gestellt wurden. Dies ges hieht häug mit Hilfe der re eiver operating hara teristi (ROC)40 [14, 31, 43, 78, 172℄. Zur Dur hführung wird ein Goldstandard benötigt, der die diagnostis he Wirkli hkeit widerspiegelt41, im Allgemeinen jedo h s hwer zu erstellen ist [31, 115℄. Die diagnostis he Bildqualität modizierter Bilder hängt stark von der diagnostis hen Fragestellung, aber au h von individuellen Sehgewohnheiten ab. Deshalb kann es kein optimales universelles Qualitätsmaÿ zur Bestimmung der diagnostis hen Bildqualität geben. Aufgrund der Vielfalt diagnostis her Fragestellungen ist eine Bewertung der diagnostis hen Bildqualität ni ht für allgemeine sondern nur für gezielt ausgewählte Fragestellungen sinnvoll realisierbar (vgl. [46℄). Im Rahmen dieser Arbeit sind derartige Auswertungen ni ht dur hführbar. Es fand jedo h eine Auswertung vers hiedener Datensätze dur h mehrere Radiologen an unters hiedli hen Standorten statt, die in Kapitel 2.9 vorgestellt wird. Aufgrund der dur hweg positiven Bewertungen der Radiologen ist davon auszugehen, dass RFMAR eine hohe diagnostis he Relevanz sowie eine hohe diagnostis he Bildqualität aufweist.

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR Im Folgenden wird RFMAR mit Hilfe der in Kapitel 2.6 bes hriebenen Maÿe untersu ht. In einem ersten S hritt wird ein CT-Bilderpaar, bestehend aus einem artefaktbehafteten und einem artefaktfreien CT-Bild, erzeugt und die Bildverbesserung gemessen, die dur h RFMAR gegenüber dem artefaktbehafteten Bild erzielt wird. Im Weiteren wird RFMAR an virtuellen Phantombildern angewandt, um zu untersu hen, wel he neuen Artefakte dabei hervorgerufen werden. Da kein herkömmli hes Verfahren die in Kapitel 2.5 gestellten Forderungen erfüllt, fällt ein Verglei h von RFMAR mit anderen Verfahren s hwer. Unter Verwendung der mittels Waveletanalyse automatis h segmentierten Metallsinusoide lassen si h jedo h zumindest Interpolationsverfahren wie beispielsweise die lineare Interpolation problemlos anwenden42 und bieten dadur h eine Verglei hsmögli hkeit. Im Weiteren wird in 39 Gebräu hli he Skalen sind [47℄ zu entnehmen. 40 Ein Diagramm, bei dem der fals h positive Anteil (=1-Spezität) gegen die Sensitivität aufgetragen wird.

41 Unter gewissen Randbedingungen lassen si h au h ohne Goldstandard aussagekräftige Verglei he der diagnostis hen Bildqualität des ursprüngli hen und des modizierten Bildes dur hführen [85℄.

42 Andere Verfahren wie beispielsweise die adaptive Filterung lassen si h zwar prinzipiell au h auf Pseudorohdaten anwenden, geben aber dort, wie oben gezeigt wurde, im Allgemeinen keinen Sinn, da sie speziell auf den Einsatz für die Rohdaten abgestimmt sind.

100

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

der bes hriebenen Art die lineare Interpolation als Verglei h zu RFMAR verwendet. 2.7.1 Bildverbesserung eines artefaktbehafteten Bildes Sei f˜r ein CT-Bild, das Metallartefakte enthält, f das korrespondierende artefaktfreie Bild, das als Goldstandard betra htet wird, sowie f˜′ ein korrespondierendes artefaktreduziertes Rekonstruktionsbild. Anhand der in Kapitel 2.6 bes hriebenen verglei henden Maÿe lassen si h nun die Bilder f und f˜r sowie f und f˜′ verglei hen. Dur h das Artefaktreduktionsverfahren wurde dann eine Verbesserung gegenüber f˜r erzielt, wenn f˜′ dem Goldstandard f stärker ähnelt als f˜r diesem ähnelt. Je ähnli her f˜′ dem Bild f ist, desto besser ist das Ergebnis der Artefaktreduktion. Ein Artefaktreduktionsverfahren, das in diesem Sinn im Allgemeinen zu besseren Ergebnissen führt als ein anderes Verfahren, ist demzufolge dem anderen Verfahren in Bezug auf die verwendeten Qualitätsmaÿe vorzuziehen. In der Regel ist der Goldstandard unbekannt und damit die bes hriebene Methode zur Analyse von RFMAR ni ht verwendbar. In diesem Fall hilft eine künstli he Erzeugung von Bildpaaren f und f˜r . Im Folgenden werden zwei unters hiedli he Vorgehensweisen bes hrieben: Zunä hst dur h Aufnahme eines Phantoms im CT ohne und mit appliziertem Metall und als weitere Mögli hkeit dur h Simulation von Metallartefakten. Aufnahme eines Phantoms

Dur h die CT-Aufnahme eines Phantoms, das kein Metall enthält, lässt si h ein Goldstandard denieren. Die korrespondierenden Artefaktbilder ergeben si h dur h eine zweite CT-Aufnahme des Phantoms in identis her S hi htung, jedo h mit appliziertem Metall. Bendet si h hierbei das Metall auÿerhalb der ROI, ergeben si h Bildpaare, die bis auf die Artefakte identis h sind und si h deshalb sehr gut zur bes hriebenen Analyse eignen. Da jedo h zur Metallartefaktreduktion im Allgemeinen, insbesondere au h bei RFMAR, ni htlineare Verfahren eingesetzt werden, gilt ni ht mehr länger das Superpositionsprinzip. Somit genügt au h ni ht die Analyse der Impulsantwort beziehungsweise eines einfa h aufgebauten Phantoms. Für eine aussagekräftige Analyse ist es vielmehr notwendig, mögli hst exakt die Anatomie na hzubilden. In dieser Arbeit wird zur Generierung von Bildpaaren f und f˜r ein anderes Verfahren verwendet, das im Folgenden bes hrieben wird. Simulation von Metallartefakten

Als Alternative zu der oben bes hriebenen Methode bietet si h folgendes Verfahren an: Ein (nahezu) artefaktfreies CT-Bild wird als Goldstandard herangezogen. Das

101

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR

korrespondierende Artefaktbild erhält man dur h das künstli he Hinzufügen simulierter Artefakte. Auf diese Art lassen si h s hnell und einfa h Bildpaare zu unters hiedli hen Körperberei hen erzeugen. Bei der Erzeugung der Artefaktbilder lassen si h gezielt unters hiedli he Artefakte simulieren. RFMAR wurde zur Reduktion von starken Raus hartefakten entwi kelt, die si h global über das Bild ziehen. Zur Simulation von Raus hartefakten wird als Goldstandard das in Abbildung 2.40(a) innerhalb des Quadrats dargestellte Bild aus Abbildung 2.29(a) verwendet. Dieses wird in eine Nullmatrix eingebettet und in der Verlängerung des Unterkiefers na h frontal einige Pixel mit metalltypis hen Werten von 8.000 HU eingefügt. Diese repräsentieren Metall und sind in der Abbildung auÿerhalb des weiÿen Quadrats zu erkennen. Innerhalb der Metallsinusoide dieser metallis hen Pixel wird das Sinogramm verraus ht. Hierbei wird wie au h in Kapitel 1.8 ein additives normalverteiltes mittelwertfreies Raus hen und einer exponentiell mit den Pixelintensitäten im Sinogramm wa hsenden Varianz verwendet. Aus diesem Sinogramm ergibt si h na h gelterter Rü kprojektion das in Abbildung 2.40(b) dargestellte Bild. Wie bei der Spei herung von CT-Bildern übli h, werden die Werte dur h Clipping bei -1.024 HU sowie bei 3.071 HU abges hnitten. Als ROI dient der Bildauss hnitt des Goldstandards, so dass die artefaktverursa henden virtuellen Metalle auÿerhalb der ROI liegen.

(a)

(b)

Abbildung 2.40: (a) Goldstandard (innerhalb des weiÿen Rahmens) mit appliziertem Me-

tall (weiÿe Pixel auÿerhalb des Rahmens). (b) Aus gezielt verraus htem Sinogramm rekonstruiertes Artefaktbild.

Z = −24, B = 400.

Das endgültige Artefaktbild ist in Abbildung 2.41(a) dargestellt. Dur h die Artefakte ist das Bild global gestört. Etli he Strukturen sind darin nur s hle ht oder gar ni ht zu erkennen. Dies gilt in besonderem Maÿ für die re hte Bildhälfte unterhalb des virtuellen Metalls. Anhand der in Kapitel 2.4.3 bes hriebenen Waveletanalyse werden die Metallsinusoide segmentiert. Entlang dieser Sinusoide wird die Lineare

102

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Interpolation (LI) dur hgeführt. Des Weiteren wird die Indikatorfunktion der Metallsinusoide als Gewi htsmatrix verwendet und damit gemäÿ (2.12) die modizierten Pseudorohdaten bestimmt (IF). Als dritte Methode wird RFMAR angewandt. Die Rekonstruktionsergebnisse sind in den Abbildungen 2.41(b) bis 2.41(d), die numeris hen Verglei hsmaÿe NMQF, MASSIM und MSVD in Tabelle 2.2 zu sehen. Die Bere hnung hierfür erfolgt zwis hen dem Goldstandard und den rekonstruierten Bildern. Dur h alle drei Methoden wird eine deutli he Reduktion der Raus hartefakte erzielt. Dieses Ergebnis spiegelt si h in der Tabelle aber au h in den graphis hen Darstellung von ASSIM in den Abbildungen 2.41(e) bis 2.41(h) wider. Während in Abbildung 2.41(e) das Bild bis auf die Kno henregionen sehr dunkel ist und damit dort überall eine geringe Qualität aufweist, sind die Abbildungen 2.41(f) bis 2.41(h) au h im Berei h der Wei hteile sehr hell. Im Verglei h zu IF und RFMAR verbleiben bei LI am wenigsten Raus hartefakte im Rekonstruktionsbild. Trotzdem weist LI die s hle htesten Qualitätsmaÿe auf, da bei LI mehr neue Artefakte hervorgerufen werden und zum Teil gröÿere Abwei hungen der Hounseld-Einheiten auftreten als bei den anderen beiden Methoden. Dies lässt si h sowohl in den Dierenzbildern zwis hen dem Goldstandard und den einzelnen Rekonstruktionsbildern in Abbildung 2.42 als au h und in den ausgewählten Bildauss hnitten in Abbildung 2.43 erkennen. Bei den Bildauss hnitten wird anstelle des Artefaktbildes in der ersten Spalte der Goldstandard abgebildet. So ist bei LI beispielsweise in der ersten Zeile der Abbildung 2.43 unterhalb des Ba kenzahnes eine Abdunklung und zwis hen dem Kieferkno hen und dem Ba kenzahn eine s heinbare knö herne Verbindung zu erkennen. In der zweiten Zeile zieht si h bei LI links unterhalb des Halswirbels ein dunkler Streifen dur h das Wei hgewebe. In der letzten Zeile s hlieÿli h ist die spongiöse Struktur im Inneren des Kieferkno hens gegenüber dem Goldstandard verändert. Die bes hriebenen Artefakte treen alle ni ht oder ni ht in dem Maÿ für IF und RFMAR zu. Zwis hen IF und RFMAR lassen si h visuell nur s hwer Unters hiede erkennen. Unter zwei von drei Qualitätsmaÿen wird RFMAR jedo h besser als IF, unter MSVD nur geringfügig s hle hter als IF bewertet. Dieses Resultat spri ht für die bei RMAR dur hgeführte Dilatation und Glättung der Gewi htsmatrix. Maÿ Werteberei h besser Artefaktbild NMQF R+ ↓ 0,1617 0 MASSIM [0, 1] ↑ 0,0917 MSVD

R+ 0

↓

930,2395

LI

IF

0,0113 0,0080 0,4968 0,5054 287,6266 219,0369

RFMAR 0,0077 0,5255 220,4749

Tabelle 2.2: Verglei h zwis hen dem Goldstandard (Abb. 2.40(a)) und dem künstli h er-

zeugten Artefaktbild, sowie zwis hen den mit LI, IF und RFMAR artefaktreduzierten Bildern. Die jeweils besten Werte sind grau hervorgehoben

(b) LI

( ) IF

(d) RFMAR

(e) ASSIM: Artefakt

(f ) ASSIM: LI

(g) ASSIM: IF

(h) ASSIM: RFMAR

Abbildung 2.41: (a) Artefaktbild. (b)-(d) Artefaktreduzierte Bilder. (a)-(d)

Z = −24, B = 400.

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR

(a) Artefakt

(e)-(h) Graphis he Darstellung der

ASSIM-Werte zwis hen dem Goldstandard und den Bildern in (a)-(d).

103

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

(a) Artefakt

(b) LI

( ) IF

(d) RFMAR

(e) Artefakt

(f ) LI

(g) IF

(h) RFMAR

Abbildung 2.42: (a)-(d) Darstellung der Dierenzen zwis hen dem Goldstandard und den Abbildungen 2.41(a) bis 2.41(d) im Werte-

berei h

[−500, 1.000] HU. (e)-(h) S hwellwertsegmentierung der Bilder (a)-(d). Die Stellen, die einen Dierenzbetrag

104

von mehr als 100 HU zum Goldstandard aufweisen, sind weiÿ abgebildet.

(b) LI

( ) IF

(d) RFMAR

(e) Goldstandard

(f ) LI

(g) IF

(h) RFMAR

(i) Goldstandard

(j) LI

(k) IF

(l) RFMAR

Abbildung 2.43: Ausgewählte Bildauss hnitte zum Verglei h zwis hen Goldstandard und artefaktreduzierten Bildern.

Z = −24,

105

B = 400

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR

(a) Goldstandard

106

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

2.7.2 Auswirkungen auf das Rekonstruktionsbild Na hdem im vorigen Abs hnitt die Artefaktreduktion an einem artefaktbehafteten Bild qualitativ untersu ht wurde, werden im Folgenden Auswirkungen von RFMAR bei der Anwendung auf ein artefaktfreies Sinogramm analysiert. Da ein derartiges Sinogramm im Allgemeinen keine besonders ausgeprägt verraus hten Berei he aufweist, kann keine Segmentierung von Metallsinusoiden anhand der Waveletanalyse dur hgeführt werden. Deshalb wird hier für die Dur hführung von RFMAR exemplaris h diejenige Gewi htsmatrix verwendet, die si h aus den Pseudorohdaten des artefaktbehafteten CT-Bildes in Abbildung 1.11(a) ergibt. Dabei werden anhand zweier virtueller Phantome insbesondere Auswirkungen auf die Bilds härfe sowie strukturelle Veränderungen im Rekonstruktionsbild betra htet. Bilds härfe

Zur Untersu hung von Veränderungen der Bilds härfe aufgrund der Anwendung von RFMAR wird das in Abbildung 2.44 dargestellte Phantombild verwendet, das eine sehr kontrastrei he Textur, die si h glei hmäÿig über das ganze Bild erstre kt, aufweist. Das weiÿe Quadrat in Abbildung 2.44(a) stellt den in Abbildung 2.44(b) abgebildeten Auss hnitt dar. Die Bildgröÿe beträgt 512 × 512 Pixel. Die Werte liegen zwis hen dem Null im Bildhintergrund und dem maximalen Grauwert 255. Das Bild verliert s hon allein unter der verwendeten Radontransformation und Rekonstruktion mit einem Shepp-Logan-Rekonstruktionslter an S härfe, wie in der Auss hnittsvergröÿerung in Abbildung 2.44( ) zu erkennen ist. Je na h Auösung des virtuellen CT-S anners, dem Rekonstruktionslter sowie den verwendeten Implementierungen für die Radontransformation und die gelterte Rü kprojektion ergeben si h hier andere Resultate. Die Uns härfe aufgrund der Transformationen wird im Rahmen dieser Arbeit jedo h ni ht untersu ht. Als Goldstandard wird das rekonstruierte, das heiÿt geglättete Bild verwendet. Wie au h im vorausgehenden Abs hnitt werden im Folgenden LI, IF und RFMAR entlang der Metallsinusoide dur hgeführt. Die Ergebnisse sind in den Abbildungen 2.45(a), 2.45(b) und 2.45( ) dargestellt. Ein Punkt im Sinogramm korrespondiert mit einer Gerade im Ortsraum. Punkte innerhalb der Metallsinusoide korrespondieren mit denjenigen Geraden, die strahlenkranzförmig von den Metallen im Bild ausgehen. Das Symbol A setzt si h aus drei Geradenabs hnitten zusammen. Überall dort, wo einer der drei Geradenabs hnitte in Ri htung der Metalle zeigt, weisen die Rekonstruktionsbilder aller drei Verfahren eine s hle hte Qualität auf, da dort jeweils der entspre hende Geradenabs hnitt entfernt beziehungsweise verändert ist. Anhand der graphis hen ASSIM-Darstellungen in den Abbildungen 2.45(d) bis 2.45(f) zei hnen si h diese Berei he dur h dunkle Streifen, ausgehend von den Metallen am oberen Bildrand, aus. Kollineare Strukturen, die in die Ri htung der Metalle weisen, werden folgli h von allen drei Verfahren geglättet beziehungsweise entfernt.

107

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR

(a)

(b)

( )

Abbildung 2.44: (a) Texturbild. Das weiÿe Quadrat zeigt den Auss hnitt von (b) und ( )

an. (b) Auss hnittsvergröÿerung der linken oberen E ke von (a). ( ) Texturbild na h Rekonstruktion der Pseudorohdaten. Auss hnittsvergröÿerung wie in (b).

Andere Strukturen hingegen werden nur geringfügig verändert. So sind beispielsweise in den Auss hnittsbildern, die in Abbildungen 2.45(g) bis 2.45(i) dargestellt sind, am oberen Bildrand re hts neben dem Metall die beiden S henkel des Symbols A deutli h zu erkennen, während die Querverbindung fast vollständig vers hwunden ist. Zwei Zeilen weiter unten weisen die Querverbindungen ni ht mehr zu den Metallen und sind klar zu erkennen. Innerhalb der Metalle werden Strukturen aus allen Ri htungen geglättet beziehungsweise unterdrü kt, wodur h in diesen Regionen die Rekonstruktionsbilder eine besonders geringe Qualität haben. In den ASSIM-Bildern sind diese Berei he am dunkelsten. Ein Stü k Metall ist jeweils links oben in den Auss hnittsbildern zu erkennen. In diesem Berei h ist keine Struktur mehr zu erkennen. Eine visuelle Unters heidung der Bildqualitäten der drei Verfahren fällt au h bei diesem Phantombild s hwer. Eine Hilfe bieten wieder die numeris hen Werte, die in Tabelle 2.3 aufgelistet sind. LI wird wieder am s hle htesten bewertet, wohingegen in diesem Fall IF unter allen drei Maÿen besser als RFMAR bewertet wird. Aufgrund der harten Übergänge zwis hen den geglätteten und den ungeglätteten Pixelwerten ergeben si h jedo h bei IF neue Artefaktstrukturen, die bei RFMAR ni ht vorhanden sind. Beispielsweise ist in Abbildung 2.45(h) beginnend von der Mitte des linken Bildrandes bis ungefähr zur Mitte des unteren Bildrandes ein Streifen zu erkennen, der im Goldstandard oensi htli h ni ht vorhanden ist. Dieser Streifen ist au h bei LI, ni ht aber bei RFMAR ni ht zu erkennen. Aus diesem Grund ist au h in diesem Fall ein Einsatz von RFMAR sinnvoll. Aufgrund der Linearität der gelterten Rü kprojektion lassen si h die beiden Teilterme in (2.12) getrennt rekonstruieren und ans hlieÿend pixelweise addieren, wie es in Abbildung 2.46 für das artefaktbehaftete CT-Bild aus Abbildung 1.11(a) dargestellt wird. In diesem Fall wird ein Bildauss hnitt, der gröÿer als das ursprüngli he CT-Bild ist, rekonstruiert. Bei dieser Zerlegung fällt auf, dass bis auf die lokalen

108

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

(a) LI

(b) IF

( ) RFMAR

(d) ASSIM: LI

(e) ASSIM: IF

(f ) ASSIM: RFMAR

(g) LI: Auss hnitt

(h) IF: Auss hnitt

(i) RFMAR: Auss hnitt

Abbildung 2.45: (a)-( ) Artefaktreduzierte Bilder. (d)-(f ) ASSIM-Darstellungen.

(g)-(i) Auss hnittsvergröÿerungen der linken oberen E ken von (a)-( ). Dargestellter Grauwertberei h in (a)-( ) sowie (g)-(i)

[−90, 270].

109

2.7 Bewertung der te hnis hen Bildqualität von RFMAR

Maÿ Werteberei h besser NMQF R+ ↓ 0 MASSIM [0, 1] ↑ R+ 0

MSVD

↓

LI

IF

0,1492 0,1248 0,7292 0,7491 63,1464 53,4082

RFMAR 0,1325 0,7373 57,6874

Tabelle 2.3: Numeris h ermittelte Verglei hsmaÿe zwis hen Abbildung 2.44( ) und den

rekonstruierten Bildern.

Berei he um die Metalle nahezu alle Strukturen in dem s harfen Teilbild in Abbildung 2.46(a) vorhanden sind. Das ist ein Beispiel dafür, dass die oben bes hriebene Reduktion der S härfe auÿerhalb der Metalle in medizinis hen CT-Bildern kaum zu erkennen ist und somit die Rekonstruktionsbilder wie gefordert auÿerhalb der Metalle nur einen geringen oder gar keinen si htbaren Verlust an S härfe aufweisen.

=

+

(a)

ˇ R −1 (1 − W )f˜

(b)

ˇ R −1 W (f˜ ∗l h25 bmn )

( )

ˇ R −1 f˜r′

Abbildung 2.46: Anwendung von RFMAR auf Abbildung 1.11(a) unter Ausnutzung der

Linearität bei der gelterten Rü kprojektion.

Artefaktstrukturen

Als zweites virtuelles Phantombild wird die in Abbildung 2.47(a) dargestellte Kreiss heibe verwendet. In Abbildung 2.47(b) sind die Sinusoide der Kreiss heibe hell und die verwendeten Metallsinusoide dunkel in einem gemeinsamen Sinogramm dargestellt. Bei der linearen Interpolation resultiert das in Abbildung 2.47( ) dargestellte Sinogramm. Aufgrund der darin erkenntli hen starken Veränderungen gegenüber dem korrekten Sinogramm sind erhebli he Artefakte zu erwarten. In Abbildung 2.47(d) werden die Beträge der pixelweise Dierenzen zwis hen dem Rekonstruktionsbild und dem Goldstandard dargestellt. Je dunkler die Graustufe eines Pixels ist, desto gröÿer ist an dieser Stelle der Dierenzbetrag. Es lassen si h in diesem Bild sowie in der graphis hen ASSIM-Darstellung in in Abbildung 2.47(g) erwartungsgemäÿ starke Artefakte erkennen. Au h in IF und RFMAR ergeben si h Artefakte, jedo h in visuell gut erkennbarem abnehmbaren Maÿ. Die numeris hen Werte sind in Tabelle 2.4

110

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

aufgeführt. Sowohl unter MASSIM als au h unter MSVM wird RFMAR am besten bewertet. Maÿ Werteberei h besser LI IF RFMAR NMQF R+ ↓ 0,1091 0,0082 0,0087 0 MASSIM [0, 1] ↑ 0,7789 0,9028 0,9409 MSVD

R+ 0

↓

218,7142

30,9550

24,5758

Tabelle 2.4: Numeris h ermittelte Verglei hsmaÿe zwis hen dem (rekonstruierten) Kreis-

s heibenphantom aus Abbildung 2.47(a) und den artefaktreduzierten Bildern.

In diesem Kapitel wurde gezeigt, dass RFMAR Artefakte eektiv reduziert und dabei nahezu im gesamten Bild eine hohe S härfe erhalten bleibt. Neue Artefakte können au h bei RFMAR ni ht vollständig vermieden werden, fallen jedo h im Verglei h zu IF und insbesondere zu LI in dem untersu hten Phantom relativ gering aus. Im nä hsten Kapitel wird anhand mehrerer Beispieldatensätze aus der radiologis hen Praxis Praxistaugli hkeit von RFMAR untersu ht.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze Um die Praxistaugli hkeit von RFMAR zu untersu hen, werden in diesem Abs hnitt vers hiedene stark artefaktbehaftete CT-Datensätze (DS 1 . . . DS 22) zusammen mit den daraus dur h RFMAR gewonnenen artefaktreduzierten Bildern dargestellt. Auÿer DS 13 (Abb. 2.51(q)) und DS 22(Abb. 2.52) wurden alle Datensätze freundli herweise von der Radiologis hen Gemeins haftspraxis im Zeppelinzentrum in Karlsruhe im DICOM-Format zur Verfügung gestellt. DS 13 entstammt einer institutsinternen Bilddatenbank [170℄ und DS 22 wurde freundli herweise von der Firma med3D in Heidelberg [134℄ zur Verfügung gestellt. Beide Datensätze liegen im TIFF-Format vor. Bis auf DS 13 liegen alle Datensätze als Axials hnitte aus dem Kopf-Hals-Berei h beziehungsweise der Umgebung des Kniegelenks (DS 14 . . . 19) vor. DS 13 liegt als Frontals hnitt des Kopfes vor. Im Folgenden werden einige auällige Merkmale der artefaktreduzierten Bilder anhand der abgebildeten Datensätze bes hrieben. Eine Auswertung der Datensätze DS 1 bis DS 20 ndet in Kapitel 2.9 statt. Zunä hst wird in Abbildung 2.48 das Artefaktbild aus Abbildung 1.11(a) betra htet. An diesem Datensatz werden exemplaris h zum Verglei h vers hiedene Artefaktreduktionsverfahren dur hgeführt. Im Einzelnen sind dies: ˆ LI 1: Lineare Interpolation entlang der Referenz-Metallsinusoide (s. Abb. 2.6(d)).

111

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

l

l

0 (a)

θ[rad]

π

(b)

0

θ[rad]

π

( )

(d) Dierenzen: LI

(e) Dierenzen: IF

(f ) Dierenzen: RFMAR

(g) ASSIM: LI

(h) ASSIM: IF

(i) ASSIM: RFMAR

Abbildung 2.47: (a) Virtuelles Kreiss heibenphantom (invertiert dargestellt).

(b) Sinusoide der Kreiss heibe (hell) und Metallsinusoide dunkel. ( ) Pseudorohdaten na h Anwendung der linearen Interpolation. (d)-(f ) Beträge der Dierenzen zwis hen den artefaktreduzierten Bildern und der (rekonstruierten) Kreiss heibe (invertierte Darstellung). (g)-(i) ASSIMDarstellungen.

112

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

LI 2: Lineare Interpolation entlang der Metallsinusoide, die si h dur h die Waveletanalyse ergeben (s. Abb. 2.30(b)). ˆ KKU 1: Pixelweise konvexe Kombinationen. Als Gewi htsmatrix dient die Indikatorfunktion der Referenz-Metallsinusoide. ˆ KKU 2: Pixelweise konvexe Kombinationen. Als Gewi htsmatrix dient die Indikatorfunktion der Metallsinusoide, die si h dur h die Quadtree-Zerlegung bestimmt (s. Abb. 2.19(b)). ˆ KK 1: Pixelweise konvexe Kombinationen. Als Gewi htsmatrix dient die dilatierte und geglättete Indikatorfunktion der Metallsinusoide, die si h dur h die Quadtree-Zerlegung bestimmt. ˆ KK 2: Pixelweise konvexe Kombinationen. Als Gewi htsmatrix dient die dilatierte und geglättete Indikatorfunktion der Metallsinusoide, die si h dur h Texturanalyse mit dem Texturmaÿ IDM bestimmt (s. Abb. 2.20(b)). ˆ RFMAR. In Abbildung 2.49 werden in anderer Fensterung zu jedem der dargestellten Bilder jeweils der identis he Bildauss hnitt gezeigt. S hlieÿli h werden in Abbildung 2.50 zu jedem Rekonstruktionsbild identis he Auss hnitte aus den jeweiligen modizierten Pseudorohdaten dargestellt. Im Verglei h zwis hen LI und RFMAR ist festzustellen, dass bei LI die Strahlaufhärtungsartefakte, die si h als dunkle Abs hattungen unterhalb des re hten sowie des linken Ba kenzahnes abzei hnen, im Gegensatz zu RFMAR zum Teil reduziert werden. Andererseits ergeben si h teilweise erhebli he Artefakte vor allem im Berei h der Metalle, aber au h im übrigen Bild, beispielsweise am Kieferkno hen re hts oben im Bild, die bei RFMAR ni ht oder ni ht so ausgeprägt auftreten. Die Rekonstruktionen LI 1 und KKU 1 sowie deren modizierte Sinogramme demonstrieren deutli h, dass die Referenz-Metallsinusoide ni ht die Metallsinusoide aller artefaktverursa henden Metalle abde ken. In beiden Bildern sind jeweils no h etli he Raus hartefakte vorhanden. KK 2 und RFMAR haben groÿe Ähnli hkeiten. Unters hiede sind beispielsweise am Kieferkno hen re hts oben im Bild zu erkennen. In diesem Berei h ist KK 2 etwas stärker geglättet als RFMAR. Zwis hen KKU 2 und KK 1 sind vor allem in den Auss hnittsdarstellungen signikante Unters hiede zu erkennen. Aufgrund der bei KK 1 dur hgeführten Glättung der Gewi htsmatrix ergeben si h dort weit weniger Artefakte. Der nä hste Datensatz (s. Abb. 2.51(a) und 2.51(b)) kommt in der Auswertungstabelle in Kapitel 2.9 zweimal vor und erhält aus diesem Grund die Bezei hnungen DS 2 und DS 8. Wie aus den beiden Abbildungen gut zu erkennen ist, kommen oensi htli h in Abhängigkeit zur gewählten Fensterung unters hiedli he Aspekte des Bildes zur Geltung. Während si h beispielsweise in Abbildung 2.51(a) die Zähne sehr gut abzei hnen, sind Wei hgewebestrukturen nur s hle ht zu erkennen. In den weiteren Datensätzen ist die Fensterung jeweils mögli hst so gewählt, dass die Reduktion der ˆ

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

113

Raus hartefakte besonders gut zu erkennen ist. DS 3 ist so stark von Raus hartefakten überlagert, dass in dem Artefaktbild auÿer Kno henkonturen fast ni hts mehr zu erkennen ist. Insbesondere gehen Konturen im Berei h der Wei hgewebe nahezu vollständig im Raus hen unter, die na h Anwendung von RFMAR deutli h zu erkennen sind. Da si h die Metalle in der linken oberen Bilde ke beziehungsweise links oben auÿerhalb des Bildes benden, liegen die Artefaktstrahlen nur in einem einges hränkten Winkelberei h, was si h in der Gewi htsmatrix nieders hlägt. DS 13 sowie DS 22 liegen nur im TIFF-Format mit 256 Graustufen vor. Trotzdem bringt RFMAR au h für diese Datensätze deutli he Verbesserungen, wie für DS 13 au h der Auswertung dur h Radiologen in Kapitel 2.9 zu entnehmen ist. Diese Datensätze verdeutli hen, dass RFMAR invariant gegenüber einer Skalierung der Intensitäten im Rekonstruktionsbild mit einem konstanten Faktor ist. Ein weiteres Beispiel dafür ist in Abbildung 2.53 gegeben. Für dieses Bild wurde DS 1 mit einem Laserdru ker unter einer Auösung von 600 dpi auf handelsübli hes weiÿes Kopierpapier ausgedru kt. Die Gröÿe des ausgedru kten Bildes betrug 7,5 × 7,5 m2. Ans hlieÿend wurde der in Abbildung 2.53(a) s hwarz eingerahmte Berei h mit 200 dpi einges annt und darauf RFMAR angewandt. Dur h die Waveletanalyse werden die Metallsinusoide sehr gut detektiert, wie dur h die Ähnli hkeit der Abbildungen 2.53(d) und 2.30(b) zu erkennen ist. Die vier s hwarzen Kreiss heiben43 ergeben si h dur h den harten und damit ho hfrequenten Übergang zwis hen den weiÿen Bildrändern und dem eigentli hen Bild, weshalb diese na h Anwendung von RFMAR stark geglättet sind. Das Beispiel ma ht deutli h, dass es mit RFMAR prinzipiell mögli h ist, CT-Bilder, die beispielsweise nur no h auf Röntgenfolie vorliegen, im Ans hluss an eine Digitalisierung mit RFMAR zu bearbeiten und signikant zu verbessern. In Abbildung 2.52 ist ein Datensatz dargestellt, der eine künstli he Struktur enthält, die dem Patienten appliziert wurde. Die kreisförmigen Strukturen, die im Artefaktbild sehr gestört sind, lassen si h na h Anwendung von RFMAR deutli h mit hoher Bilds härfe erkennen. Das Artefaktbild in Abbildung 2.54 ist ein Bildauss hnitt von DS 1. Dieser Auss hnitt wurde so gewählt, dass garantiert keine Metalle im Bild liegen. Dur h die Waveletanalyse werden die im Sinogramm enthaltenen Metallsinusoide sehr gut segmentiert (s. Abb 2.54( )). Die Anwendung von RFMAR liefert au h in diesem Fall eine sehr gute Reduktion der Raus hartefakte.

43 Aufgrund der Symmetrie im Sinogramm sind die vier Halbkreise, von denen jeweils zwei am re hten und linken Rand zu nden sind, als zwei Vollkreise zu betra hten.

114

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

(a) Original

(b) LI 1: Referenz-Metallsinusoide

( ) LI 2: Waveletanalyse

(d) KKU 1: Referenz-Metallsinusoide

Abbildung 2.48: DS 1: (a) Artefaktbild. (b)-(h) Artefaktreduzierte Bilder, die si h im

Artefaktreduktionsverfahren und in den verwendeten Metallsinusoiden unters heiden.

Z = 476, B = 3000.

(Fortsetzung auf nä hster Seite)

115

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

(e) KKU 2: Quadtree-Zerlegung

(f ) KK 1: Quadtree-Zerlegung

(g) KK 2: Texturanalyse (IDM)

(h) RFMAR

Abbildung 2.48: (Fortsetzung)

Weitere

Pseudorohdaten.

Rekonstruktionsbilder

na h

Modikation

der

116

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

(a) Original

(b) LI 1: Referenz-Metallsinusoide

( ) LI 2: Waveletanalyse

(d) KKU 1: Referenz-Metallsinusoide

Abbildung 2.49: DS 1: Auss hnitte aus den Rekonstruktionsbildern der Abbildung 2.48,

jedo h mit Grauwertfenster Seite)

Z = 26, B = 500. (Fortsetzung auf nä hster

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

(e) KKU 2: Quadtree-Zerlegung

(f ) KK 1: Quadtree-Zerlegung

(g) KK 2: Texturanalyse (IDM)

(h) RFMAR

117

Abbildung 2.49: (Fortsetzung) Auss hnitte aus den Rekonstruktionsbildern der Abbil-

dung 2.48.

118

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

l

l

l

θ

θ

(a) Original

(d) KKU 1

l

θ

l

θ (f ) KK 1

θ

( ) LI 2

l

(e) KKU 2

θ

(b) LI 1

l

l

θ (g) KK 2

θ (h) RFMAR

Abbildung 2.50: Auss hnitte der Sinogramme zu den Rekonstruktionsbildern in Abbil-

dung 2.48. Die Auss hnitte wurden um 90° gedreht und die Bilds härfe künstli h erhöht.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

Original

119

RFMAR

(a) DS 2/8:

Z = 476, W = 3000

(b) DS 2/8:

Z = −24, W = 400

Abbildung 2.51: Axials hi ht mit Halswirbel in der Bildmitte. Darstellung mit zwei un-

ters hiedli hen Fensterungen. Der Datensatz erhält sowohl die Bezei hnung DS 2 als au h DS 8, da er zweimal in der Auswertungstabelle in Kapitel 2.9 vorkommt.

120

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

RFMAR

( ) DS 3:

(d) Pseudorohdaten (S härfe erhöht)

(f ) Gewi htsmatrix (s hwarz: 1, weiÿ: 0)

Z = 176, W = 800

(e) Faltungsergebnis mit

bior6.8 (invertiert)

(g) Modizierte Pseudorohdaten (S härfe erhöht)

Abbildung 2.51: Weiterer Beispieldatensatz.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

Original

RFMAR

(h) DS 4:

Z = −24, W = 400

(i) DS 5:

Z = 176, W = 800

Abbildung 2.51: Weitere Beispieldatensätze.

121

122

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

RFMAR

(j) DS 6:

Z = 176, W = 800

(k) DS 7:

Z = −24, W = 400

Abbildung 2.51: Weitere Beispieldatensätze.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

Original

RFMAR

(l) DS 9:

Z = −24, W = 400

(m) DS 10:

Z = −24, W = 400

Abbildung 2.51: Weitere Beispieldatensätze.

123

124

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

RFMAR

(n) DS 11:

(o) DS 11:

Z = 400, W = 2000

Z = 176, W = 800

Abbildung 2.51: Datensatz mit erstem Halswirbel (C1). In Kapitel 2.9 wird auf die beiden

dargestellten Grauwertfensterungen gesondert eingegangen.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

Original

125

RFMAR

(p) DS 12:

Z = 400, W = 2000

(q) DS 13: 256 Graustufen,

Z = 75, W = 90

Abbildung 2.51: Weitere Beispieldatensätze. (q) Frontals hnitt des S hädels. Im unteren

Bildberei h ist links und re hts jeweils die Metallfüllung eines Zahnes zu erkennen.

126

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

RFMAR

(r) DS 14:

Z = 476, W = 3000

(s) DS 15:

Z = 476, W = 3000

Abbildung 2.51: S hnittbilder dur h das Knie bei einem künstli hen Kniegelenk.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

Original

RFMAR

(t) DS 16:

Z = 476, W = 3000

(u) DS 17:

Z = 476, W = 3000

Abbildung 2.51: S hnittbilder dur h das Knie bei einem künstli hen Kniegelenk.

127

128

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

RFMAR

(v) DS 18:

Z = 476, W = 3000

(w) DS 19:

Z = 476, W = 3000

Abbildung 2.51: S hnittbilder dur h das Knie bei einem künstli hen Kniegelenk.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze

Original

RFMAR

(x) DS 20:

Z = 400, W = 2000

(y) DS 21:

Z = −24, W = 400

Abbildung 2.51: (x) Axials hnitt mit Kieferbogen oben im Bild.

129

130

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

(a) DS 22: 256 Graustufen

RFMAR

Z = 128, B = 256

(b) DS 22: Auss hnitt. 256 Graustufen

Z = 128, B = 256

Abbildung 2.52: (a) Artefaktbehafteter CT-Datensatz aus einer kieferorthopädis hen An-

wendung mit freundli her Genehmigung der Firma med3D [134℄. Der Legostein im oberen Bildberei h dient der Referenzierung in einer medizinis hen Anwendung. Na h Anwendung von RFMAR sind die im Artefaktbild stark gestörten Kreisstrukturen des Legosteins ges hlossen und sehr gut zu erkennen. In allen Bildern wurde der Gammawert sowie der Kontrast künstli h erhöht.

2.8 Anwendung von RFMAR auf radiologis he CT-Datensätze Original

RFMAR

(a) DS 1 modiziert: 256 Graustufen

Z = 128, B = 256

(b) DS 1 modiziert: Auss hnitt. 256 Graustufen

( ) Pseudorohdaten

131

Z = 115, B = 70

(d) Gewi htsmatrix (s hwarz: 1, weiÿ: 0)

Abbildung 2.53: S an (200 dpi, 8 bit) eines Papierausdru ks von DS 1 (Abb. 1.11(a)) mit

600 dpi auf eine Gröÿe von

7,5 × 7,5 m2 .

Für die Radontransformation

wurden 900 Projektionen bere hnet. In ( ) wurde die S härfe künstli h erhöht. Die Signalspitzen im Sinogramm rühren von den weiÿen Rändern in (a) her. Sie treten bei ungefähr 0°und 90°auf.

132

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Original

RFMAR

(a) DS 1: Auss hnitt ohne Metalle.

(b) Pseudorohdaten.

Z = 76, B = 1000.

( ) Gewi htsmatrix (s hwarz: 1, weiÿ: 0)

Abbildung 2.54: Auss hnitt. In (b) wurde zur besseren Darstellung die Bilds härfe künst-

li h erhöht.

2.9 Auswertung der Artefaktreduktion dur h Radiologen

133

2.9 Auswertung der Artefaktreduktion dur h Radiologen Die in Kapitel 2.8 dargestellten Datensätze DS 1 bis DS 20 wurden zur Auswertung an folgende Radiologen gegeben: ˆ PD Dr. med. H. Friedburg Radiologis he Gemeins haftspraxis im Zeppelinzentrum Zeppelinstraÿe 2 76185 Karlsruhe ˆ PD Dr. med. Dr. rer. nat U. Mende Klinis he Radiologie/Strahlentherapie Radiologis he Universitätsklinik Im Neuenheimer Feld 400 69120 Heidelberg ˆ Prof. Dr. med. P. Reimer Zentralinstitut für Bildgebende Diagnostik Städtis hes Klinikum Karlsruhe Moltkestraÿe 90 76133 Karlsruhe ˆ Prof. Dr. med. E. P. Stre ker Abteilung für Radiologie und Nuklearmedizin Diakonissenkrankenhaus Karlsruhe Diakonissenstraÿe 28 76199 Karlsruhe Die benannten Radiologen haben ihrerseits die Datensätze an Kollegen beziehungsweise Mitarbeiter weitergeleitet, so dass die Daten von insgesamt 13 Radiologen ausgewertet wurden. Unter diesen haben vier Radiologen gemeinsam die Bilder ausgewertet. Insgesamt wurden somit zehn unters hiedli he Bewertungen abgegeben. Die Radiologen erhielten jeweils eine Powerpoint-Datei, in der die zwanzig Datensätze na heinander abfolgten, jeweils das Original und an der selben Position in der nä hsten Folie das artefaktreduzierte Bild, bis auf einen Datensatz, der weiter unten bes hrieben wird, beide in identis her Fensterung. Die bes hriebene Anordnung ermögli hte einen s hnellen Verglei h zwis hen dem Original und dem artefaktreduzierten Bild. Bei einigen Datensätzen wurden mehrere Fensterungen verwendet um einen besseren Gesamteindru ke des Bildes zu ermögli hen. Für die Auswertung wurde den Radiologen eine Tabelle ausgehändigt, in die Bildveränderungen zwis hen dem Original und dem artefaktreduzierten Bild anhand einer ganzzahligen Skala zwis hen −3 und 3 anzugeben waren. Die Bedeutung der einzelnen Werte ist der linken Spalte in Tabelle 2.5 zu entnehmen. Die Skala entspri ht somit weitgehend der von

134

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Eski ioglu

wird.

Skala -3 -2 -1 0 1 2 3

[47℄ verwendeten Skala, die in der re hten Spalte der Tabelle erläutert Skala in dieser Arbeit Interpretation ni ht mehr mögli h Interpretation ers hwert Bild optis h s hle hter bringt ni hts Bild optis h besser Interpretation erlei htert Interpretation erst jetzt mögli h

Skala na h Eski ioglu [47℄ Mu h worse Worse Slightly worse Same Slightly better Better Mu h better

Tabelle 2.5: Bewertungsskala

Die Auswertungsergebnisse sind in Tabelle 2.6 aufgelistet. Ein Datensatz besteht jeweils aus den mit identis hem Grauwert hinterlegten Spalten. Jede Spalte steht für eine Grauwertfensterung. Für DS 1 lagen beispielsweise zwei unters hiedli he Grauwertfensterungen vor. Die Zeilen enthalten die Bewertungen der 10 Radiologen beziehungsweise des Radiologenteams44. Das Fragezei hen bei der Auswertung von Radiologe 2 in DS 14 gibt an, dass für diesen Datensatz keine Bewertung angegeben wurde. Die Dezimalbrü he in der letzten Zeile der Tabelle geben den im Dur hs hnitt abgegebenen Wert für den jeweiligen Datensatz an. Je na h Grauwertfensterung ergeben si h zum Teil bei ein und demselben Datensatz unters hiedli he Bewertungen. Bei Radiologe 2 dierieren die Werte für DS 2 sogar von 0 bis 2. Keiner der Radiologen wusste, dass DS 2 und DS 8 identis h sind. Es ist interessant, dass auÿer Radiologe 10 alle anderen die Datensätze unters hiedli h bewerten. Das verdeutli ht, wie s hwierig eine subjektive Bewertung von CT-Bildern selbst für Radiologen ist, die tägli h mit vielen CT-Bildern konfrontiert werden. Derselbe Datensatz kann eventuell dur h den Eindru k anderer Datensätze plötzli h eine andere Bewertung erhalten. Eine weitere Besonderheit ist DS 11. Die Radiologen gingen davon aus, dass die Grauwertfensterung im Original und im artefaktreduzierten Bild jeweils identis h ist. Bei DS 11 wurden jedo h unters hiedli he Grauwertfensterungen gewählt. Als Artefaktbild wurde das Original in Abbildung 2.51(n), als artefaktreduziertes Bild hingegen das RFMAR-Bild in Abbildung 2.51(o). Interessant sind nun die unters hiedli hen Bewertungen der Radiologen. Von Radiologe 1 wurde das Bild mit dem hö hsten Wert versehen, während Radiologe 3 und Radiologe 8 das Bild mit −1 bewerteten. Es ist anzunehmen, dass die Radiologen, die DS 11 gut bewerteten, die darin sehr kontrastrei hen Details in den Wei hteilen hauptsä hli h beurteilten, während diejenigen Radiologen, die eine s hle hte Bewertung abgaben, die Tatsa he bewerteten, dass das im Artefaktbild deutli h si htbare Ohr in dem artefaktreduzierten Bild aufgrund der anderen Fensterung ni ht mehr zu sehen ist. Die starke Varianz der Bewertungen in DS 11 ist ein Hinweis darauf, dass es für die 44 Der Einfa hheit halber wird das Team im Weiteren wie ein Radiologe betra htet.

135

2.9 Auswertung der Artefaktreduktion dur h Radiologen

radiologis he Qualität eines Bildes eine groÿe Rolle spielt, was für Bildinhalte für den Radiologen wi htig sind.

DS 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

1

2

2

2

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

1

1

1

3

3

2

2

3

1

2

0

1

1

1

1

2

2

2

2

1

0

0

1

0

0

1

3

2

3

2

2

2

3

3

2

3

3

3

2

3

2

1

1

2

2

3

2

4

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1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

5

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

2

2

1

6

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1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

0

2

1

1

1

1

7

2

2

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

0

1

8

1

2

0

1

1

2

2

1

2

2

2

1

1

1

0

1

1

1

1

2

9

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

1

0

1

1

1

1

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1,40

1,50

1,65

1,53

DS 11

12

1,70

13

2,10

2,00

1,65

1,30

1,17

14

15

16

17

18

19

20

1

3

2

2

2

2

1

1

0

0

0

0

1

1

2

2

2

1

1

2

?

1

0

0

0

0

1

1

3

-1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

4

1

2

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

5

1

1

1

2

2

1

1

0

0

1

1

1

1

6

1

2

1

1

1

0

1

0

1

2

1

1

1

7

0

3

1

1

1

0

0

0

0

0

0

2

2

8

-1

2

1

1

1

2

2

1

1

0

1

1

2

9

2

2

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1,00

1,90

0,78

1,00

0,50

0,70

0,80

0,70

1,23

1,25

Tabelle 2.6: Auswertung der Datensätze DS 1 bis DS 20 von insgesamt 13 Radiologen,

wobei vier Radiologen eine Gemeins haftswertung abgaben.

Insgesamt zei hnet si h bei der Auswertung ein sehr positives Bild von RFMAR ab. Am s hle htesten s hneidet das Kniebild DS 16 ab, das fast alle Radiologen mit 0 bewerteten. Auÿer bei DS 11 nden si h überhaupt keine negativen Bewertungen. Etli he Bilder werden von einzelnen Radiologen sogar mit 3 bewertet. Die Auswertung von nur 20 beziehungsweise 19 Datensätzen genügt zwar ni ht für eine fundierte Aussage über die diagnostis he Bildqualität von RFMAR, re htfertigt jedo h aufgrund der dur hweg guten Ergebnisse den praktis hen Einsatz von RFMAR.

136

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

2.10 Kontraindikationen RFMAR wurde für die Reduktion von Raus hartefakten konzipiert. Eine Anwendung von RFMAR auf artefaktbehaftete CT-Bilder, die nur wenige Raus hartefakte enthalten, kann zu einer starken Glättung des Bildes führen, wie exemplaris h in Abbildung 2.55 dargestellt wird. In Abbildung 2.55(a) sind von der Hüfte re hts im Bild ausgehende geringe Raus hartefakte zu erkennen. Das Raus hen im Bild ist insgesamt niedrig. Trotzdem weist ein Teil des Sinogramms eine höhere Raus hvarianz gemäÿ der Waveletanalyse auf, wie in der Gewi htsmatrix zu erkennen ist45 (s. Abb. 2.55( )). Im artefaktreduzierten Bild sind zwar die Raus hartefakte erfolgrei h reduziert, insgesamt ist die Bildqualität aufgrund der starken Glättung jedo h s hle hter als im Artefaktbild. Eine Anwendung von RFMAR empehlt si h also ni ht in diesem Fall. Je stärker die Raus hartefakte im Artefaktbild sind, desto eher lohnt si h eine Anwendung von RFMAR. Im folgenden Abs hnitt wird bes hrieben, wie si h eine s hnelle automatis he Klassikation stark artefaktbehafteter Bilder dur hführen lässt.

2.11 Klassikation raus hartefaktbehafteter Bilder Eine mögli he Anwendung von RFMAR ist die automatis he Artefaktreduktion von CT-Volumendaten beispielsweise im Stapelbetrieb. Häug sind ni ht alle S hi hten eines CT-Volumens stark artefaktbehaftet. Eine Anwendung von RFMAR auf Bilder, die nur wenige Raus hartefakte enthalten, kann jedo h zu s hle hten Ergebnissen führen (vgl. Kap. 2.10). Es ist somit wüns henswert, automatis h diejenigen S hi hten zu bestimmen, die stark von Raus hartefakten überlagert sind, um auf diese ans hlieÿend RFMAR anzuwenden. Das Klassikationsverfahren sollte mögli hst ezient sein und dabei eine hohe Treerquote erzielen. Im Folgenden wird ein sol hes Verfahren vorgestellt. Die Grundidee bei diesem Verfahren ist, dass si h medizinis he CT-Bilder in der Regel aus vers hiedenen annähernd homogenen Objekten zusammensetzen. Ein Dierenzbild ∆ der pixelweise Dierenzbeträge zwis hen dem ursprüngli hen Bild f und dem geringfügig um v := (vx, vy ) in der Bildebene vers hobenen CT-Bild, das heiÿt ∆(x, y) := | (f (x, y)) − (f (x − vx , y − vy )) |, (2.26) liefert vor allem an den Gewebeübergängen hohe Werte. Innerhalb der homogenen Objekte ergeben si h nur geringe Dierenzen. Ist das CT-Bild jedo h von Raus hartefakten überlagert, ergeben si h an vielen Stellen im Dierenzbild hohe 45 Die se hs senkre hten Streifen in der Gewi htsmatrix sind auf den virtuellen Aufnahmeprozess zurü kzuführen. Diese Berei he werden aufgrund des geringen Raus hens im Sinogramm in diesem Fall au h segmentiert.

137

2.11 Klassikation raus hartefaktbehafteter Bilder Original

RFMAR

(a)

Z = −24, B = 400

(b) Pseudorohdaten

12

( ) Gewi htsmatrix(s hwarz:1, weiÿ:0)

x 10

4

10 8 6 4 2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

(d) Geglättetes Histogramm

Abbildung 2.55: Artefaktbehafteter Axials hnitt auf Höhe der Hüften. Links und re hts

im Bild bendet si h je ein künstli hes Hüftgelenk.

138

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

Werte, da die Artefaktstrukturen der Raus hartefakte ni ht parallel liegen, sondern si h radial von den Metallen ausbreiten. Als Maÿ eignet si h das von Harali k et al [74℄ vorges hlagene Maÿ Kontrast (CON) , das auf der in Kapitel 2.4.2 denierten Coo

urren e-Matrix Cv beruht und folgendermaÿen deniert ist: X CONv : (Nm × Nn → G) → R, f 7→ (2.27) (k − l)2 Cv (k, l). (k,l)∈G×G

Je gröÿer CONv (f ), desto höher ist der Harali k-Kontrast und desto höher ist au h die Wahrs heinli hkeit, dass Raus hartefakte im Bild vorhanden sind. Im Gegensatz zu Kapitel 2.4.2, in dem die lokalen Eigens haften des Sinogramms im Mittelpunkt standen, wird hier ein globales Maÿ für das gesamte Bild bere hnet. Dadur h kann die Bere hnung au h sehr ezient erfolgen. Hierfür ist es jedo h zusätzli h erforderli h, die Anzahl von Graustufen mögli hst gering zu halten, da der Aufwand quadratis h mit der Anzahl der verwendeten Graustufen steigt. Eine weitere Ezienzsteigerung ergibt si h dadur h, dass die Coo

urren e-Matrix nur anhand einer Teilmenge des Bildes bestimmt wird. Dies wird dadur h errei ht, dass in x- sowie in y-Ri htung nur jedes n-te Bildpunktpaar in die Bere hnung der Coo

urren e-Matrix einieÿt. Im Folgenden wird anhand eines CT-Volumens die Abhängigkeit des Harali k-Kontrasts von den bes hriebenen Parametern, das heiÿt der Anzahl Graustufen |G| im Bild und von n sowie dem Vers hiebungsvektor v, untersu ht. Um dabei die Harali kKontraste besser verglei hen zu können, die si h bei der Wahl unters hiedli her Grauwerte ergeben, wird im Weiteren folgende abgeänderte Form des Harali k-Kontrasts verwendet: CONv : (Nm × Nn → G) → R,

f 7→

X

(k,l)∈G×G



k−l |G|

2

Cv (k, l).

(2.28)

Der Volumendatensatz besteht aus einem Stapel von 42 aufeinanderfolgenden Axials hi hten im DICOM-Format aus dem Berei h der oberen Halswirbelsäule. Die S hi hten 32 bis 38 weisen hohe Raus hartefakte auf, in den übrigen S hi hten sind keine oder nur geringe Artefakte vorhanden. In Abbildung 2.56 wird jeweils einer der Parameter variiert: In Abbildung 2.56(a) wird die Anzahl der Grauwerte variiert, auf die jeweils die Intensitäten in den Bildern abgebildet werden. Die S hrittweite liegt jeweils fest bei n = 16, für den Vers hiebungsvektor wurden die vier Vektoren (1, 0), (1, 1), (0, 1) und (−1, 1) mit den Orientierungen 0°, 45°, 90° und 135° gewählt, das heiÿt bis auf Symmetrie der Coo

urren e-Matrix alle Vektoren mit kvk∞ = 1. Die vier resultierenden Coo

urren e-Matrizen wurden pixelweise addiert und gemittelt mit der Anzahl der Vektoren, um eine bessere Verglei hbarkeit der Werte zu erzielen. Die maximale Anzahl von Graustufen entspri ht mit 4.096 Werten dem ganzzahligen Werteberei h der CT-Bilder. Getestet werden alle Zweierpotenzen von 16 bis 4.096. Die S hi hten 32 bis 38 lassen si h s hon bei 16 Graustufen erstaunli h gut von den restli hen S hi hten unters heiden. Für |G| ∈ {32, 64, 128, 256} sind die Kurven nahezu identis h. Im

2.11 Klassikation raus hartefaktbehafteter Bilder

139

Verglei h zu der Kurve von |G| = 16 sind bei diesen Kurven die minimalen Abstände zwis hen Werten der beiden Klassen gröÿer, wodur h si h eine stabilere Klassikation ergibt. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit die nä hstgröÿere Anzahl von Graustufen, das heiÿt |G = 32|, gewählt. In Abbildung 2.56(b) werden die S hrittweiten variiert. Da die Varianz der Kontraste innerhalb der Klasse der ni ht oder nur geringfügig artefaktbehafteten S hi hten für |G| = 512 geringer ist als für |G| = 32, wird hier für die Darstellung |G| = 512 gewählt. Der Vers hiebungsvektor wird wie für Abbildung 2.56(a) gewählt. Prinzipiell eignen si h alle Werte zur Klassikation. Für n > 16 nehmen jedo h die Wertes hwankungen zwis hen den einzelnen S hi hten deutli h zu und damit die Stabilität der darauf basierenden Klassikation ab, weshalb n = 16 gewählt wird. Aus Abbildung 2.56( ) ist ersi htli h, dass die Werte geringfügig von der Ri htung abhängen. Die Parameter in diesem S haubild sind |G| = 512, kvk∞ = 1 und n = 16. Um ein mögli hst ri htungsunabhängiges Maÿ zu erhalten, wird wie bes hrieben eine Mittelung für die Coo

urren e-Matrizen für die vier Ri htungen dur hgeführt. Im vierten S haubild, in Abbildung 2.56(d), werden die S hrittweiten variiert, so dass kvk∞ ∈ {1, 2, 3, 4}. Es ndet hierbei jeweils eine Mittelung für die Coo

urren eMatrizen aus den vier oben aufgeführten Orientierungen der Vers hiebungsvektoren statt. Die beiden anderen Parameter sind |G| = 512 und n = 16. Für kvk∞ = 1 ist im Verglei h zu längeren Vers hiebungsvektoren der minimale Abstand der Kontrastwerte von den S hi hten aus den beiden Klassen am geringsten. Da aber au h die Varianz der Kontrastintensitäten in der Klasse der S hi hten mit keinen oder nur wenigen Artefakten am geringsten ist, wird kvk∞ = 1 gewählt. Zusammenfassend werden die Parameter |G| = 32, n = 16, kvk∞ = 1 verwendet und die Coo

urren eMatrix für die vier aufgeführten Orientierungen der Vers hiebungsvektoren gemittelt. Für die Klassizierung wurde basierend auf Abbildung 2.56(a) der S hwellwert TCON = 0,003 bestimmt. CT-Bilder, deren Harali k-Kontrast diesen Wert übers hreitet, werden als artefaktbehaftet klassiziert, ansonsten als artefaktfrei oder mit nur geringen Raus hartefakten behaftet. Sowohl für das in Abbildung 2.55(a) dargestellte als au h für das als Goldstandard verwendete Bild in Abbildung 2.29(a) beziehungsweise Abbildung 2.40(a) liegen die Harali k-Kontraste mit CON = 0,0016 beziehungsweise CON = 0.0008 wie erwartet unter dem S hwellwert TCON. Für die in Kapitel 2.8 dargestellten Artefaktbilder sind die Werte in Tabelle 2.7 aufgelistet. Erwartungsgemäÿ liegen diese über TCON. Für die sehr stark artefaktbehafteten Bilder DS 3 und DS 14 bis DS 16 ergeben si h besonders hohe Werte. Der Zeitaufwand für die Bestimmung des Harali k-Kontrasts inklusive der Skalierung der Bildintensitäten auf 32 Grauwerte beträgt für ein Bild der Gröÿe 512×512 Pixel 0,06 s. Das Verfahren wurde im Rahmen der Arbeit zur Klassizierung und bei entspre hender Klassikation zur Artefaktreduktion dur h RFMAR von CT-Bildern bei etli hen Volumendatensätzen verwendet. Im Allgemeinen wurden die artefaktbehafteten S hi hten wie

140

2 Reduktion von Metallartefakten in CT-S hnittbildern

beispielsweise bei dem Datensatz in Abbildung 2.56 korrekt klassiziert. Einige wenige nahezu artefaktfreien Bilder wurden fäls hli herweise als in die Klasse der artefaktbehafteten Bilder eingeordnet. In diesen Fällen wurde dur h das in Kapitel 2.4.3 bes hriebene Verfahren zur Segmentierung der Metallsinusoide (vgl. Abb. 2.29) immer eine zu starke Glättung dur h RFMAR verhindert. Das Klassikationsverfahren hat si h somit als s hnell und robust erwiesen und eignet si h dadur h für den bes hriebenen Einsatz. DS CON DS CON DS CON

1

2

3

4

5

6

7

0,0086

0,0231

0,1024

0,0330

0,0373

0,0392

0,0174

9

10

11

12

13

14

15

0,0415

0,0419

0,0231

0,0188

0,0153

0,1148

0,1187

16

17

18

19

20

21

22

0,2041

0,0390

0,0133

0,0891

0,0458

0,0037

0,0804

Tabelle 2.7: Harali k-Kontraste für die Artefaktbilder aus Kapitel 2.8.

2.12 Zusammenfassung Herkömmli he Verfahren zur Reduktion von Raus hartefakten versagen in vielen praktis hen Fällen, wenn die Rohdaten ni ht vorhanden sind und die artefaktverursa henden Metalle auÿerhalb der Rekonstruktionsbilder liegen. RFMAR ist ein neues Verfahren, das entwi kelt wurde, um bei Rekonstruktionsbildern in den genannten Fällen Raus hartefakte zu reduzieren. Dazu werden zunä hst dur h numeris he Tomographie auf den Rekonstruktionsbildern Pseudorohdaten erzeugt. In einer Analyse wurden die Bilder von Defektpixeln der ursprüngli hen Rohdaten in den Pseudorohdaten untersu ht. Es konnte gezeigt werden, dass trotz der Unters hiede zwis hen Defektpixeln und deren Bildern eine eektive Raus hartefaktreduktion dur h eine Modikation der Pseudorodaten mögli h ist. Diese erfolgt dur h pixelweise konvexe Kombinationen zwis hen den unveränderten und den geglätteten Pseudorohdaten. Die Gewi hte dafür werden aus der Indikatorfunktion der Metallsinusoide bestimmt, die mit einer Waveletanalyse in den Pseudorohdaten segmentiert werden. Dur h die Wahl der dilatierten und geglätteten Indikatorfunktion als Gewi htsmatrix werden neue Artefakte vermieden, die si h bei Verwendung der Indikatorfunktion als Gewi htsmatrix ergeben würden. Die hohe Leistungsfähigkeit und Praxistaugli hkeit von RFMAR werden ni ht zuletzt dur h die positive Resonanz mehrerer Radiologen bestätigt.

141

2.12 Zusammenfassung

−3

8

0,01 16 32 64 128 256 512 1.024 2.048 4.096

0,008 0,006 0,004

x 10

1 2 4 8 16 32 64

7 6 5 4 3 2

0,002

1 0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

5

10

15

(a)

0,014 0° 45° 90° 135° Mittelung

0,008

25

30

35

40

25

30

35

40

(b)

0,012 0,01

20

1 2 3 4

0,012 0,01 0,008

0,006 0,006 0,004

0,004

0,002 0

0,002 5

10

15

20 ( )

25

30

35

40

0

5

10

15

20 (d)

Abbildung 2.56: Harali k-Kontrast aufgetragen über den CT-S hi hten. Die S hi hten 32

bis 38 enthalten starke Raus hartefakte. (a) Variation der Graustufenanzahl bei kvk∞ = 1, n = 16 . (b) Variation der S hrittweiten bei |G| = 512, kvk∞ = 1. ( ) Variation der Orientierung des Vers hiebungsvektors bei |G| = 512, n = 16 und kvk∞ = 1. (d) Variation der Länge des Vers hiebungsvektors bei |G| = 512 und n = 16. Für alle S haubil-

der auÿer ( ) wird eine gemittelte Coo

urren e-Matrix bestimmt, die si h aus den vier Coo

urren e-Matrizen für Orientierungen des Ver-

s hiebungsvektors in 0°, 45°, 90° und 135° ergibt.

142

3 Segmentierung medizinis her Daten

E

ine vollständige und überde kungsfreie Zerlegung eines Bildes wird Segmentierung genannt [200℄. Sie fasst bena hbarte Bildpunkte zusammen, die einem bestimmten Homogenitätskriterium genügen [116℄. Dabei grenzt sie vers hiedene diagnostis h oder therapeutis h relevante Bildobjekte voneinander ab und s hat dadur h eine Grundlage für eine weitergehende Analyse, Vermessung und 3D-Visualisierung [73℄. Aufgrund der Vielzahl mögli her Anwendungen gibt es eine sehr groÿe Zahl vers hiedener Segmentierungsverfahren. Einige, wie die S hwellwertsegmentierung, histogramm- und texturbasierte Segmentierungen sowie die Segmentierung homogener Berei he anhand von Quadtrees, werden im Kapitel 2 bes hrieben. Eine umfassende Bes hreibung würde jedo h den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für eine vertiefende Behandlung der Thematik sei daher auf entspre hende Fa hliteratur, beispielsweise [37, 38, 57, 58, 65, 73, 75, 94, 116, 192, 200, 220℄, verwiesen. Wesentli her Inhalt dieses Kapitels ist ein neu entwi keltes Verfahren zur automatis hen 3D-Segmentierung von Halswirbeln [70℄, das im Weiteren bes hrieben wird. Dieses Verfahren stellt glei hzeitig eine Anwendung für RFMAR dar. Na h Anwendung von RFMAR lässt si h das Verfahren au h bei artefaktbehafteten Datensätzen einsetzen. Die Implementierung ndet in Java / Java3D ohne Verwendung zusätzli her Bibliotheken statt. Alternativ wäre die Verwendung von Standardbibliotheken zur Bildsegmentierung und -visualisierung denkbar, beispielsweise von ITK und VTK [110, 111℄.

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln Die Wirbelsäule ist ein wi htiges Körperorgan und nimmt eine zentrale Stellung für die Biome hanik sowie das vegetative und sensomotoris he System des Mens hen ein. Einerseits stabilisiert sie den Körper und ermögli ht den aufre hten Gang. Andererseits verlaufen dur h sie ein Groÿteil der vegetativen sowie der sensomotoris hen Signale. Aufgrund von Bands heibenvorfällen, degenerativen Erkrankungen wie beispielsweise Osteoporose, Wirbelneoplasie oder Unfallverletzungen kann dieses empndli he System gestört und eventuell stark einges hränkt werden. Für die Diagnostik, die Therapie oder au h die Planung von hirurgis hen Eingrien stellt die Segmentierung einzelner Wirbel aus tomographis hen CT-Bildern häug 143

144

3 Segmentierung medizinis her Daten

einen wi htigen Vorverarbeitunss hritt dar. Die Segmentierung der kompletten Wirbelsäule anhand von CT-Daten lässt si h dur h eine einfa he S hwellwertsegmentierung realisieren. Die Segmentierung einzelner Wirbel hingegen erfordert eine Trennung der in gelenkigen Verbindungen stehenden Wirbel im Volumendatensatz. Diese s heinen im Volumendatensatz an etli hen Stellen miteinander vers hmolzen zu sein, wie beispielsweise innerhalb der in Abbildung 3.2 grau umrandeten Regionen. Eine Mögli hkeit zur Trennung von Wirbeln stellt die manuelle Abgrenzung der Wirbel voneinander dar. So wird etwa in einem Segmentierungsverfahren von Kang et al. [221℄, in einer anderen, aber von der Problemstellung verglei hbaren Anwendung, zur Trennung des Obers henkelhalses und der Hüftpfanne vom Anwender interaktiv eine Trennä he angegeben. Im Berei h der Halswirbelsäule stellt die Trennung aufgrund a her Wirbel, geringer Distanzen zwis hen den einzelnen Wirbeln und relativ komplexen Wirbeloberä hen ein besonders s hwieriges Problem dar. Im Weiteren wird ein Verfahren zur automatis hen Trennung der Halswirbel vorgestellt. Die Trennung erfolgt hierbei entlang von Hyperebenen, deren Positionen und Orientierungen automatis h ermittelt werden. Das Verfahren ermögli ht somit keine exakte Trennung der Wirbel entlang anatomis her Grenzen. Für etli he Anwendungen, beispielsweise für die Registrierung einzelner Wirbel zwis hen den Volumendaten in vers hiedenen Rotationsstellungen des Halses [69℄, genügt jedo h die resultierende Wirbelsegmentierung. Wird eine exaktere Segmentierung benötigt, so kann dies beispielsweise wie in [61℄ anhand aktiver Modelle erfolgen. Hierzu werden jedo h gute initiale Positionierungen der einzelnen Wirbelmodelle benötigt. In [61℄ erfolgt dies interaktiv. Dur h eine vorherige Wirbelsegmentierung mit dem im Folgenden bes hriebenen Verfahren lässt si h dieser S hritt automatisieren. Das Verfahren ma ht si h den Aufbau der Wirbelsäule zunutze. Sowohl das Rü kenmark im Wirbelkanal, im Inneren der Wirbelsäule, als au h die umliegenden Gewebe haben geringe Hounseld-Einheiten, so dass bei einer S hwellwertsegmenteriung der Kno hen die Wirbelsäule als innen hohles Organ mit Önungen na h auÿen im Berei h der Bands heibenfä her ers heint. Die Idee des Verfahrens besteht darin, in den Hohlkörper einen virtuellen Ballon zu setzen und diesen ans hlieÿend so zu dilatieren, dass er aus den Zwis henwirbelberei hen austritt. Die Ausbu htungen im Berei h der Bands heibenfä her stellen si h als zusammenhängende elliptis he Berei he auf der Ballonoberä he dar, die si h dur h Analyse der Oberä henkrümmung bestimmen lassen. Dur h die Verwendung des Ballons wird das dreidimensionale Problem auf ein zweidimensionales Problem zurü kgeführt, das si h ezient bere hnen lässt. Im Gegensatz zur CT lassen si h Kno hen in Magnetresonanztomographie(MRT)Bildern nur s hwierig segmentieren, da es in der MRT keine absoluten Gewebeintensitäten gibt und im Allgemeinen der Kontrast zwis hen Kno hen und Wei hgewebe viel geringer als im CT ist. Trotzdem eignet si h au h hier das Ballon-basierte Segmentierungsverfahren, wie im Weiteren gezeigt wird.

145

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln

3.1.1 Ballonmodell Gegen Ende der 1980er Jahre stellten Kass et al. [107℄ Snakes für Anwendungen der Bildverarbeitung wie der Detektion von Linien vor. Snakes sind mathematis he Kurven, die initial an einer Stelle im Bild positioniert werden und si h dynamis h aufgrund von Kräften im Bild bewegen, bis die Kräfte vers hwinden. Die Kräfte können si h beispielsweise dur h die Bildintensitäten entlang der Pixel, auf denen si h das Snake bendet, denieren. Das Konzept wurde wenig später auf Ballons , dreidimensionale aktive Konturen , erweitert [26, 27℄. M Inerney et al. [132℄ geben einen Überbli k über Anwendungen für aktive Konturen wie beispielsweise Ballons in der medizinis hen Bildverarbeitung. Ballons lassen si h unter anderem anhand von Feder-Masse-Modellen bes hreiben [72, Kap. 7℄, [200, Kap.9.3.2℄. Das dazu in dieser Arbeit verwendete Feder-MasseModell lehnt si h an das von Stein [194℄ bes hriebene Modell an. Der Ballon setzt si h aus m elastis h verbundenen n-Polygonen zusammen (s. Abb. 3.1). Die Polygone werden vertikal übereinander gestapelt, so dass der initiale Ballon das Gittermodell eines Zylinders bes hreibt. Die Punkte p0i,j repräsentieren Massepunkte, die in der Horizontalen innerhalb des n-Polygons mit den Massepunkten p0i,j−1 und p0i,j+1 dur h Federn der Ruhelänge lh verbunden sind. Zusätzli h besteht eine vertikale Verbindung dur h Federn der Ruhelänge lv mit den Punkten p0i−1,j und p0i+1,j , die zu dem darüberbeziehungsweise darunterliegenden Polygon gehören. Um den Ballon na h oben und unten zu s hlieÿen, werden zusätzli h die Punkte po und pu deniert, die in der Mitte des obersten beziehungsweise des untersten Polygons liegen und dur h Federn mit den E ken dieser Polygone verbunden sind. Diese Punkte verändern ni ht ihre Position während der Dilatation des Ballons. p

o

p

i-1,j

p

n i,j i i,j

i,j+1

p

i,j

p

i,j-1

p

i+1,j

p

u

Abbildung 3.1: Der Ballon links im Bild setzt si h aus elastis h verbundenen

n-Polygonen

(hier Pentagone) zusammen. Re hts im Bild ist ein Datenvolumen symbolisiert, in das exemplaris h eine S hnittebene eingezei hnet wurde.

Die Dilatation erfolgt iterativ so, dass jeder Massepunkt zum Zeitpunkt t um den

146

3 Segmentierung medizinis her Daten

Vektor (3.1) t t t zu dem Punkt pt+1 i,j := pi,j + fi,j vers hoben wird. Die Funktion ξi,j beeinusst hierbei die Form des Ballons während der Dilatation, die Vektoren sti,j , ati,j und iti,j modellieren die Federkraft, eine Kraft aufgrund eines Luftdru ks im Inneren des Ballons sowie eine Kraft, die dur h die Voxelintensitäten hervorgerufen wird. Die Faktoren wf , ws , wa , und wi sind konstante Gewi hte, mit denen die Kräfte aufeinander abgestimmt werden. Die Federkraft ergibt si h wie folgt t t fi,j := wf · ξi,j · (ws sti,j + wa ati,j + wi iti,j ),

wf ≥ 0,

sti,j := dv · s(pti,j , pti−1,j , lv ) + dv · s(pti,j , pti+1,j , lv )

+ dh · s(pti,j , pti,j−1 , lh ) + dh · s(pti,j , pti,j+1 , lh ),

mit

0 ≤ ws , wa , wi ≤ 1

0 ≤ dv , dh ≤ 1,

lv , lh ≥ 0,

  kpa − pb k − l s(pa , pb , l) := (pa − pb ) · max 0, . kpa − pb k

(3.2) (3.3)

Hierbei dienen die Gewi hte dv und dh der Abstimmung der Federkräfte in vertikaler und horizontaler Ri htung. Die Dilatation des Ballons wird über eine konstante Kraft ati,j := αnti,j , α > 0 (3.4) gesteuert, der auf die Knoten in Ri htung der jeweiligen Oberä hennormalen nti,j wirkt. Der Wert α repräsentiert dabei den Luftdru k. Die Bere hnung der nti,j erfolgt über das Kreuzprodukt, das heiÿt nti,j

(pti,j−1 − pti,j+1 ) × (pti−1,j − pti+1,j ) . := k(pti,j−1 − pti,j+1 ) × (pti−1,j − pti+1,j )k

(3.5)

Der Bildkraftvektor iti,j bestimmt si h dur h die Voxelintensitäten an den Koordinaten der Massenpunkte. Für Massenpunkte auf Zwis henvoxelpositionen ges hieht dies dur h trilineare Interpolation. In dieser Arbeit wird iti,j folgendermaÿen deniert: iti,j

:= −gCT (pi,j ) ·

nti,j ,

mit gCT (pi,j ) :=

  0,

f (pi,j )−g0 , g1 −g0



1,

f (pi,j ) < g0 g0 ≤ f (pi,j ) < g1 sonst.

(3.6)

Die Parameter g0 und g1 bezei hnen hierbei einen unteren und oberen S hwellwert, die für einen linearen Übergang zwis hen der Bildkraft Null im Wei hteilberei h und der Bildkraft Eins im Berei h der Kno hen sorgen. Für CT-Bilder wird im Folgenden g0 = 200 HU sowie g1 = 400 HU gewählt.

147

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln

Dur h Variation der Gewi hte ws, wa, und wi in (3.1) lassen si h die einzelnen Kräfte aufeinander abstimmen. Für CT-Daten wird in dieser Arbeit ws = 0,3, wa = 0,45 und wi = 0,75 verwendet. Dur h wf wird die Vektorlänge des resultierenden Kraftvektors beeinusst. In dieser Arbeit wird wf = 0,29 gesetzt. Sobald der Ballon aus den Zwis henwirbelberei hen tritt, stehen die Normalenvektoren in den si h dabei ergebenden elliptis hen und hyperbolis hen Berei hen zum Teil fast senkre ht auf den Normalenvektoren in den dazwis henliegenden Berei hen. Es wird davon ausgegangen, dass der initiale Ballon so orientiert ist, dass er vertikal annähernd in Ri htung des Wirbelkanals verläuft. Somit stehen die Normalenvektoren nti,j in den Zwis henberei hen na h Austritt aus dem Wirbelkanal au h zum Teil senkre ht auf den initialen Normalenvektoren n0i,j . Um zu verhindern dass si h der Ballon in Ri htung dieser Normalenvektoren ausdehnt, dabei beispielsweise die Wirbelbögen ums hlieÿt, und si h aufgrund der geringen Abstände zwis hen den Wirbeln dabei selbst dur hdringt, ist in (3.1) die Funktion ξi,j eingeführt. Sie wird in diesem Fall zu t ξi,j := |hnti,j , n0i,j i| (3.7) bestimmt. Stehen die beiden Normalenvektoren senkre ht aufeinander, nimmt das Skalarprodukt den Wert Null an und sorgt somit dafür, dass keine Ausdehnung des Ballons in dieser Ri htung stattnden kann. Die Dilatation des Ballons endet, wenn die maximale Länge aller Vektoren fi,jt kleiner als eine vorgegebene S hwelle, in diesem Fall ein Viertel des Pixelabstands innerhalb der einzelnen CT-S hi hten, beträgt oder eine maximale Anzahl von Iterationss hritten errei ht ist. Diese Anzahl wurde hier mit t = 300 dur h Experimente bestimmt. Der Re henaufwand beträgt O(mnt). Typis herweise dauert die Dilatation des Ballons ungefähr 15 Sekunden. Initialisierung des Ballons

Es wird in dieser Arbeit davon ausgegangen, dass die grobe Lage des Patienten und damit au h die ungefähre Orientierung der Wirbelsäule bekannt ist. Unter diesen Voraussetzungen ist eine automatis he Bestimmung der Lage des Wirbelkanals mögli h (s. [16, 69℄). In dieser Arbeit erfolgt die Positionierung des Ballons in den Wirbelkanal manuell. Für die betra hteten Datensätze war jeweils eine Initialisierung als zylindris her Ballon, der vollständig im Wirbelkanal liegt, mögli h. Ist dies beispielsweise bei der Untersu hung längerer Wirbelsäulenauss hnitte in gröÿeren Datenvolumen ni ht mögli h, so kann das Volumen in kleinere Teilauss hnitte unterteilt werden, für die dann jeweils die eine entspre hende Initialisierung des Ballons als Zylinder im Wirbelkanal mögli h ist. In Abbildung 3.2(a) wird exemplaris h anhand einer Oberä henvisualisierung des s hwellwertsegmentierten Kno hengewebes in einem Volumendatensatz der im Wirbelkanal positionierte initiale Ballon als Drahtgittermodell dargestellt1. In Abbildung 3.2(b) ist der dilatierte Ballon abgebildet. 1 Für die Extraktion der Kno henoberä hen als Dreie ksnetz wurde das

Mar hing Cubes -Verfahren

implementiert. Die dazu benötigte Tabelle basiert auf [12℄. Zur Reduktion der Anzahl von Dreie ken wurde das bei Watt [212, 2.5.1℄ bes hriebene Verfahren implementiert.

148

3 Segmentierung medizinis her Daten

(a)

(b)

Abbildung 3.2: (a) Initialisierung des virtuellen Ballons im Wirbelkanal. Exemplaris h

sind einige Regionen grau umrandet, an denen die Wirbel miteinander vers hmolzen zu sein s heinen. (b) Dilatierter Ballon. In den Zwis henwirbelberei hen wölbt si h der Ballon na h auÿen. In den dargestellten Bildern sind ein Auss hnitt der S hädelbasis sowie die drei obersten Halswirbel von hinten zu sehen. Links im Bild ist jeweils ein Stü k des Kieferkno hens zu erkennen.

Der Ballon setzt si h aus m = 60 regelmäÿigen Polygonen mit n = 25 E ken zusammen. Der initiale Dur hmesser beträgt in den hier untersu hten Datensätzen 1 m. Der Datensatz, der der Abbildung zugrundeliegt, besteht aus 41 aufeinanderfolgenden CT-S hnittbildern. Die Pixelauösung innerhalb der S hi hten beträgt in x- und y -Ri htung jeweils 0,29 mm, der Abstand zwis hen den einzelnen S hi hten 1,5 mm. Glättung der Ballonoberä he

Die Oberä he des dilatierten Ballons weist zunä hst häug eine ho hfrequente Struktur auf, die aus vielen lokalen elliptis hen und hyperbolis hen Regionen (s. Def. 3.1) besteht, wie exemplaris h in Abbildung 3.3(a) dargestellt. In dieser Abbildung sind elliptis he Berei he hell und hyperbolis he dunkel dargestellt. Der Ballon eignet si h in dieser Gestalt no h ni ht für eine Analyse der groben Ballonform. Dazu muss zunä hst eine Glättung des Ballons dur hgeführt werden. Dur h Glättung der Ballonoberä he tritt die grobe Form des Ballons deutli h hervor (s. Abb. 3.3(b)). Dies wird dur h das im folgenden bes hriebene λ|µ-Verfahren von Taubin [198℄ errei ht. Zu jedem Punkt pi,j des Polygonnetzes wird der gemittelte Vektor 1 X di,j := pi,j − pk,l , Ii,j := {(k, l) ∈ Nm × Z : k(i, j) − (k, l)k∞ = 1} (3.8) 8 (k,l)∈Ii,j

149

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln

(a)

(b)

Abbildung 3.3: Visualisierung des dilatierten Ballons aus Abbildung 3.2. (a) Ungeglättete

Ballonoberä he. (b) Geglättete Ballonoberä he na h 140 Iterationen des

λ|µ-Verfahrens.

bestimmt2. Der Punkt pi,j wird einmal um den mit λ, einmal um den mit µ gewi hteten Vektor di,j vers hoben, wie in Algorithmus 3.1 dargestellt wird. Die Gewi hte werden mit unters hiedli hem Vorzei hen gewählt. Weitere Bedingungen für die Gewi hte sind [198℄ zu entnehmen. Bei geeigneter Wahl der Gewi hte ist gewährleistet, dass das Polygonnetz ni ht dur h die Glättung s hrumpft (s. [198℄). Dadur h bleibt die Krümmung der globalen Form enthalten während feine Strukturen vers hwinden. In dieser Arbeit werden die Gewi hte λ = 0,330 und µ = −0,331 wie in [198, Abb. 6℄ verwendet. Eine Anzahl von 140 Iterationen führte bei allen CT-Datensätzen zu Ballonoberä hen, auf denen si h die elliptis hen Berei he gut von den hyperbolis hen Berei hen abtrennen lassen (vgl. Abb. 3.3(b)). Der Aufwand für die Glättung beträgt O(mn). Die 140 Iterationss hritte für die Glättung benötigen typis herweise ungefähr 2 Sekunden. 3.1.2 Krümmungsanalyse Streng mathematis h ist es ni ht sinnvoll beziehungsweise ni ht mögli h Krümmungen auf der Oberä he eines Polygonnetzes zu bestimmen, da die einzelnen Fa etten des Netzes ni ht gekrümmt sind und die Oberä he an den Übergängen zwis hen den einzelnen Fa etten ni ht dierenzierbar ist. Falls der Ballon si h ni ht selbst 2 In (3.8) sind

j = −1

j=n

beziehungsweise

beziehungsweise

betra hten. Für

i=0

l = −1

l=n

j = 0 beziehungsweise l = 0, sowie j = n − 1 beziehungsweise l = n − 1 zu Na hbarpunkte dem Punkt po und für i = m − 1

glei hbedeutend mit

glei hbedeutend mit

entspre hen alle oberen

alle untere Na hbarpunkte dem Punkt

pu .

150

3 Segmentierung medizinis her Daten

Algorithmus 3.1 λ|µ-Verfahren

Eingabe:

polygonnetz λ µ #iterationen polygonnetz

Ausgabe:

Ballon als Polygonnetz Gewi htsfaktor Gewi htsfaktor Anzahl der Iterationen geglätteter Ballon

forea h iteration ∈ {0, . . . ,#iterationen-1} do

1

polygonnetz' ← polygonnetz forea h Punkt p im Polygonnetz do d ← bestimme gemittelten Vektor p ← p' + λd

2 3 4 5

od

6

polygonnetz' ← polygonnetz forea h Punkt p im Polygonnetz do d ← bestimme gemittelten Vektor p ← p' + µd

7 8 9 10 11

od

12

od

dur hdringt, lässt si h dessen Polygonnetz als Approximation einer dierenzierbaren zweidimensionalen Untermannigfaltigkeit des R3 auassen3 . Auf einer sol hen lassen si h oensi htli h Krümmungen bestimmen. Im Gegensatz zur Dierentialgeometrie einer Kurve lassen si h für einen Punkt auf einer Flä he im Raum unters hiedli he Krümmungen denieren. Bei einer zweidimensionalen Flä he wird über die beiden Hauptkrümmungen κ1 und κ2 die Gauÿ-Krümmung K = κ1 κ2 (3.9) deniert4 . Die Gauÿ-Krümmung ermögli ht eine Unters heidung zwis hen elliptis hen und hyperbolis hen Punkten auf der Flä he gemäÿ Denition 3.1. Denition 3.1 Ein Punkt p einer Flä he heiÿt elliptis h, wenn K(p) > 0, 2 hyperbolis h, wenn K(p) < 0. Zur Bestimmung beziehungsweise Abs hätzung der Gauÿ-Krümmungen auf Polygonnetzen existieren vers hiedene Verfahren [44, 60, 136, 196℄. In dieser Arbeit wird 3 Es genügt hier, si h eine dierenzierbare zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des im

3

R

R3

als Flä he

vorzustellen, die in jedem Punkt dierenzierbar ist. Eine exakte Herleitung und Denition

des Begries

Mannigfaltigkeit

würde den Rahmen des Bu hes sprengen. Es sei hierfür auf Stan-

dardlehrbü her der Dierentialgeometrie, beispielsweise [109℄, verwiesen.

4 Für eine detaillierte Bes hreibung sei auf [109℄ verwiesen.

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln

151

ái

Abbildung 3.4: 1-Ring-Na hbars haft einer E ke im Dreie ksnetz. Baryzentris he Flä he

grau eingefärbt.

das in [44℄ bes hriebene Verfahren mit baryzentris her Flä henabs hätzung verwendet. Bei den Verfahren wird davon ausgegangen, dass das Polygonnetz als Dreie ksnetz vorliegt. Java3D wandelt bei Aufruf der Methode NormalGenerator.generate Normals(giBalloon) auf das GeometryInfo-Objekt giBalloon, das den Ballon repräsentiert, automatis h aus dem Polygongitter ein Dreie ksnetz5 . Zur Bestimmung der Gauÿ-Krümmung an einem Punkt p wird dessen 1-Ring-Na hbars haft untersu ht, die si h aus den an diesen Punkt angrenzenden Dreie ken zusammensetzt, wie in Abbildung 3.4 exemplaris h gezeigt wird. Der Winkel im Punkt p des i-ten angrenzenden Dreie ks in der 1-Ring-Na hbars haft wird mit αi bezei hnet. Aus dem Wert N −1 X ¯ αi K := 2π − (3.10) i=0

sowie dem baryzentris hen Flä heninhalt S , der einem Drittel der Gesamtä he der angrenzenden Dreie ke entspri ht [44℄, bestimmt si h die Gauÿ-Krümmung zu K=

¯ K . S

(3.11)

Zur dierentialgeometris hen Herleitung dieser Formel sei auf [44, 136℄ verwiesen. Der Aufwand zur Bestimmung der Krümmung liegt in O(mn). Die Krümmungsanalyse des Ballons liegt typis herweise unter einer Sekunde. In Abbildung 3.5(a) ist exemplaris h ein Sagittals hnitt des Wirbelkanals dargestellt. Der virtuelle Ballon tritt im Allgemeinen hauptsä hli h dorsal, in Abbildung 3.5 re hts im Bild, aus dem Wirbelkanal. Aus diesem Grund wird die Krümmung nur im dorsalen Berei h des Ballons untersu ht. Dieser lässt si h im Kopf-Hals-Berei h beispielsweise anhand der Rotationsstellung des Kopfes bestimmen, die si h aus Symmetriebetra htungen der S hädelbasis automatis h abs hätzen lässt [69℄. In einem Winkelberei h von ±70◦ zu der ermittelten Orientierung werden die zusammenhängenden elliptis hen Regionen dur h ein Region Growing -Verfahren, das si h an [56, Kap. 19.5.2℄ orientiert, segmentiert. Die Regionen sind hierbei na h oben und unten 5 Beide Klassen benden si h im Paket

om.sun.j3d.utils.geometry.

152

3 Segmentierung medizinis her Daten

(a)

(b)

Abbildung 3.5: (a)

Sagittals hnitt

dur h

die

( )

obere

Halswirbelsäule

(re hts:

dorsal).

(b) Volumenvisualisierung des Datensatzes aus (a) mit dilatiertem und geglätteten Ballon von lateral. ( ) Freigestellter Ballon aus (b).

dur h die hyperbolis hen Berei he und na h links und re hts dur h den vorgegebenen Winkelberei h bes hränkt. In Abbildung 3.5(b) und 3.5( ) ist re hts der betra htete Winkelberei h dur h ein helles Grau, die übrigen ellipsoiden Berei he dur h ein dunkleres Grau dargestellt. 3.1.3 Bestimmung der Trennebenen Von den segmentierten Punkten werden die Mittelwerte der Koordinaten, das heiÿt die Massens hwerpunkte der einzelnen elliptis hen Regionen, bestimmt und dienen als Referenzpunkte, dur h die die einzelnen Trennebenen verlaufen. Hahn und Beth [70℄ wählen die Trennebene parallel zu den Ebenen, in der die n-Polygone des initialen Ballons verlaufen. In Abbildung 3.6 werden in den drei Abbildungen auf der linken Seite die derart bestimmten Trennebenen an einem Beispieldatensatz dargestellt. Anhand der Orientierung, in der si h die segmentierten elliptis hen Berei he im Raum benden, lassen si h jedo h Trennebenen denieren, die der Lage der Wirbel besser angepasst sind. Zur Bestimmung der Orientierungen eignet si h wie folgt die Haupta hsen- beziehungsweise Karhunen-Loève Transformation [43, 92, 116, 199℄. Seien pi, i ∈ I die PunktePin einer segmentierten elliptis hen Region, p¯ deren Massens hwerpunkt und S := i∈I (pi − p¯ )(pi − p¯ )t eine 3 × 3-Matrix. Die Haupta hsentransformation liefert nun die Eigenvektoren von S der Gröÿe der Eigenwerte na h geordnet zurü k [43℄. Die Geraden, die dur h den Massens hwerpunkt in Ri htung

3.1 Verfahren zur Segmentierung von Halswirbeln

153

der Eigenvektoren verlaufen, werden Haupta hsen genannt6 . Der Eigenvektor e des gröÿten Eigenwertes deniert diejenige Haupta hse, für die der mittlere quadratis he Abstand zwis hen den einzelnen Punkten und deren orthogonaler Projektion auf die Geraden minimal wird. Insofern stellt diese Haupta hse die beste Repräsentation der Punktwolke dar und wird zur Bestimmung der gesu hten Neigung der Trennebene verwendet. Anhand der Darstellungen des Ballons von der Seite (s. Abb. 3.5( )) und mit Bli k auf die segmentierten elliptis hen Regionen (s. Abb. 3.6( )) kann man si h ein Bild der Punktwolken dieser Regionen ma hen. Die gesu hte Haupta hse bes hreibt die in Abbildung 3.6( ) zu erkennenden Neigungen der segmentierten Regionen. Die beiden anderen Haupta hsen sind sehr von der Stärke der Auswölbungen beziehungsweise von dem Winkelberei h, in dem die elliptis hen Regionen untersu ht werden, abhängig und eignen si h deshalb ni ht für die Bestimmung der Ebenenneigung. Deshalb wird dazu nur die erste Haupta hse herangezogen. Die Trennebene wird nun jeweils so bestimmt, dass diese Haupta hse in der Ebene liegt. Die endgültige Festlegung der Trennebene erfolgt anhand der vertikalen Orientierung v des initialen Ballons im Wirbelkanal so, dass die Trennebene senkre ht auf der dur h e und v aufgespannten Ebene steht. Die geneigten Trennebenen sind in den Bildern auf der re hten Seite von Abbildung 3.6 zu erkennen. In den Abbildungen 3.6(e) und 3.6(f) ist jeweils ein segmentierter Halswirbel zum Verglei h dargestellt. Aufgrund der Ebenenkippungen entspri ht der in Abbildung 3.6(f) segmentierte Wirbel besser dem tatsä hli hen Wirbel als der in Abbildung 3.6(e) dargestellte.

3.1.4 Wirbelsegmentierung Die Segmentierung der Wirbel wird dur h ein dreidimensionales Region-GrowingVerfahren realisiert7. Für die Segmentierung der einzelnen Wirbel werden jeweils zwis hen zwei Trennebenen, die den Wirbel na h oben und unten begrenzen, vom Wirbelkanal aus Su hstrahlen in Normalenri htung des initialen Ballons ausgesandt. Die Stellen, an denen die Su hstrahlen auf Kno hengewebe treen, werden als Saatpunkte für das dreidimensionale Region Growing verwendet. Segmentiert wird alles Kno hengewebe, das jeweils innerhalb von zwei Trennebenen liegt. Ein Beispiel für die Segmentierung eines Wirbels ist Abbildung 3.6(f) zu entnehmen. Das Segmentierungsverfahren wurde auf insgesamt elf unters hiedli he Datensätze angewandt, in denen die Wirbel erfolgrei h segmentiert wurden. 6 In der Physik spri ht man von Hauptträgheitsa hsen. 7 Es wurde hierfür das zweidimensionale Verfahren von Foley et al. [56, Kap. 19.5.2℄ auf drei Dimensionen erweitert.

154

3 Segmentierung medizinis her Daten

(a)

(b)

( )

(d)

(e)

(f )

Abbildung 3.6: Wahl der Trennebenen. Auf der linken Seite: Ebenen parallel zur

n-

Polygonen des initialen Ballons. Auf der re hten Seite: Ebenenri htung bestimmt anhand von Haupta hsentransformationen der segmentierten elliptis hen Regionen. (a), (b) Trennebenen im Volumendatensatz. ( ), (d) Trennebenen wie oben, jedo h am Ballon. (e), (f ) Trennebenen wie oben, jedo h mit segmentiertem Wirbel.

3.2 Wirbelsegmentierung in MRT-Datensätzen

155

3.1.5 Metallartefakte In Abbildung 3.7(a) ist die Oberä henvisualisierung eines artefaktbehafteten Datensatzes dargestellt. Obwohl alle Artefaktstrukturen, die ni ht mit den Polygonnetzen der Wirbel zusammenhängen, automatis h entfernt wurden, sind im Bild immer no h starke Artefakte zu erkennen. Aufgrund der vielen Artefakte im Wirbelkanal sind die Bildkräfte zu stark, so dass der Ballon ni ht korrekt dilatiert (s. Abb. 3.7(b)). Na h automatis her Artefaktreduktion dur h RFMAR ergibt si h der in Abbildung 3.7( ) dargestellte Datensatz, in dem der Ballon korrekt dilatiert. Das Ballonverfahren zur Wirbelsegmentierung stellt somit eine geeignete Anwendung für RFMAR dar.

3.2 Wirbelsegmentierung in MRT-Datensätzen In diesem Abs hnitt wird gezeigt, dass das oben bes hriebene Verfahren zur Wirbelsegmentierung au h bei Magnetresonanztomographie(MRT)-Datensätzen angewandt werden kann, um automatis h Trennebenen zwis hen den einzelnen Wirbeln zu denieren. Während bei der CT die Absorption von Röntgenstrahlen dur h das Gewebe gemessen wir, ndet bei der MRT eine Anregung der Protonen im Körper statt. Diese senden daraufhin ein messbares Signal aus. Bei geeigneter Realisierung lassen si h daraus tomographis he Bilder rekonstruieren. MRT-S anner bieten vers hiedene MRTSequenzen an, dur h die si h unters hiedli he Gewebe in gewissen Grenzen vers hieden anregen lassen. Dadur h ergeben si h unters hiedli he Bildintensitäten für einzelne Gewebe. Die Bes hreibung der MRT ist jedo h ni ht Gegenstand dieser Arbeit. Eine Einführung in die Thematik bieten [42, 121, 138, 193℄. Die physikalis hen Grundlagen der magnetis hen Kernresonanz ndet man in [1℄. Die MRT bietet gegenüber der CT zwei wesentli he Vorteile: Sie ist na h heutigem Wissensstand für den Mens hen uns hädli h, des Weiteren liefert sie einen sehr viel höheren Wei hgewebskontrast als die CT. Na hteile gegenüber der CT ergeben si h unter anderem dadur h, dass die MRT keine absoluten Gewebewerte kennt. Je na h Aufnahmeparametern ergeben si h völlig unters hiedli he Kontraste. Für die Segmentierung von Kno hen und damit au h von Wirbeln stellt si h das Problem, dass Kno hengewebe aufgrund verhältnismäÿig wenig eingelagerter Protonen signals hwa h ist und häug einen sehr s hle hten Kontrast gegenüber vers hiedenem Wei hgewebe aufweist. Insbesondere ist es im Allgemeinen ni ht mögli h, über eine S hwellwertsegmentierung Kno hengewebe im MRT zu segmentieren. Ebenso ist eine Oberä henvisualisierung der Wirbel häug ni ht ohne Interaktion mögli h.

156

3 Segmentierung medizinis her Daten

(a)

(b)

( )

(d)

(e)

(f )

Abbildung 3.7: Wirbelsegmentierung in artefaktbehafteten CT-Daten. (a), (b) Im arte-

faktbehafteten Datensatz ist eine korrekte Dilatation des Ballons häug ni ht mögli h. ( ) Datensatz wie in (a) na h Anwendung von RFMAR. (d) Im artefaktreduzierten Datensatz kann der Ballon korrekt dilatiert werden. (e) Initialisierung des Ballons. (f ) Freigestellter dilatierter und geglätteter Ballon.

157

3.3 Zusammenfassung

Zum Test des Verfahrens dient ein T2-gewi hteter MRT-Datensatz8 der oberen Halswirbelsäule. Dur h die verwendete Sequenz ergibt si h ein guter Kontrast zwis hen dem Rü kenmark und dem Kno hengewebe. Die Anpassung der S hi htintensitäten aufeinander erfolgte manuell dur h Helligkeitsanpassungen in den besonders dunklen S hi hten am Rand des Volumens. Automatis he Verfahren zur Helligkeitsanpassung werden in [189, Kap. 2℄, [21, 184, 218℄ bes hrieben und lassen si h bei Bedarf in die Software integrieren. Um das Ballonverfahren in der MRT einsetzen zu können, muss vor allem der Bildkraftvektor iti,j an die jeweilige Sequenz angepasst werden. In diesem Fall wird der Vektor folgendermaÿen deniert: iti,j

:= −gMRT (pi,j ) ·

nti,j ,

  1, mit gMRT (pi,j ) := 1−  0,

f (pi,j )−g0 , g1 −g0

f (pi,j ) < g0 g0 ≤ f (pi,j ) < g1 sonst

(3.12) mit g0 = 60 und g1 = 100. Eine Abbildung des im Beispieldatensatzes dilatierten Ballons ist in Abbildung 3.8 zu sehen. Da eine Oberä henvisualisierung der Wirbel im MRT aufgrund des s hle hten Kontrasts zwis hen den Wirbeln und dem sie umgebenden Gewebe si h nur s hwer realisieren lässt, wird hier nur ein ausgewähltes S hnittbild des Datensatzes dargestellt. In diesem Bild ist der oberste Halswirbel zu erkennen. Die S hi ht liegt exakt in einer hyperbolis hen Region des Ballons. Die anderen hyperbolis hen Berei he zeigen die Positionen der anderen Wirbel. Die Trennebenen können wie im CT gewählt werden. Die Anwendung von Region Growing zur Segmentierung der Wirbel ist in der MRT im Allgemeinen ni ht mögli h, da aufgrund ähnli her oder glei her Bildintensitäten umliegender Gewebe keine Bes hränkung des Wirbels na h frontal, dorsal und lateral gewährleistet ist, weshalb Region Growing in der Regel zu einem Auslaufen na h auÿen führen würde. Eine grobe Segmentierung der Wirbel lässt si h jedo h beispielsweise dur h Auss hneiden zylindris her Subvolumen um den Wirbelkanal realisieren, die na h oben und unten dur h die Trennebenen bes hränkt sind.

3.3 Zusammenfassung Die automatis he Trennung und Segmentierung von Wirbeln in tomographis hen Volumendaten ist ein s hwieriges Problem der Bildverarbeitung. Dur h Analyse der Oberä henkrümmung eines im Wirbelkanal dilatierten virtuellen Ballons lassen si h die einzelnen Wirbel ezient voneinander na h oben und unten abgrenzen. In der CT lassen si h die Wirbel dur h Region Growing innerhalb der abgegrenzten Berei he 8 Die Aufnahme erfolgte auf einem Siemens Symphony MRT mit der Sequenz me3d und den Aufnahmeparametern TE=24 ms, TR=47 ms.

158

3 Segmentierung medizinis her Daten

(a)

(b)

( )

Abbildung 3.8: Wirbeltrennung in der MRT. (a) Ausgewählte S hi ht innerhalb eines

MRT-Volumens. In der Mitte ist das Rü kenmark als helle Flä he zu erkennen. Es wird vom obersten Halswirbel umgeben (re hts: dorsal). (b) Dilatierter, geglätteter Ballon mit transparent dargestellter S hi ht aus (a). Der Wirbel liegt wie erwartet in einer hyperbolis hen Region. ( ) Ballon wie in (b), jedo h ohne MRT-S hi ht.

segmentieren. Das Verfahren lässt si h mit geringen Modikationen au h in der MRT anwenden. Für CT-Datensätze liefert das Ballonverfahren eine gute Anwendung für RFMAR. Es wurde exemplaris h an einem Datensatz gezeigt, dass dur h vorherige Artefaktreduktion anhand RFMAR ein Einsatz des Ballonverfahrens au h bei stark artefaktbehafteten CT-Datensätzen mögli h ist.

4 Zusammenfassung und Ausbli k

M

etallartefakte stellen na h wie vor ein groÿes Problem in der medizinis hen CT dar. Die diagnostis he und te hnis he Qualität der resultierenden Rekonstruktionsbilder ist insbesondere aufgrund von Raus hartefakten häug sehr s hle ht und s hränkt dadur h eine direkte Weiterverarbeitung der Bilder stark ein. Bisherige Verfahren zur Raus hartefaktreduktion versagten, wenn die Rohdaten ni ht vorhanden waren oder si h das artefaktverursa hende Metall ni ht im Rekonstruktionsbild bendet. In dieser Arbeit wurde ein neues Verfahren entwi kelt, das au h in diesen Fällen eingesetzt werden kann. Oft ist dadur h eine Artefaktreduktion überhaupt erst mögli h. Das Verfahren stellt somit einen wesentli hen Forts hritt für die medizinis he Diagnostik sowie die re hnerbasierte Verarbeitung von CT-Bildern dar. Dies zeigt si h au h dur h die dur hweg positive Resonanz vers hiedener Radiologen, die das Verfahren bewerteten. Die Laufzeit von RFMAR ist hauptsä hli h von der Radontransformation sowie der gelterten Rü kprojektion abhängig. Dur h Verwendung s hnellerer Implementierungen dieser beiden Operatoren ist eine starke Reduktion der Re henzeit von derzeit ungefähr 160 Sekunden pro Rekonstruktionsbild zu erwarten. Dadur h lieÿe si h das Verfahren au h beispielsweise in einer Unfall hirurgie zur e htzeitnahen Artefaktreduktion bei CT-Aufnahmen von Verletzungen im Berei h der KopfHals-Gelenke einsetzen, die in vielen Fällen stark von Raus hartefakten überlagert sind. Das neue Verfahren eignet si h auss hlieÿli h zur Reduktion von Raus hartefakten. Eine zusätzli he Reduktion von Strahlaufhärtungsartefakten lieÿe si h unter Umständen wie folgt errei hen [154, 159℄: Mit Hilfe externer Tomographie ist eine eindeutige Rekonstruktion von CT-Bildern auÿerhalb der Metalle ohne Einbeziehung der Rohdaten innerhalb der Metallsinusoide mögli h. Die externe Tomographie ist jedo h besonders empndli h gegenüber Störungen der verwendeten Rohdaten auÿerhalb der Metallsinusoide und liefert deshalb im Allgemeinen s hle hte Ergebnisse. Es ist jedo h mögli h, dass si h aus einem Verglei h zwis hen den dur h RFMAR und den dur h externe Tomographie gewonnenen Rekonstruktionsbildern die Ausprägung der Strahlaufhärtungsartefakte abs hätzen und si h dadur h eine Reduktion von Strahlaufhärtungsartefakten erzielen lässt. In einem weiteren Teil der Arbeit wird ein neues Verfahren zur automatis hen Segmentierung von Halswirbeln in CT-Volumendatensätzen vorgestellt. Dies ist eine wi htige Aufgabenstellung in der Diagnostik von Störungen an der Halswirbelsäule, 159

160

4 Zusammenfassung und Ausbli k

der Chirurgie und der Orthopädie, beispielsweise bei Erkrankungen oder angeborenen beziehungsweise degenerativen S häden der Halswirbelsäule. Eine Segmentierung von Kno hengewebe stellt bei CT-Datensätzen im Allgemeinen kein Problem dar, da si h dieses anhand der Hounseld-Einheiten gut von anderem Gewebe unters heiden lässt. Die Segmentierung einzelner Halswirbel hingegen ist häug s hwierig, da die einzelnen Wirbel in den Gelenken eng mit den jeweils bena hbarten Wirbeln verbunden sind und sie si h deshalb in den CT-Daten dort häug s hle ht oder gar ni ht voneinander abgrenzen lassen. In dem hier vorgestellten Verfahren wird ein Ballon in Form eines Feder-MasseModells virtuell in den Wirbelkanal eingesetzt und iterativ dilatiert. Dabei tritt er aus den Zwis henwirbelberei hen heraus, wobei die Ballonoberä he dort eine elliptis he und ansonsten eine hyperbolis he Form annimmt. Dur h Analyse der Oberä henkrümmung lassen si h Ebenen zur Trennung und ans hlieÿenden Segmentierung der Wirbel denieren. Na h vorheriger Artefaktreduktion dur h RFMAR lässt si h das Verfahren erfolgrei h bei artefaktbehafteten CT-Datensätze einsetzen. Es wurde gezeigt, dass ein Einsatz au h für MRT-Daten mögli h ist. Es ist zu erwarten, dass das Ballonverfahren, mögli herweise mit geringen Modikationen, au h für andere Abs hnitte der Wirbelsäule einsetzbar ist. Bisher wurde das Verfahren jedo h nur auf Volumendatensätzen der Halswirbelsäule angewandt. In einer ans hlieÿenden Arbeit lieÿe si h der Einsatz au h für andere Wirbelsäulenabs hnitte testen. Eine Erweiterung des Verfahrens ist etwa dur h Kombination der von Ghebreab [61℄ vorgestellten aktiven Wirbelmodelle vorstellbar. Bei diesem Verfahren ist zur Erzielung zufriedenstellender Segmentierungsresultate eine gute initiale manuelle Positionierung der Wirbelmodelle erforderli h. Diese könnte dur h das Ballonverfahren automatis h erfolgen.

A Grundlagen

D

ieser Anhang dient hauptsä hli h der eindeutigen Festlegung verwendeter Spre hweisen. Auf Herleitung und Beweise wird zum groÿen Teil verzi htet und stattdessen auf entspre hende Fa hliteratur verwiesen, in der diese zu nden sind.

A.1 Denitionen A.1.1 Inverse und s hle ht gestellte Probleme Denition A.1 (Inverses Problem [167℄) Sei A : X → Y eine Abbildung zwis hen den beiden topologis hen Räumen X und Y . Beim direkten Problem wird die Wirkung aus der Ursa he bere hnet, das heiÿt, es wird Ax für x ∈ X ermittelt. Wird hingegen zu der Wirkung y ∈ Y die Ursa he x ∈ X bere hnet, so dass Ax = y, spri ht man vom inversen Problem. 2 Denition A.2 (S hle ht gestelltes Problem [123, 167℄) Sei A : X → Y eine

Abbildung zwis hen den topologis hen Räumen X und Y . Das Problem (A, X, Y ) heiÿt gut gestellt 1, wenn folgende Eigens haften erfüllt sind: 1. Die Glei hung Ax = y hat für jedes y ∈ Y eine Lösung. 2. Dies Lösung ist eindeutig bestimmt. 3. Die inverse Abbildung A−1 : Y → X ist stetig, das heiÿt die Lösung x hängt stetig von den Daten ab. Ist eine der Bedingungen verletzt, so heiÿt das Problem s hle ht gestellt 2. 2 A.1.2 Konvexe Kombinationen, Mengen, Hüllen und Funktionen Denition A.3 (Konvexe Kombination [84℄) Eine Linearkombination P reellen Vektorraums V heiÿt αi xi , αi ∈ R von Elementen xi ∈ V einesP Kombination , wenn für die Gewi hte αi gilt: αi = 1 und αi > 0. 1 engl.: well-posed 2 engl.: ill-posed

161

konvexe 2

162

A Grundlagen

Denition A.4 (Konvexe Menge [84℄) Eine Teilmenge M eines reellen Vektor-

raums V heiÿt konvex, wenn für je zwei Punkte aus M au h deren konvexe Kombination in M enthalten ist. 2 Denition A.5 (Konvexe Hülle [84℄) Sei M Teilmenge eines reellen Vektorraumes V . Die konvexe Hülle Tvon M ist die kleinste konvexe Menge, die M enthält, das heiÿt der Dur hs hnitt i Ki aller konvexen Mengen Ki ⊇ M . Sie entspri ht der Menge aller konvexen Kombinationen der Elemente xi ∈ M . 2 Denition A.6 (Konvexe Funktion [83℄) Sei I ⊆ R. Eine Funktion f : I → R heiÿt konvex in I , wenn für alle x, y ∈ I gilt: f



x+y 2



≤

f (x) + f (y) . 2

f



x+y 2



<

f (x) + f (y) , 2

Gilt für alle x, y ∈ I

so heiÿt die Funktion streng konvex in I . Bemerkung A.1 ([83℄) gilt

f

Sei

ist

konvex in

I,

streng konvex in

I,

I⊆R

2

f ∈ C 2 (I → R).

ein oenes Intervall und

Dann

⇔ ∀x ∈ I : f ′′ (x) ≥ 0, ⇔ ∀x ∈ I : f ′′ (x) > 0,

2

A.1.3 Zusammenhang einer Menge Denition A.7 (Zusammenhang einer Menge [17℄) Eine oene und zusammen-

hängende Menge M ⊂ zusammenhängend ist.

Rn

heiÿt

, wenn der Rand

einfa h zusammenhängend

∂M

2

A.1.4 Faltungen Denition A.8 (kontinuierli he Faltung) Für f, g ∈ R → R wird deniert: [f ∗ g](t) :=

Z∞

f (x)g(t − x) dx.

−∞

(A.1) 2

Denition A.9 (diskrete Faltung) Für f, g ∈ Z → R wird deniert: f ∗ g[n] :=

X k

f [k]g[n − k].

(A.2) 2

163

A.1 Denitionen

A.1.5 Grundlagen aus der Systemtheorie Dira - und Krone ker-δ

In der Theorie linearer kontinuierli her Systeme spielt die im Folgenden denierte δDistribution (vgl. [219℄) beziehungsweise der Dira 's he δ-Impuls eine wi htige Rolle. Diese nimmt für diskrete Signale die Krone ker δ-Funktion ein. Einige wi htige Eigens haften der δ-Distribution beziehungsweise des Krone ker-δ sind in Tabelle A.1 zusammengefasst. Denition A.10 (Dira 's her δ -Impuls) Der Dira 's he δ-Impuls lässt si h als

folgender Grenzwert auassen (vgl. [15, Kap. 5℄): δ : R → R,

  t . T

(A.3)

1 , t=0 0 , t 6= 0

(A.4)

1 t 7→ lim rect T →0 T

2

Denition A.11 (Krone ker δ -Funktion) δ : Z → {0, 1},

.

t 7→



2

Eigens haft kontinuierli h diskret R P Siebeigens haft R f (t)δ(t − a) dt = f (a) P f [t]δ[t − a] = f [a] Energie δ(t) dt = 1 δ[t] = 1 Linearität αδ(t) + βδ(t) = (α + β)δ(t) αδ[t] + βδ[t] = (α + β)δ[t] 1 δ(t) Skalierung δ(αt) = |α| Tabelle A.1: Eigens haften des Dira - beziehungsweise Krone ker-δ .

Fouriertransformation

Zur Analyse der Frequenzen in einem Signal eignet si h die Frequenzzerlegung mit Hilfe der Fouriertransformation. Die Kenntnis der Fouriertransformation und ihrer Eigens haften wird in dieser Arbeit vorausgesetzt. Für Bes hreibungen der zugrundeliegenden Theorie sei auf [8, 15, 219℄ verwiesen. Es gelten hier folgende Denitionen:

164

A Grundlagen

Denition A.12 (Fouriertransformation) Sei f ∈ L1 (Rn ). Dann wird die Ab-

bildung F : L1(Rn) → C0(Rn), mit

1 [F f ](ξ) = (2π)n/2 Fouriertransformation

von f .

Z

f (x)e −ıxξ dξ,

Rn

∀ξ ∈ Rn

genannt. Die Funktion fˆ := F f heiÿt Fouriertransformierte 2

Die Invertierung der Fouriertransformation ergibt si h dur h folgenden Satz. Satz A.1 (na h [219, Satz V.2.8℄) von

n

S (R )

auf

n

S (R ). [F

−1

Die Fouriertransformation ist eine Bijektion

Der inverse Operator ist dur h

1 f ](x) = (2π)n/2

Z

f (ξ)e ıxξ dx,

Rn

∀x ∈ Rn

gegeben.

2

Beweis: Ein Beweis ndet si h in [219℄.



Denition A.13 Sei f ∈ L1 (R2 ). Mit 1 [Fx→ω f ](ω, y) := √ 2π

Z

e −ıxω f (x, y) dx

1 := √ 2π

Z

e ıωx f (ω, y) dω.

R

wird die Abbildung bezei hnet, die si h bei Bere hnung von Fouriertransformationen entlang einer Koordinatena hse ergeben. Entspre hend wird die inverse Abbildung folgendermaÿen bezei hnet: −1 [Fx→ω f ](x, y)

R

2

Denition A.14 (diskrete Fouriertransformation) Sei f ∈ l1 (NN , R) ein dis-

kretes Signal und ωN = e −2πı/N . Dann heiÿt fˆ[k] =

N −1 X

kn f [l]ωN

n=0

die diskrete Fouriertransformation (DFT) und f [i] =

die inverse DFT (IDFT).

N −1 1 X ˆ −ki f [k]ωN N k=0 2

Die eziente Bere hnung der diskreten Fouriertransformation erfolgt anhand der s hnellen Fouriertransformation (FFT) beziehungsweise der inversen FFT (IFFT) . Diese werden ausführli h in [8, 15, 147, 152℄ bes hrieben.

165

A.2 Grundlagen der Wavelettransformation

A.2 Grundlagen der Wavelettransformation Ähnli h wie die Fouriertransformation eignet si h die Wavelettransformation zur Frequenzanalyse von Signalen. Während aus der Fouriertransformation eine Darstellung der Frequenzen des vollständigen Signals erfolgt, eignet si h die Wavelettransformation zu Frequenzanalyse von lokalen Signalauss hnitten. Im folgenden Abs hnitt wird ein Überbli k über diejenigen Inhalte der Wavelettheorie gegeben, die für diese Arbeit wi htig sind. Für eine ausführli he Bes hreibung sei auf [36, 124, 129℄ verwiesen. Denition A.15 (Multi-Skalen-Analyse) Eine aufsteigende Kette abges hlossener Unterräume Vm ⊂ L2(R) {0} ⊂ · · · V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V−2 ⊂ · · · ⊂ L2 (R)

heiÿt Multi-Skalen-Analyse des L2(R), wenn folgende Eigens haften erfüllt sind [36℄: [

Vj = L2 (R),

j∈Z

\

j∈Z

Vj = {0},

f (·) ∈ Vm ⇔ f (2m ·) ∈ V0

und

∀m ∈ Z : f ∈ V0 ⇒ f (· − n) ∈ V0 .

Weiterhin muss eine Funktion φ ∈ V0 existieren, aus der die Funktionenfamilie j

so abgeleitet wird, dass

φj,n := 2− 2 φ(2−j x − n), j, n ∈ Z, {φ0,n |n ∈ Z}

eine orthonormale Basis des V0 bildet.

2

Die Funktion φ ∈ V0 wird Skalierungsfunktion genannt. Die orthogonalen Komplemente von Vj in Vj−1 werden mit heiÿt, Bemerkung A.2

Vj−1 = Wj ⊕ Vj ,

Wj

bezei hnet. Das

Vj ⊥ Wj .

Aus der Konstruktion ergibt si h

Vj =

M

Wi

i≥j+1

und damit

L2 (R) =

M j∈Z

Wj . 2

166

A Grundlagen

Sei ψ ∈ L2(R) eine Funktion mit kompaktem Träger. Erfüllt die Funktion die Zulässigkeitsbedingung ∞ 0 < cψ := 2π

Z

−∞

2 ˆ |ψ(ω)| dω < ∞, |ω|

(A.5)

wird sie Wavelet genannt [124℄, wobei ψˆ die Fouriertransformierte des Wavelets bezei hnet. Für f ∈ L2(R) und a ∈ R\{0}, b ∈ R heiÿt   t−a 1 i hf, √ ψ b b   Z∞ t−a 1 √ dt f (t)ψ b b −∞   −t 1 √ f ∗ψ b b

[Wψ f ](a, b) = = =

(A.6) (A.7) (A.8)

die Wavelettransformation von f zum Wavelet ψ [129, Kap. 4.3℄, [124℄. Satz A.2 (na h [124℄)

ψ,

aus

Wj .

2

Zu jeder Multi-Skalen-Analyse existiert ein Wavelet

dem dur h Dilatation und Vers hiebung die Funktionen

1 ψj,n (t) = √ ψ 2j



t − 2j n 2j



,

ψj,n

mit

(j, n) ∈ Z2

hervorgehen. Diese Funktionen bilden eine Orthonormalbasis für den Raum

Sei a0 ∈ l2(Z) ein diskretes Signal. Sei weiterhin wie in Satz A.2 ein Wavelet dur h eine Multi-Skalen-Analyse mit der Skalierungsfunktion φ gegeben. Die Funktion ∞ f (t) :=

X

n=−∞

a0 [n]φ(t − n)

wird als diejenige kontinuierli he Funktion deniert, die si h dur h eine Linearkombination der Basisfunktionen φ(t − n) ergibt, wobei die Koezienten mit den diskreten Werten von a0 identiziert werden. Da die Basisfunktionen φ(t − n) orthonormal zueinander sind, gilt a0 [n] = hf (t), φ(t − n)i = f ∗ φ(−n).

Somit stellt das Signal a0 ein gewi htetes Mittel beziehungsweise eine diskrete Approximation von f dar. Die diskrete Wavelettransformation von a0 ist bestimmt dur h die Detailkoezienten dj [n] = hf, ψj,n i,

167

A.2 Grundlagen der Wavelettransformation

das heiÿt dur h die Koezienten der Projektionen von f auf die Räume Wj . Die Koezienten der Skalenräume Vj , die die grobe Struktur von f beinhalten, bestimmen si h entspre hend zu aj [n] = hf, φj,n i.

Diese Koezienten können gemäÿ folgendem Satz [129, Kap. 7.3.1℄ dur h Faltungen zweier Faltungskerne mit den Koezienten aj bestimmt werden. Satz A.3 (Mallat) ∞ X

aj+1 [p] =

n=−∞ ∞ X

dj+1 [p] =

n=−∞

h[n − 2p]aj [n] = aj ∗ h[−2p],

(A.9)

g[n − 2p]aj [n] = aj ∗ g[−2p].

(A.10) 2

Die Koezienten h[i] und g[i] bestimmen die Waveletzerlegung. Sind sie bekannt, so wird zur Bere hnung der Wavelettransformation das Wavelet ψ ni ht explizit benötigt. In dieser Arbeit wird für g[i] die Bezei hnung Wavelet-Faltungskern verwendet. Aus den Koezienten in einer Skalierungsstufe j kann die ursprüngli he Funktion dur h geeignete Faltungen mit den Faltungskernen h und g wieder rekonstruiert werden (siehe z. B. [36, 124, 129℄). Das impliziert aber, dass das Wavelet ni ht symmetris h sein [36, Kap. 8.3℄ und somit keine lineare Phase haben kann [122, Kap. 4.1℄, [36, Kap. 8℄. Wird jedo h bei der Multi-Skalen-Analyse ni ht wie bislang ein orthogonales Wavelet, sondern ein biorthogonales Wavelet verwendet, kann dieses au h symmetris h sein. In diesem Fall wird von den ψj,n ni ht der Orthogonalraum Wj zu Vj , sondern zu einem Raum V˜j aufgespannt. Der Orthogonalraum zu Vj wird entspre hend mit W˜ j bezei hnet. Die Wavelettransformation für biorthoganele Wavelets wird wie in Satz A.3 anhand von zwei Faltungskernen h und g bere hnet. Für die Rekonstruktion der Funktion werden zwei andere Kerne h˜ und g˜ verwendet. Ausführli he Bes hreibungen zu biorthogonalen Wavelets ndet man in [25, 36, 124, 129℄. Ein wi htiges Kriterium für die Wahl eines Wavelets spielt dessen Anzahl vers hwindender Momente. Denition A.16 (Vers hwindende Momente) Eine Funktion ψ mit Z∞

tk ψ(t) dt = 0,

0≤k
(A.11)

−∞

hat n vers hwindende Momente.

2

168

A Grundlagen

Bemerkung A.3 (na h [129, Kap. 7.2℄) mit

n

vers hwindenden Momenten orthogonal zu allen Polynomen vom Grad

ist. Ist eine Funktion Umgebung von Wenn

k
t

f

an der Stelle

t

ψ n−1

Aus (A.11) folgt, dass ein Wavelet

lokal aus

Ck,

so kann sie in einer kleinen

gut dur h ein Taylorpolynom vom Grad

k

approximiert werden.

ψ orthogonal zu diesem Taylorpolynom. Somit nehmen die |hf, ψ( j, n)i| kleine Werte in Skalen hoher Auösung ein. 2

gilt, dann ist

Detailkoezienten

Folgender Satz stellt eine Beziehung zwis hen einem Wavelet mit n vers hwindenden Momenten und einem Dierentialoperator her. Satz A.4 (na h [129, Kap. 6.1.2℄) de Momente, wenn es als

n-te

Ein Wavelet hat genau dann

Ableitung einer Funktion

θ

n

vers hwinden-

ges hrieben werden kann,

das heiÿt

dn θ(t) . dtn Wavelettransformation einer Funktion f gilt dann   n 1 t n d f ∗ √ θ(− ) (a). [Wa,b f ] = b dun b b ψ(t) = (−1)n

Für die

2

Somit kann ein Wavelet mit n vers hwindenden Momenten als Dierentialoperator n-ter Ordnung aufgefasst werden.

A.3 Mathematis he Morphologie Die (mathematis he) Morphologie3 wurde ursprüngli h zur Abs hätzung von Eisenvorkommen im Bergbau [179℄ entwi kelt, jedo h s hon bald im Kontext der Bildverarbeitung und -analyse verwendet [130, 180℄. Bei der Morphologie werden Teilmengen des Rn beziehungsweise des Zn und deren Veränderung dur h Operatoren, die si h aus mengentheoretis hen Operationen zusammensetzen, betra htet. Anwendungen der Morphologie sind beispielsweise Raus hunterdrü kung, Distanztransformation, Skelettierung, Bestimmung der Ränder oder der konvexen Hüllen von Teilmengen. Die Morphologie lässt si h au h für Graustufenbilder denieren [76, 189℄. Anstelle der mengentheoretis hen ist eine algebrais he Darstellung der Morphologie anhand von Operatoren auf vollständigen Verbänden mögli h [77, 171℄. Es folgt nun eine knappe Darstellung der grundlegenden morphologis hen Operatoren Erosion , Dilatation , Opening und Closing sowie einiger Eigens haften dieser Operatoren na h [76, 189℄. Ausführli here Bes hreibungen ndet man neben der oben erwähnten Literatur in [93, Kap. 9℄, [151, Kap. 14℄, [116, Kap. 7.5℄, [65, Kap. 8.4℄. 3 grie h.:

ἡ μορφή

= Form, Gestalt

169

A.3 Mathematis he Morphologie

Seien F ⊂ R2 und die als Strukturelement bezei hnete Menge B ⊂ R2 kompakte Teilmengen des R2, B˘ := {x ∈ R2| − x ∈ B} das am Ursprung gespiegelte Strukturelement und B + h := {x ∈ R2|x − h ∈ B} die um h ∈ R2 vers hobene Menge B . Dann lassen si h die oben genannten Operatoren wie folgt denieren: Erosion: F ⊖ B := {h ∈ R2|(B + h) ⊆ F } Dilatation: F ⊕ B := {h ∈ R2|(B˘ + h) ∩ F 6= ∅} Opening: F ◦ B := (F ⊖ B) ⊕ B Closing: F • B := (F ⊕ B) ⊖ B Bei der Erosion werden Lö her L in F mit L ∈ F ∁ und ∂L ⊂ F vergröÿert sowie Pixel am Rand von F entfernt. Die Dilatation stellt das Gegenstü k der Erosion dar. Lö her, die kleiner als das Strukturelement sind, vers hwinden und das Objekt dehnt si h aus. Die Kompositionen von Dilatation und Erosion beziehungsweise von Erosion und Dilatation werden Opening beziehungsweise Closing genannt. Für Opening und Closing gilt na h [76, 189℄: F ◦B F •B

F •B F • (B + h) (F • B) • B F F1 ⊆ F2

= ∪ {B + h|h ∈ R2 ∧ (B + h) ⊆ F } ˘ + h) ⇒ (B ˘ + h) ∩ F 6= ∅} = {x ∈ R2 |x ∈ (B ˘ ∁ = (F ∁ ◦ B)

= = ⊆ ⇒

F •B F •B F •B F1 • B ⊆ F2 • B

(A.12) (A.13) (A.14) (A.15) (A.16) (A.17) (A.18)

Diese Eigens haften ermögli hen eine ans hauli he Interpretation von Opening und Closing. Das Opening ergibt si h für h ∈ R2 gemäÿ (A.12) als Vereinigung aller Mengen B + h, die vollständig in F enthalten sind. Eine ähnli he Interpretation ist na h (A.14) au h für das Closing mögli h. Satz A.5

Sei

K ⊂ R2

eine kompakte konvexe Menge. Dann ist

K invariant gegenB ⊂ R2 , das heiÿt

über dem Closing mit einem beliebigen kompakten Strukturelement

K • B ⊆ K.

2

Beweis: Es wird gezeigt, dass es für alle Punkte p ∈ K ∁ einen Vektor h ∈ R2 gibt,

für den gilt: 1. p ∈ (B˘ + h) und 2. K ∩ (B˘ + h) = ∅. Aus (A.13) folgt, dass p ∈/ K • B und damit die Behauptung. Es wird nun konstruktiv gezeigt, dass beide Bedingungen erfüllt sind. Aus der Konvexität von K folgt, dass es immer eine Gerade dur h p gibt, die K ni ht s hneidet.

170

A Grundlagen

Sei n der ins Innere von K weisende Normalenvektor der Randkurve von K an der Stelle k := arg minx∈∂K kp−xk2 und g die dur h g : hx−p, ni = 0 bestimmte Gerade (s. Abb. A.1). g1 n2 n1

h2

b 2 = p 2 - v2

b1´ = p1´ - v1´

p1 k1 n 1 K

n2

n2

B

k2 p2

b1 = p1- v1

g2

h1

n1

K und eines (gespiegelten) Struktur∁ Zwei Punkte p1 , p2 ∈ K sind exemplaris h dargestellt. In elements Abhängigkeit zu p1 und p2 werden k1 und k2 , sowie n1 und n2 bestimmt. Daraus ergeben si h die Geraden g1 und g2 sowie die Parallelen h1 und ˘ berühren. h2 , die den Rand ∂ B

Abbildung A.1: Darstellung einer konvexen Menge

˘. B

Sei h diejenige Parallele zu g mit h ∩ ∂ B˘ 6= ∅ und h ∩ B˚˘ = ∅, für die der Ausdru k hx − p, ni, x ∈ h (A.19) maximal wird. Da B und damit B˘ eine kompakte Teilmenge des R2 ist, gibt es na h dem Lemma von Zorn [17℄ zu jeder Normalenri htung n mindestens ein Punkt b, für den A.19 maximal wird. Dadur h ist h eindeutig bestimmt. Ein beliebiger Punkt b ∈ h ∩ ∂ B˘ wird nun als Referenzpunkt gewählt und damit ˘ + v). Es gilt aber au h v := p − b bestimmt. Für v gilt na h Konstruktion p ∈ (B ˘ + v auf der ˘ K ∩ (B + v) = ∅, da na h Konstruktion K auf der positiven und B negativen Halbebene von g liegt. Somit sind für h := v die Bedingungen 1 und 2 erfüllt.  Korollar A.1

Satz A.5 gilt au h für kompakte konvexe Teilmengen

Korollar A.2

Sei

K ⊂ F beliebiger Mengen F ⊂ R , wenn der minimale Abstand min{kx − yk2 |x ∈ K, y ∈ F \K} gröÿer ist als der maximale Dur hmesser max{kx − yk2 |x, y ∈ B} des kompakten 2 Strukturelements B ⊂ R . 2 und

2

B⊂R

2

F ⊂ R2

K = kH(F ) deren konvexe Dann gilt: F ⊆ F • B ⊆ K .

eine kompakte Menge,

ein kompaktes Strukturelement.

Hülle 2

Beweis: Die Inklusion F ⊆ F • B ergibt si h na h (A.17). Da F ⊆ K , folgt na h

(A.18) F • B ⊆ K • B . Aus Satz A.5 folgt K • B ⊆ K und damit die Behauptung.

Notationsverzei hnis

Symbol Bedeutung Θ. i l, θ θ0 p0 p1 Z B T lmax ⌊·⌋ ⌈·⌉

Seite

Multas gratias ago Koordinaten im Sinogramm Projektionswinkel Stre ke von p0 na h p1 Zentrum eines Grauwertfensters Breite eines Grauwertfensters S hwellwert (engl.: threshold) maximaler Index eines Detektorelements Abrundungsfunktion: ⌊x⌋ = {y ∈ Z|⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌊x⌋ + 1}

Aufrundungsfunktion:

⌈x⌉ = {y ∈ Z|⌈x⌉ − 1 ≤ x ≤ ⌈x⌉}

oenes Intervall halboene Intervalle abges hlossenes Intervall Skalarprodukt Kreuzprodukt zwis hen den Vektoren x und y logis hes Und Kreisfrequenz ω := 2πf dB Dezibel, hier: dB(x) := 20 log10 x ∆ Dierenz CONd , ond , Kontrastparameter TCON TCON := 0,003. S hwellwert zur Klassizierung von CTBildern d(a, b) Euklidis her Abstand zwis hen a und b ı imaginäre Einheit σ Standardabwei hung σ 2 Varianz P x¯ Mittelwert x¯ = 1/n xi der Menge {xi }, i ∈ Nn h(f ) Histogramm einer Funktion f κ1 , κ2 Hauptkrümmungen einer Flä he (·, ·) (·, ·], [·, ·) [·, ·] h·, ·i x×y ∧ ω

7 15 9 22 22 47 59

171

146 169 136 138 139

150

172

Notationsverzei hnis

Symbol Bedeutung

Seite

Mengen N Menge der natürli he Zahlen N = {0, 1, . . . } Nm Nm := N ∩ [0, m) für m ∈ N Z Menge der ganzen Zahlen R Körper der reellen Zahlen R+ Positive reelle Zahlen: {x ∈ R|x > 0} R+ Positive reelle Zahlen mit Null: {x ∈ R|x ≥ 0} 0 C Körper der komplexen Zahlen G Grauwerte G = N|G|−1 I Indexmenge χT Indikatorfunktion beziehungsweise harakteristis he Funktion der Menge T ( ⊂ X, 1, falls x ∈ T χT : X → {0, 1}, x 7→ 0 sonst ′ ′ χMetall(f ) Ortsbild f mit f (x, y) = 1 für Metallpixel (x, y) und ansonsten f ′(x, y) = 0 |M | Mä htigkeit der Menge M ˚ Inneres der Menge B ⊆ M : B S ˚ := B U ¯ B

∂B Def(f )

im(f )

S1 ρl,θ σ(x,y) , σp

σM Ωn PM ∅ ∁ M ⊂O

U

oen in M, U ⊆B

U

abges hlossen in M, U ⊇B

18

Abges hlosseneTHülle der Menge B ⊆ M : ¯ := B

U

¯ B ˚ Rand der Menge B ⊆ M : ∂B := B\ Denitionsmenge der Funktion f . Stellt f ein Bild dar, dann entspri ht Def(f ) der Bildgröÿe Bildmenge von f Einheitskreis im R2 Projektionsgerade Sinusoid des Punktes (x, y)t beziehungsweise eines Punktes p. Menge aller Sinusoide der Punkte (x, y)t ∈ M Messfeld Potenzmenge der Menge M leere Menge Komplement O\M der Menge M in der Obermenge O ⊃ M.

9 9 11 18 63

173 Symbol Bedeutung Tr(f )

kH(M ) M⊕

Seite

Träger der Funktion f : abges hlossene Hülle {x|f (x) 6= 0} der Menge der Punkte, an denen die Funktion ni ht vers hwindet Konvexe Hülle der Menge M ⊂ Rd Dilatierte Metallsinusoide 92

Signale, Funktionen und Distributionen fˇ f˜ fˆ ηˆ η ˇ fr ˇf ˜ fr ˜f fˇ˜r fˇ˜ f˜′ ˇ˜f fˇr′ fˇ˜r′ k kˇ Λ Λn Π

Radontransformierte der Funktion f Artefaktfreies CT-Bild beziehungsweise Rekonstruktionsbild f˜ := R −1fˇ Fouriertransformierte der Funktion f Rekonstruktionslter bei der gelterten Rü kprojektion Faltungskern F −1ηˆ Rohdaten mit Störpixeln, insbesondere mit starkem Raus hen entlang der Metallsinusoide Defektsinogramm ˇf := fˇr − fˇ Artefaktbehaftetes CT-Bild beziehungsweise Rekonstruktionsbild f˜r := R −1fˇr Defektbild ˜f := f˜r − f˜ Raus hartefaktbehaftete Pseudorohdaten fˇ˜r := R f˜r Hypothetis he Pseudorohdaten ohne Defektpixel

9 10 10 12 13 23 23 23 23

52 Rekonstruktionsbild na h Anwendung eines Verfah- 100 rens zur Reduktions von Metallartefakten Defektpixel in den Pseudorohdaten ˇ˜f := fˇ˜r − fˇ˜ Modizierte Rohdaten Modizierte Pseudorohdaten Kreiss heibenphantom 24 ˇ = [Rk] Sinogramm des Kreiss heibenphantom k  1 − |t|, |t| ≤ 1 =Π∗Π Dreie kfunktion Λ(t) := 0, |t| > 1 normierte Dreie kfunktionder Länge n 1, |t| ≤ 1/2 Re hte kfunktion Π(t) := 0, |t| > 1/2 fˇ˜ := R f˜

f˜r

174

Notationsverzei hnis

Symbol Bedeutung Πn hbm hnbmn ψ φ

normierte Re hte kfunktion der Länge n Bla kman-Faltungskern normierter Bla kman-Faltungskern der Länge n Waveletfunktion beziehungsweise biorthogonales Spline-Wavelet mit se hs vers hwindenden Momenten Skalierungsfunktion 

 −1, t < 0, 0, t = 0, sgn Signumfunktion sgn(t) :=   sin πt1, t > 0 t 6= 0 πt sinc Sin -Funktion sinc(t) := 1, t=0 s[i], s[i, j] diskretes Signal, diskrete Funktion δ Dira -Delta beziehungsweise Krone ker-Delta δi,j Sei M ⊆ R2 und (i, j) ∈ M . Dann gilt δi,j : M → {0, 1}, (x, y) 7→ δ(x − i)δ(y − j) f ◦ g Kompositum der Funktionen f und g k Kontrastmaÿ s Strukturmaÿ h Helligkeitsmaÿ υ Aufwand der Homogenitätsüberprüfung bei der ξi,j

Quadtree-Zerlegung ri htungsabhängige Gewi htsfunktion

Seite 85 85 166 165

163 15 96 96 96 66 147

Operatoren R R∗ F Fx→ν f Wψ H D ∗ ∗x

Radonoperator Rü kprojektionsoperator Fourieroperator 1D-Fouriertransformationen entlang der x-Koordinaten in einer n-dimensionalen Funktion f . Waveletoperator des Wavelets ψ. Hilbertoperator Dierentialoperator Faltungsoperator 1D-Faltung in Ri htung der x-Koordinate

9 11 10 14 14

175 Symbol Bedeutung τ τα F ⊖B F ⊕B F ◦B F •B

Transformation auf den Intensitäten im Sinogramm Transformation auf den Intensitäten im Sinogramm Morphologis he Erosion Morphologis he Dilatation Morphologis hes Opening Morphologis hes Closing

Seite 29

??

169 169 169 169

Matrizen, Vektoren A, (a(i, j)) , (a) At A−1 0 1 A·B R Cv W := (wl,θ ) x = (·, . . . , ·)t , θ¯ ⊥ θ t fi,j t si,j ati,j nti,j iti,j

vers hiedene Darstellungen für eine Matrix Transponierte Matrix Inverse Matrix Nullmatrix, das heiÿt Matrix (a(i, j)) mit a(i, j) = 0 passender Gröÿe Einsmatrix, das heiÿt Matrix (a(i, j)) mit a(i, j) = 1 passender Gröÿe Punktweise Multiplikation der Matrizen A und B . Es wird davon ausgegangen, dass die Gröÿen der Matrizen identis h sind. Radontransformationsmatrix 10 Coo

urren e-Matrix 69 Gewi hte für konvexe Kombinationen 90 (Orts-) Vektoren, Pixel θ¯ := (cos θ, sin θ)t 9 ⊥ t θ := (− sin θ, cos θ) 9 Kraftvektor, der die Dilatation des Ballons bestimmt 146 Federkraft 146 Kraft aufgrund von virtuellem Luftdru k 146 Normalenvektor 146 Bildkraft 146

Vektorräume V Vi ⊕ Vj C n (X) C ∞ (X)

Vektorraum 161 Direkte Summe zweier Vektorräume Vi und Vj . 165 Raum der n-fa h stetig dierenzierbaren Funktionen auf dem topologis hem Raum X Raum der unendli h-fa h dierenzierbaren Funktionen auf dem topologis hem Raum X

176

Notationsverzei hnis

Symbol Bedeutung S (X) lp Lp (I)

Seite

S hwartz-Raum der s hnell abfallenden C ∞(X)- 45 Funktionen Bana hraum der Folgen x = (tn) mit Norm Bana hraum der (Äquivalenzklassen von) R messbaren p 1/p Funktionen P f über I mit Norm kf kp = ( I |f | dλ) kxkp = (

|tn |p )1/p

Abkürzungsverzei hnis

Bezei hnung Bedeutung Seite ART Algebrais hes Rekonstruktionsverfah- 45 ren (engl.: Algebrai Re onstru tion Te hnique) ASSIM Adapted Stru tural Similarity 98 CON Harali k's hes Texturmerkmal CONtrast 138 CT Computertomograph CT Computertomographie DICOM Digital Imaging and Communi ations in 21 Medi ine: Standard zur Spei herung und Übertragung medizinis her Bilddaten DS Datensatz 110 EM Expe tation Maximization 45 FDA U.S Food and Drug Administration 94 FFT S hnelle Fouriertransformation (engl.: Fast Fourier Transform) FIR-Filter Filter mit einer Impulsantwort endli her Länge (engl.: Finite Impulse Response Filter) HU Hounseld-Einheit (engl.: Hounseld 20 Unit) HVS Human Visual System: siehe MVS IDM Harali k's hes Texturmerkmal Inverse 69 Dieren e Moment

IF Methode zur Modikation von Pseudorohdaten, die auf der IndikatorFunktion der Metallsinusoide basiert IFFT Inverse S hnelle Fouriertransformation (engl.: Inverse Fast Fourier Transform) LI Lineare Interpolation MSVD MAR Metal Artifa t Redu tion MASSIM MQF Mittlerer Quadratis her Fehler

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102 39 94

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Abkürzungsverzei hnis

Bezei hnung MRT MRT MSE MSSIM MVS NMQF NMSE PSNR RFMAR ROC ROI SNR SSIM SVD TIFF

Bedeutung Seite Magnetresonanztomograph Magnetresonanztomographie Mean Square Error: siehe MQF 94 Mean Stru tural Similarity 94 Mens hli hes Visuelles System Normierter Mittlerer Quadratis her Fehler 94 Normalized Mean Square Error: siehe NM- 94 QF Peak Signal to Noise Ratio Rohdatenfreies Metallartefaktreduktions- 84 verfahren Re eiver Operating Chara teristi 99 Ausgewählter Bildauss hnitt (engl.: Region Of Interest) Signal-Raus h-Verhältnis (engl.: Signal to 24 Noise Ratio) Stru tural Similarity 95 Singular Value De omposition Bilddatenformat (engl.: Tagged Image File 110 Format)

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Index

diagnostis her Test. . . . . . . . . . . . . . . . .99 DICOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 47 Dilatation .. . . . . . . . . . . . . . . 92, 145, 168 Dreie ksnetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Dur hlassberei h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A

Abtasteinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 aktive Kontur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 ART. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 Artefakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Abtastungs-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Bewegungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Cupping- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Raus h-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Streustrahl- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Artefaktreduktion. . . . . . . . . . . . . .35, 38 ASSIM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94, 98

E

Eigenvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Eigenwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 1-Ring-Na hbars haft . . . . . . . . . . . . . 151 elliptis h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Erosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Expe tation Maximization .. . . . . . . . 45 externes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

B

Ballon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 baryzentris her Flä heninhalt .. . . . 151 Bildqualität diagnostis he. . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 te hnis he. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

F

Fä herstrahlgeometrie.. . . . . . . . . . . . . .7 Fa ette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Faltungskern Bla kman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Faltungskern Gauÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 FDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Feder-Masse-Modell. . . . . . . . . . . . . . .145 FFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Filter adaptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 FIR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Rekonstruktions-. . . . . . . . . . . . . . .12 Fourier-S heiben-Theorem . . . . . . . . . 10 Fourierrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . 10 Fouriertransformation.. . . . . . . . . . . .164

C

C1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 Clipping .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Closing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 168 CON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Coo

urren e-Matrix. . . . . . . . . .69, 138 Corma k, A. M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 CT-Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 Cupping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 D

Defektbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Defektsinogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Detailkoezienten . . . . . . . . . . . . . . . . 166 diagnostis he Bildqualität.. . . . . . . . .94

G

Gantry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 199

200 Gantry Tilt .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Gauÿ-Krümmung .. . . . . . . . . . . . . . . . 150 gelterte Rü kprojektion . . . . . . . . 5, 12 gerade Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Gewi htsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Goldstandard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Grauwerthistogramm . . . . . . . . . . . . . . 69 gut gestelltes Problem . . . . . . . . . . . . 161 H

Harali k's hes Texturmerkmal. . . . . .69 Harali k-Kontrast.. . . . . . . . . . . . . . . .138 harte Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Haupta hse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Haupta hsentransformation . . . . . . . 152 Hauptkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Hounseld, G. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hounseld-Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 HU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 HVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 hyperbolis h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 I

IDL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 IDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 IF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 IFFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Impa tIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . 5, 15, 17 Indikatorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 inneres Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Intensitätsdämpfung . . . . . . . . . . . . . . . 30 Inver e Dieren e Moment . . . . . . . . . 69 ITK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 J

Java . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 143 Java3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3, 143 K

konvexe Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 162 konvexe Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 konvexe Kombination .. . . . . . . . . . . . 161 konvexe Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Index

Kreiss heibenphantom . . . . . . . . . . . . . 24 Krümmung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 L

λ|µ-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 Lakshminarayanan, A. V. . . . . . . . . . . 12 LI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 lineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 39 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Lokale Homogenität.. . . . . . . . . . . . . . .69 Lokale Tomographie . . . . . . . . . . . . . . . 43

M

MSVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, 98 Magnetresonanztomographie . 144, 155 Mannigfaltigkeit .. . . . . . . . . . . . . . . . . 150 MAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Mar hing Cubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 MASSIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Matlab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Medianlter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Mehrzeiler-CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Merging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Messberei h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Messfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Metall artefaktverursa hendes . . . . . . . . . 23 Metallartefakt .. . . . . . . . . . . . . . 5, 18, 23 Metallartefaktreduktion.. . . . . . . . . . .38 Metalls hatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Metallsinusoide .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 MINIMUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Mo k Proje tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 mono hromatis hes Spektrum . . . . . . . 8 MQF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94, 95 MRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 155 MRT-Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 MSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 MSSIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95, 96 Multi-Skalen-Analyse . . . . . . . . . . . . . 165 MVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 N

NMQF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 NMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

201

Index

Normalenvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 O

Opening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Operator Dierential- .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Fourier- .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 164 Hilbert- .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 morphologis her . . . . . . . . . . . . . . 168 Radon-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Rü kprojektions-. . . . . . . . . . . . . . .11 P

Parallelstrahlgeometrie .. . . . . . . . . . . . . 6 Patiententis h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 poly hromatis hes Spektrum . . . . . . . 27 Polygonnetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Pseudoprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Pseudorohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 52 PSNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Q

Quadtree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Qualitätsmaÿ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 R

Radon, J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Radontransformation.. . . . . . . . . . . . . . .9 Ram-Lak-Filter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Rama handran, G. N.. . . . . . . . . . . . . .12 Rampenlter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Rebinning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 RECLBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Referenz-Metallsinusoide . . . . . . . . . . . 49 Region Growing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Rekonstruktionsbild . . . . . . . . . . . . . 5, 10 Rekonstruktionslter. . . . . . . . . . . . . . .12 Ram-Lak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Shepp-Logan. . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 RFMAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 84 ROC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Röntgen, W. C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ROI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Rü kprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Rü kprojektion gelterte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 S

Saatpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 s an eld of view. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 s hle ht gestelltes Problem . . . . . 5, 161 S hwä hungskoezient . . . . . . . . . . . . . . 8 Segmentierung . . . . . 46, 64, 71, 75, 143 histogrammbasiert . . . . . . . . . . . . . 78 Quadtree-basiert . . . . . . . . . . . . . . . 66 Region Growing. . . . . . . . . . . . . . .151 S hwellwert- . . . . . . . . . . . . 21, 47, 80 texturbasiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Sekundärrekonstruktion. . . . . . . . . . . .35 Sensitivität .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Shepp-Logan-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Signal-Raus h-Verhältnis.. . . . . . . . . .24 Singulärwertzerlegung. . . . . . . . . . . . . .98 Singularität.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Sinogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sinusoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Skalierungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 165 Snakes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 SNARK93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 SNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Sperrberei h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Spezität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Spiral-CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 SSIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95, 96 Strahlaufhärtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Strahlengang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Streuung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Strukturelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 T

te hnis he Bildqualität.. . . . . . . . . . . .94 Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TIFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 TomAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tomographie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

202 Externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Lambda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Lokale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Transformation Fourier-.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Haupta hsen- . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Karhunen-Loève . . . . . . . . . . . . . . 152 Radon-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Wavelet- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70, 165 U

Übergangsberei h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 V

Vers hwindende Momente. . . . . . . . .167 VTK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 W

Wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 biorthogonal .. . . . . . . . . . . . . . . . . 167 biorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Wavelet-Faltungskern. . . . . .71, 72, 167 Wavelettransformation .. . . . . . . 70, 165 Weber's hes Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Wirbelkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Wirbelsäule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Z

Zorn's hes Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . 170

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